Text
                    УДК 530.1 @75.8)
ББК 22.3;
С 23
Авторы:
В.Л. Гинзбург, Л.М. Левин, Д.В. Сивухин, Е.С. Четверикова, И.А. Яковлев
Гинзбург В. Л., Левин Л. М., Сивухин Д. В., Четверико-
Четверикова Е. С, Яковлев И. А. Сборник задач по общему курсу физики.
В 5 т. Кн. IV. Оптика / Под ред. Д. В. Сивухина. — 5-е изд., стер. — М.:
ФИЗМАТЛИТ; ЛАНЬ, 2006. - 272 с. - ISBN 5-9221-0605-8.
В предлагаемом сборнике задач по физике использован опыт преподавания
общего курса физики в МГУ, Московском физико-техническом институте и
Московском государственном педагогическом институте им. В. И. Ленина. По
степени трудности задачи охватывают широкий диапазон: от самых элемен-
элементарных до задач, стоящих на уровне оригинальных научных исследований,
выполнение которых возможно на основе углубленного знания общего курса
физики.
Сборник состоит из пяти книг: I. Механика. П. Термодинамика. III Элек-
Электричество и магнетизм. IV. Оптика. V. Атомная физика. Физика ядра и
элементарных частиц.
Для студентов физических специальностей высших учебных заведений.
© В. Л. Гинзбург, Л.М. Левин,
Д. В. Сивухин, Е. С. Четверикова,
ISBN 5-9221-0605-8	И. А. Яковлев, 1977, 2006


Содержание Предисловие к четвертому изданию 4 о Ответы и Задачи решения § 1. Геометрическая оптика 5 124 § 2. Фотометрия 30 152 § 3. Интерференция света 34 156 § 4. Дифракция света 43 163 § 5. Элементы голографии 63 189 § 6. Поляризация света. Формулы Френеля 68 192 § 7. Кристаллооптика 74 201 § 8. Скорость света 88 221 § 9. Теория относительности и оптика движущихся тел 94 230 § 10. Давление света 99 241 § 11. Молекулярная оптика и смежные вопросы из дру- других разделов физики 101 244 § 12. Тепловое излучение 119 264
Предисловие к четвертому изданию В настоящем издании отдел оптики задачника выходит отдельной книгой. Отдел значительно переработан и дополнен новыми задачами. Как и в предыдущих двух изданиях, эта работа выполнена В. Л. Гин- Гинзбургом и Д. В. Сивухиным. Кроме того, в четвертом издании принял участие И. А. Яковлев. Им написан §5, содержащий 10 задач по голо- голографии, а также около 25 задач по интерференции, дифракции, поляри- поляризации света и кристаллооптике. Отдельные задачи предложены препо- преподавателями кафедры общей физики Московского физико-технического института, кафедры проблем физики и астрофизики того же института (руководимой В. Л. Гинзбургом), а также сотрудниками И. А. Яковле- Яковлева. Подвергся переработке §7 по кристаллооптике. Кристаллооптика одноосных кристаллов излагается независимо от кристаллооптики дву- осных кристаллов. Этим достигается значительное упрощение, так как большинство задач относится именно к кристаллооптике одноосных кристаллов. Значительно пополнены новыми задачами параграфы по теории относительности и молекулярной оптике. Всем товарищам, способствовавшим улучшению этой книги и по- пополнению ее новыми задачами, авторский коллектив выражает глубо- глубокую благодарность. Авторы выражают глубокую благодарность доценту Л. А. Спекторо- ву за нелегкий и кропотливый труд по просмотру и рецензированию ру- рукописи IV части задачника и доценту Д. И. Ибраимову за организацию ее обсуждения на руководимой им кафедре общей физики Киргизского государственного университета. Д. В. Сивухин
ЗАДАЧИ § 1. Геометрическая оптика 1. При освещении непрозрачного диска радиуса г на экране, отсто- отстоящем от него на расстоянии /, получается тень радиуса г\ и полутень радиуса т^. Источник света также имеет форму диска, причем прямая, соединяющая центры дисков, перпендикулярна к ним и к плоскости экрана. Определить размер источника света и его расстояние от осве- освещаемого диска. 2. Диаметр фотосферы Солнца равен 1 390000 км, расстояние Солн- Солнца от Земли составляет в среднем 150000000 км и меняется незначи- незначительно. Расстояние от центра Луны до поверхности Земли меняется от 357 000 до 399000 км. Когда солнечное затмение бывает полным и когда кольцеобразным, если диаметр Луны равен 3480 км? 3. Объяснить, почему свет от некоторого источника, проходя через отверстие, дает изображение этого источника на экране, помещенном за отверстием, если отверстие мало, и дает изображение этого отвер- отверстия, если оно велико. 4. Лучи от Солнца падают на небольшое квадратное зеркало и по- после отражения попадают на экран. Какую форму имеет освещенная часть экрана и как она меняется с изменением расстояния между зеркалом и экраном? 5. Перед вертикальной квадратной проволочной сеткой помещена длинная узкая горизонтальная щель, освещаемая ярким протяженным источником света. Пройдя через щель и сетку, свет падает на удален- удаленный экран. Описать картину, получаемую на экране. Что произойдет, Рис. 1
6 Задачи если повернуть щель вокруг перпендикуляра к плоскости сетки на 90 или 45°? Рассмотреть сетку, изображенную на рис. 1 а, и сетку, изображенную на рис. 1 б. 6. Как изменится картина на экране, если в предыдущей задаче поменять местами щель и сетку? 7. Два зеркала наклонены друг к другу и образуют двугранный угол а. На них падает луч, лежащий в плоскости, перпендикулярной к ребру угла. Показать, что угол 5 отклонения этого луча от первона- первоначального направления после отражения от обоих зеркал не зависит от угла падения. Вычислить 5. 8. Записать в векторной форме законы отражения и преломления световых лучей на плоской границе раздела двух прозрачных изо- изотропных сред. Свет падает от среды / с показателем преломления щ на среду 2 с показателем преломления щ. Направления падающего, отраженного и преломленного лучей характеризуются единичными век- векторами го, гь Г2. Единичный вектор N нормали к границе раздела направлен от среды 2 к среде /. 9. Показать, что луч света, последовательно отражающийся от трех взаимно перпендикулярных зеркал, меняет свое направление на обратное. 10. Трехгранная пирамида получена путем срезания угла стек- стеклянного куба с посеребренными гранями. Внутрь пирамиды через ее основание попадает световой луч, который последовательно отражается от трех остальных взаимно перпендикулярных граней. Показать, что выходящий из пирамиды луч меняет свое направление на обратное. 11. Найти все изображения предмета, находящегося между двумя зеркалами, наклоненными друг к другу под углом 60°. Построить ход лучей, дающих изображение предмета после двух последовательных отражений от обоих зеркал. 12. Определить число изображений предмета, помещенного меж- между двумя плоскими зеркалами, образующими друг с другом угол (р, в предположении, что число т = 2тг/ср — целое. 13. Световой луч попадает в преломляющую призму через грань AD и последовательно отражается от граней ВС и BD, а затем выхо- выходит через грань АС, как указано на рис. 2. Луч лежит в плоскости, перпендикулярной к ребрам призмы. Углы В и А призмы равны соот- соответственно а и 2а, а углы С и D равны между собой. Показать, что угол 5 отклонения вышедшего луча от первоначального направления не зависит от угла падения. Вычислить угол 5. Будет ли призма при указанном ходе лучей давать спектральное разложение? 14. Объяснить, почему в лунную ночь на поверхности моря видна лунная дорожка, а не изображение лунного диска. 15. Найти величину изображения Солнца, получаемого в рефлек- рефлекторе с радиусом кривизны 16 м. Диаметр Солнца 1,4 • 106км, а рассто- расстояние от Земли до Солнца 150 • 106 км.
§ 1. Геометрическая оптика Рис. 2 16. Радиус кривизны вогнутого зеркала 40 см. Найти положение объекта, при котором его изображение — действительное и увеличен- увеличенное в два раза, и положение, при котором изображение — мнимое и увеличенное в два раза. 17. Для измерения фокусного расстояния зеркала в 10 см от него поместили зажженную свечу. Четкое изображение свечи получилось на экране, отстоящем от зеркала на рас- расстоянии 30 см. Найти фокусное расстоя- расстояние / зеркала. 18. Доказать геометрически и аналити- аналитически, что если сферическое зеркало ММ (рис. 3), посеребренное со стороны /, отоб- отображает предмет Р в Р', то посеребренное со стороны 2, оно отображает предмет Р' в Р. 19. Найти форму зеркальной поверхно- поверхности, отражающей параллельные лучи так, что они кажутся исходящими из одной точки за зеркалом. 20. Сосуд с ртутью равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ио = 1с. Поверхность ртути принимает вогнутую форму и используется как зеркало. Определить фокусное расстояние этого зеркала. 21. Доказать геометрически, что если луч света, исходящий из точки А, попадает в точку В после отражения от плоского зеркала, то длина пути этого луча меньше, чем длина любого другого пути, проходящего от А к зеркалу, а затем к В. 22. Доказать, что изображение точки в сферическом зеркале можно построить следующим способом. Из произвольной точки А проводим прямые АО и АС, соединяющие эту точку с вершиной О и центром кривизны С (рис. 4). Из точки Р проводим прямую PD, пересекающую
Задачи прямые АО и АС в точках D и В. Прямая АР', соединяющая точку А с точкой пересечения диагоналей ВО и CD, пересечет оптическую ось в точке Р', являющейся изображением точки Р. С Рис.4 23. Показать, что если луч света, исходящий из точки А, попадает в точку В после преломления на плоской границе раздела двух сред, то оптическая длина этого луча меньше оптической длины любого другого пути, соединяющего А и В. 24. Вывести формулу сферического зеркала и формулу тонкой лин- линзы из принципа таутохронизма 0. 25. При падении на плоскую границу двух сред луч частично отражается, частично преломляется. При каком угле падения (р отра- отраженный луч перпендикулярен к преломленному лучу? 26. Доказать, что если световой луч проходит несколько сред, разделенных плоскопараллельными границами, то направление выхо- выходящего луча зависит только от направления входящего луча и от показателей преломления первой и последней сред. 27. Определить, насколько плоскопараллельная стеклянная пла- пластинка толщины d = 10 см смещает в сторону луч света, падающий на нее под углом ср = 70°. Показатель преломления стекла п = 1,5. 28. Человек, стоящий на берегу пруда, смотрит на камень, нахо- находящийся на его дне. Глубина пруда h = 1 м. На каком расстоянии Ы от поверхности воды получится изображение камня, если луч зрения 1) В этой книге принято следующее правило знаков. Все расстояния, отсчи- отсчитываемые от зеркала или линзы (или других точек, принимаемых за начала отсчета) в направлении распространения света, считаются положительными, а против направления распространения света, — отрицательными. Если пада- падающий свет распространяется слева направо, то это правило знаков совпадает с правилом знаков, принятым в аналитической геометрии. Радиусы кривизны сферических поверхностей отсчитываются в направлении от сферической по- поверхности к центру кривизны. Фокусные расстояния, напротив, отсчитываются в направлении от фокусов к линзе или зеркалу (а в случае толстых линз или системы линз в направлении от фокусов к соответствующим главным плоскостям).
§ 1. Геометрическая оптика 9 составляет с нормалью к поверхности воды угол (р = 60°? Показатель преломления воды п = 1,33. 29. Под стеклянной пластинкой толщины d= 15 см лежит малень- маленькая крупинка. На каком расстоянии / от верхней поверхности пла- пластинки образуется ее видимое изображение, если луч зрения перпен- перпендикулярен к поверхности пластинки, а показатель преломления стекла п = 1,5? 30. Плоская стеклянная пластинка толщины 3 мм рассматривает- рассматривается в микроскоп. Сначала микроскоп устанавливают для наблюдения верхней поверхности пластинки, а затем смещают тубус микроскопа вниз до тех пор, пока не будет отчетливо видна нижняя поверх- поверхность пластинки (для удобства наблюдения на поверхностях пластинки сделаны метки). Смещение тубуса оказалось 2 мм. Найти показатель преломления пластинки п. 31. Предмет помещен на расстоянии 1\ = 15 см от плоскопарал- плоскопараллельной стеклянной пластинки. Наблюдатель рассматривает его через пластинку, причем луч зрения нормален к ней. Найти расстояние изображения предмета 1% от ближайшей к наблюдателю поверхности пластинки. Толщина пластинки ^ = 4,5см. Показатель преломления стекла п = 1,5. 32. Как сместится фокус фотоаппарата, если внутрь аппарата на пути лучей (перпендикулярно к оптической оси) поместить плоскопа- плоскопараллельную стеклянную пластинку толщины d = 6 мм с показателем преломления п = 1,5? (Объектив сильно задиафрагмирован.) 33. Предмет помещен на оси вогнутого зеркала дальше его фокуса. Между фокусом и зеркалом помещена плоскопараллельная стеклянная пластинка толщины d с показателем преломления п так, что ось зер- зеркала перпендикулярна к пластинке. Показать, что введение пластинки смещает изображение так же, как перемещение зеркала на d(n — 1)/п по направлению к предмету. 34. Показать, что для призмы с пре- преломляющим углом А угол отклонения лу- f~A ча 5 связан с углами падения (р и фг и с углами преломления ф и ср' (рис. 5) ^\/-' --\/П формулой %У/'"^? vV Y<f sin(A/2) " cos{(p-p')/2} ' 35. Показать, что наименьшее откло- нение 5 параллельного пучка в призме рис ^ происходит при симметричном ходе лу- лучей в призме. Связать угол наименьшего отклонения 5 с показателем преломления п вещества призмы и с преломляющим углом А призмы. 36. Чему равен угол наименьшего отклонения 5 для линии D натрия в призме с преломляющим углом 60°? Для линии D показатель преломления стекла призмы п = 1,62.
10 Задачи 37. Световой луч после прохождения через призму испытывает отражение от плоского зеркала. Показать, что при симметричном ходе луча через призму угол отклонения отраженного луча от первоначаль- первоначального направления не зависит от показателя преломления призмы. 38. Цилиндрический стакан с жидкостью поставлен на монету, рассматриваемую сквозь боковую стенку стакана. Указать наименьшую возможную величину показателя преломления п жидкости, при кото- котором монета не видна. 39. С каким углом а нужно взять трапецеидальный сосуд с водой ABCD (рис. 6), чтобы сквозь его боковую стенку не было видно предмета, подложенного под дно сосуда? Показатель преломления воды п = 1,33. Дно сосуда имеет форму прямоугольника. 40. Луч света преломляется в призме, находясь в плоскости, пер- перпендикулярной к преломляющему ребру призмы. Показать, что если относительный показатель преломления п призмы больше единицы, а угол падения остается постоянным, то отклонение луча возрастает с возрастанием преломляющего угла призмы. Показать также, что при тех же условиях максимальный преломляющий угол призмы, при ко- котором луч может выйти из нее, равен л . А = arcsm . .1 + arcsin —. п Рис. 6 41. Вычислить угол наименьшего отклонения 5 для призмы с очень ма- малым преломляющим углом А с учетом членов второго порядка малости (от- (относительно А). 42. Написать выражение для угловой дисперсии призмы в области наименьшего отклонения. Найти угол, на который разойдутся два луча по выходе из призмы, если при падении на нее они были параллельны. Показатель преломления призмы для первого луча, испытавшего наи- наименьшее отклонение, равен 1,500, а для другого 1,501. Преломляющий угол призмы 60°. 43. Воспользовавшись приведенными ниже данными относительно дисперсии кварца, определить угловую дисперсию (в угл. с/А) шести- шестидесятиградусной кварцевой призмы в различных частях спектра. Интервал 1 1 о о О л с О а А, А 7685 5893 4861 4100 3034 2537 1988 п 1,5391 1,5442 1,5497 1,5565 1,5770 1,5963 1,6509
§ 1. Геометрическая оптика 11 Рис. 7 Стекло 44. Подсчитать, какая получится линейная дисперсия (в мм/А), если в спектрографе с призмой, описанной в предыдущей задаче, использовать камеру с объекти- объективом, имеющим фокусное рассто- расстояние / = 50 см (для интервалов, указанных в предыдущей задаче). 45. В длинный сосуд с плоско- плоскопараллельными стенками, напол- наполненный жидкостью, опущена стек- стеклянная призма так, что ее основа- основание лежит на дне сосуда, как это изображено на рис. 7. Кривые зависи- зависимости показателя преломления от длины волны для жидкости и стекла показаны на рис. 8. Указать, что произойдет с лучом белого света, входящим в сосуд и падающим на призму параллельно ее основанию; разложится ли он в спектр, и если да, то как пойдут жел- желтый, синий и красный лучи? 46. Оптические длины лу- лучей от одного положения вол- волнового фронта до другого оди- одинаковы. Исходя из этого и при- принимая во внимание, что лучи перпендикулярны к волновым фронтам, показать, что угловое увеличение, даваемое зритель- зрительной трубой, «установленной на бесконечность», равно отноше- отношению ширины пучков света до и после прохождения их через трубу. 47. Если рассматривать удаленные предметы через призму, то, вообще говоря, они будут казаться искаженными. Одно из искажений состоит в том, что изображение вытянуто или сплюснуто в направ- направлении, перпендикулярном к ребру призмы. Как надо держать призму, чтобы указанного искажения не было? 48. Как с помощью двух стеклянных призм сконструировать «зри- «зрительную трубу» для рассматривания удаленных предметов, дающую их подобные изображения с произвольным увеличением? 49. Используя результат решения задачи 44, доказать, что уве- увеличение зрительной трубы равно отношению фокусного расстояния объектива к фокусному расстоянию окуляра. 50. Стеклянный тонкостенный шар наполнен водой (п = 4/3). На- Наблюдатель смотрит вдоль диаметра шара на крупинку, перемещающу- перемещающуюся вдоль этого же диаметра. Как изменяется положение изображения крупинки, если она от удаленного по отношению к наблюдателю конца диаметра перемещается к ближнему концу? Диаметр шара D = 10 см. Жидкость Синяя Желтая Красная области спектра Рис. 8
12 Задачи 51. Если надеть очки, стекла которых имеют форму менисков с во- вогнутыми задними поверхностями, то часто наряду с обычными можно видеть сильно уменьшенные прямые изображения ярких удаленных предметов. Объяснить это явление. 52. Может ли двояковыпуклая линза с показателем преломления п > 1 действовать как зрительная труба, предназначенная для рассмат- рассматривания удаленных предметов? Какие она будет давать изображения — прямые или обратные? Какова должна быть толщина линзы d, если радиусы кривизны передней и задней сферических поверхностей ее равны соответственно R\ и Rrf Чему равно угловое увеличение N? 53. Какой должна быть толстая стеклянная линза с показателем преломления п > 1, чтобы она действовала как зрительная труба, да- дающая прямые увеличенные изображения удаленных предметов с угло- угловым увеличением 7V? Чему должна равняться толщина d такой линзы, если радиусы кривизны передней и задней сферических поверхностей ее равны соответственно R\ и R^ Как связано угловое увеличение N с радиусами кривизны R\ и R<{? 54. Матовое стекло фотографического аппарата установлено так, что резким выходит изображение предмета, находящегося на рассто- расстоянии 5 м. До какого диаметра D нужно задиафрагмировать объектив с фокусным расстоянием 20 см, чтобы не было заметной нерезкости в изображении предметов, находящихся на 0,5 м ближе снимаемого (нерезкость считать незаметной, если размытость деталей не превыша- превышает 0,1 мм)? 55. Найти фокусное расстояние / двояковыпуклой тонкой линзы, ограниченной сферическими поверхностями с радиусами R\ = 25 мм и i?2 = 40 мм; показатель преломления стекла линзы п= 1,5. 56. Линза с фокусным расстоянием / = 10 см сделана из стекла с показателем преломления п = 1,5. Найти фокусное расстояние f линзы, помещенной в воду (п' = 4/3). 57. Линза с показателем преломления п = 1,53 опущена в серо- сероуглерод (nf = 1,63). Как изменится фокусное расстояние линзы по сравнению с фокусным расстоянием ее в воздухе? 58. С помощью тонкой собирающей стеклянной линзы с показате- показателем преломления п = 3/2 получено действительное изображение пред- предмета на расстоянии 10 см от линзы. После того как предмет и линзу погрузили в воду, не изменяя расстояния между ними, изображение получилось на расстоянии 60 см от линзы. Найти фокусное расстоя- расстояние / линзы, если показатель преломления воды п' = 4/3. 59. Фокусное расстояние объектива зрительной трубы f\ = 60 см, а окуляра /2 = 4 см. Показатель преломления стекла объектива и оку- окуляра п = 3/2. Труба погружается в воду, заполняющую ее внутреннюю часть. Каким объективом из того же сорта стекла следует заменить объектив трубы, чтобы в нее можно было рассматривать удаленные предметы в воде? Чему будет при этом равно увеличение трубы, если показатель преломления воды п1 = 4/3?
§ 1. Геометрическая оптика 13 60. Галилеева труба 9-кратного увеличения имеет длину 40 см. После того как объектив и окуляр трубы заменили собирающими линзами, труба стала давать то же увеличение. Определить фокусные расстояния /| и fy этих линз, а также фокусные расстояния f\ и /2 объектива и окуляра галилеевой трубы. 61. Зрительная труба с фокусным расстоянием объектива / = 50 см установлена на бесконечность. На какое расстояние А/ надо передви- передвинуть окуляр трубы, чтобы ясно видеть предметы на расстоянии 50 м? 62. Как должен быть устроен глаз животного, чтобы оно могло одинаково хорошо видеть удаленные предметы в воздухе и в воде без изменения аккомодации? 63. Изображение предмета, находящегося на расстоянии 10 см от тонкой линзы, — прямое и увеличенное в 2 раза. Определить фокусное расстояние линзы /. 64. На систему линз, изображенных на рис. 9, падает слева парал- параллельный пучок света. Найти положение точки схождения этого пучка после прохождения системы. ¦ 15 см = +10 Рис.9 65. Найти изображение точки, которая находится на расстоянии 10 см слева от крайней левой линзы системы, изображенной на рис. 10. Рис. 10 66. Микроскоп имеет объектив с фокусным расстоянием f\ = 1 см и окуляр с фокусным расстоянием /2 = Зсм, расстояние между ними ^ = 20см. На каком расстоянии 1\ должен находиться объект, чтобы
14 Задачи окончательное изображение получилось на расстоянии 1^ = 25 см от глаза (что является минимальным расстоянием ясного зрения)? Какое при этом получится линейное увеличение а? 67. Доказать, что если линза находится перед глазом и движется в сторону, то наблюдателю кажется, что предмет, рассматриваемый через линзу, движется в ту же сторону, что и линза, если линза — рассеивающая, и в противоположную, если линза — собирающая. Примечание. При этом собирающая линза используется как лупа: предмет помещается между фокусом и линзой, получается пря- прямое изображение. Если же, отодвинув собирающую линзу достаточно далеко от глаза, рассматривать через нее удаленные предметы, то получаются обратные изображения их. В этом случае при смещении линзы в сторону изображение смещается в ту же сторону. 68. Показать, что наименьшее расстояние между двумя оптически сопряженными относительно собирающей линзы точками равно 4/, где / — фокусное расстояние линзы. 69. Собирающая линза дает изображение некоторого объекта на экране. Высота изображения равна а. Оставляя неподвижным экран и объект, начинают двигать линзу к экрану и находят, что при втором четком изображении объекта высота изображения равна Ъ. Найти дей- действительную высоту предмета h. 70. Расстояние от лампочки до экрана L = 50 см. Линза, помещен- помещенная между ними, дает четкое изображение лампы на экране при двух положениях, расстояние между которыми / = 10 см. Найти фокусное расстояние / линзы. 71. Фокусное расстояние линзы / приравнивается расстоянию от нее до изображения очень далекой лампы. Каково должно быть рас- расстояние / лампы до линзы, чтобы ошибка в определении фокусного расстояния не превышала р[%]? 72. Вогнутое зеркальце гальванометра имеет фокусное расстоя- расстояние 1 м. Для наблюдения отклонений желательно применить зритель- зрительную трубу (субъективный отсчет), для чего нужно вплотную перед зеркальцем поставить линзу, дела- делающую всю систему эквивалентной плоскому зеркалу. Найти фокус- фокусное расстояние линзы. 73. При наблюдении откло- отклонений зеркального гальванометра применяется система, изображен- рис jj ная на рис. 11 (так называемый объективный отсчет). Перед плос- плоским зеркальцем гальванометра М помещают линзу L. Свет от освети- осветителя S, пройдя через линзу L, отразившись от зеркальца М и пройдя снова через линзу L, дает действительное изображение на шкале N. С каким фокусным расстоянием / нужно взять линзу L, чтобы осве- осветитель S и шкала N, расположенные близко друг к другу, находились
§ 1. Геометрическая оптика 15 на расстоянии 1,5 м от гальванометра. Линзу считать весьма близкой к зеркальцу М. 74. В вогнутое зеркало, лежащее горизонтально, налито немного воды. Зеркало дает действительное изображение предмета на экране на расстоянии 54 см от зеркала. При приближении экрана к зеркалу изображение появляется вновь на расстоянии 36 см от зеркала. Опре- Определить радиус кривизны зеркала R и расстояние I предмета от него, если показатель преломления воды п = 4/3. 75. Фотографическим аппаратом, объектив которого имеет фокус- фокусное расстояние 12 см при растяжении 20 см, требуется сфотографиро- сфотографировать предмет, находящийся на расстоянии 15 см от объектива. Какую линзу нужно добавить к объективу, чтобы изображение вышло резким при максимально возможном растя- растяжении аппарата? 76. Если точка Р1 является оп- оптическим изображением точки Р, то, как известно, оптические длины всех лучей, соединяющих эти точки, оди- одинаковы. Пусть изображение Р1 по- получается путем отражения от плос- плоского зеркала. Тогда, как показывает рис. 12, длина ломаной РВР' больше длины ломаной РАР'. Как согласо- ^ис- ^ вать эти два утверждения? 77. Найти уравнение анаберрационной поверхности вращения, раз- разделяющей две однородные среды с показателями преломления п и п!, для пары сопряженных точек Р и Р', лежащих на оси вращения, из которых точка Р находится в бесконечности 0. Исследовать случаи: 1) п'2 > п2; 2) п'2 < п2; 3) п'2 = п2. 78. Исходя непосредственно из закона преломления Снеллиуса и пользуясь геометрическими свойствами эллипса и гиперболы, дока- доказать, что: 1) пучок световых лучей, падающих на эллипсоид вращения и параллельных его оси, собирается в заднем фокусе эллипсоида, если показатель преломления эллипсоида относительно окружающей среды п = 1/е, где е — эксцентриситет эллипсоида; 2) пучок световых лучей, падающих на одну из полостей двуполостного гиперболоида вращения и параллельных его оси, после преломления превращается в расходя- расходящийся пучок лучей, продолжения которых точно пересекаются в перед- х) Точки Р и Р' мы называем анаберрационными, если все лучи, вышедшие из Р, после отражения или преломления на некоторой поверхности S собира- собираются в Р'. Поверхность S для такой пары точек называется анаберрационной. Обычно для этих понятий используется термин «апланатический». Мы не делаем этого, называя апланатическими только такие анаберрационные точки, которые удовлетворяют условию синусов (см. задачу 159).
16 Задачи Рис. 13 нем фокусе гиперболоида, если показатель преломления гиперболоида относительно окружающей среды п = 1/е, где е — эксцентриситет гиперболоида. (Ср. с предыду- предыдущей задачей.) 79. Показать, что лин- линза, ограниченная эллипсоидом \В вращения BLAL с фокусами F\ и F<z (рис. 13) и сферой с центром в F\, собирает па- падающий на нее параллельный пучок в фокусе F\, если по- показатель преломления ее п = = ABjFxF^. Лучи падают па- параллельно оси эллипсоида. Указание. См. предыдущую задачу или задачу 77. 80. Показать, что линза, ограниченная плоскостью АВ и гипербо- гиперболоидом вращения CDE (рис. 14), рассеивает падающие на нее лучи, параллельные оси гиперболоида, так, что по выходе из линзы их продолжения точно пересекаются в переднем фокусе гипербо- гиперболоида, если показатель преломления лин- линзы равен эксцентриситету гиперболоида. Указание. См. задачу 77 или 78. 81. Поверхность вращения, разделяю- разделяющая две однородные среды с показателями преломления п и п' и обладающая тем свойством, что световые лучи, исходящие из одной определенной точки Р, лежащей на оси вращения, точно сходятся в другой точке Р', также лежащей на оси враще- Рис. 14 ния, называется картезианским овалом. Найти уравнение сечения этой поверхности плоскостью, проходящей через ось вращения РР'. Ис- Исследовать, в каких случаях эта кривая пере- переходит в кривую второго порядка. 82. Вейерштрасс дал следующий геомет- геометрический способ построения преломленного луча на поверхности сферы. Пусть сфера KL радиуса R (рис. 15) с показателем пре- преломления п' находится в однородной среде с показателем преломления п. Построим две концентрические сферы с радиусами ОР = = Rn/nf и OQ = Rn'/п. Продолжим пада- падающий луч SK до его пересечения со второй сферой в точке Q. Соединим Q с центром сфер О прямой линией. Последняя пересечет первую сферу в точке Р. Тогда прямая КР будет преломленным лучом. Доказать это построение. Показать также, что Рис. 15
§ 1. Геометрическая оптика 17 точки Р и Q образуют пару апланатических точек. (Ср. с предыдущей задачей.) 83. Пользуясь тем, что для сферической поверхности есть пара апланатических точек, построить апланатическую линзу и указать для нее апланатические точки. 84. У двояковыпуклой тонкой линзы серебрится одна из поверх- поверхностей. Найти фокусное расстояние / полученного таким образом зеркала. Радиус кривизны чистой поверхности R\, радиус кривизны посеребренной поверхности R2. 85. Две одинаковые плосковыпуклые тонкие линзы с показателем преломления п посеребрены; одна с плоской стороны, другая с вы- выпуклой. Найти отношение фокусных расстояний f\ и /2 полученных сложных зеркал, если свет в обоих случаях падает с непосеребренной стороны. 86. Изображение светящегося объекта, получающееся отражением от собирающей тонкой линзы, может быть приведено в совпадение с самим объектом при двух положениях последнего: когда расстояние от объекта до линзы равно 20,0 см и когда оно равно 7,91см (оба положения с одной и той же стороны линзы). Фокусное расстояние линзы 37,7 см. Определить тип линзы. Найти радиусы кривизны R\ и i?2 ее поверхностей и показатель преломления стекла п. 87. Сферическая поверхность радиуса R отделяет среду с показате- показателем преломления п (пространство предметов) от среды с показателем преломления п' (пространство изображений). Ограничиваясь паракси- параксиальными лучами, найти в приближении параксиальной оптики связь между координатами точки-объекта х, у, z и координатами точки- изображения х', yf, z'. За ось X принять главную оптическую ось, за начало координат — точку пересечения ее с границей раздела. Примечание. Относительно правила знаков см. сноску на с. 8. 88. Пользуясь результатами предыдущей задачи, показать, что для центрированной оптической системы в приближении параксиальной оптики координаты точки-объекта х, у, z связаны с координатами точки-изображения xf, yf, z' формулами коллинеарного соответствия: Ах + В ,_ Су ,_ Cz х = ^тп У =т^Т' z = ах + Ъ ' ах + Ъ' ах + Ъ' где А, В, С, a, b — постоянные для данной оптической системы, зависящие от выбора начал координат. За начало координат в про- пространстве предметов принимается произвольная точка, лежащая на главной оптической оси системы, а за начало координат в пространстве изображений — другая (или та же самая) произвольная точка той же оси. 89. Выразить координаты фокальных, главных и узловых точек центрированной оптической системы и ее фокусные расстояния через постоянные А, В, С, а, Ъ. (См. предыдущую задачу.)
18 Задачи 90. Какой вид принимают формулы коллинеарного соответствия (см. задачу 88), если за начала координат принять: 1) главные точки (координаты относительно этой системы обозначим греческими бук- буквами ?, г], ?); 2) фокальные точки (координаты относительно этой системы обозначим большими латинскими буквами X, Y, Z)? 91. Найти положения главных плоскостей и фокусные расстояния для центрированной системы, состоящей из одной сферической пре- преломляющей поверхности (см. задачу 87). 92. Показать, что в любой центрированной системе фокусные рас- расстояния / и f связаны соотношением Г __пг где п — показатель преломления пространства предметов, а п' — пространства изображений. Указание. Воспользоваться формулой rf/rj = —f^'/f'^ теоремой Лагранжа-Гельмгольца и определением главных плоскостей. 93. Показать, что продольное увеличение в центрированной оптиче- оптической системе равно квадрату поперечного, если показатели преломле- преломления пространства предметов и пространства изображений одинаковы. У к а з а н и е. Воспользоваться формулой Ньютона XX' = /' f. 94. Две центрированные оптические системы соединены вместе в одну центрированную систему. Фокусные расстояния первой системы равны /i и /[, а второй системы /2 и fy. Расстояние F[F^ переднего фокуса F<} второй системы от заднего фокуса F[ первой системы рав- равно 5 (оно называется оптическим интервалом двух систем и считается положительным, если F[F<i совпадает по направлению с направлением падающего света, и отрицательным в противоположном случае). Найти положения главных и фокальных точек сложной системы и ее фокус- фокусные расстояния. 95. Две тонкие линзы с фокусными расстояниями j\ и /2 находятся на расстоянии / друг от друга, образуя центрированную систему. Найти фокусное расстояние / этой системы, а также положения ее главных плоскостей. 96. Систему двух тонких линз, описанную в предыдущей задаче, требуется заменить одной «эквивалентной» тонкой линзой, которая при любом положении объекта давала бы такое же по величине изоб- изображение его, как и описанная система двух линз. Найти фокусное расстояние и положение «эквивалентной» линзы. 97. Найти фокусное расстояние / центрированной системы, со- состоящей из двух тонких линз с фокусными расстояниями /i и /2, которые отстоят друг от друга на расстоянии /, если пространство между линзами заполнено водой. 98. Используя результаты решения задач 91 и 94, найти положения главных плоскостей и фокусные расстояния центрированной системы, состоящей из двух сферических поверхностей с радиусами кривизны
§ 1. Геометрическая оптика 19 R\ и i?2, разделяющими однородные среды с показателями преломле- преломления П\, Щ, Щ. 99. Найти положения главных плоскостей толстой линзы, имеющей форму шара радиуса R. Определить фокусные расстояния / и f и по- положения фокальных точек такой линзы, когда она сделана: 1) из воды (пв = 4/3); 2) стекла (пст = 3/2). При каком показателе преломления фокальные точки не выйдут наружу? 100. Радиус стеклянного шара (п = 1,5) R = 4 см. 1) Найти рассто- расстояние х' от центра шара до изображения предмета, который расположен в 6 см от поверхности шара. 2) Найти увеличение изображения. 101. В каких случаях фокусное расстояние толстой линзы не зави- зависит от ее толщины и точно совпадает с фокусным расстоянием тонкой линзы, обладающей равной кривизной поверхностей? Будет ли в этом случае положение фокуса относительно линзы зависеть от ее толщины? 102. В каком случае двояковыпуклая линза, изготовленная из стек- стекла с показателем преломления п = 1,5 и находящаяся в воздухе, будет рассеивающей? 103. В каком случае двояковыпуклая линза, изготовленная из ве- вещества с показателем преломления, большим показателя преломления окружающей среды, будет действовать как плоскопараллельная пла- пластинка? 104. Две одинаковые плосковыпуклые линзы расположены плос- плоскими сторонами друг к другу и находятся на небольшом расстоянии. Показать, что фокусное расстояние в этом случае больше, чем в случае контактного соприкосновения линз. 105. С одной стороны двояковыпуклой тонкой линзы, сделанной из стекла (п = 1,52), находится вода {п' = 1,33), с другой — воздух. Радиусы кривизны обеих поверхностей равны 20 см. Найти положения главных и фокальных плоскостей и узловых точек системы. 106. Радиус кривизны R сферической поверхности стеклянной (п = = 1,52) плосковыпуклой линзы равен 26 см; толщина линзы 3,04 см. Вычислить фокусное расстояние / линзы и найти положение изображе- изображения объекта, находящегося на расстоянии 75 см от ближайшей поверх- поверхности линзы и расположенного со сторо- стороны: 1) выпуклой поверхности; 2) плоской f = +5 поверхности. 107. Найти фокусное расстояние / и положения главных плоскостей двоя- двояковыпуклой толстой линзы, для которой п = 1,5, R\ = 10см, Д2 = 4см, d = 2см. 108. Определить положения главных плоскостей, фокальных точек и фокусное расстояние системы двух тонких линз, Рис. 16 изображенной на рис. 16. 109. Всегда ли предмет и его изображение видны из оптического центра толстой линзы под одинаковыми углами?
20 Задачи Примечание. Оптическим центром толстой линзы называется изображение передней (задней) главной точки при преломлении на передней (задней) поверхности линзы. 110. Собирающей или рассеивающей будет вогнуто-выпуклая лин- линза, обе поверхности которой имеют одинаковые радиусы кривизны? Определить положения главных плоскостей и фокусное расстояние линзы, если ее толщина равна d, радиус кривизны каждой из поверх- поверхностей R, а показатель преломления п > 1. 111. Преломляющие поверхности линзы являются концентрически- концентрическими сферическими поверхностями. Больший радиус кривизны равен R, толщина линзы d, а показатель преломления п > 1. Собирающей или рассеивающей будет эта линза? Определить положения главных плос- плоскостей и фокусное расстояние линзы. 112. При каком положении бесконечно малого трехмерного объекта его изображение, даваемое центрированной оптической системой, по- подобно самому объекту? Указание. Для того чтобы изображение малого объемного объ- объекта было подобно самому объекту, необходимо и достаточно, чтобы поперечное увеличение по абсолютной величине равнялось осевому увеличению. Исходя из уравнения центрированной системы в форме Ньютона: XX' = ff, определить осевое увеличение. Сравнивая его с поперечным увеличением, нетрудно найти решение задачи. 113. Б. Б. Голицын предложил следующий способ определения по- показателей преломления жидкостей. Исследуемая жидкость наливается в цилиндрическую стеклянную трубку, на внешней поверхности ко- которой наносятся два штриха, параллельные оси трубки, а с противо- противоположной стороны трубки измеряется кажущееся расстояние между ними у\. Пусть у — истинное расстояние между штрихами, R\ — внешний, a i?2 - внутренний радиусы трубки; п\, П2, п — показатели преломления воздуха, стекла и исследуемой жидкости соответственно. Показать, что показатель преломления жидкости можно вычислить по формуле П 712 V R\ ) 2п\ R\ \ У\ 114. Для определения увеличения зрительной трубы, окуляром которой является собирающая линза, Рамсден предложил следующий метод. Трубу, установленную на бесконечность, закрепляют на опти- оптической скамье. Вывернув объектив, помещают на его место диафраг- диафрагму, имеющую, например, форму ромба. Окуляр дает действительное изображение этой диафрагмы, которое можно получить на экране. Пусть L — длина диагонали ромба-диафрагмы, а / — его изображения. Показать, что увеличение трубы равно L/1. 115. Метод Рамсдена (см. предыдущую задачу) непосредственно неприменим для определения увеличения галилеевой трубы, так как окуляром ее является рассеивающая линза. Для определения увеличе-
§ 1. Геометрическая оптика 21 ния галилеевой трубы можно поступить следующим образом. Устано- Установив галилееву трубу на бесконечность, закрепляют ее на оптической скамье. За галилеевой трубой помещается другая зрительная труба известного увеличения, также установленная на бесконечность и об- обращенная окуляром в сторону галилеевой трубы. За второй трубой помещается экран. Затем объектив галилеевой трубы вывинчивается и заменяется диафрагмой. Перемещая экран, получают на нем действи- действительное изображение диафрагмы. Показать, что увеличение галилеевой трубы равно где D\ — размер диафрагмы, D% — размер ее изображения, a N2 — увеличение второй трубы. 116. Для определения фокусного расстояния собирательной лин- линзы Бессель предложил следующий метод. По обе стороны линзы на неизменном расстоянии А друг от друга помещаются предмет и экран. Вообще говоря, существуют два положения предмета, при которых получаются четкие изображения его на экране (указать, когда это возможно). Пусть а — расстояние между этими положениями, а е — расстояние между главными плоскостями линзы. Найти выражение для фокусного расстояния линзы, пренебрегая квадратами отношения е/А. Каким образом можно определить величину е? 117. Найти формулу, связывающую расстояние и от источника до вогнутого зеркала радиуса R с расстоянием v от зеркала до точки А пересечения оси зеркала с лучом, исходящим из источника и отра- отражающимся от зеркала на расстоянии h от оси. Пренебречь членами, содержащими h в степени выше второй. 118. Точечный источник расположен на расстоянии и от вогнутого сферического зеркала с радиусом кривизны R. Найти продольную сфе- сферическую аберрацию лучей, исходящих из источника и отражающихся от зеркала на расстоянии h от оси. Пренебречь членами, содержащими h в степени выше второй. Указание. См. предыдущую задачу. 119. Радиус вогнутого сферического зеркала равен 50 см. Точечный источник расположен на оси зеркала на расстоянии 100 см от него. Вычислить продольную аберрацию лучей, отражающихся от зеркала на расстояниях 3, 6, 9, 12 см от оси. 120. Найти продольную сферическую аберрацию для параллельно- параллельного пучка у сферического зеркала диаметром 1 м с фокусным расстоя- расстоянием 10 м. 121. Какой диаметр будут иметь изображения звезд, получаемых в зеркале, описанном в предыдущей задаче? 122. Для параксиальных лучей формула, связывающая расстоя- расстояние и от источника до преломляющей сферической поверхности ради- радиуса R с расстоянием v от изображения до той же поверхности, имеет
22 Задачи вид 71 1 _ П — 1 v и R (см. задачу 87). Показать, что для лучей, пересекающих поверхность на расстоянии h от оси, расстояние изображения от сферической по- поверхности v' связано с и формулой (с точностью до h4) 2 + г/ и R n2 123. Найти продольную сферическую аберрацию в тонкой линзе для лучей, пересекающих линзу на расстоянии h от оси. Указание. См. предыдущую задачу. 124. Найти продольную сферическую аберрацию для параллельно- параллельного пучка, падающего на плосковыпуклую стеклянную линзу (п = 1,5), в случаях: 1) когда линза обращена выпуклой стороной к пучку; 2) ко- когда линза обращена к пучку плоской стороной. Фокусное расстояние линзы 1 м. Диаметр линзы 10 см. Найти также поперечную аберрацию в обоих случаях. 125. Найти фокусные расстояния для красных, желтых и синих лу- лучей, а также продольную хроматическую аберрацию (разность фокус- фокусных расстояний для крайних видимых лучей) двояковыпуклой линзы с радиусами кривизны R\ = R% = R = 981,4 мм, сделанной из стекла со следующими показателями преломления: Лучи Красные Желтые Синие А, А 6682 5270 4046 п 1,4835 1,4907 1,4997 126. При визуальных наблюдениях мы обычно фиксируем изоб- изображение, образованное лучами средней части видимого спектра, т. е. желтыми лучами. Считая, что диаметр отверстия линзы, описанной в предыдущей задаче, равен 5 см, найти диаметры D кругов рассеяния, образованных красными и синими лучами при фокусировке на желтое изображение. 127. Найти увеличение N лупы или окуляра (рассматривая их как толстые центрированные системы) в зависимости от положения пред- предмета и глаза наблюдателя. Координаты предмета и его изображения относительно фокальных точек — X и X'\ координата, определяющая положение глаза относительно заднего фокуса окуляра, равна а. При каком положении предмета увеличение не будет зависеть от положения глаза наблюдателя? При каком положении глаза увеличение не будет зависеть от положения предмета? Чему равно увеличение, когда глаз аккомодирован на наименьшее расстояние ясного зрения L = 25 см? Примечание. Увеличением лупы или окуляра называется отно- отношение угла, под которым предмет виден через лупу, к углу, под кото-
§ 1. Геометрическая оптика 23 рым он был бы виден невооруженным глазом, если бы был помещен от последнего на наименьшем расстоянии ясного зрения. 128. В чем смысл ахроматизации окуляров в отношении только фокусных расстояний без одновременной ахроматизации в смысле сов- совмещения главных плоскостей? 129. Показать, что две тонкие линзы, сделанные из одного и того же материала, образуют ахроматизированную в отношении фокусного расстояния систему (для всех длин волн), если расстояние между ними 130. Один из типов окуляра Кельнера представляет собой ахрома- ахроматизированную в отношении фокусного расстояния систему двух тонких собирающих линз, расстояние между которыми / равно фокусному расстоянию /i первой линзы. Найти фокусное расстояние /2 второй линзы, фокусное расстояние / всего окуляра и положения его главных плоскостей. 131. Окуляр Гюйгенса представляет собой ахроматизированную в отношении фокусного расстояния систему двух тонких плосковыпук- плосковыпуклых линз, обращенных выпуклыми поверхностями в сторону падающе- падающего света. Для уменьшения сферической аберрации Гюйгенс подобрал расстояние между линзами так, чтобы световые лучи, падающие на окуляр параллельно главной оптической оси, испытывали одинаковые угловые отклонения при преломлении в первой и второй линзах 0. Найти соотношение между фокусными расстояниями f\ и /2 обеих линз, расстояние I между ними, положения главных плоскостей окуля- окуляра и его фокусное расстояние /. 132. Почему в окуляре Кельнера, описанном в задаче 130, видны соринки на поверхности первой линзы, а в окуляре Гюйгенса не видны? 133. Окуляр Рамсдена состоит из двух плосковыпуклых линз с оди- одинаковыми фокусными расстояниями /ь обращенных выпуклыми сторо- сторонами навстречу друг к другу. Расстояние между линзами равно двум третям их фокусного расстояния. Найти фокусное расстояние и поло- положения главных плоскостей окуляра Рамсдена. Где следует поместить крест окулярных нитей, чтобы его изображение совпало с плоскостью изображения предмета? 134. Написать условие ахроматизации двух линз, сложенных вплотную. Какое заключение о фокусных расстояниях обеих компонент ахроматической линзы можно сделать из этого условия? 135. Какая линза в ахроматическом объективе телескопа, бинокля и т.п., состоящем из двояковыпуклой и плосковогнутой линз, делается из крона и какая из флинта? 136. Рассчитать ахроматический плосковыпуклый склеенный объ- объектив с фокусным расстоянием / = 1 м, изготовленный из крона х) В современных типах окуляра Гюйгенса это условие обычно не выполня- выполняется.
24 Задачи (п\ = 1,5179, коэффициент дисперсии v\ = 60,2) и флинта {п^ = = 1,6202, коэффициент дисперсии щ = 36,2). Одна из линз двояковы- двояковыпуклая. Примечание. Коэффициентом дисперсии называют отношение v = — , где буквы D, F, С относятся к соответствующим фраун- nF - пс гоферовым линиям. 137. Написать условие, при котором одна линза будет ахрома- ахроматизирована относительно фокусных расстояний для двух каких-либо участков спектра. 138. Показать, что толстая одиночная ахроматическая линза, опи- описанная в предыдущей задаче, будет собирающей, если она двояковы- двояковыпуклая, и рассеивающей, если она выпукло-вогнутая. Примечание. Линза называется собирающей, если ее фокусное расстояние в пространстве предметов / = — f положительное. В про- противоположном случае линза называется рассеивающей (см. сноску на стр. 8). 139. Найти толщину d и фокусное расстояние / толстой ахрома- ахроматической двояковыпуклой линзы, обе поверхности которой имеют один и тот же радиус кривизны R = 10 см. Линза изготовлена из стекла со следующими показателями преломления: пкр = 1,636, пс = 1,682. 140. Источник света проецируется конденсорной линзой на щель спектрографа; при этом изображение источника увеличено в к раз. Показать, что при условии полного заполнения объектива коллиматора светосила конденсора а\ и светосила объектива коллиматора а^ связа- связаны соотношением а\ = A + к)а^. 141. При фотографировании спектров фотографическую пластинку приходится ставить не перпендикулярно к оптической оси объекти- объектива спектрографа. Вычислить, какой нужно задать угол перекоса /3 пластинке и в какую сторону, чтобы получить весь спектр резким, если известно, что показатель преломления оптического стекла, из которого сделан объектив, для линии С пс = 1,502, для линии F пр = 1,510, угловая дисперсия призмы спектрографа между теми же линиями равна а = 3°. Указание. Можно считать, что если обе линии С и F будут сфокусированы, то и весь спектр будет резким. При решении следует еще иметь в виду, что одноцветные пучки выходят из призмы парал- параллельными. 142. Световой луч падает на однородный шар с показателем пре- преломления п. Может ли преломленный луч испытывать полное внутрен- внутреннее отражение внутри шара? 143. По теории Декарта радуга образуется в результате отражения солнечных лучей внутри водяных капель. Лучи, претерпевшие внутри капли одно отражение, дают так называемую главную радугу или раду- радугу первого порядка. Лучи, претерпевшие двукратное отражение, дают побочную радугу или радугу второго порядка. Угловые размеры радуги
§ 1. Геометрическая оптика 25 можно определить из требования, чтобы угол отклонения светового луча при отражении и преломлении внутри капли был минимален, так как в этом случае малому изменению угла отклонения соответствуют большие изменения угла падения, а следовательно, получается макси- максимальная интенсивность света, отраженного внутри капли. Под каким углом ср должен падать световой луч на поверхность капли, чтобы он испытал наименьшее отклонение при однократном и двукратном отражении внутри капли? Найти угловой радиус а главной и побочной радуг для красного и фиолетового света. Показатели преломления воды равны пкр = 1,329, Пф = 1,343. Примечание. Декартова теория радуги основана на геометри- геометрической оптике и объясняет лишь некоторые основные черты явления радуги. Для объяснения всех особенностей этого явления необходимо учитывать дифракцию света на водяных каплях. 144. Теория Декарта допускает существование радуг высшего по- порядка, когда число отражений света внутри капли равно трем, четырем и т.д. Предполагая, что солнечный луч претерпевает внутри капли N отражений, найти угол падения (р (рис. 17), которому соответствует Рис. 17 экстремальное отклонение вышедшего из капли луча от первоначаль- первоначального направления. Показать, что экстремальное отклонение всегда со- соответствует минимуму угла отклонения. Определить угол наименьшего отклонения 5 и угловой радиус а для радуг третьего, четвертого, пятого и шестого порядков, считая, что показатель преломления воды п = 1,33. Объяснить, почему эти радуги и радуги высших порядков никогда не наблюдаются. 145. Гало, т.е. белые слабо окрашенные круги вокруг Солнца (или Луны), наблюдается тогда, когда небо покрыто тонкой пеленой перисто- слоистых или высоких слоистых облаков. Гало происходит вследствие преломления световых лучей в беспорядочно ориентированных ледя- ледяных кристалликах, имеющих форму правильных шестигранных призм
26 Задачи (гексагональная система). Найти видимый угловой радиус гало и опи- описать характер распределения окраски в них. Показатель преломления льда п = 1,31. 146. Исходя из закона преломления света, показать, что радиус кривизны р светового луча при его распространении в прозрачной изотропной среде с медленно изменяющимся показателем преломления определяется выражением 1 d n ч р = жAпп)' где производная берется по направлению главной нормали N к лучу. 147. Считая, что показатель преломления п воздуха зависит только от расстояния до центра Земли, вывести формулу для вычисления астрономической рефракции с учетом кривизны земной поверхности. 148. Показать, что если пренебречь кривизной земной поверхности (это можно делать, когда звезда находится не слишком близко к го- горизонту), то астрономическая рефракция не будет зависеть от закона изменения показателя преломления воздуха с высотой, а только от значений щ и olq. Показать, что для светила, находящегося не слишком близко к горизонту, рефракцию можно вычислять по приближенной формуле аоо - а0 = (п0 - l)tga0. 149. Найти рефракцию а^ — ао, если видимое зенитное расстояние светила ао = 70°, а показатель преломления воздуха у поверхности Земли п0 = 1,000293. 150. Считая, что разность п— 1 пропорциональна плотности возду- воздуха, и предполагая, что плотность воздуха меняется с высотой, согласно барометрической формуле (изотермическая атмосфера), вывести выра- выражение для рефракции а^ — ао с учетом кривизны земной поверхности. 151. Найти рефракцию а^ — ао для изотермической атмосферы, предполагая, что видимое зенитное расстояние ао = 90°; относитель- относительная молекулярная масса воздуха fi = 28,8; ускорение свободного па- падения g = 981 см/с2; температура Т = 273 К; газовая постоянная R = = 8,3143 • 107 эргДмоль- К); радиус Земли го = 6367 км; показатель преломления воздуха у Земли щ = 1,000293. 152. Градиент показателя преломления воздуха вблизи земной по- поверхности составляет около 3- Ю^^см. Определить радиус кри- кривизны светового луча, когда он распространяется в атмосфере в го- горизонтальном направлении. Каков должен быть градиент, чтобы луч света, выйдя в горизонтальном направлении, описал окружность вокруг земного шара? 153. При каких градиентах температуры воздуха у земной по- поверхности возможен нижний мираж? Будет ли при таких градиентах равновесие воздуха конвективно устойчивым? (См. задачу 133 кн. II этого задачника.)
§ 1. Геометрическая оптика 27 154. Абсолютным оптическим инструментом называется такой ин- инструмент, который с помощью широких пучков дает строго стигмати- стигматическое изображение каждой точки пространства предмета. Максвелл привел пример такого инструмента, названного им «рыбьим глазом». «Рыбий глаз» Максвелла представляет собой неограниченную среду с непрерывно изменяющимся показателем преломления, обладающую сферической симметрией. В такой среде световой луч имеет форму окружности независимо от того, из какой точки и по какому направле- направлению он вышел. Найти закон изменения показателя преломления «рыбьего глаза» в зависимости от расстояния г от центра симметрии. Показать, что все световые лучи, выйдя из произвольной точки Р, описав окружности, снова соберутся в некоторой точке Р'. Показать также, что увеличение, даваемое «рыбьим глазом», равно отношению показателя преломления в том месте, где находится предмет, к показателю преломления в том месте, где получается изображение. 155. Найти минимальный радиус кривизны окружности, которую может описать световой луч в «рыбьем глазе». Указание. См. предыдущую задачу. 156. Можно ли осуществить «рыбий глаз» Максвелла в электрон- электронной оптике, предполагая, что электроны должны двигаться в электро- электростатическом поле в вакууме? Указание. Воспользоваться аналогией между геометрической оп- оптикой и классической механикой движения частицы в консервативном поле сил. 157. Пользуясь аналогией между классической механикой и гео- геометрической оптикой, получить выражение для кривизны луча в неод- неоднородной изотропной среде. 158. Исходя из формулы для кривизны луча в неоднородной среде и используя аналогию между классической механикой и геометриче- геометрической оптикой, показать, что радиус кривизны р траектории электрона в электрическом поле определяется формулой 1 = __ р 2V где En — слагающая электрического поля вдоль главной нормали к траектории, а V — электростатический потенциал, нормированный так, что при нулевом потенциале скорость электрона обращается в нуль. 159. Для повышения разрешающей способности и увеличения ярко- яркости изображений в микроскопе необходимо применять широкоугольные пучки лучей. Рассматриваемый объект в микроскопе можно считать малым, плоским и помещенным на главной оптической оси, перпенди- перпендикулярной к плоскости самого объекта. Какому условию должен удо- удовлетворять объектив, чтобы дать изображения всех точек объекта без сферической аберрации?
28 Задачи 160. Объектив микроскопа, удовлетворяющий условию синусов, помещен на оптической скамье. Перед передней апланатической точкой Р его находится сетка кривых, начерченная на листе бумаги. Сетка рассматривается глазом, помещенным во вторую (заднюю) апланати- ческую точку Р'. Найти форму рассматриваемых кривых, если глаз видит их изображение в виде прямоугольной сетки прямых. Расстояние сетки а от точки Р велико по сравнению с диаметром входного зрачка системы. 161. На рис. 18 приведен в натуральную величину рисунок, кото- которым можно пользоваться при испытании объективов микроскопов по способу Аббе. Удалив окуляр микро- микроскопа, помещают такой рисунок пе- перед передней апланатической точкой объектива на вполне определенном расстоянии а от нее. Глаз наблюдате- наблюдателя помещается во второй апланати- апланатической точке его. Если изображение рисунка получается в виде квадрат- Рис. 18 ной сетки, то объектив удовлетворя- удовлетворяет условию синусов. Измерив нуж- нужные размеры на рис. 18, определить расстояние а от передней аплана- апланатической точки объектива, на котором следует помещать этот рисунок при испытании объективов по методу Аббе. (См. предыдущую задачу.) 162. Доказать теорему: Пусть точка Р1 является стигматическим изображением точки Р, даваемым оптической системой с помощью сколь угодно широких пучков лучей. Для того чтобы бесконечно малый элемент плоскости, проходящей через Р, изображался стигматически широкими пучками лучей, необходимо и достаточно, чтобы выполня- выполнялось условие косинусов для двух бесконечно малых непараллельных отрезков, лежащих в этой плоскости и проходящих через точку Р. Примечание. Теорема или условие косинусов состоит в следу- следующем. Пусть точка Р1 является стигматическим изображением точ- точки Р. Соединим эти точки произвольным лучом, направления которого в точках Р и Р1 определяются единичными векторами s и s'. Пусть Q и Q' — две точки, бесконечно близкие к Р и Р' соответственно. Для того чтобы точка Q изображалась стигматически в виде точки Q', необходимо и достаточно, чтобы разность nsl — n's'l', где 1 = PQ, V = = P'Q', не зависела от s, т.е. от направления луча, соединяющего Р и Р'. Здесь п — показатель преломления в пространстве предметов, а п' — в пространстве изображений. Среда, в которой распространя- распространяются световые лучи, предполагается изотропной, но она может быть неоднородной. 163. Доказать теорему: Пусть бесконечно малая площадка стигма- стигматически изображается оптической системой. Пусть, далее, li и I2 — бесконечно малые непараллельные отрезки, пересекающиеся в пре-
§ 1. Геометрическая оптика 29 делах площадки и лежащие в ее плоскости. Если эти отрезки ле- лежат тангенциально в поле инструмента, то рассматриваемая площадка изображается оптической системой с сохранением подобия. При этом оптическая длина любого отрезка, лежащего на площадке, равна опти- оптической длине сопряженного с ним отрезка. Примечание. Говорят, что световой луч лежит в поле инстру- инструмента, если он действительно проходит через диафрагмы из простран- пространства предметов в пространство изображений. Говорят также, что отре- отрезок кривой лежит тангенциально в поле инструмента, если все лучи, касающиеся этого отрезка, лежат в поле инструмента. 164. Доказать теорему: Пусть оптическая система стигматически изображает некоторую конечную поверхность, и пусть АВ — линия, лежащая на этой поверхности. Если через каждую точку этой линии можно провести по крайней мере два луча, касающихся изображаемой поверхности и лежащих в поле инструмента, то оптическая длина линии АВ равна оптической длине ее изображения А'В'. 165. Доказать теорему: Пусть точка Р1 является стигматическим изображением точки Р. Для того чтобы бесконечно малый элемент объема в окрестности точки Р изображался стигматически, необхо- необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие косинусов для трех бесконечно малых отрезков, проходящих через точку Р и не лежащих в одной плоскости. 166. Доказать теорему: Стигматическое изображение элементов объема всегда происходит с сохранением подобия. При этом линейное увеличение равно п/п', так что оптическая длина предмета всегда равна оптической длине его изображения. В частности, эта теорема справедлива для изображений, даваемых абсолютным оптическим ин- инструментом. (См. задачу 154.) 167. Доказать теорему: В абсолютном оптическом инструменте оптическая длина луча, соединяющего сопряженные точки, одна и та же для всех пар сопряженных точек. 168. Доказать теорему: Если показатели преломления п и п' про- пространств предметов и изображений постоянны, то абсолютный оптиче- оптический инструмент является телескопической системой, в которой всякая прямая изображается в виде прямой. В частном случае, когда п = п!, увеличение, даваемое инструментом, равно единице. 169. Доказать теорему: Пусть пространства предметов и изобра- изображений имеют постоянные показатели преломления п и п' и граничат друг с другом вдоль некоторой поверхности, на которой световые лучи испытывают преломления. Тогда такая оптическая система не мо- может быть абсолютным оптическским инструментом. Невозможен также абсолютный оптический инструмент с постоянными п и nf, в кото- котором изображение получается путем конечного числа преломлений на преломляющих поверхностях или путем комбинации конечного числа преломлений с отражениями.
30 Задачи 170. Доказать теорему: Если п и п' постоянны, то единственным абсолютным оптическим инструментом с конечным числом отражаю- отражающих или преломляющих поверхностей является плоское зеркало или система плоских зеркал. §2. Фотометрия 171. На столе лежит книга на расстоянии 1м от основания пер- перпендикуляра, опущенного из лампы на плоскость стола. Лампа может перемещаться только вверх и вниз. На какой высоте h над столом следует ее подвесить, чтобы освещенность книги была наибольшей? 172. В фотометрической практике считается, что закон обратных квадратов можно применять, если расстояние фотометра от измеряе- измеряемого источника не меньше пятикратного размера последнего. Показать для случая круглого равномерно светящегося диска (т. е. диска, поверх- поверхностная яркость которого одинакова во всех направлениях) радиуса R, что на расстоянии 10R от его центра освещенность на перпендикулярно расположенной площадке, вычисленная из закона обратных квадратов, получается с погрешностью в 1%. 173. Какой кривой светораспределения должна обладать лампа, чтобы давать равномерную освещенность на плоском столе, над кото- которым она подвешена? 174. Полый шар из молочного стекла освещен в одном месте параллельным пучком света, сечение которого мало по сравнению с диаметром шара. Стенки шара рассеивают свет по закону Ламберта. Каково будет распределение яркости по поверхности шара? 175. Действительное изображение, образованное вогнутым зерка- зеркалом, рассматривается на белом экране. Как зависит яркость изображе- изображения от отверстия и фокусного расстояния зеркала? 176. Объяснить, почему два одинаковых фонаря, находящихся на разных, но небольших расстояниях, часто кажутся нам одинаково яркими. Всегда ли это справедливо и когда наблюдаются отступления? 177. Доказать, что поверхностная яркость источника в данном направлении В^ равна отношению освещенности Е удаленной площад- площадки, перпендикулярной к этому направлению, к телесному углу О, под которым источник виден с этой площадки. 178. Какая получится освещенность Е площадки, если источником света служит бесконечная плоскость, параллельная этой площадке, причем поверхностная яркость источника В всюду одинакова и не зависит от направления? 179. Какая получается освещенность Е на горизонтальной пло- площадке, освещаемой небесной полусферой, если считать яркость неба повсюду равномерной и равной В? 180. В параллельном пучке расположен двугранный прямой угол (рис. 19) так, что яркость граней одинакова. Коэффициенты отражения
§2. Фотометрия 31 граней к\ и к^. Найти углы граней с параллельным пучком а\ и а^. Грани рассеивают свет по закону Ламберта. 181. Освещенность, получаемая при нормальном падении солнеч- солнечных лучей на поверхность Земли, около 105лк. Считая, что излучение Солнца подчиняется закону Ламберта, и пренебрегая поглощением све- света в атмосфере, определить яркость Солнца, если известно, что радиус земной орбиты R = 1,5 • 108км, а диа- •* метр Солнца D = 1,4 • 106 км 0. ^ 182. Какую освещенность Е следу- ^ ет создать на белом листе бумаги с ко- »» эффициентом отражения к = 0,85, что- *• бы его яркость В была 3 • 104 кд/м2? Можно считать, что бумага рассеивает р 1(. свет по закону Ламберта. 183. Освещенность, получаемая при нормальном падении солнеч- солнечных лучей на поверхность Земли, составляет приблизительно Eq = = 100 000 лк. Какова освещенность Е изображения Солнца, даваемого свободной от аберраций линзой с диаметром D = 5 см и фокусным расстоянием / = 10см? Угловой диаметр Солнца а = 30х. 184. Объективом малой фотосилы фотографируется предмет с уменьшением в два раза. Как изменится освещенность на фотогра- фотографической пластинке при съемке в тех же условиях с увеличением, равным единице? Указание. Ссылка на малую светосилу объектива означает, что диаметр объектива мал по сравнению с расстоянием до объекта, и сле- следовательно, при подсчете телесного угла площадь линзы можно считать равной площади соответствующего шарового сегмента. 185. Под объективом микроскопа (рис. 20) лежит объект Р. Диа- Диаметр объектива D = Змм, его расстояние от покровного стекла объ- объекта весьма мало, показатель преломления покровного стекла п = 1,5, а толщина d = 0,2 мм. Во сколько раз увеличится яркость изображения, если между объективом и покровным стеклом ввести иммерсию с тем же показателем преломления, что и показатель преломления покров- покровного стекла? Предполагается, что в обоих случаях объект помещен в жидкость, которая имеет такой же показатель преломления, как и покровное стекло. 1) Основной светотехнической величиной является сила света /. Ее едини- единица — кандела (старое название — свеча). Кандела (кд) есть сила света при тем- температурном излучении площадки в 1/60 см2 поверхности абсолютно черного тела в перпендикулярном направлении при температуре затвердевания платины B042 К). Световой поток определяется как произведение силы света на телес- телесный угол, в котором он распространяется. Единица светового потока — люмен (лм), или кандела на стерадиан (кд/ср). Единица освещенности — люкс (лк), или лм/м2. Единица яркости — кандела на квадратный метр (кд/м2).
32 Задачи Примечание. При отсутствии иммерсии в объектив попадут от объекта только те лучи, которые падают на поверхность покровного стекла под углом меньшим, чем угол полного внутреннего отражения. Р Р Без иммерсии С иммерсией Рис. 20 Поэтому телесный угол, под которым объектив виден из точки Р, уменьшается, если иммерсия отсутствует. В точном расчете следовало бы принять во внимание отражение света на границах раздела воз- воздуха со стеклом и учитывать зависимость коэффициента отражения от угла падения согласно формулам Френеля. Если это отражение не учитывать, как предлагается сделать в рассматриваемой задаче, то вычисленное увеличение яркости изображения окажется несколько меньше истинного. 186. Определить отношение яркости изображения В', полученного в апланатической системе, к яркости объекта В, излучение которого подчиняется закону Ламберта. Показатели преломления в простран- пространствах предметов и изображений одинаковы. 187. Действительное изображение, образованное собирающей лин- линзой, рассматривается сначала непосредственно, а затем на белом экране. Как зависит в обоих случаях яркость изображения от диаметра линзы? 188. Найти яркость изображения Луны, наблюдаемой в телескоп с объективом диаметром в 75 мм, при увеличениях: 1) 20-кратном; 2) 25-кратном; 3) 50-кратном. Яркость Луны, видимой невооруженным глазом, принять за единицу. Диаметр зрачка глаза считать равным Змм. 189. Какого диаметра должен быть объектив трубы с пятиде- пятидесятикратным увеличением, чтобы при пользовании ею освещенность изображения на сетчатке была не меньше освещенности, получаемой при рассматривании предмета невооруженным глазом? Диаметр зрачка глаза равен 2 мм. Потерями света в трубе пренебречь. 190. Диаметр объектива астрономического телескопа равен 18 см. Считая, что коэффициент пропускания всей оптической системы теле- телескопа равен 0,5 и что невооруженный глаз различает звезды шестой величины, найти: 1) величину наиболее слабых звезд, которые могут быть видимы с помощью этого телескопа; 2) наивыгоднейшее увеличе- увеличение для наблюдения звезд; 3) величину звезд, которые будут видимы при увеличении в 10 раз. Диаметр зрачка глаза равен Змм.
§2. Фотометрия 33 Примечание. Возрастанию звездной величины на единицу со- соответствует уменьшение ее видимой яркости в л/100 « 2,5 раза. 191. Какой величины звезду можно увидеть в телескоп с диаметром объектива 2 м? Невооруженный глаз различает звезды шестой величи- величины. Диаметр зрачка глаза равен Змм. Потерями света пренебречь. 192. Как известно, яркость изображения в оптической системе не зависит от его увеличения. Почему же при наблюдении в микроскоп изображение кажется менее ярким, если применить большее увеличе- увеличение? Найти: 1) освещенность изображения в микроскопе с числовой апертурой 1 (сухая система) и увеличением 625; 2) освещенность изображения в микроскопе с числовой апертурой 1,5 (иммерсия с п = = 1,5) и увеличением 1500. Освещенность объекта принять за единицу. Расстояние ясного зрения равно 25см, диаметр зрачка глаза считать равным 2 мм. Потерями света в микроскопе пренебречь. 193. Объективы коллиматора и камеры спектрографа имеют одина- одинаковые диаметры; фокусные расстояния их могут быть различными. При помощи конденсора достигнуто освещение щели, при котором объектив коллиматора полностью заполнен светом. Показать, что при таких условиях светосила прибора зависит только от объектива камеры. 194. Плотность потока энергии видимого излучения свечи на рас- расстоянии 1 м от нее равна 6 эрг/(с-см2). Предполагая, что при горении масса свечи уменьшается на 8,5 г в час и что удельная теплота сгора- сгорания спермацета 5800 кал/г, найти КПД свечи как источника света. 195. Зная, что механический эквивалент света в узкой спектраль- спектральной области, соответствующей максимуму чувствительности глаза (Л = = 5550 А), равен 0,00160 Вт/лм, оценить КПД мощной газонаполнен- газонаполненной лампы накаливания, потребляющей мощность 0,5 Вт на 1 кд. Ориентировочно можно принять, что средняя чувствительность глаза в спектральной области, занимаемой излучением лампы, вдвое меньше максимальной 0. 196. Найти среднюю напряженность электрического поля излуче- излучения Солнца на Земле, принимая для солнечной постоянной значение 2 кал/(см2 • мин) и пренебрегая поглощением в атмосфере. Примечание. Солнечной постоянной называется средний поток солнечной радиации, приходящейся на 1 см2 земной поверхности, пер- перпендикулярной к направлению излучения, в 1 мин (при отсутствии поглощения в атмосфере). 197. Пользуясь данными предыдущей задачи, определить напря- напряженность Н магнитного поля электромагнитной волны, приходящей на Землю от Солнца. 1) Более точно задачу можно решить, зная распределение энергии в спектре и пользуясь кривой видности человеческого глаза. См. Г. С. Ландсберг. Опти- Оптика, изд. б-е, §8. - М.: Физматлит, 2003. 2 Под ред. Д. В. Сивухина
34 Задачи 198. Какова амплитуда напряженности Н магнитного поля электро- электромагнитной волны в месте изображения Солнца, получаемого в фотоап- фотоаппарате при светосиле объектива, равной 1/4? Угловой диаметр Солнца ~ 0,01 рад. Потерями энергии излучения в атмосфере и объективе пренебречь. § 3. Интерференция света 199. Составить уравнение плоской волны, нормаль к которой па- параллельна единичному вектору п = (а, /3, 7)- Какой вид принимает это уравнение для монохроматической волны? 200. Составить уравнение волны, излучаемой: 1) точечным источ- источником (сферическая волна); 2) бесконечной нитью (цилиндрическая волна). 201. Показать, что если разность фаз двух складываемых колеба- колебаний беспорядочно меняется во времени, то средняя по времени энергия результирующего колебания равна сумме энергий исходных колебаний. Указание. Считать, что за время наблюдения все значения раз- разности фаз равновероятны. 202. В каком случае две электромагнитные волны одинаковой ча- частоты складываются всегда (т. е. при любых фазовых соотношениях) так, что интенсивность результирующего колебания / равна сумме интенсивностей исходных колебаний 1\ и /2? 203. Три колебания, происходящие вдоль одной и той же прямой, имеют одинаковую амплитуду и частоту. Какая получится средняя интенсивность при сложении этих колебаний, если их фазы независимо и беспорядочно меняются, принимая значения 0 или тг? 204. Направления распространения двух плоских волн одной и той же длины Л составляют друг с другом малый угол (р. Волны падают на экран, плоскость которого приблизительно перпендикулярна к направ- направлению их распространения. Написав уравнения обеих плоских волн и сложив поля этих волн, показать, что расстояние Ах между двумя соседними интерференционными полосами на экране определяется выражением Ах = \/ip. 205. Как изменится выраже- выражение для Ах в предыдущей задаче, если интерферирующие лучи па- падают на экран наклонно? 206. Найти длину волны Рис- 21 Л монохроматического излучения, если в опыте Юнга расстояние первого интерференционного максимума от центральной полосы х = = 0,05 см. Данные установки (рис. 21): а = 5 м, d = 0,5см. 207. На пути одного луча в интерференционной установке Юнга находится трубка длиной / = 2 см с плоскопараллельными стеклян-
§3. Интерференция света 35 Рис. 22 ными основаниями. Когда эта трубка наполняется воздухом, наблю- наблюдается интерференционная картина. При наполнении трубки хлором имеет место смещение интерференционной картины на N = 20 полос. Вся установка помещена в термостат, поддерживающий постоянную температуру. Наблюдения производят- производятся со светом линии D натрия (Л = = 5890А). Принимая показатель пре- преломления воздуха п = 1,000276, вы- вычислить показатель преломления хло- хлора. В какую сторону смещаются полосы интерференции при наполнении сосуда хлором? 208. Определить угол а между зер- зеркалами Френеля (рис. 22), если рассто- расстояние Ах между полосами интерференции на экране равно 1 мм, а = = 1 м, г = 10 см, Л = 4861 А. Интерферирующие лучи падают на экран приблизительно перпендикулярно. 209. Определить расстояние х между центром интерференционной картины и пятой светлой полосой в установке с зеркалами Френеля (рис. 22) (а = 20х, г = 10 см, а = 1 м) для Л = 5890 А. Интерферирую- Интерферирующие лучи падают на экран приблизительно перпендикулярно. 210. Найти распределение интенсивности / на экране в установке с зеркалами Френеля (рис. 22). 211. Определить вид поверхности равной интенсивности в опыте с зеркалами Френеля, если источник света: 1) точка; 2) щель, парал- параллельная линии пересечения зеркал. Примечание. Предполагается, что отдельные участки щели ко- когерентны между собой и колеблются в одной фазе. Это можно осуще- осуществить, например, освещая щель плоской волной. 212. Выразить расстояние х от центра интерференционной картины до га-й светлой полосы в опыте с бипризмой (рис. 23). Показатель преломления призмы п, длина волны Л, преломляющий угол а. Интерферирующие лучи падают на экран приблизительно пер- перпендикулярно. 213. Преломляющий угол бипризмы а = 3Х26/Х. Между то- точечным источником монохрома- монохроматического света (Л = 5000 А) и бипризмой помещена линза та- таким образом, что ширина интерференционных полос оказалась не за- зависящей от расстояния экрана до бипризмы. Найти расстояние между соседними темными полосами, если показатель преломления стекла бипризмы п = 1,5. Найти максимальное число полос N, которое может Рис. 23
36 Задачи В наблюдаться в этой установке, если оно получается при удалении экрана от бипризмы на L = 5 м. 214. При каком положении экрана в установке, описанной в преды- предыдущей задаче, будет наблюдаться максимальное число интерференци- интерференционных полос, если расстояние между вершинами преломляющих углов бипризмы составляет / = 4 см? Чему равно это число полос N? При каком положении экрана интерференционные полосы исчезнут? 215. Найти число полос интерференции N, получающихся с по- помощью бипризмы, если показатель преломления ее п, преломляющий угол а, длина волны источника Л. Расстояние источника света от бипризмы равно а, а расстояние бипризмы от экрана равно Ъ. 216. Полосы интерференции получаются с помощью бипризмы Френеля с малым преломляющим углом и щелевого источника света, параллельного ребру бипризмы. Интерференционные полосы наблюда- наблюдаются на экране, расположенном перпендикулярно к оси установки. Ну- Нулевая полоса получается в центре экрана — на оси (точнее, в плоскости симметрии) установки. Расстояние от источника до бипризмы равно а, от бипризмы до экрана Ъ. В какую сто- сторону и на какую величину х сместит- сместится нулевая интерференционная полоса, если щелевой источник света немного сместить в направлении, перпендику- перпендикулярном к оси оптической системы, на величину /г? 217. От двух когерентных источ- источников света S\ и S^ (рис. 24) получена система интерференционных полос на экране АВ, удаленном от источ- источников на расстояние а = 2 м. Во сколько раз изменится ширина интер- интерференционных полос, если между источниками и экраном поместить собирающую линзу с фокусным расстоянием / = 25см. Рассмотреть два случая: 1) расстояние линзы от источников равно 2/ = 50 см; 2) источники S\ и $2 находятся в фокальной плоскости линзы. 218. Плоская волна проходит че- через стеклянную пластинку с пока- показателем преломления п, падая на ее поверхность нормально. Толщина пластинки испытывает скачкообраз- скачкообразное изменение на величину d по- порядка длины световой волны вдоль некоторой прямой, проходящей че- через точку С перпендикулярно к плоскости рисунка (рис. 25). Прошед- Прошедшая волна собирается линзой в ее фокусе. При каких значениях d интенсивность света в фокусе будет вдвое меньше интенсивности света в том же фокусе в случае отсутствия уступа на пластинке? А Рис. 24 Сг Рис. 25
§3. Интерференция света 37 L Рис. 26 219. В предыдущей задаче п = %> d = 2/з^- Найти интенсивность света в фокусе линзы, если интенсивность в нем при отсутствии уступа равна /о. 220. Будут ли наблюдаться интерференционные полосы на экране, если в установке с билинзой поместить источник света между линзой и главным фокусом (билинза получается разрезанием пополам целой линзы, обе половины которой раздвигаются)? 221. Из линзы с фокусным расстоянием / = 50 см вырезана цен- центральная часть ширины а, как показано на рис. 26. Обе половины линзы сдвинуты до соприкосновения. По од- одну сторону линзы помещен точечный источник монохроматического света (Л = 6000 А). С про- противоположной стороны линзы помещен экран, на котором наблюдаются полосы интерферен- интерференции. Расстояние между соседними светлыми полосами Ах = 0,5 мм и не изменяется при пе- перемещении экрана вдоль оптической оси. Най- Найти а. 222. При каком положении экрана в уста- установке, описанной в предыдущей задаче, интер- интерференционные полосы исчезнут, если диаметр линзы D = 6 см? При каком положении экрана число интерференцион- интерференционных полос будет максимальным и чему равно это число полос? 223. Наблюдение полос интерференции в белом свете с помощью зеркал Ллойда может быть использовано для экспериментального дока- доказательства потери полуволны при отражении света от зеркала. С этой целью на пути луча SM (рис. 27) ставят тонкую пластинку Р, сме- смещающую полосы интерференции на экране АВ вверх. Пусть точ- точка М на экране выбрана так, что оптические длины (SM и SCM) равны. Если бы не было потери полуволны при отражении и из- изменения фазы волны при входе в пластинку Р или при выходе из нее, то волны, приходящие в М рис 27 по путям SM и SCM, имели бы одинаковые фазы. При использо- использовании белого света в М получилась бы ахроматическая светлая полоса. Опыт же показывает, что ахроматическая полоса темная. Этот факт объясняют потерей полуволны при отражении от зеркала. Как доказать экспериментально, что потеря полуволны происходит именно при отра- отражении от зеркала, а не при входе света в пластинку Р или при выходе из нее? В м А
38 Задачи 224. Какому условию должны удовлетворять размеры источника света, чтобы могли наблюдаться интерференционные полосы в установ- установке с 1) зеркалами Френеля, 2) зеркалом Ллойда? Различные светящи- светящиеся точки источника излучают некогерентно. 225. Билинза Билле изготовлена из двух половинок тонкой со- собирающей линзы с фокусным расстоянием / = 10 см. На расстоянии х = %/ от нее помещен источник света в виде щели, освещаемый широкоугольным пучком света с длиной волны Л = 5790 А. Экран для наблюдения интерференционных полос установлен с противоположной стороны билинзы на расстоянии L = 330 см от нее. При какой мини- минимальной ширине щели Ь интерференционные полосы на экране про- пропадут? Считать, что различные точки щели излучают световые волны некогерентно. Расстояние между половинками билинзы а = 0,5 мм. 226. На экран с двумя узкими параллельными щелями собирают лучи непосредственно от Солнца. При каком расстоянии D между щелями могут наблюдаться интерференционные полосы за экраном? Угловой диаметр Солнца а « 0,01 рад. Примечание. Для упрощения расчета диск Солнца заменить квадратом постоянной поверхностной яркости. 227. Изображение Солнца получено при помощи линзы с фокусным расстоянием / = 50 мм на отверстии экрана (размер отверстия равен величине изображения). За экраном помещены две узкие параллельные щели на расстоянии D = 1 мм друг от друга. При каком расстоянии / между экраном и щелями могут наблюдаться интерференционные по- полосы? Примечание. См. предыдущую задачу. 228. На металлическое зеркало нормально падает пучок света с длиной волны Л = 5- 10~5см, причем образуются стоячие волны. На каком расстоянии от зеркала находятся 1-я пучность и 1-й узел электрического вектора светового поля? 229. Линейно поляризованный свет падает под углом 45° на ме- металлическое зеркало, покрытое очень тонким фотослоем (толщина фо- фотослоя <С А). В одном случае вектор Е лежит в плоскости падения, а в другом перпендикулярен к плоскости падения. В каком случае фотослой почернеет? 230. Тонкая пленка освещается источником света. Свет, отражен- отраженный от пленки, проецируется линзой на экран. Как надо установить линзу, чтобы на экране наблюдались полосы интерференции? 231. Прозрачная плоскопараллельная стеклянная пластинка осве- освещается параллельным пучком монохроматического света и при этом угол падения, толщина пластинки, пи А подобраны так, что отражен- отраженный свет вследствие интерференции между лучами, отраженными от двух поверхностей пластинки, максимально ослаблен. Следовательно, при изменении толщины пластинки в пределах длины волны ее коэф- коэффициент отражения должен был бы изменяться. Однако при увеличе- увеличении первоначальной толщины в целое число раз он должен остаться
§3. Интерференция света 39 неизменным. Поэтому для сколь угодно толстой пластинки получались бы различные коэффициенты отражения в зависимости от ее толщины. Между тем для бесконечно толстой пластинки коэффициент отраже- отражения не зависит от ее толщины и определяется формулами Френеля. В чем решение этого кажущегося парадокса? 232. Темной или светлой будет в отраженном свете мыльная пленка толщиной d = VioA? Пленка находится в воздухе. 233. При каких толщинах d пленки исчезают интерференционные полосы при освещении ее светом с длиной волны Л = 6 • 10~5 см? Показатель преломления пленки п= 1,5. 234. Зимой на стеклах трамваев и автобусов образуются пленки наледи, окрашивающие все видимое сквозь них в зеленоватый цвет. Оценить, какова наименьшая толщина этих пленок (показатель пре- преломления наледи принять равным 1,33). 235. Интерференционные полосы равной толщины наблюдаются на воздушном клине между двумя стеклянными пластинками с углом при вершине а = Iх. Полосы получаются в свете зеленой линии рту- ртути с длиной волны Л = 5461 А и шириной АЛ = 0,1 А. Определить: 1) расстояние Ах между двумя соседними полосами; 2) максимальное количество полос N, которые можно было бы видеть на клине, если бы его размеры не были ограничены; 3) расстояние х последней наблюда- наблюдаемой полосы от вершины клина и толщину последнего h в этом месте; 4) степень параллельности пучка лучей, необходимую для наблюде- наблюдения всех полос (т. е. максимально допустимое угловое расхождение лучей 5(р). 236. Свет с длиной волны Л = 6000 А падает на тонкую мыльную пленку под углом падения ср = 30°. В отраженном свете на пленке на- наблюдаются интерференционные полосы. Расстояние между соседними полосами равно Ах = 4 мм. Показатель преломления мыльной пленки п = 1,33. Вычислить угол а между поверхностями пленки. 237. В очень тонкой клиновидной пластинке в отраженном свете при нормальном падении наблюдаются интерференционные полосы. Расстояние между соседними темными полосами Ах = 5 мм. Зная, что длина световой волны равна Л = 5800 А, а показатель преломления пластинки п= 1,5, найти угол а между гранями пластинки. 238. Наблюдаются полосы равной толщины в воздушном клине между двумя плоскопараллельными стеклянными пластинками, обра- образующими между собой очень малый угол. Клин освещается рассеян- рассеянным светом. Наблюдение ведется невооруженным глазом с расстояния ясного зрения L = 25 см в направлении, перпендикулярном к поверх- поверхности клина, причем глаз может смещаться перпендикулярно к ребру клина. Оценить максимальное число интерференционных полос N, которое может видеть глаз в монохроматическом свете при таком способе наблюдения, если диаметр зрачка глаза d = 5мм. Оценить
40 Задачи степень монохроматичности света, необходимую для того, чтобы такое максимальное число полос могло наблюдаться. 239. Полосы равной толщины, получающиеся в тонком стеклянном клине с показателем преломления п = 1,5 при освещении рассеянным монохроматическим светом с длиной волны Л = 5000 А, проецируются линзой на экран. Перед линзой помещена квадратная диафрагма со стороной d = 1 см и отстоящая от клина на расстоянии L = 50 см. Какой максимальный порядок интерференции N может при этом на- наблюдаться на экране? Главная оптическая ось проецирующей системы приблизительно перпендикулярна к поверхности клина. 240. С помощью воздушного клина с углом при вершине а на- наблюдаются полосы равной толщины в отраженном монохроматическом свете. Свет падает на клин нормально. Найти распределение освещен- освещенности Е в интерференционной картине на поверхности клина. Считать интенсивности световых пучков, отраженных от обеих поверхностей клина, одинаковыми и равными /о. 241. Почему центр колец Ньютона, наблюдаемых в отраженном свете, обычно темный? 242. Если между линзами из крона и флинта поместить масло, показатель преломления которого имеет промежуточное значение меж- между значениями показателей преломления крона и флинта, то точка соприкосновения линз будет окружена светлым пятном в отраженном свете и темным — в проходящем. Объяснить это явление. 243. Линза из крона (пк = 1,50) лежит на пластинке, одна половина которой сделана из того же крона, а другая из флинта (пфЛ = 1,70). Прослойка между линзой и пластинкой заполнена сероуглеродом (п = = 1,63). Описать характер ньютоновых колец в отраженном и прохо- проходящем свете. 244. Найти расстояние А/ между двадцатым и двадцать первым светлыми кольцами Ньютона, если расстояние между вторым и тре- третьим равно 1 мм, а кольца наблюдаются в отраженном свете. 245. Найти фокусное расстояние / плосковыпуклой линзы, приме- примененной для получения колец Ньютона, если радиус третьего светлого кольца равен 1,1 мм, пст = 1,6, Л = 5890 А. Кольца наблюдаются в от- отраженном свете. 246. При наблюдении колец Ньютона в отраженном синем све- свете (Лс = 4500 А) с помощью плосковыпуклой линзы, положенной на плоскую пластинку, радиус третьего светлого кольца оказался равным 1,06 мм. После замены синего светофильтра на красный был измерен радиус пятого светлого кольца, оказавшийся равным 1,77 мм. Найти радиус кривизны R линзы и длину волны Лкр красного света. 247. Плоскопараллельная стеклянная пластинка лежит на одной из поверхностей двояковыпуклой линзы. При наблюдении колец Ньютона в отраженном свете натриевой горелки (Л = 5890 А) найдено, что радиус темного кольца порядка т = 20 (центральному темному кольцу
§3. Интерференция света 41 соответствует т = 0) равен г\ = 2 мм. Когда пластинка была положена на другую поверхность линзы, радиус темного кольца того же порядка сделался равным т^ =4мм. Определить фокусное расстояние линзы, если показатель преломления стекла, из которого она изготовлена, п = = 1,5. 248. Найти радиус г центрального темного пятна колец Ньютона, если между линзой и пластинкой налит бензол (п = 1,5). Радиус кривизны линзы R = 1 м. Показатели преломления линзы и пластинки одинаковы. Наблюдение ведется в отраженном натриевом свете (Л = = 5890 А). 249. Кольца Ньютона получаются между двумя плосковыпуклыми линзами, прижатыми друг к другу своими выпуклыми поверхностями. Найти радиус тш тп-го темного кольца, если длина световой волны равна Л, а радиусы кривизны выпуклых поверхностей линз равны R\ и R%. Наблюдение ведется в отраженном свете. 250. Кольца Ньютона получаются с помощью плосковыпуклой лин- линзы с радиусом кривизны R\, положенной на вогнутую сферическую поверхность с радиусом кривизны R% > R\. Кольца наблюдаются в от- отраженном свете. Определить радиус тш m-то темного кольца, если длина световой волны равна Л. 251. В установке для наблюдения колец Ньютона плосковыпуклая линза сделана подвижной и может перемещаться в направлении, пер- перпендикулярном к пластинке. Описать, что будет происходить с кольца- кольцами Ньютона при удалении и приближении линзы к пластинке. Кольца получаются с помощью монохроматического света. 252. Описать, как будет меняться резкость колец Ньютона при перемещении линзы в установке, описанной в предыдущей задаче, если они наблюдаются в отраженном свете D-линии Na, учитывая, что D-линия Na не монохроматична, а представ- представляет собой две близкие спектральные линии с Ai =5890 А и А2 = 5896 А. 253. Найти разность длин волн D-линий Na, если известно, что резкость интерферен- интерференционной картины, наблюдаемой в интерферо- интерферометре с двумя лучами, минимальна у четы- четыреста девяностой полосы, тысяча четыреста семидесятой и т.д., а максимальна у первой, девятьсот восьмидесятой и т.д. полос. Сред- Средняя длина волны D-линий А = 5893 А. 254. Перед линзой L (рис. 28) установлена плоскопараллельная стеклянная пластинка Я, перпендикулярная к главной оптической оси и освещаемая монохроматическим светом от протяженного источника. Описать интерференционную картину в фокальной плоскости линзы. Как изменится эта картина при наклоне пластинки на угол а = 10° 17 Рис. 28
42 Задачи f S\ (по отношению к исходному положению)? Фокусное расстояние линзы / = 30см. 255. Интерференционные полосы равного наклона в фокальной плоскости линзы L (рис. 29) получаются при отражении от плоскопа- плоскопараллельной пластинки /7, освещаемой монохро- монохроматическим источником света S. Прямой свет источника на линзу не попадает. Длина свето- световой волны Л = 6000 А; толщина пластинки d = = 1,6 мм; показатель преломления и = 1,5; фо- фокусное расстояние линзы / = 40 см. Найти ради- радиус г первого видимого на экране Э темного ин- интерференционного кольца, если центр колец — темный. Какова максимально допустимая ши- ширина линии АЛ, освещающей пластинку, чтобы при указанных параметрах схемы можно было наблюдать интерференционные кольца? 256. Сколько темных колец N можно на- наблюдать в условиях предыдущей задачи, если диаметр линзы D = 8 см, а источник S помещен посередине между линзой и пластинкой на рас- расстоянии / от линзы? 257. Какова должна быть минимальная толщина пластинки, чтобы в условиях предыдущей задачи можно было получить по крайней мере одно темное кольцо? 258. Три синфазных излучателя 1, 2, 3 расположены вдоль прямой (рис. 30). Расстояние между излучателями / и 2 равно Л/2, а между излучателями 2 и 3 в полтора раза больше. Амплитуды излучателей / и 2 одинаковы. Какова должна быть ампли- амплитуда излучателя 3, чтобы в диаграмме направ- направленности системы существовали минимумы ну- нулевой интенсивности? Найти направления на эти минимумы. Решение дать аналитически и с помощью векторной диаграммы. Я С Рис. 29 1 Х/2 И— 2 Рис. 30 259. Тот же вопрос для случая, когда расстояние между излучате- излучателями / и 2 равно 2/$\, а между излучателями 2 и 3 вдвое больше. 260. Горизонтальный электрический вибратор помещен над иде- идеально проводящей горизонтальной плоскостью на высоте h. Начертить диаграммы направленности вибратора в вертикальной плоскости, пер- перпендикулярной к его оси, для h = У4Л, h = У2Л, h = 3ДА, h = Л. Найти направления на максимумы и минимумы излучения для этих случаев. 261. Эффект Вавилова-Черенкова состоит в том, что электрон, рав- равномерно движущийся в среде с показателем преломления п, может при известных условиях излучать свет. Найти условия, при которых такое излучение возникает, а также направление излучения, рассматривая интерференцию волн, возбуждаемых электроном в разные моменты времени.
§ А. Дифракция света 43 262. Существуют различные конструкции черенковских счетчиков, в которых излучение Вавилова-Черенкова используется для регис- регистрации заряженных частиц. Частицы попа- попадают в блок прозрачного вещества ABCD (рис. 31) и возбуждают в нем черенковское излучение. Излучение выходит через грань АВ и попадает в фотоумножитель, где вызывает С\ \D импульс тока. Считая, что частицы летят нор- нормально к грани CD, определить, при каких ско- I ту ростях они могут регистрироваться счетчиком, если показатель преломления вещества блока рис 31 равен п. При каком показателе преломления п релятивистские частицы (/3 = V/c « 1) не могут регистрироваться счетчиком? §4. Дифракция света 263. 1) Вычислить радиус m-й зоны Френеля, если расстояние от источника до зонной пластинки равно а, а расстояние от пластинки до места наблюдения равно Ъ. Длина волны Л. 2) Найти радиус первой зоны, если а = Ъ = Юм, Л = 4500А. 264. 1) Вычислить радиус m-й зоны Френеля при условии, что на зонную пластинку падает плоская волна. 2) Найти г\ для этого случая, полагая, как и в предыдущей задаче, Ъ = 10 м, Л = 4500 А. 265. Зоны Френеля строятся со стороны вогнутой поверхности сходящейся сферической волны радиуса а. Расстояние от поверхности волны до точки наблюдения равно Ь. Найти выражение для радиуса тш m-й зоны Френеля. 266. Зонная пластинка дает изображение источника, удаленного от нее на Зм, на расстоянии 2 м от своей поверхности. Где получится изображение источника, если его отодвинуть в бесконечность? 267. Определить фокусное расстояние / зонной пластинки для све- света с длиной волны 5000 А, если радиус пятого кольца этой пластинки равен 1,5 мм; определить радиус т\ первого кольца этой пластинки. Что произойдет, если пространство между зонной пластинкой и экраном заполнено средой с показателем преломления п (п > 1)? 268. Какова интенсивность света / в фокусе зонной пластинки, если закрыты все зоны, кроме первой? Интенсивность света без пла- пластинки равна /о- 269. Какова будет интенсивность света / в фокусе зонной пластин- пластинки, если закрыть всю пластинку, за исключением верхней половины первой зоны? Интенсивность света без пластинки равна Iq. 270. Какова интенсивность света / в центре дифракционной карти- картины от круглого экрана, если он закрывает всю первую зону? Интенсив- Интенсивность света в отсутствие экрана равна /q.
44 Задачи 271. Яркий источник можно сфотографировать, поместив между ним и фотопластинкой гладкий непрозрачный шар. Объяснить явление. Диаметр шара D = 40 мм, расстояние от источника до шара а = 12 м, расстояние от шара до изображения Ь = 18 м, размер источника у = = 7 мм. Определить размер изображения у'. Будет ли изображение ис- испорчено, если поверхность шара испещрена множеством неправильных царапин, глубина которых h порядка 0,1 мм? Можно ли шар заменить диском? 272. Диск из стекла с показателем преломления п (для длины волны Л) закрывает полторы зоны Френеля для точки наблюдения Р. При какой толщине h диска освещенность в Р будет наибольшая? 273. Непрозрачный экран, имеющий фор- форму полудиска, помещен между точечным ис- источником S и точкой наблюдения А таким образом, что точка О располагается на одной прямой с точками S и А (рис. 32). Экран закрывает небольшое нечетное число полузон Френеля. Какая будет освещенность в точ- точке А? Рис. 32 274. Между точечным источником S и точкой наблюдения А по- помещен диск, центр которого расположен на одной прямой с точками S и А (рис. 32). Одна половина диска прозрачна, другая непрозрачна. Диск закрывает первые три зоны Френеля. Толщина прозрачной части диска I = N- X где п — показатель о— S D С 2G1-1)' в преломления прозрачной части диска, N — целое число. Какая будет освещенность в точке А при четном и нечетном 7V? 275. Вдали от точечного источника S электромагнитной волны поставлен бес- бесконечный идеально отражающий плоский экран АВ (рис. 33). Пользуясь векторной диаграммой, найти, как изменится интен- интенсивность отраженной волны в точке S, если из экрана вырезать диск CD с центром ^ в основании перпендикуляра, опущенного рис 33 из S на плоскость экрана, и сместить этот диск по направлению к источнику на одну двенадцатую длины вол- волны? Площадь диска составляет одну треть от площади первой зоны Френеля. Как изменится результат, если смещение произвести в про- противоположную сторону на ту же величину? 276. В установке предыдущей задачи площадь диска составляет половину площади центральной зоны Френеля. На какое минимальное расстояние h следует сместить диск в направлении от источника, чтобы интенсивность отраженной волны в точке S осталась неизменной?
§ А. Дифракция света 45 277. Если круглое отверстие (например, ирисовая диафрагма) уве- увеличивается таким образом, что его радиус от радиуса одной зоны возрастает до радиуса двух зон, то освещенность в точке Р (точка Р — изображение источника света, даваемое диафрагмой) падает почти до нуля. Как согласовать этот факт с увеличением всего светового потока через диафрагму в два раза? 278. Точечный источник монохроматического света помещен на расстоянии а от круглой диафрагмы, а экран с противоположной сторо- стороны — на расстоянии Ъ от нее. При каких радиусах диафрагмы г центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет темным и при каких — светлым, если перпендикуляр, опущенный из источника на плоскость диафрагмы, проходит через ее центр? 279. На длиннофокусную собирающую линзу с ирисовой диафраг- диафрагмой падает параллельный пучок монохроматического света. На рассто- расстоянии а от линзы помещен экран, на котором наблюдаются дифракцион- дифракционные кольца. При каких радиусах диафрагмы центр колец будет темным и при каких — светлым, если фокусное расстояние линзы равно /? 280. Для получения фотографий дифракционных картин в тех случаях, когда источник света и экран расположены очень далеко, В.К. Аркадьевым был применен метод подобия, в котором вместо действительных препятствий, стоящих на пути лучей, используются их уменьшенные и подобные модели. Требуется получить фотографию дифракционной картины от диска диаметром D = 50 см, когда на его оси расположен точечный источник света на расстоянии А = 25 км, а экран удален от него на В = 50 км (плоскость экрана перпенди- перпендикулярна к оси диска). С этой целью диск заменили уменьшенной моделью с диаметром d = 1 см. Определить, на каких расстояниях а и Ъ следует поместить источник света и экран, чтобы получи- получилась подобная и уменьшенная в п = 50 раз дифракционная картина. 281. На рис. 34 изображе- изображена схема одной из установок для наблюдения интерферен- интерференционных полос. Линза разре- рис 34 зается на две одинаковые по- половинки L\ и I/2, которые отодвигаются друг от друга на значительное расстояние вдоль оптической оси. Источник света S помещен на опти- оптической оси. Световой пучок, проходящий через половинку линзы L\, перекрывается с пучком, проходящим через половинку L2 на участке Sf/Sf, на котором и происходит интерференция этих двух пучков света. Если там поместить экран или (что лучше) производить наблюдение в микроскоп, то будут видны интерференционные кольца. Какой центр будут иметь эти кольца: светлый или темный?
46 Задачи 282. Интенсивность света в некоторой точке на оси за отверстием в непрозрачном экране, на который нормально падает параллельный пучок монохроматического света, равна /о, если в отверстии уклады- укладывается одна зона Френеля. С помощью векторной диафрагмы найти интенсивность света в той же точке, если радиус отверстия уменьшить на а = 1/3 первоначальной величины. 283. Требуется изготовить отражательную зонную пластинку на вогнутом сферическом зеркале путем снятия отражающего покрытия зеркала кольцевыми зонами Френеля. Найти радиус га-й зоны гт, если источник света и точка наблюдения расположены на оси зеркала на расстояниях а и Ъ соответственно от его вершины, причем а ^ R ^ Ь, гт <С а, где R — радиус кривизны поверхности зеркала. 284. В предыдущей задаче R = 100 см, а = 80 см, Л = 5000 А, радиус четвертой зоны Френеля т\ =0,2 см. Где будут расположены изображения S' источника нулевого и ±1-го порядков? 285. Зонная пластинка имеет такие же параметры, как и в предыду- предыдущей задаче. Источник монохроматического света (Л = 5000 А) помещен в центре кривизны вогнутого зеркала, на котором она изготовлена (а = R). Пластинка дает два отражения ±1-го порядков в точках, отстоящих от зеркала на расстояниях Ъ\ и Ъ^, причем Ь\ — Ь^ = Д/10. Найти радиус га-й зоны пластинки. 286. Параллельный пучок монохроматического света (Л = 5000 А) интенсивности Iq падает на непрозрачный экран с круглым отверстием диаметра 2мм. 1) Найти расстояния Ь\, Ъ^, ..., Ьш до экрана точек Р\, Р2, ..., Рш на оси отверстия, для которых в пределах отверстия укладывается 1, 2, ..., га зон Френеля. 2) Построить приближенно график зависимости интенсивности света на оси отверстия от рассто- расстояния точки наблюдения до экрана. 3) На сколько надо сместиться из точки Р\, удаляясь от экрана, чтобы интенсивность света в новой точке наблюдения стала в два раза меньше, чем в точке Pi? 287. Параллельный пучок монохроматического света с длиной вол- волны Л = 6000 А нормально падает на непрозрачный экран с круглым от- отверстием диаметром D = 1,2 мм. На расстоянии Ъ\ = 18 см за экраном на оси отверстия наблюдается темное пятно. На какое минимальное расстояние АЬ нужно сместиться от этой точки вдоль оси отверстия, удаляясь от него, чтобы в центре дифракционной картины вновь на- наблюдалось темное пятно? 288. Дифракция Френеля от точечного монохроматического источ- источника света, расположенного на оси круглого отверстия, наблюдается на экране, установленном перпендикулярно к оси отверстия. При пе- перемещении экрана вдоль оси интенсивность в центре дифракционной картины проходит через максимумы и минимумы. Сколько зон Френе- Френеля га вписывается в отверстие диафрагмы при наблюдении наиболее удаленного максимума, если экран при этом оказался на таком же
§ А. Дифракция света 47 расстоянии от диафрагмы, что и источник света, находящийся по другую сторону диафрагмы? 289. Основное фокусное расстояние амплитудной плоской зонной пластинки равно /о. Найти ее остальные фокусные расстояния. 290. Освещенный предмет расположен на оси зонной пластинки на расстоянии а от нее. Самое дальнее от зонной пластинки изображение предмета получается на расстоянии Ъ от нее. На каких расстояниях bk от пластинки получаются остальные изображения предмета? 291. С помощью зонной пластинки надо сфотографировать осве- освещенный предмет с угловым размером 2а = 0,1 рад. Оценить число зон пластинки, при котором будет достигнута наибольшая четкость в изображении всех частей предмета. 292. На белой стене наблюдается тень от прямолинейного края АВ непрозрачного экрана, освещаемого параллельными монохроматически- ми лучами, падающими на экран перпендикулярно (Л = 5000 А). Плос- Плоскости стены и экрана параллельны, расстояние между ними Ъ = 4 м. На краю экрана выточено углубление, имеющее форму полукруга радиуса г = 1 мм (рис. 35). Как изменится интенсивность света в точке стены, являющейся геометрической тенью центра О соответствующего кру- круга по сравнению с интенсивностью в той же точке, когда углубления не было? 293. Условие того, чтобы фре- нелева дифракционная картина на отверстии переходила в фраун- гоферову, заключается, очевидно, Рис. 35 в том, чтобы максимальная раз- разность фаз двух лучей, идущих от разных точек отверстия к экрану, на котором наблюдается дифракционная картина, была мала по сравнению с тг. Выразить это условие через размеры отверстия d, длину волны Л и расстояние от экрана до места наблюдения г. 294. Один из методов измерения угловых диаметров звезд заключа- заключается в следующем. Свет от звезды во время новолуния проходит мимо края Луны и на нем претерпевает дифракцию. На поверхности Земли получаются дифракционные полосы, перемещающиеся со скоростью около 500 м/с. Для их наблюдения в фокусе телескопа помещают фотоэлемент. Возбуждаемый фотоэлектрический ток усиливается и с помощью осциллографа записывается на движущейся ленте. Резкость максимумов и минимумов на осциллограмме зависит от углового раз- размера звезды. Сравнивая осциллограмму с теоретической, вычисленной в предположении, что звезда излучает как равномерно светящийся диск, можно вычислить ее угловой диаметр (р. Считая сначала край Луны абсолютно гладким, оценить, какие угловые диаметры звезд доступны измерению указанным методом. Оценить высоту неровностей
48 Задачи лунной поверхности h для возможности получения дифракционных полос. Расстояние до Луны Ъ = 380000 км. 295. Найти угловое положение минимумов при дифракции Фраун- гофера на щели, пользуясь принципом Гюйгенса-Френеля и разбивая плоскость щели на зоны. Угол скольжения падающего луча относи- относительно плоскости щели равен ац. Плоскость падения перпендикулярна к длине щели. 296. Квадратное отверстие со стороной Lq = 0,2 см освещается параллельным пучком солнечных лучей, падающих нормально к плос- плоскости отверстия. Найти форму и размер L x L изображения отверстия на экране, удаленном на 50 м от него, если плоскость экрана парал- параллельна плоскости отверстия. Границей освещенности на экране считать положение первого дифракционного минимума наиболее сильно откло- отклоняемых лучей (видимый спектр 7000-4000 А). 297. Доказать, что при дифракции Фраунгофера интенсивности дифрагированного света от дополнительных экранов совпадают во всех направлениях, за исключением направления падающей волны (принцип Бабине). Дополнительными называются два экрана, когда непрозрач- непрозрачные места одного экрана по форме и положению совпадают с отверсти- отверстиями другого. 298. Плоская световая волна падает нормально на абсолютно чер- черный экран, размеры которого велики по сравнению с длиной волны. Часть энергии поглощается черным экраном, а часть рассеивается из- за дифракции. Показать, что количество поглощенной энергии равно количеству рассеянной. 299. Щель постоянной ширины прикрыта двумя плоскопараллель- плоскопараллельными стеклянными пластинками толщины d с показателями преломле- преломления щ и П2, примыкающими друг к другу. Одна пластинка закрывает первую половину щели, другая — вто- вторую половину щели. На щель нормаль- нормально падает плоская монохроматическая волна. При каком условии центр ди- дифракционной картины Фраунгофера бу- будет темным? 300. На щель ширины Ъ положена стеклянная призма с показателем пре- преломления п и преломляющим углом а (рис. 36). На грань АВ призмы нор- нормально падает плоская монохроматиче- монохроматическая волна. Найти направления на ну- нулевой максимум и минимумы в дифрак- дифракционной картине Фраунгофера. 301. Найти угловое распределение интенсивности света при фра- унгоферовой дифракции на решетке из N щелей и с периодом d при условии, что световые лучи падают на решетку нормально, а ширина щели равна Ъ. В Рис. 36
§ А. Дифракция света 49 302. Дополнительными, или взаимно дополнительными дифракци- дифракционными решетками называются такие щелевые решетки, у которых непрозрачные места одной решетки замены прозрачными в другой (ср. задачу 297). Убедиться непосредственным расчетом, что при осве- освещении таких решеток одним и тем же световым пучком положения и интенсивности главных дифракционных максимумов одного и того же порядка совпадают, за исключением главных максимумов нулевых порядков. Если же число штрихов решетки очень велико, то совпадают также интенсивности дифрагированного света для всех направлений, за исключением направления падающего света. 303. Параллельный пучок монохроматического света падает нор- нормально на дифракционную решетку с заданной полной шириной ее штрихованной поверхности. При каком значении отношения b/d шири- ширины щели b к периоду решетки интенсивность главных дифракционных максимумов второго порядка будет максимальна? 304. Показать, что для обычной амплитудной щелевой дифрак- дифракционной решетки справедливо неравенство /диф ^ УЛад» гДе ^пад — полный поток энергии, падающий на решетку, а /диф — поток энергии дифрагированного света, приходящийся на все дифракционные мак- максимумы, кроме максимума нулевого порядка. Максимальное значение дифрагированного потока энергии достигается в случае, когда ширина щелей решетки равна половине ее периода. 305. Найти угловое распределение дифракционных минимумов при дифракции на решетке, период которой равен d, а ширина щели рав- равна Ь. 306. Найти условие появления главного дифракционного максиму- максимума при наклонном падении лучей на решетку (угол падения во). Какой вид принимает это условие, если d ^> А, а порядок спектра п <С d/X? 307. Пучок рентгеновских лучей падает на решетку с периодом 1 мкм под углом 89°3(У. Угол дифракции для спектра второго порядка равен 89°. Найти Л. 308. При каком условии можно наблюдать зеркальное отражение от шероховатой поверхности при малых и больших углах падения? 309. Могут ли перекрываться спектры первого и второго порядков дифракционной решетки при освещении ее видимым светом G000- 4000 А)? 310. Найти условие равенства нулю интенсивности m-го максиму- максимума для дифракционной решетки с периодом d и шириной щели Ь. 311. Описать характер спектров дифракционной решетки, если ее постоянная равна: 1) удвоенной; 2) утроенной; 3) учетверенной ширине щели. 312. Какой максимальный порядок спектра может наблюдаться при дифракции света длины волны Л на решетке с периодом d? 313. Определить длину волны спектральной линии, изображение которой, даваемое дифракционной решеткой в спектре третьего поряд-
50 Задачи ка, совпадает с изображением линии Л = 4861 А в спектре четвертого порядка. 314. Чем определяется максимальная длина волны, которая может получиться в спектре дифракционной решетки? Определить постоян- постоянную, которую должна иметь решетка, способная давать инфракрасный спектр с длинами волн до 100 мкм. 315. На одномерную фазовую дифракционную решетку (рис. 37) нормально падает плоская монохроматическая волна. На участках а и b а h а h а Ъ а Ъ а Рис. 37 оптические пути равны соответственно l\ = n\Z\ и /2 = ^2^2 {щ и щ — показатели преломления, z\ и z^ — соответствующие толщины). Как меняются интенсивности дифракционных максимумов и соответствую- соответствующие им углы дифракции при щ —> щ и z\ —> z? 316. На одномерную дифракционную решетку со щелями (рис. 38) падает плоская монохроматическая волна. Щели b решетки совсем a b a b a b aba Рис. 38 прозрачные, а участки а имеют коэффициент пропускания а. Толщина решетки бесконечно мала по сравнению с длиной волны. Как меняют- меняются интенсивности дифракционных максимумов и соответствующие им углы дифракции, когда а —> 1? 317. Прозрачная периодическая структура, профиль которой изоб- изображен на рис. 39, освещается сверху плоской монохроматической волной, падающей нормально на верхнюю границу. Ширины уступов и впадин структуры одинаковы. При заданном показателе преломления п подобрать глубину h таким образом, чтобы главные фраунгоферовы дифракционные максимумы первого порядка имели наибольшую ин- интенсивность. Какова при этом интенсивность нулевого главного макси- максимума?
§ А. Дифракция света 51 м м i Рис. 39 318. Две решетки из N синфазных вибраторов каждая сдвинуты друг относительно друга на расстояние а (рис. 40). Как будет меняться Рис. 40 диаграмма направленности системы из таких решеток в зависимости от изменения расстояния а между ними? Рассмотреть случаи: а = ТгА, а = А, а = 3/2А, а = 2Л. 319. Как изменится диаграмма направленности решетки из 3N равноотстоящих синфазных вибраторов, если убрать каждый третий из них? 320. Сложная излучающая система состоит из конечного ряда густо расставленных параллельных вибраторов с равномерным распределе- распределением фаз колебаний вдоль ряда. Как должен изменяться со временем сдвиг фаз А(р между двумя соседними вибраторами, чтобы главный лепесток диаграммы направленности всей системы совершал круговой обзор местности с постоянной угловой скоростью О (при отсутствии вращения самой системы)? 321. Над центром граммофонной пластинки О\ помещен точечный источник монохроматического света на высоте h\ = 1 см. Глаз наблю- наблюдателя расположен на высоте h^ = 10 см на расстоянии а = 110 см от оси пластинки. Помимо геометрического изображения источника глаз видит систему дифракционных полос на поверхности пластинки. Определить расстояние Ах между ними, если расстояние между бо- бороздками d = 0,5 мм. Длина световой волны Л = 5500 А. 322. Дифракционную решетку можно характеризовать ее пропус- каемостью. Пропускаемостью D называется функция, определяемая соотношением Евых(х) = D(x)EBX(x), где Евх — поле падающей волны на передней поверхности решетки, a ?^BbIX — поле выходящей волны на задней поверхности решетки. (Ось X выбрана на поверхности решетки
52 Задачи перпендикулярно к ее штрихам.) Если пропускаемость синусоидальна, т.е. представляется выражением D = а(\ +qcospx) с постоянными а, q, p, то решетка называется решеткой Рэлея. Показать, что дифрак- дифракционный спектр такой решетки состоит только из трех максимумов: нулевого и двух максимумов первого порядка. 323. 1) Подсчитать угловую дисперсию в угл.с/А в спектре первого порядка для решетки, имеющей 3937 штрихов на 1 см. 2) Подсчитать линейную дисперсию спектрографа с такой решеткой при объективе с фокусным расстоянием 50 см. 3) Подсчитать величину, обратную линейной дисперсии (число А на 1 мм). При расчете считать, что углы дифракции малы (cos# ~ 1). 324. Какое расстояние между компонентами желтой линии дубле- дублета натрия (Ai = 5890 А, А2 = 5896 А) получится на фотографическом негативе в спектрографе, описанном в предыдущей задаче? 325. Найти угловую дисперсию решетки с постоянной d = 5мкм, если А = 5000 А, порядок спектра п = 3. 326. На плоскую отражательную решетку нормально падает свет D-линии натрия (А = 5890А). Определить число штрихов решетки на 1 мм, если спектр второго порядка наблюдается под углом 45° к нормали. 327. Найти угловое расстояние между главным максимумом и бли- ближайшим к нему минимумом дифракционной решетки. 328. Какая получится ширина спектральной линии водорода (А = = 6563 А) на негативе спектрографа, если в нем использована решетка шириной / = Зсм и объектив с фокусным расстоянием / = 15 см? 329. Подсчитать минимальное число штрихов решетки, которая может разрешить натриевый дублет в спектре первого порядка. 330. Подсчитать разрешающую силу решетки с периодом 2,5 х х 10~4см и шириной Зсм в спектрах первого и четвертого порядков. 331. Изменяется ли разрешающая сила решетки при изменении наклона первичного пучка, падающего на нее? 332. Изменятся ли разрешающая способность и дисперсионная область дифракционной решетки, если, закрепив неподвижно трубу, в которую наблюдаются дифракционные спектры, закрыть через одну щели решетки? 333. На плоскую отражательную решетку, содержащую N = 50000 штрихов, нормально падает свет от двойной линии натрия (Ai = = 5890 А, А2 = 5896 А). Число штрихов, приходящееся на 1см длины решетки, равно п = 5000. Какой максимальный порядок спектра т можно получить от такой решетки и каково минимальное расстояние 5Х между спектральными линиями, которое способна разрешить ре- решетка в указанной области спектра? Спектр максимального порядка фотографируется на фотопластинке с помощью объектива с фокусным расстоянием / = 50 см. Какое расстояние Ах между спектральными линиями Ai и А2 получится на фотопластинке?
§ А. Дифракция света 53 334. Коллиматорная щель S, освещаемая источником света, по- помещается в главном фокусе линзы L с фокусным расстоянием / = = 20 см. Пройдя через линзу, свет падает на дифракционную решетку, плоскость которой перпендикулярна к главной оптической оси линзы L. Число штрихов решетки N = 1000, ее период d = 0,001 см. Какова должна быть ширина коллиматорной щели х, чтобы была полностью использована разрешающая способность решетки в окрестности длины волны Л = 5000 А? 335. Найти связь между углом выхода луча (соответствующего максимуму) из пластинки Луммера-Герке с толщиной h и показателем преломления п. 336. Определить угловую дисперсию и дисперсионную область пла- пластинки Луммера-Герке с учетом дисперсии показателя преломления. Считать г малым (см. ответ к предыдущей задаче). 337. Каково число z интерферирующих лучей в пластинке Луммера-Герке длиной L = 30 см, толщиной h = 1 см и с показателем преломления п = 1,52? 338. Найти минимальный и максимальный порядки спектров, кото- которые могут наблюдаться с пластинкой, описанной в предыдущей задаче, для водородной линии Нр (А = 4861 А). 339. Найти дисперсионную область и разрешающую силу R пла- пластинки Луммера-Герке, описанной в задаче 337; dn/dX для водородной линии Нр равно 9,6 • 10~6 А. 340. Определить угловое расстояние между соседними максимума- максимумами в пластинке, описанной в задаче 337, для if^-линии при условии, что е= 1°. 341. Как изменятся разрешающая способность и дисперсионная область пластинки Луммера-Герке, если ее толщину увеличить вдвое, а длину оставить без изменения? 342. Как изменятся разрешающая способность и дисперсионная область пластинки Луммера-Герке, если ее длину увеличить вдвое, а толщину оставить без изменения? 343. Две пластинки Луммера-Герке имеют одинаковые геометри- геометрические размеры, но сделаны из различных сортов стекла. Какая пла- пластинка имеет большую разрешающую способность и какая большую дисперсионную область? 344. Какую минимальную длину должна иметь пластинка Луммера-Герке (п = 1,5), чтобы разрешить дублетную структуру линии На (А = 6563 А)? Разность длин волн линий дублета равна 0,14 А. Пренебречь величиной dn/dX. 345. Какая интерференционная картина будет наблюдаться при освещении монохроматическим светом двух скрещенных пластинок Луммера-Герке, т. е. двух пластинок, расположенных одна за другой вдоль прямой линии, но повернутых друг относительно друга на 90°?
54 Задачи 346. Определить условие максимума, угловое расстояние между максимумами, угловую дисперсию и дисперсионную область эталона Фабри-Перо (ввести угол падения ср и расстояние между пластинка- пластинками К). 347. Определить дисперсионную область эталона Фабри-Перо при h = 1 см, Л = 5000 А. Угол падения (р считать малым. 348. Чему равен порядок спектра при работе с эталоном Фабри- Перо в зеленой части спектра (Л = 5500А), если расстояние между пластинками равно 1 см? Угол падения очень мал. 349. Разрешающую способность интерферометра Фабри-Перо мож- можно определить, пользуясь следующим критерием. Для разрешения двух спектральных линий А и А' необходимо, чтобы в интерференционной картине, даваемой интерферометром, эти линии были разведены на расстояние, не меньшее полуширины линии. Пользуясь этим критери- критерием, найти выражение для разрешающей способности интерферометра Фабри-Перо. 350. 1) Каков порядок т спектра при работе в области Л = 5000 А с эшелоном Майкельсона, высота ступенек которого Ъ = 1 см, а по- показатель преломления стекла п = 1,5? Найти угловое расстояние в между главными максимумами для той же области спектра при ширине ступеньки а = 0,2 см. 351. Какую разрешающую силу должен иметь спектральный ап- аппарат для разрешения дублета D-линии натрия (Ai = 5890 А, А2 = = 5896 А)? 352. Найти величину наименьшего основания призмы, изготов- изготовленной из стекла, дисперсия которого вблизи D-линии натрия равна dn/dX = 956 см и которая сможет разрешить желтый дублет натрия (Ai =5890 А, А2 = 589бА). 353. Спектрограф имеет стеклянную призму с основанием а = 10 см и преломляющим углом А = 60°, устанавливаемую при работе на угол наименьшего отклонения вблизи длины волны А = 5000 А. Показатель преломления стекла призмы п = 1,73; фокусное расстояние объектива коллиматора / = 25 см. Какова должна быть ширина коллиматорной щели Ь, чтобы можно было практически полностью использововать теоретическую разрешающую способность призмы? 354. Какой должна быть длина Ъ основания стеклянной призмы, чтобы она имела такую же разрешающую способность, как и пластинка Луммера-Герке длиной L = 20 см? Показатель преломления пластин- пластинки п = 1,5; дисперсия показателя преломления призмы dnnp/d\ = = 956 см; длина волны А = 6000 А. 355. Эшелон Майкельсона состоит из N = 30 стеклянных пласти- пластинок с показателем преломления п = 1,5; толщина каждой из них h = = 1 см. Какова должна быть длина Ь основания стеклянной призмы, чтобы она имела такую же разрешающую способность, что и рас-
§ А. Дифракция света 55 сматриваемый эшелон? Дисперсия показателя преломления призмы dnnp/d\ = 956 см; длина волны Л = 6000 А. 356. Ширина заштрихованной части дифракционной решетки равна длине основания призмы из каменной соли. Разрешающая способность решетки в первом порядке равна разрешающей способности призмы для длины волны Л = 5150 А. Определить период решетки d, если показатель преломления каменной соли для длины волны Ai = 4861 А равен п\ = 1,5537, а для длины волны Л2 = 5461 А п^ = 1,5477. 357. Стеклянная призма с основанием Ь = 10 см изготовлена из тяжелого флинта, дисперсия которого в окрестности Л = 6000 А равна dn/dX = 1000 см. Какую максимальную разрешающую способность может иметь дифракционная решетка, ширина заштрихованной части которой равна длине основания этой призмы? Сравнить разрешающую способность такой решетки с разрешающей способностью призмы. 358. На щель спектрографа (с дифракционной решеткой) спро- спроецированы ньютоновы кольца, полученные в отраженном белом свете. Щель проходит по одному из диаметров ньютоновых колец. Описать вид спектра, если его порядок и период дифракционной решетки та- таковы, что углы дифракции в малы, и при расчетах можно положить sin# = tgO. Как изменится картина спектра, если щель не проходит через центр ньютоновых колец, а сдвинута от него в сторону на расстояние а? Описать качественно, как изменится картина при замене дифракционной решетки призмой. 359. Для рентгеновских лучей не существует линз и сферических зеркал. Для наблюдения дифракции рентгеновских лучей узкий пучок их падает на кристалл или (при скользящем падении) на дифракцион- дифракционную решетку. Дифракционная картина фиксируется на фотопластинке без какой бы то ни было фокусировки. На каком расстоянии lF от кристалла надо установить фотопластинку, чтобы на ней наблюдалась дифракционная картина Фраунгофера, если ширина пучка падающих рентгеновских лучей h = 1 мм, а длина волны Л = 1 А? На опыте фото- фотопластинку устанавливают на расстоянии нескольких сантиметров или десятков сантиметров, а для вычисления направлений на дифракци- дифракционные максимумы пользуются формулами фраунгоферовой дифракции. Приняв во внимание вычисленное значение для 1р, объяснить, почему можно поступать таким образом. 360. Имея в виду решение предыдущей задачи, получить выра- выражение для разрешающей способности (одномерной) дифракционной решетки в рентгеновской области спектра. 361. Диафрагма линзы имеет форму квадрата, длина стороны ко- которого равна D. Точечный монохроматический источник света поме- помещается на главной оптической оси линзы. Найти распределение ин- интенсивности света, получающееся в результате дифракции на краях диафрагмы, в плоскости, перпендикулярной к главной оптической оси и проходящей через фокус геометрического схождения лучей.
56 Задачи 362. Оптическая система (труба или микроскоп) дает в качестве изображения светящейся точки систему дифракционных колец. Соглас- Согласно Рэлею, минимальное расстояние между двумя близкими точками, которые еще изображаются раздельно, определяется тем, что централь- центральный светлый кружок колец от первой светящейся точки должен при- приходиться на первое темное кольцо дифракционной картины, даваемой второй светящейся точкой. Ориентировочно можно принять, что глаз способен различить две близкие точки, если максимумы освещенности в местах их геометрических изображений превосходят интенсивность посредине между ними не менее чем на 15%. Приняв это, проверить, действительно ли при выполнении критерия Рэлея получатся раздель- раздельные изображения двух самосветящихся точек. Указание. Для простоты расчета принять, что диафрагма квад- квадратная. В случае круглой диафрагмы результаты мало отличаются от тех, которые получаются для квадратной диафрагмы. (См. решение предыдущей задачи.) 363. Решить предыдущую задачу в предположении, что изобража- изображаемые точки не самосветящиеся, а освещаются одним и тем же источ- источником света. Например, можно взять два круглых отверстия в экране, размеры которых малы по сравнению с расстоянием между ними. Рассмотреть качественно три случая: 1) отверстия освещаются пучком лучей, параллельных главной оптической оси; 2) отверстия освещаются параллельными лучами, но наклоненными к главной оптической оси; 3) отверстия освещаются диффузным светом. 364. 1) Считая, что при естественном освещении наибольшее ко- количество света приходится на длину волны около 5500 А, подсчитать минимальное разрешаемое угловое расстояние для глаза при адаптации на небольшие яркости (диаметр зрачка 4 мм). 2) Найти наименьшее разрешаемое глазом расстояние между штрихами, начерченными на листе бумаги, находящемся на расстоянии ясного зрения B5см). 365. Каково должно быть увеличение зрительной трубы для того, чтобы полностью использовать разрешающую способность ее объекти- объектива? 366. 1) Подсчитать разрешающую способность зрительной трубы с диаметром объектива 5см. 2) При каком увеличении будет исполь- использована полная разрешающая способность этой трубы? Диаметр зрачка глаза d = 5 мм. 367. Самый большой в мире телескоп сооружен в Советском Союзе и установлен в астрономической обсерватории на северных отрогах Кавказского хребта вблизи станции Зеленчукская. Диаметр зеркала этого телескопа D = 6 м. Найти разрешаемое им угловое расстояние 50 для длины волны Л = 5500 А. 368. В чем выгода применения телескопов для рассматривания звезд, если они не дают увеличения по сравнению с невооруженным глазом?
§ А. Дифракция света 57 369. Почему в телескоп наиболее яркие звезды, находящиеся вдали от Солнца, можно наблюдать даже днем? 370. При наблюдении в телескоп с нормальным увеличением осве- освещенность изображения звезды на сетчатке глаза в а = 10 раз меньше освещенности дневного неба, рассматриваемого в тот же телескоп. Во сколько раз надо увеличить диаметр объектива для того, чтобы освещенность изображения звезды на сетчатке стала в C = 10 раз больше освещенности изображения неба, если вместе с объективом телескопа заменен и окуляр таким образом, что увеличение телескопа осталось нормальным? 371. В фокальной плоскости объектива телескопа помещена фо- фотопластинка. Освещенность изображения звезды на фотопластинке в а = 10 раз меньше освещенности дневного неба. Во сколько раз надо увеличить диаметр объектива, чтобы освещенность изображения звезды на фотопластинке стала в C = 10 раз больше освещенности изображения неба? 372. Ракету, удаляющуюся от Земли, фотографируют, помещая фотопленку в фокальной плоскости объектива астрономического те- телескопа. При диаметре объектива D\ = 80 мм дифракционное изобра- изображение ракеты становится неразличимым на фоне изображения неба, когда ракета находится на расстоянии 1\ = 2 • 104км от Земли. На каком расстоянии от Земли 1% удастся заметить ракету на фотографии, полученной с помощью объектива диаметром ?>2 = 200 мм при той же контрастной чувствительности пленки? 373. О зоркости хищных птиц слагают легенды. Оцените, на основе дифракционных соображений, сможет ли орел, летающий над землей на высоте 1км, разглядеть мышонка размером в 2 см, или он сможет только обнаружить его присутствие. 374. Какова должна быть минимальная длина отрезка на Луне и Солнце, чтобы его изображение в рефлекторе с диаметром зеркала 6 м можно было отличить от изображения точки? 375. Каково должно быть минимальное расстояние между двумя точками на поверхности Марса, чтобы их изображения в телескопе (рефракторе) с диаметром объектива 60 см можно было отличить от изображения одной точки? Считать, что Марс наблюдается в момент великого противостояния, когда расстояние до него от Земли мини- минимально и оставляет 56 • 106 км. 376. Точечный источник света находится на некотором расстоянии а от щели ширины D. За щелью на расстоянии Ъ нее помещен экран, плоскость которого параллельна плоскости щели. Прямая, соединяю- соединяющая источник света с серединой щели, перпендикулярна к плоскости экрана. Найти приближенное выражение для расстояния х между центральным максимумом и первым дифракционным минимумом на экране, считая, что углы дифракции малы. Найти условие применимо- применимости найденного приближенного выражения.
58 Задачи 377. При получении изображения с помощью малого отверстия, как в камере-обскуре (принцип стеноскопии), следует считаться с тем, что при слишком малом отверстии изображение начинает искажать- искажаться из-за дифракции; однако увеличение размеров отверстия приведет к уширению пучков света, идущих от каждой точки, и размытию изоб- изображения по этим причинам. Считая, что расстояния а и Ъ от предмета до отверстия и от отверстия до изображения остаются неизменны- неизменными, наивыгоднейший размер отверстия можно приближенно найти из требования, чтобы изображение точки, полученное по правилам гео- геометрической оптики, совпадало по величине с центральным кружком в дифракционной картине на отверстии от той же светящейся точки. Определить наивыгоднейшую величину отверстия. Указание. Для упрощения вычислений заменить круглое отвер- отверстие щелью или квадратным отверстием. (См. предыдущую задачу.) 378. Камера с малым отверстием длиной L = 10 см предназначена для фотографирования удаленных предметов. Оценить диаметр отвер- отверстия D камеры, при котором она имеет наибольшую разрешающую способность. Длина волны Л = 5000 А. 379. В принципе можно построить телескоп сколь угодно высокой разрешающей способности без объектива, заменив объектив круглым отверстием. Какова должна быть длина L такого телескопа, чтобы он имел ту же разрешающую способность, что и обычный телескоп с диаметром объектива D = 1 м? Чему будет равна светосила S такого телескопа? 380. Как изменится разрешающая способность объектива телеско- телескопа, если его центральную часть закрыть круглым экраном, диаметр которого мало отличается от диаметра самого объектива? Указание. При решении задачи круглые объектив и экран заме- заменить квадратными. 381. Производится фотографирование удаленных предметов с по- помощью объектива телескопа на фотопластинке, помещенной в его фокальной плоскости. Полученный снимок с помощью окуляра того же телескопа проецируется на удаленный экран. Каково должно быть угловое увеличение телескопа, чтобы при этом была использована пол- полностью разрешающая способность объектива телескопа? Изображение на экране рассматривается с того места, где установлен проекционный аппарат. 382. Гальванометр имеет зеркальце диаметром D = 5 мм. Оценить (учитывая дифракционные эффекты), дальше какого расстояния L не следует отодвигать шкалу от гальванометра, если отсчеты с помощью зрительной трубы можно делать с точностью до / = 0,5 мм. 383. С какого расстояния г можно увидеть невооруженным глазом свет лазера, генерирующего в непрерывном режиме Р = 10 кВт на частоте uj = 4 • 1015с-1, если для формирования луча используется параболическое зеркало с диаметром D = 5 м? Глаз видит источник,
§ А. Дифракция света 59 если в зрачок диаметром d = 5 мм попадает в 1 с п = 60 квантов излучения, лежащего в зеленой части спектра. 384. Излучение лазера непрерывного действия на волне Л = 5000 А мощностью Р = 1 Вт направляется на спутник с помощью телескопа, диаметр объектива которого равен D = 30 см. Свет, рассеянный спут- спутником, улавливается другим таким же телескопом и фокусируется на фотоумножитель с пороговой чувствительно- чувствительностью РПОр = Ю~14Вт. При каких расстояни- расстояниях / до спутника отраженный сигнал может быть обнаружен, если поверхность спутни- спутника равномерно рассеивает падающий на него свет (по закону Ламберта)? Диаметр спутника 385. Дифракционные полосы от двух оди- одинаковых параллельных щелей наблюдаются в фокальной плоскости линзы L (рис. 41). S\ и $2 — бесконечно удаленные линейные источники монохроматического света, парал- параллельные щелям. При каком угловом рассто- расстоянии между S\ и $2 дифракционные полосы исчезнут, если расстояние между центрами щелей равно D и велико по сравнению с ши- F F риной щели и длиной световой волны Л? 386. В установке, описанной в преды- Рис.41 дущей задаче, источники S\ и S^ помеще- помещены в фокальной плоскости коллиматорной линзы с фокусным рас- расстоянием /. При каком дифрак- дифракрасстоянии х между S\ w t ционные полосы исчезнут? 387. В установке, описанной в за- задаче 385, вместо линейных источников S\ и #2 применяется один бесконечно удаленный источник, имеющий фор- форму прямоугольника, длинные стороны которого параллельны щелям. Считая, что поверхностная яркость этого ис- источника постоянна, найти угловую ши- ширину источника в, при которой ди- дифракционные полосы исчезают. Указание. Разбить прямо- прямоугольный источник на узкие полосы. Считать каждую из этих полос за линейный источник и воспользоваться решением задачи 385. 388. На рис. 42 изображена схема установки Майкельсона, пред- предназначенной для измерения угловых диаметров звезд. Зеркала М\, M<i, М3, М\, снабженные круглыми диафрагмами, направляют в объектив Рис. 42
60 Задачи телескопа два пучка света, интерферирующие друг с другом в фо- фокальной плоскости объектива. Какой вид будет иметь дифракционная картина, наблюдаемая в фокальной плоскости? 389. При каком условии в установке, описанной в предыдущей задаче, исчезнут интерференционные полосы, если источником света служит: 1) двойная звезда; 2) одиночная звезда конечного углового размера? (Для упрощения расчетов можно принять, что звезда имеет форму квадрата с постоянной поверхностной яркостью.) Как будет ме- меняться интерференционная картина при изменении расстояния между зеркалами М3 и М^ (рис. 42)? 390. При измерении углового диаметра гигантской красной звез- звезды Бетельгейзе на установке, схематически описанной в задаче 388, Майкельсон нашел, что интерференционные полосы исчезли, когда расстояние между внешними зеркалами М\ и М2 (рис. 42) равнялось 306,5 см. Считая, что эффективная длина волны света от Бетельгейзе равна 5750 А, вычислить угловой диаметр этой звезды. 391. В задаче 271 описан способ фотографирования предметов с помощью непрозрачного гладкого шара. Оценить минимальное уг- угловое разрешаемое расстояние 5ср при фотографировании удаленных предметов этим способом. Указание. Размер светлого кружка в центре геометрической те- тени от точечного источника можно оценить из условия, что первый дифракционный минимум получается, когда разность хода лучей от противоположных точек шара порядка длины волны. 392. Существующие радиотелескопы и радиоустановки, предназна- предназначенные для изучения радиоизлучения Солнца и Галактики, обладают малой разрешающей способностью из-за больших длин волн радиоиз- радиоизлучения. 1) Найти минимальное разрешаемое угловое расстояние 5(р радиотелескопа с диаметром зеркала d = 50 м для длин волн Л = 1 м и Л = 10см. Для увеличения разрешающей способности предлагалось использо- использовать дифракцию радиоволн от края Луны (см. задачу 294). 2) Оценить разрешающую способность этого метода для тех же волн в предпо- предположении, что край Луны действует как тонкий непрозрачный экран, ограниченный прямолинейным краем. 3) Оценить, каковы должны быть высоты h неровностей лунной поверхности, чтобы можно было пользо- пользоваться этим методом. Расстояние до Луны Ь = 380000 км. 393. Один из принципиально возможных (но практически не осу- осуществимых) способов повышения разрешающей способности радио- радиоустановок для изучения радиоизлучения космических масс состоит в том, чтобы использовать дифракционный максимум интенсивности радиоизлучения, получающийся в центре геометрической тени Луны от точечного источника (ср. с задачей 391). Оценить разрешающую способность этого метода, найти минимальное угловое разрешаемое расстояние для тех же длин волн, что и в предыдущей задаче. Обсу-
§ А. Дифракция света 61 дить возможности использования рассматриваемого метода. Диаметр Луны D = 3470 км. 394. В качестве одного из двух зеркал (антенн) радиоинтерферо- радиоинтерферометра можно использовать пассивный отражатель, например, морскую поверхность. Определить угловое разрешение интерферометра для вол- волны с длиной Л = 1 м, антенна которого расположена над морем на скале высотой h = 500 м. Указание. Диаграммы направленности антенны для приема и ис- испускания излучения одинаковы. (Это следует из теоремы взаимности, см. задачу 695). 395. Каково минимальное угловое разрешение радиоинтерферомет- радиоинтерферометра, установленного на Земле, при работе на волне Л = 10 м? 396. Каково угловое разрешение радиоинтерферометра, одна из антенн которого помещена на искусственном спутнике Луны? Пред- Предполагается, что используется отражение от лунной поверхности; ее следует считать плоской, так как рассматривается спутник, летящий на небольшой высоте. Время обращения спутника по круговой орбите вокруг Луны равно 104 с, длина волны Л = 100 м. Почему в данном случае желательно использовать спутник Луны, а не Земли? 397. Какова форма главного лепестка диаграммы направленности приемной антенны в виде полосы шириной d, «вырезанной» из парабо- параболического рефлектора диаметром D? 398. Определить минимальное разрешаемое расстояние 5 микро- микроскопа при наилучших условиях освещения для: 1) безиммерсионного объектива с числовой апертурой а = 0,9; 2) того же объектива, но с масляной иммерсией (п = 1,6). Длина волны при визуальных наблю- наблюдениях Л = 5500 А. 399. 1) Во сколько раз можно повысить разрешающую способность микроскопа, перейдя к фотографированию в ультрафиолетовых лучах (Л = 2700 А) по сравнению с фотографированием в зеленых лучах? 2) Подсчитать наименьшее расстояние между штрихами, которое раз- разрешит ультрафиолетовый микроскоп с иммерсией (использовать дан- данные предыдущей задачи). 3) Какое необходимо увеличение объектива микроскопа, чтобы на фотографической пластинке, помещенной в плос- плоскости изображения, даваемого объективом, наименьшие разрешаемые детали имели размеры порядка 0,5 мм? 400. Каково должно быть увеличение микроскопа, чтобы полно- полностью использовать разрешающую способность его объектива? 401. Проволочная сетка, ячейки которой имеют форму квадратов, проецируется собирающей линзой на экран. В задней фокальной плос- плоскости линзы помещена узкая щель. Как будет меняться картина на экране при вращении щели вокруг главной оптической оси линзы? Как изменится картина при увеличении ширины щели? 402. С помощью объектива микроскопа получена микрофотография малого объекта (например, растительных клеток или бактерий) с ли-
62 Задачи нейным увеличением N. Тот же объектив был использован для про- проецирования полученной микрофотографии на удаленный экран. Каково должно быть минимальное значение увеличения N, чтобы полностью была использована разрешающая способность микроскопа? Диаметр апертурной диафрагмы объектива равен D, диаметр зрачка глаза d. Изображение на экране рассматривается с места нахождения объек- объектива. 403. Каково должно быть фокусное расстояние /2 окуляра микро- микроскопа, чтобы была полностью использована разрешающая способность объектива? Числовая апертура объектива равна ns'ma, фокусное рас- расстояние объектива /ь длина тубуса (трубы микроскопа) I. Длину тубу- тубуса можно считать равной расстоянию между объективом и плоскостью первого изображения (т.е. изображения, даваемого объективом). 404. С помощью объектива телескопа с диаметром D и фокусным расстоянием / производится фотографирование удаленных объектов на мелкозернистой пластинке, помещенной в фокальной плоскости объ- объектива. Полученное изображение рассматривается в микроскоп с чис- числовой апертурой nsina и увеличением N. Каким условиям должны удовлетворять числовая апертура и увеличение микроскопа, чтобы пол- полностью использовать разрешающую способность объектива телескопа? 405. Современные фотопластинки способны разрешать до z = 104 линий на сантиметр. Какую светосилу (т. е. отношение квадратов диа- диаметра D и фокусного расстояния /) должен иметь объектив фото- фотоаппарата, чтобы полностью использовать разрешающую способность пленки? 406. В кювету, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, налит толуол, в котором возбуждаются ультразвуковые волны с по- помощью колебаний пластинки пьезокварца. Пластинка кварца установ- установлена параллельно боковым стенкам кюветы. Ультразвуковые волны, возбуждаемые пластинкой, отражаются от одной из боковых стенок кюветы. В результате в жидкости образуется стоячая ультразвуковая волна. Чему равен пространственный период изменения показателя преломления жидкости при наличии в ней стоячей ультразвуковой волны? 407. На рис. 43 изображена схема установки для наблюдения дифракции света на ультразвуке. Стоячие ультразвуковые волны об- образуются в кювете К. Пластинка кварца Р установлена параллельно В Рис. 43
§5. Элементы голографии 63 стенке АС, так что волны, излучаемые ею, распространяются в направ- направлении, параллельном АВ. Дифракционные максимумы и минимумы наблюдаются в трубу Т, установленную на бесконечность. Показать, что угол дифракции 0 для максимума m-го порядка определяется из условия Asin# = mX. Указание. Принять во внимание, что частота ультразвуковых колебаний весьма мала по сравнению с частотой световых колебаний. 408. Дифракция света на ультразвуковой волне в толуоле наблю- наблюдается на установке, описанной в предыдущей задаче. В качестве ис- источника света использована зеленая линия ртути (Л = 5461 А). Вместо трубы Т за кюветой поставлена собирающая линза с фокусным рас- расстоянием / = 30 см. Дифракционные полосы получаются в фокальной плоскости линзы и рассматриваются в микроскоп, снабженный шкалой. Определить скорость звука v в толуоле, если расстояние между двумя соседними максимумами Ах = 0,546 мм, а частота ультразвука v = = 4000 кГц. 409. Можно ли по характеру дифракционной картины Фраунгофера на плоской ультразвуковой волне решить, происходит ли дифракция на бегущей или стоячей ультразвуковой волне? Поглощением ультразвука пренебречь. 410. Если жидкость, в которой установилась стоячая ультразвуко- ультразвуковая волна, рассматривать в микроскоп, то благодаря неоднородности жидкости будут видны светлые и темные полосы. Чему равно расстоя- расстояние между двумя соседними светлыми или темными полосами? 411. Как изменится результат решения задачи 407, если не прене- пренебрегать частотой ультразвуковых колебаний по сравнению с частотой световых колебаний? § 5. Элементы голографии 412. Плоская монохроматическая волна падает под углом в на экран Э, плоскость которого перпендикулярна к плоскости рис. 44, и принята за координатную плоскость XY с началом ко- кХ ординат в точке О. Нормаль ~^^__ к к волне также лежит в плос- плоскости рисунка. Найти рас- распределение фазы волны Ф(х) в плоскости этого экрана в за- зависимости от координаты х. За нулевую принять фазу вол- волны в начале координат О. Записать выражение для на- напряженности поля волны Ер в произвольной точке Р экра- О Рис. 44
64 Задачи на, выразив ее через напряженность Eq поля в точке О в тот же момент времени. Задать падающую волну в виде Е = Aoexp[i(cjt + kxsmO — kz cos в)]. Изменится ли результат решения предложенной задачи, если ж-компо- нента волнового вектора к падающей волны изменит знак на противо- противоположный? 413. Точечный источник S монохроматической волны находится на расстоянии го от экрана Э, плоскость которого принята за координат- координатную плоскость XY с началом в точке О (рис. 45). Найти рас- распределение фазы Ф этой вол- волны на экране в зависимости от координат х, у, принимая фазу той же волны в точке О за ну- нулевую. Выразить напряженность электрического поля Ер в про- произвольной точке Р экрана че- через напряженность Eq в точке О в тот же момент времени и ко- координаты х, у точки Р, считая, что расстояние точки Р от точ- рис 45 ки О много меньше tq (точнее, 2 223 Э 0 414. Найти распределение фазы волны Ф в плоскости экрана Э в оптической схеме, представленной на рис. 46. Экран расположен на расстоянии го от фокуса лин- линзы F. Принять фазу этой д 3 волны в точке О за нуле- нулевую. Выразить величину на- напряженности электрического поля Ер в произвольной точ- точке Р экрана в зависимости от координат х, у этой точ- точки и напряженности Eq поля в точке О в тот же момент Рис. 46 времени. Принять, что попе- поперечные размеры пучка малы сравнительно с го (точнее, (х2 + у2J <С <С Агд). Координатные оси выбраны так же, как в предыдущей задаче. 415. Для получения голограммы плоской волны может быть ис- использована следующая схема: плоская опорная волна с амплитудой Eq и длиной волны А падает нормально на фотопластинку. Другая плоская волна (предметная) с аплитудой Е\ падает на ту же фотопластинку под углом в. Фотографическая пластинка проэкспонирована и проявлена таким образом, что рабочий диапазон кривой почернения не выходит за пределы линейного участка характеристической кривой фотоэмуль-
§5. Элементы голографии 65 Рис. 47 сии 0. 1) Найти амплитудную прозрачность D(x) голограммы, прини- принимая, что амплитуда опорной волны Eq много больше амплитуды Е\ предметной волны. 2) Каково расстояние d между линиями равного почернения на полученной го- голограмме? кх 416. Вывести уравнение Габора (т. е. найти амплитуд- амплитудную прозрачность D) для част- частного случая, когда на фо- фотопластинку падают две ко- когерентные монохроматические волны: плоская опорная волна с амплитудой поля Eq и сфери- сферическая предметная волна, рас- расходящаяся из точки S (рис. 47). Амплитуду сферической предметной волны Е\ в плоскости фотопластинки полагать не зависящей от ко- координат х, у точек фотопластинки, причем Eq ^> Е\. Выражение для плоской опорной волны записать, как указано в задаче 412. 417. Пусть голограмма сферической волны, рассчитанная в зада- задаче 416, просвечивается пучком монохроматического света, как показа- показано на рис. 48. Пользуясь най- Хк денным ранее частным случа- случаем уравнения Габора, найти волновое поле за голограммой, ». т. е. выяснить, какие плоские z и сферические волны (сходящи- (сходящиеся или расходящиеся) будут распространяться за голограм- голограммой. Найти пространственную локализацию точек, из которых будут распространяться (в ко- которых будут сходиться) сферические волны за голограммой (перед голограммой). 418. Показать, что голограмма, рассчитанная для оптической схе- схемы, приведенной в задаче 416 (рис. 47), при условии 9 = 0, будет аналогом зонной пластинки Френеля с пропускаемостью D(x) = 2El - 7Е2 Найти фокусные расстояния этой зонной пластинки и нарисовать ход световых пучков за этой пластинкой, при просвечивании ее пучком света, падающим нормально на пластинку. Как изменятся фокусные Рис. 48 1) Характеристической кривой фотоэмульсии в голографии называют кри- кривую зависимости логарифма пропускания света по интенсивности от логарифма интенсивности падающего света. 3 Под ред. Д. В. Сивухина
66 Задачи расстояния пластинки, если она будет просвечиваться монохромати- монохроматическим светом с длиной волны А' ф А, где Л — длина волны света, использованного при записи голограммы? 419. Плоская монохроматическая волна падает нормально на тол- толстослойную фотопластинку и, пройдя через слой фотоэмульсии, отра- отражается от зеркала 3, диаметр которого мал по сравнению с длиной вол- волны, так что отраженную волну можно считать сферической (рис. 49). 'О а цфп Рис. 49 Зеркало 3 расположено на расстоянии а от плоскости пластинки. Следует иметь в виду, что голографические пластинки с толстым слоем фотоэмульсии A5-20 мкм) прозрачны для света. Найти уравнения по- поверхностей максимального почернения в слое эмульсии фотопластинки. Считать, что толщина слоя фотоэмульсии мала по сравнению с а и что диаметр исходного светового пучка также мал по сравнению с а. Найти расстояние Az между вершинами найденных поверхно- поверхностей. Принять показатель преломления эмульсии рав- равным единице. 420. Плоская монохроматическая опорная волна падает нормально на толстослойную фотопластинку ФП. Пройдя фотопластинку, волна отражается от плоского зеркала 3, расположенного под малым уг- углом а к плоскости фотопластинки. Попадая на фо- фотопластинку, отраженная волна, называемая в даль- дальнейшем предметной, интерферирует с исходной волной (рис. 50). Найти уравнения поверхностей максимального почернения в фотоэмульсии. Каково расстояние между соседними поверхностями максимального почернения? Принять показатель преломления эмуль- эмульсии равным единице. 421. Для измерения модуля Юнга методом голографической ин- интерферометрии может быть использована оптическая схема, горизон- горизонтальное сечение которой представлено на рис. 51. Параллельный пучок света от лазера, работающего в одномодовом режиме, проходит через расширяющую его сечение телескопическую систему ГС и с помощью Рис. 50
§5. Элементы голографии 67 полупрозрачного зеркала 3\ разделяется на два пучка. Опорная волна отражается от зеркала 3^ и падает под углом в на фотопластинку ФП. МП Рис. 51 I / / Второй световой пучок, отразившись от зеркала Зз и пройдя через полупрозрачную пластинку Р, падает на изучаемую металлическую пластинку МП. Эта металлическая пластинка в нижней своей части жестко закреплена (рис. 52), а к ее верхней части, когда это необходимо, прикладывается сила F, отчего пластин- пластинка может деформироваться (изгибаться). Световая волна, отразившаяся от металлической МП и светоразделитель- ной Р пластинок, падает нормально на фотопластинку. (Эта волна является в данном случае предметной вол- волной.) На фотопластинке регистрируется интерференцион- интерференционная картина от двух волн: предметной и опорной. После этого на ту же непроявленную пластинку дела- делается вновь снимок интерференционной картины от опор- опорной волны и волны, отразившейся от уже деформирован- деформированной металлической пластинки. Наконец, фотопластинка проявляется, и на ней оказываются записанными две голограммы: недеформированной и деформированной металлической пластинки. Опишите, как будет выглядеть на экране восстановленное изоб- изображение металлической пластинки, если освещать комбинированную голограмму параллельным пучком света, падающим на голограмму под углом в со стороны стекла. Экран для наблюдения изображения располагается параллельно голограмме и на том же расстоянии от нее, на котором располагалась металлическая пластинка от фотопластинки при записи на ней голограмм. Рис. 52
Задачи Как из полученной картины найти модуль Юнга? (В теории упру- упругости доказывается, что деформация пластинки 5 связана с расстояни- 2 ESab3 ем х от закрепленного конца пластинки соотношением х = —, где I — длина, а — ширина, о — толщина пластинки.) § 6. Поляризация света. Формулы Френеля 422. Зонная пластинка сделана из поляроида. Во всех четных зонах поляроид ориентирован вертикально, во всех нечетных — горизонталь- горизонтально. Какова будет интенсивность света в основном фокусе пластинки, если она освещается неполяризованным светом? 423. Бесконечный экран состоит из двух поляроидных полуплоско- полуплоскостей, граничащих друг с другом вдоль прямой. Главное направление од- одной из полуплоскостей параллельно, а другой перпендикулярно к этой прямой. На экран перпендикулярно к его поверхности падает пучок параллельных лучей естественного света с длиной волны Л. Описать качественно дифракционную картину, получающуюся за экраном. 424. Как изменится разрешающая сила дифракционной решетки, если одну ее половину прикрыть поляроидом, ориентированным парал- параллельно штрихам решетки, а другую половину — поляроидом, ориенти- ориентированным перпендикулярно к штрихам? Будет ли зависеть разрешаю- разрешающая сила решетки от поляризации падающего света? 425. В предыдущей задаче перед и за решеткой дополнительно ставятся два поляроида, главные направления которых параллельны друг другу и образуют угол 45° с направлением штрихов решетки. Как изменится разрешающая способность такой решетки по сравнению с ничем не прикрытой решеткой? 426. Исходя непосредственно из граничных условий для элек- электрического и магнитного полей на границе вакуума и диэлектрика, найти коэффициент отражения р света при нормальном падении на границу раздела. Выразить коэффициент отражения через показатель преломления диэлектрика п. Найти значения р для отражения света от поверхности воды (п = 1,33) и стекла (п = 1,5). 427. Найти коэффициент пропускания а при нормальном падении света из воздуха на стекло с показателем преломления п = 1,5. Рис. 53
§6. Поляризация света. Формулы Френеля 69 428. Сколько процентов светового потока теряется на отражение в призматическом бинокле? Показатель преломления стекла призм и линз равен 1,5. Схема бинокля дана на рис. 53. 429. Проверить с помощью формул Френеля, что поток энергии падающей волны через границу раздела сред равен сумме потоков энергии преломленной и отраженной волн через ту же границу. 430. Пользуясь формулами Френеля, показать, что линейно поля- поляризованный свет остается линейно поляризованным после отражения на границе раздела двух прозрачных изотропных сред во всех случаях, за исключением случаев полного внутреннего отражения. 431. Угол между плоскостью колебаний поляризованного света и плоскостью падения называется азимутом колебания. Найти азимут преломленной волны 5 и азимут отраженной волны р, если азимут падающей волны — а, а угол падения — (р. 432. 1) Найти угол полной поляризации для света, отраженного от стекла с показателем преломления п = 1,5. 2) Найти степень поляри- поляризации преломленного света А = у j- при падении света под этим ^ „ Is + {р углом. Падающий свет — естественный. 433. Под каким углом нужно отразить луч от кристалла каменной соли (п = 1,544), чтобы получить максимальную поляризацию отра- отраженного луча? Падающий свет — естественный. 434. Естественный свет падает под углом Брюстера из воздуха на поверхность стекла с показателем преломления п = 1,5. Найти интенсивность 1Г отраженного света, приняв за единицу интенсивность падающего света /е. 435. Естественный свет падает под углом Брюстера из воздуха на поверхность диэлектрика с показателем преломления п. Найти ампли- амплитуду Dp преломленной волны, электрический вектор которой лежит в плоскости падения, если амплитуда падающей волны с электриче- электрическим вектором, лежащим в той же плоскости, равна 8^. 436. На боковую грань призмы, изготовленной из стекла с показа- показателем преломления п = 1,5, падает под углом Брюстера (рв световой пучок, электрический вектор которого лежит в плоскости падения. Каким должен быть преломляющий угол А призмы, чтобы свет прошел через нее, не испытав потерь на отражение? 437. При каких условиях луч света, падающий на боковую грань прозрачной изотропной призмы с преломляющим углом А = 60°, про- проходит через нее без потерь на отражение? 438. Плосковыпуклая стеклянная линза с малой кривизной сфе- сферической поверхности лежит на плоской металлической поверхности. Будут ли наблюдаться кольца Ньютона, если на линзу под углом Брюстера падает свет, поляризованный: 1) в плоскости падения; 2) пер- перпендикулярно к плоскости падения? 439. В системе для получения колец Ньютона плосковыпуклая линза сделана из стекла с показателем преломления п\ и положена на
70 Задачи плоскую стеклянную поверхность, показатель преломления которой п^ сильно отличается от щ. Система освещается параллельным пучком света, прошедшим через поляризационную призму, а кольца наблюда- наблюдаются в отраженном свете. Описать качественно, как будет меняться видимость колец при изменении угла падения, если падающий свет поляризован перпендикулярно к плоскости падения. Что изменится, если падающий свет будет поляризован в плоскости падения? 440. Свет падает из среды / на поверхность среды 2 под углом ср и преломляется под углом ф. Доказать, что коэффициент отражения не изменится, если свет будет падать из среды 2 на поверхность среды / под углом ф. 441. При однократном отражении света комплексная амплитуда R отраженной волны связана с амплитудой & падающей волны соотно- соотношением R = г%>, а амплитуда прошедшей волны D — соотношением D = d&. Величины г и d называются коэффициентами Френеля. Они зависят от поляризации света и определяются формулами Френеля для 5-и р-составляющих падающей волны. Пользуясь формулами Френеля, показать, что эти коэффициенты связаны соотношениями rf = -r, r2 + ddf=l, D41.1) где «штрихованными» буквами обозначены коэффициенты Френеля, относящиеся к «обратному ходу» волны. 442. На плоскую поверхность отражающей среды нанесен слой прозрачного диэлектрика толщины / с показателем преломления п. Падающая волна поляризована либо в плоскости падения, либо пер- перпендикулярно к ней. Найти связь между комплексными амплитудами $ и R падающей и отраженной волн, если коэффициенты Френеля на верхней и нижней границах слоя (для прямого прохождения света) равны соответственно г\ и г^. 443. Пользуясь формулами Френеля, показать, что при отражении плоской электромагнитной волны от идеального зеркала, покрытого сверху слоем прозрачного диэлектрика, амплитуда отраженной волны равна амплитуде падающей. Изменяется лишь фаза волны, как это и должно быть согласно закону сохранения энергии. 444. В оптических приборах потери света при прохождении че- через прибор происходят главным образом вследствие отражения света от поверхностей оптических деталей. Для увеличения поверхностной прозрачности стекла его поверхность покрывают тонкой пленкой, пока- показатель преломления которой меньше показателя преломления стекла. Каковы должны быть толщина пленки и ее показатель преломления, чтобы отражательная способность стекла обратилась в нуль? 445. Имеются две параллельные полупрозрачные плоскости. Ко- Коэффициенты отражения и пропускания первой из них равны р\ и <ть а второй р2 и <72 соответственно. Степень монохроматичности падающе- падающего света невелика, так что правильной интерференции не происходит,
§6. Поляризация света. Формулы Френеля 71 а имеет место сложение интенсивностей света. Найти коэффициенты отражения р и пропускания а для совокупности обеих плоскостей. 446. Имеется т параллельных полупрозрачных плоскостей. Коэф- Коэффициенты отражения и пропускания каждой из них равны р и а. Найти коэффициент отражения рш и коэффициент пропускания аш всей си- системы т плоскостей. (Относительно падающего света см. предыдущую задачу.) 447. Стопа Столетова состоит из плоскопараллельных стеклянных пластинок с показателем преломления п = 1,5. На нее под углом Брю- стера падает свет, поляризованный в плоскости падения. Начертить график для коэффициентов отражения и пропускания стопы в зависи- зависимости от числа N пластинок. 448. Естественный свет падает под углом ср на стопу Столетова, состоящую из N стеклянных пластинок с показателем преломления п. Найти степени поляризации Аи А' прошедшего и отраженного света, а также отношение интенсивностей Is/Ip главных компонент прошед- прошедшего света. 449. Найти степень поляризации света, отраженного от поверхно- поверхности стекла под углами 0°, 45°, 56°51Х и 90° (показатель преломления стекла п = 1,53). Падающий свет — естественный. 450. Найти степень поляризации преломленного луча по выходе его из стеклянной пластинки с показателем преломления п = 1,5 при углах падения 20, 45, 60 и 80°. Падающий свет — естественный. 451. Стопа Столетова состоит из десяти тонких плоскопараллель- плоскопараллельных стеклянных пластинок, на которые луч падает под углом пол- полной поляризации. Вычислить степень поляризации преломленного луча в зависимости от числа N проходимых им пластинок (п = 1,5). Пада- Падающий свет — естественный. 452. На опыте наблюдаются отступления от формул Френеля для отражения света от прозрачных изотропных сред. Они в основном сво- сводятся к двум: 1) не существует угла полной поляризации, при котором свет с электрическим вектором, лежащим в плоскости падения, не отражается совсем; 2) при отражении линейно поляризованного света, плоскость колебаний которого не совпадает с плоскостью падения и не перпендикулярна к ней, получается эллиптическая поляризация, особенно отчетливо заметная в окрестности угла Брюстера (т. е. угла падения ср = arctgn). Показать, что каждое из этих отступлений явля- является следствием другого. 453. При выводе формул Френеля предполагается, что магнитная проницаемость /i среды равна единице. Как изменятся формулы Фре- Френеля, если не вводить этого предположения? 454. Будет ли существовать угол полной поляризации, если маг- магнитные проницаемости /ii и ^ граничащих сред отличны от единицы? 455. Показать, что отражательная способность среды, для которой е = fji (е — диэлектрическая, /i — магнитная проницаемости), равна нулю.
72 Задачи 456. Две монохроматические волны, линейно поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях, распространяются в одном на- направлении. В результате их наложения в общем случае получается свет, поляризованный по эллипсу. Как определить, зная разность фаз между складывающимися волнами, будет ли поляризация правой или левой? 457. Рассчитать преломляющий угол параллелепипеда Френеля, сделанного из стекла с показателем преломления п = 1,7. 458. Азимут колебаний падающей линейно поляризованной волны равен +45°. Какая получится эллиптическая поляризация отраженного света на границе стекло-воздух, правая или левая О? 459. При каком угле падения ср разность фаз 5 между компонентой отраженной волны, поляризованной в плоскости падения, и компо- компонентой, поляризованной перпендикулярно к ней, достигает максимума при полном внутреннем отражении, если падающая волна линейно поляризована? Чему равен этот максимум? 460. Каким показателем преломления п должно обладать вещество, чтобы при помощи однократного полного внутреннего отражения на границе его с воздухом можно было превращать линейно поляризован- поляризованный свет в поляризованный по кругу? Азимут колебаний падающего света равен 45°. 461. Падающий свет поляризован линейно с азимутом колебаний, равным +45°. Можно ли путем однократного отражения превратить его в свет, поляризованный по правому кругу? 462. Какой должен быть минимальный показатель преломления параллелепипеда Френеля, чтобы при азимуте колебаний падающего света в +45° выходящий свет был поляризован по правому кругу? 463. Линейно поляризованная электромагнитная волна с азимутом колебаний, равным +135°, отражается на границе вода-воздух. Ди- Диэлектрическая проницаемость воды г = 81. Под каким углом должна падать эта волна, чтобы отраженная волна получилась поляризованной по кругу? Какая при этом будет поляриза- ция: правая или левая? 464. Линейно поляризованный луч с азимутом колебаний +135° падает пер- А D пендикулярно на грань АВ стеклянной призмы ABCD (рис. 54) и, испытав три раза полное внутреннее отражение, вы- выходит из нее. Каков должен быть преломляющий угол А призмы, чтобы вышедший свет был поляризован по кругу, если показатель х) Азимут колебаний падающей волны может изменяться от —тг/2 до +тг/2. Он считается положительным, если &p/&s > 0, и отрицательным, если
§6. Поляризация света. Формулы Френеля 73 преломления стекла призмы равен 1,52? Какая получится поляризация вышедшего света: правая или левая? 465. Каким должен быть минимальный показатель преломления призмы, описанной в предыдущей задаче, чтобы при азимуте колеба- колебаний падающего света, равном +45°, выходящий свет был поляризован по правому кругу? Какой при этом должен быть угол А? 466. С помощью векторной диаграммы показать, что скачок фазы при полном внутреннем отражении превосходит вдвое скачок фазы, испытываемый преломленной (поверхностной) волной. 467. Каким должен быть показатель преломления среды, чтобы коэффициент отражения естественного света имел минимум при угле падения между 0 и 90°? 468. Линейно поляризованная электромагнитная волна с амплиту- амплитудой электрического вектора & падает нормально из среды с показа- показателем преломления щ на среду с показателем щ. Среды разделены переходным слоем толщины /, в котором показатель преломления п непрерывно изменяется от значения щ на верхней границе до значе- значения П2 на нижней границе по закону: п = C/(z-\-a), где С и а — постоянные. (Ось Z направлена нормально к слою.) Выразить показа- показатель преломления слоя п через п\, ri2, z, l. Найти: 1) электромагнитное поле внутри слоя; 2) амплитуды R и D отраженной и прошедшей волн; 3) коэффициент отражения р. Исследовать предельные случаи тонкого и толстого переходных слоев. 469. Показать, что в плоскослоистой непоглощающей среде, т. е. в среде, показатель преломления которой n(o;, z) меняется только в одном направлении, монохроматическая электромагнитная волна Е = = Eo(z)eluJt, распространяющаяся в том же направлении, поперечна и что вектор Е удовлетворяет уравнению ^ + ^п2(ио, г)Е = 0. D69.1) Показать, что если функция n(z) меняется медленно, то приближен- приближенным решением D69.1) является Е _ const [±iu Г ( \ d\ /4б9 2) J-J — :=— CA.JJ S I /'— / о \ /6 J LL/O ? llUJ.Zil Vп [ с J J (приближение геометрической оптики). Сформулировать условия, при выполнении которых D69.2) является приближенным решением урав- уравнения D69.1). 470. Показать, что в приближении геометрической оптики (т. е. когда справедливо решение D69.2), см. предыдущую задачу) волны, бегущие в разные стороны (знаки ± в решении D69.2)), распространя- распространяются без отражения.
74 Задачи 471. Показать, что выражения являются точными решениями уравнения D69.1), если с2 \(d2f/dz2) 3 (df/dzf 2ои2 I f 2 /2 Показать, что в этом случае волны бегут в обоих направлениях без всякого отражения. 472. Две слоистые прозрачные среды с медленно изменяющимися показателями преломления n(z) граничат друг с другом вдоль плос- плоскости z = const, на которой показатель преломления n(z) непрерывен, а его производная dn/dz претерпевает разрыв. На границу раздела нормально к ней из первой среды падает плоская монохроматиче- монохроматическая волна. Считая, что условия применимости геометрической оптики в каждой из сред выполнены (см. задачу 469), найти выражение для амплитуды отраженной волны и коэффициент отражения. § 7. Кристаллооптика 473. Найти связь между векторами D, Е, Н и единичным вектором волновой нормали N, т. е. нормали к фронту плоской волны, распро- распространяющейся в прозрачной однородной кристаллической среде. 474. Показать, что: 1) в плоской электромагнитной волне, рас- распространяющейся в кристалле, векторы D, Е, N и вектор плотности потока электромагнитной энергии S перпендикулярны к вектору Н; 2) векторы D и Н взаимно перпендикулярны и перпендикулярны к вол- волновой нормали N; 3) вектор S перпендикулярен к Е и Н; 4) угол между векторами D и Е равен углу между векторами S и N. 475. Диэлектрические свойства так называемого одноосного кри- кристалла симметричны относительно некоторого направления, называе- называемого оптической осью кристалла и выражаются следующими формула- формулами: D75.1) где Ец и Е^ — составляющие электрического вектора Е, параллель- параллельные и перпендикулярные к оптической оси соответственно, Е)ц и D^ имеют такой же смысл для вектора D, ?ц и г± — материальные по- постоянные, называемые диэлектрическими проницаемостями кристалла. Плоскость, проходящая через оптическую ось и волновую нормаль, называется главным сечением кристалла. Определить скорость рас- распространения электромагнитной волны в кристалле вдоль волновой нормали N в случаях: 1) когда вектор D перпендикулярен к главному сечению; 2) когда вектор D параллелен главному сечению.
§ 7. Кристаллооптика 75 476. Как будет вести себя в общем случае плоская электромаг- электромагнитная волна в одноосном кристалле при фиксированном направлении волновой нормали? 477. Почему световой пучок, нормально падающий на поверхность кристалла, вообще говоря, испытывает двойное преломление, т. е. про- пространственно разделяется в кристалле на обыкновенный и необыкно- необыкновенный пучки. Лежат ли преломленные лучи и нормали к волновым фронтам в плоскости падения? 478. Почему, если через плоскопараллельную двупреломляющую кристаллическую пластинку смотреть на удаленный предмет, видно одно изображение, а не два, как в случае близко расположенных предметов? 479. Наблюдатель смотрит на близкий предмет через плоскопарал- плоскопараллельную двупреломляющую пластинку из исландского шпата и видит два прямых увеличенных изображения предмета, когда между пластин- пластинкой и предметом помещена собирающая линза на расстоянии 4 см от предмета. После того как к линзе вплотную приложили собирающее очковое стекло с оптической силой в 5дптр, стало видно только одно изображение предмета. Определить фокусное расстояние / линзы. 480. Из двупреломляющего кристалла сделана трехгранная призма для измерения показателей преломления по углам отклонения выхо- выходящих лучей от первоначального направления. Будут ли измеренные показатели преломления давать отношения скорости света в вакууме к нормальным или же к лучевым скоростям света в кристалле? 481. Как надо на кристалл-рефрактометре ориентировать пластин- пластинку, вырезанную произвольным образом из одноосного кристалла, чтобы получить оба главных показателя преломления кристалла? 482. При измерении показателей преломления кристаллической пластинки на кристалл-рефрактометре оказалось, что один показатель преломления постоянен при всех поворотах полушария и равен 1,646, а другой меняется от 1,642 до 1,646. Определить оптический знак кристалла 0 и ориентировку пластинки относительно оптической оси. 483. Как будут изменяться величины показателей преломления пластинки из того же вещества, что и в предыдущей задаче, если пластинка вырезана перпендикулярно к оптической оси? 484. Как надо вырезать призму из одноосного кристалла, чтобы методом наименьшего отклонения получить оба главных показателя преломления? 485. Почему видимая толщина пластинки исландского шпата, из- измеренная оптическим путем с помощью поляризационного микроскопа, имеет два разных значения d\ и с?2? Как надо вырезать пластинку, х) Одноосный кристалл называется положительным, если показатель пре- преломления обыкновенной волны по меньше показателя преломления необыкно- необыкновенной волны пе (по < пе). В противоположном случае (по > пе) кристалл называется отрицательным.
76 Задачи чтобы d\ и d,2 получили экстремальные значения? Найти эти экстре- экстремальные значения, если толщина пластинки 1 мм. Для исландского шпата обыкновенный и необыкновенный показатели преломления рав- равны: по = 1,658, пе = 1,486. (См. задачу 30.) 486. Узкий пучок неполяризованного света падает нормально на пластинку исландского шпата и затем нормально на вторую такую же пластинку, главная плоскость которой образует с главной плоскостью первой пластинки угол 30°. Свет попадает на экран. Описать получен- полученную картину и найти относительную интенсивность наблюдаемых на экране пятен. Примечание. Пластинки вырезаны так, что оптическая ось со- составляет угол 7 с плоскостью пластинки. При этом 0 ^ 7 < 90°. 487. Главные плоскости двух призм Николя образуют между собой угол 30°. Как изменится интенсивность прошедшего света, если глав- главные плоскости поставить под углом 45°? 488. Ветровое стекло и фары автомашин снабжаются пластинками из поляроида. Как должны быть расположены эти пластинки, чтобы шофер мог видеть дорогу, освещенную светом его фар, и не страдал бы от света фар встречных машин? 489. Призма Волластона (рис. 55) сделана из ис- исландского шпата (по = 1,658, пе = 1,486). Угол а = = 15°. Рассчитать, на какой угол ср будут разведены обыкновенный и необыкновенный лучи. 490. Параллельный пучок света падает нормаль- нормально на пластинку исландского шпата, вырезанную па- параллельно оптической оси. Определить разность хода обыкновенного и необыкновенного лучей, прошедших через пластинку. Толщина пластинки равна 0,03 мм; по = 1,658, пе = 1,486. рис 55 491. Две поляризационные призмы с воздушной прослойкой изготовлены из исландского шпата. В од- одной призме оптическая ось перпендикулярна, в другой — параллельна плоскости падения (рис. 56). Опишите действие каждой призмы. Как \: \: Рис. 56 будет поляризован проходящий свет? Какая призма будет пропускать больше света? В каких пределах должен быть заключен угол а, чтобы из призмы выходил линейно поляризованный свет. Для исландского шпата по = 1,658, пе = 1,486. Свет падает на грань призмы перпенди- перпендикулярно.
§ 7. Кристаллооптика 77 492. Определить максимальный угол 5 между направлением луча и направлением волновой нормали в исландском шпате, для которого по = 1,658, пе = 1,486. 493. Какова должна быть наименьшая толщина d пластинки слюды, чтобы она могла служить в качестве пластинки в *Д волны для света натрия, если для этого света показатели преломления волн, идущих перпендикулярно к пластинке, соответственно равны щ = 1,5941, щ = = 1,5887? 494. Найти наименьшую толщину d пластинки кварца, вырезанной параллельно оптической оси, чтобы падающий плоскополяризованный свет выходил поляризованным по кругу (пе = 1,5533, по = 1,5442, Л = = 5- Ю-5 см). 495. Главные диэлектрические проницаемости кристаллической пластинки равны ех, гу, ez. На грань пластинки, параллельную коор- координатной плоскости YZ, в направлении оси X падает линейно поляри- поляризованная световая волна. При какой толщине I пластинки выходящая из нее волна будет иметь левую круговую поляризацию? Координатные оси X, Y, Z образуют правую систему. 496. В интерференционном опыте Юнга между щелью S и щелями S\ и $2 (рис. 57) введен поляроид Р, главные оси которого параллельны Рис. 57 или перпендикулярны к щелям S\ и^. Как изменится интерференци- интерференционная картина на экране, если щели S\ и ^ прикрыть пластинками в полволны, ориентированными взаимно перпендикулярно друг к дру- другу (параллельно и перпендикулярно к щелям)? Что произойдет, если поляроид Р повернуть на 90°? Какая картина будет наблюдаться, если убрать поляроид? Рассмотреть ту же задачу, когда вместо пластинки в полволны используется пластинка в четверть волны. Щели S\ и 52 предполагаются узкими (порядка длины волны), а расстояние между ними большим по сравнению с их шириной. 497. Частично линейно поляризованный свет рассматривается через николь. При повороте николя на 60° от положения, соответствующего максимальной яркости, яркость пучка уменьшается в два раза. Найти степень поляризации пучка А = -^ -Д ~Т~ и отношение интенсивностей p естественного и линейно поляризованного света (/s и 1р — максималь- максимальная и минимальная интенсивности света, проходящего через николь).
78 Задачи 498. Некогерентная смесь линейно поляризованного света и света, поляризованного по кругу, рассматривается через поляроид. Найдено положение поляроида, соответствующее максимальной интенсивности прошедшего света. При повороте поляроида из этого положения на угол а = 30° интенсивность света уменьшается на р = 20%. Найти отношение интенсивности света /к, поляризованного по кругу, к интен- интенсивности линейно поляризованного света /л. 499. Некогерентная смесь линейно поляризованного света и света, поляризованного по кругу, рассматривается через николь. Найдено положение николя, при котором интенсивность проходящего света мак- максимальна. При повороте николя от этого положения на некоторый угол вокруг оси пучка интенсивность проходящего света уменьшается в т = = 2 раза по сравнению с максимальной и во столько же раз увеличи- увеличивается по сравнению с минимальной. Найти отношение интенсивности /к света, поляризованного по кругу, к интенсивности света /л, линейно поляризованного. 500. Как изменится результат предыдущей задачи, если линейно поляризованный свет и свет, поляризованный по кругу, будут когерент- когерентны? 501. Смесь света, поляризованного по кругу, и естественного рас- рассматривается через кристаллическую пластинку в четверть волны и ни- николь. При вращении николя вокруг оси светового пучка найдено, что максимальная интенсивность света, прошедшего через систему, в т = = 3 раза превосходит минимальную интенсивность. Найти отношение интенсивности света /к, поляризованного по кругу, к интенсивности естественного света /е. 502. Параллельный пучок монохроматического света с длиной вол- волны Л, поляризованный по правому кругу, падает нормально на пластин- пластинку в полволны. Найти состояние поляризации света, прошедшего через эту пластинку. 503. Параллельный пучок монохроматического света с длиной вол- волны Л падает нормально на поляроид, а затем на пластинку в полволны. Главная плоскость поляроида (в которой лежит электрический вектор пропускаемой им волны) составляет угол а с осью этой пластинки. Найти состояние поляризации прошедшего света на выходе из пла- пластинки в полволны. 504. Параллельный пучок монохроматического света проходит че- через два николя, главные плоскости которых повернуты друг относи- относительно друга на угол а = 20°. Между николями ставится пластинка одноосного кристалла, вырезанная параллельно оптической оси и вно- вносящая разность хода Л/2 между обыкновенным и необыкновенным лучами. Какой угол C должна составлять оптическая ось пластинки с главным направлением первого николя, чтобы свет через эту систему не прошел? 505. Для сравнения яркостей двух поверхностей, освещаемых непо- ляризованным светом, одну из них рассматривают непосредственно,
§ 7. Кристаллооптика 79 а другую через два николя. Каково отношение этих яркостей, если освещенность обеих поверхностей кажется одинаковой при угле между николями а = 60°? Считать, что потери света в каждом николе на отражение и поглощение составляют р = 10% от падающего света. 506. Два николя N\ и ЛГ2 повернуты один относительно другого на угол а; между ними помещен николь 7V3 (рис. 58). На систему па- падает параллельный пучок неполяризованного света. Предполагая, что Рис. 58 необыкновенный луч проходит через каждый николь без потерь, найти ориентацию николя Щ относительно николя N\, при которой интен- интенсивность проходящего света максимальна. Определить интенсивность проходящего света в этих положениях, если интенсивность падающего света равна Iq. 507. На пластинку кварца, вырезанную параллельно оптической оси, нормально падает белый свет, поляризованный по кругу. За пла- пластинкой поставлен поляроид, главное направление которого составляет угол 45° с осью пластинки. Прошедший свет попадает на щель спек- спектрографа. Сколько темных полос к получится в спектре, если толщина кварцевой пластинки d = 2 мм, пе = 1,55, щ = 1,54. Падающий свет занимает интервал длин волн от Ai = 4000 А до А2 = 5000 А, в котором пе — по = const. 508. На кварцевую пластинку толщиной Змм, вырезанную па- параллельно оптической оси, нормально падает пучок белого линейно поляризованного света, плоскость поляризации которого составляет угол 45° с осью пластинки. Выходящий из пластинки свет сначала вновь проходит через николь, скрещенный с первичным поляризатором светового пучка, а затем падает на щель спектроскопа. Сколько темных полос будет наблюдаться в спектре между длинами волн Xjj = 5890 А и Хр = 4860 А, если обыкновенный (по) и необыкновенный (пе) по- показатели преломления кварца для этих длин волн имеют следующие значения: А Xf По 1,5442 1,5497 пе 1,5533 1,5589 509. Клин из двоякопреломляющего ве- вещества помещен на пути монохромати- монохроматического света, поляризованного по кругу (рис. 59). Оптическая ось клина параллель- параллельна ребру клина. Свет, прошедший через Рис. 59
80 Задачи клин, рассматривается через поляроид, главное направление которого составляет угол 45° с ребром клина. Найти число темных полос га, наблюдаемых на поверхности клина. Максимальная толщина клина 4шкс = 0,05 см, по = 1,54, пе = 1,55, Л = 5000 А. 510. Найти интенсивность света, прошедшего через кристалличе- кристаллическую пластинку, помещенную между двумя николями, главные плос- плоскости которых образуют с одним из главных направлений пластинки углы а и C. Исследовать случаи скрещенных и параллельных николей. 511. Между двумя скрещенными николями помещена кристалли- кристаллическая пластинка толщиной d = 0,045 мм с показателями преломления пе = 1,55, по = 1,54. Пластинка вырезана параллельно оптической оси кристалла и ориентирована так, что главное направление первого николя составляет угол а = 30° с ее оптической осью. На систе- систему падает нормально естественный свет с длиной волны Л = 6000 А и интенсивностью /о. Найти интенсивность света /, прошедшего через описанную систему. 512. Имеются два фотометра, устройство которых показано на рис. 60. Найти закон, связывающий отношение яркостей сравниваемых I Николь f I ИСТОЧНИК II источник Кубик I И света Луммера Ц? "^ Николь \ Николь Кубик Луммера д источник света Николь Рис. 60 источников в обоих фотометрах с углами поворота окулярного николя. Во втором фотометре николи I и II скрещены, т. е. окулярный николь пропускает свет только от николя I, если он установлен параллельно ему, и не пропускает света от николя П. 513. Почему тонкая двоякопреломляющая пластинка, помещенная между двумя николями, имеет цветную окраску? 514. При каком положении анализатора относительно кристалличе- кристаллической пластинки цветное окрашивание в условиях предыдущей задачи не наблюдается? 515. Почему никогда не может получиться интерференция обыкно- обыкновенного и необыкновенного лучей, вышедших из пластинки двоякопре- ломляющего кристалла, настолько тонкой, что она не дает заметного разделения лучей? (Ср. задачу 202.) 516. Почему демонстрационные опыты по интерференции поляризо- поляризованных лучей удобнее делать с тонкими, а не с толстыми пластинками?
§ 7. Кристаллооптика 81 Почему даже с тонкими пластинками из исландского шпата трудно получить интерференционную картину в белом свете? 517. Две толстые пластинки одноосного кристалла, одинаково ори- ориентированные и весьма мало отличающиеся по толщине, дают порознь в скрещенных николях белый свет. Почему пластинки, повернутые одна относительно другой на 90°, если их поместить между скрещен- скрещенными николями, могут дать окрашивание? 518. Вторые темные полосы (т.е. две полосы, из которых одной соответствует вносимая компенсатором разность хода +2А, а дру- другой —2А) для натрового света в компенсаторе Бабине (николи скреще- скрещены) располагаются на 7,34 и 27,20 делениях компенсатора. На каких делениях расположатся вторые темные полосы для света лития (Аи = = 6708 A, ANa = 5893 А)? 519. Найти положение первых темных полос (т.е. двух ближай- ближайших темных полос, лежащих по обе стороны от центральной светлой полосы) для зеленой линии ртути в компенсаторе Бабине (николи параллельны), если первые темные полосы для натриевого света рас- располагаются на делениях 14,73 и 19,68 (ANa = 5893 А, Хщ = 5461 А). 520. Как будет окрашена в скрещенных николях кристаллическая пластинка, дающая разность хода 6500 А, если она освещается белым светом? 521. В каких случаях тонкая кристаллическая пластинка, поме- помещенная между скрещенными николями, кажется темной в монохрома- монохроматическом свете? 522. Между скрещенными николями помещена пластинка кварца, вырезанная параллельно оптической оси. Оптическая ось пластинки составляет угол 45° с главными направлениями николей. Рассчитать минимальную толщину пластинки, при которой одна линия водорода Aj = 6563 А будет сильно ослаблена, а другая А2 = 4102 А будет обла- обладать максимальной интенсивностью. Величина двупреломления кварца An = 0,009. 523. Между скрещенными николями помещена кристаллическая пластинка толщиной d\ = 0,02 мм с величиной двупреломления Ап\ = = 0,05. На нее в параллельном положении положена другая пластинка толщиной d,2 = 0,02 мм с Ап2 = 0,025. В какой цвет окрашено поле зрения? В какой цвет будет оно окрашено, если верхнюю пластинку и верхний николь повернуть на 90° от первоначального положения? Примечание. Параллельным положением называется такая ори- ориентировка пластинок, при которой направление колебаний волны, рас- распространяющейся с большей (меньшей) скоростью в одной пластин- пластинке, совпадает с направлением колебаний волны, распространяющейся с большей (меньшей) скоростью во второй пластинке. 524. Пластинка П и клин К (рис. 61) вырезаны из различных положительных одноосных кристаллов и ориентированы так, что оп- оптические оси их взаимно перпендикулярны. На каком расстоянии / от
82 Задачи вершины клина будет наблюдаться в белом свете темная полоса при рассматривании этой системы между скрещенными николями Р и А? Толщина пластинки d, показатели преломления по и пе, угол (малый) П Рис. 61 при вершине клина а, показатели преломления клина п'о и п'е. Пла- Пластинка с клином находится в диагональном положении по отношению к Р и А. 525. В некоторых установках, предназначенных для анализа поля- поляризованного света, пучок света пропускается через равномерно враща- вращающийся николь, а затем падает на фотоэлемент. На какую частоту должен быть рассчитан усилитель фототока, если николь вращается с угловой скоростью о;? 526. При интерференции сходящихся поляризованных лучей в кри- кристаллической пластинке, вырезанной перпендикулярно к оптической оси и ориентированной так, что оптическая ось совпадает с осью конуса сходящихся лучей, на поверхности пластинки можно наблюдать характерный белый или черный крест. Что нужно сделать с элементами установки, чтобы повернуть весь крест в его плоскости на некоторый угол? 527. Слюдяная пластинка в XU волны вращается между скрещен- скрещенными николями. Под углом в 45° к главным сечениям николей в си- систему введен гипсовый компенсатор, дающий чувствительный оттенок. Описать получающиеся при этом характерные окраски. Первый чув- чувствительный оттенок получается при разности хода в 5600 А. Разность хода, вносимая слюдяной пластинкой, составляет около 1500 А. Указание. Чувствительным оттенком называется фиолетовая окраска поля зрения, наблюдаемая в поляриметрах, когда в белом свете погашены наиболее яркие зеленовато-желтые лучи, к которым глаз наиболее чувствителен. Использование чувствительного оттенка поз- позволяет добиться весьма точной установки поляризационного прибора, так как малейшее вращение анализатора или введение на пути луча оптически активного вещества резко меняет окраску. 528. Пластинка черной слюды помещена после николя. Почему при повороте пластинки относительно николя окраска ее изменяется даже при отсутствии второго николя? 529. Как отличить свет левополяризованный по кругу от правопо- ляризованного?
§ 7. Кристаллооптика 83 530. Как отличить естественный свет от света, поляризованного по кругу, и от смеси естественного света с поляризованным по кругу? 531. Как отличить друг от друга: 1) эллиптически поляризованный свет; 2) смесь естественного света с линейно поляризованным светом (отчасти линейно поляризованный свет); 3) смесь естественного света с эллиптически поляризованным светом (отчасти эллиптически поля- поляризованный свет)? 532. Линейно поляризованный луч проходит через кристалличе- кристаллическую пластинку, одно из главных направлений которой составляет с главной плоскостью поляризатора угол г. Разность фаз, сообщаемая пластинкой, равна 5. Найти: 1) отношение полуосей эллипса колеба- колебаний полученного эллиптически поляризованного света; 2) угол между главными направлениями пластинки и полуосями эллипса. 533. Как определить разность хода, вносимую кристаллической пластинкой, при помощи другой кристаллической пластинки, для ко- которой разность хода неизвестна? 534. На кристаллическую пластинку, вырезанную параллельно оп- оптической оси, падает нормально свет, поляризованный по кругу. Про- Прошедший свет рассматривается через анализатор. 1) Определить интен- интенсивность света, если главная плоскость анализатора составляет угол а с одним из главных направлений пластинки. 2) Под каким углом надо поставить анализатор, чтобы получить максимальную и минимальную интенсивности? 535. Клин из двоякопреломляющего вещества помещен на пути монохроматического света, поляризованного по кругу. Оптическая ось параллельна ребру клина. Описать наблюдаемую через николь картину, когда клин неподвижен и когда он поворачивается вокруг направления распространения света. 536. Два когерентных пучка квазимонохроматического неполяризо- ванного света равной интенсивности дают на экране интерференцион- интерференционные полосы. Какой толщины кристаллическую пластинку надо ввести на пути одного из этих пучков, чтобы интерференционные полосы исчезли и притом так, чтобы их нельзя было восстановить никакой стеклянной пластинкой, вводимой в другой пучок? Как изменится кар- картина, если за кристаллической пластинкой поставить поляроид? При каком положении поляроида интерференционных полос не будет? 537. Плоская световая волна эллиптически поляризована. Дли- Длины полуосей эллипса колебаний равны соответственно а и Ь. Какую кристаллическую пластинку надо поставить на пути распростране- распространения волны и как надо ориентировать эту пластинку, чтобы получить свет, поляризованный по кругу: 1) с тем же направлением вращения; 2) с противоположным направлением вращения? 538. Установка для выделения одной из линий узкого дублета и задержания другой изображена на рис. 62. Между параллельными николями В и С помещают пластинку исландского шпата А с осью, параллельной плоскостям пластинки и наклоненной под углом 45°
Задачи к плоскости поляризации света, проходящего через николь. При какой примерно толщине d пластинки отфильтруется одна из линий дублета натрия, если дисперсия показателя преломления исландского шпата вблизи дублета натрия имеет следующие зна- В С Свет чения: А, А 5876 5893 По 1,65846 1,65836 Пе 1,48647 1,48641 Рис. 62 539. Под каким углом а к длинному ребру призмы Николя надо спилить ее основание, чтобы через призму прошел только необык- необыкновенный луч и притом так, чтобы соответствующая ему волновая нормаль была параллельна длинному ребру призмы? В этом случае угол падения обыкновенного луча на слой канадского бальзама превы- превышает предельный угол полного внутреннего отражения на 5 = 1°45Х. Показатель преломления необыкновенной волны для рассматриваемо- рассматриваемого направления пе = 1,516, а обыкновенной по = 1,658. Показатель преломления канадского бальзама п = 1,54. Вычислить при данных условиях отношение длины призмы а к ее ширине Ь. 540. Поляризационная призма представляет собой прямоугольную призму, выпиленную из исландского шпата так, что его оптическая ось параллельна плоскости распила (рис. 63, оптическая ось перпендикулярна к плос- плоскости чертежа). Склеивающим веществом является либо канадский бальзам (п = = 1,54), либо льняное масло (п = 1,494). Найти наивыгоднейшую апертуру призмы и соответствующее ей отношение длины а к ширине Ъ для обоих склеивающих мате- материалов. 541. Решить предыдущую задачу в предположении, что слой скле- склеивающего вещества заменен прослойкой воздуха. 542. Выразить нормальную скорость v плоской монохроматической волны в однородной кристаллической среде через векторы D и Е 0. 543. Показать, что направлением вектора D (или Е) в кристалле однозначно определяется скорость v плоской монохроматической вол- волны, а также направление вектора Е (или D). Показать также, что заданием направления вектора Е (или D), вообще говоря, с точностью до знака определяются направления векторов Н и N. 544. В системе диэлектрических осей связь между векторами D и Е определяется соотношениями Рис. 63 1) В задачах 542-559 оптическая одноосность кристалла не предполагается.
§ 7. Кристаллооптика 85 где га — главные диэлектрические проницаемости кристалла. Опреде- Определить нормальные скорости распространения волн в кристалле, когда вектор D (а следовательно, и вектор Е) направлен вдоль одной из диэлектрических осей кристалла. Указание. См. задачу 542. 545. Выразить нормальную скорость плоской монохроматической волны в однородном кристалле в зависимости от направления волновой нормали N. 546. Показать, что в каждом направлении N в кристалле могут рас- распространяться две волны, вообще говоря, с различными нормальными скоростями. Если эти скорости различны, то каждая из волн линейно поляризована, причем векторы D обеих волн взаимно перпендикуляр- перпендикулярны. 547. Прямая, вдоль которой нормальные скорости обеих линейно поляризованных волн, могущих распространяться в кристалле, оди- одинаковы, называется оптической осью второго рода или бинормалью. Показать, что в кристалле существуют, вообще говоря, две оптические оси второго рода и найти их направления. 548. Пользуясь общими формулами кристаллооптики для двуос- ных кристаллов, исследовать случаи, когда оптические оси кристалла совпадают между собой, т. е. кристалл вырождается в оптически од- одноосный. Найти в этом случае выражения для нормальных скоростей световой волны. Показать, что в обыкновенной волне, т.е. волне, ско- скорость которой не зависит от направления волновой нормали, векторы D и Е перпендикуляряы к оптической оси кристалла. 549. Лучом в кристалле называется линия, направленная вдоль вектора потока энергии S = — [ЕН]. Вдоль лучей распространяется энергия волны (см. задачу 591). Скорость волнового фронта вдоль на- направления луча называется лучевой скоростью. Показать, что лучевая скорость и связана с нормальной скоростью волны v соотношением и = = i7(Ns), где s — единичный вектор вдоль луча. 550. Показать, что любая формула, связывающая величины D, Е, Н, N, v в плоской волне, распространяющейся в однородном кристал- кристалле, остается справедливой, если величины, стоящие в верхней строке ряда: D, E, H, N, v, s, с, еа, аа, E, D, H, s, I, N, -, -, -, и с ?а аа заменить величинами, стоящими под ними в нижней строке того же ряда. То же самое относится к формулам, связывающим D, E, H, s, и. (Теорема обращения или взаимности.) 551. Показать, что в каждом направлении кристалла могут рас- распространяться два луча. Если лучевые скорости этих лучей различны, то оба луча линейно поляризованы, причем векторы Е в них взаимно перпендикулярны.
Задачи 552. Прямая, в направлении которой лучевые скорости обоих ли- линейно поляризованных лучей, могущих распространяться в кристалле, одинаковы, называется оптической осью первого рода или бирадиалью. Показать, что в кристалле существуют, вообще говоря, две оптические оси первого рода и найти их направления. 553. Определить оптический знак двуосного кристалла по трем главным показателям преломления. Примечание. Двуосный кристалл считается положительным, если угол между оптической осью первого рода и диэлектрической осью наибольшей диэлектрической проницаемости ez меньше 45°; если этот угол больше 45°, то кристалл называется отрицательным. 554. Определить оптический знак двуосного кристалла, если nz — -пх= 0,036 и nz - пу = 0,019. 555. Показать, что если кристалл имеет две оптические оси первого рода, то он имеет также две оптические оси второго рода, и наоборот. 556. Найти выражение для лучевой скорости в зависимости от направления луча в оптически одноосном кристалле. 557. Волновая или лучевая поверхность строится следующим об- образом. Из какой-либо точки О проводятся прямые во всевозможных направлениях и на них откладываются отрезки, длины которых про- пропорциональны лучевым скоростям в этих направлениях. Показать, что лучевая поверхность одноосного кристалла распадается на совокуп- совокупность двух поверхностей: сферу (обыкновенная волна) и эллипсоид вращения (необыкновенная волна). 558. Показать, что все кристаллы три-, тетра- и гексагональной систем одноосны. Указание. Рассмотреть элементы симметрии этих кристаллов. Использовать симметричность тензора диэлектрической проницаемо- проницаемости. 559. Показать, что кристаллы кубической системы оптически изо- изотропны. Указание. См. предыдущую задачу. 560. Законы распространения света в оптически одноосных кри- кристаллах впервые были сформулированы Гюйгенсом на основе принципа, носящего его имя («принципа Гюйгенса»). Гюйгенс предположил, что в таком кристалле волновая (лучевая) поверхность распадается на две поверхности: сферу (обыкновенная волна) и эллипсоид вращения (необыкновенная волна). Огибающая элементарных волн Гюйгенса та- такого типа, вышедших из точек волнового фронта, определяет положе- положение нового волнового фронта. Прямая, соединяющая центр элементар- элементарной волны с точкой касания к ней волнового фронта, дает направление светового луча. Выполнить построение Гюйгенса и найти направления преломлен- преломленных волновых фронтов и лучей в одноосном кристалле (положительном и отрицательном) для следующих случаев: 1) оптическая ось перпен- перпендикулярна к плоскости падения и параллельна поверхности кристалла;
§ 7. Кристаллооптика 87 2) оптическая ось лежит в плоскости падения параллельно поверхности кристалла; 3) оптическая ось лежит в плоскости падения под углом 45° к поверхности кристалла. 561. Для пластинки топаза графическое изображение изменений значений показателей преломления, полученных на кристалл-рефрак- кристалл-рефрактометре, имеет вид окружности радиуса nz = 1,6193 и находящегося в ней эллипса с полуосями пх = 1,6100 и пу = 1,6127. Определить оптический знак топаза и ориентировку пластинки относительно ди- диэлектрических осей кристалла. 562. Как надо ориентировать пластинку из двуосного кристалла, чтобы получить на кристалл-рефрактометре три главных показателя преломления? 563. Пластинка кварца толщиной в 1 мм вырезана перпендикулярно к оптической оси и помещена между скрещенными николями. Почему при любой длине волны падающего света она будет оставаться осве- освещенной? 564. Как отличить пластинку кварца, вырезанную перпендикулярно к оси, от пластинки кварца, вырезанной параллельно оси, имея в своем распоряжении два николя и источник белого света? 565. Почему при вращении анализатора пластинка кварца, вы- вырезанная перпендикулярно к оптической оси и помещенная между николями, меняет свою окраску? 566. Почему в условиях предыдущей задачи при вращении анализа- анализатора в одном и том же направлении одни пластинки кварца дают смену цветов в определенной последовательности, а другие — в обратной? 567. Кварцевая пластинка толщиной в 1 мм вырезана перпендику- перпендикулярно к оптической оси. Как определить, из право- или левовращающе- го кварца сделана пластинка, имея в своем распоряжении два николя и источник: 1) монохроматического света; 2) белого света? 568. Пластинка кварца толщиной в 1 мм, вырезанная перпендику- перпендикулярно к оптической оси, помещена между параллельными николями. Для некоторой длины волны вращение плоскости поляризации рав- равно 20°. При какой толщине кварца d свет данной длины волны будет полностью погашен? 569. Какой толщины надо взять кварц, чтобы получить чувстви- чувствительный оттенок: 1) в скрещенных и 2) в параллельных николях, если вращательная способность кварца для желто-зеленых лучей составляет 24 угл. град/мм. Примечание. См. указание к задаче 527. 570. Дисперсия вращения кварца, вырезанного перпендикулярно к оптической оси, для желтой области спектра характеризуется следу- следующими значениями вращательной способности а: А, А 5269 5895 а, угл. град/мм 27,543 21,684
Задачи Зависимость вращательной способности от длины волны в узкой спек- спектральной области может быть выражена формулой а = А+ ^2, где А и В — постоянные. Определить наименьшую толщину кварце- кварцевой пластинки d, помещенной между двумя скрещенными николями, чтобы из двух линий натрия Ai = 5889,953 А и А2 = 5895,923 А одна полностью гасилась, а другая пропускалась наполовину. 571. Какую минимальную разность показателей преломления An право-и левополяризованных по кругу лучей (А = 5893 А) можно об- обнаружить при слое вещества I = 30 см, если измерять угол поворота плоскости поляризации с точностью до 1°? 572. Чему равна разность показателей преломления An для право- и левополяризованного по кругу света длины волны А = 5893 А в квар- кварце, если известно, что вращение плоскости поляризации в кварце для этой длины волны равно 21,7° на 1 мм? 573. Поляризационный прибор состоит из двух пар кварцевых кли- клиньев, вырезанных перпендикулярно к оптической оси. Одна пара кли- клиньев изготовлена из правого, другая из левого кварца. Одноименные клинья сложены так, что образуют прямоугольный параллелепипед. Обе пары разноименных клиньев склеены своими треугольными гра- гранями. Одна часть прибора может перемещаться относительно другой при помощи винта (подобно компенсатору Бабине); таким образом, прибор представляет собой бикварц переменной толщины. Как при помощи этого прибора можно точно определить главные направления исследуемой пластинки и их дисперсию? 574. Найти условия излучения Вавилова-Черенкова и качественно описать это явление при движении частицы в кристаллах. (См. зада- задачу 261.) 575. Показать, что при движении частицы вдоль оптической оси одноосного кристалла излучение Вавилова-Черенкова может состоять только из конуса необыкновенных волн. § 8. Скорость света 576. В чем ошибочность следующего рассуждения: «Аберрация света зависит от движения звезды относительно Земли. Угол абер- аберрации в определяется соотношением tgO = v/c, где v — поперечная скорость звезды относительно Земли. Поскольку скорости различных звезд весьма сильно отличаются друг от друга, наблюдаемые углы аберрации (в противоречии с опытом) должны были бы также сильно отличаться друг от друга даже для близко расположенных звезд на небесной сфере»?
§8. Скорость света 89 577. 1) Какова величина аберрации, вызываемой вращением Земли вокруг своей оси (на экваторе)? 2) Во сколько раз она меньше аберра- аберрации, связанной с годичным движением Земли? 578. Найти выражение для скорости света с в опыте Физо в случае, если имеет место n-е затемнение. Расстояние между колесом и зерка- зеркалом равно D, число оборотов в 1 с — N, число зубцов — Z. Опреде- Определить скорость света с, если D = 10 км, Z = 720. Угловые скорости при четырех последовательных исчезновениях света составляли 326, 457, 588 и 719 рад/с. 579. Рассматривая импульс, представляющий собой суперпозицию двух гармонических волн cos(u;t — kx) и cos(u/? — k'x), найти группо- групповую скорость и. 580. Выразить групповую ско- скорость и = doo/dk через фазовую скорость света v и dv/dX, а также через v и dn/dX. 581. Изобразим кривой зависи- зависимость фазовой скорости волны v от длины волны Л (рис. 64). Показать, что отрезок О А на оси v, отсека- отсекаемый касательной к этой кривой о Хо X в точке Ао, равен групповой скоро- скорости для длины волны А = Ао. (По- р ~, строение П. С. Эренфеста.) 582. Плоское волновое возмущение распространяется в среде с ли- линейным законом дисперсии: v = а + ЬХ, где v — фазовая скорость, а а и Ъ — постоянные. Показать, что каково бы ни было возмущение, форма его, непрерывно изменяясь, будет периодически восстанавли- восстанавливаться по истечении времени г = dX/dv = \/Ъ. Показать, что отно- отношение пути s, пройденного возмущением за промежуток времени г к продолжительности этого промежутка, равно групповой скорости. Указание. Любое плоское возмущение в любой момент времени может быть получено суперпозицией синусоид. Каждая из синусоид перемещается со своей фазовой скоростью в одном и том же направле- направлении. Вследствие этого непрерывно деформируется форма возмущения. Утверждение, сформулированное в задаче, будет доказано, если по- показать, что существует такое время г, по истечении которого точно восстанавливается первоначальное взаимное расположение синусоид. Достаточно провести рассуждение для трех синусоид; обобщение на большее число синусоид тривиально. 583. Вычислить групповую скорость и для различных законов дисперсии (v — фазовая скорость); 1) v = а (а = const) — недиспергирующая среда, например звуковые волны в воздухе; 2) v = ал/А — волны на поверхности воды, вызываемые силой тяжести;
90 Задачи 3) v = a/yf\ — капиллярные волны; 4) у = а/Л — поперечные колебания стержня; 5) v = л/с2 + б2Л2 — электромагнитные волны в ионосфере (с — скорость света в вакууме, Л — длина волны в среде, см. задачу 682); 6) v = cwj \Juj2e\i — с2 а2 — электромагнитные волны в прямолиней- прямолинейном волноводе, заполненном диспергирующей средой с диэлектриче- диэлектрической проницаемостью г = е(и) и магнитной проницаемостью \± = /jl(u) (с — скорость света в вакууме, а — постоянная, зависящая от размеров и формы поперечного сечения волновода). 584. При каком законе дисперсии немагнитной среды г = е{ш), заполняющей прямолинейный волновод или бесконечное пространство, связь между фазовой и групповой скоростями электромагнитных волн принимает вид vu = с2? Указание. См. предыдущую задачу. 585. Показать, что в условиях предыдущей задачи, а также в том случае, когда внутри волновода вакуум, фазовая скорость электромаг- электромагнитных волн в волноводе превосходит скорость света в вакууме. 586. Найти групповую скорость и рентгеновского излучения в сре- среде, если предельный угол полного внутреннего отражения при падении этих волн на среду из воздуха равен а. Показатель преломления рентгеновских волн определяется выражением п2 = 1 —uJq/uj2, где uq — постоянная. 587. Для определения плотности электромагнитной энергии в непо- глощающей диспергирующей среде можно поступить следующим обра- образом. Пусть вещество с диэлектрической проницаемостью е(и) и маг- магнитной проницаемостью /i(o;) заполняет плоский конденсатор с емко- емкостью С = е(и)Со и тонкий соленоид с индуктивностью L = /i(o;)Lo, соединенные в колебательный контур (рис. 65). Со и Lq — значения емкости и индуктивности для того случая, когда в пространстве между обкладками конденсатора и внутри соленоида вакуум. При отсутствии сопротивления в контуре будут совершаться свободные гармонические колебания с цик- циклической частотой ио = \/^/L(uo)C(uo). Если в некоторый момент времени ввести в контур 111 ' малое сопротивление R, то, начиная с этого момента, колебания сделаются затухающими и первоначально запасенная электромагнитная энергия будет переходить в джоулево тепло, • выделяющееся в сопротивлении R. Полное ко- количество тепла, выделившееся в сопротивле- сопротивлении R за время, когда колебания прекратятся, будет равно электро- электромагнитной энергии, запасенной в контуре до введения сопротивления. Найти выражение для плотности электромагнитной энергии в непогло- щающей диспергирующей среде.
§8. Скорость света 91 Примечание. О физическом смысле полученного выражения см. задачу 684. 588. Среднюю скорость движения энергии и в плоской монохро- монохроматической бегущей волне можно определить как отношение сред- средней плотности потока энергии к средней плотности самой энергии. В электромагнитной волне плотность потока энергии дается вектором S = — [ЕН]. Пользуясь этим и результатом решения предыдущей задачи, показать, что средняя скорость движения электромагнитной энергии в плоской монохроматической бегущей волне совпадает с груп- групповой скоростью. 589. Какая скорость света измеряется методом Рёмера и Физо, фазовая или групповая? 590. Показать, что если е(и) и fi(u) положительны, то фазовая и групповая скорости в электромагнитной волне направлены в одну сторону. 591. В анизотропной среде фазовая скорость волны зависит не только от частоты и, но и от направления распространения волны. Если записать закон дисперсии в форме и = о;(к), то легко показать, что групповая скорость в такой среде будет вектором с компонентами duo/dki (г = ж, у, z). Показать, что в прозрачном однородном кристалле групповая скорость по величине и направлению совпадает с лучевой скоростью и. Для простоты пренебречь зависимостью тензора диэлек- диэлектрической проницаемости еар от частоты и. 592. Из общих соображений вытекают так называемые дисперси- дисперсионные соотношения, т. е. соотношения, устанавливающие связь между вещественной и мнимой частями диэлектрической проницаемости 0. Следствием этих соотношений для прозрачной изотропной среды явля- являются неравенства де/дио > 0, де/дио ^ 2A — е)/со, где е(ш) — диэлек- диэлектрическая проницаемость на частоте и. Пользуясь этими неравенства- неравенствами, доказать, что групповая скорость г>гр ^ с. 593. Луч прожектора, вращающийся с угловой скоростью и, сколь- скользит по цилиндрическому экрану. Можно ли применять для вычисления скорости «зайчика» формулу v = ujt (r — расстояние от прожектора до экрана), если v > с = 3 • 1010см/с? Нет ли здесь противоречия с теорией относительности? 594. Наблюдатель (или регистрирующая аппаратура) находится на значительном расстоянии от плоского экрана, который в некоторый момент to весь освещается (загорается). Какую картину увидит наблю- наблюдатель? 595. Светящаяся сферическая оболочка (например, оболочка взо- взорвавшейся звезды) начала расширяться в точке О со скоростью v в момент t\. Найти место точек («видимую» оболочку), излучение от х) Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. — М.: Гостехиздат, 1957.
92 Задачи которой достигает наблюдателя в точке Р в момент t ^ to = t\ + R/c, где R — расстояние OP, которое считается достаточно большим. 596. Найти скорость и расширения «видимой» оболочки, рассмот- рассмотренной в предыдущей задаче. Каковы максимальные значения этой скорости, а также скорости оболочки, перпендикулярной к лучу зре- зрения? 597. Как ясно из решения предыдущей задачи, «видимая» ско- скорость г^макс может быть сколь угодно велика и, в частности, может превосходить скорость света с. Почему это не противоречит теории относительности? 598. Источник света (излучающий осциллятор и т. п.) движется по прямой линии в некоторой среде со скоростью v, превосходящей фазовую скорость света в среде г?ф = с/п (для простоты считать, что дисперсия отсутствует и таким образом групповая скорость света также равна с/п). В некоторый момент источник останавливается. Какое движение источника увидит наблюдатель, расположенный перед источником на продолжении его траектории? 599. Вывести формулу для эффекта Доплера в акустике при про- произвольном движении источника и наблюдателя относительно воздуха. 600. Получить выражение для эффекта Доплера в акустике, когда источник и наблюдатель движутся вдоль прямой, их соединяющей. 601. До теории относительности эффект Доплера в оптике тракто- трактовался так же, как в акустике. Считалось, что свет распространяется в эфире подобно акустическим волнам в воздухе. В нерелятивист- нерелятивистском приближении, когда можно было пренебречь величинами порядка (г>Отн/сJ, где г>Отн ~~ скорость источника относительно наблюдателя, та- такая трактовка приводила к правильному результату. Вывести формулу для изменения частоты в эффекте Доплера в указанном приближении. 602. Монохроматическая волна частоты v падает нормально на зеркало, равномерно движущееся в направлении нормали. Как связана в нерелятивистском приближении частота v' отраженной волны со скоростью движения зеркала г;? 603. Для экспериментальной проверки принципа Доплера в земных условиях А.А. Белопольский использовал отражение света от зеркал, приводимых в быстрое вращение. Световой луч, прежде чем он попадал в глаз наблюдателя, успевал несколько раз отразиться от движущихся зеркал. Считая, что свет падает на движущиеся зеркала нормаль- нормально, найти измененную частоту v', если скорость движения зеркал v, а число отражений N (считать, что v <C с, и пренебречь членами порядка v2/c2). 604. Какая скорость света измеряется в методе вращающегося зеркала Фуко, фазовая или групповая? Указание. Согласно принципу Доплера при отражении света от движущегося зеркала изменяется длина световой волны. Так как скорости различных точек вращающегося зеркала неодинаковы, то это изменение будет разным для лучей, отразившихся от различных точек
§8. Скорость света 93 зеркала. Поэтому если среда, в которой распространяется отраженный свет, диспергирующая, то фазовые скорости для этих лучей будут также разными. Это ведет к повороту волнового фронта отраженной волны. В методе Фуко этот поворот надо учитывать. 605. Майкельсон измерил скорость света в сероуглероде по мето- методу вращающегося зеркала. Показатель преломления сероуглерода для средней длины волны видимого спектра равен п = 1,64, а величина 1 + —7^ равна 0,93. Определить, какое следует ожидать значение п ал для отношения скорости света в вакууме к измеренной этим методом скорости света в сероуглероде? 606. В дорелятивистской классической теории эффекта Доплера вводилось движение источника света и наблюдателя относительно эфира. Допустим, что источник света движется относительно эфира, а наблюдатель покоится. Тогда длина волны излучаемого света изме- изменяется, и неподвижный наблюдатель может обнаружить это с помо- помощью дифракционной решетки. Но если источник света неподвижен относительно эфира, то движение решетки, очевидно, никак не может сказаться на длине волны излучаемого света. Тем не менее и в этом случае дифракционная решетка обнаруживает смещение спектральных линий согласно эффекту Доплера. Разобрать механизм и рассчитать величину этого смещения. 607. Каково доплеровское смещение АЛ линии водорода Нр (Л = = 4861 А) при наблюдении вдоль пучка водородных каналовых лучей, имеющих среднюю скорость v = 1,3 • 108см/с? 608. Каково доплеровское смещение 5Х в условиях предыдущей задачи, если наблюдать в направлении, перпендикулярном к направле- направлению пучка? 609. Каково максимальное доплеровское смещение АЛ для линии водорода Нр, излучаемой движущимися атомами водорода с кинетиче- кинетической энергией 4 • 106эВ? 610. Каково поперечное доплеровское смещение 5Х в условиях предыдущей задачи? 611. Как движется относительно Земли некоторая туманность, если известно, что линия водорода Я7 (Л = 4340 А) в спектре туманности смещена на 20 А в красную сторону? 612. Каково максимальное полугодичное изменение АЛ зеленых линий (Л = 5500 А) спектра звезд, лежащих в плоскости земной орби- орбиты? 613. Длина волны некоторой фраунгоферовой линии в солнечном спектре равна 5900 А при наблюдении по направлению к полюсу Солн- Солнца. При наблюдении той же линии по направлению на край солнечного диска на экваторе обнаруживается смещение на 0,04 А. Найти линей- линейную скорость v солнечного экватора. 614. Ограничиваясь только непосредственными наблюдениями ко- колец планеты Сатурн в телескоп, не удается решить, являются ли эти
94 Задачи кольца сплошными образованиями или только скоплениями большого числа мелких спутников в определенных плоскостях. Как, пользуясь законами механики и оптическим эффектом Доплера, можно однознач- однозначно решить вопрос в пользу того или иного предположения? 615. Найти приближенное значение катодного падения потенци- потенциала V в разрядной трубке, если доплеровское смещение линии Л = = 5016 А, принадлежащей гелию и наблюдаемой под углом 145° к ка- наловому лучу, составляет 5 А. 616. Приемник радиолокатора определяет скорость приближения самолета по частоте биений между непосредственно принимаемым от передатчика сигналом и сигналом, полученным вследствие отражения от движущегося самолета. На какой длине волны Л должен работать радиолокатор, чтобы приближающийся со скоростью v= 1800 км/ч самолет давал частоту биений Av = 2000 Гц? § 9. Теория относительности и оптика движущихся тел 617. Можно ли с помощью фотоаппарата зафиксировать сокра- сокращение Лорентца по изменению формы предмета, пролетающего мимо точки фотографирования с релятивистской скоростью? Рассмотреть случай куба и шара, летящих на большом расстоянии от точки фото- фотографирования. 618. Согласно теории относительности «стандартные» движущиеся часы идут медленнее покоящихся, мимо которых они пролетают. При этом ход часов, как обычно считают, зависит явным образом только от их скорости, но не от ускорения. Является ли последнее утверждение следствием теории относительности (лорентцевых преобразований) или основано на опыте? 619. Можно ли считать релятивистское сокращение масштабов и замедление хода часов результатом динамических процессов, проис- происходящих в масштабах и часах? 620. Два шарика диаметром do (в системе покоя) приведены в дви- движение навстречу друг другу с релятивистской скоростью v. После лобового столкновения в определенных условиях можно считать, что шарики мгновенно останавливаются, а затем происходит их разлет. Каков размер системы / в момент остановки? (Такими шариками в неко- некотором приближении можно считать, например, протоны, в результате соударения которых образуются новые частицы — пионы и пр.) 621. На слой плазмы с электронной концентрацией п (в котором вначале тока нет) действует импульс электрического поля, направлен- направленного вдоль слоя и ускоряющего частицы до релятивистских скоростей. Какова будет концентрация частиц в плазме после ускорения. Нужно ли учитывать лорентцево сокращение единицы объема плазмы?
§ 9. Теория относительности и оптика движущихся тел 95 622. Какова максимальная плотность тока, который может течь в полностью ионизованной водородной плазме с электронной концен- концентрацией п (при неизменном значении ее)? 623. Как преобразуется плотность вещества при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой? 624. Определить время жизни г /i-мезона с энергией Е = 109 эВ (в лабораторной системе отсчета). Время жизни медленного (покояще- (покоящегося) /i-мезона то = 2,2 • 10~6 с, масса /i-мезона т = 206,7те (те — масса электрона). 625. Оптический эффект Доплера отличается от акустического в двух отношениях. I. В акустике есть среда (воздух), относительно которой могут двигаться источник и наблюдатель. В оптике, когда речь идет о распространении света в вакууме, подобной среды не существует — имеет смысл говорить только об относительном движе- движении источника и наблюдателя. П. При больших скоростях источников света в оптике надо считаться с эффектом теории относительности «замедления хода движущихся часов». Учитывая эти два отличия, получить формулу для оптического эффекта Доплера. За систему отсчета принять ту, относительно которой наблюдатель неподвижен. Рассмотреть частные случаи: 1) источник движется вдоль луча зрения, в направлении которого его видит наблюдатель; 2) источник движется перпендикулярно к этому лучу. 626. Получить формулу для релятивистского эффекта Доплера, принимая за систему отсчета систему, в которой покоится источник. 627. Пользуясь результатами решения задач 625 и 626, получить релятивистскую формулу для аберрации света. 628. Получить релятивистскую формулу для эффекта Доплера, когда источник движется в среде со скоростью v, а наблюдатель в этой среде покоится. 629. Расчет релятивистского эффекта Доплера и аберрации света проще всего произвести, пользуясь инвариантностью фазы волны от- относительно преобразования Лорентца. Согласно этой инвариантности в плоской волне справедливо соотношение cot - kr = uo't' - kV, где t, г и tf, rf — время и координаты одного и того же события в «неподвижной» и «движущейся» системах отсчета, связанные между собой преобразованием Лорентца. Доказать это соотношение и, поль- пользуясь им, получить релятивистские формулы для эффекта Доплера и аберрации света. 630. Главная трудность наблюдения поперечного эффекта Доплера в каналовых лучах заключается в следующем. Поперечный эффект, как эффект второго порядка относительно v/c, очень мал по срав- сравнению с эффектом первого порядка (см. задачи 607 и 608). Чтобы исключить эффект первого порядка, надо создать в высокой степени параллельный пучок каналовых частиц, движущихся перпендикулярно
96 Задачи к линии наблюдения. Малейшее отклонение в направлении движения этих частиц от строгой перпендикулярности к линии наблюдения по- поведет к появлению продольной компоненты скорости и к продольному эффекту Доплера, который может перекрыть эффект второго порядка. В условиях задачи 607 подсчитать максимальный угол отклонения пучка от строгой перпендикулярности к линии наблюдения, при ко- которой поперечный эффект еще не будет маскироваться продольным эффектом. 631. С учетом дисперсии найти в первом приближении скорость света г?ф в жидкости, движущейся от источника со скоростью v, если в неподвижной жидкости скорость света равна с/п(А), где Л — длина волны света в неподвижной жидкости. 632. Две одинаковые частицы (например, два протона), ускорен- ускоренные до одной и той же энергии $ = 10 ГэВ, движутся навстречу друг другу и сталкиваются между собой. Рассмотреть тот же процесс в лабораторной системе отсчета, в которой одна из частиц (мишень) покоится, а другая движется навстречу ей. Определить энергию Ш' второй частицы в этой системе. (Принцип ускорителя на встречных пучках.) 633. Межзвездный корабль движется к ближайшей звезде, на- находящейся на расстоянии L = 4,3 световых года, со скоростью v = = 1000 км/ч. Достигнув звезды, корабль возвращается обратно. На какое время At часы на корабле отстанут от земных часов по возвра- возвращении корабля на Землю? Примечание. Ввиду большой скорости корабля движение звез- звезды относительно Солнца можно не учитывать. 634. Какая кинетическая энергия Ш должна быть сообщена меж- межзвездному кораблю массы т = 104 кг, чтобы его часы по возвращении на Землю показывали вдвое меньшее время, чем часы на Земле? Сколько тонн урана М должно прореагировать, чтобы выделилось такое количество энергии? При делении одного атома урана выделяется энергия 170 МэВ. Какую скорость v будет иметь корабль при такой кинетической энергии? 635. Как связана начальная (стартовая) масса то релятивистской ракеты с ее конечной массой т и достигнутой скоростью v в произволь- произвольный момент времени? Считать, что скорости ракеты v и газовой струи и (относительно ракеты) направлены вдоль одной прямой, причем ракета все время движется с включенным двигателем, так что величина и остается постоянной. 636. Во что переходит формула F35.4) для нерелятивистских дви- движений? 637. Ввиду колоссальности расстояний до звезд для достижения даже ближайших звезд требуются космические корабли, двигающиеся со скоростью порядка скорости света с. Допустим, что фантастический космический корабль представляет собой ракету, работающую на хи- химическом топливе, которое позволяет получать газы, выбрасываемые
§ 9. Теория относительности и оптика движущихся тел 97 из ракеты с относительной скоростью и = 10 км/с. Ракета должна достигнуть скорости v = с/3. Оценить, какое количество топлива гао потребуется в этом случае на каждую тонну полезного груза ракеты. 638. Найти скорость и минимальное отношение массы в начале пу- пути к массе в конце пути фотонной ракеты (двигатель которой превраща- превращает «горючее вещество», находящееся на ракете, в направленный пучок света), необходимые для достижения ракетой туманности Андромеды (удаленной на R = 1,8 • 106 световых лет) за 25 лет по собственному времени ракеты. Временем ускорения и замедления ракеты пренебречь. 639. Какое собственное время пройдет на космическом корабле при полете от Земли до Галактического центра, удаленного на расстояние R = 3 • 104 световых лет, если первую половину пути космический корабль движется по прямой с ускорением а = 10 м/с2, постоянным в системе координат, связанной в каждый момент с космическим кораб- кораблем (так называемое «гиперболическое» движение), а вторую половину пути корабль замедляется с тем же ускорением? (Собственное время здесь определяется как t г = \ A/l-/32(t) dt, о где dt — время в системе Земли, а C = v/c.) 640. Какую минимальную мощность в начале пути должен иметь двигатель фотонной ракеты для полета к центру Галактики (R = = 3 • 104 световых лет), если первую половину пути ракета движется с постоянным ускорением а = 10 м/с2 (в собственной системе), а вто- вторую половину пути она замедляется с тем же ускорением при условии, что все топливо находится на ракете, а масса ракеты Мк в конце пути равна 103 т? 641. Чему равна интенсивность корпускулярного космического из- излучения на космическом корабле, обусловленного наличием в меж- межзвездной среде атомов водорода с плотностью п = 1 см~3? Условия движения корабля те же, что и в предыдущей задаче. 642. Как изменится расположение звезд на небесной сфере для наблюдателя на космическом корабле, движущемся с релятивистской скоростью v относительно Земли? 643. Радиолокатор работает на частоте ио («несущая» частота сиг- сигнала) и облучает предмет, движущийся со скоростью v в произвольном направлении относительно радиолокатора. Учитывая эффект Доплера, найти «несущую» частоту отраженного от предмета излучения а;*, принимаемого тем же радиолокатором. 644. В циклическом сильноточном электронном ускорителе — мик- микротроне — электрон, проходя ускоряющий промежуток, приобретает энергию, кратную его энергии покоя А& = птпс2, где п — целое число. Затем его поворачивает постоянное однородное магнитное поле Но и он снова попадает в ускоряющий промежуток (обычно в тот 4 Под ред. Д. В. Сивухина
98 Задачи же). Пренебрегая размерами ускоряющего промежутка по сравнению с размерами орбит электрона, найти максимальное расстояние между орбитами и энергию электрона на выходе микротрона, если число ускорений N = 12 при п = 2, Яо = 1000 Э. 645. Согласно принципу эквивалентности Эйнштейна все процессы в однородном поле тяготения протекают так же, как в системе отсчета, движущейся с постоянным ускорением относительно инерциальной системы отсчета. Пользуясь этим принципом, показать, что частота света при его распространении в поле тяготения должна изменяться (гравитационное смещение спектральных линий). Связать изменение частоты с изменением гравитационного потенциала вдоль светового луча. 646. Какое число штрихов должна иметь дифракционная решет- решетка, чтобы с ее помощью в спектре испускания Солнца можно было обнаружить гравитационное смещение спектральных линий, если на- наблюдение ведется во втором порядке (га = 2). Необходимые числовые данные можно получить, зная угловой радиус Солнца (при наблюдении с Земли) а = 0,00465 рад и скорость движения Земли по ее орбите v = 30 км/с. 647. Свет, испускаемый с поверхности фотосферы звезды, наблю- наблюдается на Земле. В какую сторону будет происходить гравитационное смещение спектральных линий? 648. Оценить гравитационное смещение длины волны излучения, испускаемого с поверхности нейтронной звезды, считая ее массу рав- равной массе Солнца (М = 2 • 1033 г), плотность постоянной по всему объему звезды, а среднее расстояние между нейтронами равным 3 х х Ю-13 см. 649. На Земле принимаются радиосигналы с искусственного спут- спутника Земли, находящегося на высоте h = 800 км над земной поверх- поверхностью. Найти относительное изменение частоты радиоволны со спут- спутника, обусловленное гравитационным полем Земли. В какую сторону спектра будет происходить гравитационное смещение, в красную или фиолетовую? 650. Найти относительное изменение частоты, обусловленное зем- земным полем тяготения, когда передатчик расположен на горе на высоте h = 5 км выше приемника. 651. Показать, что гравитационнее смещение частоты радиосигнала с искусственного спутника Земли есть эффект второго порядка отно- относительно v/c (v — скорость спутника, с — скорость света). 652. В задаче 649 учесть эффект Доплера (линейный и квадратич- квадратичный). Найти полное относительное изменение частоты, обусловлевное эффектом Доплера и гравитационным полем Земли, если: 1) спутник вращается точно по окружности; 2) спутник движется под углом в = = 89° к вертикали, приближаясь к Земле со скоростью v = 7,5 км/с. 653. Еще в 1798 г. Лаплас отметил, что в случае достаточно мас- массивной звезды лучи света не смогут ее покидать в силу их притяжения
§ 10. Давление света 99 звездой и что «по этой причине самые большие светящиеся тела во Вселенной будут для нас невидимыми». Лаплас опирался, разумеется, на ньютоновскую механику и закон всемирного тяготения, в сочетании с корпускулярной теорией света. Каков, с этой точки зрения, должен быть радиус rg тела (звезды) массы М, чтобы его поверхность стала невидимой? § 10. Давление света 654. Исходя из представления, что свет состоит из фотонов, каж- каждый из которых обладает импульсом his/с, определить давление Р световой волны на плоское зеркало, предполагая, что коэффициент отражения зеркала равен г, а угол падения равен ср. Определить также тангенциальную силу Т, действующую на единицу поверхности зеркала со стороны падающего излучения. 655. Решить предыдущую задачу в предположении, что поверх- поверхность, на которую падает световая волна, идеально матовая (удовле- (удовлетворяет закону Ламберта). 656. Показать, что давление излучения при нормальном падении света на идеальное зеркало равно 2и, а на полностью поглощающую поверхность равно и, где и — плотность энергии падающего излучения. 657. Каково давление света на идеальное зерка- зеркало, если излучение изотропно? 658. Найти световое давление солнечного из- излучения на квадратный метр земной поверхности, перпендикулярной к направлению излучения. Сол- Солнечная постоянная (см. примечание к задаче 196) равна 2 кал/(см2 • мин). Абсорбцией в земной атмосфере пренебречь. Рас- Рассмотреть три случая: 1) земная поверхность — абсо- абсолютно черная; 2) земная поверхность — абсолютно зеркальная; 3) земная поверхность — абсолютно от- отражающая, но матовая (удовлетворяет закону Лам- ^ берта). 659. П. Н. Лебедев впервые экспериментально доказал существование светового давления на твер- твердые тела и газы и измерил его. Прибор Лебедева для исследования светового давления на твердые тела состоял из легкого подвеса на тонкой нити, по краям которого были прикреплены очень тонкие и легкие Рис. 66 крылышки (рис. 66). Крылышко имело форму круж- кружка диаметром в 5 мм. Одно из крылышек было зачернено, а другое оставалось блестящим. Подвес помещался в откачанном сосуде, обра- образуя весьма чувствительные крутильные весы. С помощью специальных приспособлений на крылышки посылался поток лучистой энергии мощ- мощностью 1,2-1,8 калорий в минуту. Определить силу светового давления
100 Задачи на зачерненный кружок прибора П. Н. Лебедева, когда мощность па- падающего на него потока лучистой энергии составляет Q = 1,5 калории в минуту 0. 660. Плоская световая волна падает на поверхность шара, размеры которого велики по сравнению с длиной световой волны. Предполагая, что поверхность шара: 1) абсолютно черная; 2) абсолютно зеркальная; 3) абсолютно матовая (удовлетворяет закону Ламберта), выразить силу светового давления на шар через плотность падающего излучения. 661. В каком случае световое давление на шар плоской неполя- ризованной волны будет больше: когда поверхность шара идеально отражающая или когда она отражает свет частично, а остальной свет поглощается внутри шара? Размеры шара велики по сравнению с дли- длиной световой волны. 662. Определить силу светового давления F\ солнечного излучения на поверхность земного шара, считая ее абсолютно черной. Найти отношение этой силы к силе гравитационного притяжения Солнца F^. Средняя плотность Земли 5 = 5,5 г/см3. 663. По теории Бредихина форма кометных хвостов объясняет- объясняется действием на частицы кометы отталкивающих сил, исходящих от Солнца и изменяющихся обратно пропорционально квадрату расстоя- расстояния от него. Было высказано предположение, что эти силы суть силы светового давления, так как последние убывают с расстоянием по тому же закону 2). Считая для простоты частицу шариком, оценить по порядку величины его радиус а, при котором давление солнечного излучения на шарик превосходит силу гравитационного притяжения Солнца. Считать, что поверхность шарика — абсолютно черная, а его плотность 5 = 1 г/см3. У к а з а н и е. Так как отношение силы светового отталкивания к си- силе гравитационного притяжения не зависит от расстояния до Солнца, то можно считать, что шарик находится на таком же расстоянии от Солнца, что и Земля, и значение плотности энергии солнечного излучения взять такое же, как вблизи Земли. 664. Принимая во внимание, что давление света на идеально отра- отражающее зеркало при нормальном падении равно удвоенной плотности энергии падающей волны, найти закон изменения плотности световой энергии при отражении от медленно движущегося идеального зеркала. 665. На твердое тело, находящееся в вакууме, падает интенсивный пучок света. При каких условиях импульс, сообщаемый телу, может превосходить значение импульса, которое оно получает в результате 1) Описание опытов Лебедева можно найти в следующих книгах: П. Н. Ле- Лебедев. Собрание сочинений. — М.: Изд-во АН СССР, 1963; Г. С. Ландсберг. Оптика, изд. б-е. — М.: Физматлит, 2003. 2) По-видимому, в большинстве случаев отталкивание кометных хвостов обусловлено не столько световым давлением, сколько другими причинами, например корпускулярным излучением Солнца.
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 101 светового давления при зеркальном отражении света? При нормальном падении света этот импульс равен 2uSt, где и — плотность энергии в пучке, S — площадь его поперечного сечения и t — длительность освещения. 666. Существуют лазеры, мощность излучения которых в импульсе составляет сотни мегаватт. Допустим, что мощность лазера равна W = = 500МВт, а площадь поперечного сечения светового пучка S = 1 см2. Пусть луч сфокусирован идеальной линзой с фокусным расстоянием / = 5см. Оценить напряженность электрического поляо Е и давление света Р в фокусе такой линзы. Длина волны Л = 6943 А. 667. Лазер на рубине излучает в импульсе длительностью г = = 0,5 мс энергию <? = 1 Дж в виде почти параллельного пучка с сече- сечением S = 1 см2. Рабочая длина волны лазера Л = 6943 А. Определить следующие величины: 1) давление несфокусированного пучка света Р на площадку, перпендикулярную к пучку; 2) давление света Р на площадку, перпендикулярную к пучку, при максимально возможной концентрации светового пучка (при фокусировке в область с площадью поперечного сечения порядка Л2); 3) напряженность электрического поля Е в области максимально возможной концентрации светового пучка. Примечание. Считать излучение лазера во время импульса рав- равномерным (усреднение). §11. Молекулярная оптика и смежные вопросы из других разделов физики 668. Определить поляризуемость а молекулы СО2, если показа- показатель преломления углекислоты при нормальных условиях равен п = = 1,000449, а число молекул в одном кубическом сантиметре (число Лошмидта) N = 2,687- 1019. 669. Показать, что модель атома Дж. Томсона приводит к соотно- соотношению а = а3, где а — радиус атома Томсона. Примечание. В модели Томсона атом представляет собой шар, суммарный положительный заряд которого равен е и который распре- распределен равномерно по объему шара. Внутри шара находится точечный отрицательный электрон с зарядом —е. 670. Найти максимальную скорость свободного электрона при вынужденных колебаниях его в поле солнечного излучения вблизи земной поверхности (см. задачу 196). Определить также отношение максимальной силы Fm, действующей на такой электрон со стороны магнитного поля, к максимальной силе Fe, действующей со стороны электрического поля. Поле солнечного излучения заменить монохрома- монохроматическим Е = Ео cos cut с длиной волны Л = 5500 А.
102 Задачи Указание. В первом приближении действие магнитного поля волны можно не учитывать. Найдя движение электрона, можно вычис- вычислить силу, действующую на него со стороны магнитного поля. 671. Определить среднюю силу светового давления на колеблю- колеблющийся электрон в поле плоской монохроматической световой волны частоты и. Помимо поля световой волны на электрон действуют еще две силы: 1) квазиупругая сила —тШцХ, под действием которой он совершал бы свободные гармонические колебания с собственной часто- частотой ujq; 2) «сила трения» —rwyx, благодаря которой электрон поглощает свет. Рассчитать также среднюю энергию г, поглощаемую электроном в одну секунду, и выразить через нее среднюю силу светового давле- давления. Показать, что если бы поглощения света не было, то средняя сила светового давления равнялась бы нулю. 672. Величина постоянного дипольного момента полярной молеку- молекулы ро порядка 10~18 (в системе СГСЭ), поляризуемость молекулы а порядка 10~24см3. Сравнить постоянный дипольный момент молекулы: 1) с моментом, индуцированным в поле световой волны солнечного излучения, если напряженность электрического поля солнечного излу- излучения у земной поверхности около 7 В/см; 2) с моментом, индуциро- индуцированным в поле напряженности 10000 В/см 0. 673. Чем объясняется, что соотношение п = л/е (п — показатель преломления, а г — диэлектрическая постоянная) так резко нарушается для воды в оптической области электромагнитного спектра? 674. Плотность водорода при 0°С и давлении 760 мм рт. ст. 0,0000896 г/см3, а его показатель преломления 1,000138. Плотность жидкого водорода 0,068 г/см3. Считая, что формула Лорентца-Лоренца применима к этому случаю, найти показатель преломления жидкого водорода. (Эксперимент дает значение п = 1,12.) 1) Значения а и р0 для некоторых веществ приводятся ниже. В случае анизотропных молекул под а понимается среднее из значений трех главных поляризуемостей молекулы. Вещество Водород Н2 Азот N2 Окись углерода СО Углекислота СО2 Водяной пар Н2О Хлороформ СНС1з Хлористый метил CH3CI Ацетон СНзСОСНз Бензол СбНб Нитробензол C6H5NO2 а, 105см3 7,9 17,6 19,5 26,5 — 82,3 42,3 63,3 103,2 129,2 ро, 10~18 СГСЭ 0,0 0,0 0,11 0,0 ± 0,02 1,79 1,05 1,86 2,73 0,0 3,8
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 103 675. Получить формулу для диэлектрической проницаемости е(и) ионизованного газа в монохроматическом электрическом поле Е = = EQeosujt. Столкновениями электронов и ионов пренебречь. 676. Может ли показатель преломления быть меньше единицы? 677. В области аномальной дисперсии dv/dX < 0 (v — фазовая скорость, Л — длина волны в среде). В этой области возможен случай, когда групповая скорость и = v — Xdv/dX будет больше скорости света с в вакууме. Как согласовать это с выводом теории относительности о невозможности сигналов, распространяющихся со скоростью боль- больше с? 678. Диэлектрическая проницаемость плазмы e{uS) (см. задачу 675) отрицательна, если и < ujq. В этом случае показатель преломления п = = л/г — чисто мнимая величина. Выяснить физический смысл чисто мнимого показателя преломления. 679. Радиоволна распространяется вверх. Волны каких частот мо- могут проходить через ионосферу? Какие волны будут полностью отра- отражаться? 680. Радиосигнал определенной частоты v = u;/27r посылается вверх и отражается на определенной высоте. Определить концентра- концентрацию электронов в точке отражения. 681. Концентрация электронов на Солнце на расстоянии г = 0,06i? от границы фотосферы (R = 6,95 • 1010см — радиус Солнца) примерно равна N = 2 • 108 см~3. Могут ли радиоволны из этой области Солнца достигать Земли, если длина волны (в вакууме) равна: 1) Л = 1 м; 2) А= 10 м; 3) Л = 50 м? 682. Получить выражение для фазовой скорости радиоволны в ионосфере в зависимости от длины волны Л в ионосфере. (См. задачу 675.) 683. При каких условиях в плазме могут существовать продольные колебания электрического поля? Чему равны фазовая и групповая скорости соответствующих волн? 684. Плотность электромагнитной энергии в диспергирующей среде легко определить в случае газа. В этом случае она слагается из: плотности энергии самого электромагнитного поля (т. е. поля в ва- вакууме) и плотности энергии частиц, находящихся в поле. Последняя энергия в свою очередь состоит из: кинетической энергии колеблющих- колеблющихся частиц и потенциальной энергии деформированных квазиупругих диполей. Из этих соображений найти выражение для плотности элек- электромагнитной энергии в непоглощающей диспергирующей среде (ср. с задачей 587). Рассмотреть также частный случай плазмы. 685. Какая картина будет наблюдаться в спектроскопе, если на его щель сфокусирована система горизонтальных интерференционных полос, получаемых от белого источника света? Как изменится эта картина, если в одно из плеч интерферометра ввести стеклянную
104 Задачи пластинку? Дисперсию показателя преломления стеклянной пластинки не учитывать Ч. 686. Как изменится картина, наблюдаемая в спектроскоп, скре- скрещенный с интерферометром Жамена (см. предыдущую задачу), если изменять толщину и дисперсию вносимой в одно из плеч стеклянной пластинки? Как изменится картина при переносе пластинки из одного плеча в другое? 687. Какой вид будет иметь интерференционная картина (см. зада- задачу 685), если в одном из плеч интерферометра находится слой паров натрия, а в другом стеклянная пластинка? 1) Рассмотреть вид полос вблизи линии поглощения натрия. 2) Найти выражение для (dn/dX)^a в вершине крюка (Л — длина волны в вакууме), если толщина стек- стеклянной пластинки равна /ст, толщина слоя паров натрия l^a, а их показатели преломления равны пст и п^а соответственно. Примечание. Вершиной крюка называется точка, в которой касательная к интерференционной полосе горизонтальна. 688. Расстояние между вершинами крюков с двух сторон резонанс- резонансной линии в длинах волн равно 2АЛ, толщины стеклянной пластинки и слоя исследуемого газа равны /ст и / соответственно, показатель пре- преломления стекла пластинки — пст. Определить силу осциллятора /о, соответствующую данной линии. Примечание. Для достижения совпадения классической теории дисперсии с опытом нужно в формулах классической теории заменить число рассеивающих электронов Щ на число /оЩ, где /о называется силой осциллятора. При решении принять во внимание, что показатель преломления газа близок к единице. 689. Свет частоты uj рассеивается на затухающем гармоническом осцилляторе с собственной частотой ujq, отличной от о;. 1) Каков будет спектральный состав рассеянного света? 2) Какова будет частота рассеянного света после прекращения действия падающей волны? 690. Как известно, линейный осциллятор не излучает в направле- направлении своей оси. Используя этот факт, дать молекулярное объяснение наличия угла полной поляризации (угла Брюстера) при отражении света от тела (п > 1). Молекулы тела считать изотропными. У к а з а н и е. См. задачу 25. 691. Отступления от формул Френеля (см. задачу 452) обычно свя- связаны с наличием на поверхности отражающего тела переходного слоя, показатель преломления которого отличен от показателя преломления отражающей среды, а толщина мала по сравнению с длиной световой волны. Объяснить на основе молекулярных представлений, почему при наличии переходного слоя закон Брюстера не соблюдается? 1) Задачи 685-688 составлены на основе классических работ Д. С. Рож- Рождественского, разработавшего «метод крюков» для исследования аномальной дисперсии.
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 105 692. Опыт показывает, что закон Брюстера применим не только к изотропным средам, молекулы которых сами изотропны, но также и к изотропным средам, состоящим из анизотропных молекул. Как согласовать этот факт с молекулярными представлениями, если для анизотропной молекулы направление индуцированного дипольного мо- момента молекулы, вообще говоря, не совпадает с направлением воз- возбуждающего электрического поля? Ведь в таком случае для света, поляризованного перпендикулярно к плоскости падения, возбужденные дипольные моменты молекул среды не будут параллельны направлению отраженного луча. Следовательно, молекулы среды будут излучать в этом направлении и мы должны были бы ожидать появления отра- отраженного света вопреки закону Брюстера. 693. С молекулярной точки зрения распространение света в среде заключается в следующем. Под влиянием падающей световой волны, а также под влиянием излучений соседних молекул и атомов каждая молекула (или атом) приобретает дипольный момент, меняющийся со временем, и поэтому сама становится источником вторичных световых волн. Эти вторичные волны распространяются в пространстве между молекулами и атомами со скоростью света с в вакууме. Поскольку вто- вторичные волны в конце концов возбуждаются одной и той же падающей волной, они когерентны и интерферируют друг с другом. Результат этой интерференции вне среды есть отраженная волна, а внутри сре- среды — преломленная волна. При исследовании отражения света нас интересует поле на таких расстояниях от границы среды, которые велики не только по сравнению с межатомными и межмолекулярными расстояниями, но и по сравнению с длиной волны. Вычисляя поля излучения на таких расстояниях, дискретные излучающие центры — молекулы или атомы — можно заменить источниками с непрерыв- непрерывно распределенным вектором поляризации: каждый элемент объема среды dV (размер которого мал по сравнению с Л3) излучает как диполь с дипольным моментом Р dV (P — вектор поляризации среды). Пусть среда граничит с вакуумом вдоль плоскости, и на нее падает плоская монохроматическая волна. В установившемся состоянии Р = — pQe^(o;t-kr)> среду можно разбить на слои, параллельные границе раздела. Каждый из слоев будет излучать в вакуум плоскую волну в направлении отраженного света. Подберем толщину слоев / так, чтобы два соседних слоя излучали плоские волны в противоположных фазах. Показать, что напряженность поля волны, излучаемой в вакуум всей средой, равна половине напряженности поля волны, излучаемой первым слоем. Найти также толщину слоя /. 694. В неограниченной изотропной среде может распространяться однородная электромагнитная волна и соответствующая ей однородная волна поляризации среды. Пользуясь этим, можно следующим образом вывести формулы Френеля для отражения света от среды, граничащей с вакуумом. Пусть в неограниченной среде распространяется однород- однородная волна поляризации Р = роег(иг~кг) с kz > 0 (ось Z направлена
106 Задачи вертикально вниз). Разделим всю среду на две половины плоскостью z = 0. Влияние верхней половины на нижнюю сводится к тому, что она излучает вниз плоскую волну (распространяющуюся со скоростью света в вакууме) с волновым вектором f, определяемым компонен- компонентами: , fx = kx, fy = ky, fz = +y -j — kx — ky . Если часть среды выше плоскости z = 0 убрать, но сохранить ее поле излучения, то состояние среды ниже плоскости z = 0 останется неиз- неизменным. Но то же состояние в нижнем полупространстве мы получим, послав из вакуума плоскую монохроматическую волну на среду, запол- заполняющую нижнее полупространство. Следовательно, падающая волна эквивалентна волне, излучаемой в нижнее полупространство вообра- воображаемой средой, заполняющей верхнее полупространство. Пользуясь этим и результатом решения предыдущей задачи, получить формулы Френеля для отражения света. 695. Расположенный в среде с показателем преломления п = л/г колеблющийся точечный диполь (осциллятор) с дипольным момен- моментом р дает поле излучения Е. Как будет излучать тот же диполь (т. е. диполь с тем же дипольным моментом р), если его поместить в узкую щель: 1) параллельно щели; 2) перпендикулярно к щели? Ширина щели мала по сравнению с длиной волны. Щель заполнена однородным веществом с диэлектрической проницаемостью е'. Указание. Применить электродинамическую теорему взаимно- взаимности 0. Ее можно сформулировать следующим образом. Пусть име- имеются два точечных диполя (осциллятора) с дипольными моментами Pi и р2. Пусть поле диполя / в точке нахождения диполя 2 равно Ei B), а поле диполя 2 в точке нахождения диполя / равно Е2(/). Тогда по теореме взаимности piE2(/) = p2EiB). Теорема взаимности применима к любым средам (как однородным, так и неоднородным), за исключением сред, в которых имеет место магнитное вращение плоскости поляризации (эффект Фарадея). (См. задачи 717 и 718.) 696. Решить предыдущую задачу для цилиндрической полости, когда диполь р ориентирован: 1) параллельно оси полости; 2) перпен- перпендикулярно к оси. Радиус цилиндрической полости мал по сравнению с длиной волны. 697. То же для сферической полости. 698. Найти спектральное распределение света, излучаемого раз- разреженным газом, находящимся в термодинамическом равновесии при температуре Т. Предположить, что атомы газа излучают лишь одну х) Доказательство теоремы взаимности см., например, в книге Л. И. Ман- Мандельштам. Полное собрание трудов. Т. III. С. 328. — М.: Изд-во АН СССР, 1950.
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 107 спектральную линию, частота которой равна щ в системе координат, связанной с атомом. 699. Найти полуширину линии На, излучаемой водородом при тем- температуре 50 °С. Считать, что уширение линии вызвано лишь эффектом Доплера. Длина волны линии На Л = 6563 А. Примечание. Полушириной линии называется величина АЛ = = Ло — Ai/2> гДе \) — длина волны, соответствующая центру линии, и Ai/2 ~~ длина волны, при которой / = Уг-^о- 700. Найти АЛ/Л, если источник движется со скоростью v в среде с показателем преломления п. 701. Рассмотреть движение упруго связанного электрона во внеш- внешнем магнитном поле и показать, что движение при наличии поля отличается от движения при его отсутствии наложением равномерного вращения вокруг направления поля с частотой ul = —еН/Bтс). Пред- Предполагается, что частота uol мала по сравнению с собственной частотой ujq упруго связанного электрона. 702. При помещении в магнитное поле энергия электрона, враща- вращающегося по орбите (с заданным радиусом г) с частотой ooq, изменяется в силу появления ларморовой прецессии. Каково изменение энергии электрона и каков механизм этого изменения? 703. Частица с зарядом е и массой т движется по окружности радиуса г со скоростью vq. Пусть движение по той же окружности (под действием соответствующих сил, которые обеспечивают достаточ- достаточно малое изменение радиуса орбиты) имеет место и при изменении скорости частицы (примером может служить движение по «желобу»). Показать, что при включении магнитного поля с напряженностью Н угловая скорость частицы изменяется на величину и^ = —еН/Bтс). (Это утверждение в применении к рассматриваемому случаю составля- составляет содержание теоремы Лармора.) 704. Электромагнитная волна распространяется в плазме (иони- (ионизованном газе), находящейся в магнитном поле напряженностью Н. Направление распространения волны совпадает с направлением векто- вектора Н. Пренебрегая столкновениями частиц (т.е. поглощением), опре- определить характер поляризации волны и соответствующий ей показатель преломления. 705. Постоянная Верде R для CS2 (при 0°С и Л = 5890А) рав- равна 0,04347 угл. мин/(Э • см). Найти угол, на который поворачивается плоскость поляризации света при его прохождении через слой CS2 толщиной в 1 см, находящийся в поле Н = 10000 Э. Примечание. Угол поворота плоскости поляризации в магнит- магнитном поле Н при прохождении слоя вещества толщины / определяется выражением а = RIH, где R — постоянная Верде. 706. Определить постоянную Верде R для железа, если известно, что слой железа толщиной 10~3см поворачивает плоскость поляриза- поляризации на 130° в поле Я = 10000 Э при Л = 5890 А.
108 Задачи 707. Выразить постоянную Верде R через показатели преломления П- и п+ для право- и левополяризованного по кругу света, проходя- проходящего вдоль линий магнитного поля. - 708. Показать, что п- — п+ ~ 2——ljl, где uj^ = —еН/Bтс) — оси угловая скорость прецессии электронных орбит в магнитном поле, п_ и п+ — показатели преломления для световых лучей соответственно с правой и левой круговой поляризацией. Получить отсюда формулу для постоянной Верде. 709. Определить знак вращения плоскости поляризации в магнит- магнитном поле при распространении света в прозрачной среде (т. е. в среде с малым поглощением). Указание. См. две предыдущие задачи. 710. Определить отношение заряда электрона е к его массе га, если известно, что угол магнитного вращения а для водорода при давлении 85 атм равен 0,063х; \одп/д\о = 0,0625 • 10~4 (Л = 5890 А), I = 1 см, Н= 10000 Э. 711. Линейно поляризованное радиоизлучение от одной из радио- радиогалактик проходит через область ионизованного межзвездного газа в направлении магнитного поля с напряженностью Н « 10~4 Э. Сред- Средняя концентрация электронов N = 1 см~3, размер области L = 1018см. Найти угол поворота а плоскости поляризации для излучения с длиной волны Л = 10 см. 712. Найти минимальную разрешающую способность спектрально- спектрального аппарата, необходимую для наблюдения нормального поперечного эффекта Зеемана для линии Л = 3000 А в магнитном поле напряжен- напряженностью Н= 10000 Э. 713. Простой эффект Зеемана наблюдается так, что направление наблюдения противоположно направлению силовых линий. Какая из компонент имеет правую круговую поляризацию и какая левую? 714. Рассмотреть качественно влияние внешнего магнитного поля на поляризацию излучения затухающего осциллятора в случае, если до включения поля: 1) направление колебаний параллельно направлению поля, а направление наблюдения перпендикулярно к полю; 2) направ- направление колебаний перпендикулярно к полю, а направление наблюдения или параллельно полю, или перпендикулярно к полю. Примечание. Рассмотрение влияния поля на излучение зату- затухающего осциллятора дает классическую теорию влияния магнитного поля на резонансную флуоресценцию. 715. Ширина резонансной линии ртути Л = 2537 А соответствует времени жизни атома ртути в возбужденном состоянии, равном Т = = 10~7 с. Определить по порядку величины магнитное поле, вызываю- вызывающее почти полную деполяризацию резонансного излучения ртути при наблюдении его по полю. Направление колебаний при отсутствии поля перпендикулярно к направлению наблюдения. 716. Может ли постоянное электрическое поле вызвать изменение частоты колебаний гармонического осциллятора? В качестве модели
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 109 гармонического осциллятора принять электрон, на который действует квазиупругая сила. 717. Имеются два николя N\ и N^ (рис. 67), главные плоскости которых повернуты друг относительно друга на угол 45°. Между николями в продольном магнитном поле помещен слой вещества, вра- вращающий плоскость поляризации (эффект Фарадея). На какой угол н Рис. 67 слой вещества должен вращать плоскость поляризации, чтобы свет проходил через систему только в одном направлении (например, от тела А к телу В), а в обратном направлении не проходил? (Оптический вентиль.) 718. Как будет вести себя оптический вентиль, описанный в преды- предыдущей задаче, если направление магнитного поля изменить на проти- противоположное, оставляя без изменения взаимное расположение николей и величину напряженности магнитного поля? 719. Может ли установка, описанная в задаче 717, быть оптическим вентилем, если между николями поместить слой естественно активного вещества без магнитного поля? 720. Разъяснить следующий парадокс (парадокс Вина). В адиаба- адиабатической оболочке помещены два одинаково нагретых тела А и В (см. рис. 67), а между ними световой вентиль. Свет, излученный телом А, падает на николь N\. Половина падающей энергии /, т. е. 1/2, проходит через николь, а другая половина, испытав полное внутреннее отражение в николе, возвращается зеркалом S\ к телу А (применяя зеркало, можно не учитывать нагревания николя). Другая половина энергии 1/2, пройдя через николь N\, полностью пройдет через ни- николь 7V2 и поглотится телом В. Свет же от тела В не пройдет через вентиль. Половина излученной этим телом энергии /, равная 1/2, испытает полное внутреннее отражение в николе N% и после отражения от зеркала S^ вернется к телу В. Другая половина энергии, пройдя через николь N% и вращающую среду, испытает поворот плоскости поляризации на 45° и поэтому не сможет пройти через николь N\, а претерпит в нем полное внутреннее отражение. Добавочным зерка- зеркалом S3 эта часть энергии будет отражена обратно, и после полного внутреннего отражения в николе N\ вернется к телу В. Таким образом,
ПО Задачи тело А получит энергию 1/2, а тело В — энергию 3//2 и будет нагреваться в противоречии со вторым началом термодинамики. 721. Наблюдается эффект Коттона-Мутона в ацетоне. Вычислить разность фаз 5, возникающую между компонентами света, поляризо- поляризованными по магнитному полю и перпендикулярно к полю (свет рас- распространяется перпендикулярно к полю). Постоянная Коттона-Мутона для ацетона при t = 20°С и для Ло = 5780 А равна С = 37,6 х х 10~13 рад/(Э2 • см). Напряженность поля Н = 20000 Э, толщина слоя 2 см. 722. Определить разность по — пе (по и пе — показатели пре- преломления обыкновенного и необыкновенного лучей) при наблюдении эффекта Керра в нитробензоле в поле напряженностью 3000 В/см. Постоянная Керра В = 220 • 10~7с2/г (при t = 20°С и Ло = 5890 А). 723. Определить в условиях предыдущей задачи сдвиг фаз 5, возникающий между компонентами света, поляризованного по полю и перпендикулярно к полю. Длина пластин конденсатора равна 4 см. 724. Какова должна быть напряженность поля в условиях преды- предыдущей задачи, чтобы 5 = тг/2? 725. На ячейку Керра падает свет, поляризованный под углом 45° к полю. Сдвиг фаз, вносимый ячейкой, равен тг/2. Какова интенсив- интенсивность света /, проходящего через николь, поставленный за конденса- конденсатором Керра и пропускающий свет, плоскость поляризации которого перпендикулярна к плоскости поляризации падающего света? 726. Указать качественно, при каких ориентациях эллипсоида оп- оптической поляризуемости полярной молекулы относительно ее постоян- постоянного дипольного момента вещество при внесении его в электрическое поле ведет себя как: 1) положительный кристалл; 2) отрицательный кристалл. Какая из возможных ориентации наиболее благоприятна для появления эффекта Керра? 727. Рассмотреть газ, состоящий из полностью анизотропных мо- молекул 0 (в таких молекулах электрон может колебаться лишь в одном фиксированном направлении относительно осей молекулы). Вычислить показатели преломления nz и пу для волн, электрические поля которых направлены по осям Z и Y, в зависимости от распределения осей молекул по углам; считать, что nz — пу <С щ и щ близко к единице (щ — показатель преломления при изотропном распределении моле- 1) В действительности полностью анизотропных молекул не существует. Поляризуемость а анизотропной молекулы является тензором. Если а\, а<2, аз — главные значения этого тензора, то полная анизотропия означала бы, что два из этих значений обращаются в нуль. Результаты решения задач 727 и 728 можно приблизительно применять к таким молекулам, у которых одно из значений а\, а^, аз велико по сравнению с двумя другими. В основном эти задачи следует рассматривать как качественные. Их цель — пояснить на простой модели основы теории эффекта Керра.
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 111 кул). Принять также, что распределение осей молекул зависит лишь от их угла с осью Z. 728. Вычислить постоянную Керра В = (nz — пу)/(XqEq) для газа, состоящего из полностью анизотропных молекул без постоянного ди- польного момента. Постоянное электрическое поле, равное Eq, направ- направлено по оси Z. Величину C = аЕЦBкТ) считать малой по сравнению с единицей. 729. Вычислить постоянную Керра В для газа, состоящего из пол- полностью анизотропных молекул с постоянным дипольным моментом ро> направление которого совпадает с направлением поляризуемости моле- молекулы. Считать момент, индуцированный постоянным внешним полем, малым по сравнению с ро (т.е. пренебречь индуцированным моментом), а величину /3 = роЕо/(кТ) — малой по сравнению с единицей. 730. Средняя по времени энергия света, излучаемого линейным вибратором в телесном угле d?l в единицу времени, равна где 9 — угол между электрическим моментом вибратора р и направ- направлением наблюдения. Используя эту формулу, рассмотреть рассеяние света свободным электроном и определить эффективное сечение а для этого процесса. Примечание. Эффективным сечением а называется отношение энергии, рассеиваемой электроном в единицу времени, к плотности потока энергии падающей световой волны. 731. Каково соотношение между эффективными сечениями свето- светового рассеяния а для протона и электрона? 732. На электрон падает неполяризованный свет; наблюдение рас- рассеянного излучения ведется под углом 9 к направлению первичного пучка. Найти интенсивность света d<&(9), рассеянного в телесном угле d?l по направлению к наблюдателю. 733. Упруго связанный электрон, собственная угловая частота ко- которого равна ujq, освещается поляризованным светом с частотой ш, сильно отличающейся от щ. Найти эффективное сечение рассеяния а, а также 1(9). Указание. См. задачу 730. 734. Решить предыдущую задачу с учетом затухания осциллятора. Считать, что «сила трения» равна R = —rwyx. Найти приближенное значение для а вблизи резонанса. 735. Найти отношение Е потока энергии рассеянного газом из- излучения к потоку энергии падающей плоской волны при нормальном давлении Р и температуре Т = 273 К. Молекулы газа можно считать линейными осцилляторами, т. е. предполагать, что у молекулы имеется лишь одна собственная частота. Длина рассеивающего объема вдоль луча / = 10см. Частота падающего света ио = 3 • 1015 с, собственная частота осцилляторов coq = 6 • 1015 с.
112 Задачи 736. Решить предыдущую задачу в предположении, что длина волны падающего света в одном случае равна Ai = 7000 А, а в другом Л2 = 4000 А. Каково отношение А = E(Ai)/E(A2)? Сравнить А с отно- отношением В = (А2/А1L. 737. Объяснить качественно голубой цвет неба и красную окраску заходящего Солнца. 738. Линейно поляризованный свет рассеивается газом, молекулы которого изотропны. Принимая, что молекулы рассеивают свет неза- независимо друг от друга, а их излучение не интерферирует, вычислить отношение dYl потока энергии рассеянного излучения, приходящегося на телесный угол d?l = sin в d6 dip @ — угол между направлением наблюдения и вектором Eq падающего света), к потоку энергии пада- падающего излучения. Объем рассеивающей области V (V <С г3, где г — расстояние от рассеивающего объема до наблюдателя), число молекул в единице объема равно N, показатель преломления газа равен п, длина волны света равна А. 739. Наблюдение рассеянного света ведется в плоскости, перпен- перпендикулярной к Ео (см. предыдущую задачу). 1) Определить поток рас- рассеянного излучения б?Ф, приходящийся на телесный угол сЮ,. 2) Найти тот же поток, если падающий свет — естественный. 740. Рассмотреть рассеяние света в газе, молекулы которого пол- полностью анизотропны (см. задачу 727). Принимая, что молекулы рас- распределены хаотически и рассеивают свет независимо друг от друга, вычислить плотность потока / рассеянного излучения для света с ко- колебаниями электрического поля по осям ОХ и OZ, если наблюдение ведется по оси OY, а падающий свет распространяется по оси ОХ и линейно поляризован, причем вектор Ео направлен по оси OZ. Опре- Определить также степень деполяризации рассеянного света А = Ix/Iz. 741. Решить предыдущую задачу, предполагая, что падающий свет — естественный, т.е. Е2 = Е2. 742. Найти отношение Е потока энергии рассеянного воздухом излучения к плотности потока энергии падающей волны при темпе- температуре Т = 273 К и нормальном давлении. Показатель преломления п = 1,00029. Длина волны А = 5000 А, длина рассеивающего объема вдоль луча I = 1 м. 743. Ту же задачу решить для сероуглерода (CS2). Длина рассеива- рассеивающей области / = 10см, п = 1,628. Плотность CS2 равна 1,264 г/см3. 744. На 1 см2 поверхности атмосферы падает в среднем около 2 кал солнечной энергии в 1 мин. Принимая, что плотность атмосферы постоянна и равна плотности воздуха на поверхности Земли, а высота ее h = 10 км («эквивалентная атмосфера»), вычислить поток энергии S, достигающий земной поверхности, считая излучение монохроматиче- монохроматическим с длиной волны: 1) А = 6000 А и 2) А = 4000 А. Указание. См. задачу 742.
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 113 745. Параллельный пучок линейно поляризованных лучей пропус- пропускается через высокую трубку, наполненную слегка замутненным рас- раствором сахара. В случае белого света сбоку наблюдается ряд винтовых линий различной окраски. 1) Объяснить их происхождение. 2) Выяс- Выяснить зависимость шага винта от концентрации раствора и от цвета. Примечание. Сахар — оптически активное вещество, т.е. при распространении в растворе сахара линейно поляризованного света происходит вращение плоскости поляризации. 746. Свет, поляризованный по кругу, рассеивается в газе, молекулы которого оптически изотропны. Описать, как будет поляризован рассе- рассеянный свет в зависимости от угла в между направлениями распростра- распространения падающего и рассеянного света. В случае эллиптической поля- поляризации рассеянного света определить ориентацию эллипса колебаний и коэффициент эллиптичности р, т. е. отношение малой к большой оси эллипса колебаний. 747. Естественный свет распространяется в газе, молекулы ко- которого оптически изотропны. Показать, что рассеянный свет можно разложить на линейно поляризованный свет и на свет естествен- естественный. Указать, как будет расположена плоскость поляризации линей- линейно поляризованной компоненты рассеянного света. Найти отношение интенсивности линейно поляризованной компоненты к интенсивности неполяризованной компоненты рассеянного света в зависимости от уг- угла в между направлениями распространения падающего и рассеянного света. 748. Л. И. Мандельштам и Г. С. Ландсберг, открывшие явление комбинационного рассеяния, производили свои первые опыты по рассе- рассеянию на кристаллах кварца. Источником света служила ртутная квар- кварцевая лампа. Исследование велось в ультрафиолетовом свете. Спектр лампы состоял из трех разных волн с длинами 2536, 3126 и 3650 А. Рассеянный свет фотографировался кварцевым спектрографом. Ман- Мандельштам и Ландсберг нашли, что в рассеянном свете все линии ртути сопровождаются спутниками. Для того чтобы доказать, что спутники не являются «ложными», т.е. не получаются в результате случай- случайных отражений всей спектральной картины, надо было убедиться, что длины волн их иные, чем длины основных линий. Одно из доказа- доказательств состояло в том, что между рассеивающим кристаллом и щелью спектрографа помещался кварцевый сосуд, наполненный парами ртути. Опишите, какую картину следовало бы ожидать при подогревании сосуда со ртутью, если бы длины волн спутников были бы такие же, как и основных линий, и какую картину следует ожидать, если предположить, что эти длины волн иные. 749. Найти частоту собственных колебаний v молекулы брома, дающей при комбинационном рассеянии линии Л = 3131,6 А спутник с длиной волны Л = 3164,0 А.
114 Задачи 750. Найти длины волн комбинационных линий молекулы CI2, полученных от возбуждающей линии с Л = 4358,3 А, если частота колебаний молекулы соответствует волновому числу 556 см. Примечание. Волновое число N = 1 /А. 751. Расстояние между фиолетовой (Л = 4046,8 А) и синей (Л = 4358,3 А) линиями ртутного спектра на фотопластинке а\ = = 8,680 мм, между синей и голубой (Л = 4916,0 А) а^ = 9,124 мм. Рядом с синей расположены четыре комбинационные линии ССЦ на расстояниях 0,903, 1,300; 1,865; 3,083 мм от нее. Найти нормальные частоты ССЦ в см. Указание. Для определения положения спектральных линий можно пользоваться следующей формулой, связывающей частоты двух спектральных линий с расстоянием между ними и — щ = а/(х — хо). 752. Какую разрешающую способность должна иметь призма, что- чтобы разрешить комбинационный дублет 1500 и 1530 см, полученный от возбуждающей линии с Л = 4358,3 А? 753. Найти отношение интенсивностей фиолетовых и красных спут- спутников в комбинационном спектре рассеяния ССЦ при температуре 27°С, если частоты нормальных колебаний ССЦ равны 217, 315, 457 и 774 см. 754. На основе классической теории оценить по порядку величины частоту вращения uoq молекулы Н2 при температуре Т = 300 К. Момент инерции молекулы Н2 порядка 5 • 10~40 г-см2. 755. Найти расстояния Аи между линиями ротационной структуры комбинационной линии N2, если известно, что момент инерции моле- молекулы N2 равен / = 13,8 • 100 г-см2. 756. Показать на основании классической теории, что полносим- полносимметричное нормальное колебание молекулы СО2, изображенное на рис. 68, не дает полосы в инфракрасном спектре абсорбции. О С О • *««> • —ш • Рис. 68 757. Показать на основании классической теории, что частота анти- антисимметричного относительно центра нормального колебания молекулы О ^ С О ^ Рис. 69 СО2, изображенного на рис. 69, отсутствует в комбинационном спектре рассеяния. 758. Показать на основании классической теории, что расстояние в А между линиями ротационной структуры комбинационного рассея-
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 115 ния молекулы вдвое больше расстояния между линиями ротационной структуры инфракрасного спектра абсорбции. 759. Изотропная среда обладает слабой оптической неоднородно- неоднородностью, так что ее диэлектрическая проницаемость представляется выра- выражением г = го + 5е, где го — среднее значение г, а 5г — отклонение от среднего значения. Показать, что в линейном по 5г приближении зада- задача о рассеянии света может быть сведена к задаче о распространении света в однородной среде с диэлектрической проницаемостью го, в ко- которой имеются дополнительные источники света в виде колеблющихся диполей, распределенных в среде. Показать, что если представить 5г в виде 5г = J2 $г?> то в том же приближении рассеянное излучение может быть получено простой суперпозицией полей, рассеянных на неоднородностях 5^. 760. В среде с малой оптической неоднородностью вида 5г = ае~гКг (а и К — постоянные) распространяется плоская световая волна: Ео = = Ae*(wt-kr), Но = Be*(wt-kr). При каких длинах волн Л = 2тт/к и в каких направлениях будет наблюдаться рассеянное излучение? 761. Считая, что диэлектрическая проницаемость среды г является функцией только ее плотности р, найти длины волн рассеянного из- излучения на тепловых флуктуациях плотности в зависимости от угла в между направлениями падающей и рассеянной волны. Падающая вол- волна — монохроматическая. 762. Тепловые флуктуации давления и удельной энтропии опреде- определяются следующими формулами: где ср — удельная теплоемкость, а к — постоянная Больцмана (см. за- задачу 402 кн. II этого задачника). Пользуясь этими выражениями, найти отношение интенсивности несмещенной компоненты 1Ш к сумме интен- сивностей двух смещенных компонент 1ш-§ш + 1ш+5ш ПРИ рассеянии света в жидкостях. (См. задачу 761.) 763. Описать качественно тонкую структуру линий рэлеевского рассеяния света в аморфных твердых телах. 764. Какую тонкую структуру линий рэлеевского рассеяния непо- ляризованного света следует ожидать в кристаллах? 765. Какую тонкую структуру линий рэлеевского рассеяния следу- следует ожидать в жидком гелии-П? 766. При рассеянии света резонансной линии ртутной лампы (Л = = 2536,5 А) в кристалле алмаза под углом в = 90° к направлению падающего пучка были найдены две пары смещенных компонент с 5Х = = 0,52 А и 5Х = 0,32 А. (Речь идет о смещении относительно централь- центральной (несмещенной) компоненты.) Определить скорости продольной и поперечной акустических волн в алмазе. Показатель преломления алмаза п = 2,42.
116 Задачи 767. Имеются два вибратора, один из которых ориентирован вер- вертикально, а другой горизонтально. Середина вертикального вибратора находится на продолжении горизонтального на расстоянии d от середи- середины последнего. На вибраторы перпендикулярно к их направлениям па- падает плоская волна, распространяющаяся в горизонтальной плоскости и поляризованная по кругу. В каких направлениях в горизонтальной плоскости рассеянные волны линейно поляризованы? 768. Внешняя поверхность заряженного сферического конденсатора или любого заряженного тела сферической формы колеблется (без нарушения формы поверхности) с некоторой частотой uoq. Будут ли при таких колебаниях возбуждаться электромагнитные волны, если кон- конденсатор находится в вакууме? Какого типа волны могут возбуждаться, если конденсатор находится в среде? 769. Рой электронов разлетается в вакууме под влиянием кулонов- ских сил. Будет ли такой разлет сопровождаться дипольным излучени- излучением? 770. Частица с зарядом е, движущаяся с нерелятивистской скоро- скоростью v, пересекает перпендикулярную к ней границу раздела вакуум- металл. При этом возникает так называемое переходное излучение. Указать его природу и характерные черты. 771. Рассмотреть качественно переходное излучение при пересече- пересечении зарядом границы двух прозрачных сред с проницаемостями е\ и е^. Какова поляризация излучения? 772. Заряд равномерно движется в однородной прозрачной среде со скоростью v, меньшей фазовой скорости света в этой среде, так что черенковское излучение не возникает. Будет ли заряд излучать, если показатель преломления всей среды быстро изменить (последнее можно достигнуть, например, изменив давление)? 773. Рассмотреть качественно переходное излучение на границе раздела среды с вакуумом для заряда, движущегося с релятивистской скоростью. В чем различие между случаями, когда заряд влетает из вакуума в среду и из среды в вакуум? 774. Рассмотреть качественно переходное излучение в случае пла- пластинки из прозрачного материала (толщина пластинки d, показатель преломления п, пластинка находится в вакууме). При каком условии переходное излучение на обеих сторонах пластинки можно считать независимым для нерелятивистских и для релятивистских частиц? 775. В среде с проницаемостью г помещен заряд, положение ко- которого зафиксировано (заряд закреплен или отвечающая ему масса бесконечна). Пусть под влиянием изменяющегося давления (скажем, в акустической волне) проницаемость е меняется с некоторой часто- частотой и. Возникает ли при этом электромагнитное излучение? 776. В плазме находится осциллятор, колеблющийся с частотой и. При какой концентрации N электронов в плазме осциллятор перестает излучать электромагнитные волны?
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 117 777. Испускаемые пульсаторами импульсы радиоизлучения при- принимаются на разных частотах («несущих» частотах, регистрируемых радиоаппаратурой) с запаздыванием, тем большим, чем ниже частота. Этот эффект объясняется влиянием на распространение волн меж- межзвездной плазмы. Найти время запаздывания в зависимости от ча- частоты, средней концентрации межзвездного газа N и расстояния до пульсара L. 778. Пространственной дисперсией диэлектрической проницаемо- проницаемости называют зависимость г от волнового вектора к рассматриваемого электромагнитного поля (в отсутствие поглощения к = 2тг/Л, где Л — длина волны в среде); частотной дисперсией г называют зависимость г от частоты и. В произвольном электромагнитном поле, созданном каки- какими-либо источниками, переменные и; и к можно считать независимыми. Естественная оптическая активность есть эффект пространственной дисперсии порядка а/Л, где а — характерный размер, по порядку величины равный постоянной решетки или размеру молекул. В средах с центром симметрии естественная оптическая активность отсутствует. Каков по порядку величины эффект пространственной дисперсии в таких средах (в оптической части спектра)? Могут ли кристаллы кубической системы быть оптически анизотропными, если не прене- пренебрегать пространственной дисперсией? 779. При учете пространственной дисперсии частота плазменных волн зависит от волнового числа к = 2тг/Л. При этом, как следует из о 9 , о 2tT 7 О решения кинетического уравнения, ио = ио^ + 6— к , где н — посто- постоянная Больцмана. Предполагается, что затухание волн мало, и этой формулой можно пользоваться только при условии Найти фазовую и групповую скорости плазменных волн и отвечаю- отвечающий им показатель преломления. 780. Затухание плазменных волн в изотропной плазме (при от- отсутствии соударений) есть обратный эффект Вавилова-Черенкова, т. е. черенковское поглощение. Написать условие поглощения и качественно пояснить, когда поглощение будет слабым и когда сильным (если не учитывать возмущения, создаваемого самой волной, то распределение скоростей в плазме совпадает с максвелловским). 781. В настоящее время широко проводится экспериментальное изучение обратного рассеяния коротких радиоволн в ионосфере. Пред- Предполагая, что этот эффект определяется рассеянием на свободных элек- электронах, рассчитать частотный спектр рассеянного излучения. 782. Релятивистская заряженная частица, ускоренно движущаяся в вакууме, излучает электромагнитные волны преимущественно в на- направлении ее скорости в конусе с раствором в ~ тс2/<f = л/\ — v2 /с2 . Здесь т — масса покоя частицы и $ = тс2/д/l — v2/с2 — ее пол-
118 Задачи ная энергия. 1) Каков характер магнитотормозного (синхротронного) излучения ультрарелятивистского электрона (&/'тс2 ^> 1) при его дви- движении в магнитном поле по окружности (т. е. при v J_ H)? 2) Каков частотный спектр излучения и где находится его максимум при таком движении? 783. Как изменится картина излучения, если в предыдущей задаче скорость электрона будет составлять с направлением магнитного поля угол а < тг/2 (движение по винтовой линии), но все же а ^> в ~ ~ тс2 /8? 784. При формулировке предыдущей задачи фигурировало условие а ^> в. В чем смысл этого условия и каково будет излучение, если а <С <С#? 785. Как поляризовано магнитотормозное излучение? 786. Сгусток, содержащий N релятивистских электронов, движется в магнитном поле и является источником синхротронного излучения. Какой степени числа N пропорциональна интенсивность излучения при I > Л и / <С Л, где I — характерный размер сгустка, а Л — длина волны рассматриваемого излучения? Как зависит от / и Л интенсивность излучения вперед для плоского (дискообразного) сгустка электронов, если ток, обусловленный наличием сгустка, j = jo ПРИ —1/2 < х < 1/2 и j = 0 при \х\ > 1/2 или j = jo71"^2 exp(—x2/I2)? 787. При когерентном механизме излучения электромагнитных волн интенсивность больше суммы интенсивностей отдельных частиц, образующих излучающую систему. В случае антенного когерентного механизма излучения увеличение интенсивности обеспечивается за счет соблюдения условия / <С Л (/ — размер системы и Л — длина вол- волны; см. предыдущую задачу). Но когерентным механизмом излучения является также мазерный механизм. Нужна ли в этом случае предвари- предварительная группировка частиц в пространстве или по скоростям? Какова в этом случае причина усиления излучения по сравнению со случаем некогерентного излучения отдельных частиц? 788. Какова минимальная энергия ЕМИН, регистрируемая газовым черенковским счетчиком, наполненным аргоном под давлением Р (при Р = 1 атм показатель преломления аргона п = 1,000281)? 789. Для необыкновенной волны в одноосном кристалле (пока- (показатель преломления п = / « , г± > 0, е\\ < 0) найти У ?LSin20 + ?||COS20 " условия, при которых могут возникать следующие эффекты: 1) че- ренковское излучение заряда, движущегося с постоянной скоростью v вдоль оптической оси кристалла; 2а) нормальное доплеровское излуче- излучение с частотой и\ 26) аномальное доплеровское излучение с частотой и (в обоих случаях речь идет о частице (осцилляторе), колеблющейся во внешнем поле с частотой О и движущейся с постоянной скоро- скоростью v вдоль оптической оси кристалла); 3) аномальное доплеровское излучение осциллятора в отсутствие черенковского излучения заряда, движущегося с той же скоростью, что и осциллятор.
§ 12. Тепловое излучение 119 790. С помощью оптических квантовых генераторов (лазеров) мож- можно получить настолько интенсивные пучки света, что при распро- распространении их в веществе начинают проявляться нелинейные эффекты. Если, например, тонкий световой пучок от рубинового лазера, генери- генерирующего на волне 6943 А (напряженность поля ~ 105В/см), направить на кристалл кварца, то в свете, выходящем из кристалла, наряду с красной линией будет наблюдаться слабая линия с длиной волны Л = = 3472 А. Объяснить это явление. 791. Два квантовых генератора посылают на кристалл кварца два мощных пучка света с частотами v\ и щ- Каковы частоты света в пучках после их выхода из кристалла? 792. В световом поле большой интенсивности в показателе прелом- преломления среды вследствие нелинейных эффектов появляется малая до- добавка, зависящая от средней величины напряженности электрического поля следующим образом: п = щ + П2Е2, где щ — показатель пре- преломления среды в слабом поле, щ — коэффициент, характеризующий нелинейную поляризуемость. Найти пороговую мощность однородного по интенсивности цилиндрического светового луча, проходящего через рассматриваемую среду, начиная с которой луч вследствие самофоку- самофокусировки не будет дифракционно расходиться. § 12. Тепловое излучение 793. Бесконечно длинный плоскопараллельный слой изотропно- изотропного вещества толщины / имеет всюду одну и ту же температуру Т. Найти интенсивность теплового излучения этого слоя в различных направлениях, пренебрегая отражением излучения на его границах, а также рассеянием излучения внутри слоя. (Отражение на границах слоя практически не будет происходить, если показатель преломления вблизи границ меняется плавно.) Коэффициент поглощения вещества (на единицу длины луча) равен а. 794. Решить предыдущую задачу, учитывая отражение излучения на границах слоя, но пренебрегая его рассеянием. 795. Найти излучение бесконечно толстого слоя вещества, прене- пренебрегая рассеянием внутри слоя. Убедиться, что бесконечно толстый слой любого вещества излучает во всех направлениях как абсолютно черное тело, если только можно пренебречь отражением на его грани- границах и рассеянием излучения внутри слоя. 796. В световой вентиль 0 (см. задачу 717), пропускающий излу- излучение слева направо и не пропускающий в обратном направлении, вве- введена плоскопараллельная пластинка Р (рис. 70) из дихроического кри- кристалла, нагретая до температуры Т. Пластинка Р пропускает целиком х) Практически такой вентиль представляет интерес для радиодиапазона излучения.
120 Задачи лучи одной поляризации и полностью поглощает лучи, поляризованные в перпендикулярной плоскости (отражением света на поверхности пла- пластинки пренебрегаем). Пластинка ориентирована так, что она целиком Вращающее вещество Рис. 70 поглощает свет, пропускаемый николем N^. Определить интенсивность теплового излучения пластинки, выходящего из системы слева направо и справа налево. 797. Показать, что если бы не существовало давления лучистой энергии, то можно было бы построить perpetuum mobile второго рода. 798. Показать, что цикл Карно, осуществленный с излучением абсолютно черного тела, имеет коэффициент полезного действия г] = = (Т\ — Т2)/Ть где Т\ и Тъ — температуры излучения на изотермиче- изотермических частях цикла (Т\ > Т^). 799. Найти энтропию и теплоемкость черного излучения. 800. Тело А находится в равновесии со своим излучением, заклю- заключенным в цилиндре с идеально отражающими стенками и закрытым идеально отражающим поршнем В (рис. 71), кото- который может перемещаться в цилиндре без трения. Рассмотрев цикл Карно для такой системы, найти зависимость объемной плотности равновесного из- излучения и от температуры. 801. Найти уравнение адиабатического процес- процесса, производимого с равновесным излучением. 802. На 1 см2 земной поверхности падает в среднем около 2 кал лучистой энергии в 1 мин. Расстояние от Земли до Солнца 150 млн км, диа- диаметр Солнца 1,39 млн км, температура Солнца 6000 К. Считая Солнце абсолютно черным телом, найти постоянную а в законе Стефана-Больцма- на, связывающем энергию, излучаемую 1 см2 чер- черного тела (в одну сторону) в 1 секунду с абсолютной температурой. 803. В черный тонкостенный металлический сосуд, имеющий фор- форму куба, налит 1 кг воды, нагретой до 50 °С. Определить время t остывания сосуда до 10 °С, если он помещен в черную полость, тем- температура стенок которой поддерживается около 0°С, а вода заполняет весь объем сосуда. Рис. 71
§ 12. Тепловое излучение 121 804. Определить установившуюся температуру Т находящейся в вакууме черной пластины, помещенной перпендикулярно к солнеч- солнечным лучам (поток световой энергии 2кал/(см2 • мин)). 805. Найти связь между плотностью энергии и изотропного излу- излучения, его интенсивностью / и светимостью М. 806. Найти число собственных колебаний струны длины z в интер- интервале частот (z/, v-\-dv). Считать, что струна может колебаться лишь в одной плоскости. 807. Найти число собственных колебаний квадратной мембраны со стороной z в интервале частот (z/, v-\-dv). 808. Найти число собственных поперечных колебаний параллеле- параллелепипеда с объемом V в интервале частот (z/, v -\-dv). 809. По формуле Планка плотность излучения черного тела с ча- частотами в интервале (z/, v + dv) равна 7 \J i\ I vis 1 7 Uv = ^3— exp{hv/kT] - 1 Найти приближенные выражения для г^, когда hv ^> кТ и hv <C fcT. 810. Пользуясь формулой Планка (см. предыдущую задачу), опре- определить постоянные в законах Стефана-Больцмана и Вина: S = аТ4 и АмаксТ = а, т. е. выразить их через постоянные: h, к и с. 811. Показать, что максимум объемной плотности и(\, Т) равно- равновесного теплового излучения, а также максимум излучательной спо- способности i?(A, Т) абсолютно черного тела растут пропорционально Т5. 812. Определить температуру Т Солнца, принимая его за абсолют- абсолютно черное тело, если известно, что максимум интенсивности спектра Солнца лежит в зеленой области (А = 5 • 10~5 см). 813. Определить длину волны, соответствующую максимуму ин- интенсивности в спектре абсолютно черного тела, температура которого равна 106К. 814. Отношение суммарной испускательной способности некото- некоторого тела к испускательной способности черного тела той же тем- температуры равно Эт- Найти связь между истинной и радиационной температурами. Примечание. Радиационная температура Тг — температура чер- черного тела, полная испускательная способность которого равна испус- испускательной способности данного тела, имеющего температуру Т. 815. Может ли радиационная температура быть больше истинной? 816. Пренебрегая потерями тепла на теплопроводность, подсчитать мощность W электрического тока, необходимую для накаливания нити диаметром 1мм и длиной 20 см до температуры 3500 К. Считать, что нить излучает, подчиняясь закону Стефана-Больцмана (а = 5,7 х х Ю-5 эрг/(с-см2-К4)). 817. Для вольфрама при Т = 3500К Эт ~ 0,35 (см. задачу 815). Найти Тг и W для вольфрамовой нити в условиях предыдущей задачи.
122 Задачи 818. Под яркостной температурой тела понимают температуру чер- черного тела, при которой последнее имеет яркость, равную яркости данного тела при данной длине волны. Найти, как зависит яркостная температура серого тела от длины волны. (Серым телом называется такое тело, у которого испускательная способность в рассматриваемом участке спектра не зависит от длины волны.) 819. Вином была дана эмпирическая формула для распределения энергии в спектре черного тела; она имеет вид -с/(А, 1) = С\л где С\ и С2 — постоянные. Получить из этой формулы закон смещения Вина и, взяв для С2 принятое сейчас значение 1,43880 см • К, опреде- определить постоянную для закона смещения Вина. 820. Сравнивая формулу Вина с формулой Планка, показать, до какой температуры в пределах видимого спектра G500 А < А < 4000 А) можно пользоваться формулой Вина, чтобы ошибка не превышала 1%. 821. Определить световое давление в центре атомной (урановой) бомбы в момент ее взрыва, предполагая, что излучение — равновес- равновесное, температура внутри бомбы Т~ ЮкэВ, плотность вещества р~ ~ 20 г/см3 (Результат ср. с ответом к задаче 364 кн. II этого задач- задачника.) 822. Какая формула для плотности излучения иу черного тела получилась бы, если бы не было индуцированного испускания света? Указание. См. вывод формулы Планка по Эйнштейну (Г. С. Ланд- сберг. Оптика. — М.: Физматлит, 2003). 823. Газ состоит из молекул или атомов, имеющих два невырож- невырожденных уровня энергии Е\ и Е2 (Е\ < Е2). Газ находится в состоянии термодинамического равновесия. Учитывая индуцированное испуска- испускание, выразить коэффициент поглощения газа х(Т) при температуре Т через его значение щ при Т = 0. Рассмотреть два предельных случая: 1) кТ > hu = Е2 - Е\\ 2) кТ <С hu = Е2 - Е\. 824. Определить в области применимости закона Рэлея-Джинса эффективную температуру излучения бесконечно длинного плоскопа- плоскопараллельного слоя изотропного вещества толщины / и температуры Т, пренебрегая отражением излучения на границах слоя, а также рассея- рассеянием излучения внутри слоев. Ограничиться рассмотрением излучения в нормальном к слою направлении. Коэффициент поглощения вещества (на единицу длины луча) равен а. 825. Источником радиоизлучения Солнца в метровом диапазоне является корона. Определить поток радиоизлучения S от Солнца на Земле в полосе шириной 1 МГц, предполагая, что это излучение явля- является тепловым. Эффективная температура излучения короны Т « 106 К. 826. Среда состоит из частиц, которые могут находиться на двух энергетических уровнях с энергиями Е\ и Е2 > Е\. Концентрации частиц на уровнях 1 и 2 равны соответственно N\ и N2. На систему
§ 12. Тепловое излучение 123 падает электромагнитная волна с частотой v = [Е^ — E\)/h. По какому закону будет изменяться ее интенсивность /? Возможно ли усиление волны и при каких условиях? 827. Лазер на рубине излучает в импульсе длительностью г = = 0,5 мс энергию & = 10 Дж в виде почти параллельного светового пучка. Рабочая длина волны лазера Л = 6943 А, ширина линии АЛ = = 0,01 А. Определить по спектральной плотности излучаемой энергии эффективную температуру ТЭф в лазерном пучке. 828. Энтропия монохроматического излучения равна нулю. Поль- Пользуясь этим, показать, что для линейчатого спектра справедлив первый закон Вавилова спектрального преобразования света при люминес- люминесценции. Согласно этому закону величина энергетического выхода р, равная отношению интенсивности излучения люминесценции 1е к ин- интенсивности поглощенного света 1а, не превосходит единицы: р = = /е//о<1. 829. Найти характер зависимости величины энергетического выхо- выхода люминесценции р (см. задачу 828) от длины волны возбуждающего света А' в области частот, где вероятность w{y, vf) испускания телом кванта с частотой v в результате поглощения кванта с частотой v' не зависит от частоты последнего, т.е. в области, где w(y, vf) = w(y).
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ § 1. Геометрическая оптика . 2rl г(г2-п) 1. Расстояние х = , радиус источника у = п+г2-2г' 2. Полное затмение бывает в том случае, когда расстояние от центра Луны до поверхности Земли меньше 376000 км; кольцеобразное, когда оно больше этой величины. 4. Если экран помещен близко от зеркала, то освещенная часть имеет форму четырехугольника. Если же экран находится далеко от зеркала, то получается изображение Солнца в виде эллипса. 5. На экране получится система горизонтальных светлых и темных полос. При повороте щели на 90° полосы становятся вертикальными. При ее повороте на 45° в случае решетки, изображенной на рис. 1 а, полосы пропадут; в случае решетки, показанной на рис. 1 б, появятся полосы, образующие с горизонтом угол 45°. В последнем случае расстояние между полосами станет в у/2 раз меньше расстояния между горизонтальными (или вертикальными) полосами. Во всех случаях полосы параллельны щели. 6. Характер картины не изменится, но полосы сделаются немного уже. 7.6 = 2а. Эта формула охватывает всевозможные случаи, если при отсчете углов а и 6 придерживаться следующего правила. Пусть свет отражается сначала от первого зеркала, а затем от второго. Тогда под а надо понимать угол, на который следует повернуть первое зеркало, чтобы совместить его со вторым зеркалом. Аналогично, 6 определяется как угол, на который надо повернуть исходное направление луча, чтобы совместить его с направлением луча, отраженного от второго зеркала. Направления вращений произвольны, но в обоих случаях должны быть одинаковы (например, по или против часовой стрелки). Это замечание надо иметь в виду при решении всех задач, аналогич- аналогичных разбираемой. 8. п = г0 - 2(r0N)N, п2г2 = гцго - NJni(roN) + Jn\ - п\ + raf(r0NJ 9. Пусть Ni, N2, N3 — единичные векторы нормалей к плоскостям зеркал; го — единичный вектор падающего на первое зеркало луча; п, гг, гз — единичные векторы луча после отражения от первого, второго и третьего зеркал. Тогда ri=ro-2(roNi)Ni, r2 = r1-2(r1N2)N2, r3 = r2 - 2(r2N3)N3. Отсюда легко получить, что гз = — го. 12. Решение. Положение (точечного) объекта О можно задать углом а, который радиус-вектор СО образует с поверхностью зеркала /, или углом C, который тот же радиус-вектор образует с поверхностью зеркала 2 (рис. 72).
§ 1. Геометрическая оптика 125 Пусть «о и А) характеризуют положение объекта О. Легко видеть, что для изображений 02, 012, 0212, 01212, ..., угол а имеет следующий ряд значений: Этот ряд обрывается на изоб- изображении, которое первым ока- оказывается со стороны задней по- поверхности зеркала /, так как в этом случае лучи от этого изображения уже не смогут от- отразиться от зеркала /. Анало- Аналогично, положения изображений 01, 021, 0121, 02121, ... опре- определяются углами 012 0212 0121 021 '01 Рис. 72 причем ряд обрывается на изображении, которое впервые оказывается со стороны задней поверхности зеркала 2. Дальнейший ход решения поясним на двух примерах. Пример 1.т = 5(<р = 2тг/5рад = 72°), а0 = 22° (f30 = 50°). Для верхнего ряда изображений получаем а = 122, 166, 266°; для нижнего C = 94, 194°. Углы а и C связаны соотношением а = 2тг + ср — C, или в рассматриваемом случае а = 432° — C. С помощью этого соотношения находим для нижнего ря- ряда а = 338, 238°. Следовательно, в верхнем и нижнем рядах нет совпадающих изображений. Всего изображений — пять. Пример 2. т = б (ср = 60°), «о = 20° (Д) = 40°). Для верхнего ряда изображений а = 100, 140, 220°; для нижнего C = 80, 160, 200° (а = 220°). Последние изображения в этих рядах совпадают, так что получается всего пять изображений. Вообще, если т — нечетное, то число изображений равно т. Если же т — четное, то число изображений равно т — 1. Изложенный метод пригоден и для случая, когда т не есть целое число. 13. Если лучи по выходе из призмы собираются ахроматической линзой, то спектрального разложения не будет. Если же выходящие лучи непосредственно падают на экран, то получится белое пятно с окрашенными краями; S = 2а. 14. Диаметр изображения приблизительно равен 7,5 см. 15. Изображение действительное и увеличенное в два раза, когда объект находится на расстоянии 30 см от зеркала. Изображение мнимое и увеличенное в два раза, когда объект находится на расстоянии 10 см от зеркала. 16. / = 7,5 см. 19. Выпуклая поверхность параболоида вращения, ось которого параллель- параллельна лучам. 20- f = g/2^2 = 490 см. 21. Решение. Из законов отражения света следует, что продолжение отраженного луча СВ (рис. 73) пересечет перпендикуляр АА' к плоскости зеркала в точке А', отстоящей от этой плоскости на таком же расстоянии,
126 Ответы и решения что и точка А. Значит, А'С = АС, а длина светового пути АСВ равна длине прямой А'В. Если бы свет распространялся по пути АС'В, то длина этого пути равнялась бы длине ломаной А'С'В. Сравнение длины ломаной А'С'В с длиной прямой А'СВ дает решение задачи. 22. Из равенства углов падения и отражения на основании свойства биссек- биссектрисы угла треугольника заключаем, что в приближении параксиальной оптики положения точки-объекта Р и ее изображения Р' в сферическом зеркале связаны соотношением LJ1 О 1 т.е. точки Р, Р', С, О являются четырьмя гармоническими точками. Тем самым построение, указанное в тексте задачи, сводится к известной теореме проективной геометрии о полном четырехугольнике. С Рис. 73 Рис. 74 23. Решение. Не нарушая общности, можно считать, что показатель преломления первой среды равен единице. Для оптической длины L ломаной, соединяющей точки А и В (рис. 74), имеем L = пЪ COS (f COS ф ' При этом должно выполняться дополнительное соотношение a tg ср + b tg ф = const, которое выражает постоянство длины проекции ломаной АСВ на плоскость раздела сред. Для минимума необходимо dL dip a sin if nb sin ф dip cosz ip cos2 ф dip Из дополнительного условия следует a b dib r cos2 if cos2 ф dip Сопоставляя это соотношение с предыдущим, находим sin(/? — п sin?/; = 0, т. е. закон преломления света. В том, что этот закон действительно выражает условие минимума оптической длины пути светового луча, а не просто условие
§ 1. Геометрическая оптика 127 ее экстремума, можно убедиться, либо исследуя знак второй производной d2L/d(p2, либо непосредственно из геометрических соображений. 24. Решение. Для примера выведем формулу тонкой линзы. Пусть Р — точечный источник света, расположенный на главной оптической оси линзы, а Р' — его изображение (рис. 75). Согласно принципу таутохронизма оптические длины всех лучей, вы- вышедших из Р и собравшихся в Р', одинаковы. Опишем из Р и Р' как из центров, окружности с радиуса- радиусами РА и Р'В соответственно. Тогда на основании равенства оптических длин лучей можем написать Рис. 75 (СЕВ) = (АВ), где круглые скобки означают опти- оптические длины лучей, заключенных в эти скобки. Если лучи РЕ и ЕР' параксиальные, то можно принять, что длина ломаной СЕВ приближенно равна длине ее проекции MN на главную оптическую ось. В этом приближении предыдущее отношение можно записать в виде MN = nAB или = (п - B4.1) где L — проекция точки Е на главную оптическую ось. Для тонкой линзы приближенно: АЬ = (ELJ LB = - (ELJ 2RX ' 2R2 ' где R\ и Rz — радиусы кривизны сферических поверхностей линзы. Аналогич- Аналогично, при выполнении условия параксиальности справедливы выражения AM = - (ELJ BN = (ELJ где через х\ и ж2 обозначены соответственно длины РА и ВР'. Подставляя написанные выражения в формулу B4.1), получим \ \_ _ ,_ v Х2 Х\ 25. (р = arctgn. 27. Боковое смещение I = dsm((p — ф)/совф = 6,6 см. 28. h' = ±c-^ =0,215 м. п cos3 ф 29. l = d/n= 10 см. 30. п= 1,5. 31. l2 = h +d/n= 18 см. 32. Фокус отодвинется на din — \)/п = 2мм. i{(A ?)/2} 36. ~ sin{A/2} = 48° 12'.
128 Ответы и решения 38. n = V2 = 1,41. 39. sin(a/2) ^ 1/ra = 0,752; a ^ 97°30;. 41.5 = A(n-l){l + ^^A2}. sin(A/2) 42. d5 sin ф dn dX cos (f dX dn AS = 2 sin(A/2) -n2 sin2 (A/2) An = 5/12//. 5 13 6. 36. 'l -n2 sin2 (A/2) 43. Интервалы 1 2 3 Угловая дисперсия (в угл. с/А) 0,9 1,7 2,9 44. Линейная дисперсия (в мм/А): 0,0022; 0,0042; 0,0071; 0,0195; 0,032; 0,088. 45. Желтый луч пройдет без отклонения, синий отклонится к вершине призмы, красный — к основанию призмы. 46. Решение. Пусть АВ — плоский участок волнового фронта перед трубой (рис. 76). После прохождения через трубу (не изображенную на рисун- рисунке) он переходит в плоский участок А В'. Луч С'А' будет продолжением лу- луча АС, а луч D'B' - продолжением луча BD. Тогда (АС С А') = (BDD'B1), В D ~---~_ D' Н Рис. 76 где круглые скобки означают оптические длины лучей, заключенных в эти скобки. Возьмем другой плоский участок волнового фронта АЕ, наклоненный к АВ под бесконечно малым углом а. За трубой волновой фронт АЕ перейдет в волновой фронт А"Е', образующий с прежним волновым фронтом А'В' угол о!. Угловое увеличение трубы будет N = а'/а. Возьмем тот волновой фронт А"Е', который проходит через точку А'. Лучи перпендикулярны к со- соответствующим волновым фронтам. Отсюда следует, что оптические длины лучей АА" и ЕЕ' при смещении вдоль волнового фронта будут меняться во втором или высшем порядке малости относительно этих смещений. С точно- точностью до второго порядка они остаются неизменными. Следовательно, с такой степенью точности (АС С А') = {EDD'B'K'). Сравнивая это соотношение с предыдущим, получим (BEDD'В') = (EDD'B'K), откуда (BE) = (В'К), или nha = n'h'a , где п — показатель преломления среды перед трубой, п — за трубой, h — поперечное сечение падающего пучка лучей, а Ъ! — выходящего. В трубе п = п', а следовательно, N = а'/а = h/h'. Полученные результаты справедливы для любых телескопических систем, т. е. таких систем, после прохождения через которые любой параллельный пучок лучей остается параллельным.
§ 1. Геометрическая оптика 129 47. Надо держать призму так, чтобы лучи при прохождении через нее испытывали наименьшее отклонение. Решение. Увеличение, даваемое призмой, вообще говоря, отлично в раз- разных направлениях. В направлении, параллельном преломляющему ребру приз- призмы, оно равно единице, так как поперечные размеры параллельного светового пучка после прохождения через призму в этом направлении не изменяются (см. решение предыдущей задачи). Напротив, в направлении, перпендикулярном к преломляющему ребру, поперечные размеры, вообще говоря, претерпевают изменения. В этом направлении увеличение может быть как больше, так и меньше единицы. Этим и объясняется сплюснутая или вытянутая форма изображения. Только при симметричном ходе пучка через призму его попе- поперечные размеры остаются неизменными во всех направлениях. В этом случае увеличение равно единице и не зависит от направления. 48. Надо расположить призмы взаимно перпендикулярно, поворачивая их вокруг направления ребер таким образом, чтобы увеличения в двух взаимно перпендикулярных направлениях были одинаковы. 50. Изображение вначале находится на расстоянии / = DB — п) = 15 см от ближнего конца диаметра с той же стороны, что и крупинка. При перемещении крупинки вдоль диаметра ее изображение перемещается в том же направлении и сливается с самой крупинкой, когда последняя достигает ближнего конца диаметра. 51. Сначала получается мнимое прямое уменьшенное изображение при отражении от роговицы глаза, которая действует как выпуклое зеркало. Оно дает другое изображение при отражении от вогнутых поверхностей очковых стекол, которое мы и видим. 52. Может. Изображения обратные, d = n(R\ + R2)/(n — 1); N = Rx/R<i- 53. Передняя поверхность линзы должна быть выпуклой, а задняя вогну- вогнутой, причем Rx > R2\ d = n{Rx - Д2)/(га - 1); N = Ri/R2. 54. ?>^2см. 55. / = 30,8 мм. 56. /; = 40см. 57. Фокусное расстояние увеличится в 8,64 раза, причем собирающая линза станет рассеивающей и наоборот. 58. / = 9см. 59. Фокусное расстояние объектива в воде должно быть 48 см, а в воздухе 12 см. Увеличение трехкратное. 60. /I = 36 см; /2' = 4 см; /i = 45 см; /2 = 5 см. 61. А/= 0,5см. 62. Роговица глаза должна быть плоской. 63. / = 20см (линза собирающая). 64. Система телескопическая. 65. Изображение получается на 5 см правее крайней правой линзы систе- системы. 2 d(h-fi)-hfi 69. h = Vd>. Г 2 _ /2 70./= - = 12см. 4х 5 Под ред. Д. В. Сивухина fld = 150.
130 Ответы и решения Р 72. / = -2м. 73. /= 1,5м. 74. R = 72cm,1= 108 см. 75. Собирающую линзу с фокусным расстоянием 30 см. 76. Оптическую длину луча следует считать положительной в направлении распространения света и отрицательной в обратном направлении. Поэтому оп- оптические длины всех лучей, соединяющих источник Р с его изображением Р' в плоском зеркале, равны нулю. 77. Примем ось вращения за ось X, а точку пересечения ее с искомой поверхностью за начало координат. Тогда уравнение анаберрационной поверх- поверхности будет (п2 - п)х2 + га'2(у2 + z2) - 2га'(га' - n)qx = 0, где q — абсцисса точки Р'. При п'2 > п2 получается эллипсоид вращения (рис. 77), вытянутый вдоль X, с полуосями -, b = q\ и эксцентриситетом n n7 При п'2 < п2 получается двуполостный гиперболоид вращения (рис. 78) с полуосями п' 7 / га — га' а = - га и эксцентриситетом В этом случае изображение Р; — мнимое. О Рис. 77 Рис. 78
§ 1. Геометрическая оптика 131 Случай п/2 — п2 = 0 может осуществляться либо при п' = п, что не интересно, либо при п' + п = 0. Вторая возможность соответствует отражению света. В этом случае анаберрационная поверхность 2 2 у -\- z = 4дж есть параболоид вращения с параметром р = 2q (параболоидальное зеркало). При q > 0 изображение Р; — мнимое (рис. 79), при q < 0 — действительное (рис. 80). Рис. 79 Рис. 80 78. Решение. Для примера рассмотрим случай 1). Случай 2) может быть рассмотрен аналогично. Проведем произвольную прямую CD, параллельную большой оси эллипса АВ (рис. 81). Точку пересечения ее D с эллипсом соединим с фокусами F\ Рис. 81 и F2. Если DN — нормаль к эллипсу, то ZF\DN = ZF2DN. Далее, ZDNF2 = = ср. Поэтому из треугольников F\DN и F2DN по теореме синусов находим F\D sin ip F2D sin(?> F^V = shW^' 'F27N = втф'
132 Ответы и решения Отсюда simp F{D + F2D AB sinip F1N + NF2 FXF2 Теперь очевидно, что если показатель преломления эллипсоида относительно окружающей среды п = AB/FxF^ = 1/е и если падающий луч направить по CD, то преломленный луч пойдет по DF\. 81. Решение. Направим ось X вдоль прямой РР', а ось Y перпендику- перпендикулярно к ней. Поместим начало координат в точке пересечения картезианского овала с осью X. Обозначим через q и q' абсциссы точек Р и Р'. Картезианский овал является анаберрационной поверхностью относительно пары точек Р, Р', а следовательно, уравнение его сечения плоскостью XY будет пу (ж - qJ + у2 + пу(х - q'J + у2 = n'q - nq, или (после освобождения от радикалов) (п — п )(х + у ) + 4(п — п ){п q — n q){x -\- у )х-\- + Ann (nq — nq)(nq — nq)(x2 + у2) + A(n2q — n2q)x2-\- + 8nn(n — n)(nq — n q)qq x = 0. (81.1) Если 7Т2 — n/2 = 0, то это уравнение переходит в уравнение второго поряд- порядка. Это может быть либо при п — п' = 0, что не интересно, либо при п + п' = 0. Во втором случае (81.1) переходит в Aqq'x2 + (g + </)/ - 4ад'(я + tf> = °- (81-2) Если ввести новые прямоугольные координаты ? и 77, поместив начало координат в середине отрезка РР;, то и уравнение кривой (81.2) примет вид При gg; > 0 (81.3) есть уравнение эллипса, фокусами которого являются сопряженные точки РиР' (эллипсоидальное зеркало). При qq' < 0 (81.3) есть уравнение гиперболы с фокусами в Р и Р' (гиперболоидальное зеркало). Уравнение (81.1) переходит в уравнение второго порядка также в том случае, когда одна из точек Р или Р' удалена в бесконечность. Если, например, q = 00, то, сохраняя в (81.1) только старшие члены по q и сокращая на Aq n , получим (п2 - п)х2 + п12у - 2п'{п - n')qx = 0. (81.4) Этот случай рассматривался в задаче 76. При qn = qfnf формула (81.1) приводится к виду [(га + п)(х2 + у2) - 2qnx}2 = 0
§ 1. Геометрическая оптика 133 и представляет собой уравнение двух совпадающих окружностей. Уравнение одной окружности: (п + п)(х2 + у2) - 2qnx = 0. (81.5) Анаберрационная поверхность в этом случае есть сфера радиуса R = qn _ q'n' п + п' п + п' (81.6) (см. следующую задачу). Есть еще один (тривиальный) случай, когда (81.1) должно сводиться к уравнению второго порядка. Если q = q', то обе сопряженные точки Р и Р' совпадают, т. е. на анаберрационной поверхности световые лучи не должны преломляться. Значит, в этом случае при п ф п' картезианский овал дол- должен вырождаться в сферу или в совокупность двух концентрических сфер. Это требование может служить критерием правильности вычислений. Полагая в (81.1) q = q', находим (ж2 + у2 - 2qx)[(n + п'J{х2 + у2 - 2qx) + Ann q2} = 0, в точке Р, что является уравнением со- совокупности двух концентрических сфер с центрами 83. Если Р и Q — апланатические точ- точки сферической поверхности KL, то они же будут апланатическими точками линзы, ограниченной поверхностью KL и сферой MN, имеющей центром точку Р (рис. 82). 84. f =^ J 2(n- 85. fy = / / п-\ 86. Выпуклый мениск. R\ = 20 см, R2 = = 10 см, п = 1,53. Объект помещается со стороны вогнутой поверхности мениска 87' n'Rx y'= nRz п1 — п)х + nR' и (п1 — п)х + nR' 89. Решение. Разрешив уравнения (п1 — п)х + nR , Ах + В х = —, ах + 6 относительно х и у, получим А'х' + В' У = Су ах + 6' Cz а'х' + Ъ' У = Су' а'х' + Ъ' где А' = -6, В' = а = а, и = —у С' = ах + 6 Cz' а'х' + Ъ'' аВ-АЪ С (89.1) (89.2) (89.3) Если аж + 6 = 0, то ж;, 2/, z; становятся, вообще говоря, бесконечными. Это значит, что лучи, вышедшие из какой-либо точки плоскости ах + Ъ = = 0, после прохождения через оптическую систему становятся параллельными. Плоскость ах + Ь = 0 называется фокальной плоскостью пространства предме-
134 Ответы и решения тов. Плоскость а! х' + Ь' = 0 называется фокальной плоскостью пространства изображений; параллельный пучок лучей, падающий на систему, сходится в одной из точек этой плоскости. Точки пересечения F и F' фокальных плоскостей с главной оптической осью называются фокальными точками или главными фокусами системы. Для координат этих точек имеем xf = --, x'F, =--, = -. (89.4) а а' а Сопряженные плоскости, координаты сопряженных точек которых связаны соотношениями у' = у, z' = z, называются главными плоскостями оптической системы. Они отображаются друг в друга с поперечным увеличением +1. Точки пересечения главных плоскостей с главной оптической осью Н и Н' называются главными точками системы. Их координаты: С- Ъ , С -У аВ + А(С-Ъ) хн = —, *н> = ^^ = ^ . (89.5) Расстояния главных точек от соответствующих главных фокусов называ- называются фокусными расстояниями системы. Для фокусных расстояний имеем * С *' , С аВ-АЬ ,Qna, f = хн - xF = -, / = хн, - xF, = — = ———. (89.6) Узловые точки К и К' определяются как сопряженные точки, обладающие следующим свойством: световой луч, проходящий через К под некоторым углом к оптической оси, проходит через К' под тем же углом и в том же направлении. Это значит, что уравнение луча у = а(х — хк) переходит в у' = у/ х> _ х> = а{х' — x'Ki\ т. е. — = —. Пользуясь формулами (89.1) и имея в виду, У х ~ ХК что последнее уравнение должно соблюдаться при любом х, нетрудно получить хк = xF - х'к, = x'F, - f. (89.7) 90. В случае 1) надо положить хн = х'И, = 0, а в случае 2) xf = x'F, = 0. Отсюда после преобразования координат получим (goo = y. (90.2) 91. Главные плоскости совпадают между собой и касаются преломляющей поверхности в точке пересечения ее с главной оптической осью; / = — , / ^. п' — п 94. Решение. Поместим начала координат каждой из складываемых систем в фокальные точки. Пусть Х\, Y\ — координаты точки-объекта, а Х[, Y{ — ее изображения в первой системе. Тогда — Y\ X\
§ 1. Геометрическая оптика 135 Примем изображение, даваемое первой системой, за объект во второй системе. Координаты такого «объекта» будут Х2 = Х[-6, Y2 = Y{. Координаты его изображения, даваемого второй системой (относительно F2), обозначим через Х'ъ Y2. Тогда ¦у/ yl MM - hh, тг - 77- Исключая координаты промежуточного изображения, получим ¦*г1 _ /2/2 лг у/ _ /l/2 у 2~ fxfl-SXx Ь 2~flfl-SXl Ь Отсюда известным способом (см. задачу 88) находим координаты фокальных и главных точек сложной системы: xF=f-f, x'F'=-f~f, (94.1) жн =/,/,'-/,/2^ x>HI = nn-hf^ (94.2) причем за начало координат в пространстве предметов принят передний фокус первой системы, а в пространстве изображений — задний фокус второй систе- системы. Для фокусных расстояний сложной системы находим 95. 7 =/Г+ 7г ~ М' /= h+fl-v (95Л) Расстояния главных плоскостей Н и Н' системы от первой и второй линз равны OiH=-. f/ . , O2Hf = f (95.2) t - /l - 72 t - 71 - 72 96. «Эквивалентную» линзу следует поместить в передней главной плоско- /• /1/2 сти системы двух линз: / — • /1/2 Л+Л-' 97. / = —, где п — показатель преломления воды. л + 72 - In 98. R1R2 f = -П1П2 ? / П2Пз. Здесь L) = d(n2 - ni)(n3 -n2) + n2[i^i(n2 -n3) + i?2(ni - n2)], где d = OO' (рис. 83) — толщина линзы. Приняв О и О' за начала координат, для координат главных точек Н и Н' будем иметь / Г\ ТТ / \ R\d 7/ /V тт/ / \ -П-2<Х П = ОН = —П\{Пз — n2)—jr-j fl = О Н = Пз{П2 — П\)——.
136 Ответы и решения 99. Обе главные плоскости совпадают и проходят через центр шара. 1) / = rl R П = —/ = — = 2R; фокальные точки лежат снаружи шара на расстоя- расстоянии R от его поверхности. \2) / = 1,5-R; фокальные точки щ лежат снаружи шара на рассто- расстоянии R/2 от его поверхности. Фокальные точки не выходят на- ^_ ружу при п ^ 2. О Н Н' О' F' ЮО. 1) х' = 15 см. 2) Увели- yf чение — = 1,5. 101. Для плосковыпуклой и плосковогнутой линз, т. е. ко- когда R\ или R2 = ±oo. Если свет рис §з падает со стороны сферической поверхности, то положение фо- фокуса в пространстве изображений относительно линзы зависит от толщины последней; если со стороны плоской, то не зависит. 102. Когда толщина линзы d > п- 1 Д2) = Д2), где Rx и R2 — абсолютные значения радиусов кривизны поверхностей линзы. 103. Когда толщина линзы d = ¦ (R\ + R2), где R\ и R2 — абсолютные п- 1 значения радиусов кривизны поверхностей линзы. 105. Главные плоскости совпадают с центром линзы. Фокальные плоскости расположены на расстоянии 28,2 см от линзы в воздухе и 37,5 см в воде. Узловые точки совпадают и расположены в воде на расстоянии 9,3 см от линзы. 106. / = 50 см. 1) 148 см от плоской поверхности; 2) 143 см от выпуклой поверхности. В обоих случаях изображение находится с противоположной стороны линзы по отношению к объекту. 107. / = б см. Главные плоскости лежат внутри линзы на расстояниях 1 и 1,6 см от поверхности линзы с большим радиусом кривизны. 108. / = 2,5 см. Положения фокальных точек и главных плоскостей изоб- изображены на рис. 84. Рис. 84 109. Нет. Это имеет место только в том случае, когда узловые точки совпадают с оптическим центром. 110. Собирающая. Главные плоскости лежат со стороны выпуклой поверх- поверхности на расстоянии d друг от друга. Первая главная плоскость удалена от
§ 1. Геометрическая оптика 137 выпуклой поверхности на расстояние R . На таком же расстоянии находится 2 (п- \Jd' вторая главная плоскость от вогнутой поверхности. / = 111. Рассеивающая. Главные плоскости совпадают и прохо- проходят через общий центр кри- кривизны поверхностей линзы. / = _ nR(R - d) d(n — 1) 112. Объект должен нахо- находиться в одной из узловых или обратных узловых точек систе- системы 0. 113. Решение. Пусть ма- малый объект, перпендикулярный к образующей цилиндра, помещен на внешней поверхности послед- последнего в точке Р (рис. 85). После преломления лучей на внутрен- внутренней цилиндрической поверхности в окрестности точки А получится промежуточное изображение объ- объекта в некоторой точке Р'. Пользуясь формулами, приведенными в ответе к задаче 87, легко получить абсциссу х' точки Р' (относительно начала координат А), а также поперечное увеличение у'/у: Рис. 85 х = nR2(R2-Ri) (п2 -n)Ri + nR У_ У (п2 - n)R\ +nR2 ' Оставшиеся две преломляющие поверхности с вершинами в О и О' действуют как линза, для которой f = —пщ R\R2 D ' ,R2(Ri-R2) } D где D = n\R\(ri2 — п) + nR2(n\ — П2). Точка Р' по отношению к этой линзе играет роль объекта. Ее абсцисса относительно фокуса F этой линзы: X = FP' = FH + HO + OA + APf = f - h - 2R2 + х . Далее f l) Если световой луч выходит из некоторой точки оптической оси под углом и к ней, а по выходе из системы проходит через сопряженную точку под углом и' = —и, то эти две взаимно сопряженные точки называются обратными узловыми точками системы. Пользуясь формулами параксиальной оптики, лег- легко показать, что центрированная система имеет одну пару обратных узловых точек.
138 Ответы и решения и следовательно, у (ri2 — n)R\ 2/1 ™2#2 / ' откуда после несложных преобразований легко получить требуемый результат. 116. Решение. Очевидно, А = ?' + е — ?, где ? и ?' — координаты пред- предмета и его изображения относительно соответствующих главных плоскостей. Исключая отсюда и из уравнения линзы ?', получим Если А — е > 4/, то уравнение имеет два вещественных корня ?i и ?2, и су- существуют два положения предмета, о которых идет речь в условии задачи. Расстояние между этими положениями: a=\?i -&\ = y/(A-e)* -4f(A-e), откуда f _ (А - еJ - а2 _ А2 - а2 А2 + а2 ^ 4(А-е) 4А 4А2 Для определения е можно повторить опыт при другом расстоянии А\ между предметом и экраном. 117. —|— = Ь( ) —. Расстояние h можно измерять либо по v и R \R и) R дуге, либо по перпендикуляру к оси зеркала, так как различие между эти- этими двумя расстояниями может сказаться только на членах высшего порядка (именно, на членах, содержащих /г4). ,,о т-г * О/Я-1/^J h2 118. Продольная аберрация равна ^- —^ —. {2/R — \ /и) R 119. 0,2 мм; 0,8 мм; 1,8 мм; 3,2 мм. 120. 3,1мм. 121. 0,3 мм. 123. Продольная сферическая аберрация равна ,_ _ п- 1 f/J_ _ J_\2/J_ _ n+l\ _ /J_ _ W (±_ _ n + 1 \ \ v2h2 V V~ n2 \\RX u) \RX и ) \R2 v) \R2 v )} 2 ' где v и v' — координаты точек на оптической оси, в которых ее пересекают параксиальный луч и луч, встречающий линзу на высоте h. 124. 1) -0,292см; -0,0147см. 2) -1,125см; -0,056см. 125. /кр = 1015 мм, /ж = 1000 мм, /с = 982 мм; А/ = 33 мм. 126. ?>Кр = 0,75 мм, Д. = 0,90 мм. X1 L L 127. N = — = —. Увеличение не зависит от положения / X' - а / + aX/f глаза и равно N = L/f, если X = 0, т. е. предмет помещен в главном фокусе лупы; в этом случае глаз должен быть аккомодирован на бесконечность. Увеличение не зависит от положения предмета и также равно N = L/f, если а = 0, т. е. глаз помещен в заднем фокусе лупы. Когда глаз аккомодирован на наименьшее расстояние ясного зрения, X' = а — L, N = (L — a)/f. Обычно объект помещается очень близко от главного фокуса, так что практически всегда N = L/f.
§ 1. Геометрическая оптика 139 128. Если окуляр ахроматизован в отношении фокусных расстояний, то его угловое увеличение не зависит от длины световой волны (см. предыдущую задачу). 129. Решение. Фокусное расстояние / системы двух тонких линз, находящихся на расстоянии / друг от друга, определяется формулой 1 _ 1 7" л При этом u l A29.1) A29.2) где А\ и А% — постоянные, зависящие только от кривизны поверхностей линз. Условие ахроматизации: Подставляя сюда 5A/f\) = А\5п, 5A //2) = А2?п, после несложных преобра- преобразований получаем решение задачи. 130. / = /i = /2. Положения главных плоскостей и фокальных точек показаны на рис. 86. Н Н' F* н Рис. 86 131. /i = 3/2, / = V2(/i + h) = 2/2 = %/ь / = %/2 = У2/ь Положения главных плоскостей и фокальных точек показаны на рис. 87. Там же приведен Н Рис. 87
140 Ответы и решения ход одного из лучей, падающих на окуляр Гюйгенса параллельно главной оптической оси. 133. / = 3/4/ь Положения главных плоскостей и фокальных точек пока- показаны на рис. 88. Крест нитей должен быть помещен перед первой линзой на расстоянии 74/i от нее. Н' Н нг н А 134. — 5п\ ¦ + -V- = 0. н V Рис. h п2 - Фокусные расстояния обеих ком- компонент имеют всегда противопо- противоположные знаки. Если вся система собирающая, то линза с большей дисперсией рассеивающая, а лин- линза с меньшей дисперсией собираю- собирающая. Наоборот, если система рас- рассеивающая, то линза с большей дисперсией должна быть собираю- собирающей, а линза с меньшей дисперси- дисперсией — рассеивающей. 135. Решение. Объектив телескопа, бинокля и т.п. является собираю- собирающей системой. Поэтому двояковыпуклая линза этой системы должна делаться из материала с меньшей дисперсией (т.е. крона), а плосковыгнутая — из материала с большей дисперсией (т.е. флинта) (см. решение предыдущей задачи). 136. Первая линза: R\ = 41,6 см; R2 = —41,3 см; вторая линза: R\ = = -41,3 см; R2 = oo. 137. Это возможно для толстой линзы благодаря тому, что в формулу, определяющую ее фокусное расстояние, входит п . Следовательно, могут су- существовать два значения щ и п2, которым соответствует одно значение /. Толщина линзы должна быть равна d = ——- (R\ — R2), где п = у/п\п2 — среднее геометрическое из щ и п2. Так как толщина существенно положитель- положительна, то для возможности ахроматизации необходимо, чтобы R\ — R2 > 0. Этому условию удовлетворяют только двояковыпуклые и выпукло-вогнутые линзы. Все прочие толстые линзы не могут быть ахроматизированы. 138. Результат следует из формулы / = —/' = г -^—-—^-, дающей фокусное расстояние линзы для пока- показателя преломления п = у/Щщ . 139. d = 31,42см; / = -/' = = +20,2 см. 141. Пластинку надо повернуть „ 1 ПТ? — ПС OL л _п на угол ft = + - = 1,8° а п — 1 2 так, чтобы фиолетовый конец спектра был ближе к объективу, чем красный. 142. Решение. Если световой луч АВ падает на поверхность ша- шара под углом ср и преломляется под углом ф (рис. 89), то угол падения ВСО преломленного луча ВС на эту п-1 R2- Рис. 89
§ 1. Геометрическая оптика 141 поверхность будет равен ф. Отсюда следует, что луч выйдет из шара под углом ср к нормали ОС. 143. Если ф — угол преломления в капле, то при однократном отражении / , а = Аф — 2ср, акр = 42°42', аф = 40°44'. При двукратном а= 180° 144. coscp = п2-\ -6ф, акр = 49о4б', аф = 53°29'. ф. Радуги 3-6 порядков характеризуются следующими данными: Номер радуги 3 4 5 6 Ч> 7б°55' 79°41' 81°29' 82°40' ф 47°04' 47°42' 48°02' 48° 14' 5 317° 20' 42°20' 126° 30' 210° 00' а 42°40' 42°40' 53°30' 30° 00' Третья и четвертая радуги находятся сзади наблюдателя, если он обращен лицом к первой радуге. Когда туча проходит между наблюдателем и Солнцем, то наблюдатель видит капли сильно освещенными от тех лучей, которые преломляются в каплях без внутреннего отражения. Интенсивность этих лучей значительно превосходит интенсивность лучей третьей и четвертой радуг. Пятая радуга почти точно совпадает со второй, а шестая находится внутри первой. Эти радуги никогда не бывают видимы, так как при каждом внут- внутреннем отражении интенсивность света ослабляется вследствие преломления. Читателю рекомендуется сделать точные чертежи для хода лучей в капле в случае радуг первых шести порядков. 145. 21°52'; 45°44'. В обоих кругах внешний край синеватый, а внутрен- внутренний красноватый. 146. Решение. Вообразим ряд плоскопараллельных слоев с постоянны- постоянными показателями преломления щ, П2, щ, ... (рис. 90). При распространении Щ п5/ Рис. 90
142 Ответы и решения света в такой слоистой среде в силу закона преломления справедливы соотно- соотношения: п\ sin а\ = 7i2 sin «2 = Щ sin аз = • • • Пусть теперь число слоев неограниченно растет, а толщина каждого из них неограниченно убывает. В пределе мы получим неоднородную среду с непре- непрерывно изменяющимся показателем преломления. Если показатель преломления меняется мало на протяжении длины световой волны, то можно пренебречь эффектами отражения на границах слоев. Свет распространяется в такой среде вдоль лучей, имеющих форму кривых линий. Примем за ось Z прямую, перпен- перпендикулярную к слоям, и обозначим через а угол между осью Z и касательной к лучу, а через N — нормаль к тому же лучу (рис. 91). Тогда n sin a = const. Дифференцируя это соотношение по длине s дуги луча и принимая во внима- внимание, что \/р = da/ds, получим sin a dn пcos a ds ' _ dn dn dn dn . Так как — = -— cos a, -— = — -— sin a, to ds dz dN dz 1 I dn Формула выведена для слоистой среды. Однако она справедлива и в общем случае, так как небольшой объем любой среды можно рассматривать как часть слоистой среды (см. также задачу 157). Z N X Рис. 91 Рис. 92 147. Решение. Если п зависит только от г, то путь светового луча AM (рис. 92) будет плоской кривой, лежащей в плоскости, которая проходит через звезду и вертикаль MZ места наблюдения. Обозначим через а переменный угол, составляемый вертикалью MZ и касательной к лучу (этот угол называ-
§ 1. Геометрическая оптика 143 ется зенитным расстоянием). Через s обозначим длину луча, отсчитываемую от точки М. Тогда 1 da d /, ч da da dr da . da , ч ds dr ds dr dr —— (In n) = — — (In n) cos 7 = — — (In n) sin(a — C). Отсюда da 1 d /-. ч /1 ._ 1 ч dr tg(a — /?) dr Далее из рис. 92 ,п ds ds . , пЛ dp = — cos7 = — sm a — p), r r откуда dp dp dr dp ( m 1 . ( Q, — = — — = — cos(a - /3) = - sin(a - /3). ds dr ds dr r Итак, dr tg(a — /3) Вычитая A47.2) из A47.1), находим d(a-p) tg(a - /9) Интегрирование этого уравнения дает sin(o; - р) = -dln(rar). sin ckq A47.3) где го — радиус земного шара, щ — показатель преломления воздуха у по- поверхности Земли, «о — видимое зенитное расстояние звезды при наблюдении из точки М. Вычислив из A47.3) tg(a — C) и подставив полученное значение в A47.1), найдем после интегрирования оо аоо - ао =-norosmao — (In n) A47.4) ;0 Г ^n2r2-n20r20 sin2 а0 Здесь аоо обозначает угол, образуемый асимптотой к лучу с вертикалью места. Разность аоо — «о дает угол отклонения направления луча при прохождении через земную атмосферу и носит название рефракции. Зная закон изменения показателя преломления п с высотой и измеряя видимое зенитное расстояние звезды ао, можно по формуле A47.4) вычислить рефракцию а^ — «о 1)- *) Формула A47.4) использовалась при составлении таблиц рефракции. Показатель преломления воздуха п в зависимости от высоты h над земной поверхностью вычислялся по плотности р с помощью формулы п — 1 = Ар, где А — постоянная. (В ранних вычислениях применялась формула п2 — 1 = Ар, дающая практически такую же точность.)
144 Ответы и решения 149. Для видимых зенитных расстояний, не превосходящих примерно 75°, можно пользоваться приближенной формулой «оо - «о = (щ - l)tgao. При «о — 70° получаем аоо — «о = 2;46/;. В Пулковских таблицах для «о — 70° находим «оо — «о — 2/45,б73//. 150. Решение. Так как п — 1 <С 1, то Inn = ln[l + (п — 1)] ~ п — 1. Тогда up Г ехр| - —-(r-ro)j «оо - «о = -^ norosinao(no - 1) | где /х — относительная молекулярная масса воздуха, R — газовая постоянная, Т — абсолютная температура. Подкоренное выражение можно заменить при- приближенным выражением п2г2 — щг1 sin2 = (nr Тогда oo aoo - a0 = 2(n0 - l)xotgao е~(ж ~х^ dx, где xl = ^—^- A - sina0)- Для функции HI x0 2 Г _ 2 Ф(ж0) = -^ e ж dx, 0 называемой интегралом вероятности ошибок, имеются специальные таблицы 1), которыми и можно пользоваться при малых xq. 151. aoo - ao = J^ К - 1) = 35'29". 152. 33000km; 1,6- 153. Решение. Необходимо, чтобы показатель преломления воздуха увеличивался с высотой h. Показатель преломления воздуха зависит только от плотности и увеличивается вместе с ней. Поэтому необходимо, чтобы было dp/'dh > 0. Так как р ~ Р/Т, то отсюда получаем dp _ dP _ dT О См., например, А. А. Марков. Исчисление вероятностей. — М.: ГНТИ, 1924. Наиболее полными таблицами являются: Таблицы вероятностных функ- функций. T.I. — М.: Вычислительный центр АН СССР, 1958.
§ 1. Геометрическая оптика 145 При механическом равновесии дР/dh = —pg, где g — ускорение свободного падения. Следовательно, или dh ^ P ь' """* dfr ^ R ' где /x — относительная молекулярная масса воздуха. С помощью формулы Р. Майера ср — cv = i?//x отсюда легко полу- получить dT < ср - cv -0,025 К/м. Такое распределение температуры конвективно неустойчиво. Для конвективной устойчивости должно быть — ^—?. d/l Ср 154. Решение. Пусть круг К радиуса р (рис. 93) представляет путь светового луча в среде, показатель преломления п которой за- зависит только от расстояния г до точки О. Тогда рис 93 Обозначим через Ь расстояние О А между точкой О и центром А круга К. Тогда Q Ь2 = г2 + р2 - 2rpcos6. Определив отсюда cos в и подставив полученное выражение в предыду- предыдущее уравнение, найдем 2rdr d(\nn) = — 2 + p2 _ b2 ' откуда п = С A54.1) D Рис. 94 где С — произвольная постоянная. Возьмем на окружности К про- произвольную точку Р и продолжим прямую РО до пересечения ее с окружностью К в точке Р' (рис. 94). В середине А$ прямой РР' восстановим к ней перпендикуляр CD. Из произвольной точки А\ этого перпендикуляра, как из центра, опишем окружность К\ радиуса р\, проходящую через точку Р (а следовательно, и через точку Р'). Для того чтобы световой луч описывал окружность К\, необходимо, чтобы показатель преломления среды менялся по закону A54.2)
146 Ответы и решения где Ь\ обозначает расстояние А\О, а С\ — произвольная постоянная. Докажем, что формулы A54.1) и A54.2) тождественны. Прежде всего установим, что р2 -Ъ2 = р\-Ь\. Из прямоугольных треугольников AOAq и APAq находим р2 = PAl + AAl Ъ2 = А0О2 + AAl откуда р2-Ъ2 = РА20-А0О2. Аналогично, из прямоугольных треугольников А\РАо и А\ОА$ получим Сравнивая это с предыдущим выражением, получаем доказываемое. Таким образом, можно положить р2 — Ь2 = р\ — Ь\ = а2. Выясним теперь физический смысл постоянных С и С\. Полагая в A54.1) и A54.2) г = 0 и обозначая через щ показатель преломления среды в точке О, находим С = С\ = ща2. Значит, выражения A54.1) и A54.2) тож- тождественны, и их можно переписать в виде п= 1 Щ2/ 2. A54.3) 1 +г2/а2 Если показатель преломления среды изменяется по закону A54.3), то луч света, выйдя из точки Р, опишет окружность, центр которой лежит на прямой CD. Положение центра на этой прямой зависит от направления луча в точке Р. Но каково бы ни было направление луча в точке Р, он всегда пройдет через точку Р'. Следовательно, все лучи, вышедшие из точки Р, соберутся в точ- точке Р'. Иными словами, Р' является стигматическим изображением точки Р. Подобными свойствами обладает произвольная точка среды. Действительно, в качестве окружности К можно взять любую окружность из семейства окружностей с центрами на прямой CD и проходящих через точку Р, а сама точка Р на окружности К может быть выбрана где угодно. Из построения легко найти и увеличение, даваемое «рыбьим глазом» при изображении какого- либо предмета. 155. р = а. 156. Нельзя. Решение. Формально движение частицы в консервативном поле сил про- происходит так же, как распространение светового луча в неоднородной изотроп- изотропной среде. Роль показателя преломления играет скорость частицы v. Поэтому, если бы можно было осуществить «рыбий глаз» в электронной оптике, то скорость электронов v в поле должна была бы определяться выражением 1 + r21 a2 ' С другой стороны, на основании закона сохранения энергии mv2 лг 1- ev = const,
§ 1. Геометрическая оптика 147 где V — потенциал поля. С помощью этого и предыдущего соотношения можно выразить V как функцию от г. Окажется, что эта функция не удовлетворяет уравнению Лапласа Ajr d2V d2V d2V _ дх2 ду2 dz2 Отсюда следует, что с помощью электростатического поля в вакууме осуще- осуществить «рыбий глаз» невозможно. Для этого необходимо наличие простран- пространственного заряда. 157. Решение. Радиус кривизны р траектории движения частицы опре- определяется из выражения для центростремительного ускорения где Fn — слагающая действующей силы вдоль главной нормали к траектории частицы. Если U — потенциальная энергия частицы, то Fn = —dU/dN. С другой стороны, по закону сохранения энергии dv dU ~^ + U = const, откуда mv Следовательно, dv = const, откуда mv— = - . 1 _ 1 dv ~p ~ v ~dN' Заменив здесь скорость частицы v на показатель преломления п среды, полу- получим искомую формулу для кривизны луча: 1 1 дп д , , 158. Решение. Заменяя в формуле для кривизны луча величину п на v, получим 13... На основании закона сохранения энергии v^— + eV = const, e < О, V > О, причем в силу нормировки потенциала const = 0, так как при V = 0 v = 0. Таким образом, 159. Пусть АВ — малый объект, перпендикулярный к главной оптической оси, а А'В' — его изображение (рис. 95). Оптические длины всех лучей, выходящих из А и собирающихся в А', одинаковы. Одинаковы и оптические длины всех лучей, выходящих из В и собирающихся в В'. Более того, оп- оптические длины всех лучей АА' равны оптическим длинам всех лучей В В1. Достаточно доказать это утверждение для лучей, выходящих из объекта АВ параллельно главной оптической оси. Это — параксиальные лучи. Поэтому бесконечно малый участок плоского волнового фронта АВ после прохождения
148 Ответы и решения через объектив остается приблизительно плоским и перпендикулярным к глав- главной оптической оси. Возьмем волновой фронт А'В', проходящий через точку А' — изображение точки А. Так как длины всех лучей от одного положения волнового фронта до другого одинаковы, то отсюда и следует доказываемое утверждение. В' \ В1 Рис. 95 Рис. 96 Проведем теперь через точки А и В бесконечно узкий параллельный пучок лучей, наклоненных к главной оптической оси под произвольным углом и (рис. 96). Волновой фронт ВС перейдет в волновой фронт В'С', причем ввиду бесконечной тонкости взятого пучка лучей его расходимость в пространстве изображений будет бесконечно мала. Так как оптические длины всех лучей между волновыми фронтами ВС и В'С' одинаковы, то (ВВ') = (СА'С'), а по доказанному ранее (ВВ') = (АСА'). Отсюда (АСА') = (СА'С). После вычитания общей части (СА') находим (АС) = А'С'. Таким образом, должно быть пу sin и = п у sin и , где у = АВ, у' = А'В', п — показатель преломления в пространстве предметов, п' — в пространстве изображений. Это и есть искомое условие (так называемое условие синусов Аббе). Оно должно выполняться для любых (малых) значений у и у' и любых углов и и и'. 160. Решение. Входным зрачком системы будет уменьшенное изоб- изображение зрачка глаза, помещенного в апланатическую точку Р'. Передняя апланатическая точка Р будет центром входного зрачка. Пусть плоскость АВ, перпендикулярная к оптической оси, помещена перед апланатической точкой Р на расстоянии а от последней, которое велико по сравнению с диаметром входного зрачка. Рассмотрим изображение плоскости АВ, даваемое объективом. Из каждой точки плоскости АВ через оптическую систему может пройти конус лучей только очень малого раствора, определяемого размерами входного зрачка. Так как эти лучи не параксиальные, а, вообще говоря, наклонены под большими углами к оптической оси, то пучки будут астигматическими. В дальнейшем мы пренебрегаем астигматизмом, а также искривлением плоскости изображения. В этом приближении плоскость АВ изобразится в виде сопряженной плоскости А'В', перпендикулярной к оптической оси, и можно следующим способом построить изображение точки. Из рассматриваемой точки А плоскости АВ проводим луч АР через центр входного зрачка, образующий с оптической осью некоторый угол и. Тогда сопряженный с ним луч А'Р' пройдет через вторую апланатическую точку Р' под углом и', значение которого определяется условием синусов: nlsinu =
§ 1. Геометрическая оптика 149 = n'V smv!. Точка пересечения этого луча с плоскостью А'В' и будет изобра- изображением точки А. Пусть у и z — координаты точки А в плоскости АВ, а у' и z1 — координаты точки А!. В таком случае smu = где а' — расстояние точки Р' от плоскости А'В'. Подставляя эти выражения в условие синусов и вводя обозначение а = nl/n'l', получим а\у2 + z2)(a'2 + у12 + z12) = {у12 + z'2)(a2 + у2 + z2). В силу осевой симметрии системы z'/у' = z/y. Исключая с помощью этого соотношения z', найдем [«V2 + у12) - у'2}у2 - /О - «V = «У2- Рассмотрим в плоскости А'В' прямую у' = ±р, параллельную оси Z. В плоскости АВ ей соответствует кривая [а2а12 -р2{\ - а2)]у2-р2{\ - a2)z2 = a2p2!, изображением которой является рассматриваемая прямая. Так как для объ- объективов микроскопов а — малая величина, то, пренебрегая ее квадратом по р р 1'п' сравнению с единицей и вводя обозначение ои = —- = — ——, получим аа' a' In Если и < 1, то A60.1) есть уравнение семейства гипербол. Аналогично, семейству прямых z' = ±р, параллельных оси Y, соответствует семейство гипербол 2 2 У4— 1 П6О2") 4 9 ' 9 9//1 9\ a2 a2uj2/(\ — uj2) получающееся из A60.1) путем поворота на 90° вокруг оптической оси си- системы. Если на листе бумаги начертить оба семейства A60.1) и A60.2) и по- поместить полученный рисунок на расстоянии а перед передней апланатической точкой объектива Р, то объектив даст изображение этого рисунка в виде прямоугольной сетки прямых. При и = l/v2 уравнение A60.1) переходит в уравнение у2 — z2 = а2, а уравнение A60.2) — в z2 — у2 = а2. Эти гиперболы имеют асимптотами биссектрисы координатных углов. Следовательно, а есть расстояние от начала координат до вершины той из гипербол, асимптоты которой совпадают с биссектрисами координатных углов. 161. а « 7мм. 162. Решение. Необходимость теоремы очевидна. Докажем ее достаточ- достаточность. Соединим Р и Р' произвольным лучом. Пусть li и 12 — два бесконечно малых неколлинеарных вектора, проходящих через точку Р, для которых удовлетворяется условие косинусов. Тогда разности raVli - rasli = Яь ris% - ns\2 = Н2 A62.1)
150 Ответы и решения не зависят от направления луча, соединяющего Р с Р'. Но они, конечно, могут зависеть от направлений векторов li и I2. Произвольный вектор 1, проходящий через точку Р и лежащий в плоскости предмета, можно разложить по векторам li и I2: 1 = ali + 6I2, где а и Ь, разумеется, не зависят от s. Введем вектор 1; = ali + b\2, умножим A62.1) на а и Ь и сложим. Получим ra'sT - nsl = Я, A62.2) где Н = аН\ + ЪН2. Отсюда видно, что разность A62.2) не зависит от s, т. е. условие косинусов выполнено для произвольного вектора 1, проходящего через точку Р и лежащего в плоскости предмета. Следовательно, этот (плоский) предмет изображается оптической системой стигматически. 163. Решение. Направления отрезков li и \2 примем за координатные оси X и Y в пространстве предметов, а точку их пересечения — за начало координат. Аналогичную роль будут играть сопряженные отрезки 1^ и \2 в пространстве изображений. Тогда координаты х, у любой точки площадки- объекта будут связаны с координатами х', у' сопряженной точки площадки- изображения формулами вида х=Ах, y' = By, A63.1) где А и В — постоянные. Действительно, поскольку площадки бесконечно малы, координаты х'', у' должны выражаться линейно через х и у. Эта связь должна быть вида A63.1), так как ось X' является изображением оси X, а ось Y' — изображением оси Y. По условию теоремы лучи, выходящие из Р (рис. 97) в направлениях li и I2, лежат в поле инструмента. В пространстве изображений они пройдут ¦ll Рис. 97 в направлениях сопряженных отрезков 1[ и 1^. Рассмотрим сначала изображе- изображение отрезка 1ь Возьмем два луча, исходящих из Р в направлениях \2 и 1ь На основании теоремы косинусов можно написать nl\ cos а — n'l[ cose/ = nl\ — nl[, A63.2) где а — угол между отрезками li и \2, а а' — угол между сопряженными отрезками 1^ и 1^. Аналогично, рассматривая изображение отрезка I2, получим nl2 cos a — n'l'2 cos a = nl2 — nl2. A63.3) Допустим, что 1\ = 12. Докажем, что тогда 1[ = 1'2. В самом деле, вычитание A63.3) из A63.2) дает n'l'\{\ — cose/) = n'l'2{\ — cose/). A63.4)
§ 1. Геометрическая оптика 151 Так как, по предположению, угол а отличен от нуля, то угол а! также отличен от нуля. Поэтому на основании A63.4) 1[ = 1'2, что и требовалось доказать. Из доказанного следует, что отрезки li и \2 изображаются оптической си- системой с одинаковым увеличением. Следовательно, в рассматриваемом случае в формулах A63.1) А = В, поэтому увеличение любого отрезка в плоскости предмета не зависит от его направления. Отсюда следует, что изображение происходит с сохранением подобия. Но изображение с сохранением подобия характеризуется также сохранением углов. Таким образом, а = а', и формула A63.2) дает nl\ = п'1[. Вообще для всякого отрезка /, лежащего в плоскости предмета, nl = nl\ l'/l = n/ri, A63.5) и вторая часть теоремы доказана. Следовательно, стигматические изображения площадок, лежащих танген- тангенциально в поле инструмента, могут происходить только с вполне определенным увеличением п/п'. В частности, когда показатели преломления пространств предметов и изображений одинаковы, это увеличение равно единице. Однако если площадки не лежат тангенциально в поле инструмента, то стигматическое изображение возможно и с другим увеличением. Примером может служить изображение площадки при преломлении на поверхности шара, когда изобра- изображаемая площадка перпендикулярна к оптической оси и проходит через одну из апланатических точек шара (см. задачу 82). 164. Сформулированная теорема является непосредственным следствием теоремы, доказанной в предыдущей задаче. 165. Теорема доказывается так же, как аналогичная теорема, сформулиро- сформулированная в задаче 162. 166. Решение. В случае стигматического изображения элементов объ- объема всегда существуют три отрезка li, \2, 1з, не находящихся в одной плос- плоскости и лежащих тангенциально в поле инструмента. Повторяя рассуждения, проведенные применительно к изображениям элементов поверхности (см. зада- задачу 163), приходим к заключению, что эти три отрезка изображаются с одним и тем же увеличением. Отсюда уже нетрудно получить сформулированную теорему совершенно так же, как бы- было сделано в решении задачи 163. 167. Решение. Пусть Р, Р' — пара сопряженных точек. Докажем теорему сначала для частного слу- случая, когда другая пара сопряженных точек Q, Q' лежит на одном из лу- лучей, соединяющих Р и Р', например на луче PQP' (рис. 98). Соединим Рис. 98 Р с Р' произвольным лучом РАР'. Так как Р, Р' — сопряженные точки, то (PAP1) = (PQP1). А так как P'Q', очевидно, является оптическим изображением PQ, то в силу теоремы, дока- доказанной в предыдущей задаче, (PQ) = (P'Q'). Комбинируя эти два равенства, получим (PAP') = (QP'Q'), что и требовалось доказать. Общий случай может быть сведен к рассмотренному частному случаю, если заметить, что произвольные точки Р и Q могут быть всегда соединены кусочно гладкой кривой, отдельные звенья которой являются лучами. По- Последнее утверждение непосредственно следует из леммы Гейне-Бореля, если принять во внимание, что каждой точке пространства в абсолютном оптиче-
152 Ответы и решения ском инструменте соответствует конус лучей конечного раствора, сходящихся в сопряженной точке. 168. Решение. Проведем через произвольную точку О пространства предметов три луча, лежащих в поле инструмента и не находящихся в одной плоскости. В пространстве изображений эти три луча пересекутся в сопря- сопряженной точке О'. Примем эти лучи за координатные оси в пространствах предметов и изображений. Тогда координатные оси одной координатной систе- системы будут изображаться координатными осями другой координатной системы. Без ущерба для общности можно принять, что одноименные оси являются сопряженными. В таком случае при надлежащем выборе положительных на- направлений координатных осей координаты сопряженных точек будут связаны соотношениями i п , п , п х = — ж, у = — у, z = — z п' п' п' (см. решения задач 163 и 166). При постоянных п и п' эти соотношения должны быть справедливы не только для бесконечно малых областей, но и для всего пространства предметов и всего пространства изображений. Отсюда заключаем, что инструмент является телескопической системой, в которой всякая прямая изображается в виде прямой. 169. Решение. Рассмотрим случай одной преломляющей поверхности. Если точка-объект помещена на этой поверхности, то ее изображение получит- получится в той же точке. Отсюда и на основании теоремы, доказанной в задаче 160, заключаем, что оптическая длина луча соединяющего любые сопряженные точ- точки Р и Р', должна быть равна нулю (следовательно, если Р — действительная светящаяся точка, то ее изображение будет мнимым). Единственный случай, когда это условие удовлетворяется при любом положении точки Р, реализуется при отражении от плоского зеркала. Случай нескольких преломляющих поверхностей, а также их комбинаций с отражающими поверхностями сводится к разобранному случаю одной пре- преломляющей поверхности. 170. См. доказательство предыдущей теоремы. §2. Фотометрия 171. h = \/2/2м. 172. Точная величина освещенности Е = —-——, где / — сила света Я + иг диска, a d — расстояние от диска. При d = 10R Е = 1,01а2 173. /<9 = /o/cos3#, где в — угол между лучом и вертикалью. 174. Яркость поверхности шара всюду одинакова, за исключением того места, на которое падает параллельный пучок лучей. 175. Яркость изображения приблизительно пропорциональна отношению площади отверстия зеркала к фокусному расстоянию. 176. Решение. Пусть S — видимая площадь фонаря, В — его поверх- поверхностная яркость, а г — расстояние фонаря от глаза наблюдателя. Световой поток, посылаемый фонарем в глаз наблюдателя, определяется выражением Ф=
§2. Фотометрия 153 где а — площадь зрачка глаза. Если S' — площадь изображения на сетчатке, то освещенность сетчатки Е будет равна ЕВ Отношение S'/S представляет собой квадрат увеличения, даваемого глазом, и равно (d/nr) , где d — глубина глаза, an — показатель преломления стекловидного тела глаза. Таким образом, т. е. освещенность сетчатки не зависит от расстояния до фонаря (см. решение задачи 183). О поверхностной яркости фонаря мы судим по освещенности сетчатки. Поскольку последняя не зависит от расстояния до фонаря, одинако- одинаковые фонари, находящиеся на разных расстояниях от глаза, должны казаться одинаково яркими. Это заключение справедливо, если можно пренебречь по- поглощением света в воздухе, что и было сделано при выводе. При наличии поглощения фонарь кажется тем ярче, чем ближе он находится. При достаточно большом удалении фонаря величина изображения фонаря на сетчатке благодаря дифракции не зависит от расстояния до него и освещен- освещенность сетчатки (если пренебречь поглощением) изменяется обратно пропорци- пропорционально квадрату расстояния до фонаря. 178. Е = ттВ. 179. Е = тгВ. 180. а\ = a 181. В=- (—) Е = 1,5 • 109 кд/м2. 182. Е = пВ/к= 11 • 104лк. 183. Е = Ео^^ = 2,58 • 108 лк. Af2a2 184. Освещенность уменьшится в 1- раза. 185. Приблизительно в ( 1 ) . = 3,4 раза. V D J п — л/п2 — 1 186. В = В' (см. решение задачи 192). 187. Яркость изображения в первом случае не зависит от диаметра линзы, а во втором пропорциональна квадрату диаметра (для параксиальных лучей). 188. 1) 1; 2) 1; 3) 0,25. Вообще яркость В = 1 при N < Did и В = (-J- ^f \N a при N ^ D/d, где N — увеличение трубы, D — диаметр объектива, a d — диаметр зрачка глаза. 189. D= 100мм. 190. 1) Четырнадцатая; 2) шестидесятикратное; 3) девятая-десятая. 191. Двадцатой. 192. Решение. Рассмотрим произвольную оптическую систему, крайним элементом которой является глаз. Пусть эта система удовлетворяет условию синусов nysinu = n'y' sini/, A92.1) где у и у' — линейные размеры объекта и его изображения на сетчатке глаза, п и п — показатели преломления пространства предметов и стекловидного
154 Ответы и решения тела глаза (на рис. 99 глаз и изображение на сетчатке не показаны). Условие A92.1) должно выполняться для любого угла наклона и, но в дальнейшем под Рис. 99 и мы будем понимать угол, образуемый с оптической осью крайними лучами, которые еще могут пройти через оптическую систему и попасть на сетчатку глаза. Если яркость объекта В постоянна, то световой поток, попадающий в си- систему, будет и Ф = BS \cosO- 27rsm0d0 = 7rBSsin2u, о где S — площадь объекта. Световой поток, попадающий в глаз: 3'S' [ Ф' = B'S' cos 0- 2тг sin 0 dO = ttB'S'sw2 где В' — яркость изображения, a S' — его площадь. Если пренебречь потерями света при прохождении через систему, то Ф = Ф;. Так как S ~ у2, S' ~ у/2, то отсюда и из A91.1) получаем 4 = ^- A92-2) Субъективная или зрительная оценка яркости определяется освещенностью сетчатки: ; /2 Е = — = тгВ' sin i/; = тгВ— sin i/;. A92.3) Определим ширину пучка </, вышедшего из О под углом гг, непосред- непосредственно за окуляром. (Обычно изображение у^ получается в переднем фокусе окуляра, так что за окуляром пучок световых лучей параллелен.) Так как угол U2 всегда мал, то d! = 2аи2 = 2а sin i/2 = 2cm sin и У2 где а — расстояние от точки 0% до передней главной плоскости окуляра, причем мы воспользовались условием синусов для точек О w 0%. Введем увеличение микроскопа N, равное по определению отношению угла а', под которым предмет виден в микроскоп, к углу а, под которым он был бы виден невооруженным глазом, если бы был помещен на наименьшем расстоянии ясного зрения L. (Для среднего глаза L ~ 25 см.) Считая эти углы малыми, можем написать а = У V i а _ У2 а
§2. Фотометрия 155 У — У2 А1 - а с L а ILr 1 г sin и L а откуда Следовательно, 2J^p^ A92.4) Следует различать три случая. Случай 1. Максимальное ограничение светового пучка производит зрачок глаза: d! равно диаметру зрачка d, однако угол и меньше предельного угла ^макс, допускаемого апертурой микроскопа. В этом случае угол и' определяется только диаметром зрачка и не зависит от увеличения. Согласно A92.3) не зависит от увеличения освещенность сетчатки Е, а с ней и зрительная оценка яркости. Рассматриваемый случай соответствует относительно малому уве- увеличению. Такое увеличение невыгодно, поскольку при нем используется не вся апертура объектива микроскопа. Примером разобранного случая явля- является невооруженный глаз. Здесь зрительная оценка яркости не зависит от расстояния: предметы с одинаковой поверхностной яркостью, помещенные на различных расстояниях, воспринимаются глазом также, как одинаково яркие. Случай 2. Зрачок глаза и оправа объектива одинаково ограничивают свето- световые пучки: в! = d, и = гамаке- Согласно A92.4) увеличение в этом случае равно A92.5) и называется нормальным увеличением. Применение больших увеличений не может повести к увеличению разрешающей способности оптической системы микроскоп-глаз *). Полагая d = 2 мм и L = 25 см, получаем NmpM = 250nsin гамаке- A92.6) Случай 3. Максимальное ограничение световых пучков производит оправа объектива: d! < d. Угол и' (пропорциональный d') уменьшается в отношении did!. В этом же отношении согласно A92.4) увеличивается N. Для освещен- освещенности сетчатки A92.3) дает ? = ?НОрм(^рJ, A92.7) где ^норм — освещенность при нормальном или меньшем увеличении. Таким образом, если N ^ Л^орм, то освещенность сетчатки не зависит от увеличения; если же N > ТУнорм, то она обратно пропорциональна квадрату увеличения. Освещенность равна: 1) 0,16; 2) 0,0625. 194. 0,13%. 195. Около 2%. _ 196. Я2 = 5,8 • 10 СГСЭ; Е_^ 0,024 СГСЭ = 7,2 В/см. 197. Я2 = 5,8 • Ю-4 СГСМ; Н « 0,024 Э. 198. Н « 0,85 Э. 1) См. Г. С. Ландсберг. Оптика. Изд. 6-е, §96, 97. - М.: Физматлит, 2003.
156 Ответы и решения § 3. Интерференция света 199. = (pit = ?- ах + Ру + 72; j. Для монохроматической вол- ны Ф = Фо cos(a;t — kr + 5), где к = — п — волновой вектор. 200. 1) Ф : <p(t-r/c) R лА 202. Когда плоскости колебаний обеих волн взаимно перпендикулярны. Решение. Рассмотрим сложение колебаний, соответствующих обеим волнам, в некоторой точке пространства. Пусть первое колебание происходит по закону Ei = Ai cos out, а второе — по закону Е2 = А2 cos(ic;? + 6). Резуль- Результирующее колебание будет определяться выражением откуда Е = Ei + Е2 = Ai cosojt + A2 cos(ojt + 6), Е2 = A2 cos2 ujt + A2 cos2 (ujt + S) + 2Ai A2 cos ujt cos(ojt + S). Чтобы получить интенсивность /, надо усреднить это выражение по времени. Это дает / = У2А2 + V2A2 + 2(AiA2)cos^tcos(^t + ?), где черта означает усреднение по времени. По условию задачи последний член должен обращаться в нуль, каков бы ни был угол S. Это возможно только тогда, когда Ai А2 = 0, т. е. колебания должны быть взаимно перпендикулярны. 203. Решение. Возможные комбинации направлений складываемых ко- колебаний представлены на рис. 100. Вероятность каждой комбинации равна 1/8. :: : 1 { 1 1 ) f ) 1 1 1 } 1 0 0 0 О 0 ж я О О О ж О f 1 1 } 1 \ 1 } \ j Г 1 \ КПП О ж 0 ж Рис. 100 Амплитуды результирующих колебаний в первой и пятой комбинациях равны ЗД), а во всех остальных Ао. Соответствующие интенсивности будут 9/о и /0, где Ао и /о — амплитуда и интенсивность одного колебания. Для средней интенсивности при сложении всех трех колебаний получим / = B- i -9 + 6- ^ • l)Jo = 3Jo. 204. Решение. Интерферирующие волны можно записать в виде Ф1 = #0cos(o;?-kir + ft), Ф2 = #0cos(o;? - k2r + S2).
§3. Интерференция света 157 Отсюда ф = ф! + ф2 = 2^ (+ * ~ 2 2 где Ак = ki — к2, к = (ki + k2)/2. Максимумы интенсивности получаются там, где выражение /Ak 6\ - 52\ cos Ф = cos ( — г -\ ) обращается в максимум. Так как к\ = fe и угол ср между векторами ki и к2 мал, то приближенно можно написать I Л 7 I 7 2Ж \Ак\ ~ kip = — (/?, откуда для Ах следует приведенное в условии задачи выражение. 205. Примем за ось X линию пересечения плоскости падения с плоскостью экрана. Тогда л, _ *4>х ... а , 5l - ^ где ^ — угол падения. При смещении вдоль оси X на ширину полосы Ах величина Ф должна меняться на тг, что дает \ Ах = ipcosO 206. Л = xd/a = 5 • 10-5см = 5000 А. 207. nci = п + iVA// = 1,000865. Полосы интерференции смещаются в сто- сторону трубки. 208. а «^±^«9'10". 2гАх 209. х ~ — ~ 2,8 мм, где п — номер полосы. 2га Л л^л т- т- 2 2пхга 210. / = /0cos2 А(а + г) 211. Поверхности равной интенсивности: 1) гиперболоиды вращения; 2) ги- гиперболические цилиндры. 2а(п — \)а 213. Ах = — г— = 0,5 мм; N = —— -^— = 10. 2(п — \)а А 214. Максимальное число полос N = Z(n — 1)а/А = 40 получится при удалении экрана на L = = — г— = 20 м от бипризмы. 4(п — 1)а Полосы исчезнут, если удалить экран от бипризмы не менее чем на 2L = 40 м. 215.7V=^(n-1)W S' ЕЙа О' А 216. Решение. Пока источ- источник S находился на оси си- системы, центр интерференционной С картины получался в точке О (рис. 101). Сместим источник Рис. 101 О D
158 Ответы и решения вверх на h в положение S', а затем вообразим, что от бипризмы отрезана часть ACDE. Эта часть действует как плоскопараллельная пластинка толщины d = = 2ha, смещающая картину вниз на N = d(n — 1)/Л полос. Центр картины из О' переместится вниз на расстояние х' = NAx, где Ах = — 2(га - 1)а а ширина полосы. Смещение из О будет х = — г = — -. Под- 2(га — 1)ск а 2ска ставляя значение а, получим х' = h + /гб/а. Смещение из прежнего центра О будет ж = х' — h = /гб/а. 217. 1) Ширина полос уменьшится в а/(а — 4/) = 2 раза. 2) Ширина полос уменьшится в a/f = 8 раз. 218. d= -^— (т+1-), гдеш = 0, 1,2, ... (п — 1) V 4/ 219. / = У4/о. 220. Нет. Световые пучки, идущие от обеих половин билинзы, не перекры- перекрываются. 221. а = /А/Дж = 0,6мм. 222. Интерференционные полосы исчезнут, если удалить экран от билинзы на расстояние не менее L = Df/a = 50 м. Максимальное число полос N = = D/BAx) = 60 получается при удалении экрана от билинзы на 1^Ь = 25 м. 223. На пути луча SCM надо поместить более тонкую пластинку из того же материала, что и Р. Опыт показывает, что ахроматическая полоса в этом случае по-прежнему остается темной. 224. 1) Пусть источником света служат две одинаковые некогерентные светящиеся точки S\ и S^ (или светящиеся линии, параллельные прямой, вдоль которой пересекаются плоскости зеркал Френеля), отстоящие друг от друга на расстояние I. Их мнимые изображения S[ и S", S'2 и S'2' расположены так, как указано на рис. 102. Интерференционная картина на экране АВ от пары мнимых источников S[ и S" будет смещена относительно интерфе- интерференционной картины от другой пары источни- источников S'2 и S'2' на расстояние О\О2, равное I. Если / = x/2\/ip, где ср — угловое расстояние между источниками, то максимумы одной ин- интерференционной картины наложатся на ми- минимумы другой, и интерференционные поло- полосы пропадут. Если источником служит светя- ^ О\ О2 В щаяся полоска ширины /, параллельная линии пересечения зеркал, то ее можно мысленно рис jq2 разбить на пары светящихся линий, расстоя- расстояние между которыми равно 1/2. В этом случае можно применить рассуждение, приведенное выше, заменив / на 1/2. Полосы пропадут, когда I = Х/ср. Если источник имеет неправильную форму, то для получения резких интерференционных полос его поперечные размеры в на- направлении, параллельном линии, соединяющей соответственные изображения в зеркалах Френеля, должны быть малы по сравнению с Х/ср. 2) Размер источника в направлении, перпендикулярном к плоскости зерка- зеркала, должен быть мал по сравнению с расстоянием источника до зеркала.
§3. Интерференция света 159 225. Первое исчезновение полос будет при ширине щели b=Ax-/(L-^)x-L/ = L-3/A = ах х оа 226. D < Х/а « 0,05 мм. 227. l> fDa/X^ 100 см. 228. Пучность: Л/4 = 1,25 • 10-5см; узел: А/2 = 2,5 • 10~5см. 229. В первом. 230. Так, чтобы линза давала на экране изображение пленки. 231. Решение. Если бы пластинка была абсолютно прозрачна, а свет строго монохроматичен, то интенсивность отраженного света весьма резко менялась бы при изменении толщины пластинки на величину порядка длины световой волны. Она определялась бы разностью хода между волнами, отра- отразившимися от верхней и нижней поверхностей пластинки. Значит, в случае строгой монохроматичности света и абсолютной прозрачности пластинки при беспредельном увеличении толщины последней интенсивность отраженного света действительно периодически изменялась бы с толщиной. Однако в приро- природе не существует ни абсолютно прозрачных сред, ни строго монохроматических волн. Если среда обладает поглощением, хотя бы и очень малым, то волна, вступившая в пластинку, при достаточно большой толщине последней не достигает нижней поверхности пластинки, а поглотится в ней. В этом случае интенсивность отраженной от пластинки волны будет определяться формулами Френеля. Для прозрачной пластинки парадокс устраняется, если принять во внима- внимание, что свет, падающий на пластинку, не строго монохроматичен. Действи- Действительно, чтобы наблюдалась интерференция между волнами, отразившимися от передней и задней поверхностей пластинки, необходимо, чтобы спектральная область АЛ, занимаемая падающим светом, не превосходила величины SX = = X/N, где N — порядок интерференции. При увеличении толщины пластинки порядок интерференции N растет, a SX уменьшается. Значит, поскольку АЛ конечно, при достаточно большой толщине пластинки интерференция волн, отразившихся от верхней и нижней поверхностей пластинки, не будет наблю- наблюдаться. Поэтому при дальнейшем увеличении толщины пластинки интенсив- интенсивность волны, отраженной от пластинки, не будет изменяться, хотя она и не будет определяться формулами Френеля, поскольку световые волны внутри пластинки претерпевают многократные отражения от ее поверхностей. В нашем рассуждении молчаливо предполагалось, что падающая волна яв- является плоской в строгом смысле этого слова. Нетрудно показать, что парадокс исчезнет, если отказаться даже только от одного этого предположения и при- принять строгую монохроматичность света и абсолютную прозрачность материала пластинки. 232. Темной. Решение. Разность хода между лучом, отразившимся от нижней по- поверхности пленки, и лучом, отразившимся от ее верхней поверхности, равна 2dncos^ ± Л/2. Слагаемое Л/2 учитывает «потерю полуволны», т.е. поворот фазы на тг при отражении от границы пленка-воздух. Первый член достигает максимума 2dn при нормальном падении (ф = 0). Полагая d = УюЛ и п = = 1,3, получим для разности хода при нормальном падении @,26 ± 1/2)А. Это соответствует разности фаз приблизительно (90 ±180°). Если дальше
160 Ответы и решения уменьшать толщину пленки, то разность фаз будет стремиться к ±180°, и рассматриваемые лучи, интерферируя между собой, почти целиком погасят друг друга. 233. Приблизительно при d < Х/Ап = 10~5см. 234. Чтобы пленка приобрела зеленоватый цвет, необходимо, очевидно, ослабить синие и красные лучи с длинами волн примерно 0,4 и 0,6 мкм (в воздухе). Этому соответствует толщина пленки около 0,00050 мм. 235. 1) Ах = Х/2а = 0,94 мм. 2) Решение. Допустим сначала, что линия ртути — двойная с двумя длинами волн Ai = А и А2 = А + АА. Пусть на отрезке х от вершины клина укладывается N интерференционных полос с длиной волны Ai и N — 1/2 полос с длиной волны А2, т.е. iVAi = (N — 1/2)А2. Тогда на конце этого отрезка ин- интерференционные максимумы от длины волны Ai наложатся на интерференци- интерференционные минимумы от длины волны А2 и интерференционные полосы пропадут. Число N и будет искомым числом полос. Оно равно N = (А2/2)/(А2 — Ai), или, пренебрегая квадратами АА, N = (А/2)/АА. Допустим теперь, что интервал между Ai и А2 непрерывно и равномерно заполнен длинами волн. Тогда всю спектральную линию можно считать состоящей из двух линий ширины АА/2 каждая с расстоянием между ними АА/2. К этим двум линиям применимы предыдущие рассуждения. Поэтому число полос N найдется из предыдущего результата заменой АА —*> АА/2, что дает N = А/АА. Таким образом, считая линию ртути сплошной, находим N « А/АА « 54 600. 3) х = АГАж» 51,3 м; h = А2/2АА « 14,9 см. 4) Scp « Л/(АХ/Х)а « 0,25'. 236. а = А « 12". 2Аху п2 — sin <р 237. а = 2пАх 238. N « (L/dJ = 2500, АА/А « \/N = 4 • 10~4. 239. N « (nL/dJ « 5600. ллл I-, at -9 2тгха ^ 240. Е ~ 4/osin —-—, где ж — расстояние от ребра клина. 241. При отражении света на границе стекло-воздух электрический вектор не испытывает изменения фазы, а при отражении на границе воздух-стекло меняет фазу на 180°. 242. Решение. Каково бы ни было расположение линз, свет либо теряет полволны при отражении на обеих границах раздела масла с поверхностями линз, либо совсем не теряет. Поэтому разность хода между лучами, отразивши- отразившимися от поверхностей линз в месте их соприкосновения, равна нулю. Эти лучи при интерференции усиливают друг друга. Поэтому центр колец в отраженном свете светлый, а в проходящем — темный. 243. В обоих случаях будут наблюдаться две системы полуколец, примы- примыкающих друг к другу. В одной системе центр темный, в другой — светлый. Картина в проходящем свете будет дополнительной по отношению к картине в отраженном свете. (Ср. с решением предыдущей задачи.) 244. А/= 0,32 мм. 245. /= 137 см. 246. R = 1 м; Акр = 0,7 мкм. 247. / = -9 „Y2 ч л = 54 см. г\ + ri{n - 1)тА
§3. Интерференция света 161 248. г = ^/RX/n = 0,63 мм. 249. гт = 250. гт = л, 1/Д1 _ 1/Д2 251. Решение. Каждое кольцо Ньютона можно определить как линию, вдоль которой разность хода между интерферирующими лучами постоянна. Легко видеть, что при удаления линзы от пластинки «кольца постоянной разности хода» будут сжиматься к центру картины, а при приближении — расширяться от центра. Центр картины попеременно будет темным и светлым. 252. Решение. Двум длинам волн соответствуют две системы колец Ньютона с незначительно отличающимися размерами. Если линза соприкаса- соприкасается с поверхностью пластинки, то в центре картины светлые (темные) коль- кольца одной системы практически совпадают со светлыми (темными) кольцами другой системы. Поэтому вблизи центра кольца видны почти так же резко, как при монохроматическом свете. Но при некотором удалении от центра светлое кольцо одной системы может совпасть по положению с темным кольцом другой системы. В соответствующем месте кольца Ньютона не будут видны, а в окрестности этого места они будут видны не резко. Определим номер N светлого кольца для длины волны Аг, которое совпа- совпадает по положению с (N + 1)-м темным кольцом для длины волны Аь Первому темному кольцу (точнее, центральному темному пятну) для длины волны Ai соответствует разность хода Ai/2, второму темному кольцу — разность хода Ai + Ai/2 и т.д., наконец, (N + 1)-му темному кольцу — разность хода NX\ + + Ai/2. Та же разность хода NX\ + Ai/2, очевидно, должна равняться NX2, так как должно происходить наложение TV-го светлого кольца для длины волны Аг на (N + 1)-е темное кольцо для длины волны Аь Итак, ± = NX2, откуда N = ^А__ = ™° й 490. Отсюда следует, что кольца пропадут в окрестности четыреста девяностого кольца. Легко видеть, что они опять будут резкими в окрестности 2 • 490 = = 980-го кольца. При удалении линзы от пластинки кольца стягиваются к цен- центру (см. решение предыдущей задачи). Если линзу переместить на 490Ai, то через поле зрения пройдет 490 колец, и в центре картины кольца исчезнут. При перемещении линзы на 2 • 490Ai = 980Ai, кольца в центре снова будут резкими; при перемещении на 3 • 490Ai = 1470Ai — опять пропадут и т.д. 253. АА/А = 1/980; ДА = 6,02 А. 254. Кольца равного наклона с центром F. При наклоне пластинки кольца становятся эллиптическими. Центр картины в точке схождения параллельных лучей, падающих на пластинку нормально. При наклоне пластинки на угол а центр картины смещается на х = ftga « fa « 5,3см. 255. Решение. Разность хода между лучами, отразившимися от перед- передней и задней поверхностей пластинки, равна 2dпcosф + А/2. Так как центр колец темный, то эта величина должна содержать нечетное число полуволн. Первому темному кольцу соответствует такое приращение угла преломле- преломления ф, что разность хода уменьшается на А. Это дает 2dn(\ — cos^) = A, или Adnsm (ф/2) = А. Для малых углов dnt/j = А. Малые углы падения и преломления связаны соотношением ср = пф. Таким образом, ср2 = nX/d. Для б Под ред. Д. В. Сивухина
162 Ответы и решения радиуса первого темного кольца получаем г = ftp = fy/nX/d = 9,5 мм. Вели- Величина АЛ находится обычным способом по порядку интерференции, который равен 2dn/X. Это дает АЛ = X2/Bdn) = 0,75 А. 256. Решение. Максимальный угол падения срМакс = D/6f. Поэтому из результатов решения предыдущей задачи получаем N = = 2. obnj А 257. б/мин = 36nfX/D2 = 0,81 мм. 258. Амплитуда излучателя 3 должна быть в у/2 раз больше амплитуд излучателей 1 и 2. Минимумы нулевой интенсивности направлены под углами в = ±60° к линии источников 123. 259. Амплитуда излучателя 3 должна быть такой же, что и амплитуды излучателей 1 и 2. Минимумы нулевой интенсивности направлены под теми же углами, что и в предыдущей задаче. 260. Условие максимумов: 2/f 4тг/г cos в Л ¦ тг = 2штг, или AhcosO = Bm — 1)Л; условие минимумов: 2hcosO = тЛ, Рис. 103 гДе т — целое число, а в — угол между нормалью к идеально отражающей плоскости и направлением из- излучения (рис. 103). Угол в может меняться в пределах от —тг/2 до +тг/2. h = У4Л. Максимум: в = 0°; минимумы: в = ±90°. h = У2А. Максимумы: в = ±60°; минимумы: в = 0°, ±90°. h = %Л. Максимумы: в = 0°, ±70,5°; минимумы: в = ±48,3°, ±90°. /г = Л. Максимумы: 0 = ±41,5°, ±75,5°; минимумы: 0 = 0°, ±60°, ±90°. 261. Решение. Обозначим через V скорость электрона относительно среды, а через v — фазовую скорость света в среде. Движущийся электрон своим полем возмущает молекулы или атомы среды, благодаря чему они стано- становятся источниками световых волн. Пусть А и В — произвольные точки среды на пути движения электрона, а Р — достаточно удаленная точка наблюдения (рис. 104). Пусть в момент времени t = 0 световая волна, возбужденная электроном, вышла из А. В точку наблюдения Р она придет в момент времени t\ = AP/v. Такая же волна выйдет из В позднее на время AB/V. В точку наблюдения Р она придет в момент t^ = AB/V + BP/v. Разность времен, таким образом, равна А В V АВ АР-ВР l2-t\ = — . V v Для достаточно удаленной точки Р можно положить АР — ВР = АВ cos 0. Итак, , , АВ /v ' fe — t\ = cos 0 v \V Если v/V — cos О ф 0, то каждой точке А можно привести в соответствие такую Рис. 104
§ 4. Дифракция света 163 точку В, что волны, вышедшие из А и В, придут в Р в противоположных фазах и погасят друг друга. Если же cos 9 = —, V B61.1) то при любом положении точек А и В волны, вышедшие из них, придут в Р одновременно и будут усиливать друг друга. Следовательно, в направлении, определяемом условием B61.1), электрон будет излучать. Излучение возможно лишь при V > > v, т. е. когда скорость электрона превосходит фазовую скорость света в среде. 262. Черенковское излучение происходит под углом 9 к направлению полета частицы, который определяется условием cos 9 = 1/пC, причем ф — скорость частицы. Для возможно- возможности излучения необходимо п/З > 1. Чтобы из- излучение могло выйти из блока, на границе АВ (рис. 105) не должно быть полного отражения, т. е. n sin # < 1, откуда C2(п2 — 1) < 1. Интервал регистрируемых скоростей определяется нера- неравенством — < E2 < ——-, п1 п1 — 1 Рис. 105 Чтобы релятивистские частицы (C ~ 1) не реги- регистрировались, должно быть п > у/2. § 4. Дифракция света 263. 1) ГШ 264. 1) Гт 265. гш ~ л/аЪт\/\а — Ь\ . v/a6mA/(a + 6); 2) п = 0,15 см. л/ЬтХ; 2) п = 0,212см. 266. На расстоянии 1,2 м. 267. / = 90см; п = 0,672мм. Изображения, т.е. максимумы, расположен- расположенные на оси пластинки, отодвинутся от последней. 268. / « 4/0. 269. / « /0. 270. / « /0. 271. у' = - у = 10,5 мм. Опыт был поставлен Полем с параметрами, ука- указанными в задаче. Чтобы опыт удался, необходимо, чтобы глубина неровностей h удовлетворяла условию h < = 180Л ~ 0,1 мм. Шар можно заменить D а \ о 2а диском при условии у < — А D лен Ангерером. 272. h = 2 5^4 1 м. Соответствующий опыт был постав- 2(п - 1) 273. Решение. , гдет = 0, 1,2, Если Е\, Е^, Ез — поля, создаваемые в точке А по- последовательными полными зонами Френеля, то искомое поле Е в точке А представится рядом l-EN (EN+i + E N+2 четное число
164 Ответы и решения При небольшом N первая скобка близка к нулю, а последняя — к .Ejv+i/2, так что En + Ejsi-\-\ _ Е « « 0. В точке А будет минимум освещенности. 274. При четном N в точке А будет минимум освещенности (Е = 0), при нечетном N — максимум, приблизительно такой же, как при одной открытой центральной зоне. 275. Решение. Колебание, вызываемое всеми зонами Френеля, изобра- изображается вектором ОС (рис. 106), колебание от одной трети первой зоны — вектором О А. Вектор АС представляет ко- колебание, вызываемое волнами, отразивши- отразившимися от внешней части экрана, располо- расположенной за отверстием CD (см. рис. 33). Эти три вектора образуют равносторонний треугольник, если пренебречь уменьшением радиуса витка спирали на одном обороте. При смещении центрального круга к источ- источнику на А/12 фаза отраженной им волны увеличится на 2 • 2тг/12 = тг/3, и колебание изобразится вектором, равным и противопо- ложно направленным вектору АС. Интен- Интенсивность всей отраженной волны в точке S обратится в нуль. При смещении круга CD в противоположную сторону фаза колеба- колебания О А уменьшится на тг/3 и вектор О А Рис. 106 повернется в положение ОС. Результирую- щее колебание найдется сложением векто- векторов АС и ОС. Таким путем найдем, что амплитуда колебания в точке S увеличится в у/3 раз, а интенсивность — в три раза. 276. h = %A. 277. Энергия перераспределяется, причем в одних точках плоскости изоб- изображения плотность светового потока возрастает, а в других убывает. Весь поток через плоскость изображения возрастает в 2 раза. л л / т\ тт Л 278. г = л . Центр ко- колец темный, если т — четное число, и светлый, если т — нечетное число. Решение. Освещенность в центре дифракционной картины можно найти, разбивая волновую поверхность АСВ (рис. 107) на зоны Френеля. Если в ней уложится четное число зон Френеля, то в точке Р Рис. 107 получится минимум освещенности; если нечетное — максимум. Построим сферу радиуса РА с центром в точке Р. Число зон Френеля на волновой поверхности АСВ, очевидно, равно длине CD, деленной на А/2. Отсюда легко получить результат, приведенный в ответе.
§ 4. Дифракция света 165 279. г = т\ Центр колец темный, если т — четное число, В и светлый, если т — нечетное число. Решение. Метод решения такой же, как и предыдущей задачи. Разница только в том, что теперь сферическая волна не расходится, как было раньше, а сходится в точке S (рис. 108). Зо- Зоны Френеля для точки Р строят- строятся поэтому с вогнутой стороны сфе- сферической волновой поверхности. Чис- Число зон, укладывающихся в отверстии диафрагмы, будет равно длине CD, деленной на Л/2. 280. а = А/п2 = Юм, Ь = В/п2 = = 20 м. 281. Центр колец будет темный. Решение. Построение зон Френеля для расходящейся сфериче- Рис. 108 ской волновой поверхности (рис. 109) показывает, что при свободном распространении волны действие всей волны в точке Р равно половине действия центральной зоны и что вторичные источники Гюйгенса должны опережать по фазе световые колебания на волновой поверхности АСВ на тг/2. Если бы это было не так, то мы получили бы неправильное значение фазы колебаний в точке Р. Допустим, например, что вторичные источники Гюйгенса на волновой поверхности совпадают по фазе со световыми колебаниями на ней. Пусть С\СС" — центральная зона Френеля. Поскольку волны, идущие в Р из центра этой зоны, проходят меньшее расстояние, чем волны, идущие из ее краев, расчет по методу зон Френеля дал бы неправильное значение фазы колебаний в точке Р, а именно на тг/2 меньше истинного. Чтобы такую ошибку устранить, достаточно увеличить фазы вторичных источников на тг/2 по сравнению с фазой световых колебаний на волновой поверхности АСВ. Рис. 109 Рис. ПО Построение зон Френеля, разумеется, сохраняет смысл и для сходящейся сферической волны (рис. ПО). Понятно, что в этом случае фазы вторичных источников Гюйгенса также должны опережать фазы световых колебаний на сферической волновой поверхности на тг/2. Пока точка наблюдения лежит между серединой центральной френелевой зоны и центром S сферической
166 Ответы и решения волновой поверхности, мы не получаем ничего существенно нового: колебания приходят в эту точку раньше от середины центральной зоны, чем от ее краев. Дело меняется, когда точка наблюдения Р (рис. ПО) отстоит от середины центральной зоны дальше центра S. Теперь колебания, приходящие в 5 от краев центральной зоны, будут опережать по фазе колебания, приходящие из ее середины, на тг, а результирующее колебание всей центральной зоны придет с опережением на тг/2. Если учесть еще опережение по фазе вторичных источников Гюйгенса, то мы придем к заключению, что при прохождении сферической волны через ее центр фаза колебаний как бы меняется скачком на тг. Благодаря этому волновое поле нигде не обращается в бесконечность. Действительно, сходящаяся сферическая волна сначала стягивается в точку S, а затем становится расходящейся. Получается наложение двух сферических волн, из которых одна распространяется к центру, а другая от центра. Эти волны в центре S имеют противоположные фазы, благодаря чему там не получается бесконечно больших амплитуд колебаний, как это было бы при всяком ином соотношении фаз. Все эти выводы, строго говоря, относятся к случаю свободного распростра- распространения сферических волн. Когда волна ограничена диафрагмой, они остаются также справедливыми, если только точка наблюдения Р находится не слишком близко от фокуса геометрического схождения лучей. В окрестности фокуса наблюдается сложное распределение амплитуд и фаз светового поля. Но если исключить из рассмотрения эту окрестность, то окажется, что окончательный результат получится такой же, как если бы фаза волны при переходе через фокус увеличивалась скачком на тг. Теперь решение задачи очевидно. Сферическая волна, идущая снизу (рис. 34), проходит через фокус S" прежде, чем она попадает на экран. Волна же, идущая сверху, попа- попадает на экран, не проходя через свой фокус S'. 282. Решение. Если г — радиус отверстия, то раз- разность хода между лучами, приходящими от его края и от центра, равна r2/2L, где L — расстояние от центра отверстия до точки наблюдения. Положим сначала г = п, а затем г = = пA — а), где г\ — радиус центральной зоны Френеля. То- Тогда соответствующие разности фаз будут тг и S = тгA — а) . Как видно из векторной диаграммы (рис. 111), амплитуды колебаний Aq и А в рассматриваемых двух случаях связаны соотношением А = Aosin(S/2), а интенсивности — соотношением / = =/0 sin2 E/2). При а= 1/3 Рис. 111 т г • 2 2тг / = /о sin — /0 sin 40° ^ 0,41 /0 283. Решение. Как видно из рис. 112, SM2 = (а — хJ + г2ш. Извлекая квадратный корень и пренебрегая квад- квадратом малого отрезка х, находим SM « « а + г2п/2а — х. Аналогично, MS1 ~ « Ь + г2ш/2Ь - х. Далее, х « г2ш/2К Ра- Радиус 771-й зоны определится из условия Рис. 112
§ 4. Дифракция света 167 \{SM -\- MS') — (SA-\- AS')\ = mA/2. Подставляя сюда вычисленные значе- значения, получим a b Результат можно получить проще, если заметить, что в принятом при- приближении зоны Френеля можно строить не на поверхности зеркала, а на поверхности сходящейся волны, отразившейся от зеркала. Радиус кривизны этой поверхности а' найдется по формуле зеркала —|—- — — = 0. Для определения гш теперь достаточно заменить в ответе к задаче 278 величину а на о!. 284. Решение. Разность хода (SMS1) - (SAS1) (рис. 112), возникаю- возникающая при отражении лучей от соседних зон Френеля, равна нулю для изоб- изображения нулевого порядка и ±А/2 для изображений ±1-го порядков. При отражении от центральной и m-й зон она в т раз больше. Из этого условия получаем т.2 / 1 1 9 \ \ Полагая здесь \т\ = 4, находим 285. гш = [^| bRJ bo « 1,33см, 6+i = 80см, Ь-\ = 400см. (bbJ)] V2 « 0,7см (ш = 5). 286. 1) Ьт = г2/т\. т Ьт, СМ 1 200 2 100 3 66 4 50 5 40 6 33 7 29 8 25 9 22 10 20 2) См. рис. 113. 3) А6 = 200 см. к1' 200 В 287. А6 = 86fA = 18см. i 288. Решение. При свободном распространении волны интенсивность а + Ъ где света в точке А (рис. 114) представляется выражением I = /о — интенсивность в центре О, а — расстояние от источника S до точки О, b — расстояние от О до А. Наличие диафрагмы, как в этом легко убедиться
168 Ответы и решения с помощью векторной диаграммы (рис. 111), приводит к появлению множителя 4sin2E/2), где 5 = irR2(\/a + 1/6) — разность фаз между осевыми и крайними лучами, R — радиус диафрагмы. Та- Таким образом, при наличии диафрагмы интенсивность в точке А будет / = л т ( а \2 • 2 ^ гт = 47о( ) sin -. Приравнивая про- производную этого выражения по 6 ну- нулю, находим условие экстремума tg - = Рис. 114 = . По условию задачи экстрему- экстремуму соответствует а = 6, т. е. tgE/2) = = —5/2. Решая это уравнение графиче- графически, находим 5/2 = 2,03. Искомое чис- число зон Френеля будет т = 5/тт = 1,3. 289. Основной фокус есть точка, для которой зоны, начерченные на пла- пластинке, совпадают с зонами Френеля. Если г — радиус первой зоны, начер- начерченной на пластинке, то основной фокус определяется выражением /о = г /А. Следующие фокусы получаются, когда в первой зоне, начерченной на пла- пластинке, укладывается 3, 5, ..., 2/с + 1, ... зон Френеля, т.е. когда г2/fk = = B/с + 1)А. Следовательно, fk = ±/о/B/с+ 1), где /с = 0, 1, 2, ... Знаку плюс соответствуют действительные, а ми- минусу — мнимые фокусы. С 290. Фокусы пластинки различ- различных порядков: fk = - °L У -, где /с = 0, 1,2, ... Положения всех изоб- изображений определяются формулой —\- + ь~к=Тк 291. Решение. Допустим сна- сначала, что источник света S — точеч- точечный, а зонная пластинка CD накло- наклонена к его оптической оси под углом тг/2 — а (рис. 115). Из рисунка видно х2 = а2 + R2 + 2ai^sina. Извлекая квад- квадратный корень и пренебрегая всеми степенями радиуса R, начиная с третьих, получим R2 cos2 a Рис. 115 х = а + R sin a + Аналогично, у = Ъ — R sin a + R2 cos2 a 26 ' Отсюда для разности хода между лучами SCA и SO А находим А = (х + у) - (а + 6) = R cos a ( 1 а 6
§ А. Дифракция света 169 или А = До — 5 А, где До — значение Д при отсутствии наклона зонной пластинки, а — SA — приращение величины Д, обусловленное наклоном: 5А = ДоA — cos2 а) = До sin2 а « Доа2. Если ?Д <С А, то наклон пластинки не скажется существенно на работе зон, расположенных в пределах круга радиуса R. Если же 5А ~ А/2, то все зоны, расположенные выше этого круга, становятся бесполезными и даже вредными. Из этого условия находится предельное значение разности хода До ~ А/Bа2). Соответствующее число зон Френеля будет N ~ До/(А/2) ~ \/а . Допустим теперь, что фотографируемый предмет не точечный, причем его центр расположен на оси зонной пластинки. Для периферийных точек предмета, не лежащих на оси пластинки, последняя действует как наклонная под углом а. Поэтому предельное число зон Френеля, при котором должно получиться наиболее отчетливое изображение, будет N ~ \/о? ~ 400. 292. / = /0{1/4 + 2 sin2E/2)}, где /о — интенсивность света в отсутствие экрана, 5 = тгг2/Ь\ — разность фаз между лучами, пришедшими в точку наблюдения от краев и центра углубления. Подставляя числовые значения, получим S = тг/2, / = %1о. Интенсивность увеличится в 5 раз. 293. d2 < Лг. 294. <р « у/Д/б = 3,6 • Ю-8 рад = 0,0075", h < VbX = 14 м. Угол <р получен в предположении, что можно измерить угловое расстояние между двумя точечными звездами, когда дифракционные картины от них сдвинуты друг относительно друга на величину порядка ширины полосы. Указанный предел может быть уменьшен приблизительно раз в десять. 295. a(cosa — cosao) — тп\ где а — ширина щели, а — угол скольжения, соответствующий минимуму, а тп — целое число (положительное или отрица- отрицательное). 296. Квадрат со стороной L = 3,5 см. 297. Решение. Согласно принципу Гюйгенса-Френеля напряженность поля волны Е\, дифрагировавшей на первом экране, представляется некото- некоторым интегралом по отверстиям этого экрана. Напряженность поля волны Еч, возникшей при дифракции на дополнительном экране, представляется таким же интегралом по отверстиям этого экрана. Сумма Е\ + Е^ представляется интегралом по всей бесконечной плоскости, в которой расположены рассмат- рассматриваемые экраны. Но таким же интегралом представилось бы поле за экраном, если бы этого экрана совсем не было, т. е. волна распространялась свободно. Следовательно, Е\ + Е^ = Е, где Е — напряженность поля волны в отсутствие экрана, т. е. поля падающей волны. Но в падающей волне свет распростра- распространяется только в одном направлении. Для всех других направлений Е = О, а следовательно, Е\ + Е% = 0, откуда Е\ = Е\, или I\ = h. 298. Решение. Рассмотрим щель той же ширины, что и черный экран. Если на щель и экран падает одна и та же плоская волна, то количество энергии, поглощенной экраном, будет равно количеству энергии, падающей на щель. Согласно принципу Бабине интенсивности света во всех направлениях, за исключением направления падающей волны, в обоих случаях одинаковы. Следовательно, одинаковы и энергии, рассеянные экраном и щелью. Но в слу- случае щели вся энергия рассеивается. Значит, энергия, поглощенная экраном, равна энергии, рассеянной им. 299. d\n2-n\\ = (ш+ 1/2)Л; ш = 0, 1, 2, ...
170 Ответы и решения 300. Нулевой максимум sin# = nsina, минимумы b(sinO — nsina) = тХ; ±2, ±3, ... 301. = C sm[(N7rd/X) sin0] \ 2 f sin[Grb/A) sin C01.1) sin[Grd/A) sin0] J \ (тгб/А) где С — постоянная, г 9 — угол между нормалью к решётке и заданным направлением, к которому относится интенсивность /. Решение. Так как требуется рассчитать распределение интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера на решетке, то можно считать, что экран, на котором наблюдается эта картина, ото- отодвинут достаточно далеко. Лучи, приходящие из различных щелей решетки в любую точку экрана, можно считать параллельными. Выберем такую точ- точку на экране, чтобы приходящие в нее лучи обра- образовывали угол 9 с нормалью к решетке. Разность фаз между соседними интерферирующими лучами будет равна 5 = 27r<ism#/A. На векторной диаграм- диаграмме колебание, приходящее в рассматриваемую точ- точку от какой-либо щели решетки, можно изобразить вектором. Эти векторы образуют ломаную линию с равными звеньями и равными углами (рис. 116). Результирующее колебание изобразится геометриче- геометрической суммой всех этих векторов. Сложение векторов на плоскости формально тождественно со сложением комплексных чисел. Если первый вектор изобразить комплексным числом а, то последующие изобразятся комплексными числами aej5, ae2j5 и т.д. Их сумма равна Рис. 116 А = о[1 + е3'5 + е23'6 + ... + e e3(N-lN} = } = a- 1 - Квадрат модуля комплексного числа А дает относительную интенсивность света в рассматриваемой точке экрана: /= \А\2 = АА* = \а 1 - 1 - е-э - cos{N5) 1 — cos S Так как \а\2 определяет интенсивность дифрагированного света на одной щели, то по известной формуле а = i[(tt6/A) sinO] (тгб/А) sin<9 Подставляя это значение в предыдущее выражение, легко получить ответ. Постоянная С пропорциональна интенсивности падающего света и квадрату ширины щели Ъ. Ни от каких других параметров решетки она не зависит. 302. Решение. Представим формулу C01.1) в виде C02.1) sin/З
§ 4. Дифракция света 171 где а = 7r&sin0/A, f3 = 7r<isin0/A, а постоянная С от параметров решетки не зависит. Подставляя значение а, получим 7T2sm26 V sin/3 У Для дополнительной решетки sin/? У ' где ol = 7r(<i — b) sin0/A, так что а + ol = ndsmQ/X = /3. Для главных макси- максимумов <isin0 = mA, a + ol = тА. Поэтому sin2 а = sin2 с/, и следовательно, /г;л = /гл. При ?71 = 0 рассуждение неприменимо, так как в этом случае в зна- знаменателе sin0 = 0. Допустим теперь, что 0 не есть угол на главный максимум. При больших значениях N главные максимумы очень резкие. Практически весь свет концентрируется в главных максимумах, занимающих очень узкие интервалы углов Д0, стремящиеся к нулю при N —>> оо. Практическое значение имеют только углы, удовлетворяющие условию dsinO = mA, а также углы, отличающиеся от них ничтожно мало, а в этих случаях применимо доказатель- доказательство, приведенное выше. 303. b/d = 1/4 или b/d = 3/4 (см. предыдущую задачу). 304. Решение. Введем обозначения q = b/d, q(d — b)/d = 1 — q. Суммар- Суммарный поток энергии прошедшего света, распределяющийся по всем максимумам, пропорционален q, интенсивность нулевого максимума пропорциональна q , а потому г V т т1 Jnpom -*прош J-0 Jo q q' ' q2 q'2' По теореме Бабине для дополнительных решеток /диф = I'm^. Кроме того, ^прош = /о + ^диф- Исключив из написанных соотношений /ДИф и /q, най- найдем /ДИф = A — д)/прош. Учитывая также, что /прОш = g/пад, получим /диф = = q{\ -д)/пад. Максимум для /диф получается при q = l/2. При этом /диф = == /4-1 пад- 305. Nd sin в = пХ, но dsinO ф kX, bsinO = mX, где п, m, к — целые числа. Условие минимума — выполнение хотя бы одного из этих равенств. 306. d(sinO — sin#o) = пХ. Если d >> пХ, то условие максимума принимает вид dcosOo@ — во) ~ пХ, т.е. постоянная решетки как бы уменьшилась по сравнению со случаем нормального падения и стала равной <icos#o вместо d. При этом углы в — 0о» определяющие направления на максимумы, отсчиты- ваются от направления падающего света (или отраженного в отражающей решетке). 307. А = 0,573 А. 308. Если угол падения близок к тг/2, зеркальное отражение наблюдается всегда. При малых углах падения зеркальное отражение может наблюдаться, если шероховатость поверхности <С А. Решение. Пусть падающие лучи образуют угол 0 с нормалью к плоско- плоскости, изображенной на рис. 117 штриховой линией. Рассмотрим интерференцию вторичных волн, исходящих от поверхности тела под углом 0; к нормали. Раз- Разность хода каких-либо двух лучей, идущих в рассматриваемом направлении, определяется выражением А = AD - ВС = a(sin в' - sin 0) + /i(cos в' + cos 0).
172 Ответы и решения Здесь а может принимать какие угодно значения. Поэтому если в' ф в, то разность хода А может принимать также какие угодно значения, и притом для неправильной поверхности тела эти значения будут встречаться одинаково часто. Это показывает, что правильное отражение, если таковое возможно, может происходить лишь под углом в' = в. В таком случае A = 2/i cos (9. Отсюда видно, что, каково бы ни было h, можно подобрать достаточно большой угол 0, для которого А < А. При этом условии отражение будет правильное. При нормальном падении А = 2/г, и правильное отражение возможно лишь при соблюдении условия h <C А. 309. Не могут. 310. т = nd/b, где п = 1, 2, 3, ... 311. Исчезнут: 1) спектры порядков 2, 4, б, ...; 2) спектры порядков 3, б, 9, ...; 3) спектры порядков 4, 8, 12, ... 312. Максимальный порядок равен наибольшему из целых чисел, не пре- превосходящих d/X. 313. Л = 6481 А. 314. При нормальном падении Лмакс = d. Период решетки должен быть не менее 0,01см, т.е. решетка должна иметь не более 10 штрихов на 1мм. При скользящем падении на пропускающую решетку Лмакс = 2d. 315. Углы дифракции не меняются, интенсивности стремятся к нулю. 316. Углы дифракции не меняются, интенсивности стремятся к нулю. 317. h = — Л, где т = 1, 2, 3, ... Интенсивность нулевого главного 2(п - 1) максимума равна нулю. 318. Главные максимумы системы из двух решеток будут на тех же местах, что и у одной решетки, но интенсивность каждого главного максимума изменится в 4cos2 l^— cosOj раз, где в — угол между нормалью к решетке и направлением на главный максимум. 320. Если угол между нормалью к ряду вибраторов и направлением на главный лепесток в = Ш + S, то Аср = -^— sin(Ot А S) + 2тгш, где т = 0, ± 1, ± 2,
§ 4. Дифракция света 173 321. Решение. Условие максимума m-го порядка (рис. 118) d(smO\ — sin 0%) = тА, а максимума (т + 1)-го порядка 0i — sin в2) = (?n + 1)Л. При переходе от одного максимума к другому углы в\ и 02 получают прираще- приращения A0i и A02, связанные соотношением d(cos6\A6\ — cos62A62) + A. Кроме того, х\ = h\ tg0i, x2 = h2tg02, причем х\ + х2 = а = const. Из этого условия получается второе соотношение -А01 Ав2 = 0. COSZ t>\ COSZ U2 Из этих двух соотношений находим A0i и А02, а после этого расстояние между максимумами: Ах = Ах\ = Ах2 = A0i = -- ¦А02. Вычисления можно упростить, заметив, что углы в\ и в2 мало отличаются от угла падения 0о, соответствующего правильному отражению света от пластин- пластинки. Заменив эти углы на 0о, находим Аж = Л h\ + /12 А При этом cos0о ~ h\/x\ ~ h2/x2, или cos 0о = (/м + h2)/(x\ + Ж2) = = (/ii + h2)/a = 1/10. Подстановка числовых значений дает Ах = 1 см. 322. Решение. Не теряя общ- общности, при расчетах можно считать решетку бесконечно тонкой. Если ось Z направить перпендикулярно к плоскости решетки в сторону распро- распространения падающей волны, то эта волна представится выражением Е = = ?oe'(a;t~kr). Поле на входе Евх = Eoeiut. Поле на выходе Ог О Рис. 118 — DEB = а( егрх _^_ е-грх Это соотношение должно рассматриваться как граничное условие, которому на поверхности решетки должна удовлетворять дифрагированная волна. В силу этого последнюю надо записать в виде Е = aEoe i(ujt-kz) J(ut+kxx-kzz) На поверхности решетки (z = 0) это выражение переходит в предыдущее, если положить j3\ = j32 = aq/2; kx = p. Если угол дифракции равен 0, то кх =
174 Ответы и решения = к sin в, или к sin в = р. Введя длину волны Л = 2тг/к и период решетки d = 2тг/р, получим dsinO = Л. Таким образом, весь спектр состоит только из главных максимумов нулевого, первого и минус первого порядков. Если d < А, то волны первых порядков за решеткой не пропадают, а становятся неоднород- неоднородными. Они проникают лишь в тонкий слой вблизи решетки и экспоненциально затухают при удалении от нее. 323. 1) 8,1 угл. с/А; 2) 0,0197 мм/А; 3) 50,7 А/мм. 324. Около 0,12 мм. 325. D = —^— = . п = 0,63 • 104 рад/см = 13 угл. с/А. dcosO d^\-(nX/dJ 326. 600 штрих/мм. 327. Ав = Ат^Х Nd cos в 328. Дж = /А// = 3,Змкм. 329. Около 1000. 330. 12 000 и 48000. 331. Нет. 332. Разрешающая способность не изменится. Дисперсионная область уменьшится вдвое. 333. Максимальный порядок спектра равен целому числу, содержащемуся в d/X, т. е. m = 3. В этом порядке ~,~._, Ах = — =1 мм. TVm Vrf2 - m2A2 334. х < f\/(Nd) = 0,001 см. 335. mA = 2hy/n2 — cos2 ?, где ? — угол между выходящим лучом и по- поверхностью пластинки. 336. D = -? , _ - 2Л[(^2 _ 1} _ Andn/dA] • 337. 2? = Wn2 - 1 /2/г = 17. 338. Минимальный порядок ?ni = 2h\/n2 — 1 /А ~ 47 200, максимальный порядок Ш2 = 2hn/X = 62 400. 339. ДА = 0,098 A; R = -?- = ^ \(п2 - 1) - Xndn/dX] = 852 000. од Л 340. Аг= Лл/^2~1 ^5;,4. 341. Разрешающая способность не изменится, дисперсионная область уменьшится вдвое. 342. Разрешающая способность увеличится в два раза, дисперсионная область не изменится. 343. Пластинка с большим показателем преломления имеет большую раз- разрешающую способность, но меньшую дисперсионную область. 344. L = — — = 2,5 см. (п2 — \)dX 345. Будет наблюдаться система пятен, расположенных в узлах прямо- прямоугольной сетки. 346. 2hcoscp = mA, Аю = , 2д sin cp dcp т д. А А dX 2/isiri^' m 347. ДА = 0,125 A.
§ 4. Дифракция света 175 348. т^ 36 300. 349. Решение. Пусть R — коэффициент отражения света от каждой посеребренной поверхности пластин интерферометра. (Последние для простоты на рис. 119 изображены математическими плоскостями.) Если /о — интенсив- интенсивность падающего света, то интенсивно- интенсивности прошедших пучков /, 2, 3, ... будут -RJI0 а соответствующие амплитуды Ах =A-Д)Л0, A2 = R{l-R)A0, A3 = R\l-R)A0, ..., где Aq — амплитуда падающего света. Каждый пучок запаздывает по фазе относительно предыдущего пучка на А = 2hcoscp/X, где h — расстояние между отражающими плоскостями интерферометра, а ср — угол падения. С учетом запаздывания амплитуда результирующего колебания прошедшей волны представится геометрической прогрессией: т)[1 + Яе-гА + Я2е-2гА- - Re~iA ' а интенсивность 1-Д\2 TT^J ' или A - Re~iA)(\ - ReiA) (I - RJ + 4i?sin2(A/2)' Когда А = Bm + 1)тг, это выражение минимально: /мин = /мин ~ — A — RJ ~ 0, так как отражательная способность R близка к единице. Когда А = 2ттг, величина / достигает максимума: /макс = /о- Когда A — R) + + 4#sin2(A/2) = 2A - RJ, т.е. 4#sin2(A/2) = A - RJ, то максимальная интенсивность убывает вдвое. В максимуме А = 2ттг; в точке, где / = Уг/макс, А = 2ттг + 5А, причем AR2 sin2EA/2) = A — RJ. Так как эта величина мала по сравнению с единицей, то синус можно заменить самим углом и таким путем получить 5А = A — R)/\J~R. Пусть для угла падения ср интенсивность линии с длиной волны Л равна половине максимальной. Тогда 2h cos ф Л = 2штг + SA. Для более длинной волны Л; и того же угла падения интенсивность будет также равна половине максимальной при условии 2h cos ф Л' = 2штг - SA.
176 Ответы и решения Тогда расстояние между максимумами обеих линий как раз окажется равным полуширине линии, т. е. минимальному расстоянию, разрешаемому интерферо- интерферометром. В этом случае АBттг + SA) = Х/Bттг — 5 А), откуда А + А; 2ттг 2ттг rjz А' - Л = ТлГ = 1 - R ' или ввиду близости линий А и А; А ттгтг /-^ ^ ттгтг ^ тг 2h ~5Х = l-R ~ 1-Д ~ 1 -Д У Это выражение можно записать в том же виде, что и для дифракционной решетки, т. е. Х/5Х = TVm. Роль эффективного числа штрихов играет величина N = тг/A — R). Полученные результаты справедливы и для случая, когда интерферометр работает в отраженном свете. 350. 1) m = ^-^ Ъ = 10000; 2) 0 = А/а = 51, Ъ". 351. Около 1000. 352. Около 1 см. 353. Решение. Пусть SX — минимальная разность длин волн двух спектральных линий, разрешаемая призмой при бесконечно узкой коллима- торной щели. Согласно формуле для теоретической разрешающей способности Х/5Х = a\dn/dX\, разность показателей пре- преломления для этих спектральных линий рав- равна Sn = A/a. Благодаря различию в пока- показателях преломления первоначально парал- параллельный пучок лучей по выходе из призмы сделается расходящимся. Рассчитаем угло- угловое расхождение вышедшего пучка в предпо- предположении, что на призму падал параллельный пучок. Имеем (рис. 120): sincpi = Отсюда при постоянном щ Рис. 1 z(J $п . s^n фх _^_ п cos ф{ . $ф{ — q Так как ф\ + ф2 = А = const, и следовательно, 6ф\ + 6ф2 = 0, то 5п • sin^i Далее, из sin(/?2 = rising находим искомое угловое расхождение вышедшего пучка: ~ sin^2 с- псоБф2 с- , /sin^2 ncos^2 sinф\ \ ОЮ2 = ОП -\ 0ф2 = 1 — ОП, COS(^2 COS(^2 \COS(^2 COS (fi2 ПСО<$ф\/ а при установке на угол наименьшего отклонения (ср\ = (f2 = <р\ ф\ = Ф2 = Ф)'- ътф sin^ A дср2 = 2 on = 2 -. cos cp cos cp a Для полного использования теоретической разрешающей способности призмы необходимо, чтобы угловая ширина коллиматорной щели а = Ъ/f была мала по сравнению с 5(f2- Это дает 6<<2sinV,/A_ coscp a
§ А. Дифракция света 177 Для А/2 = ф = 30°, п = 1,73 получаем Ь « 2 355. 6=^1 = 2,6м. Хап/аХ 356. d = |dA/dra| = 1(Г3см. 357. Решение. Из формулы решетки d(s\nO — sin#o) = тХ следует тХ ^ 2d, откуда умножением на N = &/d получаем ^реш = 26/Л = 3,3 • 105 Д 2М и 33 i?np dn/dX 358. Спектр будет пересечен темными линиями, имеющими форму от- отрезков семейства парабол у2 = Стх; т = 0, 1,2, ..., где С — постоянная, зависящая от параметров установки. (Начало координат помещено в центре ньютоновых колец, ось X направлена перпендикулярно, а ось Y — параллельно щели спектрографа.) Все параболы имеют общую вершину х = 0, у = 0, кото- которой соответствует Л = 0. Отрезки парабол от вершины до фиолетового конца спектра не производятся на опыте. Если щель сдвинуть от центра колец на а, то семейство парабол перейдет в у2 = Стх — а2, где С — та же постоянная. В этом случае параболы с различными т имеют разные вершины, и могут быть получены те части парабол, на которых находятся вершины. При замене дифракционного спектрографа призматическим темные линии остаются, но их форма перестает быть параболической. (Ср. с задачей 685.) 359. Решение. If ^> h2/X= 106см = 10км. На меньших расстояниях никакой фраунгоферовой картины не возникает. При / <С h2/X справедлива геометрическая оптика. За кристаллом получаются пучки дифрагированных лучей, а в местах их пересечения с плоскостью фотопластинки — система пятен. Нефраунгоферовый характер пятен проявляется в том, что в каждом пятне фаза колебаний меняется от точки к точке, тогда как в случае фра- фраунгоферовой картины она практически одинакова в пределах каждого пятна. Однако направления пучков за кристаллом можно определить, проводя от кристалла прямые на (расположенные в бесконечности) фраунгоферовы макси- максимумы. Этим и объясняется, почему при расчете указанных направлений можно пользоваться формулами фраунгоферовой дифракции. 360. Решение. Пусть на решетку падает пучок параллельных лучей с длиной волны Л под углом скольжения а0- Направление дифрагированного пучка ш-го порядка определяется условием d(cosao — cos а) = тХ. Для такого же пучка с близкой длиной волны Л;: d(cosao — cos а') = тХ'. Отсюда d{cosa — cos а) = т(Х — Л;), или dsma-5a = m5X, где введены обозначения: 5а = \а — а\, SX = |Л; — Л|. Для спектрального разрешения необходимо, чтобы оба пучка пространственно разделились. Если / — расстояние до фотопластинки, измеренное вдоль направления дифрагиро- дифрагированного луча, то боковое смещение одного пучка относительно другого равно х = 15а. Условие разрешения состоит в том, чтобы это смещение было не меньше ширины дифрагированного пучка, т. е. х ^ h. Ширина h определяется
178 Ответы и решения выражением h = Dsina, где D — ширина дифракционной решетки. В резуль- результате условие разрешения принимает вид 1т5Х a sin a Dsma. Минимальному разрешаемому расстоянию SX соответствует знак равенства. Поэтому для разрешающей способности получаем Л 1тХ ,7 IX == == N fn 5Х Dd sin2 a h2' Так как IX/h2 <С 1, то Х/6Х <С Nm, т.е. разрешающая способность решетки в рентгеновской области спектра меньше, чем в оптической. Для повышения разрешающей способности надо применять узкие пучки, а фотопластинку помещать возможно дальше от решетки. 361. Решение. Пусть О — фокус геометрического схождения лучей (рис. 121); го — ближайшее расстояние от линзы до О. Опишем из О, как X Рис. 121 из центра, сферическую поверхность S радиуса го. При вычислении светового поля на поверхности S можно ограничиться приближением геометрической оптики. Тогда световое поле на ? в комплексной форме можно записать в виде го Пусть Р — точка наблюдения, dS — элемент поверхности на #, г — расстояние между dS и Р. Световое поле в Р найдется по принципу Гюйгенса по формуле ЕР= [^-e*M~fe(r~ro)], C61.1) J ror где интегрирование производится по той части сферической поверхности S, на которой поле отлично от нуля. Очевидно, г = го -
§ А. Дифракция света 179 где г и го — радиусы-векторы, проведенные из dS в точки Р и О соответствен- соответственно, а р = ОР. Отсюда ¦ = r0 'о Пользуясь формулой бинома Ньютона, находим с точностью до величин, со- содержащих квадраты р: г0Р , Р2 1 (г0РJ , Р2 -2/ \ а в линейном приближении г -го = рп, где п — единичный вектор в направлении го, т. е. п = го/го. Ошибка, до- допустимая при вычислении г — го, должна быть много меньше длины волны. Поэтому линейным приближением можно пользоваться при условии ^-<А. C61.2) Вычислим световое поле в окрестности О в предположении, что условие C61.2) выполняется. Направление единичного вектора п можно характери- характеризовать углами сриф, которые он образует с плоскостями, проходящими через оптическую ось и параллельными сторонам диафрагмы. Очевидно, dS = = rold(pdф. Введем в плоскости наблюдения (экрана) прямоугольную систему координат с началом в точке О и с осями, параллельными сторонам квадратной диафрагмы. Координаты точки Р обозначим через х и у. Тогда г — го = rip = xsinp + у$тф. Если угол а = arctg —, под которым из О видна половина стороны квадратной диафрагмы, мал, то smtp и втф можно заменить через (риф. Кроме того, в знаменателе C61.1) г можно приближенно заменить через го. Окончательно Если амплитуду в точке О принять равной единице, то амплитуда в точке Р: _ sin[B7rx/A) a] sin[B7ry/A) a] ~ Bтгх/А) а Bти//А) а ' а интенсивность sin[B7rx/A) а] \2 Г sin[B7ry/A) а] л2 (WA)a И (WA)a Дифракционная картина получается такая же, как при дифракции Фраунгофе- ра от квадратного отверстия. Расстояния между двумя соседними минимума- минимумами, а также от центра центрального максимума до первого минимума равны Ах=^. C61.5)
180 Ответы и решения Остается проверить, выполняется ли условие C61.2). Так как заметная ин- интенсивность по формуле C61.3) получается при р порядка Ах, то, подставляя в C61.2) р « А/а, придадим C61.2) вид а>л/А7^о. C61.6) Последнее условие выполняется во всех оптических приборах с линзами или зеркалами. Случай круглой диафрагмы существенно не отличается от случая квад- квадратной диафрагмы. Интеграл C61.1) для круглой диафрагмы в линейном приближении может быть выражен через бесселеву функцию первого порядка. Дифракционная картина в фокальной плоскости имеет вид светлых и темных концентрических кругов со светлым центром. Радиусы темных колец имеют следующие значения: 1,12А/а; 1,62А/а; C61.7) где а — угол, под которым виден радиус диафрагмы из точки О. 362. Решение. В случае самосветящихся точек волны, ими излучаемые, некогерентны. На экране складываются интенсивности волн, исходящих из этих точек. Пусть обе точки расположены симметрично относительно глав- главной оптической оси. Рассмотрим распределение интенсивности вдоль оси X (рис. 122). Положение точки наблюдения на этой оси можно характеризо- характеризовать координатой ? = Bтгж/А) а. Минимальное расстояние между центрами Рис. 122 дифракционных кружков соответствует по Рэлею разности координат А? = тг (см. решение задачи 361). На рис. 122 пунктирные кривые изображают распре- распределение интенсивностей от каждой из рассматриваемых двух самосветящихся
§ 4. Дифракция света 181 точек, а сплошная кривая дает результирующую интенсивность. Мы видим, что интенсивность в центре картины почти на 20% меньше максимальной интенсивности, равной наибольшей интенсивности от одной святящейся точки. Поэтому при выполнении критерия Рэлея получается раздельное изображение самосветящихся точек. 363. Решение. Если изображаемые точки не самосветящиеся, а осве- освещаются одним и тем же источником света, то волны, исходящие из них, конгерентны. Складывать надо не интенсивности, а амплитуды колебаний, учитывая разность фаз между ними. Из решения задачи 361 следует, что в случае изображения одной точки фаза колебаний одна и та же в пределах каждого светлого кольца (в случае квадратной диафрагмы — светлого квадра- квадрата) и меняется на 180° при переходе через минимум освещенности в соседнее светлое кольцо. 1) Отверстия освещаются лучами, параллельными главной оптической оси. В этом случае волны исходят из них в одинаковых фазах. Так как до точки О волны проходят одинаковые расстояния, то в точку О они приходят также в одинаковых фазах. Амплитуда результирующего колебания в точке О будет больше в 2 раза, а интенсивность в 4 раза, чем в случае изображения одно- одного из отверстий. Распределение результирующей интенсивности дает кривая рис. 123. Она имеет лишь один максимум, и изображение в глазу будет такое / / / / i / 1 I 1 1 1 1 I и — •"" T ^ •^^^-'T' x- _ 1 \ \ \ \ \ \ I \ \ \ / / / / / / _ У /, % Д150 \ -lOOl / \\ / \ \ / \ \ / \ \ / \ \ / \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -2п Рис. 123 же, как и от одной точки. Поэтому при рассматриваемом способе освещения раздельного изображения освещаемых точек не получится, если расстояние между ними равно минимальному расстоянию, требуемому критерием Рэлея. Чтобы получилось раздельное изображение, надо это расстояние увеличить примерно в 1,4 раза. В соответствии с этим в такое же число раз уменьшается и разрешающая способность по сравнению со случаем самосветящихся объек- объектов.
182 Ответы и решения 2) Отверстия освещаются параллельными лучами, наклоненными под уг- углом в к главной оптической оси. В этом случае волны из отверстий выходят не с одинаковыми фазами, а с разностью фаз 5 = 2nd sin О/X, где d — рас- расстояние между центрами отверстий. С такой же разностью фаз они придут и в О. Если dsinO = Л/4, то 6 = тг/2, интенсивность в О будет в два раза больше соответствующей интенсивности при наличии одного из отверстий. Разрешающая способность при таком освещении будет такая же, как и в случае самосветящегося объекта. Если SsinO = Л/2, то 6 = тг. Тогда волны прихо- приходят в О в противоположных фазах и интенсивность там будет равна нулю. Разделение изображений будет выражено весьма резко. При таком освещении расстояние между отверстиями может быть меньше предела Рэлея, и все же будут получаться раздельные изображения их. 3) Отверстия освещаются лучами всевозможных направлений. В этом случае получается практически такая же разрешающая способность, как и для самосветящихся объектов. 364. 1) 34"; 2) 0,042 мм. 365. Решение. Пусть рассматриваемый объект виден невооруженным глазом под углом а = 1,22Л/1), где D — диаметр объектива, т.е. под мини- минимальным углом, который способен разрешить объектив. В трубу тот же объект будет виден под углом C = Na. Угол C должен быть не меньше угла 7 = = 1,22Л/с?, который способен разрешить глаз (d — диаметр зрачка глаза). Из условия /3^7 получаем Увеличение NmpM = D/d называется нормальным. При меньших увеличениях используется только часть объектива, и разрешающая способность системы труба-глаз понижается. Увеличения, больше нормального, не целесообразны, так как при этом разрешающая способность системы не увеличивается, а яр- яркость изображения уменьшается (см. задачу 188). 366. 1) Разрешаемое угловое расстояние зрительной трубы в = 1,22Л/Д где D — диаметр объектива. При визуальных наблюдениях можно принять Л = 5500 А; тогда 0 = 2,76". 2) При увеличении N ^ D/d = 10. 367. 50= 1,22Л/?> = 0,023". 368. Угловые размеры почти всех звезд много меньше разрешаемых уг- угловых расстояний даже самых больших телескопов. При таких условиях ве- величина изображения звезды на сетчатке глаза определяется исключительно дифракционными эффектами в оптической системе (телескоп+глаз) и не зави- зависит от увеличения. Но яркость этого изображения пропорциональна световому потоку, поступающему в оптическую систему. Этот световой поток при пользо- пользовании телескопом во столько раз больше светового потока, проходящего через зрачок невооруженного глаза, во сколько раз площадь отверстия объектива больше площади зрачка глаза (если увеличение телескопа нормальное). Поэто- Поэтому в телескоп можно видеть более слабые звезды, чем невооруженным глазом. При нормальном увеличении диаметр выходного зрачка равен диаметру зрачка глаза. Применение больших увеличений при рассматривании звезд бесполезно. При меньших увеличениях не весь свет, поступивший в телескоп, проходит через зрачок глаза. 369. См. ответ предыдущей задачи. 370. В ^/сф = 10 раз. 371. В ^/ар = 10 раз.
§ 4. Дифракция света 183 372. l2 = l\D2/D\ = 5 • 104км. 373. Не может. Диаметр зрачка глаза орла не превышает нескольких миллиметров. Если предположить, что он равен даже 10 мм, то минимальный угол, под которым орел может видеть раздельно две точки предмета, окажется примерно в 3 раза больше угловых размеров мышонка. 374. На Луне около 40 м, на Солнце около 20 км. 375. Около 28 км. Рассмотренная задача до сравнительно недавнего времени представляла интерес в связи с гипотезой о каналах на Марсе и их искусственном сооружении. Фотографирование поверхности Марса с помощью ракет и исследование его по- посредством управляемых аппара- аппаратов, спускаемых на поверхность Марса, не подтвердило эту ги- гипотезу. 376. Решение. При ма- малых углах дифракции искомое расстояние х найдется из тре- требования, чтобы разность хода Г2 — и крайних интерферирую- интерферирующих лучей (рис. 124) была равна длине волны Л. Применяя тео- теорему Пифагора и извлекая квадратные корни с помощью формулы бинома Ньютона, для этой разности нетрудно получить Рис. 124 Г2 — 7*1 = xD xD Ограничиваясь первым членом, найдем ЬЛ C76.1) Ошибка при вычислении г^ — т\ должна быть мала по сравнению с Л. Отсюда получаем условие применимости предыдущей формулы 1 2b2 V D2 1. C76.2) 377. Если пользоваться для радиуса первого темного дифракционного кольца формулой C76.1), то получится D2 = 2аЪ\ а + 6' C77.1) т. е. площадь отверстия должна равняться половине площади центральной френелевой зоны, построенной для точек S и Р (рис. 124). Условие C76.2) сво- сводится к а 2 а2 и всегда хорошо выполняется во всякой камере с малым отверстием.
184 Ответы и решения При более точном решении надо пользоваться для радиуса х первого темного кольца формулой х = 1,226A/D, что дает D2 = ±211^. C77.2) Рэлей, более подробно исследовавший этот вопрос теоретически и экспе- экспериментально, нашел для наивыгоднейшего диаметра отверстия C77.3) что практически совпадает с C77.1) или C77.2). 378. D = V/2,44LA « 0,35 мм. 379. L « ?>2/B,44А) « 1000км; 5 « B,44A/L>J « 1,5 • 102. 380. Разрешающая способность увеличится приблизительно в два раза. 381. N ^ D/d, где D — диаметр объектива, a d — зрачка глаза. 382. L < D//A,22A) = 3,7 м. Легко видеть, что то же условие соблюдается и при применении так называемого объективного отсчета на шкале, т. е. при проецировании светового зайчика, отраженного от зеркальца гальванометра на шкалу. 383. г « -— \ « 0,1 светового года. 384. I < j V 2 « 250 км. 385. 0 = (m + \/2)\/D, где т — целое число. 386. х = /0 = (m + \/2)f\/D, где m — целое число. 387. 0 = 2(m + \/2)X/D, где m — целое число. 388. Решение. Для одного пучка света (зеркало М\ или М2 закрыто) в фокальной плоскости будет наблюдаться система дифракционных колец, по- появляющихся в результате дифракции на круглой диафрагме зеркала. Диаметры колец определяются размером диафрагмы. Для двух пучков света (зеркала М\ и М2 открыты) одновременно будут наблюдаться две системы колец, которые, вообще говоря, не совпадают друг с другом. Но путем поворота зеркал М2 и Mi можно вторую систему колец совместить с первой. Тогда они будут ин- интерферировать друг с другом и кольца будут пересечены темными и светлыми полосами, перпендикулярными к линии М\М2. 389. Решение. По принципу Гюйгенса действительные источники света можно заменить виртуальными источниками, распределенными в плоскостях диафрагм, стоящих перед зеркалами М\ и М2. Ради простоты (это не является ограничением) будем считать диафрагмы настолько малыми, что их можно принять за точки. Тогда задача сводится к нахождению интерференционной картины от двух точечных источников S\ и S2 (рис. 125), когерентных меж- между собой. Световые пучки от этих источников, прежде чем они достигнут объектива L, претерпевают отражения от зеркал М\, М2, Мз, М\. Можно в рассуждениях исключить из рассмотрения эти отражения, если заменить источники S\ и 52 воображаемыми источниками S" и 5^, которые являются их изображениями в плоских зеркалах. При такой замене фазы S\ и 5(; будут одинаковы, равно как и фазы S2 и 5". Тем самым задача свелась к задаче 385. При сближении зеркал Мз и М\ уменьшается расстояние между S" и 5^, что ведет к увеличению ширины интерференционных полос.
§ 4. Дифракция света 185 Допустим, что одна из звезд посылает свет перпендикулярно к прямой 2. Тогда фазы источников S\ и $2 (а следовательно, S" и 5") будут одинаковы. Для того чтобы вторая звезда дала систему полос, смещенную относительно первой на половину ширины полосы, необходимо, чтобы фазы вторичных источников S\ и 5г, возбуждаемых второй звездой, отличались на тг. Это дает где в — угловое расстояние между звездами, a D — расстояние между центра- центрами зеркал М\ и М^. Таким образом, >-%¦ Если обе звезды одинаковы, то при выполнении этого условия полосы интер- интерференции исчезают. Вообще, интерференционные полосы будут исчезать, если (ш+1/2)Л °= D ' Если одиночную звезду заменить квадратом постоянной поверхностной ярко- яркости, то этот квадрат можно разбить на линейные источники, параллельные одной из сторон квадрата, а именно той, которая перпендикулярна к 5i52. Если угловые размеры сторон квадрата равны то каждый линейный источник одной половины квадрата уничтожит интерфе- интерференционные полосы, даваемые соответственным источником второй половины квадрата. Вообще, полосы интерференции пропадают при выполнении условия 2(т+1/2)Л в = —ъ—¦
186 Ответы и решения Расчет для звезд с круглым диском постоянной поверхностной яркости несколько сложнее. Он показывает, что первое исчезновение интерференцион- интерференционных полос наступает тогда, когда 1.22А где в — угловой диаметр звезды. 390. 0,047". 391. 6ip^X/D. 392. 1) dy^X/d. При Л = 1 м Sip « Г; при Л = 10см Sip « Т. 2) Sip « д/Л/6. При Л = 1 м <fy « 2'; при Л = 10см Sip « 40". 3) /г < V6A. При Л = 1 м VA = 19,5км; при Л = 10см л/ЪХ = 6,2км. 393. Sip « Л/D. При Л = 1 м Sip « 0,06". При Л = 10 см <fy « 0,006". Метод требует, чтобы источник радиоизлучения находился на прямой, соединяющей точку наблюдения с центром Луны. Кроме того, он предъявляет весьма жесткие требования к гладкости лунной поверхности и к отступлениям формы Луны от сферической. Высота неровностей поверхности по всей границе лунного диска должна быть мала по сравнению с h = ЬХ/D. Разность наиболь- наибольшего и наименьшего диаметров лунного диска также не должна превышать этой величины. При Л = 1 м h « 100м; при Л = 10см h ж Юм. Эти жесткие требования исключают возможность использования рассматриваемого метода, по крайней мере, для радиоволн с длиной волны Л < 100 м. 394. 0 « \/Bh) « 3'. 395. О « А/BД) - 0,2", где R - радиус Земли. 396. в ~ X/Bh) ~ 20/;. Высота спутника над поверхностью Луны h « « 500 км. Спутник Земли при работе на волне с длиной 100 м использовать трудно, а обычно даже невозможно из-за влияния земной ионосферы. 397. Диаграмма имеет «ножевую» форму с угловыми размерами X/D в одном направлении и X/d — в другом. 398. 1) Около 0,3 мкм; 2) около 0,19мкм. 399. 1) В 2 раза; 2) 0,095 мкм; 3) около 5300. 400. Решение. Пусть в микроскоп рассматривается объект, величи- величина которого I равна наименьшему разрешаемому расстоянию его объекти- объектива. Для самосветящихся объектов или объектов, освещаемых диффузно, I = = 0,61A/(nsin^), где rising — числовая апертура объектива. Невооруженным глазом с расстояния ясного зрения L этот объект виден под углом а = 1/L. В микроскоп он виден под углом C = Na, где N — увеличение микроско- микроскопа. Угол C должен быть не меньше минимального углового расстояния 7 = = 1,22X/d, разрешаемого глазом (d — диаметр зрачка глаза). Условие /3^7 дает N ^ 2Lnsinu/d. Увеличение NmpM = 2Lnsinu/d называется нормальным. Применять увеличения больше нормального не целесообразно, так как при этом разрешающая способность микроскопа не повышается, а яркость изобра- изображения уменьшается. (См. задачу 192.) 401. Когда узкая щель вертикальна, на экране получается система горизон- горизонтальных полос. При горизонтальной щели полосы становятся вертикальными. Когда щель наклонена под углом 45° к горизонту полосы также наклонены под тем же углом, но перпендикулярны к направлению щели. При широкой щели, независимо от ее направления, на экране получается подобное изображение проволочной сетки. 402. N ^ D/d.
§ А. Дифракция света 187 403. U ^ , где d — диаметр зрачка глаза. 2/insino; 404. п sin a ^ D/Bf), N ^ DL/(fd), где L — расстояние ясного зрения, d — диаметр зрачка глаза. 405. D2/f ^ z2X2 « 0,25. 406. Период изменения показателя преломления жидкости равен длине ультразвуковой волны Л. Решение. Показатель преломления жидкости зависит только от ее плот- плотности. Поэтому задача сводится к определению пространственного периода изменения плотности жидкости. На рис. 126 черными кружками изображены А С В D Рис. 126 узлы скоростей в стоячей звуковой волне, а стрелками показаны направления движения частиц жидкости в некоторый момент времени. В стоячей волне все частицы жидкости между двумя соседними узлами скорости движутся в одном направлении. При переходе через узел скорости направление движения частиц меняется на противоположное. Пусть смещения частиц жидкости в некоторый момент времени достигли своих максимальных значений. Тогда при направ- направлениях скоростей, указанных на рис. 126, в узлах А, В, ... будут сгущения, а в узлах С, D, ... — разрежения. Через половину периода в узлах А, В, ... будут разрежения, а в узлах С, D, ... — сгущения. Расстояние между двумя соседними сгущениями или разрежениями равно пространственному периоду изменения плотности, а следовательно, и показателя преломления жидкости. Оно, как видно из рис. 126, равно длине ультразвуковой волны Л. 407. Решение. Так как частота звуковых колебаний очень мала по сравнению с частотой световых колебаний, то можно считать, что жидкость, в которой распространяется свет, неподвижна. Такая жидкость представляет собой неоднородную среду, показатель преломления которой меняется пери- периодически в направлении, параллельном АВ. Расчет светового поля в такой неоднородной среде представляет очень трудную задачу. Однако, как бы ни распространялся свет внутри жидкости, можно утверждать, что световое поле в плоскости CD при выходе из кюветы будет периодически меняться в направ- направлении CD с периодом Л. Для определения светового поля за кюветой можно, по принципу Гюйгенса, заменить реальные источники света виртуальными, распределенными по поверхности CD. При этом расстояние между двумя соседними одинаковыми виртуальными источниками будет равно длине ультра- ультразвуковой волны Л (см. решение задачи 406). Этим задача сведена к дифракции света на двумерной плоской решетке. 408. v = fXu/Ax = 1200 м/с. 409. Нельзя. Решение. Пространственный период изменения показателя преломления жидкости в обоих случаях равен длине ультразвуковой волны Л. Поэтому в обоих случаях будут одинаковы углы дифракции. Более того, будет од- одно и то же распределение интенсивности света в дифракционных спектрах, ибо в обоих случаях показатель преломления как функция координат (при фиксированном времени) меняется по одному и тому же закону синуса. При заметном затухании ультразвука характер изменения показателя преломления
188 Ответы и решения в пространстве в стоячей и бегущей волнах уже не будет одинаковым. В этом случае по характеру дифракционной картины бегущую волну в принципе можно отличить от стоячей. 410. Решение. Если бы глаз мгновенно реагировал на световое раз- раздражение и не обладал способностью сохранять зрительные впечатления, то, взглянув на жидкость, мы увидели бы светлые и темные полосы, рассто- расстояние между которыми равнялось бы расстоянию между двумя соседними сгущениями, т. е. Л. Через половину периода звуковых колебаний на месте каждой светлой полосы образовалась бы темная, и наоборот. В действитель- действительности глаз сохраняет зрительные впечатления в течение примерно 0,1с, т.е. в течение времени, которое чрезвычайно велико по сравнению с периодом ультразвуковых колебаний. Поэтому глаз не в состоянии видеть смену полос. Он фиксирует некоторую среднюю освещенность сетчатки, получающуюся путем усреднения мгновенной освещенности по времени, которое очень велико по сравнению с периодом ультразвуковых колебаний. При таком усреднении интенсивность света во всех узлах скоростей сделается одинаковой. Во всех пучностях скоростей интенсивность будет также одинаковой, но отличающейся от интенсивности в узлах. Поэтому период видимой картины должен равняться расстоянию между соседними узлами, т. е. Л/2. Примечание. Для полного исследования вопроса необходимо было бы показать, почему при усреднении получается система полос, а не равномерное освещение жидкости. Такое исследование требует подробного рассмотрения сложного вопроса о распространении световой волны в сильно неоднородной среде, какой является жидкость при наличии в ней ультразвукового поля. Это исследование, в согласии с опытом, показывает, что полосы должны наблю- наблюдаться. Цель рассмотренной нами задачи состояла в том, чтобы, принимая наличие полос как опытный факт, определить расстояние между ними. 411. В дифракционных спектрах, наряду с основной частотой uj, появятся частоты ш ± тп, где О — частота ультразвуковых колебаний, т — целое число. Решение. Стенку кюветы, на которую падает световая волна, примем за координатную плоскость XY, за направление оси Z выберем направление рас- распространения света, а ось X направим перпендикулярно к волновым фронтам ультразвуковой волны. Поле падающей волны имеет вид Е = Eocos(ojt — kz). На передней стенке кюветы, где z = 0, оно равно Е\ = Eocosojt. Поле Е% на задней стенке кюветы можно представить в виде Е% = АЕ\, где А — пропускаемость кюветы, которая, очевидно, является периодической функцией координаты х и времени t. Разложив ее в ряд Фурье и отбросив высшие гармоники, можно написать: А = а + b\ cos Ш + fe sin Ш, где a, b\, fe не зависят от времени. В результате амплитуда поля Е% оказыва- оказывается модулированной с частотой модуляции О. Такое поле эквивалентно трем гармоническим полям с частотами и, и — О, и + О. Действительно, Е<2. = АЕ\ = (а-\-Ъ\ cos Ш + &2 sin Ш) cos cut = 1 = a cos out -\—{b\ cos(a; — O)t — 62 sin(a; — O)t}+ + -{61 cos(a; + O)t + 62 sin(a;
§5. Элементы голографии 189 Отсюда следует, что и вторичные волны Гюйгенса, распространяющиеся от задней стенки кюветы, будут иметь частоты и, и — О, и + О. Такие же частоты появятся и в дифракционных спектрах. Если в разложении А учесть высшие гармоники, то в дифракционном спектре добавятся частоты и ± 20, и ± 30 и т.д. § 5. Элементы голографии 412. Ф(ж) = ах, Ер = Eoexp(iax), где а = ksinO. При изменении знака проекции кх знак перед произведением ах изменится на обратный. 413. Ф = -^- (х2 + у2), Ер = ?оехр | - ^- (х2 + у2)}. Решение. Поле волны, распространяющейся из источника S, в точке Р можно записать в виде Ер = — exp{i(ujt — кг)}, где г « го + Ь т^—, А — постоянная. Учитывая это, получаем результат, приведенный в ответе. Аг0 415. D(x) = 2Eq — ^Е\ — 2EqE\^cos (-^- xsin0j, где 7 — постоянная, за- зависящая от условий экспонирования и проявления, называемая коэффициентом контрастности фотопластинки. Пространственный период расположения полос почернения d = A/sin0. 416. D(x) = 2El - jE2 - jE0Ex exp |тж + -^ (x2 + y2)j - exp i — гаж [>, где а = /csin#, а для опорной волны было принято следующее выражение: Е = Ео exp{i(ujt + кх sin 0 — /czcos0)}. 417. За голограммой будут распространяться четыре волны, показанные на рис. 127. Точки Sf и S" находятся соответственно перед голограммой и за ней Рис. 127
190 Ответы и решения на том же расстоянии от нее, на котором находилась точка S от фотопластинки при получении голограммы. Решение. Распределение фаз и амплитуд в плоскости голограммы в падающей волне дается соотношениями Ф = xsin#, Ер = Ео\ ехр(—гах), А где Ео\ — напряженность поля волны в точке О, ось X направлена вверх (см. решение задачи 412). Волновое поле за голограммой будет }Пр = D(x)Ep = Eoi < 2Eq ехр(гаж) — ^E2 ехр(шж) — — ^E\Eq exp — (x2 + y2) — jEqEi expBiax) exp — — (x2 ¦ Первый член (см. рис. 127) соответствует волне, идущей под тем же углом в к оси, как и падающая волна, второй — волне, идущей почти под тем же углом в. Третий член соответствует волне, сходящейся на оси системы в точ- точке S', удаленной на расстояние а от голограммы. Четвертый член соответствует расходящейся волне, ось которой повернута на угол в\ от оси системы, где 418. Ход световых пучков при просвечивании зонной пластинки пред- представлен на рис. 128. Фокусные расстояния зонной пластинки равны / = ±а. Про свечивающая -F F Рис. 128 При изменении длины волны фокусные расстояния связаны соотношением А/ = \'f. Приведенные результаты вытекают непосредственно из анализа физического смысла членов выражения D(x), данного в условиях задачи. 4a 2 ' 2' Решение. Не учитывая сдвиг фазы волны при отражении ее от зеркала (что несущественно для ответа на поставленный в задаче вопрос), разность хо- хода А опорной и предметной волн, приходящих в точку А(х, у, z) (см. рис. 49), равна А = а + л / (а — zJ + х2 + у2 — z.
§5. Элементы голографии 191 При z <С а, ж«а, у <^L а получаем Максимальное почернение будет в точках, где А = тХ, т. е. х2 + у2 тХ z = а + 4а Это — уравнение семейства параболоидов вращения. Возможно и другое решение. Уравнения опорной и предметной волн соот- соответственно: Е\ = E\q exp{i(ujt — kz)}, Е2 = E2oexp{i(ujt -ка- kJ (a - zJ + х2 + у2)}. Интенсивность светового поля: = Е\о + Е2о + 2ЕюЕ2о cos{kz — ка — kJ(a — zJ + x2 + у2 Условие максимального почернения фотопластинки: kz — ка — к у (а — zJ -\- х2 -\- у2 = 2ттг, откуда 420. ж = ^ctga —^-—; это будет семейство плоскостей, парал- sin2o; ksin2a лельных зеркалу 3. Ah = = где в — угол между волновыми векторами опор- опорной и предметной волн. Решение. Уравнение опорной и предметной волн: Е\ = i?ioexp[i(ic;? — kz)}. Е2 = i?20 exp[i(o;t — /еж sin E -\- kz cos /3 — (/?)], где C = 2a, (/? — запаздывание фазы отраженной волны, зависящее от рассто- расстояния между зеркалом и фотопластинкой и условия отражения ее от зеркала. Интенсивность света: = E\q + Е20 + 2Е\оЕ2О cos(kz + fcz cos C — kxsmf3 — Максимумы почернения соответствуют условию kz + fczcos j3 — kxsin j3 — cp = 2штг (ш — целые числа),
192 Ответы и решения откуда 2A +COS/3) sin j3 2ттг к sin C к sin C _ /3 2штг ~ ZC g 2 ~ ksinp ksinp = z ctg a г mX sin 2a ksinfi' Таким образом, линии равного почернения (пересечения плоскостей рав- равного почернения плоскостью чертежа) располагаются параллельно биссектрисе угла между векторами к и к;, т.е. параллельно зеркалу 3 (рис. 129). Рис. 129 Расстояние между плоскостями А/г = Az cos a = Л Л 2cosck 2sin@/2)' 421. На экране получится изображение металлической пластинки, пе- пересеченное горизонтально расположенными интерференционными полосами. Положение темных полос определяется из условия 25 = Bк + 1)Л/2, где 6 — стрела прогиба металлической пластинки в данном месте. Модуль Юнга Е = 24Flx2 аЬ3B/с+1)А' где к = 0, 1, 2, ... § 6. Поляризация света. Формулы Френеля 422. Если N — полное число зон Френеля, то интенсивность света в фо- фокусе пластинки будет приблизительно в N2 раз больше, чем при свободном распространении света. 424. Уменьшится вдвое независимо от поляризации падающего света. 425. Разрешающая способность не изменится. 426. р = ( ) . Для воды р = 2 %, для стекла р = 4 %. КП + 1 427. сг = 4п/(гг+1J = 428. 100A -0,968) = 28%.
§6. Поляризация света. Формулы Френеля 193 430. Решение. Если отражение не является полным, то, как следует из закона преломления света, каждому углу падения соответствует вещественный угол преломления ф. Поэтому оба отношения *) Rs _ snip - ф) R^ вещественны. Физически это означает, что при отражении либо совсем нет изменения фазы, либо это изменение составляет 180°. Если падающая волна линейно поляризована, то разность фаз между ее компонентой с электрическим вектором, перпендикулярным к плоскости падения, и компонентой с электри- электрическим вектором, лежащим в этой плоскости, равна либо 0°, либо 180°. На основании изложенного такая же разность фаз будет и у компонент отражен- отраженной волны. При сложении такие компоненты дают линейно поляризованную волну. _ 431. tg<* = cosfa - ф) tga, tgp = -121 1 432. 1) 56° 19'; 2) А = Tl'n^^ll = -°>08- An2 + A + п2J 433. 57°05'. «•¦ И (?т)" = <>•"¦ 435. Dp = %р/п. 436. А = тт-2срв =68°. 437. Электрический вектор должен лежать в плоскости падения. Показа- Показатель преломления призмы должен быть равен п = I/tg(A/2) = у/3 = 1,73. 438. 1) Будут; 2) не будут. 439. Если свет поляризован перпендикулярно к плоскости падения, то интерференционные полосы исчезнут при углах падения ср\ = arctgni и (f2 = = arctg7i2. Если свет поляризован в плоскости падения, то исчезновения интерференционных полос не будет. 440. Результат непосредственно получается из формул Френеля. 442. Свет внутри слоя диэлектрика испытывает многократные отражения на его границах (рис. 130). Если 5 = 2ттп1/Х — разность фаз, соответствующая [r[r2 d\d[r[ r2 Рис. 130 l) &s и &р — комплексные амплитуды главных компонент падающей волны, электрические векторы которых соответственно перпендикулярны и параллель- параллельны плоскости падения. Rs и Rp имеют такой же смысл для отраженной, a Ds и Dp для преломленной волн. 7 Под ред. Д. В. Сивухина
194 Ответы и решения двукратному прохождению света через слой (т. е. от одной его границы до другой и обратно), то с учетом многократных отражений для комплексной амплитуды отраженной волны можно написать откуда R d\d[r2e~l6 ? = 1 -r[r2e-iS' или с учетом соотношений D41.1) R r\+r2e~i5 & \+rir2e~i6' D42.1) 2п cos(ck - 5) _ 5) ~ ' 443. При отражении от идеального зеркала может меняться только фаза, но не амплитуда волны. Поэтому для коэффициента Френеля при таком отра- отражении можно написать г2 = ега. Подставляя это значение в формулу D42.1), получим R _ п +е*(°!-<5) откуда д 2 = А +1 со 1 I 2 й 1+rf 444. Оптическая толщина пленки должна быть равна четверти длины световой волны в вакууме. Показатель преломления пленки п' = л/п, где п — показатель преломления стекла. Отражения не будет также в том случае, когда оптическая толщина пленки In' = ly/n = Л/4 + NX/2, где N — целое число. Однако при пользовании белым светом применять толстые пленки невыгодно. Точное решение задачи можно получить с помощью формулы D42.1). Тот же результат можно получить более просто, если не учитывать многократные отражения, а рассмотреть интерференцию волн, однократно отразившихся от верхней и нижней границ пленки. 445. р = р\ + р2о\ + Р2&\Р\Р2 + ... = Р\ - Р\Р2 (у = <J\(J2 ' -------- i ~.~~(~.~Л 1 Р\Р2 446. Решение. Присоединим к системе m плоскостей одну такую же (т + 1)-ю плоскость. Первые m плоскостей можно заменить одной плоскостью с коэффициентами отражения и пропускания рш и аш. Тогда задача будет сведена к предыдущей, и мы получим для коэффициентов отражения и про- пропускания (т + 1) плоскостей GШ Рт+\ = Рт + Р~л , CTm+1 = 1 РР , CTm+1 Z• — РРт 1 — РРт Отсюда методом доказательства от т к т + 1 нетрудно получить тр 1 — р Рт = l + (m-l)p' a™ = \ + {m-\)p 2N 5,76 . (Ш РИ
§6. Поляризация света. Формулы Френеля 195 100, 80 60 40 20 Y A 1 \ I / / \ \ 4 Pn — — "— —. — — 448. A = 10 20 30 40 Рис. 131 -Pp) 50 Ж BN - l)psPp - (N - l)(Ps + Рр) - V Ps- РР . h_ = I -Ps BN- 1)рР У Ip 1 - рр BЛГ - \)Ps 2{N-\)pspp + {ps- где ps и pp — коэффициенты отражения волн, поляризованных в плоскости падения и перпендикулярно к ней, для одной отражающей поверхности: / COS (f — П COS ф \2 ( П COS (f — COS ф \2 Ps = , Pp = 449. А COS if + П COS -0 — ф) — COS2 (if + - ф) V П COS <р + COS ф = 0,0; 0,82; 1,0; 0,0. 450. -0,015; -0,091; -0,176; -0,402. 451. A- -A = N N N N N + 5 N + 5 ,76 ,76 0 0 1 ,148 6 ,512 2 0,258 7 0,548 3 0,342 8 0,582 4 0,409 9 0,611 5 0,466 10 0,635 452. Решение. Из формулы Френеля следует, что Rp меняет знак при переходе через угол Брюстера. Физически это означает, что при таком переходе Rp претерпевает скачкообразное изменение фазы на тг. При строгой справедливости формулы Френеля это не вело бы
196 Ответы и решения к нарушению непрерывности электромагнитного поля, так как при угле Брю- стера Rp = 0. В действительности Rp не обращается в нуль ни при каком угле падения. Поэтому должна существовать окрестность угла Брюстера (обычно довольно узкая), при переходе через которую фаза Rp меняется непрерывно от 0 до тг. Для света, электрический вектор которого перпендикулярен к плос- плоскости падения, подобной окрестности не существует. Поэтому из нестрогого соблюдения закона Брюстера вытекает эллиптическая поляризация отраженно- отраженного света, о которой шла речь в условии задачи. Обратное заключение можно получить, если разложить падающую волну на компоненты с колебаниями в плоскости падения и перпендикулярно к ней и принять во внимание, что эти компоненты в линейном приближении отражаются независимо друг от друга (принцип суперпозиции). 453 — V ^ <$s V?2/l^2 COS у — cosy + cosy — cosy + 2vWmi cosy + 2^?\/ H\ VS2/M2 COS^ л/?2/1^2 соёф \Je\Iil\ соёф л/exliix cos^ cosy ^/?~2~l№ СОБф cosy Ds Dp_ _ <&P ^?2/1^2 cos cp + yje\l[i\ cosip 454. Решение. Если закон Брюстера имеет место, то угол Брюстера, при котором не отражается р-компонента электрического поля, определяется выражением tg /?f^?^. D54.1) Возможен случай, когда не будет отражаться s-компонента. Угол, при котором это имеет место, определяется уравнением tg^= /^^' »"**. D54.2) у /ii ?i/ii — ^2/^2 Оба случая взаимно исключают друг друга, так как знаки подкоренных выражений в D54.1) и D54.2) противоположны. Если е и \i существенно положительны, то всегда существует угол, при котором не отражается либо р-, либо s-компонента падающей волны. Для определения этого угла «полной поляризации» надо пользоваться той из формул D54.1) или D54.2), у которой подкоренное выражение положительно. 456. Не нарушая общности, можно так выбрать положительные направле- направления отклонений в обеих волнах, чтобы разность фаз между ними лежала в пре- пределах от 0 до тг. Тогда конец результирующего вектора двух складываемых векторов будет описывать эллипс в направлении от вектора, опережающего по фазе, к вектору, отстающему по фазе. 457. Искомый угол ср определяется из уравнения • 4 71+1 2^-2 , 1 2 ТГ - sin (р ^— cos — sin (р -\—т- cos — = О, nz 8 nz 8 которое дает ср{ = 60°32;, ср2 = 38°42;. 458. Левая.
§6. Поляризация света. Формулы Френеля 197 459. ю = arcsm \ , о = 2 arctg ^ V 1 + п2 6 2п где п — показатель преломления второй (оптически менее плотной) среды относительно первой (п < 1). 460. п^ -^— «2,41. л/2 - 1 461. Нельзя. 462. п = . . . = 5,028. Так как веществ с показателем преломле- COsC7T/8) ния 5 не существует, то в оптике осуществить этот случай нельзя. Его можно было бы осуществить с более длинными электромагнитными волнами. 463. 6°29' или 44°38'. Правая. 464. 69°21' или 42°46'. Правая. 465. п = -^— = 2,4143; А = 35°34;. л/2-1 466. Решение. Допустим, что электрический вектор колеблется пер- перпендикулярно к плоскости падения. Рассмотрим электрическое поле в первой среде в какой-либо точке на границе раздела. Электрическое поле падающей волны в этой точке меняется во времени по гармоническому_^акону. Его можно предста- представить вектором ОА, равномерно вращающим- вращающимся вокруг точки О с угловой скоростью и (рис. 132). Проекция конца этого вектора на плоскость границы раздела даст значение электрического поля падающей волны в рас- рассматриваемой точке в данный момент вре- времени. Электрическое поле отраженной волны можно представить вектором АВ той же са- ^ис- -^ мой длины и вращающимся с той же скоро- ^ ^ стью вокруг точки А. Угол 5 между векторами ОА и АВ и есть скачок фазы при отражении. Результирующее поле в рассматриваемой точке первой среды изобразится вектором ОВ = О А + АВ, вращающимся вокруг точки О. В силу непрерывности тангенциальных компонент электрического поля тот же вектор ОВ будет изображать электрическое поле и по другую сторону границы раздела, т.е. поле преломленной волны. Значит, угол А (рис. 130) есть скачок фазы, испытываемый волной при проникновении во вторую среду. Так как треугольник ОАВ — равнобедренный, то 5 = 2А. Доказательство нетрудно распространить и на тот случай, когда электрический вектор колеб- колеблется в плоскости падения. 467. п > 3,732. 468. Решение. Поместим начало координат на верхней границе слоя и введем обозначение ( = z + а. Тогда можно написать /соп=^, D68.1) где р — постоянная, а ко — волновое число в вакууме. На верхней границе слоя z = 0, и следовательно, ( = а. Обозначим через Ь значение ( на нижней границе слоя. Очевидно, пр пр I = b — а, коп\ = -, коП2 = -, а Ъ
198 Ответы и решения откуда 1, Ъ= П\ — П2 711 — П2 711712 7 7 о П\П2 I ,.ао оч р = kol = 2тг -, D68.2) П1 — П2 П\ — П2 Л D68.3) П = . 712A - Z/l) +niZ/l Если падающая волна линейно поляризована, то отраженная и прошедшая волны, а также поле внутри слоя будут тоже поляризованы линейно и притом в той же плоскости. Пусть электрическое поле Е параллельно оси Y, а маг- магнитное Н параллельно оси X. Внутри слоя ^ ^ = -ikori2E. D68.4) Исключая Н, получим Общее решение этого уравнения Е = уД(АСд + ВСд), D68.6) где А и В — произвольные постоянные, a q определяется уравнением q2=l--p2. D68.7) Из D68.4) и D68.6) получаем На верхней границе слоя Е = & + R, Н = n\(R — Щ. На нижней границе Е = De~lk°n21, Н = —n2De~lk°n21. Приравнивая эти величины значениям Е и Я на границах слоя, вычисленным из D68.6) и D68.8), найдем Va (Aag + Ba~q) = & + Д, Решая эти уравнения, после несложных преобразований получим П2\ D68.9) R Ш 1 2 qcha >h + а ip sh a' с D ш у, = _ q^ni/n2 q ch a + ip sh a gin —. где D68.10)
§6. Поляризация света. Формулы Френеля 199 Представлять решение в этой форме удобно, если р < 1/4, т.е. когда величина q вещественна. Если же р2 > 1/4, то q2 < 0. В этом случае q и а чисто мнимые. Положим а = ic/, q = iq , D68.11) где а/ и q' вещественны. Тогда R 1 sin a' 2 q' cos a' + ip sin а/ ' D68.12) Ш q' cos ск; + ip sin ск; Промежуточный случай р =1/4 соответствует g = q' = 0. В этом случае обе формулы D68.9) и D68.12) приводят к неопределенности вида 0/0. Рас- Раскрывая ее обычными методами, получим R = 1п(п2/щ) D_ = 2у/щ/п2 ik0n2l /4fi8 i on Ш 2 + iln(n2/ni)' ^ 2 + iln(n2/m) ' V • ; Если / = 0, то p = 0, g = 1/2, и формулы D68.9) дают и = -th D 1 Ш cha у п>2 ch(ln Те же результаты, как первое приближение, получаются при / <С Л. Таким образом, если толщина переходного слоя очень мала по сравнению с длиной волны, то, как и следовало ожидать, отражение и преломление происходят практически так же, как и в случае резкой границы. Рассмотрим другой крайний случай, когда / > Л. В этом случае р2 > 1, и в формуле D68.7) членом 1/4 можно пренебречь, т. е. положить q' = р. Тогда из D68.12) получаем для коэффициента отражения Р = R sin2{pln(n2/ni)} 4p2 D68.14) Отсюда видно, что коэффициент отражения р является осциллирующей зату- затухающей функцией толщины слоя L Амплитуды этих осцилляции убывают обратно пропорционально квадрату толщины переходного слоя. Таким образом, для слоев, толщина которых велика по сравнению с длиной волны, отражение практически отсутствует. Этот вывод не связан со специальным законом изменения показателя преломления D68.3), а относится к любым толстым переходным слоям с плавно меняющимся показателем преломления. 469. Решение. Поперечность электромагнитной волны, а также уравне- уравнение D69.1) непосредственно следуют из уравнений Максвелла. Для получения приближенных решений уравнения D69.1) будем искать частное решение в виде
200 Ответы и решения где A(z) и Ф(^) — вещественные функции. После подстановки в D69.1) и отделения вещественных частей от мнимых получим два уравнения: <?А . ^ . f 2 ^Ф^1 „ D693) D69.4) Если d2A dz2 dz2 «^ А D69.5) то в D69.3) первый член может быть отброшен, что приводит к уравнению (^J = п\ D69.6) из которого находим Ф = ± [ n(z) dz. D69.7) После этого уравнение D69.4) дает — (А'п)=0,А= dz const Общее решение: Е = ^^ ехр< — л/гг I c J С2 Г iuj Г ^^ ехр< п( ^02 D69.8) D69.9) где Ci, C2 — произвольные постоянные, вообще говоря, комплексные. За- Заметим, что произвольных постоянных в этом решении только две, так как выбором Ci и С2 всегда можно придать постоянным zq\ и zq2 любые, наперед заданные значения. Используя D69.8), нетрудно показать, что D69.3) выполняется при соблю- соблюдении двух условий: Л dn dz2 D69.10) где Л = 2тгс/(л!п — длина волны в среде. Так как Хп = const, то первое из этих условий может быть также записано в виде <2тг. D69.11) 470. Решение. Вычисление средней по времени плотности потока энер- S = - [ЕН] для каждой из_волн, о которых говорится в условии задачи, показывает, что S = const, т. е. S не зависит от z. Отсюда следует, что волна распространяется без отражения. 471. Утверждение проверяется прямой подстановкой. Доказательство от- отсутствия отражения производится так же, как и в предыдущей задаче.
§ 7. Кристаллооптика 201 472. Решение. Поместив начало координат на границе раздела сред и обозначив через &, R, D амплитуды падающей, отраженной и прошедшей волн, для электрического поля в первой и второй средах можем написать: ш Е2 ехр< —г— ndz > + ndz R ехр< г — D \ •UJ] = — ехр<^ -г- D72.1) В силу непрерывности тангенциальных компонент электрического вектора & + R = D. D72.2) Непрерывность тангенциальных компонент магнитного вектора, как легко убе- убедиться с помощью уравнений Максвелла, может быть выражена равенством dEx ~dz dE2 D72.3) которое должно выполняться на границе раздела сред. Подставляя сюда выра- выражения D72.1), из получающегося соотношения и из D72.2) легко найти R . (dn/dzJ- (dn/dz)i iX0 \(dn\ _(d/nL 8тт2@) [\dzJ2 VdzJx ),]¦ D72.4) При этом в знаменателе мы пренебрегли малой величиной {dn/dz)^ — (dn/dz)\, по сравнению с 2поо/с. Коэффициент отражения получается возведением мо- модуля выражения D72.4) в квадрат. § 7. Кристаллооптика 473. Решение. Плоская волна в кристалле имеет вид Е = Eoe'M-kr), D = Doe'M-kr), Н = Hoe*M-kr D73.1) где Ео, Do, Но — постоянные векторы, а к — волновой вектор, связанный с нормальной скоростью волны v соотношением Подставим выражения D73.1) в уравнения Максвелла и 1 дГ> ^_ 1 дП rotH = - —-, rotE = —. с dt с dt D73.2) Дифференцирование векторов D73.1) по времени сводится к умножению на гш, а дифференцирование по координатам х, у, z — к умножению на — ikx, —iky, —ikz. Поэтому rotH = д д д ~дх ~ду ~dz Нх Ну Hz k k k гьх гьу i^z Нх Ну Hz = -г[кН]
202 Ответы и решения и аналогично для rotE. Подстановка в D73.2) дает D = — [NH], H= ^ D73.3) 474. Результат непосредственно следует из формул D73.3), а также из выражения для вектора Пойнтинга S = — [ЕН]. 475. 1) Вектор D перпендикулярен к главному сечению. В этом случае векторы D и Е одинаково направлены, а потому D = е±Е. В скалярной форме уравнения D73.3) имеют вид или D=-H, H=-E, V V е±Е=-Н, Н=-Е. V V Почленным перемножением этих уравнений находим с v = vo = D75.2) D75.3) D75.4) D75.5) Этот результат можно было предвидеть заранее, так как в рассматриваемом случае связь D75.2) между векторами D и Е такова, как если бы среда была изотропна. Рассматриваемая волна и ее показатель преломления по = y/s± называются обыкновенными. 2) Вектор D лежит в главном сечении кристалла. Так как векторы Е, D, N лежат в одной плоскости (см. задачу 474), то вектор Е можно представить в виде Е = Е/} + Ejv, где ~Ed и Елг — составляющие этого вектора вдоль D и N соответственно. Тогда [NE] = [NE^] и уравнения D73.3) в скалярной форме примут вид ,а Оптическая ось D=-H, H=-ED. V V D75.6) Очевидно, E\\D\\ +E±DA D D 1 Рис. 133 Как видно из чертежа (рис. 133), D\\ = Dsina, D± = Dcosa, где а — угол между оптической осью кристалла и волновой нормалью. Следовательно, Ев = D(sin2 a/s\\ + cos2 a/s±). Если ввести обо- обозначение 1-2 2 дг2 ДГ2 - = ^-^ + ^^^ = -± + -JL, D75.7) то связь между D и ^д представится в виде D = гЕв. Уравнение D75.5) будет отличаться от уравнения D75.4) заменой Е на Ев, a ?j_ — на ?. Отсюда
§ 7. Кристаллооптика 203 следует, что скорость волны будет определяться выражением v = ve = с/у/г, а ее показатель преломления — выражением N2 Такая волна называется необыкновенной. 476. Волна распадается на две волны: обыкновенную с электрическим век- вектором, перпендикулярным к главному сечению кристалла, и необыкновенную, вектор D которой лежит в главном сечении. Направления волновых нормалей обеих волн будут совпадать, но их скорости, вообще говоря, будут разными. Если волновая нормаль направлена вдоль оптической оси, то волны будут распространяться так же, как в изотропной среде. 477. В кристалле направление луча определяется вектором Пойнтинга S = = — [ЕН]. Поэтому необыкновенный луч в общем случае не совпадает по на- направлению с волновой нормалью. Волновые нормали всегда лежат в плоскости падения, а необыкновенный луч может выходить из нее даже при нормальном падении. В последнем случае волновые фронты обыкновенной и необыкновен- необыкновенной волн при вступлении в кристалл не преломляются, а необыкновенный луч наклонен к ним и может выходить из плоскости падения. Если бы волновой фронт был неограниченным, то пространственного разделения обыкновенного и необыкновенного лучей не происходило бы. Оно возникает лишь при огра- ограничении световых пучков диафрагмами. 478. Лучи, исходящие из какой-либо точки А удаленного предмета и по- попадающие в глаз наблюдателя, практически параллельны. Каждый луч при вступлении в плоскопараллельную кристаллическую пластинку распадается на два луча. Оба луча по выходе из пластинки остаются параллельными, хотя они и испытали различные боковые смещения. Глаз соберет оба луча в одной и той же точке сетчатки, поскольку он аккомодирован на рассматривание удаленных предметов (на бесконечность). Эта точка схождения лучей и будет (единственным) изображением точки А. 479. / = 5см. 480. Показатели преломления дают отношения нормальных скоростей. 481. Для определения показателя преломления обыкновенного луча пла- пластинка может быть ориентирована как угодно. Чтобы получить главный пока- показатель преломления необыкновенного луча, ее надо ориентировать так, чтобы плоскость, проходящая через оптическую ось кристалла и нормаль к границе раздела пластинки со стеклом кристалл-рефрактометра, была перпендикулярна к плоскости падения. Решение. Действие кристалл-рефрактометра основано на полном внут- внутреннем отражении. Пластинка исследуемого кристалла кладется на поверх- поверхность стекла с очень высоким (до 2) показателем преломления N. Свет падает со стороны стекла и отражается от пластинки. Показатель преломления п исследуемого вещества вычисляется по предельному углу полного внутрен- внутреннего отражения по формуле п = Nsimp. В случае отражения от кристалла существуют два предельных угла, соответствующих обыкновенному и необык- необыкновенному лучам. Предельный угол для обыкновенного луча не зависит от ориентации пластинки и, следовательно, может быть измерен при любой ори- ориентации. Предельный угол необыкновенного луча изменяется с изменением ориентации пластинки.
204 Ответы и решения Для простоты рассуждений предположим, что падающий свет всегда по- поляризован так, что в кристалле возникает лишь необыкновенная волна. Во- Вообще говоря, при полном внутреннем отражении световое поле проникает во «вторую» среду в виде неоднородной (поверхностной) волны. Но если свет падает строго под предельным углом полного внутреннего отражения, то волна во второй среде будет однородна. Она распространяется параллельно границе раздела. Ее волновая нормаль во второй среде параллельна линии пересечения плоскости падения с плоскостью раздела сред. Повернем кристалл так, чтобы его оптическая ось стала перпендикулярна к этой линии. Тогда волна в кри- кристалле будет распространяться перпендикулярно к оптической оси. Известно, что в этом случае всякая однородная волна распадается на обыкновенную с электрическим вектором, перпендикулярным к оптической оси, и необыкно- необыкновенную, электрический вектор которой параллелен оптической оси. Итак, при такой ориентировке кристалла электрический вектор необыкновенной волны параллелен оптической оси. Значит, на кристалл-рефрактометре в этом случае будет измерен главный показатель преломления необыкновенной волны. 482. Кристалл отрицателен, пластинка вырезана параллельно оптической оси. 483. Оба показателя будут иметь постоянные значения, соответствующие минимальному и максимальному значениям, приведенным в предыдущей зада- задаче. 484. Оптическая ось должна быть параллельна преломляющему ребру призмы. 485. Пластинка должна быть вырезана параллельно оптической оси: d\ = = 0,603 мм; дь2 = 0,673 мм. 486. На экране образуются 4 пятна. Интенсивности относятся как 1:3:1:3. 487. Уменьшится в отношении 3 : 2. 488. В стекле и фарах автомашины главные плоскости поляроидов должны быть параллельны между собой и составлять угол 45° с горизонтом. При этом у всех машин они должны быть повернуты в одну и ту же сторону (считая по ходу машины). 489. <р = 5°17'. 490. AR = 5,16 мкм. 491. Через призмы проходит необыкновенный луч. Вторая призма пропус- пропускает больше света. В обоих случаях угол а должен удовлетворять условию 1/по < sin a < 1/пе, откуда 37°6' < а < 42° 18', 5 = 6° 15'. 492. Решение. Векторы Е и D необыкновенной волны лежат в главном сечении кристалла. В том же сечении лежат векторы N и s, причем угол S между этими векторами равен углу между векторами Е и D (см. задачу 475). Пусть а и C — углы, образуемые векторами Е и D с оптической осью кристалла. Тогда D\\ = Dcosfi = ?\\Е\\ = ?\\Е cos a, D± = Dsm[3 = ?±Е± = s±Esma. Отсюда
§ 7. Кристаллооптика 205 Исландский шпат — отрицательный кристалл (по > пе), так что C > а. Для угла S получаем Из этой формулы легко получить следующее выражение для максимального значения угла 6: tgs=n°-nl. 2попе 493. d = —-^ = 0,027 мм. 4(тц -гс2) 494. d = —— = 0,014 мм. 4(пе -по) 21 1 495. — (л/г^ — у/е^) = 2ш + -, где т — целое число. Л v v 2 496. При введении пластинки в полволны интерференционные полосы смещаются на половину ширины полосы; при повороте поляроида на 90° они смещаются в противоположную сторону на половину ширины полосы относи- относительно начального положения; если убрать поляроид, то положение интерфе- интерференционных полос не изменится, но интенсивность их возрастет вдвое. При введении пластинки в четверть волны происходит смещение полос на четверть ширины полосы; если в этом случае убрать поляроид, то интерференционные полосы пропадут. 497. Решение. Пусть/п — интенсивность поляризованного света, а/е— интенсивность естественного света. При первом положении николя интенсив- интенсивность прошедшего света равна /псо8260° + ^ = ^ + ^. а при втором По условию откуда /п = /е. Максимальная интенсивность Is = %^п, минимальная 1Р = = У2/п; Д = %, Ia/Ip = 3. Л = sin2a-p/100 = \_ " L P/200 2' 3 502. Свет будет поляризован по левому кругу. 503. Свет останется линейно поляризованным, но плоскость колебаний электрического вектора повернется на угол 2а и станет симметрично располо- расположенной со своим исходным положением относительно оси пластинки в полвол- полволны. 504. А = -f + f = 5°, /32 = \ + | = +55°.
206 Ответы и решения Решение. Свет не пройдет через второй николь, если электрический вектор перпендикулярен к главной плоскости этого николя, т. е. параллелен прямой АВ, перпендикулярной к той же плос- плоскости (рис. 134). Ось пластинки должна быть ориентирована по биссектрисе угла AON\ или угла N\OB, ему дополнительного до тг (см. предыдущую задачу). Это дает два значения угла C, приведенных в ответе. К 506. Возможны два решения: /3 = я — Р а 2 а >1 = — тг 2 ' ^0 2 т = cos4 h а ~2' sin4 а ?,' Рис. 134 где C — угол, на который должен быть повер- повернут николь Щ относительно николя N\. 507. Решение. Условие образования темной полосы минимального по- порядка будет либо d(ne — по) = гаАг + V4A2, либо d(ne — по) = шЛг + ъ/аМ, в зависимости от направления вращения и ориентации николя. Здесь Л2 — наибольшая длина волны в падающем свете, для которой m есть целое число. Аналогичное условие для минимальной длины волны Ai будет либо d(ne — по) = (т + к)Х\ + V4A1, либо d(ne — по) = (тп + A;)Ai + У4А1. Исключая ?71, в обоих случаях получим d{ne -по)(Л2 - , _ Л1Л2 _ 508. 12 полос. Решение. Разность хода между необыкновенным и обыкновенным луча- лучами, вносимая кварцевой пластинкой, равна А = d(ne — по). Подставляя сюда числовые значения d, ne, по, нетрудно убедиться, что эта разность для длин волн Xd и Af практически одинакова. Число длин волн Хв, укладывающихся на интервале А, будет к\ = А/Xd- Соответственно к^ = A/Xf- Число темных полос равно &2 — к\ = 12, так как темные полосы получаются в местах спектра, соответствующих тем длинам волн, для которых состояние поляризации не изменяется в результате прохождения через кварцевую пластинку, т. е. для которых разность хода А составляет целое число длин волн. <^макс(^е — По) 509. Л 10 полос. 510. А2 = a2{cos2(а - C) - sin 2asin 2Csin2E/2)}, А2 = a2 sin2 2a sin2(S/2) (николи скрещены), А2 = а2A — sin2 2asin2(S/2)) (николи параллельны). Здесь S — разность фаз между двумя главными компонентами прошедшей волны, которая вводится пластинкой, а — амплитуда падающей волны. 511./= | sin22asin2((V2) = O,19/o, где 5 = у d(ne - по) « | тг. 512. Отношение яркостей: 1) пропорционально квадрату косинуса угла поворота; 2) пропорционально квадрату котангенса угла поворота. 513. Решение. После прохождения через поляризатор свет становится линейно поляризованным. В кристаллической пластинке он распадается на
§ 7. Кристаллооптика 207 две волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях и рас- распространяющиеся с различными скоростями. Поэтому если свет монохрома- тичен, то между этими волнами после прохождения через пластинку возник- возникнет разность фаз, и при сложении они дадут, вообще говоря, эллиптически- поляризованную волну. Ориентировка и форма эллипса будут зависеть от разности фаз. При одной и той же толщине пластинки они будут меняться с изменением длины волны. В частности, эллипс может вырождаться в прямую. Доля света, проходящего через анализатор, зависит от формы эллипса и его ориентации относительно главной плоскости анализатора. Поэтому если пада- падающий свет белый, то различные монохроматические компоненты его, вообще говоря, в различной степени будут пропущены системой, с чем и связана наблюдаемая окраска. 514. Когда главная плоскость анализатора параллельна главным направле- направлениям в пластинке. 516. У исландского шпата очень большая разность показателей преломле- преломления обыкновенного и необыкновенного лучей, так что даже в тонких пластин- пластинках получаются большие разности хода, при которых интерференция в белом свете невозможна. 517. Решение. Когда пластинки одинаково ориентированы, то вносимая ими разность хода велика, т. е. соответствует высокому порядку интерферен- интерференции. В белом свете интерференция высоких порядков, как известно, наблю- наблюдаться не может. Если одну из пластинок повернуть относительно другой на 90°, то вносимая ими разность хода будет такая же, какая вносится тонкой пластинкой, толщина которой равна разности толщин рассматриваемых пластинок. Если эта разность толщин мала, то может получиться настолько малая разность хода, что будет возможна интерференция в белом свете. 518. 5,97 и 28,57. 519. 14,91 и 19,50. 520. В синий цвет (дополнительный к оранжевому). 521. 1) Когда главные направления пластинки совпадают с главными плос- плоскостями николей; 2) когда пластинка вырезана перпендикулярно к оптической оси; 3) когда разность хода, сообщаемая пластинкой, равна четному числу полуволн. 522. d = 0,07 мм. 523. 1) Николи скрещены и пластинки параллельны: разность хода AR = = d\An\ + d^An^ ~ 3Ai, где Ai ~ 6000 А. Поле зрения окрашено в красный цвет (третьего порядка). 2) Николи параллельны, а пластинки скрещены: AR = d\An\ — d^An^ ~ « А2 ~ 5000 А. Поле зрения окрашено в зеленый цвет (первого порядка). п'е — п'о а 525. На частоту 2и. 526. Надо повернуть на одинаковый угол и анализатор и поляризатор, между которыми вставлена пластинка. 527. При повороте на 360° получаются цвета: 2 раза сине-зеленый второго порядка, 2 раза желтый первого порядка, 2 раза чувствительный оттенок первого порядка. 528. Вследствие плеохроизма. 529. Решение. Поставим на пути света пластинку в четверть волны и николь. После прохождения пластинки свет становится линейно поляри-
208 Ответы и решения зованным, причем направление колебания электрического вектора составляет угол ±45° с осью кристалла. На рис. 135 а указано это направление для правополяризованного и левополяризованного света в случаях, когда пластинка сделана из положительного одноосного кристалла. Направление это определя- определяется с помощью анализатора. Рис. 135 6 относится к случаю, когда пластинка сделана из отрицательного кристалла. Ось кристалла ^Направление света Ось кристалла . ^Направление света Правополяризованный свет Левополяризационный свет Левополяризационный свет Правополяризованный свет Рис. 135 530. Решение. Поставим на пути света пластинку в четверть волны и николь. Если при вращении николя и при любом положении пластинки ин- интенсивность не меняется, — естественный свет, если интенсивность меняется и падает до нуля, — поляризованный по кругу свет, если же интенсивность меняется, но не падает до нуля, — частично поляризованный по кругу свет. Вместо пластинки можно применять компенсатор Бабине и установить его так, чтобы он вносил разность хода в Л/4. 531. Надо поместить на пути распространения света пластинку в четверть волны, а за ней николь. Если вращением пластинки вокруг направления луча можно найти такое положение, при котором свет, прошедший через нее, можно погасить последующим вращением николя, то падающий свет был эллипти- эллиптически поляризован. Если это сделать не удается, то мы имеем дело либо со смесью естественною света с линейно поляризованным, либо со смесью естественного света с эллиптически поляризованным. Для того чтобы отличить друг от друга эти два последних случая, на пути света ставят сначала только один николь и устанавливают его на минимум интенсивности проходящего света. Затем перед николем помещают пластинку в четверть волны. Вращением пластинки и николя снова добиваются минимума интенсивности. Если этот минимум интенсивности получается при прежнем положении николя (или при повороте его на 180°), то мы имеем смесь естественного света с линейно поляризованным. Если же для получения минимума требуется повернуть ни- николь на некоторый угол, — то смесь естественного света с эллиптически поляризованным. Вместо пластинки в четверть волны можно применять компенсатор Бабине. Не обязательно устанавливать компенсатор так, чтобы он вносил разность хода точно в Л/4, а лишь приближенно. Большой точности в такой установке не требуется. 532. 1) sin 2/ = sin 2г sin S; 2) tg26 = tg2icos5, где в — угол между одним из главных направлений пластинки и одной из полуосей эллипса, а искомое отношение полуосей равно tg/. Решение. Линейно поляризованный луч по выходе из пластинки превра- превращается в эллиптически поляризованный, характеризуемый эллипсом колеба-
§ 7. Кристаллооптика 209 ний: х = a cos ut, у = Ъ cos(ujt + 8). Для определения полуосей полученного эллиптического колебания найдем компоненты светового вектора х' и у' на оси координат, повернутые на угол 0 относительно первоначальной системы осей, совпадающих с главными направ- направлениями пластинки: х = a cos 0 cos ut + b sin 0 cos(ujt + S) = A cos(ujt + a), y' = —a sin 0 cos u;? + b cos(out + 5) = В cos(out + E), где А и В определяются из следующих уравнений: A cos a = a cos 0 + 6 sin 0 cos 5, A sin а = 6 sin 0 sin 5, В cos E = —а sin 0 + 6 cos 0 cos 5, В sin C = b cos 0 sin 5. Отсюда A2 = a2 cos2 0 + b2 sin2 0 + ab sin 20 cos 5, ,- ^ o\ Б2 = a2 sin2 0 + 62 cos2 0 - a& sin 20 cos 6. [ ' } Складывая и вычитая, получаем А2 -В2 = a2 + b2 = R2, E32.3) А2 - В2 = (а2 - b2) cos 20 + 2ab sin 20 cos 5, E32.4) где R — амплитуда волны, прошедшей через поляризатор. Для того чтобы амплитуды А и В соответствовали колебаниям вдоль осей эллипса, необхо- необходимо выбрать угол 0 так, чтобы разность А2 — В2 была максимальной или минимальной. Приравнивая первую производную нулю, получаем ^^ E32.5) Из E32.1) находим ABsin(a — E) = — ab sin 5, AB cos(a -f3) = abcos 20 cos 6 - ^--^ sin 20 E32.6) или ABcoS(a-p) = l _ a*-b2 ab cos 20 cos 5 2abcos5 Подставляя вместо tg20 его значение из E32.5), получаем — ^- / = 0, ab cos 20 cos о откуда cos(a — f3) = 0, (а — f3) = ±тг/2. Следовательно, из первого уравнения E32.6) имеем А5 = ±a6sin5. Так как 6/a = tgi, то . . 2аЬ а2 - Ь2 2аЬ sin 2г = , cos 2г = t2 2 + Ь2 , cos 2г = , tg2z=^ а2 + Ь2 а2 + Ь2 а2 — Ь2 Таким образом, уравнение E32.5) будет иметь следующий вид: tg20 = tg2icos?.
210 Ответы и решения Полагая tg / = В/А, найдем . or 2AB 2absm5 . . sm 27 = — = —г — = sin 2г sin о. А2 + Б2 а2 + Ь2 533. Решение. Когда угол между главной плоскостью поляризатора и одним из главных направлений исследуемой пластинки равен г и 90° — г, свет, прошедший через пластинку, имеет одинаковое отношение полуосей В/А (см. решение задачи 532). Обозначим через 2а угол между одноименными полуосями подобных эл- эллипсов, соответствующих этим случаям. Тогда 2а = 90° — 2(г — в) или 20 = = 2(а + г) — 90°, где 0 — угол между одним из главных направлений пластин- пластинки и осью эллипса. Из соотношения tg20 = tg2icos5 получаем tg2i Измерение величин i и а можно провести двояко: 1) Поместив исследуемую пластинку между скрещенными николями, опре- определяют ее главные направления. Повернув затем пластинку на некоторый угол г, помещают за ней вторую пластинку, при помощи которой эллиптическое колебание превращают в прямолинейное. Полученное колебание тушится ана- анализатором. Поворачивают исследуемую пластинку на угол 90° — г, скрепляют анализатор с компенсирующей пластинкой и, поворачивая его, находят новое положение полного затемнения. Угол поворота анализатора 2а. 2) Компенсирующую пластинку скрепляют с анализатором и, поворачивая его и исследуемую пластинку, находят оба положения полного затемнения. Тогда угол поворота исследуемой пластинки равен 90° — 2г или 90° + 2г, а угол поворота анализатора 2а. 534. Решение. 1) Если свет поляризован по кругу, то слагающие коле- колебания по координатным осям могут быть представлены в виде х = acosut, у = a smut. После прохождения через кристаллическую пластинку, сообщающую некото- некоторую разность хода, уравнения колебаний могут быть написаны так: х = a cos ut, у = a sin(ic;? + 5). При угле а между главной плоскостью анализатора и одним из главных направлений пластинки результирующее колебание при выходе из анализатора будет a cos a cos cut + a sin a sin(ic;? + 5) = = a(cos a + sin a sin S) cos ut + a sin a cos S sin ut; отсюда получаем для интенсивности / = a2{(cosa + sinasin^J + (sinacos^J} = a2(l + sin 2a sin 5). 2) При постоянном значении 6 интенсивность достигает максимума или минимума, когда cos 2а = 0, т. е. когда а = У^тг, 3/4тг. Если sin S > 0, то первому
§ 7. Кристаллооптика 211 значению соответствует максимум, а второму — минимум; при sin S < 0 — наоборот. 535. Решение. Согласно предыдущей задаче интенсивность света, про- прошедшего через анализатор, I = а A + sin 2а sin 5). При постоянном угле а интенсивность будет минимальной, когда • х 1 х 3 7 sm? = -l, т.е. при 6 = -тг, -тг, ..., и максимальной, когда • х 1 х * 5 9 smo= 1, т. е. при о = -тг, -тг, -тг, ..., если sin 2а > 0. Если же sin 2а < 0, то в первом случае будет минимум, а во втором — максимум интенсивности. Следовательно, в поле зрения будут видны чередующиеся светлые и темные полосы. При вращении клина будет меняться угол а и, следовательно, в каждой точке клина будет изменяться интенсивность. При углах а = 90, 180 и 270° весь клин будет освещен равномерно, а при углах а = 45, 135, 225, 315° будет наблюдаться наиболее резкая разница в интенсивности темных и светлых полос, причем при переходе через углы а = 90, 180, 270° темные полосы будут переходить в светлые, а светлые — в темные. 536. Решение. Разложим мысленно световую волну на две составляю- составляющие, электрические векторы которых взаимно перпендикулярны и параллельны главным осям пластинки. При введении пластинки интерференционные полосы от каждой составляющей сместятся. Если введенная пластинка является пластинкой в полволны, то разность смещений составит половину ширины полосы. В этом случае при введении пластинки интерференционные поло- полосы пропадут. При введении поляроида они появятся вновь. Исключение со- составляет случай, когда оси поляроида наклонены под углом 45° к осям пла- пластинки. В этом случае интерференци- интерференционные полосы наблюдаться не будут. 537. Решение. В системе глав- главных осей X, Y эллиптическое колеба- колебание описывается уравнениями Ех = = a cos out, Ey = b sin out (рис. 136). Перейдем к новой системе ?, rj, оси которой являются биссектрисами прежних координатных углов. В этой системе то же колебание представится в виде 1 / 2 | и2 Е^ = —=¦ (acosojt + bsinojt) = у —-— cos(ic;? — Рис. 136 Еп = 1 (—a cos out + bsinout) = — (тг —
212 Ответы и решения где ср — острый угол, определяемый уравнением tgip = b/a. Колебания вдоль осей ? и rj совершаются с одинаковыми амплитудами л/(а2 + Ь2)/2, причем колебание вдоль оси ? опережает по фазе колебание вдоль оси 77 на угол S = = тг-2<р. Внесем кристаллическую пластинку так, чтобы ее оси были ориентированы вдоль ? и rj и чтобы она изменила разность фаз до ±тг/2. Для этого должно быть выполнено соотношение = =Ьтг/2, откуда тг/2 - V2 ± Тогда волна перейдет в волну, поляризованную по кругу. Знаку плюс со- соответствует то же направление вращения, что и в исходной эллиптически поляризованной волне, а знаку минус — противоположное. Такой же результат получится, если толщину пластинки изменить на ?пЛ/(пг? — щ), где т — целое число. Л2 1 ' ~ 26Х ( ) \{d/d\ d/dX) ~ 1? ММ' 26Х (по - пе) - \{dno/d\ - d 539. Решение. Как следует из закона преломления (рис. 137), По В призме николя сечение ВС перпендикулярно к ее основаниям АВ и CD, а по условию задачи волновая нормаль необыкновенной волны должна быть параллельна длинному ребру призмы. Поэтому тг а=--. Далее, по условию задачи где C — предельный угол полного внутреннего отражения на границе ВС для обыкновенного луча. Он определяется уравнением sin/3 = n/no. Подставляя числовые значения п, по и пе, находим /3 = 68О15;, ^о = 20°, ^е = 22°, а = 68°. В Рис. 137
§ 7. Кристаллооптика 213 Наконец, = 9 ; b sin 2а 540. Для канадскоге бальзама а/Ь = 4,93, апертура 2<р = 34°2(У. Для льняного масла а/Ь = 4,14, апертура 2ср = 40°50/. Решение. Поскольку в рассматриваемом случае электрический вектор направлен либо перпендикулярно к оптической оси (обыкновенная волна), либо параллельно ей (необыкновенная волна), направления волновых нормалей и световых лучей совпадают. Необыкновенный луч, падающий на плоскость разреза ВС (рис. 138), всегда проходит через нее и притом без отклонения. В Рис. 138 В частности, через призму могут проходить необыкновенные лучи, направ- направленные по ее диагонали. Таким лучам соответствует максимально возможный угол падения ср, при котором имеется необыкновенный луч, проходящий через призму. Если угол падения превышает ср, то нет ни одного необыкновенного луча, который мог бы пройти через призму: в этом случае необыкновенный луч попадает на боковую поверхность призмы и поглощается на ней. Углу ср соответствует угол преломления необыкновенного луча фе, определяемый со- соотношением Подберем отношение а/Ь таким образом, чтобы при углах падения, не превышающих предельного угла ср, ни один обыкновенный луч не мог пройти через разрез ВС, а испытывал бы на нем полное внутреннее отражение. Для этого достаточно, чтобы обыкновенный луч SO, падающий на АВ снизу под углом ср, встречал плоскость разреза ВС под предельным углом полного внутреннего отражения j3\ sin/3 = п/по. Как видно из рис. 138, и следовательно, должно быть +Фо) = —. По Добавив сюда закон преломления: Sin (р = По Sin фо = Пе Sin фе , получим полную систему уравнений для нахождения искомых величин: отно- отношения а/Ь и апертуры 2ср. Из нее находим удобные расчетные формулы: (П2О ~ П2) (^р [ILO lie sin cp = — 2 + Пе)] ^ - (п + nef = О,
214 Ответы и решения 541. Решение. Для того чтобы обыкновенный луч, падающий на грань АВ снизу под углом ср (рис. 139), испытал полное внутреннее отражение от плоскости разреза ВС, необходимо, чтобы угол падения на эту плоскость превосходил предельный угол пол- гъ ? ту ного внутреннего отражения: а _ фо ^ r sin/3o = —-. E41.1) ° ^ °' ° По Обыкновенный луч, падающий на АВ сверху, тем более испытает полное внутреннее отражение. Для того чтобы необыкновен- необыкновенный луч, падающий на грань АВ сверху под углом ср', прошел че- через плоскость разреза ВС, необхо- необходимо, чтобы он падал на ВС под углом, не превосходящим предель- предельного угла полного внутреннего от- отражения: ^/Зе, smf3e = —. E41.2) Пе Рис. 139 Тогда необыкновенный луч, падающий на АВ снизу, пройдет через ВС. Наи- Наибольшей апертуре призмы соответствуют в E41.1) и E41.2) знаки равенства. В этом случае угол ср + ip' равен апертуре призмы. Потребовав дополнительно ср = ip' y будем иметь а-фо = (Зо, а + фе = (Зе, E41.3) причем sin ср = по sin фо = пе sin фе, а tga=-. E41.4) E41.5) Отсюда могут быть найдены все интересующие нас величины. Из E41.3) по- получаем фо + фе = Ре ~ Ро = 5°12;. E41.6) Таким образом, углы фо, фе, <р малы, и их синусы можно заменить самими углами. Это дает для апертуры _ 2поПе (о _ о \ По+Пе и для отношения сторон а/Ь = tg(&, + ф0) = tg(&, E41.7) /по) = 0,826. E41.8) Таким образом, из всех поляризационных призм рассматриваемая призма является наи- наиболее короткой. Практически эту призму рас- распиливают не по диагонали, а как указано на рис. 140, чтобы легче монтировать ее и предо- Рис. 140
§ 7. Кристаллооптика 215 хранить поверхность распила от запыления. Но все же и на практике отноше- отношение длины к ширине остается меньше единицы. 542. Решение. Исключая Н из формул D73.3), получим v2~D - с2Е = -c2(NE)N, E42.1) откуда J = <? = &.. E42.2) 543. Решение. Первые два утверждения непосредственно вытекают из формулы E42.2), а также из связи между векторами D и Е: Векторы Е и D определят плоскость, к которой перпендикулярен вектор Н. После этого определится вектор N как перпендикулярный к плоскости DH или к плоскости ЕН. 544. аа = с/sj~?^ (a = ж, у, z), где аа — нормальная скорость волны, когда электрический вектор направлен вдоль диэлектрической оси а. Три величины аа называются главными скоростями света в кристалле. 545. Решение. Выражая в левой части E42.1) вектор Е через D, получим Da = -^^(NE)Na (a = x,y,z). E45.1) Умножая обе части этого равенства на Na, суммируя по а и замечая, что (ND) = 0, найдем а а или более подробно vl — alx vl — aly vl — alz Эта формула называется законом Френеля для нормальных скоростей света в кристалле. Чтобы не исследовать особо случаи, когда один или несколько знаменателей обращаются в нуль, закон Френеля лучше писать в виде (у2 - a2y)(v2 - a2z)N2 + (v2 - a2z)(v2 - a2OV2 + (v2 - a2x)(v2 - a2y)N2 = 0. E45.4) 546. Решение. Запишем закон Френеля E45.4) в виде F(v2) = (v2 - a2y)(v2 - az)N2x + (v2 - az)(v2 - ax)N2y + + (v2 - a2x)(v2 - a2y)N2 = 0. E46.1) Это квадратное относительно v2 уравнение имеет два вещественных положи- положительных корня. Для доказательства выберем координатные оси так, чтобы ax^ay^az. E46.2)
216 Ответы и решения Тогда F(a2x) = D - a2y)(al - а\) > О, F(a2y) = (а2 - а\)(а2у - а2х) < О, Отсюда видно, что E46.1) имеет два вещественных положительных корня, один из которых v12 лежит между а2х и а2у, а другой v — между а2у и a2z. Этим корням соответствуют две волны, распространяющиеся с нормальными скоростями v' и v"\ ax^v^ay^ v" ^ az. E46.3) Линейная поляризация каждой из волн следует из соотношений: V1' ,/2 _ п2 ' ,,/2 _ п2 ' ,,/2 _ п2 ' ЛГ \ * дЛ E46-4) г? — а^ г? — al г? — az которые получаются из E45.1). Штрихами обозначены величины, относящиеся к одной волне, а двумя штрихами — к другой волне. Формулы E46.4) пока- показывают, что для обеих волн отношения Dx : Dy : Dz вещественны. Физически это означает отсутствие сдвига фаз между колебаниями Dx, Dy, Dz, откуда и следует линейная поляризация обеих волн. Умножая теперь скалярно первое из уравнений v'2T>' - с2Е; = -c2(NE')N, vT>" - с2Е" = -c2(NE")N на D", а второе на D;, вычитая из одного уравнения другое и замечая, что (E;D") = (E/;D;), (D;N) = (D/;N) = 0, получим (v/2-t;//2)(D/D//)=0. E46.5) Отсюда при v' ф v" получаем (D;D/;) = 0, что и требовалось доказать. 547. Решение. Из формулы E46.3) следует, что равенство v' = v" возможно только при условии v' = v" = ay. Подставляя в E46.1) той же задачи v = ау, находим (а2 - а\)(а2у - a2OV2 = 0. Если все три главные скорости различны, то отсюда следует Ny = 0, т. е. оптические оси, если они существуют, лежат в координатной плоскости ZX. Угол C между оптической осью и осью Z найдется из формулы E45.3), если в ней положить v = ay, Ny = 0. Это дает где пх, пу, nz — главные показатели преломления кристалла. Таким образом, оптические оси первого рода лежат в координатной плоскости ZX и симмет- симметрично расположены относительно оси Z.
§ 7. Кристаллооптика 217 548. 1) Оптическая ось совпадает с осью Z (положительный кристалл) v1 = ах, v = a2 cos2 a + a2z sin2 а, где а — угол между оптической осью (осью Z) и нормалью к фронту волны. 2) Оптическая ось совпадает с осью X (отрицательный кристалл) // /2 2-2,22 v = aZj v = ax sin a + az cos a, где а — угол между оптической осью (осью X) и нормалью к фронту волны. 550. Решение. Все формулы кристаллооптики, в которых речь идет о распространении волн вдоль волновых нормалей, получаются из формул [], [], a aa V V Путем векторного умножения первых двух уравнений на s этой системе легко придать вид E=--[sH], H=-[sD], Ea = -Da, С С ?а откуда и следует доказываемая теорема. 551. Результат легко получить с помощью теоремы обращения. 552. Оптические оси первого рода лежат в плоскости ZX симметрично относительно оси Z, образуя с ней угол 7> определяемый формулой Отсюда следует, что оптические оси первого рода расположены ближе к оси Z, чем оптические оси второго рода. 553. Кристалл положителен, если nz — пу > пу — пх, и отрицателен, если nz — пу <пу — пх. 554. Кристалл положителен. 556. 1) Оптическая ось направлена вдоль оси Z (положительный кри- кристалл): 1 1 2,1.2 и = ах. —- = — cos а -\—- sin a. и а2х а% где а — угол между оптической осью (осью Z) и направлением луча. 2) Оптическая ось направлена вдоль оси X (отрицательный кристалл): // 1 1-2,1 2 и = az. —г = -тг sin а -\—г- cos a. и12 а2х а2, 558. Решение. Компоненты вектора индукции D в кристалле связаны с компонентами вектора напряженности электрического поля Е соотношения- соотношениями: Dx = ?ХХЕХ -\- ?ХуЕу -\- ?xzEZl Dy = ?yxEx+?yyEy + ?yzEz, E58.1) Az = ?zxEx + ?zyEy + ?ZZEZ. Кристаллы три-, тетра- и гексагональной систем имеют ось симметрии соответственно третьего, четвертого и шестого порядков. Примем эту ось за
218 Ответы и решения ось Z прямоугольной системы координат, а оси X и Y выберем произвольно. Ради определенности рассмотрим кристалл тетрагональной системы. Коор- Координатную систему неподвижно свяжем с кристаллом. Сохраняя неизменным направление электрического поля в пространстве, повернем кристалл вокруг оси Z на 90° (рис. 141, положения / и //). О X D Е Положение I о X D Е Положение II Рис. 141 Компоненты векторов D и Е относительно повернутой системы координат будем обозначать штрихами. Так как свойства кристалла в произвольном на- направлении не изменяются при повороте этого направления в кристалле на 90° вокруг оси Z, то в повернутой системе координат справедливы соотношения: Dx — sxxEx + sxyEy + sxzEzl L)y = ?yXh/x -\- Eyyhiy -\- ?yZh/zl D'z = szxE'x+szyE'y+szzE'z. E58.2) Но компоненты векторов Е и D в первоначальной и повернутой системах координат связаны соотношениями (см. рис. 141, положения I и II): Ех = Eyj Еу = — EXJ Ez = EZJ На основании этих соотношений уравнения E58.2) переходят в следующие: Dy = sxxEy - sxyEx + sxzEZl — Ux = ?уХЕу — ?ууЕх -\- ?yZEZl Dz = ?zxEy — sZyEx -\- ?ZZEZ. Эти уравнения, равно как и уравнения E58.1), справедливы, каков бы ни был вектор Е, что возможно лишь при выполнении соотношений: гхх = гуу, гху = = — ?ух, exz = — syz, exz = ?yz. Из этих соотношений и из симметрии тензора г следует, что недиагональные элементы этого тензора обращаются в нуль. Далее, так как гхх = гуу, то для любого вектора Е, перпендикулярного к оси Z, имеем D = гххЕ. При таком направлении Е кристалл ведет себя как изотропная среда. Все направления, перпендикулярные к оси Z в оптиче- оптическом отношении, характеризуются одинаковыми свойствами. Отсюда следует, что кристалл одноосный, причем его оптическая ось направлена параллельно оси Z.
§ 7. Кристаллооптика 219 Таким же методом могут быть разобраны кристаллы три- и гексагональной систем. 560. См. рис. 142 (о — обыкновенный луч, е — необыкновенный). Положительный кристалл Отрицательный кристалл 561. Кристалл положителен, ось наибольшей диэлектрической проницае- проницаемости перпендикулярна к пластинке. 562. Перпендикулярно к любой из диэлектрических осей кристалла.
220 Ответы и решения 563. Вследствие того, что в кварце происходит вращение плоскости поля- поляризации. Угол поворота плоскости поляризации для пластинки кварца толщи- толщиной в 1 мм меньше 180° для видимого света любой окраски. 564. Если пластинку, вырезанную перпендикулярно к оптической оси из кварца, т. е. вещества, вращающего плоскость поляризации, поместить между двумя скрещенными николями, то такая система будет пропускать свет (см. решение предыдущей задачи), и картина не будет меняться при вращении пла- пластинки вокруг направления распространения света. Если пластинка вырезана параллельно оси, то явление значительно усложняется. Линейно поляризован- поляризованная волна, вступая в пластинку, распадается на две линейно поляризованные волны, распространяющиеся с разными скоростями. Разность фаз между ними будет поэтому изменяться, и свет из линейно поляризованного превратится в эллиптически поляризованный. Система также будет пропускать свет, но ин- интенсивность его будет меняться при вращении пластинки вокруг направления распространения света. 565. Вследствие дисперсии вращательной способности кварца. 566. Из-за отличия направления вращения плоскости поляризации (лево- и правовращающий кварц). 567. 1) Если поместить пластинку кварца, вырезанную перпендикулярно к оптической оси, между скрещенными николями и осветить систему моно- монохроматическим светом, то она будет пропускать свет; повернув анализатор на угол, меньший 90°, можно снова погасить свет. Если при этом наблюдатель должен вращать анализатор по направлению часовой стрелки, то кварц будет правовращающий, если же против часовой стрелки, то левовращающий. 2) Если осветить систему белым светом, то пластинка будет казаться глазу окрашенной. Если вращать анализатор по часовой стрелке, то для правовра- правовращающего кварца окраска меняется в сторону коротких длин волн видимого спектра. Для левовращающего кварца порядок изменения окраски обратный. 568. d = 4,5 мм. 569. 1) 7,5 мм; 2) 3,75 мм. 570. d = 7tX3/(8BSX) « 1900 мм (в формуле предполагается, что угол вращения плоскости поляризации измеряется в радианах). 571. Ап = <р\/(тг1) « 1,1 • Ю-8. 572. Ап = 7,1 • 10. 573. Решение. Прибор помещается между параллельными николями так, что линия соприкосновения правого и левого кварца совпадает с главным сечением поляризатора. Однородное освещение поля зрения будет наблюдаться только в том случае, когда одно из главных направлений в пластинке совпадает с главным сечением поляризатора. При применении монохроматического света можно добиться наиболее выгодного условия для работы прибора, изменяя тол- толщину клиньев так, чтобы угол вращения плоскости поляризации для данного света был близок к 90°. В этих условиях прибор наиболее чувствителен к отклонению одного из главных направлений в пластинке от главного сечения поляризатора. 574. Угол в между направлением движения частицы и волновым векто- вектором к (или, что то же, волновой нормалью N) излучения Вавилова-Черенкова определяется уравнением v±i^l, E74.1)
§8. Скорость света 221 где v — нормальная скорость волны (т. е. скорость распространения фазы в направлении N), зависящая от частоты и и направления нормали N, а V — скорость частицы в среде. Скорость v в данном направлении N может иметь два значения v\ и г^. В соответствии с этим уравнение E74.1) разбивается на два: 0080! = "У}, cose2=V2{uJvN). E74.2) Излучение Вавилова-Черенкова в кристалле образует, вообще говоря, две сложные конические поверхности, образующие которых (волновые нормали) определяются уравнениями E74.2). Излучение возможно лишь при выполне- выполнении одного из условий: v\ < V или V2 < V. При некоторых значениях V может получиться одна коническая поверхность или ни одной. Наконец, возможен случай, когда получается лишь часть какой-либо из конических поверхностей E74.2) (поскольку v\ и V2 зависят от направления N). Конусам нормалей E74.2) соответствуют конусы лучей, которые могут быть найдены по общим формулам кристаллооптики. § 8. Скорость света 576. Аберрация света есть изменение направления распространения свето- световой волны при переходе от одной системы отсчета к другой, движущейся отно- относительно первой. Если бы скорость Земли v относительно звезды оставалась неизменной, то движение Земли сказалось бы только на кажущемся положении звезды на небесном своде и аберрация не могла бы наблюдаться. Аберрация света возникает вследствие изменения v, обусловленного вращением Земли вокруг Солнца. Угол аберрации АО определяется разностью относительных скоростей Земли Av в диаметрально противоположных точках земной орбиты: tgAO = У2Дг>/с. Эта разность относительных скоростей, а с ней и угол АО одинаковы для всех звезд и не зависят от собственного движения последних. 577. 1) 0,32"; 2) в 64 раза. 578. с = ADZN/Bn - 1) = 2,99 • 105 км/с. 579. и = (ш' - и)/{k' -k) = du/dk. 580. и = v — Xdv/dX, где Л — длина волны в среде (формула Рэлея); и = A dn\ + n d\j coo i\ o\ а л/А v O\ 3 a 3 . 2a 583. 1) и = a = v; 2) и = -^- = -; 3) и = - -= = -v; 4) и = — = 2v; r2 S)u= ~ " 584. г = 1 + А/и , где А — постоянная. 586. и = c2/v = с sin а. См. задачу 592. 587. Решение. Пусть при КО в контуре совершаются свободные колебания: = loe , V = Voe , где / — сила тока в контуре, а V — напряжение на обкладках конденсатора, связанные между собой соотношением L— + V = 0 или iuLI + V = 0. dt
222 Ответы и решения Если в момент t = О в контур ввести сопротивление R, то, начиная с этого момента, колебания будут описываться уравнением ,^,d?I dl I откуда I = heiZ)t, ?>0, где uj — комплексная частота, определяемая уравнением шЬ(ш) - = iR. UjC(uj) Если R исчезающе мало, то и должна отличаться от и также на исчезающе малую величину. Но и удовлетворяет уравнению шЦш) - -±— = 0. Вычитая его из предыдущего соотношения и заменяя все разности их диффе- дифференциалами, получим откуда и = и + iS, причем R _ djcuL) I d(wC) _ djcuL) L_ d{mC) 5 duj uj1 C2 duj duj С duo При определении джоулева тепла надо проинтегрировать выражение RI2 по времени. Поскольку возведение в квадрат — нелинейная операция, необходимо перейти к вещественной форме, т. е. сделать замену Энергия, первоначально запасенная в колебательном контуре, будет равна W = о или в пределе при S —*> ( w= |/o'2 R 4 5' Подставляя сюда значение для R/S и пользуясь соотношением ojL\Iq\ = |V&|, получим w= L0|/q|2 d(LJn) | C0\Vq\2 d{me) 4 duj 4 duj Если бы между обкладками конденсатора и внутри соленоида был вакуум, то для средних по времени значений магнитной и электрической энергий можно было бы написать Lq|/q|2 = I gg Со|Уо|2 = 1 =г 4 8тг Тт' 4 8тг Те'
§8. Скорость света 223 где тш и те — объемы соленоида и конденсатора, а Е и Н — напряжен- напряженности электрического и магнитного полей, когда амплитуды напряжения на конденсаторе и тока в соленоиде равны Vo и /о. Но при заданных Vo и /о поля Е и Н не зависят от среды, заполняющей конденсатор и соленоид. Поэтому предыдущие соотношения остаются справедливыми и в том случае, когда конденсатор и соленоид заполнены веществом. Используя их, получаем следующие выражения для средних по времени значений плотностей электри- электрической и магнитной энергий: _ We W We = b, Wm q1ti. О7Г аСь> Tm О7Г UUJ 588. Для средних плотностей энергий и ее потока нетрудно получить с Iе dk /т^т^*ч -~ с Iе /¦—,-—,*ч 8тг у 11 duj 8тг у ц откуда и следует требуемый результат. 589. Групповая. 590. Решение. Плотность электромагнитной энергии w = - ^ (ЕЕ*) + _L ^f) (HH*) — существенно положительная величина. В плоской волне г(ЕЕ*) = /х(НН*). Поэтому v d(ujfi) d duj ? duj Это неравенство должно соблюдаться для любых сред, у которых знаки г и \i совпадают, поскольку оно выведено в предположении, что в среде может распространяться однородная монохроматическая волна, для которой к2 = = — e\i > 0. В том же предположении имеет смысл говорить о групповой скорости. Преобразовав предыдущее неравенство к виду легко получить требуемый результат. 591. Решение. Записав закон Френеля для нормальной скорости волн в виде и дифференцируя по fc, нетрудно получить
224 Ответы и решения Из формулы E45.1) находим N2a I D2 = (v2 - а2аJ с4 (NEJ ' v2 - a2 c2(NE)A^ у^ N2aa2a I EK-PgJ = 1 ED 2-J (У _ a2J2 C4 (NEJ C2 (NEJ ' Подстановка этих значений в предыдущее соотношение дает дои дои дои дои с2 = + + Из формулы D73.3) [ND] = --[N[NH]] = -Н. Поэтому 3 что Согласно формуле E42.2) v2T>2 = с2(ED) = c2H2, так duj с Гт^тт1 сЕ Ж = -1ЕН} = -*. Наконец, применяя к E42.2) теорему обращения, получим Е2 тт'2 2 ¦'-' Окончательно что и требовалось доказать. 593. Можно. Противоречия нет, ибо «зайчик», движущийся со скоростью v вдоль экрана, не является сигналом. Разных частей экрана достигают фотоны, испущенные в разные моменты, и поэтому сигнал здесь распространяется не вдоль экрана. 594. В момент t = to + R/c, где R — кратчайшее расстоя- расстояние от точки наблюдения до экрана, осветится соответствующая ближайшая точка экрана. Затем освещенное пятно будет увели- увеличиваться. 595. Будем характеризовать точки «видимой» поверхности расстоянием г от точки О и углом 0 между вектором г и линией OP (рис. 143). Время испускания света t[, отвечающее точке (г, в), и соответствующее время наблюдения t связаны соотно- Рис.143 ше™ем * Rr ft t\ = t ~t 1— cos 0; с ее с другой стороны, t\ — t\ = t\ — to H = -, С V поскольку путь г пройден со скоростью v. Отсюда 1 — (v/c) cos в '
§8. Скорость света 225 596. Скорость и = dr/dt = ;—Гг максимальна при 0 = 0 и равна 1 - (у/с) cos О v dr . KC = —. Скорость, перпендикулярная к лучу зрения и± = — smt/ = 1 — гу с at -, максимальна, когда du±/dO = 0, и равна и± макс = 1 — (v/c) cos 0' при угле в = ^макс = arccos(i>/c). 597. «Видимая» скорость оболочки, как и скорость «зайчика» (см. задачу 593), не являются скоростью какого-либо материального тела или сигнала. 598. Источник будет казаться движущимся в направлении, противополож- противоположном направлению его фактического движения. 599. Решение. Возьмем сначала за систему отсчета среду. Пусть в ней распространяется плоская акустическая волна ф = acos(cc;t — kr), k = — N, где N — нормаль к фронту волны. Найдем частоту волны в системе, относи- относительно которой источник неподвижен. Подставляя в предыдущее выражение радиус-вектор источника г = vHCTt + const, находим для фазы: (и — kvHCT)t + + const. Отсюда ^ист = LO — kvHCT. Аналогично, для частоты, воспринимаемой наблюдателям, ^набл = LO — 1гУнабл • Исключая и и переходя от циклических к обычным частотам, получим ^набл _ 1 - A/с) (Г>ГуНабл) _ 1 ~ (^набл/с) COS 6набл _ 1 + (^набл/с) COS 0Набл Z/ист 1 - A/с) (NvHCT) 1 - (vKCT/c) COS вист 1 + (уИСт/с) COsOKCT где внабл и вИст — углы между направлением распространения волны и на- направлениями скоростей наблюдателя и источника; #набл = тг — внабл, #ист = = тг — вист — дополнительные к ним углы, т. е. углы между теми же ско- скоростями и линией наблюдатель-источник. При больших скоростях источника или наблюдателя отношение ^Набл/^ист может получиться отрицательным; тогда в предыдущей формуле следует переменить знак. 600. -^^ = —, где скорости г>набл и г>ИСт считаются положительными, Z/ист С + ^ист если они направлены от наблюдателя к источнику. 601. — = 1 + - (Nvoth) = 1 - — cos (9, где в - угол между скоростью г^ист с с источника и линией наблюдения в системе отсчета, в которой наблюдатель покоится. Волновая нормаль N проведена в той же системе. 602. Решение. Пусть плоскость зеркала перпендикулярна к оси X, а само зеркало движется вдоль этой оси со скоростью v. Тогда при надлежащем выборе начала отсчета времени абсцисса зеркала будет х3 = vt. Представим падающую и отраженную волны в виде а ехр < го; (t jk a exp < iu/ (t-\— j >. 8 Под ред. Д. В. Сивухина
226 Ответы и решения В силу граничных условий поля падающей, отраженной и прошедшей волн на поверхности зеркала связаны между собой однородной линейной зависимостью с коэффициентами, не зависящими от времени. Это может быть тогда и только тогда, когда фазы этих волн на поверхности зеркала в любой момент времени равны между собой: cut х3 = uj't -\ х3, откуда с</ v1 1 — г>/с ~v uj v 1 + г>/с с 603. v' = v{\ =p 2Nv/c). Знак минус соответствует отражению от удаляю- удаляющегося зеркала, знак плюс — от приближающегося зеркала. 604. Решение. Лучи от источника S (рис. 144), пройдя через стеклян- стеклянную пластинку М и линзу L, отражаются от плоского зеркала R, которое М С Рис. 144 может вращаться вокруг оси, перпендикулярной к плоскости чертежа. Линза L дает изображение источника S на поверхности вогнутого зеркала С, центр кривизны которого совпадает с осью вращения зеркала R. Сосуд Р наполняют исследуемым веществом, в котором измеряется скорость света. Если зеркало R неподвижно, то лучи, отраженные от С и R, снова сойдутся в точке S. Зер- Зеркало М отклонит часть лучей в сторону и даст действительное изображение источника в Si. При вращении зеркала R изображение Si смещается в S[. По величине смещения S\S[ можно вычислить скорость света в исследуемом веществе. Так как цель задачи — ответить на принципиальный вопрос, какую скорость света дает метод Фуко, то воздушные зазоры между R и Р, а также между Р и С можно считать бесконечно тонкими и во всех расчетах прене- пренебречь толщиной этих зазоров. Обычный расчет проводится следующим способом. На прохождение рас- расстояния от R до С и обратно волновой фронт, распространяющийся с фазовой скоростью, затрачивает время Т = 2D/v, где D — расстояние между зеркалами R и С. За это время R повернется на угол ср = ТО, если О — угловая скорость вращения зеркала. Луч, отраженный от зеркала R, вращается с вдвое большей
§8. Скорость света 227 скоростью. За то же время он повернется на угол а = 2ср = 2ТО = DD/v)?l. Угол а легко рассчитать по величине смещения S\S[. Таким образом, F04.1) ис В этом рассуждении не принято во внимание изменение частоты, которое согласно принципу Доплера должно происходить при отражении света от вращающегося зеркала R. Поэтому оно не дает ответа, что за скорость вычис- вычисляется по формуле F04.1). Поместим начало координат на оси вращающегося зеркала R и направим ось Y по линии пересечения плоскости этого зеркала с плоскостью чертежа. Так как линейные скорости различных точек вращающегося зеркала различны, то и изменение частоты волны при ее отражении от зеркала будет разным в зависимости от того, в каком месте зеркала произошло отражение. Благодаря этому различные точки волнового фронта будут распространяться в среде с различными фазовыми скоростями. Это поведет к вращению волнового фрон- фронта в среде. Если за направление положительного вращения принять направле- направление вращения зеркала R, то для угловой скорости вращения волнового фронта в среде можно написать „/ \ dv I dv duj cos (f dy cos (f duu dy1 где cp — угол падения светового луча на зеркало R. Так как v = uj/k, то dv I uj dk v v2 duj к к2 duj uj uju ' где и — групповая скорость. Остается определить duj/dy. Если и — частота волны, отраженной от зеркала в точке с координатой у, а и + du — с коорди- координатой у + dy, то по принципу Доплера — = — О cos (pdy, откуда cosif dy с nv где п — показатель преломления. Таким образом, Отраженный от зеркала С волновой фронт будет также поворачиваться при распространении в веществе с угловой скоростью О; и притом, как легко сообразить, в том же направлении, что и падающий волновой фронт. С дру- другой стороны, на прохождение слоя вещества толщиной 2D волновой фронт затрачивает время Т = 2D/v. За это время он повернется в среде на угол п'Т = I 1 j. По выходе из сосуда Р в вакуум волновой фронт пре- преломляется, вследствие чего угол поворота увеличивается в п раз и становится равным „, ADU (v \ ADU ADU nil Т = 1 = .
228 Ответы и решения Этот поворот надо прибавить к повороту ADQ/v, найденному ранее без учета эффекта Доплера. Таким образом, измеряемый угол поворота а в действитель- действительности равен а= + = , v V и v / и так что вместо формулы F04.1) получаем F04.2) а Следовательно, метод вращающегося зеркала Фуко дает групповую скорость. 605. Метод вращающегося зеркала дает групповую скорость и = v( 1 + Н — . Так как п = c/v, то 1 п d\ Майкельсон на опыте нашел с/и = 1,75. 606. Решение. Пусть в эфире распространяется световая волна под углом а к оси Z. Плоскость, проходящую через волновую нормаль и ось Z, примем за координатную плоскость XZ. Если координатная система покоится относительно эфира, то волновое движение можно записать в виде Е = Eocos[ujt — k(xsina + zcosaj], причем скорость света с = и/к не зависит от направления его распространения. Запишем ту же волну в координатной системе, движущейся относительно эфи- эфира в направлении оси Z со скоростью v. Если в начальный момент времени обе системы совпали, то координаты в новой системе выразятся через координаты в старой системе формулами х = ж, у =у, z = z- vt. Значит, волновое движение относительно новой системы представится в виде Е = Eq cos[u/t — к{х sin a + z cos a)], где и' = ш — kv cos a. Таким образом, частота волны при наблюдении в новой системе изменяется. Напротив, длина волны А = 2тг/к остается без изменения. Фазовая скорость света с' в движущейся системе также изменяется. Она, очевидно, равна с = — = с — vcosa. F06.1) К От фазовой скорости надо отличать скорость светового сигнала. Она, очевидно, найдется по классической теореме сложения скоростей. Компоненты скорости светового сигнала в неподвижной системе равны с sin а и с cos а. В движущей- движущейся системе ж-компонента остается без изменения, а ^-компонента уменьшится на v. Итак, компоненты скорости и светового сигнала относительно движущей- движущейся системы координат будут равны их = сх = с sin a, uz = cz — v = с cos а — v. Отсюда видно, что световой сигнал распространяется в движущейся системе
§8. Скорость света 229 под другим углом к оси Z, чем в неподвижной системе (аберрация света!). Для самой скорости светового сигнала и получаем и = их + uz = с — 2cv cos a + v . В дальнейших расчетах будем пренебрегать величиной v2 по сравнению с с2. В этом приближении и = с — vcosa, F06.2) т. е. скорость светового сигнала в движу- движущейся системе отчета равна фазовой ско- скорости. Скорость света относительно дви- движущейся системы координат зависит от направления его распространения. Относи- Относительно этой системы эфир ведет себя как покоящаяся, но анизотропная среда. Установив это, допустим, что относи- относительно эфира со скоростью v в направле- направлении оси Z движется наблюдатель с ди- дифракционной решеткой, плоскость которой параллельна плоскости XZ, а штрихи па- параллельны оси Y. Вторичные волны Гюй- Гюйгенса, выходящие из двух соседних точек решетки А и В, удаленных друг от друга на период решетки d (рис. 145), приходят в точку С и там интерферируют. Первая волна на прохождение от решетки до точки С затрачивает время Рис. 145 U = AC АС АС АС (. v n \ 1 + - cos0i), с \ с ) а вторая ВС ВС ВС с 1 + - cos в2 с Так как ACcos#i = ВС cos 62, то разность времен равна ВС-АС %2 — Ъ\ = . С Для наблюдения фраунгоферовой дифракции точку С надо удалить в бес- бесконечность. Тогда в пределе в\ = 62 = 0, -ВС — АС = dsinO, и мы получаем t2-ti = dsin.6 Для простоты предположим, что падающая волна распространяется в направ- направлении оси Z (т.е. перпендикулярно к плоскости решетки). Тогда а = 0, и' = = и — kv. Вторичные волны Гюйгенса выходят из точек решетки А и В с одинаковыми фазами. В точку С они приходят с разностью фаз Д = u'(t2 -t\) = (ш -kv) dsinO
230 Ответы и решения Для того чтобы в направлении в образовался главный дифракционный мак- максимум, необходимо, чтобы разность фаз А составляла 2тгт, где т — целое число. Это дает : тА', F06.3) где Таким образом, явление происходит так, как если бы эфир покоился, а длина волны смещалась в красную сторону согласно формуле F06.4). Разобранным методом нетрудно рассмотреть и случай наклонного падения света на решетку. Это предлагается сделать читателю. 607. АЛ = 21 А. 608. 5А = 0,04бА. 609. АЛ ^450 А. 610. 6Х = 2\А. 611. Удаляется со скоростью v = 1380 км/с. 612. АЛ= 1,1 А. 613. v = 2 км/с. 614. Если бы кольцо было сплошным твердым образованием, то его пери- периферия должна была бы иметь большую линейную скорость, чем внутренние края. Напротив, если бы кольцо состояло из отдельных мелких спутников планеты, то для далеких и близких к планете спутников соотношение ли- линейных скоростей было бы обратным. Наблюдая эффект Доплера от краев колец, можно определить, скорость какого края больше, и сделать тем самым однозначный выбор из обоих предположений. А. А. Белопольский в 1896 г. нашел, что скорость внутреннего края кольца Сатурна равна 21км/с, а внешнего 16 км/с. Отсюда следует, что кольцо Са- Сатурна не может быть твердым образованием, а должно состоять из большого числа мелких спутников. 615. У = 3600 В. 616. Л = 2v/Av = 50 см. § 9. Теория относительности и оптика движущихся тел 617. Фотоаппарат фиксирует лучи, которые приходят в него одновременно. Поэтому, вследствие конечности скорости света, точки предмета, лежащие дальше от фотоаппарата, чтобы дать вклад в изображение, должны испустить лучи раньше, чем более близкие точки. Рассмотрим, например, светящийся предмет кубической формы со сторо- стороной /, пролетающий на большом расстоянии от точки фотографирования со скоростью v перпендикулярно к лучу света, направленному на фотоаппарат (рис. 146а). Вследствие движения тыльная грань ABEF, невидимая при неподвижном кубе, становится видимой при движении, так как из точек Е и F свет излучился на время 1/с раньше, чем с грани ABCD, когда точки Е и F находились в положении Е' и F'. На фотографии (рис. 146 6) грань ABEF выйдет в виде прямоугольника A'B'E'F' со стороной A'F' = (v/c) I. С другой стороны, грань ABCD вследствие сокращения Лорентца будет сжатой в направлении движения в д/l — v2/c2 раз так, что ее изображе- изображение А1 В'С'D' на фотографии получится в виде прямоугольника со стороной
§9. Теория относительности и оптика движущихся тел 231 A'D' = /д/1 — v2/c2. Нетрудно видеть, что на фотографии общая форма дви- движущегося куба не искажается, так как он кажется повернутым на угол ср = = arcsin(i>/c) при сохранении своих пропорций (рис. 146 6). Рис. 146 Аналогично, для движущегося шара вследствие совместного действия за- запаздывания света и сокращения Лорентца видимая форма шара не искажается: на фотографии он получается в форме круга. Чтобы наблюдать при помощи фотоаппарата сокращение Лорентца в чистом виде, нужно воспользоваться внешним источником освещения, например, лампой-вспышкой, который исклю- исключает кажущийся поворот движущихся предметов. 618. Никакой информации о влиянии ускорения на ход часов преобразо- преобразования Лорентца не дают. На этот вопрос нельзя ответить без рассмотрения конкретного вида часов. Вопрос этот должен решаться экспериментально. Например, ускорение существенно влияет на ход маятниковых часов. А для многих часов (например, основанных на атомных и ядерных переходах) неза- независимость их хода от ускорения установлена на опыте вплоть до гигантских ускорений. 619. Да, можно. В динамическом рассмотрении, однако, обычно нет необ- необходимости (не говоря уже о том, что оно может оказаться очень сложным), поскольку результат следует уже из преобразований Лорентца и, следователь- следовательно, получится в любой лорентц-инвариантной динамической теории. Динами- Динамическое рассмотрение становится вместе с тем необходимым при детальном ана- анализе нестационарных процессов, например соударений релятивистских частиц. 620. Размер системы в направлении движения /ц = 2do/^/l ~~ v2/c2, а в перпендикулярном направлении l± = cfo. 621. Концентрация останется неизменной. 622. Плотность тока j = ne(ve — Vi) (e — заряд электрона, ve — средняя скорость электронов, Vi — средняя скорость ионов). Ее максимальное значение jMaKC = 2пес, поскольку абсолютные значения ve и Vi не превосходят скорости света.
232 Ответы и решения 623. р = .° . .., где ро — плотность вещества в системе отсчета, где 1 - (V/сJ тело покоится, ар — плотность того же вещества, измеренная в движущейся системе, V — скорость одной системы относительно другой. 624. т = Т° = ^ то « 9,5т0 « 2,1 • 1(Г5 с. 625. Решение. Систему отсчета, относительно которой наблюдатель покоится, условимся считать неподвижной, а систему, в которой покоится источник, — движущейся. Полагая (см. решение задачи 599) v = г/набл, ^нэбл = = 0, г>ист = v, 0ИСТ = 0, получим V С V\ С + V COS в ' где i/i — частота световой волны в месте нахождения источника, измеренная с помощью неподвижных часов. Если ее измерить с помощью движущихся часов (т. е. часов, неподвижных в системе источника), то благодаря замедлению хода последних мы получим вместо v\ частоту щ = г/ист = v\л и следовательно, 1) При в = 0 - = щ - C cos в' 2) При 0 = тг/2 (поперечный эффект Доплера) v = i/oy I — (З2. 626. Полагая уист = 0, г>набл = v, 0набл = 0о, получим v \ -\- C cos #о 627. Искомая формула получится из требования, что отношение частот v/vo не должно зависеть от способа вычисления. Пусть одна и та же плоская световая волна наблюдается в двух системах отсчета Ко и К, из которых вторая движется относительно первой со скоростью v. Источник покоится в системе Ко. Пусть 0о и 0 — углы между направлением вектора v и обратными направлениями луча в этих системах. Тогда cos 0 — cos 0о = C(cos в cos 0о — 1). 628. ( . /1 _ /42 если (Зп(и) cos в < 1, г/1 1-/Зп VI -/32 .(I/)COS0 -/32 f, если Cn(v) cos в > 1, f3n(v) cos 0 — 1 где 0 — угол между вектором v и направлением луча, a n(i/) — показатель преломления среды. 629. Решение. Пусть в момент t = i! начала обеих координатных систем совпадают между собой. В этот момент поставим отметку в той точке распро- распространяющегося ряда плоских волн, которая проходит через начало координат. Произвольный наблюдатель А, находящийся в «неподвижной» системе отсчета,
§9. Теория относительности и оптика движущихся тел 233 начинает счет проходящих мимо него волн в тот момент, когда мимо него проходит сделанная отметка. К моменту времени t он насчитает п = Ф/Bтг) волн, где Ф = ut — kr — фаза проходящей мимо него волны в момент t. Наблюдатель А' в «движущейся» системе отсчета производит такой же счет волн и к моменту i! насчитает N' = Ф;/Bтг) волн, где Ф; = u't' = kV. К моменту встречи мимо обоих наблюдателей пройдут одни и те же волны. Поэтому в момент встречи наблюдателей N = N', а следовательно, Ф = Ф;. Это и доказывает требуемое соотношение, так как из рассуждения ясно, что ?, г и t', y' означают время и координаты одного и того же события в «непо- «неподвижной» и «движущейся» системах отсчета. 630. Если а — угол между направлением пучка каналовых лучей и пер- перпендикуляром к линии наблюдения, то должно быть а< ^ =0,22- 1(Г2 рад = 7'. Указанная в задаче трудность была преодолена Айвсом следующим спо- способом. В спектрограф направлялось излучение не только непосредственно от каналовых частиц, но и их свет после отражения от зеркала. Плоскость зерка- зеркала была установлена перпендикулярно к оси спектрографа. Тогда, если пучок каналовых лучей образует с перпендикуляром к линии наблюдения угол а, то его изображение в зеркале составляет с этим перпендикуляром угол —а. Таким образом, одновременно наблюдался продольный эффект Доплера, соот- соответствующий продольным скоростям +t>sina и — vsina. Смещенные линии в продольном эффекте должны быть симметрично расположены относительно несмещенной линии. Поперечный же эффект Доплера должен дать для обоих случаев смещение в одну и ту же (красную) сторону. Опыт показал, что смещенные линии в этом случае расположены асимметрично относительно несмещенной линии. Именно, на продольное доплеровское смещение наклады- накладывается дополнительное смещение в красную сторону. По положению смещен- смещенных линий относительно несмещенной можно рассчитать это дополнительное смещение. Айве нашел, что в пределах ошибок измерений оно согласуется с релятивистской формулой для поперечного эффекта Доплера. 631. Из-за эффекта Доплера длина волны в системе координат, движу- движущейся вместе с жидкостью, равна А; = Л + АЛ, причем в первом приближении —— = ——. Здесь п = п(Х). Поэтому Л с/п га(А') = га(А + АЛ) « п + ^ АЛ = п + Хп^ -, ал аХ с с _ с/п ^ с ,dnv п(Х') , л ^ v_ n dX n dA с Из релятивистской формулы сложения скоростей получим с гг(А') /с dn v \/ 1 v\ с ( 1 X dn 1 п(Х')с с dn v \/ 1 v\ с ( 1 X dn\ п ал п /V сп/ п \ п1 п ал/ 632. Решение. Если скорость частицы (в единицах скорости света) равна C, то ее энергия будет & = &о/л/\ — (З2, где &о — энергия покоя.
234 Ответы и решения Отсюда найдем C. По релятивистской теореме сложения скоростей скорость движущейся частицы в лабораторной системе отсчета будет f3' = (Зотн = -^. Зная C, вычислим C', а затем д/l — (З'2. Получим д/1 — /3/2 = ° и далее В случае ультрарелятивистских движений &' = 2ср /&q. Для протонов &о = 0,937 ГэВ, Ш' « 213 ГэВ. 633. At = — A - л/Т^З2) &-(-)= 0,0143 год = 5,24 сут. v с V с/ 634. g = me2 = 9 • 1027 эрг = 9 • 1020 Дж, М = 13000т, v = слД/2 = 2,6 х х 105км/с. 635. Решение. Пусть m и v — масса покоя и скорость ракеты в про- произвольный момент времени, а тгаз и г>газ — те же величины для газов, образовавшихся из топлива ракеты к этому моменту времени. Так как газы, уже покинувшие ракету, не оказывают влияния на ее движение, то можно принять Шгаз = 0. Однако dmra3 ф 0, так как газы непрерывно образуются. На основании законов сохранения импульса и энергии имеем ТОгаз = const. F35.2) ^/2 Дифференцируя уравнение F35.1) с учетом F35.2) и полагая в окончательном результате mra3 = 0, получим = 0. У1-^2/с2 V ' ^\-v2/c2 Согласно релятивистскому закону сложения скоростей v — и 1 — vu/c2 ' Исключая г>газ, после несложных преобразований находим dv и dm v2 — с2 с2 m Интегрируя в предположении постоянства и, получим F35.3) где C = v/c, Д) = vo/c. Если начальная скорость г>о равна нулю, то При ускорении ракеты и > 0, при торможении и < 0.
§9. Теория относительности и оптика движущихся тел 235 636. mo v — vo , v — = ехр F36.1) та и (формула Циолковского). 637. то = ml -J = 2,84 • 10 т. Эта цифра невообразимо велика (масса Земли 6 • 1021 т, масса Солнца 2 • 1027 т, масса Галактики ~ 3 • 1038 т). Было бы необоснованной экстраполяцией применять к телам таких размеров, если бы они существовали, законы физики, установленные для тел совсем других масштабов. Приведенный расчет показывает, однако, иллюзорность и полную бессмысленность пытаться решить проблему межзвездных сообще- сообщений с помощью ракет на химическом топливе. Идеальной для решения этой проблемы была бы фотонная ракета, в которой роль газовой струи играет све- световое излучение, испускаемое ракетой. В этом случае и достигает предельного значения и = с. Для фотонной ракеты формула F36.5) переходит в то та 638. Решение. Время т, которое пройдет на ракете (если предположить, что она движется с постоянной скоростью v относительно Земли), связано с земным временем соотношением где C = v/c. Время ?, необходимое для прохождения расстояния R, равно R/v. Отсюда для заданных т и R получаем необходимую скорость: Для нахождения искомого отношения масс применим формулу F35.4) к фотонной ракете. При ускорении ракеты и = +с, при торможении и = —с. Если Мо — начальная, Мк — конечная массы ракеты, а М — масса в конце ускорения (равная массе в начале торможения), то Мо = /1+А1/2 М_ = /1-А M~\\-0J ' Мк~\\+р) М VI-/ЗУ ' Мк \\+pJ \\-pJ ' Следовательно, Мо 1+/3 AR2 , п ж = т^ = ^- F38Л) По этой формуле находим Мо/Мк ~ 4 • 10ю. 639. Решение. Пусть в системе координат К, связанной с Землей, в момент времени t система координат К', связанная с космическим кораблем, имеет скорость v, равную скорости корабля в данный момент. В следующий бесконечно близкий момент t + dt скорость космического корабля в системе К будет равна и + du, а в системе К' некоторой величине du'. Так как в рас-
236 Ответы и решения сматриваемый момент t системы К и К' движутся друг относительно друга с постоянной скоростью v, то, применив формулу сложения скоростей, получим и + du = и + du1 uduf/c2' Пренебрегая бесконечно малыми второго порядка, будем иметь 1 du' = ¦ du, где C = и/с. Промежутки времени dt' и dt в системах К w К' связаны соотношением dtf = л/\ — f32 dt, а, следовательно, ускорения — соотношением dv/_ dt' du A - /52K/2 dt' du1 По условию ^j = a = const, поэтому Интегрируя с начальным условием t = 0, и = 0, получим Учитывая, что и = ds/dt и интегрируя еще раз при условии t = 0, s = О, получим выражение для проходимого пути s: На плоскости st последние уравнения представляют гиперболы (отсюда и название «гиперболическое» движение). Таким образом, в системе К, свя- связанной с Землей, для прохождения расстояния s = R/2 кораблю понадобится время В системе же К' собственное время т будет равно t г = V2(t) l-^-dt=-hii-t + & а с или с Л , at с . , т = - Arsh — = - Arsh а с а I 2с2 На все путешествие понадобится вдвое большее время то = 2т: 2с Г Да /, , с2 1 то = — Arsh ^ —- W 1 + _ ^. а \ 2с2 V аД
§9. Теория относительности и оптика движущихся тел 237 Для больших расстояний R, для которых R >> 2с2/а = Rq (в данном случае для а = 10м/с , Rq = 2 световых года), последняя формула принимает вид 2с Л (aR\ — Ы< — I «21 год. а I с2 J то 640. Решение. В системе координат, связанной с ракетой, dp'r/dt = = М'а, где М' — масса ракеты с топливом. Изменение импульса р'г равно по абсолютной величине изменению импульса излученного света и противопо- противоположно по направлению: dp'r = — d^f = —cdM', где d&f = с <iM; — изменение энергии излученного света. Отсюда cdM> dt Расходуемая мощность М а = d&f d&f .. ..I w = —/- = М ас. at Конечная масса ракеты Мк связана с начальной массой Mq соотношением (см. задачу 638) 1 Р 1 + Р где C = v/c, v — максимальная скорость ракеты (скорость в середине пути). Для равноускоренного движения (см. решение задачи 639) {a/c)t у/\+аЧ*/с?' откуда aRJ Подставляя это значение, найдем, что необходимая мощность в начале пути равна wo = Моас = асМк « MKav—^- « 3 • 1031 эрг/с. 1 — р с4 Если сравнить это с мощностью взрыва первой атомной бомбы, при котором примерно за 10~6 с выделилось 5 • 1020 эрг, то мы получим, что для данной ракеты необходимо в секунду расходовать энергию б • 104 таких бомб. 641. Решение. Пренебрегая движением атомов водорода относительно Земли, находим, что интенсивность P(t) космического излучения, состоящего из атомов водорода, налетающих на корабль, растет в первую половину пути по закону P(t)=n%H(t)-v(t), где п = щ/л/1 — f32(t) — плотность водорода в системе координат, связанной с кораблем, &я = тяс2/л/\ — C2(t) — энергия одного атома водорода в той же системе, /3(t) = v(t)/c — скорость корабля относительно Земли (и относи- относительно водородного газа).
238 Ответы и решения Для равноускоренного движения (см. задачу 639) Таким образом, P(t) = ^ аЧ2/с2. Максимальное значение эта величина имеет для середины пути, где t = 1с 6,3- 101Оэрг/(см -с). Для сравнения отметим, что интенсивность космических лучей, приходящих на Землю, Р3 = 3 • 10~3 эрг/(см2 • с). 642. Решение. Вследствие аберрации происходит смещение видимого положения звезд на небесной сфере. По сравнению с земным наблюдателем для космонавта звезды как бы сбегаются к точке небесной сферы, к кото- которой направлена скорость движения корабля, и разбегаются от диаметрально противоположной точки. Это смещение видимого положения описывается со- соотношением V ^-. cosOf = -, или sin#; = sin#- 1 - C cos 0 ] где C = v/c, v — скорость корабля относительно Земли, в' — угол между направлением полета и звездой в системе корабля, а в — тот же угол в системе Земли. Например, при галакти- галактической скорости C = 1 — 0,5 х х 10~8 звезды, расположенные в полусфере в земной системе координат, на космическом ко- корабле будут видны в пределах конуса с углом раствора 20' « ~ 0,6 угловых минут. ,/ X' 643. Решение. Обозна- Обозначим через К систему координат, в которой неподвижен радиоло- радиолокатор, а через К' — систему, в которой неподвижен предмет. Оси X и X' выберем так, что- чтобы они были параллельны друг другу и направлению скорости предмета в системе К (рис. 147). На предмет падает и от него отражается излучение от радиолокатора, которое в системе К' благодаря эффекту Доплера имеет частоту F43.1) X 147 1 -
§9. Теория относительности и оптика движущихся тел 239 где C = v/c, ср — угол между осью X и направлением на предмет в системе К (см. задачу 626). Таким образом, в системе К' предмет играет роль радио- радиопередатчика, излучающего частоту и/ в направлении радиолокатора, которое в этой системе составляет некоторый угол ф' с осью X' (этот угол, вообще говоря, отличается от угла ф = тг + ср, который составляет это направление с осью X' в системе К'). Закон преобразования углов легче всего получить из формулы сложения скоростей и'х +v I u'cos Ф' +v /C/IOOn Ux = 1 i / /2 или ^cos^ = t~i / TTT2¦» F43.2) \+и'ху/с2 1 + vu' cos ф'/с2 применяя ее к распространению света. Учитывая, что скорость света постоянна во всех инерциальных системах и = и1 = с, получим F43.3) l+/?cos^ откуда , СОБф - P /глол\ cos^ = z ^ г. F43.4) 1 - P cos ф Учитывая, что в системе К' радиолокатор движется относительно предмета со скоростью —V, перейдем снова к системе К. В этой системе частота принимаемого радиолокатором отраженного сигнала выражается формулой _ , I + C cos ф' _ I - flcosip I + (Зсоёф' Используя формулу F43.4) и равенство ф = тг + ср, получим \-f3coscp {ало а\ и* = и—-; . F43.6) 1 + Р cos (f Отметим, что при ср = тг/2, т. е. при движении предмета перпендикулярно к радиусу-вектору, соединяющему его с радиолокатором, никакого смещения частоты отраженного сигнала (принимаемого тем же радиолокатором) не на- наблюдается. 644. Все орбиты образуют семейство окружностей с общей касательной в точке ускорения. Поэтому максимальное расстояние между s-й и (s — 1)-й окружностью As = Rs - е#о [ V n2s2 v J\l n2(s-\J Это расстояние монотонно растет с увеличением s и будет максимальным для последней орбиты s = N: Энергия на выходе микротрона &n = Nnmc2 « 12МэВ. 645. Решение. Пусть монохроматический свет приходит к наблюдателю от удаленного источника. Обозначим через щ частоту света, воспринимаемую
240 Ответы и решения наблюдателем, покоящимся в какой-либо инерциальной системе отсчета. Если в момент времени t = 0 наблюдатель начнет двигаться к источнику с по- постоянным ускорением а (рис. 148а), то к моменту t он приобретет скорость v = at, а свет пройдет путь / = ct. Произойдет изменение частоты света, воспринимаемого наблюдателем. Если пренебречь величинами порядка (v/cJ, то по принципу Доплера изменение частоты Свет Свет будет определяться выражением 1 } ' ) I ) » 1 ' ) i V — V{_ Щ V с at с Пусть теперь наблюдатель покоится в инерциальной системе отсчета, но есть однородное гравитационное поле g = —a (рис. I48 6). Тогда согласно принципу эк- эквивалентности должно наблюдаться в точ- точности такое же изменение частоты, что и в предыдущем случае, т. е. v - щ F45.1) где I — расстояние, проходимое светом в на- направлении гравитационного поля. Если гра- гравитационное поле неоднородно, то получен- полученную формулу можно применять для каждого бесконечно малого участка пути, проходи- проходимого светом. При этом составляющая гравитационного поля, перпендикулярная к направлению распространения света, на его частоту не влияет. Поэтому dv gdr Рис. 148 Для перехода к конечным изменениям частоты надо это выражение проинте- проинтегрировать. Путь интегрирования можно выбрать произвольно, так как гравита- гравитационное поле — потенциальное. В результате: л V2 1 Г , In— = -2 gdr= Щ С2 J (f2 F45.2) где <p\ — ф2 — разность гравитационных потенциалов между начальной и ко- конечной точками пути, вдоль которого распространяется свет. При распростра- распространении света от высшего гравитационного потенциала к низшему его часто- частота увеличивается, при распространении в противоположном направлении — уменьшается. 646. N> — (-J = 2,3- 105. т \v/ 647. В красную. 648. АЛ/Л ~ GM/tqc ~ 0,075, где G — гравитационная постоянная, го ~ « 2- 106см — радиус звезды, найденный по среднему расстоянию между нейтронами. 649.^ V 650. Аи/и = gh/c2 = 5,45 • 10~13. gRh = 7,8 -10 ; в фиолетовую.
§ 10. Давление света 241 651. При круговом движении спутника — = ^. При эллиптическом движении в правой части появится коэффициент порядка единицы. 652. ^ = ! cos9 - |j A - 2c«s! в) + 2LJ». 2) 8 = 89°, А^ = 4,38- 1(Г7. 653. Решение. Будем считать, что свет состоит из корпускул с массой т (например, пусть т = hv/c2, где hv — энергия фотона). Такая корпускула сможет удалиться от тела с массой М с расстояния г на бесконечность при условии mv2/2 ^ GMm/r, где v — радиальная скорость корпускулы. Полагая v = с, получаем отсюда условие невидимости поверхности звезды г < rg = = 2GM/(? « ЗМ/Мс [км], где Мс — масса Солнца. Ответ не зависит от массы корпускулы ш, но применение нерелятивистских соотношений к свету делает случайным точное совпадение полученного результата с тем, что дает общая теория относительности. Радиус rg называется гравитационным радиусом тела. § 10. Давление света 654. Р = и{\ + г) cos2 ср, где и — плотность энергии падающей волны; Т = = l/2u(l — г) sm2cp. Решение. Если N — число фотонов падающей волны в единице объема, то импульс фотонов, упавших в 1 с на зеркало, равен (JVhv/с)cS cos ip, где S — площадь зеркала. Так как Nhv = u, то этот импульс равен pi = uS cos ip • i, где i — единичный вектор, проведенный в направлении падающего луча. Импульс отраженных в 1 с фотонов р2 = ruScosip • i;, где i; — единичный вектор в направлении отраженного луча. Таким образом, изменение импульса световой волны в 1 с вследствие отражения от зеркала равно р2 — р{ = —uS(i — ri) cos ip. В силу закона сохранения импульса изменение импульса зеркала будет таким же по величине, но противоположным по направлению. Поэтому сила F, действующая на зеркало со стороны излучения, равна F = pi — р2 = uS(\ — r\) cos (/?, а сила f, действующая на единицу площади зеркала, f = и{\ — r\) Проецируя это выражение на нормаль к зеркалу и на плоскость зеркала, получим результаты, приведенные в ответе. 655. Р = u(cos2 (р + У2 cos ф)\ Т = Х1чи sin 2(p. Решение. Если отражающая поверхность идеально матовая, то она от- отражает падающее на нее световое излучение целиком, причем после отра- отражения получатся лучи всевозможных направлений, и все эти направления равновероятны. Вероятность того, что направление распространения отразив- отразившегося фотона составляет с нормалью к зеркалу угол между в и в + dO, равна A/2тг)еЮ = sin в dO, так как соответствующий элемент телесного угла
242 Ответы и решения сЮ, = 2тг sin в dO. Результирующий импульс всех отразившихся фотонов будет перпендикулярен к плоскости зеркала. Среднее значение проекции импульса одного отраженного фотона на нормаль к зеркалу равно тг/2 hv . 1 hv — cos 0 sin 0 dO = . с 2 с о Следовательно, для результирующего импульса всех отразившихся фотонов мы получим Р2 = NcS cos ip - - — n = - uS cos (/m, где п — единичный вектор нормали к поверхности зеркала. Сила же f, действующая на единицу площади зеркала, будет равна с Pi - Р2 Л 1 \ f = —-— = u[\- -njcosip. Проецируя это выражение на нормаль п и плоскость зеркала, получим резуль- результаты, приведенные в ответе. 657. Р = и/3, где и — плотность излучения. 658. 1) Р\ = 0,46дин/м или приблизительно полмиллиграмма на квадрат- квадратный метр; 2) Р2 = 2РХ = 0,92дин/м2; 3) Р3 = 3/2Р\ = 0,69дин/м2. 659. F = Q/c^ 3,5- 1(Г5дин. 660. 1) F = Su, где S — площадь диаметрального сечения шара, и — плотность энергии падающей волны; 2) F = Su; 3) F = %Su. Решение. Так как размеры шара велики по сравнению с длиной све- световой волны, то при решении зада- задачи можно ограничиться приближени- приближением геометрической оптики и не учи- учитывать дифракцию. Чтобы объединить оба первых случая, допустим, что ко- коэффициент отражения поверхности ша- шара равен г и не зависит от угла паде- падения ср. Сила f, действующая на еди- единицу поверхности шара, равна f = = ucosipfi — ri;) (см. решение зада- задачи 654). Направим ось X параллельно Рис. 149 падающим лучам (рис. 149). В силу симметрии результирующая сила све- светового давления на шар должна быть направлена вдоль оси X и равна F = = J fx dS, где dS — элемент поверхности шара, а интегрирование ведется по освещенной половине этой поверхности. Имеем fx=u cos (p — ru cos (p cos(tt — 2(р) = A — г)и cos (p + 2ru cos3 ср. Далее, dS = 2тга2 sin cp dtp, где а — радиус шара. Интегрирование дает F = = тга2и. Таким образом, сила F не зависит от коэффициента отражения и одинакова для абсолютно зеркального и абсолютно черного шаров. Решение в случае идеально матовой поверхности шара производится таким же методом и дает F = %тга2и.
§ 10. Давление света 243 661. На идеально отражающий шар световое давление будет больше. Решение. Если бы коэффициент отражения г не зависел от угла па- падения, то сила светового давления в обоих случаях была бы одинакова (см. решение предыдущей задачи). Однако в действительности г зависит от угла падения, и поэтому сила давления бу- будет в обоих случаях различна. Пусть луч АВ (рис. 150) падает на шар под углом падения ср = 45°. Тогда отраженные фото- фотоны будут распространяться перпендикуляр- перпендикулярно к падающему лучу и каждый из них передаст шару импульс hi//с. Если же фо- фотон падает на шар в пределах поверхности, ограниченной окружностью BD, то, отра- отразившись, он будет иметь слагающую им- импульса, направленную противоположно рас- распространению падающего света; в этом слу- случае он передаст шару импульс, больший чем hi//с. Напротив, если фотон попадет на шар в пределах кольца BEFD, то переданный им импульс будет меньше hi//с. Если г не зависит от угла падения, то избытки переданных импульсов по сравнению с hi//с на круге BD будут полностью компенсированы недостатками на кольце BEFD. В действительности г зави- зависит от угла падения. Для неполяризованного света г возрастает с возрастанием угла падения. Поэтому недостатки переданных импульсов на кольце BEFD будут превосходить по величине избытки их на круге BD. Отсюда следует, что сила светового давления на шар, частично отражающий свет, будет меньше, чем в случае идеально отражающего шара. 662. Fx = 5,9 • 1013дин = 60000 тс. ^ = -^ ^ С Рис. 150 ,, 16^ = 1'6-10~14-здесь а — радиус земного шара, R — расстояние Земли до Солнца, Т — время обра- обращения Земли вокруг Солнца. По сравнению с силой тяготения сила светового давления ничтожно мала, и ее влияние на движение планет лежит далеко за пределами точности астрономических измерений. 663. а < — 3 иТ2 = 5,8 • 10 см. Результат получен в предположении, что 16 tt2R5 в рассматриваемом случае применима геометрическая оптика. На самом деле, так как вычисленное значение а того же порядка, что и длина световой волны, здесь существенно влияние дифракции. При учете последней а получится, очевидно, меньше, так как свет давит не только на переднюю, но и на заднюю сторону шарика. Поэтому геометрическая оптика может дать лишь верхнюю границу для а. 664. и' = и(\ ± Av/c), где и — плотность энергии падающей волны, и' — отраженной, a v — скорость движения зеркала. Знак плюс соответствует движению зеркала навстречу распространению света, а знак минус — проти- противоположному случаю. Решение. Вообразим бесконечно длинный цилиндр, в котором без тре- трения медленно движется зеркальный поршень со скоростью v (d « с). В ци- цилиндре в направлении движения поршня распространяется цуг волн, длина которого I = с. Пусть в момент времени t = 0 голова цуга достигла поршня. Тогда, как нетрудно рассчитать, конец цуга достигнет поршня в момент вре-
244 Ответы и решения мени t = с/(с — v). За это время поршень пройдет путь х = vt = vc/(c — v), а головной фронт отраженной волны — путь ct. Поэтому длина отраженного цуга будет с — v Если плошадь поршня равна единице, то изменение энергии световой волны в этом процессе равно и'1' — ul. При этом световое давление Р произвело работу Рх. Следовательно, ul = ul' + Рх. При медленном движении поршня световое давление можно принять равным Р = 2и, если пренебречь добавочными членами порядка u(v/c). Подставляя в предыдущее выражение значения Р, х, I, I', получим результат, приведенный в ответе для удаляющегося поршня. Этот результат верен, если пренебречь величинами порядка (v/c) . 665. Если интенсивность пучка так велика, что он вызывает на поверх- поверхности тела энергичное испарение, то сообщаемый телу импульс может значи- значительно превосходить величину 2uSt. Объясняется это тем, что испаряющиеся в вакуум частицы уносят импульс, в результате чего тело испытывает отдачу. 666. Напряженность электрического поля Eq в несфокусированном пучке оценим по формуле W = — EHS = — E2S, а давление излучения Ро — по формуле Ро = —. Таким путем находим со '~~ Л~Л*Г = 1,45 • 103 СГСЭ = 4,3 • 105 В/см. со 1,67 • 105 дин/см2 « 0,16 атм. В фокусе можно пользоваться теми же формулами, вычислив предваритель- предварительно ширину пучка. Для оценки будем считать, что весь свет концентрируется в пределах центрального светлого кружка с радиусом R = 0,61/Л/г и пло- площадью тгЯ2 = 7г@,61/Л/гJ = @,61 • 7rf\J/S, где г — радиус поперечного сечения падающего пучка. Эту площадь и надо подставить в предыдущие формулы вместо S. В результате получим Е « л/Ё2 « ..f ,. Ео = 1,5 • 103?Ь = 6,4 • 108 В/см, и,Ь1тг/Л Р = (nJ f,JP0 = 2,25 ¦ 1О6Ро « 3,6 ¦ 105 атм. VU,bl7T/A/ ер 2 667. 1) Р = —- A + г) = - A + г) дин/см , где г — коэффициент от- стЬ о ог 1 /Ятг^ ражения поверхности; 2) Р « « 150A + г) атм; 3) Е « - W « стЛ2 Л у ст «6- 104СГСЭ «1,8- 107 В/см. §11. Молекулярная оптика и смежные вопросы из других разделов физики 668. а = |^ = 2,66 • 1(Г21 см3.
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 245 670. ^макс = еЕо/(тои) = еЕоХ/Bтгтс) « 5,3 см/с; Fm/Fe = vMaKC/2c « ~ 0,9 • 10~10. Несмотря на свою малость, сила Fm играет важную роль, так как именно она обусловливает световое давление. (См. решение задачи 671.) 1 (V) ?frA e 1 (eVm)?g^7 гпC р ям = -,?=- —-z 2 9 —г^, где ii/o — ам- с 2 (;2 ;2J + G^J ^ = ^2. ,гх = ,?= z2 9 2 (и2 - uj2) + G^J с 2 (и;2 - и;2J + () плитуда электрического поля световой волны. Решение. Если волна распространяется в направлении оси Z, вектор Е направлен вдоль оси X, а вектор Н — вдоль оси Y, то Е = Ех = Eq cosut, H = Ну = Но cos cut. Если пренебречь действием магнитного поля, то уравнение движения электро- электрона можно записать в виде 9 в х + 7^ + ипж — — ^о cos a;t. т Интегрируя его, находим скорость электрона х в установившемся вынужден- вынужденном колебании: (е/т) E На колеблющийся электрон будет действовать сила F = - [vH] со стороны магнитного поля световой волны. Эта сила, как легко видеть, будет направлена по оси Z. Она равна F = - Нух = —-Z k-z—-.—— {7^coscjt + (ои2 -wo) sin out} cos out. Усредняя это выражение по времени, получим результат, приведенный в отве- ответе. Энергия, поглощаемая электроном в 1 с, равна работе силы трения т^х в течение этого времени, т. е. 1 mjx dt. о Интегрирование и усреднение по времени дает е. 672. 1) р/ро порядка 10~8, где р — индуцированный момент; 2) р/ро порядка 1СГ5. 673. Невыполнение закона v = с/л/г объясняется наличием большого постоянного дипольного момента у молекулы воды A,8 • 10~18СГСЭ), не игра- играющего роли в оптических явлениях для частот видимого спектра. Для низких частот (радиоволны) дипольные молекулы воды за период колебания электро- электромагнитного поля успевают преимущественно ориентироваться в направлении электрического поля. Поэтому поляризуемость среды и ее показатель прелом- преломления для таких частот будут зависеть от наличия у молекул постоянных дипольных моментов. Показатель преломления радиоволн равен квадратному корню из статической диэлектрической проницаемости (для воды п = у/е = = л/81 =9). Но уже в области сантиметровых волн постоянные дипольные моменты молекул воды не успевают ориентироваться в направлении электриче- электрического поля. В этой области показатель преломления резко убывает с возраста-
246 Ответы и решения нием частоты. В оптической области частот дипольные молекулы практически перестают поворачиваться под действием электрического поля световой волны, и их постоянные моменты не влияют на показатель преломления. 674. п= 1,107. *ггг 1 4тге2ЛГэ 4тге2ЛГи AT AT 675. г = 1 — > ^Г, где N3 и ivH — концентрации (т.е. mbujl тпИииА числа частиц в 1 см3) электронов и ионов, еэ, еи, тэ, ти — их заряды и массы. Суммирование ведется по всем ионам. В силу квазинейтральности ионосферы концентрация положительных ионов с большой точностью равна сумме концентраций электронов и отрицательных ионов. Поэтому последним слагаемым в выражении для е можно пренебречь, поскольку масса иона велика по сравнению с массой электрона. Сделав это и опуская значок «э», получим л ^1 4тге2ЛГ ? = 1 тт, где ujq = . 1 676. Может: п < 1 для радиоволн в ионосфере; п < 1 для рентгеновских лучей. 677. В области аномальной дисперсии имеется сильное поглощение, и ве- величина и = v — Xdv/dX, как скорость распространения сигнала или скорость распространения энергии, теряет смысл. (Формула для групповой скорости выводится в предположении, что поглощения нет или оно мало.) 678. Полагая у/е = ±гк, преобразуем выражение Е = ~Еоег^г~к^ к виду: Vwt, или E = В вещественной форме Е = Еое^2 cos out, или Е = Еое~^г cos out. Это — стоячие волны. Амплитуда первой волны экспоненциально возрастает, а второй — экспоненциально затухает в направлении оси Z. Выбор знака перед >zr должен определяться физическими условиями. В обоих случаях есть затухание, но нет поглощения. 679. Если ои > оио, то волна пройдет через ионосферу; если ои < оио, то волна полностью отразится. Здесь 47гЛГмаксе2 где Аймаке — концентрация электронов на такой высоте, где она максимальна. 680. N = тгти2/е2 = 1,24 • 10~V. 681. Чтобы радиоволна могла достигнуть Земли, ее длина волны должна быть < 3,34/V^ • 106 см = 2,3 • 102 см = 2,3 м. 682. v = \ с2 + — Л2. V тгт 683. При е(ои) = 0, что в случае плазмы дает ои = у AirNe2/т. Длина волнового вектора к, а с ней и фазовая скорость могут быть какими угодно 0. 1) Это утверждение справедливо, если можно пренебречь тепловым дви- движением электронов (средняя скорость теплового движения электрона мала по сравнению со скоростью света с). При учете теплового движения электронов получается зависимость ои от к.
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 247 Групповая скорость и = du/dk = 0. Поэтому лучше говорить не о «волне», а просто о колебаниях электрического поля, а также о колебаниях электронов плазмы относительно ионов. 684. Решение. Уравнение колебаний гармонического осциллятора в электрическом поле Е = Еоега;*: г + и^г = — Е для установившихся колебаний дает г = ~ Плотность собственно энергии электрического т uji — uj2 поля: - + Е*\2 Е2 ЕЕ* Плотность потенциальной энергии: г + г* у Nmuji 2 , *\ , —-— = ——— (г + гг ) + компл. сопр. 2 / о Плотность кинетической энергии: — гг*) + компл. сопр. Nm /r + r*\2 Nmuj2 2 V 2 У 8 Подставляя сюда выражение для г и замечая, что из дисперсионной формулы . 4тг7Уе2/т d(euj) 1 (е — \)(ujI-\-uj2) ? = * "I 2 2 СЛеДУеТ ~~^— = 1 Н 2 2 ' П0ЛУЧИМ ДЛЯ ПЛОТНОСТИ электрической энергии: sE2 I d(euj) __* we = 1 —- ЕЕ + компл. сопр. 32тг 32тг duj Для плотности магнитной энергии имеем обычное выражение, как в недиспер- гирующей среде. 685. Спектр будет пересечен темными полосами, сужающимися от красно- красного конца его к фиолетовому. Нулевая полоса (т. е. полоса, которой соответству- соответствует нулевая разность хода) горизонтальна. При введении стеклянной пластинки полосы становятся наклонными. 686. Наклон полос тем больше, чем больше толщина пластинки, и прак- практически не зависит от дисперсии показателя преломления последней. При переносе пластинки из одного плеча интерферометра в другое наклон меняет знак. 687. Обозначим через ук расстояние интерференционной полосы к-го по- порядка от положения нулевой полосы, какое она занимала до введения в плечи интерферометра стеклянной пластинки и слоя паров натрия. До введения пластинки и паров натрия ук = акХ, где а — постоянная прибора. После введения пластинки и паров натрия рассматриваемая полоса сместится, и мы получим ук = а[кХ — (пСТ — 1)/ст + (пыа — l)^Na]. В вершине крюка dyk/dX = 0, что дает '%)=*+?(%) . F87.1) ^Na VdA/ст Порядок интерференции к = /Ст(ггСт — 1)/А велик (несколько тысяч), а потому последним слагаемым в формуле F87.1) можно пренебречь. 689. 1) Если не учитывать движения осциллятора как целого, то частота рассеянного света будет и. 2) Будет излучаться свет частоты ujq.
248 Ответы и решения 690. Решение. При угле Брюстера преломленный луч перпендикулярен к отраженному, колебания электронов в молекулах среды перпендикулярны к направлению преломленного луча и, значит, совпадают с направлением, в котором должен лежать отраженный луч (предполагается, что молекулы изотропны). Поэтому в направлении отраженного луча свет, поляризованный перпендикулярно к плоскости падения, излучаться не может. 691. Если свет, поляризованный перпендикулярно к плоскости падения, падает под углом Брюстера, то индуцированные дипольные моменты молекул среды хотя и параллельны направлению отраженного луча, но дипольные моменты молекул слоя не параллельны этому направлению. Поэтому молекулы слоя излучают в рассматриваемом направлении, что и ведет к появлению отраженного света. 692. Для возможности отражения недостаточно, чтобы молекулы среды излучали в направлении отражения. Для этого необходимо еще, чтобы их излучения были когерентны или, по меньшей мере, частично когерентны. Это не соблюдается для изотропных сред, построенных из анизотропных молекул, так как условием изотропии таких сред является полная хаотичность в ориен- ориентации анизотропных молекул. Пока выполняется это условие, среда ведет себя так, как если бы ее молекулы были бы изотропны. Флуктуации анизотропии, которые всегда имеют место, приводят к дополнительному рассеянию света во всех направлениях, но правильного отражения не дают. Оно получилось бы, если бы нарушить в какой-либо мере хаотичность в ориентации молекул. По всей вероятности, это имеет место для мономолекулярного слоя приграничных анизотропных молекул среды. Такого рода ориентация, возможно, является одной из причин отступлений от формул Френеля при отражении света от совершенно чистых поверхностей жидкостей. 693. Решение. Поле, излучаемое всей средой E = Ei -Е2 + Е3-..., F93.1) где слагаемые представляют поля излучения отдельных слоев. При строгой однородности волны поляризации Р = Роег^*~кг) члены ряда F93.1) равны по абсолютной величине, и его сумма не имеет определенного значения. В действительности волна поляризации имеет передний фронт, перед которым волновое возмущение отсутствует. Таким образом, в действительности ряд F93.1) содержит конечное число членов и неопределенность исчезает. Чтобы вычислить его сумму, вообразим, что первый слой вместе с излучаемым им по- полем удален, а оставшаяся среда сдвинута вверх на толщину слоя I. Вообразим, далее, что фазы всех дипольных моментов среды изменены на одну и ту же величину таким образом, что диполи, оказавшиеся после смещения на границе раздела, получили те же фазы, какие имели бы в тот же момент времени удаленные с этой границы диполи первого слоя. Ввиду медленности изменения членов ряда F93.1) и тождественности слоев ясно, что в результате этих воображаемых операций поле излучения вне среды практически остается без изменения. Но теперь оно может быть представлено в виде Е = Е2 — Ез + ... Вместе с F93.1) это дает Е = V2E1. Для толщины слоя нетрудно получить / = 7r/(kz + fz). (Мы направили ось Z в сторону среды перпендикулярно к границе раздела.) Волновой вектор в вакууме f определяется компонентами: }х — fZxi jy — fZyi jz — +y 2 ^ ^y '
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 249 694. Решение. Разобьем воображаемую среду, заполняющую верхнее полупространство, на слои толщины L = ir/(kz — fz). Тогда плоские волны, излучаемые в нижнее полупространство соседними слоями, будут иметь про- противоположные фазы. Рассуждая, как в предыдущей задаче, найдем, что поле излучения всей воображаемой среды эквивалентно половине поля излучения ее первого слоя. Если электрический вектор (а следовательно, и вектор Р) пер- перпендикулярен к плоскости падения, го для отношения комплексных амплитуд отраженной и падающей волн получим Rs I fz — kz cos (f — n cos ф (s>s L fz~\- kz COS (f + П COS ф Вторая формула Френеля получается аналогично. Необходимо лишь учесть зависимость излучения от его направления. Играет роль только компонента вектора Р, перпендикулярная к направлению излучаемой волны, параллельная компонента излучения не дает. 695. Решение. 1) Пусть диполь р помещен в точке 0 внутри щели (рис. 151). Обозначим поле такого диполя через Е;. Возьмем второй диполь pi, помещенный в точке / вне щели на таком рассто- расстоянии от нее, которое велико по сравнению с Л. Поле этого диполя обозначим через Еь Тогда по теореме взаимности PE1@) = piE/(l). F95.1) Если бы щели не было, то вместо этого соотноше- соотношения мы имели бы РЕ?@) = piE'(l), F95.2) где Е? — поле диполя 1 при отсутствии ще- щели. Поле Е? в окрестности точки 0 может счи- рис 151 таться однородным. Поэтому в силу непрерывно- непрерывности тангенциальных компонент электрического поля левые части выражений F95.1) и F95.2) равны. Следовательно, piE'(l) = piE A), откуда в силу произвольности вектора pi и положения точки 1 получаем вне щели Е; = Е. Таким образом, щель не влияет на излучение диполя, т. е. на поле в его волновой зоне. В случае 2) соотношения F95.1) и F95.2) остаются в силе. Однако теперь ввиду непрерывности нормальных компонент вектора индукции ?;Ei@)p = = гЕ^@)р, где г' — диэлектрическая проницаемость вещества, заполняющего щель. Поэтому s'piE^l) = spiE(l), откуда Е; = (г/г^Е. В частности, если г' = 1? то Е; = гЕ, т.е. напряженность поля диполя р в его волновой зоне возрастает в г раз. 696. 1) Е; = Е; 2) Е; = -^— Е. В обоих случаях поле Е; не зависит от положения диполя относительно оси полости. Решение сводится к электроста- электростатической задаче о диэлектрическом цилиндре во внешнем однородном поле. 697. Е; = ——— Е. Поле Е; не зависит от положения диполя относительно г' + 2е центра полости. 698. I(v) = /оехр { - (^j^J}, где - = ^ А/— (R - газовая посто- янная, \i — относительная молекулярная масса газа).
250 Ответы и решения Решение. Вероятность того, что скорость молекулы газа в направлении наблюдателя лежит в интервале (г>, v + dv), равна ! -л dv. Молекула со скоростью v излучает, с точки зрения неподвижного наблюдателя, свет частоты v = щ(\ + v/c). Отсюда вероятность того, что молекула излучает свет с частотой от v до v + dv. 2RT v\ v "* Так как излучения различных молекул газа некогерентны, то I(v) dv — ин- интенсивность света с частотой в интервале v, v + dv пропорциональна dw(v), откуда нетрудно получить приведенное в ответе выражение. 699. АЛ = — \ —:— л/1п2 « 0,042 А, где А — масса грамм-атома водоро- С у J\ да. 700. — = — cos#, где в — угол между направлением наблюдения и на- Л с правлением движения. 701. Решение. Уравнения движения упруго связанного электрона в маг- магнитном поле (поле Н по оси OZ): 2 е . тт .. 2 е . тт .. 2 г\ X + UJqX = Н ytl , у + Шоу = Xli , Z = UJqZ = U. me me Вводя величину rj = x + iy, легко показать, что есть общий интеграл двух первых уравнений (здесь учтено, что с^о >• ujl, и поэтому положено л /cJq + uj\ = ujq). Наличие множителя eluJLt, где оиь = = еН/Bтс), показывает, что в магнитном поле на колебания накладывается вращение с частотой ujl. 702. Приращение кинетической энергии равно Л АК = где cjl = еН/Bтс) — ларморова частота, ujl <C с^о- Изменение К происходит за счет работы вихревого электрического поля, возникающего при включении магнитного поля. 703. Решение. Уравнение движения частицы имеет вид mdv/dt = eE, где Е — напряженность электрического поля. Действие лоренцевой силы не нужно учитывать, так как она нормальна к траектории и компенсируется силами, обеспечивающими движение частицы по окружности с заданным ра- тгг2 dH диусом г. По закону индукции 2тггЕ = . Комбинируя эти уравнения, с dt er после интегрирования получаем тп(у — vq) = (Н — Но). Если началь- начальное значение напряженности поля Щ = 0, то изменение угловой скорости (v — vo)/r = ujl = —eH/{2mc).
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 251 704. Поляризация волны будет круговой — правой или левой. При пра- правой поляризации (показатель преломления п+) электрический вектор волны вращается по часовой, а при левой (показатель преломления п_) — против часовой стрелки, если смотреть против направления распространения волны. Для п± получаем 2 п± = 1 где N — концентрация электронов, a ujh = \еН/тс\ — циклотронная частота. 705. 7° 14,7'. 706. R = 780 угл.мин/(Э • см). 707. R =-— = —- (п- — п+) —, где а — угол поворота плоскости поляри- Ш Ао Н зации, Ло — длина волны света в вакууме и Н — напряженность магнитного поля. Решение. Пусть внешнее магнитное поле Н перпендикулярно к плос- плоскости чертежа и направлено к читателю. В том же направлении распростра- распространяется линейно поляризованная волна. Разложим эту волну на две компо- компоненты, поляризованные по правому и по левому кругу. В начальный мо- момент электрические векторы этих компонент параллельны и направлены вдоль О А (рис. 152). После прохождения слоя вещества толщины I электриче- электрический вектор Е_ первой компоненты повернется по часовой стрелке на угол ср- = 2тг//Л_ = Bтг//Ло)п_. Электрический век- вектор Е+ второй компоненты повернется против ча- часовой стрелки на угол (/?+ = Bтг//Ло)п+. Резуль- Результирующий вектор Е обеих компонент делит угол между Е+ и Е_ пополам и определяет новое направление плоскости колебаний. Эта плоскость оказывается повернутой относительно исходного положения на угол а. Вращение плоскости колеба- колебаний (и перпендикулярной к ней плоскости поляри- поляризации) считается положительным, когда оно про- происходит по часовой стрелке, если смотреть против направления распространения света. Таким обра- образом, угол поворота плоскости колебаний равен 7:1 - Рис. 152 Сопоставляя это выражение с соотношением а = RIH, получаем результат, приведенный в ответе. 708. R = Ло , где е — заряд электрона (величина отрицательная!), 2тс2 д\о а Ло — длина волны в вакууме. Эта формула относится к веществам, молекулы которых не имеют постоянного магнитного момента. Решение. Пусть среда при отсутствии матнитного поля имеет лишь одну линию поглощения, которой соответствует собственная угловая частота с^о- Показатель преломления среды определяется дисперсионной формулой и явля- является функцией аргумента и2 — ul, т.е. п = п(и2 — ljq). Разложим гармониче- гармоническое колебание электрона в атоме на три колебания: одно вдоль магнитного поля и два круговых, происходящих в плоскости, перпендикулярной к полю, в противоположных направлениях. Если наложить магнитное поле, то частота
252 Ответы и решения кругового колебания, совершающегося против часовой стрелки (если смотреть против направления магнитного поля), будет равна ujq + ^ь- Собственная частота, таким образом, изменилась. Поэтому показатель преломления соот- соответствующей поляризованной по кругу волны будет равен п+ = п{ои2 — (с^о + mlJ} = п(и? — col — 2ujqujl — u2L). Так как частота ujl прецессии орбиты мала по сравнению с ojq и ш, то членом uj\ можно пренебречь и написать /2 2\ о ®п /2 2\ UoUJl дп П+ = n(UJ - UJq) - ZUJoUJL^-^ = n(UJ - UJq) —. Аналогично, 2 2\ j - uj0) H --. lu duj Недалеко от линии поглощения можно считать ujq = и. Это дает _ дп п- — п+ = 2ujl ^—. Используя результат решения предыдущей задачи, отсюда легко получить формулу, приведенную в ответе. 709. В прозрачной области dn/dX отрицательно; следовательно, вращение положительное, т. е. происходит по часовой стрелке, если смотреть против направления распространения света. (Свет распространяется по направлению магнитного поля.) 710. е/ш = -5,28- 1017СГСЭ. 711. а=\-(п- - n+)L = 0,93 • \06Щ^ « 1 рад. (См. задачи 707 и 713.) 712. Л/АЛ = Атттс /(еНХ) = 75000, где еига- заряд и масса электрона соответственно. 713. Компонента с большей частотой имеет левую круговую поляризацию, а компонента с меньшей частотой — правую. 715. Для того чтобы излучение было почти полностью деполяризовано, нужно, чтобы вращение направления колебаний за «время жизни» было равно примерно тг/2, отсюда — Т=- и Я^2Э. 2тс 2 716. Нет. Постоянное электрическое поле только смещает положение рав- равновесия, но частота гармонических колебаний остается неизменной. 717. На угол 45° + 180°ш (т — целое число). 718. Направление, в котором пропускается свет, изменится на противопо- противоположное. 719. Нет. 720. Свет, излученный телом В (рис. 67) и возвращающийся к нему обратно после отражения от николя N\, испытает при прохождении через вращающее вещество дополнительный поворот плоскости поляризации на 45° и поэтому не пройдет через николь N2. Испытав в николе N2 полное внутрен- внутреннее отражение, этот свет вернется (если поставить еще одно зеркало напро- напротив 5г) к телу А. Приведенное решение парадокса Вина было дано Рэлеем. 721. S = 2тгСШ2 « 1,88 • 10~2 рад « 65;.
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 253 722. по - пе = ВХ0Е2 « 0,13 • 10. 723. 6 = 2тгВ1Е2 ^3,53°. 724. Е^ 16000 В/см. 725. / = /о/2, где /о — интенсивность света, падающего на ячейку. 726. Оптический знак двоякопреломляющей среды, каковой является жид- жидкость или газ, помещенные в электрическое поле, определяется скоростями распространения обыкновенной и необыкновенной волн. Последние зависят от показателей преломления, которые в свою очередь определяются зависимостью оптической поляризуемости среды от направления. Ориентация молекул в поле определяется их результирующим дипольным моментом, равным геометриче- геометрической сумме постоянного и индуцированного моментов молекулы. Для полярных молекул индуцированные моменты малы по сравнению с постоянными — в этом случае ориентация молекул определяется почти исключительно постоянным моментом (см. задачу 672). Легко видеть, что совпадение направлений посто- постоянного дипольного момента и большой оси эллипсоида поляризуемости при- приводит к образованию оптически положительного кристалла. Если постоянный дипольный момент направлен по наименьшей из этих осей, то получается оптически отрицательный кристалл. Наименее благоприятным для появления эффекта Керра является тот случай, когда постоянный дипольный момент молекулы направлен приблизительно вдоль средней оси ее эллипсоида поля- поляризуемости. В этом случае может получиться как оптически положительный, так и оптически отрицательный кристалл, в зависимости от соотношений между осями эллипсоида поляризуемости анизотропной молекулы. Чаще всего вещество в этом случае остается почти оптически изотропным. ~л~ пп — 1 9 / тгт; 1 \ ггтт 727. nz — пу = (cos2 9 — -), где cos2 9 — среднее по всем МОЛе- 710 2 V 3 / кулам значение квадрата косинуса угла 9 между направлением поля и направ- направлением, в котором молекула поляризуется (направлением поляризации). Решение. Компонента вектора поляризации в направлении вызываю- вызывающего поляризацию поля Е равна Р = NaEcos2 9, где N — число молекул в единице объема, а — поляризуемость полностью анизотропной молекулы (т. е. дипольный момент, вызываемый полем, равным единице и направленным по «направлению поляризации» молекулы). Если оси молекул распределены хаотически, то 1 cos2 9 = - и ?0 = 1 + AirNa cos2 9 = 1 о Так как щ = уЩ « 1, то по — 1 = 2тг7Уа/3. Если распределение молекул зависит от угла 9 между «направлением поляризации» и осью Z, то для световой волны с электрическим вектором Е, направленным по оси Z, имеем ?z = 1 Для случая, когда Е направлено по оси Y, ?у = 1 + AirNa sin 9 cos2 (p = 1 + 2irNa sin 9. Отсюда sz — sy = n2z — n2y = - • AirNa (cos2 9 — - ), и так как nz — пу <С по, получаем ответ, приведенный выше.
254 Ответы и решения 728.5=^1 т. 5гг0Л0 \кТ) Решение. Вероятность того, что ось некоторой молекулы образует с на- направлением поля угол, заключенный между в и в + dO, равна где С — постоянная и U — потенциальная энергия молекулы. В разбираемом случае U = рЕо cos 0, где р — индуцированный дипольный момент (р = 2а = aEocosO). Первый член в выражении для U — энергия, затрачиваемая на создание диполя, второй член — энергия диполя во внешнем поле. Имеем J cos2 в W{0) dO J cos2 в [I + аЕ2 cos2 0/{2kT)] sin в dO ]w(9)de J [1 +aE% cos2 0/BfcT)] sin 6>d6> о о так как предполагается, что U/kT мало. Интегрируя и подставляя cos2 в в формулу, полученную в предыдущей задаче, находим nz — ny, а затем и 5. 729. В = =^± (^У 5noAo 730.,= ^ _ 3 Решение. с — Средний по времени поток падающей энергии /о = —i?2. Отсюда 4тг / 8тг / е2 \2 „ЛГA 1л—24 2 а = — = — = 0,6652 • 10 см . /о 3 V тс2 / 731. СГпрот/сГэл = (Шал/ШпротJ = 29,5 • 10~8. 8^ / е2 = — \2 и;4 . . / J (ии2 - и;2,J \ 3 \mc2 J (ии2 - и;2,J \тс2 J (ии^ - ии2J 734. me2 / (и;2 — cJq) + u;272 ' 8тг / е2 Л2 G = 3 Uc2; (u;2-cc;2J+cc;272' _ 2тг / e2 \2 uo2 (Гшъшо - у (^^2 J (cjo - u;J + 74/4 ' _n- ^^-^ 8ttNpl ( e2 \2 cj4 _ i/4 с ,т д 735. E = ——^ —- —2 ы « 2 • Ю-5, где TV - число Авогадро. 736. A = 0,0246; Б = 0,106. 738. d? = У?Г2^24~1J sin26>^0 (формула Рэлея).
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 255 т л 2 / 2 -1 \ 9 оч 7Л./ЛЧ т V7T2(n- IJ /I + COS2#\ ._ л 2) аФ@) = /о Ьт^—— ( ) ail, где в — угол между направлени- направлениями падающего и рассеянного света. WVa2B^L 9 740. 1г = /о 5Л4 = g /о УЛ^2BтгL _ _9_ /0Утг2(гг2- IJ ж~ ° 15Л4 ~ 15 A = IX/IZ = 1/3. Примечание. Для полностью анизотропных молекул, оси которых рас- распределены хаотически, п2 — 1 = AirNa/З. (См. задачу 727.) 6 lV(n2 - IJ 9 У,гУ - IJ /* 1 741' 7г = 5 7° Л^ ' h = 15/оА = = 15/оШ*' А = Tz = 2' 742. S = -^ (гг2 - IJ « 0,165 • 10"' см2. 743. 11 = 0,0356 см2. Примечание. Использование формулы Рэлея в случае рассеяния в жид- жидкости не приводит к точным результатам. 744. 1) S = Soe~ah = 1,84 кал, где а = 7,94 • Ю^см. 2) S = Soe-ah = 1,34 кал, где а = 4 • Ю^см. Таким образом, до Земли доходило бы в первом случае примерно 92%, а во втором случае 67% падающей на поверхность атмосферы энергии (сопоставить с задачей 737). 745. 1) При прохождении через раствор световой вектор поворачивается, причем с различным шагом для различных Л. Рассеяние в направлении Е отсутствует, поэтому видны цветные винтовые линии. 2) Шаг винта обратно пропорционален концентрации. Зависимость шага от длины волны дается вы- выражением, приведенным в решении задачи 708. 746. Рассеянный свет поляризован эллиптически; большая ось эллипса колебаний перпендикулярна к направлениям распространения падающего и рассеянного света; р = cos#. 747. Электрический вектор линейно поляризованной компоненты рассеян- рассеянного света будет перпендикулярен к направлениям распространения падающего и рассеянного света; /ПОляР//неполяр = V2 tg2 6>. 748. Ртутная линия Л = 2536 А является резонансной. Увеличивая плот- плотность паров ртути, можно добиться, чтобы в рассеянном свете она была погашена (закон Кирхгофа). Если бы длины волн спутников этой линии были такие же, то следовало бы ожидать, что они погасятся также. Если же эти длины волн иные, то спутники гаситься не будут. Мандельштаму и Ландсбергу действительно удалось погасить резонансную линию, в то время как ее спут- спутники сохранялись. 749. i/« 1 • Ю13^1. 750. 4255,1 и 4466,7 А. 751. 217, 315, 457 и 774 см. 752. Л/АЛ «715. 753. /ф//кр = ехр{—hu/kT}; для различных нормальных колебаний полу- получаем: 0,35; 0,22; 0,11; 0,024. 754. ujo = л/kT/Io « 1013 с; здесь /о — момент инерции молекулы. 755. Аи = /г/(8тг2/с) = 2,2 см.
256 Ответы и решения 756. Это колебание не вызывает изменения дипольного момента молекул. 757. Через полпериода перемещения меняют знак, а тензор поляризуемости принимает первоначальное значение, так как оба направления главной оси тензора поляризуемости физически равноправны. 758. Через пол-оборота тензор поляризуемости принимает первоначальное значение. Это означает, что период колебания тензора поляризуемости в два раза меньше периода вращения молекулы. 759. Решение. Электромагнитное поле Е, Н в среде описывается урав- уравнениями Максвелла: G59.1) =-^, rotE = --^, div(?E) = divH = 0. С С7 С С7 Представим это поле в виде суммы падающей Ео, Но и рассеянной Е;, Н; волн: Е = Е0 + Е;, Н = Н0 + Н;. G59.2) Падающая волна удовлетворяет системе уравнений Максвелла: rot Но = - ^, rot Ео = - - ^, div (?ОЕо) = div Но = 0. G59.3) С С/7/ С С/7/ При слабой неоднородности напряженность рассеянного поля мала по сравне- сравнению с напряженностью поля падающей волны. Подставляя G59.2) в G59.1) и пренебрегая произведениями малых величин Е;, Н;, бе, получим гоШ' - *> «* с dt rotE' - * ** с dt = 0, где div (?0E;) = -47rdiv ?Р, div H; = 0, 5Р = ^ бе. G59.4) G59.5) К Эти уравнения показывают, что среда может рассматриваться как однород- однородная с диэлектрической проницаемостью ео. Влияние фактически имеющихся неоднородностей эквивалентно наличию в среде дополнительных источников волн: каждый элемент объема сре- ды dV дает дополнительное излу- излучение как диполь с дипольным мо- ментом SPdV. Это дополнитель- дополнительное излучение и есть рассеянный свет. Второе утверждение, о кото- котором говорится в условии задачи, является непосредственным след- следствием линейности и однородности системы G59.4) как относительно полей Е;, Н;, так и относитель- относительно бе. 760. Решение. Разобьем среду равноотстоящими плоско- плоскок' I II III Л Рис. 153 стями, перпендикулярными к век- вектору К (рис. 153). Выберем расстояние между плоскостями равным Л = 2тг/К. Тогда согласно G59.5) фазы вторичных источников на этих равноотстоящих
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 257 плоскостях будут одинаковы. Если бы неоднородность была только в слое I, а дальше среда была однородна, то падающая волна претерпела бы отражение от этого слоя и частично прошла бы дальше. При наличии неоднородности только в слое II мы получили бы другую отраженную волну с той же ам- амплитудой, но иной фазой. При наличии неоднородности в слое III получилась бы третья отраженная волна и т. д. В линейном приближении (см. предыду- предыдущую задачу) поле рассеяния всей среды равно простой суперпозиции этих отраженных волн. Чтобы они не гасили, а усиливали друг друга, необходимо выполнение условия Брегга-Вульфа: 2Asin(#/2) = тХ, где в — угол между направлениями падающего и рассеянного излучений, а т — целое число. Покажем, что т = 1. Все плоские волны, отраженные различными слоями, складываясь, дают волну вида Е; = AV^*~k r \ С другой стороны, дополни- дополнительная поляризация среды 5Р = — 5s = — e^-(k+K)r] 4тг 4тг Подставляя эти выражения в предпоследнее уравнение G59.4) и сравнивая показатели, легко получить к; — к = К, откуда 2Asin- = A. G60.1) Таким образом, при дифракции волны на синусоидальных неоднородностях диэлектрической проницаемости в линейном приближении получается дифрак- дифракционный спектр только первого порядка. 761. Решение. В линейном приближении As = (ds/dp)Ap. Всякая неоднородность плотности, возникшая в среде, является источником звуковых волн. Разложим Ар в интеграл или ряд Фурье. Тогда для рассеяния в рас- рассматриваемом направлении будут существенны только те акустические волны, волновой вектор К которых направлен по биссектрисе угла, дополнительного к в (см. рис. 153). Соответствующие им значения 6г представятся в виде суммы волн типа fc, = aiei(n*-Kr) и 5e2 = a2e-l(nt+Kr\ Им соответствуют векторы дополнительной поляризации среды: t[(w+n)t-(k+K)r] 4тг 0?l 4тг 1 ~ ?р2 = c^ 4тг Таким образом, источники рассеянного излучения, а значит и само рассеян- рассеянное излучение, будут иметь частоты w + Dhw-О (модуляция световой волны акустической волной). В спектре рассеянного излучения будет наблюдаться дублет с теми же частотами. Это явление называется тонкой структурой линий рэлеевского рассеяния. Смещение частоты равно О = Kv = Bтг/Л)г>, где v — скорость звука, а Л — длина звуковой волны. На основании G60.1) il = sin - = 2оип- sin -, G61.1) где с — скорость света в вакууме, а п — показатель преломления среды. Тонкая структура линий рэлеевского рассеяния была предсказана незави- независимо друг от друга Л. И. Мандельштамом и Л. Бриллюэном. Экспериментально 9 Под ред. Д. В. Сивухина
258 Ответы и решения явление в жидкостях было обнаружено Е. Гроссом в Ленинграде. Оказалось, что в жидкостях, наряду с двумя смещенными компонентами, наблюдается также и несмещенная компонента. Происхождение несмещенной компоненты было объяснено Ландау и Плачеком. Рассматривая удельный объем жидко- жидкости V как функцию давления и энтропии, можно написать Отсюда видно, что существует два вида флуктуации удельного объема: од- одни вызваны флуктуациями давления при постоянной энтропии, другие — флуктуациями энтропии при постоянном давлении. Флуктуации первого типа распространяются в виде акустических волн и ведут к появлению смещенных компонент. Флуктуации второго типа рассасываются посредством теплопро- теплопроводности, а следовательно, распространяются значительно более медленно, — они и ведут к появлению в рассеянном свете несмещенной компоненты. (См. задачу 762.) 762. Решение. На основании того, что говорилось в решении зада- задачи 761, для искомого отношения можно написать ds\ fdP^ (dV/dPJsAP2 \dsJp\dTjp\dVJs' где мы воспользовались выражениями для АР2 и As2, а также формулой ср = = T(ds/dT)p. Так как дифференциал удельной энтальпии di = Tds + V dP — полный дифференциал, то (dT/dP)s = (dV/ds)p. Поэтому h> = -(?L\ (?L) (W) (el) =-(д1) (Ж) , 1ш-5ш+1ш+5ш \dpJs\dVJs\ds JpKdTJp \dVJs\dTjpJ или, на основании тождества (dT/dV)s(dV/ds)T(ds/dT)v = — 1, 1Ш _(dv\ (ds\ (дТ\ _ {dV/dT)P(ds/dV)T 1Ш-8Ш+1Ш+8Ш ~ \дТ)р\дУ)т\д^)у ~ (ds/dT)v ' Рассматривая энтропию s как функцию Т и V, получим \дТ)р ~ KdTJv+ KdVJr\дт)р' Окончательно: 1Ш _ {дз/дТ)Р - {ds/dT)v _cP-cv (формула Ландау и Плачека). 763. Пять компонент: одна несмещенная компонента и две пары смещен- смещенных компонент, из которых одна пара получается от рассеяния на продольных акустических волнах, а другая — на поперечных. 764. 25 компонент; одна несмещенная и 24 смещенные. Дело в том, что в кристалле в каждом направлении могут распространяться одна продольная акустическая волна и две поперечные. В том же направлении могут распро- распространяться две световые волны, поляризованные во взаимно перпендикулярных плоскостях. Каждая из этих световых волн в свою очередь разбивается на
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 259 две волны при отражении от акустических волн соответствующих направлений распространения. Это и приводит к появлению в рассеянном свете 24 несме- несмещенных компонент. Однако благодаря слабой анизотропии всех исследованных кристаллов эти 24 компоненты обычно группируются в шесть групп по четыре линии в каждой и не разрешаются спектральными приборами. На опыте наблюдаются шесть смещенных компонент. 765. Две пары смещенных компонент. Дело в том, что флуктуации второго типа, о которых говорилось в задаче 761, рассасываются в жидком гелии-П посредством распространения второго звука. Одна пара смещенных компонент получается при рассеянии на волнах обычного, а другая пара — второго звука. Несмещенная компонента не должна получаться. Экспериментально явление не исследовалось. 766' V = о Лл/on ^Г' ^род = 1,8 • 106 СМ/С = 18000М/С, ^попереч = 1,1 X 2rasin@/2) A х 106 см/с = 11000 м/с. Благодаря большой скорости звука в алмазе тонкую структуру линий рэлеевского рассеяния удается исследовать с помощью приз- менных спектрографов. 767. dsinO = - (т + -j, где т = 0, ± 1, ±2, ..., в — угол между нормалью к отрезку d, лежащей в горизонтальной плоскости, и направлением излучения. 768. В вакууме излучение отсутствует, так как в этом случае электро- электромагнитные волны могли бы быть только поперечными. Ввиду сферической симметрии могут изучаться только чисто продольные волны, распространяю- распространяющиеся вдоль радиусов. При колебаниях обкладки конденсатора в среде мо- могут возбуждаться, например, продольные акустические и плазменные волны (в плазменных волнах диэлектрическая проницаемость s(ojo) = 0). 769. Нет. Дипольный момент совокупности частиц с зарядом е и мас- массой т равен р = е^Гг, и его производная по времени постоянна, так как в рассматриваемом случае импульс системы ттг^Гг сохраняется. Дипольное же излучение определяется производной р. 770. Если металл можно считать идеально проводящим (практически это предположение часто справедливо), то электрическое поле в вакууме представ- представляет собой поле заряда е и его электрического изображения — заряда —е, расположенного в металле на таком же расстоянии от границы, на каком на- находится (в вакууме) заряд е. При пересечении зарядом границы как сам заряд, так и его изображение как бы исчезают. Поэтому излучение окажется таким же, как и при остановке (или слиянии) движущихся навстречу друг другу зарядов е и —е. Для металлов с конечной, но очень высокой проводимостью наблюдаемая картина качественно весьма близка к картине для идеального проводника. 771. Поле заряда е, находящегося вблизи границы раздела двух любых сред, как и в случае границы металла с вакуумом, можно представить как поле самого заряда и его изображения. Однако заряд изображения зависит от ?1 И ?2, ПрИЧеМ ОН СТреМИТСЯ К НуЛЮ ПрИ ?i —)> ?2 И К —в ПрИ ?i —)> 1, ?2 —> ОО (последний случай эквивалентен случаю идеального зеркала). Отсюда и из ответа к задаче 770 ясно, что переходное излучение возникает при пересечении границы раздела любых сред. Переходное излучение поляризовано так же, как излучение диполя, находящегося на границе раздела, ось которого перпендику-
260 Ответы и решения лярна к этой границе (предполагается, что частица движется перпендикулярно к границе раздела). 772. Излучение будет иметь место. По своей природе оно представляет собой переходное излучение, так как последнее должно возникать всегда, когда на траектории заряда изменяется параметр nv (при этом в случае тормозного излучения меняется скорость v, а для обычного переходного излу- излучения показатель преломления п изменяется вдоль траектории заряда за счет пространственной неоднородности среды). 773. Картина ясна, если использовать метод изображений и, вместе с тем, учесть особенности излучения релятивистских частиц при их резком торможе- торможении (остановке). 774. Для нерелятивистского заряда (точнее, при условии v <C с/п) излуче- излучение формируется в зоне с размером / ~ с/пи = А/2тг. В общем же случае зона формирования ^ vn\/Bc) _ 2тгс 1 — (v/c) n(uu) cos# ' пио Если d^> I, то переходное излучение на обеих границах раздела можно считать независимым (при пренебрежении интерференцией излучения от обеих границ, которая в данном случае приводит к членам, быстро осциллирующим при изменении d, угла наблюдения и т. п., так что интерференционные члены обыч- обычно оказываются несущественными). Если d <C /, то излучение от пластинки радикально отличается от излучения от одной границы (достаточно сказать, что при d —»> 0 излучение вообще исчезает). 775. Излучение возникает (соответствующий процесс был назван переход- переходным рассеянием), так как под влиянием возмущения в поле заряда появляется также колеблющаяся с частотой и электрическая поляризация. 776. Диэлектрическая проницаемость плазмы Осциллятор перестает излучать, если и < ир, так как в этом случае г < < 0, и электромагнитные волны в плазме распространяться не могут (ир = = AirNe /т — плазменная частота). 7„ _ л 2тгЛГе 777. В разреженной плазме показатель преломления п = 1 —, груп- групповая скорость и = сп и, таким образом, время запаздывания t(lu) = L - - - « ^^ = l,3410"J - 778. При наличии центра симметрии эффекты пространственной дисперсии имеют порядок (а/ЛJ ~ 10~7 — 10~8. Учет пространственной дисперсии приво- приводит к выводу о возможности оптической анизотропии кубических кристаллов. Например, если волновой вектор к направлен по оси куба z, то тензор ец имеет вид ?zz = г -\- а\к , гхх = гуу = ?, ?жу = ?Ж2 = syz = 0. При к = 0 тензор г^ для кубических кристаллов с центром симметрии вырож- вырождается в скаляр sSij.
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 261 779. п2 * 780. Решение. Если электрон движется равномерно и слагающая vn его скорости в направлении нормали к волне совпадает с фазовой скоростью и/к самой волны, то его движение происходит «в фазе с волной», подобно движению электронов, вступивших в режим ускорения в линейном ускорителе. В этом случае электрон подвергается действию силы (со стороны электриче- электрического поля волны), направленной все время либо вперед (в сторону распро- распространения волны), либо назад. В результате должно наблюдаться сильное вза- взаимодействие электрона с волной, сопровождающееся либо поглощением, либо излучением плазменных волн. Так как vn = (l//c)(vk), то условие сильного взаимодействия электрона с волной может быть записано в виде (vk)=a;. G80.1) Это — условие черенковского поглощения или излучения плазменных волн. Частота и плазменных волн слабо зависит от волнового числа к (см. преды- предыдущую задачу), и поэтому в условии G80.1) и можно заменить плазменной частотой ио = J47rNe2/m . Пусть vt ~ л/мТ/т — средняя тепловая скорость электронов в плазме. Если кут <С ио, то найдется очень мало быстрых электронов, удовлетворяющих условию G80.1), и поглощение будет слабым. Оно будет сильным при условии 781. Решение. Изменение частоты при рассеянии на свободных элек- электронах определяется эффектом Доплера. Так как тепловая скорость v электро- электронов мала по сравнению со скоростью света, то частота рассеянной волны и связана с частотой падающей волны соотношением и — kv = ио — kov, или и — ио = v(k — ко) = vq, где к и ко — волновые векторы рассеянной и падающей волн, |к| = |ко| = и/с, |к — ко| = 2(u/c)sinF/2) (в — угол рассеяния). Разделим электроны на группы с одинаковыми компонентами скорости vq в направлении вектора q. Каждая из этих групп будет вызывать определенный доплеровский сдвиг частот. Если f(vq) — нормированная функция распределе- распределения, то число электронов в группе dN равно dN = Nf(vq)dvq. Сечение рассеяния для этой группы электронов равно аш du = creNf{vq) dvq = aeNf^ J —, где ae — сечение рассеяния одного электрона и N — число всех электронов. Для максвелловского распределения по скоростям creN ( m Л1/2
262 Ответы и решения 782. Решение. 1) Наблюдатель видит отдельные вспышки излучения, следующие друг за другом через равные промежутки времени Т* = 2тг/о;^, * еН тс2 где ujh = —. 2) Длительность вспышки At « At'(l - v/c) ~ At'{тс2 / Щ2, где At' ~ 1 Л 1 ?тгс тс ~ —— б1 ~ — — = —— — промежуток времени, в течение которого электрон uj ц ujjj б ел движется в направлении наблюдателя (в пределах конуса с углом раствора в). Множитель A — v/c) в выражении для At обусловлен эффектом Доплера (им- (импульс сжимается на величину vAt', а поэтому его длительность уменьшается на vAt'/с). Спектр состоит из обертонов частоты обращения электрона и^, но при &/тс2 >> 1 практически непрерывен. В частотном спектре импульса длительностью At больше всего представлена циклическая частота ~ — ~ е- { & Чтобы в этом убедиться, нужно рассмотреть разложение в ряд Фурье импуль- импульса, имеющего форму «всплеска» с длительностью At, причем поле во всплеске меняет знак (что ясно уже из того, что среднее по времени поле в импульсе равно нулю). 783. Наблюдатель «видит» вспышки излучения, следующие одна за другой через промежутки времени т = -^ М - - cos2 а) « —^ sin2 a. Длительность вспышки А^ед1а(тJ' спектр состоит из обертонов частоты 2тг/т « ic^/sin2 а и имеет максимум на частоте At me \ me2 у Таким образом, если не говорить об изменении времени между вспышка- вспышками, характеристики спектра отличаются от случая движения по окружности заменой поля Н на Н± = Я sin а. 784. Смысл условия а > в состоит в том, что каждый импульс можно рассматривать практически независимо от других. Если а <С в, то излучение «собирается» со всей траектории и эквивалентно излучению двух гармониче- гармонических осцилляторов, колеблющихся перпендикулярно к скорости их центров масс и перпендикулярно друг к другу (а также со сдвигом фаз на тг/2). 785. Излучение поляризовано с преобладанием в волне электрического поля Е, направленного перпендикулярно к внешнему магнитному полю (вектор Е направлен вдоль ускорения излучающего заряда). 786. Интенсивность излучения определяется квадратом модуля фурье- компоненты тока / = j(r) exp(ikr) dr\ , к = 2тг/Л. Интенсивность / ~ N при / > Л и / ~ N2 при 1< А. В указанных случаях
§11. Молекулярная оптика и смежные вопросы 263 787. Первоначальная группировка или фазировка не нужна, необходимо лишь существование инверсной заселенности уровней. Усиление спонтанного излучения отдельных частиц происходит при этом за счет индуцированного испускания. В установившемся режиме усиления движение электронов в ма- мазере эквивалентно некоторой сложной совокупности микротоков, существенно меняющихся по фазе на расстояниях порядка длины волны и в этом отношении пропасти между антенным и мазерным механизмами нет. 788. Минимальная скорость уМИН = с/п, а минимальная энергия ЕМИН = = Мс2/л/\ — (умин/сJ ; подставляя п = 1 + Р • 2,81 • 1СГ4, получим ЕМИН = = 100Мс2/д/5,62Р; здесь М — масса покоя частицы. 789. Решение. Для возникновения излучения необходимо, чтобы п2 > > 0, так как в противном случае однородные волны в среде распространяться не могут. 1) Условие возникновения черенковского излучения записывается в виде c/nv = cosO, или п2 cos2 в = 1//32, где C = v/c. На рис. 154 приведена кривая, изображающая зависимость величины 2 2 п cos | cos2 в — s_l sin2 от угла в. При |?ц| cos2 в — s± sin2 в > О, т.е. при tg2 в < \s\\\/s±, ее ордина- ординаты положительны; при tg2 в > \s\\\/s± — отрицательны. Следовательно, для 712COS20 Рис. 154 возникновения излучения необходимо (но не достаточно) выполнение условия tg26>< |ец|/е±. Проведем на том же рисунке горизонтальную прямую с ординатой 1//32. Если эта прямая пересекает кривую, то черенковское излучение возможно; если она не пересекает ее, то излучение невозможно. Абсциссы точек пересече- пересечения определят угол 0, под которым при заданной скорости v будет наблюдаться черенковское излучение. Так как минимальная ордината равна г±, то условие черенковского излучения запишется в виде \/J32 > г±.
264 Ответы и решения 2а) Если возможно нормальное доплеровское излучение с заданной часто- частотой и, то его направление определится формулой П 2 2л 1 Л <Л2 о; = или п cos 0 = — 1 1 - /Зга cos 0 /З2 V о; Проведем на рис. 154 горизонтальную прямую с ординатой — A ) . Если /3 V из / она пересечет кривую п2 cos2 О, то излучение возможно; в противном случае оно невозможно. Абсциссы точек пересечения определят направление излуче- излучения. Нормальное доплеровское излучение возможно при условии 26) Условие аномального доплеровского излучения: 3) Аномальное доплеровское излучение равномерно движущегося осцилля- осциллятора будет иметь место, а черенковское излучение заряда, движущегося с той же скоростью, будет отсутствовать при условии 791. Помимо частот щ и щ должны наблюдаться частоты щ + г/2 и щ — v^. Суммарную частоту щ + г/2 удалось наблюдать на опыте. 792. Внутри однородного, резко ограниченного светового пучка показатель преломления больше чем снаружи на п^Е2. Вследствие этого все лучи, обра- образующие с граничной поверхностью пучка угол, меньший критического угла, определяемого условием cos#Kp = w, или с учетом неравенства П2Е2 <С щ + П2Е2 <С по, — условием вкр = E^2ri2/no, будут претерпевать полное отражение. Световой луч не будет расходиться, если угол дифракционной расходимо- расходимости #ДИф = 1,22А/Д где D — диаметр луча, меньше вкр, т.е. при условии n0D ) щ Отсюда _ пР щЕ2с _ A,22АJс пор ~ "Т" ~^Г ~ 32п2 ' § 12. Тепловое излучение 793. Решение. Поместим слой внутрь полости, стенки которой под- поддерживаются при температуре Т. Тогда в состоянии теплового равновесия в полости установится равновесное (черное) излучение. Рассмотрим пучок этого излучения интенсивности /о, падающий на слой под углом ср (рис. 155). После прохождения через слой интенсивность этого пучка уменьшится до /оехр{—aZ/cos^}, где ф — угол преломления. Полная интенсивность пуч-
§ 12. Тепловое излучение 265 ка, выходящего из слоя под углом ср, будет, с одной стороны, равна / + + /оехр {—al/ cos ф}, где / — интенсивность теплового излучения слоя под углом ср. С другой стороны, интенсивность того же излучения должна рав- равняться /о, т. е. интенсивности излучения черного тела температуры Т. Это дает / = /оA — ехр{—al/ соБф}). 1 _ о — 8 5 = 794. / = /0A - р) ре ф где Рис. 155 Ь, а р — коэффициент отражения на границе слоя. Обе эти величины являются функциями длины волны. 795. / = /0A -р). 796. Интенсивность теплового излучения пластинки, выходящего слева направо, равна интенсивности соответствующей линейно поля- поляризованной компоненты излучения абсолютно черного тела температуры Т; интенсивность из- излучения, выходящего в обратном направлении, равна нулю. 799. S = %aT3V, Cv = 4аТ3У, где а — постоянная в законе Стефана- Больцмана. 800. и = аТ4, где а — постоянная в законе Стефана-Больцмана. 801. VT3 = const. 802. а ~ 5 • 10~5 эрг/(с • см2 • К4). По современным данным а = E,6687 ± ± 0,0010) • Ю-5 эрг/(с • см2 • К4). 803. t« 1,64 ч. 804. Т^400К. 805. и=^-1,М=^и,М = тг1. 806. dN(i/) = — du, где с — скорость распространения волн вдоль струны. 807. dN(y) = —g— di/, где с — скорость распространения волн по мем- мембране. 808. dN(v) = —-— di/, где с — скорость распространения волн в парал- параллелепипеде. 809. Если hi/ > кТ, то ии с3 ехр — -— > (формула Вина). Если ГЬ-L ) hi/ <C кТ, то ии с3 - кТ (формула Рэлея-Джинса). 810. Решение. Плотность энергии черного излучения: и = г/3 di/ 8пк4Т4 C3/l3 Входящий сюда интеграл равен хъе х 1 — е~х
266 Ответы и решения так как сумма ряда равна тг /90. Таким образом, и = Т . Пользуясь с соотношениями, приведенными в ответе к задаче 805, находим S = - и = аТ , где а = = 5,6687 • 10~5 эрг/(с • см2 • К4). Для определения постоянной а в законе Вина ХмаксТ = а запишем формулу Планка в виде ц„ dv = [/л d\ = *ffi exp{hc/^kT)} _ ! • Задача сводится к отысканию значения Амакс, при котором функция A5[exp{/ic/(A/cT)} — 1] обращается в минимум. Вводя новую неизвестную C = hc/(kTАмакс) и поступая стандартным способом, приходим к трансцен- трансцендентному уравнению е~* + C/5 —1=0, корень которого C = 4,96511423. Поэтому АмаксГ = a = he/\kC) = 0,289782 см • К. 811. Решение. Плотность черного излучения можно представить в виде и(Х, Т) = — /(AT), где функция / зависит только от произведения AT. В максимуме согласно закону смещения Вина AT = const, а потому и(Х, Т) ~ ~ Т5. То же справедливо для излучательной способности, так как Е(Х, Т) = = -ч(\Т). 812. Г «6000 К. 813. АМакс 814. Т = 815. Нет, так как испускательная способность всякого тела меньше испус- кательной способности черного тела. 816. 5370 Вт. 817. W « 1900 Вт, Тт = 2700 К. 818. Тг = — 2 ГТП5П' где "^г ~~ яРкостная температура для длины волны А; Т — истинная температура; С\ и С2 — постоянные, ЕС(Т) — испускательная способность серого тела. 819. АмаксТ = С2/5 = 0,28776 см • К. (Ср. с ответом к задаче 810.) 82°- т < ттт^ = 3?1\' Ш ~ 4150К (Для л = 7500 А), л Зс 8тг/ш3 Г hv Л РУГ) < > 821. Р= - = — Т4 = 4,6- 1017 дин/см2 = 4,6- 101 3 ос 822. ии = —-— ехр < — —— > (формула Вина). С L K-L ) 823. Решение. Вероятности поглощения и индуцированного испускания равны между собой. Поэтому >zr пропорционально N\ — N2, где N\ и N2 — числа молекул на нижнем и верхнем уровнях. По формуле Больцмана откуда М -N2 = iV, (l -exp{ - ^}) и х(Т) = xo(l - ехр { - 1) Если hv/kT <С 1, то к(Т) = щки/кТ, и следовательно, ж(Т) <С >zr0. Этот случай осуществляется в области радиодиапазона. Например, даже при А = 1 мм, Т = 300 К имеем hv/kT « 1/20.
§ 12. Тепловое излучение 267 2) Если hv/kT >> 1, то к(Т) = ж$. Это имеет место в оптической области спектра. Так, при Л = 5000 А, Т = 1500 К имеем hv/kT « 20. 824. Тэф = ГA - e~al). (См. задачу 794.) 825. По формуле Рэлея-Джинса ,67-10-17-Т /г\2 2 лдг ч У Вт/(м • МГц) ^2 Вт/(м -МГц), где R= 1,5- 108км — радиус земной орбиты, г — «эффективный радиус» короны, который при оценке мы положили равным радиусу фотосферы Гф = = 6,95 • 105 км, Л — в метрах. 826. / = /ое"^, где ж = A(N\ — N2), А — постоянная. Усиление волны возможно, если концентрация частиц на более высоком энергетическом уровне N2 больше концентрации на более низком энергетическом уровне N\. На таком принципе усиления работают современные лазеры и мазеры. 827. Тэф|^17 828. Решение. Так как энтропия монохроматического излучения равна нулю, то при преобразовании монохроматического света одной частоты в моно- монохроматический свет другой частоты (это как раз имеет место в данном случае, так как спектры излучения и поглощения линейчаты) изменение энтропии всей системы «вещество + излучение» сводится к изменению энтропии только «вещества» (люминофора). Это изменение при установившемся режиме равно По принципу возрастания энтропии dS ^ 0, а потому р = 1е/1а ^ 1. 829. По определению Р Г hvwiv, и') du Г vw(v) du const л/ = J- \—^- = J- У-/ = —— = const ' Л ' пи' v' v' т. е. в данной области энергетический выход люминесценции является линей- линейной функцией длины волны возбуждающего света.
Учебное издание ГИНЗБУРГ Виталий Лазаревич ЛЕВИН Лев Михайлович СИВУХИН Дмитрий Васильевич ЧЕТВЕРИКОВА Елизавета Сергеевна ЯКОВЛЕВ Иван Алексеевич СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОБЩЕМУ КУРСУ ФИЗИКИ Книга IV ОПТИКА Редактор Д.А. Миртова Оригинал-макет: О.Б. Широкова Подписано в печать 30.01.06. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 17,0. Уч.-изд. л. 20,4. Тираж 3000 экз. Заказ № Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90 E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru; http://www.fml.ru Отпечатано с готовых диапозитивов ; ОАО «Ивановская областная типография» 153008, г. Иваново, ул. Типографская, 6 E-mail: 091-018@adminet.ivanovo.ru ISBN 5-9221-0605-8 9 78592206054