Академия наук СССР

ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД УНЦ

А. А. ПОЗДЕЕВ
П. В. ТРУСОВ
Ю. И. НЯШИН

БОЛЬШИЕ
УПРУГО-
ПЛАСТИЧЕСКИЕ
ДЕФОРМАЦИИ

ТЕОРИЯ
АЛГОРИТМЫ
ПРИЛОЖЕНИЯ

Ответственный редактор
доктор технических наук
В. В. МОШЕВ

МОСКВА «НАУКА» 1986
А. А. По здеев, П. В. T p у с о в, Ю. И. Н я ш и и. Боль-
шие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, при-
ложения.— М.: Наука, 1986.

В монографии рассматривается теория больших пластиче-
ских деформаций, кинематика деформируемой среды, теория
напряженного и деформированного состояний, с единых по-
зиций вводится определение коротационных производных. Особое
внимание уделяется мерам скоростей изменения напряженного и
деформированного состояний, поясняется физический смысл ис-
пользуемых тензоров скоростей напряжений и деформаций. Приво-
дятся определяющие соотношения и постановки скоростного типа.

Для специалистов в области решения прикладных задач теории
пластичности.

Рецензенты:

Н.Ф. ЛЕБЕДЕВ, Ю. В.СОКОЛКИН

Александр Александрович Поздеев, Петр Валентинович Трусов,
Юрий Иванович Няшин

БОЛЬШИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ:

ТЕОРИЯ, АЛГОРИТМЫ, ПРИЛОЖЕНИЯ

Утверждено к печати

Институтом механики сплошных сред

УНЦ АН СССР

Редактор Е. Я. Коршунова. Редактор издательства Н. А. Ермолаева
Художник Б. М. Рябышев. Художественный редактор Н. А. Фильчагина
Технический редактор И. В. Бочарова. Корректоры Н. Г. Васильева,
И. А. Талалай

ИВ № 31562

Сдано в набор 25.02.86. Подписано к печати 29.07.86. Т-15592.

Формат 60xOO’/te- Бумага книжно-журнальная. Гарнитура обыкновенная
вовая. Печать высокая. Усл. печ. л. 14,5. Усл. кр. отт. 14,88.

Уч.-изд. л. 15,7. Тираж 2100 экз. Тип. зак. 2397. Цена 1 р. 80 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
117864 ГСП-7, Москва В-485 Профсоюзная ул., 90

2-я типография издательства «Наука». 121099, Москва, Г-99, Шубинский
пер., 6

П

1703040000-412

133—86—III

© Издательство «Наука», 1986 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящее время все более повышаются требования к качест-
ву готовой продукции, расширяется многообразие материалов
и процессов их обработки, возрастают требования к гибкости
производства в различных отраслях промышленности. Все это
вместе взятое ставит перед механикой деформируемого твердо-
го тела задачу создания математических моделей конструкций
и технологических процессов, учитывающих все более «тонкие»
эффекты. К последним, в частности, относится геометрическая
нелинейность возникающих в прикладных исследованиях крае-
вых задач механики деформируемого твердого тела, особенно
теории упругости и теории пластичности. С другой стороны, за
последние два десятилетия неизмеримо возросли возможности
доведения решения сложнейших нелинейных задач механики
до численных результатов, что связано в первую очередь с бур-
ным развитием вычислительной техники и математики. Эти два
обстоятельства и вызвали, по мнению авторов, резкое повыше-
ние интереса к геометрически нелинейным проблемам упругости
и пластичности, о чем свидетельствует интенсивный рост числа
публикаций. К настоящему времени нелинейная теория упру-
гости полностью оформилась в самостоятельную дисциплину
и уже достаточно полно изложена в нескольких монографиях
(ссылки на некоторые из них приведены в тексте настоящей ра-
боты). В теории пластичности ситуация несколько иная: если
вопросам нелинейности определйющих соотношений теории пла-
стичности посвящено большое количество монографий и учеб-
ников, то подобное достаточно полное изложение вопросов гео-
метрической нелинейности в теории пластичности в настоящее
время отсутствует. Предлагаемая работа представляет собой по-
пытку в какой-то мере исправить существующее положение.

Настоящая работа условно может быть разделена на две ча-
сти. В первой (главы 1—3). рассматриваются общие теоретиче-
ские основы геометрически нелинейных задач теории пластично-
сти. Вторая часть (главы 4—6) посвящена изложению постано-
вок и алгоритмов решения вышеуказанных задач, а также ана-
лизу результатов решения некоторых конкретных прикладных
задач.

В первой части рассматривается кинематика деформируемой
среды, приведены сведения о принятых в работе обозначениях,
вводятся необходимые для дальнейшего изложения системы
координат, кратко излагается суть эйлерова и лагранжева под-
ходов к изучению движения, содержатся необходимые сведения
из тензорного анализа. Здесь же вводятся имеющие большое зна-
чение в геометрически нелинейных проблемах понятия индиф-
ферентности и инвариантности по отношению к жесткому дви-
жению. Приведен обзор существующих мер деформации, рас-
сматривается геометрический смысл компонент тензоров и мер
деформации, устанавливается индифферентность и инвариант-
ность по отношению к жесткому движению анализируемых мер
деформации. Рассмотрены аналогичные вопросы, относящиеся
к тензорам приращений и скоростей деформаций. С единых по-
зиций, позволяющих достаточно ясно показать геометрический
смысл, вводятся коротационные производные тензоров дефор-
маций. Особое внимание уделено используемым в дальнейшем
коротационным производным логарифмических мер деформации
(тензорам Генки).

В объеме, необходимом для целей настоящей работы, рас-
сматриваются различные тензоры напряжений, получившие рас-
пространение в механике деформируемого твердого тела, опре-
деляются их индифферентность и инвариантность, приводятся
основные понятия и соотношения динамики сплошной среды.
Здесь же содержится обзор применяемых в геометрически нели-
нейных задачах мер измерения напряженного состояния, ана-
лизируются коротационные производные тензоров напряжений,
устанавливаются соотношения между некоторыми производными,
Центральной проблемой формулирования любой частной
теории механики деформируемого твердого тела (и теория плас-
тичности не составляет исключения в этом аспекте) является
установление определяющих соотношений. Здесь в механике
сплошных сред сложилась на первый взгляд парадоксальная
ситуация: в настоящее время общая теория определяющих со-
отношений является математически более строгой и завершенной,
чем большинство частных теорий. Существующее положение,
по мнению авторов, обусловлено следующими обстоятельства-
ми. Во-первых, несмотря на универсальность определяющих
соотношений, общая теория оперирует с вполне конкретным
видом функциональных связей, приведение к которому физиче-
ских уравнений частных теорий представляет отнюдь не простую
задачу. Во-вторых, некоторые частные теории, для которых до
настоящего времени не удалось показать непротиворечивость
принятых гипотез постулатам и теоремам общей теории, явля-
ются достаточно хорошей аппроксимацией для описания пове-
дения материала в рассматриваемом диапазоне изменения па-
раметров, характеризующих процесс деформирования данной
среды. Наконец, поведение реальных деформируемых сред обла-
дает более богатым содержанием, чем предписываемое общей
теорией определяющих соотношений механики сплошных сред.
И в этом смысле частные теории, опирающиеся на эксперимент
и сформулированные для вполне определенных классов мате-
риалов и диапазонов изменения параметров, описывающих
поведение деформируемой среды, оказываются более приемле-
мыми для утилитарных целей. Тем не менее даже в этом случае
ряд аксиом общей теории должен быть выполнен.

Сказанное выше определило построение части работы (глава 3),
посвященной определяющим соотношениям геометрически нелиней-
ной теории пластичности. Здесь содержатся основные положе-
НИЯ и аксиомы общей теории определяющих соотношений, причем
изложение опирается на работы А. А. Ильюшина, А. И. Лурье,
К. Трусделла.

Рассматриваются постулаты и гипотезы теории упругопла-
стических процессов А. А. Ильюшина, приведен краткий об-
зор работ по определяющим уравнениям в нелинейной теории
пластичности, рассматриваются предлагаемые авторами соот-
ношения. Последние представляют попытку обобщения теории
упругопластических процессов на случай больших пластиче-
ских деформаций. Здесь авторы не претендуют на полноту и за-
вершенность теории, в частности, рассматриваемый случай отно-
сится к широко распространенным в практике процессам де-
формирования с большими пластическими — малыми упругими
деформациями. Заметим, что термин «упругопластические» со-
хранен в названии в связи с тем, что упругие деформации вклю-
чены в рассмотрение, хотя и считаются малыми. Наряду с опре-
деляющими соотношениями скоростного типа, сформулирован-
ными в терминах актуальной конфигурации, в качестве альтер-
нативного варианта приведен общий вид физических уравнений
с использованием мер напряженного и деформированного состоя-
ния, определенных в отсчетной конфигурации.

Во второй части работы содержится общая постановка рас-
сматриваемой в работе задачи нелинейной термоупругопластично-
сти, а также некоторая конкретизация граничных условий для
реальных технологических задач. Предлагается методика решения
поставленной задачи (см. главу 5). В разд. 5.1 приведено обоб-
щенное решение задачи, для получения которого используется
метод Галеркина и соответствующие разрешающие конечно-
элементные соотношения. Наконец, представлены некоторые ре-
зультаты решения технологических задач теории больших пла-
стических деформаций.

При работе с книгой авторы рекомендуют читателям само-
стоятельно воспроизводить все вычисления. Были сохранены
промежуточные выкладки, насколько позволял объем работы,
там, где этого осуществить не удалось, сделаны необходимые
ссылки на используемые соотношения. Заметим, что, хотя зна-
чительная часть материала разд. 1.1, 1.2, 2.1 содержится в боль-
шинстве учебников и монографий по механике сплошной среды,
для ознакомления с принятыми обозначениями и техническими
приемами, используемыми в дальнейших вычислениях, целесо-
образно не пропускать и указанные разделы.

Работа над рукописью распределилась следующим образом.
Разделы 1.2, 1.3, 2.2, главы 3—5 написаны П. В. Трусовым,
остальные разделы и глава 6 написаны совместно А. А. Поздее-
зым, П. В. Трусовым, Ю. И. Няшиным. Авторы весьма при-
знательны сотрудникам кафедры теоретической механики
Пермского политехнического института М. Г. Давыдову,
О. И. Дударю, В. В.Мулюкову, В. Д. Онискиву, В. Ю. Столбову,
С. А. Чернопазову — именно благодаря их терпеливой и настой-
чивой работе на ЭВМ была написана глава 6.
Глава 1

КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ

Вопросам задания и определения кинематических характерис-
тик (скоростей, ускорений, деформаций и т. д.) движения сплош-
ной среды посвящено большое количество работ. Достаточно
подробно кинематика деформируемой среды изложена в моно-
графиях [66, 102,111, 112, 141, 151, 152]. Вместе с тем ряд новых
результатов не получил до настоящего времени необходимого
освещения в научной литературе. Поэтому в данной главе наряду
с основными понятиями и соотношениями кинематики сплош-
ной среды, необходимыми для дальнейшего изложения, сделана
попытка обобщить и систематизировать результаты [работ по-
следних лет, в том числе результаты, полученные авторами.

1.1. Введение в кинематику деформируемой среды.
Некоторые сведения из тензорного анализа

Цель настоящего раздела — напомнить основные понятия ки-
нематики сплошной среды, некоторые сведения из тензорного
анализа и ввести используемые в дальнейшем обозначения.

Для рассмотрения движения сплошной среды, как известно
[66, 112, 151, 152 и др.1, необходимо определить систему отсче-
та — неподвижное или движущееся тело и связанную с ним сис-
тему координат. В дальнейшем последнюю будем отождествлять
с системой отсчета.

В качестве системы отсчета выберем (условно) неподвижную
произвольную криволинейную систему координат Oz/1?/3?/3. Вве-
дением системы координат устанавливается взаимнооднозначное
непрерывное соответствие между геометрическими точками рас-
сматриваемого трехмерного евклидова пространства R3 и трой-
ками чисел — координатами точек (г/1, у2, у3). В силу взаимной
однозначности в каждой точке пространства могут быть опреде-
лены три координатные линии Д = {(г/1, у2, у3) е= R3 | (уг =
= const) Д (гД — const), i Д j i} и три некомпланарных
вектора = dvldy\ направленных по касательным к соответ-
ствующим координатным линиям уг (здесь г — вектор, прове-
денный из некоторой фиксированной точки пространства, напри-
мер, из О в рассматриваемую точку). Векторы е, (i = 1,3) на-
зываются векторами основного базиса (в данном случае — сис-
темы отсчета Оу1у2у3).

Наряду с векторами основного базиса в тензорном исчисле-
нии вводятся так называемые векторы сопряженного (или
«
взаимного) базиса

е =

ejXefc
ei-(ejXefc)

(1.1.1)

Здесь, как обычно [112, 152], знак «•» определяет скалярное,
«X» — векторное произведения; I, j, к образуют четную переста-
новку индексов 1, 2, 3. Нетрудно видеть, что

ei.eJ = e;.ei = 6i = P’	(1.1.2)

где 5г — символ Кронекера. Следует подчеркнуть, что векторы
основного ег- (или взаимного е1) базиса в общем случае не равны
единичным векторам и не являются взаимно ортогональными,
однако каждый вектор ег (ег) ортогонален е;-, efc (eJ, ek) (i #= / =Н=
k=£i) по построению. Кроме того, векторы базиса, как основ-
ного, так и сопряженного, изменяются в общем случае от точки
к точке пространства.

В качестве системы отсчета Оу1у~ул может быть использована
любая из систем координат: произвольная криволинейная, декар-
товая (косоугольная или прямоугольная), ортогональная криволи-
нейная (цилиндрическая, сферическая и т. д.) [141, 179]. Наиболее
часто применяется декартовая ортогональная система координат
ОЛЛг® с базисом кг (i = 1, 3). В зтом случае векторы основного и
взаимного базисов совпадают, кг = кг, и образуют каждый в от-
дельности тройку единичных взаимно ортогональных векторов
(ортонормированный триэдр).

В дальнейшем, следуя В. Прагеру [141], для отделения понятия
«геометрическая точка» от понятия «материальная точка» послед-
нюю будем именовать материальной частицей или просто части-
цей. Под конфигурацией в дальнейшем будем понимать заданное
соответствие частиц исследуемого объема сплошной среды и точек
пространства, которые частицы занимают в рассматриваемый мо-
мент времени t. При движении континуума конфигурация непре-
рывно изменяется.

При движении произвольной отдельно взятой частицы ее коор-
динаты у1 изменяются с течением времени:

= t = туз.	(1.1.3)

Уравнения (1.1.3) называются законом движения данной части-
цы, причем функции f (t) являются непрерывными вместе с про-
изводными требуемого порядка. В механике конечного или счет-
ного множества материальных частиц каждой из них присваи-
вается свой номер (индекс), сохраняющийся в течение всего вре-
мени движения и отличающий эту частицу от остальных. При рас-
смотрении движения сплошной среды (континуального множества
элементов — частиц) для индивидуализации частиц вводятся не*
прерывно изменяющиеся переменные. С этой целью обычно для
некоторой фиксированной конфигурации, соответствующей опрё-
Рис. 1.1. Системы координат и векторы базисов

деленному моменту времени (например, t = 0), вводится система
координат (вообще говоря, произвольная)	(рис. 1.1),

с помощью которой каждой частице ставится в соответствие трой-
ка чисел (£\ £2, £3), «приписанных» данной частице и неизмен-
ных в течение всего времени движения. Координаты называют-
ся материальными или лагранжевыми, а совокупность (1, g1, £2, £3)
называют переменными Лагранжа [41, 112,152]. Заметим, что в ка-
честве отсчетной обычно выбирают конфигурацию рассматривае-
мой сплошной среды в естественном (ненапряженном и недефор-
мированном) состоянии.

Положение частицы в отсчетной конфигурации Жо по отноше-
нию к системе отсчета определяется радиус-вектором Ro (£г) —
непрерывной вместе с производными требуемого порядка вектор-
значной функцией. Векторный базис системы координат
образует тройка некомпланарных векторов ёг = dR0/dgl (i =
— ЗГ, 3), векторы взаимного базиса определяются соотношениями,
аналогичными (1.1.1). Введенную в отсчетной конфигурации
систему	называют лагранжевой неподвижной системой

координат. Данная система не зависит от времени и служит для
фиксации начальной конфигурации сплошной среды. Заметим,
что в качестве координат частиц сплошной среды в неподвижной
лагранжевой системе могут служить и координаты этих частиц
в начальный момент времени в системе отсчета ОуЪ/р3 (или
Охгх2х3), что часто бывает весьма удобным.

Считая координатные линии £г (г = 1, 3) состоящими из частиц
сплошной среды, приходим к понятию лагранжевой подвижной
(сопутствующей, «вмороженной») системы координат О^1^3,
служащей для определения конфигурации Wt деформируемой
сплошной среды в произвольный момент времени t (актуальной
конфигурации). При этом сопутствующая лагранжева система,
будучи связанной с частицами деформируемой среды, непрерывно
изменяется, деформируется с течением времени, однако лагранже-
вы координаты каждой частицы в обеих лагранжевых системах —
подвижной и неподвижной — остаются неизменными. В этом
состоит своеобразие лагранжевых координат, являющихся
«метками» частиц среды. Для наблюдателя, находящегося в со-
путствующей лагранжевой системе, конфигурация сплошной
среды остается неизменной. Иначе: и сам наблюдатель, и эталоны
длин и углов в сопутствующей системе испытывают одновременно
с частицей деформирование, искажения. Следует, однако, отметить,
что при использовании лагранжевых переменных метрика дефор-
мируемого континуума (т. е. расстояния между частицами и углы,
составляемые материальными волокнами) определяются с пози-
ции наблюдателя в системе отсчета.

Положение произвольной частицы относительно системы от-
счета в актуальной конфигурации CfCt определяется радиус-век-
тором г (|г, £) — непрерывной (вместе с производными до требуе-
мого порядка) вектор-функцией. Векторы основного базиса сопут-
ствующей лагранжевой системы определяются как efc — drld^,
А: = 1, 3, а векторы сопряженного базиса — соотношениями,
аналогичными (1.1.1).

Традиционно в механике сплошной среды различают два спо-
соба описания движения сплошной среды:

1.	Материальный {лагранжев) подход. В этом случае просле-
живается движение каждой материальной частицы и происходящие
при этом изменения параметров, характеризующих состояние
Данных частиц. При этом положение каждой частицы в произволь-
ный момент времени по отношению к системе отсчета определяется
радиус-вектором г = угег (здесь и далее, если -не оговаривается
противное, используется правило суммирования по повторяющим-
ся индексам):

г = г t),

(1.1.4)
или в координатной форме

: j = у1 (1-j,t),	;=ГЗ.	(1.1.5)

Соотношение (1.1.4) (или (1.1.5)), где г (&, t) (уг (^’, t)) — непре-
рывная векторная функция (непрерывные скалярные функции)
вместе с непрерывными производными по совокупности аргумен-
тов (лагранжевых переменных (I1, £2, £3, t)) до требуемого поряд-
ка, представляет закон движения сплошной среды. Отметим, что
уг — г-ег, где ег — векторы сопряженного базиса той точки систе-
мы отсчета, где в данный момент времени находится частица

£2, £3). Здесь и далее используется сокращенная форма записи
г (^, 0 = г (V, Is, t).

Знание закона движения (1.1.4) позволяет определить все ки-
нематические характеристики движущейся сплошной среды:
перемещения, скорости, ускорения и т. д. Соотношение г =
— г (£\ t) определяет для каждого момента времени t актуаль-
ную конфигурацию Как уже отмечалось выше, в качестве
отсчетной удобно выбрать одну из актуальных конфигураций,
например соответствующую моменту времени t = 0. В этом случае
Ro (£г) = г 0) и вектор перемещения и вводится следующим
о!бразом:

u (^, t) = г & t) - г (Г, 0) = г (Г, 0 - Ro (Г).

(1.1.6)

2.	Пространственный (эйлеров) подход. В этом случае осущест-
вляется наблюдение за параметрами, характеризующими состоя-
ние частиц, которые проходят точки пространства неподвижного
наблюдателя. Движение при этом считается заданным, если
скорость v, температура 0 и другие параметры известны как
функции переменных Эйлера (у1, у2, у3, t), например,

V — V (у1, t).

(1.1.7)

 Как известно [112, 152], переход от переменных Эйлера к пере-
менным Лагранжа связан с необходимостью решения системы трех
обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1.7), а обратный
переход от переменных Лагранжа к переменным Эйлера осущест-
вляется решением системы трех алгебраических уравнений (1.1.5).
При этом в силу взаимной однозначности соотношений (1.1.5)
якобиан этого преобразования J отличен от нуля в каждый момент

времени, т. е.

J = det =
\ dV /

ду1

У=0 Nt.

(1.1.8)



Физически требование взаимной однозначности отображения
(1.1.5) означает, что в каждый момент времени в данной точке про-
странства может находиться только одна материальная частица,
и наоборот, что данная частица в любой момент времени может
располагаться только в одной точке пространства.

Следует отметить, что при рассмотрении процессов деформиро-
вания сред с зависящими от истории деформирования свойствами

независимо от типа используемых в постановке и решении задач
переменных используется по крайней мере две системы координат:
одна из лагранжевых и эйлерова. Использование при решении
задач механики сплошной среды только лагранжевых систем ока-
зывается недостаточным в силу необходимости прослеживания из-
менения метрики, которая определяется в пространстве неподвиж-
ного наблюдателя, а также вследствие необходимости удовлетво-
рения некоторым граничным условиям (например, на контакте
с обтекаемыми неподвижными телами). С применением только
эйлеровых переменных может быть решен лишь очень узкий класс
задач (например, исследования стационарных течений идеальных
и ньютоновских жидкостей в абсолютно жестких каналах).

При решении реальных задач механики сплошной среды часто
используется упомянутая выше единая для всех конфигураций де-
картова ортогональная система координат Охгх2х3 1112]. Компонен-
ты радиус-векторов частиц в отсчетной и актуальной
конфигурациях в базисе кг будем обозначать соответственно как
а1 и ж1:

К0 = аг(^)к;,	г = ? (^', t) кь	(1.1.9)

В качестве лагранжевых координат 5г в этом случае удобно при-
нять а1. Отождествляя при этом отсчетную конфигурацию с ак-
туальной при t = 0, из (1.1.9) получим

ж1 (aj, 0) = а\ i = О-	(1.1.10)

Заметим, что выбор системы координат системы отсчета, а так-
же одной из лагранжевых, осуществляется исследователем, но
вторая лагранжева уже не произвольна, а полностью определяется
движением сплошной среды. В частности, в произвольный момент
времени сопутствующую лагранжеву систему можно отождествить
с системой отсчета (Zz^A3. При этом, естественно, ни неподвиж-
ная, ни сопутствующая (в следующий момент времени) лагранже-
вы системы в общем случае движения не являются декартовыми
ортогональными.

Наряду с введенными выше системами координат в настоящей
работе будут использоваться локальные декартовые ортогональные
системы координат	с базисом q; = qs (i = 1, 3) (рис. 1.1).

Такие системы вводятся для каждой частицы (вместе с ее малой
окрестностью) для разделения движения деформируемой частицы
на жесткое (поступательное и вращательное) и деформационное.

Все дальнейшее изложение построено с применением тензор-
ной алгебры и тензорного анализа, причем преимущественно
используется символическая форма записи и операций над тензо-
рами с последующим (в случае необходимости) представлением
в компонентной форме. Изложению тензорного анализа посвящено
большое количество монографий и учебных пособий [112, 126, 135,
156, 179 и др.]. Поэтому здесь лишь напомним некоторые основные
Понятия. Также введем необходимые обозначения и некоторые
требуемые в дальнейшем соотношения. Следующий материал ос-
Рис. 1.2. Ковариантные и контра-
вариантные компоненты вектора

косоугольные проекции: nppia

нован на цитированной выше ли-
тературе, где читатель может най-
ти более подробное изложение.

Под тензором, как обычно, бу-
дем, понимать объект, инвариант-
ный относительно преобразования
координат, под валентностью (ран-
гом) тензора — число базисных
векторов, образующих полиадный
базис компонентного представле-
ния тензора. Так, скалярные ве-
личины являются тензорами нуле-
вого ранга, а векторы — тензорами
первого ранга. Произвольный век-
тор а представим разложением в
основном ег или сопряженном ег
базисах:

а = аге1 = а^ег,	(1.1.11)

где аг = а ег = (пре.а)/ |ег-1, at =
= аег = (пр ta)/|el| называют-
ся соответственно контравари-
антными и ковариантными ком-
понентами вектора а. Здесь и ниже
под проекциями будем понимать
определяется как разность коорди-

нат г/г точек пересечения плоскостей, параллельных плоскости,
содержащей ej, е* (г j ф к =/= I), и проведенных через конец и
начало вектора а; а-ег = | а | • | е1 | cos (а, е1). Для иллюстрации
геометрического смысла ко- и контравариантных компонент век-
тора рассмотрим компоненты произвольного вектора а в декарто-
вой косоугольной системе координат Оу'у2 у" с базисом ег (рис. 1.2)
[126, 135]. При этом выберем все векторы основного базиса е^ еди-
ничными, | в/ | = 1 (i = 1, 3), векторы ех, е2 — располагающими-
ся в плоскости чертежа, вектор е3 — перпендикулярным этой пло-
скости и образующим правый триэдр с е15 е2. Тогда в соответствии
с (1.1.1) векторы сопряженного базиса е1, е2 располагаются также
в плоскости чертежа, причем векторы е1, е2 ортогональны соответ-
ственно векторам е2, еп а е3 совпадает по направлению с вектором
е3. Обозначая через а угол между ех и е2, определим модули векто-
ров взаимного базиса: [ е1 | = | е2 | = (sin а)-1, | е3 | = 1. Непо-
средственно из рис. 1.2 нетрудно показать:

а\ = а  ei = О А | ei | cos (а, еД = ON\ = OW-ft'e11 =

= (npeia)/| е11 = ON1 sin а,

а1 — а • е1 — О А | е11 cos (а, е1) = ОМ11 е11 = ОМ x/sin а =

= ОМг = (npeta)/| tei[,

.аналогично — для компонент а2, а2.
Трудности геометрической интерпретации ковариантных, кон-
травариантных и смешанных компонент тензоров связаны с раз-
мерностью пространства (равного количеству базисных элементов,
по которым можно разложить тензор). Так, уже для тензора второ-
го ранга размерность пространства равна 9, а для произвольного
тензора ранга г — равна Зг. Разложение тензоров вводится по
аналогии с векторами. Например, для тензора А второго ранга
имеем

А = A ye’eJ' = Аг;е^ — А'^де? == А^'е’е^,

где Aij, Av — ко- и контравариантные; —смешанные ком-
поненты тензора (один раз ковариантные и один раз контра-
вариантные). Напомним, что при преобразовании координат
ковариантные компоненты преобразуются аналогично векторам
основного базиса, контравариантные — векторам сопряженного
базиса. Операции подъема и опускания индексов будут осуществ-
ляться с помощью компонент единичного (метрического) тензора:

Е —	= Ецег& =	— e^ejt

4 J	•'J	J 4	J'

Е^ = е^е^ = e.j-ei = Ец, Егз ~el-e3 = Eil,

E} ~ ег-е_; = е4«е7 = 6).

Сумму двух тензоров А и В будем обозначать А + В, произ-
ведение тензора А на скаляр а — через аА, скалярное и двойное
скалярное произведение—соответственно через А-В и А : В.
При этом результатом скалярного произведения тензоров А ранга
д и В ранга г2 является тензор ранга (п + г2 — 2), а результат
двойного скалярного произведения — тензор ранга (ту + г2 — 4).
Для тензоров любой валентности (А = 4?j...e'e(.., В = B^...ete?..)
можно ввести тензорное умножение (АВ или ВА), результатом
которого являются тензоры ранга, равного сумме рангов тензоров,
образующих произведение:

АВ = Aij—бц*-е1е?..е/се?.., BA = Z?fc!—Aij.-.efeeLe’e’„.

Нетрудно видеть, что тензорное произведение, вообще говоря, не-
коммутативно, АВ ВА. Тензор второго ранга А называется
симметричным, если А = Ат, где индекс Т означает транспониро-
вание:

Аг _ (Ау-еге?)г = A^eW = А^е^- = А/е^ = A^e’ej,

Для тензоров валентности выше второй понятие симметрии вводит-
ся для различных пар индексов: например, тензор А четвертого
ранга называется симметричным по первому и третьему индексам,
если Aw = Aw, Aij*1 = А**, А^ = А^1.
Символы Леви—Чивита

1 ,
е'хе/( ’

будем обозначать аналогично [112]:
е1}к = У Ее1-(е3х ек),

1

ew = Vе еак, ei}li

\[Е

eijk.

(1.1.12)

где Е = | Етп | — детерминант матрицы, составленной из кова-
риантных компонент метрического тензора (при этом Е = V2,
V — объем параллелепипеда, построенного на базисных векторах
ег), знаком X обозначено векторное произведение. Напомним, что
е^д., равны: (+1), если ijk образуют четную перестановку
индексов 123 (т. е. 123, 231, 312); (—1), если ijk образуют нечет-
ную перестановку (213, 132, 321), и, наконец, нулю, если ijk
не образуют перестановки индексов 123. С введением символов
Леви—Чивита выражение для векторов сопряженного базиса
(1.1.1) может быть записано в виде

е‘ =	* ех-

Обратное соотношение [112]:

ег =	х е?'-

(1.1.13)

(1.1.14)

С использованием символов Леви—Чивита произвольному
двухвалентному тензору А = Аце‘е3 = Лг;е;е^ ставится в соот-
ветствие вектор а = я;ег = «ге;, двойственный тензору А (или
ассоциированный с тензором А), с компонентами

а* = Ч^А^.	(1.1.15)

Из (1.1.15) нетрудно видеть, что вектор, ассоциированный с тензо-
ром А, зависит только от его антисимметричной части в случае,
если А = Ат, вектор а равен нулевому. Верно и обратное: если
двойственный тензору вектор является нулевым, то тензор —
симметричный. Для антисимметричного тензора А (А = —Ат)
справедливо соотношение

= 6^4.	(1.1.16)

При операциях с двухвалентными тензорами во многих случаях
оказывается удобным их представление в базисе главных (или
собственных) векторов. Известно, что для любого симметричного
тензора второго ранга А существует по крайней мере три ортого-
нальных главных вектора (будем считать их единичными) а; =
= а1 и тройка соответствующих собственных (или главных, или
характеристических) вещественных значений 3(г, так что
з

А= 3
i=l

Направление, определяемое аг, называется главным направле-
нием (главной осью тензора А).
в соответствии со скалярным произведением вводятся целые и
дробные степени тензора второго ранга. Так, для тензора второго
ранга А квадрат его А2 = А-А, а п-я целая степень А.п —
= А-А- .  • • А. При этом главные векторы Ап совпадают с главными

п '

векторами аг тензорами А, а главные значения равны п-я степени
соответствующих главных значений Аналогичным образом
вводятся дробные степени двухвалентных тензоров: корнем п-я

— натуральное число) степени из тензора А называется тензор
второго ранга В = А1/п, такой, что А = Вп.

Очевидно, что главные векторы А и В совпадают, а главные
значения тензора В суть корни п-я степени из соответствующих
главных значений тензора А. Заметим, что вычисление дробных
и отрицательных степеней тензоров второго ранга, а также некото-
рых функций этих тензоров требует перехода к записи тензора
в терминах главных векторов и главных значений. Так, например,
тензор В = In А определяется вначале через главные значения и
главные векторы:

з

B=S(bW<»i
i=l

с последующим (в случае необходимости) переходом к компонент-
ной записи в произвольном базисе.

При преобразовании координат компоненты векторов и тен-
зоров в общем случае изменяются. В механике сплошной среды
широкое применение находят функции компонент векторов и
тензоров, не изменяющиеся при преобразовании системы коорди-
нат (т. е. при изменении базиса). Так, для вектора а инвариантом
является его длина а =	Для произвольного тензора второго

ранга А можно определить три независимых инварианта (А),
/2 (А), 13 (А). В механике сплошных сред принято определять их
следующим образом:

Д (А) = Sp А = tr А = Е : А = А : Е,

Л (А) - V2 [(Л (А))2 - Ц (А2)] = V2[(Sp А)2 - Sp (А2)],

(1.1.18)

/3 (А) = Ve [2SpA3 - 3 (Sp A) (Sp А2) + (Sp А)3] =
= det (А) = | Zj| .

По определению детерминантом (определителем) тензора второго
ранга А называется определитель матрицы, составленной из его
смешанных компонент А^; двойное скалярное произведение тен-
зора второго ранга Ас метрическим тензоромЕ (свертка) называет-
ся также следом тензора А (отсюда обозначения, используемые
в литературе: Spur (нем.), trace (англ.) — след.).

Важное значение в механике сплошных сред имеют понятия
шаровой и девиаторной частей (составляющих) тензора второго
ранга. Произвольный тензор второго ранга А единственным
образом представим в виде шарового тензора (шаровой части А)
S (А) и тензора-девиатора, или просто девиатора, D (А):

А = S(A) + D(A) = 1/3Zi(A)E + D(A).	(1.1.19)

Нетрудно видеть, что Zr (S (А)) = Zx (A), Ir (D (А)) = 0. Неза-
висимым инвариантом шарового тензора является только

A(S(A)); Z2(S(A))=^/3(A(A))2, Z3(S(A)) = 1M(A(A))«.

Для девиатора отличны от нуля два независимых инварианта:

A (D (А)) = -V2 Sp (D (А))2 = Z2 (А) - V3 (Z, (A))2,

Z3 (D (A)) = V3 Sp (D (A))3 = Z3 (A) - 4sIr (A) Z2 (A) +

+ 2/2t (A (A))3.

Приведем некоторые необходимые сведения из тензорного ана-
лиза. Будем использовать произвольную систему координат
От|1ц2т]3 с векторным базисом эг с последующим отождествлением
системы координат От]1!]2!]3 с любой из введенных выше. Ограни-
чимся в основном рассмотрением векторов и тензоров второго ран-;
га. В дальнейшем полагаем векторы основного и сопряженного э!
базисов непрерывными по совокупности аргументов (вместе с не-
прерывными до требуемого порядка производными) вектор-функ-
циями переменных (р1, ц2, т|3).

Рассмотрим произвольный вектор а, представимый своим раз-
ложением а = а1э; =	, причем	(т/), а1 = аг (ip7),

i = 1, 3 — также непрерывные (вместе с непрерывными производ-
ными до требуемого порядка) по совокупности аргументов функции
переменных (ц1, т]2, ц3). Производная вектор-функции а (г|7) по
переменной определяется следующим образом:

да	да	.	; dai dai	i	дз

—------—Г эг	г	а —г ~ —Г	э	+ аг	—Г	•

drf	dtf	5тр dxf	dtf

(1.1.20)

Как и любой вектор, векторы dsjdrf и dtf'ldrf могут быть пред-
ставлены своим разложением по векторам базиса, например:

• • _________________________

г, Л = 1,3,
drf J

(1.1.21)

где Ий = —г ‘Э7— компоненты вектора —Г в основном базисе,
drf

называемые символами Кристоффеля второго рода (или коэффи-
циентами связности второго рода). Используя (1.1.2), нетрудно

dsi

показать, что компоненты вектора —г в сопряженном базисе
от]

дэ^	I

равны	=— Г^. Таким образом,
Вводя обозначения

яА  ;	_ да-,

№ =	+ аЧ'>-	= dr - а№>	(1.1.23)

diy	дтр

(1.1.22)	можно переписать в виде

da/drf =	(1.1.24)

Коэффициенты при эг (или эг) в разложении вектора да/дц’1’ в ос-
новном (сопряженном) базисе Г&аг (V^) называются ковариантны-
ми производными контравариантных (ковариантных) компонент
вектора а. Понятно, что появление членов с символами Кристоф-
феля второго рода обусловлено изменением базисных векторов
при изменении координат (ц1, ц2, ц3). В случае неизменности ба-
зисных векторов (декартовы системы координат) символы Кристоф-
феля rjt = 0 Vz, у, к ~ 1, 3. В этом случае ковариантные про-
изводные совпадают с обычными частными производными.

Аналогичным образом определяются ковариантные производ-
ные компонент тензора (произвольной валентности). Так, для тен-
зора второго ранга А ковариантные производные ковариантных,
контравариантных и смешанных компонент выражаются следую-
щим образом:

= dA^drf —	- Aiqr^,

VkAiS =дА^/д^ А~ Anjrlnl; + Aimrjm1i,	(1.1.25)

УкА^ = дА^/дцк +

так что

c*A/5i/ — VjAijsV = VftA^3i3_,-=	(1.1.26)

Как показано в работе [152], частные производные компонент
векторов и тензоров по координатам (dajdrf, дАгЧдх^ и т. д.) не
являются в общем случае компонентами какого-либо тензора,
в то время как ковариантные производные от ковариантных, сме-
шанных и контравариантных компонент произвольного тензора
ранга п представляют собой компоненты тензора валентности
(п 4- 1). В монографиях [112, 152 и др.] показано также, что
символы Кристоффеля второго рода также не являются компо-
нентами тензоров.

Ковариантные производные компонент векторов и тензоров
сохраняют свойства обычных частных производных. Так, ковари-
антная производная линейной комбинации компонент тензоров или
векторов равна линейной комбинации ковариантных производных
компонент соответствующих тензоров:

Ъ (ccAij |3Sy) = аУкАи +	а, |3 = const. (1.1.27)

Сохраняется также правило дифференцирования произведения
Компонент векторов и тензоров:

(nrF) = (V^-) Акг -Ь (У,А*1),

Vi (ApqBr.s) = (V;Apg) Br.s + Apq FiB^.
Важным свойством ковариантной производной является утвержде-
ние о равенстве нулю ковариантной производной от компонент
метрического тензора (теорема Риччи). В силу этой теоремы ком-
поненты метрического тензора по отношению к ковариантному
дифференцированию ведут себя как постоянные, их можно вносить
под знак ковариантной производной или выносить из-под него,
например: EvVkAip = (EvAip) =	(Ei}a3) =

= ЕцУьа3.

Заметим, что обычные частные производные компонент Е от-
личны от нуля (dEijldrf #= 0, dE?}/drf т^О) в общем случае кри-
волинейных координат.

Весьма важным и получившим широкое распространение
в механике является понятие символического вектора (оператора)
Гамильтона (набла-оператора Гамильтона) V = afe—Результа-
•	дг\к

том действия оператора? на тензор-функцию координат (ц1, ц2, ц3)
ранга г (для скалярной функции г = 0, для векторной г = 1)
является тензор ранга (г -ф 1). Так, для скалярной функции
ср = ср (т|7) имеем Тср = э?‘-^г, Vcp называется градиентом скаля-

ра ср. Нетрудно видеть, что введение градиента скаляра позволяет
достаточно просто определить бесконечно малое приращение (диф-
ференциал) с/ср функции ср (т|3)при переходе от точки пространства г
к бесконечно близкой точке г -ф dr, где dr = с/т)7Эу:

dcp =	—- dr  Vcp.

(1.1.29)

Для вектор-функции а (т]Д градиент вектора представляет
собой тензор второго ранга ?а = э/'-^-, при этом аналогично
дц
приведенному выше для скаляра

da =	= de • Va.

(1.1.30)

Для вектор- и тензор-функций вводится также транспониро-
ванный градиент V ( )т, например ?ат =—г 9 • Заметим, что
дг\

в зарубежной литературе градиентом тензор-функции ранга
г (г 1) называется именно транспонированный градиент. При
использовании транспонированного градиента соотношение
(1.1.30) представимо в виде da = VaT-cZr.

Соотношения, аналогичные приведенным выше для вектора,
могут быть записаны для произвольного тензора. Используя опре-
деленное ранее понятие ковариантной производной компонент
тензора, представим градиент произвольного тензора А ранга г
как тензор ранга (г -ф 1)

VA = 3fcy^-(?T‘i’’ 3i3j...) =	aVa3'..»
а транспонированный градиент-тензор

VAT =	=	(1.1.32)

С использованием градиента тензора нетрудно определить произ-
водную по направлению, определяемому единичным вектором п,
произвольного тензора А:

дМдп = n-VA = VAT-n.	(1.1.33)

Для вектора а, например, производная по направлению п опреде-
ляется следующим образом:

5а/дп = n- Va — VaT n = (V^a’) пгэ;-= (V^) nV.

Скалярное произведение символического вектора V на тензор А
произвольного ранга г (г > 1) определяет тензор ранга (г — 1),
называемый дивергенцией тензора А и обозначаемый следующим
образом:

Г.А = э*-4-а-

0Т]

Например, для вектора а и тензора второго ранга А дивергенция
вектора и тензора соответственно равны

(1.1.35)

V • А = э* •	— Е*УкАцэ}.

Векторное произведение набла-оператора на произвольный тен-
зор А определяет ротор тензора А (тензор того же ранга):

rotA=VxA= (^-А-

= V;AP9- (Э4х эр) э3... = е^Лр9-эА....	(1.1.36)

Лапласианом (оператором Лапласа) называется дифференциаль-
ный оператор А = V -V. Результатом действия оператора Лапласа
на произвольный тензор А ранга г является тензор валентности г:

ДЛ = V. V (А) = Eij .

9т]!

Определение и свойства операторов V и А справедливы для
любой системы координат. В соответствии с введенными выше си-
стемами координат будем отличать три различны^ оператора
Гамильтона:

? = е;Д-, V =	у =	(1.1.37)

ду1	д\к	v '

определенных соответственно в системах координат системы отсче-
та, лагранжевой отсчетной и лагранжевой актуальной. Аналогич-
®о для данных систем координат вводятся три вида ковариантных
производных V/., Vfr, Vj., определяемых, например, для вектора

1
и тензора второго ранга соотношениями, идентичными (1.1.23)
и (1.1.25), с символами Кристоффеля соответственно

де- .	о • Зй; „.	~ •	де-

Пк = -^.е\	Гй = -^-ё’,	Пк =	-^.ё\	(1.1.38)

dyk	d'J;	5V	'

Отметим, что, как показано в работе [112], хотя сами символы
Кристоффеля второго рода не являются компонентами какого-
либо тензора, разности

=	(1.1.39)

представляют собой компоненты двух тензоров третьего ранга:
А.= А^ё^'ё^	А= Jji-e’e^ej.	(1.1.40)

В настоящей работе рассматриваются преимущественно ско-
ростные постановки задач, поэтому остановимся несколько под-
робнее на определении скоростей изменения тензорных характе-
ристик сплошной среды. К числу основных кинематических ха-
рактеристик движения частицы среды относятся скорость и уско-
рение перемещения частицы. Векторы скорости v и ускорения w
перемещения произвольной частицы, имеющие индивидуализирую-
щие частицу лагранжевы координаты (g1, §2, £3), определяются
следующим образом:

v = r?i = u?i, w = vfi = u,i.	(1.1.41)

Здесь нижние индексы V указывают на фиксированность лагран-
жевых координат, знаки «•» и «• •» — соответственно первую и
вторую полные (материальные) производные по времени. Если
движение задано с использованием переменных Лагранжа, то из
выражения (1.1.41) имеем

v = dt/dt — ди/dt, w = дч/dt = d2u/dt2.	(1.1.42)

Если же движение определено в терминах переменных Эйлера, то
для использования определения (1.1.41) требуется вначале перейти
от переменных Эйлера к переменным Лагранжа, после чего г и v
можно рассматривать как сложные вектор-функции (£г, t), т. е.

г = г [уг t], и = и[у*	v = v[y2(^,t),t].

Тогда

v = (du/dt)yi 4~ v-Vu, w = (dv/dt)yi -|- v-Vv,	(1.1.43)

где первые члены правых частей определяют локальную (местную)
производную по времени и характеризуют изменение соответст-
венно и и v в фиксированной точке пространства (у1, у2, у3) (в кото-
рой в данный момент времени находится движущаяся частица),
а вторые члены — так называемую конвективную производную.
Конвективная производная произвольной скалярной (или тензор-
ной) функции, характеризующей состояние движущейся сплошной
среды, определяет скорость изменения указанной характеристики
20
только за счет перемещения частицы из данного положения в со-
седнее, бесконечно близкое данному. Отметим, что из выражений
(1.1.43) следует:

v = (du/dt)yi -(Е — Vo)'1.

В механике сплошных сред различают так называемые устано-
вившиеся и неустановившиеся процессы и движения (или стацио-
нарные и нестационарные). К установившимся относят такие про-
цессы, в которых параметры, характеризующие состояние сплош-
ной среды, неизменны в каждой точке пространства для любого
момента времени. Указанные параметры при использовании эйле-
ровых переменных зависят только от координат (у1, у2, у3), время
не фигурирует в числе переменных. В этом случае локальные
производные скалярных и тензорных характеристик движущейся
среды равны нулю. Последнее, однако, не относится к локальной
производной (дм[д£)у1, так как условие (OMdt) t = 0 соответст-
вует отсутствию движения. Отметим, что при использовании точки
зрения Лагранжа стационарность движения (процесса) не приво-
дит к уменьшению числа переменных.

При использовании декартовой ортогональной системы коорди-
нат Ox^V компоненты векторов скорости v = y'kL и ускорения
w = югк; при использовании лагранжевых и эйлеровых перемен-
ных определяются соответственно как

(1.1.42а)

(1.1.43а)

Соотношения (1.1.42а) и (1.1.43а), естественно, не выполняются
для произвольной системы криволинейных координат (в том числе
ортогональной). В качестве примера рассмотрим равномерное дви-
жение отдельно взятой частицы М по окружности радиуса h
(рис. 1.3). За лагранжевую подвижную систему координат примем
часто используемую в теоретической механике систему так называе-
мых естественных координат Мт, движущуюся вместе с частицей,
с ортонормированным векторным базисом э2. В этой системе
координат лагранжевы координаты частицы I1 = s2 = 0. Положе-
ние частицы по отношению к системе отсчета определяется радиус-
вектором г = ггэ;, г1 = г-э1, г1 = 0, г2 — —h. В случае равномер-
ного движения частицы с постоянной по модулю скоростью v
система Мхп вращается с постоянной угловой скоростью со = v/h
вместе с векторами базиса эи э2, причем вектор о> направлен пер-
пендикулярно плоскости чертежа так, что векторы®, г, v образуют
правую тройку.

В соответствии с (1.1.42)

дг

di

V

дг1
dt

dt
Согласно формулам Пуассона d^tldt = й X э;. Тогда, в силу того
что drl/dt = 0 (г = 1, 2), получаем

v = г2 — г2ы X э2 = со X г.
at

При этом и1 = со/г dr4dt, v2 = 0. Далее, так как со — неизмен-
ный вектор,

w =	= г2со х — г2со X (со X э2) = ft) X (ft) X г) = со X v,

dt	at	'	'	'	'

w1 = 0, w2 = со27г =# d-r2ldt\

Одним из важнейших понятий, используемых в дальнейшем,
является понятие индифферентности тензоров. Для определения
индифферентности, следуя работам [112, 168], введем два движе-
ния сплошной среды г (Е0 t), г' (|0 7), отличающиеся на жесткое
движение:

г' (£>, 7) = р' (0 + 1г (Е0 0 - р (0]-О (0.	(1.1.44)
Здесь р (i) — радиус-вектор, определяющий положение некоторой
частицы (по аналогии с кинематикой твердого тела ее можно наз-
вать полюсом) в движении г (£3, t); р' (t) — положение этой части-
цы в движении г' (£J, t); Vt О (i) — собственно ортогональный
тензор [112, 135]. Подчеркнем, что каждое из движений г (g\ t),
t' (V, 0 не является в общем случае жестким. При этом, как от-
мечается в работе [112], если соотношение (1.1.44) справедливо
для любых двух движений рассматриваемой среды, то последняя
представляет собой абсолютно твердое тело.

Для пояснения движений гиг', связанных соотношением
(1.1.44), приведен рис. 1.4. Здесь JH — произвольная частица
сплошной среды; Af0, М, М' — ее положения соответственно
в отсчетной конфигурации актуальных конфигурациях

при движениях г и г'; & — частица, выбранная за полюс;
р Р и Р' — ее положения в	и соответственно;

Р'М" = рм, Р'М' = Р'М" О.

Напомним, что тензор О называется ортогональным, если
От = о-1, т. е. О ОТ = 0т-0 = Е. При этом если определитель
тензора' (т. е. определитель матрицы смешанных компонент тен-
зора) det (О) = 1, то тензор О называется собственно ортогональ-
ным. В этом случае с использованием О осуществляется поворот
векторов. Заметим, что преобразование векторов с помощью ор-
тогонального тензора не изменяет длин векторов и углов между
ними [112], причем собственно ортогональный тензор переводит
любой триэдр базисных векторов в одноименный (например,
правый — в правый).

• С использованием сказанного выше можно ввести определение
индифферентности тензоров [112]: произвольная тензор-функция
А (г) ранга т называется индифферентной, если при наложении
жесткого движения, приводящего к преобразованию движения
г (^, t) в движение г' (£J, t) в соответствии с (1.1.44) тензор-функ-
ция А (г) преобразуется следующим образом:

А'(г') =	(г) 4il.O(О . .. qim-0(0,	(1.1.45)

где qf — произвольный материальный базис; тензор-функция А,
вообще говоря, зависит от (£J, t), обозначение А (г) указывает на
зависимость тензop-функции А также от движения среды.

Как нетрудно видеть из (1.1.44), движение г' (g;, t) получается
из движения г (£J, t) поступательным перемещением на р' (£) —
Р (t) с последующим поворотом, определяемым тензором О (£),
всего рассматриваемого объема сплошной среды. Поскольку при
Поступательном перемещении векторы базиса qz не изменяются,
а вращение, соответствующее О (£), приводит к преобразованию
[112] q' = q;.O (t), то соотношение (1.1.45) можно рассматривать
в каждый момент времени как преобразование тензора А (г) =
= 4’1--гт (г) q .,q в тензор А' (г') = А41’"1™ (г')	. Та-

ким образом, для индифферентных тензор-функций при движе-
ниях среды, отличающихся на жесткое движение, их компоненты
в базисах, преобразующихся по закону данного жесткого движения,
остаются неизменными. Иными словами, компоненты индифферент-
ных тензор-функций «вморожены» в базис движущейся среды. Сле-
довательно, для наблюдателей в системах отсчета с базисами гц
и q'i индифферентные тензор-функции А и А' изменяются по одному
и тому же закону. В то же время относительно, например, непод-
вижного наблюдателя индифферентные тензор-функции А и А'
в общем случае (если О (0 отличен от единичного тензора Е) из-
меняются по различным законам.

Условия индифферентности тензор-функций нулевого (скаля-
ра) а, первого (вектора) а и второго рангов А можно записать
в виде

а' (г') = а (г), а' (г') = а (г) • О (i) = От (0 • а (г),	(1146)

А'(г') — От (£)-Л (г)-0 (Z) Vt.

К индифферентным скалярам относятся, например, плотность,
температура, к векторам — базисные векторы сопутствующей ла-
гранжевой системы, радиус-векторы частиц относительно точки,
выбранной за полюс. Примером индифферентного тензора вто-
рого ранга может служить тензор инерции.

Индифферентность векторов базиса щ следует непосредствен-
но из (1.1.44): дифференцируя левую и правую части по с уче-
том независимости р(7) и р'(£) от координат, получаем

ё) = dr'/dt3 = ej-O(t).	(1.1.47)

Из (1.1.44) следует также, что вектор скорости неиндифферентен»
Действительно

v' (г') = г' = р' Д От • (г — р) + От • (г — р).	(4.1.48)

В силу того что

ОТ'О = О-ОТ = Е,	(1.1.49)

соотношение (1.1.48) можно преобразовать к виду

v'— OT.v =р' — 6т-р-|- От-д-(г' — р').	(1.1.50)

Сопоставление (1.1.50) с (1.1.46) свидетельствует о неиндифферент-
ности вектора скорости V, поскольку правая часть выражения
(1.1.50) в общем случае отлична от нуля. Следуя работе [112],
входящий в соотношение (1.1.50), антисимметричный тензор

£} = ОТ .о = —От-О = —Ит	(1.1.51)

будем называть тензором угловой скорости (спином) штрихован-
ной системы с базисом q[ относительно нештрихованной. Заметим,
что тензор О в данном случае, как следует из выражения (1.1.47),
определяется следующим образом:

o = °т = <ьч7-	(1.1.52)
Антисимметричность тензора (2 следует из свойств ортогонального
тензора: От-О - Е-О'-ОО'О = Ё = 0 => От-О = —0т О.

Наряду с индифферентными тензорами, сохраняющими зна-
чения своих компонент в базисе сопутствующей системы при жест-
ких движениях, введем понятие тензоров, инвариантных к жест-
ким движениям. Тензор-функцию А произвольного ранга т >= 1
будем называть инвариантной по отношению к жестким движени-
ям, если при движениях г и г' (1.1.44) компоненты тензор-функции
в базисе отсчетной конфигурации изменяются по одинаковому
закону, т. е.

^'4--<т(г') = 2й-гт (Г)	(1.1.53)

а следовательно, в силу неизменности базиса ё,

А'(г') = А(г).

Нетрудно видеть, что в общем случае из инвариантности к жест-
ким движениям не следует индифферентность, и наоборот. На-
пример, если тензор-функция второго ранга А инварианта к жест-
ким движениям, то компоненты ее в базисах сопутствующих си-
стем координат при движениях гиг' определяются следующим
образом:

ЛЛг') = Л9(^-ер)(ё;-ё9), Д/г) = Лот(ёгёр)(ёгё«). (1.1.54)

Очевидно, что при О (£), отличном от единичного тензора, в си-
лу соотношения (1.1.47) компоненты Aij (г') и Ац (г) не совпадают.

Еще одним понятием, используемым в дальнейшем, является
понятие изотропности тензора.

Тензор ранга п называется изотропным, если для него имеет
место соотношение [112]

Т =	• • • %= Г‘-Ч. • • • е;п.	(1Л.55)

гдее( = е, -О,р = 1, п (О — собственно ортогональный тензор).
Другими словами, у изотропного тензора при любом ортогональ-
ном преобразовании векторов базиса компоненты не изменяются.

Любой скаляр есть изотропный тензор нулевого ранга, так как
его значение неизменно в любом базисе. Изотропного вектора (кро-
ме нулевого) не существует, так как при повороте базиса его ком-
поненты меняются (или хотя бы некоторые из них). Единственный
изотропный тензор второго ранга — это единичный тензор Е
(или ХЕ, где X — скаляр). В самом деле, е' = ОдРер, е * = О-Тоет,
где ОеО(О — группа ортогональных тензоров).

Тогда

Е' = е'Ч = O!mOjpemep = 6Р emep = етет = Е.	(1.1.56)

Здесь использовано свойство компонент ортогонального тензора
O!mOsp = бр. Аналогично проверяется изотропность тензора Ле-
ви — Чивита:

е = -ЕхЕ.	(1.1.57)
Изотропные тензоры четвертого ранга:

С! = ЕЕ = е»еЧек,	(1.1.58)

CIt = esefce8efc,	(1.1.59)

СП1 = esEe® = е^е^е’.	(1.1.60)

В формулах (1.1.57) — (1.1.60) возможно умножение на скаляр Л.
Изотропность указанных тензоров третьего и четвертого рангов
проверяется аналогично (1.1.56). Возникает вопрос о связи поня-
тий индифферентности и изотропности тензора.

Ниже будет показано, что для ряда рассмотренных выше изо-
тропных тензоров верно следующее утверждение.

Утверждение А. Изотропный тензор является одновременно
индифферентным и инвариантным по отношению к наложению
жесткого вращения.

Для скаляра это утверждение неверно. Всякий скаляр изотро-
пен. Понятия индифферентности и инвариантности по отношению
к жесткому вращению для скаляра совпадают, однако из изотроп-
ности они не следуют. Например, кинетическая энергия точки —
изотропный тензор, но не индифферентный (и не инвариант-
ный).

Для векторов утверждение А справедливо. Единственный изо-
тропный вектор есть нулевой вектор, и он одновременно инвариан-
тен и индифферентен.

Тензор второго ранга Е изотропен, он также инвариантен при
наложении жесткого вращения, а также индифферентен, так как
Е' = 0т-Е-0 = Е. Тензор ХЕ индифферентен, если X — индиф-
ферентный скаляр. Тогда же тензор ХЕ инвариантен.

Аналогичные соображения верны и для тензора третьего ранга
(1.1.57). Рассмотрим в заключение тензоры четвертого ранга
Cj, Си, Сщ, определенные формулами (1.1.58) — (1.1.60).
Например, Сш (г) = esekekes. При переходе к движению г'

Ci'n(r') = eXe'*e'’.

Свойство индифферентности (1.1.45) выполняется. А ввиду изо-
тропности Сщ (г') = Cm(r), т. е. имеетместо по (1.1.53) инвариант-
ность.

То же имеет место для Ci, Сц (и при умножении их на индиффе-
рентный скаляр X).

1.2 Тензоры деформаций

Под деформацией сплошной среды, как известно, понимается из-
менение длин материальных отрезков и углов между ними. Для
определения указанных кинематических характеристик деформи-
руемой среды используются различные инвариантные к преобра-
зованию координат тензорные меры деформации и тензоры де-
формаций. Отметим, что при всем многообразии используемых
в механике сплошной среды тензоров мер и тензоров деформаций
каждый из них может быть определен через любой другой. По спо-
собу введения тензоров деформации можно выделить два основных
подхода: с использованием метрического тензора [46, 66, 151, 152]
к через градиент радиус-векуора частицы (градиент места) [80,
82, И2].

Смешанные компоненты введенного в разд. 1.1 метрического
тензора Е представляют собой компоненты тензора Кронекера
в базисе как отсчетной, так и актуальной конфигураций. Однако
ко-и контравариантные компоненты Е в базисах	есте-

ственно, различны. Обозначим

Еу = ёгё,-, ^ = ё‘.ё\	Е^ = ^	^=е;-ё<

Тогда метрический тензор можно представить следующим образом:
Е= Е^'Е = Ei^ie1 =	= Eij^e3.

Вводя затем

= V2 (Eij - Ei3), i, j = o,	(1.2.1)

и считая ковариантными компонентами тензора второго ранга
в базисе отсчетной или актуальной конфигураций, получим два
различных тензора деформации: Е =	Е = й’г?ёгё.<

Следует отметить, что контравариантные компоненты тензоров Е
и Е не совпадают, естественно, с Kg (Е13 — Е13). Действительно,

%i} = Eip Eiq$pq = !/3 (EipE)qEM — Eij),

&3 - EipEjq%Pq = V2 (Elj - EipE3qEpq).

В предлагаемой работе в основном будет использоваться полу-
чивший большое распространение в последнее десятилетие способ
введения мер и тензоров деформаций через градиенты места ча-
стицы в отсчетной JTo и актуальной Ж, конфигурациях. (Во многих
отечественных и зарубежных работах под градиентом места по-
нимается транспонированный градиент места в актуальной кон-
фигурации, который обозначается обычно как F = VrT и называет-
ся градиентом деформации. Здесь будем в основном следовать обо-
значениям, принятым в работах [112, 152], с незначительными из-
менениями.)

Введение тензоров деформации с использованием соотношения
(1-2.1) достаточно просто, но уступает второму способу с точки
зрейия возможностей геометрической интерпретации движения де-
формируемой среды. Ниже будет показано, что с помощью гра-
диентов места можно ввести преобразование любого бесконечно
малого материального волокна из окрестности рассматриваемой
частицы, разложение движения малой окрестности частицы де-
формируемой среды на квазитвердое и чисто деформационное и т. д.

С учетом определений базисных векторов и операторов Гамиль-
тона (1.1.37) в отсчетной и актуальной конфигурациях нетрудно
видеть, что градиенты и транспонированные градиенты места пред-
ставимы в виде [112]

Гг = ёгёь 7гт = ё;ё\	(1.2.2)

VR0 = e^,	7К? = ё|ё\	(1.2.3)

При использовании единой для У£о и CKt декартовой ортогональ-
ной системы координат, полагая Ro = агк;, г = получим

Vr-^-^Vk,,	?,.т_1±к;кЛ	(1.2.4)

да1 1	да? 1 ’	к '

VR0 = ^L-k%,	VRj = ^-kik;.	(1.2.5)

дхг	дх3

В соответствии с выражениями (1.2.2), (1.2.3)

Vr. VR0 = VR0  Vr = VrT • VRj = VR? • Vr? = E,	(1.2.6)

т. e. градиенты места в отсчетной и актуальной конфигурациях
взаимно обратны:

Vr-1 = VR0, (VrT)-1 =VFT_ VRj,

V ’	(1.2.7)

VRox = Vr, VR0’T = VrT.

С помощью градиента места устанавливается преобразование
малой окрестности частицы деформируемой среды, которое с точ-
ностью до малых первого порядка является аффинным [152].

Пусть частица в занимала положение Ro с окрестностью
dRo, в./?', радиус-вектор той же частицы обозначим через г (рис. 1.1).
При движении частицы М любой вектор сЖо = й£гё;, определяю-
щий положение некоторой частицы М’ из малой окрестности М,
переходит в dv = 3%%. Используя выражения (1.2.2), (1.2.3),
нетрудно установить:

dr=^dRo-Vr^ VrT-dR0,	(1.2.8)

(7R0 — dv • VR0 = VRq-dv.	(1.2.9)

Вводя вектор перемещения u = г — Ro и используя очевидные
соотношения

VR0 = Vr = E,	.	(1.2.10)

а также линейность набла-операторов, градиенты места можно вы-
разить через градиенты перемещения:

Vr — Е 4-Vu, VRo —Е — Vu,	(1.2.11)

или в компонентах:

Vr = (6{ + 7;й;)ё% VR0 = (<5(_ ?^)ё;ё?	(1.2.12)
в единой для «Ж'о и декартовой ортогональной системе коорди-
нат	получим

Vr-- (s{ + k k„ VR0 = (si --JC) k%.	(1.2.13)

\ da1 1	\ dx J

С учетом следующих из (1.2.2), (1.2.3) соотношений

eJ = Vr-e’ = el-^гт, — VR0 = VRq -ёг,

e	(1.2.14)

ё1 = VRo • ёг= & • VR0T,	ег = ё; Л г = VrT • ёг

и (1.2.12) получим

ё, = (S{ - V,V) ё;, et = (Si +	ё>.	(1.2.15)

Рассмотрим соотношения между градиентами места в двух дви-
жениях, отличающихся на жесткое движение (1.1.44). Поскольку
отсчетная конфигурация остается неизменной, из (1.2.2), (1.2.3)
с учетом (1.1.47) следует:

W^-Vr-O.	(Vr')T = От-VrT,

V ’	(1.2.16)

V'R0-=OT.VR0, V'R0t^VRJ-O.

Сопоставляя выражения (1.2.16) с (1.1.46) и (1.1.53), нетрудно
видеть, что градиенты места Vr, VR0 не являются ни индиффе-
рентными, ни инвариантными по отношению к жесткому дви-
жению.

Рассмотрим движение произвольной части М с ее окрестно-
стью. В СК о положение частицы определяется радиус-вектором
Ro, в СК\ — г. Пусть ММ' и ММ" — линейные материальные бес-
конечно .малые элементы, исходящие из М. Обозначим соответ-
ствующие материальные векторы в СК0 как dR0, dR0, в СК t они
переходят в dr', dr”, причем согласно (1.2.8), (1.2.9)

dr' = dRo • V г = VrT • dR;,	dv" = dRl' • Vr = Vr?  dR';,

°	(1.2.17)

= dv' • VR0 = VR(f • dr',	dRo = dr" • VR0 = VRj • dr".

Вводя в рассмотрение длины и единичные векторы рассмат-
риваемых материальных бесконечно малых векторов, последние
можем представить в виде

dR' = dS'q, dRo =dS"q", dv' = dS'q', dr" = dS"q .	(1.2.18)

Введенные здесь обозначения будут использоваться на протяжении
всего разд. 1.2 при анализе геометрического смысла компонент
различных тензоров деформаций.

Рассмотрим скалярные произведения

dr' • dr" = dR; • Vr • VrT  dR; = dR'0-G- dR;,	(1.2.19)

dR;• dR; = dr' • VR0 • VR0T • dr" = dr' • G  dr",	(1.2.20)
где тензоры второго ранга G и G представляют собой так называе-
мые меры деформации Коши — Грина и Альманси:

G = Vr.VrT,	(1.2.21)

G = VR0-VRT.	(1.2.22)

Используя представление (1.2.18), из скалярных произведений
(1.2.19), (1.2.20) получим

^|r^|rcos(q-q^q'-c-q",	(1.2.23)

до до

=	(1.2.24)

Выбирая материальные бесконечно малые векторы направленны-
ми вдоль базисных векторов, из выражений (1.2.23), (1.2.24)
имеем

dS-x  —г	И" COS (ё{, ё;) =   dS. dS  v •"  г	j	A,	г, 3	(1.2.25)
dS; dS-		г~7	(1.2.26)
dS- dS.	v я  г	3		’ LA ’ г, 3	

Здесь dSi (dSi) — длина бесконечно малого вектора, направ-
ленного вдоль (ё{) в Я'о (<%7); означает отсутствие суммиро-

Г, 8

вания по указанным повторяющимся индексам. Аналогичные вы-
ражениям (1.2.25), (1.2.26) соотношения легко могут быть полу-
чены для контравариантных и смешанных компонент G и G
на основе (1.2.23), (1.2.24).

Полагая i = / и принимая базис в Жй ортонормированиям,
приходим к определению геометрического смысла компонент тен-
зора G в базисе «Ж’о: ковариантные Git (контравариантные Gu )
компоненты G равны отношению квадратов длин материального
бесконечно малого отрезка в и Жо, направленного в отсчетной
конфигурации вдоль единичного вектора ё, (ё’). Недиагональные
компоненты^, как следует из выражения (1.2.25), характеризуют
как отношение длин материальных отрезков в й!) и Жо, направ-
ленных в вдоль ё; и ё;-, так и углы между этими отрезками в Ж,.

Геометрический смысл компонент G устанавливается с исполь-
зованием выражения (1.2.26) и предположения об ортонормиро-
ванности базиса ё; аналогичным образом.

Возвращаясь к определению мер деформации Коши — Грина
и Альманси (1.2.21) и (1.2.22), с учетом соотношений (1.2.2),
(1.2.3) получим

6 = ёгё;  ё;ё> = G = ё*ё4• ёгё! G^&,	(1.2.27)
откуда следует, что ковариантные компоненты G и G совпадают
с ковариантными компонентами метрического тензора Е :	=

g G-j = Eij, i, j = 1,3- Однако тензоры G и G, конечно, не
совпадают с метрическим тензором. Например, переход от Ец
к осуществляется с помощью контравариантных компонент
метрического тензора в : Егз = ЕгрЕ]ЧЕ^ переход же от Gi3
к Qti__с помощью контравариантных компонент метрического

тензора в ^о-‘ Gli = EipE^GPq.

Из выражений (1.2.21), (1.2.22) следует симметричность тен-
зоров G и G- Заметим также, что с использованием соотношений
(1.2 19), (1.2.20) нетрудно показать положительную определен-
ность тензоров G, G‘-

Va, b£-ft3 Ясх, с2 > 0,

такие, что

a-G-a>Ci(a-a), Ь-G-Ь > с2 (Ь-Ь).

Как известно [135], для симметричных тензоров существует по
крайней мере одна тройка взаимно перпендикулярных главных на-
правлений и соответствующих главных значений. Обозначая через
Pt = Рл Рг = Pi ортонормированные векторы главных направле-
ний тензоров G, G соответственно, через G,, Gt — их главные зна-
чения, тензоры G, G можно представить следующим образом:

з	3

6=3	(1.2.28)

i=l	i=l

Недиагональные компоненты тензоров G, G в главных осях, оче-
видно, равны нулю. Тогда из выражений (1.2.25), (1.2.26) с уче-
том геометрического смысла недиагональных компонент следует,
что материальные волокна dR0/, = dS}!p}; при движении пере-
_ к

ходят в материальные волокна drk = dSkpf; , т. е. ортонорми-
к

рованная тройка главных векторов рк тензора & в переходит
в ортонормированную тройку главных векторов pfe тензора G
в причем соответствующие векторы рк и рА направлены вдоль
одних и тех же материальных волокон. Здесь было сделано пред-
положение, что главные оси тензора G, а тогда и G, или наоборот,
определены однозначно. В случае, если все Gt (i = 1,3), а тогда,
как показано ниже, и все ёг, равны между собой, то любой век-
тор в R3 определяет главное направление. В этом случае в каче-
стве главных векторов р, можно выбрать тройку единичных век-
торов, направленных вдоль трех взаимно перпендикулярных мате-
риальных волокон в Ж‘о, которые в X’t также взаимно ортогональ-
ны, и векторы р;, направленные вдоль этих волокон в Xt, можно
Принять за главные.
В случае, когда G; = G} Ф Gfi. (fii = Gj Ф G^), i y= j к i
главное направление pff (p^) определяется однозначно, a p,, py
(p;, Pj) — любые взаимно ортогональные единичные векторы, ле-
жащие в плоскости, перпендикулярной рА. (р&). В этом случае
для определенности следует направить р;, р7 вдоль взаимно орто-
гональных волокон в Ж$, причем последние в также взаимно
перпендикулярны. При этом из выражений (1.2.25), (1.2.26)
следует, что отношения длин материальных волокон вдоль соответ-
ствующих главных векторов G и G определяются следующим об-
разом:

f-^-)	Л: = 1ГЗ. (1.2.29)

\ dS h;	\ dS J к	1

Для иллюстрации характера деформации в окрестности неко-
торой точки Мо сплошной среды введем эллипсоид деформаций
в этой точке.

Возьмем в недеформированной среде (в Жо) материальный объем,
ограниченный поверхностью в виде бесконечно малой сферы ра-
диуса 8. Уравнение этой поверхности в декартовых материальных
координатах имеет вид (d/?0)2 = (dax)2 + (da?,)2 + (da3)2 = е'2.
После деформации уравнение поверхности того же самого мате-
риального объема можно найти, используя формулу (1.2.20):
(dRo)2 = dRo-dRo = dr-G-dr = 82. Или в декартовых координа-
тах Gijdxldxi — 82.

Это уравнение эллипсоида, известного как материальный эл-
липсоид деформаций. Сферический в недеформированном состоя-
нии объем сплошной среды превращается при деформации в эл-
липсоид с центром в точке М.

Точно так же заключаем, что бесконечно малый сферический
объем в точке М деформированной среды (в Ж в недеформирован-
ном начальном состоянии (в Ж^) был эллипсоидом. Действитель-
но, если (dr)2 = (dzx)2 + (da?2)2 + (dx3)2 = 82, то при помощи фор-
мулы (1.2.19)

(dr)2 = dr-dr =dRo-G-dR0 = 82.

Или в декартовых координатах Gtjda'dad — 82.

Получается пространственный эллипсоид деформаций. Опи-
санные эллипсоиды называют эллипсоидами деформации Коши.

Из (1.2.29) видно, что Gi; — G^1,	= Gk1 Vk = 1, 3.

Вводя так называемые главные относительные удлинения

K = (dS1c—dS%)/dSk, Lk — (dSlt— dSk)/dSk,

h — —	+ 4)i h — — 4/(1 + 4) i

получим

+4, /&7=1 + Zfr, к=Ц.	(1.2.30)
Первое соотношение (1.2.30) показывает, что единичное в от-
счетной конфигурации материальное волокно, направленное вдоль
главного вектора pft меры Коши — Грина, приобрело в актуаль-
ной конфигурации длину 1 + h; второе соотношение означает,
что единичный в актуальной конфигурации материальный отрезок
вдоль главного направления р,- меры Альманси имел в длину
1 + Zj-. С использованием геометрического смысла тензоров
& G в терминах главных векторов и главных значений этих тен-
зоров конечное перемещение частицы деформируемой среды с ее
малой окрестностью из положения, занимаемого ею в Яо, в по-
ложение в Mt может быть представлено двумя способами. В пер-
вом движение осуществляется деформированием в Я’о, так что
все элементарные материальные волокна, параллельные pfc в Я*о,
получают удлинения Zs, и последующим трансляционным (посту-
пательным) перемещением и вращением как жесткое целое части-
цы с ее окрестностью до совмещения pt- с pfr, к = 1, 3. С другой
стороны, аналогичное конечное перемещение можно осуществить
трансляционным переносом и вращением как жесткое целое до сов-
мещения [ц. с pt с последующим деформированием, при котором
волокна, параллельные р^, испытывают растяжения—сжатия
без изменения углов между ними.

Вращательная часть движения при этом описывается с по-
мощью собственно ортогонального тензора второго ранга В, на-
зываемого тензором ротации:

R —RT = p/fpR,	(1.2.31)

так что pk = pk.R = RT-pK, р11 = p^Rr = R.pk.

Проиллюстрируем два приведенных способа представления
движения на примере однородного деформирования малой ок-
рестности частицы М (в силу предположения о гладкости тензоров
деформации всегда можно подобрать такое е > 0, что VdR0 из
окрестности частицы М, таких, что (dRo-cZRo)1/* е, деформиро-
ванное состояние с заданной точностью можно считать однород-
ным). В Жо построим материальную поверхность — сферу радиу-
са е, изображенную на рис. 1.5 штриховыми линиями. Материаль-
ные волокна MMt направим вдоль главных векторов р,, i = 1, 3,
причем = е, i = 1, 3. В УС t материальная поверхность (сфе-
ра в Я‘о) трансформируется в эллипсоид с главными осями, на-
правленными вдоль MMt. Последние, в свою очередь, направлены
вдоль соответствующих главных векторов р;, причем MMt =
= 1^G;8, i = l,3. Промежуточное положение на рис. 1.5 изоб-
ражено штрихпунктирными линиями, конечное — сплошными.

Рис. 1.5,а иллюстрирует первый способ разложения движения,
рис. 1.5, б — второй, причем и в том и в другом случае Mt обозна-
чают промежуточное положение частиц М,.

2 А. А. Поздеев и др.

33
С учетом соотношений (1.2.11) — (1.2.13) и (1.2.21), (1.2.22)
могут быть получены выражения для G, G через градиент переме-
щения (в тензорной и компонентной формах):

G = Е Vu — VuT + Vu - VuT, G = E — Vu — VuT 4- Vu  VuT,

(1.2.32)

G = (Eij + Vju; + VjUi 4- V) егё<	2 33

G — (Eij — Vjij — Vjiii 4- V^V^) ёге4

duj , dui . duk	duk

da?	da^	da?	da^

du.	du.	du^	duk

da?	d%i	da?	dx^



) kV,

(1.2.34)

J kV


Рассмотрим жесткое перемещение среды

Г = гр + (Ro - ад-0 = Гр + От (Ro - ROp),	(1.2.35)

где о __ собственно ортогональный тензор (одинаковый для всех
частиц среды); гР и 7?ор — радиус-векторы частицы Р, выбранной
за полюс, в УС i и УС$ соответственно. Используя определение базис-
ных векторов, из выражения (1.2.35) определяем преобразование
базисных векторов при жестком движении:

e5 = es-O = OT-es, es = esOT — О es.

(1.2.36)

Тогда из выражений (1.2.27) немедленно следует, что при жест-
ком перемещении

б=Е, G = E.	(1.2.37)

Соотношения между мерами Коши — Грина и Альманси для дви-
жений, отличающихся на жесткое перемещение, в соответствии
с (1.2.21), (1.2.22) и (1.2.16) имеют вид

G' = Vr'-(Vr')T = Vr-O-OT-VrT^Vr-VrT^G,	(1.2.38)

G'c=V'R(;.V'R0T = OT-VR0-VR0T-O = OT-G-O.	(1.2.39)

Следовательно, мера деформации Коши — Грина G является ин-
вариантной по отношению к жесткому движению, а мера Альманси
G — индифферентна.

Введем меры, обратные к мерам Коши — Грина и Альманси:

ад (Г1 — Vr-T • Vr-1 = VRT. vr0!

ад (Г1 = VRoT • VRo1 = VrT  Vr.

(1.2.40)

Очевидно, контравариантные компоненты g и g в базисах -Жо и
УСi соответственно совпадают с контравариантцыми компонента-
ми метрического тензора в базисах соответственно актуальной и
отсчетной конфигураций. В соответствии с выражениями (1.2.28)
Й и g можно представить в терминах главных значений и векторов
главных направлений

(1.2.41)

Из приведенных мер g, g более часто в механике деформируемого
твердого тела используется g, называемая мерой Фингера. Исполь-
зуя (1.2.16), нетрудно показать инвариантность по отношению
к жесткому движению меры g и индифферентность меры Фингера g:

=	g'_ OT-g-O.	(1.2.42)

Остановимся несколько подробнее на геометрическом смысле
инвариантности к жесткому движению G, g и индифферентности
G, g. Компоненты G, g в базисе •Ж'о характеризуют изменение длин
и углов для материальных отрезков, в отсчетной конфигурации
направленных вдоль соответствующих базисных векторов ёг,
произошедшее к рассматриваемому моменту времени. Понятно,
что в движениях гиг', отличающихся на жесткое движение, де-
формирование любой совокупности одних и тех же материальных
бесконечно малых отрезков, исходящих из данной частицы, будет
одинаковым. Следовательно, компоненты G, £ в базисе в дви-
жениях г и г' также совпадают в каждый момент времени, а по-
скольку базисные векторы ёг в отсчетной конфигурации фик-
сированы — совпадают и тензоры: G' = G, g' = g.

Компоненты G, g в базисе -7/‘г также характеризуют деформи-
рование (изменение длин и углов) элементарных материальных
отрезков, направленных в произвольный момент времени t вдоль
базисных векторов щ. лагранжевой (материальной) системы в ак-
туальной конфигурации. Отметим, что в отсчетной конфигурации
элементарные материальные отрезки, направленные в движениях
г и г' вдоль ё; п ё], расположены вдоль одних и тех же соответ-
ствующих векторов базиса ё;. Естественно, в движениях г и г',
отличающихся на жесткое перемещение, компоненты тензоров
G, g и G', g' в соответствующих материальных базисах ё; и ё[
актуальных конфигураций и Ж\ совпадают между собой, т. е.

Ci-G-e^et-G'-e-, ёг g-ej = e'i-g'-ej Vi,/ = 1,3

(аналогично для контравариантных и смешанных компонент).
Однако сами базисные векторы в актуальных конфигурациях
Ж"t и отличаются друг от друга на жесткое вращение, в силу
чего тензоры G, g и G', g' также не совпадают. При этом отличие
тензоров, обусловленное различием векторов базиса, и отражают
соотношения (1.2.39), (1.2.422).

В силу взаимной однозначности преобразований (отображений)
(1.2.8), (1.2.9) градиенты места Vr, VR0 представляют собой не-
особенные тензоры. Как известно [112], любой неособенный тен-
зор представим своим полярным разложением. В данном случае
имеют место соотношения [80, 112, 168]

Vr^U-R^R-V,	(1.2.43)

где R — введенный выше (1.2.31) тензор ротации; U и V — сим-
метричные положительно определенные тензоры второго ранга,
называемые соответственно левым и правым тензорами искаже-
ния (в зарубежных работах при сохранении смысла тензоров U
и V они называются соответственно правым и левым тензорами ис-
кажений, а роль тензора ротации играет RT).

Из выражений (1.2.43), (1.2.21), (1.2.40) имеем

U2 = Vr-VrT = G, V2 = VrT.V'r = g = G~1.	(1.2.44)
При этом главные оси тензоров U и G, V и G 1 (g) совпадают, так
что с учетом (1.2.29), (1.2.30) получим

з

и= 3 ^Р.>	^ = &)*/! = 1 + k^dS-JdSi, (1.2.45)

i-1

3

V = з Ш V^^^Y'^l^+lb^dSildS,. (1.2.46)
i=l

Таким образом, главные значения тензоров искажений U и V
совпадают. Интерпретация конечного перемещения частицы с ее
малой окрестностью с использованием мер искажения U и V ана-
логична приведенной выше (с применением мер Коши — Грина
й Альманси).

Для пояснения представления движения деформируемой среды
с использованием правого V и левого U тензоров искажений и тен-
зора ротации R рассмотрим движение двух бесконечно малых ма-
териальных волокон (Жо, <Ж0 (в J^o), переходящих в соответ-
ственно в dv', dr". При этом волокно <7R0 направим вдоль одного из
главных векторов левого тензора искажений, например р2, тогда
dr' направлен вдоль главного вектора р2 правого тензора искаже-
ний V. Волокно произвольно.

В соответствии с соотношениями (1.2.17) и (1.2.43) имеем

dr' = dR0-U.R, йг" = с/Во-и-В,

dr = dR0-R-V, dr" = dRQ-'R.y.

Рис. 1.6 поясняет представление движения деформируемой сре-
ды с использованием U и R. На рисунке Мп и Л7П обозначают про-
межуточные положения частиц М' и М", ММп = <Ж0-У, ММП =
= cZRo-U. При этом если ММП параллельно <7R0 (а следователь-
но,^), тоММп, вообще говоря, не параллельно dR0. Далее, ММ'=
= dr = ММц-R, ММ* = dr" = ММп-R.

На рис. 1.7 аналогичная схема иллюстрирует представление
движения с использованием V и R. Обозначения, принятые вы-
ше, сохранены, однако понятно, что положения частиц 7ИП и
Мп не совпадают с предыдущим случаем. Согласно принятым
здесь обозначениям имеем

мм; = tZR0 - R, ММп = dR0  R,

MM' = dr' = MM;.V,	MM" = dr" = MM;.V.

Следует подчеркнуть, что если вектор ММП параллелен конеч-
ному положению данного материального волокна dr, направлен-
ного вдоль главного вектора р2, то для произвольно ориентиро-
ванного по отношению к главным направлениям волокна ММ’
вектор ММП не параллелен конечному положению dr". Иными
словами, произвольно ориентированное относительно главных
Рис. 1.6. Представление движенияиспользованием U и R

Рис. 1.7. Представление движения с использованием V и R

направлений тензоров U и V материальное волокно при растяже-
ниях—сжатиях вдоль указанных главных направлений испыты-
вает не только удлинение—сжатие, но и деформационный поворот.

Из выражений (1.2.43), (1.2.45), (1.2.46) с учетом (1.2.31) мож-
но получить следующее представление градиента места в акту-
альной конфигурации;

з	з

= 3 РЖ	(1.2.47)

i=l	i=l

Следует отметить, что в отличие от векторов базиса ёг единич-
ные векторы, определяющие главные направления тензоров U,
G, g, меняются с течением времени, их положение зависит от де-
формирования среды при переходе из в Жt. При этом pt и р;
определяют положение одной и той же тройки взаимно перпенди-
кулярных волокон соответственно в и ЖЕстественно, в лю-
бой другой момент времени указанная тройка материальных во-
локон может быть не ортогональной. В отсчетной конфигурации
(в которой принято считать среду находящейся в естественном —
ненапряженном и недеформированном — состоянии) положение
р;. не определено. В дальнейшем будем полагать pfr, щ и U1; глад-
ними функциями времени. Тогда можно ввести тройку единичных
векторов р,, определяемых как пределы соответствующих векторов
ш (или рг) при t -> 0. Определим аналогично (1.2.31) собственно
ортогональные тензоры ротации, определяющие вращение как
жесткого целого тройки р, в триады главных векторов р; левого
U и Р; правого V тензоров искажений:

Ru = pftp\R^ = pfcp’f,	(1.2.48)

Ry = ptp‘,R? = pZ	(1-2.49)

Отметим, что положение р^, конечно, зависит от характера де-
формирования окрестности частицы в бесконечно малом интервале
[0 dt\, однако в дальнейшем р; являются фиксированными векто-
рами в Из соотношений (1.2.31), (1.2.48), (1.2.49) следует, что

R = Ru • Rv, RT = Rv • Ry.	(1.2.50)

Тензоры искажений U, V часто используют при анализе движе-
ния деформируемой среды, особенно при теоретическом рассмот-
рении. Однако определение U и V требует вычисления главных
значений мер Коши — Грина и Фингера, что невозможно без пере-
хода к численным значениям компонент G и£ [112]. Указанное об-
стоятельство приводит к определенным трудностям использования
тензоров U и V, однако эти затруднения не представляются не-
преодолимыми.

По аналогии с приведенным выше для мер Коши — Грина и
Альманси нетрудно показать инвариантность по отношению к же-
сткому движению левого U и индифферентность правого V тензо-
ров искажений. При жестком движении среды, описываемом вы-
ражением (1.2.35), тензоры U и V равны единичному, как и вве-
денные ранее меры деформаций, что непосредственно следует из
соотношений (1.2.44) и (1.2.37).

Более широко в механике сплошных сред используются тензоры
деформаций, определяемые с помощью введенных выше мер де-
формации. Тензоры деформации при жестких движениях равны
нулевому тензору, что создает некоторые преимущества их исполь-
зования.

В соответствие мерам Коши — Грина и Альманси введем тензо-
ры деформации Коши — Грина С и Альманси J#'.

С =	—E)^1/2(Vu+ ^ut +Vu-Vut),	(1.2.51)

= i/2 (Е - G) = х/2 (Vu + VuT-Vu-VuT),	(1.2.52)

или в компонентной форме (в произвольной и в единой декартовой
ортогональной системах координат):

С = l/2 (7<й; + V Д +

Ж = х/2 (V\Uj +	— VjU^V^) ё‘ё;,

(1.2.53)

(1.2.54)
ди': дик \
du’ да3 /

#=1/2

ди.	ди.

-----1

дх1	дх3

kV,

дик ди-ь \ • 
_Г1_—± kkJ

дх1 дх3 /

(1.2.55)

(1.2.56)

Сопоставляя (1.2.1) с (1.2.51) и (1.2.52) с учетом (1.2.27), не-
трудно видеть, что введенные с использованием компонент мет-
рического тензора в начале раздела тензоры деформации Й и g
представляют собой тензоры С и : .£7 = С, Ё =	. Исполь-

зуя соотношения (1.2.51), (1.2.52), можно определить G, G через

Й, равно как и все введенные ранее меры деформации.

Геометрический смысл компонент С1} в базисе и &ц в ба-
зисе Жi может быть легко установлен с использованием соотноше-
ний (1.2.25), (1.2.26) и (1.2.51), (1.2.52). Главные направления
тензоров деформации С и совпадают с главными направления-
ми соответственно мер деформации G и G, так что справедливо
представление С и в терминах главных значений и главных
векторов:

3	3

с = s СЖ = 3 -Лр'Р;-	(1-2.57)

г=1	i=l

При этом главные значения тензоров С и определяются через
главные значения мер деформации G и G и главные относительные
удлинения следующим образом:

Ct = i/2 (G{ - 1) = V2 [(1 + Itf - 1],	(1.2.58)

Л = V2 (1 - Gi) = V2 И - (1 + Z;)21,	i =T3.	(1.2.59)

Поскольку Gt GE (0, oo), G, GE (0, oo) (причем значения 0 и oo сле-
дует исключить из рассмотрения, так как в этих случаях нару-
шается взаимнооднозначность соответствия Жо и то Ct GE
€= (—х/2, оо), dt GE (—oo, V2).

Используя очевидное соотношение E — OT E O и неизмен-
ность единичного тензора в любой конфигурации, из инвариант-
ности по отношению к жестким движениям меры Коши — Грина
G и индифферентности меры Альманси следует инвариантность С
и индифферентность J&. Из равенств (1.2.37) с учетом (1.2.51),
(1.2.52)вытекает равенство тензоров деформации Си^ нулевому
тензору 0 при жестких движениях среды. Следует отметить, что
тензоры малых деформаций

ё = х/2 (Vu + VuT), е = r/2 (Vu + VuT),
получаемые из С н соответственно при пренебрежении квадра-
тичными относительно градиентов перемещений членами, отлич-
ны от нулевого тензора при жестких движениях. Как показано
В работе [112], при жестком движении (1.2.35) е = 1/2 (О ф-
_|_ От — 2Е), ё = х/2 (2Е — От — О). При этом Vu-VuT =
= 2Е-О-ОТ, Vu VuT = - (От+ О — 2Е), т. е. малость
компонент тензоров С и & не является достаточным условием
применимости геометрически линейных соотношений. Использо-
вание последних возможно лишь в случае малых (покомпонент-
но) градиентов перемещений.

В прикладных задачах механики деформируемого твердого тела
широкое распространение получила логарифмическая мера де-
формации (или тензор деформаций Генки) [221]. Для определения
логарифмической меры деформации необходим переход к главным
значениям приведенных выше мер деформации. Введем два тензо-
ра деформации Генки, имеющие одинаковые главные значения,
но отнесенные к различным диадам главных векторов;

ззз

н = У, In икркрк = 4- У in 1 In (1 + 2Ск) p*pft =
fr=l	Л=1

3

= ^ln(l+z\)pspfe,	(1.2.60)

t=i

з	з

= У, In V=------У !n GftP^Pfc =

3	3

=----У In (1 - 2^) р1р;.-= - У In (1 + Zft) p^. (1.2.611

»=1

Главные значения тензоров И и Н представляют собой нату-
ральные логарифмы отношения длин материальных волокон в
а направленных вдоль главных направлений тензоров V и U.
В случае деформирования при фиксированных главных осях pfc
(в смысле ориентации по отношению к материальным волокнам)
тензорыН и И будут аддитивны, т. е. тензоры деформации Генки,
для любого момента времени можно определить как сумму тензо-
ров приращений деформаций на интервалах, на которые разби-
вается исследуемый отрезок времени. При этом на каждом интер-
вале тензор приращения деформации определяется согласно
(1.2.60) или (1.2.61) при использовании в качестве конфигура-
ции начала интервала.

Из указанных выше пределов изменения главных значений
мер деформации G и G следует, что Hit Ht ЕЕ (—оо, ©о), i = 1, 3.
При движении среды как жесткого целого Н, Н равны нулевому
тензору 0. Нетрудно установить индифферентность Н и инвари-
антность по отношению к жесткому движению Н.

В дальнейшем полагаем, что все введенные тензоры, характе-
ризующие деформирование среды, непрерывны вместе с производ-
ними требуемого порядка по совокупности аргументов. При пред-
ставлении тензоров деформации в терминах главных векторов и
главных значений считаем, что главные векторы и главные значе-
ния являются непрерывными с непрерывными производными тре-
буемого порядка по совокупности аргументов.

Приведем требуемые для дальнейшего изложения соотношения
между элементарными объемами и элементарными ориентирован-
ными площадками в 9Г0 и [112, 1521. Как и ранее, будем рас-
сматривать частицу М деформируемой среды вместе с ее малой
окрестностью.

Рассмотрим материальный прямоугольный параллелепипед,
в Жо построенный на бесконечно малых радиус-векторах dR0l =
=	В этот материальный объем представляет собой

также прямоугольный параллелепипед, построенный на с/ц =
= dS^ (1^) . Тогда объем материального параллелепипеда в
и VCt определяется как dV = dSyd°S2dS3, dV = d§ydS2dS3. С уче-
том (1.2.29), (1.2.59) — (1.2.61) и представления инвариантов про-
извольного тензора второго ранга В в терминах главных значе-
ний [112, 1521:

Л (В) = By + В2 + S3, Ц (В) = ВуВ2 + В2В3 + В3Ву,

/3(В) = 51ад„	(1.2.62)

отношение объемов в и Жй можно выразить через инвариан-
ты различных тензоров деформации:

dV/dV = [Z3(G)]V2 = [1 + 2Л (С) +	(С) + 8/з (С)]1-,

(1.2.63)
dV/dV - [h (G)]-'/2 = [1 - 2Iy (^) + 4Z2 (^) - 8/3 W]4

In (dT/dt) = Л (H) = Iу (H).	(1.2.64)

Рассмотрим элементарую площадку, построенную в на
исходящих из частицы М векторах <Ж3, с/В0, площадь которой
обозначим через сШ, а единичную нормаль — через N, так что
dnN = cZR0 X dR0. В актуальной конфигурации бесконечно ма-
лые (материальные) векторы cZR0, <Ж0 трансформируются соответ-
ственно в dr', dr", площадка, построенная на последних, имеет
площадь dn и единичную нормаль п, при этом йлп = dr' X dv.
Как достаточно подробно показано в работе [112], справедливы
следующие соотношения:

 и dn •= (р/р) ^Ro • N «Ш = (р/р) N • VRq (Ш,

N с/П — (р/р) Vr-ncZn = (р/р) n-VrT dn,
где р. р — плотность среды в Жо и причем р/р = dV/dV =
= У Е1Ё. Из соотношений (1.2.65) с использованием (1.2.40) не-
трудно показать, что

dn/dll = (p/p)^4-^y!^	сШ/йл==(р/р)(н-£-п)Ч	(1.2.66)

n==(N-g • N)-'^R0.N, N = (n-g-n)-1AV’r-n.	(1.2.67)

Использование приведенных в данном разделе мер деформации
и представлений движения среды в конечной форме характерно
главным образом для теории упругости. При исследовании про-
цессов пластического деформирования в основном используются
скоростные кинематические характеристики, к изложению кото-
рых переходим в следующем разделе.

1.3. Тензоры приращения и скорости деформации

В соотношениях, описывающих нелинейное поведение различных
материалов, используются обычно не тензоры деформации, а тен-
зоры приращений и скоростей деформации. Поэтому здесь анали-
зируются тензоры приращений и скоростей наиболее распростра-
ненных тензоров деформации.

При определении тензоров приращений деформации будем рас-
сматривать деформированное состояние некоторой частицы М сре-
ды вместе с ее малой р-окрестностью, соответствующее двум мо-
ментам времени tr и t2 = Н + А/. Положение частицы М в Жи
определяется соответственно радиус-векторами гх и г2 =
= ri + Аг.

Определим тензор приращения деформации Коши — Грина.
Используя (1.2.51), имеем

АС = С (t2) - С (Н) = х/2 [G (h) - G (Н)] ==

= 1/2[VrvV(Ar)T + V(Ar)-VrT + $(Ar)-V(Ar)T].	(1.3.1)

В компонентах для произвольной системы координат и единой
для всех конфигураций декартовой ортогональной системы, учи-
тывая, что Аг = Ап (приращение перемещения), можно записать
(1.3.1) в виде

= -±- [V, (А^) + Vj (Дщ) + Vi (Ащ) V; (Aufe) +

+	H-ТщЛЛАй^)] ё4ё\	(1.3.2)

АСуЛ^^А-	~ 9 (Аи;)	д (Лгл)	d (Л%) g (дцР)  da1	да-‘	da1	dai

| d du . dup О (Дир)	(13 3)

daL dai	da‘ da-1

Несколько сложнее обстоит дело с определением тензора при-
ращения деформации Альманси Д<я/, поскольку в этом случае ме-
няются векторы базиса, а следовательно, и оператор Гамильтона.
Как следует из определения базисных векторов,

(К) “ Д (^) = ~г = Д (Н) + ё8 (Н)- Vit (Au).	(1.3.4)
Полагая градиенты приращения перемещения (Au), опреде-
ленные в малыми и удерживая только члены первого поряд-
ка малости, можно показать, что

ё8(^) = ё^(^)- ^.(Ди).^^),	(1.3.5)

Тогда операторы Гамильтона в .%‘(1 и Ж/а связаны соотношением

VU) = V/i()-VZi(Au)-V(t(),

[йг ()Г = [М )]т -	()]т • (Дц)т.	(1.3.6)

Далее используются векторы базиса и оператор Гамильтона, оп-
ределенные в CKix, индекс опустим. Используя выражения
(1.2.52), (1.3.6), нетрудно получить

Дз/ = Л (t2) - л (?i) = !/2 [G (И) - G (£2)1 =	[V (Ди) 4-

+ V (Ди)Т] -[& (Ди)т + V (Ди) - & (И)].	(1.3.7)

В базисе ёь. конфигурации Ж tx и в базисе ks А.# можно предста-
вить следующим образом:

= 4- {[V, (Ай;) + V.; (Дщ)] -

+	(1.3.8)

+	(I-3-9)

dxJ	ox JJ

Напомним, что соотношения (1.3.7) — (1.3.9) получены с точ-
ностью до членов первого порядка малости (включительно) отно-
сительно градиента приращения перемещения. Следует отметить,
что в силу изменения векторов базиса актуальной конфигурации
компоненты тензора приращения	в общем случае не равны

приращениям соответствующих компонент тензора Альманси
АЛг> = Лц — <Ац (tr), чем и обусловлено принятое в (1.3.8)
обозначение. Заметим также, что, как следует из соотношений
(1.3.1), (1.3.7),

, Д& = 2ДС, Дв = -2А^.	(1.3.10)

При жестких движениях (1,2.35) V7 С = 0, т. е. С (£х) = 0,
С (*2) = о, тогда и ДС = 0. Аналогичные соотношения можно по-
лучить из выражений (1.2.37) и (1.3.10) для А.# = —^AG = 0.
Однако следует учесть, что при выводе (1.3.7)—(1.3.9) были от-
брошены члены второго порядка малости, поэтому необходима
непосредственная проверка полученных соотношений. В выра-
жении (1.3.7) второй член равен нулевому тензору, так как в этом
случае Vt = 0. Далее, из соотношения (1.2.35) имеем

Ди = Дг = г (t2) — г (1Х) = гр (12) — гР (ii) ф- (Ro — RoP) • (О (t2) —
— O(li)) —tP (la) — Гр (ti) Д- (От (t-2) — От (li)-(R0 — RoP)).

Из равенств (1.2.36) es (ii) = es-0 (Н) — 0T (ij)-es, тогда

V(1( )=Л () = 0T (i1)-e*-^-( ) = 0T (tl).$ ().

Таким образом,

V (Ди) = 0T (li) • (О (12) - О (1Д) От (fi) • О (12) — Е = От (11) • ДО,

V (Ди)т = ДОТ • О (11),	Д^ = х/3 [0т(11) • Д0 |- ЛОТ • О (11)].

Следовательно, аналогично тензору малых деформаций ё (см.
разд. 1.2) тензор приращения тензора Альманси, определяемый
согласно (1.3.7), отличен от нулевого в общем случае жесткого
движения. В данном случае и V (Ди) и Д.# имеет тот же порядок
малости, что и ДО.

Из выражений (1.2.38), (1.2.39) с учетом (1.3.10) можно пока-
зать инвариантность по отношению к жесткому движению ДС и
неиндифферентность Д.#. Инвариантность ДС по отношению к
жестким перемещениям непосредственно следует из соотношений
(1.2,38), (1.3.10): поскольку V1 G' = Ь, то

ДС' = х/2 [G' (12) - G' (И)] = х/з [G (la) - G (Н)] = ДС.

Неиндифферентность Дл#, определяемого согласно (1.3.7),
можно показать непосредственной подстановкой аналогично про-
деланному выше для жестких движений.

Заметим, что в отличие от жесткого движения среды в данном
случае удержание членов второго порядка малости не изменяет
ситуации — тензор (12) —	(!]) является неиндифферентным.

Действительно:

Дз#' = $' (12) —	(11) — От (1а)-	(12) О (12) —

- от (11) • (11) • О (11) = От (11) • Д . О (11) +

4- ДОТ • Я (1а) • О (11) 4~ От (11) • Л (12) • ДО - ДОТ •	(1а) • ДО.

Таким образом, несмотря на то, что сам тензор Альманси ин-
дифферентен, его приращение не является индифферентным тен-
зором. Данное обстоятельство объясняется тем, что в движениях,
отличающихся на жесткое перемещение, сами индифферентные
тензоры изменяются в зависимости от наложенного вращения, во-
обще говоря, произвольным образом. Поэтому равенство компо-
нент (12) и (12) в базисах ё) (1J и es (1Х) возможно только в слу-
чае отсутствия вращения за промежуток времени 12 — 11? т. е.
ДО = О (12) — О (11) = 0.

Под тензорами скоростей деформации будем понимать полные
(материальные, субстанциональные) производные соответствую-
щих тензоров деформации. Наиболее просто определяется тензор
скорости деформации Коши — Грина

С = х/26 = х/2 (Vr-VvT + Vv-.VrT),	(1.3.11)

или, используя вектор перемещения и г — Ro,

C = 1/2[f?v + VvT) + (Vv-VuT + Vu-VvT)].	(1.3.12)

Представление в базисах ёг и кг имеет вид

= Ч, [(V^. + V^) +	+ V^V^)] ёгё\ (1.3.13)



5г/	9ир dvp

да1 да3	да'‘ да3

kV.

(1.3.14)

Выражение тензора скорости деформации Альманси может
быть получено либо из (1.3.7) предельным переходом при Ai —> О,
либо непосредственным дифференцированием (1.2.52) с использо-
ванием (1.2.22). Воспользуемся вторым способом. В этом случае
требуется определить субстанциональную производную градиента
места в отсчетной конфигурации VR0 и транспонированного к не-
му. Для этого используем выражение (1.2.6):

Ё = О <= (Vr) • VR0Vr-(VR0),

откуда следует

(VR0) = — VR0 • Vv • VR0 = - Vv • VR°,	(VR?) = - V R? • VvT.

(1.3.15)

Таким образом, получаем

J# i/2 (Vv + VvT) - (Vv • J# + J# - VvT),	(1.3.16)

или в компонентной форме

Л = (J/)o- ё;ё; = [х/2 (V^- + VA) - (V^A + л{гЖ)1

(1.3.17)

Л =	[х/2 (±1 + ±4) -	] kV

(1.3.18)

Первое слагаемое в (1.3.16) определяет так называемый тензор
деформации скорости D:

D = х/2 (Vv + VvT) х/2 (VjiJj ф- Vfii) ёгё; =

/ dv- 9v- \ . .

-V2 Ы- + -7 klk<	(1.3.19)

\ ox dxJ J

Тензор деформации скорости D совпадает с тензорами скорости
деформации Коши — Грина и Альманси при использовании в ка-
честве отсчетной СКактуальной конфигурации CKt.
Действительно, в этом случае V ( ) = V ( ), и = 0, откуда
= Vu = 0, а из выражения (1.2.52) следует А = 0. С учетом
приведенного выше и из соотношений (1.3.12), (1.3.16) получаем
соответственно

с «= V2 (Vv + tvT) = 1/3 (Vv + VvT) = D,

J# = i/2 (Vv + VvT) = D.

Рассмотрим градиенты скорости, определенные в отсчетной
и актуальной конфигурациях Vv и Vv, причем с учетом извест-
ных соотношений

^() = Vr.V(),	(V( ))T = (V())T.VrT,

V() = VR0-V(), (V ( ))'г — (V ())T-VR^	(1.3.20)

градиенты скорости перемещений связаны выражениями

Vv = t7vVv, Vv = VR0-Vv.	(1.3.21)

Рассмотрим движение частицы М вместе с ее малой окрест-
ностью. Пусть положение частицы М' из этой окрестности отно-
сительно М в отсчетной конфигурации определяется вектором
dR0, а в — вектором dr, причем dr и tZR0 связаны соотноше-
ниями (1.2.8) — (1.2.9). Скорость частицы М' относительно по-
ступательно перемещающейся с частицей М системы отсчета оп-
ределяется как vr = dr . Из выражений (1.2.8), (1.2.9) нетрудно
установить тогда следующие соотношения:

vr = dR0-Vv = t/r-Vv.	(1.3.22)

Таким образом, градиенты скорости перемещений Vv, Vv, опреде-
ленные в /%'о, для произвольной частицы М, характеризуют
относительные (по отношению к системе координат, поступатель-
но перемещающейся вместе с М) скорости частиц из малой окрест-
ности частицы М.

Представим Vv его разложением на симметричную D и анти-
симметричную W части:

Vv — D — W = D-j-WT,	(1.3.23)

где

W^i/^Vv1 — Vv)	(1.3.24)

— так называемый тензор вихря (спин над v), a D определяется
из выражения (1.3.19). Тогда в соответствии с (1.3.22)

vr = dr-D — cZr-W = t/r-D + W-cZr.	(1.3.25)

Компоненты тензора D =	, как следует из определения тен-

зора D (как С или J#) при использовании в качестве отсчетной ак-
туальной конфигурации) и геометрического смысла тензоров С
или характеризуют скорость удлинения и изменения углов
между материальными волокнами, направленными вдоль ёг, ё,-.

Определим симметричный тензор D в терминах его главных
значений Dt и главных векторов Ьг = Ь,: •

з

D=2JAbibi.	(1.3.26)

i=l

Материальные волокна, направленные в данный момент вдоль Ьг,
испытывают мгновенные растяжения—сжатия без нарушения
взаимной ортогональности. Сопоставляя сказанное с соотношением
(1.3.25), можно установить геометрический смысл тензора вихря:
W характеризует мгновенную угловую скорость вращения мате-
риальных волокон, направленных вдоль главных осей тензора D,
как жесткого целого. В механике сплошной среды выводится [141,
152] вектор <в, ассоциированный с W таким образом, что (см. фор-
мулы (1.1.15), (1.1.16))

W-dr = o' X dv \7dvcxR:i.	(1.3.27)

Скорость частицы М и поступательно перемещающейся с ней
подвижной системы отсчета обозначим как Vjj. Отметим, что для
произвольной частицы М' малой окрестности М скорость vM по
аналогии с кинематикой твердого тела можно рассматривать как
переносную скорость.

Объединяя все сказанное, приходим к теореме Коши — Гельм-
гольца о представлении скорости произвольной частицы М' ма-
лой окрестности частицы М геометрической суммой трех состав-
ляющих: скоростей поступательного (переносного) Ум и вращатель-
ного X dv движений как жесткого целого и деформационной
скорости «'r-D = D-dr частицы [1521:

vw- = Vm + to X dv -I- D-dr.	(1.3.28)

Следует напомнить, что в общем случае движения деформируе-
мой среды о «жестком движении» можно говорить лишь условно.
Поэтому в дальнейшем в некоторых случаях будет использоваться
термин «квазитвердое движение» для того, чтобы подчеркнуть,
что речь идет только о разложении (представлении) движения де-
формируемой среды.

По" аналогии с теоремой Коши — Гельмгольца можно ввести
и другие способы представления движения деформируемой среды
совокупностью квазитвердого и деформационного. Например,
квазитвердое движение можно ввести как поступательное со ско-
ростью ум и вращательное с угловой скоростью некоторого жест-
кого ортогонального триэдра (например, главных осей тензора V).
Тогда деформационная скорость будет определяться как относи-
тельная скорость движения рассматриваемой частицы относитель-
но данного триэдра.
При жестком движении среды в соответствии с выражением
(1.2.35)

v vP + 6Т • (Ro - Rop) = vP + (От • О) • (г - гр), (1.3.29)
откуда

Vv = ОТ-О, VvT = От-О — — От • О.	(1.3.30)

Антисимметричный тензор (спин) От-О (см. (1.1.51)) характе-
ризует угловую скорость в данном случае любой жестко связан-
ной с движущейся средой системы координат. Из соотношений
(1.3.19) и (1.3.30) следует, что при жестком движении тензор де-
формации скорости равен нулевому.

Для движений гиг', отличающихся на жесткое (1.1.44), ско-
рости перемещений связаны соотношением

v' = vp + (v — Vp)-0 4- (г — гр)-б,	(1.3.31)

откуда следует:

V'v' = OT- Vv-0 -j- От.б,

(1.3.32)

V'v'T = от • VvT. О + бт • О.

Из выражений (1.3.32) очевидно, что градиент вектора скорости
не является ни индифферентным, ни инвариантным по отношению
к жесткому движению. Из соотношений (1.3.19), (1.3.24), (1.3.32)
полупим

О' = i/2 (V'v' + V'v'T) _ от . [i/2 (Vv + VvT)]. О = От • D • О,

(1.3.33)

W' = х/2 (V'v'T — V'v') = От • [х/2 (VvT — Vv)]. О + бт • О =

= 0T-W-0+ бт-О.	(1.3.34)

Соотношения (1.3.33)—(1.3.34) представляют собой матема-
тическую запись теоремы Зоравского [112]: тензор деформации
скорости D индифферентен, тензор вихря (спин над v) W неиндиф-
ферентен.

Остановимся на геометрическом смысле тензора бт-О. Как
следует из (1.1.44) и свойств ортогонального тензора, в движени-
ях г и г' в каждый момент времени | ё; j = | ё] |, | ёг | = | ё,г |.
Бродя единичные векторы = ёг/ | ё; |, g] = ё|/ | ё] [, из (1.1.47)
имеем

£; = §>О = ОТ.^.	(1.3.35)

Дифференцируя (1.3.35), получим

£ = йго+6т.§ч=ёгон-от.о.£.	(1.3.36)

Введем в рассмотрение антисимметричные (антисимметрично сть по-
казывается аналогично проделанному выше для тензора й (1.1.51))
и ассоциированные с ними векторы ®17 ®2, так что

gi = Wi-gj = <ш X gi, gi = W2-gi = ®2 X gt,	(1.3.37)

через ® обозначим ассоциированный с 6т-0 вектор.

Тогда из (1.3.36) следует: ® х gi = ®2 х gi — (®i'O) X gi,
где использовано непосредственно проверяемое соотношение

(®1Xgi)-O = (®1.O)x(grO).	(1.3.38)

Таким образом:
(О = ®2 — <1)1'0,

(1.3.39)

т. е. тензор 0т-0 характеризует относительную мгновенную ско-
рость вращения системы gi как жесткого целого (квазитвердое
вращение) относительно системы g,, причем последняя вместе с
вектором ©! предварительно совмещена с системой gi. Рис. 1.8 ил-
люстрирует соотношение (1.3.39), где <щ = Oj-О,	= — <щ.

Заметим, что под движениями гит' можно понимать одно и то
же движение среды относительно двух различных систем коорди-
нат, перемещающихся друг относительно друга таким образом,
что в каждый момент времени любая из них может быть получена
из ДРУг°й трансляцией и поворотом (сами системы координат мо-
гут меняться с течением времени, но это изменение происходит оди-
наковым образом). В качестве таковых при рассмотрении движе-
ния сплошной среды могут быть выбраны главные оси меры Ко-
ти— Грина G (или С, U, g) и Альманси G(j^, V, g), ортогональ-
ное преобразование которых друг в друга осуществляется с ис-
пользованием тензора R (1.2.31). Тензор спина, характеризующий
относительную угловую скорость системы рг относительно систе-
мы Рй согласно сказанному выше, определяется как

fl = RTR = — RTR = — Йт.	(1.3.40)

Введем также спины Йц, Йу, характеризующие абсолютную уг-
ловую скорость главных векторов рг левого тензора искажений
U и рг правого тензора искажений V:

Йи = Ry • Ry = Psp’1, Йу = Ry-Ry = p)/p’c.	(1.3.41)

Тогда с учетом равенств (1.2.50)

й —RT-R = (Ry-Rn + Ry-Ru)-Ru-Ry =

= Ry • Ry -Т Ry • R( • Ry  Ry = йу — RT  йи  R.	(1.3.42)

Заметим, что векторы pft совпадают с главными векторами Ьд. тен-
зора D в момент t = 0.

С учетом сделанного замечания можно ввести тензор ротации
главных осей тензора D из нулевого положения в актуальное:

rd (Z)=bi (0) b; (t)=Pib4,	RZ = bip\

Тензор угловой скорости йр главных осей тензора D тогда можно
ввести по аналогии с (1.3.41): йр = Rp-Rp = ЬгЬг, так что Ь, =
= йд-bj. Тензор йр, как и введенные выше спины, антисиммет-
ричен: йр = —йр. Следует подчеркнуть, что в общем случае
движения тензоры W и Йр, естественно, не совпадают: тензор W
характеризует угловую скорость материальных волокон, направ-
ленных вдоль Ь;, тензор йр — угловую скорость триэдра главных
осей тензора D.

Используя выражения (1.2.45), (1.2.46), определим скорости
изменения левого и правого тензоров искажений:

.	3	3	3

и= 3	+ 2, ujfa + I, и^=

г=1	i=i	г=1

3

= S едр4 + ^-и-ни.й£,
г=1

ИЛИ

.	3

3 едРг + йр-и-и.Йр.	(1.3.43)
Аналогично

V =	1Лр;р; : «v-V — VQr.

1=1

Заметим, что из выражения (1.2Л7) следует:
з

= У, ед;+ Qy.Vr-Vr.Qv,
г=1

tVT = ^Pi — VrT. Qy + Qv. VrT.

1=1

(1.3.44)

(1.3.45)

(1.3.46)

Из соотношений (1.3.45), (1.3.46), учитывая, что Ut = V{, посред-
ством несложных преобразований с использованием (1.3.21),
(1.2.43), (1.3.41) получаем

Vv = £Apipi+ £ Г21_ат.фу]_йу,	(1.3.47)

1	i7fc=i u *

3	•	3

У	4-Яу.	(1.3.48)

fer 1 ijSiL 1	J

Из (1.3.47), (1.3.48), (1.3.19), (1.3.24) следует:

О = Ё-7ТРЪ + 4- Г [(t—К-)Мр(1>	(1.3.49)

г=1	i, k—i

з

W = Qv+4-E +	(1-3-50)

i^=iL 1 k

Из (1.3.49) и (1.2.46) с учетом сказанного о геометрическом
смысле тензора D следует, что диагональные компоненты Р„ =
= Р>-О.р.®определяют относительную скорость удлинения ма-
териальных волокон, направленных вдоль главных векторов рг:

, _ Vj _	__ Д /Г-^

” Vi dSJdSi dSi ' \LA/
г» t	г	г

Очевидно, что слагаемые в квадратных скобках (1.3.49) отлич-
ны от нуля только при i У= к и Vt у= У^. С использованием вы-
ражения (1.3.49) в этом случае компоненты тензора Qy могут
быть определены через компоненты D:

о	2КГ. ~

^OTi = -^-^^-(Pfc-D-Pi)
i lr	i I-

(1.3.51)
Подставляя затем (1.3.51) в (1.3.50), получим

V?

QvAi = PK^v-Pi = Ps-W.pi —	— (pi-D-pfe), i=£k,£.

к ‘	i, к

(1.3.52)

Очевидно, что соотношения (1.3.51)—(1.3.52) неприменимы
в случае Vt = Vk, i Ф к. Этот случай соответствует ситуации,
когда линейные оболочки (плоскости в R3) векторов рг, щ и р;,
pt представляют собой множества главных осей тензоров U и V.
Если подобная ситуация возникает для некоторого момента вре-
мени, то компоненты Йу и Йу в силу принятых выше предполо-
жений о непрерывности главных векторов могут быть определе-
ны предельным переходом. Случай, когда Vt = (i к) на от-
резке [ij, i2l ненулевой меры, требует отдельного рассмотрения.

Если на отрезке совпадают все три главные значения (Уг =
= Vj = V/с, i ¥= j к z), то любое из направлений в Rs явля-
ется главным. Как следует из выражения (1.3.49), в данном слу-
чае главные оси тензора D совпадают с главными осями V, т. е.
также являются произвольными. Во избежании неоднозначности
в качестве главных направлений тензора V можно выбрать направ-
ления материальных волокон, которые в момент времени t} совпа-
дают с р,-, i = 1, 3. Поскольку в материальные волокна непод-
вижны, то неподвижны и рг, а следовательно, й^ = 0.

Аналогичная ситуация возникает в случае Vt = Vk #= Vj
(i Ф j У= к ф i) Vt ЕЕ [<i, t2], если линейная оболочка векторов
pf, PifB^f (а следовательно, рг, в Жо) фиксирована по отноше-
нию к материальным волокнам, расположенным в момент £, в
плоскости линейной оболочки и перпендикулярных к ней.

Тогда Vt е (t17 t2)

QOTi = 0, йун = Ж^.=рЛ^.р1 = рк.й-р{,	(1.3.53)

т. е. скорость вращения p;, ps совпадает с угловой скоростью ма-
териальных волокон, однозначно определяемой по тензору вихря
W. Компоненты Йу, Йу в моменты t = tr и t = определяются
аналогично вышеизложенному (предельным переходом).

При У, = Vk #= Vj (i ¥= j ¥= к =^= z) Vt EE [tx, t2] и изменяю-
щейся ориентации линейной оболочки векторов рг, р?- по отноше-
нию к материальным волокнам однозначно определяется только
один главный вектор р>, векторы рг, р(1., оставаясь взаимно ортого-
нальными, направлены произвольно в плоскости, перпендикуляр-
ной рр При решении реальных задач в этом случае может быть
использована достаточно гладкая аппроксимация вектор-функ-
Ций рг, pfc на отрезке [t1? t2],

В соответствии с выражениями (1.2.60), (1.2.61) введем ско-
рости изменения логарифмических мер деформаций Н и И
по аналогии с (1.3.43) и (1.3.44)):

* з U

H = ^-^pfcpfc + Qu-H-H.12[/,	(1.3.54)

/с=1 к

3 v

+	(1-3.55)

Л'==1 к

Для использования вышеприведенных производных при реше-
нии реальных задач необходимо выразить их через текущие кине-
матические характеристики движения сплошной среды. Следует
отметить, что субстанциональная производная Н непосредственно
в форме (1.3.55) не применяется для построения определяющих
соотношений. Поэтому остановимся лишь на выражении (1.3.54).

Используя равенство главных значений правой и левой мер ис-
кажения и их материальных производных, из выражения (1.3.49)
получим Е7г/Ui = VilVi = pj-D-p2, 'х. Тогда соотношение
(1.3.54) в базисе главных векторов левой меры искажения можно
записать следующим образом:

з

Й=(Н)г>рф;= 3 (p^D.pjpp, +

i=l

Полагая, что главные значения левой (а следовательно, и правой)
мер искажения отличны друг от друга, из последнего соотношения
с учетом (1.3.51), а также учитывая, что Н]? =	=

= In ЕД — главные значения Н), имеем

д £ -^^(^D.pOinnAib-

i=l	i, j=l,	3	1

Д	2U.U-

- £

i, j=l,	3	1

Тогда окончательно получаем
з

11 У (р2-D.p>) рф, +

i, j=l

Л, / 2U.U.	и.	V .

+ £ (^^-Фр'^рШ-	(!.3.54a)

г, j=l \ i i	1	>

Заметим, что первый член правой части не представляет собой тен-
зора деформации скорости.

При построении определяющих соотношений в нелинейной
механике сплошной среды широкое распространение получили так
называемые коротационные производные векторов и тензоров.
Коротационные производные определяют скорости изменения
векторов или тензоров по отношению к движущейся системе ко-
ординат, т. е. относительные скорости. Рассмотрим определение
коротационных производных на примере вектора а и тензора вто-
рого ранга Q, «приписанных» к произвольной частице М. Пусть
ЖЧ2£3— движущаяся вместе с частицей систему координат
(вообще говоря, произвольная) с векторным базисом q;.

Тогда в соответствии с известным в классической механике
правилом определения относительной скорости можно ввести два
типа коротационных производных:

ar(qt) =	4i = (a-q1 + а-4г)дь	(1.3.56)

Q г(ф)= [-£-(qi-Q-qJ)J	+q‘-Q-q’+q*-Q-q’)qiqj»

(1.3.57)

 аГ (ч1) [чг (а 4i)] ql = (a-Qi + а• Ъ)Я’	(1.3.58)

Qr(q!) = [-^-(q.-Q-qj)] qV =

= (qrQ-q> + qi-Q-q> + qi-Q-q3)qlq3-	(1.3.59)

Соотношения (1.3.56) — (1.3.57) определяют скорость измене-
ния вектора а и тензора Q для наблюдателя, движущегося вместе
с базисом qb соотношения (1.3.58) — (1.3.59) — с базисом ql.
Заметим, что в случае ортонормированного базиса q; различие
между векторами основного и сопряженного базисов (а следова-
тельно, между соотношениями (1.3.56) и (1.3.58), (1.3.57) и (1.3.59))
пропадает. Отметим также, что производные базисных векторов
не зависят от трансляционного перемещения частицы вместе с под-
вижной системой координат.

В качестве системы координат М £2 £3 может быть принята
одна из следующих:

а)	лагранжева сопутствующая с базисными векторами ё;;

б)	система главных осей левого тензора искажений U с орто-
нормированным базисом рг;

в)	система главных осей правого тензора искажений V с орто-
нормированным базисом рг;

г)	декартовы ортогональные системы координат с ортонорми-
рованными базисами, перемещающиеся вместе с частицей и вра-
щающиеся с угловыми скоростями, соответствующими тензору 12
или тензору VV.

Рассмотрим каждый из возможных вариантов в отдельности.

а)	В данном случае q, = ёг. Используя (1.3.15), (1.2.3), оп-
ределение базисных векторов, а также неизменность во времени
в; и Е, нетрудно определить производные по времени ё; и ёг

= ё{- Vv = ?ут-ёь ё1 — — Vv-ё1 ~ — &. VvT.	(1.3.60)
Подставляя (1.3.60) в (1.3.56) — (1.3.57), получим так называе-
мую производную Олдройда [251] вектора и тензора второго ранга

аог = аг (ё4) = (а-ё* -[- а-ё1)ё,= (а-ёг— а-Гу-ёг)ё4 =

<= [(а — а • ¥у)-ёг] ё£ = а — a-Vv;

Q0Z = Qr(ei)^=(ei-Q.6^ + e^Q-e? + ё^-е^ё^

= (el-Q-e' — ёг-VvT-Q-e^ — eHQ. Vv •ё-') eiej —

<= je’-(Q — VvT -Q — Q. Vv)-e^]eieJ = Q — VvT -Q — Q-Vv.

Окончательно имеем

aoz = a— a-Vv,	(1.3.61)

qoz = q_ vvT.Q —Q.Vv.	(1.3.62)

Аналогично из соотношений (1.3.58), (1.3.59) с использованием
первой части соотношения (1.3.60) получаем коротационную про-
изводную Коттер и Ривлина [205] (относительную скорость, оп-
ределяемую наблюдателем, движущимся вместе с базисом ql = ёг)

аСЙ = аVv-a,	(1.3.63)

Q<b===q_l Vv-Q + Q-VvT.	(1.3.64)

Соотношения, подобные выражениям (1.3.61) — (1.3.64), мо-
гут быть легко получены для тензоров большей валентности,
а также при использовании смешанного базиса. Следует отметить,
что в определение производных Олдройда и Коттер и Ривлина
вовлекается не только скорость изменения направлений векторов
базиса, но и скорость изменения длин этих векторов и углов меж-
ду ними. Иначе говоря, в качестве подвижной системы отсчета в
данном случае используется деформируемая система координат.
В определяющих уравнениях, где применяются коротационные
производные, более приемлемым представляется в качестве под-
вижных использовать жесткие системы координат с неизменными
по модулю векторами базиса, выделяя характеристики деформа-
ционного движения в число параметров состояния среды.

б)	Здесь q; = р; = рг, | pf | = 1, система координат Л/с/с2^3
в каждый момент времени совершает мгновенный поворот с угло-
вой скоростью (Ни, соответствующей тензору спина Йц. При этом
согласно (1.3.41) имеем

i^fVp^-p^.	(1.3.65)

Тогда из (1.3.56) — (1.3.57) (или (1.3.58) — (1.3.59)) определим
коротационные производные вектора и тензора второго ранга:

аи = а + а-Йу = а — йц-а,	(1.3.66)

(f	(1.3.67)
в)	Данный случай аналогичен рассмотренному выше: <jj =
__ р. = рг. Из выражения (1.3.41) следует, что

^ = 12у-р{ = -ргйу.	(1.3.68)

Тогда скорости изменения вектора а и тензора Q относитель-
но системы главных осей тензора V (или любой системы коорди-
нат, жестко связанной с ней) определяется в соответствии с вы-
ражениями (1.3.56) — (1.3.57) следующими соотношениями:

ау=а + а-Йг = а — S2y-a,	(1.3.69)

QV = Q_[)rQ lq.q,,	(1.3.70)

г)	В этом случае произвольно выбранная декартова ортого-
нальная система координат М £2 £3 с ортонормированным бази-
сом q; = q\ участвуя в трансляционном перемещении вместе с
частицей, в каждый момент времени вращается с мгновенной угло-
вой скоростью вращения либо триэдра р; относительно триэдра
рг (угловая скорость соответствует спину 12), либо материальных
волокон, совпадающих в данный момент времени с главными ося-
ми тензора деформации скорости D (угловая скорость — вектор,
ассоциированный тензору вихря W). Тогда производные от еди-
ничных базисных векторов определяются одним из следующих
соотношений:

qi = ^qi = — qr^,	(i.3.71)

<Ь = \¥.ф = -ф.\У.	(1.3.72)

Из выражений (1.3.71), (1.3.56), (1.3.57) следует:

а* = а + а-12 — а — S2 • а,	(1.3.73)

Q* = Q —S2-Q + QP.	(1.3.74)

Используя (1.3.72), в соответствии с выражениями (1.3.56) —
(1.3.57) получим производные вектора а и тензора второго ранга
Q в смысле Яуманна — Нолла [112, 141]:

aJ = a + a-W = a — W-a,	(1.3.75)

QJ = Q — W-Q + QW.	(1.3.76)

Приведенные выше коротационные производные рассматри-
ваются в следующих работах: производные (1.3.61), (1.3.62) —
в [45, 80,112,141,142, 251]; (1.3.63), (1.3.64) — в [80, 112, 141, 142,
205]; (1.3.66), (1.3.67), (1.3.69), (1.3.70) - в [220, 223]; (1.3.73),
(1.3.74) - в [103, 207, 209, 212, 220]; (1.3.75), (1.3.76) - в [112,
141, 142, 207, 220 и др.]. В цитируемых работах коротационные
производные введены различными способами, отличными от ис-
пользуемого в настоящей работе. Здесь была сделана попытка
определить и классифицировать коротационные производные с
единых позиций — как относительные скорости изменения тен-
зоров в различных подвижных системах отсчета.
Покажем, что производные типа а, в, г индифферентных тен-
зоров являются индифферентными, а типа б инвариантного тензо-
ра — инвариантным относительно жесткого движения тензором.
Вначале определим некоторые вспомогательные соотношения.
Как и ранее (см. разд. 1.1, 1.2), будем рассматривать два движе-
ния гиг', отличающиеся на жесткое перемещение (1.1.44).

Используя (1.2.16), (1.2.43) и инвариантность левого тензора
искажений относительно жесткого движения (U' = U), нетрудно
показать, что

R — R-O,	(1.3.77)

где R', R — ортогональные тензоры, сопровождающие деформа-
цию в движениях г' и г соответственно. В силу инвариантности U
получаем также, что

Ru = Ru, S2[7 = Пу.	(1.3./8)

Из соотношений (1.2.50), (1.3.77), (1.3.78) тогда получим

Ry = RyO, RyT=OT.Rv.	(1.3.79)

Вводя обозначение = (')'•()	—от« б, из выражений (1.3.41),

(1.3.79)	имеем

= Щ + OTfivO.	(1.3.80)

Соотношения между градиентами скоростей (1.3.32) в движениях
г' и г перепишем в виде

V'v' = OT-Vv-O — V'v'T<=OT-VvT-0 + Яж. (1.3.81)

Индифферентность и инвариантность соответствующих коро-
тационных производных рассмотрим на примере двухвалентных
тензоров. Пусть .JT — индифферентный, Л — инвариантный по
отношению к жесткому движению тензоры, т. е. JT' = О1'.#'•<),
Л' = Л. Тогда

JT°l V'v'T • JT' - JT- V'v' == О'г • JT-O +

+бт-0-0т-Ж-0 + 0т.Ж-0-0т-6—0т-?ут-0-0т-Ж-0 —

_Йж.О'г-Ж.О-О'г-,#-О-От-Vv-o

=-от->-о-<л:-от-ж-о-от..#-о-п;1;-

- От • VvT. jf.Q _	. от. Jf .о - От • JT-Vv-О +

+ От. JT • О • Пж = от • (JT - v vT. JT - Jf • v v) • о =

= от-е#’°'.о,	(1.3.82)

что и доказывает индифферентность производной Олдройда индиф-
ферентного тензора. Аналогично показывается индифферентность
яроизводной Коттер и Ривлина:

- ^'СН = ОТ.ЖСЙ.О>	(1.3.83)

Из соотношений (1.3.70), (1.3.80) получим

yv=oT.(#-.o-;-6T-^-ObOT.^.d-Q;K.,#'-

-ОТ-£}У-О.ОТ-Л3-О + ^,'.£2Н( + ОТ.Ж-О-ОТ.ИУ.О =

=от-е#-о + от.о-от.л3-о + от.ел3-о.от.6-
-Йж-От-,#-0-От-йу-^.Оф-От-^-0-й;кД-

’ + 0т.еЛ3-^у0 = 0т-(е#’-£2у-Л3 + Л3-^) -0 =

= от.,#7-о.	-	(1.3.84)

Совершенно аналогично, используя соотношение

Й' = ОТ.Й-О + ЙЖ,	(1.3.85)

вытекающее из выражений (1.3.40) и (1.3.77), а также (1.3.34),
устанавливается индифферентность производных (1.3.74), (1.3.76),
т. е.

/'* = ()!./•*.(),	(1.3.86)

Jf'J = от-Jf3-О.	(1.3.87)

Инвариантность (1.3.67) с учетом (1.3.78) очевидна.

Коротационные производные типа б, в, г скалярного произве-
дения произвольных тензоров второго ранга А и В определяются
по обычным правилам дифференцирования скалярного произведе-
ния тензоров. Например, в соответствии с равенством (1.3.74)
получим

(А-В)* —A-В ф- A-В —Й-(А-В) ф-(А-В)-й —

= АВ К АВ — ЙА.'В + А-В-Йф А Й В — A й В

== (А — Й• А ф-А-й)-В ф-А-(В ф-В-й — Й-В) = А* В ф-А В*.

(1.3.88)

Для произведения вектора а на тензор А имеем

(а • А)* = а  А ф- а • А ф- (а • А) • Й =

= а- Аф-а-А + а- А- йф-а-й-А — а • й  А =

= (а ф-а-Й)-А ф-а-(А ф-А-й—й-А) — а* А ф- а-А*. (1.3.89)
Производные Олдройда и Коттер и Ривлина скалярного произве-
дения не удовлетворяют данному правилу.

Для указанных коротационных производных (типа б, в, г)
произвольного тензора второго ранга Q справедливо следующее
Утверждение: если коротационная производная равна нулю, то ин-
варианты тензора Q имеют стационарные значения, т. е. (Q) ==
= 12(Q) = 1з (Q) = 0. Покажем это на примере производной Яу-
манна — Нолла. Пусть QJ = 0, тогда Q = W Q — Q-W. При
вычислении инвариантов тензора используются формулы (1.1.18):

A(Q)-^-(Q:E)-(W.Q):E-(Q.W):e =

' = VV : Q — Q : VV = 0.

Здесь использовано легко проверяемое соотношение А : В =
= В : А, справедливое для произвольных тензоров второго ранга.
Далее:

A (Q) = Ч2 [2Л (Q) /1 (Q) - (Q  Q): Б - (Q • Q): Б] -

= 1/2[Q W Q— W.Q.Q-Q W Q + Q-Q-VV] :Б =

==1/2[_W;(Q.Q) + (Q.Q): W] = 0,

h (Q) = (Q • Q): Q - 72/1 (Q) [(A (Q))2 - 2Л (Q)] -

- V2Z1 (Q) [2A (Q) Л (Q) - 24 (Q)] + Ч2 [A (Q)]2 A (Q) -

= (Q.Q):Q = (Q.Q.W.Q-Q.Q.Q.W):E =

= (Q2-VV): Q—Q : (Q2-W) = 0,

что и требовалось показать. Отметим, что для производных Олд-
ройда и Коттер и Ривлина данное утверждение несправедливо:
при равенстве производных нулевому тензору производные инва-
риантов по времени отличны от нуля. Последнее обстоятельство
обусловлено способом введения коротационных производных Олд-
ройда и Коттер и Ривлина. Поясним на примере производной век-
тора а = dr, где dr — бесконечно малый вектор, соединяющий
данную частицу с некоторой близкой к ней. Нетрудно показать,
что dr01 = 0, однако инвариант вектора dr — его длина — в об-
щем случае движения, естественно, не постоянен.

Приведенными выше отличиями производных Олдройда и Кот-
тер и Ривлина от других коротационных производных и объясня-
ется, вероятно, их редкое использование в нелинейной механике.
Из остальных коротационных производных наибольшее рас-
пространение в настоящее время получили производные вида
(1.3.73) - (1.3.76).

Разнообразие используемых коротационных производных
обусловлено неоднозначностью представления движения деформи-
руемой среды (отметим, что подобная неоднозначность имеет место
даже при исследовании движения в кинематике точки и абсолют-
но твердых тел). Поэтому при решении вопроса о выборе той или
иной коротационной производной необходимо совместное рассмот-
рение кинематики сплошной среды и уравнений состояния. При
этом используемые в определяющих соотношениях параметры со-
стояния (скалярные и тензорные) и их производные должны быть
согласованы с выбранным представлением движения.

Используя полученные ранее соотношения между тензорами,
характеризующими скорость изменения векторов базисов различ-
ных подвижных систем координат, можно установить связь между
введенными коротационными производными. Так, например, со-
поставляя выражения (1.3.62) и (1.3.76), с учетом (1.3.23) имеем

Q0Z = QJ —(Q-D + D-Q).	(1.3.90)

Рассмотрим некоторые коротационные производные введенных
в разд. 1-2 тензоров деформаций. Из соотношений (1.3.16) и
(1.3.64) следует, что производная Коттер и Ривлина тензора де-
формаций Альманси равна тензору деформации скорости:

=	+	+ j/.VvT = D.	(1.3.91)

Производные вида (1.3.67) меры Коши—Грина G, тензора
деформаций Коши—Грина С, мер деформации g — &-1 и Н до-
статочно просто выражаются в терминах главных значений и
главных векторов соответствующих тензоров. Например:

з .

GU=G —+	3 G^Pi.	(1.3.92)

Аналогичным образом определяются производные вида
(1.3.70) мер Альманси G, Фингера g и Генки Н, тензора деформа-
ции Альманси, например:

з

=	+ йу = S <Ар;Рг-	(1.3.93)

i=i

В настоящей работе наиболее широкое применение получила
логарифмическая мера деформации Н, поэтому на коротационных
производных меры Генки остановимся подробнее. Из соотноше-
ний (1.3.55), (1.3.70) непосредственно следует:

ЙУ = Й —йу-Й + Й-Йу^ jT-^i-pfo.	(1.3.94)

1=1	1

Используя выражения (1.3.42), (1.2.31), (1.2.61), из соотношений
(1.3.55) и (1.3.74) получаем

3 V	3	V

Й* = й-й н + й-й=^-1Ар^+ у, r^in-jApV .

Полагая, что =# Vk, из последнего соотношения с учетом
(1.3.49) и (1.3.51) после несложных преобразований имеем

Й*=°+ У ГЛ^±-1пу__ 1 (^О.р’)рД (1.3.95)

гД=1 L \ i fr fc	J

A'
Аналогично из выражений (1.3.55) и (1.3.76) с учетом (1.3.50)
получаем

(1.3.96)

В предположении, что F, Vk, из выражений (1.3.96), (1.3.49),
(1.3.51) следует:

Н/=г>^ У	\^Г~г) In (-jA) — 1 (р’-В-р^р^рЛ .

г(Т=1 И ‘	К i 7 J	J

(1.3.97)

Компоненты Н7 в базисе главных векторов рг правого тензора
искажений имеют вид

к = 1,

При этом, как нетрудно видеть, знаки компонент тензоров Н7 и
D в главных осях совпадают.

Ранее соотношения (1.3.97), (1.3.98) были получены несколь-
ко отличным от приведенного способом [171]. Отметим, что
из выражения (1.3.96) следует, что в случае равенства двух глав-
ных значений правого тензора искажений, Vk = Vt, соответствую-
щие недиагональные компоненты Н7 равны нулю.

Предположим, что на некотором отрезке времени [jj, j2l глав-
ные оси правого тензора искажений совпадают с одними и темп
же материальными волокнами в Ж. Тогда у t ЕЕ ltlr Z2I те же
самые материальные волокна в 0 совпадают с главными осями
левого тензора искажений. В силу фиксированности отсчетной
конфигурации и предположения о непрерывности р, и рг в этом
случае = 0 Nt GE (t^ t2).

В данном случае из выражений (1.3.49), (1.3.50), (1.3.42) .сле-
дует:

D = 2JT^p,pi,
i=i 1

Из последнего соотношения и (1.3.94) — (1.3.96) в данном
случае получим Hv = Н* = Н7 = D.

Как показано в работе [220], в случае, если градиенты пе-
ремещения и скорости перемещения зависят от некоторого ма-
лого параметра е, причем | (Уи)г> | = 0(e),	| (Vv)^- | = 0 (е)

Vj, /=1, 3, то справедлива оценка | (Н7)г; — (D)^ | — 0 (е3)
Vi, у = ТГз.
Иначе говоря, в этом случае приемлемой аппроксимацией произ-
водной Яуманна—Нолла тензора Генки Н7 является тензор де-
формации скорости D.

Как показано в разд. 1.2, первый инвариант меры Генки опре-
деляет изменение объема. Согласно формуле (1.2.64)

4-Г1п	=	=	(Н)] =

Л [	\ dV Ц dV dt 1 ' /J

= -^-(Н : Е) = Й :Е = Zi(Й).	(1.3.99)

Используя равенство нулю свертки симметричного и анти-
симметричного тензоров второго ранга, несложно показать, что

/г (ft) = Z1 (Нг) = Л (Н*) = Z1 (Н7).	(1.3.1004

В то же время из приведенных соотношений следует:
$ у

I1(HJ) = I1(D) = ^-^ .	(1.3.101)

i-=l 1

Таким образом,

Zi (Н7) = dV/dV = — p/р = 3 (Vi/Vi),	(1.3.102)

г=1

т. е. первый инвариант производной Яуманна—Нолла (а также
Hv, Н*) тензора Генки характеризует относительную скорость
изменения объема.

Рассмотрим скорость изменения ориентированной элементар-
ной площадки ndn в Xt и ее выражение через N<fll. (Заметим, что
N = 0, dtl = 0.) Дифференцируя (1.2.65), с учетом (1.3.15) по-
лучим

(ndn) = —p/p(p/pVR0-|- Vv-VR0).NdII.	(1.3.103)

Из выражений (1.2.66) с учетом (1.3.15) получаем выражение ма-
териальной производной модуля ориентированной площадки

йй — р/р {р/р (N • g • N)'/2 + N (^Р7»Р^0) N-}dn  t1 -3• 104>
Из формул (1.3.103), (1.3.104) после некоторых преобразований
имеем

п = Р/Р {(Р)3/(Р)2 (<Ш)з/(Лт)2; [N • (VR0T • D• VR0) • N] VR0 -

— Vv- VR0}-N(ffl/dn.	(1.3.105)

Вновь используя (1.2.65), из (1.3.105) получим

n = (n.D>n)n — Vv-n.	(1.3.106)

Заметим, что из (1.3.106) и (1.3.63) следует:

псв _ (n.D«n)n.	(1.3.107)
Глава 2

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ
СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Настоящая глава посвящена основным динамическим понятиям
механики сплошной среды. В разд. 2.1 рассматриваются некото-
рые тензоры напряжений, используемые в механике деформируе-
мого тела, уравнения неразрывности и движения. В разд. 2.2
приведен краткий обзор скоростей изменения напряжений, соот-
ношения между ними, коротационные производные тензоров
напряжений.

2.1. Тензоры напряжений

Будем рассматривать движение некоторого объема V сплошной
среды, ограниченного поверхностью л (здесь и далее под V —
если не оговорено противное — будет пониматься индивидуаль-
ный, или материальный, объем в актуальной конфигурации
т. е. объем, состоящий в рассматриваемом интервале времени из
одних и тех же материальных частиц). Введем прежде всего одно
из основных соотношений механики сплошной среды — уравнение
неразрывности.

Воспользуемся для этого известным [112, 152] выражением
субстанциональной производной интеграла по материальному
(индивидуальному) объему. Пусть ф, ф — скалярные функции,
причем

ф — $ ф dV.	(2.1.1)

v

Тогда

ф = $ [5ф/^ +V.(?v)]dF.	(2.1.2)

у

Если под ф понимать плотность р материала в то интеграл
(2.1.1) определяет массу сплошной среды, заключенной в объе-
ме V:

m = ^pdV.	(2.1.3)

v

Тогда из закона сохранения массы (т — const) с учетом (2.1.2)
в силу произвольности объема и предполагаемой в механике
сплошной среды непрерывности р и v по совокупности аргументов
(вместе с производными требуемого порядка) получаем

dp/dt + V-(pv) = 0.	(2.1.4)

В некоторых случаях уравнение неразрывности (2.1.4) удобно
представить в виде

р + р (V-v) = 0.	(2.1.5)

В случае несжимаемой среды р = р = const и из уравнения
(2.1.5) следует:

V'V = 0.	(2.1.6)

При стационарных движениях сплошной среды из выражения
(2.1.4) с учетом условия др!dt = 0 имеем

V.(pv) = 0.	(2.1.7)

Как в динамике точки и неизменяемой системы, в динамике
сплошной среды изучается движение в связи с причинами, вызы-
вающими его изменение, что приводит к необходимости исполь-
зования понятия силы. Под силой, как обычно [152], понимается
векторная мера механического взаимодействия материальных час-
тиц. Принимая в качестве.механической системы введенный выше
материальный объем V, внутренними силами будем называть
силы, отражающие взаимодействие между частицами, входящими
в V, а внешними — силы, характеризующие взаимодействие ча-
стиц объема V с внешними (по отношению к V) материальными
объектами.

Распределенные силы, действующие на каждую частицу объема
V, называются массовыми силами. Обозначая через f плотность
массовых сил, вектор массовой силы, действующей на частицу
массы dm, определяется следующим образом:

idm = pidV = pidV-	(2.1.8)

Введем

• F = pf,	F = pf	(2.1.9)

— плотность объемных сил, или массовые силы, отнесенные к еди-
нице объема соответственно в ,%'г и Jf0. Во избежание недоразу-
мений следует отметить, что объемные силы F — это силы, дейст-
вующие в момент t на частицы среды в конфигурации Xt, но от-
несенные к единице объема в й. При этом направление векторов
г, F и f по отношению к неподвижной системе отсчета V7 совпа-
дают.

При решении конкретных задач возникает необходимость
перехода к компонентам векторов F и F, причем компоненты F
обычно определяют в базисе ё; (ёг), a F — в базисе ёг (ёг).

3 А. А. Поздеев и др.

6S
Установим соотношения между указанными компонентами.
С учетом выражений (2.1.9) и (1.2.14) имеем

= F • ё1 = p/pF • ё1 = р/р (F • Vr) • ёг,

F’ = F  ё4 •— p/pF • ё' = р/р (F • VR0) • е\

К массовым силам относятся гравитационные, электромагнит-
ные силы, силы инерции (при рассмотрении движения среды в
неинерциальных системах отсчета). Кроме того, при решении
задач механики сплошной среды в некоторых случаях вводят
фиктивные массовые силы (например, при сведении неизотерми-
ческих задач к соответствующим изотермическим [19], в которых
кроме действительных массовых сил присутствуют фиктивные,
моделирующие температурные эффекты). Отметим, что в механике
сплошной среды пренебрегают внутренними массовыми силами
[56, 112].

В механике деформируемого твердого тела большее (чем мас-
совые) значение имеют поверхностные силы, т. е. внешние силы,
распределенные по поверхности выделенного объема л. Плот-
ность поверхностных сил в СК t и -%’о будем обозначать соответствен-
но Т и Т. При этом поверхностные силы часто представляются
геометрической суммой нормальной Тп (ТЛ) и касательной Тх (Тг)
составляющих [112], например:

f = i\ + Tt = (f.n)n + (£xf) х п.	(2.1.10)

Отметим, что аналогично приведенному выше замечанию об
объемных силах F, поверхностные силы Т — это также силы,
действующие в произвольный момент времени t на единичную
площадку в СКt, но отнесенные к единице площади в СК 0, так что
Tdn = ТбШ. Соотношения, связывающие компоненты векторов
Т и Т, могут быть получены по аналогии с проделанными ранее
для F и F-

Одно из центральных мест в построении механики сплошной
среды занимают постулируемые уравнения баланса количества
движения и момента количества движения, являющиеся естест-
венным обобщением теорем об изменении количества движения и
момента количества движения [152]. Математическая формули-
ровка указанных уравнений имеет вид [66, 112, 152]

J = J pfdF + Jtdn,	(2.1.11)

V	V	л

$ р(г х v)dF=^ р(г х f)dF + (г X Т)(2л.	(2.1.12)

у	у	л

Уравнения баланса количества движения (2.1.11) и момента
количества движения (2.1.12) справедливы для любого индиви-
дуального объема сплошной среды. Выберем в качестве V с гра-
ницей л материальный объем, являющийся частью исследуемой
сплошной среды. Действие внешней по отношению к V части
сплошной среды на заключенную в V моделируется с помощью
векторных полей распределенных по поверхности л и по объему
у сил. При этом, как отмечено выше, последними в механике
сплошных сред можно пренебречь.

Вектор введенных поверхностных сил, обозначаемый в (^0)
как €(п) (t(N))> называется вектором внутренних напряжений
(или вектором напряжений) [2, 152]. Величина и направление
вектора напряжений t(n) (tW)) в каждой точке сплошной среды за-
висит от направления n (N) элементарной площадки dn (<7П), на
которую он действует. При этом единичный вектор n (N) внешней
к V (F) нормали и вектор напряжения t(n) предполагаются
непрерывными (или кусочно-непрерывными) функциями вместе
с производными требуемого порядка по совокупности аргумен-
тов. Заметим, что вектор напряжений, подобно вектору поверх-
ностных сил, представим разложением (2.1.10) на нормальную и
касательную составляющие.

Вектор t(n) (t(K)) определяет напряженное состояние в рас-
сматриваемой точке сплошной среды на элементарной площадке
с нормалью n (N). Совокупность векторов напряжений по любым
направлениям (множество, имеющее мощность континуума [81])
определяет напряженное состояние в данной точке. Как показано
в многочисленных работах по механике сплошных сред [2, 56, 112,
152 и др.], вектор напряжений t(n) введением тензора второго
ранга о представим линейной функцией вектора п:

t(n) = по.	(2.1.13)

Таким образом, тензор о, называемый тензором напряжений
Коши, полностью определяет напряженное состояние рассматри-
ваемой частицы в Жt. Тензор-функция о [у1 (£’, £), t], определен-
ная на цилиндре V х [0, оо], описывает напряженное состояние
в каждой точке исследуемого объема сплошной среды. Отметим, что
соотношения (2.1.13) (соотношения Коши) справедливы как для
внутренних, так и для граничных точек рассматриваемой среды,
что позволяет использовать их для установления так называемых
статических граничных условий:

T = n-cF \’г£л.	(2.1.14)

Физический смысл компонент тензора а достаточно просто
устанавливается при определении тензора Коши в декартовом
ортонормиров айном базисе;

о=о%к;.	(2.1.15)

Напомним, что в этом случае о’-' = ог-;- = <jj. Выбирая в данном
случае в качестве п векторы ортонормированного базиса кг
и раскладывая вектор напряжений по векторам этого же базиса
к^, нетрудно видеть, что компоненты тензора напряжений Коши
огз представляют составляющие вектора напряжений, действую-
щего на площадку с нормалью кг, по направлениям к? (i, /= 1, 3).
Заметим, что в настоящей работе из рассмотрения исключены
полярные среды, поэтому из уравнения баланса момента коли-
чества движения следует симметрия тензора напряжений Коши
[112, 152]: ст = ат.

В случае произвольной системы координат векторы базиса
ёр (или ё,) отличны от единичных и их нельзя отождествить с век-
тором единичной нормали п. Поэтому в случае произвольной сис-
темы криволинейных координат в рассмотрение вводятся так назы-
ваемые [112, 152] физические компоненты тензора напряжений,
которые и являются «напряжениями» в принятом в прикладных
исследованиях смысле этого термина.

Введем единичный вектор ир == ер/| ёр | = ё₽/	(££). Век-

v

тор напряжений, действующий на данной площадке, в соответствии
с выражением (2.1.13) есть I Р) = ир-ст. Представляя тензор ст
разложением в базисе ёг, получим

(К).

р

Составляющие t по единичным векторам eg/| ед | обозначим
через £iq-

Таким образом,

= dpq	=	(£)• (2.1.16)

Величины Xй, физический смысл которых аналогичен приве-
денному выше для компонент тензора Коши о в декартовой орто-
гональной системе координат, и называются «физическими ком-
понентами» тензора напряжений [152].

В силу симметрии тензора ст и известного в случае ортогональ-
ного базиса соотношения [112, 152] Е1Р — (Е№)~г из формулы
(2.1.16) следует для этого случая симметрия «физических ком-
понент»: Xм = Х9Р. При произвольном базисе «физические ком-
поненты» Xм несимметричны. Из (2.1.16) вытекает, что при изме-
нении системы координат «физические компоненты» тензора на-
пряжений Х!9 преобразуются по закону, отличному от правила
преобразования компонент тензора, т. е. Хг9 не представляют со-
бой компонент какого-либо тензора.

В качестве примера приведем «физические компоненты» тен-
зора напряжений при использовании ортогональной цилиндриче-
ской системы координат р (I1), 0(^2), z (£3) [112]. В этом случае
ё1 = ё1, ё3

— ё3 — единичные векторы: et— е1-ё; — ёг-ё; = О
________ 	дс I	дт

i’1	дЕ2 I;1—const	дв p=const ’

5“=const	z=const

т___единичный вектор касательной к координатной линии

(р = const, z = const). Тогда Ё22 = (р)2, Ё22 = 1/(р)2, Ёи= Ё11 =
= Ёзз = Е33 = 1’	= Ёг} = 0 (i j, i, j = 1, 3). Из выра-

жения (2.1.16) получаем

2ii=.'Sp=611,	233 = 2г = ст33,	22-= 20 = р2о22,

.£18 = 2рг = di3,	X12 = 2р0 = рст12, X23 = 26г — рст23.

В силу симметрии тензора напряжений Коши а существует по
крайней мере одна тройка главных направлений (ортонормиро-
ванные векторы которых обозначим 1г, i = 1, 3) и~ главных зна-
чений ст,, так что

з

(2.1.17)
2=1

Инварианты тензора ст, его шаровая и девиаторная составляю-
щие определяются обычными соотношениями (см. разд. 1.1), при-
чем главные оси девиатора напряжений S совпадают с главными
осями тензора о, а главные значения St = о, — 1/3 /х (ст).

Как отмечено выше, для вектора напряжений t(n) справедливо
представление его векторной суммой касательной t(n)t и нормаль-
ной t(n)„ составляющих:

t(>i):= T t(n)n =	-|- ^n)nn,	(2.1.18)

где т, п — единичные векторы касательной и нормали к пло-
щадке. Заметим, что если единичный вектор нормали п опреде-
ляется однозначно для любой заданной площадки (верно и об-
ратное: п однозначно определяет положение площадки), то век-
торы касательных к площадке, вообще говоря, образуют множест-
во мощности континуума. Здесь под т понимается единичный век-
тор, совпадающий по направлению с вектором проекции t(n) на
рассматриваемую площадку:

т = [(п х |t(n)) X п]/1 (п х t(n)) X п |.

Используя представление (2.1.17) тензора ст, раскладывая вектор
п по единичным векторам 1г, п = лгг 1 и вводя обозначения
(п)п	От (пух	I Опп после

несложных преобразований получим
з

(2.1.19)
1=1

Стт = п2п2 (СТ1 — ст2)2 + Прг3 (ст3 — СТ1)2 + »2«з(<Т2 — Из)2-	(2.1.20)
Рис. 2.1. Область допустимых
значений Л

Обозначая далее = nl, i =
1,3, Il = V2 I о,- — I (j,	7,

к образуют четную перестановку
индексов 1, 2, 3), соотношения
(2.1.19)—(2.1.20) перепишем в
виде

<Тп=2оЛ,	(2.1.21)

ог — 4 (ХД2Т3 + ^2^зТх + ^з^чт'а),

(2.1.22)

причем

Zj -J- Н- ^-з =	(2.1.23)

Полагая тензор напряжений (а следовательно, и Д) в дан-
ной точке среды известным, определим ориентацию площадок, на
которых значения оп и щ достигают экстремальных значений.
Поскольку ориентация площадки определяется вектором п,
а последний, в свою очередь, восстанавливается по Хг, приходим к
задаче линейного программирования:

определить параметры Хг, доставляющие экстремумы линей-
ным функционалам (2.1.21), (2.1.22) при линейном ограничении
(2.1.23). Как известно [55], при разрешимости такой задачи мно-
жество оптимальных решений принадлежит некоторой грани ее
допустимых векторов. В данном случае множество допустимых
векторов представляет собой часть плоскости в Л3: Г = {^|Х1 +
+ Z2 + Z3 = 1, kt > 0 Vj = 17з) (рис. 2.1).

Исследуя на экстремум функционал (2.1.21), приходим к
следующим выводам. Для внутренних точек Г (к Е= int Г) экстре-
мальное значение ап возможно лишь в частном случае = сг2 =
= ст3, т. е. в случае гидростатического напряженного состояния,
когда любая площадка является главной и на каждой из них
действует один и тот же (по модулю) вектор напряжений t(n> =
= t(«)n = onn,	щ = 0. На границах Г kt = 0, kj + кк =

= 1, kj #= 0, кк 0 (i, /, к образуют перестановку индексов 1, 2,
3) экстремум оп возможен в случае о7- = когда любая пло-
щадка, содержащая 1г, является главной. Наконец, рассматривая
точки к{ = 1, kj = к}; = 0, приходим к выводу, что в общем слу-
чае напряженного состояния при щ =/= о у (Vj, / = 1,3, i /)
экстремальные нормальные напряжения достигаются на площад-
ках, перпендикулярных главным направлениям lf, и равны соот-
ветствующим главным напряжениям. При этом из выражения
(2.1.22) нетрудно видеть, что касательные напряжения на этих
площадках равны нулю.

Проводя аналогичный анализ для функционала (2.1.22), оп-
ределяем, что в общем случае экстремальных значений касатель-
ные напряжения достигают на площадках kt = 1/2, kj = 1/2,
= 0 (i Ф j ¥= & Ф i), t. e. nt = ± Y2/2,	2/2,

njt = О, при этом от = ± (о, — O;)/2.

Обратимся к установлению уравнений движения и равновесия.
Используя граничные условия (2.1.14), теорему Гаусса—Остро-
градского (в предположении достаточной гладкости V, о и грани-
цы области), из уравнения баланса количества движения (2.1.11)
имеем

$ (pv — pf — V-o)dV = 0.	(2.1.24)

v

В силу произвольности объема V и непрерывности (вместе с
производными необходимого порядка) подынтегральных функций
с учетом обозначения (2.1.9) из (2.1.24) получаем уравнение дви-
жения, справедливое для произвольной частицы сплошной среды:

pv=V-a + F VreintV, Wf=(0, оо).	(2.1.25)

При исследовании квазистатических процессов движения сре-
ды (когда член pv пренебрежимо мал по сравнению с правой ча-
стью) приходим к дифференциальному уравнению равновесия

V.d + F = 0.	(2.1.26)

В компонентах в произвольном базисе актуальной конфигура-
ции последнее соотношение принимает вид

%бг; + Fj = 0,	/ = 1?3.	(2.1.27)

В случае декартовой ортогональной системы координат имеем
drfW +	= 0,	/ =ТГЗ.	(2.1.28>

Из уравнения баланса момента количества движения, как от-
мечено выше, в случае неполярных сред следует симметрия тензо-
ра напряжений Коши. Отметим, что с использованием тензора
напряжений Коши вводится так называемая мощность напряже-
ний [112, 141]

jj diDdF.	(2.1.29)

v

В силу симметрии тензора Коши o:D = o:Vv=o:Vvr,
так что

= \ o:VvdV = § o:VvTdV.	(2.1.30)

v	v

Описание напряженного состояния с помощью тензора о ес-
тественно и физически наглядно, он определяет напряженное сос-
тояние в £Kt и широко используется как в теоретических (в осо-
бенности при пространственном, эйлеровом рассмотрении), так и
в экспериментальных исследованиях. Однако при решении кон-
кретных прикладных задач возникают определенные сложности,
связанные с отсутствием априорной информации об актуальной
конфигурации. В связи с этим в механике деформируемого тела
используются альтернативные описания напряженного состояния
с применением отсчетной конфигурации, которая входит в число
известных данных. В некоторых случаях это позволяет упрос-
тить постановки и решение нелинейных задач механики конти-
нуума.

Из тензоров, описывающих напряженное состояние в терми-
нах отсчетной конфигурации, наибольшее распространение при-
обрели первый Э6 и второй X тензоры напряжений Пиола—Кирх-
гоффа [112, 122].

Для определения первого тензора Пиола—Кирхгоффа необхо-
димо разрешить следующую задачу: определить такой тензор 5s
(второго ранга), который был бы связан с вектором напряжений,
действующим на элементарную площадку Ntffl в отсчетной кон-
фигурации, соотношением, аналогичным соотношению Коши для
тензора <т (2.1.13), причем главные векторы распределенных на-
грузок на соответствующих площадках должны совпадать, т. е.

£(n)dn = (ndn)‘<s = t(JV)dn = (Ncffl)-^.	(2.1.31)

Используя связь элементарных ориентированных площадок
в и УС й (1.2.65), левую часть последнего соотношения предста-
вим в виде

t(n)dn; = (ndn)-(T=(p/p)(NtZn)'VR0T.Q.	(2.1.32)

Сопоставляя (2.1.32) и правую часть формулы (2.1.31), получаем

Э6 = (р/р) VRT• о, ^т = (р/р)а-VR0,	(2.1.33)

= (р/р) VrT-96 == (р/р) #>T.Vr.	(2.1.34)

Нетрудно видеть, что тензор 5s несимметричен, что создает
некоторые трудности его использования. Компоненты тензора Э6
в базисе УС0 определяются через тензор Коши о следующим об-
разом:

5^ = (р/р)ёг-и-ё?’.	(2.1.35')

Используя единую для всех конфигураций декартов ую ортого-
нальную систему координат, имеем

=	(2.1.35")

Р дх1	Р да1

Для установления уравнения движения (или равновесия) в
терминах первого тензора Пиола—Кирхгоффа можно воспользо-
ваться уравнением (2.1.25) (или (2.1.26)) с учетом выражений (2.1.34)
и (2.1.9). Однако существенно проще требуемое уравнение полу-
чается непосредственно из уравнения баланса количества движе-
ния (2.1.11) с использованием (2.1.31) и теоремы Гаусса—Остро-
градского. В самом деле:

С = $ pfdV + J = § FdV + J V-$>dV,

f	й	n	v	v

откуда ввиду произвольности объема V следует:

^=F + V-^.	(2.1.36)

В. случае квазистатических процессов приходим к уравнению рав-
новесия

- V.^ + F = 0.	(2.1.37)

Уравнения равновесия в компонентах, определяемых в базисе
отсчетной конфигурации, аналогичны (2.1.27). При использова-
нии декартовой ортонормированной системы координат имеем

d&W + Fj = 0, / = 171.	(2.1.38)

В отличие от тензора напряжений Коши тензор З6 не имеет
такого ясного физического смысла. Обратимся к энергетическому
смыслу тензора З6, для чего рассмотрим выражение мощности
напряжений (2.1.30) через тензор З6. Для преобразования вос-
пользуемся вспомогательными соотношениями, справедливыми для
произвольных тензоров второго ранга В, Q, <у#:

(B-Q):^ =(B.Q.e4):E = (Q.0/r.B):E = Q:(c^.B). (2.1.39)

С использованием (2.1.34), (2.1.39) из (2.1.30) получаем

Ж = р (?гт • З6): VvT dV = J З6 : (VvT. VrT) dV = J 36 : tv1, dV.

V &	V	V

(2.1.40)

Таким образом, двойная свертка первого тензора Пиола—
Кирхгоффа с градиентом скорости перемещения, определенном в
Ж0, характеризует мощность напряжений единицы объема в от-
счетной конфигурации.

Применение тензора 3s в постановках задач механики деформи-
руемого тела в лагранжевых переменных имеет некоторые достоин-
ства: достаточно просто определяются статические граничные
условия, уравнения движения (равновесия) линейны и анало-
гичны уравнениям движения (равновесия), установленным с ис-
пользованием тензора напряжений Коши. При этом указанные
соотношения определяются в терминах отсчетной, неизменной
конфигурации.

Однако в связи с отмеченной выше несимметричностью тензора
большее распространение в механике деформируемого твердого
тела получил второй тензор напряжений Пиола — Кирхгоффа ЭС
(в зарубежной литературе он иногда называется также симметрич-
ным. тензором напряжений Лагранжа). Тензор ЭС вводится через
тензор напряжений Коши а следующим образом:

^ = (p/p)VR;f .o.VR0.	(2.1.41)

С учетом (2.1.33) получаем выражение ЗС через 9й:

^T = ^-VRo = VRot-^T-	(2.1.42)

Из выражений (2.1.41) и (2.1.42) следуют соотношения

<r = (p/p) vrT.JT-Vr,	(2.1.43)

9Й = 5^-Гг, 95T = VrT.{%-.	(2.1.44)

Очевидно, тензор ЗС — симметричен, ЗС ~ ЗСГ

При использовании единой декартовой ортогональной системы
координат в соответствии с выражениями (2.1.41), (2.1.43) полу-
чаем соотношения между компонентами alJ и в векторном
базисе к,:

=	р,д = Т^,	(2.1.45)

V fcV	V fcV

-^4', r,s = T^.	(2.1.46)

Р даг да3

Представляя тензор Коши в базисе <%"(, а ЗС — в базисе СК0,
с учетом выражения градиента места через базисные векторы
(1.2.3) имеем

№ = (р/р) дг; г, / = 173,	(2.1 А1)

т. е. с точностью до скалярного множителя р/р контравариантные
компоненты ЗС в базисе ёг отсчетной конфигурации совпадают
с контравариантными компонентами о в базисе ёг актуальной кон-
фигурации. Однако смешанные и ковариантные компоненты ЗС
и о, естественно, связаны более сложными, отличными от (2.1.47)
соотношениями.

Для установления уравнений движения (равновесия) с при-
менением тензора ЗС воспользуемся уравнениями (2.1.36), (2.1.37)
и приведенными в работе [112] соотношениями:

V (Vr) = A-(Vr),	(2.1.48)

V.(^.Q) = Qt.(V.^) + g^t:VQ,	(2.1.49)

где тензор третьего ранга А определен выражением (1.1.40); V —
набла-оператор в произвольной системе координат; Q —
произвольные тензоры второго ранга. Кроме того, используется
легко проверяемое соотношение

^‘$-зс} = $-зсуъ.

Тогда после преобразований получаем уравнение движения

pv = (V.JT).tr + ^-:(A.fr) + F.	(2.1.50)
Уравнение равновесия имеет вид

($.ЛГ)-Уг + Х: (A-Vr)+ F = 0,	(2.1.51)

или

+ еР*<9Г-(ёр А)-|-F'VRo = 0.	(2.1.52)

Последнее уравнение можно несколько упростить:

V-JTH ^:A -F.VRf) = 0.	(2.1.52')

Из граничных условий (2.1.14) с использованием соотношений
(1.2:65) и (2.1.43) следует выражение, аналогичное соотношению
Коши:

N-^ = P,	(2.1.53)

где

Р = f • VRo 2g = 2g- f •	= 2g- Т*ё{.

Соотношение (2.1.53) представляет собой статическое (силовое)
граничное условие в Жо. Роль поверхностных распределенных сил
играет вектор-функция Р (£*, t), определяемая в каждый момент
времени по вектор-функции поверхностных распределенных сил
Т (£Л t)> определяемой в !Kt. Следует отметить, что Р, очевидно,
отличается от введенной выше вектор-функции Т = -2g- Т и по
направлению и по модулю. Действительно, направление Т сов-
падает с направлением Т, направление же Р определяется векто-
ром Тгё;, не совпадающим с Т = Тгёг при движении деформируе-
мой среды даже при отсутствии поворота базисных векторов
(т. е. ё; = а,ё4,	аге=(0, оо)). Модуль t равен (йл/бШ)(7’г7\)1\

а | Р | = (dn/dn)(Eofif-')1/..

Уравнения движения и равновесия при использовании тензора
«7Г, как следует из уравнений (2.1.50) — (2.1.52), становятся не-
линейными (зависящими от деформированного состояния), равно
как и граничные статические условия (2.1.53). Аналогично тен-
зору второй тензор Пиола—Кирхгоффа не определяет непосред-
ственно напряженное состояние рассматриваемой среды, послед-
нее требует перехода к тензору Коши о.

Определим меру скорости изменения деформированного состоя-
ния а#, определяющую в сочетании с тензором X мощность напря-
жений соотношением, аналогичным (2.1.29). Из соотношения
(2.1.29) с учетом выражений (2.1.43), (2.1.39) получаем

=Ja:Ddy = 5(^rT-^-^r):D^=$ ($rT.^.Vr.D):Edy =
V	V	У

=$ рг • Vr • D • VrT): Е dV =$ X : (Vr • D • Vr?) dV =$ X: dV,
У	УТ'
т. е. с учетом (1.2.11)

= Vr D- VrT = 1/ч [Vv • VrT -j- Vr • VvT] =

= V2 [(Vv + £vT) + (Vv-VuT + Vu-VvT)].

Сопоставляя последнее соотношение с (1.3.12), получаем, что
М = С = г/2 G, т. е. двойное скалярное произведение второго
тензора Пиола—Кирхгоффа и скорости тензора деформаций Ко-
ши—Грина определяет мощность напряжений единицы объема
в Жо:

^=^tf-.CdV.	(2.1.54)

v

Следуя Хиллу [223], пары мер напряженного состояния
и скоростей мер деформированного состояния (о, D), (9й, VvT),
(Л7, С) будем называть сопряженными.

Из других мер напряженного состояния [112, 177] отметим ис-
пользуемый в некоторых работах тензор напряжений Кирхгоф-
фа Я' (или взвешенный тензор Кирхгоффа [194]):

J? = (p/p)o.	(2.1.55)

Мощность напряжений с применением тензора Кирхгоффа опре-
деляется выражением

Ж= Я : DdV.

о
V

В некоторых случаях из приведенных тензоров напряжений
и скалярных и тензорных характеристик, описывающих движение
деформируемой среды, конструируются и другие меры напряжен-
ного состояния [177]. Так, в работе [195] для исследования ус-
тойчивости и закритического поведения тонкостенных конструк-
ций используется симметричный тензор Био 93 (называемый также
симметричным тензором Яуманна), получаемый из первого тен-
зора Пиола—Кирхгоффа 9й и ортогонального тензора, сопровож-
дающего деформацию R:

g3 = 1/2(55,RT + R-^T)>	(2.1.56)

или с учетом выражений (2.1.44) и (1.2.43)

Э5=1/2(Л,.и + и.^Г).	(2.1.56')

Остановимся на индифферентности и инвариантности по отно-
шению к жестким перемещениям приведенных выше тензоров на-
пряжений. Из физического смысла тензора напряжений Коши о
очевидна его индифферентность. Действительно, в двух движе-
ниях, отличающихся только на жесткое перемещение, при оди-
наковых температурах в каждой материальной частице, одинако-
вой величине и ориентации (по отношению к материальным волок-
нам) внешних нагрузок напряженное состояние на любой мате-
риальной площадке также доляшо быть одинаковым. При этом
вектор внутренних напряжений при наложении жесткого движе-
ния, естественно, будет участвовать в трансляционном переме-
щении и вращении вместе с исследуемым телом, однако его ком-
поненты в материальном базисе ёг будут оставаться неизменными,
«вмороженными» в тело.

Таким образом, при движениях г' и г (1.1.44) сплошной среды
тензор Коши изменяется следующим образом:

.о' = 0т-о-0.	(2.1.57)

В силу индифферентности плотности р из последнего соотноше-
ния сразу следует индифферентность тензора Кирхгоффа.

Используя соотношения, связывающие градиенты места в дви-
жениях г' и г (1.2.16), из выражений (2.1.33), (2.1.57) получаем

#>' = (р/р') V'RT. о' = (р/р) VRJ • О • От • о • О = Э6 • О,	(2.1.58)

т. е. первый тензор Пиола—Кирхгоффа не является ни индиффе-
рентным, ни инвариантным.

Аналогичным образом с использованием (2.1.41) имеем

X' = (р/р') V'Ro • о' • V'Ro = (р/р) VR0T  О • От• о • О• ОТ • VR0 =

= (р/р) VRj'. 0-^0 = ^,	(2.1.59)

т. е. второй тензор Пиола—Кирхгоффа инвариантен по отноше-
нию к жесткому движению.

Отсюда далее следует, что симметричный тензор Био, опреде-
ляемый по формуле (2.1.56), также инвариантен к жесткому
движению.

2.2 Меры скоростей
изменения напряженного состояния

В геометрически нелинейных проблемах широкое распростране-
ние получили постановки задач скоростного типа, в которых урав-
нения равновесия, определяющие соотношения, граничные усло-
вия и другие входящие в постановку уравнения, формулируются
в скоростях изменения скалярных и тензорных параметров, опи-
сывающих поведение рассматриваемой среды. В данном разделе
рассматриваются тензорные меры скоростей изменения напряжен-
ного состояния, анализируются их свойства с целью определения
приемлемости использования тех или иных мер для описания про-
цессов движения деформируемой среды, испытывающей большие
Деформации.

Одной из основных мер является субстанциональная (матери-
альная) производная о тензора напряжений Коши, от которой ре-
шением обыкновенного дифференциального уравнения первого
порядка нетрудно перейти к установлению напряженного состоя-
ния в каждой частице среды. Однако о не удовлетворяет свойству
индифферентности (хотя сам тензор Коши а — индифферентен).
Действительно, дифференцируя (2.1.57), получим

6' = 0т о-04 0т-6-0 +0т-о-0.	(2.2.1)

Неиндифферентность а означает, что компоненты о и о' в ба-
зисах ё; и ё[ соответственно не совпадают. Последнее обусловлено
тем, что, несмотря на одинаковое деформационное движение век-
торов ёг и e’i (т. е. изменение модулей и углов между векторами
ёг и ё;, el и ё)), последние имеют различные скорости вследствие
наложенного жесткого движения. Из этого рассуждения вытекает,
что если О = От = О, то тензор о будет индифферентным. Это
также видно из формулы (2.2.1).

Следовательно, непосредственное использование тензора а в оп-
ределяющих соотношениях может привести к нереалистичному
описанию поведения среды, обусловленному зависимостью пара-
метров, определяющих состояние среды, от движения последней
как жесткого целого.

В связи с этим в геометрически нелинейных проблемах меха-
ники деформируемого тела широко применяются относительные
скорости изменения тензоров напряжений, позволяющие исклю-
чить изменение последних, привнесенное движением среды как
жесткого целого. В качестве относительных скоростей могут исполь-
зоваться определенные в разд. 1.3 коротационные производные.
Отметим, что разнообразие коротационных производных порож-
дается неединственностью представления движения сплошной
среды совокупностью трансляционного и вращательного перемеще-
ний как жесткого целого (квазитвердое движение) и деформацион-
ного движения.

Наибольшей популярностью в работах последнего десятилетия
пользуется производная тензора напряжений Коши в смысле Яу-
манна—Нолла

— о q. W — W-o.	(2.2.2)

Индифферентность OJ показана, например, в монографии [112],
геометрический смысл яуманновской производной приведен в
разд. 1.3.

Как следует из анализа приведенных в разд. 1.3 коротацион-
ных производных, другими приемлемыми мерами скоростей из-
менения напряженного состояния являются

оу = а + н-Йг — --v-о,	(2.2.3)

о* = о + о-Й — Й>о.	(2.2.4)

Физический смысл и индифферентность данных коротационных
производных обсуждены в разд. 1.3. Выбор конкретной производ-
ной осуществляется исследователем и связан со способом разло-
жения движения сплошной среды на квазитвердое и деформаци-
онное.
Перейдем к определению производных первого и второго тензо-
ров Пиола—Кирхгоффа и установлению соотношений между о,
ЗС- Дифференцируя (2.1.34), с учетом уравнения (2.1.5) полу-
чаем

о = (р/р) [VrT-^ + ^vT-96 — (V-v) VrT-<^J.	(2.2.5)

Умножая скалярно левую и правую части (2.2.5) на VRff,
после несложных преобразований имеем

#> = 4- VRj-[d — VvT-o + (V • v) о].	(2.2.6)

Выражение в квадратных скобках представляет собой так назы-
ваемую производную Хилла тензора напряжений Коши он [80,141]:

ан = а— VvT-o + (V-v)o,	(2.2.7)

так что

£ = (p/p)VR0T-off.	(2.2.8)

Из сопоставления (2.2,8) и (2.1.33) следует, что производная Хил-
ла тензора напряжений Коши связана с полной производной пер-
вого тензора Пиола—Кирхгоффа соотношением, идентичным свя-
зывающему тензор Коши с первым тензором Пиола—Кирхгоффа.
Отметим, что в силу неиндифферентности и неинвариантности тен-
зора Э6 введенные выше коротационные производные для первого
тензора Пиола—Кирхгоффа также не обладают свойствами индиф-
ферентности или инвариантности по отношению к жесткому пере-
мещению.

Используя установленное ранее соотношение (1.3.15), из
выражения (2.1.42) получаем

ЗС=& — 36-Vv)-VR0.	(2.2.9)

Инвертируя последнее с учетом (2.1.44), имеем

=	+ JT-VV.	(2.2.10)

Из соотношений (2.2.9), (2.2.6) и (2.1.33) следует

ЗС = (р/р) VRo - [о — V vT • о — о • Vv + (V • v) ff] • Vr0.	(2.2.11)

Выражение в квадратных скобках правой части (2.2.11) носит
название производной Трусделла 180, 112] тензора напряжений
Коши:

оТг = о — VvT-(T — о-Vv + (V • v) а.	(2.2.12)

Тогда выражение (2.2.11) представимо в виде

Jt^^/pjVRj.o^.VRo.	(2.2.13)

Сравнение (2.2.13) и (2.1.41) показывает, что производная Трус-
делла тензора напряжений Коши связана с субстанциональной
производной второго тензора Пиола—Кирхгоффа соотношением,
аналогичным соотношению между о и X. Покажем индифферент-
ность производной Трусделла:

с'Тг = в' — V'v'T*</ — o'* V'v' + (V' • v')<j' = OT*d*O +

+ 0ro0 + 0ToQ—OTVvT00T*o0 —

— 6TOOTo*O — OToO-OT*Vv*O — 0T*o*00T*0 4-

+ (V* v) OT*o*O — OT*[d — VvT*o— o*Vv + (V* v)o]*O =

= OT-orr*O.	(2.2.14)

При выводе последнего соотношения использовались приведен-
ные в разд. 1.3 выражения, связывающие градиенты скорости пе-
ремещений в движениях г' и г (1.3.32), а также соотношение

V'* v'= (V'v') :Е = (ОТ* Vv*O) : Е — (бт*О):Е =

= (Vv*O* От):Е —(Vv) : Е = V-v.

Из выражения (2.2.13) получаем

агг = (р/р)7гг.^.7г>	(2.2.15)

откуда, используя диадное представление градиентов места
(1.2.2), имеем

dr^ = (p/p)(^)ij,	г,/=1Гз;	(2.2.16)

т. е. контравариантные компоненты оТг в базисе ёг актуальной
конфигурации с точностью до скалярного множителя совпадают
с аналогичными компонентами X в базисе ёг отсчетной конфигура-
ции.

Используя выражение (2.2.14), из соотношения (2.2,13) полу-
чим

X = (р/р') V'R0T * о"г’- • V'R0 = (р/р) VR0T • О • От • от г • О • От • VR0 =

= (p/p)VR*.(f».VR0=	(2,2.17)

т. е. субстанциональная производная второго тензора напряжений
Пиола—Кирхгоффа инвариантна по отношению к жестким дви-
жениям. Нетрудно проверить также инвариантность коротацион-
ной производной Хи тензора X-

X'v = Х' + X' -Q'u-X' = X + X Йп -QVX = Хи.

(2.2.18)

Для установления выражения о через X и X можно восполь-
зоваться несколькими способами: а) непосредственным дифферен-
цированием (2.1.43); б) инвертированием (2.2.11) с учетом
(2.1.43); в) преобразованием (2.2.5) с учетом (2.2.10) и (2.1.44).
В - любом случае после некоторых преобразований получаем
«=-£- [VrT.JT-Vr + VrT.eJT-Vv + VvT.eJr.Vr —
p

— (V.v)VrT.^.Vr].	(2.2.19)

Наконец, из (2.1.55) с использованием (2.1.5) следует

Я = (р/р)[<т + (7.у)о],	(2.2.20)

а=(р/р) [& —(V-v)®].	(2.2.21)

Используя соотношения (2.2.20), (2.1.55) и определение произ-
водной Олдройда (1.3.62), получим

got = g — VvT -S — Vv = (p/p)[d + (V- v)a — VvT-a — o- Vv].

Сопоставляя последнее соотношение с (2.2.12), устанавливаем:

ЯО/ = (£/р)аТГ> ОТг = (р/^

Таким образом, с точностью до скалярного'множителя произ-
водная Трусделла тензора напряжений Коши совпадает с произ-
водной Олдройда тензора напряжений Кирхгоффа. В случае не-
сжимаемой среды производные Трусделла и Олдройда тензора на-
пряжений Коши (как, вообще говоря, и любого другого) совпадают.
Физический смысл производной Олдройда содержится в разд. 1.3.

Приведенные соотношения между производными различных
тензоров напряжений позволяют при необходимости использовать
Комбинированную постановку нелинейных задач, вводя в урав-
нения последних различные меры скоростей изменения напряжен-
ного состояния. Так, например, определяющие соотношения обыч-
но формулируются с применением тензора напряжений Коши и
его коротационных производных. В то же время достаточно часто
уравнения движения и силовые граничные условия удобно уста-
навливать с использованием первого или второго тензоров Пио-
ла—Кирхгоффа. После установления определяющих соотношений,
уравнений движения, граничных условий и т. д. в терминах раз-
личных тензоров напряжений для формулировки обобщенного
решения (или соответствующего вариационного уравнения) не-
обходимо перейти к записи указанных соотношений в членах
какого-либо одного тензора напряжений, что и позволяет осуще-
ствить приведенные в данной главе формулы.

На основе материала настоящей главы нетрудно установить
также соотношения между различными коротационными производ-
ными анализируемых тензоров напряжений, как это сделано,
например, в статье [261]. Однако потребность в подобных соотно-
шениях возникает в редких случаях, и при необходимости они
Могут быть легко установлены с применением изложенного выше
исследователем, рассматривающим конкретную задачу.

В заключение выпишем полученные соотношения между произ-
водными различных тензоров напряжений в компонентах базиса
единой для всех конфигураций декартовой ортогональной системы
координат:

^kikj =	да  дхр	ЙР>-	дир qj . / dvq \  Я 9 ° + Я 9 а  дх	\ дх 1 J		(2.2.22)  к4к;,	(2.2.23)
		apil _	Зир \ да3 , , J дхр 1 ”		(2.2.24)
	ip дх3 дар	да /		к,,	(2.2.25)
^>к^ = А	СТрд-	яр  _^arq_ap, дх		dyq дхг	
J-	dv3 >  дх3 )	Ом	да1 да3 , дхр дх3		(2.2.26)
С^к{к;=4-(  1 3 м			дх /	дх дх3 дар daq	
+ ж^дх_дь_ дар да					(2.2.27)

Соотношения (2.2.22)—(2.2.27) удобны в применении к решению
конкретных задач, в которых часто используются декартовы
ортогональные системы координат.
Глава 3

ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ
В ПРОЦЕССАХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО

ДЕФОРМИРОВАНИЯ

В предыдущих главах были рассмотрены общие вопросы кинема-
тики и динамики деформируемых сред, применимые к различным
материалам и процессам. Своеобразие поведения конкретного ма-
териала в зависимости от условий его деформирования проявляет-
ся прежде всего в определяющих соотношениях для данного мате-
риала. Обсуждению свойств этих соотношений для процессов
упругопластического деформирования и посвящена данная глава.

3.1.	Некоторые общие положения
теории определяющих соотношений

Под определяющими соотношениями, согласно К. Трусделлу [168J,
понимают ограничения, накладываемые на силы, или движения,
или на то и другое вместе. В данной работе будем понимать этот
термин в более узком смысле. Будем считать, что определяющие
(физические) соотношения (или уравнения состояния) — это соот-
ношения, позволяющие вычислить напряжения как функции (или
функционалы) кинематических переменных (в конечном счете как
функции поля перемещений или скорости перемещений) и темпе-
ратуры.

Общая теория определяющих соотношений устанавливает обя-
зательные ограничения, которым должны удовлетворять эти соот-
ношения, для того чтобы они могли служить математическим
описанием процессов деформирования реальных материалов.
Важное значение имеет также классификация определяющих соот-
ношений и установление конкретных особенностей поведения ма-
териалов различных классов.

Заметим также, что общая теория определяющих соотношений
дает важнейшие ограничения на возможные формы обработки экс-
периментальных данных, и поэтому установление этих ограниче-
ний должно предшествовать этапу обработки соответствующих
экспериментов. В противном случае, как показывает практика,
неизбежны ошибки и появление определяющих соотношений, про-
тиворечащих физическому смыслу. Особенно это касается опреде-
ляющих соотношений, содержащих производные по времени тен-
зора напряжений и других тензоров.

Ниже приводится ряд общих положений теории определяю-
щих соотношений, которые затем конкретизируются для описания
Упругопластического поведения материалов при больших пласти-
ческих деформациях.
В предлагаемой работе не ставится целью привести замкнутую
систему непротиворечивых аксиом теории определяющих соотно-
шений. Здесь описывается только ряд положений этой теории, при-
меняемых на практике. При этом авторы следуют описанию этих
вопросов в монографиях К. Трусделла [168], А. А. Ильюшина
[65], А. И. Лурье [112], Дж. Астарита и Дж. Марруччи [5].

1.	Тензорностъ соотношений. Это положение относится не
только к определяющим соотношениям, но и к другим основным
уравнениям механики.

Определяющие соотношения должны быть инвариантны по
отношению к изменению системы координат наблюдателя. Для
этого они должны быть записаны в тензорном виде. Все тензоры,
входящие слагаемыми в соотношения, должны иметь одну и ту
же валентность и одинаковую физическую размерность.

Тензорный характер записи позволяет выделить то существен-
ное, что относится к самим изучаемым явлениям, при этом отбра-
сывается то, что привнесено выбором конкретных координатных
осей.

При изменении системы координат тензор, как величина инва-
риантная, не изменяется, компоненты же его изменяются в соот-
ветствии с законом преобразования базисных векторов.

Три следующих положения известны как аксиомы В. Нолла
[168].

2.	Принцип детерминизма. Напряженное состояние в актуаль-
ной конфигурации, соответствующей моменту времени t, в ма-
териальной частице, имеющей в отсчетной конфигурации радиус-
вектор Ro (I1, £2, ^3), однозначно определяется предысторией
движения и изменения немеханических параметров в теле вплоть
до момента времени t.

Этот принцип сформулирован также в несколько иной форме
А. А. Ильюшиным [65] под названием общего постулата изотро-
пии. Среди немеханических параметров чаще всего используется
температура 0.

Другими словами, тензор напряжений н (г (g1, g2, g3; t)) яв-
ляется функционалом истории деформирования тела, истории из-
менения температурного поля, функцией материальных коорди-
нат частицы и времени.

Математическая запись этого утверждения:

н (г (Ro; ;)) = Г (Х<; ©г;	I2, I3; t),

(3.1.1)

где Хг — предыстория механического движения тела;

Х( = {г (Ro (£1,	^3); т)}, ТЕ(- зо, t),	g2, ^) GE Жо;

Qt — история изменения температурного поля.

В более общем случае здесь может быть добавлена история из-
менения других немеханических параметров. Внесение в соотно-
шение (3.1.1) аргумента t означает учет явной зависимости свойств
материала от времени, например вследствие явления старения
материала.
При решении прикладных задач механики нередко возникает
ситуация, когда температурное поле удается приближенно найти
независимо от решения задачи о напряженно-деформированном
состоянии тела (задачи определения механических и температур-
ных величин с достаточной для практики точностью можно счи-
тать не связанными друг с другом). Тогда аргумент ©г может быть
исключен из функционала (3.1.1) и зависимость температурного
поля от времени учтена как явная функция времени.

Для однородных сред вид определяющих уравнений одинаков
для всех материальных частиц тела, тогда координаты частицы
(g1,'	?3) не войдут в определяющее соотношение (3.1.1).

Рассмотренная аксиома отражает принцип причинности пове-
дения материала: материал «помнит» историю своего термомеха-
нического поведения, но будущее поведение здесь не играет ни-
какой роли.

В дальнейшем, упрощая задачу, будем рассматривать ситуа-
цию, когда в соотношение (3.1.1) входит не предыстория темпера-
турного поля 0г, а значение температуры в данной материальной
частице в рассматриваемый момент времени.

3.	Принцип локального действия. Напряжения в данной части-
це в произвольный момент времени однозначно определяются исто-
рией деформирования в некоторой малой окрестности рассматри-
ваемой частицы.

В принципе детерминизма допускается влияние на напряжения
в любой частице движений других частиц, расположенных как
уг.одно далеко от данной. Принцип локального действия исключает
такую возможность, как несовместимую с представлениями
о контактном характере взаимодействия материалов.

Заметим, что принцип локального действия не предусматри-
вает предположения об однородности взаимодействия. Напротив,
зависимость напряжений от истории деформирования может быть
различной в различных материальных частицах.

Рассмотрим важный частный случай принципа локального
действия: история деформирования малой окрестности рассматри-
ваемой точки полностью описывается градиентом деформации

т. е. допускается, что

о(г (Ro; ?)) = J"(Vr (Ro; т), 0 (г, t), t),	—оо<т<7.	|(3.1.2)

Допущение (3.1.2) ограничивает общность рассмотрения, так как
Могут быть в принципе существенны и градиенты деформации
более высокого порядка.

Высший порядок градиента деформации в определяющем соот-
ношении определяет порядок материала. Материалы первого по-
рядка называют простыми телами. В монографиях [112, 168] от-
мечается, что теория простых материалов охватывает практически
все известные имеющие важное прикладное значение механические
теории сплошной среды. Причем сюда входят не только классиче-
ские материалы: упругое тело, упругопластическое тело, вязкая
Жидкость, но и многие др.
А. И. Лурье [112] отмечает, что теория «непростых» материа-
лов второго порядка, по-видимому, требует рассмотрения момент-
ных напряжений (полярные материалы).

В дальнейшем изложении считаем материал простым, и потому
справедливо соотношение (3.1.2).

4.	Принцип материальной индифферентности (объективно-
сти). Важное свойство определяющих соотношений состоит в том,
что они должны оставаться неизменными при изменении системы
отсчета наблюдателя, даже если последнее зависит от времени.

Принцип объективности поведения материала подразумевает
требование изотропии и однородности пространства: изменение
системы отсчета наблюдателя не сказывается на поведении мате-
риала. Причем требование изотропии пространства не связано
с изотропией материала: анизотропные материалы также удовлет-
воряют этому принципу.

Для пояснения смысла принципа приведем пример, указанный
К. Трусделлом и В. Ноллом (см. [5]): «Пусть тело известного
веса, скажем, в 1 фунт, подвешено на пружине и растягивает ее
на некоторую длину, скажем, 1 дюйм. Затем связанные так пружи-
ну и тело кладут на горизонтальный диск, к центру которого при-
крепляют эту пружину. Диск приводят во вращение с постоянной
скоростью так, что пружина вновь растягивается на 1 дюйм.
По-видимому, наблюдатели согласятся, что центростремительная
сила, требующаяся для удержания тела, составит в точности
1 фунт. Таким образом, на реакцию пружины не влияет жесткое
движение».

Другими словами, принцип утверждает, что реакция материала
на его деформирование инвариантна в этом смысле, даже если из-
менение системы отсчета зависит от времени.	/

Перейдем к математической формулировке принципа. Пусть
имеем определяющее соотношение (3.1.2). Наложим на движение
деформируемой среды жесткое движение:

г' — р' = (г — рДО,	(3.1.3)

где г' ир' — радиус-векторы в новом движении точек тела, имев-
ших в старом движении в момент t радиус-векторы г и р; О — ор-
тогональный тензор, описывающий вращение.

Или пусть осуществляется переход к новой системе отсчета
по закону

г' — р' = О-(г — р),	(3.1.4)

где тензор О характеризует вращение новой системы.

Тогда определяющее уравнение (3.1.2) должно сохранить свой
вид в новом движении (или новой системе отсчета), т. е. тензоры,
входящие в это уравнение, должны преобразовываться по одному
и тому же закону.

В новом движении (новой системе отсчета)

о'(г'(КоД)) = У (Vr'(R0; т), 0(г', t), t).	(3.1.5)
Важно, что функционал S' в новом движении тот же, что и
в старом.

Подчеркнем, что объективность определяющего соотношения
отнюдь не означает, что все входящие туда тензоры должны быть
индифферентны. Важно, чтобы все тензоры преобразовывались
одинаково.

Отметим еще одно важное обстоятельство: если все тензоры
в определяющем уравнении отнесены к отсчетной конфигурации,
то принцип объективности выполняется тождественно.

Ввиду широкого использования принципа материальной индиф-
ферентности в практических задачах рассмотрим далее несколько
примеров его применения.

а)	Докажем важное свойство простых материалов: тензор на-
пряжений о (г; t) определяется только предысторией тензора иска-
жений U, предыстория поворотов не оказывает влияния на
а (г; t), существенно лишь конечное значение поворота.

При доказательстве учтем индифферентность тензора напря-
жений Коши а (см. (2.1.57)), индифферентность скаляра 0 и прин-
цип материальной индифферентности (3.1.5). Тогда получим

o' (г' (Ro; 0) = ? (tfr' (Ro; т), 0' (г', 0, t) = Г (Vr (Ro; т) • О (г),

0 (г, t), t) = От (0 • (Vr (Ro; т), 0 (г, t), t) • О (0.

Произведем полярное разложение градиента

Vr (Ro; т) = U (Ro; т) • R (т),

где R — ортогональный тензор, сопровождающий
Тогда получим

r(U(R0;T).R(T).O(r),

0 (г, t), t) = От (0 • *Г (Vr (Ro; т), 0 (г, 0, t) • О (0.

Последнее равенство справедливо для любых ортогональных тен-
зоров О. Пусть, в частности,

Уг о (о = rt (^), от (г) = r (г).	(3.1.9)

Подставляя (3.1.9) в выражение (3.1.8), получим

о (Ro; t) = (Vr (Ro; т),

(3.1.10)

0 (г, 0, t) = RT (t) • (U (Ro; T), 0 (r, 0, I)  R (0,
что и доказывает утверждение.

Допустим в качестве примера, что y[U(R0; т)]рг_оо =
==^(U (Ro;0), т. e. a (r (Ro; 0) = RT (0.^ (U (Ro; 0)-R (0.

Этот случай означает отсутствие памяти о деформировании и
запоминание только тензора U(R0; 0, соответствующего данному
моменту времени. Такой материал, полностью лишенный памяти,
называется упругим. Указанное предположение исключает из рас-
смотрения вязкие, вязкоупругие, пластические материалы (где

(3.1.6)
деформации:

(3.1.7)
деформацию.

(3.1.8)
нужно знать последовательность, в которой материал подвергался
деформированию).

Ь)	Покажем, что условие несжимаемости материала div v = О
удовлетворяет принципу материальной объективности:

div v = V • v = Sp Vv = Sp[х/2 (Vv 4- Vv7)] = Sp Г) = 0.

После наложения жесткого движения

div v' = SpD' = Sp (О7'  D-О) = От : D-O = O-OT : D =

= E : D = SpD = div v = 0.

При выводе использована индифферентность тензора D.

с)	Рассмотрим обобщение на случай больших градиентов урав-
нения среды Максвелла:

о + Xd = 2pD,	(3.1.11)

где X, ц — индифферентные скаляры.

Тензоры <т и D индифферентны, а о — материальная производ-
ная по времени индифферентного тензора — есть неиндифферент-
ный тензор'

В самом деле:

or' =-^-(0T.<T-0) = dT-o-0 + 0T-d-0 + OT-ff.6^OT-d-O.

Следовательно, уравнение (3.1.11) не удовлетворяет принципу
материальной объективности. Чтобы добиться этого, следует про-
изводную о заменить на какую-либо индифферентную (объектив-
ную) производную, например производную Яуманна—Нолла или
Олдройда и т. д.

d)	Покажем, что в определяющие соотношения не может явно
входить радиус-вектор частицы г (Ro; т), что является следствием
однородности пространства.

Пусть о (г (Ro; £)) = S' (г (Ro; т), Vr (Ro; т)). Далее вследствие
индифферентности о и принципа материальной объективности
имеем

Г (г' (Ro; т), Vr' (Ro; т)) = От (£) • S' (г (Ro; т), Vr (RP; т)) - О (£)-.

Пусть, в частности, наложенное жесткое движение является посту-
пательным. Тогда О = От = Е, Vr' = Vr, г' = р' Д) + г при
р = 0. В результате предыдущее равенство принимает вид

S' (г (Ro; т) + р' (т), Vr (Ro; т)) = S' (г (Ro; т), Vr (Ro; т)),

что должно иметь место при произвольном р' (т). Возникшее про-
тиворечие показывает, что в определяющее уравнение не может
входить радиус-вектор частицы г (Ro; t).

е)	Наконец, рассмотрим последний пример. Пусть предлагает-
ся определяющее уравнение для жидкости вида

o = o(v, D, W,p),	(3.1.12)
где тензор напряжений Коши о предполагается зависящим от век-
тора скорости перемещений v, тензора деформации скорости D,
тензора вихря W, плотности материала р.

Согласно принципу материальной объективности имеем (с уче-
том индифферентности р) о' = о (v', D', W', р') — От-ц (v, D,
W, Р)-О.

Учитывая выражения (1.3.31), (1.3.33), (1.3.34) при р = О,
имеем

а(у’Р + OT-v + 6Tr,OT-D-0, От WO +ОТ.О, р) =

= OT-<r (v, D, W, р)-О,	(3.1.13)

где Vp = р'.

Сначала пусть жесткое движение является поступательным
(О = Е, О = 0). Тогда из выражения (3.1.13) получим

° (vp + v, D, W, р) — о (v, D, W, р).

Ввиду произвольности Vp отсюда сразу следует, что вектор скоро-
сти v не может быть включен в число аргументов определяющего
соотношения (3.1.12).

Имеем теперь

o = ff(D,W,p), o/ = o(OT>D-O, OTW-O + OTO, р).

Рассмотрим случай, когда наложенное жесткое движение
является мгновенно-вращательным: О = Е, О =/= 0. Тогда
<r (D, W + От, р) = a (D, W, р). Откуда ввиду произвольности 6Т
вытекает, что W не может быть в числе аргументов определяющего
.уравнения (3.1.12).

В итоге определяющее уравнение имеет вид

а = о(|), р).	(3.1.14)

Принцип материальной индифферентности для рассматривае-
мого материала

о' =o(0T D 0, p) = 0T-o(D, р)-0.	(3.1.15)

5.	Принцип затухающей памяти. Принцип утверждает, что
'влияние прошлых деформаций на текущее напряженное состояние
тем слабее, чем больший промежуток времени их разделяет. Этот
принцип дает возможность построить план экспериментальной
проверки предсказаний теории. Действительно, полная история
деформирования никогда не известна. Принцип затухающей памя-
-ти позволяет рассматривать эксперимент конечной длительности,
по окончании которого можно считать, что любая деформация,
имевшая место до начала эксперимента, оказывает пренебрежимо
малое влияние на напряжение в его конце.

Согласно этому принципу можно ввести понятие «естественного
времени» для любого данного материала: это продолжительность
временного промежутка, деформации вне которого не оказывают
влияния на напряженное состояние. Для упругих тел и вязких
жидкостей «естественное время» равно нулю.

6.	Второе начало термодинамики. Включение второго начала
термодинамики в число уравнений механики сплошной среды де-
лает задачу переопределенной, так как число уравнений полу-
чается на единицу больше числа неизвестных. Следовательно,
второе начало термодинамики содержит некоторые ограничения
на изменение переменных процесса. Оказывается, что эти ограни-
чения накладываются на определяющие уравнения.

Ниже, следуя в основном К. Трусделлу [168], описывается
общая методика применения второго начала термодинамики для
анализа определяющих соотношений механики деформируемых
сред. Напомним первое начало термодинамики, согласно которому
постулируется, что скорость изменения внутренней энергии
тела складывается из мощности сил, затрачиваемой на изменение
внутренней энергии W, и скорости подвода тепла Q:

$=W + Q.	(3.1.16)

В свою очередь, $ можно представить в виде

£ = $ pedV,	(3.1.17)

v

где е — удельная внутренняя энергия тела в актуальном состоя-
нии. Аналогично

W = ^wdV.	(3.1.1?!)

г

Далее делается предположение, что скорость подвода тепла Q
есть сумма скорости объемного нагрева Qb и скорости контакт-
ного нагрева Qc:

Q = Qb + Qc,	(3.1.18)

Qb = \psdV, Qc = ^qdS,	(3.1.19)

v	s

где s — плотность объемного источника тепла; q — плотность
поверхностного источника. Часто говорят, что Qb представляет
передачу тепла излучением, Qc — теплопроводностью.

По аналогии с тензором напряжений вводится вектор теплового
потока h;

q (г, n) = h (г)-п.	(3.1.20)

Подставляя соотношения (3.1.17)—(3.1.20) в формулу (3.1.16),
получим

~ J edM= J h-ndS + jj (и?-ф ps)dB.	(3.1.21)

м - s	v
Считая все входящие в выражение (3.1.21) функции непрерыв-
дмми по пространственным координатам, функцию h (г) непре-
рывно дифференцируемой, а также учитывая произвольность
объема V, получим

рё = w + div h + ps.	(3.1.22)

Уравнение (3.1.22) представляет собой уравнение баланса
внутренней энергии (первое начало термодинамики в дифферен-
циальной форме).

Теперь покажем, что мощность W равна введенной ранее мощ-
ности напряжений JV (2.1.29). Мощность приложенных к системе
объемных f и поверхностных t сил дается выражением]

Ж = $ pf-vdV + Jt-vdS.	(3.1.23)

V	s

Исключим в выражении (3.1.23) плотность объемных сил f
с помощью уравнения движения элементарного объема сплошной
среды:

~ dv г.

pt^p^-V-o.

В результате получим

jy = jjp-|L -vdF + jjn.ff.vdS- jj(V.o).vdF.

V	SV

Учтем, что

V • (ff. v) — (V • о) • v 4~ ffT : Vv.

Тогда

W = jj -y- dV + jj n • о • v dS — jj V • (д • v) dV + jj oT : V v dV.
V	S	V	V

Введем далее кинетическую энергию системы Ж-.

W=^J^dV.
и

Тогда после применения теоремы Гаусса—Остроградского получим
+ jjffT:VvdF.

v

Считая далее тензор напряжений Коши ff симметричным, имеем

-^- + W,	(3.1.24)

где W = jj ff : DdV = Ж' есть часть мощности внешних сил, которая
v
идет на изменение внутренней энергии системы. Объемная плотность
этой мощности по отношению к актуальной конфигурации дается
выражением

w = o: I) = Sp (o-D) = Sp (<т-Vv).	(3.1.25)

Мощность напряжений, отнесенная к единице массы, с учетом фор-
мулы (2.1.40) представляется в виде

4	о	4

Wp = -i-^:VvT =-2-^:gT,	(ЗЛ26)

где g = Vr = FT.

Приведем необходимое для дальнейшего изложения второе
начало термодинамики. По определению, внутренняя энтропия
Н представляет собой аддитивную функцию массы

H = Jpr]dV,	(3.1.27)

г

где т] — удельная плотность энтропии. Для однородных систем
второе начало термодинамики следует из предположения, что ско-
рость изменения энтропии Й можно представить в виде аддитив-
ной суммы

Н = йе + Н\	(3.1.28)

где Йе = (<?/0) (0 > 0), Н1 0 (изменение энтропии, обуслов-
ленное внутренними, вообще говоря, необратимыми процессами
в теле).

Тогда

Н ><?/©.	(3.1.29)

Неравенство (3.1.29) и отражает второе начало термодинамики'
Обобщение неравенства (3.1.29) для сплошной среды с учетом

(3.1.19) можно представить в виде

Н= $ P9dV >	+ J = J HF + $• ИНН'

V	V	S	У

В итоге, предполагая непрерывность подынтегральной функции,
pi| > ps/0 + V.(h/0).	(3.1.30)

Неравенство (3.1.30) называют неравенством Клаузиуса—Дюгема.

В неравенстве (3.1.30) исключим скорость объемного подвода
тепла s с помощью уравнения энергетического баланса (3.1.22).
Для этого вводится плотность свободной энергии

ф = е — ц0.	(3.1.31)

Из выражений (3.1.31) и (3.1.22) имеем

рф —- р (е — f]0 — i]0) = w + V • h ps — рц0 — рц0.
Далее используем соотношение (3.1.30):

0pr| = w +V-h 4- ps — р(ф + т]0)>ps 4-

Окончательно имеем

р (ip 4- Ц©) — w----------------j^- h • V© < 0.

v.h — -2-h.ve.

(3.1.32)

Получили приведенное неравенство диссипации.

Соотношение (3.1.32) можно рассматривать как частный случай
более общего соотношения. Для его получения введем 10-мерное
векторное пространство функций g и © и обозначим X. = (g, 0).
Обозначим также т —(^-1-^,— T]j . Скалярное произведение век-
торов в этом пространстве будем обозначать так же, как и в трех-
мерном пространстве. Тогда с учетом (3.1.26) получим —ш/р 4-
4- т]0 = —т-к. Приведенное неравенство диссипации можно при-
вести к виду

л — т-к — а-ц 0,	(3.1.33)

где л =- ф, т и Z определены выше, а а и ц — любые трехмерные
векторные функции, такие, что а-ц = (l/p0)h-V0. Например,

1 1 ° 1 Л

а = — g-T-h, р = — V© = — g.V0. В самом деле:

«•l*=4(s-'r-h)-(4t-v9)=4rh.te.

С помощью термодинамических соотношений можно ввести
вместо л в формулу (3.1.33) различные термодинамические потен-
циалы: внутреннюю энергию, энтропию, энтальпию, свободную-
энтальпию и др.

В дальнейшем функции X (£), ц (t) будем считать аргументами
термомеханического процесса, т называется термомеханическим
натяжением, а — тепловым потоком, л — накоплением.

Вводим обозначение

6 = т- к — л,	(3.1.34)

где б называется внутренней диссипацией в обобщенном смысле.
Тогда приведенное неравенство диссипации (3.1.33) преобразуется
К ВИДУ

«ц > - б.»	(3.1.35)

Для составления определяющих соотношений применяется
принцип термодинамически согласованного детерминизма. Заклю-
чается принцип в следующем:

Накопление л, термомеханическое натяжение т и тепловой-
поток а определяются предысторией'.

n(t) = n(V, j?),	t(«) = T(V, j?), a(t) = A(V,g;), (3.1.36)
причем на определяющие отображения П, Т, А налагается требо-
вание, чтобы они удовлетворяли приведенному неравенству дисси-
пации (3.1.33) для каждой предыстории (№, у1), принадлежащей
их общей области определения, при условии, что существует про-
изводная k (£). Заметим, что предысторией функции называется
•совокупность значений Т (т) в области значений т (— оо, t).

Материалы, для которых имеют место соотношения (3.1.36),
называются термомеханически простыми. Обратим внимание на
то, что в соотношениях (3.1.36) аргументы во всех трех определя-
ющих функционалах одинаковы, а именно А/ и у1. В данной си-
туации рекомендуется пользоваться правилом равноприсутствия:

при выборе для изучения некоторого допустимого класса опре-
деляющих соотношений типа. (3.1.36) следует использовать для
всех этих соотношений одни и те же независимые переменные.

Данное правило не является физическим законом, но лишь ре-
комендацией. При дальнейшем анализе во многих частных случаях
достигаемая при этом общность оказывается излишней. Однако
пренебрежение некоторыми мыслимыми взаимодействиями сле-
дует по возможности обосновывать.

Подстановка соотношений (3.1.36) или их частных модифика-
ций в приведенное неравенство диссипации (3.1.33) позволяет
получить ограничения на параметры определяющих соотношений.
В разд. 3.3 на примере будет показана методика таких вычисле-
ний.

3.2.	О теории упругогтластических процессов

А. А. Ильюшина

А. А. Ильюшину принадлежит заслуга в развитии общей теории
определяющих соотношений в механике сплошной среды и конкре-
тизации их для анализа упругопластических процессов, а также
•формулировании ряда новых положений, специфичных для теории
упругопластических процессов.	/

При изложении этой теории авторы использовали результаты,
имеющиеся в монографиях [64, 65, 124], а также в статьях [23,
47, 67, 72, 106-108, 114].

При формулировании теории сделаны следующие предполо-
жения :

1.	В естественном (ненапряженном и недеформированном)
состоянии тело считается изотропным.

2.	Используя одно из основных предположений механики сплош-
ной среды о непрерывности напряжений и деформаций в иссле-
дуемой области, напряженно-деформированное состояние в окрест-
ности любой материальной частицы 7И можно считать однородным.
Вводится понятие М-образца по отношению к объему тела АВ в
точке М [65]. Так называется любое тело конечных размеров, ве-
щество которого и его состояние в начальный момент времени i0
одинаковы с веществом и его состоянием в объеме AF в момент
,i0, причем: а) напряженно-деформированное состояние образца
является однородным по объему в любой момент времени; б) лю-
бой процесс изменения тензора деформации (или тензора напря-
жений) во времени может быть осуществлен; в) проникающие дей-
ствия типа тепловых и массовых потоков через границу образца
могут быть осуществлены и, как и в объеме ДУ, переносимые через
границу образца субстанции достаточно однородно распределены
внутри образца в любой момент времени. Совокупность испытаний
jlf-образцов называется М-опытами. Делается предположение (ги-
потеза макрофизической определимости) о том, что если M-обра-
зец в указанном выше смысле принципиально может быть реализо-
ван, то состояние вещества в объеме ДУ тела при произвольном
нагружении тела произвольной формы может быть воспроизве-
дено в ЛГ-опытах.

3.	Градиенты перемещений .точек тела считаются малыми, по-
этому их квадратами, а также вращениями элементов тела можно
пренебречь.

4.	Реономные (зависящие явно от времени) свойства материа-
лов не рассматриваются.

В основе теории упругопластических процессов А. А. Илью-
шина лежат принцип детерминизма, постулат изотропии, принцип
запаздывания векторных и скалярных свойств, гипотеза о раз-
грузке и постулат пластичности.

Итак, допустим, что моменту t = 0 соответствует естественное
состояние материала, причем аргумент t играет здесь роль неко-
торого возрастающего параметра, характеризующего нагружение
исследуемой области Q. Тогда напряженно-деформированное сос-
тояние рассматриваемой частицы в произвольный момент Н Д> О
определяется симметричными тензорами напряжений <r (£х) и де-
формаций е (£х) или — при выбранной системе координат — ком-
понентами этих тензоров цг; (£,), e.;j (Zj, i, j = 1, 3- При этом про-
цесс нагружения полностью определяется заданием одной из
тензорных функций — a (t) или s (£) и некоторых физических тен-
зоров различной валентности (температуры, деформации скорости
и т. д.).

Для рассмотрения процесса (истории) нагружения весьма удоб-
но использовать введенное А. А. Ильюшиным векторное (геомет-
рическое) представление процесса нагружения. При задании
процесса с помощью функции о (t) говорят о задании процесса в
пространстве напряжений, при задании с помощью функции s (t) —
в пространстве деформаций.

Как известно, тензору е (£) взаимно однозначно соответствует'
девиатор d (t) деформаций и первый инвариант тензора деформаций
(средняя деформация) е (t), т. е.

е (t) = 1/3 Sp s (t) = Пэ е (!) : Е, d (t) = s (t) — e (i) E,

Sp d (i) = d:E = 0.	(3.2.1)

Заметим, что в силу последнего соотношения (3.2.1) девиатор
Деформаций имеет только пять независимых компонент. Таким
образом, процесс нагружения в пространстве деформаций можно
задать пятью независимыми функциями времени dtj (t) (например,

d22, d^, dis, d23) (if)) и функцией e (i).

Аналогичные соотношения можно ввести для тензора и девиа-
тора напряжений о и S, а также среднего напряжения и:

о (f) = 1/а Sp <т (Z) = 1/3 о (i) : Е, S (t) — о (£) — a (i) Е,

Sp S (i) = S (0 : Е = 0.	(3.2.2)

Таким образом, процесс нагружения в пространстве напряже-
ний однозначно определяется компонентами девиатора напряже-
ний Stj (£), связанными линейным соотношением Sp S (£) = 0,
и средним напряжением а (£).

Полагаем, как и в работе [72], что средние напряжения и де-
формации связаны между собой некоторым соотношением а (Z) =
= f (е (£)) (например, линейным о (£) = Кг (£)), независящим от
девиаторов d(i), и напротив, что соотношения между
S (t) и d (i) не зависят от средних напряжений и деформаций. Дан-
ные предположения для рассматриваемого здесь случая малых
средних деформаций получили экспериментальное подтверждение
в широком диапазоне изменения o(i). Тогда процесс нагружения
в пространстве деформаций может быть задан шестью функциями
времени d^ (t), i, j = 1, 3, связанными линейным соотношением

(i) = 0, и независимой функцией о (t) (или е (t)) [65].

Вместо шести линейно зависимых функций cZ(J- (£) (или (£))
можно ввести [65] посредством линейного взаимно-однозначного
соответствия пять линейно-независимых функций эг (£) (или
о, (£)), i = 1, 5:

= У2 [dn cos (Р + л/6) — d22 sin р],

э2 = У2 [б/п sin (Р 4- л/6)	d22 cos р],	(3.2.3)

э3 — ф 2 Ф12, Э4 = У2	= /2	-

обратные соотношения:

с/ц = 1^2/3 [3j cos р + э2 sin р], d12 = (/2/2) э3,

d22 = у 2/3 [—э, sin (Р -ф л/6) 4- э2 cos (Р -ф л/6)],	(3-2.4)

^2 з — (У 2/2) а,,

^зз =? У 2/3 [э-t sin (Р — л/6) — э2 cos (Р — л/6)], dsi = (2/2) э3,

где Р — любой произвольный постоянный параметр (при анализе
конкретных процессов нагружения р часто полагается равным ну-
лю). Соотношения, определяющие <J2 (t) через (t), аналогичны
(3.2.3), (3.2.4).

Введем пятимерный ортонормированный декартов репер q1
[65]. Как показано в цитируемой работе, в силу линейности соот-
ношений между девиатором деформаций d и вектором перемещений
u при малых деформациях и линейности соотношений (3.2.3)
векторы э = atql образуют пятимерное евклидово пространство
(деформаций) Э<б> с соответствующим скалярным произведением:

3'.9" = 9i9jq1-q-' = 6t-'9i9j— 3i3j.	(3.2.5)

Заметим, что модуль вектора э с точностью до множителя совпада-
ет с интенсивностью деформаций:

| э |2 = э2 = эгэг = drsdrs (i = 1, 5; г, s = 1, 3).	(3.2.6)

Приращение вектора деформации за бесконечно малый проме-
жуток времени dt представляет собой также пятимерный вектор da:

da = darf = (ddt/dt) dtq\	(3.2.7)

При деформировании конец вектора э описывает в пятимерном
пространстве Э<5> некоторую линию, называемую траекторией де-
формации. Вектор da направлен по касательной к траектории де-
формации, причем его модуль есть дифференциал длины дуги траек-
тории ds:

ds = | da | = (da^aJ'/j = (a^)1/» dt.	(3.2.8)

Тогда длина дуги траектории деформации
t	t

s — § (э^э,)’^ dt — § 0rsd!rs)'/2 dt,	(3.2.9)

о	о

причем, как отмечается в работе [65], соотношение (3.2.9) устанав-
ливает взаимно-однозначное соответствие между t и s. В этом слу-
чае уравнение траектории деформации может быть записано в
виде э = э (s).

Аналогично пространству Э<5) можно ввести пятимерное ев-
клидово пространство напряжений 2(3), элементами которого яв-
ляются всевозможные векторы напряжений а = Заметим,
что вместо разложения вектора напряжений <т по базису q1 в
теории пластичности часто используются разложения по другим
базисным векторам [23, 47, 65]. В частности, для этой цели удоб-
ным оказывается использование так называемого естественного
ортогонального репера р‘ (i = 1, 5). Для построения последнего
в каждой точке траектории деформации э = э (s) (э (s) — требуе-
мое число раз дифференцируемая вектор-функция) определяются
линейно-независимые векторы

ai = d}alds\ i = ГП.	(3.2.10)

Затем по векторам эг строится ортонормированный базис рг [65].
Заметим, что р1 = о1 = dal ds, причем | э1 | = 1 и вектор р1 нап-
равлен по касательной к траектории деформации.

В соответствии с [65] геометрия траектории деформации пол-
ностью определяется системой пяти внутренних геометрических
параметров траектории: длиной дуги s и четырьмя параметрами

4 А. а. поздеев и др.

97
кривизны и кручения xn, п = 1, 4. Особое значение для большин-
ства процессов деформирования имеет параметр кривизны траек-
тории

/ й2э d2a V/г

X1 = х =	’ ~ds^~ J	•

(3.2.11)

Параметры х; = хг (s) однозначно определяют траекторию дефор-
мации с точностью до положения траектории по отношению к ба-
зису q2. Последнее определяется заданием начального положения
естественного репера рг) — р2 |<=о-

Одним из ключевых понятий теории упругопластических про-
цессов А. А. Ильюшина является образ процесса. Образом про-
цесса нагружения в пространстве Э® называется [65] совокуп-
ность траектории деформации о = э (s) и определенных в каждой
точке траектории вектора напряжений g (s), средних напряже-
ний о (.$•) и деформаций е (s), температуры О (s) и т. д. Заметим, что
аналогично может быть определен образ процесса нагружения в
пространстве

Введем ортогональный линейный оператор (преобразование)
в рассматриваемых действительных пятимерных векторных про-
странствах Э<5> (или 2*5>). Пусть z' = Az, w' = Aw, где z,z'.
w, w' 9W (или 2®). Тогда по свойству сохранения скалярного
произведения при ортогональном преобразовании имеем [87]

z' -w' — Az-Aw = z-w Vz, w ЕЕ Э®

(3.2.12)

z' — (z'-z'/V — z — (z-z)1'2 Vz ЕЕ Э<6\

Другими словами, при ортогональном преобразовании в про-
странствах Э<о) и сохраняются длины векторов и углы между
ними. Введенные выше ортогональные операторы (преобразования)
А определяют в рассматриваемых пространствах преобразования
вращения и/или отражения. В частности, они включают преобра-
зования вращения и отражения пространственной системы коор-
динат. При подобных преобразованиях не меняется внутренняя
геометрия любой кривой и начало отсчета. Используя введенные
выше понятия, кратко остановимся на основных постулатах и ги-
потезах теории упругопластических процессов А. А. Ильюшина.

Основным содержанием теории упругопластических процессов
А. А. Ильюшина является идея о функциональной зависимости
физических величин, характеризующих напряженно-деформиро-
ванное состояние (а и е), от истории нагружения (деформирования).
До появления в 50-х годах работ А. А. Ильюшина определяющие
соотношения в различных теориях пластичности имели вид функ-
ций, связывающих параметры напряженно-деформированного со-
стояния в данный момент времени, независящие от предыстории
деформирования.

В работах А. А. Ильюшина была показана необходимость анализа
процесса упругопластического деформирования (чем обусловлено
и название теории).
Однако подобный подход к исследованию упругопластического
деформирования повлек за собой, казалось бы, непреодолимые
трудности. Действительно, если напряженно-деформированное
состояние каждой материальной частицы определяется процессом
ее деформирования (нагружения), отличающимся от процессов
деформирования других частиц, то для определения параметров,
рходящих в определяющие функциональные соотношения, требу-
ется бесчисленное множество экспериментов. Разработанные
А. А. Ильюшиным, В. G. Ленским и их учениками постулаты и

Рис. 3.1.

К постулату изотропии

гипотезы теории упругопластических процессов, получившие в
настоящее время широкое экспериментальное подтверждение, поз-
волили устранить эти «непреодолимые» препятствия на пути к
практическому использованию теории упругопластических про-
цессов.

Большинство металлов и сплавов в начальном естественном
состоянии можно считать изотропными (в макроскопическом смыс-
ле). Для таких материалов применим постулат изотропии [65, 72]:

Образ процесса нагружения инвариантен к преобразованиям
вращения и отражения.

Из условия сохранения второго инварианта девиатора дефор-
маций при повороте осей координат в теле сразу следует, что
преобразования поворота осей координат в теле относятся к классу
преобразований вращения и отражения в пространстве Э(5). Сле-
довательно, принцип материальной индифферентности для упру-
гопластических процессов следует из постулата изотропии, где,
кроме того, существенным является предположение об отсутствии
влияния на определяющие соотношения третьего инварианта де-
виатора деформации.

Поясним постулат изотропии на примере процесса нагружения
в Э<2) (например, случай плоско-деформированного состояния при
условии несжимаемости). Пусть имеем два процесса нагружения:
1) Э ($), О (s), о ($), . . .; 2) э' (s), g' (s), ст' (s), . . ., получающиеся
один из другого преобразованием А (2-й из 1-го — преобразова-
нием А~г = Ат) (рис. 3.1). В данном примере преобразование А
представляет собой отражение относительно прямой (гиперплос-
кости в двухмерном пространстве) MN. Произвольной точке В
траектории э (s) соответствует точка В' траектории э' (s), причем
s = s' и х (s) = х' (s') (в данном случае параметры кручения
хп = хп = 0, п = 2, 3, 4). Согласно постулату изотропии в точ-
ках В и В' | <т I = | о' | и ориентация векторов в и о7 в естествен-
ных реперах р1 и р'1 соответственно одинакова, т. е. ~
Ж2 — ®2, где = arc cos (рг•	), 24 = arc cos (р'г •'Дтт-). Со-

гласно постулату изотропии при разложении вектора напряже-
ний в в естественном сопровождающем репере Френе р\

о = 2>гр\	(3.2.13)

его компоненты являются функционалами внутренних геомет-
рических параметров траектории, средних деформации и напря-
жения и температуры:

=	/,« = 175? (3.2.14)

Соотношения (3.2.13) можно представить также в виде

<т = [ <т ] cos £2\рг, cos®icos25i= 1.	(3.2.15)

Тогда из постулата изотропии следует:

I а | = | а | & (I), е©, а ©, 0 ©,.. .}|=0,	(3.2.16)

^i=®i{g,Xn(g),e(O,a(g),0(g),...}Uo,	=	(3.2.17)

Соотношения (3.2.14), (3.2.16), (3.2.17) представляют собой
математическую запись постулата изотропии в достаточно общей
форме. В случае существования соотношения a = / (е) один из
этих параметров можно исключить. Следует отметить, что хотя
зависимость процесса нагружения от температуры носит функцио-
нальный характер, в настоящее время теория неизотермических
упругопластических процессов разработана недостаточно. В свя-
зи с этим вместо функционалов при решении неизотермических
задач зависимость от температуры принимается в виде функций.
Заметим, что в силу принципа детерминизма аналогичные рассуж-
дения справедливы и для образа процесса нагружения в простран-
стве напряжений

Значение постулата изотропии трудно переоценить. В частнос-
ти, он позволяет сделать практически возможным эксперименталь-
ное получение определяющих соотношений. Действительно, вместо
исследования всех процессов нагружения, получающихся друг
из друга ортогональным преобразованием А, согласно постулату
изотропии достаточно рассмотреть лишь один из них.

Чрезвычайно важное значение в теории упругопластических
процессов имеет принцип запаздывания [67, 72] (или, как он наз-
ван в работе [23], принцип памяти). Этот принцип можно рассмат-
ривать как конкретизацию для упругопластических процессов
общего принципа затухающей памяти. Принцип запаздывания ха-
рактеризует фундаментальное свойство твердых деформируемых тел
при упругопластическом деформировании [67]. Суть его заключает-
ся в том, что материал «помнит» не всю историю деформирования,

а лишь ограниченный ее отрезок, непосредственно предшествовав-
ший исследуемому моменту. В теории упругопластических процес-

сов принцип запаздывания формулируется отдельно для вектор-
ных и скалярных свойств. Различные формулировки принципа
запаздывания и следствий из него приведены в работе [23]. При-
ведем принцип запаздывания в более частной форме (сформу-
лированной В. С. Ленским в докторской диссертации, МГУ, 1960 г.),
имеющей, по мнению авторов, большее практическое значение.

формулировка принципа практически дословно повторяет содер-
жащуюся в работе [23].

«Ориентация вектора напряжений о в естественном репере р1.
в произвольной точке траектории деформации определяется не
всей историей деформирования от естественного состояния, а лишь
внутренней геометрией участка траектории, непосредственно пред-
шествующего исследуемой точке, длиной X»,

Параметр X, называемый следом запаздывания векторных
свойств, является характерной величиной для материала или класса
материалов. Так, для сталей X = (5 -е- 8) eg, для цветных метал-
лов X = (2 -н 3) es (цд = Os/E, Os — предел текучести материа-
ла, Е — модуль упругости).

Весьма важным для использования при построении определяю-
щих соотношений теории упругопластических процессов являются
следствия из принципа запаздывания [23, 72].

Пусть CZ Э<в>, £э — множество точек некоторой траекто-
рии деформации э (s), а 2<в> — множество точек соответ-
ствующей траектории нагружения о (s) в пространстве напряже-
ний 2<в\ Далее, пусть точкам Вэ, Сэ ЕЕ 55э соответствуют точки
Еа, Со ЕЕ Причем примем, что точка Сэ удалена от точки Вэ
вдоль траектории деформации на расстояние As = I ВаСэ | = X.
Сформулируем следствия.

Следствие 1. Если, начиная с точки 7?а, X, CZ лэ CZ
CZ Э<в>, где лэ — некоторая гиперплоскость, то, начиная с точки
Са, (Z лст CZ 2<в>, где лст — гиперплоскость, проходящая через
начало координат и ориентированная так же, как лэ в Э<5>.

Следствие 2. Если, начиная с точки Вэ, траектория
деформации становится прямолинейной, то, начиная с Са, вектор
напряжения о (s) направлен вдоль этой прямой.

Принцип запаздывания скалярных свойств гласит [23]:

Величина модуля вектора напряжений | о | в точке Сэ ЕЕ
€= CZ Э<5) зависит не от всей истории нагружения, а лишь от
внутренней геометрии некоторого конечного участка траектории
ЕдСа СЕ £а длиной As = | В'а Сд | =

Следует отметить, что, во-первых, согласно имеющимся экспе-
риментальным данным X; во-вторых, в принципе запаздыва-
ния скалярных свойств говорится о независимости | о | от пара-
метров кривизны и кручения хг (i — 1, 4) на участке ОВЭ и рас-
положения 'С, в Э<5\ однако | о | в точке Сэ зависит от всей длины
траектории деформации | ОС,, |. При этом, как показано много-
численными экспериментами, зависимость | и | (s) можно с доста-
точной точностью считать универсальной. Принцип запаздывания
и следствия из него подтверждены результатами эксперименталь-
ных исследований [3, 23, 47, 90, 250 и др.].

Дальнейшее сокращение количества потребных для построения
определяющих соотношений теории упругопластических процессов
экспериментов связано с использованием выдвинутой В. С. Лен-
ским [107] гипотезы локальной определенности [23, 72]:

«.Приращение вектора напряжений определяется модулем напря-
жений |о| в рассматриваемый момент, ориентацией вектора нап-
. ряжений о относительно последующего участка траектории де-
формации, внутренней геометрией этого участка и длиной дуги
предшествующей траектории».

В работе [108] приведена формулировка гипотезы локальной
определенности для чисто векторных свойств процесса:

«Скорость изменения углов ориентации S)i вектора напряже-
ний в репере рг является функцией текущих значений И};, кривиз-
ны траектории деформации кп и длины дуги s:

dSdjldt = ft (3\, xn, s), i, k, n = 1, 5».

При этом, как отмечается в работе [108] со ссылкой на многочислен-
ные экспериментальные данные, функции fi являются универсаль-
ными для исследуемого материала, что позволяет строить их на
основе достаточно простых экспериментов.

Еще одним важным элементом общей теории упругопластиче-
ских процессов А. А. Ильюшина является гипотеза о разгрузке.
Предполагается, что девиатор деформации можно представить в
виде суммы упругой и пластической частей:

di} =	+ <, i, 7 = 1?3.	(3.2.18)

Следовательно, таким же образом можно представить и вектор де-
формации

э = эе + э”.	(3.2.19)

Упругая часть вектора деформации эе на начальном участке на-
гружения связана с вектором напряжения обобщенным законом
Гука:

Э^А_О.	(3.2.20)

При дальнейшем пластическом деформировании упругие свойства
материала изменяются (это явление называется деформационной
анизотропией). Количественно изменение коэффициентов упругости
при пластическом деформировании может достигать 15—20%.
Это явление исследовали Р. А. Васин [11', 25], А. М. Жуков [57],
О. А. Шишмарев и Е. Я. Кузьмин [185] и др.
При наличии деформационной анизотропии связь вектора упру-
гой деформации эе с вектором напряжения о представляется со-
отношением

эе = (Е) 1-о, или о = (Е)-эе,	(3.2.21)

где (Е) — матрица коэффициентов упругости; (Е-)1 — матрица
коэффициентов податливости, обратная матрице (Е).

Из соотношения (3.2.21) следует, что эе = 0 при о — 0. По-
этому из формулы (3.2.19) можно заключить, что

эр = э]а=().

(3.2.22)

Соотношение (3.2.22) можно рассматривать как определение
пластических деформаций, которые совпадают с остаточными де-
формациями при однородном напряженно-деформированном сос-
тоянии образца.

Теперь можно ввести, понятия активного нагружения и разгруз-
ки. Если материальный элемент находится в некоторой точке В
траектории деформации пространства Э(6\ то дальнейшие возмож-
ные траектории разбиваются на два множества. На одних из них
вектор пластической деформации остается постоянным, в этом слу-
чае происходит разгрузка. При движении по другим вектор э7
изменяется, тогда происходит активное нагружение. При движе-
нии по траектории с разгрузкой начиная с некоторого момента
вектор эр может вновь начать изменяться. Тогда разгрузка сменя-
ется нагружением. Траектории активной деформации и разгрузки
в пятимерном пространстве деформаций Э<б> разделены некоторой
поверхностью F (э) = 0, проходящей через точку В. Эта поверх-
ность в пространстве деформаций называется поверхностью теку-
чести, соответствующая поверхность в пространстве напряжений —
поверхностью нагружений. Вид этих поверхностей зависит от
истории деформирования данного материального элемента до точ-
ки В траектории.

Наконец, изложим постулат пластичности А. А. Ильюшина
[65, 124].‘Постулат позволяет выделить траектории, где есть участ-
ки с активным нагружением. Формулировка постулата такова:
работа вектора напряжений И7Э на любой замкнутой в простран-
стве деформаций траектории равна нулю, если на всей траектории
не происходит изменение вектора пластической деформации эр,
и положительна, если хотя бы на некоторых участках траектории
вектор пластической деформации не остается постоянным.

Таким образом, работа вектора напряжений

VF.,--- (j) о• йэ = (j) сц.	Sijd (da) 0	(3.2.23)

на любой замкнутой в Э<5> по деформациям траектории деформи-
рования.

Полная работа напряжений может быть представлена в виде
И7 = J(Jijd&ij — §S;j d (d(j) -]- § ode.	(3.2.24)
Если о = / (е) и процесс является замкнутым по деформациям
ег/- (а потому и по е), то второй интеграл в (3.2.24) равен нулю.
Тогда получим W = Wa, а из условия (3.2.23) получим, что
W > 0.

Из условия И7 0 следует, что если Е (э) = 0 — уравнение
поверхности текучести, то в любой точке на поверхности

dd” = 20 grad F (э) dp,	(4.2.25)

т. е. приращение вектора пластической деформации направлено
по нормали к поверхности F (э). В соотношении (3.2.25) 20 — неко-
торый функционал истории деформирования, р — параметр нагру-
жения. Соотношение (3.2.25) называют ассоциированным с поверх-
ностью текучести F (э) = 0 законом текучести; оно является ос-
новой при построении различных вариантов теории течения.

Основные положения теории упругопластических процессов,
изложенные выше, позволили перейти к построению частных ва-
риантов теории пластичности, а также к установлению области
применимости существующих вариантов. Для этого прежде всего
необходимо классифицировать процессы нагружения по виду траек-
тории деформации. В работе [23] для плоских траекторий деформа-
ции классификация процессов нагружения осуществляется по ве-
личине кривизны

/ d23	d23 \'/г	.

’	(Х2 = Хз = Х4 = 0)

или по радиусу кривизны р — 1/х траектории деформации:

1.	v. X-1 (р X) NBa ЕЕ 22 Э(5> — процессы простого наг-
ружения;

2.	х	X-1 (р > X) У2?э £э — процессы малой кривизны;

3.	и	X-1 (р ж X) VE3 £ Жэ ~ процессы средней кривизны;

4.	rJ53 £э, в которых х X-1 (р <С X) — процессы большой
кривизны;

5.	Э.Вэ ЕЕ £я, для которых х X-1 (р <<; X) — процессы с из-
ломами траектории. Здесь Ва — произвольная/точка траектории
деформации. В случае произвольной пространственной траектории
деформации предлагается распространить приведенную классифи-
кацию введением аналогичных ограничений на параметры кру-
чения х2 — х4. Заметим, что в общем случае траектория деформа-
ции может состоять из участков различной кривизны.

С использованием приведенной выше классификации можно
определить область применимости частных вариантов теории плас-
тичности [72, 108]. В цитируемых работах определяющие соотно-
шения в различных вариантах описаны достаточно подробно, при-
веден обширный список литературы, поэтому здесь нет необходи-
мости останавливаться на даннОхМ вопросе. Отметим, что в настоя-
щее время разработаны в рамках общей теории упругопластических
процессов несколько частных теорий пластичности: теория малых
упругопластических деформаций [64, 183], процессов малой кри-
вивны [67, 106], процессов средней кривизны [114], процессов
в виде двухзвенных ломаных [23, 67].

В работе [23] показано, что имеющие широкое применение ва-
рианты теории течения являются частными видами соотношений
теории процессов в виде двухзвенных ломаных. Соотношения тео-
рии течения Сен-Венана являются частным случаем теории процес-
сов малой кривизны [69, 72]. Однако, как указано в работе [1081,
при нагружении по двухзвенным траекториям с изломом (с углом
излома 80—90°) отмечается нарушение основного закона теорий
течения — принципа градиентальности. В то же время использо-
вание различных вариантов теории течения (учитывающих упроч-
нение) при анализе некоторых процессов обработки металлов дав-
лением демонстрирует приемлемую точность расчетов. Данное
обстоятельство, вероятно, связано с тем, что в указанных про-
цессах деформирование осуществляется по траекториям малой
кривизны.

3.3. Определяющие соотношения упругопластичности
при больших пластических деформациях

Центральной проблемой построения замкнутой системы урав-
нений любой теории механики сплошной среды является установ-
ление физических (определяющих) уравнений. Определяющие со-
отношения теории больших упругопластических деформаций в этом
смысле не составляют исключения, что обусловливает все возра-
стающее количество публикаций по данному вопросу. Остановимся
на наиболее характерных, по мнению авторов, работах.

В отличие от некоторых других теорий механики сплошной
среды (например, теории линейно и нелинейно вязких жидкостей),
где кинематика полностью описывается приведенными в гл. 1
соотношениями, в теории упругопластичности необходимо привле-
чение дополнительных кинематических соотношений. Как и ранее,
будем рассматривать частицу М с некоторой малой е-окрестностью,
напряженно-деформированное состояние которой можно считать
однородным. Положение частиц рассматриваемого объема в
определяется вектор-функцией Ro (gl, i), в УС t — г (g1, i). Кроме
того, в теории пластичности вводится так называемая разгружен-
х

ная конфигурация которая представляет собой положение
частиц рассматриваемой области при отсутствии в ней внутренних
напряжений (здесь и далее верхний индекс X относится к разгру-
х

женному состоянию). При этом конфигурация CKt определяется,
вообще говоря, с точностью до перемещения (трансляционного
переноса и поворота) е-области как жесткого целого, поскольку
х

&Сt вводится через меры деформации (упругой и полной или плас-
тической и полной), не зависящие от жесткого движения среды.

Исходным пунктом построения существующих определяющих
соотношений теории больших упругопластических деформаций
является разделение полных деформаций и скоростей деформации
на упругую и пластическую составляющие. (Отметим, что в
предлагаемых в настоящей работе физических уравнениях по-
добное разложение не производится.) При этом можно выделить
два основных типа разложения деформаций: аддитивное и муль-
типликативное, которые можно связать с двумя подходами к вве-
дению тензоров деформации, описанными в разд. 1.2.

X X

Обозначим через е/ = dvId'Q векторы базиса сопутствующей
х

лагранжевой системы координат в Тогда можно ввести опера-
тор Гамильтона

V = e

(3.3.1)

и градиенты места

X X.	X	X.

7г = егёь	?гт = ёщг,

оХ ,х х	ох хо. х _

Vr = ё’щ = VRq1,	Vr7’ = ещ1 = VR/,

X	X	X	X	X

Vr = (Vr)*1 = ёге;, V rr = (Vr)-T = ещг.

(3.3.2)

(3.3.3)

(3.3.4)

Заметим, что в зарубежной литературе и в ряде отечественных ра-
бот наряду с приведенным в разд. 1.1 обозначением F = VrT ис-
пользуются аналогичные обозначения для определенных (3.3.2),
(3.3.3) градиентов места:

Fc —- VrT, F''-- VrT.

(3.3.5)

x

С использованием метрического тензора Б для конфигурации
X	XXX

Ж с компоненталги Ei} = epej, в монографии [151] вводятся раз-
X	X

личные тензоры упругой Ее, Ее и пластической Ер, Ер дефор-
маций:

Ее = ^ё’,	Ее = 1§%еФ,	^ = 1/2(Ёц — ЕцУ,	-(3.3.6)

Ep = V$e}, Ер = ^.^у	^ = Ч2(Е^-Ё^	(3.3.7)

наряду с приведенными в разд. 1.2 тензорами полной деформации

§ =	% = й/ёгё', = 1/2 (£о- - е^.

Из приведенных выше соотношений нетрудно видеть, что спра-
ведливо соотношение

00е I &Р

(3.3.8)

которое и представляет собой аддитивное разложение компонент
тензора полной деформации на сумму компонент тензоров упру-
гой и пластической деформации. Для установления подобного
тензорного равенства в работе [1511 вводится тензор Ер =
=	так что

Ё = Ёе-}-Ёр.	(3.3.9)

Аналогичное тензорное равенство можно установить с использо-
ванием тензоров g, Ер и вводя тензор Ее = g’fj ё’ё-’:

Е = Ее+Ер.	(3.3.10)

Учитывая независимость компонент метрического тензора от жест-
ких движений, индифферентность ёг- и инвариантность по отноше-
нию к жесткому перемещению ёг, можно установить индифферент-
ность входящих в выражение (3.3.9) и инвариантность содержа-
щихся в равенстве (3.3.10) тензоров. Как указано в разд. 1.2,
8 = С, = st. С использованием соотношений (3.3.2)—(3.3.4),
(1.2.21), (1.2.22), (1.2.51), (1.2.52) можно показать, что компонен-
- х

ты Ер представляют с

; Jrj> = i/2(E„VRo.VRoT)==1A(^.._jE..)eV,	(3.3.11)

а тензор совпадает с тензором Альманси при отождествлении
Жо с Ai.

Ёе = #е = */2 (Е — Vr • V^T) = */2 (Ei; — Еъ-) ё;ё< (3.3.12)

Аналогично тензор Ер совпадает с тензором Коши — Грина при
х
замене на

Ер = OF = V2 (Vr • VrT — Е) — 7, (Д; — Ёе}, (3.3.13)
а компоненты Ее — с компонентами тензора Коши — Грина при
использовании в качестве Ж‘о разгруженной конфигурации

Се = 1/2 (Vr • VrT — Е) = !/2 (Еъ- - Д;) еФ,	(3.3.14)

X X

причем нетрудно видеть, что Се = Ее.

При применении аддитивного разложения (3.3.8) следует пом-
нить, что оно верно только для ковариантных компонент извест-
ных тензоров (3.3.11)—(3.3.14), причем они определены в разных
базисах. Указанное разложение находит применение в сочетании
с лагранжевой формулировкой задач теории больших упругопла-
стических деформаций [230, 244]. В цитируемых работах соотно-
шение (3.3.8) записано в скоростях или приращениях, для уп-
ругих составляющих используется обобщенный закон Гука, для
пластических — уравнения теории течения, причем в качестве
меры скорости изменения напряженного состояния выступает суб-
станциональная производная второго тензора Пиола — Кирхгоффа..
Другой подход к разделению деформаций на упругие и пласти-
ческие связан с определением тензоров деформации через градиент
места. Вероятно, впервые представление градиента деформации
скалярным произведением упругого Fe и пластического Fp гра-
диентов деформации (мультипликативное разложение градиента
деформации) предложено Е. X. Ли [2351:

F = FeFp,	(3.3.151)

или через градиенты места:

Vr = tr.Vr.	(3.3.152)

Справедливость соотношений (3.3.15) немедленно следует из вве-
денных обозначений (3.3.5) и представления градиентов места в
виде диадных произведений базисных векторов (1.2.2), (3.3.2),
(3.3.3).

Соотношение (3.3.15) является основой построения различных
разложений тензоров и мер деформации и их скоростей на упругую
и пластическую составляющие [44, 103, 104 218, 236, 237, 247, 259
и др.]. В большинстве из существующих работ, посвященных по-
строению мер упругих и пластических деформаций, пренебрегается
либо тензором ротации Re, входящим в полярное разложение Fe,
либо тензором ротации Rp, входящим в разложение Fp, при этом
полярное разложение F, Fe, Fp осуществляется аналогично (1.2.43):

Vr = UR = RV, Vr = Ue-Re = Re-Ve,

(3.3.161)

Vr = Up-Rp= Rp-Vp,

или

F = RT U = V-RT, Fe = ReT-Ue= Ve ReT,

(3.3.162)

Fp=RpT-Up= VP-R"T.

Как и ранее, Re осуществляет перевод главных векторов U®
в главные векторы Vе; Rp — аналогичное преобразование для
главных векторов Up и Vp. Пренебрежение Re (или Rp) объяс-
няется независимостью меры упругой (или пластической) дефор-
мации от собственно ортогонального тензора ротации. Не оспари-
вая справедливости последнего утверждения, необходимо отметить
следующее. В условиях выполнения принятого пренебреже-
ния упругой (или пластической) ротацией осуществляется пере-
ход к аддитивному разложению меры деформации или скорости
деформации на упругую и пластическую составляющие, а послед-
ние, в свою очередь, определяются как функции (или функциона-
лы) мер напряженного состояния и/или их скоростей. При этом
меры напряженного состояния и их скорости в отличие от мер
деформированного состояния могут быть неинвариантны по отно-
шению к ротации. Поэтому для корректной оценки возможности
пренебрежения Re или Rp, по мнению авторов, при построении
мер деформированного состояния следует использовать представ-
ление градиентов места в виде (3.3.16) до построения определяю-
щего соотношения.

. Исключение в этом смысле представляют работы [213, 259].
В статье [213], например, приняты следующие представления
градиентов деформации:

Fe — ReT • Ue, Fp = Vp • RpT.

В работе [259] тензор ротации Re вводится в градиент деформации
Fp, Fi = ReT•Fp, так что F = Vе-Ff. Следует отметить, что
использование соотношений (3.3.16) в полной форме существенно
усложняет получение кинематических соотношений, вследствие
чего появляется необходимость введения некоторых других пред-
положений.

На основе (3.3.15) в цитируемых выше работах получены адди-
тивные разложения тензора деформации скорости вида

D = 0e4~0p,	(3.3.17)

где ^5%	— некоторые меры скоростей изменения упругих

и пластических деформаций соответственно. Например, в статье
[236]

0* = i/2 (Fp • (Fp)-1 4- (Fp)-T • FpT),

&)* =i/-2Ve~*.G€J-Уе~\

GeJ — яуманновская производная меры Коши—Грина упругих
О	X X

деформаций, Ge = FeT-F® = Vr-VrT. Следует отметить, что при
получении соотношений вида (3.3.17) в большинстве работ исполь-
зуется дополнительное предположение о соосности тензоров о,
Vе и

Последнее обстоятельство существенно сужает область приме-
нимости полученных соотношений. В рассматриваемых выше ра-
ботах большое внимание уделяется индифферентности введенных
мер скоростей деформаций, показана аддитивность тензоров ско-
ростей упругой и пластической деформации в случае малых упру-
гих деформаций. В некоторых работах последнее положение по-
стулируется и на его основе строятся структурные модели [226,
261, 262].

После установления соотношения вида (3.3.17) рассматривают-
ся определяющие соотношения отдельно для упругих и пластиче-
ских составляющих. Определяющие соотношения нелинейной
леории упругости достаточно хорошо изучены и описаны в лите-
ратуре (например, [46, 112]). Обычно физические уравнения для
упругой составляющей записываются предварительно в форме
конечных соотношений, например вида [236]

0 = 2-4 Fe-
Р

01|)е

06е

•FeT,
где ф® = ф® ('Jr®, 0) — удельная (на единицу объема в Жо) свобод-
ная энергия. Последнее соотношение в дальнейшем записывается
в скоростной форме с использованием тех или иных (чаще всего
яуманновских) коротационных производных.

Для пластической составляющей £)р в существующих в настоя-
щее время работах по большим упругопластическим деформациям
используется, по существу, заимствованное из инфинитезимальной
упругопластичности записанное в скоростях определяющее соот-
ношение теории течения, в котором скорость тензора напряжений
Коши о заменена на некоторую коротационную производную о’
тензора Коши о. Отметим, что замена тензора о на тензор Кирх-
гоффа (2.1.55) или другой тензор напряжений, применяемая в не-
которых работах, не меняет сути дела. Осуществляя затем сумми-
рование упругих и пластических мер скоростей деформированно-
го состояния согласно (3.3.17), в итоге получают определяющее
соотношение скоростного типа, которое для изотермических про-
цессов может быть представлено в виде

nr=H:D,	(3.3.18)

где П — четырехвалентный тензор упругопластических свойств
(в некоторых случаях правая часть представляет собой тензорную
функцию известного вида от D).

Выбор коротационной производной ог, удовлетворяющей
принципу материальной объективности, как отмечено ранее, может
быть осуществлен бесчисленным множеством способов. При этом
решения простых примеров свидетельствуют о возможности каче-
ственного изменения результатов при замене одного типа коро-
тационной производной на другой. Для решения вопроса о прием-
лемости той или иной коротационной производной ог одним из
возможных способов является рассмотрение тестовых задач, для
которых имеются аналитические (или несложные численные) ре-
шения или экспериментальные данные. Так, в работе [264] ана-
лизируются материальные и яуманновские производные тензора
напряжений Коши и второго тензора Пиола—Кирхгоффа на при-
мерах задач простого сдвига и растяжения прямоугольного образ-
ца. Подобные результаты при использовании в качестве ог яуман-
новской производной oJполучены в статье [252]. На основе анализа
задачи простого сдвига полосы из упругопластического мате-
риала в работе [207] предлагается в качестве ог использовать ко-
ротационную производную о* (1.3.74), поскольку при применении
яуманновской производной появляется осцилляция компонент
тензора напряжений. Аналогичное предложение содержится в ра-
боте [209], где рассматривался простой сдвиг полосы из гппоупру-
гого материала. Конечно, на основе осцилляции решения в моно-
тонном процессе нагружения можно заключить, что соотношения
вида (3.3.18) при ог = появляются неприемлемыми. Однако, по
мнению авторов, нельзя согласиться с обоснованием неприемле-
мости oJ и пригодности о*.
Представляется целесообраз-
ным при рассмотрении определяю-
щих соотношений включать в рас-
смотрение не только меру скоро-
сти изменения напряженного сос-
тояния, но и меру скорости из-
менения деформированного состоя-
ния. При этом следует опираться
на физический смысл используе-
мых коротационных производных,
данный ранее (см. разд. 1.3).

Введение объективных (индиф-
ферентных) мер скоростей напря-
женного и деформированного сос-
тояний в определяющие соотно-

Рис. 3.2. Расчетная схема к за-
даче простого сдвига

шения связано с необходимостью исключения движения как жест-

кого целого рассматриваемых материальных объемов, возможного
в общем случае перемещения деформируемой среды. Для этого,
по сути дела, используется хорошо известный в общей механике
метод обращенного движения. Или, иными словами, наблюдатель
помещается и «связывается» с подвижной системой координат,
движение которой и представляет собой движение рассматривае-
мой области (или ее любой сколь угодно малой части) как жесткого

целого.

Однако, как уже отмечалось в разд. 1.3, в общем случае дви-
жения деформируемой среды понятие «жесткое движение» следует
воспринимать условно. Поэтому было введено понятие «квази-
твердое движение» для возможных представлений движения сово-
купностью жесткого и деформационного.

Возможностей же такого представления бесконечное множество.
Следовательно, бесчисленным множеством способов можно выб-
рать и подвижную систему координат. Главными, по мнению авто-
ров, являются два момента. Во-первых, если на некотором интер-
вале времени рассматриваемая материальная область действитель-
но движется как жесткое целое (D = 0, см. [168]), то выбранная

подвижная система отсчета также должна совершать идентичное
Движение. Во-вторых, скорости изменения мер напряженного
и деформированного состояний должны определяться одним и
чем же наблюдателем, т. е. входящие в определяющие соотноше-
ния коротационные производные мер напряженного и деформиро-
ванного состояний должны представлять собой относительные
скорости по отношению к одной и той же подвижной системе коор-
динат.

Обратимся к задаче простого сдвига. Рассмотрим полосу квад-
ратного сечения со стороной h = 1; схема деформирования приве-
дена на рис. 3.2. Поле скоростей в выбранной декартовой ортого-
нальной системе координат определяется следующим образом:

ъ\ = 2ах\ = v3 = О,

(3.3.19)
где а = const. Для простоты ограничимся рассмотрением квази-
упругого материала, определяющие соотношения для которого
имеют вид

ог = К-.Л°,	(3.3.20)

где Л — некоторая тензорная мера деформированного состояния;
Л° — объективная скорость изменения*#; тензор четвертого ранга
П в базисе кг- имеет компоненты

==	1 SjjSpg ) ,	(3.3.21)

где G, v — const. Заметим, что в выражение (3.3.21) заложена ли-
нейная связь первых инвариантов Zx (ог) и (Л°), обычно исполь-
зуемая в инфинитезимальных теориях упругости и упругопластич-
ности.

Как показано в работе 1252], принимая в (3.3.20) ог = о3,
Л-‘ = D, компоненты тензора напряжений Коши в базисе кг
имеют вид

стп = G (1 — cos 2а£),	о22 = G (cos 2af — 1),

о12 = G sin 2а£,	(3.3.22)

остальные компоненты равны нулю. Очевидно, что решение
(3.3.22) осциллирует, что не соответствует физической картине
деформирования.	'

Решая данную задачу при выборе в качестве ог и Ла одинако-
вых коротационных производных (например, ог = оог, Л° =
= s/01; ar = gcr, Л" — 3&CR = D; or - в3, Л" = S4-3 и т. д.),
нетрудно убедиться в отсутствии осцилляции компонент тензора
напряжений. Однако применение указанных пар ог и Л° приводит
к нарушению физического смысла упомянутой выше линейной свя-
зи первых инвариантов (ar) и {Л^} как зависимости скорости
среднего напряжения от скорости изменения объема. Действитель-
но, Zx (aoz), Д (оСЙ) не характеризует скорость изменения среднего
напряжения, a Ir №ог),	(Ж3) — скорость изменения объема.

Поэтому решение задачи в этих случаях также не соответствует
описываемому процессу деформирования. Например, при ог =
= о3, Л" = S&3 получаем

оп = —26ra2Z2p,	о22 — —2Ga2t2 (0 + 2),	о12 = 2Gat,

о33 = —26ra2£2p,	(3.3.23)

где р — 2v/(l — 2v). Несоответствие проявляется, в частности,
в поведении решения (3.3.23) при f -> оо. Действительно, при до-
статочно больших значениях параметра f процесс деформирова-
ния можно рассматривать как сжатие абсолютно гладкими плита-
ми в направлении оси ж2 и растяжение в направлении оси ж1
исследуемой области. Естественно при этом ожидать, что о12 —0,
оп 0, п22 < 0, что не следует из формул (3.3.23).
Рассмотрим пары a1', Л\ для которых первые инварианты
Д (бг) и 1Х (Л°) отвечают соответственно за скорость изменения
Среднего напряжения о и скорость изменения объема. Как пока-
зано ранее (см. разд. 1.3, (1.3.99)—(1.3.102)),

Д (fiJ) = Ц (И*) = Zi (Йу) = h (D) = dV/dt.

Аналогично можно показать, что Ir (oJ) = Ir (о*) = Ц (б) =
= 36. Таким образом, линейное соотношение между (аг) и
ДИ”) для указанных мер напряженного и деформированного
состояний отражает зависимость скорости изменения объема, от-
несенной к объему в актуальной конфигурации, от скорости изме-
нения среднего напряжения. В силу сказанного выше можно пред-
положить приемлемость пар oJ — HJ, о* — Н*, av — Hv для
использования в определяющих соотношениях вида (3.3.20).

Было получено решение задачи простого сдвига при примене-
нии определяющих соотношений

! </=П:1Т,	(3.3.24г)

о* = П:Н*.	(3.3.24г)

Используя выражения (3.3.19), (1.3.74), (1.3.76), (3.3.24х),
(3.3.242), приходим соответственно к системам обыкновенных
дифференциальных уравнений

бц = 2G (Z?ii — 2aZ/i2) + 2а<Т12,	622;^— 6ц,	(3.3.25г)

бгг = 2G [Ни	а (Ни —1#2г)] — & (<Уц — <т22),

6ц = 2G (Ни — 27/12^12) + 2<712Йг2> б2г= — бц, (3.3.25г)

612 = 2G [/712 + Q12 (Ни ZZ22)]  &12 (<Тц — O22).

Решение систем (3.3.25г), (3.3.252) осуществлено при помощи
метода Рунге—Кутта, результаты решения приведены на рис. 3.3.
Оказалось, что результаты решения (3.3.25х), (3.3.252) обнаружи-
вают расхождение в четвертом знаке (при анализе численные
значения параметров приняты следующими: 2а = 1с-1, G =
== 30 МПа, v = 0,3, время t, с). Для сравнения на рис. 3.4 при-
ведены компоненты тензора напряжений Коши, полученные
при решении данной задачи с использованием определяющих
соотношений

a* = H:D.	(3.3.24s)

Нетрудно видеть, что качественно поведение ип и и22 при исполь-
зовании в анализе соотношений (3.3.24j_2) и (3.3.243) совпадает,
однако различие в <т12 весьма существенно. При этом зависимость
<т12 (0> полученная на основе (3.3.24х_2) (рис. 3.3), по мнению
авторов, более отвечает физической картине деформирования при
простом сдвиге.
Рис. 3.4. Результаты решения задачи простого сдвига с использованием
определяющих соотношений (3.3.243)

Остановимся еще на некоторых, с точки зрения авторов, наи-
более интересных работах последних лет. Ряд работ по исследо-
ванию упругопластических задач при больших деформациях
был опубликован В. И. Левитасом [103, 104, 105 и др.]. Более
подробно рассмотрим работу [105], посвященную постановке и
решению следующей задачи. Пусть в эксперименте при больших
деформациях, но без поворотов (например, при однородном растя-
жении — сжатии) получено соотношение типа

а -ф /.й = p.Dj	(3.3.26)

где, как и ранее, в — тензор напряжений Коши; D — тензор
деформации скорости; ц, и X — индифферентные скаляры.

Предполагается, что соотношение (3.3.26) справедливо при
произвольном напряженно-деформированном состоянии. Тре-
буется обобщить это уравнение на случай конечных поворотов.

Для этого учтем, что при наложении на движение бесконечно
малой окрестности частицы жесткого вращения, описываемого
ортогональным тензором О, ортогональный тензор R, сопровож-
дающий деформацию, изменяется в соответствии с формулой R' =
— R-О. Если допустить, что О = Rr, то R' = Е.
Считается, что в этом движении происходит чистая деформация
без поворота. Тогда для этого движения имеет место уравнение
(3.3.26)

о' + м' — pD'.	(3.3.27)

Далее, вследствие индифферентности о и D имеем

a' = RoRT, D' = RD-RT.	(3.3.28)

Тогда из уравнения (3.3.27) и выражений (3.3.28) получим

R<rRT + ^(R<r.RT) = p(RD.RT).

Умножая последнее равенство слева на RT и справа на R, полу-
чим

<г-ф- Х(п + RT R-<r + в RTR) — pD.

•Вводим антисимметричный тензор спина

M = RTR= — Мт= — RT • R = й.

Тогда получим

<т-ф-X (<т—М-п <т-М) = pD.	(3.3.29}

В уравнении (3.3.29) появилась объективная производная

о* — о — М-н + и-М.	(3.3.30}

В идоге из соотношения (3.3.26) получили уравнение

o + Xff* = pD,	(3.3.31)

удовлетворяющее принципу объективности.

Подход, отмеченный здесь, обобщается на случай неиндиффе-
рентных тензоров, переменной отсчетной конфигурации, более
общего, чем (3.3.26), исходного уравнения и т. д. По мнению авто-
ров, в рассмотренном подходе существует ряд спорных моментов,
требующих дальнейшего рассмотрения.

1.	Отсчетная конфигурация при выводе уравнения (3.3.31)
берется произвольно. В частности, она может совпадать с актуаль-
ной. Но тогда уравнение (3.3.31) должно быть инвариантно относи-
тельно выбора отсчетной конфигурации, а оно этому требованию
не удовлетворяет.

2.	Отсутствует четкое определение движения тела как жестко-
го целого. Из рассуждений следует, что в качестве такового автор
использует представление конечного перемещения тела с помощью
полярного разложения градиента места. При этом полагается,
что движение без вращения происходит в случае R = Е. Однако
если разложение осуществить с помощью теоремы Коши—Гельм-
гольца, то отсутствие вращения материальных волокон требует
равенства W = 0 V7. Как видно из выражения для W (см.
[112, с. 39]), для отсутствия вращения материальных волокон
требуется выполнение двух условий: a) R = Е Vt; б) U и U
имеют одинаковые главные оси в каждый момент времени.

Кроме того, отсутствует анализ определяющего соотношения
(3.3.26). В связи с этим не представляется возможным установить
приемлемость (или неприемлемость) использования в качестве
меры скорости изменения деформированного состояния тензора
деформации скорости D. Напомним, что тензор D представляет
собой производную Коттер и Ривлина тензора деформаций Аль-
манси. В связи с этим, по мнению авторов, если в исходном урав-
нении (3.3.26) под D понимается именно скорость изменения меры
деформированного состояния то в соотношении (3.3.31) логич-
но было бы применить меры скоростей напряженного и деформи-
рованного состояний, определяемые одним и тем же наблюдателем
(при данном разложении движения в качестве скорости изменения
деформированного состояния представляется целесообразным ис-
пользование коротационной производной Л*).

Остановимся более подробно на применении термодинамическо-
го подхода к установлению, определяющих соотношений. Этот
подход был использован А. А. Ильюшиным [65] для обоснования
общей теории упругопластических процессов. Требования к опре-
деляющим уравнениям, вытекающие из второго начала термоди-
намики, рассматривались для неньютоновских жидкостей
,Дж. Астарита и Дж. Марруччи [5], для одного класса упруговяз-
копластических материалов — В. И. Кондауровым [83, 84] и др.

С целью конкретного рассмотрения возможностей термодинами-
ческого подхода используем заимствованный из монографии
К. Трусделла [168] следующий пример построения определяющих
соотношений. Пусть определяющие соотношения имеют вид

л = П (Z, Z, м), т = Т(ХД,м),	a = A(Z,Z,M).	(3.3.32)

Так как в уравнения входит первая производная по времени от
аргумента Z и сама функция ц, то говорят, что материал дифферен-
циального типа имеет сложность (1, 0).

Если функции П, Т, А линейны по Z, то получим случай ли-
нейно-вязких материалов. В случае нелинейной зависимости от
X сюда входят нелинейно-вязкие жидкости, а также материалы,
следующие при нагружении уравнениям теории малой кривизны
или теории течения.

Подставив (3.3.32) в приведенное неравенство диссипации
(3.1.33), получим

дП от .	/ ап

+	(3.3.33)

где коэффициенты при 1, ц, 1, ц имеют аргументами 1, i, ц. Не-
равенство (3.3.33) должно выполняться для всех процессов, при-
надлежащих к области определения П, Т, А. Предположим, что
эта область определения представляет собой множество функций,
являющееся открытым и связным.
Далее используется метод локального продолжения (примени-
мый и к уравнениям, отличающимся от (3.3.32)), суть которого
состоит в следующем.

Рассмотрим некоторую точку (а, Ь) функционального простран-
ства (X, ц), принадлежащую области определения П, Т, А. Так
_как существует некоторая достаточно близкая точка пространства,
тоже лежащая в области определения, то процесс между этими
двумя точками также является допустимым. К числу таких про-
цессов принадлежит и локальное продолжение (М,™, Мп) любого
процесса, соответствующего в некоторый момент to точке (а, Ь),
т. е.

1, га =	<^<£<4,

а + (t — f0)l — i0)2m, t0 < t < t0 4 k,

(3.3.34)

I Ц (t),	— oo <^t <^t0,

= ( b 4- (t — to) n, to < t < to 4 k,

где к — некоторое достаточно малое положительное число. Здесь
а = 1 (f0), Ь = ц (t0). Векторы 1, m, п произвольны. Постоянная к
может зависеть от 1, т, п.

Подставляя ^5.3.34) в (3.3.33), получим

дП	йП / <Ш —\ Г1 ,	.	.

— «• [Ь ф (/ —10) п] 0,

(3.3.35)

где аргументы всех коэффициентов являются значениями функций
A, 1, р, которые при t to вычисляются по формулам (3.3.34).

Далее делаем важное допущение: функции А, Т, дП/дк,
«ЗП/di, дП/ди непрерывны по аргументам X, 1, п.

В силу непрерывности при t -> t0 из (3.3.35) имеем

ап

Ци

• 1 —А-Ь<0,

(3.3.35)

где теперь аргументами коэффициентов являются а, 1, Ь. Зафик-
сируем эти аргументы, тогда (3.3.36) должно выполняться для
любых тип.

Следовательно,

дП/дк = 0, ЭП/Ди = 0

(3.3.37)

и имеем

П = П (X).

Теперь неравенство (3.3.36) приводится к виду
(дП/dk — Т).1 — А-Ь<0.

(3.3.38)

(3.3.39)
Введем далее функцию равновесного натяжения как сужение
функции Т при 1 = 0, р = 0, т. е.

То (X) = Т (X, 0, 0).	(3.3.40)

Разность между Т и То назовем функцией диссипативного натя-
жения:

Т^ = Т-Т0.	(3.3.41)

Тогда (3.3.39) примет вид

(дП/ЗХ — То)-1— Т^-1 — А-Ь<0.	(3.3.42)

Здесь аргументом первого коэффициента является а, аргументами
в Т;/ и А являются а, 1, Ь.

Далее в (3.3.42) положим Ь = 0 и 1 = Ае, где А Д» 0 и е —
единичный вектор. Разделив затем на А, получим

[(5П/5Х)(а) — Т0(а)]-е —	(а, Ае, 0)-е<0.	(3.3.43)

Перейдем в выражении (3.3.43) к пределу при А -> + 0. Так
как функция непрерывна, то и То, являющаяся ее сужением, так-
же непрерывна, а следовательно, непрерывна и функция Тж.
Поскольку ТД (а, 0, 0) = 0 согласно (3.3.41), то Т® (а, Ае, 0) ->
—0 при А 0. Поэтому в пределе из (3.3.43) получим

[(дПЖ) (а) - То (а)]-е < 0.	"	(3.3.44)

Так как е произвольно, то из соотношения (3.3.44) следует, что

То = дП/дЪ,	(3.3.45)

т. е. функция плотности накопления является потенциалом для
функции равновесного натяжения.

Итак, из приведенного неравенства диссипации (3.1.33) для
рассматриваемого материала дифференциального типа получим
равенство (3.3.38) П = П (X),

Т=(5П/5Х)(Х) + Т^(Х,Х, ц),	Т^(Х, 0, 0) = 0,	(3.3.46)

Ан>-Т^Х.	(3.3.47)

Легко видеть, что условия (3.3.38), (3.3.46), (3.3.47) также доста-
точны для выполнения неравенства (3.1.33).

Итак, видим, что неравенство (3.3.47) представляет собой един-
ственное условие для функции диссипативного натяжения и теп-
лового потока. Функция плотности накопления не накладывает
на них никаких ограничений.

Рассмотрим далее, какие ограничения на поведение материала
вытекают из неравенства (3.3.47).

При X = 0 имеем

А(Х, 0, м)-м>0,	(З.Д.48)

т. е. в этом случае тепловой поток А не может образовать тупой
угол с вектором ft.
Зафиксируем также X и будем рассматривать А как функцию
только ц. Тогда из условия (3.3.48) следует, что функция
А(Х, О, р) • ц имеет минимум при ji = 0. Если допустить, что функ-
ция А дифференцируема по fi при fi — 0 и эта точка лежит в до-
пустимой области, то градиент функции А (X, 0, fi)-fi при ,и = 0
обращается в нуль. Отсюда сразу следует, что

А (1,0, 0) = 0.	(3.3.49)

В самом деле:

[А (X, 0, ц) • ц] = [Л- А (X, 0, ц)] • м + А (X, 0, п).

Из обращения последнего выражения в нуль при fi ~ 0 н следует
равенство (3.3.49).

Для получения дальнейших результатов в качестве термодина-
мических функций используем

л = ф, 1 — (G, ©), fi

1 о	/1	\	1т

— V0, [т = (—^>, —1]), а=—g -h.

\ Р	/ Р

Введем еще одно ограничение на определяющие соотношения,
предположив, что 0 не входит в число независимых переменных.

Таким образом, независимыми переменными задачи являются
1 "

g, 0, g,-Q-V0. Можно несколько видоизменить этот набор; g,
0, g, V0 или g, 0, Vv, V'0 и т. д. Неравенство (3.3.39) в этом
случае можно привести к виду

(дП/50 + *])© + / (g, 0, fc , ^0)	01	(3.3.50)

отсюда ввиду произвольности 0 сразу следует, что

П=--^П(ё-,0).	(3.3.51)

Преобразуем также соотношения (3.3.46) и (3.3.47) через тен-
зор напряжений Коши о, градиент скорости Vv и вектор теплово-
го потока h.

Из выражений (3.3.46) имеем

T = TF + T3S*(«'e’’v’ ?0)’

a=-S-gT-S> = ps’- -^- + <b»(«.e,Vv, VS).	(3.3.52)

Из условия (3.3.47)

A.fi + W>0,	J_g-T.h.4-g.V0 + ^:gT>O,

-h-V0 +-LvRj.a^:(Vv)T-(VR„1)T>0,

-A-h-V0 + a^ : VvT>0,
или

©Sp(a^-Vv) 4-h •?©>().	(3.3.53)

Объединяя выражения (3.3.38), (3.3.51) —(3.3.53), имеем

ip = ip(g, 0), П = —-^-ф&, ©),

а = pgT- 21 + O£i(g, 0, Vv, V©), h = h (g, 0, Vv, V0),

(3.3.54)
0 Sp (a® • Vv) + h V0 0,

причем из соотношений (3.3.41) и (3.3.49)

h (g, 0,0,0) = 0,	a^(g, 0,0, 0) = 0.	(3.3.55)

Соотношения (3.3.54), (3.3.55) накладывают ограничения на по-
ведение широкого класса материалов дифференциального типа,
в определяющие уравнения которых входит первая производная
по времени от градиента деформации (или тензор деформации
скорости).

Рассмотрим, например, конкретизацию соотношений (3.3.54),
(3.3.55) для нелинейно-вязких теплопроводящих жидкостей. Подоб-
ные модели материалов широко применяются для описания движе-
ния полимеров, металлов при высоких температурах и т. д. [109].

В простой жидкости все отсчетные конфигурации равноправны.
В состоянии покоя обнаруживаемо лишь изменение плотности.
Совокупность преобразований, переводящих из одной отсчетной
конфигурации в другую, ей эквивалентную, образует унимоду-
лярную группу (определитель преобразования по модулю равен
единице). Для такой жидкости в состоянии покоя

о = —р (р) Е,	(3.3.56)

где р — давление.

Допустим, что для функций ф, <r®, h группа преобразований из
одной эквивалентной конфигурации в другую есть унимодулярная
группа (такой материал называется термомеханически простой
жидкостью). Тогда в соответствии ео сказанным выше вместо за-
висимости от g будем иметь в качестве аргумента плотность р.
Кроме того, учитывая индифферентность а и h, заметим, что
вместо аргумента Vv будем иметь аргумент D (см. вывод (3.1.14)).
Тогда имеем

ф = ф(р, 0), т] = — ~ ф (р, 0),

or = pgT. _g_ + ff^(p; ©,D, V0), h = h (р, 0, D, V0). (3.3.57)

Заметим, что h и o^> — изотропные функции от D и V© (см. [112,
с. 458—459]). Поэтому	/

(р, ©, 0, 0) = 0, h (р, 0, 0, 0) = 0.
В самом деле: a (OT-D-O, V0-O) = От-<у (D, V0)-O VO. Пусть
О = аЕ, тогда о (a2D, aV0) = a2(J (D, V0). При a —> 0 получим
<Г (0, 0) = 0.

Вычислим отдельно слагаемое <т0 = PgT  (дф/dg). Обозначим
J = det [ g | , у = p-1. Тогда

5г|)  Зф di di  , _T

(cm. [112, c. 450]). G учетом последнего соотношения имеем

-ag- = W/g’T’ *о = Р£Т-	=

Т	Р °	3ф_ 3ф 1	<?Ф р

dV Р	5/ ду р	9у

В итоге получаем

WM), П = -^Ф(ъ©),	(3.3.58)

o = -|^E + <My, 0, D, V0), h~h(y, 0, D, V0).

В заключение получим определяющее уравнение для линейно-
вязкой среды, считая, что V0 не входит в него, и линеаризуя по D:

<т^) — А (у, 0, D) Е Т" 2р (р, 0) D.

Здесь учтено, что согласно (3.3.58) |D=o = 0. Линеаризуя
А (у, 0, D), получим X (у, 0) Sp D.

В итоге уравнение (3.3.583) преобразуется к виду

о = [-Р (р, 0) + X (р, 0) Sp DI Е + 2р (р, 0) D. (3.3.59)

Здесь введено обозначение

Р (р, 0) = —Зф/ду.	(3.3.60)

Соотношение (3.3.60) определяет равновесное напряжение в со-
стоянии покоя.

Итак, получили определяющее уравнение теории вязких теп-
лопроводящих жидкостей Стокса—Дюгема—Фурье.

Рассмотрим еще, какие ограничения на параметры накладывает
неравенство (3.3.54). Ввиду независимости а^> от V0 оно распадает-
ся на два;

Sp (стж • V v) = Sp (о.ж • I))	0,	h-V0^>O.	(3.3.61)

Если принять закон теплопроводности Фурье

h = aV0	(3.3.62)

(a —. коэффициент теплопроводности), то из неравенства (3.3.612)
вытекает, что

а 0.	(3.3.63)
Из неравенства (3.3.61!) имеем

Sp (ff^-D) = Sp [(X Sp D) D + 2pD2] > 0, VD,

к (Sp D)3 + 2p (Sp D2) > 0, VD.	(3.3.64)

Далее

D = [D — Vs (Sp D) E] + Vs (Sp D) E = D'	I

(очевидно, что D' — девиатор, I — шаровой тензор),

D2 - (D' + I)-(D' + I) - (D')2 + V3 (Sp D) D' + V9 (Sp D)2Er

Sp D2 - Sp (D')2 + 2/3 (Sp D)2,

Подставляя последние соотношения в неравенства (3.3.64), по-
лучим

к (Sp D)2 + 2р [Sp (D')2 + Vg (Sp В)2] > О, VD,

(^ + 2/3ц) (Sp D)2 + 2pSp (D')2 > О, VD.

Откуда ввиду независимости Sp D и Sp (D')2 получим

X + 2/3р О 0, р 0.	(3.3.65)

Описанный термодинамический подход к анализу определяю-
щих соотношений применим к широкому классу последних и позво-
ляет сформулировать существенные ограничения на входящие
в них параметры.

Возвращаясь к требованиям, накладываемым на определяю-
щие соотношения упругопластичности при больших пластических
деформациях, заметим, что они должны, конечно, удовлетворять
общим принципам построения определяющих соотношений в меха-
нике сплошной среды (см. разд. 3.1) и, кроме того, еще ряду тре-
бований, специфичных для задач упругопластичности при больших
деформациях. В качестве таких требований предлагается ввести
следующие:

1.	При малых деформациях и малых поворотах определяющие
уравнения должны совпадать с уравнениями упругопластичности,
вытекающими из общей ^теории упругопластических процессов
А. А. Ильюшина при малых градиентах перемещений (см.
разд. 3.2).

2.	Меры скоростей изменения напряженного и деформирован-
ного состояний должны быть «совращательны», т. е. представлять
собой производные по времени некоторых тензоров деформаций и
напряжений, вычисленных наблюдателем, находящимся в какой-
либо подвижной системе отсчета, причем в случае движения иссле-
дуемого объема как жесткого целого движение подвижной систе-
мы совпадает с этим жестким движением.

3.	Скорость тензора деформации должна представляться
суммой частей, отвечающих за изменение формы и изменение
объема.
Отметим, что выполнение указанных требований представляет-
ся достаточным для формулирования определяющих соотношений
скоростного типа (т. е. содержащих только скорости мер напря-
женного и деформированного состояний). В случае, когда в опреде-
ляющие уравнения входят также сами тензоры — меры напря-
женного и деформированного состояний — и/или история их
изменения, требуется дополнительное рассмотрение разложения
движения на квазитвердое и деформационное. Возможный ва-
риант такого разложения представлен ниже.

Замечание. Ограничение 2 на определяющие соотноше-
ния, по мнению авторов, недостаточно учитывается в ряде работ,
что, как показано выше, приводит к нереалистичным результатам.
Остановимся на одном из возможных обобщений линейного зако-
на упругости на случай больших деформаций. Определяющее соот-
ношение в этом случае можно записать в виде

о = II: Н,	(а)

где тензор четвертого ранга П в изотермическом случае можно
считать постоянным. Если определяющие соотношения имеют вид
{а) (т. е. являются линейными голономными), то нетрудно пока-
зать, что аналогичные соотношения имеют место и для любых
одинаковых коротационных производных:

ог = П : Н’.	(Ь)

При этом можно показать, что, наоборот, из (Ь) (при добавлении
условия ненапряженности континуума при равенстве тензора де-
формации нулевому) следует (а). Таким образом, в этом случае
уравнения (а) и (&) эквивалентны, причем в (Ь) может быть исполь-
зована любая коротационная производная. Например:

<Н - П . I I 7,

или

оСЙ = П : Нсд.

Последнее полностью объясняет совпадение результатов ре-
шений задачи простого сдвига, полученных с использованием
соотношений (3.3.24J и (3.3.242). Напротив, не должны иметь
место соотношения, где в левой и правой частях (Ь) используются
различные коротационные производные, например: oJ = II :
: НСЙ. Как отмечено выше, применение определяющих соотно-
шений, подобных последнему, приводит к решениям, противоре-
чащим физической картине деформирования.

Аналогичное замечание имеет место для обобщения деформа-
ционной теории пластичности, справедливой при нагружении по
прямолинейным траекториям в пространстве Эд, на случай боль-
ших деформаций. В этом случае имеем

S ----- (сти/Яи, h)	(с)
где S, h — девиаторы тензора напряжений Коши и тензора дефор-
мации Генки соответственно; ои = (S : S)1'*, Нп = (h : h)1^.
Соотношение (с) можно переписать в несколько иной форме:

S0’=ha,	(d)

где So =--S, h0 = ~— h — направляющие тензоры

°И	Hn

Заметим, что в силу индифферентности S, h, ои,

So и h0 также индифферентны.' Из (d) следует, что

(девиаторы).

На тензоры
аналогичное

соотношение справедливо как для субстанциональных, так и

любых (одноименных в левой и правой частях) коротационных
производных: SJ = Пр.

Последнее обстоятельство делает излишним использование

для построения обобщения деформационной теории пластичности
коротационных производных, поэтому в дальнейшем данная тео-
рия исключается из рассмотрения. Отметим, что при деформиро-
вании по траекториям деформации, близким к прямым, в силу
указанного выше приемлемые результаты могут быть получены
даже при некорректном построении определяющих соотношений
теории пластичности (например, использовании в физических
уравнениях субстанциональных производных д и h, не удовлет-
воряющих требованию объективности).

Одним из основных в теории упругопластических процессов
А. А. Ильюшина является понятие образа процесса нагружения
[65]. В случае малых деформаций для построения образа процес-
са используется представление тензоров напряжений и деформа-
ций в базисе системы отсчета. Аналогичное построение в случае
больших градиентов перемещений неприемлемо даже в случае
малых деформаций при наличии больших поворотов частиц мате-

риала как жесткого целого, что легко можно показать на простых
примерах (например, растягиваемого или сжимаемого вдоль его
оси стержня, которому сообщается вращательное движение). Для
приведенного примера можно показать, что для построения обра-
за процесса необходимо использовать компоненты тензоров нап-
ряжений и деформаций, определенные в базисе системы координат,
вращающейся как жесткое целое вместе со стержнем [170].

Ранее уже говорилось о возможности различными способами
выделить квазитвердое движение (а следовательно, подвижную си-
стему координат) в общем случае движения деформируемой сре-
ды. При формулировании определяющих соотношений, содержа-
щих только скорости мер напряженного и деформированного со-
стояний, по мнению авторов, представляется целесообразным ис-
пользовать разложение мгновенного движения малой р-окрест-
ности частицы среды тщ на основе теоремы Коши — Гельмгольца
[152]:

v = vM 4- р- D — р- W,

(3.3.66)
1Рде Vjw = r.w, D и W определяются согласно выражениям (1.3.19),
11.3.24). Напомним, что W характеризует угловую скорость мгно-
венного вращения материальных волокон, совпадающих в данный
момент времени с главными осями тензора В.

При формулировании определяющих соотношений теории уп-
ругопластических процессов требуется информация не только о
мгновенном движении, но и о предыстории движения. В частности,
необходимо наличие траектории деформации, которая характери-
зовала бы «чистое» деформирование (т. е. изменение длин и углов
между материальными волокнами) из отсчетной (недеформиро-
ванной) конфигурации в актуальную. При этом, поскольку вектор
деформации строится по компонентам девиатора деформации, по-
следние, по мнению авторов, следует определять в системе коор-
динат, образованной для всего исследуемого интервала одной и
той же тройкой материальных волокон (в недеформированной или
деформированной конфигурации).

Данный вопрос относительно просто решается в случае рассмот-
рения определяющих соотношений в терминах отсчетной конфигу-
рации, где снимается вопрос о неединственности разложения
движения. При определении физических уравнений в терминах
актуальной конфигурации выбор подвижной системы координат
несколько усложняется. Использование разложения движения
по теореме Коши — Гельмгольца и связанное с этим разложе-
нием определение подвижной системы, перемещающейся как
жесткое целое поступательно со скоростью и вращающейся с
угловой скоростью, характеризующейся W, в общем случае дви-
жения, когда главные оси тензора D проходят через разные мате-
риальные волокна, не отвечает упомянутому выше требованию.
В этом случае для рассматриваемой выше задачи простого сдви-
га образ процесса нагружения не является адекватным отражени-
ем анализируемого процесса.

В связи со сказанным для построения образа процесса нагру-
жения, по мнению авторов, возможны два варианта.

А. Построение траектории деформации и вектора напряжений
по компонентам девиаторов деформаций и напряжений в базисе
текущей лагранжевой системы, что также снимает вопрос о выделе-
нии квазитвердого движения. Однако в данном случае компонен-
ты тензоров напряжений и деформаций и их девиаторов в каждый
момент времени определяются в различных векторных базисах,,
что затрудняет анализ напряженного и деформированного состоя-
ний. Кроме того, в силу неортогональности (в общем случае) те-
кущей лагранжевой системы координат физический смысл, нап-
ример, компонент тензора напряжений не соответствует общепри-
нятому. Переход же к «физическим компонентам» тензора напря-
жений в силу неортогональности базисных векторов обусловливает
несимметричность матрицы «физических компонент», что ве-
дет к необходимости увеличения размерности пространства нап-
ряжений. Таким образом, принятие данного варианта (при его
принципиальной применимости) потребовало бы существенных
изменений основных понятий теории упругопластических про-
цессов, что представляется нежелательным.

В. Второй вариант, по сути, эквивалентен построению образа
процесса нагружения с применением величин, определенных в
отсчетной лагранжевой системе координат, и базируется на пред-
ставлении конечного перемещения исследуемой среды с помощью
полярного разложения *, Данный вариант в настоящее время
представляется предпочтительным, поэтому остановимся на его
рассмотрении. Будем рассматривать движение некоторой частицы
Гдт деформируемой среды вместе с ее малой р-окрестностью, напря-
женно-деформированное состояние которой можно считать одно-
родным. Наряду с системой отсчета Охгх2х? с базисом кг (принима-
ем ее декартовой ортогональной) и лагранжевыми (начальной п
актуальной) системами введем также систему координат Л/^1^3
с базисом q; (см. рис. 1.1), жестко перемещающуюся вместе с час-
тицей. Систему	примем также декартовой ортогональной,

причем полагаем, что в начальном (естественном) состоянии рас-
сматриваемой области оси и Охг параллельны. Положение си-
стемы Л/^1^2^3 в произвольный момент времени определяется ра-
диус-вектором гм и ориентацией векторов д; по отношению к систе-
ме отсчета. Ориентация q; относительно 0х1х2х3, в свою очередь,
определяется ортогональным тензором, сопровождающим дефор-
мацию R. Таким образом, движение рассматриваемой р-окрест-
ности частицы М представляется трансляционным переносом на

— RoM и поворотом, определяемым ортогональным тензором
R, указанной окрестности как жесткого целого вместе с недефор-
мируемой системой Л/Д1 £2 £3 и дальнейшим деформированием сре-
ды, определяемым правым тензором искажения V (или порожден-
ными им тензорами деформации).

В предлагаемой работе основное внимание уделяется форму-
лировке определяющих соотношений в скоростях. Поэтому пред-
ставляется целесообразным введение данного разложения для
представления мгновенного движения. За любой бесконечно ма-
лый промежуток времени dt система Л/ДХС2£3 перемещается посту-
пательно со скоростью чм и поворачивается с угловой скоростью
<в, где © — вектор, ассоциированный с тензором спина £2 (см.
разд. 1.3). При этом тензор S2 с использованием соотношений
(1.3.51) — (1.3.52) может быть определен через тензоры V и D сле-
дующий! образом:

9	" - £	•	,(3.3.67)

г,/Z1 г к ।

* Подобное разложение использовано В. И. Левитасом (см., например:
Левитас В. И. Определяющие соотношения для упругопластических
материалов при конечных деформациях: Сообщ. 1. Киев, 1985. С. 39. Ру_
копись деи. в ВИНИТИ, Al 7018-В-85. Деп.) на основе отличных от приве-
денных соображений.
Как отмечено ранее (см. разд. 1.2), ортогональный тензор R пре-
образует без деформации исследуемую область из отсчетной кон-
фигурации в актуальную таким образом, что главные векторы pf
левой меры искажения U совмещаются с главными векторами рг
правой меры искажения V. Естественно, при таком преобразовании
любая система трех ортогональных волокон преобразуется также
без деформации в тройку ортогональных волокон. Принимаем, что
в отсчетной конфигурации X 0 ортонормиров анные векторы
q- | q? подвижной системы ТИ^1^2^3 направлены Vt вдоль
одних и тех же материальных волокон (направленных вдоль векто-
ров базиса к, системы отсчета). В актуальной конфигурации Л*t
положейие недеформированной области определяется тогда ориен-
тацией ортов

qi = q° R = RT q?.

Данное недеформированное состояние и принимается за отсчетное
при построении вектора деформации в исследуемый момент вре-
мени.

Нетрудно установить, что угловая скорость мгновенного вра-
щения ортонормированного триэдра q, определяется тензором-
спином Q. Действительно, учитывая, что q? = const, из приведен-
ного выше соотношения имеем

4i = RT.q? = RT.R.RT.q?z=RT.R.qi = n.qi=<o х qi-

Ориентация осей системы	относительно осей системы

отсчета полностью определяется тремя углами Эйлера: собствен-
ного вращения ф, прецессии ф и нутации©. В свою очередь, по-
следние могут быть определены из системы обыкновенных диф-
ференциальных уравнений

0 = COS ф + а>2 sin ф,

<£> = (£>! sin ф (sin ©)-1 — ®2 cos Ф (sin ©)-1,	(3.3.68)

ф = ы3 — coj sin ф ctg 0 4- оы cos ф ctg ©

с начальными условиями

©I =Ф | i=t9 =Ф | t=*, = 0. 	(3.3.69)

Система (3.3.68) — (3.3.69) может быть проинтегрирована одним
из известных численных методов. В уравнениях (3.3.68) сщ пред-
ставляют собой проекции вектора (в на оси Ох1. Вектор ©, как
указано выше, определяется как ассоциированный с тензором
спина Q. Таким образом, полагая известным поле скоростей пере-
мещений v и тензор V, можно определить ориентацию системы
717 с1 А3 относительно системы отсчета (ZA2^3.

Ориентацию осей удобнее определять с помощью направляю-
щих косинусов. Понимая под компоненты матрицы косинусов
углов между осями Ох1 и Mt,1, сц = kj-q; (причем первый индекс
означает номер строки, второй — столбца), матрицу направляющих
косинусов	[С] запишем через углы Эйлера:
[С] =	.-сонфсозф—	—sin ф cos ф—	sin 0 sin ф-.  — sin ф sin ф cos 0	— cos ф sin ф cos 0  cos ф sin ф	— sin ф sin ф +	— sin 0 cos ф
	+ sin ф cos ф cos 0 + COS ф cos ф cos 0  -sin ф sin 0	cos ф sin 0	cos 0	-

(3.3.70)

Тогда для произвольного тензора второго ранга Т = Тг;к/к; =
— 7’/,cZqftqz компоненты в базисе системы отсчета (Тг^) и в базисе
qft (Т,?сг) системы ТИ^1^2^3 связаны соотношением

Т'ц = CpiC.jTM,	(3.3.71)

или при матричном представлении

[Г'] = [С]Т[П [С].	(3.3.72)

Предположим, что в каждый момент времени для рассматривае-
мой частицы известны тензор деформации Генки Н, тензор напря-
жений Коши ст и матрица направляющих косинусов [С]. Опреде-
ляя затем компоненты тензоров, а по ним — девиаторов дефор-
маций и напряжений в базисе q', можно построить траекторию
нагружения в соответствующих девиаторных пространствах. По
.аналогии с работой [65] (см. разд. 3.2) вводятся векторные пятимер-
ные пространства деформаций Э5 и напряжений S5, топологически
изоморфные и изометричные девиаторным пространствам. Компо-
ненты векторов напряжений о ЕЕ 25 и деформаций э= Э5 опре-
деляются обычными соотношениями (3.2.3) [65] через компоненты
девиаторов напряжений и деформаций в базисе q1.

Под траекториями деформаций и напряжений будем понимать
соответственно годографы векторов э ио, определенных по компо-
нентам девиаторов деформаций и напряжений в базисе q’. Данную
траекторию деформации вместе с вектором напряжений, пост-
роенным в каждой точке траектории деформации, и приписанными
этой точке скалярными величинами, характеризующими процесс
деформирования (при необходимости — и другими физическими
тензорами), будем называть образом процесса нагружения в про-
странстве деформаций Э5.

При записи определяющих соотношений скоростного типа фи-
зически обоснованным представляется использование мер, харак-
теризующих скорость изменения напряженного и деформирован-
ного состояний по отношению к системе М^1^3. Как отмечено
ранее (см. разд. 1.3), при введенном здесь представлении движе-
ния относительная скорость произвольного тензора второго ранга
Т дается его коротационной производной типа (1.3.74);

Т* = Т —12 Т 4- Т Й.	(3.3.73)
Тогда определяющие соотношения скоростного типа можно, на-
пример, записать в виде

о* =	(3.3.74)

где — четырехвалентный тензор свойств.

Как отмечено выше, коротационная производная (1.3.74) тен-
зора деформаций Генки может быть представлена суммой шаровой
и девиаторной частей, причем последняя определяет формоизме-
нение. Исходя из физического рассмотрения пластического дефор-
мирования и существующих экспериментальных данных, как и в
случае малых деформаций, можно предположить, что ответствен-
ной за пластическую (необратимую) деформацию является именно
девиаторная часть.

По коротационной производной h* девиатора h тензора дефор-
мации ГенкиН, используя соотношения (3.2.3), нетрудно опреде-
лить пятимерный вектор относительной скорости деформации
э*. Элементарная длина дуги ds определенной выше траектории
деформации за бесконечно малый промежуток времени di опреде-
ляется следующим образом:

ds = (э*-э*)'Мт = (h* ; 1г*/Мт,	(3.3.75)

текущая длина дуги равна
t	t

s — § (э* -a^'^di — §(h* : h*)1''2 di.	(3.3.76)

о	о

Угол сближения й для любого момента времени, являющийся уг -
лом между вектором напряжений о и касательной к траектории
деформации, построенным по компонентам о и Й в подвижной си-
стеме	определяется из соотношения

Естественно, все параметры кривизны и кручения определяются
для траектории деформации, получаемой по компонентам тензора
Генки в системе Л7£г£2£3.

Для многих прикладных задач МДТТ представляется целесо-
образным постановку и решение осуществлять с использованием
эйлеровых переменных [169]. В этом случае процедура построе-
ния образа процесса нагружения выглядит следующим образом.

а)	Пусть из решения задачи на некоторой итерации известны
поля скоростей перемещений и напряжений. Посредством интег-
рирования последних определяются поля напряжений, переме-
щений и компоненты тензора Альманси в системе отсчета. Одно-
временно определяется матрица направляющих косинусов [С]
(для каждой фиксированной частицы в произвольный момент вре-
мени) посредством интегрирования системы обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений (3.3.68) с начальными условиями (3.3.69).
Ь)	Определяются главные направления и главные значения
тензора деформаций Альманси, по которым из соотношений
(1.2.61) вычисляются главные значения тензора Генки. Напомним,
что главные направления тензора Генки совпадают с главными на-
правлениями тензора Альманси. После этого вычисляются компо-
ненты тензора Генки в системе отсчета.

с)	С использованием матрицы [С] направляющих косинусов
(3.3.70) осуществляется в соответствии с (3.3.71) (или (3.3.72))
переход от компонент тензора деформации Генки и тензора напря-
жений Коши в базисе системы отсчета к компонентам в базисе q;
подвижной системы Л/^1^3. На основе последних строится тра-
ектория деформации и определяется вектор напряжений в каждой
точке траектории, равно как и другие скалярные и тензорные ха-
рактеристики процесса деформирования. В частности, в каждой
точке траектории определяются необходимые для решения пара-
метры кривизны и кручения.

В отличие от аналитических численные методы решения задач
МДТТ позволяют при анализе одного и того же процесса деформи-
рования использовать для различных зон исследуемой области
одновременно разные типы определяющих соотношений. Данное об-
стоятельство при решении задач пластичности открывает широкие
возможности для применения метода корректирующего анализа
[108]. Напомним, что основная идея метода корректирующего ана-
лиза состоит в замене в методе СН-ЭВМ [65, 701 этапа испытаний на
сложное нагружение реального образца выбором из заложенного
в ЭВМ набора частных теорий соотношений, соответствующих
полученному на предыдущей итерации процессу нагружения. За-
метим, что подобный выбор осуществляется для каждой частицы
деформируемой среды в соответствии с историей ее деформирования.

При использовании численных методов определяющие соотно-
шения удобно записать однотипно для различных их видов.• Это
позволяет вывести в общем виде разрешающие соотношения при-
меняемого численного метода (например, матрицу жесткости, век-
торы корректирующих нагрузок в методе конечных элементов).
При расчетах в этом случае изменяются лишь компоненты тензо-
ров, входящих в определяющие соотношения. При этом, как отме-
чено выше, для случая больших деформаций целесообразно исполь-
зовать постановку скоростного типа. Тогда достаточно общей фор-
мой записи определяющих соотношений представляется следую-
щая:

or = ^'i:Hr + ^0 г R,	(3.3.78)

где — четырехвалентный индифферентный тензор свойств;
0 — температура; R — тензор второго ранга, зависящий от на-
пряжений, накопленной деформации и т. д.; тензоры $ и R индиф-
ферентны.

Подчеркнем, что в соотношении (3.3.78) индекс г означает не-
которую коротационную производную (одну и ту же в левой и
правой частях равенства). Следует заметить, что’в случае, если
главные оси правой меры искажения V совпадают V/ с одними и
теми же материальными волокнами, то различие между яуманнов-
ской и коротационной типа (1.3.74) производными теряется (что
видно, в частности, из (3.3.67)). Данное обстоятельство следует
учитывать в расчетах, поскольку вычисление яуманновской про-
изводной значительно проще определения коротационной произ-
водной (1.3.74). При малых градиентах деформации соотношение
(3.3.78) должно перейти (в зависимости от кривизны траектории
деформации) в одно из известных соотношений теории упругоплас-
тических процессов при малых градиентах деформации. Отметим
еще, что после установления соотношения (3.3.78) оно может быть
преобразовано, например, заменой одной меры деформированного
состояния на другую.

В данной работе в основном применяется определяющее соот-
ношение вида

о* =	; Н* + &ё -f- R,	(3.3.79)

где

H* = D + Sf.	(3.3.80)

Здесь D — тензор деформации скорости, а тензор 2f определяется
формулой (1.3.95).

Нетрудно проверить, что все требования к определяющим соот-
ношениям, сформулированные в разд. 3.1 и в этом разделе,
выполняются. Исключение составляет проверка ограничений, выте-
кающих из второго начала термодинамики. Здесь основная труд-
ность состоит в том, что тензор свойств есть функционал, зави-
сящий от истории нагружения. Некоторые общие свойства опреде-
ляющих соотношений можно в данном случае получить с помощью
теории затухающей памяти Колемана — Нолла (см. [168]). Одна-
ко наиболее нагл’ядные результаты получаются для различ-
ных частных вариантов теории, используя методику, описанную
в данном разделе.

Придадим соотношению (3.3.79) несколько другой вид. Снача-
ла запишем выражение для 2? в произвольном базисе (в частности,
в системе отсчета или лагранжевом актуальном) ег:

‘	£ = £г^е},	(3.3.81)

где

vn г г / 2V V \ t V \ п	1

е, • 2f • = £ [ () J п - 1	,

к I	I

k^-l

(3.3.82)

=	=	1? = pr e\	(3.3.83)

Напоминаем, что p; — главные векторы тензора V, субиндекс ~
означает компоненты в базисе р^. Выражению (3.3.82) можно
придать вид

где

L*1

2vkvi ,
V* - I') °

о, к = I.

bl]i,

к, I

ДВедем четырехвалентный тензор

2vkvl

i, }, I
k^l

V

b-/-1

1 J

aUK , -.ы
„i„i P P + P p
ее g

(3.3.84)

(3.3.85)

(3.3.86)

htillj

так что

£:D = £: Vv = Sf.

Далее:

В = 1/2(СП + Cjn) :Vv.
Тогда окончательно

(3.3.87)

И* = Р/2 (Сп + Сш) + £]: D = р/2 (Сп + Сш) + £]: Vv. (3.3.88)
Внося (3.3.88) в (3.3.79) и используя обозначение

^ = ^1:[72 (Сп+СП1) + £],	(3.3.89)

приходим к определяющему соотношению

o* = ^:D + ^@ + l?	(3.3.90)

или эквивалентному

a* = ^:Vv +	+В.	(3.3.91)

В предлагаемой работе используются некоторые из существую-
щих частных теорий пластичности общей теории упругопластиче-
ских процессов А. А. Ильюшина. Общая схема выводов, проведен-
ных в работе, следующая. От соотношений, связывающих напря-
жения, деформации и их приращения с учетом упругой связи меж-
ду первыми инвариантами мер напряженного и деформированного
состояния переходим вначале к приращениям, а потом к производ-
ным по времени. Затем полные производные тензоров напряжений
и деформаций заменяются относительными скоростями — корота-
ционными производными типа (1.3.74) (или другими подходящими
коротационными производными).

Заметим, что в случае изотермического деформирования вто-
рой член правой части (3.3.78) (равно как и в соотношениях
(3.3.79), (3.3.90), (3.3.91)) отсутствует. Рассмотрим отдельно изотер-
мическое и неизотермичесное деформирование,
А. Изотермический случай. Согласно опытам Бриджмена
справедливо следующее соотношение:

Ц (о) = Kg	(3.3.92)

или

<т = V3 Kg,	(3.3.93)

где К — £7(1 — 2v) — коэффициент объемного сжатия, g =
= Д (dV)fdV — (dV — dV)/dV — относительное изменение объема.

Из формулы (3.3.93), полагая К = const, имеем

а = V3 Kg.	(3.3.94)

При использовании логарифмической меры

Ц (Н) = in (dV/dV) = In (1 + g),

откуда

g = еЦ(й) _ 1.	(3.3.95)

Дифференцируя (3.3.95), получаем

g = е^Я, (И) = (1 + g) Л (Н).	(3.3.96)

Тогда

а = 1/3^(е«н)_ 1),	(3.3.97)

d = (l + g) К	(3.3.98)

U	о

При малых g имеем g ~ 1г (Н), g ~ Iv (Н).

Теория процессов малой кривизны. При деформировании по
траекториям малой кривизны (х = ха соотношения в век-
торной форме могут быть представлены в виде

ог = Ф' (s) Я[1Р1 + Ф (8) Ядхр2,	(3.3.99)

где Ф (s) — универсальная функция, характеризующая скаляр-
ные свойства материала; Ф' (s) = дФ/ds; II'Vl = (эг-эг),/2 =
= (hr : F)’/2 — интенсивность относительной скорости деформа-
J и	1 <23Э

ции; pt = d^/ds', р2 = —	; вектор э. определяется по компо-

нентам h в системе £2£3. Единичные векторы р, ир2 представ-
ляют собой векторы касательной и главной нормалей. В соотноше-
нии (3.3.99) величина Ф' (s) Яд характеризует относительную ско-
рость изменения модуля, а Ф(з)И„х — направления вектора о.
Соотношения (3.3.99) можно получить также из соотношений для
произвольных двумерных процессов [49], полагая й = 0, d$/ds =
~ 0 и используя формулы Френе.

Предполагая х достаточно малыми, вторым членом в соотно-
шении (3.3.99) можно пренебречь, и тогда соотношения скорост-
ного типа при деформировании по траектории малой кривизны
примут вид

ог = Ф' (s) эг.	(3.3.100)

Замечание. В случае значительных длин s участка малой кри-
визны пренебрежение вторым членом правой части (3.3.99) даже
при малых и может приводить к накоплению погрешностей при
интегрировании полей скоростей напряжений. Поэтому в алгоритм
решения вводится оценка погрешности за счет пренебрежения
нормальной составляющей ог. При необходимости коррекция осу-
ществляется использованием в итерационных процедурах опреде-
ляющих соотношений вида (3.3.99). В дальнейшем для простоты
примем определяющие уравнения теории малой кривизны в виде
(3.3.100).

В компонентах девиаторов уравнение (3.3.100) может быть
представлено следующим образом:

= Ф' (s) h^.	(3.3.100)'

Используя уравнение (3.3.98), соотношения теории малой кривиз-
ны могут быть приведены к виду

ог = [!/2Ф' (s) (Сп + Сш) + V3 (^ - Ф' (s)) CJ : Н”, (3.3.101)

где Kv —	Ci, Сц, Cni (см. разд. 1.1) — изотропные тензоры

четвертого ранга. Таким образом, в этом случае определяющие
соотношения приводимы к виду (3.3.78), где

= V2O' (s) (CTI + Сш) + Vs1Кг - Ф' (8)]Сь	(3.3.102)

а тензоры и В — нулевые. В случае учета второго члена в со-
отношении (3.3.99) он войдет в тензор JZ.

Теория процессов средней кривизны. В качестве исходных выб-
раны соотношения, приведенные в работе [49]. В цитируемой
статье в соответствии с гипотезой локальной определенности
[50, 107] вводится уравнение для угла сближения О:

dft/ds — / (О, з) + х.	(3.3.103)

Используя экспериментально подтвержденные допущения о
зависимости f (^, з) и сти (s)

f (O,s) = — k (s) О, B(s)>0,	(3.3.104

cr „(.<?) — Ф (s)— ^t>'(.s)4j-ds	(3.3.105)

о

и производя необходимые преобразования, получим определяющие
соотношения теории средней кривизны в векторной форме:

Gr = [Ф' (s) — k (s) Пи (s)]	- 9 + сги (.s) к (s) эг.	(3.3.106)

Здесь сти — (ст-сг)1^ — интенсивность напряжений.
В компонентах девиаторов (3.3.106) принимают вид

S*lhr

Sij = [Ф' (s) — к (s) ни (s)] —Sij 4- ои (s) к (s) hlj.	(3.3.107)

Ф IT

Вводя связь между первыми инвариантами коротационных произ-
водных о’ и Нг, получаем уравнения вида (3.3.78), где $ и R —
нулевые тензоры:

Ф'(s) — й (s) 5Т, (s) sM(s)fe(s)

—--------J 1 ss + ИЦ---(Сп + Сш) +

5и

+ gi-Ms)fe(s) Ci>	(3.3.108)

Теория процессов деформирования no двухзвенным траектори-
ям с изломом [23]. Исходя из приведенных в работе [128] соотно-
шений получаем в векторной форме

Ф' (s) sin -О’ —Ф (s) cos О’ —э—

:	------^иЭо +

+ фи. r_g^-sin(a0-a)-sin(??---

1 (s — s0) sin Йо L Ф (s) V	s — So

- cos (в.	3o) +	У э',

(3.3.109)

где нижний индекс 0 обозначает точку излома. И в этом случае
определяющие соотношения приводимы к виду (3.3-78), где $ —
нулевой тензор,

	_	Г 1 Ф (s) sin (Йо—й)	, г , ,  '‘=1.2 s-s0	sin йо (Ьп + Вш) +  ф(&). siMfro-й) \с 1	(3.3.110)  1 3 \	s — s0	sm Йо ] J	'	'  ( . п d"  Ф'(si sin й 4-Ф (s) COS Й —5— Л  R =	 LJ2	#_h0	+  (	So sin Йо  + ф и. ГЛМ sin (О0 — 0) — 3in'*•-<» -  1 (s — So) sin Йо |_ Ф(«)	V	s —So  -cos(e0 — ft)4r] #и(Ь — ho)}.	(3.3.111)

Соотношения в области упругого деформирования. Вообще го-
воря, использование теории процессов деформирования по двух-
звенным траекториям при углах излома более 90° позволяет опи-
сать и процесс упругой разгрузки. Однако с точки зрения вычис-
лительной более эффективно использование определяющих урав-
нений теории упругости в скоростях. Заметим, что для достаточ-
но широкого класса прикладных задач МДТТ, относящихся к ис-
следованию процессов деформирования при сравнительно малых
гидростатических давлениях, упругие деформации можно считать
малыми.

В этом случае определяющие соотношения приводимы также к
виду (3.3.78), где и Л — нулевые тензоры:

= [G (Сп + Сш) + i/з (Кг - 2G) Сг],	(3.3.112)

причем при определении Н в качестве отсчетной используется кон-
фигурация, соответствующая началу упругого деформирования
на рассматриваемом этапе.

Б. Неизотермическое деформирование. Как отмечается в ра-
ботах [65, 108], в определяющих соотношениях зависимость от
температуры также носит функциональный характер.Однако в на-
стоящее время подобные функциональные связи изучены недоста-
точно и носят противоречивый характер. В связи с этим в настоя-
щей работе предполагается, что при неизотермическом деформи-
ровании от температуры зависят только скалярные свойства, при-
чем зависимость имеет вид универсальной функции Ф (s, О). В этом
случае определяющие соотношения могут быть записаны в виде
(3.3.78). Конкретизируем вид тензоров, входящих в соотношение
(3.3.78), для различных частных теорий.

Траектории малой кривизны.

а?   1 дФ (s, 0)	р 14- 1 С Гг	(s> $) "I

— ~2----Тз + Спт> + “Г Cl И*------------й-----J ’

(3.3.113)

__	1	<?ф (s, 0) д 1 Е / 1 dE

Ж Ф (s, 0)	0<д	3 1 — 2v \ Е dQ *"

+ т^-ав-)ке''<й’-	(3.3.114)

Н — нулевой тензор. Здесь ет — накопленная температурная
деформация; а — коэффициент линейного расширения.

Траектории средней кривизны.

-7-ss 4

2“	(s) (Си + Сш) +

+ 1/з [Х1 - вак (s)] Сь

(3.3.115)

«г  1 №(s,0)(<	й2 \ с , 1 Е t 1 dE ,

50	2 J 5 + 3 1 — 2v Е dd +

+ КеЛ(Й) - *) - 3еГ]Е - аЕ’ (З-3-116>

Н — нулевой тензор.

Двухзвенные траектории с изломом.

1	Sin (ft,-*) (С + С ; +

+ _L Гхх — —(s’е) sin (.%~г<>) 1 Ci,	(3.3.117)

~ 3 L	S — So sin ЙО J ’	v '
<Х — sin0 Эф (s,e) h ,	(fr>-0) дф (s, 6) -	£

s0 sin Oo 09	0 ' (s — so) sin Oo 09	°) “b

I 1 E / 1	i 2 dv \ ,,

3 1 — 2v \ E de + 1 —2v de j x

x [(еЛ(Н) _ I) _ ЗеГ] E - aE,
0Ф (s, 6)	„	do

--x--sin О + Ф (s 0) cos 0-j—

B ~+

+	[ ф(‘ e,

__a, _ cos _ e) j 9, fi _

Деформирование в упругой области.

&\ = G (Сп + Сш) + 4- (^1 - 2G) CI>

(3.3.118)

(3.3.119)

(3.3.120)

Г 1 dE	Е dv -I г , 1 Г 1 dE ,

L 14-v de	(I4-V)2 06 J Й 1 3 Ll-2v 06 +

+ (Г^^>'-<Й1-О-ЗеЧЕ-^о®,

(3.3.121)
Б — нулевой тензор.

Полученные определяющие соотношения различных частных
теорий пластичности, таким образом, могут быть записаны одно-
типно, что позволяет достаточно просто использовать их в методе
корректирующего анализа.

Наконец, в качестве альтернативного варианта построения
определяющих уравнений вместо соотношений (3.3.78), сформули-
рованных в терминах актуальной конфигурации, приведем общий
вид определяющих уравнений с использованием мер напряженно-
го и деформированного состояний, определенных в отсчетной кон-
фигурации.

Определяющие соотношения предлагаются в виде

Й + ^ё + Д	(3.3.122)

где & — инвариантный тензор четвертого ранга, Й) и К — инва-
риантные тензоры второго ранга. Вид этих тензоров определяется
из условия, чтобы при малых градиентах перемещений получи-
лись известные соотношения теории упругопластических процес-
сов А. А. Ильюшина.

Многие соображения, касающиеся уравнения (3.3.78), можно
также перенести на уравнение (3.3.122). Различие заключается
в том, что в соответствии с принципом материальной объективно-
сти левая и правая части уравнения (3.3.122) преобразуются оди-
наково при наложении жесткого вращения. В данном случае зна-
чительно облегчается построение образа процесса деформирова-
ния: он строится в неподвижной системе координат, соответствую-
щей отсчетной конфигурации.
Глава 4

ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ УПРУГОПЛАСТИЧНОСТИ
ПРИ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЯХ

В настоящей главе предпринята попытка достаточно общей по-
становки упругопластических задач с учетом больших пластиче-
ских деформаций. Постановки скоростного типа осуществлены с
использованием как эйлеровых, так и лагранжевых переменных,
устанавливаются уравнения равновесия и силовые граничные ус-
ловия в скоростях, рассматриваются постановки нестационарных
и стационарных задач. В отдельный раздел выделены часто встре-
чающиеся в прикладных задачах механики деформируемого твер-
дого тела граничные условия, в частности контактные.

4.1. Система уравнений упругопластичности
при больших пластических деформациях

Напомним, что под процессами деформирования с «большими де-
формациями» понимается деформирование с большими (более 10?4)
градиентами перемещений. При этом весьма широкий класс при-
кладных проблем, возникающих при исследовании процессов обра-
ботки металлов, можно отнести к задачам с малыми упругими де-
формациями (в указанном смысле, т. е. градиенты перемещений
при упругой разгрузке, определяемые в актуальной конфигура-
ции можно считать малыми).

Трудности решения задач с большими деформациями, кроме
нелинейности геометрических соотношений и появляющейся при
этом дополнительной нелинейности определяющих соотношений,
в немалой степени обусловлены также отсутствием информации
об актуальной конфигурации В данном случае в отличии от
геометрически линейных задач последняя не может быть приня-
та совпадающей с поскольку подобное отождествление во
многих случаях приводит к качественно неверным результатам.
Указанные трудности обуславливают появление и широкое рас-
пространение постановок скоростного и инкрементального типов
(являющихся, по сути дела, модификациями друг друга). В по-
становках задач в скоростях (перемещений, напряжений и т. д.)
информация об актуальной конфигурации в рассматриваемый мо-
мент времени предполагается известной, а определению подле-
жат скорости изменения параметров процесса в данный момент
с последующим интегрированием полей скоростей. Обзор поста-
новок и подходов к решению геометрически нелинейных задач уп-
ругопластичности содержится в работах [80,99, 131, 145, 191, 197,
222, 234, 252, 263].
Как уже отмечалось выше, традиционно различают два основ-
ных подхода к рассмотрению задач механики сплошной среды:
лагранжев и эйлеров. Первоначально интерес к геометрически не-
линейным проблемам в немалой степени был инициирован задача-
ми теории пластин и оболочек [62, 239], где в основном рассматри-
вается случай малых деформаций — больших перемещений и пово-
ротов. Теории пластин и оболочек строятся обычно с использова-
нием координат отсчетной (недеформированной) конфигурации,
что и предопределяет применение в постановках задач данного
класса лагранжевых переменных. Известное преимущество лаг-
ранжевой формулировки — неизменность области изменения про-
странственных переменных — стимулировало использование лаг-
ранжевых переменных при решении других задач механики де-
формируемого твердого тела [83—85, 214, 217, 222 и др.]. Необ-
ходимо отметить, что при использовании лагранжевых перемен-
ных информация об актуальной конфигурации также необходима.
При этом уравнения движения являются обычно нелинейными,
возникают некоторые сложности в определении граничных усло-
вий на контакте с неподвижными телами и др.

В связи со сказанным выше представляют интерес постановки
и подходы к решению геометрически нелинейных задач упруго-
пластичности с использованием эйлеровых переменных [169, 170,
242, 252, 263]. Дополнительным преимуществом эйлеровой форму-
лировки является возможность уменьшения размерности при ре-
шении стационарных задач — из числа независимых переменных
исключается время.

Промежуточное положение между двумя приведенными типа-
ми подходов занимает так называемая текущая лагранжева фор-
мулировка [194, 195, 228, 229, 244, 261]. '

Данная формулировка является непосредственным развитием
аналогичных подходов, существующих в теории малых деформа-
ций, и состоит в следующем. Весь интервал нагружения разби-
вается на ряд достаточно малых этапов по некоторому параметру
нагружения (например, времени). В начале каждого этапа конфи-
гурация считается известной. Система уравнений, описывающих
поведение деформируемой среды, записывается однотипно для
каждого из этапов с использованием лагранжевых переменных и
соответствующих тензоров напряжений, деформаций и т. д. При
этом в качестве отсчетной конфигурации принимается актуальная
конфигурация начала шага. После решения задачи на данном ша-
ге нагружения определяются конфигурация, тензоры напряжений
и деформаций и т. д., соответствующие концу этапа нагружения.

Указанный подход обладает рядом достоинств: уравнения,
входящие в постановку, квазилинейны (линейны относительно
скоростей); простота формулировки и реализации; возможность
использования существующих пакетов программ решения геомет-
рически линейных задач. Однако применяемые в данном подходе
меры скоростей напряженного и деформированного состояния оп-
ределяются по отношению к изменяющейся конфигурации, т. е.
представляют собой, по сути дела, производные соответствующих
тензоров типа Олдройда. Использование же производных Олд-
ройда в определяющих соотношениях связано с определенными
трудностями экспериментального обоснования последних
[141, 142].

Исходя из сказанного выше, для рассматриваемого в настоя-
щей работе круга прикладных проблем в зависимости от конкрет-
ной задачи представляется целесообразным использование или
лагранжева, или эйлерова подхода. Прежде чем перейти к непо-
средственной постановке задачи, остановимся на некоторых основ-
ных динамических соотношениях механики деформируемого
твердого тела.

Одним из основных законов классической механики сплошной
среды является закон сохранения массы любого индивидуального
(материального) объема вещества [141, 152], следствием которого
является приведенное в разд. 2.1 уравнение неразрывности (2.1.4).
В задачах механики деформируемого твердого тела уравнение не-
разрывности во многих случаях не входит в качестве независимо-
го уравнения вследствие того, что для многих материалов (в част-
ности, металлов) изменением плотности можно пренебречь,
р х: р. Поэтому в различных преобразованиях (например, при
выводе уравнений движения или равновесия из уравнения балан-
са количества движения) уравнение неразрывности предполагает-
ся выполняющимся автоматически. В то же время при формули-
ровании физических (определяющих) соотношений пренебрежение
изменением материального объема может приводить к качествен-
ному изменению результатов. Таким образом, в дальнейшем бу-
дем предполагать, что уравнение неразрывности удовлетворяется
вследствие малости изменения плотности материала. Отметим, что
сказанное не относится к некоторым видам материалов (порошко-
вые материалы, горные породы и т. д.), а также к металлам, на-
ходящимся под воздействием сверхвысоких давлений (десятки
тысяч МПа и выше), где изменением плотности пренебречь нельзя.

Ранее (см. разд. 2.1) приведены уравнения движения и равно-
весия в терминах различных тензоров напряжений. В настоящей
работе будут рассматриваться квазистатическпе процессы дефор-
мирования, поэтому в дальнейшем достаточно ограничиться рас-
смотрением уравнений равновесия. Постановка скоростного типа
требует вывода уравнений равновесия в терминах скоростей изме-
нения тензоров напряжений.

Напомним, что в этом и в следующем разделах под производ-
ными понимаются материальные производные и все функции и их
производные считаются непрерывными по совокупности аргументов.

Наиболее просто получить уравнения равновесия в скоростях
из уравнения (2.1.37), сформулированного с использованием пер-
вого тензора Пиола — Кирхгоффа:

’t.^ + f = o, v^e(0,oo).
Дифференцируя последнее соотношение по времени с учетом не-
изменности отсчетной конфигурации, получаем

V.^ + F = 0,	Vi(G(0, зс).	(4.1.1)
Дополняя (4.1.1) начальным условием  V-^ + F = 0, i = 0,	(4.1.2)

нетрудно показать справедливость следующего утверждения;
уравнение равновесия в скоростях (4.1.1) с начальным условием
(4.1.2) эквивалентно (2.1.37).

Аналогичным образом в соответствие статическому граничному
условию N = Т, Vi GE (0, оо) ставится граничное условие в ско-

ростях  N-^ = T, Vie(0, ос)	(4.1.3)

с начальным условием

N-^ = T, t = 0.	(4.1.4)

Уравнение равновесия в терминах второго тензора Пиола —
Кирхгоффа (2.1.51) эквивалентно уравнению равновесия в ско-
ростях

(V-JT)- Vr +	: (A-Vr) + (V.JT). Vv +  + JT:[4(A4r)]+£ = 0,	*G(0,oo)	(4.1.5)
с начальным условием  (V.^).^r + ^;(A.Vr) + F = 0, t = 0.	(4.1.6)

Заметим, что при использовании единой для всех конфигураций

декартовой ортогональной системы координат последние отношения в компонентах базиса к, принимают вид	два со-
d.X‘ij дх:	dXij dv*  да? да3	и с? да3	да'1 да3  + jr j	+ > = о, t е (0, оо), к = Тд  дагда3	(4.1.7)
4 jpi	4-^ = 0, t — О, к=^3.  да1 да3	дагда3	(4.1.8)
Статические граничные условия  N-jr$r=T, #е(0, оо)	(4.1.9)
заменяются граничными условиями в скоростях  NjrVr4NXVv=i, te(0,oo)	(4.1.10)
с начальным условием

NjT-Vr —Т,	£ = 0.	(4.1.11)

В компонентах базиса единой декартовой ортогональной
системы координат (4.1.10), (4.1.11) запишутся следующим об-
разом:

= f t<=(0, оо), к = 1Д (4.1.12)
да3	да3

a к	____

= t = o, к = 1,3.	(4.1.13)

да3

Наконец, перейдем к установлению уравнений равновесия
в терминах скорости изменения тензора напряжений Коши. В си -
лу того, что данное уравнение занимает одно из центральных мест
в дальнейшем рассмотрении, оно было получено несколькими раз-
личными способами: непосредственно из уравнения баланса ко-
личества движения; из соотношений (4.1.1), (4.1.2) с использова-
нием содержащихся в разд. 2.1, 2.2 выражений для и через
о и о, из уравнений (4.1.5), (4.1.6) с использованием в качестве
отсчетной актуальной конфигурации и т. д. Результат во всех
случаях оказался одинаковым. Здесь воспользуемся самым про-
стым из используемых способов — непосредственным выводом из
уравнения равновесия (2.1.26): V-o + F = 0, t ее (0, оо).

Дифференцирование последнего соотношения представляет
некоторые трудности вследствие зависимости оператора Гамиль-
тона от времени. Поэтому предварительно преобразуем первый
член:

V-o = Е : Vo = Е : (VR0-Vs).	(4.1.14)

Учитывая постоянство единичного тензора и полученное ранее
соотношение (1.3.15), из выражения (4.1.14) получаем

-J- (V • о) = Е : [VR0 • Vs + (VR0) • Vo] ==

=	E : Vo + E : [(VR0) • Vo] = V • о — E: [Vv • VR0 • Vo] =

=	V-s — E : [Vv - Vo] = V-o — Vv : Vo. (4.1.15)

Тогда уравнение равновесия в скоростях и соответствующее
начальное условие записываются в виде

V-o — Vv: Voh-F —0, Vt^(O, эо),

V-o + F = 0, t = 0.

(4.1.16)

(4.1.17)

Не представляет особых трудностей убедиться в справедливо-
сти следующего утверждения: уравнение равновесия в скоростях
тензора напряжений Коши (4.1.16) совместно с начальным усло-
вием (4.1.17) эквивалентно уравнению (2.1.26).
Отметим, что с использованием эквивалентности уравнение
(4.1.16) может быть преобразовано к виду

V-о—V-(v-Vo)4-F— v-VF = 0, tEE(0,oo).	(4.1.18)

В компонентах базиса ёг выражения (4.1.16), (4.1.17) представ-
ляются в виде

Vi(o)ij' —	+ (F)J' = О, V2 --(О, oo), / = 1,3, i

4-^ = 0, 2 = 0, / = Т?3-	(4.1.19)

Напомним, что 6tJ'	(c)!J. При использовании единой декарто-

вой, ортогональной системы координат получаем

^~~П-4^-+^==0’ VZe;(0’ °°)’ 7 =	(4.1.20)

дх дх дх

=	2 = 0,	7 = 1,3.	(4.1.21)

дх1

Для записи силовых граничных условий также используем
здесь непосредственное дифференцирование соотношений Коши
(2.1.14) n-о = Т, V2 ЕЕ (0, сю), в результате чего получаем стати-
ческое граничное условие в скоростях

пчт-у n-<j = T, V2GE(0, ос),	(4.1.22)

Производная единичной внешней нормали выражается через
скорости перемещений с применением приведенных в разд. 1.3
соотношений между N и и при использовании в качестве отсчет-
ной конфигурации актуальной (1.3.106). С учетом (1.3.106) соот-
ношение (4.1.22) принимает вид

п-о — (Vv-n)-o 4- (n>Vv-n)n-o = T, V£ee(0,oo).	(4.1.23)

Справедливо утверждение: статическое граничное условие в ско-
ростях (4.1.23) совместно с начальным условием

н-о = Т, 2 = 0	(4.1.24)

эквивалентно соотношению Коши (2.1.14).

Отметим, что выражение для и может быть получено иным спо-
собом. Пусть F (г, 2) = 0 — уравнение, описывающее поверх-
ность исследуемой области (причем полагаем F < 0 внутри и
F 4> 0 вне области). Тогда единичный вектор внешней нормали
представим в виде

n = VF/|VF|.	(4.1.25)

Согласно работе [153, с. 26], имеем

dF/dt = dFjdt 4- v-VF = 0, г е S.	(а)
Это условие означает, что поверхность S = {г | F (г, t) = 0} со-
стоит из одних и тех же частиц.

Далее: | VF | =	Тогда

d ~

d ~ VF-~dT (vf)	d '

~]VF\ =--------(b)

dt 1	1	| VF |	dt x ’	' '

± (VF) = 4 (?F) + V • V (VF) = V + V • V (VF).	(c)

В последнем преобразовании предположена непрерывность F
и частных производных F по Е£ и t.

Используя равенство (н), получим

V (9F/dt) = - V v • VF - V (VF) v.	(d)

Подставляя (d) в выражение (с), имеем

(VF) = — Vv - VF — V (VF) - v 4- v - V (VF) = — VvVF.	(e)

Заметим, что сокращение слагаемых при получении равенства
(е) произошло потому, что тензор V (VF) симметричен.

Подставляя (е) в (6), получим

4|W'| = -n.Vv.W.	(/)

Наконец, используя (е) и (/), имеем
d ~	d ~

da _ d / VF \ dt (VF'! \F ~dt\VF\_

dt ~ dt (]VFjJe= | VF |	| VF| |VF| ~

— — Vv-n (n-Vv n)n.	(g)

В подтверждение достоверности выражения (gj говорит тот
факт, что производная от единичной нормали должна быть ортого-
нальна самой нормали. Из соотношения (g) это легко получается.
В самом деле:

п- = — п-Vv-n + (и- Vv-n) (n-n) = 0.

Таким образом, окончательно получаем

n = (n-Vv-n)n—Vv-n.	(4.1.26)

Перейдем к постановке задачи термоупругопластичности в ско-
ростях. Пусть в некоторый момент времени t tE (0, оо) деформи-
руемое тело занимает область GE R3 с границей S‘ = Sq |J
[J Sv = £1 (J J	(J Sc. Необходимо определить

ноля скоростей перемещений, напряжений и деформаций, пере-
мещения, напряжения и деформации и распределение температуры
Vi GE (0, оо), удовлетворяющие следующей системе уравнений:
уравнению равновесия в скоростях

V-o — V-(v-Vo)+F — vVF = 0, ГЕЕЙ	t.	(4.1.27)
определяющему соотношению		
=	гЕ<?;		(4.1.28)
уравнению теплопроводности		
суё = V- (X V0) + Q, ГЕ Й';		(4.1.29)
кинематическим соотношениям		
D = V2(Vv + Vvt),		
3  = (Vu + Vu7 — Vu • Vur) = 2 ^iP'Pj,		
i=l  3	3	• г ей';	(4.1.30)
в = У fiip'p;=- 4- Уin (i - 2^i) p Pi,		
i—1	i—1		
граничным условиям v = v, r =E S„;		(4.1.31)
n-or— (Vv*n)-O + (n-Vv-n)n-ff 1, rG	:5a;	(4.1.32)
© = 0, re 51;		(4.1.33)
X (n • V0) = q, re 8*2,		(4.1.34)
X (n-V0) = — a (0 — ©«,), feSI		(4.1.35)
при начальных условиях		
u = u°,	r : Q°;		(4.1.36)
V.o° + F° = 0, rE Q°;		(4.1.37)
n-o0 = f',	res’;		(4.1.38)
0 = 0O(r),	reQ!',		(4.1.39)

где вектор перемещений н и TeH3opj напряжений о определяются
интегрир ованием:

t

u = п° + J V (ZC, г е	(4.1.40)

о

i

и = (уО 4- <5 dt, гей'.	(4.1.41)

о

В приведенных выше соотношениях вектор и отсчитывается
от положения, в котором материал исследуемой области находится
в естественном (ненапряженном и недеформированном) состоянии.
Если момент t = 0 соответствует естественному состоянию, то
и° = 0, о° =	= О, F° = Т° = 0. В данной постановке допус-

кается отличие состояния материала от естественного (в частно-
сти, наличие остаточных напряжений и деформаций) в момент t = О,
что представляется целесообразным при исследовании многих
технологических процессов обработки материалов, где процесс
удобно разделить на ряд этапов.

Отметим, что входящие в определяющее соотношение тензоры
R зависят в общем случае от истории нагружения (дефор-
мирования), температуры, коротационных производных тензора
деформаций Генки. В уравнениях, описывающих температурные
поля, Q — мощность тепловых источников, сиу — удельные теп-
лоемкость и вес, Лиа — коэффициенты теплопроводности и теп-
лоотдачи, 0оо — температура окружающей среды. В реальных
прикладных проблемах анализ тепловых факторов представляет
собой достаточно сложную задачу; для анализируемых в работе
процессов подобный анализ приведен в работе [138]. В соотноше-
ниях (4.1.31), (4.1.33), (4.1.34)величины v, 0, (/означают заданные
на соответствующих частях границы функции: скорость перемеще-
ний, температуру и тепловой поток соответственно.

Решение поставленной задачи, по сути дела, сводится к отыс-
канию вектор-функции v (£, г) и функции 0 (t, г). При этом клас-
сическое решение задачи следует определять в классе непрерывных
функций вместе с непрерывными производными первого порядка
по £ и до третьего порядка включительно — по пространственным
переменным, т, е. v С1-3 ([0, оо), йг), 0 е С12 ([0, сю), й*).
В настоящее время отсутствуют доказательства не только един-
ственности, но и существования классического решения задач
упругопластичности.

Выше была рассмотрена постановка нестационарных задач. Од-
нако во многих случаях исследование реальных процессов обра-
ботки материалов сводится к решению соответствующих стацио-
нарных задач, что позволяет уменьшить размерность задачи (иск-
лючить из числа независимых переменных время). Оказывается,
что постановка стационарных задач в основном совпадает с при-
веденной выше постановкой нестационарных задач. Остановимся
на некоторых особенностях.

В случае стационарной задачи под оператором полной произ-
водной по времени в рамках эйлерова подхода следует понимать
конвективную производную

-А( ) = ( ) = v>V( ).	(4.1.42)

Рассматривается прохождение среды через некоторую фикси-
рованную область пространства й CZ R3, Г — часть границы й,
через которую среда поступает в исследуемую область. Предпола-
гается, что информация о напряженно-деформированном состоянии
частиц среды в момент прохождения через Г известна, причем все
частицы среды, поступающие через фиксированную точку г Е Г,
имеют одинаковую историю деформирования (нагружения). При
этом напряжения должны удовлетворять условию

V-<r+F = O, геГ.	(4.1.43)

Покажем, что уравнение равновесия в скоростях (4.1.16)
совместно с условием (4.1.43) эквивалентно уравнению равнове-
сия (2.1.26).

Действительно, в данном случае из (2.1.26) с учетом (4.1.42)
имеем

v• V (V-о) v• VF = 0, г '= Q,

V-ohF = 0,	г-=Г.

(4.1.44)

Уравнение (4.1.442) необходимо для учета предыстории де-
формирования материала вне исследуемой пространственной об-
ласти. Несколько необычным может представляться задание усло-
вия равновесия на границе. Однако следует помнить, что поверх-
ность Г по отношению к материальному объему является внут-
ренней, а следовательно, для частиц г ЕЕ Г выполняется (2.1.26).

Используя тождество

v-V (V-o) = V-(v-Va)— (¥у):(^<т),
из первого уравнения (4.1.44) получим

V-(у - Vo) — (Vv) ; (Vа) + у-VF = 0.

(4.1.45)

(4.1.46)

Или, поскольку в стационарном случае о = v-Vo, F = v-VF,
приходим к соотношению (4.1.27), роль (4.1.17) для каждой мате-
риальной частицы играет второе уравнение (4.1.44). Проводя пре-
образования в обратном порядке, из выражений (4.1.16), (4.1.43)
получим (2.1.26). Таким образом, уравнения равновесия в скоро-
стях (4.1.27) сохраняют свой вид в постановке стационарной зада-
чи, а начальное условие (4.1.37) следует заменить условием
(4.1.43).

При формулировании граничных условий стационарной задачи
выделим два типа граничных поверхностей. Во-первых, это по-
верхности, образованные линиями тока материальных частиц. В за-
висимости от вида граничных условий обозначим их через и So-
Во-вторых, это поверхности, поперечные линиям тока. Обозна-
чим их через Sv и Sa.

Сначала рассмотрим условия на поверхностях Sv и Sa. На Sn
они имеют вид условий (4.1.31). Граничные условия на Sa (4.1.32)
сохраняют свой вид, но взамен начального условия (4.1.38) вво-
дится условие, аналогичное условию (4.1.24):

н-6 = Т, геГПйг	(4.1.24а)
Действительно, в этом случае граничное силовое условие в ско-
ростях для стационарных процессов вытекает из соотношений
(4.1.22) и (4.1.26), однако под материальной производной в этом
случае понимается ее конвективная составляющая (4.1.42). С уче-
том последнего вывод граничного условия идентичен проведенно-
му для граничного силового условия (4.1.32) нестационарной за-
дачи.

Некоторых пояснений требует замена начального условия
(4.1.38) своеобразным «граничным» условием (4.1.24а). Напомним,
что соотношения (4.1.38) задаются на всей части Sa поверхности
исследуемой области, а (4.1.24а) — на контуре Г S'e. Тогда
в стационарном процессе из условия v-V (п-н — Т) =0, являю-
щегося аналогом (4.1.22), для любой частицы, движущейся по по-
верхности Sa вдоль своей линии тока, выбирая в качестве одного
из семейства координатных линий лагранжевой сопутствующей
системы координат (например, В1) линии тока (что для стационар-
ной задачи можно сделать), получаем

i

v • V (и • о — Т) йт =	(и • <т — Т) d'E1 = 0.

°	to

Из последнего соотношения с учетом выполнения условия (4.1.24а)
(при = £j) вытекает условие Коши (2.1.14) Vg1. Поскольку
(4.1.32) эквивалентно (4.1.22) (с учетом (4.1.26)), получаем окон-
чательно, что в случае стационарной задачи условие (4.1.32) сов-
местно с соотношением (4.1.24а) эквивалентно граничному усло-
вию Коши (2.1.14).

Заметим, что аналогичная ситуация возникает в случае, когда
Sa (или участки S„) расположены внутри поверхности исследуе-
мой области. В этом случае соотношения вида (4.1.24а) на соответ-
ствующих линиях перехода частиц с части поверхности Sv на So
выполняются автоматически, так как о является решением рас-
сматриваемой задачи упругопластичности.

Далее рассмотрим условия на поверхностях So и Sv. Если по-
верхность входа Г и поверхность выхода совпадают с поверхно-
стями типа Sv, то здесь вновь задаются условия типа (4.1.31).
Если же одна или обе из поверхностей входа и выхода относятся
к поверхностям типа Sa, то ситуация несколько усложняется. Здесь
возможно два подхода к постановке задачи. Во-первых, можно от-
нести обе эти поверхности к поверхностям типа Sv, находя итера-
тивным путем такие заданные на них поля скоростей, чтобы по-
лучить известное поле векторов напряжений. Во-вторых, можно
на поверхностях типа 5а записать граничное условие Коши (2.1.14),
не содержащее скоростей изменения напряжений.

Все остальные уравнения поставленной нестационарной зада-
чи для стационарной задачи имеют тот же самый вид. При ис-
пользовании (4.1.40), (4.1.41) от интегрирования по времени
следует перейти к интегрированию по некоторому параметру, в
качестве которого удобно выбрать для каждой частицы криво-
линейную координату, отсчитываемую вдоль траектории частицы.
Заметим, что в случае установившегося движения траектории
частиц и линии тока совпадают.

Таким образом, здесь представлена достаточно общая форму-
лировка задачи термоупругопластичности в скоростях. Естествен-
но, при исследовании реальных процессов необходима конкрети-
зация и детализация приведенной постановки. Частично это будет
сделано в следующем разделе. Отметим, что возможные упрощения
предлагаемой постановки при решении прикладных задач тре-
буют дополнительного анализа, а последний во многих случаях
связан с необходимостью решения проблемы в достаточно пол-
ной постановке. Так, например, во многих случаях решение свя-
занной задачи термоупругопластичности сводится к решению двух
задач: теплопроводности и упругопластичности, что существенно
облегчает процесс решения. Однако подобный переход, по мнению
авторов, требует решения связанной задачи и анализа эффектов,
появляющихся при учете связанности. Аналогично, по-видимому,
нужно решать вопросы о пренебрежении тем или иным видом не-
линейности задачи, о размерности последней и т. д.

Альтернативной к приведенной является постановка в терми-
нах тензоров напряжений, деформаций и т. д. Прежде чем перейти
к последней, преобразуем определяющее соотношение (4.1.28).
В силу симметрии четырехвалентного тензора F по двум послед-
ним индексам имеем	»

: D — (Vv Vvr) = & : Vv.

Далее, с учетом (3.3.67)

О-о — ofl—Wo — о-W -ф Q (Vv)-o — o-Q (Vv),
где

з

Q(Vv)= JT

i,	l:—l L 1	J

откуда получаем

O-o — a-ti = — */г (Сц + Сш): [о - (Сц — Сщ) :Vv]-(-

-f- Q(Vv)-o —o-Q(Vv).

С учетом последнего соотношения и определения коротацион-
ной производной тензора напряжений Коши (2.2.4) определяющее
соотношение (4.1.28) преобразуется к виду

д = & (Vv) + ^0 4- К,

(4.1.47)
тде

& (Vv) = &: Vv — 1/а (Си + Сш): [a- (C;i — Cm) :Vv]4-
+ Q(Vv)-<t —ff-Q(Vv),	(4.1.48)

где Си, С1Г1, как и ранее, изотропные тензоры четвертого ранга.
Тогда соотношение (4.1.47) с учетом (4.1.41) приводится к сле-
дующему виду:
t

о = о° + ^[^(Vv) + Ж) Т	Vie [0, ос). (4.1.49)

о

Конфигурация области в каждый момент времени определяет-
ся полем перемещений, определяемым согласно (4.1.40). Тогда за-
дача термоупругопластичности состоит в определении вектора пе-
ремещений, тензоров напряжений и деформаций и температурного
поля, удовлетворяющих Vt ЕЕ [0, сю) следующей системе уравне-
ний:
уравнению равновесия

V-н + F = 0, гей';	(4.1.50)

определяющим соотношениям
t

H = +	+	+	гей';	(4.1.51)

о
уравнению теплопроводности
су© = V.(XV0) + Q, re Й';	(4.1.52)

кинематическим соотношениям
t

u = и° + v (К,,
о

^*=-g-(Vu+ VuT — Vu.VaT) = ^^pb гей'; (4.1.53)
i=l
3	3

н = У, НА =--------У, In (1 - 2^;) р^,

г=1	г=1

граничным условиям (4.1.31), (4.1.33) —(4.1.35) и

n-a = T, re 5a	(4.1.54)

при начальном условии (4.1.39). Здесь вектор-функция и0 и тен-
зорнозначная функция о0 предполагаются заданными. Начальные
условия (4.1.36)—(4.1.38) выполняются автоматически соответ-
ственно вследствие соотношений (4.1.53), (4.1.50) — (4.1.51) и
(4.1.54), справедливых Vt ЕЕ [0, ос).
При исследовании установившихся процессов деформирова-
ния, как и ранее, под субстанциональными производными сле-
дует понимать конвективные, а от интегрирования по времени не-
обходимо перейти к интегрированию по некоторому параметру,
характеризующему перемещение частицы в пространстве.

Приведенная выше постановка имеет определенные преимуще-
ства перед скоростной постановкой, особенно при ее реализации
с применением лагранжевых переменных, а также при исследо-
вании стационарных процессов.

Как было отмечено ранее, определенные преимущества имеет
постановка рассматриваемых задач в терминах отсчетной конфи-
гурации. При этом для связанных задач, которые можно подразде-
лить на несколько подзадач (конечно, связанных между собой),
вопрос о применении того или иного типа постановки для каждой
из подзадач решается исследователем. Например, для анализируе-
мой здесь задачи термоупругопластичности краевая задача тепло-
проводности может быть сформулирована и в терминах отсчетной
конфигурации. Но при этом значительно усложняются соотноше-
ния, входящие в постановку задачи. Поэтому здесь рассмотрим
лишь постановку задачи упругопластичности, оставляя неизмен-
ной постановку задачи теплопроводности (4.1.29), (4.1.33) —
(4.1.35), (4.1.39). При рассмотрении задачи упругопластичности
полагаем известными поле температур и материальных произ-
водных от температуры по времени.

Тогда постановка квазистатической задачи упругопластично-
сти в терминах отсчетной конфигурации может быть сформулиро-
вана следующим образом: определить поля скоростей перемеще-
ний, тензоров скоростей напряжений и деформаций, перемещений,
тензоров напряжений и деформаций, удовлетворяющих Vt Е=
е (0, оо):

уравнению равновесия в скоростях

t-^ + F^O,	КоеЙ;	(4.1.55)

определяющему соотношению

е7Г*=#':Й +	&	RoEfi;	(4.1.56)

кинематическим соотношениям

Й = (Р*-О.р>)р;р> +

Л / 2U.U. U. \	.	т-

+ Z  (	(p’-D ₽7)PiPj. Коей,

i, ' i 1	'

(4.1.57)
3	3

H=^hi^ipit=-l-^1n(l + 2Ci)pipi, Коей, (4.1.58)
i—1	i—1
С = -S- (Vu + VuT 4- Vu • VuT) = У, С^Р;,
i=l

j7i = (1 + 2С4)~, i = T?3, К, E Й,

D =^-(VR0.Vv + VvT- VRj), Ro ей,

u = u°+$vd£, Ro ей;

о

граничным

v = v, Ro e Sv,

N-^ = i, RoeSo

и начальным условиям

V'^o + Fo = O, Ro ей,

N-^0 = T0, Roe St

Roe Й, (4.1.59)

(4.1.60)

(4.1.61)

(4.1.62)

(4.1.63)

(4.1.64)

(4.1.65)

(4.1.66)

Входящие в 3- интегральные характеристики процесса де-
формирования (тензор напряжений Ж, длина дуги траектории
деформации и т. д.), как и ранее, определяются интегрированием.
Связь тензоров 5s и Ж устанавливается соотношениями (2.2.9),
(2.2.10). Классическое решение задачи (4.1.55)—(4.1.66) следует
определять в классе непрерывных функций вместе с непрерывны-
ми производными первого порядка по t и до третьего порядка
включительно — по пространственным переменным, v GE С13
([0, оо), Ъ).

4.2. Граничные и контактные условия

Приведенные в предыдущем разделе граничные условия в ка-
нонической форме, имея достаточно общий характер, все же не
охватывают возможные виды граничных условий, возникающих
в задачах исследования реальных процессов деформирования. Сле-
дует отметить, что установление граничных условий в прикладных
задачах механики деформируемого твердого тела (например, ис-
следования процессов обработки металлов давлением) представ-
ляет собой достаточно сложную задачу. Сложность ее обусловле-
на большим количеством факторов, требующих учета для коррект-
ной постановки задачи, неизвестностью границы исследуемой об-
ласти, нелинейностью граничных условий, а также тем обстоятель-
ством, что большинство указанных прикладных задач относится
к контактным проблемам.

Остановимся прежде всего на рассмотрении граничных усло-
вий краевой задачи теплопроводности. Для определения темпера-
турных полей необходим учет излучения и взаимоизлучения эле-
центов поверхности исследуемой области, естественной и вынуж-
денной конвекции, теплообмена с деформирующим инструментом,
источников тепла от деформации и внешнего трения. При этом
значимость указанных факторов существенно зависит от условий
процесса деформирования, формы области и т. д. Например, при
прокатке и охлаждении фасонных профилей (двутавров, швелле-
ров, рельсов и т. д.) превалирующую роль играют теплоотдача из-
лучением и взаимоизлучение элементов (при температурах 1200—
700° С) и конвекция (в диапазоне температур 700—20° С). При
анализе процесса электровысадки, помимо перечисленных фак-
торов, важную роль играет теплообмен исследуемой области с де-
формирующим инструментом. Процессы холодного и полугорячего
прессования и волочения невозможно адекватно описать без учета
источников тепла от пластической деформации и внешнего трения.
Важно отметить, что упрощения задачи, связанные с пренебреже-
яием теми или иными факторами, возможны только после тщатель-
ного анализа влияния рассматриваемого фактора на результирую-
щее температурное поле.

Рассмотрим отдельно некоторые из перечисленных факторов.
Тепловой поток излучения определяется законом Стефана—Больц-
мана:

?изл = еу0 = еС0 (04 — ©i),	(4.2.1)

где <?изл — удельный тепловой поток; е — степень черноты тела
(в рассматриваемых задачах тела предполагаются серыми; для
углеродистых сталей обычно принимают е = 0.8); 0 — темпера-
тура поверхности тела; Со — постоянная Стефана. Соотношение
(4.2.1) удобно привести к выражению, имеющему вид закона Нью-
тона:

?изл = аизл (0 — 01?)1	(4-2.2)

где аизл = еС0 (02 + 0«) (0 + 0^) — локальный коэффициент
теплоотдачи излучением. При исследовании температурных полей,
возникающих в процессах изготовления профилей сложной кон-
фигурации, важное значение приобретает взаимоизлучение элемен-
тов поверхности профилей. Учет взаимоизлучения осуществляется
обычно [59, 138] введением так называемых угловых коэффициен-
тов, определение которых достаточно детально изложено в цити-
руемых работах.

Поток за счет тепловой конвекции определяется также уравне-
нием, имеющим вид закона Ньютона, с коэффициентом теплоот-
дачи конвекцией

ак = (Nu 7t)/Z,	(4.2.3)

где Nu — критерий Нуссельта; I — характерный размер тела.
Критерий Нуссельта определяется отдельно для свободной и вы-
нужденной конвекции, соответствующие экспериментальные дан-
ные приведены в работе [118]. В случае совместного излучения
и конвекции теплоотдача также может быть определена уравне-
нием закона Ньютона с коэффициентом теплоотдачи а = аирл + «к.

Для определения теплообмена между деформируемой средой
и обрабатывающим инструментом, вообще говоря, необходимо ре-
шить соответствующую краевую задачу для системы двух (или
более) контактирующих тел с граничным условием четвертого рода:
эа(1)

=	ва, = вт-	<4-2-4>

где индекс в скобках означает номер контактирующего тела. Од-
нако решение подобной контактной задачи представляет большие
трудности, часто неоправданные необходимой точностью расче-
тов. Кроме того, в имеющих место в действительности процессах
условия идеального контакта, описываемого соотношениями
(4.2.4), практически отсутствуют. Теплообмен между контактирую-
щими телами существенно зависит от состояния их поверхностей,
причем присутствие на поверхности контакта окалины, воздушных
и паровых прослоек создает так называемое термическое сопро-
тивление. В этом случае тепловой поток через границу контакта
также обычно определяется соотношением, имеющим вид закона
Ньютона [188]: q = а (0 — 0^), где 0Ж — температура поверх-
ности инструмента в точке контакта. Коэффициент а определяется
экспериментально. При горячей обработке металлов значения а
лежат в интервале (5 -н 40)-103 Вт/(м2-град) [253], существенно
увеличиваясь (до нескольких сот тысяч Вт/(м2-град)) при холодной
обработке, что связано с уменьшением толщины слоя окалины и,
следовательно, падением термического сопротивления.

В процессах холодного волочения, прессования и других им
подобных весьма существенна роль тепловых источников за счет
внешнего трения, мощность которых определяется как

NTp — (щ*vCK) dSc,	(4.2.5)

Sc

где Sc — поверхность контакта; щ = по — (п-о-п) п — каса-
тельная составляющая вектора напряжений в точке поверхности
Sc; vCIi — относительная скорость движения инструмента (по от-
ношению к деформируемой среде).

Существуют различные оценки доли тепла 7VTP, поступающего
в деформируемый металл. Для получения корректной оценки
с использованием преобразований Лапласа [113] была решена за-
дача для системы трех контактирующих тел: деформируемый ме-
талл, окалина, инструмент [130]. При этом полагалось, что источ-
ник мощностью 7Утр действует в окалине. Решение показало, что
примерно половина тепла поступает в деформируемый металл.

Отметим, что граничные условия краевой задачи теплопровод-
ности опосредствованно влияют и на напряженно-деформирован-
ное состояние исследуемой среды. Ниже рассмотрены некоторые
особенности задания граничных условий, непосредственно вхо-
дящих в постановку прикладных задач упругопластичности. •
Широкий круг прикладных
проблем можно с достаточной
точностью рассматривать как
стационарные задачи. К тако-
вым относятся задачи исследо-
вания процессов волочения,про-
катки и правки длинномерных
профилей, листов и т. д. Рас-
смотрим особенности определе-
ния граничных условий в ста-
ционарных задачах на примере
процесса волочения, схема ко-
торого приведена на рис. 4.1.

Обычно в таких задачах на
St, S2, ограничивающих область

Рис. 4.1. Схема к граничным усло-
виям

поверхностях (или плоскостях)
фактической зоны деформации,

задаются кинематические граничные условия

fг |s, =Ui |s2 = t>i2)»

1’2 |s, = ^2 |ss = 0, v3 |sx= v3 |s8 = 0,

(4.2.6)

(4.2.7)

а также условия на поверхности S2 (4.1.43), (4.1.24а). Положение
поверхностей и S2 определяется из следующих соображений.
Вне области, ограниченной St и S2 (т. е. при хх —L2, xt > Lr),
материал движется как жесткое целое. Обозначим через Хцр
к = 1, 2, . . ., К, совокупность параметров, определяющих на-
пряженно-деформированное состояние среды (компоненты вектора
скорости перемещений, тензоров напряжений и деформаций, на-
пример). Тогда положение плоскостей SY и S2 определяется сле-
дующим образом:

=	П (xi = Zx),	Li>inf^i ^=0

Vxi>x*,	к =

S2 = (r E= Q П (x! = — La), L2 < sup ( 4 I -— =0
I	\ I

(4.2.8)

Уж1<ж*,	k±=l,K^,

где Q — замыкание области, занятой рассматриваемой средой.

Однако в условиях (4.2.6) либо одна, либо обе из скоростей
априори неизвестны, причем неизвестной является и свободная
поверхность Sf. В настоящее время для задания условий (4.2.6)
при известной одной скорости вторую определяют из закона со-
хранения массы в интегральной форме [79], причем последний ис-
пользуют чаще всего в форме уравнения несжимаемости. В послед-
нем случае, как нетрудно видеть, исчезает различие в постановках,
например, задачи волочения и прессования, хотя из опыта изве-
стно, что напряженно-деформированное состояние в указанных
процессах отличается даже качественно.
В процессах рассматриваемого вида во многих случаях изве-
стны усилия волочения Qx и противонатяжения Q.2:

Qi = ^OndSi, Q2 =	(4.2.9)

Si	S2

Как показывает опыт решения прикладных задач теории пластич-
ности, в них удобнее использовать кинематические граничные
условия вида (4.2.6) — (4.2.7), однако в этих соотношениях неизве-
стны \ i = 1,2. Для определения последних и служат соотно-
шения (4.2.9). Заметим, что при решении конкретных задач
граничные условия на Slt S2 задаются в виде (4.2.6), (4.2.7) с после-
дующим итерационным уточнением (4.2.6) до выполнения с задан-
ной точностью условий (4.2.9).

Следует отметить также, что форма свободной поверхности
также неизвестна, поэтому, кроме однородных статических гра-
ничных условий, в постановку стационарной задачи входит огра-
ничение на направление скоростей частиц свободной поверхности

n-v —0	(4.2.10)

Последнее соотношение используется при решении задач устано-
вившегося течения в качестве условия для определения положе-
ния линий тока частиц свободной поверхности.

Заметим, что поверхность Sj представляет в данном случае
геометрическое место траекторий частиц, проходящих через
контур Г = Ft52 (за вычетом контактной поверхности).

Отличительной особенностью большинства технологических
задач механики деформируемого твердого тела, приводящей к зна-
чительному усложнению последних, является неизвестность обла-
сти контакта исследуемой деформируемой среды и инструмента,
а также зон взаимного проскальзывания и прилипания, т. е.
имеем дело с контактными задачами для двух и более деформируе-
мых тел. В силу того что жесткость инструмента обычно на несколь-
ко порядков превосходит жесткость деформируемого материала,
с достаточной точностью указанные задачи можно рассматривать
как контактные для деформируемого материала и жесткого ин-
струмента. Отметим, что и решение подобной упрощенной задачи
также представляет значительные трудности, что связано с нели-
нейностью (зависимостью от истории нагружения) граничных ус-
ловий даже в случае задач линейной упругости [82, 174].

Контактные задачи представляют собой отдельную область
исследования, число работ в которой за последние годы имеет
тенденцию к резкому возрастанию. Поэтому здесь коротко рас-
смотрим особенности постановок контактных задач упругопластич-
ности и приведем обзор основных работ по постановкам, подходам
и алгоритмам решения задач данного класса.

Будем использовать в качестве системы отсчета декартову
ортогональную систему координат	при этом в качестве

лагранжевых координат примем координаты частиц в системе
ОхАх2х3 в момент t = 0, т. е.

Г = а1 = xi (а’, 0,) i = Т?3.	(4.2.11)

Положение частицы (а1, а2, а3) в любой момент времени опреде-
ляется координатами

? = х* (a3, t), i = ТГЗ.	(4.2.12)

Для определения области контакта деформируемой среды и
инструмента воспользуемся неизменностью лагранжевых коорди-
нат. Пусть в начальный момент времени поверхность исследуемой
области описывается уравнением

Pi (а1,’ а2, а3) = 0.	(4.2.13)

Поверхность неподвижного или движущегося инструмента опи-
шем уравнением

02 (ж1, х2, х3, t) = 0.	(4.2.14)

Для произвольного фиксированного момента времени по-
лагаем известным поле скоростей v (г, t), t ЕЕ [0, интегрируя
уравнения которого с учетом начального условия (4.2.11), при-
ходим к выражению (4.2.12). В силу взаимной однозначности из
(4.2.12) определяем аг = аг (х3, t), i = 1, 3-

Подставляя последнее соотношение в уравнение (4.2.13),
имеем [а1 (ж;, £), а2 (ж', t), а3 (х3, £)] = 0, или

Pi « х2, Xs, t) = 0.	(4.2.15)

Обозначая через Sti и 5с поверхность исследуемой области
и контактную поверхность соответственно, для произвольного
момента времени область контакта можно определить следую-
щим образом:

= {г ЕЕ | (₽, (г, tl) = 0) Л (₽2 (г, tl) = 0)}.	(4.2.16)

В дальнейшем будем устанавливать граничные условия для
некоторого фиксированного момента времени, поэтому индекс tY
будем опускать. Выделим в области Sc две зоны:]

5? = {г ЕЕ Sc | оп (г, t) = 0), 5* = {г ЕЕ 5С | <тп (г, t) < 0},	(4.2.17)

где = n-o-n — нормальное напряжение. При скоростной по-
становке задачи S°c подразделяется еще на две подобласти, в кото-
рых либо < 0, либо оп = 0, первая из которых в дальнейшем
может рассматриваться наряду с S*, а на второй задаются три-
виальные статические граничные условия.

Зона S*a также подразделяется на две части: зону прилипания
S*a и зону проскальзывания 5*. Не уменьшая общности, будем
считать справедливым закон трения Кулона. Тогда

С = {rs5c*| |ат|< fK|}, ^s = S*c\*C,	(4.2.18)

где f — коэффициент трения.

Граничные условия на введенных частях поверхности можно
определить следующим образом:

v = v, rE:S*j,	(4.2.19)

vn = vn, =	rgS*,	(4.2.20)

I VX I

где v — скорость движения точек поверхности инструмента;
vn — n-v; v£ — проекция относительной скорости точек инстру-
мента (по отношению к частицам поверхности деформируемой
среды) на касательную плоскость к поверхности S*s в рассматри-
ваемой точке, п — вектор единичной внешней нормали к S*.
Заметим, что для реализации условий (4.2.20) при использовании
численных методов, например метода конечных элементов, при-
меняются алгоритмы, основанные на переходе к локальной есте-
ственной системе координат [58].

Введенные условия определения зоны контакта и ее участков
(4.2.16) — (4.2,18) позволяют находить не только моменты начала
контакта частиц деформируемой среды с инструментом, но и, что,
по мнению авторов, представляет больший интерес, моменты вре-
менного нарушения контакта, отхода материала от инструмента
(так называемые зоны отлипания). Как оказалось, последние
существуют во многих реальных процессах, причем учет зон отхо-
да материала от инструмента приводит к существенному измене-
нию результатов расчета напряженно-деформированного состоя-
ния среды.

Достаточно полное представление об исследованиях в области
контактных задач, начиная с классической работы Г. Герца
(1882 г.) и до середины 50-х годов нашего столетия, позволяют
составить монографии [37, 110, 186]. В работах этого периода
постановки контактных задач осуществлялись с введением сущест-
венных допущений (о детерминированности зоны контакта, направ-
лении сил трения, независимости решения от истории нагружения
и др.). Решение рассматриваемых контактных задач осуществля-
лось аналитическими методами (в частности, сведением к инте-
гральным уравнениям). Несмотря на ограниченную область при-
менимости разработанных методов аналитического решения,
в работах данного периода решен ряд имеющих большую теорети-
ческую и практическую значимость задач, получены полезные
формулы, пригодные для инженерных расчетов. Результаты даль-
нейших исследований контактных проблем с использованием ана-
литических методов содержатся в монографии [33]. Дальнейший
прогресс в анализе контактных задач связан с широким исполь-
зованием вариационного подхода и численных методов. Постанов-
кам задач для контактируемых жесткого штампа и деформируе-
мого тела с гладкими поверхностями и сведению задач к вариа-
ционным неравенствам посвящены работы [82, 92, 97]. В работах
[42, 157] вариационный подход используется для рассмотрения
контактных задач с сухим трением для случая соприкосновения
упругих полупространств. В достаточно общей постановке кон-
тактные задачи с трением рассматриваются в работах [53, 93].
В цитируемых работах одним из основных является допущение
о малости перемещений, в силу которого пренебрегается искаже-
нием поверхности контактируемых тел. Направление распреде-
ленных нагрузок на поверхности контакта определяется по отно-
шению к недеформйрованной конфигурации. Кроме того, в задачах
с учетом трения на контактных поверхностях вектор касатель-
ных напряжений предполагается направленным в сторону, про-
тивоположную вектору конечного касательного перемещения.
В работе [98] приведена постановка контактной задачи скорост-
ного типа, в которой, однако, трение не включено.

Сведение контактных задач к вариационным позволило исполь-
зовать достаточно хорошо разработанный аппарат вариационного
исчисления [53, 75, 187] для математического обоснования пробле-
мы (доказательств существования и единственности рассматри-
ваемых контактных задач, а также доказательства сходимости
приближенных решений). После приведения к вариационным нера-
венствам последние заменяются эквивалентными задачами мини-
мизации. Наконец, с использованием тех или иных методов дис-
кретизации (например, метода конечных элементов) исходная
контактная задача приводится к задаче нелинейного программиро-
вания, решение которой осуществляется одним из известных эффек-
тивных методов [9, 139, 175, 181]. Некоторые алгоритмы решения
контактных задач приведены в работах [10, 94, 174].
Глава 5

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

ЗАДАЧ УПРУГОПЛАСТИЧНОСТИ

Возникающие в различных отраслях прикладные задачи упруго-
пластичности с большими пластическими деформациями являют-
ся существенно нелинейными, причем физическая нелинейность
значительно осложняется геометрической нелинейностью. Реше-
ние подобных задач требует использования достаточно эффектив-
ных методов линеаризации нелинейных проблем и решения лине-
аризованных задач. Изложению указанных вопросов и посвящена
настоящая глава. Следует отметить, что выбор метода линеариза-
ции в большинстве случаев субъективен. Последнее, по мнению
авторов, обусловлено двумя обстоятельствами. Во-первых, в су-
ществующих в настоящее время работах по методам линеаризации
во многих случаях отсутствует необходимая информация как по
постановке, так и по реализации численного решения (данные
о материале, используемых сетках, времени счета, быстродействии
ЭВМ и т. д.). Второе, и, пожалуй, главное, заключается в трудно-
стях детальной разработки каждого из методов (что, естественно,
«привязывает» к нему исследователя), в создании методов и при-
емов ускорения сходимости алгоритмов интуитивно, на уровне
искусства. Поэтому когда исследователь сопоставляет два метода,
одному из которых посвящено несколько лет, а второму, взятому
для сравнения,— в лучшем случае несколько месяцев,то вопрос
об эффективности решен однозначно уже априори. В связи с этим
авторы, предлагая здесь разработанную и используемую в течение
ряда лет методику решения задач упругопластичности, не берутся
утверждать ее абсолютное преимущество перед другими.

5.1. Обобщенное решение задачи упругопластичности

Существующий в настоящее время математический аппарат
решения краевых задач, подобных поставленным в гл. 4, не поз-
воляет получить их классическое решение. В связи с этим в данном
разделе рассматривается обобщенное (слабое) решение задачи
упругопластичности для различных постановок, приведенных
выше. Для получения обобщенного решения в механике сплошной
среды широкое распространение получили вариационные принципы
[14, 63, 78, 111, 125, 243, 258 и др.].

Геометрически нелинейные задачи в этом смысле также не
представляют исключения. Обзор вариационных формулировок
геометрически нелинейных! задач содержится в работах [131, 248].
Различные формулировки для инкрементальной теории пластич-
ности приведены в работах [202, 231]. В работах [134, 245, 246J
рассматриваются вариационные формулировки задачи упругопла-
стичности в скоростях. Вариационное уравнение, сформулирован-
ное как в эйлеровой, так и в лагранжевой формулировках, осно-
вано на введении потенциального представления скоростей напря-
жений. В работах содержится также двойственная формулировка,
являющаяся аналогом принципа Рейсснера в линейной теории
упругости. С использованием предположения о существовании
потенциала для яуманновской производной тензора напряжений
Коши в работах [193, 194, 195] формулируются вариационные
уравнения в скоростях для геометрически нелинейных упругопла-
стических проблем, подобные принципам Ху—Вашизу, Хеллин-
гера—Рейсснера и дополнительной энергии в теории упругости.
В указанных работах, а также в статье [233] отдельно рассматри-
вается вопрос о реализации условия несжимаемости. Некоторые
примеры решения геометрически нелинейных упругопластических
задач с использованием вариационного подхода содержатся в ра-
ботах [204, 215, 233, 246 и др.].

Для рассматриваемых в предлагаемой работе задач отсутст-
вуют экстремальные вариационные принципы. Вариационные
уравнения, получаемые из условий стационарности соответствую-
щего вариационного функционала, по существу, аналогичны
уравнениям для обобщенных решений с использованием метода
Галеркина [73, 115, 167, 216], который и был использован в настоя-
щей работе.

Напомним вкратце суть метода Галеркпна [34, 120, 167].
Пусть X, Y — сепарабельные гильбертовы пространства, А : X ->

У — произвольный оператор с областью определения S) (Л) CZ
CZ X, всюду плотной в X, Я (Л) CZ У — область значений. За-
метим, что в качестве X и У в прикладных задачах часто выступа-
ет одно и то же гильбертово пространство, например W}. Пусть
для фиксированного элемента у GE Я (Л) необходимо найти
ж GE ® (Л), удовлетворяющий уравнению Ах = у.

Приближенное решение данного уравнения согласно методу
Галеркина отыскивается следующим образом.' Введем Ф =
=	— счетные множества линейно независи-

мых элементов, полные соответственно в Ж (Л) и Я _(Д).

В силу полноты Ф решение х можно представить в виде линей-
оо

ной комбинации элементов (рг: х— 2 Если потребовать
i=l

ортогональности невязки f = Ах — у ко всем элементам полной
системы {%},

(/,%) = 0,	/ = 1,2,...,

то единственным элементом / в силу полноты Т является нулевой
элемент, f = 0 (здесь 0 — элемент Я (Л)). Если в последнее урав-
нение подставить выражение х в виде линейной комбинации
фг, i = 1, 2, . . ., то приходим к бесконечной системе алгебраи-
ческих уравнений (линейных или нелинейных в зависимости от
•оператора 4). В силу невозможности реализации решения подоб-
ной системы для определения, приближенного решения вводятся
линейные конечномерные подпространства Фп и порождае-
мые соответственно подмножествами элементов {<рг}”=1 и
Приближенное решение в соответствии с методом Галеркина
ищется в виде

= S ®i<Pi
i=l

из условия ортогональности невязки /п = Ахп — у к элементам
{%}}=!• (Лхп — У, ФД = 0, 7 = Г п.

Введем, следуя работе [109], некоторые векторные простран-
ства. Заметим, что в настоящей работе рассматриваются только
функциональные пространства вещественных функций, однако
рассмотрение может быть легко обобщено на пространства ком-
плексных функций. Будем рассматривать вначале постановку
скоростного типа (4.1.27)—(4.1.41); обозначения областей и частей
границ идентичны принятым в гл. 4. Под С00 (й() будем понимать
Vt пространство бесконечно дифференцируемых вектор-функций,
определенных на Введем подпространство

Zi<=(uEO(Q/)|u| t=0}

lsi>

и его замыкание по норме векторного пространства Соболева
'W1 (й‘):

^1 = [И!(^)] г , .

Отметим, что W2 (йг) — гильбертово пространство [109], а II г —
его подпространство (которое можно рассматривать как про-
странство). Обозначим: Z2 = {и е С00 (Qf)}, Л = [Z2]	. Для

скалярных функций подобные пространства обозначим сле-
дующим образом:

Y = {ф е с- (О') I ф I t = 0),	G = [У] г t,

G| =? [С°° (Й1)] ! t .

w2(fi )

При этом Jx> = W* (Qz), G* = W2 (Hf) в случае, если й1 — звезд-
на; Zt CZ Z3, CZ Л, G CZ G}. Далее, потребуем, чтобы граница
S1 области и функции v и О, определенные на Sv и Gj, допускали
продолжение в Й{ соответственно в виде вектор-функции аЕЛ>
и скалярной функции %	G}.

Обобщенным решением задачи (4,1.27)—(4.1.41) будем назы-
вать пару функций {v, О}, v Е Д, v - а Е Ни 0 ЕЕ G2, 0 — % ЕЕ
EE G, удовлетворяющих Vt соотношениям

'j VhT : \& : Vv (o-Vv — o-VvT — VvT-o — Vya)-(-

+ Q (Vv)-o — o-Q (Vv) + (V-v)a]cZQ( = jj h-[t+

4

+ T(V-v) —n.o(n.Vvn)]cZ^+ *j h-[F+ F(V-v)]dQ' —
я*

—	jj VhT : [#0 + Л] dO.‘,	(5.1.1)

jj |g<2 — Vg.(A,V0) — gey©] dQ‘ + jj gjdsl —

£?	J

*2

—	jj ga (© - 0J dS\ = 0	(5.1.2)

4

Vhetfi, VgeG.

В формулировке обобщенного решения (5.1.1)—(5.1.2) пред-
полагается Vt известными конфигурация, напряженное и дефор-
мированное состояния, для определения которых используются
соотношения (4.1.40), (4.1.30), (4.1.41). Как обычно в обобщенном,
решении, ряд уравнений, входящих в постановку задачи, предпо-
лагается выполняющимися точно, остальные — в обобщенном
смысле. Здесь будем полагать выполняющимися точно соотноше-
ния (4.1.28), (4.1.30), (4.1.36)—(4.1.39), условия (4.1.31), (4.1.33)
удовлетворяются за счет выбора класса функций, на котором
ищется решение, уравнения (4.1.27), (4.1.29), (4.1.32), (4.1.34),
(4.1.35) удовлетворяются в обобщенном смысле.

Напомним, что одним из основных преимуществ обобщенного'
решения является понижение порядка входящих в него производ-
ных искомых функций. Как видно из структуры (5.1.1)—(5.1.2),
обобщенное решение рассматриваемой здесь задачи упругопластич-
ности включает производные (обобщенные) по пространственным
переменным порядка не выше первого.

Полагая, что существуют и единственны как обобщенное,
так и классическое решения поставленной задачи упругопластич-
ности (4.1.27)—(4.1.41), установим связь между ними.

Теорема 5.1. Классическое решение задачи (4.1.27)—(4.1.41)
является и ее обобщенным решением.

Доказательство. Пусть функции v и 0 являются
классическим решением данной задачи. Будем рассматривать не-
который произвольный фиксированный момент времени t, поэто-
му в дальнейшем индекс t можно опустить. Вначале остановимся
на соотношении (5.1.1).
Умножаем скалярно соотношения (4.1.27) и (4.1.32) на вектор-
функцию h ЕЕ Я], интегрируем соответственно по Q и Sa и вы-
читаем из первого полученного выражения второе:

jJh-[V-d- V-(v-Vo) + F—v-VF]dQ — $ h-(n-d)dSa4-

□	sa

4~ § h-[(Vv-n)-o— (n-Vv-n)n-o Ч- T] dSa 0.

С учетом эквивалентности (4.1.27) и (4.1.16) последнее соотноше-
ние можно переписать в виде

§ h • [V • d — Vv : Vo 4- F] dQ — h  (n • d) dSa 4-

0	Sa

+ h-[(Vv-n)'(j — (n-Vv-n)n-cr 4- T] dSa = 0.	(5.1.3)

®<7

Преобразуем первый член объемного интеграла:

§ h • [ V • d] dQ = $ [V • (h • d) — (Vh)T : d] dQ = n • (d • h) dSa —

a	a	sa

— \(Vh)T:ddQ.	(5.1.4)

a

Для понижения порядка производных (устранения членов,
содержащих производные тензора Коши по координатам) введем
непосредственно проверяемое соотношение

§ h -(Vv : Vo) dQ = {V- [VvT-o-h] —‘ (Vv- Vh): oT —

— V-[o-h(V-v)] 4- (V-v)oT : Vh 4- (V-o)-h (V-v)JdQ. (5.1.5)

Тогда, используя теорему Гаусса—Остроградского и эквива-
лентность (4.1.27) совместно с (4.1.37) уравнению равновесия
(2.1.26), интеграл от второго члена объемного интеграла (5.1.3)
можно представить в виде

— § [h-(Vv : Va)]dQ = [n-o(V-v) — n-VvT-tf]-hdS 4-

Q	Sa

4- J [(Vv • Vh): oT — (V- v) о ; Vh 4- F-h (V• v)J dQ.	(5.1.6)

a

Подставляя (5.1.4), (5.1.6) в (5.1.3), получаем

h • [n • о (V • v) — (n • Vv • n) n • о 4- T] dSa - 4 h • F dQ —
sa	a

— § VhT : d dQ +	v • Vh): oT dQ — (V • v) (oT : Vh) dQ 4-

a	a	a

4-$[F-h(V-v)jdQ-=O.	(5.1.7)

a
Воспользуемся соотношениями, справедливыми для произволь-
ных тензоров второго ранга А, В, С:

А: В — В : А = Ат : Вт — Вт : Ат,

(А.В):С = (В-С): А = (С.А):В.

Тогда

(V'V)(oT: Vh) = (V>v) (Vh)T: (ат)т = (V • v) (W 0),	(5.1.8)

(Vv-Vh): a=(a-Vv): Vh = VhT: (o-Vv)T =

= VhT: (VvT. 0T) = VhT; (VvT • a),	(5.1.9)

где использована симметрия тензора напряжений Коши.

Используя соотношения (5.1.8), (5.1.9), из (5.1.7) имеем

$ VhT:[a4-(V.v)o — VvT-o]dQ= $ h-[T + f(V.v) —

о	sa

— n-s(n-Vv-n)]d5a + F (V-v)JtZQ.	(5.1.10)

a

Наконец, используя определяющее соотношение (4.1.47), или
эквивалентное соотношение (4.1.28), из (5.1.10) получаем (5.1.1).

Аналогичным образом, умножая (4.1.29) на функцию g ЕЕ G,
интегрируя по объему и вычитая проинтегрированные по 5 про-
изведения (4.1.34), (4.1.35), получаем

§g[V.(W0) + Q — су0] tZQ 4-	[<) — X (n-V0)] dS2 —

о	s,

— $g[a(0 —©оо) 4-Mn.V0)]dS3 = O.	(5.1.11)

s,

Введем вспомогательное соотношение

Jg[V.(XV0)]dQ = J[V.(XgV0) — Vg- (XV0)]dQ.	(5.1.12)

£2	2

Подставляя (5.1.12) в выражение (5.1.11), используя теорему
Гаусса—Остроградского и определение подпространства G, по-
лучаем (5.1.2), что и завершает доказательство теоремы.

Заметим, что входящие в оператор Гамильтона производные по
пространственным переменным понимаются как обобщенные про-
изводные. При этом для функций (v, 0), являющихся классическим
решением (или удовлетворяющих соответствующим требованиям
гладкости), существуют производные в обычном смысле, которые
совпадают с обобщенными.

Для установления эквивалентности обобщенного и классическо-
го решений (в случае существования последнего) сформулируем и
докажем теорему.

Теорема 5.2. При удовлетворении требований на гладкость
обобщенного решения (v^ 0} (5,1.1)—(5.1.2) (v е С1>3, 0 е С1’2)
последнее является также классическим решением задачи (4.1.27)—
(4.1.41).

Доказательство. Напомним, что согласно определе-
нию обобщенного решения необходимо показать, что из (5.1.1) —
(5.1.2) следуют (4.1.27), (4.1.29), (4.1.31)—(4.1.35), все остальные
соотношения поставленной задачи (4.1.27) —(4.1.41) полагаются
выполняющимися точно. Остановимся вначале на уравнении
(5.1.1).

Объединяя интеграл левой части (5.1.1) с последним интегра-
лом правой части и используя (4.1.28), получаем

JJ VhT:[o4~ (V-v)o — VvT-o]dQ = J h-[t + T(V-v) —

Q	So

— n.<T(n-Vv.n)]d5a + Jh.[F4-F(V.v)]dQ.	(5.1.13)

Q

С учетом (5.1.8) и (5.1.5) имеем

$ (V • v) (VhT : о) dQ = $ (V - v) (oT : Vh) dQ = $ {h - (Vv : Vo) —
nob

— V-[VvT-o-h] + (Vv • Vh): от Д- V- [(o-h) (V- v)] —

— (V-o).h(V-v)}dQ.	(5.1.14)

Из соотношений (5.1.4) и (5.1.9) следует:

§ VhT : <з dQ = § h-(n-o) dSa— j) h -(V-o)dQ,
£2	£2

J VhT : (VvT • o) dQ = J (Vv • Vh): a dQ.

Й	Q

(5.1.15)

(5.1.16)

Подставляя (5.1.14) — (5.1.16) в левую часть (5.1.13), после не-
которых преобразований получаем

$ VhT: [ст + (V-v)o — VvT-o] dQ =
й

= § 1: • [n-o — (Vv • n)• о	n-o (V • v)] dS0 -J-

+ $h-[Vv : Vo— V-o — (V-o) (V-v)] dQ.	(5.1.17)

й

Подставляя (5.1.17) в (5.1.13), имеем

§h-[V-o — Vv : Vo + (V-o)(V- v) -f-
Й

+ F + F (V-v)]tZQ — § h -[n-o — (Vv -n)-o n -o(V-v) —
So

- T-T(V-v)+ n.o(ii-Vv-n)]d5g==0.	(5.1.18)


Соотношение (5.1.18) справедливо Vh ЕЕ Н1. Тогда, полагая
h = 0 почти всюду на Sa, получаем, что подынтегральное выра-
жение объемного интеграла равно нулевому вектору в й в смысле
распределений, а при выполнении указанных требований по
гладкости — нулевому вектору в смысле чебышевской метрики.

Обозначая а = V-o -|- F, а = V-v, имеем тогда с учетом
(4.1.15)

daldt + аа = 0.	(5.1.19)

Отсюда получаем

а = аое’“‘.	(5.1.20).

Из формулы (5.1.20) с учетом начального условия (4.1.37) имеем

a = V-o + F = 0 VZs(0, оо),	(5.1.21)

так что в объемном интеграле можно исключить сумму (V-o)-
• (V-v) F (V-v). Таким образом, из (5.1.1) следует (4.1.16)
или эквивалентное ему уравнение (4.1.27).

Теперь в соотношении (5.1.18) объемный интеграл равен нулю.
Полагая вектор-функцию h отличной от нулевой на Sa, анало-
гичным образом доказываем выполнение силовых граничных
условий в скоростях (4.1.32). Напомним, что кинематические
граничные условия (4.1.31) следуют из определения Нг и ограни-
чения на искомые функции v — а ЕЕ

Подобным образом доказывается, что из выражения (5.1.2)
следуют соотношения (4.1.29), (4.1.34), (4.1.35), выполнение гра-
ничного условия (4.1.33) достигает выбором подпространства G.

Решение уравнений (5.1.1) —(5.1.2) доставляет информацию
о скоростях перемещений, напряжений, деформаций, температур
в любой рассматриваемый момент времени. Определение переме-
щений (а следовательно, конфигурации Wt), напряжений, дефор-
маций и поля температур осуществляется интегрированием
с использованием описанной в разд. 5.2 процедуры.

Как отмечено ранее, в -некоторых случаях определенные пре-
имущества имеет формулировка и решение задач упругопластич-
ности в терминах отсчетной конфигурации, постановка которой
приведена в разд. 4.1. Напомним, что здесь рассматривается по-
становка и обобщенное решение только краевой задачи упруго-
пластичности, оставляя в силе обобщенное решение (5.1.2) задачи
теплопроводности.

По аналогии с приведенным выше введем необходимые про-
странства для построения обобщенного решения в терминах от-
счетной конфигурации пространства. Пусть, как и ранее, Q СЕ
Q R3 — ограниченная область, 5 — ее граница, Q = О J 5;
Vz S = J S„. Предположим, что требуется исследовать по-
ведение деформируемой среды на интервале (0, т). Обозначим через
ЗС = Q х (0, т) и дЗС = S X (0, т) цилиндр и боковую поверх-
ность цилиндра в четырехмерном пространстве. Введем простран-
ство С°° бесконечно дифференцируемых по пространственным пе-
ременным вектор-функций u (£г, t) почти всюду на (0, т). Анало-
гично приведенному выше через Zx обозначим подпространство
С°° вектор-функций, удовлетворяющих (4.1.63) почти всюду на
(О, т), а через Нх — замыкание Zx по норме векторного простран-
ства Соболева \V2. При этом полагаем, что в Нх, как и ранее в Нх,
определено скалярное произведение, т. е. Нх можно рассматри-
вать как гильбертово пространство. Норму в Нх будем обозначать
как || • ||^, а скалярное произведение элементов х, у ЕЕ Нх —
как <х, у>.

Наконец, введем гильбертово пространство L2 (0, т; Нх) [109],
скалярное произведение и норма в котором определяются следую-
щим образом Vx, у ge (0, т; //J:

т

(х. У)ь2(0, П Н.) = $ <х (0> У (0>	(5.1.22)

О

=	(S-1.23)

О

Отметим, что все свойства скалярного произведения и нормы
для введенных соотношениями (5.1.22) и (5.1.23) скалярного про-
изведения и нормы в L2 (0, т; Нх) выполняются [36], в частности,
справедливы неравенства треугольника и Коши—Буняковского.

Обобщенным решением задачи (4.1.55)—(4.1.66) будем назы-
вать вектор-функцию v GE А2 (0, т; Нх), удовлетворяющую почти
всюду в 30 уравнениям (4.1.56)—(4.1.62), для которой Vh GE
GEE Ь2 (0, т; Нх) справедливо соотношение

$ $ [(Vr • VhT):	: Й)] dOl dt + $ $ [(Vv • VhT). ft + h • F] dQ dt —

0 fi	0 fi	.

T	T

— $ $ h-Td&adt 4- J $ [(Vr • VhT).	+ d& dt = 0.

*4	о й

(5.1.24)

При этом начальные условия (4.1.65), (4.1.66) предполагаются
выполняющимися; условия (4.1.63) удовлетворяются в силу опре-
деления Нх, причем значения функции на Slv понимается в смысле
следа функции на дЗО. Заметим, что индекс t в обозначениях
частей границ здесь сохраняется: хотя граница 5 остается неиз-
менной, в рассматриваемых задачах в одних и тех же точках
границы S тип граничных условий может меняться.
Аналогично приведенному выше могут быть доказаны утверж-
дения о том, что классическое решение задачи (4.1.55)—(4.1.66)
является ее обобщенным решением, и наоборот — что обобщенное
решение при определенных требованиях гладкости (v ЕЕ С1-3)
является классическим.

Для реализации полученных обобщенных решений может быть
использован, вообще говоря, любой из известных численных мето-
дов. В настоящей работе для этой цели был выбран хорошо заре-
комендовавший себя в линейных и нелинейных задачах механики
сплошных сред метод конечных элементов. Методике решения,
основанной на методе конечных элементов, посвящен следующий
раздел.

5.2. Методика решения краевой задачи
термоупругопластичности

Приведенные в разд. 5.1 уравнения для обобщенных решений крае-
вой задачи термоупругопластичности существенно нелинейны, что
значительно усложняет реализацию этих решений даже с исполь-
зованием современных вычислительных методов и быстродействую-
щих ЭВМ. При этом следует отметить, что решение только одной
задачи исследования напряженно-деформированного состояния
материала в любом технологическом процессе имеет ограниченную
ценность с практической точки зрения. По существу, главной
целью решения прикладных задач механики деформируемого твер-
дого тела в большинстве случаев является оптимизация технологи-
ческих процессов или конструкций, что требует многократного
решения соответствующих прямых задач. В связи со сказанным
важным представляется вопрос о построении достаточно эффектив-
ных вычислительных процедур нахождения обобщенных решений.

Одна из нелинейностей рассматриваемой задачи обусловлена
ее связанностью: в задаче упругопластичности фигурируют тем-
пературные деформации, неупругие деформации являются, вообще
говоря, функционалами не только от истории деформирования, но
и от температурного режима; с другой стороны, в задаче теплопро-
водности конфигурация области, граничные условия, тепловые
источники определяются напряженно-деформированным состоя-
нием исследуемой области.

Для решения связанной задачи используется итерационная
процедура, состоящая в следующем [138]. Весь процесс деформи-
рования разделяется на ряд достаточно малых этапов. На каждом
этапе вначале решается краевая задача теплопроводности с нуле-
выми источниками, конфигурация области, тип граничных усло-
вий определяется на первой итерации тг-го этапа решением задачи
упругопластичности последней итерации (п — 1)-го этапа. Пола-
гая, что зависимость физико-механических характеристик от тем-
пературы имеет вид функций, решается задача упругопластичности
с использованием температурного поля данной итерации, опре-
деляется напряженно-деформированное состояние, тепловые источ-

6 А. А. Поздеев и др.

169
ники, переопределяются граничные условия. Затем вновь решает-
ся задача теплопроводности и т. д. Итерационная процедура на
рассматриваемом этапе деформирования считается завершенной,
если достигнута достаточная близость (в смысле той или иной ме-
трики) результатов решения на двух соседних итерациях.

Таким образом, на каждой итерации краевые задачи теплопро-
водности и упругопластичности рассматриваются, по сути дела,
отдельно. Поэтому остановимся на методах решения каждой из
них в отдельности. Начнем, по мнению авторов, с более сложной—
краевой задачи упругопластичности. Следует отметить, что в на-
стоящее время отсутствуют методы, ориентированные на геометри-
чески нелинейные задачи упругопластичности, поэтому для реше-
ния последних используются методы и алгоритмы, хорошо разра-
ботанные в инфинитезимальной теории пластичности.

Для решения нелинейных задач механики деформируемого
твердого тела обычно используются два подхода. Первый основан
на применении проекционных методов (конечно-разностных, ва-
риационно-разностных и т. д.) непосредственно к сформулирован-
ной нелинейной проблеме [96, 127, 190, 225]. Получаемая в резуль-
тате система нелинейных обыкновенных дифференциальных или
алгебраических уравнений в дальнейшем решается известными
методами вычислительной математики [73, 95]. Во втором, тра-
диционном для механики деформируемого твердого тела подходе
вначале осуществляется линеаризация исходной нелинейной зада-
чи, после чего для решения линеаризованной задачи применяются
аналитические или численные методы. С математической точки
зрения указанные подходы аналогичны друг другу. Здесь будем
рассматривать только прямые методы решения, сводящие исход-
ную задачу к системе алгебраических уравнений.

Существующие в теории пластичности методы линеаризации,
обзоры которых содержатся в работах [4, 58, 62, 99, 131, 138, 158,
164, 192, 201, 217, 244, 256 и др.], можно разделить на две боль-
шие группы. В первой группе процедура решения строится ана-
логично методу Ньютона решения нелинейных алгебраических
уравнений и связана с необходимостью переопределения на каждой
итерации матрицы коэффициентов системы уравнений. К методам
первой группы относятся метод переменной жесткости (или метод,
касательной жесткости) [222, 227, 230, 265], метод переменных
параметров упругости [164].

Ко второй группе относятся методы, основанные на идее мето-
да Ньютона—Канторовича решения нелинейных алгебраических
уравнений. К этой группе относятся такие широко распростра-
ненные в теории пластичности методы, как метод упругих решений
А. А. Ильюшина [20, 21, 64, 76,184], метод начальных напряжений
[219, 266], метод начальных деформаций [4, 17, 18, 164]. При ис-
пользовании прямых методов в сочетании с методами линеаризации
второй группы матрица системы алгебраических уравнений на ите-
рациях каждого шага нагружения не изменяется, что является
основным преимуществом, методов второй группы. Данное обстоя-
тельство позволяет существенно сократить время решения системы
линейных алгебраических уравнений при использовании методов
«типа метода Гаусса, так как для каждого этапа нагружения прямой
ход достаточно сделать лишь один раз. При использовании итера-
ционных методов решения системы алгебраических уравнений это
преимущество теряется. Другим достоинством методов второй
труппы является возможность использования более крупных
{по сравнению с методами первой группы) шагов по нагрузке.
Ъднако это преимущество невозможно реализовать в геометриче-
ски нелинейных связанных задачах, где шаг по нагрузке обычно
лимитируется необходимостью переопределения граничных ус-
ловий и существенной зависимостью коэффициентов уравнений от
температуры. В силу сказанного, а также учитывая собственный
опыт решения прикладных задач упругопластичности, авторы от-
дают предпочтение методам первой группы. Методика решения
задач упругопластичности подробно описана ниже.

Особое место в нелинейной механике деформируемого твердого
тела занимает метод CH-ЭВМ А. А. Ильюшина [65, 69, 70]. Сог-
ласно методу CH-ЭВМ каждой частице материала исследуемой
области вместе с окрестностью, напряженно-деформированное
состояние которой можно считать однородным, ставится в соответ-
ствие совокупность макрообразцов. При решении задачи на
ЭВМ определяющие соотношения записываются в достаточно об-
щей функциональной форме. Весь интервал нагружения разби-
вается на ряд малых этапов. На каждом этапе первая итерация
осуществляется с использованием упрощенных определяющих
соотношений (например, теории упругости или теории малых
упругопластических деформаций).

Определив из решения задачи траекторию нагружения для
каждой частицы (с окрестностью), на машине СН (сложного на-
гружения) на одном из образцов соответствующей каждой частице
серии проводим нагружение по данной программе для установле-
ния конкретного вида функциональной связи напряжений, де-
формаций и т. д. Если траектории деформации, полученные
теоретически и экспериментально, достаточно близки (в смысле
введенной метрики), то принятые на данной итерации определяю-
щие соотношения считаются справедливыми и используются на
следующей итерации. В противном случае на следующей итерации
применяются определяющие соотношения, полученные из опыта
на макрообразце серии, отвечающей данной частице. Процесс
итерирования на данном этапе нагружения завершается по усло-
вию выполнения близости траекторий деформации (и при необхо-
димости других параметров, определяющих состояние материала)
для всех частиц. После этого осуществляется переход к новому
этапу нагружения. Аналогичный процесс решения может быть
построен с использованием кинематической машины СН.

Метод CH-ЭВМ в принципе предоставляет возможность решения
различных достаточно сложных задач механики деформируемого
твердого тела, включая задачи термоупругопластичности. Однако
в настоящее время известны лишь немногочисленные примеры его
применения в теории пластичности [6—8], что обусловлено труд-
ностью реализации метода. В связи с этим большее распростране-
ние получил так называемый теоретический CH-ЭВМ метод (или
метод корректирующего анализа) [72,108]. В методе корректирую-
щего анализа этап экспериментального определения вида функцио-
нальной зависимости между параметрами, описывающими состоя-
ние материала, заменяется выбором из имеющихся в наличии
частных теорий пластичности соответствующей процессу нагру-
жения данной частицы (с окрестностью). Некоторые результаты
применения метода корректирующего анализа и практическая
сходимость метода рассматриваются в работах [24, 26—29, 91].

Наряду с вопросом о выборе эффективного метода линеаризации
немаловажным представляется и выбор метода решения линеари-
зованной задачи. Исходя из поставленной в настоящей работе
конечной цели — решения разнообразных достаточно сложных
прикладных задач термоупругопластичности,— к выбору послед-
него можно предъявить следующие требования: 1) универсаль-
ность; 2) алгоритмичность (т. е. легкость построения алгоритмов
и их реализации на ЭВМ, наличие разработанных стандартных
блоков и подпрограмм и т. д.); 3) эффективность (с точки зрения
затрат времени счета на ЭВМ); 4) существование математического
обоснования (доказательства сходимости метода, оценки ошибок
и т. д.); 5) ясность физической интерпретации результатов. Как
уже отмечалось, в настоящее время отсутствуют аналитические
методы решения задач, аналогичных рассматриваемым в предла-
гаемой работе. Существующие аналитические методы решения
задач теории упругости (см., например, [111, 123, 129, 133]) при-
менимы лишь к ограниченному кругу задач, обычно для областей
канонической формы, что делает их малопригодными для анализа
линеаризованных задач.

Достаточно подробно существующие приближенные методы
решения краевых задач механики деформируемого твердого тела
описаны в монографиях [82, 115, 136 и др.], поэтому здесь содер-
жится лишь краткая справка о сути методов, их достоинствах и
недостатках.

Исходным пунктом приближенного решения краевых задач
является дискретизация континуума, т. е. переход от бесконеч-
ного числа степеней свободы, которым он обладает, к конечному.
С этой целью в бесконечномерном пространстве искомых функций
вводится конечномерное подпространство и в последнем опреде-
ляется элемент наилучшего приближения [34]. В качестве послед-
него обычно выступает проекция [34] искомого решения на вве-
денное конечномерное подпространство, поэтому основанные на
данном подходе методы часто называют проекционными [35].
Разнообразие проекционных методов порождается возможностью
различного выбора критерия близости искомого решения от ко-
нечномерного подпространства приближенных решений.

Одним из наиболее распространенных проекционных методов
является метод взвешенных невязок. Под этим общим названием
объединены [216] пять широко известных проекционных методов:
Галеркина, коллокации, наименьших квадратов, подобластей и
моментов. Пусть исходная краевая задача сведена к операторному
уравнению (см. разд. 5.1)

Ах (Р) - у (Р) = 0,	(5.2.1)

где через Р обозначена совокупность независимых переменных.
В проекционных методах решение задачи ищется в виде

(Р) = arf (Р),	(5.2.2)

где at (j = 1, TV) — искомые неизвестные коэффициенты (или
функции одной из переменных); фг (Р) (г = 1, 7V) — полная сис-
тема известных функций из введенного конечномерного подпрост-
ранства размерности N. При подстановке (5.2.2) в (5.2.1) в силу
приближенности решения появляется невязка г (Р) = Ахх (Р) —
— у (Р), или

Г (Р) = A [W (Р)] - у (Р).	(5.2.3)

Пусть Q — область изменения независимых переменных; фу (Р) —
совокупность линейно независимых функций, называемых взве-
шивающими функциями. Согласно методу взвешенных невязок
требуется, чтобы интегралы от произведений фу (Р) и невязки г(Р)
(так называемые взвешенные невязки Уф; (Р) были равны нулю:

$ ф; (Р) г (Р) dQ — J ф; (Р) {Л [ед* (Р)] - У (Р)}	=0 Уф; (Р).

Й	£2

Последние соотношения представляют собой систему уравне-
ний для определения а{, число уравнений равно числу взвешиваю-
щих функций. Понятно, что число ф; (Р) должно совпадать с ко-
личеством неизвестных коэффициентов, т. е. j = 1, N.

Метод Галеркина рассмотрен в предыдущем разделе. Более
детальное изложение, а также вопросы математического обосно-
вания метода содержатся в работах [73, 115, 120]. Обзор работ по
применению метода Галеркина приведен в работе [32].

В методе коллокации в качестве критерия наилучшего прибли-
жения принимается близость приближенного и точного решений
в конечном числе точек Ру из области изменения независимых
переменных, т. е. требуется точное выполнение уравнения (5.2.3)
в точках Рf.

г (Р/) = А [ед* (Ру)] - у (Р}) = 0, у = 1JV. (5.2.4)

Уравнения (5.2.4) могут быть получены аналогично разрешаю-
щим соотношениям метода Галеркина при выборе в качестве взве-
шивающих функций дельта-функции Дирака: фу = 8 (Р — Ру).

Представление метода наименьших квадратов как частного слу-
чая метода взвешенных невязок представляет некоторые трудно-
сти. В случае, когда а, являются функциями некоторых из неза-
висимых переменных Р, показать это не удается [216]. Если же
аг — константы, то, выбирая взвешивающие функции в виде
фг — dr/ddi, нетрудно установить, что метод взвешенных невязок
аналогичен в этом случае минимизации среднеквадратичных невя-

1 (*

зок Ф =-у \ r2<7Q. Критерием наилучшего приближения в данном
п

случае является норма в Ьг (Q) невязки решения.

В методе подобластей подобным критерием является норма в
L (Q) по отдельным непересекающимся подобластям Q, С_" Q,
N

U Q; = Q. Метод подобластей можно сформулировать как метод
7=1
взвешенных невязок при выборе взвешивающих функций в виде

[1, Ре

=	P^Q;,	7 = 0-

Интересно отметить, что если в методе подобластей аппроксимиро-
вать искомые функции кусочно (т. е. отдельно в каждой из под-
областей), добиваясь их совместности в отдельных точках (уз-
лах) на общих границах замыкания подобластей, то получим
соотношения для определения неизвестных коэффициентов, подоб-
ные конечноэлементным разрешающим уравнениям.

В методе моментов (иначе называемом обобщенным методом
Галеркина, или методом Галеркина—Петрова) в качестве взве-
шивающих функций используются члены любой полной системы
функций. В качестве последней выбираются обычно степенные или
тригонометрические ряды, более подробно этот вопрос рассмат-
ривается в работе [101].

Метод взвешенных невязок занимает в прикладной математике
и механике сплошной среды особое место по широте использова-
ния, универсальности. Однако непосредственное применение раз-
новидностей метода взвешенных невязок при определении реше-
ния в виде (5.2.2) сопряжено с некоторыми трудностями в алго-
ритмизации, интерпретации результатов решения. При этом полу-
чаемая в результате использования того или иного метода система
линейных алгебраических уравнений имеет целиком заполнен-
ную матрицу, что делает метод малоэффективным с точки зрения
затрат времени счета. В то же время метод взвешенных невязок
имеет достаточно полное математическое обоснование, применим к
широкому кругу задач. Кроме того, метод взвешенных невязок
может быть применен непосредственно к уравнениям поставлен-
ной задачи и не требует наличия вариационного аналога задачи,
как при использовании вариационных методов. Поэтому представ-
ляется целесообразным использование метода взвешенных невя-
зок в сочетании с методами локальной аппроксимации решения —
типа методов конечных элементов, сплайн-аппроксимации, конеч-
ных разностей. Подобный подход позволяет, сохраняя достоин-
ства перечисленных методов, избавиться от указанных недостат-
ков.
Весьма важную роль в решении краевых задач играли и игра-
ют вариационные методы [14, 22, 120, 121, 125, 258 и др.]. В ва-
риационном исчислении важнейшим этапом является построение
функционала, уравнениями Эйлера которого являются все или
часть уравнений исходной краевой задачи (в последнем случае
остальные уравнения выполняются точно). При этом на решении
краевой задачи функционал принимает стационарное или экстре-
мальное значение, что позволяет использовать для решения за-
дачи разнообразные методы минимизации функционалов, в част-
ности методы математического программирования. В настоящее
время вариационный подход является, по мнению авторов, пре-
валирующим в механике сплошных сред. Например, сформули-
рованы и доказаны различные вариационные принципы теории
упругости [1, 111, 129, 147, 166 и др.] и теории пластичности
(кроме цитируемых в разд. 5.1 работ, посвященных вариацион-
ным уравнениям для геометрически нелинейных задач пластич-
ности) [63, 74, 78, 125, 144, 203, 238, 240, 254, 255 и др.].

Отметим, что в большинстве работ, посвященных вариацион-
ному подходу к задачам механики сплошной среды, вариационные
уравнения устанавливаются эвристически, с последующей про-
веркой эквивалентности сформулированного принципа исходной
краевой задаче. Для случая положительных и положительно оп-
ределенных операторов С. Г. Михлиным предложен общий метод
построения функционалов [119]. В работах [257, 258] данный под-
ход обобщен на случай линейно-сопряженных задач. Общий под-
ход к определению вариационных функционалов для нелинейных
задач с произвольными операторами в настоящее время неизве-
стен.

Для определения функций (или совокупности функций), до-
ставляющих функционалу стационарное или экстремальное зна-
чение, наряду с методами математического программирования
наибольшее распространение получили методы Ритца и Канто-
ровича. Указанные методы подробно описаны в литературе (см.,
например, [73, 120, 121]), имеют достаточно разработанное ма-
тематическое обоснование. Следует отметить, что указанные выше
недостатки метода взвешенных невязок свойственны также и дан-
ным методам.

К дополнительному преимуществу вариационных формулиро-
вок, равно как метода Галеркина и метода моментов, следует
отнести возможность понижения порядка производных в диффе-
ренциальных операторах краевой задачи, что позволяет снизить
порядок аппроксимации искомых функций (т. е. расширить класс
функций, в котором определяется решение). Вариационную фор-
мулировку, метод Галеркина и метод моментов можно трактовать
как три различных подхода к определению некоторого интеграль-
ного аналога краевой задачи. Для решения полученного уравне-
ния далее может использоваться любой из известных методов
аппроксимации искомых функций и их производных (разностные
методы, метод конечных элементов, сплайн-аппроксимация, раз-
ложение решения в ряд по собственным функциям оператора крае-
вой задачи и т. д.).

Из последних наиболее традиционными являются конечно-
разностные методы решения краевых задач. При применении
непосредственно к уравнениям рассматриваемой краевой задачи
разностные методы представляют собой отдельную группу мето-
дов, при использовании в сочетании, например, с вариационным
аналогом или методом Галеркина их можно рассматривать как
метод аппроксимации решения (в случае сочетания с вариацион-
ной формулировкой конечно-разностные методы называют вари-
ационно-разностными). Подробно конечно-разностные методы
описаны в монографиях [39, 115, 146, 148, 149 и др.]. Основными
достоинствами конечно-разностных методов являются: а) прос-
тота и универсальность; б) ясность физической интерпретации;
в) достаточно строгое математическое обоснование; г) алгоритмич-
ность, возможность использования хорошо разработанного аппа-
рата линейной алгебры. К недостаткам методов следует отнести
трудности, возникающие при аппроксимации граничных условий
в задачах для областей сложной конфигурации, что, вероятно,
является причиной ограниченного применения конечно-разност-
ных методов для решения задач механики деформируемого твер-
дого тела.

В последние два десятилетия чрезвычайно широкое распрост-
ранение в механике сплошной среды получил предложенный
Р. Курантом [206] метод конечных элементов (МКЭ). К настоя-
щему времени теоретические аспекты и вопросы реализации МКЭ
достаточно подробно изложены в многочисленных монографиях
[38, 58, 88, 117, 131, 150, 159, 160 и др.].Метод конечных элемен-
тов обладает всеми достоинствами методов конечных разностей и
лишен присущих последним недостатков. Кроме того, МКЭ об-
ладает в настоящее время весьма мощным программным обеспе-
чением, ориентированным на сложные краевые задачи механики
деформируемого твердого тела; здесь МКЭ трактуется именно
как специфический метод аппроксимации искомого решения ку-
сочно-непрерывными функциями.

Остановимся вкратце на работах, посвященных применению
МКЭ к геометрически нелинейным задачам упругопластичности.
Сопоставлению лагранжевой (отсчетной) и эйлеровой формулиро-
вок посвящены работы [197, 231, 242], где обсуждаются недостат-
ки и преимущества той и другой формулировок, показывается,
что при надлежащем выборе определяющих соотношений оба
подхода приводят к одинаковым результатам. Вопросы реализа-
ции МКЭ в рамках инкрементального подхода с использованием
эйлерова подхода рассматриваются в статьях [208, 242]. Подроб-
ное изложение инкрементальных соотношений МКЭ с примене-
нием лагранжева подхода содержится в работах [217, 222, 227 —
229 и др.]. Вопросы точности и некоторые вычислительные ас-
пекты МКЭ обсуждаются на примерах в статьях [226, 230, 242].
Исследованию напряженно-деформированного состояния раз-
личных конструкций, в особенности пластин и оболочек, с учетом
геометрической нелинейности посвящены работы [43, 211, 224,
232, 262]. Наконец, в работах [210, 249, 260, 262, 264] рассматри-
вается решение технологических задач упругопластичности, отно-
сящихся к обработке металлов давлением. Следует отметить, что
в цитируемых выше работах используются определяющие соотно-
шения, полученные из уравнений теории пластического течения
заменой материальной производной тензора напряжений Коши
на яуманновскую производную.

Перейдем к установлению разрешающих соотношений МКЭ для
определенных в предыдущем разделе обобщенных решений. Для
удобства последующей реализации конечно-элементных соотно-
шений будем использовать индексную форму записи. Для этого
введем некоторые обозначения. Ранее в разд. 4.1 введен тензор

Q(Vv)= £ rZLZZ^(pi.D.pJp'tpi’ .
Lift	J

Определим его в произвольном базисе ег:

Q(Vv) = (ei-Q-ej)eie-;= У [-^^(Pq-D-p^Z^eVl =

If : Vv,

где

Z.i = P " 0; = P& • Cj = Zjj,

• • ?. L <2 ft

С учетом введенных обозначений обобщенное решение (5.1.1) в
компонентной форме (в базисе актуальной конфигурации) пред-
ставимо следующим образом:

$	+ -L(E^V^z	-

й'

-	E,7V^a^ - EikVkvfilJ) + E^^GPiV^ _

—	+ K^V^o1 ЛI cZQ( — h^E^^i dQ1 —

a'

—	hi (T'E^^Vi — dJlhjV}.vlh,{hl)dSta =

Sa

= J hjl dS^ + J	dtf — J V^ (>jO 4- ft'3} d<$.	(5.2.5)

Д	o'

a
Получим соотношения МКЭ для типичного элемента с номе-
ром т (т = 1, М). Следуя известной методике [58] построения
разрешающих конечно-элементных соотношений, компоненты
вектора скорости в элементе могут быть выражены через обобщен-
ные скорости (аП) (t) (a GE А<т) — множество номеров узлов
в элементе т):

&(-) = ХГа(г)((ат) Vie [0, т); К; геЙ1(и). (5.2.6)
т

Обобщенные скорости с использованием (5.2.6) выражаются через
компоненты вектора скорости в узлах (? = 1, 3, a GE 4<т)),
для чего в (5.2.6) вместо текущих координат необходимо подста-
вить координаты узлов и разрешить полученную систему линей-
ных алгебраических уравнений относительно с^\ Тогда

(Г = <ГЧт)3, «£Л'т), к,

т

где — компоненты вектора скорости узла р. Подставляя
последнее соотношение в (5.2.6), имеем

£,Г=<)7'(г)Г)3-	(5-2.7)

где	— так называемая функция формы. За-

метим, что функция формы удовлетворяет известным [58] свой-
ствам: a) (т(з) = 0 при а р; б) N™3 (гр) = 6].

Компоненты градиента вектора скорости можно представить
в виде

М'"’= <?'(')Я’"”, ;,/=О,	(5.2.8)

где n'gf - VUV‘?' (г).

Следуя методу Галеркина, взвешивающие функции выбираем
совпадающими с функциями, аппроксимирующими решение, т. е. Vt

hr(r,t) = X^(r)hP?1(t)-	(5-2.9)

Градиент вектора h аналогично (5.2.8) имеет вид

1 (г) Л?')£?-	(5.2.10)

При этом 7г/т)3, вообще говоря, произвольны; функции со-
ответствующие узлам границы S^, принимаем равными нулю (во
избежании переопределенности системы разрешающих уравнений,
поскольку на S» скорости перемещений известны), поэтому в даль-
нейшем из множеств А<т~> исключаются номера узлов, принадле-
жащих S{. Следует отметить, что Л‘гп'> изменяются в ходе про-
цесса деформирования.

Используя (5.2.7) — (5.2.10) и произвольность	из

(5.2.5) получаем для всего ансамбля конечных элементов, аппрок-
симирующих исследуемую область (в дальнейшем индекс т для
компонент скоростей в узлах можно опустить, так как последние
одинаковы для всех элементов, сходящихся в данном узле):

м

m=l

М

2_ ^E‘lGq}: — E^cfl1 — EqloKi - £«*oij) 4-

т=1 п(™)*

+ Er№qsadri - Er$sjll!8qr + Ri$p	—

м

-[£ J N^FqEMH^pd^m^vl~

m—1 Q(m) t

M

m=i (m)t

ba

M	M

m=i (m)t	271—1 Q(m)t

S(5

M

-JT J кЧ(Ч'@ + >О(Ч

m=l Qiraft

Vi==l, 3, УаеЛ

(5.2.11)

где Л — множество номеров узлов (из которого исключены номе-
ра узлов, принадлежащих Si). Отметим, что суммирование в
(5.2.11) по элементам следует понимать символически: из раз-
личных элементов суммируются члены, относящиеся к одним и
тем же узловым переменным р = 1,3, р ЕЕ А.

От выражения (5.2.11) нетрудно перейти к матричной записи
разрешающих конечно-элементных соотношений, «техника» та-
кого перехода детально описана в имеющейся литературе по
МКЭ (например, [58, 150]). Если обозначить через {и} вектор-
столбец компонент узловых скоростей (обычно принимается, что
номер i-ro члена вектор-столбца, соответствующего rf, опреде-
ляется следующим образом: i=r (р — 1) + Р, где г — размерность
задачи); через [А\], [2Г2], [К3], 1Жг] — матрицы, определенные
соответствующими членами в скобках левой части; через {Р} —
ректор-столбец узловых нагрузок, соответствующих правой части
(5.2.11), разрешающие соотношения МКЭ в матричной форме
примут вид

[[^1] + [^] + Из] + ИЛИ = {Р}-	(5.2.12)
Отметим, что матрица [Ki] подобна матрице жесткости, полу-
чаемой в анализе малых упругопластических деформаций, в част-
ности, она симметрична. Появление матриц [К2], [А3], [А4] обус-
ловлено учетом геометрической нелинейности, данные матрицы не
обладают свойством симметрии. Вследствие этого несимметрична
и суммарная матрица жесткости, что приводит к существенному
увеличению объема потребной памяти ЭВМ.

Остановимся на алгоритме решения нестационарной задачи
упругопластичности, в основу которого положено уравнение
(5.2.12). Предварительным этапом работы алгоритма является
аппроксимация исследуемой области, соответствующей моменту
t = 0 (напомним, что время t выступает здесь в качестве парамет-
ра) и являющейся известной, сеткой конечных элементов. По из-
вестным начальным напряжениям и деформациям (в случае не-
обходимости — и предыстории деформирования) определяются
зоны упругого и пластического деформирования. Весь интервал
нагружения по параметру t разделяется на ряд достаточно малых
этапов (шагов) (i,-i, £г], t = 1, I, t0 = 0. Рассмотрим решение за-
дачи для типичного шага нагружения. Отметим, что краевая за-
дача теплопроводности может быть включена одним из пунктов
алгоритма на каждой итерации линеаризации. Однако, как по-
казывает опыт решения подобных задач, при достаточно малых
шагах нагружения распределение температур и их производных
по времени можно принимать совпадающими с полученными для
конца предыдущего этапа нагружения. Поэтому в дальнейшем
будем считать О и О на рассматриваемом шаге нагружения из-
вестными и неизменными. Алгоритм сразу ориентирован на ис-
пользование ЭВМ, поэтому его описание соответствует блок-схеме
программы.

1.	Итерационный процесс по конфигурации области, являю-
щийся внешним по отношению к итерационным процедурам по
другим видам нелинейностей. На первой итерации конфигурация
области совпадает с конфигурацией, определенной на последней
итерации предыдущего шага нагружения.

2.	Итерационная процедура по типу траектории деформации
(малой или средней кривизны, излом). На первой итерации каж-
дого шага соответствующие зоны определяются по кривизне тра-
ектории предшествующей деформации на длине X, где X — след
запаздывания.

2.1.	Внутренняя итерационная процедура по линеаризации
определяющих соотношений при заданном типе частной теории
пластичности для каждого элемента. Номер итерации обозначим
через р.

2.1.1.	Определение зон упругого и пластического деформиро-
вания по напряженно-деформированному состоянию с предшест-
вующей, (р — 1)-й, итерации; определение упругопластических
характеристик материала для каждого элемента.

2.1.2.	Формирование матрицы жесткости и вектора правых
частей, в частности узловых сил в зоне проскальзывания.
2.1.3.	Задание кинематических граничных условий на кон-
тактных поверхностях, для чего используется известная проце-
дура [58] перехода к локальной системе координат.

2.1.4.	Решение системы линейных алгебраических уравнений
(5.2.12), определение вектор-столбца скоростей перемещений .

2.1.5.	Определение мгновенного напряженно-деформирован-
ного состояния (тензоров деформации скорости D, вихря W, спи-
на (2, коротационных Н*, о* и субстанциональных Н, а произ-
водных тензоров Н и и).

2.1.6.	Интегрирование полей скоростей тензоров напряжений
и деформаций. Для интегрирования может быть использован
любой из методов интегрирования обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений. В настоящей работе для этой цели применялась
схема Крэнка—Николсона [146].

2.1.7.	Проверка сходимости процесса по близости нормы раз-
ности скоростей, напряжений и деформаций на двух соседних
итерациях к нулю, т. е. определяются величины

3	ч

ДР = || v<2?) — yCP-D [| — щах [ 2 (l:?7‘ — Г’;р-1)|5)2] ’ ,
рал j=i

з

дст = || о<р) —	II = шах [ 2 (& ~

r<=£?

3

Дл = || П0) - Н(г,-1) || = max [ 2 (<> - tfg"0)2?2,
TSO* ':-s -1

которые сопоставляются с заданными положительными числами
ev, ео, бд. При выполнении каждого из условий < ег, До < еа,
Дн < е'н осуществляется переход к следующему пункту алгорит-
ма, в противном случае — возврат к п.2.1.1.

2'. Определение кривизны траектории деформации для каж-
дого элемента, разделение области пластического деформирования
на зоны малой и средней кривизны и траектории с изломом.
Проверка сходимости итерационного процесса по кривизне траек-
тории. При удовлетворительной близости кривизны траекторий
деформации, определяемой для двух соседних итераций (по типу
определяющих соотношений), для каждого элемента осуществ-
ляется переход к следующему пункту, иначе — возврат к п.2.1.

1'. С использованием поля перемещений, полученного в п.2 Л .6,
определяется конфигурация области, соответствующая середине
рассматриваемого этапа нагружения, переопределяются зоны
контакта деформируемой среды с обрабатывающим инструментом,
области идеального контакта (прилипания) и проскальзывания.
При достаточной близости координат узлов и совпадении зон
прилипания и проскальзывания на двух последующих итерациях
конфигурация и зоны контакта определяются для конца интер-
вала и осуществляется переход к следующему этапу нагружения.
В противном случае все пункты алгоритма, начиная с п. 2, повто-
ряются. Заметим, что в случае больших деформаций возможно
«вырождение» элементов. В этом случае перед переходом к следую-
щему этапу нагружения производится перестройка конечноэле-
ментной сетки.

Вообще говоря, построение алгоритма можно осуществлять
иными способами, в частности, можно изменять последователь-
ность вложенных друг в друга итерационных процедур. Приве-
денная здесь структура алгоритма получена эмпирически (путем
численных экспериментов) и для рассматриваемого в настоящей
работе круга задач представляется наиболее эффективной (с точки
зрения точности и затрат времени счета). Для реализации алго-
ритма разработан пакет прикладных программ, ориентированный
на ЭВМ типа ЕС-1050—1060. Однако даже на подобных, одних
из наиболее мощных в настоящее время ЭВМ затраты машинного
времени на решение прикладных нестационарных задач оказы-
ваются весьма значительными (ниже время счета будет указано
для реальных задач). Существенно уменьшаются затраты времени
счета при решении стационарных задач.

В случае рассмотрения процессов установившегося движения
деформируемой среды использовался алгоритм, основанный на
совместном эйлерово-лагранжевом подходе, показавший высокую
эффективность при решении стационарных геометрически линей-
ных задач упругопластичности [138, 172, 173]. Основная часть
алгоритма принципиально не отличается от вышеизложенного,
поэтому остановимся только на особенностях. Согласно эйлерово-
лагранжеву подходу пространственная область, через которую
движется деформируемая среда, покрывается сеткой конечных
элементов, причем узлы сетки располагаются на линиях тока
(совпадающих в стационарных процессах с траекториями соот-
ветствующих частиц). Решение задачи ведется в эйлеровых пере-
менных, однако прослеживается движение каждой частицы
(с неизменными Лагранжевыми координатами) через пространствен-
ную (эйлерову) сетку конечных элементов.

Алгоритм решения стационарных задач отличается от опи-
санного выше только организацией итерационной процедуры по
уточнению конфигурации области, этапы решения с п. 2 по п. 2'
включительно сохраняются практически неизменными. На первой
итерации по конфигурации граница исследуемой (пространствен-
ной) области образуется поверхностью обрабатывающего инстру-
мента, известными плоскостями (или осями) симметрии, заданны-
ми поверхностями входа материала в исследуемую область и выхо-
да из нее. Положение свободных поверхностей задается прибли-
женно, исходя из некоторых гипотез (сохранения объема, плоских
сечений и т. д.). Аналогичным образом определяется положение
линий тока на первой итерации. Расположение узлов вдоль ли-
ний тока на первой итерации устанавливается также с использо-
ванием приближенной гипотезы о сохранении объема таким обра-
зом, что за один и тот же промежуток времени каждая материаль-
яая частица, расположенная в узле сетки, переходит в следующий
узел.

При выполнении п. 2—2' прослеживается движение объемов
деформируемой среды, расположенных в области входа в рассмат-
риваемую область, вдоль линий тока. При этом рассматриваемые
материальные объемы проходят через последовательно располо-
женные вдоль соответствующих линий тока пространственные
конечные элементы. При интегрировании полей скоростей пере-
мещений, напряжений и деформаций совершается переход к ин-
тегрированию по параметру, в качестве которого выступает длина
дуги траектории рассматриваемой частицы.

В п. 1' с использованием полученных полей перемещений час-
тиц, совпадающих с узлами конечно-элементной сетки на поверх-
ности входа, уточняются линии тока (траектории частиц) и кор-
ректируется сетка конечных элементов. При этом положение
узлов сетки вдоль линий тока, как отмечено выше, определяется
таким образом, что за выбранный промежуток времени все части-
цы переходят из одного узла в следующий за ним на данной ли-
нии тока. Кроме указанных в п.1' критериев завершения итера-
ционного процесса по конфигурации, в алгоритме для стационар-
ных задач вводится дополнительный: требуется малость нормаль-
ной к линии тока составляющей вектора скорости в каждом узле
сетки. При аппроксимации линий тока ломаными используется
интегральный критерий: малой должна быть величина, равная
интегралу от квадрата нормальной к линии тока составляющей
скорости вдоль каждого участка ломаной.

Алгоритм решения стационарных задач требует для реализа-
ции в 5—10 раз меньших затрат времени счета на ЭВМ, чем алго-
ритм решения подобных нестационарных задач. Отметим, что для
исследования установившихся процессов деформирования может
быть использован алгоритм решения нестационарных задач в
сочетании с процедурой метода установления.

Рассмотрим также конечно-элементные соотношения, основан-
ные на обобщенном решении (5.1.24). Прежде всего несколько
преобразуем выражение для материальной производной Н
(4.1.57). Введем обозначения:

rriij = ki • pj = k; • p’ = ml3 = m^,

rhij = ki«pj = ki-p-'= т'г=т^.	(5.2.13)

С учетом (5.2.13) компоненты H в базисе кг можно представить
следующим образом:

;	/ 2U.U. U. \

HTS =°l rimsjm ln^Dln + \	— x

X	(5.2.14)
При решении реальных задач целесообразно использовать единую
декартовую ортогональную систему координат, в которой компо-
нентная запись (4.1.61) выглядит следующим образом:

к

dv-
i

да'

) kV.

дх3 I

(5.2.15)

В данном случае решение определяется в лагранжевых перемен-
ных (а1, а2, a3, t). Аппроксимируем декартовы компоненты радиус-
вектора частицы в актуальной конфигурации г = л-;к! внутри
типичного конечного элемента:

^M)(R0,Z) = Xr)a(R0)^m)(Z),	(5.2.16)

т

где 7а(0 — обобщенные координаты, являющиеся функциями
времени. Тогда компоненты вектора скорости перемещений
v = пгк' в элементе т определяются как

(Ro, t) = X[m)a (Ro)q(am) (0,	К ,	(5.2.17)

т

где 7am) (0 — обобщенные скорости.

Аналогично изложенному выше, компоненты скорости переме-
щений в элементе можно выразить через компоненты скорости
в узлах:

^m)(R0,?) = ^w(R0) р?(0,	(5.2.18)

Остановимся на определении тензора деформации скорости
(5.2.15). В силу взаимной однозначности соответствия (a1, t) ~
~ (х1, 0 соотношение (5.2.16) разрешимы относительно a1 (i =
= 1,3), при этом а1 являются функциями (х3, t) и координат а\
и жр узлов элемента. Достаточно просто подобные выражения
получаются при часто используемой в упругопластических задачах
линейной (по пространственным переменным) аппроксимации
компонент радиус-вектора частицы и вектора скорости переме-
щения. Тогда можно определить входящие в (5.2.15) выражения
да!Чдхг, причем в последних с использованием (5.2.16) х1 выра-
зим через (a3, t). Введем обозначение:

ТГ* (Ro, 0 = да^/дх\т), i,k = О-	(5.2.19)

С учетом (5.2.19) компоненты тензора деформации скорости
в базисе кг- для элемента т представим в виде

= 4	<R°’О (Ro) +	(R0> 0	(Ко)] 4 (0.

(5.2.20)
где

<(R0) = <W«‘-

(5.2.21)
Принимая во внимание (5.2.20), соотношение (5.2.14) можно*
записать следующим образом:

H^ = X^p(ROtt)vl(t),	(5.2.22)

где

(Ro, 0 = 4	[ F;m)* (Ro, t) (Ro) +

+ ТГ* (Ro, t) R$> (Ro)] + A £ { (iSrln 1) ><
i,j=l J i	i

X	(Ro, t) R<$? (Ro) +

+ T<T)!f (Ro, 0	(Ro)]} .	(5.2.23>

Далее, аналогично скоростям перемещений из (5.2.16) можно
выразить обобщенные координаты (Z) через координаты узлов
х^, так что

xW (Ro, i) = )Р (Ro) 4 (0-	(5.2.24)

Градиент места в актуальной конфигурации с учетом (5.2.24),
(5.2.21) можно записать следующим образом:

VW) =	(Ro) 4 (t) к*к<	(5.2.25)

да(т)

В соответствии с методом Галеркина взвешивающие функции
выбираем совпадающими по виду с аппроксимирующими решение
функциями:

h<m> = (Ro, t) 1? = N^}i (Ro) hf (t) k'.	(5.2.26)

Используя (5.2.21), имеем

a/i<m)

(Vh(^))T = —1— k-'k1' = Rffl (Ro) hf (t) kF.	(5.2.27)

dah

Тогда для всего ансамбля конечных элементов, аппроксими-
рующих область Q, согласно (5.1.24) в силу независимости hf (t).
имеем

т М

$ {S [^п (Ro) хУп (t} (Ro) х

0 т=1 ^(т)

х $qlsr&$p (Ro, 0] ^(т)} vf (t) dt +
т M

+ S НИ (Ro) (Ro) ^(m)}Vp dt=

0 m—L Q<m)
т М

0 ТП=1 g(m)f
bO

т M

-${£ S /?K?;'(Ro)^

О ™=1 Q(m)

т M

— ${Jj $ [^«zi(Ro)^]^(m)}^ Vt = iT3, Увел.

0 m=l fo(m)

(5.2.28)

Разрешающее соотношение МКЭ (5.2.28) также можно записать
в матричной форме:

т	т

+	{P}dt.

о	о

(5.2.29)

Алгоритм решения, основанный на (5.2.29), аналогичен опи-
санному выше (для решения нестационарных задач). В данном
случае в итерационном процессе по уточнению конфигурации пе-
реопределению подлежат координаты узлов х^, а также разделе-
ние границы области Q на части S[, и зону контакта, а в пос-
ледней уточняются области идеального контакта и проскальзыва-
ния. Следует отметить, что трудности, связанные с вырождением
конечно-элементной сетки при формулировке задачи в терминах
актуальной конфигурации, не исчезают и в данном подходе. При
рассмотрении процесса деформирования в терминах отсчетной кон-
фигурации случаю вырождения сетки отвечает неединственность
соответствия (a1, t) ~ (х}, I), в силу чего появляется неопределен-
ность в выражении (5.2.19) и далее. При возникновении подоб-
ной ситуации необходимо вводить в рассмотрение новую отсчет-
ную конфигурацию, в качестве которой используется одна из
предшествующих моменту нарушения единственности актуальных
конфигураций.

Кратко остановимся на краевой задаче теплопроводности. Изло-
женные выше методы решения краевых задач упругопластичности
применимы также к исследованию температурных полей. Суще-
ствующим специфическим вопросам решения задач теплообмена и
теплопроводности посвящены многочисленные монографии и
статьи, обзоры которых периодически публикуются в отечествен-
ных и зарубежных журналах (в частности, в Инженерно-физи-
ческом журнале и Международном журнале тепло- и массообмена).
Поэтому здесь укажем лишь некоторые работы, которые могут
служить основой при постановке проблемы и выборе метода ре-
шения. Аналитические методы решения краевых задач теплопро-
водности рассматриваются в работах [100, ИЗ], вариационные
принципы и методы в теории теплопроводности — в работах [13,
16, 189]. Обзор и изложение разностных методов приведены, нап-
ример, в монографиях [15, 115, 146, 148], метода конечных эле-
ментов^— в работах [58, 138,150]. Вопросы точности и сходимости
МКЭ, устойчивости разностных схем, применяемых для аппрок-
симации производных по времени, анализируются в [40, 159].
В работах [13, 77] приведены методы линеаризации нелинейных
задач теплопроводности.

Используемая в настоящей работе методика решения краевой
задачи теплопроводности (в частности, разрешающие соотношения
МКЭ в матричной форме, вопросы линеаризации нелинейных
уравнений и дискретизации по времени) подробно изложена
в монографии [138]. Поэтому здесь ограничимся рассмотрением
конечно-элементных соотношений в индексной форме, часто яв-
ляющейся более удобной, чем матричная запись, для непосредст-
венного применения при программировании алгоритма.

Пусть распределение температуры в элементе т определя-
ется через температуру узлов 0„т) данного элемента следующим
образом:

0(т) (г, t) = L(m)“(г)e£n)(i), К, т=^М.	(5.2.30)

Тогда градиент температуры для типичного элемента т в базисе-
актуальной конфигурации представим в виде

V0(m) (г, t) =- е’Vi0(m) (г, t) = Н^л (г) 0<f’ (i) е\	К ,	(5.2.31)

где Я'"‘)а =

Аналогичным образом аппроксимируется взвешивающая функ-
ция g и ее градиент Vg:

(г, z) = L(m)p (r)g^n)(0,

^(г,О = ЯС(г)?Г)(0^ К.	(5.2.32)

т

В силу независимости g^H) (t), опуская индекс т у узловых
величин, получаем в соответствии с соотношением (5.1.2) для всей
совокупности конечных элементов

м

{ 2 $ с?А(т)(3 (г) £(w)“ (г)	} 0а (0 4-

m=l

М

+ { 2 $	(г) яГ)а (г) dQ(m)/} 0а (0 +

т=1 ц(т)4

М

+ {2 $ aL(m)₽(r)L(m)“(r)^lm)'}0a(l) =
т=1 (ni)t
ьз

м

= { 2 $	(г) Q (п О +

т=1 Q(m)t
м

+ {S S £(,n)fJ(r)7(r, t)dS[m)t} +
m=l (,n)t
b2

M

+ { 2 $ ^m>?’ (r) ©- (r, t) dSim)t} , V₽ e A.	(5.2.33)

m=l (m)t
b3

Отметим, что в множество А не входят узлы, принадлежащие
части границы Si', суммирование в выражении (5.2.33) по
алиментам следует понимать в упомянутом выше смысле, причем
вклад от поверхностных интегралов отличен от нуля только в
том случае, если часть границы элемента ненулевой меры принад-
лежит соответствующей части границы области (Sj или Sg).

Для реализации методики решения задачи теплопроводности
была разработана программа, входящая составной частью в упо-
мянутый ранее пакет прикладных программ. Некоторые резуль-
таты решения задач с использованием последнего содержатся в
-следующей главе.
Глава 6

РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ
УПРУГОПЛАСТИЧНОСТИ

Достаточно широкий круг прикладных задач теории упругоплас-
тичности, возникающих при анализе работы конструкций и рас-
смотрении различных технологических процессов, относится к
геометрически нелинейным проблемам. В число последних, в част-
ности, входят многочисленные и разнообразные задачи модели-
рования процессов обработки металлов давлением. Однако в
настоящее время число решенных геометрически нелинейных тех-
нологических задач упругопластичности нельзя назвать значи-
тельным. Подобная ситуация, по мнению авторов, в немалой
степени обусловлена практически полным отсутствием необходи-
мых для расчетов экспериментальных данных о физико-механи-
ческих характеристиках материалов при сложном нагружении,
в особенности — данных о векторных свойствах. Исключение
составляют результаты исследований Дж. Ф. Белла [12,198—200] и
др. К сожалению, чрезвычайно обширный материал, содержа-
щийся в цитируемых работах, также не может быть непосредст-
венно использован при решении реальных задач: анализ соот-
ношений, принятых при обработке экспериментальных измерений,
заставляет считать обоснованными существенные критические
замечания, приведенные в работе [241]. Суть последних сводится
к отмеченной некорректности применяемых для описания экспе-
риментальных данных мер напряженного и деформированного сос-
тояний. В частности, используемое Дж. Ф. Беллом эквивалент-
ное напряжение не представляет эквивалентного напряжения ни
для тензора напряжений Коши, ни для тензоров Пиола—Кирх-
гоффа.

В то же время экспериментальные данные, полученные при
одноосных испытаниях (растяжение—сжатие), для различных ма-
териалов в широком диапазоне температур и скоростей деформи-
рования содержатся в многочисленных статьях и справочниках.
Исходя из всего сказанного выше, здесь предполагается справед-
ливость гипотезы единой кривой. Данные по векторным свойствам
полагаются совпадающими с аналогичными характеристиками,
полученными из опытов на сложное нагружение в рамках теории
малых пластических деформаций (с соответствующим переопреде-
лением понятия образа процесса деформирования, см. разд. 3.3).
Это предположение основано на принципе запаздывания вектор-
ных свойств. Скалярные свойства для соответствующих марок
сталей выбирались из работ [86, 116, 140, 155], векторные свойства
содержатся в статьях [3, 23, 47, 50, 89, 132]. Необходимые для
расчетов теплофизические характеристики материалов приведены
в работах [163, 176].

В предлагаемой главе рассматриваются некоторые техноло-
гические процессы обработки металлов давлением, распространен-
ные в практике работы металлургических и машиностроительных
предприятий. При этом основное внимание уделено рассмот-
рению напряженно-деформированного состояния при упругопла-
стическом деформировании, анализ температурных полей, проис-
ходящих при этом фазовых превращений и т. д. включен лишь
в том объеме, который необходим для описания процесса дефор-
мирования. Рассматривается как общий, так и частные случаи
больших пластических деформаций.

6.1. Исследование волнистости
тонкостенных элементов
горячекатаных двутавровых профилей

Одним из наиболее широко применяемых в промышленности про-
катных изделий является двутавровый профиль. Из рассмотрения
условий работы двутавровых балок в различных конструкциях
следует, что для повышения экономичности, снижения материа-
лоемкости профиля необходимо повышать отношение площади
поперечного сечения фланца (полки) к площади поперечного сече-
ния стенки. Однако возможность такого увеличения, как извест-
но [178, 182], лимитируется возникновением в процессе охлажде-
ния профиля после горячей прокатки в стенке балки волны с ве-
личиной максимальных прогибов, превосходящей допустимые
значения. Сказанное выше свидетельствует о важности анализа
причин возникновения волнистости и определения режимов об-
работки, позволяющих избежать появление данного дефекта.
Последнее, в особенности для новых профилей, требует создания
математической модели, с достаточной точностью описывающей
процесс волнообразования в стенке двутавра.

С точки зрения механики деформируемого твердого тела в
данном случае приходим к задаче исследования местной устойчи-
вости и закритического поведения тонкостенных элементов конст-
рукции, подверженной температурным и силовым воздействиям.
В настоящей работе рассматривается потеря устойчивости и за-
критическое деформирование стенки в процессе охлаждения дву-
тавра на холодильнике после горячей прокатки. Принимая во
внимание высокую (850—1200° С) температуру прокатки, можно
пренебречь внутренними напряжениями, возникающими в про-
цессе прокатки, и считать, что в момент, предшествующий прокатке
в чистовой клети, материал исследуемой области находится в
естественном состоянии [138]. При этом в соответствии с известны-
ми положениями [180] неоднородность пластических деформаций
и связанные с ней остаточные напряжения и волнистость стенки
определяется именно характером деформирования на заключи-
тельной стадии процесса прокатки. Поэтому в дальнейшем де-
Рис. 6.1. Поле температур в поперечном
сечении двутавра 60BI в момент окончания
прокатки

JOO 070 ООО

900

8ZJ

OJO
970

ООО

070

040

ООО

OJOa J--'

формационные остаточные напряжения, обусловленные неодно-
родностью пластическх деформаций в процессе прокатки, опреде-
ляются как следствие неравномерных неупругих деформаций при
прокатке в чистовой клети.

Одной из основных причин возникновения волнистости стен-
ки при охлаждении двутавра на холодильнике является неодно-
родность температурного поля в момент окончания прокатки.
Определение температурного поля исследуемой области, соответ-
ствующего моменту окончания прокатки и являющегося началь-
ным распределением температуры для рассмотрения процесса
охлаждения балки на холодильнике, требует решения краевой
задачи теплопроводности для интервала времени, охватывающего
весь технологический цикл прокатки профиля. Исходными дан-
ными для краевой задачи теплопроводности, решение которой
описывает температурное поле двутавровых профилей в процессе
прокатки, являются: начальная форма, размеры, температура
заготовки, режим обжатий (количество проходов в рабочих вал-
ках прокатных клетей и величины деформации различных эле-
ментов профиля), размеры и форма рабочих валков (калибровка),
скоростной режим прокатки и время пауз между проходами (пос-
тановка задачи теплопроводности осуществлена в гл. 4, ее обоб-
щенное решение — в гл. 5). Методика решения и. сопоставление
результатов теоретического решения с данными промышленных
экспериментов содержатся в работе [138]. На рис. 6.1 приведены
изотермы для поперечного сечения двутавра в момент окончания
прокатки в чистовой клети. Очевидно, что максимальное значение
температура достигает в центре переходной (от стенки к фланцу)
области, минимум достигается в центре стенки и кромках фланцев.
Как показано в предшествующих исследованиях авторов [138],
подобное начальное распределение температуры при охлаждении
профиля до температуры окружающей среды приводит к возникно-
вению в стенке существенных сжимающих продольных напряжений.

Как показывают экспериментальные данные *, форма обра-
зующейся при охлаждении двутавра волны с достаточной точно-

* Экспериментальные исследования волнистости и остаточных напряжений,
результаты которых использованы в данном разделе, подготовлены и про-
ведены сотрудниками Нижне-Тагильского металлургического комбината
им. В. И. Ленина Е. Г. Зудовым, А. А. Киричковым, 10. П. Петренко для
профилей, прокатываемых на универсальном балочном стане НТМК.
Рис. 6.2. Исследуемая область

стью может быть описана произ-
ведением гармонических функ-
ций, причем по ширине стен-
ки реализуется одна полуволна,
длина волны в продольном на-
правлении зависит от конкрет-
ного профиля и в дальнейшем
считается известной. Поэтому в
качестве исследуемой области
выбирается участок балки дли-
ной Ъ (46 — длина волны в про-
дольном направлении), причем
в силу симметрии рассматри-
вается 1/2 поперечного сечения
балки (рис. 6.2).

Отметим, что рассматривае-
мая задача относится к частному

(однако широко распространенному) случаю геометрически нели-
нейных проблем: малые деформации — большие перемещения.
В случае малых деформаций, как показывают оценки, в краевой
задаче теплопроводности, сформулированной для описания про-
цесса охлаждения балки на холодильнике, можно пренебречь
тепловыми источниками от пластической деформации. Следова-
тельно, задача теплопроводности может быть решена независимо
от задачи упругопластичности. Таким образом, для исследования
процесса волнообразования приходим к необходимости решения
пространственной квазисвязанной задачи упругопластичности,
которое может быть получено с использованием описанного в
разд. 5.2 алгоритма.

Однако прямое решение подобной задачи даже при применении
достаточно эффективных численных методов и современных быст-
родействующих ЭВМ (типа ЕС-1050) сопряжено с чрезвычайно
большими затратами машинного времени. В связи с этим был раз-
работан алгоритм [48], позволяющий свести данную пространст-
венную задачу к чередующейся последовательности задач мень-
шей размерности. В основу алгоритма положены следующие
физически оправданные и экспериментально подтвержденные гипо-
тезы. Во-первых, нормальные и касательные (на площадках, пер-
пендикуля'рных нормали к срединной поверхности) компоненты
тензора напряжений Коши в стенке пренебрежимо малы по срав-
нению с другими компонентами. Во-вторых, массивные фланцы
имеют значительную изгибную и крутильную жесткость, в силу
чего появление волны в стенке приводит к незначительному изме-
нению формы фланцев. С учетом сказанного выше двутавровый
профиль можно представить совокупностью стенки, моделируемой
пластиной, и массивных фланцев, находящихся в условиях обоб-
щенного плоскодеформированного состояния. Методика*решения
каждой из подзадач основана на алгоритмах, описанных в пред-
Рис. 6.3

Аппроксимация области
конечными элементами

шествующей главе. При исследовании НДС стенки последняя
представлялась несколькими слоями (по толщине) плоских треу-
гольных элементов, а фланцы аппроксимировались стержневыми
элементами треугольного поперечного сечения (рис. 6.3).

Каждая из указанных подзадач рассматривается отдельно,
сопряжение подзадач осуществляется через граничные условия.
Используя упомянутые выше экспериментальные данные о форме
стенки при волнообразовании и гипотезу об обобщенном плоско-
деформированном состоянии фланцев, граничные условия для плас-
тины можно записать следующим образом:

du3 = 0,	92и3/9^2 = 0, cZua = du2, d (бцп,) = О,

г е $1

du3 = 0, du3ldxt = 0, dui = du-i, du., = (x2/b) du2,

r^S'l	(6.1.1)

где S2 = {Q П (r | x2 = b, 0 < xi < a)}, S’i = {Q П (г I xi =
= a, 0 x2 &)}, Q — замыкание исследуемой области. Гра-
ничные условия на двух других кромках пластины ({Q (г | х2 =
= 0, 0 'P Xi а)}, {Пр (г | Xi = 0, 0 -Д х2 Д Ь)}) определяются
из условий симметрии, боковые поверхности пластины свободны
от нагрузок. Для определения смещений сторон пластины строит-
ся итерационная процедура, основанная на условиях самоуравно-
вешенности внутренних напряжений:

О22Й52+ G22dS2 = 0,	(6.1.2)

=	(6.1.3)

sl'
где S2 — поперечное сечение фланца. Разрешающие конечно-
элементные соотношения, используемые для анализа НДС флан-
цев, аналогичны приведенным в работе [138]. Рассматриваемая
задача является нестационарной, в качестве начальных исполь-
зуются условия, вытекающие из предположения о естественном
состоянии материала перед прокаткой в чистовой клети. Для оп-
ределения напряженно-деформированного состояния в момент
окончания прокатки в чистовой клети применяется инженерная
методика, основанная на МКЭ с использованием стержневых ко-
нечных элементов [138]. Найденные с ее помощью напряжения и
деформации входят в число исходных данных каждой из подзадач.

Остановимся на задаче исследования потери устойчивости и
закритического деформирования пластины. В классической пос-
тановке, восходящей к работам Эйлера и Лагранжа, задачи ус-
тойчивости рассматриваются как бифуркационные [31, 52, 165].
В таком подходе определяются значения параметров рассматри-
ваемой механической системы, при которых возможно ветвление
решения операторного уравнения соответствующей краевой за-
дачи; с математической точки зрения исследование устойчивости
сводится к проблеме собственных значений [161]. В данной пос-
тановке решен широкий круг задач, имеющих большое теорети-
ческое и практическое значение. Однако бифуркационный под-
ход не позволяет определить закритическое поведение механи-
ческой системы. В связи с этим в последние два десятилетия боль-
шее распространение получили методы и постановки исследования
устойчивости, в которых последняя рассматривается как процесс
развития некоторых достаточно малых возмущений состояния рав-
новесия (или стационарного движения) механической системы [30,
31, 54, 60, 71]. Исследование устойчивости равновесия конструк-
ций в этом случае сводится к решению геометрически нелинейных
задач теорий упругости, пластичности, пластин и оболочек.
В настоящей работе процесс образования волны в стенке также
рассматривается с позиций развития начальных несовершенств
стенки-пластины. Отметим, что в реальных конструкциях началь-
ные несовершенства (отклонения формы, размеров, свойств и т.д.
от проектируемых) всегда имеют место.

В качестве начальных несовершенств здесь использовались от-
клонения формы пластины от плоской, т. е. задавались некоторые
начальные прогибы срединной поверхности пластины w° = и^-
Численным экспериментом, проведенным для упругих гибких
прямоугольных пластин, показано, что при максимальных зна-
чениях iv°, не превосходящих 0,05 h (h — толщина пластины),
форма начальных прогибов не влияет на величину критических
параметров (например, нагрузки) и форму изогнутой срединной
поверхности при закритическом деформировании. Отметим, что
под критическими здесь понимаются значения параметров, ха-
рактеризующих процесс нагружения, при которых наблюдает-
ся резкое возрастание прогибов. В силу последнего обстоятельства
/7///////

Рис. 6.4

Схема к исследованию
выпучивания пластины

вид функции 7 может быть выбран произвольным; в данной
работе форма начальных прогибов принималась совпадающей с
определенной экспериментально формой прогибов при закрити-
ческом деформировании.

Для оценки точности алгоритма, выбора конечно-элементной
сетки для пластины был решен ряд тестовых примеров. Для срав-
нения соответствия результатов определения критических нагру-
зок с использованием принятого в работе подхода и на основе
бифуркационного подхода рассмотрена задача определения кри-
тической нагрузки шарнирно опертой упругой пластины, сжимае-
мой равномерно распределенной нагрузкой. Расчетная схема и
конечно-элементная аппроксимация исследуемой области пред-
ставлены на рис. 6.4.

На рис. 6.5 приведены результаты расчета прогибов в центре
пластины; приняты следующие исходные данные: а = 600 мм,
b = 600 мм, h = 5 мм, Е — 2-105 МПа, v — 0,3. Критическое
значение сжимающих напряжений, определенное с использованием
бифуркационного подхода, составляет р* = 49.2 МПа [165]. На
рис. 6.5 линия 1 соответствует максимальному начальному про-
гибу = ir° L=o~ 0,03/1, линия 2 — прогибу w“ax= iv° L=o=
|хг-=0	|х2—о

= 0,005/i. Критическим значениям нагрузки в решении геомет-
рически нелинейной задачи соответствует неограниченный рост
прогибов, причем при u>°/h <1 0.05 величина нагрузки, при которой
наблюдается резкое возрастание прогибов, не зависит от и>°.
Отметим, что рассматриваемый в работе подход к задаче устой-
чивости, сводящий последнюю к решению геометрически нели-
нейной задачи, позволяет, в отличие от бифуркационной постанов-
ки, определять критические нагрузки при произвольном нагру-
жении. Так, на рис. 6.6 приведены зависимости максимального
прогиба пластины от сжимающего усилия при приложении равно-
мерно распределенной (7) и распределенной по параболическому
Рис. 6.5

Зависимость максимального прогиба
упругой пластины от величины рав-
номерно распределенной нагрузки

Рис. 6.6

Максимальные прогибы пластины

Сжимающее усилие при равномерной (7) и
параболической (2) распределенных на-
грузках

Рис. 6.7

Результаты решения тестовой зада-
чи теории гибких пластин

1 — аналитическое решение [30]; 2 — МКЭ

закону с максимумом при = О (4?) нагрузках. Как видно из
рисунка, во втором случае критическая нагрузка существенно
снижается (по сравнению с равномерным нагружением), что
объясняется преимущественным ростом сжимающих напряжений,
а следовательно, и прогибов, в центре пластины.

На рис. 6.7 приведено сопоставление результатов аналитичес-
кого [30] и численного (с использованием МКЭ) решений задачи
теории гибких пластин. Приняты следующие параметры: а =
= 600 мм, b — 600 мм, h 5 мм, Е = 2-105 МПа, v = 0,3.
В приведенных тестовых примерах конечно-элементная сетка со-
держит 32 элемента с 25 узлами; время счета для двух предше-
ствующих задач составляет 3 мин на ЭВМ ЕС-1022, для послед-
ней (рис. 6.7) — 30 мин на ЕС-1040.

Для оценки точности алгоритма при анализе поведения кон-
струкций за пределом упругости проведено сопоставление с экс-
периментальными данными [61]. Рассматривалась квадратная
пластина из сплава Д16Т. В силу неоднородности деформаций по
толщине пластины и следующей из этого необходимости исполь-
зования различных определяющих соотношений в данном случае
пластина разбивалась по толщине на пять слоев. Каждый из сло-
ев аппроксимировался совокупностью 32 элементов с 25 узлами.
Для данной сетки расхождение численных и экспериментальных
результатов в значении предельной нагрузки не превышает 10%;
время счета на ЭВМ ЕС-1040 составляет 40 мин. Таким образом,
приведенные выше результаты решения тестовых задач свидетель-
ствуют о приемлемой точности алгоритма.

Перейдем к рассмотрению результатов решения реальной за-
дачи исследования деформирования в процессе остывания на хо-
лодильнике двутавровой балки 60Б1. Номинальные размеры го-
тового профиля (см. рис. 6.2) следующие: Н = 600 мм, В = 230 мм,
t — 14 мм, d = 10.2 мм; материал — сталь СтЗпс, характеристи-
ки материала приведены в справочниках [86, 137, 163, 176].
Время решения на ЭВМ ЕС-1040 одного варианта задачи тепло-
проводности не превышает 4 мин, задачи упругопластичности —
25—40 мин.

На рис. 6.8 представлены кривые изменения разности темпе-
ратур (а), продольных напряжений (б) в характерных точках
(точка 1 расположена на вогнутой стороне) поперечного сечения
одиночно охлаждаемого двутавра 60Б1, прокатываемого по суще-
ствующей на НТМК технологии. На рис. 6.8, в приведен график
изменения максимального прогиба стенки для рассматриваемого
случая. Немонотонный характер изменения (Т2 — 7\) и (Т2 — Т3),
а вследствие этого — внутренних напряжений связан с происхо-
дящими при охлаждении структурными превращениями в стали
[138], причем в силу неоднородности температурного поля в раз-
личных областях профиля структурные превращения осуществля-
ются в разные моменты времени. Интенсивный рост прогибов на-
блюдается непосредственно после выхода балки из последней
клети, что связано с наличием сжимающих продольных напря-
жений в стенке, возникающих при прокатке в чистовой клети
(в данном случае отношение вытяжки стенки к вытяжке полки
составляет 1,029). В интервале структурных превращений в пе-
реходной (от стенки к фланцам) области в результате резкого уве-
личения объема происходит некоторое уменьшение прогибов.
При последующем охлаждении наблюдается монотонный рост
прогибов. Приведенные на графиках результаты эксперименталь-
ных измерений остаточных напряжений и прогибов, проведенных
в промышленных условиях, находятся в удовлетворительном со-
ответствии с данными теоретического анализа.

На рис. 6.9 приведены соответствующие приведенному выше
процессу эпюры остаточных продольных напряжений. Видно,
что на вогнутой стороне стенки сжимающие остаточные напря-
жения достигают значительной величины, на выпуклой стороне
остаточные напряжения значительно меньше (по модулю). Для
сравнения на рис. 6,10 приведены эпюры продольных остаточных
напряжений, полученные в предположении отсутствия волно-
образования по стенке (2) и для случая появления волны (7)
при одинаковой вытяжке стенки и полки, причем во втором слу-
чае эпюры остаточных напряжений в стенке получены осреднени-
Рис. 6.8

Рис. 6.8

Изменение разности тем-
ператур (а), продольных
напряжений (б) и про-
гибов (в) характерных
точек двутавра 60BI
в процессе охлаждения

Сплошная линия — расчет;
крестики — эксперимент
t

Рис. 6.9

Продольные остаточные
напряжения

1,2 — на вогнутой и на
выпуклой сторонах стенки
соответственно;

сплошная линия — расчет;
крестики — эксперимент

Рис. 6.10. Продольные
остаточные напряжения
1 — при появлении выпучи-
вания стенки;
2 — с плоской стенкой

Рис. 6.9

0’2,МПа
ем по толщине. Как следует из результатов, процесс волнообразо-
вания приводит к снижению уровня остаточных напряжений.

Для оценки влияния отношения вытяжек стенки и полки были
рассмотрены различные режимы прокатки в чистовой клети.
Так, при отношении вытяжек 0,977 (т. е. при больших вытяжках
фланцев по сравнению со стенкой) конечный прогиб снизился до
н“ах — g gg ММ) продольные остаточные напряжения на вогну-
той стороне стенки уменьшились по модулю до 98,1 МПа, оста-
ваясь сжимающими. Были проведены также расчеты для установле-
ния влияния температурного поля в момент выхода балки из чи-
стовой клети на распределение остаточных напряжений и проги-
бы. Как оказалось, изменение средней по сечению температуры при
сохранении характера и численных значений неоднородности рас-
пределения температуры приводит к незначительному изменению
прогибов и остаточных напряжений. В то же время существенное
влияние на последние оказывает именно неоднородность темпе-
ратурного поля: например, уменьшение разности Т2 — Т\ от
90 до 65° С приводит к снижению прогиба Мз"ач на 20%, остаточ-
ных продольных напряжений в центре стенки — на 25%. Таким
образом, снижения величины прогибов стенки можно достигнуть
за счет уменьшения неоднородности температурного поля в момент
окончания прокатки и отношения вытяжек стенки и полки.

В заключение следует отметить, что используемая здесь ме-
тодика без существенных изменений может быть применена для
анализа локальной потери устойчивости стенки двутавров, вхо-
дящих составными элементами в конструкции.

6.2. Анализ процесса прямого выдавливания

Рассматриваемый в данном разделе процесс является одним из
наиболее распространенных в машиностроении способов прес-
сования. К основным достоинствам исследуемого процесса от-
носятся следующие [154, 162]:

увеличение пластичности металлов и сплавов вследствие ре-
ализующейся схемы всестороннего сжатия, что позволяет дефор-
мировать без разрушения с большими степенями вытяжки не толь-
ко малоуглеродистые, но и труднодеформируемые металлы и
сплавы;

возможность получения достаточно точных деталей сложной
конфигурации за один или небольшое число переходов;

повышение прочностных характеристик деталей (по сравнению
с обработкой резанием);

высокий коэффициент использования металла.

Процессы выдавливания стальных профилей осуществляются
в холодном (температура заготовки 20° С), полугорячем (~800° С)
и горячем (~Г150° С) состояниях. Холодное выдавливание позво-
ляет изготавливать детали с высокой точностью, качественной
поверхностью и повышенными прочностными характеристиками.
Однако для осуществления деформирования в холодном состоя
нии необходимо создание высоких давлений, что ведет к быстрому
износу инструмента и требует наличия мощного оборудования.
Поэтому чаще применяется полугорячее выдавливание, при ко-
тором усилие прессования (по сравнению с деформированием
в холодном состоянии) снижается в 1,5—2 раза.

Наряду с указанными выше общими достоинствами полуго-
рячее выдавливание обладает рядом недостатков: значительным
остается износ инструмента за счет действия высоких темпера-
тур и давлений; существенна неравномерность свойств по сечению
детали; в процессе прессования и последующем охлаждении воз-
можно возникновение трещин на поверхности и внутри детали
£143]. Экспериментальное определение технологических режимов,
позволяющих избежать или уменьшить эффект указанных недо-
статков, сопряжено со значительными материальными и времен-
ными затратами. Сказанное выше свидетельствует о необходимости
создания математической модели, с достаточной степенью аде-
кватности описывающей деформирование металла в рассматри-
ваемых процессах.

В данном разделе рассмотрим некоторые результаты исследо-
вания процесса полугорячего прямого выдавливания сплошной
цилиндрической детали, полученные с применением описанной
в разд. 5.2 методики. Схема процесса приведена на рис. 6.11.
На большей части поверхности заготовки в течение процесса де-
формирования реализуются контактные граничные условия.
Выдавливание осуществляется с постоянной скоростью движения
пуансона vn — 15 мм/с. На части поверхности металла, не кон-
тактирующей с инструментом, заданы тривиальные силовые гра-
ничные условия. Начальная температура заготовки постоянна
и равна 03 — 800° С, материал исходной заготовки предполага-
ется находящимся в естественном состоянии, материал заго-
товки — Ст 45. Исследовались процессы выдавливания через мат-
рицы с полууглами: 1) а = 30° и 2) а = 60°. В первом случае
начальный диаметр и длина заготовки составляли d0 = 39 мм
и Lo — 58.5, конечный диаметр dr = 25, во втором — d0 = 39 мм,
Lo — 53.2 мм, = 25 мм. С целью выявления эффектов, обус-
ловленных учетом геометрической нелинейности, данную задачу
рассмотрим в изотермической постановке. При решении исполь-
зовалась сетка треугольных конечных элементов с линейной ап-
проксимацией скоростей перемещений; число элементов М =
= 250, число узлов N = 156.

На рис. 6.12 и 6.13 приведена динамика искажения сетки ко-
нечных элементов соответственно в процессах 1) а = 30° и 2) а =
— 60°. Искажение сетки начинается с переднего конца заготовки,
причем скорость движения внутренних слоев металла (прилегаю-
щих к оси симметрии исследуемой области) превышает скорость
внешних слоев. Данное обстоятельство связано с геометрически-
ми особенностями процесса деформирования и с действием сил
трения на поверхности контакта. Подобный характер деформи-
Рис. 6.11

Схема процесса прямого
выдавливания

1	— заготовка;

2	— пуансон;

3	— контейнер;

4	— матрица

Рис. 6.12

Изменение координатной
сетки (а = 30°)

Рис. 6.13

Изменение координатной
сетки (а = 60°)

с

Рис. 6.14

Изолинии радиальной (а)
и продольной (б) скоростей
перемещения, мм/с

а = 30°; t = 0,62 с

1 А. А. Поздеев и др.
рования приводит к утяжке материала в области оси симметрии
и образованию пресс-утяжины, наблюдаемой в реальных про-
цессах [143, 162]. Утяжка центральных слоев заготовки приводит
к нарушению контакта металла с пуансоном в данной области.
Указанный характер деформирования согласуется с приведенны-
ми на рис. 6.14, 6.15 полями скоростей перемещений. Из рисун-
ков видно, что радиальное перемещение частиц в основном проис-
ходит в геометрическом очаге деформации, максимальные (по
модулю) радиальные скорости имеют частицы на боковой поверх-
ности заготовки. Смена направления радиальной скорости после
выхода частиц из конической части матрицы связана с разгрузкой
данной области. Продольные скорости частиц большей части ме-
талла, находящихся в контейнере, практически одинаковы и рав-
ны скорости движения пуансона. В геометрическом очаге деформа-
ции наибольшую продольную скорость имеют частицы, располо-
женные в окрестности оси симметрии. Описанный характер те-
чения характерен для любого момента процесса выдавливания и
хорошо согласуется с известными экспериментальными данными
[143].

В рассматриваемом процессе деформирования наблюдаются зна-
чительные повороты материальных волокон. На рис. 6.16, 6.17
приведены изолинии модуля вектора угловой скорости со, ассо-
циированного с тензором вихря W (вектор ft) направлен перпен-
дикулярно плоскости рисунка; вращение по ходу часовой стрел-
ки считается положительным). Большие (по модулю) значения
вектора угловой скорости соответствуют областям резкого изме-
нения траекторий движения частиц (области входа материала
в коническую и калибрующую части матрицы). Отметим, что с уве-
личением угла конусности матрицы повороты материальных во-
локон возрастают.

Рис. 6.18 иллюстрирует процесс образования и развития зоны
пластического деформирования. В начальный период выдавли-
вания (?	0,03 с) пластическая область возникает только на пе-

реднем торце заготовки. С увеличением усилия выдавливания воз-
растают нормальные и касательные напряжения на контактной
поверхности заготовки с контейнером, что приводит к появлению
пластических зон в приконтактных областях. К моменту времени
t — 0,06 с вся примыкающая к поверхности заготовки часть ма-
териала деформируется пластически; упругие деформации сохра-
няются только в центральной части заготовки, где материал на-
ходится в состоянии всестороннего сжатия. В дальнейшем и эти
зоны материала переходят в пластическое состояние. В момент
выхода деформируемого материала из калибрующей части мат-
рицы происходит разгрузка и материал в области, примыкающей
к переднему торцу, вновь переходит в упругое состояние. В даль-
шейшем указанная область металла движется как жесткое целое
с возникшими в ней остаточными напряжениями и деформациями.

На рис. 6.19, 6.20 представлены поля деформаций и напряже-
ний (компоненты тензоров деформации Генки Н и напряжений
Коши о). Оба поля характеризуются значительной неравномер-
ностью распределения деформаций и напряжений по сечению
заготовки. Наиболее интенсивно процесс формоизменения проте-
кает в области геометрического очага деформации.

Как уже отмечено выше, значительная часть металла в процес-
се выдавливания находится в состоянии всестороннего сжатия.
В частности, для материала, находящегося в контейнере, ха-
рактерны значительные сжимающие продольные напряжения.
Однако при входе в коническую часть матрицы в области, приле-
жащей к оси симметрии заготовки, возникают большие растяги-
вающие напряжения, что обусловлено влиянием свободной поверх-
Рис. 6.17 Распределение угловой ско-
рости со, с-1 (а = 60°)

Рис. 6.18. Изменение зон упругого и
пластического (заштриховано) дефор-
мирования (а = 30°)

Рис. 6.19. Поле деформаций

t = 0,78 с; а — 30°; а — б — Наз; в — Hts
Рис. 6.20. Поле напряжений

t = 0,78 с; а = 30°; а — а1(; б — б33; в — <Ьз

Рис. 6.21. Степень выработки ресурса пластичности (а = 30°)
пости (переднего торца заготовки). На некоторой стадии процесса
наблюдается резкое падение сжимающих напряжений в цент-
ральной части заднего торца заготовки. Данный эффект связан
с образованием пресс-утяжины, приводящей к нарушению кон-
такта центральной части заднего торца с пуансоном.

На рис. 6.21 приведены изолинии степени выработки ресурса
пластичности [162]. Приведенные результаты свидетельствуют
о том, что в наименее благоприятных (с точки зрения разрушения
металла) условиях находятся центральные слои заготовки. За-
метим, что в некоторых случаях, особенно при больших углах ко-
нусности, возможно разрушение металла в областях, расположен-
ных вблизи оси симметрии и на поверхности заготовки [143].
Зоны возможного разрушения металла представлены на рис. 6.22.

Изменение контактных нормальных напряжений по боковой
поверхности заготовки представлено на рис. 6.23, 6.24. Из гра-
фиков видно, что по длине контейнера (от пуансона к матрице)
наблюдается некоторое снижение нормальных контактных напря-
жений. В области входа в коническую и калибрующую части ма-
трицы наблюдается резкое увеличение сжимающих напряжений.
Подобный характер распределения нормальных контактных на-
пряжений косвенно подтверждается наблюдаемым на практике
преимущественным износом матрицы в указанных зонах. На
этих же рисунках приведено сопоставление решений с использо-
ванием геометрически линейных соотношений и уравнений теории
пластичности для случая больших пластических деформаций.
Из рисунков видно, что учет геометрической нелинейности при-
водит к снижению и некоторому изменению характера нормаль-
ных контактных напряжений. Заметим, что отличие напряже-
ний в геометрически линейном и нелинейном вариантах обуслов-
лено в основном разницей девиаторов напряжений, поскольку
связь шаровых тензоров напряжений и деформаций практически
одинакова в обоих вариантах. С учетом высокого уровня среднего
напряжения сжатия, характерного для данного процесса, разли-
чие в результатах решения задачи, полученных с использованием
геометрически линейных и нелинейных соотношений, следует,
по мнению авторов, признать существенным.

На рис. 6.25—6.28 приведены траектории деформации и на-
пряжений, построенные по компонентам тензоров II и о в не-
подвижном базисе системы отсчета и в базисе вращающейся сис-
темы (см. разд. 3.3); расположение частиц указано на р гс. 6.11.
Как видно из графиков, траектории деформаций и напряжений
в неподвижном и вращающемся базисах могут отличаться даже
качественно. При этом общей тенденцией является снижение кри-
визны траектории деформации при переходе к подвижному ба-
зису.

Зоны деформирования по траекториям различной кривизны
приведены на рис. 6.29. Видно, что с развитием процесса дефор-
мирования большая часть исследуемой области деформируется
по траекториям малой кривизны. Последнее позволяет для ре-
Рис. 6.22. Зоны возможного разрушения (заштрихованы)

МПН

Рис. 6.23. Изменение нормаль-
ного напряжения по поверхно-
сти контакта заготовки с кон-
тейнером и матрицей

а = 30°; 1 — нелинейный;	1

2 — линейный варианты теории
пластичности

Рис. 6.24. Нормальные контактные напряжения

а = 60°; 1 — нелинейный; 2 — линейный варианты теории пластичности
Рис. 6.25. Траектория деформации частицы А

а = 30°; 1 — неподвижный; 2 — вращающийся базисы

Рис. 6.26. Траектория напряжений частицы А
а = 30е; 1 — неподвижный; 2 — вращающийся базисы

Рис. 6.27. Траектория деформации частицы В
а — 30°; 1 — неподвижный; 2 — вращающийся базисы
Рис. 6.28. Траектория напряжений частицы В

а = 30°; 1 — неподвижный; 2 — вращающийся базисы

Рис, 6.29

Изменение областей де-
формирования по траек-
тории
м — малой;

с — средней кривизны;

и — с изломами;

у — зон упругости (а = 30°)

шения стационарных задач подобного типа использовать теорию
малой кривизны. При этом характер изменения напряженно-
деформированного состояния, определяемого с использованием
теории малой кривизны и метода корректирующего анализа,
примерно одинаков. Так на рис. 6.30, 6.31 представлены эпюры
контактных напряжений, полученные на основе теоретического
CH-ЭВМ метода и с использованием только соотношений теории
малой кривизны (в обоих случаях применялись геометрически
Рис. 6.30

Нормальные напряже-
ния на' поверхности кон-
такта с контейнером
и матрицей

а = 30°; ( = 0,00 с:

1	— теория малой кривизны;

2	— метод корректирующего
анализа

Рис. 6.31

Касательные контактные
напряжения (обозначе-
ния аналогичны приня-
тым на рис. 6.30)

Рис. 6.32. Схема установки электровысадки

1 — заготовка; 2 — подвижная; 3 — неподвижная матрицы; 4 — пуансон

нелинейные соотношения). Количественно указанные резуль-
таты существенно отличаются, однако качественное соответст-
вие результатов следует признать удовлетворительным. Удов-
летворительным является также соответствие кинематических
и интегральных характеристик процесса.

Следует учитывать и то обстоятельство, что для решения рас-
сматриваемой задачи на ЭВМ ЕС-1055 с использованием метода
корректирующего анализа требуется 12—15 ч машинного вре-
мени, в то время как для решения по теории малой кривизны
потребное время сокращается до 1 — 1,5 ч. Поэтому для прове-
дения предварительного анализа, установления основных зако-
номерностей течения металла, определения интегральных
характеристик анализируемых процессов можно использовать гео-
метрически нелинейный вариант теории малой кривизны. Изу-
чение локальных характеристик (в частности, остаточных на-
пряжений) требует применения методики, описанной в гл. 5,
в полном объеме.
6.3. Напряженно-деформированное состояние металла
в процессе электровысадки

Процесс электровысадки является одним из наиболее прогрес-
сивных методов обработки металлов давлением, позволяющим
при одновременном снижении материальных и энергетических
затрат и времени обработки получать детали сложной конфигу-
рации с высокой степенью точности. Технологический процесс
включает в себя два основных этапа. На первом производится
разогрев заготовки за счет подводимого через торцы заготовки
переменного тока; после нагрева до необходимой температуры
ток отключается, В течение второго этапа осуществляется не-
посредственно прессование (высадка) нагретой заготовки до при-
обретения ею заданной конфигурации, определяемой формой
матрицы.

Несмотря на простоту схемы процесса, его практической реа-
лизации обычно предшествует длительный период эмпириче-
ского подбора режимов обработки. В первую очередь данное об-
стоятельство обусловлено необходимостью создания температур-
ного поля заготовки, удовлетворяющего следующим требова-
ниям. Нагрев должен осуществляться лишь в той части заго-
товки, которая подвергается деформированию, недеформируе-
мая часть заготовки во избежание появления значительных пла-
стических деформаций и заклинивания заготовки в матрице
должна оставаться холодной. При этом температура нагрева
должна быть достаточной для полного заполнения калибра; в то
же время перегрев деформируемой части заготовки недопустим,
поскольку в этом случае в процессе последующего охлаждения
за счет значительных остаточных напряжений происходит рас-
трескивание металла. Сказанное выше свидетельствует о необ-
ходимости разработки математической модели процесса. При
этом определение необходимого нагрева заготовки требует ре-
шения задачи упругопластичности, относящейся к общему слу-
чаю задач с большими пластическими деформациями (здесь боль-
шими являются и деформации, и градиенты перемещений). Затем
для установления параметров, определяющих процесс электро-
нагрева (напряжение, сила тока и др.) и позволяющих создать
требуемое температурное поле, необходимо решение краевой
задачи теплопроводности с объемными тепловыми источниками.
Следует отметить, что определение тепловых источников пред-
ставляет собой достаточно сложную задачу электродинамики
сплошных сред, рассмотрение которой выходит за рамки настоя-
щей работы.

Принципиальная схема установки электровысадки приве-
дена на рис. 6.32. Неподвижная матрица 3 подвергается охлаж-
дению водой. При поджатии заготовки пуансоном 4 в процессе
электронагрева часть Л'3 боковой поверхности заготовки нахо-
дится в контакте с поверхностью матрицы 3, в силу чего на 6'3
осуществляется интенсивный теплоотвод. Данное обстоятельст-
Рис. 6.33. Изменение температуры при электронагреве заготовки

во является одним из решающих факторов локального разогре-
ва части заготовки, не входящей в контакт с неподвижной мат-
рицей.

На рис. 6.33 приведены изотермы для заготовки диаметром
8 мм, длиной 76 мм (материал — Ст 45) в процессе злектрона-
грева и последующей паузы (перед высадкой) в течение £охл = 0,5 с.
В начальный период электронагрева температура возрастает
равномерно по всей длине заготовки, однако за счет более интен-
сивной теплоотдачи через поверхность 53 (по сравнению с теп-
лообменом с воздухом на части 52) температура части заготовки,
не контактирующей с матрицей, оказывается выше, чем в осталь-
ном объеме. Повышение температуры приводит к росту интен-
сивности объемных тепловых источников, что в свою очередь
приводит к дальнейшему возрастанию температуры в области,
примыкающей к пуансону. Таким образом, происходит как бы
i =амъ

Рис. 6.34. Упругие и пластические (заштрихованы) зоны

процесс самовозбуждаемой генерации тепловой энергии в зоне,
подвергаемой в дальнейшем деформированию.

На втором этапе осуществляется высадка нагретой части за-
готовки. Исследование процесса на этом этапе связано с необхо-
димостью решения нестационарной связанной задачи термоупру-
гопластичности с учетом геометрической нелинейности. С доста-
точной для технологических задач точностью в этом случае можно
пренебречь незначительными напряжениями и деформациями,
возникающими в процессе электронагрева. Тогда начальные
Рис. 6.35.

Траектория деформации час-
тицы А

1	— неподвижный;

2	— подвижный базисы

33

агя

- о. /88

-aszs

-z 07j

azot ff.ezff /.azo jz

Рис. 6.36.

Траектория деформации час-
тицы В

1	— неподвижный;

2	— подвижный базисы
Рис. 6.37.
Траектория деформации час-
тицы С

Рис. 6.38.

1 — неподвижный;

2 — вращающийся базисы

Изолинии радиальной ско-
рости I?!, мм/с

условия можно считать тривиальными. Граничные условия на
*^з» (рис. 6.32) на протяжении всего процесса деформиро-
вания носят контактный характер, причем здесь использовался
закон трения Кулона. На части S2 поверхности заготовки на на-
чальной стадии процесса реализуются тривиальные силовые гра-
ничные условия и условия теплообмена с окружающей средой.
При решении задачи упругопластичности на каждом шаге на-
гружения определяется текущая конфигурация и переопреде-


Рис. 6.39. Изолинии продольной ско-
рости v3, мм/с

Рис. 6.40. Изолинии угловой скоро-
сти со, с-1

ляются зоны контакта, прилипания и проскальзывания. На опре-
деленной стадии процесса происходит касание частиц, образую-
щих поверхность 52, с неподвижной и подвижной матрицами и
пуансоном. В заключительной стадии процесса практически вся
поверхность детали находится в контакте с обрабатывающим
инструментом.

Остановимся на некоторых результатах исследования НДС
металла в процессе электровысадки. Следует отметить малоизу-
ченность рассматриваемого процесса, в связи с чем здесь стави-
лась задача определения основных закономерностей течения ме-
талла, влияния на характер деформирования температурного
поля после электронагрева, формы матрицы и т. д. Для решения
подобной задачи необходимо проведение значительного числа
численных экспериментов, что в свою очередь требует исполь-
зования достаточно эффективной (с точки зрения времени счета
на ЭВМ) модели. После проведения предварительных расчетов
была признана возможность применения геометрически нели-
нейного варианта теории малой кривизны. При расчетах исполь-
зовалась сетка треугольных в меридиональном сечении эле-
ментов с линейной аппроксимацией скоростей перемещений по
элементу, число элементов М ~ 288, число узлов N = 175. Время
счета одного варианта на ЭВМ ЕС-1045 составляет 1,7—2,2 ч.

На рис. 6.34 представлена динамика изменения зон упругого
и пластического деформирования. На начальной стадии процесса
в пластическое состояние переходит имеющая высокую темпе-
ратуру часть заготовки, расположенная между неподвижной
матрицей и пуансоном. По мере развития процесса деформиро-
вания пластическая область распространяется по всему объему
заготовки, что приводит к подтверждаемому экспериментом не-
которому увеличению диаметра стержневой части заготовки.
Отметим, что для данного процесса характерно появление зон
затрудненной деформации и разгрузки. Достаточно сложный
характер деформирования находит отражение и в представлен-
ных на рис. 6.35—6.37 траекториях деформации различных час-
тиц (расположение частиц указано на рис. 6.34).

Как видно из приведенных на рис. 6.38—6.39 полей скоростей
перемещений, течение металла имеет ярко выраженный локаль-
ный характер: наибольшие по модулю скорости и их градиенты
наблюдаются в части заготовки, прилегающей к пуансону. При
этом можно выделить три основных этапа деформирования, су-
щественно отличающиеся друг от друга с точки зрения кинема-
тики. На первом этапе деформирования до момента касания ме-
талла заготовки с торцевой поверхностью неподвижной матрицы
(рис. 6.38—6.39, t = 0.38 с, t = 0.68 с) наблюдается плавное
изменение компонент вектора скорости по области, при этом
радиальные скорости незначительны. Второй этап — от момента
касания металла с неподвижной матрицей до касания с цилинд-
рической поверхностью подвижной матрицы (рис. 6.38—6.39,
t = 0.98 с) характеризуется резким возрастанием радиальной
скорости и уменьшением до нуля продольной скорости в области
касания. На третьем этапе происходит заполнение металлом
полости подвижной матрицы (t = 1,43 с). На этом этапе радиаль-
ные скорости значительны у внутренних! частиц металла, в зоне
контакта с подвижной матрицей значения радиальной скорости
снижаются до нуля. Для продольной скорости на этой стадии
процесса характерны два момента: 1) появление области, где
частицы имеют отрицательную продольную составляющую ско-
рости вследствие изгиба высаживаемой части заготовки; 2) воз-
растание по сравнению с предыдущими этапами продольных
скоростей в стержневой части заготовки. Характер изменения
величины вектора угловой скорости <в, ассоциированного с тен-
зором вихря W, иллюстрируется рис. 6.40 (вращение по ходу
часовой стрелки считается положительным). Нетрудно видеть,
что на начальной стадии процесса происходит сжатие заготовки


i=ajdz

Рис. 6.41. Компонента ЯП тензора
деформации Генки

Рис. 6.42. Компонента Я22 тензора
Генки

Рис. 6.43. Компонента Н33 тензора
Генки

Рис. 6.44. Компонента Я13 тензора
Генки


Рис. 6.45. Компонента оп тензора
напряжений Коши, МПа

Рис. 6. 6. Компонента сг33 тензора
Коши, МПа

Рис. 6.47. Компонента о13 тензора Коши, МПа
Рис. 6.48. Зоны возможного разру-
шения (заштрихованы)

вдоль оси, материальные волок-
на практически не поворачива-
ются. В дальнейшем материаль-
ные волокна приобретают значи-
тельные угловые скорости враще-
ния, что является дополнитель-
ным свидетельством необходи-
мости учета поворота частиц в
исследуемом процессе.

Полученное в результате ре-
шения распределение компонент
тензора деформации Генки Н
(рис. 6.41—6.44) согласуется с
описанным выше характером
течения металла. Отметим, что
в центральной части заготовки,
примыкающей к поверхности

контакта с пуансоном, на протя-
жении всегопроцессадеформиро-
вания существует область затрудненной деформации. Для данной
области характерно напряженное состояние всестороннего сжа-
тия (рис. 6.45—6.47), Последнее обусловлено реализующимися
в центральной части поверхности контакта заготовки с инстру-
ментом условиями прилипания (существование зоны прилипа-
ния находит экспериментальное подтверждение).

Для оценки наиболее опасных (с точки зрения разрушения)
зон для каждой частицы определялся также ресурс пластичности
[162]. Область возможного разрушения, определяемая по ука-
занному критерию, приведена на рис. 6.48. Отметим, что на прак-
тике при незначительных отклонениях технологического про-

цесса от регламентируемого соответствующими техническими
условиями (например, недогрев заготовки) именно в этой обла-
сти наблюдается появление макротрещин.

Следует заметить, что экспериментальные исследования про-
цесса электровысадки представляют значительные трудности,
обусловленные наличием высоких температур и давлений, ма-
лыми размерами изготавливаемых деталей и т. д. Поэтому сопо-
ставление с экспериментальными данными проведено по кон-
фигурации поверхности заготовки для нескольких моментов вре-
мени. Полученные результаты позволяют считать соответствие
теоретических и экспериментальных данных удовлетвори-
тельным.

В заключение авторы выражают надежду, что предлагаемая
работа, хотя и не решает всех вопросов нелинейной теории пла-
стичности, тем не менее окажется полезной для специалистов
в данной области.
ЛИТЕРАТУРА

1.	Абовский Н. П., Андреев Н. П., Деруга А. П. Вариационные прин-
ципы теории упругости и теории оболочек. М.: Наука, 1978. 288 с.

2.	Амензаде Ю. А. Теория упругости. М.: Высш, шк., 1971. 288 с.

3.	Андреев Л. С. Экспериментальное исследование пластического дефор-
мирования при двухзвенных траекториях нагружения,— Изв. АН
СССР. МТТ, 1971, № 4, с. 143-149.

4.	Аргирис Дж., Шарпф Д. Методы упругопластического анализа.— Ме-
ханика, 1972, № 4 (134), с. 107-139.

5.	Астарита Дж., МарруччиДж. Основы гидромеханики неньютоновских
жидкостей. М.: Мир, 1978. 309 с.

6. Бабамурадов К. Ш. Некоторые вопросы решения задач пластичности
при сложном нагружении.— В кн.: Численные методы решения задач
теории упругости и пластичности: Материалы VI Всесоюз. конф., Таш-
кент, 1979. Новосибирск, 1980, с. 14—24.

7.	Бабамурадов К. Ш. Некоторые вопросы решения краевых задач плас-
тичности при сложных многопараметрических нагружениях.— В кн.:
Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1984,
№ 73, с. 3—15.

8.	Бабамурадов К. III., Дудура Н. И., Убайдиллаев А. У. Применение
аппроксимационного метода CH-ЭВМ для решения упругопластических
задач при сложном нагружении.— В кн.: Вопросы вычислительной и
прикладной математики. Ташкент, 1981, № 63, с. 69—80.

9.	Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алго-
ритмы. М.: Мир, 1982. 583 с.

10.	Баничук Н. В., Картвелишвили В. М., Черноусъко Ф. Л. Численное
решение осесимметричной задачи о вдавливании штампа в упругоплас-
тическую среду — Изв. АН СССР. МТТ, 1972, № 1, с. 50—57.

11.	Баш Ю. М., Васин Р. А., Веге К. Э. Об учете деформационной анизо-
тропии в теории течения. — В кн.: Вопросы теории пластичности. М.:
Изд-во АН СССР, 1961, с. 83-91.

12.	Белл Дж. Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твер-
дых тел. Ч. II. Конечные деформации. М.: Наука, 1984. 432 с.

13.	Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы нестационарной теплопроводности.
М.: Высш, шк., 1978. 328 с.

14.	Бердичевский В. Л. Вариационные принципы механики сплошной сре-
ды. М.: Наука, 1983. 448 с.

15.	Берковский Б. М., Ноготов Е. Ф. Разностные методы исследования
задач теплообмена. Минск: Наука и техника, 1976. 144 с.

16.	Био М. Вариационные принципы в теории теплообмена. М.: Энергия,
1975. 208 с.

17.	Биргер И. А. Метод дополнительных деформаций в задачах теории
пластичности.— Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение,
1963, № 1, с. 47—56.

18.	Биргер И. А. Общие алгоритмы решения задач теорий упругости, плас-
тичности и ползучести.— В кн.: Успехи механики деформируемых'сред.
М.: Наука, 1975, с. 51 — 73.

19.	Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. М.: Мир,
1964. 518 с.

20.	Быков Д. Л. О некоторых методах решения задач теории пластично-
сти.— В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 1975, вып. 4,
с. 119—139.

21.	Быков Д. Л., Шачнев В. А. Об одном обобщении метода упругих реше-
ний.— Прикл. математика и механика, 1969, т. 33, № 2, с. 290—298.

22.	Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов.
М.: Наука, 1972. 416 с.
23.	Васин Р. А. Некоторые вопросы связи напряжений и деформаций при
сложном нагружении.— В кн.: Упругость и неупругость. М.: Изд-во
МГУ, 1971, вып. 1, с. 59-126.

24.	Васин Р. А ., Давранов Ю. Об исследовании сходимости метода СН-ЭВМ
в теоретическом эксперименте.— В кн.: Численные методы решения
задач теории упругости и пластичности: Материалы VII Всесоюз. конф.
(Миасс, 1981). Новосибирск, 1982, с. 299—304.

25.	Васин Р. А., Ибрагимов А. Б. О виде матрицы деформационной ани-
зотропии,— Докл. АН АзССР, 1965, т. 21, № 9, с. 8—11.

26.	Васин Р. А., Рябов А. А., Столяров Н. II. Исследование сложного
нагружения пластин и оболочек на основе теории двухзвенных процес-
сов,— В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности: Методы
решения задач упругости и пластичности. Горький, 1984, с. 86—91.

27.	Васин Р. А., Столяров Н. Н. О применении метода СН-ЭВМ к задачам
расчета напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек.—
Прикл. механика, Киев, 1984, т. 20, № 8, с. 68—73.

28.	Васин Р. А., Столяров Н. Н., Рябов А. А. Двухпараметрическое нагру-
жение гибких пластин и оболочек в упругопластической области.—
Прикл. механика, Киев, 1985, т. 21, № 1, с. 117—119.

29.	Васин Р. А., Широв Р. И. Применение метода СН-ЭВМ к решению крае-
вой задачи при простом нагружении,— В кн.: Вопросы вычислительной
и прикладной математики. Ташкент, 1983, № 70, с. 130—135.

30.	Волъмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956.
420 с.

31.	Волъмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967.
984 с.

32.	Ворович И. И. Метод Бубнова — Галеркина, его развитие и роль в
прикладной математике.— В кн.: Успехи механики деформируемых
сред. М.: Наука, 1975, с. 121—133.

33.	Ворович И. И., Александров В. М., Бабешко В. А. Неклассические сме-
шанные задачи теории упругости. М.: Наука, 1974, 455 с.

34.	By лих Б. 3. Введение в функциональный анализ. 2-е изд. М.: Наука,
1967. 416 с.

35.	Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений. М.: Наука, 1971. 248 с.

36.	Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравне-
ния и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.
336 с.

37.	Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат,
1953. 264 с.

38.	Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.

39.	Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наска, 1973.
400 с.

40.	Големшток Г. М., Константинов В. И. Исследование некоторых неяв-
ных схем решения нестационарных задач диффузии и теплопроводности
методом конечных элементов.— В кн,: Прикладные проблемы прочности
и пластичности. Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1983, вып. 25, с. 60—69.

41.	Гольденблат И. И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Нау-
ка, 1969. 336 с.

42.	Гольдштейн Р. В., Спектор А. А. Вариационный метод исследования
пространственных смешанных задач о плоском разрезе в упругой среде
при наличии проскальзывания и смещения.— Прикл. математика и ме-
ханика, 1983, т. 47, № 2, с. 276—285.

43.	Горлач Б. А., Орлов Н. Н. Исследование поведения цилиндрической в
начальном состоянии оболочки при конечных осесимметричных дефор-
мациях.— В кн.: Вопросы расчета прочности конструкций летательных
аппаратов. Казань, 1982, с. 25—31.

44.	Горовой В. А., Асатурян А. III. Теория пластичности пористых сред
с конечными деформациями.— Докл. АН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и
техн, науки, 1981, № 5, с. 39—42.

45.	Грин А. Гипоупругость и пластичность.— Механика: Сб. перев. иностр,
статей, 1956, № 4 (38), с. 109—123.
46.	Грин А.. Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная
механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

47.	Давранов Ю. Об экспериментальном исследовании соотношений между
напряжениями и деформациями для траекторий деформации в виде двух-
звенных ломаных.— В кн.: Вопросы вычислительной и прикладной ма-
тематики. Ташкент, 1981, № 63, с. 81—94.

48.	Давыдов М. Г., Зудов Е. Г., Трусов П. В. и др. Устойчивость тонкостен-
ных элементов при охлаждении горячекатаных профилей.— Изв. вузов.
Черн, металлургия, 1984, № 6, с. 49—53.

49.	Дао Зуй Бик. Модификация соотношений упругопластических процес-
сов средней кривизны.— Вести. МГУ. Сер. 1. Математика, механика,
1981, № 5, с. 103—106,

50.	Дао Зуй Бик. О гипотезе локальной определенности в теории пластич-
ности.— Вести. МГУ. Сер. 1. Математика, механика, 1965, № 2,
с. 67—75.

51.	Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. 95 с.

52.	Доннелл Л. Г. Балки, пластины, оболочки. М.: Наука, 1982. 568 с.

53.	ДювоГ., Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. М.: Наука,
1980. 364 с.

54.	Евстратов А. А. Устойчивость прямоугольной пластинки при сложном
напряженном состоянии.— Строит, механика и расчет сооружений,
1970, № 5, с. 49-52.

55.	Еремин И. И., Астафьев Н. Н. Введение в теорию линейного и выпук-
лого программирования. М.: Наука, 1976. 192 с.

56.	Жермен П. Курс механики сплошных сред: Общая теория. М.: Высш,
шк., 1983. 400 с.

57.	Жуков А. М. Поведение материалов при разгрузке и повторной нагруз-
ке.— Инж. жури. МТТ, 1961, т. 1, № 1, с. 124—133.

58.	Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975.
542 с.

59.	Зигель Р., Хауэлл Дж. Теплообмен излучением. М.: Мир, 1975. 936 с.

60.	Зубчанинов В. Г. О современных проблемах неупругой устойчивости.—
В кн.: Устойчивость в механике деформируемого твердого тела.: Мате-
риалы Всесоюз. симпоз. Калинин, 4—7 септ. 1981. Калинин, 1981
с. 12—60.

61.	Зубчанинов В. Г. Сложное нагружение в пластинках при выпучивании
за пределом упругости,— В кн.: Тр. VIII Всесоюз. конф, по теории
оболочек и пластин. М.: Наука, 1973, с. 130—133.

62.	Зуданс 3. Исследование упруго-пластических деформаций сосудов
давления методом конечных элементов. Ч. 1.— В кн.: Тр. Амер, об-ва
инж.-мех. Сер. В. Конструирование и технология машиностроения,
1970, № 2, с. 33—43.

63.	Ивлев Д.Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического
тела. М.: Наука, 1971. 232 с.

64.	Ильюшин А. А. Пластичность. Ч. 1. Упругопластические деформации.
М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 376 с.

65.	Ильюшин А. А. Пластичность: Основы общей математической теории.
М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.

66.	Ильюшин А. А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1978. 287 с.

67.	Ильюшин А. Л. О связи между напряжениями и малыми деформациями
в механике сплошных сред.— Прикл. математика и механика, 1954,
т. 18, вып. 6, с. 641—666.

68.	Ильюшин А. А., Поспелов И. Н. О методе последовательных прибли-
жений в задаче неустановившейся ползучести.— Инж. журн. МТТ,
1964, т. 4, № 4, с. 697—704.

69.	Ильюшин А. А. Метод CH-ЭВМ в теории пластичности.— В кн.: Про-
блемы прикладной математики и механики. М.: Наука, 1971, с. 166—
178.

70.	Ильюшин А. А. Об одной модели, поясняющей аппроксимационный
метод CH-ЭВМ в теории пластичности.— В кн.: Упругость и неупру-
гость. М.: Изд-во МГУ, 1971, вып. 1, с. 52—58.
71.	Ильюшин А. АЗубчанинов В. Г. Пластичность и устойчивость.— Вкн.:
Механика деформированного твердого тела. Тула: Изд-во Тул. поли-
техи. ин-та, 1983, с. 8—21.

72.	Ильюшин А. А., Ленский В. С. О соотношениях и методах современной
теории пластичности.— В кн.: Успехи механики деформируемых сред.

М.: Наука, 1975, с. 240—255.

73.	Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего ана-
лиза. М.; Л.: Физматгиз, 1962. 708 с.

74.	Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

75.	Киндерлерер Д., Стампаккья Г. Введение в вариационные неравенства
и их приложения. М.: Мир, 1983. 256 с.

76.	Клюшников В. Д. Метод упругих решений в теории пластического тече-
ния.— Журн. прикл. механ. и техн, физики, 1965, № 1, с. 133—135.

77.	Коадоба Л. А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности.
М.: Наука, 1975. 228 с.

78.	Койтер В. Т. Общие теоремы теории упругопластических сред. М.:
Изд-во иностр, лит., 1961. 80 с.

79.	Ковалев С. И., Корягин Н. И., Ширко И. В. Напряжения и деформации
при плоской прокатке. М.: Металлургия, 1982. 256 с.

80.	Коларов Д., Балтов А., Бончева И. Механика пластических сред. М.:
Мир, 1979. 302 с.

81.	Колмогоров А. И,, Фомин С. В. Элементы теории функций и функцио-
нального анализа. М.: Наука, 1972. 496 с.

82.	Колтунов М. А., Кравчук А. С., Майборода В. П. Прикладная механи-
ка деформируемого твердого тела. М.: Высш, шк., 1983. 349 с.

83.	Кандауров В. И. О дивергентной форме уравнений нелинейной термо-
упругости.— Журн. прикл. механики и техн, физики, 1982, № 3,
с. 132—140.

84.	Кондауров В. И. Об уравнениях упругопластической среды с конечными
деформациями.— Журн. прикл. механики и техн, физики, 1982, № 4,
с. 133—139.

85.	Кондауров В. И., Никитин Л. В. Распространение нелинейных сейсми-
ческих волн в средах со свойствами упругости, вязкости и пластич-
ности.— Докл. АН СССР, 1984, т. 275, № 4, с. 839—842.

86.	Конструкционные стали. Т. 1/Под ред. Н. Т. Гудцова. М.: Металлург-
издат, 1947. 482 с.

87.	Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников
и инженеров. М.: Наука, 1970. 720 с.

88.	Корнеев В. Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точ-
ности. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. 208 с.

89.	Коровин И. М. Экспериментальное определение зависимости напряже-
ние — деформации при сложном нагружении по траектории с одной точ-
кой излома,— Инж. журн., 1964, т. 4, вып. 3, с. 592—600.

90.	Коровин И. М. Некоторые вопросы пластичности материалов при на-
гружении по траектории с точкой излома.— Изв. АН СССР. МТТ, 1969,
№ 3, с. 152—158.

91.	Кравчук А. С. О методе последовательных приближений в теории пла-
стичности при сложном нагружении.—Изв. АН СССР. МТТ, 1970,
№ 4, с. 188—191.

92.	Кравчук А. С. К задаче Герца для линейно- и нелинейно-упругих тел
конечных размеров.— Прикл. математика и механика, 1977, т. 41, № 2,
с. 308—310.

93.	Кравчук А . С. К теории контактных задач с учетом трения на поверхно-
сти соприкосновения.— Прикл. математика и механика, 1980, т. 44,
№ 1, с. 122—129.

94.	Кравчук А. С., Васильев В. А. Вариационный метод в контактной зада-
че теории упругости.— В кн.: Упругость и неупругость, вып. 5. М.:
Изд-во МГУ, 1978, с. 23—31.

95.	Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырский П. И. Вычислительные ме-
тоды. М.: Наука, 1976. Т. 1. 304 с.

96.	Кузнецов В. И. Численный метод решения задач теории пластичности. -
В кн.: Упругость и неупругость, вып. 4. М.: Изд-во МГУ, 1975, с. 110—
119.

97.	Кузьменко В. И. О вариационном подходе в теории контактных задач
для нелинейно-упругих сплошных тел.— Прикл. математика и меха-
ника, 1979, т. 43, № 5, с. 893—901.

98.	Кузьменко В. И. О контактных задачах теории пластичности при слож-
ном нагружении.— Прикл. математика и механика, 1985, т. 49, № 3,
с. 473-481.

99.	Кукуджанов В. Н., Кандауров В. И. Численное решение неодномерных
задач динамики твердого деформируемого тела,— В кн.: Проблемы ди-
намики упруго-пластических сред. М.: Мир, 1975, с. 39—84.

100.	Кумар И. Дж, Современные аналитические методы в теплопереносе.—
Инж.-физ. журн., 1970, т. 19, № 3, с. 578—593.

101.	Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.; Л.:
Гостехиздат, 1951. Т. 1. 476 с.

102.	Кутилин Д. И. Теория конечных деформаций. М.; Л.: ОГИЗ, 1947.
275 с.

103.	Левитас В. И. К теории больших упруго-пластических деформаций.—
Докл. АН УССР. Сер. А. Физ.-мат. и техн, науки, 1983, № 11, с. 48—53.

104.	Некоторые постулаты теории больших упруго-пластических деформаций
при высоких давлениях/Левитас В. И. Киев, 1983. 23 с. (Рукопись деп.
в ВИНИТИ, 14/07. 83, № 931-83 Деп.).

105.	Об объективности уравнений состояния, содержащих производные по
времени различных тензоров/Левитас В. И. Киев, 1984. 28 с. (Рукопись
деп. в ВИНИТИ, 11/01.84, № 6738-84 Деп.).

106.	Ленский В. С. Некоторые новые данные о пластичности металлов при
сложном нагружении.— Изв. АН СССР. ОТН, 1960, № 5, с. 93—100.

107.	Ленский В. С. Гипотеза локальной определенности в теории пластично-
сти,— Изв. АН СССР. ОТН, 1962, № 5, с. 154—158.

108.	Ленский В. С. Современные вопросы и задачи пластичности в теоретиче-
ском и прикладном аспектах,— В кн.: Упругость и неупругость. М.:
Изд-во МГУ, 1978, вып. 5, с. 65—96.

109.	Литвинов В. Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. М.: Наука,
1982. 376 с.

110.	Лурье А. И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиз-
дат, 1955. 491 с.

111.	Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

112.	Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

113.	Лыков А. В. Теория теплопроводности, М.: Высш, шк., 1967. 600 с.

114.	Малый В. И. Разложение функционала напряжений по малому пара-
метру.— Весты. МГУ. Сер. 1. Математика, механика, 1967, № 2,
с. 73—80.

115.	Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980.
536 с.

116.	Механические свойства конструкционных материалов при сложном
напряженном состоянии: Справочник./А. А. Лебедев, Б. И. Ковальчук,
Ф. Ф. Гигиняк, В. П. Ламашовский: Киев: Наук, думка, 1983. 366 с.

117.	Митчелл В., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с
частными производными. М.: Мир, 1981. 216 с.

118.	Михеев И. А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. М.: Энергия,
1977. 344 с.

119.	Михлин С. Г. Проблема минимума квадратичного функционала. М.;
Л.: Гостехиздат, 1952. 250 с.

120.	Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.:
Гостехиздат, 1957. 476 с.

121.	Михлин С. Г. Численная реализация вариационных методов. М.: Нау-
ка, 1966. 432 с.

122.	Морозов Н. Ф. Лекции по избранным вопросам механики сплошных
сред. Л.: Изд-во ЛГУ, 1975. 89 с.

123.	Морозов Н. Ф. Избранные двумерные задачи теории упругости. Л.:
Изд-во ЛГУ, 1978. 182 с.
124.	Москвитин В. В. Циклические нагружения элементов конструкций.
М.: Наука, 1981. 344 с.

125.	Мосолов П. П., Мясников В. П. Механика жесткопластических сред.
М.: Наука, 1981. 208 с.

126.	Мусхелишвили Н. И. Курс аналитической геометрии. М.: Высш, шк.,
1967. 656 с.

127.	Мяченков В. И., Петров В. Б. Численное решение плоской задачи тео-
рии пластичности.— Изв. вузов. Машиностроение, 1980, № 11, с. 8—12.

128.	Неджеску-Клежа С. Соотношения между тензорами напряжений и де-
формаций для двухзвенных процессов деформации,— Вести. МГУ.
Сер. 1. Математика, механика, 1976, № 4, с. 97—100.

129.	Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

130.	Пяшин Ю. И., Скороходов А. П., Трусов 11. В. Расчет влияния кон-
тактного трения на температуру поверхности полосы и валков при го-
рячей прокатке— В кн.: Приближенное решение краевых задач и функ-
циональных уравнений. Пермь: Изд-во Перм. политехи, ин-та, 1973,
с. 3 — 10.

131.	Одэн Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.
М.: Мир, 1976. 464 с.

132.	Охаши И., Токуда М., Курита И., Сузуки Т. Некоторые эксперимен-
тальные данные об общем законе пластичности Ильюшина.— Изв. АН
СССР. МТТ, 1981, № 6, с. 53—64.

133.	Партон В. 3., Перлин П. И. Методы математической теории упруго-
сти. М.: Наука, 1981. 688 с.

134.	Пежина П., Балтов А. Вариационные проблемы теории вязкопластич-
ности при больших деформациях.— Теорет. и прикл. механика, 1973,
т. 4, № 4, с. 19—28.

135.	Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1974.
207 с.

136.	Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности.
М.: Изд-во МГУ, 1981. 344 с.

137.	Погодин-Алексеев Г. И., Геллер Ю.А., РахштадтА. Г. Металловеде-
ние. М.: Оборонгиз, 1956. 427 с.

138.	Поздеев А. А., Пяшин Ю. И., Трусов П. В. Остаточные напряжения:
Теория и приложения. М.: Наука, 1982. 112 с.

139.	Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир,
1974. 376 с.

140.	Полухин П. И., Гун Г. Я., Галкин А. М. Сопротивление пластической
деформации металлов и сплавов. М.: Металлургия, 1976. 488 с.

141.	Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Изд-во иностр,
лит., 1963. 312 с.

142.	Прагер В. Элементарный анализ определений скорости изменения на-
пряжений.— Механика: Сб. перев. иностр, статей, 1960, № 3 (61),
с. 69—74.

143.	Прозоров Л. В. Прессование стали и тугоплавких сплавов. М.: Маши-
ностроение, 1969. 244 с.

144.	Проценко А.М. Теория упруго-идеальнопластических систем. М.:
Наука, 1982. 288 с.

145.	Работягов Д. Д. Механика материалов при больших деформациях.
Кишинев: Штиинца, 1975. 168 с.

146.	Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.
М.: Мир, 1972. 420 с.

147.	Розин Л. А. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.:
ЛГУ, 1978. 224 с.

148.	Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977, 656 с.

149.	Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптиче-
ских уравнений. М.: Наука, 1976. 352 с.

150.	Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.
392 с.

151.	Седов Л. И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962.
284 с.
152.	Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1972. 492 с-

153.	Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости.
М.: Изд-во иностр, лит., 1963. 256 с.

154.	Смирнов В. С. Теория обработки металлов давлением. М.: Металлур-
гия. 1973. 496 с.

155.	Соколов Л.Д. Сопротивление деформации сталей. М.: ЦНИИЧМ, 1963.
78 с.

156.	Сокольников И. Тензорный анализ. М.: Наука, 1971. 376 с.

157.	Спектор А. А . Вариационный метод исследования контактных задач.—
Докл. АН СССР, 1977, т. 236, № 1, с. 39—42.

158.	Стриклин, Хейслер, Риземанн. Оценка методов решения задач строи-
тельной механики, нелинейность которых связана со свойствами ма-
териала и (или) геометрией.— Ракет, техп. и космонавтика, 1973, т. 11,
№ 3 с. 46—56.

159.	Стрэнг Г., Фикс Дж. Теория-метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.
350 с.

160.	Съярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.:
Мир, 1980. 512 с.

161.	Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения/Под
ред. Дж. Б. Келлера, С. Антмана. М.: Мир, 1974. 254 с.

162.	Теория пластических деформаций металлов/Е. П. Уиксов, У. Джон-
сон, В. Л. Колмогоров и др. М.: Машиностроение, 1983. 598 с.

163.	Теплофизнческие свойства веществ/Под ред. Н. Б. Варгафтика. М.;
Л.: Госэнергоиздат, 1956. 368 с.

164.	Термопрочность деталей машин/Под ред. И. А. Биргера, Б. Ф. Шорра.
М.: Машиностроение, 1975. 455 с.

165.	Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластинок и оболочек. М.:
Наука, 1971. 808 с.

166.	Таити Э. Вариационные принципы в теории упругости.— Механика,
1969, № 5. с. 124-138.

167.	Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

168.	Трусделл В. Первоначальный курс рациональной механики сплошных
сред. М.: Мир, 1975. 592 с.

169.	Трусов П. В. Постановка и алгоритм решения технологических задач
упругопластичности при больших деформациях.— В кн.: Механика де-
формируемого твердого тела. Тула: Изд-во Тул. политехи, ин-та, 1983,
с. 135—142.

170.	Трусов П. В. Большие упругопластические деформации: некоторые ас-
пекты теории и приложения.— В кн.: Прикладные проблемы прочности
и пластичности. Численная реализация решения фпзико-механических
задач. Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1984. с. 116—123.

171.	О построении образа процесса нагружентя и методе корректирующего
анализа при исследовании больших пластических деформацип/Трусов
П. В. Пермь, 1984. 22 с. (Рукопись деп. в ВИНИТИ, 11/03.85, № 5939-
84 Деп.).

172.	Трусов И. В., Няшин [О. И., Столбов В. Ю. Об одном алгоритме ре-
шения задач установившегося течения металла.— В кн.: Обработка ме-
таллов давлением. Свердловск: Изд-во Урал, политехи, ин-та, 1979,
вып. 6, с. 83—86.

173.	Трусов П. В., Столбов В. Ю. Об одном алгоритме решения простран-
ственных задач установившегося течения металла.— Изв. АН СССР.
Металлы. 1983, № 4, с. 134—138.

174.	Трусов 11. В., Черноназов С. А. Об одном подходе к решению контакт-
ных задач.— В кн.: Краевые задачи. Пермь: Изд-во Перм. политехи,
ин-та, 1982, с. 101 —106.

175.	Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управле-
ния. М.: Наука. 1978. 488 с.

176.	Физические свойства сталей и сплавов, применяемых в энсргетике/Под
ред. Б. Е. Неймарка. М.: Энергия, 1967. 240 с.

177.	Филатов Г. Ф. К определению обобщенных тензоров напряжений.—
Тр. НИИ математики Воронеж, ун-та, 1973, вып. 10, с. 35 — 38.
178.	Филиппов И. И., Гунин И. В. Исследование волнистости стенки облег-
ченных двутавровых балок.— Сталь, 1963, № 10, с. 915—918.

179.	Фомин В. Л. Механика континуума для инженеров. Л.: ЛГУ, 1975.
116 с.

180.	Фридман Я. Б. Механические свойства металлов. М.: Машиностроение,
1974. Ч. 1. 472 с.

181.	Химмелъблау Д. Прикладное нелинейное программирование. М.: Мир,
1975. 534 с.

182.	Чекмарев А. П., Гунин И. В., Машковец Р, А., Филиппов И. Н. Про-
изводство облегченных профилей. М.: Металлургия, 1965. 423 с.

183.	Шевченко Ю. Н. Термопластичность при переменных нагружениях.
Киев: Наук, думка, 1970. 287 с.

184.	Шевченко К). В. Метод упругих решений в теории пластического течения
при неизотермических процессах нагружения.— Тепловые напряжения,
в элементах конструкций: Респ, межвед. сб., 1975, вып. 15, с. 45—49.

185.	Шишмарев О. А., Кузьмин Е.А. О зависимости упругих постоянных
металла от пластических деформаций.— Изв. АН СССР. ОТН. Механи-
ка и машиностроение, 1961, № 3, с. 167—169.

186.	Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. М.: Гостех-
издат, 1949. 270 с.

187.	Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.:
Мир, 1979. 400 е.

188.	Яловой Н. И., Тылкин М. А., Полухин П. И., Васильев Д. И. Тепловые
процессы при обработке металлов давлением. М.: Высш, шк., 1973.
632 с.

189.	Anderson N., Arthurs А. М. Extremum principles for some nonlinear
heat transfer problems.— J. Eng. Math., 1972, vol. 6, N 4, p. 331 —
339.

190.	Andrews D. J., Hancock S. L. A relaxation method for solving nonlinear
stress equilibrium problems.— J. Comput. Phys., 1973, vol. 12, N 2,
p. 202—209.

191.	Argyris J. H., Doltsinis J. S. On the natural formulation and analysis of
large deformation coupled thermomechanical problems.— Comput. Meth.
Appl. Meeh, and Eng., 1981, vol. 25, N 2, p. 195—253.

192.	Argyris J. H., Doltsinis J. S., Pimenta P. M., Wustenberg H. Thermo-
mechanical response of solids at high strains — natural approach.—
Comput. Meth. Appl. Meeh, and Eng., 1982, vol. 32; N 1/3, p. 3—57.

193.	Atluri S. N. Rate complementary energy principles, finite strain plasti-
city problems and finite element.— In: Var. meth. mech. solids.: Proc.
IUTAM symp., Evanston (Ill.), 1978. Oxford etc., 1980, p. 363—367.

194.	Atluri S. N. On some new general and complementary energy theorems
for the rate problems in finite strain, classical elastoplasticity.— J. Struct.
Mech., 1980, vol. 8, N 1, p. 61—92.

195.	Atluri S.N., Murakawa H. New general and complementary energy
theorems, finite strain, rate sensitive inelasticity and finite elements:
Some computational stud.es.— In: Nonlinear finite elem. anal, in struct,
mech.: Proc. Europ.—US workshop., Bochum, 1980. Bochum, 1981,
p. 28—48.

196.	Atluri S. N. On constitutive relations at finite strains: Hypo-elasticity
and elasto-plasticity with isotropic or kinematic hardening.— Comput.
Meth. Appl. Mech. and Eng., 1984, vol. 43, N 2, p. 137—171.

197.	Bathe K.-J., Ozdemir H. Elastic-plastic large deformation static and
dynamic analysis.— Comput and Struct., 1976, vol. 6, N 2, p. 81—92.

198.	Bell J. F. A physical basis for continuum theories of finite strain plasti-
city. Pt 1.— Arch. Ration. Mech. and Anal., 1980, vol. 70, N 4, p. 319—
338.

199.	Bell J. F. A physical basis 'or continuum theories of finite strain plasti-
city. Pt 2.— Arch. Ration. Mech. and Anal., 1981, vol. 75, N 2, p. 103—
126.

200.	Bell J. F. Continuum plasticity at finite strain for stress, paths of arbit-
rary composition and direction.— Arch. Ration. Mech. and Anal., 1983,
vol. 84, N 2, p. 139—170.
201.	Buck К. E., Scharpf D. W. Einfuhrung in die Matrizen-Verschiebung-
smcthode.— In: Fi nite element static. B. etc., 1973, S. 1 — 70.

202.	Capurso M. On the incremental solution of elasto-plastic continua in the
range о large displacements.— Meccanica, 1970, vol. 5, N 2, p. 98—106.

203.	Capurso M. Some unite extremum principles in piecewise linear elasto-
plasticity.— Meccanica, 1972, vol. 7, N 3, p. 174—182.

204.	Charter E., Neale K. W. Finite plastic deformation of a circular membrane-
under hydrostatic pressure. 2. Strainrate effects.— Intern. J. Meeh. Sci.,
1983, vol. 25, N 4, p. 235—244.

205.	Cotter B. A., Rivlin R. S. Tensors associated with time-dependent stress.—
Quart. Appl. Math., 1955, vol. 13, N 2, p. 177—188.

206.	Courant P. Variational methods for the solution of problems of equilib-
rium and vibration.— Bull. Amer. Math. Soc., 1943, vol. 49, N 1, p. 1—23.

207.	Dajalias Y. F. Corotational rates for kinematic hardening at large plastic
deformations.— Trans. ASME. J. AppL Meeh., 1983, vol. 50, N 3, p. 561 —
565.

208.	Dems K., Kleiber M. Physically and geometrically nonlinear analysis-
finite elements.— Pozpr. inz., 1976, vol. 24, N 4, s. 771 — 786.

209.	Dienes J. K. On the analysis of rotation and stress rate in deforming bo-
dies.— Acta mech., 1979, vol. 32, N 2, p. 217—232.

210.	Dieterle K. Anwendung der Methode der finiten Elemente zum niiherung-
sweisen Berechnen grosser Formanderungen beim Flanschstauchen.— In-
dustr.-Anz., 1975, Bd. 97, N 98, S. 2080—2081.

211.	Dinis L. M. 8., Owen D. R. J. Elasto-viscoplastic and elasto-plastic large-
deformation analysis of thin plates and shells.— Intern. J. Numer. Meth.
Eng., 1982, vol. 18, N 4, p. 591—606.

212.	Dubey R. N. The role of body rotation in mathematical models of isotro-
pic behaviour.— Appl. Math. Modell., 1979, vol. 3, p. 349—354.

213.	Dubey R. N., Guo Z. Principal axes technique in finite elastic deforma-
tion.—Trans. CSME, 1983, vol. 7, N 3, p. 132—137.

214.	Dubey R. N., Lehman Th., Meyers A. Lagrangian element technique in
elastic-plastic deformation.— Solid Mech. Arch., 1982, vol. 7, N 4, p. 363—
378.

215.	Duszek M. K. On minimum principles in finite plasticity.— Bull. Acad,
pol. sci. Ser. sci. techn., 1973, vol. 21, N 2, p. 131 —138.

216.	Finlayson B. A., Scriven L. E. The method of weighted residuals and its-
relation to certain variational principles for the analysis of transport pro-
cesses.— Chern. Eng. Sci., 1965, vol. 20, N 5, p. 395—404.

217.	Gadala M. S., Oravas G. A. E., Dokainish M. A. Geometric and material
nonlinearity problems.— In: Numer. meth, non-linear problems: Proc.
Intern, conf. Swansea, 1980, vol. 1, p. 317—331.

218.	Guo Z. A note on the decomposition of elastoplastic finite deformations.—
Intern. J. Solids and Struct., 1981, vol. 17, N 9, p. 925—927.

219.	Gupta A. K., Mohraz B., Schnobrich W. C. Elasto-plastic analysis of’
three-dimensional structures using the isoparametric element.— Nucl.
Eng. and Des., 1972, vol. 22, N 2, p. 305—317.

220.	Gurtin M. E., Spear K. On the relationship between the logarithmic strain
rate and the stretching tensor.— Intern. J. Solidsand Struct., 1983, vol. 19,
N 5, p. 437—444.

221.	Hencky H. Uber die Form des Elastizitatsgesetzes bei ideall elastischen
Stoffen.— Ztschr. techn. Phys., 1928, Bd. 9, S. 214—227.

222.	Hibbit H. D., Marcal P. V., Rice J. R. A finite element formulation
of large strain and large displacement.— Intern. J. Solids and Struct.,
1970, vol. 6, N 8, p. 1069—1086.

223.	Hill R. Constitutive inequalities for isotropic elastic solids under finite-
strain.— Proc. Roy. Soc. London A, 1970, vol. 314, p. 457—472.

224.	Hofmeister L.D., Greenbaum G. A., Evensen D.A. Large strain, elasto-
plastic finite element analysis.— AIAA J., 1971, vol. 9, N 7, p. 1248—
1254.

225.	Kao R. A comparison of Newton—Raphson methods and incremental pro-
cedures for geometrically nonlinear analysis.— Comput. and Struct.,
1974, vol. 4, N 5, p. 1091—1097.
226.	Kawahara M. Large strain, viscoelastic and elasto viscoplastic numerical
analysis by means of the finite element method.— Arch. mech. stosow.,
1975, vol. 27, N 3, s. 417—443.

227.	Kawahara M., Horii K. Large strain, elasto-plastic numerical analysis
by means of finite element method.— Trans. Jap. Soc. Civ. Eng., 1972,
vol. 3, N 2, p. 154—155.

228.	Kitagawa H., Seguchi Y., Tomita Y. An incremental theory of large strain
and large displacement problems and its finite-element formulation.—
Ing.-Arch., 1972, Bd. 41, N 3, S. 213—224.

229.	Kitagawa H., Tomita Y. An incremental finite element analysis of two-
dimensional large strain and large displacement problems for elasto-
plastic material.— In: Proc. 21st Jap. nat. congr. appl. mech., Tokyo,
1971. Tokyo, 1973, vol. 21, p. 243—255.

230.	Klee K.-D., Paulun J. On numerical treatment of large elastic-visco-
plastic deformations.—Arch. mech. stosow., 1980, vol. 32, N 3, s. 333—
345.

231.	Kleiber M. Lagrangian and eulerian finite element formulation for large
strain elasto-plasticity.— Bull. Acad. pol. sci. 8. i'. sci. techn., 1975,
vol. 23, N 3, p. 109—126.

232.	Kleiber M. Finite elements in nonlinear mechanics and large deformation
elasto-plasticity.— In: Probl. non-lineaires mech.: Symp. fr.-pol., Cra-
covie, 1977. Varsovie, 1980, p. 273—296.

233.	Kite W. Plastic deformations with free boudaries — a finite element ap-
proach.—In: Metal, form, plast. symp., Tutzing, 1978. B. etc., 1979,
p. 260—272.

234.	Larsen P. K., Popov E. P. A note on incremental equilibrium equations
and approximate constitutive relations in large inelastic deformations.—
Acta mech., 1974, vol. 19, N 1/2, p. 1 — 14.

235.	Lee E. H. Elasto-plastic deformation at finite strains.—Trans. ASME.
J. Appl. Mech., lt>69, vol. 36, N 1, p. 1—6.

236.	Lubarda V. The elastic-plastic constitutive relation.— Teor. i primen.
mehanika, 1981, vol. 7, p. 101—111.

237.	Lubarda V. A., Lee E. H. A correct definition of elastic and plastic de-
formation and its computational significance.— Trans. ASME. J. Appl.
Mech., 1981, vol. 48, N 1, p. 35—40.

238.	Maier G. A minimum principle for incremental elastoplasticity with
non-assoeiated flow laws.— J. Mech. and Phys. Solids, 1970, vol. 18,
N 5, p. 319-330.

239.	Martin H. C. Derivation of stiffness matrices for the analysis of large
deflection and stability problems.— In: Proc. 1st conf, on matrix meth,
struct, mech., 1966, p. 697—715 (AFFDL-TR-6-80).

240.	Martin J. B. On the kinematic minimum principle for the rate problem
in classical plasticity.— J. Mech. and Phys. Solids, 1975, vol. 23, N 2,
p. 123—128.

241.	McMeeking R. M. The finite strain tension-torsion test of a thin-walled
tube of elastic-plastic material.— Intern. J. Solids and Struct., 1982,
vol. 18, N 3, p. 199—204.

242.	McMeeking R. M., Rice J. R. Finite-element formulations for problems
of large elastic-plastic deformation.— Intern. J. Solids and Struct., 1975,
vol. 11, N 5, p. 601—616.

243.	Mroz Z., Baniecki B. A note on variational principles in coupled thermo-
plasticity.— Bull. Acad. pol. sci. S.r. sci. techn., 1975, vol. 23, N 3,
p. 225-231.

244.	Nagtegaal J. C., Jong J. E. de. Some computational aspects of elastic-
plastic large strain analysis.— Intern. J. Numer. Meth. Eng.. 1981, vol. 17,
N 1, p. 15—41.

245.	Neale K. W. A general variational theorem for the rate problem in elasto-
plasticity.— Intern. J. Solids and Struct., 1972, vol. 8, N 7, p. 865—876.

246.	Neale K. W. On the application of a variational principle for large-dis-
placement elastic-plastic problems.— In: Var. meth. mech. solids: Proc.
IUTAM symp., Evanston (Ill.), 1978. Oxford etc., 1980. p. 374—377.
247.	Nemat-Nasser S. Decomposition of strain measures and their rates in fini-
te deformation elasto-plasticity.— Intern. J. Solids and Struct., 1979,
vol. 15, N 2, p. 155—166.

248.	Oden J. T. Variational principles in nonlinear continuum mechanics.—
In: Var. meth. eng. Southampton, 1973, vol. 1, p. 2/1—2/20, 2/105—2/108..

249.	Oh S. Kobayashi S. Finite element analysis of plane-strain sheet ben-
ding.— Intern. J. Meeh. Sci., 1980, vol. 22, N 9, p. 583—594.

250.	Ohashi Y., Tokuda M., Tanaka Y. Formulation of stress-strain relation
for plastic deformation of mild steel for strain trajektory consisting of two
straight branches.— J. Meeh, and Phys. Solids, 1977, vol. 25, N 6, p. 325—
407.

251.	Oldroyd J. G. On the formulation of reological equations of state.— Proc.
Roy. Soc. London A, 1950, vol. 200, p. 523—541.

252.	Oslas J. R., Swedlow J. L. Finite elasto-plastic deformation: Theory and
numerical examples.— Intern. J. Solids and Struct., 1974, vol. 10, N 3,
p. 321-339.

253.	Pawelsky O. Berechnung der Warmedurchgangszahl fiir das Warmwalze'n
und Schmieden.— Arch. Eisenhiittenw., 1969, Bd. 40, N 10, S. 821—827.

254.	Rafalski P. Minimum principles and uniqueness of strain for an elastic-
plastic body.— Intern. J. Eng. Sci., 1976, vol. 14, N 11, p. 999—1003.

255.	Rajalski P. On minimum principles in plasticity.— In: Var. meth. mech.
solids: Proc. IUTAM symp., Evanston (Ill.), 1978. Oxford etc., 1980,
p. 400—403.

256.	Reed K. W., Atluri S. N. Analysis of large quasistatic deformations of
inelastic bodies by a new hybrid-stress finite element algorithm.— Com-
put. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1983, vol. 39, p. 245—295.

257.	Sandhu R. S., Pister K. S. Variational principles for boundary value and
initial boundary value problems in continuum mechanics.—Intern. J. So-
lids and Struct., 1971, vol. 7, N 7, p. 639—654.

258.	Sandhu R. S., Pister K. S. Variational methods in continuum mechanics.—
In: Var. meth. eng. Southampton, 1973, vol. 1, p. 1/13—1/25.

259.	Sidoroff F. Incremental constitutive equation for large strain elasto-plas-
ticity.— Intern. J. Eng. Sci., 1982, vol. 20, N 1, p. 19—26.

260.	Wifi A. S. An incremental complete solution of the stretch-forming and
deep-drawing of a circular blank using a hemispherical punch.— Intern.
J. Mech. Sci., 1976, vol. 18, N 1, p. 23—31.

261.	Yamada У. Constitutive modelling of inelastic behaviour and numerical
solution of nonlinear problems by the finite element method.— Intern.
J. Comput. and Struct., 1978, vol. 8, N 3/4, p. 533—543.

262.	Yamada Y. Nonlinear matrices, their implications and applications in
inelastic large deformation analysis.— Comput. Meth. Appl. Mech. and
Eng., 1982, vol. 33, N 1/3, p. 417—437.

263.	Yamada Y., Hirakawa T., Wifi A. S. Analysis of large deformation and
bifurcation in plasticity problems by the finite element method.— In:
Finite element nonlinear mechanics, 1978, vol. 1, p. 393—412.

264.	Yamada Y., Wifi A. S., Hirakawa T. Analysis of large deformation and
stress in metal forming processes by the finite element method.— In: Me-
tal. form, plast. symp., Tutzing, 1978. B. etc., 1979, p. 158—176.

265.	Yamada У., Yoshimura N., Sakurai T. Plastic stress-strain matrix and
its application for the solution of elastic-plastic problems by the finite
element method.— Intern. J. Mech. Sci., 1968, vol. 10, N 2, p. 343—354.

266.	Zienkiewicz О. C., Valliapan S., King I. Elasto-plastic solution of engi-
neering problems «initial stress», finite element approach.— Intern. J.
Numer. Meth. Eng., 1969, vol. 1, N 1, p. 75—100.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие .............................................. 3

Глава 1
КИНЕМАТИКА ДЕФОРМИРУЕМОЙ СРЕДЫ............................ 6

1.1.	Введение в кинематику деформируемой среды. Некоторые
сведения из тензорного анализа............................ 6

1.2.	Тензоры деформации.................................. 26

1.3.	Тензоры приращения и скорости деформаций............ 43

Глава 2

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ..................... С4

2.1.	Тензоры напряжений.................................. 64

2.2.	Меры скоростей изменения напряженного состояния ....	77

Глава 3
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ В ПРОЦЕССАХ УПРУГОПЛАСТИ-

ЧЕСКОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ................................... 83

3.1.	Некоторые общие положения теории определяющих соотно-
шений ................................................... 83

3.2.	О теории упругопластических процессов А. А. Ильюшина 94
.3.3. Определяющие соотношения упругопластичности при боль-

ших пластических деформациях.......................... 105

Глава 4
ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ УПРУГОПЛАСТИЧНОСТИ ПРИ БОЛЬШИХ ДЕ-

ФОРМАЦИЯХ ...............................................138

4.1.	Система уравнений упругопластичности при больших пласти-
ческих деформациях...................................... 138

4.2.	Граничные и контактные условия..................... 152

Глава 5

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ	УПРУГОПЛАСТИЧНОСТИ.............. 160

5.1.	Обобщенное решение	задачи упругопластичности....... 160

5.2.	Методика решения краевой задачи термоупругопластпчностп 169

Глава 6
РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ УПРУГОПЛАСТИЧ-

НОСТИ .................................................. 189

6.1.	Исследование волнистости тонкостенных элементов горяче-
катаных двутавровых	профилей............................ 190

6.2.	Анализ процесса	прямого	выдавливания............... 199

•6.3. Напряженно-деформированное состояние металла в процессе
электровысадки...................................... 211

. Литература............................................ 221