Ю. П. Дудницын

ГЕОМЕТРИЯ

РАБОЧАЯ ТЕТРАЛЬ

яiКласс

Пособие для учащихся
общеобразовательных
учреждений

8-е издание

МОСКВА
«ПРОСВЕЩЕНИЕ»
2011
УДК 373.167.1:514

ББК 22.151я72

Д81

Рабочая тетрадь является дополнением к учебнику «Геометрия, 7—9»
А.В. Погорелова и предназначена для организации самостоятельной ра-
боты учащихся, направленной на усвоение ими основных теоретиче-
ских фактов и практических умений в процессе решения задач.

Условные обозначения:

— упражнение, обязательное для всех учащихся

О	— определение

А	— аксиома

Тс — теорема, выражающая свойство фигуры
Тп — теорема, выражающая признак фигуры
Точка — новый термин

— необходимый справочный материал

ISBN 978-5-09-025742-8

© Издательство «Просвещение», 2001
© Художественное оформление.

Издательство «Просвещение», 2001
Все права защищены
Геометрия — это наука о свойствах
геометрических фигур

Основные свойства
простейших геометрических фигур

1.	Геометрические фигуры

2.	Точка и прямая

Основные геометрические фигуры —
точка и прямая.

Точки обозначают буквами А, В,
С, В, В, В, М, Ку Р, ..., прямые
обозначают буквами a, b, с9 d9 т9
l9 k9 ... .

Запишите под каждым из рисунков название изображенной на нем

фигуры.

2

Обозначьте буквами фигуры, изображенные на рисунках.

Точки

и....
Через какие точки проходит данная прямая?

4

Проведите прямую а через данные две точки.

Через точки Aw В

А

в

с

Через точкиEwD	Через точки Р и Т

• •

Е	•	р

М

т

К	D	м

Через любые две точки можно
провести прямую, и только одну.

Какова бы ни была прямая, су-
ществуют точки, принадлежа-
щие этой прямой, и точки, не
принадлежащие ей.
Проведите прямые через каждую пару данных точек. Сколько таких
прямых существует?

.В

В

А9

С	D

а)

Ответ.

б)

С

а)		 прямых;

б)	................ прямых.

6

Перечислите все данные на рисунках точки, которые принадлежат:

1)	прямой а;

2)	прямой Ь;

3)	прямой с.

Ответ.

а)	1) Прямой а принадлежат точ-
ки ..........................

2)	прямой b принадлежат точ-
ки ........................

б)	1) Прямой а принадлежат точ-
ки .........................

2)	прямой b принадлежат точ-
ки .......................

3)	прямой с принадлежат точ-
ки .......................
На рисунках к задаче 6 найдите точки, которые принадлежат двум
прямым.

Ответ.

а) Прямым .....и ...принад- б) Прямым ........и ...принад-
лежит точка ....................................... лежит точка .

Прямым ........и ...принад-
лежит точка ........

Прямым ........и ...принад-
лежит точка ........

8

Начертите прямую и отметьте три
точки, две из которых лежат на этой
прямой, а третья не принадлежит ей.

9

Начертите две пересекающиеся пря-
мые и два отрезка, концы которых ле-
жат на этих прямых.

10

Проведите через точку М прямые а и
Ь, которые пересекают прямую с. Лежат
ли точки их пересечения и точка М на
одной прямой?

Ответ...........................

11

Начертите отрезки АВ и ВС, которые
не лежат на одной прямой. Проведите
прямую АС. Как расположены прямая
АС и точка В?

Ответ. Точка В ................

...................... прямой	АС.
Сколько прямых, точек, отрезков изображено на рисунках?

Ответ,
а) Прямых
точек ..;

отрезков ..

в) Прямых ....

точек . ;

отрезков ...

13

Как расположены на рисунке данные
фигуры?

Ответ.

1)	Прямые а и b ................

2)	прямая а и отрезок AD .......

3)	точки А, В и М ..............

прямой Ь;

4)	отрезки КС и ВМ .............

5)	точки В, К и С ..............

......................одной прямой.

3.	Отрезок

4.	Измерение отрезков

14

В каждой тройке точек, лежащих на одной прямой, найдите точку,
которая лежит между двумя другими точками.
Ответ.

а)	Точка .. лежит	между точками ... и	..; точка .. лежит

между точками .... и	...

б)	Точка .. лежит	между точками ... и	..; точка .. лежит

между точками .... и	...

в)	Точка   лежит между точками   и  ; точка   лежит
между точками .... и	...; точка ... лежит	между точками .. и

...; точка ... лежит	между точками .... и	...

Из трех точек прямой одна и
только одна лежит между двумя
другими.

Каждый отрезок имеет опреде-
ленную длину.

Длина отрезка равна сумме длин
частей, на которые он разбивает-
ся любой его точкой.

МК==5см МК-МР + РК

15

Отметьте точки А и В. Проведите
прямую АВ. Отметьте точку С, лежащую
между точками А и В. Отметьте точку К,
лежащую между точками В и С.

16

Отметьте на рисунке точку, которая
лежит между точками:

1)	А и В;

2)	В и С;

3)	А и С.
Отметьте точку, которая лежит меж-
ду точками:	к

1)	К и А;

2)	М и В;

3)	А и М;

4)	К и В.	А

М

В

18----------------------------------

Какие из данных точек лежат между
точками: 1) А и D; 2) В и Е2

Ответ. 1) .......................

2)		

1»

Измерьте длины всех отрезков, изображенных на рисунках. Вычис-
лите сумму двух меньших. Сравните ее с длиной большего отрезка.

Решение.

а)	АВ =....  ВС	=....... б) МР =........  РК	=.......

АС =......, АВ + ВС =...... КМ=........,МР + РК =.......

АВ + ВС АС.	МР + РК...МК.

20

Дано: АС = 2,1 см, ВС = 1,8 см. Вычислите расстояние между точ-
ками А и В.

Решение.

АВ = АС..СВ = .... +	.....

Ответ. АВ =.........
Дано: КР = 3,6 см, МР = 2,1 см.
Вычислите длину отрезка МК.

Решение.

МК = КР. МР =....

Ответ. МК =......

22-----------------------------------------------------------------

Точки К, М9 Р лежат на одной прямой. МК = 8,7 см, МР = 3,1 см,
КР = 5,6 см. Какая из точек лежит между двумя другими?

Решение. Вычислим сумму меньших расстояний.

МР 4- КР = 3,1 см 4- 5,6 см = 8,7 см = МК.

Следовательно, точка Р лежит между точками М и К.

23----------------------------------------------------------

Точки А, В, С лежат на одной прямой. ВС = 12,3 см, АС = 18,4 см,
АВ = 6,1 см. Какая из этих точек лежит между двумя другими?

Решение......... 4-.... =.............. 4-............. =

=............ =...... Следовательно,	точка .... лежит между

точками ..... и....

24-------------------------------------------------------------

Даны точки Е9 F, Т . Известно, что EF = 13,8 см, ЕТ = 23,2 см, FT=
= 9,4 см. Лежат ли эти точки на одной прямой?

Решение. EF 4- FT =............ 4-........... =	...........,

т. е. EF 4- FT.. ЕТ. Следовательно, точки В, F, Т .............

на одной прямой.

25-------------------------------------------------------

Даны точки М, Р и К. Известно, что РК = 18,6 см, МР = 8,6 см,
МК = 10 см. Есть ли среди данных точек одна, которая лежит между
двумя другими?

Решение...............................................

Ответ............................................
Используя линейку с делениями, от-
метьте точки К, М и Р так, чтобы
КМ = 3,6 см, МР = 2,4 см, КР = 6 см.

27

Используя линейку с делениями, изо-
бразите различные варианты расположе-
ния точек К, М и Р на прямой а, если
известно, что КМ = 3,8 см, МР =1,3 см.
Для каждого варианта вычислите длину
отрезка КР.

Ответ, а) КР =............

б)	КР =............

28

Точка А лежит между точками В и С.
ВС = 6,4 см, АС = 2,8 см. Точка К — сере-
дина отрезка АВ. Сделайте рисунок и
вычислите расстояния от точек В и С до
точки К.

Ответ. ВК =...........

СК =...........

29

Точка В лежит между точками А и С,
точка D — между точками А и В,
причем АС = 5,6 см, AD = ВС = 2,2 см.
Сделайте чертеж и вычислите расстоя-
ние между точками В и В.

Решение. AD 4- ВС =....... = ...

BD = АС — (.... +........)	=......

Ответ.......................

30

Дано: АВ = 36 см. Е и К — середины отрезков АС и BD. АЕ 4- КВ =
= 14 см. Вычислите длину отрезка CD.
Решение.

ЕС + KD =...+....

АС + BD = .. ,

CD=AB — (...+..)	=

В

Ответ. .....................

5. Полуплоскости

А | Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости.

31

Перечислите все отмеченные на ри-

сунке точки, которые лежат в:

1)	полуплоскости ах;

2)	полуплоскости а2.

Ответ.

1)		

2)	.........................

32

Перечислите все отрезки, концы ко-
торых принадлежат:

1)	одной полуплоскости (аг или а2);

2)	разным полуплоскостям.

Ответ.

1)................;................

2)	

33

Начертите отрезки МР и МК. концы
которых М и К лежат в разных полупло-
скостях, а Р и К — в одной полуплоско-
сти.
Начертите отрезки АВ и ВС, концы
которых А и В лежат в одной полуплос-
кости, а В и С — в разных полуплоскос-
тях.

35

Проведите прямую т так, чтобы точ-
ки А и В лежали в разных полуплоско-
стях, а точки А и С — в одной полуплос-
кости.

36

Проведите прямую I так, чтобы точ-	р

ки Р и К лежали в одной полуплоскос-

ти, а точки К и Т — в разных полупло-
скостях.	#

37

Заполните пропуски таким образом, чтобы полученное утверждение
было верным:

1)	если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то этот
отрезок .................. данную	прямую;

2)	если концы отрезка лежат в одной полуплоскости, то этот отре-
зок 	................. данную прямую.

38

Начертите все отрезки, концами ко-
торых являются данные точки, так, что-
бы они:

1)	пересекали прямую с;

2)	не пересекали прямую с.
Постройте на прямой I точку, кото-
рая лежит между точками:

1)	А и D;

2)	А и С;

3)	В и D.

40

Существует ли на прямой а
которая лежит между точками:

1)	М и Р‘,

2)	М и Т;

3)	F и К;

4)	Р иТ?

точка,	.	.

К Р

Ответ.

1).......................; 2).......................

3).......................; 4).......................

6. Полупрямая

Полупрямая (луч) — часть пря-
мой, которая состоит из всех то-
чек этой прямой, лежащих по
одну сторону от данной ее точ-

ки.

41

а)

б)
Перечислите точки, отмеченные на
рисунке, которые:

1)	принадлежат лучу АМ;

2)	не принадлежат лучу АМ.

Ответ.

1)........................

2) .......................

43

Отметьте на прямой а три точки, ко-
торые лежат по ту же сторону от точки
О, что и:

1)	точка В;

2)	точка А.

44

Сколько полупрямых изображено на
каждом рисунке?

а)

Ответ, а) .................

б) .................

45

Начертите луч с началом в точке В, .	в

который проходит через точку: 1) А; 2) С. А
Запишите их обозначения.

Ответ. 1) Луч ..............

2) Луч ..............

46

Найдите на рисунке дополнительные
полупрямые. Запишите их обозначения.

Ответ............. .......
Найдите на рисунке две пары допол-
нительных полупрямых. Запишите их
обозначения.

Ответ.

Полупрямые ........ и ........;

полупрямые ...... и	.....

48

Проведите луч с началом в точке ЛГ,
пересекающий прямую I. Сколько таких
лучей можно провести?

Ответ. .......................

7. Угол

О	Угол — это фигура, которая со-	в
	стоит из точки (вершины угла) и	
	двух различных полупрямых, исходящих из этой точки (сто-	
	рон угла).	/.ВАС

49

Какие из данных точек:

1)	принадлежат данному углу;

2)	не принадлежат данному углу?

Ответ.

1)		

2)	................

50

Отметьте на рисунке:

а)	по две точки на каждой стороне
угла;

б)	три точки, которые не принад-
лежат данному углу.

b
Найдите на каждом рисунке луч,
который проходит между двумя другими
лучами.

Ответ.

а)	Луч ......... проходит	между

лучами ......... и	.........

б)	Луч ......... проходит	между

лучами ......... и	.........

52

Начертите углы: 1) АВС; 2) ВСА.

Укажите их вершины и стороны.

Ответ.

1)	Вершина ..,	стороны ... и

.....	С

2)	Вершина ..,	стороны ... и

53---------------------------------

Начертите два луча, исходящие из
точки О, один из которых проходит
между лучами а и Ь, а другой — между
лучами b и с.

54----------------------------------------

Сколько углов изображено на рисун- С
ке? Какой из них является развернутым

углом?

Ответ. .......угла, развернутый — а

угОЛ ...... ~А------------------------------------О-------------В

55

Проведите луч между лучами:

1)	АВ и АС;

2)	АВ и построенным лучом;

3)	АС и первым построенным лучом.
А	Каждый угол имеет определен-	Al	
	ную градусную меру, большую нуля. Градусная мера разверну- того угла равна 180°.		М__Р_ к
		о ААОВ=83° В	ЛМРК=180°

Измерьте с помощью транспортира данные

углы. Запишите их

градусные меры.

a) ZABO..

6)ZMPtf«.....	в) /.OFT-....

Измерьте с помощью транспортира данные углы. Запишите их гра-
дусные меры.

58

Измерьте с помощью транспортира
все углы, изображенные на рисунке. За-
пишите их градусные меры. Запишите
соотношение между ними в виде равен-
ства.

Ответ.
Оцените на глаз градусную меру каждого угла. Сравните ее с 90°
или 180°. Запишите полученный результат:

a) Z А ~.......... 90°;	б) А В «............ 90°;	в) А С ~........... 90°;

г) А К «......... 180°;	д) А О ~............ 90°;	е) А Р «........... 90°.

Проверьте правильность оценки с помощью измерений.

Градусная мера угла равна сум-
ме градусных мер углов, на ко-
торые он разбивается любым лу-
чом, проходящим между его
сторонами.
Дано: АТКМ = 160°, АРКМ = 93°.
Вычислите градусную меру угла ТКР.

Решение. АТКМ = АТКР ... АРКМ.
Следовательно, /.ТКР = АТКМ — АРКМ =

Ответ. /.ТКР =........

62

Дано: точка О лежит между точка-
ми А и В, АСОА = 56°. Вычислите гра-
дусную меру угла СОВ.

Решение. ААОВ = ААОС....../.СОВ,

ААОВ = 1ЪО° (по условию).

Значит, АСОВ = ААОВ ..... АСОА	=

Ответ. ........

63

Угол МКТ равен 50°. Угол РКМ на
15° больше угла МКТ. Вычислите гра- Т
дусную меру угла ТКР.

Решение. АРКМ = AM КТ -I- 15° (по
условию), поэтому АРКМ = ..........+

А ТКР = АТ КМ

Ответ. АТКР =

/МКР =

64

Угол СОЕ равен 130°. Луч ОА прохо-
дит между сторонами этого угла. Вычис-
лите градусную меру каждого из образо-
вавшихся углов, если угол АОЕ в 5 раз
меньше данного угла.

Решение. .....................

Ответ.
АРМК =150°. Угол KMT на 30°

меньше угла РМТ. Вычислите градусные

меры углов РМТ и KMT.	М

Решение. Пусть АКМТ = х°, тогда	s' \

АРМТ = (х 4- 30)° (по условию). АРМК =	s''	\

= Z.PMT + ^ТМК= (х + 30)° + х°. Так Ps'	\

как АРМ К = 150° (по условию), соста-	\

вим уравнение х + 30 + х = 150. Полу-	\ у1

чаем 2х + 30 = 150, 2х = 120, х = 60.

Ответ. АКМТ = 60°, АРМТ = 90°.

66

А АВС = 168°. Угол СВМ в 2 раза
меньше угла АВМ. Вычислите градус-
ную меру меньшего из данных трех уг-
лов.

Решение. Примем градусную меру
меньшего угла за х°, т. е. АСВМ = х°.
Тогда ААВМ = 2х° (по условию). А АВС =
= ААВМ.....АМВС = 2х°..... х°	= Зх°.

Составим уравнение Зх = 168. Получим
х = .......

Ответ. .................

67

Луч ВК проходит между сторонами
угла АВС. Меньший из трех образовав-
шихся углов равен 50°. Он на 75° мень-
ше наибольшего из этих углов. Вычис-
лите градусные меры двух неизвестных
углов.

Решение. .....................

Ответ. ............; .........
ZMP2T=160°. Градусные меры углов
MPF, FPT и ТРК пропорциональны чис-
лам 3, 7 и 6. Вычислите градусную ме-
ру меньшего из углов.

Решение. Пусть Z_MPF= Зх°, тогда
Z_FPT= 7х°, АТРК = 6х°, AMPK=AMPF +
+ AFPT -I- АТРК = Зх° 4- 7х° 4- 6х° =
= 16х°. Составим уравнение 16х =.,

х =...

Следовательно, градусная мера мень-
шего угла равна 3-..°=...°.

Ответ.............

М

69

Луч ВК проведен между сторонами
угла АВС, равного 156°. Между сторона-
ми угла КВС проведен луч ВМ. Градус-
ные меры углов АВК, КВМ и МВС про-
порциональны числам 5, 4 и 3. Вычис-
лите градусные меры этих трех углов.

Решение......................

Ответ.

8. Откладывание отрезков и углов

На любой полупрямой от ее на-
чальной точки можно отложить
отрезок заданной длины, и толь-
ко один.
Отложите на луче h отрезки АВ, AC	h.

и АВ, длины которых равны соответст-
венно 2 см, 3 см и 4,5 см.

1)	Вычислите устно расстояние меж-
ду точками: а) В и С; б) В и D.	А

2)	Какая точка лежит между точками: а) В и D; б) А и С?

Ответ. 1) а) ........; б) ........;	2) а) ...;	б).....

71

Отложите на прямой а от точки М от-
резки: МК и МР, длины которых равны
1,3 см; МТ, равный 2,1 см.

Вычислите устно расстояние между
точками: 1) К и Р; 2) К и Т (рассмотри-
те два случая их расположения относи-
тельно точки М).

Перечислите точки, лежащие между
точками: 3) К и Р; 4) М и Т (рассмотри-
те два случая).

Ответ. 1) .....;	2) а)......; б) .

3)		;	4) а).........; б)...........

От любой полупрямой в задан-
ную полуплоскость можно отло-
жить угол с заданной градусной
мерой, меньшей 180°, и только
один.

72

Отложите от луча ОА в полуплос-
кость а угол АОВ, равный 50°, и угол
АОС, равный 70°.

1)	Какой из трех лучей лежит между
двумя другими?

2)	Вычислите устно градусную меру
угла ВОС.

Ответ: 1) .........;	2) ........
Отложите от луча КР в разные полу-
плоскости угол МКР, равный 80°, и
угол ТКР, равный 60°.

1)	Какой из трех лучей проходит
между двумя другими?

2)	Вычислите устно градусную меру
угла МКТ.

Ответ.

1)...............................

2)		

74

Сколько существует точек на луче, которые удалены от его началь-
ной точки на заданное расстояние?

Ответ.

75

Сколько существует точек на прямой, которые удалены от данной
на ней точки на заданное расстояние?

Ответ.

76

Сколько существует лучей в данной полуплоскости, которые образу-
ют с данным лучом угол с заданной градусной мерой (меньшей 180°)?

Ответ.

77

Сколько существует лучей, которые образуют с данным лучом угол
с заданной градусной мерой (меньшей 180°)?

Ответ.
9.	Треугольник

10.	Существование треугольника, равного данному

На каком из приведенных рисунков изображен треугольник?
Обозначьте его вершины и запишите обозначение треугольника.

Ответ.

изображен на рисунке

Перечислите все треугольники, изображенные на каждом рисунке.
Начертите треугольник АВС. Пере-
числите все его: 1) вершины; 2) стороны.
Ответ.

1)	Вершины — ..................

2)	стороны — ..................

81

Вычислите периметры данных треугольников.

Ответ.

а) Вавс = .....5	б) Рмрк = ....;

в) = ..........;	г) Р_ = ........

82

Перечислите все треугольники, вершиной которых является точка А.
Вычислите периметр треугольника МКР, если о его сторонах
известно, что МК = 18 см, КР на 2 см больше стороны МК, а МР на
4 см больше МК.

Ответ. Р = ..........

84----------------------------------------------------------------

Периметр треугольника АВС равен 38 см, сторона АВ = 13 см.
Сторона ВС на 5 см больше стороны АС. Вычислите длины неизвестных
сторон данного треугольника.

Решение. Пусть ВС = х см, тогда АС = (х— 5) см (по условию).
Периметр треугольника будет равен (13 + х + х — 5) см. По условию пе-
риметр равен 38 см, и мы можем составить уравнение 13 + х + (х — 5) =
= 38. Решаем его: ...........................  х	= ...... Значит,

ВС = 15 см, АС =(15 — 5) см = 10 см.

Ответ. ВС = 15 см, АС = 10 см.

85--------------------------------------------------------------

Периметр треугольника CDE равен 55 см. Сторона СЕ на 1 см
больше стороны CD и на 2 см меньше стороны DE. Вычислите длины
всех сторон данного треугольника.

Решение. Пусть СЕ = х см, тогда CD = (....) см, DE = (....) см.

Периметр треугольника будет равен (............) см. По условию

периметр равен 55 см, и мы можем составить уравнение
..................= .... ,	откуда .........

Следовательно, СЕ = ....см, CD = .....см, DE = .....см.
0 I Два отрезка равны, если они
I имеют одинаковую длину.

0 I Два угла равны, если они име-
I ют одинаковую градусную меру.

Треугольники равны, если у
них соответствующие стороны
равны и соответствующие углы
равны.
Найдите на рисунке равные треугольники. Запишите найденные
пары.

91

Начертите:

а)	две пары равных отрезков;

б)	две пары равных углов;

в)	два равных треугольника.
Даны длины нескольких отрезков: АВ = 36 мм, CD = 2,5 см, EF =
= 4,1 см, КМ = 3,6 см, РТ = 24 мм, OQ = 41 мм. Найдите пары равных
отрезков.

Ответ..........................

93

Даны градусные меры нескольких углов: АА = 63°, АВ = 29° 30',
АС = 121°, AD = 63°, АЕ = 29° 30', АМ = 120° 55'. Найдите пары
равных углов.

Ответ........................

Дано: АМКР = ABDC. Отметьте на
рисунке равные элементы этих треуголь-
ников.
Дано: ACEF = АКРТ. Найдите гра-
дусные меры углов треугольника КРТ.

Ответ.

97

Дано: &ABC = i±EFD. Найдите дли-
ны сторон треугольника DEF.

Ответ.

DE =.... ,	EF=......

DF =......

98

1)	Дано: &MKR = &POF. Найдите величины элементов треугольни-
ка POF, соответствующих данным элементам треугольника MKR.

2)	Дано: &АВС = &PQR. Найдите величины элементов треугольни-
ка АВС, соответствующих данным элементам треугольника PQR.

Ответ.

1)	АВ=.......,	ВС=........,	АВ=........

2)	.....................................

99

Дано: ACDE = APFM.

Используя данные на рисунке длины
сторон треугольников, вычислите их пе-
риметры.

Ответ. Р CDE • • • Р PFM = .....
Дано: △АВС = ДТМ^, ZA=72°, ZC=53°, AM = 55°. Найдите
градусные меры остальных трех углов данных треугольников.

Ответ. А....

101

Сколько пар равных элементов двух треугольников нужно найти для
того, чтобы стало верным утверждение об их равенстве?

Ответ. .................

102

Даны равные треугольники. Исполь-
зуя равенство отмеченных на рисунке
сторон, найдите равные углы треуголь-
ников. Запишите равенство данных тре-
угольников.

Решение. В равных треугольниках против равных сторон лежат
равные углы. Так как ВС = AD (по условию), то АСАВ = A ABD.
Сторона АВ — общая для данных треугольников, поэтому ААСВ =
= AADB. По условию треугольники равны, значит, и третья пара их
сторон — равные стороны, т. е. СА = BD. Следовательно, АСВА =
= ADAB.

Ответ. А......... =	А........,	А......... =	А

А....... =	А.......,	А АВС = △......

103

Внимательно прочитайте задачу 102
и ее решение.

Даны равные треугольники. Исполь-
зуя равенство отмеченных на рисунке
сторон, найдите равные углы треуголь-
ников. Запишите равенство данных тре-
угольников.

Решение. .......................

Ответ. ..................................................
Начертите треугольник, равный треугольнику АВС, так, чтобы одна
его сторона была отложена на луче а от его начала, а вершина, соот-
ветствующая точке А, лежала в полуплоскости а1л Запишите равенство
этих треугольников.

Ответ.

а)	ДАВС = △.......

б)	ДАВС = Д.......

11.	Параллельные прямые

2 Дудницын

33
106---------------------------------------------------------

Начертите две пары параллельных прямых и одну пару
пересекающихся прямых.

107

Проведите через точку А прямую,
параллельную прямой Ь, и через точку В
прямую, параллельную прямой а. Как
расположены проведенные прямые?

Ответ.

Прямые .... и	...............
Дано: прямые а и Ъ параллельны.

Как расположены прямые b и с?

Ответ.

а

Через точку, не лежащую на
данной прямой, можно провести
на плоскости не более одной
прямой, параллельной данной.

109

С помощью линейки и чертежного
угольника постройте прямую, проходя-
щую через точку А и параллельную дан-
ной прямой /.

110

Сколько существует прямых, параллельных данной прямой?

Ответ..........................................

111

Сколько существует прямых, пересекающих данную прямую?

Ответ..........................................

112

Прямые а и b параллельны. Существуют ли на прямой Ъ две точ-
ки, которые расположены в разных полуплоскостях относительно
прямой а?

Решение. Если такие точки существуют, то отрезок, концами
которого они являются, ................... прямую а. Значит, и

прямая b ....................... прямую	а. Но по условию они

параллельны. Поэтому такие точки ..................

Ответ......................
12.	Теоремы и доказательства

13.	Аксиомы

О	Теорема — это утверждение (о свойстве той или иной геометри- ческой фигуры), справедливость которого устанавливается путем рассуждений (доказательства).

Формулировка теоремы обычно состоит из условия (что дано) и
заключения (что требуется доказать).

О	Аксиома — это утверждение, справедливость которого принима- ется без доказательства (основные свойства простейших геомет- рических фигур).

113-------------------------------------------------------

Как называют две части формулировки теоремы?

Ответ............. ; ..................

ТПГ-------------------------------------------------------

Как называют рассуждения, с помощью которых устанавливают
справедливость данного утверждения?

Ответ.................

7ТГ-------------------------------------------------------

Найдите в учебнике формулировку аксиомы о расположении трех
точек на прямой. Прочитайте ее. Как расположены три точки, если од-
на из них лежит между двумя другими?

Ответ. Три точки ......................................

Тй--------------------------------------------------------

Найдите в учебнике формулировку основных свойств измерения от-
резков. Прочитайте ее. Запишите два утверждения, которые содержит
эта аксиома.

1)		

2)	....................................................
1)	Можно ли провести прямую, на которой лежат две данные точки?

2)	Найдите в учебнике аксиому, на основании которой получен ответ
к задаче 1). Сколько таких прямых можно провести?

3)	Сколько утверждений содержится в этой аксиоме?

Ответ. 1) ...........;	2) ...........;	3) ..........

118

Сколько прямых задают три данные
точки?

Решение. Точки А, В, С не лежат
на одной прямой. Через каждую пару
точек можно провести ........ пря-

мую. Все эти прямые различны. Значит,
точки А, В, С задают...... прямые.

Проведите их на рисунке.

С

119

Дано: АВОС= 25°, Z. АОС = 52°.

Вычислите градусную меру угла АОВ
(поясните решение).

Решение. Луч ОС проходит ...

.............Z	АОВ = Z АОС + Z. ВОС

(по аксиоме об ....................).

Следовательно, А АОВ =.....°	+....°	=

Ответ.

Смежные и вертикальные углы

14.	Смежные углы

О

Смежные углы — это углы, од-
на сторона которых общая, а
две другие являются дополни-
тельными полупрямыми.

С

AABD и ACBD - смежные
На каком из рисунков изображены смежные углы?

а)

Ответ.................

121

Начертите три пары смежных углов. Выделите в каждом случае
общую сторону этих углов.

122

Начертите угол, смежный с данным углом, используя линейку.

Сколько углов, смежных с данным углом, можно построить?

Ответ...................
124

Углы А и В смежные. Угол А на 50° больше угла В. Вычислите их

градусные меры.
Решение. Пусть ZB = x°, тогда АА = (............ 50)°.	По условию

углы А и В смежные. Следовательно, их сумма ............... 180°.

Составим уравнение х 4- (..... 50)	= 180, откуда .............

х = ........

Ответ. АА = .........°,	ZB = .........°.

125-----------------------------------------------------

Углы М и К смежные. Угол К на 24° меньше угла М. Вычислите
градусные меры данных углов.

Решение...............................................

Ответ. АМ =.........°,	АК = .......

126

Углы О и Р смежные. Угол О в 5 раз больше угла Р. Найдите
градусные меры данных углов.

Решение. Пусть АР = х°, тогда АО = 5х°. По свойству .....

углов их сумма равна ......... Составим	уравнение х + 5х = 180,

откуда ........... ,	х = .......

Ответ. АО = ........°,	АР= .........

127

Углы КОМ и МОР смежные. Угол КОМ в 8 раз меньше угла МОР.

Найдите градусные меры данных углов.

Решение................................................

Ответ. АКОМ= .........°,	АМОР =
Градусные меры смежных углов С и Е пропорциональны числам 4 и
5. Вычислите их градусные меры.

Решение. Пусть ZC = 4х°, тогда Z_E= 5х°. По свойству смежных

углов их сумма .................. Составим уравнение 4х 4- 5х = 180,

откуда ...................,	х = 20. Таким образом, Z.C = 4 • 20° = 80°,

Z Е =......•	20° =.........

Ответ. АС = 80°

129

Градусные меры смежных углов Р и Т пропорциональны числам 8
и 7. Найдите градусные меры этих углов.

Решение...............................................

Ответ. ZP =........

ZT =......

130

Дано: AABD = 110°, АКВС = 130°.

Найдите градусную меру угла KBD.

Решение........................

Ответ. A.KBD = ............

131

Вычислите градусную меру угла COD.

Решение. Углы АОВ и ВОС смеж-
ные, значит, Z.BOC=................. А

Углы ВОС и COD....................

Следовательно, ACOD =.............

Ответ. ACOD = ..............°.
Вычислите градусную меру угла О, если сумма двух смежных с ним
углов равна 160°. (При необходимости воспользуйтесь рисунком к
задаче 131.)

Решение..................................................

Ответ. ZO = ........

133

Сумма градусной меры угла А и двух
смежных с ним углов равна 210°. Сде-
лайте рисунок и вычислите градусную
меру угла А.

Решение. Сумма угла А и одного
смежного с ним угла равна
Поэтому второй угол равен
Значит, А А = ......=

134

Вычислите градусные меры углов
СВА и CAD.

Решение......................

Ответ. АСВА = ........°,	ACAD =

135

Дано: ABCF = ABAD.

Докажите, что АВСА=-~ ABAC.

Доказательство.

Углы ВСА и BCF ............... Сле-
довательно, АВСА= ............ Углы

ВАС и BAD ............Следовательно,

ABAC = ............ По условию

ABCF = ABAD. Поэтому равны углы

........... и	...........
Начертите на клетчатой бумаге с
помощью линейки два смежных угла,
один из которых равен 135°.

Q I Прямой угол — это угол, рав-
I ный 90°.

0 I Острый угол — это угол, мень-
I ший 90°.

Тупой угол — это угол, боль-
ший 90° и меньший 180°.

137

Запишите названия углов, изображенных на рисунке, оценив на
глаз их градусные меры.

138

Каким углом является угол, смежный с углом: 1) острым; 2) тупым;
3) прямым?

Ответ. 1) ...................

2)		

3)	..................
Какие углы могут образоваться, если провести луч между сторонами
прямого угла?

Ответ............................

Ч7Т--------------------------------------------------------------

Какие углы могут образоваться, если провести луч между сторонами
угла: 1) тупого; 2) развернутого?

Ответ. 1) ..................... ;	.....................

2)...................... ;......................

15.	Вертикальные углы

Вертикальные углы — это углы,
у которых стороны одного угла
являются дополнительными по-
лупрямыми сторон другого.

142

Найдите на рисунках пары вертикальных углов. Запишите их.
Начертите с помощью линейки угол, вертикальный с данным углом.

144

Начертите углы, вертикальные с уг-
лами данного треугольника.

145

Найдите на рисунках точку, которая
является вершиной вертикальных углов.
Запишите их.

Ответ.

а)		

б)	.........................

146

Найдите на рисунках все пары верти-
кальных углов. Запишите их.

Ответ,
а) ....и .....,	....и

и ....

б)		и ........   и

и ........    и	...

а)	б)
Тс	Вертикальные углы равны.	
		—'	Z1=Z2

147

Один из углов, образованных при пе-
ресечении прямых а и Ь, равен 130°. Вы-
числите градусные меры других углов.

Решение. В условии дана градусная
мера тупого угла. Таких углов два — это
Z.1 и Z.3. Они равны (по свойству
вертикальных углов).

Значит, Z.1 = Z.3 = 130°. Угол 2 является смежным с углом 1, по-
этому Z2 = 180° — .......... = .......... Z4	и Z2 — вертикальные.

Поэтому Z.4 = Z2 = ...... (по	свойству вертикальных углов).

Ответ. Z.1 = Z. ...=	........°, Z.2 = Z. ..=	.......‘

148

Вычислите градусные меры углов 1, 2, 3, 4.

Решение......................

Ответ. Z1 = ..... ,	Z2 = ..... ,	Z.3 = .... ,	Z.4 = ....

149

Сумма двух вертикальных углов рав-
на 90°. Во сколько раз один из них
меньше смежного с ними угла? (Решите
задачу устно.)

Ответ.................
Дано: ААОТ = 90°, ААОМ = 44°. Вы-
числите градусные меры углов ТОК и
МОР.

Решение......................

Ответ. АТОК = .........°,	АМОР =

16.	Перпендикулярные прямые

18.	Биссектриса угла

О	Перпендикулярные прямые —	b  это прямые, которые пересека- ются под прямым углом.	-|90°	
		

151

Используя чертежный угольник, про-
ведите прямую, перпендикулярную пря-
мой а, через:

1)	точку А;

2)	точку В.

152

Докажите, что прямые, на которых
лежат лучи ОВ и ОС, перпендикулярны.

Доказательство. Вычислим гра-
дусную меру угла ВОС. Углы АОВ и
BOD смежные, следовательно, Z-BOD =
= 180° — 120° = 60°. Луч OD проходит
между сторонами угла ВОС, поэтому
Z.BOC = 60° 4- 30° =...°, т. е. угол

ВОС прямой.
Отложите от луча ОА в полуплос-
кость ai угол АОВ9 равный 90°, а в
полуплоскость а2 угол АОС9 тоже рав-
ный 90°.	ai

1)	Верно ли, что лучи ОВ и ОС — до-
полнительные полупрямые?

2)	Верно ли, что прямая ВС перпен- а‘‘
дикулярна прямой а?

Ответ. 1) .................

2) .................

а

154

Дано: ДАВС = &МРК9 ABLBC. Найдите перпендикулярные сторо-
ны второго треугольника.

Ответ..................

'р Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную
ей прямую, и только одну.
Начертите биссектрису данного угла
при помощи транспортира.

158

Луч ОР — биссектриса угла АОВ. Чему равна градусная мера углов,
которые образует биссектриса со сторонами данного угла, если угол
АОВ равен: 1) 68°; 2) 90°; 3) 154°? (Решите задачу устно.)

Ответ. 1) ...... ;	2) ..... ;	3) .....

159

Дано: АМРК = 160°, ААРК = 70°,
лучи РВ и PC — биссектрисы углов
МРА и АРК. Чему равен угол ВРС
(между биссектрисами)?

Решение. АМРА = АМРК— ААРК =
= 160° — 70° = 90°, так как луч РА про-
ходит между сторонами угла МРК.

АВРА = 90° : 2 = 45°, так как РВ — ..............;

ААРС = 70° : 2 = 35°, так как PC — ..............;

АВРС = АВРА + ААРС = .......+	.......= ......  так

как луч РА проходит между лучами ... и	.......

Ответ................
Решите предыдущую задачу при условии, что ЛАРК = 110°. Реше-
ние запишите кратко (только вычисления).

Решение.

Ответ...................

Какое предположение о градусной мере угла ВРС можно сделать?
Запишите его:

ЛВРС = ..........,	какую бы меру угла АРК мы ни взяли.

161

Один из вертикальных углов равен
80°. Чему равна градусная мера угла, об-
разованного их биссектрисами?

Решение.

Ответ.........

162

Сами задайте градусную меру одного из вертикальных углов, напри-
мер ..........°. Вычислите градусную меру угла между их биссект-

рисами.

Решение.

Ответ..........

Запишите общее предположение о величине угла между биссектри-
сами вертикальных углов:
3

Признаки равенства треугольников

20.	Первый признак равенства треугольников

На каждом рисунке обозначены равные элементы двух треугольни-
ков. Равны ли данные треугольники? Ответ запишите с помощью
символов. Запишите остальные равные элементы этих треугольников.

Ответ.

а) △ АВС = △.....,

АС =...,	АА = А.... ,

АС= А....

б) АОРК = △.......,	в) ACOD = △.....

ОК =....,	АО = А.... , CD =.,	АС = А.

АК = А...	AD = А...

164

Дано: ABAD = ACAD, АВ = АС.

1)	Докажите равенство треугольни-
ков BAD и CAD.

2)	Докажите, что луч DA является
биссектрисой угла BDC.

Доказательство. 1) Данные тре-
угольники имеют по два равных элемента.
По условию АВ = АС и ABAD = ACAD.
Одна сторона у треугольников общая (т. е. имеется третья пара равных
элементов). Равные углы заключены между соответственно равными
сторонами треугольников. Значит, мы можем воспользоваться первым
признаком равенства треугольников. Получаем, что AABZ) = △ ACD.

2)	В равных треугольниках против равных сторон лежат равные уг-
лы. Углы BDA и CDA расположены против сторон ............. и	.......

которые равны. Следовательно, ABDA = ACDA, поэтому луч DA явля-
ется ...................... угла .........

165

Какое условие необходимо добавить для того, чтобы можно было

воспользоваться признаком равенства данных на рисунке треугольни-
ков? Отметьте это условие на рисунке и запишите равенство треуголь-

166

Докажите равенство двух треуголь-
ников, изображенных на рисунке.

Доказательство. Рассмотрим тре-

угольники ......... и.........Най-
дем их равные элементы........ = .....

(по условию). Сторона ..... у данных

треугольников общая. ABDA = 180° — 90°
(по свойству................. углов).

Значит, ABDA = ABDC. Воспользуемся
................... равенства	треуголь-
ников. Следовательно, ABDA = ABDC.
Докажите равенство треугольников
АСВ и BDA.

Доказательство. Найдем в тре-
угольниках пары равных элементов. Это

углы АВС и BAD.

— общая

сторона. AD = АО 4- OD = ВО 4- ОС = ВС
(по условию). Значит, мы можем вое- А

пользоваться первым признаком равен-

ства треугольников.

Следовательно, ААСВ = АВ2М.

168---------------------------------------------------------------

Начертите треугольник, равный данному треугольнику АВС.
Запишите равенство этих треугольников.

Ответ, а) А АВС = А............;	б) А АВС = А............

В

169

Докажите равенство треугольников,
изображенных на рисунке. Запишите их
равенство. Найдите угол, равный углу
BDA, поясните их равенство.

Доказательство. Найдем пары
......... элементов треугольников
......... и	.... АВ = ......................
AABD = Z......................  BD	— .

Значит, мы можем воспользоваться ...............................

равенства треугольников. Следовательно, А..........=	Д ...........

ABDA = А ..........  так	как они расположены в ...................

треугольниках против ............ сторон	........ и ............
Сколько пар равных элементов двух треугольников используется в:
1) определении равенства треугольников; 2) первом признаке равенства
треугольников?

Ответ. 1) ............; 2) ............

22. Второй признак равенства треугольников

Если сторона и прилежащие к
ней углы одного треугольника
равны соответственно стороне и
прилежащим к ней углам друго-
го треугольника, то такие тре-
угольники равны.

171

На каждом рисунке обозначены равные элементы двух треугольни-
ков. Равны ли эти треугольники? Ответ запишите с помощью символов.
Запишите остальные равные элементы этих треугольников.

Ответ,
а) △....= А....., б) △..= △....,	в) А.= А .

Z.P = А.,	AF=A....,	Z.A = А.,

МР = ..., РК = . BF = ., KF	= .. АВ	= .., АС	=

172

Какое условие необходимо добавить для того, чтобы можно было
воспользоваться вторым признаком равенства треугольников? Отметьте
это условие на рисунке и запишите равенство треугольников.




173

1)	Докажите равенство треугольни-
ков, изображенных на рисунке.

2)	Докажите, что точка D является
серединой отрезка АС.

Доказательство.

1)	Найдем равные элементы треугольни-
ков ABD и......... Z	ABD = Z......

(по условию). ABDC = 180° — 90° = 90°, так

. Значит, А.........

как углы........ и

= А........... Сторона	..... у рассматриваемых треугольников

.............. . Можем воспользоваться вторым признаком равенства
треугольников. Итак, А.......... = △...........

2)	Стороны......... и .......... лежат	в равных треугольниках

против равных углов .......... и........... Следовательно,	..... =

=.......,	т. е. точка D является серединой отрезка......

174

Дано: ABAF = ABCD, АВ = ВС.
Докажите, что:

1)	ААВС = ACBD;

2)	AF = CD.

Доказательство.

1)	Рассмотрим............... ,

найдем равные их элементы. Стороны

.............. и............ равны, углы.
и........................................ равны	(по.).
Угол .................. - .................. для рассматриваемых

треугольников. Воспользуемся ....................................

..........................Следовательно,	.......... =...........

2)	Стороны ......... и .......... лежат	в равных треугольниках

против ......... угла	В. Поэтому .... =.......

175

Точки А и В лежат на прямой а.	М.

В разных полуплоскостях относительно
этой прямой расположены точки М и К
так, что АМ АВ = АКВА, А МВА = --------------*---------------------

= АКАВ. Докажите, что АМ АВ = АКВА.

1)	Дополните рисунок: отметьте с по-
мощью символов равные элементы тре-
угольников, о которых сказано в условии задачи.

2)	Проведите доказательство, сопровождая его краткими записями.

В треугольниках.......... и........... находим	равные элементы:

Можем воспользоваться ...........................................

Получим, что △...........

= △..........

176

Известно, что А АВС = AArB^Ci. На
сторонах АВ и AiBi отмечены точки D и
Di так, что AACD = AA^CiDi. До-
кажите, что AADC = A AiDiCi.

1)	Сделайте рисунок. Для этого начер-
тите два равных треугольника. Обозначь-
те соответствующим образом их верши-
ны, отметьте точки D и Dl9 проведите
отрезки CD и CiDy

2)	Доказательство.

Рассмотрим треугольники 	 и	. . Найдем их рав-
ные элементы. Углы..................... и. равны (по условию). Углы

......... и	.......... равны (как соответственные углы в равных
треугольниках). Стороны ........ и	......... равны (соответствен-
ные в равных треугольниках). Значит, △...... =△................

(по .......... признаку равенства треугольников).
Докажите, что в равных треугольни-
ках биссектрисы равных углов равны.

1)	Сделайте рисунок и нанесите
необходимые обозначения.

2)	Доказательство...........

178

Докажите равенство треугольников,
изображенных на рисунке.

Доказательство................

179---------------------------------

Через точку Р биссектрисы угла О
проведена прямая, перпендикулярная
биссектрисе.

Докажите равенство отрезков, кото-
рые эта прямая отсекает на сторонах
данного угла.

1)	Сделайте нужные обозначения на
рисунке.
2)	Доказательство...............................

180

1)	Семиклассник нашел у двух треугольников три пары равных эле-
ментов. Может ли он смело утверждать, что эти треугольники равны?

2)	Если среди найденных пар только одна — равные углы, то ка-
кому условию они должны удовлетворять, чтобы треугольники были
равны?

3)	Если среди найденных пар только одна — равные стороны, то ка-
кому условию должны удовлетворять пары углов, чтобы треугольники
были равны?

Ответ. 1) ................................................

2)	Углы должны быть ......................................

3)	Углы должны быть ......................................

23.	Равнобедренный треугольник

Q I Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две

I стороны (боковые стороны) равны.

Q I Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все
I стороны равны.

181

Найдите на рисунках равнобедренный, равносторонний и разносто-
ронний треугольники.
Ответ.

Равнобедренный треугольник — ..............................

Равносторонний треугольник — ..............................

Разносторонний треугольник — ..............................

182

Основание равнобедренного треугольника равно 11 см, оно на 5 см
меньше боковой стороны. Вычислите периметр данного треугольника.

Решение. Боковая сторона треугольника равна 11 см 4- ......=

= .......... Периметр треугольника равен ......... +	........ +

+ ......... = ........

Ответ....................

183---------------------------------------------------------

Периметр равнобедренного треугольника равен 42 см, его основание —
12 см. Вычислите длину боковой стороны треугольника.

Решение..................................................

Ответ.................

184

Периметр треугольника BCD равен
40 см. BD = 15 см. Вычислите периметр
треугольника АВС.

Решение......................

Ответ................
Периметр треугольника BDC в 1,5
раза больше периметра треугольника
АВС. Вычислите длину стороны CD, если
АВ = 8 см.

Решение.

Ответ..................

186"----------------------

Периметр равнобедренного треугольника равен 55 см. Длины его бо-
ковой стороны и основания пропорциональны числам 4 и 3. Вычисли-
те длины всех сторон данного треугольника.

Решение.

Пусть длина боковой стороны равна 4х см, тогда длина основания
будет равна ... см. Составим уравнение .........................

откуда .......................................................

Боковая сторона равна ..........  основание	равно ...........

Ответ..........................

187

Докажите, что отрезки, соединяющие середину основания равнобед-
ренного треугольника с серединами его боковых сторон, равны.
Доказательство. Рассмотрим тре-
угольники ...... и......... Находим

их равные элементы: ....... =......

(по условию), Z.......... = Z......

(по свойству равнобедренного треугольни-
ка), ...... =....... (так как это по-

ловины равных сторон треугольника
АВС). Значит, ................. (по

первому признаку равенства треуголь-
ников). В этих треугольниках стороны

...... и ....... лежат против равных

............. Следовательно, ...... =

188

Чему равна градусная мера угла ВСА
данного треугольника АВС?

Решение. ABAC = А.............. =

=........° (по свойству .............

углов). АВСА = А ......... =	........°

(по свойству.........................

.....................................).

Ответ. АВСА =.........

189

Вычислите градусную меру угла МРК
данного треугольника МРК.

Решение.......................

Ответ. АМРК =........

190

В равнобедренном треугольнике МОК
МО = КО9 АМКО = 70°. На прямой КО
отложен отрезок ОР, равный боковой
стороне треугольника. Вычислите гра-
дусную меру угла КМР, если АОРМ =
= 20°.
Решение.

Z.KMO = Z_................... (по ...................................................

.................................). Значит, Z. КМО = 70°. Треугольник МОР
................................. (по условию). Следовательно,
/LPMO = Z-.............. = ......°.	Луч МО проходит ...........................

..............................,___поэтому Л.КМР = Z_.................. +	Z_............. =
__________________________________________________________________________	О I	о 		о

Ответ. АКМР =......

191

Дано: АВ = ВС, АМ = КС. Докажите,
что: 1) ВМ = ВК; 2) АВМС = АВКА.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники .......

и ........... Найдем их равные эле-
менты: ...... = ..... ,	....=........

(по ...........), А ВАМ = А...........

(по ...............................).

Воспользуемся ............. признаком

...................... Получим, что
△ АВМ = △............. Следовательно,

.....(так как лежат в этих треугольниках против равных углов).

192

На продолжении основания АВ рав-
нобедренного треугольника АВС, где АС =
= ВС, за вершину В отложен отрезок BD.
Точки С и D соединены отрезком. Пери-
метр треугольника CDB равен 27 см, пе-
риметр треугольника ADC равен 37 см.
Вычислите длину основания АВ.

Решение.

Запишем периметр треугольника ACD.

PACD =AC + CD+ BD 4- BA по условию равен 37 см. Если в этой сумме

заменить отрезок АС на равный ему отрезок СВ, то вся сумма будет за-
писана так: ..........4- .........4- ........4-	ВА. Сумма первых

трех слагаемых — это периметр треугольника CDB, который равен
27 см. Теперь наше равенство примет вид ......... 4-	АВ = 37 см.

Отсюда получим, что АВ = ...... см.

Ответ. АВ =............
Дано: ДАВС— равносторонний. AAt =
= ВВГ = ССг. Определите вид треугольни-
ка ApBjCj.

Решение. Рассмотрим три треуголь-
ника, сторонами которых являются от-
резки BYCl9 CiAl9 А1В1. В этих треуголь-
никах имеются равные стороны и рав-
ные углы. Найдем их. А1А = В1В = С1С
(по ................).	Отрезки ВАХ =

= СВ1=АС1 равны, так как каждый из

них состоит из одинаковых пар отрез-
ков. СВГ = ВС + ВВ19 АС1 = СА 4-...

ВАГ = 	 +	. Углы треугольника АВС равны меж-
ду собой (по ...............).

Углы AjBBj, ВгСС19 CiAAj^ являются смежными с углами треугольника

АВС, поэтому они .............. Можем	воспользоваться .............

признаком равенства треугольников. Получим, что △..................

= △.............. Отсюда	следует, что ......... =	....... = .......

Значит, треугольник AjBjCj .........................

194----------------------------------------------------------

Начертите на клетчатой бумаге (отрезок в 1 клетку считаем равным
0,5 см) с помощью линейки без делений равнобедренный треугольник:
а) боковая сторона которого равна 3 см, а угол при вершине равен 90°;
б) основание которого равно 4 см, а угол при основании равен 45°.

																										
																										
																										
																										
																										
																										
																										

24.	Обратная теорема

О

Теорема, обратная данной, — это теорема, ус-
ловие которой совпадает с заключением данной,
а заключение совпадает с условием данной тео-
ремы.

Т: А->В
ОТ: В->А
195--------------------------------

1)	Запишите условные обозначения
для соответствующих предложений в
схеме обратной теоремы:

2)	Запишите формулировку свойств
вертикальных и смежных углов в виде
условных предложений (см. схему):

Если углы являются .............

.............. то они .............

Если углы являются .............

Теорема

Если А, то В

Обратная теорема

Если ...  то	....

, то их сумма ........

196

Запишите теорему, обратную теореме:

1)	Если все углы равны, то этот треугольник равносторонний.

2)	Если один из смежных углов острый, то другой угол тупой.

Ответ. 1) Если ...........................................

то его углы .................

2)	Если один из ..........................................

то другой .................

197------------------------------------------------------------

Подчеркните в данном предложении: одной чертой — условие;
двумя чертами — заключение.

1)	Если луч ОС проходит между лучами О А и ОБ, то градусная мера
угла АОВ равна сумме градусных мер углов АОС и ВОС.

2)	Если точки А и В лежат в разных полуплоскостях относительно
прямой а, то отрезок АВ пересекает прямую а.

Если в треугольнике два угла
равны, то он равнобедренный.

АВ = ВС

198------------------------------

Докажите, что треугольник МРК
равнобедренный.

Доказательство................
Основания АС и МР равнобедренных
треугольников АВС и МКР равны.
ABAC = АКРМ. Докажите, что данные
треугольники равны.

Доказательство................

201

Начертите с помощью линейки с де-
лениями и транспортира равнобедрен-
ный треугольник, у которого:

1)	основание равно 2,3 см и угол при
основании равен 54°;

2)	боковая сторона равна 2,9 см, а
угол при его вершине равен 70°.

25.	Высота, биссектриса и медиана треугольника

О

Высота треугольника, опущен-
ная из данной вершины, — это
перпендикуляр, проведенный из
этой вершины к прямой, кото-
рая содержит противолежащую
сторону треугольника.
о

Биссектриса треугольника, про-
веденная из данной вершины, —
это отрезок биссектрисы угла
треугольника, соединяющий эту
вершину с точкой на противоле-
жащей стороне.

о

Медиана треугольника, прове-
денная из данной вершины, —
это отрезок, соединяющий эту
вершину с серединой противоле-
жащей стороны.

202

Найдите на рисунках отрезки, которые являются: 1) высотой
треугольника; 2) биссектрисой треугольника; 3) медианой
треугольника.

Ответ.

1)	Высота — ................................................

2)	Биссектриса — ...........................................

3)	Медиана — ...............................................

203

Опустите высоты данного треугольни-
ка АВС из его вершин В и С (восполь-
зуйтесь чертежным угольником).

3 Дудницын

65
Проведите биссектрисы треугольника
АВС из его вершин В и С (воспользуй-
тесь транспортиром и линейкой).

205

Проведите все медианы данного тре-
угольника МРК (воспользуйтесь линей-
кой с делениями).

206

Проведите в данном треугольнике из
вершины С высоту, биссектрису и меди-
ану (воспользуйтесь чертежным уголь-
ником, транспортиром и линейкой с де-
лениями).

26.	Свойство медианы равнобедренного треугольника
Медиана равнобедренного треуголь-
ника АВС, проведенная к его основанию
АС, равна 12 см. Периметр одного из
образовавшихся треугольников равен
36 см. Вычислите периметр треуголь-
ника АВС.

Решение.......................

Ответ.................

208

Высота МТ треугольника КМР явля-
ется биссектрисой этого треугольника.
Докажите, что данный треугольник яв-
ляется равнобедренным.

Доказательство. Рассмотрим тре-
угольники 	 и	. Их эле-
менты ...................

Воспользуемся ............ признаком

	 ,	откуда .
Следовательно, ...................................................

Значит, ........................ является	............................................

209------------------------------

Докажите, что медианы, проведен-
ные из концов основания равнобедрен-
ного треугольника, равны. Сделайте ри-
сунок.

Доказательство................
В равнобедренном треугольнике ОРТ
проведены биссектрисы углов при осно-
вании ОТ. Докажите, что они отсекают
на боковых сторонах треугольника рав-
ные отрезки.

Доказательство...............

..............  Z.ABM	= Z...... С

так как медиана BF —...............

угла ......(по свойству ...........................Воспользуемся

Получим, что △

= △.......  поэтому	.....
27.	Третий признак равенства треугольников

Равны ли треугольники, изображенные на рисунках? Если они

равны, то запишите их равенство
треугольников.

и равенство двух пар углов этих

214

Отметьте на прямой а точки А и В.

В разных полуплоскостях относитель-

но прямой а отметьте точки М и К а
так, чтобы МА = КА, МВ = КВ.

Докажите равенство треугольников АВМ

и АВК.
Доказательство....................................

215

Дополните каждый рисунок условием, при котором можно
утверждать, что изображенные треугольники равны.

216

Соедините две точки данной фигуры
отрезком так, чтобы на рисунке обра-
зовались два равных треугольника. До-
кажите, что полученные треугольники
равны. Найдите угол, равный углу РКО.

Доказательство................

Ответ. Точки .. и	.... АРКО=А......

217

Даны равносторонние треугольники АВС и

1)	Нужно ли проверять равенство трех пар сторон этих треугольни-
ков, чтобы можно было утверждать их равенство?

2)	Назовите наименьшее число таких пар.

Ответ. 1) ...............; 2) ...............
Отметьте на прямой I две точки А и

В. В одной из полуплоскостей относи-
тельно прямой I отметьте точки М и К
так, чтобы АМ = КВ и МВ = КА.	I

Докажите, что:

1)	ААМВ = АВКА;

2)	АМВА = АКАВ.

Доказательство. Рассмотрим тре-

угольники ............ и ..............

Они имеют две пары равных сторон: ........... =	...... ... = ......

(по ......................), сторона ...................... , значит,

△ ............ =	△ .......... (по	................................

......................................................).....................................................Отсюда следует:
1).....................................................; 2).

). Следовательно, МВ

. Мы можем воспользоваться

откуда △ ...... =	△ .... ,	поэтому ААВМ =А.......
Внутри равнобедренного треугольни-
ка КМР (КМ = КР) отмечена точка А
так, что АМ = АР. Докажите, что луч
КА является биссектрисой угла РКМ.

Доказательство.

222

Дано: AM = АК, DM = DK.

Докажите, что: 1) BD = CD\ 2) АВ = АС.

Доказательство.
Проведем отрезок ....Рассмотрим

два треугольника △ AMD и △ .......

223

Вычислите градусные меры углов
CAD и BDM.

Решение.

Ответ. ACAD = ....°,	ABDM = .....
Внутри равнобедренного треугольни-
ка АВС (АВ = ВС) отмечена точка М
так, что АМ = МС. Докажите, что пря-
мые ВМ и АС перпендикулярны.

Доказательство.

225

Докажите, что:

1)	AC ± BD;

2)	АО = ОС.

Доказательство.

Рассмотрим треугольники ABD и ....

Их равные элементы: ...............

Мы можем воспользоваться .............

Следовательно, ................................. Поэтому равны углы ABD

и CBD, ADB и CDB. Это значит, что ВО — ..........................................
угла ........ ,	a DO — биссектриса угла..................... Треугольники	AJ3C

и ADC равнобедренные (по .............................). Значит, отрезки ВО

и OD являются их высотами и медианами, т. е.:

1)	BD ±......;

2)	АО =......

226

Вспомните формулировки трех признаков равенства треугольников.
Пара каких элементов двух треугольников обязательно содержится в
условиях этих теорем?

Ответ........................................................
Сумма углов треугольника

29.	Параллельность прямых

227

Начертите две параллельные прямые
а и Ь. Отметьте точку М, которая не
принадлежит этим прямым, и проведите
через нее прямую с, параллельную пря-
мой а. Имеют ли общую точку какие-ли-
бо две из этих прямых?

Ответ..................

228

Начертите две пары параллельных
прямых а и Ъ, с и d так, чтобы прямые
а и с не были параллельны. Как распо-
ложены прямые Ъ и d*!

Ответ.

Прямые ... и ..................

229

Прямые т и I пересекаются, прямые с
и т параллельны. Имеют ли общую точку
прямые:

1)	т и I; 2) т и с; 3) I и с*!

Ответ.

1)	

2)	................

3)	................
30.	Углы, образованные при пересечении двух прямых
секущей

31.	Признак параллельности прямых

230

Вычислите градусные меры внутрен-
них накрест лежащих углов 1 и 2 и
внутренних односторонних углов 3 и 1.
(Решите задачу устно.)

Ответ.

Z.1 = ....°, Z.2 = ...°,

Z3 = .....°.

231

Вычислите градусные меры внутрен-
них односторонних углов 1 и 2 и внут-
ренних накрест лежащих углов 3 и 1.
(Решите задачу устно.)

Ответ.

Z.1 = ....°, Z.2 = ...°,

Z3 =......°.

232

Вычислите сумму каждой пары внут-
ренних односторонних углов.

Решение.......................

Ответ. Zl + Z2 = ....°,	Z3 + Z4 = ....
Вычислите градусные меры каждой
пары внутренних накрест лежащих уг-
лов. Равны ли между собой углы каждой
пары?

Решение.

Ответ.

Z1 =......°, Z2 =......°, Z1 .....Z2;

Z3 =......°, Z4 =......°, Z3......Z4.

На каком из двух рисунков прямые
Запишите соотношения между отме-
ченными углами, которые должны вы-
полняться для того, чтобы прямые b и d
были параллельны.

Ответ.

237

Дано: Z.1 = Z.3. Докажите, что пря-

мые тп и I параллельны.

Доказательство. Z.1 = Z...... (по

свойству .................. углов).

Следовательно, Z3 = Z....Эти два угла

...................... Значит,	прямые

..... и ...... —	.....................

(по..............параллельности	прямых).

238 ------------------------------

Пересекаются ли прямые а и Ъ? (От-
вет поясните.)

Решение. Найдем градусную меру
угла АВС. Углы АВС и....... являются

............... Значит,
А АВС = А...... и А АВС = 119°.

Вычислим сумму углов DAB и

Следовательно, прямые ...... и

.................. (по............................................).

Значит, эти прямые ......................

Ответ.

239

Как расположены прямые а и &, если при пересечении их прямой т
образовались: 1) два острых внутренних односторонних угла; 2) два ту-
пых внутренних односторонних угла; 3) острый и тупой внутренние на-
крест лежащие углы; 4) два прямых внутренних односторонних угла?
Ответ.

1)..................................................................

2)		

3)		

4)		............................................................

240

Пересекаются ли прямые а и АС?
(Ответ поясните.)

Решение......................

Ответ.

тельно, прямые ........... и	....

(по ...................................).

2)	Рассмотрим прямые АВ и CD и секущую ....................

Ответ.................
Пересекаются ли прямые:

1) а и Ь; 2) Ъ и с; 3) а и с? Ответ по-
ясните.

Решение.

1).....Рассмотрим прямые.и.....Пря-
мая 	— секущая. Углы МАВ и АВР

2)		

3)		

Ответ.

1)	Прямые . и	.......................................

2)	Прямые . и	.......................................

3)	Прямые . и	.......................................

ются внутренними ........................ при	прямых ... и	...

и секущей.....Значит, прямые .....и .............................

(по ..........................................................),

т. е. они ....................

Ответ.........................
Докажите, что АВ || DF.

Доказательство.

Треугольник АВС — ..............

(по .................),	следователь-

но, .......................... (по

....................................).

Треугольник CDF — .................

(по ................................),

следовательно, .......................

(по ..................................

Углы...... и...... — ..............

Значит, они ............ (по

Отсюда следует, что равны углы ........ и

.................. ).

. Эти углы являются

	 при прямых 	 и	. и
секущей ........................................... Следовательно,.прямые . и	. —

	 (по	.
.................................................................).

246 ------------------------------

Могут ли быть равными все внут-
ренние накрест лежащие углы и все
внутренние односторонние углы, обра-
зованные при пересечении двух прямых
третьей?

Ответ..........................

В случае, если такое расположение
прямых возможно, попробуйте изобра-
зить его на рисунке.

247

Докажите, что: 1) АВ || CD; 2) AD||BC.

Доказательство...............
32.	Свойство углов, образованных при пересечении
параллельных прямых секущей

Если две параллельные прямые
пересечены третьей прямой, то
внутренние накрест лежащие уг-
лы равны, а сумма внутренних
односторонних углов равна 180°.

248

Дано: а || Ь. Чему равны градусные
меры углов 1 и 2? (Решите задачу устно.)
Ответ.

Z1 =.......°, Z2 = ....°.

249

Прямые с и d параллельны. Сумма
градусных мер углов 1 и 2 равна 110°.
Вычислите градусные меры углов 2 и 3.
(Решите задачу устно.)

Ответ.

Z2 =.......°, Z3 = ....°.

Прямые т и I параллельны. Угол 1 в 2 раза больше угла 2. Вычис-
лите градусные меры углов 3 и 4.
Решение. Сумма углов 1 и 2 равна
180°, так как они являются .........

Пусть Z.2 = х°, тогда Z1 = 2х° (по .

......) . Составим и решим уравнение

Получим Z2 =.......°,	Z1 = .....°.	Углы 2 и 3 ...............

Следовательно, Z.3 = .....°. Углы 1 и 4 — ....................

поэтому Z4 =......°	— ......°	=......°.

Ответ. Z.3 =.....  Z.4	= ......

252

Дано: Zl = Z.2. Вычислите градус-
ную меру угла 3.

Решение.....................

Ответ. Z3 =......

Дано: МК || АС. Найдите градусные меры всех углов треугольни-
ка АВС.
Решение. Углы АСВ и СВК явля- М______________ В ____________К_

ются .................................... 80°'ч7\^70°

..	 при	/ \
параллельных прямых МК и АС и секу-........./ \

щей ......... поэтому А АСВ = .....°.	/	\

Углы САВ и АВМ являются ................... /	\

............ при	параллельных прямых	/	\
МК и АС и секущей ...........................  поэтому	^4	с

АСАВ = ......°.

Вершина В данного треугольника лежит на прямой .......Поэто-

му А МВА + А АВС + АСВК - 180°.

Следовательно, А АВС = ......°	— (80° 4- 70°) = ....

Ответ. АА = .......°,	АВ = .....°,	АС = .....°.

255

Дано: АВ || CD, АВ = CD. Докажите,
что: 1) ВС = AD; 2) ВС || AD.

Доказательство. Рассмотрим тре-
угольники ABD и BCD. Их равные эле-

менты: АВ = ...... (по	..........),

BD — ..........................  углы

..... и .................... (так	как

являются ...........................

........................ при параллельных прямых 	 и	.
и секущей .........................................................) . Воспользуемся ..............

......................... Отсюда	получаем, что △ ABD = △ ..........
Значит, ВС = ...................................................... и ACBD = ABDA. Но они являются .

..............при.......прямых 	 и	. и секущей ........Значит,
прямые .......................................................... и	. (по .

...............................................).

256

Дано: а || Ъ, лучи АМ и ВК— бис-
сектрисы внутренних накрест лежащих
углов, образованных при пересечении
прямых а и Ъ секущей с. Докажите, что
прямые АМ и ВК параллельны.

Доказательство...............
Дано: КМ || АС, АВ = ВС.
Докажите, что ВК = ВМ.
Доказательство.
Сначала докажем равенство углов ВКМ
и ВМК. А А = Z.1, так как ........

.......... ,.А ВКМ = А1 (по свойству
.............).
Значит, А ВКМ = А А. Аналогично АС =
= ........... (	

................),
А ВМК = А....... (свойство ......

). Поэтому

АВМК= АС. Но А А = АС
Следовательно, △ ВМК......

). АВКМ = А .

, значит, ВК.....ВМ.

258

Проведите через точки М и К две па-
раллельные прямые, которые пересекают
данную прямую т под углом 45°. (Вос-
пользуйтесь чертежным угольником,
имеющим угол 45°.)

259

Проведите через точки М и К две па-
раллельные прямые, пересекающие дан-
ную прямую I под прямым углом. (Вос-
пользуйтесь чертежным угольником.)

•М

260

Можно ли назвать свойство углов, образованных при пересечении
параллельных прямых секущей, теоремой, обратной признаку парал-
лельности прямых?

Ответ.
Можно ли назвать признак параллельности прямых теоремой, обрат-
ной свойству углов, образованных при пересечении двух параллельных
прямых секущей?

Ответ...................

33.	Сумма углов треугольника

34.	Внешний угол треугольника

Тс

Сумма углов треугольника рав-
на 180°.

Z.A+rB+Z.C=180‘

262

Вычислите градусные меры углов равнобедренного треугольника,
если один его угол при основании равен 55°. (Решите задачу устно.)

Ответ...................

263

Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 80°. Вычис-
лите градусные меры его углов при основании. (Решите задачу устно.)

Ответ...................

264

Угол В треугольника АВС на 35° меньше угла А и на 55° меньше
угла С. Найдите градусные меры каждого угла треугольника АВС.

Решение. Пусть АВ = х°, тогда А А =............°,	АС =........°.

Составим уравнение ............................ (так	как сумма углов

треугольников равна...........), откуда..................... Значит,

АВ = ..........°, АС = .............°, АА = .....°.

Ответ...........................*.................................

265

Верно ли, что любой треугольник имеет хотя бы один острый угол?

Ответ...................
Дано: /\АВС=/\КМР, ZA=46°, ZP=74°. Вычислите градусные
меры углов: С, В, М.

Решение. АК =	46° (так как данные треугольники равны).

Ответ...............................................

267

Вычислите градусную меру тупого
угла, образованного двумя биссектриса-
ми равностороннего треугольника.

Решение........................

Ответ................

268

Существует ли треугольник, два угла которого тупые? (Ответ
поясните.)

Решение. Градусная мера тупого угла больше ...................

Поэтому сумма двух тупых углов ................. 180°. Тогда сумма

всех трех углов треугольника будет еще больше превышать .........

Но этого не может быть согласно теореме о .......................

Следовательно, такого треугольника ................

Ответ....................

269

Вычислите градусные меры углов тре-
угольника АВС. (Решите задачу устно.)

Ответ.
Дано: АВ||CD. Найдите градусные
меры углов треугольника COD.

Решение.......................

Ответ.................

271

Дано: АВ=ВС. ZC=64°, АМ—
биссектриса угла А треугольника АВС.
Вычислите градусную меру угла ВМА.

Решение.......................

Ответ.................

272

Дано: BC||AD, ВС = AD. Вычислите
градусные меры углов АВС и ADC.

Решение......................

Ответ........................
Вычислите градусную меру угла CBD.

Решение. Треугольник АВС равно-
бедренный (по .....................).

Следовательно, АВСА = ABAC =.......°

(по .................................

............................). BD — ....................
А АВС (по ..................).	Следова-
тельно, BD — ............. и

............ треугольника АВС. Значит,
A BDA = A BDC = 90°. Тогда A ABD =

= 180° —(..
Ответ.

, откуда ACBD = A ABD =

274

Вычислите градусную меру угла ВАС.

Решение.....................

Ответ................

275--------------------------------

Отрезок ВМ соединяет вершину тре-
угольника АВС с точкой М, лежащей
между вершинами А и С. Сделайте рису-
нок.

1)	Чему равна сумма градусных мер
всех углов треугольников АВМ и
ВСМ?

2)	Чему равна сумма углов всех тре-
угольников, изображенных на рисунке?

Ответ: 1) ...... ;	2)......
Ответ.......................

277

Градусные меры углов треугольника МРК пропорциональны числам
3, 4, 5. Вычислите градусную меру каждого угла треугольника.

Решение. Пусть АМ = Зх°, тогда АР = 4х° и АК = ......°. Так

как АМ 4- АР 4- АК = ...° (по свойству углов треугольника), соста-
вим уравнение .........., откуда .................,	х=.......

Поэтому АМ = 3 •.....°,	АР = 4 • ..°,	АК = 5 • ..°.

Ответ. АМ = ......°,	ZP= ......°,	АК = .....°.

278

Градусные меры углов треугольника АВС пропорциональны числам
11, 5, 4. Вычислите градусную меру меньшего угла треугольника.

Решение...............................................

Ответ.................

279

Один из углов треугольника равен
сумме двух других углов. Сделайте рису-
нок. Определите вид этого треугольника.

Ответ............................
О	Внешний угол треугольника при данной вершине — это угол, смежный с углом тре- угольника при этой вершине.	В
т хс	Внешний угол треугольника ра- вен сумме двух внутренних уг- лов, не смежных с ним.	A	CD  A BCD- внешний угол ABCD=AA + АВ
т гс	Внешний угол треугольника больше любого внутреннего уг- ла, не смежного с ним.	ABCD>AA, abcd>ab

280

Вычислите градусные меры углов
ВС А и АВС. (Решите задачу устно.)

Ответ.

281

Вычислите градусные меры углов
ВАС и АС В. (Решите задачу устно.)

Ответ.

282

Внешний угол при вершине равно-
бедренного треугольника равен 130°.
Вычислите градусные меры углов дан-
ного треугольника. (Дополните рисунок
и решите задачу устно.)

Ответ.
Вычислите градусную меру угла BCD.
Решение.
ZA 4- AABD = .....°	(по свойству

	).	Z А = AABD,
так как Л ABD — ......

(ПО ...........................).

Следовательно, A ABD = 72° : 2 = ..

ADBC=AABD = ......°,	AC = ....°	—

— (.....° + .....°) =.....°.

Ответ.

284--------------------------------

Может ли внешний угол треугольника
быть равен сумме любых двух внутрен-
них углов этого треугольника? (При ут-
вердительном ответе сделайте рисунок с
помощью шаблона.)

Ответ...........................

35.	Прямоугольный треугольник

36.	Существование и единственность
перпендикуляра к прямой

Прямоугольный треугольник —
это треугольник, у которого
есть прямой угол.

о

Гипотенуза прямоугольного тре-
угольника — это его сторона,
противолежащая прямому углу.

о

Катеты прямоугольного тре-
угольника — это его стороны,
прилежащие к прямому углу.
Докажите, что треугольник АВС пря-
моугольный.

Запишите названия его сторон.

Доказательство...............

АВ — .....................

АС —........ ,	ВС —.........

286

Докажите, что треугольник ВМС
прямоугольный.

Запишите названия его сторон.

Доказательство................

МВ —

МС

ВС — ..................

287

Вычислите градусные меры острых
углов треугольника АВС. (Решите задачу
устно.)

Ответ.

288

Начертите на клетчатой бумаге с помощью линейки прямоугольный
треугольник, у которого: а) катеты равны 3 см и 4 см; б) катеты рав-
ны между собой, а гипотенуза равна 5 см.
																										
																										
																										
																										
																										
							•																			
																										
																										
																										
																										

289

Дано: АС±ВС, CD±AB, AACD = 50°.

Вычислите градусные меры углов Ап В.

(Решите задачу устно.)

Ответ.

290

Градусные меры острых углов прямоугольного треугольника пропор-
циональны числам 2 и 7. Чему равны углы этого треугольника? (Реши-
те задачу устно.)

Ответ.......................

291

Градусные меры углов треугольника пропорциональны числам 2, 3,
5. Докажите, что этот треугольник прямоугольный. Чему равен мень-
ший его угол?

Доказательство.........................................

Ответ.

о
Один из углов треугольника на 50° и на 70° меньше двух других его
углов. Является ли этот треугольник прямоугольным? (Ответ поясните.)

Решение...............................................

........................................9................

Ответ.................

Докажите, что точка О — середина
отрезка АВ.

Доказательство..............

В

294

Докажите, что BF = AD.

Доказательство...............
Докажите, что Z.CAB = A DAB.

Доказательство...............

296

Докажите, что:

1)	BD = АС; 2) АО = DO; 3) ВО = СО.

Доказательство.

1)	Рассмотрим треугольники ABD и
ACD, в которых ....................

Следовательно, &ABD = △.............

откуда BD =.........

2)	Рассмотрим треугольник AOD. У него /LOAD = AODA. так как эти
углы лежат в .................... треугольниках. Значит, &AOD —

................................., поэтому АО = .........

3)	ВО = BD — DO. СО = АС — АО. Но мы доказали, что .......... ,

........ ,	поэтому ВО =.........

т
Ас

Из любой точки, не лежащей на
данной прямой, можно опустить
на эту прямую перпендикуляр,
и только один.

о

Расстояние от точки до пря-
мой — это длина перпендикуля-
ра, опущенного из данной точки
на прямую.
Дано: ВМ — биссектриса угла АВС.
Докажите, что точка К этой биссектри-
сы одинаково удалена от сторон угла
АВС.

Доказательство.

Опустим из точки К перпендикуляры
на стороны угла АВС (т. е. прямые ВС и
АВ) — это отрезки КР и КТ. Рассмотрим

треугольники ВРК и ВТК. Они прямоугольные, АВРК = АВТК = 90°
(по построению). Гипотенуза ВК — их ............. сторона. АРВК =

= АТВК (по............).	Следовательно, АВКР = 90° — АРВК = 90° —

— А КВТ = АВКТ. Теперь можем воспользоваться .......................

.....Значит, АВРК = △............ Поэтому	КР = .....................

В прямоугольном треугольнике
с углом 30° катет, противолежа-
щий этому углу, равен полови-
не гипотенузы.

298

На одной стороне угла А отложен от-
резок АВ, равный 20 см. Угол А равен
30°. Вычислите расстояние от точки В
до второй стороны угла А. (Выполните
нужные построения на рисунке.)

Решение.......................
300

Вычислите длины отрезков, на кото-
рые делит гипотенузу высота треуголь-
ника АВС.

Решение.

Найдем длину гипотенузы треуголь-
ника АВС. АВ =...... см. Рассмотрим

треугольник ACD. В нем ACDA =....°

(по ...................),	ACAD = 90° — 30° =.......°,	тогда AACD =

=..........°	—..........°	=.........°.	Теперь найдем отрезок AD.

AD =..................... :	2 = ........ см.	Следовательно, BD =

= АВ — AD =........ см.

Ответ.......................

301

Точки М и К лежат в разных полу-
плоскостях относительно прямой I и
одинаково удалены от нее. Докажите,
что отрезок МК делится прямой I на
равные части. (Выполните на рисунке
необходимые построения.)

Доказательство.

1) Опустим перпендикуляры МР и КТ
на прямую I. МР = КТ (по.......).

Рассмотрим треугольники....... и

Сравним их соответствен-

ные углы: ..........................................................

Теперь можем воспользоваться .......................................

.................Получим,	что △........ =	△.........Следовательно,
Гипотенуза равнобедренного прямо-
угольного треугольника равна 16 см.
Вычислите расстояние от вершины пря-
мого угла треугольника до гипотенузы.
(Выполните нужные построения.)

Решение.......................

Ответ.................

303

В треугольнике АВС внешний угол
при вершине А равен 150°, АС = 90°,
ВВ1 — биссектриса угла В, ВВ1 = 10 см.
Вычислите длину отрезка СВг.

Отметьте на рисунке данные, пере-
численные в условии задачи.

Решение........................

Ответ.................

304

Начертите на клетчатой бумаге (воспользуйтесь линейкой):

а)	прямоугольный равнобедренный треугольник, вершина прямого
угла которого удалена от его гипотенузы на 3 см;

б)	равнобедренный треугольник, основание которого равно 4 см, а
высота, проведенная к основанию, равна 2,5 см.
5

Геометрические построения

38.	Окружность

39.	Окружность, описанная около треугольника

О

Окружность — это фигура, ко-
торая состоит из всех точек пло-
скости, равноудаленных от дан-
ной точки. Эта точка — центр
окружности.

о

Радиус окружности — это рас-
стояние от центра окружности
до ее точки или любой отрезок,
соединяющий точку окружнос-
ти с ее центром.

Q I Хорда — это отрезок, соединя-
I ющий две точки окружности.

0 | Диаметр — это хорда, проходя-
I щая через центр окружности.
Начертите с помощью циркуля и ли-
нейки с делениями:

а)	окружность с центром в данной
точке О и радиусом 1 см, а также ее ра-
диус и диаметр;

б)	окружность с центром в данной
точке О19 проходящую через точку А; из-
мерьте ее радиус и вычислите длину ее
диаметра.

Ответ, б) ......................

б)

Вычислите длину диаметра окружно-
сти. (Решите задачу устно.)

308

Дано: Z.1 = Z-2.

Докажите, что АВ = CD.

Доказательство...............
Дано: АВ = CD.

Докажите, что ААОВ = ACOD.

Доказательство...............

310

Дано: АВ и CD — диаметры окруж-
ности. Вычислите периметр треугольни-
ка АОС.

Решение.......................

311

Диаметр окружности с центром О равен 10 см. Хорда АВ этой
окружности равна 4 см. Вычислите периметр треугольника АОВ.
(Решите задачу устно.)

Ответ...................

Ill--------------------------------------------------------

АВ и CD — диаметры окружности
с центром О. Докажите, что хорды АС
и BD параллельны. (Выполните на
рисунке нужные построения.)

Доказательство. Рассмотрим тре-
угольники ......... и.............

Их равные элементы: ..............

Воспользуемся.................................................

Получим, что △..........

△.......... ,	откуда следует, что
Вычислите длину хорды ВС.

Решение.

CD =......... ,	так как ODLBC (по

.........),	/.DOB =	,	следова-
тельно, &ODB —........... ,

поэтому BD = ........ =...........

Значит, СВ = ..........

Ответ...............

314

Через точку А окружности с центром
О проведен диаметр АВ, равный 20 см,
и хорда АС. Угол САВ равен 30°. Вычис-
лите расстояние от центра окружности
до прямой АС. (Сделайте на рисунке
нужные построения.)

Решение.
0 I Окружность, описанная около треугольника, — это окружность,
I которая проходит через все его вершины.

Центр окружности, описанной около треугольника, является
точкой пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника,
проведенных через середины этих сторон.

Серединный перпендикуляр к отрезку — это прямая, проходя-
щая через середину отрезка перпендикулярно к нему.

Чтобы найти центр окружности, описанной около треугольника,
нужно построить точку пересечения серединных перпендикуля-
ров к его сторонам (достаточно двух).

315

Гипотенуза равнобедренного треуголь-
ника АВС равна 12 см.

1)	Найдите расстояние от середины
гипотенузы до каждой вершины треуголь-
ника.

2)	Является ли точка О центром
окружности, описанной около треуголь-
ника АВС?

3)	Чему равен радиус этой окружности?
Решение. ОА = ...... =...... см,	СО — ........ (по	........),

следовательно, СО LAB (так как треугольник АВС ..............).

АО АС = АОВС =............°. Поэтому А АСО =...........°, значит,

△АСО — ................... Получим,	что ОА = ОС = ОВ = ... см.

Ответ. 1) ......................;	2) .....................;

3) .................
Начертите на клетчатой бумаге прямоугольный равнобедренный тре-
угольник МРК, гипотенуза МР которого равна 4 см. Постройте окруж-
ность, описанную около треугольника МРК.

																										
																										
																										
																										
																										
																										
																										
																										
																										
																										

317

Верно ли, что центр окружности, описанной около равнобедренного
треугольника, лежит на прямой, содержащей его медиану, проведенную
к основанию? (Ответ поясните.)

Пояснение. Медиана, проведенная к основанию, является и
................... этого треугольника, а следовательно, лежит на
................... к.	основанию.

Ответ....................

40.	Касательная к окружности

41.	Окружность, вписанная в треугольник

о

Касательная к окружности — это
прямая, проходящая через точку
окружности перпендикулярно к
радиусу, проведенному в эту точ-
ку (ее называют точкой каса-
ния).

Касательная к окружности не
имеет с ней других общих то-
чек, кроме точки касания.
Прямая т — касательная к окружно-
сти, радиус которой равен 6 см. Найди-
те расстояние от центра окружности до
прямой т. Сделайте нужные построения
на чертеже. (Решите задачу устно.)

Ответ....................

пг

319

Расстояние от центра окружности до касательной к ней равно 12 см.
Чему равна длина диаметра данной окружности? (Решите задачу
устно.)

Ответ...................

320

СА — касательная к окружности.
Вычислите градусную меру угла ВАС.

Решение.

△ АОВ ........................,

так как АО = ОВ. Следовательно, АОАВ=
= Z ....... = ......°. ОА — радиус,

проведенный в точку касания, поэтому
ОА ...АС. Значит, ABAC = .......°	-

Ответ................

321

МР — касательная к окружности,
АКМР = 30°. Вычислите градусную ме-
ру угла МОК.

Решение......................
Дано: АВОА = 110°, АСАВ = 55°.
Докажите, что прямая АС является ка-
сательной к данной окружности.

Доказательство. Докажем, что
ОА ± АС. Рассмотрим треугольник АОВ.
АОАВ + АОВА = 180° — ..........°	=

= ........°.	Но АОАВ = АОВА, АО =

= ......... (это	радиусы). Значит,

АОАВ = ........°	: 2 = .......°.

Теперь найдем градусную меру угла
ОАС. АОАС = ........°	+ .......°	=

= .......°.	Отсюда следует, что прямая АС является касательной к

данной окружности.

323

Через точку А проведены две каса-
тельные к окружности с центром О, при-
чем В и С — точки касания.

1)	Докажите, что луч АО является
биссектрисой угла ВАС.

2)	Сравните длины отрезков АВ и АС.

Доказательство.

Проведем радиусы в точки В и С.

Ответ. 2) ...............

324

Вычислите расстояние между цент-
рами данных окружностей, если они
имеют:

а)	внешнее касание;

б)	внутреннее касание.

Ответ, а) ..................

б)..................
о

т

с

т

С

Окружность, вписанная в тре-
угольник, — это окружность, ко-
торая касается всех его сторон.

Центр окружности, вписанной в
треугольник, является точкой
пересечения его биссектрис.

Чтобы найти центр окружности,
вписанной в данный треуголь-
ник, нужно построить точку пе-
ресечения его биссектрис (доста-
точно двух).

С

325

Проведите через точки А, В и С ка-
сательные к данной окружности.

1)	Проведите ее радиусы в точки ка-
сания. Чему равно расстояние от центра
окружности до касательных, если ради-
ус данной окружности равен 2 см?

2)	Рассмотрите треугольник, образо-
ванный проведенными касательными.
Является ли данная окружность вписан-
ной в этот треугольник?

Ответ. 1) .................; 2) ...

326

Верно ли, что центр окружности, вписанной в равнобедренный
треугольник, лежит на его медиане и высоте, которые проведены к
основанию треугольника?

Ответ..................

327 ----------------------------------------------------------

Верно ли, что точкой касания основания равнобедренного треуголь-
ника и окружности, вписанной в этот треугольник, является середина
основания?

Ответ...................
В треугольник МРК вписана окруж-
ность, О — ее центр, АМ = 50°, АК = 70°.
Вычислите градусные меры углов МОК,
МОР, РОК.

Решение.

Рассмотрим треугольники МОК, МОР,
РОК. О — центр окружности, вписанной
в треугольник МРК, значит, О — точ-
ка пересечения ....................

этого треугольника. Поэтому АОМК =
=АОМР = ................°,	АОКР =

=АОКМ = ............°.	Теперь найдем

угол Р. АР = ........°	— (.........°	+

4- ........°) = ..........°. Значит, АМРО = АОРК =

Вычислим градусные меры углов с вершиной О. АМОК = 180° —
— (.......° + .......°)	= ......°,	АМОР = 180° — (.......°	+

+........°) =.....°,	АКОР =.......° — .......° + ......°)	=

_	о

Ответ.................................

329

В равносторонний треугольник АВС
вписана окружность, точка О — ее центр.
Чему равны углы АОС, АОВ и ВОС?
(Решите задачу устно.)

Ответ.

330

Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны
соответственно 8 см и 10 см. Чему равны длины отрезков, на которые
делятся стороны треугольника точками касания их с окружностью,
вписанной в этот треугольник?
108
Решение. Центр окружности О лежит
на медиане треугольника, проведенной к
основанию. ОМ — радиус окружности,
М — точка касания. Следовательно, АМ =

= МС =........см, АМ = АР =.........см,

МС = СК= .......... см	(по свойству от-

резков касательных, проведенных к ок-
ружности из одной точки), ВК = ВР =

Ответ.

331

Дано: АВ = ВС = 18 см, периметр
треугольника АВС равен 48 см. О —
центр окружности, вписанной в
треугольник АВС. Вычислите длины
отрезков КС и ВМ.

Решение.......................

Ответ........................

42.	Что такое задачи на построение

43.	Построение треугольника с данными сторонами

44.	Построение угла, равного данному

В задачах на построение идет речь о построении геометрической
фигуры с помощью данных чертежных инструментов. Чаще всего
используют линейку и циркуль.

Задача на построение считается решенной, если указан способ
построения (часто он описывается при выполнении построения) и
доказано, что получена фигура с требуемыми свойствами.
С помощью линейки проводят: 1) произвольную прямую; 2) прямую,
проходящую через данную точку; 3) прямую, проходящую через две
данные точки.

С помощью циркуля: 1) проводят окружность данного радиуса с
центром в данной точке; 2) откладывают данный отрезок от данной
точки на данной прямой.

332

Проведите прямую, которая пересекается с прямой т в точке А.

333 -------------------------------------------------------------

Проведите прямую, которая пересекает данную окружность в
данных точках М и К.

334
Проведите прямую, которая пересекает стороны угла АВС в данных
точках Р и Т.

336

Отложите на прямой с от точки М по разные стороны от нее отрезки,
равные данным отрезкам а и Ь.

337

Постройте треугольник, стороны которого: а) равны данным отрез-
кам; б) имеют длины 2 см, 2,5 см, 3 см.

а

с

b
Постройте две окружности с центрами в точках А и В, которые про-
ходят через точку О.

Проведите прямую через две общие точки этих окружностей.

339 --------------------------------------------------------

Отложите на сторонах данного угла от его вершины отрезки, равные
данному.

340 ----------------------------------------------------------

Постройте с помощью циркуля и линейки угол, градусная мера
которого в 2 раза больше градусной меры данного угла.
Постройте: 1) на одной стороне данного угла точку, которая удалена
от его вершины на 3 см; 2) на другой стороне данного угла две точки,
которые удалены от точки, построенной при выполнении задания 1, на
2,5 см.

342

Постройте равносторонний треугольник, сторона которого равна дан-
ному отрезку.

а

343

Постройте равнобедренный треугольник, боковая сторона и основание
которого равны соответственно данным отрезкам а и Ъ.

а

Ъ
Постройте равнобедренный треугольник, боковая сторона и угол при
вершине которого равны данным углу и отрезку.

345 -------------------------------------------------------------

Постройте с помощью циркуля и линейки два угла, равные данно-
му углу, так, чтобы они были расположены в разных полуплоскостях
относительно данной полупрямой ап, вершины их находились в точках
А и В, две стороны лежали на прямой т и не имели общих точек.

Как расположены другие стороны построенных углов?

(Ответ поясните.)

Ответ...............................................

Пояснение.......................................
45.	Построение биссектрисы угла

46.	Деление отрезка пополам

47.	Построение перпендикулярной прямой

346

347

Постройте с помощью циркуля и линейки прямую, которая будет де-
лить данные два вертикальных угла пополам.
Постройте биссектрисы данных смежных углов.

Чему равна градусная мера угла, образованного построенными бис-
сектрисами? (Ответ поясните.)

Ответ...............°.

Пояснение........................................

349
Постройте угол, равный четверти данного угла.

з

Какой из построенных углов равен — данного угла?

4

(Ответ поясните.)

Ответ.................

Пояснение.........................................

351

Разделите с помощью циркуля и линейки два данных отрезка попо-
лам.
Постройте с помощью циркуля и линейки окружность, диаметром
которой является данный отрезок.

353

Постройте с помощью циркуля и линейки биссектрису угла при вер-
шине данного равнобедренного треугольника.

Сколькими способами можно выполнить это построение?

Ответ................
Постройте две окружности с центрами в концах данного отрезка,
радиусы которых равны половине его длины.

В	С

355------------------------------------------------------------

Постройте с помощью циркуля и линейки отрезок, соединяющий се-
редины двух сторон данного треугольника.

Измерьте длины этого отрезка и противоположной стороны треуголь-
ника (с помощью линейки с делениями). Сравните их длины.

Ответ.................

356
Постройте с помощью циркуля и линейки точку пересечения двух
медиан данного треугольника.

Сравните длины отрезков, на которые делится этой точкой одна ме-
диана.

Ответ.................

358 ------------------------------------------------------------

Постройте с помощью циркуля и линейки одну высоту данного тре-
угольника.
Постройте с помощью циркуля и линейки перпендикуляр к данной
хорде, проходящий через центр данной окружности.

Сколькими способами можно выполнить это построение?

Ответ...................

Постройте с помощью циркуля и линейки диаметр данной окружно-
сти, перпендикулярный ее диаметру АВ.

361
Постройте диаметр данной окружности, который проходит через
данную точку касания ее с прямой т.

363 ----------------------------------------------------------

Постройте равнобедренный треугольник, основание которого равно
данному отрезку а и высота, проведенная к основанию, равна данному
отрезку Ь.

а

b

364-----------------------------------------------------------

Постройте с помощью циркуля и линейки равнобедренный треуголь-
ник, гипотенузой которого является данный отрезок АВ.
48.	Геометрическое место точек

49.	Метод геометрических мест

Q I Геометрическое место точек — это фигура, которая состоит из
I всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.

Окружность — это геометричес-
кое место точек, равноудален-
ных от данной точки.

ОА=ОВ=ОС===О1)==...=ОХ

Серединный перпендикуляр к
отрезку — это геометрическое
место точек, равноудаленных от
его концов.

АМ=МВ
АР—РВ
АК=КВ

АХ=ХВ

Биссектриса угла — это геомет-
рическое место точек, равноуда-
ленных от его сторон.

Метод геометрических мест — это один из методов решения задач
на построение. Его сущность состоит в следующем. Если надо найти
точку, удовлетворяющую, например, двум условиям, то строят геомет-
рическое место точек, удовлетворяющих первому условию (фигура FJ,
затем геометрическое место точек, удовлетворяющих второму усло-
вию (фигура F2). Искомая точка является точкой пересечения фи-
гур F. и F2.
Постройте на прямой I точку, которая находится на равном рассто-
янии от концов отрезка МР.

Решение. Строим геометрическое место точек, равноудаленных от
концов отрезка МР. Им является ...................................

Искомая точка — это точка пересечения прямой I и построенного

366---------------------------------------------------------------

Постройте на прямой т точки, удаленные от данной точки Р на 2 см.
Решение. Строим геометрическое место точек, удаленных от дан-
ной точки на 2 см. Им является ...................................

Искомая точка (точки) — это пересечение прямой т и построенной
Постройте на прямой а точку, которая равноудалена от сторон дан-
ного угла.

Решение. Строим геометрическое место точек, равноудаленных от
сторон данного угла. Им является .................................

Искомая точка — это точка пересечения ...................... и	по-
строенной ......................................................

368

Постройте все точки, которые удалены от данной точки М на 2 см,
а от точки К на 1,5 см. (Выполните только построение.)

Всегда ли такие точки существуют?

Ответ....................
На стороне ВС данного треугольника постройте точку, равноудален-
ную от двух других его сторон. (Выполните только построение.)

370

На стороне МК треугольника МКР постройте точку, равноудален-
ную от его вершин М и Р. (Выполните только построение.)

371

Постройте на данной окружности точки, которые равноудалены от
точек М и Р этой окружности. (Выполните только построение.)
Постройте геометрическое место центров окружностей, которые ка-
саются данной прямой в точке К.

Решение. Радиус ОК любой окружности, касающейся прямой I в
точке К, .......................... прямой I. Значит, центры таких

окружностей лежат на ............................................

к прямой Z, проходящем через точку К. Таким образом, приходим к
выводу, что искомое геометрическое место точек — это ............

373

Постройте геометрическое место центров окружностей, каждая из
которых проходит через две данные точки.

Решение. Центр любой окружности, на которой лежат точки А и
В, равноудален от этих точек. Значит, он расположен на............

Поэтому искомое геометрическое место точек — это ..................

А

в
Постройте геометрическое место центров окружностей, проходящих
через данную точку А, радиус которых равен 2 см.

Решение. Центр любой окружности, которая проходит через точ-
ку А и имеет радиус, равный 2 см, ...............................

Поэтому искомым геометрическим местом является .................

375

Постройте геометрическое место вершин равнобедренных треуголь-
ников, основанием которых является данный отрезок МР. (Выполните
только построение.)
Учебное издание

Дудницын Юрий Павлович

ГЕОМЕТРИЯ

Рабочая тетрадь
7 класс

Пособие для учащихся
общеобразовательных учреждений

Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. В. Кузнецова
Младший редактор Н. В. Ноговицина
Художники Е. В. Анненкова, О. П. Богомолова
Художественный редактор О. П. Богомолова
Компьютерная графика: И. А. Шалеев
Технические редакторы Е. А. Сиротинская, Н. Т. Рудникова
Корректоры Н. И, Новикова, Л, А. Ермолина

Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000.
Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать 15.10.10. Формат
TOXiOOVie. Бумага писчая. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 5,28.
Тираж 10000 экз. Заказ № 30871.

Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.

Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат».
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
www.sarpk.ru