Text
                    ГЕОМЕТРИЯ
ДЛЯ 6 8 КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ*
Допущен Министерством просвещения РСФСР
ПРОБНЫЙ
УЧЕБНИК
МОСКВА
«ПРОСВЕЩЕНИЕ»
1981


ББК 22. 151. Оя 72 Г36 Авторы: АТАНАСЯН Л. С, ПОЗНЯК Э. Г. — 6 и 7 классы АТАНАСЯН Л. С, БУТУЗОВ В. Ф., КАДОМЦЕВ С. Б., ПОЗНЯК Э, Г. — 8 класс Атанасян Левой Сергеевич Бутузов Валентин Федорович Кадомцев Сергей Борисович Позняк Эдуард Генрихович ГЕОМЕТРИЯ Пробный учебник для 6—8 классов средней школы Редактор Ж. П. Данилова Художник переплета Б. Л. Николаев Художественный редактор Е. Н. Карасик Технический редактор В. Ф. Коскина Корректоры Л. Г. Новожилова, Р. П. Евдокимова ИБ № 6704 Сдано в набор 20.02.81. Подписано к печати 20.05.81. бОхЭО1/^- Бумага тип. №2. Гарнитура школьная. Печать высокая. Усл. печ. л. 30,0 + форзац 0,25. Усл. кр. отт. 30,75. Уч.-изд. л. 25,73 + форзац 0,41. Тираж 39000 экз. Заказ 54. Цена 40 коп. Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиграф- прома Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59. 60501 —636 л лл инф. письмо 4306020400 103(03)—81 (g) Издательство «Просвещение», 1981 г.
6 класс ВВЕДЕНИЕ Геометрия, как и другие разделы математики, своими корнями уходит в далекое прошлое. Слово «геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие», в давние времена важной задачей было измерение площадей земельных участков. Возникновение геометрических понятий связано с практической деятельностью человека и в первую очередь с необходимостью измерений на местности, проведением дорог, постройкой зданий и т. д. Наблюдения за предметами очень малых размеров привели к понятию точки. Лучи света, натянутые нити дают представление о прямых линиях. Отрезки — это части прямых линий, треугольники, четырехугольники — геометрические фигуры, составленные из отрезков (рис. 1). Более сложным является понятие произвольной пространственной фигуры, или произвольной геометрической фигуры. Представление о геометрической фигуре возникает в нашем сознании тогда, когда мы рассматриваем часть пространства, которое занимает какое-либо физическое тело. Так, часть пространства, занимаемая листом бумаги, на котором напечатана эта страница, дает нам представление о геометрической фигуре, ограниченной прямоугольником. Часть пространства, которое занимает книга (например, учебник по геометрии), дает представление о другой геометрической фигуре — параллелепипеде (рис. 2). Понятия о геометрических фигурах создаются в нашем сознании и путем воображения. Например, плоскость треугольник можно представить себе как неогранц- Рис. 1 точка 3
Параллелепипед Рис. 2 Круг Форму круга имеет тарелка Шар Форму шара имеет мяч Цилиндр Форму цилиндра имеет стакан Рис. 3 ченно продолженный во все стороны лист бумаги или поверхность стола бесконечных размеров. На плоскости могут быть расположены точки, прямые, отрезки, треугольники, прямоугольники и другие геометрические фигуры. Среди окружающих нас предметов встречаются и такие, которые имеют форму круга, шара, цилиндра (рис. 3). Таким образом, в нашем сознании в результате наблюдений и воображения возникают понятия геометрических фигур и их взаимного расположения. Например, мы отчетливо представляем себе, что означают выражения: «прямая проходит через точку» или «точка лежит на прямой». В курсе геометрии средней школы изучаются свойства перечисленных выше простейших и более сложных фигур. Школьный курс геометрии разделяется на планиметрию и стереометрию. В планиметрии рассматриваются свойства фигур на плоскости. Примерами таких фигур могут служить отрезки, треугольники, прямоугольники и круги. В стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве, например параллелепипеда, шара и др. Мы начнем изучение геометрии с планиметрии.
Глава I ПРОСТЕЙШИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ИХ СВОЙСТВА. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ В этой главе мы познакомимся с простейшими геометрическими фигурами и рассмотрим их взаимное расположение. К числу таких фигур относятся уже знакомые вам точки, прямые, отрезки, лучи и новая геометрическая фигура — полуплоскость. Введем понятие длины отрезка и выясним, как измеряются отрезки и расстояния между двумя точками. Изображение прямой на чертеже Рис. 4 § 1. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК И ПРЯМЫХ 1. Точка и прямая. Точка — простейшая геометрическая фигура. Представление о точке связано с наблюдением предметов очень малых размеров. Изображение точки можно получить, прикасаясь к бумаге остро отточенным карандашом. Представление о прямой дает натянутая нить или луч света, выходящий из малого отверстия. Прямую, как геометрическую фигуру, следует представлять себе продолженной бесконечно в обе стороны. Для изображения прямых на чертеже используют линейку (рис. 4). Точки обозначаются большими латинскими буквами: А, В, С, ..., а прямые — малыми латинскими буквами: а, Ьу р, ... (рис. 5). 2. Взаимное расположение точек и Прямых. ЕСЛИ на ПЛОСКОСТИ дана пря- Точки и прямые. Прямые Мая, ТО ТОЧКИ ПЛОСКОСТИ могут Принад- Р и Я. пересекаются в точке „ О. Точки М и N лежат на лежать этой прямой, а могут и не при- прямой ъ надлежать ей. О точках, принадлежа- Рис. 5 5
щих прямой, говорят, что они лежат на прямой. В этом случае говорят также, что прямая проходит через точки. На рисунке 5 точки М и N лежат на прямой Ъ (прямая Ъ проходит через точки М и N), а точки А, Б и С не лежат на этой прямой (прямая Ъ не проходит через точки А, В, С). Для краткости вместо предложения «Точка N принадлежит прямой Ь» употребляют символическую запись: N £ Ъ, а вместо «Точка А не принадлежит прямой Ь>> — запись A i Ъ. Отметим следующее свойство прямой. I. Через любые две точки проходит прямая и притом только одна*. Поясним это свойство. Приложим линейку к двум данным точкам. Если мы несколько раз проведем карандашом по краю линейки, то увидим только одну прямую линию, проходящую через эти две точки. Свойство I называется аксиомой прямой. Аксиомы принимаются без доказательства. Они используются при доказательстве свойств геометрических фигур. Отметим на прямой две точки. Согласно аксиоме прямой через эти точки проходит только данная прямая. Поэтому прямую можно задавать любыми двумя лежащими на ней точками. Например, прямую Ъ на рисунке 5 можно задать точками М и JV, и поэтому ее можно назвать «прямой MN» (или «прямой NM»). Две прямые на плоскости могут не иметь общих точек или иметь одну общую точку. Они не могут иметь две и более общих точек, так как через две точки может проходить только одна прямая. Из этих рассуждений следует утверждение. Две прямые либо не имеют общих точек, либо имеют только одну общую точку (рис. 6). а Если две прямые имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются, ъ. если они не имеют ни одной общей точки, то говорят, что они не пересекаются. На рисунке 6 прямые р и q пересекаются, а прямые а и Ъ не пересекаются. Прямые а и Ь не имеют об- щих точек. Прямые ри q имеют только * Здесь и в дальнейшем говоря едве точки>1 одну общую ку <трИ прямые» и т. д, будем считать, что рассмат- Рис. 6 риваемые точки, прямые различны.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 1. Начертите прямую, обозначьте ее через а и отметьте: а) точки А и Б, лежащие на прямой а; б) точки Р, Qni?, не лежащие на этой прямой. Запишите в принятых обозначениях взаимное расположение точек А, В, Р, Q и R и прямой а. 2. Запишите в принятых обозначениях взаимное расположение точек и прямых, изображенных на рисунке 7. 3. Перечертите в тетрадь рисунок 8 и обозначьте буквами все прямые и точки. Запишите в принятых обозначениях взаимное расположение точек и прямых. 4. Прочитайте следующие записи: A $а, В £b,C i DE, F £ АВ, Е i Ъ. 5. Отметьте три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, и, поль- ^ зуясь линейкой, проведите пря- \а мые, проходящие через пары точек / \ А, В; В, С и С, А. / \ 6. Перечертите рисунок 9 в тетрадь. F У \ С помощью линейки проведите все °J у с прямые, проходящие через пары этих точек, и обозначьте те из них, которые пересекают прямую а. 7. Начертите две прямые а и Ь, пересекающиеся в точке С. Затем начертите прямую, пересекающую обе прямые. Рассмотрите возможные случаи. 8. Начертите три прямые а, бис, проходящие через точку Е. Затем начертите прямую, пересекающую прямые а и & и не пересекающую прямую с. 9. Начертите три попарно пересекающиеся* прямые. Обозначьте все точки, которые получились в * Под попарно пересекающимися прямыми понимаются такие прямые, каждые две из которых пересекаются. Рис. 8 Рис. 9 7
результате пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите возможные случаи. 10. Начертите две прямые а и Ъ и отметьте три точки А, Б, С на прямой а и три точки Аи Ви Сх на прямой Ъ (рис. 10). Пользуясь линейкой, убедитесь в том, что точки пересечения прямых АВХ и ^Б; АСг и АгС; ВСг и ВХС лежат на одной прямой. 11* .Начертите четыре попарно пересекающиеся прямые и обозначьте все точки, которые получились в результате пересечения этих прямых. Каково число полученных точек? Рассмотрите возможные случаи*. 12. Отметьте четыре точки А, Б, С, D так, чтобы точки А, Б, С лежали на одной прямой, а точка D не лежала на этой прямой. Проведите прямые, проходящие через каждую пару данных точек. Сколько таких прямых можно провести? 13. Отметьте четыре точки так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой. Проведите прямые, проходящие через каждую пару этих точек. Сколько таких прямых можно провести? 14. Даны пять точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколько можно провести прямых, содержащих попарно данные точки? 15. Даны две прямые АВ и АС, пересекающиеся в точке А. Имеется ли прямая, проходящая через три точки А, Б и С? Дайте обоснование ответу. § 2. ОТРЕЗОК. ПОЛУПЛОСКОСТЬ 8. Отрезок. Отрезок — геометрическая фигура. Мы представляем себе отрезок как часть прямой, ограниченную двумя точками. Эти точки называются его концами. На рисунке 11 изображен отрезок прямой а с концами в точках An Б. Говорят также, что этот отрезок соединяет точки А и Б. А в Рис. 11 * Здесь и далее звездочкой отмечены более сложные задачи. в
Отметим следующее свойство (аксиома отрезка). II. Любые две точки задают один и только один отрезок с концами в этих точках. Все точки отрезка лежат на прямой, проходящей через его концы. Для краткости вместо слов «отрезок с концами в точках А и В» говорят «отрезок АВ» или «отрезок ВА». Для обозначения отрезка АВ пользуются записью [АВ]. На рисунке 12 изображен отрезок АВ прямой а. Концы отрезка, т. е. точки А и В, принадлежат этому отрезку. Кроме точек А и В, на отрезке АВ имеются и другие точки, например точки М, N и Р. На прямой а имеются точки, не принадлежащие отрезку АВ, например точки X, Y, 7\ Z. Точки X и Y лежат по одну сторону от отрезка АВ, а точки Тк Z — по другую. А М N Р В а А М В 9 » • Ш 9 • 0 • • g Щ Т Т Z XV Точки М, N и Р —- внутренние точки отрезка Точка М лежит между точ- АВ, Точки X и Y лежат по одну сторону от от- ками А и В резка АВ, а точки Т и Z — по другую Рис- 12 Рис. 13 Точки отрезка, отличные от его концов, называются внутренними его точками. Если М — внутренняя точка отрезка АВ (рис. 13), то говорят, что точка М лежит между точками А и В (или между точками В и А). На рисунке 12 точки М, N, Р— внутренние точки отрезка АВ. Каждая из точек М, N, Р лежит между точками А и В. Для краткости вместо слов: «точка М лежит между точками А и В» (или «точка М — внутренняя точка отрезка АВ») — будем писать А — М — В. Пусть А, В и М — три точки, лежащие на прямой а. Из этих трех точек только одна точка лежит между двумя другими. На рисунке 13 точка М лежит между точками А и В; точка А не лежит между точками М и В и точка В не лежит между точками А и М. Сформулируем это свойство (аксиома трех точек прямой) следующим образом. III. Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими. Если отрезок АВ не расположен на прямой а, то возможны следующие случаи взаимного расположения этой прямой к
отрезка АВ' отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а (рис. 14, а); один конец отрезка принадлежит прямой а, а другой не принадлежит прямой (рис. 14, б); одна и только одна внутренняя точка отрезка принадлежит прямой (рис. 14, б). В последнем случае мы будем говорить, что отрезок АВ пересекается с прямой а или прямая а пересекает отрезок АВ. 4. Провешивание прямой на местности. Для изображения отрезков прямых на бумаге пользуются линейкой. Для проведения прямых на местности существует несколько способов. Например, при постройке забора на- д) тягивают веревку между двумя колыш- ^ ками, вбитыми в землю. Для прове- Различные случаи располо- ^ жения прямой а и отрезка дения более длинных отрезков прямых АВ Рис. 14 (при рубке лесных просек, при прокладывании трассы шоссейной или железной дорог, линий высоковольтных передач) применяется способ, называемый провешиванием, т. е. использованием вех. Вехи — это шесты, имеющие длину около 2 м, заостренные на одном конце для того, чтобы их можно было „ воткнуть в землю. Для проведения на Провешивание прямой на местности с помощью вех местности прямой ставится ряд вех на Рис. 15 некотором расстоянии друг от друга (рис. 15). Если нужно провести отрезок прямой между точками А и С, положение которых дано, то сначала ставят вехи в этих точках, затем между ними — промежуточные вехи так, чтобы первая веха закрывала все следующие. 5. Полуплоскость. Рассмотрим ка плоскости прямую а. Эта прямая разделяет плоскость на две части F и Q (рис. 16), каждая из которых называется полуплоскостью. Точки -А, М и С принадлежат полуплоскости F, а точки Б, N и Р — полуплоскости Q. Прямая а называется границей каждой из двух 10
Прямая а разделяет плоскость на две полуплоскости F и Q Рис. 16 полуплоскостей. Полуплоскости будем обозначать большими латинскими буквами F, Q, Я, К и др. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям с общей границей а, то этот отрезок пересекается с прямой а. Например, концы отрезков АВ, MB, MN, С В и MP, изображенных на рисунке 16, принадлежат разным полуплоскостям с границей а, поэтому эти отрезки пересекаются с прямой а. Если же оба конца отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не имеет общих точек с границей полуплоскостей. Точки А и М принадлежат полуплоскости F, и поэтому отрезок AM не имеет общих точек с прямой а. Отрезки МС, PN, BN также не имеют общих точек с прямой а. Итак, справедливо следующее свойство полуплоскостей с общей границей. IV. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям с общей границей, то отрезок пересекается с границей полуплоскостей. Если же концы отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не имеет общих точек с границей полуплоскостей. Это свойство мы примем без доказательства как аксиому. Если F и Q — две полуплоскости с общей границей а (рис. 16), то любая точка плоскости, не лежащая на прямой а, принадлежит одной и только одной из полуплоскостей F или Q. Точки прямой а не принадлежат ни полуплоскости F, ни полуплоскости Q. Для краткости иногда вместо предложения «Точка А принадлежит полуплоскости F» употребляют запись А £ F, а вместо «Точка В не принадлежит полуплоскости F» — запись В $ F. С помощью аксиомы полуплоскостей (аксиомы IV) можно получить и другие свойства, характеризующие расположение точек на плоскости. Рассмотрим пример. Пусть а—произвольная прямая плоскости, отрезок АВ не имеет общих точек с этой прямой (рис. 17, а). Как в этом случае расположены 11
Gn\V a) точки А и В относительно полуплоскостей с общей границей а? Очевидно, они не могут принадлежать разным полуплоскостям, так как в этом случае по аксиоме полуплоскостей отрезок АВ пересекался бы с общей границей а. Следовательно, эти точки принадлежат одной из двух полуплоскостей с границей а. Итак, справедливо свойство. Если отрезок не имеет общих точек с прямой а, то его концы принадлежат одной из двух полуплоскостей с общей границей а (рис. 17, а). Путем таких же рассуждений можно получить следующее свойство. Если отрезок пересекается с прямой а, то его концы принадлежат разным полуплоскостям с общей границей а (рис. 17, б, см. задачу 99). ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 16. Начертите прямую а и отрезок АВ этой прямой. Отметьте: а) точки М и N, принадлежащие отрезку АВ; б) точки Р и Q, лежащие на прямой а, но не принадлежащие отрезку АВ\ в) точки Л и S, не лежащие на прямой а. 17. Отметьте точки А, В и С, лежащие на одной прямой, и точку D, не лежащую на этой прямой: а) начертите все отрезки с концами В любых двух из данных точек и назовите их; б) обозначьте все прямые, каждая из которых проходит по крайней мере через две отмеченные точки. 18. Начертите прямую а и отметьте на ней две точки А и В: а) отметьте точку М, лежащую между точками А и Б; б) отметьте точку Р такую, чтобы точка А лежала между точками Р и В, и точку Q такую, чтобы точка В лежала между точками А и Q. 19. Начертите прямую а и на ней отрезок АВ. На прямой а отметьте две точки М и N по разные стороны от отрезка АВ: а) назовите все отрезки с концами в любых двух из точек А, Б, М и N; б) отметьте точку X, лежащую между точками А и М. Каким отрезкам принадлежит точка XI
20. Начертите прямую а и отрезки АВ, CD, PQ, если известно, что: а) отрезок АВ принадлежит прямой а; б) отрезок CD пересекается с прямой а; в) один конец отрезка PQ лежит на прямой а, а другой не лежит на этой прямой. 21. Начертите прямую а. Обозначьте каждую из полуплоскостей с границей а. Отметьте точки А, В, С, принадлежащие одной полуплоскости, точки М, N, Р — другой, точки X, Y, Z, принадлежащие границе полуплоскостей. 22. Начертите прямую а и отметьте точку В, не лежащую на ней. Обозначьте через Н полуплоскость с границей а, содержащую точку В. 23. Отметьте три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Обозначьте через Н полуплоскость с границей ВС, содержащую точку А, и через Q — полуплоскость с границей АС, содержащую точку В. Отметьте две точки, принадлежащие полуплоскости Н, и другие две точки, принадлежащие полуплоскости Q, и обозначьте их. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 24. Даны пять точек М, N, Р, Q и R. Назовите все отрезки с концами в любых двух из данных точек. 25. Для каких отрезков, изображенных на рисунке 18: а) точка С является внутренней точкой; б) точка С не является внутренней точкой? 26. Каким отрезкам, изображенным на рисунке 18: а) принадлежит точка С; б) не принадлежит точка В? 27*.Назовите все отрезки с концами в любых двух из точек А, В, С и D, изображенных на рисунке 18. Укажите пары отрезков, которые: а) не имеют ни одной общей точки; б) имеют только одну общую точку; в) имеют бесконечное множество общих точек. 28. Могут ли два отрезка иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки; в) не иметь ни одной общей точки? 29. Запишите в принятых обозначениях, какие из точек, изображенных на рисунке 18, лежат между двумя другими. 30. Точка X лежит между точками А и В. а) Лежат ли точки А, В и А с В D ' X на одной прямой; б) лежит ли f 9 точка А между точками В и XI Рис. 18 13
35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. D Рис. 31. Пусть А — В — С. а) Является ли точка В внутренней точкой отрезка АС\ б) является ли точка С внутренней точкой отрезка АВ? 32. Пусть А — В — С и А —В— D. Лежат ли точки А, В, С и D на одной прямой? 33. Точка С лежит между точками А и Б и между точками Е и £>. Можно ли утверждать, что Е £ АВ, yt " если D i АВ? / I 34. На рисунке 19 изображены пря- \а мая а и отрезки АВ, CD, MN и 19 МК. Какие из этих отрезков пересекаются с прямой а? Точки А, В принадлежат одной полуплоскости с границей а, точка С принадлежит другой полуплоскости. Какие из отрезков АВ, ВС, АС пересекаются с прямой а? Точки А, В принадлежат одной полуплоскости с границей а, а точки D и Е —другой полуплоскости. Какие из отрезков AD, AE, АВ, BD, BE, DE: а) не имеют общих точек с прямой а; б) пересекаются с прямой а? Прямая а разделяет плоскость на две полуплоскости с общей границей а. Точки А, В и С принадлежат одной полуплоскости, а точки D и Е — другой. Перечислите все отрезки с концами в данных точках, которые: а) пересекаются с прямой а; б) не имеют общих точек с прямой а. Точки А и В принадлежат разным полуплоскостям с общей границей, а точки В и С — одной из этих полуплоскостей. Какие из отрезков АВ, АС и ВС пересекаются с границей полуплоскостей? Точки А и В принадлежат разным полуплоскостям с общей границей а. Отрезок ВС не имеет общих точек с прямой а. Пересекается ли отрезок АС с прямой а? Прямые а и АВ не пересекаются. Можно ли утверждать, что точки А и В принадлежат одной и той же полуплоскости с границей а? Дайте обоснование ответу. Пусть А, В, С — точки, не лежащие на прямой а и расположенные так, что отрезок АВ не имеет общих точек 14
с прямой а, а отрезок АС пересекается с ней. Почему в этом случае точки В и С принадлежат различным полуплоскостям с общей границей а? Дайте обоснование ответу. 42. Даны четыре точки А, В, С, D и прямая а, не проходящая ни через одну из этих точек. Известно, что отрезки АВ и CD пересекаются с прямой а, а отрезок ВС не имеет общих точек с этой прямой. Пересекается ли отрезок AD с прямой а? Дайте обоснование ответу. § 3. ЛУЧ 6. Понятие луча. На прямой а отметим точку О. Эта точка разделяет прямую а на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О. Точка О называется началом каждого из этих лучей. На рисунке 20 изображены лучи прямой а с общим началом О. Один из лучей выделен жирной линией. Лучи будем обозначать малыми латинскими буквами А, k, l, т. На рисунке 21, а изображены лучи h и k. Луч можно задать двумя точками — началом луча и точкой, принадлежащей лучу, поэтому его можно обозначать также двумя прописными буквами. В этом случае на первом месте ставится буква, обозначающая начало луча. На рисунке 21, б изображен луч О А. Два луча прямой с общим началом называются дополнительными. Они вместе с точкой О дополня- п п и ют друг друга до прямой. На рисунке 21, а прямая точкой О разделена на два дополнительных луча h и k. Сформулируем следующее свойство (аксиому) дополнительных лучей. V. Если две точки принадлежат дополнительным лучам, то общее начало этих лучей лежит между данными точками. Если же две точки принадлежат одному и тому же лучу, то начало лучей не лежит между этими точками. Поясним эту аксиому на рисунке 22. Точка А принадлежит лучу А, а Рис. 22 Точка 0 а к "» м разделяет прямую на два луча Рис. 20 0 h а) f 0 м -н- А 0) Рис. 21 N 0 А в 1 « ' 1— Сь JS
точка М — дополнительному лучу k* Мы видим, что точка О лежит между точками А и М. Точно так же точка О лежит между точками А и N. С другой стороны, точки В и С принадлежат лучу Л и точка О не лежит между точками В и С. Точка О не лежит также между точками М и N, так как эти точки принадлежат лучу fe. Если А и fe — дополнительные лучи прямой а с общим началом О, то любая точка прямой а, отличная от точки О, принадлежит одному и только одному из лучей Л или fe. Точка О не принадлежит ни лучу Л, ни лучу fe. Пользуясь аксиомой V, можно получить следующее свойство. | Если точка О лежит между точками А и В, то точки А и В принадлежат дополнительным лучам с общим началом О (см. задачу 105). 7. Луч полуплоскости. На рисунке 23 изображены полуплоскость F и луч А. Начало О луча А лежит на границе полуплоскости jF, а все точки луча принадлежат самой полуплоскости. Луч А называется лучом полуплоскости F. Итак, лучом данной полуплоскости называется такой луч, начало которого лежит на границе полуплоскости, а все его точки принадлежат этой полуплоскост и. На рисунке 24 лучи A, hx и А2 являются лучами полуплоскости F, а другие лучи с началом в точках О, 03, 04 и 05 не являются лучами этой полуплоскости. Заметим, что все точки луча А3 принадлежат полуплоскости F, однако этот луч не яв- Рис. 24 16
ляется лучом полуплоскости F, так как его начало 03 не лежит на границе полуплоскости. Пусть даны полуплоскость F и луч Л, начало которого лежит на границе полуплоскости (рис. 25). Легко видеть, что если некоторая точка А луча h принадлежит полуплоскости F, то и все точки луча h принадлежат полуплоскости F. Таким образом, мы получили признак, на основании которого можно выяснить, является ли данный луч лучом полуплоскос ти. Если начало луча лежит на грани- це полуплоскости, а некоторая его точка принадлежит полуплоскости, то данный луч является лучом полуплоскости (см. задачу 108). 1 1 1 1 1 II ! 1 1 II 1 1 1 1 1 1 | Мм|| 1| ИЬ 1 !i г^ШтП ||щн | 1111U11111 [ШТ/7 i О Если начало О луча h лежит на границе полуплоскости F, а точка А луча принадлежит самой полуплоскости F, то и все точки М луча h принадлежат F Рис. 25 Р Рис. 26 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 43. Начертите прямую а, отметьте на ней точки А, В, С и D так, чтобы точка С лежала между точками А и Б, а точка А — между точками С и D. Назовите лучи прямой а: а) исходящие из точки С; б) исходящие из точки А. 44. На прямой а отметьте две точки 01 и 02. Укажите два луча прямой а, исходящие из точек 01 и 02, такие, что: а) они не имеют общих точек; б) один из лучей полностью принадлежит другому; в) общая их часть представляет собой множество всех внутренних точек отрезка Ох02' 45. Начертите луч и обозначьте его через h. Проведите луч fe, дополнительный к лучу h. 46. Перечертите рисунок 26 в тетрадь и проведите лучи, дополнительные к лучам h и р. 47. Начертите прямую а и покажите штриховкой одну из полуплоскостей с границей а: а) изобразите несколько лучей этой полуплоскости; б) изобразите несколько лучей с началом на прямой а, которые не являются лучами этой полуплоскости; в) изобразите несколько лучей, принадлежащих прямой а. 17
Рис. 27 Рис. 28 48. Начертите лучи h и k так, чтобы они имели общее начало О, но не были дополнительными лучами. Проведите луч О А так, чтобы лучи h и О А являлись лучами одной полуплоскости, границе которой принадлежит луч fe. 49. Начертите прямую а и лучи h и k одной из полуплоскостей с границей а. Проведите лучи hx и ku дополнительные к лучам h и k. 50. Начертите прямую а и лучи huh так, чтобы они имели разные начала и являлись лучами разных полуплоскостей с границей а. Изобразите лучи Ьх и kl9 дополнительные к лучам h и k. Выпишите пары лучей одной и той же полуплоскости с границей а. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 51. На каждом из рисунков 27, а и б найдите все пары дополнительных лучей и выпишите их в тетрадь. 52. По данным рисунка 28 выясните, являются ли дополнительными следующие пары лучей: а) лучи BE и BD\ б) лучи BE и CD; в) лучи ВН и ВЕ\ г) лучи АН и АК; д) лучи АС и АМ\ е) лучи CN и С Ml 53. Точки А и В принадлежат дополнительным лучам с общим началом О. а) Лежат ли точки А, Б и О на одной прямой; б) принадлежит ли точка О отрезку АВ1 54. Точки С и D принадлежат лучу с началом в точке О, а точка -Б — дополнительному лучу, а) Лежат ли точки О, С, D и Е на одной прямой; б) для каких из отрезков CZ), СЕ, DE точка О является внутренней точкой? 55. Лучи АВ и АС являются дополнительными лучами. Может ли точка В принадлежать отрезку АС? Дайте обоснование ответу. 56. Лучи АВ и АС совпадают, а) Лежат ли точки А, В, С на 18
одной прямой; б) лежит ли точка А между точками В и С? 57. Точки А и В принадлежат одному лучу с началом в точке О, а тс^чка С лринадлежит дополнительному лучу. Каким из отрезков АВ, АС, ВС принадлежит точка О? 58. Пусть М — К — N. Из лучей МК, KN, NM и КМ выберите все пары дополнительных лучей. 59. Даны четыре точки О, А, В, С. Точка О лежит между точками А и С и точка О лежит между точками А и В. а) Лежат ли эти точки на одной прямой; б) лежат ли точки В и С на одном луче с началом в точке О? 60. Все точки луча k являются точками полуплоскости Н. Можно ли утверждать, что k — луч полуплоскости HI 61. Лучи h и k являются лучами одной из полуплоскостей с границей а. Если А € h, & В € k, то почему отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а? 62. Лучи huh являются лучами разных полуплоскостей с общей границей а. Если А £ h, а В 6 fe, то почему отрезок АВ пересекается с прямой а? 63. Лучи АВ и CD являются лучами некоторой полуплоскости. Какие из следующих лучей являются лучами той же полуплоскости: AD, АС, ВС, СВ, DC? Дайте обоснование ответу. 64. Пусть точка О лежит между точками А и Б, а прямая а проходит через точку О и не совпадает с прямой АВ. Являются ли лучи О А и ОВ лучами одной и той же полуплоскости с границей а? Дайте обоснование ответу. 65. Начала лучей fex и k2 принадлежат границе полуплоскости Н, и, кроме того, эти лучи имеют общую точку. Если ki — луч полуплоскости Н, то является ли тогда луч k2 лучом этой полуплоскости? § 4. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ 8. Понятие длины отрезка. Понятия длины отрезка и расстояния между двумя точками мы используем в нашей практической деятельности для различных измерений. Эти понятия важны и в геометрии для изучения свойств геометрических фигур. Рассмотрим понятие длины отрезка. Длины отрезков находят путем сравнения с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения. Например, для нахождения длины какого- нибудь отрезка в сантиметрах с помощью масштабной линейки 19
A ,1см, $ г узнают, сколько раз в этом отрезке 1 ' ' ' ' ' u укладывается сантиметр. На рисунке а) 29, а в отрезке АВ сантиметр укладывается 4 раза. Значит, длина отрезка i 1 1 1—i—i 1 АВ равна 4 см. Если единица измере- Е F ния не укладывается в измеряемом от- £) резке целое число раз, то ее делят на более мелкие части. На рисунке 29, а Рис. 29 л„ в отрезке АС сантиметр укладывается 6 раз и в остатке точно 3 раза укладывается 0,1 часть сантиметра (миллиметр), поэтому длина отрезка АС равна 6,3 см. Можно также утверждать, что длина отрезка АС равна 63 мм, так как в измеряемом отрезке АС миллиметр укладывается 63 раза. Для измерения отрезков не обязательно за единицу измерения принимать метр, сантиметр, миллиметр и т. д. Любой отрезок может быть принят за единицу измерения. Например, если отрезок EF, изображенный на рисунке 29, б, принят за единицу измерения, то длина отрезка PQ равна 5, а длина отрезка PR равна 3,5. Таким образом, если какой-либо отрезок EF принят за единицу измерения, то каждому отрезку соответствует положительное число. Это число показывает, сколько раз единица измерения \_EF~] и ее части укладываются в измеряемом отрезке АВ. Оно называется длиной отрезка АВ при единице измерения \_EF~] и обозначается через АВ. Отметим, что EF = 1. 9. Свойства длин отрезков. Длины отрезков удовлетворяют двум требованиям, первое из которых — аксиома измерения отрезков,— устанавливает связь между длиной данного отрезка АС и длинами двух отрезков АВ и ВС, где В — внутренняя точка отрезка АС. II VI. Если В — внутренняя точка отрезка АС, то сумма длин I отрезков АВ и ВС равна длине отрезка АС. Здесь предполагается, что АС, АВ и ВС — длины соответствующих отрезков при одной и той же единице измерения. Например, на рисунке 30 точка В — внутренняя точка отрезка АС. При единице измерения \_EF~] отрезок АС имеет длину 11, а отрезки АВ и ВС соответственно 7 и 4. Сумма длин отрезков АВ и ВС равна длине отрезка АС (в рассматриваемом случае 7 + 4 = 11). 20
А ВС • t • it111 i i i i i 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Рис. 30 Сформулируем еще одно свойство, согласно которому изменяется длина отрезка при переходе от одной единицы измерения к другой и поясним это свойство на примере. || VII. При переходе от одной единицы измерения к другой длины всех отрезков умножаются на одно и то же число. На рисунке 31 изображен отрезок АВ, длина которого при единице измерения [_EF~] равна 4, а при единице измерения [PQ] равна 20. Если мы переходим от единицы измерения [2J.F] к единице измерения [PQ~]> то длина отрезка АВ, равная 4, должна быть умножена на 5, чтобы получилось число 20. То же правило справедливо и для любого другого отрезка. Например, на рисунке 31 длина отрезка CD при единице измерения [EF'] равна 3, а при единице измерения [PQ] равна 15. Как и для отрезка АВ, при переходе от единицы измерения [EF~\ к единице измерения \_PQ~] длина отрезка CD умножается на число 5 (т. е. 3x5= 15). Мы видим, что в данном случае при переходе от единицы измерения \_EF~] к единице измерения [PQ~\ длины всех отрезков умножаются на одно и то же число 5. Свойство VII часто используется на практике. Мы знаем, что в 1 см содержится 10 мм, поэтому при переходе от единицы измерения в 1 см к единице измерения в 1 мм длины всех отрезков необходимо умножить на 10. Приведем другой пример. При переходе от единицы измерения в 1 см к единице измерения в 1 м длины всех отрезков умножаются на 0,01. В геометрии для изучения свойств геометрических фигур, связанных с измерениями, обычно пользуются одной и той же f 1 1 1 С D ф 1 1 1 4 А В Е F +_4 1 1 1 1 1 1 I I |—1 1__| I | I I I I | Р Q 5 10 15 20 Рис. 31 2\
Гртгрг 2 3 5 Измерение отрезка с помощью линейки Рис. 32 единицей измерения независимо от размеров фигуры. В этом случае длину произвольного отрезка АВ обозначают кратко символом АВ. 10. Расстояние между точками. Расстоянием между точками А и В (или от точки А до точки В) называется длина отрезка АВ при выбранной единице измерения. Расстояние между точками А и В обозначается так: АВ. Из свойств длин отрезков (п. 8,9) следуют аналогичные свойства расстояний между точками. В частности, расстояние между любыми двумя точками — положительное число. Далее если точка В лежит между точками А и С, то расстояние от точки А до точки С равно сумме расстояний от точки А до точки Б и от точки В до точки С. На практике при измерении расстояний пользуются различными приборами. Например, в техническом черчении употребляется масштабная миллиметровая линейка (рис. 32). Для измерения диаметра трубки используют штангенциркуль (рис. 33). С его помощью можно измерять расстояния с точностью до — мм. Для измерения расстояний на местности пользуются рулеткой (рис. 34), которая представляет собой ленту длиной 10 или 20 м с нанесенными на ней делениями. На стройках чаще употребляют стальные рулетки длиной 2 м или 5 м. Расстояния между городами или населенными пунктами измеряют в километрах. Для удобства вдоль шоссейных дорог расставляют столбы на расстоянии 1 км один от другого. Числа на этих столбах указывают расстояния до центров двух городов, которые соединяются шоссейной дорогой. 11. Единицы измерения. В нашей повседневной практике Штангенциркуль Рис. 33 Рулетка Рис. 34 22
для измерения длин отрезков и расстояний между двумя точками употребляют различные единицы измерения. Стандартной международной единицей измерения выбран метр (1м). Эталон метра в виде специального металлического бруса с нанесенными на нем двумя штрихами (расстояние между этими штрихами при О °С и принимается за 1 метр) хранится в Международном бюро мер и весов во Франции. Копии эталона хранятся в других странах, в том числе и в СССР. Приближенно метр равен н 40 000 000 части земного меридиана. Один метр содержит сто сантиметров. В одном сантиметре десять миллиметров. Если измеряются небольшие расстояния, например расстояния между точками, изображенными на листе бумаги, то за единицу измерения принимают 1 см или 1 мм. Если приходится измерять большие расстояния, например расстояния между отдельными предметами в комнате, то они измеряются в метрах. Расстояния между населенными пунктами или городами измеряются в километрах (1 км равен 1000 м). Используются и другие единицы измерения, например дециметр (1 дм равен 10 см), морская миля (1 миля равна 1,852 км), верста (в одной версте 1066,8 м). В астрономии для измерения очень больших расстояний за единицу измерения принимают световой год, т. е. путь, который луч света проходит в течение одного года. Таким образом, расстояния между точками выражают в миллиметрах, сантиметрах, метрах, километрах и т. д. Каждый раз рядом с числом, обозначающим длину отрезка, указывают принятую единицу измерения. Если, например, за единицу измерения принят 1 см, то расстояние выражают в сантиметрах. На рисунке 32 расстояние между точками А и В равно 3,4 см. Это означает, что за единицу измерения принят отрезок в 1 см. Расстояние между теми же точками равно 34 мм. В этом случае за единицу измерения принят отрезок в 1 мм. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 66. Измерьте ширину и длину учеб- Е f ника геометрии в сантиметрах, а ' ' ' ' ' затем в миллиметрах. i 1 1 1 67. Найдите длины всех отрезков, A t В изображенных на рисунке 35, ее- ли за единицу измерения принят i 1 отрезок АВ. Рис. 35 П —i 23
68. Найдите длины всех отрезков, изображенных на рисунке 35, если за единицу измерения принять: а) отрезок KL; б) отрезок PQ. 69. Начертите произвольный отрезок АВ и еще три отрезка так, чтобы их длины при единице измерения [АВ] были 4 равны 4; 2,5 и 1—. 5 70. Начертите произвольный отрезок CD и три отрезка АВ, EF, PQ так, чтобы их длины при единице измерения [CD'] з 1 были равны 1—; —; 3,2. 71. На данной прямой а отметьте точки А, В и С так, чтобы точка В лежала между точками А и С. С помощью масштабной линейки найдите длины отрезков АВ, ВС и АС и убедитесь, что АВ + ВС — АС. 72. Начертите отрезок АВ длиной 5 см, отметьте точку С прямой АВ так, чтобы АС = 3 см и ВС = 2 см. Убедитесь в том, что А — С — В. 73. Отметьте три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. При помощи масштабной линейки найдите длины отрезков АВ, ВС и АС и убедитесь, что АВ + ВС > АС. 74. Начертите несколько отрезков и с помощью масштабной линейки найдите их длины в сантиметрах, а затем результаты выразите в миллиметрах. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ Точка В лежит между точками А и С. Найдите длину отрезка АС, если АВ — 7,8 см, ВС — 5 мм. Точка В лежит между точками А и С и АВ = 2 мм, ВС = = 10 см. Найдите длину отрезка АС в миллиметрах и сантиметрах. Точка С лежит между точками А и В. Выразите длину отрезка АС через длины отрезков АВ и ВС. Точка В лежит между точками А и С Найдите длину отрезка ВС, если: а) АВ = 3 см, АС = 7 см; б) АВ = 4 мм, АС = 4 см. Точка В лежит между точками А и С, а точка С — между точками А и Z). Докажите, что AD = АВ + ВС + CD. Точка В лежит между точками А и С, а точка С — между 75. 76. 77. 78. 79. 80. 24
точками А и D. Найдите AD, если A CD В АВ =3 см, ВС = 1,5 см, CD = 10 см. ""* ' ' 1— 81. По данным рисунка 36 найдите Рис* 36 АС, если CD = 3 см, Х)Б = 4 см, АБ = 11 см. 82. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 12 см, ВС = 13,5 см. Какая может быть длина отрезка АС? 83. Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 7 см, а ВС = 16 см. Каким может быть расстояние АС? 84. Пусть точка В лежит между точками А и С. Могут ли расстояния АВ и АС иметь значения: а) АВ = 8 мм, АС = = 3 см; б) АВ = 3 см, АС = 8 мм? 85. Точки А, В и С лежат на одной прямой и АВ = 5 см, ВС = 2 см, АС — 3 см. Какая из данных точек лежит между двумя другими? Дайте обоснование ответу. 86. Могут ли точки А, В и С лежать на одной прямой, если АС = 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см? Дайте обоснование ответу. 87. Точки А, Б, С лежат на одной прямой. Расстояние между точками А и С равно 1,5 см, а между точками Б и С равно 4 мм. а) Может ли точка А лежать между точками В и С; б) может ли точка С лежать между точками А и В? 88. Длина отрезка АВ равна 5,3 см. Найдите длину отрезка АВ: а) в миллиметрах; б) в дециметрах; в) в метрах. 89*. Расстояние между Москвой и Ленинградом равно 650 км. Выразите это расстояние в милях и верстах, если известно, что 1 миля равна 1,8 км, а верста — 1066,8 м. 90*. Расстояние между Москвой и Одессой равно 1526 км. Выразите это расстояние в милях и верстах. 91*. Длина отрезка АВ равна 3 см. При какой единице измерения длина отрезка АВ: а) равна 1; б) равна 0,3? ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ I 1. Приведите примеры геометрических фигур. Назовите простейшие геометрические фигуры на плоскости. 2. Сформулируйте аксиому прямой. 3. Сколько общих точек могут иметь две прямые? 4. Что означает выражение: «две прямые пересекаются»? 25
5. Сформулируйте аксиому отрезка. 6. Как обозначается отрезок с концами А и В? 7. Какие точки называются внутренними точками отрезка? 8. Объясните смысл предложения «Точка М лежит между точками А и Б». Как коротко записать это предложение? 9. Сформулируйте аксиому трех точек прямой. 10. Когда мы говорим, что отрезок пересекается с прямой? 11. Опишите способ проведения прямых линий на местности, называемый провешиванием. 12. Сформулируйте аксиому полуплоскостей с общей границей. 13. Отрезок АВ не имеет общих точек с прямой а. Как расположены точки А и В относительно прямой а? Дайте обоснование ответу. 14. Отрезок АВ пересекается с прямой а. Как расположены точки А и В относительно прямой а? 15. Как обозначаются лучи? На прямой а отмечены точки 01У 02 и А так, что точка А лежит между Ог и 02. Назовите лучи прямой а с началом в точке А. 16. Какие лучи называются дополнительными? Сформулируйте аксиому дополнительных лучей. 17. Точка О лежит между точками А и В. Принадлежат ли точки А и В дополнительным лучам с общим началом О? 18. Что мы понимаем под лучом полуплоскости? На рисунке 37 укажите лучи полуплоскости F. Рис. 37 26
19. Сформулируйте признак луча полуплоскости. 20. Что такое длина отрезка? Может ли длина отрезка: а) равняться нулю; б) быть отрицательным числом? 21. Сформулируйте аксиому измерения отрезков и свойство при переходе от одной единицы измерения к другой. 22. Что мы понимаем под расстоянием между двумя точками? Перечислите основные свойства расстояний. 23. Какие единицы измерения употребляются на практике для измерения отрезков? ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 92. Отметьте пять точек А, Б, С, D, Е так, чтобы точки А, Б, С лежали на одной прямой, а точки D и Е не лежали на этой прямой. Проведите прямые, проходящие через каждую пару этих точек. Сколько таких прямых можно провести? 93. На плоскости даны четыре прямые, каждые две из которых пересекаются. Сколько имеется точек пересечений этих прямых, если через каждую точку проходят только две прямые? 94. Точка С лежит между точками А и В, а. точка X лежит между А и С. Лежат ли точки А, В, С, X на одной прямой? 95. Пусть точка С лежит между точками А и В и между точками Е и F. Пользуясь свойством точек прямых, убедитесь, что: а) если Е £ АВ, то и F £ АВ; б) если Е i AB, то точки А, В и F не лежат на одной прямой. 96. Точки А, В, С и D принадлежат одной полуплоскости с границей а, а точки Е и F — другой полуплоскости. Перечислите все отрезки с концами в данных точках: а) не имеющие общих точек с прямой а; б) пересекающиеся с прямой а. 97. Запишите в принятых обозначениях взаимное расположение точек и прямых, изображенных на рисунках 10, 16, 19. Какие из отрезков, изображенных на рисунках 16 и 19, пересекаются с прямой а? 98. Начертите треугольник ABC и отметьте точку М, которая принадлежала бы одновременно полуплоскостям Н19 Н2 27
и Н3, где Hi — полуплоскость с границей ВС, содержащая точку А, Н2 — полуплоскость с границей АС, содержащая точку В, Н3 — полуплоскость с границей АВ, содержащая точку С. 99. Докажите, что если отрезок АВ пересекается с прямой а, то точки А и В принадлежат разным полуплоскостям с общей границей а. Решение. Так как отрезок АВ пересекается с прямой а, то концы отрезка не лежат на прямой а. Поэтому точки А и В принадлежат либо одной и той же полуплоскости, либо разным полуплоскостям с общей границей а. Если предположить, что точки А и В принадлежат одной и той же полуплоскости с границей а, то согласно аксиоме IV отрезок АВ не может пересекаться с прямой а. Таким образом, точки А и В принадлежат разным полуплоскостям с общей границей а. 100. Даны три точки А, В, С и прямая а, которая пересекает отрезок СВ, А $ а. а) Может ли прямая а пересечь одновременно оба отрезка АВ и АС; б) может ли прямая а не иметь общих точек ни с одним из отрезков АВ и АС? Дайте обоснование ответу. 101. Прямые а и Ъ не пересекаются. Можно ли утверждать, что все точки прямой Ъ принадлежат одной и той же полуплоскости с границей а? Дайте обоснование ответу. 102*. Конец А отрезка АВ принадлежит границе полуплоскости, а другой конец В — самой полуплоскости. Можно ли утверждать, что внутренняя точка М отрезка АВ принадлежит полуплоскости? Дайте обоснование ответу. 103*. Отрезки АВ и CD имеют единственную общую внутреннюю точку Е. Докажите, что точки С и В лежат в одной и той же полуплоскости с границей AD. 104. Прямые аир пересекаются в точке О. На прямой а даны точки А и В, отличные от точки О. Докажите, что: а) если точка О лежит между точками А и Б, то точки А и В лежат в разных полуплоскостях с общей границей р; б) если точка О не лежит между точками А и В, то точки А и В лежат в одной и той же полуплоскости. 105. Докажите, что если точка О лежит между точками А и В, то точки А и В принадлежат дополнительным лучам с общим началом О. 28
Решение. Так как А — О — В, то точки О, А и Б лежат на некоторой прямой а. Если предположить, что точки А и В не принадлежат дополнительным лучам с общим началом О, то эти точки будут принадлежать одному и тому же лучу с началом в точке О. Но в этом случае согласно аксиоме V точка О не может лежать между точками А и В. Следовательно, точки А и В принадлежат дополнительным лучам с общим началом О. 106. Даны три точки О, А и Б на одной прямой и известно, что точка О не лежит между точками А и В. Могут ли точки А и В принадлежать дополнительным лучам с общим началом О? 107. Докажите, что если один конец отрезка совпадает с началом луча, а другой конец принадлежит лучу, то любая внутренняя точка отрезка принадлежит лучу. 108. Начало О луча h лежит на границе а полуплоскости F. Некоторая точка А луча принадлежит этой полуплоскости. Докажите, что h — луч полуплоскости F. Решение. Пусть М — произвольная точка луча Л. Так как А ? h и М ? Л, то согласно аксиоме V точка О не лежит между точками АиМ. Это означает, что отрезок AM не имеет общих точек с прямой а. Отсюда следует, что концы отрезка AM принадлежат одной и той же полуплоскости с границей а (п. 5). Но А € F, поэтому М £ F. Мы доказали, что все точки луча h принадлежат полуплоскости F, поэтому h — луч полуплоскости F. 109*. Докажите, что если начало луча принадлежит границе полуплоскости и некоторая точка луча не принадлежит этой полуплоскости, то ни одна точка луча не является точкой полуплоскости. 110. Пусть h — луч полуплоскости F. Может ли луч, дополнительный этому лучу, являться лучом той же полуплоскости F? 111. Пусть начала лучей kl9 fe2» &з принадлежат границе полуплоскости Н и, кроме того, fex пересекает k2 (т. е. kx и fe2 имеют общую точку), k2 пересекает k3. Докажите, что если &! — луч полуплоскости Н, то лучи k2 и k3 также являются лучами полуплоскости Н. 112. Найдите длины всех отрезков, изображенных на рисунке 35, если за единицу измерения принят: отрезок EF. 29
113. Пусть М — N — Р. Расстояние между точками М и Р равно 24 см, а расстояние от точки N до точки М в 2 раза больше расстояния между точками N и Р. Найдите расстояние: а) между точками N и М\ б) между точками N и Р, 114. Точка В лежит между точками А и С, а точка Е — между точками D и F, причем АВ = DE и АС = DF. Докажите, что ВС = EF. 115. Докажите, что если точка М лежит на прямой АВ, но не принадлежит отрезку АВ, то AM + MB > АВ. 116. Найдите периметр (т. е. сумму длин всех четырех сторон) прямоугольника, если его ширина равна 18 мм, а длина равна 12 см. 117. Периметр прямоугольника равен 36 см. Ширина его равна 45 мм. Найдите длину прямоугольника в сантиметрах. 118*.Пусть А — В — С, АВ = 17 мм, ВС = 5 см, CD = 15 мм, BD = 6,5 см. Найдите расстояние между точками А и £>, если известно, что D — точка прямой АВ,
Глава II УГЛЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ. СРАВНЕНИЕ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ Эта глава посвящена изучению свойств углов. Мы выясним, как измеряются углы, и покажем, каким образом можно сравнивать отрезки и углы, т. е. введем понятия «равенство», «больше» и «меньше» для отрезков и углов. В заключение главы введем понятие перпендикулярности прямых. § 1. УГОЛ 12. Понятие угла. Углом называется геометрическая фигура, образованная точкой и двумя лучами, исходящими из этой точки. Лучи, образующие угол, называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла (рис. 38, а). Для угла со сторонами huh используется запись: угол hk. Если О — вершина угла, А и В — точки на его сторонах, то угол обозначается так: «угол АО В» или «угол О». Используется и краткая запись: /LJik, Z-kh, /-АОВ, /-BOA, Z.O. Угол называется развернутым, если его стороны являются дополнительными лучами. На рисунке 38, б изображен развернутый угол с вершиной в точке Е, со сторонами pnq. Все остальные углы называются неразвернутыми углами (рис. 38, а). S) Рис. 38 0 р А а) h г внутренняя одласть угла 31
Рис. 40 Внутренняя область угла hk Рис. 41 Внешняя область угла hk Рис. 42 13. Внутренняя область угла. Неразвернутый угол разделяет плоскость на две различные части, одна из которых называется внутренней областью угла, а другая — внешней областью угла (рис. 39). Для того чтобы разъяснить смысл этих понятий, рассмотрим две полуплоскости Н и К, связанные с данным неразвернутым углом hk. Сторона h угла принадлежит границе полуплоскости Н, а другая сторона k является лучом этой полуплоскости (рис. 40, а). Аналогично сторона k угла принадлежит границе полуплоскости К, а другая сторона h является лучом этой полуплоскости (рис. 40, б). Внутренней областью неразвернутого угла hk называется общая часть двух полуплоскостей Н и К, т. е. совокупность всех точек, принадлежащих как полуплоскости Н, так и полуплоскости К (рис. 41). Заметим, что стороны h и k угла hk, a также его вершина не принадлежат внутренней области угла. Пусть hk — некоторый неразвернутый угол (рис. 42). Если мы удалим внутреннюю область этого угла, лучи h и k и вершину О, то оставшаяся часть плоскости называется внешней областью угла hk. На рисунке 42 точки С и D принадлежат внутренней области угла hk, а точки М, N и Р — внешней. Замечание. На рисунке 38, б видим, что и развернутый угол разделяет плоскость на две различные части — на две полуплоскости с границей, содержащей стороны угла. Однако понятие внутренней области для развернутого угла не вводится, так 32
I — внутренний луч угла hh Рис. 43 как полуплоскости, на которые угол разделяет плоскость, равноправны, и заданием развернутого угла ни одну из них нельзя выделить в качестве внутренней области. 14. Внутренний луч угла. В математике для точных рассуждений используются так называемые определения. Это предложения, в которых разъясняется смысл того или иного понятия. Мы уже встречались с отдельными определениями — с определением дополнительных лучей, угла, развернутого угла и др. Сейчас мы введем еще одно определение — определение внутреннего луча угла. Определение. Внутренним лучом неразвернутого угла называется луч, исходящий из вершины угла и содержащий хотя бы одну точку внутренней области этого угла. На рисунке 43 луч I—внутренний луч угла hk, так как его начало совпадает с вершиной О угла и он содержит точку L внутренней области этого угла. Мы видим, что все точки этого луча являются точками внутренней области угла, поэтому он целиком расположен во внутренней области угла hk. Отметим следующий признак, на основании которого можно установить, является ли данный луч внутренним лучом угла. Луч, исходящий из вершины неразвернутого угла и пересекающий какой-либо отрезок с концами на разных сторонах угла, является внутренним лучом этого угла (см. задачу 234). На рисунке 43 пояснено это свойство. Луч I пересекает отрезок АВ {А € h, В € k) в точке L. Точка L принадлежит внутренней области угла hk, поэтому I — внутренний луч угла. Определение внутреннего луча нельзя применить к развернутому углу. Это объясняется тем, что понятие внутренней об- ОА, OB и ОС — внутренние лучи развернутого угла hh Рис. 44 2 Заказ 54 33
ласти развернутого угла не вводится (п. 13). Внутренним лучом развернутого угла называется любой луч, исходящий из вершины угла и не совпадающий ни с одной из его сторон. На рисунке 44 лучи ОА, ОВ, ОС являются внутренними лучами развернутого угла hk. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 119. Изобразите два неразвернутых угла и обозначьте их различными способами. 120. Начертите три развернутых угла и обозначьте их так: Z.AOB, /-DEF и Z-MNP. 121. Отметьте три точки О, А, В, не лежащие на одной прямой. Начертите угол АОВ и отрезок с концами на разных сторонах этого угла. 122. Отметьте три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Начертите все углы с вершинами в точках А, В, С так, чтобы стороны каждого угла проходили через две данные точки. Назовите эти углы. 123. Начертите три луча Л, k и I с общим началом. Назовите все углы, которые образуются попарно данными лучами. 124. Начертите неразвернутый угол hk и укажите штриховкой внутреннюю область этого угла. 125. Начертите неразвернутый угол hp и укажите штриховкой внешнюю область этого угла. 126. Начертите неразвернутый угол hk. Отметьте: а) три точки внутренней области этого угла; б) три точки внешней области этого угла. 127. Начертите неразвернутый угол hk и отрезок так, чтобы: а) оба конца отрезка принадлежали внутренней области; б) один конец принадлежал внутренней области, а другой — внешней; в) оба конца принадлежали внешней области. 128. Начертите неразвернутый угол АОВ и два внутренних луча этого угла. Затем начертите третий луч, исходящий из точки О так, чтобы он не был внутренним лучом угла АОВ. 129. Начертите три луча с общим началом так, чтобы: а) один из них был внутренним лучом угла, образованного двумя другими лучами; б) ни один из них не был внутренним лучом угла, образованного двумя другими. 34
кг о, г) к, о, б) е) кг ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 130. На каждом из рисунков 45, а — е изображены пары лучей: луч kt с началом в точке Ог и луч k2 с началом в точке 02. Какие из этих пар лучей образуют углы? Выделите среди них развернутые углы. 131. Сколько углов образуется при пересечении двух прямых? 132. Какие из отрезков с концами в точках Му N, F, Р пересекают стороны угла hk, изображенного на рисунке 46? 133. Какие из точек, изображенных на рисунке 47, принадлежат внутренней области угла hk, а какие — внешней? Какие из отрезков АВ, CD и AD принадлежат внутренней области угла hk? 134. Точки А и В расположены во внешней области угла. Можно ли утверждать, что любая внутренняя точка отрезка АВ принадлежит внешней области угла? Рис. 47 2* 35
Рис. 48 Рис. 49 135. Пусть hk — неразвернртый угол, а точка А принадлежит лучу, дополнительному к лучу k. Может ли точка А принадлежать внутренней области этого угла? 136. Какие из лучей kx — &5, изоб- Рис. 50 раженные на рисунке 48, являются внутренними лучами угла АОВ1 137. Какие из лучей 1г — Z4> изображенные на рисунке 49, являются внутренними лучами угла АО^В! 138. На рисунка 50 изображены четыре луча с общим началом О. Выпишите все углы, для которых А3 является внутренним лучом. 139. Какие из лучей, изображенных на рисунке 51, являются внутренними лучами развернутого угла АОВ1 140. Лучи О А, О В и ОС пересекают некоторую прямую, не проходящую через точку О, в трех точках А, В и С так, что АВ = 1,2 см, ВС = 8 мм, АС = 0,4 см. Какой из лучей ОА, ОВ и ОС является внутренним лучом угла, образованного двумя другими? Рис. 61 36 § 2. ИЗМЕРЕНИЕ УГЛОВ 15. Свойства градусных мер углов. Мы знаем, что углы измеряются при помощи транспортира. Каждому углу соответствует некоторое положительное число, которое называется градусной мерой этого угла. Сформулируем свойства градусных мер углов.
Пояснение к свойствам градусных мер углов XVIII: АОС = 40°; СОВ= = 120°, АОВ= 160°, AOD= = 180°; IX: АОС + СОВ = АОВ (40° + 120° = 160°) Рис. 52 VIII. Градусная мера неразвернутого угла больше 0° и меньше 180°. Градусная мера развернутого угла равна 180°. Для пояснения этого свойства обратимся к рисунку 52. На этом рисунке изображены неразвернутые углы АОС и АОВ. Градусные меры этих углов равны соответственно 40° и 160°. Эти числа заключены между 0° и 180°. Градусная мера развернутого угла AOD равна 180°. Градусную меру углов АОВ и hk обозначают символами АОВ и hk (читается: «мера угла АОВ» или «мера угла hk»). IX. Если ОС — внутренний луч угла АОВ, то АОС + СОВ = = АОВ. Свойство IX также поясняется на рисунке 52, на котором изображены три луча О А, ОС, ОВу исходящие из одной точки О. Мы видим, что ОС — внутренний луч угла АОВ, АОС = 40°, СОВ = 120° и АОВ = 160°, т. е, АОС + СОВ = АОВ. Отметим, что свойство IX справедливо также и в том случае, когда АОВ — развернутый угол, а ОС — внутренний луч этого угла, т. е. произвольный луч, исходящий из точки О и не совпадающий с лучами О А и ОВ. В этом случае АОВ = 180°, поэтому АОС+СОВ = = 180°. Рисунок 53 иллюстрирует это равенство. В самом деле, АОС = 45°, СОБ=135°, ПОЭТОМУ АОС +СОВ = 180°. Пояснение к свойству IX Л _ для случая развернутого Замечание. Следует отличать ^^ ^^ угла: АОС + СОВ= 180° Рис. 58 обозначения АОВ и /LAOB% где Z.AOJ3- 37
Деление полуокружности на 180 равных частей. На рисунке она разделена на 18 равных частей, каждая из которых должна быть разделена далее на 10 равных частей Рис. 54 фигура, образованная точкой О и двумя лучами О А и О В (п. 12), а АО В — число—градусная мера угла АОВ. 16. Градусы, минуты и секунды. Напомним, что для измерения отрезков могут быть приняты различные единицы измерения. Отрезки можно измерять в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах и т. д. Точно так же для измерения углов могут быть приняты различные единицы измерения. Однако в нашем курсе геометрии мы будем пользоваться только одной единицей измерения углов—градусом. Вообразим, что какая-нибудь полуокружность разделена на 180 равных частей и проведены лучи, соединяющие центр О полуокружности с точками деления (рис. 54). Тогда образуются 180 углов с общей вершиной О. Один из этих углов принимается за единицу измерения. Принято считать меру этого угла равной одному градусу (обозначение: 1°). На этом выборе единицы измерения и основан способ измерения углов с помощью транспортира. Вам известно, что транспортир используется для нахождения градусных мер углов, изображенных на чертежах (рис. 55). Для измерения данного угла hk транспортир накладывается на чертеж так, чтобы центр О полукруга совпал с вершиной угла, а одна из сторон угла, скажем А, проходила через нулевую отметку шкалы транспортира. Тогда другая сторона k угла укажет на транспортире градусную меру угла hk. Например, на рисунке 55 градусная мера угла hk равна 60°, т. е. hk = 60°. Измерение углов с помощью транспортира Рис. 55 38
Астролябия Рис. 56 Отметим, что для точных измерений углов используются так называемые минуты и секунды (минута — одна шестидесятая доля градуса, секунда — одна шестидесятая доля минуты). Если, например, в результате измерения получили угол в 60 градусов, 32 минуты и 17 секунд, то этот угол обозначается так: 60°32'17". Таким образом, для обозначения минут используется знак ', который ставится справа вверху у числа минут. Секунды обозначаются знаком ", который ставится справа вверху у числа секунд. 17. Измерение углов на местности. Измерение углов на местности для практических целей производится с по* мощью специальных приборов, которые называются угломерами. Простейшим из этих приборов является астролябия (рис. 56). Она состоит из двух частей: диска, разделенного на градусы, и вращающейся вокруг центра диска деревянной или металлической линейки (алидады). На концах алидады находятся два узких окошечка, которые используются для установки линейки в определенном направлении. Для того чтобы измерить угол АОВ на местности, треножник с астролябией устанавливают над точкой О так, чтобы отвес, подвешенный к центру круга, находился точно над точкой О. Затем вращают алидаду так, чтобы ее положение совпало с одним из направлений ОА или ОВ> и отмечают деление, против которого находится указатель алидады. Затем устанавливают алидаду по направлению другой стороны измеряемого угла и отмечают деление, против которого окажется указатель алидады. Разность отсчетов и дает угол между направлениями ОА и ОВ. Теодолит Рис. 57 39
Для более точного измерения углов на местности существуют более совершенные приборы. На рисунке 57 указан один из них — теодолит. Этот прибор применяется, например, при съемке топографических карт. Измерение углов с определенной точностью требуется в различных разделах науки и техники, например в астрономии при определении положения небесных тел. Очень важно с достаточной точностью измерять углы при определении положения спутников на орбитах. Для этой цели конструируются специальные приборы и проводятся необходимые вычисления на ЭВМ, исходные данные для которых поступают с наземных станций наблюдений за полетом спутников. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 141. Начертите три неразвернутых и один развернутый угол и обозначьте их так: Z.AOB, ZJJDE, /Jik и /LMNP. С помощью транспортира найдите их градусные меры и результат запишите в принятых обозначениях. 142. Начертите прямую О А. С помощью транспортира начертите лучи ОВ, ОС и OD одной полуплоскости с границей ОА так, чтобы АОВ = 23°, АОС = 67°, AOD = 138°. 143. Начертите прямую О А и отметьте одну из полуплоскостей с границей О А. С помощью транспортира начертите лучи. ОВ и ОС этой полуплоскости так, чтобы АОВ = 65° АОС = 110°. Какой из трех лучей ОА> ОВ и ОС является внутренним лучом угла, образованного двумя другими? 144. От начала данного луча h в одной полуплоскости постройте лучи kl9 k2, k3, &4 так, чтобы ййх = 25°, hk2 — 40°, hk3 = 76°, Afe4 = 105°. Какие из лучей kl9 k2, k3, fe4 яв- ляются внутренними лучами угла hks? 145. Начертите угол АОВ и какой-либо внутренний луч ОХ\ этого угла. При помощи транспортира найдите градусные меры углов АОВ, АОХ и BOX и убедитесь в справедливости свойства IX. 146. С помощью транспортира начертите угол hk, градусная; мера которого равна 60°. Начертите внутренний луч 1\ этого угла так, чтобы hi = 15 . Найдите меру угла Ik и /ч /ч ^ убедитесь в том, что Ik = hk — hi = 45 40
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 147. На рисунке 58 изображены лучи с общим началом О. а) Чему равны градусные меры углов АОХ, BOX, АОВ, СОВ, DOX; б) назовите углы, у которых градусная мера равна 20°; в) назовите углы с одинаковой градусной мерой; г) назовите угол со сторонами ОВ и OD; д) назовите все углы со стороной ОА и укажите их градусные меры. 148. Существует ли угол, градусная мера которого равна а) 220°; б) 310°? Дайте обоснование ответу. 149. Известно, что Ъхкх = 57°, h2k2 = 180°, h3k3 = 174°, й4&4 =* = 180°, h5k5 = 15°. Какие из этих углов являются развернутыми? 150. Луч ОЕ является внутренним лучом угла АОВ. Перепишите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки. АОЕ /ч ЕОВ АОВ а 44° 77° б 34° 146° в 56° 110° г 72° 180° д 12°37' 108^25' е 89°52' 176° Ж | ,42°37' 91° 151. Луч ОС является внутренним лучом угла АОВ. Найдите СОВ, если АОВ = 78°, а АОС на 18° меньше ВОС. 152. Луч ОС является внутренним лучом угла АОВ. Найдите АОС, если АОВ = 155° и АОС на 15° больше СОВ. Рис. 58 41
153. Луч ОВ является внутренним лучом угла АОС. Градусная мера угла АОС равна 108°. Найдите градусную меру угла АОВ, если она в 3 раза больше градусной меры угла ВОС. 154. Точка О лежит между точками Сх и С2. Лучи О А и О В являются лучами одной полуплоскости с границей СгС%. Найдите АОС^ если известно, что луч ОВ является внутренним лучом угла АОСх и АОВ = 70°, ВОСх = 30°. 155. Даны три луча ОА, ОВ и ОС. Известно, что АОВ = 120°, ВОС = 110°, СОА = 130°. Может ли один из этих лучей быть внутренним лучом угла, образованного двумя другими? Дайте обоснование ответу. § 3. СРАВНЕНИЕ ОТРЕЗКОВ. СЕРЕДИНА ОТРЕЗКА 18. Равенство отрезков. Середина отрезка. Определение. Отрезки называются равными, если их длины равны при одной и той же единице измерения. На рисунке 59 отрезки АВ и CD равны, так как АВ = 3 см и CD = 3 см. Отрезки АВ и EF не равны, так как АВ = 3 см, a EF = 2 см. Равенство отрезков АВ и CD обозначается так: [AS] = [CD]. Так как равенство двух отрезков означает равенство их длин, а длины отрезков — это числа, то из свойств равенства чисел следует: а) каждый отрезок равен самому себе; б) если два отрезка равны третьему, то они равны A I I I 18 друГ другу. Замечание. С помощью свой- с I 1 -~\ ( j) ства VII можно доказать, что понятие равенства двух отрезков не зависит от г F выбора единицы измерения. 1см Введем понятие середины отрезка. рис> 59 Серединой отрезка называется точка, делящая этот отрезок пополам, т. е. ^ ~ £ на два равных отрезка. На рисунке 60 точка С является серединой отрез- Точка С — середина отрез- . _, _. Л „ ка ав ка АВ- Длина каждого из отрезков АС Рис. 60 и СВ равна половине длины отрезка 42
D 1 A h— E j 1 Рис. 61 F в —i АВ. На рисунке 61 точка Е не является серединой отрезка DF, так как [DE] Ф [EF]. Отметим, что середина отрезка является внутренней точкой отрезка, поэтому она лежит между концами отрезка, i i 19. Сравнение отрезков. Наше пред- ^ ^ ставление о сравнении двух отрезков ' ' основано на сравнении длин этих отрез- Рис. 62 ков. Если длина отрезка АВ больше (или меньше) длины отрезка CD, то мы считаем, что отрезок АВ больше (или меньше) отрезка CD. Поясним на примере. На рисунке 62 изображены три отрезка АВ, CD и MN. Мы видим, что длина отрезка АВ больше длины отрезка CD, поэтому отрезок АВ больше отрезка CD или отрезок CD меньше отрезка АВ. На этом же рисунке отрезок CD больше отрезка MN. Если отрезок АВ больше (меньше) отрезка CD, то символически это записывается так: \_AB~] > [CD] ([АВ] < [CD]). Отметим свойство внутренней точки отрезка. Если М — внутренняя точка отрезка АВ, то длина отрез- ка AM меньше длины отрезка АВ (AM < АВ) (задача 170). Теперь докажем следующее свойство двух точек луча. Пусть точки А и В принадлежат одному лучу с началом в точке О. Если О А < ОВ, то точка А лежит между точками О и В, если же ОА = ОВ, то точки А и В совпадают. 1. Докажем, что если ОА < ОВ, то точка А лежит между точками О и Б. Из трех точек О, А и В одна лежит между двумя другими. Согласно аксиоме V точка О не лежит между А и В. Точка В также не лежит между точками О и А. В самом деле, если предположить, что О—В—А, то согласно свойству внутренней точки отрезка ОВ < ОА, а нам дано, что ОА < ОВ. Следовательно, точка А лежит между точками О и В. 2. Докажем, что если ОА = ОВ, то точки А и В совпадают. Если бы точки А и Б не совпадали, то либо О — А — В, либо О — В — А. По свойству внутренней точки отрезка в первом случае ОВ > ОА, & во втором случае О А > ОВ. Но по условию О А = ОВ, следовательно, точки А и В совпадают. 43
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 156. Начертите квадрат ABCD и с помощью масштабной линейки убедитесь в том, что АС = BD. 157. Начертите отрезки АВ и CD разной длины и с помощью масштабной линейки отметьте середины этих отрезков. 158. Начертите прямоугольник ABCD и убедитесь в том, что: а) АС = BD; б) каждый из отрезков АС и BD точкой пересечения делится пополам. 159. Начертите прямую и отметьте две точки А и В на. этой прямой. С помощью масштабной линейки отметьте точки С и D так, чтобы точка В была серединой отрезка АС, а точка D — серединой отрезка ВС. 160. Начертите прямоугольник ABCD и с помощью масштабной линейки убедитесь в том, что [АС] > [АВ] и [ВС] < < [BD]. 161. Начертите прямую и отметьте на ней точку О. Пользуясь масштабной линейкой, на дополнительных лучах с общим началом О, отметьте точки А и В так, чтобы [О А] = [О В]. В следующих соотношениях замените знак * одним из символов <, > или =: а) [АВ] * [АВ]; б) [АВ] * [О А]; в) [ОБ] * [ВА]\ г) [АО] * [ВО]. 162. Начертите луч с началом в точке О и на нем отметьте точки А, В и С так, чтобы О А = 3 см, ОВ = 5 см, ОС = 6 см. Убедитесь в том, что точка А лежит между точками О и В и точка А лежит между точками О и С. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 163. Среди отрезков АВ, CD, EF, KL и MN укажите пары равных отрезков, если известно, что АВ = 3 см, CD = = 8 см, EF = 3 см, KL = 3 мм, MN = 80 мм. 164. Точка В лежит между точками А и С, а точка С —. между точками В и D, причем АВ = CD. Докажите, что АС = BD. 165. Точка С — середина отрезка АВ, а точка О — середина отрезка АС. Перепишите следующую таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки. 44
1 a 1 б в г д АВ 2 см АС 5 мм СВ 3,2 м АО 2,5 дм ОВ 1 4 6 СМ 166. На прямой отмечены точки О, -А и В так, что А — О — В, ОА = 12 см, О В = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков О А и ОВ. Решите эту же задачу для случая, когда точка О не лежит между точками А к В. 167. Точка С — середина отрезка АВ, длина которого 64 см. На луче С А взята точка D так, что CD — 15 см. Найдите длины отрезков BD и DA. 168. Отрезок, длина которого равна а, разделен произвольной точкой на два отрезка. Чему равно расстояние между серединами этих отрезков? 169*.Отрезок, длина которого равна28 см, разделен на три неравные части. Расстояние между серединами крайних частей равно 16 см. Найдите длину средней части. 170. Докажите, что если М — внутренняя точка отрезка АВ, то AM < АВ. Решение. По аксиоме VI имеем: AM + MB = АВ. Длина любого отрезка—положительное число, поэтому MB > 0. Из предыдущего равенства следует, что AM < MB. 171. Точки М и N принадлежат дополнительным лучам с общим началом О, MN = 8 см. Могут ли длины отрезков МО и N0 иметь значения: а) МО = 6 см; б) МО = 9 см; в) МО = 3 см и NO = 5 см; г) МО =» 3 см и N0 = 4 см? 172. На луче, исходящем из точки О, даны точки А и В; ОА = = 3 см, ОВ = 10 см. Какая из трех точек О, А и В лежит между двумя другими? 173. На луче АВ дана точка X такая, что АХ < АВ. Какая из трех точек А> В, X лежит между двумя другими? 45
174. Три точки К, L, M лежат на одной прямой, KL = 6 см, LM = 10 см. Каким может быть расстояние К Ml Для каждого из возможных случаев сделайте соответствующий чертеж» § 4. СРАВНЕНИЕ УГЛОВ. БИССЕКТРИСА УГЛА 20. Равенство углов. Биссектриса угла. Введем понятие равенства углов. [I Определение. Углы называются равными, если они име- J ют одну и ту же градусную меру. Равенство углов АОВ и -4x0iBi (или hk и АА) записывают так: /_АОВ = Z.A101B1 (или ZJik = ZJt^). Так как равенство двух углов означает равенство их градусных мер, а градусные меры — это числа, то из свойств равенства чисел следует: а) каждый угол равен самому себе; б) если два угла равны третьему углу, то они равны друг другу. Биссектрисой угла называется внутренний луч угла, обра- зующий с его сторонами два равных угла. То есть если ОС — биссектриса угла АОВ, то ОС — внутренний луч угла АОВ и ZJCOA = Z.COВ (рис. 63). Градусная мера каждого из углов СО А и СОВ равна половине градусной меры угла АОВ. На рисунке 64, а луч I не является биссектрисой угла hk, так как /-ЫФ/Llk. На рисунке 64, б луч OD образует равные углы со сторонами угла АОВ (/LDOA = Z.DOB), однако этот луч также не является биссектрисой угла АОВ, так как OD не есть внутренний луч угла АОВ. 21. Сравнение углов. Для двух углов, имеющих разные градусные меры, можно ввести понятия «больше», «меньше». Если градусная мера угла АОВ больше градусной меры угла А^В^ то говорят, что угол АОВ больше угла АхОхВх, и записывают ОС—биссектриса угла АОВ ' Рис. 63 Рис. 64 46
так: /LAOB > /LAxOxBx. В случае если угол АОВ имеет меньшую градусную меру, чем угол АхОхВц то говорят, что угол АОВ меньше угла АгОхВг (/-АОВ < /LAxOxB^). Так как сравнение углов сводится к сравнению их градусных мер, т. е. чисел, то справедливо утверждение: если угол hk меньше угла hxki, а угол h^kx меньше угла h2k2, то угол hk меньше угла h2k2. Отметим следующее свойство внутреннего луча угла. Если. I — внутренний луч угла hk, то угол hi меньше угла hk. -"Ч /Ч /Ч /\ 0 В самом деле, hi + Ik = hk, а так как Ik > О (мера любого угла положительна), то из предыдущего соотношения следует, что hi < hk и, следовательно, /Jtl < ZJik. 22. Свойство двух лучей полуплоскости. Сформулируем следующее важное свойство лучей, которое будем называть свойством двух лучей полуплоскости. Пусть лучи О А и О В являются лучами полуплоскости с границей ОС. Если СОА < СОВ, то О А — внутренний луч угла СОВ, а если СОА = СОВ, то лучи ОА и ОВ совпадают*. Поясним это свойство на рисунках. На рисунке 65, а лучи ОА и ОВ являются лучами полуплоскости F с границей ОС. СОА < СОВ (СОА = 30°, СОВ = 51°), ренний луч угла СОВ. На рисунке 65, б СОА = СОВ (СОА = 45°, СОВ = 45°), поэтому лучи О А и ОВ совпадают. 23. Прямой, острый и тупой углы. Угол называется прямым, если его градусная мера равна 90° (рис. 66, а). Угол, меньший прямого, называется острым (рис. 66, б), а неразвернутый угол, больший прямого, называется тупым (рис. 66, в). Ясно, что градусная мера острого угла меньше 90°, а поэтому ОА — внут- * См. задачу 542. 47
градусная мера тупого угла больше 90°. Итак, будем рассматривать следующие четыре типа углов: острый, прямой, тупой и развернутый углы. Напомним, что градусная мера разверну- Прямой ТОстрый того Угла Равна 180°. угол а) 5) ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 175. Начертите неразвернутый угол ВАС. С помощью транспортира и Тип о и угол линейки постройте: а) угол g) MNP и угол KHSy равные углу ВАС; б) угол BAD, равный углу 1г ИС. ОО ВАС. 176. Начертите прямоугольник ABCD, проведите отрезки АС> BD и обозначьте через О их точку пересечения. С помощью транспортира убедитесь в том, что: а) АЛ)АС = Z-DBC\ б) Z.AOD = А.ВОС; в) /LBDC = Z.ACD. 177. Начертите отрезок АВ. С помощью транспортира и линейки начертите отрезки АС\ и ВС2 так, чтобы точки Сх и С 2 принадлежали разным полуплоскостям с границей АВ и /-ВАСг = /..АВСъу [АСХ] = [ВС2]. Проведите прямую СгС2 и убедитесь в том, что эта прямая проходит через середину отрезка АВ. 178. Начертите угол, градусная мера которого равна 70э, и с помощью линейки и транспортира проведите его биссектрису. 179. Начертите угол АО В и проведите луч ОС так, чтобы луч ОА являлся биссектрисой угла ВОС. Всегда ли это выполнимо? 180. Начертите угол АО В и некоторый внутренний луч ОС этого угла. С помощью транспортира убедитесь в том, что Z-AOC < Z.AOB; ЛСОВ < /LAOB. 181. Отметьте три точки А> В и С, не лежащие на одной прямой, и проведите прямые АВ, ВС и С А. На прямой АВ отметьте точку D так, чтобы А — В — D. С помощью транспортира убедитесь в том, что: a) Z..ACB < Z-CBD; 0) ЛСАВ < Z.CBD. 48
182. 183. 184. 185. 186. 187. 188. Начертите угол АОВ и укажите штриховкой полуплоскость1 Н с границей ОВ, которая содержит точку А. Начертите луч ОХ полуплоскости Н так, чтобы Z.XOB < < /-АОВ. Какой из лучей ОА или ОХ является внутренним лучом угла, образованного лучом ОВ и другим лучом? Начертите луч ОА и отметьте одну из полуплоскостей Н с границей ОА. С помощью транспортира и линейки проведите лучи ОВ19 ОБ2, ОВ3 полуплоскости Я так, чтобы АОВх = 30°, АОВ2 95° АОВ3 = 120°. Убедитесь в том, что: а) лучи ОВг и ОВ2 являются внутренними лучами углаАОВ3; б) луч OS2 не является внутренним лучом угла АОВг. С помощью транспортира начертите три угла — острый, прямой и тупой. Начертите острый угол АОВ й на прямой ОВ отметьте точку D так, чтобы В — О — D. Убедитесь в том, что /LAOD — тупой. Начертите тупой угол АОВ и с помощью транспортира и линейки проведите биссектрису ОС этого угла. Убедитесь в том, что углы АОС и ВОС — острые. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ На рисунке 67 изображены четыре луча с общим началом. Сколько углов можно образовать с помощью этих лучей? Укажите их. Если углы ВАС и DAE равны, то есть ли еще равные углы на рисунке? Выпишите все углы, изображенные на рисунке 68, и укажите пары равных углов. Имеются ли Рис. 67 Рис. 68 Рис. 69 49
на этом рисунке лучи, являющиеся биссектрисами данных углов? 189. Луч 1г является биссектрисой угла hk, луч 12 — биссектрисой угла Ых (рис. 69). Перепишите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки. а б в г hk 45° hlv 37°28' hk 51°16' hl2 7°33'46" 191 А 190. Лучи ОВ и ОС являются лучами разных полуплоскостей с общей границей ОА. Является ли луч ОА биссектрисой угла ВОС, если: а) АОВ = 38°, АОС = 38°; б) АОВ = 30°, АОС = 40°; в) АОВ = 40°, АОС = 45°; г) АОВ = 80°, АОС = 80°; д) АОВ = 110°, АОС = 110°. На рисунке 70 угол AOD прямой и Z. АОВ = /LBOC = = /-COD. Найдите меру угла, образованного биссектрисами углов АОБ и СОХ). 192. Даны пять лучей с общим началом О (рис. 71). Луч OV является биссектрисой угла ZOY, а луч OU — биссектрисой угла XOY. Докажите, что если A.UOV прямой, то угол XOZ развернутый. 193. Даны два угла АОВ и MNP и проведена биссектриса ОС угла АОВ. Докажите, что если АОВ = =-MNP9 то Z.AOC < Z. MNP. 2 194. Лучи О А и О В являются лучами одной полуплоскости с гра* Рис. 70 50
ницей ОС, СОВ = 40°, СОА = 68°. Какой из лучей — ОА или ОВ — является внутренним лучом угла, образованного лучом ОС и другим лучом? 195*.Даны три луча О А, ОВ и ОС. Известно, что АОВ = 40° и АОС = 150°. Какой из данных лучей является внутренним лучом угла, образованного двумя другими? Дайте обоснование ответу. 196. Два луча ОА и ОВ являются лучавди одной полуплоскости с границей ОС. Докажите, что один и только один из лучей ОА и ОВ является внутренним лучом угла, образованного лучом ОС и другим лучом. 197. Докажите, что биссектриса любого неразвернутого угла образует с каждой стороной данного угла острый угол. 198. Выпишите все углы, изображенные на рисунке 68, и укажите среди них: а) острые углы; б) прямые углы; в) тупые углы. § 5. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ 24. Теоремы. В математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой. Эти рассуждения называются доказательством теоремы. Примерами теорем в геометрии могут служить следующие утверждения, которые были рассмотрены ранее. а) Свойство взаимного расположения двух прямых (п. 2). б) Свойства расположения точек полуплоскости относительно ее границы (п. 5). в) Свойство внутренней точки отрезка (п. 19). г) Свойство двух точек луча (п. 19). д) Свойство внутреннего луча угла (п. 21). Во всякой теореме различают две части: условие и заключение. Условие выражает то, что предполагается данным, а заключение — то, что требуется доказать. Например, при доказательстве свойства внутреннего луча угла условием служит первая часть предложения: «если I — внутренний луч угла Ли», а заключением — вторая часть: «то угол hi меньше угла hk». Другими словами, дано: Z-hk и / — внутренний луч этого угла; требуется доказать: ZJtl < /_hk. В курсе геометрии мы неоднократно будем формулировать 51
Рис. 72 и доказывать теоремы о свойствах тех или иных геометрических фигур. 25. Смежные углы. Введем понятие смежных углов. Определение. Два угла называются смежными, если одна сторона у них общая, а две другие являются дополнительными лучами. На рисунке 72 углы АОВ и ВОС смежные. У них ОВ — общая сторона, а стороны О А и ОС — дополнительные лучи. Докажем следующую теорему. Теорема. Сумма градусных мер двух смежных углов равна 180°. Доказательство. Пусть углы АОВ и ВОС смежные. Согласно определению (п. 14) луч ОВ является внутренним лучом развернутого угла АОС. Поэтому, учитывая, что развернутый угол АОС имеет градусную меру 180°, по свойству IX получаем: АОВ + ВОС = АОС = 180°. Теорема доказана. Для каждого угла АОВ можно построить два смежных угла (рис. 73). Один из них (/-ВОС) получается путем построения луча, дополнительного к лучу ОА, а другой (Z-AOD) — путем построения луча, дополнительного к лучу ОВ. Внутренние области этих смежных углов на рисунке 73 заштрихованы. Замечание. Лучи ОА> ОС у ОВ и OD прямых АС и BDy пересекающихся в точке О, образуют четыре пары смежных углов. На рисунке 73 смежными являются следующие пары углов: /LAOB и /LBOC, A.BOC и A.COD, Z.COD и /-DOA, Z.DOA и Z.AOB. 26. Вертикальные углы. Введем понятие вертикальных углов. Рис. 73 Вертикальные углы Рис. 74 52
Определение. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. На рисунке 74 углы АОВ и COD вертикальные. Вертикальные углы имеют общую вершину. Две прямые AD и ВС, пересекающиеся в точке О, образуют две пары вертикальных углов. Внутренние области одной пары вертикальных углов (углов АОВ и COD) заштрихованы, а другой пары (углов АОС и BOD)—не заштрихованы (см. рис. 74). || Теорема. Вертикальные углы равны. Дано: А.АОВ и ZJ20D — вертикальные (рис. 74). Доказать! Z.AOB = UCOD. Доказательство. На рисунке 74 углы АОВ, COD и BOD обозначим цифрами: 1, 2 и 3. Для доказательства теоремы воспользуемся тем, что Z.3 является смежным с каждым из данных углов (Z.1 или /Л). По теореме о смежных углах 1 + 3 = 180° и 2 + 3 = 180е. Из этих равенств получаем: 1 = 180° — 3, 2 = 180° — 3, поэтому 1=2. По определению равенства углов (п. 20) Z. 1 — = /Л, т. е. Z-.AOB = /-COD. Теорема доказана. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 199. Начертите три угла — острый, тупой, прямой. Для каждого из них начертите смежный угол. 200. Среди углов, изображенных на рисунке 75, найдите смежные углы. 201. Дан угол ftfe, градусная мера которого равна 93°. Могут ли углы hk и Ы быть смежными, если: a) kt = 82°; б) Ы = 87°? 202. В каждом из следующих случаев найдите градусную меру угла, смежного с углом ABC: a)ABC = =111°; б) ABC =90°; в) ABC =15°; г) ABC = 179°. 53
D 210. 211. 212. 213. Рис. 0 76 203. Докажите, что если смежные углы равны, то каждый из них — прямой угол. 204. Докажите, что: а) если один из смежных углов острый, то другой — тупой; б) два смежных угла не могут быть тупыми. 205. В каждом из следующих случаев найдите меры смежных углов hk и kl: a) hk меньше М на 40°; б) hk больше М на 120 ; в) hk больше Ы на 47 18 . 206. В каждом из следующих случаев найдите градусные меры смеж- /Ч ^ч ных углов hk и kl: a) hk = 3 kl; 6)hk:kl 207. На рисунке 76 луч OD—биссект- 5 : 4; в) hk =—kl. 7 Рис. 78 риса угла СОВ. Найдите AOD, если СОВ = 148°. 208. Градусные меры двух углов с общей вершиной и общей стороной относятся как 7:3, а их разность равна 72°. Могут ли эти углы быть смежными? 209. Может ли мера каждого из смежных углов быть больше 90°? Начертите неразвернутый угол. Постройте угол, вертикальный этому углу, и с помощью транспортира убедитесь в справедливости теоремы о вертикальных углах для рассматриваемого случая. Начертите три прямые MN, PQ и RS, пересекающиеся в одной точке. Укажите все пары вертикальных углов. Среди углов, изображенных на рисунке 77, найдите вертикальные углы. На рисунке 78 изображены углы 1, 2, 3 и 4. Перепишите следующую таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки: 54
a б в г 1* 30° / 2 117° г 43°27' ? 102°30' Рис. 79 214. Что можно сказать о каждом из двух вертикальных углов, если сумма их градусных мер: а) меньше 180°; б) равна 180°; в) больше 180°? 215. На рисунке 78 изображены углы 1, 2, 3 и 4. Найдите меру каждого /ч /ч из этих углов, если: а) 2 + 4 = = 220°; б)3(1+3)=2ч+4^ в) Г + 1i + Зч-220°; г) ^— Г-30°. 216. На рисунке 79 изображены три прямые, пересекающиеся в точке О. Докажите, что Т+2Ч-1^= 180°. § 6. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ 27. Угол между прямыми и отрезками. Рассмотрим прямые AD и ВС, пересекающиеся в точке О (рис. 80, а). Четыре луча ОА, OB, OD и ОС этих Рис- 80 прямых образуют четыре неразвернутых угла АОВ, COD, AOCuBOD. Если известна градусная мера одного из этих углов, например угла АОВ, то нетрудно найти градусные меры и других трех углов. В самом деле, если АОВ = = а°*, то угол COD (как вертикальный с ним) также имеет меру а°. Углы АОС и BOD являются смежными с углом АОВ9 поэтому имеют меру 180° — а°. Углом между пересекающимися а — греческая буква «альфа». 55
A — м Г90 1р А N 180° L 0 Рис. 81 В К D 150 '30 *В Рис. 82 О HL В прямыми будем называть меру меньшего из углов, образованных при пере- сечении этих прямых. На рисунке 80, б угол между прямыми а и Ъ равен 30°, а между прямыми тип равен 70°. Теперь рассмотрим два отрезка АВ и АС, имеющие общий конец А. Углом между отрезками АВ и АС называется градусная мера угла ВАС. На рисунке 81 угол между отрезками АВ и АС равен 45°, угол между отрезками MN и MP равен 90°, а между отрезками ОК и OL равен 180°. Если отрезки АВ и CD имеют общую внутреннюю точку, то углом между ними называется угол между прямыми АВ и CD. На рисунке 82 угол между отрезками АВ и CD равен 30°. 28. Перпендикулярные прямые. Определение. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°. Перпендикулярные прямые Рис. 83 Пусть прямые АС и ДО, пересекающиеся в точке О, взаимно перпендикулярны (рис. 83). В этом случае все четыре неразвернутых угла АОВ, COD, AOD и ВОС, образованных лучами этих прямых, прямые. Перпендикулярность прямых АС и BD записывается BD (читается: «прямая АС перпендикулярна к пря- так: АС мой BD»), Обратимся к рисунку 83, на котором изображена прямая АС, проходящая через точку О и перпендикулярная к прямой BD. Поставим вопрос: имеется ли другая прямая, перпендикулярная к прямой BD и проходящая через точку О этой прямой? Докажем, что такой прямой не существует. 56
Теорема. Если прямые О А и ОА\ перпендикулярны к прямой ОВ , то прямые О А и ОА\ совпадают. Доказательство. Допустим, что точки А и Аг принадлежат одной и той же полуплоскости Н с границей О В (рис. 84). Тогда лучи О А и ОАг являются лучами полуплоскости Н. По определению перпендикулярных прямых, BOA = 90°, ВОАг = 90°, по- C1 I I c Рис. 84 / В Ш1 о Рис. 85 Рис. 86 этому BOA = ВОАх. По свойству двух лучей полуплоскости (п. 22) лучи ОА и ОАх совпадают, поэтому и прямые ОА и ОАг совпадают. Теорема доказана. Замечание. Возникает вопрос: можно ли через данную точку провести прямую, перпендикулярную к данной прямой? Из наглядных соображений ясно, что такую прямую всегда можно провести. Доказательство этого факта будет дано позже, в главе V. 29. Лучи и отрезки, перпендикулярные к прямой. Рассмотрим прямую а и луч О В с началом на этой прямой. Если образованные при этом смежные углы 1 и 2 прямые, то говорят, что луч ОВ перпендикулярен к прямой а (рис. 85). Для построения луча, перпендикулярного к данной прямой АВ, используют чертежный треугольник, у которого один из углов прямой. Чтобы выполнить построение, нужно приложить линейку к данной прямой АВ, а к линейке треугольник так, как показано на рисунке 86, и провести нужный луч. Рассмотрим прямую а и отрезок АМ> один конец А которого не лежит на прямой, а другой М лежит на этой прямой (рис. 87, а). Если луч МА перпендикулярен к прямой а, то говорят, что отрезок AM перпендикулярен к прямой а. В этом 57
м О) • ь р В М б) Q* Рис. 87 > ~1 i Л/ Экер Рис. 88 Треножник с экером Рис. 89 случае отрезок AM называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, а точка М—основанием этого перпендикуляра. Аналогично определяется перпендикулярность двух отрезков (рис. 87, б). 30. Построение прямых углов на местности. Для построения прямых углов на местности применяют специальные приборы, простейшим из которых является экер (рис. 88). Экер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укрепленных на треножнике. На концах насажены булавки так, что прямые, соединяющие их, тоже образуют прямой угол. Чтобы построить на местности прямой угол АОС (рис. 89), следует установить треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О и направление булавок одного бруска совпало с направлением луча ОА, а направление булавок другого бруска — с направлением луча ОС. Затем провешивают одну прямую линию по направлению булавок одного бруска и другую прямую линию по направлению булавок другого бруска. Для более точных измерений, например в геодезии, применяются более совершенные приборы. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 217. Начертите две пересекающиеся прямые, угол между которыми равен: а) 46°; б) 83°; в) 90°. 218. Начертите квадрат ABCD и проведите прямые АС и BD. С помощью транспортира найдите уг- 58
лы между прямыми: а) АВ и ВС; б) АВ и BD; в) АС и БХ>; г) CD и ЯО. 219. Начертите два отрезка, имеющих общий конец, так, чтобы угол между ними был равен: а) 30°; б) 50°; в) 75°; г) 90°; Д) 145°. 220. Начертите два отрезка, имеющих общую внутреннюю точку, так, чтобы угол между ними был равен: а) 27°; б) 50°; в) 90°; г) 18°. 221. Начертите отрезки АВ и CD, имеющие общую внутреннюю точку, и два отрезка PQ и PR с общим концом в точке Р. С помощью транспортира найдите углы между [-4Б] и [CD] и между IPQ] и [РД]. 222. Начертите неразвернутый угол MON и отметьте точки Р и Q так, чтобы точка Р принадлежала внутренней области угла, а точка Q — внешней. При помощи линейки и чертежного треугольника через точки Р и Q проведите прямые, перпендикулярные к прямым ОМ и ON. 223. Начертите прямую а и отметьте точки А, В и С, не лежа« щие на прямой и принадлежащие разным полуплоскостям с границей а. При помощи линейки и чертежного треугольника проведите из точек А, В и С перпендикуляры к прямой а. 224. Начертите окружность и отметьте на ней четыре точки А, В, С и М. Через точку М с помощью линейки и чертежного треугольника проведите перпендикуляры к прямым АВ, ВС, АС. Убедитесь с помощью линейки, что основания этих перпендикуляров лежат на одной прямой. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 225. Может ли угол между двумя прямыми быть больше 90°? Дайте обоснование ответу. 226. Всегда ли можно утверждать, что градусная мера произвольного угла АОВ равна углу между прямыми О А и ОВ1 Дайте обоснование ответу. 227. Прямые АВ и CD пересекаются в точке О, которая лежит между А и Б и между Си D. Найдите угол между отрезками АВ и CD, если: а) градусная мера угла АОС равна 120°; б) угол между прямыми АВ и CD равен 909. 228. Найдите угол между прямыми АВ и ВС, если известно, что угол между отрезками АВ и ВС равен: а) 30°; б) 170°; в) 45°; г) 90°; д) 155°. 59
229. Лучи О А и О В исходят из точки О прямой а и перпендикулярны к этой прямой. Докажите, что эти лучи либо совпадают, либо являются дополнительными. 230. Пусть AM и ВМ — два перпендикуляра, проведенные из точек А и В к прямой а. Докажите, что точки А, В и М лежат на одной прямой. 231. Докажите, что если прямые а и Ъ пересекаются в точке О и взаимно перпендикулярны, то произвольная прямая, проходящая через О и отличная от прямых а и Ь, не может быть перпендикулярна ни к прямой а, ни к прямой Ь. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ II 1. Что называется углом? Что называется вершиной угла и сторонами угла? 2. Какой угол называется развернутым? 3. Что мы понимаем под внутренней областью угла? Имеет ли развернутый угол внутреннюю область? 4. С помощью понятия внутренней области угла объясните понятие внешней области угла. 5. Дайте определение внутреннего луча неразвернутого угла. Что мы понимаем под внутренним лучом развернутого угла? 6. Сформулируйте свойства измерения углов. 7. Как получить углы, градусные меры которых равны одному градусу, одной минуте, одной секунде? 8. Дайте определение равных отрезков. 9. Можно ли утверждать, что если отрезки равны, то и дли- цы их равны при любом выборе единицы измерения? Можно ли утверждать, что если отрезки не равны, то и длины их разные? 10. Что называется серединой отрезка? 11. Что значит, что отрезок АВ меньше отрезка CD? 12. Сформулируйте свойство внутренней точки отрезка. 13. Сформулируйте и докажите свойство двух точек луча. 14. Дайте определение равных углов. 15. Что называется биссектрисой угла? 16. Что значит, что угол hk меньше угла 1м? 17. Сформулируйте и обоснуйте свойство внутреннего луча угла. 60
18. Сформулируйте и докажите свойство двух лучей полуплоскости. 19. Какой угол называется прямым? Какой угол называется острым? Какой угол называется тупым? 20. Какие углы называются смежными? Докажите теорему о смежных углах. 21. Всегда ли верно, что если сумма градусных мер двух углов равна 180°, то углы смежные? Приведите примеры. 22. Какие углы называются вертикальными? Докажите теорему о вертикальных углах. 23. Что мы называем углом между двумя пересекающимися прямыми? 24. Что мы называем углом между двумя отрезками: а) если отрезки имеют общий конец; б) если отрезки имеют общую внутреннюю точку? 25. Дайте определение взаимно перпендикулярных прямых. 26. Сформулируйте и докажите теорему о прямых, перпендикулярных к данной прямой и проходящих через точку на этой прямой. 27. В каком случае говорят, что луч перпендикулярен к прямой? Как построить с помощью линейки и чертежного треугольника луч, перпендикулярный к данной прямой? 28. Что называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к прямой? 29. Опишите, как построить прямой угол на местности. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 232. Сколько углов образуется при пересечении трех прямых, проходящих через одну точку? 233* .Докажите, что если точки А и В принадлежат разным сторонам неразвернутого угла hk, то любая внутренняя точка отрезка АВ принадлежит внутренней области этого угла. Решение. Обозначим через Н и К полуплоскости, связанные с данным углом hk (п. 13). Пусть А € А, В 6 ft, а М — произвольная внутренняя точка отрезка АВ. Так как отрезок MB не имеет общих точек с границей полуплоскости Н и В ( Я, то М ( Я (п. 5). Точно так же отрезок МА не имеет общих точек с границей полуплоскости К и А € К, поэтому М € К. Итак, М — общая точка по- 61
луплоскостей Н и К, поэтому М принадлежит внутренней области угла hk. 234. Докажите, что луч, исходящий из вершины неразвернутого угла и пересекающий какой-либо отрезок с концами на разных сторонах угла, является внутренним лучом этого угла. 235*.Докажите, что внутренний луч неразвернутого угла пересекает любой отрезок, соединяющий точки на разных сторонах угла. 236*.Лучи ОВ и ОС являются лучами разных полуплоскостей с общей границей ОА. Всегда ли сумма градусных мер углов АОВ и АОС равна градусной мере угла ВОС? Дайте обоснование ответу. 237. Даны три луча с общим началом: ОА, ОВ и ОС. Известно, что АОВ = 35°, ВОС = 50°. Найдите градусную меру угла АОС. Для всех возможных случаев сделайте чертеж с помощью линейки и транспортира. 238. Градусная мера угла hk равна 120°, hm = 150°. Найдите градусную меру угла km. Для каждого возможного случая сделайте чертеж. 239. Лучи ku k2 и h исходят из одной точки О. Лучи ku k2 являются лучами одной полуплоскости с границей, содер- /ч /ч жащей луч h и hkx = 34 , hk2 = 117 . Докажите, что луч kx является внутренним лучом угла hk2j & луч k2 не является внутренним лучом угла hkx. 240*.Лучи ОВ и ОС являются лучами разных полуплоскостей с границей О А. Докажите, что если Z.AOC острый, а А.ВОА прямой, то ОА — внутренний луч угла ВОС. 241. На рисунке 90 изображено несколько лучей, причем В А и BE — дополнительные лучи, BD, ВК и BQ являются лучами одной полуплоскости. Известно, что угол ABQ равен углу KBQ, а угол KBD .к равен углу DBE. Найдите гра- \ /п дусную меру угла QBD. ч* \ / 242. Пусть ОХ — внутренний луч не- ^44>Ov=:y развернутого угла АОВ. Дока- /^^/л^ жите, что по крайней мере один А В £ из углов АОХ или BOX являет- Рис. 90 ся острым. 62
243. На рисунке 91 изображены точ- . _ rt л л _ _ А О С U ки А, В, С и D. Докажите, что ■ ■ • • если АВ = CD, то середины отрезков AD и ВС совпадают. 244. Отрезок АВ, длина которого равна а, разделен двумя точками Р и Q на три отрезка АР, PQn QB так, что АР = 2PQ = 2Q£. Найдите расстояние между: а) серединами отрезков АР и QB; б) точкой А и серединой отрезка Q5. 245* .Отрезок, длина которого равна 36 см, разделен на четыре не равные друг другу части. Расстояние между серединами -крайних частей равно 30 см. Найдите расстояние между серединами средних частей. 246. Отрезок длины а разделен на три равные части. Найдите расстояние между серединами крайних частей. 247. Отрезок длины а разделен на пять равных частей. Найдите расстояние между серединами крайних частей. 248. Докажите, что биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол. 249. Докажите, что если два угла равны, то и смежные с ними углы также равны. 250. Докажите, что если два угла не равны друг другу, то и смежные с ними углы не равны, причем большему из углов соответствует меньший смежный угол. 251. Даны три луча О А, ОВ и ОС с общим началом О. Известно, что ОА и ОВ являются лучами одной полуплоскости с границей ОС и, кроме того, АОВ + ВОС = АОС. Докажите, что луч ОВ — внутренний луч угла АОС. 252. Выпишите все углы, изображенные на рисунке 92, и укажите, какие из них являются острыми, прямыми, тупыми. 253. Пусть АОВ — произвольный угол. Можно ли утверждать, что угол между прямыми ОА и ОВ равен углу между отрезками ОА и ОВ? 254. Прямые MN и PQ пересекаются в точке S, которая лежит между М и N и между Р и Q. Определите угол между отрезками MN и PQ, если: a) AfSJP = 135°; б) угол между прямыми MN и PQ равен 86°.
Глава III РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ Нам уже знакомы свойства ряда простейших геометрических фигур. В этой главе мы приступаем к изучению свойств еще одной фигуры — треугольника. Сначала введем понятие треугольника и рассмотрим перемещения и равенства отрезков и треугольников, а затем изучим признаки равенства треугольников. § 1. ТРЕУГОЛЬНИКИ 31. Треугольники и их виды. Определение. Треугольником называется фигура, состоящая из трех отрезков, попарно соединяющих три точки, не лежащие на одной прямой. f Указанные в определении точки называются вершинами, а отрезки — сторонами треугольника. На рисунке 93 изображен треугольник с вершинами А, В, С и сторонами АВ, ВС и СА. Сумма длин трех сторон называется периметром треугольника. Треугольник с вершинами А, В и С обозначается символом ААВС (читается: «треугольник ABC»). Этот же треугольник можно обозначить и так: АВСА, АСВА и т. д. Три угла: Z-BAC, Z.CBA и Z.ACB — называются углами треугольника. Часто их обозначают одной буквой: А.А, Z-B, ZJ2. Для каждой вершины треугольника можно указать противоположную сторону, а для каждой стороны — противоположную вершину. В треугольнике ABC противоположными будут вершина А и сторона ВС, вершина В и сторона Треугольник с вер- АС, вершина С и сторона АВ. шинами А, Б, с Треугольник разделяет плоскость на внут- и сторонами АВ, ВС, СА реннюю и внешнюю области (рис. 94). На ри- Рис. 93 сунке 95 заштрихованы внутренние области 64
всех углов треугольника: Z.BAC, Z-ACB и Z.CBA. Мы видим, что внутренняя область треугольника есть об" щая часть внутренних областей трех его углов. Стороны треугольника не принадлежат его внутренней области. Виды треугольников связаны с соотношениями длин их сторон и мер углов. Треугольник называется разносторонним, если любые две стороны его не равны друг другу. Треугольник называется равнобедренным, если две стороны его равны. Треугольник, все стороны которого равны, называется рае- посторонним (рис. 96). В зависимости от мер углов треугольники разделяются на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Треугольник называется остроугольным, если все его углы острые. Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой, и тупо- угольным, если один из его углов тупой (рис. 97). внешняя ШИШ оЬласть тоеигольника lllllllllllllllllll Внутренняя и внешняя области треугольника Рис. 94 Внутренняя область треугольника — общая часть внутренних областей трех его углов Рис. 95 Разносторонний треугольник Равнобедренный треугольник Остроугольный треугольник Прямоугольный треугольник Разносторонний треугольник Рис. 96 Тупоугольный треугольник Рис. 97 3 Заказ 54 65
м а) [AM] — медиана треугольника 5) 1АМ{\, [BAf2], [СМ 3] — медианы треугольника ABC, Они пересекаются в одной точке Рис. 98 а) [AAX~] — биссектриса треугольника [СС{], [DD.I \_ЕЕ{]— биссектрисы треугольника ABC. Они пересекаются в одной точке Рис. 99 32. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Кроме вершин и сторон, существует много отличительных точек, отрезков и прямых, связанных с треугольником. Познакомимся с важнейшими из них. Отрезок с концами в вершине треугольника и в середине противоположной стороны называется медиа- ной треугольника (рис. 98, а). На рисунке 98, б точки Ми М2 и М з являются серединами сторон ВС, С А и АВ треугольника ABC, а отрезки АМ1у ВМ2 и СМЪ — медианами этого треугольника. Любой треугольник имеет три медианы. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника. На рисунке 99, а отрезок ААг — биссектриса треугольника ABC при вершине А. Любой треугольник имеет три биссектрисы. На рисунке 99, б отрезки CCi, DDX и ЕЕХ являются биссектрисами треугольника CDE. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, проходящей через две другие его вершины называется высотой треугольника (рис. 100). Треугольник имеет три высоты (рис. 101). Если треугольник остроугольный, то внутренние точки всех трех высот принадлежат внутренней области треугольника (рис. 101, а), если же он тупоугольный, то две высоты не имеют ни одной общей точки с внутренней областью треугольника (рис. Рис. 100 101, б). Если треугольник прямоуголь- [АН{] — высота ника треуголь- 66
/% 2?fA 7f\ a) 6) 5) [AH{\, [2Ш2]» [C#3] — высоты треугольника ABC. Прямые AHV ВН2 и СН3 пересекаются в одной точке Рис. 101 ный, то две его высоты совпадают с двумя сторонами, образующими прямой угол (рис. 101, в). Замечание. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке (рис. 98, б). Три биссектрисы треугольника также пересекаются в одной точке (рис. 99, б). Три прямые, на которых расположены высоты треугольника, пересекаются в одной точке (рис. 101, а, б, в). В дальнейшем докажем, что эти свойства медиан, биссектрис и высот справедливы для любого треугольника. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 255. Начертите произвольный треугольник и обозначьте вершины через А, Б, С. а) Назовите все углы и все стороны треугольника; б) с помощью масштабной линейки определите длины сторон и убедитесь, что АВ + ВС > АС. 256. Начертите произвольный треугольник и обозначьте его вершины через М, N и Р. Назовите: а) все стороны и вершины треугольника; б) все углы треугольника; в) сторону, противоположную вершине N\ г) вершину, противоположную стороне NP. 257. Начертите треугольник ABC так, чтобы один из его углов был прямым углом. С помощью масштабной линейки и транспортира найдите: а) длины всех сторон треугольника; б) меры всех углов; в) периметр треугольника. 258. Начертите произвольный треугольник, а) Отметьте три точки М, N9 P, принадлежащие внутренней области треугольника; б) отметьте три точки Х> Yt Z, не принадлежащие внутренней области. 3* 67
259. Начертите ДАВС. Отметьте точки, не лежащие на прямых АВ, ВС, С А, так, чтобы: а) точки М и N принадлежали внутренней области треугольника; б) точки Р и Q принадлежали внутренней области одного из его углов, но не принадлежали внутренним областям двух других углов. 260. Начертите произвольный треугольник ABC и отметьте некоторую точку М внутренней области. Пользуясь масштабной линейкой, измерьте длины отрезков MA, MB и МС и убедитесь в том, что: a) MA + MB + МС > р; б) MA + MB + МС < 2 р. Здесь р — полу периметр треугольника. 261. Начертите следующие треугольники: остроугольный разносторонний; прямоугольный разносторонний; тупоугольный разносторонний. 262. Начертите три равнобедренных треугольника: остроугольный, тупоугольный, прямоугольный. С помощью масштабной линейки найдите длины сторон треугольников и убедитесь в том, что у тупоугольного и прямоугольного треугольников равные стороны меньше третьей стороны. 263. Начертите треугольник и проведите в нем медиану. Найдите длины сторон и медианы. Проверьте правильность утверждений: а) длина стороны треугольника меньше его полупериметра; б) длина медианы треугольника меньше его по л у периметра. 264. Начертите произвольный треугольник. При помощи масштабной линейки найдите середины сторон и проведите медианы треугольника. Убедитесь в том, что все три медианы пересекаются в одной точке. 265. Начертите треугольник ABC и с помощью масштабной линейки и транспортира проведите три его биссектрисы. Убедитесь в том, что все три биссектрисы пересекаются в одной точке. 266. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. При помощи чертежного треугольника проведите три высоты каждого треугольника и убедитесь в том, что во всех треугольниках прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке. 68
267. Начертите прямоугольный треугольник и из вершины острого угла проведите медиану, биссектрису и высоту этого треугольника. 268. Начертите тупоугольный треугольник и из вершины острого угла проведите медиану, биссектрису и высоту этого треугольника. 269. Начертите равнобедренный треугольник ABC с вершиной в точке А. Проведите биссектрису [AJD] треугольника и убедитесь в том, что [БХ>] = [CD], ADC = ABB = 90° и Z-ABC = А.АСВ. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 270. Одна из сторон треугольника имеет длину 18 см, периметр равен 48 см. Определите длину каждой из остальных сторон, если их разность равна 4,6 см. 271. Всегда ли справедливы утверждения: а) если точки X и. Y принадлежат внешней области треугольника, то все точки отрезка XY являются точками внешней области треугольника; б) если точки X и Y принадлежат внутренней области треугольника, то все точки отрезка XY принадлежат внутренней области треугольника? 272. Дан треугольник ABC, ВС = 12 см, АВ = 18 см. На луче ВА отмечена точка В так, что BD = ВС. Найдите периметр треугольника ABC, если известно, что треугольники ABC и ВВС имеют равные периметры. 273. Концы отрезка EF являются серединами равных сторон MN и NP треугольника MNP. Периметр треугольника MNP в 2 раза больше периметра треугольника FNE. Найдите MP, если известно, что FE = 3jLcm. 4 274. На стороне АВ равнобедренного треугольника ABC, где АВ = АС, построен равносторонний треугольник. Периметр первого треугольника равен 40 см, а второго — 45 см. Определите длину стороны ВС. 275. В равнобедренном треугольнике ABC, где АВ = АС, проведена медиана [_АМ~\. а) Докажите, что периметры треугольников АВМ и АСМ равны; б) найдите длину медианы [АМ^\, если периметр треугольника ABC равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см. 69
§ 2. ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ОТРЕЗКОВ И ТРЕУГОЛЬНИКОВ Ф а) 33. Понятие перемещения фигуры. Нарисуем какую-либо фигуру Ф, наложим на нее лист кальки и скопируем ее. Фигуру Ф0, изображенную на кальке, переместим в другое место. При этом мы можем перемещать фигуру Ф0 двумя способами: либо не отрывая лист кальки от листа бумаги, на котором изображена фигура Ф (рис. 102, а), либо перевернув его другой стороной (рис. 102, б). Тогда копия Ф0 фигуры Фив том и другом случае займет на плоскости новое положение. Теперь скопируем фигуру Ф0 на тот же лист бумаги и получим фигуру Фх. Говорят, что фигура Ф1 получена перемещением фигуры Ф. Понятие «перемещение фигур» используется для решения вопроса об их равенстве. Представим себе плоскость как лист бумаги очень больших размеров и допустим, что на этой плоскости расположены две фигуры Ф и Фх (рис. 103). Как практически решить вопрос о том, равны ли эти фигуры? Для этого нужно попытаться перемещением полностью совместить фигуры Ф и Фх. Если они совместятся, то говорят, что фигуры Ф и Фг равны. Если фигура представляет собой точку, прямую, луч или полуплоскость, то возможность ее перемещения и совмещения с одноименной фигурой не вызывает сомнений. В самом деле, любую точку можно совместить с какой-нибудь точкой плоскости. Точно так же любую прямую можно переместить и совместить с любой другой прямой. То же справедливо и по отношению к перемещению лучей и полуплос- Фигура Ф1 получена перемещением фигуры Ф Рис. 102 Рис. 103 % Рис. 104 70
костей. Не столь очевидным является вопрос о перемещениях отрезков и других фигур, состоящих из отрезков. Этот вопрос рассмотрим в следующих пунктах. 34. Перемещение отрезков. Из наглядных представлений ясно, что при перемещении отрезок АВ переходит в некоторый отрезок А1В1 (рис. 104) и при этом не меняется его длина. Будем считать, что это свойство выполняется при любых перемещениях каждого отрезка. Отсюда следует утверждение: если один отрезок получен перемещением другого, то эти отрезки равны. Возникает вопрос: можно ли данный отрезок АВ путем перемещения расположить на плоскости определенным образом, например так, чтобы его концы лежали на данной прямой, или так, чтобы один конец принадлежал границе некоторой полуплоскости, а другой — самой полуплоскости? Для решения этого вопроса будем использовать следующую аксиому перемещения отрезка. X. Произвольный отрезок можно переместить так, чтобы один из его концов совпал с началом данного луча, а другой конец принадлежал этому лучу. Пользуясь этой аксиомой, докажите самостоятельно следующее утверждение. Если длины двух отрезков равны, то каждый из них может быть получен перемещением другого отрезка (задача 286). Теперь рассмотрим перемещение фигуры Ф, состоящей из двух отрезков АВ и АС с общим концом А (рис. 105). При любом перемещении фигуры Ф получим фигуру Фи состоящую из двух отрезков А1В1 и АХСХ с общим концом Ах. При этом ясно, что А1В1^= = АВ, А1С1 — АС и угол между отрезками АХВХ и АХСХ будет равен углу между отрезками АВ и АС (т. е. В1АХС1 = ВАС). Итак, при перемещении двух отрезков с общим концом их А, Ф7 Щ Ф Рис. 105 С, Треугольник A^-fii получен перемещением треугольника ABC Рис. 106 71
длины не меняются и не меняется также угол между ними. 35. Перемещение треугольников. При любом перемещении треугольника ABC получим некоторый треугольник А1В1С1 (рис. 106). При этом вершина А перейдет в вершину А19 вершина В — в вершину В1ч вершина С — в вершину Сх. Вершины А и Аи В и Ви С vlC1 будем называть соответственными. Точно так же стороны АВ, ВС и С А треугольника ABC перейдут в стороны AiBl9 ВХСХ и СХАХ треугольника АХВХСХ. Поэтому стороны АВ и АХВ19 ВС и BiCu CA и СХАХ будем называть соответственными. Согласно предыдущему длины сторон и меры углов треугольника ABC будут равны длинам соответственных сторон и мерам соответственных углов треугольника АХВХСХ. Итак, мы приходим к выводу. Если треугольник А1ВХС1 получен перемещением треугольника ABC, то длины сторон и меры углов треугольников связа- ны равенствами: АВ = АгВи ВС = ВХС^ С А = СгА19 А = Аи В === В\> С — Сх. Пусть ABC — данный треугольник. Можно ли этот треугольник путем перемещения расположить на плоскости определенным образом? Ответ на этот вопрос сформулирован в следующей аксиоме. XI. Произвольный треугольник можно переместить так, чтобы данная его сторона совпала с равным ей отрезком на границе заданной полуплоскости, а противоположная вершина принадлежала этой полуплоскости. Эта аксиома, которую будем называть аксиомой перемещения треугольника, поясняется на рисунке 107. Пусть даны треугольник ABC и полуплоскость Н, на границе которой имеется отрезок АгВ19 равный стороне АВ рассматриваемого треугольника. Аксиома утверждает, что треугольник ABC можно переместить так, что его сторона АВ совпадет с отрезком АХВХ, т. е. точка А совпадет с точкой Аг, точка Б — с точкой В19 а вершина С, про- Аксиома перемещения треугольника Рис. 107 72
тивоположная стороне АВ, совпадет с некоторой точкой Сх полуплоскости Я. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 276. Начертите два отрезка, каждый из которых может быть получен перемещением другого. 277. Начертите два отрезка АВ и CD так, чтобы точка О была их общей серединой и АВ = 4,8 см, CD = 9 см. Выпишите все отрезки, полученные на чертеже. Укажите пары отрезков так, чтобы в каждой паре один отрезок мог быть получен перемещением другого, и найдите их длины. 278. Начертите отрезок АВ и прямую а. Пользуясь аксиомой X, покажите, что отрезок АВ можно переместить так, чтобы его концы лежали на прямой а. Начертите один из таких отрезков. 279. Начертите отрезок АВ и прямую а. Обозначьте через Я и F полуплоскости с общей границей а. Пользуясь аксиомой X, покажите, что имеются отрезки CXDX, C2D2 и C3D3, полученные перемещением отрезка АВ, и такие, что: а) Сх ia,D1i Я; б) С2 U,D2 £ F; в) С3 (Я,Д3( Я. Начертите по одному из отрезков CiDly C2D2 и C3D3. 280. Начертите фигуру Ф, состоящую из отрезков АВ и АС, где АВ = 4 см, АС = 3 см, ВАС = 50°. Затем начертите фигуру Ф19 которая может быть получена перемещением фигуры Ф. 281. Начертите треугольник ABC и отрезок АХВ±, равный отрезку АВ. С помощью линейки и транспортира начертите AAiB^i, полученный перемещением треугольника ABC. Сколько таких треугольников можно начертить? ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 282. На рисунке 108 изображены отрезки АВ, АхВг, А2В2, А3В3 и А4-В4. Укажите те отрезки, которые могут быть получены перемещением отрезка АВ. 283. Пусть [АВ] < [CD]. Переместим отрезок АВ так, чтобы точка А совпала с началом С луча CD, a <л 73
J CM точка В принадлежала этому лучу. Докажите, что точка Вг луча CD, с которой совпадает точка Б, лежит между С и D. 284. Точка О является серединой отрезка АВ. Можно ли отрезок О А переместить так, чтобы он совпал с отрезком ОВ1 285. На прямой отмечены две точки А и В. Пользуясь аксиомой X, докажите, что имеется такая точка С, что точка В является серединой отрезка АС. 286. Длины отрезков АВ и АХВХ равны. Пользуясь аксиомой X, докажите, что отрезок АХВХ может быть получен перемещением отрезка АВ. Решение. Рассмотрим отрезок АВ и луч АХВХ. Переместим отрезок АВ так, чтобы точка А совпала с точкой Au sl точка В — с некоторой точкой В2 луча А1В1. Так как АХВХ = АВ по условию, а АХВ2 = АВ по построению, то АХВХ = АХВ2. По свойству двух точек луча (п. 19) точка В2 совпадает с точкой В19 поэтому \_АгВ{] и [А^В^ — один и тот же отрезок. Итак, отрезок AXBX получен перемещением отрезка АВ. 287. Фигура Ф состоит из отрезков АВ и АС; АВ=4 см, АС = 3 см, ВАС = 50°. Фигура Фх состоит из отрезков PS и PQ; PS =3 см, PQ = 4 см, а угол между этими отрезками равен 60°. Можно ли фигуру Фг получить в результате перемещения фигуры Ф? 288. Можно ли фигуру Ф19 изображенную на рисунке 109, получить перемещением фигуры Ф? Дайте обоснование ответу. 289. Могут ли треугольники АхВхСц А2В2С2 и А3В3С3, изображенные на рисунке 110, быть получены перемещением треугольника ABC? Дайте обоснование ответу. 290. Треугольник А1В1С1 получен перемещением треугольника ABC. Перепишите таблицу в тетрадь и Рис. но заполните пустые клетки. Рис. 109 74
a б в АВ 7 см 21 мм ВС 5 см 4 см СА 3 см 37 мм А 35 55° В 2 3° 91° С 122° ео° А.В, 4 см в1с1 30 мм сглх 4 см Лг 60° £ 60° cj 34° 291. Даны треугольник АБС и полуплоскость i? с границей а. Докажите, что ААВС можно переместить так, чтобы вершины А и В лежали на прямой а, а вершина С принадлежала полуплоскости Н. 292. Известно, что данный треугольник ABC можно переместить так, чтобы вершина А совпала с вершиной Б, вершина В — с вершиной А, а. вершина С осталась неподвижной. Докажите, что АС = ВС. § 3. ПЕРВЫЙ И ВТОРОЙ ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 36. Равенство треугольников. Пользуясь понятием перемещения, сформулируем определение равенства треугольников. Определение. Два треугольника называются равными, если один из них может быть получен перемещением другого. На рисунке 106 изображены равные треугольники ABC и •АхВхСх.Ясно, что соответственные стороны и углы равных треугольников равны (п. 35). Равенство треугольников ABC и А1В1С1 записывается так: ААВС = АА1В1С1 (читается: «треугольник ABC равен треугольнику «AxjBxCx»). Вершины этих треугольников будем записывать в том порядке, в котором они соответствуют друг другу. Из определения равенства треугольников следует: если ААВС = АА1В1С1 и АА1В1С1 -■= АА2В2С2, то ААВС = = АА2В2С2 (рис. 111). Можно ли установить равенство двух треугольников без фактического их перемещения? Мы рассмотрим три признака равенства треугольников. В Если Л ABC = Л АХВХСЪ а АА1ВАС1 = АА2В2С2, то ААВС = АА2В2С2 Рис. 111 75
37. Первый признак равен- ства треугольников. Теорема. Если две стороны и угол между ними одно- го треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ААВС и АА&Сц \_AB~] = [AxBJ, [AC]- [Axd], Z_A = SLAX (рис. 112). Доказать: АА1В1С1 = ААВС. Доказательство. Переместим треугольник ABC так, чтобы вершины А и В совпали с вершинами Ах и В± треугольника АхВхСц а вершина С — с некоторой точкой С2 той полуплоскости с границей АгВ19 которой принадлежит точка С1 (п. 35, аксиома XI). Получим треугольник АхВхСг, который на рисунке 112, а выделен штриховкой. Пусть Z-BAC = /Л, /LBXAXCX = Z_2, /LB1A1C2 = Z_3. Так как при перемещении треугольника меры углов не меняются, то Z_3 = Z_l. По условию теоремы Z_2 = Z_l, поэтому /-2 = Z_3. По свойству двух лучей полуплоскости лучи А±Сг и AxCg совпадают (п. 22). По условию теоремы АХСХ — АС. С другой стороны, АгС2 = = АС, так как [AiCa] получен перемещением [АС]. Из этих двух равенств следует, что АгС± = АгС2, поэтому точки С± и С2 совпадают по свойству двух точек луча (п. 19). Следовательно, AAxB-fix и ААхВхС^ — один и тот же треугольник (рис. 112, б). Треугольник AxBiCi получен перемещением треугольника ABC, поэтому AAiBiC± = ААВС. Теорема доказана. 38. Второй признак равенства треугольников. Теорема. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Даны два треугольника ABC и AiB-fi^ Известно, что [АБ] = [-AiBi], ZA = /_АЪ /_В = £ВХ. Требуется доказать, что ААВС = АА&Сх (рис. 113). 76
Переместим A ABC так, чтобы вершины А и В совпали с вершинами Аг и В1 треугольника А&Сц а вершина С — с некоторой точкой С2 той полуплоскости с границей АгВи которой принадлежит точка Сг. Получим АА^С^ Так как ^С^^ = /LCAB и /1С2А1В1 = ZCAB, то /СИА=/С2АА. По свойству двух лучей полуплоскости (п.22) лучи АгСх и АХС2 совпадают и точка С2 принадлежит лучу AiC^ Аналогично можно показать, что лучи ВХС^ и В1С2 совпадают, поэтому точка С2 принадлежит лучу В&. Так как лучи А1С1 и В1С1 имеют только одну общую точку Сх, то точки Сл и С2 совпадают. Следовательно, АА1В1С1 и АА1В1С2 — один и тот же треугольник, поэтому треугольник А1В1С1 получен перемещением треугольника ABC и, следовательно, АА1В1С1 = = ААВС. Теорема доказана. В Рис. 113 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 293. С помощью транспортира и масштабной линейки начертите треугольник ABC так, чтобы: а) АВ = 4,3 см, АС = 2,3 см, А = 23°; б) ВС = 9 см, ВА = 6,2 см, В = 122°; в) СА = 3 см, СВ = 4 см, С = 90°. 294. Начертите треугольник ABC так, чтобы А = 30°, АБ = = 3 см, АС = 4 см. Начертите другой треугольник А1В1С1 так, чтобы Ах = 30°, АгВх = 3 см, АгСг =4 см. С помощью масштабной линейки и транспортира убедитесь, что В1С1 = ВС, % = В, УС1 = С. 295. С помощью транспортира и масштабной линейки начертите треугольник ABC так, чтобы: а) А = 46°, Б = 58°, АВ - 4,8 см; б) А = 60°, & = 42°, АС = Ъ см; в) ВАС = = 72°, BCZ) = 138°, АС = 7 см, где D — точка на луче, дополнительном к лучу СА. 296. Начертите два треугольника ABC и АХВХСХ так, чтобы А = 46°, В4- 58°, АВ = 4,8 см, А1 = 46°, Вх = 58°, AiBx = 4,8 см. С помощью масштабной линейки и транспортира убедитесь, что С = Сх, ВС == SiClf AC = А^. 77
вопросы и Задачи 297. Можно ли получить треугольник АХВХСХ перемещением треугольника ABC, если: а) А1В1 = АВ, ВХСХ = ВС, АгСг = АС, Ах = A, Д? = £ Ci = С; б) А1В1 = АВ, АгСг = AC, Ах = А; в) АХВХ = АБ, АА = AC, Бх = Б? 298. Треугольник АхБхСх равен треугольнику ABC. Известно, /\ хч /\ 0 что А + Б + С = 180 . Найдите длины сторон и градус- ные меры углов треугольника АхБхСх, если: а) Б = 48 35', С = 105°16\ ВС = 24,35 см, АС = 41,4 см, АВ = 53,3 см; б) А= 37°, С"= 115°, ВС = 10,9 см, АБ - 16,4 см, АС = 8,5 см. 299. Отрезки ССХ и ВВХ не расположены на одной прямой и имеют общую середину А (т. е. АС = АСХ и ВА = ВХА). Докажите, что ВС = ВХСХ. 300. По данным рисунка 114: а) най- дите С; б) докажите, что \_DE~\ = = [АС]. 301. По данным рисунка 115: а) докажите, что BD = CD; б) най- /Ч /\ дите С, если Б = 53 ; в) найдите DC, если DB = 14 мм. 302. На рисунке 116 OA^OD, OB = = 0СЛ = 74°, И = 36е. Найдите Z)CA. 303. Даны два равных треугольника ABC и AijBiCla На сторонах АВ Рис. 115 и AXBX отмечены точки Р и Р1 так, что АР = Ai-Px. Докажите, что ДАРС = АА1Р1С1. 304. Даны два равных треугольника ABC и AiSiCx. На сторонах АВ и АхБх отмечены точки О и Ох так, что АО=ОВ и AlOl=OlBx. Дока- Рис, не жите, что ААСО = AAxC^i- Рис. 114 78
305. Даны угол ВАС и точка D. На сторонах угла ВАС отложены равные отрезки AM и AN. Докажите, что если угол BAD равен углу ВАС, то треугольник DMN равнобедренный (рис. 117). 306. По данным рисунка 118: а) най- дите Т\ б) докажите, что ОР =ОТ. 307. На рисунке 119 DAB = СВА, 13 см. Най- САВ = DBA, CA дите DB. По данным рисунка 120 найди те РК, если MD = 9 см. 308. 309. На рисунке 119 DBC = DAC, ВО = АО. Докажите, что С и АС = BD. D 310. 311. 312. А В N Рис. 117 67 На рисунке 121 [AD] = [OF], ZA = Z_2 и Z_3 - ZL4. Докажите, что [AJB] = IDE]. На рисунке 121 [АС] - [-D-F], 1 = if и ADE = 180° — 3. Докажите, что ЛАБС = ADEF. На рисунке 122 Z_l - zL2, [БМ] = [СМ] и AM _L БС. Докажите, что \_АВ~\ = [АС] и Z_£AM = Z-CAM. Z? Рис. 118 Рис. 119 М К Рис. 120 Рис. 121 79
313, На рисунке 105 изображены две фигуры Ф и Фи причем АВ = АХВХ, АС = АгС19 ВАС = B^^Ci. Докажите, что фигуру Фх можно получить перемещением фигуры Ф. вершина треугольника А/ § 4. РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 39. Теорема о биссектрисе при вершине равнобедренного треугольника. Пусть ABC — равнобедренный треугольник, у которого стороны АВ и АС равны (рис. 123). Две равные стороны АВ и АС называются боковыми сторонами, третья сторона ВС —. основанием, а точка А — вершиной равнобедренного треугольника. Теорема. Биссектриса равнобедренного треугольника при его вершине является медианой и высотой. Доказательство. Пусть ABC — равнобедренный треугольник, \_АВ~\ и [АС] — его боковые стороны, a [AD] — биссектриса (рис. 124). Требуется доказать, что отрезок АВ является одновременно медианой и высотой треугольника ABC. Рассмотрим два треугольника ABD и ACD. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников (п. 37). В самом деле, [АБ] =[-АС] по условию теоремы, [AD] — общая сторона и Z_l = Z_2, так как луч AD — биссектриса угла ВАС. Из равенства треугольников следует, что BD = DC, т. е. D — середина отрезка ВС и, следовательно, [AD] — медиана треугольника. Остается доказать, что [AD] — высота треугольника. Углы 3 и 4 смежные. Сумма градусных мер двух смеж- ных углов равна 180 , поэтому 3+4 = = 180°. С другой стороны, 3=4, так основание Равнобедренный ник Рис. 123 треуголь- Биссектриса при вершине равнобедренного треугольника является медианой и высотой Рис. 124 80
как треугольники ADB и ADC равны. Из предыдущих двух равенств следует, что 3=4= 90°. Таким образом, [AD] перпендикулярен к прямой ВС, поэтому [AD'] — высота треугольника. Теорема доказана. 40. Некоторые свойства равнобедренного треугольника. При доказательстве предыдущей теоремы мы убедились, что биссектрисой [AD-] равнобедренного треугольника ABC с основанием [ВС] образуются два равных треугольника ABD и ACD (рис. 124). Отсюда следует, что /-В = ZJ2. Итак, справедлива теорема. || Теорема. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть ABC — равнобедренный треугольник с вершиной А. Мы видим, что один и тот же отрезок AD является: а) биссектрисой треугольника при вершине А; б) медианой, соединяющей вершину А с серединой противоположной стороны; в) высотой, проведенной через вершину А. Каждое из этих свойств определяет положение отрезка AD. Поэтому если отрезок AD обладает одним из перечисленных выше свойств, то он обладает и остальными двумя свойствами. Можно, например, сформулировать утверждение. I Медиана равнобедренного треугольника с концами в вершине треугольника и в середине основания является высотой тре- I угольника. ЗАДАЧИ 314. Длина основания равнобедренного треугольника равна 8 см. Медианой, проведенной к боковой стороне, образуются два треугольника так, что периметр одного треугольника на 2 см больше другого. Найдите длину боковой стороны данного треугольника. 315. В треугольнике ABC, у которого А = 38°, В = 110°, С = 32 , проведены два отрезка BD и BE так, что BD = DA, BE = = ЕС (рис. 125). Найдите градусную меру угла DBE. 316. Основание Н высоты \_АЩ треугольника ABC является серединой стороны ВС. Известно, Рис. 126 Zk\ 81
что 2АН = ВС и В = а. Выразите Аи С через а. 317. В равнобедренном треугольнике сумма градусных мер всех углов равна 180°. Найдите меры углов треугольника, если известно, что: а) мера одного из углов равна 40°; б) мера угла при вершине равна 70°; в) мера одного из углов в 2 раза больше меры другого; г) один из углов треугольника прямой. 318. В треугольнике ABC АВ = ВС, АС = 32 см, А = 45°, длина высоты [BD] равна 16 см. Найдите меру угла ABC. 319. В треугольнике ABC медиана [AM] равна половине стороны ВС. Докажите, что мера одного из углов треугольника равна сумме мер двух других углов. 320. Отрезки АЕ и BD не принадлежат одной прямой и имеют общую внутреннюю точку С. Докажите, что /LBAC = = /LCED, если АВ = ВС и CD = DE. 321. Докажите, что в равностороннем треугольнике все углы равны. 322. Докажите, что в равностороннем треугольнике: а) все медианы равны; б) все биссектрисы равны. 323. Докажите, что если медиана треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный. 324. Докажите, что если биссектриса треугольника совпадает с его высотой, то треугольник равнобедренный. 325. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если основание и прилежащий к нему угол одного треугольника равны основанию и прилежащему к нему углу другого треугольника. 326. В разностороннем треугольнике ABC к биссектрисе угла В проведен перпендикуляр MN, пересекающий стороны ВА и ВС в точках М и N. Докажите, что треугольник MBN равнобедренный. 327. На рисунке 126 /Л = Z.2, Z_5 = Z_6. Докажите, что Z.3 = Z.4. § 5. ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 41. Серединный перпендикуляр отрезка. Прямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему, называется серединным перпендикуляром этого отрезка. На ри- 82
Рис. 126 а Рис. 127 / \ \ сунке 127 прямая а — серединный перпендикуляр отрезка АВ. Докажем следующее утверждение, пользуясь которым можно выяснить, является ли прямая серединным перпендикуляром данного отрезка (признак серединного перпендикуляра). Прямая, проходящая через две точки, каждая из которых равноудалена от концов данного отрезка, является серединным перпендикуляром этого отрезка. Пусть каждая из двух точек Р и Q равноудалена от концов отрезка АВ. Докажем, что прямая PQ — серединный перпендикуляр отрезка АВ. Возможны два случая: а) одна из точек Р или Q совпадает с серединой отрезка; б) ни одна из точек Р или Q не совпадает с серединой отрезка. Рассмотрим каждый случай в отдельности. ./" а) Пусть, например, точка Q совпадаете серединой О отрезка АВ (рис. 128, a). A Q\ В Так как АР = РВ, то треугольник РАВ равнобедренный и [PQ~\ — его медиана. Ф Но тогда [PQ~] и высота треугольника РАВ (п. 40), т. е. прямая PQ перпендикулярна к отрезку АВ и проходит через его середину, т. е. является серединным / I \ перпендикуляром отрезка АВ. / \п 'V б) Во втором случае Р, QnO—различные точки (рис. 128, б). По условию АР = = РВ и AQ = QB. Поэтому согласно доказанному в случае а) РО _1_ \_AB~] и QO JL [АБ]. Прямые РОи QO перпен- рИс. 128 \ -ь. А^г 5) Q \ ->й 83
дикулярны к одной прямой АВ, поэтому они совпадают (п. 28). Следовательно, точка О лежит на прямой PQ и эта прямая перпендикулярна к отрезку АВ, т. е. PQ — серединный перпендикуляр отрезка АВ. 42. Третий признак равенства треугольников. Теорема. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. Дано: ААВС и АА&С» [АБ] = [А^], [ВС] = [BiCJ, [АС] = lA^^] (рис. 129). Доказать: ААВС = АА^С^ Доказательство. Переместим треугольник ABC так, чтобы вершины А и В совпали с точками Ах и Ви а вершина С совпала с некоторой точкой С2 той из полуплоскостей с границей АгВ19 которой не принадлежит точка Сг (аксиома XI). Получим ААХВХС2, который на рисунке 129 заштрихован. Ясно, что ААВС = АА±ВгС2. По условию теоремы АХСХ = АС. С другой стороны, АгС2 = = АС (объясните почему). Из этих двух равенств следует, что А±Сг = А±С2, т. е. точка Аг равноудалена от концов отрезка СгС2. Точно так же можно доказать, что точка Вх равноудалена от концов отрезка СХС2. Следовательно, прямая АХВХ — серединный перпендикуляр отрезка СХС2 (п. 41), т. е. она проходит через середину М отрезка СгС2 и АХВХ _L C±C2. Выберем одну из точек Аг или В19 которая является началом луча, содержащего вторую из этих точек и точку М. Пусть Аг такая точка. Рассмотрим ААгСхС2 и докажем, что /Л = Z.2. Действительно, так как \_АХС{\ = [АгС^, то этот треугольник равнобедренный, a [AiAf] — его медиана и высота. Отсюда следует, что \_А1М'] — биссектриса треугольника, т. е. Z_l = = Z.2. По первому признаку равенства треугольников АА1В1С2 = = ААхВхСх {\_АХС2~\ = [А^], [Ai-Bi] — общая сторона и /Л = - Z.2). Итак, ААВС = АА^С^ АА1В1С2 = AAXB±CU поэтому ААВС = ААхВхСх. Теорема доказана. 84
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 328. Начертите два отрезка АВ и MN, АВ ф MNn, пользуясь масштабной линейкой и чертежным треугольником, проведите серединные перпендикуляры отрезков АВ и MN. 329. Начертите два равнобедренных треугольника ABC и ABD с общим основанием \_AB~] так, чтобы точки С и D принадлежали разным полуплоскостям с границей АВ. Пользуясь чертежным треугольником, убедитесь в том, что прямая CD — серединный перпендикуляр отрезка АВ. 330. Выполните предыдущее задание для случая, когда точки С и D принадлежат одной полуплоскости с границей АВ. 331. Начертите отрезок АВ и проведите серединный перпендикуляр этого отрезка. Отметьте три точки ikf, N и К серединного перпендикуляра и начертите отрезки, соединяющие эти точки с точками А и S. Пользуясь масштабной линейкой и транспортиром, убедитесь в том, что соответственные стороны и углы следующих пар треугольников равны: a) AMN и BMN; б) АМК и ВМК; в) ANK и BNK. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 332. Даны два равнобедренных треугольника ABC и ASJD с общим основанием АВ. Докажите, что прямая, соединяющая вершины треугольников, проходит через середину отрезка АВ. 333. Даны равнобедренный треугольник ABC с вершиной в точке С и точка -D, такая, что \_AD~] <[DB~]. Докажите, что прямая CD не проходит через середину отрезка АВ. 334. Каждая из точек М, N и Р равноудалена от концов отрезка АВ. Докажите, что точки М, N и Р лежат на одной прямой. 335. Дана прямая MN и точки А и S, не лежащие на этой прямой. Докажите, что если AM = = ВМ и AN = BN, то точки А и В лежат в разных полуплоскостях с общей границей MN. 336. Докажите, что если у двух равносторонних треугольников стороны равны, то треугольники равны. Рис. 130 85
337. На рисунке 130 PR = РМ, С К =* = СМ, КРМ = 26°. Найдите МРС. 338. На рисунке 131 [АВ] = [CD] и [БХ>] = [АС]. Докажите, что: a) /JCAD = Z.ADB; б) /LBAC = = /LCDB. 339. На рисунке 132 АВ = CD,AD = = ВС, [BE] — биссектриса тре- Рис. 132 угольника ABC, a [jDjP] — биссектриса треугольника ADC. Докажите, что /-ABE = /LADF. 340. Докажите, что ААВС = АА^Си если АВ = АгВи АС = АхСх и БМ = BiAflf где [ВМ] и [BiAfJ — медианы треугольников. 341. Докажите, что ААВС = AAijBiCi, если АБ = Ai-Bi, BZ> = Б^ и AD = Ax2)i, где [AD] и [A^J — биссектрисы треугольников. 342. По данным рисунка 132 докажите, что A ABE = A CDF. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ III 1. Дайте определение треугольника. 2. Какие элементы треугольника вы знаете? Назовите вершины и стороны треугольника на рисунке 93. 3. Что мы понимаем под внутренней областью треугольника? Принадлежат ли стороны треугольника его внутренней области? 4. Укажите виды треугольников в зависимости от соотношений их сторон. 5. Укажите виды треугольников в зависимости от градусных мер углов. 6. Что называется медианой треугольника? Начертите треугольник, проведите три его медианы и на чертеже покажите, что они пересекаются в одной точке. 7. Что называется биссектрисой треугольника? Начертите треугольник, проведите три его биссектрисы и на чертеже покажите, что они пересекаются в одной точке. 86
8. Что называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник? 9. Отрезок А1В1 получен перемещением отрезка АВ. Сравните длины этих отрезков. 10. Сформулируйте и поясните на чертеже аксиому перемещения отрезков. 11. Длины отрезков АВ и АХВХ равны. Можно ли отрезок АХВХ получить перемещением отрезка АВ? 12. Треугольник А-^В^х получен перемещением треугольника ABC. Сравните длины сторон и градусные меры углов этих треугольников. 13. Сформулируйте и поясните на чертеже аксиому перемещения треугольников. 14. Дайте определение равных треугольников. Сравните длины сторон и меры углов равных треугольников. 15. Сформулируйте и докажите первый признак равенства треугольников. 16. Сформулируйте и поясните на чертеже второй признак равенства треугольников. 17. Докажите теорему о биссектрисе при вершине равнобедренного треугольника. 18. Докажите, что медиана равнобедренного треугольника является его высотой. 19. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. 20. Что называется серединным перпендикуляром отрезка? Сформулируйте и докажите признак серединного перпендикуляра. 21. Сформулируйте и докажите третий признак равенства треугольников. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 343. Даны две точки А и В. Докажите, что имеется такая точка С, что А — В — С, ВС = 2АВ. 344. Начертите А АВС. Отметьте точки, не лежащие на прямых АВ, ВС, СА, так, чтобы они: а) не принадлежали нк одной из внутренних областей углов треугольника; б) принадлежали внутренней области одного из углов и не принадлежали внутренним областям двух других углов. Мож- 87
но ли отметить точку, не принадлежащую внутренней области треугольника, но принадлежащую внутренним областям двух его углов? 345. Периметр треугольника ABC равен 15 см. Длина стороны ВС больше длины стороны АВ на 2 см, а длина АВ меньше длины стороны АС на 1 см. Найдите длины всех сторон треугольника. 346. Какие из следующих утверждений являются верными: а) треугольник, равный равнобедренному треугольнику, является равнобедренным; б) существуют два равных треугольника, один из которых является остроугольным, а другой — тупоугольным; в) треугольник, равный равностороннему треугольнику, является равносторонним? 347. Докажите, что если А АВС = ААВСг и точки С и Сг не совпадают, то прямая АВ является серединным перпендикуляром отрезка ССХ. 348. Докажите, что если ААВС = АВСА, то АВС — равносторонний треугольник. 349. Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол при вершине одного треугольника равны боковой стороне и углу при вершине второго треугольника. 350. Даны два равных треугольника АВС и AiBiCi. Докажите, что АВСО = АВтРхО^ где О — середина стороны АВ, a Oi — середина стороны А^Вх. 351. Докажите, что треугольник АВС равен треугольнику АХВХСХ, если АВ = АгВ19 А ==-. А^, AD = A±Dl9 где [AD] и DAiDi]— биссектрисы треугольников ABC mAxB-fii. 352. Отрезки ССХ и ВВХ не расположены на одной прямой и имеют общую середину А (т. е. АС = АС± и В А = В±А). На отрезках ВС и ВХСХ отмечены точки К и К± так, что ВК = B±KX. Докажите, что АКХ = АК. 353. Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны, если AM = АгМ19 ВС = ВгСг и АМВ = ^JlfA, где М и Mi — середины сторон ВС и BiC^. 354. На рисунке 133 изображен треугольник, у которого [AD] = =[АЕ], ZLCAD = /LBAE. Докажите, что [Б£>] = [С£]. 355. Медиана [А£>] треугольника АБС продолжена за сторону ВС на отрезок DEy равный [AD], и точка £ соединена с 88 '
точкой С. Найдите меру угла АСЕ> если ACD = 56°, ABD = 40°. 356. Докажите, что середины сторон равнобедренного треугольника являются вершинами другого равнобедренного треугольника. 357. На рисунке 134 [ОА~] = [АВ] = - [CMU = [АЛ], ^ [ОС] = [CD] = = [OiCx] = [CxjDJ. Докажите, что Z.1 = ^2,если: а) [АС] = [А^]; б) [БЯ] - [B^DJ; в) [AD]=[A1D1]. 358. На рисунке 134 О А =ОС = 0^ = = OiCx; АБ = CD = А1В1 = CJ)^ Докажите, что АС = AiClf если: a) BD = BXDX\ б) AD = AXDX\ в) БС = ВХСХ. 359. На рисунке 135 /Л = Z.2, БС = = AD. Докажите, что ААВО = = ACDO. 360. Отрезки АВ и CD не расположены на одной прямой и имеют общую середину О. Пусть Ми N — середины отрезков АС и BD. Докажите, что О — середина отрезка MN. 361. Докажите, что в равных треугольниках: а) медианы, проведенные к равным сторонам, равны; б) биссектрисы при вершинах равных углов равны. 362. Докажите, что если ААВС = = ДА1В1С1, то АЕ = А±Е19 где Е и Е1 — середины биссектрис [БХ>] и [Bi-DJ. 363. На сторонах равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки AD, CF и BE, как показано на рисунке 136. Точки D, F, Е соединены отрезками. Докажите, что ADEF равносторонний^ Рис. 133 Рис Рис. 136 89
У Q В Л С Z Рис. 137 Рис. 138 364. Докажите, что в равнобедренном треугольнике: а) медианы, проведенные к боковым сторонам, равны; б) биссектрисы углов при основании равны. 365. На рисунке 137 Z.ABC = Z_AC£, [ДУ] = [СХ], £.РХВ = = /LQXC. Докажите, что [5Q] = [_СР\ 366. На рисунке 138 изображены четырехугольник PYQZ и отрезок YZ. Докажите, что: a) AYPZ — AYQZ, если [РУ] = [QY] и zLPYZ = ZLQYZ; б) Z^YPZ = Z.YQZ, если [PY] = [QY] и [PZ] = [QZ]. 367. Докажите, что ЛАБС = AA^B-JJ^ если АБ = АгВ19 АС = АХСХ, AM = AiMi, где [AM] и \AXM{± — медианы треугольников.
Глава IV СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА В этой главе будет продолжено изучение свойств треугольников. Установим ряд соотношений между сторонами и углами треугольника, затем "изучим простейшие свойства окружности. В конце главы покажем, как в геометрии решаются задачи на построение при помощи основных чертежных инструментов — линейки и циркуля. § 1. ТЕОРЕМА О ВНЕШНЕМ УГЛЕ ТРЕУГОЛЬНИКА 43. Внешний угол треугольника. Угол, смежный с каким- нибудь углом треугольника, называется внешним углом треугольника. При каждой вершине треугольника имеются два внешних угла. Например, на рисунке 139 при вершине А внешние углы обозначены цифрами 1 и 2. Эти углы равны, так как они вертикальные. Каждый треугольник имеет шесть внешних углов: /Л и ZL2 при вершине A, Z_3 и АЛ при вершине Б, Z.5 и Z.6 при вершине С (рис. 139). Введем понятие отрезка, отложенного на данном луче, которое используется при доказательстве теоремы о внешнем угле треугольника. На рисунке 140, а изображены луч h и отрезок ОМ. Один конец отрезка, точка О,совпадает с началом луча, а другой конец М принадлежит лучу. В этом случае говорят, что отрезок ОМ отло- Углы 1,2, 3,4,5,6 — внешние углы треугольника А ВС Рис. 139 а) Ah А7 б) Рис. 140 -\3 я, 91
жен на луче h от его начала. Пользуясь аксиомой перемещения отрезков (п. 34), легко доказать, что на произвольном луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному отрезку. На рисунке 140, б поясняется это утверждение. 44. Теорема о внешнем угле треугольника. Докажем следующую важную теорему. II Т еорема. Внешний угол треугольника больше каждого угла треугольника, не смежного с ним. Дано: A ABC, /-BAD — внешний угол треугольника (рис. 141). Доказать: /.BAD > /.В, Z_BAD > /.С. Доказательство. Докажем, что /-BAD > /LB. Пусть О — середина отрезка АВ. Отложим на луче, дополнительном к лучу ОС, от его начала отрезок ОЕ, равный отрезку ОС, и проведем отрезок АЕ. Рассмотрим треугольники ОВС и ОАЕ, которые на рисунке 141 заштрихованы. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольника ([ОБ] = [ОА~\, [ОС] = [ОЕ~\, /А = /Л). Из равенства треугольников ОВС и ОАЕ следует, что /-В = Z.3. По построению точка Е — внутренняя точка угла BAD, поэтому луч АЕ — внутренний луч этого угла (п. 14). По свойству внутреннего луча угла (п. 21) /.3 < /.BAD, следовательно, A.BAD > /.В. Точно так же можно показать, что /.BAD > /.С. Теорема доказана. Убедимся в справедливости следующего утверждения. | Если у треугольника один из углов прямой или тупой, то два других угла острые. В самом деле, пусть в треугольнике ABC угол А прямой или тупой. Тогда внешний угол при этой вершине или прямой, или острый. По доказанной теореме другие два угла В и С треугольника меньше указанного с а Л внешнего угла, поэтому они Рис. 141 острые. ^Ф^ 92
Из этого утверждения вытекает, что в любом треугольнике либо все три угла острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 368. Перечертите рисунок 142 в тетрадь и начертите: а) внешние углы треугольника DEF при вер- рИс. 142 шине F; б) внешние углы треугольника KMN при вершинах К и М; в) все внешние углы треугольника ABC. 369. Начертите треугольник ABC и начертите один из внешних углов этого треугольника при вершине В. Отметьте и назовите угол треугольника, смежный с углом В, и углы треугольника, не смежные с углом В. 370. Начертите треугольник MNP так, чтобы градусная мера внешнего угла при вершине М равнялась 60°, MP = 5 см, и' MN = 6 см. 371. Начертите с помощью масштабной линейки и транспортира равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна 6 см, а внешний угол при вершине равен 60°. 372. Начертите отрезок АВ и луч h. Пользуясь масштабной линейкой, отложите на луче h от его начала отрезок, равный отрезку АВ. Сколько таких отрезков можно отложить на луче? 373. Начертите прямую а и отметьте на ней точку О. Затем изобразите четыре отрезка АВ, CD, EF, КН так, чтобы они имели разные длины. На одном из лучей прямой а, исходящем из точки О, отложите отрезки АВ и CD от его начала, а на дополнительном луче — отрезки EF и КН. 374. Начертите отрезок АВ и луч h. Пользуясь масштабной линейкой, отложите на луче h от его начала отрезки, длины которых равны 2АВ, — АВ и — АВ. 2 3 375. Начертите треугольник. Измерьте с помощью транспортира градусные меры всех углов треугольника, а также всех внешних его углов. По результатам измерений убедитесь, что каждый внешний угол треугольника больше угла треугольника с ним не смежного. 93
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 376. Докажите, что на произвольном луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному отрезку. 377. Градусные меры внешних углов при вершинах А> В и С треугольника ABC соответственно равны а, |3 и у. Перепишите таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки. а б i • г А 73°30' В 49° 1 35° 44° С 57°30' 27° а 90° 140° Р 161°45' 67° 1 1 У 108°15' 79° 378. На рисунке 143 луч AD — биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника ABC. а) Найдите ВАС, если Т = 58°; б) найдите Т, если ВАС = 70°. 379. Определите меры углов равнобедренного треугольника, если: а) градусная мера внешнего угла при вершине равна 37°, а один из внутренних углов при основании равен 18°30'; б) градусная мера внешнего угла при основании равна 126°, а внешнего угла при вершине равна 108°. 380. Градусная мера внешнего угла при вершине В треугольника ABC равна 52°. Может ли градусная мера угла С равняться 34°, 52°, 75°? Дайте обоснование ответу. 381. Градусная мера внешнего угла некоторого треугольника равна 65°. Может ли один из углов треугольника иметь меру: а) 48°; б) 100°; в) 15°; г) 80°? Дайте обоснование ответу. 382. Градусная мера одного из углов треугольника равна 57°. Может ли мера одного из внешних V у^ углов треугольника равняться 43°, \ / N. 60°, 100°, 23°? Дайте обоснование \ / \ь ответу. 1rsj_ \^ 383. Может ли внешний угол при осно- А вании равнобедренного треугольни- Рис. 143 ка быть: а) острым; б) прямым; в) тупым? 94
384. Докажите, что в любом треугольнике сумма мер двух углов меньше 180°. 385. Сумма градусных мер углов треугольника ЛВС равна 180е. Определите сумму градусных мер трех внешних углов при вершинах А, В и С. 386. Известно, что сумма градусных мер трех внешних углов треугольника при вершинах А, В, С равна 360°. Определите градусные меры углов треугольника ABC, если: а) треугольник равнобедренный и мера одного из его углов равна 105°; б) треугольник равнобедренный и мера угла В при основании равна 46°; в) А = 38°; С = 45°10'. 387. Докажите, что у треугольника не может быть двух тупых углов. 388. Докажите, что в любом треугольнике сумма градусных мер двух внешних углов при разных вершинах больше 180°. 389. Может ли в треугольнике один угол быть острым, другой — прямым, а третий — тупым? Дайте обоснование ответу. 390. Докажите, что в равнобедренном треугольнике углы при основании острые. 391. Докажите, что все внешние углы равностороннего треугольника тупые и равны друг другу. § 2. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА 45. Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника. Теорема. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что /LACB > Z-ABC (рис. 144; на этом рисунке /..ABC обозначен Z.3). Отложим на луче АВ от его начала отрезок AD, равный отрезку АС (рис. 144). Очевидно, точка D — внутренняя точка отрезка АВ, a CD — внутренний луч угла АСВ (п. 14). По- 95
этому Z.ACB>Z-1. Но Z_1 = Z_2 (как углы при основании [CD] равнобедренного треугольника ACD). Так как ZL2 —внешний угол при вершине D треугольника DC В, a Z.3 — не смежный с ним угол этого треугольника, то /L2 > Z_3. Итак, мы получили: /-АСВ > Z_l, /Л — Z_2, Z_2 > Z.3. Из этих соотношений следует требуемое неравенство: Z.ACB > Z_3 или /LACB > > /LABC. Теорема доказана. 46. Теорема о соотношениях между углами и сторонами треугольника. | II Теорем а. В любом треугольнике против большего угла ле- II жит большая сторона. Доказательство. Пусть в треугольнике ABC угол С больше угла В; требуется доказать, что [АБ] > [АС]. Допустим, что это не так. Тогда либо [АБ] = [АС], либо[АБ]< < [АС]. В первом случае треугольник равнобедренный, и поэтому ZJ2 = /_В. Во втором случае, согласно теореме предыдущего пункта, ZJC < /LB. И то и другое противоречит условию теоремы (/JC > Z-B), поэтому оба эти случая не могут иметь места. Итак, [АБ] > [АС]. Теорема доказана. Аналогично можно доказать следующую теорему. || Теорема. Если в треугольнике два угла равны, то треугольник является равнобедренным (задача 415). Замечание. Известно, что во всякой теореме различают две части — условие теоремы и ее заключение. Теоремой, обратной данной, называется такая, в которой условием является заключение или часть заключения данной теоремы, а заключением — условие или часть условия данной теоремы. Доказанная в этом пункте теорема является обратной той, \ которая была доказана в пункте 45: в любом треугольнике про- j тив большей стороны лежит больший угол. 1 Если доказана прямая теорема, то правильность обратной | теоремы нельзя считать само собой разумеющейся. Обратное | утверждение, если оно верно, должно быть также доказано. ] 47. Соотношение между сторонами треугольника. Установим неравенство, связывающее длины сторон треугольника. 1 || Теорема. Сумма длин любых двух сторон треугольника 1 больше длины третьей стороны. | 96
Доказательство. Рассмот- д рим ААВС (рис. 145) и докажем, например, что АС + СВ > АВ. Отложим на луче, дополнительном к лучу СА, от его начала отрезок CD, равный отрезку СВ. Так как треугольник BCD равнобедренный ([БС] = [CD]), toZ.1 = Рис. 145 = Z_2. Ясно, что /LABD > ZL1, поэтому /LABD > /_2. В треугольнике ABD против большего угла лежит большая сторона, поэтому AD > АВ. Но AD = = АС + CD = АС + СВ, поэтому АС + СВ > АВ. Теорема доказана. Замечание. Из доказанной теоремы следует, что в любом треугольнике ABC длины сторон удовлетворяют следующим трем неравенствам: АВ + ВС > АС, ВС + С А > ВА, С А + АВ > СВ. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 392. Начертите разносторонний треугольник. С помощью масштабной линейки и транспортира найдите длины сторон и градусные меры углов треугольника и убедитесь в том, что против большей стороны лежит больший угол. 393. Начертите треугольник так, чтобы его углы имели разные градусные меры. С помощью масштабной линейки и транспортира найдите градусные меры углов и длины сторон треугольника и убедитесь в том, что против большего угла лежит большая сторона. 394. Начертите тупоугольный треугольник, с помощью масштабной линейки и транспортира найдите длины сторон и градусные меры углов треугольника. По результатам измерения убедитесь в том, что против тупого угла лежит наибольшая сторона. 395. Начертите с помощью масштабной линейки и транспортира треугольник с двумя равными углами и по результатам измерений убедитесь в том, что против равных углов лежат равные стороны. 396. Начертите три треугольника — остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. С помощью масштабной линейки убедитесь в том, что сумма длин любых двух сторон каждого из треугольников больше длины третьей стороны. 4 Заказ 54 97 ZK
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 397. Сравните углы треугольника ABC, если известно, что АВ = 4 см, ВС = 5 см, АС = 6 см. 398. В треугольнике ABC сторона ВС наибольшая. Может ли угол В быть тупым или прямым? Дайте обоснование ответу. 399. В треугольнике ABC сторона АВ наибольшая, а) Какие углы этого треугольника обязательно будут острыми? б) Может ли угол С быть тупым? 400. Сравните стороны треугольника ABC, если известно, что ABC > ВАС > АСВ. 401. Дан треугольник ABC с тупым углом при вершине С. Докажите, что [ВК] > [БС], [БЛГ] < [АВ], если К — произвольная внутренняя точка стороны АС. 402. Дан треугольник ABC и точка D на стороне АС. Докажите, что: а) если ВС =■• CD, то /_В > /LA; б) если BD = - DC, то [АВ] < [АС]. 403. Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соединяющий вершину треугольника с любой внутренней точкой основания, меньше боковых сторон. 404. В треугольнике ABC А = 80°, В = 40° и [.AD'] — биссектриса при вершине А. Докажите, что AABD равнобедренный. 405. Докажите, что треугольник является равносторонним, если все его углы равны. 406. Докажите, что если внешние углы при двух разных вершинах треугольника равны, то треугольник равнобедренный. 407. Градусная мера каждого из внешних углов треугольника равна 120°. Длина одной из сторон этого треугольника равна 8 см. Найдите периметр треугольника. 408. Может ли существовать треугольник со сторонами: а) 5 см, 10 см, 12 см; б) 1 м, 2 м, 3 м; в) 1,2 дм, 1 дм, 2,4 дм; г) 7 см, 10 см, 10 см? 409. В равнобедренном треугольнике одна сторона имеет длину 25 см, а другая 10 см. Какая из них служит основанием? 410. Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а длина одной 98
из сторон равна 16 см. Найдите длины двух других сторон. , 411. Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность длин двух его сторон равна 4 см и один из его внешних углов острый. Найдите длины сторон треугольника. 412. В каждом из следующих случаев определите длину стороны равнобедренного треугольника, если известны длины двух других сторон: а) 5 см и 3 см; б) 8 см и 2 см; в) 10 см и 5 см. 413. Точка М лежит на стороне ВС четырехугольника ABCD. Докажите, что AM + MD < АВ + ВС + CD. 414*.На сторонах ВС, С А и АВ треугольника ABC отмечены соответственно точки А19 В1 и С19 отличные от вершин треугольника. Докажите, что периметр треугольника A±BiCi меньше периметра треугольника ABC. 415. Докажите, что если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный. § 3. ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ 48. Окружность. Вы уже знакомы с понятием окружности и знаете, что для ее изображения на бумаге используют циркуль. Дадим определение окружности. Определение. Окружностью называется множество всех таких точек плоскости, каждая из которых находится на данном расстоянии от некоторой точки О этой плоскости. Точка О называется центром окружности; отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности (рис. 146). Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину г. Число г также называется радиусом окружности. Окружность с центром О и-ра- диусом г будем обозначать символом О (г). Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Прямая, проходящая через две ТОЧКИ ОКРУЖНОСТИ, называется Окружность секущей. Каждая секущая определяет некото- радиуса г с тт Л ^ л лп центром в точ- рую хорду окружности. На рисунке 147 пря- ^е 0 мая АВ является секущей окружности, а от- Рис 14б 4* 99
[EF] — хорда, [£>C] — диаметр, AB — секущая Рис. 147 Рис. 148 Ml О ALB и АМВ—дуги окружности О (г), определяемые точками А и В Рис. 149 является диаметром две полуокружности ней полуплоскости, резки AB, CD и EF — ее хордами. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Отрезок CD — диаметр окружности. Для построения диаметра надо провести прямую через центр окружности. В самом деле, пусть а — прямая, проходящая через центр О окружности (рис. 148). Она пересекает окружность в двух точках Мх и М2. Отрезок M±M2 — диаметр окружности. Вы видите, что длина любого диаметра окружности 0(г) равна 2 г. Центр О окружности является серединой любого диаметра. Две любые точки А и В окружности О(г) делят окружность на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. На рисунке 149 ALB и АМВ — дуги окружности О (г), определяемые точками А и В. Эти точки называются концами каждой из этих двух дуг. Будем считать, что концы дуги принадлежат самой дуге. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий его концы, окружности. На рисунке 150 изображены . Полуокружность, расположенная в верх- выделена жирной линией. IIIIIIIIMIIIIIII полуокружность P^ >М >N Рис. 150 Круг. Точки А, В, С, О — внутренние, М, N, Р — внешние относительно окружности О (г) Рис. 151 100
49. Круг. На рисунке 151 изображена окружность О (г). Она разбивает множество точек плоскости, не принадлежащих ей, на две части — внутреннюю, которая заштрихована, и внешнюю. Внутренней части принадлежат те точки, расстояния которых от центра окружности меньше радиуса (включая и центр), а внешней части — те точки, расстояния которых от центра больше радиуса. Точки внутренней части называются внутренними, а точки внешней части — внешними относительно окружности. На рисунке 151 точки А, В, С и О внутренние, а точки М, N и Р — внешние относительно окружности О (г). Внутренние точки относительно окружности вместе со всеми точками самой окружности образуют геометрическую фигуру, называемую кругом (рис. 151). Сама окружность называется границей круга. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 416. Начертите окружность и проведите несколько хорд, радиусов и диаметров этой окружности. С помощью масштабной линейки измерьте длины хорд и диаметров и по результатам измерений убедитесь в том, что: а) длины всех диаметров равны удвоенному радиусу окружности; б) все хорды, отличные от диаметра, меньше диаметра. 417. Начертите окружность, радиус которой равен 3 см, и отметьте на ней точку А. С помощью циркуля и линейки постройте хорды АВ и АС у имеющие длину 4 см. 418. Начертите окружность радиуса 5. см. Отметьте точку, внутреннюю относительно этой окружности, и проведите через нее две прямые, одна из которых проходит через центр. Убедитесь, что каждая прямая является секущей. 419. Даны две точки Аи В, где АВ = 3 см. Пользуясь циркулем, постройте точку М так, чтобы AM = 4 см, ВМ = = 5 см. Сколько таких точек можно построить? 420. Начертите окружность с центром в точке О произвольного радиуса г. Отметьте точки А, В и С, внутренние относительно окружности, точки D, Е и F, принадлежащие окружности, и точки ЛГ, N, К и Я, внешние относительно окружности. Какие из точек О, А, Б, С, D, E, F, M, N, К и Н принадлежат кругу с границей О (г)? 101
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 421. Сколько хорд, отличных от диаметров, можно провести через данную точку окружности? 422. Отрезок АВ является диаметром окружности, а отрезок АС — хордой. Докажите, что [АВ] > [-АС]. 423. Сторона АВ треугольника ABC является диаметром окружности О (г), а сторона АС — хордой. Докажите, что Z.A < /JC и А-.В < /LC. 424. Отрезки АВ и CD являются диаметрами окружности О (г). Докажите предложения: а) хорды [ДО] и [АС] равны; б) хорды [АО] и [ВС] равны; в) /LBAD = A.BCD. 425. Отрезок Afif является диаметром окружности с центром в точке О, a [MP] и [Р-ЙГ] — равными хордами этой окружности. Найдите РОМ. 426. Пусть [АВ] и [СО] — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, АВ = = СО = 16 см. 427. Назовите все дуги, изображенные на рисунке 152, а, б. Имеются ли среди этих дуг полуокружности? 428. Какие из точек А, Б, С, D, Е принадлежат внутренней области, а какие — внешней по отношению к окружности О (г) радиуса 20 мм, если ОА = 15 мм, ОБ=27 мм, ОС = 19мм, OD = 7 мм, ОЕ = 32 мм? 429. На рисунке 153 изображены две окружности О (гх) и О (г2) и несколько точек. Назовите все точки: а) принадлежащие кругу с границей Ofa); б) принадлежащие кругу с границей О (г2); в) принадлежащие кругу с границей О (г2) и не принадлежащие кругу с границей О (ri); г) не принадлежащие кругу с границей О (г,). Рис. 152 Рис. 153 102
§ 4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ 50. Инструменты, используемые при геометрических построениях. До сих пор мы изучали свойства геометрических фигур и не рассматривали вопрос о том, как практически построить те или иные фигуры. Между тем при выполнении чертежей требуется с помощью чертежных инструментов строить отрезки, прямые и более сложные фигуры. Например, мы уже знаем, что каждый отрезок имеет середину и каждый угол имеет биссектрису. Но возникает вопрос: можно ли с помощью чертежных инструментов построить середину отрезка или провести биссектрису угла и если можно, то как это сделать? Эти и другие простейшие задачи будут рассмотрены ниже. В нашем курсе рассматриваются в основном такие построения, которые могут быть выполнены с помощью циркуля и линейки. Мы будем пользоваться также чертежным треугольником. Линейка используется только для проведения произвольных прямых или прямых, проходящих через две данные точки. Циркуль используется для построения произвольных окружностей или окружностей с данным центром и данным радиусом. 51. Простейшие геометрические построения. Познакомимся теперь с простейшими геометрическими построениями, которые можно выполнять при помощи циркуля и линейки. 1. Построение прямой, проходящей через две данные точки. Оно выполняется с помощью линейки. 2. Построение окружности с центром в данной точке и с радиусом, равным данному отрезку. Оно осуществляется с помощью циркуля. 3. Построение отрезков, которые равны данному отрезку и отложены на данной прямой от точки О. Покажем, например, как выполняется построение 3. По условию задачи даны отрезок и точка О на прямой а. Требуется построить отрезки, которые равны данному отрезку и отложены от точки О на дополнительных лучах данной прямой а. Сначала начертим фигуры, заданные В На прямой а от точки О с помощью циркуля можно отложить два отрезка ОС и OD, равных данному отрезку АВ Рис. 154 103
\н м Рис. 155 & условиями задачи, т. е. отрезок АВ, прямую а и точку О на ней (рис. 154). Теперь приступаем к решению задачи. Построим окружность радиуса АВ с центром в точке О. Эта окружность пересечет прямую а в двух точках С и-D. Отрезки ОС и 02), как радиусы рассматриваемой окружности, равны отрезку АВ. При решении этой задачи нет необходимости вычерчивать всю окружность, достаточно провести малые дуги, пересекающие прямую а в точках С uD (см. рис. 154). Замечание. Прежде чем приступать к решению задачи на построение, надо при помощи циркуля и линейки начертить все фигуры, указанные в условии задачи. 52. Построение угла, равного данному. Задача. Даны /LA, луч ОМ и полуплоскость Не границей ОМ. Построить луч ОЕ данной полуплоскости так, чтобы Z.MOE = Z.A. Данные угол с вершиной А, луч ОМ и полуплоскость Н с границей О М изображены на рисунке 155. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла (рис. 156). Эта окружность пересекает стороны угла в точках В и С. Затем проведем окружность того же радиуса с центром в начале О данного луча ОМ. Она пересекает луч в точке D. После этого построим окружность, радиус которой равен отрезку ВС, а центр находится в точке D. Окружности с центрами в точках О и D пересекаются в точке Е данной полуплоскости. Угол DOE искомый. Для того чтобы убедиться, что задача решена правильно, мы должны доказать, что угол DOE равен данному углу с вершиной А. Рассмотрим ААВС и AODE. Отрезки АВ и АС являются радиусами окружности с центром в точке A, a 0D и ОЕ — радиусами окружности с центром в точке О (рис. 156). Так как IMIIIII1 Hill III IIII ш111ЩИ11 а 0 V }П ) М Построение заданного угла в полуплоскости Н Рис. 156 104
по построению эти окружности имеют равные радиусы, то АВ = OD, АС = = ОЕ. Точно так же по построению ВС = DE. Следовательно, ААВС = = AODE по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Но тогда Z-DOE = Z-BAC, т. е. построенный угол DOE равен данному Построение биссектрисы АЕ Z.BAC и расположен требуемым обра- данного угла САВ »™г РИС- 157 зом. 53. Построение биссектрисы угла. Задача. Построить биссектрису данного неразвернутого угла. Проведем окружность произвольного радиуса с центром в вершине А данного угла, которая пересечет стороны угла в точках В и С (рис. 157). Затем проведем две окружности одинакового радиуса ВС с центрами в точках В и С (на рисунке изображены дуги СЕ и BE указанных окружностей). Они пересекутся в двух точках. Одну из этих точек, принадлежащую внутренней области угла ВАС, обозначим через Е. Луч АЕ является биссектрисой данного угла. Убедимся, что задача решена правильно. Для этого докажем, что луч АЕ — биссектриса данного угла ВАС. Рассмотрим треугольники АСЕ и ABE и докажем, то они равны по третьему признаку равенства треугольников. В самом деле, [A2J] — общая сторона; [АС] = [АВ], так как отрезки АС и АВ — радиусы одной и той же окружности; [СЕ~\ = [ВВ], так как по построению эти отрезки являются радиусами двух окружностей одинакового радиуса ВС. По построению точка Е принадлежит внутренней области данного угла, поэтому луч АЕ — внутренний луч угла, и из равенства треугольников АСЕ и ABE следует, что £САЕ= = L ВАЕ, т. е. луч АЕ — биссектриса данного угла. 54. Построение треугольника по трем сторонам. Задача. Построить треугольник, стороны которого соответственно равны данным трем отрезкам. Данные отрезки обозначим через [PiQi], [P2Q2] и [Р3Фз]» при этом обозначения выберем так, чтобы [PiQi] ^ [B2Q2]» DPiQJ > DP3Q3] (рис. 158). Построим некоторую прямую и на ней с помощью циркуля 105
отложим отрезок АВ, равный данному отрезку PiQi (рис. 158). Далее, начертим две окружности: одну — с центром в точке А и радиусом, равным отрезку Р2©2> а другую — с центром в точке В и радиусом, равным отрезку Р3Яз- Пусть С — одна из точек пересечения этих окружностей. Соединив линейкой точку С с точками А и В, по- Построение треугольника ЛУЧИМ Треугольник ABC, КОТОРЫЙ бУ- по трем сторонам дет искомым. В самом деле, по пост- Рис. 158 роению [АВ] = [PiQi], LAC] = [P2Q2], [ВС] = [Рзв8]. Выясним условия, при которых можно решить задачу. В треугольнике сумма длин любых двух сторон больше длины третьей стороны (п. 47), поэтому данные отрезки должны удовлетворять неравенствам: Р2#2 + P3Q3 > PiQu PiQi + P3Q3 > > P2Q2» P1Q1 + P2Q2 > РзФз- Однако последние два из этих неравенств всегда будут выполнены, так как P1Q1 ^ P2Q2 и PiQi ^ РзФз- Итак, треугольник можно построить только в том случае, когда длина большего из данных отрезков меньше суммы длин двух других отрезков. Замечание. Отрезок АВ, равный отрезку PiQl9 выбран произвольно на плоскости, поэтому можно построить много треугольников, удовлетворяющих условию задачи. Так как все эти треугольники будут равны друг другу (по третьему признаку равенства треугольников), то принято говорить, что данная задача на построение имеет одно решение. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ * 430. Дан угол hk и некоторая точка О плоскости. Постройте какой-нибудь угол с вершиной в точке О и равный данному. 431. Дан произвольный острый угол ВАС и луч XY. Постройте ZJYXZ так, чтобы YXZ = 2ВАС. * Напомним, что в нашем курсе задачи на построение выполняются с помощью циркуля и линейки. 106
432. Дан угол hk. Постройте угол, мера которого равна — меры угла hk. 433*.Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОХ так, чтобы Z-XOA и Z-XOB были равными тупыми углами. 434. Постройте треугольник по двум сторонам и углу между ними. 435. Дан Л ABC и угол hk с вершиной в точке О, причем ZJik = = /-А. Постройте точки М и N так, чтобы М (А, N £ k и AOMN = ААБС. 436. Постройте треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам. 437. Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте ААВС так, чтобы: а) АВ = PQ, ABC = Aft, БАС =~Aft; б) AS = PQ, ABC = hk, ВАС = -hk. 4 438. Даны два угла hk и h^kx и отрезок PQ. Постройте треуголь- ■ ник ABC так, чтобы [_АВ~] = [PQ], А = hk, В = —h^kx. 439. Дан ААВС и отрезок АхБ19 равный отрезку АБ. Постройте треугольник АХВХСХ так, чтобы ААВС = AA<JixC\. 440. Дан треугольник АБС. Постройте треугольник ADC, равный данному, при условии, что вершина D не совпадает с вершиной Б. 441. Даны прямая а и отрезки АБ и PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы С £ а и [-АС]-= [PQ]. 442. Даны окружность О (г) и отрезки АВ и PQ. Постройте треугольник ABC так, чтобы С ( О (г) и [АС] = IPQ^. 443. Дан ААВС с тупым углом при вершине А. Постройте АВАК так, чтобы АВАК = ААВС и точки С и if лежали в одной и той же полуплоскости с границей АВ. 444. Даны три отрезка РгЯ1у P2Q2 и Р3Сз- Постройте ДАБС так, чтобы: а) АВ = PxQl9 ВС = 2P2Q2, СА = P3Q3; б) АБ = ЗР^, БС = P2Q2, CA = 2P3Q3. В каждом случае выясните условия, при которых можно решить задачу. 445. Постройте равнобедренный треугольник: а) по основанию и боковой стороне; б) по основанию и прилежащему углу; в) по боковой стороне и углу при основании. 107
446. Дан A ABC с тупым углом при вершине А. На стороне ВС постройте точку М, такую, чтобы MA = MB. 447. Постройте треугольник ABC по стороне ВС, углу В и биссектрисе при вершине В. 448. Постройте треугольник по сторонам АВ, ВС и медиане, проведенной к одной из сторон АВ или ВС. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ IV 1. Что мы понимаем под внешним углом треугольника? Сколько внешних углов имеет каждый треугольник? На рисунке 139 назовите все внешние углы треугольника ABC. 2. Поясните смысл предложения «Отрезок ОМ отложен на луче h от его начала». 3. Можно ли на произвольном луче от его начала отложить отрезок, равный данному? 4. Докажите, что внешний угол треугольника больше каждого угла треугольника, не смежного с ним. 5. Докажите, что если у треугольника один из углов прямой или тупой, то два других угла острые. 6. Докажите теорему: в любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. 7. Сформулируйте и докажите теорему, обратную предыдущей. 8. Можно ли утверждать, что если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный? 9. Докажите теорему: в любом треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны. 10. Дайте определение окружности. Что мы понимаем под центром, радиусом, хордой, секущей и диаметром окружности? 11. Что называется дугой окружности? Какая дуга называется полуокружностью? 12. Когда мы говорим, что точка является внутренней (внешней) относительно окружности? 13. Что мы понимаем под кругом? Что называется границей круга? 14. Перечислите и выполните простейшие геометрические построения, которые вы знаете. 103
15. Как построить угол, равный данному углу? 16. Как построить биссектрису данного угла? 17. Как построить треугольник по трем сторонам? В каком случае построение треугольника выполнимо? ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 449. Если один из внешних углов треугольника острый, то какими являются остальные внешние углы треугольника? Дайте обоснование ответу. 450. Если один из внешних углов треугольника прямой, то какими являются остальные внешние углы треугольника? 451. Докажите, что два треугольника равны, если две стороны и внешний угол при их общей вершине одного треугольника соответственно равны двум сторонам и внешнему углу при общей вершине другого треугольника. 452. Точка М принадлежит внутренней области треугольника ABC. Докажите, что А.ВАС < /_ВМС. 453. Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание высоты, проведенной из вершины тупого угла, лежит на стороне треугольника, а основания высот, проведенных из вершин острых углов, — на продолжениях сторон. 454. Докажите, что у остроугольного треугольника основания всех высот являются внутренними точками сторон треугольника. 455. Докажите, что в равнобедренном треугольнике длина медианы, проведенной к боковой стороне, больше половины длины боковой стороны. 456. В треугольнике ABC 2= 80°,^В = 40°, С = 60° и [AD]— биссектриса треугольника. Докажите, что СВ < 2AD. 457. Докажите, что отрезок с концами в вершине треугольника и в некоторой внутренней точке противоположной стороны меньше большей из двух других сторон. 458. Докажите, что треугольник равносторонний, если внешние углы при трех вершинах треугольника равны. 459. В треугольнике одна сторона имеет длину 1,9 дм, а другая 0,7 дм. Определите длину третьей стороны, зная, что она выражается целым числом. 460. Докажите, что если АВ = АС + С В, то три точки А, В и С лежат на одной прямой. 109
461*.Докажите, что ВМ + МС < АВ + АС, если М — точка внутренней области треугольника ABC. 462*.Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутренней области треугольника до его вершин меньше периметра треугольника. 463. Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте ААВС так, чтобы АВ = PQ, ABC = hk, ВАС = 2hk. 464. Дан угол hk. Постройте внутренний луч I этого угла так, /ч 1 /ч чтобы hi = —hk. 4 465. Постройте треугольник ABC, если даны вершины А и В и точка О, в которой пересекаются биссектрисы треугольника при вершинах А и В. 466. Постройте окружность данного радиуса, которая проходила бы через данную точку и центр которой находился бы на данной прямой.
Глава V ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ В этой главе мы продолжим изучение свойств перпендикулярных прямых и отрезков, начатое во второй главе. В частности, здесь будет рассмотрен вопрос о прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к другой прямой, и указан способ построения перпендикулярных прямых с помощью циркуля и линейки. § 1. ТЕОРЕМА О ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМЫХ. ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК 55. Прямая, перпендикулярная к данной прямой. Напомним, что две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90° (п. 28). Теорема. Через любую точку плоскости проходит прямая, перпендикулярная к данной, и притом только одна. Доказательство. Пусть а — данная прямая, А — произвольная точка плоскости. Требуется доказать: 1) через точку А проходит некоторая прямая, перпендикулярная к прямой а; 2) через точку А проходит только одна прямая, перпендикулярная к прямой а. 1) Рассмотрим случай, когда А$а. Отметим на прямой а две точки В и С и рассмотрим ААВС (рис. 159). Переместим этот треугольник так, чтобы точки В и С остались на месте, а точка А совпала с некоторой точкой Ах полуплоскости с границей а, не содержащей точку А. В результате перемещения получим новый треугольник АХБС, равный треугольнику ABC (на рис. 159 Рис. 159 Ш
Рис. 160 АА±ВС заштрихован). Так как В А = ВАг и С А = СА19 то точки В и С равноудалены от концов отрезка АА19 поэтому прямая ВС — серединный перпендикуляр отрезка ААХ (п. 41). Таким образом, прямые ААг и ВС взаимно перпендикулярны. Итак, мы доказали, что через точку А проходит прямая, перпендикулярная к прямой а. Если А 6 а, то и в этом случае можно доказать, что через точку А проходит прямая, перпендикулярная к прямой а. Доказательство мы опускаем*. 2) Теперь докажем, что через точку А проходит только одна прямая, перпендикулярная к прямой а. Рассмотрим случай, когда A i а. Предположим, что через точку А проходят две прямые АНг и АН2, перпендикулярные к прямой а (рис. 160). Тогда в треугольнике АНхНг будут два прямых угла, что невозможно: у любого треугольника по крайней мере два острых угла (п. 44). Таким образом, допущение, что через точку А проходят две прямые, перпендикулярные к прямой а, приводит к противоречию. Для случая, когда Л (а, утверждение 2) уже доказано (см. теорему п. 28). Теорема доказана. 56. Прямоугольный треугольник. Напомним, что треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой. Так как треугольник имеет по крайней мере два острых угла (п. 44), то в прямоугольном треугольнике один угол прямой, а два других — острые. Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами (рис. 161). Каждый катет лежит против острого угла. На рисунке 161 Z_l — прямой, а два других угла — Z.2 и Z.3 — острые. катет Прямоугольный треугольник Рис. 161 * См. задачу 508. 112
Так как в любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона, то справедливо утверждение. Гипотенуза прямоугольного треугольника больше любого из его катетов. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 467. С помощью линейки проверьте свой чертежный треугольник, как показано на рисунке 162. 468. Возьмите лист бумаги, у которого углы А и В прямые (рис.163). Пользуясь масштабной линейкой, отметьте середину О стороны АВ. Проведите отрезок ОМ под произвольным углом а к отрезку АВ, как показано на рисунке. Перегните лист бумаги по линии ОМ. Точка А совпадает с некоторой точкой L. Затем лист бумаги согните так, чтобы точка В совпала с точкой L. С помощью масштабной линейки и транспортира убедитесь в справедливости следующих утверждений: а) МОР =90°; б) точки М, L и Р лежат на одной прямой; в) луч ОМ — биссектриса угла AOL; г) луч ОР — биссектриса угла BOL. 469. С помощью масштабной линейки и чертежного треугольника начертите прямоугольный треугольник так, чтобы длины катетов были равны 3 см и 5 см. 470. С помощью масштабной линейки и чертежного треугольника начертите прямоугольный равнобедренный треугольник так, чтобы длины катетов были равны 4,5 см. /Z.J гтг 1 пг 2 т~ 3 "Г4 4 ГТ" 5 "П 6 Рис. 162 Рис. 163 113
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 471. Даны прямая а и точка А. Через точку А проведены три прямые, которые пересекают прямую а. Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой а. 472. Докажите, что если через две точки прямой проведены перпендикулярные к ней прямые, то они не пересекаются. 473. Докажите, что если высота [Aff] треугольника ABC равна его биссектрисе [AD], то отрезки АН и AD совпадают, и треугольник ABC — равнобедренный. 474. Может ли равносторонний треугольник быть прямоугольным? Дайте обоснование ответу.- 475. В равнобедренном прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла равна половине гипотенузы. Определите меры углов треугольника. 476. Дан прямоугольный треугольник ABC, сумма мер углов которых равна 180°, а длина гипотенузы [АБ] равна 10 см. Определите длину отрезка CD, если D £ [АБ], [CD] = [ДО]. 477. Докажите, что длина высоты [_АН~\ треугольника ABC меньше полусуммы длин сторон АВ и АС. 478. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, a D — точка, лежащая между С и В. Докажите, что AD < АВ. 479. Докажите, что два прямоугольных треугольника равны, если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого треугольника. § 2. ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ 57. Сравнение длин перпендикуляра и наклонных. Напомним, что отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если Н — точка прямой а и отрезок АН перпендикулярен к прямой а. Если М— точка прямой а, отличная от Н, то отрезок AM называется наклонной, проведенной из точки А к прямой а. На рисунке 164 отрезок АН — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а, а отрезок AM — наклонная. Перпендикуляр \_АЩ к прямой меньше наклонной[АМ] Рис. 164 114
II Теорема. Перпендикуляр, прове- А денный из данной точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой. Доказательство. Пусть [АН] — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой a, a [AM] — ка- М2 М1 н мз м4 кая-нибудь наклонная, проведенная рис# 165 из точки А к прямой а (рис. 164). Требуется доказать, что [АЩ < [AM]. Так как Л АМН прямоугольный, то в этом треугольнике гипотенуза [AM] больше катета [АЯ]. Итак, [АЯ] < \_АМ\ Теорема доказана. 58. Расстояние от точки до прямой. Пусть А — точка, не лежащая на прямой а, а М — произвольная точка прямой а. Ясно, что длина отрезка AM зависит от положения точки М на прямой а. Например, на рисунке 165 на прямой а отмечены несколько точек Ми М2, ..., и точка Н — основание перпендикуляра, проведенного из точки А к прямой а. Мы видим, что отрезки AMU AM2, ..., АН имеют разные длины. Наименьшую длину из них, как это следует из теоремы п. 57, имеет перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а, т. е. отрезок АН. Длина перпендикуляра \_АН~\ называется расстоянием от точки А до прямой а. Итак, расстояние от точки А до прямой а не больше (меньше или равно) расстояния от точки А до любой из точек этой прямой. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 480. Из точки О к прямой а с помощью чертежного треугольника проведите перпендикуляр ОВ и наклонные ОА и ОС так, чтобы луч ОС был внутренним лучом угла BOA. Найдите с помощью линейки длины перпендикуляра и наклонных и сравните их. Укажите виды полученных треугольников. 481. Начертите прямую а и с помощью чертежного треугольника отметьте точку А на расстоянии 6 см от нее. С помощью циркуля и линейки постройте наклонные из точки А к прямой а длиной 7,5 см, 9 см и 10 см. Постройте еще две наклонные, составляющие с прямой а равные углы. ^ 115
482. С помощью масштабной линейки и чертежного треугольника начертите прямую а и точку А, отстоящую от нее на расстоянии 4 см. Пользуясь циркулем, постройте наклонные АМ19 АМ2 и АМъ так, чтобы АМХ = 6 см, АМ2 = = 8 см, АМЪ = 5 см. 483. С помощью масштабной линейки и чертежного треугольника начертите прямую а, точку О, отстоящую от прямой на расстоянии 5 см, и основание Н перпендикуляра Off, проведенного из точки О к прямой а. Начертите наклонные ОМ19 ОМ2, ОМ3 и ОМ4 так, чтобы НМХ = 2 см, НМ2 = = 3 см, НМЪ = 4,5 см, НМ± = 6 см. Путем измерения убедитесь в том, что ОМг < ОМ2 < ОМ3 < ОМ^. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 484. Из точки А стороны h угла hk проведен перпендикуляр [-АН] к прямой, содержащей другую сторону k угла. Докажите что: а) если /Lhk острый, то Н £ fe; б) если Z^hk тупой, то Я ( kl9 где &! — луч, дополнительный лучу k. 485. Пусть [АН] — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой a, a [AM{\ и [АМ2] — наклонные, проведенные изтой жеточки к прямой а. Докажите, лто: а) если НМХ < < НМ2, то АМХ < AM2; б) если НМХ = ffM2, то АЛ^ = = AM 2. 486*.Пусть [АН] — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой а, а [АМХ] и [АМ2] — наклонные, проведенные из той же точки к прямой а. Докажите, что: а) если АМХ = = AM2, то НМг = ЯМ2; б) если АМХ < АМ2, то ff Мх < <ям2. 487* .Пусть [АН] — высота треугольника ABC. Докажите, что если АВ < АС, то ВН < СН и Z.CAH > /LBAH. 488. Высоты треугольника ABC имеют длины АНХ = 1,7 см, ВН2 = 3,4 см, СН3 = 2,3 см. Найдите расстояния от вершин треугольника до прямых, содержащих противоположные стороны. 489. Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма длин которых равна 17 см, а разность длин равна 1 см. Найдите расстояние от точки до прямой. П6
§ 3. ТЕОРЕМА О СЕРЕДИННОМ ПЕРПЕНДИКУЛЯРЕ. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМЫХ 59. Теоремы о серединном перпендикуляре отрезка. II Теорема. Каждая точка серединного перпендикуляра данного отрезка равноудалена от концов этого отрезка. Обратно, каждая точка плоскости, равноудаленная от концов данного отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре. Доказательство. Пусть [АВ] — данный отрезок, О — его середина, am — серединный перпендикуляр отрезка АВ. Пользуясь рисунком 166, докажите первую часть теоремы самостоятельно, т. е. докажите, что для любой точки М прямой m имеем: AM = ВМ (см. задачу 497). Докажем обратное утверждение: каждая точка плоскости, равноудаленная от концов данного отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре. Пусть N — такая точка плоскости, что AN = BN. Докажем, что N — точка серединного перпендикуляра тп отрезка АВ. Если точка N совпадает с точкой О, то это утверждение очевидно, поэтому предположим, что точки N и О различны (рис. 167). Они равноудалены от концов отрезка АВ, поэтому прямая N0 — серединный перпендикуляр отрезка АВ (п. 41). Отсюда следует, что прямые N0 и m совпадают и N £ т. Теорема доказана. ■т i / / \ / 1 / У . г1 0 ,М \ \ ) ~1 \ \ \ _^ \ Рис. 166 П7 Рис. 167
Построение серединного перпендикуляра отрезка АВ Рис. 168 Ж^ Построение прямой, ходящей через точку перпендикулярной к ной прямой а Рис. 169 про- А и дан- 60. Построение серединного перпендикуляра. Задача. Построить серединный перпендикуляр данного отрезка АВ. Построим две окружности одного и того же радиуса АВ с центрами в точках А и В (рис. 168). Эти окружности пересекаются в двух точках Мг и М2. Отрезки АМи АМ2, ВМ1У ВМ2 являются радиусами этих окружностей, поэтому они равны друг другу. При помощи линейки построим прямую М1М2, которая и будет серединным перпендикуляром отрезка АВ. В самом деле, точки М1 и М2 равноудалены от точек А и Б, поэтому прямая МХМ2 является серединным перпендикуляром отрезка АВ (п. 41). Серединный перпендикуляр можно использовать для построения середины данного отрезка. Пусть АВ — данный отрезок. Середина О этого отрезка равноудалена от концов А и В отрезка АВ, поэтому лежит на серединном перпендикуляре отрезка АВ. Отсюда следует, что О является точкой пересечения прямой АВ с серединным перпендикуляром отрезка АВ. На рисунке 168 выполнено построение точки О. Серединный перпендикуляр используется также для решения следующей задачи на построение. Задача. Построить прямую, проходящую через данную точку А и перпендикулярную к данной прямой а. Сначала решим задачу для случая, когда точка А не лежит на прямой а (рис. 169). Отметим на прямой а некоторую точку Р и построим окружность 118
с центром в точке А и радиусом, равным отрезку АР. Эта окружность пересечет прямую а еще в одной точке Q. Так как АР = AQ, то серединный перпендикуляр отрезка PQ будет искомой прямой. Для построения серединного перпендикуляра отрезка PQ достаточно построить какую-нибудь его точку М, отличную от А. На рисунке 169 выполнено построение. При решении задачи мы не воспользовались тем обстоятельством, что точка А не лежит на прямой а, поэтому указанный выше способ построения пригоден и в том случае, когда точка А лежит на прямой. Для этого случая построение показано на рисунке 170. РИС. 170 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ Практические задания 490—493 следует выполнить с помощью циркуля и линейки. 490. Начертите отрезок АВ и постройте серединный перпендикуляр этого отрезка, а) Отметьте пять точек на серединном перпендикуляре и убедитесь в том, что эти точки равноудалены от точек А и В; б) отметьте точки, не лежащие на серединном перпендикуляре, и убедитесь, что каждая из них лежит на разных расстояниях от точек А и В. 491. Постройте серединные перпендикуляры сторон АВ, ВС и СА треугольника ABC. Убедитесь в том, что все они пересекутся в одной точке. 492. Начертите треугольник ABC и постройте его высоты. Убедитесь в том, что прямые, содержащие высоты, пересекаются в одной точке. 493. Начертите прямую а и отметьте на ней две точки М и N. Постройте прямые, проходящие через точки М и N и перпендикулярные к прямой а. 119 Построение перпендикулярной прямой, проходящей через точку А данной прямой а
ЗАДАЧИ 494. Серединный перпендикуляр стороны ВС треугольника ABC пересекает сторону АС в точке D. Найдите AD и CD, если BD = 5 см, АС = 8,5 см. 495. Серединные перпендикуляры сторон АВ и АС треугольника ABC пересекаются в точке D стороны ВС. Докажите, что: a) D — середина стороны ВС; б) А = В + С. 496. В равнобедренном треугольнике ABC имеем: АВ = ВС = = 18 см. Из точки D — середины стороны АВ — проведен перпендикуляр DE к стороне АВ до пересечения со стороной ВС. Полученная точка Е соединена с точкой А. Периметр треугольника АЕС равен 27 см. Определите длину основания [АС]. 497. Докажите, что каждая точка серединного перпендикуляра данного отрезка равноудалена от концов этого отрезка. 498. Докажите, что вершины всех равнобедренных треугольников с общим основанием [АВ] лежат на одной прямой. 499. В прямоугольном равнобедренном треугольнике ABC С = 90°, А = 45°, АВ = 10 см. Точка D равноудалена от точек А и В и находится на расстоянии 5,5 см от прямой АВ. Докажите, что точка D не принадлежит внутренней области треугольника ABC. 500. Пусть О — середина отрезка АВ, а ОМ — прямая, не перпендикулярная к прямой АВ. Докажите, что если точка X лежит на прямой ОМ и отлична от точки О, то АХФ ф ХВ. 501. Докажите, что если в треугольнике ABC стороны АВ и АС не равны, то медиана [АЛГ] треугольника не является высотой. 502. Пусть а — серединный перпендикуляр отрезка АВ, а М — точка, расположенная в той же полуплоскости с границей а, что и точка А. Докажите, что MA < MB. 503*.На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольника ABC отмечены соответственно точки Р и Q так, что АР = AQ. Отрезки PC и BQ пересекаются в точке О. Докажите, что: а) треугольник ВОС равнобедренный; б) прямая АО является серединным перпендикуляром основания [ВС]. 120
504. С помощью циркуля и линейки данный отрезок АВ разделите на четыре равные части. 505. С помощью циркуля и линейки постройте угол, градусная мера которого равна: а) 45°; б) 22°30'. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ V 1. Докажите, что через любую точку плоскости проходит прямая, перпендикулярная к данной, и притом только одна. 2. Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника? 3. Докажите, что гипотенуза является наибольшей стороной прямоугольного треугольника. 4. Что мы понимаем под выражением: а) перпендикуляр, проведенный из данной точки к прямой; б) наклонная, проведенная из данной точки к прямой? 5. Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре и наклонных, проведенных из одной точки. 6. Что называется расстоянием от точки до прямой? 7. Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпендикуляре. 8. Как построить "серединный перпендикуляр данного отрезка? Начертите отрезок и с помощью циркуля и линейки постройте его серединный перпендикуляр. 9. Как построить середину данного отрезка? Начертите отрезок и постройте его середину с помощью циркуля и линейки. 10. Постройте прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 506. Даны две пересекающиеся прямые а и Ъ и точка А, не лежащая на этих прямых. Через точку А проведены прямые тип так, что т J_ a, n _L Ъ. Докажите, что прямые т и п не совпадают. 507. Может ли внешний угол прямоугольного треугольника быть острым? Дайте обоснование ответу. 508. С помощью аксиомы перемещения треугольников докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную к ней прямую. 121
509. Докажите, что в любом треугольнике сумма длин трех высот меньше периметра треугольника. 510. Длины сторон прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С удовлетворяют условиям АВ + АС = = 31 см, АВ — АС = 3 см. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. 511. Пусть серединные перпендикуляры двух сторон треугольника ABC пересекаются в точке О. Докажите, что серединный перпендикуляр третьей стороны проходит через эту точку. 512. Может ли вершина разностороннего треугольника лежать на серединном перпендикуляре какой-либо стороны? Дайте обоснование ответу. 513. Докажите, что если серединные перпендикуляры двух сторон треугольника проходят через вершины треугольника, то треугольник равносторонний. 514. Дан равнобедренный треугольник ABC ([АС] = [БС]). Биссектрисы двух углов при основании пересекаются в точке М. Докажите, что прямая СМ перпендикулярна основанию \_AB~]. 515. С помощью циркуля и линейки постройте прямоугольный треугольник так, чтобы катеты были равны данным отрезкам. 516. С помощью циркуля и линейки постройте точку, равноудаленную от трех вершин треугольника. 517. Данный отрезок разделите на восемь равных частей, пользуясь циркулем и линейкой. 518. Даны три точки А, В и С и отрезок PQ. Постройте точку Му такую, чтобы AM = ВМ и СМ = PQ. ЗАДАЧИ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ Задачи л- главе I Пусть А, Б, С, D — точки, лежащие на одной прямой. Точка В лежит между точками А и С, а. точка С лежит между точками В и D. Лежит ли точка С между точками А и D1 Дайте обоснование ответу. Пусть М, N, О, Р — точки, лежащие на одной прямой. Известно, что точка N лежит между точками М и О, а 519. 520. 122
точка О лежит между точками М и Р. Лежит ли точка О между точками N и Р? Дайте обоснование ответу. 521. Пусть М — внутренняя точка отрезка АВ. Докажите, что все точки отрезка AM принадлежат отрезку АВ. 522. Докажите, что если концы отрезка принадлежат одной полуплоскости, то все точки отрезка принадлежат этой полуплоскости. 523. Вычислите длину отрезка АВ при единице измерения [PQ], если АВ = 10 см; PQ = 1,5 см. 524. Длина отрезка АВ равна 5 см. Вычислите длину отрезка АВ, если за единицу измерения принят: a) [PQ], PQ = = 3 см; б) [PS], PS = 5 см; в) [MN], MN = 10 см. 525. Вычислите длину отрезка АВ в сантиметрах, если длина отрезка АВ при единице измерения [PQ] равна 4, где PQ = 3 см. 526. Пусть а — длина отрезка АБ при единице измерения [CD'], а Ъ — длина отрезка CD при единице измерения \_AB~]. Докажите, что аЪ = 1. 527. Длина отрезка АВ при единице измерения [EXF{\ равна w, а при единице измерения [2£2^2] равна п. Определите длину отрезка Е^х при единице измерения {.E^F^- 528. Пусть А — В — С и В — С — D. Докажите, что AD = = АВ + БС + CZ>. Задачи к главе II 529. Стороны угла hk являются лучами одной полуплоскости. Может ли угол hk быть развернутым? Дайте обоснование ответу. 530. Даны три луча с общим началом. Пользуясь свойством IX, докажите, что не более чем один из этих лучей может принадлежать углу, образованному двумя другими лучами. 531. Даны три луча с общим началом. Докажите, что либо ни один из них не является внутренним лучом угла, образованного двумя другими, либо один и только один из лучей является внутренним лучом угла, образованного двумя другими. 532. Пусть I — внутренний луч неразвернутого угла hk, a 1Х — луч, дополнительный к лучу I. Докажите, что ни 123
один из лучей h,k и 1г не является внутренним лучом угла, образованного двумя другими. 533. Докажите, что если ни один из трех лучей ОА, ОВ и ОС не является внутренним лучом угла, образованного двумя другими, то АО В + ВОС + СО А = 360°. 534. Даны три луча ОА, ОВ и ОС, никакие два из которых не являются дополнительными. Докажите, что если АОВ + + ВОС + СО А = 360 , то ни один из лучей ОА, ОВ и ОС не является внутренним лучом угла, образованного двумя другими. 535. Докажите, что если для трех лучей ОА, ОВ и ОС выпвл- няется равенство АОВ + ВОС = АОС, то луч ОВ — Щ внутренний луч угла АОС. 536. Лучи ОВ и ОС являются лучами разных полуплоскостей с общей границей ОА. Докажите, что если АОВ + + АОС <J 180°, то луч ОА — внутренний луч угла ВОС, а если АОВ + АОС ^ 180°, то луч ОАх, дополнительный к лучу ОА, является внутренним лучом угла ВОС. 637. Могут ли два равных отрезка АВ и CD при разных единицах измерения иметь длины АВ = 5, CD = 3? Дайте обоснование ответу. 538. Пусть [АВ] < [CD]. Могут ли отрезки АВ и CD при разных единицах измерения иметь длины: АВ = 6, CD = = 4? Дайте обоснование ответу. 539. Точки А, В и С принадлежат лучу с началом в точке О. Известно, что ОА = 3 см, ОВ = 5 см, а АС = 1 см. Может ли точка В лежать между точками А и С? Дайте обоснование ответу. 540. Лучи BE и В А являются лучами одной полуплоскости с границей BD, а лучи BD и ВС — лучами одной полуплоскости с границей BE. Найдите ABC, если DBE = 40°, a DBA = СВЕ = 60°. 541. Решите задачу 196, не пользуясь свойством двух лучей полуплоскости. 542. Пользуясь предыдущей задачей, докажите свойство двух лучей полуплоскости. 124
Задачи к главе III 543. Докажите утверждения: а) каждый треугольник равен самому себе; б) если Л АВС = А A^Ci, Л AxBiCi = = АА2В2С29 то А АВС = АА2В2С2. 544. Точки М и N принадлежат разным полуплоскостям с границей АВ. Докажите, что если Z_ МАВ = Z. ABN, то прямые AM и BN не пересекаются. 545. Дан отрезок АВ. Точки Сх и С2 принадлежат разным полуплоскостям с общей границей АВ и расположены так, что \_АС{\ = [БС2] и Z-BACX = Z-ABC2. Докажите, что прямая СХС2 проходит через середину отрезка АВ (см. задачу 177). 546. Докажите, что каждый отрезок имеет одну и только одну середину. 547. Докажите, что каждый угол имеет одну и только одну биссектрису. 548. В треугольниках АВС и А^^х известно, что АВ = АгВ19 АС = =. АгСи Z- А =/-Ах. На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки К и L, а на сторонах АгСх и ВгСг треугольника А^хСх — точки К1 и Lx так, что АК — A±KU LC = =L1C1. Докажите, что: a) KL = = K±L±; б) AL = AXLX. 549. Стороны равностороннего треугольника АВС продолжены, как показано на рисунке 171, на равные отрезки AD,CE> BF. Докажите, что точки D, E, F являются вершинами равностороннего треугольника. 550. На сторонах угла XOY взяты отрезки [ОА] = [_ОВ~], [АС]-[БД] (рис. 172). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса Рис. 172 Рис. 171 125
угла XOY. Пользуясь этой задачей, укажите способ построения биссектрисы угла. 551. Пусть ABC — равнобедренный треугольник (АС = АВ). Серединный перпендикуляр стороны АС пересекает прямую С В в точке D так, что С — В — Z). На прямой AD взята точка Е так, что АЕ = BD и Е — А — D. Докажите, что ACDE равнобедренный. Задачи к главе IV 552. Докажите, что если в треугольнике ABC основание высоты [АН] не лежит на стороне ВС, причем точка С лежит между 5 и Я, то углы А и В острые. 553. В треугольнике ABC проведена биссектриса [AD], [АВ] > [АС]. Докажите, что Z.ADB > /LADC и [ДО] > > [CD]. 554. Докажите, что если две стороны треугольника не равны, то медиана, заключенная между ними, составляет с меньшей из них больший угол. 555. Докажите, что если в треугольнике биссектриса является медианой, то треугольник равнобедренный. 556. Докажите, что любой отрезок с концами на разных сторонах треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника. 557. Даны три точки А, Б, С прямой а и точка Z), не лежащая на этой прямой. Докажите, что по крайней мере два из трех отрезков AD, BD и CD не равны друг другу. 558. Докажите, что Л ABC = Л AiBiCi, если Z. А = ZL Au Z-B = /LBU ВС = ДхСх. Задачи к главе V 559. Даны две точки А и В и прямая а, не проходящая через эти точки. На прямой а постройте точку, равноудаленную от точек А и В. Всегда ли задача имеет решение? 560. Пусть в треугольнике ABC [AD] и [АН] — биссектриса и высота, проведенные из вершины А. Докажите, что если [АВ] < [АС], то точка Н лежит на луче DB. 561. Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание биссектрисы треугольника лежит между основаниями медианы и высоты, проведенных из этой же вершины. 126
562. С помощью циркуля и линейки постройте точку, принадлежащую данной окружности и равноудаленную от концов данного отрезка. 563. Постройте прямоугольный треугольник так, чтобы гипотенуза была равна данному отрезку, а острый угол — данному углу. 564. Постройте прямоугольный треугольник ABC, если даны острый угол В и биссектриса \_BD~]. 565. Постройте прямоугольный треугольник так, чтобы один катет был равен данному отрезку и был в два раза больше другого катета. 566. Постройте прямоугольный треугольник ABC, если даны гипотенуза [_ВС~\ и внешний угол при вершине В.
7 класс Глава I ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ В этой главе дается определение параллельных прямых и устанавливаются признаки параллельности. Затем формулируется аксиома параллельных и на ее основе доказываются некоторые свойства параллельных прямых, с помощью которых доказывается теорема о сумме углов треугольника и выводятся следствия из нее. Последний параграф посвящен определению расстояния между параллельными прямыми и решению задач на построение. § 1. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ 1. Определение параллельных прямых. Из курса геометрии VI класса известно, что две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки. В первом случае говорят, что прямые пересекаются, во втором случае — прямые не пересекаются. Введем определение, соответствующее второму случаю взаимного расположения двух прямых. Определение. Две прямые на плоскости называются! параллельными, если они не пересекаются. Параллельность прямых а и Ъ обозначается так: а \\ Ъ. Пусть две прямые а и Ъ пересечены третьей прямой с (рис. 1). Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и Ь, если она пересекает их в. двух различных точках. При пересечении прямых а и Ъ секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 1 отмечены цифрами. Определенные пары углов имеют Рис. 1 специальные названия: 128
накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6; односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6; соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7. С помощью этих пар углов можно сформулировать признаки параллельности двух прямых, т. е. условия, при выполнении которых две прямые параллельны. 2. Признаки параллельности двух прямых. II Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и Ъ секущей АВ накрест лежащие углы равны: Z.1 = Z.2 (рис. 2). Докажем, что а || Ь. Предположим, что а не параллельна Ь, тогда они пересекаются в некоторой точке Р, и, следовательно, один из углов 1 или 2 будет внешним углом треугольника АВР. Пусть для определенности /Л — внешний угол треугольника АВР, a Z.2 — внутренний (рис. 2). Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что /Л > Z.2, что про* тиворечит условию. Значит, прямые а и & не пересекаются* поэтому они параллельны. Теорема доказана. Эта теорема выражает признак параллельности двух прямых» || Следствие. Две прямые, перпендикулярные к одной и той || же прямой, параллельны. Действительно, допустим, что прямые а и Ъ перпендикулярны к прямой р (рис. 3). При пересечении прямых а и Ъ секущей р накрест лежащие углы 1 и 2 прямые, поэтому они равны. Отсюда следует, что а || &. Пользуясь доказанной теоремой, решим следующую задачу на построение. Задача. Построить прямую, проходящую через данную точку А и параллельную данной прямой Ь> не проходящей через точку А. Решение. Отметим на прямой Ъ точку М и проведем прямую AM 5 Заказ 54 Рис. 3 129
j ^y /\1 /\2 '4 Jb a Рис. 5 (рис. 4). Пусть /Л — один из углов, который образует луч МА с лучами прямой Ъ. Построим луч АХ так, чтобы А.МАХ и /Л были накрест лежащими углами при пересечении прямых Ъ и АХ секущей AM и чтобы /-МАХ = = /Л (VI, п. 52)*. По доказанной теореме прямая АХ параллельна прямой Ъ. Рассмотрим еще два признака параллельности прямых. Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны или сумма градусных мер односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны. Доказательство. 1) Пусть при пересечении прямых а и Ъ секущей с соответственные углы равны, например, /Л = Z_2 (рис. 5). Так как Z.2 и Z_3 — вертикальные углы, то они равны. Из равенств /Л = Z.2 и Z.2 = Z_3 следует, что /Л = Z_3. Углы 1 и 3 накрест лежащие, значит, прямые а и Ъ параллельны. 2) Предположим, что при пересечении прямых а и Ъ секущей с сумма градусных мер односторонних углов равна 180°: 1 + 4 = 180 (рис. 5). Так как Z.3 и Z.4 — смежные углы, то по теореме о смежных углах 3 + 4 = 180 . Из двух равенств 1 + 4 = 180° и 3 + 4 = 180е следует, что /Л = Z.3, поэтому прямые а и Ъ параллельны. Теорема доказана. 3. Параллельные отрезки и лучи. В дальнейшем нам понадобится понятие параллельности не только для двух прямых, но и для двух отрезков, прямой и отрезка, двух лучей, луча и отрезка и т. д. Введем эти понятия. Два отрезка называются параллельными, если прямые, содержащие эти отрезки, параллельны. Отрезок называется параллельным данной прямой, если прямая, содержащая отрезок, параллельна данной прямой. На * Запись (VI, п. 52) означает, что дана ссылка на пункт 52 пробного учебника «Геометрия-6» авторов Л. С. Атанасян, Э. Г. Позняк. 130
—(• 1 1 Е F а к 1 н |—- д) D Рис. 6 рисунке 6, а отрезки АВ и CD параллельны, а отрезки MN и DC не параллельны. На рисунке 6, б отрезок АВ параллелен прямой а, а отрезки CD и EF не параллельны этой прямой. Если отрезки АВ и CD параллельны, то пишут: [АВ] || [CD'], а если отрезок АВ параллелен прямой а, то пишут: [АВ] || а. Аналогично можно определить понятия параллельности для двух лучей, для луча и прямой, луча и отрезка. На рисунке 6, в А || ft, А || а, [АВ] || Л. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 1. Используя бумагу в клетку, начертите три пары параллельных прямых. 2. Пользуясь признаками параллельности двух прямых, с помощью транспортира и линейки постройте две пары параллельных прямых. 3. Начертите две не пересекающиеся прямые АВ и CD и отметьте точку М, лежащую между точками А и В, и точку N — между точками С и D. На прямой MN отметьте точки Р и Q по разные стороны от отрезка MN. Выпишите и назовите все пары углов, образованных при пересечении прямых АВ и CD прямой MN: а) накрест лежащих; б) односторонних; в) соответственных. При выполнении заданий 4, 5 и 6 для установления параллельности прямых пользуйтесь транспортиром. 4. Начертите произвольный треугольник. Найдите середины двух сторон и проведите через них прямую. Убедитесь в том, что эта прямая параллельна третьей стороне треугольника. 5. Начертите произвольный четырехугольник ABCD. Найдите середины всех его сторон и соедините их последовательно. Убедитесь в ток, что противоположные стороны получившегося четырехугольника параллельны. 5» 131
6. Отметьте три точки А, В и М, не лежащие на одной прямой. Постройте точку Мг так, чтобы точка А была серединой отрезка ММи и точку N так, чтобы точка В была серединой отрезка MiN. Убедитесь в том, что MN II АВ и MN = 2AB. 7. Начертите прямую а и отметьте точку М, не принадлежащую этой прямой. С помощью циркуля и линейки постройте прямую ft, проходящую через точку М и парал- лельную прямой а. Проведите три прямые, перпендикулярные к прямой а, и, пользуясь чертежным треугольником, убедитесь в том, что эти прямые перпендикулярны к прямой Ъ. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 8. Даны прямые a, ft и с. Верно ли, что: а) а || а; б) если а || ft, то ft II а; в) если а J_ ft, с _L ft, то а 1 с; г) если а ± ft, с ± ft, то а || с; д) если а пересекает ft и ft пересекает с, то прямые а и с пересекаются? 9. В каком из следующих случаев можно утверждать, что прямые АВ и DC, изображенные на рисунке 7, параллельны: a) Z.1 = Z.2; б) ABC + BCD = 180°; в) Z,3 = Л2; г) Z.4 = Z.1; д) Z.4 = Z.2? Выясните также, в ка: ком из указанных случаев будут параллельны прямые АЕ и ВС. 10. На рисунке 8 /Л = Z_3. а) Выпишите все пары соответственных углов и объясните, почему и другие пары соответственных углов равны, б) Выпишите все пары накрест лежащих углов и докажите, что все они равны, в) Выпишите все пары односторонних углов и докажите, что сумма градусных мер каждой из этих пар равна 180°. 11. На рисунке 9 имеем: [АВ] = [БС], \CD] = [D£Q. Докажите, что АВ || DE. ?Аг Рис. 7 - Рис. 8 Рис. 9 А 7/у Г j\ 7 132
12. Отрезок ВК — биссектриса треугольника ABC. Из точки К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ = МК. Докажите, что КМ \\ АВ. § 2. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ 4. Аксиома параллельных прямых. Из рассмотренной в п. 2 задачи следует важный вывод: если точка В не лежит на данной прямой а, то через эту точку проходит прямая, параллельная прямой а. Возникает вопрос: нельзя ли через точку В провести еще одну или несколько прямых, параллельных прямой а? Ответ на этот вопрос содержится в одной из знаменитых аксиом геометрии — аксиоме параллельных прямых. Аксиома. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы. 1°. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис. 10, а). Пусть прямые а и Ъ параллельны и прямая с пересекает прямую а в точке М. Если бы прямая с не пересекала прямую &, то через точку М проходили бы две прямые а и с, параллельные прямой Ъ (рис. 10, б). Так как это противоречит аксиоме параллельных прямых, то прямая с пересекает прямую Ъ. 2°. Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис. 11, а). М/ а 5) Рис. 10 а Jb с а) /м б) Рис. 11 а с 133
Рис. 12 РТ № Рис. 13 Пусть а || с и Ъ || с. Докажем, что а || Ь. Допустим, что это не так, т. е. прямые а и Ь не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М (рис. 11, б). Значит, через точку М проходят две различные прямые а и Ь, параллельные прямой с. Это противоречит аксиоме параллельных прямых, поэтому наше допущение неверно и прямые а и Ъ параллельны. 5. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Докажем две теоремы, обратные теоремам пункта 2. Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. Доказательство. Пусть параллельные прямые а и Ь пересечены секущей MN. Докажем, например, что накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 12). Построим луч MP так, чтобы A.PMN и Z.2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых MP и Ъ секущей MN и чтобы Z-PMN = Z_2 (VI, п. 52). При пересечении прямых РМ и Ъ секущей MN накрест лежащие углы равны, следовательно, РМ || Ъ (п. 2). Прямые РМ и а проходят через точку М и параллельны прямой Ь, поэтому они, согласно аксиоме параллельных прямых, совпадают. Значит, A.PMN и Z.1 — один и тот же угол и Z_l = Z.2. Теорема доказана. Следствие. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Пусть а || Ъ и с J_ а (рис. 13). Прямая с пересекает прямую а, поэтому согласно свойству 1° параллельных прямых (п. 4) она пересекает также прямую Ь. При пересечении параллельных прямых а и Ъ секущей с образуются равные накрест лежащие углы: /Л = /-2. Так как с 1 а, то 1 = 90°, поэтому 2 = = 90°, т. е. с 1 Ь. 134
II Теорема. Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны, а сумма градусных мер односторонних углов равна 180°. Доказательство. 1) Пусть параллельные прямые а и Ъ пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы 1 и 2 равны (рис. 5 на с. 130). Так как а \\ Ъ, то накрест лежащие углы 1 и 3 равны. Углы 3 и 2 вертикальные, поэтому /-2 = Z.3. Из равенств /Л = Z.3 и /L3 = Z.2 следует, что /Л = Z.2. 2) Докажем, например, что 1 + 4 = 180 (рис. 5). Так как Z_2 и Z.4 смежные, то по теореме о смежных углах 2 + 4 = = 180°. По доказанному Z.1 = Z_2, т. е. 1 = 2. Из равенств £+t = 180°, Т = ^следует, что Г + ^4 = 180°. Теорема доказана. 6. Практические способы построения отрезков параллельных прямых. Признаки параллельности прямых позволяют строить параллельные прямые с помощью различных инструментов. Рассмотрим, например, способ построения параллельных прямых с помощью чертежного треугольника и линейки. Чтобы построить прямую, проходящую через точку В и параллельную данной прямой а, сначала нужно приложить чертежный треугольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 14. Затем, передвигая треугольник вдоль линейки, следует добиться того, чтобы точка В оказалась на стороне треугольника, и провести прямую Ъ. Прямые а и Ъ параллельны, так как соответственные углы, обозначенные на рисунке 14 через а и |3, равны. На рисунке 15 показан способ построения параллельных прямых при помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертежной практике. Построение параллельных прямых Построение параллельных прямых с помощью чертежного треугольника при помощи рейсшины и линейки Рис. 14 Рис. 15 135
При выполнении столярных и плот- ■ ничьих работ для разметки параллельных щ прямых употребляется малка, которая щ представляет собой две деревянные план- щ ки, скрепленные шарниром (рис. 16). щ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ Щ 13. Используя бумагу в клетку, начер- I ите прямые а, Ъ и с так, чтобы щ а || с, Ъ || с. а) Убедитесь в том, что ■ прямые а и Ъ параллельны; б) на- ■ чертите несколько прямых, пересе- щ кающих прямую а, и убедитесь в том, что каждая из них щ пересекает также прямые Ъ и с. Я 14. Используя бумагу в клетку, начертите две параллельные щ прямые а и Ъ и секущую с. Обозначьте цифрами получив- ■ шиеся при этом углы Найдите с помощью транспортира щ и запишите в тетрадь градусные меры пар углов: а) на- Я крест лежащих; б) дносторонних; в) соответственных, щ Проведите еще одну секущую и выполните те же измере- Щ ния. Какой вывод можно сделать о мерах углов в каждом щ из этих случаев? Щ 15. Начертите прямую а. С помощью чертежного треуголь- щ ника и линейки проведите три прямые, каждая из которых Щ параллельна прямой а. щ 16. Начертите прямые 119 12, ти т2 так, чтобы 1г\\ /2> Щ II ^2» Ш a h^rrii- С помощью транспортира убедитесь в том, что щ углы между прямыми 1и тх и Z2» ^2 равны. щ 17. Начертите перпендикулярные прямые I и т. Пользуясь Щ чертежным треугольником и линейкой, начертите прямые щ 1г || I и mi || т. Убедитесь в том, что Zx _L m±. щ ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ I 18. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных щ стороне АВ, можно провести через вершину С? щ 19. Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четы- щ ре прямые. Докажите, что по крайней мере три из них пе- щ ресекают прямую р. щ
20. Даны три луча A, fe, /с общим началом так, что hk = 90э, a hi < 90°. Прямая р перпендикулярна лучу Л в некоторой его точке. Пересечет ли прямая р: а) луч k; б) луч П Дайте обоснование ответу. 21. Докажите, что прямая, перпендикулярная к одной стороне острого угла, пересекает другую его сторону. 22* .Докажите, что прямые, перпендикулярные соответственно двум сторонам неразвернутого угла, пересекаются. 23. Прямые а и Ъ перпендикулярны к прямой р, и прямая с пересекает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую Ы 24. Докажите, что если при пересечении двух прямых а и Ъ секущей накрест лежащие углы не равны, то прямые а и Ъ пересекаются. 25. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р. 26. На рисунке 8 (с. 132) прямые АВ и CD параллельны. Найдите меры всех углов, обозначенных цифрами в каждом из следующих случаев: а) 1 = 45°; б) 4 = 90°; в) 5 = 137°; г) 7"= 109°; д) £= 106°. 27. На рисунке 17 а \\ Ъ и с \\ d. а) Назовите все углы, рав- Хч /\ ^\ ^ Хч ные углу 1; б) найдите 7, 8, 13, 14, если 5 = 60 ; в) най- дите 15, если 1=4. 28. На рисунке 18 а \\ Ь, Ъ \\ с. Найдите 1, 6, 11 в каждом из следующих случаев: а) 3^ = 67°; б) iT = 100°; в) 12 = 123°. 29. На рисунках 19, а и б I \\ m, k \\ п. Найдите х, у и 2. 30. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны АВ и АС Рис 17 Рис. 18 137
Ч* a 2 /s 4\ Jb Рис. 19 Рис. 20 веточках М и N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный. 31. Будут ли прямые а и Ъ параллельны (рис. 1 на с. 128), если: а) З4 = 100°, ^6 = 100°; б) ^4 = 78°, t = 102°; в) G = 45°, 2 = 135°; г) "2 = 90°, £ - 90°; д) 1 = 128°, ? = 128°? 32. По данным рисунка 20: а) найдите 1, если Z_3 = Z_4 и "2 = 70°; б) найдите % если^ = 130°, "2 = 50° и^З = 70°; в) найдите 3, если 1=2=90° и 4 = 61°; г) докажите, что 1* = £, f = £, ^+^6= 180°, если "l = 49°, 1> - 131°. 33. Параллельны ли прямые а и Ь, изображенные на рисунке 20, в каждом из случаев: а) 1 = 73° и 6 = - • 3? 2 — 5 60°; б) 7 34. Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы соответственных углов, получившихся при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, параллельны. 35. Докажите, что если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла (т. е. принадлежат параллельным прямым), то меры таких углов или равны, или в сумме составляют 180°. Решение. Пусть АОВ и AiO^i — данные углы и ОА II ОгА19 OB || OxBx (рис. 21). Прямая 01В1 пересекает прямую ОхАх, поэтому она пересекает параллельную ей прямую ОА в некоторой точке М. При пересечении двух прямых ОА и 01В1 образуются четыре угла, которые на рисунке 21 обозначены цифрами 1, 2, 3, 4. Параллельные прямые ОВ и ОгВх пересечены секущей ОМ, поэтому данный угол АОВ и один из углов 1, 2, 3, 4 являются накрест 138
Рис. 21 П UPr П/ Рис. 22 лежащими углами и /LAOB равен одному из этих углов. Аналогично параллельные прямые О А и 01А1 пересечены секущей ОхМ, поэтому данный угол А101В1 равен одному из углов 1, 2, 3, 4. У любых двух из этих четырех'углов градусные меры либо равны, либо в сумме составляют 180° ^\ х\ х\ ^\ (например, 1=3, а 2+3 = 180 ). Следовательно, или АОВ = -AiOijBi, или АОВ + А101В1 = 180°. На рисунке 21 углы АОВ и AiOii?! равны. 36. Два тела Рг и Р2 подвешены на концах нити, перекинутой через ролики А и В (рис. 22). Третье тело Р3 подвешено на той же нити в точке С и уравновешивает тела Рх и Р2. Докажите, что АС В = CAPi + СБР2. § 3. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА 7. Теорема о сумме углов треугольника. Используя свойства параллельных прямых, докажем следующую теорему. Теорема. Сумма градусных мер углов треугольника равна 180°. Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник. Требует- •\ /\ /\ 0 ся доказать, что А + В + С = 180 . Через точку С проведем прямую EF, параллельную стороне АВ (рис. 23). Допустим, что СЕ и С А — лучи одной полуплоскости с границей ВС; Z_2 139
и Z.4 — накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и EF секущей ВС, а /Л и Z_5 — накрест лежащие углы при пересечении тех же параллельных прямых секущей АС. Тогда Z_4 = Z_2, Z_5 - Z_l. (1) По построению С А — внутренний луч угла ВСЕ, поэтому ВСЕ =3 + 5. По теореме о смежных углах ВСЕ + 4 = 180 , следовательно, 3 + 5 + 4 = 180 . Учитывая равенства (1), получаем: t + 1l + 2^ = 180° или А + Б + 'С = 180°. Теорема доказана. Пользуясь этой теоремой, докажем свойство внешнего угла треугольника. Градусная мера внешнего угла треугольника равна сумме градусных мер двух внутренних углов, не смежных с ним. . Действительно, BCD + S = 180°, 1" + "2 + $ = 180° (рис. 23). Отсюда получаем: BCD =1+2. 8. Некоторые свойства прямоугольных треугольников. С помощью теоремы о сумме углов треугольника установим следующие свойства прямоугольных треугольников. 1°. Сумма градусных мер двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Пусть ABC — прямоугольный треугольник, в котором Z-A /ч /ч /ч прямой. По теореме о сумме углов треугольника А + В + С = = 180°. Так как А= 90°, то5 + С= 90°. 2°. Длина катета прямоугольного треугольника, лежащего протцв угла в 30°, равна половине длины гипотенузы. Пусть ABC — прямоугольный треугольник, в котором ZA прямой и ABC = 30°. Требуется доказать, что АС = — ВС (рис. 24). Так как ABC + С = 90°, то С7 = 60°. Построим точку D так, чтобы точка А была серединой отрезка DC. Прямоугольные треугольники ABC и ABD равны (катет [А Б] общий, а катеты [_АС~\ и [AD] равны по построению). Отсюда следует, что D = С = 60°, a АвЪ = АБС = 30°, поэтому DBC = 60°. Значит, в треугольнике БС£) углы DBC и ADC равны (DBC = «= ADC = 60°), поэтому DC = АС (VI, п. 46). Так как АС = *= - DC, то АС = -ВС. 2 2 140
A Рис. 24 Рис. 25 Воспользовавшись рисунком 24, докажите самостоятельно обратное утверждение (см. задачу 59). 3°. Если в прямоугольном треугольнике длина катета равна половине длины гипотенузы, то градусная мера угла, лежащего против катета, равна 30°. 9. Признаки равенсхва прямоугольных треугольников. Общие признаки равенства треугольников, изученные нами в VI классе, могут быть применены и к прямоугольным треугольникам (VI, п. 37, 38, 42). Рассмотрим еще два признака равенства, относящиеся только к прямоугольным треугольникам. 1°. Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому* углу другого. Пусть А АВС и ААхВхСх — два прямоугольных треугольника, у которых /~Си /~Сх — прямые, A.A = Z.A1, [AS] =[Ах.Вх] (рис. 25). Требуется доказать, что эти треугольники равны. По свойству 1° пункта 8 имеем: А + В = 90 , Аг + Вг = = 90°.Так как по условию Z_A = Z^Al9 то из этих равенств следует, что А.В = Z-Bx. Итак, для треугольников АВС и А1В1С1 имеем: [АВ] = [AiBJ, ^-А = /LAl9 /LB = /LBl9 поэтому ААВС = ДАх-Вх^х (второй признак равенства треугольников). 2°. Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого. Доказательство этого признака мы опускаем (см. задачу 238). 10. Уголковый отражатель. Мы знаем, что сумма градусных мер двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Это свойство лежит в основе конструкции простейшего уголкового отражателя. Рассмотрим предварительно следующую задачу. 141
Рис. 27 Задача. Угол между зеркалами О А и OS равен 90°. Луч света, падающий на зеркало ОА под углом а, отражается от него, а затем отражается от зеркала ОВ (рис. 26). Доказать, что падающий и отраженный лучи параллельны. Решение. На основании закона отражения света падающий луч SM и луч MN составляют с прямой ОА равные углы а. Так как треугольник MON прямоугольный, то мера угла при его вершине N равна 90° — а (сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°). Применяя опять закон отражения света, получаем, что в точке N луч MN и отраженный луч N Т составляют с прямой ОВ равные углы. Обращаясь к рисунку 26, мы видим, что SMN = 180°—2а, MNT = = 180°— 2 (90°-- а) = 2а, поэтому SMN + •\-MNT = 180°. Следовательно, падающий луч и отраженный луч параллельны (п. 2). Простейший уголковый отражатель представляет собой несколько зеркал, составленных так, что соседние зеркала образуют угол 90°. На рисунке 27 в виде зигзагообразной линии схематически изображен такой отражатель. Представим себе, что на этот отражатель падает пучок параллельных лучей (на рисунке эти лучи изображены сплошными линиями со стрелками). Тогда отраженные лучи будут параллельны падающим лучам (эти лучи изображены пунктирными линиями со стрелками). Мы видим, что уголковый отражатель «возвращает назад» падающий на него пучок параллельных лучей. При этом расположение отражателя по отношению к падающему пучку лучей несущественно. Это свойство уголкового отражателя используется в технике. Так, на одной из автоматических станций, запущенных в Советском Союзе на поверхность Луны, был установлен уголковый отражатель специальной конструкции. С поверхности Земли участок Луны, на котором находилась автоматическая станция с уголко- 142
вым отражателем, был освещен лучом лазера. Отраженные лучи при любом расположении отражателя были им «возвращены назад» в то место, где находился лазер. Измерив точно время в момент возвращения сигнала, удалось с весьма высокой точностью найти расстояние от поверхности Земли до поверхности Луны. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 37. Начертите два треугольника АВС и MNP. С помощью транспортира найдите меры углов этих треугольников. •\ /\ •ч /\ •ч •ч Найдите суммы А + В + СиМ + N + P. 38. Начертите ААВС и отметьте один из внешних углов при вершине А. С помощью транспортира убедитесь в том, что мера внешнего угла равна сумме мер углов треугольника, с ним не смежных. 39. Начертите треугольник АВС так, чтобы А = 50 , В = = 70°. Пользуясь транспортиром, найдите меру внешнего угла при вершине С и убедитесь в том, что мера этого угла равна А + В. 40. Начертите два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1 так, чтобы А = 90 , АВ = 5 см, ВС = 8 см и Ах = 90°, А1В1 = 3 см, Б^ = 4,8 см. Найдите с помощью транспортира меры углов В и С, Бх и С±, убедитесь •N /"Ч •Х /Ч /*\ ,^ -^ /*\ в том, что: а) В -= Бх и С = Су, б) Б + С = Бх + d = = 90°. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ /Ч а) А •*ч а, В е) А = = = 41. Найдите меру угла С треугольника АВС, если: = 65°, Б = 57°; б) А = 24°, Б - 130°; в) А = = Р; г) 2 - а, Б = 2а; д) А = 90°, Б^ = 0; = 60° + а, Б = 60° — а. 42. На рисунке 28 найдите меры всех углов, обозначенных цифрами. 43. Найдите меры углов треугольника АВС у если А : В : & = 2 : 3 : 4. 44. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника имеет градусную меру, равную 60°. Решение. Пусть АВС — данный равносторонний треугольник. Рис. 28
Так как АВ = АС, то Z.B = /LC (VI, п. 40). Так как ВА = £С, то Z.A = Z-C. Таким образом, Z.A = Z-B = Z.C, т. е. •Ч •Ч •Ч /S /Ч /Ч л Л=В=С. Но А + S + C=180°, /Ч ^ /Ч Рис. 29 следовательно, А — В = С =60 . 45. На рисунке 29 zll = Z.2. Докажите, что Z.3 = Z.4. 46. Мера одного из углов равнобедренного треугольника равна а. В каждом из следующих случаев найдите меры двух других углов треугольника: а) а = 40°; б) а = 60°; в) а = = 80°; г) а = 100°. 47. Докажите, что в равнобедренном прямоугольном треугольнике мера каждого острого угла равна 45°. Пользуясь этим утверждением, постройте угол, мера которого равна 45°. 48. Найдите меры углов равнобедренного треугольника, если: а) мера угла при основании в 2 раза больше меры угла при вершине; б) мера угла при основании в 3 раза меньше меры внешнего угла при той же вершине. В последнем случае определите вид треугольника в зависимости от углов. 49. В равностороннем треугольнике ABC проведена биссектриса [AD]. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найдите длину [А2>]. 50. В треугольнике ABC А = 58°, В = 96°. Найдите угол между биссектрисами при; вершинах А и В. 51. Найдите угол между: а) двумя биссектрисами равностороннего треугольника; б) биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. 52. Дан прямоугольный треугольник ABC, в котором ZLC прямой, a [CD'] — высота, проведенная из вершины С. Докажите, что Z.A = Z^BCD. 53. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию. 54. Меры двух углов треугольника равны 55° и 67\ Найдите угол между высотами, проведенными из вершин этих углов. 55. Докажите, что если мера одного из внешних углов тре- 144
I угольника в 2 раза больше меры внутреннего не смеж- I ного с ним угла, то треугольник равнобедренный/ I 56. Докажите, что если длина медианы треугольника равна [ половине длины стороны, к которой она проведена, то I треугольник прямоугольный. [ 57. Мера одного из углов прямоугольного треугольника рав- I на 60°, а сумма длин гипотенузы и меньшего из катетов К равна 26,4 см. Найдите длину гипотенузы. I ^^ о К 58. В прямоугольном треугольнике АВС А = 30 , [BAf] — I медиана, проведенная к гипотенузе. Докажите, что один I из треугольников АВМ и МВС равносторонний, а дру- I гой равнобедренный. I 59. Докажите, что если в прямоугольном треугольнике длина I катета равна половине длины гипотенузы, то градусная I мера угла, лежащего против этого катета, равна 30°. I Решение. Пусть ABC — данный треугольник, АС = I — —ВС. Построим точку D так, чтобы точка А была се- [ рединой отрезка CD (рис. 24, с. 141), и рассмотрим A BCD. j Этот треугольник равносторонний (объясните почему), I /'4 о I поэтому С == 60 (см. задачу 44). Учитывая свойство 1° I пункта 8, приходим к выводу, что ABC = 30°. I 60. Пусть ABC и AxBiCi — два прямоугольных треуголь- I ника с прямыми углами при вершинах А и Al9 a \_BD~] I и \_BXD{] — биссектрисы этих треугольников. Докажите, I что если Z.B = /LBX и [BD] = \BXD{\, то А АВС = АА^С^ I 61. Докажите, что в равнобедренном треугольнике две вы- I соты, проведенные через вершины основания, равны. I 62. Докажите, что если /LB = /LBU [АВ] = [AiBJ, [B#] = I = [BiHJ, то ААВС = AAA*?!. Здесь [ВН~] и [В^] — I высоты треугольников АВС и АХВХСХ. I 63. Докажите, что треугольник равнобедренный, если он I имеет две равные высоты. I § 4. РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ I ПРЯМЫМИ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ I 11. Расстояние между параллельными прямыми. Используя I свойства параллельных прямых, докажем следующую теорему.
тт \ \ г А. 3 \ JbtL У Рис. 30 Теорема. Если две прямые параллельны, то все точки одной прямой находятся на одном и том же расстоянии от другой прямой. Доказательство. Пусть а и Ъ — данные параллельные прямые. Отметим некоторую точку А на прямой а и проведем перпендикуляр [АВ] из точки А к прямой Ъ (рис. 30). Пусть X — произвольная точка прямой а, а [XY]— перпендикуляр, проведенный из точки X к прямой Ъ. Ясно, что 1ХУ] 1 а (п. 5). Докажем, что XY = АВ. Для этого рассмотрим прямоугольные треугольники BAY и XYA. Легко видеть, что A BAY = = A XYA, так как они имеют общую гипотенузу \_AY~\ и равные острые углы: A.AYB = /LYAX. Эти углы равны, как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей AY. Отсюда следует: XY = АВ. Точка X на прямой а была выбрана произвольно, поэтому из равенства XY = АВ следует, что расстояние XY от точки X до прямой Ь не зависит от выбора этой точки на прямой а. Теорема доказана. Перпендикуляр XY, проведенный из произвольной точки X прямой а к параллельной прямой Ь, является также перпендикуляром, проведенным из Y к прямой а, поэтому расстояния от точек прямой а до прямой Ь равны расстояниям от точек прямой Ь до прямой а. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от произвольной точки одной из прямых до другой прямой. 12. Задачи на построение. Теория параллельных прямых имеет широкое применение при решении задач на построение. При этом часто используется следующее утверждение, доказательство которого мы опускаем. Множество всех точек полуплоскости, каждая из которых находится на данном расстоянии от ее границы а, совпадает с множеством всех точек некоторой прямой, параллельной прямой а (рис. 31). Решение задачи на построение состоит, как правило, из четырех частей. а) Отыскание способа решения задачи путем установления связей между искомыми элементами и данными задачи. Эта часть называется анализом и имеет своей целью составление плана решения задачи. б) Выполнение построения. в) Доказательство того, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи. Множество точек полуплоскости, равноудаленных от прямой а Рис. 31 146
У у А сУ 1 / У / V L Л ! \_^ / в к р N Л г) Исследование задачи, где выяс- р q няется вопрос: при любых ли данных I >( \ можно решить задачу и сколько реше- Р2 0г ний она имеет? Ь—т^——I В тех случаях, когда задача простая, отдельные части, например анализ или исследование, опускаются. Так мы поступали при решении простейших задач на построение в VI классе (VI, п. 51-54). Рассмотрим пример решения задачи на построение по этой схеме. Задача. Построить треугольник ABC так, чтобы сторона АВ и высота [СЩ, проведенная к этой стороне, были равны соответственно двум дан- Рис. 32 ным отрезкам PiQi и Р2Фг» я Z-^ — данному углу hk. Дано: [Р&], [P2Q*] и £hk (рис. 32). Построить: ААВС так, чтобы [АВ] = [PxQJ, [СН] = [P2Q2] и /_А = /Jik, где [СЩ — высота треугольника ABC. Анализ. Предположим, что задача решена, т. е. построен ААВС так, чтобы [АВ] = [PtlQx], [СЩ = [Р2Я2Ъ Z.A = /_hk (рис. 32). Легко построить сторону АВ и угол BAY, равный данному углу. Для построения точки С заметим, что она удовлетворяет двум условиям: 1) точка С принадлежит лучу АС; 2) С £ Н и удалена от прямой АВ на расстояние, равное P2Q2« Здесь Н—полуплоскость с границей АВ, содержащая луч AY. Если мы отбросим первое условие, то второму условию удовлетворяют точки прямой р, которая расположена в полуплоскости Н, параллельна прямой АВ и удалена от нее на расстояние P2Q2 (см« Рис« 32). Очевидно, искомая точка С является точкой пересечения луча AY и прямей р. Построение. 1. Строим /_XAY — /_hk (VI, п. 52) и на луче АХ от точки А откладываем отрезок АВ, равный отрезку PiQ\. 2. Строим прямую п, перпендикулярную прямой АХ. Пусть N — точка пересечения прямых АХи п. 3. Отложим на прямой п от точки N в полуплоскости Н отрезок NK, равный отрезку P2Q2. 4. Через точку К проводим прямую р, параллельную прямой АХ. Прямая р пересечет луч AY в точке С. 5. Строим отрезок ВС. ААВС — искомый. Дока з ателье тво. Построенный треугольник ABC удовлетворяет условиям задачи. Действительно, по построению /_А = /.hk, [АВ] = [PiQ{], а [СЩ — [P.jQ2] » так как все точки прямой р удалены от прямой АВ на расстояние P2Q2. Исследование. Ясно, что при любых данных искомый ААВС всегда можно построить. Существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи. Все эти треугольники равны друг другу, поэтому принято говорить, что задача имеет одно решение (см. VI, п. 54, замечание). 147
Рейсмус Рис. 33 Замечание. Утверждение, сформулированное в этом пункте, применяется также на практике для проведения отрезков параллельных прямых. Оно лежит в основе конструкции инструмента, называемого рейсмусом (рис. 33). Рейсмус используется при столярных работах для разметки на поверхности бруска прямой, параллельной краю бруска. При передвижении рейсмуса вдоль края бруска его металлическая игла намечает отрезок прямой,> параллельный краю бруска. 65. 66. 67. 68. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 64. Расстояние между параллельными прямыми а и Ъ равно 3 см, а между параллельными прямыми а и с—5 см. Докажите, что Ъ || с, и найдите расстояние между этими пря- , мыми. Найдите множество точек полуплоскости, каждая из которых находится на данном расстоянии от ее границы, j Даны неразвернутый угол ABC и отрезок PQ. Найдите^ множество внутренних точек этого угла, удаленных от] прямой ВС на расстояние PQ. \ Найдите множество точек плоскости, каждая из которых; равноудалена от двух данных параллельных прямых, j Прямые а и Ъ параллельны. Докажите, что середины всех \ отрезков XY, где I U, а Г ( Ь, лежат на прямой, парал-; лельной прямым а и Ъ (рис. 34). ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 69. Пользуясь циркулем и линейкой, постройте угол, мера которого равна: а) 30°; б) 60°; в) 15°; г) 120°; д) 150°; е) 135°; ж) 165°; и) 75°; к) 105°. Решение, а) и б). Построим прямой, угол hk с верши- 148
ной в точке А и на стороне h л отметим точку В (рис.35). Затем построим окружность В (г), „ радиус г которой равен 2АВ. Эта окружность пересечет луч k в точке С. В прямоугольном треугольнике ABC по построе- нию ВС = 2АВ, поэтому С = = 30°, В - 60°. 70. Даны прямая а и отрезок АВ. а Постройте прямую х так, чтобы расстояние между прямыми а и х было равно АВ. 71. Даны две пересекающиеся прямые а и Ъ и отрезок PQ. На прямой а постройте точку, удаленную от прямой Ъ на расстояние PQ. 72. Постройте треугольник ABC по сторонам АВ, АС и высоте [AD]. 73. Даны [PQ] и Z.Afe. Постройте прямоугольный треугольник ABC, для которого С* = 90°, [АС] = [PQ], /LB = ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ I 1. Дайте определение параллельных прямых. 2. Что мы понимаем под секущей? Назовите пары углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей. 3. Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 4. Докажите, что две различные прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны. 5. Постройте прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой. 6. Докажите, что две прямые параллельны, если при пересечении их секущей: а) соответственные углы равны; б) сумма градусных мер односторонних углов равна 180°. 149
7. Когда мы говорим, что: а) два отрезка 'параллельны; 1 б) два луча параллельны; в) отрезок параллелен прямой; 1 г) отрезок параллелен лучу? I 8. Сформулируйте аксиому параллельных прямых. I 9. Докажите, что прямая, пересекающая одну из двух па- ■ раллельных прямых, пересекает и другую. Я 10. Докажите, что если две различные прямые параллельны I третьей прямой, то они параллельны. щ 11. Докажите, что при пересечении двух параллельных пря- Щ мых секущей накрест лежащие углы равны. щ 12. Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из Щ двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и I другой. I 13. Докажите, что при пересечении двух параллельных пря- щ мых секущей: а) соо ветственные углы равны; б) сумма щ градусных мер одно торонних углов равна 180°. щ 14. Какие практические способы проведения параллельных щ прямых вы знаете? щ 15. Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов тре- щ угольника. щ 16. Докажите, что градусная мера внешнего угла треуголь- Щ ника равна сумме градусных мер двух внутренних углов, не I смежных с ним. Щ 17. Докажите, что сумма градусных мер двух острых углов щ прямоугольного треугольника равна 90°. Щ 18. Докажите, что длина катета прямоугольного треуголь- щ ника, лежащего против угла в 30°, равна половине длины Щ гипотенузы. Сформулируйте обратное предложение. щ 19. Сформулируйте два признака равенства прямоугольных Щ треугольников и докажите первый из них. щ 20. Что мы называем расстоянием между двумя параллель- Щ ными прямыми? щ 21. Что представляет собой множество всех точек полуплос- щ кости, равноудаленных от ее границы? щ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ■ 74. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треуголь- щ ника параллельна стороне, то треугольник равнобед- Щ ренный. щ 150
75. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная АС и пересекающая сторону АВ в точке Е. Докажите, что треугольник ADE равнобедренный. 76. В треугольнике ABC через точку пересечения биссектрис углов В и С проведена прямая, параллельная прямой ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N. Докажите, что MN = ВМ + CN. 77. Луч света отражается последовательно от двух взаимно перпендикулярных зеркал, как показано на рисунке 36. Докажите, что при этом он меняет свое направление на противоположное, т. е. MN \\ PQ. \ 78. Докажите, что биссектрисы накрест лежащих углов, по- лучившихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, параллельны. 79. Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает сторону ВС в точке D. Серединный перпендикуляр отрезка АВ пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что MD \\ АВ. 80. Через вершину С треугольника ABC проведена прямая, параллельная его биссектрисе \_АА{\ и пересекающая прямую АВ в точке D. Докажите, что АС равно AD. 81. Найдите градусные меры внешних углов равностороннего треугольника. 82. В равнобедренном треугольнике биссектрисы равных углов В и С пересекаются в точке О. Докажите, что /LBOC равен внешнему углу треугольника при основании. 83*.Дан треугольник ABC. Точки М и N построены так, что середина отрезка ВМ является серединой стороны АС, а середина отрезка CN — серединой стороны АВ. Докажите, что точки М, N и А лежат на одной прямой. 84. Существует ли треугольник ABC, градусные меры углов которого удовлетворяют следующим неравенствам: А + + Б < 90°, В + & < 90°? Дайте обоснование ответу. 151
85. Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы ' односторонних углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых секущей, взаимно перпендикулярны. 86* .Докажите, что прямая, перпендикулярная к стороне неразвернутого угла в некоторой ее точке, пересекает биссектрису угла. 87. Постройте треугольник ABC по стороне АС и высоте \_BH~], если известно, что CAB = 135°. 88* Лостройте треугольник ABC по стороне АС, высоте [ВIf] и медиане [AM].
Глава II ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ В этой главе мы приступаем к изучению свойств выпуклых четырехугольников. Основное содержание главы посвящено изучению свойств четырехугольника с параллельными сторонами: параллелограмма, в частности прямоугольника, квадрата и ромба, а также свойств трапеции. § 1. ВЫПУКЛЫЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК 13. Понятие четырехугольника. II Определение. Четырехугольником ABCD называется фигура, состоящая из отрезков АВ, ВС, CD, DA, любые два из которых, имеющие общий конец, не принадлежат одной [I прямой. Отрезки, о которых говорится в определении четырехугольника, называются его сторонами, а их концы — вершинами. Каждый четырехугольник имеет четыре стороны и четыре вершины. На рисунке 37 даны примеры четырехугольников. Две стороны четырехугольника, имеющие общий конец, называются смежными, а две стороны, не имеющие общих концов, -*- противоположными. Две вершины, принадлежащие Рис. 37 153
одной стороне, называются соседними, & две вершины, не при- 1 надлежащие одной стороне, — противоположными. Отрезок, 1 соединяющий противоположные вершины четырехугольника, 1 называется его диагональю. Каждый четырехугольник имеет 1 две диагонали. 1 На рисунке 37, а изображен четырехугольник ABCD, сто- 1 ронами которого являются отрезки АВ, ВС, CD и DA, верши- 1 нами — точки А, В, С, D, а диагоналями — отрезки АС и BD. 1 У этого четырехугольника противоположными являются сто- 1 роны А В к CD, ВС и AD, а смежными — стороны АВ и ВС, I ЕС и CD и т. д. 1 14. Выпуклый четырехугольник. Четырехугольник будем 1 называть выпуклым, если его диагонали пересекаются. На рисун- I ке 37, а четырехугольник ABCD выпуклый, так как его диаго- I нали [АС] и [BD] пересекаются во внутренней точке М. Четы- 1 рехугольник EFGH не является выпуклым (рис. 37, б), так как я диагонали [EG] и [HF] не пересекаются. Четырехугольник 1 RSPQ также не является выпуклым. I Можно доказать, что четырехугольник является выпуклым 1 тогда и только тогда, когда любые две его соседние вершины при- щ надлежат одной полуплоскости с границей, проходящей через I две другие вершины (задачи 100 и 590). Поясним это свойство 1 на примере выпуклого четырехугольника ABCD, изображен- ] ного на рисунке 38, а. Соседние вершины С и D принадлежат 1 одной полуплоскости с границей АВ; вершины D и А— од- Щ ной полуплоскости с границей ВС и т. д. Для четырехуголь- I ника, изображенного на рисунке 38, б, это свойство не выполня- щ о) S) Рис. 38 154
ется, так как, например, соседние вершины Е и F принадлежат разным полуплоскостям с общей границей HG. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник (рис. 39). Углы DAB, ABC, BCD и CDA называются углами этого четырехугольника. Их часто обозначают одной буквой: /-А, /_В, /_С, Z-D. Выпуклый четырехугольник разбивает множество точек плоскости, не принадлежащих четырехугольнику, на две области — внутреннюю и внешнюю. На рисунке 39 внутренняя область четырехугольника заштрихована. Нетрудно видеть, что внутренняя область выпуклого четырехугольника есть общая часть внутренних областей четырех его углов. Стороны четырехугольника не принадлежат его внутренней области. Они не принадлежат также его внешней области. 15. Теорема о сумме углов выпуклого четырехугольника. Теорема. Сумма градусных мер углов выпуклого четырехугольника равна 360°. Доказательство. Пусть ABCD — данный выпуклый четырехугольник (рис. 40). Так как его диагонали \_АС] и [AD] пересекаются, то луч BD пересекает отрезок АС. Отсюда следует, что BD — внутренний луч угла ABC, поэтому ABC = 1+2. Аналогично DB — внутренний луч угла ADC, поэтому ADC =3 + 4. Таким образом, А + В + С + D = = A + (l+£) + C + £ + t) = (A+T+3) + {2 + С + + 4). По теореме о сумме углов треугольника А + 1 + 3 = = 180° и 12 + С + t = 180°, поэтому А + В + С +D = 360°. Теорема доказана. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 89. На рисунках 41, а, б, в, г и д изображены фигуры, состоящие из отрезков АВ, ВС, CD, DA. Какие из этих фигур являются четырехугольниками? Перечертите в тетрадь четырехугольники. 155
'а-ч'^Г^'Ъ а) б) 6) Рис. 41 г) У л*. ^— л/ ^ ^ '—:Н Рис. 42 90. Отметьте три точки А, Б и С, лежащие на одной прямой, и точку D, не лежащую на этой прямой . а) Образуют ли отрезки АВ, ВС, CD, DA четырехугольник? б) Образуют ли отрезки АВ, BD, DC, С А четырехугольник? Дайте обоснование ответу. 91. Начертите выпуклый четырехугольник MNPQ и проведите его диагонали. Укажите: а) противоположные стороны четырехугольника; б) противоположные вершины четырехугольника; в) углы четырехугольника. 92. Отметьте четыре точки А, В, С, D так, чтобы никакие три не лежали на одной прямой. Начертите все возможные четырехугольники с вершинами в этих точках. Сколько таких четырехугольников вы получили? 93. Перечертите в тетрадь четырехугольники, изображенные на рисунке 42. Какие из этих четырехугольников являются выпуклыми? Для каждого из выпуклых четырехугольников заштрихуйте внутреннюю область. 94. Начертите выпуклый четырехугольник и заштрихуйте внутреннюю область одного из его углов. По рисунку убедитесь, что вершина четырехугольника, противоположная вершине угла, принадлежит внутренней области этого угла. 95. Начертите три выпуклых четырехугольника. С помощью транспортира найдите градусные меры углов этих четырехугольников и убедитесь в том, что сумма градусных мер каждого четырехугольника равна 360°. 156
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 96. Докажите, что четырехугольники ABCD, BCD А, СЛАВ, DABC и DCBA совпадают. 97. Совпадают ли четырехугольники ABCD и BACD1 Дайте обоснование ответу. 98*.Докажите, что в четырехугольнике: а) длина любой стороны меньше суммы длин трех других; б) сумма длин диагоналей меньше периметра. 99*.Докажите, что каждая вершина выпуклого четырехугольника принадлежит внутренней области того угла четырехугольника, вершина которого противоположна данной. 100* .Докажите, что если четырехугольник выпуклый, то любые две его соседние вершины лежат в одной полуплоскости с границей, проходящей через две другие вершины. 101. В каждом из следующих случаев найдите меры углов выпуклого четырехугольника ABCD: а) А = 130 , В = «= 40°30', С = 102°; б) А = В = £ D = 135°; в) Л - •Ч •Ч •Ч /Ч •% /\ •Ч - /Ч - Б = С = D; г) В = 2А, С = А + 30% £> = 70°. 102. Найдите длины сторон четырехугольника, если периметр равен 8 см, а длина одной из сторон больше длины каждой из трех остальных соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм. 103. Найдите длины сторон четырехугольника, если периметр равен 66 см, длина первой стороны больше длины второй на 8 см и на столько же меньше длины третьей стороны, а длина четвертой в 3 раза больше длины второй. § 2. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ 16. Признаки параллелограмма. О п ределение. Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. На рисунке 43 изображен параллелограмм [ABCD. У этого параллелограмма [AD] II [-ВС] и gj ^c [АВ] || [DC]. Рассмотрим признаки, по которым можно установить, когда четырехуголь- A D ник является параллелограммом, Рис 43 ' 157 z
Рис. 44 Рис. 45 1°. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник есть параллелограмм. Пусть ABCD — четырехугольник, в котором диагонали [АС] и [BD] пересекаются в точке О и этой точкой делятся пополам (рис. 44). Треугольники ОАВ и OCD равны по первому признаку равенства треугольников ([ОА] = [ОС], [ОВ] = [OD] по условию и Z-AOB = ZJ20D как вертикальные углы), следовательно, /Л = Z.2. Но /Л. и Z_2 являются накрест лежащими углами при пересечении прямых АВ и CD секущей АС, поэтому АВ || CD (п. 2). Аналогично из равенства треугольников ОВС и ODA следует, что Z.3 = Z_4, поэтому ВС \\ AD. Мы доказали, что [.АВ] II [CD] и [ВС] || [AD]. По определению ABCD — параллелограмм. 2°. Если в выпуклом четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то четырехугольник есть параллелограмм. Пусть [АВ] = [CD] и [ЛБ] || [СВ] в выпуклом четырехугольнике ABCD (рис. 45). Проведем диагональ [АС] и рассмотрим треугольники ABC и CD А. Они равны по первому признаку равенства треугольников ([АВ] = [CD] по условию, [АС] — общая сторона, /Л = Z.2 как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и CD секущей АС), поэтому Z.3 = Z.4. Отсюда следует, что AD || СВ (п. 2). Значит, ABCD — параллелограмм* 17. Свойства параллелограмма. Теорема. Диагонали параллелограмма пересекаются точкой пересечения делятся пополам. и Рис. 46 Доказательство. Пусть ABCD—данный параллелограмм.Возьмем середину О его диагонали [АС] и построим точку Бх так, чтобы точка О была серединой отрезка ВВХ (рис. 46). По признаку 1° предыдущего пункта 153
четырехугольник АВСВХ — параллелограмм, поэтому ВС\\АВ1. По аксиоме параллельных прямых через точку А можно провести только одну прямую, параллельную прямой ВС, поэтому прямые AD и АВХ совпадают. Точно так же можно доказать, что прямые CD и СВг совпадают. Значит, точка, Вг совпадает с точкой D и, следовательно, ABCD и АВСВХ — один и тот же параллелограмм. Поэтому диагонали данного параллелограмма АВСВ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Теорема доказана. II Следствие. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником. Рассмотрим еще два свойства параллелограмма. 1°. Противоположные стороны параллелограмма равны. Пусть ABCD — данный параллелограмм, а О — точка пересечения его диагоналей (рис. 44). По доказанной теореме [ОА~] = = [ОС] и [ОВ] = [0D], поэтому, учитывая равенства соответствующих вертикальных углов, получаем: АОВС = AODA и AOCD = АОАВ (первый признак равенства треугольников). Из этих равенств следует, что [AD] = [CJ5] и [АВ] = [CD]. 2°. Противоположные углы параллелограмма равны. Докажем, например, что для параллелограмма ABCD справедливо равенство А.В = /_D (рис. 45). Проведем диагональ [АС] и рассмотрим треугольники ABC и CD А. Эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников ([АС] — общая сторона, [АВ] = [CD'] и [ВС] = [DA] по свойству 1°), поэтому /LB = /LD. ^ На рисунке 47 наглядно показаны все рассмотренные нами ев ойства параллелограмма. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 104. Начертите выпуклый четырехугольник ABCD так, чтобы: а) А = 60°, В = 120°, С4 = 60°; б) А = 30°, В = 100°, д =* 50°; в) А = 30°, Б = 150°, д = 80°. В каждом слу- Свойства параллелограмма Рис. 47 159
чае выясните, является ли построенный четырехугольник параллелограммом. 105. Начертите выпуклый четырехугольник MNPQ так, чтобы [МЮ || [PQ] и ШЮ = [PQ]. Убедитесь в том, что [MQ1 II II LNPI 106. Начертите произвольный треугольник ABC. Найдите середину О стороны ВС и постройте точку Аг так, чтобы точка О была серединой [АА{\. Убедитесь в том, что четырехугольник АВАХС является параллелограммом. 107. Начертите два отрезка АВ и CD, не лежащие на одной прямой и имеющие общую середину О. Выпишите все четырехугольники с вершинами в точках А, В, С и D. Имеются ли среди них четырехугольники, являющиеся параллелограммами? 108. Начертите произвольный параллелограмм и проведите его диагонали. С помощью масштабной линейки убедитесь в том, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 109. Начертите произвольный параллелограмм ABCD. С помощью масштабной линейки и транспортира найдите длины сторон и меры углов этого параллелограмма. Какой вывод можно сделать? ПО. 111. 112. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ Является ли четырехугольник ABCD, изображенный на рисунке 48, параллелограммом, если: a) Zll = Z.2 = Z.4; б) Z_1 = Z.2, Z.2=^Z_4; вМ=70°, 3^= 110°,^+1? = 180°? Периметр параллелограмма равен 46 см. Найдите длины сторон параллелограмма, если: а) длина одной стороны на 3 см больше длины другой; б) разность длин смежных сторон равна 7 см. Периметр параллелограмма ABCD равен 45 см. Найдите длины его сторон, если известно, что: а) АВ : ВС = 7 : 8; ВС. 4 113. Докажите, что сумма мер углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Рис 48 Решение. Пусть ABCD—дан- б) АВ = г 160
йый параллелограмм (рис. 43* с. 157). Докажем, например, что А + Б = 180 . Действительно, противоположные стороны ВС и AD Данного параллелограмма параллельны, поэтому сумма градусных рис* 49 мер односторонних углов А и Б, прилежащих к стороне АБ, равна 180°(п. 5). Итак, А + + Б =180°. 114. В каждом из следующих случаев йайдите меры углов параллелограмма ABCD\ а) А = 84°; б) ^ — Б = 55°; в) 2 + С4 = 142°; г) А = 2Bl 115» Существует ли параллелограмм ABCD при условии, что: а) все углы острые; б) Z.A острый, /-В тупой; в) Z.-4. и /LC тупые; г) Z-A прямой, /LB острый? Дайте обоснование ответу» 116» На рисунке 49 изображен параллелограмм. Найдите градусные меры всех углов, обозначенных цифрами. 117. Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, АВ = = 9 см. Какую сторону параллелограмма пересечет биссектриса угла А? Найдите длины отрезков, которые обра* зуются при этом пересечении. 118. Найдите периметр параллелограмма ABCDy если биссектриса угла А делит: а) сторону ВС на отрезки, длины которых равйы 7 см и 14 см; б) сторону CD на отрезки* длины которых равны 7 см и 14 см. 119. Длина меньшей стороны параллелограмма равна 6 см. Биссектрисы углов, прилежащих к большей стороне» пересекаются в точке, принадлежащей противоположной стороне. Найдите периметр параллелограмма. 120. Длины сторон параллелограмма равны 10 см и 3 см. БиС* сектрисы двух углов* прилежащих к большей стороне, делят противоположную сторону на три отрезка. Найдите длины эФих отрезков. < 121. Можно ли утверждать* что если у четырехугольника две противоположные стороны параллельны и равны* то четырехугольник — параллелограмм? 122. Диагонали [АС] и [BD] четырехугольника ABCD Пересе» 6 Заказ 54 161
Рис. 50 каются в точке О. Выясните, является ли четырехугольник параллелограммом, если: а) О А = 4,5 см, OD = = 6,3 см, ОБ = 6,3 см, ОС= 4,5 см; б) АС = 17 А см, BD = 21 см, АО = = 8,7 см, 1)0= 6 см; в) АС= 12 см, АО = 6 см, ВО = 9 см, Z>0 = 9 см; г) ОА = ОБ = ОС = = OZ> = 3 см. 123. На диагонали [AD] параллелограмма ABCD даны две точ- - ки Р и Q так, что РБ = QZ). Докажите, что четырехугольник APCQ является параллелограммом. 124. Пусть ABCD — параллелограмм, О — точка пересечения диагоналей, а А1У Ви Сх и Dx — середины отрезков АО» БО, СО и DO. Докажите» что A\BXCXDX — параллелограмм* 125. Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике ftpo- тивоположные стороны попарно равны» то четырехугольник является Параллелограммом» Решение. Проведем диагональ \_АС\ Данного выпуклого четырехугольника ABCD й рассмотрим треугольники ABC и CD А (рис.45» с. 158). Эти треугольники рав* ны по третьему признаку, поэтому ZL1 = ZJ2. Отсюда следует, что [АБ] || iCD^ Так как [АБ] == [С2)]и [АВ] II || [CD], то по признаку 2°ii. 16 ABCD — параллелограмм* 126. На рисунке 50 изображены два колеса паровоза» Радиусы колес равны. Стержень [-4.Б]» равный отрезку ОгО^ пере^ дает движение от одного колеса к другому. Докажите» чТо этот стержень и отрезок Ох02 параллельны или принадлежат одной прямой. 127. Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и углу между ними; б) iio двум диагоналям и углу между ними; в) по двум смежным сторонам и одной из диагоналей. § 3. ПРЯМОУГОЛЬНИК, РОМБ, КВАДРАТ 18. Прямоугольник* Прямоугольником называетсл параллелограмм^ у которого все углы прямые. Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма, например, в прямоугольнике противоположные стороны равны, диагонали в точке 162
Рис. 51 пересечения делятся пополам и др. Докажем следующее особое свойство прямоугольника. | Диагонали прямоугольника равны. Действительно, пусть [АС] и [ОБ]— диагонали прямоугольника ABCD (рис. 51). Треугольники ACD и DBA равны, как прямоугольные треугольники с соответственно равными катетами ([CD] = [ДА], a [АО] — общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны: [АС] =[2)В]. Докажем обратное утверждение, которое является признаком прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм есть прямоугольник. Пусть в параллелограмме ABCD диагонали \_АС~\ и [ДО] равны (рис. 51). Треугольники ABD и DC А равны по третьему признаку равен* ства треугольников ([-4Д] = [DC], \_BD^ = [СА], [ADJ — общая сторона). Отсюда следует, что ЛЛ = Z-D. Но в параллелограмме противоположные углы равны (п. 17), поэтому /-А = /J2 и /LB = Z-D. Таким образом, ZLA = ZJB = •""N. --Ч «-*Ч —Ч = ZLC = Z.O или А = Б — С = О. Параллелограмм — выпуклый четырехугольник, поэтому А + В + С + D = 360° (п. 15), ^•ч --ч --ч ^*ч Итак, А = Б = С = «О = 90 , т. е. параллелограмм ABCD является прямоугольником. 19, Ромб. Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны. Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма. Рассмотрим следующее особое свойство ромба. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Пусть [АС] и [BD] — диагонали данного ромба ABCD (рис. 52). Требуется доказать, что [AC] _L \_BD~\ и каждая диагональ делит соответствующий угол ромба пополам. Докажем, например, что /-ВАС = ^LDAC, 6* 163
По определению ромба [AjB]=[AjD], поэтому A BAD равнобедренный. Так как ромб — параллелограмм, то его диагонали точкой О пересечения делят- о) б) ся пополам. Следовательно, \_АО] — ме- Сбоистба кбадрата даана треугольника BAD. Отрезок АО Рис« 53 является также высотой и биссектрисой треугольника BAD (VI, п. 40). Отсюда следует, что [АС] 1 [AD] и /LBAC = Z-DAC. 20. Квадрат. Квадратом называется прямоугольник, все стороны которого равны. Так как прямоугольник является параллелограммом, то и квадрат является параллелограммом, все стороны которого равны, т. е. ромбом. Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба. Сформулируем основные свойства квадрата. 1. Все углы квадрата прямые (рис. 53, а). 2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и делят его углы пополам (рис. 53, б). ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 128. Начертите два равных отрезка MN и PQ> не принадлежащие одной прямой и имеющие общую середину О. Пользуясь чертежными инструментами, убедитесь в том, что концы данных отрезков являются вершинами прямоугольника MPNQ. 129. Начертите параллелограмм, две смежные стороны которого равны, и, пользуясь чертежными инструментами, убедитесь в том, что все его стороны равны и диагонали перпендикулярны. 130. Постройте равнобедренный треугольник ABC и точку А{ так, чтобы середина основания ВС совпала с серединой отрезка АА{. Убедитесь в том, что АВАгС — ромб. 131. Начертите окружность и проведите два взаимно перпендикулярных диаметра. Убедитесь в том, что концы этих диаметров являются вершинами квадрата. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 132. Докажите, что параллелограмм является прямоугольником, если: а) один из углов прямой; б) ни один из erg углов не является тупьвд, J64 }М
133. Всегда ли четырехугольник с двумя прямыми углами является прямоугольником? 134. Отрезки АС и BD являются диаметрами одной окружности. Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоугольник. 135. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOD и АОВ — равнобедренные. 136. Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса угла А делит: а) сторону ВС на отрезки, длины которых равны 45,6 см и 7,85 см; б) сторону DC на отрезки, длины которых равны 45,6 см и 7,85 см. 137. Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике все углы прямые, то четырехугольник является прямоугольником. 138. На рисунке 54 изображен прибор, служащий для деления углов пополам. Здесь [А&] = [AD], [ВС] = [DC]. Чтобы разделить угол пополам, рейки АВ и AD устанавливают по направлениям сторон угла, тогда [АЕ] даст направление биссектрисы этого угла. Дайте обоснование построению для случая, когда [АВ] = [AD] = [ВС] = [DC]. 139. В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) меры углов ромба; б) углы между диагоналями и сторонами. 140. Найдите периметр ромба ABCD, если В = 60 , АС = = 10,5 см. 141. Докажите, что если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то параллелограмм — ромб. 142. Докажите, что если в параллелограмме ABCD углы ABD и CBD равны, то параллелограмм является ромбом. 143. Длина диагонали [АС] квадрата ABCD равна 18,4 см. Через вершину А проведена прямая, перпендикулярная АС, которая пересекает прямые ВС и CD соответственно в точках М и N. Найдите длину отрезка МN. №
144. Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом. 145. Достройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам; б) по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между диагоналями. 146. Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали. 147. Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу. § 4. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕЙ ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА И ТРАПЕЦИИ 21. Теорема Фалеса. Докажем теорему Фалеса*. II Теорема. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки. Доказательство. Обозначим через 1г и 72 данные прямые. Если они параллельны, то утверждение теоремы сразу следует из свойства 1° параллелограмма (п. 17): противоположные стороны параллелограмма равны. Поэтому докажем теорему для случая, когда прямые 1Х и Z2 не параллельны. Для определенности предположим, что на прямой 1г отложены четыре равных отрезка AiBl9 В^ц CxDly D1E1 и через их концы проведены параллельные прямые, которые пересекают вторую прямую Z2 соответственно в точках А2> В2> ^2> &2 и Е2 (рис. 55). Докажем, что [А2Б2] = [Б2С2] = [C2Z>2]==[D2£2]. Сначала докажем, что А2В2=В2С2. Проведем через точку В2 вспомогательную прямую Z, параллельную прямой Zx. Она пересекает прямые АХА2 и СХС2 в точках А и С. Четырехугольники AiAB2Bx и В1Б2СС1 являются параллелограммами, поэтому АХВХ = АВ2, В^х = В2С. По условию теоремы AXB± = BxCi> поэтому АВ2 = В2С. Рассмотрим треугольники АА2В2 и СС2В2. Эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников ([АБ2] = = {.В2С~\, /LAB2A2 = ZJCB2C29 как вертикальные углы, /LA2AB2 = /LC2CB2, как накрест лежащие углы при пересе- * Фалес Милетский — древнегреческий ученый (639—548 гг. до н. э.). .166
Рис. 55 Рис. 56 чений параллельных прямых АХА2 и С\С2 секущей I), следова* тельно> [А2Б2] = [В2Са]. Точно так же можно доказать, что [ВъСг] = [C2Z>2], [C2Z>2] = [Z>2#2], поэтому [А2Б2] = [Б2С2] '=* = С<?2£>2] = [D2Et]: Ясно, что тот же способ можно применить и в том случае* Когда на прямой 1г отложены не четыре, а любое число равных отрезков. Теорема доказана. Доказанная теорема Позволяет решить следующую важную задачу на построение с Помощью циркуля и линейки* Задача. Разделить данный отрезок АВ на п равных чй* стей (п — целое число, большее единицы). Решение. Начертим луч АХ, не принадлежащий йряа Мой АВ, и на нем от точки А отложим Последовательно п равных отрезков ААи АгА2, ..., Ап_{Ап (рис. 56), ть е. столько равных отрезков, на сколько частей нужно разделить Данный отрезок АВ. (На рисунке 56 задача решается для п = 7). Проведем прямую АпВ (точка Ап — конец последнего отрезка) й построим прямые, проходящие через точки Аи Аъ ..., An_i и параллельные прямой АпВ. Эти прямые пересекут1 отрезок АВ в точках Бь Б2, ..*, Вп_и которые и Делят отрезок АВ на п. равных частей. Правильность решения следует из теоремы Фалеса* 22. Средняя линия треугольника. Средней линией треугольника называется отрезок* соединяющий середины двух его сторон*, На рисунке 67 изображены средние линии треугольника ABC [MJV]| [NP~\ и [РМ]» Докажем теорему о сред- л р ней линии треугольника. Рис. 67 167
Теорема. Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне, а ее длина равна половине длины этой стороны. Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник, a [AfJV] — средняя линия, соединяющая середины сторон АВ и ВС (рис. 58). Докажем, что ШЮ II 1АС] и MN =-АС. А Проведем через точки В и М прямые Ъ и тп, параллельные Прямой АС. Точка М — середина отрезка АВ, поэтому Согласно теореме Фалеса прямая т проходит через середину N отрезка ВС, т. е. совпадает с прямой MN. Мы доказали, что ШЮ II UCI Для того чтобы доказать вторую Часть теоремы, проведем через точки N и С прямые п и с, параллельные прямой АВ. Точка N — середина отрезка ВС, Поэтому прямая п проходит через середину Р отрезка АС. Так как MNPA — параллелограмм (MN || АР, AM || PN), то MN = АР. Но АР = PC, Поэтому MN = —АС* Теорема доказана* Рассмотрим теорему о точке пересечения медиан треугольника. Теорема» Три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении %:1> считая от вершины. Доказательство. Пусть АВб —• данный треугольник, а £ АА{\ и [ВВ{] — две его медианы, которые пересекаются в некоторой точке О (рис. 59). Проведем среднюю линию АХВГ треугольника ABC и среднюю линию MN треугольника АВО. Отрезки A1Bi и MN параллельны стороне ВА, и их длины равны половине ВА> поэтому АгВ^ = MN и [^BJ || [AfiV]. Отсюда следует, что четырех* угольник AXB^MN — параллелограмм. По свойству параллелограмма ОМ = ОАх и ON = ОВг. По построению ОМ = MA, ON = NB, поэтому AM = МО =s= OAl% BN = N0 — ОВ1л Значит, точка пересечения двух медиан АА^ и ВВ± делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Ясно, что этот вывод справедлив также и для медиан ВВХ и ССХ, поэтому медиана CCj 1иЗ
Оснобание Основание Трапеция Рис. 60 Рабнодедренная трапеция ГГ Прямоугольная трапеция Рис. 61 проходит через точку О и этой точкой делится в отношении 2 : 1, считая от вершины. Теорема доказана. 23, Трапеция. Средняя линия трапеции, Трапецией называется выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами (рис. 60). Трапеция называется равнобедренной, если боковые стороны равны (рис. 61). Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис. 61). Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон. На рисунке 62 отрезок MN —* средняя линия трапеции ABCD. Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме длин оснований. Доказательство. Пусть ABCD — данная трапеция, a [ATJV] — ее средняя линия (рис. 62). Докажем, что 1МЩ || [AD] и MN = ~(AD + ВС). ж' Прямая BN пересекает прямую ВС, поэтому она пересечет также параллельную ей прямую AD в некоторой точке В1# Рассмотрим ABCNk ABxDN. Они равны по второму признаку равенства треугольников ([CJV] = Z.2, как вертикальные углы, Z.3 = Z.4, как накрест лежа^ щие при пересечении параллельных прямых ВС и AD секущей CD). Отсюда следует, что BN = =NBX и DBX = ВС. Отрезок MN является средней линией треугольника АВВХ, поэтому [JVD] цо условию, /Л = Рис. 62 169
согласно теореме п. 22 [AfJV] || IAD'] и MN = — АВг. Так как точка D лежит между точками А и Вг (объясните почему), то АВг = AD + DBX или АВг = AD + ВС, Следовательно, MN = — (AD + ВС). Теорема доказана, ДОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 148. Сторона АВ треугольника ABC разделена на 5 равных частей и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне ВС, которые отсекают на стороне АС пять отрезков. Найдите длину каждого из образовавшихся отрезков, если: а) АС = 25 см; б) АС = 24 см; в) АВ =* = 3 АС = 6 см; г) АВ = 10 см, а АС = 2АВ. 149. Пользуясь циркулем и линейкой, разделите данный отрезок на п равных частей, если: а) п = 3; б) п = 5; в) л = 8; г) и = 10, J.50. На стороне В А угла ABC, градусная мера которого равна 45°, от его вершины отложены 5 равных отрезков и из их концов проведены перпендикуляры к прямой ВС, Найдите длины этих перпендикуляров, если длина наибольшего из них равна 20 см. 151. На рисунке 63 изображены треугольники. Для каждого треугольника определите х, у и 2, если это возможно. 152. Точки Р и Q — середины сторон АВ и АС треугольника ABC. Найдите периметр треугольника ABC, если периметр треугольника APQ равен 21 см. Пользуясь этой задачей, укажите способ для нахождения периметра земельного участка треугольной формы, если одна из его вершин недоступна. 02 А3 17Q
iS3. Сторона АВ треугольника АВб разделена на 4 равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне ВС. Стороны АВ и АС треугольника отсекают на этих параллельных прямых три отрезка. Длина наименьшего из получившихся отрезков равна 3,4. Найдите длины двух других отрезков. 154. Существует ли трапеция, у которой: а) два угла прямые; б) три угла прямые; в) боковая сторона равна одному из оснований; г) три стороны равны; д) четыре стороны равны; е) основания равны? Если трапеция не существует, то объясните почему. 155. Докажите, что углы при каждом основании равнобедренной трапеции равны. 156. Докажите, что если углы при основании трапеции равны, то трапеция равнобедренная. 157. Мера одного из углов равнобедренной трапеции равна 68°. Найдите меры остальных углов трапеции. 158. Найдите меры углов В и D трапеции ABCDH если [ВС] || [AD] и^- 36°, С = 117°. 159. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму равнобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью Покрывающий некоторую часть Плоскости* 160. Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны* 161* Дана трапеция ABCD с большим основанием [AD]» ДиагО- на ль [АС] перпендикулярна боковой стороне CD; Z.JBAC — = ZJCAD. Найдите AD> если периметр трапеции равен 20 см, а 3 = 60°. 162* Длина средней линии трапеции равйа 18 см. Одйа из диа- I гоналей делит ее на отрезки, разность длин которых равна 3 см. Найдите длины оснований трайеций. 163. Отрезки ВС и AD является основаниями трапеции ABCD, a [M7V] — ее средней линией. В каждом из следующих случаев найдите х: a) AD — Ах, MN = 5х, ВС = 12; б) AD = 2х + 1, MN = 10 — 3*, ВС = 2х + 7; в) AD = = Ъх + 1, MN = 4х — 1, ВС =» х + 3. 164* Длины оснований трапеции равны 8 см й 15 см. Найдите длины отрезков, на которое делит среднюю линию каждая из диагоналей. 171
165. Дана равнобедренна^ трапеция ABCD. Основание перпендикуляра, проведенного из вершины В к прямой AD, содержащей большее основание, делит большее основание на отрезки, длины которых равны 3 см и 7 см. Найдите длину средней линии трапеции. 166. Постройте треугольник, если даны середийы его сторон. 167. Постройте треугольник по стороне и медианам, проведенным к двум другим сторонам. 168. Постройте равнобедренную трапецию ABCD: а) по основанию [AD], углу А, боковой стороне АВ; б) по основанию [ВС], боковой стороне АВ и диагонали [2Ш]. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ II 1. Дайте определение четырехугольника. 2. Какие элементы четырехугольника вы знаете? Что называется диагональю четырехугольника? 3. Какой четырехугольник мы называем выпуклым? 4. Что называется углами выпуклого четырехугольника? б. Что мы понимаем под внутренней областью выпуклого четырехугольника? 6. Докажите теорему о сумме углов выпуклого четырехугольника. 7. Дайте определение параллелограмма. 8. Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма. 9. Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. 10* Как доказать, что параллелограмм — выпуклый четырехугольник? 11. Докажите, что в Параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 12. Что мы понимаем под прямоугольником? 13. Докажите, что диагонали прямоугольника равны. 14.. Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм есть прямоугольник. 15. Что мы понимаем под ромбом? 16. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. 17. Что мы понимаем под квадратом? Сформулируйте основные свойства квадрата. 172
18. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса. 19. Начертите отрезок и разделите его на п равных частей (выполните построения для п = 3, 4, 5). 20. Что мы понимаем под средней линией треугольника? Докажите теорему о средней линии треугольника. 21. Сформулируйте теорему о точке пересечения медиан треугольника. 22. Что мы понимаем под трапецией? Как называются стороны трапеции? 23. Что мы понимаем под средней линией трапеции? Сформулируйте и докажите теорему о средней линии трапе* ции. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 169. В выпуклом четырехугольнике MNPQ имеем: М + N — = 180°, М + Q = 180°. Докажите, что этот четырехуголь* ник является параллелограммом. 170. Из произвольной точки основания равнобедренного треугольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырехугольника равен сумме длин боковых сторон данного треугольника. 171. Докажите, что сумма длин двух смежных сторон параллелограмма меньше суммы длин его диагоналей, но больше полусуммы длин диагоналей. I 172. Докажите, что если в параллелограмме ABCD стороны АВ и ВС не равны, то прямые, содержащие биссектрисы противоположных углов, параллельны. 173* .Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне. 174. Что можно сказать о параллелограмме, если биссектриса одного из углов проходит через противоположную вершину? 175. Докажите, что если в параллелограмме ABCD диагональ [BD] меньше диагонали [АС], то Z.5 и /LD —тупые, а Z.4h Z.C — острые. 176. Докажите, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. 173
177. Докажите, что середины стОрой ромба являются вершинами прямоугольника. 178* Докажите, что четырехугольник* вершинами которого являются середины сторОн равнобедренной трапеции, является ромбом. 179* Докажите* что длина медианы прямоугольного треугольника* проведенная к гипотенузе* равна Половине длины гипотенузы. 180* Зная углы неравнобедренного прямоугольного треугольника, найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины Прямого угла. 181. Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноудалена от сторон ромба. 182. На рисунке 64 изображен квадрат ABCD. Докажите, что MNPQ также является квадратом, если [AM] = [ВЩ = - [СР1 = [DQ]. 183* Докажите* что середины сторон квадрата являются вершинами Другого квадрата. 184. Является ли четырехугольник квадратом, если е?о диаго* нали: а) равны и взаимно перйендикулярны; б) взаимно .Перпендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно перпендикулярны и имеют общую середину? 185. Укажите* какие из Следующих утверждений верны дли Параллелограмма, Прямоугольника* ромба* квадрата: а) Противоположные стороны Параллельны; б) противо^ положные стороны равны; в) противоположные углы равны*, г) диагонали взаимно перпендикулярны; д) все угль! Прямые; е) все стороны равны; Ж) диагонали образуют равные углы Со смежными сторонами. 186* Докажите* что из листа бумаги* имеющего форму йроиз* вольного ромба, можно склеить конверт прямоугольной формы (ПриПуски на склеийанив не учитывать)* 187. Отрезок СМ йвляется медианой треугольника ABC. Через точку А проведена прямая, параллельная [МС], которая
пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что [АС] является медианой треугольника ABD. 188. Длина средней линии равнобедренной трапеции ABCD с основаниями [.ВС] и [AD] равна 16 см, &А= 45°. Найдите длины оснований, если перпендикуляр, проведенный из точки В к прямой AD, имеет длину 6 см. 189. Точки А и В расположены в одной полуплоскости с гра- щщей а. Из точек А, В и середины О отрезка АВ провес дены перпендикуляры [AAJ, [ВВ{] ц \_00{] к прямой а. Докажите, что 200г = ААг + ВВг. 190. Докажите, что средняя линия трапеции проходит через середины диагоналей. 191* .Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и его длина рав- #а полуразности длин основанцй, / 175
Глава III ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ, ТЕОРЕМА ПИФАГОРА В этой главе вводится понятие пропорциональных отрезков и дается определение подобных треугольников. Устанавливаются три признака подобия треугольников. В заключение рассматриваются некоторые теоремы о пропорциональных отрезках, в частности теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольнрм треугольнике, и доказывается теорема Дифз* гора. § 1. ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ 24. Отношение отрезков. Мы знаем, что длина отрезка зависит от выбора единицы измерения. Оказывается, однако, что отношение длин двух отрезков зависит только от самих отрезков. | Отношение длин двух отрезков не зависит от выбора еди* I ницы измерения. Пусть ах и bi — длины отрезков АВ и CD при единице измерения \_EF~], Перейдем к новой единице измерения [PQ] и обозначим через а 2 и Ь2 длины тех же отрезков при этой единице измерения. Согласно свойству VII измерения отрезков (VI, п. 9) при переходе от единицы измерения [JEJF] к единице измерения [PQ] длины всех отрезков умножаются на некоторое число ky поэтому а2 = Ьах и b2 = kbx. Отсюда получаем: -^ = —*, или — == -Ь. Эта пропорция показывает, что отношение длин ь2 ъг двух отрезков не зависит от выбора единицы измерения. В дальнейшем для краткости мы будем говорить об отношении двух отрезков, подразумевая под этим число, равное отношению длин этих отрезков, Например, рассмотрим отрезкц т
А К i—i В С D ... i i i i i i i i i i i i i i . i . £ F G Рис. 65 M АВ и CD, изображенные на рисунке 65. Если отрезок АК принят за единицу измерения, то АВ = 3, CD = 8, поэтому отношение отрезков АВ ц CD з АВ з ~ „ АВ равно —, т. е. — = —. Согласно доказанному свойству число — 8 CD о CD завцсит только от самих отрезков АВ и CD и не зависит от выбора единицы измерения. 25. Пропорциональные отрезки. Отрезки АВ и CD называются пропорциональными отрезкам АХВХ и Ci-Di, если = . На рисунке 65 изображено несколько отрезков. Отрезки ВС и АВ ВС АВ 1 пропорциональны отрезкам EF и FG, так как — = — = —, а EF FG 2 те же отрезки ВС и АВ не пропорциональны отрезкам EF и п%, ВС 1 АВ X " ВС , АВ FM, так как — =—, а — = —, следовательно, —¥=—-' ? EF 2 FM 4 EF FM Сформулируем теорему о пропорциональных отрезках, от» секаемых параллельными прямыми на сторонах угла. Теорема. Если стороны угла с вершиной в точке О пересечены параллельными прямыми АВ и MN (рис. 66, а, б)> то отрезки ОМ, ON пропорциональны отрезкам О А, ОВ, т. е. 2» = ™. (1) ОА ОВ Доказательство этой теоремы мы опускаем (см. задачу 295). С л едет вне. Ее ли стороны угла с вершиной в точке О пересечены параллельными прямыми АВ и MN', то отрезки MA, NB пропорциональны отрезкам ОА, ОВ (рис, 66, а и б). Рис. 66 177
Допустим, для определенности., что точка М лежит между точками О и А (рис. 66, а). Тогда из равенства (1) следует, что О А ОМ _OB^_CW MA __ NB ОА~~ОА ~~~ОВ ОВ ОА ~~ ОВ' Отрезки АВ, CD, EJF называются пропорциональными от- „ „ АВ CD EF резкам АгВх, CXDV E±F19 если _=_-—. На рисунке 65 отрезки АВ, ВС, CD пропорциональны отрез* кам FG, FF, £М, тик как — = — = — = -. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 192. Найдите отношение отрезков АВ и CD, если их длины равны соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это Отнот шение, если длины этих отрезков будут даны в миллиметрах? 193. По данным рисунка 67 найдите отношения отрезков; АВ AD DC AC ВС* CD' В А' ВС .4 В CD | 1 1 1 J 10 2 Рис. 67 194. По данным рисунка 68 найдите отношения отрезков; PQ PR PS QR $s' rq' Qn' ps* A BCD 1 1 1 1 1 hi 1 ! 1 1 1 I 1 1 1 1 I I P Q R S I | II I I I J 1,2 см 3/hCM 7mm •HM1 M2 Рис. 68 Рис. № 195. Найдите отношение длин отрезков АВ и CD, если за еди-; рицу измерения принят: а) отрезок ММХ\ б) отрезок ММ2 (рис. 69). А В С Е F JD i1i11 1 i111 111 1|1 I11 J Iiii i iii J I I I L_J 0 ьн-+ M HP Рис. 70 Рис. 71 \ц
196. Пропорциональны ли отрезки, изображенйые на рисун* ке 70: а) АВ, CD и BD, КМ; б) АВ, CD, EF и KM, MN, NP; в) АВ, EF и KN, МЮ 197. На рисунке 71 отрезки АВ и MN параллельны. Перепишите таблицу и заполните в ней пустые клетки: 1 а б в г ОМ 4 2,5 - МА 1 5 7,2 ОА ON 8,1 16,2 3 22,4 NB 3 10 OB 12 10,8 198. На рисунке 71 отрезки АВ и MN параллельны. Перепи шите таблицу и заполните в ней пустые клетки: а 1 б в г д е | Ж ON 8 6 48 3 12 3 ь NB 60 4 ОВ ОМ 7 28 с 12 3 2 МЛ ОА 1 9 45 8 21 6 а 199. В параллелограмме ABCD точки Р и Q Являются сере* динами сторон ЛБ и CZ). Докажите, что прямые BQ и DP делят диагональ [АС] на три равные части. 200. Прямые а и 6 Пересечены Параллельными прямыми ААи ВВи ССх (рис. 72). Докажите* что: ЛЧ АВ А±в± ЛЧ АВ вс й) — = ; о) = * ' ВС BlCl AtBt BXCX 201*» Через точку Ах медианы [AAf] Рис. 72 179
треугольника ABC проведены прямые, параллельные сторонам АВ и АС, которые пересекают сторону ВС в точках Вх и Ci. Докажите, что [АХМ] — медиана треугольника AxBxCi. § 2. ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 26. Определение подобных треугольников. В повседневной жизни встречаются предметы или фигуры, имеющие одну и ту же форму и одинаковые размеры. В этом случае мы говорим, что фигуры равны друг другу. Однако нередко встречаются фигуры одинаковой формы, но разных размеров, например географические карты одного и того же района, выполненные в разных масштабах, фотографии одного и того же предмета, сделанные при разных увеличениях, планы здания, выполненные в разных размерах, и т. д. Такие фигуры называются подобными. Мы начинаем изучение подобных фигур с простейшего случая — подобия треугольников. Пусть ABC и АхВхСх — два треугольника, у которых углы соответственно равны: Z_A = Z-A{> ZLB = Z-Bu ZLC = Z-Ci. В этом случае стороны АВ и A1S1, ВС и ВХС1У С А и СхАг будем называть сходственными. II О пр еде лени е. Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого. Другими словами, треугольники AxBxCi и ABC (рис. 73) называются подобными, если Z-Ax = Z_4, /LBt = Z-B, Z-Cx = ZJC (1) и dA^ML^^iii. (2) АВ ВС СА ' УК6 - / \ В1 Если А АВС со АА&Сц / \ У\ то АА1В1С1оо ААВС А ^ *С А^ ±Cf 180 Рис. 73
Если AABC со AA^iCi, a AAlB1Cl со AA2B2C2, то AABC со AA2B2Cik Рис. 74 Если треугольники A^xCi и ABC подобны, то пишут: Л А1В1С1 оо Л ABC. Рассмотрим простейшие свойства подобных треугольников, которые вытекают из этого определения. 1°. Если два треугольника равны, то они подобны. В част* ности, каждый треугольник подобен самому себе. 2°. Если один треугольник подобен другому, то и второй треугольник подобен первому (рис. 73). 3°. Если первый треугольник подобен второму, а второй третьему, то первый треугольник подобен третьему треугольнику (рис. 74). Подобие двух треугольников АхВхСх и ABC означает выполнение шести равенств (1) и (2). Естественно выяснить, нельзя ли установить подобие двух треугольников, сравнивая меньшее число сторон и углов. Оказывается, что выполнение двух из этих шести условий, выбранных определенным образом, достаточно для того, чтобы треугольники были подобными. Мы укажем три признака подобия треугольников. Предварительно докажем лемму о подобных треугольниках. Леммой называется вспомогательная теорема, которая приводится для того, чтобы с ее помощью доказать следующую теорему или группу теорем. II Лемма. Прямая, параллельная какой-либо стороне треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает от треугольника подобный ему треугольник. Доказательство. Пусть ABC — данный треуголЬ* ник, a MN — прямая, параллельная стороне ВС (рис. 75). До* 181
6 с В А? О, 4, Рис. 76 кажем, что Л AMN со А АВС. Углы треугольника AMN соответственно равны углам треугольника АВС: угол А у них общий, /Л— Z.2h Z.3 = Z.4, как соответственные углы при пересечении параллельных прямых MN и ВС секущими. Докажем, что соответственные стороны треугольников AMN AM AN и ABC пропорциональны. Пропорция — = — следует из тео- АВ АС ремы о пропорциональных отрезках (п. 25). Докажем, что MN AN 'ас' = . Так как MBKN—параллелограмм, то KB—NM, йоэ* л NA NM n AM тому — = * Значит, — СА СВ АВ т?. е. соответственные — —» Для этого проведем через точку N прямую NIC, парал* ВС лельнуЮ отрезку АВ. Применяя Следствие из теоремы йункта 25 К углу АСВ и параллельным прямым NK и АВ> получаем! NA _ КВ^ СА СВ MN _NA ВС ~~ С А ' стороны треугольников AMN и АВС пропорциональны. Лемма доказана. 27» Первый признак подобия треугольников. Теорема. Если два угла одного треугольника соответствен* но равны двум углам другого, то треугольники подобны ** Доказательство. Пусть A^B-fix и АВС -*- два тре^ угольника, у которых Z-A± = Z-A, /LBX = Z-B. Докажем, что Д А1В1С1 оо Д АВС (рис. 76). Отложим на луче АВ от точки А отрезок АВ2, равный отрезку АхВи и через точку В2 проведем * Если данные треугольники равны, то утверждение тебремы Сразу следует из свойства 1°, п. 26, поэтому при доказательстве данного признака, а также двух других признаков подобия треугольников будем предполагать, что данные треугольники не равны. 182
прямую, параллельную прямой ВС. Эта прямая пересечет луч г\/\ ci АС в некоторой точке С2. Треугольники АХВХСХ и АВ2С2 равны по второму признаку равен- А * v ¥(«R\ (( лв А/ ^ ¥(( лВ1 ства треугольников ([AxSj = — [АБ2] по построению, Z^AX= Рис# 77 = Z.4 по условию и /~В± = = Z.-B2, так как Z_i?i = Z-Б по условию и Z_5 = Z_52, как соответственные углы). Следовательно, АА1В1С1 оо ААВ2С.г. Но по лемме о подобных треугольниках ААВ2С2 ^ ААВС, Из свойства 3° подобных треугольников (п. 26) следует, что Л АХВХСХ ^° А АВС. Теорема доказана. 28. Второй признак подобия треугольников. Т е орем а. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то треугольники подобны. Доказательство. Пусть в треугольниках А1В1С1 А В АС и АВС дано: /_Аг = Z.A, -^-^ = —±-±. Докажем, что Л A^-fix °° АВ АС оо ААВС (рис. 77). На луче АВ от его начала отложим отрезок АВ2, равный отрезку АгВи и через точку В2 проведем прямую, параллельную прямой ВС. Эта прямая пересечет луч АС в некоторой точке С2. Докажем, что AA1BiC1 = ААВ2С2. По лемме о подобных АВ АС треугольниках ААВ2С2 <v ААВС, поэтому —2 =—?. Сравним АН лС А В АС эту пропорцию с данной пропорцией -±-± = -1-1-. Так как по АН А\у построению АВ2 — А1В1, то левые части этих пропорций равны, поэтому -—- = -L-1-. Отсюда следует, что AXCL=AC2. Итак, А1В1 == = АВ2, AiCx = АС2, /-Ах = Z. Л, поэтому АА1В1С1 = ААВ2С2. Мы пришли к выводу, что AAiBiCx <v> ЛАВ2С2 и ЛАВ2С2со со Д АБС, поэтому AAxBxC-i <v> ЛАБС. Теорема доказана. 29. Третий признак подобия треугольников. Теорема. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то треугольники подобны. m
Доказательство. Пусть АХВХСХ и ABC—два треугольника, сто- АгВх роны которых пропорциональны—-—= АВ BlCl С±АХ 5в? — = . Докажем, что ВС С А АА1В1СХ оо ААВС. На луче АВ от его начала отложим отрезок АВ2, равный отрезку АХВЪ и через точку В2 проведем прямую, параллельную прямой ВС, Эта прямая пересечет луч АС в некоторой точке С2 (рис. 78). Докажем, что АА1В1С1 = ААВ2С2. По лемме о подобных треугольниках ААВ2С2 со ААВС, поэтому АВ2 АВ в2с2 ВС СА Сравним эти пропорции с данными пропорциями: АЛВ* ВуСл ОлАл = ——- — -L~i-, Так как по построению А1В1= АВ = АВ2, то А,В± ЛВ2 АВ поэтому - ВС СА В2С2 С±Аг ВС * С А С2А = ♦ Из этих равенств АВ АВ ' ВС ВС ' СА СА следует, что В1С1 — В2С2, СХАХ = С2А. Таким образом, треугольники AxBxCi и АВ2С2 равны по трем сторонам. Мы пришли к выводу, что АА1В1С1 со ААВ2С% и ААВ2С2 со ААВС% поэтому ААХВХСХ со ААВС. Теорема доказана. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 202.- С помощью масштабной линейки и транспортира начертите два треугольника ABC и KMN так, чтобы АВ = 2 см, А = 72°, В = 45°, М = 6м, М = 72°, К = 45°. Измерьте длины сторон треугольников с точностью до 1 мм и градусные меры углов С и N. Убедитесь в том, что эти треугольники подобны. 203. Запишите подобие треугольников, построенных в задаче 202, с помощью символа оо. Запишите также пропорциональность их сторон. 204. Начертите два прямоугольных треугольника ABC и MNK так, чтобы А = К = 90°, В = М. С помощью масштабной линейки и транспортира измерьте остальные элементы треугольников и установите, что эти треугольники подобны. Запишите пропорциональность сторон. 205. С помощью масштабной линейки и транспортира начер- тите два треугольника ABC и АХВХСХ так, чтобы А = 110°, АВ = 3 см, АС = 5 см, *Аг = 110°, АХВХ = 6 см, АХСХ = 184
= lb см. С помощью тез£ же инструментов найдите Б, С* Slf С1? ВС и БхСх и установите, что ААВС <v> ДАх-ВхСх. 206. При помощи чертежного треугольника и масштабной ли* нейки начертите два прямоугольных треугольника: один — с катетами 2 см и 5 см, а другой — с катетами 4 см и 10 см. С помощью транспортира измерьте острые углы треугольников и сравните их. Измерьте также гипотенузы треугольников и выясните, являются ли построенные тре* угольники подобными. 207* С помощью циркуля и масштабной линейки навертите два треугольника ABC и А^Сх так, чтобы АВ = 2,5 см, ВС = 3,5 см, С А = 5 см, АгВ± = 5 jbnl, J5xCx = 7 см, СгАх — 10 см* Измерьте градусные меры углов этих треугольников и выясните, являются ли они подобными треугольниками. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 208* На рисунке 79, а* б* в, г изображены пары треугольников. Назовите пары подобных треугольников и запишите Подобие с помощью символа оо. В каждом случае дайте обоснование ответу* 209. Треугольник ABC подобен треугольнику А^Сх. Найдите длины сторон Треугольника АХВХС1% если АВ = 4 см, Рис. 79 185
2iO. На рисунке 80 Z.1 = Z.2. Перепишите таблицу и заполните пустые клетки: а б в АС 4 9 AD 8 5 CD 12 10 15 BE 18 12 BD 4 14 DE 15 1 211. На рисунке 81 ВС \\DE, Вычислите: а) АС, если СЕ = 10 см; AD = 22 см; BZ) = 8 см; б) BD и DE, если AS=10 см; АС =8 см; ВС = 4 см; С£=4 см; в) БС, если АВ : BD=2 : 1 и D£ = 12 см. 212. На рисунке 82 АС\\АХСХ и /Л = = Z.2. Докажите, что: а) ЛАБС <v> AAxBtCxi б) АБ • АХСХ = АА • АС» 213* По данным рисунка 83 найдите Л\ 214. На рисунке 84 изображен параллелограмм ABCD, Вычислите DF и FBy если DE = 8 см, ЕС =4 см, Б£> = 10 см» 215. На рисунке 85 изображен. йарал* лелограмм ABCD. а) Вычислите EF и FC, если DE = 8 см> ЕС =4 см, БС=7 см, АЕ = 10 см; б) вычислите Z>£ и £С, если АВ= 8 см, AZ) = 5 см, CF = 2 см. 216. Диагонали трапеции ABCD с основаниями [АБ] и [CD] пересекают* ся в точке О. Найдите: а) АВ> если ОВ — 4 см; OD = 10 см; DC — 25 см; б) —- и , если ОС OD АВ *= а> DC = Ь. М Рис. 83 186
j^r 217* .Длины оснований трапеции ABCD равны а и Ь. Найдите длину отрезка с концами на боковых сторонах трапеции, если этот отре- лг >^ зок параллелен основаниям и проходит через точку пересечения диагоналей. 218. Подобны ли равнобедренные треугольники, если они имеют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу; в) по прямому углу? 219. На одной из сторон данного угла А отложены отрезки АВ = 5 см, АС = 16 см. На другой стороне этого же угла отложены отрезки AD = 8 см и AF = 10 см. Будут ли подобны треугольники ACD и AFB? Дайте обоснование ответу. 220. Подобны ли два треугольника ABC и АХВХСЪ если: а) АВ = = 3 см, ВС = 5 см, С А = 7 см, АХВ± = 4,5 см, ВХСХ = = 7,5 см, СхАг = 10,5 см; б) АВ = 1,7 см, ВС = 3 см, С А =4,2 см, АХВХ = 34 дм, ВХСХ = 60 дм, СХАХ = = 84 дм? 221. Докажите, что два равносторонних треугольника подобны. 222. Докажите, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоуголь* ного треугольника, то треугольники подобны. 223. Докажите, что если катеты одного прямоугольного треугольника пропорциональны катетам другого, то треугольники подобны. 224. Пусть [-A-AJ, [ВВ{\% [СС{\ — высоты треугольника АВСЧ , Докажите, что АВ _ АА± ВС_ _ BBi С А _ СС1 СВ "" СС1 ' АС ~~ AAi ВА ~ ВВ± § 3. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА 30. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Применим доказанные в предыдущем параграфе теоремы для установления некоторых соотношений в прямоугольном треугольнике. 187
Теорема. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, разделяет треугольник на два подобных друг другу прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен исходному треугольнику. Доказательство. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, a [CD~\ — высота, проведенная из вершины С к гипотенузе [АБ] (рис.86). Требуется доказать: ААВС со AACD, ААВС сч> ACBD, AACDoo со ACBD. Треугольники ABC и ACD подобны по первому признаку подобия треугольников (/-А общий, ZJC = ZJD). Точно так же треугольники ABC и CBD подобны (21Б общий и ZJC = ZJD). Из соотношений ААВС го AACD, ААВС со оо ACBD следует, что AACD oo ACBD. Теорема доказана. Отрезок XY называется средним пропорциональным между АВ XY отрезками АВ и CD9 если выполняется равенство —=—, XY CD е. XY = У АВ • CD. Следствие 1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза высотой. Действительно, согласно предыдущей теореме AADC го ** ACDB (рис. 86), поэтому -*— = —. * CD DB Следствие 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключенным между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. В самом деле, согласно предыдущей теореме ААВС со AACD АВ АС (рис. 86), поэтому —=—. 31. Теорема Пифагора. Рассмотренные в предыдущем пункте свойства прямоугольных треугольников позволяют установить замечательное соотношение между длинами гипотенузы и ка- Щ
тетов прямоугольного треугольника. Оно было впервые найдено древнегреческим ученым Пифагором (VI в. до н. э.). Теорема, которую мы сейчас докажем, называется теоремой Пифагора. II Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат длины [J гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Доказательство. Пусть ABC — данный прямоугольный треугольник, a [CD] — высота, проведенная из вершины прямого угла С к гипотенузе (рис. 86). Согласно след- 0 о AD AC BD ВС ствию 2 предыдущей теоремы имеем: — = —, — = —, АС АВ ВС АВ или АС2 = AD • АВ и ВС2 = BD • АВ. Складывая эти равенства почленно и учитывая, что точка D лежит между точками А и В9 получаем: АС2 + ВС2 = AD • АВ + BD • АВ = (AD + BD) • АВ=АВ2. Теорема доказана. 32. Обратная теорема. Справедлива теорема, обратная теореме Пифагора. || Теорема. Если в треугольнике ABC квадрат длины стороны АВ равен сумме квадратов длин двух других сторон, то Л треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине С. Эту теорему докажите самостоятельно. Постройте вспомога тельный прямоугольный треугольник AiBxCi так, чтобы его катеты [АгС{] и [СХВ{] были соответственно равны [АС] и [СВ^у и докажите, что ААВС = AAiBxCx (см. задачу 249). Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами, длины которых равны 3, 4 и 5, является прямоугольным. Действительно, З2 + 42 = 52. Прямоугольными треугольниками являются также треугольники со сторонами 5, 12, 13, или 8, 15, 17, или 7, 24, 25 (объясните почему). Прямоугольные треугольники, у которых длины сторон выражаются целыми числами, называются пифагоровыми треугольниками. Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 часто называют египетским треугольником, так как он был известен еще древним египтянам. Для построения прямых углов египтяне пользовались следующим способом: на веревке определенной длины делали метки, делящие ее на 12 равных частей, связывали ее концы и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника с длинами сторон 3, 4 и 5. Тогда угол между сторонами, длины которых равны 3 и 4, оказывался прямым. №
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ При решении задач 225—233 на зависимость между элементами прямоугольного треугольника ABC с прямым углом при вершине С будем пользоваться следующими обозначениями (рис. 87): ВС = а, АВ = с, АС = Ь, СН = ft, АЯ = Ь„ ЯВ Здесь [СЯ] — высота треугольника, проведенная из вершины прямого угла С. 225. Найдите А, а и Ь, если: а) Ьс = 25, ас = 16; б) Ьс = 36, а, = 64; в) Ъс 3, а. 9. 226. Найдите а, с и ас, если b = 12^ bc = 6. 227. Найдите b, си bc, если а = 8, ас = 4. 228. Найдите ft, b, ас и Ьс, если а = 6, с = 9. Выразите а. и Ьс через а, Ь и с. 229. 230. 231. 232. аЬ Докажите, что А = —, А2 а. Ь„ Найдите с, если: а) а = 5, Ъ = 6; б) а = 6, b = 8; в)а = —, 7 Ъ = -1; г) а = 8, Ъ = 8уТП Найдите Ь, если: а) а = 3, с = 5; б) а = 12, с = 13; в) а = 7, с = 9; г) а = Ъ + 3, с = 15; д) а = 12, с = = 2Ь; е) а = 2]/3, с = 2Ь. а2 &2 233. Докажите, что — = —. <*с Ъс 234. Найдите длину высоты равностороннего треугольника ABC, если: а) АВ = 12; б) АВ = 4 j/"3; в) АБ = 1. 235. Найдите длину высоты равностороннего треугольника, если длина его стороны равна а. 236. Докажите, что длина катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 60°, равна с/з , где с ■ 237, 238. длина гипотенузы. Докажите, что длина гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника равна а|/2, где а — длина катета. Пользуясь теоремой Пифагора докажите, что два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет 190
одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого. 239. Пусть М — произвольная точка высоты \_АН~\ треугольника ABC. Докажите, что АС2 — АВ2 = СМ2 — ВМ2. 240. Определите высоты треугольника, если длины сторон равны 9, 12, 15. 241^ Пусть ABCD — прямоугольник, а) Найдите AD, если АВ = 5, АС = 13; б) найдите ВС, если CD = -, АС = 2 = —; в) найдите CD, если BD = 17, ВС = 15. 242* Найдите длину диагонали квадрата, если сторона имее* длину: а) 5 ]/~2; б) 6 ]/~2. 243. Найдите длину стороны квадрата, если диагональ имеет длину: а) 11; б) 6 ]/~2. 244. Пусть MNPQ — ромб, а) Найдите M2V, если MP = 10, iVQ = 24; б) найдите QN, если MP = 12, MiV = 10; в) найдите MP, если NP = 28, QiV = 14 }/"2. 245» Докажите, что если Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AD2 + БС2 = АВ2 + CD2. 246. Докажите, что разность квадратов длин диагоналей прямоугольной трапеции равна разности квадратов длин ее основайий. 247. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой. Найдите длину этой диагонали, если Периметр параллелограмма равен 50 см, а разность длин смежных сторон равна 1 см. 248. Отрезок MN является средней линией равнобедренной трапеции ABCD с основаниями \_АВ] и [CD]. Найдите АС и ADy если MN = 16, h = 12, АВ . CD =* 3 : 5. Здесь h — высота трапеции. 249* Докажите, что если в треугольнике ABC АВ2 — ВС2 + + С А2, то треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при вершине С. 250. Выясните, являются ли треугольники прямоугольными, если длины их сторон равны числам: а) 6, 8, 10; б) 5, 6, 7; в) 9, 12, 15; г) 10, 24, 26; д) 3, 4, 6; е) 11, 9, 13; ж) 15, 20, 25. 191
§ 4. ВАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ» СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ ТРЕУГОЛЬНИКА 33. Построение пропорциональных отрезков. Рассмотрим задачу построения так называемого четвертого пропорционального отрезка По трем данным. Пусть [А1Б1]> \_А2В2~]> [А3В3] *— Данные отрезки. Отрезок XY, удовлетворяющий условию: —^—^ = А2В2 XY называется четвертым пропорциональным к трем данным. Задала. Построить четвертый пропорциональный отрезок к трем данным отрезкам АхБх, А2В2 и А3В3. Решение. Построим произвольный ZLO> йа одной стороне которого о* его начала отложим последовательно отрез* Ки О А'и AM 9 равные соответственно отрезкам АхВ^ и А2В2> а на другой стороне отрезок ОБ, равный отрезку А3В3 (рис. 88). Затем Проводим прямую АВ и строим прямую MX, проходящую через точку М и параллельную прямой АВ. Полученный отрезок ВХ будет искомым» так как согласно следствию из теоремы о Пропорциональных отрезках, отсекаемых параллель* ■ *. / пел 0А ов А.В* АЙВ» изыми прямыми на сторонах угла (п. 25), —- =— или _i-L = -»_s.. F * К AM ВХ А2В2 ВХ Рассмотрим ^задачу деления отрезка На два отрезка, про* Порциональные данным отрезкам. Задача. Даны три отрезка ОА> PiQt и P2Q2. Разделить отрезок О А на два отрезка ОХ и ХА, пропорциональные отрезкам PxQx и P2Q2. Решение* Построим произвольный луч h с началом в точке О и на этом луче от то^ки О отложим последовательно отрезки ОВ и ВСЬ равные отрезкам PiQi и P2Q2 (рис. 89). Затем Аг н*. Рис. 88 НЛ, 192
проведем прямую АС и прямую, проходящую через точку Ё параллельно прямой АС. Эта прямая пересечет отрезок ОА в искомой точке X. Действительно, согласно следствию из тео* ремы о пропорциональных отрезках» отсекаемых параллель- ХА ВС ОХ ХА ными Прямыми на сторонах угла, — =—. Отсюда — = — ОХ ОВ ОВ ВС ОХ ХА или PiQi P2Q2 34. Свойство биссектрисы треугольника. Теорема. Биссектриса треугольника при Любой вершине делит противоположную сторону на Отрезки, пропорциональ* ные прилежащим сторонам треугольника. Доказательство. Пусть ABC — данный треуголь* ник, a [AD] — биссектриса При вершине А. Требуется дока* BD DC зать, что = — (рис. 90). Проведем через точку С прямую» АВ АС параллельную отрезку AD. Она пересечет прямую АВ в неко* торой точке Е. Так как AD \\ СЕ, то углы, отмеченные нари* сунке цифрами, удовлетворяют равенствам: Z.1 = Z.4, /L2 = = Z.3. Но ZL1 = ZL2, так как [AD] — биссектриса треугольника ABC при вершине А, Поэтому Z.3 = Z_4. Отсюда следует» что треугольник АСЕ равнобедренный, поэтому \_АС] = [АЕ]. Согласно следствию из Теоремы о пропорциональных отрез* ках» отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла (й. 25), — = — или — = —. Теорема доказана. BD BA АВ АС 35» Задачи на построение. Подобие треугольников Можея быть использовано для решения многих задач на построение. На этом основан так называемый метод подобия. Он состоит в следующем. На основании некоторых данных задачи сначала строят треугольник» подобный искомому, а затем, используя остальные данные, строят искомый Треугольник. Рассмотрим пример. Задача. Построить треугольник, два угла которого соответствен* но равны двум данным углам, а биссектриса при вершине третьего угла — данному отрезку. л Рис. 90 ' / / ^ / \j/ штиУ 7 Заказ 54 193
Рис. 91 Дано: ZJiJz^ ZJt2k2 и [PQ] (рис. 91, а). Построить: ААВС так, чтобы /LA = Z. h-Jil4 А.В = ZJt2k2, [CD] = [PQ], где [CD] — биссектриса треугольника. Анализ. Отбросим на время условие, что [CD] = [PQ]. Тогда можно построить бесконечно много треугольников, удовлетворяющих двум другим условиям задачи. Ясно, что все эти треугольники подобны искомому. Поэтому, построив по двум данным углам один из этих треугольников и используя условие [CD] — [PQ], легко построить искомый треугольник. Построение. 1. Построим вспомогательный треугольник АгВгС так, чтобы Z-Aj. = Z-h±ku /LBX = /Lh2k2. Для этого начертим произвольный отрезок АХВХ и построим ААхВхС по стороне и двум прилежащим углам (рис. 91, б). 2» Построим биссектрису [СМ] угла AXCBV. 3. Отложим на луче СМ от его начала отрезок CD, равный отрезку PQ. 4. Через точку D проведем прямую, параллельную прямой AiBu которая пересечет стороны угла АгСВг в точках А и В. Треугольник ABC искомый. Доказательство. Так как AtBx \\ AB, то Z-A =* = /LAt — /Lhiku /LB = ZJ*i = Z~h2k2. По построению [CD] — биссектриса треугольника ABC и [CD] — [PQ]. Исследование. Если hjtx + h2k2 < 180°, то Можно Построить бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условиям задачи* Все эти треугольники равны друг другу, поэтому Принято говорить> что задача имеет одно решение (см. VI, п. 54, замечание). Если hxki + h2k2 ^180 , то задача не имеет решений. 194
ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 251. На прямой отметьте точки -А, В и С. Постройте четвертый пропорциональный отрезок к отрезкам АВ, ВС и АС. 252. Даны отрезки АХВ±, А2В2, А3В3. Постройте отрезок XY, удовлетворяющий условию: а)-^—^- = -^-^; Рис. 92 ' А^х XY XY А3В3 XY 253. Данный отрезок . АВ разделите в отношении 2 : 5. Решение. Строим произвольный луч А с началом в точке А и на этом луче от точки А последовательно откладываем 2 + 5, т. е. семь равных отрезков, как указано на рисунке 92. Затем проводим прямую а, проходящую через точку с отметкой 7 и точку В. Через точку с отметкой 2 проводим прямую, параллельную прямой а, которая пересекает отрезок АВ в искомой точке X. Правильность построения вытекает из следствия теоремы о пропорциональных отрезках, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла. 254. Данный отрезок АВ разделите в отношении: а) 3:5; б) 3 : 4; в) 1 : 10. AM 255. Точка М делит отрезок АВ в отношении 2 : 3, т. ё. — =* MB 2 „ „ AM BM = —. Найдите отношения — и . 3 АВ АВ 256. Даны отрезок MN и два других отрезка АВ и CD. Разделите отрезок MN в отношении —. CD 257*.На прямой а точка С лежит между точками А и В. Постройте точку D этой прямой, не принадлежащую DAB], л АВ АС так, чтобы — = —. DB СВ 258. Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC. Найдите BD и DC, если АВ = 14 см, ВС =20 см, АС =21 см. 259. Биссектриса [AD] треугольника ABC делит сторону ВС на отрезки CD и BZ), длины которых равны 4,5 см и 13,5 см. Найдите АВ и АС, если периметр треугольника ABC равен 42 см. 7* 195
260. Отрезок AD является биссектрисой треугольника ABC. Вычислите DC, если АВ = 30, BD = 20, AD = 16 и 261. [AAJ, {.ВВ{\, [СС{\ — биссектрисы треугольника ABC. ^ АХВ BJC С±А л Докажите, что -J— • -^- • -±- = 1. ^ АХС ВХА СХБ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ 262. Даны ZJik и отрезки PxQl9 Р2©2» ^зФз» ^в^ Постройте треугольник ABC, если: а) Z.A = Z.**, т£ = Йг, [AS] = ^рз«з]; б) л a =^.ft*, ^ = £&-, [ВС] = [P3Q3]; AC P2Q2 263. Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отношению катетов. 264. Даны отрезки PiQi, -P2Q2» ^зФз- Постройте ромб ABCD, если: а) г " г&-[АВ] - "■'«б) г- 5а •СВВ] - СР°ад 265*.Постройте точку, принадлежащую большему основанию равнобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой стороны в п раз дальше, чем от другой (п = 2, 3, 4). 266. Постройте трапецию по боковой стороне, большему основанию, углу между ними и отношению двух других сторон. § 5. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 36. Пропорциональный циркуль. На свойствах подобных треугольников основан принцип действия прибора, называемого пропорциональным циркулем (рис. 93, а). Он предназначен для деления данного отрезка на несколько равных частей. Пропор- 196
циональный циркуль состоит из двух одинаковых ножек с заостренными концами и подвижного винта, скрепляющего ножки друг с другом. Винт можно передвигать по прорезям, сделанным вдоль ножек, и закреплять в том или ином положении. Вследствие этого размеры плеч ножек могут изменяться. По краям прорезей имеются деления с цифрами, по которым можно установить нужные размеры плеч ножек. Предположим, что требуется разделить отрезок АВ на пять равных частей (рис. 93, б). Для этого с помощью делений с цифрами по краям прорезей винт О ук- АО во =5. репляют так, чтобы АгО В^О Ножки циркуля совмещают с концами данного отрезка. Тогда расстояние между ножками Ах и Вх будет равно —АВ, так как А АО В го б съААхОВх. Поворачивая циркуль другой стороной, на луче АВ от точки А откладывают отрезок АхВг пять раз. 37. Поперечный масштаб. На свойствах подобных треугольников основан также прибор, называемый поперечным масштабом (рис. 94). „Он предназначен для более точных измерений расстояний между точками по карте или плану. На стороне АВ прямоугольника ABCD откладывают отрезки, принятые за единицу измерения, и через точки деления проводят прямые, параллельные другой стороне. Левый крайний отрезок (на рисунке 94 отрезок О А) делят на 10 равных частей, что позволяет измерять отрезки с точностью до десятых долей принятой единицы измерения. Чтобы измерять отрезки с ш
J) 98765*321 точностью до сотых долей принятой единицы, строят прямоугольник OADK, боковую сторону AD делят на 10 равных частей и через точки деления проводят прямые, параллельные стороне АВ. Затем сторону DK делят на десять равных частей и точки деления соединяют с точками деления отрезка ОА так, как показано на рисунке 94. Мы видим, что каждая точка деления отрезка ОА соединяется с той точкой деления отрезка DK, которая сдвинута на одно деление вправо. В треугольнике ОЕК отрезки, параллельные стороне ОЕ, определяют девять треугольников, подобных треугольнику ОЕК. На рисунке 95, где изображен АОЕК в увеличенном масштабе, этими треугольниками будут ОхЕхКу 02Е2К, 03Е3К и т. д. Ясно, что длины отрезков EiOu E202t ..., Ед09 1 2 равны соответственно —, —, 100 юо' — единицы измерения. 100 Используется поперечный масштаб следующим образом. Раствор циркуля, равный измеряемому отрезку, накладывают так, чтобы острия обеих ножек находились на одной горизонтали. При этом одно острие должно совпадать с точкой пересечения горизонтали с вертикалью правее отрезка ОК9 а другое — на той же горизонтали левее отрезка ОК. Пусть, например, одно острие циркуля совпало с точкой Ри а другое — с точкой Qi (рис. 94), тогда ясно, что PXQX = Р±М± + M1N1 + + NXQX. Но РхМъ = 2, NXQX = 0,4, M1N1 = 0,08, поэтому PXQX = 2 + 0,4 + 0,08 = 2,48. Точно так же, если одно острие циркуля совпало с точкой Р2, а другое с точкой Q2, то P2Q2 = « Р2М2 + M2N2 + N2Q2 = 1 + 0,7 + 0,02 = 1,72. 38. Измерительные работы на местности. Свойства подобных треугольников могут быть использованы для проведения различных измерительных работ на местности. Мы рассмотрим две 198
ч Ег Е>Г Ч Е*Г Е'Г £>Г Е,\- Е*\- £<— 0, Ог о3 Я Os 0, 0, 0, 0» 0 Рис. 95 Рис. 96 Рис. 97 задачи: определение высоты предмета и измерение расстояния до недоступной точки. а) Определение высоты предмета. Предположим, что нам нужно определить высоту какого-нибудь предмета, например высоту телеграфного столба, изображенного на рисунке 96. Для этого поставим на некотором расстоянии от основания С{ столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку А± столба, как показано на рисунке. Отметим на поверхности земли точку В, являющуюся точкой пересечения ААХ с поверхностью земли. Ясно, что точка В лежит на прямой ССг. Получаются прямоугольные треугольники АХСХВ и АСВ, которые подобны по первому признаку подобия треугольников (ZjC± = Z.C, как прямые углы, /LB А С ВС общий). Из подобия треугольников следует -^-^ =—^, или АС ВС ACl = 4£_^. 1 г вс Измерив расстояния ВСг и ВС и зная длину АС шеста, по Полученной формуле легко определить высоту АгСх телеграфного столба. Если, например, СгВ = 21 м, СВ = 2,1 м, АС ^ 1,7 • 21 = 1,7 м, то АгСг 2,1 17 м. б) Определение расстояния до недоступной точки. Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В (рис. 97). Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его (VI, п. 4). Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С (VI, п. 17). На листе бумаги по данным углам (£АХ = /..А, /LCX = /LC) строим какой-нибудь треугольник А^Си подоб- 199
ный треугольнику ABC, и на чертеже измеряем длины стброн АхВх и А1С1 этого треугольника. Так как ААВС ^ AAjifix* то АВ АС лту АС • А.В, = 9 поэтому АВ = i-i, По известным расстояниям АС, АхСг и AxSi находим расстояние АВ. Для упрощения вычислений рекомендуется AA±BiCx строить в масштабе 0,001, т. е. если, например, АС = 130 м, то АС A\Ci удобно брать равным 130 мм. В этом случае АВ = — х X АХВХ = 1000А1Б1, поэтому, измерив расстояние АгВх в мил* лиметрах, мы сразу получаем расстояние АВ в метрах. Пример. Пусть АС А ■ 73°, сГ= 58° На 130 м, бумаге строим ААхВхСх так, чтобы Ах = 73°, Сг = 58°, А^ = = 130 мм. На чертеже измеряем отрезок AxBi. Если этот отрезок равен, например, 153 мм, то искомое расстояние равно 153 м, так как АВ = 1000 • 153 мм = 153 000 мм = 153 м. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 267. Для определения высоты столба А^С^ изображенного На рисунке 96, использован шест с вращающейся планкой. Чему равна высота столба, если ВСг =6,3 м, ВС — = 3,4 м» АС = 1,7 м? 268. Длина тени дерева равна 10,2 м* а Длина тени человек ка, рост которого 1,7 м, равна 2,5 мь Найдите высоту дерева. 269. Для определения высоты дерева Мойшо исйользовать зеркало так, как показано на рисунке 98. Определите высоту дерева, если АС = 165 см, ВС = 12 см, AD = *= 120 см, DE = 4,8 м, /Л = ZL2* А зеркало Рис. 98 Рис. 99 200
987S5U3Z 1 МММ! И \\с\\ W м и ////// L в F В О Ю 20 Рис. 100 270. Для определения расстояния от точки А до недоступной точки В на местности выбирают точку С и определяют АС, А и С, Затем строят на бумаге UAxBxCx со AABC. Вычислите АВ, если АС = 42 м, АгСг = 6,3 см, AiBx =* = 7,2 см. 271. На рисунке 99 показано, как можно определить ширину ВВг реки, рассматривая два подобных треугольника ABC и АВХСХ. Определите BBlt если АС = 100 м, АСХ = 32 м, A£i = 34 м. 272. На рисунке 100 изображен поперечный масштаб с сантиметровыми делениями, По этому рисунку найдите длины отрезков АВУ CD, EF, KL с точностью до 0,1 мм. 273. В каждом из следующих случаев объясните, как можно выполнить построение, пользуясь^пропорциональным циркулем, а) Данный отрезок разделите на три равные части, б) Постройте отрезок, длина которого в 3 раза больше длины данного отрезка. 274. Пользуясь пропорциональным циркулем, на данном от* резке АВ постройте точ^у М так, чтобы =—. Объяст мв з ните, как это можно сделать. 275. Пользуясь пропорциональным циркулем, можно постро? ить треугольник АхВ^С^ подобный данному треугольнику АВ ABC, так, чтобы = 4. Объясните, как это сделать, ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ Ц1 1. Докажите, что отношение длин двух отрезков не зависит от выбора единицы измерения. Что мы понимаем под от* ношением двух отрезков? 201
2. Какие отрезки называются пропорциональными? 3. Сформулируйте теорему о пропорциональных отрезках, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла, 4. Сформулируйте и докажите следствие из теоремы о про- порциональных отрезках, отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла. 5. Дайте определение подобных треугольников. 6. Сформулируйте простейшие свойства подобных треугольников. 7. Сформулируйте и докажите лемму о подобных треугольниках. 8. Сформулируйте и докажите первый признак подобия треугольников. 9. Сформулируйте и докажите второй признак подобия треугольников. 10. Сформулируйте третий признак подобия треугольников. J1. Сформулируйте и докажите теорему о том, что высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники. 12. Сформулируйте и докажите предложения о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. 13. Сформулируйте и докажите теорему Пифагора. 14. Сформулируйте теорему, обратную теореме Пифагора. 15. Какие треугольники называются пифагоровыми? Приведите примеры пифагоровых треугольников» 16. Начертите три отрезка АВ, CD и EF. Постройте с помощью циркуля и линейки четвертый пропорциональный отрезок к отрезкам АВ, CD и EF. 17. Начертите отрезок АВ и разделите его на два отрезка, пропорциональные данным отрезкам. 18. Начертите отрезок О А и с помощью циркуля и линейки разделите его в данном отношении — (выполните построе- п т 3 1 б\ ния для —, равного —, — и — . п 2 2 7/ 19. Сформулируйте и докажите теорему о свойстве биссектрисы треугольника. 20. Дайте описание пропорционального циркуля и объясните, как он используется, ?0?
21. Дайте описание поперечного масштаба и объясните, как он используется. 22. Опишите, как определить высоту предмета на местности. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 276. Докажите, что два любых прямоугольных равнобедренных треугольника подобны. 277. Дан ААВС, АВ = 8 см, ВС = 9 см, АС = 10 см. Через точку Р стороны АВ проведена прямая, параллельная стороне АС (рис. 101), которая пересекает сторону ВС в точке Q. Найдите: а) длины сторон треугольника BPQ, если BQ = 3 см; б) отношение периметров треугольников BPQ и ВАС, если — = А. РА 4 278. Стороны угла hk пересечены прямыми АВ и CD (рис. 102). Параллельны ли эти прямые, если: а) ОА = 3 см, АС = 5 см, ОБ = 6 см, Б2> = 6 см; б) ОА = 4 см, АС = = 6 см, ОВ = 6 см, ДО = 9 см; в) ОА = 3,5 см, ОС = = 7 см, ОВ = 4,2 см, OD = 8,4 см? 279. Прямая, параллельная стороне АВ треугольника ABC, делит [АС] в отношении 2:7, считая от вершины А. Вычислите длины сторон отсеченного треугольника, если АВ = 10 см, ВС = 18 см, СА = 21,6 см. 280. Докажите, что медиана [AM] треугольника ABC делит пополам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы которого лежат на сторонах АВ и АС. 281. Треугольники ABC и А1В1С1 подобны, АВ = 6 см, ВС = = 9 см, С А = 10 см. Длина наибольшей стороны треугольника AiBxCi равна 7,5 см. Найдите длины других сторон треугольника А^уСх. 282. Параллелограмм ADEF и треугольник ABC расположены, как показано на рисунке 103. Найдите АС, если AF = = 5, EF = 7, АВ = 15. В hA Рис. 101 203
583. Пусть [АН] и [Ai#x] — высоты треугольников ABC и АхВхС^ Докажите, что если ААВС оо АА^Сц то АН _ ВС АХНХ ~ ВА ' 284. Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 подобны, если: а) = = , где [ВМ] и ГАМ/] — медиа- ны этих треугольников; б) /-.А = /LA19 = , где А1с1 вхнх \_ВН"] и [£i#i] — высоты треугольников ABC и A^B-iC^ 285*. На стороне ВС треугольника ABC взята точка Z) так, on Df что — = —. Докажите, что [AD] — биссектриса угла А АВ АС треугольника ABC. 286. В треугольнике ABC ВС = а, АН = h, где [АЯ] — высота треугольника. Найдите длину х стороны квадрата, вписанного в этот треугольник так, чтобы одна из сторон принадлежала прямой АС у а две вершины сторонам АВ и ВС. 287. Пользуясь теоремой Пифагора, докажите, что высота равнобедренного треугольника является медианой. 288. В треугольнике ABC имеем ВАС = 135°, АС = |ЛЮ, АВ = 8. Найдите ВС. 289. М — произвольная точка внутренней области прямоугольника ABCD. Докажите, что AM2 + СМ2 = ВМ2 + MD2. 290. Диагонали прямоугольной трапеции ABCD (A = 90°) взаимно перпендикулярны. Длина основания [АБ] рав* на 6 см^ боковой стороны AD — 4 см. Найдите DC и DB. 291. Найдите высоту трапеции, если длины оснований равны 8 см и 20 см, а длины боковых сторон — 9 см и 15 см. 292. Диагональ АС трапеции ABCD делит ее на два подобных треугольника. Докажите, что АС2 = аЬ, где а, Ъ — длины оснований трапеции. 293. Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольника ABC пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что BD DC АВ "~ АС 294. Два шеста АВ и CD разной длины й и Ь установлены вертикально на некотором расстоянии друг от друга, как Показано на рисунке 104. Концы А и D, В и С соединены веревками, которые пересекаются в точке О. По данным 204
Рис. 104 Рис. 105 рисунка докажите, что: а) — — X П X -,ч _ и — = — ; б) поль- Ь d a зуясь предыдущими выводами, докажите> что а Ъ Отсюда определите х и убедитесь в том, что х не зависит от расстояния d между шестами АВ и CD. 295* .Докажите, что если стороны угла АОВ пересечены параллельными прямыми АВ и MN (рис. 105), то отрезки ОМ и ON пропорциональны отрезкам О А и ОВ. Рассмотрите случай, когда имеется такой отрезок EF, который в каждом из отрезков ОМ и МА укладывается целое число раз без остатка. Решение. Допустим, что отрезок EF укладывается в отрезке ОМ т раз, а в отрезке МА — п раз (на рисунке 105 т =5, п =4). Если принять отрезок EF за единицу измерения, то ОМ = т, МА = п. Допустим для определенности, что точка М лежит между точками О к А. Тогда ОА = ОМ + МА = т + п. Проведем через точки деления отрезков ОМ и МА прямые, параллельные прямой АВ. Согласно теореме Фалеса (п. 21) проведенные прямые разделят отрезок ON на т равных отрезков, а отрезок NB на п равных отрезков. Если t — длина каждого из этих отрезков, то ON = mtt NB = nt, поэтому OB = ON + NB = (m + n) t. Таким об- О A ^m-{-nt OB _(m + n)f_m + n OM "" m ' ON ~ nit ~" m разом, ЧТО ОА ОМ OB ON* ИЛИ ON ОМ ОА ~ Отсюда следует, ON ов'
Глава IV ОКРУЖНОСТЬ В этой главе изучаются основные свойства окружности. Сначала рассматривается взаимное расположение прямой и окружности и вводятся понятия секущей и касательной. Затем изучаются свойства некоторых углов, связанных с окружностью, а также свойства хорд и диаметров. Заключительный параграф посвящен вписанным и описанным треугольникам. § 1. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ. КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ 39. Три случая взаимного расположения прямой и окружности. Изучим взаимное расположение прямой и окружности, т. е. выясним, всегда ли они имеют общие точки и сколько общих точек они могут иметь. Отметим, что прямая не может иметь с окружностью более чем две общие точки. Если какая-то прямая р пересекает окружность О (г) в трех точках А% В и С, то точка О равноудалена от концов отрезков АВ и ВС, поэтому лежит на серединных перпендикулярах тг и т2 этих отрезков. Но это невозможно, так как тх J_ pt m2 -L р9 поэтому тх \\ т2 (п. 2). Таким образом, возможны следующие три случая взаимного расположения прямой и окружности: а) прямая имеет две общие точки с окружностью (рис. 106); б) прямая имеет только одну общую точку с окружностью (рис. 107); в) прямая не имеет общих точек с окружностью (рис. 108). 40. Секущая окружности. Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то говорят, что прямая и окружность 206
пересекаются. В этом случае прямая называется секущей. Имеет место следующая теорема о секущей. II Теорема. Если прямая проходит через точку, внутреннюю относительно окружности, то она является секущей, т. е. пересекает окружность \[ в двух точках, Доказательство. Пусть прямая р проходит через точку М, внутреннюю относительно данной окружности О (г). Если О 6 Р» то утверждение теоремы очевидно (объясните почему), поэтому рассмотрим случай, когда О £ р (рис. 109). Рассмотрим перпендикуляр [0#], проведенный из точки О к прямой р. Согласно теореме о перпендикуляре и наклонных (VI, п. 57) ОН < ОМ. Но ОМ < г, поэтому ОН < г. На дополнительных лучах прямой р от их общего начала Н отложим отрезки НА и НВ, длины которых равны У г2 — ОН2. Так как ОНА и ОНВ — прямоугольные треугольники, то по теореме Пифагора ОА= |/ ОН2 + ^^2 ~ ^уон2 + г2 — о#2=г, ов^уон2 + нв2= = YОН2 -\- г2 — ОН2=г. Следовательно, точки А и В принадлежат окружности, т. е. прямая р — секущая. Теорема доказана. Замечание. При доказательстве теоремы мы воспользовались следующим утверждением. Пусть т — любое положительное число. Существует отрезок, длина которого при данной единице измерения равна т. Это утверждение мы принимаем без доказательства. Его будем называть аксиомой существования отрезка данной длины. 41. Касательная к окружности. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а общая точка прямой и окружности — точкой касания. На рисунке 107 прямая р есть
MA P касательная к окружности. Легко ви- \у^~~ I ^ч^ деть, что все точки касательной, за ис- У\ | ^^ ключением точки касания, являются / \. \ внешними по отношению к окружно- J \ q | сти. Действительно, если предполо- \ I жить, что на касательной р имеется \ / хотя бы одна точка, внутренняя отколу ^/ сительно окружности, то прямая р, согласно теореме о секущей, должна пе- Рис- ио ресекать окружность в двух точках, поэтому не может быть касательной. Рассмотрим основное свойство касательной. 1°. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу этой окружности, проведенному в точку касания. Пусть р — касательная к окружности О (г), А — точка касания (рис. 110). Любая точка М прямой р, отличная от точки Л, является внешней по отношению к окружности (п. 40), поэтому ОМ > ОА. Значит, [0-4] меньше любого отрезка, соединяющего точку О с произвольной точкой прямой р, отличной от точки А. По теореме о сравнении перпендикуляра ц наклонных (VI, п. 57) [CM] J_ p. Докажем обратное утверждение. 2°. Если прямая перпендикулярна к радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она является касательной к этой окружности. Пусть данная прямая р проходит через точку А окружности О (г) и [ОА'] X р. Докажем, что р — касательная к окружности. Для произвольной точки М прямой р, отличной от точки А, цмеем: ОМ > О А = г (VI, п. 57). Отсюда следует, что точка М не принадлежит окружности О (г). Итак, прямая р имеет с окружностью О (г) только одну общую точку А, поэтому р — касательная к окружности. Рассмотренные утверждения позволяют решить следующую задачу. Задача. Построить касательную к данной окружности О (г), проходящую через ее точку А. Решение. Согласно утверждению -2° прямая, проходящая через точку А и перпендикулярная радиусу [ОА], является касательной к окружности О (г). Поэтому если построить прямую р так, чтобы А £ р и р 1 [СМ], то эта прямая 203
будет искомой. На рисунке 111 выполнено построение прямой/?. Задача имеет только одно решение. Действительно, каса* тельная, проходящая через точку -А, должна быть перпендикулярна прямой ОА (свойство 1° касательной), а через точку А проходит только одна прямая (прямая р), перпендикулярная к прямой О А, Замечание. Касательная к окружности есть прямая линия. Но в геометрии принято говорить также об отрезках ц лучах, касательных к окружности. Если отрезок принадлежит прямой, касательной к окружности, и точка касания есть точка отрезка, то говорят, что данный отрезок является касательным к окружности. Аналогично, если луч принадлежит прямой, касательной к окружности, и точка касания лежит на луче или является началом луча, то говорят, что данный луч является касателъ- Рис 112 ным к окружности. На рисунке 112 отрезки ВС, АВ и АС являются касательными к окг ружности, а отрезок BD не является касательным. На том же рисунке луч MP является касательным к окружности, а дополнительный луч MN не является касательным. Луч HN также является касательным к окружности. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 296. Радиус данной окружности с центром О равен 6 см. Точки А, В, С, .D, Е и F расположены так, что ОА = 2 см, ОВ = 8 см, АС = 3 см, BD = 1 см, ОЕ = уТсм, OF = = 5[/ 3 см. Укажите среди данных точек те, которые яв- 209
Рис. 113 а / / ляются: а) внутренними относительно окружности; б) внешними относительно окружности. 297. На рисунке 113 изображены окружность и прямые. Назовите прямые: а) имеющие две общие точки с окружностью; б) имеющие только одну общую точку с окружностью; в) не имеющие общих точек с окружностью. 298. Укажите, какие из прямых, изображенных на рисунке 113, являются секущими окружности. 299. Даны окружность с центром О и радиусом г = 5 см и прямая р, проходящая через точку А. Можно ли утверждать, что прямая р является секущей, если: а) О А = = 3 см; б) ОА = 7,5 см; в) ОА = 4,8 см; г) ОА = 5 см; д) О А = 9 мм? 300. Точка А является внутренней точкой, а Б — внешней точкой относительно окружности О (г). Сколько общих точек имеют окружность О (г) и: а) прямая АВ\ б) луч АВ1 Дайте обоснование ответу. 301. Докажите, что если а — секущая окружности О (г), а [Off] — перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой а, то Я — внутренняя точка относительно окружности. 302. Докажите, что если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая не имеет ни одной общей точки с окружностью. 303. Докажите, что если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая пересекает окружность в двух точках. 304. Докажите, что если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая является касательной к окружности. 305. Пусть d — расстояние от центра О окружности 0(г) до прямой а. Определите взаимное расположение прямой а и окружности О (г), если: а) г = 16 см, d = 12 см; б) г = = 5 см, d = 4,2 см; в) г = 7,2 дм, d = 3,7 дм; г) г = 8 см, d = 1,2 дм; д) г = 5 см, d = 50 мм. 210
306. Можно ли утверждать, что если все точки прямой, за исключением одной, являются внешними относительно окружности, то прямая есть касательная к окружности? 307. Прямая а касается окружности О (г). Найдите расстояние от точки О до прямой а, если диаметр окружности равен 14 см. 308. Найдите длину отрезка АВ, касательного к окружности О (г), где В—точка касания, если АОВ=60°, а г =12 см. 309. Радиус окружности О (г) равен 1,5 см. Расстояние от точки А до центра О равно 2 см. Найдите длину отрезка АВ, касательного к окружности, где В — точка касания. 310. Даны окружность О (г) и точка А такая, что ОА = 9 см. Из точки А проведены две касательные к окружности 0(г). Найдите угол между ними, если г = 4,5 см. 311. Докажите, что касательные, проведенные через концы диаметра окружности, параллельны. 312. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине В. Докажите, что: а) прямая ВС является касательной к окружности А (АВ); б) прямая АВ является касательной к окружности С (СВ); в) прямая АС не является касательной ни к одной из окружностей В (ВА) и В (ВС). 313. Из концов диаметра [АВ] данной окружности проведены перпендикуляры [AAJ и [ВВ{\ к касательной, которая не перпендикулярна диаметру [АВ]. Докажите, что точка касания совпадает с серединой отрезка AXBX. 314. Найдите длину диаметра окружности, если его концы удалены от некоторой касательной на 18 см и 12 см. 315. На рисунке 114 отрезки АВ и АС — касательные к окружности О (г), а точка К — середина отрезка АО. Найдите градусную меру угла ВАС. 316. Прямая р является касательной к окружности О (г), а А — точкой касания. На этой прямой отмечены точки В, С и D так, что точка А лежит между точками В и С, а точка С — между точками А и Д. а) Укажите, какие из следующих отрезков являются касательными: [АС], [CD], [.ВС], б) Укажите, какие из следующих лучей являются касательными: CD, DB, АС, С А. 317. Докажите, что если отрезки АВ и АВХ являются каса- 211
Рис. 114 Рис. 115 тельными к окружности О (г) и 5, 5i — точки касания, то [АВ] = 1АВ{\ и /LBAO = Z^BxAO. 318. Постройте касательную к данной окружности, параллельную данной прямой. 319. Постройте касательную к данной окружности, перпендикулярную данной прямой. ! § 2. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 42. Дуга окружности и ее градусная мера. Угол с вершиной 1 в центре окружности называется ее центральным углом. Пусть ] стороны центрального угла окружности О (г) пересекают ее 1 в двух точках А и В (рис. 115, а, б). Точки А и Б разделяют ] окружность на две дуги с концами А и Б (VI, п. 48). Эти дуги 1 будем называть дугами, соответствующими центральному углу 1 АОВ. Различают три типа дуг окружности: дуга, меньшая полу- 1 окружности (так называется дуга, расположенная во внутренней 1 области неразвернутого центрального угла АОВ\ на ри- I сунке 115, а она выделена жирной линией); дуга, большая полу- 1 окружности (другая дуга с концами в точках А и Б), и полу- 1 окружность (дуга, соответствующая центральному разверну- 1 тому углу; рис. 115, б). Для того чтобы различить две дуги 1 окружности с общими концами А и Б, на каждой из них отмечают 1 по промежуточной точке и эти дуги обозначают тремя бук- 1 вами: k^ALB и ^АМВ (рис. 115, а). Если ALB — дуга, меньшая 1 полуокружности, то для нее иногда применяют обозначение 1 без промежуточной точки: ^АВ или ^ВА. Например, на ри- 1 сунке 115, a w ALB можно обозначить через ^АВ или ^ВА. 1 Введем понятие градусной меры дуги окружности. Пусть 1 ALB — дуга окружности О (г) с концами А и Б, а АОВ — цент- I 212
ALB=AOB a) Рис. 116 ральный угол, которому соответствует эта дуга (рис. 116). Если ALB — дуга, меньшая полуокружности или являет- ся полуокружностью, то будем считать, * что ее градусная мера равна АО В (рис. 116, а, б). Если же ALB—дуга, большая полуокружности, то будем считать, что ее градусная мера равна 360° — АОВ (рис. 116, в). Градусные меры ^АВ и ^ALB обозначаются символами АВ и ALB. Таким образом, если АВ — дуга, меньшая полуокружности, то 0° < АВ < 180°; если ^ALB — полуокружность, то ALB = = 180°, а если ALB — дуга, большая полуокружности, то 180° < ALB <360°. Например, на рисунке 117 АВ = = 115°, ADB = 360° — 115° = 245°, АС = 30°, ABC = 360° — 30° = 330°, BAD = 180°. Сумма градусных мер двух дуг с общими концами А и В, соответствующих центральному углу АОВ, равна 360°. Действительно, если Z^AOB неразвернутый, то одна из дуг, соответствующих ALB=360°-A03 6) Рис. 119 213
/_ABC — вписанный этому углу, например ^ALB, есть дуга, меньшая полуокружности, а другая дуга (у^АМВ) — большая полуокружности (рис. 115, а). Тогда ALB = = АОВ, а АМВ = 360° — АОВ, поэтому ALB + АМВ = 360°. Если /_АОВ развернутый, то ^ALB и ^АМВ являются полуокружностями угол, он опирается на ду- (рис# 115, б), следовательно, ALB=- гу АМС Рис. 120 = АМВ = 180°; значит, ALB + + АМВ = 360°. 43. Равенство дуг. По аналогии с понятием равенства углов введем понятие равенства дуг. Две дуги называются равными, если они принадлежат одной и той же окружности или разным окружностям с равными радиусами и их градусные меры равны. Например, на рисунке 118 ^АВ и \^А1В1 равны, так как АВ = = AXBX = 35°, a ysAB и ^АгЬВ не равны, так как АВ = 35°, a A^LB = 145°. Отметим два очевидных свойства равенства дуг. 1°. Если центральные углы данной окружности равны, то соответствующие им дуги попарно равны. На рисунке 119 Z-AOB= Z^AxOBl9 поэтому \^АВ = \^AxBi и ^ALB = \sAxLBi. 2°. Если две дуги равны, то центральные углы, которым они соответствуют, также равны. 44. Теорема о вписанном угле. Определение.Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным углом. На рисунке 120 /_АВС вписанный. Будем говорить, что этот угол опирается на дугу АМС (заметим, что ^АМС — та из двух дуг с концами An С, которой не принадлежит вершина вписанного угла). Докажем теорему о вписанном угле. Теорема. Мера вписанного угла равна половине меры дуги, на которую он опирается. 214
Доказательство. Пусть /„ABC — данный вписанный угол окружности О (г). Рассмотрим три возможных случая расположения луча ВО относительно угла ABC. 1) Луч ВО совпадает с одной из сторон угла ABC, например со стороной ВС (рис. 121, а). В этом случае дуга АС, на которую опирается угол ABC, является дугой, меньшей полуокружности, поэтому АОС = АС. Так как Z^AOC является внешним углом равнобедренного треугольника АОВ и углы при основании равнобедренного треугольника равны, то АОС /ч , /ч 1 +2 2 1. Отсюда следует, что -АОС =1 или ABC =-АС. 2 2 2) Луч ВО является внутренним лучом угла ABC. В этом случае луч ВО пересекает дугу, на которую опирается угол ABC, в некоторой точке D и ADC = AD + DC (рис. 121, б). Согласно свойству IX измерения углов (VI, п. 15) ABC = ABD + + DBC. По доказанному ABD = —AD, ВВС = —DC, сле- 2 2 довательно, А#С - Л!) + - DC = - А5С. 2 2 2 3) Лу«* ВО не является внутренним лучом угла ABC и не совпадает со сторонами этого угла. Для этого случая, пользуясь рисунком 121, в, доказательство проведите самостоятельно. 215
II Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой (рис. 122). || Следствие 2. Вписанный угол% опирающийся на полуокружность,—* прямой (рис. 123). ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 320. Укажите, какие из углов, изоб* раженных на рисунке 124 и обозначенных цифрами, являются центральными углами данной окружности. Для каждого центрального угла выпишите соответствующие ему дуги. 321. Начертите окружность и отметьте на .ней точку А. Постройте хорду [АВ] так, чтобы: а) АОВ =* = 60°; б) АОВ = 90°; в) АОВ = - 120°; г) АОВ = 180°. 322. Радиус окружности О (г) равен 16. В каждом из следующих случаев по градусной мере центрального угла АОВ найдите длину хор- ды 1АВУ. a) iO£=60°; б) АОВ = = 90°; в) АОВ = 180°. 323. Укажите, какие из следующих дуг: vAC, ^АСЕ, ^ADEf ^ADB, ^DBE, ^CDB окружности, изображенной на рисунке 125*, являются дугами: а) меньшими полуокружности; б) ббль- шими полуокружности. Для каждой дуги укажите центральный угол, которому эта дуга соответстт вует.
324. 325. 326. 327. 328. 329. 330* 331. 332. 152° Перечислите все полуокружности с концами в точках А, В, С, D, Е и F окружности, изображенной на рисунке 125. По данным рисунка 126 найди- i 25° У^^125° те градусные меры дуг: ^ACF, ^AF, ^АЕ, ^АСЕ, ^АЕС. Можно ли утверждать, что для Рис 126 любых трех точек А, В и С окружности справедливо равенство АВ + ВС = АС? Дайте обоснование ответу. На окружности отмечены три точки А, В и С так, что точки А и В являются концами диаметра. Докажите, что АС + СВ = АСВ. Градусные меры дуг, изображенных на рисунке 124, равны: АВ = 60°, АС = 30°, DAE = 230°. Найдите градусные меры следующих дуг: ^AFB, \^AFC, ^DE. Какие из следующих пар дуг окружности, изображенной на рисунке 125, равны друг другу: а) ^>АС и wAD; б) ^АС и ^ED\ в) ^СЕ и uB£; г) ^СВА и ^ADC\ д) ksFD и ^СЕ? Дайте обоснование ответу. .Докажите следующие утверждения: а) если центральные углы данной окружности равны, то соответствующие им дуги попарно равны; б) если две дуги одной окружности равны, то центральные углы, которым они соответствуют, также равны. Найдите градусную меру вписанного угла ABC, если градусная мера дуги АС, на которую он опирается, равна: а) 48°; б) 57°; в) 90°; г) 124°; д) 180°. По данным рисунка 127, а, б, в, г найдите #* 215* г) 217
333. На рисунке 128 АВ = 30°, CD = = 40°, DE = 60°. Вычислите градусные меры всех углов, обозначенных цифрами. 334. Градусная мера центрального угла АОВ на 30° больше градусной меры вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите меру каждого из этих углов. 335. На рисунке 129 [-АС] — диаметр окружности, \_AB~] — произвольная хорда, а а — касательная в точке А. Докажите, что Z.1 = = Z.2. 336. Прямая AM является касательной к окружности в точке А, а [АВ] — хордой этой окружности (рис. 130). Докажите, что угол между касательным лучом AM и хордой [АВ] равен половине меры дуги, заключенной между ними. 337. Докажите, что дуги окружности, заключенные между параллельными хордами, равны. § 3. СВОЙСТВА ХОРД И ДИАМЕТРОВ ОКРУЖНОСТИ 45. Хорды окружности. Напомним, Рис. 130 что 0Трез0к, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой, а хорда, проходящая через центр окружности, — диаметром. Окружность имеет бесконечно много хорд. Рассмотрим ряд свойств хорд и диаметров. Говорят, что хорда стягивает дугу, если она соединяет концы этой дуги. На рисунке 131 хорда [-AJB] стягивает дуги АВ и ALB. 1°. Две равные хорды окружности стягивают попарно равные дуги. 218
Пусть в окружности с центром в точке 0 хорды [_АВ~\ и {.AXB{] равны. Если эти хорды являются диаметрами, то наше утверждение очевидно, поэтому рассмотрим случай, когда [АВ] и \_АгВ{\ не являются диаметрами (рис. 132). Треугольники АОВ и А±ОВх равны по третьему признаку равенства треугольников ([ОА] ^ [OAJ, [ОБ] = [ОБх], LAB] - = DAi-Bi])» поэтому центральные углы 1 и 2 равны: Z.1 = Z.2. .Отсюда следует, что соответствующие им дуги попарно равны (п. 43). Справедливо также обратное утверждение, которое мы приводим без доказательства. 2°. Если две дуги окружности равны, то стягивающие их хорды также равны. 46. Теорема о диаметре, перпендикулярном хорде. II Т е о р е м а. Диаметр, проведенный через середину хорды, не проходящей через центр, перпендикулярен этой хорде. Обратно, диаметр, перпендикулярный || хорде, делит ее пополам. Доказательство. 1) Пусть диаметр [AAi] данной окружности О (г) проходит через середину С хорды [ВВ{] (рис. 133). Докажем, что {.АА{\ X \_ВВ{]. Треугольник ОВВх равнобедренный (ОВ = ОВг), и отрезок ОС является его медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины, является также высотой треугольника (VI, п. 40), поэтому [ОС] 1 iBB{\ или [АА^ JL [ВВ{]. 2) Пусть диаметр [АА^] данной окружности перпендикулярен хорде \_ВВ{] (рис. 134). Рассмотрим диаметр [_ММг~\, про-
ходящий через середину С хорды [ABi]. По доказанному [ММ{] _L _]_ [SSi]. Мы видим, что прямые ААг и ММг проходят через центр О окружности и перпендикулярны хорде \_ВВ{\, поэтому они совпадают (VI, п. 55). Значит, \_ММ{] и [АА{\ — один и тот же диаметр. Теорема доказана. 47. Теорема об отрезках пересекающихся хорд. С помощью теоремы о вписанном угле докажем следующую теорему. II Теорема. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды. Доказательство. Пусть хорды [АБ] и [CD] пересекаются в точке Е (рис. 135). Рассмотрим треугольники ADE и С BE и докажем, что они подобны. Действительно, углы 1 и 2 равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу BMD. Углы 3 и 4 равны, как вертикальные. По первому признаку подобия треугольников AADE <v> А С BE. Отсю- да следует, что — = —, или АЕ • BE = СЕ • DE. СЕ BE Теорема доказана. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 338. Вершины треугольника ABC принадлежат данной окружности. Докажите, что если [АВ]—диаметр окружности, то Z.O /-А и Z-C > /LB. 339. Докажите, что хорда, не проходящая через центр окружности, меньше диаметра и все точки этой хорды, кроме концов, являются внутренними точками относительно окружности. 340. Докажите, что если две хорды С [АВ] и [АС] данной окружности равны, то ни одна из них не является диаметром. 341. Вершины треугольника со сторонами АВ= 5 см, БС= 2 см, С А = = 5 см принадлежат данной окружности. Докажите, что ни одна из сторон треугольника не яв- Рис. 135 ляется диаметром. 220
Рис. 136 342. По данным рисунка 136 найдите градусные меры дуг CD и CAD, если [АВ] = [CD]. 343. По данным рисунка 136 найдите градусную меру угла CED, если [АВ] = [CD]. 344. Через середину данной хорды проведены секущие, ни одна из которых не перпендикулярна хорде. Имеется ли среди них секущая, проходящая через центр окружности? 345. По данным рисунков 137, а и б найдите длины хорд \_MN~] и [NP]. 346. Диаметр [ААХ] окружности О (г) проходит через середину С ее хорды [ВВх]. Найдите радиус окружности, если ОС = 3 см, ВВг = =8 см. 347. Хорда [АА{\ окружности перпендикулярна радиусу [ОМ] и проходит через его середину. Найдите длину хорды [ААг], если диаметр окружности равен 12 см. 348. На рисунке 133 прямая ОС перпендикулярна хорде [ВВ{\. Докажите, что луч ОС является биссектрисой угла ВОВг. 349. Пусть [АВ] и [CD} — хорды окружности О (г). Из точки О проведены перпендикуляры [ОМ] и [ON] к прямым АВ и CD. Найдите длины отрезков MA, ND, ОМ, ON, если г = 14, CD = 20, АВ = 16. 350. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от ее центра. 351. Пусть [АВ] и [CD] — хорды окружности О (г). Из точки О проведены перпендикуляры [ОМ] и [ON] к прямым АВ и CD. Докажите, что если АВ < CD, то ОМ > ON. 352. Радиус [ОМ] окружности делит хорду [АВ] пополам. До- 221
кажите, что касательная, проведенная через точку М> параллельна хорде \_AB~]. 353. Хорды \_AB~] и [CD~\ пересекаются во внутренней точке Е. Найдите ED> если: а) АЕ = 5, BE = 2, СЕ = 2,5; б) АЕ = = 16, BE = 9, С# = £D; в) А# = 0,2, Б# = 0,5, СЕ = 0,4. 354. Хорды [АВ] и [CD] пересекаются во внутренней точке В. Найдите ЛЯ и В£\ если АБ = 7, CJE7 = 2, £Z> = 6. 355. На рисунке 133 диаметр [ААХ] перпендикулярен хорде [ВВ{] и пересекает ее в точке С. Найдите ВВи если АС = = 4 см, СМ.! = 8 см. 356. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из какой- либо точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые основание перпендикуляра делит диаметр. 357. Пользуясь предыдущей задачей, постройте отрезок XY, средний пропорциональный между отрезками АВ и CD, т. е. — = — или XY = YAB • CD. XY CD 358. Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в двух точках Р и Q. Докажите, что АВ2~ АР • AQ. 359. Через точку А проведены касательная АВ к окружности (В — точка касания) и секущая CD (С и D — точки пересечения секущей с окружностью). Найдите длину хорды [CJD], если: а) АВ = 4 см, АС = 2 см; б) АВ = 5 см, AD = 10 см. 360. Расстояние от точки А до центра окружности О (г) равно 2г. Через точку А проведена секущая, пересекающая окружность в точках В и С. Найдите АС, если точка В делит отрезок АС пополам. § 4. ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ / 48. Окружность, проходящая через три точки. Через одну точку можно провести бесконечно много окружностей (рис. 138), центры этих окружностей могут быть выбраны произвольно. Через две точки А и В также можно провести бесконечно много окружностей, но центры этих окружностей нельзя брать про- 222
извольно — они будут лежать йа серединном перпендикуляре отрезка АВ (рис. 139). Если три точки лежат на одной прямой, то через них нельзя провести ни одной окружности, так как в противном случае прямая, на которой лежат эти точки, имела бы более двух общих точек с окружностью, что невозможно (п. 39). Для трех точек, не лежащих на одной прямой, справедлива следующая теорема. || Теорема. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом толь- || ко одну. Доказательство. Пусть А, В и С — три точки, не лежащие на одной прямой. Рассмотрим серединные перпендикуляры тип отрезков АВ и ВС (рис. 140) и докажем, что они пересекаются. Допустим, что это не так. Тогда прямые тип параллельны. В этом случае прямая В А будет перпендикулярна как к прямой т, так и к прямой п (п. 5), поэтому она должна совпасть с прямой ВС, что невозможно. Итак, прямые тип пересекаются в некоторой точке О. Так как каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от его концов (VI, п. 59), то О А = ОВ и ОВ = ОС. Следовательно, ОА = ОВ = ОС, т. е. точка О равноудалена от точек А, В и С. Поэтому окружность О (ОА) проходит через точки А, В и С. Мы доказали, что через точки А, В и С можно провести окружность» Центр окружности, проходящей через точки А, В и С, равноудален от этих точек, поэтому лежит как на
Рис. 141 Прямой m, так и на прямой п, т. ё. совпадает с точкой О. Следовательно, существует только одна окружность, проходящая через точки А, В и С\ Тео^- рема доказана. Следствие. Серединные перпендикуляры трех сторон треугольника пересекаются в одной точке. Действительно, Точка О Пересечен ния серединных перпендикуляров тп и п отрезков АВ и ВС равноудалена от точек А и С и, следовательно, лежит на серединном перпендикуляре р отрезка АС (рис. 141). Таким образом, серединные перпендикуляры m> n и р пересекаются в одной точке О* згм Рис. 142 49. Теорема о точке пересечения биссектрис треугольника. Теорема. Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Доказательство. Пусть ABC *— данный треугольник. Докажем, что его биссектрисы [ААх"], [ВВ{] и [СС{\ переь секаются в одной точке (рис. 142). Обозначим через О точку пересечения биссектрис [AAX] и [ВВ{\. Проведем через точку О Перпендикуляры [ОК\ [OL] и [ОМ"] соответственно к прямым АВ, ВС и С А и сначала докажем, что эти отрезки равны» Углы 1 и 2 острые, поэтому К -*- точка луча АВЬ а М — точ* tta Луча АС. Прямоугольные треугольники OAK и О AM равны, так как они имеют общую гипотенузу [_АО~\ и равные острые углы /Л — /J2. Отсюда Следует, что [ОК'] = [ОМ~\> Аналогично Можно доказать, что [ОК] = [0£]. Из этих двух равенств еле* дует, что [ОМ] = [ОХ]. Прямоугольные треугольники ОСЬ и ОСМ равны* так как опи имеют общую гипотенузу LOC*] и равные катеты [OL] и [ОМ]» Отсюда Следует, что ZJDCL = ZJOCM, Точка О — внутренняя точка треугольника ABCS поэтому она внутренняя точка и угла ВС А. Следовательно» луч СО — биссектриса угла ВС А. Мы доказали, что три биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке О. Теорема доказана. 224
В ходе доказательства теоремы установлено следующее утверждение. Следствие. Точка пересечения биссектрис треугольника равноудалена от трех прямых, содержащих стороны треугольника. 50. Вписанные и описанные треугольники. Если три вершины треугольника принадлежат окружности, то говорят, что треугольник вписан в окружность. Окружность же называется описанной около треугольника. На рисунке 143 треугольник ABC вписан в окружность. Так как через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести одну и только одну окружность (п. 48), то около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Центром этой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Поэтому, для того чтобы построить окружность, описанную около данного треугольника ABC, достаточно провести серединные перпендикуляры двух сторон АВ и ВС. Точка О пересечения этих перпендикуляров является центром искомой окружности. На рисунке 144 выполнено построение. Если все стороны треугольника являются касательными к окружности, то говорят, что треугольник описан около окружности. Окружность же называется вписанной в треугольник. На рисунке 145 треугольник ABC описан около окружности О (г). Рис. 144 8 Заказ 54 225
Рис. 146 Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центром этой окружности является точка пересечения биссектрис треугольника. Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник, а О — точка пересечения его биссектрис. По следствию из предыдущей теоремы точка О равноудалена от трех прямых АВ, ВС и СА, т. е. ОНх = ОН2 = ОН3 (рис. 145). Значит, окружность О (ОН±) проходит через точки Н2 и Н3. Согласно свойству 2° пункта 41 прямые АВ, ВС и С А являются касательными к этой окружности. Так как точки Н19 Н2 и Н3 принадлежат сторонам угла, то окружность О (ОНх) вписана в этот треугольник. Первая часть теоремы доказана. Можно доказать, что О (ОНх) — единственная окружность, вписанная в А АВС. Доказательство этого утверждения мы опускаем (см. задачу 616). Для построения окружности, вписанной в данный треугольник, достаточно провести биссектрисы двух его углов А к В к через точку О пересечения этих биссектрис провести перпендикуляр [ОН'] к одной из сторон. Окружность О (ОН) будет искомой. Построение выполнено на рисунке 146. Рис. 147 ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 361. Отметьте три точки, не лежащие на одной прямой, и постройте окружность, проходящую через эти точки. 362. Укажите, какие из треугольников, изображенных на рисунке 147, являются вписанными. 226
Рис. 148 . Укажите, какие из треуголь- киков ABC, CED, LMN и CTS, изображенных на рисунке 148, являются описанными около окружности. 364. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для каждого из них постройте описанную окружность. 365. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый из них впишите окружность. 366. На сторонах угла hk от его вершины О отложены равные отрезки ОС и OD. Точка М — середина отрезка CD. Докажите, что точка М одинаково удалена от сторон угла hk. 367. Докажите, что каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Решение. Пусть АОВ — данный угол, am — его биссектриса (рис. 149). Отметим произвольную точку М луча т и докажем, что МН = МК, где [МЯ] и [AfJBT] — перпендикуляры, проведенные из точки М к прямым О А и ОВ. Так как углы МО А и MOB острые, то точка Я принадлежит лучу О А, а точка К — лучу О В (объясните почему). Прямоугольные треугольники OHM и ОКМ имеют общую гипотенузу ОМ и равные углы МОН и МОК, поэтому эти треугольники равны. Отсюда следует, что МН = МК. 368. Дан угол и отрезок. Во внутренней области угла постройте точку, равноудаленную от сторон угла и от концов данного отрезка. 369. Дан угол hk, точка А и отрезок PQ. Постройте точку X так, чтобы она была равноудалена от сторон угла hk и чтобы ХА = PQ. 370. Биссектрисы внешних углов В и С треугольника ABC пересекаются в точке О. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ, ВС, С А. 8* 227
отрезка А = 60° 371. Стороны данного угла касаются некоторой окружности. Докажите, что центр этой окружности принадлежит биссектрисе угла. 372. Стороны угла А касаются окружности О (г), а) Найдите длину ОА, если г = 5 см, б) Найдите г, если ОА = 14 дм, А = 90°. 373. В окружность вписан треугольник ABC так, что [AJ3]—диаметр окружности. Найдите градусные меры углов треугольника, если: а) ВС = 134°; б) АС= 70°. 374. В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC, где АВ = АС. Найдите градусные меры углов треугольника, если ВС = 102°. 375. Докажите, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы. 376. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 6 см. Найдите радиус описанной окружности. Найдите длину стороны равностороннего треугольника, если радиус описанной окружности равен 10 см. В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС и АС в точках Р, Q и R. Найдите АР, РВ, BQ, QC, CR, RA, если известно: АВ = 10 см, ВС = 12 см, С А = 5 см. 379. По данным рисунков 150, а и б найдите х и у. 380. Найдите периметр прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см. По данным рисунка 151 найдите периметр треугольника MNP. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза треугольника равна с, а сумма катетов равна т. Рис. 151 377. 378. 381 382 228
. В равнобедренный треугольник вписана окружность Ох (гх) и около него описана окружность 02 (г2). Докажите, что точки Ох и О 2 лежат на серединном перпендикуляре основания треугольника, ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ IV 1. Докажите, что прямая не может иметь с окружностью более чем две общие точки. 2. Перечислите все случаи взаимного расположения прямой и окружности. 3. Сформулируйте теорему о секущей. 4. Что мы понимаем под касательной к окружности? Какую точку мы называем точкой касания? 5. Докажите, что касательная к окружности перпендикулярна к радиусу этой окружности, проведенному в точку касания. 6. Докажите, что если прямая перпендикулярна к радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она является касательной. 7. Постройте касательную к данной окружности, проходящую через данную ее точку. 8. Когда мы говорим, что отрезок или луч является касательным к окружности? 9. Что мы понимаем под центральным углом? 10. Объясните, что такое дуга окружности. Что мы понимаем под терминами: дуга, большая полуокружности; дуга, меньшая полуокружности? Что называется полуокружностью? 11. Как определяется градусная мера дуги? 12. Докажите, что сумма градусных мер двух дуг, соответствующих одному центральному углу, равна 360°. 13. Какие дуги называются равными? Докажите, что если центральные углы равны, то соответствующие им дуги попарно равны. 14. Дайте определение вписанного угла. Сформулируйте и докажите теорему о вписанном угле. 15. Что можно сказать о вписанных углах, опирающихся на одну и ту же дугу? 229
16. Докажите, что две равные хорды окружности стягивают равные дуги. Верно ли обратное утверждение? 17. Сформулируйте и докажите теорему о диаметре, перпендикулярном к хорде. 18. Сформулируйте и докажите теорему об отрезках пересекающихся хорд. 19. Докажите, что через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну. 20. Докажите, что серединные перпендикуляры трех сторон треугольника пересекаются в одной точке. 21. Сформулируйте и докажите теорему о точке пересечения биссектрис треугольника. 22. Когда мы говорим, что окружность описана около треугольника? Можно ли около любого треугольника описать окружность? Дайте обоснование ответу. 23. Что мы понимаем под треугольником, описанным около окружности? Докажите, что в любой треугольник можно вписать окружность. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 384. Даны прямая а и окружности 0(гх)у 0(г2), 0(г3), О (г4). Расстояние от точки О до прямой а равно 4 см, гх = 12 см, г2 = 4 см, г3 = 5 см, г4 = 3,8 см. Какие из этих окружностей пересекаются с прямой а? 385. Докажите, что расстояние от центра окружности до любой секущей, не проходящей через центр, меньше радиуса. 386. Докажите, что если прямая а — секущая, то на ней имеются точки, внутренние относительно окружности. 387. Докажите, что касательные, проведенные через концы хорды окружности, не проходящей через центр, пересекаются. А 388. На рисунке 152 [АБ] и [Ж7] — касательные к окружности О (г). Касательная в произвольной точке X дуги ВС пересекает отрезки АВ и АС в точках М и N. Дока- Рис. 162 жите, что периметр ДАЛШнеза- 230
389. 390. 391. 392. 393. 394. 395. висит от выбора точки X на дуге ВС. Докажите, что если все стороны трапеции касаются окружности, то средняя линия трапеции проходит через центр окружности. На рисунке 153 [_АЕ] — диаметр окружности. Докажите, что если [РЕ] II [ЯС], то ^АЕ = ^ЕС. На рисунке 153 [ОЕ] II [СЯ]. Най- Рис. 153 дите градусную меру дуги СВУ если ЕС = 40°. Докажите, что если вершины выпуклого четырехугольника принадлежат окружности, то сумма градусных мер противоположных углов равна 180°. Вершины трапеции ABCD принадлежат окружности, А =* = 50°. Найдите градусные меры углов By С и D. Докажите, что если хорды [АЕ] и [CD] окружности параллельны, то ABCD — равнобедренная трапеция (рис. 154). Постройте касательную к данной окружности О (г), проходящую через внешнюю относительно окружности точку А. Решение. Допустим, что задача решена и АВ — искомая касательная (рис. 155). Так как прямая АВ должна быть перпендикулярна радиусу [ОЕ] (п. 41), то решение задачи сводится к построению точки В окружности, для которой /_АВО прямой. Отсюда следует способ построения касательной: строим отрезок ОА и его Рис. 154 Рис. 155 231
середину Ог. Затем строим окружность с центром в точке Ох радиусом ОхА. Эта окружность пересекает окружность О (г) в двух точках Б и Вг. Прямые АВ и АВХ будут касательными, так как АВ _L [ОБ] и АВХ 1 [OBJ. Действительно, углы АВО и АВ±0, вписанные в окружность Ог (QxA), опираются на полуокружности, поэтому они прямые (п. 44). Из построения видно, что задача имеет два решения, т. е. через внешнюю относительно окружности точку всегда можно провести две касательные. 396. Две окружности имеют общие точки А и В. Через эти точки проведены параллельные прямые, пересекающие окружности в точках ЛГ, N, Ml9 Nt (рис. 156). Докажите, что четырехугольник MNNiMx — параллелограмм. 397. Отрезок АВ является диаметром окружности, а хорды [ВС] и \_AD] параллельны. Докажите, что хорда [CD] является диаметром. 398. Докажите, что если две дуги окружности равны, то стягивающие их хорды также равны. 399. Даны окружность радиусом 6 см и две хорды [АВ] и [CD]* Найдите расстояния от центра О до прямых АВ и CD> если АВ = 4 см, CD = 3 см. 400. Докажите, что середины параллельных хорд окружности лежат на одном диаметре. 401. Диаметр [ААг] окружности перпендикулярен хорде [ВВ{]. Докажите, что ^АВ = к^АВг и ^АХВ = ^АхВ^ 402. Хорда окружности имеет длину 16 см и стягивает дугу, градусная мера которой равна 90°. Вычислите расстояние от центра до данной хорды и радиус окружности. 403. Докажите, что если из концов диаметра [АВ] окружности провести перпендикуляры [АА{] и [ВВ±] к прямой, содержащей любую хорду [CD], то АгС = BXD. 404. Хорды [АВ] и [CD'] пересекаются во внутренней точке Е. В каждом из следующих случаев найдите х: а) АЕ = 3, BE = 8, СЕ = 2, ED = х\ б) CD = 10, ED = 4, АБ=11, 232
BE = х;в) BE=4,AE=5, CD = 12, ED =x; r)CE=6, ED = 8, BE = i АБ, 3 Б# = *. 405. Докажите, что если стороны четырехугольника касаются окружности, то суммы длин противоположных сторон равны. Рис. 157 406. Докажите, что прямые, содержащие три высоты \_АН{\, [ВЯа] и [СНз] треугольника ABC, пересекаются в одной точке. Решение. Через каждую вершину треугольника ABC проведем прямую, параллельную противоположной стороне. Получим вспомогательный треугольник А1В1С1 (рис. 157). Так как четырехугольники АСВСг и АВСВХ — параллелограммы, то АСг = ВС = АВг. Кроме того, ВС || ВгС19 поэтому АН± 1 СгВг. Таким образом, прямая АНХ является серединным перпендикуляром отрезка ВХСХ. Точно так же можно доказать, что прямая ВН2 — серединный перпендикуляр отрезка А±С19 а СН3 — серединный перпендикуляр отрезка AxBx. Так как серединные перпендикуляры трех сторон треугольника Ax-BiCi пересекаются в одной точке (п. 48, следствие), то прямые АНХ, ВН2 и СН3 пересекаются в одной точке. 407. Докажите, что для равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают. 408. Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности 10 см. 409. Выразите сторону а равностороннего треугольника через радиус JR описанной окружности. 410. Даны окружность О (г) и внутренняя точка М. Постройте хорду [АБ] так, чтобы М £ [АБ] и AM = MB. 411. Даны прямая а и точки А и В такие, что А 6 а, В i а. Постройте окружность, проходящую через точку В и касающуюся прямой а в точке А. 412. Даны две параллельные прямые и точка, им не принадлежащая. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся данных прямых.
Глава V ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. РАВЕНСТВО ФИГУР В этой главе вводятся понятия центральной и осевой симметрии и изучаются простейшие свойства фигур, имеющих центр и ось симметрии. Затем рассматриваются параллельный перенос и поворот фигур и вводится понятие перемещения фигуры. На этой основе дается определение равенства фигур. § 1. ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ 51. Фигуры, симметричные относительно точки. Две точки А и Аг называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка ААг. Точка О называется центром симметрии точек Ах и А (рис. 158, а). Точка О симметрична самой себе. Для того чтобы построить точку, симметричную данной точке А относительно некоторой точки О, достаточно провести прямую О А и от точки О на луче, дополнительном к лучу ОА> от его начала отложить отрезок OAlf равный отрезку ОА. II Определение. Две фигуры называются симметричными относительно данной точки, если каждая точка одной фигуры симметрична некоторой точке другой фигуры и обратно. Данная точка называется центром симметрии этих фигур. На рисунке 158, б фигуры F и Fx симметричны относительно точки О. Докажем теорему о центрально-симметричных отрезках. II Теорема. Если концы отрезка АВ симметричны концам отрезка А\В\ относительно точки О, то эти отрезки равны и и симметричны относительно точки О. 234
Рис. 159 Доказательство. Если точки О, А и В лежат на одной прямой, то утверждение теоремы очевидно (рис. 159, а), поэтому докажем теорему для случая, когда точки О, А и В не лежат на одной прямой (рис. 159, б). В этом случае симметричные им точки О, Ах и Вг также не лежат на одной прямой. Легко видеть, что А АО В = ААгОВ± по первому признаку равенства треугольников ([ОА'] = [ОАх], [ОВ"] = [ОВг~\ по определению симметричных точек, Z-AOB = /-АгОВ1у как вертикальные углы). Из равенства треугольников следует, что [АВ] = UM. Для того чтобы доказать вторую часть теоремы, т. е. что отрезки АВ и АхВг симметричны относительно точки О, достаточно взять любую внутреннюю точку М отрезка АВ и доказать, что симметричная ей точка Мг является внутренней точкой отрезка AXBX (рис. 159, б). Доказательство этого утверждения мы опускаем и предлагаем провести самостоятельно. Теорема доказана. Из предыдущей теоремы следует, что если вершины треугольника ABC симметричны соответственно вершинам треугольника AiBxCx относительно точки О, то эти треугольники симметричны. Пользуясь этой же теоремой, можно доказать, что если две точки одной прямой симметричны двум точкам второй прямой относительно некоторого центра, то сами прямые симметричны относительно того же центра (рис. 160). Рассмотрим следующую задачу. Задача. С помощью циркуля и рИс. 160 235
линейки построить прямую, симметричную данной прямой а относительно точки О. Решение. Отметим две точки А и Б на прямой и построим симметричные им точки Аг и В± относительно точки О (рис. 160). Прямая АгВг будет искомой. 52. Центр симметрии фигуры. Определение. Точка О называется центром симметрии фигуры, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Если точка О является центром симметрии фигуры F, то говорят, что фигура F симметрична относительно точки О. На рисунке 161 изображены фигуры, имеющие центр симметрии. Фигура может иметь один или несколько центров симметрии. Например, окружность симметрична относительно своего центра. Других центров симметрии окружность не имеет. Квадрат также имеет единственный центр симметрии — точку пересечения диагоналей. Существуют фигуры, имеющие бесконечно много центров симметрии. Простейшей из таких фигур является прямая: любая точка прямой является ее центром симметрии. С другой стороны, есть фигуры, которые не имеют ни одного центра симметрии. К таким фигурам относится треугольник. Рис. 161 ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 413. Начертите отрезок АВ и отметьте точку О, не принадлежащую прямой АВ. Постройте отрезок АгВ19 симметричный отрезку АВ относительно точки О. 414. Начертите отрезок АВ и на прямой АВ отметьте точку М, не принадлежащую [-АВ]. Постройте отрезок, симметричный [-4В] относительно: а) точки М\ б) точки А. 236
ш 10 i VI Ш 1 1 \ Y <ШтА / И 1 1 И о) б) 6) Рис. 162 *) 415. Начертите прямую а и отметьте точки 0{ и 02, Ох £ а, О2 € й. Постройте прямые, симметричные прямой а относительно точек Ох и 02. 416. Начертите луч Л и отметьте точку О, не лежащую на прямой, содержащей луч h. Постройте луч hl9 симметричный лучу h относительно точки О. 417. Начертите угол hk и постройте угол, симметричный данному относительно: а) вершины угла hk; б) точки А, принадлежащей внутренней области угла; в) точки Б, принадлежащей внешней области угла hk; г) точки С, принадлежащей лучу А. 418. Начертите треугольник ABC и отметьте некоторую точку О. Постройте треугольник АХВХСХ9 симметричный треугольнику ABC относительно точки О. 419. Перечертите рисунки 162, а, б, в, г в тетрадь. Дополните каждый рисунок так, чтобы получилась фигура, симметричная относительно точки О. 420. Нарисуйте несколько фигур, имеющих центр симметрии. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 421. Точки Аи Bi, Ci симметричны точкам А, В> С относительно точки О. Найдите АгВ19 если известно, что точка В лежит между точками А и С и АС = 7 см, ВС = 4 см. 422. Точки Al9 Bl9 Мг симметричны точкам А, В, М относительно точки О. Найдите АМ9 если известно, что точка М лежит между точками А и В и MB = 3,4 см, А1В1 = = 4,6 см. 423. Докажите, что если три точки А, В и С не лежат на одной прямой, то и точки А19 Вх и С19 симметричные им относительно некоторой точки, также не лежат на одной прямой. 237
424. Точки А{, В19 Сг симметричны соответственно точкам А, Б, С относительно центра О. Лежат ли точки А19 Bl9 Ci на одной прямой, если: а) АВ = 15 см, С А = 13 см, ВС = 7 см; б) АВ = 7 см, БС = 4 см, АС = 3 см? Дайте обоснование ответу. 425. Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ — = ВС = 11,4 см, АС = 4 см. Найдите периметр треугольника АхВхСц если он симметричен треугольнику ABC относительно точки А. 426. В треугольнике ABC имеем: АВ = 11,5 см, АС = 0,6 дм. Построен треугольник, симметричный данному относительно середины стороны ВС. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника. 427. Докажите, что если две прямые симметричны относительно некоторой точки и одна из них не проходит через эту точку, то прямые параллельны. 428. Докажите, что если две точки An В прямой р симметричны относительно центра О точкам Аг и Вг прямой pl9 то прямые р и pi симметричны относительно того же центра. 429. Докажите, что два угла, симметричные относительно некоторой точки, равны. 430. Отрезки. АВ и CD пересекаются во внутренней точке М. а) Докажите, что отрезки АгВ{ и CxDly симметричные отрезкам АВ и CD относительно некоторой точки О, также пересекаются во внутренней точке; б) найдите AxM-fin если AMD = 57°. Здесь Мх — точка пересечения отрезков АХВХ и C^Di. 431. Докажите, что если концы отрезка АВ симметричны концам отрезка АгВ{ относительно центра О, то середины этих отрезков симметричны относительно того же центра. 432. Отрезки АВ и CD симметричны относительно точки О. Рис. 163
Будут ли симметричны их серединные перпендикуляры относительно того же центра? Дайте обоснование ответу. 433. Какие из фигур, изображенных на рисунке 163, имеют центр симметрии? 434. Имеет ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) прямая; г) пара пересекающихся прямых? § 2. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ 53. Фигуры, симметричные относительно прямой. Точки А и Аг называются симметричными относительно некоторой прямой ру если эта прямая перпендикулярна отрезку ААг и проходит через его середину (рис. 164). Прямая р называется осью симметрии точек А и Аг. Каждая точка оси симметрии симметрична самой себе. На рисунке 164 точки А и Ах, В и Вх симметричны относительно прямой ру а точка С симметрична самой себе. Отметим, что ось симметрии точек А и Ах является серединным перпендикуляром отрезка ААХ. Напомним, что каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от его концов (VI, п. 59), поэтому каждая точка оси симметрии двух точек равноудалена от этих точек. Для того чтобы построить точку, симметричную данной точке А относительно некоторой прямой р, достаточно провести через точку А прямую а, перпендикулярную прямой р, и от точки пересечения Н прямых аирна луче, дополнительном к лучу НА, отложить отрезок НАи равный отрезку НА (рис. 165, а). Точка Аг будет искомой. а г -А. Н Р 'А, < С —i— >А 'А, <В Р а) 6) Рис. 164 Рис. 166 239 L
Рис. 166 Точку Ах можно построить с помощью одного циркуля без линейки. Для этого заметим, что данная прямая р является осью симметрии точек А и Аи поэтому каждая точка этой прямой равноудалена от точек А и Ах. Отсюда вытекает следующий способ построения точки Ах (рис. 165, б). Отметим на прямой р две точки М и N и построим две окружности М (МА) и N (NA). Эти окружности пересекаются в точке Айв искомой точке А1# Определение. Две фигуры называются симметричными относительно данной прямой, если каждая точка одной фигуры симметрична некоторой точке другой фигуры и обратно. Данная прямая называется осью симметрии этих фигур. На рисунке 166 фигуры Е и Ех, F и Flf G и Gx симметричны относительно прямой р. Имеет место следующая теорема об отрезках, симметричных относительно прямой. Теорема. Если концы отрезка АВ симметричны концам отрезка А\В\ относительно прямой р, то эти отрезки равны и симметричны относительно той же прямой. В справедливости теоремы можно убедиться следующим образом. Представим себе, что плоскость, на которой заданы данные отрезки АВ, АХВХ и данная прямая р, сделана из бумаги (рис. 167). Если мы перегнем эту плоскость по прямой р так, чтобы полуплоскость Н совпала с полуплоскостью К, то лучи А0А и А0Аг совпадут, поэтому в силу равенства отрезков АА0 и А±А0 точки А и Ах совпадут. Точно так же совпадут и точки В и Вг. Ясно, что каждая точка отрезка АВ совпадет с некоторой точкой отрезка AXBX и наоборот, т. е. отрезки АВ и АхВг совпадут. Отсюда следует, что отрезки АВ и А1В1 равны и симметричны относительно прямой р. Из доказанной теоремы следует, что если вершины треугольника ABC симметричны соответственно вершинам треуголь- 210
ника АхВхСх относительно прямой р, то эти треугольники симметричны. Пользуясь этой же теоремой, можно доказать, что если две точки одной прямой симметричны двум точкам другой прямой относительно некоторой оси, то сами прямые симметричны относительно той же оси. Решим следующую задачу на построение. Задача. С помощью циркуля и линейки построить прямую а19 симметричную данной прямой а относительно прямой р. Решение. Для построения искомой прямой ах достаточно отметить две точки А и Б на прямой а и построить симметричные им точки Ах и Вг относительно прямой р. Прямая AXBX, согласно предыдущему утверждению, будет искомой. Построение выполнено на рисунке 168, а. Замечание. Напомним, что каждая точка оси симметрии симметрична самой себе, поэтому если прямая а пересекает ось симметрии р в некоторой точке А, то искомая прямая проходит через эту точку. В этом случае для построения прямой аг достаточно отметить на прямой а одну точку В и построить симметричную ей точку Вх. Прямая АВХ будет искомой (рис. 168, б). Если прямая а перпендикулярна прямой р, то искомая прямая совпадает с прямой а. Рис. 168 241
Рис. 169 Рис. 170 54. Ось симметрии фигуры. Определение. Прямая называется осью симметрии данной фигуры, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно этой прямой принадлежит той же фигуре. Если прямая р является осью симметрии фигуры F, то говорят, что фигура F симметрична • относительно прямой р. На рисунке 169 изображены фигуры, симметричные относительно прямой р. Фигура может иметь одну или несколько осей симметрии. Например, неразвернутый угол имеет только одну ось симметрии — прямую, содержащую биссектрису угла (рис. 170, а). Равнобедренный треугольник (но не равносторонний) также имеет только одну ось симметрии (рис. 170, б); квадрат имеет четыре оси симметрии (рис. 171). Существуют фигуры, которые имеют бесконечно много осей симметрии. Так, любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии. С другой стороны, имеются фигуры, которые не имеют ни одной оси симметрии. К таким фигурам относится разносторонний треугольник. Плоские изображения многих пред- Оси симметрии квадрата метов окружающего нас мира имеют Рис. 171 ось симметрии или центр симметрии. 242
Так, в большинстве случаев листья деревьев или лепестки цветов с большой степенью точности симметричны относительно среднего стебля (рис. 172). С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту. Например, фасады многих зданий обладают осью симметрии (рис. 173). В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, на тканях или на комнатных обоях. Симметричны многие детали механизмов, например шестеренки, зубчатые колеса и др. В геометрии свойства осевой и центральной симметрии часто используются при доказательстве теорем и решении задач. Рассмотрим пример. Задача. Даны прямая р и две точки А и В в одной полуплоскости с границей р. На прямой р построить точку М так у чтобы сумма длин отрезков AM и MB была наименьшей (рис. 174). Решение. На прямой р требуется построить точку М так, чтобы неравенство AM + MB < AX + ХВ выполнялось для любой точки X прямой р, отличной от точки М. Пусть X — произвольная точка прямой р. Построим точку В1у симметричную точке В (рис. 174). Отрезки ХВХ и ХВ симметричны относительно прямой р (п. 53), поэтому ХВ = ХВг. Отсюда следует, что АХ + ХВ = =АХ + ХВг. Теперь мы можем легко найти такое положение точки X на прямой р, при котором сумма АХ + + ХВХ является наименьшей. Пусть М — точка пересечения отрезка АВ± с
прямой р. Если точка X отлична отточки М, то в треугольнике АХВХимеем: АХ + ХВХ> АВ±. Так как АВ±= AM + MBl9 то АХ + ХВХ > АМ+ МВг. Но ХВХ = ХВ и МВ^МВ, поэтому АХ + ХВ > AM + MB. Отсюда следует, что М — искомая точка. Итак, для построения точки М следует построить точку Ви симметричную точке В относительно прямой р, и построить отрезок АВг. Этот отрезок пересечет прямую р в искомой точке М. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ 435. Начертите прямую Z. Отметьте точки А и В, не лежащие на этой прямой, и точку С, принадлежащую ей. Постройте точки А19 Вх и Си симметричные данным точкам относи- тельно прямой I. Выполните построение сначала с помощью чертежного треугольника и линейки, а затем с помощью одного циркуля. 436. Отметьте две точки и постройте их ось симметрии. 437. Начертите прямую р и пары точек А, Ах и В, В19 симметричных относительно прямой р. С помощью масштабной линейки сравните длины отрезков АВ и АХВХ. 438. Начертите две пересекающиеся, но не перпендикулярные прямые аир. Постройте прямую аи симметричную прямой а относительно прямой р. 439. Начертите А АВС и прямую р, не пересекающую стороны треугольника АВС. Постройте АА^хС^ симметричный треугольнику АВС относительно прямой р. Пользуясь масштабной линейкой и транспортиром, убедитесь в том, что стороны и углы ААхВхСх соответственно равны сторонам и углам А АВС. Выполните еще раз построение для случая, когда прямая р пересекает две стороны треугольника. 440. Начертите угол hk и прямую р, не пересекающую стороны угла. Постройте угол fti&i, симметричный углу hk относительно прямой р, и, пользуясь транспортиром, убедитесь в том, что Aifei = hk. 441. Начертите следующие фигуры и для каждой из них постройте оси симметрии, если они существуют: а) отрезок АВ; б) угол hk; в) равнобедренный треугольник; г) разносторонний треугольник; д) равносторонний треугольник. 244
442. Начертите фигуру, имеющую: а) только одну ось симметрии; б) несколько осей симметрии. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 443. Какие из точек М, N, С, Q, S, изображенных на рисунке 175, симметричны относительно прямой р: а) точке А; б) точке В? 444. Могут ли точки А и Аг быть симметричными относительно прямой /?, если расстояния от этих точек до прямой р равны: а) 4 см и 6 см; б) 7 см и 7 см; в) 11,3 см и 11,4 см? Дайте обоснование ответу. 445. Точки Ml9 Nx и Рг симметричны точкам М, N и Р относительно прямой р. Найдите МгРи если известно, что точка N лежит между точками М и Р, MN = 19 см, NP = 12 см. 446. Точки А19 Вг и Сг симметричны точкам А, В и С относительно прямой р. Найдите A±BU если известно, что точка В лежит между точками А и С, АС = 5 см, ВС = 3 см. 447. Точки А, В и С лежат на одной прямой и симметричны точкам А19 Вх и Сг относительно прямой I. Найдите AXCU если известно, что ВС = 4 дм, АВ = 13 см. 448. На рисунке 176, а точки А и Аг, В и Вх симметричны относительно прямой/?. Найдите АВ и АХВ19 если АН = 27,3 см, ВХН = 7,8 см. 449. На рисунке 176, б точки А и А1ч В и Вх симметричны относитель-
455. 456. 457. но прямой р. Найдите АВ и АгВи если АА{ = 5 см, ВВХ = 15 см. 450. Лежат ли точки А19 Вг и Сх на одной прямой, если они симметричны точкам А, В9 С относительно некоторой прямой и известно, что: а) АВ = 2 дм, АС = 10 дм, ВС = = 80 см; б) АВ = 1,1 см, 5^ = = 5 см, СА = 6 см? 451. Докажите, что если точки А9 В и С лежат на одной прямой, то точки Ац Вг и С19 симметричные этим точкам относительно некоторой прямой, также лежат на одной прямой. 452. На рисунке 177 назовите фигуры, симметричные относительно прямой р. 453. Отрезок АВ пересекается с прямой I во внутренней точке С Точки Alf Вг и Ci симметричны точкам At В я С относительно прямой I. Найдите длину от- Рис. 177 резка AxBi, если АС = 3,1 см, СгВг = 4,8 см. 454. Прямая а пересекает отрезок CD во внутренней точке М. Отрезок C±Di симметричен отрезку CD относительно прямой а. Найдите длину отрезка MDU если CD = 23 см, а СгМ = 11,7 см. Точки А19 Вг и С г симметричны вершинам треугольника ABC относительно прямой а. Найдите периметр треугольника АхВьСц если АВ = 4,5 см, ВС = 5,5 см, С А = 8,1 см. Треугольник AiB±Ci симметричен равнобедренному треугольнику ABC относительно прямой, содержащей одну из сторон треугольника ABC. Найдите АС и периметр треугольника АхВхСц если: АВ = 7 см, ВС « 15 см. В прямоугольном треугольнике ABC длина гипотенузы [-АВ] равна 5,1 см, а длина катета [АС] — 3,5 см. Найдите периметр треугольника АВА1У если точка Аг симметрична точке А относительно прямой ВС. 246
458. Какие из фигур, изображенных на рисунке 163 (с. 238), имеют оси симметрии? 459. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч; г) угол? 460. Прямая ВО — ось симметрии угла ABC. Треугольник BAXCX симметричен треугольнику ABC относительно прямой ВО. Определите длины отрезков АгС и AClf если В А =» = 5,4 см, ВС =* 35 мм. 461. Докажите, что если отрезки АВ и А1В1 симметричны относительно прямой 19 то их середины симметричны относительно той же прямой /. 462. Докажите, что если треугольники ABC и АХВХСХ симметричны относительно прямой I, то медианы этих треугольников также симметричны относительно прямой I. 463. Докажите, что если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный и осью симметрии является серединный перпендикуляр основания. Решение. Пусть р — ось симметрии А АВС. Так как точки А, В и С не лежат на одной прямой, то хотя бы одна из этих точек не лежит на прямой р. Пусть для определенности точка В не лежит на оси. Ясно, что каждая из вершин А, В и С треугольника АВС симметрична некоторой вершине того же треугольника, поэтому вершина В симметрична либо вершине С, либо вершине А. Пусть, например, В и С симметричны относительно прямой р. В этом случае точка А не может быть симметрична ни точке Б, ни точке С, поэтому точка А симметрична самой себе, следовательно, А € р. Таким образом, стороны АВ и АС треугольника АВС симметричны относительно прямой ру поэтому [АВ] «■« [АС], т. е. ААВС равнобедренный. Так как точки В и С симметричны относительно прямой /?, то осью симметрии треугольника является серединный перпендикуляр основания [ВС]. § 3. ПРОСТЕЙШИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ. РАВЕНСТВО ФИГУР 55. Соответствие между точками фигур, сохраняющее расстояния. В геометрии изучают не только свойства отдельных фигур, изучают также их взаимное расположение. В связи с 247
этим принято говорить о перемещении фигур, понимая под этим термином способ получения из данной фигуры новой фигуры той же формы и тех же размеров, что и исходная. Рассмотрим несколько примеров перемещений фигур. Пример 1. Пусть F — треугольник ABC. Отметим на плоскости точку О и представим себе, что для каждой точки X треугольника ABC построена симметричная ей точка Хх относительно точки О (рис. 178). В результате мы получаем фигуру F±. Из теоремы о центральной симметрии отрезков (п. 51) следует, что фигура -Pi есть треугольник A-iB-^C^ и для ее построения достаточно построить три точки Аи Вг и Си симметричные вершинам треугольника ABC. Говорят, что треугольник АхВхСх получен центральной симметрией из треугольника ABC. Пример 2. Пусть F — окружность О (г). Проведем на плоскости прямую р и представим себе, что для каждой точки X окружности О (г) построена симметричная ей точка Хх относительно прямой р (рис. 179). Мы получаем фигуру F±. Докажем, что Fi — окружность. Действительно, если Ох — точка, симметричная точке О относительно прямой р, то согласно теореме об отрезках, симметричных относительно прямой (п. 53), для любой точки Хг фигуры Fi имеем ОхХх = ОХ. Так как X € (: О (г), то ОХ = г, поэтому ОхХг = г. Отсюда следует, что Fx — окружность. Говорят, что окружность Oi (r) получена осевой симметрией из окружности О (г). Если ось симметрии р проходит через центр М окружности М (-R), то окружность, полученная из нее с помощью осевой симметрии, совпадает с М (R) (рис. 179). Рис. 178 Рис. 179 248
В каждом из рассмотренных примеров устанавливается соответствие между точками исходной фигуры F и построенной фигуры Fx (т. е. каждой точке X фигуры F ставится в соответствие точка Хг фигуры Fx). Зти соответствия обладают следующим интересным свойством: если точки X и Y переходят в точки Хг и Yl9 то XY = XxYlt В самом деле, в случае центральной симметрии (пример 1) это утверждение следует из теоремы о центрально-симметричных отрезках (п. 51), а в случае осевой симметрии (пример 2) — из теоремы об отрезках, симметричных относительно прямой (п. 53). В геометрии часто рассматривают соответствия между точками двух фигур. Среди них особую роль играют такие соответствия, которые обладают указанным свойством, т. е. сохраняют расстояния между точками. 56. Параллельный перенос и поворот. Рассмотрим еще два примера соответствий точек фигур, сохраняющих расстояния. Пример 3. (Параллельный перенос фигуры.) Отметим на плоскости две точки Р и Рг. Для каждой точки X данной фигуры F построим точку Хх так, чтобы лучи ХХг и РРг имели одно направление* и чтобы ХХХ = РРг (рис. 180). В результате этого мы получим новую фигуру Fx. Говорят, что фигура Fx получена из фигуры F параллельным переносом, заданным точками Р и Рх. При параллельном переносе фигуры, так же как и в предыдущих случаях, устанавливается соответствие между точками фигур F и Fx. Можно доказать, что это соответствие сохраняет расстояния между точками. Замечание. Отметим, что если параллельный перенос задан точками РиР1} то точка Х19 соответствующая точке X фигуры F, симметрична точке Р относительно середины отрезка ХРХ (рис. 180). Это утверждение следует из свойств диагоналей параллелограмма (п. 16 и 17) и может быть использовано для построения точки Xlf которая соответствует заданной точке X. * Следует учесть, что если лучи ХХг и РР1 имеют одно направление, то прямые ХХХ и РР^ параллельны или совпадают. 249
Рис. 181 Пример 4. (Поворот фигур ы.) Пусть О — заданная точка, а а — градусная мера некоторого угла. Возьмем произвольную фигуру F (рис. 181) и для каждой точки X этой фигуры построим точку Хг так, чтобы ОХ = ОХх и чтобы луч ОХх был получен* вращением луча ОХ на угол а в данном направлении (т. е. либо по часовой стрелке, либо против часовой стрелки). В результате мы получим новую фигуру Fx. Говорят, что фигура Fx получена из фигуры F поворотом на угол а вокруг центра О. Можно доказать, что соответствие между точками фигур F и Fly которое устанавливается при повороте фигуры* сохраняет расстояния. Рассмотрим пример построения фигуры, полученной из данной поворотом на данный угол. Задача. Пусть О — точка плоскости. Построить отрезок АхВи полученный из данного отрезка АВ поворотом на 120° вокруг центра О по часовой стрелке. Решение. Пусть [-4-S] — данный отрезок (рис. 182). Для построения отрезка A±BX достаточно построить его концы Аг и Вг. Точка Ах получена из точки А поворотом вокруг центра О на угол 120° по часовой стрелке, поэтому для ее построения проведем окружность О (ОА) и в нужной полуплоскости с границей О А построим луч О Аг так, чтобы АОАх = 120° чтобы и он пересекал окружность О (ОА) в точке Ах. Аналогично строим точку Вг. Соединив эти точки, получаем искомый отрезок AXBX. 57. Равенство фигур. В VI классе на основе наглядных представлений было введено понятие перемещения простейших фигур: точек, прямых, отрезков и треугольников. Сей- Рис 182 250
час мы придадим этому понятию математический смысл и распространим его на другие фигуры. I Говорят, что фигура F± получена перемещением фигуры F, если между их точками можно установить такое соответст- I euet которое сохраняет расстояния. При этом предполагается, что каждая точка фигуры Рг поставлена в соответствие некоторой точке фигуры F. Во всех четырех примерах, рассмотренных в пп. 55, 56, фигура Fx получена перемещением фигуры F, так как соответствия, установленные* между точками фигур F и Flf отвечают этим условиям. Понятие перемещения используется для определения равенства фигур. || Определение. Фигура Ф называется равной фигуре Ф\, Л если Ф{ получена перемещением фигуры Ф. Равенство фигур обладает следующими свойствами. 1. Каждая фигура равна самой себе. 2. Если фигура Р равна фигуре Q, то фигура Q равна фигуре Р. 3. Если фигура Р равна фигуре Q, а фигура Q равна фигуре JR, то фигура Р равна фигуре R. Нетрудно доказать, что понятия равенства отрезков (а также треугольников), введенные нами в VI классе, полностью согласуются с новым понятием равенства фигур. Действительно, имеет место следующая теорема, доказательство которой мы опускаем. II Теорема. Если отрезок CD получен перемещением отрезка АВ> то CD=AB. Обратно, если AB=CD, то отрезок CD можно получить перемещением отрезка АВ. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 464. Начертите треугольник, окружность и параллелограмм. Для каждой фигуры отметьте точку, расположенную во внешней области относительно фигуры, и, приняв ее за центр симметрии, постройте фигуры, полученные из данных центральной симметрией. 465. Начертите угол ABC и отметьте точку О на биссектрисе этого угла. Постройте угол, полученный из угла ABC центральной симметрией с центром в точке О. 251
466. Начертите треугольник ABC и отметьте середину О стороны АВ. Постройте треугольник A^Ci, полученный из треугольника ABC центральной симметрией с центром О. Определите вид получившегося при этом четырехугольника ВС АС х- 467. Начертите квадрат ABCD и проведите прямую I так, чтобы она была параллельна отрезку CD и не пересекала стороны квадрата. Постройте фигуру, полученную из квадрата ABCD осевой симметрией с осью I. 468. Решите предыдущую задачу, если прямая I параллельна стороне CD, но пересекает стороны AD и ВС. 469. Отметьте две точки Р и Р±. Начертите отрезок АВ так, чтобы прямые АВ и РРХ пересекались. Постройте фигуру, полученную из отрезка АВ параллельным переносом, заданным точками Р и Рх. 470. Решите предыдущую задачу для случая, когда: а) прямые РРХ и АВ параллельны; б ) прямые РРХ и АВ совпадают. 471. Отметьте две точки Р и Рх и начертите треугольник. Постройте фигуру, которая получена из этого треугольника параллельным переносом, заданным точками Р и Рг. 472. Начертите отрезок АВ и постройте фигуру, полученную из этого отрезка поворотом с центром в точке А на угол 70 против часовой стрелки. 473. Решите предыдущую задачу, приняв за центр поворота точку О, не принадлежащую прямой АВ. 474. Найдите фигуры, которые получены поворотом на угол а из следующих фигур: а) прямой, проходящей через центр поворота; б) окружности, центр которой совпадает с центром поворота. 475. Перечертите рисунки 183, а, б и в на бумагу в клетку и для каждого случая постройте фигуры, полученные \ ч* ч а) Ч N \ Ч 0 К 1 L 1 I ™™ б) \ \ \ > l N р / \ / \ б) / \ ? р\ 252 Рис. 183
данных: а) поворотом с центром в точке О на угол 45° по часовой стрелке; б) центральной симметрией с центром в точке О; в) поворотом с центром О на угол 90° против часовой стрелки. 476. Какие из следующих утверждений справедливы: а) если фигуры F и F± симметричны относительно точки О, то фигура Ft получена центральной симметрией из фигуры F; б) если фигуры F и Fx симметричны относительно прямой /?, то фигура F получена осевой симметрией из фигуры Fx\ в) если фигура Fx получена перемещением фигуры F, то F и Fx симметричны относительно некоторой прямой? 477. Даны две прямые а и ах. Докажите, что прямую ах можно получить перемещением из прямой а. 478. Даны два произвольных луча h и А1# Всегда ли можно утверждать, что луч Ах может быть получен перемещением луча А? 479* .Докажите, что если фигура F2 получена перемещением фигуры Fl9 a F3 — перемещением фигуры F2, то F3 получена перемещением Fx. 480. Можно ли утверждать, что данная фигура получена перемещением самой себя? Дайте обоснование ответу. 481. Фигура -Fi получена из фигуры F осевой симметрией с осью Z, а фигура F2 — из фигуры F центральной симметрией с центром О. Равны ли фигуры Fx и F21 Дайте обоснование ответу. 482* .Докажите следующие предложения: а) если фигура Р равна фигуре Q, то фигура Q равна фигуре Р; б) если фигура Р равна фигуре Q, а фигура Q равна фигуре Rf то фигура Р равна фигуре R. ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ V 1. В каком случае говорят, что точки симметричны относительно некоторого центра? Как построить точку А19 симметричную точке А относительно центра О? 2. Дайте определение фигуры, симметричной относительно точки. 3. Сформулируйте и докажите теорему о центрально-симметричных отрезках. 253
4. С помощью циркуля и линейки постройте прямую, симметричную данной прямой относительно данного центра. 5. Дайте определение центра симметрии фигуры. Назовите фигуры, имеющие центр симметрии. 6. В каком случае говорят, что точки симметричны относительно прямой? Как построить точку, симметричную данной точке относительно прямой? 7. Дайте определение фигуры, симметричной относительно прямой. 8. Сформулируйте теорему об отрезках, симметричных относительно прямой. 9. С помощью циркуля и линейки постройте прямую, симметричную данной прямой относительно оси. 10. Дайте определение оси симметрии фигуры. Назовите фигуры, имеющие ось симметрии. 11. Когда мы говорим, что фигура Fx получена из фигуры F центральной симметрией? Начертите треугольник и постройте фигуру, полученную из него центральной симметрией. 12. Когда мы говорим, что фигура Fx получена из фигуры F осевой симметрией? Начертите окружность и постройте фигуру, полученную из нее осевой симметрией. 13. Когда мы говорим, что соответствие между точками двух фигур сохраняет расстояния? 14. Что мы понимаем под параллельным переносом фигуры? Как построить точку Х1у соответствующую точке X при параллельном переносе, заданном точками Р и Pi? 15. Что мы понимаем под поворотом фигуры? Как построить отрезок A±BU полученный поворотом из отрезка АВ на данный угол с данным центром? 16. Когда мы говорим, что фигура F равна фигуре J?i? Сформулируйте основные свойства равенства фигур. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 483. Докажите, что прямые, симметричные двум данным параллельным прямым относительно точки О (или относительно прямой р), параллельны. 484. Докажите, что прямые, симметричные двум данным перпендикулярным прямым относительно точки О (или относительно прямой р)у перпендикулярны.
485. Может ли фигура, полученная центральной симметрией из параллелограмма, быть трапецией? Дайте обоснование ответу. 486. Даны две прямые а и Ъ и точка А так, что А $ а, А $ Ь. Всегда ли на прямой а можно построить точку X так, чтобы симметричная ей точка Хг относительно точки А лежала на прямой Ь? 487. Докажите, что центр окружности является ее центром симметрии. 488* .Докажите, что если Сточки А и В — центры симметрии фигуры, то точка А19 симметричная точке А относительно точки В, также является центром симметрии этой фигуры. Какой вывод можно сделать в этом случае о числе центров симметрии фигуры? 489. Диагонали \_АС~\ и [-BD] четырехугольника ABCD пересекаются во внутренней точке О так, что [БО] = [OjD], [АО] > [СО]. Докажите, что Z.A < /JC. 490. В треугольнике ABC медианы [АА{\, [ABJ и [СС{] пересекаются в точке М. Точки А2, В2 и С2 являются соответственно серединами отрезков АМУ ВМ и СМ. Докажите, что АА1В1С1 = АА2В2С2. 491. Может ли фигура, полученная осевой симметрией из прямоугольника с неравными сторонами, быть квадратом? Дайте обоснование ответу. 492. Перечертите рисунки 184, а, б, в на бумагу в клетку. Постройте фигуры, симметричные фигурам, изображенным на этих рисунках, относительно прямой р. 493. Даны два произвольных квадрата. Всегда ли существует прямая, относительно которой эти квадраты симметричны? 494*.Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии, то она имеет также и центр симметрии. 495. Докажите, что прямая, содержащая высоту равнобедренного треугольника, является его осью симметрии. 496. Точка А расположена во внутренней области острого угла 255 а) \б) BL р р\ р\
Рис. 185 CDE. Точка Ах симметрична точке А относительно прямой DE и точка А2 симметрична точке А относительно прямой DC. Найдите CDE, если AXDE = 24°, AJ)C = 48°. 497. Докажите, что любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии. 498. Точка пересечения двух равных хорд принадлежит некоторому диаметру. Докажите, что эти хорды симметричны относительно прямой, содержащей этот диаметр. 499. Докажите, что если треугольник имеет две оси симметрии, то он имеет и третью ось симметрии. 500. Даны две параллельные прямые а и Ь. Докажите, что прямую Ъ можно получить параллельным переносом из прямой а. Сколько таких параллельных переносов существует? 501. Назовите фигуры, каждая из которых получена из той же фигуры при некотором параллельном переносе. Дайте обоснование ответу. 502. Начертите фигуры, каждая из которых может быть получена из этой же фигуры поворотом вокруг некоторой точки плоскости. 503. Треугольники, изображенные на рисунке 185, равны друг ДРУгу. В каждом из следующих случаев укажите центр поворота в точках А, В или С, при котором: а) Л2 получен поворотом из Ax; б) Л8 — из Лх; в) Лб — из Л3; г) Л7 — из Л2; д) Л7 — из Л5. 504. Докажите, что фигура, полученная перемещением треугольника, является треугольником, а фигура, полученная перемещением четырехугольника, — четырехугольником. 505. Докажите, что фигура, полученная перемещением окружности О (г), является окружностью радиуса г. 256
506. Даны точка О и две окружности С{ (гх) и С2 (г2). а) Постройте окружность М (г), симметричную окружности С2 (г2) относительно точки О. б) Пользуясь окружностью М (г), постройте отрезок так, чтобы точка О была его серединой и чтобы концы отрезка принадлежали соответственно окружностям Сг (гх) и С2 (г2). 507. Даны три прямые a, b, p. a) Постройте прямую Ь19 симметричную прямой Ъ относительно прямой р. б) Пользуясь прямой Ьх, постройте отрезок так, чтобы его концы лежали соответственно на прямых а и Ъ и чтобы прямая р была осью симметрии отрезка. 508. Даны прямые а, Ъ и окружность О (г), а) Постройте прямую аи симметричную прямой а относительно прямой Ь. б) Используя прямую аи постройте отрезок так, чтобы прямая Ъ была серединным перпендикуляром этого отрезка и чтобы концы этого отрезка лежали соответственно на прямой а и окружности О (г). 509. Постройте оси симметрии двух пересекающихся прямых. 510. Дан равнобедренный треугольник ABC (где АВ = ВС) и точка D на прямой АС так, что А — С — D. а) Постройте отрезок CXD, который получен из отрезка ВС параллельным переносом, заданным точками С и D. б) Докажите, что трапеция ABCXD — равнобедренная. 511. Отметьте две точки Р и Рг и начертите окружность и трапецию. Постройте фигуры, которые получены из этих фигур параллельным переносом, заданным точками Р и' Рг. 512. Даны две непараллельные прямые а и 6 и отрезок АВ. Постройте- прямые аг и Ъ19 которые получены из прямых а и Ъ параллельным переносом, заданным точками А и В. 513. Отметьте точку О и начертите треугольник ABC так, чтобы точка О находилась во внешней области треугольника. Постройте фигуру, полученную из треугольника ABC поворотом с центром О на угол 90° против часовой стрелки. 514. Решите предыдущую задачу, приняв за центр поворота точку А. 515. Начертите окружность С (г) и отметьте точку О, внешнюю относительно окружности. Постройте фигуру, полученную из окружности С (г) поворотом с центром в точке О на угол 60° по часовой стрелке. 9 Заказ 54
Глава VI ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ В этой главе мы введем понятие площади многоугольника и выведем формулы для вычисления площадей простейших многоугольников — треугольника, параллелограмма и трапеции. § 1. ПЛОЩАДЬ МНОГОУГОЛЬНИКА 58. Многоугольник. Многоугольником АХА2 ... Ап называется фигура, состоящая из отрезков АгА2, А2А3, ..., Ап_гАп, АпАх, любые два из которых, имеющие общий конец, не лежат на одной прямой. Отрезки, о которых говорится в этом определении, называются сторонами, а их концы — вершинами многоугольника. Многоугольник, имеющий п сторон, называется п-уголъником. На рисунке 186 даны примеры многоугольников: АхВ^Сх — треугольник, A2B2C2D2 — четырехугольник, A3B3C3D3E3F3 — шестиугольник, JP1JF,a---Pio — десятиугольник, АХА2 ... А7 — семиугольник. Мы будем рассматривать только простые многоугольники, т. е. такие, для которых все вершины различны и любые две стороны, не имеющие общего конца, не имеют ни одной общей точки. Многоугольники, изображенные на рисунках 186, а, б, г, простые, а на рисунках 186, в, д не являются простыми. В, .,<3 ' ^з а) д) Ч V к Ь F* \ г) д) Рис. 186 258
Многоугольник Многоугольная область Рис. 188 Простой многоугольник разбивает множество точек плоскости, не принадлежащих многоугольнику, на две области — внутреннюю и внешнюю. На рисунке 187 внутренняя область четырехугольника заштрихована. Точки внутренней области называются внутренними, а точки внешней области — внешними относительно многоугольника. На рисунке 187 точки Р и Q внутренние, а точки R и S внешние относительно четырехугольника ABCD. На этом же рисунке все точки прямой а являются внешними относительно четырехугольника. Фигуру, образованную многоугольником вместе с его внутренней областью, называют многоугольной областью. На рисунке 188 слева изображен многоугольник, а справа — многоугольная область. Мы уже изучили геометрические свойства простейших многоугольников — треугольников и четырехугольников. Сейчас приступаем к изучению свойств площадей этих многоугольников. В повседневной жизни, когда говорят о площади треугольника, четырехугольника или о площади многоугольника, имеют в виду площадь той части плоскости, которая ограничена многоугольником. Для простоты изложения мы будем поступать так же, т. е. будем говорить о площади многоугольника, понимая под этим площадь многоугольной области. Так как эта глава целиком посвящена изучению площадей многоугольников, то здесь под термином «многоугольник» будем понимать многоугольную область. 59. Понятие площади многоугольника. В V классе мы уже пользовались формулами для вычисления площадей некоторых простейших фигур. Здесь мы уточним понятие площади и выведем формулы для вычисления площадей треугольников и четырехугольников. 9* 259
Равные отрезки АВ и CD имеют равные длины. Равные многоугольники F и Q имеют равные площади Рис. 189 АС=Ад+ВС Рис. 190 Понятие площади аналогично понятию длины отрезка. Мы знаем, что если выбрана единица измерения отрезков, то каждый отрезок имеет длину. Точно так же, если выбрана единица измерения площадей (например, квадрат), то каждый многоугольник имеет площадь. Далее, равные отрезки АВ и CD имеют равные длины. Аналогично равные многоугольники F и Q имеют равные площади (рис. 189). Отметим, наконец, что если отрезок АС точкой В разделен на два отрезка АВ и ВС9 то длина отрезка АС равна сумме длин отрезков АВ и ВС. Аналогично, если многоугольник F составлен из многоугольников Р и Q, то площадь SF многоугольника F равна сумме площадей Sp и SQ многоугольников Р и Q (рис. 190). Эти свойства, как мы далее покажем, позволяют вывести формулы для вычисления площадей некоторых многоугольников. В VI классе были сформулированы акоиомы и свойства, которые позволили выразить длины отрезков и меры углов через положительные, числа. Аналогично сформулируем условия, которые позволят и площади многоугольников выразить через положительные числа. Они называются основными свойствами площадей. 1°. Если два многоугольника равны, то их площади равны (рис. 189). 2°. Если многоугольник составлен из неперекрывающихся многоугольников у то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников (рйс.~ 191). 260
Рис. 191 3°. Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны. Поясним второе условие. Мы говорим, что многоугольник F составлен из неперекрывающихся многоугольников Fl9 F2, ..., ..., Fk, если каждая точка многоугольника F принадлежит хотя бы одному из многоугольников Fl9 F2, ..., Fk и никакие два из этих многоугольников не имеют общих внутренних точек. На рисунке 191 пятиугольник ABCDE составлен из двух неперекрывающихся многоугольников F и <3, а четырехугольник MNPQ — из трех многоугольников Fu F2 и F3- Мы знаем, что длина отрезка зависит от выбора единицы измерения. Поэтому согласно основному свойству 3° число, выражающее площадь квадрата, а следовательно, и любого другого многоугольника, зависит от выбора единицы измерения отрезков. По существу площадь многоугольника характеризуется положительным числом S, которое указывает, во сколько раз данный многоугольник больше (если S > 1) или меньше (если S < 1) другого многоугольника, площадь которого равна единице. По этой причине, когда записывают число, выражающее площадь многоугольника, указывают единицу измерения площади, т. е. многоугольник, площадь которого равна единице. За такой многоугольник обычно принимают квадрат со стороной, равной единице измерения отрезков, так как согласно свойству 3° площадь этого квадрата равна единице. Например, если за единицу измерения отрезков принят 1 см, то за единицу измерения площадей принимают квадрат с длиной стороны 1 см. Площадь этого квадрата обозначают так: 1 см2 и в этом случае площадь любого многоугольника выражают в квадратных сантиметрах. Таким образом, каждый раз рядом с числом, выражающим площадь многоугольника, указывают единицу измерения: мм2, см2, дм2, км2 и т. д. 261
A Л* ^ "J '' 0 « г) Рис. 192 В следующих двух параграфах мы выведем формулы для вычисления площадей простейших многоугольников. Условимся площадь многоугольника АВС...М обозначать так: SABC M> ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 516. На рисунке 192 изображены фигуры, состоящие из отрезков А±А29 А2А3, А3А4, А±АЬ, AbAlt Какие из этих фигур являются многоугольниками? Перечертите многоугольники в тетрадь. 517. Какие из многоугольников, изображенных на рисунке 193, являются простыми? Перечертите эти многоугольники в тетрадь и заштрихуйте внутреннюю область каждого из них. 518. Начертите квадрат и примите его за единичный. Постройте четыре фигуры так, чтобы они были составлены из единичных квадратов и имели соответственно площади: 4, 7, 8 и 10. 519. Вырежьте из бумаги два равных прямоугольных треугольника и сложите из них: а) равнобедренный треугольник; б) прямоугольник; в) параллелограмм, отличный от прямоугольника. Сравните площади полученных фигур. /\^ УС 520. Начертите квадрат и примите его г Л ^ л за единичный. Пользуясь свой- а' ™ ствами 1° и 2° площадей, начертите: а) какой-нибудь треугольник, площадь которого равна 10; б) какую-нибудь трапецию, пло- 6) ^ г) щадь которой равна 12. 521. Начертите квадрат EFPQ и пост- в) *) Л » 2 521. Начертите квадрат EFPQ и пост- I / \ /\/ ройте квадрат ABCD так, чтобы |//>/ V j его площадь при единице изме- $ е) рения EFPQ равнялась: а) 4; Рис. 193 б) 2,25; в) 0,25. 2G2
a) б) *) Рис. 194 4 2 'cz: 522. Начертите квадрат ABCD, площадь которого равна 2,25 см2. Постройте какой-нибудь шестиугольник, составленный из квадратов, равных квадрату ABCD, так, чтобы его площадь была равна 11,25 см2. 523. Начертите квадрат A BCD. Постройте единичный квадрат, если площадь квадрата ABCD равна: а) 16; б) 9; в) 2,25; г) 6,25. 524. Площадь квадрата равна 24 см2. Найдите площадь этого же квадрата в: а) квадратных миллиметрах; б) квадратных дециметрах. 525. Найдите площадь квадрата ABCD, если: а) АВ = 9,1 см; б) ВС = = 3]/2 см; в) AM = У20 см, где М — середина отрезка CD. 526. Найдите площадь квадрата, если длина его диагонали равна: а) 4 см; б) 5J/2 см; в) 8]^2 см. 527*.Докажите, что при переходе от одной единицы измерения к другой площади квадратов умножаются на постоянное число. 528. На рисунке 194 изображены фигуры, размеры которых указаны при единице измерения [_EF~]. Разбейте каждую фигуру на квадраты и, пользуясь основными свойствами площадей, найдите ее площадь. 529. Дан треугольник ABC. Постройте параллелограмм ACQP 530. 531. так, чтобы Q 6 [СБ] и 8АВС ~ACQp . Дан треугольник ABC. Постройте прямоугольник MNPQ так, чтобы PQ = АВ и S. = Sf 532. 'MNPQ ^ ABC ' Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного квадрата, если площадь квадрата равна 24 см2. Дан прямоугольник ABCD, площадь которого равна S. 263
Найдите площадь четырехугольника с вершинами в серединах сторон этого прямоугольника. 533. Точки А19 В19 Сг и Dx являются серединами сторон прямоугольника ABCD, а точки А 2, В2, C2nD2— серединами сторон четырехугольника Ai^xCiDi. Найдите отношение площадей четырехугольников Рис. 195 ABCD и A2B2C2D2. 534. На рисунке 195 изображен шестиугольник, вершины которого лежат на окружности О (г), а стороны равны друг другу. Вычислите площадь шестиугольника, если: a) S вос =4 см2; б) SH0CB = = 12 см2. 535. Пользуясь свойствами 1° и 2° площадей, докажите, что если стороны двух прямоугольников соответственно равны, то прямоугольники имеют равные площади. 536. Стороны двух параллелограммов соответственно равны. Можно ли утверждать, что параллелограммы имеют равные площади? § 2. ПЛОЩАДИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА И ТРЕУГОЛЬНИКА 60. Площадь прямоугольника. Условимся одну из сторон параллелограмма, в частности прямоугольника, называть основанием, а перпендикуляр, проведенный к прямой, содержащей эту сторону, из любой точки противоположной стороны, — высотой. I Теорема. Площадь прямоугольника равна произведению длины его основания на длину высоты. Доказательство. Пусть ABCD — данный прямоугольник, a S — его площадь (рис. 196). Примем сторону [АВ] за основание, a [AD] — за высоту и введем обозначения: АВ — а, AD = h. Дополним прямоугольник ABCD до квадрата AEFG, как показано на рисунке 196. Так как АЕ = AG = а + h, то по свойству 3° площадей SAEFG = (а + А)2. Мы видим, что квадрат AEFG составлен из четырех непере- 264
крывающихся четырехугольников: данного прямоугольника ABCD с площадью S, равного ему прямоугольника с площадью S (свойство 1° площадей) и двух квадратов с площадями а2 и h2 (свойство 3° площадей). По свойству 2° имеем: (а + h)2 = а2 + h2 + S + S, или а2 + 2ah + h2 = а2 + h2 + 2S. Отсюда получаем: S = ah. Теорема доказана. Следствие. Площадь прямоуголь- fX/y/ ного треугольника равна половине произведения длин его катетов. Пусть ABC — прямоугольный треугольник (Z.A прямой),, площадь которого равна S. Проведем через вершины В и С прямые, перпендикулярные катетам, и обозначим их точку пересечения через D (рис. 197). Мы получим прямоугольник ABDC. Ясно, что Sabdc = s + Scdb- тРеУгольники ABC и DC В равны по двум катетам, поэто- а* шШ, S с hz 6) Рис. 196 *CDB и S ABDC 2S. Отсюда, му S учитывая доказанную теорему, получаем: 61. Площадь треугольника. Условимся Рис. 197 S = АВ - АС 2 одну из сторон треугольника называть основанием, а перпендикуляр, проведенный из противоположной вершины к прямой, содержащий эту сторону, — высотой. Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения длины его основания на длину высоты. Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник, a S — его площадь. Примем сторону АВ за основание треугольника и Обозначим через \_CH~] высоту, проведенную из вершины С к прямой АВ (рис. 198). Докажем, что S~ —AB-CH. Возможны три случая: а) точка Н лежит между точками А 265
б) и В (рис. 198, а); б) точка Я лежит вне отрезка АВ (рис. 198, б); в) точка Я совпадает с одной из вершин: А или В (рис. 198, в). Рассмотрим каждый случай в отдельности. а) Так как Я — внутренняя точка отрезка АВ, то треугольник ABC составлен из неперекрывающихся прямоугольных треугольников СНА и СНВ (рис. 198, а). Поэтому S = SCHA + + SCHB (свойство 2° площадей). По следствию из предыдущей теоремы SCHA=i^CH, 1 'СНВ = -НВ 2 с#, поэтому S = - (АЯ + ЯБ) 2 СЯ = - АВ • СЯ. б) Допустим для определенности, что точка В лежит между точками А и Я (рис. 198, б). В этом случае треугольник СНА составлен из треугольников ABC и СВН, поэтому SCAH = S +. + S СВИ' По -АЯ .СН, S следствию 1 свн Так как АВ + ВН = АН, S =-АВ • СН. из предыдущей теоремы SCHA = ВН)СН. поэтому ВНСН, поэтому S=- (АЯ- 2 2 ТО АН — ВН = АВ, в) Пусть, например, точка Я совпадает с точкой А (рис. 198, б). Тогда ААВС прямоугольный с прямым углом при вершине А, и по следствию из предыдущей теоремы 1 л г» ^ >. 1 S =-АБ 2 СА АВ • СН. Теорема доказана. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 537. В прямоугольнике а — длина основания, h — длина высоты, a S — площадь, а) Вычислите S, если а = 8,5 см, h = 3,2 см; б) вычислите S, если а = 4,6 см, h =5,82 см; 266
в) вычислите А, если а = 32 cm,v S = 684,8 см2; г) вычислите а, если h = 4,5 см, S = 12,15 см2; д) вычислите S, если а = 2]/2 см, Л = 3 см; е) вычислите S, если а = = 4]/"2 см, Л = 3]/2 см. 538. Площадь земельного участка равна 27 га. Найдите площадь этого же участка: а) в квадратных метрах; б) в квадратных километрах. 539. Как изменится площадь прямоугольника, если: а) длину одной стороны увеличить в 2 раза; б) длины смежных сторон увеличить в 2 раза; в) длину одной из смежных сторон увеличить в 2 раза, а длину другой уменьшить в 2 раза? 540. Найдите длины сторон а и Ъ прямоугольника ABCD, если Sabcd = 250 см2' в : Ь = 5 : 2. 541. Длины сторон прямоугольника равны (х—3) см и (х— 4) см, а площадь равна 72 см2. Найдите значение х. 542. Длины сторон прямоугольника равны (4х + 1) см и (х — 2) см, а его площадь равна 63 см2. Вычислите значение х. 543. Дан квадрат, длина стороны которого равна 4 см. Найдите длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 20 см, а его площадь равна площади данного квадрата. 544. Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника, длина которого равна 6 м, а ширина — 5,5 м, необходимо покрыть паркетом прямоугольной формы; длина каждой дощечки паркета равна 30 см, а ширина — 5 см. Сколько нужно таких дощечек для покрытия пола? 545. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если длины катетов равны: а) 4 см и 11 см; б) 1,2 м и 3 дм. 546. Площадь прямоугольного треугольника равна 96 см2, а длина высоты, проведенной к гипотенузе, — 9,6 см. Определите длину гипотенузы треугольника. 547. На рисунке 199 изображены треугольники. Сравнивая стороны и высоты треугольников по клеткам, определите, какие из них имеют равные площади. 548. Начертите треугольник ABC. Постройте две прямые, проходящие через вершину А так, чтобы они разбили этот треугольник на три треугольника, имеющие равные площади. 267
549. В треугольнике а — длина основания, Л — длина высоты, a S — площадь, а) Вычислите S, если а = 7 см, h = 11 см; б) вычислите S, если а = 5,4 см, А = 3,92 см; в) вычислите А, если S = 37,8 см2, а = 14 см; г) вычислите а, если S = 16,38 дм2, ft = 3,9 дм; д) вычислите S, если а =2|/"3 см, А = 5 см; е) вычислите а, если S = 12 см2, А = 3]/"2 см. 550. Длины двух сторон АВ и ВС треугольника АБС равны 16 см и 22 см. Длина высоты, проведенной к стороне АВ, равна 33 см. Рис. 199 Найдите длину высоты, проведенной к стороне ВС. 551. Вычислите площадь равнобедренного треугольника в каждом из следующих случаев: а) мера угла при вершине равна 120°, а длина боковой стороны — 16 см; б) мера угла при основании равна 45°, а длина основания — 10 см; в) треугольник прямоугольный, и длина гипотенузы равна 14 см. 552. В равностороннем треугольнике ABC длина стороны равна а. а) Вычислите площадь данного треугольника; б) вычислите площади треугольника и трапеции, на которые разбивается данный треугольник средней линией. 553. Пусть S — площадь треугольника ABC, а А19 Вх и Сх — середины соответственно сторон ВС, АС и В А. а) Выразите через S площадь треугольника АВгСг\ б) найдите площади треугольников АВХСХ, ВС±АХ, СВХАХ и АхВхСхч если S = 60 см2. 554. В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ и CD диагонали [АС] и [BD] пересекаются в точке О. а) Сравните площади треугольников ABD и ACD; б) сравните площади треугольников АВО и CDO. 555. Дан квадрат ABCD со стороной АВ = а. Точки Е и F взяты на стороне АВ, а точки М и N — на стороне AD, причем АЕ = EF = FB и AiV = NM = MZ>. Вычислите площади треугольников AEN и AFM. ■j J <с N »■«. \Ь \ > ^ \ ) Л ^* V N v ± 7^ *ч 5 *ч N А V V Д2 V > > /^ 5ь Ч ? 268
§ 3. ПЛОЩАДИ ПАРАЛЛЕЛОГРАММА И ТРАПЕЦИИ 62. Площадь параллелограмма. Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на длину высоты. Доказательство. Пусть ABCD — данный параллелограмм, [AD]—основание,-[ВЩ—высота, a S—его площадь (рис. 200). Проведя диагональ [ДО], мы получим два треугольника ABD и CDB, из которых составлен этот параллелограмм. Отсюда, используя свойство 2° площадей, получаем: S = SABD + + SCDB. Треугольники ABD и CD В равны, поэтому S ABDz=SCDBm Значит, S = 2SABD = AD • ВН. Теорема доказана. 63. Площадь трапеции. Условимся высотой трапеции называть перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание. На рисунке 201 отрезок ВН (или отрезок DHi) — высота трапеции ABCD. Теорема. Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин его оснований на длину высоты. Доказательство. Пусть ABCD — данная трапеция, [AD], [J8C] — основания, [ВЩ — высота, a S — ее площадь (рис. 201). Проведя диагональ [БД], мы получаем два треугольника ABD и BCD у из которых составлена данная трапеция. Отсюда следует, что S = SABD + SBCD . Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту треугольника ABD, а отрезки ВС и DH± — за основание и высоту тре- 2 угольника BCD. По теореме пункта 61 ~ABD SMO„ = ±AD . ВН, BCD = - ВС 2 DH{. Так как DHi « ВН, то S BQD' Рис. 201 269
S=S7+S2+Sj Рис. 202 = — ВС • ВН. Таким образом, S -AD Рис. 203 ВН + - ВС 2 вн- = - (AD + ВС) ВН. Теорема доказана. 64. Площадь многоугольника. Для вычисления площади произвольного многоугольника поступают так же, как и в случае параллелограмма или трапеции, т. е. разбивают многоугольник на неперекрывающиеся треугольники и находят площадь каждого треугольника. Тогда сумма этих площадей будет равна площади S данного многоугольника (рис. 202). Рассмотрим пример. Задача. Диагонали [АС] и [ДО] выпуклого четырехугольника взаимно перпендикулярны (рис. 203). Найти площадь S четырехугольника, если АС = a, ДО = Ъ. Решение. Диагональ [АС] разбивает четырехугольник на два треугольника ABC и ACD, поэтому S = S + S Если Е — точка пересечения диагоналей четырехугольника, toS ABC = ±АС 2 BE,S ACD ±АС DE, поэтому S ~АСх 2 X BE + ±АС • DE = -AC (BE + DE). Так как диагонали 2 2 выпуклого четырехугольника пересекаются во внутренней точке, то BE + DE BD. Итак, S =~AC 2 BD = -ab. Замечание. Решение задачи можно использовать для вычисления площади ромба по длинам диагоналей. Так как ромб — выпуклый четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, то его площадь вычисляется по этой же формуле. Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей. 65. Теорема Пифагора. Пользуясь формулой для вычисления площади квадрата, можно дать другую формулировку тео- 270
реме Пифагора. Пусть ABC — данный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине А. Построим на катетах \_AB~] и \_АС~\ и на гипотенузе [ВС] квадраты, как показано на рисунке 204. Обозначим площади построенных квадратов через Si, S2 и S3. Ясно, что S± = АВ2, S2 = AC2, S3 = ВС2. Согласно теореме Пифагора ВС2 = АВ2 + АС2, поэтому S3 = = S± + S2. II Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. Теорему Пифагора можно доказать непосредственно, пользуясь свойствами площадей. Идея доказательства заключается в следующем. Проводят прямую AD _L ВС и сначала доказывают, что SBDDB = Sl9 a SDCCD = S2 (рис. 204). Отсюда, учитывая, что квадрат ВСС1В1 составлен из двух прямоугольников BJDJD1B1 и DCCxDi, вытекает искомый вывод. Подробное доказательство мы опускаем. ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 556. Сравнивая по клеткам стороны и высоты параллелограммов, изображенных на рисунке 205, назовите те из них, которые имеют равные площади. 557. Начертите параллелограмм ABCD и постройте какой-либо треугольник, площадь которого равна площади параллелограмма ABCD. Рис. 204 Рис. 205 271
558. Пусть а — длина основания, А — длина высоты, aS — площадь параллелограмма, а) Найдите S, если а = 15 см, А = 12 см; б) найдите а, если S = 34 см2, А = 8,5 см; в) найдите а, если S = 162 см2, Л = — а; г) найдите А, если А = За, S = 27. 559. Пусть а и b — длины смежных сторон параллелограмма, a Ах и А2 — длины его высот, а) Найдите Л2, если а = = 18 см, Ъ = 30 см, Ai = 6 см, А2 > hx; б) найдите А£, если а = 10 см, b = 15 см, А2 = 6 см; в) найдите Ах и А2,~если S = 54 см2, а = 4,5 см, b = 6 см. 560. Длины смежных сторон параллелограмма равны 12 см и 14 см. Градусная мера острого угла параллелограмма равна 30°. Найдите площадь параллелограмма. 561. Диагональ параллелограмма перпендикулярна одной из его сторон, ее длина равна d, мера острого угла равна а. В каждом из следующих случаев найдите площадь параллелограмма: a) d = 5;6 см, а = 45°; б) d = 11 см, а = = 30°; в) d = 18 см, а = 60°; г) d = 20 см, а = 309. 562. Начертите трапецию, сделайте необходимые измерения и найдите площадь S трапеции, а) Постройте параллелограмм, площадь которого равна S; б) постройте треугольник, площадь которого равна S. 563. Найдите площадь трапеции, если длины ее оснований равны 21 см и 17 см, а длина высоты — 7 см. 564. Вычислите площадь трапеции ABCD с основаниями \_АВ~\ и [CD], если: а) АВ = 1Q см, ВС = 2М = 13 см, CD = = 20 см; б) Ъ = 30°, АВ = 2 см, CD = 10 см, 2М = = 8 см; в) [ВС] ± [-АД], АВ = 5 см, БС = 8 см, CD = = 13 см; г) 'С = D = 60°, АВ = ВС = DA = 8 см; д) С = = D = 45°, АВ = 6 см, БС = 9>^2 см. 565. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если длина меньшего основания равна 18 см, длина высоты — 9 см и мера острого угла равна 45°. 566. Площадь равнобедренной трапеции ABCD равна 117 см2, длина меньшего основания равна 4 см, мера острого угла равна 45°. Найдите длину боковой стороны трапеции ABCD. 567. Найдите площадь ромба, если диагонали имеют длины: а) 3,2 дм, 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм; в) 6 см и 1,2 дм. 272
568. Дан ромб ABCD. Найдите длины диагоналей ромба, если известно, что АС : BD = 3 : 4 и S ABCD = 84 см2 ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ VI 1. Что мы понимаем под многоугольником? Какие многоугольники называются .простыми? 2. Объясните, что такое многоугольная область. 3. Что мы понимаем под площадью многоугольника? Сформулируйте основные свойства площадей многоугольника. 4. Докажите теорему о вычислении площади прямоугольника. 5. Как вычислить площадь прямоугольного треугольника по его катетам? 6. Докажите теорему о вычислении площади треугольника. 7. Докажите теорему о вычислении площади параллелограмма. 8. Докажите теорему о вычислении площади трапеции. 9. Как вычислить площадь произвольного многоугольника? 10. Докажите, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 569. Определите периметр квадрата, если площадь его равна: а) 64 см2; б) 72,25 см2. 570. Докажите, что площадь квадрата равна — d2f где d — длина диагонали. 571. Найдите отношение площадей подобных треугольников АВ ABC и А^Си если A,BX = k. 572. Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете равнобедренного прямоугольного треугольника, вдвое больше площади квадрата, построенного на высоте, проведенной к гипотенузе. 573. Точки Е, F, G, Я, К, L, N9 M делят каждую сторону квадрата q ABCD, на три равные части (рис. 206). Вычислите площади пяти- 273
угольника AEPSM и четырехугольника PQRS, если АВ = == 7 см. 574. На рисунке 207 BD \\ СЕ. Докажите, что площадь треугольника ABE равна площади четырехугольника ABCD. Пользуясь этой задачей, докажите, что всегда существует треугольник, площадь которого равна площади данного выпуклого четырехугольника. 575. На рисунке 208 изображены два квадрата, которые расположены так, что одна из вершин одного квадрата совпадает с центром другого. Вычислите площадь заштрихованного на этом рисунке четырехугольника, если длины сторон обоих квадратов равны а. 576. Средняя линия трапеции с основа- Рис 208 ниями а и Ъ (а < Ъ) делит ее на две трапеции. Найдите отношение площадей этих трапеций и покажите, что оно не зависит от высоты трапеции. 577. Докажите, что если в трапеции ABCD с основаниями [AD] и [-ВС] диагонали [АС] и [AD] пересекаются в точке О и AD = 2ВС, то S A0D 2S вое + S АВО ' ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ Задачи к главе I 578. В каждом из следующих случаев определите вид треугольника: а) сумма градусных мер двух любых углов больше 90°; б) мера любого угла меньше суммы мер двух других углов. 579. В прямоугольном треугольнике ABC на гипотенузе [АВ] отмечены точки М и N так, что AM = AC, BN = ВС, Выразите MCN через А и В. 274
580. Зная углы прямоугольного треугольника, найдите угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. 581. Биссектрисы треугольника ABC при вершинах А и В пересекаются в точке М. а) Докажите, что /-АМВ тупой; б) найдите АМВ, если А = а, 5 = |3. 582. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит пополам угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины. 583. Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы внешних углов любого параллелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник, диагонали которого параллельны сторонам данного параллелограмма, и длина каждой из них равна сумме дгин двух соседних сторон параллелограмма. 584. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, Z.A = Z.B, AD = ВС. Через середины М и N сторон АВ и CD проведена прямая MN. Докажите, что MN JL DC, MN ± АВ и АВ || DC. 585. Две окружности касаются прямой р в точке А и расположены в разных полуплоскостях с границей р. Через точку А проведена секущая, пересекающая данные окружности еще в двух точках В и С. Докажите, что касательные к окружностям в точках В к С параллельны. 586. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника ABC при вершине А пересекает прямую ВС, то АВ Ф АС. 587. Докажите, что сумма расстояний от любой точки М, лежащей на основании равнобедренного треугольника, до его боковых сторон равна длине высоты треугольника, проведенной к боковой стороне. 588. Пусть О — точка пересечения прямых, содержащих биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника ABC. Выразите ВОС через градусные меры углов треугольника. 589. Постройте треугольник по периметру, одному из углов и высоте. 275
Задачи к главе II 590. Докажите, что если любые две соседние вершины четырехугольника лежат в одной полуплоскости с границей, проходящей через две другие вершины, то четырехугольник выпуклый. 591. Справедливо ли утверждение теоремы о сумме углов выпуклого четырехугольника для произвольного четырехугольника ABCD, т. е. справедливо ли равенство ABC + + BCD + CD A + DAB = 360°? Дайте обоснование ответу. 592. Докажите, что если точки А> JB, С и D попарно различны и АВ = ВС = CD = DA, то ABCD — ромб. 593. Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму произвольного выпуклого четырехугольника, можно сделать паркет, полностью покрывающий любую часть плоскости. 594. Можно ли утверждать, что если у четырехугольника две противоположные стороны параллельны и равны, то четырехугольник является параллелограммом? 595. При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника образовался четырехугольник. Докажите, что этот четырехугольник является квадратом. 596. Периметр прямоугольника равен 24 см. Найдите сумму расстояний от произвольной внутренней точки прямоугольника до его сторон. 597. Докажите утверждения: а) прямая, проходящая через середины оснований равнобедренной трапеции, перпендикулярна основаниям; б) прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей равнобедренной трапеции и точку пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции, является серединным перпендикуляром ее оснований. 598. Докажите, что: а) сумма длин боковых сторон трапеции больше разности длин оснований; б) сумма длин диагоналей больше суммы длин оснований. 599. Докажите, что если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная. 600. Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диагонали. 276
Задачи к главе III 601. На рисунке 209 изображен правильный пятиугольник ABCDE, т. е. выпуклый пятиугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Докажите, что: a) AAED оо А АРЕ; DF DF IF 602. 603. 604. В А К h 7 / \ 0 V А' 1 \ | % Рис. 210. то такие 605. 606. 607. Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно отношению соответственных сторон. Основание АВ равнобедренной трапеции ABCD равно диагонали. Найдите длину боковой стороны трапеции, если АВ—СО = = b, АВ = а. Докажите, что если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно пропорциональны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, треугольники подобны. На рисунке 210 изображен объект АВ и его изображение АхВг в линзе. Известно, что ВС \\ АА19 & отрезки АВ, СО и АХВХ перпендикулярны прямой ААХ. Докажите, что 1_ _ 1 ! ~ of' В треугольнике ABC (АВ Ф АС) через середину М стороны ВС проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А, которая пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е. Докажите, что BD — CE. Длины сторон треугольника ABC равны: АВ = 10, АС = = 7, ВС = 5; Ац Ви Сх — середины сторон ВС, СА, ВА. На {.ВгС{\ взята точка К такая, что - = — . а) Дока- КС} 7 жите, что [АгК1 — биссектриса треугольника AxBiCi\ б) найдите ВХК и СгК. ОА ОА 277
608. Даны ZJik и отрезки PiQi, P2Q2 и Р3Яз- Постройте тре- АВ Р О угольник ABC так, чтобы Z.A = Z_Aft, = -J^L и ВС P2Q2 [АС] = [Рзбз]. 609. Дан треугольник ABC. На прямой ВС расположена точка F так, что С лежит между точками В и F и БС : СР = = 1:3. Отрезок, соединяющий середину стороны АВ с точкой F, пересекает отрезок АС в точке D. Докажите, что AD = -АС. 7 610. Даны угол с вершиной в точке О и точка Б, принадлежащая внутренней области этого угла. Постройте прямую, проходящую через точку В так, чтобы она пересекала стороны угла в точках М и Мх и ОМ : ММ1 =3:4. 611. Через вершину А параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая прямые BD, CD и ВС соответственно в точках М, N и Р. Докажите, что отрезок AM является средним пропорциональным между [MN] и [MP]. Задачи к главе IV 612. Через точку А окружности О (г) проведены диаметр [АВ] и хорда [.АС]. Найдите угол между отрезками АВ и АС, если АС = г. 613. Через точку А окружности проведены диаметр [АВ] и хорда [АС], угол между которыми равен 30°. Найдите диаметр окружности, если АС = 18 см. 614. Докажите, что если две касательные к окружности параллельны, то отрезок, соединяющий точки касания, является диаметром окружности. 615. Докажите, что каждая точка внутренней области угла, равноудаленная от сторон угла, принадлежит его биссектрисе. 616. Докажите, что в любой треугольник можно вписать единственную окружность. 617. Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике биссектрисы трех углов пересекаются в одной точке, то биссектриса четвертого угла проходит через эту точку. 618. Через точки А и В угла АО В проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла, которые пересекаются во 278
внутренней точке С этого угла. Докажите, что около четырехугольника АО ВС можно описать окружность. 619. Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике сумма мер двух противоположных углов равна 180°, то около него можно описать окружность. 620. Докажите, что около выпуклого четырехугольника ABCD, образованного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно описать окружность. 621. Докажите, что если суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность. 622. В треугольнике ABC из вершины В проведены высота \_ВН~\ и биссектриса угла Б, которая пересекает описанную около треугольника окружность О (ОВ) в точке Е. Докажите, что луч BE является биссектрисой угла ОВН. 623. Докажите, что градусная мера угла между двумя секущими, пересекающимися во внешней точке относительно окружности, равна полуразности мер дуг, заключенных между его сторонами. 624. Докажите, что мера угла между касательными, проведенными через одну точку, равна полуразности мер дуг, заключенных между его сторонами. 625. Докажите, что центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, принадлежит внешней области треугольника. 626. Произвольная точка X окружности, описанной около равностороннего треугольника АВСУ соединена отрезками с его вершинами. Докажите, что длина одного из отрезков АХ, ВХ и СХ равна сумме длин двух других отрезков. 627. Даны две окружности. Постройте прямую, которая является касательной к этим окружностям. 628. Постройте треугольник, если дана описанная окружность и на ней точки Н, В и М, через которые проходят прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, проведенные из одной вершины. Задачи к главе V 629. Даны угол hk с вершиной в точке О и точки Р, Q, Рг и Q± так, что Р € h, Q € h, Рг € k и Qx € k. Докажите, что 279
если OP = ОРг и 0Q = 0Qly то прямые PQ± и QPX пересекаются в точке, принадлежащей биссектрисе угла hk. 630. Пользуясь предыдущей задачей, укажите способ построения биссектрисы угла. 631. Даны острый угол АОВ и точка М, принадлежащая внутренней области этого угла. Точки Мг и М2 симметричны точке М относительно прямых ОА и ОВ. Найдите МгОМ2, если АОВ = ф. 632. Докажите, что если точки А и А19 В и В1 симметричны относительно прямой, то они лежат либо на одной прямой, либо на одной окружности. 633. Докажите, что если треугольник имеет ось симметрии, то эта ось проходит через одну из вершин треугольника. 634. Даны три прямые а, Ъ и р. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы две его вершины лежали соответственно на прямых а и Ь, а третья вершина — на прямой р и чтобы прямая р была осью симметрии треугольника. 635. Отрезок АВ не пересекается с прямой а и не перпендикулярен этой прямой. Постройте ААВМ наименьшего периметра, если точка М лежит на прямой а. 636. Докажите, что разносторонний треугольник не имеет осей симметрии. 637. Докажите, что треугольник не имеет центра симметрии. 638. Докажите, что если фигура имеет ось симметрии и центр симметрии, лежащий на этой оси, то она имеет и другую ось симметрии. 639. Докажите, что если фигура F3 получена осевой симметрией из фигуры F2, & фигура F2 — осевой симметрией из фигуры Fx и если оси параллельны, то фигура F3 может быть получена параллельным переносом из фигуры F±. 640. Докажите, что если фигура F3 получена параллельным переносом из фигуры F2, а фигура F2 — центральной симметрией из фигуры Fu то фигура F3 может быть получена центральной симметрией из фигуры F±. 641. Докажите, что если фигура F3 получена параллельным переносом из фигуры F2, а фигура F2 — параллельным переносом из фигуры Fx и фигуры Fx и F3 не совпадают, то каждая из этих фигур может быть получена параллельным переносом из другой.. 280
642*.Даны две непараллельные прямые и отрезок АВ. Постройте отрезок XY, равный и параллельный отрезку АВ9 так, чтобы его концы принадлежали данным прямым. 643*.Даны четыре отрезка. Постройте трапецию так, чтобы ее стороны были равны данным отрезкам. 644. Даны две окружности и прямая. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы данная прямая была осью симметрии, и две вершины, не лежащие на оси симметрии, принадлежали данным окружностям. 645. Даны прямая а и две окружности О (г) и Ог (гг)9 гг Ф г. Построить квадрат так, чтобы его две противоположные вершины лежали на прямой а и две другие вершины принадлежали данным окружностям. 646. Точки А и В лежат в разных полуплоскостях с границей а. На прямой а постройте такую точку X, чтобы модуль разности АХ — ВХ был наибольшим. 647. Даны угол hk и две внутренние точки Р и Q этого угла. Постройте равнобедренный треугольник так, чтобы основание принадлежало стороне А, вершина — стороне ft, а точки Р и Q лежали на боковых сторонах. 648. Даны точка А, окружность О (г) и прямая I. Постройте такую прямую, чтобы отрезок этой прямой с концами на окружности О (г) и прямой I точкой А делился пополам. 649. Даны две окружности Ог (гг) и 02 (г2) и точка Р. Постройте параллелограмм ABCD так, чтобы его диагонали пересекались в точке Р и А £ Ох (гх), В € Ох (гх), С € 02 (г2), D 6 02 (г,). 650. Даны угол hk и точка А, принадлежащая его внутренней области. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой А, а две другие вершины лежали на сторонах h и k данного угла. 651. Даны точка А и две параллельные прямые ft и с, не проходящие через эту точку. Постройте равнобедренный треугольник с вершиной в точке А так, чтобы А = 30°, В Zb, С £с. 652*.Даны две окружности Ох (гх), 02 (г2) и точка А. Постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы В € Ог (гх) и С 6 02 (г2). 281
653. Даны две окружности и отрезок АВ. Постройте отрезок XY, равный и параллельный отрезку АВ, так, чтобы его концы принадлежали данным окружностям. Задачи к главе VI 654. Докажите, что если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то сумма площадей квадратов, построенных на двух противоположных сторонах этого четырехугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на двух других сторонах. 655. Используя формулу для вычисления площади треугольника, докажите, что сумма расстояний от любой точки внутренней области равностороннего треугольника до его сторон постоянна. 656. Найдите длину стороны равностороннего треугольника, площадь которого равна сумме площадей трех других равносторонних треугольников с длинами сторон 20 см, 30 см и 60 см. 657. На рисунке 204 изображен треугольник ABC, A = 90°, на сторонах которого построены квадраты. Докажите, что Sbdd^ = Sit где Sx — площадь квадрата, построенного на катете [АБ], и АВ _1_ ВС. 658. Через точку D, лежащую на стороне ВС треугольника ABC, проведены прямые, параллельные двум другим сторонам, которые пересекают стороны АВ и АС соответственно в точках Е и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF имеют равные площади. 659. Докажите, что из всех треугольников, вписанных в окружность и построенных на данной хорде [АБ], наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник. Где находится вершина С этого треугольника? 660. Докажите, что при пересечении четырех биссектрис прямоугольника образуется квадрат. Выразите площадь этого квадрата через длины сторон а и Ь прямоугольника. 661. В окружность радиусом г вписана трапеция, большее основание которой совпадает с диаметром. Найдите площадь трапеции, если угол между диагоналями равен 45°. 662. Стороны треугольника EFG равны соответственно медиа- л nsy тт SeFG 3 нам треугольника ABC. Докажите, что =—. Sabc 4
класс Глава I ВЕКТОРЫ В этой главе изучаются векторы, т. е. такие величины, которые, кроме числового значения, характеризуются еще и направлением в пространстве. Векторы широко используются в физике и в математике, особенно в геометрии. Мы введем понятие вектора и рассмотрим действия над векторами — сложение, вычитание и умножение вектора на число. Далее определим координаты вектора и дадим примеры решения геометрических задач с применением векторов. § 1. ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА 1. Физические примеры векторных величин. Из курса физики мы знаем, что целый ряд физических величин, таких, как сила, перемещение материальной точки, скорость, ускорение и т. д., характеризуется не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие величины называются векторными величинами или векторами. Обратимся к примерам. Пример 1. Действие силы на тело зависит не только от ее числового значения, но и от направления. Пусть на тело G действует сила в 8Н в определенном направлении. На рисунке силу изображают в виде отрезка со стрелкой на конце (рис. 1). Стрелка указывает направление силы, а начало А отрезка АВ является точкой приложения силы. Длина отрезка соответствует в некотором масштабе числовому значению силы. Например, на рисунке 1 сила в 1Н изображена отрезком длиной 0,5 см, поэтому сила в 8Н изображена отрезком АВ длиной 4 см. Пример 2. Движение твердого 283 8 Рис. 1
Mi п* t v V9 -*- Поступательное движение тела тела, при котором все его точки движутся с одинаковой скоростью, называется поступательным. Рассмотрим поступательное движение тела (рис. 2). Скорость каждой точки М тела представляет собой векторную величину. Геометрически ее можно изобразить отрезком, один конец которого совпадает с точкой ЛГ, а другой — снабжен стрелкой, указывающей направление скорости. Такой отрезок можно обозначить ка- Векторы ско- кой-либо буквой со стрелкой наверху, напри- рости всех то- "* __ * мер vy показав тем самым, что речь идет о величи- чек равны ^ не, которая характеризуется не только числовым значением, но и направлением. При поступательном движении тела все его точки движутся в одном и том же направлении, причем числовые значения скоростей точек тела одинаковы. Иными словами, векторы скорости v всех точек одинаковы. Рассмотренные физические примеры помогают прийти к понятию вектора и определить равенство векторов. Позже мы приведем другие примеры, которые помогут ввести действия над векторами. Раздел математики, посвященный изучению векторов, называется векторной алгеброй. 2. Понятие вектора. Отвлекаясь от конкретных свойств физических векторных величин, встречающихся в природе, мы приходим к понятию вектора. Предварительно введем понятие направленного отрезка. Отрезок называется направленным, если указано, какой из его концов считается первым, какой — вторым. Для дальнейшего целесообразно условиться, что любая точка плоскости также является направленным отрезком. В этом случае «концы отрезка» совпадают с самой точкой. Определение. Вектором называется направленный отрезок. Первый конец направленного отрезка называется началом вектора, второй — концом вектора. На рисунках вектор, начало которого не совпадает с концом, изображается отрезком со стрелкой на конце. Векторы обозначаются двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например АВ. Первая из букв указывает начало вектора, вторая — конец (рис. 3). 284
BjKOHBU /<^/твектора .*«? f AS Начало дектора ГТ 4. -F ^ £ 0 п А liL J г > г у г н Л//У! _LU а; > /т" и W г б. ) f Рис. 3 Рис. 4 Отметим, что каждый отрезок АВ определяет два вектора: АВ (А — начало, В — конец) и ВА (В — начало, А — конец). На рисунке 4, а изображены векторы АВ, CD, EF, причем А, С, Е — соответственно начала данных векторов и В, D, F — концы их. Векторы обозначаются также одной малой латинской буквой со стрелкой наверху: а, Ъ, с (рис. 4, б). Вектор называется нулевым, если его начало совпадает с концом. Нулевой вектор обозначается символом 0; на рисунке такой вектор изображается одной точкой. Если, например, точка, изображающая нулевой вектор, обозначена буквой М, то данный нулевой вектор можно обозначить так: ММ (рис. 4, а). Вектор, у которого начало не совпадает с концом, называется ненулевым вектором. На рисунке 4, а векторы АВ, CD, EF ненулевые, а вектор ММ нулевой. Числовой характеристикой ненулевого вектора АВ является длина отрезка АВ. Она называется длиной или модулем вектора АВ и обозначается так: |-AJ5|. Длина вектора а обозначается так: \а\. Длиной нулевого вектора считается число нуль, т. е. |0|=0. Длины векторов, изображенных на рисунках 4, а и 4, б, соответственно равны \АВ\ =6; \дЬ\ =5; \EF\=2,b; \ММ\=0; | а | = 1, | b | = 4,5, | с | = 3 (на рисунке каждая клетка имеет сторону, равную единице измерения). 3. Равенство векторов. Рассматривая в п. 1 пример 2, мы отметили, что при поступательном движении тела векторы скорости всех точек тела одинаковы. Этот пример подсказывает нам, как можно определить равенство векторов. Предварительно введем понятие коллинеарных векторов. 285
Векторы a