Геометрия
47-9
х. КЛАССЫ
БАЗОВЫЙ УРОВЕНЬ
Учебник
Допущено
Министерством просвещения
Российской Федерации
14-е издание, переработанное
Москва
«Просвещение»
2023
УДК 373.167.1:514+514(075.3)
ББК 22.151я721
М34
Авторы: Л, С, Атанасян, В, Ф. Бутузов, С, Б, Кадомцев, Э. Г. Позняк-, И, И. Юдина
Издание подготовлено под научным руководством академика А. Н. Тихонова
Учебник допущен к использованию при реализации имеющих государственную аккре-
дитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего обще-
го образования организациями, осуществляющими образовательную деятельность, в соот-
ветствии с Приказом Министерства прея: вощения Российской Федерации .№ 858
от 21.09.2022 г.
Математика* Геометрия : 7—9-е классы : базовый уровень :
М34 учебник / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев [и др.]. —
14-е изд«, иерераб* — Москва : Просвещение, 2023. — 416 с.: ил.
ISBN 978-5-09-102538-5.
Содержание учебника позволяет достичь планируемых результатов обучения,
предусмотренных ФГОС основного общего образования.
Учебник включает трёхступенчатую систему задач, а также исследовательские
задачи, темы рефератов, список рекомендуемой литературы, что позволит уча-
щимся расширить и углубить свои знания по геометрии.
Учебник подготовлен в соответствии с требованиями Федерального государ-
ственного образовательного стандарта основного общего образования, утверждён-
ного Приказом Министерства просвещения № 287 от 31.05.2021 г.
УДК 373.167.1:5144-514(075.3)
ББК 22.151я721
Учебное издание
Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович
Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович
Юдина Ирина Игоревна
МАТЕМАТИКА
ГЕОМЕТРИЯ
7—9 классы
Базовый уровень
Учебник
Центр математики
Отнетстнен н ый иа ныиуск Г), .4. Мазурова
Редакторы V. Л, Кузнецова, Ck 4. Мазурова
Компьютерная вёрстка С. Н, Терентьевой, О, В. Поповой
Техническое редактирование И. В. Грибковой
Корректоры JL В. Андрианова, В. А\ Шаймарданов
Подписано в печать 10.10.2022. Формат 70x90 16. Гарнитура Школьная.
Уч.-изд. л. 18,7. Уел. псч. л. 30.42. Тираж экз. Заказ .№
Акционерное общество ♦Издательство «Просвещение».
Российская Федерация, 127473, г. Москва, ул. Краснопролетарская, д. 16, стр. 3,
этаж 4, помещение 1.
Адрес электронной почты «Горячей линии» — voprus@prosv.ru.
ISBN 978-5-09 102538-5
<£ АО < Издательство «Просвещение», 2013, 2023
© Художественное оформление.
АО <Издательство «Просвещение», 2013, 2023
Все права защищены
Дорогие семиклассники!
Вы начинаете изучать новый предмет — гео-
метрию и будете заниматься ею пять лет. Что это
такое — геометрия?
Геометрия — одна из самых древних наук,
она возникла очень давно, ещё до нашей эры.
В переводе с греческого слово «геометрия» озна-
чает «землемерие» («гео» по-гречески земля, а
«метрео» — мерить). Такое название объясняется
тем, что зарождение геометрии было связано с
различными измерительными работами, которые
приходилось выполнять при разметке земель-
ных участков, проведении дорог, строительстве
зданий и других сооружений. В результате этой
деятельности появились и постепенно накаплива-
лись различные правила, связанные с геометри-
ческими измерениями и построениями. Таким
образом, геометрия возникла на основе практиче-
ской деятельности людей, а в дальнейшем сфор-
мировалась как самостоятельная наука, занима-
ющаяся изучением геометрических фигур.
На уроках математики вы познакомились
с некоторыми геометрическими фигурами и пред-
ставляете себе, что такое точка, прямая, отрезок,
луч, угол (рис. 1), как они могут быть расположе-
ны относительно друг друга. Вы знакомы с таки-
ми фигурами, как треугольник, прямоугольник,
окружность, круг и др. (рис. 2); знаете, как из-
меряются отрезки с помощью линейки с милли-
метровыми делениями и как измеряются углы с
помощью транспортира, знаете формулы для на-
хождения периметра и площади некоторых фигур.
Но всё это лишь самые первые геометрические
сведения. Теперь вам предстоит расширить и углу-
бить ваши знания о геометрических фигурах. Вы
познакомитесь с новыми фигурами и со многими
важными и интересными свойствами уже извест-
ных вам фигур. Вы узнаете о том, как используют-
ся свойства геометрических фигур в практической
деятельности. Во всём этом вам поможет учебник
и, конечно, учитель.
Треугольник
Окружность
I1рямоуголъ н и к
Введение
Школьный курс геометрии делится на
планиметрию и стереометрию. В планиметрии
рассматриваются свойства фигур на плоскости.
Примерами таких фигур являются отрезки, тре-
угольники, прямоугольники. В стереометрии
изучаются свойства фигур в пространстве, таких,
как параллелепипед, шар, цилиндр (рис. 3). Мы
начнём изучение геометрии с планиметрии.
В процессе изучения геометрии вы буде-
те доказывать теоремы и решать задачи. Что
такое «теорема» и что значит «доказать теоре-
му» — об этом вы скоро узпаете. Ну а что такое
задача — вам известно, на уроках математики вы
Црямоуголъны й
п араллелеп и п ед
решали разные задачи.
В нашем учебнике геометрии много задач:
есть задачи и практические задания к каждому
параграфу, дополнительные задачи к каждой гла-
ве и, наконец, задачи повышенной трудности.
, можно решать с использо-
Основпыми являются задачи к параграфу. Более
трудные задачи отмечены звёздочкой. Задачи, от-
меченные знаком
ванием компьютера (подходящие средства помо-
жет выбрать учитель).
Задачи, отмеченные знаком WI, предполага-
ют групповую работу.
Шар
Цилиндр
Рис. 3
В конце книги к задачам даны ответы и
указания.
Всем, кто проявит интерес к геометрии,
кому понравится решать задачи и доказывать
теоремы, мы советуем порешать не только обя-
зательные задачи, но и задачи со звёздочкой,
дополнительные задачи и задачи повышенной
трудности. Решать такие задачи непросто, но ин-
тересно. Не всегда удаётся сразу найти решение.
В таком случае не унывайте, а проявите терпение
и настойчивость. Радость от решения трудной за-
дачи будет вам наградой за упорство. Не бойтесь
заглядывать вперёд, читать те параграфы, кото-
рые ещё не проходили в классе. Задавайте вопро-
сы учителю, товарищам, родителям.
Доброго вам пути!
4
Введение
Глава I
Начальные геометрические
сведения
класс
В этой главе речь пойдёт о простейших геометрических фигу-
рах-точках. прямых, отрезках, лучах, углах. С ними вы позна-
комились на уроках математики в 5 и 6 классах. К тому, что вы
знаете об этих фигурах, мы добавим новые сведения, и они послу-
жат нам опорой для изучения в следующих главах свойств более
сложных фигур. Вы узнаете о практических приложениях геоме-
трии — о том, как геометрия помогает прокладывать прямоли-
нейные дороги и как проводится измерение углов на местности.
Прямая и отрезок
1. Точки, прямые, отрезки	j
Вспомним, что нам известно о точках и	//
прямых. Мы знаем, что для изображения пря-
мых на чертеже пользуются линейкой (рис. 4),	|°i I । | । I । l i
но при этом можно изобразить лишь часть пря-
мой, а всю прямую мы представляем себе прости-
рающейся бесконечно в обе стороны.
Обычно прямые обозначают малыми латин- а
скими буквами, а точки — большими латински- X д
ми буквами. На рисунке 5 изображены прямая а X.
и точки Л, В, С и D, Точки Л и В лежат па пря- вХ,
мой а, а точки С и D не лежат на этой прямой.	X. д
Можно сказать, что прямая а проходит через	е X.
точки А и В, но не проходит через точки С и D.	с X
Отмстим, ЧТО через ТОЧКИ А и I? нельзя провести	Прямая и точки
другую прямую, пе совпадающую с прямой а.
Вообще	Рис' ®
через любые две точки можно провести прямую,
и притом только одну1.
1 Здесь и в дальнейшем, говоря «две точки», «три точ-
ки», «две прямые» и т. д., будем считать, что эти
точки, прямые различны.
Начальные
геометри ческие
сведения
Рассмотрим теперь две прямые. Если они
имеют общую точку, то говорят, что эти прямые
пересекаются. На рисунке 6 прямые а и Ъ пересе-
каются в точке О, а прямые р и q по пересекают-
ся. Две прямые не могут иметь более одной общей
точки. В самом деле, если бы две прямые имели
две общие точки, то каждая из прямых проходила
бы через эти точки. Но через две точки проходит
только одна прямая. Таким образом, можно сде-
лать вывод: две прямые либо имеют только одну
общую точку, либо не имеют общих точек.
Прямую, па которой отмечены две точки,
например А и В, иногда обозначают двумя бук-
вами: АВ или В А. Для краткости вместо слов
«точка А лежит на прямой а» используют запись
Аеа, а вместо слов «точка В не лежит на пря-
мой а» — запись В g а.
Па рисунке 7, а выделена часть прямой,
ограниченная двумя точками. Такая часть пря-
мой называется отрезком. Точки, ограничиваю-
щие отрезок, называются его концами. На ри-
сунке 7, б изображён отрезок с концами А и В.
Такой отрезок обозначается АВ или В А. Отрезок
АВ содержит точки А и В и все точки прямой
АВ, лежащие между А и В.
Последовательно соединяя отрезки, можно
получить геометрическую фигуру, которую назы-
вают ломаной. Опа составлена из отрезков так,
что смежные отрезки (т, е. отрезки АВ и ВС, ВС
и СВ, EF и FG) не лежат на одной прямой
(рис. 8, а). Отрезки, из которых составлена лома-
ная, называются звеньями ломаной, концы этих
отрезков — вершинами ломаной. На рисунке 8, а
изображена ломаная ABCD...FG. Концы ломаной
ABCD...FG, т. е. точки А и G, могут быть раз-
личны, а могут совпадать (рис. 8, б). В последнем
случае ломаная называется замкнутой.
Если несмежные звенья замкнутой ломаной
не имеют общих точек, то эта ломаная называется
многоугольником, её звенья называются сторона-
ми многоугольника. В зависимости от количества
6
Рис. 6
а)
б) Л, , В
Отрезок ЛН
Рис. 7
Рис. 8
Глава I
сторон (вершин) многоугольника вы-
деляют треугольники, четырёхуголь-
ники, пятиугольники и т. д. Много-
угольник с п вершинами называется
п-угольником, он имеет п сторон. На
рисунке 9 изображены четырёхуголь-
ник ABCD, пятиугольник ABCDE и
шестиугольник А-^А.^А :tA4 АЛAв.
Фигура, изображённая на ри-
сунке 10, не является многоуголь-
ником, так как несмежные отрезки
С,С5 и С2С3 (а также СдС4 и C\Q) име-
ют общую точку.
Любой многоугольник разде-
ляет плоскость на две части, одна
Рис. 9
из которых называется внутренней, а другая —
внешней областью многоугольника.
На рисунке 11 внутренние области много-
угольников закрашены. Фигуру, состоящую из
сторон многоугольника и его внутренней обла-
сти, также называют многоугольником.
2. Провешивание прямой
на местности
Рис.10
Решим такую задачу: с помощью данной
линейки построить отрезок более длинный, чем
сама линейка. С этой целью приложим к листу
бумаги линейку, отметим точки А и В и какую-
нибудь точку С, лежащую между точками А и В
(рис. 12, а). Затем передвинем линейку вправо
так, чтобы её левый конец оказался около точки
С, и отметим точку D около правого конца ли-
нейки (рис. 12, 6). Точки А, В, С и D лежат на
одной прямой. Если мы проведём теперь отрезок
АВ у а затем отрезок BD, то получим отрезок AI),
более длинный, чем линейка.
Рис. 11
а)
А________________С___________________В
il । । । । । । I । । । । । । ।
<1 I 2 J I S ь 7 В » 10 II tl U 14 1В
Рис. 12
6)
Л	С	Ч	D
г'	I	I	I	I	I	I	I	I	I I I I I ГТ1
•0	1	2	Л	4	5	и	7	8	9 10 11 12 13 14 14
Начальные
ге ом етрические
сведения
Аналогичный приём используется
для «проведения» длинных отрезков пря-
мых на местности. Этот приём заключа-
ется в следующем. Сначала отмечают ка-
кие-нибудь точки А и В. Для этой цели
используют две вехи — шесты длиной
около 2 м, заострённые на одном конце
для того, чтобы их можно было воткнуть
в землю. Третью веху ставят так, чтобы
вехи, стоящие в точках А и В, закры-
вали её от наблюдателя, находящегося в
точке А (точка С па рисунке 13). Следу-
ющую веху ставят так, чтобы её закрыва-
ли вехи, стоящие в точках В и С, и т. д.
Описанный приём называется про-
вешиванием прямой (от слова «веха»). Он
широко используется на практике, напри-
мер при рубке лесных просек, при прокла-
дывании шоссейных или железных дорог,
линий высоковольтных передач и т. д.
Практические задания
1 Проведите прямую, обозначьте её буквой а и отметьте точки
А и В, лежащие на этой прямой, и точки Р, Q и R, не лежа-
щие на ней. Опитпите взаимное расположение точек Л, R, Р,
Q, R и прямой а, используя символы g и й.
2 Отметьте три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой,
и через каждую пару точек проведите прямую. Сколько пря-
мых получилось?
Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересе-
кались. Обозначьте все точки пересечения этих прямых. Сколь-
ко получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.
4	Отметьте точки А, В, С, D так, чтобы точки А, В, С лежали
на одной прямой, а точка D не лежала на ней. Через каждые
две точки проведите прямую. Сколько получилось прямых?
5	Проведите прямую а и отметьте на ней точки А и В. Отметь-
те: а) точки М и А, лежащие на отрезке АВ; б) точки Р и Q,
лежащие па прямой а, по ие лежащие па отрезке АВ; в) точ-
ки Л и В, не лежащие на прямой а.
6	Проведите прямую и отметьте на ней три точки. Сколько от-
резков получилось на прямой?
8 Глава {
На рисунке 14 изображена прямая, на ней Л К С L)
отмечены точки А, В, С и D. Назовите все
отрезки: а) на которых лежит точка С; б) на Рис. 14
которых не лежит точка В.
Начертите ломаную из трех звеньев, которая: а) является зам-
кнутой, б) не является замкнутой.
___Цифры почтового индекса записываются по определённым
правилам (рис. 15) для удобства распознавания сортировоч-
ным автоматом.

Рис. 15
Укажите на рисунке цифры, в записи которых используются
ломаные. Сколько звеньев у каждой ломаной? Укажите зам-
кнутую ломаную. Как называется многоугольник, образован-
ный на рисунке замкнутой ломаной?
Начертите пятиугольник, как на рисунке 9. Разбейте его на
треугольники так, чтобы у пятиугольника и каждого треуголь-
ника были общие стороны. Сколько треугольников может полу-
10
читься на чертеже? Какие ещё многоугольники получились на
чертеже?
Луч и угол
3.	Луч
Проведём прямую а и отметим на ней точ-
ку О (рис. 16). Эта точка разделяет прямую на
две части, каждая из которых называется лучом,
исходящим из точки О (на рисунке 16 один из
лучей выделен цветной линией). Точка О назы-
вается началом каждого из лучей. Обычно луч
обозначают либо малой латинской буквой (на-
пример, луч h па рисунке 17, а), либо двумя
большими латинскими буквами, первая из кото-
рых обозначает начало луча, а вторая — какую-
нибудь точку на луче (например, луч О А на ри-
сунке 17, б).
9
а О
о
Точка О разделяет
прямую на дна луча
Рис. 16
а)
h
о
Луч h
б)
О	А
о	•
Луч ОА
Рис. 17
Начальные
геометры ческие
снедения
4.	Угол
Напомним, что угол — это геометрическая
фигура, которая состоит из точки и двух лучей,
исходящих из этой точки. Лучи называются сто-
ронами угла, а их общее начало — вершиной угла.
На рисунке 18 изображён угол с вершиной
О и сторонами h и k. На сторонах отмечены точ-
ки А и В. Этот угол обозначают так: Z.hky или
ZAOB, или ZO.
Угол называется развёрнутым, если обе его
стороны лежат на одной прямой. Можно сказать,
что каждая сторона развёрнутого угла является
продолжением другой стороны. На рисунке 19
изображён развёрнутый угол с вершиной С и сто-
ронами р и q.
Любой угол разделяет плоскость на две ча-
сти. Если угол неразвёрнутый, то одна из частей
называется внутренней, а другая — внешней об-
ластью этого угла (рис. 20, а). На рисунке 20, б
изображён неразвёрнутый угол. Точки А, В, С ле-
жат внутри этого угла (т. е. во внутренней области
угла), точки D и Е — на сторонах угла, а точки
Р и Q — вне угла (т. е. во внешней области угла).
Если угол развёрнутый, то любую из двух
частей, на которые он разделяет плоскость, мож-
но считать внутренней областью угла.
Фигуру, состоящую из угла и его внутрен-
ней области, также называют углом.
Если луч исходит из вершины неразвёрну-
того угла и проходит внутри угла, то он делит
этот угол на два угла. На рисунке 21, а луч ОС
делит угол АОВ на два угла: АОС и СОВ. Если
угол АОВ развёрнутый, то любой луч ОС, не со-
впадающий с лучами ОА и ОВ, делит этот угол
на два угла: АОС и СОВ (рис. 21, б).
Практические задания
11 Проведите прямую, отметьте па пей точки
А и В и на отрезке АВ отметьте точку С.
а) Среди лучей АВ, ВС, СА, АС и ВА на-
зовите совпадающие лучи; б) назовите луч,
который является продолжением луча С А.
10
о	А
Угол
Рис.18
Ралвёрн утый угол
Рис.19
Внешняя
область
угла
нутренняя
область угла
Рис.21
Глава 1
12 Начертите три неразвёрнутых угла и обозначьте их так:
ZAOB, Zft/г, ZM.
13 Начертите два развёрнутых угла и обозначьте их буквами.
14
15
16
17
18
19
20
Начертите три луча h, k и I с общим началом. Назовите все
углы, образованные данными лучами.
Начертите неразвёрнутый угол hk. Отметьте
две точки внутри этого угла, две точки вне
этого угла и две точки на сторонах угла.
Начертите неразвёрнутый угол. Отметьте
точки Л, В, М и ;V так, чтобы все точки
отрезка АВ лежали внутри угла, а все точ-
ки отрезка MN лежали вне угла.
Начертите неразвёрнутый угол ЛОВ и про-
ведите: а) луч ОС, который делит угол АОВ
на два угла; б) луч OZ>, который не делит
угол АОС на два угла.
Сколько неразвёрнутых углов образуется
при пересечении двух прямых?
Какие из точек, изображённых па рисун-
ке 22, лежат внутри угла hk, а какие вне
этого угла?
Какие из лучей, изображённых па рисун-
ке 23, делят угол АОВ на два угла?
° *N В
Рис. 22
Рис. 23
5з
Сравнение отрезков и углов
5.	Равенство геометрических фигур
Среди окружающих нас предметов
встречаются такие, которые имеют одинако-
вую форму и одинаковые размеры. Напри-
мер, два одинаковых листа бумаги, две оди-
наковые книги, два одинаковых автомобиля.
В геометрии две фигуры, имеющие одинако-
вую форму и одинаковые размеры, называют
равными.
На рисунке 24 изображены фигуры Ф| и
Ф2. Чтобы установить, равны они или нет, по-
ступим так. Скопируем фигуру Ф! на кальку.
Начальные
геометрические
сведения
Передвигая кальку и накладывая её на фигуру
Ф2 той или другой стороной, попытаемся совме-
стить копию фигуры Ф1 с фигурой Ф2. Если они
совместятся, то фигура Фх равна фигуре ф.
Мы можем представить себе, что на фигуру
Ф2 накладывается не копия фигуры Фр равная
этой фигуре, а сама фигура ФР Поэтому в даль-
нейшем будем говорить о наложении самой фи-
гуры (а не копии) на другую фигуру. Итак, две
геометрические фигуры называются равными,
если их можно совместить наложением.
6.	Сравнение отрезков и углов
На рисунке 25, а изображены два отрез-
ка. Чтобы установить, равны они или нет, на-
ложим один отрезок на другой так, чтобы конец
одного отрезка совместился с концом другого
(рис. 25, б). Если при этом два других конца так-
же совместятся, то отрезки полностью совместят-
ся и, значит, они равны. Если же два других
конца не совместятся, то меньшим считается тот
отрезок, который составляет часть другого. На
рисунке 25, в отрезок АС составляет часть отрез-
ка АВ, поэтому отрезок АС меньше отрезка АВ
(пишут так: АС < АВ).
Точка отрезка, делящая его пополам, т. е.
на два равных отрезка, называется серединой от-
резка. На рисунке 26 точка С — середина отрез-
ка АВ,
На рисунке 27, а изображены неразвёрну-
тые углы 1 и 2. Чтобы установить, равны они
или нет, наложим один угол на другой так, что-
в)
А С В
АС < АВ
Рис. 25
А С В
АС = СВ
Точка С - середина
отрезка АВ
Рис. 26
12 Глава I
бы сторона одного угла совместилась со стороной
другого, а две другие оказались по одну сторону
от совместившихся сторон (рис. 27, б).
Если две другие стороны также совместят-
ся, то углы полностью совместятся и, значит,
они равны. Если же эти стороны не совместятся,
то меньшим считается тот угол, который состав-
ляет часть другого. На рисунке 27,6 угол 1 со-
ставляет часть угла 2, поэтому Z1 <Z2.
Неразвёрнутый угол составляет часть раз-
вёрнутого угла (рис. 28), поэтому развёрнутый
угол больше неразвёрнутого угла. Любые два
развёрнутых угла, очевидно, равны.
Луч, исходящий из вершины угла и деля-
щий его на два равных угла, называется биссек-
трисой угла. На рисунке 29 луч I биссектриса
угла hk.
Рис. 28
Неразвёрнутый угол СОВ
составляет часть
развёрнутого угла АОВ
Рис. 29
Z.hI = ZJk
Луч I -
биссектриса
угла hk
Задачи
21	На луче с началом О отмечены точки А, В и С так, что точ-
ка В лежит между точками ОиА, а точка А —между точка-
ми О и С. Сравните отрезки ОБ и О А, ОС и О А, ОБ и ОС.
22	Точка О является серединой отрезка АВ. Можно ли совме-
стить наложением отрезки: а) ОА и ОБ; б) ОА и АВ?
23	Па рисунке 30 отрезки АВ, ВС, CD и DE
равны. Укажите: а) середины отрезков АС, т < Ут т
АЕ и СЕ; б) отрезок, серединой которого
является точка D; в) отрезки, середипой Рис- 30
которых является точка С.
24	Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Сравните углы АОВ и
Л ОС.
Начальные
геометрические
снедения
25 Луч I — биссектриса угла hk. Можно ли
наложением совместить углы: a) hl и 1к;
б) hl и hk?
26 На рисунке 31 углы, обозначенные цифра-
ми, равны. Укажите: а) биссектрису каж-
дого из углов АОС, BOF, АОЕ; б) все углы,
биссектрисой которых является луч ОС.
Сравните углы ВОС и BOD.
§4
Измерение отрезков
7.	Длина отрезка
На практике часто приходится измерять
отрезки, т. е. находить их длины. Измерение от-
резков основано на сравнении их с некоторым
отрезком, принятым за единицу измерения (его
называют также масштабным отрезком). Если,
например, за единицу измерения принят санти-
метр, то для определения длины отрезка узнают,
сколько раз в этом отрезке укладывается санти-
метр. Па рисунке 32 в отрезке АВ сантиметр укла-
дывается ровно 2 раза. Это означает, что длина
отрезка АВ равна 2 см. Обычно говорят кратко:
«Отрезок АВ равен 2 см» — и пишут: АВ = 2 см.
Может оказаться так, что отрезок, при-
нятый за единицу измерения, не укладывается
целое число раз в измеряемом отрезке — полу-
чается остаток. Тогда единицу измерения делят
на равные части, обычно на 10 равных частей, и
определяют, сколько раз одна такая часть укла-
дывается в остатке. Например, на рисунке 32 в
отрезке АС сантиметр укладывается 3 раза, и в
остатке ровно 4 раза укладывается одна десятая
часть сантиметра (миллиметр), поэтому длина от-
резка АС равна 3,4 см.
Возможно, однако, что и взятая часть еди-
ницы измерения (в данном случае миллиметр) не
укладывается в остатке целое число раз, и по-
С: =
ле
ЛВ = 2 еле, АС - 3,4 см,
AD = 3,8 см
Рис. 32
А
В
14
Глава I
лучается новый остаток. Так будет, например,
с отрезком AD на рисунке 32, в котором санти-
метр укладывается 3 раза с остатком, а в остатке
миллиметр укладывается 8 раз вновь с остатком.
В таком случае говорят, что длина отрезка AD
приближённо равна 3,8 см.
Для более точного измерения этого отрез-
ка указанную часть единицы измерения (милли-
метр) можно разделить на 10 равных частей и
продолжить процесс измерения. Мысленно этот
процесс можно продолжать и дальше, измеряя
длину отрезка со всё большей точностью. На
практике, однако, пользуются приближёнными
значениями длин отрезков.
За единицу измерения можно принимать
не только сантиметр, но и любой другой отрезок.
Выбрав единицу измерения, можно измерить
любой отрезок, т. е. выразить его длину некото-
рым положительным числом. Это число показы-
вает, сколько раз единица измерения и её части
укладываются в измеряемом отрезке.
Если два отрезка равны, то единица изме-
рения и её части укладываются в этих отрезках
одинаковое число раз, т. е. равные отрезки име-
ют равные длины. Если же один отрезок мень-
ше другого, то единица измерения (или её часть)
укладывается в этом отрезке меныпее число раз,
чем в другом, т. е. меньший отрезок имеет мень-
шую длину.
На рисунке 33 изображён отрезок АВ. Точ-
ка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Мы
видим, что АС = Зсм, СВ = 2,7 см, АВ = 5,7 см.
Таким образом, АС 4- СВ = АВ. Ясно, что и во
всех других случаях, когда точка делит отрезок
на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме
длин этих двух отрезков.
Рис. 33
АС + СВ = АВ
Начальные
геометрические
снедения
Если длина отрезка CD в k раз больше дли-
ны отрезка АВ, то пишут CD = kAB.
Длина отрезка называется также расстоя-
нием между концами этого отрезка.
Если известны длины отрезков, являющих-
ся звеньями ломаной, то можно найти длину ло-
маной. Для этого надо вычислить сумму длин
всех её звеньев. Длина замкнутой ломаной назы-
вается периметром многоугольника.
8.	Единицы измерения.
Измерительные инструменты
Для измерения отрезков и нахождения рас-
стояний на практике используют различные еди-
ницы измерения. Стандартной международной
единицей измерения отрезков выбран метр — от-
- 1
резок, приближенно равный --------- части
н	н	к	40 000 000
земного меридиана. Эталон метра в виде специ-
ального металлического бруска хранится в Меж-
дународном бюро мер и весов во Франции. Копии
эталона хранятся в других странах, в том числе
и в России. Один метр содержит сто сантиметров.
В одном сантиметре десять миллиметров.
При измерении небольших расстояний, на-
пример расстояния между точками, изображён-
ными на листе бумаги, за единицу измерения
принимают сантиметр или миллиметр. Расстоя-
ние между отдельными предметами в комнате из-
меряют в метрах, расстояние между населённы-
ми пунктами — в километрах. Используются и
другие единицы измерения, например дециметр,
морская миля (1 миля равна 1,852 км). В астро-
номии для измерения очень больших расстояний
за единицу измерения принимают световой год,
т. е. путь, который свет проходит в течение од-
ного года.
Мы назвали единицы измерения расстоя-
ний, которые используются на практике в наше
16	Глава I
время. В старину в разных странах существовали
свои единицы измерения. Так, на Руси использо-
вались аршин (0,7112 м), сажень (2,1336 м) и др.
На практике для измерения расстояний
пользуются различными инструментами. На-
пример, в техническом черчении употребляется
масштабная миллиметровая линейка. Для изме-
рения диаметра трубки используют штангенцир-
куль (рис. 34). С его помощью можно измерять
расстояния с точностью до 0,1 мм. Для измере-
ния расстояний на местности пользуются рулет-
кой, которая представляет собой ленту с нанесён-
ными на ней делениями (рис. 35).
Практические задания
27	Измерьте ширину и длину учебника гео-
метрии и выразите их в сантиметрах и в
миллиметрах.
28	Измерив толщину учебника геометрии без
обложки, найдите толщину одного листа.
29	Найдите длины всех отрезков, изображён-
ных на рисунке 36, если за единицу изме-
рения принят отрезок: a) KL; б) АВ.
30	Начертите отрезок АВ и луч А. Пользуясь
масштабной линейкой, отложите на луче h
от его начала отрезки, длины которых рав-
ны 2АВ, 1-АВи '-АВ.
2	4
31 Начертите прямую и отметьте на ней точ-
ки А и В. С помощью масштабной линей-
ки отметьте точки С и D так, чтобы точ-
ка В была серединой отрезка АС, а точка
D — серединой отрезка ВС.
32 Начертите прямую АВ. С помощью мас-
штабной линейки отметьте на этой пря-
мой точку С, такую, что АС = 2 см. Сколь-
ко таких точек можно отметить на прямой
АВ?
Рис. 34
С» । < ।  < «В
Е* । ।—t-  —Е
। ।
K*—»L
Рис.36
Начальные
геометрические
сведения
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
Задачи
Точка В делит отрезок АС на. два отрезка. Найдите длину от-
резка АС, если АВ = 7,8 см, ВС = 25 мм.
Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину от-
резка ВС, если:
а)	АВ = 3,7 см, АС = 7,2 см;
б)	АВ = 4 мм, АС = 4 см.
Точки А, В и С лежат на одной прямой. Известно, что
АВ = 12 см, ВС = 13,5 см. Какой может быть длина отрезка АС?
Точки В, D и М лежат па одной прямой. Известно, что
BD = 7 см, MD= 16 см. Каким может быть расстояние ВМ7
Точка С — середина отрезка АВ, равного 64 см. На луче С А
отмечена точка D так, что С1)=15см. Найдите длины отрез-
ков BD и DA.
Расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом приблизи-
тельно равно 650 км. Город Тверь находится между этими
городами в 170 км от Москвы. Найдите расстояние между
Тверью и Санкт-Петербургом, считая, что все три города рас-
положены на одной прямой.
Лежат ли точки А, В и С па одной прямой, если АС= 5 см,
АВ = 3 см, ВС = 4 см?
Решение
Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из
отрезков ЛВ, ВС и АС равен сумме двух других. По условию
больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма
двух других (АВ + ВС) равна 7 см. Поэтому точки А, В и С не
лежат на одной прямой.
Точка С — середина отрезка АВ, точка О — середина отрезка
АС. Найдите:
а)	АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см;
б)	АВ, АС, АО и ОВ, если СВ = 3,2 м.
Па прямой отмечены точки О, А и В так, что ОА= 12 см,
ОВ = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков
О А и ОВ, если точка О:
а) лежит на отрезке АВ;
б)	не лежит на отрезке АВ.
Отрезок, длина которого равна а, разделён произвольной
точкой па два отрезка. Найдите расстояние между серединами
этих отрезков.
Отрезок, равный 28 см, разделён на три неравных отрезка.
Расстояние между серединами крайних отрезков 16 см. Най-
дите длину среднего отрезка.
78 Глава /
44 На рисунке 37 изображены несколько ло-
маных, все звенья которых имеют дли-
ну 3 см. Найдите длины всех замкнутых
ломаных. Укажите ломаную, имеющую
наибольшую длину.
Рис. 37
Измерение углов
9.	Градусная мера угла
Измерение углов аналогично измерению от-
резков — оно основано на сравнении их с углом,
принятым за единицу измерения. Обычно за еди-
ницу измерения углов принимают градус — угол,
₽аВНЫИ 180
части развёрнутого угла. Эта едини-
ца измерения углов была введена много веков
назад, ещё до нашей эры.
Положительное число, которое показывает,
сколько раз градус и его части укладываются в
данном угле, называется градусной мерой угла.
Для измерения углов используется транспортир
(рис. 38).
На рисунке 39, а изображён угол ЛОВ, гра-
дусная мера которого равна 150°. Обычно гово-
рят кратко: «Угол АОВ равен 150е» — и пишут:
Z.AOB = 150®. На рисунке 39, б угол hk равен 40е
(Zftfc = 40c). Определённые части градуса носят
1
специальные названия: — часть градуса называ-
ется минутой, -у часть минуты называется
секундой. Минуты обозначают знаком «'», а се-
кунды— знаком «"». Например, угол в 60 граду-
сов, 32 минуты и 17 секунд обозначается так:
60°32'17".
Транспортир
Рис. 38
Рис. 39
Если два угла равны, то градус и его части
укладываются в этих углах одинаковое число раз,
т. е. равные углы имеют равные градусные меры.
Если же один угол меньше другого, то в
нём градус (или его часть) укладывается мень-
Начальные
геометрические
сведения
19
шее число раз, чем в другом угле, т. е. меньший
угол имеет меньшую градусную меру.
m	1
Так как градус составляет —— часть раз-
180
вёрнутого угла, то он укладывается в развёрну-
том угле ровно 180 раз, т. е. развёрнутый угол
равен 180°.
Неразвёрнутый угол меньше развёрнутого
угла, поэтому неразвёрнутый угол меньше 180°.
На рисунке 40 изображены лучи с нача-
лом в точке О. Луч ОС делит угол АОВ на два
угла: АОС и СОВ. Мы видим, что ZAOC = 40°,
АСОВ = 120% %АОВ=160% Таким образом,
ЛАОС + ЛСОВ = Л АОВ.
Рис. 40
Ясно, что и во всех других случаях, когда
луч делит угол на два угла, градусная мера всего
угла равна сумме градусных мер этих углов.
Угол называется прямым, если он равен
90° (рис. 41, а), острым, если он меньше 90°, т. е.
меньше прямого угла (рис. 41, б), тупым, если он
больше 90% но меньше 180°, т. е. больше прямо-
го, но меньше развёрнутого угла (рис. 41, в).
Прямые углы мы видим в окружающей пас
обстановке: прямой угол образуют линии пересе-
чения стен и потолка в комнате, два края стола
прямоугольной формы и т. д.
Тупой угол
Острый угол
а)
РИС. 41 Прямой угол
20
Глава f
10.	Измерение углов на местности
Измерение углов на местности проводится
с помощью специальных приборов. Простейшим
из них является астролябия (рис. 42), Она состо-
ит из двух частей: диска, разделённого на гра-
дусы, и вращающейся вокруг центра диска ли-
нейки (алидады). На концах алидады находятся
два узких окошечка, которые используются для
установки её в определённом направлении.
Для того чтобы измерить угол ЛОВ на
местности, треножник с астролябией ставят так,
чтобы отвес, подвешенный к центру диска, на-
ходился точно над точкой О. Затем устанавли-
вают алидаду вдоль одной из сторон О А или ОВ
и отмечают деление, против которого находится
указатель алидады. Далее поворачивают алида-
ду, направляя её вдоль другой стороны измеряе-
мого угла, и отмечают деление, против которого
окажется указатель алидады. Разность отсчёта
и даёт градусную меру угла АОВ.
Измерения углов проводятся в различных
исследованиях, например в астрономии при опре-
делении положения пебеспых тел. Очень важно с
достаточной точностью измерять углы при опре-
делении положения искусственных спутников на
орбитах. Для этой цели конструируют специаль-
ные приборы. Данные, полученные с помощью
этих приборов, обрабатываются на компьютерах.
Рис. 42
Практические задания
45 Начертите три неразвёрнутых угла и один развёрнутый угол
и обозначьте их так: Л АО В, ZCDE, Afik и Z.MNP, С помощыо
транспортира измерьте углы и запишите результаты измерений.
46 Начертите луч О А и с помощью транспортира отложите от
луча О А углы АОВ, АОС и AOD так, чтобы АЛОВ = 23'',
ААОС = ЬТ>, ZAOD=138°.
47 Начертите угол, равный 70°, и с помощью транспортира про-
ведите его биссектрису.
48 Начертите угол АОВ и с помощью транспортира проведите
луч ОС так, чтобы луч ОА являлся биссектрисой угла ВОС.
Всегда ли это выполнимо?
Начальные
геометрические
сведения
21
Задачи
49 Градусные меры двух углов равны. Равны ли сами углы?
50 На рисунке 43 изображены лучи
с общим началом О.
а)	Найдите градусные меры углов
АОХ, BOX, АОВ, СОВ, DOX;
б)	назовите углы, равные 20°;
в)	назовите равные углы;
г)	назовите все углы со стороной О А
и найдите их градусные меры.
51 Луч ОЕ делит угол АОВ на два
угла. Найдите угол АОВ, если:
а) ХАОЕ = 44е, ХЕОВ = 77е;
б) ХАОЕ = 12°37', ХЕОВ = 108°25'.
52 Луч ОС делит угол АОВ па два
угла. Найдите угол СОВ, если
ХАОВ = 78°, а угол АОС на 18°
меньше угла ВОС.
53 Луч ОС делит угол АОВ на два
угла. Найдите угол АОС, если
ХАОВ = 155е, а угол АОС па 15е
больше угла СОВ.
54 Угол АОВ является частью угла
АОС. Известно, что ХАОС = 108%
ХАОВ = ЗХВОС. Найдите угол АОВ.
55 Па рисунке 44 угол AOD — пря-
мой, ХАОВ=ХВОС=XCOD. Най-
дите угол, образованный биссек-
трисами углов АОВ и COD.
56 На рисунке 45 луч ОУ является бис-
сектрисой угла ZOY, а луч OU —
биссектрисой угла ХОУ. Найдите
угол XOZ, если ZL7OTT=80:.
Рис. 45
57 Луч I является биссектрисой неразвёрнутого угла hk. Может
ли угол hl быть прямым или тупым?
s6
Перпендикулярные прямые
11.	Смежные и вертикальные углы
Два угла, у которых одна сторона общая,
а две другие являются продолжениями одна дру-
гой, называются смежными.
22 Глава !
На рисунке 46 углы АОВ и ВОС смежные.
Так как лучи ОА и ОС образуют развёрнутый
угол, то
ZAOB + ZBOC = ZAOC =180°.
Таким образом, сумма смежных углов рав-
на 180°.
Два угла называются вертикальными, если
стороны одного угла являются продолжениями
сторон другого.
На рисунке 47 углы 1 и 3, а также углы
2 и 4 — вертикальные.
Угол 2 является смежным как с углом 1,
так и с углом 3. По свойству смежных углов
Z1 4- Z2 = 180° и Z3 + Z2 = 180е. Отсюда получаем:
Z1 = 180е — Z2, Z3 = 180° — Z2. Таким образом,
Z1 = Z3, т. е. вертикальные углы равны.
12.	Перпендикулярные прямые
Две пересекающиеся прямые образуют че-
тыре неразвёрнутых угла (см. рис. 47). Величи-
на того из этих углов, который не превосходит
каждого из трёх остальных, называется углом
между пересекающимися прямыми. Если один
из четырёх углов прямой (угол 1 на рис. 48), то
остальные углы также прямые (объясните по-
чему).
Две пересекающиеся прямые называются
перпендикулярными (или взаимно пернендику-
лярными), если они образуют четыре прямых
угла.
Перпендикулярность прямых Л С и ВО обо-
значается так: AC1BD (читается: «Прямая АС
перпендикулярна к прямой BD»).
Отметим, что две прямые, перпендикуляр-
ные к третьей, не пересекаются (рис. 49, а),
В самом деле, рассмотрим прямые AAt и
ВВх , перпендикулярные к прямой PQ (рис. 49, б).
Мысленно перегнём рисунок по прямой PQ так,
23
Рис. 46
Рис. 47
В
D
Рис. 48
Начальные
геометри ческие
сведения
чтобы верхняя часть рисунка наложилась на
нижнюю. Так как прямые утлы 1 и 2 равны, то
луч РА наложится на луч PAL. Аналогично луч
QB наложится на луч QBA.
Поэтому, если предположить, что прямые
ААХ и ВВ{ пересекаются в точке М, то эта точка
наложится на некоторую точку также лежа-
щую на этих прямых (рис. 49, н), и мы получим,
что через точки М и проходят две прямые:
AAt и ВВ{. Но это невозможно.
Следовательно, наше предположение не-
верно и, значит, прямые AAj и ВВХ не пересека-
ются.
Для проведения перпендикулярных пря-
мых используют чертёжный треугольник и ли-
нейку (рис. 50).
R
Q
13.	Построение прямых углов
на местности
Для построения прямых углов на местно-
сти применяют специальные приборы, простей-
шим из которых является экер.
Экер представляет собой два бруска, распо-
ложенных под прямым углом и укреплённых на
треножнике (рис. 51). На концах брусков вбиты
гвозди так, что прямые, проходящие через них,
взаимно перпендикулярны.
Чтобы построить на местности прямой угол
с заданной стороной ОА, устанавливают тренож-
ник с экером так, чтобы отвес находился точно
пад точкой О, а направление одного бруска со-
впало с направлением луча О А. Совмещение
этих направлений можно осуществить с помо-
щью вехи, поставленной на луче.
Затем провешивают прямую линию по на-
правлению другого бруска (прямая ОВ на рисун-
ке 51). Получается прямой угол АОВ.
а)
Рис. 49
Рис. 50
24 Глава I
В геодезии для построения прямых
углов используют более совершенные
приборы, папримср теодолит.
Практические задания
58 Начертите острый угол ЛОВ и на
продолжении луча ОВ отметьте точ-
ку D. Сравните углы АОВ и AOD.
59 Начертите три угла: острый, пря-
мой и тупой. Для каждого из них
начертите смежный угол.
Рис.51
60 Начертите неразвёрнутый угол hk. Постройте угол hAkt так,
чтобы углы hk и h1ki были вертикальными.
61 Начертите перазвёрнутый угол MON и отметьте точку Р внут-
ри угла и точку Q вне его. С помощью чертёжного угольни-
ка и линейки через точки Р и Q проведите прямые, перпенди-
кулярные к прямым ОМ и ON.
Задачи
62 Найдите угол, смежный с углом АВС, если:
a) ZABC = 111’; б) ААВС = 90°; в) ZABC = 15v. Скачан с vk.com/materiallOO
63 Один из смежных углов прямой. Каким (острым, прямым, ту-
пым) является другой угол?
64 Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они
прямые?
65 Найдите смежные углы hk и kl, если:
a)	Zhk меньше Zkl на 40°;	L
б)	Zhk больше Zkl на 120°;	q	/
в)	Zhk больше Zkl на 47°18';	х.	/
г)	Zft/? = 3Z/?Z;	X. /
д)	Zhk Zkl = 5 i 4.
66 На рисунке 52 углы BOD и COD равны, “----------------'—т.
Найдите угол AOD, если АСОВ = 148°.
67 Даны два равных угла. Равны ли смежные Рис. 52
с ними углы?
68 Найдите изображённые на рисунке 47 углы:
а)	1, 3, 4, если Z2 = 117°;
б)	1, 2, 4, если Z3 = 43°27'.
69 Найдите неразвёрнутые углы, образованные при пересечении
двух прямых, если:
а)	сумма двух из них равна 114е;
б)	сумма трёх углов равна 220°.
Начальны?
гсоме/при ческие
снедения
25
70
71
72
73
74
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
На рисунке 47 (см. с. 23) найдите углы 1, 2,
3, 4, если:
a)	Z2 + Z4 = 220°;
б)	3(Z1 + Z3) = Z2+Z4;
в)	Z2-Zl = 30°.
На рисунке 53 изображены три прямые,
пересекающиеся в точке О. Найдите сумму
углов: Zl + Z2 + Z3.
На рисунке 54 ZA(9B=50i’, ZFO£ = 70°.
Найдите углы АОС, BOD, СОЕ и угол меж-
ду прямыми AD и FC.
Прямая а пересекает стороны угла А в точ-
ках Р и Q. Могут ли обе прямые АР и AQ
быть перпендикулярными к прямой а?
Через точку А, не лежащую на прямой а,
проведены три прямые, пересекающие пря-
мую а. Докажите, что по крайней мере две
из них не перпендикулярны к прямой а.
Рис. 53
Рис. 54
Вопросы для повторения к главе I
Сколько прямых можно провести через две точки?
Сколько общих точек могут иметь две прямые?
Объясните, что такое отрезок.	Скачан с vk.com/materiallOO
Какая фигура называется ломаной? Объясните, что такое вер-
шины и звенья ломаной.
Какая ломаная называется многоугольником?
Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?
Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вер-
шина и стороны угла.
Какой угол называется развёрнутым?
Какие фигуры называются равными?
Объясните, как сравнить два отрезка.
Какая точка называется серединой отрезка?
Объясните, как сравнить два угла.
Какой луч называется биссектрисой утла?
Точка С делит отрезок АВ на два отрезка. Как найти длипу
отрезка АВ, если известны длины отрезков АС и СВ?
Что такое длина ломаной?
Какое наименьшее число сторон может иметь многоугольник?
Объясните, как найти периметр многоугольника?
Какими инструментами пользуются для измерения расстоя-
ний?
Глава 7
19
20
21
22
23
24
25
26
75
76
77
78
79
80
81
Что такое градусная мера угла?
Л уч ОС делит угол АОВ на два угла. Как найти градусную
меру угла АОВ, если известны градусные меры углов АОС и
СОВ?
Какой угол называется острым; прямым; тупым?
Какие углы называются смежными? Чему равна сумма смеж-
ных углов?
Какие углы называются вертикальными? Каким свойством
обладают вертикальные углы?
Какие прямые называются нериендикулярными?
Объясните, почему две прямые, перпендикулярные к третьей,
не пересекаются.
Какие приборы применяют для построения прямых углов па
местности?
Дополнительные задачи
Отметьте четыре точки так, чтобы никакие три не лежали на
одной прямой. Через каждую пару точек проведите прямую.
Сколько получилось прямых?
Даны четыре прямые, каждые две из которых пересекают-
ся. Сколько точек пересечения имеют эти прямые, если через
каждую точку пересечения проходят только две пряМ‘йгё?с v^-com/material!си
Сколько неразвёрнутых углов образуется при пересечении
трёх прямых, проходящих через одну точку?
Точка N лежит па отрезке МР. Расстояние между точками М
и Р равно 24 см, а расстояние между точками N и М в 2 раза
больше расстояния между точками Аг и Р. Найдите расстоя-
ние:
а)	между точками Аг и Р;
б)	между точками Аг и Af.
Три точки К, L, М лежат на одной прямой, 7Г£ = 6см,
LM = 10 см. Каким может быть расстояние КМ? Для каждого
из возможных случаев сделайте чертёж.
Отрезок АВ длины а разделён точками Р и Q на три отрезка
АР, PQ и QB так, что AP = 2PQ = 2QB. Найдите расстояние
между:
а)	точкой А и серединой отрезка QB;
б)	серединами отрезков АР и QB.
Отрезок длины т разделён:
а)	на три равные части;
б)	на пять равных частей.
Найдите расстояние между серединами крайних частей.
Начальные
27 геометри ческие
снедения
82
83*
84
85
86
87
88
89*
90
91
Отрезок в 36 см разделён на четыре не равные друг другу
части. Расстояние между серединами крайних частей рав-
но 30 см. Найдите расстояние между серединами средних
частей.
Точки А, В и С лежат на одной прямой, точки М и N —
середины отрезков АВ и АС. Докажите, что ВС = 2MN.
Известно, что ААОВ = 35°, ZBOC = 50°. Найдите угол АОС.
Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помо-
щью линейки и транспортира.
Угол hk равен 120е, а угол hm равен 150е. Найдите угол km.
Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.
Найдите смежные углы, если:
а)	один из них на 45° больше другого;
6)	их разность равна 35е.
Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных
углов.
Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на
одной прямой.
Докажите, что если биссектрисы углов АВС и CBD перпенди-
кулярны, то точки А, В и D лежат на одной прямой.
Даны две пересекающиеся прямые а и b и точка А, не лежа-
щая па этих прямых. Через точку А проведены np^wPv^^ fflaterialioo
так, что т 1 a, nib. Докажите, что прямые т и и по совпада-
ют.
Найдите площадь и периметр прямоугольника, если пря-
моугольник сложили: а) из двух квадратов с периметрами
8 см; б) из трёх квадратов с периметрами 8 см; в) из четырёх
квадратов с периметрами 8 см; г) из п (п — натуральное чис-
ло, большее 1) квадратов с периметрами 8 см.
28 Глава {
Глава II
Треугольники
В этой главе вы начнёте изучение свойств треугольников и
окружностей. Треугольник — одна из самых простых и вместе
с тем самых важных фигур в геометрии. То же самое можно ска-
зать об окружности. Оказывается, что эти простые фигуры таят
в себе много интересного и неожиданного. Различные их свой-
ства вы будете изучать на протяжении всего курса геометрии.
При этом мы будем формулировать и доказывать теоремы. Что
такое теорема и что значит доказать теорему, вы узнаете в дан-
ной главе, где появятся первые теоремы о треугольниках.
И Первый признак
равенства треугольников
14.	Треугольник
Многоугольник с тремя вершинами называ-
ется треугольником; он имеет три стороны. Тре-
угольник является простейшим многоугольником.
На рисунке 55 изображён треугольник с верши-
нами Л, В, С и сторонами Л В, ВС и СЛ. Такой
треугольник будем обозначать так: Л АВС (чита-
ется: «треугольник АВС»}. Этот же треугольник
можно обозначить иначе, записав буквы А, В, С
в другом порядке: ЛВС А, ЛСВА и т. д.
Три угла — ZBAC, ZCBA и А АС В — назы-
ваются углами треугольника АВС. Часто их обо-
значают одной буквой: А А, АВ, АС.
Сумма длин трёх сторон треугольника на-
зывается его периметром.
Напомним, что две фигуры, в частности два
треугольника, называются равными, если их мож-
но совместить наложением. На рисунке 56 изобра-
жены равные треугольники АВС и А^С^.
Каждый из этих треугольников можно на-
ложить на другой так, что они полностью совме-
стятся, т. е. попарно совместятся их вершины и
стороны. Ясно, что при этом совместятся попар-
но и углы этих треугольников.
Треугольник
с вершинами Д li, С
и сторонами
АЛ, ВС и СА
Рис. 55
29
Треугол ы iи к и
Таким образом, если два треугольника рав-
ны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного
треугольника соответственно равны элементам
другого треугольника.
Отметим, что в равных треугольниках про-
тив соответственно равных сторон (т. е. совмеща-
ющихся при наложении) лежат равные углы, и
обратно: против соответственно равных углов ле-
жат равные стороны. Так, например, в равных
треугольниках АВС и AjBjC^ изображённых на
рисунке 56, против соответственно равных сторон
АВ и лежат равные углы С и
Равенство треугольников АВС и А1В1С1
обозначается так: ЛЛВС =/\А^ВаС}. Оказыва-
ется, что равенство двух треугольников можно
установить, не накладывая один треугольник на
другой, а сравнивая только некоторые их эле-
менты. Как это сделать, мы обсудим в следую-
щих пунктах.
Такая возможность — установить равенство
двух фигур, не производя наложения одной на
другую, а измеряя и сравнивая лишь некоторые
элементы этих фигур, — важна для практики,
например для сравнения двух земельных участ-
ков, которые, конечно, нельзя наложить друг на
друга.
15.	Первый признак
равенства треугольников
В математике каждое утверждение, спра-
ведливость которого устанавливается путём рас-
суждений, называется теоремой, а сами рассуж-
дения называются доказательством теоремы.
Фактически мы уже имели дело с теоремами и
их доказательствами. Так, утверждение о ра-
венстве вертикальных углов является теоремой,
а рассуждения, которые мы провели, чтобы уста-
новить равенство вертикальных углов, и есть до-
30
С
А	в,
Рис. 56
Глава И
С
казательство этой теоремы. В этом параграфе мы
докажем одну из теорем о равенстве треуголь-
ников.
Теорема
Если две стороны и угол между ними одного
треугольника соответственно равны двум сторо-
нам и углу между ними другого треугольника,
то такие треугольники равны.
Доказательство
Рассмотрим треугольники АВС и AjBjQ,
у которых AZ^A^, AC = A1(?P углы А и А1
равны (рис. 57). Докажем, что /\АВС = ДА-&С
Так как ZA = ZAy, то треугольник АВС
можно наложить на треугольник	так, что
вершина А совместится с вершиной а сторо-
ны АВ и АС наложатся соответственно на лучи
и А^С^ Поскольку ДВ = Д1В1, АС = Д1С1, то
сторона АВ совместится со сторопой А:В,, а сто-
рона АС — со стороной	в частности, со-
вместятся точки В и Ви С и Ср Следовательно,
совместятся стороны ВС и B,Ci. Итак, треуголь-
ники АВС и АД С, полностью совместятся, зна-
чит, они равны.
Теорема доказана.
Доказанная теорема выражает признак (ра-
венство у треугольников двух сторон и угла меж-
ду ними), по которому можно сделать вывод о
равенстве треугольников. Он называется первым
признаком равенства треугольников.
Практические задания
92 Начертите треугольник и обозначьте его вершины буквами М,
N и Р. а) Назовите все углы и стороны треугольника; б) с по-
мощью масштабной линейки измерьте стороны и найдите пе-
риметр треугольника.
93 Начертите треугольник DEF так, чтобы угол Е был прямым.
Назовите: а) стороны, лежащие против углов I), F; б) углы,
лежащие против сторон DE, EF, FD; в) углы, прилежащие
к сторонам DE, EF, FD.
Рис. 57
Треугольники
94 С помощью транспортира и масштабной линейки начерти-
те треугольник АВС, в котором: а) АВ = 4,3 см, АС =2,3 см,
ZA = 23°; б) ВС = 9 см, ВА = 6,2 см, ZB = 122°; в) СА = Зсм,
СВ = 4 см, ZC = 90°.
Задачи
95 Сторона АВ треугольника АВС равна 17 см, сторона АС вдвое
больше стороны АВ, а сторона ВС на 10 см меньше стороны
АС. Найдите периметр треугольника АВС.
96 Периметр треугольника равен 48 см, а одна из сторон рав-
на 18 см. Найдите две другие стороны, если их разность рав-
на 4,6 см.
97 Периметр одного треугольника больше периметра другого.
Могут ли быть равными эти треугольники?
98 Отрезки АВ и DC пересекаются в точке В, являющейся сере-
диной каждого из них, а) Докажите, что треугольники АВС
и EBD равны; б) найдите углы А и С треугольника АВС, если
в треугольнике BDE Z.D = 47°, ZB = 42е.
99 На рисунке 58 АВ = AC, Z1 = Z2. а) Докажите, что треугольни-
ки ABD и ACD равны; б) найдите BD и АВ, если АС = 15 см,
DC = 5 см.
100 На рисунке 59 BC = AD, Z1=Z2. а) Докажите, что тре-
угольники АВС и CD А равны; б) найдите АВ-t^BCyk.^^giatenallOO
AD =17 см, DC = 14 см.
101 Па рисунке 60 OA = OD, ОВ = ОС, Zl = 74°, Z2 = 36°. а) Докажи-
те, что треугольники АОВ и DOC равны; б) найдите угол ACD.
102 Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. До-
кажите, что AABC = A,CDA.
103 В треугольниках АВС и A^BjCj АВ = А1В1, АС = А^СУ,
ZA = ZA:. На сторонах АВ и АаВх отмечены точки Р и так,
что АР = ALP,, Докажите, что ЛВРС = A.BLP1CL.
104 На сторонах угла CAD отмечены точки В и В так, что точка В
лежит на отрезке Л С, а точка Е — на отрезке AD, причём
AC = AD и АВ=АЕ. Докажите, что Z.CBD = ZDEC.
Рис. 58
32 Глава II
s2
Медианы, биссектрисы
и высоты треугольника
16.	Перпендикуляр к прямой
Рассмотрим прямую а и точку Л, не лежа-
щую на этой прямой (рис. 61). Соединим точку А
отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН
называется перпендикуляром, проведённым из
точки А к прямой а, если прямые АН и а пер-
пендикулярны. Точка Н называется основанием
перпендикуляра.
Теорема
Из точки, не лежащей на прямой, можно про-
вести перпендикуляр к этой прямой, и притом
только один.
_______г________2
|н
Отрезок АН -
перпендикуляр
к прямой а
Рис. 61
Доказательство
Пусть А — точка, не лежащая на прямой
ВС (рис. 62, а). Докажем сначала, что из точ-
ки А можно провести перпендикуляр к пря-
мой ВС.
Проведём луч ВЛ. Отложим от луча ВС
угол МВС, равный углу АВСУ как показано на
рисунке 62, а. Так как углы АВС и МВС рав-
ны, то первый из них можно наложить на вто-
рой так, что стороны ВА и ВС первого угла со-
вместятся со сторонами ВМ и ВС второго угла.
Наглядно это наложение можно представить себе
как перегибание рисунка по прямой ВС. При
этом точка А наложится на некоторую точку Aj
луча ВМ (рис. 62, б). Обозначим буквой Н точку
пересечения прямых AAt и ВС.
Отрезок АН и есть искомый перпендику-
ляр к прямой ВС. В самом деле, при указанном
наложении луч НА совмещается с лучом 7/А:,
поэтому угол 1 совмещается с углом 2. Следова-
тельно, Z1 = Z2. По углы 1 и 2 — смежные, зна-
чит, каждый из них прямой. Итак, АН1ВС.
Рис. 62
33
Треугол ы i и к и
Рис. 63	Рис. 64	Рис. 65
AM - медиана
треугольника
ЛМ1. вмг, см3 -
медианы треугольника
ЛИС
Докажем, что из точки А можно провести
только один перпендикуляр к прямой ВС.
Если предположить, что через точку А
можно провести ещё один перпендикуляр АН} к
прямой ВС, то получим, что две прямые АН и
АН{, перпендикулярные к прямой ВС, пересека-
ются (рис. 63). Но в п. 12 было доказано, что это
невозможно. Итак, из точки А можно провести
только один перпендикуляр к прямой ВС.
Теорема доказана.
Для проведения на чертеже перпендику-
ляра из точки к прямой используют чертёжный
треугольник (рис. 64).
ЛА। - биссектриса
т реугол ы t и к а A# С
17.	Медианы, биссектрисы
и высоты треугольника
Отрезок, соединяющий вершину треуголь-
ника с серединой противоположной стороны,
называется медианой треугольника (рис. 65, а).
Любой треугольник имеет три медианы. На
рисунке 65,6 отрезки ВМ 2, СМ3 — медиа-
ны треугольника АВС.
Отрезок биссектрисы угла треугольника,
соединяющий вершину треугольника с точкой
противоположной стороны, называется биссек-
трисой треугольника (рис. 66, а).
Любой треугольник имеет три биссектрисы.
На рисунке 66, б отрезки С(], DDy и ЕЕ- бис-
сектрисы треугольника CDE.
СС}) DD}. ЕЕ}~
биссектрисы
т реуголън и к a CDE
Рис. 66
АН - высота
треугольника АИС
Рис. 67
34 Глава II
Перпендикуляр, проведённый из вершины
треугольника к прямой, содержащей противопо-
ложную сторону, называется высотой треуголь-
ника (рис. 67).
Любой треугольник имеет три высоты. На
рисунках 68, а, б, в отрезки АНЪ ВН2, СНЛ — вы-
соты треугольника АВС.
Медианы, биссектрисы и высоты треуголь-
ника обладают замечательными свойствами:
медианы треугольника пересекаются в одной
точке (см. рис. 65, б);
биссектрисы треугольника пересекаются в одной
точке (см. рис. 66, б);
высоты треугольника или их продолжения также
пересекаются в одной точке (см. рис. 68, а, б, в).
Эти утверждения мы докажем позже.
18.	Свойства равнобедренного
треугольника
Треугольник называется равнобедренным,
если две его стороны равны. Равные стороны на-
зываются боковыми сторонами, а третья сторо-
на — основанием равнобедренного треугольника
(рис. 69).
Треугольник, все стороны которого равны,
называется равносторонним (рис. 70).
Докажем две теоремы о свойствах равно-
бедренного треугольника.
Теорема
В равнобедренном треугольнике углы при
основании равны.
Доказательство
Рассмотрим равнобедренный треугольник
АВС с основанием ВС и докажем, что ZB = ZC.
35
в н. с
Скачан с vk.com/materiallOO
АЯр ВН2,СН3-
нысоты /\АНС
Рис. 68
Равнобедренный
треугольник
Рис. 69
Треугол ы i и к и
Пусть AD — биссектриса треугольника АВС
(рис. 71). Треугольники ABD и ACD равны
по первому признаку равенства треугольни-
ков (АВ = АС по условию, AD — общая сторо-
на, Z1=Z2, так как AD — биссектриса). В рав-
ных треугольниках против равных сторон лежат
равные углы, поэтому ЛВ = АС.
Теорема доказана.
Ра внос торанни й
треугольник
Рис. 70
Теорема
В равнобедренном треугольнике биссектриса,
проведённая к основанию, является медианой и
высотой.
Доказательство
Обратимся снова к рисунку 71, на котором
АВС — равнобедренный треугольник с основани-
ем ВС, AD — его биссектриса.
Из равенства треугольников ABD и ACD
следует, что BD=DC и Z3 = Z4. Равенство
BD-DC означает, что точка D — середина сто-
роны ВС, и поэтому AD — медиана треугольника
АВС. Так как углы 3 и 4 — смежные и равны
друг другу, то они прямые. Следовательно, от-
резок AD является также высотой треугольника
АВС.
Теорема доказана.
Мы установили, что биссектриса, медиана
и высота равнобедренного треугольника, прове-
дённые к основанию, совпадают. Поэтому спра-
ведливы также утверждения:
1. Высота равнобедренного треугольника, про-
ведённая к основанию, является медианой и бис-
сектрисой.
2. Медиана равнобедренного треугольника, про-
ведённая к основанию, является высотой и
биссектрисой.
Рис. 71
36 Глава /7
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
Практические задания
Начертите прямую а и отметьте точки А и В, лежащие по
разные стороны от прямой а. С помощью чертёжного угольни-
ка проведите из этих точек перпендикуляры к прямой а.
Начертите треугольник. С помощью масштабной линейки
отметьте середины сторон и проведите медианы треуголь-
ника.
Начертите треугольник. С помощью транспортира, и линейки
проведите его биссектрисы.
Начертите треугольник АВС с тремя острыми углами и тре-
угольник MNP, у которого угол М тупой. С помощью чер-
тёжного угольника проведите высоты каждого треуголь-
ника .
Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол,
лежащий против основания, был:
а) острым; б) прямым; в) тупым.
Задачи
Точки Л и С лежат по одну сторону от прямой а. Перпендику-
ляры АВ и CD к прямой а равны,
а) Докажите, что Z.ABD = Z.CDB',
б)	найдите ZABC, если ZADB = 44".	Скачан с vk.com/materialioo
Медиана AD треугольника АВС продолжена за точку D на от-
резок DE, равный AD, и точка Е соединена с точкой С.
а) Докажите, что /\ABD = /\ECD;
б)	найдите ЛАСЕ, если ЛАСВ = 56°, ЛАВВ = 40°.
В равнобедренном треугольнике основание в 2 раза меньше
боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны
треугольника.
Периметр равнобедренного треугольника АВС с основанием ВС
равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника BCD
равен 45 см. Найдите стороны Л В и ВС.	д
В равнобедренном треугольнике АВС с осно-	I \
ванием ВС проведена медиана AM. Найдите	/ \
медиану ЛМ, если периметр треугольника	/	\
АВС равен 32 см, а периметр треугольника /	\
АВМ равен 24 см.	/	\
п	/2Л>1 \
Докажите, что если медиана треугольника /	\
является его высотой, то треугольник рав- IX АД
нобедренный.	-------»
На рисунке 72 CD = BD, Z1=Z2. Докажите,
что треугольник АВС равпобсдрсппый.	Рис. 72
37 Треугольники
117
118
119
120
121
122
123
124
125
На рисунке 73, а) АВ = ВС, Zl = 130c. Най-
дите Z2.
Точки М и Р лежат по одну сторону от пря-
мой Ь. Перпендикуляры MN и PQ, прове-
дённые к прямой Ь, равны. Точка О — сере-
дина отрезка 1VQ.
а)	Докажите, что ZOMP = ZOPM;
б)	найдите ZNOM., если /МОР - 105°.
Докажите, что в равных треугольниках меди-
аны, проведённые к равным сторонам, равны.
Медиана AM треугольника АВС равна
отрезку ВМ. Докажите, что один из углов
треугольника АВС равен сумме двух дру-
гих углов.
Докажите, что в равностороннем тре-
угольнике все углы равны.
На рисунке 73,6) АВ = ВС, CD = DE. Дока-
жите, что ZBAC = ZCED.
На основании ВС равнобедренного тре-
угольника АВС отмечены точки М и Лг так,
что BM = CN. Докажите, что:
а)	ЛВАМ = /SCAN;
б)	треугольник AA7JV равнобедренный.
Рис.73
Скачан с vk.com/materiallOO
В равнобедренном треугольнике DEK с основанием DK =16 см
отрезок EF— биссектриса, ZDEF = 43°. Найдите KF, ZDEK,
ZEFD.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС про-
ведена медиана BD. На сторонах АВ и СВ отмечены соот-
ветственно точки Е и F так, что AE = CF. Докажите, что:
a) ABDE= ABVF; б) ЛАDE= /\CIJF.
§3
Второй и третий признаки
равенства треугольников
19.	Второй признак
равенства треугольников
Теорема
Если сторона и два прилежащих к ней угла од-
ного треугольника соответственно равны сторо-
не и двум прилежащим к ней углам другого тре-
угольника, то такие треугольники равны.
38 Глава II
Доказательство
Рассмотрим треугольники АВС и А^С,. у
которых АВ — АрВ], ZA — ZA1S ZB — АВ , (рис. 74).
Докажем, что ДАВС = AAjB^i.
Наложим треугольник АВС на треуголь-
ник AtBjC] так, чтобы вершина А совместилась
с вершиной А,, сторона АВ — с равной ей сторо-
ной А]В], и вершины С и С| оказались по одну
сторону от прямой АрВд.
Так как ZA = АА} и ZB = АВу, то сторона АС
наложится на луч А,С^, а сторона ВС — на луч
BjCp Поэтому вершина С общая точка сторон
АС и ВС — окажется лежащей как на луче AjQ,
так и на луче Bfiy и, следовательно, совместится
с общей точкой этих лучей — вершиной Q. Зна-
чит, совместятся стороны АС и AjC,, ВС и В/?,.
Итак, треугольники АВС и ApEJjCj полно-
стью совместятся, поэтому они равны.
Теорема доказана.
20.	Третий признак
равенства треугольников
Теорема
Рис.74
Скачан с vk.com/materiallOO
Если три стороны одного треугольника соответ-
ственно равны трём сторонам другого треуголь-
ника. то такие треугольники равны.
Доказательство
Рассмотрим треугольники АВС и AjB|Cj,
у которых AB=AtBL, ВС = В1С1, CA^CiAj
(рис. 75). Докажем, что А.АВС = ЛА1В{С1.
Приложим треугольник АВС к треугольни-
ку А,В,С, так, чтобы вершина А совместилась
с вершиной Ап вершина В — с вершиной Bi,
а вершины С и оказались по разные стороны
от прямой AlBl (рис. 76).
Возможны три случая: луч С3С проходит
внутри угла A^iB) (рис. 76, а); луч Ст С совпада-
39
Треугольники
ет с одной из сторон этого угла (рис. 76, б); луч
CjC проходит вне угла А1С]В1 (рис. 76, в). Рас-
смотрим первый случай (остальные случаи рас-
смотрите самостоятельно).
Так как по условию теоремы стороны АС и
А)Ср ВС и В,С i равны, то треугольники А,С,С и
BjCjC — равнобедренные (см. рис. 76, а). По тео-
реме о свойстве углов равнобедренного треуголь-
ника Z1 = Z2, Z3 = Z4, поэтому ZA/^B, = AAlClBl.
Итак, AC =A,Ci, ВС = В1С„ ЛС = ХС,.
Следовательно, треугольники АВС и А^С,
равны по первому признаку равенства треуголь-
ников. Теорема доказана.
Из третьего признака равенства треуголь-
ников следует, что треугольник — жёсткая фигу-
ра. Поясним, что это означает.
Представим себе две рейки, у которых два
конца скреплены гвоздём (рис. 77, п). Такая кон-
струкция не является жёсткой: сдвигая или раз-
двигая свободные концы реек, мы можем менять
угол между ними. Теперь возьмём ещё одну рей-
ку и скрепим её концы со свободными концами
первых двух реек (рис. 77, б)-
Полученная конструкция — треугольник —
будет уже жёсткой. В ней нельзя сдвинуть или
раздвинуть никакие две стороны, т. е. нельзя
изменить ни один угол. Действительно, если бы
это удалось, то мы получили бы новый треуголь-
ник, не равный исходному. Но это невозможно,
так как повый треугольник должен быть равен
Скачан с vk.com/materiallOO
40 Глава II
исходному по третьему признаку равенства тре-
угольников.
Это свойство — жёсткость треугольника —
широко используется на практике. Так, чтобы
закрепить столб в вертикальном положении,
к нему ставят подпорку (рис. 78, а); такой же
принцип используется при установке кронштей-
на (рис. 78, б).
Задачи
126 Отрезки АВ и CD пересекаются в середине
отрезка АВ, точке О, Z.OAD = АОВС.
а)	Докажите, что ЛСВО = A.DAO;
б)	найдите ВС и СО, если CD = 26 см,
AD = 15 см.
127 На рисунке 59 (см. с. 32) Z1 = Z2, Z3 = Z4.
а)	Докажите, что ЛАВС = A.CDA;
б)	найдите АВ и ВС, если АЛ = 19 см,
CD = 11 см.
Рис. 78
128 На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого
угла — точки В и С такие, что ZAZ)B=ZAZ)C. Докажите, что
BD = CD.	Скачан с vk.com/materiallOO
129 По данным рисунка 79 докажите, что ОР = ОТ, Z.P = Z.T.
130 На рисунке 80 Z.DAC = £DBC, АО = ВО. Докажите, что
ZC = ZD и АС = ВЛ.
131 На рисунке 80 ADAB = ZCBA, ZCAB = ADBA, AC = 13 см.
Найдите BD.
132 В треугольниках АВС и A^jC, АВ = А1В1, ВС = В1С1,
ZB=ZBV На сторонах АВ и А^В} отмечены точки D и Dy так,
что ZACD = ZAiCiPp Докажите, что ABCD = АВ^С \DY.
133 Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, прове-
дённые к соответственно равным сторонам, равны.
Рис. 79
Рис. 80
Треугольники
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
Отрезки АС и BD пересекаются в середине отрезка АС, точ-
ке О, ZBCO = ADAO. Докажите, что АВОА = ADOC.
В треугольниках АВС и АдВ^ отрезки СО и С,О| — ме-
дианы, BC = BiC1, ZB = ZB( и ZC = ZCP Докажите, что:
а) ЛАСО=АЛ1С|О1;
б)	ЛВСО = AB,Cn О,.
В треугольниках DEF и MNP EF = NP, DF=MP и zLF=AP.
Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектри-
сы углов М и Аг — в точке К. Докажите, что Z.DOE = ZMKN.
Прямая, перпендикулярная к биссектрисе угла А, пересекает
стороны угла в точках М и /V. Докажите, что треугольник
AMN равнобедренный.
Докажите, что если биссектриса треугольника является его
высотой, то треугольник — равнобедренный.
Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если ос-
нование и прилежащий к нему угол одного треугольника со-
ответственно равны основанию и прилежащему к нему углу
другого треугольника.
Докажите, что если сторона одного равностороннего треуголь-
ника равна стороне другого равностороннего треугольника, то
треугольники равны.
В треугольниках ABD и ACD АВ = АС, BD=DC, точки В и С
лежат по разные стороны от прямой AD. Найдит&ЖЛр4^а[егй|100
если ZBAC = 50°.
В треугольниках ЛВС и A DC BC=AD, AB = CD. Докажите,
что ZB = ZP. Рассмотрите разные случаи расположения точек
В и D,
Па рисунке 81 АВ = CD и ВВ = АС. Докажите, что:
a) Z.CAD = AADB\ б) Z.BAC = Z.CDB.
На рисунке 82 AB = CD, AD = BC, BE — биссектриса угла
ЛВС, a DF— биссектриса угла ADC, Докажите, что:
a)	ZABE = ZADF;
б)	AABE = ACDF.
В треугольниках АВС и	медианы ВМ и В^М^ равны,
AB-AiBj, АС = AiC,. Докажите, что Д АВС = AA^/Jj.
Рис. 81
Рис. 82
Глава 11
146 В треугольниках АВС и А^С, отрезки AD и A1D1— бис-
сектрисы, АВ = AjI?!, BD=BlDl и AD = А12Э1, Докажите, что
ДАВС=ДА1В1С1-
147 Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее ос-
нование DC. Прямая АВ пересекает отрезок CD в точке О.
Докажите, что: a) Z.ADB = Z.ACB', б) DO = OC.
Задачи на построение
21.	Окружность
Предложение, в котором разъясняется
смысл того или иного выражения или названия,
называется определением. Мы уже встречались с
определениями, например с определением угла,
смежных углов, равнобедренного треугольника
и т. д. Дадим определение ещё одной геометриче-
ской фигуры — окружности.
Определение
Окружностью называется геометрическая фигура,
состоящая из всех точек плоскости, расположен-
ных на заданном расстоянии от данной точки.
Данная точка называется центром окруж-
ности, а отрезок, соединяющий центр с какой-ли-
бо точкой окружности, — радиусом окружности
(рис. 83). Из определения окружности следует,
что все радиусы имеют одну и ту же длину.
Отрезок, соединяющий две точки окружно-
сти, называется её хордой. Хорда, проходящая че-
рез центр окружности, называется её диаметром.
На рисунке 84 отрезки Л В и EF— хорды
окружности, отрезок CD — диаметр окружности.
Очевидно, диаметр окружности в 2 раза больше
её радиуса. Центр окружности является середи-
ной любого диаметра.
Любые две точки окружности делят её
на две части. Каждая из этих частей называ-
ется дугой окружности. На рисунке 85 ALB и
AM В дуги, ограниченные точками А и В.
43
Окружность радиуса г
с центром О
Рис. 83
АВ и EF-хорды,
CD- диаметр
Рис. 84
ALBuAMB-
дуги окружности,
ограниченные
точками А и В
Рис. 85
Треугольники
Для изображения окружности на чертеже
пользуются циркулем (рис. 86). Чтобы провести
окружность на местности, можно воспользовать-
ся верёвкой (рис. 87).
Часть плоскости, ограниченная окружно-
стью, называется кругом (рис. 88).
22.	Построения циркулем и линейкой
Мы уже имели дело с геометрическими
построениями: проводили прямые, отклады-
вали отрезки, равные данным, чертили углы,
треугольники и другие фигуры. При этом мы
пользовались масштабной линейкой, циркулем,
транспортиром, чертёжпым угольником.
Оказывается, что многие построения можно
выполнить с помощью только циркуля и линей-
ки без масштабных делений. Поэтому в геомет-
рии специально выделяют те задачи на построе-
ние, которые решаются с помощью только этих
двух инструментов.
Что можно делать с их помощью? Ясно,
что линейка позволяет провести произвольную
прямую, а также построить прямую, проходя-
щую через две данные точки. С помощью цир-
куля можно провести окружность произвольного
радиуса, а также окружность с центром в дан-
ной точке и радиусом, равным данному отрезку.
Выполняя эти несложные операции, мы сможем
решить много интересных задач на построение:
—	построить угол, равный данному;
—	через данную точку провести прямую,
перпендикулярную к данной прямой;
—	разделить данный отрезок пополам
и другие задачи.
Начнём с простой задачи.
Задача
На данном луче от его начала отложить от-
резок, равный данному.
Построение
окружности
с помощью циркуля
Рис. 86
Пен троение
окружности
с помощью верёвки
Рис. 87
44 Глава II
Решение
Изобразим фигуры, данные в условии за-
дачи: луч ОС и отрезок АВ (рис. 89, а). Затем
циркулем построим окружность радиуса АВ с
центром О (рис. 89, /5). Эта окружность пересечёт
луч ОС в некоторой точке D. Отрезок OD — ис-
комый.
23.	Примеры задач на построение
Построение угла, равного данному
Задача
Отложить от данного луча угол, равный
данному.
Решение
Данный угол с вершиной А и луч ОМ изо-
бражены на рисунке 90. Требуется построить
угол, равный углу А, так, чтобы одна из его сто-
рон совпала с лучом ОМ.
Проведём окружность произвольного ради-
уса с центром в вершине А данного угла. Эта
окружность пересекает стороны угла в точках В
и С (рис. 91, а). Затем проведём окружность того
же радиуса с центром в начале данного луча ОМ.
Она пересекает луч в точке D (рис. 91, б). После
этого построим окружность с центром D, ради-
ус которой равен ВС. Окружности с центрами
О и В пересекаются в двух точках. Одну из этих
точек обозначим буквой Е. Докажем, что угол
МОЕ — искомый.
Рассмотрим треугольники АВС и ODE. От-
резки Л В и АС являются радиусами окружности
с центром А, а отрезки OD и ОЕ — радиусами
окружности с центром О (см. рис. 91, б). Так как
по построению эти окружности имеют равные ра-
диусы, то AB = OD, АС = ОЕ. Также по построе-
нию BC = DE.
Следовательно, Л АВС = Z\ODE по трём сто-
ронам. Поэтому /.DOE = ABAC, т. е. построенный
угол МОЕ равен данному углу А.
45
а)
Рис. 90
То же построение можно выполнить и на
местности, если вместо циркуля воспользоваться
верёвкой.
Построение биссектрисы угла
Задача
Построить биссектрису данного угла.
Решение
Данный угол КАМ изображён на рисун-
ке 92. Проведём окружность произвольного ра-
диуса с центром в вершине Л. Она пересечёт сто-
роны угла в точках В и С.
Затем проведём две окружности одинако-
вого радиуса ВС с центрами в точках В и С (на
рисунке изображены лишь части этих окружно-
стей). Они пересекутся в двух точках, из кото-
рых хотя бы одна лежит внутри угла. Обозначим
её буквой Е. Докажем, что луч ЛК является бис-
сектрисой данного угла КАМ.
Рассмотрим треугольники АСЕ и АВЕ. Они
равны по трём сторонам. В самом деле, ЛЕ — об-
щая сторона; АС и АВ равны как радиусы одной
и той же окружности; СЕ = ВЕ по построению.
Из равенства треугольников АСЕ и АВЕ
следует, что АСАЕ = КВАЕ, т. е. луч АЕ — бис-
сектриса данного угла КАМ.
Замечание
Можно ли с помощью циркуля и линей-
ки разделить данный угол на два равных угла?
Ясно, что можно, — для этого нужно провести
биссектрису этого угла.
А можно ли с помощью циркуля и линей-
ки разделить данный угол на три равных угла?
Эта задача, получившая название задачи о три-
секции угла, в течение многих веков привлекала
внимание математиков. Лишь в XIX в. было до-
казано, что для произвольного угла такое постро-
ение невозможно.
46
Рис 92
Скачан с vk.com/materiallOO
Глава II
Построение перпендикулярных прямых
Задача
Даны прямая и точка на пей. Построить
прямую, проходящую через данную точку и пер-
пендикулярную к данной прямой.
Решение
Данная прямая а и данная точка М, принад-
лежащая этой прямой, изображены на рисунке 93.
На лучах прямой а, исходящих из точки
М, отложим равные отрезки МЛ и МВ. Затем
построим две окружности с центрами А и В ради-
уса АВ. Они пересекаются в двух точках: Р и Q.
Проведём прямую через точку М и одну из
этих точек, папример прямую МР (см. рис. 93),
и докажем, что эта прямая — искомая, т. е. что
она перпендикулярна к данной прямой а.
В самом деле, так как медиана РМ равно-
бедренного треугольника РАВ является также
высотой, то PM X а.
Построение середины отрезка
Задача
Построить середину данного отрезка.
Решение
Пусть АВ—данный отрезок. Построим
две окружности с центрами А и В радиуса АВ
(рис. 94). Они пересекаются в точках Р и Q. Про-
ведём прямую PQ. Точка О пересечения этой
прямой с отрезком АВ и есть искомая середина
отрезка Л В (рис. 95).
В самом деле, AAPQ = ABPQ по трём сто-
ронам, поэтому Z1=Z2, и, следовательно, от-
резок РО — биссектриса равнобедренного тре-
угольника АРВ, а значит, высота и медиана, т. с.
РО±АВ и точка О — середина отрезка АВ.
Замечание
Прямая PQ, проходящая через середину от-
резка АВ и перпендикулярная к нему, называет-
ся серединным перпендикуляром к отрезку АВ.
47
Рис. 93
Треугол ыш к и
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
Задачи
Какие из отрезков, изображённых
па рисунке 96, являются: а) хордами
окружности; б) диаметром окружно-
сти; в) радиусами окружности? (Точ-
ка О — цептр окружности.)
Отрезки АВ и CD — диаметры окруж-
ности. Докажите свойства хорд: рис 95
а) хорды BD и АС равны; б) хорды
AD и ВС равны; в) Z.BAD = ZBCD.
Отрезок М К — диаметр окружности с центром О, а М Р и
РК — равные хорды этой окружности. Найдите угол РОМ.
Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О.
Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что
СВ = 13 см, АВ = 16 см.
На окружности с центром О отмечены точки Л и В так, что
угол АОВ — прямой. Отрезок ВС диаметр окружности.
Докажите, что хорды АВ и АС равны.
На прямой даны две точки А и В. На продолжении луча ВА
отложите отрезок ВС так, чтобы ВС = 2АВ.
Даны прямая а, точка В, не лежащая на ней, и отрезок PQ.
Постройте точку М па прямой а так, чтобы ВМ BcfeWiaterialioo
ли задача имеет решение?
__ Даны окружность, точка А, не лежащая на ней, и от-
резок PQ. Постройте точку М на окружности так, чтобы
AM = PQ. Всегда ли задача имеет решение?
Даны острый угол ВАС и луч ХУ. Постройте угол YXZ так,
чтобы ZYXZ=2ZBAC.
Дан тупой угол АОВ. Постройте луч ОХ так, чтобы углы ХОА
и ХОВ были равными тупыми углами.
Даны прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте
прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к
прямой а.
Решение
Построим окружность с центром
в данной точке М, пересекающую
данную прямую а в двух точках,
которые обозначим буквами А и
В (рис. 97). Затем построим две
окружности с центрами А и В,
проходящие через точку М. Эти
окружности пересекаются в точ-
ке М и ещё в одной точке, которую
4S Глава II
обозначим буквой Л7. Проведём прямую ЛГХ и докажем, что
эта прямая — искомая, т. е. она перпендикулярна к прямой а.
В самом деле, треугольники AMN и BMN равны по трем
сторонам, поэтому Z1 = Z2. Отсюда следует, что отрезок МС
(С — точка пересечения прямых а и MN) является биссектри-
сой равнобедренного треугольника AM В, а значит, и высотой.
Таким образом, МЛ7 _1_ АВ, т. с. МЛ7 ± а.
159 Дан треугольник ЛВС, Постройте: а) биссектрису ЛК; б) ме-
диану ВМ; в) высоту СН треугольника.
160 С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный:
а) 45°; б) 22с30'.
Вопросы для повторения к главе II
1	Объясните, какая фигура называется треугольником. Начер-
тите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы.
Что такое периметр треугольника?
2	Какие треугольники называются равными?
3	Что такое теорема и доказательство теоремы?
4	Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый
признак равенства треугольников.
5	Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром^ прскт/materiallOO
ведённым из данной точки к данной прямой.
6	Сформулируйте и докажите теорему о перпендикуляре, про-
ведённом из данной точки к данной прямой.
7	Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько
медиан имеет треугольник?
8	Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколь-
ко биссектрис имеет треугольник?
9	Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько
высот имеет треугольник?
10	Какой треугольник называется равнобедренным? Как назы-
ваются его стороны?
11	Какой треугольник называется равносторонним?
12	Докажите, что углы при основании равнобедренного треуголь-
ника равны.
13	Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе равнобед-
ренного треугольника.
14	Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй
признак равенства треугольников.
15	Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий
признак равенства треугольников.
49 Треугольники
16
17
18
19
20
21
161
162
163
164
165
166
167
168
Что такое определение? Дайте определение окружности. Что
такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности?
Объясните, как отложить на данном луче от его начала отре-
зок, равный данному.
Объясните, как отложить от данного луча угол, равный дан-
ному.
Объясните, как построить биссектрису данного угла.
Объясните, как построить прямую, проходящую через данную
точку, лежащую на данной прямой, и перпендикулярную к
этой прямой.
Объясните, как построить середину данного отрезка.
Дополнительные задачи
Периметр треугольника ЛВС равен 15 см. Сторона ВС больше
стороны АВ на 2 см, а сторона АВ меньше стороны АС на
1 см. Найдите стороны треугольника.
В равнобедренном треугольнике основание больше боковой
стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на Зсм.
Найдите стороны треугольника.
Основание равнобедренного треугольника равно 8 см. Меди-
ана, проведённая к боковой стороне, разбивает треугольник
на два треугольника так, что периметр одного т^буто^ьй^щ®3^ 3 J""J
на 2 см больше периметра другого. Найдите боковую сторону
данного треугольника.
Докажите, что два равнобедренных треугольника равны, если
боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного
треугольника соответственно равны боковой стороне и углу,
противолежащему основанию, другого треугольника.
Прямая а проходит через середину отрезка АВ и перпендику-
лярна к пому. Докажите, что: а) каждая точка прямой а равно-
удалена от точек А и В; б) каждая точка, равноудалённая от
точек А и В, лежит на прямой а.
В треугольниках АВС и Д ВХС, медианы AM	1
и AyM j равны, ВС = В £, и Z.AMB = Z MVB г
Докажите, что А АВС = ДАДС,.	// 'Х
На рисунке 98 треугольник ADE равнобед- /]	\\
ренный, DE — основание. Докажите, что:	//	\\
а) если BD = CE, то ACAD= ЛВАЕ и АВ= /	\\
= АС', б) если Z.CAD = Z.BAE, то BD = CE и	//	\ \
АВ=АС- //________________________________________\\
Докажите, что середины сторон равнобед- о
ренного треугольника являются вершинами
другого равнобедренного треугольника. Рис. 98
50 Глава II
169
170
171
172
173
174
175
176
177
На сторонах равностороннего треугольника
АВС отложены равные отрезки AD, BE и
CFy как показано па рисунке 99. Точки D,
Е, F соединены отрезками. Докажите, что
треугольник DEF — равносторонний.
Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей
середине О. На отрезках АС и BD отмечены
точки К и так, что АК = ВК Докажите,
что: а) ОК -ОК^ б) точка О лежит на пря-
мой КК}.
Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей
середине О, точки М и N — середины отрез-
ков АС и BD. Докажите, что точка О — се-
редина отрезка МЛГ.
Стороны равностороннего треугольника
АВС продолжены, как показано па рисун-
ке 100, на равные отрезки AD, СЕ, BF. До-
кажите, что треугольник DEF — равносто-
ронний.
В треугольнике ABC ZA —38е, ZB = 110°,
ZC= 32°. На стороне АС отмечены точки D
и Е так, что точка D лежит на отрезке АЕ,
BD-DAy ВЕ -ЕС. Найдите угол DBE.
Рис. 99
Рис.100
На рисунке 101 ОС = OD, ОВ = ОЕ. Докажите, что j^pom/materiallOO
Объясните способ измерения ширины озера (отрезка АВ на
рисунке 101), основанный на этой задаче.
Докажите, что треугольники АВС и А^С) равны, если
АВ = А1В1у ZA = ZAn AD = AJ\, где AD и AjDj— биссектри-
сы треугольников.
В треугольниках АВС и ADC стороны ВС и AD равны и пере-
секаются в точке О, Z.OAC=Z.OCA. Докажите, что треуголь-
ники АВО и CDO равны.
На рисунке 102 AC = AD, ABECD. Докажите, что ВС = BD и
ZACB = ZADB.
51	Т'ре.угол ьни к и
178*
179*
180*
181*
182*
183*
184*
185
186
187
188
189
190
Докажите, что угол, смежный с углом тре- >'	-V
угольника, больше каждого из двух других \	/
углов треугольника.	\	/
Докажите, что ЛАВС = ДА^^, если z v Z/
ZA=ZAH ZB = ZB1T ВС = В1С1.	\\<7
На сторонах угла XOY отмечены точки А. В,
С и D так, что О А = ОВ, АС = BD (рис. 103). в \ /А
Прямые AI) и ВС пересекаются в точке Е.	\ 7
Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла	V
XOY. Опишите способ построения биссек-	о
трисы угла, основанный на этом факте.
Рис 103
При решении геометрических задач часто
используют дополнительные построения.
Одно из таких построений связано с методом удвоения ме-
дианы". если AM — медиана треугольника АВС, то строится
отрезок АК такой, что точка М является его серединой.
Докажите с помощью метода удвоения медианы, что тре-
угольники АВС и	равны, если АВ = А!ВП АС = А1С1,
АМ = А1ЛГ1, где AM и AjAfj —медианы треугольников.
Даны два треугольника: АВС и А! В]С,. Известно, что АВ - АХВХ,
АС = А£\, ZA = ZAj. На сторонах АС и ВС треугольника ЛВС
взяты соответственно точки К и L, а на сторонах AjCj и ВХС^
треугольника AjBjC1!—точки Кг и L, так, что АК = АХКХ,
LC=LlCl. Докажите, что: a) KL = К^; б) AL = АДфачанс vk.com/materiallOO
Даны три точки А, В, С, лежащие на одной прямой, и точ-
ка D, не лежащая на этой прямой. Докажите, что по край-
ней мере два из трёх отрезков AD, BD и CD не равны друг
другу.
На боковых сторонах АВ и АС равнобедренного треугольни-
ка АВС отмочены точки Р и Q так, что Z.PXB = Z.QXC, где
X — середина основания ВС. Докажите, что BQ = CP.
Постройте окружность данного радиуса, проходящую через
данную точку, с центром на данной прямой.
Постройте окружность данного радиуса, проходящую через
две данные точки.
Дапы прямая а, точки А, В и отрезок PQ. Постройте треуголь-
ник АВС так, чтобы вершина С лежала па прямой а и АС = PQ.
Даны окружность, точки Л, В и отрезок PQ. Постройте тре-
угольник АВС так, чтобы вершина С лежала на данной
окружности и AC = PQ.
J На стороне ВС треугольника АВС постройте точку, равно-
удалённую от вершин А и С.
С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на
четыре равные части.
52 Глава II
Глава III
Параллельные прямые
Эта глава посвящена изучению параллельных прямых. Так на-
зываются две прямые на плоскости, которые не пересека-
ются. Отрезки параллельных прямых мы видим в окружающей
обстановке — это два края прямоугольного стола, два края об-
ложки книги, две штанги троллейбуса и т. д. Параллельные пря-
мые играют в геометрии очень важную роль. В этой главе вы
узнаете о том, что такое аксиомы геометрии и в чём состоит
аксиома параллельных прямых — одна из самых известных ак-
сиом геометрии.
Признаки параллельности двух прямых
24.	Определение параллельных
прямых
В п. 1 мы отмечали, что две прямые либо
имеют одну общую точку, т. е. пересекаются,
либо не имеют ни одной общей точки, т. е. не
пересекаются.
Определение
Две прямые на плоскости называются парал-
лельными, если они не пересекаются.
Рис.104
Параллельность прямых а и Ъ обозначают
так: а || Ь.
Па рисунке 104 изображены прямые а и
перпендикулярные к прямой с, В п. 12 мы уста-
новили, что такие прямые а и b не пересекаются,
т. е. они параллельны.
Наряду с параллельными пря-
мыми часто рассматривают параллель-
ные отрезки. Два отрезка называют-
ся параллельными, если они лежат
на параллельных прямых. На рисун-
ке 105, а отрезки АВ и CD параллель-
ны (АВ || CD), а отрезки и CD не
Параллельные
прямые
N
в) A
Рис.105
параллельны. Аналогично определяется парал-
лельность отрезка и прямой (рис. 105,6). луча и
прямой, отрезка и луча, двух лучей (рис. 105, «).
25.	Признаки параллельности
двух прямых
Прямая с называется секущей по отпо-	Iс
тению к прямым а и Ь, если она пересекает их _________1I2_____Ь
в двух точках (рис. 106). При пересечении пря-	Тр
мых а и b секущей с образуется восемь неразвёр-	/
нутых углов, которые на рисунке 106 обозначе- Ска^н с vk.com/materiallOO
ны цифрами. Некоторые пары этих углов имеют 5/6
специальные названия:	-*	8/7
накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;	рис. юб
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и
6, 3 и 7.
Рассмотрим три признака параллельности
двух прямых, связанные с этими парами углов.
Теорема
Если при пересечении двух прямых секущей
пакрест лежащие утлы равны, то прямые па-
раллельны.
Доказательство
Пусть при пересечении прямых а и Ъ секу-
щей Л В пакрест лежащие углы равны: Z1 = Z2
(рис. 107, а).
54 Глава ПТ
Докажем, что а || Ь. Если углы 1 и 2 прямые
(рис. 107, 5), то прямые а и b перпендикулярны
к прямой АВ и, следовательно, параллельны.
Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не
прямые.
Из середины отрезка АВ, точки О, проведём
перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 107, в). На
прямой b от точки В отложим отрезок ВНУ, рав-
ный отрезку АН, как показано на рисунке 107, с,
и проведём отрезок ОНХ. Треугольники ОНА
и ОН{ В равны по двум сторонам и углу меж-
ду ними (АО = ВО, АН — BHV, Z1 = Z2), поэтому
Z3 = Z4 и Z5 = Z6. Из равенства Z3 = Z4 следует,
что точка Нл лежит на продолжении луча ОН,
т. е. точки Н, О и Н, лежат на одной прямой,
а из равенства Z5 = Z6 следует, что угол 6 — пря-
мой (так как угол о прямой). Итак, прямые
а и b перпендикулярны к прямой HHt, поэтому
они параллельны.
Теорема доказана.
Теорема
Скачан с vk.com/materiallOO
Если при пересечении двух прямых секущей со-
ответственные углы равны, то прямые парал-
лельны.
Доказательство
Пусть при пересечении прямых а и Ъ се-
кущей с соответственные углы равны, например
Z1 = Z2 (рис. 108).
Так как углы 2 и 3 — вертикальные,
то Z2 = Z3. Из этих двух равенств следует,
что Z1 = Z3. Но углы 1 и 3 — накрест лежащие,
поэтому прямые а и Ъ параллельны.
Теорема доказана.
Теорема
Если при пересечении двух прямых секущей
сумма односторонних углов равна 180°, то пря-
мые параллельны.
Рис.107
Пароля г л ън ые
55 прямые
Доказательство
Пусть при пересечении прямых а и b се-
кущей с сумма односторонних углов равна 180е,
например Zl + Z4 = 180° (см. рис. 108).
Так как углы 3 и 4 — смежные, то
Z3 + Z4 = 180°. Из этих двух равенств следует,
что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэто-
му прямые а и b параллельны.
Теорема доказана.
26.	Практические способы построения
параллельных прямых
Признаки параллельности прямых лежат
в основе способов построения параллельных
прямых с помощью различных инструментов,
используемых на практике. Рассмотрим, на-
пример, способ построения параллельных пря-
мых с помощью чертёжного треугольника и ли-
нейки.
Чтобы построить прямую, проходящую че-
рез точку М и параллельную данной прямой а,
приложим чертёжный треугольник к прямой а,
а к нему линейку так, как показано на рисун-
ке 109. Затем, передвигая треугольник вдоль ли-
пейки, добьёмся того, чтобы точка М оказалась
на стороне этого треугольника, и проведём пря-
мую Ъ. Прямые а и b параллельны, так как соот-
ветственные углы, обозначенные на рисунке 109
буквами аир, равны.
На рисунке 110, а показан способ постро-
ения параллельных прямых при помощи рейс-
шины. Этим способом пользуются в чертёжной
практике.
Аналогичный способ применяется при вы-
полнении столярных работ, где для разметки
параллельных прямых используется малка (две
деревянные планки, скреплённые шарниром,
рис. 110, б).
56
Рис.110
Глава IIJ
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
Задачи
На рисунке 111 прямые а и b пересечены
прямой с. Докажите, что а || Ь, если:
a) Zl = 37°, Z7=143°;
б)	Z1=Z6;
в)	Z1 = 45°, а угол 7 в 3 раза больше угла 3.
По даппым рисунка 112 докажите, что
АВ || DE.
Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей
середине. Докажите, что прямые АС и BD
параллельны.
Используя данные рисунка 113, докажите,
что ВС || AD.
На рисунке 114 АВ = ВС, AD=DEf ZC = 70°,
ZE AC = 35°. Докажите, что DE || AC.
Отрезок ВК — биссектриса треугольника
АВС. Через точку К проведена, прямая,
пересекающая сторону ВС в точке М так,
что ВМ = МК, Докажите, что прямые КМ
и АВ параллельны.
В треугольнике АВС угол А равен 40°,
а угол ВСЕ, смежный с углом АСВ, равен
80е. Докажите, что биссектриса угла ВСЕ
параллельна прямой АВ.
В треугольнике ABC ZA = 40°, ZB = 70°. Че-
рез вершину В проведена прямая BD так,
что луч ВС — биссектриса угла ABD. Дока-
жите, что прямые АС и BD параллельны.
Начертите треугольник. Через каждую вер-
шину этого треугольника с помощью чер-
тёжного угольника и линейки проведите
прямую, параллельную противоположной
стороне.
Начертите треугольник АВС и отметьте
точку D на стороне АС. Через точку D с
помощью чертёжного треугольника и ли-
нейки проведите прямые, параллельные
двум другим сторонам треугольника.
В Стачан cG'k.com/materiallOO
A	D
Рис.113
В
Рис.114
Параллельные
прямые
57
§2
Аксиома параллельных прямых
27.	Об аксиомах геометрии
Изучая свойства геометрических фигур, мы
доказали ряд теорем. При этом мы опирались,
как правило, на доказанные ранее теоремы. А на
чём основаны доказательства самых первых тео-
рем геометрии? Ответ на этот вопрос такой: неко-
торые утверждения о свойствах геометрических
фигур принимаются в качестве исходных поло-
жений, на основе которых доказываются далее
теоремы и вообще строится вся геометрия. Такие
исходные положения называются аксиомами.
Некоторые аксиомы были сформулированы
ещё в первой главе (хотя они и не назывались
там аксиомами). Например, аксиомой является
утверждение о том, что
через любые две точки проходит прямая, и при-
том только одна. Скачан с vk.com/matenallOO
Многие другие аксиомы, хотя и не были
выделены особо, но фактически использовались в
наших рассуждениях. Так, сравнение двух отрез-
ков мы проводили с помощью наложения одного
отрезка на другой. Возможность такого наложе-
ния вытекает из следующей аксиомы:
на любом луче от его начала можно отложить
отрезок, равный данному, и притом только один.
Сравнение двух углов основано на анало-
гичной аксиоме:
от любого луча в заданную сторону можно от-
ложить угол, равный данному неразвёрнутому
углу, и притом только один.
Все эти аксиомы являются наглядно оче-
видными и не вызывают сомнений. Само слово
«аксиома» происходит от греческого «аксиос»,
Глава 111
что означает «ценный, достойный». Полный спи-
сок аксиом планиметрии, принятых в нашем
курсе геометрии, мы приводим в конце учебника.
Такой подход к построению геометрии,
когда сначала формулируются исходные поло-
жения — аксиомы, а затем на их основе путём
логических рассуждений доказываются другие
утверждения, зародился ещё в глубокой древ-
ности и был изложен в знаменитом сочинении
«Начала» древнегреческого учёного Евклида.
Некоторые из аксиом Евклида (часть из них
он называл постулатами) и сейчас используют-
ся в курсах геометрии, а сама геометрия, из-
ложенная в «Началах», называется евклидовой
геометрией. В следующем пункте мы познако-
мимся с одной из самых известных аксиом гео-
метрии.
28.	Аксиома параллельных прямых
Рассмотрим произвольную прямую а и точ-
ку М, пс лежащую па пей (рис. 115, а). Докажем,
что через точку М можно провести прямую, па-
раллельную прямой а. Для этого проведём через
точку М две прямые: сначала прямую с перпен-
дикулярно к прямой а, а затем прямую Ъ пер-
пендикулярно к прямой с (рис, 115, б). Так как
прямые а и Ь перпендикулярны к прямой с, то
они параллельны.
Итак, через точку М проходит прямая Ъ,
параллельная прямой а. Возникает следующий
вопрос: можно ли через точку М провести ещё
одну прямую, параллельную прямой а?
Нам представляется, что если прямую b
«повернуть» даже на очень малый угол вокруг
точки М, то она пересечёт прямую а (прямая Ь'
на рисунке 115,6). Иными словами, нам кажет-
ся, что через точку М нельзя провести другую
прямую (отличную от б), параллельную пря-
мой а. А можно ли это утверждение доказать?
59
Евклид
(III в. до и. э.)
Скачан с vk.com/materiallOO
Рис.115
Параллельные
прямые
Этот вопрос имеет большую историю.
В «Началах» Евклида содержится постулат (пя-
тый постулат Евклида), из которого следует,
что через точку, не лежащую на данной пря-
мой, можно провести только одну прямую, па-
раллельную данной. Многие математики начи-
ная с древних времён предпринимали попытки
доказать пятый постулат Евклида, т. е. вывести
его из других аксиом. Однако эти попытки каж-
дый раз оказывались неудачными. И лишь в
XIX в. было окончательно выяснено, что утверж-
дение о единственности прямой, проходящей че-
рез данную точку параллельно данной прямой,
не может быть доказано на основе остальных ак-
сиом Евклида, а само является аксиомой.
Огромную роль в решении этого непростого
вопроса сыграл великий русский математик Ни-
колай Иванович Лобачевский (1792—1856).
Итак, в качестве ещё одного из исходных
положений мы принимаем аксиому параллель-
ных прямых.
Н. И. Лобачевский
(1792—1856)
Скачан с vk.com/materiallOO
Через точку, не лежащую на данной прямой,
проходит только одна прямая, параллельная
данной.
Утверждения, которые выводятся непо-
средственно из аксиом или теорем, называют-
ся следствиями. Например, утверждения 1 и 2
(см. с. 36) являются следствиями из теоремы о
биссектрисе равнобедренного треугольника.
Рассмотрим некоторые следствия из аксио-
мы параллельных прямых.
1”. Если прямая пересекает одну из двух парал-
лельных прямых, то она пересекает и другую.
Действительно, пусть прямые а и b па-
раллельны и прямая с пересекает прямую а в
точке М (рис. 116, а). Докажем, что прямая с
псрссскаст и прямую Ь. Если бы прямая с по пс-
60
Глава III
ресекала прямую b, то через точку М проходи-
ли бы две прямые (прямые а и с), параллельные
прямой b (рис. 116, б). По это противоречит акси-
оме параллельных прямых, и, значит, прямая с
пересекает прямую Ь.
2°. Если две прямые параллельны третьей
прямой, то они параллельны.
Действительно, пусть прямые а и b па-
раллельны прямой с (рис. 117, а). Докажем,
что а || Ь. Допустим, что прямые а и b пе парал-
лельны, т. с. пересекаются в некоторой точке М
(рис. 117, б). Тогда через точку М проходят две
прямые (прямые а и Ь), параллельные прямой с.
Но это противоречит аксиоме параллель-
ных прямых. Поэтому наше предположение
неверно, а значит, прямые а и Ъ параллельны.
29.	Теоремы об углах, образованных
двумя параллельными прямыми
и секущей
Во всякой теореме различают две части:
условие и заключение. Условие теоремы — это
то, что дано, а заключение — то, что требуется
доказать.
Рассмотрим, например, теорему, выражаю-
щую признак параллельности двух прямых: если
при пересечении двух прямых секущей накрест
лежащие углы равны, то прямые параллельны.
В этой теореме условием является первая часть
утверждения: «при пересечении двух прямых се-
кущей накрест лежащие углы равны» (это дано),
а заключением — вторая часть: «прямые парал-
лельны» (это требуется доказать).
Теоремой, обратной данной, называет-
ся такая теорема, в которой условием является
заключение данной теоремы, а заключением —
условие данной теоремы. Докажем теоремы,
обратные трём теоремам п. 25. Они называются
свойствами параллельных прямых.
67
а)
____________________а
___________________Ь
с
с
Рис. 117
Скачан с vk.com/matenallOO
Параллельные
прямые
Теорема
Если две параллельные прямые пересечены
секущей, то накрест лежащие углы равны.
Доказательство
Пусть параллельные прямые а и b пересе-
чены секущей MN. Докажем, что накрест лежа-
щие углы, например 1 и 2, равны (рис. 118).
Допустим, что углы 1 и 2 не равны. От-
ложим от луча MN угол PMN, равный углу 2,
так, чтобы A.PMN и Z2 были накрест лежащими
углами при пересечении прямых МР и b секущей
MN. По построению эти накрест лежащие углы
равны, поэтому МР || &. Мы получили, что через
точку М проходят две прямые (прямые а и МР),
параллельные прямой Ь. Но это противоречит ак-
сиоме параллельных прямых. Значит, наше допу-
щение неверно и Z1 = Z2. Теорема доказана.
Замечание
При доказательстве этой теоремы мы ис-
пользовали способ рассуждений, который назы-
вается методом доказательства от противного.
Мы предположили, что при пересечении па-
раллельных прямых а и b секущей MN накрест
лежащие углы 1 и 2 по равны, т. с. предположили
противоположное тому, что нужно доказать. Ис-
ходя из этого предположения, путем рассуждений
мы пришли к противоречию с аксиомой парал-
лельных прямых. Это означает, что паше предпо-
ложение неверно и, следовательно, Z1=Z2.
Такой способ рассуждений часто использу-
ется в математике. Мы им пользовались и рапсе,
папримср в п. 12 при доказательстве того, что
две прямые, перпендикулярные к третьей, пе пе-
ресекаются. Этим же методом мы пользовались
в п. 28 при доказательстве следствий 1° и 2° из
аксиомы параллельных прямых.
Следствие
Если прямая перпендикулярна к одной из двух
параллельных прямых, то она перпендикулярна
и к другой.
Скачан с vk.com/materiallOO
62 Глава Ш
Действительно, пусть а || Ъ, с А. а, т. е.
Zl=90° (рис. 119). Прямая с пересекает пря-
мую а, поэтому она пересекает также прямую Ь.
При пересечении параллельных прямых а и b
секущей с образуются равные пакрест лежащие
углы: Z1 = Z2. Так как Zl = 90°, то и Z2 = 90°,
т. е. с ±&, что и требовалось доказать.
а
b
с
Рис.119
Теорема
Если две параллельные прямые пересечены
секущей, то соответственные углы равны.
Доказательство
Пусть параллельные прямые а и b пере-
сечены секущей с. Докажем, что соответствен-
ные углы, например 1 и 2, равны (рис. 120). Так
как а || Ъ, то накрест лежащие углы 1 и 3 равны.
Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Из равенств
Z1 = Z3 и Z2=Z3 следует, что Z1=Z2.
Теорема доказана.
Теорема	Рис. 12&ачан с vk.com/materiallOO
Если две параллельные прямые пересечены секу-
щей, то сумма односторонних углов равна 180°.
Доказательство
Пусть параллельные прямые а и b пересече-
ны секущей с (см. рис. 120). Докажем, например,
что Zl + Z4 = 180э. Так как а || Ь, то соответственные
углы 1 и 2 равны. Углы 2 и 4 смежные, поэтому
Z2 + Z4 = 180е. Из равенств Zl = Z2 и Z2 + Z4 = 180°
следует, что Z1 + Z4 = 180е.
Теорема доказана.
Замечание
Если доказана некоторая теорема, то от-
сюда ещё не следует справедливость обратного
утверждения. Более того, обратное утверждение
не всегда верно. Приведём простой пример. Мы
знаем, что если углы вертикальные, то они рав-
ны. Обратное утверждение: «если углы равны, то
они вертикальные», конечно же, неверно.
Параллельные
прямые
30.	Углы с соответственно
параллельными или
перпендикулярными сторонами
Докажем теорему об углах с соответственно
параллельными сторонами.
Теорема
Если стороны одного угла соответственно парал-
лельны сторонам другого угла, то такие углы
или равны, или в сумме составляют 180°.
Доказательство
Пусть А АО В и /.AtOtBx — данные углы
и ОАЦОхД!» ОВ || О^. Если угол АОВ развёр-
нутый, то и угол AjOjB, развёрнутый (объясни-
те почему), поэтому эти углы равны. Пусть угол
АОВ неразвёрнутый. Возможные случаи располо-
жения углов АОВ и AjOjBj изображены на ри-
сунке 121, а и б. Прямая пересекает прямую
OjA] и, следовательно, пересекает параллельную
ей прямую О Л в некоторой точке М. Параллель-
ные прямые ОВ и пересечены секущей ОМ,
поэтому один из углов, образованных при пересе-
чении прямых QB, и ОА (угол 1 на рисунке 121),
равен углу АОВ (как накрест лежащие углы). Па-
раллельные прямые ОА и О-рД-г пересечены секу-
щей ОХМ, поэтому либо Z1 = ZA1O1B1 (рис. 121, а),
либо Z1+ZA1OiBl= 180° (рис. 121, б). Из равен-
ства Z1 = А.АОВ и последних двух равенств сле-
дует, что либо ZAOB=Z^OIB1 (см. рис. 121, а),
либо ZАОВ -I- ZAj.0^1 = 180° (см. рис. 121, б).
Теорема доказана.
Докажем теперь теорему об углах с соот-
ветственно перпендикулярными сторонами.
Теорема
Если стороны одного угла соответственно пер-
пендикулярны сторонам другого угла, то такие
углы или равны, или в сумме составляют 180°.
Скачан с vk.com/materiallOO
б)
„la
/ А 1у?и
А
Рис.121
64 Глава Ш
Доказател ьство
Пусть ZAOB и ZA/^B,— данные углы,
ОА±О1А), OBJ. О, В,. Если угол АОВ развёр-
нутый или прямой, то и угол А^В, развёрну-
тый или прямой (объясните почему), поэтому
эти углы равны. Пусть ZАОВ < 180°, О^ОХАХ,
ОеО1В1 (случаи OeQAp O&OLBX рассмотрите
самостоятельно).
Возможны два случая (рис. 122).
1°. ZAOB<90п (см. рис. 122, а). Прове-
дём луч ОС так, чтобы прямые О А и ОС были
взаимно перпендикулярными, а точки В и С
лежали по разные стороны от прямой ОА. Да-
лее, проведем луч OD так, чтобы прямые
ОВ и OD были взаимно перпендикулярны-
ми, а точки С и £> лежали по одну сторону от
прямой ОА. Поскольку ZАОВ = 90° - ZAOD и
ZCOD = 90п - ZAOD, то ZAOB=ZCOD. Стороны
угла COD соответственно параллельны сторонам
угла AjOjB! (объясните почему), поэтому либо
ZCOD = ZAXOXBX, либо ZCOD 4- ZAXOXBX = 180°.
Следовательно, либо ZAOB = ZAXO ХВХ, либо
ZAOB + ZAXOXB 1 = 180°.
2°. ZAOB > 90е (см. рис. 122, б). Прове-
дём луч ОС так, чтобы угол АОС был смежным
с углом АОВ. Угол АОС острый, и его стороны
соответственно перпендикулярны сторонам угла
A|OtB), Следовательно, либо ZAOC + ZAXOXBX =
= 180°, либо ZAOC = ZAXOXBX. В первом слу-
чае ZAOB = ZAXOXBX, во втором случае ZAOB +
+ ZAXOXBX =180°.
Теорема доказана.
Рис. 122
Скачан с vk.com/materiallOO
Задачи
201
202
203
Дан треугольник АВС. Сколько прямых, параллельных сторо-
не АВ, можно провести через вершину С?
__ Через точку, не лежащую на прямой р, проведены четыре
прямые. Сколько из этих прямых пересекают прямую р? Рас-
смотрите все возможные случаи.
Прямые а и b перпендикулярны к прямой р, прямая с пере-
секает прямую а. Пересекает ли прямая с прямую б?
Параллельные
прямые
65
Рис.123
Рис. 124
Рис. 125
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Дока-
жите, что прямые ВС и АС пересекают прямую р.
На рисунке 123 AD При PQ || ВС. Докажите, что прямая р
пересекает прямые АВ, АЕ, АС, ВС и PQ.
Сумма накрест лежащих углов при пересечении двух
параллельных прямых секущей равна 210°. Найдите эти углы.
На рисунке 124 прямые а, Ъ и с пересечены прямой d, Zl = 42°,
Z2 = 140°, Z3 = 138°. Какие из прямых а, b и с параллельны?
Найдите все углы, образованные ири пересечении двух
параллельных прямых а и b секущей с, если:
а)	один из углов равен 150°;
б)	один из углов на 70° больше другого.
Концы отрезка АВ лежат на параллельных np^^i^:-^^m^ateriall00
Прямая, проходящая через середину О этого отрезка, пе-
ресекает прямые а и b в точках С и L
CO = OD.
По данным рисунка 125 найдите Z1.
___ Z.ABC= 70°, a ZBCD = 110°. Могут ли
прямые АВ и CD быть:
а) параллельными;
б) пересекающимися?
Ответьте на вопросы задачи 211, если
Z.ABC = 65е, a Z.BCD = 105°.
Разность двух односторонних углов при пе-
ресечении двух параллельных прямых се-
кущей равна 50°. Найдите эти углы.
На рисунке 126 а || b, с || d, Z4 = 45°. Найди-
те углы 1, 2 и 3.
Два тела Рх и Р2 подвешены на концах нити,
перекинутой через блоки А и В (рис. 127).
Третье тело Ра подвешено к той же нити
в точке С и уравновешивает тела Рх и Р2.
(При этом APt || ВР2|| СР3.) Докажите, что
Л АС В = ZCAP, + ZCBP
U	Л»
. Докажите, что
Рис.126
66 Глава III
216
217
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Две параллельные прямые пересечены секущей. Докажите,
что: а) биссектрисы накрест лежащих углов параллельны;
б) биссектрисы односторонних углов перпендикулярны.
Прямые, содержащие высоты АА1 и ВВ} треугольника АВС,
пересекаются в точке Н, угол В — тупой, ZC = 20°. Найдите
угол ЛИВ,
Вопросы для повторения к главе III
Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка
называются параллельными?
Что такое секущая по отношению к двум прямым? Назовите
пары углов, которые образуются при пересечении двух пря-
мых секущей.
Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей
накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей
соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Докажите, что если при пересечении двух прямых секущей
сумма односторонних углов равна 180°, то прямые парал-
лельны.
Расскажите о практических способах проведения параллель-
ных прямых.	Скачан с vk.com/materiallOO
Объясните, какие утверждения называются аксиомами. При-
ведите примеры аксиом.
Докажите, что через данную точку, не лежащую на данной
прямой, проходит прямая, параллельная данной.
Сформулируйте аксиому параллельных прямых.
Какое утверждение называется следствием? Докажите, что
прямая, пересекающая одну из двух параллельных прямых,
пересекает и другую.
Докажите, что если две прямые параллельны третьей прямой,
то они параллельны.
Какая теорема называется обратной данной теореме? Приве-
дите примеры теорем, обратных данным.
Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых
секущей накрест лежащие углы равны.
Докажите, что если прямая перпендикулярна к одной из двух
параллельных прямых, то опа перпендикулярна и к другой.
Докажите, что при пересечении двух параллельных прямых
секущей:
а)	соответственные углы равны;
б)	сумма односторонних углов равна 180°.
Параллельные
67 прямые
16
17
218
219
220
221
222
223
224*
225
226
227
Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно
параллельными сторонами.
Сформулируйте и докажите теорему об углах с соответственно
перпендикулярными сторонами.
Дополнительные задачи
На рисунке 128 CE = ED, BE — EF и
КЕ || AF. Докажите, что КЕ || ВС.
Прямая, проходящая через середину
биссектрисы AD треугольника АВС и
перпендикулярная к AD, пересекает
сторону АС в точке Л/. Докажите, что
МО\\ АВ.
По данным рисунка 129, а) найдите
угол 1.
На рисунке 129,6) DE — биссектриса
угла ADF. По данным рисунка найдите
углы треугольника ADE.
Прямые а и b параллельны прямой с.
Докажите, что любая прямая, пересе-
кающая прямую а, пересекает также и
прямую Ь.
Прямые а и b пересекаются. Можно ли
провести такую прямую, которая пере-
секает прямую а и параллельна пря-
мой 6? Ответ обоснуйте.
Дапьг две прямые а и А». Докажите, что
если любая прямая, пересекающая пря-
мую а, пересекает и прямую Ъ, то пря-
мые а и b параллельны.
Докажите, что если при пересечении
двух прямых а и & секущей накрест ле-
жащие углы не равны, то прямые а и b
пересекаются.
А
Рис. 128
б)
AI Е
Рис. 129
Даны треугольник ЛВС и точки М и N такие, что середина
отрезка ВМ совпадает с серединой стороны АС, а середина от-
резка CN — с серединой стороны АВ. Докажите, что точки М,
/V и А лежат на одной прямой.
Даны прямая а и точка Л, пе лежащая на ней. С помощью
циркуля и линейки через точку А проведите прямую, парал-
лельную прямой а.
68 Глава III
Глава IV
Соотношения между сторонами
и углами треугольника
В этой главе мы снова обращаемся к треугольникам и будем
обсуждать различные их свойства, при этом большое вни-
мание уделим прямоугольным треугольникам, т. е. таким тре-
угольникам, у которых один угол прямой. Некоторые свойства
прямоугольных треугольников находят практическое примене-
ние, например, в конструкциях уголковых отражателей, которые
широко используются в различных устройствах — от велосипе-
дов до космических аппаратов.
Сумма углов треугольника
31.	Теорема о сумме углов
треугольника
Докажем одну из важнейших теорем гео-
метрии — теорему о сумме углов треугольника.	Скач.
Теорема
Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник	д
АВС и докажем, что
ЛА + ZB + ZC = 180е.
Проведём через вершину В прямую а, па-
раллельную стороне АС (рис. 130). Углы 1 и 4
являются накрест лежащими углами при пере-
сечении параллельных прямых а и АС секущей
АВ, а углы 3 и 5 — пакрест лежащими углами
при пересечении тех же параллельных прямых
секущей ВС. Поэтому
Z4 = Z1, Z5 = Z3.
(1)
Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развёр-
нутому углу с вершиной В, т. е. Z4 + Z2 + Z5 = 180°.
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника
69
Отсюда, учитывая равенства (1), получаем:
Zl + Z2 + Z3 = 180е, или Z4 + ZB + ZC = 180°.
Теорема доказана.
Чтобы найти сумму углов четырёхуголь-
ника, его можно разбить на два треугольника.
Получим, что сумма углов четырёхугольни-
ка равна 360". Аналогично можно найти сумму
углов других многоугольников.
Внешним углом треугольника называет-
ся угол, смежный с каким-нибудь утлом этого
треугольника. Докажем, что внешний угол тре-
угольника равен сумме двух углов треугольника,
не смежных с ним.
Обратимся к рисунку 131, на котором
угол 4 — внешний угол, смежный с углом 3 данного
треугольника. Так как Z4+Z3= 180е, а по теореме
о сумме углов треугольника (Zl+ Z2) + Z3= 180°,
то Z4=Z1 + Z2, что и требовалось доказать.
Следствие
Внешний угол треугольника больше любого
внутреннего угла этого треугольника, не смеж-
ного с ним.
32.	Остроугольный, прямоугольный
и тупоугольный треугольники
Из теоремы о сумме углов треугольника
следует, что если в треугольнике один из углов
прямой или тупой, то сумма двух других углов
не превосходит 90°, и поэтому каждый из них
острый. Таким образом, в любом треугольнике
либо все углы острые, либо два угла острые,
а третий тупой или прямой.
Если все три угла треугольника ост-
рые, то треугольник называется остроугольным
(рис. 132, а). Если один из углов треугольника
тупой, то треугольник называется тупоугольным
(рис. 132, б). Если один из углов треугольника
70
Ос т роугол ьный
треугольник
б)
Скачан с vk.com/materiallOO
Тупоугольный
треугольник
»)
Прямоугольны и
треугольник
Рис.132
Глава Л7
прямой, то треугольник называется прямоуголь-
ным. Сторона прямоугольного треугольника, ле-
жащая протип прямого угла, называется гипо-
тенузой, а две другие стороны — катетами. На
рисунке 132, в изображён прямоугольный тре-
угольник АВС с прямым углом С.
Задачи
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
Найдите угол С треугольника АВС, если: a) ZA = 65°, ZB = 57е;
б) ZA = 24е, ZB =130°; в) ZA = a, ZB = 2а; г) ZA = 60° + ос,
ZB = 60°-ос.
Найдите углы треугольника АВС, если ZA: ZB : ZC =
= 2:3:4.
Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника
равен 60е.
1 Докажите, что: а) углы при основании равнобедренного
треугольника острые; б) внешние углы при основании равно-
бедренного треугольника тупые.
Найдите углы равнобедренного треугольника, если: а) угол
при основании в 2 раза больше угла, противолежащего осно-
ванию; б) угол при основании в 3 раза меньше внеш^^нУзГМеп. materiallOO
смежного с ним.
Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из
его углов равен: а) 40°; б) 60°; в) 100°.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС прове-
дена биссектриса АЛ. Найдите ZADC, если ZC = 50°.
Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в
точке М. Найдите угол АМВ, если ZA — 58°, ZB = 96°.
Медиана AM треугольника АВС равна половине стороны ВС.
Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.
Верно ли утверждение: если треугольник равнобедренный, то
один из его внешних углов в 2 раза больше угла треугольни-
ка, по смежного с этим внешним углом?
Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине рав-
нобедренного треугольника, противолежащей основанию, па-
раллельна основанию.
Один из внешних углов равнобедренного треугольника ра-
вен 115е. Найдите углы треугольника.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС прове-
дена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если
ZADB = 110°.
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника
s2
Соотношения между сторонами
и углами треугольника
33.	Теорема о соотношениях между
сторонами и углами треугольника
Теорема
В треугольнике: 1) против большей стороны ле-
жит больший угол; 2) обратно» против большего
угла лежит большая сторона.
Доказательство
1)	Пусть в треугольнике АВС сторона АВ
больше стороны АС (рис. 133, а). Докажем, что
ZC>ZB.
Отложим на стороне Л В отрезок ЛИ, рав-
ный стороне АС (рис. 133,6). Так как AD<AB,
то точка D лежит между точками А и В. Сле-
довательно, угол 1 является частью угла С, и,
значит, ZC> Zl. Угол 2 — внешний угол тре-
угольника BDC, поэтому Z2>ZB. Углы 1 и 2
равны как углы при основании равнобедренного
треугольника ADC. Таким образом, ZC>Z1,
Z1=Z2, Z2>ZB. Отсюда следует, что ZC>ZB.
2)	Пусть в треугольнике АВС ЛС>АВ.
Докажем, что АВ > АС.
Предположим, что это не так. Тогда либо
АВ —АС., либо АВ<АС. В первом случае тре-
угольник АВС — равнобедренный, и, значит,
ZC = Z£>. Во втором случае ZB>ZC (против боль-
шей стороны лежит больший угол). И то и дру-
гое противоречит условию: ZC>ZB. Поэтому
наше предположение неверно, и, следовательно,
АВ>АС.
Теорема доказана.
Следствие 1
В прямоугольном треугольнике гипотенуза боль-
ше катета.
Рис. 133
72 Глава IV
В самом деле, гипотенуза лежит против
прямого угла, а катет — против острого. Так как
прямой угол больше острого, то гипотенуза боль-
ше катета.
Следствие 2
Если два угла треугольника равны, то треуголь-
ник равнобедренный (признак равнобедренного
треугольника).
Докажем этот признак. Пусть в треуголь-
нике два угла равны. Тогда равны и стороны, ле-
жащие против этих углов. Действительно, если
предположить, что одна из указанных сторон
больше другой, то угол, лежащий против неё, бу-
дет больше угла, лежащего против другой сторо-
ны, а это противоречит условию (тому, что дан-
ные углы равны).
Итак, в треугольнике две стороны равны,
т. е. треугольник равнобедренный.
34.	Неравенство треугольника
Теорема
Скачан с vk.com/materiallOO
Каждая сторона треугольника меньше суммы
двух других сторон.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник
АВС и докажем, что АВ < АС + СВ. Отложим на
продолжении стороны АС отрезок CD, равный
стороне СВ (рис. 134). В равнобедренном тре-
угольнике BCD Z1=Z2, а в треугольнике ABD
AABD>Z.l и, значит, AABD> Z2.
Так как в треугольнике против большего
угла лежит большая сторона, то АВ < AD. Но
AD = АС + CD = АС + СВ, поэтому АВ < АС + СВ.
Теорема доказана.
Рис.134
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника
73
Следствие
Для любых трёх точек А, В и С, не лежащих
на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС<АВ + ВС, ВС<ВА + АС.
Каждое из этих перавенств называется
неравенством треугольника.
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
Задачи
| Сравните углы треугольника ЛВС и выясните, может ли
быть угол А тупым, если: а) АВ > ВС > АС; б) АВ = АС < ВС.
^Сравните стороны треугольника АВС, если: a) Z.A > Z.B > ZC;
б) ZA > ZB = ZC.
Докажите, что в равнобедренном треугольнике отрезок, соеди-
няющий любую точку основания, отличную от вершины,
с противоположной вершиной, меньше боковой стороны.
Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты,
проведённой из той же вершины.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС бис-
сектрисы углов А и С пересекаются в точке О. Докажите, что
треугольник Л ОС равнобедренный.
тт	_	Скачан с vk.com/materiallOO
Прямая, параллельная основанию равнобедренного треуголь-
ника ЛВС, пересекает боковые стороны Л В и ЛС в точках М и
N. Докажите, что треугольник AMN равнобедренный.
Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника
параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобе-
дренный.
Через вершину С треугольника АВС проведена прямая, па-
раллельная его биссектрисе AAj и пересекающая прямую АВ
в точке D. Докажите, что АС = AD.
Отрезок AD — биссектриса треугольника АВС. Через точку D
провсдспа прямая, параллельная АС и пересекающая сторо-
ну АВ в точке Е. Докажите, что треугольник ADE равнобед-
ренный.
Через точку пересечения биссектрис ВВ^ и
ССг треугольника АВС проведена прямая,	/\
параллельная прямой ВС и пересекающая /	\
стороны АВ и АС соответственно в точках / о \
М и N. Докажите, что MN = BM + CN.	/	\
Па рисунке 135 лучи ВО и СО — биссек-
трисы углов В и С треугольника АВС, тг \ Д р
ОЕ || АВ, OD || АС. Докажите, что пери-
метр &EDO равен длине отрезка ВС.	Рис. 135
74
Глава А'
252
253
254
255
256
257
258
На рисунке 136 АВ = АС, AP = AQ.
Докажите, что:
а)	треугольник ВОС равнобедренный;
б)	прямая ОА проходит через середину ос-
нования ВС и перпендикулярна к нему.
Существует ли треугольник со сторонами:
а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм?
В равнобедренном треугольнике одна сторо-
на равна 25 см, а другая равна 10 см. Какая
из них является основанием?
Найдите сторону равнобедренного треуголь-
ника, если две другие стороны равны:
а) 7 см и 3 см; б) 8 см и 2 см; в) 10 см и 5 см.
Рис.136
I Докажите неравенство о длине ломаной. Длина ло-
маной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.
Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны.
Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна
16 см. Найдите две другие стороны треугольника.
Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность
двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый.
Найдите стороны треугольника.
§3
Прямоугольные треугольники
Скачан с vk.com/materiallOO
35.	Некоторые свойства и признаки
прямоугольных треугольников
Рассмотрим свойства и признаки прямо-
угольных треугольников, которые устанавли-
ваются с помощью теоремы о сумме углов тре-
угольника.
1°. Сумма двух острых углов прямоугольного
треугольника равна 90°.
В самом деле, сумма углов треугольника
равна 180°, а прямой угол равен 90°, поэтому
сумма двух острых углов прямоугольного тре-
угольника равна 90°.
2°. Катет прямоугольного треугольника, лежа-
щий против угла в 30°, равен половине гипоте-
нузы.
75
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника
Рассмотрим прямоугольный треугольник
АВС, в котором угол А — прямой, ZB = 30° и,
значит, ZC= 60° (рис. 137, а). Докажем, что
АС = —ВС
2
Приложим к треугольнику АВС равный
ему треугольник ABD так, как показано на
рисунке 137, б. Получим треугольник BCD,
в котором ZB = ZZ> = 60°, поэтому DC = BC. Но
АС = DC. Следовательно, АС = ^ВС, что и тре-
бовалось доказать.
ЭР. Если катет прямоугольного треугольника
равен половине гипотенузы, то угол, лежащий
против этого катета, равен 30°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник
АВС, у которого катет Л С равен половине гипоте-
нузы ВС (рис. 138, а). Докажем, что ZABC = 30°.
Приложим к треугольнику АВС равный ему
треугольник ABD так, как показано на рисун-
ке 138,6. Получим равносторонний треугольник
BCD. Углы равностороннего треугольника равны
друг другу (объясните почему), поэтому каждый
из них равен 60°. В частности, ZDBC = 60е. Но
Z.DBC = 2Z.ABC. Следовательно, ZABC = 30°, что
и требовалось доказать.
4°. Медиана, проведённая к гипотенузе прямо-
угольного треугольника, равна половине гипо-
тенузы.
Рассмотрим прямоугольный треугольник
АВС у которого угол А прямой. Проведём луч
AM так, чтобы угол САМ был равен углу АС В
треугольника (рис. 139), то есть Zl = Z2. Тогда
треугольник АМС — равнобедренный (объясните
почему): МС = МА.
Ясно, что Z2 + Z4 = 90е и по свойству 1°
Zl + Z3 = 90°, поэтому Z3 = Z4. Но тогда и тре-
76
а)
В
б)
Рис.137
Скачан с vk.com/materiallOO
а)
D А С
Рис.138
Глава TV
угольник AM В равнобедренный: МВ = МА.
Получили, что МС = МА=МВ, т. е. AM явля-
ется медианой и AM = 7-В С, что и требовалось
доказать.
Для свойства 1° справедливо и обратное ут-
верждение, которое является признаком прямо-
угольного треугольника.
1". Если в треугольнике сумма двух углов равна
90°, то треугольник — прямоугольный.
Докажем ещё один признак прямоугольного
треугольника.
2°. Если в треугольнике медиана равна поло-
вине стороны, к которой она проведена, то этот
треугольник — прямоугольный.
Рассмотрим треугольник АВС, в котором
медиана СМ равна половине Л В (см. рис. 140).
По теореме о сумме углов треугольника
Z1 + Z2 + Z3 + Z4= 180°. Треугольники СМ А и
СМИ являются равнобедренными, поэтому
Z1 = Z2, Z3 = Z4. Тогда Z1 + Z3 = 9(F, т. е. в
треугольнике АВС угол С — прямой, что и тре-
бовалось доказать.
Рис.139
Рис.140
36.	Признаки равенства
прямоугольных треугольников
Так как в прямоугольном треугольнике
угол между двумя катетами прямой, а любые два
прямых угла равны, то из первого признака ра-
венства треугольников следует:
Если катеты одного прямоугольного треуголь-
ника соответственно равны катетам другого, то
такие треугольники равны.
Далее, из второго признака равенства тре-
угольников следует:
Соотношения между
77 сторонами и углами
треугольника
Если катет и прилежащий к нему острый угол од-
ного прямоугольного треугольника соответствен-
но равны катету и прилежащему к нему острому
углу другого, то такие треугольники равны.
Рассмотрим ещё два признака равенства
прямоугольных треугольников.
Теорема
Если гипотенуза и острый угол одного прямо-
угольного треугольника соответственно равны
гипотенузе и острому углу другого, то такие тре-
угольники равны.
Доказательство
Из свойства 1° п. 35 следует, что в таких
треугольниках два других острых угла также рав-
ны, поэтому треугольники равны по второму при-
знаку равенства треугольников, т. е. по стороне
(гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам.
Теорема доказана.	скачан с vk.com/materiallOO
Теорема
Если гипотенуза и катет одного прямоугольного
треугольника соответственно равны гипотенузе В
и катету другого, то такие треугольники равны. \
Доказательство Рассмотрим треугольники ЛВС и Л1В1С1, у которых углы С и С, — прямые, АВ = АуВу, ВС = В|С! (рис. 141), Докажем, что А А ВС = = ДА1В1С1. Так как ZC = ZC1, то треугольник АВС можно наложить на треугольник	так, что вершина С совместится с вершиной а стороны С Л и СВ наложатся соответственно на лучи 0^! и СуВ^ Поскольку СВ=С1В1, то вершина В со- вместится с вершиной Ву. Но тогда вершины А и А у также совместятся. В самом деле, если пред- положить, что точка А совместится с некоторой 78	-1 С	А J	УУЧ »'1| А-, Рис.141 Глава 7V
другой точкой А2 луча CiAlf то получим равно-
бедренный треугольник A^Ag, в котором углы
при основании АХА2 не равны (на рисунке 141, б
ZA2 — острый, a — тупой как смежный с
острым углом BjAiC,). Но ото невозможно, по-
этому вершины Л и Лд совместятся.
Следовательно, полностью совместятся тре-
угольники АВС и Д1В1С1« т. е- они равны.
Теорема доказана.
Задачи
259 Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.
260 В равнобедренном треугольнике CDE с основанием СЕ прове-
дена высота CF. Найдите Z.ECF, если ZZ> = 54°.
261 Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сум-
ма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите
г и но те н уз у т ре угольника.
262 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внеш-
ний угол при вершине А равен 120е, АС 4- АВ =18 см. Найди-
те АС и АВ.
263 Из середины D стороны ВС равностороннего треугольника
АВС проведён перпендикуляр DM к прямой АС. Йййдйте 7 "
AM, если АВ = 12 см.
264 Угол, противолежащий основанию равнобедренного тре-
угольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой сторо-
не, равпа 9 см. Найдите основание треугольника.
265 Высота, проведённая к основанию равнобедренного тре-
угольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника рав-
на 15,2 см. Найдите углы этого треугольника.
266 Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, про-
ведённые из вершин основания, равны,
267 В треугольниках АВС и A^jC, углы А и А, —прямые, BD
и BpDj— биссектрисы. Докажите, что Л АВС = Д Ах В,С 1т если
ZB = ZB, и BD = B1D).
268 Высоты, проведённые к боковым сторонам АВ и АС остро-
угольного равнобедренного треугольника ЛВС, пересекаются
в точке М. Найдите углы треугольника, если АВМС = 140е.
269 Высоты ААХ и ВВХ треугольника ЛВС пересекаются в точ-
ке М. Найдите ЛАМВ, если ZA = 55°, ZB = 67°.
270 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС про-
ведены биссектриса AF и высота АН. Найдите углы треуголь-
ника АНЕ, если ZB = 112°.
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника
271 На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что ОА=ОВ.
Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сто-
ронам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что луч
ОС — биссектриса угла О.
272 Докажите, что два остроугольных треугольника равпы, если
сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, од-
ного треугольника соответственно равны стороне и высотам,
провсдсппым из концов этой стороны, другого треугольника.
273 Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равен-
ства прямоугольных треугольников по катету и противолежа-
щему углу.
274 Докажите, что /ХАВС = ЛА1В1С1, если ZA=ZAlt ZB = ZBj и
ВН = BtHр где ВН и BlHi — высоты Л.АВС vs. ЛАгВ}Сг.
275 Внутри угла дана точка А. Постройте прямую, проходящую
через точку А и отсекающую па сторопах угла равные отрезки.
276 Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в
30е, равен 5 см. Найдите медиану этого треугольника, прове-
дённую к гипотенузе.
277 Две вершины треугольника являются концами диаметра
окружности, а третья вершина лежит на окружности. Дока-
жите, что этот треугольник прямоугольный.
278 К гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС с углом
15е проведены медиана СМ и высота СИ. Найд1ГРС-АД,к.еолнагег1а1100
СН = 4.
Построение треугольника
по трём элементам
37.	Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между параллельными
прямыми
Расстоянием между двумя точками мы на-
звали длину отрезка, соединяющего эти точки.
Введём понятие расстояния от точки до прямой.
Пусть отрезок АН—перпендикуляр, про-
ведённый из точки А к прямой ц, М — любая
точка прямой а, отличная от Н (рис. 142). Отре-
зок AM называется наклонной, проведённой из
точки А к прямой а, а отрезок НМ — проек-
цией наклонной. В прямоугольном треугольни-
ке АНМ катет АН меньше гипотенузы AM.
Отрезок AM —
наклонная к прямой а.
Отрезок НМ —
проекция наклонной
Рис.142
80 Глава Л7
Следовательно, перпендикуляр, проведён-
ный из точки к прямой, меньше любой на-
клонной. проведённой из той же точки к этой
прямой.
Длина перпендикуляра, проведённого из
точки к прямой, называется расстоянием от этой
точки до прямой.
Отметим, что расстояние от точки до пря-
мой равно наименьшему из расстояний от этой
точки до точек прямой.
На рисунке 143 расстояние от точки В до
прямой р равно Зсм, а расстояние от точки С до
этой прямой равно 5 см.
Введём теперь понятие расстояния между
параллельными прямыми. Предварительно рас-
смотрим одно из важнейших свойств параллель-
ных прямых.
Теорема
Все точки каждой из двух параллельных пря-
мых равноудалены от другой прямой.
Скачан с vk.com/materiallOO
Доказательство
Рассмотрим параллельные прямые а и Ь.
Отметим на прямой а точку А и проведём из этой
точки перпендикуляр АВ к прямой Ъ (рис. 144).
Докажем, что расстояние от любой точки X пря-
мой а до прямой b равно АВ.
Проведём из точки X перпендикуляр XY
к прямой Ь. Так как ХУ±Ь, то ХУ±а. Прямо-
угольные треугольники АВУ и УХА равны по
гипотенузе и острому углу (АУ — общая гипоте-
нуза, а углы 1 и 2 равны как накрест лежащие
углы при пересечении параллсльпых прямых а и
Ъ секущей АУ). Следовательно, XY—AB.
Итак, любая точка X прямой а находится
на расстоянии АВ от прямой Ь. Очевидно, все
точки прямой b находятся на таком же расстоя-
нии от прямой а.
Теорема доказана.
Рис. 144
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника
81
Из доказанной теоремы
следует, что точка, движущаяся
по одной из параллельных пря-
мых, всё время находится на од-
ном и том же расстоянии от дру-
гой прямой.
Расстояние от произволь-
ной точки одной из параллель-
ных прямых до другой прямой
называется расстоянием между
этими прямыми.
Отметим, что расстояние
между парал-
лельными прямыми равно наименьшему из рас-
стояний от точек одной прямой до точек другой
прямой.
Замечание 1
Справедливо утверждение, обратное до-
казанной теореме: все точки плоскости, распо-
ложенные по одну сторону от данной прямой и
равноудалённые от неё, лежат на прямой, парал-
лельной данной. (Докажите это самостоятельно.)
Замечание 2
Из доказанной теоремы и ей обратной сле-
дует, что множество всех точек плоскости, на-
ходящихся па данном расстоянии от данной
прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть
прямая, параллельная данной прямой.
В самом деле, пусть а — данная пря-
мая, d — данное расстояние. Отметим на пря-
мой а произвольную точку А и проведём
отрезок Л В длины d, перпендикулярный к пря-
мой а; через точку В проведём прямую Ь, па-
раллельную прямой а (сделайте соответству-
ющий рисунок). По доказанной теореме все
точки прямой b находятся па расстоянии d от
прямой а, т. е. все они принадлежат искомо-
му множеству. В силу обратной теоремы любая
точка искомого множества лежит на прямой Ъ.
Таким образом, искомым множеством является
прямая д.
Скачан с vk.com/materiallOO
82 Глава Л1
Множество всех точек, удовлетворяющих
какому-либо условию, иногда называют гео-
метрическим местом точек, удовлетворяющих
этому условию. Можно сказать тем самым, что
геометрическое место точек плоскости, находя-
щихся на данном расстоянии от данной прямой
и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая,
параллельная данной прямой.
На этом факте основано устройство ин-
струмента, называемого рейсмусом (рис. 145, а).
Рейсмус используется в столярном деле для раз-
метки па поверхности деревянного бруска пря-
мой, параллельной краю бруска. При передвиже-
нии рейсмуса вдоль края бруска металлическая
игла прочерчивает отрезок прямой, параллель-
ный краю бруска (рис. 145, б).
38.	Построение треугольника
по трём элементам
Задача 1
Построить треугольник по двум сторонам и
углу между ними.
Решение
Прежде всего уточним, как нужно пони-
мать эту задачу, т. е. что здесь дано и что нужно
построить.
Даны отрезки	P2Q2 и угол hk
(рис. 146, а). Требуется с помощью циркуля и
линейки (без масштабных делений) построить та-
кой треугольник АВС, у которого две стороны,
скажем АВ и АС, равны данным отрезкам Р&\
и P2Q2, а угол Л между этими сторонами равен
данному углу hk.
Проведём прямую а и на ней с помощью
циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку
P|Q, (рис. 146, б). Затем построим угол ВАМ,
равный данному углу hk (как это сделать, мы
знаем). На луче AM отложим отрезок АС, рав-
83
а)
6)
Рис.145
Построение тре-
угольника по двум
сторонам и углу
между ними
Рис.146
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника
ный отрезку P&# и проведём отрезок ВС. По-
строенный треугольник АВС искомый.
В самом деле, но построению АВ = PiQL,
AC = P2Q2t ZA = Zhk.
Описанный ход построения показывает, что
при любых данных отрезках Р} , P2Q2 и данном
псразвёрпутом угле hfi искомый треугольник по-
строить можно. Так как прямую а и точку А на
ней можно выбрать произвольно, то существует
бесконечно много треугольников, удовлетворяю-
щих условиям задачи. Все эти треугольники рав-
ны друг другу (по первому признаку равенства
треугольников), поэтому принято говорить, что
данная задача имеет единственное решение.
Задача 2
Построить треугольник по стороне и двум
прилежащим к ней углам.
Решите эту задачу самостоятельно.
Задача 3
Построить треугольник по трём его сто-
ронам.
Решение
Пусть даны отрезки P}Q^> P2Q2 и РЛФЛ
(рис. 147, а). Требуется построить треугольник
АВС, в котором АВ = PlQ^ ВС = P2Q2, СА = P:iQ:i.
Проведём прямую и на ней с помощью
циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку
PiQ{ (рис. 147,6). Затем построим две окруж-
ности: одну — с центром А и радиусом P3Q3,
а другую — с центром В и радиусом P2Q2. Пусть
точка С — одна из точек пересечения этих окруж-
ностей. Проведя отрезки АС и ВС, получим ис-
комый треугольник АВС.
В самом деле, по построению AB = P3Qlt
BC = P2Q2, СА = т. е. стороны треугольника
АВС равны данным отрезкам.
Задача 3 не всегда имеет решение. Действи-
тельно, во всяком треугольнике сумма любых
84
а)
^Скачай с vk.ebifrfcmateriallOCi
Л*------Н----
рз •—Ж—*Qa
Построение
треугольника
по твём стовонам
Рис. 147
Глава IV
двух сторон больше третьей стороны, поэтому
если какой-нибудь из данных отрезков больше
или равен сумме двух других, то нельзя постро-
ить треугольник, стороны которого равнялись бы
данным отрезкам.
279
280
281
282
283
284
285
286
287*
288
289
290
291
Задачи
Из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная,
сумма длин которых равна 17см, а разность длин равна 1 см.
Найдите расстояние от точки до прямой.
В равностороннем треугольнике АВС проведена биссектриса
AD. Расстояние от точки D до прямой АС равно 6 см. Найди-
те расстояние от вершины А до прямой ВС,
Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного тре-
угольника CDE равна 31 см, а их разность равна Зсм. Найди-
те расстояние от вершины С до прямой DE,
Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина осно-
вания равноудалена от боковых сторон.
На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята
точка М, равноудалённая от боковых сторон. Докажите, что
СМ — высота треугольника АВС.
Скачан с vkxom/materiallOO
Через середину отрезка проведена прямая. Докажите, что
концы отрезка равноудалены от этой прямой.
Расстояние между параллельными прямыми а и b равно 3 см,
а между параллельными прямыми а и с равно 5 см. Найдите
расстояние между прямыми b и с.
Прямая АВ параллельна прямой CD. Найдите расстояние
между этими прямыми, если XADC = 30°, AD = 6 см.
Докажите, что все точки плоскости, расположенные по одну
сторону от данной прямой и равноудалённые от неё, лежат на
прямой, параллельной данной.
Даны неразвёрнутый угол ЛВС и отрезок PQ. Что представля-
ет собой множество всех точек, лежащих внутри данного угла
и удалённых от прямой ВС на расстояние PQ?
Что представляет собой множество всех точек плоскости,
равпоудалеппых от двух данных параллельных прямых?
Прямые а и b параллельны. Докажите, что середины всех
отрезков XY, где X е a, Y е Ь, лежат на прямой, параллельной
прямым а и Ъ и равноудалённой от этих прямых.
Что представляет собой множество всех точек плоскости, на-
ходящихся на данном расстоянии от данной прямой?
в — Соотношения между
85 сторонами и углами
треугольника
Задачи на построение
292 Даны прямая а и отрезок АВ. Постройте
прямую р, параллельную прямой а, так,
чтобы расстояние между прямыми аир
было равно АВ.
Решение
Отмстим па прямой а какую-нибудь точ-
ку С и проведём через точку С прямую Ъ,
перпендикулярную к прямой а (рис. 148).
Затем па одном из лучей прямой Ь, исходя-
щих из точки С, отложим отрезок CD, рав-
ный отрезку АВ. Через точку D проведём
прямую р, перпендикулярную к прямой Ь.
Прямая р — искомая (объясните почему).
Как видно из построения, для любой дан-
ной прямой а и любого данного отрезка Л В
искомую прямую можно построить, причём
задача имеет два решения (прямые р и
на рисунке 149).
293 Даны пересекающиеся прямые а и Ъ и отре-
зок PQ. На прямой а постройте точку, уда-
лённую от прямой b на расстояние PQ.
A Z?
Рис.148
Рис.149
294 Постройте треугольник по стороне, прилежащему .к нем^	|
и биссектрисе треугольника, провсдёпной из вершины этого3 е
угла.
295 Постройте треугольник по стороне, медиане, проведённой к
одной из двух других сторон, и углу между данными стороной
и медианой.
296 Даны отрезок PQ и угол hk. Постройте треугольник АВС так,
чтобы:
a)	AB = PQ, AABC = Ahk, АВАС=± Ahk;
&
б)	AB = PQ, AABC = Ahfa ABAC = 1 Ahk.
4
297 Даны два угла hk и Л1/г1 и отрезок PQ. Постройте треугольник
АВС так, чтобы AB = PQ, АА = Zft/г, ZB = 1 Ah fa .
298 Постройте прямоугольный треугольник: а) по двум катетам;
б) по катету и прилежащему к нему острому углу.
299 Постройте равнобедренный треугольник: а) по боковой сторо-
не и углу, противолежащему основанию; б) по основанию и
углу при основании; в) по боковой стороне и углу при осно-
вании; г) по основанию и боковой стороне; д) по основанию и
медиане, проведённой к основанию.
86 Глава IV
300 Даны отрезки P,Qt, P2Q2 и AQa* Постройте треугольник АВС
так, чтобы:
a)	AB = PlQl, ВС = Р&2, CA=2P3Q3;
б)	AB = 2Pfi„ BC = P2Q2, СА = ±PjQ3.
Всегда ли задача имеет решение?
301 Постройте треугольник по стороне, прилежащему к пей углу
и высоте, проведённой к этой стороне.
Решение
Даны отрезки и P2Q2 и угол hk (рис. 150, а). Требует-
ся построить треугольник АВС, у которого одна из сторон,
скажем АВ, равна отрезку PvQi, один из прилежащих к ней
углов, например угол А, равен данному углу fik, а высота СН,
проведённая к стороне АВ, равна данному отрезку P2Q2.
Рис.150
тт	vaiz	“	7 г	Скачан с vk.com/materiallOO
Построим угол ЛАУ, равный данному углу Aft, и отложим на
луче АХ отрезок АВ, равный данному отрезку PiQi (рис. 150, б).
Для построения вершины С искомого треугольника заметим, что
расстояние от точки С до прямой АВ должно равняться
Множеством всех точек плоскости, находящихся на рассто-
янии P2Qi от прямой АВ и лежащих по ту же сторону от
прямой АВ, что и точка У, является прямая р, параллельная
прямой АВ и находящаяся на расстоянии P>Q2 от прямой АВ.
Слсдователыю, искомая точка С есть точка пересечения пря-
мой р и луча АУ. Построение прямой р описано в решении за-
дачи 292. Очевидно, треугольник АВС удовлетворяет всем ус-
ловиям задачи: АВ = PSQ{, CH = P2Q^ XA — Xh.k.
302 Постройте треугольник по двум сторонам и высоте, проведён-
ной к одной из этих сторон.
303 Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, прове-
дённой к одной из этих сторон.
Вопросы для повторения к главе IV
1	Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника.
2	Какой угол называется внешним углом треугольника? Дока-
жите, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов
треугольника, не смежных с ним.
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Докажите, что в любом треугольнике либо все углы острые,
либо два угла острые, а третий тупой или прямой.
Какой треугольник называется остроугольным? Какой тре-
угольник называется тупоугольным?
Какой треугольник называется прямоугольным? Как называ-
ются стороны прямоугольного треугольника?
Докажите, что в треугольнике:
1) против большей стороны лежит больший угол;
2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза
больше катета.
Докажите, что если два угла треугольника равны, то тре-
угольник равнобедренный.
Докажите, что каждая сторона треугольника меньше суммы
двух других сторон. Что такое неравенство треугольника?
Докажите, что сумма двух острых углов прямоугольного тре-
угольника равна 90°.
Докажите, что катет прямоугольного треугольника, лежащий
против угла в 30е, равен половине гипотенузы. Сформулируй-
те и докажите обратное утверждение.
Сформулируйте и докажите утверждение о признаке равенства
прямоугольных треугольников но гипотенузе и острому углу.
Сформулируйте и докажите утверждение о призйййе jjfegg^ate'’’al100
ства прямоугольных треугольников ио гипотенузе и катету.
Объясните, какой отрезок называется наклонной, проведен-
ной из данной точки к данной прямой, и какой отрезок назы-
вается проекцией наклонной.
Докажите, что перпендикуляр, проведённый из точки к пря-
мой, меньше любой наклонной, проведённой из той же точки
к этой прямой.
Докажите, что любая наклонная, проведённая из данной точ-
ки к данной прямой, меньше суммы перпендикуляра, прове-
дённого из той же точки к этой прямой, и проекции наклон-
ной.
Что называется расстоянием от точки до прямой?
Докажите, что все точки каждой из двух параллельных пря-
мых равноудалены от другой прямой.
Что называется расстоянием между двумя параллельными
прямыми?
Докажите, что множество всех точек плоскости, находящихся
на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну
сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.
Что такое геометрическое место точек? Приведите приме}).
88 Глава ГУ
22
23
304
305
306
307
308
309
310
311*
312*
313
314
Объясните, как построить треугольник
по: а) двум сторонам и углу между ними;
б) стороне и двум прилежащим к ней углам.
Объясните, как построить треугольник по
трём сторонам. Всегда ли эта задача имеет
решение?
D
Рис. 151
Дополнительные задачи
В равнобедренном треугольнике АВС бис-
сектрисы равных углов В и С пересека-
ются в точке О. Докажите, что угол ВОС
равен внешнему углу треугольника при
вершине В.
На стороне AD треугольника ADC отме-
чена точка В так, что BC = BD. Докажите,
что прямая DC параллельна биссектрисе
угла АВС.
Па рисунке 151 АР || BE, АС = AD и ВС =
= ВЕ. Докажите, что угол DCE — прямой.
Па рисунке 152 АВ = АС, AP=PQ=QR=
= RB = BC. Найдите угол А.
Докажите, что в тупоугольном треугольнике основание вы-
соты, проведённой из вершины тупого угла, лежит (ШчавшоДОсгг rnateriallOO
по треугольника, а основания высот, проведённых из вершип
острых углов, — на продолжениях сторон.
Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АП и на-
клонные AMi и АМ2. Докажите, что:
а)	если НМ1 = НМ2, то АМу = АМ.г;
б)	если II<НМ2, то AMу< АМ2.
Из точки Л к прямой а проведены перпендикуляр ЛН
и наклонные AM у и АМ2. Докажите, что:
а)	если AM у = АМ2, то НМу = НМ 2;
б)	если AMх < АМ2, то НМг < НМ2.
Докажите, что в треугольнике АВС медиана AM меньше по-
лусуммы сторон АВ и АС.
□ Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника
АВС, то МВ + МС <АВ + АС.
□ Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежа-
щей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра
треугольника.
Докажите методом от противного: если для трёх точек А, В
и С справедливо равенство АВ = АС — СВ, то точки А, В и С
лежат на одной прямой.
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника
315
316
317
318
319
320
321
322*
323
324
325*
326
327
328*
329*
330*
Докажите что, каждая сторона треугольника больше разности
двух других сторон.
В прямоугольном треугольнике проведена высота из вершины
прямого угла. Докажите, что данный треугольник и два обра-
зовавшихся треугольника имеют соответственно равные утлы.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС, рав-
ным 37 см, внешний угол при вершине В равен 60°. Найдите
расстояние от вершины С до прямой АВ.
В треугольнике с неравными сторонами АВ и АС (АВ > АС)
проведены высота АН и биссектриса AD. Докажите, что угол
HAD равен полуразности углов В и С.
Докажите, что в равных треугольниках высоты, проведённые
к равным сторонам, равны.
JejB остроугольном треугольнике АВС проведена высота AR.
Докажите, что периметр треугольника ARC меньше периме-
тра треугольника АВС.
Отрезок соединяет вершину треугольника с точкой, лежа-
щей на противоположной стороне. Докажите, что этот отрезок
меньше большей из двух других сторон.
Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, прове-
дённой к третьей стороне.
Постройте прямоугольный треугольник по:	Скачан с vk.com/materiallOO
а)	гипотенузе и острому углу;
б)	катету и противолежащему углу;
в)	гипотенузе и катету.
С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 30°;
б) 60е; в) 15°; г) 120°; д) 150°; е) 135°; ж) 165е; з) 75°; и) 105°.
Постройте треугольник по стороне, высоте, провсдсппой к
ней, и медиане, проведённой к одной из двух других сторон.
___Дан треугольник АВС. Постройте отрезок DE, параллель-
ный прямой АС, так, чтобы точки D и Е лежали на сторонах
АВ и ВС и DE = AD + CE.
Дан равносторонний треугольник АВС и точка Bt на сто-
роне АС. На сторонах ВС и АВ постройте точки А] и С] так,
чтобы треугольник AjT^Cj был равносторонним.
Постройте треугольник по углу, высоте и биссектрисе, прове-
дённым из вершины этого угла.
Постройте треугольник по стороне, высоте и медиане, прове-
дённым к этой стороне.
постройте точку Л/, находящуюся на расстоянии AM от пря-
мой ВС.
90 Глава Л'
Глава V
Геометрические места точек.
Симметричные фигуры
В этой главе мы продолжим изучение геометрических мест
точек и особое внимание уделим одной из основных фи-
гур — окружности. Будут доказаны некоторые свойства диа-
метров и хорд окружности, теоремы о касательных к окруж-
ности, об окружностях, вписанных в треугольник и описанных
около треугольника. В главе вводится понятие фигур, симме-
тричных относительно некоторой прямой (или обладающих
осевой симметрией), а также приводятся примеры задач, для
решения которых удобно применять свойства осевой сим-
метрии.
Геометрические места точек
39.	Свойства биссектрисы угла
Напомним, что геометрическим местом
точек называется множество всех точек, обла-
дающих определённым свойством. Например,
мы уже доказали ранее (п. 37), что геометриче-
ским местом точек плоскости, расположенных
по одну сторону от данной прямой и равноуда-
лённых от неё, является прямая, параллельная
данной.
Чтобы некоторую фигуру назвать геометри-
ческим местом точек, необходимо проверить два
условия:
1)	каждая точка данной фигуры должна об-
ладать заданным свойством;
2)	каждая точка, обладающая заданным
свойством, должна принадлежать этой фигуре.
Докажем, что биссектриса неразвёрнутого
угла является некоторым геометрическим мес-
том точек.
91
Скачан с vk.com/materiallOO
Ге ом етрич ес к и е
места точек.
Симметричные фигуры
Теорема
Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого
угла равноудалена от его сторон1.
Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла
и равноудалённая от сторон угла, лежит на его
биссектрисе.
Доказательство
1)	Возьмём произвольную точку М на бис-
сектрисе угла ВАС, проведём перпендикуля-
ры МК и ML к прямым АВ и АС и докажем,
что MK = ML (рис. 153).
Рассмотрим прямоугольные треугольники
AM К и AML. Они равны но гипотенузе и остро-
му углу (AM общая гипотенуза, Z1 = Z2 по ус-
ловию). Следовательно, MK=ML.
2)	Пусть точка М лежит внутри угла ВАС
и равноудалена от его сторон АВ и АС. Дока-
жем, что луч AM — биссектриса угла ВАС (см.
рис. 153).
Проведём перпендикуляры МК и ML к
прямым АВ и АС. Прямоугольные треугольники
АМК и AML равны по гипотенузе и катету
(AM общая гипотенуза, MK = ML по условию).
Следовательно, Z1=Z2. Это означает, что луч
AM — биссектриса угла ВАС.
Теорема доказана.
Следствие 1
Геометрическим местом точек плоскости, лежа-
щих внутри неразвёрнутого угла и равноудалён-
ных от сторон угла, является биссектриса этого
угла.
Следствие 2
Биссектрисы треугольника пересекаются в од-
ной точке.
В
С
Рис.153
Скачан с vk.com/matenallOO
1 То есть равноудалена от прямых, содержащих сторо-
ны угла.
92 Глава V
Обозначим буквой О точку пересечения
биссектрис АА, и ВВ ( треугольника АВС и про-
ведём из этой точки перпендикуляры OK, OL
и ОМ соответственно к прямым АВ, ВС и СА
(рис. 154).
По доказанной теореме ОК = ОМ и ОК = OL.
Поэтому ОМ =OL, т. е. точка О равноудалена от
сторон угла ЛСВ и, значит, лежит па биссектри-
се СС± этого угла.
Следовательно, все три биссектрисы тре-
угольника АВС пересекаются в точке О, что и
требовалось доказать.
Из доказанного утверждения следует:
точка пересечения биссектрис треугольника равно-
удалена от всех его сторон.
40.	Свойства серединного
перпендикуляра к отрезку
Напомним, что серединным перпендикуля-
ром к отрезку называется прямая, проходящая
через середину данного отрезка и перпендику-
лярная к нему.
Докажем, что серединный перпендикуляр
к отрезку является геометрическим местом то-
чек.
Рис.154
Скачан с vk.com/materiallOO
Теорема
Каждая точка серединного перпендикуляра к от-
резку равноудалена от концов этого отрезка.
Обратно: каждая точка, равноудалённая от кон-
цов отрезка, лежит на серединном перпендику-
ляре к нему.
Доказательство
Пусть прямая т — серединный перпенди-
куляр к отрезку АВ, точка О — середина этого
отрезка (рис. 155, а).
1)	Рассмотрим произвольную точку М
прямой т и докажем, что AM = ВМ. Если точ-
Геометрические
93 места точек.
Симметричные фигуры
ка М совпадает с точкой О, то это равенство
верно, так как О — середина отрезка АВ. Пусть
М и О — различные точки. Прямоугольные
треугольники ОАМ и ОВМ равны по двум ка-
тетам (ОА = ОБ, ОМ — общий катет), поэтому
АМ = ВМ.
2)	Рассмотрим произвольную точку Лг, рав-
ноудалённую от концов отрезка Л В, и докажем,
что точка N лежит на прямой т.
Если N — точка прямой АВ, то она совпа-
дает с серединой О отрезка АВ и потому лежит
па прямой т. Если же точка Лт нс лежит па пря-
мой АВ, то треугольник АЛ'В равнобедренный,
так как AJV — ВЛ7 (рис. 155, б). Отрезок NO — ме-
диана этого треугольника, а значит, и высота.
Таким образом, NO-LAB, поэтому прямые ON
и т совпадают, т. с. N — точка прямой т.
Теорема доказана.
Следствие 1
Геометрическим местом точек плоскости, равно-
удалённых от концов отрезка, является середин-
ный перпендикуляр к этому отрезку.
Следствие 2
Серединные перпендикуляры к сторонам тре-
угольника пересекаются в одной точке.
Для доказательства этого утверждения рас-
смотрим серединные перпендикуляры т и п к
сторонам АВ и ВС треугольника АВС (рис. 156).
Эти прямые пересекаются в некоторой точке О.
В самом деле, если предположить противное, т. е.
что т || п, то прямая В А, будучи перпендикуляр-
ной к прямой т, была бы перпендикулярна и к
параллельной ей прямой п, а тогда через точку В
проходили бы две прямые ВА и ВС, перпендику-
лярные к прямой п, что невозможно.
По доказанной теореме ОВ = ОА и ОВ = ОС.
Поэтому О А = ОС, т. е. точка О равноудалена от
94
Рис.155
Скачан с vk.com/materiallOO
Глава V
концов отрезка АС и, значит, лежит на середин-
ном перпендикуляре р к этому отрезку. Следо-
вательно, все три серединных перпендикуляра
т, п и р к сторонам треугольника АВС пересека-
ются в точке О.
Из доказанного утверждения следует:
точка пересечения серединных перпендикуляров
к сторонам треугольника равноудалена от всех
его вершин.
331
332
333
334
335
Задачи
□	Определите геометрическое место всех точек плоскости,
равноудалённых от двух пересекающихся прямых.
В Определите геометрическое место всех точек плоскости,
равноудалённых от двух данных параллельных прямых.
J Даны два отрезка АВ и CD. Постройте точку МУ такую,
что МА = МВ и МС = MD.
В Даны угол и отрезок АВ. Постройте точку М, равноуда-
лённую от сторон угла и такую, что МА = МВ. Скачан с vk.com/materiallOO
Биссектрисы внешних углов В и С треугольника АВС пере-
секаются в точке О. Докажите, что точка О равноудалена от
прямых АВ у ВС и СА.
s2
Окружность.
Касательная к окружности
41.	Свойства диаметров и хорд
окружности
Напомним, что окружностью называется
геометрическая фигура, состоящая из всех точек
плоскости, расположенных на заданном расстоя-
нии от данной точки. Данная точка называется
центром окружности, а заданное расстояние —
радиусом этой окружности.
Из определения следует, что окружность
представляет собой геометрическое место точек,
равноудалённых от центра.
Геометрические
места точек.
Симметричные фигуры
95
Окружность разбивает множество точек пло-
скости, не принадлежащих ей, на две части —
внутреннюю и внешнюю. Внутренней части при-
надлежат те точки, для которых расстояние от
центра окружности меныпе радиуса, а внешней ча-
сти — те точки, для которых расстояние от центра
больше радиуса. Точки внутренней части называ-
ют внутренними, а точки внешней части — внеш-
ними относительно окружности. На рисунке 157
точки А, В, С и О — внутренние, а точки М, Лт
и Р — внешние относительно окружности.
1°. Диаметр, проведённый через середину хорды,
перпендикулярен этой хорде.
Обратно: диаметр, перпендикулярный хорде, де-
лит её пополам.
1) Пусть диаметр АВ окружности с цен-
тром О радиуса г проходит через середину Af
хорды CD (рис. 158, а). Докажем, что диаметр
АВ перпендикулярен хорде CD.
Треугольник COD равнобедренный (объяс-
ните почему), и отрезок ОМ является его медиа-
ной. В равнобедренном треугольнике медиана,
проведённая к основанию, является также высо-
той треугольника. Значит, ОМ перпендикулярен
CD, поэтому АВ перпендикулярен CD.
2) Пусть теперь диаметр АВ данной окруж-
ности перпепдикуляреп хорде CD, и докажем,
что он делит хорду пополам.
Рассмотрим диаметр EF, проходящий через
середину М хорды CD (рис. 158, б). По доказан-
Рис. 157
Скачан с vk.com/materiallOO
Рис.158
96 Глава V
ному выше, отрезки EF и CD перпендикулярны.
По тогда через центр О окружности проходят две
прямые АВ и EF, перпендикулярные CD, зна-
чит, они совпадают. Поэтому EF и АВ — одип и
тот же диаметр.
Говорят, что отрезок АВ виден иод пря-
мым углом из точки С, если угол АС В прямой.
2". Каждая точка, из которой диаметр окруж-
ности виден под прямым углом, лежит на этой
окружности.
Обратно: из каждой точки окружности любой
диаметр, не проходящий через данную точку, ви-
ден под прямым углом.
1)	Пусть АВ — диаметр окружности с цен-
тром О. Тогда если для точки С угол. АСВ пря-
мой, то в прямоугольном треугольнике ЛСВ ме-
диана СО равна, половине гипотенузы, к которой
она проведена. Тогда ОА = ОВ = ОС, т. е. С лежит
на окружности с центром О радиуса О А.
2)	Пусть точка С лежит на окружности
с диаметром АВ, О центр этой окружности
(рис. 159). Тогда точка О — середина отрезка
Л В. В треугольнике ЛСВ медиана СО равна по-
ловине стороны, к которой она проведена, поэто-
му угол АСВ прямой.
Доказанное утверждение позволяет опреде-
лить ещё одно геометрическое место точек: мно-
жество всех точек, из которых данный отрезок
АВ виден под прямым углом, есть окружность
с диаметром АВ (за исключением точек А и В).
42.	Взаимное расположение
окружности и прямой.
Касательная к окружности
Рассмотрим, как могут располагаться ок-
ружность и прямая, т. е. выясним, всегда ли они
имеют общие точки и сколько общих точек они
могут иметь.
97
Рис.159
Скачан с vk.com/materiallOO
Геометрические
места точек.
Симметричные фигуры
Прямая пе может иметь с окружностью
более двух общих точек. Если какая-то прямая
пересекает окружность с центром О в трёх точ-
ках А, В и С, то точка О равноудалена от концов
отрезков АВ и ВС, поэтому лежит на серединных
перпендикулярах pL и р2 этих отрезков. По две
прямые, перпендикулярные третьей прямой, па-
раллельны.
Таким образом, возможны следующие
три случая взаимного расположения прямой и
окружности:
1)	прямая имеет с окружностью две общие
точки (рис. 160, а), в этом случае прямую назы-
вают секущей к окружности;
2)	прямая имеет с окружностью одну об-
щую точку (рис. 160, б), в этом случае прямую
называют касательной к окружности, а их об-
щую точку — точкой касания;
3)	прямая не имеет общих точек с окруж-
ностью (рис. 160, в).
Все точки касательной, за исключением
точки касания, являются внешними точками от-
носительно окружности.
Рис.160
Докажем теорему о свойстве касательной
к окружности.
Теорема
Касательная к окружности перпендикулярна
к радиусу, проведённому в точку касания.
98 Глава V
Доказательство
Пусть р — касательная к окружности с цент-
ром О, А точка касания (рис. 161).
Докажем, что касательная р перпендику-
лярна к радиусу О А.
Любая точка В касательной, отличная от
точки А, является внешней относительно окруж-
ности, поэтому ОВ больше ОА. Значит, ОВ
наклонная к прямой р, а О А — перпендикуляр
(объясните почему).
Таким образом, прямая р перпендикулярна
к радиусу О А.
Теорема доказана.
Рассмотрим две касательные к окружности
с центром О, проходящие через точку А и касаю-
щиеся окружности в точках В и С (рис. 162). От-
резки АВ и АС назовём отрезками касательных,
проведённых из точки А. Они обладают следую-
щим свойством:
отрезки касательных к окружности, проведён-
ные из одной точки, равны и составляют равные
углы с прямой, проходящей через эту точку и
центр окружности.
Для доказательства этого утверждения об-
ратимся к рисунку 162. По теореме о свойстве
касательной углы 1 и 2 прямые, поэтому тре-
угольники АВО и АСО прямоугольные. Они рав-
ны, так как имеют общую гипотенузу О Л и рав-
ные катеты ОВ и ОС.
Следовательно, АВ = АС и Z3 = Z4, что и
требовалось доказать.
Докажем теперь теорему, обратную теореме
о свойстве касательной (признак касательной).
Теорема
Рис.162
Если прямая проходит через конец радиуса,
лежащий на окружности, и перпендикулярна
к этому радиусу, то она является касательной.
Геометрические
99 места точек.
Симметричные фигуры
Доказательство
Из условия теоремы следует, что данный
радиус является перпендикуляром, проведён-
ным из центра окружности к данной прямой.
Поэтому расстояние от центра окружности до
прямой равно радиусу, и, следовательно, пря-
мая и окружность имеют только одну общую
точку. Но это и означает, что данная прямая
является касательной к окружности.
Теорема доказана.
На этом признаке основало решение задач
на построение касательной. [Рассмотрим одну из
таких задач.
Задача
Через данную точку А окружности с цент-
ром О провести касательную к этой окружности.
Решение
Проведём прямую ОА, а затем построим
прямую р, проходящую через точку Л перпенди-
кулярно к прямой ОА.
По признаку касательной прямая р являет-
ся искомой касательной.
43.	Вписанная и описанная
окружности треугольника
Если отрезок (луч) принадлежит прямой,
касательной к окружности, и точка касания яв-
ляется точкой отрезка (луча), то говорят, что
данный отрезок (луч) является касательным
к окружности.
Окружность называется вписанной в пе-
развёрнутый угол, если она касается сторон это-
го угла. На рисунке 163 окружности с центрами
А и В вписаны в угол МОР, а окружность с цен-
тром С пет. Центры всех окружностей, вписан-
ных в угол, равноудалены от его сторон, поэтому
принадлежат биссектрисе угла.
Скачан с vk.com/materiallOO
100 Глава V
Рис. 163	Рис. 164
Если все стороны треугольника касаются
окружности, то окружность называется вписан-
ной в треугольник, а треугольник — описан-
ным около этой окружности. На рисунке 164
треугольник DEK описан около окружности
с центром О, так как его все стороны касают-
ся окружности, а треугольник DEF не является
описанным около этой окружности, так как сто-
рона ЕЕ не касается окружности.
Докажем теорему об окружности, вписан-
ной в треугольник.
Теорема
В любой треугольник можно вписать окруж-
ность.
Скачан с vk.com/materiallOO
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник
АВС и обозначим буквой О точку пересечения
его биссектрис. Проведём из точки О перпенди-
куляры OK, OL и ОМ соответственно к сторо-
нам АВ, ВС и С А (см. рис. 165). Так как точка О
равноудалена от сторон треугольника АВС, то
ОК = ОЬ = ОМ. Поэтому окружность с центром О
радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Сто
роны треугольника АВС касаются этой окруж-
ности в точках К, L, М, так как они перпен-
дикулярны к радиусам OK, OL и ОМ. Значит,
окружность с центром О радиуса ОК является
вписанной в треугольник АВС.
Теорема доказана.
Рис.165
Геометра чес кие
места точек.
Симметричные фигуры
101
Замечание 1
Отметим, что в треугольник можно вписать
только одну окружность.
В самом деле, допустим, что в треуголь-
ник можно вписать две окружности. Тогда центр
каждой окружности равноудалён от сторон тре-
угольника и, значит, совпадает с точкой О пере-
сечения биссектрис треугольника, а радиус равен
расстоянию от точки О до сторон треугольника.
Следовательно, эти окружности совпадают.
Если все вершины треугольника лежат
на окружности, то окружность называется опи-
санной около треугольника, а треугольник —
вписанным в эту окружность. Па рисунке 166
треугольник KMN вписап в окружность с цен-
тром О, а треугольник КМР не является впи-
санным в эту окружность, так как вершина Р не
лежит на окружности.
Докажем теорему об окружности, описан-
ной около треугольника.
Теорема
Рис. 166
Скачан с vk.com/materiallOO
Около любого треугольника можно описать
окружность.
Доказательство
Рассмотрим произвольный треугольник ЛВС.
Обозначим буквой О точку пересечения середин-
ных перпендикуляров к его сторонам и проведём
отрезки ОА, ОВ и ОС (рис. 167). Так как точка О
равноудалена от вершин треугольника ЛВС, то
О А = ОВ = ОС. Поэтому окружность с центром О
радиуса О А проходит через все три вершины тре-
угольника и, значит, является описанной около
треугольника Л ВС. Теорема доказана.
Замечание 2
Отметим, что около треугольника можно
описать только одну окружность.
102 Глава V
В самом деле, допустим, что около
треугольника можно описать две окружности.
Тогда центр каждой из них равноудалён от его
вершин и поэтому совпадает с точкой О пересе-
чения серединных перпендикуляров к сторонам
треугольника, а радиус равен расстоянию от точ-
ки О до вершин треугольника. Следовательно,
эти окружности совпадают.
Задачи
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
Докажите, что хорда, не проходящая через центр окруж-
ности, меньше диаметра.
Докажите, что если две хорды АВ и АС окружности равны,
то ни одна из них не является диаметром этой окружности.
J Докажите, что если точка С — внутренняя точка относи-
тельно окружности, нс лежащая па сё диаметре АВ, то угол
АСВ тупой.
__Докажите, что если АВ — диаметр окружности и С —
внешняя точка относительно этой окружности, не лежащая
па прямой ЛВ, то угол ЛСВ острый.
О„	Скачан с vk.com/materiallOO
Докажите, что середины параллельных хорд лежат на од-
ном диаметре.
Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её
центра.
Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её
центра, то они равны.
Докажите, что если расстояние от центра окружности до пря-
мой равно радиусу, то прямая является касательной к окруж-
ности.
Прямая а касается окружности с центром О. Найдите рассто-
яние от точки О до прямой а, если диаметр окружности равен
14 см.
Докажите, что касательные, проведённые через концы диамет-
ра окружности, параллельны.
Найдите длину отрезка АВ, касательного к окружности с цен-
тром О, где В — точка касания, если угол АОВ равен 45°,
а радиус окружности — 12 см.
Прямая р является касательной к окружности с центром О,
А — точка касания. На этой прямой отмечены точки В, С и
D так, что точка А лежит между точками В и С, а точка С —
между точками А и D. Укажите: а) какие из следующих от-
Геометра чес кие
места точек.
Симметричные фигуры
103
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
резков являются касательными: АС, ВС, CD; б) какие из сле-
дующих лучей являются касательными: AC, СА, CD, DB?
Две окружности с центрами Q и О2 вписаны в угол. Одна из
них касается его сторон в точках А и D, а вторая — в точках
В и С. Докажите, что AB = CD.
Через точку А окружности проведены касательная и хорда,
равная радиусу окружности. Найдите угол между ними.
Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, прове-
дены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите
угол АС В.
Угол между диаметром АВ и. хордой АС равен 30°. Через точ-
ку С проведена касательная, пересекающая прямую Л В в точ-
ке D. Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.
Даны окружность с центром О радиуса 4,5 см и точка А. Через
точку А проведены две касательные к окружности. Найдите
угол между ними, если ОА = 9 см.
Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окруж-
ности с центром О, проведёнными из точки А. Найдите угол
ВАС, если середина отрезка АО лежит на окружности.
На рисунке 162 ОВ = 3 см, О А = 6 см. Найдите Z3 и Z4.
Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках
В и С. Найдите ВС, если ХОАВ = 30е, АВ =5 см. Скачан с vk.com/matenallOO
В треугольнике АВС угол В прямой. Докажите, что: а) пря-
мая ВС является касательной к окружности с центром А ра-
диуса АВ; б) прямая АВ является касательной к окружности
с центром С радиуса СВ; в) прямая АС не является касатель-
ной к окружностям с центром В и радиусами ВА и ВС.
Дана окружность с центром в точке О. Прямая пересекает
окружность в точках А и Н. Найдите расстояние от точки О
до прямой, если АН = 8 см, ЛАОН = 90°.
Постройте касательную к данной окружности, параллельную
к данной прямой.
Постройте касательную к данной окружности, перпендику-
лярную к данной прямой.
Постройте прямоугольный треугольник по данной гипотенузе
и проведённой к ней высоте.
Постройте прямоугольный треугольник по медиане и высоте,
проведённым к гипотенузе.
Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку.
Решение
Пусть АВ данный отрезок. Построим две окружности с цен-
трами в точках А и В радиуса АВ (рис. 168). Эти окружности
104 Глава V
пересекаются в двух точках
Л/j и Afg. Отрезки ЛМ lt AM &
BMV ВМ2 равны друг другу
как радиусы этих окружно-
стей.
Проведём прямую MtM Она
является искомым серединным
перпендикуляром к отрезку
АВ. В самом деле, точки и
М2 равноудалены от концов от-
резка АВ, поэтому они лежат
Рис.168
363
364
365
366
367
368
па серединном перпендикуляре к этому отрезку. Значит, пря
мая М}М2 и есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
Отметьте три точки, по лежащие на одной прямой, и построй
те окружность, проходящую через эти точки.
Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный
и остроугольный. Для каждого из них постройте описанную
окружность. Как расположен центр окружности относительно
треугольника в каждом случае?
Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный
и остроугольный. В каждый из них впишите окружность. Как
расположен центр окружности относительно треугольника в
каждом случае?
Докажите, что для равностороннего треу голышка ^.центры’’ material 100
вписанной и описанной окружностей совпадают.
Укажите, какие из треугольников, изображённых на рисун-
ке 169, являются вписанными.
Укажите, какие из треугольников ABC, CED, LMN и CTS,
изображённых на рисунке 170, являются описанными около
окружности.
Рис. 169
Рис. 170
Ге ом ет ри ч ес к и е
места точек.
Симметричные фигуры
105
369 Докажите, что центром окружности, описанной около прямо-
угольного треугольника, является середина гипотенузы.
370 Стороны угла ВАС, равного 60°, касаются окружности с цен-
тром О. Найдите длину отрезка ОА, если радиус окружности
равен 5 см.
371 Найдите периметр прямоугольного треугольника, гипотенуза
которого равна 26 см, а радиус вписанной окружности — 4 см.
372 Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный
треугольник, если гипотенуза треугольника равна с, а сумма
катетов т.
373 В равнобедренный треугольник вписана окружность с цен-
тром О, и около него описана окружность с центром Е. Дока-
жите, что точки О и Е лежат на серединном перпендикуляре
к основанию треугольника.
Симметричные фигуры
44.	Фигуры, симметричные
относительно прямой
Скачан с vk.com/materiallOO
Две точки А и Ат называются симметрич-
ными относительно прямой а, если эта прямая
проходит через середину отрезка AAL и перпен-
дикулярна к нему (рис. 171, а). Прямая а назы- а
вается осью симметрии точек А и Av Каждая
точка оси а симметрична самой себе. На рисун-
ке 171,6 точки М и М L, N и Aj симметричны
относительно прямой Ъ, а точка Р симметрична
самой себе относительно этой прямой.
Фигура называется симметричной относи- Д
тельно прямой а, если для каждой точки фигуры \
симметричная ей точка относительно прямой а \
также принадлежит этой фигуре. Прямая а на-
зывастся осью симметрии фигуры. Говорят так- 1 \
же, что фигура обладает осевой симметрией.
Приведём примеры фигур, обладающих Рис. 171
осевой симметрией (рис. 172). У неразвёрнутого
угла одна ось симметрии — прямая, на которой
106
Глава V
расположена биссектриса угла. Равнобедренный
(но не равносторонний) треугольник имеет так-
же одну ось симметрии, а равносторонний тре-
угольник— три оси симметрии. У окружности
осей симметрии бесконечно много — любая пря-
мая, проходящая через её центр, является осью
симметрии. Имеются фигуры, у которых нет пи
одной оси симметрии.
Отметим, что ось симметрии точек А и А1
является серединным перпендикуляром к отрез-
ку АА±. Напомним, что каждая точка середин-
ного перпендикуляра к отрезку равноудалена. от
его концов, поэтому каждая точка оси симметрии
двух точек равноудалена от этих точек.
Изображения многих предметов окружа-
ющего нас мира имеют ось симметрии. Многие
листья деревьев и лепестки цветов симметричны
относительно центральной жилки (рис. 173).
С симметрией мы часто встречаемся в ис-
кусстве, архитектуре, технике, быту. Так, фаса-
ды многих зданий обладают осевой симметрией
(рис. 174). В большинстве случаев симметричны
относительно оси узоры на коврах, тканях, ком-
натных обоях. Симметричны многие детали ме-
ханизмов, например зубчатые колёса.
Две фигуры называются симметричными
относительно прямой, если каждая точка одпой
фигуры симметрична некоторой точке другой
фигуры, и обратно. Данная прямая называется
осью симметрии этих фигур.
Фигуры, обладающие
осевой симметрией
Рис.172
Скачан с vk.com/materiallOO
Рис. 173
Геометрические
107 места точек.
Симметричные фигуры
На рисунке 175 фигуры Е и Elt F и G
и Gt симметричны относительно прямой р.
45.	Осевая симметрия
и её свойства
Если а — некоторая прямая, то каждой точ-
ке А плоскости симметрична относительно пря-
мой а только одна точка Д (объясните почему).
Говорят, что прямая а задаст па плоскости осевую
симметрию с осью а.
Если осевая симметрия задана, то для каж-
дой фигуры существует симметричная ей фигура
относительно оси а. Позже мы докажем, что от-
резку симметричеп отрезок, прямой — прямая,
треугольнику — равный ему треугольник и т. д.
Рассмотрим некоторые свойства осевой
симметрии.
1°. Если две прямые Ъ и Ъу симметричны относи-
тельно оси а, то они либо параллельны, либо их
точка пересечения лежит на оси симметрии а.
Действительно, если прямая b пересекает
ось а в точке В, то точка В симметрична самой
себе и симметрична какой-либо точке на пря-
мой by. Тогда прямая by также пересекает ось а в
точке В (рис. 176).
2". Расстояние между точками А и В равно рас-
стоянию между симметричными им точками Л,
и By.
Пусть А и В — две точки, а Д и —
симметричные им точки относительно прямой а
(рис. 177, а).
Пусть F — середина отрезка ААу, Е — се-
редина отрезка ВВу. Точки F и Е принадлежат
оси симметрии а, поэтому треугольник BFBy
равнобедренный (объясните почему). Тогда FЕ —
высота и биссектриса, проведённая к его основа-
708
Рис.175
Скачан с vk.com/materiallOO
Рис.176
Гласа V
Рис. 177	а	В*	1в
А .А,
нию ВВГ. Следовательно, в треугольниках AFB В Bj
и AaFB} ZAFB- ZA^FB-i (объясните почему).
Треугольники AFB и A^FB ( равны по первому
признаку, поэтому их соответственные стороны
АВ и AjB, равны. Таким образом, расстояние
между точками А и В равно расстоянию между
симметричными им точками Л и Вь что и тре-
бовалось доказать.
Другие случаи расположения точек Л, В и
Al, Bj рассмотрите самостоятельно и убедитесь
в том, что AB = A,Bt (рис. 177, б).
В геометрии свойства осевой симметрии ча-
Скачан с vk.com/material 100
сто используются при доказательстве теорем и
решении задач.
Существует техника рисования красками
(гуашью или акварелью), которая основана на
применении осевой симметрии (рис. 178). Она
называется монотипия. Эта простая техника
заключается в том, что рисунок наносится на
одну часть листа, потом лист перегибается и
рисунок отпечатывается на другой части листа.
Рис.178
Геометри чес кие
места точек.
Симметричные фигуры
109
Практические задания
374 Начертите прямую /. Отметьте точки Л и В, не лежащие на
этой прямой, и точку С, принадлежащую ей. Постройте точ-
ки А,, Вт, С-,, симметричные данным точкам относительно
прямой I. С помощью масштабной линейки сравните длины
отрезков Л В и Л^Вх, АС и Л1С„ ВС и В1С1,
375 Начертите прямую I. Отметьте точку А, не лежащую на этой
прямой. Постройте точку Ар симметричную точке А, с помо-
щью одного циркуля.
376 Отметьте две точки и постройте их ось симметрии.
377 Даны две точки Л и В, симметричные относительно некото-
рой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную точ-
ке М относительно той же прямой.
378 Начертите треугольник АВС и прямую рУ не пересекающую
его стороны. Постройте треугольник	симметричный
треугольнику АВС относительно прямой р. Пользуясь мас-
штабной линейкой и транспортиром, убедитесь в том, что
стороны и углы треугольника AtB^i соответственно равны
сторонам и углам треугольника АВС. Выполните ещё раз по-
строение для случая, когда прямая р пересекает две стороны
треугольника.
Скачан с vk.com/materiallOO
379 Начертите следующие фигуры и для каждой из них по-
стройте ось симметрии, если она существует: а) отрезок АВ;
б) угол hk\ в) равнобедренный треугольник; г) разносторонний
треугольник; д) равносторонний треугольник.
380 Начертите фигуру, имеющую: а) только одну ось симметрии;
б) несколько осей симметрии.
Задачи
381 Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч;
г) угол?
382 Перенесите в тетрадь таблицу. Нарисуйте примеры фигур
с даппым числом осей.
Число осей симметрии	Не имеет оси	Одна ось	Две оси	Три оси	Бесконечное число осей
Геометри- ческая фигура					
110 Глава V
383
384
385
386
387
388
389
390
391
Какие из следующих букв имеют
ось симметрии: А, Б, Г, Е, О, F?
Какие из точек М, N, С, Q, S,
изображённых на рисунке 179,
симметричны относительно пря-
мой р: а)точке А; б)точке В?
Могут ли точки А и Д быть сим-
метричны относительно прямой
р, если расстояния от этих то-
чек до прямой р равны: а) 4 см
и 6 см; б) 7 см и 7 см; в) 11,3 см
и 11,4 см? Ответ обоснуйте.
Точки Лр Вх, С, симметричны
точкам А, В, С относительно
прямой р. Найдите AjB1t если из-
вестно, что точка В лежит меж-
ду точками А и С, АС = 5 см,
ВС — 3 см.
На рисунке 180, а точки А и
Aj, В и Bt симметричны относи-
тельно прямой р, Найдите дли-
ны отрезков АВ и AjB,, если
АН = 27,3 см, В^ II = 7,8 см.
На рисунке 180,б точки А и
А,, В и BL симметричны относи-
тельно прямой р. Найдите дли-
ны отрезков АВ и AjB,, если
AAj = 5 см, BBt = 15 см.
Лежат ли точки Ар Bn С, па од-
ной прямой, если они симметрич-
ны точкам А, В, С относительно
некоторой прямой и известно,
что: а) АВ = 2 дм, АС = 10 дм,
ВС = 80 см; 6) А В =1,1 см,
В/?] = 5 см, СА = 6 см?
На рисунке 181 назовите фигу-
ры, симметричные относительно
прямой р.
Точки Ап Вр Cj симметричны
вершинам треугольника АВС от-
носительно прямой а. Найдите
периметр треугольника А^С,,
если АВ = 4,5 см, ВС =5,5 см,
С А = 8,1 см.
а)
' В скачан с vk.com/materiallOO
Рис. 180
Р

Ге ом етрич ес к и е
места точек.
Симметричные фигуры
392
393
Прямая ВО — ось симметрии угла
АВС. Треугольник BAlC\ симме-
тричен треугольнику АВС отно-
сительно прямой ВО. Определите
длины отрезков А/? и АС1У если
В А — 5,4 см, ВС = 35 мм.
Докажите, что если треугольник
имеет ось симметрии, то он равно-
бедренный и осью симметрии яв-
ляется серединный перпендику-
ляр к основанию.
Решение.
Пусть р — ось симметрии А. АВС.
Так как точки А, В, С нс лежат па
одной прямой, то хотя бы одна из
этих точек не лежит на прямой р.
Пусть для определённости точка В
не лежит на оси. Ясно, что каж-
дая из вершин А, В, С треуголь-
ника АВС симметрична некоторой
вершине того же треугольника,
поэтому вершина В симметрична
либо вершине С, либо вертпипе А.
Пусть, например, В и С симме-
тричны относительно прямой р.
В этом случае точка А не может
быть симметрична ни точке В. ни
точке С, поэтому точка А симме-
трична самой себе, следователь-
Рис. 181
но, точка А принадлежит прямой р. Таким образом, стороны
АВ и АС треугольника АВС симметричны относительно пря-
мой р, поэтому АВ = АС, т. е. треугольник АВС равнобедрен-
ный. Так как точки В и С симметричны относительно пря-
мой р, то осью симметрии треугольника является серединный
перпендикуляр к основанию ВС.
Вопросы для повторения к главе V
1	Что такое геометрическое место точек? Приведите примеры.
2	Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла.
3	Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в од-
ной точке.
4	Какая прямая называется серединным перпендикуляром к от-
резку?
5	Сформулируйте и докажите теорему о серединном перпенди-
куляре к отрезку.
112 Глава V
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Докажите» что серединные перпендикуляры к сторонам тре-
угольника пересекаются в одной точке.
Что такое окружность с центром О и радиусом г; хорда окруж-
ности; диаметр окружности?
Сформулируйте и докажите свойства диаметра окружности.
Объясните, что означает: диаметр окружности виден из точки
под прямым углом?
Может ли окружность пересекать прямую более чем в двух
точках? Обоснуйте свой ответ.
Какая прямая называется секущей но отношению к окружно-
сти?
Какая прямая называется касательной к окружности? Какая
точка называется точкой касания?
Сформулируйте и докажите теорему о свойстве касательной.
Что известно об отрезках касательных к окружности, прове-
дённых из одной точки?
Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме о свой-
стве касательной.
Объясните, как через данную точку окружности провести ка-
сательную к этой окружности.
Какой отрезок (луч) называется касательным к окружности?
Что значит: окружность вписана в неразвёрнутЙйча|^й!^т^та1ег'а1100
Сколько окружностей можно вписать в данный неразвёрну-
тый угол? Где находятся их центры?
Какая окружность называется вписанной в треугольник? Ка-
кой треугольник называется описанным около окружности?
Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписан-
ной в треугольник. Сколько окружностей можно вписать в
данный треугольник?
Какая окружность называется описанной около треугольни-
ка? Какой треугольник называется вписанным в окружность?
Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описан-
ной около треугольника. Сколько окружностей можно опи-
сать около данного треугольника?
Какие две точки называются симметричными относительно
данной прямой?
Какая фигура называется симметричной относительно данной
прямой?
Какие две фигуры называются симметричными относительно
данной прямой?
Как построить точку, симметричную данной, относительно за-
данной оси симметрии?
_ _ _ Геометрические
113 мести точек.
Симметричные фигуры
27 Как построить ось симметрии двух данных точек?
28 Если две прямые симметричны относительно некоторой пря-
мой, может ли только одна из них пересекать ось симметрии?
Ответ объясните.
29 Будут ли равны расстояния между двумя точками Л и В и
симметричными им точками А} и В/?
30 Как построить точку, симметричную точке М относительно
прямой Ь‘. а) с помощью циркуля и линейки; б) с помощью
одного циркуля?
Дополнительные задачи
394 Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды,
не являющейся диаметром окружности, пересекаются.
395 Прямые Л В и АС — касательные к окружности с центром О,
В и С точки касания. Через произвольную точку X, взятую
на дуге ВС, проведена касательная к этой окружности, пере-
секающая отрезки АВ и АС в точках М и N. Докажите, что
периметр треугольника AMN и величина угла MON не зави-
сят от выбора точки X на дуге ВС.
396* Две окружности имеют общую точку М и общую касательную
в этой точке. Прямая Л В касается одной окружности в точ-
ке А, а другой — в точке В. Докажите, что точкаHaatena,10Cl
окружности с диаметром АВ.
397 Отрезок Л В является диаметром окружности, а хорды ВС
и AD параллельны. Докажите, что хорда CD является
диаметром.
398 Может ли вершина разностороннего треугольника лежать
на серединном перпендикуляре к какой-либо стороне? Ответ
обоснуйте.
399 Центр описанной около треугольника окружности лежит на
медиане. Докажите, что этот треугольник либо равнобедрен-
ный, либо прямоугольный.
400 В равнобедренный треугольник вписана окружность с цент-
ром и около него описана окружность с центром О2. Дока-
жите, что точки и Олежат на серединном перпендикуляре
к основанию треугольника.
401 Даны прямая а, точка А, лежащая на этой прямой, и точ-
ка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, проходя-
щую через точку В и касающуюся прямой а в точке А.
402 Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни на
одной из них. Постройте окружность, проходящую через дан-
ную точку и касающуюся данных прямых.
1 14 Глава V
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
Докажите, что прямые, симметричные двум данным парал-
лельным прямым относительно прямой а, параллельны.
Докажите, что прямые, симметричные двум данным перпенди-
кулярным прямым относительно прямой а, перпендикулярны.
Докажите, что прямая, содержащая высоту равнобедренного
треугольника, проведённую к основанию, является его осью
симметрии.
Точка Л расположена во внутренней области угла CDE, Точка
Af симметрична точке А относительно прямой DE, и точка А2
симметрична точке А относительно прямой DC. Найдите угол
CDE, если ZArDE = 24°, AA.>DC = 48°.
Докажите, что любая прямая, проходящая через центр окруж-
ности, является её осью симметрии.
Точка пересечения двух равных хорд принадлежит некоторо-
му диаметру. Докажите, что эти хорды симметричны относи-
тельно прямой, содержащей этот диаметр.
Докажите, что если треугольник имеет две оси симметрии, то
он имеет и третью ось симметрии.
Даны три прямые а, Ь, р. а) Постройте прямую Ьг, симметрич-
ную прямой b относительно прямой р. б) Пользуясь прямой
д,, постройте отрезок так, чтобы его концы лежали соответ-
ственно на прямых а и Ъ и чтобы прямая р была
трии отрезка.
ОСЬ<&ачЖ с^хот/ material 100
Даны прямые а, Ъ и окружность с центром О. а) Постройте
прямую симметричную прямой а относительно прямой Ь.
б) Используя прямую аА, постройте отрезок так, чтобы пря-
мая b была серединным перпендикуляром к этому отрезку и
чтобы концы этого отрезка лежали соответственно на прямой
а и данной окружности.
Постройте оси симметрии двух пересекающихся прямых.
Задачи повышенной трудности
Задачи к главам I и II
Пусть а — число, выражающее длину отрезка АВ при едини-
це измерения CD, ад — число, выражающее длину отрезка
CD при единице измерения АВ. Как связаны между собой
числа а и д?
Длина отрезка АВ при единице измерения выражается
числом т, а при единице измерения E2F%—числом п. Каким
числом выражается длина отрезка Е^ при единице измере-
ния E,,F,2
Задачи повышенной
трудности
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
Пусть угол hk — меньший из двух смежных
углов hk и hl. Докажите, что
Zft/? = 9(F-y(Z^-Zft/?)T
£
Z.hl = 90° + ^(Ahl - Ahk).
Пять прямых пересекаются в одной точке
(рис. 182). Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4
и 5.
Рис.182
Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что
через точку пересечения любых двух прямых проходит по
крайней мере ещё одна из данных прямых. Докажите, что все
эти прямые проходят через одну точку.
Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая через лю-
бые две точки, содержит по крайней мере ещё одну из данных
точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной прямой.
Точки Cq и С-2 лежат по разные стороны от прямой АВ и рас-
положены так, что АСХ — ВС, и АВАСТ — ZАВС2. Докажите,
что прямая СХС2 проходит через середину отрезка Л В.
Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сум-
ма двух других сторон одного треугольника соответственно
равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других
сторон другого треугольника, то такие треугольники равны. .
Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то сто-
роне и каким-то двум углам другого. Могут ли эти треуголь-
ники быть неравными?
Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то двум
сторонам и углу другого треугольника. Могут ли эти тре-
угольники быть неравными?
Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что
ОС = OD, если АС = АО = ВО = BD.
Задачи к главам III и IV
Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при верши-
нах В и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найди-
те угол ВОС, если угол А равен а.
Через каждую вершину данного треугольника проведена пря-
мая, перпендикулярная к биссектрисе треугольника, исходя-
щей из этой вершины. Отрезки этих прямых вместе со сто-
ронами данного треугольника образуют три треугольника.
Докажите, что углы этих треугольников соответственно равны.
В каждом из следующих случаев определите вид треугольника:
а) сумма любых двух углов больше 90°;
б) каждый угол меньше суммы двух других углов.
Задачи повышенной
трудност w
116
427
428
429
4:50
431
432
433
4:14
435
436
437
438
439
440
441
Докажите, что угол треугольника является острым, прямым
или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого
угла, соответственно больше, равна или меньше половины
противоположной стороны.
Внутри равнобедренного треугольника ЛВС с основанием ВС
взята такая точка М, что ZAfBC = 30°, ZMCB = 10°. Найдите
угол АМС, если ЛВАС = 80°.
Докажите, что любой отрезок с концами па разных сторонах
треугольника не больше наибольшей из сторон треугольника.
Отрезок BBt — биссектриса треугольника АВС. Докажите, что
ВА>В{А и ВС>ВгС.
Внутри треугольника АВС взята такая точка D, что AD = АВ.
Докажите, что АС>АВ.
В треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС, отрезок
AD — биссектриса. Докажите, что ZADB > ZADC и BD > CD.
Докажите теорему: если в треугольнике биссектриса является
медианой, то треугольник равнобедренный.
Две стороны треугольника не равны друг другу. Докажите,
что медиана, проведенная из их общей вершины, составляет
с меньшей из сторон больший угол.
В треугольнике АВС стороны АВ и АС не равны, отрезок AM
соединяет вершину А с произвольной точкой М сто₽да1с^т/таепа11(Ю
Докажите, что треугольники AM В и АМС не равны друг другу.
Через вершину А треугольника АВС проведена прямая, пер-
пендикулярная к биссектрисе угла А, а из вершины В про-
ведён перпендикуляр ВН к этой прямой. Докажите, что
периметр треугольника ВСН больше периметра треугольни-
ка АВС.
В треугольнике АВС, где АВ<АС, отрезок AD — биссектри-
са, отрезок АН — высота. Докажите, что точка Н лежит на
луче DB.
Докажите, что в неравнобедренном треугольнике основание
биссектрисы треугольника лежит между основаниями медиа-
ны и высоты, проведённых из этой же вершины.
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными
катетами биссектриса прямого угла делит угол между высо-
той и медианой, проведёнными из той же вершины, пополам.
Медиана и высота треугольника, проведённые из одной вер-
шины угла треугольника, делят этот угол па три равные ча-
сти. Докажите, что треугольник прямоугольный.
В треугольнике ЛВС высота ЛЛГ не меньше стороны ВС, а вы-
сота ВВ{ не меньше стороны АС. Докажите, что треугольник
АВС — равнобедренный и прямоугольный.
Задачи повышенной
трудности
Задачи на построение
Рассмотрим схему, по которой обычно решают задачи на по-
строение циркулем и линейкой. Опа состоит из четырёх частей:
1)	Отыскание способа решения задачи путём установления
связей между искомыми элементами и данными задачи. Эта часть
называется анализом задачи. Анализ даёт возможность составить
план решения задачи на построение.
2)	Выполнение построения по намеченному плану.
3)	Доказательство того, что построенная фигура удовлетворя-
ет условиям задачи,
4)	Исследование задачи, т. е. выяснение вопроса о том, при
любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько
решений. В тех случаях, когда задача достаточно простая, отдель-
ные части, например анализ или исследование, опускаются. Так мы
поступали при решении простейших задач на построение. Рассмо-
трим теперь более сложные задачи.
442 Постройте треугольник по двум сторонам и высоте к третьей
стороне.
Решение
Даны три отрезка	(рис. 183, а). Требует-
ся построить такой треугольник АВС, у которого две сторо-
ны, скажем АВ и АС, равны соответственно данным отрезкам
и М.^2, а высота АН равна отрезку M3A^u5₽q^g|fi^aterja|100
решение задачи по описанной схеме.
Анализ
Допустим, что искомый треугольник АВС построен (рис. 183, (5).
Мы видим, что сторона АВ и высота АН являются гипоте-
нузой и катетом прямоугольного треуголь-
ника АВН. Поэтому построение треуголь-
ника АВС можно провести по такому пла-
ну: сначала построить прямоугольный тре-
угольник АВИ, а затем достроить его до
всего треугольника АВС.
Построение
Строим прямоугольный треугольник ABII,
у которого гипотенуза АВ равна отрезку
а катет АН равен данному отрез-
ку	Как это сделать, мы знаем (за-
дача 323, в). На рисунке 184, а изображён
построенный треугольник АВН. Затем про-
водим окружность радиуса M,jN2 с центром
в точке А. Одну из точек пересечения этой
окружности с прямой ВН обозначим бук-
вой С. Проведя отрезки ВС и АС, получим
искомый треугольник АВС (рис. 184, б).
а)
,	АГ.
М, '	* N2
* I	*
Л/, N,
—н--------
Рис. 183
Задачи повышенной
трудности
118
Рис. 184
Доказательство
Треугольник АВС действительно искомый, так как но построе-
нию сторона АВ равна M1Nl, сторона АС равна M2N2, а высо-
та АН равна M3Na, т. е. треугольник АВС удовлетворяет всем
условиям задачи.
Исследование
Нетрудно сообразить, что задача имеет решение не при лю-
бых данных отрезках	М ^2, M3iV3. В самом деле,
если хотя бы один из отрезков MiATi и M2iV2 меньше МЯАТЛ,
то задача не имеет решения, так как наклонные АВ и АС
не могут быть меньше перпендикуляра АН. Задача не имеет
решения и в том случае, когда MXN х = M2N2 = M3N3 (объясни-
те почему). В остальных случаях задача имеет решение. Если
MXNX> M3N3, a M2N2 — M3N3t, то задача имеет един^гв^йнУё1
решение: в этом случае сторона АС совпадает с высотой АН и
искомый треугольник является прямоугольным (рис. 184, в).
Если M1N1>M3N3f а М.jN2= М ,, то задача также име-
ет единственное решение: в этом случае треугольник АВС
равнобедренный (рис. 184, г). И наконец, если > M3N3,
M2N2>M3N3 и MpVj #=M2N2, то задача имеет два реше-
ния — треугольники АВС и АВСХ на рисунке 184, <9.
443 Постройте прямоугольный треугольник АВС, если даны
острый угол В и биссектриса BD.
444 Дана окружность с центром О и точка А вне её. Проведите че-
рез точку А прямую, пересекающую окружность в точках В и
С таких, что АВ = ВС.
445 Постройте треугольник по периметру, одному из углов и вы-
соте, проведённой из вершины другого угла.
446 Постройте треугольник по периметру и двум углам.
Задачи к главе V
447 Даны две точки А и В и прямая а, не проходящая через эти
точки. На прямой а постройте точку, равноудалённую от то-
чек А и В. Всегда ли задача имеет решение?
Задачи повышенной
119 трудности
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
Постройте точку, лежащую на данной окружности и равно-
удалённую от концов данного отрезка. Сколько решений мо-
жет иметь задана?
Через три данные точки проведите окружность. Всегда ли за-
дача имеет решение?
На данной окружности постройте точку, равноудалённую от
двух данных пересекающихся прямых. Сколько решений мо-
жет иметь задача?
Даны три попарно пересекающиеся прямые, не проходящие
через одну точку. Постройте точку, равноудалённую от этих
прямых. Сколько решений имеет задача?
Постройте треугольник по стороне, разности углов при этой
стороне и сумме двух других сторон.
Даны две равные окружности с центрами О, и О2, имеющие
одну общую точку (такие окружности называются касающи-
мися). Прямая т является касательной к каждой из них в
точках А и В соответственно. Докажите, что отрезок АВ ра-
вен отрезку ОХО2.
Даны две окружности, не имеющие общих точек. Постройте
их общую касательную. Сколько таких касательных можно
построить?
Постройте окружность, проходящую через данну4бк?^йу*<йойАРа1ег’а^00
сающутося двух данных параллельных прямых.
Даны прямая т, точка А на прямой т и точка В, не лежащая
на этой прямой. Постройте окружность, проходящую через
точку В и касающуюся прямой т в точке А.
Даны окружность, прямая т, а также точка Л на прямой т.
Постройте окружность, касающуюся прямой т в точке А и
данной окружности.
Даны неразвёрнутый угол и точка на одной из его сторон. По-
стройте окружность, которая вписана в угол и касается его
стороны в данной точке.
Даны острый угол и его внутренняя точка А. Постройте на
сторонах угла такие точки В и С, чтобы периметр треугольни-
ка АВС был наименьшим.
Дан прямоугольный треугольник. Постройте окружность
с центром на одном из катетов, которая касается гипотенузы
и проходит через вершину прямого угла треугольника.
Даны окружность, сё внутренняя точка А и отрезок PQ. По-
стройте хорду КМ окружности, проходящую через точку А
так, что АК AM = PQ.
Задачи повышенной
120 трудности
Глава VI
Четырёхугольники
8
класс
До сих пор в центре нашего внимания был самый простой из
многоугольников — треугольник. В этой главе будем изучать
более сложные многоугольники, в основном различные виды
четырёхугольников: параллелограмм, прямоугольник, ромб,
квадрат. Кроме того, в этой главе речь пойдёт о центральной
симметрии геометрических фигур, в том числе указанных четы-
рёхугольников.
Многоугольники
46.	Выпуклый многоугольник
Напомним, что многоугольник с п верши-
нами называется n-угольником; он имеет п сто-
рон. Треугольник имеет три вершины и три сто-
роны, четырёхугольник имеет четыре вершины
и четыре стороны.
Две вершины многоугольника, принадле-
жащие одной стороне, называются соседними.
Отрезок, соединяющий любые две несоседние
вершины, называется диагональю многоугольни-
ка. У любого многоугольника, имеющего более
трёх вершин, есть хотя бы одна диагональ.
Многоугольник называется выпуклым,
если он лежит по одну сторону от каждой пря-
мой, проходящей через две его соседние верши-
ны.
На рисунке 185 многоугольник F| является
выпуклым, а многоугольник Е2—невыпуклым.
Рассмотрим выпуклый п-угольник, изо-
бражённый на рисунке 186, а. Углы А,,А}Аг ,
AlA3A3t ..., Ап_1ЛпА} называются углами этого
многоугольника. Найдём их сумму.
Для этого соединим диагоналями верши-
ну А, с другими вершинами. В результате нолу-
Скачан с vk.com/materiallOO
121
Ч ет ыр ёху гол. ъиики
чим п - 2 треугольника (рис. 186, б), сумма углов
которых равна сумме углов п-угольника. Сумма
углов каждого треугольника равна 180°, поэто-
му сумма углов многоугольника ALA2... Ап равна
(п - 2) • 180°.
Итак, сумма углов выпуклого л-угольника
равна (п - 2) • 180°.
Внешним углом выпуклого многоугольни-
ка называется угол, смежный с углом много-
угольника.
Если при каждой вершине выпуклого мно-
гоугольника Aj/lj... А„ взять по одному внешне-
му углу, то сумма этих внешних углов окажется
равной
180°- А1 + 180°-А.,+ ... + 180:)- Ап =
— п ' 180' — (/lj А2+... + Ап) =
= п - 180° - (п - 2) -180° = 360°.
Таким образом, сумма внешних углов
выпуклого многоугольника равна 360°.
Количество диагоналей выпуклого zt-уголь-
ника находится по формуле —	.
Действительно, из каждой вершины выпу-
клого д-угольника можно провести п - 3 диагона-
ли. Из всех п всршип можно провести п(п — 3)
диагоналей, однако при таком подсчёте каждая
диагональ учитывается дважды (объясните поче-
му), т. е. мы нашли удвоенное число диагоналей
д-угольника. Следовательно, число диагоналей
п (fi -3)
выпуклого д-угольника равно ———
47.	Четырёхугольник
Каждый четырёхугольник имеет четы-
ре вершины, четыре стороны и две диагонали
(рис. 187). Две несмежные стороны четырёх-
угольника называются противоположными. Две
вершины, не являющиеся соседними, называют-
ся противоположными.
122
Рис.186
Скачан с vk.com/materiallOO
Глава VI
Четырёхугольники бывают выпуклые и
невыпуклые. На рисунке 187, а изображён вы-
пуклый четырёхугольник, а на рисунке 187, б —
невыпуклый.
Каждая диагональ выпуклого четырёх-
угольника разделяет его на два треугольника.
Одна из диагоналей невыпуклого четырёхуголь-
ника также разделяет его на два треугольника
(рис. 187, б).
Так как сумма углов выпуклого п-угольника
равна (п — 2)» 180е, то сумма углов выпуклого
четырёхугольника равна 360°.
Рис.187
Задачи
462 Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каж-
дом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все
диагонали. На сколько треугольников разделяют проведённые
диагонали каждый многоугольник?
463 Найдите сумму углов выпуклого: а) пятиугольника; б) шести
угольника; в) десятиугольника.	скачан с Лсот/такг)а|100
464 Найдите количество диагоналей а) выпуклого пятиугольника,
б) выпуклого двенадцатиугольника, в) выпуклого двадцатипя-
тиугольника.
465 Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый
угол которого равен: а) 90л; б) 60°; в) 120°; г) 108°?
466 Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен
8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответ-
ственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.
467 Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен
66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же
меньше третьей стороны, а четвёртая — в 3 раза больше вто-
рой.
468 Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они равны
друг другу.
469 Найдите углы А, В и С выпуклого четырёхугольника ABCD,
если ZА = ZB = ZC, a ZD = 135°.
470 Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропор-
циональны числам 1, 2, 4, 5.
Ч ст ы р ёху яол ъники
Параллелограмм и трапеция
48.	Параллелограмм
Определение
Параллелограммом называется четырёхуголь-
ник, у которого противоположные стороны по-
парно параллельны.
На рисунке 188 изображён параллелограмм
ABCD: АВ || CD, AD || ВС. Параллелограмм яв-
ляется выпуклым четырёхугольником (см. зада-
чу 478 па с. 127).
Рассмотрим некоторые свойства параллело-
грамма.
1°. В параллелограмме противоположные сторо-
ны равны и противоположные углы равны.
Рассмотрим параллелограмм ABCD
(рис. 189). Диагональ АС разделяет его па два
треугольника: АВС и CDA. Эти треугольники
равны по стороне и двум прилежащим углам
(АС — общая сторона, Z1=Z2 и Z3 = Z4 как на-
крест лежащие углы при пересечении секущей
АС параллельных прямых АВ и CD, AD и ВС
соответственно). Поэтому
АВ = CD, AD = ВС ж ZB = ZD.
Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2,
3 и 4, получаем
ZA = Z1+Z3 = Z2 + Z4 = ZC.
2". Диагонали параллелограмма точкой пересе-
чения делятся пополам.
Пусть О — точка пересечения диагоналей
АС и BD параллелограмма Л BCD (рис. 190). Тре-
угольники АОВ и COD равны по стороне и двум
прилежащим углам (AB = CD как противополож-
ные стороны параллелограмма, Z1 = Z2 и Z3 = Z4
124
Рис.188
Скачан с vk.com/materiallOO
Рис.189
Рис.190
Глава VI
как накрест лежащие углы при пересечении па-
раллельных прямых АВ и CD секущими АС и
BD соответственно). Поэтому АО = ОС и OB = OD,
что и требовалось доказать.
Рисунок 191 иллюстрирует все рассмотрен-
ные свойства.
49.	Признаки параллелограмма
Рассмотрим три признака параллелограмма.
1°. Если в четырёхугольнике две стороны равны
и параллельны, то этот четырёхугольник — па-
раллелограмм.
Пусть в четырёхугольнике ABCD стороны
АВ и CD параллельны и АВ = CD (см. рис. 189).
Проведём диагональ АС, разделяющую
данный четырёхугольник па два треугольника:
ЛВС и CD А. Эти треугольники равны по двум
сторонам и углу между ними (АС — общая сто-
рона, AB = CD по условию, Z1=Z2 как накрест
лежащие углы при пересечении параллельных
прямых АВ и CD секущей АС), поэтому Z3 = Z4.
Но углы 3 и 4 накрест лежащие при пересечении
прямых AD и ВС секущей АС, следовательно,
AD || ВС.
Таким образом, в четырёхугольнике ABCD
противоположные стороны попарно параллель-
ны, а значит, четырёхугольник ABCD — парал-
лелограмм.
2°. Если в четырёхугольнике противоположные
стороны попарно равны, то этот четырёхуголь-
ник — параллелограмм.
Проведём диагональ АС данного четырёх-
угольника ABCD, разделяющую его на тре-
угольники АВС и CD А (рис. 189). Эти тре-
угольники равны по трём сторонам (АС — общая
сторона, AB = CD и BC = DA но условию), по-
этому Zl = Z2. Отсюда следует, что АВ || CD. Так
725
п араллелограмма
Рис.191
Скачан с vk.com/materiallOO
Ч ет ырёху гол ь н и к м
как АВ = CD и АВ || CD, то по признаку 1° четы-
рёхугольник ABCD — параллелограмм.
Я’. Если в четырёхугольнике диагонали пересе-
каются и точкой пересечения делятся пополам,
то этот четырёхугольник — параллелограмм.
Рассмотрим четырёхугольник ABCD, в ко-
тором диагонали АС и BD пересекаются в точке О
и делятся этой точкой пополам (см. рис. 190).
Треугольники АОВ и COD равны по первому
признаку равенства треугольников (АО = ОС,
ВО = OD но условию, ZAOB = ZCOD как верти-
кальные углы), поэтому AB = CD и Z1 = Z2. Из
равенства углов 1 и 2 следует, что АВ || CD.
Итак, в четырёхугольнике ABCD стороны
АВ и CD равны и параллельны, значит, по при-
знаку 1° четырёхугольник ABCD — параллело-
грамм.
50.	Трапеция
Трапецией называется четырёхугольник,
у которого две стороны параллельны, а две другие
стороны пе параллельны. Параллельные стороны
трапеции называются её основаниями, а две дру-
гие стороны— боковыми сторонами (рис. 192).
Трапеция называется равнобедренной, если
её боковые стороны равны (рис. 193, а).
Трапеция, один из углов которой прямой,
называется прямоугольной (рис. 193, б).
Задачи
471 Докажите, что выпуклый четырёхуголь-
ник ABCD является параллелограммом,
если: a) ZBAC=ZACD и ZBCA = ZDAC;
б) AB\\CD, ZA = ZC.
472 Периметр параллелограмма равен 48 см.
Найдите стороны параллелограмма, если:
а) одна сторона па 3 см больше другой;
б) разность двух сторон равна 7 см;
в) одна из сторон в 2 раза больше другой.
126
Рис.192
Ра в яобедренна*
трапеция
Прям оу гол ъная
трапеция
Рис.193
Глава VI
473
474
475
476
477
478
479
480
481
Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, ZC = 30°,
а перпендикуляр ВН к прямой CD равен 6,5 см. Найдите сто-
роны параллелограмма.
Биссектриса угла А параллелограмма ABCD пересекает сторо-
ну ВС в точке К. Найдите периметр этого параллелограмма,
если ВК = 15 см, КС = 9 см.
Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного
из его углов делит сторону параллелограмма на отрезки 7 см и
14 см.
Найдите углы параллелограмма ABCD, если:
a) ZA = 84°; б) ZA-ZB = 55°; в) ZA + ZC =142°; г) ZA = 2ZB;
д) ZCAZ)=16°, AACD = 37°.
В параллелограмме MNPQ проведён перпендикуляр NH к
прямой MQ, причем точка II лежит па стороне A7Q. Най-
дите стороны и углы параллелограмма, если известно, что
МН = 3 см, HQ = 5 см, Z.MNH = 30°.
Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёх-
угольником.
Решение
Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 188) и докажем,
что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей
через две его соседние вершины. Возьмём, например,- Щ№м,укг materialioo
АВ. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой АВ, так как
АВ || CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от пря-
мой АВ. Но тогда и отрезки ВС и AD лежат по ту же сторону
от прямой АВ. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит
по одну сторону от прямой АВ.
Из вершип В и D параллелограмма ABCD, у которого АВ ВС
и угол А острый, проведены перпендикуляры ВК и DM к
прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK — парал-
лелограмм.
Па сторонах АВ, ВС, CD и DA четырёхугольника ABCD от-
мечены соответственно точки М, N, Р и Q так, что AM-СР,
BN = DQ, ВМ = DP, NC = QA. Докажите, что ABCD и
MNPQ — параллелограммы.
На рисунке 194 изображены два одинаковых колеса тепловоза.
Радиусы О,Аи ОБ равны. Стержень АВ, длина которого рав-
на расстоянию О/Л между центра-
ми колёс, передаёт движение от од-
ного колеса к другому. Докажите,
что отрезки Л В и О\О2 либо парал-
лельны, либо лежат па одной пря-
мой.	Рис. 194
727
Чет ырёхугоя ьи и к и
482 Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О.
Докажите, что четырёхугольник Л1В1С1/)1, вершинами кото-
рого являются середины отрезков ОА, ОВ, ОС и OD, — парал-
лелограмм.
483 На диагонали BD параллелограмма ABCD отмечены две точ-
ки Р и Q так, что PB = QD. Докажите, что четырёхугольник
APCQ — параллелограмм.
484 Средней линией треугольника называется отрезок, соеди-
няющий середины двух его сторон. Докажите свойства сред-
ней линии треугольника: средняя линия треугольника парал-
лельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.
485
Докажите признак средней линии тре-
угольника. Через середину М стороны Л В
треугольника АВС проведена прямая, па-
раллельная стороне ВС. Эта прямая пере-
секает сторону АС в точке N. Докажите,
что МN — средняя линия треугольника
АВС.
Решение
Через точку С проведём прямую, парал-
лельную прямой АВ, и обозначим буквой D
точку пересечения этой прямой с прямой
Рис.195
MN (рис. 195). Так как АМ = МВ по уело- Скачан с vk.com/materialiOO
вию, a MB = CD как противоположные стороны параллело-
грамма BCDM, то AM = DC. Треугольники AMN и CDN рав-
ны по второму признаку равенства треугольников (AM = CD,
Z1 = Z2 и Z3 = Z4 как накрест лежащие углы при пересечении
параллельных прямых АВ и CD секущими АС и MD), по-
этому AjV = .VC. Получаем, что по определению отрезок MN
является средней линией треугольника АВС.
486 Докажите, что середины сторон произвольного четырёхуголь-
ника являются вершинами параллелограмма (теорема Варинь-
она).
487 Диагональ равнобедренной трапеции равна а. Найдите пери-
метр четырёхугольника, вершины которого являются середи-
нами сторон равнобедренной трапеции.
488 Докажите теорему Фалеса1: если на одной из двух прямых
отложить последовательно несколько равных отрезков и через
их концы провести параллельные прямые, пересекающие вто-
рую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между
собой отрезки.
1 Фалес Милетский — древнегреческий учёный
(ок. 625 547 1'1’. до н.э.).
128 Глина VI
Рис.196
Решение
Пусть на прямой 1Х отложены равные отрезки ALA2, A2A;t,
A:iAit ... и через их концы проведены параллельные пря-
мые, которые пересекают прямую 12 в точках Вх, В2, Вл,
Bt, ... (рис. 196). Требуется доказать, что отрезки ВХВ2, В2В3,
B:tBt, ... равны друг другу.
Докажем, например, что ВХВ2 = В2В л.
Рассмотрим сначала случай, когда прямые Д и 1> параллельны
(рис. 196, а). Тогда А1А2=В1В2 и А2А3=В2В3 как противопо-
ложные стороны параллелограммов Л1В1В2А2 и А2ВВ3А3, Так
как	то и ВуВ2 = В2ВЛ.
Если прямые и 12 не параллельны, то через точку В, про-
ведём прямую Z, параллельную прямой 1Х (рис. 196, б). Она
пересечёт прямые А2В, и АЛВЛ в некоторых точках С и D. Так
как АуА2 = АгА3, то по доказанному B^C — CD. Отсюда получа-
ем: ВХВ.2=В2В3 (задача 485). Аналогично можно доказать,с matenallOO
В2Вз = В3В.1 и т. д.
489 Средней линией трапеции называется отрезок, соединяю-
щий середины её боковых сторон. Докажите свойство средней
линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна осно-
ваниям трапеции и равна их полусумме.
490 Найдите углы В и D трапеции ABCD с основаниями AD и ВС,
если ZA = 36°, ZC= 117°.
491 Докажите свойства равнобедренной трапеции: а) в равно-
бедренной трапеции углы при каждом основании равны;
б) в равнобедренной трапеции диагонали равны.
492 Докажите признаки равнобедренной трапеции. Трапеция рав-
нобедренная, если: а) углы при основании равны; б) диагона-
ли трапеции равны.
493 Один из углов равнобедренной трапеции равен 68°. Найдите
остальные углы трапеции.
494 Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму рав-
нобедренной трапеции, можно сделать паркет, полностью по-
крывающий любую часть плоскости.
495 Основания прямоугольной трапеции равны а и Ь, один из
углов равен а. Найдите: а) большую боковую сторону трапе-
Ч ст ы рё ху гол ь н и. к и
ции, если а = 4 см, Ь = 7см, а = 60°; б) меньшую боковую сто-
рону трапеции, если а — 10 см, Ь = 15 см, а = 45°.
496 Постройте параллелограмм: а) по двум смежным сторонам и
углу между ними; б) ио двум диагоналям и углу между ними;
в) по двум смежным сторонам и соединяющей их концы диа-
гонали.
Решение
в) Даны три отрезка MpVt, Af^V^, M3N:i (рис. 197, а). Требует-
ся построить параллелограмм ABCDy у которого смежные сто-
роны, скажем АВ и AD, равны соответственно отрезкам
и M2N2, а диагональ BD равна отрезку M2Nл.
Анализ
Допустим, что искомый параллелограмм ABCD построен
(рис. 197, б). Мы видим, что стороны треугольника ABD рав-
ны данным отрезкам М2N2 и А43Л/а. Это обстоятельство
подсказывает следующий путь решения задачи: сначала нуж-
но построить по трём сторонам треугольник ABD, а затем до-
строить его до параллелограмма ABCD.
Построение
Строим треугольник ABD так, чтобы его стороны АВ, AD и
BD равнялись соответственно отрезкам	М^2 и
(как это сделать, мы знаем из курса 7 класса). Затем постро-
им прямую, проходящую через точку В параллельно AD,
и вторую прямую, проходящую через точку D <g<gJ^^ffWftateriall(X)
АВ (как это сделать, мы также знаем из курса 7 класса). Точ-
ку пересечения этих прямых обозначим буквой С (рис. 197, в).
Четырёхугольник ABCD и есть искомый параллелограмм.
Доказательство
По построению AB\\CD и ВС||А_О, поэтому ABCD—парал-
лелограмм. Смежные стороны параллелограмма ABCD по по-
строению равны отрезкам Af^V, и М.^2У а диагональ BD рав-
на отрезку M3N3y т. е. параллелограмм ABCD — искомый.
Исследование
Ясно, что если по трём данным отрезкам M2N2 и
можно построить треугольник ABD, стороны которого равны
этим отрезкам, то можно построить и параллелограмм ABCD.
Но треугольник ABD можно построить не всегда. Если какой-
а)
____&
М.	N.
----н-----• "
Л/.	Лт3
----ж-----• 3
Рис. 197
130 Глава V7
497
498
499
500
501
то из трёх данных отрезков больше или равен сумме двух
других, то треугольник ABD, а значит, и параллелограмм
ABCD построить нельзя. Попробуйте самостоятельно дока-
зать, что если задача имеет решение, то это решение един-
ственно (см. п. 38).
Даны три точки Л, В и С, не лежащие на одной прямой.
Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины со-
впадали с данными точками. Сколько таких параллелограм-
мов можно построить?
Даны острый угол /г/? и два отрезка PiQi и Постройте
параллелограмм ABCD так, чтобы расстояние между парал-
лельными прямыми АВ и DC равнялось PjQx, AB = PZQ., и
Z.A = А hk.
Разделите данный отрезок АВ на п равных
частей.
Решение
Проведём луч АХ, не лежащий на прямой
АВ, и на нём от точки А отложим последо-
вательно п равных отрезков А:А2, •••>
Ап (А„ (рис. 198), т. с. столько равных от-
резков, на сколько равных частей нужно
разделить данный отрезок АВ (на рисун-
ке 198 п = 5). Проведем прямую А,,В (точка
А„ — конец последнего отрезка) и построим прямые, проходя-
щие через точки А1? А,, ..., Aa_t и параллельные прямой А В.
Эти прямые пересекают отрезок АВ в точках Вр В2, ..., Вп £,
которые по теореме Фалеса (задача 488 на с. 128) делят отре-
зок АВ па п равных частей.
Постройте равнобедренную трапецию ABCD:
а) по основанию AD, углу А и боковой стороне АВ;
б) по основанию ВС, боковой стороне АВ и диагонали BD.
Постройте прямоугольную трапецию ABCD по основаниям и
боковой стороне AD, перпендикулярной к основаниям.
§3
Прямоугольник, ромб, квадрат
51.	Прямоугольник
Прямоугольником называется паралле-
лограмм, у которого все углы прямые. Так как
прямоугольник является параллелограммом, то
он обладает всеми свойствами параллелограмма:
Ч ет ырёху хал ьпики
в прямоугольнике противоположные стороны
равны, а диагонали точкой пересечения делятся
пополам.
Рассмотрим особое свойство прямоуголь-
ника.
Диагонали прямоугольника равны.
Действительно, обратимся к рисунку 199,
на котором изображён прямоугольник ABCD
с диагоналями АС и BD. Прямоугольные тре-
угольники ACD и DBA равны по двум катетам
(CD = BA, AD — общий катет). Отсюда следует,
что гипотенузы этих треугольников равны, т. е.
AC = BD, что и требовалось доказать.
Докажем обратное утверждение (признак
прямоугольника).
Если в параллелограмме диагонали равны, то
этот параллелограмм — прямоугольник.
Пусть в параллелограмме ABCD диаго-
нали АС и BD равны (рис. 199). Треугольники
ABD и DC А равны по трём сторонам (AB = DC,
BD = CA, AD — общая сторона). Отсюда сле-
дует, что ZA = ZZ). Так как в параллелограм-
ме противоположные углы равны, то ZA = ZC
и ZB = ZI5. Таким образом, ZA = ZB = Z.C = ZD.
Параллелограмм — выпуклый четырёхугольник,
поэтому Z.A 4- ZB 4- ZC + ZD = 360е. Следователе
но, АА = ZB = ZC = ZZ) = 90°, т. е. параллелограмм
ABCD является прямоугольником.
Рис.199
Скачан с vk.com/materiallOO
52.	Ромб и квадрат
Ромбом называется параллелограмм, у ко-
торого все стороны равны.
Так как ромб является параллелограммом,
то он обладает всеми свойствами параллелограм-
ма. Наряду с ними ромб обладает особым свой-
ством. Рассмотрим его.
132
Глава VI
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и
делят его углы пополам.
Рассмотрим ромб ABCD (рис. 200). Требует-
ся доказать, что его диагонали АС и BD взаимно
перпендикулярны и каждая диагональ делит со-
ответствующие углы ромба пополам. Докажем,
например, что ABAC = ADAC.
По определению ромба все его стороны рав-
ны, в частности АВ = AD, поэтому треугольник
BAD равнобедренный. Так как ромб является
параллелограммом, то его диагопали точкой О
пересечения делятся пополам. Следовательно, от-
резок АО — медиана равнобедренного треуголь-
ника BAD, проведённая к основанию, а значит,
высота и биссектриса этого треугольника. Поэто-
му AC ± BD и АВ АС = ADAC, что и требовалось
доказать.
Квадратом называется прямоугольник,
у которого все стороны равны.
Прямоугольник является параллелограм-
мом, поэтому и квадрат является параллелограм-
мом, у которого все стороны равны, т. е. ромбом.
Отсюда следует, что квадрат обладает всеми свой-
ствами прямоугольника и ромба. Сформулируем
основные свойства квадрата.
1.	Все углы квадрата прямые (рис. 201, а).
2. Диагонали квадрата равны, взаимно перпен-
дикулярны, точкой пересечения делятся попо-
лам и делят углы квадрата пополам (рис. 201, б).
53.	Центральная симметрии
С осевой симметрией и её свойствами вы
познакомились в 7 классе. Рассмотрим ещё один
вид симметрии — центральную симметрию.
Две точки А и А-, называются симметрич-
ными относительно точки О, если О — середи-
133
в
D
Рис. 200
а)
П---1—□
~1 ГраианПЪк rnm/mafrpriall 00
б)
Свойства квадрата
Рис.201
Чет ырёху гол ь м и к у
на отрезка А Ат (рис. 202, а). Точка О считается
симметричной самой себе. На рисунке 202, б точ-
ки М и ML, N и /V t симметричны относительно
точки О, а точки Р и Q не симметричны относи-
тельно этой точки (так как отрезки OQ и ОР не
равны).
Фигура называется симметричной относи-
тельно точки О, если для каждой точки фигуры
симметричная ей точка относительно точки О
также принадлежит этой фигуре. Точка О называ-
ется центром симметрии фигуры. Говорят также,
что фигура обладает центральной симметрией.
Примерами фигур, обладающих цен-
тральной симметрией, являются окружность
и параллелограмм (рис. 203). Центром симме-
трии окружности является центр окружности,
а центром симметрии параллелограмма — точка
пересечения его диагоналей. Прямая также об-
ладает центральной симметрией, однако в отли-
чие от окружности и параллелограмма, которые
имеют только один центр симметрии (точка О
на рисунке 203), у прямой их бесконечно мно-
го — любая точка прямой является её центром
симметрии. Примером фигуры, не имеющей
центра симметрии, является произвольный тре-
угольник.
Фигуры, обладающие
центральной
симметрией
Рис.203
Задачи
502 Докажите, что параллелограмм, один из углов которого пря-
мой, является прямоугольником.
503 Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то
четырёхугольник — прямоугольник.
504 Найдите периметр прямоугольника ABCD, если биссектриса
угла А делит сторону: а) ВС на отрезки 45,6 см и 7,85 см;
б) DC на отрезки 2,7 дм и 4,5 дм.
505 Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О.
Докажите, что треугольники AOD и АОВ равнобедренные.
506 В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О.
Найдите периметр треугольника АОВ, если Z.CAD = 30е,
АС =12 см.
134 Глава VI
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
1
2
В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите: а) углы
ромба; б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сто-
ронами.
Найдите периметр ромба ABCD, в котором ZB = 60°,
АС=10,5см.
Найдите углы, которые образуют диагонали ромба с его сторо-
нами, если один из углов ромба равен 45е.
Докажите признаки ромба. Параллелограмм является ром-
бом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диа-
гональ делит его угол пополам.
Докажите признак квадрата. Ромб, у которого один угол пря-
мой, является квадратом.
’ Является ли четырёхугольник квадратом, если его диаго-
нали: а) равны и взаимно перпендикулярны; б) взаимно пер-
пендикулярны и имеют общую середину; в) равны, взаимно
перпендикулярны и имеют общую середину?
В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямо-
го угла. Через точку пересечения этой биссектрисы с гипоте-
нузой проведены прямые, параллельные катетам. Докажите,
что полученный четырёхугольник — квадрат.
Даны равнобедренный прямоугольный треугольник ЛВС
с прямым углом С, катетом АС= 12 см и квадрат	vj^rr./rnaterialiOO
кой, что две его стороны лежат на катетах, а вершина Е — на
гипотенузе треугольника. Найдите периметр квадрата.
Постройте прямоугольник: а) по двум смежным сторонам;
б)	по стороне и диагонали; в) по диагонали и углу между
диагоналями.
Постройте ромб: а) по двум диагоналям; б) по стороне и углу.
Постройте квадрат: а) по стороне; б) по диагонали.
Докажите, что прямая, проходящая через середины противо-
положных сторон прямоугольника, является его осью симме-
трии.
Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точ-
ке М относительно середины отрезка АВ.
Вопросы для повторения к главе VI
Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните,
какие углы называются углами выпуклого многоугольника.
Выведите формулу для вычисления суммы углов выпуклого
п-угольпика.
135	Ч ст ырёху геол ь н и к и
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Докажите, что сумма внешних углов выпуклого многоуголь-
ника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
Начертите четырёхугольник и покажите его диагонали, про-
тивоположные стороны и противоположные вершины.
Чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника?
Дайте определение параллелограмма. Является ли параллело-
грамм выпуклым четырёхугольником?
Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны
равны и противоположные углы равны.
Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересече-
ния делятся пополам.
Сформулируйте и докажите утверждения о признаках парал-
лелограмма.
Какой четырёхугольник называется трапецией? Как называ-
ются стороны трапеции?
Какая трапеция называется равнобедренной; прямоугольной?
Какой четырёхугольник называется прямоугольником?
Докажите, что диагонали прямоугольника равны.
Докажите, что если в параллелограмме диагонаЛйаравы1Ы'?птоа1ег!а1100
параллелограмм является прямоугольником.
Какой четырёхугольник называется ромбом?
Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и
делят его углы пополам.
Какой четырёхугольник называется квадратом? Перечислите
основные свойства квадрата.
Сформулируйте и докажите утверждения о признаках квад-
рата.
Сформулируйте и докажите утверждения о признаках ромба.
Какие две точки называются симметричными относительно
данной точки?
Какая фигура называется симметричной относительно данной
точки?
Приведите примеры фигур, обладающих:
а)	осевой симметрией;
б)	центральной симметрией;
в)	и осевой, и центральной симметрией.
136 Глава VI
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
Дополнительные задачи
Докажите, что если по все углы выпуклого четырёхугольника
равны друг другу, то хотя бы один из них тупой.
Периметр параллелограмма ABCD равен 46 см, АВ =14 см.
Какую сторону параллелограмма пересекает биссектриса
угла А? Найдите отрезки, которые образуются при этом пере-
сечении.
Стороны параллелограмма равны 10 см и 3 см. Биссектрисы
двух углов, прилежащих к большей стороне, делят противо-
положную сторону на три отрезка. Найдите эти отрезки.
Через произвольную точку основания равнобедренного тре-
угольника проведены прямые, параллельные боковым сторонам
треугольника. Докажите, что периметр получившегося четырёх-
угольника равен сумме боковых сторон данного треугольника.
В параллелограмме, смежные стороны которого не равны,
проведены биссектрисы углов. Докажите, что при их пересе-
чении образуется прямоугольник.
Докажите, что выпуклый четырёхугольник является паралле-
лограммом, если сумма углов, прилежащих к каждой из двух
смежных сторон, равна 180°.
Докажите, что выпуклый четырёхугольник являетсд;^р^лд|еогп/та1епа11ОО
лограммом, если его противоположные углы попарно равны.
Точка К — середина медианы AM треугольника АВС. Пря-
мая ВК пересекает сторону АС в точке D. Докажите, что
AD = — АС.
3
Точки М и N — середины сторон AD и ВС параллелограмма
ABCD. Докажите, что прямые AN и МС делят диагопаль BD
на три равные части.
Из вершины В ромба ABCD проведены перпендикуляры ВК и
ВМ к прямым AD и DC. Докажите, что луч BD является бис-
сектрисой угла КВМ.
Докажите, что точка пересечения диагоналей ромба равноуда-
лена от его сторон.
Докажите, что середина отрезка, соединяющего вершину тре-
угольника с любой точкой противоположной стороны, лежит
на отрезке с концами в серединах двух других сторон.
Диагональ АС квадрата ABCD равна 18,4 см. Прямая, про-
ходящая через точку А и перпендикулярная к прямой АС,
пересекает прямые ВС и CD соответственно в точках М и N.
Найдите MN.
*i ст ыр ёху гол. ъпики
533 На диагонали АС квадрата ABCD взята точка М так, что
AM = АВ. Через точку М проведена прямая, перпендикуляр-
ная к прямой АС и пересекающая ВС в точке Н. Докажите,
что ВН = НМ = МС.
534 В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ АС
перпендикулярна к боковой стороне CD, АВ АС = ACAD. Най-
дите AD, если периметр трапеции равен 20 см, a ZD = 6O5.
535* Сумма углов при одном из оснований трапеции равна 90°. До-
кажите, что отрезок, соединяющий середины оснований тра-
пеции, равен их полуразпости.
536* На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты.
Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов,
выходящих из одной вершины треугольника, в 2 раза больше
медианы треугольника, выходящей из той же вершины.
537 Докажите, что прямые, содержащие диагопали ромба, явля-
ются его осями симметрии.
538 Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограм-
ма является его центром симметрии.
539 Сколько центров симметрии имеет пара параллельных прямых?
540* Докажите, что если фигура имеет две взаимно перпендику-
лярные оси симметрии, то точка их пересечения является
центром симметрии фигуры.	Скачан с vk.com/materiallOO
Глава VI
Глава VII
Площадь
Что такое площадь комнаты и как её вычислить, если пол в
комнате имеет форму прямоугольника, понятно каждому.
В этой главе речь пойдёт об измерении площадей многоуголь-
ников и будут выведены формулы, по которым можно вычис-
лить площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника,
трапеции. Эти формулы нужны не только в геометрии, но и в
практической деятельности. Кроме того, используя формулы
площадей, мы докажем одну из важнейших и самых знаменитых
теорем геометрии — теорему Пифагора.
Площадь многоугольника
54. Понятие площади
многоугольника
Понятие площади нам известно из повсе-
дневного опыта. Каждый понимает смысл слов:
площадь комнаты равна шестнадцати квадрат-
ным метрам, площадь садового участка восьми
соткам и т. д. В этой главе мы рассмотрим во-
прос о площадях многоугольников.
Можно сказать, что площадь многоугольни-
ка — это величина той части плоскости, которую
занимает многоугольник. Измерение площадей
проводится с помощью выбранной единицы изме-
рения аналогично измерению длин отрезков. За
единицу измерения площадей принимают квад-
рат, сторона которого равна единице измерения
отрезков. Так, если за единицу измерения отрез-
Скачан с vk.com/materiallOO
ков принят сантиметр, то за единицу измерения
площадей принимают квадрат
со стороной 1 см. Такой квад-
рат называется квадратным
сантиметром и обозначается
см2. Аналогично определяется
квадратный метр (м2), квадрат-
ный миллиметр (мм2) и т. д.
Площадь
При выбранной единице измерения пло-
щадей площадь каждого многоугольника выра-
жается положительным числом. Это число по-
казывает, сколько раз единица измерения и её
части укладываются в данном многоугольнике.
Рассмотрим примеры. На рисунке 204, а изобра-
жён прямоугольник, в котором квадратный сан-
тиметр укладывается ровно 6 раз. Это означает,
что площадь прямоугольника равна 6 см2.
В трапеции ABCD, изображённой на ри-
сунке 204, б, квадратный сантиметр укладывает-
ся 2 раза и остаётся часть трапеции — треуголь-
ник CDE, в котором квадратный сантиметр не
укладывается целиком. Для измерения площа-
ди этого треугольника нужно использовать доли
квадратного сантиметра, например квадратный
миллиметр. Он составляет 0,01 часть квадратно-
го сантиметра. Это показано на рисунке 204, в,
где квадратный сантиметр разбит на 100 квад-
ратных миллиметров (этот рисунок, а также ри-
сунок 204, г для большей наглядности даны в уве-
личенном масштабе).
На рисунке 204, г видно, что квадратный
миллиметр укладывается в треугольнике CDE
14 раз и остаётся часть этого треугольника (она
закрашена на рисунке), в которой квадратный
миллиметр не укладывается целиком. Поэтому
можно сказать, что илощадь трапеции ABCD
приближённо равна 2,14 см2.
Оставшуюся часть треугольника CDE мож-
но измерить с помощью более мелкой доли квад-
ратного сантиметра и получить более точное зна-
чение площади трапеции.
Описанный процесс измерения можно про-
должить далее, одпако на практике он неудобен.
Обычно измеряют лишь некоторые связан-
ные с многоугольником отрезки, а затем вычис-
ляют площадь по определённым формулам.
Вывод этих формул основан на свойствах
площадей, которые мы сейчас рассмотрим.
Рис.204
140 Глаш VII
Прежде всего отметим, что если два мно-
гоугольника равны, то единица измерения пло-
щадей и её части укладываются в таких много-
угольниках одинаковое число раз, т. е. имеет
место следующее свойство:
1°. Равные многоугольники имеют равные пло-
щади.
Далее, пусть многоугольник составлен из
нескольких многоугольников так, что внутренние
области любых двух из этих многоугольников не
имеют общих точек, как показано па рисунке 205.
Очевидно, величина части плоскости, занимаемой
всем многоугольником, является суммой величин
тех частей плоскости, которые занимают состав-
ляющие его многоугольники. Итак:
2°. Если многоугольник составлен из нескольких
многоугольников, то его площадь равна сумме
площадей этих многоугольников.
Свойства 1° и 2 ° называют основными свой-
ствами площадей. Напомним, что аналогичными
свойствами обладают длины отрезков.
Наряду с этими свойствами нам понадобит-
ся ещё одно свойство площадей.
3°. Площадь квадрата равна квадрату его сто-
роны.
Краткую формулировку этого свойства сле-
дует понимать так: если сторона квадрата при
выбранной единице измерения отрезков выража-
ется числом а, то площадь этого квадрата выра-
жается числом <з2.
На рисунке 206 изображён квадрат, сторо-
на которого равна 2,1см. Он состоит из четырёх
квадратных сантиметров и сорока одного квад-
ратного миллиметра. Таким образом, площадь
квадрата равна 4,41 см2, что равно квадрату его
стороны: 4,41 = (2,1)2. Доказательство утвержде-
ния 3° приведено в следующем пункте.
141

Рис.205
Скачан с vk.com/materiallOO
S = (2,l cjw)s=4,41 сл?
Рис.206
Площадь
Если площади двух многоугольников рав-
ны, то эти многоугольники называются равно-
великими. Если один многоугольник разрезан па
несколько многоугольников и из них составлен
другой многоугольник, то такие многоугольни-
ки называются равносоставленными. Например,
прямоугольник со сторонами, равными 2 см и
3 см (см. рис. 204, а), равносоставлен с прямо-
угольником со сторонами, равными 1см и 6 см.
Ясно, что любые два равносоставленных много-
угольника равновеликие (см. основные свойства
площадей). Оказывается, что верно и обратное а)
утверждение: если два многоугольника равнове- <
ликие, то они равносоставленные. Это утверж-
дение называется теоремой Бойяи—Гервина.
Венгерский математик Ф. Бойяи доказал эту
теорему в 1832 г., а немецкий математик-люби-
тель П. Гервин независимо от Ф. Бойяи доказал ч
её в 1833 г.
55*. Площадь квадрата
Скачан с vk.com/materiallOO
Докажем, что площадь S квадрата со сто-
роной а равна а2.
Начнём с того случая, когда а = —, где п —
п
целое число. Возьмём квадрат со стороной 1 и
разобьём его на п2 равных квадратов так, как
показано на рисунке 207, а (на этом рисунке
п = 5). Так как площадь большого квадрата рав-
на 1, то площадь каждого маленького квадрата
1
равна —J-. Сторона каждого маленького квад-
п 1
рата равна —, т. е. равна а. Итак,
(1)
Пусть теперь число а представляет собой (_________2,
конечную десятичную дробь, содержащую п зна-
ков после запятой (в частности, число а может
быть целым, и тогда п = 0). Тогда число т = а • 10" Рис. 207
142 Глава VII
целое. Разобьём данный квадрат со стороной а на
т2 равных квадратов так, как показано на ри-
сунке 207, б (на этом рисунке т = 7).
При этом каждая сторона данного квадрата
разобьётся на т равных частей, и, значит, сторо-
на любого маленького квадрата равна
« _	а _ 1
т ~	~ 10"“’
рата
По формуле (1) площадь маленького квад-
( 1 \2
равна ----- . Следовательно, площадь S
I 10я }
данного квадрата равна
Наконец, пусть число а представляет собой
бесконечную десятичную дробь. Рассмотрим чис-
ло а,„ получаемое из а отбрасыванием всех де-
сятичных знаков после запятой, пачипая с
(л-1-1)-го. Так как число а отличается от ап не
_ 1 . 1
более чем на---, то а С а С « 4--, откуда
10" п	"	10я
Скачан с vk.com/materiallOO
Ясно, что площадь S данного квадрата за-
ключена между площадью квадрата со сторо-
ной а„ и площадью квадрата со стороной ап
। 1
(рис. 207, в), т. е. между а2 и | ап 4- —- । :
1
4-----
10 я
а2 S Г а + -i- Т.
я 1,	10я )
(3)
Будем неограниченно увеличивать число п.
Тогда число —— будет становиться сколь угодно
10я
1 V А
I будет сколь
малым, и, значит, число
ап
угодно мало отличаться от числа а,'2. Поэтому из
Площадь
неравенств (2) и (3) следует, что число S сколь
угодно мало отличается от числа а2. Следователь-
но, эти числа равны: S = а2, что и требовалось до-
казать.
56. Площадь прямоугольника
Теорема
Площадь прямоугольника равна произведению
его смежных сторон.
Доказательство
Рассмотрим прямоугольник со сторонами а,
Ъ и площадью S (рис. 208, а). Докажем, что S = ab. ь
Достроим прямоугольник до квадрата со
стороной а + Ь, как показано па рисунке 208, б. По
свойству 3° площадь этого квадрата равна (а + by-.	б)
С другой стороны, этот квадрат составлен
из данного прямоугольника с площадью S, равно-
го ему прямоугольника с площадью S (свойство
1° площадей) и двух квадратов с площадями d’ и
Ь2 (свойство 3° площадей). По свойству 2° имеем:
(a + b)2 = S + S + a2 + b2,
или а2 + 2ab + b2 = 2S + а2 + Ь2 .
Отсюда получаем: S = ab.
Теорема доказана.
a S
Скачан с vk com,
а
materiallOO
Рис.208
541
542
Задачи
Вырсжите из бумаги два равных прямоугольных тре-
угольника и составьте из них: а) равнобедренный треугольник;
б) прямоугольник; в) параллелограмм, отличный от прямо-
угольника. Сравните площади полученных фигур.
Начертите квадрат и примите его за единицу измерения
площадей. Далее начертите: а) квадрат, площадь которого вы-
ражается числом 4; б) прямоугольник, отличный от квадрата,
площадь которого выражается числом 4; в) треугольник, пло-
щадь которого выражается числом 2.
543 Начертите параллелограмм ABCD и отметьте точку М, сим-
метричную точке D относительно точки С. Докажите, что
8дВС1>= $ AMD’
144 Гласа VII
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник
ADE так, что его стороны АЕ и DE пересекают отрезок ВС
в точках М и JV, причём точка М —середина отрезка ЛЕ,
Докажите, что SAfiCI) = S Al)f>
Найдите площадь квадрата, если его сторопа равпа: а) 1,2 см;
б) — дм; в) 3>/2м.
4
Найдите сторону квадрата, если его площадь равна: а) 16 см2;
б) 2,25 дм2; в) 12 м2.
Площадь квадрата равпа 24 см2. Выразите площадь этого
квадрата: а) в квадратных миллиметрах; б) в квадратных де-
циметрах.
Пусть а и b — смежные стороны прямоугольника, aS — его
площадь. Вычислите: a) S, если а = 8,5 см, Ь=3,2см;
б) 8, если а = 2>/2 см, b = 3 см; в) Ь, если а = 32 см, S = 684,8 см2;
г) а, если £> = 4,5 см, S = 12,15 см2.
Как изменится площадь прямоугольника, если: а) одну пару
противоположных сторон увеличить в 2 раза; б) каждую сто-
рону увеличить в 2 раза; в) одну пару противоположных сто-
рон увеличить в 2 раза, а другую — уменьшить в 2 раза?
Найдите стороны прямоугольника, если: а) его плой^^ё рЙв21' пчасечтзИии
на 250 см2, а одна сторона в 2,5 раза больше другой; б) его
площадь равна 9 м2, а периметр равен 12 м.
Пол комнаты, имеющий форму прямоугольника со сторо-
нами 5,5 м и 6 м, нужно покрыть паркетом прямоугольной
формы. Длина каждой дощечки паркета равна 30 см, а шири-
на — 5 см. Сколько потребуется таких дощечек для покрытия
пола?
Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со
стороной 15 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму
прямоугольника со сторонами 3 м и 2,7 м?
Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади
прямоугольника со смежными сторонами 8м и 18 м.
Два участка земли огорожены заборами одинаковой длины.
Первый участок имеет форму прямоугольника со сторонами
220 м и 160 м, а второй имеет форму квадрата. Площадь како-
го участка больше и на сколько?
Площадь
2
Площади параллелограмма,
треугольника и трапеции
57.	Площадь параллелограмма
Условимся одну из сторон параллелограмма
называть основанием, а перпендикуляр, прове-
дённый из любой точки противоположной сторо-
ны к прямой, содержащей основание, —высотой
параллелограмма.
Теорема
Площадь параллелограмма равна произведению
его основания на высоту.
Доказательство
Рассмотрим параллелограмм ABCD с пло-
щадью S. Примем сторону AD за основание и
проведём высоты BII и СК (рис. 209, а). Дока-
жем, что S = AD • ВН.
Рассмотрим возможные случаи расположе-
ния точки Н на прямой AD.
1.	Основание Н высоты ВН может лежать
па стороне ЛВ (рис, 209, а)
2.	Основание Н высоты ВН может совпа-
дать с точкой А, тогда исходный параллелограмм
является прямоугольником и утверждение верно.
3.	Основание II высоты ВН может совпа-
дать с вершиной D (рис. 209, б)
4.	Основание Н высоты ВН может лежать
на прямой AD, вне отрезка AD (рис. 209, в)
Рассмотрим первый случай.
Докажем сначала, что площадь прямо-
угольника НВСК также равна S. Трапеция
АВСК составлена из параллелограмма ABCD и
треугольника DCK. С другой стороны, она со-
ставлена из прямоугольника НВСК и треуголь-
ника ARH. Но прямоугольные треугольники
DCK и АВН равны по гипотенузе и острому углу
(их гипотенузы АВ и CD равны как противопо-
746
Скачан с vk.com/materiallOO
а) В С
АН D К
б) В С
A D(H) К
Глаш VII
ложные стороны параллелограмма, а утлы 1 и
2 равны как соответственные углы при пересе-
чении параллельных прямых АВ и CD секущей
AD), поэтому их площади равны.
Следовательно, площади параллелограмма
ABCD и прямоугольника НВСК также равны,
т. е. площадь прямоугольника НВСК равна S. По
теореме о площади прямоугольника S = ВС • ВН,
а так как BC = AD, то S = AD-BH. В остальных
случаях (рис. 209, б, в) проведите доказательство
самостоятельно.
Теорема доказана.
58.	Площадь треугольника
Одну из сторон треугольника часто называ-
ют его основанием. Если основание выбрано, то
под словом «высота» подразумевают высоту тре-
угольника, проведённую к основанию.
Теорема
Площадь треугольника равна половине произ-
ведения его основания на высоту.
Скачан с vk.com/materiallOO
Доказательство
Пусть S — площадь треугольника Л ВС
(рис. 210). Примем сторону АВ за основание тре-
угольника и проведём высоту СН. Докажем, что
S = - АВ • СН.
2
Достроим треугольник АВС до параллело-
грамма ABDC так, как показано па рисунке 210.
Треугольники ЛВС и DC В равны по трём сторо-
нам (ВС — их общая сторона, АВ = CD и АС = BD
как противоположные стороны параллелограмма
ABDC), поэтому их площади равны. Следова-
тельно, площадь S треугольника АВС равна по-
ловине площади параллелограмма ABDC, т. е.
S = -СН.
£
Теорема доказана.
ли в
Рис.210
147
Площадь
Следствие 1
Площадь прямоугольного треугольника равна
половине произведения его катетов.
Следствие 2
Если высоты двух треугольников равны, то их
площади относятся как основания.
Воспользуемся следствием 2 для доказа-
тельства теоремы об отношении площадей тре-
угольников, имеющих по равному углу.
Теорема
Если угол одного треугольника равен углу дру-
гого треугольника, то площади этих треугольни-
ков относятся как произведения сторон, заклю-
чающих равные углы.
Доказательство
Пусть S и S-i — площади треугольников
АВС и А>В|С1, у которых ZA = ZAX (рис. 211, а).
Докажем, что
S _ АВ АС
S| Ajj^AiCj’
Наложим треугольник АД^ па треуголь-
ник АВС так, чтобы вершина А: совместилась с
вершиной А, а стороны А!В] и А,С, наложились
соответственно на лучи АВ и АС (рис. 211, б).
Треугольники АВС и АВХС имеют общую высоту
S АВ
СН, поэтому — =--------. Треугольники АД С и
5.4 ft/?
ABfii также имеют общую высоту — BjH,, по-
АС
этому----— =-----. Перемножая полученные ра-
5.4Н/:',
венства, находим:
S АВ-AC S АВ-АС
-----=----------, или--=------------.
Теорема доказана.
Рис.211
J48 Глава VII
Рассмотрим ещё один способ нахождения
площади треугольника.
Теорема
Площадь треугольника равна произведению
его полупериметра на радиус вписанной в него
окружности.
Пусть треугольник АВС описан около
окружности с центром в точке О и радиусом г.
Соединим центр окружности с вершинами тре-
угольника (рис. 212). Получим, что треугольник
АВС составлен из трёх треугольников: АВО,
ВСО и САО. Если в каждом из этих треугольни-
ков принять за основание сторону треугольника
ЛВС, то высотой окажется радиус г окружности,
вписанной в треугольник АВС. Поэтому пло-
щадь S треугольника АВС выражается формулой
S = 1 АВ • г + ~ ВС • г + 1 С А • г = — + вс+сл . г.
2	2	2	2
Теорема доказана.
59.	Площадь трапеции
Для вычисления площади произвольного
многоугольника обычно поступают так: разби-
вают многоугольник на треугольники и находят
площадь каждого треугольника. Сумма площадей
этих треугольников равна площади данного мно-
гоугольника (рис. 213). Используя этот приём,
выведем формулу для вычисления площади тра-
пеции. Условимся называть высотой трапеции
перпендикуляр, проведённый из любой точки од-
ного из оснований к прямой, содержащей другое
основание. На рисунке 214 отрезок ВН (а также
отрезок DH^ — высота трапеции ABCD.
Рис.212
Скачан с vk.com/materiallOO
Рис.213
Теорема
Площадь трапеции равна произведению полу-
суммы её основании на высоту.
Площадь
Доказательство
Рассмотрим трапецию ABCD с основа-
ниями AD и ВС, высотой ВН и площадью <S
(рис. 214).
Докажем, что
S = |(АЛ + ВС) • ВН.
Диагональ BD разделяет трапецию па два
треугольника ABD и BCD, поэтому S = SADD + SDCD.
Примем отрезки AD и ВН за основание и высоту
треугольника ABD, а отрезки ВС и DH} за осно-
вание и высоту треугольника BCD. Тогда
8„я„ = ^AD- ВН. SBCD = '-ВС  DH,
d	d
Так как DHX = BH, то SBCZ> = ^ВС • ВН.
d
Таким образом,
S =-AD - ВН + -ВС ’ВН = -(AD +ВС) • ВН.
2	2	2
Теорема доказана.
Рис.214
Задачи
Скачан с vk.com/materiallOO
555 Пусть а — основание, h — высота, a S — площадь параллело-
грамма. Найдите: a) S, если а=15 см, h =12 см; б) а, если
S = 34 см2, h - 8,5 см; в) а, если S = 162 см2, Л = а; г) h, если
h = 3a, S- 27.
556 Диагональ параллелограмма, равная 13 см, перпендикулярна
к стороне параллелограмма, равной 12 см. Найдите площадь
параллелограмма.
557 Смежные стороны параллелограмма равны 12 см и 14 см, а его
острый угол равен 30е. Найдите площадь параллелограмма.
558 Сторона ромба равна 6 см, а один из углов равен 150°. Найди-
те площадь ромба.
559 Сторона параллелограмма равна 8,1 см, а диагональ, равная
14 см, образует с ней угол в 30°. Найдите площадь параллело-
грамма.
560 Пусть а и b — смежные стороны параллелограмма, S — пло-
щадь, а и h2— его высоты. Найдите: a) h2, если а = 18 см,
b = 30 см, /ц = 6см, /г2>61; б) Л ], если а = 10 см, 6 = 15 см,
Л2 = 6см, 62>61; в) hx и h.b если £> = 54 см2, а = 4,5 см, 6 = 6 см.
150 Глава VII
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
Острый угол параллелограмма равен 30°, а высоты, проведён-
ные из вершины тупого угла, равны 2 см и Зсм. Найдите пло-
щадь параллелограмма.
Диагональ параллелограмма равна его стороне. Найдите
площадь параллелограмма, если большая его сторона равна
15,2 см, а один из его углов — 45°.
__Квадрат и ромб, не являющийся квадратом, имеют одина-
ковые периметры. Сравните площади этих фигур.
Пусть а основание, h — высота, a S площадь треугольни-
ка. Найдите: a) S, если а = 7 см, Л = 11 см; б) S, если а = 2\/з см,
h = 5 см; в) 7г, если S = 37,8 см2, а = 14 см; г) а, если S = 12 см2,
h — 3\2 см.
Стороны АВ и ВС треугольника АВС равны соответственно
16 см и 22 см, а высота, проведённая к стороне АВ. равна
11 см. Найдите высоту, проведённую к стороне ВС.
Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, про-
ведённая к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту,
проведённую к меньшей из данных сторон.
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его ка-
теты равны: а) 4 см и 11 см; б) 1,2 дм и 3 дм.
Площадь прямоугольного треугольника равна 168 cwf. Иайди-
Y Скачан cvk.com/materiallOO
те его катеты, если отношение их длин равно —.
Пусть а, Ь, с — стороны треугольника, Р — периметр тре-
угольника, г — радиус вписанной окружности, S — площадь
треугольника. Найдите:
а)	г, если Р = 56, S = 84;
б)	S, если Р — 144, г = 3,5;
в)	о, если b = 15, с = 20, г = 2, S = 42.
В треугольник АВС вписана окружность радиуса 3 см, которая
касается сторон АВ, ВС и С А в точках Р, Q и R. Найдите
площадь треугольника ЛВС, если АР = 5 см, BQ = 5 см,
СВ = 6 см.
__Через вершину С треугольника АВС проведена прямая т,
параллельная стороне АВ. Докажите, что все треугольники с
вершинами на прямой т и основанием АВ имеют равные пло-
щади.
Сравните площади двух треугольников, на которые разде-
ляется данный треугольник его медианой.
□ Начертите треугольник АВС. Через вершину А проведите
две прямые так, чтобы они разделили этот треугольник на
три треугольника, имеющие равные площади.
Площадь
574 Докажите, что площадь ромба равна половине произведения
его диагоналей. Вычислите площадь ромба, если его диагона-
ли равны: а) 3,2 дм и 14 см; б) 4,6 дм и 2 дм.
575 Найдите диагонали ромба, если одна из них в 1,5 раза больше
другой, а площадь ромба равна 27 с>г.
576 В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпенди-
кулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна
половине произведения его диагоналей.
577 Точки D и Е лежат на сторонах АВ и АС треугольника
АВС. Найдите: a) SADJS, если АВ = 5 см, АС = 6 см, AD = 3 см,
AE = 2c.xi, SABC= 10 см2; б) AD, если АВ = 8 см, АС = Зсм,
АЕ = 2 см, SAftr= Ю см2, SAl)E= 2 см2.
578 Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD,
если:
а)	АВ = 21 см, CD = 17 см, высота ВН равна 7 см;
б)	ZD = 30°, АВ — 2 см, CD = 10 см, DA = 8 см;
в)	ВС ± АВ, АВ = 5 см, ВС = 8 см, CD = 13 см.
579 Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две
меньшие стороны равны 6 см, а больший угол равен 135°.
580 Тупой угол равнобедренной трапеции равен 135°, а высота,
проведённая из вершины этого угла, делит больптеа^сновад1иед(.рг.,|1ПП
па отрезки 1,4 см и 3,4 см. Найдите площадь трапеции.
3
Теорема Пифагора
60.	Теорема Пифагора
Пользуясь свойствами площадей много-
угольников, мы установим теперь замечательное
соотношение между гипотенузой и катетами пря-
моугольного треугольника.
Теорема, которую мы докажем, называет-
ся теоремой Пифагора. Она является важнейшей
теоремой геометрии.
Теорема
В прямоугольном треугольнике квадрат гипоте-
нузы равен сумме квадратов катетов.
152 Гласа VII
Доказательство
Рассмотрим прямоугольный треугольник с
катетами а, Ъ и гипотенузой с (рис. 215, а). До-
кажем, что е2 = а2 + Ь2.
Достроим треугольник до квадрата со сто-
роной а + b так, как показано на рисунке 215,0.
Площадь S этого квадрата равна (а+Ь?. С дру-
гой стороны, этот квадрат составлен из четырёх
равных прямоугольных треугольников (объясни-
те почему), площадь каждого из которых равна
1 к
— ап, и квадрата со стороной е, поэтому
S - 4 • ~ab + с2 = 2аЬ + с2.
2
Таким образом, (а + by = 2аЪ + е2, откуда
с2= а2 + Ъ2.
Теорема доказана.
Интересна история теоремы Пифагора.
Хотя эта теорема и связывается с именем Пифа-
гора, она была известна задолго до него. В ва-
вилонских текстах эта теорема встречается за
1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё
не знали её доказательства, а само соотношение
между гипотенузой и катетами было установлено
опытным путём на основе измерений. Пифагор,
по-видимому, нашёл доказательство этого соот-
ношения. Сохранилось древнее предание, что в
честь своего открытия Пифагор принёс в жерт-
ву богам быка, по другим свидетельствам — даже
сто быков. На протяжении последующих веков
были найдены различные другие доказательства
теоремы Пифагора. В настоящее время их насчи-
тывается более ста. С одним из них мы уже по-
знакомились, ещё с одним познакомимся в сле-
дующей главе (задача 684). Многие известные
мыслители и писатели прошлого обращались к
этой замечательной теореме и посвятили ей свои
строки.
(а + b}~= 4(^ <ib) + с"
Рис.215
Скачан с vk.com/materiallOO
Пифагор —
древнегреческий
учёный
(VI в. до п. э.)
Т53
Площадь
61.	Теорема, обратная
теореме Пифагора
Теорема
Если квадрат одной стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других сторон, то
треугольник прямоугольный.
Доказательство
Пусть в треугольнике ЛВС ЛВ2=АС2 + ВС2.
Докажем, что угол С прямой. Рассмотрим пря-
моугольный треугольник Д В, С, с прямым углом
Cj, у которого ДС,=АС и BjC^BC (рис. 216).
По теореме Пифагора ДВ^ = A1C12+BlCf, и, зна-
чит, AtB2 = АС2 +ВС2. Но АС2 + ВС2 = АВ2 по ус-
ловию теоремы. Следовательно, Аг^ = AB2t от-
куда А, В, = АВ.
Треугольники АВС и ДВ/^ равны по трём
сторонам, поэтому ZC = ZCi5 т. е. треугольник
АВС прямоугольный с прямым углом С.
Теорема доказана.
По теореме, обратной теореме Пифагора,
треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является пря-
моугольным: 52 =32+ 42. Прямоугольными явля-
ются также треугольники со сторонами 5, 12, 13;
8, 15, 17 и 7, 24, 25 (объясните почему).
Прямоугольные треугольники, у которых
Рис.216
длины сторон выражаются целыми числами, на-
зываются пифагоровыми треугольниками. Можно
доказать, что катеты а, b и гипотенуза с таких тре-
угольников выражаются формулами а = 2k • т • п,
h = k (т2 - л2), с = k (т2 + /г2), где k, тип — лю-
бые натуральные числа, такие, что т > п.
Треугольник со сторонами 3, 4, 5 часто на-
зывают египетским треугольником, так как он
был известен ещё древним египтянам. Для по-
строения прямых углов египтяне поступали так:
на верёвке делали метки, делящие её на 12 рав-
ных частей, связывали концы верёвки и растяги-
154 Глава VIJ
вали на земле с помощью кольев в виде треуголь-
ника со сторонами 3, 4 и 5. Тогда угол между
сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым.
62.	Формула Герона
Теорема
Площадь S треугольника со сторонами а, Ь, с вы-
ражается формулой S =	Ъур ~ с) >
где р = — (а + Ь + с) — полупериметр треуголь-
2
ника.
Доказательство
Рассмотрим треугольник АВС, в котором
АВ=с, ВС = а, АС = Ь. В любом треугольнике по
крайней мере два угла острые. Пусть А и
В — острые углы треугольника АВС. Тогда осно-
вание Н высоты СН треугольника лежит на сто-
роне АВ. Введём обозначения: CH — h, АН=у,
теореме Пифагора
у2 -х2 = Ь2- аг, или
как у + х = с, то
НВ = х (рис. 217). По
а2 — х 2= h2 = Ъ2 — у 2, откуда
(у — х) (?/ 4- х) = Ь2 - а2. Так
у — х = — (Ъ’ — а“'). Сложив два последних равен-
ства и разделив на 2, получим:
Ь24-с2-а2
У ~ 2с *
Поэтому
h2 = &- у2 =(Ь +у)(Ь — у} =
, b' + с2 - а2
и 4-------------
2с
(h 4- е)2 -a2 a2 -(ft -е)2
. _2	_2
, о + с — а
р------------------------
2с	2с
(6 + с 4- a)(fr + с - а)(д - ft 4с)(а + b -с)
4с 2
_ 2р(2р-2а)(2д-26)(2р-2с) _
4с2
. 4р(р-д)(р-6)(р- с)
155
Площадь
Следовательно, h =	О .
с
Но 8 = ^hc, откуда и получаем:
S = х/р(р-а)(р~ Ъ)(Р- с].
Теорема доказана.
Выведенную нами формулу обычно называ-
ют формулой Герона, по имени древнегреческого
математика Герона Александрийского, жившего
предположительно в I в. н. э.
Задачи
581 Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника по данным
катетам а и Ъ:
а)	а — 6, Ъ = 8;
б)	а = 5, {> = 6;
1	3 А 4
В)	а= -,Ь =
г) а = 8, b = 8^3.
582 В прямоугольном треугольнике а и b — катеты, c^4f^nt^ri6'SjFQater’a'i()(l
за. Найдите Ь, если:
а)	а = 12, с — 13;
б)	а = 7, с = 9;
в)	а= 12, с = 2Ь;
г)	а = 2< 3, с = 2Ь;
д)	а = ЗЬ, с = 2х/10.
583 Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий про-
тив угла 60п, если гипотенуза равна с.
584 В прямоугольнике ABCD найдите:
a)	AD, если АВ = 5, АС = 13;
б)	ВС, если CD = 1,5, АС = 2,5;
в)	СВ, если BD = 17, ВС = 15.
585 Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см,
а основание равно 16 см. Найдите высоту, проведённую к ос-
нованию.
586 Найдите: а) высоту равностороннего треугольника, если его
сторона равна 6 см; б) сторону равностороннего треугольника,
если его высота равна 4 см.
156 Глава VII
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычис-
.	о а 2>/3
ляется по формуле S =------, где а — сторона треугольника.
4
Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сто-
рона равна:
а) 5 см; б) 1,2 см; в) 2>/2 дм.
Найдите боковую сторону и площадь равнобедренного тре-
угольника, если: а) основание равно 12 см, а высота, проведён-
ная к основанию, равна 8 см; б) основание равно 18 см, а угол,
противолежащий основанию, равен 120°; в) треугольник пря-
моугольный и высота, проведённая к гипотенузе, равна 7 см.
По данным катетам а и b прямоугольного треугольника най-
дите высоту, проведённую к гипотенузе:
а) а = 5, b = 12; б) а = 12,, b = 16.
Найдите высоты треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см.
Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны
10 см и 24 см.
Найдите диагональ и площадь ромба, если его сторона равна
10 см, а другая диагональ — 12 см.
Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD,
если: а) АВ = 10 см, ВС = DA = 13 см, CD = 20 см; б) £^8*iZj®.eem/materiallOO
= 60°, АВ = ВС = 8 см; в) ZC=Z£> = 45°, АВ = 6 см, ВС = 9^2 см.
Основание D высоты CD треугольника АВС лежит на стороне
АВ, причём AD = BC. Найдите АС, если АВ = 3, a CD = >/3.
Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой.
Найдите эту диагональ, если периметр параллелограмма ра-
вен 50 см, а разность смежных сторон равна 1 см.
Выясните, является ли треугольник прямоугольным, если его
стороны выражаются числами: а) 6, 8, 10; б) 5, 6, 7; в) 9, 12,
15; г) 10, 21, 26; д) 3, 4, 6; е) 11, 9, 13; ж) 15, 20, 25. В каж-
дом случае ответ обоснуйте.
Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами, равны-
ми: а) 24 см, 25 см, 7 см; б) 15 см, 17 см, 8 см,
В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а бо-
ковая сторона равна 13 см. Найдите радиус окружности, впи-
санной в этот треугольник.
В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса г.
Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна
26 см, г =4 см; б) точка касания делит гипотенузу па отрезки,
равные 5 см и 12 см.
Площадь
600 Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С
описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если:
а) АС = 8 см, ВС = 6 см; б) АС = 18 см, ZB = 30е.
601 Найдите сторону равпостороппего треугольника, если радиус
описанной около него окружности равен 10 см.
602 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треуголь-
ника, равен 120°, боковая сторона треугольника равна 8 см.
Найдите диаметр окружности, описанной около этого тре-
угольника.
603 В комнату необходимо занести мебельный щит. Рабочие
решили для этого использовать окно, размеры которого
600 х 600 мм. Мебельный щит имеет размеры 800 х 2000 мм.
Смогут ли рабочие это сделать?
604 Семья купила LED-телевизор с подставкой глубиной 25 см
и соотношением сторон 16 : 9. Диагональ телевизора —
31,5 дюйм (1 дюйм as 2,54 см). Получится ли поставить этот
телевизор в квадратную пишу шириной 74 см и глубиной
35 см?
Вопросы для повторения к главе VII
1 Расскажите, как измеряются площади многоугольников.
2 Сформулируйте основные свойства площадей MHor6ft^Mbn'WK.&tf.atena il
3 Какие многоугольники называются равновеликими и какие
равпосоставлсппыми?
4 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади
прямоугольника.
5 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади
параллелограмма.
6 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади
треугольника. Как вычислить площадь прямоугольного тре-
угольника по его катетам?
7 Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей
двух треугольников, имеющих по равному углу.
8 Сформулируйте и докажите теорему о вычислении площади
трапеции.
9	Сформулируйте и докажите теорему Пифагора.
10	Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме Пифа-
гора.
11	Какие треугольники называются пифагоровыми? Приведите
примеры пифагоровых треугольников.
12	Какая формула площади треугольника называется формулой
Герона? Выведите эту формулу.
158 Глаш VII
605
606
607
608
609
610
611
612*
613*
614
615*
616
Дополнительные задачи
Докажите, что площадь квадрата, построенного на катете
равпобедрсппого прямоугольпого треугольника, вдвое больше
площади квадрата, построенного на высоте, проведённой к ги-
потенузе.
Площадь земельного участка равна 27 га. Выразите площадь
этого же участка: а) в квадратных метрах; б) в квадратных
километрах.
Высоты параллелограмма равны 5 см и 4 см, а периметр равен
42 см. Найдите площадь параллелограмма.
Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна
24 см2, а точка пересечения диагоналей удалена от сторон на
2 см и 3 см.

Меньшая сторона параллелограмма равна 29 см. Перпендику-
ляр, проведённый из точки пересечения диагоналей к боль-
шей стороне, делит её па отрезки, равные 33 см и 12 см. Най-
дите площадь параллелограмма.
___Докажите, что из всех треугольников, у которых одна сто-
рона равна а, а другая — Ь, наибольшую площадь имеет тот, у
которого эти стороны перпендикулярны.
1*4 Как провести две прямые через вершину квадрата, чтобы
разделить его па три фигуры, площади которых равтЙЗ’1?ан с vk-corn/material100 В
В Каждая сторона одного треугольника больше любой сто-
роны другого треугольника. Следует ли из этого, что площадь
первого треугольника больше площади второго треугольника?
Докажите, что сумма расстояний от точки па основании рав-
нобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от
положения этой точки.
Докажите, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри
равностороннего треугольника, до его сторон не зависит от по-
ложения этой точки.
Через точку D, лежащую на стороне ВС треугольника
А ЯС, проведены прямые, параллельные двум другим сторо-
нам и пересекающие стороны АВ и АС соответственно в точ-
ках Е и F. Докажите, что треугольники CDE и BDF равнове-
ликие.
В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ и CD диагонали
пересекаются в точке О.
а) Сравните площади треугольников ABD и ACD.
б) Сравните площади треугольников АВО и С DO.
в) Докажите, что выполняется равенство О А • ОВ = ОС  OD.
Площадь
617*
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
Основания трапеции равны а и Ь. Отрезок с концами на
боковых сторонах трапеции, параллельный основаниям, раз-
деляет трапецию на дне равновеликие трапеции. Найдите дли-
ну этого отрезка.
Диагонали ромба равны 18 м и 24 м. Найдите периметр ромба
и расстояние между параллельными сторонами.
Площадь ромба равна 540 см2, а одна из его диагоналей равна
4,5 дм. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей
до стороны ромба.
Найдите площадь равнобедренного треугольника, если: а) бо-
ковая сторона равна 20 см, а угол при основании равен 30°;
б) высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см и обра-
зует с основанием угол в 45°.
В треугольнике ЛВС ВС= 34 см. Перпендикуляр MN, прове-
дённый из середины ВС к прямой АС, делит сторону АС на
отрезки AiV = 25 см и Л7С = 15 см. Найдите площадь треуголь-
ника АВС.
Найдите площадь четырёхугольника ABCD, в котором
АВ = 5 см, ВС = 13 см, CD = 9 см, DA = 15 см, АС — 12 см.
Найдите площадь равнобедренной трапеции, если: а) её мень-
шее основание равпо 18 см, высота — 9 см и острый угол ра-
вен 45е; б) её основания равны 16 см и 30 см, а диагонали
взаимно перпендикулярны.	Скачан с vk.com/materiallOO
Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота
равна /1, а диагонали взаимно перпендикулярны.
Диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикуляр-
ны, а сумма оснований равна 2а. Найдите площадь трапеции.
Докажите, что если диагонали четырехугольника ABCD вза-
имно перпендикулярны, то AD^ + ВС2= АВ-A CD2.
В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD= 17 см,
ВС = 5 см и боковой стороной АВ = 10 см через вершину В про-
ведена прямая, делящая диагональ АС пополам и пересекаю-
щая основание AD в точке М. Найдите площадь треугольни-
ка BDM.
Два квадрата со стороной а имеют одну общую вершину,
причём сторона одного из них лежит на диагонали другого.
Найдите площадь общей части этих квадратов.
Стороны треугольника равны 13 см, 5 см и 12 см. Найдите
площадь этого треугольника.
Расстояние от точки М, лежащей внутри треугольника АВС,
до прямой АВ равно 6 см, а до прямой АС равно 2 см. Най-
дите расстояние от точки М до прямой ВС, если АВ = 13 см,
ВС = 14 см, АС = 15 см.
160 Гласа VII
631
632
633
634
635
636
637
638
Рис.
с й	472	2 -
В ромбе высота, равная —-—см, составляет — большей диаго-
нали. Найдите площадь ромба.
В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см, а высота
равна 6 см. Найдите площадь трапеции.
В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О. Най-
дите площадь треугольника АОВ, если боковая сторона CD
трапеции равна 12 см, а расстояние от точки О до прямой CD
равно 5 см.
Диагонали четырёхугольника равны 16 см и 20 см и пересека-
ются под углом в 30°. Найдите площадь этого четырёхуголь-
ника.
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС высо-
та AD равна 8 см. Найдите площадь треугольника АВС, если
медиана DM треугольника ADC равна 8 см.
Стороны АВ и ВС прямоугольника ABCD равны соответ-
ственно 6 см и 8 см. Прямая, проходящая через вершину С
и перпендикулярная к прямой BD, пересекает сторону AD
в точке М, а диагональ BD в точке К. Найдите площадь четы-
рёхугольника АВ КМ.
ЕЗ в треугольнике АВС проведена высота ВН. Декаду Wm/materialioo
если:
а)	угол А острый, то ВС2 = АВ2 + AC2— 2АС • АН;
б)	угол А тупой, то ВС2= АВ2 + ДС2 + 2АС • АН.
На клетчатой бумаге (рис. 218) изображены треугольники.
Найдите их площади.
218
161 Площадь
639 На клетчатой бумаге (рис. 219) изображены многоугольники.
Найдите их площади.
Рис.219
Скачан с vk.com/materiallOO
162 Глава VII
Глава VIII
Подобные треугольники
Вокруг нас немало предметов, которые имеют одинаковую
форму, но разные размеры. Самый простой пример — боль-
шой и маленький мячи. В геометрии фигуры одинаковой формы
называются подобными. Данная глава посвящена изучению по-
добных треугольников и признаков их подобия. Эти признаки
широко используются в геометрии, в частности с их помощью
будет доказано утверждение, сформулированное ещё при
изучении геометрии в 7 классе: медианы треугольника пере-
секаются в одной точке. Кроме того, будет рассказано об ис-
пользовании свойств подобных треугольников при проведении
измерительных работ на местности.
Определение
подобных треугольников
63.	Пропорциональные отрезки
Отношением отрезков Л В и CD называется
АВ
отношение их длин, т. е. ——.
CD
Говорят, что отрезки АВ и CD пропорцио-
л „	„ ~	АВ CD
нальны отрезкам и CxDxy если — = — - .
А О. Чи
Например, отрезки АВ и СР, длины которых
равны 2 см и 1 см, пропорциональны отрезкам
А] В, и CxDlt длины которых равны 3 см и 1,5 см.
В самом деле,
AB = Ср = 2
AjB, “ CpDj “ 3 ’
Понятие пропорциональности вводится и
для большего числа отрезков. Так, например,
три отрезка AB, CD и пропорциональны трём
отрезкам АХВХ, CXDX и ЕдВр если справедливо ра-
венство
JLL
A|Bj Cj.Pi
Скачан с vk.com/materiallOO
Подобные
треугольники
64.	Определение
подобных треугольников
В повседневной жизни встречаются
предметы одинаковой формы, но разных
размеров, например футбольный и тен- .
нисный мячи, круглая тарелка и боль-

шое круглое блюдо. В геометрии фигуры одина-
ковой формы принято называть подобными. Так,
подобными являются любые два квадрата, любые
два круга.
Введём понятие подобных треугольников.
Пусть у двух треугольников АВС и А^С,
углы соответственно равны: ZA = ZAt, ZB = ZB,,
ZC = ZCP В этом случае стороны АВ и ДВр ВС
и BjCp С А и называются сходственными
(рис. 219).
Определение
Два треугольника называются подобными, если
их углы соответственно равны и стороны одно-
го треугольника пропорциональны сходственным
сторонам другого треугольника.
Другими словами, два треугольника по-
добны, если для них можно ввести обозначения
АВС и AjBjCj так, что
ZA=ZAP ZB = ZBp ZC = Cj, (1)
АВ	ВС _ СА _ .	(
АгВг “ В/?, ” С0, “	(
Число /?, равное отношению сходственных
сторон подобных треугольников, называется
коэффициентом подобия.
Подобие треугольников АВС и А^Ст обо-
значается так: /\АВС ~ AAjBiCp На рисунке 220
изображены подобные треугольники.
Оказывается, что подобие треугольников
можно установить, проверив только некоторые из
равенств (1) и (2). В следующем параграфе мы
рассмотрим три признака подобия треугольников.
Скачан с vk.com/materiallOO
АВиАНх. НС u RXCX.
СА u С;А,
сходственные стороны
Рис.220
164 Глава VIII
65.	Отношение площадей
подобных треугольников
Теорема
Отношение площадей двух подобных треуголь-
ников равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство
Пусть треугольники АВС и А, Вт Ст подоб-
ны, причём коэффициент подобия равен k. Обо-
значим буквами S и Вд площади этих треуголь-
m	/аул	AB-AC .
пиков. Так как ZA = ZAn то — = ——------— (по
1	AiBl Apl '
теореме об отношении площадей треугольников,
имеющих по равному углу, п. 58). По формулам
(2) имеем:	= /?,
AjBj
HU .	, 2
—— = Л, поэтому — = k\
А1Ч
Теорема доказана.
Скачан с vk.com/materiallOO
640 Найдите отношение отрезков АВ и CZ), если их длины равны
соответственно 15 см и 20 см. Изменится ли это отношение,
если длины отрезков выразить в миллиметрах?
641 Пропорциональны ли изображённые на рисунке 221, а) отрез-
ки: а) AC, CD и М.М>, ММ.; б) АВ, ВС, CD и ММ.,, ММ.,
М.М2; в) АВ, BD и MMt, MtM2?
642 Докажите, что биссектриса треугольника делит противопо-
ложную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим
сторонам треугольника.
Решение
Пусть AD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что
(рис. 221, б). Треугольники ABD и ACD имеют об-
а) А	ВС	D
М М2
А ’
Рис. 221
Подобные
треугольники
щуто высоту АН,
же треугольники
^АВ1> ВО
поэтому = ---------. С другой стороны, эти
&АС1) CD
имеют по равному углу (Z1=Z2), поэтому
АВ • АР АВ
АС - АО АС '
Из двух равенств для отношения пло-
BD АВ
щадеи получаем —— = ——, или
L-- 4	4I
BD CD
—— = “ттг» что 11 требовалось
/* D	У* Сх
доказать.
643 Отрезок BD является биссектрисой треугольника ЛВС. Най-
дите: а) Л В, если ВС = 9 см, AD=7,5cm, DC = 4,5 см; б) DC,
если АВ = 30, AD = 20, ВС = 16.
644 Отрезок AD является биссектрисой треугольника АВС. Най-
дите BD и DC, если АВ = 14 см, ВС = 20 см, АС = 21 см.
645 Биссектриса AD треугольника АВС делит сторону ВС на от-
резки CD и BD, равные соответственно 4,5 см и 13,5 ем. Най-
дите Л В и АС, если периметр треугольника ЛВС равен 42 см.
646 В треугольник MNK вписан ромб MDEF так, что вершины D,
Е и F лежат соответственно на сторонах MN, NK и МК, Най-
дите отрезки NE и ЕК, если MN = 7 см, NK = 6 см, М К = 5 см.
647 Периметр треугольника CDE равен 55 см. В этот треугольник
вписан ромб DMFN так, что вершины М, F и iVcjJesi?Atkc6i6'iiQatenall00
ветственно на сторонах CD, СЕ и DE. Найдите стороны CD и
DE, если CF = 8 см, EF= 12 см.
648 Подобны ли треугольники АВС и DEF, если ZA = 106°,
ZB = 34°, ZE = 106°, ZF= 40°, AC =4,4 см, AB = 5,2 см, ВС =
= 7,6 см, DE — 15,6 см, DF = 22,8 см, EF = 13,2 см?
649 В подобных треугольниках ЛВС и KMN стороны Л В и КМ,
ВС и MN являются сходственными. Найдите стороны треуголь-
ника KMN, если АВ = 4 см, ВС = 5 см, С А = 7 см,	= 2 Д.
АВ
650 Докажите, что отношение сходственных сторон подобных тре-
угольников равпо отношению высот, проведённых к этим сто-
ронам.
651 Площади двух подобных треугольников равны 75 м2 и 300 м2.
Одна из сторон второго треугольника равна 9 м. Найдите сход-
ственную ей сторону первого треугольника.
652 Треугольники АВС и ДВтС, подобны, и их сходственные сто-
роны относятся как 6 : 5. Площадь треугольника АВС боль-
ше площади треугольника А^СД па 77 см2. Найдите площади
треугольников.
166 Глава VIII
653 План земельного участка имеет форму треугольника. Пло-
щадь изображённого на плане треугольника равна 87,5 см2.
Найдите площадь земельного участка, если план выполнен в
масштабе 1 : 100 000.
654 Докажите, что отношение периметров двух подобных тре-
угольников равно коэффициенту подобия.
655 Треугольники АВС и А^С, подобны. Сходственные стороны
ВС и BjCj соответственно равны 1,4 м и 56 см. Найдите отно-
шение периметров треугольников АВС и А^ВдС^.
656 Стороны данного треугольника равны 15 см, 20 см и 30 см.
Найдите стороны треугольника, подобного данному, если его
периметр равен 26 см.
Признаки подобия треугольников
66.	Первый признак
подобия треугольников
Теорема
Скачан с vk.com/materiallOO
Если два угла одного треугольника соответ-
ственно равны двум углам другого, то такие
треугольники подобны.
Доказательство
Пусть А АВС и ДА!В!С, — два треуголь-
ника, у которых ZA=ZA1t ЛВ — АВу (рис. 222).
Докажем, что ААВС АА^ |СР
По теореме о сумме углов треугольника
ZC = 180c-ZA-ZB, Z^ = 180° - ZAX-ZBn и,
значит, ZC=ZCV Таким образом, углы треуголь-
ника АВС соответственно равны углам треуголь-
ника АдДСр
Докажем, что стороны треугольника АВС
пропорциональны сходственным сторонам тре-
угольника АХВХСХ. Так как ZA = ZA, и ZC = ZC|,
то - ав^ас
'^1^1
п. 58).
С А • СВ t
WVT(CM-

и
Рис.222
Подобные
треугольники
167
Из этих равенств следует, что
АВ _ ВС
А.В. B,Ct 
Аналогично, используя равенства
/ о / о	Bfi	С А
ZB = ZB„ получаем -7—7- =
ZA = ZA,
Итак, стороны треугольника АВС пропор-
циональны сходственным сторонам треугольника
А 1В1 С,.
Теорема доказана.
67.	Второй признак
подобия треугольников
Теорема
Если две стороны одного треугольника пропор-
циональны двум сторонам другого треугольника
и углы, заключённые между этими сторонами,
равны, то такие треугольники подобны.
Доказательство
Рассмотрим два треугольника АВС и
А1В1С1, у которых -гъ- = -г£-. ZA = ZAj
Л1Ь1 АГ'1
(рис. 223, а). Докажем, что ААВС^ ЛА{В{С
Для этого, учитывая первый признак подобия
треугольников, достаточно доказать, что ZB = ZBP
Рассмотрим треугольник АВС2, у которого
Zl = ZAi, Z2=ZBl (рис. 223, б). Треугольники
АВС2 и AjB^] подобны но первому признаку по-
л	АВ АС2
добия треугольников, поэтому ---------= ---
А1В1 AjCj
«	АВ АС
С другой стороны, по условию -----=-----Из
А1В1 AjCj
этих двух равенств получаем АС = АС2.
Треугольники АВС и АВС, равны по двум
сторонам и углу между ними (АВ — общая сто-
рона, АС=АС2 и ZA=Z1, поскольку Z.A — Z.AX
и А1 = ААХ). Отсюда следует, что ZB = Z2, а так
как Z2 = ZB1? то ZB = ZBr
Теорема доказана.
Рис.223
768 Глава VIII
68.	Третий признак
подобия треугольников
Теорема
Если три стороны одного треугольника пропор-
циональны трём сторонам другого, то такие тре-
угольники подобны.
Доказательство
Пусть стороны треугольников АВС и
АХВ{С} пропорциональны:
АВ	ВС	СА
А1В1 В£г	ClAi'	1
Докажем, что ДАВС~ ДА^С,. Для этого,
учитывая второй признак подобия треугольни-
ков, достаточно доказать, что ZA = ZAr Рассмот-
рим треугольник ЛВС2, у которого Z1 = ZAX,
Z2 = ZBj (см. рис. 223,6). Треугольники АВС2 и
AjB^] подобны по первому признаку подобия
АВ ВС2 'С2Л
треугольников, поэтому	.
Сравнивая эти равенства с равенствами
(1), получаем: ВС = ВС2, CA = CzA. Треугольни-
ки АВС и АВС2 равны по трём сторонам. Отсю-
да следует, что ZA = Z1, а так как Zl = ZAi, то
ZA=ZAr
Теорема доказана.
Задачи
657 По данным рисунка 224 найдите х и у.
Рис.224
658 На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка Е.
Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F. Найдите: a) EF
и FC, если DE = 8 см, ЕС = 4 см, ВС = 7 см, АЕ = 10 см; б) DE
и ЕС, если Л В = 8 см, Л D = 5 см, CF = 2 см.
659
Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересека-
ются в точке О. Найдите: а) АВ, если Ой = 4 см, 00=10 см,
ОС=25см; б) —7 и если АВ —a, DC = b; в) АО, если
АВ = 9,6 дм, DC =24 см, АС =15 см.
__ Подобны ли равнобедренные треугольники, если они име-
ют: а) по равному острому углу; б) по равному тупому углу;
в) по прямому углу? Ответ обоснуйте.
660
Подобные
треугол ьники
169
661 Основания трапеции равны 5 см и 8 см. Боковые стороны, рав-
ные 3,6 см и 3,9 см, продолжены до пересечения в точке М.
Найдите расстояния от точки М до концов меньшего осповапия.
662 Точки М, Лг и Р лежат соответственно на сторонах АВ, ВС
и С А треугольника АВС, причем MN || AC, NP || АВ. Найди-
те стороны четырёхугольника AMNP, если: а) АВ = 10 см,
АС = 15 см, PN : MN = 2 : 3; б) AM = АР, АВ = а, АС = Ь.
663
О
Рис. 225
Стороны угла О пересечены параллельными прямыми АВ и
CD. Докажите, что отрезки О А и АС пропорциональны отрез-
кам ОВ и BD (рис. 225).
Решение
Проведём через точку А прямую AClf па-
раллельную прямой BD. Опа пересечет CD
в точке Cv По первому признаку подобия
треугольников АОАВ^ ЛАСС} (АО = АСАСГ,
АО АВ = АС), следовательно, — = .Так
AC АС}
О А АС
как АС] = BD (объясните почему), то	что и требова-
лось доказать.
664 Стороны угла А пересечены параллельными прямыми ВС и
DE, причём точки В и £> лежат на одной сторон(^^,У|&^/WatenallOO
Е—на другой. Найдите: а) АС, если СВ = 10 см, А2)=22см,
В£) = 8см; б) BD и DE, если ДВ = 10см, АС = 8 см, ВС = 4 см,
СЕ = 4 см; в) ВС, если АВ : BD = 2 : 1 и DE = 12 см.
665 Прямые а и b пересечены параллельными прямыми ААг, ВВ},
CCt, причём точки Л, В и С лежат на прямой а, а точки AL,
В] и С] — на прямой Ь. Докажите, что
666 На одной из сторон данного угла А отложены отрезки
АВ = 5 см и АС= 16 см. На другой стороне этого же угла отло-
жены отрезки А£) = 8см и AF =10 см. Подобны ли треуголь-
ники ACD и AFB? Ответ обоснуйте.
667 Подобны ли треугольники АВС и A^Cj, если: а) АВ = Зсм,
ВС = 5 см, СА= 7 см, AjBj = 4,5 см, В/\ = 7,5 см, С^А t = 10,5 см;
б) АВ = 1,7 см, ВС = 3 см, С А = 4,2 см, AjB, = 34 дм, В (Сд = 60 дм,
С] A-i = 84 дм?
668 Докажите, что два равносторонних треугольника подобны.
669 Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр
вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к
основанию, в отношении 12:5, считая от вершины, а боковая
сторона равна 60 см.
170 Глава V111
670 В треугольнике АВС сторона АВ равна а, а высота СН рав-
на h. Найдите сторону квадрата, вписанного в треугольник
АВС так, что две соседние вершины квадрата лежат на сторо-
не Л В, а две другие — соответственно на сторонах АС и ВС,
671
Через точку М, взятую на медиане AD треугольника АВС,
и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в
и -	АК
точке Л. Найдите отношение ——,
. п Л AM 1
резка AD; о)
если: а) М — середина от-
§3
Применение подобия к доказательству
теорем и решению задач
69. Средняя линия треугольника
Напомним, что средней линией треуголь-
ника называется отрезок, соединяющий середи-
ны двух его сторон. Используем подобие тре-
угольников для доказательства свойства средней
линии треугольника.
Теорема
Скачан с vk.com/materiallOO
Средняя линия треугольника параллельна одной
из его сторон и равна половине этой стороны.
Доказательство
Пусть MN — средняя линия треугольни-
ка АВС (рис. 226). Докажем, что ALV || АС и
MN = -АС.
2
Треугольники BMN и ВАС подобны по вто-
рому признаку подобия треугольников (ZB — об-
.. ВМ BN 1ч	... zo MN 1
щии,-----= —— = —поэтому Zl = Z2 и —— = —.
/;л ВС 27	••	АС 2
Из равенства Z1=Z2 следует, что MN || АС (объ-
ясните почему), а из второго равенства что
MN = -АС.
2
Теорема доказала.
В
Рис.226
Подобные
треугольники
177
Пользуясь этой теоремой, решим задачу.
Задача
Доказать, что медианы треугольника пере-
секаются в одной точке, которая делит каждую
медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Решение
Рассмотрим произвольный треугольник
АВС. Обозначим буквой О точку пересечения
его медиан АА1 и ВВ} и проведём среднюю ли-
нию АтВ] этого треугольника (рис. 227). Отрезок
AjBj параллелен стороне АВ, поэтому углы 1 и
2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежа-
щие углы при пересечении параллельных пря-
мых АВ и А, Вт секущими AAq и BBq. Следова-
тельно, треугольники АОВ и АтОВ-, подобны по
двум углам, и, значит, их стороны пропорцио-
нальны:
АО _ ВО _ АВ
AtO BLO AtBj ’
Но АВ = 2AlBl, поэтому АО = 2А1О и ВО =
= 2BtO. Таким образом, точка О пересечения ме-
диан ААт и ВВт делит каждую из них в отноше-
нии 2:1, считая от вершины.
Аналогично доказывается, что точка пере-
сечения медиан ВВХ и ССХ делит каждую из них
в отношении 2:1, считая от вершины, и, следо-
вательно, совпадает с точкой О.
Итак, вес три медианы треугольника АВС
пересекаются в точке О и делятся его в отноше-
нии 2:1, считая от вершины.
Точку пересечения медиан треугольни-
ка называют центром масс треугольника (цен-
троидом треугольника) или центром тяжести
треугольника. Треугольная сплошная пласти-
на будет находиться в равновесии, если будет
опираться на острие карандаша (или стержня)
в этой точке — центре масс треугольной пласти-
ны (рис. 228).
172
с
А U, В
Рис.227
Скачан с vk.com/material 100
Рис.228
Глава VIII
70.	Четыре замечательные точки
треугольника
Ранее было доказано, что
—	биссектрисы треугольника пересекаются
в одной точке, которая является центром окруж-
ности, вписанной в этот треугольник;
—	серединные перпендикуляры к сторонам
треугольника пересекаются в одной точке, кото-
рая является центром окружности, описанной
около этого треугольника;
—	медианы треугольника пересекаются
в одной точке, которая называется центроидом
треугольника.
Аналогичным свойством обладают и высо-
ты треугольника.
Теорема
Высоты треугольника (или их продолжения)
пересекаются в одной точке.
А
в
Рис.229
Скачан с vk.com/materiallOO
Доказательство
Рассмотрим произвольны!! треуголь-
ник АВС и докажем, что прямые АД ,
ВВ, и ССП содержащие его высоты, пере-
секаются в одной точке (рис. 229).
Проведём через каждую вершину тре-
угольника ЛВС прямую, параллельную про-
тивоположной стороне. Получим треугольник
Д2В2С2. Точки А, В и С являются серединами
сторон этого треугольника.
Действительно, АВ — А2С и АВ = СВ2 как
противоположные стороны параллелограммов
ABA.fi и АВСВ-2, поэтому А2С = СВ2.
Аналогично С2Л = ЛВ.2 и С2В = ВЛ2. Кроме
того, как следует из построения, ССХ Л2В2,
ААХ ± В2С2 и В В, ± А 2С2.
Таким образом, прямые ВВХ и ССХ яв-
ляются серединными перпендикулярами к сторо-
нам треугольника А2В2С2. Поэтому они пересека-
ются в одной точке.
Теорема доказана.
Подобные
треугольники
173
Итак, с каждым треугольником связаны че-
тыре точки: точка пересечения медиан (центро-
ид треугольника), точка пересечения биссектрис,
точка пересечения серединных перпендикуляров
к сторонам и точка пересечения высот или их
продолжений (она называется ортоцентром тре-
угольника). Эти четыре точки называются заме-
чательными точками треугольника.
71.	Пропорциональные отрезки
в прямоугольном треугольнике
Задача
Доказать, что высота прямоугольного тре-
угольника, проведённая из вершины прямого
угла, разделяет треугольник на два подобных
прямоугольных треугольника, каждый из кото-
рых подобен данному треугольнику.
Решение
Пусть ДАВС — прямоугольный треуголь-
ник с прямым углом С, CD — высота, проведён-
ная из вершины С к гипотенузе АВ (рис. 230).
Докажем, что Л А ВС ЛАСD, ЛА ВС <*> ЛС В D,
&ACD<* &CBD.
Треугольники АВС и ACD подобны по пер-
вому признаку подобия треугольников (ZA — об-
щий, Z АСВ = АЛ DC = 90°).
Точно так же подобны треугольники ЛВС и
CBD (АВ— общий и ААСВ = ABDC = 90е), поэто-
му ZA = ABCD.
Наконец, треугольники ACD и CBD также
подобны по первому признаку подобия (в этих
треугольниках углы с вершиной D прямые и
А А = ABCD), что и требовалось доказать.
Отрезок ХУ называется средним пропорцио-
нальным (или средним геометрическим) для от-
резков АВ и CD, если
ху = 4ab*cd.
174
Рис.230
Глава VIII
Исходя из рассмотренной задачи, докажем
следующие утверждения:
1°. Высота прямоугольного треугольника, прове-
дённая из вершины прямого угла, есть среднее
пропорциональное для отрезков, на которые де-
лится гипотенуза этой высотой.
Действительно, /\ A DC <-'•-> ACBD (рис. 230),
поэтому -у*- = yjyp откуда CD2 = AD  DB, следо-
вательно,
CD = \AD-DB.
2°. Катет прямоугольного треугольника есть сред-
нее пропорциональное для гипотенузы и отрезка
гипотенузы, заключённого между' катетом и вы-
сотой, проведённой из вершины прямого угла.
В самом деле, Л А ВС ЛАС D (рис. 230),
АВ АС
поэтому	и> следовательно»
АС = х'авГаБ.
Скачан с vk.com/materiallOO
72.	Метод подобия в задачах
на построение
При решении многих задач на построение
треугольников применяют так называемый метод
подобия. Отт состоит в том, что сначала на осно-
вании некоторых данных отроят треугольник, по-
добный искомому, а затем, используя остальные
данные, строят искомый треугольник.
Рассмотрим пример.
Задача
Построить треугольник по данным двум
углам и биссектрисе при вершине третьего угла.
Решение
На рисунке 231, а изображены два дан-
ных угла и данный отрезок. Требуется построить
треугольник, у которого два угла соответствен-
Подобные
175 треугольники
но равны двум данным углам, а биссектриса при
вершине третьего угла равна данному отрезку.
Сначала построим какой-нибудь треуголь-
ник, подобный искомому. Для этого начертим
произвольный отрезок А, By и построим треуголь-
ник	у которого углы Л, и Вт соответствен-
но равны данным углам (рис. 231, б).
Далее построим биссектрису угла С и от-
ложим на ней отрезок CD, равный данному от-
резку. Через точку D проведём прямую, парал-
лельную Д.??!. Она пересекает стороны угла С в
некоторых точках А и В (рис. 231, б). Треуголь-
ник АВС искомый.
В самом деле, так как АВ || Д В^, то ZА = Z А,,
/.В = АВу, и, следовательно, два угла треугольника
АВС соответственно равны данным углам. По по-
строению биссектриса CD треугольника ЛВС рав-
на данному отрезку. Итак, треугольник ЛВС удов-
летворяет всем условиям задачи.
Очевидно, задача имеет решение, если
сумма двух данных углов меньше 180°. Так
как отрезок можно выбрать произвольно,
то существует бесконечно много треугольников,
удовлетворяющих условию задачи. Все эти тре-
угольники равны друг другу (объясните почему),
поэтому задача имеет единственное решение.
73.	Применение подобия
треугольников в измерительных
работах на местности
Свойства подобных треугольников могут
быть использованы при проведении различных
измерительных работ на местности. Мы рассмот-
рим две задачи: определение высоты предмета и
расстояния до недоступной точки.
Определение высоты предмета. Предполо-
жим, что нам нужно определить высоту какого-
нибудь предмета, например высоту телеграфного
176
Скачан с vk.com/materiallOO
Глава VIII
столба А! Ср изображённого на рисунке 232. Для
этого поставим на некотором расстоянии от стол-
ба шест АС с вращающейся планкой и направим
планку на верхнюю точку А3 столба, как показа-
но на рисунке. Отметим на поверхности земли
точку В, в которой прямая АаА пересекается с
поверхностью земли. Прямоугольные треуголь-
ники А1С1В и АСВ подобны по первому призна-
ку подобия треугольников (Z€\ = ZC =
общий). Из подобия
A,C. ВС,
откуда
90°, ZB —
треугольников следует:
ici —
АС • ВС\
ВС
Измерив расстояния ВСхи ВС и зная длину
АС шеста, по полученной формуле определяем
высоту AtC, телеграфного столба. Если, напри-
мер, ВС1 = 6,3 м, ВС = 2,1 м, АС = 1,7 м, то
1,7-6,3
AtCi =	= о,1 м.
Определение расстояния до недоступной
точки. Предположим, что нам нужно найти рас-
стояние от пункта А до недоступного пункта В
(рис. 233). Для этого па местности выбираем
точку С, провешиваем отрезок АС и измеря-
ем его. Затем с помощью астролябии измеряем
углы А и С. На листе бумаги строим какой-ни-
будь треугольник AjBjCj, у которого ZAX=ZA,
ZC, = ZC, и измеряем длины сторон и А^
этого треугольника. Так как треугольники АВС
и AjBjCj подобны (по первому признаку подобия
треугольников), то
АВ _ АС
откуда получаем
Рис.232
AB =
A.C,
Эта формула позволяет по известным рас-
стояниям АС, А1С1 и ArB[ найти расстояние АВ.
Подобные
треугольники
177
Для упрощения вычислений удобно постро-
ить треугольник AjBjCj таким образом, чтобы
AjCj : АС = 1 : 1000. Например, если АС = 130 м,
то расстояние AjC^ возьмём равным 130 мм.
АС
В этом случае АВ = 	• А,В.= 1000 • А,В., по-
AtCi
этому, измерив расстояние АХВ( в миллиметрах,
мы сразу получим расстояние АВ в метрах.
Пример
Пусть АС = 130 м, Z А = 73°, ZC= 58°
(рис. 233). На бумаге строим треугольник А1В1С1
так, чтобы ZAX = 73е, ZCr= 58°, AjC^ 130 мм,
и измеряем отрезок ДВ>. Он равен 153 мм, по-
этому искомое расстояние равно 153 м.
Задачи
672 Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см и 7 см.
Найдите периметр треугольника, вершинами которого явля-
ются середины сторон данного треугольника.
673 Расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника
до прямой, содержащей его большую сторону, равно 2,5 см.
тт	v	Скачан с vK.eom/m
Найдите меньптую сторону прямоугольника»
674 Точки Р и Q — середины сторон АВ и АС треугольника АВС.
Найдите периметр треугольника АВС, если периметр тре-
угольника APQ равен 21 см.
675 Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей
трапеции, параллелен сё основаниям и равсп полуразпости ос-
нований.
676 Диагональ АС параллелограмма ABCD равна 18 см. Середи-
на М стороны АВ соединена с вершиной D. Найдите отрезки,
на которые делится диагональ АС отрезком DM.
677 В треугольнике АВС медианы А Ат и ВВ} пересекаются в точ-
ке О. Найдите площадь треугольника АВС, если площадь тре-
угольника АВО равна В.
В задачах 678—680 использованы следующие обозначения
для прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С и
высотой СН: ВС = а, С А = Ъ, АВ = с, СН = й, АН = Ье, НВ = а,.,
678 Найдите:
а)	й, а и.	если Ъе = 25, аг = 16;
б)	й, а и Ь, если йе=36, аг = 64;
в)	а, с и ае, если 6 = 12, Ьг. = 6;
178 Глава VIII
679
680
681
682
683
684
685
686
687
г)	5, с и Ье, если а = 8, ц. = 4;
д)	h, b, ас. и Ье, если а = 6, с = 9.
Выразите ас и Ъс через а, b и с.
п	х	1	°2	Ь2
Докажите, что:	а) п	= —;	б)	— =	—.
с	ае	Ьс
Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3 : 4, а ги-
потенуза равна 50 мм. Найдите отрезки, на которые гипотенуза
делится высотой, проведённой из вершины прямого угла.
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершит
ны прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, один из кото-
рых на 11 см больше другого. Найдите гипотенузу, если кате-
ты треугольника относятся как 6:5.
В треугольнике, стороны которого равны 5 см, 12 см и 13 см,
проведена высота к его большей стороне. Найдите отрезки, на
которые высота делит эту сторону.
Используя утверждение 2°, п. 71, докажите теорему Пифаго-
ра: в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С
выполняется равенство АС2 + ВС2 = АВ2.
Решение
Пусть CD — высота треугольника АВС (рис. 230, с.,.174). Ца
лп у» г	Скачакс vK.com/matenallOO
основании утверждения 2°, п. 6э, имеем
АС = 7АП-АВ, или АС2 = AD • АВ.
Аналогично ВС2 = BD  АВ. Складывая эти равенства почлен-
но и учитывая, что AD + BD— АВ, получаем:
АС2 + ВС2= AD • AB + BD- АВ = (AD + BD)  АВ = АВ2.
Для определения высоты столба A^j, на рисунке 232, с. 177,
использован шест с вращающейся планкой. Чему равна вы-
сота столба, если BCL = 6,3 м, ВС = 3,4 м, АС = 1,7 м?
Длина тени дерева равна 10,2 м, а длина тени человека, рост
которого 1,7 м, равна 2,5 м. Найдите высоту дерева.
F
Для определения высоты дерева
можно использовать зеркало так,
как показано на рисунке 234. Луч
света FD, отражаясь от зеркала в
точке D, попадает в глаз человека
(точку В). Определите высоту де- А	£'
рева, если А С = 165 см, ВС = 12 см, юркало
АП = 120 см, РЕ = 4,8 м, Z1 =А2. Рис. 234
Подобные
179	т ре у гол ън и к и
688
689
690
691
692
693
694
695
696
Для определения расстояния от точки А до недоступной
точки В на местности выбрали точку С и измерили отрезок
АС, углы ВАС и ЛСВ. Затем построили на бумаге треуголь-
ник А^Ср подобный треугольнику АВС. Найдите АВ, если
АС = 42 м, /ЦС-! = 6,3 см, AyB-i = 7,2 см.
На рисунке 235 показано, как можно
определить ширину BBL реки, рассматри-
вая два подобных треугольника АВС и
АВ,С,. Определите ВВ15 если АС= 100 м,
АС, =32 м, А В1 = 34 м.
Задачи на построение
Разделите данный отрезок АВ на два
отрезка АХ и ХВ, пропорциональные дан-
ным отрезкам P^Q, и P2Q2-
Решение
Проведём какой-нибудь луч AM, не лежа-
щий на прямой АВ, и на этом луче отложим
последовательно отрезки АС и CD, равные
отрезкам PLQt и P2Q2 (рис. 236). Затем про-
ведем прямую BD и прямую, проходящую
через точку С параллельно прямой BD. Опа
пересечёт отрезок АВ в искомой точке X
(см. задачу 663).
Рис.236
Начертите отрезок АВ и разделите его в отношении: а) 2:5;
б) 3 : 7; в) 4 : 3.
Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, прове-
дённой из вершины меньшего из данных углов.
Постройте треугольник по двум углам и высоте, проведённой
из вершины третьего угла.
Постройте треугольник АВС по углу А и медиане AM, если
известно, что АВ : АС = 2:3.
Постройте треугольник АВС по углу А и стороне ВС, если из-
вестно, что АВ : АС = 2:1.
Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе и отно-
шению катетов, равному отношению двух данных отрезков.
J80 Глава VIII
Соотношения между сторонами
и углами прямоугольного треугольника
74. Синус, косинус и тангенс острого
угла прямоугольного треугольника
Рассмотрим прямоугольный треугольник
АВС с прямым углом С (рис. 237). Катет ВС этого
треугольника является противолежащим углу А,
а катет АС прилежащим к этому углу.
Синусом острого угла прямоугольного тре-
угольника называется отношение противолежа-
щего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение прилежа-
щего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение противоле-
жащего катета к прилежащему катету.
Синус, косинус и тангенс угла, равного а,
обозначаются символами sin a, cos а и tg а (чита-
ется: «синус альфа», «косинус альфа» и «тангенс
альфа»). На рисунке 237
• л ВС
S,nA=XB’	(1)
Л АС	/СП
cos А = ——,	(2)
АВ
. л ВС	/оч
tg А = ——.	(3)
АС
Из формул (1) и (2) получаем:
sin А _ ВС АВ _ ВС
cos А АВ АС АС
Сравнивая с формулой (3), находим:
tgA =----(4)
cos Д
т, е. тангенс угла равен отношению синуса к
косинусу этого угла.
Т81
Скачан с vk.com/matenallOO
Подобные
треугольники
Докажем, что если острый угол одного пря-
моугольного треугольника равен острому углу
другого прямоугольного треугольника, то синусы
этих углов равны, косинусы этих углов равны и
тангенсы этих углов равны.
В самом деле, пусть ЛИС и Л1В1С1 — два
прямоугольных треугольника с прямыми угла-
ми С и С, и равными острыми углами А и Д.
Треугольники АВС и А^Ц подобны по первому
признаку подобия треугольников, поэтому
АВ ВС АС
~ BLCX ~ AiC/
ВС BiC
Из этих равенств следует, что —— = 1	,
АВ А\В^
* л * л л	АС А .С ]
т. е. sm А = sm А,. Аналогично ---= —!—L,
1	АВ AtBx
т. е.
ВС В।	. л ।	.
дс =ДсГ т-е- ^A = tgA,.
Докажем теперь справедливость равенства
sin2 А 4-cos2 А = 1.	(5)
cos А = cos А|, и
Скачан с vk.com/materiallOO
Из формул (1) и (2) получаем
2л.	2 а ВС2 , АС2
smJ А 4- cos" А = -	+ —-5- =
АВ2 АВ2
ВСг+АС2
Хв2
По теореме Пифагора ВС2 + АС2 = АВ2,
поэтому sin2 А 4- cos2 А = 1.
Равенство (5) называется основным триго-
нометрическим тождеством1.
75. Значения синуса, косинуса
и тангенса для углов 30°, 45° и 60°
Найдём сначала значения синуса, косинуса
и тангенса для углов 30° и 60°. Для этого рас-
смотрим прямоугольный треугольник АВС
1 Слово «тригонометрия» в переводе с греческого
языка означает «измерение треугольников».
182 Глава VIII
с прямым углом С, у которого ZA = 30°, ZB = 60е
(рис. 238). Так как катет, лежащий против
угла в 30°, равен половине гипотенузы, то
= -J-. Но = sin А = sin 30°. С другой сторо-
ны, = cos В = cos 60°. Итак,
АВ
апЗО» = 1.со86(Г = 1.
Из основного тригонометрического тожде-
ства получаем:
cos30c = 71 - sin2 30е = J1 -4 =
V 4	2
sin 60с = 71 - cos260° =	=	•
Рис.238
По формуле (4) находим:
tg 30° =
sin 30° _ 1 _ 7з
cos 30 ТТ "з”*
tg 60 =
sin60°
cos 60е
Скачан с vk.com/materiallOO
Найдём теперь sin 45°, cos 45° и tg 45°. Для
этого рассмотрим равнобедренный прямоугольный
треугольник АВС с прямым углом С (рис. 239).
В этом треугольнике АС = ВС, ZA=ZB = 45°, По
теореме Пифагора АВ1 = АС2+ ВС2 = 2АС2 = 2ВС2,
АВ
откуда АС = ВС Следовательно,
. л сс • А ВС 1
sin 45 = sin А =-----= ——
АВ 42
2
2 ’
, „с . АС 1
cos 4а = cos А = —— = ——
АВ ^2
2
2 ’
ВС
tg45c = tgA=^=l
ZkCz
Составим таблицу значений
tg а для углов а, равных 30°, 45е, 60°:
sin tx, cos (х,
Подобные
треугольники
183
а	30°	45е	60°
sin а	1_ 2	72 2	Уз 2
cos а	7з 2	72 2	1_ 2
tga	<3 3	1	Уз
	Задачи
697	Найдите синус, косинус и тангенс углов Ат В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) ВС = 8, АВ = 17; б) ВС = 21» АС = 20; в) ВС = 1, АС = 2; г) АС = 24, АВ = 25.
698	Постройте угол ос, если: 1	3 a) tg a = —;	б) tg ex = —;	в) cos a = 0,2; 2	4 2	1 r)cosa=—;	fl)sina = —;	e) sin a = 0,4. «Э	£
699	Найдите: 1	Скачан c vk.con^ material 100 a) sin а и tg a, если cos a=—;	6) sin a и tg a, если cos oc - —; Z	о .	.	.	Уз .	,i в) cos a и tg a, если sin ex = -^-; r) cos a и tg a, если sin cz =—.
700	В прямоугольном треугольнике один из катетов равен Ь, а противолежащий угол равен [3. а) Выразите другой катет, противолежащий ему угол и гипотенузу через Ь и [3. б) Найди- те их значения, если Ь = 10см, [3=50°.
701	В прямоугольном треугольнике один из катетов равен Ь, а прилежащий к пому угол равен а. а) Выразите второй ка- тет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и а. б) Найдите их значения, если £>=12 см, a = 42".
702	В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, а один из острых углов равен а. Выразите второй острый угол и катеты через с и а и найдите их значения, если с = 24 см, а a = 35°.
703	Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь. Выразите через а и b гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при a = 12, & = 15.
704	Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом a при основании, если: а) боковая сторона равна Ь; б) основание равно а.
184 Глава VIII
705
706
707
708
709
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Найдите площадь равнобедренной трапеции
с основаниями 2 см и 6 см, если угол при
большем основании равен г/.
60.4
12.4
Насыпь шоссейной дороги имеет в верхней
части ширину 60 м. Какова ширина насыпи —-----Г"
в нижней её части, если угол наклона отко-
сов равен 60 ’, а высота насыпи равпа 12 м Рис. 240
(рис. 240)?
Найдите углы ромба с диагоналями 2>/3 и 2.
Стороны прямоугольника равны 3 см и х!3 см. Найдите углы,
которые образует диагональ со сторонами прямоугольника.
В параллелограмме ABCD сторона AD равна 12 см, а угол
BAD равен 47°50'. Найдите площадь параллелограмма, если
его диагональ BD перпендикулярна к стороне АВ.
Вопросы для повторения к главе VIII
Что называется отношением двух отрезков?
В каком случае говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональ-
ны отрезкам и
П.ГН kJ 1	Гъ <X_Vi 2 1| 1 J il	.
Дайте определение подобных треугольников.
Скачан с vk.com/materiallOO
Сформулируйте и докажите теорему об отношении площадей
подобных треугольников.
Сформулируйте и докажите теорему, выражающую первый
признак подобия треугольников.
Сформулируйте и докажите теорему, выражающую второй
признак подобия треугольников.
Сформулируйте и докажите теорему, выражающую третий
признак подобия треугольников.
Какой отрезок называется средней линией треугольника?
Сформулируйте и докажите теорему о средней линии тре-
угольника.
Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной
точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, счи-
тая от вершины.
Сформулируйте и докажите утверждение о том, что высота
прямоугольного треугольника, проведённая из вершины пря-
мого угла, разделяет треугольник на подобные треугольники.
Сформулируйте и докажите утверждения о пропорциональ-
ных отрезках в прямоугольном треугольнике.
Подобные
треугольники
Приведите пример решения задачи на построение методом
подобия.
12
13
14
15
16
17
18
710
711
712
713
714
715
Расскажите, как определить на местности высоту предмета и
расстояние до недоступной точки.
Объясните, какие две фигуры называются подобными. Что
такое коэффициент подобия фигур?
Что называется синусом, косинусом, тангенсом острого угла
прямоугольного треугольника?
Докажите, что если острый угол одного прямоугольного тре-
угольника равсп острому углу другого прямоугольного тре-
угольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов
равны и тангенсы этих углов равны.
Какое равенство называют основным тригонометрическим
тождеством?
Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса для углов
30е, 45°, 60е? Ответ обоснуйте.
Дополнительные задачи
Треугольники АВС и А}ВуСу подобны, А В - 6 смкаЖс=?к!Й(5йМз)а1епа11ОО
СА= 10 см. Наибольшая сторона треугольника	равна
7,5 см. Найдите две другие стороны треугольника A^^j.
Диагональ АС трапеции ABCD делит её на два подобных тре-
угольника. Докажите, что ЛС2=а-&, где а и b— основания
трапеции.
Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекают-
ся в точке О. Найдите отношение ОК : ON, если МN = 5 см,
NP - 3 см, МР = 7 см.
Основание равнобедренного треугольника относится к боковой
стороне как 4 : 3, а высота, проведённая к основанию, равна
30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссек-
триса угла при основании.
На продолжении боковой стороны ОВ равнобедренного
треугольника АОВ с основанием АВ взята точка С так, что
точка В лежит между точками О и С. Отрезок АС пересекает
биссектрису угла АОВ в точке М. Докажите, что AM < МС.
На стороне ВС треугольника АВС взята точка D так, что
BD
АВ
DC
АС
.Докажите, что AD — биссектриса треугольника АВС.
186 Глава VI11
716
717
718
719
720
721*
722
723
724
725
Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС, делит
сторону АС в отношении 2 : 7, считая от вершины А. Най-
дите стороны отсечённого треугольника, если АВ = 10 см,
ВС=18см, СА = 21,6 см.
___Докажите, что медиана AM треугольника АВС делит по-
полам любой отрезок, параллельный стороне ВС, концы кото-
рого лежат на сторонах АВ и АС.
Два шеста АВ и СВ разной длины а и b
установлены вертикально па некотором
расстоянии друг от друга так, как показано
на рисунке 241. Концы А и D, В и С соеди-
нены верёвками, которые пересекаются в
точке О. По данным рисунка докажите,
.	m	х	п х-.	х.х-
что:	а)	— =	-	и	— = —; б)	— + — = 1.	р	241
a	b	da	ап	гис.	хч i
Найдите х и докажите, что х не зависит от расстояния d меж-
ду шестами АВ и CD.
АС ВМ
Докажите, что треугольники АВС и AjBjC, подобны, если:
. АВ
а)
----— -------, где ВМ и В.М. — медианы треуголь-
А|С, ВАС
ZA=ZA(,	где ВН и В}Н{—высоты
AiC| Bl‘С	Скачан с vk.com/materiallOO
ников; б)
треугольников АВС и ApBjCp
Диагонали прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом А
взаимно перпендикулярны. Основание АВ равно 6 см, а боко-
вая сторона AD равна 4 см. Найдите DC, DB и СВ.
J Отрезок с концами на боковых сторонах трапеции парал-
лелен её основаниям и проходит через точку пересечения диа-
гоналей. Найдите длину этого отрезка, если основания трапе-
ции равны а и Ъ.
Докажите, что вершины треугольника равноудалены от пря-
мой, содержащей его среднюю линию.
Докажите, что середины сторон ромба являются вершинами
прямоугольника.
Точки М и N являются соответственно серединами сторон CD
и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AM и
AN делят диагональ BD па три равные части.
| Биссектриса внешнего угла при вершине А треугольни-
ка АВС пересекает прямую ВС в точке D. Докажите, что
RD _ DC
АВ ~ АС ‘
Подобные
треугольники
726
727
728
729
730
731
732*
733
734
735
736
В треугольнике АВС (АВ АС) через середину стороны ВС
проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А, которая
пересекает прямые АВ и АС соответственно в точках D и Е.
Докажите, что BD = CE.
В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС сумма оснований
равна Ъ, диагональ АС равна a, ZACB = <x. Найдите площадь
трапеции.
На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка К так,
что А К = —KD Диагональ АС и отрезок В К пересекаются в
4 .
точке Р. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если пло-
щадь треугольника АРК равна 1 см2.
В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС
ХА=АВ = 90% Z.ACD = 90°, ВС = 4 см, АП =16 см. Найдите
углы С и D трапеции.
Докажите, что медианы треугольника разбивают его на шесть
треугольников, площади которых попарно равны.
Основание AD равнобедренной трапеции ABCD в 5 раз боль-
ше основания ВС. Высота ВН пересекает диагональ АС в точ-
ке М, площадь треугольника АМН равна 4 см2. Найдите пло-
щадь трапеции ABCD,
Докажите, что треугольники АВС и AjBjCj nq^©^pbM.W-WatenallOO
АВ _ АС _ АР
.Aj/?! AjCj
где AD и Aj.0, —биссектрисы треуголь-
ников.
Задачи на построение
Дан треугольник АВС. Постройте треугольник АтВ^,, по-
добный треугольнику АВС, площадь которого в 2 раза больше
площади треугольника АВС.
Даны три отрезка, длины которых соответственно равны
а, b и с. Постройте отрезок, длина которого равна —.
с
Постройте треугольник, если даны середины его сторон.
Постройте треугольник по сторопс и медианам, проведенным
к двум другим сторонам.
188 Глава VIII
Глава IX
Окружность
Окружность — одна из основных геометрических фигур.
В 7 классе вы узнали свойства диаметров и хорд, касатель-
ной к окружности, теоремы о вписанной и описанной окружно-
стях треугольника. В этой главе мы вернёмся к изучению взаим-
ного расположения окружности и прямой, рассмотрим теоремы
о взаимном расположении двух окружностей. Будут доказаны
свойства углов, связанных с окружностью, а также теоремы
о вписанной и описанной окружностях четырёхугольников.
Окружность и прямые
76.	Взаимное расположение
прямой и окружности
В 7 классе мы доказали, что окружность и
прямая не могут иметь более двух общих точек.
Были выделены три случая взаимного располо-
жения окружности и прямой. Эти фигуры могут
— не иметь общих точек;
—	иметь одну общую точку (тогда прямая
называется касательной к окружности);
—	иметь две общие точки (в этом случае
прямая называется секущей окружности).
Взаимное расположение окружности и пря-
мой зависит от расстояния от центра этой окруж-
ности до данной прямой. Проведём исследование
их взаимного расположения.
Если прямая проходит через центр окружно-
сти, то она пересекает окружность в двух точках —
концах диаметра, лежащего на прямой.
Пусть прямая р по проходит через цептр О
окружности радиуса г. Проведём перпендикуляр
ОН к прямой р и обозначим буквой d длину это-
го перпендикуляра, т. е. расстояние от центра
данной окружности до прямой (рис. 242).
Скачан с vk.com/materiallOO
Окружность
Исследуем взаимное расположение прямой
и окружности в зависимости от соотношения
между d и г. Возможны три случая.
1)	d<r. На прямой р от точки Н отложим
два отрезка НА и НВ, длины которых равны
Vr2 - d2 (рис. 242, а). По теореме Пифагора
ОА= JOH2 + НА = Jd2 + (r2-d2) = г,
ОВ = JOH ^ТнВ2 = Vrf2 + (г2-^2) = г.
Следовательно, точки А и В лежат на
окружности и, значит, являются общими точка-
ми прямой р и данной окружности.
Докажем, что прямая р и данная окруж-
ность не имеют других общих точек. Предполо-
жим, что они имеют ещё одну общую точку С.
Тогда медиана OD равнобедренного треугольника
О АС, проведённая к основанию АС, является вы-
сотой этого треугольника, поэтому OD X р. Отрез-
ки ОВ и ОН не совпадают, так как середина В
отрезка АС не совпадает с точкой Н — серединой
отрезка АВ. Мы получили, что из точки О про-
ведены два перпендикуляра (отрезки ОН и OD)
к прямой р, что невозможно.
Итак, если расстояние от центра окруж-
ности до прямой меньше радиуса окружности
(d < г), то прямая и окружность имеют две общие
точки.
2)	d = г. В этом случае ОН = г, т. е. точка Н
лежит на окружности и, значит, является об-
щей точкой прямой и окружности (рис. 242, £)•
Прямая р и окружность не имеют других общих
точек, так как для любой точки М прямой р, от-
личной от точки Н, ОМ > ОН = г (наклонная ОМ
больше перпендикуляра ОН), и, следовательно,
точка М не лежит на окружности.
Итак, если расстояние от центра окруж-
ности до прямой равно радиусу окружности, то
прямая и окружность имеют только одну общую
точку.
Рис. 242
190 Глава IX
3)	d > г. В этом случае ОН > г, поэто-
му для любой точки М прямой р ОМ^ОН>г
(рис. 242, в). Следовательно, точка М по лежит
на окружности.
Итак, если расстояние от центра окружно-
сти до прямой больше радиуса окружности, то
прямая и окружность не имеют общих точек.
77. Взаимное расположение
двух окружностей
Выясним, как могут быть расположены по
отношению друг к другу две окружности с цен-
трами и О2 и радиусами В и г соответственно.
Окружности с общим центром и различ-
ными радиусами называются концентрическими
(рис. 243). В этом случае окружности не имеют
общих точек, все точки одной из окружностей
являются внутренними точками относительно
другой.
Отметим, что две окружности с разными
центрами не могут иметь более двух общих то-
чек. Допустим, что это не так. Пусть две окруж-
ности с центрами О, и О2 имеют три общие точ-
ки А, В и С. Так как каждая из точек и О2
равноудалена от точек А, В и С, то точки Q и О2
лежат как па серединном перпендикуляре 4 к от-
резку АВ, так и на серединном перпендикуляре
/о к отрезку ВС. Но тогда различные прямые /хи
Л проходят через две точки и О2. Это противо-
речит аксиоме: через любые две точки проходит
прямая, и притом только одна.
Рассмотрим окружности, центры О] и О2
которых не совпадают. Обозначим d расстояние
между точками и О2. Пусть для определенно-
сти В > г.
Если окружности имеют две общие точки,
то говорят, что они пересекаются. На рисунках
244 а, б окружности пересекаются в точках
и М.2. Заметим, что в этом случае d<B + г или
d > В. - г.
191
Рис.243
Скачан с vk.com/materiallOO
Окружность
d < R + r	d >R-r
Рис.244
Если две окружности имеют одну общую
точку, то говорят, что они касаются. В этом
случае общая точка окружностей называется
точкой касания. На рисунке 245, а окружно-
сти касаются внутренним образом, в этом слу-
чае d = R - г. На рисунке 245, б окружности ка-
саются внешним образом, при этом d = R + г.
На рисунке 246, а все точки окружно-
сти с центром О2 являются внутренними точ-
ками относительно окружности с центром Q.
В таком случае говорят, что одна окружность
лежит внутри другой, при этом d<R — r. На
рисунке 246, б окружности не имеют общих
точек и ни одна из них не лежит внутри дру-
гой. В этом случае говорят, что окружность с
центром О 2 лежит вне окружности с центром
При этом d > R + г.
Чтобы выяснить взаимное расположение
двух окружностей, достаточно сравнить рас-
стояние между их центрами с суммой или раз-
ностью радиусов.
d = R + г
Рис.245
J92 Гласа IX
Прежде чем сформулировать и доказать
теорему о взаимном расположении двух окруж-
ностей, убедимся в справедливости следующего
утверждения.
Лемма1
Если для длин а, b и с трёх данных отрезков
выполняются условия: а + b > с, b + с > а,
а + с > Ъ, то существует треугольник, стороны
которого равны данным отрезкам.
Доказательство
Пусть с>Ь>а. Докажем, что существу-
ет треугольник АВС, в котором АВ = с, ВС = а,
АС = Ь. Для этого сначала докажем, что оу, где
„ _ Ь '2 + с 2 - а2
У~ Тс
По условию а + b > с, поэтому а > с - Ъ. Так
как с Ь, то а2 > (с - Ь)2. Из этого неравенства
следует: а2 > с2 + Ъ2 - 2с/?, откуда 2с6 > 62 + с2- а2.
Учитывая то, как определён отрезок у, получа-
ем: 2сЬ > 2су. Следовательно, Ъ>у. Но с^Ь, по-
этому оу.
Пусть АВ = с. На луче АВ отложим отрезок
АН = у. Так как у<с, то точка Н лежит па отрез-
ке АВ. Рассмотрим прямую I, проходящую че-
рез точку Н и перпендикулярную Л В (рис. 247).
На этой прямой от точки Н отложим отрезок
НС -	. Докажем, что треугольник АВС —
искомый.
По теореме Пифагора для треугольника АСН
имеем АС2 = АН2 + НС2 или АС2 = у2 + (Ь2 - у2) = 1г,
откуда АС = Ъ.
Покажите самостоятельно, применяя теоре-
му Пифагора для треугольника ВСН, что ВС = а.
Итак, в треугольнике АВС ВС = а, АВ = с,
АС = Ь.
Лемма доказана.
Рис.247
* Леммой называется вспомогательная теорема, с по-
мощью которой доказываются следующие теоремы.
Окружность
Замечание
Выбор отрезка у в доказательстве леммы
следует из доказательства формулы Героиа для
вычисления площади треугольника (п. 62).
Теперь докажем теорему о взаимном распо-
ложении двух окружностей.
Теорема
Пусть центры и О2двух окружностей с радиу-
сами К и г не совпадают, О£О2 = d, тогда:
1)	окружности пересекаются, если R — г < d <
<R + r uR^r;
2)	окружности касаются внешним образом, если
d = R + г;
3)	окружности касаются внутренним образом,
если d = R — г и R > г;
4)	окружности не имеют общих точек, причём
окружность с центром О2 расположена вне
окружности с центром если d > R + г\
5)	окружности не имеют общих точек, причём
окружность с центром О2 расположена внутри Скачан с vk.com/materiallOO
окружности с центром Ох, если d < R — г и R > г.
Доказательство
Приведём доказательства для случаев 1 и 3.
1) Если d>R-r, то d + r>R. Так как
d + /? > /?, a R > г, то d + R > г. Также по условию
R + r>d. По доказанной лемме существует тре-
угольник	в котором O1O2 = d, OVMX = R,
ОгЛ1 j = г. Тогда точка Af-, принадлежит каждой
из двух окружностей.
Пусть точка М2 симметрична точке Мх
относительно прямой (\О2 (рис. 248). Тогда
ОхМг-ОХМХ = Rt О2М 2=О.>М { = г, поэтому точка
Л/2 также принадлежит каждой окружности и не
совпадает с точкой МХ. Итак, окружности имеют
две общие точки, то есть пересекаются.
3)	На луче О1О2°'гложим отрезок О}К, дли-
на которого равна R. Из условия следует, что
d<R, поэтому точка О2 лежит между точками
Рис.248
194 Глава IX
и К. Тогда длина отрезка OJt равна г. Посколь-
ку ОАК = R, а О2К = rt точка К принадлежит каж-
дой из двух окружностей (рис. 249).
Докажем, что в этом случае других об-
щих точек у окружностей нет. Действительно,
для любой точки М окружности с центром О2,
отличной от точки К, О1М<О1О2 -I- О2М или
OxM<d- г. Из условия следует, что d + r = R,
поэтому O}M<R. Это означает, что каждая точ-
ка М окружности с центром О2, отличная от точ-
ки К, является внутренней относительно окруж-
ности с центром С\.
Таким образом, окружности касаются внут-
ренним образом. Доказательства остальных слу-
чаев взаимного расположения двух окружностей
проведите самостоятельно (см. задачи 758—760).
Теорема доказана.
Следствие
Если две окружности с центрами Ол и О2 пере-
секаются, то точки их пересечения не лежат на
прямой О±О2.
Если окружности с центрами и О2 касаются,
то точка касания лежит на прямой О^.
Рис.249
Скачан с vk.com/materiallOO
78.	Общие касательные двух
окружностей
Если две окружности с центрами и О2
касаются внешним или внутренним образом в
точке К, то точка касания лежит на прямой OjO2.
Тогда прямая Z, проходящая через точку К и пер-
пендикулярная к прямой О|О2(рис. 250, a, б), яв-
ляется касательной к каждой из окружностей
(объясните почему). В таком случае говорят, что
прямая / является общей касательной данных
окружностей.
Изучим вопрос о количестве общих касатель-
ных двух окружностей.
Если все точки одной окружности являют-
ся внутренними относительно другой окружно-
Окружноегпъ
сти, то такие окружности не имеют общих ка-
сательных.
В случае касания окружностей внутрен-
ним образом (см. рис. 250, а) существует един-
ственная общая касательная. Если две окруж-
ности пересекаются, то они имеют две общие
касательные (рис. 251).
Если окружности касаются внешним об-
разом, они имеют три общие касательные
(рис. 252).
Если все точки каждой окружности яв-
ляются внешними относительно другой окруж-
ности, то эти окружности имеют четыре общие
касательные (рис. 253).
Общую касательную к двум окружно-
стям называют внешней, если обе окружности
лежат по одну сторону от этой касательной.
Например, на рисунке 253 прямые	и
N2K’2 — внешние касательные окружностей.
Общую касательную к двум окружно-
стям называют внутренней, если окружности
лежат по разные стороны от этой касательной.
На рисунке 253 прямые Т2 и S2T} вну-
тренние касательные окружностей.
Рис. 250
Рис. 253
196 Гласа IX
737
7:?8
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
Практические задания
Начертите прямую а и отметьте точку О, не лежащую на этой
прямой. Постройте окружность с центром О так, чтобы опа:
а) не имела с прямой а общих точек; б) пересекалась с пря-
мой а в двух точках; в) касалась прямой а.
Начертите прямую а и отметьте на пей точку М. Постройте
окружность так, чтобы она касалась прямой а в точке М.
Начертите прямую и отметьте на ней две точки А и В. По-
стройте окружности с центрами в точках А и В так чтобы:
а) окружности не имели общих точек и одна окружность ле-
жала внутри другой; б) окружности не имели общих точек
и одна окружность лежала вне другой; в) окружности пере-
секались в двух точках; г) окружности касались внешним об-
разом; д) окружности касались внутренним образом.
Задачи
Пусть d расстояние от центра окружности радиуса г до пря-
мой р. Каково взаимное расположение прямой р и окружности,
если: а) г=16см, d = 12 см; б) г=5см, <2 = 4,2 см; в) ?’=7,2дм,
d = 3,7 дм; г) г = 8 см, d— 1,2 дм; д) г= 5 см, d = 50 мм?
Расстояние от точки А до центра окружности меньше ради-
уса. Докажите, что любая прямая, проходящая черездаи^уу|^от/та1еИа|100
является секущей по отношению к данной окружности.
Даны квадрат О АВС со стороной, равной 6 см, и окружность
с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых О А, АВ, ВС
и АС являются секущими по отношению к этой окружности?
Радиус ОМ окружности с центром О делит хорду АВ попо-
лам. Докажите, что касательная, проведенная через точку М,
параллельна хорде АВ.
Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса г в
ке В, Найдите АВ, если 0.4=2 см, а г=1,5см.
Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса г в
ке В. Найдите АВ, если ААОВ = 60°, а г= 12 см.
Прямые МА и МВ касаются окружности с центром О в
ках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точ-
ки В. Докажите, что /.AMС = ЗАВМС.
I Из концов диаметра АВ данной окружности проведены
перпендикуляры AAt и BBL к касательной, которая пе пер-
пендикулярна к диаметру АВ. Докажите, что точка касания
является серединой отрезка АтВр
В прямоугольной трапеции ABCI) АА = А1) = 90°. Докажи-
те, что: а) прямая AI) является касательной к окружности
точ-
точ-
точ-
Окружность
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
с центром В радиуса АВ; б) прямая CD является касательной
к окружности с центром А радиуса AD; в) прямая CD не яв-
ляется касательной к окружности с центром В радиуса ВС.
Отрезок АП — перпендикуляр, проведенный из точки А
к прямой, проходящей через центр О окружности ради-
уса 3 см. Является ли прямая АН касательной к окружно-
сти, если: а) ОА = 5см, АН =1 см; б) АН АО = 45°, ОА = 4 см;
в) АН АО = 30°, О А = 6 см?
Радиусы двух пересекающихся окружностей равны 5 см и
3 см. Каким целым числом может быть расстояние между их
центрами?
Две окружности радиусов 7 см и 3 см касаются внутренним об-
разом. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
Две окружности радиусов 10 см и 6 см касаются внешним об-
разом. Найдите расстояние между центрами этих окружностей.
Окружность радиуса 8 см расположена вне окружности ра-
диуса г. Каким целым числом может быть г, если расстояние
между центрами этих окружностей равно 14 см?
Определите взаимное расположение двух окружностей, радиу-
сы которых равны 5 и 9, если расстояние между их центрами
равно: а) 16; б) 14; в) 7; г) 4.
Скачан с vk.com/materiallOO
Сколько общих касательных имеют две окружности с центра-
ми Oj и О-2 и радиусами R и г, если: а) О}О2= 12 см, R=8 см,
г=6 см; б) OjO2 = 12 см, R = 8 см, г = 4 см; в) OjO2 = 12 см,
R = 6 см, /• = 4 см; г) О1О2 = 2 см, R = 8 см, г= 6 см; д) = 3 см,
R = 5 см, г = 4 см?
Три равные окружности радиуса г касаются друг друга
внешним
образом.
Найдите стороны
и углы треугольника,
вершинами которого являются: а) центры данных окружно-
стей; б) точки касания дапных окружностей.
В угол, равный 60°, вписаны две окружности, касающиеся
друг друга внешним образом. Радиус меньшей окружности
равен г. Найдите радиус большей окружности.
Докажите утверждение 2 из теоремы о взаимном располо-
жении окружностей: если расстояние между центрами двух
окружностей равно сумме радиусов этих окружностей, то
окружности касаются внешним образом.
Докажите утверждение 4 из теоремы о взаимном располо-
жении окружностей: если расстояние между центрами двух
окружностей больше суммы радиусов этих окружностей, то
окружности не имеют общих точек, причём одна окружность
лежит вне другой окружности.
J 98 Глава IX
760 Докажите утверждение 5 из теоремы о взаимном располо-
жении окружностей: если расстояние между центрами двух
окружностей с неравными радиусами меньше разности радиу-
сов, то одна окружность лежит внутри другой окружности.
761 Постройте касательную к данной окружности, проходящую
через данную точку вне окружности.
Решение
Пусть даны окружность с центром О и
радиусом В и точка М вне этой окруж-
ности. Пусть ОМ =d. Так как точка М —
внешняя, то d>R.. Допустим, что задача
решена и МК — искомая касательная
(рис. 254). Так как прямая МК перпен-
дикулярна радиусу ОК, то решение за-
дачи сводится к построению точки К
окружности, для которой угол МКО пря-
Рис.254
мой. Эту точку можно построить следующим образом: строим
отрезок ОМ и его середину Затем строим окружность
с центром О1 радиуса О-^М - — d. Для этих двух окружностей
2
расстояние между их центрами меньше суммы радиусов
-d<R + -d
2	2
поэтому окружности пересекаются в двух точ-
ках К и Прямые МК и МК. — искомые касательньтте,-такт та(:епа1100
как МК X ОК и МК X ОК{. Действительно, углы МКО и
МК{О, вписанные в окружность с центром OL, опираются па
полуокружности, поэтому они прямые. Как видно из реше-
ния, задача имеет два решения.
§2
Центральные и вписанные углы
79.	Градусная мера дуги окружности
Отметим на окружности две точки Л и В,
Они разделяют окружность на две дуги. Что-
бы различать эти дуги, на каждой из них отме-
чают промежуточную точку, например L и М
(рис. 255). Обозначают дуги так: ^ALB и ^АМВ.
Иногда используется обозначение без промежу-
точной точки: ^АВ (когда ясно, о какой из двух
дуг идёт речь).
199
Окружность
Дуга называется полуокружностью, если
отрезок, соединяющий её концы, является диа-
метром окружности. На рисунке 256, а изобра-
жены две полуокружности, одна из которых вы-
делена цветом.
Угол с вершиной в центре окружности на-
зывается её центральным углом. Пусть стороны
центрального угла окружности с центром О пере-
секают её в точках А и В. Центральному углу
АОВ соответствуют две дуги с концами А и В
(рис. 256). Если угол АОВ развёрнутый, то ему
соответствуют две полуокружности (рис. 256, а).
Если угол АОВ неразвёрнутый, то говорят, что
дуга АВ, расположенная внутри этого угла,
меньше полуокружности. На рисунке 256, б эта
дуга выделена цветом. Про другую дугу с конца-
ми А и В говорят, что она больше полуокружно-
сти (дуга ALB па рисунке 256, в).
Дугу окружности можно измерять в гра-
дусах. Если дуга АВ окружности с центром О
меньше полуокружности или является полу-
окружностью, то её градусная мера считается
равной градусной мере центрального угла АОВ
(рис. 256, а, б). Если же дуга АВ больше полу-
окружности. то её градусная мера считается рав-
ной 360е — ZAOB (рис. 256, в).
Следовательно, сумма градусных мер двух
дут окружности с общими концами равпа 3603.
Градусная мера дуги Л В (дуги ALB),
как и сама дуга, обозначается символом ^АВ
(^ALB). На рисунке 257 градусная мера дуги
САВ равна 145°. Обычно говорят кратко: «Дуга
С АВ равна 145е» и пишут: <^САВ = 145°. На
этом же рисунке A DB = 360’ — 115° = 245°,
^CDB = 360° - 145° = 215°, ^DB = 180°.
= АОВ
Рис.256
Рис.257
200 Глава IX
80.	Теорема о вписанном угле
Угол, вершина которого лежит па окруж-
ности, а стороны пересекают окружность, назы-
вается вписанным углом.
На рисунке 258 угол АВС вписанный, дуга
АМС расположена внутри этого угла. В таком
случае говорят, что вписанный угол АВС опира-
ется на дугу АМС. Докажем теорему о вписан-
ном угле.
Теорема
Вписанный угол измеряется половиной дуги,
которую он опирается.
Доказательство
Пусть А А ВС — вписанный угол окружно-
сти с центром О, опирающийся на дугу АС
(рис. 259). Докажем, что ZABC =^~ ^АС. Рассмот-
Ct
рим три возможных случая расположения
луча ВО относительно угла ЛВС.
1)	Луч ВО совпадает с одной из сторон
угла АВСу например со стороной ВС (рис. 259, а).
В этом случае дуга АС меньше полуокружности,
поэтому Z.AOC = АС. Так как угол АОС — внеш-
ний угол равнобедренного треугольника АВОу
а углы 1 и 2 при основании равнобедренного тре-
угольника равны, то ААОС = Z1 + Z2 = 2Z1.
Отсюда следует, что
2Z1 = ^ZC, или Z4BC = Z1 =-^АС.
2
2)	Луч ВО делит угол АВС на два угла.
В этом случае луч ВО пересекает дугу АС в не-
которой точке D (рис. 259, б). Точка D разделяет
дугу АС на две дуги: 'AD и ^DC. По доказанно-
му в п. 1) AABD = - ^AD и ZDBC = -~DC.
Ct	Ct
201
в
м
Рис.258
на
Рис.259
О кр 1/Ж11 ость
Складывая эти равенства, получаем
ZABD + ZI>BC = ^-A£) +	или
ZABC=^AC.
3)	Луч ВО не делит угол АВС на два угла
и не совладает со стороной этого угла. Для этого
случая, пользуясь рисунком 259, в, проведите до-
казательство самостоятельно.
Следствие 1
Вписанные углы, опирающиеся па одну и ту же
дугу, равны (рис. 260).
Следствие 2
Вписанный угол, опирающийся на полуокруж-
ность, — прямой (рис. 261).
81.	Углы, образованные хордами,
касательными и секущими
Скачан с vkZom/materiallOO
Рис.261
Доказанная теорема о вписанном угле по-
зволяет получить формулы для вычисления ве-
личин углов между хордами, секущими, каса-
тельной и хордой, касательной и секущей.
Докажем теорему об угле между хордами
окружности.
Теорема 1
Угол между хордами окружности измеряется
полусуммой двух дуг этой окружности, заклю-
чённых между сторонами угла и их продолже-
ниями (рис. 262).
Доказательство
Проведём хорду ВС. Так как ZAMC —
внешний угол треугольника МВС, то
202 Глава IX
ZAMC = Zl + Z2. По теореме о вписанном
угле Zl = — о AC, Z2=^^BD, поэтому
£	Ct
ААМС = (к> АС + ^ВВ).
Теорема доказана.
Докажем теорему об угле между секущи-
ми окружности.
Теорема 2
Угол между секущими окружности, пересека-
ющимися в точке, внешней относительно этой
окружности, измеряется полуразностью двух
дуг этой окружности, заключённых внутри угла
(рис. 263).
Рис.262
Доказательство
Проведём хорду ВС. Угол АВС является
внешним углом треугольника МВС, поэтому
Z1=ZBMC + Z2.
Так как ЛВМС = ЛАМС, то
ZAMC = Z1-Z2.
По теореме о вписанном угле
Z1 = ZaC, Z2=AbD,
Ct	Ct
поэтому
ZAMC = ~ (^AC - ^BD).
Теорема доказана.
Докажем теорему об угле между хордой и
касательной.
Теорема 3
Угол между хордой и касательной к окружности
измеряется половиной дуги этой окружности,
заключённой внутри угла (рис. 264).
Окружность
Доказательство
Пусть ВМ — диаметр окружности, прохо-
дящий через общую точку М хорды МА и каса-
тельной МК. Тогда ХВМК = 90° и АВ AM = 90°
(объясните почему). Так как ХВМК = ХАМ К +
+ Zl = 90° и Z2 + Z1 = 90е, то ХАМК = Х2. По
теореме о вписанном угле Z2 =|- ^АМ.
Следовательно, ХАМК = ^~ ^АМ.
Теорема доказана.
Рис.264
Теорема 4
Угол между касательной к окружности и секу-
щей, не проходящей через точку касания, изме-
ряется полуразностью дуг этой окружности, на
которые точкой касания делится дуга, заклю-
чённая внутри этого угла (рис. 265).
Доказательство
Проведем хорду ВК. Так как Z2 явля-
ется внешним углом треугольника МКВ, то
Z2 = ХВМК + Z1, поэтому ХВМК = Z2 - Z1. По
теореме об угле между хордой и касательной
Z2=-^Btf.
2 ч 1
По теореме о вписанном угле Z1 =— ^АК.
ел
Следовательно, ХВМК = |- (~ВК — ^АК).
Теорема доказана.
Рис.265
Задачи
762 Начертите окружность с центром О и отметьте на пей точку Л.
Постройте хорду ЛВ так, чтобы: a) ZAOB = 60°; б) ХАОВ= 90е;
в) ХАОВ = 120е; г) ХАОВ = 180°.
763 Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду АВ,
если: а) ХАОВ = 60°; б) ХАОВ = 90°; в) ХАОВ =180°.
764 Хорды АВ и CD окружности с центром О равны.
а)	Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно
равны двум дугам с концами С и D.
б)	Найдите дуги с концами С и I), если ХАОВ — 112°.
204 Глава IX
765
766
767
Рис.
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
На полуокружности Л В взяты точки С и D так, что АС = 37°,
~В£) = 23°. Найдите хорду CD, если радиус окружности равен
15 см.
Найдите вписанный угол АВС, если дуга АС, на которую он
опирается, равна: а) 48°; б) 57°; в) 90°; г) 124е; д) 180п.
По данным рисунка 266 найдите х.
Центральный угол АОВ на 30° больше вписанного угла, опи-
рающегося па дугу Л В. Найдите каждый из этих углов.
Хорда АВ стягивает дугу, равную 115°, а хорда АС дугу в
43е. Найдите угол ВАС.
Точки А и В разделяют окружность па две дуги, меньшая из
которых равна 140°, а большая точкой М делится в отноше-
нии 6 : 5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ.
В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ —
метр окружности. Найдите углы треугольника, если:’d"
а) ~ВС = 134е; б) < АС = 70°. ‘
В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с ос-
нованием ВС. Найдите углы треугольника, если <>ВС= 102°.
Через точку А к данной окружности проведены касательная
АВ (В — точка касания) и секущая AD, проходящая через
центр О (D — точка на окружности, О лежит между А и £)).
Найдите Z.BAD и ZADB, если ^BD= 110°20'.
Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключён-
ных между параллельными хордами, равны.
Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секу-
щие, образующие угол в 32°. Большая дуга окружности, за-
ключённая между сторонами этого утла, равпа 100°. Найдите
меньшую дугу.
Найдите острый угол, образованный двумя секущими, про-
ведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги,
заключённые между секущими, равны 140° и 52е.
Хорды Л В и CD окружности пересекаются в точке Е, Найдите
угол ВЕС, если ч/А /5 - 54°, ^ВС — 70е.
Отрезок АС — диаметр окружности, АВ — хорда, МА — каса-
тельная, угол МАВ острый. Докажите, что АМАВ= ЛАСВ.
Cwxom/materia 1100
Окружность
779
780
781
782
783
Вершины треугольника АВС лежат на окружности. Докажи-
те, что если АВ — диаметр окружности, то 2C>ZA и ZC> ZB.
Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь
точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональ-
ное для отрезков, на которые основание перпендикуляра де-
лит диаметр.
J Пользуясь утверждением, сформулированным в задаче 780,
постройте отрезок, равный среднему пропорциональному для
двух данных отрезков.
] Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей,
имеющих общую касательную в точке А. Докажите, что цен-
тры этих окружностей лежат на прямой О А.
На клетчатой бумаге изображены окружности и связанные
с пими углы. По даппым рисунка 267 найдите
АВС.
величину угла
§3
Вписанная и описанная окружности
четырёхугольников
82. Вписанная окружность
Если все стороны многоугольника касаются
окружности, то окружность называется вписан-
ной в многоугольник, а многоугольник — опи-
санным около этой окружности. На рисунке 268
206 Глава IX
четырёхугольник EFMN описан около окружно-
сти с центром О, а четырёхугольник DKMN не
является описанпым около этой окружности, так
как сторона DK не касается окружности.
В отличие от треугольника не во всякий
четырёхугольник можно вписать окружность.
Рассмотрим, например, прямоугольник, у
которого смежные стороны не равны, т. е. прямо-
угольник, не являющийся квадратом. Ясно, что в
такой прямоугольник можно «поместить» окруж-
ность, касающуюся трёх его сторон (рис. 269, а),
по нельзя «поместить» окружность так, чтобы она
касалась всех четырёх его сторон, т. е. нельзя
вписать окружность. Если же в четырёхугольник
можно вписать окружность, то его стороны обла-
дают следующим замечательным свойством:
в любом описанном четырёхугольнике суммы
противоположных сторон равны.
Это свойство легко установить, исполь-
зуя рисунок 269, бу па котором одними и теми
же буквами обозначены равные отрезки каса-
тельных. В самом деле, АВ + CD = a + b + с -I- d,
ВС + AD = a + b + c + d, поэтому АВ -I- CD = ВС + AD.
Оказывается, верно и обратное утверждение:
если суммы противоположных сторон выпуклого
четырёхугольника равны, то в него можно впи-
сать окружность (см. задачу 807).
83. Описанная окружность
Если все вершины многоугольника ле-
жат на окружности, то окружность называет-
ся описанной около многоугольника, а много-
угольник — вписанным в эту окружность. На
рисунке 270 четырёхугольник ABCD вписан в
окружность с центром О, а четырёхугольник
AECD не является вписанным в эту окружность,
так как вершина Е не лежит на окружности.
а)
Скача^с vk.com/materiallOO
с
Ла d D
Рис.269
Рис. 270
207
Окружность
В отличие от треугольника около четырёх-
угольника не всегда можно описать окружность.
Например, нельзя описать окружность око-
ло ромба, не являющегося квадратом (объясните
почему). Если же около четырёхугольника мож-
но описать окружность, то его углы обладают
следующим замечательным свойством:
в любом вписанном четырёхугольнике сумма
противоположных углов равна 180°.
Это свойство легко установить, если обра-
титься к рисунку 271 и воспользоваться теоре-
мой о вписанном угле. В самом деле,
ZA = - «BCD, ZC = - «BAD,
2	2
откуда следует
ZА 4- ZC = (--BCD + ^BAD) = ~ • 360° = 180°.
Оказывается, верно и обратное:
если сумма противоположных углов четырёх-
угольника равна 180°, то около него можно опи-
сать окружность (см. задачу 810).
Скачан с vk.com/materiallOO
Задачи
784 Сумма двух противоположных сторон описанного четырёх-
угольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырёхуголь-
ника.
785 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окруж-
ность, то этот параллелограмм — ромб.
786 Докажите, что площадь описанного многоугольника равна
половине произведения его периметра на радиус вписанной
окружности.
787 Сумма двух противоположных сторон описанного четырех-
угольника равпа 12 см, а радиус вписаппой в пего окружности
равен 5 см. Найдите площадь четырёхугольника.
788 Сумма двух противоположных сторон описаппого четырёх-
угольника равна 10 см, а его площадь — 12 см2. Найдите ради-
ус окружности, вписанной в этот четырёхугольник.
789 Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.
208 Глава IX
790
791
792
793
794
795
* Докажите, что можно описать окружность: а) около любо-
го прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.
Докажите, что если около параллелограмма можно описать
окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Докажите, что если около трапеции можно описать окруж-
ность, то эта трапеция равнобедренная.
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК,
ВМ, CN, пересекающиеся в точке Н. Докажите, что около
каждого из четырёхугольников СМ НК, АМИН, BNHK мож-
но описать окружность.
Докажите, что если в четырёхугольник можно вписать окруж-
ность, то её центр является точкой пересечения биссектрис
углов этого четырёхугольника.
J Докажите, что если около четырёхугольника можно опи-
сать окружность, то её центр является точкой пересечения
серединных перпендикуляров к сторонам этого четырёхуголь-
ника.
Вопросы для повторения к главе IX
1 Исследуйте взаимное расположение прямой и окружности в
зависимости от соотношения между радиусом окруйсноетикда/materiallOO
расстоянием от её центра до прямой. Сформулируйте получен-
ные выводы.
2 Объясните, как через данную точку окружности провести ка-
сательную к этой окружности.
3 Объясните, почему две окружности не могут иметь три общие
точки.
4 Исследуйте взаимное расположение двух окружностей в за-
висимости от их радиусов и расстояния между их центрами.
Сформулируйте полученные выводы.
5 Как зависит количество общих касательных от взаимного рас-
положения двух окружностей?
6 Какой угол называется центральным углом окружности?
7 Объясните, какая дуга называется полуокружностью, какая
дуга меньше полуокружности, а какая больше полуокруж-
ности.
8 Как определяется градусная мера дуги? Как она обозначается?
9 Какой угол называется вписанным? Сформулируйте и дока-
жите теорему о вписанном угле.
10 Докажите, что вписанные углы, опирающиеся па одну и ту
же дугу, равны.
Окружность
11
12
13
14
15
16
17
18
19
796
797
798
799
800
801
802
Докажите, что вписанный угол, опирающийся на полуокруж-
ность, — прямой.
Как измеряются углы между хордами?
Как измеряется угол с вершиной вне окружности, стороны
которого пересекают эту окружность?
Как измеряется угол между касательной к окружности и хор-
дой, один конец которой совпадает с точкой касания?
Как измеряется угол между касательной и секущей, не про-
ходящей через точку касания?
Какая окружность называется вписанной в многоугольник?
Какой многоугольник называется описанным около окруж-
ности?
Каким свойством обладают стороны четырёхугольника, опи-
санного около окружности?
Какая окружность называется описанной около многоуголь-
ника? Какой многоугольник называется вписанным в окруж-
ность?
Каким свойством обладают углы четырёхугольника, вписан-
ного в окружность?
Дополнительные задачи
Окружность касается двух параллельных прямых и их секу-
щей. Докажите, что отрезок секущей, заключёйЙЬГй с wMSStJay3161 31100
параллельными прямыми, виден из центра окружности под
прямым углом (см. п. 41).
Две окружности радиусов г и R касаются внешним образом в
точке А. К ним проведена общая внешняя касательная МК.
а) Докажите, что ZKAM = 90°; б) найдите длину отрезка МК.
Даны две окружности радиусов г и R. Расстояние между их
центрами равно d (d > R + г). Найдите отрезок их общей
а) внешней касательной; б) внутренней касательной.
Диаметр АД окружности перпендикулярен к хорде ВВ^.
Докажите, что градусные меры дуг АВ и АВ1, меньших полу-
окружности, равны.
Точки А, В, С и D лежат на окружности. Докажите, что если
^АВ = ^CD, то АВ = CD.
Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А
проведена прямая /и, пересекающая эти окружности в точках
С и D. Докажите, что величина угла CBD не зависит от выбора
прямой т.
Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А
проведена прямая т, пересекающая эти окружности в точках С
и D. Через точки С и D проведены касательные к окружно-
210 Глава IX
803
804
805
806
807
стям, пересекающиеся в точке К. Докажите, что: а) величина
угла CKD не зависит от выбора прямой т; б) четырёхуголь-
ник BCKD можно вписать в окружность.
На хорде АВ окружности с центром О выбрана произвольная
точка С. Через точки А, О и С проходит окружность, которая
пересекает данную окружность в точке D. Докажите, что тре-
угольник BCD равнобедренный.
Докажите, что если в прямоугольник можно вписать окруж-
ность, то этот прямоугольник квадрат.
Четырёхугольник ABCD описан около окружности радиуса г.
Известно, что АВ : CD = 2 : 3, AD : ВС = 2 : 1. Найдите стороны
четырёхугольника, если его площадь равна S.
| Докажите, что если прямые, содержащие основания тра-
пеции, касаются окружности, то прямая, проходящая через
середины боковых сторон трапеции, проходит через центр
этой окружности.
Докажите, что если в выпуклом четырехугольнике суммы
противоположных сторон равны, то в этот
можно вписать окружность.
Решение
Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD
AB+CD=BC+ AD.	(1)
Точка О пересечения биссектрис углов А и
В равноудалена от сторон AD, АВ и ВС,
поэтому можно провести окружность с цен-
тром О, касающуюся указанных трёх сто-
рон (рис. 272, а). Докажем, что эта окруж-
ность касается также стороны CD и, значит,
является вписанной в четырехугольник
ABCD.
Предположим, что это не так. Тогда прямая
СО либо не имеет общих точек с окруж-
ностью, либо является секущей. Рассмо-
трим первый случай (рис. 272, б). Проведём
касательную C'D', параллельную сторо-
не CD (<?' и D’ — точки пересечения каса-
тельной со сторонами ВС и AD). Так как
ABCD’— описанный четырёхугольник, то
по свойству его сторон
АВ+ C’D’=-ВС + AD'.
Но ВС’ = ВС-С’С, AD’= AD-D'D, поэтому
получаем:
четырехугольник
Рис.272
(2)
из равенства (2)
C’D' + C’C + D'D= ВС + AD- АВ.
2J1
Окруж/юсгпь
Правая часть этого равенства в силу (1) равна CD. Таким об-
разом, приходим к равенству
С'1У + С'С + D'D = CD,
т. е. в четырёхугольнике CCDD’ одна сторона равна сумме
трёх других сторон. Но этого пс может быть, и, значит, наше
предположение ошибочно. Аналогично можно доказать, что
прямая CD не может быть секущей окружности. Следова-
тельно, окружность касается стороны CD, что и требовалось
доказать.
808 Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную
трапецию с основаниями а и Ъ.
809 Докажите, что если около ромба можно описать окружность,
то этот ромб — квадрат.
810* Докажите, что если в четырёхугольнике
сумма противоположных углов равна 180е,
то около этого четырёхугольника можно
описать окружность.
Решение
Пусть в четырёхугольнике ABCD
ZA + ZC= 180°.	(1)
Проведём окружность через три вершины
четырёхугольника: А, В и D (рис. 273, а) —
и докажем, что она проходит также через
вершину С, т. е. является описанной около
четырёхугольника ABCD. Предположим,
что это пс так. Тогда вершина С лежит либо
внутри круга, либо вне его. Рассмотрим
первый случай (рис. 273, б). В этом случае
ZC= — (^DAB+^EF) (объясните почему),
и, следовательно, ZC > — <jDAB. Так как
Z.A - —^BED, то
2
D
Рис.273
ZA + ZC > ^BED + ^DAB) = | • 360° = 180е.
64	64
Итак, мы получили, что ZA + ZC> 180е. Но это противоречит
условию (1), и, значит, наше предположение ошибочно. Ана-
логично можно доказать, что вершина С не может лежать вне
круга. Следовательно, вершина С лежит на окружности, что и
требовалось доказать,
811 Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные к
сторонам угла АОВ и пересекающиеся в точке С внутри угла.
Докажите, что около четырёхугольника АС ВО можно описать
окружность.
272 Глава IX
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
Докажите, что около выпуклого четырёхугольника, образо-
ванного при пересечении биссектрис углов трапеции, можно
описать окружность.
В прямоугольном треугольнике АВС из точки М стороны АС
проведён перпендикуляр МН к гипотенузе АВ. Докажите,
что углы МНС и МВС равны.
Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник
окружности, если радиус описанной окружности равен 10 см.
Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окруж-
ность и можно описать около него окружность, то этот парал-
лелограмм — квадрат.
В трапецию с основаниями а и b можно вписать окружность
и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите
радиус вписанной окружности.
Даны прямая а, точка А, лежащая на этой прямой, и точ-
ка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, проходя-
щую через точку В и касающуюся прямой а в точке А.
J Даны две параллельные прямые и точка, не лежащая ни
на одной из них. Постройте окружность, проходящую через
данную точку и касающуюся данных прямых.
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с цен-
тром О. Докажите, что ZAOD 4- ZBOC = ZAOB -I- ZCOD. .	. . . НЛЛ
к	’	ежа чан с vk.com/matena 1100
Четырёхугольник вписан в одну окружность и описан около
другой. Докажите, что прямые, соединяющие точки касания
вписанной окружности с его противоположными сторонами,
перпендикулярны.
В окружность вписан четырёхугольник ABCD. Точки Д, В,,
Clt являются серединами дуг АВ, ВС, CD, DA. Докажите,
что прямые AtCj и B1Dl перпендикулярны.
Около треугольника АВС описана окружность. Биссектрисы
его углов А, В и С пересекают эту окружность в точках Д, В,
и Cq. Докажите, что прямые АД, ВВ^ и СС, содержат высоты
треугольника Д Вп С Р
Прямые АА1Т ВВХ и ССХ, содержащие высоты остроугольного
треугольника АВС, пересекают описанную окружность в точ-
ках А(, Bj, С]. Докажите, что эти прямые содержат биссек-
трисы треугольника ДВ^.
Окружность
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
Задачи повышенной трудности
Задачи к главе VI
Дан выпуклый шестиугольник AjAaA^AjA^A^ все углы кото-
рого равны. Докажите, что
Aj А2 - А ।А5 = A^Afi — А^Ад = А3А| — А^А,.
Положительные числа аг, а2, а л, а4, as и ав удовлетворяют
условиям ал - а4=аь-а2 = ал-ал. Докажите, что существу-
ет выпуклый шестиугольник A,А2АЯА4А-, А<1, все углы кото-
рого равны, причём А1Аа = а1, АгА3 = а2, A:iAt=a:i, А4А5=п4,
А5А6 =а3 и AeAi = ac.
Докажите, что из одинаковых плиток, имеющих форму про-
извольного выпуклого четырёхугольника, можно сделать пар-
кет, полностью покрывающий любую часть плоскости.
Докажите, что диагонали выпуклого четырёхугольника пере-
секаются.
Докажите, что в любом четырёхугольнике какие-то две про-
тивоположные вершины лежат по разные стороны от прямой,
проходящей через две другие вершипы.
Скачан с vk.com/matenallOO
В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС про-
ведена биссектриса AD. Прямая, проведённая через точку D
перпендикулярно к AD, пересекает прямую АС в точке Е.
Точки М и К — основания перпендикуляров, проведённых из
точек В и D к прямой АС. Найдите МК, если АЕ = а.
Докажите, что в треугольнике сумма трёх медиан меньше пе-
риметра, но больше половины периметра.
Диагонали выпуклого четырёхугольника разбивают его на
четыре треугольника, периметры которых равны. Докажите,
что этот четырёхугольник — ромб.
Найдите множество середин всех отрезков, соединяющих дан-
ную точку со всеми точками данной прямой, не проходящей
через эту точку.
Докажите, что прямая, проходящая через середины основа-
ний равнобедренной трапеции, перпендикулярна к основани-
ям. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
При пересечении биссектрис всех углов прямоугольника обра-
зовался четырёхугольник. Докажите, что этот четырёхуголь-
ник — квадрат.
Задачи повышенной
214 трудности
835 На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты.
Докажите, что точки пересечения диагоналей этих квадратов
являются вершинами квадрата.
836 На стороне CD квадрата ABCD отмечена точка М. Биссектри-
са угла ВАМ пересекает сторону ВС в точке К. Докажите, что
AM = ВК + DM.
В С	I)
837 На рисунке 274 изображены три квадрата.
Найдите сумму АВАЕ + Z.CAE + ADAE.	'
838 Внутри квадрата ABCD взята такая точ- д	£
каМ, что ZMAB = 60°, ZMCD = 15°. Най-
дите AM ВС.	Рис- 274
839 Па сторонах треугольника АВС во внешнюю сторону постро-
ены квадраты BCDE, АСТМ, БАНК, а затем параллелограм-
мы TCDQ и ЕВКР. Докажите, что треугольник APQ прямо-
угольный и равнобедренный.
840 Постройте равнобедренную трапецию по основаниям и диаго-
нали.
841 Докажите, что если треугольник имеет более, чем одну ось
симметрии, то он равносторонний.
Скачан с vk.com/materiallOO
Задачи к главе VII
842 Через точку М, лежащую внутри параллелограмма ABCD,
проведены прямые, параллельные его сторонам и пересекаю-
щие стороны АВ, ВС, CD и DA соответственно в точках Р, Q,
R и Т. Докажите, что если точка М лежит на диагонали АС,
то площади параллелограммов MPBQ и MRDT равны и, об-
ратно, если площади параллелограммов MPBQ и MRDT рав-
ны, то точка М лежит на диагонали АС.
843 На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты соответствен-
но точки М и К. Отрезки АК и ВМ пересекаются в точ-
ке О. Найдите площадь треугольника СМК, если площади
треугольников ОМА, О АВ и ОВК равны соответственно Sx,
S2, S».
844 На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки М и К,
AM	СК	МР
а на отрезке МК — точка Р так, что = —— — ——. Найди-
Л/С	КВ	РК
те площадь треугольника АВС, если площади треугольников
АМР и ВКР равны S, и S2.
л- — Задачи повышенной
215 трудности
845
846
847
848
849
850
851
852
853
Точки Р, Q, R и Т соответственно — середины сторон АВ, ВС,
CD и DA параллелограмма ABCD. Докажите, что при пересе-
чении прямых BR, СТ и DP образуется параллелограмм,
и найдите отношение его площади к площади параллелограм-
ма ABCD.
Докажите, что площадь трапеции равна произведению одной
из боковых сторон на перпендикуляр, проведённый из сере-
дины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую
боковую сторону.
Диагонали трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересека-
ются в точке О. Площади треугольников ВОС и AOD равны
и S2. Найдите площадь трапеции.
Через концы меньшего основания трапеции проведены две
параллельные прямые, пересекающие большее основание.
Диагонали трапеции и эти прямые делят трапецию на семь
треугольников и один пятиугольник. Докажите, что площадь
пятиугольника равна сумме площадей трёх треугольников,
прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию тра-
пеции.
Прямая, проходящая через середины диагоналей АС и BD
четырёхугольника ABCD, пересекает стороны АВ и CD в точ-
ках М и К. Докажите, что площади треугольпищц^ P£Mn/ffiateriallOO
АКБ равны.
Сторона АВ параллелограмма ABCD продолжена за точку В
на отрезок BE, а сторона AD продолжена за точку D на от-
резок DK. Прямые ED и КВ пересекаются в точке О. До-
кажите, что площади четырёхугольников ABOD и СЕО К
равны.
Два непересекаютцихся отрезка делят каждую из двух проти-
воположных сторон выпуклого четырёхугольника на три рав-
ные части. Докажите, что площадь той части четырёхуголь-
ника, которая заключена между этими отрезками, в 3 раза
меньше площади самого четырёхугольника.
Середины К и М сторон АВ и DC выпуклого четырехуголь-
ника ABCD соединены отрезками KD, КС, МЛ и МВ соот-
ветственно с его вершинами. Докажите, что площадь четырёх-
угольника, заключённого между этими отрезками, равна
сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторо-
нам AD и ВС.
Точка А лежит внутри угла, равного 60°. Расстояния от точки
А до сторон угла равны а и Ь. Найдите расстояние от точки А
до вершины угла.
Задачи повышенной
216 трудности
854 Прямая, проходящая через вершину С параллелограмма
ABCD, пересекает прямые АВ и AD в точках К и М. Найдите
площадь этого параллелограмма, если площади треугольни-
ков КВС и CDM равны соответственно и
855 Через точку пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
проведена прямая, пересекающая отрезок Л В в точке М и
отрезок CD в точке К. Прямая, проведённая через точку К
параллельно отрезку АВ, пересекает отрезок BD в точке Т,
а прямая, проведённая через точку М параллельно отрезку
CD, пересекает отрезок АС в точке Е. Докажите, что прямые
BE и СТ параллельны.
856 Сторона АВ треугольника АВС продолжена за точку А на от-
резок AD, равный АС. На лучах ВА и ВС взяты точки К и М
так, что площади треугольников BDM и ВСК равны. Найдите
угол ВКМ, если Л В АС = а.
857 Внутри прямоугольника ABCD взята точка М, Известно, что
МВ = а, МС = Ь и MD = c. Найдите длину отрезка МА.
858 В треугольнике АВС проведена высота BD. Отрезок КА пер-
пендикулярен к отрезку АВ и равен отрезку DC, отрезок СМ
перпендикулярен к отрезку ВС и равен отрезку AD. Докажи-
те, что отрезки МВ и КВ равны.
Скачан с vk.com/material 100
859 Внутри прямоугольного треугольника АВС с прямым утлом С
взята точка О так, что справедливо равенство SOAa = SOac — Sow
Докажите, что справедливо равенство ОА2±ОВ2 = 5ОС2.
Задачи к главе VIII
860 На рисунке 275 изображен правильный	В	С
пятиугольник ABCDE, т. е. выпуклый	Д	\
пятиугольник, у которого все углы равны и / \	\
все стороны равны. Докажите, что:	/ \	\
а) ЛАЕ Dec> ЛАРЕ; б)
861 В треугольнике АВС (АВ * АС) через се-	"у:
редину М стороны ВС проведена прямая,
параллельная биссектрисе угла А, которая Рис. 275
пересекает прямые АВ и АС соответственно
в точках D и Е. Докажите, что BD = CE.
862 Докажите, что отрезки, соединяющие основания высот остро-
угольного треугольника, образуют треугольник, в котором эти
высоты являются биссектрисами.
Задачи понышенной
трудности
863 Точки Е и F лежат на стороне АВ треугольника АВС, причём
точка Е лежит на отрезке AF и АЕ = BF. Прямая, проведён-
ная через точку Е параллельно стороне АС, пересекает пря-
мую, проведённую через точку F параллельно стороне ВС, в
точке К. Докажите, что точка К лежит на медиане треуголь-
ника АВС, проведённой к стороне АВ.
864 Гипотенуза прямоугольного треугольника является стороной
квадрата, не перекрывающегося с этим треугольником. Най-
дите расстояние от точки пересечения диагоналей квадрата
до вершины прямого угла треугольника, если сумма катетов
равна а,
180°	360°
865 В треугольнике ABC ZA=--------и ZB= ' „ Докажите, что
1 = 1 1 7 7
ВС ~ АС + АВ ’
866 Из точки ЛГ внутренней области угла АОВ проведены перпен-
дикуляры МР и MQ к его сторонам ОА и ОВ. Из точек Р и Q
проведены перпендикуляры PR и QS соответственно к ОВ и
О А. Докажите, что RS Е ОМ.
867 В равнобедренном треугольнике АВС из середины D осно-
вания АС проведён перпендикуляр DH к стороне ВС, Пусть
М —середина отрезка DH. Докажите, что ВМ ± АН.
Скачан с vk.com/materiallOO
868 Из вершины прямого угла С прямоугольного треугольни-
ка АВС проведён перпендикуляр CD к гипотенузе, а из точ-
ки 7) — перпендикуляры DE и DF к катетам АС и ВС. Дока-
жите, что:
a)	CD3 = АВ-АЕ- BF-,
б)	АЕЧ BF2 + ЗСВ2 = АВ2',
в)	*4ае2 + $ bf2 = V ав2 .
869 Диагопа.ли выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются
1	2
в точке Р. Известно, что ZADP =— ZPDC, ZADP=—ZPAD и
2	3
AD - BD = CD. а) Найдите все углы четырёхугольника; б) до-
кажите, что АВ2 = ВР • BD.
870 Точка М не лежит на прямых, содержащих стороны паралле-
лограмма ABCD, Докажите, что существуют точки /V, Р и Q,
расположенные так, что А, В, С и D являются соответственно
серединами отрезков МУ, NP, PQ и QM.
871 Докажите, что если противоположные стороны выпуклого
четырёхугольника не параллельны, то их полусумма больше
отрезка, соединяющего середины двух других противополож-
ных сторон.
Задачи повышенной
трудности
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
Докажите, что если сумма расстояний между серединами про-
тивоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна по-
ловине его периметра, то этот четырёхугольник — параллело-
грамм.
Докажите, что если отрезок, соединяющий середины двух
противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, ра-
вен полусумме двух других сторон, то этот четырёхуголь-
ник — трапеция или параллелограмм.
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Тре-
угольник АВО, где АВ — меньшее основание трапеции,
равносторонний. Докажите, что треугольник, вершипами
которого являются середины отрезков ОА, OD и ВС, равносторон-
ний.
Из вершины А треугольника АВС проведены перпендикуля-
ры ЛМ и ЛК к биссектрисам внешних углов этого треуголь-
ника при вершинах В и С. Докажите, что отрезок МК равен
половине периметра треугольника ЛВС.
Отрезки .ААд, ВВ1 и СО, соединяют вершины треугольника
АВС с внутренними точками противоположных сторон. Дока-
жите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.
Середины трёх высот треугольника лежат па одной прямой.
Докажите, что этот треугольник прямоугольный.
Скачан с vk.com/materiallOO
В треугольнике АВС, сторона АС которого в 2 раза больше
стороны ВС, проведены биссектриса СМ и биссектриса внеш-
него угла при вершине С, пересекающая прямую Л В в точ-
ке К. Докажите, что
&всм - 2	— J ®две ~ 2 &смх
Сторопы треугольника EFG соответственно равны медианам
треугольника АВС. Докажите, что = —.
&abc *
В треугольнике АВС прямая, проходящая через вершину А
и делящая медиану ВМ в отношении 1:2, считая от вершины,
пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение площа-
дей треугольников АВК и АВС.
Через вершину Л параллелограмма Л BCD проведена прямая,
пересекающая прямые BD, CD и ВС соответственно в точках
М, N и Р. Докажите, что отрезок AM является средним про-
порциональным между МЛ' и МР.
Постройте точку, принадлежащую большему основанию рав-
нобедренной трапеции и отстоящую от данной боковой сторо-
ны в п раз дальше, чем от другой (п = 2, 3, 4).
Задачи повышенной
трудности
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
Точка С лежит на отрезке АВ. Постройте точку D прямой
АВ, не лежащую на отрезке АВ, так, чтобы
ли задача имеет решение?
АР
РВ
АС
СВ
. Всегда
Постройте равнобедренный треугольник по углу между боко-
выми сторонами и сумме основания и высоты, проведённой к
основанию.
Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла
между ними.
Постройте треугольник ЛВС, если даны ZA, Z.C и отрезок,
равный сумме стороны АС и высоты ВН.
Постройте треугольник по трём высотам.
Постройте трапецию по боковой стороне, большему основа-
нию, углу между ними и отношению двух других сторон.
Постройте ромб, площадь которого равна площади данного
квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого
ромба равно отношению данных отрезков.
Прямая т, не проходящая через вершины треугольника АВС,
пересекает его стороны АВ и ВС, а также продолжение сто-
роны АС соответственно в точках Сх, Ах и Докажите, что
верно равенство:
. 5: Д1 = 1 (теорема Менелая).: vk.com material 100
CjB Ар ВХА
Докажите теорему Менелая (задача 890) для случая, когда
точки С,, Aj и В, лежат на продолжениях сторон АВ, ВС и
АС треугольника АВС.
Пусть точки Q, А| и В-^ лежат соответственно на сторонах
АВ, ВС и АС треугольника АВС или их продолжениях. Дока-
АС, ВА. СВ. ,		- . п л о
жите: если ----1----1----L = 1, то точки С., А, и В, лежат на
CjB AjC BjA	1 i i
одной прямой (теорема, обратная теореме Менелая).
Пусть точки Ср А, и Ву лежат соответственно на сторонах
Л В, ВС и АС треугольника ЛВС или их продолжениях.
Докажите, что если прямые ААР ВВ^ и СС\ пересекаются
в одной точке, то верно равенство: ---ь — г. __п. = 1 (теорема
Чевы).	В^А
Пусть точки С), А-] и В1 лежат соответственно на сторонах АВ,
ВС и АС треугольника АВС или их продолжениях. Докажите,
что если	— ] то прямые ЛА b BBL и CCt пересе-
яв Ар Bl A	i’i it
каются в одной точке (теорема, обратная теореме Чевы).
Задачи повышенной
220 трудности
895 На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС внеш-
ним образом построены квадраты ACFK и BCDE, СН — высо-
та треугольника АВС. Докажите, что прямые CH, ВК и АЕ
пересекаются в одной точке.
896 Точки Cn А-, и В} лежат соответственно на сторонах АВ, ВС
и АС треугольника АВС, причём отрезки ААИ BBL и СС, пе-
ресекаются в точке О. Докажите, что
ма Ван-Обеля).
СО _ СД ! СВ,
ОС,	В{А
(теорс-
897 Докажите, что каждая биссектриса треугольника делится точ-
кой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих
сторон к противолежащей, считая от вершины.
898 Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треуголь-
ника с лежащими на противоположных сторонах точками ка-
сания вписанной окружности с этими сторонами, пересекают-
ся в одной точке (точка Жергонна).
899 Докажите, что три отрезка, соединяющие вершины треуголь-
ника с лежащими на противоположных сторонах точками ка-
сания вневписанных окружностей с этими сторонами, пересе-
каются в одной точке (точка Нагеля).
Задачи к главе IX
Скачан с vk.com/materiallOO
900
Две окружности имеют единственную общую точку М.
Через эту точку проведены две секущие, пересекающие одну
окружность в точках А и А,, а другую — в точках В и Bv До-
кажите, что ААД1-ВВ,.
901 Прямая АС — касательная к окружности с центром Оо а пря-
мая BD — касательная к окружности с центром Q, (рис. 276).
Докажите, что:
a)	AD || ВС;
б)	AB2 = AD-BC;
в)	BD2: АС2 = АВ : ВС.
902 Точки В, и С, — середины дуг АВ и АС (рис. 277). Докажите,
что AM = АДГ.
Задачи повышенной
трудности
221
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
Окружность отсекает на двух прямых, которые пересека-
ются в точке, не лежащей на окружности, равные хорды. До-
кажите, что расстояния от точки пересечения этих прямых до
концов той и другой хорды соответственно равны между собой.
Докажите, что для всех хорд АВ данной окружности величи-
4 В
на др- гДе AD — расстояние от точки А до касательной в
точке В, имеет одно и то же значение.
Через точку Л пересечения двух окружностей с центрами в
точках От и О2 проведена прямая, пересекающая одну окруж-
ность в точке В, а другую — в точке С. Докажите, что отрезок
ВС будет наибольшим тогда, когда он параллелен прямой Ор2.
Отрезок АВ является диаметром окружности с центром О. На
каждом радиусе ОМ окружности отложен от центра О отре-
зок, равный расстоянию от конца М этого радиуса до прямой
АВ. Найдите множество концов построенных таким образом
отрезков.
Внутри угла АВС равностороннего треугольника АВС взята
точка Af так, что ZBMC = 30°, ZBMA = 17°. Найдите углы
ВАМ и ВСМ.
Через каждую вершину треугольника АВС проведена прямая,
перпендикулярная к биссектрисе угла треугольника при этой
вершине. Проведённые прямые, пересекаясь, обр^зудрт ^gW$aterialioo
треугольник. Докажите, что вершины этого треугольника ле-
жат па прямых, содержащих биссектрисы треугольника АВС.
Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты
треугольника ЛВС, BL, Сх — точки, симметричные точке
Н относительно прямых ВС, СА, АВ, а Лз, В2, С2 — точ-
ки, симметричные точке Н относительно середин сторон ВС,
С Л, АВ, Докажите, что точки Alf BL, Сх, Л2, В2, С2 лежат па
окружности, описанной около треугольника АВС.
Отрезок В В — биссектриса треугольника ЛВС, Докажите, что
BD2= АВ - ВС-AD- DC.
Из вершины В треугольника АВС проведены высота ВН и
биссектриса угла В, которая пересекает в точке Е описанную
около треугольника окружность с центром О. Докажите, что
луч BE является биссектрисой угла ОВН.
Произвольная точка X окружности, описанной около равно-
стороннего треугольника АВС, соединена отрезками с его вер-
шинами. Докажите, что один из отрезков АХ, ВХ и СХ равен
сумме двух других отрезков.
Докажите, что если диагонали вписанного четырёхугольни-
ка перпендикулярны, то сумма квадратов противоположных
сторон четырёхугольника равна квадрату диаметра описанной
окружности.
Задачи повышенной
трудност и
222
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, биссект-
рисы углов А и В пересекаются в точке, лежащей на стороне
CD. Докажите, что CD = ВС 4- AD.
Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, описанной
около окружности, равна произведению её оснований.
Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в
окружность, произведение диагоналей равно сумме произведе-
нии противоположных сторон (теорема Птолемея).
S3 Докажите, что в любом треугольнике радиус R описан-
ной окружности, радиус г вписанной окружности и расстоя-
ние d между центрами этих окружностей связаны равенством
d2 = В2 - 2fir (формула Эйлера).
Для неравностороннего треугольника АВС точка О явля-
ется центром описанной окружности, Н — точка пересечения
прямых, содержащих высоты ААР BBt и СС\, точки А2, В2,
С2 — середины отрезков АН, ВН, СН, а точки Ай, В2, С.л — се-
редины сторон треугольника АВС. Докажите, что точки Аь
В(, С\, А2, В2, С2, А3, В3, С3 лежат па одной окружности
(окружность Эйлера).
22 Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых
около трс-
треугольни-
Скачан с vk.com/materiallOO
из произвольной точки окружности, описанной
угольника, к прямым, содержащим стороны этого
ка, лежат на одной прямой (прямая Симеона).
Постройте общую касательную к двум даппым окружностям.
Даны окружность с центром О, точка М и отрезки P|Q| и
P2Q2. Постройте прямую р так, чтобы окружность отсекала на
пей хорду, равную PiQi, и расстояние от точки М до прямой р
равнялось P2Q2.
Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходя-
щую через эту точку, так, чтобы опа была наименьшей из
всех хорд, проходящих через эту точку.
Постройте треугольник:
а)	по стороне, противолежащему углу и высоте, проведённой
к данной стороне;
б)	по углу, высоте, проведённой из вершины данного угла, и
периметру.
Постройте треугольник, если дана описанная окружность и
на ней точки А, В и М, через которые проходят прямые, со-
держащие высоту, биссектрису и медиану треугольника, про-
ведённые из одной вершины.
22 Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Постройте
треугольник, для которого эти точки являются основаниями
высот. Сколько решений имеет задача?
Задачи повышенной
223 трудности
Глава X
Векторы
класс
Зта глава посвящена разработке векторного аппарата гео-
метрии. С помощью векторов можно доказывать теоремы
и решать геометрические задачи. Примеры такого применения
векторов приведены в данной главе. Но изучение векторов по-
лезно ещё и потому, что они широко используются в физике для
описания различных физических величин, таких, например, как
скорость, ускорение, сила.
Понятие вектора
84.	Понятие вектора
Многие физические величины» например
сила, перемещение материальной точки, скорость,
характеризуются не только своим числовым зна-
чением, но и направлением в пространстве. Такие
физические величины называются векторными
величинами (или коротко векторами).
Рассмотрим пример. Пусть на тело действу-
ет сила в 8 Н. На рисунке силу изображают от-
резком со стрелкой (рис. 278). Стрелка указывает
направление силы, а длина отрезка соответству-
ет в выбранном масштабе числовому значению
силы. Так, на рисунке 278 сила в 1 Н изображе-
на отрезком длиной 0,6 см, поэтому сила в 8 Н
изображена отрезком длиной 4,8 см.
Отвлекаясь от конкретных свойств физиче-
ских векторных величин, мы приходим к геомет-
рическому понятию вектора.
Рассмотрим произвольный отрезок. Его
концы называются также граничными точками
отрезка.
На отрезке можно указать два направле-
ния: от одной граничной точки к другой и наобо-
рот (рис. 279).
Чтобы выбрать одно из этих направлений,
одну граничную точку отрезка пазовём началом
224
Рис.279
Глава X
отрезка, а другую — концом отрезка и будем счи-
тать, что отрезок направлен от начала к концу.
Определение
Отрезок, для которого указано, какая из его гра-
ничных точек считается началом, а какая — кон-
цом, называется направленным отрезком или
вектором.
На рисунках вектор изображается отрезком
со стрелкой, показывающей направление вектора.
Векторы обозначают двумя заглавными латин-
скими буквами со стрелкой над ними, например
АВ. Первая буква обозначает начало вектора, вто-
рая — конец (рис. 280). На рисунке 281, а изобра-
жены векторы АВ, CD, EF; точки А, С, Е — нача-
ла этих векторов, а В, D, F — их концы. Векторы
часто обозначают и одной строчной латинской
буквой со стрелкой над ней: а, Ь, с (рис. 281, б).
В дальнейшем целесообразно условиться,
что любая точка плоскости также является век-
тором. В этом случае вектор называется пулевым.
Начало нулевого вектора совпадает с его концом.
На рисунке такой вектор изображается одной
точкой. Если, например, точка, изображающая
нулевой вектор, обозначена буквой М, то дан-
ный нулевой вектор можно обозначить так: ММ
(рис. 281, о). Нулевой вектор обозначается также
символом 0. На рисунке 281 векторы АВ, CD, EF
ненулевые, а вектор ММ нулевой.
------------------------------------------->•
Длиной или модулем ненулевого вектора АВ
называется длина отрезка АВ. Длина вектора АВ
(вектора а) обозначается так: | АВ | (| а |). Длина ну-
левого вектора считается равной нулю: | 0 =0.
Длины векторов, изображённых на рисун-
ках 281, а и 281,6, таковы: АВ| = 6, CD| = 5,
| EF | = 2,5, \ММ =0, |a|=V13, |Ь'| = 4,5, |с| = 3
(каждая клетка на рисунке 281 имеет сторону,
равную единице измерения отрезков).
Начало вектора
Рис.280
а)
225
Векторы
85.	Равенство векторов
Прежде чем дать определение равных век-
торов, обратимся к примеру. Рассмотрим движе-
ние тела, при котором все его точки движутся с
одной и той же скоростью и в одном и том же
направлении.
Скорость каждой точки М тела является
векторной величиной, поэтому её можно изобра-
зить направленным отрезком, начало которого
совпадает с точкой М (рис. 282). Так как все точ-
ки тела движутся с одной и той же скоростью, то
все направленные отрезки, изображающие скоро-
сти этих точек, имеют одно и то же направление
и длины их равны.
Этот пример подсказывает нам, как опреде-
лить равенство векторов.
Предварительно введём понятие коллине-
арных векторов.
Ненулевые векторы называются коллине-
арными, если они лежат либо на одной прямой,
либо на параллельных прямых; нулевой вектор
считается коллинеарным любому вектору.
На рисунке 283 векторы а, Ъ, АВ, CD, ММ
(вектор ММ нулевой) коллинеарны, а векторы
АВ и EF, а также CD и EF нс коллинеарны.
Если два ненулевых вектора а и Ъ коллине-
арны, то они могут быть направлены либо оди-
наково, либо противоположно. В первом случае
векторы а и Ъ называются сонаправленными,
а во втором — противоположно направленными1.
Сонаправленность векторов а и Ъ обозначается
Рис.283
1 Нетрудно дать и точное определение этих понятий.
Например, два ненулевых вектора, лежащие на па-
раллельных прямых, называются сонаправленными
(противоположно направленными), если их концы
лежат но одну сторону (по разные стороны) от пря-
мой, проходящей через начала. Как сформулировать
аналогичное определение для ненулевых векторов,
лежащих на. одной прямой?
226 Глава X
следующим образом: a tt b. Если же векторы а и
b противоположно направлены, то это обознача-
ют так: ал[Ь. На рисунке 283 изображены как
сонаправленные, так и противоположно направ-
ленные векторы: a tt b, a tt CD, a tt ДВ, d tt CD,
b tt AB, AB tl CD.
Начало нулевого вектора совпадает с его
концом, поэтому нулевой вектор не имеет како-
го-либо определённого направления. Иначе гово-
ря, любое направление можно считать направ-
лением пулевого вектора. Условимся считать,
что нулевой вектор сонаправлен с любым векто-
ром. Таким образом, на рисунке 283 ММ tt АВ,
ММ tt а и т. д.
Ненулевые коллинеарные векторы облада-
ют свойствами, которые проиллюстрированы на
рисунке 284, а—в.
Дадим теперь определение равных векторов.
Определение
Векторы называются равными, если они сона-
правлены и их длины равны.
Таким образом, векторы а и Ъ равны, если
a tt b и а | = | Ъ |. Равенство векторов а и b обозна-
чается так: а = 6.
86.	Откладывание вектора
от данной точки
Если точка А — начало вектора а, то гово-
рят, что вектор а отложен от точки А (рис. 285).
Докажем следующее утверждение:
от любой точки М можно отложить век-
тор, равный данному вектору а, и притом только
один.
В самом деле, если а — нулевой вектор,
-------------------------------------->-
то искомым вектором является вектор ММ.
227
а)
Если а *fc М!с
то а
б) _
ь
а
с
Если а ‘Нс М|с
/по <Tf f 6
в> ~ Скачан с vk.com/materiallOO
Если а Нс Ь*|с
то а^Ь
Рис.284
Вектор а отложен
от точки Л
Рис.285
Векторы
Допустим, что вектор а ненулевой, а точки А и
В — его начало и конец. Проведём через точку
М прямую р, параллельную АВ (рис. 286; если
М — точка прямой АВ, то в качестве прямой р
возьмём саму прямую АВ). На прямой р отло-
жим отрезки MN и равные отрезку АВ,
> ---------------------------—>
и выберем из векторов MN и MN' тот, который
сонаправлен с вектором а (на рисунке 286 век-
тор MN). Этот вектор и является искомым век-
тором, равным вектору а. Из построения следует,
что такой вектор только один.
Замечание
Равные векторы, отложенные от разных то-
чек, часто обозначают одной и той же буквой.
Так обозначены, например, равные векторы ско-
рости различных точек на рисунке 282. Иногда
про такие векторы говорят, что это один и тот же
вектор, но отложенный от разных точек.
Рис.286
Практические задания
Скачан с vk.com/materiallOO
926
927
928
929
Отметьте точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. На-
чертите все ненулевые векторы, начало и конец которых со-
впадают с какими-то двумя из этих точек. Выпишите все по-
лученные векторы и укажите начало и конец каждого вектора.
Выбрав подходящий масштаб, начертите векторы, изобража-
ющие полёт самолёта сначала на 300 км на юг от города А до
В, а потом на 500 км на восток от города В до С. Затем начер-
тите вектор АС, который изображает перемещение из началь-
ной точки в конечную.
Начертите векторы АВ, CD и EF так, чтобы:
а)	АВ, CD и EF были коллинеарны и АВ | = 1 см, CD | = 2,5 см,
ETj = 4,5 см;
б)	АВ и EF были коллинеарны, АВ и CD были не коллинеар-
ны и | Л В | = 3 см, | CD | = 1,5 см, | EF = 1 см.
Начертите два неколлинеарных вектора а и Ь. Изобразите не-
сколько векторов: а) сонаправленных с вектором а; б) сона-
правленных с вектором Ь; в) противоположно направленных
вектору Ь; г) противоположно направленных вектору а.
228 Глава X
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
Начертите два вектора: а) имеющие равные длины и некол-
линеарные; б) имеющие равные длины и сонаправленные;
в) имеющие равные длины и противоположно направленные.
В каком случае полученные векторы равны?
—>
Начертите ненулевой вектор а и отметьте на плоскости три
точки А, В и С. Отложите от точек А, В и С векторы, рав-
ные а.
Задачи
Какие из следующих величин являются векторными: скорость,
масса, сила, время, температура, длина, площадь, работа?
В прямоугольнике ABCD АВ = 3 см, ВС = 4 см, точка М — се-
> > •-
редина стороны АВ. Найдите длины векторов АВ, ВС, DC,
МС, МА, СВ, АС.
Основание AD прямоугольной трапеции ABCD с прямым
углом А равно 12 см, АВ = 5 см, Z£> = 45°. Найдите длины век-
торов BD, CD и АС.
Выпишите пары коллинеарных векторов, которые опреде-
ляются сторонами: а) параллелограмма MNPQ; б) трапеции
ABCD с основаниями AD и ВС; в) треугольника . Ука- ..
жите среди них пары сонаправленных и противоположно нй-р ' а е '
правленных векторов.
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О.
Равны ли векторы: а) АВ и DC; б) ВС и DA; в) АО и ОС;
г) АС и BD? Ответ обоснуйте.
Точки S и Т являются серединами боковых сторон MN и LK
равнобедренной трапеции ММХ Равны ли векторы: a) NL и
KL; б) MS и &V; в) М2? и KL; г) TS и КМ; д) TL и КТ?
Докажите, что если векторы АВ и CD равны, то середины от-
резков AD и ВС совпадают. Докажите обратное утверждение:
если середины отрезков AD и ВС совпадают, то AB = CD.
Определите вид четырёхугольника ABCD, если: a) AB = DC
и | АВ | = | ВС |; б) АВ tt DC, а векторы AD и ВС не колли-
неарны.
Верно ли утверждение: а) если а = Ь, то a tt b; б) если а = Ь, то
а и Ъ коллинеарны; в) если а = Ь, то a U Ъ; г) если a.ft Ъ, то
а = Ь; д) если а = 0, то a tt Ъ?
Векторы
Сложение и вычитание векторов
87.	Сумма двух векторов
Рассмотрим пример. Пусть материальная
точка переместилась из точки А в точку В, а за-
тем из точки В в точку С (рис. 287). В результате
этих двух перемещений, которые можно предста-
вить векторами АВ и ВС, материальная точка
переместилась из точки А в точку С. Поэтому ре-
зультирующее перемещение можно представить
вектором АС. Поскольку перемещение из точки
А в точку С складывается из перемещения из
А в В и перемещения из В в С, то вектор АС
естественно назвать суммой векторов АВ и ВС\
АС = АВ + ВС.
Рассмотренный пример приводит нас к по-
нятию суммы двух векторов.
Пусть и и b — два вектора. Отметим произ-
вольную точку А и отложим от этой точки век-
тор АВ, равный а (рис. 288). Затем от точки В
отложим вектор ВС, равный Ь. Вектор АС назы-
вается суммой векторов а и Ь.
Такое правило сложения векторов называ-
ется правилом треугольника. Рисунок 288 пояс-
няет это название.
Докажем, что если при сложении векторов
а и Ъ точку А, от которой откладывается век-
тор АВ = а, заменить другой точкой Alf то век-
тор АС заменится равным ему вектором А^.
Иными словами, докажем, что если АВ = АГВ1 и
ВС=В1С1, то АС = А1С1 (рис. 289).
Допустим, что точки А, В, А„ точки В, С,
В} и точки А, С, А| не лежат на одной прямой
(остальные случаи рассмотрите самостоятельно).
1 >
Из равенства АВ=А}ВУ следует, что стороны
АВ и AtB( четырёхугольника АВВ^А} равны и
параллельны, поэтому этот четырехугольник —
230
Рис.288
Рис.289
Глава X
параллелограмм. Следовательно, ААХ = 13Диа-
логично из равенства BC = BtC} следует, что че-
тырёхугольник ВСС[В1 — параллелограмм. По-
этому ВВ} = CC-i. На основе полученных равенств
заключаем, что АА^СС^ Поэтому АА}СгС—
параллелограмм, и, значит, АС = А1С1, что и
требовалось доказать.
Сумма векторов а и b обозначается так:
а + Ъ.
Складывая по правилу треугольника произ-
вольный вектор а с пулевым вектором, получаем,
что для любого вектора а справедливо равенство
а 4-0 = а.
Правило треугольника можно сформу-
лировать также следующим образом: если А,
В и С — произвольные точки, то АВ 4- ВС - АС.
Подчеркнём, что это равенство справедливо для
произвольных точек А, В и С, в частности, в
том случае, когда две из них или даже все три
совпадают.
88.	Законы сложения векторов.
Правило параллелограмма
Теорема
Для любых векторов a, b и с справедливы ра-
венства:
1°. а 4- b = b 4- а (переместительный закон).
2°. (а 4- Ъ) 4- с = а 4- (Ь 4- с) (сочетательный закон).
Доказательство
1". Рассмотрим случай, когда векторы а и
Ъ не коллинеарны (случаи коллинеарных векто-
ров а и b рассмотрите самостоятельно). От про-
извольной точки А отложим векторы АВ=а и
AD = Ь и на этих векторах построим параллело-
грамм ABCD, как показано на рисунке 290. По
Скачан с vk.com/materiallOO
Векторы
правилу треугольника АС = АВ +ВС = а + Ь. Ана-
логично АС = AD + DC — Ъ + а. Отсюда следует,
что а 4- b = b + а.
2°. От произвольной точки А отложим век-
тор АВ = а, от точки В — вектор ВС = Ь, а от точ-
ки С — вектор CD = c (рис. 291). Применяя пра-
вило треугольника, получим:
(а + Ь) 4- с = (АВ 4- ВС) 4- CD = АС 4- CD = AD,
a+(b + с) = АВ + {ВС 4- CD) = AB + BD = AD.
Отсюда следует, что (а 4- Ь) 4- с = а 4- (д 4- с).
Теорема доказана.
При доказательстве утверждения 1° мы
обосновали так называемое правило паралле-
лограмма сложения неколлинеарных векто-
ров: чтобы сложить неколлинеарньте векторы
а и Ъ, нужно отложить от какой-нибудь точки
Л векторы ЛВ = а и AD = b и построить парал-
лелограмм ABCD (рис. 290). Тогда вектор АС
равен а 4- Ь. Правило параллелограмма часто ис-
пользуется в физике, например при сложении
двух сил.
89.	Сумма нескольких векторов
Сложение нескольких векторов производит-
ся следующим образом: первый вектор складыва-
ется со вторым, затем их сумма складывается с
третьим вектором и т. д. Из законов сложения
векторов следует, что сумма нескольких век-
торов не зависит от того, в каком порядке они
складываются. На рисунке 291 показано постро-
ение суммы векторов а, Ь, с: от произвольной
точки А отложен вектор АВ = а, затем от точки
------------------> ->
В отложен вектор ВС = Ь и, наконец, от точки С
отложен вектор CD = c. В результате получается
вектор AD = а + Ъ 4-е.
A h D
Рис.290
h
В b С
А Скачан с vk.com/ifeteriallOO
Рис. 291
р = а, + а,+а, + сл* + +ал
Рис. 292
232 Глава X
Аналогично можно построить сумму че-
тырёх, пяти и вообще любого числа векторов.
На рисунке 292 показано построение суммы
шести векторов. Это правило построения сум-
мы нескольких векторов называется прави-
лом многоугольника. Рисунок 292 поясняет на-
звание.
Правило многоугольника можно сфор-
мулировать также следующим образом: если
Ар А2, ..., А,, — произвольные точки плоско-
сти, то Л±А2 + А,А3 +... + Д, -^А,^А1Ап (на ри-
сунке 293, а п=7). Это равенство справедливо
для любых точек А,, А2, ..., Атг, в частности в
том случае, когда некоторые из них совпада-
ют. Например, если начало первого вектора
совпадает с концом последнего вектора, то сум-
ма данных векторов равна нулевому вектору
(рис. 293, б).
90.	Вычитание векторов
Разностью векторов а и b называется такой
вектор, сумма которого с вектором Ъ равна век-
тору а.
Разность векторов а и Ъ обозначается так:
а - Ь.
Рассмотрим задачу о построении разности
двух векторов.
Задача
Даны векторы а и Ъ. Построить вектор а — Ь.
Решение
Отметим на плоскости произвольную точ-
ку О и отложим от этой точки векторы О А —а
и ОВ = Ь (рис. 294). По правилу треугольника
ОВ -I- В А = О А или Ь -I- В А = а. Таким образом, сум-
ма векторов В А и 6 равна а. По определению раз-
ности векторов это означает, что ВА = а -Ь, т. с.
вектор В А искомый. Задачу о построении разно-
233
Рис. 293
Скачан с vk.com/materiallOO
Рис. 294
Векторы
сти двух векторов можно решить и другим спо-
собом. Прежде чем указать этот способ, введём
понятие вектора, противоположного данному.
Пусть а — произвольный ненулевой век-
тор. Вектор flti называется противоположным
вектору а, если векторы а и имеют равные
длины и противоположно направлены. На ри-
сунке 295 вектор ал=ВА является противопо-
ложным вектору а = АВ. Вектором, противопо-
ложным нулевому вектору, считается нулевой
вектор.
Вектор, противоположный вектору а, обо-
—>	-4*-	—->
значается так: — а. Очевидно, а + (—а) = 0.
Докажем теперь теорему о разности двух
векторов.
Теорема
ЛИ + НА-ЛА =0
Рис.295
Для любых векторов а и b справедливо равен-
ство а — b = а + (—Ъ).	Скачан с vk.com/matenallOO
Доказательство
По определению разности векторов (а - Ь) +
4- Ь = а. Прибавив к обеим частям этого равенства
вектор (—6), получим:
(а - Ь) + b + (-&) = а + (-&),
или (а — &) + 0 = а -I- (-&),
откуда а - b = а + (-6).
Теорема доказана.
Приведём другое решение задачи о по-
строении разности векторов а и Ь. Отметим на
плоскости произвольную точку О и отложим
------------------------> —*
от этой точки вектор ОА = а (рис. 296). Затем
от точки Л отложим вектор ЛВ=—Ь. По теоре-
ме о разности векторов а - Ь = а + (-6), поэтому
а - Ъ = О А + АВ = ОВ, т. е. вектор ОВ искомый.
234
Рис.296
Глава X
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
Практические задания
Турист прошёл 20 км на восток из города. А в город В, а по-
том 30 км па восток в город С. Выбрав подходящий масштаб,
начертите векторы АВ и ВС. Равны ли векторы АВ + ВС
и АС?
Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у, z и по-
стройте векторы х4-1/, х + z, z + y.
Начертите попарно неколлинеарные векторы a, b, с, d, е
и, пользуясь правилом многоугольника, постройте вектор
a + b + c+ d + e.
Начертите попарно неколлинеарные векторы х, у, z и по-
стройте векторы х - у, г- у, х - г, —х, -у, -г.
Начертите векторы х, у и z так, чтобы х tt у, х tv z. Постройте
векторы х 4- у, у - г, х 4- г.
Начертите два ненулевых коллинеарных вектора а и Ъ так,
чтобы | а | | b |. Постройте векторы: а) а - Ь; б) b - а; в) -а 4- Ь.
Выполните ещё раз построение для случая, когда а | = | b |.
Скачан с vk.com/materiallOO
Задачи
Дан произвольный четырёхугольник MNPQ. Докажите, что:
a) MN+NQ=MP + PQ: б) MN + NP = MQ + QP.
Докажите, что для любых двух неколлинеарных векторов х и
у справедливо неравенство | х + у | < | х | 4-1 у |.
Докажите, что если А, В, С, и I) — произвольные точки, то
AB + BC + CD + DA = 0.
Сторона равностороннего треугольника АВС равна а. Най-
дите: а) АВ + ВС |; б) | АВ + АС |; в) | АВ + СВ |; г) | ВА - ВС |;
д) |АВ-ЛС|.
В треугольнике АВС: АВ = 6, ВС = 8, ЛВ=9(Р. Найдите:
a) |JBA|-|_BC| и |ВА —ВС|; б) |АВ] + |ВСЦи |АВ + ВС|;
в) | ВА +1 ВС | и | ВА 4-ВС |; г) | АВ | -1 ВС | и | АВ-ВС |.
Пользуясь правилом многоугольника, упростите выражение:
а)	(АВ + ВС- МС) + (MD - KD):
б)	(СВ +АС+ ВВ)-(МК + KD).
Векторы
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
Пусть X, У и Z — произвольные точки.
Докажите, что векторы р = XY + ZX 4- YZ,
q = (XY-XZ) + YZ и r = (ZY-XY)-ZX ну-
левые.
На рисунке 297 изображены векторы а, Ь,
с, d, XY. Представьте вектор XY в виде
суммы остальных или им противополож-
ных векторов.
Рис. 297
Дэн треугольник АВС. Выразите через
векторы а = АВ и Ь = АС следующие векторы: а) В А; б) СВ;
в) СВ + ВА.
Решение
а)	Векторы ВЛ и АВ — противоположные, поэтому В А = —АВ,
или ВА = -а.
б)	По правилу треугольника СВ ~ СА + АВ. Но СА = — АС, по-
этому СВ = АВ + (-АС) = АВ - АС = а - Ь.
Точки М и N — середины сторон АВ и АС треугольника АВС.
Выразите векторы ВМ, NC, MN, BN через векторы а - AM и
b = AN.	Скачан с vk.com/materiallOO
Отрезок BB-i — медиана треугольника АВС. Выразите векторы
В'С, ВВ,, ВЛ, ВС через х=ЛВх и у = АВ.
Дан параллелограмм ABCD. Выразите вектор АС через
векторы а и Ъ, если: а) а = АВ, Ъ = ВС; б) а=СВ, b = CD;
в) а = АВ, b = DA.
Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О.
Выразите через векторы а = АВ и b = AD векторы: DC + CB,
ВО + ОС, ВО-ОС, BA-DA.
Дан параллелограмм Л BCD. Докажите, что X Л + ХС = X В + X D,
где X — произвольная точка плоскости.
Докажите, что для любых двух векторов х и у справедливо
неравенство |x-t/|c|x| + |i/|. В каком случае |x-t/| = |x| + |t/|?
Парашютист спускался на землю со скоростью 3 м/с. Порывом
ветра его начинает относить в сторону со скоростью 3>/3 м/с.
Под каким утлом к вертикали спускается парашютист?
236 Глава X
§3
Умножение вектора на число.
Применение векторов к решению
задач
91. Произведение вектора на число
Прежде чем ввести ещё одно действие —
умножение вектора на число, обратимся к приме-
ру. Представим себе, что один автомобиль движет-
ся прямолинейно с постоянной скоростью, второй
автомобиль движется в том же направлении со
скоростью, вдвое большей, а третий
автомобиль движется им навстречу,
т. е. в противоположном направле-
нии, и величина его скорости такая
же, как у второго автомобиля. Если
мы изобразим скорость первого ав-
томобиля вектором v (рис. 298, а),
то естественно изобразить скорость
второго автомобиля вектором, у ко-
торого направление такое же, как у
вектора v, а длина в 2 раза больше, и обозначить
этот вектор 2и. Скорость третьего автомобиля ло-
гично изобразить вектором, противоположным
вектору 2и, т. е. вектором -2v (см. рис. 298, а).
Естественно считать, что вектор 2у получается
умножением вектора и на число 2, а вектор — 2о
получается умножением вектора v на число —2.
Этот пример подсказывает, каким образом следу-
ет ввести умножение вектора на число.
Произведением ненулевого вектора а на
число k называется такой вектор Ъ, длина кото-
рого равна | k | • | а |, причем векторы а и Ь сопа-
правлены при и противоположно направле-
ны при /г<0. Произведением пулевого вектора па
любое число считается пулевой вектор.
Произведение вектора а на число k обозна-
чается так: ka. Па рисунке 298, б изображены
вектор а и векторы За, —1,5а, <2 а.
yfeeom/materiallOO
а)
и 2v -2и
237
Векторы.
Из определения произведения вектора на
число непосредственно следует, что:
1) произведение любого вектора па число
нуль есть нулевой вектор;
2) для любого числа k и любого вектора а
векторы а и ka коллинеарны.
Умножение вектора на число обладает сле-
дующими основными свойствами:
Для любых чисел k, I и любых векто-
ров а, b справедливы равенства:
1°. (kl) а-к (1а) (сочетательный закон).
2°. (k + l)a — кал 1а (первый распределительный
закон).
ЗР. k (a -I- h) = ka 4- kb (второй распределительный
закон).
Рисунок 299 иллюстрирует сочетательный
закон. На этом рисунке представлен случай, ко-
гда k = 2, 1 = 3,
Рисунок 300 иллюстрирует первый распре-
делительный закон. Этот рисунок соответствует
случаю, когда fe = 3, 1 = 2.
Рисунок 301 иллюстрирует второй распре-
делительный закон. На этом рисунке треугольни-
ки О АВ и OALBL подобны с коэффициентом по-
добия А’, поэтому ОА = ка, AB = kb, ОВ = к (a + b).
С другой стороны, О В = О Л + АВ = ka + kb. Таким
образом, к (алЬ) = ka +
Замечание
Рассмотренные нами свойства действий над
векторами позволяют в выражениях, содержа-
щих суммы, разности векторов и произведения
векторов на числа, выполнять преобразования по
тем же правилам, что и в числовых выражени-
ях. Например, выражение р = 2 (а — Ь) +(с + а)-
-3(Ь - с + а) можно преобразовать так:
р = 2а - 2Ь + с + а - 36 4- Зе - За = -5ft + 4с.
238
а
«  । । » । । । *«
О А	В
ОН = 2ОЛ=2(3<Г)
ОВ - 6а’=(2-3)а
Рис.299
ОА = ka. АВ = 1а
ОВ ~ {Л+/)а — ka+la
Рис.300
Скачан с vk.com/materiallOO
ОВ - k(a+b) = ka+kb
Рис.301
Глава X
92. Применение векторов
к решению задач
Векторы могут использоваться для ре-
шения геометрических задач и доказательства
теорем. Приведём примеры. Рассмотрим сначала
вспомогательную задачу.
Задача 1
Точка С — середина отрезка АВ, а О — про-
извольная точка плоскости (рис. 302). Доказать,
что ОС = ^(ОА + ОВ).
Решение
По правилу треугольника ОС = О А + АС,
->- ->- --*-
ОС = ОВ + ВС. Складывая эти равенства, полу-
чаем: 2ОС = О А 4- ОВ 4- (AC -I- ВС). Так как точ-
ка С — середина отрезка АВ, то АС 4-ВС = 0.
Таким образом, 2ОС = ОЛ +ОВ, или
ОС = ^(ОА + ОВ).
Задача 2
Доказать, что прямая, проведённая через
середины оснований трапеции, проходит через
точку пересечения продолжений боковых сторон.
Решение
Пусть ABCD — данная трапеция, М и
iV — середины оснований ВС и AD, а О—точка
пересечения прямых АВ и CD (рис. 303). Дока-
жем, что точка О лежит на прямой MN.
Треугольники OAD и ОВС подобны но пер-
вому признаку подобия треугольников (докажите
.	ОА OD .
это), поэтому —— = —— = Л.
(70 L/C
Так как OB tt О А и ОС tt OD, то
OA = k-OB, OD = k-OC.	(1)
Точка М — середина отрезка ВС, поэтому
ОМ = 1 (ОВ 4- ОС). Аналогично ON (ОА + OD).
£ &
239
Рис.302
Скачан с vk.com/materiallOO
Векторы
Подставив в это равенство выражения (1)
для О А и OD, полущим:
CW = k • (О В + ОС) = k • ОМ,
Отсюда следует, что векторы ON и ОМ
коллинеарны, и, значит, точка О лежит на пря-
мой MN.
Напомним, что средней линией трапеции
называется отрезок, соединяющий середины её
боковых сторон. Докажем теорему о средней ли-
нии трапеции.
Теорема
Средняя линия трапеции параллельна основа-
ниям и равна их полусумме.
Доказательство
Пусть MN — средняя линия трапеции
ABCD (рис. 304). Докажем, что MN || AD и	~ /
MN =	+	f Скачан с vBfcom/materiallOO
п 2	4----- ХЛ
По правилу многоугольника	/	\
MN = MB + ВС + CN и MN = МА + AD + DN.	t___________\
Сложив эти равенства, полущим:	л
2MN = (МВ + МА) + (ВС + AD) + (CN + DN). Р*С' 304
Но М и N середины сторон АВ и CD, по-
этому МВ + МА = 6 и CA'+£)jV = 0. Следователь-
но, 2MN = AD +ВС, откуда
MN = - (AD + ВС).
2
Так как векторы AD и ВС сонаправлены,
то векторы MN и AD также сонаправлены,
а длина вектора (AD + ВС) раина AD + ВС. От-
сюда следует, что MN || AD и MN =	—.
Теорема доказана.
240
Глава X
Практические задания
963
Начертите два неколлипеарных вектора р и с/, начала которых
по совпадают, и отметьте какую-пибудь точку О. От точки О
отложите векторы, равные 2р и — q.
2
964 Начертите два неколлинеарных вектора х и у и постройте век-
>1	.	J >	1	>	>	>	»
торы: а) х + 2у; б) — у + х; в) Зх + — у, г) 1— х-Зу, д) 0х+4у;
2	2	2
е) -2х + Оу. Выполните задания а) — е) для двух коллинеар-
-> -*
ных ненулевых векторов хну.
965 Начертите два неколлинеарных вектора р и q, начала которых
не совпадают. Постройте векторы m=2p-—q, n = p + 3q,
- i + - о + -	2
/ = -2р--у, я = ^д-р.
Z	<5
966 Начертите попарно неколлинеарные векторы a, b и с.
Постройте векторы: а) 2а + ЗЪ - 4с; б) 1 а - b + - с.
Задачи
967 Дан вектор р = 3а, где а^О. Как направлен каждый чи^чв1ёк''тб-! ' ' д"
ров а, -а, а, -2а, 6а по отношению к вектору у? Выразите
длины этих векторов через р\.
968 Докажите, что для любого вектора а справедливы равенства:
а)1-а = а; б) (- 1)*а=-а.
969 Пусть х = гп+п, у = пъ-п. Выразите через иг и п векторы:
а) 2х - 2у; б) 2х + | у; в) -х -у,
970 В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD,
точка G — середина стороны ВС. Выразите векторы ЕС и AG
через векторы DC = а и ВС = Ь.
971 Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма ABCD, при-
чём ВМ : МС = 3 : 1. Выразите векторы AM и MD через векто-
ры а = AD и Ь = АВ.
972 В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О,
а М — такая точка на стороне AD, что AM = ^MD. Выразите
через векторы x = AD, у = АВ следующие векторы:
Векторы
a)	AC, AO, CO, DO, AD + BC, AD + CO, CO + OA;
б)	AM, MC, BM, OM.
973 Точки M и N — середины диагоналей AC и BD четырёхуголь-
ника ABCD, Докажите, что
МуЛ(А1АСВ).
974 Отрезки AA,, BBX и СС,— медианы треугольника АВС, Вы-
разите векторы ААР BBit CCL через векторы а = АС и Ъ = АВ.
975 Точка О — середина медианы EG треугольника DBF, Вырази-
те вектор DO через векторы а = Е1) и Ъ = ЕЕ.
Применение векторов к решению задач
976 Дан произвольный треугольник АВС. Докажите, что суще-
ствует треугольник, стороны которого соответственно парал-
лельны и равны медианам треугольника АВС.
Решение
Пусть AAj, ВВ3, ССА —медианы треугольника АВС. Тогда
аХ = 1(АВ+ЛС),	ВВ^=^-(ВС + ВЛ), СС=-(СА+СВ)
1	2	1	2	<3<ачан с vk.com/materiallOO
(см. задачу 1, п. 92). Сложив эти равенства, получим
А А, + ВВ\ + СС\ = у ((АВ + В А) + (АС + СА) + (СВ + ВС)) = 6.
Л
Отсюда следует, что если мы построим сумму векторов ААЬ
ВВ(, СС, по правилу многоугольника (п. 89), то получим тре-
угольник, удовлетворяющий условиям задачи (треугольник
MNP па рисунке 305).
977 На сторонах треугольника ЛВС построены параллелограм-
мы АВВ3А2, ВСС^В# АСС2А1. Докажите, что существует тре-
угольник, стороны которого соответственно параллельны и
равны отрезкам AtA2, В1В2 и CjC2.
Рис. 305
NP = BB},
= СС,
242 Глава X
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
1
2
3
4
5
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей
трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности
оснований.
Докажите, что отрезки, соединяющие середины противопо-
ложных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пе-
ресечения делятся пополам.
Докажите теорему о средней линии треугольника (и. 69) с по-
мощью векторного метода.
Боковые стороны трапеции равны 13 см и 15 см, а периметр
равен 48 см. Найдите среднюю линию трапеции.
Сторона АВ треугольника АВС разделена на четыре равные
части и через точки деления проведены прямые, параллель-
ные стороне ВС. Стороны АВ и АС треугольника отсекают
на этих параллельных прямых три отрезка, наименьший из
которых равен 3,4 см. Найдите два других отрезка.
Найдите диаметр окружности, если его концы удалены от не-
которой касательной на 18 см и 12 см.
Из концов диаметра СВ данной окружности проведены пер-
пендикуляры ССХ и DDt к касательной, не перпендикулярной
к диаметру CD. Найдите DD^ если СС, = 11 см, a CD = 27 см.
Докажите, что средняя линия трапеции проходит через сере-
дины диагоналей.
Скачан с vk.com/materiallOO
Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 48 см, а сред-
няя линия делится диагональю на два отрезка, равные 11 см и
35 см. Найдите углы трапеции.
Дана равнобедренная трапеция ABCD. Перпендикуляр, про-
ведённый из вершины В к большему основанию AD, делит
это основание па два отрезка, больший из которых равен 7 см.
Найдите среднюю линию трапеции.
Вопросы для повторения к главе X
Приведите примеры векторных величин, известных вам из
курса физики.
Дайте определение вектора. Объясните, какой вектор называ-
ется нулевым.
Что называется длиной ненулевого вектора? Чему равна дли-
на нулевого вектора?
Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на
рисунке сонаправленные векторы а и Ъ и противоположно на-
правленные векторы с и d.
Дайте определение равных векторов.
Векторы.
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
988
989
990
Объяспитс смысл выражения: «Вектор а отложен от точ-
ки А». Докажите, что от любой точки можно отложить век-
тор, равный данному, и притом только один.
Объяспитс, какой вектор называется суммой двух векторов.
В чём заключается правило треугольника сложения двух век-
торов?
Докажите, что для любого вектора а справедливо равенство
а 4- 0 = а.
Сформулируйте и докажите теорему о законах сложения век-
торов.
В чём заключается правило параллелограмма сложения двух
пеко л л и не а рп ых в ек т оро в ?
В чём заключается правило многоугольника сложения не-
скольких векторов?
Какой вектор называется разностью двух векторов? Постройте
разность двух данных векторов.
Какой вектор называется противоположным данному? Сфор-
мулируйте и докажите теорему о разности векторов.
Какой вектор называется произведением данного вектора на
данное число?
Чему равно произведение ka, если: а) а = О; б) А’ = 0?
Скачан с vk.com/materiallOO
Могут ли векторы а и ka быть неколлинеарными?
Сформулируйте основные свойства умножения вектора на
число.
Приведите пример применения векторов к решению геометри-
ческих задач.
Какой отрезок называется средней линией трапеции?
Сформулируйте и докажите теорему о средней линии тра-
пеции.
Дополнительные задачи
Докажите, что если векторы т и п сонаправлены, то
| т 4- п | = | т. | -I- ’ п |, а если т и п противоположно направлены,
причём | т | > | п |, то | т + п | = | т | - j п |.
Докажите, что для любых векторов х и у справедливы нера-
венства I X I — | у I < I X + у I С I X I + I у |.
На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка N так, что
BN = 2NC, Выразите вектор AN через векторы а = ВА и b — ВС.
244 Глава X
991
992
На сторонах MN и треугольника MNP отмечены соответ-
„ 1Z	MX 3 NY 3
ственно точки Хиг так, что = — и	. Выразите
векторы XY и МР через векторы a = NM и b=NP.
Основание AD трапеции ABCD в 3 раза больше основания ВС.
На стороне AD
разите векторы
отмечена такая точка К, что А К = — AD. Вы-
3
СК, KD и ВС через векторы а = ВА и b = CD.
В и С расположены так, что ВС =_. АВ.
993
Три точки А, _ „ _ х_____________________, _______
Докажите, что для любой точки О справедливо равенство
ов=^оа + ^-ос.
3	3
994 Точка С делит отрезок АВ в отношении m : п, считая от точ-
ки А. Докажите, что для любой точки О справедливо ра-
венство
ОС = —— ОА + —— ОВ.
гп + 71	m + л
995* Точки А и С — середины противоположных сторон произ-
вольного четырёхугольника, а точки В и D — середины двух
других его сторон. Докажите, что для любой точки:кФавсрПот/matenalioo
равенство
OA + OC = OB + OD.
996 Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°. Найдите
сё среднюю линию, если меньшая диагональ и большая боко-
вая сторона трапеции равны а.
997 Докажите, что вертпипа угла, образованного биссектрисами
двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит
на прямой, содержащей среднюю линию трапеции.
Векторы
Глава XI
Метод координат
С понятием декартовой прямоугольной системы координат вы
знакомы по курсу алгебры. Введение системы координат поз-
воляет описывать геометрические фигуры, в частности окруж-
ности и прямые, с помощью уравнений, что даёт возможность
применять в геометрии алгебраические методы. Так, например,
написав уравнения двух данных окружностей, можно с их по-
мощью исследовать взаимное расположение этих окружностей.
Наряду с координатами точек будут введены координаты векто-
ров и тем самым будет расширен координатно-векторный аппа-
рат геометрии.
Коорд и 11 аты вектора
93. Разложение вектора
по двум неко л линеарным векторам
а)
b
Докажем сначала лемму о коллинеарных
векторах.
Лемма
GK&aw^wk.ccm/materiallOO
ka
Если векторы а и Ъ коллинеарны и а 0, то
существует такое число k, что b = ka.
k=-—
Доказательство
Возможны два случая: a tt b и а 14 Ь. Рас-
смотрим эти случаи в отдельности.
1) a tt Ъ. Возьмём число =
Так как
б)
b
k > О, то векторы ka и b сонаправлены (рис. 306, а).
Кроме того, их длины равны:
I*
а
| ka | = k | • | a | =
Поэтому b = ka.
2) a 14 b. Возьмём число k= .
l« I
A’<0, то векторы ka и b снова сонаправлены
(рис. 306, б). Их длины также равны:

Так как
ka

Рис.306
246
Глава XI
ka = fc
a\ = \b\.
Поэтому b = ka. Лемма доказала.
Пусть а и b — два данных вектора. Если
вектор р представлен в виде р = ха + yb, где х и
у некоторые числа, то говорят, что вектор р
разложен по векторам а и Ь. Числа хну назы-
ваются коэффициентами разложения.
Докажем теорему о разложении вектора по
двум неколлинеарным векторам.
Теорема
Па плоскости любой вектор можно разложить
по двум данным неколлннеарным векторам,
причём коэффициенты разложения определяют-
ся единственным образом.
Доказательство
Пусть а и Ъ — данные неколлинеарные
векторы. Докажем сначала, что любой вектор р
можно разложить по векторам а и Ъ. Возможны
два случая.
1) Вектор р коллинеарен одному из векто-
ров а и Ь, например вектору Ь. В этом случае по
лемме о коллинеарных векторах вектор р можно
представить в виде р-yb, где у — некоторое чис-
ло, и, следовательно, р = 0 • а + у  6, т, е. вектор р
разложен по векторам а и &.
2) Вектор р не коллинеарен ни вектору а,
пи вектору Ь. Отметим какую-нибудь точку О и
отложим от неё векторы ОА=а, ОВ = Ь, ОР=р
(рис. 307). Через точку Р проведём прямую, па-
раллельную прямой ОВ, и обозначим через Ах
точку пересечения этой прямой с прямой ОА.
По правилу треугольника р = ОА^ + А^Р. Но век-
торы О А! и АУР коллинеарны соответственно
векторам а и Ь, поэтому существуют такие чис-
Скачан с vk.com/materiallOO
О а А А,
Рис.307
Р
247
Метод координат
ла х и у, что ОА1 = ха, АхР=хЬ. Следователь-
но, р = ха + yb, т. е. вектор р разложен по векто-
рам а и Ь.
Докажем теперь, что коэффициенты х и у
разложения определяются единственным обра-
зом. Допустим, что наряду с разложением
р = ха + уЪ имеет место другое разложение
р = хр 4- у ,6. Вычитая второе равенство из перво-
го и используя правила действий над векторами,
получаем О = (х - xj а + (у - yj b. Это равенство
может выполняться только в том случае, когда
коэффициенты х-х, и у — у i равны нулю. В са-
мом деле, если предположить, например, что
х - хх 0, то из полученного равенства найдём
а — -——Ь, а значит, векторы а и о коллинеарны,
х-х.
Но это противоречит условию теоремы. Следова-
тельно, х — х 1 = О и у — yL= О, откуда х = хх и у = yt.
Это и означает, что коэффициенты разложения
вектора р определяются единственным образом.
Теорема доказана.
Замечание
Два данных неколлинеарных вектора а и Ъ
называют векторным базисом, а представле-
ние вектора р в виде р = ха + yb — разложением
вектора р по базисным векторам.
Скачан с vk.com/materiallOO
94. Координаты вектора
Понятие прямоугольной системы коорди-
нат (или, как иногда говорят, декартовой систе-
мы координат) нам известно из курса алгебры.
Напомним, что для задания прямоуголь-
ной системы координат нужно провести две вза-
имно перпендикулярные прямые, на каждой
из них выбрать направление (оно обозначается
стрелкой) и выбрать единицу измерения отрез-
248 Глава XI
ков. При выбранной единице измерения отрезков
длина каждого отрезка выражается положитель-
ным числом. В дальнейшем под длиной отрезка
мы будем понимать это число.
Отложим от начала координат О единичные
векторы (т. е. векторы, длины которых равны 1)
i и j так, чтобы направление вектора i совпало
с направлением оси Ох, а направление векто-
ра у — с направлением оси Оу (рис. 308). Векто-
ры i и / назовём координатными векторами.
Координатные векторы не коллинеарны,
поэтому любой вектор р можно разложить по ко-
ординатным векторам, т. е. представить в виде
p = xi+yj, причём коэффициенты разложения
(числа х и у) определяются единственным обра-
зом.
Коэффициенты разложения вектора р по
координатным векторам называются координа-
тами вектора р в данной системе координат. Ко-
ординаты вектора будем записывать в фигурных
скобках после обозначения вектора: р {х; у}. На
рисунке 308 О А {2; 1} и Ъ {3; -2}. Так как нулевой
вектор можно представить в виде 0 = 0 • i 4- 0 • j, то
его координаты равны нулю: 0 {0; 0}.
Если векторы а = ху + у J и b = x2i + y.j рав-
ны, то Xj = x2 и ух =у .г Таким образом, координа-
ты равных векторов соответственно равны.
Рассмотрим правила, позволяющие по ко-
ординатам векторов находить координаты их сум-
мы, разности и произведения вектора на число.
1°. Каждая координата суммы двух или более
векторов равна сумме соответствующих коорди-
нат этих векторов.
Скачан с vk.com/materiallOO
Докажем это утверждение для двух век-
торов. Рассмотрим векторы ^{x^z/,} и Ь{х2;у,}.
Так как а = х/ + у J и b = x2i + y2h то, пользуясь
249
Метод координат
свойствами сложения векторов и умножения век-
тора на число, получим:
и + Л = xj+ yj + X/+ у	(X) + х2) Z+ (</) 4- y.J j.
Отсюда следует, что координаты вектора
а + Ъ равны {Xi + х2; ух + у2}.
Аналогично доказывается утверждение:
2Р. Каждая координата разности двух векто-
ров равна разности соответствующих координат
этих векторов.
Иными словами, если а {дс,; у}} и b {х2; у.,} —
данные векторы, то вектор а — Ь имеет коорди-
наты {х, — х2; y-t - у2}. Проведите доказательство
самостоятельно.
ЗР. Каждая координата произведения вектора
на число равна произведению соответствующей
координаты вектора на это число.
В самом деле, пусть вектор а имеет коор-
динаты {х; у}. Найдём координаты вектора ka,
где k — произвольное число. Так как a = xi + yj,
то ka = kxi + kyj. Отсюда следует, что координаты
вектора ka равны {fex; ky}.
Рассмотренные правила позволяют опреде-
лить координаты любого вектора, представленно-
го в виде алгебраической суммы данных векто-
ров с известными координатами. Пусть,
например, требуется найти координаты вектора
р = 2а-—Ь + с, если известно, что а{1;-2},
3
ИО; 3}, J{-2; 3}.
По правилу 3° вектор 2а имеет координаты
{2;-4}, а вектор — координаты {0;-1}. Так
как р = (2а)+ (-—£) +с, то координаты вектора р
о
можно найти по правилу 1": {2 -I- 0 - 2; -4 - 1 + 3}.
Итак, вектор р имеет координаты {0; -2}.
Скачан с vk.com/materiallOO
250 Глава XI
Задачи
998 Найдите такое число k, чтобы выполнялось равенство n-km,
если известно, что: а) векторы т и п противоположно направ-
лены и | т | =0,5 см, | п | = 2 см; б) векторы т и п сонаправлены
и | т |= 12 см, | и | = 24 дм; в) векторы т и п противоположно
направлены и | т | — 400 мм, | п | = 4 дм; г) векторы т и п сона-
правлены и | т | = \^2 см, | п | = -7^0 см.
999 Диагонали параллелограмма ABCD пере-
секаются в точке О, М — середина отрезка
АО. Найдите, если это возможно, такое чис-
ло k, чтобы выполнялось равенство:
а) АС = kAO; б) ВО = kBD; в) OC = feCA;
г) AB = kDC;	д) BC = kDA; е) AM=kCA;
ж) MC = kAM; з) AC = kCM; и) AO = kBD.
1000 Векторы а и b коллинеарны. Коллинеарны
ли векторы: а) а + ЗЬ и а; б) b — 2а и а? Ответ
обоснуйте.
1001 Докажите, что если векторы а и b не колли-
неарны, то:
а)	векторы а + Ъ и а — b не коллинеарны;
б)	векторы 2а — b и а+ 5 не коллинеарны;
в)	векторы а + Ъ и а + ЗЪ не коллинеарны.
1002 Точка М лежит на диагонали АС параллело-
грамма ABCD, причём AM : А4С = 4 : 1. Разло-
жите вектор AM по векторам а = АВ и b = AD.
1003 Векторы а и b не коллинеарны. Найди-
те числа х и у, удовлетворяющие равенст-
ву: а) За - xb = уа + Ь; б) 4а - ха + 5& + z/Ь = 0;
в) ха + ЗЬ — yb = 0; г) a -I- b — Зуа -I- xb = 0.
1004 Начертите прямоугольную систему коорди-
нат Оху и координатные векторы I и j. По-
стройте векторы с началом в точке О, задан-
ные координатами а {3; 0}, b {2; -1}, с {0; -3},
d{l;l), е{2;^2].
1005 Разложите векторы a, b, с, d, е и f, изобра-
жённые на рисунке 309, а, б, в, по координат-
ным векторам i и j и найдите их координаты.
а)
б)
в)
Метод координат
1006
1007
1008
Выпишите координаты векторов а = 21 + 3/,
-Т*-	-+	->	->	->	->
d = i—j, е = —2/, f = -i.
b=-—1 + 2/, с = 8?',
Запишите разложение ио координатным векторам I и j некто-
ра: а) х{-3;1-}: б)	в) а{-1;0}; г) и{0;3);д) ЙО; 1}.
О	_	+
Найдите числа х и у, удовлетворяющие условию: a) xi+yj =
= oi- 2j; б) -3i + yj = xi + 7j; в) xi + yj = -4i; r) xi + yj = 0.
1009 Найдите координаты вектора a + b, если: a) a {3; 2}, b {2; 5};
6)	a{3;-4}, d{l; 5}; в) a (-4; -2}, b {5; 3}; r) a {2; 7}, b{-3;-7}.
1010 Найдите координаты вектора a-b, если: a) a {5; 3}, b {2; 1};
6)	a {3; 2}, b {-3; 2}; в) a {3; 6}, b {4; -3}; r) a {-5; -6}, b (2; -4}.
1011 Найдите координаты векторов 2a, За, -а, -За, если а {3; 2}.
1012 Даны векторы а {2; 4}, b {-2; 0}, с {0;0}, d {-2; -3}, е(2;-3},
/{О, 5}. Найдите координаты векторов, противоположных дан-
ным.
1013 Найдите координаты вектора о, если: a) o = 3a-3i>, а (2; -5},
b {-5; 2}; б) v = 2а - ЗЪ + 4с, а {4; 1}, b {1; 2}, с {2; 7};
в)	v = 3a — 2b——с, а {— 7; — 1}, b {—1; 7}, с {4; -6}; скачан с vk.com/matenallOO
г)	и = а - Ь- с, а {7; —2}, b {2; 5}, с {-3; 3}.
1014 Докажите, что если два вектора коллинеарны, то координаты
одного вектора пропорциональны координатам другого. Сфор-
мулируйте и докажите обратное утверждение.
1015 Даны векторы а {3; 7}, b {-2; 1}, с {6; 14}, d {2; —1}, е {2; 4}. Ука-
жите среди этих векторов попарно коллинеарные векторы.
Простейшие задачи в координатах
95.	Связь между координатами вектора
и координатами его начала и конца
Рассмотрим прямоугольную систему коор-
динат и какую-нибудь точку М с координатами
(х; у). Напомним, как определяются числа х и у.
Проведём через точку М прямые, перпендику-
лярные к осям координат, и обозначим через Му
252 Глава XI
и М2 точки пересечения этих прямых с осями Ох
и Оу (рис. 310). Число х (абсцисса точки Af) опре-
деляется так: x=OMlf если ML— точка поло-
жительной полуоси (рис. 310, а), x = -OMlf если
Л/, — точка отрицательной полуоси (рис. 310, б);
х = 0, если M-t совпадает с точкой О.
Аналогично определяется число у (ордина-
та точки Af), На рисунке 311 изображена пря-
моугольная система координат Оху и отмечены
точки А (3; 2), В (-4; 3), С (-2,5; 0).
Вектор ОМ назовём радиус-вектором точки
М. Докажем, что координаты точки М равны со-
ответствующим координатам её радиус-вектора.
Воспользуемся равенством ОМ = ОМХ + ОМ2
(см. рис. 310) и докажем, что OML = xi и
OM2 = yj. Если х>0 (как на рисунке 310, а),
то х = ОЛ70 а векторы ОМХ и I сонаправле-
ны. Поэтому ОМХ = ОМХ • i = xi. Если х<0
(как на рисунке 310,6), то x =—OML, а векто-
ры ОМх и i противоположно направлены. По-
этому ОМХ =-ОМ I • i = xl. Наконец, если х = 0,
то ОМх = 6 и равенство OMx=xi в этом случае
также справедливо. Таким образом, в любом
случае OMt=xi. Аналогично доказывается, что
OM2=yj.
Значит, ОМ = ОМХ + ОМ 2 = xi + yj. Отсюда
следует, что координаты радиус-вектора ОМ рав-
ны {х; г/}, т. е. равны соответствующим координа-
там точки М, что и требовалось доказать.
Пользуясь доказанным утверждением, вы-
разим координаты вектора АВ через координа-
ты его начала Л и конца В. Пусть точка Л име-
ет координаты (л*1;4/1), а точка В—координаты
(х2; t/г). Вектор АВ равен разности векторов ОВ
и О А (рис. 312), поэтому его координаты равны
разностям соответствующих координат векторов
ОВ и О А. Но О В и О А — радиус-векторы точек
1	©^н'с vk^ccm/matenallOO
Рис.312
253
Метод координат
В и А, и, значит, ОВ имеет координаты {л^;
а О А имеет координаты (х,; i/J.
Следовательно, вектор Л В имеет координа-
ты {хг-х^У2-у}}‘
Таким образом, каждая координата векто-
ра равна разности соответствующих координат
его конца и начала.
На рисунке 308 (с. 249) точки В и С имеют
координаты (1; 4) и (4; 2), поэтому координаты
вектора ВС равны {3; -2}.
96.	Простейшие задачи в координатах
Введение системы координат даёт воз-
можность изучать геометрические фигуры и их
свойства с помощью уравнений и неравенств и
таким образом использовать в геометрии мето-
ды алгебры. Такой подход к изучению свойств
геометрических фигур называется методом ко-
ординат.
Решим три вспомогательные задачи а) — в).
а)	Координаты середины отрезка. Пусть в
системе координат Оху точка А имеет координа-
ты (*i; t/i), а точка В — координаты (x&y^. Вы-
разим координаты (х; у) середины С отрезка АВ
через координаты его концов.
Так как точка С — середина отрезка АВ, то
ОС = ^ (ОА + ОВ).	(1)
2
(Это равенство было доказано в п. 92.)
Координаты векторов ОС, ОА и ОВ равны
соответствующим координатам точек С, А и В:
ОС{х;у}, OA{xL;yL}, OB{x2;yJ. Записывая ра-
венство (1) в координатах, получим:
Скачан с vk.com/materiallOO
+	.. = Ул±Уг
2	' У 2
254 Глава XI
Таким образом, каждая координата сере-
дины отрезка равна полусумме соответствующих
координат его концов.
б)	Вычисление длины вектора по его коор-
динатам. Докажем, что длина вектора а{х;у}
вычисляется по формуле
I а I = >/х2+ У*-
Отложим от начала координат вектор
О А = а и проведём через точку А перпендикуля-
ры ЛЛ1 и ЛЛ2 к осям Ох и Оу (рис. 313). Коор-
динаты точки А равны координатам вектора О А,
т. е. (х; у). Поэтому ОА: = | х |, ААХ = ОА2= | у (мы
рассматриваем случаи, когда х^О и i/*0; другие
случаи рассмотрите самостоятельно). По теореме
Пифагора
О А = JOAf + AAf = фс~2 + у2.
Но | а | = | О А | = ОА, поэтому | и | = >/х2 + i/2,
что и требовалось доказать.
в)	Расстояние между двумя точками. Пусть
точка Mt имеет координаты (x^t/J, а точка
М2 — координаты (х>; у2). Выразим расстояние d
между точками Mi и М2 через их координаты.
Рассмотрим вектор М-^М^ Его координаты
равны {Xj-Xp у,- уд}. Следовательно, длина это-
го вектора может быть найдена по формуле
М,М21 = V(x2 “	+	- У,)2-
Но | Л/'1ЛТ21 = 6?. Таким образом, расстояние
d между точками (х^ у () и М2 (х2; у>) выража-
ется формулой
d = fa - xj2 + (t/2 - t/,)2.
Рис.313
Скачан с vk.com/materiallOO
Задачи
1016 Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а точка В —
на положительной полуоси Оу. Найдите координаты вершин:
а) треугольника АВО, если ОА = 5, ОВ = 3; б) прямоугольника
ОАСВ, если ОА = а, ОВ = Ь.
Метод координат
1017
1018
1019
1020
1021
Корабль проплывает от пун-
кта А сначала 100 км на
восток, а потом 75 км на се-
вер. В системе координат,
указанной на рисунке 314,
изобразите результирующее
перемещение как вектор а.
Найдите координаты векто-
ра а.
Начертите квадрат MNPQ
так, чтобы вершина Р имела
координаты (-3; 3), а диаго-
нали квадрата пересекались
в начале координат. Найдите
координаты точек М, N и Q.
Найдите координаты вершин
равнобедрен-
ного треугольника ЛВС, изображённого на
рисунке 315, если АВ = 2а, а высота СО
равна h.
Найдите координаты вершины D парал-
лелограмма ABCD, если А (0; О), В (5; 0),
С (12;-3).
Найдите координаты вектора АВ, зная ко-
Рис.314
Рисс^ с vk.com/materiallOO
ординаты его начала и копна:
а) А (2; 7), В (-2; 7); б) А (-5; 1), В (-5; 27);
в) А (-3; 0), В (0; 4); г) А (0; 3), В (-4; 0).
1022 Перечертите таблицу в тетрадь, заполните пустые клетки и
найдите х и у:
А	(0;0)	(х; -3)		(«; Ь)	d;2)
В	(I; 1)	(2; -7)	(3; 1)		
АВ		{5; у}	<-з; 4а	{с; d)	(0:0}
1023 Перечертите таблицу в тетрадь и, используя формулы для вы-
числения координат середины М отрезка АВ, заполните пу-
стые клетки:
А	(2;-3)		(0; 1)	(0; 0)	(с; d)	(3; 5)	(3/ + t)	(1; 3)
В	(-3; 1)	(4; 7)		(-3; 7)		(3;8)	(t + 7; -7)	
М		(-3; -2)	(3; -5)		(а; Ь)			(0; 0)
256 Глава XI
1024
1025
1026
1027
1028
1029
1030
1031
1032
1033
1034
1035
Даны точки А (0; 1) и В (5; -3). Найдите координаты точек
С и D, если известно, что точка В — середина отрезка АС,
а точка D — середина отрезка ВС.
Найдите длины векторов: а) а {5; 9}; б) Ъ {-3; 4}; в) с {—10; —10};
г)	J{10; 17}; д) е{11;-11}; е) /{10; 0}.
Найдите расстояние от точки М (3; -2): а) до оси абсцисс; б) до
оси ординат; в) до начала координат.
Найдите расстояние между точками А п В, если:
а) А (2; 7), В (-2; 7);	' б) А (-5; 1), В (-5; -7);
в) А (-3; 0), В (0; 4); г) А (0; 3), В (-4; 0).
Найдите периметр треугольника MNP, если М (4; 0),
Лг(12;-2), Р(5;-9).
Найдите медиану AM треугольника АВС, вершины которого
имеют координаты: А (0; 1), В (1; -4), С (5; 2).
Точки В и С лежат соответственно па положительных полу-
осях Ох и Оу, а точка А лежит па отрицательной полуоси Ох,
причём ОА-а, OB = b, OC = h. Найдите стороны АС и ВС тре-
угольника АВС.
Найдите сторону АС и диагональ ОС трапеции ОВСА с осно-
ваниями ОА = и и BC=d, если точка А лежит па положитель-
ной полуоси Ох, а вершина В имеет координаты (Ъ; с).
Найдите х, если:	Скачан с vk.com/materialiOO
а)	расстояние между точками А (2; 3) и В (х; 1) равно 2;
б)	расстояние между точками (-1; х) и М2 (2х; 3) равно 7.
Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, и найди-
те его площадь, если вершины треугольника имеют коорди-
наты:
а)	А (0; 1), В (1;-4), С (5; 2);
б)	А (-4; 1), В (-2; 4), С(0; 1).
Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллело-
граммом, и найдите его диагонали, если:
а) М(1; 1), ЛГ(6; 1), Р(7; 4), Q (2; 4);
б)	М(-5; 1), ЛЧ-4; 4), Р(-1; 5), Q(-2; 2).
Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоуголь-
ником, и найдите его площадь, если:
а)	А(-3;-1), В(1;-1), С(1;-3), Р(-3;-3);
б)	А (4; 1), В (3; 5), С (-1; 4), D (0; 0).
1036.
| Курьер должен принести заказ из пекарни в магазин,
кафе и столовую. Ему предоставили карту маршрута, мас-
штаб которой 1:10 000 (рис. 316). Все пункты, в которых
может находиться курьер, соединяют прямолинейные доро-
ги. Пекарня находится ровно посередине отрезка, соединя-
257 Метод координат
ющего кафе и столовую. Какое расстояние должен пройти
курьер, чтобы быстрее доставить заказ и вернуться обратно
в пекарню?
1037.
’ Курьер должен доставить заказ со склада в магазин, кафе,
столовую и кондитерскую. Ему предоставили карту маршрута,
масштаб которой 1:10 000 (рис. 317). Все пункты, BcJ^tbp^x :Md-5te'а110'-'
жет находиться курьер, соединяют прямолинейные дороги.
Рис. 317
258 Глава XI
Склад находится ровно посередине отрезка, соединяющего мага-
зин и кондитерскую. Какое расстояние должен пройти курьер,
чтобы быстрее доставить заказ и вернуться обратно па склад?
Применение метода координат к решению задач
Формулы координат середины отрезка и расстояния меж-
ду двумя точками можно использовать для решения более
сложных геометрических задач. С этой целью следует ввести
прямоугольную систему координат и записать условие задачи
в координатах. После этого решение задачи проводится с по-
мощью алгебраических вычислений.
1038 Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треуголь-
ника равноудалена от всех его вершин.
Решение
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым
углом С. Обозначим буквой М середину гипотенузы АВ.
Введём прямоугольную систему коорди-
нат так, как показано на рисунке 318.
Если ВС = а, АС = Ь, то вершины тре-
угольника имеют координаты С (0; 0),
В (а; 0), А (0; Ь). По формулам координат
середины отрезка находим координаты
точки М:
Скачан с vk.com/materiallOO
Рис.318
Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, най-
дём длины отрезков МС и МА:
/ \2 /,	\2	. ,_______
МЛ = [ - + - - Ь = ->/а2 + & .
2 J	\ 2	)	2
Таким образом, МЛ = МВ = МС, что и требовалось доказать.
1039 Докажите, что сумма, квадратов всех сторон
равпа сумме квадратов его диагоналей.
Решение
Пусть Л ВС В — данный параллелограмм.
Введём прямоугольную систему координат
так, как показано на рисунке 319. Если
AD = BC = a, а точка В имеет координаты
(Ь; с), то точка D имеет координаты (а; 0),
а точка С координаты (а + &; с). Исполь-
зуя формулу расстояния между двумя точ-
ками, находим:
па рал ле логр ам ма.
A(0;0) D(a;0) х
Рис.319
259
Метод координат
AB2=b2 + e2, А& = а'2, AC2=(a+ fc)2 + c2, BD2 = (a -b? + c2.
Отсюда получаем:
AB2 + ВС2 + CD2 + DA2 = 2(AB2 + AD2) = 2 (a2 + b2+ c2),
AC2 + BD = (a + b)2 + c2+(a - b?+ c2= 2 (a2+b2 + c2).
Таким образом,
AB2+ BC2 + CD2 + DA2 = AC2+ BD2,
что и требовалось доказать.
1040 Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треуголь-
ника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см.
Найдите две другие медианы этого треугольника.
1041 Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два
отрезка, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведённую
к меньшей из двух других сторон.
1042 Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны.
Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
1043 Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то
параллелограмм является прямоугольником.
1044 Дан прямоугольник ABCD. Докажите, что для произвольной
точки М плоскости справедливо равенство
AM2 + СМ2 = ВМ2 4- DM2.	Скачан с vk.com/materiallOO
§3
Уравнения окружности и прямой
97.	Уравнение линии на плоскости
При изучении алгебры мы строили графи-
ки некоторых функций в прямоугольной систе-
ме координат, например график, функции у = х.
Известно, что графиком этой функции явля-
ется прямая, проходящая через точки О (0; 0)
и А (1; 1) (рис. 320). Координаты любой точки
М (х; у), лежащей на прямой О А, удовлетворяют
уравнению у = х (так как ММ} = ММ2), а коорди-
наты любой точки, по лежащей па прямой О А,
этому уравнению не удовлетворяют. Говорят, что
уравнение у = х является уравнением прямой О А.
Введём теперь понятие уравнения произвольной
линии.
Рис.320
260 Глава XI
Пусть на плоскости задана прямоугольная
система координат Оху и дана некоторая ли-
ния L (рис. 321). Уравпспис с двумя переменны-
ми х и у называется уравнением линии L, если
этому уравнению удовлетворяют координаты лю-
бой точки линии L и не удовлетворяют коорди-
наты никакой точки, пе лежащей на этой линии.
При изучении линий методом координат
возникают две задачи: 1) по геометрическим
свойствам данной линии найти её уравнение;
2) обратная задача: по заданному уравнению
линии исследовать её геометрические свойства.
В следующем пункте мы рассмотрим первую из
этих задач применительно к окружности. Вторая
задача рассматривалась в курсе алгебры при по-
строении графиков функций.
98.	Уравнение окружности
Выведем уравнение окружности радиуса г с
центром С в заданной прямоугольной системе ко-
ординат. Пусть точка С имеет координаты (д^; у0)
(рис. 322). Расстояние от произвольной точки
М (х; у) до точки С вычисляется по формуле
МС = \!(х - х0)2 + (у - у0)2. Если точка М лежит
па данной окружности, то MC = r, МС'2=г\ т. е.
координаты точки М удовлетворяют уравнению
(х-х^+Су - у0)г = г*.	(1)
Если же точка М (х; у) не лежит на данной
окружности, то МС2^^, и, значит, координаты
точки М пс удовлетворяют уравнению (1).
Следовательно, в прямоугольной системе
координат уравнение окружности радиуса г с
центром в точке С (хп; у(|) имеет вид
(х-д^-Нг/ -уаУ = г2.
В частности, уравнение окружности радиу-
са г с центром в начале координат имеет вид
х? + у2= г2.
Рис.321
Рис.322
261
Метод координат
Задача
Найти уравнение окружности с центром в
точке (-3: 4), проходящей через начало координат.
Решение
Центр окружности имеет координаты
(-3; 4). Поэтому уравнение этой окружности
можно записать в виде (х 4- 3)2+ (у - 4)2= г2, где
г — пока неизвестный радиус окружности. Най-
дём его. Для этого воспользуемся тем, что окруж-
ность проходит через начало координат, т. е.
координаты точки О (0; 0) удовлетворяют этому
уравнению: (0 4-3)24-(0 - 4)2 = г2. Отсюда г2=25,
и, значит, г = 5. Итак, искомое уравнение окруж-
ности имеет вид (х + З)2 4- (у ~ 4^ = 25.
Если раскрыть скобки и привести подоб-
ные члены, то получится уравнение л?+у2 +
4-6x-8z/ = 0, которое также является уравнением
данной окружности.
99.	Уравнение прямой
Выведем уравнение данной прямой I в за-
данной прямоугольной системе координат. От-
мстим две точки A (хх; yL) и В(х2;у2) так, чтобы
прямая I была серединным перпендикуляром к
отрезку АВ (рис. 323, а). Если точка М (х; у) ле-
жит па прямой Z, то AM =ВМ, или АМ2 = ВМ2,
т. е. координаты точки М удовлетворяют урав-
нению
(х - Xj )2 4- (у - yL У = (х - х2)2 4- (у - у2У.	(2)
Если же точка М (х; у) не лежит на прямой
I, то ЛМ2 ф ВМ2, и, значит, координаты точки М
не удовлетворяют уравнению (2). Следовательно,
уравнение (2) является уравнением прямой I в
заданной системе координат. После возведения
выражений в скобках в квадрат и приведения
подобных членов уравнение (2) принимает вид
ах 4- by 4- с = 0,	(3)
где а = 2(х1-х2), Ь = 2(у1-у£, с = х22 4- у2-xf - yf.
262
Скачан с vk.com/materiallOO
б)
УЛ	I
уо	М(х0;.у0)
О	•’'•’о
Рис.323
Глава XI
Так как А (лщ у,) и В (х2; у2) — различные точки,
то хотя бы одна из разностей (х, - х2) и (j/i - у 2) не
равна нулю, т. е. хотя бы один из коэффициентов
а и b отличен от нуля. Таким образом, уравнение
прямой в прямоугольной системе координат яв-
ляется уравнением первой степени.
Если в уравнении (3) коэффициент b отли-
чен от нуля, то это уравнение можно записать
так:
y = kx + d,
где А = - —, d = - Число А называется угловым
Ь	b
коэффициентом прямой, заданной этим уравне-
нием. Докажите самостоятельно, что:
две параллельные прямые, не параллельные оси
Оу, имеют одинаковые угловые коэффициенты;
если две прямые имеют одинаковые угловые ко-
эффициенты, то эти прямые параллельны.
Выведем уравнение прямой /, проходя-
щей через точку MQ(x0;yQ) и параллельной оси
Оу (рис. 323, б). Абсцисса любой точки М (х; у)
прямой I равна т. е. координаты любой точ-
ки М (х; у) прямой I удовлетворяют уравнению
х = х0. В то же время координаты любой точки,
пе лежащей на прямой /, этому уравнению не
удовлетворяют. Следовательно, уравнение х=л^
является уравнением прямой Z.
Ясно, что ось Ох имеет уравнение у = 0,
а ось Оу — уравнение х = 0.
Скачан с vk.com/materiallOO
Задачи
1045 Начертите окружность, заданную уравнением:
a) x2 + i/2=9; б) (х-1)2 + (у + 2)2 = 4; в) (х + б)2+(1/- З)2 = 25;
г) (х-l)2 + i/2 = 4; д) х2 + (г/ + 2У = 2.
1046
Какие из точек А (3; -4), В(1;0), С (0; 5), 0(0; 0) и Е(0;1)
лежат на окружности, заданной уравнением:
а) х2 + у2=2о; б) (х- I)2 + (1/+ 3)2= 9;
Е) |x_n2_j,.= L7
’ (.	2 ) и 4
Метод координат
1047
1048
1049
1050
1051
1052
1053
1054
1055
1056
1057
1058
Окружность .задана уравнением (х 4- 5)^4- (у - I)2 = 16. Не поль-
зуясь чертежом, укажите, какие из точек А (-2; 4), В (-5; -3),
С (-7; -2) и D (1; 5) лежат:
а)	внутри круга, ограниченного данной окружностью;
б)	на окружности;
в)	вне круга, ограниченного данной окружностью.
Даны окружность х2+ у2 = 25 и две точки А (3; 4) и В(4;-3).
Докажите, что АВ — хорда данной окружности.
На окружности, заданной уравнением х2у'2 = 25, найдите
точки: а) с абсциссой -4; б) с ординатой 3.
На окружности, заданной уравнением (х - 3)2+(i/- 5)2= 25,
найдите точки: а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5.
Напишите уравнения окружностей с центром в начале коор-
динат и радиусами г, = 3, r2 = у 2, г, = —.
2
Напишите уравнение окружности радиуса г с центром А,
если: а) А (0; 5), г = 3; б) А(-1;2), г —2; в) А (-3;-7), г =
г) А (4; -3), г= 10.
Напишите уравнение окружности с центром в начале коорди-
нат, проходящей через точку В (—1; 3).
Напишите уравнение окружности с центром в T(^lt©HAvlf0?r6fj?aterial100
проходящей через точку В (-3; 2).
Напишите уравнение окружности с диаметром МЛГ, если:
а) М (-3; 5), У (7; -3); б) М (2; -1), N (4; 3).
Напишите уравнение окружности, проходящей через точку
А(1;3), если известно, что центр окружности лежит на оси
абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких окруж-
ностей?
Напишите уравнение окружности, проходящей через точки
А (-3; 0) и В(0;9), если известно, что центр окружности ле-
жит на оси ординат.
Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные
точки: а) А (1; -1) и В (-3; 2); б) С (2; 5) и D (5; 2); в) М (0; 1) и
N (-4;-5).
Решение
а) Уравнение прямой АВ имеет вид ах + Ъу + с = 0. Так как
точки Л и В лежат на прямой Л В, то их координаты удовлет-
воряют этому уравнению:
а • 1 + b • (-1) + с = 0, а • (-3) + b • 2 + с = О,
или а - b + с = 0, -За -I- 2Ь 4- с = 0.
264 Глава XI
1059
1060
1061
1062
1063
1064
1065
1066
1067
1068
1069
Из этих уравнений выразим коэффициенты а и b через с:
а = 3с, Ь = 4с. Подставив эти значения в уравнение прямой,
получим Зсх 4- 4су + с = 0. При любом с 0 это уравнение явля-
ется уравнением прямой АВ. Сократив на с, запишем искомое
уравнение в виде Зх 4- 4у 4- 1 - 0.
Даны координаты вершин треугольника АВС: А (4; 6),
В (—4; 0), С (—1; —4). Напишите уравнение прямой, содержащей
медиану СМ.
Даны координаты вершин трапеции ABCD: А (—2; -2),
В (-3; 1), С (7; 7) и 1)(3;1). Напишите уравнения прямых,
содержащих:
а)	диагонали АС и BD трапеции;
б)	среднюю линию трапеции.
Напишите уравнения прямых, проходящих через точку
М (2; 5) и параллельных осям координат.
Начертите прямую, заданную уравнением: a) t/ = 3; б) х = —2;
в) у = —4; г) х = 7.
Найдите ординату точки М, лежащей на прямой АВ, если
известно, что А (-8; -6), В (-3; -1) и абсцисса точки М рав-
на 5.
Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба,
диагонали которого равны 10 см и 4 см, если известнр^цто £J(Q>m/materiallOO
диагонали лежат на осях координат.
Прямая и окружность заданы уравнениями у = х - 2 и
х24-((/ — 2)2=9. Установите их взаимное расположение.
Найдите количество точек пересечения прямой и окружности,
заданных уравнениями у = х 4- 5 и х2 + (у - 2)2= 9.
Установите взаимное расположение окружностей, заданных
уравнениями:
а)	х2 4- у2 = 9 и х2 4- у2 = 4;
б)	(х —1)2+ у2 = 1 и х2 4- у2= 4.
Найдите количество точек пересечения окружностей, задан-
ных уравнениями:
а)	(х 4- 2)2 4- у2 = 1 и х24- у2= 4;
б)	(х 4- 3)24- у2 = 1 и х2 4- у2= 4.
Использование уравнений окружности и прямой
при решении задач
Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для
каждой из которых расстояние от точки Л в 2 раза больше
расстояния от точки В.
Метод координат
Решение
Введём прямоугольную систе-
му координат так, как показано
на рисунке 324, а. Тогда точки
Л и В имеют координаты А (0; 0),
В (а; 0), где а = АВ.
Найдём расстояния от произволь-
ной точки М (х; у) до точек Л и В:
AM =	4- у2,
ВМ = V(x-a)2 + у2.
Если точка М (х; у) принадлежит
искомому множеству, то
AM = 2ВМ, или ААР = IBM2.
Поэтому её координаты удовлетво-
ряют уравнению
х2 + у2 = 4 ((х-а?ч-у2).	(8)
Если же точка М не принадлежит
искомому множеству, то её коор-
динаты не удовлетворяют этому
уравнению.
Следовательно, уравнение (8) и есть
уравнение искомого множества
точек в выбранной системе координат. Раскрывая скобки и
группируя слагаемые соответствующим образом, приводим
уравнение (8) к виду
4	Г2
х--о +у =
«5	/
2
Таким образом, искомым множеством точек является окруж-
2	( 4	\
ность радиуса —а с центром в точке С —а, 0 . Эта окружность
3	\ 3	/
изображена на рисунке 324, б.
3
Замечание
Аналогично можно доказать, что множеством всех точек М,
удовлетворяющих условию AM = kBM, где k — данное поло-
жительное число, не равное единице, является окружность
Ла	( k2a	„ I
радиуса ;—5--г с центром в точке —=—; 0 .
|Л -1|	V*	7
Эти окружности, соответствующие различным значениям
k*l, называют окружностями Аполлония, поскольку они
рассматривались ещё древнегреческим математиком Аполло-
нием в его трактате «О кругах» во II в. до н. э.
266 Глава XI
1070
1071
1072
1073
1074
1075*
Если k = 1, то задача сводится к известной нам задаче о на-
хождении множества всех точек, равноудалённых от точек
А и В. Таким множеством, как мы знаем, является середин-
ный перпендикуляр к отрезку АВ.
Точка В — середина отрезка АС, длина которого равна 2.
Найдите множество всех точек М, для каждой из которых:
а) AM2 + ВМ2 + СМ2 = 50; б) AM2 + 2ВМ2 + ЗСЛР = 4.
J Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М,
для каждой из которых AM2 + ВМ'2 = /г2, где k — данное число.
Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для
каждой из которых AM'2-BM'2 = k, где k — данное число.
Решение
Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка А
была началом координат, а точка В имела координаты (а; 0),
где а = АВ. Найдем расстояния от произвольной точки М (х; у)
до точек А и В: AM = у/х2 + у2, ВЛ1 = у[(х -а)г + у2 .
Если точка М (х; у) принадлежит искомому множеству, то
AM2 — ВМ2 = k, поэтому координаты точки М удовлетворяют
уравнению х2 + у2 - (х — а)2 - у2 = /?, или 2ах - а2 - k = 0.
Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то
сё координаты по удовлетворяют этому уравнению. Итак, по-
лученное уравнение является уравнением искомого множе-
ства точек. Но этим уравнением определяется прям^^‘Йаф^л2ПVmateriallOO
лсльпая оси Оу, если a2+k^O, и сама ось Оу, если а2+& = 0.
Таким образом, искомым множеством точек является прямая,
перпендикулярная к прямой АВ.
Дапы две точки А и В. Найдите множество всех точек М,
для каждой из которых ВМ2 - АМ‘2 = 2АВ2.
Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех то-
чек М, для каждой из которых
(AM2 + DM2) - (ВМ2+ СМ2) = 2 АВ2.
Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 2Ъ. Най-
дите множество всех точек М, для каждой из которых
AM2 + DM2 = ВМ 2+ СМ2.
Вопросы для повторения к главе XI
1	Сформулируйте и докажите лемму о коллинеарных векторах.
2	Что значит разложить вектор по двум данным векторам?
3	Сформулируйте и докажите теорему о разложении вектора по
двум псколлинеарным векторам.
4	Объясните, как вводится прямоугольная система координат.
267
Ме mod коорди н. ат
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Что такое координатные векторы?
Сформулируйте и докажите утверждение о разложении произ-
вольного вектора по координатным векторам.
Что такое координаты вектора? Чему равны координаты
координатных векторов? Как связаны между собой координа-
ты равных векторов?
Сформулируйте и докажите правила нахождения координат
суммы и разности векторов, а также произведения вектора на
число по заданным координатам векторов.
Что такое радиус-вектор тонки? Докажите, что координаты
точки равны соответствующим координатам её радиус-вектора.
Выведите формулы для вычисления координат вектора по
координатам его начала и конца.
Выведите формулы для вычисления координат середины
отрезка по координатам его концов.
Выведите формулу для вычисления длины вектора по его
координата м.
Выведите формулу для вычисления расстояния между двумя
точками ио их координатам.
Приведите пример решения геометрической задачи с приме-
нением метода координат.
Какое уравнение называется уравнением дапЙОЙэн лйиии1Мепа1100
Приведите пример.
Выведите уравнение окружности данного радиуса с центром в
данной точке.
Напишите уравнение окружности данного радиуса с центром
в начале координат.
Выведите уравнение данной прямой в прямоугольной системе
координат.
Что такое угловой коэффициент прямой?
Докажите, что: две параллельные прямые, не параллельные
оси Ог/, имеют одинаковые угловые коэффициенты; если две
прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты, то эти
прямые параллельны.
Напишите уравнения прямых, проходящих через данную точ-
ку (х(; и параллельных осям координат.
Напишите уравнения осей коордипат.
Исследуйте взаимное расположение двух окружностей в
зависимости от их радиусов и расстояния между их центрами.
Сформулируйте полученные выводы.
Приведите примеры использования уравнений окружности и
прямой при решении геометрических задач.
268 Глава XI
1076
1077
1078
1079
1080
1081
1082
1083
1084
1085
1086
Дополнительные задачи
Векторы а и b не коллинеарны. Найдите такое число х (если
это возможно), чтобы векторы р и q были коллинеарны:
а) р = 2а - b, q = а + xb;
б)	р = ха - b, q = a + xb;
в)	р = а + хЪ, q=a- 2b;
г)	р = 2а + b, q = ха + Ь.
Найдите координаты вектора р и его длину, если:
а)	р=7а-ЗЬ, а{1;-1}, 6 {5;-2};
б)	р = 4а - 2Ъ, а {6; 3}, b {5; 4};
в)	p = 5a-4b, а ! М, £{6;-1};
I □	5 J
г)	р = 3(-2а-46), о{1; 5}, h
Докажите, что расстояние между любыми двумя точками
М, (xL; 0) и М2 (х2; 0) оси абсцисс вычисляется по формуле
d = | хг -х2|.
Докажите, что треугольник АВС, вершины которого имеют
координаты А (4; 8), В (12; 11), С (7; 0), является равнобедрен-
ным, по пс равносторонним.
„	.	.	Скачан с vk.com/material 100
Докажите, что углы А и С треугольника АВС равны, если
А (-5; 6), В (3; -9) и С (-12; -17).
Докажите, что точка D равноудалена от точек А, В и С, если:
6)	D (1; 0), Л (7; -8), В (-5; 8), C (9; 6).
На оси абсцисс найдите точку, равноудалённую от точек
М, (-2; 4) иМ2(6;8).
Вершины треугольника АВС имеют координаты А (—5; 13),
В (3; 5), С (-3; -1). Найдите: а) координаты середин сторон
треугольника; б) медиану, проведённую к стороне АС; в) сред-
ние линии треугольника.
Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого
имеют координаты А (3; 2), В (0; 5), С (-3; 2), D (0;—1), явля-
ется квадратом.
Докажите, что четырёхугольник ABCD, вершины которого
имеют координаты А(-2;-3), В(1;4), С (8; 7), D (5; 0), явля-
ется ромбом. Найдите его площадь.
Найдите координаты четвёртой вершины параллелограм-
ма по заданным координатам трёх его вершин: (-4; 4), (-5; 1)
и (-1; 5). Сколько решений имеет задача?
269	M e mod коорди ti am
1087
1088
1089
1090
1091
1092
1093
1094
1095
1096
1097
Выясните, какие из данных уравнений являются уравнения-
ми окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой
окружности:
а)	(х - I)2+ (у + 2)2= 25;
б)	х2 + (// + 7^ = 1;
в)	х2 -I- у2 + 8х — 4 г/ + 40 = 0;
г)	х2 + у2-2х + 4у- 20 = 0;
д)	х2 + у2 - 4х - 2у -I- 1 = О.
Напишите уравнение окружности, проходящей через точки
А (3; 0) иВ (-1; 2), если центр её лежит на прямой у = х + 2.
Напишите уравнение окружности, проходящей через три дан-
ные точки:
а) А (1; -4), В (4; 5), С(3;-2); б) А (3; -7), В (8; -2), С (6; 2).
Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-7; 5),
В (3; -1), С (5; 3). Составьте уравнения: а) серединных перпен-
дикуляров к сторонам треугольника; б) прямых АВ, ВС и С А;
в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.
Докажите, что прямые, заданные уравнениями Зх — 1,5г/+ 1 = 0
и 2х - у - 3 = 0, параллельны.
Докажите, что точки Л, В и С лежат на одной прямой, если:
а) А(-2;0), В <3; 2^1 С (6; 4); б) А (3; 10), В(3; 12), С (3;-6);
в) А(1; 2), В (2; 5), С (—10; —31).	Скачан с vk.com/matenal 100
Применение метода координат к решению задач
Две стороны треугольника равны 17 см и 28 см, а высота, про-
ведённая к большей из них, равна 15 см. Найдите медианы
треугольника.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей
трапеции, равен полуразности оснований.
Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек М
величина (AM2 + С1И2) — (ВМ2 + DM2) имеет одно и то же зна-
чение.
Докажите, что медиану АЛ1 треугольника ЛВС можно вычис-
лить по формуле АА3 =—>/2АС2 + 2АВ2 - ~ВС2. Используя эту
2
формулу, докажите, что если две медианы треугольника рав-
ны, то треугольник равнобедренный.
___Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М,
для каждой из которых:
а) 2ЛМ2-ВМ2 = 2АВ2; б) 2АМ2 + 2ВМ2 = 6АВ2.
270 Глава XI
Глава XII
Соотношения между сторонами
и углами треугольника.
Скалярное произведение векторов
В этой главе получит дальнейшее развитие тригонометрический
аппарат геометрии — синус, косинус, тангенс и котангенс бу-
дут определены для углов от 0° до 180°. Это даст возможность
вывести формулы, связывающие между собой стороны и углы
произвольного треугольника. Утверждения об этих формулах на-
зываются теоремой синусов и теоремой косинусов. Они широко
используются как в самой геометрии, так и в её приложениях, в
частности при проведении измерительных работ на местности.
Кроме того, в этой главе вводится ещё одно действие над век-
торами — скалярное умножение векторов. С одной стороны, оно
расширяет наши возможности в применении координатно-век-
торного метода при решении геометрических задач, а с дру-
гой — используется в физике для описания физических величин.
Синус, косинус, тангенс,
котангенс угла
Скачан с vk.com/materiallOO
100.	Синус, косинус, тангенс,
котангенс
Введём прямоугольную систему ко-
ординат Оху и построим полуокружность
радиуса 1 с центром в начале координат,
расположенную в первом и втором квад-
рантах (рис. 325). Назовём её единичной
полуокружностью. Из точки О проведём
луч Л, пересекающий единичную полуокруж-
ность в точке М (х; //). Обозначим буквой а угол
между лучом h и положительной полуосью абс-
цисс (если луч h совпадает с положительной по-
луосью абсцисс, то будем считать, что а = 0°).
Если угол а острый, то из прямоугольного
треугольника DOM (см. рис. 325) имеем
МР
sin а =---, cos а =
ОМ
ОР
ОМ '
Соотношение между
сторонами и углами
треугольника. Скалярное
произведение векторов
271
Но ОМ = 1, MD = г/, OD = х, поэтому
sin а = у, cos а = х.	(1)
Итак, синус острого угла а равен ордина-
те у точки М, а косинус угла а — абсциссе х точ-
ки М. Если угол ос прямой, тупой или развёрну-
тый (углы АОС, AON и АОВ на рисунке 325)
или а=0°, то синус и косинус угла а также опре-
делим по формулам (1). Таким образом, для лю-
бого угла а из промежутка 0° < а 180э синусом
угла а называется ордината у точки М, а коси-
нусом угла а — абсцисса х точки М. Так как ко-
ординаты (х; у) точек единичной полуокружности
заключены в промежутках 0 < у 1, -1 х < 1, то
для любого а из промежутка 0°^а<180° спра-
ведливы неравенства
0 < sin а < 1, -1 cos а 1.
Найдём значения синуса и косинуса для
углов 0°, 90° и 180°. Для этого рассмотрим лучи
О А, ОС и ОВ, соответствующие этим углам (см.
рис. 325). Так как точки А, С и В имеют коорди-
наты А (1; 0), С (0; 1), В (-1; 0), то
sin 0° = 0, sin 90° = 1, sin 180° = 0,
cos 0е = 1, cos 90° = 0, cos 180е = -1.	(2)
Тангенсом угла а (а ^90°) называется от-
sin а
ношение-----, т. с.
cos а
tga = ^.	(3)
cos а
При а = 90° tg а не определён, поскольку
cos 90' = 0, и в формуле (3) знаменатель обраща-
ется в нуль. Используя формулы (2), находим:
tgO° = O, tg 180° = 0.
Котангенсом угла а (0е	180°) называ-
COS ОС т»
ется отношение-----. Котангенс угла а ооознача-
sin a
ется символом etga. Таким образом,
Скачан с vk.com/materiallOO
etga =
cos a
sin a
272 Глава XII
При ос = О° и а = 180° ctga не определён.
Исходя из формул (2), получаем: ctg 90° = 0.
101.	Основное тригонометрическое
тождество. Формулы приведения
На рисунке 325 изображены система ко-
ординат Оху и единичная полуокружность АСВ
с центром О. Эта полуокружность является ду-
гой окружности, уравнение которой имеет вид
x2 + t/2=l. Подставив сюда выражения для х и у
из формул (1), получим равенство
sin2a + cos2a= 1,	(4)
которое выполняется для любого а из промежут-
ка 0°^сх^180°. Равенство (4) называется основ-
ным тригонометрическим тождеством. В 7 клас-
се оно было доказано для острых углов.
Справедливы также следующие тождества:
sin (90° - а) = cos а, cos (90° - а) = sin а
при 0°^а<90°,
sin (180° - а) = sin а, cos (180° - о.) = -cos а
при 0° С сс< 180е.
Они называются формулами приведения и
доказываются в курсе алгебры.
Скачан с vk.com/materiallOO
102.	Формулы для вычисления
координат точки
Пусть задана система координат Оху и дана
произвольная точка А (х; у) с неотрицательной ор-
динатой у (рис. 326). Выразим координаты точки
А через длину отрезка ОА и угол а меж-
ду лучом ОА и положительной полуосью
Ох. Для этого обозначим буквой М точку
псрсссчспия луча ОА с единичной полу-
окружностью. По формулам (1) координа-
ты точки М соответственно равны cos а,
sin а. Вектор ОМ имеет те же координаты,
что и точка М, т. е. ОМ {cos ex; sincx}. Век-
Рис. 326
Соотношение между
сторонами и углами
т ре у голь н ика. С на ляр н ое
произведение векторов
273
тор О А имеет те же координаты, что и точка А,
т. е. ОА {х; у}. Но ОА = ОА  ОМ (объясните поче-
му), поэтому
х = О А • cos (X, у = О А • sin а.
103.	Угловой коэффициент прямой
В прямоугольной системе координат уравне-
ние прямой имеет вид y = kx I d, число k называ-
ют угловым коэффициентом прямой.
Пусть прямая образует угол а с
положительным направлением оси Ох
(рис. 327). Выберем произвольную точку
С (х; у), лежащую на прямой у — kx — d.
Найдём связь между угловым коэффициен-
том прямой k и углом а.
Рассмотрим треугольник ЛВС, в нём
точки имеют координаты А (0; d), С (х; у),
В (х; d), стороны АВ = х, ВС = у - d. Най-
дём тангенс утла наклона прямой к поло-
жительному направлению оси абсцисс:
, СВ , у - d
tg а = -, tg а =---
ЛИ	х
Выразим у\ у — d = х ‘ tg а, у = х ' tg и. + d.
Мы получили, что угловой коэффициент пря-
мой k равен тангенсу угла наклона прямой к по-
ложительному направлению оси Ох, т. е. A’ —tg о.
Задача.
Найдите угол наклона прямой к положи-
тельному направлению оси Ох, если прямая зада-
на уравнением у = x/Зх - 2.
Решение
Пусть данная прямая у = х/Зх - 2 образует с
положительным направлением оси Ох угол а.
В прямоугольной системе координат уравне-
ние прямой примет вид y = kx + d, где k = tga.
Имеем х/3 = tg а, а = 60°.
274 Глава XIГ
Задачи
1098
1099
1100
1101
1102
1103
1104
1105
1106
Ответьте на вопросы: а) Может ли абсцисса точки единичной
112
полуокружности иметь значения 0,3; , ;	1—; -2,8?
<з <5	<5
б) Может ли ордината точки единичной полуокружности
1_
7
иметь значения
Проверьте, что
0,6;
;-0,3; 7; 1,002? Ответы обоснуйте.
2
2
точки Mi(0;l),
(/о 1 \
^4» А(1;0),
& £ ]
В (—1; 0) лежат на
единичной полу-
окружности. Выпишите значения синуса, косинуса и тангенса
углов AOAf,, АОМ?, АОМ.., АОМАОВ.
Найдите sin а, если:
1	2
a) cos а = —; б) cos а =	; в) cos а=—1.
£	<5
Найдите cos а, если:
\/з	1
a) sin а = ——; б) sin а = —; в) sina = 0.
2	4
Найдите tg а, если:
>/3	<2
a) cos а = 1; б) cos а = - ——;	в) sin а = — и
Q	2	2
г) sin а = 7 и 90° < а < 180°.
5
Скачан с vk.com/matenallOO
0°<ос<90°;
Вычислите синусы, косинусы
150°.
и тангенсы углов 120°, 135°,
Постройте ZA, если:
2	3	2
a) sin А = б) cos А = —; в) cos А =
3	4	э
Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полу-
окружность, и положительной полуосью Ох равен (X. Найдите
координаты точки А, если:
а)	ОА = 3, а = 45°;
б)	ОА = 1,5, а = 90°;
в)	О А = 5, а =150°;
г)	ОА = 1, а =180°;
д)	ОА = 2, (х=30°.
Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью
Ох, если точка А имеет координаты:
а) (2; 2); б) (0; 3); в) (-V3;l); г) J-2V2; 2^2).
Соотношения между
275
сторонами и углами
т ре у го. t ъ ники. С к а л яр н or
произведение нек торон
1107 Найдите угол наклона прямой к положительному направле-
нию оси Ох, если прямая задана уравнением:
J3	у/з
а)у = х+1; б)г/ = -х+2; в)у= — х + 4; г)р = -—х + 5;
д) у = -<’3 х - 2.
1108
Луч света, падая из точки М (8; 3) под углом 45° к по-
ложительному направлению оси Ох, отражается от неё. Со-
ставьте уравнения прямых, которым принадлежат падающий
и отражённый лучи. В какой точке отражённый луч пересе-
кает экран, находящийся в точке В(-10; О) и расположенный
перпендикулярно к оси 0x1
,2
Соотношения между сторонами
и углами треугольника
104. Теорема о площади треугольника
Теорема
Площадь треугольника равна половине произ-
Скачан с vk.com/materiallOO
ведения двух его сторон на синус угла между
ними.
Доказательство
Пусть в треугольнике АВС ВС = а, С А = b и
S — площадь этого треугольника. Докажем, что
S = — ab sin С.
2
Введём систему координат с началом в точ-
ке С так, чтобы точка В лежала па положитель-
ной полуоси Сх, а точка А имела положитель-
ную ординату (рис. 328). Площадь данного
треугольника можно вычислить по
S = -^-afi, где h — высота треугольника. Но h. рав-
па ординате точки А, т. с. b = bsinC. Следова-
тельно, S = —absinC.
2
Теорема доказана.
формуле
Рис. 328
276 Глава XII
105.	Теорема синусов
Теорема
Стороны треугольника пропорциональны сину-
сам противолежащих углов.
Доказательство
Пусть в треугольнике АВС стороны обозна-
чены АВ = с, ВС — а, С А = Ъ. Докажем, что
а _ b с
sin A	sin В	sin С
По теореме о площади треугольника
S = -^-afcsin С, S = -^6esin A, S = -|-са sin В.
Из первых двух равенств получаем:
— a^sin С = — be sin А откуда —-— = —-—. Точно
2	2	sin A sin С
так же из второго и третьего равенств следует,
а b
что-----=------.
sin A sin В
Итак, . - - =	-- = —с—.
sin A sin В sin С
Теорема доказана.
Замечание
Можно доказать (см. задачу 1122), что от-
ношение стороны треугольника к синусу про-
тиволежащего угла равно диаметру описанной
окружности. Следовательно, для любого тре-
угольника АВС со сторонами АВ = с, ВС = а и
СА — b имеют место равенства
—2— = —= 2Я,
sin A sin В sm С
где В радиус описанной окружности.
Скачан с vk.com/materiallOO
106.	Теорема косинусов
Теорема
Квадрат стороны треугольника равен сумме
квадратов двух других сторон минус удвоенное
произведение этих сторон, умноженное на коси-
нус угла между ними.
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника. Скалярное
произведение векторов
277
Доказательство
Пусть в треугольнике АВС АВ = с, ВС = а,
СА=Ь. Докажем, например, что
а? = h2 + с2 — 2Ъс cos Л.	(1)
Введём систему координат с началом в точ-
ке А так, как показано на рисунке 329. Тогда
точка В будет иметь координаты (с; 0), а точ-
ка С — координаты (6 cos A; b sin А). По формуле
расстояния между двумя точками получаем:
BC2 = a2 = (b cos А - сУ + b2 sin2 А =
= b2 cos2 Л 4- /г sin2 А - 2bc сон А 4- с2 =
= Ь2 + с2 - 2bc cos А.
Теорема доказана.
Теорему косинусов называют иногда обоб-
щённой теоремой Пифагора. Такое название объ-
ясняется тем, что в теореме косинусов содержится
как частный случай теорема Пифагора. В самом
деле, если в треугольнике АВС угол А прямой, то
cos А = cos 90° = 0 и по формуле (1) получаем
а2 = Ь2 + с2,
т. е. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов
катетов.
107.	Решение треугольников
Решением треугольника называется нахож-
дение всех его шести элементов (т. е. трёх сторон
и трёх углов) по каким-нибудь трём данным эле-
ментам, определяющим треугольник.
Рассмотрим три задачи на решение тре-
угольника. При этом будем пользоваться такими
обозначениями для сторон треугольника АВС:
АВ = с, ВС = а, СА = Ь.
Задача 1
Решение треугольника по двум сторонам н
углу между ними
Дапо: и, Ь, АС. Найти: с, А А, АВ.
Решение
1.	По теореме косинусов находим с:
с = у/а2 4- ft2 -2a6cosC.
278
у ।
C(fecos4; frsnvl)
°A c B(c;0)x
Рис.329
Скачан с vk.com/materiallOO
Глава XII
2.	Пользуясь теоремой косинусов, имеем:
.	Ь2 + с2 - а2
cos А ---------.
2>с
Угол А находим с помощью микрокальку-
лятора или по таблице.
3.	ZB = 180°-ZA-ZC.
Задача 2
Решение треугольника по стороне и приле-
жащим к ней углам
Дано: a, ZB, ZC. Найти: ZA, Ь, с.
Решение
1. ZA = 180° -ZB-ZC.
2. С помощью теоремы синусов вычисляем
b и с:
, sin В sin С
b = а----, с = а---.
sin A sin А
Задача 3
Решение треугольника по трём сторонам
Дапо: а, Ь и с. Найти: ZA, ZB и ZC.
Решение
1.	По теореме косинусов получаем:
л Ьг+с2-а2
cos А =------------------.
2рс
Угол А находим с помощью микрокаль-
кулятора или по таблице.
2.	Аналогично находим угол В.
3.	ZC = 180° -ZA — ZB.
Пример
Футбольный мяч находится в точке А фут-
больного поля на расстояниях 23 м и 24 м от ос-
нований В и С стоек ворот (рис. 330). Футболист
направляет мяч в ворота. Найдите угол а попада-
ния мяча в ворота, если ширина ворот равна 7 м.
Решение
Рассмотрим треугольник АВС, вершина-
ми которого являются точка А расположения
мяча и точки В и С в основаниях стоек ворот.
По условию задачи с = АВ = 23 м, b = АС = 24 м и
Скачан с vk.com/matenallOO
Рис.330
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника. Скалярное
произведение векторов
279
a = ВС = 7 м. Эти данные позволяют решить тре-
угольник АВС и найти угол ОС, равный углу А
(см. задачу 3). С помощью теоремы косинусов
определяем cos А:
cos А =
Н2 + с2 - а2
242 + 232 — 72
2-24-23	*
Угол (х находим по таблице: а ~ 16°57'.
108.	Измерительные работы
Тригонометрические формулы используют-
ся при проведении различных измерительных
работ на местности.
Измерение высоты предмета. Предполо-
жим, что требуется определить высоту АН
какого-то предмета (рис. 331). Для этого отметим
точку В па определённом расстоянии а от основа-
ния Н предмета и измерим угол ABH’. Z.ABH = ос.
По этим данным из прямоугольного треугольни-
ка АН В находим высоту предмета: АН = а tg а.
Если основание предмета недоступно, то
можно поступить так: на прямой, проходящей
через основание Н предмета, отметим две точ-
ки В и С на определённом расстоянии а друг от
друга и измерим углы АВН и АСВ'. Z.ABH = а
и ZACB = J3 (см. рис. 331). Эти данные позволя-
ют определить все элементы треугольника ЛВС,
в частности АВ. В самом деле, ZАВН — внеш-
ний угол треугольника АВС, поэтому ZA = а - [3.
Используя теорему синусов, находим АВ:
АВ= asin(i
sin (ex - |i)
Из прямоугольного треугольника АВН на-
ходим высоту АН предмета:
ЛИ = АВ • sin ос.
Итак, =
sin (а - р)
Измерение расстояния до недоступной
точки. Предположим, что нам надо найти рас-
280
pMCc^Vс vk-corn/rnater’all0°
Глава XII
стояние d от пункта А до недоступно-
го пункта С (рис. 332). Напомним, что
эту задачу мы уже решали в 8 классе с
помощью признаков подобия треуголь-
ников. Рассмотрим теперь другой спо-
соб решения задачи — с использованием
формул тригонометрии.
На местности выберем точку В и
измерим длину с отрезка АВ. Затем из-
мерим, например с помощью астроля-
бии, углы А и В: АА=а и ZB = |3. Эти
данные, т. е. с, а и р, позволяют решить
треугольник АВС и пайти искомое рас-
стояние d = АС.	рис, зз2
Сначала находим Z.C и sin С:
ZC=180°-a-p,
sin С = sin (180° - а- {3) = sin (а + [3).
Затем с помощью теоремы синусов нахо-
АС AR
дим d. Так как ----— =-----, AC = d, АВ = с,
sin В sin С
уп а л csinp
ZB= 3, то d =	—L—.
sin (a + P)
Аналогичным образом по так называемому
параллаксу небесных светил определяют расстоя-
ния до этих светил.
Скачан с vk.com/materiallOO
Задачи
1109 Найдите площадь треугольника АВС, если: а) АВ = 6\ 8 см,
АС = 4 см, ZA = 60е; б) ВС = Зсм, АВ = 18х/2см, ZB = 45°;
в) АС = 14 см, СВ = 7 см, ZC = 48°.
1110 Докажите, что площадь параллелограмма равпа произведе-
нию двух его смежных сторон на синус угла между ними.
1111 Площадь треугольника ЛВС равна 60 см2. Найдите сторону
АВ, если АС = 15 см, ZA = 30°.
1112 Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равпа
10 см, а угол между диагоналями равен 30°.
1113 Найдите площадь треугольника АВС, если:
a)	ZA = cx, а высоты, проведённые из вершин В и С, соответ-
ственно равны hh и hc;
б)	ZA = (x, ZB = p, а высота, проведённая из вершины В, рав-
на Л.
Соот ношен им между
281 сторонами и //глалги
треугольника, Скалярное
произведение векторов
1114
1115
1116
1117
1118
1119
1120
1121
1122
С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник
АВС, если:
a) ZA = 60°, ZB = 40°, с = 14;	б)	ZA = 30°, ZC = 75е, b = 4,5;
в) ZA = 80°, а = 16, б = 10;	г)	ZB = 45°, ZC = 70°, а = 24,6;
д) ZA = 60°, а = 10, b = 7;	е)	а = 6,3, b = 6,3, ZC = 54е;
ж) b = 32, с = 45, ZA = 87°;	з)	а = 14, Ь= 18, с = 20;
и) а = 6, Ъ = 7,3, с = 4,8.
В треугольнике АВС известно, что АС = 12 см, ZA= 75°,
ZC = 60°. Найдите АВ и 84ЙС.
Найдите стороны треугольника АВС, если Z.A- 45°, ZC = 30°,
а высота АВ равна 3 м.
В параллелограмме ABCD известно, что АВ = 7 — м, ВВ = 4,4 м,
ZA = 22° 30'. Найдите ZBBC и Z.DBC,	3
Найдите биссектрисы треугольника, если одна из его сторон
равна а, а прилежащие к этой стороне углы равны а и [3.
Смежные стороны параллелограмма равны а и Ь, а один из
его углов равен а. Найдите диагонали параллелограмма и
угол между пими.
Выясните, является ли треугольник остроугольным, прямо-
угольным или тупоугольным, если его стороны равны;
а) 5, 4 и 4; б) 17, 8 и 15; в) 9, 5 и 6.
Две равные по величине силы приложены к одпд^^Ьчт&^Ьй5’'^*110'’1
углом 72° друг к другу. Найдите величины этих сил, если ве-
личина их равнодействующей равна 120 кг.
Докажите, что отношение стороны тре-
угольника к синусу противолежащего угла
равно диаметру описанной окружности.
Решение
Пусть В — радиус окружности, описанной
около треугольника ЛВС, Докажем, что
= 2В, или ВС = 2R sin А.
sin А
Проведём диаметр ВЛ1 (рис. 333) и рассмо-
трим треугольник А,ВС (случай, когда точ-
ки Aj и С совпадают, рассмотрите самостоя-
тельно). Угол С этого треугольника прямой,
поэтому ВС=ВАл «sin Av По sin А^ = sin А,
Действительно, если точка А, лежит на дуге
ВАС (рис. 333, а), то ZAt = ZA, а если на
дуге ВВС (рис. 333, б), то ZAn = 180°-ZA.
И в том, и в другом случае sin Ат = sin А.
Следовательно,
ВС = ВА| • sin А, или ВС = 2R sin А.
Рис. 333
282 Глава XII
Рис.334
1123
1124
1125
1126
1127
В равнобедренной трапеции меньшее основание равно боковой
стороне, большее основание равно 10 см, а угол при основании
равен 70°. Найдите периметр трапеции.
В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в
точке Е. Найдите острый угол между этими хордами, если
АВ = 13 см, СЕ- 9 см, £Z>=4cm и расстояние между точками
В и D равно 17з см.
2J Наблюдатель находится на расстоянии 50 м от башни, вы-
соту которой хочет определить (рис. 334). Основание ГГййЗнИон
видит под углом 2° к горизонту, а вершину — под углом 45° к
горизонту. Какова высота башни?
*2 Для определения ширины реки отметили два пункта А и
В на берегу реки на расстоянии 70 м друг от друга и измерили
углы С АВ и АВС, где С — дерево, стоящее на другом берегу у
кромки воды. Оказалось, что АСАВ = 12°30', 2.АВС = 72°42'.
Найдите ширину реки.
{2 На горе находится башня, высота которой равна 100 м
(рис. 335). Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают
сначала с вершины В башни под углом 60° к горизонту, а по-
том с её основания С под углом 30’. Найдите высоту Н горы.
§3
Скалярное произведение векторов
109.	Угол между векторами
Пусть а и Ь — два данных вектора. Отло-
жим от произвольной точки О векторы ОЛ=а
и ОВ = Ъ. Если векторы а.и b не являются сона-
Соит ношен ин между
сторонами и углами
т реугол ьн и к а.	л яр н ос
произведение некторон
283
правленными, то лучи О А и О В образуют угол
АОВ (рис. 336). Градусную меру этого угла обо-
значим буквой (X и будем говорить, что угол меж-
ду векторами а и Ъ равен а. Ясно, что а не зави-
сит от выбора точки О, от которой откладываются
векторы а и b (пользуясь рисунком 336, докажите
это). Если векторы а и Ъ сонаправлены, в частно-
сти один из них или оба нулевые, то будем счи-
тать, что угол между векторами а и Ъ равен 0°.
Угол между векторами а и b обозначается так: а Ь.
На рисунке 337 углы между векторами рав-
ны соответственно: а b - 30°, ас - 120э, bс = 90°,
d/=0°, de= 180°.
Два вектора называются перпендикуляр-
ными, если угол между ними равен 90°. На ри-
сунке 337 Ь±с, Ы.З, b ±7-
110.	Скалярное произведение векторов
Мы знаем, как выполняется сложение век-
торов и умножение вектора на число. Введём ещё
одно действие пад векторами — скалярное умно-
жение векторов.
Скалярным произведением двух векторов
называется произведение их длин на косинус
угла между ними.
Скалярное произведение векторов а и b
обозначается так: а • b или а Ь.
По определению
а • b = | а | • | b | cos (ab).	(1)
Если векторы а и b перпендикулярны,
т. е. ab = 90°, то cos(ab) = 0, и поэтому а-Ь = 0.
Обратно: если а • Ь= 0 и векторы а и b ненулевые,
то из равенства (1) получаем cos (а Ь) = 0, и, сле-
довательно, аЬ = 90°, т. е. векторы а и Ь перпен-
дикулярны.
Рис.336
Рис? vk.com/materiallOO
284 Глава XII
Таким образом, скалярное произведение
ненулевых векторов равно нулю тогда и только
тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
Из формулы (1) также следует, что скаляр-
ное произведение ненулевых векторов а и b по-
ложительно (отрицательно) тогда и только тогда,
когда ab< 90е (аb> 90°).
Па рисунке 338 аЬ= 35°, ас = 90°,
Ьс = 125е, поэтому а • b > 0, а • с = 0, b • с < 0.
Если а ltd, то по формуле (1) получаем
аЪ = | а | • | Ъ |. В частности,
а • а = | а |2.
Скалярное произведение а • а называется
скалярным квадратом вектора а и обозначается
а“. Таким образом, скалярный квадрат вектора
равен квадрату его длины.
Скалярное произведение векторов широ-
ко используется в физике. Например, из курса
механики известно, что работа А постоянной
силы F при перемещении тела из точки М в точ-
ку Л' (рис. 339) равна произведению длин векто-
ров силы F и перемещения MN на косинус угла
между ними:
A = |F|.|iWV|- coscp.
Правая часть этого равенства представля-
ет собой скалярное произведение векторов F и
MN, т. е. работа А силы F равна скалярному
произведению векторов силы и перемещения:
A = F-MN.
111.	Скалярное произведение
в координатах
Скалярное произведение двух векторов мож-
но вычислить, зная координаты этих векторов.
285
a’b>Ot а-с - О, Ь- с< 0
Рис.338
Соотнотенин
сторонами и угла ми
т ре у гол ьн и к а.	л яр н ос
произведение некторон
Теорема
В прямоугольной системе координат скалярное
произведение векторов а {х}; j/J и Ъ {х2; yj ВЬ1‘
ражается формулой
а  Ъ = х,х2+ у ху2.
(2)
Доказател ьство
Если хотя бы один из векторов а и b нуле-
вой, то справедливость равенства (2) очевидна, так
как координаты нулевого вектора равны нулю.
Рассмотрим случай» когда векторы а и Ь ненуле-
вые. Отложим от произвольной точки О векторы
--*- -> --* —
О А = аи ОВ = Ъ. Если векторы а и b не коллинеар-
ны (рис. 340, а), то по теореме косинусов
А& = О А2 + ОВ2 - 20 А • О В • cos а. (3)
Это равенство верно и в том случае, когда
векторы а и b коллинеарны (рис. 340, б, в).
Так как АВ = Ь - а, ОА = а, ОВ = Ь, то ра-
венство (3) можно записать так: | а — f* = | а |2 +
-I-1 b f" - 2а Ь, откуда
а-6=^- (|а|и’+|Ь|2-|а-£|2).
(4)
Векторы а, b и b - а имеют соответственно
координаты {xuyj, {х2; у2} и {х2- х^ у2-у^, по-
этому
I а |2 =X|2+i/12, \Ь\' =х$ + уЪ
|б-а|2 = (х2 -хх)2 + (у2-ух)2.
cosa=l,
cos а=-1,
Рис.340
~а Л
ЛВ2= ЮЛ-()В)2=
= ОЛ2+ОВ2- 2ОА- ОВ =
= ОАг+ОВг- 2ОА-OBcosa
ЛВ2=(ОЛ+ОВ)2=
=ОЛг+ОВ2+2ОАОВ =
-ОА2+ОВ2 2ОА ОВсаза
286 Глава XII
Подставив эти выражения в правую часть равен»
ства (4), после несложных преобразований полу-
чим формулу (2). Теорема доказана.
Следствие 1
Ненулевые векторы	и Ь{х$у2} пер-
пендикулярны тогда и только тогда, когда
Х1Х2+у1у2 = 0.
Следствие 2
Косинус угла а между ненулевыми векторами
a {xi! !/1) и Ь {х& у2} выражается формулой
eosa- , Х,Х^У,У2 .	(5)
Jx,2 + y,2 . Jx* + у2
В самом деле, так как а • b = | а 11 b | cos tx, то
„ а-Ь
сое а = _
lal-ldl
Подставив сюда выражения для а  Ь, | а и
| b | через координаты векторов а и Ь, получим
формулу (5).
Скачан с vk.com/materiallOO
112.	Свойства скалярного
произведения векторов
Скалярное произведение векторов обладает
следующими свойствами:
Для любых векторов а, Ь, с и любого числа k
справедливы соотношения:
1°.	причём >0 при а^О.
2°. a h = h- а (переместительный закон).
3°. (а + Ь) • с = а  с + h • с (распределительный
закон).
4°. (ka) ’b = k (a -h) (сочетательный закон).
Утверждение 1° непосредственно следует
из формулы а • а = | а \2, а утверждение 2° — из
Соотношение между
сторонами и углами
т ре у гол ъни к а. С к а лярн ое
произведение векторов
287
определения скалярного произведения. Докажем
утверждения 3° и 4°.
Введём прямоугольную систему координат
и обозначим координаты векторов а, b не так:
а {хр у,}, b {х2; у2}, с {х3; у3}.
Используя формулу (2), получаем
(а + £) -с = (Х1 + х2)х.л + (yt + yj ул-
= (* Xхз + У \У з) + (*2*3 + УгУл) = « * с + Ъ ‘
Утверждение 3° доказано.
Докажем теперь утверждение 4°. Вектор
ka имеет координаты fez/J, поэтому (ka)-b =
= (frxj) x2 + (/fz/j) у2 — k (XjX2 + yly2) = k (a • b).
Замечание
Ясно, что распределительный закон имеет
место для любого числа слагаемых. Например,
(а + b + с) - d = а > d + b * d + с • d.
Задачи
Скачан с vk.com/materiallOO
1128 Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите
угол между векторами: а) АВ и АС; б) АВ и DA; в) ОА и ОВ;
г) АО и ОВ; д) ОА и ОС; е) АС и BD; ж) AD и DB; з) АО и ОС.
1129 Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О, и диагональ
BD равпа стороне ромба. Найдите угол между векторами:
а) АВ и AD; б) АВ и DA; в) В А и AD; г) ОС и OD; д) АВ и
DA; е) АВ и CD.
ИЗО Вычислите скалярное произведение векторов а и f>, если
\ а | = 2, | b | = 3, а угол между ними равен: а) 45°; б) 90°; в) 135°.
1131 В равностороннем треугольнике АВС со стороной а проведена
высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов:
а) АВ • АС; б) АС • СВ; в) АС • BD; г) АС • АС.
1132 К одной и той же точке приложены две силы Р и Q, действу-
ющие под углом 120° друг к другу, причём | Р | = 8, | Q | = 15.
—
Найдите величину равнодействующей силы В.
288 Глава XII
1133
1134
1135
1136
1137
1138
1139
1140
1141
1142
1143
Вычислите скалярное произведение векторов а и Ь, если:
а) а! 1; -11, h {2; 3}; б) а {-5; 6}, Ь {6; 5);
I 4 J
в) и {1,5; 2}, Ь {4; -0,5}.
Докажите, что ненулевые векторы а {х; у} и b {-у; х} перпен-
дикулярны.
Докажите, что векторы i + j и i — j перпендикулярны, если i и
j — координатные векторы.
При каком значении х векторы а и Ъ перпендикулярны, если:
а) а {4; □}, b {х; -6}; б) а {х; -1}, Ъ {3; 2}; в) а {0; -3}, b {5; х}?
Найдите косинусы углов треугольника с вершинами Л (2; 8),
В (-1; 5), С (3; 1).
Найдите углы треугольника с вершинами Л (-1; \/3), В (1; -<3)
ис[1;7з ).
Вычислите | а + b | и | а - b |, если | а | = 5, \b =8, ab = 60е.
Известно, что а с = b с = 60°, | а | = 1, | b | = | с | = 2.	materialioo
(а + Ъ)  с.
Вычислите скалярное произведение векторов р = а-Ъ- с и
q = а — b + с, если | а | = 5, | b | = 2, с | = 4 и a J_ 6.
Вычислите скалярное произведение векторов а и Ь, если
a = 3p-2q и Ь=р + 4<у, где р и q единичные взаимно перпен-
дикулярные векторы.
Применение скалярного произведения векторов
к решению задач
Докажите, что если AM — медиана треугольника АВС, то
4АЛР = АВ2 + AC2 -I- 2 АВ • АС • cos А. Пользуясь этой форму-
лой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника,
проведённые к боковым сторонам, равны.
Решение
Точка М—середина отрезка ВС, поэтому 2АМ = АВ + АС.
Отсюда получаем
Соотношение между
289 сторонами и углами
т реугол ън ика. С к а ляр н ос
произведение векторов
(2 AM) • (2AM) = (AB + AC) - (AB + AC) =
= AB  AB + 2 AB • AC + AC • AC =
= AB2 + 2 AB • AC • cos A + AC2,
или 4 AM2 = AB2 + AC2 + 2AB • AC • cos A.
Второе утверждение задачи докажите само-
стоятельно.
1144 Найдите угол, лежащий против основания
равнобедренного треугольника, если медиа-
ны, проведённые к боковым сторонам, вза-
имно перпендикулярны.
Решение	рис> 341
Пусть АВС равнобедренный треугольник
с основанием АВ и ААЪ ВВ1 — его медианы,
проведённые к боковым сторонам (рис. 341). Введём обозначе-
ния CAj = a, CB,-b, СА,=СВ,-а. Тогда AA1=CA1-CA = a-2b,
ВВ, =CB, —CB= = b — 2а, поэтому
АА] • ВВ , = (а-2Ъ) • (Ъ- 2а) = 5а  b - 2а • а - 2Ь • Ь.	(6)
По условию задачи AAj-LBB, и, следовательно, ЛА, -ВВ^О.
Далее, а • b = a? cos С, а • а = а2, Ъ  Ъ = а2, поэтому равенство (6)
принимает вид 0 = 5а2 cos С — 4а2. Отсюда получаёма^^ь: С-®г|^1агег!а11°0
ZC ~36°52'.
1145 Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Вопросы для повторения к главе XII
1	Начертите оси координат и постройте единичную полуокруж-
ность.
2	Объясните, что такое синус и косинус угла а из промежутка
0°<а< 180°.
3	Что называется тангенсом угла а? Для какого значения а
тангенс не определён и почему?
4	Что называется котангенсом угла а? Для каких значений а
котангенс не определён и почему?
5	Докажите основное тригонометрическое тождество.
6	Напишите формулы приведения.
7	Выведите формулы, выражающие координаты точки А с неот-
рицательной ординатой через длину отрезка О А и угол между
лучом ОА и положительной полуосью Ох.
290 Глава XII
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
1146
1147
1148
Сформулируйте и докажите теорему о площади треугольника
(вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу
между ними).
Сформулируйте и докажите теорему синусов.
Сформулируйте и докажите теорему косинусов.
Что означают слова «решение треугольника»? Сформулируйте
три основные задачи на решение треугольника и объясните,
кате они решаются.
Объясните, как определить высоту предмета, основание кото-
рого недоступно.
Объясните, как измерить расстояние до недоступной точки.
Объясните, что означают слова «угол между векторами а и
Ъ равен а». В каком случае угол между векторами считается
равным 0°?
Какие два вектора называются перпендикулярными?
Что такое скалярное произведение двух векторов?
В каком случае скалярное произведение ненулевых векторов:
а) равно 0; б) больше 0; в) меньше 0?
Выведите формулу, выражающую скалярное произведение
векторов через их координаты.	скачан с vkxorn/materjaiioo
Запишите условие перпендикулярности двух ненулевых век-
торов с координатами уг} и {х2; у2}.
Выведите формулу, выражающую косинус угла между нену-
левыми векторами через их координаты.
Сформулируйте и докажите утверждения о свойствах скаляр-
ного произведения векторов.
Приведите пример использования скалярного произведения
векторов при решении геометрических задач.
Дополнительные задачи
В равнобедренном треугольнике ABC AB=AC = b, ZA = 30°.
Найдите высоты BE и AD, а также отрезки АЕ, ЕС, ВС.
Найдите площадь треугольника АВС, если:
а)	ВС = 4,125 м, ZB = ’44°, ZC= 72°;
б)	ВС = 4100 м, ZA = 32°, ZC = 120°.
Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна
половине произведения его диагоналей на синус угла между
ними.
Соотношения между
291 сторонами и углами
треугольника. Скалярное
произведение векторов
1149
1150
1151
1152
1153
1154
1155
1156
1157
1158
1159
1160
1161
Используя теорему синусов, решите треугольник АВС, если:
а)	АВ = 8 см, ZА = 30°, АВ = 45°;
б)	АВ = 5 см, ZB= 45°, ZC= 60°;
в)	АВ = 3 см, ВС = 3,3 см, ZA = 48°30';
г)	АС= 10,4 см, ВС =5,2 см, ZB = 62°48'.
Используя теорему косинусов, решите треугольник АВС, если:
а)	АВ = 5 см, АС = 7,5 см, ZA = 135°;
б)	АВ = 2х/2 дм, ВС = Здм, ZB = 45°;
в)	АС = 0,6 м, ВС = — дм, ZC = 150°.
4
В треугольнике DEF известно, что ВВ = 4,5дм, EF = 9,9 дм,
DF = 70 см. Найдите углы треугольника.
Найдите биссектрису AD треугольника АВС, если ZA = п,
АВ = с, АС = Ь.
Чтобы определить расстояние между точками А и В, которое
нельзя измерить, выбирают третью точку С, из которой видны
точки А и В. Измерив угол АСВ и расстояния АС и СВ, нахо-
дят расстояние АВ. Найдите АВ, если АС = Ь, СВ = а, ААСВ - а.
Докажите, что треугольник с вершинами А (3; 0), В(1;5) и
С (2; 1) тупоугольный. Найдите косинус тупого угла.
Найдите длину вектора а = 3/-4/, где i и / — Kp^^vW^aterialiOO
векторы.
Найдите диагонали параллелограмма, построенного на векто-
рах а = 5р + 2</ и Ь = р — 3</, если | р =2\[2, | q | = 3 п pq — 45°.
При каком значении х векторы р = ха + 17Ь и q = 3a — b
перпендикулярны, если | а | = 2, | b | = 5 и а b = 120е?
В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены
медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол меж-
ду этими медианами.
В трапеции ЛВС!) с основаниями AD = 16 см и ВС = 8 см боко-
вая сторона равна 4>/7 см, a AADC - 60°. Через вершину С
проведена прямая I, делящая трапецию на два многоугольни-
ка, площади которых равны. Найдите площадь трапеции и
длину отрезка прямой I, заключённого внутри трапеции.
В треугольнике ЛВС, площадь которого равна ЗуЗ, угол Л
острый, АВ = 4\/3, АС = 3. Найдите радиус окружности, опи-
санной около треугольника.
Дап ромб MNPQ, Отрезок MF — биссектриса треугольника
MPQ, ANMQ= 4а, FQ = a, Найдите площадь данного ромба.
292 Глава XII
Применение скалярного произведения векторов
к решению задач
1162 Точка М лежит на стороне ВС треугольника АВС и ВМ- kMC.
Докажите, что
(1 +/?)2 AM2 = k2b2+2bck cos А + с2,
где Ъ = АС, с = АВ.
Решение
По условию задачи точка М лежит на отрезке ВС и ВМ = kMC,
поэтому ВМ = kMC или ВМ = k (ВС - ВМ). Следовательно,
ВМ = ВС = —(АС - АВ).
1+й 1+fe
По правилу треугольника сложения векторов AM = АВ 4- ВМ,
или Л М = ЛВ + —— (АС - А В) = —— А В 4- —-— АС. Таким
1 + /г	1 + k 1 + k
образом,
(1+fc) AM = AB + kAC.
Отсюда получаем
(1 + k)2 (AM -AM) = (АВ + к АС) (АВ + кАС) =
= АВ • АВ 4- 2kАВ • АС 4- k2 АС • АС.	Скачан с vk.com/material 100
Так как
ЛМ  ЛМ = ЛМ2, ЛВ- ЛВ = с2,
АС  АС = Ы, АВ- АС = be cos А,
то полученная формула совпадает с искомой формулой.
1163 Четырёхугольник ABCD задай координатами своих вер-
шин: А (—1; 2), B(l;-2), С(2;0), Z)(l; 6). Докажите, что
ABCD — трапеция, и найдите её площадь.
1164 В треугольнике АВС отрезок AD — биссектриса, отрезок
AM—медиана, Ь = АС, с=АВ. Докажите, что:
1 + cos А о
2	*
б) AM = y/b2 4- с2 ч- 2bc cos А.
2
1165 Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны.
Докажите, что этот параллелограмм является ромбом.
1166 Докажите, что коэффициент подобия двух подобных треуголь-
ников равен отношению радиусов окружностей: а) описанных
около треугольников; б) вписанных в эти треугольники.
С(ютнотения между
293 сторонами и углами
треугольника. Скалярное
произведение векторов
a) AD=-^-J
b + с V
Глава XIII
Длина окружности
и площадь круга
Вы знаете, как измеряются отрезки и как измеряются площади
многоугольников. Вам известны формулы, по которым мож-
но вычислить площади треугольника и некоторых четырёхуголь-
ников. А как вычислить длину окружности и площадь круга, если
известен их радиус? Ответ на этот вопрос вы найдёте в этой
главе. Но сначала нам предстоит познакомиться с красивыми
геометрическими фигурами — правильными многоугольниками,
вывести для них важные формулы, а затем уже с их помощью
мы получим формулы длины окружности и площади круга.
Правильные многоугольники
113.	Правильный многоугольник
Правильным многоугольником называется
выпуклый многоугольник, у которого все углы
равны и все стороны равны.
Примерами правильных многоугольников
являются равносторонний треугольник и квад-
рат. На рисунке 342 изображены правильные пя-
тиугольник, семиугольник и восьмиугольник.
Выведем формулу для вычисления угла ап
правильного д-угольника. Сумма всех углов та-
кого д-угольника равна (п — 2) • 180°, причём вое
его углы равны, поэтому
ая = ^—^--180°.
л л
114.	Окружность, описанная около
правильного многоугольника
Напомним, что окружность называется
описанной около многоугольника, если все вер-
шины многоугольника лежат на этой окружно-
сти, Докажем теорему об окружности, описанной
около правильного многоугольника.
294 Глава XIII
Теорема
Около любого правильного многоугольника
можно описать окружность, и притом только
одну.
Доказательство
Пусть AtA2A3...An — правильный много-
угольник, О — точка пересечения биссектрис
углов Ат и А2 (рис. 343).
Соединим точку О отрезками с осталь-
ными вершинами многоугольника и докажем,
что ОА1 = ОА2=... =ОА„. Так как Z.Al=Z.A2, то
Z1 = Z3, поэтому треугольник АГА.,О равнобед-
ренный: в нём ОАт=ОА2. Треугольники AtA2O
и А,А 3О равны по двум сторонам и углу меж-
ду ними (А1А2 = А3А2, АХ)— общая сторона и
Z3 = Z4), следовательно, OA.i = OAI. Точно так
же можно доказать, что ОА4=ОА2, OA,= OA t
И т. д.
Итак, OAt =ОА2 =... = ОА„, т. е. точка О
равноудалена от всех вершин многоугольника.
Поэтому окружность с центром О и радиусом ОАй
является описанной около многоугольника.
Докажем теперь, что описанная окружность
только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вер-
шины многоугольника, например А1? А э А3. Так
как через эти точки проходит только одна окруж-
ность, то около многоугольника А^аА^.Д,
можно описать только одну окружность.
Теорема доказана.
Рис.343
Скачан с vk.com/material 100
115.	Окружность, вписанная
в правильный многоугольник
Напомним, что окружность называет-
ся вписанной в многоугольник, если все сторо-
ны многоугольника касаются этой окружности.
Докажем теорему об окружности, вписанной в
правильный многоугольник.
Длина окружности
и площадь круга
295
Теорема
В любой правильный многоугольник можно
вписать окружность, и притом только одну.
Доказательство
Пусть А1Лг...А„— правильный многоуголь-
ник, О — центр описанной окружности (рис. 344).
В ходе доказательства предыдущей теоремы
мы установили, что
ДОА|А2 = ДОД2А3 = ... = ДОА„А1,
поэтому высоты этих треугольников, проведён-
ные из вертпины О, также будут равны:
ОН1 = ОН.2=...=ОН11.
Отсюда следует, что окружность с цен-
тром О и радиусом ОН j проходит через точ-
ки Нх, Н...» Нп и касается сторон много-
угольника в этих точках, т. е. эта окружность
вписана в данный правильный много-
угольник.
Докажем теперь, что вписанная окруж-
ность только одна.
Предположим, что наряду с окружностью с
центром О и радиусом OIIt есть и другая окруж-
ность, вписанная в многоугольник А1А2...А„.
Тогда её центр равноудалён от сторон много-
угольника, т. е. точка От лежит на каждой из
биссектрис углов многоугольника и, следователь-
но, совпадает с точкой О пересечения этих бис-
сектрис. Радиус этой окружности равен расстоя-
нию от точки О до сторон многоугольника, т. е.
равен ОН}. Таким образом, вторая окружность
совпадает с первой.
Теорема доказана.
Следствие 1
Окружность, вписанная в правильный много-
угольник, касается сторон многоугольника в их
серединах.
Рис. 344
296 Глава XIII
Следствие 2
Центр окружности, описанной около правильно-
го многоугольника, совпадает с центром окруж-
ности. вписанной в тот же многоугольник.
Эта точка называется центром правильного
многоугольника.
116.	Формулы для вычисления
площади правильного
многоугольника, его стороны
и радиуса вписанной окружности
Пусть S — площадь правильного /i-уголь-
ника, а„ — его сторона, Р — периметр, а г и
В — радиусы соответственно вписанной и опи-
санной окружностей. Докажем сначала, что
S=|Pr.	(1)
Соединим центр данного многоугольника с
его вершинами (рис. 344). Тогда многоугольник
разобьётся на п равных треугольников, площадь
каждого из которых будет равна - апг. Следова-
тельно,
S = п • ±аг = ±-(па„) г = ^-Рп
2 п 2	"	2
Выведем далее формулы:
1
a = 27? sin-——,	(2)
п
„ о 180°
г = В cos---.	(3)
Скачан с vk.com/materiallOO
Для вывода этих формул воспользуемся ри-
сунком 344. В прямоугольном треугольнике AJIуО
Z Л. =	-  180° = 90°
1	2 2п
180°
п
Следовательно,
„ . ,,	180° \	. 180°
а „ = 2 А. Н, — 2В cos 90----------= 2В sin---------,
п 1 1	1 л Г	п
Дли на окружности
и площадь круга
. j	180 \ D 180
r = OH. = В sin 190 —----I = В cos----.
V	n r	n
Полагая в формуле (2), что я = 3, 4 и б, по-
лучим выражения для сторон правильного тре-
угольника, квадрата и правильного шестиуголь-
ника:
а. 3 = 2R sin	= 2R sin 60° = 2R •	= R^3,
3	Л
а , = 2R sin = 2R sin 45° = 2R •	= R\l2,
4	4	2
aG = 2R sin = 2R sin 30° = 2R • ± = R. (4)
117.	Построение правильных
многоугольников
Рассмотрим способы построения некоторых
правильных многоугольников с помощью цирку-
ля и линейки. Построения правильного треуголь-
ника и правильного четырёхугольника, т. е. квад-
рата, рассматривались ранее. Для построения
правильных п угольников при п > 4 обычно ис-
пользуется окружность, описанная около много-
угольника.
Задача 1
Построить правильный шестиугольник,
сторона которого равна данному отрезку.
Решение
Для решения задачи воспользуемся форму-
лой (4). Пусть PQ — данный отрезок. Построим
окружность радиуса PQ и отметим на ней про-
извольную точку (рис. 345). Затем, не меняя
раствора циркуля, построим на этой окружности
точки А2, Аа, А*, Аг>, А6 так, чтобы выполня-
лись равенства ЛtA2 = А2 А3 = А3А ,= А {А3 = А5Аз.
Соединяя последовательно построенные точки от-
резками, получим искомый правильный шести-
угольник А А-2 АлА,1 Л:, Ав.
Для построения правильных многоугольни-
ков часто используется следующая задача:
Скачан с vk.com/material 100
Рис.345
298 Глава ХИ1
Задача 2
Дан правильный /г-угольник. Построить
правильный 2 п -угольник.
Решение
Пусть AlA2...A„—данный правильный
n-угольник. Опишем около него окружность.
Для этого построим биссектрисы углов А, и А г и
обозначим буквой О точку их пересечения. Затем
проведём окружность с центром О радиуса ОА1
(см. рис. 343).
Для решения задачи достаточно разде-
лить дуги AjA2t A^Ag, ..., А„А^ пополам и каж-
дую из точек деления Ви Вь	В„ соединить
отрезками с концами соответствующей дуги
(рис. 346, на этом рисунке п = 6). Для построе-
ния точек Bq, В2, ..., В„ можно воспользовать-
ся серединными перпендикулярами к сторонам
даппого п-угольпика. На рисунке 346 таким спо-
собом построен правильный двенадцатиугольник
AjB j А.^В 2».. A (iBft.
Применяя указанный способ, можно с по-
мощью циркуля и линейки построить целый ряд
правильных многоугольников, если построен
один из них. Например, построив правильный че-
тырёхугольник, т. е. квадрат, и пользуясь резуль-
татом задачи 2, можно построить правильный
восьмиугольник, затем правильный шестпадцати-
угольник и вообще правильный 2*-угольник, где
k — любое целое число, большее двух.
Замечание
Рассмотренные примеры показывают, что
многие правильные многоугольники могут быть
построены с помощью циркуля и линейки. Ока-
зывается, однако, что не все правильные много-
угольники допускают такое построение. Дока-
зано, например, что правильный семиугольник
не может быть построен при помощи циркуля и
линейки. Любопытно, что с помощью этих инст-
рументов можно построить правильный семнад-
цатиугольник.
299
Рис.346
Скачан с vk.com/matenallOO
Дл и на окружности
и площадь круга
Задачи
1167
1168
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
Верно ли утверждение: а) любой правильный многоуголь-
ник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник
является правильным? Ответ обоснуйте.
Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник
является правильным, если он выпуклый и все его стороны
равны; б) треугольник является правильным, если псе его
углы равны; в) любой равносторонний треугольник является
правильным; г) любой четырёхугольник с равными сторонами
является правильным? Ответ обоснуйте.
Докажите, что любой правильный четырёхугольник является
квадратом.
Найдите углы правильного n-угольника, если: а) п = 3; б) п = 5;
в) п = 6; г) п = 10; д) п = 18.
Чему равна сумма внешних углов правильного «угольника,
если при каждой вершине взято ио одному внешнему углу?
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каж-
дый его угол равен: а) 60°; б) 90°; в) 135е;
г) 150е?
Сколько сторон имеет правильный вписанный
многоугольник, если дуга описанной окруж-
ности, которую стягивает его сторона, равна:
а) 60°; б) 30е; в) 90°; г) 36е; д) 18е; е) 72е?
Докажите, что серединные перпендикуляры
к любым двум сторонам правильного много-
угольника либо пересекаются, либо совпадают.
Докажите, что прямые, содержащие бис-
сектрисы любых двух углов правильного
многоугольника, либо пересекаются, либо со-
впадают.
На рисунке 347, а изображён квадрат, впи-
санный в окружность радиуса /?. Перечертите
таблицу в тетрадь и заполните пустые клетки
(п4 — сторона квадрата, Р — периметр квадра-
та, S — его площадь, г — радиус вписанной
окружности).
N	R	Г	«1	Р	S
1			6		
2		2			
3	4				
1				28	
5					16
300 Глава XIII
1177
1178
1179
1180
1181
1182
1183
1184
1185
1186
1187
На рисунке 347, £> изображён правильный треугольник,
вписанный в окружность радиуса R. Перечертите таблицу в
тетрадь и заполните пустые клетки (а3 — сторона треугольни-
ка, Р — периметр треугольника, S его площадь, г — радиус
вписанной окружности).
N	R	Г	Оз	Р	S
1	3				
2					10
3		2			
4			5		
5				6	
Периметр правильного треугольника, вписанного в окруж-
ность, равен 18 см. Найдите сторону квадрата, вписанного в
ту же окружность.
Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного
треугольника, сторона которого равна 3 см. Каким должен
быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из
которого изготовляют вентиль?
Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом
со стороной 6 см. Найдите наибольший диаметр круглого
стержня, который можно выточить из этого бруска. Скачан с vk.com/materiallOO
Около окружности описаны квадрат и правильный шести-
угольник. Найдите периметр квадрата, если периметр шести-
угольника равен 48 см.
Около правильного треугольника описана окружность радиу-
са R. Докажите, что /? = 2г, где г—радиус окружности, впи-
санной в этот треугольник.
Найдите площадь S правильного п-угольника, если: а) /г =4,
R = 3\ 2 см; б) п = 3, Р = 24см; в) п = 6, г=9см; г) п = 8,
г = 5v'3 см.
Расстояние между параллельными гранями шестигранной го-
ловки болта, основание которого имеет форму правильного
шестиугольника, равно 1,5 см. Найдите площадь основания.
Стороны правильного треугольника, квадрата и правильного
шестиугольника равны друг другу. Найдите отношения пло-
щадей этих многоугольников.
Найдите отношение площадей двух правильных шестиуголь-
ников — вписанного в окружность и описанного около неё.
Выразите сторону, периметр и площадь правильного треуголь-
ника: а) через радиус вписаппой окружности; б) через радиус
описанной окружности.
Длина окружности
и площадь круга
1189
1188 Правильный восьмиугольник А,А2...А8 вписан в окружность
радиуса R. Докажите, что четырёхугольник А3А4А7А8 являет-
ся прямоугольником, и выразите его площадь через R.
2J С помощью циркуля и линейки в данную окружность
впишите: а) правильный шестиугольник; б) правильный тре-
угольник; в) квадрат; г) правильный восьмиугольник.
§2
Длина окружности и площадь круга
118.	Длина окружности
Чтобы получить наглядное представление о
длине окружности, представим себе, что окруж-
ность сделана из тонкой нерастяжимой нити.
Если мы разрежем пить в какой-нибудь точке А
и распрямим её, то получим отрезок ААХ, длина
которого и есть длина окружности (рис. 348).
Периметр любого правильного вписанно-
го в окружность многоугольника является при-
ближённым значением длины окружности. Чем
больше число сторон такого многоугольника, тем
точнее это приближённое значение, так как мно-
гоугольник при увеличении числа сторон всё бли-
же и ближе «прилегает» к окружности (рис. 349).
Точное значение длины окружности — это пре-
дел, к которому стремится периметр правиль-
ного вписанного в окружность многоугольни-
ка при неограниченном увеличении числа его
сторон.
Выведем формулу, выражающую длину
окружности через её радиус. Пусть С и С' — дли-
ны окружностей радиусов R и R’. Впишем в
каждую из них правильный n-угольник и обо-
значим через Рп и Р„' их периметры, а через ап
и a't их стороны. Используя формулу (2) из § 1,
получаем
D	. 180°
Рп = п • а п = п • 2R sin —-—,
Р„' = п • а,; = п. • 2R' sin
п
302
Рис.349
Глава XIII
Следовательно,
2Я
(1)
2Я-
Это равенство справедливо при любом зна-
чении п. Будем теперь неограниченно увеличи-
вать число п, Так как Р„ С, Р'п—> С при п —> оо,
Р	С
то предел отношения ~~ равен —. С другой сто-
2Я
роны, в силу равенства (1) этот предел равен -—7.
2 г?
С1 2 R
Таким образом, — = —Из этого равенства еле-
С 2г?
С С9
дует, что ;— = -—т> е« отношение длины окруж-
2 R 2R
ности к её диаметру есть одно и то же число для
всех окружностей. Это число принято обозначать
греческой буквой л (читается «пи»).
С
Из равенства —— = л получаем формулу для
2Г?
вычисления длины окружности радиуса R;
С=2лй.
Доказано, что л является бесконечной не-
периодической десятичной дробью, т. е. иррацио-
22
нальным числом. Рациональное число — являет-
ся приближённым значением числа л. Это
приближённое значение было найдено ещё в III в.
до н. э. великим греческим учёным Архимедом.
При решении задач обычно пользуются значени-
ем л ~ 3,14.
Выведем теперь формулу для вычисления
длины I дуги окружности с градусной мерой а.
Так как длина всей окружности равна 2лЯ, то
ллина дуги в 1 равна —— = ——Поэтому дли-
о fit) IcSO
на / выражается формулой
I _ кР
~ 180
Скачан с vk.com/materiallOO
• о.
Длина окружности
и площадь круга
ставляет
119.	Радианная мера угла
Рассмотрим ещё один способ измерения
углов и дуг окружности.
Если длина / дуги АВ окружности равпа
радиусу Н этой окружности (рис. 350), то из фор-
мулы /= w следует:
7? = ^-а, откуда а = 1^-* 57’17'44".
Полученная градусная мера дуги меньше
180°, поэтому соответствующий дуге централь-
ный угол окружности имеет такую же градусную
меру (см. п. 79). Так как найденное значение а
не зависит от выбора окружности, то такой цен-
тральный угол часто выбирается за единицу из-
мерения углов, оп называется углом в 1 радиан
или радианом.
И'1гак, градусная мера угла в 1 радиан со-
________( 180
я /
Положительное число <р, которое показыва-
ет, сколько раз радиан и его части укладываются
в некотором угле, называется радианной мерой
угла (пишут: ср рад).
Установим связь между градусной и ради-
анной мерой одного и того же угла. Из опреде-
ления радиапа следует, что углу, градусная мера
которого равна 180°, соответствует п радиан.
Тогда углу в 1° соответствует в 180 раз меньше,
к
YU77 радиан. Следовательно, углу, градусная
1 оО
с	Я
мера которого равна сх , соответствует Ра-
диан. Если <р — радианная мера угла, то ей соот-
( 180
----------------------------Ф
я
Отметим, что измерение углов в радианах
имеет большое значение: упрощается запись при
использовании тригонометрических формул,
а при значениях <р меньше 0,01 рад можно счи-
тать sintp « tg(p « (р.
Рис.350
Скачан с vk.com/materiallOO
т. е.
о
ветствует градусная мера
304
Глина XIII
Поскольку градусная мера угла не превос-
ходит 180°, то и радианная мера угла не превос-
ходит л радиан.
Если дуга окружности меньше полуокруж-
ности или равна полуокружности, то её радианная
мера также не превосходит к радиан. Если дуга
окружности больше полуокружности, то, очевид-
но, её радианная мера больше я радиан. Напри-
мер, для дуги, градусная мера которой 240°, её
радианная мера составит • 240 — радиан.
Найдём формулу, выражающую длину I
дуги окружности радиуса R через сё радианную
меру ф. Радианной мере ф соответствует градус-
180
ная мера --- • ф.
л
/ = Лф.
Поэтому I = д — • 180 • ср, откуда
180 л
120.	Площадь круга
Напомним, что кругом называется часть
плоскости, ограниченная окружностью. Круг ра-
диуса R с центром О содержит точку О и все точ-
ки плоскости, находящиеся от точки О на рас-
стоянии, не большем R.
Выведем формулу для вычисления площа-
ди круга радиуса R. Для этого рассмотрим пра-
вильный rt-угольник	вписанный в
окружность, ограничивающую круг (рис. 351).
Очевидно, площадь S данного круга больше пло-
щади Sn многоугольника AjAa^.A^, так как этот
многоугольник целиком содержится в данном
круге. С другой стороны, площадь S,' круга, впи-
санного в многоугольник, меньше Sn, так как
этот круг целиком содержится в многоугольнике.
Итак,
S;<S„<S.	(2)
Будем теперь неограниченно увеличивать
число сторон многоугольника. По формуле (3) § 1
Скачан с vk.com/materialiOO
Рис.351
Длина окружности
и площадь круга
305
имеем г - R сое —, где гп — радиус вписанной
п
в многоугольник окружности. При п оо
180 й
cos----► 1, поэтому rn—*R. Иными словами,
п
при неограниченном увеличении числа сторон
многоугольника вписанная в него окружность
стремится к описанной окружности, поэтому
SJ,—>S при п -> оо. Отсюда и из неравенств (2)
следует, что 8„—> S при п —> оо.
По формуле (1) на с. 297 имеем Sn = —Рпгп,
&
где Рп— периметр многоугольника А1А2...АЛ. Учи-
тывая, что rn—>R, Pn-*2nR, S„—> S при n—>оо,
получаем 8 = - 2л8 •	= Итак, для вычисле-
ния площади 8 круга радиуса R мы получили
формулу
8 = л/?2.
Замечание
В течение веков усилия многих математи-
ков были направлены на решение задачи, полу-
чившей название задача о квадратуре круга: по-
строить при помощи циркуля и линейки квадрат,
площадь которого равна площади данного круга.
Только в конце XIX в. было доказано, что
Скачан с vk.com/materiallOO
такое построение невозможно.
121.	Площадь кругового сектора
Круговым сектором или просто секто-
ром называется часть круга, ограниченная ду-
гой и двумя радиусами, соединяющими концы
дуги с центром круга. Дуга, которая ограни-
чивает сектор, называется дугой сектора. На
рисунке 352, а изображены два сектора с ду-
гами ALB и АМВ. Первый из этих секторов за-
крашен.
Выведем формулу для вычисления площа-
ди 8 кругового сектора радиуса R, ограниченного
дугой с градусной мерой а.
306 Глава XIII
Так. как площадь всего круга равна nJ?2, то
площадь кругового сектора, ограниченного дугой
лЛ ~
в 1°, равна geo ♦ Поэтому площадь S выражается
формулой
Круговым сегментом или просто сегмен-
том называется часть круга, ограниченная дугой
окружности и хордой, соединяющей концы этой
дуги (рис. 352, б).
Если градусная мера дуги меньше 180°,
то площадь сегмента можно найти, вычитая из
площади сектора площадь равнобедренного тре-
угольника, сторона.ми которого являются два ра-
диуса и хорда сегмента.
Задачи
1190 Перечертите таблицу и, используя формулу длины С окруж-
ности радиуса Ft, заполните пустые клетки таблицы. Восполь-
зуйтесь значением я * 3,14.	Скачан с vkxom/materiallOO
с			82	18л		6,28			2ч/2
R	4	3			0,7		101,5	I СО см	
1191 Как изменится длина окружности, если радиус окружности:
а) увеличить в 3 раза; б) уменьшить в 2 раза; в) увеличить
в k раз; г) уменьшить в k раз?
1192 Как изменится радиус окружности, если длину окружности:
а) увеличить в k раз; б) уменьшить в k раз?
1193 Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного
треугольника со стороной а; б) прямоугольного треугольника с
катетами а и Ь; в) равнобедренного треугольника с основани-
ем а и боковой стороной &; г) прямоугольника с меньшей сто-
роной а и острым углом а между диагоналями; д) правильного
шестиугольника, площадь которого равна 24 V3 см2.
1194 Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со сторо-
ной а; б) в равнобедренный прямоугольный треугольник с ги-
потенузой с; в) в прямоугольный треугольник с гипотенузой с
и острым углом а; г) в равнобедренный треугольник с углом
при основании а и высотой h, проведённой к основанию.
Длина окружности
и площадь круга
307
1195 Автомобиль прошёл 989 м. Найдите диаметр колеса автомоби-
ля, если известно, что оно сделало 500 оборотов.
1196 Метр составляет приближённо ------- часть земного
40 000 000
экватора. Найдите диаметр Земли в километрах, считая, что
Земля имеет форму тара,
1197 Вычислите длину круговой орбиты искусственного спутника
Земли, если спутник вращается на расстоянии 320 км от по-
верхности Земли, а радиус Земли равен 6370 км.
1198 Найдите длину дуги окружности радиуса 6 см, если её градус-
ная мера равна: а) 30°; б) 45°; в) 60°; г) 90е.
1199 Расстояние между серединами зубьев зубчатого колеса, изме-
ренное по дуге окружности, равно 47,1 мм. Диаметр колеса
равен 450 мм. Сколько зубьев имеет колесо?	____
1200 Шлифовальный камень, имеющий форму дис- /х'-------тч.
ка, находится в защитном кожухе (рис. 353).	/f
Диаметр камня равен 58 см, дуга незащищён- / / Z
ной его части равна 117°. Найдите длину дуги 1 (	°)
незащищённой части камня.	\Л X. J
1201 Найдите длину маятника стенных часов, если
угол его колебания составляет 38°, а длина -------------
дуги» которую описывает конец маятника, p^^k.com/matenalioo
равна 24 см.
1202 Радиус закругления пути железнодорожного полотна равен
5 км, а длина дуги закругления — 400 м. Какова градусная
мера дуги закругления?
1203 Перечертите таблицу, и, используя связь между градусной и
радиаппой мерой одного и того же угла, заполните пустые
клетки.
Градусная мера угла	Г 180 V \ тс /		1е	90-			45°	30°			150°		
Радианная мера угла	1	л			л 3	СЛ | й			Зл 4	2л 3			Ф
1204
Постройте угол, радианная мера которого равна: а) J;
л . Я . 71	.	. 2я	3
б) Т5 в> г) Г 5 д) л; е) •
4	2	6	3
1205 Перечертите таблицу и, используя формулу для площади S
круга радиуса R, заполните пустые клетки. Воспользуйтесь
значением л ~ 3,14.
308 Глава XIII
S			9		49л;			6,25
R	2	5		2 7		54,3		
1206
1207
1208
1209
1210
1211
1212
1213
1214
1215
1216
1217
Как изменится площадь круга, если его радиус: а) увеличить
в k раз; б) уменьшить в k раз?
Найдите площадь круга, описанного около: а) прямоугольника
со сторонами а и Ь; б) прямоугольного треугольника с катетом а
и противолежащим углом а; в) равнобедренного треугольника с
основанием а и высотой Л, проведённой к основанию.
Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний тре-
угольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с
катетом а и прилежащим к нему острым углом а; в) в рав-
нобедренный треугольник с боковой стороной а и углом сх,
противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с
большим основанием а и острым углом а.
Диаметр основания Царь-колокола, находящегося в Москов-
ском Кремле, равен 6,6 м. Найдите площадь основания коло-
кола.
Длина окружности цирковой арены равна 41 м. Найдите диа-
метр и площадь арены.
Найдите площадь кольца, ограниченного двумя окружнас^яеп. materialioo
ми с общим центром и радиусами Д иЛ2, Д <Ег. Вычислите
площадь кольца, если Д = 1,5 см, Л2 = 2,5 см.
Какой толщины слой нужно снять с круглой медной проволо-
ки, имеющей площадь сечения 314 мм2, чтобы опа проходила
сквозь отверстие диаметром 18,5 мм?
Вокруг круглой клумбы, радиус которой равен 3 м, проложена
дорожка шириной 1 м. Сколько нужно песка, чтобы посыпать
дорожку, если на 1 м2 дорожки требуется 0,8 дм3 песка?
Из круга радиуса г вырезан квадрат, вписанный в окруж-
ность, которая ограничивает круг. Найдите площадь остав-
шейся части круга.
На мишени имеются четыре окружности с общим центром, ра-
диусы которых равны 1, 2, 3 и 4. Найдите площадь наимень-
шего круга, а также площадь каждого из трёх колец мишени.
£3 На сторонах прямоугольного треугольника как на диаме-
трах построены три полукруга. Докажите, что площадь по-
лукруга, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей
полукругов, построенных на катетах.
Из круга, радиус которого 10 см, вырезан сектор с дугой в
60е. Найдите площадь оставшейся части круга.
Длина окружности
309 и площадь круга
1218 Площадь сектора с центральным углом 72°
равна S. Найдите радиус сектора.
1219 Сторона квадрата, изображённого на рисун-
ке 354, равна а. Вычислите площадь закра-
шенной фигуры.
1220 Докажите, что площадь S кругового сектора
радиуса R, ограниченного дугой с радианной
.	о фЯ2
мерой ср, вычисляется по формуле 3 = -—.
Рис.354
Вопросы для повторения к главе XIII
1	Какой многоугольник называется правильным? Приведите
примеры правильных многоугольников.
2	Выведите формулу для вычисления угла правильного л-уголь-
ника.
3	Сформулируйте и докажите теорему об окружности, описан-
ной около правильного многоугольника.
4	Сформулируйте и докажите теорему об окружности, вписан-
ной в правильный многоугольник.
5	Выведите формулу для вычисления площади правильно- г г
го многоугольника через его периметр и радиус?Ш1Иё&пЙой^ te а 100
окружности.
6	Выведите формулы для вычисления стороны правильного
« угольника и радиуса вписанной в него окружности через
радиус описанной окружности.
7	Как выражаются стороны правильного треугольника, квадра-
та и правильного шестиугольника через радиус описанной
окружности?
8	Выведите формулу для вычисления длины окружности, ис-
пользуя её градусную меру.
9	Объясните, какое число обозначается буквой л: и чему равно
его приближённое значение.
10	Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности,
используя её градусную меру.
11	Какой угол называется углом в 1 радиан?
12	Объясните, как связаны градусная и радианная меры одного
и того же угла.
13	Выведите формулу для вычисления длины дуги окружности,
используя сё радианную меру.
14	Выведите формулу для вычисления площади круга.
310 Глава ХШ
15	Что такое круговой сектор? Выведите формулу для вычисле-
ния площади кругового сектора.
16	Что такое круговой сегмент? Объясните, как можно вычислить
его площадь.
Дополнительные задачи
1221 Сколько сторон имеет правильный многоугольник, один из
внешних углов которого равен; а) 18°; б) 40°; в) 72°; г) 60?
1222 На стороне правильного треугольника, вписанного в окруж-
ность радиуса 3 дм, построен квадрат. Найдите радиус окруж-
ности, описанной около квадрата.
1223 Найдите периметр правильного шестиугольника
Л1Л.гЛ3Л4ЛдЛ0, если А1А,= 2,24см.
1224 Найдите отношение периметров правильного треугольни-
ка и квадрата: а) вписанных в одну и ту же окружность;
б) описанных около одной и той же окружности.
1225 Диагонали АдА,, и АаА;) правильного двенадцатиугольника пе-
ресекаются в точке В (рис. 355). Докажите, что: а) треуголь-
ники AtA-J? и АвА^В равносторонние; б) А]Ав = 2г, где г— ра-
диус вписанной в двенадцатиугольник окружности.
1226 Диагонали А4А4 и А2А- правильного десятиугольника
А1А2...А1о, вписанного в окружность радиуса В, пересека-
ются в точке В (рис. 356). Докажите, что: а)	materialiou
б)	ДА^зВ и ДВА4О — подобпые равнобедренные треуголь-
ники; в) А1А|-А|А2 = Я.
1227 В круг, площадь которого равна 36л сь^, вписан правильный
шестиугольник. Найдите сторону этого шестиугольника и его
площадь.
1228 Квадрат A}A2A:iAt вписап в окружность радиуса В
(рис. 357). На его сторонах отмечены восемь точек так, что
Ад = А 2В2 = Аа В8 = А4В4 = А дСд = А £ = А:£ 8 = А 4С4 = В. Дока-
жите, что восьмиугольник ВдС3В2С|В3С'1.В4С2 правильный, и
выразите площадь этого восьмиугольника через радиус R.
Длина окружности
и площадь круга
1229
За два оборота по круговой орбите вокруг Земли космиче-
ский корабль проделал путь 84 152 км. На какой высоте над
поверхностью Земли находится корабль, если радиус Земли
равен 6370 км?
1230 Найдите длину окружности, вписанной в ромб, если:
а)	диагонали ромба равны 6 см и 8 см;
б)	сторона ромба равна а и острый угол равен а.
1231 Лесной участок имеет форму круга. Чтобы обойти этот уча-
сток по опушке, идя со скоростью 4 км/ч, нужно затратить па
45 мин больше, чем для того, чтобы пересечь его по диаметру.
Найдите длину опушки данного участка.
1232 В правильный многоугольник вписана окружность. Докажи-
те, что отношение площади круга, ограниченного этой окруж-
ностью, к плотцадй многоугольника равно отношению длины
окружности к периметру многоугольника.
1233 Фигура ограничена большими дугами двух окружностей, име-
ющих общую хорду, длипа которой равпа 6 см. Для одной
окружности эта хорда является стороной вписанного квадра-
та, для другой — стороной правильного вписанного шести-
угольника. Найдите сумму длин этих дуг.
1234 Основания трапеции, около которой можно описать окруж-
ность, равны 4 см и 14 см, а одна из боковых стороп равна
13 см. Найдите длину описанной окружности. Скачан с vk.com/materiallOO
1235 Высота прямоугольного треугольника, проведённая к гипоте-
нузе, разделяет треугольник на два подобных треугольника
(см. задачу, п. 71). Докажите, что отношение длин окружно-
стей, вписанных в эти треугольники, равно коэффициенту по-
добия этих треугольников.
Задачи на построение
1236* Постройте правильный восьмиугольник, сторона которого
равпа данному отрезку.
1237*Даны два круга. Постройте круг, площадь которого равна
сумме площадей данных кругов.
1238 Q2 Около данной окружности опишите: а) правильный тре-
угольник; б) правильный шестиугольник.
1239 03 Около данной окружности опишите: а) правильный четы-
рёхугольник; б) правильный восьмиугольник.
372 Глава XIII
Глава XIV
Преобразования плоскости.
Движения
Слово «движение» вам знакомо. А что оно означает в гео-
метрии? Скорее всего, вы сразу представляете себе какое-
либо перемещение фигуры без искажения её размеров, из-
менение положения по отношению к другим фигурам. В этой
главе мы познакомимся с понятием взаимно однозначного ото-
бражения плоскости на себя (преобразованием плоскости). За-
тем, определив понятие движения, изучим некоторые его виды
и свойства. Вы убедитесь, что движения плоскости являются
теми самыми наложениями, которые мы применяли для опре-
деления равенства фигур и изучения их свойств. В данной главе
вы узнаете, что с помощью движений удаётся находить краси-
вые решения различных геометрических задач, познакомитесь
с понятием внутренней симметрии фигуры, попытаетесь посмо-
треть на окружающие нас предметы с точки зрения движений.
Преобразования плоскости
Скачан с vk.com/material 100
122. Отображение плоскости на себя
Представим себе, что каждой точке плос-
кости сопоставляется (ставится в соответствие)
по определённому правилу какая-то одна точка
этой же плоскости, причём любая точка плоска
сти оказывается сопоставленной некоторой един-
ственной точке.
Такое соответствие называется взаимно од-
нозначным отображением плоскости на себя или
преобразованием плоскости.
Фактически мы уже встречались с преобра-
зованиями плоскости — вспомним осевую (пп. 44
и 45) и центральную симметрии (п. 53).	*«—< 
При осевой симметрии с осью а (рис. 358)
каждой точке М плоскости соответствует симме-
тричная ей точка относительно прямой а (если
точка М лежит на прямой а, то она считается сим-	а
метричной самой себе). При этом любая точка М,
оказывается сопоставленной некоторой точке М.	Рис. 358
П реобра зова н ил
плоскости.
Движения
313
При центральной симметрии с центром О
(рис. 359) каждой точке А плоскости соответ-
ствует симметричная ей точка Ат относительно
точки О (точка О считается симметричной са-
мой себе). При этом любая точка AL оказывает-
ся сопоставленной некоторой точке А.
Если точка при некотором преобразовании
соответствует сама себе, то она называется непод-
вижной точкой данного преобразования. Осевая
симметрия имеет прямую неподвижных точек —
ось симметрии. Центральная симметрия имеет
единственную неподвижную точку — центр сим-
метрии.
Пусть F — какая-либо фигура и каждой её
точке М преобразование плоскости ставит в соот-
ветствие точку Мх. В результате преобразования
получим некоторую фигуру Fv Фигуры Ft и F
называют соответственными при данном преоб-
разовании. Говорят также, что фигура F пере-
ходит в фигуру Fv а фигура Fx получена из фи-
гуры F при заданном преобразовании плоскости.
123. Понятие движения плоскости
Пусть М и N — две любые точки, а п
— соответственные им точки при некотором
преобразовании плоскости. Говорят, что пре-
образование плоскости сохраняет расстояние
между точками, если равны длины отрезков
MN = MtN\. Любое преобразовапие плоскости,
сохраняющее расстояние, называется движени-
ем (или перемещением) плоскости.
Осевая симметрия и центральная симме-
трия — это примеры движений. Для осевой сим-
метрии соответствующее свойство — сохранять
расстояния между точками мы доказали в
пункте 45. Пользуясь рисунками 360, a-в, до-
кажите самостоятельно, что центральная симме-
трия сохраняет расстояние между точками.
Докажем следующую теорему.
А,
Рис. 359
314 Глава XIV
Теорема
При движении отрезок отображается на отрезок.
Доказательство
Пусть при заданном движении плоскости
концы М и N отрезка отображаются в точки
Л/j и Л"-, (рис. 361). Докажем, что каждая точка
отрезка MN отображается в некоторую точку от-
резка MtNv Пусть Р— произвольная точка от-
резка MN, PL — точка, в которую отображается
точка Р. Тогда МР + P2V = MN, Так как при дви-
жении расстояния сохраняются, то
MXN, = MN, МуРА = МР и N ХРХ = NP. (1)
Из равенств (1) получаем, что МХРХ + PXN, =
~MXNX, и, значит, точка Р, лежит на отрезке
MXN1 (если предположить, что это пс так, то будет
выполняться неравенство МХРХ+ PLNX>MLN х).
Итак, точки отрезка MN отображаются в точки
отрезка MXNX.
Нужно ещё доказать, что в каждую точку
Рх отрезка МLNX отображается какая-нибудь точ-
ка Р отрезка MN. Докажем это. Пусть Р} — про-
извольная точка отрезка MXNX, и точка Р при
заданном движении отображается в точку Рх. Из
соотношений (1) и равенства MiNl=MlPl + PlN1
следует, что
MP + PN =MN,
и, значит, точка Р лежит на отрезке MN.
Теорема доказана.
Следствие
При движении треугольник отображается на
равный ему треугольник.
В самом деле, в силу доказанной теоремы
при движении каждая сторона треугольника ото-
бражается на равный ей отрезок, поэтому и тре-
угольник отображается на треугольник с соот-
ветственно равными сторонами, т. е. на равный
треугольник.
315
м
Рис.361
Скачан с vk.com/material 100
Преобра зова н и я
плоскости.
Движении
Пользуясь доказанной теоремой, нетрудно
убедиться в том, что при движении прямая ото-
бражается на прямую, луч — на луч, а угол — на
равный ему угол.
124*. Наложения и движения
Скачан с vk.com/materiallOO
Напомним, что в нашем
курсе геометрии равенство фигур
определяется с помощью наложе-
ний. Мы говорим, что фигура Ф
равна фигуре Фи если фигуру Ф
можно совместить наложением с
фигурой Ф,. Понятие наложения
в нашем курсе относится к основ-
ным понятиям геометрии, поэто-
му определение наложения не да-
ётся. Под наложением фигуры Ф
па фигуру Ф[ мы понимаем неко-
торое отображение фигуры Ф на
фигуру Ф(. Более того, мы счита-
ем, что при этом не только точки
фигуры Ф, но и любая точка плоскости отобра-
жается в определённую точку плоскости, т. е. на-
ложение — это отображение плоскости на себя.
Однако не всякое отображение плоско-
сти па себя мы называем наложением. Наложе-
ния — это такие отображения плоскости на себя,
которые обладают свойствами, выраженными в
аксиомах (см. приложение 1, аксиомы 7—13).
Эти аксиомы позволяют доказать все те свой-
ства наложений, которые мы себе представляем
наглядно и которыми пользуемся при доказа-
тельстве теорем и решении задач. Докажем, на-
пример, что при наложении различные точки
отображаются в различные точки.
В самом деле, предположим, что это не так,
т. е. при некотором наложении какие-то две точ-
ки А и В отображаются в одну и ту же точку С.
Тогда фигура Ф,, состоящая из точек А и В, рав-
на фигуре Ф2, состоящей из одной точки С. От-
376 Глава XIV
сюда следует, что Ф2=Ф( (аксиома 12), т. е. при
некотором наложении фигура Ф2 отображается в
фигуру Ф|. Но это невозможно, так как наложе-
ние — это отображение, а при любом отображе-
нии точке С ставится в соответствие только одна
точка плоскости.
Из доказанного утверждения следует, что
при наложении отрезок отображается на равный
ему отрезок. Действительно, пусть при наложе-
нии концы А и В отрезка АВ отображаются в
точки А, и В,. Тогда отрезок АВ отображается
на отрезок AtBt (аксиома 7), и, следовательно,
отрезок АВ равен отрезку AjB,. Так как рав-
ные отрезки имеют равные длины, то наложение
является отображением плоскости на себя, со-
храняющим расстояния, т. е. любое наложение
является движением плоскости.
Докажем, что верно и обратное утверждение.
Теорема
Любое движение является наложением.
Доказательство
Рассмотрим произвольное движение (обо-
значим его буквой g) и докажем, что опо явля-
ется наложением. Возьмём какой-нибудь тре-
угольник АВС. При движении g он отображается
на равный ему треугольник А^С,. По определе-
нию равных треугольников существует наложе-
ние [, при котором точки А, В и С отображаются
соответственно в точки А,, Ву и С,.
Докажем, что движение g совпадает с нало-
жением /. Предположим, что это нс так. Тогда на
плоскости найдётся хотя бы одна такая точка М,
которая при движении g отображается в точку
Л/|, а при наложении /— в другую точку М2.
Так как при отображениях f и g сохраняются
расстояния, то AAf = A1M1, AM = А^М2, поэтому
А1Л/) = А1Л/2, т. е. точка Aj равноудалена от то-
Скачан с vk.com/materiallOO
Преобрамви и ил
плоскости.
Движения
317
чек M-f и М2 (рис. 362). Аналогично доказыва-
ется, что точки Д и С! равноудалены от точек
Л/, и М2. Отсюда следует, что точки Ах, В} и
Ct лежат на серединном перпендикуляре к отрез-
ку М}МНо это невозможно, так как вершины
треугольника А,В|С| не лежат на одной прямой.
Таким образом, отображения f и g совпадают,
т. е. движение g является наложением.
Теорема доказана.
Следствие
При движении любая фигура отображается на
равную ей фигуру.
Рис.362
Задачи
1240 Докажите, что при осевой симметрии плоскости:
а)	прямая, параллельная оси симметрии, отображается на
прямую, параллельную оси симметрии;
б)	прямая, перпендикулярная к оси симметрии, отображается
на себя.
1241 Докажите, что при центральной симметрии плоскости г vk.com materiallOO
а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отобража-
ется на параллельную ей прямую;
б)	прямая, проходящая через центр симметрии, отображается
па себя.
1242 Докажите, что при движении угол отображается на равный
ему угол.
Решение
Пусть при данном движении угол АОВ отображается на угол
причем точки А, О, В отображаются соответственно
в точки Av On Bv Так как при движении сохраняются рас-
стояния, то О А = О^А}, ОВ = От В]. Если угол АОВ неразвёрну-
тый, то треугольники АОВ и А1О1В1 равны по трём сторонам,
и, следовательно, ZAOB = ZAlOlBl. Если угол АОВ разверну-
тый, то и угол AtOiB, развёрнутый (докажите это), поэтому
эти углы равны.
1243 Докажите, что при движении четырехугольник отображается
на четырехугольник.
1244 Докажите, что при движении параллельные прямые отобра-
жаются на параллельные прямые.
1245 Докажите, что при движении: а) параллелограмм отобража-
ется на параллелограмм; б) трапеция отображается на трапе-
318 Глава XIV
1246
1247
1248
1249
1250
1251
1252
1253
1254
1255
1256
цию; в) ромб отображается на ромб; г) прямоугольник отобра-
жается на прямоугольник, а квадрат — на квадрат.
Докажите, что при движении окружность отображается па
окружность того же радиуса.
Докажите, что отображение плоскости, при котором каждая
точка отображается на себя, является наложением.
АВС и	— произвольные треугольники. Докажите, что
существует не более одного движения, при котором точки
А, В и С отображаются в точки Ап Сг
В треугольниках АВС и AjBjC, АВ = А1В[, АС = АгСг, ВС =
= В}С}. Докажите, что существует движение, при котором точ-
ки А, В и С отображаются в точки Ар В1 и и притом толь-
ко одно.
Решение
По условию задачи треугольники АВС и AtВ(С( равны по трём
сторонам. Следовательно, существует наложение, т. е. движе-
ние, при котором точки А, В и С отображаются соответствен-
но в точки Al, Bt и С\. Это движение является единственным
движением, при котором точки А, В и С отображаются соот-
ветственно в точки Аг, В] и Q (задача 1248).
Докажите, что два параллелограмма равны, если смежные
стороны и угол между ними одного параллелограмма соответ-
ственно равны смежным сторонам и углу между HHMSi^pyrdff’iS^/materialioo
параллелограмма.
Даны две прямые а и Ь. Постройте прямую, па которую ото-
бражается прямая Ъ при осевой симметрии с осью а.
Даны прямая а и четырёхугольник ABCD. Постройте фигу-
ру F, па которую отображается данный четырёхугольник при
осевой симметрии с осью а. Что представляет собой фигура F'i
Какие из следующих утверждений справедливы: а) если
фигуры F и симметричны относительно точки О, то фигура
Fi получена центральной симметрией из фигуры F; б) если
фигуры F и Bi симметричны относительно прямой р, то фигу-
ра F получена осевой симметрией из фигуры Ft; в) если фигу-
ра Ft получена движением плоскости из фигуры В, то F и F[
симметричны относительно некоторой прямой?
Даны две прямые а и «|. Докажите, что существует движе-
ние, которое отображает прямую а на прямую аг
Докажите, что последовательное выполнение двух движений
плоскости является движением плоскости.
Фигура F получена из фигуры F осевой симметрией с осью Z,
а фигура F2 — из фигуры F центральной симметрией с цен-
тром в точке О. Равны ли фигуры и Г2? Ответ обоснуйте.
Преобра зона н и я
319 плоскост и.
Движения
1257 Докажите следующие утверждения: а) если фигура Р равна
фигуре Q, то фигура Q равна фигуре Р; б) если фигура Р рав-
на фигуре Q, а фигура Q равна фигуре Я, то фигура Р равна
фигуре R.
§2
Параллельный перенос и поворот
125.	Параллельный перенос
Пусть а — данный вектор. Параллельным
переносом на вектор а называется отображение
плоскости на себя, при котором каждая точка М
отображается в такую точку Mi, что вектор MMt
равен вектору а (рис. 363).
Параллельный перенос является движе-
нием, т. е. отображением плоскости на себя, со-
храняющим расстояния. Докажем это. Пусть
при параллельном переносе на вектор а точки М
и N отображаются в точки Мх и (рис. 363).
Так как ММ} = a, NN3 = а, то ММ ! = №V Р Отсюда
следует, что ММ} || и ММ} = NNi, поэтому
четырёхугольник	параллелограмм.
Следовательно, MN = MtNt, т. с. расстояние меж-
ду точками М и Лг равно расстоянию между точ-
ками М± и (случаи, когда точки М и /V рас-
положены па прямой, параллельной вектору а,
рассмотрите самостоятельно). Таким образом, па-
раллельный перенос сохраняет расстояния меж-
ду точками и поэтому представляет собой движе-
ние. Наглядно это движение можно представить
себе как сдвиг всей плоскости в направлении
данного вектора а на его длину.
В случае, когда вектор а нулевой, каждая
точка плоскости отображается на себя, т. е. явля-
ется неподвижной точкой. Преобразование плоско-
сти, при котором каждая точка является неподвиж-
ной, называется тождественным преобразованием.
Параллельный перенос на ненулевой век-
тор не имеет неподвижных точек.
320
Рис.363
Скачан с vk.com/materiallOO
Глава XIV
126.	Поворот
Отмстим па плоскости точку О (центр пово-
рота) и зададим угол а (угол поворота). Поворо-
том плоскости вокруг точки О на угол а называ-
ется отображение плоскости на себя, при котором
каждая точка М отображается в такую точку ,
что ОМ = OML и угол MOML равен а (рис. 364).
При этом точка О является неподвижной, а все
остальные точки поворачиваются вокруг точки О
в одном и том же направлении — по часовой
стрелке или против часовой стрелки.
Поворот является движением, т. е. отобра-
жением плоскости на себя, сохраняющим рассто-
яния.
Докажем это. Пусть О — центр поворота,
а — угол поворота против часовой стрелки (слу-
чай поворота по часовой стрелке рассматривается
аналогично). Допустим, что при этом повороте
точки М и N отображаются в точки Ml и
(рис. 365). Треугольники O2VLV и ОМг1\!} равны
по двум сторонам и углу между ними: ОМ = ОМ^,
ON = ONt и Z.MON = Zj'W {ONi (для случая, изо-
бражённого на рисунке 365, каждый из этих
углов равен сумме угла а и утла MjO/V). Из ра-
венства этих треугольников следует, что
MN = М lNi, т. с. расстояние между точками М и
jV равно расстоянию между точками Му и
(случай, когда точки О, М и N расположены на
одной прямой, рассмотрите самостоятельно).
Итак, поворот сохраняет расстояния между точ-
ками и поэтому представляет собой движение.
Это движение можно представить себе как пово-
рот всей плоскости вокруг данной точки О на
данный угол ос.
Замечание.
Поворот на 180° вокруг некоторой точки О
является центральной симметрией относительно
точки О (объясните почему).
321
Рис.364
Рис.365
о
Преобри зона ни я
плоскости.
Движения
1258
1259
1260
1261
1262
1263
1264
1265
1266
1267
1268
Задачи
Начертите отрезок АВ и вектор	Постройте отрезок
AjBj, который получается из отрезка АВ параллельным пере-
носом на вектор MMV
Начертите треугольник АВС, вектор MMt, который не парал-
->
лелен ни одной из сторон треугольника, и вектор а, парал-
лельный стороне АС. Постройте треугольник	который
получается из треугольника АВС параллельным переносом:
а) на вектор ММ3; б) на вектор а.
Даны равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и
такая точка D на прямой АС, что точка С лежит на отрезке
AD. а) Постройте отрезок BtD, который получается из отрезка
ВС параллельным переносом на вектор CD. б) Докажите, что
четырёхугольник ABBVD — равнобедренная трапеция.
Даны треугольник, трапеция и окружность. Постройте фигу-
ры, которые получаются из этих фигур параллельным пере-
носом на данный вектор а.
Даны две пары параллельных прямых: а | b | /?,, причём
а 4 Ь. Постройте вектор параллельного переноса, при котором
прямые а и b отображаются на прямые ал и bt сооТ®еФстй^Ий'о;агепа1100
Постройте отрезок AjB,, который получается из данно-
го отрезка АВ поворотом вокруг данного центра О: а) на
120° по часовой стрелке; б) на 75° против часовой стрелки;
в) на 180°.
Постройте треугольник, который получается из данного тре-
угольника АВС поворотом вокруг точки А на угол 150° про-
тив часовой стрелки.
Точка D является точкой пересечения биссектрис равносто-
роннего треугольника АВС. Докажите, что при повороте во-
круг неё на угол 120е треугольник АВС отображается на себя.
Докажите, что при повороте квадрата вокруг точки пересече-
ния его диагоналей па угол 90е квадрат отображается па себя.
Постройте окружность, которая получается из данной окруж-
ности с центром С поворотом вокруг точки О на угол 60е
против часовой стрелки, если: а) точки О и С не совпадают;
б) точки О и С совпадают.
Постройте прямую О|, которая получается из прямой а пово-
ротом вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке, если
прямая а\ а) по проходит через точку О; б) проходит через
точку О.
322 Глава XIV
Решение
а) Построим окружность с центром О, которая касается пря-
мой а (объясните, как это сделать). Пусть Af — точка касания.
При повороте вокруг точки О эта окружность отображается на
себя, а касательная а отображается па некоторую касатель-
ную (объясните почему). Для построения прямой ал постро-
им сначала точку в которую отображается точка М при
повороте вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке, а за-
тем проведём касательную йи к окружности в точке М,.
1269 Если при повороте вокруг точки О на некоторый угол пря-
мая а переходит в прямую ал, то угол между прямыми а и ал
либо равен углу поворота, либо дополняет его до 180е. Дока-
жите.
1270 kJ Даны два равных и а) параллельных; б) не параллельных
отрезка. Постройте центр О поворота, при котором один отре-
зок отображается на другой.
§3
Симметри и фи гур
127.	Понятие симметрии фигур
В том случае, когда фигура отображается
на себя при осевой симметрии, говорят, что фигу-
ра обладает осевой симметрией (см. п. 44). Если
фигура отображается на себя при некотором по-
вороте (в частности, центральной симметрии), то
говорят, что фигура обладает поворотной (в част-
ности, центральной) симметрией. Если же фигу-
ра отображается на себя в результате параллель-
ного переноса на ненулевой вектор, то говорят о
переносной симметрии фигуры.
Внутренней симметрией (или симметрией)
фигуры называется любое движение плоскости,
отличное от тождественного преобразования, ко-
торое фигуру отображает па себя.
Например, равнобедренный, но не равно-
сторонний треугольник имеет одну симметрию —
это осевая симметрия относительно серединного
перпендикуляра к основанию этого треугольника
(рис. 366). У равностороннего треугольника пять
323
Скачан с vk.com/materiallOO
Рис.366
Преобразования
плоскости.
Движения
симметрий: три осевые симметрии и две пово-
ротные симметрии вокруг центра треугольни-
ка на 120° по часовой и против часовой стрел-
ки (рис. 367). У квадрата уже семь симметрий:
четыре осевые симметрии, одна центральная
симметрия и две поворотные симметрии во-
круг центра квадрата на 90° по часовой и про-
тив часовой стрелки (рис. 368).
Окружность имеет бесконечно много
симметрий: это осевые симметрии с осями,
проходящими через центр окружности, все-
возможные поворотные симметрии вокруг
центра окружности, в том числе центральная
симметрия (рис. 369).
Рассмотрим две параллельные пря-
мые и часть плоскости между ними. Такую
геометрическую фигуру называют полосой.
Прямые, ограничивающие полосу, называют
её краями. Полоса, как и окружность, име-
ет бесконечно много симметрий — это и осе-
вые, и центральные, и переносные симметрии
(рис. 370).
Рис. 367
Рис.368
Рис.369
128.	Практические приложения
симметрий
Важным элементом декоративно-приклад-
ного искусства является орнамент — узор, осно-
ванный на повторе и чередовании составляющих
его элементов. Орнамент применяется в качестве
художественного оформления строений, интерье-
ра помещений, наносится на ткани, мебель, обои
324 Глава XIV
Рис. 371
и другие изделия, которые мы используем в быту
и практической деятельности.
Одним из видов орнамента является бор-
дюр. Бордюр — это линейный орнамент, пери-
одически повторяющийся рисунок на длинной
лепте (рис. 371, а-г). Если представить эту леп-
ту бесконечной, то бордюр может быть совмещён
сам с собой параллельным переносом.
При создании бордюров, кроме параллель-
ного переноса, используются осевая и централь-
ная симметрии.
Простейший бордюр построить просто: до-
статочно изобразить какую-нибудь фигуру и вы-
полнить параллельный перенос на заданный век-
тор влево и вправо вдоль полосы столько раз,
сколько необходимо.
Орнамент, повторяющийся внутри круга или
правильного многоугольника, называется розет-
кой (рис. 372, а, б). Розетка обладает поворотной
симметрией. Построить розетку можно следую-
щим образом: поделить круг на некоторое количе-
ство равных секторов; в одном из секторов задать
какую-нибудь геометрическую фигуру, а затем
выполнить поворот вокруг центра круга, который
сектор с фигурой отобразит на соседний сектор.
Паркет (замощение или мозаика) — бес-
конечное семейство многоугольников, покры-
вающее плоскость без просветов и перекрытий
(рис. 373, а, б). В паркетах наблюдаются разные
виды симметрий.
325
б)
Рис.372
а)

Преобразования
плоскости.
Движения
129.	Применение движений
к решению задач
Задача 1
На сторонах АС и ВС произвольного
треугольника АВС вне его построены ква-
драты ACDH и BCEF (рис. 374). Докажите,
что отрезки АЕ и DB равны и перпендику-
лярны.
Решение
При повороте с центром С на 90° по
часовой стрелке точки А и Е отображаются
соответственно на точки D и В (объясните
почему). Следовательно, отрезок АЕ отобра-
жается на отрезок BD. Это означает, что от-
резки АЕ и BD равны и угол между ними
равен углу поворота (см. задачу 1269).
Задача 2
Даны прямая р и точки А и В, лежащие но
одну сторону от неё. Докажите, что на прямой р
существует единственная точка М, такая, что
сумма расстояний AM и МВ имеет наименьшее
Скачан с vk.com/materiallOO
значение.
Решение
На прямой р требуется построить точку М
так, чтобы AM + МВ < АХ 4- ХВ выполнялось для
любой точки X прямой р, отличной от точки М.
Пусть X — произвольная точка пря-
мой р. Построим точку симметричную
ке В (рис. 375). Отрезки ХВ, и ХВ симме-
тричны относительно прямой р, поэтому
ХВ-ХВ{ (п. 45). Отсюда следует, что
АХ + ХВ = АХ 4- ХВГ Теперь мы можем лег-
ко найти такое положение точки X на пря-
мой р, при котором сумма АХ + ХВ} является
наименьшей. Пусть М — точка пересечения
отрезка АВ^ с прямой р. Если точка X
отлична от точки М, то в треугольни-
ке AXBj имеем; АХ + ХВ( > АВ Так как
АВХ = AM + MBто АХ + XBL > AM + MBL.
326 Глава XIV
Но ХВ' = ХВ и МВ,=МВ, поэтому АХ + ХВ>
> AM I МВ. Отсюда следует, что М — искомая
точка.
Итак, для построения точки М следует по-
строить точку В,, симметричную точке В относи-
тельно прямой /?, и построить отрезок АВ,. Этот
отрезок пересечёт прямую р в искомой точке М.
Задача 3
Даны два равнобедренных треугольника
АВС и A^Q, основания АВ и АаВа которых
лежат на одной прямой (рис. 376, а). Построй-
те прямую MN, параллельную основаниям тре-
угольников, так, чтобы отрезки этой прямой, за-
ключённые внутри треугольников, были равны.
Решение
Пусть X и Y середины оснований тре-
угольников АВС и AjBjCi. При параллельном пе-
реносе на вектор XY треугольник АВС отобража-
ется на треугольник А2В/?2 (рис. 376, б), сторо-
ны А^ и В2С2 которого пересекаются со сторо-
нами АХС| и В}СГ треугольника A^jCj в точках
М и Л7, которые и определяют искомую прямую.
Заметим, что задача не имеет решения,
если один из треугольников А^С] или А^В^С.^
оказался внутри другого.
Скачан с vk.com/materiallOO
Задачи
1271 Найдите симметрии а) параллелограмма; б) прямоугольника;
в) ромба; г) равнобедренной трапеции.
1272 Сколько осей симметрии имеет правильный п-угольпик?
1273 Найдите симметрии а) правильного пятиугольника; б) пра-
вильного шестиугольника; в) правильного п-угольника.
II реобра зоеа ни я
327 плоскости.
Движения
1274
1275
1276
1277
1278
1279
1280
1281
1282
1283
1284
1285
1
2
3
4
5
6
7
Приведите пример многоугольника, не имеющего симметрий.
Докажите, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии,
является параллелограммом.
Приведите примеры фигур, имеющих бесконечно много цен-
тров симметрии.
Существует ли многоугольник, имеющий ровно два центра
симметрии? Ответ обоснуйте.
Может ли многоугольник иметь две параллельные оси симме-
трии? Ответ обоснуйте.
Постройте фигуру, обладающую переносной симметрией, со-
ставленную из равных а) прямоугольных треугольников; б) ром-
бов; в) равнобедренных трапеций.
Постройте фигуру, обладающую поворотной симметрией,
составленную из равных а) равносторонних треугольников;
б) ромбов.
Через центр квадрата проведены две взаимно перпендикуляр-
ные прямые. Докажите, что отрезки прямых, заключённые
внутри квадрата, равны.
На прямой а даны три точки А, В и. С, причем точка В лежит
между точками А и С. По одпу сторону от этой прямой по-
строены равносторонние треугольники АВМ и BCN. Докажи-
те, что отрезки AN и МС равны, и найдите угол между HHM^aterialioo
Решите предыдущую задачу при условии, что точки А, В и
С являются вершинами треугольника, а равносторонние тре-
угольники АВМ и BCN построены внешним образом па его
сторонах АВ и ВС.
Постройте квадрат, если даны его центр и прямая, на которой
лежит одна из сторон квадрата.
Постройте квадрат, если даны его центр и две точки, лежащие
па прямых, содержащих параллельные стороны квадрата.
Вопросы для повторения к главе XIV
Объясните, что такое отображение плоскости па себя.
Докажите, что осевая симметрия является преобразованием
плоскости.
Докажите, что центральная симметрия является преобразова-
нием плоскости.
Что такое движение плоскости?
Докажите, что осевая симметрия является движением.
Является ли центральная симметрия движением?
Докажите, что при движении отрезок отображается на отрезок.
328 Глава XIV
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
1286
1287
1288
Докажите» что при движении треугольник отображается на
равный ему треугольник.
Объясните, что такое наложение.
Докажите, что при наложении различные точки отображают-
ся в различные точки.
Докажите, что наложение является движением плоскости.
Докажите, что любое движение является наложением.
Верно ли утверждение, что при движении любая фигура ото-
бражается на равную ей фигуру?
Объясните, какая точка называется неподвижной точкой пре-
образования.
Существуют ли неподвижные точки при осевой симметрии?
центральной симметрии?
Какое преобразование плоскости называется параллельным
переносом на данный вектор?
Докажите, что параллельный перепое является движением.
Какое отображение плоскости называется поворотом?
Докажите, что поворот является движением.
Что такое внутренняя симметрия фигуры?
Назовите внутренние симметрии равностороннего треугольни-
ка^ квадрата, окружности.	Скачан с vk.com/materiallOO
Какая фигура называется полосой? Сколько симметрий имеет
полоса?
Как называются орнаменты, при построении которых исполь-
зуется переносная симметрия?
Как называются орнаменты, при построении которых исполь-
зуется поворотная симметрия?
Дополнительные задачи
Найдите симметрии фигуры F, данной на
рисунке 377.
Даны два произвольных луча h и hL.
Можно ли утверждать, что существует
движение, при котором луч h отобража-
ется на луч hL?
Даны острый угол АВС и точка D внутри
него. Используя осевую симметрию, най-
дите на сторонах данного угла такие точ-
ки Е и F, чтобы треугольник DEF имел
наименьший периметр.
Рис. 377
Преобразования
плоскости.
Дниженим
329
1289 Медианы АА1? ВВ^ и СС, треугольника АВС пересекают-
ся в точке М. Точки А2, В2 и С2 являются соответствен-
но серединами отрезков ЛМ, ВМ и СМ. Докажите, что
ЛЛ1В1С { = ЛЛ2В2С2.
Решение
Так как М — точка пересечения медиан треугольника АВС,
то АМ=2МА,. Отсюда, учитывая, что точка Л2—середина
отрезка AM, получаем МАУ = МА >, т. е. точки Af и А2 сим-
метричны относительно точки М. Аналогично точки BL и В2,
а также точки Сх и С2 симметричны относительно точки М.
Рассмотрим центральную симметрию относительно точки М.
При этой симметрии точки Av В,, С, отображаются в точки
А:;, В2, С2, поэтому треугольник	отображается на тре-
угольник А2В.£г, и, следовательно, ЛА2В£2 = ДАдВдСр
1290 На сторонах АВ и CD параллелограмма
ABCD построены квадраты так, как пока-
зано на рисунке 378. Используя параллель-
ный перенос, докажите, что отрезок, соеди-
няющий центры этих квадратов, равен и
параллелен стороне AD.
1291*
На стороне АВ прямоугольника ABCD
построен треугольник ABS так, как показа-
но на рисунке 379: CCjJ. AS, DDt LBS. Ис-
пользуя параллельный перенос, докажите,
что прямые SK и АВ взаимно перпендику-
лярны.
Рис.378
1292
В окружность с центром О вписаны два равносторонних
треугольника ЛВС и ALBLCi, причём вершины обозначены
так, что направление обхода по дуге АВС от точки А к точ-
ке С совпадает с направлением обхода по дуге А]В1С1 от точки
А, к точке Сг Используя поворот вокруг точки О, докажите,
что прямые ААр ВВг и CCt либо проходят через точку С),
либо, пересекаясь, образуют равносторонний треугольник.
1293 Даны две пересекающиеся прямые и точ-
ка О, не лежащая ни на одной из них. Ис-
пользуя центральную симметрию, построй-
те прямую, проходящую через точку О,
так, чтобы отрезок этой прямой, отсекае-
мый данными прямыми, делился точкой О
пополам.
1294 Используя параллельный перенос, постройте
трапецию по сё основаниям и диагоналям.
Рис.379
330
Глава Лй'
1295 Даны параллельные прямые & и с и точка А, не лежащая ни
на одной из них. Постройте равносторонний треугольник АВС
так, чтобы вершины В и С лежали соответственно на прямых
Ъ и с. Сколько решений имеет задача?
Решение
Допустим, что задача решена и искомый треугольник АВС по-
строен (рис. 380, а). При повороте плоскости вокруг точки А
на 60° по часовой стрелке вершина В отображается в верши-
ну С, поэтому прямая Ъ отображается на прямую Ь,, проходя-
щую через точку С. Прямую Ь} легко построить, не пользуясь
точками В и С (см. задачу 1268). Построив прямую bL, нахо-
дим точку С, в которой прямая bL пересекается с прямой с.
Затем, построив окружность с центром А радиуса АС, нахо-
дим точку В. Па рисунке 380, а выполнено построение.
Задача имеет два решения, одно из которых получается при
повороте плоскости вокруг точки А на 60° по часовой стрелке
(Л А ВС па рисунке 380, а), а другое — при повороте плоско-
сти на угол 60е против часовой стрелки (ДАВ'С" на рисун-
ке 380, б).
П peotfpti jo ви н и я
плоскости.
Движгния
337
Глава XV
Преобразование подобия.
Подобие фигур
В этой главе мы продолжим изучать преобразования плоско-
сти. Но теперь нас будут интересовать те преобразования,
которые могут изменять линейные размеры фигуры. В главе
определяется понятие подобных многоугольников и доказыва-
ются теоремы об их периметрах и площадях. После этого ука-
зывается один из способов построения подобных многоуголь-
ников — гомотетия (центральное подобие). В заключение главы
вводится понятие подобия фигур произвольного вида и рассма-
тривается применение подобия, в частности гомотетии, к дока-
зательству теорем и решению задач.
Подобие многоугольников
130.	Представление о подобных
фигурах
При работе на компьютере нам приходится
обращаться с какими-либо графическими объек-
тами — фотографиями, рисунками, схемами, чер-
тежами. После вставки в документ графический
объект имеет свою границу — рамку, на которой
расположены направляющие по контуру (кружоч-
ки или квадратики), с помощью которых можно
изменять размеры объекта (рис. 381, а). Для из-
менения размеров объекта курсор мыши поме-
щают в одну из меток и при появлении двойной
<?	I
О-----О-----ч/	д) 1
Скачан с vk.com/materiallOO
332 Глава XV
стрелки перетаскивают границу в нужном на-
правлении. При этом пропорции изображения (от-
ношение ширины к высоте) могут быть сохране-
ны или нарушены. Если выбрана одна из угловых
меток на рамке, то объект можно уменьшить или
увеличить, сохраняя пропорции (рис. 381,6, о).
Если выбрана одна из меток па сторонах рамки,
то объект можно растянуть или сжать, нарушив
пропорции (рис. 381, а, д). Изменив размеры, объ-
ект можно повернуть, для этого используется мет-
ка над рамкой (рис. 381, е).
Преобразование объекта, сохраняющее про-
порции, даёт представление о подобных фигурах:
точкам одной фигуры сопоставляются точки дру-
гой фигуры так, что расстояния между соответ-
ственными точками этих фигур изменяются в одно
и то же число раз. На рисунках 381, б, в, е про-
порции исходного изображения (см. рис. 381, а)
сохранены, поэтому эти фигуры являются подоб-
ными.
Примером сопоставления точек подобных
фигур является проецирование киноленты на
экран с помощью кинопроектора: каждой точке
изображения на кинокадре сопоставляется точка
на экране, причём все расстояния увеличиваются
в одинаковое число раз.
>m/materiallOO
131.	Подобные многоугольники
В этой главе под термином «многоуголь-
ник» будем понимать только выпуклый много-
угольник (п. 46).
Многоугольники называются одноимённы-
ми, если они имеют одинаковое число углов, а
следовательно, и сторон.
Пусть Л1А2...Лл и В[В2...Вп — два одно-
имённых выпуклых многоугольника, при-
чём углы одного многоугольника соответ-
ственно равпы углам другого: /Д = Z.AX,
ЛВ2 = Z.A2, ... ,	= ZAn. В этом случае стороны
11реобра зова ние
подобия.
Подобие фигур
333
В}Вг и АдАг, В2В.3 и А2АЧ и т. д. будем
называть сходственными сторонами. Па ри-
сунке 382 изображены два четырёхугольни-
ка А1А2А3А1 и BjB^BjB,, причём ZB } = ХА},
ZB2 = ZA2, ZB3=ZA3, ХВ4 = ЛАи Сход-
ственными являются стороны BtB2 и АХА2,
В-,В3 и	и А.3А т, .В ,^В । и А. хУ1х.
Напомним, что отношением отрез-
ков АВ и AjBt называется отношение их
АВ
длин, т. е. - . Отрезки А{В^ и CLDL
пропорциональны отрезкам АВ и СВ, если
AXBX СхВх j-.	Ax/ix ,
—г=г= —*-4 При этом, если —r=i = «> то
АВ CD	АВ
будем писать Ат В , = kAB.
Многоугольник Fx называется подобным одно-
имённому многоугольнику F, если углы мно-
гоугольника Fl соответственно равны углам
многоугольника F, а их сходственные стороны
пропорциональны.
Число k, равное отношению сходственных
сторон многоугольников Fy и F, называется ко-
эффициентом подобия многоугольника Ft отно-
сительно многоугольника F или, коротко, коэф-
фициентом подобия многоугольников Fx и F. Так
как отношение длин отрезков — положительное
число, то k > 0.
Если многоугольник Ft подобен много-
угольнику F, то пишут: Ft ™ F или Ft & F, где
k — коэффициент подобия F3 относительно F.
Яспо, что если Ft <*> F с коэффициентом /г, то
F Ft с коэффициентом — (объясните почему).
k
На рисунке 382 ВтВ^ВДт <*> АХА2А3А|, где
h - -1—2- =	- Д3В4 - Д4Д1 - 2
Ат А, А, А, АхА4 А, А,
Заметим, что понятие подобия треугольни-
ков, введённое в 8 классе (п. 64), является част-
ным случаем подобия многоугольников.
Скачан с vk.com/materiallOO
334 Глава XV
Если два многоугольника равны, то оче-
видно, что их углы соответственно равны и сход-
ственные стороны равны. Поэтому два равных
многоугольника подобны с коэффициентом k = 1.
Справедливо и обратное утверждение, которое
мы примем без доказательства.
Теорема
Если два многоугольника подобны и коэффи-
циент подобия равен единице, то такие много-
угольники равны.
Другими словами, теорема утверждает,
что если у двух одноимённых многоугольни-
ков углы соответственно равны и сходствен-
ные стороны равны, то такие многоугольники
равны (рис. 383).
Замечание
Из курса геометрии 8 класса мы знаем,
что два треугольника подобны, если утлы одно-
го треугольника соответственно равны углам
другого, или если стороны одного треугольника
пропорциональны сторонам другого. Для произ-
вольных многоугольников аналогичные свой-
ства не верны. Например, прямоугольник и ква-
драт, изображённые на рисунке 384, а, не
подобны, хотя утлы их соответственно равны;
квадрат и ромб, изображённые па рисунке
384, 6, также не являются подобными, хотя и
имеют пропорциональные стороны.
ЕслиЕ, -F, toFj-F
Рис. 383
Рис.384
Преобразование
п одобия.
Подобие фигур
335
132.	Теоремы о периметрах и площадях
подобных многоугольников
Периметром многоугольника называется
сумма длин всех его сторон.
Теорема
Отношение периметров двух подобных много-
угольников равно коэффициенту подобия много-
угольников.
Доказательство
Пусть А1А2...Ап лэ BjB2...B„ с коэффици-
ентом k. Тогда AxA2-kBtB.2t А2А3= kB2B3....
A„Ai=kB„Bi-
Пользуясь этими равенствами, найдём от-
ношение периметров данных многоугольников:
Л-| Д2 + Д2 Д3 + ♦♦ + Дп Л-1 _ fefB] В2 4	4-... 4 В^Ву) _
Bj В 2 + В2 -83 4-... 4- Вп -В4	В2 В3 4-... 4- В„ В|
Теорема доказана.
Докажем теперь теорему о площадях по-
добных фигур.
Теорема
Отношение площадей двух подобных многоуголь-
ников равно квадрату коэффициента подобия.
Доказательство
Поскольку ход рассуждений не зависит
от числа сторон этих многоугольников, рассмо-
трим для определённости случай, когда п=5.
Пусть ArA24:iA4A5 со В^В^В.^В^В^ с коэффициен-
том k (рис. 385). По определению подобных мно-
гоугольников Ay А2 = В2,	А-2 Ая = kB2B2,
А3АЛ = кВлВ{, А4АЙ = &В4В5, ASA, = kB;tBv Разо-
бьём многоугольник ЛрАзАзА^Аэ на треугольни-
ки Др Д2, Д3, а многоугольник B1B2B3B^fB5 на
треугольники Д4, Д2 и Д 3, как показано на ри-
сунке 385.
Скачан с vk.com/materiallOO
336 Глава XV
Пользуясь вторым признаком подо-
бия треугольников, нетрудно доказать, что
д; & До Д2* Л Дг, Дз Л д3.
Действительно, Д^ ~ Д1 с коэффициен-
том /г, так как ZA1 = ZB1,
А А _ А А
В] в2 А; А
Далее: Д2 Л Д2, так как
= ZB1B3B4 (объясните почему),
А А  А<А) _
АВ3 В3В4
Z Ах А3 At —
Так же доказывается, что Д3 Л Д8.
Согласно теореме о площадях подобных
треугольников, доказанной в п. 65:
Рис. 385
А':. 1 —	1 ’	'2~kb 2»	з •
Складывая эти три равенства, получим:
А\2+ А\з= А (Вдг + Ах 2 + А\з)*
Учитывая известное свойство площадей (п. 54),
Скачан с vk.com/materiallOO
получим:
•Sa1A2A3A1A3 = ^25В|В2ВзЯ»В5 или
At Л*Л3 ЛзЛд _
Теорема доказана.
Задачи
1296 Шестиугольники ABCDEF и GHKLMN, изображённые на ри-
сунке 386, равны. Назовите их соответственные углы и сход-
ственные стороны.
Рис. 386
Подобие фигур
Рис. 388
1297 Докажите, что если для прямоугольников ABCD и
выполняются равенства АВ = А1Вг и BC=BtCi, то прямо-
угольники равны.
1298 Верпы ли утверждения: а) если стороны двух треугольников
соответственно равны, то треугольники равны; б) если у двух
выпуклых многоугольников стороны соответствен^дирак|^,|ГТ|рдгепа|1()о
многоугольники равны? Ответ обоснуйте.
1299 Четырехугольники ABCD и AiBtCtDlt изображённые на ри-
сунке 387, подобны. По данным рисунка найдите: а) коэффи-
циент подобия; б) ZAlt в) CD.
1300 Пятиугольники, изображённые на рисунке 388, подобны. По
данным этого рисунка найдите х, у, z, t, а, р.
1301 По данным рисунка 389, a-е выясните, подобны ли много-
угольники F и Fu Р и , R и Д.
338 Глава XV
1302
1303
1304
1305
Подобны ли многоугольники, изобра-
жённые на рисунке 390? Ответ обо-
снуйте.
Могут ли быть подобными многоуголь-
ники F и Fy, если: a) F — остроугольный,
а — тупоугольный треугольники;
б) F — равносторонний треугольник,
a F} — равнобедренный, но не равно-
сторонний треугольник; в) F — прямо-
угольник, a Fy — квадрат; г) F и F} —
прямоугольники; д) F и F, — пяти-
угольники; е) F — шестиугольник, а
F} пятиугольник. Ответ обоснуйте.
Треугольники АВС и А^С, подобны.
Длины сторон ВС и BjCj соответствен-
но равны 1,4 м и 56 см. Найдите отно-
шение периметров треугольников АВС
и j4। В^С j.
Периметр четырёхугольника MNPQ
относится к периметру подобного
Рис. 390
ему четырёхугольника M}N'P}Qy как 3 : 5. Длина стороны
MN=7 см, а длина PtQi на 5 см больше длины стороны
Найдите длину стороны PQ.	Скачан с vk.com/materia 1100
1306 Многоугольники F, и F2 подобны. Пусть Sj и S2 — их пло-
щади, a k — коэффициент подобия многоугольника Ft отно-
сительно F2. Используя теорему о площадях подобных много-
угольников, заполните таблицу.
«1	27 см2	640 см2		24 см2	
S2	3 см2		54 дм*	6 мм2	4а2 см2
k		2	2 3		v'o
1307 Длина стороны квадрата F равна а. Построен многоугольник
Ft, подобный многоугольнику F. а) Докажите, что много-
угольник F — квадрат, б) Найдите площадь многоугольни-
ка F±, если коэффициент подобия многоугольников F и Fv
равен /?.
1308 Площади подобных многоугольников равны 75 м2 и 300 м2.
Одна из сторон второго многоугольника имеет длину 9 м.
Найдите длину сходственной стороны первого многоуголь-
ника.
Пргобразова нис
подобия.
Подобие фигур
339
Преобразование подобия
133.	Гомотетия
Отметим на плоскости некоторую точку О и
возьмём любое число А’, отличное от нуля. Каж-
дой точке М плоскости, отличной от точки О,
поставим в соответствие точку М{ но следующе-
му правилу:
1)	точка Мг лежит на луче OAf, если k > О
(рис. 391, а), и точка Л1, лежит па продолжении
луча ОМ, если k < 0;
2)	OM1 = |A? ОМ (рис. 391, б).
Будем считать, что точка О соответствует
сама себе.
Замечание
Указанное правило можно коротко запи-
сать с помощью векторов в виде следующего ра-
венства: ОМА = k  ОМ (объясните почему).
При заданном соответствии каждая точка
плоскости оказывается сопоставленной некото-
рой единственной точке.
Такое соответствие определяет преобразо-
вание плоскости, которое называется гомотетией
или центральным подобием. Число k называется
коэффициентом гомотетии, а точка О — центром
гомотетии. Центр гомотетии является неподвиж-
ной точкой.
Рис. 392
340 Глава XV
Соответственные при гомотетии фигуры F^
и F называют гомотетичными.
На рисунке 392, а, б изображены гомоте-
тичные фигуры и F с центром гомотетии в
точке О и коэффициентом k = 3. Па рисунке
393, а, б изображены гомотетичные фигуры F, и
F с центром гомотетии в точке О и коэффициен-
г 1
TOM k --.
2
Если коэффициент гомотетии равен едини-
це, то все точки плоскости, а значит, и любой
фигуры F остаются неподвижными, т. е. фигура
переходит сама в себя. Если /г = —1, то каждая
точка фигуры F переходит в симметричную ей
точку относительно центра О, поэтому фигура Fx
получается центральной симметрией из фигу-
ры F (рис. 394). Другими словами, центральная
симметрия является частным случаем гомотетии
(когда коэффициент гомотетии равен 1).
Рис.393
134.	Свойства гомотетии
Сформулируем три основных свойства го-
мотетии.
1°. При гомотетии с коэффициентом, отличным
от единицы, прямая, проходящая через центр
гомотетии, переходит в себя, а прямая, не про-
ходящая через центр гомотетии, — в параллель-
ную ей прямую (рис. 395, а, б).
2°. Если при гомотетии с коэффициентом k кон-
цы отрезка АВ переходят в точки и В„ то
347
а)
Преобразование
подобия,
Подобие фигур
отрезок АВ переходит в отрезок AjBp причём
A,Bt=|fe| АВ (рис. 396).____________________
3°. При гомотетии с коэффициентом k окруж-
ность с центром С и радиусом г переходит в
окружность с центром и радиусом \kr, где
Ci — точка, в которую переходит точка С.
Рис.396
Докажите эти свойства самостоятельно.
Из свойств 1” и 2° следует, что при гомоте-
тии луч переходит н луч, полуплоскость — и по-
луплоскость, угол — в равный ему угол.
Используя перечисленные свойства, дока-
жем теорему о гомотетичных многоугольниках.
Теорема
При гомотетии с коэффициентом k многоугольник
переходит в подобный ему многоугольник, причём
коэффициент подобия многоугольников равен |&|.
Доказательство	Скачан с vk.com/materiallOO
Пусть АуЛ^.А,, — произвольный много-
угольник. Из свойства 2° следует, что при гомоте-
тии с коэффициентом к многоугольник AjA-^.A^
переходит в многоугольник В1В2...В„, причём
= 1^1 -^-1^2» -^2^3 = 1^1 ^•2'^3’ — » ВпВ. = 1^’1
(рис. 397 для случая, когда п = 4).
При гомотетии угол переходит в равный
ему угол, поэтому
ZB, = ZAV zb3 = za2.....ZB„ = ZA„.
Из полученных равенств заключаем, что
В}В2...Вп со AtA2...A„. Теорема доказана.
135.	Подобие произвольных фигур
Введём теперь понятие подобия произволь-
ных фигур.
Фигура Ft называется подобной фигуре F,
если она равна некоторой фигуре F*, гомотетич-
ной фигуре F (рис. 398).
342 Глава XV
Рис. 397	Рис. 398
Если k — коэффициент гомотетии фигур
F* и F, то положительное число |Л| называется
коэффициентом подобия фигуры Рл относитель-
но фигуры F (или, коротко, коэффициентом по-
добия фигур Fl и F).
Если фигура F, подобна фигуре F, то пи-
шут: F1 j F с коэффициентом k или Fy £ F, где
k коэффициент подобия.
Подобие фигур обладает следующими свой-
ствами:	1
а)	если F-I Л F, то F & F,;
б)	если Рг Л Fх и F) <х> F, то F2 F
(рис. 399).
Рис.399
Докажите эти свойства самостоятельно.
Из определения подобия фигур следует, что
если фигура Fv гомотетична фигуре F с коэффи-
циентом k, то Fi &F с коэффициентом |А’|. Таким
образом, гомотетичные фигуры представляют со-
бой частный случай подобных фигур.
Пользуясь свойствами гомотетии (п. 134),
а также свойствами равенства фигур, можно до-
казать, что фигурой, подобной прямой (отрезку,
лучу, полуплоскости), является прямая (отрезок,
луч, полуплоскость). Фигурой, подобной углу,
является угол, равный данному. Из свойства ЗР,
п. 134 также следует, что фигурой, подобной
окружности, является окружность.
Примером подобных фигур произвольной
формы являются схемы планировки одной и той
Прсобразова н ас
подобия.
Подобие фигур
343
f	\
I Балкон t
Рис.400
Спальня
Балкон
же квартиры, выполненные для рекламного бу-
клета и для стенда на выставке (рис. 400).
Замечание
Из теоремы п. 134 следует, что если много-
угольники подобны согласно общему определению
подобия фигур, то они подобны и по определению,
данному в п. 131. Справедливо и обратное: если
многоугольники подобны по определению п. 131,
то они подобны и по общему определению.
Скачан с vk.com/materiallOO
Задачи
1309 Отметьте пять точек и обозначьте их буквами О, А, В, С, D.
а) Постройте точки Alt Во Си Dx так, чтобы при гомотетии
с центром в точке О и коэффициентом 2 точки Л, В, С и В
перешли соответственно в точки Ар В,, Q и Dt; б) выполни-
те предыдущее задание для гомотетии с центром в точке О и
коэффициентом fe = -3.
1310 Отметьте четыре точки: О, Ат, В,, С,. а) Постройте точки А,,
В15 С так, чтобы при гомотетии с центром в точке О и коэффи-
циентом k = 3 точки А, В и С перешли соответственно в точки
А1Э Вт, Ст; б) выполните предыдущее задание для гомотетии с
центром в точке О и коэффициентом А’, равным -2; 1 и — .
3
1311 Отметьте точку О и начертите прямую I так, чтобы О f I.
Постройте прямую, в которую переходит прямая I при гомо-
тетии с центром в точке О и коэффициентом k, если: a) k = 2;
б) k = —0,5; в) k — — 3; г) А = 3.
344 Глава XV
1312
1313
1314
1315
Отметьте точку О и начертите окружность произвольного ра-
диуса г с центром в точке С, отличной от точки О. Построй-
те окружность, в которую переходит данная окружность при
гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k, если:
а) & = —1; б) А? = 1,5; в) Л = 3.
Перечертите рисунок 401, а-г в тетрадь и постройте тре-
угольники, в которые переходят данные треугольники, при
гомотетии с данным центром О и коэффициентом: а) А АВС,
центр гомотетии О, k = 3; б) AXYZ, центр гомотетии Z, k = ;
в) APQP, центр гомотетии Р, Л = -2; г) ALMN, центр гомоте-
тии Е — середина отрезка LM, k -
1
2 ’
Перечертите фигуры, изображённые на рисунках 402, a-г, в
тетрадь и постройте фигуры, в которые они переходят нри го-
мотетии с центром в точке А и /? = 2.
Докажите, что при гомотетии угол переходит в равный ему
угол.
1316 Докажите, что каждая фигура подобпа себе самой.
1317 Докажите, что если F^ F с коэффициентом k, то F FA с
1 1 1
коэффициентом —.
1318 Докажите, что если фигура Р2 подобна Fy, а фигура F, подоб-
на фигуре Р, то фигура Р2 подобна фигуре F.
1319 Пусть при гомотетии с & = —3 треугольник АВС переходит в
треугольник	а параллелограмм MWPQ — в параллело-
грамм AfpV1P1Q(. Можно ли утверждать, что /\АВС^ ЛА-^В-^С^
и MNPQ ™ MiNiPfQi? При утвердительном ответе найдите
коэффициент подобия.
Преобразование
подобия.
Подобие фигур
1320 Выясните, что представляет собой фи-
гура подобная фигуре F, если F яв-
ляется: а) трапецией; б) парой пере-
секающихся под углом 30° прямых.
1321 Гомотетия задана центром О и двумя
соответственными точками А и А,.
Для данной точки М постройте соот-
ветственную ей при заданной гомоте-
тии точку Му (рис. 403, а).
Решение
Пусть точка М не лежит на прямой
ААХ. По определению гомотетии точка
Му лежит на прямой ОМ. Для постро-
ения точки М} на этой прямой заме-
тим, что, согласно свойству 1°, прямая
AM переходит в параллельную ей пря-
мую АуМу. Поэтому если через точку
А] проведём прямую, параллельную
прямой AM, то она пересечёт прямую
ОМ в искомой точке ML (рис. 403, б).
Если точка М лежит па прямой АА1?
то отметим произвольную точку В, не
О А, и построим указанным выше способом гомотетичную ей
точку Ву. Затем, пользуясь точками В и Ву, пос^рщцм «WaterialiOO
Му (рис. 403, в).
1322 Начертите параллелограмм ABCD отметьте на плоскости точ-
ки О и Ау так, чтобы А,, О и А лежали на одной прямой. Рас-
смотрите гомотетию с центром в точке О, при котором точка
А переходит в точку Aj. Используя свойства гомотетии, по-
стройте параллелограмм AyByCyDy, в которой переходит па-
раллелограмм ABCD при заданной гомотетии.
Рис.403
лежащую на прямой
1323
Гомотетия задана центром О и двумя соответственными точ-
ками А и Ах. Для данной
точку Л, постройте соответ-
ствующую ей при заданной
гомотетии окружность (рис.
404, а).
Решение
Пусть С — центр данной
окружности радиуса г, а
Су — центр искомой окруж-
ности радиуса гд. Согласно
свойству 3° п, 134 точки С
и Q — соответственные точ-
ки при заданной гомотетии с
окружности, проходящей через
Рис. 404
346 Глава ЛИ
центром О, поэтому, пользуясь данными точками А и Д, лег-
ко построить точку С2 (см. задачу 1321). Окружность, гомо-
тетичная данной окружности, проходит через точку (объ-
ясните почему), поэтому искомой будет окружность с центром
С, и радиусом С^А-! (рис. 404, б).
1324
U Начертите окружность с центром С и произвольным ради-
усом г и постройте фигуру, в которую переходит эта окруж-
ность при гомотетии с центром в точке О и коэффициен-
том /?, если: а) О принадлежит данной окружности, Л = -;
1 2
б) О принадлежит данной окружности, k = ——; в) О не при-
надлежит данной окружности, /? = 3.
§3
Применение подобия фигур
к доказательству теорем
и решению задач
Подобие и его частный случай — гомоте-
тия — часто используются для доказательства те-
орем и решения задач. В таких теоремах и зада-
чах, как правило, речь идёт об отношении длин
соответственных отрезков в подобных (в частно-
сти, гомотетичных) фигурах. Равенство отноше-
ний длин отрезков может быть заменено равен-
ством произведении в соответствии с основным
свойством пропорции: —=—<=>ad -be.
b d
136.	Применение подобия
к доказательству теорем
Пусть хорды АВ и CD окружности пере-
секаются в точке М. Отрезки МА и МВ, а так-
же отрезки МС и MD называются отрезками
пересекающихся хорд Л В и CD соответственно
(рис. 405).
Докажем теорему о произведении отрез-
ков пересекающихся хорд окружности.
Скачан с vk.com/materiallOO
Рис. 405
Преобразование
подобия.
Подобие фигур
Теорема
Если две хорды окружности пересекаются, то
произведение отрезков одной хорды равно про-
изведению отрезков другой хорды.
Доказательство
Пусть хорды АВ и CD окружности пере-
секаются в точке М (рис. 406). Докажем, что
МА • МВ = МС • МВ.
Рассмотрим треугольники АМС и DMB и
докажем, что они подобны. Действительно, углы
1 и 2 равны, так как они вписанные в окружность
и опираются на одну и ту же дугу. Углы 3 и 4
равны как вертикальные. По первому признаку
подобия треугольников ААМС со ADMB. Отсюда
МА мс
следует, что 4— = ——^, или МА • МВ=МС • MD.
md м а
Теорема доказана.
Пусть через точку М, лежащую вне окруж-
ности, проведена секущая, пересекающая окруж-
ность в точках А и В. Отрезок АВ является хор-
дой окружности. Отрезки МА и МВ называют
отрезками секущей. Если через точку М прове-
дспа касательная МК к окружности (К — точка
касания), то отрезок МК называют отрезком ка-
сательной (рис. 407).
Докажем теорему о квадрате отрезка каса-
тельной к окружности.
Скачан с vk.com/materiallOO
МА • МВ ~ МС • Ml)
Рис. 406
Рис. 407
348 Глава XV
Теорема
Если через внешнюю точку к окружности прове-
дены касательная и секущая, то квадрат отрез-
ка касательной равен произведению отрезков
секущей.
Доказательство
Рассмотрим треугольники МКА и МВК
(см. рис. 407) и докажем, что они подобны. Дей-
ствительно, углы 1 и 2 равны, так как каждый из
них измеряется половиной дуги АК (Z1 впи-
санный в окружность и опирающийся на дугу АК,
a Z2 — угол между касательной к окружности и
хордой). Угол 3 — общий угол этих треуголь-
ников. По первому признаку подобия треугольни-
ков АМКА ™ /ХМВК. Отсюда следует, что
= -7777, или МК^МА -МВ.
МВ МК
Теорема доказана.
Следствием доказанной теоремы является
теорема о произведении отрезков секущих.
Теорема
МА- МВ — МА ' МВ,
* Скачан с VK.com/materiallOO
Рис.408
Если через точку М, лежащую вне окружности,
проведены две секущие, то произведение отрез-
ков одной секущей равно произведению отрез-
ков другой секущей (рис. 408).
Докажите эту теорему самостоятельно.
137.	Применение подобия
к решению задач
Задача 1
Докажите, что множество середин всех
хорд окружности с центром С и радиусом г, один
конец которых совпадает с данной точкой А этой
окружности, есть окружность, построенная на
отрезке АС как па диаметре (рис. 409).
349
Преобра joe а н и с
подобия.
Подобие фигур
Решение
При гомотетии с центром в точке А и коэф-
фициентом Л = у любая точка X окружности с
2
центром С и радиусом г перейдёт в точку —
середину хорды АХ. По свойству 3? п. 134 при
указанной гомотетии окружность с центром С и
радиусом г переходит в окружность с центром Ct
в середине отрезка АС и радиусом ri= „г’ '^та
окружность и является искомым множеством то-
чек (см. рис. 409).
Рассмотрим теперь пример задачи на по-
строение, при решении которой удобно приме-
нять гомотетию. Отметим общий подход к ре-
шению таких задач: сначала строят фигуру,
удовлетворяющую только части требований, а за-
тем эту фигуру с помощью подобия (гомотетии)
преобразуют в искомую фигуру, для которой вы-
полнены уже все требования.
Задача 2
Даны угол hk и точка А внутренней обла-
сти этого угла. Постройте окружность, проходя-
щую через точку А и касающуюся сторон угла.
Решение
Пусть О — вершина угла hk, А — данная
точка (рис. 410, а). Допустим, что задача реше-
на и F — искомая окружность. При гомотетии
с центром в точке О и любым коэффициентом
k > 0 окружность F перейдёт в окружность ,
которая, очевидно, будет касаться сторон угла
hk. Точка А перейдёт в одну из точек пересече-
ния луча О А с окружностью F,: А, или А2 (на
рисунке 410, а точка А переходит в точку А,).
Ясно, что при гомотетии с центром в точке О
и коэффициентом - окружность FL перейдёт в
k
окружность F. Отсюда вытекает следующий спо-
соб решения задачи.
Строим произвольную окружность F}, ка-
сающуюся сторон угла hk, и находим точки А(
350
Рис. 409
Скачан с vk.com/materiallOO
Глава XV
и А2 пересечения луча О А с этой окружностью.
Далее строим окружность F, в которую перехо-
дит окружность при гомотетии с центром в
точке О, переводящей одну из точек Д или А2
в точку Л (см. задачу 1323). Окружность F — ис-
комая. Построение выполнено на рисунке 410, б.
На этом рисунке т — биссектриса угла hk, —
произвольная её точка, СЛН\ _1_ h и АС || AjC,.
Задача всегда имеет два решения, так как
можно рассматривать две гомотетии: одну, при
которой точка А] переходит в точку А, дру-
гую — при которой точка А2 переходит в точ-
ку Л. На рисунке 410, б второе решение изобра-
жено
Скачан с vk.com/materiallOO
штриховой линией.
Задачи
1325 Хорды Л В и CD пересекаются в точке Е. Найдите ED, если:
а) Л Я =5, НЕ = 2, СЕ = 2,5; б) ЛЕ = 16, BE = 9, CE = ED;
в) АЕ = 0,2, BE = 0,5, СЕ = 0,4.
1326 Диаметр AAj окружности перпендикулярен к хорде ВВ{ и пе-
ресекает её в точке С. Найдите BBV если АС = 4 см, CAq = 8 см.
1327 Пользуясь теорией об отрезках пересекающихся хорд, докажи-
те, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки
окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для от-
резков, па которые основание перпендикуляра делит диаметр.
1328 В треугольнике АВС сторона АВ равна 6, а медиана, прове-
дённая к этой стороне, равпа 4. Найдите длину общей хорды
двух окружностей, каждая из которых проходит через точ-
ку С и касается АВ, причём одна касается в точке А, а дру-
гая — в точке В.
1329 Через точку А проведены касательная АВ (В — точка касания)
и секущая, которая пересекает окружность в точках С и D. Най-
дите CD, если: а) АВ = 4 см, АС = 2 см; б) АВ = <5 см, AD = 10 см.
Преобразование
vJ I подобия.
Подобие фигур
1330
___ Через точку М — внешнюю относительно окружности
с центром О и радиусом Я, проведена секущая, пересекаю-
щая окружность в точках А и В. Докажите, что МА-МВ =
=МО* - FP
Через точку М — внутреннюю относительно окружности с
центром О и радиусом /?, проходит хорда АВ. Докажите, что
МА • MB = R2- МО2.
1331
1332 Две окружности пересекаются в точках А и В. На прямой АВ
взята точка К — внешняя относительно данных окружностей.
Через точку К проведены две секущие т и I так, что m пере-_________
секает одну окружность в точках С и D, а I пересёй^т другую' ” d ‘
окружность в точках Е и F. Докажите, что КС • KD = КЕ • KF.
1333 На клетчатой бумаге с клетками 1x1 см изображены окруж-
ности и связанные с ними хорды, секущие или касатель-
ные (рис. 411). Найдите: а) длины отрезка МА секущей и
хорды АВ (рис. 411, а); б) длину отрезка касательной AM
(рис. 411, б); в) длипу отрезка AM хорды (рис. 411, в).
1334 В остроугольный треугольник АВС впишите квадрат PQRS
так, чтобы вершины Р и Q принадлежали стороне АС, а вер-
шины Р и S — соответственно сторонам ВС и ВА (рис. 412).
1335 В треугольник АВС впишите прямоугольник PQRS, подобный
прямоугольнику	так, чтобы вершины Р и Q принад-
лежали стороне АС, а вершины R и S — соответственно сторо-
нам ВС и В А,
1336 Даны угол hk и точка А, принадлежащая внутренней области
этого угла. Постройте треугольник PQR, подобный данному
треугольнику PiQiRit так, чтобы Р € A, Q е h, Rehn А при-
надлежала отрезку QR (рис. 413).
1337 Дапа прямая I и точка О, по лежащая па пей. Используя го-
мотетию с центром в точке О, докажите, что множество сере-
дин всех отрезков ОХ, где X — любая точка прямой I, есть
прямая, параллельная прямой I.
352 Глава XV
Рис.412
1338 Даны прямая I и точка О, не лежащая на ней. Пусть X лю-
бая точка прямой Z. Используя гомотетию с центром в точ-
ке О, докажите, что множество точек, делящих отрезок ОХ в
отношении 1 : 3, считая от точки О, есть прямая, параллель-
ная прямой I.
1339 Через данную точку А окружности проведены всевозможные
хорды. Используя гомотетию с центром в точке А, докажи-
те, что множество точек, делящих эти хорды в отношении
1 : 3, считая от точки А, есть окружность. Укажите положе-
ние центра этой окружности.	Скачан с vk.com/materialiOO
1340 Пусть М — точка, делящая медиану АА, треугольника АВС в
отношении 2:1, считая от вершины, — середина стороны
АС треугольника. Докажите, не используя свойство медиан,
что при гомотетии с центром в точке М и коэффициентом
/? = -- отрезок АВ переходит в отрезок А.В., причём точка А
2
переходит в точку Ар а точка В — в точку BL.
1341 Пользуясь предыдущей задачей, докажите теорему о точке
пересечения медиан треугольника: три медианы треугольника
пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану
в отношении 2:1, считая от вершины.
Вопросы для повторения к главе XV
1	Дайте определение подобных многоугольников.
2	Что называется коэффициентом подобия двух многоугольников?
3	Сформулируйте теорему о равенстве подобных многоугольни-
ков.
4	Сформулируйте и докажите теорему о периметрах подобных
многоугольников.
— gj Преобразование
vJj подобия.
Подобие фигур
5	Сформулируйте и докажите теорему о площадях подобных
м н о гоугол ьни ков.
6	Какие две фигуры называются гомотетичными (центрально-
подобными)?
7	Что мы понимаем под центром гомотетии и коэффициентом
гомотетии двух фигур? Может ли коэффициент гомотетии
быть отрицательным ?
8	Что представляет собой гомотетия с коэффициентом к, если:
a) k = 1, б) Л = —1?
9	Сформулируйте основные свойства гомотетии.
10	Верно ли, что при гомотетии окружность переходит в окруж-
ность?
11	Можно ли утверждать, что при гомотетии угол переходит в
равный ему угол?
12	Сформулируйте и докажите теорему о гомотетии многоуголь-
ников.
13	Какие две фигуры называются подобными?
14	Что мы понимаем под коэффициентом подобия? Может ли ко-
эффициент подобия быть отрицательным числом?
15	Сформулируйте основные свойства подобия фигур.
16	Гомотетия задана центром О и двумя соответственными точ-
ками А и Объяспитс, как построить фигур^кР’ан£,д^6??^21а<’ег‘а1100
тичную данной фигуре F, если фигура F является: а) точкой;
б) многоугольником; в) окружностью.
17	Сформулируйте и докажите теорему о произведении отрезков
пересекающихся хорд окружности.
18	Сформулируйте и докажите теорему о квадрате отрезка каса-
тельной к окружности.
19	Сформулируйте и докажите теорему о произведении отрезков
секущих.
20	Докажите, что середины всех хорд окружности, один конец
которых совпадает с данной точкой, есть окружность.
21	Объяспитс, как построить окружность, которая проходит че-
рез данную внутреннюю точку угла и касается сторон этого
угла.
Дополнительные задачи
1342 При данном движении каждая из двух точек А и В отобража-
ется на себя. Докажите, что любая точка прямой Л В отобра-
жается на себя.
354 Глава XV
1343 При данном движении каждая из
вершин треугольника АВС отобра-
жается па себя. Докажите, что лю-
бая точка плоскости отображается
на себя.
1344 Докажите, что два прямоугольника
равны, если: а) смежные стороны
одного прямоугольника соответ-
ственно равны смежным сторонам
другого; б) сторона и диагональ од-
ного прямоугольника соответствен-
но равны стороне и диагонали дру-
гого.
1345 На каждом из рисунков 414, а и б
изображены два подобных много-
угольника. Найдите х, у, 2, и. и (3.
1346 В треугольник АВС вписан парал-
лелограмм АРУМ так, как пока-
зано на рисунке 415. Известно, что
АС =32 см, АВ =24 см, а стороны
параллелограмма относятся к друг
другу как 4:3. Определите длины
сторон параллелограмма.
1347 На рисунке 416 ABCD — парал-
лелограмм. По данным этого ри-
сунка найдите отношение площа-
дей: а) треугольников DPQ и АРВ;
б) треугольников DPQ и CBQ.
1348 Дан треугольник АВС. Постройте
треугольник А^Сх, подобный тре-
угольнику АВС, площадь которо-
го в 2 раза больше площади тре-
угольника ЛВС.
1349 Дан квадрат ABCD, площадь кото-
рого равна S. Постройте квадраты,
площади которых равны: a) -S;
1	4
б) -8; в) 38.
9
1350 На прямой отмечены точки на
одинаковом расстоянии друг от
друга (рис. 417). Найдите коэффи-
циент k гомотетии, если известно,
г	Скачан с vk.com/materiallOO
Рис.414
Рис.415
Рис.416
—•	•-----•----•----• » » •-------------•-----•-
Рис. 417 м	N	Р	Q	R
П реобрамван ие
подобия.
Подобие фигур
355
1351
1352
1353
1354
1355
1356
1357
1358
1359
1360
1361
что: а) точка /V переходит в точку Р и М — центр гомотетии;
б) точка Q переходит в точку N и Р — центр гомотетии; в) точ-
ка М переходит в точку R и N — цептр гомотетии; г) точка М
переходит в точку Q и В — центр гомотетии.
Начертите два неравных отрезка АВ и AjBj, лежащих на па-
раллельных прямых. Постройте центр такой гомотетии, при
котором отрезок АВ переходит в отрезок Ат В,. Сколько реше-
ний имеет задача?
Решите предыдущую задачу для случая, когда
Сколько решений имеет задача?
Пусть при некоторой гомотетии точки Л, В и С переходят со-
ответственно в точки А,, В] и Cv Докажите, что если точка В
лежит между точками А и С, то точка BL лежит между точка-
ми Л L и Сх.
Пользуясь предыдущей задачей, докажите, что если при не-
которой гомотетии отрезок АВ переходит в отрезок AjBj, то
середина отрезка Л В переходит в середину отрезка А^Вр
Пусть центр гомотетии О лежит на данной окружности. Дока-
жите, что данная окружность и та, в которую она переходит
при гомотетии с цептром в точке О, имеют в точке О общую
касательную.
В трапеции с основаниями MN и PQ диагонали МР и NQ пе-
ресекаются в точке О. Используя предыдущую зэяагшу,у|да»юйна1епа1100
жите, что окружности, описанные около треугольников MNO
и PQO, имеют общую касательную в точке О.
Используя гомотетию с центром в точке пересечения медиан
треугольника АВС, докажите, что радиус окружности, опи-
санной около треугольника АВС, в 2 раза больше радиуса
окружности, описанной около треугольника с вершинами в
серединах сторон АВ, ВС и С А.
Пусть точка О — точка пересечения прямых, содержащих бо-
ковые стороны данной трапеции. Используя гомотетию с цен-
тром в точке О, докажите, что точка О лежит на прямой, про-
ходящей через середины оснований трапеции.
Дана окружность О радиуса г, точка Р окружности и хорда
АВ. Постройте хорду РХ так, чтобы её середина принадлежа-
ла хорде АВ.
В угол вписаны две окружности, одна из которых касается
сторон угла в точках М и Лт, а другая — в точках Р и Q. До-
кажите, что эти окружности на прямой MQ отсекают равные
хорды.
В окружности проведён диаметр АВ. Через точку А и про-
извольную точку М этой окружности проведена прямая,
пересекающая в точке К касательную к окружности в точ-
356 Глава XV
ке В. Докажите, что произведение
AM  АК не зависит от выбора точ-
ки М на окружности.
1362 На рисунке 418 ABCD — паралле-
лограмм, Р и Q — середины сторон
AD и ВС, Докажите, что: а) при го-
мотетии с центром в точке D и k = 2
точка К переходит в точку L; б) при
гомотетии с центром в точке В и
k = 2 точка L переходит в точку К.
1363 По данным рисунка 418, пользу-
ясь предыдущей задачей, докажи-
те, что ВК : KD = 2:1.
1364 На рисупкс 419 точки Р и С, а
также В и Q симметричны относи-
тельно биссектрисы АХ угла ВАС.
Известно, что АВ = 5, АС — 3. Ис-
пользуя гомотетию с центром в
точке D пересечения отрезков PQ
и ВС, докажите, что CD = — .
1365 Дана окружность О радиуса г и точка А плоскости. Докажите,
что множество середин отрезков AM, где М — любая точ^са^. .
окружности О радиуса г, есть окружность. Укажите положе-
ние центра этой окружности и найдите её радиус.
1366 Докажите, что при гомотетии с центром в точке пересечения
медиан треугольника и коэффициентом k = -2 серединные
перпендикуляры к сторонам треугольника переходят в пря-
мые, содержащие высоты этого треугольника.
1367. Докажите, что центр описанной окружности, цептроид и орто-
центр треугольника лежат на одной прямой (прямая Эйлера).
Задачи повышенной трудности
Задачи к главе X
1368 Докажите утверждения об основных свойствах умножения
вектора па число (п. 91).
Решение
1.	Докажем, что для любых чисел I и любого вектора а
справедливо равенство (kl)a = k(la). Если а = 0, то справедли-
вость этого равенства очевидна. Пусть Имеем | (/г/) а | =
= | kl 11 а | = | k 111\ | а | = | k 11 la | = | k (la) |.
Задачи повышенной
трудности
Далее, если то (AZ) a tt а и /г (la) tt и; если же /г/<0, то
(A’Z) a 11 а и к (la) 11 а. Ив том и в другом случае (kl) a tt к (la).
—>	—*
Следовательно, (kl) a = k (la).
2.	Докажем, что для любого числа k и любых векторов а и b
справедливо равенство к (а + b) = ка + kb.
Если & = 0, то справедливость этого равенства очевидна.
Пусть k 0.
Рассмотрим случай, когда векторы а и Ь не коллинеарны (слу-
чай а || b рассмотрите самостоятельно). Отложим от какой-ни-
будь точки О векторы ОАк = а и О А - ka, а от точек At и А — век-
торы ДВ^Ь и АВ = кЬ (рис. 420, а, (5). Треугольники ОДВ(
и О АВ подобны с коэффициентом подобия | k . Следовательно,
ОВ = кОВ} = k (а + Ъ). С другой стороны, ОВ — О А + АВ = ка -I- kb.
Итак, k (а -I- Ь) = ка + kb.
3.	Докажем, что для любых чисел k, I и любого вектора а
справедливо равенство (к + Z) а = ka + la. Если k = I = 0, то спра-
ведливость этого равенства очевидна. Пусть хотя бы одно из
чисел k, I отлично от нуля. Для определённости будем счи-
тать, что k >|Z| и, следовательно, НОи — <1.
k
Рассмотрим вектор а + —а. Очевидно, (а 4- —a) t* а. Далее,
k	k
Скачан с vk.com/materiallOO
— а '| = | а | + —| а | = [ 1 +
k 1 1 1 k 1 ( k
I а I-
I a +
Слсдоватсльпо, согласно определению произведения вектора
на число, а + — а = 1 + — |а. Умножая обе части этого равен-
ства на А, получим, что справедливо равенство ка + 1а = (к + 1) а.
Рис. 420
Задачи повышенной
трудности
358
1369
1370
1371
1372
1373
1374
1375
1376
1377
Даны четырёхугольник M7VPQ и точка О. Что представляет
------------------------------------"" -------
собой данный четырехугольник, если CW — ОМ = OP - OQ?
Даны четырёхугольник ABCD и точка О. Точки Е, F, G и Н
симметричны точке О относительно середин сторон АВ, ВС,
CD и DA соответственно. Что представляет собой четырёх-
угольник EFGH'i
----------------------------------------------> >
Дан треугольник АВС. Докажите, что вектор - —+ 71 ( на-
|ДВ£ |АС|^
правлен вдоль биссектрисы угла А, а вектор -	---—
\ЛВ | |АС |
вдоль биссектрисы внешнего угла при всршипс А.
Докажите следующее утверждение: три точки А, В и С ле-
жат на одной прямой тогда и только тогда, когда существу-
ют числа k, I и т, одновременно не равные нулю, такие, что
k + 1 + tn = 0 и для произвольной точки О выполняется равен-
ство kOA + ЮВ + тОС = 0.
Используя векторы, докажите, что середины диагоналей че-
тырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих
середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.
Биссектрисы внешних углов треугольника АВС при	rnateriallOO
А, В и С пересекают прямые ВС, С А и АВ соответственно в
точках Ап В-i и Cv Используя векторы, докажите, что точки
Aj, В4 и С| лежат на одной прямой.
Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты
неравностороннего треугольника Л ВС, а О — центр описанной
около этого треугольника окружности. Используя векторы,
докажите, что точка G пересечения медиан треугольника при-
надлежит отрезку НО и делит этот отрезок в отношении 2:1,
тг	HG п
считая от точки Н, т. е. —— = 2.
Задачи к главе XI
Вершины четырёхугольника ABCD имеют координаты
В(х2;у2), С(х3;у3) и D(x4;y4). Докажите, что этот
четырёхугольник является параллелограммом тогда и только
тогда, когда -I- = х2 4- х4 и уу -I- у.л = у2 + ул.
Даны две точки A(x,;i/|) и В (х2; у2). Докажите, что коорди-
наты (х; у) точки С, делящей отрезок АВ в отношении /с
(т. е. = Л), выражаются формулами х = - । У =	5 •
Задачи повышенной
359 трудности
1378
1379
1380
1381
1382
1383
1384
1385
1386
1387
1388
Из физики известно» что центр тяжести однородной треуголь-
ной пластинки находится в точке пересечения медиан. Найди-
те координаты центра тяжести такой пластинки, если коорди-
наты её вершин равны: (х,;	(х2;	(х^ y:i).
Вершины треугольника АВС имеют координаты А (-3; 0),
В (0; 4), С (3; 0). Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в
точке I). Найдите координаты точки D.
В треугольнике АВС: АС = 9см, ВС = 12 см. Медианы AM и
BN взаимно перпендикулярны. Найдите АВ.
Найдите координаты центра тяжести системы трёх масс 7П|,
т2 и т3, сосредоточенных соответственно в точках АДх^^),
A2(x2;i/2),	(х3; ул).
В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точ-
ку М, для которой сумма её расстояний от точек А и В имеет
наименьшее значение:
а)	А(2;3), В (4; -5);
б)	А (-2;4), В (3; 1).
Докажите, что:
а)	уравнение Ах -I- By + С = 0, где А и В одновременно нс равны
нулю, является уравнением прямой;
б)	уравнение х2 — ху — 2 = 0 не является уравнением окружности.
Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных
уравнениями (х — I)2 + (у - 2)2 = 4 и х2 + у2 = 1, И2к®ычи1влитеа1епа1100
длину их общей хорды.
Даны три точки А, В, С и три числа а, {3, у. Найдите мно-
жество всех точек М, для каждой из которых сумма
(1АМ2 + [\ВМ2 + уСМ2 имеет постоянное значение, если:
а) а + р + 7*0;	б) а + {3 + у=0.
Даны прямая а и точка А, не лежащая на ней. Для каждой
точки Му прямой а на луче АМу взята такая точка М, что
AM. • ЛМ = /г, где /?—данное положительное число. Найдите
множество всех точек М.
Точка О не лежит на данной окружности. Для каждой точ-
ки Му окружности на луче ОМу взята такая точка М, что
ОМ - k • ОМгде k — данное положительное число. Найдите
множество всех точек М.
Пусть А и В — данные точки, k — даппос положительное чис-
ло, не равное 1.
а)	Докажите, что множество всех точек М, удовлетворяющих
условию AM = kBM, есть окружность (окружность Аполлония).
б)	Докажите, что эта окружность пересекается с любой
окружностью, проходящей через точки А и В, так, что их
радиусы, проведённые в точку пересечения, взаимно перпен-
дикулярны.
Задачи повышенной
360 трудности
Задачи к главе XII
1389 На сторонах квадрата MNPQ взяты точки
А и. В так, что NA = ^MN, QB = ^—MN
(рис. 421). Докажите, что ЛАМ В = 45'.
1390 Диагонали АС и BD четырёхугольника
ABCD пересекаются в точке О. Площадь
треугольника О DC есть среднее пропорцио-
нальное между площадями треугольников
ОВС и OAD. Докажите, что ABCD — тра-
пеция с основаниями AD и ВС или парал-
лелограмм.
Рис. 421
1391 Докажите, что площадь S произвольного четырёхугольника
со сторонами a, b, с, d (последовательно) удовлетворяет нера-
венству S < —(ас + bd).
2
1392 Докажите, что в треугольнике АВС биссектриса АА1 вычис-
2Ьс соз-
дается по формуле А А . =---------где Ь = АС, с = АВ.
b + с
1393 Выразите диагонали вписанного в окружность четырёхуголь-
ника через его стороны.	Скачан с vk.com/materialiOO
1394 Докажите, что площадь четырёхугольника, вписанного в
окружность, может быть вычислена по формуле
8 = \1(р - «)(Р - b)(p - с)(р - d),
где р полупериметр, a, b, с, d стороны четырёхуголь-
ника.
1395 Докажите, что стороны треугольника образуют арифметиче-
скую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, про-
ходящая через центры вписанной и описанной окружностей,
перпендикулярна к одной из биссектрис треугольника.
1396 В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание AD
равно 3, а боковая сторона CD, не перпендикулярная к осно-
ваниям, равна 6. Точка Е — середина отрезка CD, угол С BE
равен а. Найдите площадь трапеции ABCD.
1397 В остроугольном треугольнике АВС сторона АВ больше сто-
роны ВС, отрезки AM и CN — высоты треугольника, точ-
ка О — центр описанной окружности. Угол АВС равен |3,
а площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите сторо-
ну АС.
Задачи повышенной
трудности
361
1398 В треугольнике АВС проведены высота АН длиной /г, меди-
ана AM длиной I, биссектриса AN. Точка N — середина от-
резка МН. Найдите расстояние от вершины Л до точки пере-
сечения высот треугольника АВС.
Задачи к главе XIII
1399 На рисунке 422 изображён правильный десятиугольник, впи-
санный в окружность радиуса В, АС биссектриса угла О АВ.
v/fT—1
Докажите, что: а) ЛАВС^ЛОАВ; б) АВ = АС = ОС = ———R.
1400 Докажите, что отрезок АК, изображённый на рисунке 423,
равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в
окружность с центром О.
1401
z-s	л л л « Скачан с vk.com/materiallOO
Около правильного пятиугольника A1A2AiiA.tAi описана
окружность с центром О. Вершинами треугольника АВС яв-
ляются середины сторон ЛХА2, Л2Д3 и A3A t пятиугольника.
Докажите, что цептр О данной окружности и центр Ох окруж-
ности, вписанной в треугольник АВС, симметричны относи-
тельно прямой АС.
1402*В данную окружность впишите правильный десятиугольник.
1403 В данную окружность впишите правильный пятиугольник.
1404 В данную окружность впишите пятиконечную звезду.
1405 Пусть М — произвольная точка, лежащая внутри правиль-
ного гг-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров,
проведённых из точки М к прямым, содержащим стороны
п-угольника, равна пг, где г — радиус вписанной окружности.
1406 Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со
знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания
высот этого треугольника являются шестью вершинами пра-
вильного семиугольника.
1407 Пусть ABCD — квадрат, а А1В1С] — правильный треугольник,
вписанные в окружность радиуса R. Докажите, что сумма
АВ + ALBX равпа длине полуокружности с точностью до 0,01/?.
_ х _ "Задачи повышенной
JO Л трудности
1408 По данным рисунка 424 докажите, что
длина отрезка АС равна длине окружно-
сти с центром О радиуса Н с точностью до
0,001 Н.
1409 На рисунке 425 изображены четыре полу-
окружности: AEB, АКС, CFD, DLB, при-
чём АС = DR. Докажите, что площадь за-
крашенной фигуры равна площади круга,
построенного на отрезке EF как на диа-
метре.
1410 Постройте границу круга, площадь кото-
рого равпа:
а)	площади кольца между двумя данными
концентрическими окружностями;
б)	площади данного полукруга;
в)	площади данного кругового сектора,
ограниченного дугой в 60е.
F
Рис. 425
если диагонали и
Задачи к главе XIV
1411 При данном движении g точка А отобра-
жается в точку В, а точка В — в точку А.
Докажите, что g — центральная симме-
трия или осевая симметрия.
1412 Даны два равных отрезка АВ и AjB,. До-
кажите, что существуют два и только два
движения, при которых точки А и В ото-
бражаются соответственно в точки Ах и В
1413 Докажите, что два параллелограмма равнь
угол между ними одного параллелограмма соответственно рав-
ны диагоналям и углу между ними другого.
1414 Докажите, что две трапеции равны, если основания и боковые
стороны одной трапеции соответственно равны основаниям и
боковым сторонам другой,
1415 Докажите, что два треугольника равны, если две неравные
стороны и разность противолежащих им углов одного тре-
угольника соответственно равны двум сторонам и разности
противолежащих им углов другого.
1416 Вершины одного параллелограмма лежат соответственно на
сторонах другого параллелограмма. Докажите, что точки пе-
ресечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.
1417 Даны две окружности и прямая. Постройте правильный тре-
угольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на
данных окружностях, а высота, проведённая из третьей вер-
шины, — на данной прямой.
Задачи повышенной
трудности
363
1418
1419
1420
1421
1422
1423
1424
1425
1426
1427
1428
1429
1430
14В1
На стороне угла АОВ с недоступной вершиной дана точка М.
Постройте отрезок, равный отрезку ОМ.
Даны две пересекающиеся окружности. Постройте отрезок,
концы которого лежат соответственно па данных окружно-
стях, а его середина совпадает с одной из точек пересечения
данных окружностей.
Постройте треугольник но трём медианам.
Постройте трапецию, стороны которой соответственно равны
данным отрезкам.
Даны точки А и В и две пересекающиеся прямые с и d. По-
стройте параллелограмм ABCD так, чтобы вершины С и D
лежали соответственно на прямых с и d.
Даны прямая, окружность и точка А, не лежащая на них.
Постройте квадрат ABCD так, чтобы вершина В лежала на
данной прямой, а вершина D — на данной окружности.
Задачи к главе XV
В данный сектор впишите квадрат так, чтобы две его смеж-
ные вершины принадлежали дуге АВ сектора, а две другие
вершины — соответственно радиусам О А и ОВ.
Даны отрезки а, т, п (т < п). Постройте прямоугольник
ABCD так, чтобы АВ = а, ВС : АС = т : п.
Даны отрезки а, т, п. Постройте ромб со CTopoirofiK2r,d,i^WSfi^Pc!'enall0'J
ли которого относятся как т : п.
В данный равносторонний треугольник впишите другой рав-
носторонний треугольник так, чтобы его стороны были пер-
пендикулярны к сторонам данного.
В угол вписаны две окружности, одна из которых касается
сторон угла в точках М и N, а другая — в точках Р и Q. До-
кажите, что эти окружности на прямой MQ отсекают равные
хорды.
Дана окружность и точка А вне этой окружности. Через точ-
ку А провести секущую к окружности так, чтобы внешняя
часть секущей была в 2 раза больше внутренней.
Отрезок BD — биссектриса треугольника ЛВС. Докажите, что
BD*= АВ • ВС - AD • DC.
Пользуясь результатом задачи 909, применяя гомотетию, до-
кажите, что для неравностороннего треугольника основания
высот, середины сторон и середины отрезков высот, заклю-
чённых между вершинами треугольника и его ортоцентром,
принадлежат одной окружности (окружности девяти точек).
Центр этой окружности лежит на прямой Эйлера, а радиус
равен половине радиуса описанной окружности данного тре-
угольника.
Задачи повышенной
364 трудности
Исследовательские задачи
Предлагаемые задачи ориентированы на проведение исследо-
ваний, связанных как с решением некоторых задач из учебника,
так и с постановкой новых задач. Результаты исследований в не-
которых задачах можно сопоставить со сведениями, относящимися
к данной задаче и изложенными в указанных книгах из списка
литературы на странице 367. Например, ссылка [1, пп. 28, 29] в за-
даче 1 для 7 класса означает, что вопрос о различных признаках
равенства треугольников рассматриваются в пп. 28 и 29 книги, ука-
занной в списке литературы под номером 1.
7 класс
1	Сформулируйте новые признаки равенства треугольников, ис-
пользуя по только сторопы и углы, по также медианы, биссек-
трисы и высоты треугольников. Примеры таких признаков дают
задачи 166, 181, 420, [1, пп. 28, 29].
Эта задача может быть поставлена перед группой учащихся:
создать банк признаков равенства треугольников; может исполь-
зоваться как предмет интеллектуального соревнования между
двумя или несколькими группами учащихся.	Скачан с vk.com materialiOO
2	Сформулируйте признаки равенства равнобедренных треуголь-
ников.
3	Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треуголь-
ников [1, п. 30].
4	Для каждого из новых признаков равенства треугольников рас-
смотрите задачу на построение: построить с помощью циркуля
и линейки треугольник по тем элементам, которые фигурируют
в признаке.
8 класс
1	Задача 826 и сё обобщение па случай псвыпуклого четырех-
угольника. (Предложите способ решения, применимый для лю-
бого четырёхугольника.)
2	Теорема Птолемея и ряд задач, решаемых с её помощью (зада-
чи 865, 912, 916). Предложите свои задачи на применение этой
теоремы [2, п. 59].
3	Окружность Эйлера (задача 918). Дополнительно исследуйте,
сколько точек, указанных в задаче 918, могут быть раз-
личными.
И сел едови т ел ьс к и е
задачи
4	Прямая Симеона (задача 919). Исследуйте все возможные
случаи [2, п. 58J.
5	Прямая Эйлера: докажите, что в любом неравностороннем тре-
угольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот
(или их продолжений), центр описанной около треугольника
окружности и центр окружности Эйлера лежат на одной пря-
мой. Установите, в каком отношении эти точки разделяют от-
резок с концами в крайних точках [2, п. 36].
9 класс
1 Проведите полное исследование задачи на построение тре-
угольника ЛВС по углу Л и сторонам Л В и ВС. При каких ус-
ловиях задача: а) имеет решение; б) имеет единственное реше-
ние; в) имеет не единственное решение (и сколько решений);
г) не имеет решений?
2 Окружности Аполлония и их свойства (задачи 1070, 1388),
[2, пп. 53, 54].
3	Использование движений в задачах на доказательство (задачи
1290—1292, 1411—1416), [1, п. 163; 3, п. 44].
4	Использование движений в задачах на построение (задачи
1293—1295, 1417—1423), [1, п. 163; 3, н. 44].
5	Пропорциональные отрезки и метод масс. Использование цен-
тра масс системы точек для решения задач и доказательства
теорем [2, п. 67].	Скачан с ^WmateriallOO
Темы рефератов
Для подготовки рефератов по предлагаемым темам нужно ис-
пользовать указанную литературу.
1	Характеристическое свойство фигуры. Характеристические
свойства прямоугольника, ромба, квадрата, окружности
[1, пп. 72—76; 2, пп. 3—5, 8].
2	Формулы площадей различных четырёхугольников [3, пп. 32,
33].
3	Многоугольники на решётке. Формула Пика [1, пп. 82, 83;
2, п. 24].
4	Изопериметрические задачи [2, п. 27; 3, пп. 40, 41].
5	Теоремы Чевы и Менелая [2, п. 34; 1, пп. 101, 102].
6	Прямая и окружность Эйлера [3, пп. 47, 48; 1, п. 166].
7	Различные средние для нескольких отрезков [2, пп. 37—39].
8	Методы решения задач на построение (метод подобия, метод
геометрических мест точек, использование движений) [2, п. 40;
3, пп. 17, 36, 37, 44].
Темы рефератов
9
10
11
12
13
14
1
2
3
4
Радикальная ось двух окружностей, радикальный центр трёх
окружностей [2, пп. 49—51].
Вневписанные окружности [2, п. 61; 1, п. 117].
Теорема Морли [3, п, 28; 1, п. 146].
Использование движений при решении задач [3, п. 44; 1, п. 163].
Центральное подобие и его применения (теорема Наполеона,
прямая и окружность Эйлера, прямая Симеона) [3, пп. 45—48;
1, пп. 164—167].
Инверсия и её применения (теорема Птолемея и обратная ей,
формула Эйлера для квадрата расстояния между центрами
вписанной и описанной окружностей треугольника, теорема
Фейербаха, задача Аполлония) [3, пп. 49—53; 1, пп. 168—175].
Список литературы
Планиметрия. Пособие для углублённого изучения математики /
В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Поздняк и др. — М.:
Физмат лит, 2019.
Геометрия. 8 класс. Дополнительные главы к учебнику /
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — М.:
Просвещение, 2022.
Геометрия. 9 класс. Дополнительные главы к учебнику. / , _ . ,,лл
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. — М.:
Просвещение, 2022.
Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвеще-
ние, 1981—1983.
367
Темы рефератов
Комплексные задания
Задание 1 (7 класс). Пётр хочет украсить
открытку узором, который увидел на рисунке
(рис. 426). Он испытывает затруднения с выпол-
нением узора, не зная с чего начать. Единствен-
ное, что он понял, что окружности на рисунке
как-то связаны.
1.	Выразите радиусы всех окружностей че-
рез /г, если диаметр большой окружности п см.
2.	Опишите последовательность построений
Рис.426
Петра, которые он должен выполнить для получения узора.
3.	Перенесите рисунок на лист бумаги.
4.	Предложите свой узор, состоящий из
стей.
Задание 2 (7—8 класс). На рисун-
ке 427 изображены хорды окружности, име-
ющие общую точку.
1.	Не проводя измерений, запишите
хорды в порядке убывания их длин. Поясни-
те свои действия.
2.	Дополните рисунок хордой с концом
в точке М, имеющей длину меньше любой
различных окружно-
Рис. 427
из изображённых на рисунке хорд.
3.	Начертите хорду такой же длины, как и MF, не используя
измерение длины.
Задание 3 (8 класс). В питомнике
цветы выращивают на круглых клумбах.
Анна стоит в центре клумбы. Для посадки
цветов требуется разделить клумбу на части:
в зависимости от количества частей она смо-
жет посадить разные виды цветов. Для деле-
ния клумбы у неё есть 5 шаблонов (рис. 428)
с углом а: 30°, 45°, 60°, 75°, 90°.
1.	При делении клумбы требуется при-
менить только один шаблон. Сколькими ша-
блонами Анна сможет воспользоваться?
2.	Анна выбирает только один шаблон.
Рис. 428
Какое максимальное количество разных видов цветов сможет вы-
садить Анна?
Комплексные
задания
3.	Анна хочет посадить 5 видов цветов, используя деление
клумбы па неравные части с помощью разных шаблонов. Какими
шаблонами она может воспользоваться?
Задание 1 (8 класс). Виктор нашёл в Интернете инфор-
мацию о необычном практическом способе рассуждений при дока-
зательстве теоремы о сумме углов треугольника. В нём использо-
валось перегибание бумажной модели треугольника по некоторым
линиям, как указано на рисунке 429. Если последовательно про-
извести сгибы бумажного треугольника, то все утлы треугольника
сойдутся в одной точке и образуют развёрнутый угол.
Прежде чем рассказать на уроке геометрии о найденном спо-
собе рассуждений, Виктор решил выполнить указанные действия.
К его удивлению, он не смог получить такой результат, как на ри-
сунке: одна вершина треугольника накладывалась на противополож-
ную сторону, а две другие стороны не удавалось совместить с ней.
1.	Получится ли у вас согнуть бумажную модель треугольни-
ка таким способом, как указано на рисунке?
2.	Что не учёл Виктор при выполнении первого сгиба?
3.	Почему совместятся две вершины треугольника, как это
показано на рисунке 429 (3)? Обоснуйте ответ.	Скачан с vk.com/materiall00
4.	Назовите вид четырёхугольника, который получился на по-
следнем шаге. Обоснуйте ответ.
5.	Как изменятся рассуждения, если исходный треугольник
будет прямоугольным?
1 .Отметим углы в треугольнике.  	 3. Потом сделаем следующее. Рис.429	2.Часть треугольника согнём таким образом. 1. Развёрнутый угол равен сумме трёх углов в треугольнике. Комплексные JW7 задания
6.	Помогите Виктору составить список указаний для одно-
классников, чтобы у них получилось сложить модель, представлен-
ную на рисунке.
7.	Сформулируйте теорему, которую хотел доказать Виктор.
8.	С какой целью Виктор, получив информацию из Интерне-
та, решил выполнить указанные действия?
Задание 5 (9 класс). Мастер вырезал 3 детских деревян-
ных вкладыша, используя одинаковые заготовки из бука, размером
6 см х 6 см. В центре он прикрепил держатель. Схематично вклады-
ши изображены па рисунке 430.
1. При изготовлении какого вкладыша он получил больше от-
ходов?
2. Играя со вкладышами, ребёнок может поворачивать и вкла-
дывать их в форму. Сколькими способами это можно сделать с каж-
дым вкладышем? Результаты занесите в таблицу.
Вкладыши	Количество способов
№ 1	
№ 2	
№ 3	
Задание 6 (7—9 класс). Более двадцати веков, начиная
с III века до н. э., математики всего мира пытались доказать ут-
верждение, сформулированное древнегреческим учёным Евклидом
в «Началах» и известное как пятый постулат (см. Приложение 2
на с. 380). При доказательстве «разрешалось» применять только
Комплексные
370 зада ним
аксиомы, указанные в «Началах», или их следствия (теоремы).
Все попытки обосновать пятый постулат были безуспешны, так как
использовалось какое-либо другое утверждение, которое само дока-
зывалось с помощью пятого постулата.
1.	В каком веке математики «осознали», что пятый постулат
невозможно получить как следствие из аксиом Евклида?
2.	Евклид называл прямым тот угол, который равен своему
смежному. Противоречит ли определение прямого утла, данное Ев-
клидом, тому определению, которое приведено в учебнике? Ответ
объясните.
3.	Рассмотрите рисунки 431, a-в и выберите тот, который
подходит для иллюстрации пятого постулата.
Рис. 431
4.	Набор аксиом Евклида стал основой для аксиоматики, па
которой строится курс геометрии, изучаемый в школе. Правда,
вместо пятого постулата используется эквивалентное утверждение,
известное как аксиома параллельных прямых: «Через точку, не ле-
жащую на данной прямой, проходит только одна прямая, парал-
лельная данной». Сформулируйте какое-либо утверждение, при до-
казательстве которого используется аксиома параллельных прямых.
Комплексные
задания
371
Приложения
И Об аксиомах планиметрии
При изучении геометрии мы опирались на ряд аксиом. На-
помним, что аксиомами называются те основные положения гео-
метрии, которые принимаются в качестве исходных. Вместе с так
называемыми основными понятиями они образуют фундамент для
построения геометрии. Первыми основными понятиями, с которы-
ми мы познакомились, были понятия точки и прямой. Определения
основных понятий не даются, а их свойства выражаются в аксио-
мах. Используя основные понятия и аксиомы, мы даём определе-
ния новых понятий, формулируем и доказываем теоремы и таким
образом изучаем свойства геометрических фигур.
Отметим, что не все аксиомы, необходимые для построения
планиметрии, были приведены в нашем курсе — для упрощения из-
ложения некоторые из них мы не формулировали, хотя ими и поль-
зовались. Здесь мы приведём все аксиомы планиметрии.
Первые три аксиомы характеризуют взаимное расположение
точек и прямых.
1.	Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки* 1.
2.	Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на од-
ной прямой.	Скачан с vk.com/materiallOO
3.	Через любые две точки проходит прямая, и притом только
одна.
Для точек, лежащих на одной прямой, мы использовали по-
нятие «лежать между», которое относим к основным понятиям гео-
метрии. Свойство этого понятия выражено в следующей аксиоме:
4.	Из трёх точек прямой одна и только одна лежит между
двумя другими.
Подчеркнём, что, говоря «точка В лежит между точками А
и С», мы имеем в виду, что А, В, С — различные точки прямой
и точка В лежит также между точками С и А, Иногда вмести этих
слов мы говорим, что точки А и В лежат по одну сторону от точ-
ки С (аналогично точки В и С лежат по одну сторону от точки А)
или точки А и С лежат но разные стороны от точки В.
1 Такие понятия, как «принадлежать», «множество», «число* и
т. д., относятся не только к геометрии, но и к другим разделам
математики. Поэтому мы считаем их известными и не относим к
числу основных понятий планиметрии.
372 Приложения
5.	Каждая точка О прямой разделяет сё на две части (два
луча) так. что любые две точки одного и того же луча ле-
жат по одну сторону от точки О, а любые две точки раз-
ных лучей лежат по разные стороны от точки О.
При этом точка О пс принадлежит пи одному из указанных
лучей.
Напомним, что отрезком АВ называется геометрическая фи-
гура, состоящая из точек А и В и всех точек прямой АВ, лежащих
между А и В. Коротко можпо сказать так: отрезок — это часть пря-
мой, ограниченная двумя точками. Если отрезок АВ не имеет об-
щих точек с прямой а, то говорят, что точки А и В лежат по одну
сторону от прямой а; если же отрезок АВ пересекается с прямой а
(в некоторой точке С, лежащей между точками А и В), то говорят,
что точки А и В лежат по разные стороны от прямой а.
6.	Каждая прямая а разделяет плоскость на две части (две
полуплоскости) так, что любые две точки одной и той же
полуплоскости лежат по одну сторону от прямой а, а лю-
бые две точки разных полуплоскостей лежат по разные
стороны от прямой а.
Прямая а называется границей каждой из указан1Й^й^й)^)^т''тагепа1100
плоскостей; её точки пс принадлежат пи одной из этих полупло-
скостей.
Следующие аксиомы связаны с понятиями наложения и ра-
венства фигур. Понятие наложения относится в нашем курсе к ос-
новным понятиям геометрии. В главе I мы определили равенство
геометрических фигур, используя понятие наложения. Мы опира-
лись на наглядные представления о наложении фигур и допускали,
что всякая геометрическая фигура может перемещаться как единое
целое, наподобие того как. перемещаются материальные тела. Но
геометрические фигуры — не материальные тела, а воображаемые
объекты, поэтому наложение гео метрических фигур следует пони-
мать в особом смысле.
Чтобы выяснить этот смысл, заметим, что при наложении фи-
гуры Ф на равную ей фигуру Фп как мы представляем его нагляд-
но, каждая точка фигуры Ф накладывается на некоторую точку фи-
гуры Ф1. Иначе говоря, каждая точка фигуры Ф
сопоставляется некоторой точке фигуры Ф:. Но А
мы можем сопоставить каждую точку фигуры Ф
некоторой точке фигуры Ф1 и без непосредствен-	bL—  ’
ного наложения Ф на Фх (рис. 432). Такое сопо- ,ф)
славление называется отображением фигуры Ф
на фигуру Ф] (при этом подразумевается, что Рис. 432
Прсможепи^я
каждая точка фигуры Ф1 оказывается сопоставленной некоторой
точке фигуры Ф). Под наложением фигуры Ф на фигуру Фт мы
понимаем отображение Ф на Фг Более того, мы считаем, что при
этом не только точки фигуры Ф, но и любая точка плоскости ото-
бражается на определённую точку плоскости, т. е. наложение — это
отображение плоскости на себя.
Однако не всякое отображение плоскости на себя мы называ-
ем наложением. Наложения — это такие отображения плоскости на
себя, которые обладают свойствами, выраженными в аксиомах (см.
ниже аксиомы 7—13). Чтобы сформулировать эти аксиомы, введём
понятие равенства фигур. Пусть Ф и Ф1 — две фигуры. Если суще-
ствует наложение, при котором фигура Ф отображается на фигуру
Фр то мы говорим, что фигуру Ф можно совместить наложением с
фигурой Фр или фигура Ф равна фигуре Фр Сформулируем теперь
аксиомы о свойствах наложений.
7.	Если при наложении совмещаются концы двух отрезков,
то совмещаются и сами отрезки.
8.	На любом луче от его начала можно отложить отрезок,
равный данному, и притом только один.
Это означает, что если даны какой-то отрезок АВ и какой-то
луч h с началом в точке О, то на луче h существует, и Притом'ктэолв^епаЦОО
ко одна, точка С, такая, что отрезок АВ равен отрезку ОС.
9.	От любого луча в данную полуплоскость можно отложить
угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом
только одни.
Это означает, что если даны какой-то луч ОА и какой-то не-
развёрнутый угол CDE, то в каждой из двух полуплоскостей с гра-
ницей О А существует, и притом только один, луч ОВ, такой, что
угол CDE равен углу АОВ.
10.	Любой угол hk можно совместить наложением с равным
ему углом hxkt двумя способами: 1) так, что луч h совме-
стится с лучом hx, а луч fe — с лучом kx; 2) так, что луч h
совместится с лучом kx, а луч k — с лучом h}.
11.	Любая фигура равна самой себе.
12.	Если фигура Ф равна фигуре Фи то фигура Ф| равна фи-
гуре Ф.
13.	Если фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фи-
гуре Ф9 то фигура Ф1 равна фигуре Ф3.
374 Приложения
Как видно, все приведённые аксиомы соответствуют нашим
наглядным представлениям о наложении и равенстве фигур и по-
этому не вызывают сомнений.
Следующие две аксиомы связаны с измерением отрезков. Пре-
жде чем их сформулировать, напомним, как измеряются отрезки.
Пусть АВ — измеряемый отрезок, PQ — выбранная единица изме-
рения отрезков. На луче АВ отложим отрезок AAt = PQ, на луче
А}В — отрезок А, А2 = PQ и т. д. до тех пор, пока точка Аа не совпа-
дёт с точкой В либо точка В не окажется лежащей между точками
А„ и В первом случае говорят, что длина отрезка АВ при
единице измерения PQ выражается числом п (или что отрезок PQ
укладывается в отрезке АВ п раз). Во втором случае можно сказать,
что длина отрезка А В при единице измерения PQ приближённо вьь
ражается числом п. Для более точного измерения отрезок PQ делят
на равные части, обычно на 10 равных частей, и с помощью одной
из этих частей измеряют описанным способом остаток А,В. Если
при этом десятая часть отрезка PQ не укладывается целое число
раз в измеряемом остатке, то её также делят на 10 равных частей и
продолжают процесс измерения. Мы предполагаем, что таким спо-
собом можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину при
данной единице измерения конечной или бесконечной десятичной
дробью. Это утверждение кратко сформулируем так:
14.	При выбранной единице измерения отрезков длина каж-
дого отрезка выражается положительным числом.
Кроме того, мы принимаем аксиому существования отрезка
данной длины.
15.	При выбранной единице измерения отрезков для любого
положительного числа существует отрезок, длина которо-
го выражается этим числом.
Систему аксиом планиметрии завершает аксиома параллель-
ных прямых.
16.	Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит
только одна прямая, параллельная данной.
Отметим, что для построения геометрии можно использовать
различные системы аксиом. Например, вместо аксиомы параллель-
Приложения
ных прямых можно принять в качестве аксиомы утверждение о
том, что сумма углов треугольника равна 180п. Тогда утверждение
«Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только
одна прямая, параллельная данной» можно доказать как теорему
(попробуйте провести такое доказательство самостоятельно). От раз-
личных систем аксиом требуется лишь, чтобы они были эквива-
лентны, т. е. приводили бы к одним и тем же выводам.
Иногда стремятся к тому, чтобы аксиомы были независимы,
т. е. ни одну из них нельзя было вывести из остальных. Мы не ста-
вили перед собой такой дели. Например, утверждение аксиомы 5
может быть доказано на основе остальных аксиом, т. е. фактиче-
ски это утверждение является теоремой, а не аксиомой. Однако для
упрощения изложения мы приняли его в качестве аксиомы.
В заключение рассмотрим одну из самых первых теорем на-
шего курса — теорему, выражающую первый признак равенства
треугольников (п. 15). Её доказательство опиралось на наглядные
представления о наложении и равенстве фигур, понятие аксиомы
тогда ещё не было введено. Напомним это доказательство и рассмот-
рим его с точки зрения принятых нами аксиом.
Нужно было доказать, что если АВ = А1В1, АС = А1С1 и
ZA = ZA1? то треугольники ЛВС и AVB£\ равны. С этой целью мы
рассматривали такое наложение, при котором вершина Л совме-
ищется с вершиной Лх, а стороны АВ и АС треугольника ЛВС на-
кладываются соответственно на лучи и A |В j. При этом мы
опирались па наглядно очевидный факт, что такое наложение суще-
ствует, поскольку углы Л и Л] равны. Теперь можно сказать, что
существование такого наложения следует из аксиомы 10.
Далее мы рассуждали так: поскольку AB=AiB], АС=АгС1г
то сторона АВ совместится со стороной AiBt, а сторона АС — со
стороной AtCj, в частности совместятся точки В и В,, С н Cj. Как
обосновать этот факт, опираясь на аксиомы? Очень просто.
По аксиоме 8 на луче А^ от точки Д можно отложить
только один отрезок, равный отрезку АВ. Но по условию теоремы
АВ = AiBl, поэтому при нашем наложении точка В совместится с
точкой Bv Аналогично точка С совместится с точкой С,. Остаётся
сослаться на аксиому 7, чтобы обосновать тот факт, что сторона ВС
совместится со стороной В}С}. Теперь можно сделать вывод, что тре-
угольники АВС и АтВтС, полностью совместились и, значит, они
равны.
Как видим, само доказательство теоремы о первом признаке
равенства треугольников, по существу, не изменилось, только те-
перь мы опирались уже не на наглядно очевидные факты, а на ак-
сиомы, в которых эти факты выражены.
376 Приложения
Некоторые сведения о развитии геометрии
Первое сочинение, содержащее простейшие геометрические
сведения, дошло до нас из Древнего Египта. Оно относится к XVII в.
до н.э. В нём содержатся правила вычисления площадей и объёмов
некоторых фигур и тел. Эти правила были получены практическим
путём, без какого-либо логического доказательства их справедли-
вости.
Становление геометрии как математической науки произошло
позднее и связано с именами греческих учёных Фалеса (ок. 625—
547 гг. до н. э.), Пифагора (ок. 580—500 гг. до и. э.), Демокрита
(ок. 460—370 гг. до и. э.), Евклида (III в. до н. э.) и др.
В знаменитом сочинении Евклида «Начала» были системати-
зированы основные известные в то время геометрические сведения.
Главное же — в «Началах» был развит аксиоматический подход к
построению геометрии, который состоит в том, что сначала фор-
мулируются основные положения (аксиомы), а затем на их осно-
ве посредством рассуждений доказываются другие утверждения
(теоремы)1.
Полученные результаты используются как на практике, так и
в дальнейших научных исследованиях. Некоторые из аксиом, пред-
ложенных Евклидом, и сейчас используются в курсах геометрии.
Часть из них в современной формулировке имеется в нашем курсе.
Например: «Через любые две точки проходит прямая, и притом
только одна».	Скачан с vk.com/materiallOO
Большой вклад в дальнейшее исследование различных вопро-
сов геометрии внесли Архимед (ок. 287—212 гг. до н. э.), Аполло-
ний (III в. до н. э.) и другие древнегреческие учёные.
Качественно новый этап в развитии геометрии начался лишь
много веков спустя — в XVII в. н. э. — и был связан с накопленны-
ми к этому времени достижениями алгебры. Выдающийся француз-
ский математик и философ Р. Декарт (1596—1650) предложил но-
вый подход к решению геометрических задач. В своей «Геометрии»
(1637) он ввёл метод координат, связав геометрию и алгебру, что
позволило решать многие геометрические задачи алгебраическими
методами,
В развитии геометрии важную роль сыграла аксиома, которая
в «Началах» Евклида называлась пятым постулатом. Формулиров-
ка пятого постулата у Евклида весьма сложна2. Поэтому обычно
1 На возможность такого подхода впервые указал древнегреческий
учёный Аристотель (ок. 384—322 гг. до н. э.).
2 Пятый постулат: «И если прямая, падающая на две прямые,
образует внутренние и по одну сторону углы, меньше двух прямых,
то продолженные эти прямые неограниченно встретятся с той
стороны, где углы меньше двух прямых».
Приложения
его заменяют эквивалентной ему аксиомой параллельных прямых:
через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна
прямая, параллельная данной.
Много веков усилия большого числа учёных были направлены
на доказательство пятого постулата. Это объяснялось тем, что число
аксиом стремились свести к минимуму. Учёные думали, что пя-
тый постулат можно доказать как теорему, опираясь на остальные
аксиомы.
В конце XV111 в. у некоторых геометров возникла мысль о
невозможности доказать пятый постулат. Решение этого вопроса
было пайдспо великим русским математиком Николаем Иванови-
чем Лобачевским (1792 1856).
Вся творческая жизнь нашего выдающегося соотечественни-
ка была связана с Казанским университетом, где он учился, затем
был профессором, а с 1827 г. — ректором университета. Его очень
рано заинтересовала геометрия, и он, как и многие его предше-
ственники, пытался доказать пятый постулат Евклида. Лобачев-
ский предпринял попытку доказать пятый постулат от противного:
он предположил, что через данную точку, по лежащую па данной
прямой, можно провести несколько прямых, не пересекающих дан-
ную. Исходя из этого, он попытался получить утверждение, кото-
рое противоречило бы аксиомам или полученным из них теоремам.
Если бы такое утверждение удалось получить, то это означало бы,
что предположение неверно, а верно противоположно^3"утй^р^д^-* е а *
ние: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести
только одну прямую, не пересекающую данную. Тем самым пятый
постулат Евклида был бы доказан.
Но Лобачевский не получил противоречивых утверждений.
Па основании этого им был сделан замечательный вывод: можно по-
строить другую геометрию, отличную от геометрии Евклида. Такая
геометрия им была построена. Её называют теперь геометрией Ло-
бачевского. Сообщение об открытии новой геометрии было сделано
Лобачевским в 1826 г.
К аналогичным выводам пришёл венгерский математик
Я. Бойяи (1802—1860), по оп свои результаты опубликовал не-
сколько позже, в 1832 г. В рукописях великого немецкого мате-
матика К. Ф. Гаусса (1777—1855) высказывались идеи, близкие к
идеям Лобачевского и Бойяи. Однако он, опасаясь критики, не ре-
шился их обнародовать.
Открытие нашим великим соотечественником новой геоме-
трии оказало огромное влияние на развитие науки. Геометрия Ло-
бачевского широко используется в естествознании. Неизмеримо
влияние повой геометрии па развитие самой геометрии. Наиболее
ярко оно выразилось в дальнейшем углублении наших представле-
378 Приложения
ний о пространстве: ведь до Лобачевского казалось, что геометри-
ей окружающего нас пространства может быть только евклидова
геометрия. Но так как возможна другая геометрия, то истинность
той или иной геометрии может быть проверена лишь опытным пу-
тём. Современной наукой установлено, что евклидова геометрия
лишь приближённо, хотя и с весьма большой точностью, описы-
вает окружающее нас пространство, а в космических масштабах
она имеет заметное отличие от геометрии реального пространства.
Бурное развитие математики в XIX в. привело к ряду замеча-
тельных открытий в геометрии. Так, выдающимся немецким мате-
матиком Б. Риманом (1826—1866) была создана новая геометрия,
обобщающая и геометрию Евклида, и геометрию Лобачевского.
Читатель вправе спросить: а являются ли геометрия Евклида
и геометрия Лобачевского непротиворечивыми? Не может ли так
случиться, что при дальнейшем развитии как той, так и другой
геометрии получатся противоречивые выводы? Уже в конце XIX в.
было доказано, что если непротиворечива геометрия Евклида, то
непротиворечива и геометрия Лобачевского. Непротиворечивость
той или иной геометрии доказывается с помощью какой-либо ин-
терпретации (модели) её основных понятий и аксиом. Например,
одпой из известных интерпретаций евклидовой геометрии является
арифметическая модель, в которой точка есть пара чисел (х; ?/), за-
писанная в определённом порядке, а прямая есть мно;ке^т^а ^огг, materialioo
чек, удовлетворяющих линейному уравнению ах + Ьх + с = 0, где а и
b— некоторые числа (а?	С помощью этой модели вопрос
о непротиворечивости евклидовой геометрии сводится к вопросу о
непротиворечивости арифметики, имеющей дело с вещественными
числами. О моделях, реализующих систему аксиом геометрии Лоба-
чевского, можно прочитать в различных книгах, папример в книге
[1] из списка литературы (см. с. 367).
Вопрос о непротиворечивости той или иной системы аксиом
связан с важными проблемами непротиворечивости, полноты и не-
зависимости систем аксиом, определяющих ту или иную геомет-
рию. Перечисленные проблемы относятся к предмету, называемому
«Основания геометрии». Крупнейший вклад в решение этих про-
блем внёс великий немецкий математик Д. Гильберт (1862—1943).
Отмстим, что в настоящее время геометрия широко использу-
ется в самых разнообразных разделах естествознания; в физике, хи-
мии, биологии и т. д. Неоценимо её значение в прикладных науках:
в машиностроении, геодезии, картографии. Методы геометрии ши-
роко применяются практически во всех разделах науки и техники
и, конечно же, в самой математике.
Приложение
3
Уголковый отражатель
В 7 классе было рассмотрено свойство прямоугольных тре-
угольников: сумма двух острых углов прямоугольного треугольни-
ка равна 90°.
Это свойство находит применение в конструкциях различных
приборов и механизмов. Так, например, это свойство лежит в осно-
ве конструкции простейшего уголкового отражателя. Прежде чем
описать его устройство, рассмотрим следующую задачу.
Задача
Угол между зеркалами О А и О В равен 90°.
Луч света, падающий на зеркало ОА под углом а,
отражается от него, а затем отражается от зерка-
ла ОВ (рис. 433). Доказать, что падающий и от-
раженный лучи параллельны.
Решение
По закону отражения света падающий
луч SM и луч MN составляют с прямой ОА
равные углы а. Так как треугольник MON
прямоугольный, то угол MNO равен 90° - а.
Применяя опять закон отражения света, по-
лучаем, что луч МN и отражённый луч NT
составляют с прямой ОВ равные углы. Об-
ращаясь к рисунку 433, мы видим, что
ZSMN = 180°- 2а* ZMNT= 180° - 2 (90° - а) = 2а,
поэтому Z.SMN + Z.MNT= 180°.
Следовательно, падающий луч SM и отра-
жённый луч NT параллельны, что и требовалось
доказать.
Простейший уголковый отражатель пред-
ставляет собой несколько зеркал, составленных
так, что соседние зеркала образуют угол в 90е.
Па рисунке 434 в виде ломаной линии схемати-
чески изображён такой отражатель. Представим
себе, что на этот отражатель падает пучок па-
раллельных лучей (на рисунке эти лучи изобра-
жены чёрными линиями со стрелками). Тогда
отражённые лучи будут параллельны падающим
лучам (эти лучи изображены цветными линия-
ми со стрелками). Таким образом, уголковый от-
ражатель «возвращает назад» падающий на него
пучок параллельных лучей при любом располо-
жении отражателя по отношению к падающему
пучку лучей.
Рис.433
Рис.434
380
Приложения
Это свойство уголкового отражателя используется в технике.
Так, уголковый отражатель устанавливается на заднем крыле вело-
сипеда для того, чтобы «возвращать назад» свет автомобильных
фар. Это даёт возможность водителю автомобиля видеть ночью ве-
лосипед с отражателем. Отметим, что уголковый отражатель, ис-
пользуемый на практике, устроен более сложно, чем описанный
простейший, но принцип его действия тот же, что и у простейшего
уголкового отражателя.
Уголковый отражатель был установлен на одной из отече-
ственных автоматических станций, запущенных на Луну. С поверх-
ности Земли участок Луны, на котором находилась автоматическая
станция с уголковым отражателем, был освещён лучом лазера. Луч
«вернулся» в то же место, где находился лазер. Измерив точное
время от момента включения лазера до момента возвращения сиг-
нала, удалось с весьма высокой точностью найти расстояние от по-
верхности Земли до поверхности Луны.
Скачан с vk.com/materiallOO
Ответы и указания
7 класс
Глава I
3. Три точки или одна точка. 4. Четыре прямые. 6. Три отрезка. 18. Четыре
угла. 20. h и I. 21. ОВ<ОА; ОС>ОА; ОВ<ОС. 22. а) Да; б) нет.
24. Z.AOC < Z.AOB. 25. а) Да; б) нет. 32. Две точки. 33. 10,3 см. 34. а) 3,5 см;
б) 36 мм. 35. 25,5 см или 1,5 см. 36. 9 см или 23 см. 37. BD 47 см, DA - 17 см.
38. 480 км. 40. а) АС = 1 см, СВ = 1 см, АО = 0,5 см, ОВ = 1,5 см; б) АВ = 6,4 м,
АС = 3,2 м, АО = 1,6 м, ОВ = 4,8м. 41. а) 10,5 см; б) 1,5 см. 42. — . 43. 4 см.
2
48. Нет. Построение выполнимо, когда /АОВ острый или прямой. 49. Да.
51. а)	121°; б) 121’2'. 52. 48’. 53. 85°. 54. 81°.	55.	60°. 56. 160°.	57. Нет.
62. а)	69е; б) 90е; в) 165°. 63. Прямой. 64. Да. 65.	а)	70° и НО3; б) 150е и 30°;
r) 113	39' и 66’2 Г; г) 135" и 45"; л) 100"	и	80". 66. 106".	67. Да.
68. a)	Zl = Z3 = 63e, Z4 = 117’; б) Zl = 43’27', Z2 = Z4= 136’33'. 69. а)	57е, 57°,
123°, 123°; б) 40е, 40е, 140’, 140’. 70. a) Z2 = Z4 = 110e, Zl = Z3 = 70°;
6)Z1=Z3=45", Z2 = Z4=135"; b)Z1=Z3 = 75", Z2 = Z4=105’. 71. 180".
72. ZAOC = 120% /BOD = 130’, /СОЕ = 110’, ZCOZ> = 60е. 73. Her. 75. Шесть
прямых. 76. Шесть точек. 77. Двенадцать углов. 78. а) 8 см; б) 16 см. 79. 16 см
или 4 см. 80. а) —а; б) —а. 81. а) —/и; б) — т. 82. 12 см. 83. Указание. Рас-
8	8	3	5
смотреть два возможных случая: точки В и С лежат ио разные стороны jfcWrrWiateriallOO
одну сторону от точки А. 84. 85" или 15". 85. 30" или 90". 86. а) 67"30'
и 112’30'; б) 72’30' и 107’30'. 87. 90е. 89. Указание. Доказать, что угол ABD
развёрнутый. 90. Указание. Предположить, что прямые тип совпадают,
и воспользоваться утверждением п. 12. 91. Указание. Площадь прямоуголь-
ника равпа произведению длин смежных сторон.
Глава II
95. 75 см. 96. 12,7 см и 17,3 см. 97. Нет. 98. б) 42е, 473. 99. б) BD = 5 см,
АН= 15 см. 100. б) АВ = 14 см, НС= 17 см. 101. б) 110.110. б) 46 . 111. б) 96".
112. 10 см, 20 см и 20 см. 113. ЛВ= 12,5 см и ВС = 15 см. 114. 8 см. 117. 50’.
118. б) 37°30'. 120. ZA=ZB + ZC. 124. ЯГВ=8см, ZD£Jf=86e, ZEFZ) = 90°.
126. б) ВС = 15 см, СО = 13 см. 127. б) А В = 11 см, ВС = 19 см. 131. 13 см.
141, 25е. 147. У казан нс. Рассмотреть два случая, когда точка В лежит: а) на
луче АО; б) на продолжении луча АО. 150. 90°. 151. 29 ем. 154. Нет. 155. Нет.
157. Указание. Сначала построить биссектрису угля АОВ. 160. У к а аани е.
Сначала построить прямой угол. 161. АВ = 4 см, АС —5 см, ВС = 6 см. 162. 7 см,
5 см и 5 см. 163. 10 см или 6 см. 165. б) Указание. Пусть М точка, равно-
удалённая от точек А и В и не лежащая ня прямой АВ. Воспользоваться ут-
верждением: медиана равнобедренного треугольника, проведённая к основанию,
является высотой. 170. б) Указание. Сначала доказать, что AAOK=ZBOKL.
171. Указание. Воспользоваться задачей 170. 172. Указание. Сначала дока-
зать равенство треугольников DBF, FCE и EAD. 173. 40е. 174. Указание.
Ответы
и указания
Доказать, что АД ВО = AEEO. 175. Указан и е. Сначала доказать равенство
треугольников A RD и A-jB^D,* 176, Указание* Сначала доказать равенство
треугольников ЛВС и ЛВС. 177* Указание* Сначала доказать равенство тре-
угольников АВС и ABD. 178. Указание. Пусть угол BAD — смежный с
углом Л треугольника ЛВС. Для доказательства неравенства ZBAD>ZB отме-
тить середину О стороны ЛВ и па продолжении отрезка СО отложить отрезок ОЕ,
равный СО. Затем доказать, что угол ВАЕ равен углу В треугольника ЛВС и вос-
пользоваться неравенством ZBAD> ZBAE. 179* Указание* Наложить тре-
угольник ЛВС на треугольник Л1В1С1, так, чтобы сторона ВС совместилась со
стороной В/?,, а сторона ВЛ наложилась на луч ВЛ]в Для доказательства того,
что точка Л совместится с точкой Лп воспользоваться задачей 178*. 180. У к а -
з а н и е. Сначала доказать, что ДЛОВ = ЛВОС, а затем, что /ZEBD = Z.EAC.
181. Указание. Рассмотреть треугольники ABD и Л,/!/^, где точки В и
такие, что М и М} — середины отрезков AD и АрОр 183* Указание* Пусть
точка В лежит на отрезке АС. Предположить, что AD = BD =CD. Используя
свойство углов при основании равнобедренного треугольника, сначала дока-
зать, что ZABD - ZCBD - 90°. 184. Указание. Сначала доказать, что BP — CQ.
189. Указан и с* Воспользоваться задачей 165.
Глава III
201. Одну прямую. 202. Три или четыре. 203. Да. 206. 105°, 105°. 207. а| с.
208. б) Четыре угла но 55е, четыре других угла ио 125°. 210. 92е. 211. а) Да;
б) да. 212. а) Нет; б) да. 213. 115° и 65е. 214. Zl=135°, Z2 = 45’, Z3 = 135’.
215. Указание. Рассмотреть продолжение луча СРа. 220. 59:. Ураз.^ние..,
Сначала доказать, что о | Ь. 221. 48’, 66°, 66°. 223. Да. 221. У к а з а и и е'. Дока'-’
зать методом от противного. 225. Указание. Доказать методом от противного.
226. Указание. Сначала доказать, что AM | ВС и AN || ВС.
Глава IV
228. а) 58°; б) 26°; в) 180’-Зс/.; г) 60°. 229. ZA = 40°, ZB = 60°, ZC = 80’.
232. я) 36°, 72° и 72°; 6) 45=, 45° и 90°. 233. а) 10°, 40е и 100° или 40°, 70°
и 70; б) 60, 60” и 60”; в) 100”, 40" и 40”. 234. 105 . 235. 103”. 236. Указа-
ние. Воспользоваться свойством углов при основании равнобедренного треуголь-
ника. 237. Да. 238. У к аз ан и е. Учесть, что внешний угол ири вершине равно-
бедренного треугольника, противолежащей основанию, в 2 раза больше угла
при основании. 239. 57’30', 57’30', 65’ или 65’, 65е, 50е. 240. 73е20', 73’20'
и 33”20'. 253. а) Нет; б) нет. 254. Сторона, равняя 10 см. 255. я.) 7 см; б) 8 см;
в) 10 см. 257. 29 см и 29 см. 258. 7 см, 7 см и 11 см. 259. 45", 45” и 90”. 260. 27".
261. 17,6 см. 262. АС =6 см, АВ=12см. 263. 9 см. 264. 18 см. 265. 30е, 30е
и 120’. 266. Указание. Воспользоваться первой теоремой п. 36. 267. Ука-
зание. Воспользоваться признаками равенства прямоугольных треугольников.
268. 70е, 70е и 40е. 269. 122’. 270. 90’, 39е и 51е. 272. Указание. Сначала
доказать, что углы, прилежащие к равным сторонам данных треугольников, рав-
ны. 274. Указание. Воспользоваться задачей 273. 275. Указание. Сначала
провести биссектрису угла и воспользоваться задачей 138. 279. 8 см. 280. 12 см.
281. 14 см. 283. У ка а анис. Сначала доказать, что СМ медиана треугольни-
ка АВС. 285* 2см или 8см* 286* Зсм, 287. Указание* Через одну из точек*
Ответы
383 и указания
удовлетворяющих условию задачи, провести прямую, параллельную данной, и
доказать, что любая другая точка, удовлетворяющая условию задачи, лежит на
этой прямой. 288. Луч с началом на стороне ВА, параллельный стороне ВС,
Указание. Воспользоваться задачей 287. 289. Прямая, параллельная данным
прямым и находящаяся на равных расстояниях от них. 290. Указание. Вос-
пользоваться задачей 289. 291. Две прямые, параллельные данной прямой и
расположенные на данном расстоянии но разные стороны от нес. 293. Ука-
зание. Воспользоваться задачей 292. 307, 20 \ 308, Указание. Доказатель-
ство провести методом от противного. ЗЮ. Указание, а) Допустить, что
НМ^НМ21 и воспользоваться задачей 309; б) допустить, что	или
Н.\11 — НМ2, и воспользоваться задачей 309. 311. Указание. Продолжить ме-
диану ДМ за точку Af на отрезок Л/О, равный ДМ, и рассмотреть треугольник
ЛВВ, 312. Указание. Пусть А7 — точка пересечения прямой ВМ и отрезка
АС. Применить теорему о неравенстве треугольника к треугольникам АВАГ и
MNC. 313. Воспользоваться предыдущей задачей. 317. 18,5см. 321. Указа-
ние. Пусть в треугольнике АВС АС>ЛВ, а AM — данный отрезок. Учесть,
что в треугольнике АСМ Х.С<ЛМ, 322. Указание. Пусть ДАВС — искомый,
ВЛ/ — его данная медиана. Сначала построить А/П^С, в котором точка М —
середина стороны /?ВП. 323, б) Указание, Построить угол, равный данному,
а затем воспользоваться задачей 292. 324. а) У к аз ап не. Воспользоваться свой-
ством 3 п. 35 и задачей 323, в. 325. Указание. Воспользоваться задачей 290.
326. Указание. Воспользоваться задачей 250. 327. Указа ни е. На сторонах
ВС и ЛВ построить точки А:и С\, так, чтобы ВА! = АСХ = СВР 328. У к а з а п и е.
Если данные отрезки нс равны друг другу, то сначала построить прямоугольный
треугольник, гипотенуза которого равна данной биссектрисе, а	Ac^?^nateriallOO
ной высоте. 329. Указание. Сначала построить прямоугольный треугольник,
гипотенуза которого равна данной медиане, а катет — данной высоте. 330. Ука-
зание. Сначала построить биссектрису угла С.
Глава V
331. Две прямые, содержащие биссектрисы углов, образованных при пересече-
нии данных прямых. 332. Прямая, параллельная данным прямым и находяща-
яся на равных расстояниях от них. 333, Указание. Воспользоваться следстви-
ем 1 п. 40. 334, Указание. Воспользоваться следствием 1 п. 39. 335. Указание.
Воспользоваться теоремой о биссектрисе угла н. 39. 336. Указание. Пусть
АВ — диаметр, а АС — хорда окружности с центром О. Рассмотреть равно-
бедренный треугольник А ОС и воспользоваться неравенством треугольника.
337. Указание. Доказать методом от противного, используя задачу 336.
338. Указание. Воспользоваться свойством 2 п. 41 и теоремой о внешнем угле
треугольника. 339. Указание. Воспользоваться свойством 2 п. 41 и теоремой
о внешнем угле треугольника. 341. Указание. Воспользоваться равенством
соответственных элементов в двух равных равнобедренных треугольниках, ос-
нованиями которых являются данные хорды. 343. Указание. Воспользовать-
ся признаком касательной (п. 42). 344. 7 см. 345. Указание. Воспользовать-
ся свойством касательной к окружности (п. 42) и признаком параллельности
двух прямых. 346. 12см. 348. Указание. Воспользоваться свойством отрез-
ков касательных, проведенных к окружности из одной точки (и. 42). 349. 30°.
- Ответы
384 и указания
350. 120J. 351. Указание. Сначала доказать» что Л A DC = 30". 352. 60°.
353. 60°. 354. 30°, 30°. 355. 5см. 357. 4см. 358. Указание. Сначала по-
строить прямую, проходящую через центр окружности и перпендикулярную к
данной прямой. 360. Указание. Воспользоваться свойством 2 11.41 и зада-
чей 291. 361. Указание. Воспользоваться свойством 1 п. 35 и задачей 360.
363. Указание. Воспользоваться теоремой об окружности, описанной около
треугольника (п. 43). 365. Указание. Воспользоваться теоремой об окружно-
сти, вписанной в треугольник (п. 43). 369. Указание. Воспользоваться свой-
ством 4 п. 35. 370. 10см. 371. 60см. 372. т-с. 375. Указание. Отметить
две точки на прямой I и воспользоваться задачей 374. 381. а) Две оси; б) бес-
конечно много осей; н) одну ось; г) одну ось, если угол неразвёрнутый, и две
оси, если развёрнутый. 384. а) Л/; 6) 0. 385. а) Нет; б) да; в) нет. 386. 2 см.
387. ЛВ ЛХВХ 19,5см. 388. ЛВ ЛуВ} 10см. 389. а) Да; б) пет. 390. ДАВС
и	отрезки MN и	391. 18,1см. 392. 19 мм. 391. Указание.
Доказать методом от противного. 395. Указание. Учесть, что ВЛ4 = МХ и
C\V=jVX* 396. Указание. Пусть X — точка пересечения общей касательной,
проходящей через точку ЛГ, и прямой АВ. Сначала доказать, что ХА =ХЛ£ = ХВ.
398. Нет. 399. Указан ие. Использовать серединный перпендикуляр к той сто-
роне, к которой проведена медиана. 401. Указание. Использовать середин-
ный перпендикуляр к отрезку АВ. 402. Указание. Воспользоваться задачей
289. 403. Указание. Учесть, что точки, симметричные различным точкам
относительно оси симметрии, различны. 406. 72°. 407. Указание. Восполь-
зоваться теоремой о диаметре, перпендикулярном хорде (п. 41). 408. Указа-
ние. Воспользоваться задачей 341. 409. Указание. Сначала доказать, что
если треугольник имеет ось симметрии, то он равнобедренный (см. зйд^ФГ 39B>pm/materiall00
410. Указание. Построить точку, симметричную точке пересечения прямых а
и b относительно прямой р.
Задачи повышенной трудности
413. ab = 1. 414. —, 415. Указан и е. Воспользоваться свойством смежных
т
углов: Z/z/г F ZJil = 180м. 416. 180°. 417. Указание. Пусть три из данных пря-
мых проходят через точку А. Используя метод от противного, доказать, что
каждая из оставшихся трёх прямых проходит через эту точку. 418. Указа-
пи с. Пусть три из данных точек лежат на данной прямой d. Используя метод от
противного, доказать, что каждая из оставшихся четырёх точек лежит на пря-
мой d. 419. Указание. Сначала доказать, что AAOQ ЛВОС2, где О — сере-
дина отрезка АВ. 420. Указание. Пусть в треугольниках ЛВС и А^В^
ZA=ZAP АС =А1С1 и АВ I ВС=А1В1+ ВХСХ. Продолжить стороны АВ и А^
на отрезки BD = BC и BXDX=B ХСХ и рассмотреть треугольники ADC и А^Ср
421. Могут. Например, равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ и
треугольник ABD, где D — такая точка на стороне ВС, что AB = AD. 422. Мо-
гут. Рассмотрим, например, равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ
и отметим какую-нибудь точку D на продолжении стороны АВ. Тогда треуголь-
ники ADC и DBC обладают указанным свойством, но не являются равными.
423. Указание. Воспользоваться задачей 179. 424. 90	— . 426. я) Остро-
2
Ответы
385 и указания
угольный; б) остроугольный. 427. Указание. Воспользоваться соотношения-
ми между сторонами и углами треугольника и теоремой о сумме углов треуголь-
ника. 428. 70°. Указание. Пусть О точка пересечения биссектрисы угла А
и прямой ВМ. Сначала доказать равенство треугольников АОС и МОС.
429. Указание. Соединить один из концов отрезка с вершиной треугольника
и воспользоваться задачей 321. 430. Указание. Воспользоваться задачей
178, а также соотношениями между сторонами и углами треугольника.
431. Указание. Продолжить отрезок AD до пересечения с ВС и воспользо-
ваться задачей 321. 432. Указание. Отметить на стороне АВ такую точку Сь
что ACj = AC, и рассмотреть треугольник BCtD. 433. Указание. Доказать ме-
тодом от противного. 434. Указание. 11усть АВС — данный треугольник,
21В > ВС, ВМ — медиана. Отмстить такую точку Е, что М является серединой
отрезка BE, и рассмотреть треугольник АВЕ. 435. Указание. Воспользовать-
ся задачей 178. 436. Указание. Продолжить отрезок В А на отрезок АЛ = АС
и, рассмотрев &.DHB, воспользоваться неравенством треугольника. 437. Ука-
зание. Воспользоваться задачей 432. 438. Указание. Воспользоваться зада-
чами 131 и 437. 440. Указание. Пусть в треугольнике АВС медиана АЛТ и
высота АН делят угол А на три равных угла ВАН, НАМ и Л/АС. Провести
перпендикуляр MD к стороне АС и доказать сначала, что AID — — Л/С. 441. У к а -
2
за мне. Учесть, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
444, Указание. Сначала построить треугольник О АВ, в котором Д В = /? и
OD 2R, где/? — радиус данной окружности. 445. Указание. Пусть даны
острый угол А, высота ВН искомого треугольника АВС и отрезок PQ, равный
его периметру. Построить сначала /\АВН, а затем такую точку
что AD + AB PQ. 446. Указание. Построить сначала треугольник, у которо-
го сторона равна данному периметру, а углы, прилежащие к ней, равны полови-
нам данных углов. 447. Нет. Указание. Воспользоваться теоремой п. 40.
448. Два, одно или ни одного. Указание. Воспользоваться теоремой п. 40.
449. Задача имеет одно решение, если данные точки не лежат па одной прямой,
и не имеет решения, если эти точки лежат на одной прямой. Указание. Вос-
пользоваться следствием 2 п, 40. 450. Четыре, три, два, одно или ни одного.
У к а з а н и е. Воспользоваться задачей 331. 451. Четыре. У к а з а п и е. Восполь-
зоваться задачей 331. 452. Указание. Пусть ВС, АС + АВ, ZB — ZC — данные
элементы искомого треугольника АВС. На продолжении стороны С А за точку А
отложить отрезок AAj, равный отрезку АВ. Построить сначала ACBAP
453. Указание. Пусть окружности касаются в точке М. Рассмотреть их об-
щую касательную J, проходящую через точку М, и доказать симметричность
отрезков АО2 и ВС\ относительно оси d, 454. Указание. Пусть АВ — общая
касательная двух окружностей с центрами Ох и О2, /? и г их радиусы, причём
В>г. Для окружностей, лежащих по одну сторону от прямой АВ, рассмотреть
точку К на радиусе О]А такую, что АК = г. Воспользоваться задачей 291 и по-
казать, что ZO^O 2 = 90°. Тогда точка К принадлежит геометрическому месту
точек из которых отрезок 0,02 виден под прямым углом и ОПК = /? — г. Для
окружностей, лежащих по разные стороны от прямой АВ, рассмотреть точку К
на луче С\А такую, что АЕ = г, причём точка А лежит между точками и К.
Тогда точка К принадлежит геометрическому месту точек из которых отре-
зок О LO2 виден под прямым углом и OYK г. 455. Указание. Воснользо-
Ответы
и указания
виться задачей 332. 456. Указание. Воспользоваться определением окружно-
сти, следствием I п. 40 и теоремой о свойстве касательной к окружности (п. 42).
457. Указание. Пусть дана окружность с центром С и радиусом г. Рассмо-
треть прямую и точку At на прямой тЛ1 отстоящие на расстояние г от дан-
ных прямой т и точки А. Построить окружность с центром О, которая прохо-
дит через точку С и касается прямой тл в точке Аг (см. задачу 456). Искомая
окружность имеет тот же центр О, а её радиус отличается на г от радиуса по-
строенной окружности. 459. Указание. Построить точки М и X, симметрич-
ные точке А относительно сторон данного угла. Доказать, что точки пересечения
прямой МК со сторонами угла искомые. 460. Указание. Учесть, что центр
искомой окружности равноудалён от вершины прямого угла и гипотенузы.
461. Указание. Пусть О — центр данной окружности, КМ — искомая хорда,
проходящая через точку А, X — точка на хорде такая что КХ = AM. Сначала
доказать, что АХ = PQ и ОХ = О А*
8 класс
Глава VI
463. а) 540е; б) 720е; в) 1440е. 464. а) 5; б) 54; в) 275. 465. а) четыре; б) три;
в) шесть; г) пять. 466. 23 мм, 20 мм, 19 мм, 18 мм. 467. 15 см, 7 см, 23 см, 21 см.
468. 90е. 469. 75е. 470. 30 е, 60е, 120е, 150е. 472. а) 10,5 см, 13,5 см; б) 8,5 см,
15,5 см; в) 8 см, 16 см. 474. 78 см. 475. 56 см или 70 см. 476. a) ZB = ZD = 96°,
ZC = 84°; 6) ZA = ZC = 117°30\ ZB = ZD = 62°30'; в) ZA =ZC = 71°, ZB = ZD = 109°;
r) ZA=ZC= 120°, ZB = ZD = 60°; д) ZA = ZC = 53e, ZB=ZD = 127°. ^SfohiV^.rom/materiallOO
- PQ - 6 см, XP “ QM - 8 cm, ZM = ZP = 60°, ZX = ZQ = 120°. 479. Указа-
ние. Сначала доказать, что BK = DM. 480. Указание. Воспользоваться при-
знаком 2°, п. 49. 482. Указание. Воспользоваться признаком 3”, п. 49.
483. Указание. Воспользоваться признаком 2°, и. 49. 484. Указание. Рас-
смотреть ДАВС с основанием АВ и средней линией MX (М — середина АС,
X — середина ВС). На прямой МЛ’ за точку X отложить отрезок XD, равный
отрезку MN, доказать равенство треугольников MNC и DNB. 487> 2а. Ука-
за н и е. Воспользоваться задачей 486. 489. Указа н ие. Через середину бо-
ковой стороны провести прямую, параллельную основаниям, и воспользовать-
ся задачей 488. 190. ZB =144°, ZD = 63°. 491. Указание, а) Через один из
концов меньшего основания провести прямую, параллельную боковой стороне.
492. Указание, а) Воспользоваться указанием к задаче 191, а; б) через один
из концов меньшего основания провести прямую, параллельную диагонали.
493. 68е’, 112е, 112°. Указание. Воспользоваться задачей 191, а. 494. Ука-
зание. Приложить плитки друг к другу так, чтобы боковые стороны совпали,
меньшее основание плитки лежало на одной прямой с большим основанием дру-
гой плитки. 495. а) 6 см; б) 5 см; 197. Три. 498. Указание. Воспользоваться
задачей 292. 504. а) 198,1см или 122,6 см; б) 23,1 дм или 19,8 дм. 506. 18 см.
507. а) 60е и 120°; б) 30е и 60 е. 508. 42 см. 509. 22е30' и 67°30'. 512. а) Нет;
б) нет; в) да. 511. 24 см. 521. Пересекает сторону CD; 9 см и 5 см. 522. 3 см,
4 см, 3 см. 524. Указание. Воспользоваться задачей 503. 526. Указан и е.
Воспользоваться теоремой о сумме углов выпуклого четырёхугольника и зада-
чей 525. 527. У ка займе. Через точку М провести прямую, параллельную ВХ,
Ответы
и указания
и воспользоваться задачей 488. 528. Указание. Воспользоваться задачей 488.
529* Указан и е* Сначала доказать, что ABKD = ЛВМО. 531* У к а з а н и е.
Воспользоваться задачей 485. 532. 36,8см. Указание. Использовать диаго-
наль BD. 533. Указание. Сначала доказать, что ZXABH = ААМН. 534. 8см.
Указание* Воспользоваться задачей 492, а. 535. У Казание. Через середину
меньшего основания провести прямые, параллельные боковым сторонам, и вос-
пользоваться 1° п. 35. 536. Указание. Пусть EF — отрезок, соединяющий
концы сторон квадратов, выходящих из вершины .4 треугольника ДНО. Рассмо-
треть точку D, симметричную точке А относительно стороны ВС, и доказать, что
/XABD = &EAF. 537. Указание. Воспользоваться тем, что биссектриса равно-
бедренного треугольника, проведенная к основанию, является его осью симме-
трии. 539. Бесконечное множество. 540. Указание. Пусть а и b — взаимно
перпендикулярные оси симметрии фигуры и О точка их пересечения. Снача-
ла доказать, что если точки Л/ и ЛГ, симметричны относительно прямой а, а Л/,
и симметричны относительно прямой &, то М и симметричны относитель-
но точки О.
Глава VII
543. Указание. Пусть О — точка пересечения отрезков ДА/ и ВС. Сначала до-
казать равенство треугольников АВО и МСО* 544. Указание. Провести пер-
пендикуляр EF к прямой ВС и сначала доказать равенство треугольников АВМ
9
и EFM, DCN и КГЛТ. 545. 1) 1,11см2; б) — дм2; в) 18 м2. 546. а) 1см;
16
б) 1,5 дм; в) 2^3 м. 547. а) 2400 мм2; б) 0,24 дм2. 548. а) 27,2 см2; б) 6/2 . см*
в) 21,4 см; г) 2,7 см. 549. а) Увеличится в 2 раза; б) увеличится в '4 "раза;
в) не изменится. 550. а) 25 см и 10 см; б) каждяя сторона равна 3 м.
551. 2200. 552. 360. 553. 12 м. 554. Площадь участка квадратной формы боль-
ше на 900 м-. 555. а) 180 см2; б) 4 см; в) 18 см; г) 9. 556. 156 см2. 557. 84 см2.
558. 18см2. 559. 56,7 см2. 560. я) 10 см; б) 4 см; в) 12 см и 9 см. 561. 12 см2.
562. 115,52 см2. 563. Площадь квадрата больше. 564. а) 38,5 см2; б) 5>Ж см2;
в) 5,4 см; г) 4^2 см. 565. 8 см. 566. 5,625 см. 567. я) 22 см2; б) 1,8 дм2.
568. 14см и 24см. 569. а) 3; б) 252; в) 7. 570. 48см2. 571. Указание. Вос-
пользоваться теоремой и. 37. 572. Площади треугольников равны. 573. Ука-
зание. Сначала разделить сторону ВО ня три равные части. 574. а) 224 см2;
б) 4,6дм2. Указание. Учесть, что диагонали ромба взаимно перпендикуляр-
ны. 575. 6 см и 9 см. 577. а) 2 см2; б) 2.4 см. Указан и е. Воспользоваться
второй теоремой п.58. 578. а) 133 см2; б) 24 см2; в) 72 см2. 579. 54 см*.
580. 4,76 см2. 581. а) 10; б) у61; в) ; г) 16. 582. а) 5; б) 4^2; в) 4>3; г) 2;
Д) 2. 583.	584. а) 12; б) 2; в) 8. 585. 15 см. 586. а) 3^ см; б) см.
2	3
587. а) см2; б) 0,38/3 см2; в) 2-/Г дм2. 588. а) 10 см и 48 см2; б) бТз см
и 27\ 3 см2; в) 7>^2 см и 49 см2. 589. а) 4—; б) 9,6. 590. 8 см, 9,6 см, 9,6 см.
13
591. 13см и 120 см2. 592. 96 см- и 16см. 593. а) 180 см-; б) 48/iT см2;
в) 135 см2. 594. /7. 595. 5 см. 596. а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) нет; е) нет;
Отпеты
и указания
1	2
ж) да. 597. а) 6,72 см; б) 7—см. 606. а) 270 000 м-; б) 0,27 км-. 607. 16—см2.
17	3
608. 20см. 609. 900см2. 610. Указание. Воспользоваться тем, что перпенди-
куляр менв-ше наклонной. 611. Па сторонах ВС и DC квадрата ABCD нужно взять
2	2
точки М и .'V так, чтобы ВМ - —ВС, DN = — DC, и провести прямые AM и Л Л'.
3	3
612. Нет. У к а зание. Сравнить, например, площади треугольников со сторона-
ми 13, 13, 24 и 12, 12, 12. 613. Указание. Использовать метод вспомога-
тельной площади. Соединить точку на основании с вершиной, противолежа-
щей основанию, и воспользоваться тем, что сумма площадей двух получившихся
треугольников равна площади данного треугольника. 614. Указание. Задача
решается аналогично задаче 613. 615. Указание. Доказать, что площадь каж-
дого треугольника равпа половине площади параллелограмма AEDF. 616. а) и
б) Площади треугольников равны, в) Указание. Воспользоваться задачей б)
и второй теоремой п. 58. 617. J-—. 618. 60 м, 14,4 м. 619. 10— см.
V 2	17
620. a) 100V3 см2; б) 18см2. 621. 320 см2. 622. 84см2. Указание. Доказать,
что А. АВС и &.ACD — прямоугольные треугольники. 623. а) 2-13 см2;
б) 529 см2. 624. Л2. 625. а2. 627. 48 см2. 628. (72 Ца2. 629. 30 см2. 630. — см.
7
631. см2. 632. 48 см2. 633. 30 см2. 634. 80 см2. 635. 64 <3 см2.
5
636. 19,14 см2. 637. У кязяни е. Воспользоваться теоремой Пифагора,
б) 24; в) 9; г) 12; д) 21.
Vf&brn/materiallOO
Глава VIII
640. —; нет. 641. а) Да; б) да; в) нет. 643. а) 15 см; б) 10 — . 644. В1) = 8см,
4	3
DC =12 см. 645. ДВ=18см, ДС = 6см. 646, Л'Е = 3,5 см, К К = 2,5 см.
647. CD 14 см, DE 21см. 648. Да. 649. 8,4 см, 10,5 см, 14,7 см. 651. 4,5 м.
652. 175 см2 и 252 см2. 653. 87,5 км2. 655. 2,5. 656. 6см, 8см, 12см.
657. х = 9, у = 21. 658. а) ЕГ=5см, ГС = 3,5см; б) DE=5- см, ЕС = 2- см.
7	7
659. а) 10 см; б) —— = —— = —; в) 12 см. 660. а) Не всегда; б) да; в) да.
ОС OD Ь
661* 6 см и 6,5 см. 662. а) 5 см, 5 см, 7,5 см, 7,5 см; б) все четыре стороны рав-
ны -	, 664. а) 17,5 см; б) ВР —5 см, РЕ = 6 см; в) 8 см. 665. Указание,
а + Ь
Если прямые а и ft не параллельны, то через точку А провести прямую, парал-
лельную прямой Ь. 666. Да. 667, а) Да; б) да* 670* -afl - . Указание. Восполь-
а +Л
зоватъея задачей 650. 671. а) —; б) — . Указание. Через точку Р провести
2	4
прямую, параллельную ДА.'* 672. 10см, 673. 5см. 674. 42см. 675. Указа-
ние. Сначала доказать, что середина боковой стороны трапеции лежит па пря-
Ответы
и указания
мой, проходящей через середины диагоналей. 676. 6 см и 12 см. 677. 3S.
678. a) ft = 20, a=4v'41, b= 5/41; б) Л=48, а = 80, 6 = 60; в) а= 12/3, с = 24,
а,. = 18; г) & = 8/3, е = 16, &с = 12; д) h = 2/5, Ъ = з/5,	^ = 4, &(.= 5.
Q *	Ь ‘
679. ас = —,	- —. 680. Указание, а) Воспользоваться формулой для вы-
с	с
числения площади треугольника, б) Воспользоваться задачей 679. 681. 32 мм,
18 мм. 682. 61 см. 683. 1— см, 11 — см. 685. 3,15м.686. 6,936м.687. 6,12м.
13	13
688. 48 м. 689. 72,25 м. 692. Указание. Сначала нос троить треугольник, по-
добный искомому. 693. Указание. См. указание к. задаче 692. 694. Указа-
ние. См. указание к задаче 692. 695. Указание. См. указание к задаче 692.
696. Указание. См. указание к задаче 692. 699. а) и /3; б) и
___________________	2	3	2
в) - и /3; г) и	700. а) —, 90= В, —; б) = 8.39 см, 40°,
2	4	15	tgp	ship
= 13,05 см. 701. a) frtgu, 90- tx, —-—; б) ~ 11 см, 48”, = 16 см. 702. 90" - а,
сова
с si па, с сова; 55е, =14см, =20см. 703. Va2+62, tga	—, tgp —; =19,
b	a
-38’39', --51=21'. 704. a) t»2sinacosa; 6) —a2tga. 705. 8tga cm2. 706. »74м.
4
707. 60е, 120 = , 60°, и 120 = . 708. 60= и 30’. 709. = 72 см2. 710. AjBt = 4,5 см,
„ Л 7	.	Скачан с vk.com/materiallOO
В, С, -6,75 см. /12. —, 713. 18 см, 12 см. 714. Указание. Воспользоваться
8
задачей 642. 715. Указание. Воспользоваться задачей 642. 716. 16,8 ем,
11 см. 7—см. 718. х=	719. Указание. Сначала доказать, что:
9	а - b
а) ДЛ/W Д/ЦВрИр б) ДД/iJ/ ДА1В1//1. 720. DC = 2- см, DB = 2/13 см,
3
СВ = —х 61 см. Указание. Сначала доказать, что AADC OJ t\BAD. 721. ——.
3	a I b
725. Указание. Пусть точка В лежит между С и D. К треугольникам ABD
гг ACD дважды применить следствие 2 из первой теоремы п. 58. 726. Указа-
ние. Воспользоваться задачей 642. 727. — since. 728. 60 см2. 729. /С - 150°,
2
ZD = 30°.	731. 18см2.	732. Указание. Воспользоваться задачей 642.
736. Указ ани е. Воспользоваться задачей п. 69.
Глава IX
742. О А и АС. 744. — см. 745. 12/3 ем. 749. а) Да.; б) нет; в) да. 750. 3, 4,
2
5, 6, 7. 751. 4. 752. 16. 753. 1, 2, 3, 4, 5. 755. а) Две; б) три; в) четыре;
г) одну; д) ни одной. 756. а) 2г, 60°; б) г, 60°. 757. Зг. 758. Указание. Пусть
О] и О2 — центры окружностей с радиусами R и г (7?>г), </ = О1Оа. На луч:е О/.)2
Ответы
390 и указания
отложить отрезок С^А^Л и доказать, что А7 принадлежит каждой из двух
окружностей* Далее доказать, что все точки одной окружности являются внеш-
ними относительно другой окружности. 759. Указание* Доказать, что все точки
одной окружности являются внешними относительно другой окружности.
763. а) 16; б) 16\’2; в) 32. 764. 112е и 248е. 765. 15V3 см. 767. а) 643;
б) 175й; в) 34°; г) 105°. 768. 60е и 30; или 140° и 110°. 769. 101е или 36й.
770. 50°. 771. a) ZA = 67 я, ZB = 23я, ZC = 90я; б) ZA = 55°, ZB = 35°, ZC = 90°,
772. ZA = 51°, ZB = ZC = 64*30' или ZA = 129°, ZB = ZC = 25°30'. 773. 20°20',
34 50'. 775. 36". 776. 44J. 777. 62е. 783. a) 45°; 6) 45°; в) 60°; г) 135е; л) 45е;
е) 45я; ж) 45". 784. 30см. 787. 60см2. 788. 1,2см. 791. Указание. Восполь-
зоваться свойством углов вписанного четырёхугольника. 792. Указание. Вос-
пользоваться задачей 774. 793. У к аз анис. Воспользоваться вторым утвержде-
нием п. 83. 794. Указание. Воспользоваться тем, что центр окружности,
вписанной в четырёхугольник, равноудалён от всех его сторон. 795. Указа-
ние. В(м-пользоваться тем, что центр окружности, описанной около четырёх-
угольника, равноудалён от всех его вершин. 796. Указание. Воспользоваться
тем, что цептр окружности принадлежит биссектрисам односторонних углов, об-
разованных нри пересечении данных параллельных прямых секущей. 797. Ука-
зание. Построить общую касательную окружностей в точке А, пересекающую
внешнюю касательную в точке Р и доказать, например, что ЛР — медиана
треугольника КЛМ, равная половине стороны КМ. 798. a) yfd2 ~(R -г)2;
б) -( Я + т}2. 801. Указание. Рассмотреть углы треугольника CBD. Вос-
пользоваться теоремой о вписанном угле (п. 80) и тем, что сумма градусных мер
дуг ЛВ данных окружностей нс зависит от выбора прямой т. 802*	£ Жх>т/material 100
ни е. Сначала рассмотреть углы треугольника СВК и применить теорему 3 п. 81.
Затем воспользоваться теоремой о	вписанном	угле (п.	80)	и задачей	801.
803* Указание* Сначала доказать, что угол ACD вдвое больше угла ABD	и яв-
onr	2S S	3S	as	ab
ляется внешним углом треугольника	BCD. 805.	—, —,	—,	—. 808. ------.
5г Зг 5г Зг	и + b
809. У к аз яние. Воспользоваться свойством углов вписанного четырёхугольни-
ка* 811. Указание* Воспользоваться задачей 810. 812. Указание. Восполь-
зоваться задачей 810. 813. Сначала доказать, что около четырёхугольника
МН ВС можно описать окружность. 814. 5 см. 815. Указание. Воспользовать-
ся задачами 791 и 804. 816.	* 817. Указание. Использовать серединный
перпендикуляр к отрезку АВ. 818. Указание. Воспользоваться задачей 289.
819. Указание* Воспользоваться задачей 794. 820. Указание* Пусть а и
Р градусные меры двух противоположных углов данного четырехугольника.
Тогда а I р =180°. Сначала доказать, что градусные меры дуг вписанной в дан-
ный четырёхугольник окружности, заключённые внутри углов с этими градус-
ными мерами, равны соответственно 180е а и 180е р. Далее воспользоваться
теоремой 1 н. 81. 821. У к а за ни в* Воспользоваться теоремой 1 н. 81. 822. Ука-
зание* Воспользовавшись теоремой 1 п. 81, доказать, например, перпендику-
лярность хорд ВВ{ и AjCp 823* Указание. Сначала доказать, например, ра-
венство углов ВСС} и ВАА1в Далее, используя равенство дуг, на которые
опираются эти углы, обосновать равенство углов С^В^В и А^В^В.
Ответы
и указания
Задачи повышенной трудности
824* Указание* Продолжив через одну стороны данного шестиугольника,, по-
лучить равносторонний треугольник. 825. Указание. Сначала доказать, что
+ а2 - ~ + Я4 ~ <*!> - 5 * аб + а 1- Затем построить равносторонний тре-
угольник, сторона которого + а2 + и воспользоваться задачей 824*
827. Указание. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник. Учесть, что вер-
шина С лежит внутри угля. BAD, поэтому луч АС проходит внутри этого угла и,
следовательно, пересекает отрезок BD* Аналогично рассмотреть луч /JD и угол
АВС. 828. Указание. Если данный четырехугольник ABCD выпуклый, то
воспользоваться задачей 827. Если ABCD — невыпуклый четырёхугольник и,
например, прямая АВ пересекает сторону CD в точке Л/, то рассмотреть два слу-
чая: А — точка отрезка МВ и В — точка отрезка АЛ/. 829. —. Указание.
4
Пусть Р точка пересечения прямых DE и АВ, DO || АС и О е АВ. Сначала
доказать, что АРЕ, АОВ, POD — равнобедренные треугольники. 830. Указа-
„	Ь — е	Ь+с-а
ние. Сначала доказать неравенства та < -  и та <-----, где а, Ь, с — сто-
роны треугольника, т„ — медиана, проведенная к стороне а. 831. Указание.
Сначала доказать, что диагонали данного четырёхугольника точкой пересечения
делятся пополам. 832. Прямая, параллельная данной прямой. 833. У к а з а н п е.
Воспользоваться задачами 491, а и 492, а. 834. Указание. Воспользоваться
задачами 524 и 503. 835. Указание. Пусть Ot, О2, О3, О4 — точки пересече-
ния диагоналей квадрата, построенных на сторонах АВ, ВС, CD и DA данного
параллелограмма ABCD. Сначала доказать равенство треугольников AOjOt,
ВО}О2, СО2О3, DO'Pa. 836. Указание. Па луче АВ отложит£кЙ4^Й!§^-сЯР^а1ег’а'100
равный отрезку AM, провести отрезок MN и провести высоту NS треугольни-
ка А Л/Л'. Затем доказать, что AAA'S - AAf AD и САКВ - AN MS. 837. 90".
Указание. Пусть Dt — точка, симметричная точке D относительно точки Е.
Сначала доказать, что '\АСВ1 — равнобедренный прямоугольный треугольник
838. 30г:. Указание. На луче AM отложить отрезок АК АВ и. рассмотрев
С.ВКС, доказать, что точка К совпадает с точкой Af. 839. Указание. Сначала
доказать, что СВКР - С.АВС = C.CQT. 840. Указание. Сначала построить
равнобедренный треугольник, основание которого равно сумме оснований трапе-
ции, а боковая сторона равна диагонали трапеции. 841. Указание. Воспользо-
ваться задачей 393. 842. Указание. Воспользоваться равенством треугольни-
ков АВС и ADC, АРМ и ATM, MQC и МКС. Для доказательства обратного
утверждения предположить, что точка М не лежит на АС, и доказать, что тогда
0*0 S .8 (S + S )(S +
площади параллелограммов не равны. 843. —!—-—!—;—  =----—. Указание.
3
Воспользоваться следствием 2 и. 58. 841, I	) . У казан и с. Восполь-
зоваться второй теоремой п. 58* 845* 1 * 846* Указание* Пусть АВ — боко-
5
вая сторона, а М — середина другой боковой стороны трапеции ABCD. Сначала
доказать, что SA^j	^47, (7*^1 +	) • Указание. Сначала дока-
зать, что SA(-)H - Scon -	848. Указание. Сначала доказать, что пло-
Ответы
392 и укхиания
щадь параллелограмма, стороной которого является меньшее основание трапе-
ции. равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к этому
основанию и к боковым сторонам трапеции. 849. Указание. Сначала дока-
зать, что S.lKXI = и SBKX.r = Я850. Указание. Сначала доказать,
что SABD - SEDC и SBDK =&cdk • 851. Указание. В каждом из трёх получив-
шихся четырёхугольников провести диагонали так. чтобы никакие две диаго-
нали не имели общего конца, и доказать, что площадь каждого из двух сред-
них треугольников равна полусумме площадей соответствующих крайних
треугольников. 852. Указание. Сначала доказать, что	+ &ксв*
853. 2J-———. У к аз анис. Пусть АВ и AD перпендикуляры, нровсдён-
V 3
ные к прямым, содержащим стороны данного угла О, а С — точка пересечения
прямых АВ и OD. Рассмотреть прямоугольные треугольники ADC и ОВС.
854. 2yjS}S2- У к а займе. Учесть, что треугольники ВКС и MCD имеют но рав-
ному углу, и воспользоваться второй теоремой п. 58. 855. Указание. Сначала
доказать, что площади треугольников ВТС и ЕТС равны. 856. - . Указан не.
2
Сначала доказать, что площади треугольников DCK и DCM равны, а затем до-
казать, что 2ГМ || DC. 857. хМ2 с2 Ь2. Указание. Через точку Л£ провести
прямые, параллельные сторонам прямоугольника, и рассмотреть образовавшие-
ся прямоугольные треугольники. 858. Указание. Пусть АВ - с, ВС- а,
BD - h. Используя теорему Пифагора, доказать, что МВ = КВ = уя 2 - е2 - й ".
859. Указание. Провести перпендикуляры ОМ и ON к сторонам АС и СВ и
1	г J	скачан с vk.com/matenallOO
доказать, что ОМ - — СВ, ON = — АС. Далее воспользоваться теоремой Пифаго-
ра для треугольников ЛОМ, BCXV и СОМ. 860. б) Указание. Сначала дока-
зать, что DF = 1)Е и AF - FE. Затем воспользоваться подобием треугольни-
ков AED и AFE. 861. Указание. Пусть А К — биссектриса треугольника АВС
и, например, АС > АВ. Пользуясь задачей 642, сначала доказать, что точка М
лежит между точкам К и С. Затем воспользоваться задачей 663. 862. Указа-
ние. Воспользоваться утверждением: отрезок, соединяющий основания двух
высот остроугольного треугольника, отсекает от пего треугольник, подобный
этому треугольнику- 863. Указание. Сначала доказать, что ДМВС J .\AfFK
и ДЛ/АС г ДМ ЕК, где .V/ — точка пересечения прямых СК и АВ. 864,
<2
---а.
2
Указание. Пусть АВС — данный треугольник, а В — точка пересечения
диагоналей квадрата, построенного на гипотенузе ВС. На продолжении луча СА
отметить точку Е так, чтобы ZCDE=£ADB. Сначала доказать, что
&ABD &ECD. 865. Указание. Пусть RD и СЕ — биссектрисы треугольника
ЛВС. Сначала доказать, что ZC = 2zB, ZB - 2ZA, а затем доказать, что
ДАВС 041 ДВОС и ДАВС ™ ДАСВ. 866. Указание. Пусть Е и F — точки
пересечения МР и MQ с ОВ и ОА. Воспользоваться подобием треугольников
OPR и OFQ, OQS и ОЕР для доказательства того, что треугольники OEF и
ORS подобны. 867. Указание. Воспользоваться тем, что АН — медиана тре-
угольника, подобного треугольнику BDH. 868. Указание, а) Рассматривая
подобные треугольники, сначала доказать, что AD2 - АС • АЕ, DB2 ВС • BF
Ответы
и указания
2
n CD" = AD - DB. б) Применить теорему Пифагора к треугольникам AED и DFB.
в) Воспользоваться подобием треугольников AED и АСВ. 869. a) z А 75°,
АВ 135°, АС 60, Z D 90 . б) Указание. Учесть, что треугольники АВР
и DAB подобны. 870. Указание. Воспользоваться задачей 486. 871. Указа-
ние. Пусть MN — отрезок, соединяющий середины сторон АД и ВС данного
четырёхугольника ABCD. Отметить точку симметричную точке D относи-
тельно точки и рассмотреть AABD}. 872. Указание. Воспользоваться за-
дачей 871. 873. Указание. Воспользоваться задачей 871. 874. Указан и е.
Воспользоваться теоремой о средней линии треугольника, свойством 4 п. 35
и задачей 833. 875. Указание. Продолжить перпендикуляры AM и ЛК до
пересечения с прямой ВС в точках D и Е и сначала доказать, что МК средняя
линия треугольника DAE. 876. Указание. Воспользоваться задачей 531.
877. Указание. Воспользоваться задачей 876. 878. Указание. Пусть точ-
ка У середина АС. Доказать сначала, что треугольники МВС и МЛ7С равны и
ВУ — средняя линия треугольника АКС. Далее воспользоваться следствием 2,
п. 58. 879. Указание. Через концы одной из медиан треугольника АВС про-
вести прямые, параллельные двум другим медианам, и воспользоваться тем,
что образовавшийся при этом треугольник равен треугольнику EFG. 880. — .
5
881. Указан и е. Воспользоваться подобием треугольников MND и МАВ, МAD
и МРВ. 882. Указание. Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, X — ис-
комая точка большего основания АП, а АВ данная боковая сторона. Снача-
ла доказать, что = л, и воспользоваться задачей 690. 883. Указание. На
XD
произвольном луче с началом в точке А откладываем отрезок аЬ^^Й^Йг^1^-	11
резку АС, и па луче CLA от точки Ci — отрезок CjBj, равный отрезку СВ (сде-
лайте рисунок). Убедитесь в том, что прямая, проходящая через точку С1? и па-
раллельная прямой BBV пересекает прямую АВ в искомой точке D. Задача не
имеет решения, если С — середина отрезка АВ. 884. Указание. Сначала по-
строить какой-нибудь равнобедренный треугольник но данному углу. 885. Ука-
зание. Пусть АВС — искомый треугольник, у которого даны стороны АВ, АС
и биссектриса AD. Па прямой AD отметить точку Е так, чтобы BE || АС. Вос-
пользовавшись подобием треугольников ADC и EDB и задачей 642, построить
сначала отрезок DE, а зятем треугольник АВЕ по трем сторонам. 886. Указа-
ние. Сначала построить какой-нибудь треугольник, подобный искомому тре-
угольнику АВС. 887. Указание. Пусть	he - данные высоты. Восполь-
зоваться тем, что стороны а, b и с искомого треугольника пропорциональны
h * h
отрезкам hh. и —------ . 888. Указание. Пусть ABCD — искомая трапеция,
у которой известны ZA, боковая сторона АВ и большее основание AD. Сначала
построить ДАВО, а затем ABCD по углу В, стороне BD и отношению двух сто-
рон. 889. Указание. Сначала выразить диагонали искомого ромба через сторо-
ну данного квадрата и данные отрезки. 890. Указание. Сначала построить
прямую ВК, параллельную стороне АС треугольника АВС и пересекающую дан-
ную прямую m в точке и доказать подобие треугольников ACjBj и BQ/С,
я также КВАХ и B^Ai- 892. Указание. Сначала предположить, что прямая
A,Q пересекает прямую АС в точке В2. Тогда для точек А,, В, и С,справедливо
Ответы
и указания
утверждение задачи 890. Учитывая данное в условии равенство, получить
СВ2:ВЛ СВУ: ВХА. Обозначив полученные отношения t, выразить АС двумя
способами через ЛВ2 и ЛВХ и обосновать совпадение точек и В 2. 893. У к аз а -
ние. Пусть прямые AAt, ВВХ и CCt пересекаются в точке М. Воспользоваться
задачей 890 для треугольника АВВХ и прямой СО,, а также для треугольника
СВВХ и прямой ЛЛХ, затем умножить одно равенство на другое. 894. Указа-
ние. Пусть прямые АА{ и ОС, пересекаются в точке М, а прямые ВМ и АС —
в точке В.х. Обосновать совпадение точек Вх и В.х (см. указание к задаче 892).
895. Указание. Пусть Лй и Вх — точки пересечения прямых АЕ и ВК соот-
ветственно со сторонами ВС и АС треугольника АВС', ВС=а, АС = Ь. Сначала
доказать подобие треугольников АВХК и СВХВ, а также треугольников ВА^Е
и СЛ2Л. Затем воспользоваться задачей 894 для треугольника ЛВС и прямых
.4.4], ВВХ и АН. Учесть, что ВН : НА = и~ : /' (см. свойство 2 н. 71). 896. Ука-
зание. Воспользоваться задачей 893 для треугольника АССХ и прямой ВВХ,
а также для треугольника ВСС,и прямой АЛ.. Выразить из них и сложить от-
ношения САг : A jB и СВ[ : ВХА. 897. У казан не. Воспользоваться задачами 896
и 642. 898. Указание. Воспользоваться задачей 894 и свойством отрезков ка-
сательных к окружности, проведённых из одной точки (п. 42). 899. Указа-
ние. Сначала воспользоваться свойством отрезков касательных к окружности,
проведённых из одной точки (п. 42) и доказать, что длины отрезков от вершин
треугольника до точек касания вневписанных окружностей со сторонами тре-
угольника равны р а, р Ь, р с, где а, Ъ, с длины сторон треугольника и
р его полупериметр. Зятем воспользоваться задачей 894. 900. Указание. Ис-
пользовать общую касательную к данным окружностям. 901. Указание. Сна-
чала доказать, что ААВС A.BAD. 902. Указание. ВосиользовахМейа14'^9{|Шют materiallOO
мой 1 п. 81. 903. Указание. Рассмотреть два слушая: точка пересечения
прямых лежит вне окружности и внутри окружности. В первом случае пусть
S точка пересечения прямых, содержащих равные хорды АВ и CD окружно-
сти, причём точка В лежит ня отрезке AS, а точка D — на отрезке CS. Восполь-
зоваться задачей 764, а и следствием 1 и. 80 и доказать, что Z.SAC — Z.SCA.
904. Указание. Доказать, что эта величина равна диаметру данной окружно-
сти. 905. У к а з а ни е. Из точек О, и О . провести перпендикуляры ОХНХ и
к прямой ВС и сравнить расстояние между параллельными прямыми О, Нх и
ОгН2 с длиной отрезка О|О2- 906. Указание. Пусть CD является диаметром,
перпендикулярным к диаметру АВ данной окружности. Искомое множество то-
чек состоит из двух окружностей, построенных на отрезках ОС и OD как на диа-
метрах. 907. 146е и 107°. Указание. Сначала, доказать, что точка Af лежит на
окружности с центром А радиуса АВ. 908. Указание. Сначала доказать, что
проведённые прямые, которые образуют новый треугольник, являются биссек-
трисами внешних углов треугольника, и воспользоваться теоремой о биссектрисе
угла (п. 39). 909. Указание. Для того чтобы доказать, что А1 лежит на опи-
санной окружности, сначала надо установить равенство ZAjCB - ZBAAP "Гон-
ка Л2 симметрична точке А2 относительно серединного перпендикуляра к сторо-
не ВС треугольника АВС, поэтому также лежит на описанной окружности.
Аналогично для остальных точек, 910. Указание. Пусть К — точка пересече-
ния луча BD с окружностью, описанной около треугольника АВС. Воспользо-
ваться подобием треугольников АВЕ и BCD. 911. Указание. Сначала дока-
зать, что ОЕ — серединный перпендикуляр к отрезку АС. 912. Указание.
Ответы
и указания
Пусть ХС ХА и ХС ХВ. Отложить на отрезке ХС отрезок ХЛ, равный от-
резку ХА, учесть, что ZAXC = 60’, и доказать равенство треугольников АХВ
и ADC. 913. Указание. Пусть ABCD — данный четырёхугольник. Провести
диаметр ВВ1 и сначала доказать, что АВу CD. 914. У к аза ни е. Через точку
пересечения указанных биссектрис провести прямую параллельную АВ, до пере-
сечения с прямыми AD и ВС в точках Е и F и доказать, что EF - DC. 915. Ука-
зание. Пусть ABCD — данная трапеция, описанная около окружности радиу-
са г, a AD = а, ВС = Ъ — сё основания. Сначала доказать, что г = tlf> .
а + Ь
916. Указание. В четырёхугольнике ABCD на диагонали АС взять такую точ-
ку К, что z АВК - XCBD, и далее использовать подобие треугольников АВК
и ВВС, ВСК и ABD. 917. Указание. Через центр М вписанной окружности
провести диаметр PQ описанной окружности и сначала доказать, что
РМ • MQ - 2Rr. 918. Указание. Доказать, что точки Ар В1? Ср А2, В2, С2,
Ан, В3, С3 лежат на окружности с центром в середине отрезка ОН радиуса —,
где Н — радиус окружности, описанной около треугольника АВС. 919. Указа-
ние. Пусть ЛВС — данный треугольник, а Н, К и М — основания перпендику-
ляров, проведенных из точки D описанной окружности к прямым АВ, АС и ВС.
Допустим, что луч £>Х лежит внутри угла НОМ. Сначала доказать, что
^АКН = лА1)Н = AMDC - ЛМКС. 920. Указание. Пусть Oj и О2 — цен-
тры данных окружностей, а и г2 их радиусы, причём q > г2. Построить две
окружности с центрами Ot и О2 радиусов соответственно - r2, rj 4- и вос-
пользоваться решением задачи 761. 921. Указание. Сначала построить две
окружности радиуса P2Q 2 с центром Л/ и радиуса ОА с центром CAkxorg^natenallOU
редина какой-нибудь хорды данной окружности, равной отрезку PiQp Затем вос-
пользоваться задачей 920. 922. Указание. Сначала доказать, что наименьшей
будет хорда, перпендикулярная к диаметру, проходящему через данную точку.
923. а) У к я зяние. Сначала построить какой-нибудь треугольник по данной сто-
роне и противолежащему углу, затем описать около него окружность и воспользо-
ваться следствием 1, н. 80. б) Указание. Пусть АВС — искомый треугольник,
ZB — данный угол. На продолжении луча АС отложить отрезок A At = АВ, на
продолжении луча СА — отрезок ВС. Пользуясь задачей 923. а, сначала
построить AAjBBj. 921. Указание. Пусть PQR искомый треугольник, Р
вершина, из которой проведены высота, биссектриса и медиана треугольника,
а О — центр описанной около треугольника окружности. Учесть, что /30 1 QR.
925. Четыре решения. Указан ие. Воспользоваться задачей 908.
9 класс
Глава X
930. В случае б). 932. Скорость, сила. 933. |« = 3 см, ВС| = 4см, | ОС = 3 см,
|МС,= 718,25 см, | МА |-1,5 см, СВ| = 4см, |АС| = 5см. 934. | ВО | = 13 см,
|СО| = 5 72 см, |АС|~ 74 см. 936. а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 937. а) Нет;
б) да; в) нет; г) нет; д) да. 939. а) Ромб; б) трапеция. 940. а) да; б) да;
в) нет; г) нет; д) да. 941. Да. 948. Указание. Воспользоваться неравенством
Ответы
и указания
треугольника. 950.	а) а; б) аУЗ; в) аУЗ; г) а; д) а.	951. а) -2	и 10; б)	14
и 10; в) 11 и 10; г)	-2 и 10. 952. а) АК; б) AM. 954.	XY = -а	(-5) I 7i	d.
955. в) -{?.	956.	ВМ =- а, NC - b, MN = ~b -	a, BN =(Ь^ а) -	а.
957. НС| = х, ВВ1	= х - у, В А = - у, ВС = х - у + х . 958. а)	АС = а +	b ;
б) АС =-а - b ; в) АС =~а - b .	959. £>С+СВ=<Г-Ь, ВО ч ОС = Ь,
ВО - ОС = - а, В А - DA - - а + Ь. 961. Равенство х - у | = | х | +1 у справедли-
во, если х 1*4 у или хотя бы один из векторов х и у нулевой. 962. 60 .
- Ь. 972. а) АС = х + у, АО = —(х 4- у),
2
х), AD + ВС = 2х, AD + СО = -(7 - у),
2
969. а) 4/;.; б) -т + -я; в)--т--я. 970. ЕС = ~а - - b, AG = ~a--b.
2	2	3	2	2	2
971. AM = -7 + b, MD =-~a
4	4
CO = --(*+ y], DO =-(y
2	2
CO + О A = -x - у;	6) AM = — x, MC = — x + у, BM = — x - y,
3	3	3
OAf =	y. 974. ААл = ^(7 4- ft), BB, -—~a b, CCr =-~a +~b.
6	2 ‘	2	2	2
3 “•	1
975.	— a  — b. 978. Указание. Воспользоваться задачей 973. 981. 10см.
4	4
982. 6,8 см и 10,2 см. 983. 30 см. 984. 16 см. 986. 60 , 60°, 120°, 120\
987. 7см. 989. Указание. Если векторы х и у не коллинеарны, то вос-
пользоваться правилом т(>еугольника сложения векторов, и, если	materiallOO
неарны задачей 988. 990. -а +—6. 991. XY = — а 4- — b, МР = а 4- Ь.
3	5	5
992. СК = a, KD = b а , ВС = — b - — а. 996. — а . 997. Указание. Вое-
2	2	4
пользоваться теоремой п. 39.
Глава XI
998. я.) -1; 6) 20; в) -1; г) 5. 999. я.) 2; б) - ; в) ; г) 1; д) -1; е)
2	2	4
4
ж) 3; з) —; и) число k не существует. 1000. я) Да; б) да. 1001. Указание.
3
Доказательство провести методом от противного и воспользоваться леммой о кол-
4 -*	4
линеарных векторах. 1002. AM а • Ь. 1003. а) х U у - 3; б) х -4,
5	5
у - 5; в) х О. у =3; г) х - 1, у =	1005. а) а {2 3}; б) Ь\-2; 3},
3
с J2; 0); в) d\ -3; -4’, 7{ 2; -2}, 7{ 4; о}. 1006. а) а {2; 3’ , д’ 2
с{8;0}, </{1; -1[, е ‘ 0; -2[, /{-1; 0J. 1007. а) х - -3 i-у j; б) ~у - -2 i - 3j;
5
в) z = - i ; г) и = 3/ ; д) и = j . 1008. а) х = 5, у - -2; б) х = -3, у = 7;
Ответы
и укамния
397
r) jc -4, у = 0; г) х - О, у - 0. 1009. а) {5 7}; б) {4; 1}; в) [ 1; 1};
г) [-1:0). 1010. а) {3;2[; б) {6; 0}; в) {-1; 9}; г) {-7;-2}. 1011. 2а {6; 4),
За {9; 6}, -а{-3; -2J, -За{-9;-6}. 1012. {-2;-4}, {2:0}, {0;0}, {2;3},
{ 2 3}, [О;-5}. 1013. а) [21; -21); 6} {13:24;; в) {-21: -14}; г) [8; -10}.
1014. Указание. Воспользоваться леммой о коллинеарных векторах. 1015. а
и/, b и d. 1016. а) А(5; 0), В(0; 3), 0(0; 0); б) А(а; 0), В(0; 6), 0(0; 0),
С(а; 6). 1017. «{100,75}.	1018. М(3 3), Л(3; 3),	Q{	3; 3) или Л7(3;	3),
N(-3; -3), 0(3; 3). 1019.	Л(	а; ty, 0), С(0;6). 1020.	(7 ;	3). 1021. а) [-4	0};
б) {0: 26}; в) {3 4[;	г)	{ 4; 3}. 1022. 1) АВ {1;	1{; 2) х = 3, у =-4;
3) А(6; 1,5); 4) В(а < с;	b +	d); 5) В(1; 2). 1023. 1) Aff-у;	-1 j; 2) А( 10;	11);
у 2	/
3) В(6; -11); 4) М(-1,5; 3,5); 5) В(2а - с; 26 - d); 6) М(3; 6,5); 7) M(2t I 6; 0);
8) B(-l; -3). 1024. С(10; -7), 0(7,5; -5). 1025. a) vl06; б) 5; в) 10ч2;
г) <389; д) 1172; е) 10. 1026. а) 2; б) 3; в) х13. 1027. а) 4; б) 8; в) 5; г) 5.
1028. я) 782 + 2v 17 + 772. 1029. 713. 1030. АС=	fiC = № + А2.
1031. АС= \(6 + d - а)2 + с2, ОС= \j(b+ d)2 + с2. 1032. а) 2; б) 3 или -2,6.
1033. а) 13; б) 6. 1034. а) МР= З7б, ArQ = 5; б) МР= 472,	NQ=2>/2.
1035. Указание. Доказать, что отрезки АС и BD равиы и их середины со-
впадают. а) 8; б) 17. 1036. 3600м. 1037. 4400м. 1040. 100 CM,Q^%fey^WmatenallOO
за ние. Систему координат выбрать так, как показано на рисунке 315.
1041. 13 см. Указание. Систему координат выбрать так, чтобы основание тре-
угольника лежало на оси Ох, а высота — на оси Оу. 1042. Указ ан и е. Систему
координат выбрать так, чтобы одно из оснований трапеции лежало на оси Ох,
а его копны были симметричны относительно начала координат. 1043. У к а -
в а н и е. Систему к<х>рдинат выбрать так, как показано на рисунке 319, и доказать,
что b 0. 1044. Указание. Систему координат выбрать так, чтобы лучи ЛВ и
AD были положительными полуосями. 1046. а) Л и С; б) В; в) В и 2X 1047. а) С;
б) В; в) А и D. 1049. а) (-4; -3), (-4; 3); б) (4; 3), (-4; 3). 1050. а) (3; 0),
(3; 10); б) (-2; 5), (8; 5). 1051. 1) х2+у2 = 9; 2) х2 +у2 = 2; 3) х2 iy2=—.
4
1052. а) х2 - (у -5)2 -9; б) (х+1)2 -(1/-2)2 = 4; в) (х + 3>2-^(i/ +7)2 = —;
4
г) (х 4)2 I (у I З)2 = 100.	1053. х2 \у2 =10.	1054. х2 (у 6)2 = 25.
1055. а) (х-2)2-({/-I)2 = 41; б) (x-3)2+(i/ I)2 = 5.	1056. (r-5)2+.v 2 25,
(х+З)2 + р2 = 25; две окружности. 1057. х2 + (у - 4)2 - 25. 1058. б) х + у-7- 0;
в) Зх-2у + 2 = 0.	1059. 7х— у+ 3 = 0.	1060. а) х —у = 0, у-1 = 0;
б) Зх 5у + 5 = 0. 1061. х = 2 и
5х-2у —10 = 0, 5х + 2у + 10 = 0,
у = 5.	1063. 7.	1064. 5х + 2у 10 = 0,
5х-2у+10 = 0 или 2х + 5у-10 = 0,
2х —5у-10 = 0,
2х - 5у + 10 = 0.
3
398
2х + 5у + 10 = 0,
радиуса 4 с центром В; б) окружность радиуса
1070. а) Окружность
центром В, лежащим
Ответы
и указания
на отрезке ВС\ причём BD = — . 1071- Окружность с центром в точке О радиуса
,_______	3
I k “ -	. о п 9	f ’ о 2 гъ
j------- , если k > 2а , и точка О, если А ~ 2а \ где О — середина отрезка
V 2
ЛИ
АВ и а= —. Если А’2 <5Ъ2, то точек, удовлетворяющих условию задачи, не
2
существует. 1073. Серединный перпендикуляр к отрезку АВ', где В' и В — точ-
ки, симметричные относительно точки А. 1074. Прямая ВС. Указание. Вы-
брать прямоугольную систему координат так, чтобы точки Л и D лежали на оси
Ох и были симметричны относительно оси Оу. 1075. Прямая, проходящая через
точку пересечения диагоналей ромба и перпендикулярная к стороне ромба.
1076. а) х- “ J б) нс существует; и) х= — 2; г) х = 2. 1077. а) '-8; -1]. /б5;
б) {14; 4}, 2/53; в) {-21; 5),
/166; г) {6; -18}, 6x10. 1078. Указание.
Ввести вектор МХМ2 - jq; 0}, отложить от начала координат вектор О А,
равный МХМ2^ и воспользоваться тем, что абсцисса точки А равна х2 -Х|.
1080. У Казани е. Сначала доказать, что АВ = ВС. 1082. (5; 0). 1083. а) (-1; 9),
(0; 2). (-4; 6); б) 5/2; в) з/2, 4/2, 5/2. 1085. 40. 1086. (0; 8) или
(—2; 2) или (-8; 0); три решения. 1087. Окружности я), б), г), д).
/	7 \	( й 1 О G
1088. (х-3)2+(у-5)2 = 25.	1089. а) х + - + у--| -	;	б)(х-3р+
\	2)	\	2/	2
+ (у +2)2 = 25. 1090. а) 5х- Зу + 16= <1 х + 2у 6- 0, 6х у + 10 -0; б) Зх +
+ бу-4 = 0, 2х у 7 0, л+ бу-23=0; в) Зх+5у 17=0, 2xc-^W Jt^Ofn/materiallOO
х+бу-10- 0. 1093. 19,5см,	V261 см, — см или 12,5см,	v'709 см,
/4321	„	-
------см. 1095. У к аз анис. Систему координат выорать так, как показано па
2
рисунке 319. 1096. Указание. На продолжении отрезка отложить отре-
зок АА2 равпый ААР Далее воспользоваться задачей 1039. 1097. а) Окруж-
ность радиуса 2АВ с центром в точке В\ симметричной точке В относительно
4
точки А; б) окружность радиуса — АВ с центром в точке С, лежащем на отрез-
2	3
ке АВ, причём АС = — АВ.
Глава XII
1100. а) —; б) — ;в) 0.1101. а) ±-
2	2	2
Q	ч/ч	1	г—
в) 1; г) --. 1103. —,	-/3,
4	2	2
я/?
1105. а) х - у - —-—; б) х -0, у -1,5;
д) х = /з, у-1. 1106. а) 45"; б) 90";
; б) ±^-; в) 11. 1102. а) 0; б) ;
4	3
/2	/2	X	/З	/З
2	2	2’	2	3
в) х - -	, у - 2,5 г) х = -1, у - 0;
2
в) 150"; г) 135". 1107. а) 45"; б) 135 ;
Ответы
и указания
399
в) 30°; г) 150=; д) 120°. 1108. у = х-5, у=г>-х, (-10; 15). 1109. я) 1 2у6 см2;
б) 27см2; в) «36 см2. 1111. 16см.	1112. 25см2.	1113. а) ;
2 sin а
б) ----Л ~81ПР------. 1114. a) ZC = 80=, п«12,3, б«9,1; б) ZB = 75°, с«4,5,
2 sinn sin(a + (!)
а « 2,3; в) ZB« 37,989-« 37= 59, ZC * 62 0Г, с «14; г) ZA - 65=, 2? = 19,2,
с«25,5;д) ZB « 37,317° « 37°19', ZC « 82’41', с « 11; е) с « 5,7, ZA =/В = 63 ;
ж) а = 58,84, _В « 36.296е « 36 18'.	_С«56 42'; з) ZА = 42,833 « 42 50'.
_В • 60.941 = 60 57', ZC « 76 13'; и) ZA = 54,883 м 54=52, ZB « 84,27 к 84 16',
ZC = 40 52. 1115. АВ * 15 см, « 87 см2. 1116. АС = 6 м, АВ « 3 м, ВС« 4 м.
1117. « 39=38', « 117=52' или « 140=22', « 17=08'. 1118. --asinft ------“8ш(3 . ,
sin а - I swfp+
\	2 /	2 /
asin« ainli	а - В	,,	В - а	,,
------------—. где ¥=---------если а > р, и у ------------------, если р > а.
sin(d + |3)cosy	2	2
г	!	t	t	д *4 _ & —
1119. \ а2 - b2 - 2abcosix,	V а2 + 52 - 2абсоз а,	cos у ,	,
У(а2 +• b'Y -4аМсо.ч2а
где у - угол между диагоналями параллелограмма. 1120. а) Остроугольный;
б) прямоугольный; в) тупоугольный. 1121. « 74,2 кг. 1123. «28 см. 1124. 60°
или « 47,112’ « 4Г7'. 1125. «52 м. 1126. «14,5 м. 1127. 50 м. 1128. а) 45е;
б) 90е; в) 90=; г) 90=; д) 180=; с) 90°; ж) 135°; з) 0=. 1129. а) 60е; б) 120°;
в) 120=; г) 90°; д) 0е; с) 180°. ИЗО. а) ЗУ2; б) 0; в) -372. 1131. а) ^а2;
Скачан с vk.eom/materiallOO
б) —а2; в) 0; г) а2. 1132. 13. 1133. а) 25 б) 0; в) 5. 1136. а) х = 7,5;
2
б) х = в) х = 0. 1137. cosA = -, со&В = 0, cosC = -. 1138. ZA = 60=,
3	5	5
ZB« 2Г’47', ZC« 98'13'. 1139. 7129 и 7. 1140. 3. 1141. 13. 1142. -5.
1146.	BE = AD = -J2 + УЗ, АЕ = ЕС = -(2 - УЗ), ВС = Ь^2 - Уз.
2	2	2	2
1147.	а) «6,254 м2; б) «6449073 м2. 1149. a) ZC = 105=, АС «6 см, ВС « 4 см;
б) Z/A=75°, ВС «6 см, АС = 4 см; в) ZC « 42°55', ZB« 88=35', ДС « 4 см;
г) ZA « 26=22', ZCT« 90' 50', АВ «11,7 см. 1150. а) ВС «12 см, ZC «17 45',
ZB « 27=15'; б) АС = Уб дм, ZA « 71=34', ZC « 63=26'; в) АВ « 6,4 дм, ZA « 2°,
2 he cos—
ZB« 28’.	1151. ZZ>« 117’10', ZB« 38’59', ZF« 23’51'.	1152. ---------
b 1 c
Указание. Воспользоваться формулой площади треугольника (п. 104).
1153.	da2 + b2 - 2абсоза.	1154.	1155. 5.	1156. 15 и «24,4.
34
1157.	х = 40. 1158. 36'51'. 1159. 72>/3 см» 12см. 1160. У21. У к азан не. Вос-
пользоваться задачей 1122. 1161. -	, 1164. Указание, я) Вос-
sin.2a
Ответы
и укалитя
пользоваться задачами 612 и 1163; 5) воспользоваться задачей 1163. 1166. Ука-
зание. а) Воспользоваться задачей 1122; б) пусть Ди А2Р,С.г - данные
подобные треугольники, а О, и О3 — центры вписанных окружностей. Сначала
доказать, что ДА1О1В1~ ДА,О,В,.
Глава XIII
1167. а) Да; 6) нет. 1168. 6), в). 1170. а) 60 ; б) 108°; в) 120°; г) 144й; д) 160\
1171. 360°. 1172. а) 3; б) 4; в) 8; г) 12. 1173. а) 6; б) 12; в) 4; г) 10; д) 20;
с) 5. 1174. Указание. Воспользоваться тем, что серединный перпендикуляр
к любой стороне правильного многоугольника проходит через центр описанной
окружности. 1175. Указание. Воспользоваться тем, что биссектриса любого
угла правильного многоугольника проходит через центр вписанной окружности.
1176. 1) R 3<2, г 3, Р 24, 8 36; 2) В 2^2, а4 4, Р 16, S 16;
8)
5)
2)
r=2j2, а4=4>/2, Р = 16л/2, 8 = 32; 4)Я=&5л/2. г = 3,5, а( = 7, 8 = 49;
Я=2>/2, г= 2, а, =4, Р=16. 1177. 1) г=1,5, а3 = зТз, Р = 9^3, S =
.---------------------------------—	.---- 4
B = -V10s/3, ) г=-у1ю4з, а, = 2,1-^- , Р= б.Ь^-; 3) R = 4, ач=4-ГЗ",
3	3	V 3	\ 3
« ю o’ t? 1 о /о" о ^л/з	5>/з о ._ с 25>/з к 2>/з
Р = 12УЗ, 8 = 12V3; 4) П =----------, г =------, Р=15, 8 =-----------; 5) /? =------,
._	2	6	4	3
г = ——-, а3=2, 8 = у'З. 1178. 2^6 см. 1179. 2>/3 см. 1180. 6 см. 1181. 32ТВ см.
3	Г~
1183. а) 36 см2; б) 16>/3 см2; в) 162>/3^ см2; г) = 248,52 см2, 1184ск^а4< wtatom/materiallOO
8
1185. S3 : S4 : S6 = <3 : 4 :6у/з.	1186. 3:4. 1187. а) 2V3r, бТЗг, зТЗг2;
б)	<32?, 3V3J?,	д2. 1188. у/2Р'. 1189. в), г) Указание. Воепользовать-
4
ся задачей 2 п. 117. 1190. 1) 25,12; 2) 18, 84; 3) 13,06; 4) 9; 5) 4,40; 6) 1;
7) 637, 42; 8) 14,65; 9) 0,45. 1191, а) Увеличится в 3 раза; б) уменьшится
в 2 раза; в) увеличится в k раз; г) уменьшится в k раз. 1192. а) Увеличится
,	, као \ 2иа>/з	Г~2 ГТ ч 27гЬ2
в к раз; о) уменьшится в к раз. 1193. а) ------; б) луц +п ; в) .	;
3	уФ 2 -а 2
г) ———; д) 8л. 1194. а) ла; б) nc(V2 1); в) nc(aina+ сона 1); г) — etgu.
а	2
sin —
2
1195. 63 см. 1196. * 12 739 км. 1197. *42 013 км. 1198. а) л см; б) —я см:
2
в)	2л см; г) Зл см. 1199. 30. 1200. =59,2 см. 1201. = 36,2 см. 1202. = 4::35'.
1205. 1) 12,56; 2) 78,5; 3) 1,69; 4) 0,26; 5) 7; 6) 9258,26; 7) 9,42; 8) 1,41.
7С(Д I Ь 2 I
1206. я) Увеличится в & раз; б) уменыпится в k2 раз; 1207. я) ------------------;
ла %in 2а
б) n°fc
. -ь 4Л2) ч	у ла '	rca%in2a	. na2sin%t
--------------; в) —--------	-—1208. а) -; б) --------г; в)
4sin 2и-----------------------------------------------64//2	12 (sina + cosa + I)2
•1| 1 + sin - 'j
2 J
2 ’
Ответ ы
и указания
401
г)	— tg2-. 1209. «34,2м2. 1210. Р« 13,06 м, S« 133.84м2. 1211. 4ясм2.
4	2
1212.	0,75 мм. 1213. 5,6л дм:,« 17,6 дм;!. 1214. г~(к — 2). 1215. Площадь наи-
меньшего круга равна л, а площади колец равны Зя, 5я, 7л. 1217. « 262 см2.
1218. J— . 1219. —-а-. 1221. а) 20; б) 9; в) 5; г) 6. 1222. дм.
V я	4	2
1223. 6,72 см. 1224. я) б) . 1227. 6 см; 54<3 см-’. 1229. 330 км.
8	4
1230. а) «15,1см; б) Яшина. 1231. «4,4 км. 1233. -£0 + 9>?2) см.
65
1234. —тс см. 1236* Указание. Пусть AHCDFFCH — искомый восьмиуголь-
4
ник, а О — центр описанной окружности. Сначала построить равнобедренный
треугольник АВО. 1237. Указание. Использовать теорему Пифагора.
1238. Указание. Сначала вписать в окружность правильный треугольник и
правильный шестиугольник.
Глава XIV
1243. Указание. Воспользоваться тем, что при движении три точки, не лежа-
щие на одной прямой, отображаются на три точки, не лежащие на одной пря-
мой, 1244. Указание. Доказать методом от противного. 1247, Указание.
Воспользоваться теоремой н. 124. 1248. Указание. Доказательство провести
методом от противного (ем. доказательство теоремы н. 121). 1250. Указание.
Воспользоваться задачами 1249 и 1140. 1251. Указание. <{^ESWJfaatenall 00
ить образы каких-нибудь двух точек прямой ft. 1252. F — четырехугольник.
1253. а) и б). 1254. Указание. Если u J|a1, то использовать осевую симме-
трию, а если а || д-| — центральную или осевую симметрии или параллельный
перенос. 1255. Указание. Использовать соответствия, которые можно уста-
новить между точками фигур и F2 и фигур F2 и F3. 1256. Да. 1257. Ука-
зание. Использовать соответствие, которые можно установить между точками
фигуры Р и фигуры Q; б) см. задачу 1255. 1269. Указание. В случае, когда
центр О поворота не принадлежит прямой а, настройте перпендикуляр из точ-
ки О к этой прямой. 1277. Нет. 1278. Нет. 1282. Указание. Использовать
поворот с центром в точке В. 1283. Указание. Использовать поворот с цен-
тром в точке В. 1284. У Казани с. Использовать поворот вокруг центра квадра-
та. 1285. Указание. Использовать поворот вокруг центра квадрата. 1287. Да.
1288. Указание. Использовать точки D} и D2^ симметричные точке D относи-
тельно прямых АВ и ВС. 1290. Указание. Использовать параллельный пере-
нос па вектор AD. 1291. Указание. Учесть, что высоты треугольника, па
который отображается треугольник ABS при параллельном переносе на вектор
ВС, пересекаются в одной точке. 1292. Указание. Использовать поворот во-
круг точки О на угол в 120е. 1293. Указание. Сначала построить прямую,
симметричную одной из данных прямых относительно точки О. 1294. Ука-
зание. Пусть ABCD — искомая гранения с основаниями AD и ВС. Сначала
построить треугольник АСВ,, где В1 — точка, в которую отображается точка D
при параллельном переносе на вектор ВС.
Ответы
и указания
Глава XV
1296. ZA и ZG, ZF и ZAr, ZE и ZM, ZL> и ZL, ZC и ЛК, ЛВ и ЛН\ AF и GiV. FE
и ATM, ED и ML, DC и LK, СВ и КН, ВА и HG. 1298. а) Да; б) нет.
1299. a) ABCD™ АЛВУСЛВ j с коэффициентом —; б) Z4j=9O::, ZC, = 100*;
2
is) АВ, = 8, CD = 5. 1300. х = 5-, у = 6-, 2 = 8-, t = 4 -, а = 145°, 0 = 70.
5’335
1301. Р-с Рг 1302. Да. 1303. а) Нет; б) нет; в) нет; г) да; д) да; е) нет.
1304. 5:2. 1305. 10 см. 1306. 1) * = 3; 2) S2 = 160 см2; 3) St = 24 дм2; 4) k = 2;
5) 8',= 4а см2. 1307. б) к'2а2. 1308. 4,5 м. 1319. Да, кх = 3. 1320. а) Трапеция;
б) пара пересекающихся прямых под углом 303. 1325. а) 4; б) 12; в) 0,25.
1326. 8^2 см. 1329. а) 6см; 6) 7,5см. 1330. Указание. Воспользоваться те-
оремой о произведении отрезкой секущих (п. 136). 1331. Указание. Восполь-
зоваться теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд (п. 136).
1333. а) МД = 5; ДВ=3;б) МА = 6; в) .МД = 1,6. 1335. Указание. Использо-
вать метод решения задачи 2 п. 137. 1336. Указание. Использовать метод
решения задачи. 2 л. 137. 1339. Указание. Использовать способ решения за-
дачи 1 п. 137. 1342. Указание. Пусть Л/ — произвольная точка прямой АВ,
а М’ — её образ. Используя равенства AM AM', ВМ ВМ', доказать, что точ-
ки Af и М' совпадают. 1343. Воспользоваться задачей 1248. 1344. а) Указа-
2	11
ние. Воспользоваться задачей 1250. 1345. а) х= 6 —, i/= 9 —, г — 5—, ос=6Ог,
0=110°; б) х=14, у = 27, z=18, ft = 50°, 0=70'. 1346. 12см, 16см или
15,36см, 11,52 см. 1347. а) 1 : 9; б) 1 : 4. 1348. Указание. Уйсжчанс AiTcm/materiallOO
ДА,В «С.си АД ВС с коэффициентом k = V2. 1350. я) —; б) ; в) ——; г) —.
2	2	2	9
1351. Два решения. 1352. Одно решение. 1359. У к а з а н и е. Использовать спо-
соб решения задачи 1 п. 137. 1360. У к аз а н ие. Воспользоваться теоремой о квад-
рате отрезка касательной к окружности (п. 136). 1361. Указание. Воспользо-
ваться теоремой о квадрате отрезка касательной к окружности (п. 136)
и утверждением 2* п. 71. 1365. У к а зан ие. Использовать задачу 1 п. 137. Центр
расположен на прямой О А, а радиус равен —. 1366. Указание. Использовать
2
свойство медиан треугольника и свойство 1’п. 134. 1367, Указание. Вос-
пользоваться задачей 1366.
Задачи повышенной трудности
1369. Параллелограмм. 1370. Параллелограмм. Указание. Воспользоваться
задачей 1, и. 92. 1371. Указание. Учесть, что длины искторои —и
1ЛВ| |АС|
равны. 1372. Указание. Пусть точки А, В и С лежат на одной прямой. Снача-
ла доказать, что в этом случае АВ ~~ пАС, где п некоторое число. В качестве
Z, т можно взять, например, числа k ?t — 1, I 1, т—п. При доказатель-
стве обратного утверждения взять точку О, совпадающую с точкой А. 1373. Ука-
зание. Пусть в четырёхугольнике ABCD точки Е и F середины диагоналей
АС и BD, яб — точка пересечения отрезков, соединяющих середины противопо-
Ответы
403 и указания
ложных сторон. Используя задачу 979, для произвольной точки О выразить век-
торы ОЕ, OF и OG через О Л, ОВ, ОС, OD и воспользоваться задачей 1372.
1374. Указание. Воспользоваться задачей 1372. 1375. Указание. Пусть А,,
В, и С, — середины сторон ВС, С А и АН треугольника А НС. Пользуясь тем, что
GA~-2GAV ~GB~-2GBy и GC - -2GCV доказать, что GH --2 СО. 1376. Ука-
зание. Использовать координаты середин диагоналей АС и BD. 1377. Указа-
ние. Воспользоваться тем, что отношение соответствующих координат векторов
АС и СВ равно Л. 1378. I Х1 + Х?——; У1 + У2—£®1. Указание. Воспользо-
I 3	3
ваться задачей 1377. 1379. I) I —; — I. Указание. Воспользоваться задачей
til 11 )
1377. 1380. 3^ см. У казан ие. Принять за оси координат прямые АЛ/ и BxV.
x1m1 +	.
77?,	77? 2
I 1382. a) M I' 2 — ; o|; б) M (2; 0).
m, I m2 i тл )	v 4	)
Указание. Воспользоваться тем, что если две точки лежат по разные стороны
от оси абсцисс, то искомая точка является точкой пересечения отрезка с концами
в этих точках и оси абсцисс. 1383. Указание, а) Пусть /. — линия, заданная
данным уравнением, a Af0(x0, t/0) — некоторая сё точка. Накисать уравнение
серединного перпендикуляра к отрезку МХМ>, где А71(х0 А, yG В),
М2 (Xq * Л, у() + В) и убедиться в том, что оно совпадает с данным уравнением,
б) Учесть, что уравнение любой окружности не содержит членов вида кху, где
к — число, k*0. 1384. (1; 0), (-0,6; 0,8),	. 1385. a) OKpyCKaMareylwmiianateriallOO
или пустое множество, б) Прямая, вся плоскость или пустое множество. Ука-
зание. Вывести уравнение искомого множества точек. 1386. Окружность без
одной точки. Указание. Вывести уравнение искомого множества точек, задав
систему координат так, чтобы прямая а совпала с одной из осей координат,
а точка А лежала на другой оси. 1387. Окружность радиуса kR, где R радиус
данной окружности. У к аза ни е. Ввести систему координат с началом в точке О
и вывести уравнение искомого множества. 1388. б) Указание. Воспользовать-
ся теоремой, обратной теореме Пифагора. 1389. Указание. Положив MN=a,
сначала найти площадь треугольника АМВ и стороны АЛ/ и ВМ. 1390. Ука-
зание. Доказать, что в любом выпуклом четырёхугольнике ABCD имеет место
равенство SO2)C 	• SOA1> (О — точка пересечения диагоналей).
1391. Указание. Доказать утверждение сначала для выпуклого четырёхуголь-
ника. Для этого провести диагональ, соединяющую общий конец сторон а и d
с общим концом сторон b и с, и найти площади получившихся треугольников.
1392. Указание. Воспользоваться тем, что ^лвс $лА\В + *’и4|С’
«аЬс + d'Jbc + b 'ud + c ‘‘ad ic2ab + d3ab — a xlc + b de	,	,
1393.	----------------------, I------------------------, где a, b, c, d — сто-
\	ad — be	V	aft + de
роны вписанного четырёхугольника. 1394. Указание. Пользуясь теоремой ко-
синусов, доказать, что синус угла, заключённого между сторонами а и ft, равен
2^/(р- а)(р- &)(р - с)(р - d)	v	л
—----------------------, где р — полупериметр. 139э. Указание. Доказать
ab + cd
Ответы
и указания
сначала, что прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окруж-
ностей» перпендикулярна одной из биссектрис тогда и только тогда, когда впи-
санная окружность касается одной из сторон треугольника в точке, равноудалён-
ной от середины этой стороны и основания высоты, проведённой к этой стороне.
1396» 72sinacos\x, 1397» 2-/StgP. 1398. --— . 1399. Указан и е. Сначала
2Л
найти и сравнить углы ВАС и ЛОВ. 1400. Указание. Воспользоваться зада-
чей 1399. 1401. Указание. Пусть Af — середина отрезка	Доказать, что
треугольник АДА7 равнобедренный, и, пользуясь этим, установить, что центр
о писанной около пятиугольника окружности совпадает с центром окружности,
вписанной в треугольник ACAf. 1402. Указание. Воспользоваться зада-
чей 1400. 1403. Указание. Воспользоваться задачей 1402. 1404. Указание.
Воспользоваться задачей 1403. 1405. Указание. Соединить точку М отрезка-
ми с вершинами многоугольника и представить площадь многоугольника в виде
суммы площадей полученных треугольников. 1406. Указание. Воспользовать-
ся задачей 918. 1411. Указание. Воспользоваться задачей 1248. 1412. Ука-
зание. Построить равные равнобедренные треугольники АВС и А1В1С1 с пря-
мыми углами А и А1 и воспользоваться задачей 1249. 1414. Указание. Пусть
ABCD и	— данные трапеции с большими основаниями ЛВ и ДД*
На лучах АВ и A^Bj отложить отрезки АЕ = DC и AiE1 = D{C t и к треугольни-
кам ВСЕ и В^ДЬ^ применить утверждение задачи 1249. 1415. Указание.
Пусть АВС и А^С, — данные треугольники, ЛВ - А,ВР AC-AtCp
ZB ZC = ZB2 ZC j. Рассмотреть две осевые симметрии относительно прямых,
содержащих высоты АН и AtHt данных треугольников. 1416. Указание. Ис-
пользовать центральную симметрию относительно точки пересеченй&^иагойаст matenallOO
лей одного из параллелограммов. 1417. Указание. Использовать осевую сим-
метрию относительно данной прямой. 1418. Указание. Если точка Л/ лежит
на стороне ОВ, то сначала построить прямую, симметричную прямой АО относи-
тельно точки Af. 1120. Указание. Пусть О точка пересечения медиан ис-
комого треугольника АВС, а 6Д — точка, симметричная точке О относительно
середины стороны АС. Сначала построить ДАОО1. 1421. Указание. Пусть
ABCD искомая трапеция с основаниями АВ и CD. Использовать параллель-
ный перенос на вектор ЛВ. 1422. Указание. Использовать параллельный
перенос на вектор АВ. 1423. Указание. Использовать поворот вокруг точки
А на угол 90°. 1424. Указание. Использовать метод решения задачи 2 п. 137.
1425. Указание. Сначала построить прямоугольный треугольник со сторона-
ми т и п. 1427. Указание* Использовать метод решения задачи 2 п+ 137.
1428. Указание. Воспользоваться теоремой о квадрате отрезка касательной
(и. 136) для каждой окружности. 1429. Указание. Использовать гомотетию
2
с центром в точке пересечения высот и коэффициентом k= — . 1430. Указ а-
3
ние. Пусть Е точка пересечения луча BD с окружностью, описанной около
треугольника АВС. Воспользоваться подобием треугольников АВЕ и BCD.
1431. Указание. Использовать гомотетию с центром в точке пересечения вы-
сот и коэффициентом k = —.
Ответы
и указания
Предметный указатель
Абсцисса точки 253
Аксиома 58
параллельных прямых 60
Аксиомы планиметрии 372
Биссектриса треугольника 31
— угла 13
Боковая сторона равнобедренного
треугольника 35
— — трапеции 126
Вектор 224
— нулевой 225
—. противоположный данному 234
Векторный базис 248
Векторы коллинеарные 226
— противоположно
направленные 226
— сонаправленные 226
Вершина угла 10
Вершины ломаной 6
— многоугольника 7
— треугольника 29
— четырехугольника 122
— — противоположные 122
Взаимное расположение двух
окружностей 191
— — прямой и окружности 189
Внешний угол треугольника 70
— — выпуклого многоугольника 122
Внешняя (внутренняя) область
многоугольника 7
— — — угла 10
Вписанные углы, опирающиеся на
одну и ту же дугу 201
— —, — — полуокружность 202
Вписанный треугольник 102
— угол 201
Выпуклый многоугольник 121
— четырёхугольник 123
Высота параллелограмма 146
— трапеции 149
— треугольника 35
Вычитание векторов 233
Геометрическое место точек 83
Гипотенуза 70
Гомотетия 340
Градус, 19
Градусная мера дуги окружности 200
— — угла 19
Движение 314
Деление отрезка в данном
отношении 180
Дециметр 16
Диагональ многоугольника 121
Диаметр окружности 13
Длина (модуль) вектора 225
— дуги окружности 303
Длина окружности 303
— отрезка 16
Доказательство теоремы 30
методом от противного 62
Дуга, большая полуокружности 200
. меньшая полуокружности 200
— окружности 43
Евклидова геометрия 59
Единица измерения отрезков 14
— — площадей 139
Задача о квадратуре круга 306
Задачи на построение 43
Законы сложения векторов 231
— умножения вектора на число 238
Замечательные точки т^даго1^.Щай?па|1Оо
Измерение высоты предмета 177, 280
— отрезков 14
— расстояния до недоступной точки
177, 280
— углов 19
Касательная к окружности 98
Катет 71
Квадрат 133
Километр 16
Концы отрезка 6
Координатные векторы 249
Координаты вектора 249
— середины отрезка 254
— точки 253
Косинус угла 181, 272
Котангенс 272
Коэффициент подобия
треугольников 164
Круг 44
Круговой сегмент 307
сектор 306
Лемма 193
— о коллинеарных векторах 246
Предметный
укалатель
406
Ломаная 6
замкнутая 6
Луч 9
Малка 56
Медиана треугольника 34
Метод координат 254
подобия в задачах ня построение 175
Метр 16
Минута 19
Многоугольник б
—	. вписанный в окружность 207
—	выпуклый 121
—	. описанный около окружности 206
—	правильный 294
Многоугольники равновеликие 142
—	равносоставленные 142
Наклонная 80
Наложение 316
Начало вектора 221
—	луча 9
Неравенство треугольника 73
Обратная теорема 61
Окружность 43
—	Аполлония 266
—	, вписанная в многоугольник 206
—	, описанная около
многоугольника 207
—	Эйлера 223
Описанный треугольник 101
Определение 43
Ордината точки 253
Ортоцентр треугольника 174
Осевая симметрия 106
Основание параллелограмма 146
перпендикуляра 33
— равнобедренного треугольника 35
Основания трапеции 126
Основное тригонометрическое
тождество 182, 273
Ось симметрии фигуры 107
Откладывание вектора от данной
точки 227
Отношение отрезков 163
Отображение плоскости на себя 313
Отрезки параллельные 53
Отрезок 6
—, отложенный на луче от его
начала 58
Параллелограмм 124
Параллельный перенос 320
Периметр многоугольника 16
треугольника 29
Перпендикуляр, проведённый из
точки к прямой 33
Планиметрия 4
Площадь квадрата 142
крута 306
—	кругового сектора 307
—	многоугольника 139
—	—, основные свойства 141
—	параллелограмма 146
прямоугольника 144
—	прямоугольного
треугольника 148
—	трапеции 149
—	треугольника 147, 149
Поворот 321
Подобные треугольники 164
Полуокружность 200
—	единичная 271
Построение биссектрисы угла 46
—	касательной к окружности 100, 199
—	отрезка, равного данному 44
параллельных прямых 56
—	перпендикулярных прямых 47
правильного многоугольника 298
—	прямой, перпендикулярной	, „„
v nuuunii дя	Ткачан с vk.com/matenallOO
ДиППиН чО
прямых углов на местности 24
—	разности векторов 233
—	середины отрезка 47
— точек, делящих отрезок в данном
отношении 180
точек, делящих отрезок на
п равных частей 128
угла, равного данному 45
Построение треугольника по двум сто-
ронам и углу между ними 83
—	— — стороне и прилежащим
к ней углам 84
—	— — трём сторонам 84
Построения циркулем и линейкой -14
Постулаты 59
Правило многоугольника сложения
векторов 233
параллелограмма сложения
неколлинеарных векторов 232
треугольника сложения
векторов 230
Практические приложения подобия
треугольников 176
—	способы построения отрезков
параллельных прямых 56
Предмет ный
указатель
407
Признак касательной 99
— прямоугольника 132
Признаки параллелограмма 125, 126
параллельности двух прямых 54, 55
— подобия треугольников 167,168,169
— равенства треугольников 31, 38, 39
прямоугольных треугольников
77. 78
Применение векторов к решению
задач 239
— метода координат к решению
задач 259
Провешивание прямой на местности 8
Проекция наклонной 80
Произведение вектора на число 237
Пропорциональные отрезки 163
— — в прямоугольном треугольнике
175
Прямая 5
Симеона 223
Прямоугольная система координат 248
Прямоугольник 131
Прямые не пересекаются 6
—	параллельные 53
—	пересекаются 6
—	перпендикулярные 23
Равные векторы 227
—	отрезки 12
—	углы 13
—	фигуры 12
Радиус-вектор точки 253
Радиус окружности 43
Разложение вектора по двум
ысколлинеарыым векторам 246
Разность векторов 233
Расстояние между двумя
точками 255
—	— параллельными прямыми 82
— от точки до прямой 81
Рейсмус 83
Рейсшина 56
Решение треугольников 278
Ромб 132
Рулетка 17
Сантиметр 14
Свойства квадрата 133
— параллелограмма 124, 125
— параллельных прямых 62, 63
— прямоугольника 132
— прямоугольных треугольников 75, 76
— ромба 133
Свойство описанного
четырёхугольника 207
— отрезков касательных,
проведённых из одной точки 99
углов вписанного
четырёхугольника 208
— углов равнобедренного
треугольника 35
Секунда 19
Секущая 54
Середина отрезка 12
Сере ди н ный н ерис н д и к у л яр
к отрезку 47, 93
Симметричные точки 106
фигуры 107
Симметрия фигур 106
Синус угла 181, 272
Скалярное произведение векторов 284
Следствие 60
Соотношения между сторонами
и углами прямоугольного
треугольника 181
—	— — — — треугольника. 72
Сравнение отрезков 1 5
—	углов 20
Средняя линия трапеции 129
—	— треугольника 128
Стереометрия 4 Скачан с vk.com/materiallOO
Стороны многоугольника б
— треугольника 29
—	угла 10
— четырёхугольника 122
—	—, противоположные 122
Сумма двух векторов 230
—	нескольких векторов 232
—	углов выпуклого
многоугольника 123
—	— треугольника 69
Тангенс угла 181, 272
Теодолит 25
Теорема 30
—	Вариньона 128
—	косинусов 277
— об отношении площадей
подобных треугольников 165
— — — треугольников, имеющих
по равному углу 118
—	— окружности, вписанной
в треугольник 101
—	— —, описанной около
треугольника 102
— — углах равнобедренного
треугольника 35
___ Предметный
408 указатель
—	о биссектрисе равнобедренного
треугольника 36
—	— — угла 92
—	— вписанном угле 201
—	— пересечении высот
треугольника 173
перпендикуляре к прямой 33
—	— расстоянии между
параллельными прямыми 81
свойстве касательной 98
—	— серединном перпендикуляре
к отрезку 93
—	— соотношениях между сторо-
нами и углами треугольника 72
—	— средней линии трапеции 240
—	— — — треугольника 171
—	— сумме углов треугольника 69
—	. обратная теореме о свойстве
касательной 99
—	, обратная теореме Пифагора 154
—	Пифагора 152
Птолемея 223
—	синусов 277
— Фалеса 128
Теоремы об углах, образованных
двумя параллельными прямыми
и секущей 54, 55
Точка 5
касания 98
Точка пересечения биссектрис
треугольника 93
— — медиан треугольника 172
— — серединных перпендикуляров
к сторонам треугольника 95
Транспортир 19
Трапеция 126
— прямоугольная 126
— равнобедренная 126
Треугольник 29
—	египетский 154
остроугольный 70
—	прямоугольный 71
—	равнобедренный 35
равносторонний 35
— тупоугольный 70
Треугольники пифагоровы 154
Угловой коэффициент прямой 274
Углы вертикальные 23
— накрест лежащие 54
—	односторонние 54
—	смежные 22
—	соответственные 54
—	с соответственно параллельными
сторонами 64
—	— — перпендикулярными
сторонами 64
—	треугольника 29
Угол 10
— выпуклого многоугольника 121
— между векторами 284
— — пересекающимися прямыми 23
—	острый 20
прямой 20
—	развёрнутый 10
—	тупой 20
—	центральный 200
Уголковый отражатель 380
Умножение вектора на число 237
Уравнение линии на плоскости 260
—	окружности 261
— прямой 262
Формула Гсрона 155
— для вычисления угла правильного
п-угольника 294
Эштера 223
Формулы для вычисления %8cl^!ifi^’forr''maverialll)'J
точки 273
— — — стороны правильного
многоугольника и радиуса
вписаиной окружности 297
Хорда окружности 43
Центр окружности 43
правильного многоугольника 297
— симметрии фигуры 133
Центральная симметрия 133
Центральное подобие 440
Центроид треугольника 172
Четыре замечательные точки
треугольника 173
Четырёхугольник 122
Штангенциркуль 17
Экер 24
Элементы треугольника 30
Предметный
указатель
Оглавление
Дорогие семиклассники! ...................................... 3
7 КЛАСС
Глава I. Начальные геометрические сведения .................... 5
§ 1. Прямая и отрезок.......................................... —
1. Точки, прямые, отрезки..................................
2. Провешивание прямой на местности ........................ 7
Практические задания........................................ 8
§ 2. Луч и угол ................................................ 9
3	.‘ Луч...................................................
4	. Угол .................................................. 10
Практические задания.......................................
§ 3.	Сравнение отрезков и углов ............................... 11
5.	Равенство геометрических фигур .........................
6.	Сравнение отрезков и углов.............................. 12
Задачи .................................................... 13
§ 4.	Измерение отрезков........................................ 14
7.	Длина отрезка...........................................
8.	Единицы измерения.	Измерительные инструменты............ 16
Практические задания....................................... 17
Задачи .................................................... 18
§ 5.	Измерение углов...........................................,	19
9.	Градусная мера угла............................Скачан	с vk-corr^materiaLO'.i
10.	Измерение углов на. местности ......................... 21
Практические задания....................................... —
Задачи .................................................... 22
§ 6.	Перпендикулярные прямые .................................. —
11.	Смежные и вертикальные углы ...........................
12.	Перпендикулярные прямые................................ 23
13.	Построение прямых углов на местности .................. 24
Практические задания....................................... 25
Задачи ............ .......................................
Вопросы для повторения к главе I........................... 26
Дополнительные задачи...................................... 27
Глава II. Треугольники......................................... 29
§ 1. Первый признак равенства треугольников.................... —
14.	Треугольник............................................ —
15.	Первый признак равенства треугольников ................ 30
Практические задания....................................... 31
Задачи .................................................... 32
§ 2.	Медианы, биссектрисы и высоты треугольника................ .	33
16.	Перпендикуляр к прямой ................................ —
17.	Медианы, биссектрисы и высоты треугольника ............ 34
18.	Свойства равнобедренного треугольника ................. 35
Практические задания ...................................... 37
Задачи ....................................................
Оглавление
§3	. Второй и третий признаки равенства треугольников ......... 38
19.	Второй признак равенства треугольников..................  —
20.	Третий признак равенства	треугольников.................. 39
Задачи ...................................................   41
§4	. Задачи на построение ..................................... 43
21.	Окружность ............................................
22.	Построения циркулем и линейкой ......................... 44
23.	Примеры задач на построение............................. 45
Задачи ..................................................... 48
Вопросы для повторения к главе	II........................... 49
Дополнительные задачи .....................................  50
Глава Ill. Параллельные прямые .............................. 53
§ 1.	Признаки параллельности двух прямых.....................
24.	Определение параллельных прямых...................... —
25.	Признаки параллельности двух прямых ................. 54
26.	Практические способы построения параллельных прямых ...	56
Задачи .................................................. 57
§ 2.	Аксиома параллельных прямых ............................ 58
27.	Об аксиомах геометрии ...............................
28.	Аксиома параллельных прямых............. 59
29.	Теоремы об углах, образованных двумя
параллельными прямыми и секущей ......................... 61
30.	Углы с соответственно параллельными
или перпендикулярными сторонами ........................... 64
Задачи .................................................... 65
Вопросы для повторения к главе III .................... Jc.K?u.d.H Wom rtiatenall(-)Cl
Дополнительные задачи ..................................... 68
Глава IV. Соотношения между сторонами и углами треугольника .... 69
§ 1.	Сумма углов треугольника ..............................  .	—
31.	Теорема о сумме ух'лон треугольника....................
32.	Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники..	70
Задачи .................................................... 71
§ 2.	Соотношения между сторонами и углами треугольника......... 72
33.	Теорема о соотношениях между сторонами
и углами треугольника ...................................... —
34.	Неравенство треугольника............................... 73
Задачи .................................................... 74
§ 3.	Прямоугольные треугольники ............................... 75
35.	Некоторые свойства и признаки
прямоугольных треугольников................................
36.	Признаки равенства прямоугольных треугольников ........ 77
Задачи .................................................... 79
§ 4.	Построение треугольника по трём элементам ................ 80
37.	Расстояние от точки до прямой.
Расстояние между параллельными прямыми...................... —
38.	Построение треугольника но трём элементам.............. 83
Задачи .................................................... 85
Воп	росы для повторения к	главе	IV ....................... 87
Доп	олнительные задачи ................................... 89
411
Оглавление
Глава V. Геометрические места точек. Симметричные фигуры .... 91
§ 1.	Геометрические места точек................................ —
39.	Свойства биссектрисы угла ............................. —
40.	Свойства серединного перпендикуляра к отрезку......... 93
Зад	ачи .................................................. 95
§ 2.	Окружность. Касательная к окружности ..................... —
41.	Свойства диаметров и хорд окружности ...............    —
42.	Взаимное расположение окружности и прямой.
Касательная к окружности.................................. 97
43.	Вписанная и описанная окружности треугольника........ 100
Задачи .................................................. 103
§ 3.	Симметричные фигуры .................................... 106
44.	Фигуры, симметричные относительно прямой ............
45.	Осевая симметрия и её свойства......................  108
Практические задания..................................... 110
Задачи..............................................        —
Вопросы для повторения к главе V ........................ 112
Дополнительные задачи.................................... 114
Задачи повышенной трудности...................................115
8 КЛАСС
Глава VI. Четырёхугольники................................121
Многоугольники...................................................... —
46. Выпуклый многоугольник..........................................
47. Четырёхугольник ....................................  .Скачан	с.vk.cfigi^ateriallOO
§1.
§2.
§3.
Задачи .................................................. 123
Параллелограмм и трапеция............................     124
48.	Параллелограмм ........................................ —
49.	Признаки параллелограмма............................. 125
50.	Трапеция ............................................ 126
Задачи ...................................................
Прямоугольник, ромб, квадрат ...........................  131
51.	Прямоугольник.........................................
52.	Ромб и квадрат ....................................   132
53.	Центральная симметрия ............................... 133
Задачи .................................................. 134
Вопросы для повторения к главе VI ....................... 135
Дополнительные задачи ................................... 137
Глава VII. Площадь ............................................139
§ 1.	Площадь многоугольника................................... —
54.	Понятие площади многоугольника........................
55*. Площадь квадрата...................................   142
56.	Площадь прямоугольника ............................... 144
Задачи ...................................................   —
§ 2.	Площади параллелограмма, треугольника и трапеции......... 146
57.	Площадь параллелограмма ..............................
58.	Площадь треугольника.................................. 147
Оглавление
59.	Площадь трапеции ..................................... 149
Задачи ....... ........................................... 150
§ 3.	Теорема Пифагора ........................................ 152
60.	Теорема Пифагора......................................
61.	Теорема, обратная теореме Пифагора.................... 154
62.	Формула Герона ....................................... 155
Задачи ................................................... 156
Вопросы для повторения к главе VII........................ 158
Дополнительные задачи ........................... 159
Глава VIII. Подобные треугольники ............................163
§ 1.	Определение подобных треугольников ........................ —
63.	Пропорциональные отрезки................................ —
64.	Определение подобных треугольников.................... 164
65.	Отношение площадей подобных треугольников ............ 165
Задачи ...................................................
§ 2.	Признаки подобия треугольников .........................  167
66.	Первый признак подобия треугольников.................... —
67.	Второй признак подобия треугольников  ................ 168
68.	Третий признак подобия треугольников ................. 169
Задачи ...................................................
§ 3.	Применение подобия к доказательству теорем
и решению задач .............................................. 171
69.	Средняя линия треугольника ...........................   —
70.	Четыре замечательные точки треугольника .............. 173
71.	Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольник^-^^ «^ХЧ^т/та^епаНоо
72. Метод подобия в задачах на построение ................ 175
73.	Применение подобия треугольников
в измерительных работах на местности ..................... 176
Задачи ................................................... 178
§ 4.	Соотношения между сторонами и углами
прямоугольного треугольника .................................. 181
74.	Синус, косинус и тангенс острого угла
прямоугольного треугольника ................................ —
75.	Значения синуса, косинуса и тангенса
для углов ЗО'\ 45 s, 60е ................................. 182
Задачи ..................................................... 184
Вопросы для повторения к главе VTTT.....................   185
Дополнительные задачи .................................... 186
Глава IX. Окружность ..........................................189
§ 1.	Окружность и прямые......................................
76.	Взаимное расположение прямой и окружности ............	—
77.	Взаимное расположение двух окружностей................ 191
78.	Обтцие касательные двух окружностей .................  195
Практические задания...................................... 197
Задачи...................................................... —
§ 2.	Центральные и вписанные углы ............................ 199
79.	Градусная мера дуги окружности........................
80.	Теорема о вписанном угле............................   201
Оглавление
81. Углы, образованные хордами, касательными
и секущими  ........................................     202
Задачи.................................................. 204
§ 3.	Вписанная и описанная окружности
четырёхугольников .......................................... 206
82.	Вписанная окружность.................................
83.	Описанная окружность..............................   207
Задачи.................................................. 208
Вопросы для повторения к главе ХТТ ................. 209
Дополнительные задачи .................................. 210
Задачи пониженной трудности .................................214
9 КЛАСС
Глава X. Векторы ..........................................224
§ 1. Понятие вектора . ...................................        —
84.	Понятие вектора.......................................... —
85.	Равенство векторов ...................................  226
86.	Откладывание вектора от данной точки .................. 227
Практические задания .....................................  228
Задачи .................................................... 229
§ 2. Сложение и вычитание векторов ..........................   230
87.	Сумма двух векторов ..................................... —
88.	Законы сложения векторов. Правило параллелограмма ..... 231
89.	Сумма нескольких векторов ............................. 232
90.	Вычитание векторов...................................  ,	233
Практические задания...............................Скачан	с vkcgggnateriallOO
Задачи ...................................................... —
§ 3.	Умножение вектора на число.
Применение векторов к решению задач .................  237
91.	Произведение вектора на число ......................... —
92.	Применение векторов к решению задач ...............   239
Практические задания..................................... 241
Задачи ..............................................       —
Вопросы для повторения к главе X......................... 243
Дополнительные задачи ..................................  244
Глава XI. Метод координат ................................    246
§ 1.	Координаты вектора .....................................
93.	Разложение вектора по двум неколлинеарным
векторам .................................................. —
94.	Координаты	вектора .................................  248
Задачи .................................................. 251
§ 2.	Простейшие задачи	в	координатах . .....................  252
95.	Связь между координатами вектора и координатами
его начала и конца .......................................  —
96.	Простейшие задачи в координатах...................... 254
Задачи ..............................................     255
§ 3.	Уравнения окружности и прямой .......................... 260
97.	Уравнение линии на плоскости .........................  —
98.	Уравнение окружности................................. 261
Оглавление
99.	Уравнение прямой .................................... 262
Задачи .................................................. 263
Вопросы для повторения к главе XI ....................... 267
Дополнительные задачи ..................................  269
Глава XII. Соотношения между сторонами
и углами треугольника. Скалярное произведение векторов
§ 1. Синус, косинус, тангенс, котангенс угла .......
100.	Синус, косинус, тангенс, котангенс ........
101.	Основное тригонометрическое тождество.
Формулы приведения ........................
102.	Формулы для вычисления координат точки ....
103.	Угловой коэффициент прямой ...............
Задачи ..........................................
§ 2.	Соотношения между сторонами и углами треугольника
104. Теорема о площади треугольника.................
105.	Теорема синусов ...........................
106.	Теорема косинусов .........................
107.	Решение треугольников .....................
108.	Измерительные работы.......................
Задачи ..........................................
§ 3.	Скалярное произведение векторов ...............
109.	Угол между векторами...............
110.	Скалярное произведение векторов ...........
111.	Скалярное произведение в координатах ......
112.	Свойства скалярного произведения векторов .. .
Задачи ..........................................
Вопросы для повторения к главе XII .............
Дополнительные задачи ......................  .
Глава XIII. Длина окружности и площадь круга ...................294
§ 1. Правильные многоугольники ................................
113. Правильный многоугольник .............................  —
114. Окружность, описанная около правильного многоугольника
...........271
.......... 273
......... 274
........ 275
......... 276
......... 277
........... 278
........... 280
........... 281
........... 283
........... 284
........... 285
......Скачан с
^£om/materiallOO
........... 291
115.	Окружность, вписанная в правильный многоугольник..... 295
116.	Формулы для вычисления площади правильного
многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности ... 297
117.	Построение правильных многоугольников ............... 298
Задачи ................ .................................. 300
§ 2.	Длина окружности и площадь круга......................... 302
118.	Длина окружности .................................... —
119.	Радиаппая мера угла ................................. 304
120.	Площадь круга ................................ 305
121.	Площадь кругового	сектора...................... 306
Задачи ............................................... 307
Вопросы для повторения к главе XIII....................... 310
Дополнительные задачи	......................... 311
Глава XIV. Преобразования	плоскости. Движения ................313
§ 1.	Преобразования плоскости ................................ —
122.	Отображение плоскости па себя .......................
Оглавление
123.	Понятие движения плоскости......................... 314
124*. Наложения и движения . ............................	316
Задачи ................................................. 318
§ 2.	Параллельный перенос и поворот .....................    320
125.	Параллельный перепое................................
126.	Поворот ..........................................  321
Задачи ................................................. 322
§ 3.	Симметрии фигур......................................   323
127.	Понятие симметрии фигур ............................
128.	Практические приложения симметрий ................  324
129.	Применение движений к решению задач ............... 326
Задачи ...............................................   327
Вопросы для повторения к главе XIV...................... 328
Дополнительные задачи .................................  329
Глава XV. Преобразование подобия. Подобие фигур......................332
§ 1.	Подобие многоугольников........................................
130.	Представление о подобных	фигурах ..........................  —
131.	Подобные многоугольники................................... 333
132.	Теоремы о периметрах и площадях
подобных многоугольников........................................ 336
Задачи .......................................................   337
§ 2.	Преобразование подобия ........................................ 340
133.	Гомотетия .................................................  —
134.	Свойства гомотетии........................................ 341
135.	Подобие произвольных фигур ............................... 342
Задачи ...................................  ,Cj<343t<.c.vk.c0BiAnatiefiallOO
§ 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем
и решению задач ............................................... 347
136. Применение подобия к доказательству теорем ............. —
137. Применение подобия к решению задач ................... 349
Задачи ..................................................   351
Вопросы для повторения к главе XV ......................... 353
Дополнительные задачи ...................................   354
Задачи повышенной трудности ...........................     357
Исследовательские задачи ...............................    365
Темы рефератов...........................................   366
Комплексные задания........................................ 368
Приложения................................................. 372
1.	Об аксиомах планиметрии..............................
2.	Некоторые сведения о развитии геометрии............. 377
3.	Уголковый отражатель................................ 380
Ответы и указания.......................................... 382
Предметный указатель ....................................   406
Огл авлеп ае