Мир
МАТЕМАТИКИ
12
Числа — основа
гармонии
Музыка и математика
D^AGOSTINI
Мир математики
Мир математики
Хавьер Арбонес и Пабло Милруд
Числа — основа гармонии
Музыка и математика
Москва - 2014
D^GOSTINI
УДК 51(0.062)
ББК 22.1
М63
М63 Мир математики: в 40 т. Т. 12: Хавьер Арбонес и Пабло Милруд. Числа — основа
гармонии. Музыка и математика. / пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2014.
В мире существует несколько основных видов искусства, но музыка, безусловно, зани-
мает в этом ряду главенствующую позицию. Неспроста многие великие мыслители отдава-
ли пальму первенства именно музыке: она — удивительный симбиоз чистого вдохновения
и строгого расчета, полета фантазии и рационального подхода. Музыка — живое доказа-
тельство единства творчества и математики. Из этой книги читатель почерпнет множество
интересных фактов. Какие произведения нельзя сыграть, не разгадав их загадку? Почему
существуют гармонические и диссонирующие аккорды? Благодаря чему мы в состоянии
на слух отличить скрипку от трубы? Может ли певец разбить стекло силой своего голоса?
Как сформировалась современная музыкальная нотация и каким правилам она подчиняет-
ся? При ответе на эти и многие другие вопросы не обойтись без математики.
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0704-5 (т. 12)
УДК 51(0.062)
ББК 22.1
© Javier Arbones у Pablo Milrud, 2010 (текст)
© RBA Coleccionables S.A., 2012
© ООО «Де Агостини», 2014
Иллюстрации предоставлены: Gettyimages, iStockphoto.
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение без разрешения издателя запрещено.
Содержание
Предисловие........................................................ 9
Глава 1. Игра на одной струне .................................... 11
Древняя Греция .................................................... И
Музыкальная система Пифагора.................................... 12
Абсолютная высота звуков........................................ 14
Интервалы и относительная высота звуков......................... 16
Настройка пианино................................................. 20
Пифагорейский строй ............................................ 20
Подсчеты........................................................ 22
Пифагорейская комма.............................................. 24
Другие разновидности музыкального строя............................ 25
Диатонический строй............................................. 26
Неизбежные сложности ............................................ 27
Решение проблемы................................................ 28
Центы.........................................................   31
Соизмеримость................................................... 32
(лава 2. Другое измерение: время.................................. 37
Ритмические группы. Ритмы, доли, акценты.......................... 37
От Древней Греции к первым нотам................................. 38
Перфектум и имперфектум...................................... 40
фарные: чистый ритм.............................................. 44
Покрытие пространства звуков.................................. 46
Такт. Метр. Ритмическое деление.................................... 50
Акцент и размер такта............................................ 50
Виды тактов................................................... 50
Неравномерность.................................................. 52
Многослойные ритмы............................................ 54
Смешанные размеры............................................. 54
Скорость: метроном.............................................. 55
Изолированная неравномерность................................. 57
5
СОДЕРЖАНИЕ
Современная нотация..
Отсутствие масштаба
[лава 3. Геометрия композиции....................................
Высота и ритм: музыкальная плоскость.............................
Элементы нотной записи........................................
Нотный стан.................................................
Ноты........................................................
Определение высоты..........................................
Ключи.......................................................
Изменение полутонов.........................................
Мелодическая кривая...........................................
Геометрическо-музыкальные преобразования.........................
Изометрические преобразования.................................
Переносы....................................................
Горизонтальный перенос: повторение и канон..................
Вертикальный перенос: транспозиция..........................
Отражения ..................................................
Отражение относительно вертикальной оси: ракоход............
Отражение относительно горизонтальной оси: инверсия.........
Повороты ...................................................
Комбинации преобразований...................................
Горизонтальный и вертикальный перенос: интервальные каноны..
Вертикальный перенос и отражение относительно вертикальной оси:
ракоходный перенос.......................................
Вертикальный перенос и отражение относительно горизонтальной оси:
инвертированная транспозиция ...............................
Преобразования, изменяющие размеры............................
Горизонтальное масштабирование..............................
«Немецкий реквием» Иоганнеса Брамса.........................
Puttin’ on the Ritz.........................................
Вертикальное масштабирование ...............................
Гармоническая симметрия..........................................
Симметричные аккорды..........................................
Симметричные звукоряды........................................
Математика музыкальной формы.....................................
59
60
61
62
62
62
64
65
65
68
68
69
71
71
72
73
76
77
78
81
83
83
84
84
88
89
90
90
91
92
92
93
95
6
СОДЕРЖАНИЕ
ABCDE.................................................. 96
Месса си минор Баха.................................... 97
Золотое сечение и музыка................................. 99
Глава 4. Биты и волны................................................. 103
Физика звука......................................................
Чистые и настоящие тона.........................................
Суперпозиция волн...............................................
Функция обертонов...............................................
Синтез звука......................................................
Цифровое аудио ...................................................
Аналогов©-цифровое преобразование...............................
Возврат к аналоговому сигналу...................................
Сжатие звука......................................................
«Сырой» звук....................................................
Сжатие..........................................................
103
107
109
110
111
112
ИЗ
114
116
116
116
Способы сжатия............................................. 117
MIDI............................................................ 118
Оркестр....................................................... 120
Квантование................................................... 120
Глава 5. Математика для композитора.............................   121
Тональный эгалитаризм: додекафония................................ 121
Что такое додекафония?......................................... 122
Серии.......................................................... 123
Числовая и матричная форма..................................... 125
Круговая форма................................................. 127
Альбан Берг.................................................... 130
Сериализм, контроль и хаос..................................... 131
Стохастическая музыка.......................................... 133
Игра в кости с Моцартом........................................... 134
Число возможных композиций .................................... 135
Копирование великих.............................................   136
День рождения Маркова.......................................... 137
Второй Happy Birthday.......................................... 139
EMI.............................................................140
7
СОДЕРЖАНИЕ
Механизация................................................... 140
Вдохновение................................................ 141
Алгоритмическая композиция................................. 142
Приложение I. Основные понятия музыкальной нотации
и теории музыки.............................................143
Приложение II. Второй взгляд на роль времени в музыке......... 155
Библиография..............................................  157
Алфавитный указатель....................................... 158
Предисловие
Музыка — скрытая работа ума, не сознающего,
что он занят исчислениями.
Готфрид Вильгельм Лейбниц
Мировая музыкальная панорама начала XXI века фантастически разнообразна.
Математика, электроника, биты и байты ведут музыку вперед, к новым рубежам.
Была ли музыка менее разнообразной в начале XX века? А в X веке? А за 1 000 лет
до Рождества Христова? Изучались ли звуки с математической точки зрения
в античном мире? Отразились ли новые технологии XIX века на музыке?
Музыка — одно из главных проявлений культуры человечества, охватывающее
все страны и все эпохи. Она волнует и дарит наслаждение. Математика использует-
ся при анализе музыки и описывает множество ее аспектов: отношения между зву-
ками в аккорде, резонанс, секреты партитуры и даже музыкальные игры. Умеющие
наслаждаться математикой помимо тех эмоций, которые дарит музыка, получают
удовольствие и от ее математической составляющей.
В этой книге мы расскажем о методе написания музыки, который придумал
Моцарт, — с помощью игральных костей. Вы узнаете о произведениях, которые
нельзя сыграть, не разгадав их загадку. Случайные события, фракталы и золотое
сечение также скрываются на нотном стане. Почему существуют гармонические
и диссонирующие аккорды? Благодаря чему мы в состоянии отличить скрипку
от трубы? Может ли певец разбить стекло силой своего голоса? Какой вклад внесла
технология в музыку? Как сформировалась современная музыкальная нотация и ка-
ким правилам она подчиняется?
Хотя в ответах на эти и многие другие вопросы не обойтись без математики,
важно отметить, что музыка не зависит от науки. Разумеется, наука предлагает мно-
жество инструментов для создания музыки, и о них мы также подробно расскажем
в этой книге. С помощью математики или без нее, создание музыки невозможно
без вдохновения и труда композитора. Именно в этом заключается ценность, кото-
рую математика привносит в изучение музыки: она дает возможность понять и вос-
хититься произведением искусства «из-за кулис», позволяет по-новому взглянуть
на то, что казалось давно известным.
9

Глава 1
Игра на одной струне
Музыка стоит на втором месте после молчания,
когда речь идет о том, чтобы выразить невыразимое.
Олдос Хаксли
Музыка эфемерна и существует только в нашей памяти. Она непостижима и неуло-
вима. Именно поэтому музыка обладает магической аурой, благодаря которой люди
испокон веков использовали ее в своих ритуалах. Музыка стала способом постичь
божественное, доступным лишь избранным. Археологические открытия свидетель-
ствуют, что музыкальные инструменты существовали еще в доисторические време-
на. Уже тогда были изобретены разнообразные ударные (например, бубен), а также
примитивные трубы и флейты. Это доказывает, что первые мелодии были придума-
ны еще в древности.
Древняя Греция
Слово «музыка» происходит от греческого musike; в буквальном переводе это озна-
чает «искусство муз». В греческой мифологии музы были богинями — покровитель-
ницами искусств, танцев, астрономии и поэзии.
Ученики пифагорейской школы, которая сформировалась в VI веке до н. э., пы-
таясь постичь гармонию Вселенной, считали числа и отношения между ними от-
ражением этой гармонии. Пифагорейцы создали настолько подробные астрономи-
ческие и музыкальные математические модели, что невозможно не понять: музыку
и математику они изучали неразрывно друг от друга. Пифагорейцы считали, что
движение планет порождает незаметные для человека гармонические колебания, так
называемую музыку сфер.
Во всех античных цивилизациях теоретические знания отделялись от декоратив-
но-прикладного искусства. Семь свободных искусств делились на две большие
группы: первая, тривиум (от лат. tri — три и vium — дорога), состояла из грамма-
тики, диалектики и риторики; вторая, квадривиум (от quadri — четыре), включала
11
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
арифметику, геометрию, астрономию и музыку. Считалось, что человек, изучивший
эти семь дисциплин, «семь свободных искусств», живет в гармонии со Вселенной.
Музыкальная система Пифагора
Последователи пифагорейской школы изучали музыку на основе звуков, издавае-
мых единственной струной музыкального инструмента, называемого монохордом.
Длина струны монохорда изменялась подобно тому, как гитарист зажимает струны
при игре на современной гитаре. При изменении длины изменялась звучащая нота:
чем короче струна, тем выше нота. Пифагорейцы попарно сравнивали звуки, соот-
ветствующие различным длинам струны. В своих экспериментах они описывали со-
отношения длин сторон, выражаемые небольшими числами: они делили струну по-
полам, в соотношении один к двум, два к одному и так далее.
Результаты оказались удивительными: звуки, издаваемые при колебаниях струн,
длины которых выражались небольшими числами, оказывались самыми приятными,
то есть самыми гармоничными. На основе этих наблюдений пифагорейцы созда-
ли математическую модель физического явления, в которой при этом учитывалась
и эстетическая составляющая. Нечто подобное произошло позднее, в эпоху Воз-
рождения, когда понятие красоты стали связывать с золотым сечением.
Простейшее соотношение образуется, если зажать струну ровно посередине. Это
отношение в численном виде записывается как 2:1 и соответствует интервалу в одну
октаву (например, от ноты до до следующего до). Еще одно простейшее соотноше-
ние образуется, если прижать струну в точке, отстоящей от конца струны на треть
ее длины. В численном виде это отношение записывается как 3:2 и соответствует
интервалу в одну квинту (интервал от до до соль). Если прижать струну в точке,
отстоящей от ее конца на четверть длины, что в численном виде записывается как
4:3, получится интервал, известный под названием кварта (интервал от до до фа).
октава.
квинта
кварта|
12
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
ЗВУКИ ПЛАНЕТ
Представление о гармоничном космосе было частью классической культуры, пережившей
второе рождение в эпоху Возрождения. Воплощением этого представления, которое изуча-
ли пифагорейцы, а также Аристотель и Платон, является гармония сфер. Ее суть заключается
в том, что планеты при движении издают звуки, не слышимые человеком, и эти звуки являются
созвучными, то есть гармоническими. Немецкий ученый Иоганн Кеплер (1571-1630) изучал
религию, этику, диалектику, риторику, а также физику и астрономию. Он был сторонником гелио-
центрической теории и следовал заветам пифагорейцев и Платона. В начале XVII века движение
планет считалось загадочным даже в научных кругах. Считалось, что объяснить его можно было
лишь волей Бога. Кеплер пролил свет на эту загадку, открыв законы движения планет, что стало
одним из величайших научных открытий всех времен. Однако этим он не ограничился и включил
в свою теорию классическое представление о гармонии сфер. Так, в своей книге Harmonices
Mundi («Гармония мира») 1619 года Кеплер помимо астрономических законов изложил тезис
о том, что каждая планета при вращении вокруг Солнца издает звук, зависящий от ее угловой
скорости. Эта угловая скорость максимальна в перигелии (точке, ближайшей к Солнцу) и афе-
лии (точке, наиболее удаленной от Солнца) эллиптической орбиты планеты. Кеплер сравнил
звуки, соответствующие перигелию и афелию орбит всех планет, а также звуки, издаваемые
соседними планетами. Затем он разработал музыкальный строй и аккорды, соответствующие
этим звукам. Согласно его расчетам, мелодии Венеры и Земли в разных точках орбиты отлича-
лись на полутон или менее, а мелодия Меркурия изменялась более чем на одну октаву. Кеплер
был религиозным человеком, поэтому придерживался мысли, что звучание планет очень редко
оказывается гармоничным — возможно, лишь единожды, в момент божественного Сотворения.
Иллюстрация из книги Harmonices Mundi Иоганна Кеплера,
на которой записаны предполагаемые звуки, издаваемые планетами.
13
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
ПИФАГОР САМОССКИЙ (ОК. 570 - ОК. 490 ГГ. ДО Н. Э.)
Пифагор родился на греческом острове Самос. Вдохновленный примером философа и мате-
матика Фалеса Милетского, он совершил длительное путешествие в Египет и Месопотамию,
где изучал различные науки. Путешествие побудило его создать собственную школу, в которой
сочетались различные естественно-научные, эстетические и философские дисциплины. Пи-
фагор и его последователи изучали самые разнообразные области знания: акустику, музыку,
арифметику, геометрию, астрономию. Слава Пифагора и его школы была столь велика, что ему
приписывается авторство одной из фундаментальных теорем геометрии - теоремы Пифагора,
которая была известна на Востоке несколькими веками ранее. В виде формулы теорема Пифа-
гора записывается так:
а2 + Ь2 = с2.
Это уравнение имеет бесконечно много целых решений, которые называются пифагоровыми
тройками. Любые три числа, образующие пифагорову тройку, являются длинами сторон
угольника — инструмента, используемого в сельском хозяйстве и различных ремеслах для
построения прямых углов.
Таким образом, становится очевидно, что если длины струн удовлетворяют со-
отношению
п +1
п
то соответствующие им звуки будут гармоническими, приятными слуху. Пифагорей-
цы считали это доказательством прямой взаимосвязи между числами и гармонией,
красотой.
Абсолютная высота звуков
Чтобы лучше понять важность открытий, совершенных пифагорейцами, следует
различать абсолютную и относительную высоту звука. Каждая музыкальная нота
задает высоту, в зависимости от которой звук называется низким или высоким. Вы-
сота звука определяется частотой колебаний соответствующей звуковой волны (мы
поговорим об этом позже). Чем больше частота, тем выше звук. (В приложении I
приводится подробное объяснение этого и других понятий музыки.)
14
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
Низкие	Высокие
Клавиши пианино, соответствующие низким звукам, расположены слева;
клавиши, соответствующие высоким звукам, — справа.
ЛОПАЮЩЕЕСЯ СТЕКЛО И ТОНУЩИЕ МОСТЫ
Во многих художественных и мультипликационных фильмах можно увидеть, как певец берет очень
высокую ноту и силой своего голоса разбивает стеклянный бокал. Это абсолютно реальное физи-
ческое явление. Твердые тела обладают собственной частотой колебаний, зависящей от материа
ла, формы и других свойств. Источник звука испускает звуковые волны, вызывающие колебания
окружающего воздуха. Если частота звуковой волны и частота собственных колебаний предмета
совпадают, то амплитуда колебаний резко возрастает. Это физическое явление называется резо-
нансом. Если при этом увеличивается акустическая энергия (иными словами, громкость звука),
то амплитуда колебаний предмета становится еще больше. Струна не рвется от подобных колеба-
ний благодаря своей гибкости. Другие тела, не столь упругие, не справляются с колебаниями и раз-
рушаются. Именно из-за этого лопается стеклянный бокал. Известны и более серьезные случаи.
7 ноября 1940 года, спустя несколько месяцев после постройки, из-за колебаний, вызванных
сильным ветром, обрушился висячий Такомский мост в американском штате Вашингтон. В авиа-
ции такое явление известно под названием флапер.
15
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
Человеческое ухо способно различать звуковые колебания частотой примерно
от 20 до 20000 герц. 1 герц (Гц) означает одно колебание в секунду. Колеба-
ния более низкой частоты называются инфразвуком, более высокой — ультра-
звуком. Частота звука каждой ноты является абсолютным значением, однозначно
определяющим конкретную ноту. Известно, что нота ля настраивается на 440 Гц,
но следует различать звук частотой 440 Гц и название, которое носит звук такой
частоты. Этот звук обозначается нотой ля из соображений удобства. Эта частота
была выбрана произвольно, подобно метру, который лежит в основе всей метриче-
ской системы измерений, и утверждена была похожим образом. Частота в 440 Гц
была принята в качестве стандарта ноты ля в 1939 году на Международной кон-
ференции в Лондоне. Ранее это значение не было унифицированным. В разное
время и в разных регионах производители музыкальных инструментов использо-
вали разные значения. В настоящее время многие оркестры все еще предпочитают
настраивать инструменты на другие частоты, и в некоторых случаях частота ноты
ля достигает 444 Гц и более.
ПРОБЛЕМЫ С ПРОСТЫМ ЧИСЛОМ
В начале XX века бы па установлена стандартная частота ноты ля в 439 Гц. Почему же в итоге
была выбрана частота в 440 Гц? Согласно гипотезе одного из членов Британского института
стандартов, «частота, используемая в трансляциях ВВС, определялась осциллятором, в котором
использовался пьезоэлектрический кристалл с частотой колебаний в миллион герц. Эта частота
уменьшалась электронными средствами до тысячи герц, затем умножалась на 11 и делилась
на 25. Так получилась частота в 440 Гц. Так как число 439 является простым, то его нельзя
получить подобным способом».
Интервалы и относительная высота звуков
Перед тем как рассказать об относительной высоте звуков, следует объяснить по-
нятие интервала. Как вы только что увидели, каждой ноте соответствует определен-
ная частота, которая отличает эту ноту от других. Однако пифагорейцы анализиро-
вали не отдельные ноты, а отношения между ними. Две любые ноты разделяет рас-
стояние, называемое интервалом. Существует два подхода к этому понятию. Со-
гласно первому, интервал — это расстояние между нотами. Каждый интервал носит
16
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
название в соответствии с числом нот, содержащихся в границах интервала. Так,
интервал между до и фа содержит четыре ноты: до-ре-ми-фа. Интервал до — фа
называется квартой. Также говорят, что расстояние между до и фа равно кварте.
Уже известный нам интервал октава подчиняется этому же правилу: чтобы перейти
от до к следующему до, нужно восемь нот: до-ре-ми~фа~соль~ля-си~до. Указанные
выше интервалы являются восходящими. Нисходящие интервалы начинаются с бо-
лее высокой ноты и читаются в обратном направлении: интервал до — ля называет-
ся терцией, так как охватывает три ступени: до-си-ля. (Полная классификация ин-
тервалов несколько сложнее. О ней подробно рассказано в приложении I.)
Согласно второму подходу, интервалы можно также представлять в численном
виде как соотношение частот нот. В этом случае имеет значение не абсолютная ча-
стота звука каждой ноты, а отношение между их частотами.
Тогда две ноты можно сравнить, указав разделяющий их интервал в виде от-
ношения частот соответствующих звуков. Если, например, мы сыграем две ноты,
разделенные интервалом в одну кварту, то более высокая нота будет иметь часто-
ту, равную 4/3 частоты более низкой ноты. Если два звука разделены интервалом
в одну квинту, то их частоты относятся как 3:2. Например, для ноты ля частотой
ЛИНЕЙНЫЙ И ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ РОСТ
Интервал между двумя нотами называется по числу нот, их разделяющих, включая границы
интервала. Из-за этого операция сложения интервалов не является интуитивно понятной. Чему
равна сумма секунды и терции? Квинте? Достаточно выполнить несложные расчеты, чтобы по-
казать, что это не так. Пусть началом интервала, равного искомой сумме, будет нота до. При-
бавив секунду, мы получим ноту ре. Прибавив терцию, получим фа. Таким образом, сумма этих
интервалов равна не квинте, а кварте.
Сумма интервалов подчиняется линейному закону. Если мы пронумеруем клавиши пианино,
обозначив за 1 самую низкую ноту, за 88 - самую высокую, то увидим, что клавиши, соответ-
ствующие ноте ля, имеют номера 1, 8, 15, 22, 29 и так далее. Иными словами, чтобы перейти
от одной ноты ля к следующей, нужно перейти на семь клавиш вправо или влево. Однако если
мы рассмотрим не клавиши пианино, а частоты соответствующих звуков, то увидим, что они
возрастают не линейно, а экспоненциально. Так, самый низкий звук пианино, соответствующий
ноте ля, настраивается на частоту 27,5 Гц. Чтобы перейти к следующему ля, нужно не прибавить
к этой частоте какое-то фиксированное число, а умножить эту частоту на 2. Таким образом,
следующая ля настраивается на 55 Гц, следующая - на 110 Гц и так далее.
17
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
440 Гц следующая нота ми, отделенная интервалом в одну квинту, будет иметь ча-
стоту в 660 Гц.
Отношение между длинами двух струн обратно отношению между частотами
звуков, издаваемых этими струнами. Например, если звуки разделены квинтой,
то есть их частоты относятся как 3:2, то длины этих струн относятся друг к другу
как 2:3. Далее мы не будем упоминать о длинах струн, а будем говорить только
о частотах звуков.
Так, две ноты, частоты которых равны 440 Гц и 880 Гц, разделены интервалом
в одну октаву и настроены в точном соответствии со стандартом для ноты ля. Ноты,
ПРОКЛЯТИЕ АБСОЛЮТНОГО СЛУХА
Абсолютный слух - это способность, позволяющая на слух определять ноты. Если мы нажмем
любую клавишу пианино, человек с абсолютным слухом сможет назвать прозвучавшую ноту.
Абсолютный слух и музыкальное дарование не связаны между собой. На самом деле многие
музыканты страдают от своего абсолютного слуха. Например, в хоровой музыке партитуры
часто транспонируют, подстраивая их под тон, в котором будет лучше звучать хор. Песня может
исполняться в полном соответствии с партитурой, но на полутон ниже. Исполняемые ноты
не совпадут с нотной записью, и музыкант с абсолютным слухом придет в замешательство.
18
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
частоты которых равны 442 Гц и 884 Гц, также разделены интервалом в одну окта-
ву, хотя настроены не по стандарту. И наконец, ноты, частоты которых равны 443 Гц
и 887 Гц, не разделены интервалом в одну октаву. На слух они распознаются как
«ненастроенная октава».
Соотношение между частотами нот позволяет на основе одного известного звука
найти другой, отделенный от исходного любым интервалом. Для этого нужно умно-
жить частоту исходного звука на соответствующий коэффициент. К примеру, зная
частоту Fr можно найти частоту F2 звука на одну кварту выше, то есть в 4/3 раза
больше, следующим образом:
Эту формулу можно последовательно применять несколько раз, используя необ-
ходимые множители. Например, если F3 на одну большую терцию больше (отно-
шение частот звуков будет равняться 5/4), чем F2, можно вычислить отношение
между F3 и Fj следующим образом:
5
г = г  —
2	4
5
4 ’
F3=F.-
4,
5
г = Г • —
3	1 3
Эти расчеты можно производить и в обратном порядке, используя деление вме-
сто умножения. Например, частота F4, которая на одну квинту ниже Fp вычисля-
ется так:
F =—.
4	3/2
Музыкальная и численная формы представления интервалов тесно связаны
между собой. Далее мы будем использовать и ту, и другую форму в зависимости
от контекста.
19
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
Настройка пианино
Попробуем определить частоты 12 нот одной октавы пианино.
Будем действовать следующим образом: определив частоту одной ноты ре, за-
дадим частоты всех остальных ре путем умножения или деления этой частоты на 2.
Выполним аналогичные действия для всех остальных нот.
Нота до будет иметь нормализованное начальное значение, равное 1. Всем
остальным нотам будут соответствовать числа в интервале от 1 (начальное до) до 2
(следующее до). Эти числа будут соответствовать отношению частоты заданной
ноты и начального до. Чтобы настроить пианино, нужно определить эти значения
для всех нот. В качестве начального значения для расчетов можно выбрать любое
число (например, 440 Гц для ноты ля).
12 нот означают, что начальное и следующее до разделяют 12 «шагов». Каждый
из этих шагов называется полутоном. Сначала попробуем решить эту задачу, ис-
пользуя результаты, применяемые пифагорейцами при настройке инструментов той
эпохи.
Пифагорейский строй
Пифагорейский строй основывался на простых отношениях между различными зву-
ками. В его основе лежали два интервала: октава, соответствующая отношению
между частотами звуков 2:1, и квинта, соответствующая отношению 3:2. Пифаго-
рейцы получали различные звуки с помощью последовательности квинт, затем ис-
пользовали перенос на одну или несколько октав, чтобы найти частоты звуков
в необходимом диапазоне.
В качестве примера начнем с ноты до. Сначала найдем частоту звука, отделенно-
го от этой ноты восходящей квинтой, и получим ноту соль. Повторив эти же дей-
20
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
НАЗВАНИЯ НОТ
Греки дали названия нотам по первым буквам ионийского алфавита. Один и тот же звук, из-
мененный на половину тона или сдвинутый на одну октаву, обозначался разными буквами. На-
пример, нота фа обозначалась буквой альфа, бета обозначала фа-диез, гамма - фа-дубль-диез.
Звуки пифагорейского строя располагались в порядке убывания, в современном музыкальном
строе они расположены с точностью до наоборот.
Римляне также использовали буквы алфавита для обозначения звуков. Боэций, который
в V веке н.э. создал пятитомный труд по теории музыки, рассматривал строй из пятнадцати
нот, охватывавших две октавы. Каждую из этих нот Боэций обозначил своей буквой, не учиты-
вая цикличность октав. На следующем этапе, разумеется, эта цикличность стала учитываться
в названиях нот, и одни и те же ноты разных октав стали обозначаться одинаковыми буквами.
В так называемой английской (или немецкой) нотации семь нот обозначались заглавными
латинскими буквами от А до G, ноты следующей октавы - строчными буквами от а до g, ноты
третьей октавы - удвоенными строчными буквами (аа, bb, сс, dd, ее, ff, gg). Так свои названия
получили семь звуков, соответствующие белым клавишам фортепиано. Остальные пять звуков,
соответствующие черным клавишам, получили производные от основных звуков названия позд-
нее, с появлением понятий «бемоль», «бекар» и «диез».
В XI веке тосканский монах Гвидо д’Ареццо (ок. 995 - ок. 1050) разработал набор мнемо-
нических правил для чтения нот. Возможно, самым известным из них является так называемая
гвидонова рука. В этом методе ноты условно располагаются в алфавитном порядке на паль-
цах руки. Гвидо д’Ареццо также дал названия всем нотам. Он обозначил каждый звук первым
слогом в каждой строке очень известной в то время молитвы
Иоанну Крестителю:
Ut queant laxis,
resonare fibris,
Mira gestorum,
famuli tuorum,
Solve polluti,
Labii reatum,
Sancte lohannes.
Позднее слог ut заменился на do. Так появились названия нот,
которые используются и сейчас.
рукописи.
Рисунок «гвидоновой
руки» из средневековой
21
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
ствия, получим ре, затем ля, затем ми и, наконец, си. Выполнив смещение на одну
нисходящую квинту с начального до, получим ноту фа. Так получаются семь звуков
пифагорейского строя:
фа <— до —> соль —> ре —> ля —> ми —> си.
Если продолжить цепочку квинт, получится 12 звуков так называемого хромати-
ческого строя, составляющие квинтовый круг:
содьЬ <— реЬ <— ляЬ <— ми\> <— сиЬ <—фа<—до—> соль —> реля—> ми—> си—> фа?,
где знаки бемоль (Ь) и диез (Й) означают изменение на полутон ниже и выше соот-
ветственно.
сольЬ // фаИ
После того как мы получили 12 нот, упорядочив квинты, нетрудно вычислить
частоты всех нот, лежащих в пределах одной октавы, путем сдвига на одну или
несколько октав.
Подсчеты
Определим частоту каждой ноты с помощью цепочки квинт и сдвига на одну или
несколько октав, то есть путем деления и умножения частоты на 2. Напомним, что
отношение между частотами звуков всегда будет принимать значение между 1 (со-
отношение частоты одного и того же звука) и 2 (отношение частот нот до соседних
октав).
22
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
Сначала определим относительную частоту ноты соль, которая отстоит на одну
квинту от ноты до:
3
соль = —.
2
Затем определим частоту ноты ре, которая отстоит на одну квинту от соль (необ-
ходимо умножить частоту на 3/2), но потребуется сдвиг на одну октаву ниже (ум-
ножить частоту на 1/2):
3 1
ре = соль  --;
2 2
3 3 1
ре --------;
2 2 2
9
ре = —.
8
Расстояние между до и ре называется целым тоном. Как и следовало ожидать,
один тон равен двум полутонам.
Затем определим относительную частоту ноты ля, отстоящей на одну квинту
от ре:
3
ля=ре-
9 3
ля =----;
8 2
27
ля = —
16
Нота ми отстоит на одну квинту от ля, но потребуется сдвиг на одну октаву
ниже:	3 j
ми =ля-----;
2 2
27 3 1
ми =-------;
16 2 2
81
Последние ноты строя — си, отстоящая на одну квинту от ми, и фа, для полу-
чения которой необходим сдвиг на одну квинту ниже до с последующим смещением
на одну октаву выше (потребуется умножить частоту на 2).
23
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
Приняв частоту до за 1, представим частоты всех нот в таблице:
Нота	ДО	ре	ми	фа	СОЛЬ	ЛЯ	си	ДО
Отношение частот	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2
Можно повторить эти же действия, чтобы определить частоты бемолей, соответ-
ствующих черным клавишам пианино.
Для этого нужно последовательно выполнять сдвиг на одну квинту ниже, на-
чиная с ноты фа.
Нота	реь	МИ^	СОЛЬ	ляь	сиь
Отношение частот	256/243	32/27	1024/729	128/81	16/9
Пифагорейская комма
На одну квинту выше ноты си находится фа-диез, который должен совпадать
с соль-бемоль. Но это не один и тот же звук: разница между фа-диез и соль-бемоль
называется пифагорейской коммой. Аналогично, определив частоты фа-диез и ре-
бемоль, мы увидим, что они отстоят друг от друга не на одну кварту, а на интервал,
который отличается от квинты на одну пифагорейскую комму. Эта квинта, которая
немного меньше настоящей, называется волчьей квинтой.
Построив квинтовый круг из 12 квинт, мы получим ноту, которая немного от-
личается от первоначальной и отстоит от нее на семь октав:
II JI ll.lll.ll III II III II III II HI
Это «немного» и есть пифагорейская комма. Ее значение (обозначим его ПК)
можно вычислить, взяв за основу частоту / и сравнив цепочку из 12 квинт, начиная
с /, с цепочкой из семи октав:
ГзТ
/• -
2
ПК= —= 1,013643265.
/27
24
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
Отличие будет чуть больше 1 °/о октавы или, что равносильно, почти четверть по-
лутона. Это отличие вызвано тем, что дробь, соответствующая квинте, несовмести-
ма с дробью, соответствующей октаве, что нетрудно показать. Для этого попробуем
найти такие показатели степеней х и у, которые позволят связать эти две дроби:
3'
— = 2У
2'
3х = 2х+у.
Из последнего равенства следует, что нужно найти число, которое одновременно
было бы степенью двух и трех. Однако, так как 2 и 3 являются простыми числами,
это противоречит основной теореме арифметики, согласно которой любое положи-
тельное число можно однозначно представить в виде произведения простых множи-
телей. Эту теорему, которую сформулировал Евклид, впервые полностью доказал
Карл Фридрих Гаусс. Из нее следует, что квинта и октава пифагорейского строя
никогда не совпадут, то есть не существует хроматического строя без пифагорейской
коммы, что аналогично.
Другие разновидности музыкального строя
И человеческий голос, и безладовые инструменты допускают использование так на-
зываемого натурального строя, в котором ноты более согласованны, гармоничны.
И голос, и струнные инструменты допускают незначительное изменение высоты из-
даваемого звука (корректировку строя) для наибольшего созвучия. Как вы увидели,
пифагорейский строй создается на основе одной главной ноты, из которой получа-
ются остальные ноты путем упорядочивания чистых квинт. Однако это вызывает
некоторые математические затруднения: во-первых, несовместимость квинты и ок-
тавы ведет к появлению уже упомянутой волчьей квинты, во-вторых, существует
несовместимость между квинтами и большими терциями.
В пифагорейском строе соотношение частот для терций получается с помощью
цепочки из четырех квинт. Используя смещение на одну или несколько октав, по-
25
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
лучим, что соотношение частот равно 81:64. Однако существует и другой способ
определения терции с помощью простого соотношения 5/4 или, что равносильно,
80:64. Это чистая терция.
Отсюда следует, что в пифагорейском строе, представляемом в виде последо-
вательности квинт, терции не являются чистыми. На белых клавишах пианино рас-
положены три терции: до — ми, фа — лян соль — си. Можно сказать, что пифаго-
рейский строй состоит из чистых квинт в ущерб чистоте терций.
Диатонический строй
В результате поисков «чистого» натурального строя появилась новая система отно-
шения звуков — диатонический строй. В пифагорейском строе звуки выражаются
в виде последовательности квинт. Диатонический строй имеет более сложную струк-
туру.
Начиная с ноты до, соблюдая интервалы в одну квинту, откладываются две сле-
дующие основные ноты этого строя: фа и соль. Далее определяются ми, ля и си,
отстоящие на чистую терцию от до, фа и соль соответственно.
Последняя нота, ре, отстоит от ноты соль ровно на одну квинту:
фа	<—	ДО	—>	СОЛЬ	—>	ре
г		г		X		
ЛЯ		ми		СИ		
Интервалы диатонического строя «чище» и более постоянны. Это проявляется
и в том, что соотношения частот звуков диатонического строя относительно просты.
Сначала, начиная с ноты до, частота которой принимается равной 1, рассчитываются
частоты нот фа и соль, отстоящих от до на одну чистую квинту. Частота фа при-
нимается равной 4/3, частота соль — 3/2. Далее рассчитывается частота ноты ми,
отстоящей от до на 5/4.
Аналогично определяется частота ноты ля, которую отделяет от фа одна терция:
5
ля -- фа • — =
4
4 5
3 4
5
3‘
26
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
Си отстоит на одну терцию от соль:
5	3 5 15
си = соль — =------= —
4 2 4	8
И наконец, рассчитывается частота ре, которую отделяет от ноты соль одна чи-
стая квинта со сдвигом в одну октаву:
3 1_=3 3 1_ = 9
2 2~2 2 2~8
Нота	ДО	ре	ми	фа	соль	ля	си	ДО
Отношение частот	1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2
Последовательность, определяющая интервалы диатонического строя, подчиня-
ется структуре тональной музыки. К тональной музыке принадлежит подавляющее
большинство музыкальных композиций, созданных за последние несколько веков,
начиная от периода барокко и классики и заканчивая рок- и поп-музыкой, а также
западной фолк-музыкой.
В тональной музыке ноты выстроены в иерархию вокруг главной ноты, которая
называется тоникой, или тональным центром. Каждая нота выполняет определен-
ную музыкальную «функцию» в произведении. Из-за этого некоторые ступени то-
нальности (особенно те, в построениях которых участвуют диезы и бемоли, которым
соответствуют черные клавиши пианино) настраиваются в зависимости от контек-
ста. Эти варианты приведены в следующей таблице.
Нота	ре|>	ми1>	соль|>	ля|>	си|>
Отношение частот	16/15	6/5	45/32	8/5	16/9
Неизбежные сложности
Диатонический строй не миновали проблемы, неизбежно возникающие из-за несо-
вместимости основных интервалов — октавы, квинты и терции. Почти для всех
27
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
квинт соотношение частот звуков равно 3/2, но для квинты ре — ля оно немного
меньше: 40/27. При дополнении диатонического строя диезами и бемолями все ус-
ложняется еще больше: неизбежно появляется волчья квинта.
Было предпринято множество попыток решить эту проблему с помощью раз-
личных темпераций — систем, в которых трудности при построении строя решают-
ся в ущерб чистоте некоторых интервалов. Изменение чистоты каждого интервала
определяет его «окраску».
Хотя построением различных строев и темперированием достигается относи-
тельно приемлемое равновесие, оно всегда основывается на тонике — ноте, от кото-
рой отсчитываются все остальные.
Если тоника остается неизменной, не возникает никаких трудностей. Однако при
смене тонального центра изменяется весь строй.
Несмотря на то что абсолютная частота звуков, соответствующих всем нотам,
остается неизменной, смена тонального центра нарушает равновесие, что приводит
к смене «окраски».
Если музыкальное произведение, тональным центром которого является нота до,
исполняется на инструменте, настроенном от до, то произведение звучит в точности
так, как было задумано. Представим, что мы хотим исполнить это же произведение,
но на тон выше, то есть с центром в ре, на том же инструменте, который по-прежнему
настроен от до. Мелодия покажется нам не только более высокой, но и фальшивой.
Чтобы убедиться в этом, подробно рассмотрим интервал ре — ля. В диатониче-
ском строе соотношение частот для этого интервала равно не 3/2, а 40/27. В новой
интерпретации с тональным центром в ре интервал ре — ля займет место интервала
до — соль, соотношение частот для которого равно 3/2.
Решение проблемы
Пока что нам не удалось найти музыкальный строй, не содержащий «ненастроен-
ных» интервалов. Неизбежно возникает вопрос: можно ли создать такой строй,
в котором все соотношения между нотами оставались бы неизменными вне зависи-
мости от выбора тонального центра? Эту проблему нельзя решить посредством
уравнивания интервалов, изменяя частоту нот так, чтобы увеличить или уменьшить
определенные интервалы. Решение задачи заключается в том, что октава изначаль-
но должна делиться на 12 равных интервалов. Эти 12 интервалов должны разби-
ваться на 12 равных полутонов, которые в сумме составляют одну октаву.
28
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
Винченцо Галилей, отец Галилео Галилея, еще в XVI веке предложил разделить
октаву на 12 равных полутонов. Соотношение частот этих полутонов равнялось
18/17. Упорядочиванием 12 таких интервалов получались малые октавы и квинты,
соотношение частот для которых равнялось 1,9855... и 1,4919... соответственно.
Подойдем к решению этой задачи с чисто математической точки зрения. Обо-
значим за х отношение частот звуков для последовательных полутонов такое, что
12 интервалов по х образуют октаву. На языке алгебры это означает, что должно
выполняться равенство
л12 = 2 =>
х = '^2.
Значение х, равное 1,059463094..., позволяет по определению получить иде-
альную октаву. Пифагорейская комма равномерно распределяется по всему строю.
Как вы уже увидели, во всех разновидностях музыкального строя, которые ис-
пользовались в разное время, положение пифагорейской коммы определялось в за-
висимости от того, какой интервал считался самым важным. Самые важные интер-
валы сохранялись чистыми, остальные искажались. В строе с соотношением частот
1,059463094..., который называется равномерно темперированным строем, все ин-
тервалы «ненастроены» равномерно.
Чтобы определить частоту звуков для каждого интервала, необходимо составить
цепочку из необходимого числа полутонов. Рассмотрим в качестве примера квинту.
Она состоит из семи полутонов. Следовательно, отношение частот звуков, опреде-
ляющих границы квинты, будет равно
х1 = (1,059463094...)7 = 1,498307071...
С помощью этого простого правила формируется строй из 12 нот. Соотношение
частот для всех интервалов приведено в следующей таблице:
29
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
Ноты	Соотношения частот	
ДО	(1,05946)°	1
ДО#	(1,05946)!	1,05946309
ре	(1,05946)2	1,12246205
ре#	(1,05946)3	1,18920712
ми	(1,05946)4	1,25992105
фа	(1.05946)5	1,33483985
фа#	(1.05946)6	1,41421356
СОЛЬ	(1.05946)7	1,49830708
СОЛЬ#	(1.05946)8	1,58740105
ЛЯ	(1.05946)9	1,68179283
сиЬ	(1.05946)10	1,78179744
си	(1,05946)“	1,88774863
ДО	(1,05946)12	2
Равномерно темперированный строй стал использоваться во всем мире, особенно
для инструментов с фиксированным строем. Звуки этого строя приятны на слух.
Хотя некоторые интервалы получаются излишне большими, а другие, напротив,
слишком малыми, равномерно темперированный строй имеет два важных преиму-
щества. Во-первых, что ценно с практической точки зрения, его можно использо-
вать для уже существующих инструментов. Во-вторых, что ценно с музыкальной
точки зрения, благодаря тому, что все интервалы равны между собой, «окраска»
остается неизменной вне зависимости от выбора тонального центра. (Стоит отме-
тить, что некоторые считают это не преимуществом, а недостатком, ведущим к уте-
ре разнообразия.)
Важно учитывать, что все вышеизложенное справедливо для инструментов
с фиксированным строем, например для пианино: его звучание не меняется по ходу
исполнения музыкального произведения. Однако инструменты с нефиксированным
строем, а также человеческий голос могут быть настроены согласно диатоническому
или равномерно темперированному строю.
30
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
Центы
Цент — это логарифмическая единица, используемая для точного измерения интер-
валов, отношение частот для которых крайне мало. Цент получается делением полу-
тона на 100 равных (перемножающихся!) микроинтервалов. Интервал в 1 цент
слишком мал, чтобы его можно было различить на слух.
Подобно тому как 12 полутонов образуют октаву, цент — это число с такое, что
(с,,ю)12=2=>
1200
С
= 2=^
с =
С помощью центов можно по-новому сравнивать интервалы различных темпе-
раций. Так как цент — это логарифмическая единица, то в цепочке центов частоты
складываются, а не перемножаются, как в предыдущих случаях. Следовательно,
использование центов значительно упрощает вычисления. Интервал р выражается
в центах следующим образом:
с (р) = 1 200 • log2p.
Благодаря этой формуле можно пересчитать все интервалы и представить их
в виде центов, что упрощает сравнение различных музыкальных строев:
		до	ре	МИ	фа	соль	ЛЯ	си	ДО
Пифагорейский строй	Отношение частот	1	9/8	81/64	4/3	3/2	27/16	243/128	2
	Центы	—	203,91	407,82	498,04	701,95	905,86	1109,77	1200
Натуральный строй	Отношение частот	1	9/8	5/4	4/3	3/2	5/3	15/8	2
	Центы	—	203,91	386,31	498,04	701,95	884,35	1088,26	1200
Равномерно темперированный строй	Отношение частот	1	1,1224	1,26	1,334	1,498	1,681	1,887	2
	Центы	—	200	400	500	700	900	1100	1200
31
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
ГАРМОНИЧНЫЕ КОЛОКОЛЬЧИКИ
Ветряные колокольчики состоят из небольших тру-
бок разной длины, обычно металлических, которые
крепятся к крутому основанию. Под дуновением
ветра трубки ударяются о кольцо, закрепленное
в центре. Как правило, трубки подбираются так,
чтобы их звучание соответствовало пентатониче-
скому звукоряду. Они также могут быть подобраны
индивидуально, в соответствии с любым другим
звукорядом. Должна соолюдаться относительная
длина трубок, кроме того, отверстие в каждой
трубке должно находиться в строго определенном
месте. За основу берется трубка длины L, звук ко-
торой принимается в качестве основы звукоряда.
Через L рассчитываются длины остальных трубок
в соответствии с формулой
Колокольчики различной формы,
изготовленные из металлических трубок.
(«У
Квинты равномерно темперированного строя несколько меньше чистых квинт.
Терции равномерно темперированного строя, в свою очередь, больше чистых тер-
ций, но меньше пифагорейских.
Соизмеримость
Пифагорейцам не были известны дроби в том виде, в котором мы их используем
сейчас. Вместо этого применялось эквивалентное понятие отношения между целы-
ми числами. Как вы уже увидели, с помощью таких отношений пифагорейцы опи-
сали соотношения длин струн, способных производить гармоничные звуки: 2:1,
3:2, 4:3, ...
Пифагорейцы были твердо убеждены в том, что числа выражали гармонию Все-
ленной, поэтому две величины всегда должны быть соизмеримы: их отношение
должно выражаться как отношение целых чисел. Понятие соизмеримости напрямую
32
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
R - соотношение частоты данного звука и базового. В свою очередь, подвес должен располагать-
ся на высоте, равной 22,4% от общей длины трубки. В следующей таблице приведены некоторые
значения длин трубок для колокольчиков из семи трубок:
Интервал			Высота подвеса
Базовый	1	30	6,72
Секунда	1,125	28,28	6,34
Терция	1,25	26,83	6,01
Кварта	1,34	25,98	5,82
Квинта	1,5	24,49	5,48
Секста	1,67	23,24	5,20
Септима	1,875	21,91	4,91
Октава	2	21,21	4,75
Также можно вычислить длины трубок для более низких звуков, например для нисходящей кварты.
В этом случае значение R будет обратным значению для восходящей кварты:
Нисх. кварта	0,75	34,64	7,76
связано с числами, которые мы называем рациональными. Рациональное число —
это число, представляемое обыкновенной дробью, числителем которой является це-
лое число, а знаменателем — натуральное. На языке современной математики пи-
фагорейское понятие соизмеримости будет звучать так: две произвольные величины
А и В соизмеримы, если существует третья величина С и два целых числа р и q та-
кие, что С укладывается в А р раз, а в В — q раз.
П Г Г’т"1 г т-]—| | | | | | | | | | = ГП х20
I" I Г I I Г|| | Г |.......|”г-|
= П Х13
Иными словами, можно, используя всего два целых числа, точно определить,
во сколько раз А больше (или меньше) В. Однако уже пифагорейцы, к своему
33
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
неудовольствию, обнаружили, что существуют несоизмеримые числа, отношение
между которыми нельзя представить с помощью целых чисел. В настоящее время
такие числа называют иррациональными. Самые известные иррациональные чис-
ТРИ СРЕДНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
Пифагор находился под влиянием своих знаний о средних величинах (среднем арифметиче-
ском, среднем геометрическом и среднем гармоническом) и о мистицизме натуральных чисел,
особенно первых четырех, называемых «тетракис».
Как видно на рисунке ниже,
3:4 - это среднее арифметическое 1 и 1/2:
2:3 - среднее гармоническое 1 и 1/2:
3„3 2
Пифагор экспериментально доказал, что струны с соотношением длин 1:2,2:3 (среднее гар-
моническое 1 и 1/2) и 3:4 (среднее арифметическое 1 и 1/2) издают приятные звуки. Как вы
уже знаете, на основе этих соотношений он создал свой музыкальный строй. Пифагор назвал
эти интервалы диапазон, диапент и диатессарон. Мы называем эти интервалы октавой, квинтой
и квартой соответственно. Но что случилось со средним геометрическим? Пифагор отказался
от него, так как оно было несоизмеримо с остальными? Вовсе нет: среднее геометрическое
точно соответствует ноте фа-диез хроматического строя.
1:72
т
1:2
34
ИГРА НА ОДНОЙ СТРУНЕ
ла — это 71 и \]2. Корень из двух — это длина гипотенузы прямоугольного треу-
гольника с катетами длиной 1, вычисленная по теореме Пифагора.
Как вы уже увидели, при настройке интервалов так, чтобы соотношение частот
равнялось 18/17, что предлагал Винченцо Галилей, нельзя получить чистые окта-
вы. Число 18/17 достаточно точное, но стоит задаться вопросом: существует ли ра-
циональное число, равное '$2 — соотношению частот для интервалов равномерно
темперированного строя? Иначе говоря, существуют ли два целых положительных
числа а и b такие, что
- = '$2
h
Их не существует. Следовательно, если соотношение частот звуков описывается
отношением целых чисел а/Ь, то цепочка из 12 полутонов не будет равна «настоя-
щей» октаве. Если бы такие числа существовали, то выполнялось бы равенство
и, как следствие, существовали бы два целых числа а — а6 и Ь’ — Ь() такие, что
(а /Ь’)2 = 2. Следовательно, число \/2 было бы рациональным, что невозможно.
Что сказали бы пифагорейцы, увидев, что задача о создании идеального музы-
кального строя решается с помощью иррациональных чисел?
35

Глава 2
Другое измерение: время
Думаю, что ритм — основная, возможно, важнейшая часть музыки:
он появился раньше, чем мелодия и гармония,
и, признаюсь, я испытываю к нему тайную симпатию.
Оливье Мессиан (1908—1992)
Вселенная непрерывно меняется. Течение времени проявляется в изменении поло-
жения предметов, их формы, физических и химических свойств. Биологические, ме-
теорологические, геологические, астрономические явления происходят с течением
времени. Явления природы, как и деятельность человека, подчинены определенно-
му ритму.
Равномерно сменяют друг друга фазы Луны, приливы и отливы, времена года,
дни и ночи. К счастью, человек смог найти ритм, отличающийся от размеренного
ритма, задаваемого стрелками часов. Ритмом называется чередование каких-либо
элементов, происходящее с определенной периодичностью. В музыке ритм — это
частота, с которой воспроизводится последовательность звуков.
Люди пытались записывать мелодии с помощью символов с античных времен.
Невмы, примитивные музыкальные символы, описывали музыкальные фразы
и громкость исполнения, но не указывали на высоту звуков или ритмический рису-
нок. Чтобы читать невмы, исполнитель должен был знать мелодию, которая пере-
давалась из уст в уста.
Ритмические группы. Ритмы, доли, акценты
Когда мы слушаем музыку, то иногда невольно начинаем сопровождать ритм дви-
жениями руки, ноги или головы. Эти ритмические группы, которые мы слышим,
называются долями. Если слушать музыку внимательно, то можно уловить ритми-
ческий рисунок каждой доли, некий внутренний ритм, который называется ритмиче-
ским делением. Доли могут делиться на две (бинарное ритмическое деление) или
37
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
три более мелкие части (тернарное ритмическое деление). Если вам кажется, что
доля делится на четыре части, такое ритмическое деление также является бинарным.
Большие ритмические группы рассматриваются как сумма более малых, например,
5 = 3 + 2 или 5 = 2 + 3. Можно сказать, что доли — это пульс музыки.
От Древней Греции к первым нотам
Первая музыкальная нотация, о которой сохранились какие-либо свидетельства,
была придумана народами Плодородного полумесяца. В частности, на табличке, да-
тируемой примерно 2000 годом до н. э., найденной в шумерском городе Ниппур
на территории современного Ирака, записано музыкальное произведение в диато-
ническом строе, состоящее из последовательности терций. Позднее греки разрабо-
тали собственную музыкальную нотацию, с помощью которой можно было записы-
вать высоту и длительность ноты, но не гармонию. Эпитафия Сейкилоса, написан-
ная между II и I веком н. э., содержит полный музыкальный регистр гимна. Тща-
тельно изучив его, современные исследователи смогли получить примерное пред-
ставление о том, как звучала композиция.
Различные системы нотации греческого происхождения оказались забыты с па-
дением Римской империи. Лишь в середине IX века для записи григорианских
песнопений в Европе появилась новая, невменная система, основанная на слоговой
записи латинских стихов. Невмы были примитивными музыкальными символами,
указывающими на ноту, соответствующую латинскому слогу. Тем самым с помощью
невм приблизительно передавались особенности исполнения песни, но не определя-
лась ни высота звуков, ни ритмический рисунок. Чтобы воспроизвести песню, ис-
полнитель должен был заранее знать мелодию, а указания, записанные в невменной
нотации, лишь помогали ему при ее исполнении. Для преодоления этих ограничений
невмы дополнялись вспомогательными надписями и располагались на разной высо-
те. Высота указывалась четырьмя линиями, которые представляли собой прообраз
современного нотного стана.
Примерно в середине XIII века на фоне падения авторитета церкви в европей-
ском искусстве роль религии постепенно снижается, заменяясь светскими традици-
ями. До этого музыкальная запись развивалась исключительно в религиозных кру-
гах. Для записи же многоголосой народной музыки требовалась совершенно иная
нотация.
В конце XIII — начале XIV века на свет появилась новая, более эффективная
форма записи, которую описал француз Филипп де Витри (1291—1361) в трактате
38
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
ПЕСНЬ О СКОРОТЕЧНОСТИ ЖИЗНИ
Эпитафия Сейкилоса записана на греческом надгробии, которое находится близ города Айдын
на территории современной Турции. Полностью эпитафия звучит так: «Я надгробный камень,
Сейкилос воздвиг меня здесь в знак его вечной памяти». Далее следует текст музыкального
произведения, над которым записан ряд знаков и символов. В переводе на современный
греческий язык эпитафия выглядит так:
С Z Z Kizf к I ZIK О СОФ
"О oov Сп<£, фа) vou, рп бёуоА cog ай Ли тгой-
с к zi йксоф с ко I z к cccxj
ттрод 6А iyov ё ot'ito (fjv, то тёАод 6 xpovog Onai теТ.
Текст песни можно перевести следующим образом:
Сверкай, пока живешь,
и не страдай.
Жизнь коротка,
и время возьмет свое.
В современной музыкальной нотации мелодия записывается следующим образом:
«Новое искусство». В этой книге подробно описывается способ записи ритмиче-
ского рисунка, возникший в результате необходимости графической записи новой
многоголосной музыки, в которой требовалось точно указывать звучание различных
голосов.
39
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
СЛОГИ И МЕЛИЗМЫ
В Европе начала XIII века музыка записывалась в виде невм, расположенных поверх четырех
параллельных линий. Высота звуков указывалась с помощью музыкальных ключей
Uulntu to'wijufnn ttm
«диютйшиг atotsienr m Wiwrtj
* ' •. :*•»• ". * * '
1йис<йс wti$tuuntietsr>Mei ift-ft-
’	* '•	Iter
W —, iwom w
жГтпасптзгсСо tni njbi
‘ y*< .	• ♦.
wiftftumKlcbratthS fnctioncrc
4	j . , , ,;"<k j ,
.Harm rtflrtjrrw&tiniispamo ttegaui® -an
jje hctraiUHbant-fW"4t>
ftibim|-reliiti/hrtimdispqntfeqtitm towqifc
%	r}” "’*1. -W
fttirtomunb fijttru- ^AooVa^qm m
Прекрасный пример сложности невменной нотации — финская книга песнопений
Graduate Aboense XIII—XIV веков.
Песни, в которых каждому слогу соответствует одна нота, принадлежат к силлабическому стилю,
в отличие от мелизматических, в которых на один слог приходится несколько нот. В невменной
нотации восходящая последовательность звуков записывалась в виде близко расположенных
квадратов, которые читались снизу вверх. Нисходящий звуковой ряд отображался невмами в форме
ромбов, которые читались слева направо. Например, существовало четыре варианта записи слога,
пропеваемого тремя нотами:
Перфектум и имперфектум
Книга «Новое искусство» стала революционной во многих смыслах. В ней излага-
лись идеи и предположения, ранее высказываемые другими музыкантами того вре-
мени. До появления этой книги в церковной музыке отдавалось предпочтение рит-
мическому делению на три части, так как число три ассоциировалось со Святой
Троицей и считалось совершенным.
В книге Филиппа де Витри была заложена основа музыкальной нотации, с по-
мощью которой можно было записать сложные композиции, сочетающие ритмиче-
ское деление на две и три части. Кроме того, предлагаемая нотация устанавливала
соотношения между нотами. Французский музыкант и поэт нашел поистине гени-
40
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
1141	Scandicus	Три восходящих звука.
IJ4I	Climacus	Три нисходящих звука.
^1	Torculus	Звук, за которым следует более высокий, затем более низкий.
ИИ	Porrectus	Высокий, низкий и высокий звук.
В поздней невменной нотации использовались символы, которые кажутся нам знакомыми, что
ясно указывает на источник происхождения современной музыкальной нотации:
	Flat	Этот символ имеет то же значение, что и современный бемоль. Он указывался только в линии, соответствующей ноте си.
III-+	Mora	Так же, как и в современной нотации, точка, расположенная после ноты, указывает, что эту ноту нужно исполнять дольше.
альное решение: в придуманной им форме записи ритмическое деление на две и три
части записывалось с помощью одних и тех же графем, или нот. В основе его метода
лежали три соотношения. Он также создал новую ноту — миниму в дополнение
к уже известным в то время лонге, бревису и семибревису. Система де Витри вклю-
чала три соотношения между нотами:
— модус: соотношение лонги и бревиса;
— темпус: соотношение бревиса и семибревиса;
— пролация: соотношение семибревиса и минимы.
41
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
Модус и темпус, в свою очередь, могут быть:
—	трехдольными, или «совершенными»;
—	двухдольными, или «несовершенными».
Пролация также имела две разновидности:
—	малая (при делении на две части);
—	большая (при делении на три части).
В следующей таблице приведены соотношения длительностей звуков и соответ-
ствующие соотношения между различными фигурами (нотами):
Соотношение	Фигуры (одиночные ноты)	Отношение между фигурами
Модус перфектум	Лонга/бревис	1 лонга = 3 бревиса
Модус имперфектум	Лонга/бревис	1 лонга = 2 бревиса
Темпус перфектум	Бревис/семибревис	1 бревис = 3 семибревиса
Темпус имперфектум	Бревис/семибревис	1 бревис = 2 семибревиса
Большая пролация	Семибревис/минима	1 семибревис = 3 минимы
Малая пролация	Семибревис/минима	1 семибревис = 2 минимы
Стоит указать, что деление на две и три части характерно не только для до-
лей, но и для более крупных ритмических групп. Например, такт может состоять
из двух или трех долей и называться соответственно двухдольным или трехдольным.
Такт — это понятие, созданное с целью упростить запись ритмов и чтение музы-
кальной нотации. Такты подчиняются общему принципу: они делят музыкальную
композицию на строго равные части.
Такты начинаются с наиболее сильной доли, за которой следует еще одна или
несколько более слабых долей. Например, двухдольный такт звучит как РАЗ-два,
РАЗ-два, трехдольный — РАЗ-два-три, РАЗ-два-три. В современной нотации
42
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
размеры тактов обозначаются дробями вида х/у, где х обозначает число нот в такте,
у — вид нот (к примеру, 1 обозначает целую ноту, 2 — половинную, 4 — четверт-
ную и так далее). Подробнее о том, как обозначаются и записываются такты, мы
расскажем в следующих главах.
Вернемся к системе Филиппа де Витри. В «Новом искусстве» описывались чет-
ко определенные ритмические структуры, отличающиеся друг от друга вариантами
сочетания темпуса и пролации с различными видами долей. Обозначались они сле-
дующим образом:
—	круг с точкой в центре обозначал трехдольный такт с трехдольным ритмиче-
ским делением, что эквивалентно современному размеру 9/8;
—	круг без точки в центре обозначал трехдольный такт с двухдольным ритмиче-
ским делением, что эквивалентно современному размеру 3/4;
—	полукруг с точкой внутри обозначал двухдольный такт с трехдольным ритми-
ческим делением, что эквивалентно современному размеру 6/8;
—	полукруг без точки обозначал двухдольный такт с двухдольным ритмическим
делением, что эквивалентно современному размеру 2/4.
В следующей таблице описываются эти четыре разновидности ритма, приведены
обозначения той эпохи и соотношения между различными фигурами. Для темпус
перфектум и большой пролации бревис (обозначен квадратом) равен трем семи-
бревисам (ромбам), каждый из которых равен трем минимам (обозначены ромбом
с вертикальной чертой):
Темпус перфектум	Большая пролация	9/8	©. = ♦♦♦ =	ш	ш	ш
Темпус перфектум	Малая пролация	3/4	о  = ♦ ♦ ♦ =	И	U	U
Темпус имперфекгум	Большая пролация	6/8	С* - = ♦ ♦	=	ш	ш	
Темпус имперфектум	Малая пролация	2/4	С - = ♦ ♦	=	И	11	
43
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
ЯВЛЕНИЯ И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Подобно тому как математические модели являются отображением реальности, так и музы-
кальная нотация является графическим представлением физического явления, но не наоборот
Партитура незнакомого произведения дает музыканту лишь приближенное представление о том,
что хотел выразить композитор. Достаточно послушать одно и то же произведение в исполнении
различных музыкантов, чтобы оценить различия. Нечто подобное происходит, когда мы читаем
написанный текст или слышим, как его произносит кто-то другой: когда актер декламирует сти-
хотворение, он наделяет слова необъяснимой экспрессией, и эту магию актерской игры нельзя
передать на бумаге. Карта страны - лишь двумерное графическое представление территории.
Карта - это не страна, но карта содержит указания, которые помогут путешественнику найти до-
рогу. Партитура передает технические аспекты исполнения музыки, но ее интерпретация зависит
от музыканта. Именно музыкант завершает произведение и наделяет его смыслом.
Ударные: чистый ритм
На ритм «накладываются» мелодия, лиги, изменения высоты и интенсивности зву-
ков. При игре на ударных, напротив, ритм остается «обнаженным». Он содержит
резкие скачки громкости, высоты и тембра звуков, однако при игре на ударных,
по сути, возможны только два варианта: удар или его отсутствие. Здесь ритм про-
является во всей безупречности, раскрывает всю свою сущность. Ритм идеально
подходит для изучения с точки зрения математики.
При игре на ударных инструментах циклические последовательности звуков ха-
рактеризуются распределением артикуляций. Будем записывать исключительно ар-
тикуляции без учета эха, удлиняющего звуки. Так мы сможем зафиксировать четкую
артикуляцию и понять последовательность звуков.
Можно выделить три различных ощущения ритма в зависимости от его быстроты:
—	первый уровень, самая быстрая артикуляция, соответствующая ритмическому
делению долей. Удары нумеруются начиная с первой доли по порядку: 1, 2, 3
и так далее. Когда начинается новая доля, отсчет возобновляется с единицы;
—	второй уровень образуют относительно сильные доли, которые обозначаются
цифрой 1;
—	на третьем уровне появляются акценты — доли, которые звучат сильнее других.
44
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
Ритмическая последовательность размером 9/8 на трех описанных уровнях бу-
дет выглядеть так:
Iй	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3	1	2	3	
2 й	1			1			1			1			1			1			
3 й	1									1									
Рассмотрим подробнее вторую строку таблицы, где записаны только доли. За-
полнив пустые ячейки таблицы нулями, мы получим четкое представление о после-
довательности долей. Каждая единица означает удар, ноль — паузу. В результате
мы получаем чистый ритм.
100100100100100100
Доли образуют структуру, лежащую в основе всей музыки подобно тому, как
ткань формируется переплетением тонких нитей с нитями основы. Выберем в каче-
стве единицы измерения ударов восьмую ноту, которую укажем как р. Так как ритм
образован последовательностью ударов и пауз, будем использовать только восьмые
ноты и восьмые паузы. Восьмые паузы обозначим 7. Назовем четвертной нотой по-
следовательность из удара и паузы (из восьмой ноты и восьмой паузы). Отметим
ее |*. И наконец, добавим в нашу нотацию еще один новый символ, так называемую
четвертную ноту с точкой, |* — для обозначения тех случаев, когда за одной паузой
следует другая, то есть последовательность нот и пауз выглядит как р7.
По сути, мы рассматриваем двоичную систему, где нотам и паузам присваивают-
ся значения 1 и 0 соответственно. Эквиваленты этих символов для такта размером
4/4 записываются так:
	Г	г	г		г	=		7	г	7	р	7	р	7	=	1	0	1	0	1	0	1	0
Заметим, что последовательность удар-пауза-удар-пауза повторяется дважды.
Двухдольный такт, каждая из долей которого длится одну четвертную ноту с точкой
(6/8), будем обозначать так:
	Г'	Г’	=	р	7	7	р	7	7	=	1	0	0	1	0	0
45
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
Покрытие пространства звуков
В следующей главе мы более подробно проанализируем структуру канонов, а пока
ограничимся их ритмическим аспектом, который называется ритмическим каноном.
Одновременное исполнение различных ритмических единиц — серьезная задача
для исполнителя, как для солиста, так и для группы. Чтобы познакомиться с тем, что
такое ритмический канон, рассмотрим упражнение.
Начнем с ритма J. J. J = 3 + 3 + 2= 10010010, который циклически исполняют
два музыканта. Второй музыкант начинает играть после первой артикуляции перво-
го исполнителя:
1	0	0	1	0	0	1	0	1	0	0	1	0	0	1	0	1	0	
	1	0	0	1	0	0	1	0	1	0	0	1	0	0	1	0	1	
Можно увидеть, что в столбцах таблицы под номерами 3, 6, И и так далее (вы-
делены жирным шрифтом) паузы обоих ритмов совпадают. Существуют ритмиче-
ские рисунки, которые можно исполнить в каноне так, что будут выполняться сле-
дующие условия:
1) два музыканта не начинают играть одновременно;
2) паузы ритмических рисунков никогда не накладываются друг на друга.
Эту ситуацию можно сравнить с математической задачей замощения плоскости,
в которой требуется покрыть всю плоскость правильными геометрическими фигура-
ми. Однако в нашем случае мы хотим покрыть всю «звуковую плоскость».
Простой ритм, например J. J. = 100100, удовлетворяет приведенным выше усло-
виям. Чем длиннее ритмический рисунок, тем сложнее решить поставленную задачу.
Следующая последовательность из 12 ударов
1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1	1
полностью покрывает «звуковую плоскость» так, что при исполнении ее трио с на-
чальным сдвигом в четыре артикуляции паузы полностью отсутствуют:
1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1	1	
				1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	0	1	0	0	
								1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1	1	1	0	0	0	
46
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
ПРОПОСТА И РИСПОСТА
Изначально слово «канон» обозначало свод правил, которыми руководствовались певцы при
исполнении песен. Начиная с XVI века этим словом стали обозначать конкретную разновидность
композиции, в которой ведущий (также называемый пропоста) исполнял ту же мелодию, что
повторяли голоса, вступающие позже (риспосты). Мелодия риспосты могла быть ритмически
эквивалентной мелодии ведущего или, напротив, отличаться по сложности. Детская песенка
«Братец Якоб» (фр. Frere Jacques) - известный пример канона, в котором имитирующие голоса
в точности повторяют основную мелодию без каких-либо изменений.
К преобразованиям имитирующих голосов канона относятся: число имитирующих голосов;
интервал ожидания между первым и последующим голосом либо между различными голосами,
если они вступают по очереди; темп мелодии, исполняемой имитирующими голосами; инверсия
мелодии ведущего; запаздывание мелодии и так далее.
Каноны были очень популярны в церковной музыке. Наивысшего расцвета они достигли
в произведениях композиторов позднего Средневековья, например Гийома де Машо, и компо-
зиторов эпохи Возрождения, например Жоскена Депре. Однако наиболее ярко технику канона,
как и многие другие более сложные техники, использовал Иоганн Себастьян Бах, создавший
произведения, по праву называемые каноническими.
Первые такты мессы L'Homme arme super voces musicales («Вооруженный человек»)
Жоскена Депре, которая начинается с трехголосного канона. Ведущий голос самый
медленный, второй исполнитель поет в два раза быстрее него, третий —
в три раза быстрее. Линии соединяют первые четыре ноты произведения для каждого
из трех голосов.
47
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
С математической точки зрения интерес представляет поиск метода, позволяю-
щего составлять подобные последовательности. В нем должны учитываться следу-
ющие параметры:
—	общее число артикуляций (а),
—	число голосов (l>),
—	смещение голосов (d).
Чтобы эта задача имела решение, должны выполняться следующие условия:
—	число артикуляций а должно делиться на число голосов v нацело;
—	нужно «покрыть» а артикуляций с помощью v голосов. Так как все голоса
эквивалентны, базовая структура должна состоять из а/v «единиц»;
—	голоса смещаются относительно друг друга на величину, равную а/v. Это га-
рантирует, что ни в один момент времени не будут дублироваться единицы.
Приведем пример для четырех артикуляций (а = 4) и двух голосов (у = 2).
Смещение равно а/п = 4/2 = 2 артикуляциям. В нашем примере можно перебрать
все возможные варианты. Несложно проверить, какие из них будут удовлетворять
требуемым условиям. Возможные ритмические структуры таковы:
1100
1001
Так как эти последовательности будут циклически повторяться, нетрудно видеть,
что нули и единицы в обоих случаях будут располагаться одинаково. В первом слу-
чае мелодия, исполняемая со смещением в две артикуляции, будет записываться так:
1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0
		1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
Во втором случае так:
1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1
		1	0	0	1	1	0	0	1	1	0
48
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
Заметим, что по ходу канона его исполнение в обоих случаях одинаково. Теперь
рассмотрим пример с 12 артикуляциями, разделенными на группы с одинаковым
временем звучания. Если мы хотим «покрыть» плоскость этими 12 артикуляциями,
исполняемыми в 3 голоса, то
а = 12,
v = 3,
а 12	.
- = — = 4,
V 3
то есть необходимы 3 группы по 4 артикуляции.
Возьмем за основу следующую структуру:
0000 0000 0000.
Расположим единицы так, чтобы при наложении на каждой позиции единица встре-
чалась ровно один раз:
1000 0100 ООН.
Чтобы избежать удвоенных ударов (несколько единиц в одном столбце) необ-
ходимо выполнить смещение на величину a /v, которая в нашем случае равняется 4.
ЗАМОЩЕНИЕ ВСЕЛЕННОЙ
Замощение - это равномерное расположение фигур, покрыва-
ющих плоскость. В качестве простого примера можно привести
тротуарную плитку или кафель в ванной. При замощении долж-
ны отсутствовать пробелы и наложения фигур. Квадрат и пра-
вильный шестиугольник - примеры простейших геометрических
фигур, покрывающих плоскость. Однако при замощении могут
использоваться и неправильные фигуры. В пример можно приве-
сти улицы Каира. Схема их замощения представлена на рисунке,
справа внизу - соответствующее трехмерное изображение.
49
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
Такт. Метр. Ритмическое деление
Акцент и размер такта
В музыкальных композициях сильные доли чередуются со слабыми. В нотной за-
писи сильные ноты формируют структуру композиции: с каждой сильной доли на-
чинается такт, который длится до следующей сильной доли. Таким образом, такт —
это совокупность нот и пауз между соседними сильными долями. Такты равномер-
ного музыкального произведения имеют одинаковую длину и те же свойства. Благо-
даря этой равномерности достаточно определить параметры такта один раз в начале
композиции.
Виды тактов
Доли такта могут делиться на две или три части. Такт обозначается дробью, которая
может быть правильной (для простых тактов) и неправильной (для сложных).
В числителе дроби отмечается количество долей, в знаменателе — число, означаю-
щее длительность долей. Например, целой ноте соответствует единица, половин-
ной — 2, четвертной — 4 и так далее. В простом такте знаменатель указывает от-
носительную длительность ноты такта. В сложном такте знаменатель обозначает
используемое ритмическое деление. Чаще всего применяются четвертная нота (она
равна восьмой ноте и восьмой паузе; здесь используется ритмическое деление на две
части) и четвертная нота с точкой (она равна восьмой ноте и двум паузам подряд;
здесь мы видим ритмическое деление на три части).
Рассмотрим несколько примеров. Простой такт из двух долей длительностью
в четвертную ноту, 2/|*, обозначается дробью 2/ 4.
Число 2 обозначает количество долей, число 4 указывает, что доля имеет дли-
тельность в четвертную ноту. Сложный двухдольный такт будет образован двумя
долями длительностью в четвертную ноту с точкой: 2/f’.
Возникает проблема: четвертной ноте с точкой не соответствует ни одно число
(ни какая-то другая нота с точкой), поэтому длительность этого такта нельзя выра-
зить в знаменателе дроби. Эта проблема решается так: указывается не длительность
такта, а число, соответствующее ритмическому делению доли. В нашем примере чет-
вертная нота с точкой ритмически делится на восьмую ноту и две восьмые паузы.
Такт состоит из двух четвертных нот с точкой, следовательно, он будет состоять
в сумме из шести восьмых нот и пауз и обозначаться дробью 6/8.
50
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
Нотация, которую мы использовали для обозначения чистого ритма, позволяет
четко увидеть чередование нот и пауз (единиц и нулей):
2/4
При трехдольном ритмическом делении единицы чередуются с двумя нолями:
6/8
<						<					
1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0
9/8
<									<						<								
1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0
Наиболее часто используемые такты и соответствующее число долей приведены
в таблице:
	2 доли	3 доли	4 доли
Простой размер	2/4	3/4	4/4
Сложный размер	6/8	9/8	12/8
51
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
ВСЕ ТАКТЫ МИРА
Как вы уже увидели, такт - это совокупность нот и пауз, имеющая определенную длительность.
Не принимая во внимание музыкальное значение такта, интересно проанализировать все
возможные способы, которыми можно образовать такт из различных ритмических групп.
Рассмотрим небольшую комбинаторную задачу, которая может быть интересна тем, кто занимается
музыкой. В этой задаче происходит полный перебор всех возможных ритмических групп и пауз.
Начнем с такта размером 4/4 и расположим на нем четыре ритмические группы, эквивалентные
четвертной ноте. Обозначим их А, В, С и D.
Составим из них первый такт:
4/41А В С D |
Далее найдем все возможные перестановки.
Шаг 1. Выберем последний элемент такта (в нашем случае это D). который станет основой для первой
группы перестановок. Далее поместим D между В и С:
4/41А В D С |.
Неравномерность
В приведенных выше примерах все такты и все доли имеют одинаковую длитель-
ность. Однако так происходит не всегда: например, в африканской музыке часто
встречаются неравномерные ритмы. Подобные неравномерные ритмы нередки
и в академической музыке.
Существует ритмический рисунок, который очень часто встречается в различных
музыкальных жанрах Африки и Америки. Его образуют правильные такты из трех
долей разной длительности. Это означает, что все такты этого ритмического рисунка
имеют одинаковую длительность, но длительность долей внутри тактов различает-
ся. Каждый такт состоит из двух долей, разделенных на три части, и одной доли,
разделенной на две части. В нашей системе обозначений это записывается двумя
долями длительностью в четвертную ноту с точкой и одной долей длительностью
в четвертную ноту, как показано на рисунке:
52
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
Шаг 2. Расположим этот же элемент D на втором месте, сместив В вправо. Запишем полученный такт:
4/41A D В С |.
Шаг 3. Наконец, поместим D на первое место и тем самым сформируем первую группу перестановок:
4/4|DABC|.
Далее сформируем все возможные перестановки для полученного такта. Последовательность
действий будет аналогичной: выберем элемент, расположенный на четвертом месте (теперь это С),
и будем смещать его справа налево, повторяя шаги 1-3:
4/41 D А В С | D А С В | D С А В J С D А В |.
Повторив эти же действия для В и для А, мы вернемся к исходному такту:
4/41С D А В | С D В А | С В D А | В С D А |
4/41 В С D А | В С A D | BA С D |А В С D |.
С помощью этого алгоритма мы получили все возможные последовательности ритмических групп
в заданном такте.
J. J.- = Л
Этот такт состоит из восьми восьмых нот и пауз и совпадает с тактом 4/4. Одна-
ко он имеет совершенно иной ритмический рисунок, так как в такте 4/4 содержатся
четыре доли, разделенные на две части каждая. Рассматриваемый нами такт, напро-
тив, представляет собой смесь из долей, разделенных на две и три части.
Подобную неравномерность обозначают числом частей, на которые делится
каждая доля, разделенных знаком +. В нашем примере такт будет обозначаться
3 + 3 + 2.
53
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
Многослойные ритмы
В различных культурах присутствует особая техника игры на ударных — полирит-
мия. В полиритмии единое сложное и организованное произведение образуется со-
четанием различных артикуляций. Полиритмия звучит в высшей степени красиво,
поскольку и ритмический, и мелодический рисунок отличаются огромным разно-
образием. Это живое искусство, которое можно проанализировать математически.
Ритмы могут полностью совпадать, но быть сдвинутыми друг относительно дру-
га, как при исполнении канона, в котором голоса вступают один за другим спустя
определенные промежутки времени. Ритмы также могут быть инвертированными.
Во всех этих случаях результатом будет полиритмия. El pajarillo, el seis corrido и el seis
derecho — три формы полиритмии в музыке хоропо, распространенной на равнинах
Венесуэлы и Колумбии. Хоропо отличается разнообразием ритмов, одновременно
исполняемых на традиционных музыкальных инструментах — бандолах, арфах, че-
тырехструнных гитарах и маракасах. Одна из особенностей ритма хоропо — парал-
лельное исполнение тактов размером 6/8. Полученный ритм выглядит так:
0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0	1
1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0
Еще один пример ритма, чрезвычайно распространенного в латиноамериканской
и европейской музыке, — смесь трехдольного и двухдольного деления, которое
обычно записывается в виде такта размером 6/8 и такта размером 3/4, исполняю-
щихся одновременно. В виде единиц и нулей этот ритм можно представить так:
1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0
1	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0
Смешанные размеры
Для написания более свободных композиций, а также для записи партитур народной
музыки, отличающейся богатым ритмическим рисунком, в XX веке были придума-
ны новые способы записи ритмов. Так, начали использоваться сочетания тактов раз-
личной длительности. Например, часто встречаются группы из семи четвертных нот,
которые являются сочетанием тактов размером 3/4 и 4/4 либо трех тактов: разме-
ром 2/4, 3/4 и 2/4. В такте из пяти четвертных нот могут объединяться такты раз-
мером в2/4иЗ/4 или наоборот.
54
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
Партитура «Концертино для струнного квартета» Игоря Стравинского, на примере которой
вы можете оценить огромное разнообразие ритмов, используемых этим великим
композитором-новатором XX века.
Скорость: метроном
Исполнить записанную последовательность нот и пауз непросто. Если исполнитель
никогда не слышал эту композицию раньше, он сможет приблизительно передать
ритм, задуманный композитором, но ему будет не хватать важнейшего параметра —
скорости исполнения. Этот параметр указывается в начале партитуры произведе-
ния, а также всякий раз, когда изменяется темп произведения. Он обозначается но-
той, рядом с которой указывается число. Это число означает, сколько раз в минуту
должна уложиться нота указанной длительности. Так, обозначение
Г = 60
означает, что в минуту исполняется 60 долей. В этом случае для определения скоро-
сти исполнения достаточно обычных часов, так как исполняется ровно одна доля
в секунду. В других случаях используется прибор, равномерно отсчитывающий доли
в заданном ритме, — метроном. Механический метроном представляет собой маят-
ник, частота колебаний которого изменяется посредством смещения противовеса.
Чем выше частота колебаний маятника, тем больше тактовых долей воспроизводит-
55
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
ся в минуту. Начинающие музыканты используют метроном, когда учатся выдержи-
вать одинаковую скорость игры. Метроном также помогает композиторам опреде-
лить скорость исполнения музыкального произведения. Первым, кто использовал
метроном для задания скорости исполнения, был Людвиг ван Бетховен.
Хотя метроном является объективным средством измерения скорости, его недо-
статком оказывается излишняя строгость: при исполнении музыкальных произведе-
ний строгий и четкий ритм часто ускоряется, что естественно. Удивительно, но ме-
троном нередко используется в качестве ударного инструмента, как, например, в из-
вестной песне Blackbird группы The Beatles из альбома White Album. Выдающийся
композитор Эннио Морриконе, автор музыки для множества фильмов, использовал
искаженные и замедленные звуки метронома в композиции Farewell to Cheyenne
в музыке из фильма «Однажды на Диком Западе».
Исключительный случай использования метронома в качестве музыкального ин-
струмента принадлежит венгерскому композитору Дьёрдю Лигети, который в про-
изведении «Симфоническая поэма для 100 метрономов» (1962) одновременно ис-
пользует 100 этих приборов. Произведение завершается, когда заканчивается завод
последнего метронома.
МУЗЫКАЛЬНЫЕ ЧАСЫ
Механический метроном изобрел немец Дитрих Винкель в 1812 году, но первый патент на этот
прибор принадлежит его соотечественнику Иоганну Мельцелю. Сейчас используются электрон-
ные метрономы, но изначально их изготовлением занимались часовщики. Классический метро-
ном содержит часовой механизм и перевернутый маятник, состоящий из стержня и противовеса,
который можно перемещать по всей его длине. В нем находятся два противовеса, по одно-
му с каждой стороны от центра колебаний: один внешний,
с переменным положением, второй внутренний, с фиксиро-
ванным положением. Чем ближе противовес к центру коле-
баний, тем выше темп, отмеряемый метрономом, чем дальше
от центра, тем медленнее будет темп. На каждое колебание
маятника внутренний механизм метронома издает щелчок.
Некоторые метрономы можно настроить так, что они будут
издавать особый звук на каждые две, три или четыре доли.
В настоящее время используются электронные метрономы,
которые содержат камертон, настроенный на частоту 440 Гц.
56
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
ЗАДАЧА, КОТОРУЮ НЕ СМОГ РЕШИТЬ ЭЙНШТЕЙН
Физик Альберт Эйнштейн, создатель теории относительности, увлекался игрой на скрипке, хотя
добился на этом поприще куда более скромных успехов, чем в физике. Как-то раз он репетировал
сонату вместе с выдающимся пианистом Артуром Шнабелем. Эйнштейн раз за разом пропускал
такт, и Шнабелю раз за разом приходилось задерживаться. Когда Эйнштейн ошибся в третий
раз, Шнабель огорченно посмотрел на него и язвительно спросил: «Альберт, неужели вы никогда
не научитесь считать до трех?»
Изолированная неравномерность
Иногда среди равномерного ритма (например, состоящего из долей с ритмическим
делением на две части) необходимо точно сыграть несколько долей, разделенных
на три части. Подобная смена ритма будет означать, что потребуется смена темпа
и такта. Чтобы избежать неоднозначности при записи этой неравномерности (и при
восстановлении равномерного ритма), используются дуоли, триоли и так далее.
— Дуоль: ритмическая фигура из двух нот, равная по времени звучания трем
нотам:
2
ЛП = Л
— Триоль: ритмическая фигура из трех нот, равная по времени звучания двум
нотам:
Дуоли и триоли обозначаются дугой поверх группы нот, под которой указывает-
ся число, соответствующее новому числу нот. Рассмотрим пример сложного ритма,
в котором меняется темп и размер такта:
J = 60
J. = 60
J = 60
42jj лл
6
8
57
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
ДРОБНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ОБОЗНАЧЕНИЯ ТАКТОВ
Интересно сравнить дроби, которыми отмечаются такты, с обычными дробными числами и опе-
рациями над ними. Какие операции над дробями, обозначающими такты, совпадают с опера-
циями над дробными числами?
-	Сложение дробей. Например, такт размером 3/4 имеет длительность половинной ноты сточ-
кой, что равнозначно половинной ноте (обозначаемой символом J) и четвертной:
Если заменить обозначения нот соответствующими дробями, получим:
3/4 = 1/2 + 1/4.
-	Сокращение дробей. Если сократить дробь, обозначающую такт, полученная дробь будет
обозначать новый такт:
6/8 - 3/4.
В этом случае математическое равенство не означает равенство с точки зрения музыки.
Длительность обоих тактов будет одинаковой и равной длительности шести восьмых нот (для
такта 3/4 - длительности трех четвертных нот, каждая из которых равна двум восьмым).
Однако обозначение 6/8 соответствует сложному метру, а 3/4 - простому, что указывает
на важное отличие.
-	Наименьшее общее кратное. При полиритмии интерес представляют моменты, когда двух-
дольный и трехдольный ритм будут накладываться друг на друга на одной доле или на
одном такте. Например, в одном такте исполняются две восьмых доли, а другой голос
одновременно исполняет триоль из трех восьмых нот:
'V"
В этом случае каждый ритм можно исполнить двумя способами, но нужно выбрать какой-то
один. Сделать выбор поможет математика: для этого потребуется вычислить наименьшее общее
кратное. В нашем примере НОК (2, 3) - 6. Это означает, что нужно мысленно разделить такт
на шесть равных частей. Восьмые ноты будут исполняться на счет 1 и 4, а триоль - на счет 1,3 и 5.
58
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
Аналогичная упрощенная запись, в которой используются триоли, будет выгля-
деть так:
J = 60
Современная нотация
Развитие музыкальной нотации как системы символов на протяжении несколь-
ких веков привело к тому, что она стала удивительно эффективной. В ней сочетают-
ся переменные (ноты и паузы) и постоянные элементы (ритм, ключи, такты), рас-
полагающиеся поверх основы (нотного стана). Рассмотрим конкретный пример.
Скорость исполнения мелодии постоянна: f = 60.
Такты состоят из четвертных нот, на две слабые доли приходится одна сильная,
поэтому такты имеют размер 3/4. На следующем рисунке представлена последова-
тельность долей и акцентов, как если бы партитура представляла собой систему ко-
ординат, в которой на оси абсцисс откладывается время в секундах.
Акценты располагаются равномерно с интервалом в три секунды.
Доли выстроены также равномерно с интервалом в одну секунду.
Читать подобный график крайне неудобно. Для записи ритма требуются клю-
чи, которые позволили бы упростить запись. Для этого в начале партитуры один
раз указываются все постоянные значения: темп, акценты и, наконец, размер такта
в уже известной вам системе обозначений (в нашем примере размер такта равен
3/4). Способ указания на темп вы тоже уже знаете: Г = 60.
59
ДРУГОЕ ИЗМЕРЕНИЕ: ВРЕМЯ
Сохраняя горизонтальное расположение символов слева направо, подобно тому
как располагаются символы на письме в западных языках, мы можем добавить к за-
писи вертикальные линии в конце каждого такта. Это позволяет упростить нотацию:
Г = 60
3/4 If rlrr I г и
Так как доли исполняются равномерно и в записи присутствуют вертикальные
линии, промежутки между нотами необязательно должны строго соответствовать
длительности пауз между ними.
Отсутствие масштаба
Расположение элементов партитуры по горизонтали не соответствует какому-то
конкретному масштабу. Это означает, что длительность нот и пауз необязательно
зависит от длительности промежутков между нотами на партитуре. Артикуляция
выполняется в соответствии с длительностью, которую указывают нота или пауза,
а не в зависимости от того, насколько близко расположена следующая нота.
Два такта, изображенные на рисунке, одинаковы:
3/4-----е-р------3/4-----------&--*----
Однако важно помнить, что при записи двух или более голосов рекомендуется
выравнивать по вертикали ноты, исполняемые одновременно, чтобы упростить чте-
ние партитуры. Так, графическое представление трех одновременно исполняемых
ритмических фраз будет выглядеть следующим образом:
60
Глава 3
Геометрия композиции
Кувшин придает форму пустоте, музыка — молчанию.
Жорж Брак
Меня обвиняют в том, что я математик.
Но я не математик, я геометр.
Арнольд Шёнберг
Объекты природы имеют подчас очень любопытную форму. При внимательном ма-
тематическом анализе становится понятно, что растения, животные, кристалличе-
ские структуры и звуки подчиняются законам алгебры и геометрии. В природе часто
встречаются сферы, циклы, спирали, равно как и симметрия. Художники находят
вдохновение в причудливых формах природы и выстраивают свои произведения
в новом порядке, подчиняющемся законам эстетики.
Музыка создает образы в представлении слушателей. Мелодии обычно срав-
нивают с рисунками из точек и линий. Мы уподобляем многие свойства музыки
свойствам реальных предметов в пространстве: высокие звуки представляются нам
узкими и вытянутыми вверх, низкие, напротив, невысокими и широкими. Подобные
представления отчасти отражаются в партитурах. Например, последовательность
звуков, высота которых непрерывно возрастает, называется восходящей.
Благодаря этому партитура приобретает дополнительную ценность, так как идея
композитора дополняется изображениями, подобно тому как текст книги дополня-
ется иллюстрациями. Это принимали во внимание многие композиторы, когда соз-
давали свои шедевры. История музыки знает немало примеров партитур, в кото-
рых слились воедино музыка, письмо и геометрия. (Чтобы вы смогли лучше понять
примеры, приводимые в этой главе, советуем сначала ознакомиться с основными
элементами современной музыкальной нотации, о которых рассказывается в при-
ложении I.)
61
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Высота и ритм: музыкальная плоскость
Элементы нотной записи
Современная система нотной записи — результат эволюционного процесса, целью
которого было найти способ зафиксировать мимолетное искусство на бумаге. С те-
чением времени нотная запись дополнялась новыми символами, изменялись суще-
ствующие. Интересно проанализировать знаки и символы нотной записи с точки
зрения математики и логики.
Нотный стан
Музыка записывается на бумаге с помощью нотного стана, который можно считать
графиком изменения высоты звуков с течением времени. Нотный стан можно пред-
ставить как систему координат, на горизонтальной оси которой обозначается время,
на вертикальной — высота нот. Высота обозначается с помощью равноудаленных
друг от друга параллельных прямых. В современной нотации используется пять пря-
мых.
Музыкальное «расстояние» между двумя соседними линиями (или между со-
седними промежутками между линиями) равно интервалу в одну терцию. Линию
и ближайший к ней промежуток разделяет интервал в одну секунду. Таким образом
определяются пять линий и четыре промежутка между ними, которые нумеруются
снизу вверх:
5-я линия
4-я линия
3-я линия
2-я линия
4-й промежуток
3-й промежуток
2-й промежуток
1-я линия---------------------------------------- 1-и промежуток
Линии и промежутки соответствуют белым клавишам пианино, а расположение
нот определяется частотой соответствующих звуков. Так, звуки высокой частоты
(высокие звуки) располагаются на верхних линиях нотного стана. Для обозначения
более низких звуков используются добавочные линии; соответственно, образуются
дополнительные промежутки между ними. Так, дополнительными промежутками
являются свободные места над 5-й и под 1-й линиями.
Если мы представим партитуру как систему координат на «музыкальной плоско-
сти», то увидим, что на оси ординат указывается высота звуков.
62
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
На оси абсцисс, в свою очередь, откладывается длительность звуков и пауз. На-
пример, три звука, исполняемые последовательно в моменты времени 1, 2 и 3, изо-
бражаются так:
Высота
Если эти же три звука исполняются одновременно, то они будут изображаться
так:
Высота
63
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Подведем итог. Звуки, расположенные на одной линии нотного стана (или на од-
ном промежутке между ними) имеют одинаковую высоту (частоту). Звуки, распо-
ложенные вертикально друг под другом, исполняются одновременно.
Ноты
Длительность звуков обозначается с помощью нот. Составными частями ноты явля-
ются головка — небольшой овал белого или черного цвета, и штиль — вертикальная
часть ноты. Штиль соединяет головку и небольшую изогнутую линию, так называ-
емый флажок. Флажок может отсутствовать.
Штиль
Головка
Флажок
Последовательность нот в порядке убывания длительности выглядит так: целая,
половинная, четвертная, восьмая, шестнадцатая, тридцать вторая и шестьдесят чет-
вертая. Базовой нотой является целая, ее длительность обозначается числом 1. Дли-
тельность каждой последующей ноты обозначается числом, в два раза меньшим, чем
длительность предыдущей. Следующая нота после целой — половинная, длитель-
ность которой в два раза меньше. Это означает, что за время, которое исполняется
целая нота, можно исполнить две половинных. За время исполнения половинной
ноты могут прозвучать две четвертные. Аналогичное соотношение сохраняется
и между остальными нотами:
Название	Нота	Длительность по отношению к целой
Целая	О	1
Половинная	г	1/2
Четвертная	г	1/4
Восьмая		1/8
Шестнадцатая		1/16
Тридцать вторая	р	1/32
	•	
Шестьдесят четвертая		1/64
64
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Функции нот и их свойства подробно рассматриваются в приложении I, в раз-
деле «Музыка и символы музыкальной нотации».
Определение высоты
Высота звука (тон) обозначается положением головки ноты на линии нотного стана
или в промежутке между линиями.
Нота на линии
Нота в промежутке
между линиями
Однако этой информации недостаточно. Чтобы узнать абсолютную высоту зву-
ков, нужен ключ.
Ключи
Из предыдущей главы вы знаете, что для определения скорости и ритма в начале
партитуры указывается темп метронома и размер такта. В начале нотного стана так-
же располагается ключ, который однозначно определяет высоту звуков.
Чаще всего используется ключ соль. Если этот ключ изображен в начале нотного
стана так, как показано на рисунке, это означает, что все ноты, головка которых рас-
полагается на второй линии, соответствуют ноте соль.
Положение остальных нот уже известного вам музыкального строя будет та-
ким: в первом промежутке между линиями будет располагаться нота фа, на первой
линии — ми и так далее. Во втором промежутке будет находиться ля, на третьей
линии — си, в третьем промежутке — до и так далее. Линия, определяющая ноту
соль, проходит ровно через центральную точку, с которой рисуется ключ.
Также используется ключ фа в форме спирали. Он задает положение ноты фа
на линии, где находится центральная точка спирали. Сверху и снизу от этой линии
изображаются точки:
65
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Ключ до — симметричный знак, осью симметрии которого является линия, со-
ответствующая ноте до:
В зависимости от положения ключа изменяется высота звуков, соответствующих
линиям и промежуткам нотного стана. Так, нота, изображенная в одном и том же
месте нотного стана, будет звучать по-разному в зависимости от того, какой ключ
используется.
си
СИММЕТРИЧНОСТЬ КЛАВИШ ПИАНИНО
Клавиши пианино имеют две оси симметрии: первая проходит по центру белой клавиши ре, вторая -
по центру черной клавиши соль-диез. Так сложилось, что в европейской записи (ABCDEFG) в центре
расположена нота D (ре), остальные шесть располагаются по обе стороны от соответствующей оси
симметрии.
Теперь посмотрим, как располагаются тона и полутона гамм. Мажорной гаммой называется зву-
коряд из семи звуков, отделенных друг от друга следующей последовательностью тонов (Т) и полу-
тонов (пТ):
Т-Т-пТ-Т-Т-пТ.
Мажорная гамма, в которой используются только белые клавиши, начинается с ноты до:
до, ре, ми, фа, соль, ля, си.
66
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Посмотрим, как один и тот же звук (центральное до) изображается с помощью
трех разных ключей:
Ключ соль
на 2-й линии
Ключ фа	Ключ до
на 4-й линии на 3-й линии
На рисунке на предыдущей странице показано, как с помощью различных ключей изменяется
значение ноты, расположенной в заданной позиции нотного стана. На этом рисунке
показано, как один и тот же звук изображается с помощью трех разных ключей.
Минорной гаммой называется звукоряд из семи звуков, отделенных друг от друга следующей по-
следовательностью тонов СО и полутонов (пТ):
Т-пТ-Т-Т-пТ-Т.
Минорная гамма, в которой используются только белые клавиши, начинается с ноты ля:
ля, си, до, ре, ми, фа, соль.
Именно в таком порядке расположены ноты вокруг клавиши ре, через которую проходит ось сим-
метрии. Несложно заметить, что тона и полутона располагаются симметрично:
ля_ J_ си _dL до _L ре _L ми лГ фа J_ соль
Между нотой соль и следующей нотой ля находится вторая ось симметрии. Очевидно, что интерва-
лы будут симметричны также и относительно этой оси. Взглянув на расположение белых и черных
клавиш пианино, можно заметить, что оси симметрии клавиш и тонов и полутонов соотносятся
между собой. Так как мы используем равномерно темперированный строй из 12 равных полутонов,
то в качестве центральной можно выбрать любую ноту, а остальные ноты будут располагаться сим-
метрично по обе стороны от нее. В рассматриваемом нами случае к симметрии тонов и полутонов
добавляется симметричное расположение клавиш пианино.
67
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Изменение полутонов
Иногда необходимо изменить высоту отдельной ноты. Существует два знака, обо-
значающих повышение или понижение высоты звука на полутон: знак Ц (диез) оз-
начает повышение на один полутон, знак |? (бемоль) — понижение на один полу-
тон. Существует третий знак, который отменяет действие диеза или бемоля для той
ноты, перед которой он стоит. Этот знак называется бекар ( h )•
Диез
I?
Бемоль
Бекар
Эти знаки располагаются на линии или промежутке между линиями нотного ста-
на и изменяют все звуки, находящиеся справа от них до конца такта. Если знак
диеза, бемоля или бекара указан в начале партитуры (между ключом и числовым
обозначением размера такта), это означает, что будут изменены все ноты, находя-
щиеся на одной линии с этим знаком.
Мелодическая кривая
Когда мы слушаем музыку, даже если мы не разбираемся в музыкальной нотации,
мы часто представляем себе кривую или ломаную линию, состоящую из восходящих
и нисходящих частей. Весьма вероятно, что эта кривая «движется» слева направо,
в том же направлении, как и буквы на письме. Некоторые мелодии представляются
нам в виде плавных кривых без больших перепадов, другие, напротив, имеют ярко
выраженные перепады высот. Интересно, что эти линии в некотором роде соответ-
ствуют расположению нот на нотном стане. Рассмотрим пример партитуры и соеди-
ним головки нот непрерывной кривой, как в известной детской игре, где нужно со-
единять точки линиями:
Плавная мелодия и соответствующая ей кривая.
Если бы мы могли услышать мелодию, записанную в этой партитуре, то замети-
ли бы, что она не имеет резких перепадов. Если для мелодии характерны резкие
68
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
изменения высоты звуков, то ей будет соответствовать линия с резкими перепадами
высоты, подобная той, что показана на рисунке:
Мелодия со значительными перепадами высоты звуков.
Геометрическо-музыкальные преобразования
В гештальтпсихологии (термин «гештальт» не имеет однозначного перевода и мо-
жет означать «форма», «структура» или «очертание») считается, что разум челове-
ка способен выбирать и группировать части целого, а также упорядочивать их, вы-
деляя среди остальных. Этот процесс развивается во времени благодаря тому, что
мы обладаем памятью, за счет чего способны видеть движение предметов при бы-
строй смене кадров и воспринимать музыкальные композиции. Предметом изуче-
ния гештальтпсихологии являются процессы восприятия. Были сформулированы
определенные принципы, характерные для этих процессов. Согласно принципу зам-
кнутости, наше восприятие имеет тенденцию завершать незамкнутые фигуры. Так,
изображения, содержащие неполную информацию, например пейзажи импрессио-
нистов, состоящие из множества разноцветных точек, с определенного расстояния
кажутся реалистичными и правдоподобными. Это же происходит, когда мы смотрим
кино: непрерывное движение, которое мы видим на экране, не более чем иллюзия,
вызванная особенностями нашего восприятия. Законы гештальта применимы
и в музыке. Они позволяют слушателю выявлять похожие звуки и мелодический
рисунок, подобно тому как зритель кинофильма распознает похожие образы.
Многие композиторы при создании своих произведений умышленно использова-
ли принципы и приемы геометрии. В некоторых случаях они наглядно проявляются
при взгляде на партитуру, в других — находят непосредственное воплощение в зву-
ках. Некоторые композиции имеют структуру, обладающую интересными геометри-
ческими свойствами. Таковы, например, каноны. Сама их форма серьезно влияет
на мелодию, из-за чего создание таких произведений становится вдвойне сложнее.
Композитор не просто должен создать красивую мелодию — последовательность
69
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
звуков должна подчиняться строгим математическим правилам. В некоторых ком-
позициях в качестве художественных приемов специально используются геометри-
ческие преобразования.
В этом разделе мы сравним различные геометрические преобразования и опре-
деленные сочетания звуков. Важно не забывать о фундаментальном различии: два
измерения на плоскости имеют одинаковую размерность, два измерения нотного
стана (высота звуков и время) — нет. Из-за этого музыкальные преобразования
совершаются в разных измерениях по отдельности.
Также можно применять преобразования к нотам как к геометрическим фигурам
на плоскости, но результаты этих преобразований не всегда будут различимы для
слушателя.
Важно помнить, что преобразования применяются к кривой, соединяющей го-
ловки нот. Рассмотрим пример мелодии из четырех нот. Соединив ноты линиями,
получим следующее изображение:
4
Применим к этой ломаной линии геометрическое преобразование:
и восстановим головки и штили всех нот:

Геометрическо-музыкальные преобразования — еще одно средство, которое мо-
жет использовать композитор, но применять его следует аккуратно и разумно.
70
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Изометрические преобразования
«Изометрический» означает «сохраняющий расстояние». Существует три различ-
ных изометрических преобразования на плоскости: перенос, отражение и поворот.
Они находят соответствие в различных символах нотной записи. Если рассматри-
вать преобразования высоты звуков и их длительности отдельно, то число возмож-
ных их видов возрастет. В следующей таблице вкратце перечислены все возможные
преобразования такого типа:
Геометрическое преобразование	Результат		
	Горизонтальное	Вертикальное	Горизонтальное + вертикальное
Перенос	1. Повторение. 2. Канон	Транспозиция	1. Остинато. 2. Канон со сдвигом голосов на одну секунду, кварту и т. д.
Отражение	Инверсия	Ракоход	
Поворот (на 180°, понимается как комбинация двух отражений)			Ракоходная инверсия
При комбинировании некоторых из этих преобразований число возможных ва-
риантов возрастает еще больше:
Комбинация преобразований	Результат
Вертикальный перенос + отражение по вертикали	Ракоходная транспозиция
Вертикальный перенос + отражение по горизонтали	Инвертированная транспозиция
Переносы
Перенос — это геометрическое пре-
образование, при котором все точки
фигуры перемещаются в заданном
направлении на одно и то же рассто-
яние, при этом форма фигуры не из-
меняется. В нашем случае достаточ-
но рассмотреть горизонтальный
и вертикальный перенос. Они пока-
заны на рисунке справа.
I
I
Исходное
изображение
Вертикальный перенос
Горизонтальный
перенос
71
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Горизонтальный перенос: повторение и канон
Горизонтальный перенос применительно к партитуре обозначает перенос во времени
и может выражаться двумя способами:
— Повторение. Мелодия или ее фрагмент исполняются несколько раз подряд,
один за другим:
0->0->0->0->0->0->0->0->0
При простейшем горизонтальном переносе мотив повторяется, продолжая
прежнюю мелодическую линию.
Исходная
мелодия
Мелодия после
горизонтального переноса
— Канон. Как вы уже знаете из предыдущей главы, канон — это музыкальное
произведение, в котором мелодия исполняется несколькими голосами, всту-
пающими один после другого через некоторый промежуток времени.
Рассмотрим в качестве примера очень известный канон — французскую дет-
скую песенку «Братец Якоб». Если мы будем считать исходной мелодией первые
четыре восьмых ноты песенки, то увидим, что она повторяется (используется пере-
нос). После того как сыграны первые ноты мелодии, она продолжается в следую-
щих тактах, а также начинается исполнение копии исходной мелодии (на рисунке
далее исходная мелодия и ее копия изображены на разных нотных станах). Далее
обе мелодии (оригинал и смещенная копия) исполняются параллельно, смещение
между ними не меняется. Рассмотрим первые четыре такта:
72
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
При горизонтальном переносе изменяется момент времени, в который исполня-
ется нота. При вертикальном переносе нота сдвигается вверх или вниз по партитуре.
Такой перенос называется транспозицией.
КОЛЫБЕЛЬНАЯ ДЛЯ ВСЕХ
Происхождение мелодии и текста песенки «Братец Якоб» точно неизвестно. Предположительно она
была впервые записана в конце XVIII века под названием «Братец Блез». Однако некоторые иссле-
дователи указывают на явную схожесть этой песенки с произведением Джироламо Фрескобальди,
написанном в 1615 году. Есть версия, что ее текст («Frere Jacques, frere Jacques II Dormez-vous?
Dormez-vous? // Sonnez les matines! Sonnez les matines!», что можно перевести как «Братец Якоб,
братец Якоб! // Ты не спишь? Ты не спишь? // Слышишь колокольчик? Слышишь колокольчик?
// Динь-динь-динь! Динь-динь-динь!») - насмешка над протестантами, иудеями или над самим
Мартином Лютером. Кто-то считает, что песенка содержит упрек в адрес монахов-якобинцев: во
Франции многие считали, что они ведут праздную жизнь. Эта колыбельная, переведенная на мно-
жество языков, распространена настолько широко, что, согласно недавно проведенному опросу,
китайские школьники считают ее китайской народной.
Вертикальный перенос: транспозиция
Изометрический перенос нот вдоль вертикальной оси называется транспозицией.
В результате транспозиции получается та же мелодия, но более высокая или более
низкая в зависимости от направления переноса:
Исходная мелодия
Мелодия, транспонированная
вверх на одну квинту
73
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Транспозиция мелодии заслуживает более подробного рассмотрения. В выше-
приведенном примере показана простейшая транспозиция мелодии.
В следующих примерах, взятых из различных стилей, продемонстрированы
некоторые наиболее характерные способы использования переноса в музыкальных
композициях. В 14-й сонате, известной как Лунная соната, Людвиг ван Бетховен
(1770—1827) использовал в качестве основы произведения арпеджио из трех нот.
Риффы в рок-музыке — это короткие и ритмичные мелодии, как правило, ис-
полняемые на гитаре, которые обычно повторяются несколько раз подряд. В песне
(I Can’t Get No) Satisfaction группы Rolling Stones звучит один из самых известных
риффов всех времен.
Многократное повторение мелодической фигуры (как в двух предыдущих при-
мерах) называется остинато.
В качестве примера такого повторения в каноне рассмотрим произведение ве-
личайшего автора канонов — Иоганна Себастьяна Баха (1685—1750). Бах ис-
пользовал этот формальный прием поистине гениальным образом. Его мастерство
было столь высоко, что он часто преподносил в подарок небольшие каноны, спе-
циально написанные по случаю торжества. Мы рассмотрим его «Канон ре мажор
BWV 1075» — небольшое музыкальное произведение из восьми тактов, испол-
няемое в два голоса, смещенных относительно друг друга на два такта. Структура
композиции такова, что она может повторяться бесконечно:
74
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Ниже представлена партитура канона.
Автором, возможно, одного из самых известных канонов всех времен является
немецкий композитор Иоганн Пахельбель (1653—1706). Его «Канон в ре мажор»
стал особенно известен после того, как прозвучал в фильме «Обыкновенные люди»
(1980). Это произведение написано одновременно в форме канона и чаконы, поэто-
му в нем используются обе разновидности горизонтального переноса.
Чакона — это композиция, в которой неизменная тема повторяется в басу,
а остальные голоса варьируются, накладываясь поверх нее. В каноне Пахельбеля ва-
риации исполняются тремя верхними голосами канона. Поверх циклически повторя-
ющегося ритма (который также использовался в разное время во множестве других
произведений) плавно, без резких скачков, звучит основная мелодия произведения,
непрестанно изменяясь от спокойной, меланхоличной до радостной и оживленной.
Также стоит упомянуть павану, соч. 50 французского композитора Габри-
эля Форе (1845—1924), в начале которой исходный мотив дважды исполняется
(1-й такт и половина 2-го такта) виолончелями, виолами и вторыми скрипками.
75
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Знаменитая Симфония № 5 до минор, соч. 67 Людвига ван Бетховена (1770—
1827) — еще один пример диагонального переноса, в котором сочетаются верти-
кальный и горизонтальный переносы. Для верхнего голоса (выделен на партитуре,
приведенной ниже) повторяется одна и та же мелодическая фигура, которая с каж-
дым разом транспонируется все выше.
Отражения
Отражение — это преобразование, которое заменяет фигуру ее зеркальным отра-
жением. Результатом отражения фигуры является ее хиральная копия, то есть такая
фигура, которую нельзя совместить с исходной с помощью поворотов (представьте,
например, отражение в зеркале человека с повязкой на правом глазу).
Чтобы вернуться к исходной фигуре, необходимо выполнить двойное отражение,
то есть отразить отраженную фигуру еще раз. Мы рассмотрим два вида отражений:
относительно горизонтальной и относительно вертикальной оси. Комбинация отра-
жений относительно вертикальной и горизонтальной оси является поворотом
на 180°, что показано на рисунке:
76
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Если применить отражение к партитуре, получатся новые композиции: инверти-
рованные и ракоходные.
Отражение относительно вертикальной оси: ракоход
В этом случае мелодия записывается заново, начиная с последней ноты, так что
ноты исходной мелодии идут в обратном порядке:
Исходная мелодия
Ракоход
Исполнение исходной и ракоходной мелодии подряд — это так называемая ме-
лодическая симметрия, которую также можно назвать мелодическим палиндромом.
Симметричная мелодия
Палиндром
77
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Очень известный пример подобной симметрии — «Аллилуйя» из оратории
«Мессия» Георга Фридриха Генделя (1685—1759).
г rriiurimf Г
for the Lord God Om-ni - po-tent reign * eth
.
Аналогичную симметрию можно увидеть в начале известной композиции I’ve got
Rhythm гениального американского композитора Джорджа Гершвина (1898—1937):
АМБИГРАММЫ
Симметрия цифр и букв проявляется в словах-палиндромах и числах-палиндромах. Менее
известны амбиграммы - слова, написанные так, что при определенном преобразовании
(отражении, повороте и т. д.) получается это же или другое слово. На рисунке изображена
амбиграмма «Моцарт», автором которой является американец Скоп Ким.
Отражение относительно горизонтальной оси: инверсия
Рассмотрим инверсию простой мелодии, отраженной горизонтально относительно
оси, проходящей через линию ре:
Исходная мелодия
Инверсия
78
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Из следующего рисунка сразу же становится понятно, что при одновременном
исполнении двух этих мелодий на пианино нужно нажимать клавиши, симметричные
относительно клавиши ре:
Габриэль Форе в своем Messe basse: Agnus Dei в качестве основного приема ис-
пользует отражение относительно горизонтальной оси. Две первые восьмые ноты
начальных тактов отражаются, завершая такт:
В этом фрагменте из Струнного квартета соль минор, соч. 10 французского ком-
позитора Клода Дебюсси (1862—1918) первая скрипка и виола в каждый момент
времени исполняют противоположные ноты:
В припеве Samba de Uma Nota So («Самбы одной ноты») бразильского компо-
зитора Антонио Карлоса Жобина (1927—1994) второй такт получается из первого
поворотом на 180°:
79
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Двадцать четыре каприса для скрипки, написанные итальянским скрипачом
и композитором Никколо Паганини (1782—1840), вдохновили многих компози-
торов на создание различных вариаций, самыми известными из которых являются
композиции Сергея Рахманинова (1873—1943). В частности, Рахманинов написал
В некоторых случаях, как, например, в шестой из «Шести мелодий в унисон»
из цикла фортепианных пьес «Микрокосмос» Белы Бартока (1881—1945) наблю-
дается симметрия звуков по высоте, но не по длительности. Ось симметрии про-
ходит через первую ноту (до) второго нотоносца, выделенную пунктирной линией.
В последнем примере партитура для каждой руки симметрична относительно на-
чальной ноты си-бемоль:
80
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Повороты
Напомним, что поворот на 180° эквивалентен ракоходной инверсии. Применитель-
но к музыке имеет смысл рассматривать только поворот на 180°, так как поворот
на 90° не будет иметь смысла, что показано на следующем рисунке:
Точно так же, как и в геометрии, поворот на 180° можно представить как двой-
ную инверсию: по горизонтали и по вертикали:
Исходная мелодия
Ракоходная инверсия
Гений Вольфганга Амадея Моцарта (1756—1791) проявился особенно ярко
в не самом известном его произведении. Это канон для двух скрипок, состоящий
из двух мелодий, повернутых друг относительно друга на 180°. Если мы предста-
вим поворот как двойное отражение, то увидим, что Моцарт неспроста расположил
горизонтальную ось симметрии на линии си: благодаря этому композицию можно
записать на одном нотном стане и на одной мелодической линии. При исполнении
этого произведения музыканты становятся лицом друг к другу, расположив пар-
титуру между собой. Оба смогут прочитать партитуру благодаря тому, что ключ
соль расположен и в начале, и в конце нотного стана. Таким образом, при инверсии
страницы нота соль становится нотой ре, ля — до и так далее. Единственной неиз-
менной нотой остается си:
81
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Der Spiegel (The Mirror) Duet
•TOLiNi Allegro 1=120	attrib, to W. A. Mozart
Contused0 Trv playing this from opposite sides of a table.
В «Зеркале» Моцарта два скрипача могут читать одну и ту же партитуру
в противоположных направлениях, находясь друг напротив друга.
Австрийский композитор Антон Веберн (1883—1945) — одна из ключевых фи-
гур в додекафонической музыке — основном направлении академической музыки
начала XX века. В своем Струнном квартете, соч. 28 Веберн определяет исходную
серию звуков, на которой затем устанавливаются интервалы. В этом произведении
82
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
можно увидеть основную мелодию, ее инверсию и ракоход. Кроме того, в центре
расположена ось симметрии, отделяющая исходную фигуру от ее ракоходной инвер-
сии.
Основная мелодия
Ракоходная инверсия
U 3? U 4? 1?
1Т 4? U з? 1Т
1? ЗТ 1?
1Т 3? 1Т
Инверсия
Ракоходная
инверсия
U ЗТ U
Основная мелодия
Ряд из 12 звуков Струнного квартета, ор. 28 Антона Веберна.
Числа обозначают число полутонов в каждом интервале.
Стрелки указывают, восходящим или нисходящим является данный интервал.
Комбинации преобразований
Вышеперечисленные преобразования причудливым образом сочетаются во множе-
стве музыкальных произведений разных эпох. Они образуют широкий спектр му-
зыкальных средств, которые отличаются огромным разнообразием, так как может
изменяться расположение оси симметрии при отражении, расстояние в интервалах
при вертикальном переносе и смещение при горизонтальном переносе, например
смещение голосов канона.
Изначальная идея канона — имитация одного голоса с помощью последующего
голоса или голосов — была дополнена другими видами имитации, в которых ориги-
нальными способами применялись симметрия и ракоходы.
Горизонтальный и вертикальный перенос: интервальные каноны
Из определения канона следует, что второй голос горизонтально смещен относи-
тельно первого. Если к этому горизонтальному смещению добавить вертикальный
перенос, то получится так называемый интервальный канон, в котором второй голос
начинается не с той же ноты, что ведущий голос. Это приводит к изменению тонов
и полутонов. Такое изменение называется тональным ответом. Расстояние, на кото-
рое смещен второй голос относительно первого, можно использовать в качестве при-
знака классификации канонов. Так, оба голоса могут вступать в унисон (одновре-
менно), второй может быть смещен на секунду, терцию и так далее.
83
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Вертикальный перенос и отражение относительно вертикальной оси:
ракоходный перенос
При такой комбинации преобразований исходная мелодия транспонируется, а затем
заменяется ракоходом.
Исходная мелодия
Транспозиция
Ракоходная
транспозиция
Вертикальный перенос и отражение относительно горизонтальной оси:
инвертированная транспозиция
Для выполнения этой комбинации преобразований необходима транспозиция мело-
дии на новую начальную ноту с последующим инвертированием мелодии. Однако
эти два преобразования можно свести к одному путем правильного выбора оси сим-
Инвертированная
транспозиция
Исходная мелодия Транспозиция на одну квинту
На этом примере показана комбинация вертикального переноса со смещением относительно
горизонтальной оси (соответствует линии ноты си).
Исходная мелодия
Инверсия
Тот же результат, что и на предыдущей иллюстрации, но полученный одним
преобразованием — отражением относительно оси, соответствующей ноте соль.
В хорале «Агнец» (The Lamb) современного английского композитора Джона
Тавенера, написавшего его для своего трехлетнего племянника, сочетаются некото-
рые из вышеописанных преобразований. Это произведение обладает множествен-
ной симметрией: исходная мелодия первого такта повторяется во втором (горизон-
тальный перенос), одновременно с этим вступает второй голос, который представ-
ляет собой инверсию исходной мелодии, полученную симметричным отображением
84
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
относительно горизонтальной оси. Ось симметрии соответствует ноте соль. Третий
такт содержит новую мелодию, в четвертом такте происходит ракоход этой мелодии
(ее симметричное отражение относительно вертикальной оси). В пятом и шестом
тактах повторяется мелодия третьего и четвертого тактов, которую дополняет вто-
рой голос — симметрично отображенная относительно горизонтальной оси мелодия
пятого и шестого тактов. Следовательно, мелодия шестого такта для второго голо-
са — это поворот четвертого такта основного голоса на 180°.
for Simon j 3rd birthday
The Lamb
William Blake
John Tavener
With extreme tenderness- flexible- always guided by the words ( J = c. 40 )
Dost thou know. who_ made thee?
85
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Хотя интервалы между любыми двумя нотами мелодии строго соблюдаются,
из эстетических соображений композитор изменил длительность последней ноты
каждой музыкальной фразы. Однако это не нарушает симметрию, так как мелоди-
ческая линия, которую мысленно рисует композитор, зависит от порядка исполне-
ния звуков, а не от диезов и бемолей.
ПЕЧАТЬ БАХА
Иоганн Себастьян Бах создал собственную идеально симметрич-
ную печать. В ней сочетаются три символа: корона, символи-
зирующая Бога, инициалы композитора - JSB, и их зеркальное
отображение. Сочетание симметрично отраженной J и исход-
ной буквы S образует греческую букву %. Эта буква обозначает
крест и является первой буквой в имени Христа, записанном
по-гречески. Аналогичная симметрия затем используется еще
два раза.
В Canon Concordia Discors, BWV 1086 Иоганна Себастьяна Баха имитация ос-
новной мелодии является инверсией, ось симметрии проходит по линии ноты ми.
Если бы мы захотели «классифицировать» это произведение, то сказали бы, что
в нем используется отражение относительно горизонтальной оси в сочетании с пере-
носом (канон).
86
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Еще одной особенностью некоторых сочинений Баха является использование
шифров в их музыкальной записи. В каноне, имеющем номер 1073 по каталогу
BWV, Бах записал на нотном стане всего одну мелодию, однако поместил в начало
партитуры не один, а четыре ключа. Каждый ключ определяет записанные ноты
по-разному; таким образом, мелодия переобозначается для каждого ключа. По по-
рядку записи ключей мелодия начинается с ноты до, затем с ноты соль, далее с ре
и, наконец, с ля. Именно на эти четыре ноты настроены струны виолы — одного
из любимых инструментов Баха.
Переписав партитуру для стандартных ключей соль и фа и начав каждый голос
с позиции, указанной композитором, можно восстановить полную нотную запись
канона.
87
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
КОРОЛЕВСКАЯ ТЕМА
В 1740 году Карл Филипп Эммануил Бах (1714-1788), второй из пяти сыновей Иоганна Себа-
стьяна Баха, стал членом королевского двора Фридриха II Великого, короля Пруссии. Во двор-
це ежедневно давались концерты камерной музыки. Король был меломаном, композитором
и играл на флейте. Ему стало известно об искусстве Баха, и он захотел познакомиться с ним.
После долгих уговоров Карлу удалось добиться согласия отца. Он посетил Потсдам, где рас-
полагался королевский дворец, и по просьбе короля попробовал сыграть на всех фортепиа-
но Зильбермана, которые находились в залах дворца. Желая показать свои способности, Бах
попросил короля сымпровизировать и сыграть мелодию, на основе которой хотел написать
фугу. Бах уехал в Лейпциг и в благодарность за радушный прием сочинил «Музыкальное при-
ношение», взяв за основу мелодию, придуманную королем. Этот цикл произведений, в котором
композитор демонстрирует свои удивительные способности, был завершен спустя два месяца
после встречи с королем и состоит из двух ричер-
каров (старинное название фуги), десяти канонов
и одной сонаты. В рукописи Бах озаглавил первый
ричеркар Regis lussu Cantio Et Reliqua Canonica Arte
Resoluta, что означает «Данная повелением короля
тема и прочее, исполненное в каноническом роде».
Эта фраза содержит игру слов - акростих: если за-
писать слова фразы одно под другим, первые буквы
образуют слово RICERCAR - «РИЧЕРКАР».
Портрет Карла Филиппа Эммануила
Баха. Внизу — партитура темы короля
Фридриха II Великого.

Преобразования, изменяющие размеры
Три вида преобразований, которые мы рассмотрели (перенос, отражение и пово-
рот), являются изометрическими, то есть сохраняют исходные размеры музыкаль-
ных фигур и расстояния между ними.
88
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Также существует неизометрическое преобразование, которое применяется
в музыке. Оно называется масштабирование. Масштабирование увеличивает или
уменьшает один из линейных размеров фигуры. При этом преобразовании соотно-
шение сторон фигуры может как сохраняться неизменным, так и изменяться. Если
мы хотим применить это преобразование в музыкальной нотации, необходимо четко
различать два «измерения» музыкальной плоскости.
Масштабиро-
вание по оси х
Горизонтальное масштабирование
Наиболее наглядными примерами этого преобразования являются сжатие и растя-
жение вдоль временной оси. Чтобы произвести такое преобразование и, следова-
тельно, изменить скорость, с которой исполняется произведение, необходимо изме-
J= 60
Изменение скорости путем изменения темпа метронома.
Однако порой интереснее изменить скорость исполнения мелодии, сохраняя темп
метронома неизменным. Для этого ноты заменяются эквивалентными нотами мень-
шей длительности:
89
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
«Немецкий реквием» Иоганнеса Брамса
Немецкий композитор Иоганнес Брамс (1833—1897), представитель романтизма,
использовал масштабирование в своем знаменитом «Немецком реквиеме». В пер-
вых тактах соло (линия партитуры с подписью soprano solo) мелодия сопрано обра-
зована восьмыми нотами. Теноры повторяют эту же мелодию, но длительность нот
удваивается: восьмые ноты заменяются четвертными, четвертные — половинными
и так далее. В результате сопрано исполняет мелодию в два раза быстрее, чем тено-
ры (tenors на партитуре):
Puttin’ on the Ritz
Автором этой известной мелодии является американский композитор Ирвинг Бер-
лин (1888—1989) — «величайший песенный композитор всех времен», по словам
его соотечественника Джорджа Гершвина. Эту песню, которая впервые прозвучала
в 1929 году, впоследствии исполняли Бенни Гудмен, Фред Астер и другие извест-
ные певцы. Текст песни довольно прост, но, несмотря на это, она отличается запу-
танной ритмикой. В мелодии четыре раза повторяется очень простая фигура из че-
тырех нот, но эти четыре повторения занимают не четыре такта, а чуть больше трех,
за счет чего образуется неравномерный ритм:
90
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Берлину удалось достичь этого удивительного эффекта за счет «сжатия» нот.
На следующей иллюстрации можно видеть, как четыре ноты, сгруппированные
в фигуры и обозначенные кругами под номерами от 1 до 4, следуют друг за другом.
Стрелкой обозначена граница такта.
Вертикальное масштабирование
Что происходит при вертикальном масштабировании? Это преобразование — самое
необычное из рассмотренных нами. Его сложнее всего выполнить и весьма непросто
услышать в музыкальной композиции. При вертикальном масштабировании все ин-
тервалы пропорционально расширяются. В первом примере интервалами мелодии
являются две терции. Во втором примере терции преобразуются в квинты.
Результат расширения
интервалов
Подобное повторение расширенной мелодической кривой исходной мелодии
иногда может давать пародийный эффект. Известный пример вертикального мас-
91
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
штабирования связывает между собой Баха и Джона Кейджа и упоминается в клас-
сической научно-популярной книге «Гёдель, Эшер, Бах» американского автора Ду-
гласа Хофштадтера (р. 1945).
Если использовать латинскую систему, в которой ноты обозначаются буквами
от А до G, то с помощью масштабирования можно превратить тему ВАСН («Бах»)
в CAGE («Кейдж»).
Интервалы темы BACH: —1 | +3 | —1.
Умножив эти интервалы на 3, получим — 3 | +9 | — 3, что почти совпадает с темой
CAGE, интервалы которой равны —3 | +10 | —3.
Гармоническая симметрия
Симметричные аккорды
Одна октава состоит из 12 полутонов. Эти 12 полутонов можно разделить на симме-
тричные аккорды всего двумя способами: в первом случае аккорды из 3 нот будут
разделены 4 полутонами, во втором случае аккорды из 4 нот будут разделены 3 по-
лутонами.
В первом случае образуется аккорд увеличенной квинты, состоящей из двух
больших терций, во втором — аккорд уменьшенной септимы. Благодаря своей сим-
метричности этот аккорд занял очень важное место в истории музыки, так как его
можно «прочитать» многими способами одновременно.
92
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Симметричные звукоряды
В своей книге «Техника моего музыкального языка» французский композитор Оли-
вье Мессиан (1908—1992) приводит классификацию звукорядов, которые он на-
зывает ладами ограниченной транспозиции. В этих звукорядах, ступени которых
образуют полную октаву, интервалы, разделяющие ноты, распределяются симме-
трично. Такие звукоряды основаны на хроматической системе из 12 звуков и состоят
из различных симметричных групп. После определения звукоряда он последова-
тельно транспонируется до тех пор, пока при транспозиции не образуется звукоряд,
в котором будут полностью повторяться ноты исходной группы.
Первый лад в классификации Мессиана называется ладом с целыми тонами:
В этом ладу допускается всего два варианта: первый начинается с до, второй —
с до-диез. В ладу, который начинается с ре, повторяются ноты исходного лада.
Второй лад — уменьшенный октатонический звукоряд, в котором чередуются
полутона и целые тона. Этот лад делится на четыре группы по три ноты и допускает
три транспозиции.
93
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Третий лад образован последовательностями тон — полутон — полутон, состоит
из трех групп по четыре звука и допускает четыре транспозиции.
Порядок интервалов в четвертом ладу таков: полутон — полутон — полтора
тона (3 полутона) — полутон. Этот лад состоит из двух групп нот и допускает
шесть транспозиций.
Пятый лад образует две симметричные группы
из четырех звуков: полутон — два тона — полутон
и допускает шесть транспозиций.
94
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Шестой лад состоит из двух групп по шесть звуков (тон — тон — полутон —
полутон) и допускает шесть транспозиций.
Седьмой лад состоит из двух групп по шесть звуков (полутон — полутон — по-
лутон — тон — полутон) и допускает шесть транспозиций.
Математика музыкальной формы
Симметрия наблюдается не только в музыкальных фразах и мотивах. Более слож-
ные музыкальные структуры также могут обладать интересными математическими
свойствами.
В формальном анализе музыкальных произведений изучается «музыкальная
плоскость» — иными словами, составные части произведения и взаимосвязи между
95
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
ними. Так как «музыкальную плоскость» можно изображать с разной степенью точ-
ности, в зависимости от «масштаба» можно получить общее представление, не со-
держащее нюансов, либо, напротив, в подробностях увидеть все детали, но не все
произведение в целом.
ABCDE...
Рассмотрим музыкальные произведения издалека. Мы увидим крупные структуры,
которые будем обозначать заглавными латинскими буквами.
Здесь в качестве структурных элементов композиции мы будем рассматривать
повторяющиеся или изменяющиеся фрагменты произведения. Композицию, в кото-
рой полностью повторяется единственная группа, будем обозначать так:
А	А
Такие композиции обладают простой симметрией. Произведение, состоящее из двух
полностью различных групп, напротив, не обладает какой-либо симметрией:
А В
Существуют ли произведения, симметричные с формальной точки зрения? Да,
такие произведения существуют, более того, они встречаются очень часто. При-
мером может служить скерцо («игра») — произведение, которое обычно является
частью другого, более крупного произведения, например симфонии. В качестве при-
мера можно привести скерцо из Девятой симфонии Бетховена или скерцо из Сим-
фонии № 4 Чайковского. По своей сути скерцо имеет вид АВ. Иногда после ис-
полнения второй части первая повторяется заново, и композиция принимает вид:
АВА
Это простейшая симметричная фигура. Части этой композиции могут повторять-
ся и далее, образуя различные симметричные структуры:
ABABA
96
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Также существуют сложные формы, состоящие из трех частей, каждая из ко-
торых также делится на три части. В результате образуются более крупные симме-
тричные структуры:
А	В	А
aba	cdc	aba
Некоторые короткие произведения, например вальс ор. 34 № 1 Фредерика Шо-
пена (1810—1849), обладают еще более широкой симметрией:
А	В	С	D	С	В	А
Чем длиннее произведение, тем меньше вероятность наличия подобной симме-
трии. «Музыкальное приношение» Баха обладает формальной симметрией следу-
ющего вида:
РИЧЕРКАР	КАНОНЫ	ТРИО-СОНАТА	КАНОНЫ	РИЧЕРКАР
Месса си минор Баха
Иоганн Себастьян Бах, самый изобретательный композитор всех времен, использо-
вал в своих произведениях структуры, обладающие символическими и математиче-
скими свойствами. Его Месса си минор (Высокая месса) BWV 232, состоит
из 27 частей, объединенных в четыре группы: Kyrie, Gloria, Credo и финальную,
включающую в числе прочих части Sanctus, Hosanna, Benedictus и Agnus Dei. Ком-
позитор хотел изобразить Святую Троицу как в музыке, так и в числах.
Число 3 обозначает Святую Троицу. Общее число частей произведения (27),
а также число частей в каждой группе (3 + 9 + 9 + 6) делится на три. Две цен-
тральных группы (Gloria и Credo) имеют симметричную структуру. Центр симме-
трии Gloria расположен в хоре Domine Deus («Господи Боже»). Центр симметрии
Credo — в Crucifixus («Распятье»):
97
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
—Kyrie
Kyrie eleison (№ 1).
Christe eleison.
Kyrie eleison (№ 2).
—Gloria
Gloria in excelsis Deo.
Et in terra pax.
Laudamus te.
Gratias agimus tibi.
Domine Deus. <—
Qui tollis peccata mundi.
Qui sedes ad dexteram Patris.
Quoniam tu solus sanctus.
Cum Sancto Spiritu.
—Credo
Credo in unum Deum.
Patrem omnipotentem.
Et in unum Dominum.
Et incarnatus est.
Crucifixus. <—
Et resurrexit.
Et in Spiritum Sanctum.
Confiteor.
Et expecto.
—Sanctus, Hosanna, Benedictus, Agnus Dei
Sanctus.
Hosanna.
Benedictus.
Hosanna (da capo).
Agnus Dei.
Dona nobis pacem.
В частности, три центральных элемента группы Credo рассказывают о жизни
Христа, начиная от воплощения (Et incarnatus est) до воскрешения (Et resurrexit),
центральная часть повествует о распятии (Crucifixus).
98
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
МУЗЫКАЛЬНЫЕ КРИПТОГРАММЫ
Криптограмма - сообщение, которое нельзя прочитать, не зная ключа шифра. Это сообще-
ние может бьгь спрятано внутри рисунка, в тексте или посреди беспорядочно расположенных
цифр и букв. Музыкальная криптограмма - это произведение, в котором зашифрован текст.
Чтобы прочитать его, необходимо всего лишь записать обозначения всех его нот. Многие ком-
позиторы создавали произведения, следуя такой системе. Наиболее известной музыкальной
криптограммой, вне всякого сомнения, является В-А-С-Н, в которой используется классическая
немецкая нотация. В этой нотации си-бемоль обозначается буквой В, ля - буквой А, до - бук-
вой С, си - буквой Н.
Другими известными криптограммами являются:
-	ABEGG в честь Meta Abegg в «Вариациях на тему Abegg» Роберта Шумана;
-	CAGE в честь Джона Кейджа. Этот мотив использовала Полина Оливейрос;
-	GADE в честь Нильса Гаде. Этот мотив использовал Роберт Шуман.
Антон Веберн в сь..ем Струнном квартете, соч. 28 использовал четыре ноты В-А-С-Н и два
геометрических преобразования, с помощью которых превратил эти четыре ноты в восемь.
Австрийский композитор Альбан Берг (1885-1935) в своей опере «Воццек» отдает дань
уважения трем ведущим представителям венской школы, зашифровав текст в партитуре для
каждого инструмента:
-	пианино: Арнольд Шёнберг (ADSCHBEG);
-	скрипка: Антон Веберн (АЕВЕ);
-	труба: Альбан Берг (ABABEG).
Золотое сечение и музыка
Итальянский математик Леонардо Пизанский, известный как Фибоначчи
(ок. 1170 — ок. 1250), был одним из тех, кто ввел в употребление арабские цифры
в Европе. В своей «Книге абака» он изложил задачу:
«Пусть в огороженном месте имеется пара кроликов (самка и самец) в первый
день января. Эта пара кроликов производит новую пару кроликов в первый день
февраля и затем в первый день каждого следующего месяца. Каждая новорожден-
ная пара кроликов становится зрелой уже через месяц и затем каждый месяц дает
99
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
жизнь новой паре кроликов. Возникает вопрос: сколько пар кроликов будет в огоро-
женном месте через год, то есть через 12 месяцев с начала размножения?»
Ответ на эту интересную задачу таков:
— В первые два месяца имеется всего одна пара кроликов, А.
— В третьем месяце родится В, первая пара — потомок А.
— В четвертом месяцев родится С, вторая пара — потомок А.
— В пятом месяце родится D, третья пара — потомок А, и Е, первая пара —
потомок В.
Численность кроликов в последующие месяцы будет описываться последова-
тельностью 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144... Эта последовательность чисел
известна как числа Фибоначчи. Если мы поделим каждый член этой последователь-
ности на предыдущий, получим:
1/1 = 1
2/1 = 2
3/2 = 1,5
5/3 = 1,666...
8/5 = 1,6
13/8 = 1,625
21/13 = 1,615...
34/21 = 1,619...
кроликов, черными — взрослых кроликов, способных давать потомство.
100
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Отношения членов ряда Фибоначчи стремятся к числу 1,618033989..., извест-
ному как золотое сечение, или божественная пропорция. Числа Фибоначчи часто
встречаются в природе: например, ими описывается число семечек в спиралях под-
солнуха, расположение ветвей растений, спирали раковин моллюсков и так далее.
Отрезки пятиконечной звезды — пентаграммы, которая используется во многих
культурах, также скрывают в себе золотое сечение. Справа — схема расположения семян
подсолнечника. Число спиралей в обе стороны выражается числами Фибоначчи.
Золотое сечение используется и в музыке. Некоторые произведения Моцарта
и Бетховена разделены своей высшей точкой, моментом максимального напряже-
ния на части, длительность которых подчиняется золотому сечению. Наиболее ве-
роятно, что и Моцарт, и Бетховен получили этот результат интуитивно, стремясь
придать своей музыке равновесие. В творчестве композитора Белы Бартока чис-
ла Фибоначчи встречаются столь часто, что это нельзя объяснить случайным сов-
падением. Так, в первой фуге его произведения «Музыка для струнных, ударных
и челесты» 89 тактов, исполняемых ударными и челестой, делятся на части длиной
в 55 и 34 такта. Разделение этих частей на более мелкие также описывается числа-
ми Фибоначчи: первая часть делится на 34 и 21 такт, вторая — на 13 и 21. Третья
часть этого же произведения, исполняемая в темпе адажио, начинается с ритмиче-
ской последовательности, в которой на ксилофоне исполняется одна и та же нота фа
1,1, 2, 3, 5, 8, 5, 3, 2,1 и 1 раз. Струнный квартет № 4 его же авторства состоит
из 2 584 долей — это 18-е число Фибоначчи.
Числа Фибоначчи также описывают модели интервалов, использованные Барто-
ком, среди которых встречаются интервалы из 2, 3, 5, 8 и 13 полутонов.
101
ГЕОМЕТРИЯ КОМПОЗИЦИИ
Некоторые композиции Дебюсси также подчиняются правилу золотого сечения
или описываются числами Фибоначчи. Начало «Диалога ветра с морем» в его про-
изведении «Море» состоит из 55 тактов, которые делятся на группы по 21, 8, 8,
5 и 13 тактов. «Золотой» такт номер 34 отмечен нотой, исполняемой на трубе.
Хотя подобный анализ может действительно иметь отношение к реальности,
к нему стоить подходить умеренно. Нередко слушатель, который заранее знает, что
в произведении используется золотое сечение, начинает «слышать», что произведе-
ние звучит по-особому.
МЕРА КРАСОТЫ
Творчество состоит в поиске формы: художник объединяет большое и малое, сочетает напря-
женные и смягченные моменты, прямые и кривые, высокие и низкие звуки. В результате до-
стигается некое стабильное или нестабильное равновесие. Эстетическое удовольствие, которое
получает зритель от результата творчества, является в высшей степени субъективным. Существу-
ет ли хотя бы приблизительный объективный критерий красоты? Золотое сечение, возможно,
самый известный пример объективной меры красоты, однако предпринимались и другие по-
пытки найти подобные критерии. В их существовании был убежден американский математик
Джордж Биркхоф (1884-1944). Изучив различные виды искусства, в начале 1930-х годов он
опубликовал работы A Mathematical Theory of Aesthetics («Математическая теория эстетики»)
и Aesthetic Measure («Эстетическая мера»). В них рассматривались скульптура, музыка и по-
эзия. Он определил величину, названную им эстетической мерой, которая зависела от двух
параметров: эстетического порядка (0) и сложности (С):
.. О
М=—.
с
Эстетический порядок определяется регулярностью расположения элементов, составляющих
произведение искусства, сложность является численной оценкой присутствия этих элементов.
Биркхоф первым признал, что для получения репрезентативных результатов следовало изучать
не произведение в целом, а лишь некоторые его характеристики, например отдельные аккорды
ритма и гармонический контекст в музыке. Биркхоф посвятил музыке три главы своей книги,
в которых проанализировал аккорды, гармонию, мелодию и контрапункт. Вне зависимости
от того, насколько эффективна предложенная им система, интересно заметить, что, согласно
уравнению Биркхофа, чем меньше сложность, тем больше красота. Иными словами, между
красотой и простотой существует прямая зависимость.
102
Глава 4
Биты и волны
Музыка — арифметика звуков,
подобно тому как оптика — геометрия света.
Клод Дебюсси
Мы предлагаем читателю подробнее познакомиться с различными параметрами
звуков и глубже изучить их природу. Если мы хотим рассматривать звук не как ху-
дожественное, а как физическое явление, то нам потребуются математические ин-
струменты.
Мы совершим путешествие в микромир и изучим потоки электронов в электри-
ческих цепях, чтобы понять, как передается звуковая информация.
Физика звука
Благодаря особенностям нашего слуха мы можем различать высоту звуков, которая
связана с частотой колебаний. Звук является результатом колебаний некоторого
твердого тела, будь то металл, дерево, кожа. Звук также может образовываться
в результате колебаний воздуха, воды или голосовых связок. Эти колебания рас-
пространяются от источника к ближайшим частицам.
Вне зависимости от источника звука волна в конечном итоге распространяется
по воздуху и достигает наших ушей. Распространение волны вызвано чередованием
областей сжатия и разрежения воздуха. Именно эти чередования наши уши вос-
принимают как звук. Если области сжатия и разрежения чередуются равномерно,
то звуковые колебания называются гармоническими. Скорость, с которой череду-
ются области сжатия и разрежения, называется частотой. Частота равняется числу
колебаний в секунду и измеряется в герцах. Чем больше частота колебаний, тем
выше звук.
103
БИТЫ И ВОЛНЫ
При распространении звуковых колебаний среда изначально находится в состо-
янии покоя, затем постепенно достигается максимальная амплитуда колебаний (А),
после чего среда снова стремится к состоянию покоя, из которого снова набирает
максимальную амплитуду (—А). При возвращении в состояние покоя завершается
полный цикл (X). В этой точке угол наклона касательной к кривой равен углу ее
наклона в начальной точке. С точки зрения математики звуковые колебания описы-
ваются синусоидальной функцией:
Каждый аргумент этой функции определяет какой-либо параметр звука: высоту,
интенсивность или тембр. Высота определяется частотой колебаний. Низким часто-
там соответствуют низкие звуки, высоким — высокие.
Высота
Низкий звук
Средний звук
Высота
Высота звука пропорциональна его частоте.
Высокий звук
Спектр частот, различаемых ухом, индивидуален для каждого человека и зависит
от возраста, но, как правило, он охватывает 11 октав:
104
БИТЫ И ВОЛНЫ
1-я	октава:	16-32 Гц.
2-я	октава:	32-64 Гц.
3-я	октава:	64-125 Гц.
4-я	октава:	125-250 Гц.
5-я	октава:	250—500 Гц.
6-я	октава:	500-1000 Гц.
7-я	октава:	1000-2000 Гц.
8-я	октава:	2000-4000 Гц.
9-я	октава:	4000-8000 Гц.
10-я	октава:	8000-16000 Гц.
11-я	октава:	16000-32000 Гц.
«Интенсивность», то есть звуковая энергия, переносимая звуковой волной
за единицу времени, зависит от амплитуды звуковых колебаний: чем выше гром-
кость, тем больше амплитуда волны. Интересно, что нижний порог слышимости
соответствует звуковому давлению в 2 • 10 4 бар, а болевой порог соответствует
давлению в 200 бар.
Меньшая амплитуда =
меныпая интенсивность

Большая амплитуда =
большая интенсивность
Интенсивность звука пропорциональна амплитуде звуковой волны.
Единица измерения громкости звука — бел, хотя на практике используется де-
цибел (дБ), равный одной десятой части бела. При определении этой величины учи-
тывалось, что интенсивность ощущения звука человеком пропорциональна не ин-
тенсивности звука, а его логарифму. Иными словами, при относительно высокой
интенсивности звука неприятные ощущения нарастают со все большей скоростью.
Шкала интенсивности звука начинается с 0 дБ (порога слышимости) и заканчива-
105
БИТЫ И ВОЛНЫ
ется 120 или 140 дБ — болевым порогом. В следующей таблице приведены неко-
торые примеры физических явлений и соответствующей им интенсивности звука:
Интенсивность звука	
120-140 дБ	Болевой порог
120 дБ	Работающий двигатель самолета
100 дБ	Оркестр
90 дБ	Оживленная улица
80 дБ	Поезд
70 дБ	Оркестр ударных инструментов
50 дБ	Оркестр струнных инструментов
40 дБ	Разговор
20 дБ	Читальный зал библиотеки
Ю дБ	Спокойное дыхание
ОдБ	Порог слышимости
ТРЕХМЕРНЫЕ ВОЛНЫ
Чтобы лучше понять природу звука, интересно рассмотреть различные виды волн. Существуют
одномерные волны, которые распространяются вдоль прямой линии. Другие распространяются
на поверхности и являются двумерными. К таким волнам относятся колебания, возникающие
при падении камня на поверхность воды. Фронт этих волн представляет собой концентрические
окружности, в центре которых расположен источник звука. Звуковые волны относятся к третьему
виду - трехмерным волнам. Фронтом звуковой волны является сферическая поверхность. Хотя
звуковые волны описываются синусоидальными кривыми, звук распространяется в трехмерном
пространстве. Интенсивность звука - это энергия потока, проходящего через поверхность еди-
ничной площади. Так как речь идет о ряде концентрических сфер, интенси ность рассчитывается
по следующей формуле:
где / - интенсивность, Р - энергия, S - площадь поверхности. Так как S - 4лг2, то интенсив-
ность звука обратно пропорциональна квадрату расстояния до его источника.
106
БИТЫ И ВОЛНЫ
Наконец, тембр определяет «индивидуальность» звука. Так, мы узнаем именно
тембр голоса определенного человека. Тембр также позволяет различать звуки оди-
наковой интенсивности и высоты, извлекаемые из разных инструментов. Какова же
физическая природа тембра? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо подробнее
изучить природу звука.
Чистые и настоящие тона
График синусоидальной функции соответствует чистым звуковым колебаниям, кото-
рые не так часто встречаются в реальном мире. Примерами чистых звуков являются
звуки камертона, свист, а также звук трения мокрого пальца о стекло.
Чистый звук
График волны
Однако звук гитарной струны, колокола или флейты образуется основными ко-
лебаниями вкупе со множеством волн меньшей интенсивности и большей частоты.
Эти волны называются обертонами. Любой звук, который не является чистым, со-
стоит из множества одновременно звучащих звуков. В основе анализа отдельных
обертонов каждого звука лежат открытия, совершенные французским математиком
Жаном Батистом Жозефом Фурье (1768—1830), который доказал, что любую
периодическую несинусоидальную волну можно разложить в ряд синусоидальных
волн.
Звук
График волны	Спектр обертонов
107
БИТЫ И ВОЛНЫ
Звуковую волну можно представить как совокупность волн ее отдельных оберто-
нов и волны основного звука. Этот кажущийся хаос в действительности представ-
ляет собой строго упорядоченную систему. В зависимости от структуры материала
источника звука, окружающей среды, резонаторов и других факторов формируют-
ся обертоны основного тона, частоты которых непосредственно связаны с частотой
основного звука. При анализе и оценке обертоны упорядочиваются и нумеруются
в порядке возрастания частоты. В целом можно говорить, что с ростом частоты зву-
ка увеличивается его интенсивность. Однако интенсивность обертонов определяет-
ся множеством факторов, среди которых форма источника звука, форма полостей
в нем, материал, из которого он изготовлен, и многие другие параметры. Сочетание
этих параметров определяет, какие обертоны будут иметь большую интенсивность,
какие — меньшую. Таким образом, многообразие возможных значений параметров
порождает различные тембры, наделяющие звук особым звучанием.
Звук, издаваемый инструментом, обладает следующими четырьмя характери-
стиками, связанными с распространением звуковых волн:
—	атака — время от начала игры на инструменте до момента, когда звук дости-
гает наибольшей высоты;
—	спад — временной интервал от точки наибольшей высоты до момента стаби-
лизации звука;
—	задержка — время, в течение которого извлечение звука продолжается, а его
высота остается неизменной;
—	затухание — время, в течение которого высота звука падает после того, как
было прекращено извлечение звука.
Атака j Спад 1	Задержка । Затухание
Высота л	II
Гоафик, соответствующий извлечению звука постоянной частоты.
108
БИТЫ И ВОЛНЫ
Суперпозиция волн
При построении графика звуковой волны образуется кривая, которая получается
наложением друг на друга отдельных волн, соответствующих основному звуку и его
обертонам. Рассмотрим простой пример наложения волн для двух звуков одинако-
вой частоты, но разной высоты. Если фазы звуковых колебаний совпадают, ампли-
туда звуковых колебаний увеличивается:
fl --------------------
f2 ....................
fl + f2----------------
Напротив, если колебания находятся в противофазе, то амплитуда звуковых ко-
лебаний уменьшается:
fl ---------------------
f2 .....................
fl + f2-----------------
Каким образом эта особенность проявляется на практике? Не углубляясь в под-
робности, скажем, что этот эффект можно наблюдать в концертных залах: много-
численный хор звучит заметно громче, чем ансамбль из четырех или восьми испол-
нителей, а струнный оркестр — громче, чем струнный квартет.
В более сложных случаях, например, когда звук издается музыкальным инстру-
ментом, звуковая волна будет несинусоидальной, так как она будет состоять из мно-
109
БИТЫ И ВОЛНЫ
жества отдельных волн. Благодаря преобразованию Фурье при анализе периодиче-
ских волн можно определить частоту каждой составляющей.
Функция обертонов
Обертоны, выражающиеся степенями двойки (2, 4, 8, ...), соответствуют октавам
основного звука и усиливают его интенсивность. Обертоны, выражающиеся числа-
ми, кратными 3 (3, 6, 12, ...), соотносятся с цепочкой квинт. Присутствие таких
обертонов приводит к появлению назализованного тембра. Обертоны, выражающие-
ся числами ряда 5, 10, 20, ..., соответствуют терциям основного звука и придают
звуку теплоту. Наконец, обертоны, соответствующие диссонирующим интервалам,
добавляют звуку шероховатость.
110
БИТЫ И ВОЛНЫ
Синтез звука
Первые попытки сконструировать электрический орган были предприняты свыше
100 лет назад. Пионерами в этом направлении были американец Таддеус Кэхилл
(1867—1934), который в 1900 году придумал телармониум; русский ученый Лев
Термен (1896—1993), который в 1924 году изобрел инструмент, носящий его
имя, — терменвокс, и француз Морис Мартено (1898—1980), усилиями которого
в 1928 году свет увидел инструмент «волны Мартено». Эти открытия дали начало
новому направлению развития технологий. Работы по созданию электронных музы-
кальных инструментов достигли пика после Второй мировой войны. В XX веке тех-
нологические открытия в области звука позволили глубоко изучить его природу
и особенности, а также открыть эффективные способы синтеза звуков.
Для синтеза звука первым делом нужно его сгенерировать. Для этого исполь-
зуются два способа: в первом применяются отдельные источники для каждого
из 12 звуков верхней октавы, во втором генерируется лишь самый высокий звук этой
октавы, а оставшиеся И полутонов получаются путем электронных преобразований.
После того как сформированы звуки верхней октавы, частоты звуков остальных ок-
тав получаются с помощью электронных делителей частоты делением частоты на 2.
Итак, базовый звук создан. Теперь можно изменять его различные параметры,
что позволит добиться нужного звучания. Это ключевой момент: поискам синтети-
ческих звуков, максимально приближенных к реальным, сопутствует желание соз-
давать совершенно новые, неповторимые звуки. Успехи в синтезе звуков, достигну-
тые в последнее время, охватывают различные аспекты. Некоторые заслуживают
упоминания. Таковы, в частности, фильтры и усилители, которые обрабатывают
обертоны и тем самым позволяют изменять тембр звука, сгенерированного осцилля-
тором. Если звук не богат обертонами, его обогащают с помощью усилителей, гене-
рирующих обертоны, частоты которых кратны частоте основного тона. Также при-
меняются фильтры, позволяющие ограничить или подавить составляющие опреде-
ленной частоты. Комбинирование обертонов используется для создания определен-
ного тембра, что позволяет имитировать, например, звук трубы, скрипки или любого
другого музыкального инструмента. Чаще всего используются следующие фильтры:
—	фильтр нижних частот, подавляющий высокие частоты;
—	фильтр верхних частот, подавляющий низкие частоты;
—	полосовой фильтр, пропускающий частоты из определенного интервала;
—	полосно-заграждающий фильтр, не пропускающий частоты в определенном
интервале.
111
БИТЫ И ВОЛНЫ
Цифровое аудио
Все звуки, которые мы слышим в повседневной жизни, попадают в наши уши в виде
волн, распространяющихся в воздухе, воде и других звукопроводящих средах. С мо-
мента изобретения фонографа Томасом Эдисоном в 1877 году были созданы раз-
личные аналоговые средства хранения и воспроизведения звука.
В аналоговых системах звук должен быть преобразован в последовательность
электрических сигналов с помощью преобразователя, например микрофона. Эти
сигналы, которые в конечном итоге будут фиксироваться и впоследствии воспроиз-
водиться, могут быть преобразованы в звуковые волны с помощью другого преоб-
разователя, например репродуктора.
«У МЭРИ БЫЛ БАРАШЕК» ИЛИ «В СВЕТЕ ЛУНЫ»?
До 2008 года первой в истории записью человеческого голоса считалась сделанная самим
Томасом Эдисоном, который 21 ноября 1877 года прочитал стихотворение Mary had a little lamb
(«У Мэри был барашек») для проверки изобретенного им фонографа. Спустя несколько дней он
впервые продемонстрировал свое изобретение на публике. Через год он запатентовал его
и представил Французской академии наук. Члены Академии были настолько поражены увиден-
ным, что сначала посчитали фонограф подделкой и заподозрили, что в зале сидит чревовеща-
тель. Звуковые колебания записывались на оловянной фольге, обернутой поверх цилиндриче-
ского валика, который вращался вокруг своей оси. Позднее вместо олова стал использоваться
воск. Звук записывался на фольге в виде спиралевидных дорожек, которые затем считывались
и снова преобразовывались в звук.
Изначально фонограф использовался в качестве диктофона на предприятиях и в прави-
тельственных учреждениях. Сам Эдисон никогда не думал, что его изобретение будет широко
использоваться для записи и воспроизведения музыки, и сначала даже запретил применять
фонограф подобным образом. Однако музыкальный цилиндр распространился по всему миру,
и в 1890-е годы ему на смену пришли плоские диски.
За 20 лет до первой записи Эдисона француз Эдуар Леон Скоп изобрел фоноавтограф,
который мог записывать звуковые колебания, но не воспроизводил их. Записи фоноавтографа
хранились в Библиотеке Конгресса США. В 2008 году группе исследователей удалось воспро-
извести эти записи, датируемые 1860 годом. Они услышали известную французскую песню
Au claire de la Lune («В свете луны») - первую в истории запись звука.
112
БИТЫ И ВОЛНЫ
Аналогово-цифровое преобразование
Аналогово-цифровое преобразование выполняется посредством импульсно-кодовой
модуляции сигналов (англ. РСМ — Pulse-Code Modulation) аналогово-цифровым
преобразователем (англ. ADC — Analog-to-Digital Converter). Аналоговый звуко-
вой сигнал легко представить в виде кривой, которую можно описать численно.
Аналогово-цифровое преобразование заключается в дискретизации этой кривой:
сигнал замеряется с заданной частотой и разбивается на множество одинаковых ин-
тервалов. Чем больше число интервалов, тем ближе к исходному будет записанный
и воспроизводимый сигнал и тем выше качество записанного звука. Это же проис-
ходит и в кино: чем больше кадров демонстрируется в секунду, тем плавнее выглядят
движения на экране. Можно привести и другой пример: чем больше точек, лежащих
на кривой, нам известно, тем точнее мы сможем восстановить исходную кривую.
Чем больше число измерений (вертикальных линий) звука, тем ближе
к исходной кривой будет ее представление в виде прямоугольников сетки.
По теореме Найквиста — Шеннона (в русскоязычной литературе теорема Ко-
тельникова) при определенных условиях аналоговый сигнал с максимальной часто-
той М может быть восстановлен однозначно и без потерь, если количество измере-
ний в секунду превышает 2М. Так как максимальная частота, которую необходимо
зафиксировать, равняется 20000 Гц (это порог слышимости звука человеком), ча-
стота дискретизации при записи музыки на CD равна 44100 раз в секунду — эта
величина несколько больше удвоенной максимальной частоты звука.
Существует и другой фактор, влияющий на точность преобразования, — глубина
кодирования звука. Графически измерения при дискретизации можно представить
в виде линий определенной высоты, длину которых нужно измерить. Это измерение
может выполняться с различной точностью: чем больше бит используется для за-
писи измеренной величины, тем выше будет точность измерения.
ИЗ
БИТЫ И ВОЛНЫ
тем ближе к исходной кривой будет ее представление в виде прямоугольников сетки.
Возврат к аналоговому сигналу
Цифро-аналоговый преобразователь (англ. DAC — Digital-to-Analog Converter)
отвечает за преобразование цифрового аудио в аналоговый сигнал. Происходит пре-
образование, обратное аналогово-цифровому: нам известно определенное число то-
чек на кривой, и мы хотим восстановить ее с помощью интерполяции — математи-
ческого метода, позволяющего определить промежуточные значения между уже
известными. Первой моделью интерполяции стала экстраполяция нулевого порядка,
которая заключается в том, что значение во всех точках интервала считается одина-
ковым. Другим методом является экстраполяция первого порядка, при котором кри-
вая аппроксимируется ломаной линией, соединяющей известные значения.
Слева — интерполяция нулевого порядка.
При восстановлении значений на интервале предполагается, что они неизменны и принимаются
равными левой границе интервала. Участок кривой аппроксимируется горизонтальной линией.
Справа — интерполяция первого порядка. Значения на интервале аппроксимируются прямой,
соединяющей границы интервала.
114
БИТЫ И ВОЛНЫ
БЕТХОВЕН, БАЙРОЙТ, НАЦИЗМ И РОЖДЕНИЕ CD
В 1980-е (оды технология производства компакт-дис-
ков была достаточно совершенной для выхода на мас-
совый рынок. Лидерами аудиорынка и рынка электро-
ники в то время были две компании: голландская Philips
и японская Sony. Sony представила прототип компакт-дис-
ка диаметром 120 мм, на который можно было записать
74 минуты звучания. В свою очередь Philips разработала
прототип диаметром 115 мм, на которой можно было за-
писать 60 минут звука. Предпочтение было отдано прото-
типу Sony. Так был определен стандарт, который использо-
вался повсеместно в течение следующих 30 лет.
Привлекает внимание нестандартная емкость CD, вме-
щающего запись длиной не более 74 минут. Почему было
Памятная марка, выпущенная
по случаю смерти Вильгельма
Фуртвенглера в 1954 году.
выбрано именно это число? В свое время Sony указывала среди преимуществ своего прото-
типа возможность записи на одном диске величайших шедевров мировой музыки, в частности
Девятой симфонии Бетховена. Этот стандарт предложил президент компании Sony Норио Ога,
который до этого был дирижером. Меломаны сходятся во мнении, что образцовой записью
этого великого произведения является запись оркестра под управлением Вильгельма Фурт-
венглера, сделанная в 1951 году на первом после окончания Второй мировой войны Байройт-
ском фестивале.
На этом фестивале, ежегодно проходившем в немецком городе Байройт, с 1876 года ис-
полнялись оперы Рихарда Вагнера. Так как его наследники симпатизировали нацистам, перед
войной фестиваль стал символом агрессивного и воинственного пангерманизма. Повторное
открытие фестиваля, которое ждали во всей Германии, считалось поворотным моментом
в истории нации, остро чувствовавшей свою вину. Эмоциональная Девятая симфония, окан-
чивающаяся бессмертной «Одой к радости», ознаменовала присоединение Германии к циви-
лизованным странам. Трагическая страница в истории страны была перевернута. В этот исто-
рический момент оркестр под управлением Фуртвенглера продемонстрировал высочайший
уровень исполнительского мастерства, и потрясенная публика несколько секунд пребывала
в молчании, прежде чем разразиться овациями, которые не утихали в течение часа. Разумеет-
ся, аплодисменты не вошли в запись концерта, и Девятая симфония Бетховена в исполнении
оркестра под управлением Фуртвенглера в Байройте сохранилась для потомков в записи про-
должительностью ровно 74 минуты.
115
БИТЫ И ВОЛНЫ
Сжатие звука
«Сырой» звук
Звуковая волна графически изображается на временной оси. Чтобы изобразить этот
график на бумаге, нам потребуется лист, длина которого будет прямо пропорцио-
нальна длительности звука:
Минуты
Иными словами, звуковая информация передается с фиксированной скоростью.
Аналоговые звуковые системы работают с неизменной скоростью передачи инфор-
мации: заметьте, что скорость вращения пластинки или магнитофонной ленты при
записи или воспроизведении не меняется. Аналогово-цифровое преобразование зву-
ка также выполняется с фиксированной скоростью. При этом генерируется файл
с «сырым», необработанным звуком. «Сырой» звук CD-качества содержит много
информации; следовательно, для его хранения требуются файлы большого размера,
а для передачи — канал большой пропускной способности. Неизбежно встает во-
прос о сжатии этой информации.
Сжатие
Сжатие данных — это процесс, позволяющий кодировать цифровую информацию
с помощью меньшего количества бит. Для сжатия цифрового аудио используются
форматы MP3, FLAC, Vbrbis и другие. Эти форматы позволяют уменьшить размер
звуковых файлов и быстрее передавать их. Однако и при передаче, и при воспроиз-
ведении требуется распаковка данных.
116
БИТЫ И ВОЛНЫ
Сжатие данных может выполняться с помощью различных алгоритмов. Суще-
ствуют два основных вида алгоритмов сжатия — с потерями или без потерь инфор-
мации. Сжатие с потерями приводит к необратимому ухудшению качества звука.
При сжатии без потерь качество звука не снижается, что позволяет при необхо-
димости полностью восстановить исходный звук. В форматах сжатия произволь-
ной информации (ZIP, RAR, ARJ и других) используются алгоритмы сжатия без
потерь, в противном случае при сжатии и последующей распаковке данных теря-
лись бы некоторые буквы и слова.
Также важно учитывать скорость работы алгоритмов: более сложный алгоритм
может обеспечить более высокую степень сжатия, но если время сжатия и распа-
ковки слишком велико, такой алгоритм может оказаться непригодным для передачи
звука в реальном времени.
Какой формат лучше? Когда удобно использовать сжатие информации? В каж-
дом отдельном случае баланс между качеством звука и экономией занимаемого ме-
ста на диске и времени передачи определяется индивидуально. Очевидно, что про-
фессионалы отдают предпочтение сохранению качества. В других случаях, напри-
мер, при потоковой передаче или телефонной связи, предпочтительнее использовать
сжатие информации.
Способы сжатия
В одном из основных методов сжатия используется поиск повторяющихся значений
и закономерностей. Как можно сжать следующие последовательности бит?
1)111111111111111111111111111111111...
2) 101101110111101111101111110111111...
3) 11010110001011010000101001110010...
Чтобы понять, как работает алгоритм сжатия, представьте, что нам нужно пере-
дать другому человеку такой набор инструкций, чтобы он смог воспроизвести ис-
ходное сообщение.
Передать первую последовательность нетрудно, достаточно дать команду «всег-
да записывать 1».
Команда для второй последовательности несколько сложнее: «Записывать каж-
дый раз на 1 больше, разделяя группы единиц нулями».
117
БИТЫ И ВОЛНЫ
Третья последовательность — самая сложная. Ее нерегулярность не позволяет
сформировать набор инструкций, которые помогли бы существенно сэкономить вре-
мя по сравнению с последовательной передачей исходных значений.
Распознавание закономерностей используется преимущественно при сжатии
текстов и изображений. Однако информация, содержащаяся в звуковых файлах,
имеет по большей части хаотичный характер, поэтому вышеописанные методы
не позволяют достичь хорошей степени сжатия.
Следовательно, при сжатии аудио с потерей данных используются другие прие-
мы, например методы психоакустики. Один из таких приемов заключается в опре-
делении и устранении информации, «незначимой для восприятия» (это определение
можно трактовать абсолютно по-разному). Иными словами, не производится коди-
рование звуков, которые неразличимы слушателем.
Другой прием — так называемое формирование шума (noise shaping), при кото-
ром шумы смещаются в спектр частот, менее заметных для слушателя, и восприни-
маемый сигнал кажется более чистым.
Разумеется, всегда можно уменьшить частоту дискретизации и число бит, ис-
пользуемых при кодировании.
MIDI
MIDI (англ. Musical Instrument Digital Interface — «Цифровой интерфейс музы-
кальных инструментов») — это набор команд, разработанный в 1982 году для свя-
зи компьютеров и электронных музыкальных инструментов.
Инструкции в формате MIDI хранятся в файлах, которые можно воспроизвести
в любой момент. Так как эти файлы содержат только последовательность инструк-
ций, они имеют намного меньший размер, чем обычные аудиофайлы. MIDI-файл
можно назвать цифровой партитурой. Он состоит из последовательно записанных
событий и команд. Эти события описывают множество параметров звука: его высо-
ту, интенсивность, вибрато, звуковую панораму.
MIDI-инструкции могут выглядеть так: «Воспроизвести на пианино ноту
до с определенной интенсивностью, в момент времени 1 прекратить воспроизведе-
ние и воспроизвести ноту ре в два раза меньшей интенсивности» и так далее. Благо-
даря такой простоте формат MIDI чрезвычайно удобен для создания музыкальных
композиций. Пианист может сесть за MIDI-клавиатуру, сыграть мелодию, и она
запишется в файл, который затем можно будет отредактировать.
118
БИТЫ И ВОЛНЫ
Пример цифровой партитуры. Временные интервалы откладываются вдоль горизонтальной оси.
Прямоугольники означают промежутки времени, в течение которых исполняется нота, лежащая
на линии или промежутке между линиями обычной партитуры.
ДРЕВНИЕ ФОРМАТЫ MIDI
С развитием механики струнные инструменты допол-
нились колками для настройки струн, духовые - кла-
панами и многочисленными трубками. С появлением
подобных элементов начали выдвигаться предполо-
жения об автоматизации инструментов. Попытки ав-
томатизировать музыкальные инструменты предпри-
нимались еще в античности.
К первым устройствам хранения аудиоинформа-
ции можно отнести цилиндры с намотанной на них
бумагой, которые использовались для записи мело-
дии в автоматических пианино и органах. В бумаге
проделывались отверстия и продольные разрезы,
а цилиндр служил аналогом партитуры: временному
интервалу между двумя звуками соответствовало рас-
стояние между отверстиями, а нота определялась по-
Перфорированная лента
механического пианино.
ложением отверстия на линии, параллельной оси вращения цилиндра. Отверстие (1) означает
наличие звука, отсутствие отверстия (0) означает отсутствие звука. Перфорированный лист
бумаги - первое устройство для хранения информации и ее последующего автоматического
воспроизведения.
119
БИТЫ И ВОЛНЫ
Оркестр
Для исполнения партитуры формата MIDI необходим оркестр — система, которая
получает команды, сохраненные в MIDI-файле, обращается к базе звуков и воспро-
изводит нужные (или же получает нужные звуки путем преобразований уже имею-
щихся).
Источниками этих звуков являются, естественно, настоящие музыкальные ин-
струменты. Так, в базе звуков, соответствующих пианино, хранятся все возможные
ноты, сыгранные на этом инструменте. Аналогичным образом сохраняются звуки
для всех остальных инструментов. В некоторых случаях записываются не все ноты,
а, например, каждая третья. Остальные воссоздаются с помощью алгоритмов на ос-
нове уже сохраненных нот. Однако гораздо чаще записывается несколько вариантов
одного и того же звука, имеющих различную интенсивность, различные методы ис-
полнения, например, взятых с нажатой педалью и так далее.
Еще одним источником звуков является синтез: с его помощью искусственные
звуки создаются с нуля или путем преобразований других звуков. Как правило,
MIDI-синтезаторы имеют равномерно темперированный строй (о нем рассказыва-
ется в главе 1), хотя они обладают достаточной гибкостью для использования любого
другого строя.
Квантование
Любой звук, сыгранный на MIDI-клавиатуре и записанный в реальном времени,
фиксируется на цифровой партитуре, которую затем можно изменять, улучшать
и так далее. Этот процесс называется квантованием и заключается в разбиении сиг-
нала на конечное число интервалов. Он весьма схож с квантованием электрических
сигналов при аналогово-цифровом преобразовании звука: все MIDI-инструкции
приводятся к ближайшему «логичному» значению, соответствующему звуку, кото-
рый предположительно хотел исполнить музыкант. Однако в основе этих автомати-
ческих преобразований лежат критерии точности, применение которых может с лег-
костью изменить исходное исполнение композиции.
120
Глава 5
Математика для композитора
Настоящий художник должен предельно строго регламентировать
свою жизнь. Вот точный график моих ежедневных действий. Подъем
в 7 ч.18 мин. Первое вдохновение от 10:23 до 11:47. Затем я завтракаю
в 12:11 и аккуратно встаю из-за стола в 12:14. Оздоровительная про-
гулка верхом по главным аллеям моего парка от 13:19 до 14:53. Очеред-
ное вдохновение от 15:12 до 16:07. Различные важные занятия (фех-
тование, мышление, неподвижность, визиты, созерцание, ловкость
рук, беглость, плавание и так далее) от 16:21 до 18:47 включительно.
Обед подается к 19:16 и длится до 19:20 без перерыва. Симфонические
чтения вслух с выражением от 20:09 до 21:59. Я ложусь в постель
строго в 22:37. Промедление невозможно. Один раз в неделю вскакиваю
рывком в 3:19 (только по вторникам).
Эрик Сати
В предыдущих главах мы рассказали, как с помощью математики можно описать
различные свойства музыки и ее суть. В этой главе, напротив, будет солировать ма-
тематика: мы расскажем о том, как авангардисты начала прошлого века пытались
определить пределы тональной музыки, используя различные математические ин-
струменты.
Тональный эгалитаризм: додекафония
В начале XX века тональная музыка переживала кризис. В поисках высшей экс-
прессивности Лист и в еще большей степени Вагнер и Штраус довели принципы,
на которых основывался хроматический строй, практически до предела, что означа-
ло отсутствие тональности. Как результат, возникла «атональная» музыка, в кото-
рой отсутствовал тональный центр. Одним из ярчайших представителей этого на-
правления был Арнольд Шёнберг (1874—1951). Позднее, в начале 1920-х годов,
этот австрийский композитор разработал технику музыкальной композиции, полу-
чившую название додекафония, которую стали использовать представители Новой
венской школы, в частности Альбан Берг и Антон Веберн.
121
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
Что такое додекафония?
Термин «додекафония» (от греч. «двенадцать звуков») означает совокупность
12 звуков западной музыкальной системы. Эти 12 звуков соответствуют семи белым
и пяти черным клавишам пианино. При использовании 12 звуков нужно учитывать
два важных фактора:
—	в додекафонии отсутствует однозначное определение звуков, которые ранее
считались независимыми, например, ля-диез и си-бемоль. Эти звуки счита-
ются эквивалентными;
—	при указании каждого из 12 звуков речь идет обо всех подобных звуках. Так,
когда упоминается до, имеется в виду не нота до конкретной октавы с кон-
кретной частотой, а все ноты до различных октав. Таким образом, в додека-
фонии существует «всего» 12 звуков.
Додекафония подчинена основной идее атональной музыки: отказ от выделения
в иерархии какой-то одной ноты (тоники) по отношению к остальным. В додекафо-
нии был создан метод, позволяющий избежать преобладания одних нот над другими.
Он заключается в том, что всем нотам присваивается одно и то же относительное
значение и все ноты используются в композиции примерно одинаковое число раз.
НЕТ - ТРИДЕКАФОНИИ!
Может показаться забавным, что Шёнберг, создатель додекафонии, системы из 12 звуков, страдал
оттрискаидекафобии - боязни числа 13. Причины этой фобии неизвесгны. По-видимому, она появи-
лась еще в древние времена, так как еще викинги избегали «чертовой дюжины», а в христианской
традиции это число связывается с Иудой, который был тринадцатым на Тайной вечере. В древней
Персии это число ассоциировалось с хаосом. Боязнь числа 13 порой достигает невероятных раз-
меров. Так, во многих городах, где улицы пронумерованы, нет улицы под номером 13; во многих
зданиях нет 13-го этажа. В «Формуле-1» ни один автомобиль не имеет номер 13. Американского
актера Стэна Лорела из знаменитого дуэта Лорела и Харди на самом деле звали Стэн Джеферсон
(13 букв); он сменил фамилию из-за боязни числа 13. Некоторые музыканты также демонстрировали
по меньшей мере предубеждение к этому числу: американец Джон Мэйер записал 14 композиций
122
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
Серии
Чтобы достичь этой цели, в додекафонии используется ряд правил. Например, что-
бы слушатель не заострял внимание на определенных нотах больше, чем на осталь-
ных, композиции должны содержать полные циклы из всех 12 нот. После того как
была использована одна нота, ее можно использовать снова только тогда, когда бу-
дет завершен цикл из 12 нот.
Ноты циклов не располагаются в беспорядке — напротив, в основе каждой ком-
позиции лежит «серия» — четко упорядоченная последовательность из 12 звуков
хроматической гаммы.
Однако серия — это не просто группировка звуков с целью их статистического
подсчета, а эквивалент традиционного мотива. В этом смысле додекафония при-
знает себя продолжателем западной музыкальной традиции. Изображенная ниже
серия используется в Сюите ор. 25 Шёнберга — одном из первых произведений,
в котором применена система из 12 звуков.
Композитор наряду с основной серией создает другие, связанные или произво-
дные серии. Они получаются с помощью преобразований, которые мы рассмотрели
в главе 3: инверсии, ракохода и транспозиции.
для своего альбома Room tor Squares, но композиция под номером 13 содержит лишь две секунды
тишины, а в нумерации композиций на этом альбоме число 13 пропускается.
Арнольд Шёнберг родился 13 сентября 1874 года. Он изменил название своей оперы Moses und
Aaron («Моисей и Аарон») на Moses und Aron, так как первый вариант названия содержал 13 букв. Он
боялся умереть в год, кратный числу 13, и в 1950 году, когда ему исполнилось 76 лет (7 + 6 = 13),
он впал в депрессию. Он умер в пятницу 13 июля 1951 года.
В свою очередь Альбан Берг был одержим числом 23, которое считал фатальным. Тем не менее
это число часто используется в его Лирической сюите: многие ее части имеют число тактов, кратное
23, равно как и темп метронома.
123
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
Инверсия	Ракоходная инверсия
Существует четвертое преобразование, популярное у некоторых композито-
ров, — поворот. Если мы представим серию в виде круга (соединив первую ноту
с последней), поворот будет эквивалентен началу серии с любой из точек круга.
Может показаться, что додекафоническая запись не требует особого творче-
ства, потому что в ней используются серии. Да, применение серий составляет саму
суть додекафонии, но каждый композитор подстраивает их к своим потребностям.
На основе серии композитор может использовать разнообразные приемы: запись
нот серии в разных октавах и для разных инструментов; начало исходной или преоб-
разованной серии до того, как закончено исполнение предыдущей; работа с произ-
водными сериями, составленными из фрагментов исходной, и так далее.
КАКОВО ЧИСЛО ВСЕХ ВОЗМОЖНЫХ СЕРИЙ?
Первой нотой серии может быть любая из 12 возможных. После юго как мы выбрали первую
ноту, следующую можно выбрать из И оставшихся. Таким образом, число возможных вариантов
для первых двух нот равно 12 • И. Третьей нотой может быть любая из десяти оставшихся. Таким
образом, число вариантов для первых трех нот равняется 12 • И  10. Продолжив рассуждения,
получим, что общее число возможных различных серий равно 12 1110-9-...-3-21-
= 479001600. Это число называется факториал 12 и записывается как 12!
Факториал любого целого положительного числа л определяется как произведение всех це-
лых положительных чисел от 1 до л. Таким образом, л! = л (л - 1) ... • 2 • 1.
Однако для додекафонических серий подсчет «различных по сути» мелодий выглядит
несколько сложнее, так как в этом случае не должны учитываться транспозиции, инверсии,
ракоходы и сочетания этих преобразований. Тщательные подсчеты показывают, что число раз-
личных серий равно 9985920.
124
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
Числовая и матричная форма
Традиционные партитуры, в которых используется нотный стан, подчиняются логи-
ке диатонической музыки. Одним из следствий этого является тот факт, что рас-
стояние между соседними линиями нотного стана и промежутками между ними
не всегда обозначает один и тот же музыкальный интервал. Иногда этот интервал
состоит из двух полутонов (от ре до ми), иногда — из одного (от ми до фа). Из-за
этого в додекафонической музыке используются альтерации. По этой причине, как
видно из предыдущих примеров, инверсии и ракоходы додекафонических серий
«не видны» на партитурах.
Серию также можно представить в числовом виде, что упрощает запись мело-
дии. При записи серий в числовом виде, как правило, выбирается исходная нота.
В следующем примере исходной нотой является ми, которой присвоено значение 0.
Далее последовательно нумеруются полутона: фа обозначается 1, фа диез — 2,
соль — 3 и так далее.
При представлении серии в числовом виде для нахождения связанных серий
можно использовать средства арифметики. Например, транспозиция серии полу-
чается прибавлением одного и того же числа k к каждому элементу серии:
(sr S2, ..., S12) —> (s}+k, S2+k, ..., S12 + k),
TQ (0,1,3, 9, 2,11, 4,10, 7, 8, 5, 6) -> (0,1, 3, 9, 2,11, 4,10, 7, 8, 5, 6),
Tt (0,1, 3, 9, 2,11, 4,10, 7, 8, 5, 6) -> (1, 2, 4,10, 3, 0, 5,11, 8, 9, 6, 7),
T2 (0,1, 3, 9, 2,11, 4,10, 7, 8, 5, 6)	(2, 3, 5,11, 4,1, 6, 0, 9,10, 7, 8),
T7 (0,1, 3, 9, 2,11, 4,10, 7, 8, 5, 6) -> (7, 8,10, 4, 9, 6,11, 5, 2, 3, 0,1),
Tn (0,1, 3, 9, 2,11, 4,10, 7, 8, 5, 6)	(11, 0, 2, 8,1,10, 3, 9, 6, 7, 4, 5).
После 11 счет снова начинается с 0, точно так же как мы считаем часы: 8 часов
утра плюс 7 часов равно 3 часам дня. В математике подобные операции на ограни-
ченных множествах чисел называются модулярной арифметикой. В случае с додека -
125
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
фоническими сериями множество чисел имеет всего 12 элементов в интервале
от 0 до И. Число элементов множества называется модулем (в нашем случае модуль
равен 12). В арифметике по модулю 12 число 13 эквивалентно числу 1. Записывает-
ся это так:
13 = 1 (mod 12).
Все числа вида 12/г + 1, где k — целое, эквивалентны 1:
25 = 1 (mod 12),
37 = 1 (mod 12),
49 = 1 (mod 12),
61 == 1 (mod 12),
Как мы уже говорили, в додекафонии не проводятся различия между одинаковы-
ми нотами, которые относятся к разным октавам. Арифметика по модулю 12 отра-
жает этот факт: число 1, которым в нашем примере обозначена нота фа, равно 13,
которым снова обозначается фа.
Средства модульной арифметики помогают заметить, что инверсия серии экви-
валентна замене всех значений от 0 до И (то есть значений всех различных нот)
разницей между этим значением и 12. При таком преобразовании значение 1 заме-
нится на И, 2 — на 10, 3 — на 9 и так далее. Для серии, которую мы рассматривали
в качестве примера, получим:
I S2'	S12^	12"S2’ •••»
I (0,1, 3, 9, 2,11, 4,10, 7, 8, 5, 6) -> (0,11, 9, 3,10,1, 8, 2, 5, 4, 7, 6).
Ракоход, в свою очередь, получается «обращением» числового ряда слева на-
право:
7^ (S1> S2’	S12^	(S12’ Sll’ Sl^’
R (0,1, 3, 9, 2,11, 4,10, 7, 8, 5, 6)	(6, 5, 8, 7,10, 4,11, 2, 9, 3,1, 0).
Исходная серия вкупе с ее инверсией, ракоходом и с 12 возможными транспози-
циями для каждого из этих преобразований формирует 4 • 12 = 48 перестановок,
которые может использовать композитор. Если учитывать повороты, то число вари-
антов возрастет до 48 • 12 = 576.
126
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
Эти 48 форм можно записать в виде матрицы размером 12 X 12, опираясь на сле-
дующие правила:
—	в первой строке TQ записывается исходная серия (в нашем примере выделена
жирным шрифтом);
—	в первом столбце /() записывается инверсия серии (также выделена жирным);
—	в каждой из оставшихся ячеек записывается сумма (по модулю 12) чисел,
с которых начинаются соответствующая строка и столбец. Например, пятая
строка начинается с числа 10, четвертый столбец с числа 9, следовательно,
на пересечении этой строки и этого столбца необходимо записать число 7, так
как 10 + 9 = 19 = 7 (mod 12).
12 строк матрицы будут содержать исходную серию со всеми возможными транс-
позициями, 12 столбцов — инверсию исходной серии со всеми возможными транс-
позициями. Ракоходы этих 24 серий можно получить, если изменить направление
обхода матрицы: строки нужно читать справа налево, столбцы — снизу вверх.
	>о	К	G	'9	G	'n	'4	'w	h	^8	/5	l6	
То	0	1	3	9	2	11	4	10	7	8	5	6	«о
	11	0	2	8	1	10	3	9	6	7	4	5	«n
Тэ	9	10	0	6	11	8	1	7	4	5	2	3	«9
Т3	3	4	6	0	5	2	7	1	10	11	8	9	*3
Ло	10	11	1	7	0	9	2	8	5	6	3	4	R±o
л	1	2	4	10	3	0	5	11	8	9	6	7	Rx
Тв	8	9	11	5	10	7	0	6	3	4	1	2	r8
Т2	2	3	5	11	4	L	6	0	9	10	7	8	r2
Ть	5	6	8	2	7	4	9	3	0	1	10	11	r5
Т4	4	5	7	1	6	3	8	2	11	0	9	10	R4
л	7	8	10	4	9	6	11	5	2	3	0	1	Rz
То	6	7	9	3	8	5	10	4	1	2	11	0	R6
	R'o	R'x	R/3	r/9	r/2	R/„ 11	R'4	R'xo	r/7	r/8	R's	R'e	
Круговая форма
Представление серии в форме круга особенно полезно при изучении додекафонии.
Например, в круговой форме серия из ор. 25 Шёнберга выглядит так:
127
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
Чтобы получить ракоход серии, нужно всего лишь изменить направление обхода
на противоположное:
Чтобы получить инверсию серии, достаточно отобразить ее симметрично самой
себе относительно оси, проходящей через основной тон:
Для транспозиции нужно повернуть круг на необходимое число «часов»:
128
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
Инверсию транспозиции можно получить отражением относительно нужной оси:
Круговая форма позволяет лучше увидеть внутреннюю структуру некоторых се-
рий. Например, в основе серии Струнного квартета ор. 28 Антона Веберна, о кото-
рой мы уже рассказывали, лежит тема ВАСН:
Если представить эту серию в круговой форме, то ее симметрия становится более
наглядной. На рисунке ниже ось симметрии серии обозначена пунктирной линией.
Благодаря такому расположению серия S совпадает со своей ракоходной инверси-
ей при транспозиции на три полутона вниз. Иными словами, эта серия получается
из исходной путем применения уже известных вам функций ракохода (R), инверсии
(/) и транспозиции (Т), последняя из которых применяется трижды:
S = T3(I(R(S)))
129
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
Тема ВАСН, которая сама по себе является симметричной, звучит в серии триж-
ды: первый раз в исходном виде, второй — в инвертированном и транспонирован-
ном, третий — в транспонированном:
В круговом представлении повороты связывают последние ноты с первыми, за-
мыкая круг. Таким образом, обход серии может начинаться с любой точки круга.
Альбан Берг
Третьим выдающимся представителем Новой венской школы был Альбан Берг
(1885—1935). Он владел богатым музыкальным языком, и использование приемов
додекафонии не помешало ему придать своим композициям в высшей степени экс-
прессивный характер. Среди наиболее известных его произведений — оперы «Воц-
цек» и «Лулу», Лирическая сюита для струнного квартета и Концерт для скрипки
с оркестром «Памяти ангела». Серия из последней композиции (представлена
на рисунке)
обладает удивительной симметрией, которую можно заметить, если представить се-
рию в форме круга:
130
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
Для этой серии характерно созвучие тонов, которое становится очевидным, если
записать серию в числовой форме (0, 3, 7, И, 2, 5, 9, 1, 4, 6, 8, 10). Обратите вни-
мание, что серия содержит последовательность из четырех больших и малых аккор-
дов, тем самым восстанавливается квинтовый круг: 0—7, 7—2, 2—9 и 9—4. Круг
завершается четырьмя последовательными тонами.
На следующей иллюстрации показаны эти цепочки квинт (исключены некото-
рые промежуточные элементы):
Сериализм, контроль и хаос
Додекафония открыла путь к созданию музыкальных композиций под сильным вли-
янием математических моделей. Те же принципы, которым соответствуют высоты
звуков в сериях, вскоре стали применяться и к другим параметрам звуков. Изна-
чально композиторы стремились сделать распределение звуков разной высоты ста-
тистически равномерным. Почему это же нельзя применить и к другим параме-
трам — интенсивности, длительности нот, тембру или регистру? По сути, этот ме-
тод ничем не будет отличаться от метода, использованного для распределения высот
звуков. Например, можно составить таблицу, в которой будут перечислены 12 сте-
пеней динамики, начиная от пиано пианиссимо и заканчивая форте фортиссимо.
Можно составить серию из уровней относительной громкости и работать с ней
так же, как и с другими сериями:
1	2	3	4	5	6
рррр	РРР	рр	Р	quas'1 р	тр
	SS sjq	Л ЭЯ	эЯ	X ЭЯ	
3 g	£ S	S §	§	р §	
	и ь	о н	s	g е	s н
7	8	9	10 И 12
mf quasif f ff fff JJff
Аналогично можно указать длительности
нот или любой другой параметр, а за-
тем применить к нему музыкально-математические преобразования. Представите-
131
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
лями этого направления являются французский композитор Пьер Булез (р. 1925) и
немецкий композитор Карлхайнц Штокхаузен (1928—2007), которые системати-
чески использовали серии применительно к различным свойствам звуков. Это на-
правление называется интегральный сериализм.
Булез разработал метод так называемого умножения блоков. Каждый из гар-
монических блоков А и В является аккордом — множеством звуков определенной
высоты. При транспозициях блока А в качестве самой низкой ноты последователь-
но выбирается каждая нота блока В. Произведение А X В — это гармоническое
соединение всех таких транспозиций.
' О  I
Транспозиции А X В
А на В
..цМ*;..=
Транспозиции А X В
А на В
Булез использовал этот прием в произведении Le marteau sans maitre ( « Молоток
без мастера»), разделив серию на пять блоков a, b, с, du е, которые затем перемно-
жались по описанному выше методу:
а b с	d	е
Это интересный пример того, как математическая операция (в данном случае
умножение) переносится в область, где, как может показаться, она не будет иметь
смысла. Однако подобные методы оказались не слишком плодотворны. Сериа-
лизм сводит процесс создания композиции к простой абстрактной игре, и получен-
ные композиции практически невозможно «расшифровать». Сам Булез упоминал
об этой проблеме в своей книге «Структуры»:
«Я хотел полностью исключить из моего словаря все следы условностей при-
менительно к ритму и фразам, равно как и к форме. Следовательно, я хотел элемент
за элементом восстановить различные этапы создания музыки так, чтобы возник
новый идеальный синтез, который не был бы изначально испорчен чужеродными
реминисценциями, свойственными определенным стилям».
132
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
Стохастическая музыка
Французский композитор греческого происхождения Янис Ксенакис (1922—2001)
критиковал сериализм, так как считал, что независимое формирование серий из раз-
ных параметров (высоты, длительности, динамики и других) ведет к тому, что они
оказываются изолированными и не связанными между собой. Параллельная орга-
низация различных серий подобна концептуальной полифонии, когда идеальный
слушатель может оценить каждую серию по отдельности точно так же, как он слы-
шит отдельные голоса классической полифонической мелодии. Однако результат
больше напоминал совокупность разрозненных элементов, собранных в общую мас-
су звуков.
Ксенакис, который также был архитектором, стремился создать структуриро-
ванную музыку, в которой была бы воссоздана согласованность между эстетическим
и природным. Его музыка предстает перед слушателем в виде «звуковых облаков»,
которые со временем видоизменяются. Эти облака образованы из множества кон-
кретных звуков, почти не связанных между собой, но подчиняются общим для ком-
позиции статистическим законам. После того как сформированы общие структур-
ные очертания произведения, отдельные части распределяются на основе множества
сложных математических методов и моделей, принадлежащих к теории вероятности,
алгебре, теории групп и теории игр.
Партитура пьесы «Метастаз» Яниса Ксенакиса.
133
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
Игра в кости с Моцартом
Вольфганг Амадей Моцарт (1756—1791) и Иозеф Гайдн (1732—1809) — самые
известные композиторы классического периода. Музыка того времени, доступная
широкому кругу слушателей, подчинялась строгим законам, которыми в совершен-
стве владели и Моцарт, и Гайдн.
Расцвет классической музыки совпал по времени с промышленной революцией:
появились машины, способные заменить ручной труд, начался процесс автомати-
зации производства. Это привело к изменениям в общественном и экономическом
устройстве, идея крупномасштабного производства укоренилась в массовом созна-
нии.
Иоганн Филипп Кирнбергер (1721—1783) был композитором и теоретиком му-
зыки, учеником Баха и создателем различных видов темперации, носящих его имя.
В 1757 году он опубликовал первую из серии игр, в которых систематизировались
музыкальные композиции и которые позволяли любому создавать свои собственные
произведения, для чего не требовались специальные знания.
Моцарт и Гайдн придумали игру Musikalisches Wiirfelspiel — музыкальную
«игру в кости». Далее мы расскажем об игре, создание которой приписывается Мо-
царту. Она содержит 176 пронумерованных готовых тактов, расположенных в двух
таблицах. Каждая таблица имеет 16 столбцов. Нужно случайным образом выбрать
число в каждом из столбцов обеих таблиц, бросив обычные игральные кости.
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
2	96	22	141	41	105	122	11	30	70	121	26	9	112	49	109	14
3	32	6	128	63	146	46	134	81	117	39	126	56	174	18	116	83
4	69	95	158	13	153	55	110	24	66	139	15	132	73	58	145	79
5	40	17	113	85	161	2	159	100	90	176	7	34	67	160	52	170
6	148	74	163	45	80	97	36	107	25	143	64	125	76	136	1	93
7	104	157	27	167	154	68	118	91	138	71	150	29	101	162	23	151
8	152	60	171	53	99	133	21	127	16	155	57	175	43	168	89	172
9	119	84	114	50	140	86	169	94	120	88	48	166	51	115	72	111
10	98	142	42	156	75	129	62	123	65	77	19	82	137	38	149	8
11	3	87	165	61	135	47	147	33	102	4	31	164	144	59	173	78
12	54	130	10	103	28	37	106	5	35	20	108	92	12	124	44	131
134
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32
1	72	6	59	25	81	41	89	13	36	5	46	79	30	95	19	66
2	56	82	42	74	14	7	26	71	76	20	64	84	8	35	47	88
3	75	39	54	1	65	43	15	80	9	34	93	48	69	58	90	21
4	40	73	16	68	29	55	2	61	22	67	49	77	57	87	33	10
5	83	3	28	53	37	17	44	70	63	85	32	96	12	23	50	91
6	18	45	62	38	4	27	52	94	11	92	24	86	51	60	78	31
Игрок-композитор бросает кости, и выпадает число от 2 до 12. Это число указы-
вает на номер ячейки таблицы в столбце 1. Например, выпали числа 3 и 5, в сумме
они дают 8. Это означает, что нужно выбрать число в строке 8 первого столбца.
Это число 152. Такт номер 152 станет первым в нашем «произведении». Повторив
эти же действия для каждого из оставшихся столбцов, мы получим 32 такта. (При
выборе чисел во второй таблице нужно бросать только один кубик.)
Число возможных композиций
Каково число различных композиций в этой игре? Первый такт можно выбрать
И способами — по числу возможных очков (от 2 до 12), выпавших при броске двух
игральных костей. Для каждого первого такта второй такт можно выбрать также
И способами. Всего первые два такта можно выбрать И • И — И2 = 121 различным
способом.
Для каждой пары первых двух тактов третий такт можно выбрать И способа-
ми. Таким образом, общее число возможных сочетаний первых трех тактов равно
И2 11 = И3 = 1331.
УЛИПО
Комбинаторный метод, похожий на тот, что изложен выше, использовал в XX веке француз-
ский писатель Раймон Кено (1903-1976), который вместе с математиком Франсуа Ле Лионне
в 1960 году основал УЛИПО (фр. OULIPO, сокращение от Ouvroir de litterature potentielle - цех
потенциальной литературы). Его произведение Cent mille milliards de poemes («Сто тысяч мил-
лиардов стихотворений») состоит из десяти сонетов, каждая из четырнадцати строк которых
может сочетаться с любой другой строкой любого другого сонета. Так, существует 10 вариантов
выбора первой строки, 10 - второй и так далее. Таким образом, общее число сонетов равно
1014 - название этого числа и вынесено в заглавие произведения.
135
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
С каждым новым тактом менуэта общее число возможных композиций увели-
чивается в 11 раз, с каждым тактом трио — в 6 раз. Общее число «произведений»
В этой игре равно И16 • 616 = 129629238163050258624287932416 « 1,3 • 1029.
Если бы кто-то решил исполнить их все подряд, одно за другим, без перерывов, тра-
тя на исполнение каждого 30 секунд, то ему понадобилось бы свыше 123 000 трил-
лионов лет.
Любопытно, что с точки зрения теории вероятностей игра плохо подходит для
создания разнообразных композиций. При броске двух костей число возможных
очков лежит в интервале от 2 до 12, но вероятность выпадения разных чисел отли-
чается: 7 можно выбросить шестью способами, а 2 и 12 — всего одним, как можно
увидеть из следующей таблицы:
Результат	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Комбинации	1+1	1+2 2+1	1+3 2+2 3+1	1+4 2+3 3+2 4+1	1+5 2+4 3+3 4+2 5+1	1+6 2+5 3+4 4+3 5+2 6+1	2+6 3+5 4+4 5+3 6+2	3+6 4+5 5+4 6+3	4+6 5+5 6+4	5+6 6+5	6+6
Итого комбинаций	1	2	3	4	5	6	5	4	3	2	1
Копирование великих
При изучении искусства композиции часто используется следующий метод: ученик
должен написать произведение в стиле одного из великих композиторов: фугу в сти-
ле Баха, сонату в стиле Бетховена или прелюдию в стиле Дебюсси.
Рассмотрим в качестве примера творчество Бетховена. При копировании его
стиля ученик должен использовать различные приемы, чтобы созданная им компо-
зиция «звучала, как бетховенская». В чем же заключается стиль Бетховена? Можно
перечислить несколько примеров: это и музыкальная форма, и исполнение мелодии
при использовании более или менее широких мелодических интервалов, включение
пауз и динамических контрастов.
Каждое музыкальное измерение определенного стиля можно проанализировать
с помощью статистических методов. Например, если мы хотим изучить тематиче-
ские мотивы сонат Бетховена, можно проанализировать ширину выбранного реги-
стра, то есть интервал между самой низкой и самой высокой нотой. Статистика по-
136
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
кажет, в каких из этих мотивов ширина регистра равна 1 полутону, 2, 3 и так далее.
(Кстати, интересно узнать минимальную ширину интервала, использованную Бет-
ховеном, то есть первый ненулевой член этой числовой последовательности.) По-
хожая статистика поможет проанализировать любой другой параметр.
Хотя с помощью методов статистики можно получить общее представление
о композиции, в нем не будет учитываться контекст: при копировании стиля рас-
пределение нот, возможно, будет не столь важно (информация о том, сколько нот
до содержится в произведении, будет абсолютно бесполезной, если мы запишем все
эти ноты подряд в самом начале нашей композиции). Важно знать не то, сколько
раз используется каждая нота по отдельности, а то, как связаны ноты между собой.
Решить эту задачу нам помогут цепи Маркова. Суть их использования заключа-
ется в следующем. С помощью методов статистики мы изучаем порядок следования
различных «состояний» системы. Применительно к созданию мелодий цепи Мар-
кова позволяют воспроизвести закономерности, которые указывают, как определен-
ные последовательности нот влияют на звучащие в дальнейшем ноты.
День рождения Маркова
В следующем примере мы используем цепи Маркова, чтобы создать мелодию в сти-
ле известной песни Happy Birthday.
В следующей таблице показано, сколько раз каждая нота встречается в этой ме-
лодии:
СОЛЬ	ЛЯ	си	ДО	ре	ми	фа	СОЛЬ
8	3	2	6	2	2	2	1
1
Может показаться, что если мы хотим написать мелодию в этом же стиле, в но-
вой мелодии ноты должны располагаться в точно таком же соотношении. Но в дей-
ствительности такая мелодия будет иметь мало общего с оригиналом.


137
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
Вместо того чтобы анализировать, сколько раз в мелодии встречается каждая
нота, с помощью цепей Маркова можно определить, в какой последовательности
они располагаются. 26 нот мелодии упорядочены с помощью 25 переходов: первый
переход соль-соль, второй — соль-ля и так далее. Максимально возможное число
переходов равняется 8'8 = 64, но не все они используются в этой мелодии.
В следующей таблице приведено число переходов каждого типа:
		Следующая нота								Итого
		соль’	фа	ми	ре	ДО	си	ля	соль	
Нота	соль’			1						1
	фа		1	1						2
	ми					2				2
	ре					2				2
	ДО				1	1	2		1	5
	си							1	1	2
	ЛЯ		1						2	3
	СОЛЬ	1			1	1		2	3	8
Даже если мы выберем первую ноту произвольным образом, следующие ноты
будут выбраны в соответствии с информацией о числе переходов каждого типа, ко-
торая содержится в таблице.
Начнем новую мелодию с ноты соль — с этой же ноты начинается оригиналь-
ная мелодия. Какие ноты могут следовать за начальным соль? В последней строке
таблицы показано, что в мелодии Happy Birthday ноту, следующую за нотой соль,
можно выбрать восьмью способами: один раз за ней следует соль второй октавы,
один раз ре, один раз до, два раза ля, три раза та же нота соль. Обозначим каждый
из этих переходов числом от 1 до 8 и выберем случайным образом число, лежащее
в этом интервале, чтобы определить вторую ноту мелодии. Если выпадет 1, этой но-
той будет соль второй октавы, если 2 — ре, если 3 — до, если 4 или 5 — ля, если 6,
7 или 8 — соль. Допустим, выпало число 3. Это означает, что второй нотой в новой
мелодии будет нота до.
Повторим эти же действия для пяти возможных вариантов выбора ноты, следую-
щей за до: ре, до, си, си и соль. Случайно выбранное число в интервале от 1 до 5 ука-
жет третью ноту новой мелодии. Допустим, выпало число 4. Третьей нотой новой
мелодии станет нота си. Эти действия повторяются требуемое число раз. Далее при-
ведена мелодия, написанная с помощью этой техники:
j <..- Д' -	1 г Г171
138
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
Второй Happy Birthday
Мы только что проанализировали музыкальное произведение с помощью марков-
ского процесса первого порядка, учитывая, как каждая нота зависит от предыду-
щей. Попробуем теперь использовать марковский процесс второго порядка и опре-
делить, как каждая нота зависит от двух предыдущих. Проанализируем исходную
мелодию еще раз. Первый переход второго порядка — это соль-соль => ля. Следу-
ющий — соль-ля => соль.
Хотя число возможных переходов второго порядка равняется 64 • 8 = 512, в ме-
лодии используется лишь несколько из них. Они представлены в таблице:
	Следующая нота								Итого
	соль’	фа	ми	ре	ДО	си	ля	соль	
соль'-ми					1				1
фа-фа			1						1
фа-ми					1				1
ми-до				1	1				2
ре-до								1	1
до-ре					1				1
до-до						1			1
до-си							1	1	2
Пара до-соль								1	1
нот	си-ля		1							1
си-соль								1	1
ля-фа		1							1
ля-соль				1	1				2
соль-соль'			1						1
соль-ре					1				1
соль-до						1			1
соль-ля								2	2
соль-соль	1						2		3
При создании мелодии второго порядка нужно выполнить те же действия, что
и в предыдущем случае. Разница заключается только в том, что останется совсем
немного способов «свернуть» с пути, заданного исходной мелодией. Далее приведе-
на мелодия, созданная по этому методу:
139
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
Эти мелодии воссоздают исходную Happy Birthday лишь порядком следования
нот друг за другом. Эту же технику можно применять и к другим музыкальным «из-
мерениям» и определять с ее помощью длительности нот, гармонические последова-
тельности, регистры, оркестровку и так далее.
EMI
Программа EMI (англ. Experiments in Musical Intelligence — «Эксперименты в об-
ласти музыкального искусственного интеллекта») не только имитирует стили вели-
ких композиторов, но также способна создавать собственные композиции.
Разработанная американцем Дэвидом Коупом программа EMI анализирует
произведения выбранного композитора и выделяет их фрагменты — музыкальные
«клетки», затем комбинирует их в новом порядке и создает композиции в том же
стиле, что и проанализированные произведения. На основе этих фрагментов про-
изведений под руководством опытного пользователя EMI формирует таблицы по-
добные той, что используется в игре Моцарта Musikalisches Wiirfelspiel. Далее EMI
использует различные приемы искусственного интеллекта для объединения этих
изолированных фрагментов. Произведения, созданные EMI, «прошли проверку»
слушателей-людей: некоторым понравилась услышанная музыка, другие пришли
в ярость, а кто-то всерьез обеспокоился способностью машины воспроизводить пло-
ды человеческого гения. Коуп не согласен с тем, что в будущем слушатели будут реа-
гировать на компьютерную музыку подобным образом: «По сути, компьютер — это
лишь инструмент, расширяющий наш разум. Музыка, созданная с помощью наших
алгоритмов, столь же «наша», как и та, что создана исключительно человеческим
вдохновением».
Механизация
Программа Коупа ставит вопрос: можно ли механизировать творческий процесс?
Еще до того, как Моцарт создал свою игру, появились первые музыкальные авто-
маты. В XVII веке Афанасий Кирхер создал Area Musarithmica — первый ин-
струмент, способный создавать музыкальные произведения для четырех голосов
по определенному алгоритму. В начале XIX века Дитрих Винкель (1777—1826)
создал Componium — автоматический орган с двумя валами, которые случайным
образом чередовались при исполнении произведений. Чтобы ответить на вопрос,
поставленный в начале этого раздела, нужно понять, в чем заключен источник
140
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
вдохновения композиторов и можно ли как-то воспроизвести или сымитиро-
вать его.
Вдохновение
Как и в других видах искусства, на создание музыки композиторов может вдохно-
вить любимый человек, историческое событие или личность, художественное произ-
ведение. Концерты «Времена года» Антонио Вивальди, Фантастическая симфония
Гектора Берлиоза, увертюра «1812 год» Петра Чайковского — вот некоторые
из наиболее известных примеров так называемой «программной музыки», которая
напрямую связана с внемузыкальной реальностью. Во всех указанных случаях ис-
точник вдохновения композитора находится в общеизвестной исторической или ли-
тературной среде или, по меньшей мере, в среде, современной композитору.
Однако источником вдохновения не всегда служит нечто очевидно общее для
композитора и других людей либо же он видоизменяет это силой своего творчества.
Так, бразильский композитор Эйтор Вилла-Лобос (1887—1959) в 1939 году на-
писал произведение New York Skyline (позднее переработав его в 1957 году), вдох-
новившись очертаниями небоскребов Нью-Йорка, силуэты которых он изобразил
на листе бумаги в клетку.
Сэр Эдуард Элгар (1857—1934) посвятил свои знаменитые «Энигма-вариации»,
ор. 36 «друзьям, изображенным в этом произведении». Каждая вариация содержит
инициалы или иное указание на близкого Элгару человека, которого он запечатлел
в музыке. Однако название произведению дала не эта «загадка», а другая, ответ
на которую до сих пор не найден: сам Элгар утверждал, что спрятал в этом произ-
ведении еще одну мелодию. Эта загадочная неслышимая мелодия подобна главно-
му герою спектакля, который никогда не появляется на сцене, но вокруг которого
развивается действие. После публикации партитуры было предложено множество
решений этой загадки, но ни одно из них не выглядит убедительным.
141
МАТЕМАТИКА ДЛЯ КОМПОЗИТОРА
Алгоритмическая композиция
Алгоритм — это множество инструкций по решению определенной задачи или вы-
полнению определенного действия. Простейшие алгоритмы используются в школе
для выполнения основных арифметических операций. Все процессы, выполняемые
внутри компьютера, подчиняются тому или иному алгоритму. Хотя четкое определе-
ние алгоритма (одно из множества существующих) содержит указание на свойства,
которыми должен обладать алгоритм (он должен быть конечным, состоять из четко
определенных инструкций и так далее), мы будем использовать более простую фор-
мулировку. Будем считать алгоритм множеством шагов и (или) правил, которым
нужно следовать для достижения определенного результата.
Алгоритмическая композиция представляет собой математическое моделирова-
ние процесса вдохновения. Композитор создает алгоритм, получающий некоторую
информацию на входе и выдающий другую информацию на выходе. Какой смысл
в создании музыки по алгоритму? В конечном счете разумно считать музыку спо-
собом коммуникации, выражающим человеческие эмоции, индивидуальное видение
реальности определенного человека. Зачем нужны машины, способные создавать
музыку? Будет ли результат их работы музыкой в полном смысле этого слова? Что
такое музыка вообще?
Во-первых, хотя музыка остается средством выражения возвышенного, ее роль
давно вышла за эти рамки. Музыка стала частью огромного рынка, который по-
стоянно требует появления все новых и новых песен и исполнителей. В этом смыс-
ле композитор не более чем винтик механизма, без которого в недалеком будущем
можно будет обойтись. Тот факт, что человека можно заменить, не ставит под со-
мнение качество работы композитора и корректность алгоритма, а показывает, что
и люди, и алгоритмы являются частью одной стандартизованной системы.
Во -вторых, создание алгоритма, способного «написать» качественную музы-
ку, — это задача, перед которой сложно устоять программистам, интересующимся
музыкой. Правила, по которым создается музыка, можно проанализировать мате-
матически, но этот анализ имеет предел, после которого в объяснениях неизбежно
начинают фигурировать такие понятия, как «вдохновение», «духовность», «чув-
ственность», «искусство». Можно ли преодолеть этот предел? Доступны ли чело-
веческому интеллекту глубинные правила, по которым создается музыка? Насту-
пит ли день, когда какой-то программист, используя современные математические
методы, подобно Прометею сможет «украсть» божественный огонь вдохновения
и сделать его доступным для всех?
142
Приложение I
Основные понятия музыкальной
нотации и теории музыки
В этом приложении мы расскажем об основных понятиях теории музыки, чтобы вы
смогли лучше понять, о чем идет речь в книге. Музыкальная запись — пример того,
как математика применяется в искусстве. Возможно, ее применение в музыке
не столь очевидно, как, например, использование геометрии в живописи, но совре-
менная музыкальная нотация содержит ряд правил и символов, которые имеют ма-
тематическое происхождение или интерпретируются по математическим законам.
Музыкальная нотация не была создана в одночасье, она является результатом дли-
тельного эволюционного процесса. Не так давно стали предлагаться альтернатив-
ные, более эффективные формы нотации, но из-за широкого распространения тра-
диционной нотации внести в нее какие-либо изменения сложно, и на перестройку
понадобится длительное время.
Высота
Высотой называется воспринимаемое значение «тона». Тон — это свойство звука,
напрямую связанное с частотой звуковой волны. Частота звука измеряется в герцах
(Гц). Высота — это свойство, позволяющее различать высокие и низкие звуки (чем
больше частота, тем выше звук), а также распознавать ноты. Человеческое ухо спо-
собно улавливать звуковые колебания частотой примерно от 20 до 20 000 Гц. Звуки
более низкой частоты называются инфразвуком, более высокой — ультразвуком.
Чтобы упорядочить относительные высоты звуков, в 1939 году был определен стан-
дартный тон для ноты ля, значение которого равно 440 Гц.
Интервалы
Интервалом называется разница высот двух звуков, воспринимаемая слушателем.
Интервалы называются по порядку, который соответствует числу ступеней, разде-
ляющих звуки, включая границы интервала. Это витиеватое определение проще по-
нять на примере. Если сыграть одновременно ноту фа и более высокую, ля, то вы
143
ПРИЛОЖЕНИЕ I
услышите интервал в одну терцию (фа-соль-ля — три ноты). Ноту ля и следую-
щую по высоте фа разделяет секста (ля-си-до-ре-ми-фа — шесть нот).
При определении интервала первым называют более низкий звук. Например,
секунда образуется двумя звуками звукоряда, идущими подряд: до — ре, ре — ми,
ми — фа и так далее. Терции выглядят так: до — ми, ре — фа, ми — соль, фа — ля,
соль — си.
Таким образом, интервал до — ре — это секунда, интервал ре — до — септима.
Полный интервал между двумя равными нотами, например до — до, называется
октавой. Октава делится на 12 полутонов.
унисон секунда терция кварта квинта секста септима октава
Интервалы, меньшие и равные октаве, в музыкальной нотации.
Классификация интервалов
Интервалы делятся на большие, малые и чистые в зависимости от числа полутонов.
Например, два звука секунды до — ре разделены двумя полутонами, поэтому этот
интервал называется большая секунда. Две ноты другой секунды, си — до, разделе-
ны одним полутоном, поэтому этот интервал называется малая секунда. Большими
и малыми могут быть все интервалы, за исключением интервалов из пяти, шести
и семи полутонов. Интервал в пять полутонов называется чистой квартой, в семь
полутонов — чистой квинтой. Частный случай — нота, находящаяся ровно посере-
дине октавы: в октаве до — до фа-диез удалено на шесть полутонов от более низко-
го до (увеличенная кварта) и на шесть полутонов от более высокого до (уменьшен-
ная квинта).
Если звуки берутся последовательно, то такой интервал называется мелодиче-
ским. Он может быть восходящим или нисходящим. Вид интервала также указы-
вается в его названии. Например, восходящий интервал до — ре называется вос-
ходящей большой секундой, нисходящий интервал до — ре — нисходящей малой
септимой. Нисходящий интервал ре — до — нисходящая большая секунда, восхо-
дящий интервал ре — до — восходящая малая септима. В зависимости от контекста
вид интервала может не указываться.
144
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Большая секунда Малая септима
до — ре (восх.) ре — до (восх.)
Большая секунда Малая септима
ре — до (нисх.) до — ре (нисх.)
Все возможные мелодические интервалы между двумя соседними нотами.
В следующей таблице приведено количество полутонов в различных интервалах:
Интервал	Длина (в полутонах)
Унисон	0
Малая секунда	1
Большая секунда	2
Малая терция	3
Большая терция	4
Чистая кварта	5
Увеличенная кварта (уменьшенная квинта)	6
Чистая квинта	7
Малая секста	8
Большая секста	9
Малая септима	10
Большая септима	11
Октава	12
Обращения интервалов
Обращенным называется интервал, который в сумме с основным интервалом охва-
тывает все 12 полутонов октавы. Основной и обращенный интервалы напоминают
дополнительные углы в геометрии, что показано на рисунке:
Октава
до квинта соль кварта до
Обращенным интервалом чистой
кварты (из пяти полутонов) является
чистая квинта (из семи полутонов):
соль — до (чистая кварта) идо — соль
(чистая квинта). Дополнительным
к углу а называется такой угол р,
который в сумме с ним дает 90°.
145
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Два интервала, в сумме образующие октаву.
В следующей таблице приведены обращенные интервалы для всех основных ин-
тервалов:
Интервал	Длина (в полутонах)		Обращенный интервал
Унисон	0	12	Октава
Малая секунда	1	11	Большая септима
Большая секунда	2	10	Малая септима
Малая терция	3	9	Большая секста
Большая терция	4	8	Малая секста
Чистая кварта	5	7	Чистая квинта
Увеличенная кварта (уменьшенная квинта)	6	6	Уменьшенная квинта (увеличенная кварта)
Чистая квинта	7	5	Чистая кварта
Малая секста	8	4	Большая терция
Большая секста	9	3	Малая терция
Малая септима	10	2	Большая секунда
Большая септима	11	1	Малая секунда
Октава	12	0	Унисон
Обертоны
Когда музыкальный инструмент издает звук, он имеет конкретную частоту F, но че-
ловеческое ухо воспринимает этот звук не как чистый тон, а как сумму бесконечного
числа составляющих. Струна колеблется из стороны в сторону не упорядоченно,
а хаотически. Звук, издаваемый струной, или любая другая нота, которую слышит
наше ухо, складывается из основного тона и других призвуков — звуков меньшей
интенсивности, которые называются обертонами. Нота, которую мы слышим, — это
составной звук, но основной тон и все обертоны являются чистыми звуками. Из мно-
жества обертонов, составляющих звук, человеческое ухо улавливает всего 16.
146
ПРИЛОЖЕНИЕ!
На схеме изображена струна, частоты колебаний которой соответствуют первым обертонам.
Если на музыкальном инструменте исполняется нота до, то ряд из шестнадцати
обертонов, воспринимаемых человеческим ухом, для этого звука будет выглядеть
следующим образом:
№ обертона	Интервал	Частота	Нота
1-й	Основной тон	33 Гц	ДО,
2-й	Октава	66 Гц	ДО2
3-й	Квинта	99 Гц	соль2
4-й	Октава	132 Гц	Д°з
5-й	Большая терция	165 Гц	МИ3
6-й	Квинта	198 Гц	соль3
7-й	Не соответствует какому-либо интервалу равномерно темперированного строя	231 Гц	сиЬ3
8-й	Октава	264 Гц	Д°4
9-й	Большая секунда	297 Гц	Ре4
10-й	Большая терция	330 Гц	ми4
11-й	Не соответствует какому-либо интервалу равномерно темперированного строя	363 Гц	фа#4
12-й	Чистая квинта	396 Гц	соль4
13-й	Не соответствует какому-либо интервалу равномерно темперированного строя	429 Гц	ЛЯ4
14-й	Не соответствует какому-либо интервалу равномерно темперированного строя	462 Гц	сиЬ4
15-й	Большая септима	495 Гц	СИ4
16-й	Октава	528 Гц	Д°5
В таблице приведены частоты различных обертонов. Например, 5-й обертон соответствует звуку,
частота которого в пять раз больше частоты основного тона в 33 Гц: 33 - 5 = 165 Гц.
147
ПРИЛОЖЕНИЕ!
В музыкальной нотации 16 обертонам соответствуют следующие ноты:
1
Консонанс и диссонанс
Звуки, воспроизводимые одновременно, могут восприниматься как благозвучные
(в этом случае имеет место консонанс) или неблагозвучные, напряженные (мы на-
зываем их диссонирующими). В главе 1 мы рассказали о том, что пифагорейцы счи-
тали причиной благозвучия или неблагозвучия особое соотношение длин струн, из-
дававших эти звуки. Иными словами, для пифагорейцев согласованность звуков
определялась соотношением их частот. Пифагорейцы считали октаву (она разделяет
два звука, исполняемые на струнах, соотношение длин которых 1:2), квинту (соот-
ношение длин струн для нее 2:3) и кварту (3:4) благозвучными. Другие интервалы,
производные от трех основных, оказывались диссонирующими, так как соотноше-
ния частот для соответствующих звуков выражались сложными числами. На следу-
ющих иллюстрациях указаны основные интервалы и соотношения частот звуков,
соответствующих границам этих интервалов:
148
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Среди многочисленных гипотез, возникших в то время, особенный интерес пред-
ставляет теория, согласно которой степень созвучности двух звуков тем больше, чем
больше общих обертонов они имеют.
Запись времени на партитуре
Рассуждения о сути ритма (см. главу 2) позволили нам выделить различные свой-
ства, описывающие чередование нот и пауз. Это дало возможность точнее записы-
вать музыкальные произведения.
В физике время часто отображается на горизонтальной оси координат. Напри-
мер, при построении графика положения тела при свободном падении высота обыч-
но отображается на вертикальной оси (Y), время — на горизонтальной (X). Полу-
ченный график положения тела будет выглядеть так:
Аналогичным образом время представляется и в музыке:
Высота
звука
Нотная запись читается слева направо подобно тому, как читаются тексты, на-
писанные на западных языках. Музыкальные ритмы изображаются в виде последо-
вательности нот на горизонтальной оси.
149
ПРИЛОЖЕНИЕ!
Музыка и символы музыкальной нотации
Чтобы понять систему нотной записи, необходимо определить характеристики зву-
ков, которые мы будем изображать.
Во-первых, следует рассмотреть наличие и отсутствие звука. В нотной записи
должен отражаться как сам звук, так и паузы между звуками.
Во-вторых, звуки образуются в результате некоего движения, они имеют начало
и конец.
Ноты и паузы — это символы, обозначающие наличие и отсутствие звука соот-
ветственно. Они же обозначают длительность звуков относительно других звуков
и пауз.
Ноты
Длительность звуков обозначается с помощью нот. Ноты состоят из следующих
элементов:
—	головка: небольшой овал черного или белого цвета;
—	штиль: вертикальная часть ноты, соединяющая головку и флажок (если он
есть);
—	флажок: небольшая изогнутая линия, расположенная на противоположном
от головки конце штиля.
Штиль
Головка
Флажок
Относительная длительность нот
Относительная длительность звуков и пауз сохраняется вне зависимости от того,
с какой скоростью исполняется произведение. Скорость исполнения и, как след-
ствие, реальная длительность нот во времени определяется темпом метронома —
механического прибора, с помощью которого можно задать любую постоянную ско-
рость исполнения.
150
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Как мы уже говорили ранее, относительная длительность нот определяется
цветом головки (черная или белая), а также присутствием или отсутствием штиля
и флажков.
Так, головка целой и половинной ноты имеет белый цвет, всех остальных нот —
черный цвет. У всех этих нот, за исключением целой, имеется штиль. Восьмая нота
имеет один флажок, шестнадцатая — два, тридцать вторая — три и шестьдесят
четвертая — четыре. Каждой ноте соответствует относительная длительность, обо-
значаемая числом 2" где п расположено на интервале от 0 до 6.
Последовательность нот в порядке убывания длительности выглядит так: целая,
половинная, четвертная, восьмая, шестнадцатая, тридцать вторая и шестьдесят чет-
вертая. Базовой нотой является целая, ей соответствует число 1. Следующая нота —
половинная, длительность которой в два раза меньше, чем целой. Это означает, что
за время исполнения целой ноты могут прозвучать две половинных. За время ис-
полнения половинной ноты могут прозвучать две четвертные. Длительность любой
ноты в два раза меньше, чем предыдущей. На следующей иллюстрации представле-
на относительная длительность нот, начиная с целой ноты в вершине воображаемой
пирамиды и заканчивая тридцать вторыми в ее основании:
о
г г
г г г г
г г г г г г г г
г Г Г Г г Г Г Г Г Г Г Г Г Г f I*
В следующей таблице указана относительная длительность всех нот:
№	2"	Название	Нота	Длительность по отношению к целой
0	1	Целая	о	1
1	2	Половинная	Г	1/2
2	4	Четвертная	1	1/4
3	8	Восьмая	Р	1/8
4	16	Шестнадцатая	Р	1/16
5	32	Тридцать вторая	Р	1/32
6	64	Шестьдесят четвертая		1/64
151
ПРИЛОЖЕНИЕ I
Число, соответствующее каждой ноте, показывает, сколько раз подряд ее можно
исполнить за время звучания одной целой ноты. Отношение между длительностями
нот является прямым и транзитивным: одна половинная нота равна двум четверт-
ным, одна четвертная — четырем шестнадцатым; следовательно, одна половинная
нота равна восьми шестнадцатым.
Ноты с флажком объединяются чертой, соединяющей штили, в группы, которые,
как правило, подчиняются ритму, задаваемому нотами большей длительности:

Паузы
Пауза — противоположность звука и вторая основная составляющая музыки.
Можно считать, что паузы — это основа музыки, которая прерывается звуками,
но в музыкальной нотации пауза — это промежуток времени, в который не испол-
няется ни одного звука. Следовательно, длительность пауз должна быть четко за-
дана. Для представления пауз различной длительности используется ряд специаль-
ных знаков, соответствующих разным нотам:
Ноты
Половинная	Восьмая	Тридцать вторая
Целая	Четвертная	Шестнадцатая Шестьдесят четвертая
Паузы
Точки
Очень часто возникает необходимость увеличить относительную длительность ноты
или паузы. Для этого используются маленькие точки справа от головки ноты. Точка
152
ПРИЛОЖЕНИЕ I
обозначает, что относительная длительность ноты, помеченной точкой, увеличива-
ется на 50%. Так, четвертная нота с точкой эквивалентна четвертной ноте (1/4) и ее
половине, восьмой ноте (1/8). 1/4 + 1/8 = 3/8. Следовательно, четвертная нота
с точкой эквивалентна трем восьмым.
Также применяется так называемая двойная точка, которая означает, что дли-
тельность исходной ноты необходимо увеличить на 75%. Например, для половин-
ной ноты первая точка увеличивает ее длительность на четвертную ноту, вторая —
еще на восьмую ноту. Для четвертной ноты первая точка увеличивает длительность
ноты на восьмую, вторая — еще на одну шестнадцатую ноту:
153

Приложение II
Второй взгляд на роль времени
в музыке
Музыка как феномен дана нам исключительно для установления
порядка вещей, по преимуществу — между человеком и временем.
Игорь Стравинский
Ощущение времени — источник всей музыки и всего ритма.
Оливье Мессиан
Мы живем в настоящем. Всё — настоящее. Нам известно лишь прошлое и настоя-
щее. В прошлом настоящее не было известно, и мы могли лишь предполагать, каким
оно будет. Возможно, прошлое в некотором смысле влияет на настоящее, но никогда
не опережает его.
Мы можем осмотреть издалека дом или путь, который нам предстоит прой-
ти, но разорвать узы времени нельзя: мы не можем взглянуть на него «издалека»,
не можем остановить его, чтобы передохнуть или поразмыслить о чем-то. Но даже
несмотря на это люди способны чувствовать процессы, происходящие с течением
времени. Суть метода очень проста: нужно спланировать некоторое событие, кото-
рое должно произойти в будущем, подождать, пока оно наступит, и зафиксировать
его в этот самый момент. Спустя всего одно мгновение это событие станет прошлым
и останется в нашей памяти.
С музыкой происходит то же самое: она звучит в настоящем и остается в памяти.
Музыка вольно или невольно пропитывается временем.
Модальность и тональность
Существует два музыкальных стиля и подхода к музыке: модальный и тональный.
Основное различие между ними в том, как в этих стилях трактуется время.
В западном мире наиболее распространена тональная музыка. Этот стиль родил-
ся в эпоху барокко, развивался в период приблизительно с 1600 по 1750 год и харак-
155
ПРИЛОЖЕНИЕ II
теризуется тем, что развертывается последовательно во времени. В каждый момент
тонального произведения за каждым аккордом следует следующий, аккордовое тя-
готение ослабляется в момент паузы. Роль, которую играет аккорд в этой цепочке
чередующихся моментов напряжения и покоя, называется функцией аккорда.
Начиная с эпохи барокко тональная система переживала процесс непрерывных
изменений на протяжении следующих периодов классицизма и романтизма. Хотя
преобладала тональная музыка, культурный авангард начала XX века отходил
от этого направления в сторону стиля, где отсутствовало бы аккордовое тяготение.
Этот стиль называется атональным, или модальным.
В модальном стиле существуют две различные трактовки времени. С одной сто-
роны, время как вечность — наиболее известный пример григорианских песнопе-
ний средневековой Европы, где нет обозначений прошлого, настоящего и будущего,
иными словами, времени словно не существует. В другой трактовке время пони-
мается как продолжающееся настоящее: звуковое событие является завершенным
в каждый момент времени, оно не обусловлено какими-то событиями в прошлом
и не влияет на звуковые события в будущем. Важно лишь настоящее. Помимо аван-
гардной академической музыки, второй трактовке следует большая часть восточной
музыки, часть фолк-музыки Южной Америки и джазовый стиль бибоп.
Различный подход к понятию времени в тональной и модальной музыке позво-
ляет провести аналогию с другими видами искусства: тональная музыка, которая
развертывается последовательно во времени, сравнима с танцем, модальная — с по-
эзией.
156
Библиография
ASSAYAG, G., FEICHTINGER, H.G., Rodrigues, J.F. (editores): Mathematics and
Music, Berlin, Springer, 2002.
HOFSTADTER, D.R., Godel, Escher, Bach: un eterno у grdcil bucle, Barcelona, Tusquets
Editores, 2007.
KOLNEDER, W., Guia de Bach, Madrid, Alianza Editorial, 1982.
LOY, G., Musimathics, Londres, The MIT Press, 2006.
SAMUEL, C., Panorama de la musica contempordnea, Madrid, Ediciones Guadarrama,
S.L., 1965.
157
Алфавитный указатель
«Новое искусство» 39, 40, 43
EMI (Experiments in Musical Intelligence) 140
MIDI 118-120
абсолютный слух 18
аккорд 92,102,131,132,156
акцент 44, 50, 56, 59
алгоритм 117, 140,142
атональность 121, 122, 156
Барток, Бела 80
Бах, Иоганн Себастьян 47, 74, 86—88, 92,
97
Бах, Карл Филипп Эммануил 88
бел 105
Берг, Альбан 99, 121, 123, 130—131
Берлин, Ирвинг 90
Бетховен, Людвиг ван 56, 74, 76, 115, 136
Биркхоф, Джордж 102
бит 103—120
Брамс, Иоганнес 90
Веберн, Антон 82, 83, 99,122,129
Вилла-Лобос, Эйтор 141
Винкель, Дитрих 56, 140
Витри, Филипп де 39, 40, 43
волны 103—120
волны Мартено 111
волчья квинта 24, 26, 28
время 37-64, 70-73, 104, 108, 149-152,
155-156
высокий звук 14, 61, 62,104,143,144
высота 14, 62-71,104,125,143,149
Гайдн, Иозеф 134
гармония И, 13, 25, 32, 38
Гвидо д’Ареццо 21
Гендель, Георг Фридрих 78
геометрические преобразования 70, 99
Гершвин, Джордж 78, 90
двоичный код 38, 40—43, 45, 58, 96
Дебюсси, Клод 79
додекафония 121—133
доля 37—60
дроби 14, 25, 58, 59
Жобин, Антонио Карлос 79
замощение 46, 49
игра Моцарта 134—136, 140
инверсия 47, 71, 77, 78-86,124-126,129
инверсия интервалов 145—146
интервалы 14,16-20, 25-31, 83,143-146
канон 46-49, 71-75, 83, 86-88
квадривиум И
квантование 120
квинтовый круг 22, 24, 131
Кено, Раймон 135
Кеплер, Иоганн 13
Кирнбергер, Иоганн Филипп 134
ключи 59, 65—67, 87
комбинаторика 52, 135
консонанс и диссонанс 148
красота 12, 101, 102
криптограмма 99
Ксенакис, Янис 133
Кэхилл, Таддеус 111
линейный и экспоненциальный рост 17
Мартено, Морис 111
масштабирование 88—90
мелодия 37, 47, 61, 68-74, 77-92,137-141
мензуральная нотация 38—44
Мессиан, Оливье 37, 93, 155
метроном 55—57, 89,150
модальность 155, 156
модус 41, 42
монохорд 12
Моцарт, Вольфганг Амадей 81, 101, 134, 140
музыка
стохастическая 133
сфер И
музыкальная нотация 38, 59, 143, 144, 148
158
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
алфавитная 21
арабская 99
невменная 38, 40, 41
современная 9, 39, 41, 45, 59-60
музыкальные символы 22, 38, 41, 45, 58,
150-153
наименьшее общее кратное 58
низкий звук 14,15,17, 33,104,143
обертоны 12-14,107-111,121,146-149
отражение 71, 76-87
Паганини, Никколо 80
партитура 44, 55, 59—62, 68, 69, 118, 120,
125
Пахельбель, Иоганн 75
перенос 71—73, 83—86, 91
Пифагор 14, 34, 35
пифагорейская комма 24, 25, 29
поворот 71, 81-83,124,127,130
полиритмия 54—58
пролация 41-43
пропорция 17, 34, 40—42, 89,148
равномерно темперированный строй 29—32,
35,120
Рахманинов, Сергей 80
резонанс 15
ритм 37-49, 51-54, 58-60, 62-69,149
ритмический канон 46, 54
сериализм 131—132, 133
серии 123—126
симметрия 66, 83, 84, 92—95
синтез звука 111
синусоидальная функция 104
смешанные размеры 54
средние величины 34
строй музыкальный 13, 29, 31, 60, 66—67
диатонический 26—28, 38
пифагорейский 20—22, 25, 26, 31, 34
симметричный 93—95
хроматический 22, 25, 34
строй 14-30, 32, 35,120
натуральный 25, 26
пифагорейский 12—14
такт 42, 43, 50-60, 72-76,134-136
телармониум 111
тембр 104,107,108,110,111
темперации 28, 29, 31, 134
темпус 41-43
Термен, Лев 111
терменвокс 111
тон
настоящий 107—108
чистый 107—108
тональность 27, 28, 83,121-133,155-156
трехдольный размер 38, 40—43, 51, 52, 53,
57, 58
ударные инструменты 44—49, 54, 56, 101
Фибоначчи 99—102
Форе, Габриэль 75
форма 95-98,125-130
Фурье, Жан Батист Жозеф 107
цент 31—32
цепи Маркова 137—138
цифровое аудио 112—114, 116
частота 14-33, 37, 62-64, 103-113, 143,
146-148
числа
дробные 58
золотое сечение 99—102
иррациональные 34, 35
натуральные 34
простые 16, 25
рациональные 33, 35
Фибоначчи 101, 102
целые 32, 33, 34, 35
Шёнберг, Арнольд 61, 99,121,122,123,127
Шопен, Фредерик 97
Штокхаузен, Карлхайнц 132
Эдисон, Томас Алва 112
Элгар, Эдуард 141
эстетическая мера 102
159
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 12
Хавьер Арбонес и Пабло Милруд
Числа — основа гармонии.
Музыка и математика
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не при-
нимаются.
[енеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Наталия Василенко
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в России:
® 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии
для читателей Москвы:
® 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия, 105066, г. Москва, а/я 13,
«Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон-
тактные данные для обратной связи (телефон
или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина,
г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ua, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в Украине:
® 0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, a/я «Де Агостини»,
«Мир математики»
Укра'та, 01033, м. Киш, а/с «Де Агоспш»
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: +375 17 331 94 27
Телефон «горячей линии» в РБ:
® + 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040, г. Минск,
а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,
«Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить реко-
мендуемую розничную цену книг. Издатель остав-
ляет за собой право изменять последовательность
заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными
материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 09.11.2013
Дата поступления в продажу на территории
России: 08.04.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5.
Усл. печ. л. 6,48.
Тираж: 200 000 экз.
© Javier Arbones у Pablo Milrud, 2010 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2012
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0704-5 (т. 12)
@
У Данный знак информационной про-
дукции размещен в соответствии с требования-
ми Федерального закона от 29 декабря 2010 г.
№ 436-ФЗ «О защите детей от информации, при-
чиняющей вред их здоровью и развитию».
Издание для взрослых, не подлежит обязатель-
ному подтверждению соответствия единым требо-
ваниям, установленным Техническим регламентом
Таможенного союза «О безопасности продукции,
предназначенной для детей и подростков» ТР ТС
007/2011 от 23 сентября 2011 г. № 797.
Числа — основа
гармонии
Музыка и математика
В мире существует несколько основных видов искусства,
но музыка, безусловно, занимает в этом ряду главенствующую
позицию. Неспроста многие великие мыслители отдавали
пальму первенства именно музыке: она - удивительный симбиоз
чистого вдохновения и строгого расчета, полета фантазии
и рационального подхода. Музыка - живое доказательство
единства творчества и математики. Из этой книги читатель
почерпнет множество интересных фактов. Какие произведения
нельзя сыграть, не разгадав их загадку? Почему существуют
гармонические и диссонирующие аккорды? Благодаря чему мы
в состоянии на слух отличить скрипку от трубы? Может ли певец
разбить стекло силой своего голоса? Как сформировалась
современная музыкальная нотация и каким правилам она
подчиняется? При ответе на эти и многие другие вопросы
не обойтись без математики.
ISBN 978-597740682-6