В. И. КРЫЛОВ, Л. Т. ШУЛЬГИНА
СПРАВОЧНАЯ КНИГА
ПО ЧИСЛЕННОМУ
ИНТЕГРИРОВАНИЮ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОС К В А 1966

617.2(083)
К 85
УДК 517.3(083.5)
АННОТАЦИЯ
В книге изложены правила вычисления интегралов, как
простых, так и кратных, и даны правила численного
нахождения интегральных преобразований Фурье и Лапласа и
правила обращения преобразования Лапласа.
Чтобы облегчить выбор правила интегрирования,
даются описания идей, лежащих в основе построения
отдельных правил, что позволяет судить об условиях, при которых
взятое правило может дать хорошую точность результата.
Приведен достаточно полный перечень вычислительных
формул и даны таблицы численных значений
коэффициентов и абсцисс, содержащихся в них.
Книга предназначена для лиц, занимающихся приложе
ниями или теорией численного интегрирования, для
преподавателей вузов, работников вычислительных центров и
научно-инженерных институтов, аспирантов и студентов. Она
будет полезным пособием для всех лиц, которым приходится
иметь дело с научными и техническими расчетами.
9-БЗ 18-65

Предисловие
ОГЛАВЛЕНИЕ
7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Глава 1. Формулы приближенных квадратур и принципы их построения . • • • 9
§1.0 виде интеграла и квадратурной суммы 9
§ 2. О принципах выбора коэффициентов и абсцисс квадратурной формулы 10
Глава 2. Интегрирование функций, заданных таблично. Интерполяционные
квадратуры 12
§ I. Об условиях построения приближенной квадратуры. Остаток ... 12
§ 2. Интерполяционные методы вычисления интеграла по значениям
функции. Правила Котеса 15
§ 3. Правила интегрирования, имеющие степень точности ниже
интерполяционной 21
§ 4. Квадратурные формулы с пропущенными узлами 24
§ 5. Правила интегрирования, в которых используются значения
функции и производных 28
Глава 3. Правила интегрирования, имеющие наивысшую степень точности ... 34
§ 1. Вычисление интеграла по значениям функции 34
§ 2. Формулы частного вида 36
§ 3. Правила вычисления интеграла по значениям функции и
производных 43
Глава 4. Правила квадратур с несколькими заранее заданными узлами .... 44
§ 1. Некоторые общие результаты 44
§ 2. Правила частного вида 46
§ 3. Вычисление интеграла по значениям функции и производных .... 49
Глава 5. Квадратурные формулы с равными коэффициентами 51
§ 1. Возможность построения формулы и нахождение ее узлов 51
§ 2. Формулы частного вида 52
Г л а в а 6. Увеличение точности правил интегрирования и улучшение сходимости
квадратурного процесса 54
§ 1. О содержании задачи увеличения точности квадратуры 54
§ 2. Увеличение порядка дифференцируемости /и устранение ее особенностей 57
§ 3. Разложение эйлерова вида остаточного члена квадратурной формулы 59
§ 4. Увеличение точности правила интегрирования в случае существования
короткого главного участка интегрирования в интегральном
представлении остаточного члена 65

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Улучшение сходимости последовательности приближенных значений
интеграла 67
Глава 7. Численное преобразование Фурье 72
§ I. Численное преобразование Фурье функции, заданной таблично .... 72
§ 2. Замечание о приведении к квадратурам, имеющим наивысшую
алгебраическую степень точности 82
§ 3. О способах вычисления, основанных на приближении функции
рациональными дробями 84
Глава 8. Численное обращение преобразования Лапласа. Преобразование Мел-
лина 87
. § I. Приведение интеграла Меллина к простейшему виду. Условия выбора
параметров квадратурной формулы 87
§ 2. Правило наивысшей степени точности 90
§ 3. Правила вычислений с равными коэффициентами 91
§ 4. Интерполяционный метод 92
Глава 9. Интегрирование периодических функций 94
§ 1. О задаче интегрирования периодической функции 94
§ 2. Интерполяционные правила интегрирования 94
§ 3. Правила вычислений, имеющие наивысшую тригонометрическую степень
точности 96
Глава 10. Сходимость процесса приближенной квадратуры 93
§ 1. Содержание и значение для приложений проблемы сходимости 93
§ 2. Сходимость интерполяционного квадратурного процесса 99
§ 3. Сходимость общего квадратурного процесса в классах непрерывно
дифференцируемых функций 102
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Глава 11. Расчетная формула и устойчивость вычислений относительно роста
погрешности 105
§ 1. Содержание задачи и правило вычислений 105
$ 2. Признак устойчивости правила вычислений относительно роста
погрешности 106
Глава 12. Интегрирование функции, заданной таблично 10S
§ 1. Вычисления в точках, не близких к началу и концу таблицы 103
§ 2. Вычисления вблизи начала и конца таблицы 103
Глава 13. О некоторых правилах интегрирования, имеющих наивысшую алгебраи-
ческую степень точности ПО
$ 1. О принципах построения правил вычисления И)
§ 2. Правила вычислений, в которых каждое значение функции используется
на нескольких шагах « . . . . 111
$ 3. Правила вычислений, в которых используются несколько предшествующих
значений интеграла ' 114
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Глава 14. Построение формул кратного интегрирования 117
§ 1. Содержание задачи . - . . 117
§ 2. Повторное применение квадратурных формул 118
§ 3. Построение кубатурных формул на основе интерполяционных многочленов 122

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 4. Об общей задаче выбора параметров в правиле вычисления кратных
интегралов 125
§ 5. Симметричные кубатурные формулы 126
Глава 15. Перенесение правил интегрирования на другие области 127
§ 1. Преобразование одной области интегрирования в другую 127
§ 2. Метод декартовых произведений • 129
§ 3. Формулы для конечных конусов 131
Глава 16. Формулы для вычисления кратных интегралов 132
§ 1. Введение 132
§ 2. Таблицы кубатурных формул 134
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Глава 17. Таблицы абсцисс н коэффициентов для правил вычислений, имеющих
наивысшую алгебраическую степень точности 158
Таблица 1. Вычисление интеграла в случае постоянной весовой функции. 158
1
Таблица 2. Вычисление интеграла J x*f (х) dx при целом показателе сте-
О
пени « =» 1(1)5 163
Таблица 3. Интегрирование функций» имеющих степенную особенность:
1
I х*1{х) dx, а = — 0,9(0,1)3, а ф 0, 1, 2, 3 166
0
1
Таблица 4. Вычисление интегралов вида: J хл (1 — х)а? (х) dx, а =»
О
= — 0,9 (0,1) 3, а Ф 0 184
Таблица 5, Интегрирование функций, имеющих логарифмические и сте-
1
пенные особенности: \ ха Ig—f {x) dx 195
0
Таблица 6. Численное преобразование Лапласа и вычисление интеграла по
со
полуоси с весом Чебышева — Лягерра: J xs e~xf (x) dx . . 205
0
со
Таблица 7. Вычисление интеграла J *s e~xf (x) dx в случае функции
О
f(x), ограниченной на полуоси 0 < х < со 251
Таблица 8. Вычисление интеграла по оси (— со, -f со) с весом Чебыше-
со
ва — Эрмита: J e~x*f (x) dx 252
—со
Г л а в а 18. Таблицы абсцисс и коэффициентов для квадратурных формул, содержащих
заданные узлы и имеющих наивысшую степень точности 255
Таблица 9. Абсциссы и коэффициенты для правила интегрирования-
1 л
I f (х) dx ж Aof (0)+ 53 Akf (*k) 255
о h~i

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
Таблица 10. Абсциссы и коэффициенты для правила интегрирования:
со * п
I e~xf {х) dx » A0f (0) + 2 Akf <*Л> • 256
0 £=1
Таблица 11. Абсциссы и коэффициенты для правила интегрирования:
1 п
I f (х) dx « A0 [f (-1) + f (1)] + S Ак\ (хк) '258
-1 к=\
Глава 19. Таблицы для численного преобразования Фурье 250
Таблица 12. Синус-преобразование Фурье. Абсциссы и коэффициенты для
правила интегрирования:
со п
\ (J + sin х) Ф {Х) dx ж У Ak — 259
Таблица 13. Косинус-преобразование Фурье. Абсциссы и коэффициенты
для правила интегрирования:
С Ф (х) VI ф \xk>
) (1 + cosx) ww dx » 2j л* Ч- 268
Глава 20. Таблицы для численного обращения преобразования Лапласа 277
Таблица 14. Узлы и коэффициенты для правила вычисления:
е-Н'оо п
—г I р-ЧР* (p)dp^ 2 Ak*(Pk) 277
С—/00 k^l
Таблица 15. Таблица высокой точности узлов и коэффициентов для
обращения преобразования Лапласа в случае s = 1 319
Таблица 16. Значения координат узлов для правила вычисления с равными
коэффициентами:
z-\-ico n
1 р еР 1 VI
jL. } — ф<р)</р«-±- 2j»(pa) 323
с—/со Л=1
Библиография по численному интегрированию 324
Библиографический справочник по таблицам узлов и коэффициентов для правил
приближенного вычисления интегралов 361

ПРЕДИСЛОВИЕ
Интегрирование является одной из самых распространенных математических
операций. За два последних десятилетия значение вычислений очень сильно возросло
во многих областях деятельности людей — научной, технической, организационной
и т. д. Усилился и интерес к тому, чтобы научиться достаточно точно и с возможно
малой затратой труда находить численные значения многообразных видов интегралов,
с которыми приходится встречаться в самых разных вопросах.
Появилось много исследований по численному интегрированию, в частности,
опубликовано большое количество вспомогательных таблиц. Они разбросаны по
многочисленным статьям, напечатанным в специальных журналах, и известны, чаще
всего, только узкому кругу людей, которые постоянно следят за развитием теории
вычислений.
Чтобы сделать все эти результаты доступными для использования,
необходимо было собрать их в одной книге вместе с некоторыми классическими
результатами.
Мы хотели написать книгу, где были бы изложены не только основные
результаты теории численного интегрирования, но которая могла бы принести пользу
в практической счетной работе и содержала нужные для этого правила и
таблицы.
Этим в значительной мере определился выбор содержания книги. Мы не
стремились к энциклопедической полноте. В книгу включены только те вопросы численного
интегрирования, которые, по нашему мнению, наиболее часто встречаются в реальных
вычислениях. Эти вопросы мы хотели дать с возможно большей полнотой.
Мы далеки от мысли, что сделанный нами выбор является безупречным. Наша
практика счетной работы ограничена, мы могли ошибиться и будем благодарны всем,
кто пожелает дать советы по улучшению содержания книги.
Универсальных методов численного интегрирования практически не существует,
и лицо, составляющее план вычислений, должно будет среди многих известных
правил интегрирования избрать какое-либо одно. Но каждое правило рассчитано на
вычисление интегралов с определенными свойствами и может дать
удовлетворительный результат только в том случае, если интеграл, подлежащий вычислению, этими
свойствами обладает.

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Чтобы правильно сделать выбор, необходимо знать условия, при которых
каждое правило может дать хороший по точности результат. Поэтому мы полагали, что
в книге обязательно должны содержаться три следующих элемента:
1. Достаточно полный перечень правил интегрирования.
2. Краткое описание идей, положенных в основу построения каждого правила.
Оно позволит выяснить условия, при которых взятое правило рационально
применять, и облегчит задачу выбора правила.
3. Численные таблицы, необходимые для практического применения правил.
Мы считали полезным включить в книгу библиографию по численному
интегрированию. Она была доведена нами до половины 1962 г.
Часть третья книги и библиография составлены Л. Т. Шульгиной. Остальное
написано В. И. Крыловым.
Наши товарищи по работе — Н. С. Скобля, Л. Г. Кругликова, А. А. Пальцев,
Н. П. Феденко и Т. К. Арлюк много помогали нам в вычислениях,
библиографической работе и в подготовке рукописи книги. Мы приносим им глубокую
благодарность.
Особую благодарность мы приносим Н. С. Скобля и Л. Г. Кругликовой за то,
что они разрешили нам воспроизвести в книге составленные ими таблицы для
численного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа. Эти таблицы
составили главу 19 и большую часть главы 20 книги.
Институт Математики В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина
Академии наук БССР
Минск

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
ГЛАВА 1
ФОРМУЛЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ КВАДРАТУР И ПРИНЦИПЫ
ИХ ПОСТРОЕНИЯ
§ 1. О виде интеграла и квадратурной суммы
В первой части книги будет рассматриваться задача нахождения численного
значения определенного интеграла
ь
(p(x)f(x)dx (а<Ъ). (1.1.1)
а
Отрезок интегрирования [а, Ь] может быть любым, р (х) есть заданная функция,
называемая «весом». Выделение ее из интегрируемой функции F (х) = р (х) f (x)
позволяет во многих случаях повысить точность вычисления. В границах этого
параграфа достаточно считать *)р (х) любой интегрируемой функцией с конечным или бес-
ь
конечным значением интеграла и такой, что \ | р (а) | dx > 0. Функция / (х) может
а
быть произвольной функцией с конечными значениями, для которой интеграл имеет
смысл.
Многие методы приближенного интегрирования, которые будут изложены ниже,
основаны на возможности приближения функции / (х) алгебраическими или
тригонометрическими многочленами или рациональными функциями. Точность такого
приближения, как известно, зависит от порядка гладкости / (х). В разложении на
множители F (х) = р (х) f (x) функцию / (х) стремятся выбрать так, чтобы она
обладала достаточно высоким порядком дифференцируемое™ или была аналитической
функцией, особые точки которой лежат вдали от отрезка [а, Ь]. Что же касается
весовой функции р (л-), то она должна содержать все «особенности» интегрируемой
функции F (х) и быть по возможности простой.
В достаточно общем виде квадратурная формула, служащая для приближенного
вычисления интеграла, может быть записана так, как указано ниже. В области
определения функции / (а-), которая может быть шире отрезка [а, Ь), рассмотрим систему
*) Если интеграл (1.1.1) понимается в лебеговом смысле, то р (х) достаточно
считать измеримой функцией, не эквивалентной нулю.

10 ФОРМУЛЫ ПРИБЛИЖЕННЫХ КВАДРАТУР [ГЛ. i
точек Хц (i — 1, 2 /у, / = 0 т) и построим приближенное равенство
^P(x)f (x)dx ^22 v(/) (v=Q {f)- (1 -li2)
a /sso/=i
В широком круге задач естественно считать, что абсциссы, или узлы Хцформулы,
лежат на отрезке интегрирования [а,Ь]. Мы не ввели такое предположение заранее,
так как при выяснении идей построения формул вида (1.1.2) оно является
необязательным и существует ряд задач, когда привлечение точек Хц> лежащих вне [a, b]t
может повысить точность вычислений. К таким задачам в некоторых случаях
приводит проблема интегрирования функций / (л*), аналитических на [a, b] или имеющих
высокий порядок гладкости в области, содержащей [a, b] внутри себя.
Обозначим п число слагаемых в квадратурной сумме Q (/):
п - пщ + . . . + пт.
Формула (1.1.2) содержит 2 п параметров Хц пАц. Однако не все они могут быть
заданы произвольно. Число параметров каждого вида, остающихся произвольными, так
же как и области их изменения, зависят от условий, в которых строится формула
(1.1.2). Например, если ищется формула, предназначенная для вычисления
интеграла в том случае, когда известна таблица значений / (х) и производных от нее,
естественно считать, что абсциссы Хц берутся из числа табличных значений аргумента.
В этом случае мы либо совсем лишены права выбора Хц, либо имеем только конечное
число возможных комбинаций значений Хц. Коэффициенты же Ац остаются, вообще
говоря, произвольными, и мы можем в основу выбора их положить любые принципы.
Если же мы рассматриваем задачу об интегрировании функции / (лг), определенной
каким-либо аналитическим выражением, когда значения ее в точках Хц неизвестны
и подлежат нахождению, в равенстве (1.1.2) естественно считать произвольными не
только коэффициенты Ац, но и абсциссы Хц и воспользоваться возможностью выбора
всех параметров для увеличения точности результата вычислений. Мы ограничимся
указанием на эти два примера условий, которые могут быть поставлены при выборе
Ац и Хц в равенстве (1.1.2).
§ 2. О принципах выбора коэффициентов и абсцисс
квадратурной формулы
Ниже будут изложены некоторые из соображений, которыми руководствуются
при выборе параметров Ац и Хц. Один из возможных путей выбора, приведший к
плодотворным результатам в широком классе случаев, состоит в стремлении увеличить
порядок, или степень точности равенства (1.1.2). Поясним идею его сначала на двух
частных примерах.
Допустим, что отрезок интегрирования [а,Ь] имеет конечную дли ну. Известно, что
на любом конечном отрезке непрерывную функцию всегда можно равномерно со сколь
угодно высокой точностью приблизить при помощи алгебраического многочлена.
При этом погрешность приближения может быть, очевидно, сделана тем меньшей,
чем более высокой степени многочлен будет взят. Поэтому те параметры Ац и Хц в
(1.1.2), выбором которых можно распоряжаться, стремятся избрать так, чтобы это
равенство было точным для алгебраических многочленов достаточно высокой степени.
Можно ожидать, что (1.1.2) даст тогда хороший по точности результат при
интегрировании многих непрерывных на [a, b] функций. Обычно говорят, что равенство имеет
алгебраическую степень точности kf если оно верно для всех алгебраических много-

2j КОЭФФИЦИЕНТЫ И АБСЦИССЫ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ Ц
членов степени k и не верно для / = хк*1. Указанный путь выбора параметров есть
путь повышения степени точности.
Пусть теперь рассматривается интеграл \ р (x)f (x)dx, в котором / (.г) является
о
2я-периодической функцией. При построении для него приближенной квадратурной
формулы (1.1.2) параметры Ац и х^ естественно выбирать так, чтобы формула была
точной для тригонометрических многочленов достаточно высокой или даже
наивысшей возможной степени.
В достаточно общем виде задача построения квадратурных формул высокого и
наивысшего порядка точности может быть высказана в следующих словах.
Пусть дано множество F функций / (а-). Выберем систему линейно независимых
функций (*)k (x) (k — О, 1, . . .) так, чтобы для любой функции / (а-) и всякого 8 > О
п
существовала такая линейная комбинация Srt(x) = ]£] aktok (х), что разность меж-
ь ь
ду интегралами \ р (х) f (x)dx и \ р (х) Sn (x) dx по абсолютной величине стала
а а
меньше заданного е. При этом, очевидно, указанная разность может быть сделана
тем меньшей, чем большим будет взято п.
Можно ожидать, что формула (1.1.2) даст тем более высокую точность при вы-
ь
числении интеграла \ pf dx, чем для большего числа первых функций <ok (x) она
а
будет давать верный результат.
Подобно предыдущему, говорят, что равенство (1.1.2) имеет порядок точности s,
если оно верно для / = сол (k = 0, 1, . . . , s) и не верно при / = cos+1.
Изложенные наглядные соображения весьма просты и могут иметь только
наводящее значение. Но все же они позволяют указать один из возможных путей для
построения квадратурной формулы: параметры Ац и Хц можно стремиться выбрать
так, чтобы равенство (1.1.2) имело возможно высокий порядок точности.
Особый интерес имеют такие квадратурные формулы (1.1.2), которые при
фиксированных т и п, (/ = 0, 1, . . . , т) имеют наивысший порядок точности. Их обычно
называют квадратурными формулами гауссова типа. Такое название принято потому,
что впервые формула наивысшей степени точности была построена Гауссом.
Укажем еще на один общий принцип выбора абсцисс и коэффициентов формулы
(1.1.2). Он многократно применялся в исследованиях в последние десятилетия, но,
по-видимому, еще не привел к значительным вычислительным приложениям. Погреш-
ь
ность приближенного интегрирования / (л-) равна разности R (f) = \p (x) f (x) dx —
а
— Q (/). За величину, характеризующую точность формулы для всего класса F,
может быть принята следующая верхняя грань:
/? = sup|/?(/)|.
Она зависит от Ац и Хц. Эти параметры выбирают так, чтобы R имела наименьшую
возможную величину. Значения Ац и Хц, при которых R достигает минимума, были
найдены лишь в небольшом числе простых случаев.

12 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНО [ГЛ. 2
Необходимо указать еще на одно условие, которому должен быть подчинен выбор
коэффициентов Ац формулы (1.1.2). При вычислениях значения /(/) (хц), входящие
в формулу, бывают известны или находятся приближенно на определенное число
верных значащих цифр. Погрешности этих значений вызовут ошибку в вычислении
суммы, стоящей справа в (1.1.2). Пусть, для простоты записи, величины /(/) (хц)
вычислены одинаково точно, с ошибкой, не превосходящей г. Тогда погрешность
вычисления суммы должна быть оценена величиной e^Jl АуЬ Если сумма ][] | Ац |
велика, погрешность может достичь большого значения и сильно уменьшить точность
вычисления интеграла. Поэтому при построении квадратурных формул обычно
стремятся выбрать коэффициенты Ац так, чтобы сумма их абсолютных величин была по
возможности малой.
ГЛАВА 2
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНО.
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ КВАДРАТУРЫ
§ 1. Об условиях построения приближенной квадратуры. Остаток
В границах этой главы весовую функцию р (х) будем считать такой, чтобы была
обеспечена абсолютная сходимость интегралов, записываемых ниже. На знак р (х)
не налагается никакого ограничения.
Мы будем считать, что известна таблица значений как самой функции / (х), так
ь
и ее производных до некоторого порядка и для вычисления интеграла \pfdx мы
а
можем пользоваться только табличными значениями Д Г, . . . Для построения
формулы (1.1.2) можно произвольно избирать коэффициенты Ац, что же касается абсцисс
Хф то они могут быть взяты только из числа табличных значений аргумента х.
Пусть Хц выбраны. Для определения коэффициентов Ац можно исходить из
некоторой системы линейно независимых функций cos (x) (s = 1, 2, . . .) и требовать,
чтобы равенство (1.1.2) точно выполнялось для некоторого числа р < п = Inj
первых функций <о$:
ft m п!
\ р (х) ю, (х) Же = 2 S ЛАП (*//> (* = 1, 2, ..., Р). (2.1.1)
Эти равенства можно рассматривать как систему р линейных уравнений с п
неизвестными величинами Ац. Чтобы из нее можно было найти р величин Ац, мы должны
считать, что ранг матрицы, составленной из коэффициентов со^ (хц) (s = 1, 2 р),
равен числу р. Это условие является формальным требованием, которое следует
предъявить к выбору функций cos. Всюду ниже оно считается выполненным, п — р
коэффициентов остаются произвольными и их значения должны быть найдены из
дополнительных условий.

5 !] ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННОЙ КВАДРАТУРЫ. ОСТАТОК 13
Особый интерес представляет случай, когда р =п и число уравнений (2.1.1)
совпадает с числом коэффициентов А^. Тогда все Ац определятся однозначно из системы
(2.1.1). Формулы этого вида называются интерполяционными. Такое название
вызвано следующей связью между квадратурной формулой (1.1.2) и задачей интерполи-
п
ровання. Образуем линейную комбинацию первых п функций cos: Sn(x) = ^] astos (x).
s=i
Интерполируем после этого функцию / (а-) при помощи Sn (x) по условиям:
SlP (*,/> = SW* (*//> = fU) (*//> (/ = 0,1, . . ., m; / = 1, ..., л,). (2.1.2)
Равенства образуют линейную систему уравнений относительно as. Определитель ее
совпадает с определителем системы (2.1.1) для р = п и будет отличен от нуля по
сделанному предположению. Обозначив г (х) погрешность интерполирования
т п\
r(x) = f (х) - Sn (х) = / W - J 2 h W fU) (*,/>•
мы для интеграла будем иметь следующее точное представление:
ь . ъ ъ
jj p(x)f(x)dx = ^p(x)Sn(x)dx + ^p(x)r(x)dx =
а а а
т nj Ь
= S 2 V(/) <*//>+*' *=S* мr м**• (2Л-3>
/=0 /=-1 а
Отбросив здесь неизвестный остаток R, построим правило приближенной квадратуры:
ywt (x)dx« 2 S V(/) <*/A (2Л-4)
Л,,-^*)!,, (*>**• (2.1.5)
a
Оно будет совпадать с (1.1.2) для р = я ввиду того, что Л/ув (1.1.2) определяются при
р =-■ п однозначно. Коэффициенты (2.1.5) характеризуются тем, что равенство (2.1.4)
выполняется точно для первых п функций cos (a-) (s = 1,2,..., /z).
Формулы такого вида широко применяются при интегрировании таблично
заданных функций или используются для построения других, более сложных формул,
применяемых для этой цели.
Укажем на представление остатка R квадратурной формулы (2.1.4),
рассчитанное на функции / (лг), непрерывно дифференцируемые п раз.
Предположим, что определитель Вронского
№((Di,CD2, ' • •»(0л) =
0)1 <Х>[ . . . ©{Я-1}
(Оп О,, . . . <0п

14 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНО [ГЛ. 2
не обращается в нуль нигде на отрезке интегрирования [a, b\t и рассмотрим
линейный дифференциальный оператор порядка п:
Ш-w-i
(01
со^-^со^»
со. . . . со<Г>аГ
У
у(П-1)у(П)
Обозначим у (х, s) решение однородного уравнения L (у) = 0, удовлетворяющее
начальным условиям в точке х = s:
у{/) [х==5 = 0 (/ = 0,1,, . ., л - 2), у<п~1) |х^. = 1, (2.1.6)
и введем п решений уц (х) (j = 0, 1, . . . , т\ t = 1,2 nj) того же уравнения
с начальными значениями:
М) (Х ч в а' 0/0/ g* Г *» г - s»
? = 0, 1, . .., т\ р = 1, 2, . . ., п/, / = 0, 1, .
., т.
Ввиду предполагаемого неравенства нулю определителя системы (2.1.2), Уц(х)
линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения
L (у) = 0.
Для остатка г (а-) интерполирования может быть построено*)следующее
выражение через функцию / (х):
т nl *
' (*) = 2 2 У и (*) ) У{,) (*//. *) ^ (/ W) *• (2.1.7)
Отсюда сразу же получается представление остатка R квадратуры:
b Ь ,
R - ^ L (/ (s)) 2 #( 7) (*//. *) J Р (*) % (*) [£ (* - s) - £ (*/у - s)] dx ds,
а Ц а
1
£(*) = -у [sign* + l]. (2.1.8)
6
Или, так как ^ р (х) уц (х) dx = Ац и 2 У(/) (*«/» s) У// <*) = У (*. 5)>
а «•/
Ь Ь
Я - ) £ [/ W] {J Р W У U, s) ^ - 2 Л<7£ <*// - s> ^ <*//• s>} rfs- (2-1 -9)
а s //
Ядро в этом интегральном представлении остатка R, стоящее в фигурных скобках
под знаком интеграла, является погрешностью приближенной квадратуры функции
у (дг, s) £ (х — s).
*) Е. Я. Ремез [I—3J, Knesch ke [1-2].

§2J
ПРАВИЛА КОТЕСА
15
§ 2. Интерполяционные методы вычисления интеграла
по значениям функции. Правила Котеса
В этом и двух следующих параграфах будут рассматриваться правила
приближенного интегрирования, позволяющие вычислить интеграл по нескольким
значениям функции f(x):
\p(x)f (x) dx «. 2 A J (xk) + R. • (2.2.1)
a
Эта формула отвечает случаю т = О в (2.1.1). Равенство (2.2.1) считается
интерполяционным. Среди формул такого вида наибольшее значение в приложениях
приобрели те, для получения которых выполняется алгебраическое интерполирование
функции / (л-) по ее значениям в точках xk (k = 1, 2, . . . , п). Мы остановимся сейчас
на правилах приближенных квадратур только этого вида. Методы квадратур,
основанные на неалгебраическом интерполировании, будут рассмотрены ниже, в главах,
посвященных вычислению интегралов специального вида.
Линейная комбинация Sn (x), интерполирующая функцию f (x), здесь будет
алгебраическим многочленом степени п — 1:
п
5,W"^-y.'WW eoW-(*-„).•■(*-*„)■
Коэффициенты же Ak могут быть получены при помощи интегрирования
интерполяционных множителей Лагранжа:
ь
Ak = [со' (*л)]-1 \о (х) со (х) (х — xk)'4x. (2.2.2)
а
Квадратурные формулы с коэффициентами вида (2.2.2) характеризуются требованием,
чтобы равенство (2.2.1) выполнялось точно всякий раз, когда f (х) есть произвольно
взятый алгебраический многочлен степени, не большей п — 1.
Выражения для остаточного члена R формул (2.2.1), (2.2.2) легко получаются
из многочисленных известных представлений остатка алгебраического
интерполирования по значениям функции. Так, если воспользоваться выражением остатка через
среднее значение производной порядка п, для R мы будем иметь следующее
представление:
ь
R = (я!)-* jj р (х) со (х) f{n) (I) dx. (2.2.3)
а
В интегрируемой функции величина £ зависит от значения переменной х. Общая же
формула (2.1.9) для остатка в рассматриваемом случае принимает следующий вид:
- у{п) ^ {)р <*> (ii-i)i dx - 2 Ai (/i-Di E <** - s>} *• <2-2-4)

16 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНО [ГЛ. 2
Каждая интерполяционная формула (2.2.1) — (2.2.2) определяется
расположением узлов X; (i = 1, . . . , п). Простейшим и основным случаем будет тот, когда
функция / (а-) дана в равноотстоящих точках. Пусть отрезок интегрирования [а, Ь]
конечный и предположим, что он разделен на п равных частей длины h = ——— Бу-
п
дем считать, что интегрируемая функция / (х) известна в точках xk = а + kh. Если
все xk (k — 0, 1, . . . , п) без исключений принять за узлы квадратурной формулы,
то формула будет иметь следующий вид:
J p(x)/(*)<**» 2 AJ(a+kh),
a fc=o
n-k
Ak = (b-a)Bk = (b-a) nkl(n_k)]
y(a + ht)
t — k
dt.
(2.2.5)
Числа Bk, определенные последним равенством, не зависят от промежутка
интегрирования, и для них могут быть составлены таблицы значений в случае наиболее часто
встречающихся весовых функций р (х).
Равенство (2.2.5) называют часто формулой котесова вида. Остановимся более
подробно на случае постоянной весовой функции р (х) = 1:
y(x)dx = (b-a) 2 BJ(a + kh) + R.
a fc=o
(2.2.6)
Котесом были вычислены Вк для п = 1 (1)10. Числа, найденные им и после него
другими авторами, приведены ниже:
л = 1
/1 = 2
п = 3
л = 4
л = 5
« = 6
а = 7
р(*) = 1.
Во = Bi = -к-;
1
Бо = ^2 = "g~,
Bq = Вз = -g~,
Во = #4 = "go*,
D D 19
Во = Вь = 23g,
о D 41
В0 = Вб = g^Q,
751
£o = B7 = п 280,
a = -<p
Bi = £2 = -g*;
n D 32 n 12
* = &=» "go- B2== 90;
75 50
Bi = ^4 = 288, Я2 = £з = 288; •
216 27 272
Bi = Bb= g^Q, #2 = #4 = 840, Яз = g^j;
3577 1323
£i = Яб = 1У280 ♦ & e *»e ТГ280»
£3 = £4 == Т7Г9СП

§ 2]
ПРАВИЛА КОТЕСА
17
989 5888 928
/2-8 £0 = В8 =-^^з^, #1 = Я? = 28 350' Вг= Бб=="~28350 •
10496 ^ 4540
Вз = В'0= ОУ огл , В* =
28 350» и*~ 28 350'
2857 л 15 741 1080
Во=В9 — 89 600, Bi = Bs - 89 6(Х), Ба-Б7=89 6(Х),
о _ д _ 19 344 я __ д _ 5778
Вз - Bq - 89 600, £4 _ #5 _ gg 600;
16 067 106 300 '48 525
п = 10 Во = В10 = 598752, Bi= В9 = 598752 , В2 = В8 = - 598752",
272 400 __ 260 550 427 368
Вв-В7- 598 ?52 , В4- £8 - - 598 ?52, В5- 598 752 .
Для п=11 (1)20 коэффициенты формулы Котеса равны дробям, числители и
знаменатели которых есть числа с многими знаками. Для упрощения записи мы пред-
Nb
ставляли Bk в виде Bk = ~ и на стр.18—19 привели таблицы значений Nk и D.
Если число узлов п + 1 в формуле Котеса (2.2.6) нечетное, то алгебраическая
степень точности формулы равна п+ 1 и остаток R ее представим в виде
tf = jj/('l+2>(A-)K(*)dx,
а
п
KW = |fw^^TT)r 2 BkE(a + kh-x)(a + kh-x)™. (2.2.7)
При этом К (х) < 0 (а < х < 6).
На отрезке [а, 6] существует число % такое, что для R верно равенство
(п + 2)! J
со (х) = (я — а) (х — а — h). .. (х — а — n/i)
(2.2.8)
и множитель \я;<о(я)с/# отрицателен.
а
Если же число узлов п + 1 четное, то алгебраическая степень точности (2.2.6)
равна п. Для остатка 7? имеет место представление:
ъ
/г+1
'-J/^W^W^^w--^^
AlliL ^ ^(а + М-хНа + М-х)"
и К(*)<0 [а<*<6].

18 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНО СГЛ. 2
k
О
1
2
3
4
| 5
О
1
2
3
4
j 5
6
О
1
2
3
5
6
7
о
1
2
3
5
6
7
8
"к - *Л-Л
Я = 11
+ 2 171 465
+ 13 486 539
- 3 237 из
+ 25 226 685
— 9 595 542
+ 15 493 566
D = 87 091 200
а = 13
+ 6 137 698 213
+ 42 194 238 652
- 23 3*1 540 993
+ п6 778 274 403
—ИЗ 219 777 650
+ 154 424 590 209
—• 32 об7 978 834
D =з01 771 оо8 ооо
/1=15
+ Ю5 93° °^9
+ 796 66i 595
— 698 8о8 195
+3 ИЗ 332 755
—4 688 522 055
+7 385 654 007
—6 ооо 998 415
+3 056 422 8i5
0=6 199 345 152
я=17
+ 55 294 720 874 &57
+ >50 185 515 44<> 285
— 542 023 437 оо8 852
+ 2 428 636 525 7^4 2бо
— 4 768 9i6 8оо из 44°
+ 8 855 4i6 648 684 984
—ю 905 371 859 796 66о
+ ю 069 615 75° 132 836
— 3 759 785 974 054 070
D = з 766 Ю2 179 840 ооо
k
0
1
2
3
5
6
0
1
2
з
5
6
7
0
1
2
3
4
1
1
8
0
1
2
3
4
5
. 6
7
8
9
"k - »n-k
П = 12
+ i 3*4 65i
+ 9 9°3 168
- 7 587 864
+ 35 725 120
- 5i 491 295
+ 87 516 288
- 87 797 136
1 Z>= 63 063 000 1
/2 = 14.
+ 90 241 897
+ 710 986 864
— 770 720 657
+ 3 501 442 784
— 6 625 093 363
+ 12 630 121 616
— 16 802 270 373
+ 19 534 438 464
D = 5 003 856 000
n = 16
+ 15 043 611 773
+ 127 626 606 592
~ 179 731 134 720
+ 832 211 855 360
— 1 929 498 607 520
+ 4 177 588 893 696
— 6 80b 534 407 936
+ 9 368 875 018 240
—lo 234 238 972 220
D = 976 924 698 750
n= 18
+ 203 732 352 169
+ 1 848 730 221 900
- 3 212 744 374 395
+ 15 529 830 312 096
— 42 368 630 685 840
+ 103 680 563 465 808
—198 648 429 867 720
+319 035 784 479 840
—419 127 951 114 198
+461 327 344 340 680
D = 15 209 113 920 000

§ 2J
Правила котёсА
19
Продолжение
k
О
1
2
3
4
5
6
7
8
9
"к = "л-А
п = 19
4- 69 028 7&3 х55 644 023
ч + боз 652 о82 270 8о8 125
— 926 840 515 700 222 955
+ 4 301 5?1 538 450 5°° С95
—ю 343 692 234 243 192 788
+22 ЗЗ6 420 З28 479 9^1 З16
—35 ЗЗ1 888 42* 1Ц 781 580
+43 92° 768 370 565 135 5§о
—37 о88 37° 2bi 379 851 39°
+ 15 148 337 305 92* 759 574
D= 5 377 993 912 811 520 0°о
к
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
"к = "„-*
П = 20
+ 19 470 цо 241 329
+ 187 926 °9° 38о ооо
- 389 358 194 177 5©о
+ 1 985 9*>9 159 34° о00
— 6 208 948 835 889 375
+ 17 019 387 776 517 5©4
— 37 389 734 671 290 ооо
+ 68 869 287 574 З20 о°°
—105 499 ОН 8i3 7°i 25° 1
+136 324 52i 798 44° 0°о
—148 192 526 6о7 28о 936
D = 1 646 485 441 о8о 480
!{п+1) (I) С
г (I) I
На [а, Ь] существует точка | такая, что R = ~У^1Г~{уг \ ш (x)dx. Множител
о
со (x)dx отрицателен.
По причинам, которые будут выяснены ниже, в приложениях применяются
формулы Котеса, отвечающие небольшим значениям п. Ниже приведены наиболее
употребительные из них.
При п = 1 равенство (2.2.6) будет иметь вид:
ь
f Ь — а (Ъ — а)г
^ / (х) dx = —g- [/ (a) + f (b)] - -Ц^ Г (Е). (2.2.9)
а
Это есть простейшая формула трапеций. Она имеет малую точность и в таком виде
Ф — а)3
применяется в вычислениях весьма редко. Остаточный член ее R = — —тг}— /" (|)
содержит множителем (Ь — а)3, и если вторая производная /" есть мало изменяющаяся
функция, то при уменьшении длины отрезка интегрирования b — а в k раз, остаток
R уменьшится приблизительно в /г3 раз. Этим можно воспользоваться для повышения
точности результата.
Разделим отрезок [а, Ь] на некоторое число п равных частей длины h = а.
Если простейшую формулу трапеций применить к каждому из частичных отрезков и
сложить результаты, получим следующую «общую формулу трапеций»:
ь
Iе b — а Г 1 , , 1 1 (Ь — а)8 р
у (x)£te ^ —ЙГ— [^-д- /о + л + f, + ,.. + /я-1 + -2" ^я J — —12ЗГ-Г «).
(2.2.10)
tk = f{a+kh).

20 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНО [ГЛ. 2
Тот же способ построения новых квадратурных формул для повышен и я. точности
результата при помощи деления на части отрезка интегрирования применим, очевидно,
к любой квадратурной формуле и в дальнейшем не будет поясняться.
При п = 2 (2.2.6) приводит к простейшему правилу парабол, или формуле
Симпсона
b
? Ь — а (Ь — а\* /(4) (I)
y(x)dx = —Г»[/(а) + 4/(а + Л) + /(«]-(-г-) -^-д^,
(2.2.11)
А = (6 — а)/2, а<Ъ<Ь.
Соответствующая «общая формула парабол» будет
ь
^f(x)dx = l^lh + fn + 2(h + h + ... + fn_2) +
а
+4 (h + /з+. • • + fn-i)] - {\mf fu) (l). (2.2.12)
180/1*
Число п считается четным.
Для п = 3 из (2.2.6) получается ньютоново «правило трех восьмых» в его
простейшем виде: .
ь
J f(x)dx=*
а
Л = (6-а)/3, а<£<&.
«Общее правило трех восьмых» имеет следующую форму:
ЗА
f Wdx = -g-[/в+ /л + 2(/в + /в + /9+...) +
а
I
h = (b-a)/n, а<£<6. (2.2.13)
Число /г считается кратным 3.
Из сравнения остаточных членов равенств (2.2.12) и (2.2.13) вытекает, что
погрешность «правила трех восьмых»,вообще говоря, превосходит погрешность формулы
Симпсона приблизительно вдвое, и,поэтому (2.2.13) в вычислениях' применяется реже,
чем (2.2.12). При просмотре приведенной выше таблицы значений коэффициентов Bk
бросается в глаза нерегулярность в распределении их значений. При п = 8 и для
всяких п > 10 среди Bk(k = 0,\,...,n) будут встречаться отрицательные*).
Более того, абсолютные величины Bk будут быстро возрастать при п -* оо для
всякого фиксированного k.
*) С. Н. Б е р н ш т е й н [2].

§ 3]
СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ НИЖЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ
21
[l + 0(\g-*n)] (0<*<л),
Возвратимся на время к общей формуле Котеса (2.2.5). Можно показать *), что
если весовая функция р (х) интегрируема на [а, Ь] и на концах а и b этого отрезка
существуют производные р' (а) и р' ф), то Bk имеют следующие асимптотические
представления при больших п:
В - (-I)*"1*! Гр(0) .И)я P(l)1
* k\ (п - k)\ n lg* n L * л —/г.
(2.2.14)
Аналогичные, но несколько более сложные асимптотические представления для £л
могут быть построены **), если допустить, что р (х) имеет в точках а и b особенности
степенного типа:
р(х) = х*[1 + 0(х)]9 р(л) = (1-*)э[1 + 0(1-*)] (а.Р>—I).
Из(2.2.14) видно,чтопри больших п числаВ^быстро возрастают и числа Bkw Bk+1 будут
иметь, вообще говоря, противоположные знаки.
§ 3. Правила интегрирования, имеющие степень
точности ниже интерполяционной
Указанные в конце предыдущего параграфа особенности коэффициентов Bk
делают формулу Котеса при больших п малопригодной для вычислений.
Чтобы построить квадратурные формулы, не имеющие этих недостатков и
предназначенные для интегрирования функций, заданных в системе равноотстоящих
точек, идут обычно двумя путями. В этом параграфе мы остановимся на первом из них.
Для определенности изложения будем считать, что функция р (х) неотрицательна.
Формула Котеса является интерполяционной, и ее коэффициенты Ak
определяются требованием, чтобы равенство (2.2.5) выполнялось точно для многочленов
степени п. Ослабим это условие и будем считать, что равенство (2.2.5) будет точным для
всех степеней х от нулевой до некоторой степени т, меньшей числа п. Это дает
систему т -f- 1 уравнений для Ak:
\ р (х) xldx = 2 Ч (а + Mtf (/ = 0,1, ..., /и). (2.3.1)
а
Из них могут быть найдены т + 1 чисел Ak, остальные же п — т остаются
произвольными. Выбором их можно, в некоторых случаях, распорядиться так, чтобы все
Ak оказались положительными.
Этим последним требованием произвольные Ак определяются не вполне точно,
и в выборе их еще остается большой произвол. Его используют обычно для того,
чтобы получить формулу с рациональными коэффициентами, имеющими возможно
малые знаменатели, что может упростить вычисления при счете на малых настольных
машинах.
*) Р. О. Кузьмин [2].
**) Н. П. Феде н ко [1].

22 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНО [ГЛ. 2
К квадратурным формулам такого типа принадлежит, по существу дела, общее
правило трапеций (2.2.10) при я> 1, так же как общие правила парабол (2.2.12) и
«трех восьмых» (2.2.13) для п > 3.
Приведем некоторые другие формулы этого вида. Все они относятся к случаю
постоянной весовой функции: р (х) = 1. Потребуем, чтобы равенство
?
y(x)dx= ^AJia + kh)
a k=o
выполнялось для всех многочленов степени п — 1. Соответствующая этому условию
система (2.3.1) будет состоять из я независимых уравнений,Один из коэффициентов Ак
остается произвольным, и полученное правило приближенного интегрирования может
породить серию частных правил.
Произвольный параметр формул, обозначенный буквой а, выбран так, чтобы была
наглядной связь этих формул с правилами Котеса. При а =0 эти формулы переходят
в соответствующие формулы Котеса. При а ф 0 алгебраическая степень точности
формулы равна п —- 1. Для сокращения записи принято обозначение / (а + kh) = fk.
ь
1. /2 = 2,- Jn*)rtc«-ir [(l + a)(/o + to + (4-2a)fi].
а
\
При а = 0 получится правило Симпсона и при а = — - и а = 2 получаются частные
случаи формулы трапеций.
ь
2. « = 3,JfWrfx«-^[(l+o)/o + (3-3a)/i+(3 + 3a)/a + (l-a)/8].
а
Если a = 1, получается правило
ь
fWdxss—g—Wo + bf,],
а
связанное с приближенным интегрированием наивысшей алгебраической степени
точности с одним фиксированным узлом хх = а и одним избираемым узлом х2.
ь
3. /г = 4, jj / (*) dx « -с=р [(7 + a) (/o+ h) + (32-4a) (/i+W+(12 + 6a) /,].
При a = 8 и a = 1/2 отсюда получаются формулы Симпсона с тремя и пятью
ординатами.
Отметим два частных правила:
ь
a=2, yf(x)dx^-~^[9(f0 + h) + 2^(h + h + h)l
a=-l, \f(x)dx^~~[fo + h + n+Q(h+f:
з)Ь

g 3] СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ НИЖЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ 23
Ь
4. /г = 5, ^Мйх«^^[(19 + а)/0+(75-5а)Ь + (50 + 10а)^ +
а
+ (50 - 10а) /, + (75 + 5а) U + (19 - <*) М-
5. n = 6, J/(X)dx»-^£[(41+a)(/0 + W + (216-6a)(/1 + M +
+ (27 + 15а) (ft + f4) + (272 - 20а) f,].
При а = 1 получается формула Уэддля с коэффициентами простой арифметической
природы
J/ (х)dxx^- [/о + 5fc + h + б/» + f« + 5/5 + ft].
a
Укажем еще на две формулы, имеющие простое строение и отвечающие значениям
a = 7 и a = 9:
ь
f (х) dx ж -т- [24 (fo + М + 87 tfi + h) + 66 tf, + /, + «],
a
J/ M^« -^Г l25^ + W +81 Л + f* + h + M + 46W-
a
g
Наконец, при a = — -— получится хорошо известная интерполяционная формула
о ■
Харди, приведенная в § 4.
ь
6. п = 7, jj/(*)tfx« *7~sl [(751 + а)/о+ (3577-7a)/а +
a
+ (1323 + 21a) h + (2989 — 35a) /3 + (2989 + 35a) /4 +
+ (1323 - 21a) h + (3577 + 7a) /. + (751 - a) /7].
ь
7. n = 8, jj / (x) dx » ^50 I(989 + a) tf° + M + <5888 - 8a) ^ + W +
a
+ (28a - 928) (/2 + h) + (Ю 496 - 56a) (f3 + fr) + (70a - 4540) f«J.
Чтобы коэффициенты квадратурной суммы были неотрицательными, достаточно
параметра выбрать так, чтобы было 454 ^ 7а ^ 1312.
Приведем две частные формулы достаточно простого вида, отвечающие значе-
ниям а = 96 и а = ifp:
ь
\ f W dx ~ "fef t217 tf ° + M +1024 tf»+ ^3 + f* + M + 352 tf • + W + 436f* 1

24 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНО [ГЛ. 2
И
ь
f (х) dx » Тз^- [549 (f0 + fe) + 2048 (fx + f7) + 2016 (f, + /e) + 4004f4].
a
Последняя формула является интерполяционной и с ней, как и с формулой Харди,
мы встретимся ниже еще раз в связи с другой задачей.
§ 4. Квадратурные формулы с пропущенными узлами
Второй путь получения интерполяционных квадратурных формул, коэффициенты
которых не имеют недостатков, присущих коэффициентам Котеса, часто связывают
с проблемой сходимости интерполяционных квадрату р.Чтобы сформулировать идею,
положенную в основу построения, возвратимся к квадратурам с произвольным
расположением узлов.
Нас будет интересовать погрешность вычисления интеграла:
Rn = \p(x)f(x)dx- 2 Akf(xk).
Величина ее зависит как от свойств функции / (а-), так и от выбора точек xk.
Будем увеличивать число п абсцисс xk неограниченно. При этом мы допускаем,
что с ростом п будут не только добавляться новые абсциссы, но могут изменяться все
узлы формулы, так что для каждого п узлы xk могут иметь свое расположение на
отрезке [а, Ь].
Можно ожидать, по крайней мере в некоторых случаях, что с увеличением п
точность вычисления интеграла будет возрастать и погрешность Rn будет убывать.
Но будет ли при этом Rn стремиться к нулю, т. е. будет ли возможным приближенное
вычисление интеграла со сколь угодно высокой точностью, и как для этого должны
быть между собой связаны свойства / (х) и закон распределения узлов xk?
В первую очередь представляет интерес исследовать такую задачу для функций,
аналитических на отрезке [a, b], так как такие функции наиболее часто встречаются
в приложениях.
Равноотстоящие узлы оказываются неблагоприятными для вычислений с
высокой точностью. В случае таких узлов можно быть уверенным, что Rn -» 0 при
п -* оо, когда / (а-) будет аналитической функцией, регулярной не только на отрезке
[a, b], но и в некоторой достаточно широкой области около этого отрезка. В главе,
посвященной проблеме сходимости квадратурного процесса, эта область будет
указана точно.
Естественно спросить, можно ли узлы xk (k == 1, . . . , п) выбрать так, чтобы
lim Rn = 0 для всякой функции, аналитической на [a, b]? Сосредоточим внимание
на зависимости Rn от абсцисс xk. Стремление Rn к нулю определяется двумя
фактами: каким будет предельное распределение *) узлов xk на [a, b], если оно существует,
и по какому закону происходит стремление к этому'предельному распределению.
Область около [а, 6], в которой / (л*) должна быть аналитической для того, чтобы
lim/?rt = 0, зависит, оказывается, только от предельного распределения узлов xk.
п ->оо
*) Понятие предельного распределения будет выяснено подробно в гл. 10.

§ 4] КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ С ПРОПУЩЕННЫМИ УЗЛАМИ 25
Когда рассматриваются любые функции, аналитические на [а, Ь], то на размеры
области регулярности их около [а, Ь] не налагается никаких ограничений, и она
может быть сколь угодно узкой. Для всех таких функций Rtv наверное , будет
стремиться к нулю в том случае, когда предельное распределение узлов будет распределением
Чебышева.
Пусть рассматривается отрезок — 1< х < 1. Распределение единичной массы на
нем называется чебышевским, если плотность его есть р (х) = ==■ (I x К !)•
П V\ - А2
На рис. 1 приведен график плотности р (л), из которого видцо, что вблизи концов
отрезка масса располагается более плотно, чем около его середины. Припишем
теперь каждой точке xk(k= 1, 2, . . . , п) массу— Это будет также некоторое
распределение единичной массы на [— 1, 1]. Если окажется, что при п -» <х> такое рас-
пределение будет стремиться к распределению с плотностью п~1 (1 — х2) 2, то
говорят, что узлы xk имеют при п -» оо предельное распределение Чебышева.
Картина в случае любого отрезка [а, Ь] получается из только что описанной при
помощи линейного преобразования.
Следует считать, по-видимому, что при интегрировании аналитических функций
предельное распределение Чебышева для узлов хк является наилучшим для
стремления к нулю погрешности Rn%
Отсюда можно заключить, что если мы хотим улучшить точность приближенной
квадратуры путем специального подбора узлов xk, то их следует, вероятно, выбрать
так, чтобы распределение их на [а, Ь] возможно лучше походило на распределение
Чебышева. Узлы xk при этом не будут
равноотстоящими, р 1
Если функция f (х) задана в системе |
равноотстоящих значений аргумента
xk = а + kh (k = 0, 1, . . . , и), как это
считалось при построении квадратурной
формулы Ньютона — Котеса, то мы имеем
только одну возможность получить таблицу
значении / (х) в неравноотстоящих точках:
нужно пропустить некоторые табличные
узлы. При этом отбрасывание табличных
узлов следует, как выяснялось выше,
выполнять так, чтобы оставшиеся узлы возможно рис \t
более приближались к распределению
Чебышева. Этими простыми и наглядными соображениями часто пользуются при
построении интерполяционных квадратурных формул, в которых взяты не все
равноотстоящие точки отрезка интегрирования.
Ниже дан достаточно подробный перечень правил с положительными
коэффициентами с пропущенным одним или несколькими узлами и с симметричным
расположением оставшихся узлов. Шаг между узлами приведен, для простоты записи,
к единице.
Если квадратурная формула имеет степень точности т, то остаточный член
формулы может быть выражен через производную порядка т + 1 при помощи интеграла
ь
следующего вида: R = V/(m+1) (/) % (t) dt [см., например, (2.2.4)], где функция
а
К (0 не зависит от /. На множестве функций /, имеющих на [а, Ь] непрерывную
производную /(/71+1) (/), удовлетворяющую условию |/(т+1) й |< Мт+1, верна оценка
i
;

26 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНО [ГЛ. 2
о
остатка | R |< M,n+1 \\K(t)\ dtt являющаяся точной. Нахождение численного г
ь
чения коэффициента \ | К (t) \dt связано с большими трудностями. Для приводимых
а
ниже формул значения этого коэффициента не известны.
Для того чтобы при выборе правила интегрирования можно было приближенно
оценить остаток формулы, приведены другие величины S и s, поясняемые ниже,
которые проще вычисляются, но дают возможность судить о величине R менее точно,
чем указанный выше коэффициент. Так как формулы интерполяционного типа*),
остаток R для них равен интегралу от остатка интерполирования г (х): R =
ь
«= V р (x)r (x)dxt или, если воспользоваться одним из известных представлений
для г (х) [см. (2.2.3)],
ь
R^[(m + i)\]-^p(x)(d(x)f{m^)^)dx.
а
Отсюда сразу же получается такая оценка:
ь
IR | < Mm+15, S = [(т + l)!]-i С | р (х) со (х) | dx.
а
Ь
Как правило, эта оценка является неточной, так как S ^\\K\dx и равенство
а
выполняется лишь в весьма редких случаях. Для формул, приводимых ниже, S бу-
ъ
дет, как можно видеть, значительно больше точного коэффициента \\К\ dx.
$1*1
Если у функции / (х) производная /(т+1> (х) мало изменяет свои значения на
[а, Ь], то в указанном выше выражении R производную /(m+1) (g) можно считать
величиной постоянной, равной значению /<т+1) (ц) в какой-либо точке т] отрезка [а, Ь]\
ь
/?«/(«+!) (Ч)_^ J р(х)ю(х)Лс.
а
В правой части стоит часть остатка, которую при сделанном предположении об
/*w+1) можно считать главной частью R. Ниже даны значения коэффициентов
(т +
—- \ р (х) со (х) dxu S для каждой из формул.
*) Необходимо отметить, что в части формул для получения приводимых в
тексте коэффициентов в оценках остатка необходимо было считать некоторые узлы
формулы двукратными точками интерполирования и в них предполагать заданными
не только значения / (лг), но и значения первой производной /' (л-).

§0 КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ С ПРОПУЩЕННЫМИ УЗЛАМИ 27
Если шаг h между узлами отличен от единицы, то значения s и 5 нужно заменить
на shtn+2 и Shtn+2, где т — алгебраическая степень точности соответствующей фор-
6Л
мулы. Например, если формулу 1 (Харди) записывать для интеграла [f(x)dx,
о
9 1007
го для нее будет s = щ A', S = __ №.
в
1.U (х) Л «0,28 (/в + /в) + 1,62 (ft + М + 2,2/,.
О
9 1007
Степень точности равна 5 (J. F. Hardy), s ——, S =
700 18 900 •
2. (/Wdx«Ol39(/o + W + Oi96(/i + M + 1.65(f.+ W-
о
17 714
Степень точности равна 5, s = — — , 5 = __
175 4725 *
7
3. С / М d*« ^ [3934 (/о + М + 1715 (h + /в) + 19 551 (f, + f.)].
г, ° к 20 923 с 60 763
Степень точности равна 5, s = — , 5 =
43 200 100 800-
i.<f(x)dxm^ [2196 (/, + /в) + 8192 (h + /,) + 8064 (/, + /,) + 16016/,].
Степень точности равна 7, s = - ^, S = -«*U9 ,
1
33 075
+ 64 064 (/, + /,)].
5. ( / (*) Ас ж _1_ [9836 (/о + W + 50 112 (/х + /7) + 8288 tf, + М +
1816 2
Степень точности равна 7, s = — , 5 = — т
У9 Z25 27
8
6. О (х) dx я -*- [108 (/о + М + 2048 (h + /7) + 3248/*].
о
r> r 4096 с 6920
Степень точности равна 5, s = ——, о =
7 7 #
7. у (л) dx « JL [585 (/о + М + 2187 (/, + h) + 4428 (/, + /.)].
О
п к 7533 с 309 653
Степень точности равна 5, s = — —— , S = .

28 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНО 1ГЛ. 2
10
8. С / (х) dx ж g^ [4529 tf„ + /„) +14 080 (ft + /,) +18 225 (/, + /,) + •
+ 26 670 (ft + Mb
Степень точности равна 7. . — ^, S - ggj.
10
9. С / (х) dx ж j^g [7136 (/о + ho) + 41125 (h + f9) + 55 500 (f8 + /,) +
+ 46 494/e].
3875 1 981 589
Степень точности равна 7(Ульхеуз), 5 = ^^, S = ___.
!0
10. jj I (x) dx » jj^. [903 tf, + Ы + 1500 (h + /,) + 4625 (/, + /,) + 7ii2f,].
О
n n 16 375 c 169 291
Степень точности равна 7, s = — ——- , 5 = ■ ,. .
F 31752 264 600'
ю
11. J / (x) dx * -J. [27 (/о + /ю) + 125 (/, + /8) + 128/J.
о
195 9110
Степень точности равна 5 (P. О. Кузьмин), s = — —, S = -—-
63 1575#
§ 5. Правила интегрирования, в которых используются
значения функции и производных
В некоторых случаях можно увеличить точность результата, если для
вычисления интеграла воспользоваться не только значениями интегрируемой функции, но и
значениями производных от нее. Такие правила интегрирования применяются,
например, при построении методов численного решения дифференциальных уравнений
или в задаче увеличения точности квадратурных формул, о которой будет говориться
ниже.
Здесь мы рассмотрим вопрос об указанных правилах лишь применительно к
задаче интегрирования таблично заданных функций.
Наиболее употребительными являются квадратурные формулы с кратными
узлами. В общем виде они могут быть записаны следующим образом. Пусть на отрезке
интегрирования [а, Ь] взято т точек xk (а < хг < х2 < . . . < хп% < Ь).
Предположим, что в точке xL известны как значение функции / (хх), так и значения ее
производных до порядка Ах — 1, в точке х2 — значения / (х2) и производных до порядка
k2 — 1 и т. д. '
Таблица известных значений будет иметь еледующую форму:
f(x2) f'(x2) . . ./^ (*),
(2.5.1)

§ 5]
ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНЫХ
29
Общее число известных значений (2.5.1) обозначим п + 1: kx + k2 + . . . + km =
= п + 1. Числа kv . . . , Лт называются кратностями соответствующих узлов.
Нужно построить приближенное равенство
6 т ki-\
\p(x)f (x) rf^J S V(/) (*/>■ (2'5-2>
S /el /==0
которое позволяло бы вычислить интеграл с возможно хорошей точностью. В случае
табличного задания /,/',... абсциссы xt считаются фиксированными и могут быть
взяты лишь из числа табличных значений. Коэффициенты же Ац являются
произвольными. Чаще всего Ац избирают так, чтобы равенство (2.5.2) имело возможно
высокую алгебраическую степень точности.
Наивысшая степень точности, которую можно достигнуть за счет выбора Ац при
произвольно фиксированных узлах х£у характеризуется теоремой, формулируемой
несколькими строками ниже.
Интерполируем функцию / (х) при помощи величин, входящих в таблицу
(2.5.1). Интерполирующий многочлен, который мы обозначим И (x)t будет иметь
степень не выше п и будет удовлетворять условиям
Я<» (х£) = /(/) (*,) (i = 1 m; /=0,1,..., kt - 1).
Многочлен Н {х) может быть записан в виде Н (х) = 2 2 hij (x) f(i) Ю> W Ьц (х)
i I
есть многочлены степени ровно п и для них известны определенные выражения *).
Функция f (х) может быть заменена интерполирующим многочленом Н (*).
Коэффициенты Ац при этом получат следующие значения;
ь
Лц=[р(х)Нц(х)с1х. (2.5.3)
а
Квадратурные формулы (2.5.2) с такими коэффициентами Ац, по причине способа их
получения, носят название интерполяционных. Просто проверяется, что для того
чтобы формула (2.5.2) — (2.5.3) была интерполяционной, необходимо и достаточно,
чтобы она была точной для всяких многочленов степени п.
Каждая интерполяционная формула (2.5.2) — (2.5.3) определяется выбором
узлов х£ и указанием их кратностей kv При построении таких формул может оказаться
в случае неудачного выбора xt и k£> что ее коэффициенты будут иметь большие
абсолютные значения. Такие формулы мало пригодны для вычислений. Поэтому полезно
привести наглядные соображения, которыми можно руководствоваться при выборе
xi \\k't и которые часто позволяют избежать указанного недостатка. Эти соображения
аналогичны тем, которые были изложены в начале предыдущего параграфа в связи с
построением формул, коэффициенты которых не имеют недостатков, присущих
коэффициентам Котеса. Они связаны со сходимостью интерполяционного
квадратурного процесса. Допустим, что в равенстве (2.5.2) мы неограниченно увеличиваем
число т узлов xt. При этом мы считаем, что с изменением т может изменяться как
расположение узлов на отрезке [а, Ь]> так и кратности этих узлов.
*) См., например, В. Л. Гончаров «Теория интерполирования и
приближения функций», гл. 1, п°12, Гостехиздат, 1954.

30 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНО [ГЛ. 2
Представим себе, что единичную массу мы разделим на п + 1 =S^/ равных
1
частей. Поместим в каждый узел xt столько частей -7-7, какова его кратность kt.
Мы получим некоторое распределение единичной массы на отрезке [а, Ь].
Как и в случае простых узлов, можно быть уверенным, что для всякой
аналитической на [а, Ь] функции / погрешность формулы (2.5.2) — (2.5.3) будет
неограниченно убывать при т -> оо только в том случае, когда указанное нами распределение
единичной массы будет стремиться к чебышевскому распределению, плотность
которого равна лг1 1(х — а) (Ь — х)]~ А. Поэтому можно думать, что чебышевское
распределение для интегрирования аналитических функций является наилучшим
предельным распределением. Узлы xi и кратности их kt естественно выбирать так, чтобы
описанное выше распределение единичной массы по узлам xi было возможно более
сходным с распределением Чебышева. По сравнению со случаем простых узлов здесь
в нашем распоряжении имеются дополнительные параметры — кратности kt узлов,
выбором которых мы можем воспользоваться для улучшения свойств квадратурной
формулы; kit в частности, можно подобрать, очевидно, так, чтобы при
равноотстоящих узлах *л=а + kh[h- ~~ a "
0,1,.,
т\ предельная функция рас-
\ т
пределения совпадала с чебышевской и, следовательно, погрешность квадратурной
формулы (2.5.2) — (2.5.3) стремилась к нулю для всякой аналитической функции /.
Ниже приведено несколько квадратурных формул с положительными
коэффициентами при значениях функции, предназначенных для интегрирования, когда
известны таблицы значений самих функций и их первых производных в
равноотстоящих точках.
При записи использовано обозначение
a+h
1. ^f(x)dx^^[fo + h-±(f\-Q],s = £
720'
Степень точности равна 3.
J f(x)dxSsh[^h + h+ft+... + fn_1+^fn]-.»\fn-fo
а
а+2/i
2. \ /W^^^{7(/o + /2) + 16/1~./i[/;-№s=^L,
s
Степень точности равна 5.
п — четное:
a-\-nh
С / Wd^ » А [7 (/о + 2/. + 2/4+... + 2/M + /J+16(/i+ /, + ...+
+ '«-!>]- Й(''Я"" й"

§5J ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНЫХ 31
3. С f (*)Ля|£ [13 (/.+ Ы +27 (/i+/,)-.2A (/,-#], s = If^g.
а
Степень точности равна 5.
п кратно 3:
a+nh
^ f(x)dX^[iS(fo + 2h + 2h+... + 2fn_3 + fn) + 21(h + h+ft + h +
а
+ h + h+... + fn-2 + /1.-1У - ^ (fn - О'
a+3/i
4. С f (x) rfx » М {155 (fe + /з) + 405 (h + f*)+h [27 (f\ - f',) -
TT56
Степень точности равна 7.
-19 (/;- on, -А-
5. С /(х)Лв^ [217 (/о + /4) + 512(/x + /,) + 432/.- ЗОЛ (/] - #],
16Л*
99 225*
Степень точности равна 7 .
n кратно 4:
a+лЛ
jj / ix)dx»^L [217 (/0+2/4 + 2fc+... + 2f„_, + /„) + 512a, + /з + /б +
+ /, + ...+ /„_ + /„.,) +432 (/г+/,+ ... +/„.,)] - ^ (/„ - ft.
a-f4ft
6. J / (ж) Лг» Ц {305 (/0 + /4) + 640 (/! + /,) - 2Л [27 (/4 - f0) +
(2
+96(/3 -/;>]>. -^|.
Степень точности равна 7.
а+4Л
7- J ^wrfx~щt7(^o+w+128(/, + /3)+бл(/;-/;)], *=-§5-
а
Степень точности равна 5.

32 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ ТАБЛИЧНО [ГЛ. й
п кратно 4:
a+nh
а
a-\-ih
8. jj / (х) dx ж -|L {1601 (f„-I- /4) + 4096 (М- /,) + 5816/ri- № [128(4 ~ f t> -
-29(4- fo». *=ГШ555'
Степень точности равна 9.
a+6h
9. С / (х) <fc » 638^ш {446 719 (/о + fв) + 968 625 (/, + /«) + 1 778 000 (f2 +
й
+ М + ЗОЛ [-1479 (/; - /0) + 12 575 (/4- £) + 10 900 (f3 - g]},
144 425Л13
s =
230150 670 288
Степень точности равна 11.
а+бЛ
10. С /(*)<**
S; w dx ~ iJW (И 70i (/о+/5)+30 37Г) (/l+w+30 50°(h+w +
+во/1 [-23 (/; - /0)+50 (/; - /;т, 8 =. 212ънп
134120 448 е
Степень точности равна 9.
11. С /W^«s^f[4567(/0 + W + 10125(/1 + W + 9500(/i + /a)-
а
Степень точности равна 7.
a+5/i
12. J f (x) dx « щ [- 29 (/о + /,) +125 (/! 4- h) +' 20Л (£ - ft],
а
_ _ 2375Д7
S 10 206 •
Степень точности равна 5.

S 5] ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНЫХ 33
a-f-6/i
13. ( f (х) dx да10Ц1А0000 {3 310 219 (/„ + /.) + 5 014 656 (/, + /,) +
а
+ И 161 125 (/2 + U) — 32 966 000/з - ЗОЛ [10 237 (f'6 — ft — 136 512 (f5 — ft —
— 242 325 (/' — ft]}, s = ШЪ
U4 '2'"» 200 200'
Степень точности равна 13.
а+бЛ
14. С /W^«-g^fl44341(/o + M + 377784(/1+W + 475875(^ + W^
а
+ 314 ООО/з - 60/1 [259 (/, - /0) - 1134 (/5 - ft]}, s - 107W3
308308000'
Степень точности равна 11.
a-fe/i
15. ^ f (х) dx « А^ [3149 (/о + f.) + 7776 (ft + /б) + 6075 (/2 + /4) + 8000/3 -
а
-420/K/;-ftl, s = ,%U
77 000 *
Степень точности равна 9.
a-\-eh
16. J /Wdx»-A5{1317(/e + W + 4eoe(fi + W+15 07e(fi + W +
157Л11
+ 60Л[(/б-./0) + 72(/6-./1)]}, s— 539000'
Степень точности равна 9.
17. С / (х) dx ^JL {5482 (/о + /в) + 12 393 (/i + /5) + 16 750/з - 15Л [62 (/j,-
а
- f0) + 243 (/5 -,;„}, -j^g.
Степень точности равна 9.
а+вЛ
18. J / (х) dx^ i- [217 (/о + /в) + 1458 (f, + /6) + 1900/8 + 15Л (£ -ft],
, 81Л»
9800*
Степень точности равна 7.
a-feft
19. J f(A0rfx«^[4719tfo + M + 3456(f, + f5)-H2825(f2 + M-
-Ю20А(/,-/Д s = ^!
Степень точности равна 7.
2 В. И. Крылов. Л. Т. Шульгина

34 ИНТЕГРИРОВАНИЕ, ИМЕЮЩЕЕ НАИВЫСШУЮ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ [ГЛ. 3
ГЛАВА 3
ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ, ИМЕЮЩИЕ НАИВЫСШУЮ
СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ
§ 1. Вычисление интеграла по значениям функции
В настоящей главе будут рассматриваться правила приближенного
интегрирования, имеющие наивысшую алгебраическую степень точности. Мы начнем с
простейшего случая, имеющего, по-видимому, наибольшее значение для приложений,
когда интеграл вычисляется при помощи нескольких значений функции. Тогда
квадратурная формула имеет вид
а
Вес р (х) считается таким, что его произведение на многочлен любой степени есть
ь
интегрируемая функция на [а, Ь] и, кроме того, \ | р (х) | dx > 0.
а
Формула содержит 2п параметров Ak и xk (k = 1, 2, . . . , /г). Выбором их
можно рассчитывать сделать равенство точным для всяких многочленов, имеющих
степень не выше 2п — 1. По абсциссам xk построим многочлен
со (х) = (х — xi) (х — х2).. . (х — хп) = хп + сих"4 + ... + апя (3.1.2)
Чтобы равенство (3.1.1) имело указанную выше степень точности, необходимо и
достаточно выполнение двух условий:
1. Формула (3.1.1) — интерполяционная, т. е. коэффициенты ее имеют значения
Ат
Л, = \ р(х) ^1 dx. (3.1.3)
* \нк } (x-xk)<*'(xk)
2. Многочлен со (х) ортогонален на [а, Ь] по весу р (х) ко всякому многочлену
Q (х) степени, меньшей п:
ь
t р (х) со (х) Q (х) dx = 0. (3.1.4)
а
В этой теореме остается открытым вопрос о существовании многочлена со (а-),
выполняющего условие (3.1.4), и его единственности, так же как и вопрос о
распределении корней со (л-) в комплексной плоскости. В частном случае, особенно важном
для приложений, когда р (х) сохраняет знак на [а, Ь], на эти вопросы можно дать
простой ответ:
Если р (х) ^ 0, то многочлен со (х) вида (3.1.2), удовлетворяющий условию
ортогональности (3.1.4), существует для любого п. Такой многочлен единственный, и
корни xk (k — 1, . . . , п) его действительны, различны и лежат внутри отрезка [а, Ь].
Поэтому для знакопостоянной весовой функции р (х) квадратурную формулу (3.1.1),

§ 1] ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ПО ЗНАЧЕНИЯМ ФУНКЦИИ 35
верную для многочленов степени 2л — 1, всегда можно построить и при этом
единственным способом. Кроме того, 2л — 1 будет наивысшей степенью точности (3.1.1),
так как ни при каких Ak и xk формула не может быть точной для всех многочленов
степени 2/г.
В первой главе мы обращали внимание на желательность того, чтобы сумма
модулей коэффициентов квадратурной формулы была по возможности малой. Для
формулы вида (3.1.1), если она точна для / = 1, коэффициенты Ak подчинены условию
п ь п
2 Ак = \ pdx, и поэтому сумма модулей J\ \ Ak \ будет иметь наименьшее зна-
чение в том и только в том случае, когда все Ak будут иметь одинаковые знаки.
Если (3.1.1) имеет наивысшую степень точности 2/1 — 1, то для коэффициентов
ее Ak верно следующее равенство:
ь
Ak =[со' (xk)Y* С р (х) со* (х) (х - xk)"4xt
из которого следует, что при р (х) > 0 все Ак будут положительны *).
ь п
Рассмотрим погрешность формулы (3.1.1): Rn(f) = \ pf dx— J\ Akf (xk).
Простейшими представлениями для Rn (/) являются следующие.
Если (3.1.1) верно для всех многочленов степени 2л — 1, / имеет непрерывную
ь
производную порядка 2/г и интеграл \р/ dx сходится, то верно равенство
а
Ь
Rn ({) = (2n!)-i jj р (х) со* (х) /<*«> (I) dx, (3.1.5)
а
где | есть некоторая точка на [а, 6], зависящая от х. Если же, кроме того, р (х)
сохраняет свой знак на [а, Ь], то существует такая точка ц £Е [а, &], что
Rn (/) = f{2n) (Л) (2м!)-1 [ Р (х) со* {Х) dx.
Равенства (3.1.1), точные для многочленов степени 2/г — 1, называют
квадратурными формулами гауссова типа. Такое название принято в память того, что формула
этого вида впервые была построена Гауссом для случая постоянной весовой функции.
Оказалось, что квадратурные процессы такого типа имеют весьма широкую
область сходимости. Если р (х) > 0, отрезок [а, Ь] конечный и равенство (3.1.1) имеет
наивысшую алгебраическую степень точности 2/г — 1, то погрешность Rn (/) будет
стремиться к нулю при неограниченном возрастании п для всякой ограниченной
функции /, для которой имеет смысл по Риману интеграл, стоящий в левой части
равенства.
*) При р (х) > 0 для положительности Ak достаточно предположить, что
равенство (3.1.1) точно для всех многочленов степени 2/г — 3.
*>*

* 36 ИНТЕГРИРОВАНИЕ, ИМЕЮЩЕЕ НАИВЫСШУЮ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ [ГЛ. 3
§ 2. Формулы частного вида
Ниже дано описание квадратурных формул наивысшей алгебраической степени
точности частного вида. Весовые функции в них избраны так, чтобы при помощи
соответствующих формул можно было вычислять многие часто встречающиеся в
приложениях интегралы.
I. Постоянная весовая функция р (х) = 1 приводит к формуле Гаусса.
Квадратурные формулы с таким весом наилучшую точность дают, как правило, в том случае,
когда интегрируемая функция не имеет особенностей на отрезке интегрирования и
обладает высоким порядком гладкости. Отрезок интегрирования предполагается
конечным. Линейным преобразованием независимой переменной его всегда можно
привести к [—1, 1]:
1 п
С f (*)<**= 2л*/(*а>+*(0. (3.2.1)
—1
*=1
Степень точности равна 2я — 1. Систему многочленов, ортогональную на (—1,1)
с постоянным весом, образуют многочлены Лежандра
2nn\dxn
Абсциссы xk в формуле (3.2.1.) являются нулями многочлена Рп степени п< Рп (xk) = О
о
и коэффициенты Аь имеют значения Аь =—: • Остаточному члену
(1-ф[рв (**)]»
R (/) формулы Гаусса может быть придан следующий вид, если / имеет производную
порядка 2я, непрерывную на [—1, 1]:
R (f) = 22П+1 WIV") (Л) - 1 < П < 1
K{t) (2/i + l)(2n)!L(2^)!j ^ mh 1<T1<1-
II. Весовая функция Якоби p {x) = (x — a)^ (b — x)a позволяет учитывать
степенные особенности интегрируемой функции на концах отрезка интегрирования.,
При записи соответствующей квадратурной формулы, чтобы воспользоваться
привычной записью многочленов Якоби, промежуток интегрирования приводят к [—-1, 1 ]
и формулу берут в виде
1 п
С (1 _ Х)а (1 + xff (х) dx = 2 Akf (**) + R tf) (а> Р > -1). (3.2.2)
Степень точности ее 2а — 1. Ортогональными на [—1, 1] с весом (1 — л-)а (1 + д-)^
являются многочлены Якоби
/>£*'w (х) = ЬИ! (1 -'ху* (1 + х)-* *L [(1 -. Х)л+п (1 + х)ш].
п\2п dxn
Абсциссы xk в (3.2.2) есть корни Р{а^ w (x)t коэффициенты же будут следующими:
А = 2а^+] Г(а + /1 + 1)Г(Р + /1 + -1) з 9 3)
* п\ Г (а + р + л + 1) (1 - х%) [Р<*> »Г (хк)]* '

§2]
ФОРМУЛЫ ЧАСТНОГО ВИДА
37
Остаточный член R (/) формулы представим в виде
р (f\ - fi2n) (Л) 2g+p+a/l+1/il Г (а + п + 1) Г (3 + а + 1) Г (а + (3 + п +1)
{П (2п)\ (а + р + 2п + 1)П(а + р + 2л + 1)
-1<Л<1.
Квадратурная формула (3.2.2) содержит два параметраа и р и из нее могут быть
получены многие специализированные формулы, соответствующие наиболее
распространенным видам степенных особенностей. Некоторые из них будут отмечены немного
ниже. Предварительно же мы сделаем замечание о составлении таблиц коэффициентов
Ak и абсцисс xk, соответствующих этим частным случаям. В первую очередь,
несомненно, интересен случай, когда интегрируемая функция имеет особенность только
на одном из концов отрезка [—1, 1], что отвечает либо а = 0, либо Р = 0.
Более общий случай, когда функция имеет особенности на обоих концах +1 и
—1, принципиально говоря, приводится к предыдущему, если отрезок
интегрирования [—1, +1] разделить на два отрезка, например, [—1, 0] и [0, 1]. Но необходи-
о 1
мо принять во внимание, что если мы каждый из интегралов \ и \ вычислим, взяв в
-1 о
квадратурной формуле по п точек, то, вообще говоря, мы получим точность меньшую,
1
чем если бы мы вычислили интеграл V по всему отрезку, взяв 2л точек. Причина
-1
этого почти очевидна. При вычислении интегралов по частичным отрезкам мы
приближенно заменяем функцию / на каждом отрезке многочленом степени 2п — 1.
1
Когда же мы вычисляем интеграл \ с 2п точками, мы заменяем / на [—1, 1] много-
-1
членом степени 4я — 1, и эта последняя операция замены будет, как правило, более
точной, чем каждая из двух предыдущих. Поэтому деление отрезка [—1, 1] на две
части при сохранении общего числа точек, в которых вычисляются значения /, может
быть связано с некоторой потерей точности. Наряду с таблицами,
предусматривающими особенность интегрируемой функции только на одном конце отрезка [—1, 1],
в практике вычислений полезными будут также и менее частое применимые таблицы
для функций, имеющих особенности на обоих концах —1 и +1.
1. При а = р = 0 равенство (3.2.2) совпадает с формулой Гаусса (3.2.1).
2. Для а = р = — V2 весовая функция есть р (х) — (1 — лг2)",/2 и
соответствующие многочлены Якоби только постоянным множителем будут отличаться от
многочленов Чебышева первого рода:
р(-о.5;-о.5)(х)== (2"-1>! Тп(х).
22"-1(rt-l)U!
В этом частном случае формула (3.2.2) будет иметь равные коэффициенты A k:
(3.2.4)
nn 22"-1 (2«)Г '
S

38 ИНТЕГРИРОВАНИЕ, ИМЕЮЩЕЕ НАИВЫСШУЮ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ [ГЛ. 3
3. Пусть а = Р = V2 и p(jf)= ~|Л - л-2. Многочлен Якоби р^5'» °»5> (дг) по
стоянным множителем отличается от многочлена Чебышева второго рода:
р(о,о; о,б) w = (2/i + l)l sin(Ai + l)arccosx
71 22*/г!(л + 1)! УЧ—**
корни которого суть дгЛ= cos-^L(*= 1, 2, . . . ,л). Квадратурная формула
(3.2.2) здесь имеет вид
$У1=Э, «*--», 2*,^, («£,) + «.,
Л=1
^J^W'' ~1<W'
(3.2.5)
4. При а = 0,5, р = —0,5 и р(х)=Л/ \—- многочлены Я коби/><(°'5; ~°'5)(х),
как и в обоих предшествующих случаях, имеют простое выражение через
тригонометрические функции:
sin2rt + 1«
p(o.s;-o.e>w = _(2n)! 2 .v = cos9.
2М<«!)» sinb
Квадратурная формула (3.2.2) будет следующей:
—1 k~l
(3.2.6)
5. Интегралы вида \ гЛР (r)dr встречаются при вычислении кратных интегралов
о
R
в полярных координатах. В случае k = 1 интеграл \ rF (r)dr связан с вычислением
о
двойного интеграла\\ f (г, (p)rdrdy по плоской области. В случае k = 2 \ r2F (r) dr
а о
связан с интегрированием в шаровых координатах в трехмерном пространстве
ОХ / (г> Ф. °)r2 dr sin 0 ^е rf(P и т« Д-

§ 2] ФОРМУЛЫ ЧАСТНОГО ВИДА 39
\ х
При помощи подстановки г = R —.— рассматриваемый интеграл приводится к
частному виду (3.2.2), отвечающему значениям параметров а = k и Р = 0:
R k+1 1
^*F(r)tfr==(|) jj(l-*)*f (*)<&, f(x)=F(r).
О —1
6. Как известно, я-кратное неопределенное интегрирование, то есть решение
дифференциального уравнения у{п) = / (л), при некоторых начальных условиях
приводится к нахождению значений многочлена и к вычислению интеграла
X
\ (х — t)nf(t)dt. Подстановкой / = х Т" последний преобразуется к форме
о
1
(х! 2)n+l V (1 — и)"ф (и)^"| Ф (") ~ / (0i которая является частным случаем (3.2.2)
—г
для а = л и Р = 0.
со
7. В приложениях встречаются интегралы по полуоси \ F (x) dx, в которых
о
интегрируемая функция имеет степенную особенность в точке х = 0 и при х -> оо
убывает так же быстро, как некоторая степень — F (х) часто можно предста-
х
X*
вить в форме F (х) = <р (х), где р > a -f-1, ф (я) непрерывна при 0 < * < оо
(1 + *)р
х*
и имеет конечный предел lim <р (х) = ф (оо). В интеграле \ ф (x)dx доста-
*-*«> J (1 + *)р
1 /
точно выполнить замену х = , чтобы привести его к виду
1 + t
1
2}-р С (1 _ /)«(1 + ()P~*-*f (/) Л, f (,) = ф (х),
—1
являющемуся частным случаем (3.2.2) для (3==р —а — 2.
00
III. Будем иметь в виду задачу вычисления интеграла по полупрямой \ F (x) dx.
о
Функция F (х) считается непрерывной при 0<лг<оо, могущей иметь степенную
особенность в точке х = 0 и убывающей для х -* оо столь быстро, чтобы была
обеспечена абсолютная сходимость интеграла. Когда F (х) убывает при неограниченном
росте х со скоростью стремления к нулю степенной функции, то, как отмечалось
несколькими строками выше, часто достаточно выполнить замену переменной
интегрирования, чтобы привести интеграл к виду (3.2.2) и затем для вычислений
воспользоваться квадратурной формулой с весом Якоби. Следующим по значению для
приложений будет случай, когда F (х) убывает при росте х как некоторая показательная
функция и представима в виде произведения F (х) = ехр (— pxs)(p (л*), гдеф (л-)
возрастает настолько медленнее, чем убывает ехр (-— pxs)t что обеспечивается достаточно
быстрое стремление F (х) к нулю. Показательный множитель ехр (— pxs), опреде-

40 ИНТЕГРИРОВАНИЕ, ИМЕЮЩЕЕ НАИВЫСШУЮ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ [ГЛ. 3
ляющий поведение F при больших л\ содержит параметры pus. Чтобы освободиться от
них и привести этот множитель к простейшему виду, обычно делают замену аргумента
pXs = t и рассматривают интеграл в следующей канонической форме с весовой функ-
00
цией Чебышева — Лягерра p(x) = xse~x: [ xse~xf(x)dx. Многочленами, ортого-
о
нальными на [0, оо) с весом х8е~х, являются многочлены Чебышева — Лягерра
jW (Х) = (_l)VVil(xs+V*).
dxn
В квадратурной формуле наивысшей алгебраической степени точности
00 П
С x*e-xi (х) dx = 2 Akf (xk) + Rn (3.2.7)
i *=i
абсциссы xk являются корнями многочлена L<,s): L{,s) (xk) = 0 (k = 1,2,..., n) и
rcir(s + n + l)
Л""Г"Д + 1) ^П)(1), 0<|<oo.
Для всякой функции / (а-), непрерывной на полуоси [0, оо) и при больших х
удовлетворяющей следующему неравенству, ограничивающему скорость роста
М
f {*)• I f (х) К 1+s+g ext где е > 0, Af > 0, квадратурный процесс (3.2.7) будет
сходиться:
п оо
lim 2 4^) = С *V"7 (*)<**.
Быстрота сходимости зависит от свойств функции / (лг). Если / (л-) — ограниченная
функция или даже стремящаяся к нулю при х -* со, то сходимость может стать
настолько медленной, что для получения нужной точности необходимо будет взять п
весьма большим, что сильно затрудняет применение (3.2.7). Причину затруднений,
если пользоваться неточными наглядными терминами, легко можно указать^
Равенство (3.2.7) в силу принципа, на котором оно построено, может дать
удовлетворительную точность для функций /, которые допускают хорошее по точности
приближение при помощи многочлена невысокой степени на отрезке вида [0, /] достаточно
большой длины /, где вес xse~x не, очень близок к нулю.
Каждый алгебраический многочлен степени выше нулевой неограниченно
возрастает при увеличении х. Поэтому многочлены, наверное, не будут благоприятным
орудием для приближения ограниченных или стремящихся к нулю функций на
«больших» отрезках [0, /], что и вызывает медленную сходимость квадратурного
процесса (3.2.7).
Чтобы получить правило интегрирования, имеющее лучшую точность и более
быструю сходимость для указанных функций, следовало исходить не из системы
степеней лг, а воспользоваться приближением / (х) рациональными функциями,
ограниченными на [0, оо). Пусть рассматриваются функции / (х), поведение которых при

12]
ФОРМУЛЫ ЧАСТНОГО ВИДА
41
больших х достаточно точно характеризуется следующим рядом, который может быть
расходящимся и иметь лишь асимптотический характер:
В этом случае параметры xk и Ak квадратурной формулы
00 П
С *V*/(*)<** «2 Akf(xk)
/5=1
естественно выбрать так, чтобы равенство было точным для 2л рациональных
функций (1 + x)'k (k = О, 1, . . . , 2п — 1). В четвертой части книги приведены
небольшие таблицы xk и Ak для такой формулы при двух значениях показателя s = О,
— У2 (табл. 7).
00
IV. Вычисление интеграла по всей числовой оси \ F (x)dx очевидным образом
—00
может быть приведено к вычислению двух интегралов по полуоси [0, оо). Так
поступают обычно в том случае, когда функция F (х) непрерывна на всей оси и при
00
1 С
х ~* i °° убывает как некоторая степень *—■. Каждый из интегралов \ F (x)dx и
о
00 00
\ F (— х) dx или их сумму \ [F (х) + F (— x)]dx, например, при помощи преоб-
о о
\
разования / = приводят к интегралу с весом Якоби, как это было указано при
1 + х
рассмотрении способов вычисления интеграла по полуоси. Для приложений в
первую очередь представляет интерес тот случай, когда функция F при удалении х
на бесконечность будет убывать как показательная функция с четным
отрицательным показателем степени и будет представима в форме F (х) = е~ах f (лг), где / может
возрастать медленнее, чем убывает е~ах . Множитель е~ах обычно приводят к
простейшему виду е~х* и рассматривают правило квадратуры в такой канонической
форме:
00 П
С в-*7(*)<& = 2 Akf(xk) + Rn. (3.2.8)
Ортогональными на оси (—оо, оо) многочленами являются многочлены Чебышева—
Эрмита
Чтобы формула (3.2.8) имела наивысшую степень точности 2л — 1, абсциссы xk
в ней должны быть корнями Н : Нп (xk) = 0, и Ak иметь значения
Ak ^ 2ппп\ Уп[Н'п (хк)Г- (Л = 1,2 п).

42 ИНТЕГРИРОВАНИЕ, ИМЕЮЩЕЕ НАИВЫСШУЮ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ (ХЛ. 3
Когда / имеет непрерывную производную на (—ос, оо) порядка 2«, то
п\Уя {2п)
Кп 2п (2/г)! ' Ш*
При л -* оо квадратурный процесс (3.2.8) сходится в весьма широком классе
случаев: если / непрерывна на числовой оси и при больших | х | удовлетворяет
условию |/WK teK% I * Г1_е (8 > 0). ™ Для нее lim Rn = 0.
/l-ЮО
V. Выше рассматривались правила приближенных квадратур, отвечающие
классическим весовым функциям — Якоби, Лягерра и Эрмита. Они могут оказать
помощь при интегрировании в весьма большом числе случаев, но далеко не
исчерпывают все типы интегралов, с которыми приходится иметь дело в приложениях. Это
обстоятельство побудило вычислить абсциссы xk и коэффициенты Ак для других
весовых функций р (дг), позволяющих учитывать особенности интегрируемой функции
иного вида, чем рассмотренные выше. Были составлены, например, краткие таблицы
xk и Ak для веса вида р (х) — jralg — (0 < х < 1), который имеет логарифмическую и
степенную особенность на одном из концов отрезка, или веса, имеющего особенности
логарифмического вида на обоих концах этого отрезка (табл. 5). Рассматривался
также случай, когда вес р (х) имеет степенную особенность в середине отрезка
интегрирования *).
VI. При построении квадратурной формулы наивысшей степени точностп (3.1.1)
функция / (а-) считалась произвольной достаточно гладкой на [a, b].
В некоторых случаях вычислитель обладает дополнительными сведениями,
которые позволяют улучшить процесс вычисления и получить нужную точность с
меньшей затратой труда. Как пример этого, рассмотрим нередко встречающуюся задачу
1
интегрирования четных и нечетных функций. Возьмем интеграл / = \ / (x)dx. Он
i
принадлежит к интегралам с постоянной весовой функцией и может быть вычислен
при помощи формулы Гаусса. Пусть дополнительно будет известно, что / (дг) есть
четная достаточно гладкая функция. Тогда ее можно рассматривать как функцию от
х2: f (х) =ф (дг2). Замена переменной х2 = t приведет вычисляемый интеграл / к
следующей форме:
1 ,11
U(x)dx=~(t~ *if(t)dt.
о о
Здесь, очевидно, более рационально воспользоваться правилом квадратуры с весом
Якоби р (t) = t 2. Если применить для вычислений квадратурную формулу ел
узлами, то она будет верной в переменной х для всяких четных многочленов степени
An — 2.
Аналогично, если будет известно, что в интеграле / функция / (дг) является
гладкой нечетной функцией, то / (л-) представима в виде
/(л-) = лчр(л'2).
Прежняя замена х2 = t преобразует интеграл / к виду
1 1
<f(x)dx=^U(l)dt.
*) См., например, И. П. Натансон [2J.

§ 3] ИНТЕГРАЛЫ ПО ЗНАЧЕНИЯМ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНЫХ 43
Применение формулы Гаусса с п узлами ко второму интегралу приведет к
квадратурной формуле, которая имеет степень точности An — 1 для нечетных многочленов
/(*), и даст, как правило, лучшую точность, чем применение той же формулы к ис-
1
ходному интегралу \/ (x)dx, так как степень точности ее в этом случае будет 2л — 1.
о
§ 3. Правила вычисления интеграла по значениям функции
и производных
Правила приближенных квадратур наивысшей алгебраической степени
точности, позволяющие найти значение интеграла по нескольким значениям функции
и производных от нее, изучались, как и в интерполяционных квадратурах,
преимущественно для частного случая кратных узлов *), когда значения функции и
производных задаются в одних и тех же точках:
b m ki~l
i '-1 /==0
(3.3.1)
а<х£^Ъ, х£фх/9 1ф).
Вес р (х) считается неотрицательной функцией и такой, что произведение р (х) на
многочлен любой степени будет интегрируемым на [а, Ь]. Если в правую часть (3.3.1)
входят только значения функции f (х) и формула имеет вид (3.1.1), то все k{ равны
единице.
Каковы бы ни были xi (i = 1, 2, . . . , m), выбором коэффициентов Ay всегда
можно сделать равенство (3.3.1) точным для многочленов степени п, где п = kx +
+ . .. + km — 1. Для этого необходимо и достаточно, чтобы правило (3.3.1) было
интерполяционным. Этим условием определяются его коэффициенты А{.. Остаются
еще произвольными т абсцисс xt. Вопрос о возможности специального выбора их,
при котором повышается степень точности равенства (3.3.1), связан с узлами х{
формулы, имеющими нечетные кратности k{. Пусть таких узлов будет р, и пусть это будут
узлы хъ х2, . . . , х . Остальные т — р узлов xp+v . . . , хт будут иметь четные
кратности.
Введем многочлен со (л-) = 11 (л- — х{) 1 , характеризующий расположение
узлов и их кратности. Можно легко показать, что ни при каком расположении х.
правило интегрирования (3.3.1) не может быть точным для всех многочленов степени
п + р + 1, и для того, чтобы оно было верным для многочленов степени п + р,
необходимо и достаточно выполнение двух условий: 1) равенство (3.3.1) должно быть
интерполяционным и 2) для любого многочлена Q (х), имеющего степень не больше
р— 1, должно выполняться равенство
ъ
р (х) со (х) Q (x) dx = 0. (3.3.2)
а
*)Popoviciu [1], S t a n с и [3, 8, 9], Л. Ч а к а л о в [1].

44 КВАДРАТУРЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ЗАДАННЫМИ УЗЛАМИ С ГЛ. 4
Вопрос построения правила (3.3.1), имеющего наивысшую степень точности п + р,
приводится к возможности такого выбора узлов х{> при котором выполняется
условие ортогональности (3.3.2). Достигнуть же этого можно только за счет выбора узлов
*i(i К Р) с нечетными кратностями.
Изберем узлы A*i (/ > р), имеющие четные кратности, произвольно на
действительной оси и фиксируем их. Они могут быть взяты даже вне [а, Ь]. Рассмотрим
теперь узлы с нечетными кратностями и выберем какой-либо порядок их
расположения *) на [а, Ь]. Как бы ни были фиксированы x{(i >р) и каким бы ни был взят
порядок х{ (i < р), последние узлы всегда могут быть избраны так, чтобы
выполнялось условие (3.3.2). Все х{ (i < p) будут различны между собой и будут лежать
внутри [а, Ь]. Если при этом окажется, что xi (i ^ p) будут отличными от
фиксированных узлов х{ (i >р) четной кратности, то мы сможем построить правило (3.3.1)
наивысшей степени точности п + р.
Но если условиться, что при совпадении в (3.3.1) двух узлов их кратности
складываются **), то правило (3.3.1) наивысшей степени точности я+ р может быть
построено, какими бы ни были xi (i < р), лишь бы было выполнено (3.3.2).
Каждому выбору xi (i > p) и каждому порядку расположения узлов нечетной
кратности на [а, Ь] будет отвечать по меньшей мере одна формула (3.3.1) степени
точности п + р. Вопрос об условиях единственности такой формулы в общем виде еще
не имеет решения.
В частном случае ***), когда все узлы имеют нечетные и одинаковые кратности, •
перестановки узлов xi не изменяют вида формулы и будет существовать лишь одна
квадратурная формула наивысшей степени точности.
ГЛАВА 4
ПРАВИЛА КВАДРАТУР С НЕСКОЛЬКИМИ ЗАРАНЕЕ
ЗАДАННЫМИ УЗЛАМИ
§ 1. Некоторые общие результаты
Если для вычисления интеграла можно пользоваться только значениями
интегрируемой функции, то правило интегрирования, которое сейчас имеется в виду,
можно в достаточно общей форме записать так:
\ п т
\p(x)f(x)dx ж 2 АкПч)+ S B№ai>- (4ЛЛ>
*) Кратности ki узлов считаются закрепленными за узлами и перестановка узлов
есть перестановка пар чисел (xit k;).
**) Если окажется, например, что*! совпадает ел- , v то в правой части (3.3.1)
kl—1 /гр+1~1
две суммы 2 ^tf/(/> (xi) и ^ AP+hi^ (xp+J должны быть объединены в
/=о /=о
'"***) Turan [l].

S 1]
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
45
Здесь узлы а. (/= 1,2, ... , т) задаются заранее. Остальные параметры Ak, xk
(&=1, ...,л)иВ,(/=1,.,,,4 число которых равно 2я + т, подлежат
определению.
Правила такого вида могут быть полезными, например, для решения граничных
и многоточечных задач для дифференциальных уравнений или для интегрирования
произвольных функций /, когда их значения / (а.) в узлах а - находятся просто.
В рамках настоящего параграфа считается, если не оговорены другие условия,
что вес р (х) может быть любой функцией, произведение которой на всякую
положительную степень аргумента является интегрируемым.
2/г + т параметров формулы можно пытаться выбрать так, чтобы равенство
(4.1.1) выполнялось точно для всевозможных многочленов степени 2/г -f- /n — 1.
Чтобы сформулировать известные в этом направлении результаты, введем два следующих
многочлена, связанных с расположением фиксированных узлов а. и разыскиваемых
узлов х£:
со(х) = (*-*,)... (х-хп) = хп + ъх?-1+ . . .+ сп,
а (х) = (х-а,).. . (х- ат) = хт + hxm^ -ф-...+ ЬМш
Для того чтобы правило (4.1.1) было точным для всех многочленов степени 2п + т —
— 1, необходимо и достаточно выполнение двух требований:
1. Правило (4.1.1) является интерполяционным:
ь ь
Р (о(х)а(х) п р . со (я) а (я)
а а
(4.1.2)
2. Многочлен со (х) ортогонален на [а, Ь] по весу р {х) а (л-) ко всякому
многочлену Q (х) степени меньшей п:
ь
\ Р(х)(Х (х) со (х) Q (х) dx = 0. (4.1.3)
Возможность построения равенства (4.1.1), верного для многочленов степени
2п + т — 1, равносильна соблюдению двух следующих условий:
а) существует многочлен со (х) = хп + сххп~1 + . . ., обладающий свойством
ортогональности (4.1.3),
б) корни многочлена со (х) лежат на [а, Ь], различны между собой и отличны от
фиксированных узлов а. (/ = 1, . . . , т).
Существование со (а-) можно гарантировать в том случае, когда произведение
р (х) а (х) сохраняет знак на отрезке [а, Ь).
Допустим, что весовая функция р (х) такова, что для нее существует система
многочленов Pk (х) = xk + . . ., ортогональная на [а, Ь]. Предположим, кроме того,
что существует единственный многочлен со (лг), выполняющий условие ортогональ
ности (4.1.3). Можно показать, что со (я) имеет следующее выражение через
многочлены Pk (х):
а(х)со(л;) = Л-1
РпЫ
•Pn(*m)

46 КВАДРАТУРЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ЗАДАННЫМИ УЗЛАМИ [ГЛ. 4
Д =
*Wifo>- • ^«+w-tW
рп(ъ)
Рп 1ат)
Если равенство (4.1.1) верно для всех многочленов степени 2п -\~ т — 1, то
остаточный член равенства может быть представлен в форме
г» r(2/i+m) ,р\
Я = V Р М * (х) со* (.v) '^ g ^ (а < ^ < 6). (4.1.4)
а
Когда произведение р (а-) а (х) сохраняет знак на [а, 6], 2/г + m — 1 будет наивысшей
степенью точности (4.1.1) и остатку может быть придан более простой вид:
ь
R = СТ (YS \ P(x)*(x)a*(x)dx (а^ц^Ь). (4.1.5)
(2/i + m)l J
§ 2. Правила частного вида
Будем считать р (х) > 0. Чтобы р (х) а (л-) сохраняло знак на [а, Ь]9 нужно, чтобы
узлы а- (/ = 1, . . . , т) не лежали внутри [а, 6]. Если избегать построения
квадратурных формул с узлами, лежащими вне [а, Ь], то можно рассматривать лишь два
случая: 1) когда берется только один фиксированный узел на одном из концов
отрезка интегрирования и 2) когда берутся два фиксированных узла по одному в
точках а и 6.
Пусть т = 1 и ах = а.
& п
^p(x)f (х)dxж i4«f (а) + ^ V(**)•
(4.2.1)
Наивысшая степень точности равна 2я. Абсциссы xk являются корнями многочлена
степени п из ортогональной на [а, Ь] по весу р (а-) = (л* -— а)р (лг) системы многочленов
Пл (а-): Пд (дгл) = 0 (k — 1 п). Если Ps (лг) (s = 1, 2, . . .) образуют
ортогональную систему по весу р (лг), то
п,(*)-
к<
■lPMWP,(a)-PM(a)Pt(x)].
Коэффициенты А0 и Ak положительны и имеют приведенные ниже значения. При
записи считается, что многочлены П'п (х) = апхп + ... нормированы:
ь
A0=n-1(a)^p(x)nn(x)dx,
ль = -.
*я+х
оя {xk - а) П„ (хА) Пя+) (хЛ) «„_,(** - а) П„ (хА) П,,.^)

§ 2]
ПРАВИЛА ЧАСТНОГО ВИДА
47
Погрешность равенства (4.2.1) есть
ь
f(2/i+D (r|) ^ p( )( j 8( jdx = j_ f(2*+1)Ql) .
(2* + 1)! Г а* (2я + 1)!
Отметим две квадратурные формулы частного вида. В первой из них отрезок
интегрирования приведен к [0, 1] и вес равен единице:
\ f (х) dx = A0f (0) + J V (*л) + /?я. (4.2.2)
t) /5=1
О
Р^0'п(2л;л —1) = 0, где Pjj0,1)(/) есть многочлен Якоби для отрезка —1</<1;
1
А> =
К-
(п + I)2 »
1
4^(1 ~^)[Р(0'1)'(2^~1)}2 '
Значения xk и ЛЛ для /г = 1(1) 8 даны в таблице 9.
Вторая формула предназначена для интегрирования функций но полуоси [0, оо)
с весом Лягерра:
00 П
( xs e-*f (х) dx = А,/ (0) + 2 -V (**) + Rn (s > -1)- (4-2-3)
о *-»
Степень точности равна 2я. Узлы жк суть нули многочлена Лягерра степени п индекса
s+l:L<,s+1)(«) = 0(ft= 1 /г),
л* - 4 [4S+1)' ад'' ° (s + }" £ *'
i?"=£w"ir(s+w+2)-
Для s = 0 значения дг^ и Л^ формулы (4.2.3) при п — 1 (1)15 приведены в табл. 10.
Обратимся теперь ко второму случаю, когда в квадратурной формуле берутся
два фиксированных узла на концах отрезка интегрирования:
ь п
ip(x)f (x) dx = Af (a) + Bf (b) + ^ AJ (xk) + Rn. (4.2.4)
i *=i
Наивысшая степень точности равна 2п + 1. В этом случае а (а-) = (а- — а) (х -гЬ).
Абсциссы хк есть корни многочлена Пп (х) степени я, ортогонального на [а, Ь] по
весу р (х) = (х — а) (х — Ь)р (х) ко всякому многочлену меньшей степени. Если,

48 КВАДРАТУРЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ЗАДАННЫМИ УЗЛАМИ [ГЛ.
как выше, многочлены Pk (х) ортогональны на [а, Ь] по весу р (дг), то
х гс+2
(х) Рп+г(а) Pn+i(b)
П+1
(х) Рп+1(а) Рп+1ф)
Рп(х) Рп(а) Рпф)
П„ (х) - (х _ а) (д; _ Ь)
Коэффициенты А, В, Ak и остаток R (/) имеют следующие значения:
* *n-iK (хк) Пп_г (х,) (*, - а) (хк - Ь) '
ь
А = [со (а) (а — б)]"1 V р (х) (х — 6) со (х) dx,
£ = [со(&)(&—
"»i
р(х)(х—a)to(x)dx.
со (л:) = (х - *i). . . (х - хп) = — Пп (х),
"я *
(2n + 2)! J
а
Вычисление параметров формулы было сделано для случая постоянной весовой
функции. Чтобы удобнее было воспользоваться свойством симметрии, отрезок
интегрирования [а, Ь] приведен к [—1, 1]:
.1 П
С / (х) dx = Л* [/ (-1) + / (1)] + 2 A J (xk) + Rn (f). (4.
2.5)
Здесь а (дг) = 1 — х2. Многочлен со (дг) ортогонален на [—1, 1] с весом 1 — х2 ко
всякому многочлену степени, меньшей п, и будет только численным множителем
отличаться от якобиевого многочлена Р^1'х) (л-):
mfy>- 2»я1Г(л+3) pd,i)fv)
WW Г(2я + 3) Ип ()'
Параметры формулы и остаток определяются следующими равенствами:
,я + 1 1- - 2
Ah-*« + ~4-$nk'XYW Ao~
(я+ !)(«+2) »
*»</>
_ 8(я + 1)
Г2"П!(я + 2)!]г/'!8п+г)(Л) (_1<г«<-1)
L (2и+3)! J (2я + 2)! V ^ |V- ''
""' (2я+3)(/» + 2)
Численные значения Ак, А9 и дтА при /г = 1 (1)15 даны в табл. 11.

§ 33 ИНТЕГРАЛЫ ПО ЗНАЧЕНИЯМ ФУНКЦИИ И ПРОИЗВОДНЫХ 49
§ 3. Вычисление интеграла по значениям функции
и производных
В более общей задаче*), когда для вычисления интеграла могут быть
использованы не только значения функции /, но и значения производных от нее, был
рассмотрен случай кратных узлов. Правило вычисления будет следующим:
UwfM<k =2 S AkifU)(xk)+ 2 S v(l0<av) + K- (4-3.1)
Точки flv(v= 1, ...,s) фиксированы и могут быть расположены на оси х или в
комплексной плоскости произвольным образом, однако так, чтобы многочлен а (х) =
— (х — а\)Ях. .. (я — as)qs был действительным и сохранял знак на [а, Ь].
Каковы бы ни были xk (k — 1, . . . , m), Akj и £ всегда можно выбрать так, чтобы
правило (4.3.1) сделать точным для всевозможных многочленов степени
л=(г1 + ... + г,я) + (?1 + ... +qs)-\.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы это правило интегрирования было
интерполяционным. Под этим подразумевается нижеследующее. Рассмотрим многочлен
Р (х) степени ^ я, удовлетворяющий условиям
/*» (*> - /"> <*4) {*: J; i;;; "\ _ 1; р<» («j=?» eg {J: 1;;;.
► <7у—*•
Он, очевидно, может быть записан в виде
р (*) =22 ^ (*) /(" (**) + П ^ Wf(|l) к).
/г=1 /=о v=i ^=0
где^^(дг) и Mv (x) есть многочлены степени /г.
Равенство (4.3.1) называется интерполяционным, если его коэффициенты имеют
значения
ь ь
Akj = {р{*) Ч\ (*> dx> в^ = \р W ^ (*>dx-
а а
Дальнейшее увеличение степени точности может быть достигнуто только за счет
специального выбора узлов xk (k = 1, . . . , т). Пусть вес р {х) есть
неотрицательная функция. Подобно тому, как это имело место в§3 гл. 3 для равенства (3.3.1),
узлы xk, имеющие четную кратность rk, в задаче увеличения степени точности
являются бесполезными в том смысле, который будет выяснен несколькими строками
ниже.
Будем считать, что такие узлы xk выделены, абсциссам xk приданы
произвольные значения и они присоединены к фиксированным узлам av. После этого в первой
сумме справа в (4.3.1) останутся только узлы xk(k-= 1, . . . , т) с нечетной
кратностью.
*) См., например, S t a n с и [9].

50 КВАДРАТУРЫ С НЕСКОЛЬКИМИ ЗАДАННЫМИ УЗЛАМИ [ГЛ. 4
Наивысшая степень точности (4.3.1) равна п + ш, и она достигается, если узлы
xk выбрать так, чтобы многочлен со (л-) = (х — хг)Г1. . . (л- — хтУт обладал
следующим свойством ортогональности:
ь
С р (х) а (х) со (х) Q (х) dx = 0, (4.3.2)
где Q (х) есть любой многочлен степени < т и а (л-) = (х •— aj^1 . . . (х — а5)^.
Можно показать, что каковы бы ни были узлы av (фиксированные заранее и
присоединенные к ним узлы xk четной кратности, задаваемые произвольно), существует
многочлен со (х) указанного выше вида, для которого выполняется условие
ортогональности (4.3.2). Такой многочлен может оказаться не единственным *). Если при
этом окажется, что корни **) хк многочлена со (х) отличны от узлов av, то формула
(4.3.1), имеющая наивысшую степень точности п + т, может быть построена. Если
же некоторые из xk совпадут с av, то формула (4.3.1) в том виде, как она записана,
со степенью точности п + т не существует. Вид правой части равенства должен быть
тогда изменен. А именно, следует считать, что кратности совпадающих узлов xk и av
складываются. В таком измененном виде формула (4.3.1) всегда может быть построена.
Значения хк, Ам и В были найдены лишь в небольшом числе простых частных
случаев, когда параметры эти могут быть получены в явном виде***).
Ниже приведены три примера формул такого вида, в каждом из которых можно
указать простые правила для вычисления абсцисс и коэффициентов при помощи
таблиц, помещенных в последней части книги.
1 п
I. [ f (x) dx « C0f (0) + СгГ (0) + S Bk f (xk). (4.3.3)
о
Степень точности равна 2п + 1. Сравним (4.3.3) с правилом интегрирования,
имеющим наивысшую алгебраическую степень точности 2л — 1:
1 п
? *■/(*)<**« Е АкЦхк). (4.3.4)
о
Значения хк и Л^для этой формулы можно найти в табл. 2 приа = 2.
Абсциссы xk в обоих правилах (4.3.3) и (4.3.4) совпадают. Коэффициенты же
С0, Съ Вк вычисляются при помощи коэффициентов A k посредством равенств
ВА = Л* (А = 1,...,л). Co+SB* = 1, C» + S *А = 4-
II. \*V*/(*)ds»CW(0) + Ci/'(0) + ]S «*/(«*)■ (4.3.5)
k=l
*) В случае, когда кратности гк (k = 1, . . . , т) одинаковы, многочлен со (х)
единственный.
**) Они будут располагаться внутри [a, b].
***) Stancu [9].

§ 1]
ВОЗМОЖНОСТЬ ПОСТРОЕНИЯ ФОРМУЛЫ
51
Степень точности равна 2/г + 1. Если сравнить это правило с правилом наивысшей
алгебраической степени точности 2/г — 1 для интегрирования с весовой функцией
Лягерра xs+*e~x
\xs'2e'xf(x)dx^ J] Akf(xk), (4.3.6)
то можно видеть, что хк в (4.3.5) и (4.3.6) одинаковы, коэффициенты же в (4.3.5)
могут быть найдены при помощи соотношений
/г=1 &=1
Значения лгл и Л ^ формулы (4.3.6) для некоторых s приведены в табл. 6.
1 п
III. \/(х)^жСо[/(0) + /(1)]+С1[Г(1)-//(0)]+ 2 Я*/(**)■ (4.3.7)
Степень точности равна 2/г + 3. Сравнение (4.3.7) с правилом наивысшей степени
точности 2/г— 1 для вычисления интеграла по отрезку [0, 1] с якобиевой весовой
функцией х2 (1 — л')2
1 п
V *« (1 - *)» / М ^ « S V <**> (4.3.8)
о *=i
позволяет прийти к заключению, чтол-^ в (4.3.7) и (4.3.8) одинаковы и имеют место
следующие равенства, позволяющие найти С0, Сг и Bk\
Bkx\(i-xk)*-Ak, Co + V ВЛ(1-^)*(1+2дгЛ) = 4-.
Значения xknAk приведены в табл. 4 при а = 2.
ГЛАВА 5
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ С РАВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 1. Возможность построения формулы и нахождение ее узлов
Изучалась задача вычисления интеграла по нескольким значениям функции.
В достаточно общем виде правило интегрирования может быть записано в следующей
форме:
\p(x)f(x)dx^Cn 5J f(xk). (5.1.1)

52 КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ С РАВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1ГЛ. S
Весовая функция р (х) — любая, для которой произведение ее на многочлен
произвольной степени является интегрируемым.
Формула (5.1.1) содержит п + 1 параметров Сп и xk (k = 1, . . . , п), и можно
надеяться выбрать их так, чтобы равенство выполнялось точно для всех
многочленов степени п.
Равенства (5.1.1), обладающие степенью точности, не меньшей п, называют
формулами Чебышева.
Если потребовать, чтобы (5.1.1) было точным для многочлена нулевой степени
ь ь
f = 1, то получится \ р (x)dx = пСп, и условие \ р dx=f=0 поэтому является необ-
а а
ходимым для возможности построения формулы Чебышева. Если не налагать на
расположение xk никаких ограничений и считать, что точки хк могут лежать в любом
месте комплексной плоскости, то указанное условие будет и достаточным для
существования формулы Чебышева. Система уравнений для нахождения хк получится,
если потребовать, чтобы равенство (5.1.1) выполнялось для /= x\i = 1, .... л):
ь
si=x[ + xl2 + ... + xin = C-nli\pxidx (i = l,...,n). (5.1.2)
а
Вводят многочлен
п
со(л:) = П (x-xt) = хп + Аххп-Л+.. . + Апч
/=i
имеющий xt своими корнями. Уравнения (5.1.2) позволяют с помощью известных
соотношений Ньютона между симметрическими функциями si и Ak (k == 1 п)
корней многочлена, найти единственным образом многочлен со (*) и построить,
следовательно, формулу Чебышева (5.1.1).
Если же на узлы xk наложить естественное в задаче интегрирования условие,
чтобы все xk принадлежали отрезку интегрирования [а, Ь), то это условие будет
выполняться не при всяком числе узлов п и не для всякой весовой функции р (х).
Равенство (3.2.4), имеющее степень точности 2л — 1, дает пример весовой
функции р (х) = (1 — х*)~1/г{— 1 < х < 1), для которой формула Чебышева существует
при всех значениях п. При вычислениях xk для других весовых функций каждый раз
случалось, что среди xk оказывались комплексные или действительные, но лежащие
вне [а, Ь]. Это обстоятельство заставило высказать не проверенную до настоящего
времени гипотезу о том, что если формула Чебышева (5.1.1) с узлами,лежа(цими на
[a, b]t существует для бесконечного числа значений п, то р (х) есть весовая функция
Чебышева: р (х) = СЦх — а) (Ь — х)]'*1*-
§ 2. Формулы частного вида
Для случая постоянной весовой функции, ввиду симметрии расположения узлов,
формулу Чебышева обычно записывают в виде
А 2
\f(x)dx^-[f(Xl) + f(Xi)+...+f(xn)].
—1

§ 2]
ФОРМУЛЫ ЧАСТНОГО ВИДА
53
Для п =
/2 = 1
/2 = 2
/2 = 3
/2=4
1 (1) 7» 9 узлы дгл имеют приводимые ниже значения:
о) (х) = х, х\ — 0;
1
со (х) = х2 — А, х2 = - л-1 = 3~ "*" = 0,57735 02691
со (х) = х* - .1 х, х3 = - X! = 2 2 = 0,70710 6781
•w-'-f^+i.
*4 = — X! = 0,79465 44723, х3 = - х2 = 0,18759 24741;
п = 5 со(х) = х*--±х*+Лл:,
л:5 = - xi = 0,83249 74870, х4 = — х2 = 0,37454 14096, х3 = 0;
/2 = 6 «(xJ-^-^+^-jJ-,
хв = — xi = 0,86624 68181,
хь = — х2 = 0,42251 86538,
х4 = — дг3 = 0,26663 54015;
л:7 = — дл = 0,88386 17008,
хв = — х2 = 0,52965 67753,
л:5 = -л;з = 0,32391 18105,
х* = 0;
/2 = 9 СО (х) = л:9 — Чг *7 + -77Г *5 — П^гГ *8 + о^Тлл *•
3 27
со (х) = х9 — -у х7 + ~4Q- х5 -
х9=- xi = 0,91158 93007,
х8 = -х2=: 0,60101 86554,
Xl = - хз = 0,52876 17831,
*в = —х4 = 0,16790 61842,
х5 = 0.
57 з 53
' 560 х + 22 400
При п — 8 и п ^ 10 среди хл всегда будут существовать комплексные *), и формула
Чебышева с действительными узлами не может быть построена.
Для формулы Чебышева при весе Якоби р (х) = (1 — х)а (1 -f х)& (— 1 < х< 1)
и некоторых значениях а и Р была получена оценка значения /2, начиная с которого
среди узлов xk будут обязательно существовать комплексные **).
Формулы Чебышева для интегралов по неограниченной области рассматривались
для классических весовых функций Эрмита и Лягерра ***).
*) См., например, С. Н. Бернштейн [2], [6].
**) Н. И. Ах иезер [1].
***) Н. Е. Salzer [12].

5'j УВЕЛИЧЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРАВИЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 1ГЛ. О
оо п
1. $в-*7мл«Х;«2№-
-оо &=i
п = 1 <о (х) = х, xi = 0;
1 1
л = 2 со (л) = х2 — -тг . *2 = — *i = -т=-;
3 1 —
п = 3 со (х) = х3 — --£- х, х3 = — х\ = тг У*3, х2 = 0.
При /г ^. 4 среди xk обязательно существуют комплексные.
оо п
2. Je-*/WdxsK_ 2/(Jf*).
о k=i
п — 1 со (х) = х — 1, xi = 1;
п = 2 со (х) = х2 — 2х, xi = О, А'2 = 2.
Для всех п^З среди xk существуют комплексные.
В более общем правиле
00 п
\ xae'xf (x)d^ir(a + l)2f (xk)
о ' П *=i
доказано*), что формула Чебышева с узлами xk, лежащими на [0,со), возможна лишь
при п <0,5 (а2 + а + 3 + V а4 + 2а3 + За2 + 10а + 9), если п — четное, и
я<0,5 (а2 + а + 5 + VW 2а8 + 7а2 + 22а + 17), если я - нечетное.
ГЛАВА б
УВЕЛИЧЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРАВИЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
И УЛУЧШЕНИЕ СХОДИМОСТИ КВАДРАТУРНОГО ПРОЦЕССА
§ 1. О содержании задачи увеличения точности квадратуры
Для определенности записи будем иметь в виду задачу вычисления интеграла по
нескольким значениям функции. Остаточный член квадратурной формулы
ь п
R(D=[p(х) f (x)dx- 2 Akf (xk) ' (6.1.1)
a
имеет смысл погрешности приближенного интегрирования. Точное значение R (/)
неизвестно. Для увеличения точности интегрирования нужно из R(f) выделить такую
его часть, которая была бы эффективно вычислимой и которую можно при некоторых
условиях считать «главной частью» остатка и затем добавить ее к квадратурной сумме
2 Ak{ (хл).Во многих случаях это позволяет значительно увеличить точность резуль-
*) А. X. Турецкий (6].

! 1] О СОДЕРЖАНИИ ЗАДАЧИ УВЕЛИЧЕНИЯ ТОЧНОСТИ КВАДРАТУРЫ 55
тата вычислений. В этой главе будет дано описание наиболее употребительных
способов увеличения точности.
Величина остатка R (/) зависит от двух причин: от свойств интегрируемой
функции и от выбора правила интегрирования, т. е. от выбора квадратурной суммы
У) Akf (xk). В соответствии с этим можно уменьшить погрешность интегрирования
R (/) либо путем предварительной подготовки для интегрирования функции /, что
делается обычно при помощи выделения из функции / ее «особой части»,
интегрирование которой дает главную часть R (/), либо путем улучшения квадратурной
формулы при помощи добавления к ней новых членов, также образующих главную
часть остатка.
1. Каждое правило квадратур
\p(x)f(x)dx^% Akf(xk) (6.1.2)
рассчитывается на некоторую гладкость интегрируемой функции /. Например, можно
ожидать, что правило парабол (2.2.12) даст хорошую точность, если/будет
непрерывна на всем отрезке [а, Ь] и на каждом из частичных отрезков [а, а+2/i], [а + 2/t,
а + 4Л], . . . может быть достаточно хорошо приближена многочленом второй или
третьей степени.
Формула Гаусса (3.2.1) с п абсциссами может, наверное, дать высокую
точность, если / допускает хорошее приближение на [— 1, + 1] многочленом степени
2л— 1.
Если избранное правило интегрирования имеет алгебраическую степень
точности т, то при применении его можно рассчитывать получить «малую погрешность»
только в том случае, когда / имеет непрерывные производные до порядка, не
меньшего числа т. Если же порядок дифференцируемости / будет меньше тили даже
функция / будет неограниченной, как это имеет место для несобственных интегралов
некоторых типов, то вычисление интеграла при помощи взятого квадратурного правила
очень часто связано с большой погрешностью. Для увеличения порядка
дифференцируемости представляют / в виде суммы двух слагаемых
f(x) = h{x) + h(x), (6.1.3)
которые выбирают так, чтобы одно из них, например fx (.v), содержало все
особенности / (л-) или главную часть их. При этом fx (x) должно быть таким, чтобы интеграл
ь
pfx dx легко вычислялся точно. Другое же слагаемое должно иметь непрерывные
а
Ь
производные порядка, большего т, для того чтобы интеграл \ pf2 dx можно было с
а
достаточной точностью вычислить с помощью взятого правила квадратур.
Наиболее часто применяемые способы разложения / (л-) на «особенную» и
«гладкую» части /j_ и /2 будут изложены в следующем параграфе.
Будем теперь считать, что функция / имеет непрерывные производные порядка
большего т. Погрешность интегрирования R ({) может быть представлена в виде
ft
R(!)=r-^f{m+1)(t)K(t)dtt (6.1.4)
а

56 УВЕЛИЧЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРАВИЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [ГЛ. 6
Ь
где К (t) не зависит от / и \ K(t) dt ф 0. Одно только повышение порядка дифферен-
а
цируемости / здесь может не привести к большому увеличению точности
интегрирования. В самом деле, если заменить/ какой-либо другой функцией /2(*), имеющей
высокий порядок дифференцируемости или даже аналитической на [а, Ь], но такой, что
производная f[m+1) (х) будет близкой к /<т+1) (д-), то остаток R (/) мало изменится при
такой замене.
При разложении / (х) на слагаемые (6.1.3) мы должны в этих условиях стремить-
ь
ся к тому, чтобы, как и раньше, интеграл \pf\dx вычислялся точно при помощи из-
а
вестных функций. Слагаемое же /2 (х) должно быть таким, чтобы погрешность его
интегрирования
Ь
а
была меньше, чем погрешность (6.1.4) интегрирования /.
Для достижения последней цели /2 выбирают так, чтобы значения,
принимаемые /£m+1* на [а, Ь]> были по абсолютной величине меньше значений,
принимаемых /<w+1).
Можно указать тип интегралов, часто встречающихся в приложениях, для
которых просто указать путь выбора /2, во многих случаях позволяющий уменьшить
погрешность вычислений.
Пусть / (х) есть аналитическая функция на [а, Ь] с особыми точками, лежащими
вне [а, Ь]. Выберем те особые точки, которые могут оказать наиболее сильное влияние
на величину погрешности R (/) и, следовательно, на значения /^/71+1) (х). Обычно
это есть особые точки, ближайшие к [а, Ь]. Чтобы устранить из/ особенности,
отвечающие этим точкам, строят функцию fx (лг), которая интегрируется с весом '
р (х) точно и во взятых точках имеет те же особенности, что и/(л-). Например, если
во взятых точках / (х) имеет полюсы, то за fx (x) может быть принята, по меньшей
мере в некоторых случаях, рациональная функция с теми же полюсами и с такими же
полярными членами в них, что и / (х).
После этого полагают
Так как при построении fx особые точки, сильно влиявшие на величину
погрешности, устраняются, можно ожидать, что погрешность интегрирования /2 при
помощи избранного правила будет меньше, чем погрешность интегрирования /.
2. Предположим теперь, что функция / является достаточно гладкой, так что
большое значение погрешности R (/) объясняется лишь недостаточной точностью
рассматриваемого правила интегрирования.
Чтобы увеличить точность квадратурной формулы, следует добавить к сумме
Akf(xk) новый член, который был бы главной частью остатка f(x). Если при этом
требуемая точность не будет достигнута, то мы должны найти остаток вновь
построенной формулы, выделить из него главную часть и т. д. В результате получится
разложение остатка в ряд по «главным частям» последовательных порядков. Некоторые
методы такого разложения будут.описаны ниже.
2

§ 2] УВЕЛИЧЕНИЕ ПОРЯДКА ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
57
§ 2. Увеличение порядка дифференцируемое™ /
и устранение ее особенностей
Правила разложения (6.1.3) интегрируемой функции / на особенную и гладкую
части связаны с видом весовой функции. Ниже будет рассматриваться интеграл с
ь
постоянным весом \ / (x)dx, и на примере такого интеграла мы постараемся выяснить
а
идеи способов увеличения порядка дифференцируемости / (лг). В этом простом случае
достаточно воспользоваться формулой Тейлора или алгебраическим
интерполированием*) функции /. Для других весовых функций р (х) в некоторых случаях бывает
целесообразнее пользоваться интерполированием по другой системе функций.
Пусть интеграл имеет следующую форму:
ь
( (х — *i)a(p (х) dx, (6.2.1)
а
где хг есть некоторая точка отрезка [а, Ь]. Показатель степени а считается большим
—1 и отличным от целого числа. Функция ср (х) предполагается непрерывной на
[а, Ь] и в точке хх дифференцируемой т раз, при этом ср (л-х) ф 0.
Разложим ф (лг) при помощи формулы Тейлора по степеням х — хъ выделим
некоторое число k <^ т первых членов и затем положим / (лг) = (лг — лг])а ф(лг) =
= /i М + h M. где
h(x) =(x-xi)*
V(*1) + i=i!q>'(xi) + .. . + {X~k^ Ф(Л)(^1)] ,
ь
Интеграл \ fx (x)dx вычисляется точно в элементарных функциях. Функция /2 (х) в
а
точке хх имеет порядок дифференцируемости на k + 1 единиц выше, чем / (лг),
ь
и интеграл \/а (x)dx поэтому может быть вычислен при помощи механических квадра-
а
тур, вообще говоря, с лучшей точностью, нежели (6.2.1). Число k, от которого зависит
порядок дифференцируемости f2 (лг), избирается в зависимости от квадратурной
формулы, примененной к вычислениям так, чтобы порядок дифференцируемости /2 был
не ниже того, на который рассчитана эта формула.
Аналогичное разложение / может быть выполненным и в том случае, когда /
имеет на отрезке интегрирования несколько особых точек степенного типа.
Пусть рассматривается интеграл
ь • ь
^f (x) dx = \ (х - *i)a»....(* — xnfn Ф (х) dx. (6.2.2)
*) Формула Тейлора связана с задачей алгебраического интерполирования / с
одним многократным узлом.

58 УВЕЛИЧЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРАВИЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 1ГЛ. 6
Выделим сначала точку хг и первый множитель (х — хх)9\ произведение же
остальных множителей (л- — лг2)аг. . . (х — л'„)а'1 Ф (л-) разложим по степеням х — хг.
Взяв в разложении kx первых членов, можно, как в предыдущем случае, разложить
/ (х) на слагаемые:
/М= 1/W-fiWl + fiW,
где /i (х) есть произведение (л- — х^*1 на указанный отрезок разложения Тейлора,
а / (х) — fx(x) имеет в точке хх производные более высокого порядка, чем /.
Сходным образом строятся разложения / для других особых точек xk (k = 2, . . .
/ W = [/ (дг) - fk (х)].+ fk (x). (6.2.3)
После этого заданный интеграл разбивается на два:
ъ ь ь
\ ! (х) dx = J [/, (*) + ... + fn (x)] dx + \[f (x) - h (x) - ... - f л (*)] d*. (6.2.4)
с a a
первый из которых вычисляется точно. Функция же, стоящая под знаком второго
интеграла, будет иметь, если ф достаточно гладкая, порядок дифференцируемое™
выше, чем /.
Описанный способ использования ряда Тейлора для повышения
дифференцируемости / (а-) применим, очевидно, всегда в том случае, когда интеграл имеет вид
ь
\ ty (х) Ф (*) dxt
а
гдег|? (х) имеет особенность в некоторой точке хх отрезка интегрирования и является
ь
такой, что интегралы \ г|> (дг) (л* — xx)k dx {k = О, 1, . . .) вычисляются точно, а ф (дг)
а
имеет в точке хх производные до некоторого достаточно высокого порядка. К этому
ь
виду принадлежит, например, интеграл \ (л- — хх)а \gp \ х — хх | ф (x)dx, где a >—1
a
и р есть целое число.
До настоящего места предполагалось, что особые точки xv , . . , л^функции/
лежат на отрезке (a, b)t и в соответствии с этим считалось ах, . . . ,ал > — 1. Но те
же самые идеи могут быть применены и в том случае, когда / (дг) есть аналитическая
функция переменной дг, особые точки которой лежат вне [a, b], и мы стремимся к тому,
чтобы устранить эти особенности у интегрируемой функции или по меньшей мере
ослабить влияние их на величину погрешности интегрирования.
Пусть, например, хх лежит вне [а, Ь], функция / имеет в хх полюс порядка т и
ф(х)* .
представима в виде f (х) = , где ф (дг) есть регулярная функция в доста-
(х — хг),п
точно широкой области, содержащей внутри себя [a, b] и xv Разложим ф (х) по
степеням х — хх и выделим все члены со степенями до k включительно, считая k^m
и затем положим
k
h (*) - (* - *irm S (X~,*')V <P<V> (*i). h (*> = / W - h (*)■

§ 3] РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЙЛЕРОВА ВИДА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА 59
Ь
Интеграл \ fx (x) dx вычисляется точно в элементарных функциях, функция же /2 (х)
а
не будет иметь особенности в точке хг и интегрирование ее при помощи правила (6.1.1)
будет более точным, чем интегрирование /.
Если же т есть дробное число и / имеет ветвление в точке дг^то при помощи
указанного выше преобразования можно ослабить влияние точки хх на точность
интегрирования и уменьшить численное значение погрешности R (/).
Аналогично поступают в том случае, когда нужно устранить несколько
полюсов или ослабить несколько особенностей / (х) другого вида.
§ 3. Разложение эйлерова вида остаточного члена
квадратурной формулы
Способы разложения остатка приближенной квадратуры в ряд по главным
частям возрастающих порядков зависят от свойств ядра К (х) в интегральном
представлении остатка (6.3.1).
Остановимся сначала на разложениях, связанных с известными формулами
Эйлера —- Маклорена. Если правило интегрирования (6.1.1) имеет алгебраическую
степень точности т —- 1, остаток его R (/) представим в виде следующего интеграла
ь
R(t) = (fW(x)K(x)dx, (6.3.1)
а
где ядро К (х) не зависит от /. Будем считать отрезок интегрирования [а, Ь]
конечным. Если К (х) мало изменяется на [а, 6], то «главным значением» К (х),
оказывающим наибольшее влияние на численное значение R (/), будет среднее значение
К (х). Чтобы выделить из R (/) главную часть, достаточно положить
ь
К.(х) = С0+ [К (х) - Со]. Со = (Ь - а)"1 С /< (х) dx,
а
bt Ъ
R (/) = Со [ f{nl) (х) dx + С /<"г> (л-) [К (х) - Со] dx =
а а
Ь
= С0 [/И"1) (Ъ) - f <""« (а)] + С /<т+1> (О U (0 dU
а
t
ыо «J [с0-/см] л.
а
Здесь Со [f^4"1^ (Ь) — fm~l) (а)] есть первый поправочный член квадратурной
ь
формулы, а ^ f(tn+U (t) U (t) dt — новый остаток. Если это преобразование выпол-
а
нить s раз, получится нижеследующий аналог формулы Эйлера — Маклорена:
\ р (х) f (х) dx = J] A J (xk) + Со [/("1-г) (Ь) - /<"•-« (а)] + .. . +
+ C,.j [/"'i+s-2) (Ь) - /<"'+s-2) (а)] + Rs (/). (6.3.2)

60 УВЕЛИЧЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРАВИЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ СГЛ* 6
f(6.3.3)
Коэффициенты С. и остаток Rs (/) могут быть найдены рекурсионно:
ь t
U (t) = К (0. С, = (ft - a)"1 J I, (х) dx, Li+1 (t) = J [С,- - L, (*)] dx,
a a
b
«,(/) = J/(m+i) W^WA
а
или при помощи следующих их выражений через многочлены Бернулли:
мо--едк<«>[в;(^)-в;(.^)]-=
- (m + S)! ** [ m+s \b-aj **т+8 [ b _ a /J * >
Здесь В (л-) есть многочлен Бернулли степени р и В * (а*) есть 1-периодическая
функция, совпадающая с Вр (х) при 0 < дг < 1; £ — число Бернулли.
Ниже приводятся формулы вида (6.3.2) для правил интегрирования частного
вида.
1. Формула Эйлера — Маклорена. Она применяется для увеличения точности
общего правила трапеций (2.2.10):
ь v-i 2^
J / (х) dx = Тп - 2 -~ В* If12*'1» (Ь) - fM-» (a)] + Riv (/) =
а к=\
h2 hl №
= Tn-l2 [/' <*>-/' Ш + 720 t^<3)<b> ~^ («)' - 30240 ^<6><6> ~^ <eM +
/l8 w /l10
+ T209W t/<7> <b> - ^ («)] - 47900160 I/"'*») ~ ^ Ml + •••+*» </).
(b.3.4)
Tw = /i[|/(a) + /(a + /i) + /(a + 2/i) + ... + yf(6)],
l /i-i
*2V (» = li S ^ (U) ~ ^ S /<2V> <* + Л" + /Ш> **'
ft-a
Многочлен J32v (w) — B2v сохраняет знак (— l)v на промежутке 0 < и < 1.
Если /(2v> (л-) непрерывна на [а, ft], то существует такая точка £бЕ [a, ft], что для
остатка /?2v (/) верно равенство
/,2v+i „
«,.(/) —72^rV(,v)«)- (6-3.5)

§ 3] РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЙЛЕРОВА ВИДА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА 61
Если, кроме того, /*2v) (л*) сохраняет знак на [а, Ь], то
I-2VE»
Riv (/) = - в (2 - 2-*v+1) -щф [/<•*-« Ф) ~ /««-«(а)), 0 < в < 1.
Можно указать условия, при которых для остатка /?2v(/) верна теорема л ейбницева
типа. Пусть f имеет на [а, Ь] непрерывную производную порядка 2v + 2 и при
любых хе [а, &] либо /(2v)(*)>0 и /(2v+2) (х) > 0, либо /<2v)(*K0h /(8v+a)(*K0.
Тогда /?2v(/) имеет тот же знак, что и
/i2vB2v
и по абсолютной величине не больше этого члена разложения.
Применение (6.3.4) к вычислениям требует знания значений производных
/', /'", ... в точках а и Ь. Если функция / дана таблицей значений fk — / (а + kh),
мы должны для применения (6.3.4) выразить производные через значения fk.
Если предположить, что можно пользоваться значениями / только в точках
отрезка [а, Ь], то при нахождении производных в точке а (или Ь) естественно выполнить
интерполирование их по значениям /0, fv f2t . . . (или /я, fn_v fn_v . . .). Это
приведет к равенству Грегори
ь
i» h }г 19ft
УМ dx = Tn - -jj (A/^! - Д/о) - -24 (A V2 + A3M - ^ (AVs ~ A'M ~
a
ЗА 863ft 275ft
- 160 Wn-i + Д4/»)-60Ш <Д5^-з" Д5/»)" 24T92-(Д V« + A«W — ■ ■ "
-С4А(ДХ-* + (-1)' 4) + «.(/), С4 = (|=5у,^(*-1)... («-4)Л. (6.3.6)
О
Если же допустить, что для вычисления /' (а), /'" (а), . . . [или /' (Ь), /'" ф), . . .]
можно использовать также значения / в точках хк — а + &й, лежащих вне отрезка
[а, 6], то можно получить видоизменение формулы Эйлера — Маклорена с
центральными разностями (Гаусс), которое во многих случаях будет более благоприятна для
вычислений, чем (6.3.6):
ь
^f(x)dx = Tn-~2 • 4"[(Д/« + А/я.1)-(Д/о+А/.1)1 + ^ • -у [(Д3/„_1 +
а
191Л 1
+ AVJ - (А3/..! + А3/_2)] - eo^go ' Т I (А V2 + А5^-з> - (АЗ/-2 + A V-*)J +
2497/г 1
+ 3628800 ' Т КА Va + A1fn-i>~М-з + Д'/-4)1 + • • • +
+ С^А.у '<At*"V«-*+i + A2*-V„-*)-(A2*-]/_ft+1 + A2*"1/-*)] + Л. №.3.7)
1
С** " (2А)Т J (« + * - 1Х« + * - 2) • • . (и - *) d«, /? = пСгк+/гк) (|).

62 УВЕЛИЧЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРАВИЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [ГЛ. 6
Наряду с (6.3.4) мы укажем на аналогичную формулу, которую иногда называют
второй формулой Эйлера — Маклорена. По величине погрешности она близка к
(6.3.4) и может применяться для увеличения точности правила прямоугольников,
в котором абсциссы берутся в срединах частичных отрезков [ak, ak+i\:
ь
J/(*№ = /* [/(а+ 4-/')-^
a
*-*/£* л _ 2~2ku)B ,
+ S (2*)1 1'(2*_1) (« - f{2k'l) («И +
i ,
+ wSK(t-()-^(t)] S /(,v)(e + 'A+w)* =
0 1=0
/;2 7M O/j/,0
- AS„ + 24 [/' (6) - /' («)) - 5гё0 f^(3) W - '<3> <«" + ЭТОГ l'(5) <« - ^(5> <a» -
1 ?7/z8 —
;[/(7)(«-/(7)(«)] + ... + ^v(/). (6.3.8)
154 828 800 '
* 1 1 —
Функция J32v (— — t) — £2v (_), стоящая под знаком интеграла в остатке /?2v (/),
z z
сохраняет знак (— l)v на [0, 1], и для R2v (/) верны утверждения:
Если / имеет на [а, Ь] непрерывную производную порядка 2v, то существует
такая точка £ €= [а, Ь], что для остатка /?2v (/) верно равенство
^2v (» = тКг(1 - 2"2v+1) V(2V) (D- (6-3-9)
Сравнение этого представления остатка с (6.3.5) позволяет утверждать, что если
/(2v)(jr) сохраняет знак на [а, Ь], то остатки формул (6.3.4) и (6.3.8) имеют
противоположные знаки. Последнее может иметь значение для контроля точности результатов
вычислений.
Если /*2V) (л*) сохраняет знак на [а, Ь], то
Я* (0 = в (2 - 2"2V+1)-^- [Р2*-» (b) - /^ (а)], 0 < в < 1. (6.3.10)
Если f имеет на [а, Ь] непрерывную производную порядка 2v + 2 и при
любых х е [а, Ь] либо /<2v) (х) > 0 и /<2v+2) (л) > 0, либо /<2v)(jc) < 0 и /(2v+2)(a'K0,
то остаток R2v (/) имеет тот же знак, что и член разложения
h^ /\ __ 9""2v+l,i Я
(2v)l t^W-Z^ta)].
и не больше его по абсолютной величине.
Как и для (6.3.4), для второй формулы Эйлера — Маклорена (6.3.8) могут быть
построены видоизменения, в которых производные заменены их выражениями через

§ 3] РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЙЛЕРОВА ВИДА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА 63
конечные разности функции. Ниже приведено одно из таких видоизменений, в
котором производные f^k~h (Ь) и f№~D (а) (£ == 1,2,.. .) заменены выражениями через
центральные разности (Гаусс):
V—1
а *=0 k—\
- Д2*-]/ [а + у h - *ft)] + R2V = hSn + ^ [ Д/ (a + пЛ - \ h) -
~Af(a —5-л)]-шН(а + пА—TA)-AV(«-TA)] +
+ о^тУп [Д5/ (а + nh - y h) - ДV (a - 4"Л)] ~
967 680
27 859Л Г / 7 \ / 7 \1
-464 486 40oH(a + ^-T/')-A74Q-Tft)J + --->
2
2. Правило увеличения точности общей формулы парабол (2.2.12) имеет вид
J f (х) dx=vn + 2 Ц§ <* - 2"*+2>в* и{*~" <« - z'2*-" («и+*2V (я=
= "» - ш ^ <6> - '(3) см + ш ^<5) <*> - '<5' си -
/г8
~ 14400"^<7) W~ f™С)! + •' • + *t»Cf). (6-3.12)
где
Va=—{f(a) + f(b) + 2[Ha + 2h) + ... + f(a + (n-2)h)] +
+ 4[/(в + А) + ...+/(в + («~1)А)]}.
** ш = fjSyr j К («) - b.2v+2 [в; (4—«) -
,\2v+l *
Г"'
~ ^ (t)]} 2 f(2V> (a+2*Л+2/ш>rfw-
p=0
Функция, стоящая в фигурных скобках в интегральном представлении остатка,
сохраняет знак (— I)*"1 при 0 < и < 1, и для остатка /?2v (/) верны утверждения,
аналогичные тем, которые были высказаны об остатке формулы Эйлера — Маклорена
(6.3.4).

G4 УВЕЛИЧЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРАВИЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [ГЛ, 6
Если /(2v) (л-) непрерывна на [а, Ь], то
*2v (0 = П4щГ (* ~ 2"2^) Bf/*> (5). (6.3.13)
Если, кроме того, /*2v,) (дг) сохраняет знак на [а, 6], то
(Oh)2"
R» M = 2в з (2^У1 <* - 2"2V) B2v f^<2v-1) (*) - /<2V-" («)], о < в < l.
Пусть / имеет на [а, 6] непрерывную производную порядка 2v + 2. Если при
всяких х е [а, Ь] будет или /(2v) (*) > О и f(2v+2) (*) > 0, или /(2v) (*)< О и
/(2v+2) (*)< О, то #2v(/) имеет тот же знак, что и
&£L (1 _ 2-2v+2) ^ [/(2v-i) ф) _ ,<»-„ (e)]j
и по абсолютному значению не больше этого члена формулы.
3. Для общего правила трех восьмых (2.2.13) равенство эйлерова вида (6.3.2)
будет следующим *):
ь k
Sfw^-^+Ищ]'1- 3_2*+2) в«* [/<2*"1> (Ь) ~ /(а*~"(a)1 =
а k—ч
= Vn - W [/(3) (*) - /(3> («И + Щ 1/(5) W - /(6) (а)] -
~ ш 1'<т) w - '(7> <а>] + • • •• <e-3-u>
V„ = -g-A[/•+ f„ + 2(/» + ^e + Л + —)+3tfi + ^. + /* + /. + f» + /• + ...)]-
4. Остановимся еще на правиле увеличения точности квадратурной формулы
гауссова типа (3.2.2) для весовой функции Якоби р (х) = (1 — х)л (1 + *)0- Для нее
правило Эйлера (6.3.2) имеет вид
X
J (l-*)"(l+*)3/(*)rfx~2 Akf(Xk) + Colf(2n-1)(V-fm-1)(-l)\ +
—i ft=i
+ C,[/<*,>(i)-f<",,(-i)]+...,
2'^+Wnl г'(а + в + 1)Г(р + в + 1)Г(а + р + я + 1)
c° - (2л)! (а + 3 + 2л + 1) Г*(а + 0 + 2п + 1)
Г г Р~а Г а + Р ' i "Л
u-Lo(a + 0 + 2«)(2/! + l)L« + 0 + 2n + 2 + ZnJ-
*) Знаком — обозначено соответствие между интегралом и рядом. Ряд может
быть расходящимся.

§ 4]
УВЕЛИЧЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ
65
Для ультрасферического случая а = Р коэффициенты С/ нечетных индексов i все
равны нулю и
22ап\ Г (2а +п + 1) Г2пГ(а + п + 1)l2
Со = "
(2л)!(2а + 2я + 1)
Г2'Т(з + /1 + 1)Г
[_Г(2а + 2/г + 1)] •
__ 2а + 2лг + 1
Сг - С° (2л + 1)(2« + 2)
2я2 + 2 (2а + 1)я + 2а— 1
+ г7
L (2а + 2п — 1) (2а + 2л + 1) (2а + 2п + 3)
/2 (л — 1) .(л + 1)(2л + 1)
+
(2а + 2/г — 1)(2а + 2/г + 1)
3 (2а + 2/2 + 1)
В частном случае формулы Гаусса (3.2.1) для интегрирования с постоянным весом
р (х) = 1 (а = Р = 0) формула эйлерова вида будет
S /M'fc-SVW+isn:
*-]
(2/? + 1)!
2я_(л!)*_
"12/0!
^(2Я-1)(1)_^(2Л-1)(_1)1 +
1 Г 2/z2 + 2п — 1 п (п — 1) ___ /г + 11
+ 2/г + 2 L (2« — 1) (2/2 + 1)"(2/г + 3) "•" (2/г — 1) (2/г + 1) 3 J X
X [pi)(l)-f(^i)H)| + .. .}.
§ 4. Увеличение точности правила интегрирования в случае
существования короткого главного участка интегрирования
в интегральном представлении остаточного члена
Пусть правило интегрирования
\p(x)f(x)dx = %Akf(xk) + R(t)
(6.4.1)
имеет алгебраическую степень точности т — 1. Остаток представим в виде интеграла
ь
R(f) = ^m\x)K(x)dx.
Допустим, что на [а, Ь] существует участок [ос,Р], вне которого ядро интеграла К (х)
принимает «малые значения» и быстро убывает при удалении от [а, р]. В
образовании численного значения R (/) интегрирование по [а, |5] будет играть главную роль.
Если, кроме того, /*т) (л*) будет мало изменяться на [а, р], то для выделения из R (/)
главной части достаточно выбрать на [а, р] какую-либо точку а0 и разложить R (/) на
два слагаемых:
ъ ь
R(f) = f(«) (Яо) V К (х) dx + С [fW (Х) _ fW (ao)j f{ до dx.
a a
3 В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина

66 УВЕЛИЧЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРАВИЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГГЛ. 6
Первое слагаемое дает главную часть остатка. Для уменьшения второго слагаемого
можно воспользоваться выбором а0. Когда ядро К (х) сохраняет знак на [а, Ь], за
а0 следует выбрать абсциссу той точки, вблизи которой концентрируются
наибольшие по модулю значения К (х), и считать а0 равным средней абсциссе по весу К (х):
ri?
сю = ГС К (х) dx~\ С хК {х) dx.
а а
Это приведет к следующему разложению остатка:
ь
R (f) = C0f{m) Ы + С f{rn+2) (х) Кг (х) dx,
а
Ь Ь
С0= \jK(x)dxi Кл (х)=^К(х) [£(х —0-.£(а0 —/)] (x-t)dt.
а а
Если повторить указанные преобразования несколько раз, получится правило
увеличения точности квадратуры (6.4.1):
о п
$ р (я) / (*) dx = ^ Akf (**) + Cof{m) («о) + С^"1* 2> (сц) + . . . +
а Аг=1
Ь
+ С^ f{mnv-2) (а,.,) + $ /<«+ »»> (х) Kv (х) dx, (6.4.2)
а
Ъ
Ко (х) = К (х), Км (х) = jj К, (О [£(/-*)-£ (а0 - х)1 (* - х) Л,
а
Ь. Ь
С£ = \ К • (х) dx, а,- = CJ1 ^ х/(,. (х) dx.
а а
Когда /С (а-) сохраняет знак на [а, £], все /Ct (x) будут иметь тот же знак, что и К (х).
Ниже приводятся равенства вида (6.4.2) для некоторых квадратурных формул,
имеющих наивысшую алгебраическую степень точности.
В правиле (3.2.2) с весовой функцией Якоби р (х) = (1 — х)р(\ + x)q главный
участок интегрирования в остатке R (/) будет тем меньше, чем больше будет какой-
либо из показателей степени р или q. Равенство (6.4.2) с одним уточняющим членом
будет следующим:
1 п
^ (1 ■_ xf (1 + x)4f (x) dx= ^Ak f (xk) + Cof{2n) (do) + . . . ,
2W+*«+hi\ Г (p + n + 1) Г (q + n + 1) Г (p + q + n + 1)
C" ~ (2л)1 Г (p + q + 2/i + 1) Г (р + 4 + 2я + 2) ' lb-'-*>
_ ?-P[ я я + 1
a° ~ In + 1 [p + q + 2n ■*" p + ^ + 2л + 2

8 5] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ ИНТЕГРАЛА 67
В ультрасферическом случае р — q все ak (k — 0, 1, . . .), ввиду симметрии,
обращаются в нуль и правило увеличения точности (6.4.2) будет таким:
[ П - x2)Pf (v) dx - У Ahf IxA + #р+*п+1Г*1р + п + 1)Г(2р + п + 1)
} х ( } ' {) ~ £ k ' (к) ^ (2/1)! Г (2p+2/z + 1)r(2p + 2/i+2) Х
х V (U) ^2(2п + 1) (2п + 2) L 2р + 2/1 + 3 ^2р + 2/г -1J' (")+•••;•
Для интегралов (3.2.7) и (3.2.8) с весами Лягерра р (х) = xse~x и Эрмита р (х) = е~х*
правила (6.4.2) имеют следующий вид:
00 П
5 *V*/ W ^ = 2 А^ ^ + "' Г (%+" + 1} /<2'° («о) + . . . , (6.4.4}
2«*
а0 = 1 + s +
2/г + 1 #
00 /I
-оо /г-1 ^ 1^Я L
+ 2 (a.VlH^ + 2) /,2"+2)W + --- ]• («-4-5)
§ 5. Улучшение сходимости последовательности приближенных
значений интеграла
При приближенном вычислении интеграла по какому-либо квадратурному
правилу *)
ь
I (/) = \ Р М! (х) dx^Yi Akf № = Qn (0. (6-5Л)
a
после того как избран вид правила вычисления — трапеций, парабол, Гаусса и др.,
необходимо определить число п слагаемых в квадратурной сумме Qn(f), при котором
можно получить нужную точность.
Принципиально говоря, это можно сделать путем анализа остатка правила (6.5.1).
Но выполнить анализ часто бывает трудно, или даже невозможно, и тогда для
нахождения численного значения интеграла обычно задают, пользуясь опытом или
какими-либо другими ориентировочными соображениями, несколько значений для п —
чаще всего два-три значения — и находят соответствующие им приближенные
значения Qn (/) интеграла.
Простое сравнение этих значений позволяет иногда судить о точности, с которой
найден интеграл / (/). Например, как правило, считают, что первые десятичные знаки,
*) Во всех последующих рассуждениях правило (6.5.1) считается сходящимся:
«-►00

68 УВЕЛИЧЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРАВИЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ГГЛ. в
одинаковые во всех найденных значениях Qn (/), будут вместе с тем верными
знаками / (/).
Но это есть лишь первое и грубое следствие, которое можно извлечь из
результатов вычислений. В связи с задачей получения более точных сведений рассматривалась
следующая проблема улучшения сходимости последовательности приближенных
значений интеграла / (/).
Обозначим выбранные значения п через nv п2, . . . , я,, . . . и рассмотрим
последовательность соответствующих им
<ЭП, (/)• Qni W . • • •. Qn, (/)•••• (6-5-2)
Необходимо было указать правило, по которому (6.5.2) можно преобразовать в
новую последовательность
Sv S2, . . . , 5/, . . . , (6.5.3)
сходящуюся к тому же пределу / (/), но более быстро *), чем (6.5.2).
Правила преобразования могут быть весьма разнообразными. Наряду со
специальными правилами, предназначенными для последовательностей, сходящихся по
некоторому определенному частному закону и, следовательно, применимыми к
квадратурным процессам частного вида, могут быть построены общие правила
преобразований, применимые к любым последовательностям (6.5.2) и к любым квадратурным
процессам.
Приводимые ниже методы улучшения сходимости основаны, по сути дела, на идее
интерполирования.
Мы начнем с рассмотрения одного частного преобразования, часто применяемого в
счетной практике.
Пусть узлы х% в правиле интегрирования (6.5.1) являются равноотстоящими с
шагом h:
ь
jj р (х) f (х) dx « ^ Ak W f (*> + M) = Q (A, 0, (6-5.4)
a k
b — a
a<*o<a + h, h = —— .
Суммирование по k выполняется от нуля до п — 1 или п в зависимости от того,
будет ли х0 > а или х0 = а.
*) В общем виде задача улучшения сходимости последовательности может быть
высказана следующим образом: дана произвольная сходящаяся последовательность
чисел «lf и2, . . . , ип, . . . , lim ип = и. По ней нужно построить новую последо-
га-*юо
вательность vv v2, . . . , vtn, . . ., сходящуюся к тому же самому пределу и} но более
быстро, чем заданная последовательность.
Эта задача равносильна аналогичной задаче для ряда, которая изучалась с
большой обстоятельностью в конце прошлого и начале текущего столетия. В случае рядов
рассматривались преимущественно линейные преобразования одного ряда в другой.
Задача улучшения сходимости последовательности имеет свои особенности, которые
делают нелинейные преобразования, такие как 62-процесс Энткена и некоторые
другие, для последовательностей более естественными, чем для рядов. Мы будем
излагать теорию улучшения сходимости последовательности только в той мере, как она
применяется в настоящее время в численном интегрировании.

§ 5] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ИНТЕГРАЛА 69
Допустим, что остаток R(hyf)= V pfdx — Q(h, f) будет малой величиной по-
а
рядка т относительно А:
R (hy f) = Л* С (А), С (/г) -> С ф О (Л -» 0). (6.5.5)
Например, из формулы Эйлера —- Маклорена (6.3.4) следует, что при Г (Ь) — /' (а)ф0
погрешность общего правила трапеции (2.2.10) будет иметь второй порядок малости
относительно А. Аналогично из (6.3.12) видно, что для /(3) (Ь) — /-3) (а) ф 0
погрешность общего правила парабол (2.2.12) имеет порядок малости, равный четырем.
Для любого А будет верно следующее точное равенство:
M/) = Q(A, f) + hnC(h).
Если h взято достаточно малым, то С (h) будет близким к предельному значению С и
будет приблизительно верным приведенное ниже выражение для интеграла / (/),
содержащее одну неизвестную постоянную величину С:
/(/)~Q(A, f) + hmC.
Предположим теперь, что вычисления по правилу (6.5.4) выполнены для двух
значений hx и h2 шага А. Для каждого из этих значений h будет справедливо
предыдущее равенство, и это дает возможность исключить неизвестную величину С и
получить для / (/) уточненное значение
Q (Л„ f)-Q (A,, f) К Q (А* /) - A?Q (Ль f)
I (/)«Q (Ai, /) + A» w ,„ - .,„ ,
2
(6.5.6)
В частном, наиболее часто встречающемся случае, когда для вычисления второго
чения интеграла шаг А делится по
принимает более простую формулу:
значения интеграла шаг А делится пополам: Нг — Л, h2—-r-h, предыдущее правило
2mQ (4: A, f)-Q(tU f)
/(/)= £^—| . (6.5.7)
Если выбрана убывающая последовательность значений A: hx >Л2 > . . . (А, -» 0)
и рассматривается соответствующая им последовательность Q (Ау,/), то (6.5.6) можно
истолковать как первый шаг в преобразовании Q (Л., /) в новую последовательность
I,'!' Q(A/+1. /) - ft£tQ (A., 0
S/ - -—-jzr—J l—• (°-5-8>
п! ~~ nj+l
которая будет, вообще говоря, сходиться к / (/) более быстро, чем Q (А-, /).
Вместе с тем (6.5.8) можно рассматривать как правило интерполирования
предельного значения lim Q (h, f) = 1(f) по двум соседним членам последовательности
Л-М)
Q(A/, /).

70 УВЕЛИЧЕНИЕ ТОЧНОСТИ ПРАВИЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ [ГЛ. 6
С целью получить более точное правило, чем (6.5.8), можно для
интерполирования / (/) привлечь больше двух значений Q (Л, /). Пусть из последовательности
Q (А,, /) (/ = 1, 2, . . .) взято г + 1 величин: Q (//,., /) - Qp Q (/r/+J,/) = Q/+1,. ..
. • • , Q (Л/+г» /) ■= Qf+r- Выбор семейства функций, при помощи которых
выполняется интерполирование / (/), тесно связан со свойствами остатка R (h, /) =
=/ (f)—Q{h, /). В большом числе практически важных правил интегрирования (6.5.4)
остаток будет четной функцией h. Тогда, при принятом выше предположении о
порядке малости остатка, для интерполирования могут быть взяты многочлены вида
Ф (А) = а0 + amh'" + ат+г А'»+* + ...+ ат+2г_^->.
Коэффициенты а0, ат, . . . , am+2r~2 выбираются так, чтобы выполнялись условия
Ф(\)= Qs« « = /»/+ 1. • • • ./+ г.
После этого приближенно полагают
/(/):
Mm ф (А) = а0 =
А-Ц)
А -=
л?1
Am+f
an
Л/+1
nl + l
.1
. Л?1
' '7+r
un\2r~2
^(Q)=
A(Q)
д ■
«/
7
(6.5.9)
Q/41
'7 + L '
i,m+2
. A™
i,tn+2r~2 /.ш+аг-2
"/ '7+I
iinHr-2
При г = 1 отсюда, как частный случай, получается двухчленное правило (6.5.8).
Если г = 2, получится более точное трехчленное правило, которое, для
упрощения обозначений, мы запишем, считая / = 1:
/ (/) « [Q,A™A« (A« -A») + <?2А»'Л'/' (Л* -Л*) + CM»'/,»' (*J -Л?)] :
: [h"hf (А* - hf) + A»'Af (AJ - A|) + A»"A- (ft« - A»)] .... (6.5.10)
В частности, если для получения следующего приближенного значения
интеграла предыдущий шаг делится пополам: hx — hji2= —- К Ы — -у h, это правило
принимает простой вид:
/(/)
15-2l/>Qa--3Qi-3.22',l+2qa
15.2w-3-3.22m+2
(6.5.11)
Если остаток квадратуры R (И, /) не является четной функцией А, то для
интерполирования / (/) применяют многочлены
+ (Л) = а* + amhm 4- я//|+1 Л""'1 + • • • + "„
,ЛЯ
В этом случае, после того как выполнены условия J (ЛJ --- (?s (s =■ у, ...,/+- г),
получится правило для нахождения / (/), отличное от (6.5.11):
6 (Q)
У (/; » lim у (//) = а0 = -*—
(6.5.12)

* 5] ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ИНТЕГРАЛА 71
1
hf
hm-n
i
1
h™
hni+l
im\-r-\
'7+1
.. 1
• • "f+r
. . h'!ul
nl+r
, «(Q) =
Qf
hrjl
hm+i
hmvr-A
<?/+i • •
A£i ••
лт|1 ..
7+1
"/ + 1 * •
'■ <?/" • I
■ >c
i,m+r-i
• nj+r
Для r = 1 отсюда вновь получится (6.5.8). При г — 2, т. е. для трехчленного
интерполирования / (/), если правило записать при / = 1, будет
/ (/) ж [Qi/i^ (Л, - Л2) + QJty? (Л, - Л,) + QJi'fh™ (Л, - ЛО] :
: [Л^Л™ (//з - Ля) + h%h™ (Л1 - Л3) + Л[ЛЛ« (Л2 - hi)] . (6.5.13)
Когда для нахождения каждого следующего значения Q;- шаг h делится пополам:
it бол<
Qi-3.2mQ2 + 22m+1Q3
1 1
/i2 = k, h% = -— A, hs = — h> это равенство примет более простую форму:
/(/)-
(6.5.14)
^ 3-,;W -- 22ш+1
До сих пор излагались правила улучшения сходимости для простейшего случая,
когда погрешность квадратуры R (hy f) представнма в виде R (h, f) — hm С (h)y
С (h) -» С =/= 0 (h -» 0), где m не зависит от п.
В других, более сложных случаях может быть полезным метод обычного
алгебраического интерполирования, излагаемый ниже.
Возвратимся к общему квадратурному правилу (6.5.1). Введя для удобства за-
1
писи величину /t= —, не имеющую сейчас смысла «шага», запишем (6.5.1) в виде
ь п
\p{x)f (х) dx = ^ Akf(4) + R (л> П = Q ^ f) + R (h> f >■ (в.5.15)
а *=l
Ввиду предположенной сходимости квадратурного процесса, будет Hm Q (h, f) =/(/).
Пусть избрана последовательность Л, (/ = 1, 2, . . . ; Л. -> 0, / ->ос ) значений h,
для которой вычисляются квадратурные суммы Q (И., /) = Q..
Предположим, что из последовательности значений Q. взято г+ 1 членовф.,
Qy-. j Ф/+г Для интерполирования Q (h, f) по этим величинам возьмем
алгебраический многочлен *) степени г от h:
Ф (/7) = до + fliA + . . . +ar/ir , (6.5.16)
*) Выбор алгебраического многочлена в качестве средства интерполирования
не всегда будет наилучшим, так как характер зависимости многочлена от А может
быть не согласован с законом сходимости Q (Л, /) -» / (f) (h -» 0). Например, если
функция / аналитическая на [а, Ь], квадратурный процесс наивысшей
алгебраической степени точности сходится по закону, близкому к геометрической прогрессии,
знаменатель которой будет, вообще говоря, тем меньше, чем шире область
аналитичности /. В этом случае для усиления скорости сходимости последовательности Q (Л, /)
1
№=", л ==-1,2,...) предпочтительнее, по-видимому, было бы пользоваться
62-процессом Эйткена, или его видоизменениями.

72
ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
[ГЛ. 7
коэффициенты которого а0, . . . , аг определим из условий ф (h£) = Q (h{, f)
(/ = /,/+ 1, ... ,/ + *)•
Записать интерполирующий многочлен ф (h) можно, например, в форме Лагранжа
f+r
* w - 2 <н-У)1т Q lh» '>■ » {h) - <* - v • • •{h-h^-
Переходя к пределу при h --> 0, можно получить следующее правило нахождения
улучшенного приближенного значения интеграла, которое мы записали, считая /=1:
А-о Й Л/ (Л/ - Л1) . . . (Л/ - Лм) (Л/ - W . . • (Л,-Л,+1) •
(6.5.17)
Если известно, что остаток R (h, /) есть четная функция Л, то для
интерполирования / (/) берут многочлен ф (Л) = ав + а2Л2 ~г . . . + arhrrt содержащий лишь
четные степени Л.
ГЛАВА 7
ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
§ 1. Численное преобразование Фурье функции,
заданной таблично
В настоящей главе будет рассматриваться, при различных предположениях о
свойствах функции / (л-) и способах ее задания, задача численного выполнения с.инус-
и косинус-преобразований Фурье, которые мы запишем в следующей форме:
00
S(a) = C f(x)s\n (xxdx, (7.1.1)*
о
со
С (а) = С f (a) cos oixdx. (7.1.2)
о
В первую очередь будет дано 'описание интерполяционного метода вычисления.
Предварительно нам потребуется ознакомиться с задачей вычисления интегралов
ь ь
w (я) sin ax dx и w (я) cos ая dx, взятых в конечных пределах. Остановимся для
а а
определенности на первом из них, содержащем sin ах.
Правила интегрирования, изложенные ниже, являются частными случаями
правил Котеса (гл. 2, § 2), в которых множитель sin ад- принят за весовую функцию.

§ 1] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ТАБЛИЧНО 73
Предположим, что / (х) известна вп+1 равноотстоящих точках xk — a+ hk
\k = 0, 1, . . . , п\ h = —— . Считая / (х) достаточно гладкой функцией,
интерполируем алгебраически ее по значениям fk — f (xk) в точках xk и заменяем затем
п
/ (х) интерполирующим многочленом 2 lk (х) \к под знаком интеграла:
ь п
^f(x)smaixdx = ^ Akf(a + kh) +R, (7.1.3)
a k=o
Ь Ь
Г Р W (х)
Ak= \lk (х) sin ах dx =} /x _ x ) & tx )—sin «* dx4 (7.1.4)
a a
b b
R = lr(jf) sin ax dx = \ f{n+1) (I) Ks (t\ a, ft, a) dt.
Здесь г (х) —остаток интерполирования, a /Cs (/; a, 6, а) есть [см. (2.2.4)] остаток
интегрирования по х при помощи равенства (7.1.3) функции Е (х — /) '* " ' .
л!
ь
Ks (/; a, ft, a) = jj f* ""^ sin ax dx - 2 Л*Е (a + *A — t) (а+кН^)П #
Для больших значений п коэффициенты Ak имеют громоздкое строение и поэтому
формулой (7.1.4) затруднительно пользоваться для вычислений. Кроме того, как и во
всех формулах котесова вида, коэффициенты Ak будут при больших п иметь большие
абсолютные величины. Поэтому правила (7.1.3) применяются в вычислениях лишь для
небольших значений п.
При п = 1 выполняется линейное интерполирование / (х) по двум значениям,
/ (а) и / (ft). Формула (7.1.3) будет, по сути дела, элементарным правилом трапеций:
b
С г ч Г 1 / sin a/м 1 — cos a/i 1 ,
^ / (x) sin ax dx = f (a) ^— ^1 — —jf-j cos cm + ^ sin aa J +
+ /(*)
1 — cos а/г . 1 / sin a/z
sin aft — —-! 1 — ——г— cos aft
a«A *">*»- аГ a/i
+ tf (Л=*&-а), (7.1.5)
# = a-2 (ft — a)-1 \ /" (x) [(x — a) sin aft + (ft — x) sin aa — (ft — a) sin ax] dx.
a
Она имеет малую точность, и для применения ее к вычислениям целесообразно
отрезок интегрирования [a, ft| предварительно разделить на более мелкие части. Если
считать, что [я, ft] разделен на п равных частей величины h — (ft — а) / п точками
хi — а -г ih, к каждому -частичному отрезку применено правило (7.1.5) и интегралы

74
ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
1ГЛ, 7
по частичным отрезкам суммированы, получится общее правило трапеций:
Ь
\ / (х) sin ax fifx = f0 — 11 — ^ j cos ах0 +
1 = 1 L
1 — cos ah
аЧ
1 — cos ah
►in olxo
+
a2/i
а2/г
sin аяи
a \
1
sin ah
"~ah~~
cos ax
„j+ZJ-^ + K, (7.U
6)
l/i-i
# = — \ J\ f" {xt + hu) [u sin ax/+1 + (1 — u) sin a^. — sin a (Xt + aft)] dw.
о *=o
Сходные вычисления для интеграла с функцией cos our приведут к следующему
правилу:
Ь
"1 — cos ah 1 / sin ah'
\>
(x) cos olx dx = fo
aV*
cos ax0 — — (1
/ sin ah \
sin ax0
+
l0l- cos.a/t vi f лпо wv , f
m
1 / sin ah \ 1 — cosa/z
1 — -ГГ- ) sin axn +
aft
Ш-C08flW/i
(7.1.7)
l «—l
# = _ V ^ Г (*<• + "Л) Iй cos ax/+1 + (1 — «) cos axt — cos a (xi + ыЛ)]
da.
Из равенств (7.1.6) и (7.1.7) сразу же получаются правила трапеций для
преобразований Фурье. Допустим, что функция / (л*) дана в системе раэноотстоящих точек
х{ = ih (i — О, 1, . . .), и предположим, кроме того, что при х -* оо / (х) настолько
быстро стремится к нулю, что обеспечивается абсолютная сходимость интегралов
(7.1.1) и (7.1.2). Для определенности будем, например, считать, что при всех
достаточно больших х выполняется неравенство
1/МКЛ*-1- (е>0).
mh
Если (7.1.6) применить к интегралу j f(x) sin ax dx и перейти к пределу при т-*оо,
о
будем иметь следующее представление синус-преобразования Фурье:
оо
eincAN. _1-соваЛ yfiSinalh + Rt (7Л.8)
^^т!1-^-^
а2/г
f. = / (ih), R = А V 2 Г (/л "г иЛ) [и sin a (i + 1) /г + (1 — tt) sin a/Л —
(I /—О
— sin a (/Л + uh)] du.
Отсюда, после отбрасывания остатка R, получится правило для приближенного
вычисления S(a), которое может оказаться полезным для функций, быстро
стремящиеся к нулю при возрастании х.

§ 1] ПРИВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ 87
ГЛАВА 8
ЧИСЛЕННОЕ ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА
§ 1. Приведение интеграла Меллина к простейшему виду.
Условия выбора параметров квадратурной формулы
Обращение одностороннего преобразования Лапласа F (р)
дается интегралом Меллина
C-J-/0O
^х) = ~Ш \ expF(p)dp (0<*<oo)
С—/00
Функция F (р) является аналитической, регулярной в комплексной
полуплоскости справа от некоторой прямой, параллельной мнимой оси. Всегда можно считать,
что этой прямой является мнимая ось плоскости р и особые точки F (р) лежат либо
на самой мнимой"оси, либо слева от нее. За с может быть взято любое, сколь угодно
малое положительное число е: с = е > 0. Такое приведение достигается при помощи
параллельного переноса осей координат и всюду ниже считается выполненным.
В интеграл (8.1.1) входит еще параметр х. Чтобы сделать выбор коэффициентов
и узловправила квадратур, о котором будет говориться ниже, не зависящим от
значения дг, выполняют замену рх — р\ После этого интеграл Меллина будет приведен к
следующей канонической форме:
'(Ф>=2ЙГ J е"Ф(р)йр, (8.1.2)
£— LQO
Ф (р) = F (plx).
Перед изложением способов вычисления этого интеграла необходимо сделать
предварительное замечание. Хорошо* известно, что преобразование Меллина тесно
связано с преобразованием Фурье и легко может быть приведено к нему. Если в
(8.1.1) положить р — с + гг (— ос < т < оо) и принять т за переменную
интегрирования, то интегралу без труда можно придать следующую форму:
оо
f (*) = ~2^ |\ [^ (с + it) + F(c — /т)] cos xx dx +
0
oo
+ /J [F(c+ix)
0
Это позволяет, принципиально говоря, преобразование Меллина свести к косинус- и
синус-преобразованиям Фурье и выполнить его путем известных для последних
преобразований методов. Но такой путь, по-видимому, весьма часто будет требовать
затраты большой вычислительной работы, так как известные методы численного
преобразования Фурье не учитывают особенностей функции F, связанных с обращением
= <\je'pxf(x)dx
(8.1.1)
F (с— it)] sin xtrfTl

88 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕЛЛИНА [ГЛ. 8
преобразования Лапласа. В частности, в них не учитывается форма области
регулярности F (р), что является существенным в преобразовании Лапласа, и характер
поведения F (р) при удалении точки р на бесконечность.
Возвратимся к (8.1.2). Для вычисления интеграла строятся правила,
аналогичные обычным:
е+/оо n
—■ J e"0(p)dp^'Z АкФ(рк). (8.1.3)
е—/оо *—1
Точки pk могут быть расположены в любом месте справа от мнимой оси и Ak могут
быть комплексными числами. Остановимся сейчас на принципах выбора этих пара-
мэтров.
Будем исходить из некоторой системы аналитических функций (ох (р), со2 (р), . . .,
регулярных в полуплоскости Rep>0.
т
Образуем линейную комбинацию sm (р) = ]>] avcov(p) и допустим, что функции
cov (р) взяты так, чтобы при помощи подбора т и av можно было Ф (р) приблизить
линейной комбинацией sin(p) сколь угодно точно в любой части вида Rep >e>0
правой полуплоскости*).
После избрания (о^(р) (v = 1, 2, . . .) параметрами Ak и pk, численные
значения которых являются произвольными, естественно распорядиться так, чтобы
равенство (8.1.3) выполнялось точно для возможно большего числа первых функций
©vW-
Чтобы описать правила выбора функций т^(р), необходимо обратить внимание
на некоторые простые особенности функций F (р), являющихся лапласовыми
изображениями. Выше говорилось о том, что F (р) регулярна в полуплоскости вида Rep >d.
Кроме того, F (р) стремится к нулю при удалении р на бесконечность, если выполнено
условие Rep -» оо; при этом стремление к нулю для большого числа функций F (р)
1
буцет происходить со скоростью некоторой степени — и F(p) будет представима в виде
произведения F (р) = (— j G (p) (arg р = 0 при р > 0), где G (р) — функция, огра-
л
ничейная либо в полуплоскости Re р > d> либо в секторе | arg р | < -ir — 6, \р |>/?.
Сходными свойствами будут обладать и функции Ф (р) в канонической форме
интеграла Меллина (8.1.2): Ф (р) регулярна в полуплоскости Rep>0 и представима
1
в виде Ф (р) = — ф (р), где ф (р) ограничена в полуплоскостях вида Rep >6 >0
Р
или в указанных выше секторах. Будем считать, что показатель степени s,
определяющий скорость стремления Ф (р) к нулю, нам известен, и интеграл (8.1.2) мызаме-
£-1-/00
- I* г"
ним на
'/00 ^
E-f/OO
1 f ep
tt-j \ ~г 4(P)dp. Для него будем строить правило вычисления вида
e-f/oo n
■^r jj e-<p(p)dp= S Ak<t(pk)+R(<?). (8.1.4)
,P *-i
*) При выяснении наглядных соображений, которые лежат в основании
принципа выбора cov (p) и параметров рк, Ак, мы не будем останавливаться на описании
условий, при которых такое приближение возможно.

§ 1] ПРИВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ 89
Простейшими функциями <ov (р), которые могут быть взяты для приближения ф (р),
будут рациональные функции p~7i? , У которых нули знаменателя лежат либо слева
от мнимой оси, либо на самой оси и степень числителя Q(p) не больше степени
знаменателя.
Если не делать никаких дополнительных предположений о функции ф (р) и
строить правило интегрирования (8.1.4), от которого можно было бы ожидать, что оно
будет пригодным для вычисления интегралов ео всякой функцией ф (р) указанного
выше вида, то за систему функций cov (p) можно взять любую достаточно полную
систему рациональных дробей, обладающих перечисленными свойствами.
Единственное дополнительное требование, которому следует подчинить такую систему
дробей, состоит в том, что для нее задача нахождения параметров Ak и pk должна быть
эффективно разрешимой.
1
Наиболее просто за функции cov (р) было принять систему степеней —: cov (р) =
1
8=8 v_t (v ==1, 2, . ..). Для такой системы функции были в некоторых случаях
произведены вычисления Ak и pk. Для более узких классов функций ф (р) и,
следовательно, преобразований Лапласа частного вида может быть указан другой выбор
системы cov (р), когда свойства cov (p) будут более тесно связаны со"свойствами ф (р).
Приводимые ниже примеры поясняют эту мысль достаточно наглядно.
В весьма большом числе случаев функции F (р) оказываются однозначными и
особыми точками их являются полюсы с конечным числом мест их сгущения.
Последние могут располагаться на конечном расстоянии или на бесконечности. Часто в
приложениях встречаются три следующих типа расположения особых точек F (р).
1. Полюсы F (р) сгущаются в некоторой точке а, лежащей в конечной части
плоскости. Начало координат можно всегда перенести в эту точку и считать*) а = 0.
Каждый полюс функции F (р) будет вместе с тем полюсом ф(р) и последние будут
сгущаться к началу координат р = 0.
1
В этих условиях система обратных степеней р: cov(p) — v-l будет давать
удобное орудие для приближения ф (р), и можно ожидать, что правило квадратур,
построенное на их основе, будет давать хорошую точность.
2. Полюсы F (р) сгущаются к бесконечности и располагаются вблизи мнимой оси
или прямой линии, ей параллельной, по закону, асимптотически близкому к
расположению точек арифметической прогрессии a ±vhi (v = 0, 1, . . . ). Здесь можно
рассчитывать получить лучшее по точности правило интегрирования, если за основу
1
для построения (8.1.4) принять не обратные целые степени —:, а рациональные
р
функции , .. и их степени.
3. Особые точки F (р) лежат вблизи отрицательной действительной полуоси
— оо <р < 0, асимптотически приближаясь к точкам —(а + vh) (v = 0, 1, . . .).
Как и в предыдущем случае, здесь более выгодно пользоваться не отрицательными
1
степенями р, а изменить выбор функций cov (р), взяв, например, cov(/?)= , . ,.
*) При этом может оказаться, что в канонической форме интеграла (8.1.4) е
нельзя взять сколь угодно малым и значения е будут ограничены снизу некоторым
числом, большим нуля.

90
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕЛЛИНА
[ГЛ. 8
§ 2. Правило наивысшей степени точности
Параметры Ak и pk (k = 1, 2, . . ., п) правила вычисления (8.1.4) выбираются
так, чтобы равенство выполнялось точно для первых 2п отрицательных степеней р:
£+00 П
~ jj p-se<>p->dp= r(gl+v) = % Akp? (v = 0,l 2n-i). (8.2.1)
£—*CO k~J
Этим требованием Ak и pk определяются единственным образом. Если ввести много-
1
член степени п от —:
Рп (1/р) = (-1) W+s_1 -^ (е*р-п-Ы) =
e ! + V (—l)fe/i(n—1). . .(/г—Л> + 1)(/г + ^ —l)(/i + s). . .(/г + ^ + А; —2) р-к^
/г=1
(8.2.2)
то рк должны быть корнями этого многочлена, коэффициенты же Ак должны иметь
значения
е+/оо п п
А* = 1Ш \ p-sepLk(p~l)dP, Lk(p-i) = ll(p-^pj*)\]X(p?-pj*)]\
(8.2.3)
Знак ', стоящий у произведения П, означает, что должен быть пропущен множитель,
отвечающий значению / = к.
1
Если ввести переменную х — -— , то можно показать, что многочлены Рп (х)
удовлетворяют дифференциальному уравнению
x2P"n + (sx-l)P'n-~n(n + s-l)Pn = Q,
из которого легко получается система уравнений для нахождения значений рк\
2' —3— + l-2n-2 + s = 0t Л-1,2,.,.,/1. (8.2.4)
Система имеет простой физический смысл в теории плоского электрического поля.
Через многочлены Рп (х) коэффициенты Ak имеют следующие выражения:
^-х ' (/i-l)l(2/»-2 + s)
1 (/2 + S-
В таблице 14 даны значения Akw pk для я = 1 (1)10 и s = 0,1 (0,1) 3,
_JL А А 1 1 11 _1 ! i ! 1 i
s ~ 4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 4 ' 4; s— З'З'З'З'З'З"

§ 3] ПРАВИЛА ВЫЧИСЛЕНИЙ С РАВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 91
§ 3. Правила вычислений с равными коэффициентами
Идеи Чебышева о построении квадратурных формул с равными коэффициентами
могут быть перенесены *) и на преобразование Меллнна:
"2ЙГ ) Р"^РФ (Р) ^Р ~ 7ГП5)- 2 Ф (РЛ). (8.3.1)
£—/СО *~1
Множитель, стоящий перед суммой в правой части, получится, если потребовать,
чтобы равенство было верным для ф (р) = 1. Узлы формулы pk находятся из
требования, чтобы формула давала точный результат для п первых отрицательных
степеней р:
Эти равенства дают значения сумм sv отрицательных степеней pk.
Если ввести многочлен (ол (х) = xtl + A\xtl~x + А2хп~2 + . .. + Ап, для кото-
1 '
рого xk~ — будут корнями, то соотношения Ньютона между Ak и sk позволят по-
следовательно найти коэффициенты Ak. В рассматриваемом случае эти соотношения
будут следующими:
л Г (s) ,
Т(Г+1Г + Ав0'
nV(s) , nV(s) ,
*Г(*) лГ(5) пГ(8)
Г (s + 3) "^ Л1 Г (s + 2) "*" Л2 Г (s + 1) ^ d/l3 ~ и'
Значения Л^, найденные отсюда, при произвольном s имеют громоздкий вид.
Вычисления были сделаны в случае s= 1. Первые десять многочленов (ok (x)
приведены ниже:
(Oi (X) = X — 1,
3
0)2 (А') = А2 — 2а' + у ,
, 15 29
соз (а) = л3 — Зл'2 + -£- х — j2",
62 , 289
0)4 (X) = А'4 — 4A'd -; /А2 у~ A + "уТ"»
*) Sa I z er 114J.

92
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И МЕЛЛИНА
[ГЛ. 8
, ч ■ «г л . 45 , 535 2 , 1805 1627
« п * i 33 ^ 82 , , 481 , 4537 . 27769
, ^ г . 91 * 1631 л , 4417 , 106351 9 ,
53 02619 _ 180 44381
• 4 «)Оа/\П *
129600 л 9 07200
о о „ . оЛ * 628 * . 4037 1 3277 я , 9 22919 о
ю8(х) = х« — 8х7 + ЗОЯ* - — л:5 + -зб~ ** ~ ""IT"* + 8100 Х ""
29 22187 , 145511171
■JC +
39690 лп^ 42 33600 •
. л 0 , 153 , 407 л , 3027 „ 103911 d ,
со9(х)=х^9^+-^^~-^^+-1^^-~55^^ +
6 50239 з _ 84 99571 2 414 78457 __ 1514611753
+ 2400 Х 39200 Х + 313600 * 254 01600 •
/Ч 1П ,л Q . 95 8 1280 . , 43235 б 170381 . . 14 90251 .
о)10(х)=:л'10-10^+ — *8- — *7 + "ПГ ^" -160— * + "ЙВТ* ~
173 63761 415158089 а 32552 25203 14 23249 22009
31752 * + 1016064 х 13716864 х + 13716 86400 •
Значения корней xk = 1/рд этих многочленов и узлов рЛ формулы (8.3.1) для
п = 1 (1)10 приведены в табл. 16.
§ 4. Интерполяционный метод
При рассмотрении интеграла Меллина
с-И'оо
'W""2ST S exPF(P)dP (8-4.1)
С—/00
будем считать, что Т7 (р) регулярна в полуплоскости Rep ^ с (с>0). Допустим»
кроме того, что F (р) при р -> оо стремится к нулю как некоторая отрицательная
степень р и F (р) представима в виде F (р) = p~s Ф (р), где Ф (р) — функция,
ограниченная в полуплоскости Rep >c. Интеграл Меллина (8.4.1) будем брать в форме
с-Н'оо
'We2ST jj p-sexpO(p)dp. (8.4.2)
6'—/СО
Пусть на полуоси [с, оо) взяты /г произвольных точек с < рх < р2 < . . . < р„ ив
них известны значения Ф (р/г) (/г = 1, . . . , п) функции Ф. Для интерполирования Ф
по этим значениям берут обычно простейшие рациональные функции переменной р.
Построим многочлен! (-—] от переменной-- степени < п—1, удовлетворяющий

I 4]
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МЕТОД
93
условиям L (г*)— Ф (flk) (& == 1» • • • » я)- Такой многочлен дается следующей
формулой лагранжева вида:
i(i)_S».(±).w
(8.4.3)
-1
/=1 4=1
Знак', стоящий у произведения П, означает, что должен быть пропущен множитель,
отвечающий j — k.
Если в (8.4.2) заменитьФ (р) приближенно многочленом М"т)> получится
следующее приближенное правило вычисления интеграла Меллина:
с+/со п
~ jj e*Vs<I>(P)*>»S ^МФ(Рл). (8.4.4)
с—/оо 6=1
frf/OO
AkW-sr J '"У%(Щ
с— гоо
1\ 1
Предположим теперь, что мы знаем разложение многочленов Lk (—J по степеням .
Л-1
/1 \
I
(7) = 2<W>-V. (8-4.5)
Тогда коэффициенты Ak (х) легко вычисляются и имеют значения
At—1
Для возможности применения (8.4.4) к вычислениям необходимо либо
составление таблиц значений многочленов A k (х), либо (что является более удобным при
применении вычислительных машин) составление таблиц значений коэффициентов akyt
формулы (8.4.6). Некоторые результаты в этом направлении были получены в случае
равноотстоящих точек рк. Предположим, что Ф (р) дана в точках рк = а + kh
(h > 0; k = 1, 2, . . . , п\ а + h ^c). He ограничивая общности и выполняя, если
потребуется, преобразование р = а + p'h, мы можем считать, что h = 1 и точки
pk являются целыми: pk — k (k ■— 1, 2, .... л). В этом случае при s = 1 были
составлены *) небольшие таблицы значений коэффициентов Ak(x) для п— 1 (1) 6 при
а* = 0,0 (0,1)6,0; для п = 7 при х = 0,0 (0,2)7,0; для п = 8 при * = 0,0 (0,2)8,0 и
для п = 9, 10 при а- = 0,0 (1)/г.
*) S а 1 z е г [16]. Обозначения отличны от принятых в книге.

94
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. 9
ГЛАВА 9
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§1.0 задаче интегрирования периодической функции
В этой главе будет рассматриваться задача интегрирования периодической
функции по отрезку, длина которого равна величине периода. Не уменьшая общности
задачи, можно считать период равным 2я. Предполагается, что интеграл приведен к
следующей форме, аналогичной рассмотренной в предыдущих главах:
jj p(x)f(x)dx. (9.1.1)
о
Вес р (х) — произвольная интегрируемая функция, не эквивалентная нулю, f (х) —
любая периодическая функция, имеющая достаточно высокий порядок гладкости.
Выделение р (х) имеет здесь такую же цель, как и раньше: оно позволит повысить
точность интегрирования, так как при помощи р (х) можно учитывать особенности
интегрируемой функции или какие-нибудь другие ее свойства, заранее известные.
Интеграл (9.1.1) имеет тот же вид, что и (1.1.1), но рассматривается сейчас при
других предположениях, и это заставляет положить другие принципы в основание
построения правил его вычисления. Предположение о периодичности и гладкости
функции / для интеграла (9.1.1) означает, что сама функция / и производные от нее
до некоторого порядка являются непрерывными на [0, 2я] и на концах отрезка
х = 0 и х = 2я принимают одинаковые значения. Это обстоятельство побуждает для
приближения функции / на [0, 2я] взять не алгебраические, а тригонометрические
многочлены и при построении правила интегрирования исходить из системы
функций 1, cos kx, sin kx (k = 1,2,.. .).
Мы рассмотрим только задачу о вычислении интеграла (9.1.1) при помощи
нескольких значений функции f *) :
2; п
^ р (*)/(*)</* ж 2 Akf(xk). (9.1.2)
Параметры Ak и xk, численными значениями которых можно, по условиям задачи,
распорядиться, избирают обычно так, чтобы равенство было точным для
тригонометрических многочленов возможно высокой степени.
§ 2. Интерполяционные правила интегрирования
Абсциссы xk формулы (9.1.2) считаются фиксированными и удовлетворяющими
условиям 0 < хх < х2 < . . . < хп < 2я. Интерполируем функцию / (х) по ее
значениям в узлах xknpu помощи тригонометрического многочлена Т(х) какого-либо вида
п
((х) = Т (а) + г (х) - 2 lk № f (*/<> + r W (9.2.1)
k=i
*) Более общее правило, когда для вычисления интеграла можно пользоваться
не только значениями /, но и значениями производных от заданной функции,
рассматривалось в работах Н. П. Кеда [2—4].

$ 2] ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ПРАВИЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ 95
и заменим / (х) в интеграле (9.1.1) ее выражением (9.2.1):
JPW/ (х) dx = ^ V (**) + Я. (9.2.2)
2* 2^
Л* = \ р (х) /л (л) dx, R=\p (x) r (x) dx. (9.2.3)
о о
После отбрасывания R отсюда получится правило для приближенного вычисления
интеграла.
Естественные способы интерполирования / зависят от значения п. Пусть п —
число нечетное: п = 2р + 1. Тогда интерполирование функции / может быть
выполнено при помощи тригонометрического многочлена степени р общего вида
р
Т (х) = Тр (х) = а0 + 2 (Я/ cos jx + bj sin jx). (9.2.4)
Многочлены lk (x) здесь будут
n
lk (x, = w W , со (x) = Ц sin 1 (;c __ ,.). (9.2.5)
со' (*л)2 sin ^ (jc — хл) /=i
Если по таким /л (*) вычислить коэффициенты ЛА, то правило интегрирования
о ft=i
будет точным для любых тригонометрических многочленов степени р.
Когда п есть число четное, п=2р, то при выборе интерполирующего многочлена
Т (х) чаще всего встают на один из двух путей, указанных ниже.
1. Функцию f (х) можно интерполировать при помощи тригонометрического
многочлена степени р вида
р-1
Т (х) = Sp (х) = Тр_х (х) + Ьр sin рх = а0 + 2 (л/cos i* + */sin /*) + ^ sin Px-
/==1
(9.2.6)
Многочлены /л (л-) в этом случае есть
1
со (х) sin у (х — xk + 26) п
lk(x) = г— , 26=2*/- (9-2-7)
со' (х/е) 2 sin у (.v — хк) sin б /- i
Интерполирование при помощи Sp (x) возможно не всегда и условием возможности его

96 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ СГЛ. 9
п
будет требование 6 = ~-2 *y =£/я (/ = 1, 2, ...). Коэффициенты Ak правила
квадратур находятся по многочленам (9.2.7) и правило интегрирования с такими Ак
будет точным для всяких многочленов (9.2.6).
2. Функцию / (х) интерполируют при помощи многочлена
Т (х) = Ср (х) = Тр_г (х) + ар cos px. (9.2.8)
Здесь
1
со (х) cos -^ (х — xk + 26)
'* м= 1
со' (xk) 2 sin у (х — х^) cos б
и условием возможности интерполирования при помощи Ср(х) будет соблюдение
неравенства 6 ф{I — yjjt (/=1,2,...). Коэффициенты Лл вычисляются по
приведенным выше lk (л*), как указано в (9.2.3). Соответствующее правило интегрирования
будет точным всякий раз, когда / (х) будет многочленом вида (9.2.8).
§ 3. Правила вычислений, имеющие наивысшую
тригонометрическую степень точности
Формула (9.1.2) содержит 2п параметров A k и xk и выбором их можно надеяться
сделать равенство точным для всяких тригонометрических многочленов Тп_г (л)
степени п —- 1, что равносильно точному выполнению уравнений
2тт
2 Ак= Jj p (*)£/*, (9.3.1)
*=1 О
2 Ak cos /^ = \ р (х) cos /х dx, 2 ^6 sin /^ = \ р (х) sin /хdx,
ft=i о fc^i о
/=1, 2,..., л-1.
Число этих условий равно 2я — 1. Можно ожидать, что один из параметров
формулы (9.1.2) останется произвольным. Обычно считают, что произвольным остается
один из узлов формулы (9.1.2), и либо придают ему определенное значение, либо
выбирают этот узел так, чтобы равенство (9.1.2) было точным, кроме /= Тп_г(х), еще
для одной из двух функций sin *пх или cos пх.
Кроме многочлена Т (х) целой степени р (9.2.4), мы будем рассматривать мно-
, 1
гочлен Т , (х) полуцелой степени р + -тг , определив его равенством
р+-2
р
Tp+±(x)=lj[aicoi{j+j)x+blsinlJ+±)x] . (9.3.2)

S3] НАИВЫСШАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ 97
п
Многочлен со п (х) = А \[ sin — (х — xj) будет целого или полуцелого порядка в за-
Т /=i
висимости от четности или нечетности п.
В теории квадратур доказывается, что для точного выполнения равенства (9.1.2)
при всяком многочлене степени п — 1 : / (х) — Тп_х {х) необходимо и достаточно
соблюдение двух условий:
1. Равенство (9.1.2) является интерполяционным и его коэффициенты имеют
значения, указанные в предыдущем параграфе.
2. Многочлен со^ (л-) ортогонален по весу р (х) на [0, 2л] ко всякому
тригонометрическому многочлену целой или полуцелой степени-у — 1:
^ р (х) сол/2 (х) Т ± _ (х) dx = 0. (9.3.3)
Можно показать, что при р (х) > 0 условие (9.3.3) определяет многочлен соп/2 (л-) с
точностью до старших коэффициентов ап!2 и Ьп>2 единственным образом.
Коэффициенты же ап/2 и bnj2 можно задавать произвольно. Корни xv ..., хп многочлена сол/2 (л-)
будут простыми и будут лежать на отрезке 0 < х < 2л. Правило интегрирования
(9.1.2), имеющее степень точности п — 1, для неотрицательной весовой функции
может быть, следовательно, построено при всяких п.
Остановимся более подробно на случае постоянной весовой функции р (х) = 1
а? п
jj f (*)</*« 2 Akf(xk). (9.3.4)
о k=i
Среди правил этого вида наивысшую тригонометрическую степень точности будет
иметь простейшее правило прямоугольников с равноотстоящими абсциссами и
равными коэффициентами.
Заметим, прежде всего, что ни при каких Ak и xk (9.3.4) не может быть точным
для всех многочленов степени /г, и число п — 1 является наивысшей
тригонометрической степенью точности этого равенства.
Разделим [0, 2л;] на п одинаковых частей и на первом частичном отрезке выберем
/ 2rt \
произвольную точку а I0 < а <С"^~) • При любом а равенство
27 /i-i
I* 2я л , / 2/глД
J|(#ST2f(« + 7] (9.3.5)
О k=Q
будет верным для всех тригонометрических многочленов степени п — 1. Оно
содержит произвольный параметра. Выбором его иногда распоряжаются так, чтобы
сделать правило (9.3.5) точным для многочленов частного вида степени п.
л
Если положить а = 0 или а = — , то правило (9.3.5) будет точным для всяких
многочленов вида
Sn(x)^Tn.l(x) + bn%\nnx.
4 В. И. Крылов. Л. Т. Шульгина

98 сходимость процесса приближенной квадратуры [гл. ю
Если же считать а
членов вида
ГЛАВА 10
СХОДИМОСТЬ ПРОЦЕССА ПРИБЛИЖЕННОЙ КВАДРАТУРЫ
§ 1. Содержание и значение для приложений проблемы
сходимости
Вопрос о сходимости квадратурного процесса есть, по существу, вопрос о
возможности вычислить рассматриваемый интеграл со сколь угодно высокой точностью.
Задачи, изучаемые в проблеме сходимости, имеют преимущественно теоретическое
значение, но знание теорем о сходимости поможет лицу, производящему вычисление,
ориентироваться в выборе правила интегрирования, которое может дать значение
интеграла с предписанной точностью.
Мы будем рассматривать бесконечную последовательность правил
интегрирования
т nj
р (х) f(x) dx = 2 S ЛУfU) ^Ь + Ri О = Q/ ff> + Ri <'>■ <ш ■*>
a /«o /«1
Каждому значению /=1,2,... отвечают свои значения абсцисс х^у и
коэффициентов AJ9. Квадратурный процесс считается заданным, если известны две таблицы:
{Л<<>} и {х%>}. (Ю.1.2)
Говорят, что процесс (10.1.1) сходится для функций /, если
ь
limQ^)-
/-►00
Погрешность приближенного интегрирования /?, (/) зависит от свойств функции / и
от таблиц (10.1.2), и нужно выяснить, как свойства таблиц должны быть связаны со
свойствами /, чтобы было lim R (/) = 0. В практике вычислений такая задача воз-
/-*оо
никает каждый раз, когда решается вопрос о выборе правила интегрирования. При
построении же теории сходимости ставить и решать эту задачу для каждой
индивидуально заданной функции / не целесообразно и постановку задачи обычно изменяют.
Рассматривают класс F функций /, обладающих некоторым общим для них свойством,
и стремятся выяснить условия, при которых будет иметь место сходимость для всех
функций клаоса F.
Среди общих проблем сходимости наибольшее внимание было уделено двум
следующим задачам:
1. Дан класс F функций / и нужно выяснить свойства, какими должны обладать
таблицы (10.1.2), чтобы процесс сходился для всякой функции из F.
Yi или а=-у-, то (9.3.5) будет верным для много-
Cn(x) = Tn.(x) + ancosnx.
p(x)f(x)dx.

§ 2] СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО КВАДРАТУРНОГО ПРОЦЕССА 99
2. Даны таблицы (10.1.2) и нужно найти класс F функций, для которых
квадратурный процесс сходится.
Главнейшие результаты, полученные в обеих этих задачах и представляющие,
по мнению авторов, интерес для вычислений, приведены во втором и третьем
параграфах.
§ 2. Сходимость интерполяционного квадратурного
процесса
В общей теории сходимости исследовались преимущественно интерполяционные
квадратурные процессы с кратными и простыми узлами:
\ т ks~^
^ р (х) I (х) dx = 2 2 4?/(/) (**'>)+/?, (/), / = 1,2,... (10.2.1)
a s=l /=0
Узлы х^ предполагаются лежащими на [а, Ь]. Кратности&5узлов формулы и их число
т могут изменяться вместе с /. В записи равенства это не отмечено, чтобы не усложнять
обозначений. Каждое равенство такого вида определяется двумя таблицами:
{4°) и {*,}. (10.2.2)
Коэффициенты А^ зависят от этих таблиц и могут быть вычислены при помощи
(2.5.3).
Функция / (г) считается аналитической, регулярной в некоторой области Z),
содержащей отрезок [а, Ь] внутри себя. Одной из наиболее существенных
характеристик свойств / является размер и форма области D.
Непосредственно ясно, что чем дальше от [а, Ь] отстоит
граница D, тем более гладким будет поведение / на
[а, Ь] и тем более вероятной будет сходимость процесса
интегрирования (10.2.1) при / -> оо. Ниже приведено
несколько теорем, устанавливающих зависимость
между формой области D и таблицами (10.2.2), при
которой можно быть убежденным в сходимости
процесса (10.2.1). Условия сходимости, указанные в
теоремах, по-видимому, не могут быть существенно
ослаблены, если требовать, чтобы процесс сходился для Рис. 2.
любой весовой функции р (х). Введем область, являющуюся суммой двух замкнутых
кругов с центрами в точках а и b и радиусами, равными длине Ь — а отрезка
интегрирования, и обозначим ее и (рис. 2).
1. Если f (z) регулярна в области и, то квадратурный процесс (10.2.1) будет
сходиться при любых таблицах (10.2.2), лишь бы только узлы х^\ принадлежали [а, Ь]
т
и сумма кратиостен узлов п--=2\ Ь$ неограниченно возрастала при / -» оо.
Пусть таблицы (10.2.2) заданы. Область регулярности / (z), при которой можно
гарантировать сходимость процесса (10.2.1), как оказывается, связана с простыми
предельными свойствами таблиц (10.2.2). Чтобы сформулировать соответствующий
результат исследований, потребуется ввести несколько понятий из теории функций
распределения и теории логарифмического потенциала. При помощи их необходимые
факты могут быть сформулированы в наглядной форме.
G)

100 СХОДИМОСТЬ ПРОЦЕССА ПРИБЛИЖЕННОЙ КВАДРАТУРЫ [ГЛ. 10
т
Единичную массу разделим на п = п(1) — У\ ks одинаковых частей и каж-
дому узлу ху припишем ks таких частей. Получится некоторое распределение массы
на отрезке [а, Ь]. Введем теперь функцию распределения узлов и кратностей [il (x)
на [а, Ь], положив \it (x) равным сумме масс, лежащих строго левее точки х при
а < х <С.Ь и fi/ (b) — 1. Функция \il (х) будет кусочно-постоянной на [а, Ь] со скач-
к
ками величины-— в точках хУ).
П s
Функция распределения \i (л-), отвечающая произвольному расположению
единичной массы на [а, Ь], определяется следующими свойствами: a) ft (а) = 0, б) при
а < х < Ь \i (х) — монотонная неубывающая функция х, непрерывная слева в
каждой точке, в) |л (Ь) = 1.
Рассмотрим произвольную последовательность функций распределения \il (x)
(f = 1, 2, . . .). Обычно говорят, что последовательность ц/ (х) сходится в основном
к функции распределения ц (х) и пишут \il (x) -* och.ja (а-), если в каждой точке
непрерывности ft (х) будет lim |хг (а-) = \i (x).
/-►00
Относительно таблиц (10.2.2) мы предположим, что для них существует*)
некоторая функция распределения^ (лг), к которой в основном будут сходиться
построенные выше функции fi/ (х): jx/ (л*) -» осн. jx (дг); в этом случае будем говорить, что
таблицы (10.2.2) имеют предельное распределение узлов и кратностей с
функцией fi (х).
Построим логарифмический потенциал **)
ь
U (*, y)^lg lz^tl d\i (/). (10.2.3)
а
В нем г = х + iy есть комплексная координата точки плоскости и \г —- t\ —
расстояние от / до z.
Вне отрезка [а, Ь] потенциал U (лг, у) есть гармоническая функция переменных
х, у. Рассмотрим ее линии уровня Lc:
U (х, у) = С.
Если С есть большое по абсолютной величине отрицательное число, Lc будет близка
к окружности большого радиуса с центром в середине отрезка [а, Ь\. При возрастании
Слиния£с будет сжиматься и область Дс, ею ограниченная, будет уменьшаться. Будем
увеличивать С до тех пор, когда Lc соприкоснется с отрезком [а, Ь]. Пусть это
произойдет при С = Y- В нашем вопросе особый интерес будет иметь линия уровня Ly и
область А^, ею ограниченная.
*) Случай произвольных таблиц (10.2.2) может быть сведен к рассматриваемому
при помощи теоремы Хелли о выборе.
**) Интеграл понимается в смысле Стилтьеса — Римана. Читатели, не знакомые
с теорией таких интегралов, могут предположить, что функция fi (t) имеет
непрерывную производную ft' (/) и интеграл (10.2.3) заменить римановым интегралом
ь
U(x,y)=*yg {г[_ц \i'(t)dt.

§ 2] СХОДИМОСТЬ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО КВАДРАТУРНОГО ПРОЦЕССА Ю1
Может быть доказана справедливость следующего утверждения:
2. Если функция / (г) регулярна в замкнутой области AY, то квадратурный
процесс (10.2.1), отвечающий таблицам (10.2.2), сходится при условии, что сумма крат-
т
ностей п = ^ ^s неограниченно возрастает вместе с /.
s=i
Остановимся на частных случаях этого общего результата и рассмотрим сначала
равномерное предельное распределение узлов и кратностей.
Для облегчения записи допустим, что отрезок интегрирования [а, Ь] приведен
к [0, 1]. Для этого отрезка функция равномерного распределения будет совпадать с х:
jii (х) = х. Соответствующий ей
логарифмический потенциал (10.2.3) есть yi
1
1
U-/|
•dt.
Рис. 3.
Его линии уровня U (х, у) — С изображены
на рис. 3. Lv является линией уровня,
проходящей через концы отрезка [0, 1], и область
Ау, в которой
U (х, у) > 1,
состоит из этой линии и части плоскости, лежащей внутри нее. Наибольший размер
Ау по горизонтали равен единице, а наибольший размер по вертикали равен прибли-
1
зительно 0,5 и получается в пересечении Д Y с прямой х — -к-.
3. Если таблицы (10.2.2) имеют равномерное предельное распределение узлов и
кратностей и если / (г) регулярна в области Лг то квадратурный процесс (10.2.1)
сходится. Из этой теоремы видно, что при равномерном предельном распределении
для гарантии возможности сколь угодно точного вычисления интеграла при помощи
(10.2.1) нужно, чтобы функция f (z) была регулярной не только на отрезке [0, 1], но
и в достаточно широкой области около него.
Со случаем равномерного предельного распределения в задаче интерполяционных
квадратур мы встретились выше при изучении правила Котеса (гл. 2, § 2). В этом
правиле, если отрезок интегрирования приведен к [0, 1], за узлы xk берутся равно-
k
отстоящие точки х^ -- (k =*= 0, 1, . . . , п) и кратности их считаются равными
единице, так как для вычислений привлекаются только значения функции / в этих
точках.
В связи с изложенным возникает следующий вопрос: можно ли указать такие
таблицы (10.2.2), чтобы отвечающий им интерполяционный квадратурный процесс
сходился для всякой функции, аналитической на отрезке интегрирования? Может
быть легко указано требование, которое достаточно предъявить к таблицам (10.2.2),
чтобы это осуществлялось.
Будем считать, что отрезок [а, Ь] приведен к [—1, 1].
4. Если таблицы (10.2.2) имеют предельную функцию\i (x) распределения узлов
и кратностей и она является функцией Чебышева

102 СХОДИМОСТЬ ПРОЦЕССА ПРИБЛИЖЕННОЙ КВАДРАТУРЫ [ГЛ. 10
и если f (г) регулярна на отрезке [—1, 1], то интерполяционный квадратурный
процесс для нее сходится.
Этот результат устанавливает связь между таблицами узлов {х^} и кратностей
{ks}t достаточную для сходимости процесса. Одну из таблиц, например {а-у}, можно
задавать произвольно, подчинив ее только одному весьма общему условию, чтобы
множество узлов х^ было всюду плотным на [—1, 1]. Затем по х^ можно так
подобрать таблицу кратностей ks, чтобы процесс приближенного интегрирования (10.2.1)
сходился для всякой аналитической функции.
Например, в правиле интегрирования (10.2.1) можно избрать равноотстоящие
узлы х& = а + sh [h = —— , s = 0, 1, . .. , п) и им приписать такие кратности kb,
чтобы в пределе получилось чебышевское распределение, обеспечивающее указанную
сходимость. При этом, очевидно, кратности узлов, лежащих вблизи концов отрезка
[а, Ь), должны быть больше, чем кратности узлов, лежащих вблизи середины отрезка.
Можно, наоборот, задать таблицу кратностей узлов, считая, например, все
кратности ks равными единице. Это будет означать, что рассматривается правило
вычисления интеграла только по значениям функции:
?•
y(x)f (х) dx = 2 A^f (x<?) + *,(/). (10.2.5)
a s=l
Затем узлы* ^этой формулы можно подобрать та к, чтобы таблица {х^} имела
предельную функцию распределения Чебышева. Узлыл-^ при этом более густо расположатся
вблизи концов отрезка интегрирования и менее густо около его середины.
В частности, известно, что корни ортогональной системы многочленов при любой
знакопостоянной весовой функции р (дг), почти везде положительной, имеют
предельной функцией распределения функцию Чебышева. Поэтому, если за узлыд-(/] принять
корни многочлена степени т из этой системы, процесс квадратур (10.2.5) будет
сходиться для всякой / (а-), аналитической на [а, Ь].
Условия сходимости интерполяционных квадратурных процессов в классах,
дифференцируемых функций могут быть получены как частные случаи из теорем,
приведенных в следующем параграфе.
§ 3. Сходимость общего квадратурного процесса в классах
непрерывно дифференцируемых функций
Будем рассматривать условия сходимости правил вычисления (10.1.1) с
произвольно задаваемыми узлами д'Ф и коэффициентами А Ф и ограничим себя наиболее
исследованным и важным для приложений случаем, когда все ks равны единице и
интеграл вычисляется по нескольким значениям функции /:
y(x)f (х) dx = 2 i*(;V (*%+ Rn (/) = Qn (f) + >*n (/)• (Ю-3.1)
и s=i
Квадратурный процесс определяется двумя бесконечными треугольными таблицами
А^\ x(sn) (s=l,2,.. ., я; п = 1, 2, . . .). (10.3.2)

S 3] СХОДИМОСТЬ ОБЩЕГО КВАДРАТУРНОГО ПРОЦЕССА Ю8
Условия сходимости его в настоящее время найдены для большого числа классов
функций. Ниже приведены некоторые из известных результатов для случаев,
которые имеют наибольший интерес в практике вычислений. Отрезок интегрирования
[а, Ь] считается конечным и вес р (х) может быть любой интегрируемой функцией.
Узлы A'(*)(s = 1, 2 п) перенумерованы в порядке роста от а к Ь.
Возьмем множество всех функций, непрерывных на [а, Ь]. Верно
нижеследующее утверждение:
1. Для того чтобы квадратурный процесс (10.3.1) сходился для всякой
непрерывной на [а, Ь] функции /, необходимо и достаточно выполнение двух условий:
а) процесс сходится для всякого многочлена от л-, что равносильно выполнению
равенств
KmQn(xp) = \p(x)xFdxt р = 0, 1, 2, ...; (10.3.3)
п-+оо v
а
б) существует число К такое, что при п = 1, 2, . . . будет
п
2 |л(;ч<к. (ю.3.4)
В частном случае, когда правило (10.3.1) является интерполяционным, первое
из условий будет выполнено, так как если / (х) есть многочлен некоторой степени т,
ь
то при п > т будет Qn (f) = \ pf dx, и поэтому необходимым и достаточным условием
а
сходимости интерполяционного квадратурного процесса для любой непрерывной
функции / будет выполнение неравенства (10.3.4) при п = 1,2,...
2. Рассмотрим теперь функции, непрерывно дифференцируемые на [а, Ь].
Для того чтобы процесс (10.3.1) сходился для всякой функции /, непрерывно
дифференцируемой на [а, Ь], необходимо и достаточно выполнение условий:
а) процесс (10.3.1) сходится для всякого многочлена;
б) существует число К такое, что при п = 1,2,... выполняются неравенства:
I Af! (х(? - *<?>) +1 Af + Л<»> | (*<»> - х*;>) +...
...+ |Л<1">+...+ Л(£>| (&-$<*. (Ю.3.5)
Если процесс интегрирования (10.3.1) интерполяционный, первое из условий
выполняется автоматически и выполнение неравенств (10.3.5) является необходимым и
достаточным условием сходимости такого процесса в классе непрерывно
дифференцируемых функций.
Более трудно проверяемым является признак сходимости процесса для функций,
порядок дифференцируемости которых выше первого.
Введем кусочно-постоянную функцию FnQ (х), характеризующую распределение
узлов*^ и значения коэффициентов A^f:
п

104 СХОДИМОСТЬ ПРОЦЕССА ПРИБЛИЖЕННОЙ КВАДРАТУРЫ [ГЛ. 10
и наряду с ней будем рассматривать первообразные функции любого порядка г,
удовлетворяющие условию F^j. (а) = 0 (/ = 0, 1, . . . , г — 1):
Рпг W = У по W V=TF dt - S ^ <* - **?> ~ (г —1)1 •
а s=i
3. Для того чтобы квадратурный процесс (10.3.1) сходился для всякой функции
/ (л*), имеющей на [а, Ь] непрерывную производную порядка г, необходимо и
достаточно выполнение двух требований:
а) процесс сходится для всякого многочлена;
б) существут число К такое, что
ь
\Fnr(x)\dx^K (/г = 1, 2, ...). (10.3.6)
а
Для интерполяционного квадратурного процесса первое из условий, очевидно,
выполняется, и проверке подлежит лишь неравенство (10.3.6).

ЧАСТ Ь ВТОРАЯ
ВЫЧИСЛЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
ГЛАВА 11
РАСЧЕТНАЯ ФОРМУЛА И УСТОЙЧИВОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ
ОТНОСИТЕЛЬНО РОСТА ПОГРЕШНОСТИ
§ 1. Содержание задачи и правило вычислений
Во второй части книги рассматривается задача вычисления функции
X
у(х) = у0+ ^ f(t)dt (x0^x<ZX) (ll.l.l)
на сетке равноотстоящих значений аргумента
xk = Xo + kh (fc>0; * = 0,1, ..., N; N = [^Цр2-]) .
Пусть вычисления начаты, доведены до точки хп и составлена следующая
таблица значений ykcxy(xk):
X
Xq
Xi
•
хп
Xn+J
У
Уо
У\
•
Уп
Для нахождения уп+1 можно воспользоваться любыми ранее найденными значения
ми yk (k <J п) и значениями / (дг), которыми допустимо пользоваться в вычисления>
по условиям задачи. Если / задана таблицей значений в точках xk, то мы вправе поль
зоваться только известными табличными ее значениями. Если же / дана аналитически,
мы можем распорядиться выбором тех значений аргумента, которые войдут в
избираемую нами расчетную формулу.

106 РАСЧЕТНАЯ ФОРМУЛА И УСТОЙЧИВОСТЬ ВЫЧИСЛЕНИЙ [ГЛ. 11
В достаточно общей для многих приложений форме правило вычислений уп+г
можно записать в следующем виде:
р т
^1-2^+*2УМ (lu-2)
Коэффициенты Ai предполагаются не зависящими от п и, следовательно,
одинаковыми для всех шагов вычислений. Что же касается коэффициентов Вп,, то равенство
(11.1.2) допускает зависимость их от я. Это связано с тем, что в начале вычислений,
когда число х близко к х0, и в конце вычислений при л*, близком к X, вычисления
проводятся в некоторых случаях по формулам, отличным от тех, которые
применяются при счете вдали от концов отрезка [дг0, X]. Говорят, что (11.1.2) имеет
алгебраическую степень точности А, если (11.1.2) верно при всяких п для любого многочлена
у (х) = Pk (х) степени А и не точно для у (х) = хк+г хотя бы при одном значении п.
Равенство (11.1.2) содержит т-\- р+ 1 коэффициентов Ai и Вп:. Кроме того,
в некоторых случаях можно распорядиться выбором некоторых абсцисс £л,. Все
эти параметры стремятся избрать так, чтобы равенство имело достаточно высокую
алгебраическую степень точности. Формула (11.1.2) дает возможность найти лишь
приближенные значения у (xk). Если в него подставить точные значения функции
у (хп)у то равенство не будет выполняться и в правую часть необходимо ввести
дополнительный член
р т
¥(We 2 4*(*„_,) + А£ V««/)+ W ("•*•»)
1=0 /=1
Величину гп+1 называют погрешностью (11.1.2) на шаге п + 1.
При записи правила в форме (11.1.2) предполагалось, что вычисления
выполняются без округлений. Равенство должно быть дополнено указанием числа верных
знаков, с которым вычисляется правая часть. Если операцию округления чисел
обозначить фигурными скобками, то реальная расчетная формула будет следующей:
Уп+1
{Р т л
1=0 i=l J П
или, если погрешность округления назвать — ал+1,
р т
уп+1 - S Ацп-t+h 2 V <W - °w (" *-5>
Чтобы начать вычисления при помощи (11.1.4), необходимо знать величины #0, у1. ..
• • • » Ур> которые образуют начало расчетной таблицы.
§ 2. Признак устойчивости правила вычислений
относительно роста погрешности
Задача неопределенного интегрирования имеет одну особенность, которой нет в
проблеме вычисления определенного интеграла. Обычно вычисления выполняются
на большое число шагов, а это налагает на выбор правила вычислений
дополнительные требования.

§2]
ПРИЗНАК УСТОЙЧИВОСТИ
107
На каждом шаге вычислений совершается некоторая погрешность. Такие
погрешности при увеличении числа шагов будут постепенно накапливаться и, если
расчетная формула (11.1.4) выбрана неудачно, рост погрешности может быть весьма
быстрым и сделает невозможным вычисления на много шагов. Поэтому к
вычислительному правилу, кроме обычных требований достаточно высокой степени точности
и простоты самого правила, необходимо предъявить еще одно условие — погрешность
вычислений должна расти достаточно медленно.
Если из равенства (11.1.3), которому удовлетворяют точные значения у (xk)
функции (11.1.1), почленно вычесть равенство (11.1.5), для погрешности ek=y (лгЛ) —
— yk будем иметь
р
Это есть линейное уравнение в конечных разностях порядка р + 1. Погрешности
е0, . . . , Ер значений у0, . . . , ур, образующих начало расчетной таблицы, следует
считать известными, а все следующие значения погрешности гп (п > р) должны быть
найдены из уравнения (11.2.1). Относительно начальных значений погрешности и
значений rk иаЛ обычно бывают известными лишь верхние границы их абсолютных
величин:
|е,|<е (/ = 0 p)f |гЛ|<г и | аЛ |< а (Л>р + 1).
При этих условиях быстрота роста гп при увеличении п зависит прежде всего от
коэффициентов At-. Мы укажем предварительно на одно из их свойств, которым будут
обладать Ai во всех практически важных случаях. Если считать, что приближенное
уравнение (11.1.2) имеет хотя бы нулевую степень точности, т. е. является верным
р
для у = 1 и / (л-) = 0, то для At должно выполняться равенство 1=2 А с
Общее решение уравнения для погрешности ek (11.2.1) зависит от корней
характеристического уравнения
р
*/>+! = 2 АУ1 (11.2.2)
и их кратностей. Чем больше будут модули корней и чем выше кратности корней с
большими модулями, тем более быстрым может быть рост гп при увеличении п.
Отмеченное выше свойство коэффициентов Ai означает, что К = 1 есть корень
(11.2.2). Для того чтобы гп имело наименьший возможный порядок роста при п -» оо,
следует потребовать, чтобы уравнение (11.2.2) не имело корней, модули которых
больше единицы, и чтобы корни, по модулю равные единице, имели кратность не выше
первой.
Эти простые факты лежат в основе признака устойчивости:
Для того чтобы правило вычислений (11.1.2) было устойчивым относительно
роста погрешности еЛ, необходимо и достаточно, чтобы для корней ^s (s = 1, . . . ,р+ 1)
уравнения (11.2.2) было выполнено неравенство I^J< ^ ПРН этом» если 1\1в Ь
корень должен иметь первую кратность.

108 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ТАБЛИЧНО [ГЛ. 12
ГЛАВА 12 .
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ТАБЛИЧНО
§ 1. Вычисления в точках, не близких к началу
и концу таблицы
Предположим, что значения интегрируемой функции / (х) известны в
равноотстоящих точках хк = х0 + kh и в тех же точках нужно вычислить значения
интеграла (11.1.1).
Допустим, как и выше, что вычисления доведены до значений (хп, уп) и
нахождению подлежит уп+у Если принять, что при разыскании уп+1 можно воспользоваться
лишь одним предшествующим значением уп, то будет иметь место следующее точное
равенство:
хп+1
У(*п+1) = У(хп)+ С f(x)dx. (12.1.1)
*п
Для нахождения интеграла, стоящего справа, необходимо интерполировать функцию
/ на отрезке хп < х < хп+1 по ее значениям в точках xk. В условиях аадачи для
интерполирования целесообразно воспользоваться точками xk, ближайшими к
отрезку [хп, хп+1], и расположенными симметрично относительно его середины.
Интерполирование может быть выполнено при помощи формулы Бесселя и приведет к
следующему равенству:
V(xn+i) = y{*n) + h
fn + fn+i __ 1 Wn-i + AV„ И_ A V3 + A Vi
2 12 2 720 2
+ Rnk- («.1.2)
191 AVa+AVM J.... + C Al*'«-* + *"fn-k+i
60480 2 ■ ' * 2
После отбрасывания остатка Rnk получится приближенная расчетная формула,
которая может быть применена для вычисления yk+y . . . , yN^ (^== —Тг— ) •
Если / (х) имеет непрерывную производную порядка 2k + 2, то для Rnk верно
представление
г(2*+2) /k\ Г>
Rnk - ft2*+3 (2fe + 2)lI У" + *)(« + *-*)•••(«-*- 1>d"' (121-3)
0
где I — некоторая точка отрезка [дгп — kh, xn + (k + \)h).
§ 2. Вычисления вблизи начала и конца таблицы
Применение для вычислений правила (12.1.2) с разностями до порядка 2k
требует знания значений { на отрезке [xn_k, xn+k+1]. Если точка хп лежит близко к
началу или концу таблицы значений f, может оказаться, что это правило будет либо
неприменимым, либо нужно будет знать / в точках, лежащих вне отрезка [дг0, Л"].

§ 2] ВЫЧИСЛЕНИЯ ВБЛИЗИ НАЧАЛА И КОНЦА ТАБЛИЦЫ Ю9
Можно указать видоизменения правила (12.1.2), которые могут применяться для
вычислений вблизи концов таблицы. Вид соответствующих формул зависит от
степени удаленности разыскиваемого значения уп+1 от конца таблицы. Ниже приведены
три формулы для вычислений вблизи х0:
rf-4-fil 1 19 1
1
+ CkAkf0]+Rnk (*>2), Ck~^u(u-l)...(u-k + l)du, (12.2.1)
о
*nk~ hk+2 \k + Vft S U {U ~" j) " ' {U - k) ^ *><*<*»
0
J/(x2) = y(x1)+h[—r--1I g + 720 A4'o-ISO AVo+
271
60480
l
1 f
Dk = Ж Уu + *>u Iй -j) • • • <" - k + 2) rfw' (12-2-2>
0
0
f(*») =0(x,)+A|—£- --^ 2 •" 720 2 "604§0 Л f« +
191 1
+ i20960AVo + ---+e^»J + «n* <*>«),
1
e* eirJ(M + 2)(« + l)...(a-* + 3)rfaf (12.2.3)
о
о
Аналогичные правила для вычисления вблизи конечной точки л-^ таблицы могут
быть получены из приведенных равенств путем переноса отсчета в л-д, и изменения
направления оси ох:
И*#)в #(*#-,) + /!
fiV + JN-l __ 1 Ля; 1 д3, 19 Д4г
- 4 А§'лг-8" • • • - М)*"1^*f „. J + *'„* (Л > 2); (12.2.1')

НО НАИВЫСШАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ [ГЛ. 13
2 12 2 ^720 V"4 '
11 271 1
+ ffio A5^-5 + Ш80 A^v-e + • • • + M)4*4v-aJ + *'nk <* > V> (12'2'2'>
y(xN^z=y(XN^ + h\
Гу-3+^У-2_ 1 А2^-4 + Д2/.У-3 л.
2 12 2 "*"
11 AV,v,8 + AVjV.4 _ 191
^720 2 60480 /дг"6
191 A7f __ _/_1^-lp Akf
1 20960
+ ЛЯ* (*>6). "(12.2.3')
Остатки /?лЛ формул (12.2.Г) — (12.2.3') получаются из остатков /?лЛ
соответствующих формул (12.2.1)— (12.2.3) при помощи умножения на (—l)k+1 и замены
условия Хо < | < хк на условие a;iV..£ < £ < xN.
ГЛАВА 13
О НЕКОТОРЫХ ПРАВИЛАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ,
ИМЕЮЩИХ НАИВЫСШУЮ
АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ
§ 1. О принципах построения правил вычисления
В этой главе мы будем считать, что функция / (х), подлежащая интегрированию,
задана при всяких х на отрезке [дг0, X], и мы можем пользоваться при вычислениях
ее значениями в любых точках этого отрезка.
Возвратимся к общему расчетному правилу (11.1.3). Оно содержит параметры
р, т, А£, В . и ^п,, выбором которых можно распорядиться.
Очевидно, что чем больше слагаемых будет содержаться в суммах, стоящих
справа в (11.1.3), тем большей точности мы можем достигнуть при помощи выбора А ., Bnj
и £ .. Поэтому р и т при построении формулы (11.1.3) считают фиксированными и
рассматривают лишь проблему выбора А/у Вп- и \п>. По причинам, которые были
описаны в первой главе, эти параметры обычно выбирают так, чтобы равенство (11.1.3)
имело возможно более высокую алгебраическую степень точности. Такой способ
выбора параметров формулы тесно связан с задачей получения значений интеграла
(11.1.1) с погрешностью, не превышающей заданной границы, при возможно малом
числе значений функции у и / на каждый шаг вычислений. Главная часть труда чаще
всего тратится на нахождение значений /, поэтому наибольший интерес представляет
задача уменьшения числа слагаемых в сумме ^2 £„.-/(?;;1/-)-
/
При неопределенном интегрировании, когда вычисления выполняются для
многих значений верхней границы хп> существует еще один путь для сбережения
вычислительного труда, которого нет в случае определенных интегралов: можно правила
вычислений строить так, чтобы каждое значение функции / применялось при
нахождении не одного, а нескольких значений интеграла у {х). В параграфах 2 и 3 дано
описание нескольких правил вычисления неопределенного интеграла, построенных
на основе обоих указанных выше принципов—достижения наивысшей алгебраической
степени точности и использования значений ук и / на нескольких шагах расчета.

§ 2] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА НЕСКОЛЬКИХ ШАГАХ Щ
§ 2. Правила вычислений, в которых каждое значение
функции используется на нескольких шагах
Вновь предположим, что вычисления доведены до точки хП9 и допустим, что для
нахождения уп+1 привлекается только одно предшествующее значение уп. Точное
выражение у (хп+1) будет
y(xnrl) = y(xn)+ jj f(x)dx. (13.2.1)
хп
Пусть для вычисления последнего интеграла на отрезке [хп, хп+1] берется т
узлов а, Р, . . . Д: хп < а < Р < . . . < к < хп+1 и, кроме того, берутся а узлов
а + рг-А (i = 1, . . . , а), сходственных *) а, b узлов Р + qth (i = 1, . . . , 6),
сходственных Р, . . . , / узлов к + tth (i = 1 О» сходственных Я. Распределение
последних узлов среди табличных точек xk определяется числами pi tit
которые могут иметь любые целые положительные или отрицательные значения,
отличные от нуля. Общее число всех узлов обозначим Лт+ \: N + 1 = а + . . . + / -f- m.
Рассмотрим равенство
*'5+i a i
|j f (х) dx » A0f (а) + ^ AJ (а + p/i) + .. . + L0f (к) + 2 V № + W
(13.2.2)
Если а, ...,/, p/? ... , /,- считать заданными, оно будет содержать TV + 1 + m
произвольных параметров а, . . . Д, Л/} . . . , Ll (i — 0, 1, . . .). Их выбирают так,
чтобы равенство (13.2.2) имело наивысшую алгебраическую степень точности. Чтобы
сформулировать результаты, полученные в этом направлении, введем следующие
многочлены, связанные с узлами формулы:
о (х) = (х — а). . . (х — Я,),
a i
wa (*) = П {* ~~ a"" р№> ' • " ®ь(Л) = И (^ — ^ — tjh), fi (х) = coa (х). . . соЛ (х).
(13.2.3)
Какими бы ни были числа а, ...,/, pi% ... , /,-, параметры а, . . . Д, Л/} . . . , Li
могут быть выбраны так, чтобы правило (13.2.2) было верным для всяких многочленов
степени N + т. Для этого необходимо и достаточно выполнение двух условий:
1. Правило (13.2.2) является интерполяционным.
2. Для любого многочлена Q (х), степень которого меньше т, должно
выполняться равенство
\ Q(x)®(x)Q(x)dx=*0. (13.2.4)
N + т есть наивысшая алгебраическая степень точности (13.2.2).
*) Точки a + kh, отвечающие различным целым k, называются сходственными.

112 НАИВЫСШАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ [ГЛ. 13
Если / (х) на отрезке, содержащем все узлы формулы и точки хп, xn+v имеет
непрерывную производную порядка N + т+ 1, то на этом отрезке существует
точка I такая, что для остатка R (/) формулы (13.2.2) наивысшей степени точности
N + т верно равенство
f(N+m+l) /£\ ?*+1
*(fl = (jv + m+l)l ) Q(x)<**(x)dx. (13.2.5)
Ниже приведены примеры формул такого типа для случаев одного, двух и трех узлов
на каждый шаг.
I. Правило вычислений с одним узлом на каждый шаг. Пусть на отрезке [хп, хп+1]
взята одна точка ая и, кроме того, привлечены по к ближайших сходственных точек
слева и справа от ап (рис. 4). Наивысшая степень точности равна 2k + 1 и она может
ап-г
• 1 О 1
*л-2 Хл-7
*п-Г
—О 1 П г | 1 1 1
хп
*n «W
Рис. 4.
хп+г
-о .■■■ -| »-
^п+З
1
быть достигнута, если точка <хп является серединой отрезка [xtv xn+1]: ап = *я + *оЛ.
Расчетное правило и его остаток здесь будут следующими:
У (*л+1) - 1/ (*„) + ^ [/ («л> + ^ А2/ (а, - Л) - зЙо А*' <а" - ^ +
367 27 859
+ 967680 А f (а" ~ ЗЛ) - 464486100 А°' <а« ~ 4Л) +
1 295 803 л4,
+ 122 624 409 600 ^f <а« - ^ + . . . + СЛД-*/ (ая - М)
+ /?, (13.2.6)
0,5
Сл = (Щ1 S /2(/2-12)...[/2-(*-1)2]^,
—0,5
,(2Л+3) (у °Л5
Лв/^+8(2*ТЩГ J /2(*2-12)...(/2-*2)^.
—0,5
II. Правила вычислений с двумя узлами на каждый шаг. Схема расположения
узлов указана на рис. 5. На отрезке [хп, хп_г] берутся два узла аЛ, (Зп и к ним при-
Хгг-2 &-2 ^-/ fin-J *» А Un+1 fin* an+2 &+2
Рис. 5.
соединяются по одинаковому числу ближайших сходственных узлов справа и
слева от [xn, a?rt+1]. Вид частных правил, приводимых ниже, зависит от количества

§ 2J ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ НА НЕСКОЛЬКИХ ШАГАХ ЦЗ
дополнительных узлов, присоединяемых к ая и Ря. Степени точности видны из записей
остаточных членов или их оценок.
1. у (хм) = у (хп) + h {0,48690 23179 [/ (ал) + f (ря)] +
+ 0,01309 76821 [/ (?п_г) + / (ая+1,]} + R,
ап = хп + h- 0,23333 80763, 3„ = *„ + /i-0,76666 19237,
я « - о.ооооо зо5Л7(6) <5), P„_x < 5 < <w
2. у (хя+1) = у (хп) + h {0,48309 24404 [/ (ая) + / (ря)] +
+ 0,01737 14226 [/ (ря-1) + / (ая+1)] - 0,00046 38630 [f (ая.х) + f <ря+1)]} + R,
яа = хп + Л-0,23896 17210, ря = хп + /г-0,76103 82790,
| R |< 0,00000 OOS/iWs, М8 = max | f™ (х)\, ая. х < я < р
л+Г
3. // (*я+1) = у (хп) + h {0,48259 37250 [f (ая) + / (ря)] + 0,01797 22221 [/ (Р,^) +
+ I K+i)} - °'00057 82647 [/ K-i) + f (Prt+i)l +
+ 0,00001 23177 [f (ря_2) + f (ая+2)]} + /?,
a;| = *я + Л- 0,23963 00931, ря = хп + А -0,76036 99069,
| Я | < 0,00000 0003Л"/Ию, /И10 = max | /(10) (х) |, ря_2 < х < ая+2.
4. у (*я+1) = */(*„) + h {0,47911 31668 [f (ая) + f (Ря)] +
+ 0,02153 22932 [/ (Р/|.1) + / (ая+1)] - 0,00136 32927 [/ (а^) + f (ря+1)] +
+ 0,00012 36065 [/ (ря_8) + / (ая+я)] - 0,00000 57738 [f (ая.я) + f (Ря+2)]} + Я,
ая = хп + /г-0,24346 00865, ря = хп + h- 0,75653 99135,
| /? | < 0,00000 00001 W*Mn, М12 = max | /(12) (*) |, ая.а < л; < Ря
III. Правила вычислений с тремя узлами на шаг. Расположение узлов указано
на рис. 6. На промежутке [хп, хп+1] берутся три узла ая, Ря и чп и к ним присоеди-
«W Л-/ К* ^ А Гп <*л+1 fin+? Ум
—! о "О", .о ..и J о ..о "О t ■■ О О -О |'">'
Рис. 6.
няются справа и слева по одному, двум или трем сходственным узлам из соседних
промежутков. Ниже приведены три соответствующие расчетные формулы.
1. У (W = У (хп) + h {ОД0010 36566/ (ря) + 0,29348 93491 [/ (ая) + / (Т/|)] +
+ 0,00645 88226 [/ (уп_х) + f (а/1+1)]} + R, ая - хп + Л-0,13518 35561,
ря - хп + Л-0,5, Тя - л-я + Л.0,86481 64439,
I Л К 0,00000 00024/iW8, M8=max | /(8> (*) I. Т„ -х < х < а/А {г

114 НАИВЫСШАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ [ГЛ. 13
2. у (*л+1) = у (хп) + h {0,38762 75418f (3,) + 0,29781 27562 [/ (ая) + / (Тл)| +
+ 0,00848 08932 [/ (Тд.^ + f (ая+1)] - 0,00010 74203 [/ (Зл.1) + / (Зя+1)]} + R.
<хп = хп + //.0,14145 83289, 0Я = хп + Л-0,5,
Тя = ^л + Л-0,85854 16711,
I R | < 0,00000 00000 02№iWio, Л*м = max | /(10) (*) |, Зя _i < * < Р„ +r
X
3. у (*я+1) = У (*„) + Л {0,38134 28493/ (Ря) + 0,29986 68413 [/ (ая) + / (тп)] +
+0,00967 80471 [/(т^) + / (ая+1)] - 0,00022 28947 [/ ®п_г) + / (Эя+1)] +
+ 0,00000 65816 [/ (ал-1) + / (тя+1)]} + #,*„ = *„ + Л-0Д4469 85558,
рл = ял + Л.0,5, T/z = хя + /г-0,85530 14442,
| Я | < 0,00000 00000 003/z13Mi2, /Ии = max | /(12) (*) |, ая-1 < л: < тл+г
§ 3. Правила вычислений, в которых используются несколько
предшествующих значений интеграла
При решении задачи, содержание которой указано в названии параграфа,
рассматривались правила вычисления, имеющие следующую форму:
r+s s I
*(W= S А# (*я+1-/) +л S BiH*n+i-,) + h S <V«*/) + *. (13.3.1)
Х==1 /=1 /=1
В правую часть равенства входит г + 2s + 2/ параметров Л,., £-, С, и | ., выбором
которых можно распорядиться. На значения абсцисс £ . не налагалось никаких
ограничений и все параметры выбирали так,чтобы равенство (13.3.1) без остатка R имело
наивысшую возможную алгебраическую степень точности.
Как показали исследования, наивысшая степень точности в этой задаче равна *)
г + 2s + 2/ — 2, и она может быть достигнута многими способами. Распределим
точки Ъп- произвольным образом по промежуткам между xn_r_s, xn_r_s+v • • .
.. . , хп, хп+г Если заранее указать, сколько из общего числа / точек | . должно
попасть в каждый из таких промежутков, то положения £я/- всегда можно выбрать и
при этом единственным образом так, чтобы (13.3.1) имело наивысшую степень
точности г + 2s + 2/ — 2. Но оценка погрешности равенства будет наименьшей в том
случае, когда все точки % • будут лежать в последнем из указанных промежутков
Iхп> Xn+V'
Введем многочлен П (дг), связанный с расположением узлов £ •:
П(*) = (*-*л1)-- •(*-&„/)-
Если считать, что (13.3.1) имеет степень точности г + 2s + 21 — 2 и функция / (л-)
является г+ 2s+ 2/— 1 раз непрерывно дифференцируемой на отрезке xn_s_r<^
< х < xn+v то остаток формулы (13.3.1) представим в виде
р _ У**(г + s.)! s.!n«ft \/H«+2s-D/t) х <£<*
*) Равенство (13.3.1) выполняется точно, если / есть произвольный многочлен
степени г + 2s + 2/ — 2, и неверно, когда /есть многочлен степени г + 2s + 2/ — 1,

§ 3] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕДШЕСТВУЮЩИХ ЗНАЧЕНИЙ ИНТЕГРАЛА Ц5
В приведенных ниже правилах частного вида считалось, что узлы \п, лежат на
промежутке [хп, хп+л]. Абсциссы 1п]. записаны в виде g . = хп-\- tji (0<*<1).
■ 1. г= 0, s= 1.
i
Эта расчетная формула получится, если в равенстве
хп+1 1
У(хп+1) = у(хп)+ jj f(x)dx = y(xn) + h^<t(t)dt (<p(t) = f(xn + ht))
интеграл вычислить приближенно при помощи квадратурного правила наивысшей
степени точности с одним фиксированным узлом t = 0:
J П
/=1
[гл. 4, § 2, (4.2.2)]. Коэффициенты и значения tj даны в табл. 9.
2. г= 1, s= 1.
i
У(хп*л) = Aiy(*n) + A4(*n-i) + h\Wl*n) + 5 C/f(xn + tjh)
/=i
+ Л.
-2/^з г/!(/ + 1)П« ,
*-6(2/ + 3)!L(2M-l)! J ' (5)' *"-!<
*<*я+1. о<е<1.
Степень точности равна 2/+ 1.
При / = 1, 2, 3, 4 коэффициенты и /, имеют следующие значения:
/-■=1
Ay - 0,9705 6275
А, = 0,0294 3725
1
/! = --р: = 0,7071 068
/==2
Hi = 0,9988 864i3
Л2 = 0,0011 13587
6 = 0,3879 073
/2 = 0,8593 118
/ = 3
Ах = 0,9999 5863 964
Л2 = 0,0000 4136 036
/i = 0,2312 666
U =0,6124 982
h - 0,9177 954
ft = 0,3431 458
d = 0,6862 915
ft = 0,1334 818
Ci - 0,5221 058
Ca - 0,3455 260
ft = 0,0709 5688
Ci = 0,3458 379
C2 = 0,3776 724
C8 = 0,2055 739

116 НАИВЫСШАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ [ГЛ. 13
/ = 4
Ах = 0,9999 9852 0444
Л2 = 0,0000 0147 9556
h = 0,1507 625
(2 = 0,4352 756
tz = 0,7366 581
/4 = 0,9462 337
ft
С
с2
Сз
с4
= 0,0440 7358
= 0,2361 168
= 0,3128 314
= 0,2713 300
= 0,1356 498
3. г = 0, s = 2.
У (W = А*У (*„) + А*У (*„-г) + Л [ftf (*я) + Btf (хп_г) + J С,./ (*n + ^)]+Я.
Степень точности равна 2/ + 2.
R=°h"+imhv^Mrwlfms)®' *»-.<!< w o<e<i.
Значения ^ и коэффициентов при /=1,2, 3, 4 помещены в приведенной ниже таблице.
Аг
А2
/i
Лх
Л2
h
и-.
А»
Л2
*i =
fe'
*3
Л1 =
Лз =
h ■-
h-
h ■■
h-~
/ = 1
= 0,8374 9085
= 0,1625 0915
= 0,7403 1242
/ = 2
= 0,9922 3367
= 0,0077 6632 6
= 0,4207 573
= 0,8717 520
/ = 3
= 0,9996 3737 05
= 0,0003 6262 95
= 0,2515 111
= 0,6333 509
= 0,9235 139
/ = 4
= 0,9999 8423 368
= 0,0000 1576 632
= 0,1627 293
= 0,4540 978
= 0,7493 776
= 0,9492 874
ft
B2
Ci:
ft =
B2
Ci =
c2 =
ft'
B2-.
Ci =
c2
Сз =
ft'
ft =
c, =
c2 =
СЗ =
C4 =
= 0,4921 8941
= 0,0445 3258 4
= 0,6257 8716
= 0,1640 716
= 0,0015 6068 9
= 0,5242 954
= 0,3178 386
= 0,0814 3433
= 0,0000 5699 653
= 0,3609 307
= 0,3658 920
= 0,1920 487
= 0,0488 5024
= 0,0000 0203 0488
= 0,2491 361
= 0,3124 621
= 0,2613 448
= 0,1282 206

ЧАСТЬ ТРЕТ Ь Я
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ГЛАВА 14
ПОСТРОЕНИЕ ФОРМУЛ КРАТНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 1. Содержание задачи
Пусть нужно вычислить интеграл вида J / (л-) dx, где D — область в я-мерном
о
евклидовом пространстве, х — (xv х2, . . . , хп) — точка этого пространства, dx —
элементарный объем. Задача приближенного вычисления кратного интеграла более
трудна и значительно менее исследована по сравнению со случаем одной переменной.
Большие трудности вызваны не только громоздкостью всех вычислений, связанных с
наличием большого числа переменных. Усложняет задачу также разнообразие видов
областей интегрирования.
Как и в одномерном случае, чаще всего за приближенное значение интеграла
принимается линейная комбинация конечного числа значений функции
N
if(x)dx& 2 **/<*<Л)>- <14-1л)
D Аг=1
Формулы вида (14.1.1) будем называть формулами численного кратного
интегрирования или кубатурными формулами; а^ называют коэффициентами, a x^k) — узлами
формулы. Если равенство (14.1.1) записать в виде
N
[f(x)dx= 2 akf(*ik)) + *(/>. (14-1-2)
D k=i
то остаток R (/) формулы будет давать погрешность замены интеграла суммой.
Одной из основных характеристик формулы (14.1.2) является степень точности этой
формулы. Подобно одномерному случаю, мы будем говорить, что (14.1.2) имеет
алгебраическую степень точности т, если остаток R (/) равен нулю при условии, что
/ — произвольный многочлен от хъ х2 хп степени ^ т:
f(x) = p (х) = 2 Ctf'xp • • • х"п (rni+w. + . . . +mn < т) (14.1.3}
и существует хотя бы один многочлен степени w+1, для которого остаток
отличен от нуля.
Степень точности кубатурной формулы, вообще говоря, не позволяет оценить
величину остатка/? (/) численного интегрирования, но при помощи ее можно судить о

118 ПОСТРОЕНИЕ ФОРМУЛ КРАТНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ [ГЛ. 14
порядке малости остатка и о скорости стремления его к нулю при уменьшении
размеров области.
В правило кубатур (14.1.1) в качестве параметров входят коэффициенты ak и
точки *(4 и так как каждая точка определяется п координатами [x[k\ . . х\^\, то
общее количество численных параметров, содержащихся в (14.1.1), равно N (п + 1).
Но не все они могут быть произвольными, и число параметров, выбором которых
можно распорядиться, зависит от условий, при которых вычисляется интеграл.
Если требовать, чтобы правило (14.1.1) имело алгебраическую степень точности
т, то параметры формулы следует выбрать так, чтобы (14.1.1) было верным для
функций вида / = х™1. . . х'£п при тх + т2 + . . . + тп < т. Число этих условий равно
1 (т + п)\
^(w + l)(m + 2)...(m + /i) = ^jf^.
Оно весьма быстро возрастает при увеличении т и п. Поэтому в кубатурной сумме,
стоящей справа в (14.1.1), чтобы выполнить указанные условия, необходимо брать много
слагаемых akf (дг* ') даже при небольших значениях тип. Отметим, в частности, что в
случае фиксированных узлов, который встречается, например, в задаче
интегрирования функций, полученных из эксперимента или заданных таблично, правило
(14.1.1) буде4г содержать только N параметров ak и для достижения степени точности
т необходимо брать особенно большое число N членов суммы:
N>T\(m+1)' ' •("!.+л).
Такие правила интегрирования обычно имеют невысокую степень точности при
большом числе членов кубатурной суммы. Поэтому при вычислении многократных
интегралов особенное значение имеют те правила, в которых не только коэффициенты
аА,но и узлы х^ выбираются так,чтобы правило давало точный результат для
многочленов возможно более высокой степени.
В следующих параграфах будет рассмотрено несколько способов построения
кубатурных формул.
§ 2. Повторное применение квадратурных формул
Одним из простейших путей построения кубатурных формул является повторное
применение известных правил квадратур к приближаемому интегралу. Этот путь
основан на одном из способов точного вычисления кратных интегралов, а именно, на _
способе вычисления интегралов путем повторного интегрирования. Пусть нужно
приближенно вычислить интеграл
I=^f(x,y)dxdyt (14.2.1)
D
где область интегрирования D есть прямоугольник а < х < Ь, с < у ^ d. Двойной
интеграл может быть приведен к двум простым интегралам:
ь d
I==SdX \f{x>y)dy'
а с

? 2] ПОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ Ц9
Применим какое-либо правило приближенной квадратуры к внешнему интегралу:
Ь d m d
$ $ / (х, у) dx dy - 2 «/ $ / (*/. У) * + *'• (14-2.2)
а с /=*1 с
Каждое слагаемое суммы в правой части равенства (14.2.2) содержит интеграл,
который также можно вычислить при помощи одного из правил приближенного
интегрирования:
d n
\ / (*„ У) dy - 2 V <*/• У/> + *<• (14-2-3)
Для интеграла (14.2.1) получится следующее представление:
b d m n
^f(x,y)dxdy= 2 S V <*/'?/> + *• <14-2-4>
Здесь <?,у = аД и Я = R' + 2 «/Л/.
Пусть квадратурная формула, примененная к внешнему интегралу, точна для
одночленов вида xk, k = 0, 1, . . . , (т — 1), и квадратурная формула (14.2.3) точна
для одночленов у*9 I = 0, 1, . . . , п — 1. Тогда формула (14.2.4) будет точна для
одночленов вида xkyl, где k = О, 1, . . . , т — 1; / = 0, 1, . . . , п —- 1.
Для простоты мы брали одну и ту же квадратурную формулу для вычисления
интегралов, входящих в сумму (14.2.2). Если считать, что для вычисления каждого из
интегралов применяется свое правило квадратур, то вместо (14.2.4) получится более
сложная формула
Ь d m n
J J / (*, у) dx dy = 2 2 аЫ Ъ' уф+R> <14-2-5)
а с /=»i /=i
где
т
R = R'+ 2 *Л-
Например, если к вычислению внешнего интеграла в (14.2.1) и интегралов,
входящих в сумму (14.2.2), применить формулу Симпсона, то получим следующую формулу:
ъ а
$$ f(x,y)dxdy = (b-a^d~-c){f(a,c) + f(atd) + f(btc) + f(b,d) +
" +ф(«.^)+<(^)+'("4М+'Г4Ч]+
+ Щ (Hr . -f-JJ + Я. (14.2.6)
Остаток /? имеет вид
R = #' + "ip 1й + 4/?a + R»\,

120 ПОСТРОЕНИЕ ФОРМУЛ КРАТНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ [ГЛ. 14
где /?' — остаток, полученный при применении формулы Симпсона к внешнему
интегралу, и Rv R2, R3 — остатки при применении формулы к интегралам, входящим в
сумму правой части равенства (14.2.3) соответственно.
Для R можно получить следующее выражение:
(Ь - gf (d - с) ay fa, rji) (d - cf (Ь - а) d*f (£,, tj2)
* 2в-45 дх* 26-45 ду*
_ №~-с)ЦЪ-а)* d*f{b,r\3)
212452 d**<V
где точки (£х, Л1)t(?2»Лг)»(5з» Лз) лежат в области интегрирования. Из этого равенства
видно, что формула (14.2.6) точна для произвольных многочленов третьей степени
относительно х и третьей степени относительно у.
Мы рассмотрели случай, когда область интегрирования есть прямоугольник со
сторонами, параллельными осям координат. Если область интегрирования D
определяется неравенствами а ^ х ^ Ь, срх (х) <J у ^ ф2 (х), то интеграл по этой области,
очевидно, можно записать в виде
\ dx \ f (х, у) dy.
а ф,(*)
Ф2(*)
Обозначим \ /(*, y)dy знаком F (х):
<pi(*)
ь
^f(x,y)dxdy = ^F(x)dx. (14.2.7)
D а
Применим к интегралу в правой части равенства (14.2.7) некоторую квадратурную
формулу
ь п п *»(*i>
Jfмае» 2 fl/F<*/>e S ai \ fi*i'.y)dy-
Теперь, вычислив интегралы в последней сумме по каким-либо правилам
приближенных квадратур, мы получим кубатурную формулу
S
f(x,y)dxdy^ 2 ai S си^хоУцУ-
D~ г=1 /=1
Все высказанные выше соображения можно перенести на л-кратные интегралы (п > 2).
Рассуждения и формулы при этом становятся более сложными.
Рассмотренный метод приводит к формулам с большим числом узлов. Так, в
формуле (14.2.4) нужно вычислить значения функции в тп точках. Поэтому при
построении правил интегрирования указанным сейчас способом целесообразно
использовать квадратурные формулы наивысшей степени точности.
На выбор правил приближенной квадратуры, которые применяются для вычис-
6 ф2(*)
ления интегралов \ F dx и V / dy, до сих пор мы не налагали никаких ограни-

$ 2] ПОВТОРНОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ 121
чений. Но этот выбор должен быть связан как со свойствами функции f (х, у), так
и со свойствами области интегрирования D.
Мы остановимся сейчас на последней связи. Будем считать, что D лежит в
конечной части плоскости ху, и / (х, у) есть произвольная достаточно гладкая функция
в D. Если D — прямоугольник а < х < 6, с < # < d, рассмотренный в начале
параграфа, то для вычисления каждого из указанных интегралов можно применить
формулу Гаусса. Но для других областей D эта формула не всегда даст наилучший
результат, так как в ней весовая функция является постоянной и не будет учитывать
влияния на F (х) формы области D.
ь
Для интеграла / = V F (x)dx естественной весовой функцией является разность
а
р М = Фг (*) —" ф1 (*) и Для вычислений его разумно преобразовать к виду
ь
/«^[ф1М-ф1(*)]Ф<*)<**. ф(*)- , f(X) < v-
J Фа (х) — ф1 (х)
Но столь полный учет влияния формы области на выбор весовой функции р (х), по-
видимому, не целесообразен, так как он требовал бы вычисления для каждой области
интегрирования своих коэффициентов ai и абсцисс xt. Обычно естественную весовую
функцию р {х) =фа (х) -—ф! (х) заменяют классической весовой функцией, по свое
му характеру близкой к ней, и такой, чтобы коэффициенты и узлы формулы гауссова
вида для нее были известны. Во многих случаях полезной здесь является весовая
функция Якоби. Пусть показатели аир можно выбрать так, чтобы отношение
g(x) = [фгС*-) — фг (х)]/(х — а)^ (Ь — д-)а было ограничено сверху и снизу
положительными числами
О < т < g (дг)< М < оо.
ь
В этом случае интеграл / = \ F (x) dx приводят к виду
а
Ь
1 = ^ (х - af (Ъ — xf ф (х) dx, ф (х) = (х - а)"3 (Ь - х)'а F (х),
а
и вычисляют при помощи правила квадратур с весом Якоби.
Если отношение g (х) является достаточно гладкой функцией при а ^ х ^ Ь,
такой переход от естественного веса у2(х) —Ф1 (■*") к весУ Якоби не будет связан с
большой потерей точности. Например, если область/) имеет форму, изображенную на
рис. 7, и контур области имеет в точке Л касание первого порядка с прямой х = а, то
за весовую функцию Якоби можно принять Ух— а и интеграл / для вычислений
привести к виду
ь _ \_
\ = С Y* — а ур (х) dx, t|> (*) = (* — a) 2 F (х).
а
Как пример интеграла, при вычислении которого выбор квадратурной формулы
целесообразно согласовать со свойством области интегрирования, мы рассмотрим
интеграл по единичному кругу х2 -f у2 < 1 в плоскости ху. Если такой интеграл

422 ПОСТРОЕНИЕ ФОРМУЛ КРАТНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ СГЛ. 14
вычислять в полярных координатах, то его можно записать в следующем виде:
1 2« 1
/ = jjrjjj f(rf<p)<ftp}dr- ^rF(r)dr.
В плоскости (г,ф) областью интегрирования, как и в (14.2.1), является
прямоугольник [0 < г < 1; 0<ф< 2я]. Но выбор правила
Гаусса для интегрирования по каждой из пере-
9\
-*~я
менных здесь нельзя считать целесообразным.
Если принять во внимание наличие множителя
г и периодичность зависимости / (г,ф) от
переменной ф, то, по-видимому, большей точности
можно ожидать, если при интегрировании по г
избрать правило наивысшей алгебраической
степени точности с весовой функцией г (часть I,
гл. 3) и при вычислении интеграла по ф:
2rt
Рис. 7.
F (г) = J ^Г'Я>ИФ
взять правило прямоугольников с равноотстоящими значениями ф (часть I, гл. \))\
к
Фл = ~ 2л; (k = 0,1,..., п— 1). Аналогичным образом можно поступать и при
вычислении интеграла по шару. В более общем случае, когда область интегрирования
в полярных координатах определяется неравенствами 0<ф<2я, 0<г</?(ф),
2« Д(Ф)
интеграл / = \ \ / (г, ф)г dr dq> после замены г = R (ф)р приводится к виду
о о
2п 1 2«
/ = J Я2(ф) $/(*Р, Ф)Р<М» = 5 Ф(Ф)<*Ф,
0 0 О
и для интегрирования по р иф следует избрать те же правила, о которых говорилось
несколькими строками выше.
§ 3. Построение кубатурных формул на основе
• интерполяционных многочленов
Для построения формул численного интегрирования в пространстве любого
числа п (п > 1) измерений часто применяют замену подынтегральной функции
каким-нибудь интерполяционным многочленом с последующим интегрированием его.
Пусть нам дан интеграл
/=Л f(x)dx.
о
(14.3.1)
Здесь, как и ранее, D-область в «-мерном евклидовом пространстве, дивектор с
координатами (xLf л-2, . . . , дг ), dx — элементарный объем. По функции f (x) построим

8 3]
ПОСТРОЕНИЕ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
123
интерполяционный многочлен, совпадающий с ней в узлах x(t):
/(*) = / (*(1)) Pi (*) + f (*<2)) p%(x)+...+{(xiN)) PN (x) + R, (14.3.2)
где Pi являются многочленами, равными единице в точке х^ и нулю во всех
остальных узлах интерполирования, г R — остаток интерполирования.
Заменим в (14.3.1) / (х) многочленом (14.3.2):
/ = 2 f(xil))\ PiWtx + K- (14.3.3)
*=i о
Так как Pi (x) не зависят от /, коэффициенты при / (х^) в сумме вычисляются один
раз для всех интегрируемых функций /. Обозначим ci их численные значения:
N
/ = 2 cjtf^+Rx. (14.3.4)
/=i
Отбросив /?х, мы получим правило приближенного кратного интегрирования. /?х есть
остаток кубатурной формулы
/?i = \ Rdx.
-S
При построении интерполирующего многочлена чаще всего встают на один из
двух указанных ниже путей. Первый из них выбирают в том случае, когда стремятся
выполнить интерполирование при помощи многочлена низкой степени. Возможность
интерполирования здесь будет зависеть от расположения узлов х^К Если же хотят
воспользоваться хорошо известным и удобным аппаратом интерполирования
функций одного аргумента, то избирают второй путь. Интерполяционный многочлен в
этом случае может быть построен всегда, но будет иметь, вообще говоря, степень более
высокую, чем наименьшая возможная. Мы выясним идею обоих способов на
примере функций двух аргументов / (л-, у).
1. Пусть в области D плоскости ху нужно интерполировать функцию / (*, у) так,
чтобы интерполирование было верным для многочленов от х, у степени т.
Произвольный многочлен степени т от двух переменных Р (лг, у) = У) CLLxlyi имеет
(/и + 1)(т + 2)
N = -г коэффициентов. В области D возьмем N точек Ms (xs, ys)
и а.ц выберем так, чтобы выполнялись условия
Р (xs, ys) = / (х5, ys) (s = 1, . . ., N). (14.3.5)
Их можно рассматривать как систему N линейных уравнений для нахождения
коэффициентов йц. Определитель системы зависит от положения точек Ms. Если он
отличен от нуля, то система имеет решение и при этом единственное. МногочленР (дг, у),
совпадающий с / (дг, у) в Л* точках Afs, тогда существует и будет единственным.
Для построения соответствующего взятым точкам Ms интерполяционного
правила интегрирования
'§f(x, y)dxdy^S£ eJlXst уj (14.3.6J
U 5=1

124 ПОСТРОЕНИЕ ФОРМУЛ КРАТНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 1.ГЛ, 14
можно было бы найти представление многочлена Р (х, у) в форме
N
Р(х> У) = 53 р*1*> У)Н*е У*У
s=l
и затем положить с = \\ Р$ (х, у) dx dy.
-\
Ввиду сложности вычислений,которые требуются для нахождения многочленов
Ps (x, у), предпочтительно искать непосредственно коэффициенты cs, минуя Ps (х, у).
Для этого достаточно записать, что равенство (14.3.6) является точным для всех
функций / (л-, у) = л-У (i + j < m) и полученную систему линейных уравнений решить
относительно cs,
II. Пусть область интегрирования D в плоскости ху определяется системой
неравенств (а < х < Ь\ срх (л-) < у <ф2 (дг)]. На отрезке а < х ^Ь оси Ох выберем п
точек а ^ Aj < дг2 < . . . <С */г^ & и интерполируем / (дг, */) по переменной д- при
помощи ее значений / (xit у):
" <оп (х)
к*, y)~lj (x_x)(i; (х) ft** уу» юя(*)в(*-*1>-••(*-*,!>•
Возьмем сечение области D: [х = Х;\ ф1(л^Х*/<ф2 (*,-)], и выберем число
т^т (0 значений второй координаты у: ф1 (л^К^О,^ *//3<е' • < %«(/> < фа (*,-)•
Если /(*,, #) интерполировать по значениям ' f (хр %у)(/ = 1, .. -i /и(0)» T0
для f (х, у) получим следующее интерполяционное представлениг:
п m(i) со / \ " ( \
/<*, У)=% S ^^"i, /(*,. йу) + Л-Я(х. y)+R9
ых /«1 (* - х£) (у - */,у) ©я (*,-) ©/л(0 (%,)
(14.3.7)
Sm</> (У) в (У — ftl> • •' (0 - %т(0>*
Интерполирующий многочлен Р (х, у) будет иметь, вообще говоря, степень п — 1 но
переменной лг и степень max m (i) — 1 по переменной #.
i
Из (14.3.7) получается интерполяционная кубатурная формула
/ = U / (х, у) dx <fc = 2 2 V (*/• *//> + *ь (14.3.8)
6 ф«(*/ )
е.. = аД/у а, = \ —; dx, bn = \ — du.
Отметим, что а- и 6^ являются коэффициентами интерполяционных правил для
однократных интегралов [(2.2.2), гл. 2]. В случае равноотстоящих точек xi и ytl,t
Ь— а
они приводятся к коэффициентам Котеса (гл. 2, § 2).

§4]
ОБ ОБЩЕЙ ЗАДАЧЕ ВЫБОРА ПАРАМЕТРОВ
125
В качестве примера рассмотрим интегрирование по прямоугольной области на
плоскости. Пусть
bd
/= jjjj/(*, y)dxdy. (14.3.9)
а с
Будем строить кубатурную формулу с узлами, образованными пересечением прямых:
х = а + Ш = Х; (i = 0, 1, ..., л),
yz=c + jl=yj (y=0, 1, ..., m),
b— a d — с
где h = —— и / = - . В этом случае / (*, у) можно представить с помощью
интерполяционного многочлена следующим образом:
п т ® М со (у)
/<*. У) = У\ S /(*/■ У/) 7 ГГ5 /*'/ i~' / . +*' (".ЗЛО)
fffJ ; (х — л:.) ((/ — (#,) ©и (X/) ©m (i/,)
/=,0 /=0
(Х _ Х.) (у _ ^.) Шй (*.) o)w (у/)
Здесь сол (х) — произведение разностей вида х — jr/t cdw (#) — произведение
разностей # — yj. Правило (14.3.8) можно записать в виде
п т
1=S 23 V (*<• »/>+** с// = а< */. <14-3-ш
% М f <°т (У)
а, = \ ; dx% b: = \
п т
(on(x) = U (дс — а — /Л), а>т(*/)=П (y — c — jl).
Формула (14.3.11) будет точна для произвольного многочлена степени п относительно
х и степени т относительно у.
§ 4. Об общей задаче выбора параметров в правиле
вычисления кратных интегралов
Как и раньше, рассмотрим задачу построения кубатурной формулы вида
Г N
w(*)<**»2 V(*(°); (w.4.1)
R — область в n-мерном пространстве, х =(хх, х2, . . . , хп), dx — элемент объема.
Кубатурная сумма, стоящая справа в (14,4.1), содержит Л' (п + 1) численных
параметров —N коэффициентов ai и N>п координат узлов х^1). Будем считать их
произвольными и поставим задачу об их выборе. Для кратных интегралов эту
задачу формулируют так, как указано ниже. Предположим, что выбрана
последовательность функций coy (д), /=1,2,... Возьмем s первых функций (о; и поставим своей
целью число слагаемых TV в сумме (14.4.1) и численные параметры формулы выбрать

126 ПОСТРОЕНИЕ ФОРМУЛ КРАТНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ [ГЛ. 14
так, чтобы равенство было точным для f — со- (/ = 1, 2, ..., s). Если взять
А' достаточно большим, то для систем функций со,, встречающихся в
приложениях, достигнуть этого обычно можно не одним, а бесконечным числом
способов, так как при этом некоторые численные параметры остаются произвольными.
Ставится задача за счет выбора произвольных параметров достигнуть точного
выполнения (14.4.1) для / = со.- (у — 1, 2 s) при достаточно малом или даже
.наименьшем возможном числе N слагаемых в кубатурной сумме. Формулы с минимальным
числом членов или совсем не содержат произвольных параметров и тогда они могут
быть, как правило, построены единственным способом, или в них остаются такие
параметры и тогда выбором их можно воспользоваться для каких-либо целей,
например, для упрощения правила интегрирования.
Задача повышения алгебраической степени точности для правила (14.4.1)
исследовалась и получила частичное решение в том случае, когда за функции coy
принимались следующие простейшие многочлены *):
1, xit XjXj, x.xfxk1 .. ., 1 < i < / < k < ... < п. (14.4.2)
Пусть нужно построить правило (14.4.1), точное для всех алгебраических
многочленов от *!, . . . , хп до степени т включительно. Если потребовать, чтобы (14.4.1)
было верным для всяких многочленов (14.4.2) до степени т включительно, получится
(m + l)(m + 2). . .(т + п) „ (i) " (i)
система -\ уравнении для определения at, ху},. . . , л*;*'
(/ = 1, . . . ,Ат). Система линейна относительно ai и нелинейна при т>2
относительно х%\ При решении системы естественно требовать, чтобы число неизвестных
параметров было не меньше числа уравнений:
(т + 1).. .(т + п)
Задача построения кубатурных формул с наименьшим числом узлов N решена
при т — 1 и т = 2 для интегралов любой кратности п. Именно, для т = 1
оказывается TV = 1 и формула имеет вид
где | /? | — мера области R и л-*0* — центр тяжести области. Для т — 2
соответствующая формула имеет Лт = а + 1 узлов**). Для т > 2 задача рассматривалась в
отдельных случаях***).
§ 5. Симметричные кубатурные формулы
При построении формул численного интегрирования в случае многомерных
областей большое значение имеют кубатурные формулы для симметричных областей
с узлами и коэффициентами, также'обладающими свойством симметрии. Такие
формулы обладают высокой степенью точности при малом числе разных коэффициентов и
*) Рассматривалась аналогичная задача для интеграла, вычисляемого по сфере,
и параметры формулы выбирались так.чтобы результат вычислений был точным для
сферических функций достаточно высокого порядка (С. Л. Соболев [6]).
**) Н С. f h а с h е г 111, см. также Л. Н. Stroud [2J.
**:;) Р. А р е 1 1 [1], R a d о п 11], Георгиев [2].

§ U ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ОДНОЙ ОБЛАСТИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ В ДРУГУЮ 127
могут быть получены при помощи небольших вычислений. Например, чтобы построить
кубатурную формулу для интегрирования по трехмерной области, степень точности
которой равна 7, нужно решить систему из 120 уравнений нелинейного характера.
В случае же симметричной области и симметричной формулы эта задача сводится
к системе семи алгебраических уравнений, которая просто решается *).
Назовем область R в «-мерном пространстве симметричной в том случае, если
из того, что некоторая точка л* (xv л-2, . . . , хп) принадлежит R> следует, что все
точки, полученные из х перестановкой координат и переменой знаков у координат,
также принадлежат R.
Справедливо следующее утверждение: интеграл по симметричной области R от
любого одночлена, содержащего нечетную степень какой-либо координаты, есть
нуль; интеграл от произведения четных степеней зависит только от показателей
степеней и не зависит от их порядка. Назовем формулу численного интегрирования
симметричной, если все узлы можно разбить на группы, при этом каждая группа
представляет собой множество симметричных точек и значения интегрируемой функции в
узлах, принадлежащих одной и той же группе, берутся с одинаковыми
коэффициентами. Тогда, если 2ау/ (х^) — симметричная кубатурная сумма, приближающая
интеграл по симметричной области R, то для того, чтобы она имела степень точности
2k -p 1, необходимо и достаточно, чтобы формула была точна для всех одночленов
вида jc**1*]***... x^if где /г1+/?2+^з+- • •+£„< * н все показатели неотрицательные.
Ввиду относительной простоты до сих пор в основном строились симметричные
кубатуриые формулы по симметричным областям.
ГЛАВА 15
ПЕРЕНЕСЕНИЕ ПРАВИЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
НА ДРУГИЕ ОБЛАСТИ
§ 1. Преобразование одной области интегрирования в другую
Как уже указывалось раньше, разнообразие областей интегрирования
затрудняет построение кубатурных формул. Поэтому было бы очень полезно уметь
переносить кубатурные формулы, построенные для приближенного интегрирования по
одной области, на интегрирование по другим областям. Осуществить это можно
несколькими способами, каждый из которых имеет свои достоинства и недостатки.
Пусть известна формула приближенного интегрирования по области R. Если
нам нужно построить формулу для области S, то мы можем найти преобразование,
переводящее область R в область 5, с помощью которого из формулы для
интегрирования по области R получается формула для области 5 **).
Рассмотрим этот способ несколько подробнее. Пусть мы имеем формулу
интегрирования вида
т
p(*)/(*)dx»2 а,/(л'(/)), (15.1.1)
R /=1
где/? — /г-мерная область в евклидовом пространствеЁп, х — вектор в
пространстве Еп> av а2, . . . , ат—действительные числа, л-d), л-(2), . . . , д-(т) — узлы кубатур-
ной формулы, находящиеся в области определения /. Будем считать, что весовая
*)Р. С. Натт е г and A. W. W у т о г е [1].
**) Р. С. Н а т т е г and A. W. W у т о г е [1].

128 ПЕРЕНЕСЕНИЕ ПРАВИЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НА ДРУГИЕ ОБЛАСТИ [ГЛ. 15
функция р (х) и функция / (л-) определены и непрерывны в R. Через dx мы, как
обычно, обозначили элементарный объем в пространстве Еп. Пусть мы хотим построить
кубатурную формулу, подобную формуле (15.1.1),для приближенного интегрирования
по области 5 из пространства Еп, и пусть существует преобразование J с
непрерывным и не обращающимся в нуль якобианом, которое переводит R в S: у = Jx> где
*е/?, yes.
Заметим, что dy = \J\dx, где |/|— абсолютное значение якобиана. Для
простоты будем считать/ аффинным преобразованием, тогда | J | —постоянная величина.
Теперь запишем для функции g (у) = f (х), определенной и непрерывно^ в 5,
следующую кубатурную формулу, получающуюся из (15.1.1) при преобразовании
У = Jx:
т
)Pi(y)g(y)dy^^ ЪЛ(уЩ, (15.1.2)
где р\ (у) = р (х), bi = | J | ар yW) = JxV), Так как при аффинном преобразовании
степени многочленов сохраняются,то степени точности правил (15.1.1) и (15.1.2) одинаковы.
Таким образом, имея (15.1.1) для некоторой области R, мы можем без труда
получить (15.1.2) для интегрирования по области S той же степени точности, если,
конечно,известно преобразование,переводящее# в 5.Так, например,известные
формулы для сферы можно сразу же перевести в формулы для некоторого эллипсоида.
Необходимо заметить, что если преобразование у ^ Jx не будет аффинным,
то алгебраическая степень точности правила интегрирования при переходе от (15.1.1)
к (15.1.2) не будет, вообще говоря, сохраняться.
Пример. Для единичной сферы R с центром в начале координат известна ку-
батурная формула:
[ f(x, у, z)d*dj/dz «0,6981317 [/(0,7745967; 0; 0) + f (-0,7745967; 0; 0) +
+ / (0; 0, 7745967; 0) + / (0; —0,7745967; 0) + f (0; 0; 0,7745967) +
+ /(0;0; —0,7745967)] =
--§■*[« V^; 0; о) + / (- Vw. 0; о) + / (о;. /м; о) +
+ / (0; - V0fi\ 0) + / (0; 0, /бТб) + f (0; 0; - /ОЖ (15.1.3)
которая имеет третью степень точности. Пусть нужно построить кубатурную формулу
для эллипсоида 5:
I'2 И2 22
а2 ^ b* ^ с2 "~1*
Преобразованием, переводящим указанную выше сферу в этот эллипсоид, будет
. х =-- ах, у = by, z = cz.
Якобиан этого преобразования равен
У =
а 0 0
0 b 0
0 0с

I 2] МЕТОД ДЕКАРТОВЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ 129
Из формулы (15.1.3) теперь получаем кубатурную формулу для S:
* _ 2
\Цх, у, z)dxdydztt -g nabc[f (V0M\ 0; 0) + f (— /0,6a; 0; 0) +
5
+ /(0; /0,66; 0) + /(0; - /0,6/;; 0) + / (0; 0; /О.бс) +/(0; 0; - ^0»].
Эта формула также имеет степень точности, равную 3.
Применимость рассмотренного метода ограничена тем фактом, что в случае
более сложных областей часто бывает трудно найти подходящее преобразование.
§ 2. Метод декартовых произведений
Суть*) этого способа перенесения кубатурных формул на другие области
интегрирования заключается в следующем. Пусть R — область в /i-мерном евклидовом
пространстве — есть декартово произведение двух областей R1 и R2 ь евклидовых
пространствах меньшего числа измерений. Тогда, если обозначим у ЕЕ Ri и г G R2,
каждое х G R можно, очевидно, записать в виде {у, г). В таком случае при наличии
кубатурных формул для областей Rx и R2 мы можем без особого труда получить
формулу для области R.
Рассмотрим это несколько подробнее. Определим сначала, что мы будем называть
классом декартовых произведений функций. Если Fx — класс функций,
определенных в Rv a F2 — класс функций, определенных в R2, то классом декартовых
произведений F = FXX F2 функций, определенных в области R = Rx X R2i называется
класс всех функций / (у, г) таких, что / (у, z) €Е Fx для каждого z EiR2u f (у, г) 6Е F2
для каждого у ElR\.
Так, например, если классы функции Fx и F2, определенных на Rx и R2, можно
представить как линейные комбинации базисных функций ф^фг.фз» • • • >Фл и
gv g2 gQ соответственно, то F = F\ X F2 есть тогда класс с базисными функ-
q q
циями ф^., т. е; / G F можно записать в виде f = 2 2 °ifti&r
/=1 /=i
Проиллюстрируем это на следующем примере. Пусть Fx — класс многочленов
от х степени меньшей либо равной k, a F2 — класс многочленов от у, степень
которых также меньше либо равна к.
Тогда классом декартовых произведений F = Fx X F2 будет множество много-
k k
членов от х,у вида Р (х}у) = 2 2 a//*V- Это множество многочленов, очевидно,
/=о /=о
включает все многочлены степени ^ к от двух переменных. Предположим теперь, что
имеются формулы численного интегрирования с весовыми функциями рх (у) и р2 (z)
по областям Ri и R2 соответственно. Функционалы ошибок этих формул можно
записать в виде
Я(ЯьЫ =2«//ifo/)- S My)h(y)dV* (15.2.1)
E(R*t W= 2 bfh(*i)- J Pt(z)f%(z)dz, (15.2.2)
причем функции fx (у) и /2 (z) определены и непрерывны в Rx и R2 соответственно.
*) Содержание этого параграфа тесно связано с § 2 гл. 14.
5 В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина

130 ПЕРЕНЕСЕНИЕ ПРАВИЛ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НА ДРУГИЕ ОБЛАСТИ [ГЛ. 15
Рассмотрим теперь функцию f (x) = f (у, z), которая определена и непрерывна в
Пусть имеется формула численного интегрирования но области R с весом
Pi (У) Рг (z) c функционалом ошибки
E<R. /) = SSa/V^ */>- S S Hy)M*)t{y**)dyd*. (15.2.3)
* / Rt R*
Допустим теперь, что fx принадлежит некоторому классу функций F%,*f%—
некоторому классу F2, а функция / принадлежит классу F, который, как и выше, является
классом декартовых произведений функций, принадлежащих Ft и F2. Пусть для этих
функций /х, /2 и / существуют формулы численного интегрирования с функционалами
ошибок (15.2.1), (15.2.2) и (15.2.3) соответственно. Тогда из условия, что
Е (/?lf /i) = 0 и Е (/?„ /2) = 0, следует, что £(/?,/) = 0.
Если Fv F2 и F — классы многочленов, рассмотренных ранее, то из
высказанного выше утверждения вытекает следующее.
Пусть квадратурные формулы
С п
) Pi (У) h (У) dy « 2 aih ^)» (15-2-4)
Ri Ы\
Г П
кг /-1
имеют степень точности к. Тогда формула
i- С п п
) ) Pi(y)Pt(z)f(y,*)dydzx% ^ a/V^2/) (15-2-6>
будет точна для произвольного многочлена от # и г, степень которого по у при
фиксированном г равна к и степень по z при фиксированном # — также равна к.
Таким образом, при наличии формул (15.2.4) и (15.2.5) можно легко получить
формулу (15.2.6) для области с большим числом измерений.
В качестве примера построим кубатурную формулу типа формулы Лягерра для
квадранта. Пусть мы имеем 5-точечную формулу для весовой функции ё~х на
интервале [0, оо], которая справедлива для всякого многочлена 9-й степени. Тогда
формула
2 2 fl^W^J ) e-(x^f(x,y)dxdy
9 9
точна для каждого многочлена вида 2 2 cif^^" Очевидно, это множество поли-
номов включает все многочлены степени ^ 9 от двух переменных.
Комбинируя формулы Гаусса и Лягерра, мы можем получить формулу
численного интегрирования по полуполосе.
Все известные формулы могут быть использованы для получения формул
численного интегрирования по областям с большим числом измерений.

§ з]
ФОРМУЛЫ ДЛЯ КОНЕЧНЫХ КОНУСОВ
131
§ 3. Формулы для конечных конусов
Если область интегрирования — конечный конус, опирающийся на основание,
кубатурная формула для которого известна, то можно без труда получить формулу
численного интегрирования по данному конусу *).
Предположим, что мы имеем л-мерную область /?, расположенную в
гиперплоскости х ^ \ в пространстве £„+r Пусть (£, 1) — точка области R, где £ — точка
/i-мерного пространства. Очевидно, множество точек xR, где 0 ^ х < 1, является
конусом С в пространстве £п+1 с основанием R и вершиной в начале координат
пространства Еп+Г Пусть теперь функция / (£, х) определена в конусе С, и мы
предполагаем, что имеется формула численного интегрирования для основания R:
jj in, i)dun«2vfc/, о>
(15.3.1)
где dvn — элементарный объем в пространстве Еп, (L, 1) — точки на основании R,
а- — как всегда, коэффициенты кубатурной формулы.
Теперь мы хотим получить формулу численного интегрирования по области С.
Очевидно, справедливо равенство:
[f(l,x)do=^dx[f(*, х) dvni (15.3.2)
С 0 xR
где dv — элементарный объем в пространстве En+V Нам нужно получить правило
вычисления для интеграла
xR
Мы имеем формулу (15.3.1) для интегрирования по области R.
Якобиан аффинного преобразования, переводящего область R в xR, есть
х 0 0 ... О
0x0 ... 0
J =
= jr
0 0 0 ... х
Принимая во внимание сказанное в § 1 гл. 15, мы можем записать, что
jj f (5, х) dvn » У] | xn I aff (x$/f x) = *" ^ V (*&/' *>' (15-3-3)
причем формула (15.3.3) имеет ту же степень точности, что и формула (15.3.1).
Обозначим теперь ^ ajt (*£/> х) = 8 М- Тогда
/
1
\ / (£, x)dv&\ xng (х) dx. (15.3.4)
С О
Пусть интеграл, стоящий в правой части (15.3.4), вычислен:
J.v^wrf.v»2^w-
(15.3.5)
Р. С. Н а ш тег, О. J. М а г 1 о w e, A. H. Stroud [ 1 ].

132 ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ [ГЛ. 16
Принимая во внимание (15.3.4) и (15.3.5), получаем формулу численного
интегрирования по конусу С:
с /■ /
Если формула (15.3.1) точна для произвольных многочленов от координат точки
£ степени k и формула (15.3.5) точна для произвольных многочленов от х степени /, то
равенство (15.3.6) будет точным для произвольных многочленов от л- и координат
точки |, имеющих по х степень не выше k при фиксированной точке | и степень не
выше / по координатам \ при фиксированном х.
С помощью этого метода можно строить формулы для (п + 1)-мер-
ных симплексов, начиная от формулы численного интегрирования по линейному
отрезку. Для этого нужно иметь формулы интегрирования по отрезку [0, 1] с весом
хп. При вычислении таких интегралов можно воспользоваться табл. 2, приведенной
в четвертой части книги, где даны узлы и коэффициенты такой квадратурной формулы
для случая п = 1 (1) 5 с числом абсцисс т— 1 (1)8.
Если для отрезка взять формулу Гаусса с т узлами и для вычисления интегра-
1
лов вида V xng (x) dx использовать тоже формулу наивысшей степени точности с т
о
узлами, то получим для симплекса в (п + 1)-мерном пространстве формулу с тп+г
узлами, степень точности которой равна 2т — 1 по каждой из координат. Среди
других способов перенесения формул численного интегрирования на другие области
можно назвать метод разбиения области на такие подобласти, для которых приближенные
формулы известны. Тогда искомая формула представится как сумма (или разность)
известных формул. Иногда бывает возможно приближенно заменить область одной
или несколькими областями, для которых формулы численного интегрирования
известны.
ГЛАВА 16
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
§ 1. Введение
Ниже (табл. 1—10) приведен перечень формул для приближенного вычисления
кратных интегралов. В каждом случае приводятся узлы и коэффициенты формулы,
степень точности, количество узлов. Приведены главные члены остатков в тех
случаях, когда они известны. В записи формул использованы некоторые сокращенные
обозначения. Так, в табл. 3—10 буквой г обозначена степень точности приводимой
формулы, буквой т — число узлов. В табл. 1 и 8 введены следующие обозначения
при записи главных членов остатков формул:
и п
W~2-£L; v2H2/=v2(v2*/); />V= 2
t.t* дх!д№ ,, t*. „d$>*V>>&*a

§ 1]
ВВЕДЕНИЕ
133
причем суммы здесь берутся по всем комбинациям t, и, s, ш, но таким, что в каждой
из них /, w, s, w все различны.
В таблицах 1 и 2 приведены симметричные кубатурные формулы по
симметричным областям. Записываются эти формулы следующим способом. Условимся,что vt
будет обозначать ненулевую первую координату точки, у которой все остальные
координаты — нули: (^.,0, 0, . . . 0). Здесь и ниже/=1,2, . . . Если кубатурная формула
включает такую точку, то по требованию симметрии она будет включать все точки,
полученные путем перестановок координат и перемен знака у ненулевой координаты.
Таким образом, мы получаем подмножество 2п (/г—число измерений пространства)
точек,которое определяется заданием i^.Bce точки этого подмножества входят в куба-
турную формулу с одним и тем же коэффициентом,который будем обозначать через
а.. Буквой lt будем обозначать две равные координаты точки: (^., £,-, 0,0, . . . , 0).
Тогда симметричная кубатурная формула будет включать в качестве узлов все точки,
полученные из этой точки перестановками координат и переменой знаков. Буква ^
полностью определяет множество 2п (п — 1) узлов, которые входят в формулу с
коэффициентом, обозначенным Ь^ x\j будет обозначать ненулевые равные координаты
4
множества из -д- п (п — 1) (л—2) точек,которые можно получить из точки (r\it х\{, г)/(
0, 0, . . . , 0) указанным выше способом; ct — коэффициент кубатурной формулы,
стоящий множителем перед значениями функции / во всех точках этого множества; а0
есть коэффициент при / (0, 0,..., 0).
Пример. Рассмотрим формулу, помещенную в табл. 1, случай я = 2, № 11.
В таблице она записана следующим образом:
Мв
11
Узлы
Vi =1
Еж = 1
Коэффициенты
д0 = 16/9
ai = 4/9
Ь\ = 1/9
i
! Степень
Число точек . точности
9
3
Главный
член остатка
^(vVo-aDVe);
Число а0= 16/9 является коэффициентом при значении функции f в точке (0,0),
vx = 1 обозначает множество четырех следующих точек: (1, 0); (—1, 0); (0, 1); (0, — 1).
Значения функции в этих точках входят в кубатур ную формулу с коэффициентом
ах = 4/9. Число £А = 1 определяет множество точек (1,1); (1,-1); (—1,1);
(—1,-1). Коэффициент Ьх = Vo стоит общим множителем перед значениями
функции в этих точках.
Таким образом, указанная формула может быть записана так:
1 1
) ^ f (Xl, Xi)
16
dxi dx* = -g- / (0, 0) + -y- [/ (1, 0) + / (-1, 0) +
+ / (0, 1) + / (0, -1)] + -9- [/ (1, 1) + / (1, -1) + / (-1, 1) + / (-1, -1)1 +
+
и
d*j (0, 0) . У/ (0,0)
+ •■•

134 ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ [ГЛ. 16
Формулы классифицируются по областям интегрирования. В табл. 8 приводятся
правила численных кубатур, дающие указанные в таблице главные члены ошибки при
интегрировании гармонических функций. Некоторые кубатурные формулы с весом
указаны в табл. 9. Эти формулы удобны для вычисления моментов функций двух
переменных.
§ 2. Таблицы кубатурных формул
Таблица 1
/t-мерный куб с вершинами (±1, ±1, . . ., ±1)
Я = 2
п/п
Узлы
Коэффициенты
Число
узлов
Степень
точности
vi = о,81649 65809 277260
ai = 1
2 j li=l/V"3
&i = l
3
4
5
6
7
01=2 " 1 «0 = 20/6
1 fll = 1/6
fi = 0,77459 66692 4Ц834
Si = 0,77459 66692 4Н834
У1 = 1
vi =0,9258200997725515
^1 = 0,3805544332083157
£2 = 0,8059797829185987
i>i = i
02 = 2/3
Уз =1/3
Si = l
52 = 1/2
«0 = 0,79012 345*>7 9°1235|
«j = 0,49382 71604 938272 j
bi = 0,30864 19753 086420
—я0= П2/45
fli = 4/45
a2 = 64/45
&i = i/9
^=0,2419753086419753
b\ =0,5205929166673945
62 = 0,23743 17746906302
a0 = 5388/945
a! = 111/945
a2 = 405/945
—«3 = 1863/945
h = 49/945
62 = 896/945
53
9
13
12
21
5
5
7
7

$ 21
ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ 135
Продолжение табл. 1
п п
Узлы
Коэффициенты
п =
Число
узлов
= 2 -
Степень
точности
] «0 = 4/3 г ,
8 tn = 1 I ai = 2/з ; 5 3
9
10
11
12
13
И
15
Si=l
Vi = 1
$1 = 1
01 = 1
$1 = 1
Ь=/7/9
V\ = 1
$i = i
Vi = 1
у2=У5/п
f 1 = 1
l>2=V"2/5
«о = 8/3
Ьг =1/3
ai=4/3
-*i = 1/3
ао=1б/9
oi =4/9
Ьг =1/9
oi = 40/49
Ь\ = 9/49
оо = 88/45
oi = 16/45
Ьг = 7/45
а0 = 256/225
oi= 8/45
а2 = т/225
—оо = 8/9
oi = ю/9
о2= 1/9
5
8
9
8
9
9
9
3
3
3
5
5
5
5
Главный член остатка
£iv4o-7D%)
£ (v'fo + 8D«fe)
^(VV.-»D*W
^(vVo-2D*/e)
4 / 212 1612 „„ \ J
4"? vVo
4 /4Ve + 268V2D« \
6! 1 1155 //o
4pVe+344V2^4U
611 54 j '•
n = 3
П/П
1
2
3
Узлы
01 = 1
тц=1/У1
»i =0,7958224257542215
*]i = 0,7587869106393281
Коэффициенты
Oi=4/3
C\ = 1
t?i = 0,88642 65927 977839
d =0,3351800554016621
Число
узлов
6
8
И
Степень
точности
3
3
j
5

136 ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ГЛ. 16
Продолжение табл. 1
№
п/п
4
5
6
7
8
9
10
Узлы
vi = о,77459 66692 4Ч834
Ь\ =0,7745966692414834
vi =о,5
V2 = 1
Т]1= 1
vi = 0,84841 80114 722525
£1 = 1,10641 28986 267175
Л1 = 0,65281 64721 016912
01 = 1,2795818594182734
Ь = 0,70009 72875 5233^7
T]i = 0,85504 42581 681327
vi = 0,9258200997725515
gi = 0,92582 ОС997 725515
. 111=0,7341125287521153
г]2 = 0,40670 31864 267161
vi^VJFs
ii==V3/s
тЦ = ^3/5
ci=/3/5
$1 = /з/5
Л1 = ^3/5
Коэффициенты
flo = 2 ,07407 40740 740741
—«1 = 0,24691 35802 469136
61 = 0,61728 39506 172840
—ao = 49^/45
«i = 128/45
«2 = 8/45
d = 1/9
д0 = 0,78807 34827 442io6
ax = 0,49936 90023 077203
bi =0,0323037423 340374
d =0,4785084494251273
a0 = 0,94789 45552646438
fl! = 0,04242 99394 912215
h = 0,50327 55687 554778
c\ = 0,09477 73728 402868
«1 = 0,29574 75994513032
61 = 0,09410 15089 163237
a =0,2247031747656014
c% =0,41233 38622714356
ао = 3440/5ЮЗ
ai = 2312/5103
61 = 1364/5103
а =893/5103
а0 = 512/729
ai = 320/729
fci = 200/729
ci = 1000/5832
27
27
5
5
Число
узлов
19
21
27
27
34
Степень
точности
5
5
7
7
7
J^(-Ve + 3V2^)/o
25-7» (~*
7e+3V2
D*-3/6)/0

§ 2] ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ 137
Для любого п
Продолжение табл. 1
п'п
1
2
Узлы
-/!
6i = Уз75
Коэффициенты
2n-i
2п-\
а0 = -^у- (25а2 —И5^ + 1б2)
2n-i
«i=-g7"(7o—25л)
25.2«->
6l = ~1бГ~
Число
узлов
2/1
2/г2 + 1
Степень
точности
3
5
Таблица 2
/i-мерный шар с центром в начале координат с единичным радиусом
П = 2
1 п ,'п
Узлы
1 ! Si = о,5
2
3
4
5
oi =0,7071067811 865475
vi = 0,7071067811865475
Ei = 0,7071067811865475
Vi = 1
.. Ei =o,5
vi = 0,86602 54037 844386
Si = 0,32291 49920 674005
£2 = 0,64417 13103 89464b
Коэффициенты
Число
узлов
Степень \
ТОЧНОСТИ j
б! = 0,25Я 4 3
«1-0,7853981633974483
«0-0,5235987755982989
«1=0,52359 87755 982989
6, =0,1308996938995747
«0 = 0,5235987755982989
a2 =0,5235987755 9^2989
61 =0,1308996938995747
rti = 0,2327105669325773
b\ = 0,38707 77960 062264
62 = 0,1656098004 586446
1 j
4 3
i
9 ! 5
i !
9 5 1
12
7

138 ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
[ГЛ. 16
Продолжение табл. 2
п'п
1
2
3
4
5
6
7
Узлы
0i = о,77459 66692 414834
^1 = 0,6546536707 079771
Ii = 0,65465 36707 079771
Vl = 0,68225 91268 536840
T]i = 0,6082048823 194740
01 = 1,23875 84445 019331
Л1 = 0,41897 65704 395655
vi = 0,83269 56271 382924
Ь = 0,74765 06947 169606
т], = 0,42945 49987 784796
Vl = 0,94104 48241 002225
5! = 0,54604 14781 242386
t]i = 0,6604983415 547би
^ =|/ 58Ту(245 — T^i777b)
^=]/^(245 + ^1777^)
Коэффициенты
Число
узлов
сц = 0,69813 17007 977318I 6
а0 = 0,27925 26803 190927
«1 = о,32579 47937 05бо82
Ь\ = о, 16289 73968 528041
01 = 0,5523611797267854
а = о, 10932 78908 032098
а\ = о, 50824 60376 245486
d =0,4854803182764577
а0 = 0,41560 03482 691997
fl! = 0,19944 83077968051
61 =0,0380676101 171267
с\ =0,2649610860413550
а0 = 0,44413 96821 009518
сц = 0,09573 84071 760634
Ь\ = 0,25083 85364 520637
С\ = 0,02001 97052 755367
2Я / у 227816 \
2Я / 2278l6 \
а2~ ю8045 ^9 5~" Vnno)
h 432Jt
1 12005
729л
Cl ^ 24010
19
Ч
Ц
27
27
32
Степень
точности
3
5
5
5
7
7
7 j

$ 2J ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ jgg
Продолжение табл. 2
п/п !
Узлы
Коэффициенты
Число
узлов
- S
л н
О О
с я
6Z ■
1
V 39 - 3 /41
к,= g
^39 + 3 /4Т
У2 = §
Ь- 2
1
я2 / 109 \
а' = l88Tl33 + -^j
я2 / Ю9 \
аг= l88Tl33-y---j
6l = "48?
я2
С1 = 7^о"
72
7
Для любого п
п/п
Узлы
Коэффициенты
Число
узлов
О) о
с я
Й8
wi
-Vrk
а\ =
1 я"'2 _
211 Г (Я/2 + "О"
2П
3
+ 4
flo = -
— fll
/I3— 3A12— 10A? + 3° _^
п/2
iSVz + Зб Цл/2 + 1)
/г2 — i6 я
/г/2
- lSVz + 36 Г (п/2 + 1)
_я + 4 пп!*
36az +~72 V ("л/2 + О
2tt2 + 1

140 ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ [ГЛ. 16
Продолжение табл. 2
№
п/п
Узлы
Коэффициенты
Число
узлов
а Б
« с
5?
■.-j/p.-j/u-s^fc,
« _ Г 2 (Л + 6)
« l/ " + 4
."/*
т„
°'"»47)V^-Z
2/3/* (2л2-
З/г+7)
-л/2
•г(т) '/pi-^p.
*1 =
Ci =
4л^(я + 6)»(5-я)
/гГ(«/2)Г/1 + 2) (п + 4)4
27яя/2 (л + б)0-
4/гГ(А1/2)(« + 2)(А1+4)4
В формуле №3 таблицы 2 в случае произвольного п использованы обозначения
R (/1 + 4)»(/1»-9я + 38)
Рл - (Я + 6) (/г* + па — 28я* + 60/г + 1216) ;
1,-[±-«.Ш}(^/>*-т'^)-^ыт)'
^-Нт-в.(5фт)'-[4-в.(5йЛ(».-УГв-4т^
(я-1)(я +22)
w"_ 2 (я + 2) (я + 4) (я -Ь 0) •

s 2]
ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
141
Таблица 3
Формула для численного интегрирования по квадрату с вершинами
(1,1); (-1,0; О, -О; (-1, -О
Г ttz С), /72 = 39
г
1
2-5
6,7
8,9
1 ю—13
I Ч-17
18—21
22—25
26,27
28—31
32-35
36-39
Коэффициенты
-2,5299И5
1,1666667
1,8016448
1,0931624
-0,5332435
—0,9452709
0,42887840
0,5030548
0,03220126
—1,1666667
0,4786287
0,2369268
Узлы
*/
0
±0,6546537
о,
±1
±1
±1
±1
±1
р
±0,6546537
±0,5384693
±0,9061798
У'ь
о 1
±0,2581989
±0,7037316
0
±0,2581989
±0,7037316
±0,7559289
±i !
±i
±i
1 ±i
±i
Таблица 4
Формулы для численного интегрирования по кругу :с2 + 3>2^1
1. г = 5> ™ = 7
i
1
2, 3
1 4-7
Узлы
*/
0
±0,8164965809 277260
±0,40824 82904 638630
Vi
0
0
±0,7071067811 865471
/
1
2,3
4-7
Коэффициенты А^
0,78539 81633 974483
0,39269 9°8i6 987242
0,39269 90816 987242

142 ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ГГЛ. К,
Продолжение табл. 4
2.
5, т - 7
Х/
Vi
\
0 1 з
О
я
т
О
3
о
1
1
1
"7Г
1
У?
У<г
1
/6
1
~ут
я
"Т
m = 16
/
1-4
5-8
9—12
13—16
Коэффициенты At
Я
я
jt (з — У7)
6о (3 + V$ )
л (3 + /Г)
6о (3 - Vs )
Узлы
*/
±j/i±/L
iV1^
±1/^
±\/г=Р
Vi
±УЧ^
±Vi±P-
±У*±£-
±УЧР-
г = 9, m = 2i
г
1
2,3
4-7
8-п
14-17
| 18—21
1
Коэффициенты At
0,34906585
0,l6l002l7
0,l6l00217
0,l6l00217
0,11825050
0,11825050
0,11825050
Узлы
*i
О
±0,59586158
±0,4820б2Ц
±0,18413135
±0,91921Юб
±0,74365736
±0,28405183
yL ■ \
I
О
О
±0,35023865
±0,56669804
О
±0,54029870
±0,87422167

2]
ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ 143
Продолжение табл. 4
г = 9, m = 2i
1
2-5
6-9
10,11
12,13
14-17
18—21
Узлы
±0,55050 43204 538557
±0,22802б355б7б9715
±0,91921 IO607898046
О
±0,7932084745126058
±0,4б450973Ю49525б
У1
±0,2280263556769715
±0,55050 43204 538557
о
±0,91921 10607898046
±0,4645097310495256
±0,7932084745 126058
/
1
2-5
6-9
10,11
12,13
14-17
18—21
Коэффициенты A-t
°,349°6 58503988659
0,2012527133278051
0,2012527133278051
o,ioi29 18735702551
o,ioi2§ 18735 702551
0,0971672002859332
0,0971672002859332
/
г = 11, т = З2
i
1,2
3,4
5-8
9,ю
11,12
13—16
17—20
21—24
25—28
29,30
31,32
Узлы
А7
±0,33571 06870 197288
0
±0,23738 33033 084449
±0,70710 678ll865475
0
±0,6125369400823741
±0,3532683074300921
±0,8157480497746617
±0,47101 32205 252606
±0,9419651451198933
0
У1
0
±o,3357i 06870 197288
±0,2373833033084449 |
0
±0,7071067811865475 i
±0,3532683074300921
±0,61253 69400823741 '
4о,47Ю1 32205 252606 |
±0,8157480497746617 1
0 :
±0,9419651451198933
1

144 ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Продолжение табл. 4
[ГЛ. 16
/
1,2
И
5-8
9,ю
11,12
13—16
17—20
21—24
25—28
29,30
1 31-32
1
Коэффициенты Л/
0,10908 30782496456
0,10908 30782496456
0,10908 30782496456
0,1161047224 304262
0,1161047224304262
0,1164805639842198
0,1164805639842198
0,07271 574ЗЗ213629
о,©7271 57433 213629
0,0727346698565653 |
0,0727346698 565653
г ~ 15, т = 64
/
1-4
5-8
9-12
i 13—16
17—20
21—24
25—28
29-32
33-36
37-40
41-44
45-48
49-52
53-56
57-60
61—64
Узлы
xi
±0,2584361661 674054
±0,0514061496288813
±0,56342 63397 544869
±0,1120724670846205
±0,47764 97869 993547
±0,31915 53840 796721
±0,80280 1б728 473508
±0,1596871812824163
±0,68058 23955 71б28о
±0,45475 06l8o649039
±0,21909 1602598098I
±0,Цб39 2328б035535
±0,94612 39423 417719
±0,18819 57532 057769
±0,80208 5Ц87 551318
±0,53593 61621 905023
У1
±0,0514061496288813
±6,25843 6l66l 674054
±0,1120724670846205 I
±0,56342 63397 5448^9
±0,31915 53840 796721
±0,47764 97869 993547
±0,1596871812824163
±0,80280 167284735°?
±0,45475o6l8o649039
±0,68058 23955 716280
±0,1463923286035535
±0,21909 16025980981
±0,18819 57532 057769
±0,94612 39423 417719 1
±0,53593 61621 905023
±0,80208 5Ц87 551318
Коэффициенты Л/
1-4
5-8
9—12
13—16
17—20
21—24
0,03415 °5б95 624825
0,03415 °5695 624825
0,0640242008621985
0,0640242008621985
о,06402 42008621985
0,0640242008(321985

! 2]
ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
Продолжение табл.
145
i
25—28
29-32
33-36
I 37-40
I 41-44
45-48
49-52
53-56
57-60
Ы—64
Коэффициенты А;
0,0640242008621985
0,0640242008621985
0,0640242008621985
0,0640242008621985
0,0341505б95 624825
0,03415 05695 624825
0,0341505695624825
0,03415 05695 624825
0,03415 05695624825
0,03415 05695 624825
8*). г = 9, т = 21
L_ / (0, 0) + ш__. ^ , (у ___!_ . д1о) +
, 16 + 3 VI чп ,/. /б+ У~6 ,М
г 360™ 2i'\V ю ioi •
г=0 г
9. г = 13, т - 43
/^я
13
*=0
-/(0,0)+ 0,0235 2 / (0,401- A[J +
=0
13
+ 0,0277 ^ / (0,768-Л(4) + 0,0158 2 / (0,955. Л'14).
13
г=0
10. г = 11, /и = 28
12
3 4
7~2 ^j^^cos-J-/, r/Siii-J-/) + 2 ^/S't^^-T^ ^sin-yy)-
i=\ /=1
1=1 /=1
Штрих у знака суммы означает, что пропускаются слагаемые при / = 3, 6, 9, 12.
Параметры формулы имеют следующие значения:
Л1 =
_ 1 /2- УдЛ
-y з
340 -I- 125 VOA
Г2==[/
/"2+V 0,4
10368
л , Л2 =
340—125 К 0,4
10368
*) Л у — вершины/-угольника, вписанного в круг единичного радиуса с центром
в начале координат.

146 ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 1ГЛ, 16
/31 — /601
—во— •
*-/Т.
D Л (0^п 12707 \
Б1= 20736" \8Ь1+ут)'
125 я
В*~ 3456 »
я -*_ta7 12707\
В*= 20736 1857~уШ/#
И. г = 15, т = 44.
2 7
/=1 /=0
3
1=1 /=0
/» 2 ^S фcos(2у +4) -$- • '<sin (2/+*> -f) +
3 3
+2 Bi S' (*<•«*<2>+») х • *<siB (2/ +1} х) +
4 3
/ 2i - /21 /"гТ
[/ 28 • rs=|/ ~
/=1 /=о
/Я
Г1 = J/ 28 ' Г2 = [/ 28
5096 + 343 /21 5096 — 343/21
Al== 253125 rt» Л2- 253125 я'
/*69-/ГШ~ п -, /~Т~ „ , /1
** = |/ ГГ2 • *«=}/—■ *•=(/-
л lA*„nM 26076047\
^-432^(1055603+^ШГ)'
69 + /1401
"112"
16807
#2 = 8-Ю5 л '
J603-
__£t__/ д 26076047 >
^8== 432-10* ^10ооГ
р.2 л2 n2 n2 (
/1401
Числа pj, P2, Рз» Pi СУТЬ корни многочлена
Р4 (г) = г4 ■;-■ аг3 + pz* + ?г + 6 =
= zi + 22 058 008 (~ 47 224 002z8 + 32 262 915гЙ — 7382 700г + 352 125)'

S 2'J
ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
147
Приближенные значения рр
pj - 0,063 940 099; р* - 0,333 770 714;
р2= 0,763 591 027; р* = 0,979 598 732.
Коэффициенты С£ определяются равенствами:
,1,1 1 11
Приближенные значения коэффициентов:
d = 0,039 881я; С2 = 0,034 856я;
С3 = 0,021 084я; С4 = 0,005 320л.
Таблица 5
Формулы для численного интегрирования по /t-мерному шару
единичного радиуса с центром в начале координат.
1. п = 3, г = 3, т = 6
v Ы1
А-—- вершины октаэдра, вписанного в шар радиуса р = 1/ -i-, / _у,—(^-) —
значения подынтегральной функции в точках Аг
2. /г = 3, г = 5, т = 13
1 Cff 4 7 12
и *—i
Л, — вершины икосаэдра, вписанного в шар радиуса р = I/ -у .
3. п = 3, г = 7, m = 33
1 (ТР 16 27 12 1 2°
• 5Г SS '*> * Ж / №. о. °) + ШS W%{Л<> + "280 S U <*<>•
Л,- — вершины икосаэдра, вписанного в шар с радиусом р = у -g-, £z- —
вершины додекаэдра, причем В-лежат на перпендикулярах из центра икосаэдра на его
грани.

148 ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ [ГЛ. 16
Формулы для численного интегрирования по я-мерному шару О:
*? + ^ + --- + ^<1
1. г = 4р —1, т^(2р)п
\ f wdx *£ 2 vr12 2 'Г» f'4)- • • t., x
$ /=i <=i <i,/'*,..., «я_2=1
* г \r/> 4?i > ф2 ' • • •» Фл-2 »_ 2р /
Здесь функция
F(r, фЬ q*2.. • мФ/7.2, 9„-r) =
= / (г cos ф1, г sin ф1 cos ф2,. . ., г sin ф1 sin фа. . . sin Ф,,^)
построена по функции / (л-) заменой декартовых координат сферическими:
Xi = Г COS ф1,
Х2 — Г 8Шф1С05ф2,
хп_2 = г sin ф1 sin ф3. . . sin ф„_3 cos ф„_2,
*«-1 = Г Sin Ф1 Sin Ф2 • • • Sin Фп-3 Sln Ф/1-2 C0S Фя-1»
х„ = г sin ф! sin ф2. . . sin ф„_3 sin ф„_2 sin ф„_г
г > 0, 0 < фх. < я, * = 1, 2, . . ., л — 2; 0< ф^ < 2я.
Параметры формулы определяются следующим образом:
Ф^-2=агссо3^
^Л) и P\k) суть узлы и коэффициенты квадратурной формулы гауссова типа с весом
(1 — t2)kl2 на промежутке [— 1, 1] и с 2р узлами [см. § 1 гл. 3]:
1 k_ 2P
-1 /=i
£ = 0, 1, 2, . . .,л —3.
Если л — четное, то
' Zr^'i
где /у nDj— узлы и коэффициенты квадратурной формулы гауссова типа для

? 2]
ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
149
•5—»
промежутка [0, 1] и веса t 2 :
X --1 р
о /--■I
Если п — нечетное, то г- суть положительные узлы квадратурной формулы гауссова
типа с 2р узлами для промежутка [•— 1, 1] и веса г""1:
I р,
а Л- определяются равенствами
л - -£-
/
Штрих у знака суммы означает , что опускается слагаемое, отвечающее / = 0.
2. г = 4р + 1, m = 2p(2p + l)n"1 + 1;
/J
р 4Р+2 2р fl
* */ <р. ° °>+дгп S в/рГ S 2 «ЙГМ*4» • • • q£,
yf(D. ftC'i) A(/s) 6(/л-2) —- /^
а г ф/} иА , и2 , .. .,о/г_а » 2р + 1 V'
Функция F определяется так же, как в формуле 1. Параметры формулы имеют
следующие значения:
е^2==агсС05Т/*);
Т/Л) и Q/ СУТЬ Узлы и коэффициенты квадратурной формулы гауссова типа с весом
(1 —t2)k/tHa промежутке I— 1, 1] и с 2р + 1 узлами:
\ _*_ 2P+1
А: = 0, 1, 2, ...,л —3.
Если л — четное, то

150 ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 1ТЛ. 16
где Ту, G и Gj— узлы и коэффициенты квадратурной формулы для промежутка [0, 1]
и веса t наивысшей степени точности с одним фиксированным узлом / = 0 [см.
(4.2.1)]:
S——1 и
о /=i
Если п — нечетное, то р.- суть положительные узлы квадратурной формулы гауссова
типа с весом р"-1 на промежутке [— 1, 1 ] и с 2р + 1 узлами:
1
J рп-Ч(р)ф~ 2 Н/Щ),
а В и В, определяются равенствами
/=-*>
Г(т-) Р'Г
Таблица 6
Формулы для я-мерного симплекса
с вершинами (0, 0,...,0);
(1,0,...,0); ...;(0, 0,...,1)
1. п = 2, г = 2, т = 3
*<•
Ус
4
Ve
Ve
v«
V»
Ve
Ve
Ve
2. п = 2,
*/
У/
4
V»
V»
r = з, m = 4
V5 8Д
V»
-и/м
Vs
aV«e
V.
3A

§2] ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ 151
Продолжение табл. 6
3. п = 2, г = 5, т — 1
*1
Vi
1 А'
'/•
1/з
780
6+ /i5
21
9-2 /15
21
9-2/15
21
6+/Is
21
6+ /15
21
6+ /Г5
21
155 + /Is
2400
6- /15
21
9+2 /I5
21
9+2 /15
21
6-/Is
21
6-/15!
21
6-/15!
21
2400
4. /2 = 3, г = 2, m = 4
*'
У,
zi
А,
5 - /5
20
5-/5
20
5-/5
20
5+3/5
20
5-/F
20
5-/Г
20
5-/5
20
5+3 /?
20
5-/5
20
5-/5"
20
5-/5"
20
5+3/5
20
Vt4
5. п = з> г = 3» m = 5
*/
у<
г<
А-
'/4
'/4
'/4
- )e/l»0
V.
Vo
Vo
3/б
Ve
Vo
v«
Ve
3A
Ve
0
Ve
Ve
3/e

152
ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ [ГЛ. 16
п — произвольное,
' = 3.
Продолжение табл. 6
т = 2/г + з
УЗЛЫ IF/
J° ~ U + l * л + i • • • "я + l )
Коэффициенты А^
0 (л + 2) (/г + 3) "(1) *
01 = (О, О, . . . , О)
V% = (1, О, . . . , О)
ft = (О, О, . . . , 1)
Ах = Л2 = . . . *=Ап+1 =
3
(/2 + 1) (П + 2) (Л + 3)
s„ (О
/ 1 1
Vn+2 * \ п ' П '
"п+2 = (°. 1Г • • •
"«+4 = (Т- °«"
■•■•■г)
-т)
-Л)
'2/1+2
" (-7Г- "Г °)
л — Л — А —
"я+ 2 /г+з * ' ' 2Л+ 2
Я»_
- (/Г+ !)"(/! + 2)"(Я+3) S/l(0
•)5Л(1)=я—j объем «-симплекса.
Таблица 7
Формулы численного интегрирования по параболическим областям
1. г = 2, /п = 5
J J /(л, у) dx<ty « 2Гоа6 [4^(0, °> + 4'(0, 6) +
+ 7/(-e,0) + 7/(e,0) + 48f(o,4-*)]'
2. г = 5, м = 13
\ J / (х, у) dx dy ж ^l^j а& [з44/ (0- 0) + 2®f (0, ± *) +
+76s/ (о, ± 4"б)+165/ <±а- °)+7°4^ (± та' °)+704/ (± 4"а- ± 4" *)]•

5 2]
ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
153
Таблица 8
Формулы численного интегрирования гармонических функций по «-мерному кубу
с вершинами (± ft, ± ft, ± А, ± А, . . . , ± Л) *)
/1=2
jSf? П/П
1
2
3
4
5
6
Узлы
?« = »
t>i = 1
Vi = 1
V i = 1
р i = l
5i = i
Коэффициенты
a0 = 56/60
fci = 1/60
flo = 19/15
— cti = I/15
«o = 132/120
— «] = 4/120
fei = 1/120
— ao = 1/15
fl] = 3/15
bi = 1/15
«1 = 56/300
61 = 19/300
+ a0 = 10/9
— ai = 32/900
6j = 7 900
Число узлов
5
5
9
9
8
9
Главный член остатка
32 Л8
-fVD>fB
28 /,s ™,
тти«
4 Л8
412 Л8
sir**
Л8
- 40 -^r Щ«
я-з
№ п/п
1
Узлы
Vi = 1
li-l
Коэффициенты
«0 = 12048/7560
— rti = 626/7560
— 61 = 61/7560
Число узлов
19
Главный член остатка
"9? Л* „,.
*) Все формулы табл. 8 даны для интеграла /, равного:
h h h
J~MU" ^ S "■ S Hxuxi,...,xn)dxldxl...dxn,

154 ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ [ГЛ. 16
Продолжение табл. 8
№ п/п
1
Узлы
Vi = 1
5i = i
л = i
Коэффициенты
а0 = 13056/7560
— Я1 = 504/7560
— б! = 61/7560
*
Число узлов
Главный член остатка
1
1198 ¥ з6*9Л8
33 ;^8TD8f° + ^sTQ8H
п = 5
№ п/п
1
Узлы
01 = 1
5i = 1
Коэффициенты
а0 = 13820/7560
— fli = 382/7560
— 01 = 61/7560
Число узлов
5»
п — 6
№ п/п
1
Узлы
01 = 1
$1 = 1
Коэффициенты
«о = 1434° 756°
— а\ = 260/7560
— &1 = 617560
Число узлов
73
1
Таблица У
Кубатурные формулы с весом
я = 2
1. г =6, /л = 8
+i +1
-1 -1
j J x2k+1f(x,y)dxdy* ш*+ъъ [/(1,0)-/(-1,0)1 +
— f/fl/]
9(4* + 5)v' (2* + 3)v«(26* +55) [' \ V 2
+ ,
32-2'" (2ft + 7)'* (2k + 5)'/' Г , (л f (4fc + 5) (2Т+ЗГ J
(2A + 7)(2* + 5)' °/~
/ -./ (4fe + 5)(2fe + 3) • \1 5(2* + 5)''' \J4/"2k + 3 ,/П ,
•f\-V 2(2* + 7)(2fe + 5) ' °/J+ 9(2* + 3)% [4 У W+Ъ'У 5j +

2]
ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
155
2. г = 5, т = 8
1 +i
\ \ ^2f{xiy)dKdy^^^b[f{U())^f(^i^^^
—1 -1
32(26 + 7) Г /-,/(46 + 5)"
+ 9 (26 + 3) (266 + 55) \J\ V 2(26 + 7
(26 + 3)
X
.iVo)+ .
+ff_i/(4*+5><2*+3) 0i+ 5 x
+ 4 Г 2(2*+7)(2* +5) ' u/^9(2й+3) х
[/(/ifl./TMv'Iil ^4)+ _
+<(-/!${./*)+'(-/£&-/4-)]
3. r = 5, /7i = 4
+i +i
xu"ly!U+1Hx,y)dxdycb
(26 +5)"42/ + 5),/2
)J/ * 'v'v'*'UAU*~(26 + 3)^(2/ + 3)^
.5
Л,/2* + 3 _-|/21±i)_ / -,/2*±3 i/lLtl)]
'\" 2fe + 5> К 21 + bJ ' V Г 2Ar + 5' К 2* + 5/J
4. r = 6, ш = 8
*•+»*<]
.i±, (2£ + 3)!!я Г 2
+
(2М^Г /-./2М-3 \_ /,/21+3 V
15 (2* + 3)'
+
+
i(2* + 3)4r\K 2* + 8' К 2*+8y/+'lK 2fe + 8' К 2* + 8/
5. r = 5, /n = 8
§ x2k+i f (x, y) dx dy ~((2fe + 6)l! л {"Г I^1» 0) ~ ' (-1' °4 +
*2+l/'<i
_4_
+ 15
+
g^V^$v_')+'(-V^tl-«)]_
В(26 + 3)[НК 26~+8> У W+s)+f\V 26~+~8' ~V 26~+8/ +
26 + 8

156 ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ КРАТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ [ГЛ. 16
6. г = 5, т = 4
W*4i 2Г(^ + / + 4)1/(2^ + 3)(2/ + 3) Х
Г /|/~2fe + 3 |/ 2/+T~\
Х['\Т 2* + 2/ + 8 ' +К 2fe + 2/+8J +
,ff l/ 2* + 3 |/~2Т+Т~^
-r'\~V 2ft + 2/+8'-K 2*-j-2/+8>/~
'l, К 2fe + 2/+8' К 2А + 2/ +8/
_f(_yrIE±E /ЖГц
Ч К 2Й + 2/+8' V 2A + 2f+8/J*
Таблица 10
Формулы для численного интегрирования по сфере
S:x*+xl + ... + xl=l.
I. n = 3, r = 9, m = 32
\f(x)dS*%42if(Ai)+0~ %ЦВ{),
5я » . . . 9* 20
5 г=1 г=1
Лг- — вершины икосаэдра, вписанного bS;B; — вершины вписанного в S додэкаэд-
ра, причем Bi лежат на перпендикулярах, опущенных из центра икосаэдра на
его грани.
2. п — любое, г = 2р — 1, m = 2р/г"1
J/W<«»
2Р
/=1 /i»/a».../rt-2=l
Здесь функция
= / (cos фь sin cpi cos фз, .. ., sin фХ sin ф2. . . sin фл_г sin ф/1_1)

5 2 1
ТАБЛИЦЫ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ
157
построена по функции / (л-) заменой декартовых координат сферическими;
А'1 = COS ф! ,
х2 = sin ф! coscp-:,
хп-г = sin ^ sin Ф» • * • sin <P/i-s cos <Р/г-2>
*„_! = sin cpi sin ф2. . . sin ф/г_3 sin ф„_2 cos ф„_г
xn == sin cpi sin ф2. . . sin «p^sin «p^sin ф^,
0<Ф,<я, /= 1, 2, ...,л —2, 0<фл.1<2л;.
Параметры формулы определяются следующим образом:
^Л) и Р^ — узлы и коэффициенты квадратурной формулы гауссова типа с ве^ом
(1 —/2)^2 на промежутке [— 1, 1] и с р узлами [см. гл. 3, § 1J:
\ А р
fc = 0, 1, 2,. ..,я —3.

ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
ГЛАВА 17
ТАБЛИЦЫ АБСЦИСС И КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ ПРАВИЛ ВЫЧИСЛЕНИЙ,
ИМЕЮЩИХ НАИВЫСШУЮ АЛГЕБРАИЧЕСКУЮ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ
Таблица 1. Вычисление интеграла в случае постоянной весовой функции
Формула Гаусса. Глава 3, § 2, (3.2.1).
1 п
-1 fc=l
Степень точности равна 2п — 1. Коэффициенты А^ и абсциссы х^ обладают следующей
симметрией относительно х = 0:
хп-п-к = - xh An+i-k = Ak
В таблице даны абсциссы узлов, лежащих на отрезке 0 < х < 1 и перенумерованных
в порядке убыли х, и соответствующие коэффициенты.
Литература: G a w 1 i k Н. [1], D a v i s P. and R a b i n о w i t z P. [2, 4].
Таблица 1
n
2
3
j
5
6
к *fc = — л'п + 1 — к
1
1
2
1
2
1
2
3
2
3
0,5773502691 8962576451
0,77459666924148337704
OOOOO 00000 00000 00000
о,86из 63115 94052 57522
33998 104358485626480
0,90617984593866399280
5384693101 0568309104
OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO
0,93246951420315202781
661209386466264 51366
23861 918608319690863
Ak = An+i -fr
1, OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO
0,55555555555555555556
88888 88888 88888 88889
0,34785 484547453 85737 !
65214515486254614263
0,23692 68850 56189 08751
47862 86704 99366 46804
56888 88888 88888 88889
o,i7i3244923 79i70 34504
36076 15730 48138 60757
46791393457269104739

ТАБЛИЦЫ АБСЦИСС И КОЭФФИЦИЕНТОВ 159
Таблица 1 (продолжение)
xk = - xn+\—k
л
k = An+\-k
10
11
12
13
ч
0,9491079123427585453
74153118559939443986
40584515137739716691
00000 00000 00000 00000
о 96028985649753623168
79666647741362673959
5255324099 1632898582
18343 46424 95649 80494
о, §68i6 02395 07626 08984
83603 110732663579430
61337 ЧЗ27 00590 39731
32425342340380892904
00000 00000 00000 00000
о, 9739° 65285 17171 72оо8
8650633666889845Ю7З
6794° 95682 99024 4°б23
43339 53941 29247 19©8о
48874ЗЗ8981631 21089
о, 97822 86581 46056 99280
88706 25997 68095 29908
73015 2оо55 74049 32409
51909612920681181593
26954 31559 52344 97233
ооооо ооооо ооооо ооооо
о, 98156 06342 46719 25069
90411 72563 70474 85668
76990 26741 943°4 68704
5873179542 86617 44730
3678З 4989 98180 19375
1252334085146891547
0,9841830547
91759 83992
8015780907
64234 93394
44849 27510
2304583159
ооооо ооооо
18588 14947
2297796521
33309 91279
40340 22064
36446 85288
55134 79407
ооооо ооооо
0,98628380869681233884
92843488366357351734
82720 131506976499319
6872929048 1168547015
о, 12948 49661 68869 69327
27970 5394 89276 66790
38183005050511894495
41795 91836 73469 38776
О, 10122 85362 90376 25915
22238 10344 53374 47054
31370664507788728734
36268 37833 78361 98297
0,08127438836157441197
18064816069485740406
26061 06964 02935 46232
31234 7°77° 4°оо2 о4007
33023935500125976316
о, 06667 13443 о8688 13759
14945134915058059315
21908 63625 15982 04400
26926671930999635509
2955242247475287017
о, 05566 85671 16173 66648
12558 03694 б49°4 62464
1862902109277342543
23319376459199047992
26280 45445 10246 66218
27292 50867 779°° 63071
0,04717533638651182719
10693932599531843096
16007 83285 43346 22633
20316742672306592175
23349253653835480876
2494 70458 13402 78500
о, 04048 40047 65315 87952
09212 14998 37728 44792
1388735102 1978723046
1784 59807 61945 73828
20781 60475 36888 50231
22628318026289723841
23255155323087391019
0,035119460331751 86303
08015 80871 5976020981
12151 8570687903 18469
15720316715819353457

160
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 1 (продолжение)
п
Ц
15
16
20
24
к
5
6
7
1
2
3
4
1
1
1
2
3
4
7
8
1
2
3
4
I
78
9
ю
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ю
И
12
1
2
Ч- = — *n -f-1 — fc
5152486363 58154 09197
319И236892788976044
10805 49487 07343 66207
0,98799 25180 20485 42849
93727 33924 00705 90431
84820 65834 10427 21620
7244177313б017904742
57097 21726 08538 84754
39415 13470 77563 36990
20И9409З99743452230
00000 00000 ооооо ооооо
о, 98940 09349 91649 9326о
94457 50230 73232 57бо8
86563 12023 87831 74388
75540 44083 55ооЗ 03390
61787624440264374845
45801 67776 57227 38634
28160355077925891323
09501 25098 37бз7 44°19
0,99312859918509492479
96397192727791379127
91223442825132590587
83911 697182221882339
74633 190646015079261
63605368072651502545
51086 70019 5°827 09800
37370608871541956067
2277858511 4164507808
0765265211334973ЗЗ75
о, 99518 72199 97°2i 36018
97472 85559 71309 49820
93827 45520 02732 75852
88641 5527004401 03421
82000 19859 73902 92195
74012419157855436424
64809365193697556925
5454214713888395З566
4ЗЗ79350762604513849
31504267969616337439
19111886747361630916
06405 68928 62605 62609
0,99644 24975 73954 44995
98130316537087275369
A/i = Ап + 1 — к
18553 83974 77937 81374
20519 84637 21295 60397
21526385346315779020
о, 03075 32419 96П7 26835
07036604748810812471
1071592204671719З501
1395706779261543И45
1662692058 ib993 93355 1
18616 100001556221103
1984З 1485327111 57646
202578241925561 27288
0,02715 24594 11754 09485
062253523^3864789286
09515851168249278481
1246289712555ЗЗ87205
14959 59888 1657673208
16915651939500253819
182603415044923 58887
18945 06104 55о68 49629
0,01761 40071 39152 11831
04060 14298 00386 9413З
06267 20483 34109 06357
0832767415767047487З
10193 01198 17240 43504
11819453196151841731
13168 86384 49176 62690
1420961093 1838205133
14917 29864 72603 74679
15275338713072585070
-0,01234122979998719955
02853 138862893366318
04427743881741980617
05929 85849 15436 78075
07ЗЗ464814 1108030573
08619016153195З 27592
09761 865210411388827
10744 42701 15965 63478
11550566805372560135
12167 04729 27803 39120
12583745634682829612
127938195З4675215697
0,00912 42825 93094 51774
02113211259277125975

ТАБЛИЦЫ АБСЦИСС И КОЭФФИЦИЕНТОВ щ
Таблица 1 (продолжение)
п
28
32
36
к
3
4
5
6
I
9
10
и
12
13
И
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
2
9
10
и
12
13
И
15
16
17
18
хк =* - яп + j _ к
95425 928о6 28938 19725
91563 З0263 92132 07387
86589 25225 74395 04894
80564 13709 17179 1745
73561087801363177203
65665 10940 38864 96122
56972047181140171931
475874224955И826103
37625 15100 89078 7Ю22
27206 16276 35178 07768
1645692821 33380 77128
05507 92898 84034 27043
0,997263861849481 56354
98561 151154526833540
96476225558750643077
9З49060759З773968917
89632 115576605212397
8493676137З256997013
79448з7959б7942 4об9б
73218211874028968039
66304 42669 30215 20098
58771 57572 40762 32904
5С689 99089 32229 39°02
42135127613063534536
33186 8бо22 82127 64978
23928736225213707454
14447196158279649W
04830766568773831623
о, 99783 04624 84085 83620
90858 64789 02212 23807
97202 7б9Ю49б97 94934
94827 29843 995°7 54525
91749777451565906608
87932 98008 9°397 !3198
83584 71669 92475 3°642
7§557 62301 32206 51283
72348 91715 93556 58209
66800 12365 85521 06210
6015676581 35980 53508
530680285920245 16164
45586 39444 33420 26721
37767254711968921632
29668 49953 44028 27050
21350 08923 16865 57894
12873610380938478865
04301 81984 737°8 60723
лк = Ап+1_н
03290 14277 82304 37998
04427 29347 59004 22784
055Ю7345б7571Ь 74543
06527292396699959579
07464 62142 34568 77902
083ц 341722890121839
09057 17443 93032 84094
09693065799792991585
10211296757806076981
10605 576592284641791
10871119225829413525
1100470130 1647519628
0,00701 86100 09470 09660
01627439473090567061
02539 20653 09262 05945
О342738629 13021 AJ3 Ю
О4283 58980 22226 68066
05099 80592 62376 17620
О58684О934785З554714 1
О6582 22227 7636I 84684
07234 57941 08848 50623
O78I938957870703O647
0833119242 2б94б75522
О87652О93ОО44О3 8HI4
O9II738786357638847I
09384 4399° 80804 56564
О9563 872ОО 79274 «5942
09654 00885 14727 80057
0,00556 57196 64245 04536
01291 59472 84065 57441
О201815152977З54715З
02729 86214 98568 77909
03421 38Ю7 70307 22992
04087 57509 23644 89547
04723 50834 90265 97842
O532447I39777599I909
05886 0l442 45324 8l731
06403 97973 55015 48956
О68745З2383573644261
07294 18850 05б53 0б135
О765984Ю6458706745З
О7968 78289 12071 60191
082l8 72667 04339 70952
08407 82189 79661 93493
08534 66857 39338 62749
08598 3275b 70394 74749
6 В, И. Крылов, Л. Т. Шульгина

162
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 1 (продолжение)
п
V
48
h
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ю
11
12
13
Ц
15
16
17
18
19
20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ю
И
12
13
ч
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
aft = - хп _|_ t _ /с
0,99823 77097Ю559 20035
99072 62386 99457 00645
97725 99499 83774 26266
95791 68192 П791 65580
93281280827867653ЗЗ6
90209 88069 688*74 29°73
86595 95°32 12259 50382
82461 22308333U 66320
77830565142651938769
72731 82551 89927 10328
6719566846 Ц179 548з8
61255 38896 67980 23795
54946 71250 95128 20208
48307580168617871291
41377920437160500152
34199 40908 25758 47301
26815218500725368114
19265 75807 01371 09972
11608 40706 75255 20848
03877241750605082193
0,99877 10072 52426 11860
99353 01722 66350 75755
98412458372282685774
97059159254624725046
95298 77031 60430 86072
931386690706554ЗЗЗИ
90587913671556967282
87657 20202 74247 88591
84358826162439353071
80706 62040 29442 62708
76715903251574033925
72403 41309 23814 65467
67787 23796 32663 90521
62886 73967 76513 62400
57722 472бо 83972 7°382
52316097472223303368
46690 29047 5°958 4°454
40868 64819 90716 72992
34875 58862 92160 73816
28736248735545557674
22476 379°3 94689 об122
16122 23560 6889I 7l8o6
09700 46992 О9462 69893
03238 OI709 62869 36203
Ан -= Ап _|_ j _ к
0,00452 1277098533 19126
0104982845 3115281362
01642 105838190788871
02224 58491 94166 95726
02793 70069 80023 401 ю
03З46019528254784739
03878 21679 74472 01764
04З87 09081 85673 27199
04869 58076 35°72 23206
05322 78469 83936 82436
05743 97690 99391 55137
06130 62424 92928 93517
0648040134 56601 03807
06791 20458 15213 9°383
0706116473 91286 7797°
07288 65823 95804 05906
07472 31690 57968 26420
07611 03619 ооб2б 24237
07703 98181 64247 96559
°775° 59479 78424 8i 126
0,00315 334бо 52305 83862
00732 75539 01276 26210
01147723457923453948
01557931572294384873
01961 61604 57355 52781
02357 07608 39324 379И
02742 65097 08356 94820
03116 72278 32798 08850
03477722256477043889
03824 13510 65830 70632
04154508254346474921
04467 45608 56694 28042
04761 66584 92490 47482
05035903555385447496
05289 01894 8519З 66710
055199503699984 16287
05727 72921 00403 21570
05911483969839563575
06070 44391 65893 88005
06203 94231 59892 66390
06311 41922 86254 02566
06392423858464818662
06446 61644 3595° 08221
06473 76908 12683 92250

ФОРМУЛА ГАУССОВА ТИПА С ВЕСОМ х* НА (0,1)
1G3
Таблица 2. Вычисление интеграла \ x*f (х) dx при целом показателе
степени а = 1(1)5. о
1 п
\x*f(x)dxa 2 Akfl*k>-
о Jc=i
Степень точности 2п — 1. Глава 3, § 2, интеграл с весовой функцией Якоби.
. Литература: Крылов В. И., Л у г и н В. В., Янович Л. А. [1], F i s h m a n H,
flj, II a m in е г P., Marlowe О., Stroud A. [1].
<х= 1 а = 2
Аь
*fc
0,666666666667
о, 355°51025722
844948974278
0,212340538239
590533135559
911412040487
0,139759864344
416409567631
723156986362
942895803885
0,098535085799
304535726646
56202518975З
801986582126
960190142949
о, 073054328680
230766137970
441328481228
663015309719
851921400332
970683572840
о, 056262560537
180240691737
352624717113
547153626331
734210177215
885320946839
977520613561
0,044633955290
144366257042
286824757144
454813315197
6280678354*7
785691520604
908676392100
982220084853
0,500000000000
о,181958618256
318041381744
0,069826979901
229241106360
200931913739
0,031180970950
129847547608
203464568010
135506913431
0,015747914522
073908870073
146386987085
167174638094
096781590227
0,008738301814
043955165551
098661150891
140792553788
135542497232
072310330726
0,005214362203
027408356722
066384696465
107125065696
127390897300
110509258191
055967363423
0,003295191442
017842902656
045439319505
079199599492
106047359436
112505799471
091119023636
044550804362
0,750000000000
0,455848155989
877485177345
о,29499779°И2
652996233962
927005975927
0,204148582103
482952704896
761399262448
951499450553
о, Ц8945787053
365666527369
610113612934
826519679228
965421060082
о, 113194383822
284318872688
490963586835
697563081977
868436058342
974095444906
0,088816833437
226482753409
399978486721
585997855403
759445873952
896910970852
979867226227
0,07149! 035040
184228296417
330447728176
494402921816
658348008523
804524811511
917099382514
983902240448
0,333333333333
о,100785882080
232547451254
о, 029950703009
146246269260
157136361065
0,010352240750
068633887173
143458789799
110888415611
0,004113825203
032055600723
089200161222
126198961900
081764784286
0,001831075807
015720297185
051289571130
094577186749
Ю7376499737
062538702727
о,000892688034
008162925632
029422211290
о6зц63787°9
0917ЗЗ803280
090698824613
049276501776
0,000468517784
004474521713
01724686378°
040814426389
068447183422 I
085284769172 i
076818093267
039778957807

164
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
а — 3
Т а б л и ц a 2 (продолжение)
а = 4
п | к
i
Аь
А*
О,800000000000
о,529857935895
898713492677
0,363264630217
698811269164
93792410°б2о
0,261477788831
535846446088
790283229969
95784708о5б6
о, 196212007397
417100211822
648570004237
845605149974
969435703493
о,152273161784
331300457038
532411566729
725602778330
881616684437
976795351682
0,121427128832
268363440311
440866460623
618604028432
780253551966
906362534145
981769914514
0,099001757710
221243507350
369123900012
528545431202
683993248432
820283949679
924093712859
985293440085
о,250000000000
о,066905249807
183094750193
0,016479059283
104599897557
128921043161
о,004658367060
042541724143
109004368939
093795539859
0,001520689371
016957324863
060444953204
100316504465
070760528097
о, 000561710874
007085315932
030526192226
068443281768
088300991241
055082507960
0,000229904127
003147596407
015312167126
040995168604
об975°°98ю7
076556561363
044008504265
о, 000162460078
001485684083
007855073841
023631580668
047454379812
06736183939З
066182035322
о3592б94б8оз
Р,833333333333
,о, 586336582323
913663417677
Ь, 420113059ЗЗ7
733889355208
945997585455
|о, 312135492847
578315659562
812891516616
962723997641
|о, 239792044802
460933674532
680059232741
860886343676
972614418534
jo,
189469583922
372751156014
567572372855
748836497506
892385158447
978985231256
,153241438869
306326522542
476540093001
646389302520
797716689815
914219900565
983343830467
о,126372974378
255529052078
403641298894
558316675790
706009542883
833671542039
929995716053
986463197885
О,200000000000
о, 049082492278
150917507722
0,010469042183
080276673456
109254284361
0,002516351647
029169382162
087067712064
081246554127
о, 000696977078
010210541725
044024469505
082712713102
062355298589
0,000219413995
003726784439
019956264693
052239954293
074649150313
049208432267
0,000077073707
001447008789
008926567613
028547842753
055224874164
066021845935
039754387040
о,000029709230
000598950038
004077924135
01490993345°
034719950661
054910097291
058000565268
032752869927

ФОРМУЛА ГАУССОВА ТИПА С ВЕСОМ ха НА (0,1) ^5
Таблица 2 (продолжение)
а = 5
хк
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
7
1
2
3
4
0,857142857143
0,630791593830
924763961726
о,467983235455
761623969699
952210976664
о,35б893729050
614669389855
831079003860
966588646465
0,279693124812
498709827030
706333818921
873402727872
975193834698
0,224468995404
409533350456
597789048417
768413604608
901350733849
980797208441
0,183828768301
34o8o7595i°6
507940524029
6703634Ю1и
812588465990
920856417255
984бб745°786
о, 153150661610
287264403884
434627406699
584518566563
725126409713
8451894879З1
935043507456
987460508524
о, 166666666667
0,038337562737
128329103930
о,007297003638
064596612296
094773050733
0,001534479748
021428404631
072056364165
071647418122
0,000369715499
006729690430
033767744958
070071339705
055728176075
0,000101325820
002187925655
013969653085
041486346981
064458059164
044462555961
0,000031104606
000755383832
005660413704
020959298175
045104981582
057907613539
036247871229
0,000010531645
000278358615
002335341500
010044614388
026485301118
045885653201
051534223832
030092642368

166
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 3. Интегрирование функций, имеющих степенную особенность:
1 п
^xaj(x)dx^ 2 АкН*к), а--0,9(0,1) 3, а =£0,1,2,3.
о fc=i
Степень точности 2л — 1. Глава 3, § 2, интеграл с весовой функцией Якоби.
Литература: К р ы л о в В. И., Л у г и н В. В., Я н о в и ч Л. A. [i]. ,
Числа в таблице напечатаны в нормализованном виде. Справа в скобках указан
показатель степени десяти, на которую нужно умножить это число:
0,909С9091(—I) = 0,090909091.
Показатель, равный нулю, опущен.
а = — 0,9 а = —0,8
хк
о, 90909091 (-
о, 24666893 (-
68501053
о,И217435(-
37349786
85057882
о, 63768857 (-
22607661
60023218
91379320
0,410596821
14984794
42608387
72859843
944ИЮ5
о, 28625286(
10612683
31304011
56855261
80528416
96089051
о, 21088281(-
78930481(-
23798575
44784318
66749805
85405281
97112289
о,i6i78233(-
60927975(-
18632999
35868593
55206285
73737927
88677166
97781390
-О
-О
-О
-2)
-2)
-2)
О,10000000(2)
0,89968526(1)
10031474(1)
0,83538941(1)
12257064(1)
42039950
0,79081389(1)
12560357(1)
6о29775°
23284789
0,75733391(0
12451006(1)
66575131
З6762403
14818498
0,73080612(1)
12236094(1)
68815060
42810497
2494°99°
10266394
0,70899145(1)
12000285(1)
6941960З
45751262
302t2l03
l8o87792
75349387(-1)
0,69055989(1)
П770194(1)
69290463
47203400
33154941
22583539
13739281 |
57бб54б8(_п
|р, 16666667
|о, 48604395 (
70139560
|о, 2258719° (
39083337
85581021
jo, 12972086 (
23929364
60946303
91604902
jo, 84019179 (
15968538
43542140
73382451
94527548
|о, 58799955 (
П359319
32132326
57487947
80847176
96156661
,434345Н(-
84743495(-
24506185
45419868
67185915
85612294
97154922
,333877б7(-
65562960(-
19232564
36462726
55686187
74047178
88818578
978099S2
-О
-О
-О
-2)
~2)
|о, 50000000(i)
0,40957118(1)
90428815
0,35461575(1)
10559185(1)
39792400
10,31843480(1)
10356294(1)
55557925
22444339
0,29239337(1)
98855484
59523578
34809783
14417787
50,27248124(1)
940441°°
59809350
39658677
23961337
10045291
°, 25659756(1)
89659559
58801295
41463011
28546497
17531682
74003978 (-
jo, 24352826(1)
85772279
57340084
41896338
30783878
21605064
13395375 /
56787243 (-1)
1)

ФУНКЦИИ, ИМЕЮЩИЕ СТЕПЕННУЮ ОСОБЕННОСТЬ
167
а = —0,7
Таблица 3 (продолжение)
а = —0,6
Ч
хк
0,23076923
о,71751798(-
71612699
о, 34034^74(-
40716810
86068441
о, 19739827 (-
25202963
61826053
91818919
о, 12859075 (-
16928714
44444137
73884815
94639222
о, 90331759 (~2)
12094083
32939527
58101544
81155489
96221968
О, 66903188 (—2)
90496719 (-1)
25199985
4604OI33
676Ю37О
85813444
971963И
о,51528849(-2)
70169362 (—1)
19823063
37045272
5б1554бо
74349054
88956467
97»378э6
0,33333333(0
0,25107410(1)
822592З6
0,20348623(1)
92080058
37767046
о,17366666(1)
86605252
51400124
21661298
0,15307234(1)
797°12б4
53495817
33026048
14037859
0,13786335(0
73458912
5^94645
36836687
23046335
98334015 (-1)
о, 12бо88оз(1)
68120673
50136140'
37697432
27015521
17005004
72705322 (-1)
0,11664858(1)
63588090
47785568
37321639
28638936
20690423
13066576
55935161 (-1)
Ь,28571429
р, 94081 Зз8(-
' 72944807
|о, 45500209 (-
42259600
86523712
-о
-1)
-1)
-1)
|о, 26642369 (
26431708
62665595
92022244
||о, 17453188 (-
17866565
45316133
74368122
94746415
(о, 12305692 (—1)
12817502
33726544
58696352
81453871
96285087
0,25000000(1)
[о, 17459750(1)
75402495
о, 13292608(1)
81140884
35933033
|о, 10802043 (1)
73318262
47731255
20930056
|о, 91495256
65127159
48308656
31391774
13677155
|о, 79698819
58201243
45978343
34301209
22190220
96301650 (—1
р, 9!37821о(-
96192543(-
25880475
46645708
68023648
86008979
97236512
к 70515761 (—2)
74748335 (-О
20404770
37616612
56614474
74643822
89090965
97864950
[0,70829149
52526837
43010105
34377864
25605312
16505629
7Ч5Ю43(
-1
[0,63899121
47863874
40084767
33361397
26693820
19834245
12751968
55ю8о79(-1)

168
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
=—0,5
Таблица 3 (продолжение)'
а = — 0,4
хк
хк
Ч
0,33333333
0,11558711
74155575
о,5б939Нб(-1)
43719785
86949939
о, 33648268(—1)
27618431
63467748
92215661
О, 22163569 (~1)
18783157
46159736
74833463
94849393
о,15б8з4°7(
13530001
34494238
59275013
81742801
96346128
о,11675872(
10183270
26548116
47237154
68426202
8619913З
97275575
о,90273770(-
79300560(-
2с977937
38177105
57063582
74931738
89222197
97891421
-1)
-1)
0,20000000(1)
0,13042903(1)
69570969
о,93582787
72152315
34264898
о, 72536757
62741329
44476207
20245707
0,59104845
53853344
43817272
29890270
13334269
о, 49829409
46698507
40633485
32015666
21387865
94350673 (
ю, 375°°ооо
[0,13627767
75261122
|о, 68314882 (-
45104389
87349837
jo, 40731Ю4 (-
28765637
64235056
92399881
-О
-1)
|о, 26972394 (-1)
19679418
46976429
75281847
94948399
-1)
о,43052771
41039693
37107679
3144о6зз
24303714
16031617
70238921(-
о,37890122
36520683
33831304
29919198
24925794
19031702
12450705
54304919 (
-1)
-1)
|о, 19153986(
14231934
35243407
59836512
82022730
96405191
|о> 14295610С
10741849
27203338
47815000
68818457
86384130
97313547
.11073694(-
83826396 (-
21542799
38727094
57503120
75213043
89350282
97917242
-1)
-О
о, 16666667(1)
0,10211225(1)
64554420
jo, 69254632
64670578
32741456
0,51284918
54203981
41573831
19603937
,40240972
45004537
39906098
28507133
13007925
о, 32857832
37895170
36082314
29949022
20634696
92476332(-i)
|о, 27613657
32446462
32186035
28832581
23100039
15581204
69066880 (—1)
■ 23716579
28208773
28717477
26915777
2331545
18278449
12162002
53524665 (-1)

ФУНКЦИИ. ИМЕЮЩИЕ СТЕПЕННУЮ ОСОБЕННОСТЬ 169
Таблица 3 (продолженш
а = — 0,3
Таблица 3 (продолжение))
а = —0,2
хк
Ак
ч
0,41176471
0,15617102
76274790
о, 79599055 (-О о,53Н0221
46419567 58371980
8772579о I 31344941
о, 14285714(1)
0,82661338
'60195805
Ь, 44444444
[р,17529121
77207722
о, 47868532 (-1)
29875561
64969830
92575547
о, 3i864i89(—О
20556174
477б758о
757Ц207
95043661
о,22706575(
14923603
35974796
60382186
82294079
96462371
о, 16989177 с
11295087
27846544
48379747
69200819
86564178
97350474
о, 13184653с-
88325984с-
22099574
39266904
579334°6
75487970
89475332
97942438
-1)
-О
о,З7654584
47227684
38973932
19000942
о,28479658
37968528
36482109
27229880
12696968
0,22537312
ЗЮ66612
32184155
28074820
19926620
9об74236(-
о, 18431713
259288З9
28056553
26509Ю4
21984859
15152777,
67932979(
о,15454490
22031871
24508102
24285627
21844719
17570564
11885134
52766356(
"О
-О
-1)
ь, 90769263 (—oh 41923855
47670759
88о799°°
к 55041555 (-О
30950224
65674171
92743245
о,12500000(1)
[о 68624424
'56375576
-1)
(3б82542б(-
21414169
48534456
76131405
95135387
Ip>2633i553(-i)
15605272
36689103
60912725
82557241
96517757
к 19749548 (-1)
11843060
28478113
48931868
695736*>8
86739475
97386397
h 15354978 (_i)
92799З21 (-1)
2264S469
3979S842
58354746
75755737
8959/454 I
97967031
53015795
30060350
[о, 28467526
41464126
36634995
18433353
,20773637
32308552
33469821
26047645
12400344
jo, 15942520
25705404
28827667
26370407
19259970
88940323(-
-О
,12694121
20923577
24571461
24432605
20949835
14744860
66835399 (-О
о, Ю394574
17382843
21021843
21974348
20499549
16904505
11619429
52029085 (—1)

170
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 3 (продолжение)
а = 0,1
*к
о,47368421
о, 19366591
78069306
о,10180800
48862797
88414030
о,62233955(
31991459
66349994
92903506
о, 41844219С
22254080
49278231
76534243
95223771
-О
-О
о, 30020339 (-i)b, 11564058
хк
[о, 11111111(1)
о,58109910
53001201
0,33816271
48419910
28874930
|о, 22035163
36655336
34522436
17898175
[о, 15528059
27707488
30807532
24950938
12117095
16277176
37386980
61428780
82812589
96571433
о, 22570408 (—1)
12385828
29098400
494718И
69937366
86910210
97421359
o,i7579897(-i)
97246301 (-1)
23189676
40317203
58767429
76019553
89716753
9799^43
21449866
25922354
24816304
1863446
87270825(--1)
|о, 89688423 (—1)
17036038
21614062
22571246
19987574
14356104
65772434(-i)
Jo, 71747443 (-1)
13843025
18117729
19936549
19266537
16277065
11364262
513П993(-1)
о, 52380952
о,22829869
79609156
о,12343985
51086245
89028787
0,07662331
3398о235
67622952
93203619
0,05201370
23882112
50700782
77299764
95391219
о- 03755934
17592533
38735864
62419838
833012Ю
96673960
0,02837127
13455940
3°Зоб459
50516840
70638667
87238692
97488545
о,02217654
10606050
24249753
41330305
59567920
76528128
89947261
98037401
0,90909091
[о,43594968
473И123
0,23169099
40980478
26759513
■ 13957560
29171865
30864997
16914668
,919бП55(-1)
20805402
26338474
22981810
11587290
'о, 64606602 (—1)
15277626
21188471
22094017
17477183
841И338(-1)
'о, 47603519 (-О
11568342
16929382
19389633
18255761
13631217
63744041 (-0
|о, 363815о6(—1)
90023444 (-О
13637517
16535252
17092390
15126664
I0883259
49935Чэ(-1)

ФУНКЦИИ. ИМЕЮЩИЕ СТЕПЕННУЮ ОСОБЕННОСТЬ
171
01 = 0,2
Таблица 3 (продолжение)
а = 0,3
*к
к п
°, 54545455
0,24461811
80300094
о, 1340Ц70
52125029
89312211
о, 08379З09
3493°748
68223169
93344322
0,05714684
24671358
51381529
77663785
9547°6о6
0*04139639
18236367
39387996
62895959
83535Н9
96722954
0,03134134
13983365
30894854
51022714
70976903
87396769
97520840
0,02454065
11042729
24768963
41823569
59956245
76774260
90058654
98059787
0,83333333
0,38436353
44896980
о,19579153
37942151
25812029
о, 11361811
26234810
29274899
16461813
о,72472ю6(—1)
18196787
24454537
22095602
П339197
о, 49494676 (—О
13025297
1925213З
20898594
1694633З
8гб15077(—1)
o,35568592(-i)
96367373 (-1)
/1506769З
18026462
17475П4
13292898
62775693 (-1)
о, 26583223 (—1)
73426269 (-1)
11905062
15112683
16132219
14598652
10656380
49273879 (-0
о, 56521739
0,26031346
80945398
о,14442049
53119518
89581291
о,0909474°
35853813
688ою63
93479300
о, 06230212
25444783
52043132
78016130
95547298
о, 04527071
18871209
40025952
63359832
83762488
96770523
0,03435193
4505749
3473214
51517987
71307260
87550941
9755234
о,02694406
11476691
25281167
42308308
60336950
77015188
90167587
98081667
о,76923077
|о, 34212427
42710650
|о, 16733773
35261023
24928281
|о, 93648250 (-
23706740
27819257
16032255
•О
|о, 57874662 (-1)
16003914
22763222
21267085
11Ю1390
о, 38444270 (—1)
11173227
17546659
19798374
16443325
8i 170645 (—0
|о, 26956595 (-О
80804415 (~ О
1345773°
16791410
16744878
12969347
б18з6ю8(—1)
о, 197о8о52(-1)
60303039с—О
10432625
13843529
15245784
14099104
10437945,
4862979З (—1)

172
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
а = 0,4
Таблица 3 (продолжение)
хк
ХК
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
7
1
2
3
4
5
6
7
8
о,5^333333
0,2754431
81549478
о,15465322
54072585
89837094
о, 09806363
36750664
69357887
93608895
о, 06747297
26202870
52686426
78357361
95621431
о, 04917715
19497225
40650221
63811941
83983589
96816728
°. °37399о6
15023126
32041816
52003007
71630017
8770135З
97582998
о, 02938367
11907914
25786517
42784755
60710266
77251081
90274141
98103058
о, 71428571
о, 30704611
40723961
о, 14444467
32881982
24Ю2122
|о, 78043234 (-О
21517097
26482894
15624257
|о, 46764300 (—1)
14Ч7983
21239737
2049117З
10873240
о, 30230581 (—1)
9б392758(-1)
16038857
18783679
15966160
79775415 (-О
о, 20690927 (—1)
68i7o536(—1)
12059732
15669771
16060845
12659674
60924030 (—1)
|о, 14802385 (—О
49845471 (-О
91756877(—О
12708249
14426092
13626Р17
10227517
48002325 (—1)
о,бооооооо
о, 28994920
82116191
о, 1647Ю29
54986850
90080583
о,10514028
37622451
69894801
93733425
0,07265351
26946079
53312195
78688006
95693131
0,05311104
201Ц575
41261267
64252744
84198682
96861629
о, 04047906
15535528
3260092%
52478105
71945441
87848141
97612922
0,03185660
12336375
26285159
43253135
61076414
77482097
90378395
98123977
о, 66666667
к27755боо
38911067
о, 12578267
30760237
23328162
о, 65680520 (—1)
19609626
25252735
15236254
|о, 38187347 (-О
12567315
19863080
19763338
10654199
о, 24036268 (—1)
83602629 (—1)
14701058
17846008
15513018
78426933 (-1)
о, 16064641с—1)
5784219°(—О
10841059
14648809
15419235
1236305З
60038276 (—1)
|о,И24937б(-1)
4Ц51233 (-1)
80982346 (—1)
1169014З
13666928
13177558
10024686
4739055°(—1)

ФУНКЦИИ, ИМЕЮЩИЕ СТЕПЕННУЮ ОСОБЕННОСТЬ
173
а = 0,6
Таблица 3 (продолжение))
а = 0,7
хн
0,61538462
о, 30394556
82648922
о, 17459о27
55064706
90312631
0,11217175
38470254
70412878
93853181
о,07783848
27674847
5392И77
79008556
95762515
о,05706808
20723414
41859531
64682672
84408012
96905278
0,04358857
16042989
33150784
52943598
72253784
87991437
97642112
о,03436020
12762056
2б777232
43713667
61435607
77708389
90480422
98144440
|о, 62500000
о, 25249637
37250363
|о, 11039269
28859070
22б01бб1
о, 55766305 (-0
17939080
24117466
14866823
о, ЗЦ81891 (-0
1121319°
18615375
19079533
Ю443713
о, 193оз85о(—1)
72871328(—1)
13510078
16977877
15082237
77122903 (—1)
о, 12боз317(— 1)
49343026 (-1)
97747709 (-1)
137174бо
14816639
12078723
59i77729(-i)
о, 86412723 (—2)
34667121 (—1)
71709697 (-О
Ю774894
12962759
12752051
98290697 (—1)
46794177 (-О
о,62962963
о, 317429бо
83150657
о,18429267
56708346
90534028
0,11915325
39295083
70913113
93968433
0,08302315
28389589
545Ц064
79319476
95829696
0,06104436
2132389З
42445431
65102135
84611809
96947728
о,04672447
16545539
33691644
53399788
72555288
88131365
97670597
0,03689197
13184936
27262873
44166556
61788049
77930103
905S0293
98164460
0,58823529
о,23099876
35723653
о, 97569525 (-0
27148149
21918428
о, 47728327 (-0
16468761
23067261
14514675
[о, 26179601 (—i)
10046796
17481335
18436136
10241302
|о, i56457i8(-i)
6з8ц6б1(—1)
12446399
16172673
14672301
7586и79(-1)
|о, 9982417З (-2)
42305903 (-О
88385259 (-1)
12866079
Ц249982
11805977
5834i335(-i)
0,67033372(-2)
291490б*(-1)
6369939° (-О
99501855 (—О
12308646
12J47956
96403086 (—1)
46212539 (-О

174
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
:0,8
Таблица 3 (продолжение)
0,642857ц
о, З3°42б2б
83624041
о, 19381781
57519783
9°745495
о, 12608067
40097889
7139Ц31
94079432
о,08820328
29090706
55091511
79621198
95894775
0,06503631
21916158
43019367
6551152З
84810294
96989027
о, 04988385
17043213
34223731
53846963
72850184
88268043
97698401
0,03944961
13605001
27742211
44612003
62133935
78147380
90678076
98184053
о, 55555556
о, 21240044
34315512
о, 86785780 (—1)
25602228
21274749
о, 41146953 (-0
15168681
22093544
14178635
о, 2i9434i2(—О
90369704!—О
16447834
17829896
10046514
о, 12787738(-0
5612929Ц—1)
Н493515
15424541
14281822
74639748 (-1)
о,797б1214(— 2)
36445513 (-1)
8oi 37046 (—1)
12086237
13716480
П544161
57528096 (—1)
о, 52472780 (-2)
2463364З (-1)
5б754597(-1)
920539оо(—1)
11700175
11963861
94580672 (—1)
45б45Ю2(—1)
0,65517241
0,34295925
84071422
0,20316661
58300869
90947688
0,13-95052
40879565
71863692
94186410
о,09337507
29778578
55654135
79914131
95957851
о,06904064
22500352
43581718
65911205
85003672
97029222
о,05306404
17536045
34747269
54285400
73138690
88401583
97725548
о,04203094
U022235
28215371
45050200
62473453
78360353
90773838
98203231
0,52631579
о, 19618806
ЗЗ012773
о, 77640996 (-1)
24200159
20667320
о, 35709765 (-О
14014161
2И888о8
13857634
|о, 18527012 (—1)
8158509б(—1)
155°3554
17257884
98589297 (-О
о,ю53304б(—1)
49573904 (-О
10637406
14728278
13909527
73456723 (-О
0,4420537 (-2)
20917594 (-О
50712823 (-1)
85313094(-0
11133389
11598468
92820304 (—1)
45091352(—О
[о, 64248729 (—2)] 1
31538417(-1)
72847206 (—i)
11370544
13213612
11292666
56737070 (—1)

ФУНКЦИИ, ИМЕЮЩИЕ СТЕПЕННУЮ ОСОБЕННОСТЬ
175
а = 1,1
Таблица 3 (продолжение)
а= 1,2
*к
0,67741936
о, 36672286
84896342
0,22134147
59778696
91326594
о, 14650621
42382860
72753199
94389145
о, 10368027
31116042
56737214
80475142
96078351
о, 07707462
23645081
44673103
66682835
85375886
97106473
о, 05947709
18507322
35769544
55137104
73697367
88659680
97777963
о,04725675
14848163
29143643
45905576
63134099
78773900
90959541
98240397
0,47619048
о,16939191
30679857
о,6зюзб34(-1)
21758961
19549723
о, 27380403 (_i)
12063422
19560674
13256912
о, 13469227 (-1)
67172785 (-1)
13844758
16206248
950384031-1)
О, 72978173 (-2)
39117Ц8(-1)
91694044 (-1)
13473341
13214915
7П98907(-1)
о, 42616551 (-2)
23915341 (-О
60638893 (—1)
10106401
12290830
10818414
552i8i3o(-i)
о, 26406024 (—2)
15285878 (-1)
40821864 (—1)
73643920 (—1)
10111023
IO9I9O94
89474052 (—1)
44022993 (—0
о,68750000
о,37799485
85277439
0,23017162
60478479
91504359
0,15318748
43106027
73176892
94485289
о,10880785
31766323
57258742
80743922
96135942
о, 08109897
24205887
45202815
67055434
85555086
97Н3609
о, 06270547
18985840
36268685
55550867
73967930
88784436
97803274
о,04989754
15256839
29598987
46323106
63455567
78974715
91049600
98258409
Р,45454545
[о, 15823074
29631471
[о, 57281831 (—1)
20691817
19034545
о, 24168840с—1)
11235875
10826314
12975473
|о,11587083 (-1)
б12з8ю8(—1)
13И4314
15722075
93356366 (-1)
О, 61327676 (—2)
34933305С-1)
85384765 (-1)
12906838
12890515
70120886 (—1)
о, 35058804(-2)
20947466 (-1)
55516041 (-1)
95471706 (-1)
11866939
10594640
54488569 (-1)
{о,21305007(—2)
13Ч9054(—1.
36766614 (—1)
68585402 (—1)
96493709 (-1)
Юб0299 2
87882775 (-1)
43507476 (-1)

ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
<х= 1,3
Таблица 3 (продолжение)'
а=1,4
хк
Ч
о, 69696970
о, 38888599
85639703
о,23883349
61154017
91674963
о, 15980197
438U173
73587432
94578187
о, 11391536
32404745
57767597
8ioo5pi
9619I864
0,08512502
24759165
45722301
67419629
85729908
97179803
о,06594571
19459662
36760084
55956883
74232890
88906457
97828015
о,05255467
15662646
30048619
46734085
63771346
791717U
91137872
98276055
о, 43478261
о, 14826651
28651610
О, 5221Ю86(—1)
19711628
18545524
о, 21437591(-
10490070
18138813
12705619,
-О
о, 10021849 (—1)
55989786 (-1)
12440877
15262986
91732339(-1)
о, 51837381 (—2)
313оо324(-1)
79657441 (-0
12376433
12580198
69074793 (-0
О, 29OI8819 (—2)
i84i4733(-0
50936382 (-1)
90303377 (-1)
11465685
10379147
53777919 (-1)
о, 17299б18(— 2)
п35515о(-1)
33194784(-1)
63970972 (-1)
921718зо(—1)
Ю301335
86342733 (-О
43003830 (-1)
о,70588235
о, 3994Ч24
85984502
о, 24732976
61806572
91838830
о,16634830
44498973
73985431
94668000
о,11900058
3J031620
58264249
81259641
96246187
о, 08915064
25305043
46231864
677757Ю
85900512
97215090
о, 0691559З
19920826
37243927
56355377
74492422
89025834
97852204
0,05522657
16065580
30492646
47138675
64081592
79365002
91224410
98293347
Ь, 41666667
о, 13932846
27733821
о, 47770550 (-1)
18808878
18080733
|о, 19100995 (-О
98158033 (-1)
17494Ю9
12446655
о, 87118795(-2)
5i33i892(-i)
11818755
14827196
9oi63392(-i)
|о,44055058 (-2)
28133392 (-1)
74446413 (-О
11879150
12283062
68059237 (-1)
О, 24I58287 (—2)
16244343 (-О
46831823 (-1)
85519271 (-1)
11085489
10171506
53085458 (-1)
|о, I4I32O52 (—2)
98425ЗП (—2)
30039987 (-1)
59754074 (-1)
88121Ю4(—1)
10013250
84851610с—1)
425иб52(_1)

ФУНКЦИИ, ИМЕЮЩИЕ СТЕПЕННУЮ ОСОБЕННОСТЬ
177
а = 1,5
Таблица 3 (продолжениеJ-
а = 1,6
хк
хк
0,7Ц28571
о, 4°959^52
86313075
о, 25566333
62437314
91996354
о, 17282535
45170068
7437И64
94754^81
о,12406151
33б47251
5874944
81507171
96298980
0,09317384
25843649
46731795
68123950
86067052
97249504
о,072454З9
20393372
37720391
56746562
74746695
89142651
97875^59
0,05791175
16465639
30931172
47537028
64386452
79554687
91309265
98310296
о,40000000
|о, 13127568
26872432
о, 43862346 (-1)
17975335
17638431
|о, 17090947 (-1)
92043887 (-1)
16888577
12197940
о, 76090280 (—2)
47184038 (-О
11242935
14413079
88646788 (-1)
о, 37633366(-2)
253б2514(-1)
69694674 (—0
11412308
11998348
67072910 (—1)
|о, 2022Ц17(—2)
Ц377091 (-О
43144030 (-1)
81084022 (—1)
10724904
99713178(-1)
52410499 (-1)
|0, ЦбЮ230(— 2)
856I7605 (—2)
27246077 (—О
55893767 (-0
84320263(—1)
97379330 (-О
83407222 (—1)
42030557 (—1)
О,72222222
0,41944884
86626544
0,26383716
63047335
92147896
о,17923227
45825067
74746070
94838970
о,12909637
34251932
59222703
81748181
96350306
э, 09719279
26375Ю7
47222374
68464612
86229670
97283076
0,07571945
20853340
38189648
57130644
74995870
89256991
97898999
о,06060883
16862822
31364301
47929294
64686070
79740871
91392486
98326911
Ь,38461538
|о, 12399ЮО
26062438
о, 40406577 (-О
17203845
17217036
|о,15352867 (-1)
86483966(--1)
16318974
11958881
[о, 667537^3 (-2)
43478535 (-0
10708995
J4019155,
87179968 (-1)
0,323Э3270(— 2)
22929634 (—1)
65352580 (-1)
1097349°
Н725337
661Ц573 (-О
|о, 17013Ц5(-2)
1276457З-1)
39822861 (—1)
76966099!—1)
10382606
97782089 (—1)
51752391 (-О
jo, 95898060 (—з)
74729760 (-2)
24765406 (—1)
52353968 (-1)
80750015 (—1)
94746355 (-1)
820075ю(—1)
41560175 (-1)

178
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
1,7
Таблица 3 (продолжение)
а= 1,8
п
1
2
3
4
5
6
7
8
к
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
о, 72972973
о, 42898630
86925932
0,27185436
63637655
92293792
о, 18556841
46464549
75Ю9756
94920400
о, 134Ю357
34845944
59685331
81982928
96400226
о, 10120580
2689954°
47703867
68797945
86388507
97315838
о,07898961
21308772
38651864
57507821
i75240101
89368931
97921640
0,06331650
17257129
31792130
48315617
64980583
79923650
91474119
98343202
о, 37037037
0,11737631
25299405
о, 37337547 (-О
16488170
16815112
о, 13842679 (—1
814Ц4бо(
15782392
11728931
О
О, 58808396(—2)
4oi58i27(—1)
10213021
13644066
85760534 (-0
0,27854738(^2)
20786366 (—1)
61376766 (—1)
10560511
11463359
65183060 (—1)
о, Ц383523 (-2)
11367023 (-1)
36825082 (—1)
73i37329(-i)
10057378 /
95918291 (-О
5ИЮ514(-1)
о, 796141 Зб(—3)„
6543«715 (-2 )■'
22557402(-i)
49102802 (—1)
77392834 (—1)
92226638 (—1)
80650527 (—1)
4П00154(—1)
0,73684211
0,43822315
87212168
о, 27971807
64209226
92434352
0,19183334
47089065
75462999
94999296
о, 13908169
35429561
60137410
82211656
96448798
о, 10521134
27417069
48176533
69124188
86543692
97347819
о,08226343
217597П
39107200
57878282
75479538
89478548
97943797
0,06603352
17648563
32214756
48696135
65270125
80103119
915542Ю
98359178
|о, 357Ц286
о, 11134892 I 1
24579393 I 2
о, 34600872 (—1)1 1
I5822848 2
16431351 | 3
о, 12524541 (-О,
76780334 (-1): 2
15276216 | з
11507582
о, 52013592(-2)
37i74i70(-i)
97515386(-1)
13286570
84386242 (—1)
|о, 24122591 (—2)
18892208 ( — 1)
57729243 ("О
10171392
11211796
64277264 (—1)
Ь, 1221б418(—2)
ioi5i6i7(—1)
34ii33oi(-i)
69572489 (-0
97481029 (—1)
94118503 (—1)
50484277 (-О
о, 66415614(—3)
57481380 (-2)
20587411 (—1)
46112050 (—1)
74232775 (-1)
89813731 (-D
79334439(-0
40б50157(—1)

ФУНКЦИИ. ИМЕЮЩИЕ СТЕПЕННУЮ ОСОБЕННОСТЬ
179
1,9
Таблица 3 (продолжение)
а = 2,1
п К
о,74358974
о,447^7286
87486104
0,2874348
64762937
92569865
о, 19802677
47699139
75806248
95075775
о, 4402947
36003045
60579304
82434597
. 9б496074
о, 10920797
27927813
48640618
694435^9
86695352
97379045
о,о8553958
22206197
395558П
58242212
757Н321
89585914
97965486
о,06875873
18037128
32632273
49070983
65554823
80279368
91632802
98374850
э,34482759
о, 10583871
23898888
о, 3215124б(—1)
15203078
16064556
о,113б9115(—1)
72533944(-1)
14798088
11294365
О, 46175801 (—2
34485173 (-1)
932i4558(-i)
12945529
83054985 (-1)
Э,2097б020 (—2)
17213Ю2(—1)
54376641 (-1)
98043382 (-1)
10970072
63396141 (-О
О, Ю421246 (—2)
90911384 (-2)
31655082 (—1)
66248950 (—1)
94537529 (-О
92379644 (-О
49873п8(-л)
о, 55660497 (—3)
5об425о8(— 2)
i8825737(-i)
4335бб77(-1)
712553ю(-1.)
87501бз6(—1)
78057509 (-О
40209861(—1)
о,75609756
о, 46426106
83000124
о, 30242022
65820067
92826800
0,21019879
48877936
7646443З
95221911
о, 15382965
37120630
6143391З
82863978
9658694З
0,11716937
28929407
49543984
70062613
86988569
97439341
о,09209402
23085989
40433458
58951173
76170469
89794164
98007520
о, 07422939
18805674
33452344
49804187
66110178
80622550
91785658
98405310
о,32258064
|о, 96139199 (—О
22644145
о, 27967252 (—1)
14083750
15377589
0,94539038(-2)
65044059 (-1)
13917662
10890606
о,Зб773219(-2)
29854911 (—О
85447546 (-1)
12308709
8о51378о(—1)
|о, i6o43i8o(—2)
14389426 (-1)
48442081 (—1)
91300491 (-1)
10514032
61704010 (—1)
:о, 7677119°(-3)
73480308 (-2)
27390080 (—1)
60246464 (—1)
89об1П5(—1)
89073327 (-1)
486939i7(-i)
|о, 39602221 (—з)
39643536 (-2)
15828797-1)
38465476-I)
65796283 (—1);
83157925 (-1)
75614638 (—1)
39357i5°(-i)
1
2
3
4
5
6
7
1 |
2 I
3 !
4
5
6
7
S

180
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
а = 2,2
Таблица 3 (продолжение)4
а = 2,3
хк
Аь
Аь
0,76190476
о, 47242293
88241578
о, 30970197
66325003
92948703
0,21617751
494475«9
76780147
95291768
о, 15868019
37665215
61847277
83070826
96630630
о,12113181
29420485
49983715
70362684
87130349
97468459
о, 09537004
23519З82
40862780
59296537
76392091
89895179
98027891
о, 07697283
19185668
33855074
50162790
66381070
80789648
91860000
98420116
о, 31250000
о, 91854511 (-О
22064549
о, 26173795 (-О
13577125
15055495
о, 86574354 (-2)
6i732872(-i)
13511690
10699280
О, 32976045 (-2)
27856754 (-О
81934627 (-1)
120И079
79300224 (-1)
О, ЦЮ5828(—2)
1319975б(-1)
458ii2oo(—1)
88199759 (-1)
1029875З,
6о89П7б(—1)
о, 66272883 (—3)
66305494 (-2)
25537167 (-1)
57532690 (-1)
8б5П393(-1)
87500594 (-1)
48124877 с—О
о, 33608271 (-з)
3521б514(— 2)
14552532 (-0
36292134 (-0
63291527 (-1)
8iii6248(—i)
74445670 (-1)
38944155(-0
0,76744186
о,48034453
88473484
о, 31684621
66815120
93066524
о,22208498
50004064
77087423
953596Ю
о,16349665
38200639
6225175З
83272698
96673212
о, 12508069
29905231
50415761
70656713
87269052
97496922
о,09864389
23948498
41285953
59636036
76609575
89994201
98047850
о,07972040
19562823
34253047
50516219
66647587
80953856
919330Э2
98434649
о,30303030
jo, 87893615 (-О
21513669
о, 24547268 (-1)
13Ю1794
14746509
|о,79488817(-2)
58672600 (—1)
13126372
10514510
о, 29660523 (—2)
26038324 (—1)
78641571 (-1)
11726189
78122467 с—1)
О, 12443981 С—2)
12133589(-1)
43376547 (-1)
85262634с—1)
Лоо91378
60099356 С—1)
о,5741б7бэ(-3)
59970818 (-2)
23844605 (-1)
54990134 -
84077176 (—Ч
85978222 (—1)
47568917 с-1)
о, 28630597 (-3)
31363538 (-2)
13401597 ("О
34278582 (-1)
60922764 (—1)
79155207 (—1)
73309794 (—1)
38539699 (-1)

ФУНКЦИИ, ИМЕЮЩИЕ СТЕПЕННУЮ ОСОБЕННОСТЬ
181
а = 2,4
Таблица 3 (продолжение);
а = 2,5
*к
к п
о,77272727
о, 48803602
88696398
о, 32385610
67291068
93180465
0,22792151
50549576
77386598
95425521
о, 16827835
38727126
62647632
83469774
96714730
0,12901507
30383754
50840327
70944884
87404777
97524752
о, 10191461
24373383
41703109
59969822
76823037
90091292
98067409
0,08247126
19937Ц8
34646346
50864589
66909838
81115249
92004700
98448917
0,29411765
о, 84223306 (-1)
20989434
о, 23067949 (—О
12655118
14449852
О, 73165045 (-2)
55838834(-1)
12760264
10335967
О, 26755277 (~2)
24379815 (-0
75550530 (-Г
11453282
76978958 (-1
О, 11013020 (—2)
П175758(-1)
41Н9999(-1)
82477814 (-0
98915025 (-О
59327749 (-О
о, 49915801 (-3)
54362974 (-2)
22295811 (—О
52605290 с—1)
8i75i555(-i)
84503943 (-1)
47025593 (-1)
о, 2J479459 (-3)
280ОО605 (—2)
12361685 (-1)
324io653(-i)
58680683 (-1)
77270563 (-i)l
72205б86(—1)
38i43522(-i)i
0,77777778
о,49550703
88910835
о,33073474
67753459
93290714
0,23368751
51082720
77677994
95489583
о,17302473
39244892
63035188
83662224
96755223
о, 13293409
30856160
51257609
71227373
87537620
97551969
о,10518132
24794°8i
42114376
60298040
77032590
90186505
98086579
о,08522455
20308653
35035053
51208011
67167925
81273900
92075129
98462928
о, 28571429
о,8о8Цбо6(—1)
20489968
o,2i7i8899(—1)
12234735
14164804
[0,67503839 (-2)
53210020 (—1)
12412044
10163344
о, 24200931 (-2)
22863977 (—1)
72б454ю(-л)
11191657
75868233 (-1)
jo, 97763803 (-3)
10313231I-1)
39025403 с-!)
79834949 (-О
96987470 (-1)
58575596 (-1)
о,4353814о(-3)
49385825-2)
20876179 (—О
50365915 (-О
79528127 (—1)
83075620 (_л)
46494481 (—1)
о, 21003643 (—3)
25057325 (-2)
1U20335 -О
30675635-1)
56556730 (-1)
75458354 (-1)
7И3209о(_1)!
37755373 (-1)!

182
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
<х = 2,6
Таблица 3 (продолжение)
а = 2,7
Ч
Ч
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
о,78260870
о,50276668
89117271
0,33748519
68202869
93397449
о,23938344
51604477
779619П
95551873
о, 17773529
39754Ц6
6344687
83850211
96794729
о, 13683694
31322555
51667796
71504349
87667671
97578593
о, 10844317
25210637
42519881
60620832
77238J42
90279897
98105372
о,о8797951
20677352
35419245
51546591
67421951
81429879
92144322
9847668/
о, 27777778
о, 77642129 (-1)
20013565
о, 20485512с—1)
11838525
13890702
о, 62421003
50767076
12080508
99963520
о,21947862
2Ц75734
69911673
10940668
74788907
0*87039566
95347655
37078332
77324545
95127567
57842172
о, 38095553
44957Я8
19572811
48260893
77400953
81691237
45975175
о,18082037
22474510
10566669
29062100
54543043
737Ц871
7008/811
37*75011
-2)
-1)
-1)
-2)
-О
-1)
-1)
-з)
-2)
-О
-О
-О
-1)
-з)
-2)
-1)
-О
-1)
-1)
-1)
-3)
-2)
-1)
-1)
-1)
-1)
-1)
-1)
о,78723404
0,50982362
89316146
о, з44ио48
68639840
935°°8J6
о,24500983
52115207
78238637
95612464
о, 18240961
40255092
6З786380
84033889
96833284
о,14072291
31783041
52071071
71775975
87795020
97604644
о, 11169938
25623096
42919744
60938335
77440396
90371518
98123800
0,09073540
21043257
35799001
51880435
67672011
81583254
92212313
98490202
о, 27027027
о, 74683551 (-0
19558672
о, 19355141 (-t)
11464582
13626931
|о, 57844777(-2)
48493061 (-1)
11764551
98347222 (-1)
о, 19954421 (-2)
20201880(_1)
67336i57(~i)
Ю6997И
73739677 (-0
|о, 77708483 (-3)
88306417 (—2)
35265879 (-О
74937883 (-О
93331991 (-О
57126791 (-О
|о, 33434529(-3)
4ioo8i86(— 2)
i8374296(-i)
4б28оп6(—1)
753б4517(-0
80348890 (~i)
45467287 (-1)
1о,15б171б9(-3)
20202228 (—2)
979Пбб5(-2)
27559763 (-1)
52632383 (-1)
72оз6639(-1)
6907i7i8(—1)
37002200 (—1)

ФУНКЦИИ, ИМЕЮЩИЕ СТЕПЕННУЮ ОСОБЕННОСТЬ
183
а = 2,8
Таблица 3 (продолжение)
а = 2,9
хк
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
I
7
8
0,79166667
о,51668602
89507868
0,35061356
69064888
93601029
о, 25056726
52615259
78508444
95671424
о,18704735
40747927
64150511
84213407
96870921
о, Ч459ПЗ
32237719
52467611
72042406
87919749
97630139
о,П494923
26031504
43314083
61250680
77638852
90461420
98141872
о, 09349^0
21406382
36174395
52209643
67918200
8i734°9°
92279131
98503479
o,263i5789
о,7191917б(—О
19123872
о,1831б797(-0
I1111189
13372920
o,537i3758(-2)
46372896 (—Г
11463161
96782017 (—О
о, I8i85502(—2)
i903o8io(_ 1)
64906930 (—Г
10468230 |
72719305 (-i)j
o,695637i6(-3)
81924265 (—2)
33576464 (-О
72666945 (~i)
91597624 (-О
56428797 (-О
о, 29429308 (—з)
374779231-2)
172705Н(—О
444Ц378 (-1)
73413б9о(—О
79046780 (_i)
44970447 (-0
о, 13530234(-3)
18198220(— 2)
90854794 (-2)
26159349(—1)
50818078 (_ 1)
70420397 (—О
68082733 (—1)
36636734 (—О
0,79591837
о, 52ЗЗ6167
89692818
о, 35699733
69478497
93698175
0,25605636
53104965
78771591
95728818
о, 19164823
41232842
645073Ю
81388904
9690767З
о,14844160
32686688
52857584
72303792
88041940
97655098
0,11819202
26435905
437°3oi3
61557995
778338о8
90549649
98159600
о, 09624716
21766742
36545500
Н5343Ч
68160608
81882450
92344807
98516524
10,25641026
к 63331570(-
18707869
-о
о, 17360899 (-О
Ю776794
13128142
|о, 49975209 (-2)
44393i28(-i)
11175407
95265532 (-1)
|о, 16611403 (—2)
17952301 (-1)
626i3i5o(—1)
10245704
71726625 (-1)
|о, 62432741 (-3)
76I27840 (—2)
31999689 (-1)
70504347 (-О
89921541 (—1)
55747568(^1)
о, 259764 27 (~3)
343152921—2)
16252473 (-0
42б55284(—1)
71543б99(-0
77783207 (-1)
44484300 (-1)
о, 11757241 (—3)
1б42бб07(—2)
84422696 (—2)
2485248I (—1)
49093972 (-1)
68863088 (—1)
67119831 (-1)
36278383 (-1)

184 числовые таблицы
Таблица 4. Вычисление интегралов вида
1
I=[xa(l — x)af(x)dx:
/ж 2 4t/(**>' «= -0,9(0,1)3; афО.
Степень точности 2« — 1. Узлы х^ и коэффициенты А% обладают следующим свойством
симметрии:
*£ = l-*n+l-£» Afr=Ann-fc-
Глава 3, § 2, интеграл с весовой функцией Якоби.
Литература: К р ы л о в В. И., Л у г и н В. В., Я н о в и ч Л. А. [1].
Числа в таблице напечатаны в нормализованном виде. Справа в скобках указан
показатель степени десяти, на которую нужно умножить это число:
0,435 646 35(—1) = 0,043 564 535.
Показатель, равный нулю, опущен.
и
1
2
3
4
5
6
7
1 8
к
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
*к = 1-лл+1 _fr
а = —0 ,9
о,50000000
о, 43564535 (-1)
о, 15877082 (-1)
50000000
o,8i9i64i4(— 2)
28416192
0,49942659 (—2)
18032587
50000О00
0,33619634 (-2)
12389203
36034988
0,24170765 (—2)
90129770 (_i)
2694189З
50000000
0, 182128б0(_2)
68420739 (—О
20805851
39689565
Aft = An + 1_fr
0,19714640(2)
0,98573197(1)
0,87620620(1)
21905155(1)
0,81642657(1)
16930541(1)
0,77558082(1)
14991197(1)
12047835(1)
0,74478878(1)
13906973(1)
10187346(1)
0,72022567(1)
13186918(1)
91933076
83408090
0,69985025(1)
12658673(4-1)
85651642
73603352

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ВИДА \ ха (1 — х)а f(x)dx
О
Таблица 4 (продолжение)
185
п
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1 к
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
з
4
1
2
3
4 J
H'^-^n+l-fr
а =
о,5°оооооо
о, 77422873 (-0
о, 30331782 (-1)
5°оооооо
о, 1бо93Ю7(—О
29116538
' 0,99577684(-2)
18743569
50000000
0,67647270 (-2)
12996797
36313716
0,48937351 (-2)
95i53228(-i)
27307448
50000000
0,37040344 (-2)
72569945 (-1)
21180885
39837428
а =
о,50000000
0,12732200
о, 55738342 (-О
50000000
о, 31021381 (—1)
30332833
о, 19709727 (-О
20027667
50000000
0,i36i6i77(-i)
14121868
36824341
0,99648522 (-.2)
10461592
27988132
50000000
°> 76063973 (-2)
8048387I (—1)
21887764
40114985
| Ак = Ап+1-?с
— 0,8
1 0,95015014(1)
0,47507507(0
0,38458458(1)
18098098(1)
0,33647110(1)
13860397(1)
0,30477759(0
11919697(1)
10220102(1)
0,28167283(1)
10733760(1)
86064637
0,26377905(0
99031564
76575207
71378492
0,24934718(0
92740681
70144483
62842728
-0,6
0,42261692(1)
0,21130846(1)
0,14869855(1)
12521983(1)
о,11682059(1)
94487872 :
0,97136754 |
77264809
73813793
о,83640365
65958055
61710041
0,73748697
57864487
53515014
52360523
0,66154910
51739456
47509569
45904525
|| *fr =1-*п+1-к
а=-
о,50000000
0,10471529
о, 43564535 (-0
50°ооооо
о, 2370168o(—l)
29752271
о, 14868133 (-1)
19406792
5оооо0оо
о, ioi88oio(—1)
13573398
36576334
о,7413945о (-2)
99976741 (-1)
27655744
50000000
0,56358041 (—2)
76588022 (—1)
21541194
1 39979094
а =
о,50000000
о, 14644661
о, 66987298 (—1)
5°оооооо
о, 38060234 (—0
30865828
о, 24471742 (-О
206Ю737
50000000
о, 17037087 (-0
14644661
37059048
о, 12536044 (-0
10908426
28305813
50000000
0,96073598 (-2)
84265194 (-1)
2222Ц88
40245484
| АЙ = An-j-l-fc | Н
-0,7
1 0,60096237(1)
0,30048118(1)
0,22536089(1)
15024059(1)
о, 18632721(1)
"415397(0
0,16146533(1)
95613016
86805675
0,14390385(0
! 83752651
72824683
0,13068144(1)
75297919
63942688
61118282
о,12028195(1)
68867176
57639463
53692599
-0,5
о,ЗЦ15927(1)
0,15707963(0
0,10471976(1)
10471976(0
о,78539816
78539816 :
0,62831853
62831853
62831853
0,52359878
52359878
52359878
0,44879g95
44879895
44879895
44879895
0,39269908
39269908
39269908
39269908
_ ..., 1 1
4 J
п
1
2
з
1
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8

186
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 4 (продолжение)
п
1
2
3
4
5
6
7
1
8
1
2
3
4
5
6
7
8
fc | хк =,-A'nfl-/c |
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
1 4
Ah = Au-|-l-fc 1
а = -0,4 1
0,50000000 ]
о, 16290007
о, 77422873 (-1)
50000000
о, 4482855З (-1)
31557458
о, 29146878 (—1)
21159857
50000000
0,20441272 (-1)1
15143906 I
37281606 I
о, i5H9oi8(—1)|
П339360 1
28609864
50Э00000
о, и6з1б19(—О
87938748 (-1)
22543177
4Э370938
0,24153442(1)
0,12076721(1)
0,76851861
87830698
0,55248724
65518486
0,42627564
5.1372195
53534902
0,34434036
41851004
44479171
0,28723886
35091778
37708586
38485920 1
0,2453647З
30074780
32542673
33613281
а = — 0,2
о,5ооооооо
i 0,18991316
0,96213574 (-о
50000000
0,57600150 (-1)
32236245
0,38219547 (-1)
22168994
50000000
0,27171508 (-о
16078974
37694227
о,20293598(—1)
12157600
29180848
5°оооооо
о, 15727086 (—1)
94985958(-1)
23153328
40607956
0,15169642(1)
0,75848212
0,44730997
j 62234430
0,29846637
46001575
0,21557472
34808657
38964165
0,16433677
27215130
32199404
0,13024010
21901729
26753685
28337574
0,10627920
18052153
22502416
1 24665723
A-/f-l-.vnfb-/f j Ak^An±i_u |
a = — 0,3 j
0,50000000
0,17725139
o,87i38588(-i)
50000000
o,5i337853(-i)
31812840
o,3373o4i6(-i)
21678326
50000000
o,2382i337(-i)
15621463
37493032
0,17706791 (-1)
11755440
28901252
50000000
0, 13б73212(—l)
91510539c—1)
22853567
1 40491666
э, 18990379 (+1)
o,9495i897
0,58026159
73851475
0,40126349
54825547
0, 29924763
422003}4
45653639 1
0,23466550
33659732
37825615 1
0,19070651
27635166
31737397
33017364
0,15916165
23217433
27031488
28786810
a = -0,1
0,50000000
0,20119285
0,10471529
50000000
0,63627526 (-1)
32631264
0,42612879 (-1)
22634341
50000000
0, 30487298 (—1)
16517897
З7885991
p, 22874669 (—1)
12546680
29449439
50000000
0,177889?! (-1)
98369883 (-1)
2344307З
40720070
jj .
0,12260975(1)
0, 61304874
0,35031357
52547035
0,22615693
38689182
0,15849167
28815813
33279789
p, 11760289
22109395
27435190
p, 90976674 (—1)
17456770
2258513S
24330602
0,7263991S (-1)
Ц12653)
18769755
2114458)
> ____
к |
1
n
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
| 3
4
5
6
7
8

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ВИДА
1
) ха (1 - х)"
187
l(x) dx
Таблица 4 (продолжение)
1 л | fe | xH^[~xn-\-l-li | Ак^ Ап+\-к || *fr=l-*n4-l-fr | Afc=An+l-k | fc
1
2
3
4
5
6
;
S
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
2
1
2
Г 1
2
3
1
2
3
1
2
1 3
4
1
2
3
4
1
1
1
2
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
а = 0,1
о, 5ОООО0ОО 'о, 821443З1
о, 22049150 0,41072166
0,12022274 0,22247423
5°оооооо | 37649485
о, 75024586(-1) 0,13539592
33347904 | 27532574
р,5ПИ595(-1) о,89765123(-0
23497485 j 19931973
5°оозооо j 24327360
о, 37002702 (—1) о, 63327318 с—О
17345043 1 14772804
38244018 I 19966629
о, 28004438 (—1)
1328З571
29955407
5оооjooo
о,4б799759(-0
11256053
16158183
17955908
о,2192234о(—1) о, 35846639(-1)
1048S067 87982Пб(—1)
2399^752 13130354
4093'-757 ! 15558935
а = 0,2 j
о, 50000000
0,22883693
0,12732200
50000000
0, 80416745 (-1)
33674378
o,552i8466(—1)
23898882
50000000
0, 40197695 (-0
17735487
38411501
0, 30547123 (-1)
13642702
30196028
50000000
0, 23988020(—1)
10801537
24257674
1 41033750
о,67867867
о,33933933
0,17965024
31937820
о,10647532
23286402
о,68809691(—1)
16643601
20818727
р, 47409471 (—О
12140410
17052577
о, 34285900(-1)
9°975б39 (-О
13691186
1 15433183
о,2574бюЗ(—1)
6995439 '(-О
110Э916/
1335471 /
а = 0,3 а = 0,4
о,50000000
о,23647686
о,134°3747
50000000
о, 85618779(-1)
33982315
о, 59232155 (-D
24282229
5ооооосо
о, 43348782(-1)
18111815
385720И
о, 33°7i84o(-i)
13986413
30427146
50000000
0, 26049772 (-1)
Ш074ЗЗ
24512588
4113ЦЗ8
0,56340222
0,28170111
0,14606724
27126774
о, 84454917 (-О
19724619
о, 53270829 (—1)
13929945
17826165
о, 35880801 (_i)
10008328
14573703
о,254Н93о(—1)1
73811971 (—1)1
11613171
13269101
о, 18719002 (—l) 1
5536б773(—1)11
924443" (—О
1M670J7 II
0, 50000000
0,24350541
0,14040252
50000000
0, 90640586 (—1)
342734Ю
0, 63154434 (—1)
24648867
50000000
o,46454956(—1)
18474893
38726019
о, 35576722 (-1)
14320235
30650261
500000Э0
o,28io5575(~i)K
11406080
247599^3
41225997
о, 46957436
0,23478718
о,И945313
23066810
о, 67484340 (-1)
16730284
о, 41596225 (-1)
11683186
15271819
о,27414б54(-1)
82741892 (—1)
12463063
э, 19028019 (—1)
60096604 (—1)
98603010 (—1)
11411909
М3757327(-1)
44797614 (-1)
77734035 (—1)
98498122 (—1)
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
4
! 1
2
3
4
1
1
1 j
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
4
п
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2 1
3
4
5
6
8

ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 4 (продолжение)
^fc^-^n+i-fc Ak = An+i-k
хк = \-хп+1_к | Ак=Ап+1_к |
а =
0,50000000
О,25000000
о,14644661
50000000
о, 95491503 (-О
34549150
о, 66987298 (—1)
25000000
50000000
о,495155б6(-1)
18825510
38873953
о, 38060234 (—1)
14644661
30865828
50000000
о, 30153690 (-0
11697778
25000000
41317591
о,50000000
о,26163435
о,15767340
50000000
,10471529
35059642
О
о,74393454(
25659975
50000О00
о, 55498888 (-1)
19492190
39153126
о, 42958371 (-О
15267109
31275975
50000000
о, 34221047 (-О
12261436
25459925
41492482
0,5
10,39269908
Р,19634954
|о, 98174770 (-
19634954
|о, 54269678 (-
14207986
|о, 32724924 (-
98174770(-
13089969
|о, 21122173(-
68583264(-
106644Ю
|о, 14377362 (-
4^087385 (-
83797408(-
9817477о(-
0, 1Э208237(-
36056400(-
65449»47(-
84635057(-
0,7
0,27694303
к 13847152
(о, 67137705 (
14266762
|о, 35666906С
10280461
|о, 20646402 (-
69674792(-
96300645!-
|о, 128и6з5(-
47448б24(-
78211257 (-
|о, 84029226 (-
33034726(-
60675461(-
72716814(-
|о, 57б27б32(-
2359593$(-
46565253(-
6254755Н-
-1)
-О
-О
-О
-О
-О
-О
-О
-2)
-О
-О
■1)
-2)
-1)
-1)
-1)
о, 50000000
о,25602498
о, 15219583
50000000
о,10018032
34810842
0,707328911—l)
25336710
50000000
о, 52530252 (—О
19164388
39016204
О, 40521122(-_l)
14960145
31074270
50000000
О, 32192б12(—1)
11982808
25233231
41406372
:0,6
|о, 32936512
|о, 16468256
8юз4275(-1)
16729657
43887455 (-1)
12079510
259i68i4(—1)
82640445 (-1)
11225060
|о, 16395531 (-1)
56983007 (-1)
91304022(—1)
|о,Ю951552 (-О
4021 з 907 (-О
71276456 (-1)
84481288(_ 1)
о, 76401822 (—2)
29121440(—1)
55174233 (-D
727гб705(—1
а = 0,8
о 150000000
0,26687380
о,16290007
50000000
о,10910418
35296578
о,77971287(-
25970680
50000000
о,58421542(-
19809524
39285045
о,4537н68(-
15565947
31471302
50000000
о, 36237880 (
12533908
25680389
41576052
-1)
-О
-О
-О
233379Н
П668956'
55808049 (-1)
12176301
29ПЗЗб4(
87576193(
1б53478о(
58829147(
82651259С
[о, Ю0713б7(—
39589|8о(-
67028810 (_
|о, 64899751 (—:
27206036 (_
51690411(—
б2боб2бэ( :
к 43774642(
19175 *65 (-:
39341960 (-:
53794167 (-

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ВИДА
1
189
(1— x)*j(x)dx
п
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
к
1
1
1
2
1
2
1
2
3
Г
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
1
2
1 .1
2
1
2
3
1
2
3
1
г
3
4 ]
i
3
i.
| *fr=i-.xn-|-i-fc
Ак =-= Ап+1-К
а = 0,9
о,50000000
0,27178227
0,16789442
50000000
к И335425
35522566
о, 81468711 (—1)
26269631
50000000
о,б1298437(-0
20116951
39412258
к 47758875 (-0
15857025
31660583
50000000
о, 3824215 J (—О
12800458
! 25894909
I 41657203
а =
о,50000000
о,28073549
о,17725139
50000000
о, 12146484
35944890
о, 88231бц(—1)
26835138
5000000Э
о, 66916461 (—1)
20704123
39653640
o,52457i87(-i)
16417250
32022221
50000000
0,42209859 (—1)
13316661
26307171
1 41812705
0,19705138
0, 98525691 (—1)
0,46526021с—1)
10399934
о, 2з857148(—О
74668543 (-1)
о, 13305005 (—1)
49738559^-0
70964256!—1)
0,79603281 (—2)
33093623 (-1)
5747i74o(-i)
0, 5042б1Ц(—2)
22458515 (-О
44067364 (-О
53944^2 (-1)
0,33466668 (—2)
15б2731б(—1)
33272920(—1)
46278788 с—1)
1 1
1,1
0,14118557
о, 70592785 (-О
о, 32581285 с—1)
76022999 (—1)
о, i6i84586(—1)
544°8i98(—О
0,87232128 с—2)
35683872 (-1)
52371399(—О
0,50450917 (-2)
23242110(—1)
42305583 (-1)
0,309323 И (-2)
15402762 (—1)
32091568 (—1)
40010448 С—1)
0, 19901552(—2)
Ю45 7966 (~~1)
23Й64298Н1)
34278зб5(—1)
Таблица 4 (продолжение
А-й = 1-лп+1_к
Ак = Ап+1-к
а = 1,0
о,5осооооо
0,27639320
0,17267316
50000000
0,11747234
35738424
о, 84888052 с—1)
26557560
50000000
о, 64129926С—1)
20414991
39535039
0, 50121002 (—1)
16Ц0686
31844127
50000000
о, 40233046 (—1)
13061307
26103752
1 4173*052
а =
о,50000000
0,28483426
о,18164273
50000000
0,12533777
36142626
о, 9150167З (-1)
27102978
50000000
0,69658580с— 1)
20984792
39768294
о, 54767175 (-О
16687016
32195131
50000000
|о,4417199*(—О
13566718
26505398
41887261
0,16666667
о, 83333333 (-О
о, 38888889 (—1)
88888889 (-1)
о, 19б18739(—О
637Ц594 (-О
0, 107522Ю(—1)
42Ю4933 (-О
60952381 (—1)
0,63229471 (-2)
277н5б7(—О
49298820 с—1)
о,3939525о(-2)
18580051 (—1)
З7593803 (-1)
46439909!—1)
0,25737б20 (—2)
127б34бз(—О
28167069с—1)
39824039 (-1)
1 Г»
1,2
0,11976682
о, 59883412 (-1)
о, 27354151 (-О
65058522 с—1)
о, 13390031 (—1)
46493381 (-1)
0, 71023б31(— 2)
30274317 (—О
45О134б4(-0
о,40421949(—2)
19522685 С—1)
363i8532(-i)
0,24399951 (-2)
12793162 (—1)
274П05б(—1)
34478398(~i)
0, I546638I (—2)
85850756с— 2)
20239497 (—1)
29512201 (—1)
к
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
i__
п
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8

190
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 4 (продолжение)
\ п \ к
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4 I
5
6
1 7
8
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
з
4
1
2
4
| *fr = i-*n-M-fc
а =
о,50000000
0,28871144
0,18585957
50000000
о, 12909676
36332232
о, 94700459 (—0
27361642
50000000
о, 72356883 (-1)
21257413
39879214
0,57050805 (-1)
16950268
32363108
50000000
о, 46118961 (—1)
13811665
26698657
41959З16
а =
о, 50000000
о,29587585
0,19381378
50000000
0,13629380
36689176
о,10089289
27853477
50000000
о, 77624698 (—1) 1
21780026
40090634
0,61538741 (-1) I
17458274
32685170
50000000
о, 49965758 (-1)
14286921
27071085
42099^66
| Ак = Ап+\-к
1,3
|о, 10172540
0,508627001—1)
о, 23009317 (—0
55706767 (-1)
о, 11107061 (—1)
39755640 (-1)
0,58015875 (—2)
257Ю341 (—0
38701544 (-0
0,32510304 (—2)
| i642i372(—1)
ЗИ90299(—0
о,19329519(—2)
10644660 (—1)
23426460 (_1)
29717257 (-О
0,12075757 (-2)
70б2б705(—2)
17177733 (-D
25414721 (-1)
1,5
о, 73631078 (-1)
о,з6815539(-0
о, 16362462 (—i)
4O906i54(-O
0, 76960238(—2)|
29П9515(-1)
о, 3905i827(— 2)
18593202 с—1)!
28634308 (-i)j
0,21247201 (—2)
Иббзо45(—О
23027774 (—1);
0,12272233 (—2)1
74058417(—2)
I7i378i2(-i)
22089323 (—1)
0, 74556115 (-3)
48082392 (—2)
12401679 (—1)
iS86oo6o(—\)\\
\х к =*{—xn+l—k
а =
|о, 50000000
0,29238630
о,18991316
50оооооо
0,13274712
36514251
р,97830155(-0
27611650 ,
5°оооооо
о, 75012025 (—1)
21522372
39986599
о, 59307998 (-1)
17207271
32526382
5°оооооо
о, 48050330 (—1)
14051676
26887154
1 42030457
а —
о,50000000
0,29919517
о, 19757081
50000000
0,13974151
36857457 |
о,10389073
28087565
50000000
о, 8oi95627(- 1)
22030712 j
40191488 ;
0,63743083 (—1)
1770351З I
32839677 |
50000000 j
0, 5186496" (-1)
14517559
27250635 1
4216^322 |
Ак =■ Ап+ \-к
1,4
о, 86500539 (—О
о,4325027о(—1)
о, 19388052 (—1)
47724435 (-О
о,92354Ю5(-2)
34014859 (-0
0,47532823 (-2)
21854б2о(—1)
33284735(-0
о,2б239378(—2)
13830745 (-О
26795587 (-О
о,153735Н (-2)
88718057 (—2)
20031827 (—1)
25618571 (—1)
о, 94693840 (—3)
58219233 (—2)
Ч59°ЗЗо(—О
2189Ю78(—1)
1 с
1,6
0, б273б213(—1)
0,з13б8ю7(—1)
о, 13828950 (—0
35078313 (-1)
o,6426i858(—2)
24941921 (-1)
0, 321бб17б(—2)
15831301 (—1)
24б4037б(—1)
0, 1725б9б2(— 2)
98463594 (-2)
19796051 (-1)
э, 98302296 (—з)
61912530(—2)
14668980 (_i)
19049702 (_i)
э. ?8922895(—3)
39781499 (—2)
10548632 (—1)
16252096 (—iv
1 h
п
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
i

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ВЦ
»5
191
**(1 —x)*f(x)dx
п 1 к
1
2
3
4
5
6
7
8
1
I 2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
2
1
2
1
2
3
i
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
1 3
4
^^-^'nfi-fc |
а ==
о, 50ЭЭ00ЭЭ
о, 30235765
0,20119285
500000ЭЭ
о, 14309463
37019505
о, 10682568
28314323
50000000
о, 82725556(-0
22274744
40289322
о,б592Ш9(—О
179432Ю
32990092
50000000
о,53747714(-1)
4743742
27425)7$
42231 >98
а =
о, 50000000
о, 30825875
о,20806290
50000000
о, 14953343
37326376
о, 11251464
28747331
50000000
0,87665471 (-О
22744005
40476509
о, 70198879 (-1)
18406806
33279352
50000000
о, 57463203 (-0
15183312
| 27764683
1 42357о82
Ак :_я лп+1-ь-
1,7
о, 53500358(-1)
о, 26750179 (—О
о, 11703203 (—1)
30093952 (-1)
0,53758712 (-2)
213743°8(—О
о, 2б5574б8(—2)
13489897 (-О
21209071 (—1)
0,Ц055б34 (-2)
83215965 (—2)
1702зо19(—1)
о, 78994Н4 (-3)
51830723 (—2)
12561564с—1)
16431203 (—1)
о,4б732бзэ(-з)
32969230 (—2)
89783665 (—2)
ЦО07564 (—1)
1,9
о, 38999753 (—0
о, 19499876 (-1)
о,841171Ц(—2)
22176330(—1)
0,378И991 (—2)
15718б77(-1)
0, 18220б71 (—2)
98152923 (— 2)
15725034 (—1)
о, 93966368 (—з)
59б15919(-2)
12598621 (—1)
0,51461542(^3)
36465685 (-2)
92234ОЦ (—2)
12230582 (—1)
о, 29684481 (—3)
22751308 (—2)
65163188I—2)
10411582 (—1)
Таблица 4 (продолжение)
| Хк=*-хп{А-к
| а =
о,50000000
0,30537526
0,20468779
50000000
о,14б3573о
37175697
0,10969965
28534128
5°оооооо
о,85215248(-1)
22512417
40384283
о, 68072992 (—1)
18177574
33136595
5°ооооэо
о, 55613839 (-0
14965613
27597274
II 42295463
а =
о, 50000000
о, 31101776
'0,21132486
1 50000000
о,15262670
37471860
0,11527234
II 28954260
| 50000000
о, 90077002 (—1)
22969768
1 40566129
о, 72298987 (-1)
18631093
33418522
5°оооооо
о, 59295712 (—1)
15396969
27928351
42418417
Ак = Ап±1-к
1,8
о, 45661131 (—1)
о, 22830565 (—1)
0,991бЗОб2 (—2)
25828518с—1)
0,45049753 (-2)
18з2559°(—1)
о, 21975об7(—2)
11502978 (—1)
182б01б2(—1)
0, И478309 (—2)
704ОО75О (—2)
Цб42б59(—О
о, 63669032 (—з)
43447659 (-2)
10761607 (_1)
14175°о4(—О
о,3718753о(-3)
27367Ц1 (-2)
76466346 (—2)
12075341 (-О
2,0
о, 33333333 (-0
о, 16666667 (—О
0,71428571 (—2)
19047б19(—О
о, 31784202(—2)
13488247(—О
о, 15136647с—2)
83805152с—2)
13544974(-0
о,77Ю214б(—3)
50528707 (—2)
10842775 (-О
о, 41704 б79(—3)
30641649 (—2)
79081926 (—2)
Ю554525(-1)
о, 23765011 (—3)
18941120(— 2)
55562438 (-2)
89786638 (—2)
к
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
! 4
1
1
1
2
1
2
1
1 2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
14
п
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8

192
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
п
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
1 к
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4 |
| *fc=l-.vn_j-i_fc
а =
о, 50000000
0,31366100
0,21447988
50000000
0,15564058
37612441
о, И797455
29155218
500000оо
o,9245o6i8(—1)
23189950
40653263
°,74373552(-i)
18850613
33554254
50000000
o,6ini3o}(—1)
15606710
28088417
42477725
а =
о, 50000000
0,31863094
0,22049150
50000000
о, 16144308
37879952
о, 12321922
29540338 I
50000000
о, 97087194 (-О
2361447З
40820520
о, 78447097 (-0
19276023
33815955
50000000
о, б4б91б75(—1)
16014919
28398261
42592280
Таблица 4 (продолжение)
| АН = Ап-|-1-Ь [| хк =l-*n+i-fc
2,1
0,28508625 с—1)
Р, 14254312(-1)
0, 60712812 (—2)
1бЗбб0б2( —l)
0,26754296 (—2)
И57888з(-1)
Р, 12597Н9(—2)
71597404 (-2)
п6б97Ц(—О
Р, 63401343 (-3)
42863IOI (—2)
93339888(^2)
о, 33881825 (-з)
25776425 (-2)
! 67830908 (_2)
91095216 (_2)
о, 19078799 (—3)
15790495 (-2)
47401930 (—2)
77442818 (-2)
а =
о, 50000000
0,31619634
о,21753366
5ооооо°о
0,15857834
37748388
о, 12062297
29350489
5°оооооо*
о, 94787092(-0
23404780
40738025
0,76422830 (—1)
190655З6
33686688
50°ооооо
о, 62909963 (—О
15812655
28245011
1 42535662
2,3 а =
о, 20890038 (—1)
о, 10445019 (-0
0,43979027 (—2)
12094232 (-1)
о, 19028431 (-2)
85421757 (-2)
о, 87679326(-3)
52344590 (-2)
86675332 (-2)
о, 43127686 (-з)
3°917522(_2)
69219898 (—2)
о,22517940 (-3)
18297593 (-2)
4995б522(—3)
67888560 (—2)
о, 12391699 (-3)
1101б232(— 2)
34553441 (-2)
57641345 (-2) J]
о, 50000000
о, 32097128
0,22335833
50000000
о, 16423772
38007363
о, 12576489
29725014
50000000
о, 9935i686(—1)
23819235
40900848
о, 80446643 (—-1)
19482227
33942182
50000000
о, 66456466 (—1)
1б2ПЬ11
28548283
42647628
Ак = An+i_K
2,2
о, 24396946 (-О
о, 1219847З (-О
0,51651191 (-2)
14066707 (—1)
0,22549462 (—2)
99435266 (—2)
0, 10501299 (—2)
61202433 С—2)
юо5б199(—1)
о, 5224ю86(—з)
36389706 (—2)
80370913 (—2)
о, 27590973 (-3)
21706561 (—2)
58201599 (—2)
78634942 (—2)
о,1535б855(-3)
13180969 (—2)
40460942 (—2)
66807132 (—2)
2,4
о, 17896663 (—1)
0,89483317 (-2)
0,37475919 (-2)
10401480 (—1)
0,16075365 (—2)
73407952 (-2)
о, 73315165 (-3)
44791384 (-2)
74720832 (—2)
о, 35668352 (-3)
26287232 (—2)
59629249 (-2)
о, 18416172с—3)
154З8665 (—2)
42893648 (—2)
58618764 (—2)
о, 10022601 (—3)
92178051(-3)
29522471 (—2)
4Э7*0780 (—2)
1 fc 1 "
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ВИДА
1
) х« (1 — х\
193
)al(x)dx
Таблица 4 (продолжение)
хк = {-хп+\-к Ак= An+i-ft *fc = l-*n-|-l-fr Afc = An-f-l-?c
о, 50000000
о, 32322330
0,22613872
50000000
о, 1*6696503
38130835
о,12826150
29904748
50000000
0,10158132
24019258
40979102
о, 82421773 (-1)
19684292
34065485
50000000
о, 68204380 (—1)
16408837
28695192
42701753
а =
о,50000000
0,32748361
0,23145692
50000000
о,17222801
38366744
о,133ПЗЗо
30250251
50000000
о, 10593898
24405803
4И29734
о, 86300044 (—1)
20076556
34303764
50000000
2,5
к 153398°8(
о, 76699039 (
к 31957933(
-О
-2)
-2)
[9482213 (-2)
о,71649843(-
16789290
28580094
428065Ю
-1)
|о, 135950П (-
63104028(-
,б1з89б71(~
38з4б47б(-
64427193(-
,29549443(-
223657З9(-
51378356(-
,15091445(-
13038230(_
Зб8409§2(~
506213661-
|o,8i245428(-
77215919(-
25235474(-
42929519(-
2,7
к 11285232(-
о, 56426159 (-
!о, 23286986 (-
66278346(-
к 97519490(-
46674210(_
>432о9328(-
2»143°55(-
47924342(-
,20377°94(-
1б2217Ю(-
38166740(-
о,10190619(-
93226822(-
27201783(-
377^52б5(-
|о, 53722072(-
54354122(-
18462421(-
31991Ю5(-
о, 50000000
о, 32539243
о,22883693
50000000
о,16962763
38250567
о, 1307Ю49
30079759
50000000
о, Ю377684
24214723
41055370
о, 84372799 (-
19882358
34185977
50000000
о, 69935479 (-
16600698
28839095
42754700
о,50000000
0,32950141
0,23400241
50000000
0,17476852
3^479539
0,13547126
30416417
50000000
0,10806846
24592662
41202272
0,88203835("
20267013
34418944
50000000
1 = 2,6
о, 131543б7(
О
,0, 65771836 (-2)
2)
о,733475б4(
16974707
29118286
42857224
о,27271249 (-
77001174(-
о, 11508840 (-
j 542б2997(-
о,5Ц71537(-
32843867(-
5556i632(-
о, 24519677 (-
I 19041673(-
| 44278196(-
1)'о, 12390202 (-
1Ю20505(-
3i65i997(-
43720628(-
■1) о, 65999098 (
! 64751344(
21580394(
3705б317(
2,8
о, 96856944
о, 48428472
|о, 19896969
57063006
|о, 82705790
4015789З
0,36315922
24124998
41343763
о, 16958889
1382754З
32905040
к 83957378
78926058
23383787
32625010
к 43812839
45670774
15801272
27621994
■о
-о
-2)
-2)
-2)
~2)
-з)
-2)
~3!
-2)
-2)
-3)
-2)
-2)
-4)
-3)
-2)
-2)
-4)
-з)
-2)
-2*
7 В. И. Крылов, Л. Т, Шульгина

194
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
п
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
к
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4 1
т
*К = ^^n+l-fr
а =
о, 5°оооооо
о, 33145003
о, 23647686
5°оооооо
о, 17725139
38589113
о, 13778569
30578436
5°оооооо
! о, 11016598
24775454
41273059
о, 90084504 (-1)
20453848
34531615
50000000
о, 75028748 (-1) J
17157036
29253764
42906879 '
а =
о, 50000000
о, 33333333
о, 23888352
50000000
о, 17967874
38695617
о, 14005785
30736481
50000000
0, 1122^224
24954325
41342162
0,91942388(^1)
20657175
34641866
50000000
°>7бб93513(-1)
17П6364
29386617
42955513
а б л и ц a 4 (продолжение)
Afc =» Ап+1_к I
2,9
o,83i6i237(-2)
о,41580619 (—2)
0,17010253 (-2)
49Ц0731(-2)
o,7020i 045 (-3)
34560514 (-2)
о,3055б154(-3)
20688738 (—2)
35672531 (-2)
о, Ц133454(-3)
И79338о(-2)
2837389З (-2)
0,69281537 (-4)
66868981 (-3)
20107071 (—2)
28187669 (—2)
0,35796862 (-4)
384Ю334-3)
13528904 (-2)
23852712 (-2)
3,0
0,7Ц28571 (-2)
0,35714286 (-2)
0,Ц5502б5 (-2)
42328042 (—2)
о,59б3409о(-3)
29750877 (-2)
о,2573б95б(-3)
17748575 (-2)
30784031 (-2)
о, 11794114(-3)
Ю063875 (—2)
2447Юоо(—2)
0,57258916 (-4)
56694293 (-3)
17293969 (—2)
24356596 (-2)
0,29298611 (—4)
32332878(-з)
1158^611(—2)
206004OI (—2)

ФУНКЦИИ, ИМЕЮЩИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ 195
Таблица 5. Интегрирование функций, имеющих логарифмические и
степенные особенности:
1 п
О К*=1
11112 3 4
•в±-Г' ±Т> ±Х- ±Т- ±Т- ±ТГ' iT5*-0^5-
Степень точности 2/2—1. Глава 3, § 1 и 2.
Литература: К р ы л о в В. И., П а л ь ц е в А. А. [1—2].
4 3
а = —1
« — 4
п
1
2
3
4
5
6
7
8
*fc
о, 0509259259259З
о, 01723829857222
о, 626Ц43022021
0,00878135176244
о, 3307774179966
о, 8281918381364
0,00536785774135
о, 1956869110488
о, 568582600901
о, 903486864283
0,00363991775512
о, 132968347933
о, 399074027891
о, 708020514927
0,938638030938
о, 002639703745
о, 09475782270
0,29204497 ц
о,54677^2215
о,7917958254
о,957бб53428
о, 00200673З7
0,070914981
0,22187196
о, 42830589
о, 65091582
0,84491512
о,96907140
0,001579791
о, 05505989
о, i738pi
о, 3420859
о,5354877
0,7248555
о, 8803597
0,9764313
А*
30, 00000000000
28,34568851082
1,654311489175
26,9433631789
2,49350036735
о, 563136453754
25,827115474
2,9239428602
0,96485487399 i
0,28408679153
24*914512349
3.1718164353
1, 2274462304
0,51436619725
0,17185870814
24,1478797
3,324713Ц 1
1,40975292
о, 680834З38
о,321400925
0,115418986
23,48961
3,423088
1, 5409П
о, 8076978
0,4348885
о,2208344
о, 08296904
22' 9J45
3,48786
1,63797
о, 906464
о, 526032
о, 303026
о, 161589
о,0625671
Ч
о, 07200000000000
0,02438287159052
о,6372328548805
0,01238910143363
о,3390200809811
0,8312011487993
0,007553848473127
0,2057103471707
о,5733703576845
о,904767370674
0,00511075638311
0,137386119244
о, 403б947Ц4б1
о, 710797664199
0,939288191653
о, 003699203409
о, 09809З75077
о, 2960483693З
0,55000985123
о,79349938184
о,95803758779
0,00280745447
0,0735097734
о, 225249299
0,431480497
0,65317647?
о, 846020676
о, 96930З488
о, 0022068967
о, 05713059°
о,17669З59
о,345oi2o5
о,53792563
о,72646829
о, 88ni27o
о,97658544
Ч 1
20, 00000000000 1
18,44604292379
1J553957076211
17,17238349564
2,281856853229
о,545759б5П35о
16,1841142665
2,61771993315
0,919760082275
0,278405718113
15,392359347
2,7883518259
1,1513671198
о, 49857309038
0,16934861678
14,7383П38
2, 87786Ю40
1,303448994
о, 6520092405
0,3142709621
0,1140983792
14,184686
2,9235065
1,4об5737
о, 76465938
0,42131286
о, 21707030
о, 082190842
13,70698
2,943785
1,478123 !
о, 849082
о, 504888
о, 295652
о, 159380
о, 0620706

196
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 5 (продолжение)
п
1
2
3
4
5
6
7
8
1
i
а = —
Ч
о, ю937500°оооо
о,037376786629618
0,65185398260115
0,018988243981934
0,3526282496977
0,8360742455061
0,01155867830387
0,2157432853881
о, 5812229589478
о, 9068534466922
0,0078060828015
о,Н478572бз51
о,4Н325754513
0,715355489648
o,94035i759486
о, 005640262764
о, 10370191918
о, 30269053275
о,55534258806
о, 79629928654
о,95864829669
о, 00427374923
о, 0778823929
о, 230869715
о,43673З422
о, 656904819
о,847840303
о,969685064
0,0033546487
о,о6эб25934
о,18143258
о,34986565
о,54195654
0,72912944
0,88235356
0,97683926
2
J3
Aft
12,00000000000
10,59396155609
1,406038443914
9,500492103659
1,980928270966
0, 518579625374
8,68625718714
2,19334735551
0, 85107543160
0,269320025755
8,0551484232
2, 2679227799
1,0378314834
0,4738083l6l5
0,16528899735
7, 547958539
2,282100594
1,147544229
0,6075361159
0,3029120202
0,1119485019
7,1286314
2,2677132
1,2125530
0, 6992027
0, 39996663
0,21101453
0,080918531
6,774i69
2, 239367
1, 250409
0, 7629406
0, 4720374
0,2840185
0,155*04
0,06125640
а = -
хк
0,18518518518519
о, 065553792879546
0,67869929869165
0,033583341171831
0,3788161515100
о,8452014939278
0,02049128913039
0,2354730483855
о,596306102496
0,910817378279
0,0138439020825
о, 159509502778
о,426191869524
0,724145452489
0,942392135100
о,009998966416
0,1149446145
0,3157466552
0,5657272491
о, 801722243?
о, 9598276833
10,00757104837
0,0866930215
i 0, 241985652
0,447031697
0,664176240
0,851377615
0,970425518
0,005937844
0,06769490
0,1908472
0,3594279
0, 549«586
0,7343293
0,8847731
0,9773336
1
"2
Ак
6, 0000000000000
4,8293343961102
1,1706656038898
4,000882927580
1,528582861726
о,470534210694
3,43029868424
1,58230753068
о, 734810943900
0,252582841187
3»0153933729
1, 5450646140
о,85224832789
0,42964431234
о, 15764937281
2,69936628
1,47994839
0,900358328
0,530415483
о, 282060894
о,107850626
2,4498655
1,4085742
0,91319509
о, 58853436
о,36166293
о,19969512
о,078472797
2, 24732
1,3388о
о, 907591
о, 620653
о, 414325
о, 262605
о, Ц9°31
о, 0596820

ФУНКЦИИ, ИМЕЮЩИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ 197
Таблица 5
а = -
(продолжение)
Ч
о, 25600000000000
о,094764434768744
о,70232832648792
0,04923208849711
0,40338447б5985
о,8534960780077
о, 03022242233854
о, 254525623468
0,610487999358
о,9Ц4974823оо
о,020480991468
о, 17396380754
о,44044245455
о,73247287232
0,94431307484
0,0148175377
о,126098593
о, 328417854
о, 575697243
о, 806895442
0,960948810
0,011230223
0,095498145
о,25286644
о, 4570Ю79
о,б7П7933
0,85477! 18
о,97П343б
0,00881235
о, 0747972
О, 200120
о, 368757
о, 557523
о,739354
о, 887105
о,9778о9
Ч
ч
3,7500000000000
2,7548233974104
0,99517660258961
2,10684245024
I,2i337t92047
о,429785629288
1,6920572168
1,17912б9233
0,64120030909
0,23761555084
1,408335151
1,090092023
0,7092818866
0,3916675737
о,1506233651
1,2031656
о,99563795
0,71732092
0,46640521
о,26345344
о,10401692
048309
9087485
6993399
4996405
3284494
1893539
07615844
о, 92748
о, 83209
о, 67058
о, 50980
о, 36563
0,2435°
о, 14275
0,058180
о,288б29737бо933
о,10937037232223
0,71303681348344
0,05727552603071
0,4150490566319
0,8573500969319
0,0352921656989
о,263768619794
о, 617244805813
0,916235527638
0,023966137203
о, 18106368961
о,44733053202
о,73646534682
о,945230028i9
0,0173607250
о, 131621560
о,334599658
о, 580525048
о, 809389305
о, 96Ц87945
0,013168354
0,099882523
о,25820916
0,4618768
о, 6745796
0,8564144
о, 97Н771
0,01033881
о,07834819
о,2046952
о,3733292
о,5612645
о, 74J-7994
0,8882381
с, 9780403
3, циннии
2, 18726349445
0,923847б1б97б4
1,б0830595б02
1,09108387136
0,411721283722
1,2504457395
1,0287630456
0,60117460737
о, 23072771863
1,012811738
о, 9262443425
0,6500675951
о,3746634743
о, 1473239610
0,84527417
о,82659730
о, 64368029
0,43846693
о,25489847
о, Ю219395
0,721582
0,739142
0,615566
о, 461762
о, 313493
о, 184518
о,0750486
о, 626929
о, 664489
о,579986
о, 463619
о,344141
о,234720
о, 139771
0,0574553

198
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Ое-
Таблица 5 (продолжение)
а=0
п
1
2
3
4
5
6
7
1 __._ -
Ч
о, 30727023319616
о, 11808157491602
о, 71913744239%
0,06214523550649
0,1218544062404
0,8595745138464
о, 0383845677510
о, 269222163656
0,621195414841
о, 917247242934
0,02610141041
о, 1852802664
0,4513883312
0,9457667819
о, 7388076202
0,0189234081
о, 134915626
о, 338259224
о, 583З72207
о, 810856675
о, 961804768
0,01436168
0,1025053
0,2613828
о, 4647570
о, 6765879
о, 8573836
.0,9716790
0,0112801
о, 0804771
о, 207420
о, 376043
о, 563480
о| 888908
0,978177
Ч
2, 8125000000000
1,927236033З72
о,8852639666283
1,38452815396
1, О264З788776
о,401533958290
1,0558832153
о,95083955367
0,57900711696
0,22677011407
0,841435221
о,842829140
o,6i77993i8
о, Ц5408543
о, 365027779
о, 69249996
0,74190228
0,60414288
0,42284081
0,24998526
о,10112880
о,583974
o,65538i
о,5712оо
о, 440836
о, 304995
0,i8i7i7
о, 0743973
о, 501*88
о, 58280
о, 53261
о, 43840
о, 33206
0, 22968
о, 13804
о, 057029
*»
о, 37500000000000
о,15226872653042
0,74134829474617
0,08179801956147
0,4476896175330
0,8678622606315
0,0510435826208
1 0,290349870283
0,636257848291
0,921074497348
0,03491731795
0,2018124881
0,4670717607
0,9478179175
о,7477939бо1
0,0254118543
0,147932805
0,352530320
0,594399766
0,816516768
0,963024076
0,019336386
0,11292733
0,27383651
0,47598784
0,68438787
0,86113816
0,97246039
0,01 £21565
| 0,08897148
о, 2181604
о, 3866775
0,5721317
о, 7488795
0,8915109
о,9787066
Ч
2,0000000000000
1,2437990197345
0,7562009802655
о, 816532355478
о, 818419858107
0,365047786415
0,57735188187
0,70845547716
о, 50205875473
0,21213388618
0,431530095
о,59П23192
о,508902554
о,138195246
0,330248913
о, ЗЗ603426
0,49320389
0,47413029
о, 36772771
0,23183272
0,097071138
о, 2699387
0,4153877
о, 4287540
о, 3686273
0,2741889
о, 1712071
о, 07189647 .
о, 222176
о, 353883
о, 383815
о, 353169
о, 289048
0, 21ЮбО
о, 13Ц67
0,0553812

ФУНКЦИИ, ИМЕЮЩИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ OGOBEHHOQTH 199
п
1
2
3
4
5
6
7
8
а =
хь
0,43275732531931
0,18506084106268
0,76052542714377
0,1014906621320
0,474617022343
о, 875276065485°
о, 0640180249859
о, 310410063243
о, 650217655375
о, 924579401433
о, 04407742423
о,2178052327
0,4819182699
о, 7562048674
о, 94972бооз5
0,0322154837
о, 160681491
о, 366229824
0,604875237
0,821859411
0,964170965
о, 02458677
о,1232238
1 о, 2859107
i 0, 4867695
0, 6918302
0,8647065
0,9732014
о,0193896
0,0974181
0,228650
0, 396967
0, 580454
0, 754277
0, 893999
0, 979212
1
5
А*
1,5277777777778
0,87017834692829
о, 65759943°»4949
о,524673513164
0,668836019822
о,334268244793
о, 34496775575
о, 54342070577
о,44020924309
о,19918007316
о, 242274894
0,428072021
0,42519484*
о, 300603372
0,131632649
о, 17872422
0,33924180
0,37827172
0,32242745
0,21579893
0,093313651
0,136881
0,272823
0,32-773°
о,ЗП307
о,247782
о, 161703
0,0695521
о,10796
0,22293
о, 28203
о, 28772
0,25325
о, 19464
0,12542
0,053823
Таблица 5
а •
*к
0,44581618655693
о,19300946082648
0,76491118230257
о,106392288279
0,477106790713
0,877007616691
0,067292634410 '
0,31526455401
о. 65354784289
о, 92540956040
о,04640906242
0.2217195757
0,4855056837
0,7582234119
j 0,9501822434
0,0339572067
0,163825441
0,369568369
0,607412007
0,823148228
0,964447043
0,025936358
0,12577666
0,28887082
0,48939723
1 0,69363741
1 0,86557095
о,97338об2
0,0204658
0,0995206
0,231233
о,399487
0,582484
0,755591
0,894603
о,979335
(продолжение)
"4
Ак
1,4400000000000
о,8оз454П91584
0,6365458808410
о,47463428786
о, 63804619846 j
0,32731951368 j
0,3065957716
0,5105842511
0,42664707ЗЗ
0,1961729040
0,212067047
0, 396636088
0,407ЗЗ7092
0,293875671
0,130084101
0,154З7187
0,31040709
0,35834672 1
o,3i2374i3
0,21208261
о, 092417576
0,1168464
0,2468251
°»3°7^391
о,2988584
0,2417732
о, 1594688 1
о, 06898894 |
1 0,091193 I
0,19963
0,26185
о, 27380 1
°,24525
о, 19084 |
| о,12399 !
о,о53447
L

200
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
« = з
Таблица 5 (продолжение)
1
0t = о
Ч
хк
Ч
о, 46647230320700
0,20602518633858
0,77189494884836
о,1145290746316
о,4862659779174
о,8797938637866
о, 072768308340
о,32321723699
о, 65896400990
о,92675483650
о, 05032553280
0,2281697636
0,4913786438
0,7615164580
0,9509251507
0,0368917146
о, 169026512
о, 375057994
0,611569722
0,825256384
о, 964898140
0,028215176
о,13001171
о, 29375357
o,4937i85i
о, 69660356
о, 86698797
о, 973б7427
о, 0222859
о, 103016
0,235504
о, 403641
о, 585826
о, 757751
о, 895596
о, 979537
1, 3125000000000
0,70840898200026
0,60409101799974
о, 4°47512°6833
о, 59Ц26197890
0,316322595277
о,2539703044
0,4616884337
о,4054928947
о, 1913483673
о, 171308166
о, 350545001
о, 379862629
о, 283204854
о, 127579350*
о, 12199098.
о, 26872755
о, 32808750
0,29660760
о, 20612597
о, 090960402
0,09055620
о, 2097342
о, 2764988
о,2795472
0,2322316
о, 1558624
о, 06806961
о, 0691.52
о, 16679
0,23193
о, 25242
О, 23266
о, 18475
О, 12166
о, 052830
о, 50400000000000
0,2311727938478
о,7847500248170
о,1306458367817
о,503б9?977бзб1
0,8850189436936
о,0837605633758
о,3386204966684
0,66931827457е1
о, 9293098508799
о, 05825361783
о, 2407973368
0,5027411583
о,7678472209
о, 9523484764
о,0428658046
о, 179282335
о, 385764728
0,619630765
о, 829328906
о, 965767823
0,03287344
о,1384059
0,3033318
о,5021482
о,7023694
о, 8697362
0,9742431
о, 0260180
о, Ю9971
о, 243918
0,411783
о, 592354
о, 761960
о, 897528
о,979928
1, iiuuiillll
0,563506688078
о, 547604423033
о, 301965461216
о, 512849512566
о, 296296137329
о, 179079171906
о, 38172234784°
0,367961571865
о, 182348019500
о, 1Ц999409
о, 277251608
0,332316292
о, 263705843
о, 122837959
0,078431846
0,20414115
о, 27694444
0,26838317
о, 19503527
0,088175226
о, 0560297
0,153607
о, 225686
о, 245659
0,214768
о, I49°6i
о, 0663004
0,041516
о, n8i6
о, 18348
0,21563
О, 21002
о, 17344
о, 11723
0,051639

ФУНКЦИИ, ИМЕЮЩИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ 201
п
1
2
3
4
5
6
7
8
а =
Ч
0, 537Ю937500000
0,25513975456739
о, 79629959240308
0,1465033926384
о, 5200373850796
о,8898249296142
о, 0947658240077
0,353383607174
о,679078496577
0,931698175057
0,06627811558
о, 2530688369
о, 5136180727
о,7738579693
0,9536938899
о, 0489577563 .
о, 189342826
о, 396121508
0,627368712
0,833219828
о,966596574
0,03764931
о, 1466960
о, 3126668
о,5103047
о,7079229
о, 8723754
о, 9747884
о, 0298601
о,116875
0,252166
о, 4197°8
о, 598679
о, 766026
о, 8^9392
о, 980306
2
:з
ч
о, 96000000000000
о, 4597950389336
о, 5002049610664
0,231868767604
о,449592978928
о, 278538253468
о, 13024663764
0,31984718464
о,ЗЗ578277643
о,17412340128
о, 0797467552
0,222615190
0,292856130
0,246357489 I
0,118424436
0,052145198
о, 15763528
0,23580164
0,24393715
о, 18493033
о,085550404
0,0358769
0,114466
о, i86ooi |
0,217068
о, 199208
о, 142762
о, 0646183
о, 025698 |
0,085231 |
0,14669
0,18537
0,19028
0, 16315
0,11308
0, 050498
Таблица 5
а
j Ч
0,55221637866266
0,2666864358904
0,8016427141525
0,1543206588070
0,5278260169668
о,892о8559П452
о, 100260299557
о,360535895545
0,683750971672
0,932834633121
0,07031662443
0,2590741773
о,5188836091
о,7767505326
0,9543392697
о, 052040566
о, 19430002
о,40И73бо
0,63112230
0,83510079
о, 96699645
о, 040075802
0,15080115
0,31724566
о, 5И28444
о,71062348
о, 87365605
о, 97505272
0,03181804
о,1203061
о, 2562281
0,4235916
о, 6017698
о, 7680087
о, 9002986
о, 9804894
(продолжение)
в4
а*
0,897959183*735
0,418678455987
о, 479280727687
о, 205065993702
0,422495913731
о,270397276240
о, И219715°68
0,29410378753
0,32138584411
о, 17027240135
0,0671142206
о, 20050537З
0,275618318
о, 238390730
о, 116330542
о,04298729
0,1392985
0,2182387
0,2329302
о, 1802105
0,08429401
о,02903405
0,09940133
о, 1694292
0,2044418
о, 1920595
о, 1397854
о, 06380798
0,0204523
о, 0728405
0,131638
0,172255
0,181364
о, 158360
о,И1Юз
о, 0499463

202
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
п
1
2
3
4
5
6
7
8 .
Ч
о,56086005830904
0,2734770575100
0,8047221513618
0,1589728154312
о,5323838166039
0,8933995238392
о, 103551830095
о,364756322424 !
о,686491262989
0,933499065790
0,07274613091
оэ 2626364016
0,5219896150
0,7784515309
0,9547181600
0,0539005211
о,197251060
0,404165539
0,633338799
о, 836209512
0,967231928
0,04154288
о, 1532513
0,3199651
0,5166417
0,7122203
0,8744124
о, 9752087
0,0330017
0,122358
0, 258646
0,425897
0,603601
0,769182
0,900835
0,980598
4
а = 5
Ак
0,8641975308642
о, 396700169ЗЗ2
0,467497361533
0,191002276345
о, 407468730483
о, 265726524036
0,10289005194
о, 28003563790
0,31322850206
о, 16803933896
0,060703431°
о,188597745 !
о,265971025
0,233817130
о, 115108200
о, 038406796
о, 12Q55452
о,20852607
0,22667549
о,17747744
0,083557217
0,0256565
о, 0914958
о, 160369
о, 197339
о, 187955
о, 138051
о, 0633312
0,017894
0,066415
о,12350
о, 16495
о,17629
о, 15559
о, Ю995
0,049621
Таблица 5
а =
хк
0,59259259259259
0,29963485045502
0,81617666786957
0.177275338оЗо8
о,54979»9435884 *
о, 8983598201929
0,11666141766
0,38112537135
о,69700357840
0,93603378339 i
о,08249754948
о,2765843628
о,5340297261
0,7850086407
0,9561743467
0,061406056
0,20888171
0,41584741
0,64194749
0,84050170
0,96814189
0,04748633
0,1629540
0,3306392
о» 5258478
0,7184366
0,8771507
0,9758141
0,0378217
0,130514
0,268174
о,434941
0,610763
о, 773761
0,902925
о, 981020
(продолжение)
= 1
Afc
о,75000000ООО0О0
°>3246359748705
0,4253640251295
0,146349259074
0,355162712492
о,248488028435
0,07421692084
0,2323575099
о,2837819690
о,1596436002
0,0414884816
о,149226450
0,231900513
о, 216926844
о,ио4577Ю
0,02501539
о, 09808471
; 0,1749434
0,2039959
о, 1672295
0,08073109
0, 01б002б
0,0бб5Ц0
о, 129669
0,172043
о, 172801
0,131478
0,0614917
0,010732
0,046509
0,096447 •
0,13938
0,15783
0,14522
0,10552
0,048359

ФУНКЦИИ. ИМЕЮЩИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ОСОБЕННОСТИ 203
п
1
2
3
4
5
6
7
8
!
а =
*к
°> 7031250000000
0,4091189149805
0,8582756472117
0,260963894968
0, 620904240201
0,917665273633
0,17979234737
0,45222741288
0,7406549031
0»94б31995027
0,131095712
0, ЗЗ9678338
0, 586260972
0,812791542
0,962266588
0,099729708
0, 26301767 •
0,46812123
0,67960759
0,85901696
0,97203716
0,07838585
0, 2090811
0, 3795161
0,5671020
0,7459068
0,8902185
0,9784519
0,0632207
0,169922
0,312585
0,476229
0, 643016
о,794192
о,912195
0,982888
= 2
<Ч
0,44444444444444
0,153522898038
0,290921546407
0,052601480774
0,20490482554
0,18693813813
0,02050825965
0,1088561577
0,18759З7738
0,1274862534
0,0090070456
0,056777404
0,13004345
0,15682641
0,091790141
0, 004360304
0, 03062039
0,08275118
0,1251826
0,1285267
0,06900338
0,00228352
0,0172552
0,0519423
0,0945671 !
0,119171
0,105558 1
0, 0536674
0, 0012751
0,010154
0, 032958
0, 066499
о, 096609
0,10656
0, 087502
0, 042888
Таблица 5
а
|
о, 76800000000000
o,4Qio785497i77
о» 0849942674688
0,331815061774
0,673011188721
0,930909120363
0,23740196803
0,50914381839
о, 77345438830
0,9537986623
о, 177737805
0' 393270754
0,628083041
о,834283719
0,966892371
1 0,13786740
о, 31099626
0,51194693
0,71014571
о,87371875
0,97509476
о, 1099844
0,2512846
о,4219Т74
о, 6017827
0,7685185
о, 9006658
о, 9805773
о, 0897508
о, 20б88о
o,352i8i I
0,511932
о, 670340
o,8ii255
о,919863
о,984425
(продолжение)
«3
*к
о,31250000000000
0,0928135307541
0,219686469246
0,025872934180
о,13729764617
о, 14932941964
0,008171565377
0,06213928777
о,1362808127
о,1059083341
о,0029344705
о,02737*751
о,082994414
о, 12076841
0,078425951
0,001176520
о, 01250373
о, ОД591424 1
0,08942707
о, Ю32757
о, 06020271
0,000517000
о, оо6оо/39
0,02^0331
0,0581760
о,0876195
о, 087563»
0,0475829
о, 00024520
о,0030384
0,013840
о, 036241
о, 064224
0, 082011
о, 074384
0,038514

204
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
« = 4
Таблииаб (продолжение)
а = 5
п
1
2
3
4
5
6
7
8
хк
0,81018518518518
0,5540220025252
0,9033760735169
0,391587638977
0,712743612547
о,9405335171°8
о, 28904479121
о, 55562075351
0,798)7212580
о, 95947П8624
0,221362624
о, 439!95об2
о, 662305672
0,851390389
0,970519572
о,17467375
о, 35360216
о,54919550
0,73540077
о, 88566722
о, 97755618
0,1412228
о,2898020
0,4590651
0,6113428
0,7874515
0,9093119
0,9823251
0,11648
0,24135
о, 38765
о,543Н
о,69378
0,82572
0,92631 I
о, 98571
Ч
о, 24000000000000
0,0640204739454
о, 175979526055
0,015207127592
о,10068799887
о, 12410487354
0,004044301122
о,04014069126
о, Ю53364329
о, 09047857482
0,0012252973
0,015383027
0,057783334
0,097199585
о, 068408758
0,000417325
о, 006099645
0,02843601
о, 06594537
°»°8573593
°. °533б573
0,000157112
0,00255125
°. °137393
о, 0388227
о,0675438 1
о,0744643 !
0,0427217
о, 0000644
о,оои288
о, Ооб7349
0,021780
о, °45421
о, 065457
о, 064474
о,°3494о
i
0,83965014577259
0,6036072919418
0,9167629162841
0,442281856149
o,743996Y45769 «
0,947832691077
0,3350881952
0,5942309793
0,8193760017
0,9639166299
o,26i 686663
0,478500655
0,690816480
0,865322593
| 0,97343773^
0,20963576
0.39157329
0,58123010
0,75663119
0,89556565
0,97957907
о,171535
о,324955
0,491809
о, 656838
о,8оз534
0,916583
о, 983787
о, 142870
о,2734П
0,419577
о,570568
0,7Ц122
о,838127
о, 931802
о, 986803
Aft
0, 19444444444444
0,04788o825558l
0,146563618886
0,010011952631
0,078366668276
0,10606582354
0, 00230841797
0,0281906321
0,0850256194
0,0789197749
0,0006048250
0,0096104232
0, 012796860
0,080800491
0,060631845
0,0001786682
0,003374324
0, 01907061
0,05095570
0,07295847
0,04790667
0,000058644
0,00124988
0,0082981
0,0275377
0,0539826
0,0645658
0,0387516
0,000021083
0,00049094
0,0036584
0,014098
0,033694
°»°53755
0,056761 .
0,031966

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
205
Таблица 6. Численное преобразование Лапласа и вычисление интеграла по
полуоси с весом Чебышева — Лягерра:
»=1
3 / 1 \ И 2 / 1 \ 8
-0(i)5;S = -T(T)T; s = -xiTil
Степень точности 2п — 1. Глава 3, § 2, (3.2.7),
Литература: АйзенштатВ. С, Крылов В. И., МетельскийА. С. [1];
RabinowltzP., W e i s s G. [lj; SalzerH. and Zucker R. [l].
Числа в таблице напечатаны в нормализованном виде. Справа в скобках указан
показатель степени десяти» на которую нужно умножить это число:
0,10389 25650 16( — 1) « 0,01038 92565 016.
Показатель, равный нулю, опущен.
п
1
2
3
4-
! 5
6
к
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
5
1
2
3
5
6
1
2
хк
s -.
1, ООООО ОООЭООО
0,585786437627
3,414213562373
о, 41577 4556783
2, 29428 0360279
6, 28994 5082937
0,322547689619392 З12
1,74576110115834658
4, 5366202969211 2798
9,39507091230113313
0,263560319718
i,4i3403059i°7
3, 59642 577Ю41
7,08581 0005859
12,640800844276
о, 22284 6604179
1,18893 2101673
2, 99273 6326059
5,77514 35^9105
9,837467418383
15,982873980602
о, 19304 3676560
1,02666 4895339
1
= 0 i
1, ООООО ООООО 00
0,853553390593
о, 14644 66094 07
0,711093009929
0,2785177335 69
о, 10389 25650 i6(—0
0,60315 4Ю43 4163З 602
o,3574i 86924 37799 б87
0,38887 90851 50053 843 (-1)
о,53929 47055 61327 45о(-з)
о, 52175 5б105 83
0,398666811083
о,75942 44968 17 (-1)
о, 361175867992(—2)
0,2336997238 58(-4)
о,4589б4б739 5о
0,417000830772
0,113373382074
о,юз99 19745 31 (-О
о, 2бю1 72028 15 ("~"3)
0,89854 79°б4 3° (""6)
0,409318951701
0,421831277862

208
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
п
7
8
9
10
и
1 1
к
3
4
| 5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
^
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
" 1
т
хк
s =
2,567876744951
4,90035 Зо845 26
8,18215 34445 63
I2,734i8029i7 98
19,39572 78622 63
0,170279632305101000
0,90370 17767 99379 912
2,25108662986613069
4,26670017028765879
7, °459° 54023 93465 7°
ю, 75851 6oioi 80995 2
15,7406786412780046
22,86313 1736889264 1
0,152322227732
0, 80722 00227 42
2,005135155619
3,78347 39733 31
6,20495 67778 77
9,372985251688
13,46623 6911092
18,83359 77889 92
26, 37407 18909 27
°, 13779 34705 40
°, 72945 45495 оз
1,808342901740
3,40143 36978 55
5,55249бцооб4
8,330152746764
11,843785837900
1б, 27925 78313 78
21,996585811981
29,92069 70122 74
0,125796442188
о, 66541 82558 39
1,647150545872
3,09П3 81430 35
5,029284401580
7,509887863807
ю, 60595 09995 47
14,431б1375»об4
19,178857403215
25,217709339678
33,49719 2847176
[
а б л и ц а 6 (продолжение)
*н .
Ч>
0,147126348658
о, 2063 3 5Н46 87 (-0
о,ю74о 10ЦЗ 28(—2)
0,15865 46434 86 (—4) 1
0,31703 15479 оо(-7)
о, 36918 85893 4l637 53°
0,4*8786780814342956
о,17579 49866з71718о6
о,33343 49226 12156 5i5(-i)
о,27945 36235 22 567 252 (-2)
0,907650877335821 Зю (-4)
0,848574671627253 154 (-6)
0,104800117487151038 (—8)
0,336126421798
0,411213980424
о, 199?8 75*53 71 .
о, 4746° 56276 57 (—1
о,5599б 2б6ю79(—2)
0,30524 97670 93 (—3)
о, 65921 23026 оЗ(_ 5)
о,4П°7 69330 35(—7)ч
0,32908 74030 35 (-Ю)
0,30844 х 115765
o,4oiU9929i55
0,218068287612
о, 6208745609 87 (—О
о, 950*5 16975 l8(—2)
0,75300 83885 88 (-3)
0,28259 2334960 (-4)
о,42493}3984 9б -6
0,18395 64823 98(-8)
0,99118 27219 61 (—12)
0,284933212894
о, 38972 08895 28
0,232781831849
0,76564 45354 Ь2(—1)
о, 14391 2827б 74 НО
о, 15188 8084648(—2)
о, 85131 22435 47(— 4)
0,2232403879 57 (-5)
0,24863 53702 77(—7)
0,771*6 2693369 (-Ю)
0,28837 75868 32 (-13)
L 1

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 207
Таблица 6 (продолжение)
п
12
13
1 Ц
*
15
к
1
2
3
4
5
6
1
9
10
и
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
Ч
1
2
3
4
5
6
**
Afc I
Г^Гб |
0,115722117358020675
0,611757484515130665
1,51261 02697 7Ц18 79
2,83375 13377 43507 23
4,59922763941834848
6,84452 5453115177 35
9,6213168424 5686704
13,0060549933063477
17,1168551874622557
22,1510903793970057
28,48796 725о9 »4ооо з
37,09912 10444669203
о, 10714 23884 72
0,56613 1899040
1»3935б 43364 51
2, 6i6j9 7lo84 °6
4,238845929017
6,2922562711 4°
8,8150019411 87
11,861403588811
15,510762037704
19,884635663880
25> 18526 38646 78
31,800386301947
40,72300 86692 66
о, 09974 75°7о 33
о, 52685 76488 52
1, 30062 91212 51
2,430801078731
3,932102822293
5,82553 62183 02
8,14024 01415 65
10,916499507366
14,2108050111 6i
i8,1048922202 18
22,723381628269
28,27298 1723248
35» 14944 36605 92
44,30608 1711117
0,093307812017
0,49269 1740302
1,215595412071
2,26994 95262 04
3,66762 27217 51
5,425336627414
о,2б473 137Ю5544319о
0,37775 92758 73137982
0,2440820113 19877564
0,90449 22221 16809 307 (—0
0,20102 38115 46340 965 (—1)
0,266397354186531 588 (-2)
0,20323 15926 62999 392 (—3)
0,83650 55856 81979 875 (-5)
0,16684 93876 54091 026 (—6)
0,13423 91030 51500 415 (—8)
о, 30616 01635 03502 078 (—И)
о, 81480 77467 42624 i68(—15)
0,247188708430
0,365688822901
0,25256 24200 58
0,10347 07580 24
0,26432 75441 56 (—1)
0,42203 96040 27(—2)
0,41188 17704 73(—3)
0,23515 47398 15-4)
о,73173 1162025 (-6)
о, 1108841625 7°(—7)
0,б7708 26692 21 (—10)
о,П599 79959 91 (-12)
0,2245093203 89(—16)
0,231815577145
0,35378 46915 9»
о, 25873 4бю2 45
0,115482893557
о,33192 09215 93(-0 1
0,61928 69437 01 (—2)
о,73989 03778 67(-3)
0,54907 19466 84 (~ 4)
о,24095 85764 0Q (-5)
0,58015 43981 68 (—7)
0,68193 14692 49 (—9)
0,3221207751 89(—И)
0,42213 5244о 52 (--Ц)
0,60523 75022 29 (—18)
0,218234885940
0,342210177923
о, 26302 75779 42
о, 12642 58181 об
0,4020686492 ю(—1)
0,85638 778036I (—2)

208
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение}
п
к
15
16
20
* 1
9
10
11
12
*3
Ц
15 !
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
И
15
16
1
2 .
3
4
! 5
6
7
8
9
Ю
И
12
13
И
Л
i6
Й
19
20
xft
s=0
7,565916226613 1
10, 12022 85680 19
13,130282482176
16,65440 77083 30
20,77647 88994 49
25,62389 42267 29
31,407519169754
38, 53068 33064 86
48, 02608 55726 86
0,0876494104789278403
0,4626963289 15080832
1,14105 77748 3122686
2,12928 364509838062
3,43708663389320665
5,07801 861454976791
7,07033853504823413
9,4383Н3363 91938 78
12,21422 33688661587
15,4415273687816171
19,1801568567531349
23,5159056939919085
28, 5787297428821404
34,5833987022 866258
41,9404526476883326
51,70ii6o3395433i84
0,0705398896919887534
0,372126818001611 444
0,916582102483273565
1,70730653102834388
2,74919925530943213
1 4,04892531385088692
5,6i5i7 497o8 6i6i6 51
7» 45901 74536 71063 31
9.59439286958109677
1 12,0388025469643163
14,81429 34426 307400
17» 94883 55205 193760
21,4787882402850110
25,4517027931 869055
29,9325546317006120
35,0i343 42404 79cooo
40,8330570567285711
47, 61999 40473 46502 1
1 55,81079 57500 63898 9
l 66,5244165256 15753 8
А-Н
0,12124 3бЦ7 21 (—2)
0,1116743923 44 (-3)
0,64599 26762 02 (— г)
о, 22263 16907 ю(—6)
0,422743038498 (—8)
o,392i8 97267 04(—ю)
0,Ц5б5 152б4 07 (—12)
0,148302705111 (-15)
о, 16005 9490621 (—19)
о, 20615 17149 57800 994
0,331057854950884 i66
о,2б579 5777б442Щ53
0,136296934296377540
0,47328 92869 41252 19°(—0
о, 112999000803394 532(—i)
0,18490 7094З 52631 086(—2)
0,20427 19153 08278 460(—3)
0,14844 58687 J9812 988(—4)
0,68283 1933° 87119 95б(— 6)
о,i88io 24841 07967 321 (—7)
о, 28623 50242 97388 i62(—9)
о, 21270 79233 22{Ю 297(—И)
о, 62979 67002 5178S 779 (—14)
о, 50504 73700 03551 282(—17)
о, 41614 62370 37285 519 (~21)
о, 16874 68oi8 5ШЗ 862
0, 29125 43620 06068 282
0, 26668 61028 67001 289
0,16600 24532 69506 840
0, 74826 06466 87923 7°5 (—1)
0, 24964 417ЗО 92832 211 (—1)
о, 62025 5о844 57223 685 (—2)
о, 1144962386 47690 824(—2)
о,15574 17730 27811975(^3) .
! о, 15401 44о86 52249 157 (""4)
. о, 1086486366 51798 235 (~~5)
о, 53301 20909 55671 475 (—7)
о, 17579 8П79 °5058 2оо(—8)
о, 37255 02402 51232 о87(—ю)
0,4767529251 57819 052 (—12)
о, 33728 44243 36243 841 (—ц)
0,115501433950039883—16)
0,153952214058234355-19)
о, 52864 42725 56915 783 (—23)
о, 16564 56612 4Э902 33° (—27)

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 209
Таблица 6 (продолжение)
Г)
к
J 1
24
,
-%о
28
\
2
3
4
5
6
1
9
10
и
12
13
14
15
16
Я
19
20
21
22
23
24
1
2
3
4
5
6
5
9
10
и
12
13
И
15
16
\1
19
20
21
22
хк
8 =
0,059019852181507 9770 I
0,31123 9146198483 727
о, 76609 69055 45936 646
1» 42559 75908 03613 09
2, 29256 2о586 32190 29
3» 37077 42642 08997 72
4,66508370346717079
6,18153511873676541
7,92753 9247172152 18
9,91209001507770602
12, I46IO27II7297656
14,64273 22895 96674 3
17,41799 26465 08978 7
20,4914бОо82б1б424 7
23,88732 9848169733 2
27,63593 71743 327174
31,77604 13523 74723 3
Зб,35840 5801б51б217
41,4517204848707670
47,153Юб44515б323 0
53,60857 45446 95°69 8
61,05853 Ц472 187616
69,9622400351 050304
81,4982792339488854
о, 05073 46248 49873 8876
о, 26748 72686 40741 084
0,6581366283 54791 519
1,22397 18083 8490772
1,96676761247377770 i
2, 88888 33260 30321 89
3,99331 165925011414
5,2837З 60628 43442 56
6,7646034042 43505 15
8,44121 632827132449
10,3198504629932601
12, 40790 34Ц4 60671 7
14,740851641357488
17,2486634156080563
20,02378 ЗЗ299 51712 7
23,05389 01350 302960
26,35629 73744 01317 6
29,951966833596182 1
33,866б0 551б5»4459 2
38,13225441*01 94646 8
42,78967 23707 72576 3
47, 89207 16336 22743 7
Ч
Го
о, 14281 197ЗЗЗ4781851
0,258774107517423903
о, 25880 67072 72869 8о2
о, 183322688977778025
0,981662726299188 922 (—i)
0,4073247815 14086 46o(—i)
о, 132260194051201 5б7(—i)
0,33693 49058 47830 355 (-2)
о, 67216 25640 93547 89о(—з)
о, 10446 12146 59275 i8o(—3)
0,12544 72197 79933 332(-4)
0,1151 J 15812 73727 992(-5)
о, 79608 12959 ЧЗбЗ 02б(—7)
0,40728 58987 54999 966(-8)
о, 15070 08226 29 258 492 (—9)
0,39177 36515 05845 13«(—11)
о, 68941 81052 95808 5б9(—13)
0,78198 00382 45944 847 (-15)
о, 53501 888i3 01003 760(—17)
0,20105 17464 55550 347(-19)
0, 36057 65864 55295 904 (—22)
0,2451? 18845 87840 269 (—25)
0,40883 01593 68065 782 (—29)
о,55753 45788 32835 675(—33)
0,123778843954286428
о, 23227 92769 00901 i6i
0,24751 1896036477212
0,1923071131 32382827
о, П640 53617 21130006
о, 5б345 9о53б 44773 об5(-1)
о, 22о66 36432 62588 079 (—1)
0,70258 87635 58386 773 (-2)
0, 18206 O7892 69585 4°7 (—2)
о, 38334 43038 57123 177 (-3)
о, 65350 87080 69439 831 (—4)
0,89713 62053 41076 834 (—5)
0,58470 12256 24928 887(—6)
0,8564075852673042451—7)
0,58368 38763 13834 429 (-8)
0, 30756 38877 84230 228 (—9)
0,12325 90952 72442 282 (_ю)
0,36821 73674 10831 203 (—12)
0,79987 90575 96890 965 (—14)
0,12249 22500 32408 341 (—15)
о, 12711 24295 03067 374 (—17)
0, 84885 93367 68654 320(—20)

210
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение)
п
к
28
32
1 2з
24
25
26
3
1
2
3
4
5
6
2
9
10
и
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
1 1 1
i 2
1
2
*к
s.
1 53,5112979596642942
1 59,7487960846412408
66,75697 72839 06469 6
74,7867781523391618
84,3178371072270431
96,582420627527319 1
о, 04448 93658 33267 0184
0,234526109519618537
0,576884629301886426
1,07244875381781763
1,7224087764446454!
2, 52833 67064 25794 88
3,49221327302199449
4,61645 67697 49767 39
5,90395 8504174243 95
7,3581267331 86241 И
8,9829409242 1259610
10,783018652539972 1
12, 7бЗб9 79867 42725 1
14,93Н3 97555 22557 3
17,29245 433б7153Ц8
19,855860^403360547
22,6308890131 96774 5
25,62863 60224 59247 8
28,86210 18163234747
32,3466291539647370
36, Ю049 48057 51973 8
40,1457197715 394415
44,50920 79957 54938о
49,22439 49873 о8639 2
54,33372 13333 96907 3
59,8925091621 34°i8 2
65,97537 72879 35052 8
72,68762 80906 62708 6
80,1874469779135231
88,7353404178923987
98,82954 28682 83972 6
111,751398097937695
8 =
0,20000 000(+1)
о, 12679 492(+1)
473.20 508(+i)
_ _
1 0,34024 55379 42551185(-22)
0,74201 56588 86748 51З (—25)
0, 76004 13205 80173 769(—28)
0,2873910317 94039 581 (-31)
0,25418 22Q03 88931 8оо(— 35)
о, 16613 75878 02903 396(—40)
0,10*2183419*2384971
0,210443107938813234
о, 23521 32296 69848 оо5
0,19590 33359 72881043
0,129983786286071761 I
о, 70578 62386 57174 415 (—0
о, 31760 91250 9175° 7°3 (—О
о, 11918 21403 48385 571 (~i)
о, 37388 16294 61152 479 (—2)
0,9808033066 Ц955 132(—3)
0,214864918801364 i88(—3)
0,39203 41967 98794 720(—4)
0, 59345 41612 86863 238(—5)
о, 74164 04578 66755 222 (—6)
о, 76045 67879 12078 148 (—7)
о, 635°6 02226 62580 674 (—8)
0,4281382971 04092 888 (—9)
о, 23058 99191 89133 6о8(—ю)
о, 97993 79288 72709 4о6 (—12)
о, рз78 01657 7292б 646 (—13)
0,81718 23443 42071 943 (-15)
0,154213383339382237 (-16)
о, 2П97 92290 t6j6i 861 (—18)
0,20544 29673 78804 543 (—20)
0,13469 82586 63739 516(—22)
0,5661294130 39735 937(-25)
0,14185 60545 46303 691 (—27)
0,19133 75494 45422 431 (-30)
0,11922 48760 09822 236 (—33)
0,26715 1121924013 699 (—37)
0,13386 16942 10625 628 (—41)
о,45Ю5 3619З 89897 424 (-47)
в 1
Q, 10000 000(+1)
0,78867513
21132486

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 211
Таблица 6 (продолжение)
Ч
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
1
2
3
4
I
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
I
7
о, 9358* 223
33054 073 (+1)
775^7 705 (+1)
о,7432919279 8143Н35
25716 35007 64627 847 (+1)
573117875168309 963 (+0
109538943126831905(4-2)
о, 61703 085
2U2Q66o(+l)
46108332(4-1)
83990670(4-1)
14260103 (+2)
о, 52766 812
17962 998 (+1)
38766 415 (+1)
69188166(4-1)
11234610(4-2)
17645964(4-2)
0,46102422
15635862(4-1)
33520505(4-1)
59162 972(4-1)
94206994(4-1)
14194166(4-2)
21092177(4-2)
о, 40938 35732 031851
-* "18о
1384963184
295^2 54556
51819 43Ю1
8161709688
1207005512
17249 73552
24585 95524
80313988(4-1)
16886 2o7(4-i)
04007138(4-1)
14581 7зЗ(+0
68371 548(+2)
61489875(4-2)
36527819(4-2)
о, 36817
26460
46168
72217
10567
14835
20382
28118
845
5So(+i)
338(4-1)
825(4-0
865 (+1)
321 (+2)
914(4-2)
182 (+2)
343 (+2)
1
о, 58868 ц8
39121 боб
2ою2 4бо(—1)
0,446870593218776310
477635772363868313
7417778473 Ю521 Зб4(-0
13158 49б8бЗ°324 014(— 2)
о, 34801 454
50228 067
14091 592
87198 93°(-2
68973 324(-4)
о, 27765 он
49391 °58
20300 43°
24668 820 (__l)
76304 277 (-3)
.31150 394 (-5)
О, 22621 Обо
46970 871
25312 252
478оз Ю9 (-i)
31004598 (-2)
54484 669 (-4)
12633 399 (-6)
0,187632541405723668
43898 53607 3H42368
2899960707 81313 351
751448461 66973 434 (-О
79326 46648 7°734 492 (-2)
30864 21368 1ЗЗ04 225(—3)
ЗЗ48958209 79709614 (-5)
47213 92823 19322 132 (_8)
о, 15803092
40658258
31498248
Ю377 552
15577 6з8(-1)
10248 720 (—2)
2j800 211 (—1)
18335 59б(-6)
16543 295(-9)

ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение)
п
И
10
11
12
П
1
1 1
2
з
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
J
9
10
и
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
1 13
!
S =
о, 33452 868
И282 534(+1)
23958 699 (+1)
41668410(4-1)
64873 530 (+1)
94283 548 (+0
13101 724(+2)
17696488(4-2)
23577 787 (+2)
31682801 (+2)
0,30652670
10327 974 (+0
21896 П9(+1)
37990 476 (+1)
58949 П2(+1)
85272920(4-1)
П771 оо7(+2)
15742260 (+2)
20635806 (+2)
26826 350(+2)
35274 391 (+2)
0,28285 83482 399Ц И2
95232 6041З 64бП 503
2016492138 57768 073 (+0
34923 54069 77802 504 (+1)
54054 9102° °1572 284 (+1)
77928 1394041241 498 (+0
107073886889890908(4-2)
142271523637899807(4-2)
18471 99663 42299 991 (+2)
236417837524008953(4-2)
30120 05862 61063 443 (+2)
: 38889 28437 60953 185 (+2)
0,26258840
88355031
1 18690338(4-1)
32324187(4-1)
49935 75б(+'0
71806105(4-1)
98328082(4-1)
13°°5б22(.+2)
1б779бц(4-2)
21277912(4-2)
26705034(4-2)
33452 785(4-2)
1 42524448(4-2)
Ак
= 1
0,13485 655
37492 434
ЗДЙ
25842 об4(—1)
24896 458 (—2)
10948 848 (-з)
18§12754(—5)
91526 85о (-£)
55013 о35(—и)
0,11639267
345Н5*2
33795 700
15702451
38209 57б(—1)
49347 8°5 (-2)
32585 242 (_3)
Юоб4157 (—4)
12285169 (—6)
42355 352(-9)Ч
17517 73°(—12)
о,юц5 37656 65592267
317699483З62918 Ю1
33998 62713 74452 795
17953 25994 39199 819^
520319390353283915-1)
84916 17435 76890 271 (—2)
76713 57972 78597 991 (-3)
36362 09120 38435 44° (—4)
81845 67007 79946 09б(—6)
1 73231 54100 40323 253 (-8)
18397 0243442130 593-Ю)
53776 28522 27037 045 (-Ц)
0, 89202 112 (—1)
29268 595
33785 055
iq877 889/
66663 4i9(—1)
13183 39«(—О
15310 оо4(— 2)
10Юб220(—3)
35596 325 (-5)
6ою1 473 (—7)
40422643 (—9)
75713 76» (—12)
1 1599»517(—15) _

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 213
Таблица б (продолжение)
Ч
«= 1
Ц
16
1
2
3
4
i
7
8
9
ю
п
12
13
14
1
2
3
4
5
6
9
ю
и
12
13
Ц
15
1
2
3
4
5
6
ю
и
12
13
И
\1
о, 24503 301
82408 222
17418 724 (+1)
30091 325 (+1)
46416 341 (+0
66613 415 (+1)
90983 027 (+1)
П993 703(+2)
15404 988 (+2)
194Н 993 (+*)
24Н9 758(+2)
29818 Ю5 (+2)
36819624 (+2)
4б177 43°(+2)
о, 22968 050
77214 491 ,
16310 534+1
28151 446(+1
43371 64Ч+1)
б2Цб428(+1)
847П 640(+1)
11138 332(+2)
14258 9Ю(+2)
178920531+2)
22122 б20(+2)
27079 312 (+2)
32974 974 (+2)
40216 5§4 (+2)
49846222(4-2)
0,216140305239452
726388243251803
153359316037354
2б449 7°998 61191
407097816088019
582585551510560
792850418530666
10403 80828 9951°
132846610707070
16615 17321 68666
20456 оо6о2 00272
24893 84702 53519
3ОО59 86292 02025
361706945436791
436403651841768
535291511602684
255
132 (+D
096+0
о65 +1)
455 ±1!
709 v+i)
393 +2>
382+2)
126+2)
169+2)
Ю8 +2)
761+2
78о+2
370+2
204^+2)
о,79°33 18з(— О
27002 626
33273 198
21478092
8i535558(-i)
18941947(- О
27052168 (—2)
23300 б2б(—з);
ц6ю82о(—4)
3i22o 597 (- 6)
40472 473 (~8)
20891 176 (— ю)
29744 6i5(— 13)
46317 821 (-17)
о, 70502429 с—О
24955 891
32553 312
22772 7°9
96i88o58(—1)
25634 285 (-1)
43566 472 С-2)
46745 577 С-3)
W99 238(-4)
11883905 (~5)
24931 356С-7)
25295 боб (—9)
Ю197 777(— И)
11220705 с—Ц)
13093 371 С-18)
о, 63277 33287 95394
2310904615 20719
31б§з 35421 63999
237894217875244
nol72U33 5^47
33089 58835 63969
652571640779246
842711436792047
69961 9°955 568i8
3612086042 13355
1Ю15 41251 47424
183568251273250
цЩ 88865 88507
473484535903961
4084I 46055 00225
36239 54962 47891
3o8(-i)
731
097
607
882
837С-1)
63°(-2)
207 (-3)
742-4)
474-5)
469 -6)
421 (_8)
814 (-Ю)
з20Нз)
599 -16
40б(—20)

ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение])
хк
1
2
6
ojoooo ооо (+1)
О, 20000 000 (+1)
6ооооооо(+1)
0,15173874+1)
43П5 831 (+1)
917Ю298(+1)
о, 1226763263 50030 207 (+1)
341250735869694 597(+i)
690269260585161 34° (+1)
124580367719511 3»6(+2)
0,10311094+1)
28372 128(+1)
5б202 943(+1)
9682Q098(+1)
15828 474(+2)
о, 88994 Ю1
24331 442(+0
47662 оз6(+1)
80482 548 (+1)
12600 4Ц (+2)
19262 043 (+2)
о, 78309 609
21322 372 (+1)
4i483 646(+i)
69277 904 (+0
Ю640 51б(+2)
15622 748 (+2)
22745 247 (+2)
* = 2
| 0,20000 000( + l)
о, 15000 ооо (+1)
5оооо ооо
о, Ю374 95°(+0
90575 ооо
5675,5 034(-О
о, 69933 03922
18988 16495
36776 14768
60992 9454s
9267425813
4360 73827
18728 13866
26268 64104
97772 446 ,
33754 637(+1)
34163 509 (+1)
16086 345 (+1)
2S2386i9(+i)
22бо1 Юб(+2)
88430 8i6(+2)
Ц766 043 (+2)
0,63185377
17121 632(+i)
33056 695 (+1)
54569ioo(+i)
o,7255249976 98654 378
1063424291 97919 458 (+i)
2066961310 28353 551
43545 79293 79748 887(-2)
о, 52091 74°
Ю667 059 (+1)
38354 972
28564 2j4(--i)
26271 281 (—з)
о, 38435 381
99712 747
53оо8 620
79539 526 (-1)
28795 492 (-2)
13445 266 (-4)
о, 29073 679
90054 794
64597 358
15094427
Н5бз 774 (-1)
23З03 741 (-з)
6Ю01 655 (-6)
°, 22479 77519 04342 97°
79953 09589 02891 337
713670609157191 155
23154 H459 90131 662
29135 7867З °52о6 514 (—О
1307700147 57761 б49(-2)
i6o2i 93395 06628 624(—4)
25233 39394 42792 311 (-7)
о, 17717 476
70415 796
74674 39&
31132996

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 215
Таблица 6 (продолжение)
п
к
9
10
и
12
13
1 5
6
7
8
9
1
2
з
4
I
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ю
и
1
2
3
4
I
6
J
9
1°
И
12
1
2
3
4
• I
6 1
ч
s =
1 8234б594(41)
13748 347(+2)
16183 854 (+2)
21901 207 (+2)
298253з6(+2)
0,57631386
15593 435(+1)
30037 Ю4 (+1)
4943о 191 (+1)
74227 071(+1)
10518 820 (+2)
4344 515(+2)
1 ^091 780(+2)
25130 б48(+2)
334Ю Ц4 (+2)
о, 52978 8о6
14318 342(+0
27533 242 (+1)
45189 499 (+1)
67643 255 (+0
954П 625 (+i)
12925 93о(+2)
17036 75о (+2) -
22070 999 (+2)
28407887 (+2)
37019 о5о (+2)
0,4902391091 77454 об1
13237 76455 78306 233 (+1)
25421 32235 23224 643 (+1)
41645 19353 24397 °66(+1)
62180 01630 77оо6 985 (+1)
87407 8952492б6445б(+1)
П787 218и 54281 359(+2)
15436 5948600615 973 (+2)
198Ю 48154 33429 47б(+2)
25И1 П947 68538 770(+2)
31726 24950 17079 404 (+2)
406488781934720538(4-2)
о, 45620 244
12310 о2б (+i)
236Ц752 (+i)
И 057 (+D
57564 обо (+1)
80711492 (+i) 1
А*
_~ 1
1 56178 866 (—1)
429Ю 855 (—2)
12243 8б4(—3)
97°б7 8о6(-6)
96992 88i (-9)
0,14199694
61827 938
754оо i8o
38360 984
91ЗЮ 422(—1)
Ю277 048 (—1)
5102 655 (-3)
98872263 (-5)
53139 92о(-7)
! 35Н7 5оз (-Ю)
0,11548618
54277 598
74320 516
44484 55°
13207 462
20045 157(-0
15142344 (-2)
52467 333 (-4)
70844653 (~6)
26767360 (—8)
12097 о82(—11)
0,9514822514 59*39 793 (-0
477196653262217 159
72046 69025 76669 237
49382 66097 35938 395
17575 73347 69862 195
ЗЗ83293005 94179 6о9(-1
35188 24188 47753 i3i(~2)
1877874748 19631 979 (-3)
468668021445018 989(—5)
45980 63600 65300 972(—7)
12574 З502885190 380(—9) J
39950 86633 46059 6о7(—13)
о, 79296 491 (—О
42056 270
69032 403
53080819
2i?90 1J7
51647 487 (-1) 1

216
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение)
п
13
Ц
15
16
к
1
9
10
и
12
13
1
2
3
4
5
6
' 1
8
1 9
10
• И
12
*3
и
1
2
3
4
5
6
2
9
10
11
12
Ч
Ц
*5
1
2
3
4
5
6
1
9
*к
s
ю847 434 (+2)
14141 75б(+2)
18оз5 855 (+2)
22654 354 (+2)
28203961 (+2)
35080428 (+2)
44297 071 (+2)
о, 42659 766
11504 6з6(+1)
22050 99о(+0
36028926(4-1)
53606691(4-1)
75012 854 (+1)
10055 621 (+2)
13065 691 (+2)
16589827+2)
| 207И 907 (+2)
25559 329 (+2)
31342 95» (+2)
38466 127(+2)
47961 533 (+2)
о, 40061 007
Ю798 754 (+0
2o683655(+i)
33762 8i6(+i)
50172 724 (+1
70096 268(+i)
93776 245 (+1
12153 548(+2
15З80863 (+2)
19U9 5°о(+2)
23455 255(+2)
28518084 (+2)
34522 756(+2)
41^79 813 (+2)
51640 524 (+2)
0,3776135083 44740 734
1Q174 91957 60256 57o(+i)
194775802042424383(4-1)
317692724488986868(4-1)
471621006979179562(4-1)
65805 88265 77491 250 (+1)
878546527064707413(4-1)
11368 32308 28333 189 4-2)
ЦЗ5062672 74370 444(+2)
а*
= 2
69227891 (—2)
51634 Зоб(-з)
20220 898 (—4)
37499 301 (-6)
27454 58о(-8)
55661474 (-и)
12724 684 (—Ц)
0,66765 14° (~i)
37175 234
65602 004
55684941
2625449З ,
72778 717 (-1
12045 727 (-i{
11763752-2
65361 000 (—4)
19344 638 (-5
27329 776 (-7
15262 780 (—9)
23406 8з8(—12)
1 39273 777 (-16)
о, 56731 96i(-l)
32967 586
61980 942
57336 923
1 30227 499
96541 832 (-и
19087 744 (-1)
23298 443 (-2)
17164 1бо(—з)
73061 935(—5)
16731 846(-б)
18380 73б(-8)
79753 21о(_н)
94П8 940(~14)
11791 293 (—17)
о, 48606 40946 70787 025 ("
293347390190440231
583219363383550989
ffl№96l7^79
33818 05374 73790 217
1221059639 44979 89i
2811462580 06637 302 (-
41431 49192 48225 &7°(-
38564 85337 67433 Зоо(-
-i)
-1)
-2)
-з)

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАсА 217
Таблица 6 (продолжение)
Ч
л*
? = 2
ю I 177810Q572484i6 4бо(+2)
и 21721 о§479 65713 °89(+2)
12 26258 13867 5ПЮ68о(+2)
, 13 31524 5960042758 187(+2)
16 | 14 37738 92ЮО 25285 391 (+2)
15 4531854611 00898 42б(+2)
16 55332 5^353 88358 122(+2)
22015 80056 31090 712 (—4)
73423 62438 15651 751 (-6)
13264 60442 04804 137(—7)
11526 66482 90842 947(—9)
3947° 69i5i 24бо8 б97(—12)
36379 78256 36053360 (-15)
34545 76123 13612 4оо (-19)
в = 3
1 I о, 40000 ооо (+ 1)
1 О, 27639 320 (+1)
2 72360 68o(+i)
1 0,21412 163(+ 1)
2 53155 i7i(+i)
3 Ю543 267 (+2)
1 о, 17555 21647 18549 i45(+i)
2 426560586565682 345 (+1)
3 80579 40683 13800 185 (+0
4 139209318040196832(4-2)
1 о, 14905 549(+i)
2 35»i3 338(+i)
3 66269 9бз(+1)
4 Ю944 4i8(+2)
5 17356 697 (+2)
1 о, 12964 132(4-1)
2 30939 984(4-0
3 56612 852(4-0
4 91670 973 (+1)
5 13941345(+2)
6 20839854 (+2)
1 о, U477 ooi (+i)
2 27270 835 (+1)
3 49554 687(4-0
4 79264 826 (+i)
5 11845 514(4-2)
6 17025619(4-2)
7 243б2 132(+2)
1 о, Ю299 61687 35°87 822 (+1)
2 24399 14234 ОЦ25 973 (+1)
3 44131 86763 83851 689 (+1)
о, 6ooooooo(+i)
0,43416408(4-1)
16583592(4-1)
0,28363282(4-1)
29512 943(4-1)
21237 74«
0,18603 34074 4649 995(4-0
335689ioi9°2892 032(+i)
76445 39728 43517 6ю
18320 93398 Ю621145 (-1)
о, 12509 8з6(+1)
32385 572 (+1)
13901 852 (+1)
11904 П7
12327808 (—2)
0,86531349
2Q012 75l(+l)
18931 453 (+1)
32680188
13394 415 (-1)
69772 782 (-4)
0,61485362
25074 087 (+1)
22145 624(+i)
60876 509
53207 851 (-1)
U989 285 (—2)
34733 327 (-5)
о, 44765 92686 88580 562
21295 75153 66677 356(4-1)
23700 81438 27449 573(4-0

218
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица б (продолжение)
п
8
9
10
11
12
к
* 1
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9 ■
10
и
1
2
3
*
5
6
7
8
1 9
Ч
$ =
70192 1044285466 378(+i) I
10З6535856 1597° 6ю(+2)
Цб34 32849 1П53 273 (+2)
2oi8o §4727 40399 451 (+2)
279i7i9254 5i893 479(+2)
°, 93435 П2
22085788 (+i) |
39817 515(+0 1
63032 798(+i)
92448з78(+0
12918 546(4-2)
17513 534(4-2)
23394 992 (+2)
31500128(4-2)
0,85511942
20179 9Ч(+1)
36294 440 (+i)
57262382(4-1)
83591 279 (+1)
пбоз 152(4-2)
15574 6ю(+2)
20468298(4-2)
2б658947(4-2)
35Ю7 072(4-2)
0,78836278
18581 184(4-1)
; 3335?4i3(4-i)
5249?Зб7(4-1)
76376287(4-1)
10552489(4-2)
Ц072 44о(4-2)
18317414(4-2)
23487296(4-2)
29965 644(4-2)
38734 929(4-2)
0.73133 34535 24153 573
17220 05877 71537 790(4-0
3°871 1820886747629(4-1)
484907183643667852(4-1)
703б5 41922 74923 744(+0
9689004199 17576858(4-1)
12861 99i62 79440 9i4(+2)
16636 1029842912 з°о(4-2)
I 2U34 48826 54905 403 (+2)
Ч
3
91372 8082731325 425
13219 73685 98833 373
66681 00914 81878 §79 (—2)
90430 58937 87i5o 415(-4)
15653 57938 48369 390 (-6)
о, 333°8о66
17948284(4-1)
23994 986 (4,0
H995 594(4-i)
25070 о97
21640 2б8(—i)
68573 753 (-3)
59677 366(-5)
65150 488(4*)
о, 25264 792
15092 475(+i)
23430123(4-1)
14410510(4-1)
39997 230
51152 094 (-1)
28561 368 (—2)
60361 815 (—4)
35365 794(—6)
25402 183 (—9)
о, 19494 453
12701 i92(4-i)
22331603(4-1)
16277814(4-1)
56705 676
98300 637 (—0
83147 128(-2)
31784 7бо(-з)
46839940 (-5)
19179 о8б(— 7)
93779 296 (-U)
0,152730239391842707 ,
107163463296299004(4-1)
209369597825120887(4-1)
175927719487292856(4-1)
73887 60994 2оюз 765
16353 84746 05744 »57
190ЗЗ 78028 63997 279 (—О
11274 94877 61940 8о5(—2)
1 З07769783З 28946 458(-4) !

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 21&
Таблица 6" (продолжение J
п
12
13
И
15
к
10
11
12
6
1
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
^
Ц
1 i>
*к
S 8=
2656167649 7353° 448 (+2)
33309 47935 53748 032 (+2)
4238118577 Ю775 98о(+2)
о, 68203 93°
1б04б714(+1)
28735 434(+1)
45o67883(+i)
65269 oi6(+i)
89641 095 (+1)
И859 672 (+2)
15271 068 (+2)
19281 154 (+2)
24015 979(+2)
29684 374 (+2)
36685 931 (+2)
46043 770(+2)
0,63899973
15024 464 (+1)
26880 488 (+1)
42107 649 (+1)
60886 240 (+1)
83453 762 (+1)
11012 695 (+2)
141ЗЗ 378(+2)
177^6 597(+2)
21997 220 (+2)
26953 955 (+2)
. 32849б52(+2)
40091 290 (+2)
49720 954 (+2)
о, 60109 077
14125 666(+0
25253 6б2(+0
39520 289 (+1)
57072 64i(+i)
78101 301 (+1)
10285 576 (+2)
13166 527(+2)
1б497Но(+2)
20337 996 (+2)
24775 878 (+2)
29941 926 (+2)
36052 78з (+2)
43522 476(+2)
| 53411282 (+2)
Afc
1
3273871468 53583194 (-6)
9653518197 52401242 (—9)
ЗЗ05063601 43886 766 (—12)
0,12129962
90741 687
19408 984 (+1)
18406 308 (+1)
90454 658
24494 837
37056112 (-1)
30688 917 (—2)
13177 579(—3)
26536990-5)
20948276 (-7)
45592 ЗЗ2 (-ю)
1U91 290 (—13)
o,97524 3n(-i)
77155 002
17853 905(+i)
18794 027 (+0
10562 158(4-1)
33900 683
63559 898 (~i)
69138639 (-2)
42228 345 (-3)
13598 095 (-4)
20735 753 (-6)
12426 ре (—8)
20378838 (—11)
36596686 (-15)
о,7928о 420 (—1)
65892304
16337 725 (+1
18837 2о8(+1)
11889 9б4(+0
44Ц2 179
992об2ц(—О
13528 241 (-1)
10983 945 (-2)
50975 374 (-4)
12619132 (—5)
14885806 (—7)
69020 021 (—10) 1
86806725 (—13)
| п6о5 991 (—16)

220
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение)
хк
16
9
ю
11
12
13
И
15
16
= 3
о, 56744
13329
23814
37238
53721
73419
96533
12332
15412
18940
22976
27610
32974
39289
46976
57ПЗ
34589 91574
07732 75989
82480 07005
26642 09342
23952 16187
3662826135
3213726122
3014070182
85006 54077
27557 5»6о2
59571 56018
1814474260
50920 32584
8232533641
89627 67103
51402 37534
45 ,
334(+0
849(+1)
697 (+0
юо (+1)
234(-И)
905 (+1)
379 (+2)
155(+2)
723 (+2)
692 (+2)
749 (+2)
955 (+2)
479 (+2)
12б(+2)
688 (+2)
0,65098 11210
56527 32242
1489893138
1861247044
1300475548
54781 96468
14384 3°432
237^9 84724
24424 44693
15234 05995
5501265305
10684 26296
99252 43358
3618633427
З543732780
3581803552
09449 315(-1)
36402 383
57906 502 (+1)
89653 486(+1)
48272 з6о(+1)
56915096
08105 701
21б22 7б0(—1)
5<*6ю86з(— 2)
5885о7б8(—з)
01356 Ю5(-5)
43597 444 (-6)
57222214 (—9)
80076 823 (—и)
73215 328 (-и)
«7779 219 (-18)
8 =4
12
1
2
3
4
I
7
8
1
2
3
4
I
7
8
9
ю
и
12
0,23191 55248з55б9 955 (+0
512867199З 6oii7 9i6(+i)
9200891348 97243 093 (+1)
15351 2814090706 9оз (+2)
о, 13944 58745 35841 327 (+0
300^1 22620 — -° °' ' - *
5l6ll8l272
79417 56441
И457 0496З
21611 60996
2953625364
31589 098(4-1)
138140 954(4-0
[ 34279 969(4-0
* 32457 916(4-2)
: 14650 2зб(+2)
> 78724 373(+2)
\ 80182341 (4-2)
>, 100157108495383
21437 о6135 И225
36493 33214 32б8о
55448 68139 74946
786076259241096
ю637 76546 49934
139325683951155
1782700631 00842
22445 75382 03894
27995 55^5 60437
34872 17°73 24949
44°88 94275 43252
152(4-0
703(4-0
176(4-0
731(+1)
344+1
495+2)
931+2
237+2
399+2
942+2
280 (+2
5о6(+2)
о, 65722 203H 98722 з68(+1)
13793 60318 44206 074 (+2)
35402 84690 36795 246(4-1)
93891 81322 42i64 933(-i)
о,12755 1Ю45
7559713943
9987062816
44201 86194
71705 27005
39882 40216
58978 85766
и 080 47399
34833 669 (+1)
58976 204 (+1)
98755 8ю(+1)
72331 421 (+1)
63446 937
35586о82(—1)
23485 837(-3)
94015 747(-5)
0,35915 9548108807
32658 282о6 87688
78239 61428 54537
775650688373216
37373 °9725 28196
929328933З22615
119937171658365
77369 91877 01495
228490954516935
261140180598097
82374 65838 72488
3017237З92434Ц
725
745(+1)
i68(+i)
868(+1)
2б1( + 1)
071
840
750 (-2)
571 (-3)
7Ь(-0
555 (-8)
224 (-U)

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 221
Таблица 6 (продолжение)"
п
16
"
4
8
12
16
Н
1
2
3
+
5
6
*
9
10
и
12
^
ц
*5
16
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
1
1
2
з
4
5
6
7
8
9
10
и
12
1
2
ХК
S :
0,78233 91640 85635 910
16700 71836 71874 ooi (+1)
28329 21719 47257 737(+i)
42844 18368 19021 891 (+1)
60378 6871096889 479(+i)
8Ю95 49334 13974 021 (+1)
10520 10170 48502 2i8(+2)
13296 03991 23563 184 (+2)
16471 88870 86961 99б(+2)
20093 49997 30530 394(+2)
24223 52994 28об2 549 (+2)
28951 14958 06519383 (+2)
3441° §43°4 о8о2о 216 (+2)
40824 89527 13820 481 (+2)
48617 05497 34729 ИЗ (+2)
58873 72775»3532 394(+2)
S -
о, 29107 86369 36770 048 (+1)
боооо ооооо ооооо ооо (+1)
Ю334 U034 67862 57^(+2)
16755 ЮЗ2© 38460 417(+2)
0,1787860471 57082 745 (+1)
35882 38857 64338781 (+0
59200 90026 12269 49о (+1)
8866846401 18214 593 (+1)
12543 58894 44281 5б8(+2)
17140 52888 ЗЗЗоб 908 (+2)
23023 34262 97284 257 (+2)
ЗП29 50378 5993b 7об(+2)
о, 12974 87840 ооб85 5°8(+i)
2586209436344067191+1) I
42269 79953 86950 259 (+1)
6250875470 37452 539 (+1)
86902 81255 95059 872 (+1)
115872437894981 12о(+2) |
14999 59225 75396 278 (+2)
19010 35823 23823 253 (+2)
23745 69049 25278 601 (+2)
29414 47612 88863 084 (+2)
36416 34820 53466 644 (+2)
45774 45693 72735 53о(+2)
о, 1019756210 06729 237(+0
202686733891905 U9(+i)
Ч
= 4 1
1 о» 12973 97°2$ 63052 232
Ц974 86658 o§338 5o8(+i)
49461 26142 81207 374 (+1)
74302 67050 86785 796(+1)
60568 7666231872 829 (+1)
29091 бпп 57755 32o(+i)
855584651819837666
156009598652813629
175191359650891 542(-i)
и822 72573 ооо°7 12б(—2)
45850 63116 59349 061 (-4)
95o6i 60798 27638 761 (—6)
93830 97595 034°2 079(-8)
36228 1000770432 5°9(—ю)
375П 919о6 28700 о9о(—1з)
40167 06753 92835 9б7(~17)
= 5
! 0,2968439231 55522 145(+2)
70000 ооооо ооооо ооо (+2)
19746 95°48 02402 05б(+2)
568657204207579951
о, 47828 65186 03309 5°7 (+1)
33761 3267971511 042(+2)
51231 37253 ооз45 871 (+2)
25408 12652 26598 5б2(+2)
45375 88981 16486 575 (+1)
274ЗЗ8324361631772
437283100034351 893 (-2)
88275 94516 3326о 886(—5)
о,11333 47268051278571+1)
12710 27529 75832 523 (+2)
35995 12482 34067 Н9(+2)
40967 24586 6о868 638 (+2)
22178 13207 82776 474(+2)
6095560142778792471+1)
858547769806400297
59848 19418 10913 4i8(—1)
18953 82494 56284 785 (~2)
23099 86254 86114 025 (—4)
77440 68876 01347 796 (-7)
30161 61085 14055 821 (—ю)
0,35165 1938860095021
51231 07127 50064 588 (+1)

222
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение)
п
16
к
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
Ц
15
16
хк
s =
ЗЮ04 7946* 06096 635 (+0
48575 7645713809 794 (+0
67127 55597 61595 59°(+0
888305877614446853(4-1)
1138971066 17410 8q5(+2)
14259 74092 50898 484(+2)
17528 17871 11426 743 (+2)
21241 41228 11650 920(+2)
25462 71627 26265 377 (+2)
30282 03927 01258 409 (+2)
358350465381012 185(4-2)
42345 42776 33176 6и (+2)
502404476674638 389(+2)
бобц 7°6о6 34799 66з (+2)
Afc
= 5
2040084978 99245 158 (+2)
3579б45019079б2 966(4-2)
332890537I 60876^07(+2)
17912 08683 08842 187 (+2)
581751150687781879(4-1)
115803031442409197(4-1)
14064 13041 18632 739
Ю186 55736 72515 247(-0
42П5 54821 24525 534 (-3)
92705 59457 *3°°8оск (-5)
96723 05286 38172 189 (—7)
З936478958 12592163 (-9)
4291306834 19748 559 (~12)
48478 98628 52962 66i (—16)
хк
Ч
3
5==~4
о, 25000000 ( о) |о, 36256099 (+1
о, 13156601( о)
23680340 (+1)
о, 89682157 (—1)
15274470(4-0
51328708(4-1)
0,67925856(^1)
н371785(+1)
36179271 (+1)
8i769686(+i)
о, 5466624Ц—1)
90803851( о)
28293856 (+1)
60746894 (+1)
11383220(4-2)
о» 45738469 (-О
75652099( о)
23327747(4-0
49°43829(4-i)
+0
о)
+D
о)
-2)
+D
о)
-1)
-3)
4-0
о)
-О
-2)
-4)
4-D
о)
. . о)
70754479 (-2)
Р, 34342270
19138291
о, 324З9З88
37265789
90132512
о,30896995
5°145733
34094068
35901303
|о, 29640634
55092562
68185624
24225296
12783787
|о, 28555004
65387475
10501506
2
* = -з
о, 33333333 ( 0)10,26789385(4-1)
о, 17863279 ( о)
24880339 (+1)
о, 12209682( о)
i6i3349o(+i)
52б45542(4-1)
°, 9275^75 (-1)
12043996 (+1)
37212964(4-1)
83148791 (+1)
°. 74791343 (-1)
96333706( о
29150212(+1)
61884022 (+1)
11525115(4-2)
о, 62656686 (—1)
80351978( о)
24060377(4-1)
50018261(4-1)
к 24994837 (4-i)
17945485( о)
к 23214554 (+i)
34850200( о)
89811674 (—2)
|о, 21783829 (+1)
46624946( о)
33935593 (-1)
37o6i456(-3)
к 20629568 (+i)
54578896( о)
67680334 (-1)
24988537 (-2)
13530718(_4)
0,19677807(4-1)
59986356I о)
10285486( о)
72865269 (—2)

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 223
Таблица 6 (продолжение)
п
6
7
8
9
10
In
к
5
6
1
2
3
4
1
1
1
2
3
4
7
8
1
2
3
4
5
6
J
9
1
2
3
4
5
6.
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
Ч
s —
87632812(4-1)
14б973°2 (+2)
°'29_17бЗб(-1)
64865489( о)
19881035 (+1)
413359М+1)
72374353 (+0
11613799 (+2)
18089091 (+2)
°» 34477740(-1)
56786065( о)
17ЗЗ8097 (+1)
35808230 (+1)
62002834 (+1)
97580054 (+1)
Ц584774 (+2)
2i539966(+2)
о, 30698864 (—1)
5050433°( о)
15380221 (+1)
31625636(4-1)
54384598(+1)
84663798 (+1)
12421914 (+2)
17649392 (+2)
25°37527(+2)
о, 27666559 (—1)
45478442( о)
13824258 (+1)
283398оо(+1)
48509714 (+1)
75000109 (+1)
Ю888408 (+2)
I5I99478 (+2)
207892I5 (+2)
28573°6о (+2)
о, 25179461 (—0
41365013! о)
I2556914 (+0
25685049 (+1)
43822222 ( + 1)
67435909 (+1)
97240982 (+i)
Ак
3 1
14377852 (-з)
42045604 (—6)
о, 27706703 (+1)
69892319( о)
14109251( о)
14318943 (~i)
59744603 (-3)
74767629 (-5)
13030908 (—7)
о, 26938824 (+1)
73163284с о)
17479228( о)
2368j092(—l)
15758б39(-2
43°977-8(-4)
35138424 (-6)
38556561 (-9)
о,2б2б5393(+0
75563323( о)
20550499( о)
345729Н (-0
32IO2912 (—2)
14640578 (—3)
27469968-5)
1524Ч94-7)
109904111—ю)
0,25667656(4-1)
77334797( о)
23313283 о)
46436747 -1)
55491235-2)
36564666I—з)
11868798 (—4)
15844109 с—6)
61932667 с—-9)
30377599 (-12)
о,25131719(+1)
78643579 С о)
25781873с о)
58823923 (-1)
85745364 (-2)
74801957-З
36099778 (—4)
Ч
Ч
2 1
88839504 (+0
14842009(4-2)
о, 539Ю5бз (-О
68953361( о)
20521857(4-1)
42190751(4-1)
73431967(4-1)
11739519 (+2)
18235913(4-2)
о, 47307354 (-О
60403617с о)
179о788з(4-1
36570500(4-1)
62946900(4-1)
98699921(4-1)
14714356(4-2)
21688446(4-2)
о,42145372(~1)
53748977С о)
15893321(4-1)
3231398з(+0
55238з87(+1)
85676444 +1)
12538762(4-2)
17782039(4-2)
25187351(4-2)
о, 37999161 (-1)
48420090( о)
14291031 (+1)
28967576 (+1)
49289647 4-1)
75925722 4-1)
10995130 4-2)
15320244 4-2)
20924364 4-2)
28723998(4-2)
о, 34595733 (-0
44055546( о)
12985093(4-1)
26262222(4-1)
44540441(4-0
68289054(4-1)
1 98224690(4-1)
15206552 (-з)
4537оо66 (-6)
0,18876235 С+1)
63699815( о)
13896514( о)
14712447(-1)
63U8707-3)
80616495 (-5)
14284314 (-7)
0,18188865(4-0
66264588 ( о)
17142864( о)
24268438 (—1)
16622740 (—2)
46430249(-^4)
38486494 (—6)
42830294 (—9)
о,1759о492(4-1)
68033076( о)
20069432С о)
35323750 (-О
33799044 (—2)
15754740 (-3)
30066352 (-5)
i69i6i8o(—7)
12349658НЮ)
0,17063009(4-1)
6923795«( о)
22672 ц8( о)
473оо6о5(—1)
58298751 (-2)
39292010 (—3)
12979143(—4)
17574046 (—6)
69529013 (—9)
3448i66o(—12)
0,16593071(4-1)
70036590( 0)
24970224( 0)
59732536(-i)
89878277 (—2)
80251978 (—3)
| 39434095 (-4)
к
5
6
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
1
9
1
2
3
4
5
6
1
9
ю
1
2
3
4
5
6
7
71
6
7
8
9
10
1-1

224
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение)
п
111
12
13
14
к
8
9
10
и
1
2
3
4
5
6
1
9
10
и
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Ю
И
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Н
хк
Ак
3 _
s==s-4
1343б207(+2) 86028637 (—6)
18069703 (+2)
23990970 (+2)
32140182(+2)
0,23102б54(—О
37935667( о)
11504119(4-1)
23492740 (+1)
39985600 (+1)
6l325225(+l)
88016659 (+1)
12081232(4-2)
1бо8791б(+2)
21017140(4-2)
27244753 (+2)
35734066 (+2)
о,21342343(~1)
35032523( о
10615307 (+0
21650156(4-1)
Зб782212(+1)
^6270886 (+0
80488600(4-1)
10996928(4-2)
Ч54958о(+2)
1Й827134(+2)
2403ОО58 (+2)
30542958 (+2)
3935°958(4-2)
о, 19831300 (—1)
32542893( о)
98547259( °
20078857 (+0
34064182 (+i)
52012402(4-1)
74207282 ( + 1)
10Ю4427 (+2)
133080J9 (+2)
17112485 (+2)
21б412Ц(+2)
27099321 (+\)
ЗЗ879606 (+2)
42987883(4-2)
84140625 (—8)
2з8з51бо(-ю)
8i8i5i56(—14)
о, 24647057 (+0
79605870( 0)
27980632( 0)
71390736 (-1)
12225767—1)
1332327З (—2)
87141394 (-4)
31636049 (-5)
56781758 (-7)
41694988 (-9) ч
87605378 (-12)
21551771 (-15)
о, 24205526 (+i)
8озо482°( о)
2993б958( о)
83886781 (-1)
16419265 (—1)
214«>4897(— 2)
17878817(—з)
897З4808 (-5)
25062982 (—6)
34610092 (-8)
19470015—10)
30950213—13)
55690709 (—17)
о, 23800715(4-1)
80801064 ( о)
31677869( о)
96136405 (—1)
21063171 (—О
32020739 (—2)
32543301 (-3)
21163299 (—4)
83147377 (-6)
18208329 (—7)
J?697335(-9)x
86368195 (-12)
10564405 (—14)
14150187с—18)
—
*к
2
s з
13547391 (+2)
i8i937°5(4-2)
24128206 (+2)
32292064 (+2)
о,31751885(-1)
40414669 ( о)
П899639 (+1)
24026968(4-1)
40651394 (+1
62116894 (+1)
88929871 (+1)
12l8Ul3(+2)
16202826(4-2)
| 21143867(4-2)
27383762(4-2)
35885758(4-2)
о. 29340088 (—1)
37330886( о)
10982821(^1)
22147458(4-1)
37402865(4^1)
57009641(41)
81341288(4-1)
I 1109328о(4-2)
1 4656820(4-2)
i89452io(+2)
24159116(4-2)
30683495 (+2
395°435б(+2)
о, 27268829 (—0
34685191( о)
ioi97957(+i)
20544055 (+0
34645533 (+1)
52705070(4-1)
75007319 (4-0
10194858(4-2)
13408695(4-2
17223204(4-2)
21762020 (+2)
27230399(4-2)
34°2147б(4-2)
4З141902 (+2)
95352839(-6)
944Ц85о(-8)
27029892 (—1 о)
937"739(—Ч)
0,16170614(4-1)
70537830( о)
26992017( о)
72268470 (—1)
12784661 (—1)
Ц268845 (—2)
95070230 (—4)
35°343бо(-5)
63669953 (-7)
47257046 (—9) ч
10024702 (—11)
24888025 (—15)
0,15787891(4-1)
70818553( о)
28768046( о)
84656713 (-0
17128272 (—1)
22934737 (-2)
19478345(-3)
992733°3(-5)
28о8зоб9(—6)
392°5б37(-8)
222б7зЗо(—ю)
357об134 (—13)
647926И (—17)
0,15438829(4-0
70934050( о)
30327712( о)
96724ЗН (—О
21919002 (—-l)
34163Ю1 (~2)
35401597 (-3)
23386338 (-4)
93088689 (—ь)
20613324 (—7)
2251бЮ2(—9)
99585491 (—I2)
122787Ю(—ц)
16575953 (—18)
к
8
9
10
и
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
1
2
3
4
5
6
7
0
9
10
и
12
13
1
2
3
4
5
6
1
9
10
и
12
13
14
п
11
■12
!3
ц

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 225
Таблица 6 (продолжение)
Ч
Ч
хк
Aft
15
3
jo, 18520079 (-0
303841691 о)
91963630( о)
18722452 (+1)
31727103(4-1)
48370543 (+0
68874669 (+1)
93542089 (+1)
12278679(4-2)
15718549(+2)
19756920 (+2)
24520177 (+2)
30217659+2)
37249901 (+2)
46642432 (+2)
о, 23427496 (+1)
8и39572 ( о)
332284б6( о)
ю8о2П7( о)
2бо6б573(—1)
45056123 (—2)
54072485 (-3)
43513397 (-4)
22477505 (-5)
7оз14317(-7)
122б993*(—*)
Ю559523 (-Ю)
36629022 (—1з)
34984591 (-16)
35421038 (-2о)
• — 4
о, 50000000 ( о)|о, 17724538 (+0
[о, 27525513 ( о)
27247449 (+1)
о, 19016351( о)
17844928 (+1)
55253437(+i)
,14530352( о)
13390973 (+1
39*Й635(+0
85886357(+1)
|о, H758i32( о)
Ю745б2о(+1)
30859374 (+1)
64Ч7297+1)
и 807190 (+2)
|о, 98747014 (—О
89830283( о)
25525898+1
519б1525(+1)
91242480 (+1)
151299бо(+2)
[о,85И5443(—О
77213792( о)
р, 16098282 (+1)
1б2б25б7( О)
о, 14492592 (+1)
31413464( о)
90600I98 (—2)
|о, 13222940 (+1)
41560465( о)
34155966(—1)
39920814 (-з)
|о, 12217253 (+1)
48027722( о)
67748789 (-1)
26872915 (~2)
15280866 (—4)
о, 11402705 (+1)
1 52098462( о)
io32i^97( о
781078П (—2)
17147374(—3)
5317Ю34(—6)
|о, 10728118 (+1)
54б2И22( О)
2
8 — $
о, 25470738 (—1)
32390*76( о)
95i8333o( о)
19159475 (+1)
32273905 (+1)
49022673 (+1)
69628414 (+i)
9439443Ь(+1)
12J73542(+2)
15822884 (+2)
1987об58(+2)
24643363 (+2)
30350509(+2)
37392945 (+2)
46797002 (+2)
p,i5ii8594(+i)
70524741( о)
316978*8( о
Ю835793 ( о)
27059366 (-1)
587289i8(~3)
48024950 (—4)
25i4i325(—5)
79545368 (-7)
цо1824б(— 8)
12169838 (—ю)
42549б78(-13)
40940479 (—16)
41756932 (-2о)
1
о,666666б7( о)|о, 1354И79(+0
о, 37567222( о)
29576611 (+1)
о,26208526( о)
19549325 ф)
57829822 (+1)
о,20133920( о)
14741979+1)
413П252(+1
8859804З (+1)
о,16348250( о)
11866468 (+1)
}рНЩ (+1
66396798+1)
12087085 (+2)
о, 137б1932( о)
994Ц015 о)
26992064 (+1)
538978о7(+1
93632211+1)
15416032 (+2)
Ь,12015о66(+1)
I526nj5( о)
|о, 10515660 (+i)
293232ю ( о)
93198233 (-2)
|o,9g?729
о, 11882624(
85587183(
41б£( о)
35053092-1)
43585713(-3)
|о, 84387345 ( о)
43813921( о)
69158745-1)
292909621—2)
1743б2б7(—4)
|о, 77Ц815б( о)
46932i8o( о)
10463209( о)
84865065 (—2)
195358о4(—3)
62834563 (-6)
|о,7М48547(
48601383(
о)
о)
8 В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина

226
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение)
п
7
8
9
10
и
к
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
1
9
10
1
2
3
4
5
6
L
9
10
11
*к
А*
2
2i8o59i9(+!)
43897929 (+i)
7554°9i3(+i)
1198999З +2)
185282781+2)
0,74791883 (~i)
67724909 о)
19051136+1}
38о947б4 +1)
6483Ч54 +i)
10093324+2)
14972627+2)
21984273 (+2)
о, 66702231 (—i)
60323636! о)
16923951 (+1)
33691763+1
56944233+1
87б975б7(+1)
12771825(+2)
18046506(4-2)
25485979(+2)
0,60192063 (—1)
5438б75о( 0)
15229441 (+1)
ЗО225134(+0
50849078 (+1)
77774392+1)
ll208l30(+2)
15561163 (+2)
21193892(+2)
29024950(4-2)
0,54839870 (—0
49$17412( о)
13846557 (+i)
274i9i99(+i)
45977377 (+1)
69993975 (+1)
10018908 (+2)
137б93°6 (+2)
18441120(4-2)
244019б1(+2)
32594980(4-2)
I 137°п°7( о)
i57°oi09(--i)
71018523 (~3)
94329687 (-5)
17257182 (-7)
o,ioi5859o(+i)
56129492( о)
16762008( о)
25760623 (—1)
l8645680 —2)
54237202-4)
4б419б17(~6)
53096150 (—9)
о,96699139( о)
5б9бЦ57( о)
19460349( о)
37280085 (—i)
37770453 (—2)
18362254 (-3)
36213090 (—5)
2С934412(~7)
15б5б4оо(—ю)
о, 92448734( о)
57335Ю1 ( о)
21803441( °)
4962Ю42(—1)
64875467 (—2)
45667727 (-3)
15бо5пз(-4)
21721з87(—6)
87986820 (—9)
44587873 (-12)
о,88709045( о)
57394287( о)
23820472( о)
62280742 (—1)
99567987 (—2)
9297701 о(—з)
47310257 (-4
11768575 (-5)
И2Д39«(—7)
34886780 (__ю)
12334367U13)
Ч
е =
23093354 (+1)
456o226i(+i)
7764i875(+i)
12239226 (+2)
18818994 (+2)
Ь,Ю455148( о)
75160892(, о)
2oi9Q368(+i)
39618827 (+1)
66711486(4-1)
10315831 (+2)
15223743 (+2)
22278631 (+2)
к 93339840 (-1)
67011787( о)
17960511 (+1)
3597Ю9о(+1)
58647931 (+1)
8971335°(+1)
13004073 (+2)
18309898(4-2)
25783283 (+2)
о, 84300612 (—1)
60464222( о)
1б174338(+1)
3i4854i8(+i)
52408034 (+i)i
79619807(4-1)
И420559 (+2)
I58OI289 (+2)
2цб2420(+2)
29324696(4-2)
0,76858005 (—1)
55086690( 0)
147Ц81б(+1)
285797Ю(+1)
474i5°44(+i)
7i697i77(+i)
Ю2Ц958(+2)
13990636(4-2)
I8687769 (+2)
24674781 (+2)
32896790(4-2)
А*
1
"~3
13781692( о)
16983222 (—1)
80733760 (-3)
11129782 (—4)
20994874 (~7)
0,66341907( о)
49355022( о)
16724863( о)
27721724(^1)
2П32053 (—2)
63886176 (—4)
56380434 (—6)
6б219327(-9)
о, 62190396( о) '
495239°4( о)
19259741( о)
39892352 (-0
42649550 (-2)
21580550 (-з)
43922087 (-5)
26063500 (—7)
19953470(—ю)
о, 58626i6i( о)
49316561( о)
21405464( о)
52786285 (—1)
72953721 (-2) j
53524334(-3)
18894019 (—4)
27009467 (—6)
1И934бо(—8)
57927435(^12)
о,55528ю5( о)
48866975( о) |
23201770( 0)
65857353 (-0
И147144(-1)
Ю863036 (—2)
57158908 (-4)
14612639 (-5)
15164403 (-7)
45240056 (-Ю)
16303363 (-13)
к
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
1
1
2
з
4
5
6
1
9
1
2
з
4
5
6
1
9
Ю
1
2
з
4
5
6
7
8
9
10
и
п
7
8
9
10
н|

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИВ ЛАПЛАСА 227
Таблица 6 (продолжение)
хк
хк
12
ц
>5
1
2
3
4
I
7
8
9
110
In
|12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
lio
In
12
1
2
3
4
i
7
8
9
|Ю
li
12
1
2
3
4
5
о, 50361883 (—1
45450668( о
12695899 (+1
25098481 (+1
4198415б(+1
Ь3б99754 +1
90754342 +1
12390448 (+2
16432195 (+2
21396756 (+2
276611091+2
Зб1913бо(+2
о. 46560083 (—1
42002741( о
И72зю8(+1
21145409 (+1
38645850 (+1
58487348!+!
83045535 (+1
11285751 (+2
14870960 (+2
I9l80§20 (+2
244I6692 (+2
309б3938 (+2
398I0426 (+2
о, 43292036 (—1
39042093( о
10889659 (+1
21477995 (+1
358Ю282 (+1
54091123 (+1
76606911 (+1
Ю375563 (+2
13609711 (+2
17444294 (+2
22003197 (+2
27492042 (+2
343°4б20 (+2
43449262 (+2
. 40452704 (—1
36472064( о
10167461 (+1
20037190 (+1
33369832+1
50328053 (+1
2
"4
|о, 85386233 (
572359071
25547924
74890941 "
Ц09б712(-
1б473^5о(-
И3773§3(-
431б4914(-
80379423 -
60925085с-
13169240с-
3328737о(-
|о, 82408730 (
56926448(
27022666(
8Z^6454(-
18795802(-
26381294(-
23245940(-
12206583(-
35402127С-
50489881(-
29219999(-
4766297З(-
87938322(-
о)
о)
о)
-1)
-1)
"2)
31
-7)
-9)
-и)
-15)
о)
о)
-Л
"О
-2)
-з)
-4)
1>
-8)
-10)
-13)
-17)
Р. 79720943( о)
56512278с о)
28278922с о)
99029778 (-1)
23936846 с—1)
3§Цбб2б (—2)
42123620 (—з)
28691008 (—4)
П715439 (-5)
26513650 C-7)
29517063 C-9)
13278873 С-и)
i663i876(—14)
22802787 С—18)
°»77278978 С о)
56026186( о)
293471б9( о)
11028835 С °)
29407659 Ы)
54758449 (—2)
Цо, 70623234 (-1)
50590373с о)
13499ЮЗ (+1)
26174080 (+1)
43318532С+1)
65282048 (+1)
9^576308 (+1)
12596057 (+2)
16660979 (+2)
216489H (+2)
27937578 (+2)
Зб49494о(+2)
|о, 65324287 (-1)
4б774523( о)
1247oj8o(+i)
24147823 (+1)
39891098 (+1)
59965369 С+1)
84748352С+1)
П477922 (+2)
15о84б5б(+2)
1941бо5о(+2)
24673565 (+2)
31243556 (+2)
40115546 (+2)
|о, 60765142 (-1)
43495197 С о)
11588322+1)
22416650 (+1)
36977777 (+1)
55478167+1)
78205917 (+1)
Ю556066 (+2)
138Ю395 (+2)
17664932 (+2)
222438о8 (+2)
277530Ю (+2)
34586987 (+2)
43755735 (+2)
[|э, 56800958 (—1)
40646453( о)
Ю823479+1)
209197841+1)
34468863 (+Г
51634947 (+1
1
|о, ,52806 58i ( о)
48262774( о)
24693770( о)
787i66i6(—1)
15709374 (-0
19181325 (-2)
13711894 (-3)
53504120 (-5)
Ю20П93 (—6)
7891719З (-9)
17373801-и)
44693 Ю9 (-15)
'°. 50393843 ( о)
47562152( о)
25925067( о)
9П04339(-1
20847488 (-1)
30605414 (-2)
27939179 (-3)
15100217 (-4)
448б5547 (-6)
65329078 (-8)
38506836 (—ю)
63870329 (-13)
11977457 Мб)
о,
48237727( о)
46804235( о)
26934983( о)
1о2§5891( о)
2б42352о(—1)
45243292 (-2)
50479564 (-3)
354133Ю(-4)
14822593 (-5)
34264094 (-7)
38859б57(-9)
17774905 (-Н)
22608478 (—Ц)
3i47i238(—18)
о,46297392( о)
46oi5562( о)
27757758( о)
11388979( о)
323о8и6(—1)
63041891 (—2)
15

228
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение)
кк
хк
П
8
9
110
и
12
N
!5
7И35938(+1)
96o98i?3(+i)
12563082 (+2)
16031284 (+2)
200Q7785 (+2)
24889312 (+2)
3o6ij7i7(+2)
37678472(4-2)
4?Ю5509(+2)
69662025 (—3)
58774504 (—4)
31581898 (-5)
10217045 (—6)
18з571оЧ—8)
1621237З (—ю)
57572142 (-13)
56206672 (—16'
58165094 (—2о'
о,75оо°ооо( °) 1°, 12254167 (+0
[о, 42712434 (о)
307287571+1)
к 29934698 ( о)
2039939° (+0
59107140 (+i)
jo, 23055427 ( о)
15419141 (+1)
42330570 (+i
«9944747(+0
|о, 1875Н52( о)
1243°14о(+1
33415541 (+1)
67516678 (+i)
12226253 (+2)
|о, 15802683 ( о)
10424520 (+1)
27725478 (+1)
54863494 (+0
94822331 (+1)
15558391 (+2)
о, 13656131 ( о)
89815860( о)
23738376 (+1)
46453454 +1
78689498 (+0
12363394 +2)
189637531+2)
о, 10758723 (+1)
14954437( о)
о, 92931050 ( о)
( о)
(-2)
|о, 81598329 ( о)
37322424( о)
35751549 (-0
45761692 (-3)
к 728484651 о)
42348796( о)
70352686 (—1)
30727129 (—2)
18694668 (—4)
о, 65938183 ( о)
45086007( о)
10607626( о)
88885649 С—2)
2°929Ш(—2>
68512888 (—6)
р,60350363( о)
46469823( о)
I39i8949( о)
17749203-1)
86398610 (—з)
12125975(-4)
23216173 (-7)
1
83223051 (—3)
72170100 (—4)
39884022 (—5)
13185220 (—6)
24Н15Ю(—8)
21681511 (—10)
78175668 (—13)
77418927 (-16).
8126^593 (—20)
__ 1
- 4
|р, 12500000 (+i) [о, 90640248 ( о)
72643542 (+1)
97800687 (+1)
12752381 (+2)
16239332 (+2)
20324458(+2)
251347ю(+2)
30880280 (+2)
37963262 (+2)
47413182(-р2)
[о, 75°ооооо( о)
37500000 (+1)
|о, 53837429 ( о)
25478249 (+1)
66638008 (+1)
|о, 42042886 ( о)
19506756 (+1)
48379773(+0
97909182 (+1)
к 34503920( о)
15856761 (+1)
38506938(4-1)
74174151 (+1)
1305П7б(+2)
к 29263972( о)
1337б599(+0
32132113 +1)
60626767(4*1)
10190154(4-2)
16403659 (+2)
|о, 25408636 ( о)
11575664 (+1)
27627227 (+1)
51548940 (+1)
84938269 (+1)
13102513 (+2)
19МЗ91 (+2)
!о,7553354о( о)
15106708( о)
к 60944789( о)
28521892( о)
11735670 (—1)
к 50095016( о)
36103211( о)
43768337 (-1)
65187433 (-3)
к 42089395( о)
39627553( о)
§4848954 (-0
29808894 (—4)
|о, 36048227 ( о)
40763446( о)
12547255( о)
12479862 (—1)
332П959 (-3)
и 982822 (—5)
|о, 31372015 ( о)
40558120( о)
1бпо8б5( о)
24609048 (—i)
13622743 (-2)
21Ю7555 (-4)
43913703 (-7)

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 229
Таблица 6 (продолжение))
п
8
-
.9
10
и
112
к
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
1
2
3
4
I
*к
Ак
1
» —4 |
о, 12023320 ( о)
78921467( о)
20775363 (+1)
40380838 (+1)
67649893 (+1)
10426788(4-2)
15357881 (+2)
22425274 (+2)
°. Ю739445 ( о)
70338000( о)
18481013 (+1)
35761365+1)
59499030 (+1)
90719316(+1)
13П99°о(+2)
18441202(4-2)
25931451 (+2)
о, 97034092 (-1)
63544Н4 ( о)
16649210(4-1)
32Иб599(+1)
53i8737o(+i)
80541346(4-1)
11526566(4-2)
15921062(4-2
2159б317(+2)
294741*7 (+2)
0,88497425 (-1)
57911241( о)
1515148о(+1)
25161296(4-1)
48i34i75(4-i)
72548170(4-1)
10312842(4-2)
14101087(4-2)
18810814(4-2)
248ю848(+2)
33047287(+2)
Р»81341747(—1)
53198782( о)
1З903292+1
26713411 (+1)
439863371+1)
[ 66073009(4-1)
о, 55736928( о)
46857430( о)
16824669( о)
28898183 (—1)
22580838 (—2)
69546io6(-4)
62294264 (—6)
74114081 (-9)
0,51855926 ( о)
46758475( о)
19297408( о)
414б9995(-1)
4549об5о—2)
23466332 (-3)
48495083 (-5)
29145758-7)
22569509 (—ю)
о,48552557( о)
46318263( о)
213б25б6( 0)
54714982 (-1)
77654928 (-2)
58122229 (—з)
20843025-4)
30184690 (—6)
12649702 (-8)
66i4o6io(—12)
0,456948J7( 0)
45666881( 0)
23065512( 0)
68062206 (—1)
11839569М)
ii777854(~2)
62988202 (—4)
16318805 (—5)
17127257 (-7) ч
51606798 (—ю)
18773°42(-^13)
о,43198479( о)
44888080( о)
Ж55979 о)
81110951(—1)
16647236—1)
1 20761343 (—2)
*к
t
э, 22452356 ( 0)
10206218 (+1)
2425756o(+i)
44953^67(4-1)
732597i8(+i)
1Ю88б1б(+2)
l6l21149(+2)
23297996 (+2)
0, 20ll3U6( О)
91287290( 0)
2i634764(+i)
39912081 (+i)
64596334 (+1)
9б729896(+1)
13810927(4-2)
19223798 (+2)
26813963(4-2)
о, 18215798( о)
82583043( о)
19531838Г+1)
1 35918407(4-1)
578б215о(+1)
86055426 (+1)
1 12159855(4-2)
16635829(4-2)
22394787 (+2)
30364759(4-2)
к 16645876( о)
! 75402о67( °)
I 17806347(Н
| 32бб9432(-
52453558(-
7764б434(-
10898281(-
Ч7б0943(-
19545318(-
25622622(-
33944780(-
г1)
-1)
-1)
-1)
-2)
-2)
-2)
Л)
-2)
к 15325280( о)
69375065( о)
16364036^
29970709(-
48002063(-
1 70816713(-
-1)
-О
Й
Afc
• 1
* = 4
о, 27667312 ( о)
39622479( о)|
19037319( о)
39480543 - О
35291971 (— 2)
12045349 (— 3)
11725311 (— 5)
15004291 (— 8)
о, 24672401( о)
38308225( о)
21339477( о)
55753740 - 1)
7оз47786(— 2)
40377696 (— 3)
90896518 (— 5)
587049ii(— 7)
48515338(-ю)
о, 22208856( о)
Зб81797б( о)
23089966( о)
72335980 (— 1)
п86б913(— О
99212б7о(- з)
38865637 (-4)
6056575° (— 6)
27048442 (— 8)
15001289 (—п)
о,2015184б( о)
35268495( о)
24377085( о)
884521б6(— 1)
17863841 (— О
19921982 (— 2)
Пб71982(— з)
32606565 (— 5)
36494875 (- 7)
Пб41327(— 9)
44697035 (-13)
0,18411885 ( о)
33726572( о)
2528569Р( о)
1 10360779( о)
24786471(~ О
1 34769762 (—2)
к
1
2
3
4
5
6
1
1
2
3
4
5
6
1
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
1
9
Ю
И
1
2
3
4
\1
п
8
9
10
ill
12
1

230
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица б (продолжениеТ
п
12
1*3
14
Г
к
1
9
10
и
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
Ц
i
2
3
4
5
6
1
9
10
и
12
ч-
» =
93486388 (+1)
U698707 (+2)
16775156 (+2)
21774719 (+2)
28075491 (+2)
36646354 (+2)
о, 75256950 (-1)
49197586( о)
12846620 (+1)
24650700 (+1)
405Ч577 (+1)
60704514 (+1)
85599251 fi)
И573898 (+2)
1519134о(+2)
19533404+2)
2480174З (+2)
31383061 (+2)
40267755 (+2)
о, 70019328 (—1)
45757553(о)
11940247 (+1)
22887740 (+1)
375б2557(+1)
56172071 (+1)
79oo52i8(+i)
10646245 (+2)
i39i°6i6(+2)
17775084 (+2)
22363905 (+2)
27883246 (+2)
34727883 (+2)
4З90864З (+2)
0,65463438 (—1)
42768I27( 0)
П15405б(+1)
21362903 (+1)
35oi9543(+i)
52288970 (+1)
73397388(+1)
98651504+1)
12846942 (+2)
16343227 (+2)
2Н37б27(+2
25257205 (+2)
*к
1
= ~~4
15091779 (—3)
597ооо47 (-5)
H5i455o(-6)
89973001 (-9)
19986738 (—И)
51860695 (—15)
о,40996958( о)
44036475( о)
2558пб9( о)
93598877 (-1)
22040685 (—1)
33066847 (~2)
30709142 (-з)
16832163 (—4)
50605643 (—6)
7444°741 (-8)
44273822 (-10)
74042020 (—13)
1399бб7о(-1б)
о, 39039338( о)
43148011( о)
26483118( о)
10536765( о)
27870148 (— 1)
48790590 (- 2)
55403490(- 3)
3?43Ч45(-4)
16705255 (- 5)
390191б2(- 7)
44657293 (— 9)
20594483 (-H)
2бз94о6о(—14)
37016974 (-18)
о,37285889( о)
42246457( о)
27198064( о)
Пбз3342( о)
3399б5»4(- 1)
67854504(- 2)
212ою94(— 3)
80484862 (— 4)
449Э8439 (— 5)
15004570 (— 6)
277284о6(— 8)
25Ю913б(—Ю)
хк
Afc
1
5==4
98935020 (+1)
13312535(+2)
17457342 (+2)
22525930 (+2)
28898603 (+2)
37549732 (+2)
к 14198949с о)
64243536 Г о)
I5i39884(+i)
27б9ШЗ(+1)
44267528 (+1)
б5141бз8(+1)
90698083 (+1)
1 I2148300 (+2)
15829265 (+2)
20234661 (+2)
25567ЗО7 (+2)
32215969 (+2)
4П7б24о(+2)
0,13226930( о)
59821265( о)
Ц087505 (+1)
25738676 (+1)
4IO85687 (+1)
6034IO84 (+1)
83798632 (+1)
11186354+2)
145Ю309 (+2)
18433754 (+2)
23081668 (+2)
28661294 (+2)
35569353 (+2)
44821бзо(+2)
о,1237953о( о)
55970183( о)
1317288о(+1)
24046825 (+i)
3?339«47(+1)
56221289 (+2)
77921379 (+1)
10375070 (+2)
13413128 (+2)
1б9б4855(+2)
2П14374(+2)
25989415 (+2)
27764817 (-3)
11868250 (—4)
24445549 (—6)
2022799З (~8)
47321905 (-и)
12907164 (—14)
0,16923386 ( 0)
32329574( 0)
25890158( 0)
11752309( 0)
32373627 (-1)
54797313-2)
56048163 (—3)
33266637 (-4)
10698173-5)
16681596 (—7)
10448308 (—9)
18323081 (—12)
36284664 (—16)
0,15637321( 0)
30797378( 0)
26252808( 0)
13006996( 0)
40376556 (— 1)
79972828 (— 2)
10025715 (— 2)
77424544 (- 4)
35Ц3828(- 5)
8712И58(— 7)
10507524 (— 8)
50800242 (—U)
68028864 (—14)
99653055 (—18)
о, И51б379( о)
2943942°( °)
26424014( о)
14122Ц4( О)
48576862 (— 1)
10997797 (- О
16355758 (— 2)
15692060 (— з)
93963622 (— 5)
33363608 (— 6)
65034349 Н 8)
61764847 (—ю)
к
7
8
9
10
и
12
1
2
3
4
5
6
1
9
10
И
12
13
1
2
3
4
5
6
1
9
10
И
12
13
Ц
1
2
3
4
5
6
1
9
10
11
12
п
12
13
14
15

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
231
Таблица 6 (продолжение)
15
1
31012323 (+2)1 912l6l28(~~"13)
381053841+2) 9С97н8о(—16)
475бб7ю(+:>)| 96166583!—2о)
1
s = 3
Я, 13333333 (+0|о, 89297951 ( о)
0,80580810
3860Я586
|о, 58046512
26321998
67873351
|о, 45424410
20192169
49379857
99218866
о, 37330743
16435057
39353350
75274254
13187093
|о, 31692793
13877181
З2867732
61582620
10307181
16543138
[о, 27537861
12017146
28278507
52396486
85973973
13221770
19966573
jo, 24347866
10601184
24842246
45716056
74191504
11198304
,0)
+1)
,0)
+1)
,°>
+1)
+1)
+0
о)
+1)
+1)
+1)
+2)
О)
+1)
+ 1)
+1)
+2)
+2)
О)
+ 1)
+ 1)
+ 1)
+ 1)
+2)
+2)
О)
+1)
+ D
+ D
+ 1)
+2)
|0,73878591
15419360
[о, 59023261
290439ЗЗ
12307563
0,48039818
36603741
45845840
69807919
0,39991389
39970905
88665364
46587488
32465483
°. 33960439
40896598
13071371
13332655
36145182
13236573
[0,29323821
40473746
16726197
26237602
14809257
23297577
49*01132
0,25674224
39334643
19693179
41993787
38311042
13284105
о)
.о)
о)
о
-1
о)
о)
-1)
-3)
о)
о)
-1)
-2)
-4)
о)
о)
о)
-1)
-3)
-5)
о)
о)
о)
-1)
-2)
-4)
-7)
о)
о)
о)
-О
-2)
-з)
[о, 15оооо0о(+1)|о,88622692( о)
3i8oi345(+2)
38954412 (+2)
48483681 (+2)
[
= 4
23434657 ("
24347Р4(-
26814621(-
-12)
-15)
-19)
|о, 91886117
408П388
|о, 66632591
28007750
70328990
:|°, 523526о8
21566488
5137З876
10182438
|о, 43139881
17597537
4 Ю44654
77467038
13457678
;о, 36634988
14885343
3434оо8о
63490679
10540470
16820970
^31930363
12907586
29583745
54090316
88040796
13468536
20249916
jo, 28263365
11398738
26015248
47241145
76052563
11417182
,0)
+1)
о)
+1)
■ 0)
+1)
+2)
,0)
+1)
i1*
+2)
+1)
+ 1)
+1)
+2)
+2)
о, 72З16302
16286390
о, 56718628
30537177
13658879
[о, 45З00875
38161696
50794628
80659115
о, 37045057
41258437
97779820
53734153
38746281
0,30942410
41775215
14328587
15332491
43069120
16234698
0)10,26312451
+1)| 40914187
18211773
З0053324
17608941
28529471
61660015
+1)
+1)!
+2)!
+2)|
0)0,22713936
+1); 39359454
21290897
47877483
45425175
16240460
+0!
+1)
+0
+2)
О
О
О
о
—1
о
о
—1
-з
о
о
—1
—2
о
о
о
—1
-з
-5
0^
о
о
—1
—2
-4
-7
о
о
о
—1
—2
-3

232
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение)*
п
8
9
10
п
12
к
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
1
2
3
4
5
6
7
8
9
**
*ь
1
16247476 (+2)|
23442309 (+2)
о, 21821191( о)
94861053( о)
22165425 (+1)
40605431 ( + 1)
65444491 ( + 1)
97727692 ( + 1)
13925472 (+2)
1?353395(+2)
2б9б000б (+2)
о, 19770198( о)
85846575( о)
2оо17738(+1)
Зб554505(+1)
58641167+1)
8S972072(+i)
12264966 (+2)
16754338 (+2)
22527075 (+2)
305122з8(+2)
о, 18071989 ( о)
78405140( о)
18254 528(+П
33257207(+1)
53174274 (+0
78494970 (+1)
Ю995559 (+2)
14870463 (+2)
196671 зо (+2)
25757172 (+2)
34093474 (+2)
о, 16642678 ( о)
72156317! о)
16779982 (+1)
30517Ю9(+1)
48S72857(+i)
71607058 (+1)
99841262 (+1)
134Ч5ю(+2)
17570577(+^)
13099754(^5)
16956168(*-8)
0,22741892! о)
37839356( о)
21993§33( о)
59150182 (—1)
762j4728(—2)
44482370 (—3
10148052 (—4)
6628599З (-7) ч
5534785» (-Ю)
о,20343734( °)
36192438( о)
2371П32( о)
76535577-1)
12835292 (—1)
IO9I56IO (~2)
4335425б(-4)
68349000(~"6)
Зо8зо950(—8)
17260351 (—и)
о, 18352221 ( о)
34509б27( о)
24942763( о)
93329i8o(-i)
I928l822(—1)
2i886i66(—2)
13006642 (—3)
36768448 (-5)
4i574238(-7)
1338244З (-9) х
5i827792(~i3)
о, 16676328( о)
32855480( о)
25781218( о)
10901648( о)
26696479 (—1)
38136124 (—2)
30903234 (—3»
1337l94°(—4*
27830982 (—6)
1 ч
А*
2
'=4
1б4994и(+2)
2375°004 (+2)
°> 253532551 , ^
10208443 (+t)
23230961 (+1)
41993506 (+1)
67139743 (+0
99720092 (+1)
141540541+2)
19611903 (+2)
, 2725123б(+2)
Ь,22987298( о)
92448155( о)
j 20Q94105(+1)
37828809 (+1)
6oi99i8o(+i)
88803476 (+1)
12474832 (+2
16990847 (+2)
22791003 (+2)
30806406 (+2)
0,2102 5742 ( 0)
84483942( 0)
19155б5б(+1)
34435373 (+1)
54616448 (+i)
8oi9ii27(+i)
и 189876 (+2)
15089128(4-2)
19910258 (+2)
26025655 (+2)
34390126 (+2)
р.193729б4( о)
77789358( о)
17616741 (+0
3i6i288o(+i)
5ooi575o(+i)
73i87576(+i)
10165224 (+2)
l36l8i88(+2
17796666 (+2)
16423774 (-5)
21739431 (-8)
0,1985712м о)
37492078( о)
2з6о7482( о)
67096105 (—i)
9ОО85089(~~2)
54Эб6о74(-3)
127053671-4)
848430921-7)
72286472 (—ю)
о,17547081( о)
355223391 о)
252б8з5б( о)
86356103(""0
15109778(-"О
1328215б(—2)
54187800 (—4)
87374759("~6)
40196999(""8)
22922215 ("~п)
o,i 5649200 ( о)
33564бо8( о)
26392773( о)
10473232( о)
22606485 (—1)
26553158 (—2)
1б223744(—3)
46937429(""5)
54141153(—7)
17740722 (— 9)
69883381 (—13)
о, 14068220( о)
316791151 о)
27090670( о)
12166596( о)
31166902 (—1)
46120415(—2)
384570221—3)
17041889(-~4)
36199779 (~6)
к
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
б
1
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
1
2
з
4
5
6
7
8
9
п
я
о
9
10
И
12

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 233
Таблица 6 (продолжение)
хк
*к
12
13
14
ю
In
112
1
2
3
4
I
7
8
9
110
И
12
1*3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
In
12
Ь
1
2
3
4
I
15
9
In
12
13
ц
'15
22650545 (+2)
29°35°8з(+2)
37^99469(4-2
о,15423040 ( о)
66833637( о)
15527954(+1)
282ol663(+l)
44895°38(+i)
б588158о(+1)
9154б874 (+1)
12243802 (+2)
15935^34 (+2)
2035Ю75(+2)
25^94334(+2)
32354Н9(+2)
41326891(4-2)
о, 14370063( о)
62244759( °)
14451225 (+1)
26217848 (+1)
416752761+1)
$1036878 (+1)
8459719°(+1)
1127б21б(+2)
14бо9997(+2)
18543171 (+2)
21200839 (+2)
28790422 (+2)
35708964 (+2)
44973068 (+2)
°, 13451753( о)
58247302( о)
13515Ц1(+1)
24498292 (+1)
38895919(4-1)
56878053 (+0
78675568 (+1)
10459968 (+2
13507301 (+2)
17068179 (+2)
21226799 (+2)
26111002(4-2}
31932322 (+2)
3?0953И(+2)
48635825 (+2)
1
23240429(-
54821211(-
1507291i(-
,15249621 (
31264776(
26306724 (
123315Н(
3479Ц88(-
59999737(-
62302534(-
37445502(-
12171231(-
19155538(-
12097529(-
2i3776i8(.
42651477(-
-8)
-И)
-14)
о)
о)
о)
о)
-О
-2)
7
-12
-16
о, 14022638( о)
29754856 о)
265859201 о)
13610507( о)
43295305 (-О
87409376 (-2)
1112893O (—2)
87057375 (-4)
39950861-5)
99981332-7)
121боо86(—8)
59237099 (—и)
79889966 (-Ц)
П785348(-17)
к 12957889( о)
28332838( о)
26672885( о)
14737305( о)
51971665 (-1)
11998495-1)
i8i28384(— 2)
17624000 (—3)
10672070 (—4)
38262394 (—6)
75222679 (—8)
71989495 (—ю)
27505900 (—12)
28766424 (—15)
31892424(1-19)
22899291 (+2)
29307459 (+2)
37998255 (+2)
, 179613H( о)
72082026( о)
16308997 (+1)
29225979(+i)
4б151785(+1)
67361860 (+i)
93243б5б(+1)
12434618 (+2)
1646885 (+2)
20583522 (+2)
25947919 (+2)
32629864(4-2)
41627532 (+2)
1(0,16741570 ( о)
67157809( о)
15183557+1)
27179575+1)
42856497 (+1)
62429305 (+D
86194061 (+1)
11455823 (+2)
14809157+2)
i876i704(+2)
23438802 (+2)
29048225 (+2)
35987656 (+2)
45275339 (+2)
о, 15677065 (
6286539°(
142о451б(-
25404721 (
4ооюз43(
581927б7(-
80184142(
10629691(
13695502(
17274595(
21451344(-
26353804 (-
3219З838Г
393766131
48939540
+2)
_2
= 4
30774991
73785336
20609672
, 12735193
29895369
2745557о
1*3687072
40440777
72315599
7733Г775
47631572
15809093
25338446
16264766
29176139
59075955
-8)
-И)
-14)
о)
о)
о)
о)
-1)
-2)
А
—12)
-16)
,11599194( о)
28225446! о)
27563877( о)
15024682( о)
50103561 (—1)
10498018 (—1)
13775398 (-2)
11050455 —3
51809219 (-5)
13209412 (—6)
16332767—8)
80760297 (—и)
И044615МЗ)
1б520б17(—17)
0,10621922( О)
1 26671621( о)
27476633( о)
i6i8uoo( 0)
59877878 (-1)
143 58283 (—1)
22374728 (~2)
22319381 (-3)
50483236-6)
10092823 (—7)
98055836 (—10)
379»5874 (—12)
40247694 -15)
45210038 (—19)

234
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение)
Ч
Ч
Ч
2
es=3
|о, 16666667 (+1) |о, 90274529 ( о)
о, Ю336735 (+1
42996598 (+1
!о,75427532(о
29691487 (+1
72765760 (+1
|о, 59488312 ( о
22945374 (+1
533ooi9o(+i
10441227 (+2
|о, 49145764 ( о
18767642 (+1
42734123 (+1
79^50375 (+1
13726662 (+2
|о, 41881027 ( о
15902573 (+1
358i3953(+i
6539411» (+1
Ю772777(+2
17097349 (+2
|о, 36494021 ( о
13807727 (+1
30892521 (+1
55782588 (+1
90101737 (+1
137ПЗЗЗ(+2
20531936 (+2
о, 32338289 ( о
12206197 (+1
27193024 (+1
48766702(4-1
77910412 (+1
п635418(+2
16750412 (+2
2401б486(+2
|о, 29034150! о
10940655(^1'
24302030(^1
о, 72778081
17496448
|о, 56075875
32661771
15368829
[о, 43995122
40487699
56976096
94098207
|о, 35370456
43355312
10918335
62576509
46608208
|о, 29078035
43457822
15906376
17803698
51725735
20045210
[о, 24364788
42134049
20084979
3476Ц66
21104133
35170381
77879999
jo, 20746193
40133450
23319177
55126112
54290281
19987984
20710818
28014437
|о, 17906745
378642191
25675117
о)
о)
о)
о)
-1)
о)
о)
-1)
-3)
о)
о)
о)
-2)
~4)
о)
0)
о)
-1)
-3)
-5)
о)
о)
о)
-1)
-2)
-4)
~7)
о)
о)
о)
-1)
—2)
-3)
=1!
о)
о)
о)
о, 17500000(+i)|o, 91906253( о)
Ь, Ю91б87б(+1)
44083124 (+i)
|о, 79898261 ( о)
30532697 (+1)
73977477 (+1)
|о, 63129651 ( о)
23636492 (+1)
5435об28 (+1)
10569991 (+2)
||о, 52218851 ( о)
19355471 (+1)
435782^4 (+1)
80738660 (+1)
13860575 (+2)
К 44539919( о)
16414491 (+1)
3^551475 (+1)
66344188 (+1)
Ю888575 (+2)
17235010 (+2)
к 38837410 ( о)
14261337 (+1)
31548222(+1)
56628182 (+1)
9ii3oo84(+i)
1383238о(+2)
20672463 (+2)
[о, 34433265 ( о)
126П547 (+1)
27783675 (+1)
49Я9674 (+1)1
788з8182(+1)
11744302 (+2)
16875573 (+2)
24159284(+2)
|о, 30928421 ( о)
нЗЮ37б(+1)
24839бо6(-М)
[о, 73663904 (
18242348(
,56288181( о)
33981262 ( о)
16368100 (—1)
,43784806(
41958543 (
60605148
10198833
о)
(-1)
(-2)
о, 34913209( о)
4472Ц88( о)
11588791( о)
67763809 (-2)
51265013 (-4)
|о, 28481615 ( о)
44607500( о)
16834877( о)
i925i88o(—1)
56848652 (-3)
22328043 (-5)
о, 23694055( о)
43035690( о)
21189181( о)
37517°о6 (—1)
23170286 (—2)
39145°45(-4)
87711398 (-7)
jo, 20040363 ( о)
40793985( о)
24517942( о)
59362650 (-1)
59523504 (-2)
22228701 (—3)
23р66б2(— 5)
3186И41 (—»)
\о, 17189698 (
383o668i(
2б901807(
о)
о)
о)

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 235
Таблица 6 (продолжение}
п
9
10
11
12
I3
к
4
5
6
7
8
9
1
2
3
4
5
6
I
9
10
1
2
3
4
5
6
1
9
10
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
1
2
3
хк
s
433^3425 (+1)1
08833662 (+1)
Ю17о8з7(+2)
ЧЗ«1974(+2)
I906952O (+2)
2754135°(+2)
о, 26343737 ( о)
99146878( о)
21976464 (+1)
39105908 (+1)
61757213 (+1)
90612455 (+0
12684238(4-2)
I7226697 (+2)
23054О83 (+2)
ЗЮ99539 (+2)|
о, 24110348( о)
90657581( о)
200б3043 (+1):
35616999 (+1)
56059631 (+1)
81886126 (+1)
11383882 (+2)
153°73°7(+2)
20152735I+2)
26293334 (+2)
34б8581б(+2)
о, 22226506( о)
82514568( о)
18459895 (+1)
32712575 (+1)
51360389 (+1)
747б79°1(+1)
ioj46i3o(+2)
п821514(+2)
18022257 (+2)
23i47403 (+2)
29579069 (+2)
38296141 (+2)
0,20616020( 0)
77419757( 0)
17096484(4-1)
Ак ! *к
j j
2
3=3
76871145 (— 0
10730755 (— О
6664746З (— 3)
15999578 (— 4)
Ю915157(~ 6)
94840070 (—ю)
о,15635979( о)
35544820( о)
272%39 ( о)
98422092 (— 1)
1793 450 (— О
16271i62(— 2)
68123012 (— 4)
11226909 (— 5)
52648420 (— 8)
30566955 (—и)
о,13785800( о)
33288965( о)
28305432( о)
118729241 о)
26720973 (— 1)
32434б92<~ 2)
20354884 (- з)
60226428 (— 5)
70829979 (— 7)
23615800 (— 9)
94583805 (-13)
о, 12267080( о)
31К2477 ( о)
28856109( о)
13718338( о)
36685694 (— 1)
56158615 (— 2)
48138289 (- з
21830850 (— 1)
4730П71 (— 6
40921234 (- 8)
99685123 (—11)
28277753 (—Ц")
о,10995216( о)
29159205( о)
29050165( о)
Ч
3
* = 4 |
44079080 (+l)
69680152 (+1)!
10270102 (+2)
14495693 (+2 |
1999&002 (+2)|
27685997 (+2)
о,28072450( о)
102531851+1)
22469856 (+1)
39745500 (+1).
62536252 (+1)
9154бо68(+1)
12788772 (+2)
1734438о(+2)
23185312(+2)
3124572б(+2)
о,25700149( о)
93779206( о)
20519°4б(+1)
36209098(4-1)
56781609 (+1)
82733214 (+i)
И480772 (+2)
15416219 (+2)
20273735 (+2)
2б42б877 (+2)
34»ЗЗЗо6(+2)
о, 23698082( о)
8б41Ю37( о)
1888з8з4(+0
33263879 (+1)
! 5203ЗЗ64 (+1)
| 7555»оо5 (+1)
1 10436512 (+2)
13923049 (+2)
i8i3487o(+2)
23271226(4-2)
29714592 (+2)
38444752 (+2)
Ь,21985752( о)
8о12ц8о( о)
17492610(4-1)
82576358 (— 1
11745774 (~ i|
7404Ц34(~ 3
17992472(-4
12403706 (— 6)
10881464 (— 9)
о,14922289( о)
357972бо о)
284937Ц( о
105455^5( о)
1959Ц67 (— 1
18о5355о (— 2
76544474 (~4
12750073 (- 5
6оз547«о (— 8 !
35351620 (—и)
о,13088299( о)
33379292( о)
29454206( о
12687850( о)
29137038!— i)
35936202 (— 2)
22848341 (— 3)
68349874 (— 5
8ii5o834(- 7
27288540 (— 9
uoi896o(—12)
о, 11583002( о)
31106265( о)
29926293( о)
14620928( о)
39920195 (— i)
62124189 с— г)
53973394(~ 3>
24755176 - 4
54i6ioi7(— б)
47259231 (— 8)
11602874 (—10)
33165476 (—Ц)
о,юз31512( о)
28998944( о)
30028463( о)
к
4
5
6
1
9
1
2
3
4
5
6
1
9
10
1
2
3
4
•5
6
I
9
10
и
1
2
3
4
5
6
1
9
10
11
12
1
2
3
п
9
10
и
112
13

236
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение):
хн
Ак
*к
И
и
15
10
[11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
In
12
13
N
1
2
3
4
?8
9
110
111
12
h
30254?42(+i)|
47410828 (+1)
68842692 (+1)
949394J7 (+1)!
12625188(4-2)
1б358159(+2)
2o8i547o(+2)
26200889 (+2)
32904880 (+2)
41927328 (+2)
к 19223364( о)
72157337 о
15922324 (+Д)
28145769 (+i)
44040428 (+i)
63822863 (+i)
87790634 (+i)
П635269 (+2)
15008038 (+2)
1897984б(+2)
23676270 (+2)
29305432 (+2)
Зб2б5б5б(+2)
45576814 (+2)
|о, 18007106 ( о)
67567127( о)
14900276 (+1)
2бз157бЗ(+0
41127789 (+1)
59509068 (+1)
81692997+1
Ю799324 (+2)
13883498 (+2)
17480708(4-2)
21б7549о(+2
26596116 (+2)
32454779 (+2)
396572 50 (+2)
49242504 (+2)
2
!5
15349699 ( о)
47З97824- *
«7760975 Н2)
96553233 - 3)
60901448 (— 4)
20628698 (— 5
33656122 (— 7
21950250 (— 9)
9957978-12
2087128 (—16)
L 992Ю054 Н О
30770399 (+1
48041207 (+1
69583323+1)
95786932 (+i)
П720383 (+2)
16463657 (+2)
20931260 (+2)
26327147+2)
33042119+2)
4207б9Н(+2)
27315481
2897555б(
16759796
58467829
12695916
17152435(
14о99429(
67497195(
17524б4о(
22020365(
11048696(
15318об5(
23227423(
||о, 2050^447 (
о,
90047394
25618269
28701489
17954845
69568696
17302406
27779»78
28412352
17966865
66884745
13593Ч4(-
13402558(-
52б278ю(-
|б479957(-
б42б713б(-
5
( о)
S 3
1)
о)
о
о
1)
1)
2)
3)
4)
6)
7)
9)
12)
15)
19)
о)
74688912( о)
16294086 (+1)
28630523 (+1)
44633404+1)
64520070(4-1)
88588820(4-1)
П724934(+2)
15107375 (+2)
19088774 (+2)
2379482о(+2)
294338i6(+2
36404400(4-2)
45727257 (+2)
|(э, 192x0324 ( о)
69948809( о)
15250517(+1)
26772996 (+1)
41687637(4-1)
60167813 (+1)
82447537 (+1)
10884107 (+2)
13977423 (+2)
175«ЗЬ53 (+2)
21787416 (+2*
2б717092(+2
32585036 (+2
39797324 (+2)
49393707 (+2)
О 22500000(+1)|Э, 11330031 (+1)
о, 14472244 (+1)
50527756 (+1)
|о, 88074007 ( о)
25226303( о)
3
'4
16316097с о)
5Ч67478Н 1
96922902 (— 2)
10812043 (— 2)
68994712 — 4)
21604111 (— 5)
38848053 (— 7)
25535303 (-9)
46821844 (—12
96877008 (—16
о, 92791677 (- 1
27060520( о
29855249 о
177б7892( о
63351447 (- 1
13997169 - 1
I9i8i3i8(— 2
1595649б(- 3
77172127 (— 5
20216038 (— 6
25604309 (— 8
12939737 (-ю
18об12о8(—13
27571893 (—17
о, 83853239 (- 1
25285044( о
29480471( о
18985095( о
75216474 (- 1
19042054 (-— 1
31021586 (— 2
32119П2(— 3
2О524246 (— 4
77Ю5О05 (- 6
15797212 (- 7
15689283 (— 9
62019587 (—12
66981042 (—15
76703170 (—19
4
3
|К23333333(+1)|о,И)Оэ393(+1)
о, 15075915 (+0
515907*2 Ж)
|о, 92138969 (
26924966(

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 287
Таблица 6 (продолжение!
Ч
*к
Ч
[0,10764151(^1)
35572597(+i)
81163251 (+1)
|о, 85913577( о)
27805600 (+i)
60258828 (+i)
П334421 (+2)
|о, 71560439 ( о)
22919227 (+1)
486354б7(+1)
87224513 (+1)
14656475 (+2)
о, 61348203 ( о)
19529861 (+1)
40984951 (+1)
72022368 (+i)
11578703 (+2)
18053997 (+2)
|о, 53701736 ( о)
17030151 ('+1)
35500403 (+1)
61695053 (+1)
97272297 (+1)
Н554000 (+2)
21509193 (+2)
|о, 47758047 ( о)
15Юб02б(+1)
31351547+1)
54По55о(+1)
84389771 (+1)
123945!2(+2)
17621991 (+2)
250Ю127(+2)
о, 43003422( о)
28092784 (+1)
482б27Зб(+1)
74753Н9(+0
10863713 (+2)
15174784 (+2)
20764521+2)
285483671+21
5
= 4
|о, 64346366
46427021
25269221
|о, 47750944
5608379$
92925650
17300195
|о, 36372855
58230912
17543643
П434703
94279371
|о, 28413433
56489038
25071737
32216063
10405460
44055002
|о, 22694023
52987838
30980416
62087970
42152898
76877672
18415223
к 18475631
48853542
35155565
96974155
10742239
43444693
48701641
70713475
|о, 15290211
44651210
37812206
13299566
20995220
14382285
37442696
27395243
25393459
о)
о)
-1)
о)
о)
-1)
-2)
о)
о)
о)
-1)
-4)
о)
°)
о)
-и
-2)
-5)
о)
о)
о)
-1)
-2)
-*>
-6)
о)
о)
о)
-1)
-1)
-з)
31
о)
0)
о)
о)
-1)
-2)
3!
-9)
р, 11240498 (+1
26411569 (+1
82347934 (+1
|к 89854878( о
28504023 (+1
61238260 (+1
11460556 (+2
||о, 74924236 ( о
23519021 (+1
49477262 (+1
88258649 (+i
14787934+2
к 64283223( о
20056063 (+1
41725264 (+i
72966602(4-i
И692989 (+2
I8189386 (+2
|°. 56305474 ( о
17499139 (+1
36162025 (+1
62538533 (+1
98291607 (+1
Ц673526 (+2
21647620 (+2
|к 50097992( о
15529176 (+1
31950077 (+1
54874577(+i
85312681 (+1
12502388 (+2
17745667 (+2
25i5098o(+2
fo, 45128275 ( о
13962709 (+1
28639471 (+1
48961627(4-1
75597745 t+i
10962334 (+2
152874501+2
20891571 (+2
28691207 (+2
4
3
|о, 66863659
494598«i
27403946
к 49262916
59544403
10о66334
19028163
[о, 37259540
61571170
18966127
12565994
10498501
к 28905438
59468427
27034231
35355626
11577987
49595415
|о, 22942544
55534J23
Ш07519
68017183
46856236
86479590
209зз777
к 18565З41
50976538
37678793
10601З48
11525284
48832034
553192°7
8Ю92137
|о, 15277146
4639093^
40396838
14506110
23271246
16149534
42501527
31390924
29353365 (-9
о
о
—1
о
о
о
—2
о
о
о
—1
-3
о
о
о
—1
—2
-5
о
о
о
—1
—2
-4'
-6
о
о
о
о
—1
~3
-5
—8
о
о
о
о
—1
—2
3'

238
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица б (продолжение)
хк
!
хк
ю
11
112
РЗ
9
|ю
1
2
3
4
I
9
|Ю
|Н
1
2
3
4
9
|ю
и
|12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
In
12
', 39112482 ( о
123320l6(+!
25460238( + i
43597445 (+1
б7211Ц9(+1
97016231 (+1
13413733 (+2
18047229 (+2
23968496 (+2
32117709 (+2
,35868924( о
Н29777Ч+1
2328б472(+1
39779363 (+1
6и 19004 (+1
87810^46 (+i
12o6o6ll(+2
I6067296 (+2
20996520 (+2
27224133 (+2
35713446 (+2
|о, 33123254 ( о
10424681 (+i
21459604 (+1
Зб591б88(+1
56080377 (+1
80298100 (+1
10977878 (+2
453°53°(+2
18808085 (+2
24011010(+2
30523910(4-2
393319ю(+2
|о, 3076.8799 ( о
96775963( , о
1990179б(+1
33887i48(+i
51835381 (+1
74030269 (+i
10086726 (+2
13290358+2
17094784 +2
2162354 (+2)
27081б21 (+2)
3386i9o6(+2)
42970183(4-2)
о
:4
[о, 12834287 (
40648296(
39256101(
16J32859(
34645308(-
348Ю312(-
15850691(-
28056522(-
14014098(-
86359645(-
jo, 10905898 (
З695779З(
397815Ю(
19825922(
50935^>73(-
6871265Ц-
47036263(-
65з194о6(-
28073046(-
|о, 93672078 (-
33614005(
39636329(
22494947(
68948815(-
П770491 (-
11оз66о8(—
53987774(-
12488048(-
1Ц47700 (-
29404914 (-
87842204(—
'0,8121927ц-
3°6i2398(
39016520(
24716102(
8779757б(—
18186з6з(—
21945344(—
14963829 (-
54202786 (—
93802332 (-
64506431 (—
12334600 (
2бб02208(
о)
о)
о)
о)
"1)
-2)
-1\
-7)
-11)
о)
о)
о)
о)
- 1)
-2)
-3)
-*>
-6)
-9)
-12)
-1)
о)
о)
о)
-1)
-1)
-2)
:?]
■?
■10)
■14)
-1)
Si
о)
-1)
-О
-2)
:>1
•9)
-11)
-15)
;0, 4 Ю58558 ( О)
I2686i77(+i)
25963503 (+0
4424i8oo(+i)
67990451 (+1)
97926109 (+1)
13517534 (+2)
18163849 (+*)
24098351 (+2)
32262210 (+2)
к 37664036( о)
' иб25294(+1)
23752804 (+1)
403773oi(+i)i
61842838(4-1)
88655834(+Ц
12157011 (+2)
16175424 (+2)
2111б4б6(+2)
27356361 (+2)
35859358(4-2)
jo, 3f789i8i( о)
107233H(]J)
21894118(71)
37149592(71)
£6756400 (+1)
81088066 (+t)
11067958 (+2)
14631500 (+2)
18919891 (+2)
241ЗЗ796 (+2)
Зоб5§17б(+2)
39479037 (+2)
р, 32322915( о)
99623461( о)
2озо§599(Т1)
344ioi38(Ji)
52469706(71)
7477i973(Ti)
10171324(72)
13385162(72)
1719967Ц+2)
21738488 (+2)
27206868 (+2)
33997944 (+2)
4зи837о(+2)
|о, 12754575(
42055393(
41804788(
18207027(
38334427 (•
390407И(-
17977696 (■
32i2Q045(-
1б18в142(-
10055778(-
|ог10783254(
38082392(
42229053(
21519261(
5б253б19(-
7б958о83(-
5З296722(-
17ЦЮо8(-
21676273(-
77157452(-
32909124(-
|о, 92174362 (-
345^1535(
419423бо(
24355078(
75999547 -
131б3343(-
12491829v-
6i733286(—
144°685б(—
133П257(-
34440573 -
10361914(-
о)
о)
о)
о)
-1)
-2)
-з)
-5)
-7)
-ю)
о)
о)
о)
о)
- О
-2)
-3)
:8
-9)
-12)
-1)
о)
о)
о)
-1)
-1)
-2)
:!!
-7)
-ю)
-13)
[о,7955б858(— 1)
31302297 о)
41158730( о)
26692648( о)
96581197 (— О
2oio6?37(- О
24808869 (— 2)
17095154 (-з)
62489087 — 5)
10901466 (— 6)
7551324б(-9)
Ч537Ю5-11)
3156317U—15)
ю
п
12
13

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 239
Таблица 6 (продолжение)
м
Ч
15
1
2
3
4
к
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
ц
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
ц
*5
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
i |
i 1; |
-\
о, 28727376 ( о)
90309450( о)
i8557098(+i)
3i56i774(+i)
48205227 (+i)
68709359 (+1)
93376784 (+1)
12262149 (+2)
15702019(+2)
1974039о(+2)
24503647 (+2)
30201130(+2)
37233371 (+2)
46625902 (+2)
о,26940361( о)
84656647с о)
17384201 (+1)
29539864,(4-1)
45062257 (+1)
6il2860l( + l)
86976512 (+1)
11392378 (+2)
4539982 (+2)
18199818 (+2)
22456982 (+2)
27440493(4-2)
ЗЗЗбЗЬ8з(+2)
40634428(4-2)
50297124(4>2)
> 8
0,25000000(4-1)
0,16291713(4-1)
53708287 (+1)
0, 12204023(4-1)
j8o888o7(4-i)
84707170(4-1)
о, 97850727( 0)
29903773(4-1)
63193005(4-1)
11711815(4-2)
о,7Ю1343о(— 1)
2793°5о8( о)
38071603( о)
26502642( о)
10671784( о)
259998Ц(- 1)
38623897 (- 2)
34395299 (-3)
17639098 (-4)
48б413Ц(-6)
64491759 (- 8)
33980415 (-Ю)
4932474И-13)
78308685 (-17)!
о, 62554709 (- 1)
2553882б( о)
369П176 ( о)
27888406( о)
125Ю82б( О)
35005262 (— 1)
61944561 (— 2)
68776716 (-3)
46670078 (— 4)
18478356 (-5)1
39665566 (-у)
41088294 (—9)
16884248 (—и)
18918405 (—Ч)
22485158 (—18)
6
0,13293404 (+1)
0,10199514(4-0
30938903( 0)
0,73063789( 0)
56624910( 0)
32453393 НО
о, 53086990 ( 0)
67720655( 0)
11894878( 0)
2315157б(—2)
•-*
Р,30183765( о)
92982582( о)
! 18939545(4-1)
32054032(4-1)
48802829 (+1)
! 69408587(4-1)
94174619(4-1)
12351561 +2)
158оэ903(+2)
19848677(4-2)
24621383(4-2)
30328530(4-2)
37370965 (+2)
46775023(4-2)
о, 28310602 ( о)
87175613( о)
17745064 (+1)
30004849 (+1)
45б27248(+1)
64790114(4-0
87731650(4-0
11477022(4-2)
14633583(4-2)
18302268(4-2)
22568253 (+2)
275б0бб0(4-2)
33492986(+2)
40773402(4-2)
50447072(4-2)
S
0,26666667(4-1)
о, 17518124(4-1)
55815209(4-1)
0,13181274(4-1)
39765201(4-0
§7053524(4-1)
0,10599100(4-1)
31307286 (+i)
б51425Ц(+0
П9б1777(4-2)
о, 69258824 (— 1)
28456277( о)
40040282( о)
28550403( о)
П71543°( о)
28982856 (— 1)
43607015 (— 2)
3925482о(- з)
203201б9(— 4)
56496713 (— ь)
75459483 (-8)
40027130 (-Ю)
58470583 (-13)
93419639(-17)
о, 60757489 (- О
25928419( о)
38707094( о)
29968695( о)
13706016( о)
3»955537(- 0
69840823 (— 2)
78408545 (— 3)
53718151 (-4)
21448479 (- 5)
46387258 (-7)
48377890 (- 9)
20004544 (—И)
22548471 (-Ц)
26961723 (—18)
5
о, 15045755 (+0
о,П451572(4-0
35941828( о)
о,8юз149б( о)
65548521( о)
38775315 (-0
о,58097893( о)
77894Н5( о)
I4i8i232( 0)
28377842 (-2)
к
1
2
3
4
5
6
1
9
Ю
И
12
*'!
ц
1
2
31
4
5
6
7
8
9
10
и
12
*з
Ц
15
1
1
2
11
2
3
1
2
3
4
п
14
15
1
2
3
4

240
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица б (продолжение)
Ч
Ч
to
-ж
к 81763176 (, о) к 39603109(
24723339+0 69468795
ai6oo6i(+i) 22122760 (
5II6OO6I (+1)
9044Ц65 (+1)
15049882(+2)
к 70260181( о)
21114Пб(+1)
43207088 (+0
74850457(+1)
119209671+2)
18459263 (+2)
о,61614619( о)
18443251 (+0
37487706 (+1)
64224733+1
10032669(42)
149119^2 (+2)
21923634 (+2)
о, 54^74202( о)
16381811(41)
33150360(41)
5640З131 (+1)
87156616 (+1)
12717739 (+2)
17992425 (+2)
2543i9°2(+2)
о, 49469153 (°)
i474°2u(+i)
29736569 (+1)
50360784(41
77286235(41)
11159322(42)
15512360(42)
21Ц5о93(42)
28976153(42)
о, 45037061 ( о)
13400827(41)
26974075 (+1)
45532499 (+1)
69549221 (+1
99744400 (+1)
П724842(+2)
18396659 (4-2)
22322760( о)
15262934 (~i
13081939 (—з)
к 30324550( о)
66524899 о)
31656955 о
42829562 (—l)
14404691 -2)
63122181 (—5)
23765784( о)
61585М( о)
38778931( о)
82106463 (—i)
58l8H84(—2)
10989857 (-3)
27153335 (—6)
Р.
к 19005056( о)
56043805( о)
43600698( о)
12744857( о)
147б94б9 (-1)
61957941-3
71643889-5
10700307 (—7)
[о, 15465064 ( о)
50571774( о)
4б453023( о)
17360829( о)
28733120 (—0
20449746 (—2)
549*9353 (-4)
41355276-6)
39341958 (~9)
|о, 12775771 ( о)
45468988( о)
47768566( о)
21686940( о)
47169491 (—1)
493*8666(—2)
23214091 (—3)
42276274 (—5)
5
к 88744808 ( о)
25933774(+0
52841885 (+0
92577280(4-0
153Ю591 (+2)
К 76374668( о)
22179553 (+0
44690501 (+^i)
76730964 (+0
12148179(4-2)
18727973 (+2)
к 67054927( о)
19395325+1)
38816580 40
65909984+1)
Ю235719 (+2)
15Ц9653 (+2)
22198556(42)
к 59774971( о)
17242680(41)
34354862(40
57932367 (+1)
88998125 (+1)
12932570 (+2)
18238408 (+2)
25711802(42)
|о, 53928170 ( о)
15526017(40
30838544 (+1)
WH4 t1
78973838+1)
11355980(42)
15736721(42)
21397860(42)
29260142(42)
к 49127638 ( о)
14123728(40
27989941(41)
46825822(40
711082 j2(+i)
10156080 (+2)
13931768 (+2)
18б28908(+2)
10,42771268
7929И55
265ИО44
I8676767
16404792
к 32334936
753039И
3741^99
52272349
1гоР7Ч
80784428
[о, 25°35042
69125106
45569848
99864183
72705524
Ц043б79
35394200
|о, 19790642
62376359
50930630
15438958
18409751
79050669
93244Ю4
14181741
,15929617
55821827
53929729
20938067
357°7°8i
26040087
71446267
54724234
52940984
[о, 13024354
49785956
55113904
26034056
58420576
62653467
30124404
55875360
о)
о)
о)
-1)
-з)
о)
о)
о)
-1)
-2)
.-5)
о)
о)
о)
-1)
-2)
-з)
-6)
о)
о)
о)
о)
-1)
3!
о)
о)
о)
о)
-1)
-2)
4!
-9)
о)
о)
о)
-3
-2)
31

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 241
Таблица 6 (продолжение)
I n
10
11
12
13
Ц
к
9
10
1
2
3
4
5
6
1
9
10
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
1
2
3
4
5
6
ч
Ак
6
*~4 1
24357503 (+2)
32550523 (+2)
о,4133бц8( о)
12286564 (+1)
24689702 (+1)
41575604 (+1)
63291315(+1)
90345969 (+1)
12349^15 (+2)
16391365 (+2)
21355927(+2)
27620282 (+2)
36i50534(+2)
0,38198815 ( о)
11344б72(+1)
22767488 (+1)
38268138(4-1)
58109741 (+1)
82667988 (+i)
1124800Э(+2)
Ц833212(+2)
19143173(+2)
24378947 (+2)
30926194 (+2)
39772683 (+2)
о,3550515б( о)
Ю537784(+1)
2И2б599(+1)
35459081 (+1)
53740020 (+i)
76255864 (+1)
IO34046I (+2)
13574613 (+2)
17409197 (+2)
21968101 (+2)
27456946'(+2)
34269526 (+2)
434Н169 (+2)
о,33167094 ( о)
98386638( о)
1970884э(+1)
33041664 (+i)
49999976 (+1)
70807913(+i)
21658611 (— 7)
13672143 (—1°)
о, 10693742 ( о)
40845964( °)
47950Ю7 ( о)
25507333( °
68963600 (— 1)
96956166 (— 2)
68689212 (— з)
22524125 (— 4)
28972068 (— 6)
10472942 (— 8)j
45340312 (—12)
0,905472Ц (— О
36720767 ( о)\
47328924( о)
28726032( о)
928пз86(— О
1б535172(- О
1боб4519(— 2)
80992684 (— 4)
19233273 (— 5)
18048397 (—7)
473б8б58(—ю)
14452589 (-13)
о» 77452344 (— 0
33068519( о)
46161279( о)
31326944( °)
11747727 ( о)
25428228 (— 1)
31827772 (— 2)
22з88124(-~ 3)
833"895(- 5)
14765457 (— 6)
Ю374919 (— 8)
20240489 (—и)
445315о6(—15)
о,668518ц(— О
29846628! о)
44638499( °)
333415б9( °
Ч192557( °
1 зб17512з(— О
хк
~~
24615925 (+2)
32837937 (+2)
о, 451Ц693 ( о)
12955961 (+1)
25632150(4-1)
42777104 (+i)
64740876 (+1)
92035284 (+1)
I2541964 (+2)
1бб0б892(+2)
21524828 (+2)
278835OO (+2)
36440864 (+2)
о,41709667( о)
11967989 (+1)
23б4б552(+1)
39390291 (+1)
59464799 (+1)
84247919 (+1)
И427887 (+2)
15034627 (+2)
193бб02б(+2)
24623544 (+2)
31193537(4-2)
4°°б5528(+2)
о, 38783813( о)
П120992 (+1)
21950363(4-1)
36511922(4-1)
55012531(4-1)
7774°4o8(4-i)
10509523(4-2)
13763858(4-2)
17618398(4-2)
22197277 (+2)
27706481(4-2)
3454°4бэ(4-2)
4З709209 (+2)
о,зб242417( о)
юз8б6з6(+1)
20483915(4-1)
34033398(4-0
5И9§687(4-1)
72208401(4-1)
Afc
5
3
29097946 (— 7)
18657245 (—ю)
0,10795641( °)
44375332( о)
54982203( о)
30473615( о)
85Ю3412(— О
12284365 (— О
88968i55(— 3)
29739563 (- 4)
38879545 (— 6)
Ц267774 (— 8)
62678362 (—12)
о, 90564729 (— О
39592727( о)
53938962 о)
34i52i86( 0)
11409709( 0)
20889334 (— 1)
2076243З (— 2)
10673503 — 3)
25780230 (— 5)
245б1б23(-7)
б537°7б7(~ю)
202213П (—13)
о, 76785942 (- 1)
35394888( о)
52292604( о)
37062528( о)
14385446( о)
32025211 (— 1)
4Юз8озо(— 2)
2945131б(- 3)
И152278 (— 4)
20072885 (— 6)
14302773 (—8)
28270203 (—и)
63011464 (—15)
о, 65721138(— 1)
31721381( о)
50270юэ( о)
39253884( о)
173°9953( о)
1 45413«73(— 1)
к\
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
1
2
3
4
5
6
1
9
10
и
12
13
1
2
3
4
5
6
п
10
и
12
13
ц

242
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица б (продолжение)!
хп
хк
Ц
7
8
9
In
12
Г'
IH
1
2
3
4
I
ю
in
12
\ц
*5
1 I 1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
* = 4
9577oi8i (+1)1 55800350 (-2)
12530285 (+2) 51306402 (—з)
15998489 (+2) 27050227 (-4)
20064991 (+2) 7б432936(~~6)
24856519 (+2) Ю357515 (-7)
30582925 (+2) 55б73°33("~ю)
37б45б8о (+2) 82357179 (-13)
47072717 (+2) 13322737 (-16)
|о,ЗП1845б( о) о, 58169081 (~i)
92269710( о) 27007417( о)
i847H74(+i) 429ooi34( о)
30938oio(+i) 34826272 ( о)
46759382(+i) 16536J56( о)
66ii43i6(+i) 48459823 (-1)
89242208 (+i) 8912755б(—2)
Н646255 (+2) 1022599° (~~2)
4820654 (+2) 7138922б(—4)
18506967 (+2) 28979264 (-5)
2279052б(+2) 6360524З (—7)
27800664 (+2) 67227109 (—9)
3375Н9б(+2) 28i44284(-n)
41050893 (+2) 32098605 (—14)
50746451 (+2) [ 38841428(-18)
7
|о, 27500000 (+1) (о, 1бо8з594(+0
о, 18135083 (+1)
5б864917(+1)
[о, 13674797 (+1)
40б03112(+1)
88222090 (+1)
Q, 11011300(+1)
32010411 (+1)
66И5393 (+1)
12086290 (+2)
о, 92287102( о)
2б54121б(+1)
53682458 (+1)
93б42б57(+1)
15440496 (+2)
о, 12194563 (+1)
38890309( о)
[о, 85780568 ( о)
70803399( °)
42519750 (-1)
о,6по8и5( о)
83878735( °)
15534067( о)
31502588 (—2)
,44698851( о)
85061864( о)
28985223( о)
20715909 (-1)
18413015(-3)
97365620 (+1)
1270.8879 (+2)
16195834 (+2)
20280962 (+2)
25091217 (+2)
30836788 (+2)
37919771 (+2)
47369692 (+2)
|Ь, 34014231( о)
97437398( о)
19203042 (+i)
31875473 (+1)
47894362 (+1)
67440082 (+i)
90753153 (+1)
п815419(+2)
15007555 (+2)
187П4о2(+2)
23012446(4-2)
28040230 (+2)
34008850 (+2)
41327786 (+2)
5io4545(+2):
о,
71764808 (—2)
67359864 (-3)
36i55437(-4)
10378671 (-5)
14265035 (-7) ч
77678754 (-Ю)
Нб314о8(—12)
I905i682(—16)
56727742 (~1)
28508623( о)
48034424( о)
40803681( о)
20087462( о)
60634859 (-О
11432000 (—1)
13397013 (—2)
95259821 (-4)
29299402 (-5)
875П43б(-7)
937152бо(-9)
39712407(-и)
45819103 (-14)
5бо9913°(—18)
о, 32500000 (+i) Jo, 25492570 (+1)
о, 21884472 (+1) о, 18929141 (+1)
6зП5528(+1)| 65634285( о)
о, 16698992 (+i)
45627214 (+Г
95173794 (+
«
o,i355i959(+i)
ЗЬ24734б(+0
71928417(4-1)
12827228 (+2)
0,1 Ц21571 (+1)
30215401 (+1)
5872I75I+I)
IOOOOI69 (+2)
16213958 (+2)
[о, 12888496 (+1)
n833i85(+i)
77088799 (-0
|о, 88573340( о)
13775212(+1
27989267( о)
61096847 (—2)
|о, 62482676 ( о)
13Ь7455б(+1)
5166157З о)
39979iii(-i)
37972783 (-3)

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 243
Таблица 6 (продолжение)
хк
! к
10
и
9
jio
0,79481707 с ,°)
"7Н937(+1>
45432799 (+1)
77670012 (+1)
12261506 (+2)
18861902 (+2)
[о, 69822710 ( о)
198?42*70(+1)
394*2195 (+1)
66752275 (+1)
10337079 (+2)
15268204 (+2)
22335617 (+2)
|о» 62270691 ( о)
17б7б127(+0
34958666 (+1)
58697246 (+1)
89918002 (+i)
13039/96 (+2)
18з6ш6(+2)
25851377 (+2)
|°. 56200759 (о)
159219б2(+0
313?132б(+1)
52462924 (+1)
79817324 (+0
U454188 (+2)
I58487OO (+2)
21523966 (+2)
29401784 (+2)
О,
7
ч
|о, 13582431 ( о)
80457667( о)
40802170( о)
57904766 (-1)
20228137 (—2)
91575924 (-5)
[о, 25846760 ( о)
73550253( о)
49564616( о)
1Ю43715( о)
8цб4950(—2)
15907730 (-3)
40482750 (—6)
2оз17254( о)
66095441( о)
55232829( о)
17039690( о)
20601874 (—1)
89473615 (-3)
10656832 (—4)
1б35314б(-7)
р, 51213864( о)
4488206 (+1)
28499823 (+1)
47473455 (+1)
71887836 (+0
10246831 (+2)
I403509I (+2)
18744827 (+2)
24744868 (+2)
329Й1313 (+2)
jo, 47042896 ( о)
I3293645+I)
2бЮ5420(+1)
о,16266164(
58909907 (
58308531(
23058739 (
39899308(-
29444801(-
8i6oni3(-
63053832(-
61503642 (-
о, 13232179 (
52331967(
65170674(
7°7б2959(-
34378848(-
6434Н22 {-
33777026(-
21824286(-
|о, 10915194 (
46465178
59084569(
о)
о)
о)
о)
-1)
-2)
3!
-9)
о)
о)
о)
о)
-1)
-2)
-з)
-5)
-ю)
о)
о)
о)
Ь,98780662( о)
25962885 (+1)
1*894735 (+0
83288522 (+1)
1293777б(+2)
19659803 (+2)
lb, 87060563 ( о)
22786781 (+1)
4349iM(+i)
71801815(4-1)
Ю943034 (+2)
15975693 (+2)
23152624 (+2)
[0,77848162 ( о)
203i7i7o(+i)
38602500 (+1)
63290265 (+1)
95425686 (+i;
I3680617 (+2)
19093561 (+2'
26683778 (+2
О,
io,4534oi6( о)
12638951 (+0
71713458( о)
1Ю9Ц35( о)
41528093 (~2)
19968218 (—4)
Р»
0,70411341 ( °)
18338504 (+1)
34732328 (+1)
56679248 (+1)
84874202 (+1)
12041833 (+2)
16517871 (+2)
22276874 (+2)
30246880(4-2)
,0,64279159 ( о)
1 16715837 (+1)
31585551 (+1
51372579 (+1)
76566987 (+i)
Ю790428 (+2)
14б53Ц8(+2)
19437563 (+2)
255Ц89б(+2)
ЗЗ837078 (+2)
(^59134435 ( °)
15360025(4-1)
28972801 (+1)
33712440( о)
11282660 (+1)
85742243 о)
209467591 о)
16630341 (—1)
34533^9 (-3)
92869662 (—6)
25655891( о)
99007775( о)
93941599( о)
31949655( о)
4174996.1 (-1)
19334З86 (-2)
24337489-4)
39299412 (—7)
о, 19916981( о)
86197273( о)
97451697( о)
42692810( о)
80155823 (—1)
63264067 (—2)
185б198о(—з)
15083040 (-5)
15426336 (-8)
о, 15733998 ( о)
74834144( о)
97543362( о)
52259145( о)
12965618( о)
15100500 (—1)
778з7842(-3)
15336113-4)
84317693 (-7)
5б950118(—1о)
|о, 12621884 ( о)
64?75893( о)
9J31020l( О)

244
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение}
п
11
к
4
5
6
\1
19
,10
12
13
14
11
1
2
3
4
5
6
1
9
10
И
12
1
2
3
4
5
6
1
9
10
И
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12 1
Ч
Aft
7
ie4
43379037 (+1)
65466064 (+1)
92879648 (+1)
12638046 (+2)
16714504 (+2)
21714073 (+2)
28014850(4-2)
365857i7(+2)
0,43502162( 0)
12282575 (+1)
24088186 (+1)
39952703 (+1)
60142968 (+1)
85037895(+i)
11517774 (+2)
15135225(+2)
19477294 (+2)
24745638(+2)
31326959 (+2)
4021l6$6(+2)
0,40458488( 0)
H4i5455(+i)
2236437З (+1)
37039785 (+1)
55649604 (+1)
78482928 (+1)
10594027(4-2)
13858406 (+2)
17722879 (+2)
22311704 (+2)
27831048 (+2)
34675687 (+2
43856450 (+2)
0,37813835(0)
10663408 (+1)
20873588 -И)
34530784+1
51800456(4-1)
72909080 (+1)
98163300(4-1)
12798128(4-2)
16254419 (+2)
20388822(4.2)
2520840*4-2)
ЗЗ403858( 0)
94766272 (—1)
13856106 (—1)
10143793 (-2)
34211242(—4)
45106190 (—6)
16675912 (—8)
73786313 (-12)
0,91149427 (-1)
41302843( 0)
57788808( 0)
37346179( 0)
12681303( 0)
23528204 (—1)
23647230 (-2)
12272976(-3)
25891576 (—5)
28691728 (-7)
76890729 (—10)
4946592(—13)
0,76945656 (-1)
36790606( 0)
55858712( 0)
40430789( 0)
15957690( 0)
36015781 (—1)
46685060 (—2)
33834777 (-3)
12922265 (—4)
2343590 (-6)
16814461 (—8)
33449376-И)
75035093 (-15)
0, 65584778(-1)
32857380( 0)
53541972( 0)
42718051( 0)
19163927( 0)
50991458 (-1)
8i537037(-2)
77309768 (-3)
41862362 (—4)
1211057З (-5)
16762047(^7)
309бз524(+2)1 91862227 (—ю) |
1 xk
*k
9
Se=4
47006826 (+1)
69822885 (+1)
97942028 (+1)
l321329o(+2)
17358134 (+2)
22426748 (+2)
28799441 (+2)
37450587(+2)
|o, 54755488 ( 0)
14209651 (+1)
26766534(4-1)
43345f4(+i)
64220839(4-1)
89778057 (+1)
12056347(4-2)
15737346 (+2)
20Ц27б6(4-2)
2547543o(+2)
32124107 4-2)
41084398(4-2)
0, 50982601( 0)
1 13220946(4-1)
24877383 (+1)
40226698 (+1)
594833 й (+1)
82941578(4-1)
11100692(+2)
14424682(4-2)
i8348i49(+2)
22996080(4-2)
28575708(+2)
3548з788(+2)
44736o74 (+2)
о,47б97716 ( о)
12361831 (+i)
23240704(4-1)
37535884(+i)
55418462(4-1)
77119226(4-1)
10294898(4-2)
13332986(4-2)
16884733 (+2)
21034268(+2)
25909321 (+2)
317212бо(+2)
60I89978( 0)
18657021( 0)
29340808 (—1)
22840362 (—2)
8l222387(—4)
11222309 (—5)
43303565 (-8)
19976527 (—11)
i
0,10263742( 0)
56517365( 0)
91596524( 0)
66355819( 0)
24692992( 0)
49403811(—1)
5291214О (—2)
29004357 (-3)
74112732 (-5)
74267833 (-7)
20713170(^-9)
67100385 (—13)
0,84474839 (—1)
49295656( 0)
87016501( 0)
70828798( 0)
30721997( 0)
74950534-1)
io374iio(—1)
79544420 (—3)
31914098 (-4)
60475079 (-6)
45i545i6(-8)
9325o8i5(—11)
217ц8оо(—14)
о, 70279796 (-1)
43138541 о)
81999640( о)
73786722( о)
36470198( о)
10512821( о)
17984797 (—1)
18070605 (—2)
10293092 (—з)
31144105-5)
44885250 (—7)
25530934-9)
к
4
5
6
1
9
п
11
10 |
И
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
1
2
3
4
5
6
1
9
10
И
12
13
1
2
3
4
5
6
1
9
10
11
12
12
13
14

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
245
Таблица 6 (продолжение),
хк
хк
к
14
1
2
3
7
8
9
Ю
И
12
14
Г
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
5
1
2
S з
4
1
2
п
и
г5
1
2
3
4
5
6
71
и
И
13
И
1
2
3
4
1
■I
9
|ю
[и
12
Ь
Ц
*5
38056586 (+2)
4751794(42)
о, 35494407 ( ,о)
10004836 ("Л)
19571105 (+1)
32345760(^1)
48462908 (+1)
68101548 (+1)
91508773(7-1)
11899976(72)
15100943 (+2)
18813522 (+2)
25123276(4-2)
28159852 (+2)
З4137545 (+2)
41466011 (+2)
51194239 (+2)
|o,33333333(+i)
о, 22516673 (+1)
6449993 (+0
|о, 17212808 (+1)
46464081(71)
96323111 (+1)
|о, 13985960 (+1
36956394 (+1,
7289347b (+1)
12949750 (+2)
О, 11797678 (+1)
30832462(41)
595бЮ17(+1)
10Ю5629 (+2)
16341922 (+2)
О, 10210113 (+1)
26509895 ( + 1)
5о6з972б(+1)
84222461 (+1)
13049901 (+2)
19791879(4-2)
|о, 90033881 ( о)
23278414(42)
13838703 (-12)
22805649 (—16)
о, 56385844 (—1)
29430157( °
51015024( о)
44298313 ( °)
22194606( о)
67970269 (—О
1297Н47 НО
15359Й6(-2
11020453 (-3
45827801 (-5)
10277729-6)
11077704 (-8)
47221389 (-и
5479*475 (-4)
67483817 (-18)
7
10,27781585(41)
|о, 2056*713 (+0
72178716( о)
|о,1393158з
1299З115
85688706
[о, 95208845
15084022
31080628
68615767
|о, 66783282
Н923499
57268222
44863038
43053833
0,48163735
13742894
79319056
12431329
47050045
22838598
|о, 35640187
12221841
+1)
-О
,0)
+1)
о)
-2)
О)
41)
о)
-О
-3)
о)
40
о)
о)
-2)
-4)
о)
4D
38874335(42)
48403610(42)
j^ 44811649 ( ,0)
11608242(71)
2i8o8497(+i)
35i88998(4i)
5i8887i7(+i)
72092441(4-1)
96044656(41)
12106982(42)
15660427(4-2)
19424920(42)
23786485(42)
28875384(42)
34906860(42)
42292332(42)
52085339 (+2)
°,35000000(41)
P. 23786797(41)
66213203(41)
к 18248198 (4i)
48137462(4-1)
98614340 (4i)
\>, 14862411 (4i)
38l7684o(+i)
74820584(41)
13194016(42)
^,12558461(41)
32070406(41)
61239082(41)
10316126(42)
16597079(42)
,0.10882635(41)
27608556(41)
52ijo825(+i)
86o88345(4i)
13273672 42
20055292 (+2)
|f°, 96062213 ( 0)
24266771(41)!
35841086 (—12)
68033381 (—16)
°» 59038771 НО
37885287( 0)
76836922( 0)
75450040 ( 0)
41746740 0)
n879oi6( 0)
28388609 (—1)
35678666(^-2)
26964468 (-3)
11740359 (-4)
27438107-6)
30705470-8)
13554269-Ю
i626i455(—13)
20717360 (—17)
10
I
|o,332335io(4i)
0,24449968(41)
87835415( 0)
|o, 16404917(41)
15764206(41)
10643867( 0)
|o, 11090226(41)
18203241(41)
38530992( 0)
86943465 (-2)
к 76934619( о)
1789437(41)
7°754974( 0)
56755672 (-1)
5557i48o(—3)
к 54883423( о)
16358289 +i)
97570189( о)
15689197( о)
6об40457 (-2)
299Й654 (-4)
o,4oi 86447 ( °)
Ц44023б(+1)

246
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение}
п
7
8
1
9
10
и
к
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
2
1
2
3
+
М
ц
9
1
2
з
+
5
6
^
9
10
1
2
3
4
5
6
J
! 9 1
,ю
11
!
. *к
Ч
7
,=з
44162694 (+1)
72642767 (+1)
11043676 (+2)
I60Q2998 (+2)
23287932 (+2)
о,80540622( о)
207638i9(+i)
39213204 (+1)
64056402 (+1)
96341802 (+1)
13787015 (+2)
19215024 (+2)
26821698 (+2)
о,72871761( о)
i8747»32(+i)
35293094(+i)
57383501 (+1)
8571б394(+0
12139517 (+2)
1бб289б6(+2)
22401757 (+2)
30386961 (+2)
о, 66544573 ( о)
17093Ь77(+1)
32104120(+1)
52024609 (+i)
77347119 (+1
10880882 (+2)
14755%6(+2)
19552572 (+2)
25642648+2)
3397%8 (+2)
о,61233619( о)
15710923 (+1)
, 29455200 (+i)
47614098 (+1)
72549970+1)
98785166 (+1)
133о§964(+2)
174б5076(+2)
22545075 (+2)
28929637 (+2)
37594042 (+2)
94595188( о)
2З440053( о)
i88243i4(-i)
39468610 (-3)
10707359 (-5)
0,26983350! 0)
10684252 (+1)
10335978 (+1)
35686404с о)
47201734 (-О 1
22080934 (—2)
28039061 (-—4)
45645486 (-7)
о, 20844489( о)
92669024( о)
106Q2047( + l)
47588989( 0)
90494947 (-1)
72183562 (—2)
21371211 (-3)
17505380 (-5)
18040042 (—8)
о, 16389427( °)
80156346с о)
юб71589(+ 1)
58126875( о)
14614935( °)
17210357(- 1)
89549484 (-3)1
17788607(- 4)
98526929 (-7)
67022768 (—10)
о,13088783( о)
6934675°( °)
10397495 (+ 1)\
66798916( о)
20994588( о)
33398312(- 1)
2б2532б2(— 2)
94Ц?899(- 4)
13Юб2б4(— 5)
50921791 (- 8)
23649203 (—11)
1 *»
1
s =
1 4550б550 (+1)
74324178 (+1)
11244678 (+2)
1бз27ИО(+2)
23557841 (+2)
Ь,8боо41б2( о)
21662435 (+1)
40437427 (+1)
6558?225(+l);
98172555 (+1)
1399948о(+2)!
19457447 (+2)
27096867 (+2)
0,77868002 ( о)
I957i9°2(+i)
Зб417«88(+1)
j87932Q7(+i)
87400289 (+1)
12334676 (+2)
16850796 (+2)
22651026 (+2)
30666485 (+2)
0,71147607 ( 0)
17854778 (+1)
ЗЗЧ4812(+1)
5333°492 (+1.)
78907634 (+1)
ЦО61674 (+2)
1496Ю22 (+2)
19782218 (+2)
25897664 (+2)
34262173 (+2)
о,6550И17( о)
i64i8o97(+i)
30423741(+1)
48М5З (+1)
72004946 (+1)
IOO47097 (+2)
135ооц8(+2)
17678687 (+2)
2278135б(+2)
29189557+2)
37880380 (+2)
А»
10
= 4
H578i94(+i)
29490712( 0)
24217501 (—1)
51743223 (-3)
14279507 (-5)
0,30118671( 0)
12529638 (+1)
125^458 (+1)
44734424( 0)
60582550 (-1)
28904818 (—2)
37ЗЗ8529 (-4)
61759956 (-7)
о, 23042067( 0)
107873341+1)
12944984 (+1)
59415508( 0)
H5825i8( 0)
94316287 (—2)
28422379 (—3)
23649776 (-5)
24738037 (-8)
0,17950294( °)
92631700( 0)
12847675 (+ i)
72263747( 0)
18647485( 0)
22437906 (— 1)
ll891427(— 2)
24004238 (— 4)
13489950 (— 6)
93060390 (—10)
о,14209031( о)
79572531( о)!
12447221 (+ 1)1
82679526( о)
26697474( °)
43434575 (- i)
34799782 (-2)1
12б88з1б(— 3)1
17924923 (- 5)
70592014 (— о)
33221434(-11)!
к
3
п
!
5! 71
6
7
1
2
3
4! 8|
5
6
1
1
2
3
4
5
6
1
9
1
2
з
9
4
5!
6! ю
7i
»«'
9 1
ю
1
2
3
4
5
6: и|
1
9
ю
HI 1
' 1

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 247
Таблица б (продолжение)
п
12
4
\ к \ Ч
1
2
3
♦
5
6
7
8
9
;10
Г 'и
12
13
ч
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ю
и
12
*з
Ц
1
2.
3
'4
6
s =
Р, 56711263( о)
Ц537226 (+1)
27217561 (+1)
439i38SS(+0
649019431+1)
90568156(4-1)
12Ц599о(+2)
15837462 (+2)
20253332 (+2)
25596613 (+2)
32256415 (+2)
41229201 (+2)
0,52813371 ( 0)
13520l28(+l)
25300923(4-1)
40761070(4-1)
60124112(4-1)
83685281(4-1)
11185081 (+2)
14518899(4-2)
18452099 (+2)
23109788 (+2)
28699386(4-2)
35617940 (+2)
44882056(4-2)
0,49418546( 0)
12651026(4-1)
23639955 (+1)
38o4oi27(+i)
56023608 (+i)
77821925 (+i)
10374^55 (+2)
13422027(4-2)!
16982926(4-2)
2П415б5(+2)
2б025783 (+2)
3i847H4(+2)
39010U5 4-2)
48550634 (+2)
о, 46435029( о)
n88i452(+i)
22186121 (+1)
35666385(4-1)
52462067 (+1)
7^759593(+1)1
Ак || хк 1 Ак
7
= 3
Ь, 10597884( о)
60108272( о)
99640080( о)
734745о2( о)
27737208( о)
56158706 (—1)
60756118 (—2)
33595433 (-3)
86505123 (-5)
87287328 (—7)
24501176 (—9)
79878148 (-13)
о, 86868320 (—i)
52249712( о)
94392545( о)
78247774( о)
34445857( о)
85074167 (-1)
и898582(—1)
92056668 (—з)
37226471 (-4)
71040152 (—6)
53384828 (—8)
11091542 (—ю)
25984917(-И) |
о, 71988257 (— О
45573073( о)
88705089( о)
81328783( о)
40813880( о)
119Цб27( о)
20б02б73(— 1)
2о893323(— 2)
11997740 (— з)
36564428 (- 5)
53о4139б(— 7)
303518б9(— 9)
47635032 (-12)|
81812904 (—16)
о, 60247182 (-— 1) |
39895609( о)
82895202( о)
82972506( о)
46629974( о)
15701991 ( о)|
10
6 = ~4
Ь, 60689017( о)
Ki97676(+i)
2§i2347i(+i)
45°532о8(+1)
66265384 (+1)
92Ц843б(+1)
12325177(+2)
16037500(4-2)
20474177 (+2)
25838605 (+2)
3252057З (+2
41518260 (+2)
к 56538363( о)
14147692 (+1)
2б151924(+1)
41832510(4-1)
61407275 (+0
| 85173201 (+0
11353812(4-2)
14707139 (+2)
18659783 (+2)
23336908(4-2)
2894635З (+2)
35885802(4-2)
45173499 (+2)
о, 52921077( о)
13234506 (+i)
24442403 (+i)
39э5Ч55(+1)
572357Н(+0
79228181(4-1)
10534166(4-2)
13600025(4-2)
17179153 (+2)
21355927(+2)
2б258407(+2)
32098458(4-2)
• 3928i245(+2)
48844184(4-2)
0,49740243( 0)
12432843 (+1
229453Ц(+1
36624103(4-1
536Ю776 4-1
74^9203i(4-i)|
Ь, и408054 ( о)
68496485 ( о)
11861531 (+ 1)
90534325( о)
35147171( о)
1 72836357 (- О
8оз71о4о(— 2)
45207921 (— з)
к
1
2
з
4
5
6
7
8
П817542(- 4)1 9
12087760 (— 6)j Ю
343б2227(— 9) i1
П34422б(—12)12
I
о, 92755бЗо (— 01 1
5942597 ( , 0)1 2
11174685(+ о! з
959798П ( о)
43488903( о)
11002052( О)
15704804 (— 1)
I2366648 (— 2)
50790313 с- 4)
98277534 (- 6)
74793967 (- 8)
15725928 (-Ю)
37284972 (-Ц)
о, 76273832 (— О
512499И ( , °)
Ю444174 + О
99307331 о)
51336967( °)
153б191о( о)
27127964 (— 1)
28014893 (- 2)
16345603 - з
4
5
6
1
9
10
И
12
13
1
2
3
4
5
6
1
9
50526876(— 5); io|
74242806 (— 7)
42990302 (— 9)
68234396(—12)
11853602 (—15)
о,6ззб13°5(— О
44582506( о)
970791lo( о)
10085764(4- l)
58431786( о)
20186009( о)
н|
12|
гз\
ц\
1
2
з
4
5
6|
п
12
-
13
14
!
15

248
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица б (продолжение)
хк
хк
7
8
9
|ю
[и
12
гз
И
*5
s = ;
96801006 (+l)
12491431 (+2)
15753538 (+2)
I9J26606 (+2)
238967З2 (+2)
2899428О (+2)
35034653 (+2)
4242955» (+2)
52233289 (+2)
[о, 36656667 (+1)
о, 25064198 (+1)
68269136 (+1)
о, 19293522(4-1)
498Ю412(+1)
Ю089607 (+2)
о,15749732 (+1)
398ооззз(4-1)
76743*30(4-1)
13437277 (+2)
, 133З0305 (+i)
333!3307(+1)
62916567 (+1)
10526076 (+2)
16851239 (+2)
|о, 11566067 (+1)
28713245(4-1)
53623395 (+1)
87951659 (+1)
13496824 (+2)
20317740 (+2)
[о, 10219654 (+1)
25261751 (+1)
46853208 (+1)
76004966 (+1)
1Н453Ю (+2)
16560571 (+2)
23826828(4-2)
,915б9907( о)
22567984(4-1)
41665332(4-0
67122783(4-1)
32479359 (—О
41209713 (-2)
31404791 (-3)
13774988 (-4)
32407646 (-6)
Зб487317(~8)
16197664 (~ю)
19538147(-13)
25029575 (-17)
8
:3
к 40122013 (+1)
|о,29347448(4-1
10774565 (+1
19509242 (+1
19281519+1
13312520( о
13051782 (+i
22Ц954б(+1
48098573( о
11082781(—1
|о, 89577483 ( о
21631592(4-1
88031284( о
72233339 (-1
72108378 (~з
,63230010( о
19640398 (+1
12087552 (+1
19920949( о
7857153о(-2
39552857 (-4
, 4582486Ц о
17212522( + 1
Ц273992 (+1
37330481( О
31322052 (-1
68156994 (—3
19124680 (—5
|о, 34006635 ( о
Ц82б532(+1
15432181(4-1
56423765( о
98314032(4-1)
I2660285 (+2)
15939648 (+2)
19729799 (+2)
24116985 (+2)
29231775 (+2)
35289882 (+2)
42703597(4-2)
52528716 (+2)
,375ooooo(4-i)
»25705505(4-1
69294495(4-1
,19819764(4-1
50646737(4-1
10203350(4-2
,16197327(4-1
40513190(4-1
77704059(4-1
13558542(4-2
^,13720244(4-1
3393б5б5 (+1
63755ю5(4-1
10630853(4-2
16977956(4-2
jo, ii9ii757(4-i
29267793(4-1
54370225(4-1
88882384(4-1
13608173(4-2
20448611(4-2
к 10530240 (+i
2576i666(+i
47527569(4-1
76845138(4-1
115454944-2
16677065(4-2
23960983(4-2
|o,9439°i6i( о
23023299(4-1
42280641(4-1
67889838 4-1
ш
= 4
42658043
55144227
42717211
19011291
45316120
51634857
23178907
28259540
36599404
И
= 4
|о, 44229884
о, 32261973
1 11967911
10,21350633
21386712
14925391
10,14211288
24505731
53874637
12540173
[о, 97026938
23858063
98442134
81668433
82298694
|о, 68i J4779
21587974
13488672
22496955
896106151
4550647
-О
-2)
-6)
-8)
-ю)
-13)
-17)
+1)
+1)
+D
+D
+1)
о)
+D
+1)
о)
-1)
,0)
+D
о)
-О
-з)
+1)
о)
-2)
-4)
о)
-Н)
+D
Р,49131512|
188522801
15890276)
42094092( о)
35690890 (—1)
78359922 (—з)
22167451 (-5)
о, 36283916 ( о)
16180848 (—1)
17135492(+1)
635И349( о)

ЧИСЛЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 249
Таблица 6 (продолжение))
п к
хк
10
11
12
9
|10
1
2
3
4
I
!п
1
2
3
4
I
9
10
10000139 (+2
14211512(+2
19б99215(+2
2737Н58(+2
!о, 82962419 ( о'
20403036 (+1
3754695° (+V
60204794 (+1
8908356З (+1
i252956i (+2
170721бО(+2
22899644(4-2
3°945176(Ч2
jo, 75844788 ( о
18622963 (+1
34i9016o(+i
54638774 (+1
80468492 (+1
11242313(+2
15165865(4-2
20011381 (+2
26152044 (+2
34544577 (+2
|о, 69858854 ( о
i71323oi(+i;
31397188Г+1;
50050514 (+1
73460995 (+1
10215618(4-2
13691118(4-2"
17891942(4-2
23017146 (+2
25448856(4-2
38165964(4-2
'о, 64753283 ( о
15865064(4-1
29034442 (+1
4б195»39(+1
67630455 (+1
93728835(4-1
12504237(4-2
16237282(4-2
20654646 (+2
2о080Пб(+2
8
:3
78174148 (-1)
38017607 (—2)
49935236(—4)
83888303 (-7)
|о, 25771087 ( о)
12б72б79(+П
157895°8(+1)
746458ЗИ о)
14904808( о)
1238244б(—1)
37962281-3)
32075541 (-5)
340439З1 (-8)
[о, 19894956 ( о)
10804841(4-1)
15584461 (+1)
90408247( о)
23922641( о)
29393984 (-1)
15858854 (—2)
32518365 (-4)
1853бП9(—о)
12963919 (—9)
|о, 15612287 ( о)
9217097б( о)
15°15194(+1)
10299161 (+1)
3413б595( °)
56760270 (—1)
46328155 (—2)
i7i667i8(—3)
24603197 (—5)
98184462 (—8)
468 Ю977 (-Н)
О, 1243ЮЮ( О)
78804014( о)
14229916(4-1)
11227821(4-1)
447*4455( о)
94927боо(— 1)
Юб78ю8(—Г
61073636 (— 3
1б202Ю8(—4)
16794933 (—6)
100915H (+2)
14317370 (+2
19819858(4-2)
27507982(4-2)
|о, 85545593( °)
2о82ц95(4-1)
38пзо53(4-1)
6o9Ui73(4-i)
89924977(4-1)
12626905(4-2)
17182671(4-2)
23023715(4-2)
31084214(4-2)
^,78227916 ( о)
19009658(4-1)
34714550(4-1)
55293803 (+1
81249054(4-1
11332577(4-2)
15268167(4-2)
20125784(+2)
26279000(4-2)
34685487 (+2)
!|
р, 72070865( о)
17491994(4-1)
31885721 (+1)
50661420(4-1'
74189420(4-1
10299856(4-2
13786525(4-2
17998438 4-2
23134861(4-2
29578278(4-2
38308479 (+2
|о, 66817221 ( о)
16201312(4-1)
29491795(4-1)
46768366(4-1)
68313596(4-0
945i9o84(+iv
12593721(4-2
i6j37079(4-2
20804743(4-2.
26200676(4-2)
И
! 4
88976096 (-1)
43676673 (-2
57838288 (-4
97908436 (-7)
|о, 27368993 ( о)
13781025 4-0
17485380(4-1)
8з»5888о( о)
1б941324( о)
1421272б(—1)
43942350-3)
37408582 (-<)
39989703 (-8)
|ot 21034350 ( о)
П7о8б39(+1)
17211350(4-1
10135707(4-1)
2715°оз8( о)
33702501 (-1)
i8343327(—2)
379Ч05о(-4)
2l7568So(—6)
15319703 (—9)
|о, 16435948( о)
99538047( °)
16537330(4-0
11521723(4-1)
38678542( о)
65000956 (—1
53538936-2
1999^575 -Зч
28862458 (-5)
11593567-7)
55б29314(-11)
|о, 13033317 ( о)
84817764( о)
15629786(4-1)
12533183(4-1)
50655751( о)
io856j33< о)
12327807(— 1)
7i^8&975(—3)
18996322 (—4)
1^Й21028(—6)
6
7
8
9|
ю
1|
2

250
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 6 (продолжение)
п
12
13
к
11
12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
и
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
Ч
Ц
1
2
3
4
5
6
2
9
10
и
12
13
Ц
15
хк \ АК
1
8
*~3
32784129 (+2)
4l806603 (+2)
о,6о34б342( о)
Ч774°7Ч+1)
27008072(4-1)
429°7496(~Ы
62692496 (+i)
86661809 (+i)
11522487(4-2)
Ц895324 (+2)
18867182 (+2)
23563642 (+2)
291928з4(+2)
36i53°8i(+2)
454б4258(+2)
о, 5б503283( о)
13824660(4-1)
25250034 (+1)
40066523 (+1)
58450204(4-1)
8063 5577(40
10693676(4-2)
137779Ц (+2)
17375170(+2)
21569986(4-2)
2б49°639 (+2)
32349323 (+2)
3955i8i2(+2)
49137080 (+2)
0,53122029 ( 0)
12990758(4-1)
23709694(4-1)
З7585698 ( + 1)
547б2130(+1)
75426970(4-1)
99827496(4-1)
12829084(4-2)
1б125б12(+2)
19932759 (+2)
2433б924(+2)
29468877 4-2)
35544642(4-2)
42977090(4-2
52823518(4-2)
48340323 (-9)
i6i57°io(—I2)
0,10027218 ( 0)
67594373( , о)
13332923 (+ 0
п85оП4(+ О
552Ц247( °)
14298И6( о)
20819296 ( — 1)
1бб7об44(— 2)
69546i47(— 4)
13640956(— 5)
1051 н82(— 7)
22360747 (—1°)
536424°2(—14)
о, 81828372 (— О
58199091( о)
12394453(4- О
1220б212(+ 1)
64938957( о)
19904686( о)
35877218(- 1)
37712953 (— 2)
22349654 (— з)
70053422 (— 5)
Ю423942(— 6)
61066570 (— о)
98005058 (—и)
17217592 (—15)
о, 67479852 (- 1)
503i3i45( о)
П459?51(4- 1)
12341б28(+ !)
73бз882Я( о)
26075028 о
56274878 (- П
74°84859(- 2)
5f3i5533(— 3)
2б325б49(— 4)
63562127 (— 6
73281377(- 8)
33258606 (_10ч
40977608 (_13)
5364474б (—17
! хк
1
I 32915684 (+2)
4195°5°9( ' 2)
.о, 62280869 ( о)
15089772 (4-1)
27438046(4-1)
4344бЗ°1 (+1)
63335871(4-1)
87406 }71(4-1)
11606803(4-2)
| 498932J(+2)
18970778(4-2)
23676867(4-2)
29315895(4-2)
36286505(4-2)
45609385(4-2)
о,58323728( о)
14122198(4-1)
1 25655766(4-1)
40575441 (+1)
59058337(4-1)
81339700(4-1)
Ю77343о(4-2)
13866819(4-2)
17473102(+2)
21676904(4-2)
2б6о66ю(4~2)
32474579 (+2)
39686886(4-2)
49283287(4-2)
0,5484114°( о)
13272122(4-1)
24093801(4-1)
38067932(4-1
553зМ8(+1)
76094998(4-1)
ЮО5844О (+2)
1291J464(4-2)
1б218539(+2)
20034152(+2)
24446777(4-2)
29587282(4-2)
35671848(4-2)
43ПЗбЗб(4-2)
52970687(4-2)
*к
И
= 4
57400728 (— 9)
19302482 (—12)
о,10471844( о)
725i56i4( , о)
14605087(4- 1)
13198644(4- 1)
62341691 ( о)
16329157( о)
24009385 (— 1)
19397539(- 2)
8148854З (- 4)
16090616 (— 5)
12474945 (- 7)
2бб92ЮЗ(—10)
б44°598о(—Ц)
о, 85135401 (- 1)
62238550( о)
13540997(4- 1)
13565206(4- 1)
73i88335( 0)
22698583( 0)
4132588з(- 1)
43820348 (— 2)
26168875 (- 3)
82587921 (- 5)
12365626 (— 6)
72858865 (- 9)
11757208 (—и)
2о77°127 (—15)
0,69953414- 1)
53639740( о)
12487342(+ 1)
13685470(4- 1)
82840451( о)
29689734( о)
64740862 (— 1)
85996727(~ 2)
68227032 (— з)
31016872 (- 4)
к
11
12
1
2
3
4
5
п
I2
6!
Й"
9|
ю!
и
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Н
ю'
11 1
12
13
ц
1
2\ 1
з
4
5
6
7\ 1
8 15!
%
Ю;
75З64616 (— 6)i и
87394060 (— 8)1 12
39878939 (-io)j 13
49390725(-13) Hi I
65003564—17)
15

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА С ВЕСОМ ЛАГЕРРА
251
Таблица 7. Вычисление интеграла \ xse~xf {x)dx в случае функции
о
/{х)у ограниченной на полуоси 0<а?<оо:
00 П
J x9e'*f (x) rf* « J Л/с/ (**). * = 0, - -g-.
о fr=q
Формула точна при f(x) « (1 + *Г* (*» 0, 1, <,., 2п — 1).
Функция /(*) ограничена на полуоси О < * < до. Глава 3, § 2.
Литература; Крылов В. И., Королев Н. И., Скобля Н. С. П]
$ = 0
п
1
2
3
4
5
1
**
0,67687503
1,6379871
о,22343083
2,5271443
0,71141700
о,10978200
3,3586719
1,2479336
о, 39522859
о,065386107
4,1458248
1,795бо88
0,74174267
о,25243825
0,043490249
*к
о,50428446
0,49571554
о, 23877370
о, 49649389
о, 26473241
о,1Ц4458о
о,37003046
о, 35332949
о,16219425
0,056017062
о, 25128504
о, 33423967
о, 24920149
о, 10925674
II
1 п
1
2
5
хк
0,3194837571
1,219879310
о,09917599457
2,08264628I
о,5187666022
о,04808387791
2,896936652
1,015325168
0,2878330481
0,02846830651
3,671329328
1,533982454
0,603739^72
о,1840644320
0,01886637871
Ак
1,772453851 j
0, 5861913351
1,1862625158
0,2250090437
0,6886571084
0,8547876988
0,09702718271
0,4026735162
0, 6073570851
0,6653960669
0,04337685229
0,2353421364
0,4296863871
0,5195195522 J
0,5445289230

262
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 8. Вычисление интеграла по оси (—со, +оо) с весом Чебы-
шева — Эрмита:
00 П
J «-*/(*) «to» 2 Akf&k)-
-со к=1
Степень точности 2л — 1. Глава 3, § 2, (3.2.8).
Литература: SalzerH., ZuckerR., CapuanoR. El].
Числа в таблице напечатаны в нормализованном виде. Справа в скобках указан
показатель степени десяти, на которую нужно умножить это число:
0,45300 09905 509(—2) « 0,00453 00099 05509.
Показатель, равный нулю, опущен.
хк
10
О, 00000 00000 0О0ОО
о, 7071° 67811 86548
О, ООООО 00000 00000
1,224744871391589
о, 52464 76232 75290
1,65068 01238 85785
О, 00000 00000 00000
0,95857 24646 13819
2,020182870456086
0,436077411927617
1,335849074013697
2, 35о6о 49736 74492
О, 00000 00000 00000
0,816287882858965
1,673551628767471
2,651961356835233
0,381186990207322
1,15719 37124.46780
1,981656756695843
2, 93063 74202 57244
О, 00000 00000 00000
0,72355 1018752838
1,46855 32892 16668
2,2665805845 31843
3,19099 3201781528
о, 34290 1J272 23705
1,03661 0829789514
1,7724 53850 9^6
о, 88622 69254 528
1,1816 359°°6o4
0,2954089751509
0,80491 40900055
0,8131283544725(^-1)
о, 94530 87264 829
о, 39361 93231 522
о, 19953 24205 905 (-1)
о, 72462 95952 244
0,1570673203229
0,4530009905 509 (—2)
0,8102646175 568
0,42560 72526 101
о, 54515 58281 913 (-О
0,97178 12450 995 (-3)
0,6611470125582
0,2078023258149
о, 17077 98з°о 741 (—1)
о, 1996040722 1Ц (—3)
о,72023 52156061
0,43265 15590026
о,88474 52739 438(-1)
о, 49436 24275 537(-2)
о, 39боб9772б32б(— 4)
о,6ю8б2бз37 353
0,2401386110823

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА С ВЕСОМ ЧЕБЫШЕВА-ЭРМИТА 253
Таблица 8 (продолжение)
хъ
10
11
12
13
14
16
1,756683649299882
2, 53273 16742 32790
3,43615 91188 37738
О, 00000 00000 00000
0,656809566882100
1,326557084494933
2,025948015825755
2,783290099781652
3,668470846559583
0,314240376254359
о, 94778 83912 4°1б4
1,59768 26Д51 52605
2,279507080501060
3,0206370251 20850
з, 88972 48978 69782
О, 00000 00000
о, 60576 38791
1,2200550365
1,8531076516
2,5197356856
3, 24660 89783
4,Ю133 759б1
ооооэ
7Юбэ
90748
01512
78238
724Ю
78640
0,29174551067256
0,87871378732940
1,47668273114114
2,09518325850772
2,74«47 07249 8540
3, 46265 69336 0227
4,30444 85704 73бЗ
О, 00000 00000 0000
0,56506958325558
1,13611 55852 1092
1,71999257518649
2, 32573 24861 7386
2,96716692790560
3,66995 °3734 °445
4,49999 °7073 °939
0,27348 10461 3815
0,82295 14491 4466
1,3802585391 9888
М5178 79909 1б2£
2,54620215784748
о, 33874 39445 548 (-1)
о, 13436 45746 781 (-2)
о, 76404 32855 233 (-5)
°»65475 92869 Цб
°> 42935 97523 561
0,1172278751 677
о, И9П 39544 491 (-1
о, 34681 94663 233 (-3
о, 14395 60393 714 (-5
°,57°13 523б2 625
0,2004923102642
о, 5160798561 588 (—1)
о, 39053 90584 623 (-2)
о, 85736 87043 58» (-4)
о, 2658551684 356 (-6)
о, 60439 3i8792n
о, 42161 62968985
о, 14032 33206 870
о, 2086277529617 (—О
о, 12074 599Э2 719 -2)
о, 20430 36040 271 (—4)
о, 48257 31850 073 (~7)
о, 53640 59097 121
о, 2731056090642
°, 68505 53422 347 МО
о, 7850054726 45» (-2)
о, 35509 26135 519(-3)
о, 47164 84355 019(-5)
о, 86285 91168125 (—8)
о, 56410 03087 264
0,4120286874 989
о, 1584889157 959
0,30780 03387 255 (—1)
о, 27780 68842 913 (—2)
о, 1000044412 325(—3)
о,ю591 15547 7И (-5)
о, 15224 75804 254 (-8)
о, 50792 94790 166
о, 28064 74585 285
о, 83810 04139899(^1)
о, 1288о 31153 551 (~1)
о, 93228 40086 242 (—з)

254
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 8 (продолжение)
Ху
16
17
18
19
20
1
2
3
4
I
7
8
9
1
2
3
4
5
6
I
9
1
2
3
4
5
6
9
Ю
9
Ю
3,17699 91619 7996
J, 86944 79°48 6о12
4,68873 89393 0582
0,00000
0, 53163
1,06764
1, 61292
2,17350
2,75776
3,37»93
4, об194
4,87134
ооооо ооо
30013 427
87257 435
43142 212
28266 666
29157 039
20911415
66758 755
51936 744
0,2582677505 191
0,7766829192674
1, J0092 08583 896
1,»3553 16042616
2,3862990891 667
2,9613775055316
3,5737690684863
4,24811 78735681
5,0483640088745
о,ооооо
о, 50352
1,01036
1,52417
2, О4923
2,59113
3> !5784
3,76218
4,42853
5,22027
о, 24534
0, 73747
1, 23407
1,73853
2, 25497
2,7888о
3, 34785
3,94476
4,60368
5,38748
ооооо ооо
01634 239
83871 343
об193 935
17098 506
2Z82?945
88183476
73519 640
28066 038
16905 375
07083009
37285 454
62153 953
77121 166
40020 893
60584 281
45673 832
40401156
24495 507
08900 112
о, 27118 60092 538 (~4)
о, 23205 80844 865 (—6)
о, 26548 07474 он (~9)
0,5309179376 249
0,4018264694704
0,1726482976701
о, 40920 03414 976 (~1)
о, 50673 49957 628(~2)
о, 29864 32866 978 (—3)
О, 71122 89I4O 021 (~5)
о, 49770 78981 631 (-7)
0,4580578930 799 Ыо)
о, 48349
о, 28480
о, 97301
о, 18640
о, 18885
о, 91811
о, 18106
о, 10467
о, 78281
56947 255
72856700
74/64132 (-1)
04238 754 (-О
22630 268 (—2)
26867929 (—4)
54481 093 (-5)
20579 579-7)
99772П6 (-и)
о, 50297 48882 762
0,3916089886130
о, 18363 27013 070
о, 5081038690 905 (~1)
о, 79888 66777 723 (-2)
о, 67087 75214 072 (-3)
0,27209 19776 316 (-4
о, 44882 43147223 (—6)
о, 21630 51009864 (—8)
о, 13262 97094 499(~1i)
о, 46224
0,28667
о, ioqoi
о, 24«ю
о,32437
о, 22833
0,78025
о, ю86о
о, 43993
О, 22293
36696 ооб
55053 628
720бО 200
52088 746 (-1)
73342 2з8(-2)
86360163 (-3)
56478 532 (-5)
69370 769 (-6)
40592 273 (— 9)
93И5 534(-12)

КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА С ОДНИМ ФИКСИРОВАННЫМ УЗЛОМ 255
ГЛАВА 18
ТАБЛИЦЫ АБСЦИСС И КОЭФФИЦИЕНТОВ
ДЛЯ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ, СОДЕРЖАЩИХ ЗАДАННЫЕ
УЗЛЫ И ИМЕЮЩИХ НАИВЫСШУЮ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ
Таблица 9. Абсциссы и коэффициенты для правила интегрирования:
1 п
^f(x)dx&A0f(0)+ 2 'Wfr).
k=i
Степень точности 2п. Глава 4, § 2, (4.2.2).
Литература: Аккерман Р. Б. [1J.
п
1
2
3
4
5
к
О
1
О
1
2
О
1
2
3
О
1
2
3
4
о
1
2
з
4
5
*к
о
о, 666666667
0
о,355°5i°26
844948974
0
0,212340538
590533136
911412040
0,139759864
416409568
723156986
942895804
0
0,0985350860
304535727
562025190
801986582
960190143
**
0,^5
75
0, шипи
512485826
376403063
о, об25
328844320
388193469
220462211
о,°4
223103901
311826523
281356015
143713561
0,027777778
159820377
242693594
260463392
208450667
Ю0794193
п
6
7
8
к
0
1
2
3
4
1
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
I
*к
0
0,0730543287
230766138
441328481
663015310
851921400
970683573
0
о,0562625605
180240692
352624717
547153626
734210177
885320947
977520614
0
о,о44бз3955з
144166257
286824757
Л3215
628067835
785691521
900676392
982220085
А*
0,0204081633
119613745
190474937
223554915
212351890
159102116
074494235^
0,015625
0926790774
152065310
188258773
195786084
173Р7398
124823951
0572544074
0,0123456790
0738270095
жя
174136501
168846983
14319ЗЗ48
100276649
0453572525

256
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 10. Абсциссы и коэффициенты для правила интегрирования:
со п
fr-i
Степень точности 2п. Глава 3, § 2, (4.2.3).
Литература: Крылов В. И., Ф еден ко Н. П. [1].
Числа в таблице напечатаны в нормализованном виде. Справа в скобках указан пока*
ватель степени десяти, на которую нужно умножить это число:
0.25909337( — 2) « 0.0025909337.
Показатель, равный нулю, опущен.
п
1
2
3
4
5
6
?г
о
1
о
1
2
О.
1
2
3
О
1
2
3
4
о
1
2
3
4
5
о
1
Ч
о
2
О
1,2679492
4,7320508
о
о, 93582223
3» 3054073
7,7587705
о
0,74329193
2» 5716352
5,7311788
ю,953894
0
о, 61703085
2,112Q660
4,6ю8зз2
8, 399^67°
ц,260103
0
о, 52766812
Ч
°,5
о,5
°»33333333
о,62200847
о, 44658198 (-1)
о, 25000000
о,62905268
0,11835639
0,25909337 М)
0, 20000000
0,60120469
о, 18573233
о, 12942850 (—1)
0, 12012620 (—3)
0,16666667
о,56401481
0,23771357
о, 30561921 (—1)
0, I03gl978 (-2)
0,48368040 (—5)
о, 14285714
о,52618328
П
6
7
8
9
к
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
1
7
0
1
2
3
4
5
6
I
0
1
2
3
**
1,7962998
3,8766415
6,9188166
11,234610
17,645964
0
0,46102422
1, 5635862
з» 3520505
5,9162973
9,4206994
14,194166
21,092177
0
о,40938357
1,3849632
2,9562546
5,1819431
8,1617097
12,070055
17,249736
24,585955
0
0,36817845
1,2433580
2, 6460338
ч
о, 27495999
о, 52366022(—in
0,35654682 (—2)
0,67918934 (-4)
0,17652985 (-6)
о, 12500000
о,49066966
о,30040474
о, 75512739 (-1)
0,80799032 (-2)
о, 32911142 (-3)
0,38385257 (-5)
0,59896135 (-8)
0,11111111
о,4583294З
0,31696537
о, 98095771 (-0
о, 1450об19(—1)
о, 97193443 (-3)
0,25570897 (—4)
о, 194Ц548М)
о, 19203618 (—9)
0, 10000000
0,42922372
о, 32700364
0,11903948

ФОРМУЛА ДЛЯ ВЕСА в~х НА (0,оо) С ОДНИМ ФИКСИРОВАННЫМ УЗЛОМ 257
11
9
-
10
и
12
к
4
5
6
7
8
9
: о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
0
1
2
з
4
5
6
1
8
9
10
'И 1
12 1
13
0
1
хи
4,6168825
7,2217865
10,567321
14,835915
20,382182
28,118343
0
о, 33452868
1,1282534
2, 3958699
4,1668410
6,487353°
9,4283548
Ч'РУИ
17,696488
23,577787
31,682801
0
о,30652670
1,6127974
2,I896II9
3,7990476
5,8949112
8, 5272920
11,771007
15,742260
20,635806
26, 826350
35,274391
0
о,28285835
о, 95232604
2,0164921
3,4923541
5,40549Ю
7,7928139
ю,707389
14,227152
18,471997
23, 641784
30,120059
38,889284
0
0,26258840
Ак
o,224774°i(—1)
0,21570338 (-2)
0,969850341-4)
°»17390375 (-5)
0,89958943 (-8)
0,58834528 (~п)
о,09090909
0,40312405
о,332Зо5Ю
о,13784018
о, 3i5656i2(—О
о, 39834527(—2)
о, 26405941 (—3)
°. 835б7994(-5)
0,10630784 (—6)
0,38819101 (—9)
о, 173бзб9о(-12)
о,о83333333
о, 3797Ц61
0,33418502
о, 15434562
о,413326оэ(—1)
0,64817900 (—2)
о, 57870429 (-3)
о,27б82бзо(—4)
0,63930828 (—6)
о, 59533265 (-8)
о, 15788712 (—ю)
0,49661325 (-Ц)
о, 07692308
0,35867340
о,33З60369
о,16859291
0,51407330 (-1)
0,9б2575бЗ (-2)
0, Ю896728 (—2)
o,7i64546i (-4)
о,2555823б(-5)
0,44307972 (-7)
0,30975472 (-9)
0,61078979 (—12)
о,1з828о47(--15)
0,071428571
0,33970318
п
13
14
15
к
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
0
1
2
3
4
5
6
1
9
10
11
12
13
14
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
14
15
Таблица
д'/с
0,88355031
1,8690338
3, 2324187
4,9935756
7,1806105
9,8328083
13,005622
16,779614
21,277912
26,705034
зз>452785
42,524448
0
о, 24503301
о,82408222
1,7418724
3,0091325
4,6416341
6,6613415
9,0983027
11,993703
15,404988
19,4Н993
24, 49758
29,818105
36,819624
46,177430
0
о,22968050
°,7721449i
1,6310531
2,8151446
4, 337*641
6,2146428
8,4711640
11,138332
4,258910
17, 892053
22,122620
27,079312
З2, 974974
40,216584
49, 846222
10 (продолжение)
А/с
0, 33126122
о, 18076214
о, 61495403 (—1)
о,13349837 (-0
0,18359717 (-2)
о, 15570327(-3)
0,77706542 (-5) 1
0,21214031 (—6)
0,28245945 (-8)
0,15136713 (-Ю)
0,22633024 (—13)
о,37б21928(-17)
о, 06666667
о, 32254096
о, 327669Э7
о,19101972
о, 713763^1 (-О
о, 17566132 (—l)
0,28435634 (-2)
о,297332эз(-3)
о,19427382(-4)
0,75370522 (-6)
о, 16080664 (—7)
0,16758956 (-9)
0,90062052 (—12)
0,80784678 (—15)
о, 10030403 (—18)
о, 062500000
о,30695870
о, 32320217
о, 19958462
о, 80893567(-О
о,22177бз9(-0
0,41248203 (-2)
о, 5Н29Ц5 (-3)
0,41968202 (—4)
0,21599995 (-5)
э, 66420015 (-7)
о, 11269622 (—8)
э,93413034(-н)
0,30925807 (—13)
0,27900692 (—16)
0,26267530 (—2о)
9 В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина

258 ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 11. Абсциссы и коэффициенты для правила интегрирования:
1 п
[ f(x)dx^A0[H-\) + f(i)\+ У Akf(xk).
-л k=\
Степень точности 2л + 1. Узлы х^ и коэффициенты А% обладают следующим свойством
симметрии относительно х — 0: х^— — хп^1_%, Afc=An_^_>j ^.
Глава
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
к
1
1
1
2
1
2
1
2
3
1
2
з
1
2
3
4
1
2
3
4
1
1 2
3
4
5
1
2
3
1 5
4, § 2, (4.2.5).
хк e -*nH-l-fr
1
0,00000000
1
0,44721360
1
°, 65465367
о, оооооооо
1
0,76505532
0,28523152
1
о, 83022390
о, 46884879
о, оооооооо
1
0,87174015
о, 59170018
о,20929922
1
0,89975800
0,67718628
0,36311746
о, оооооооо
1
0,91953391
0,73877386
о,4779^495
о,16527896
1
о,934°°143
о,78448347
°> 56523533
0,29575814
о,оооооооо
1
о,94489927
0,81927932
о,63287615
о,39953094
1 о,Пб55293
Aft = An+i_k 1
0,33333333
1,33333333
0,16666667
0,83333333
0, юоооооо
о, 54444444
0,71111111
о,066666667
о,37847496
о,55485837
0,047619048
0,27682605
о,43174538
0,48761905
0,035714286
0,21070423
0,34112268
0,41245881
0,027777778
о, 16549536
о, 27453872 !
0,34642851
0,37151927
0,022222222
°.13330599
о,22488934
о,29204268
°> 3275?976
0,018181818
0,10961227
0,18716989
0,24804811
0,28687913
0, 30021759
0,015151515
0,091684521
°»15797471
0,21250842
0,25127560
о,27140524
п
11
12
13
>4
15
к
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
1
7
1
2
3
4
7
8
*k e -*n+l-fc
1
0,95330985
°,84634757
0, 68618847
о> 48290982
0,2492869З
0,оооооооо
1
°,95993505
о,86780105
о,72886860
°i55о6394°
о, 34272401
о, 11633187
1
0,96524592
о, 88508205
о,7б3519б7
0,60625322
о, 42063805
0,21535396
о,оооооооо
1
о,96956804
о, 89920054
о, 79200828
0,65238872
о,48605941
о,29983047
о, 10132627
1
0,97313217
о, 9Ю88001
0,81569624
0,69102899
0,5413854°
0,37217443
0,10951198
, о, оооооооо
1
Ак eAn-f-1-fc
0,012820513
0,077801687
0,13498ЦЗ
0,18364686
0,22076779
0,24401579
0,25193085
0,010389011
0,066837283
0,11658665
0,16002185
0,19482615
0,21912625
0,23161279
0,0095238095
0,058029922
0,10166004
0,14051171
0,17278965
0,19698723
0,21197360
0,21704810
0,0083333333
0,050850369
0,089393689
0,12425539
0,15402699
0,17749190
0,19369005
0,20195830
0,0073529412
0,04492195°
0,079198263
0,1105929°
0,1.3798776
0,16039465
0,17700426
0,18721635
0,19066186

СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 259
ГЛАВА 19
ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ
Таблица 12. Синус-преобразование Фурье. Абсциссы и коэффициенты
для правила интегрирования:
C(i+.,n,,J!ifLd,«S^-?^.'-4(T)*.*-1T(4-)3T-
$ (i+*)s *-, (i+*k) 4 u; з и/ з
Правило точное при Ф (х) ~ (I +л) ' (/ = 0, 1, ..., 2я — 1). Функция Ф (*) —
ограниченная на полуоси 0< л: < эо. Глава 7, § 3, (7.3.2).
— 15
п
1
2
3
4
5
6
7
8
*1г
3,Ц4П5316740
0,4725678300
13,703828977
о, 179445263
1,35755*779
34, 59^9986
о,098093259
0,65949^24
2,532811105
57,6412411
0,061517017
о, 38076940
1,27009691
4,79702777
S8t 438494
0,04155753
0,24430417
0,7382963
1,8620412
7,931236
134,69027
0,03027599
0,172950
0,494937
1,15856
2,52620
ю,4975
181, 3907
0,023260
0,13055
0,36130
о, 80542
1,6711
3,7449
13,037
227,05
Afc
26,83438353
2, 087806983З
93,61602
0,5922723306
4,223520887
226, 999
0,2918396626
1,57249^89
5, 4°57384
377,74
о,173726543
0,712812564
2,74398643 1
7,3571235°
577» i2
0,11387011
о, 39*4214
1,2 43072
3,2113806
U,93545
874,5
0,0815384
о, 251164
о,668565
1,786424
3,024088
16,57934
П77
о, 061970
о, 18054
0, 42742
1,0407
2, 4027
2, 8297
20, 775
1474
хк
2,408153709463
о, 4488634781
10,047251339
о, 173678792
1,305158970
25, 62871003
о, 095505770
о, 637587236
2,39348oj57
42,85338587
о,060430109
о, 37306725
1,23907912
4,4579Нб2
64,778458
о, 04098632
о,24062485
0,7254881
1,8264848
7, 484567
98,40811
0,0298613
о, 170380
о,486435
1,134276
2,45740
10,0042
133,6476
о, 022987
о,12892
о,35623
о, 79208
1,6367
3,5633
12,332
166,75 I
Afc
18,01634687
1,948482520
57,18503
0,5692081006
4,029034302
137,552
0,2830620516
1,493180500
5,П57оп
229,69
0,170384503
0,692874048
2,65358336
6,66450454
345,64
0,11220975
0,3838565
1,1833238
3,1662216
10,76891
521,3
0,0803682
0, 248520
0,651563
1,729612
3,002399
15,2049
707, з
0,061216
0,17786
0,41898
1,0136
2,3390
2,7141
oi9'°39
882,9 1

260
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
h
Таблица 12 (продолжение)
8==13
п
1
2
3
4
5
6
7
8
хк
1,676853433723
о,4062304297
6,4369370547
о,163482491
1,215391024
16,63028837
о, 090725525
о,598оо2Ц7
2,I70342608
28,19681489
о,058305966
о, 358054371
1,178111832
3,885196205
41,5389416
0,039904480
0,2336920
0,7015561
1,7604198
6, 6837046
62,34835
о,0290864
о,165605
о,47о8зЗ
1,09074
2,34265
9,15808
86,1691
о, 022446
о, 12568
о, 34621
о, 76574
1.5685
3> 2563
11,187
Ю7,34
А»
ю,79314159
1,704017306
29, 25635
о, 529184894З
3,695830689
68, 2462
о, 2670124716
1,354686576
4, 6710168
П5,47
о, 1638770138
о, 6544987850
2,47134767
5,62047699
169, 52
о,10907336
0,3697611
1,1263224
£0754687
8,831722
251,6
0,0781869
о,2399%
0,62lo6
1,63064
2,96863
12,9337
346,7
0,059722
о, 17258
о, 40246
о, 96053
2,20769
2, 5737
16,274
432,31
Ч
1,3134бЗб337б5
о,3689394771
4,6787064380
о, 154662047
1,139822159
12,O9827183
о,086465480
о, 5637905Ц
2, 001370132
20,94398952
о, 056245760
0,343551295
1,118786324
3,431224359
Зо, 2782402
0,038883608
0,2271837
о,6732528
1,6987161
5,9785059
44,55454
о,0283806
о,161289
о,456943
1,05306
2, 2503О
8,4444
62, 5559
0,021918
о,12254
0,33651
0, 74041
1, 5034
3,0174
ю, зоо
78, Зэ
*к
7,770413553
1,497376243
18,67102
о,4953°5739б !
3,413617335
41,4б6о
0,2528986738
1,240440476
4,3456644
71,429
0,1575959692 1
о, 6180682057
2,29008511
4,91249218
юз, 20
0,10612290
о, 3567003
1,0740799 I
2, 98Ю944
7,304373
149,8
о, 0762059
о,232384
о,59466
1,54798
2,94045
И,1Ю1
208,9
0,058269
о, 16749 '
о, 38671
о,9Ю43
2,0774
Ц,1б8
2б1,8

СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
261
f=ll
Таблица 12 (продолжение)
s = 2
п
1
2
\ 3
4
5
6
7
8
^
1,192438563992
0,3520479984
4,1078512584
0,150649096
1,105837033
10,57826506
0,084520651
0, 548521742
1,931664756
18,53664050
0,055241789
0,3365107
1,0899573
3,241807
26,623969
0, 03838983
0, 2240445
0,6685275
1,6688229
5,655551
38,71230
0,0280511
0,159284
°,450557
1,03605
2, 21018
8, 1224
54, 695
0, 021663
0, 12102
о,33185
0,72831
1,4728
2,9197
9,928
68,78
1
4* |
6, 845290366
1,406264256
15,67743
0,4801078
3,285747
33,7748
0,24651617
1,1911607
4,212579
58,732
о,15454643 1
о,6006275 1
2, 2014Ю
4,650286 j
84,473
о, 10469875
о, 3504545
1,0492088
2,931590
6,665902
121,077
0,075283
о,22888
о, 58276
Ь5Н52
2, 92683
1о, 3181
*9, S
о, 05757
о, 1651
о, 3793
о, 8870
2,017
2, 507
13,29
2i3>5
Ч
0,948971884051
о,3076288134
з, 0079615794
°, 139796739
1,о1445Цб2
7, 523055519
°,079345250
о,5°8944223
1,763666954
13,71302322
0,05235742
0,31642299
1,00829485
2,79473795
19,543130
о, 03695304
о,2149323
о,6374326
1,5807793
4»792545
27,33339
0,0271395
о,153769
°>433183
о,990587
2, Юб12
7,24796
38,9521
о,02094
о,1167
о, 3188 |
о,6949
1,3904
2,6929
9,004
49,98 j
!
Ак
5,102809640
1,175122054
ю, 539898
°, 4396413550
2,93802802
20, 40972
0,2297188899 ч
1,0б838055
3,8884892
36, 337
о,14582539
o,55i8485
1,951891
4,111897
52,229
о, 10056466
о,33250386
о,9778729
2,7703542
5,1681992
72,17
0,072736
о,21937
о, 55ю8
1.4163
2, 8836
8, 28i6
101,1
0,05558
0,15821
0, 3587
0, 8239
1,856
2,513
п,13
J29,7

262
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
S =
п
I 1
1 2
3
4
5
6
7
8
Ч
0,799524516346
0,2715493245
2, 39°7б94201
0,130254273
о, 934°2боб1
5>694339354
о, 074987998
о,476718519
1,636705528
ю,77035473
0,04971065
о, 29824368
0,93618710
2,48522430
15.4799^24
о,о35559о8о
0,206113096
0,60731966
1,493П52
4,0830695
20, 896589
0,0263149
о, 148813
о,417758
0,950916
2,01707
6,45864
29, 489
0, 02029
0,11292
о, 3073
о, 666з
1,323
Ь 535
38,8i
1
^
*к
4, Ю7475469
о,9975992933
8,0208247
о,4047782264
2,62729249
13,85585
о, 2157845661
о,9735278с2
3,63285Н
24, 817
0,137893335
0,50912126
1,7385453
3, 8028073
36, 247
о, Э9656700
0,31536649
о, 9097902
2,5873389
4,191°72
48, 69
о,070439
о,2Ю931 1
°>52371 |
г, §3186
6,6194 |
67, о
о, о538&
0, 15220 1
о,з412
о, 7722
1,7298
2,5358
9, 444
87,8
Таблица 12 (продолжение)
s = 2c
1 *к
0,761226617152
|| 0,2611536452
2,243676786I
о,127233894
0,908982$)1
5,242778198
0,073б798П
0,4б7212б28
1, 600353899
10,01964582
о, 04888949
о, 29266634
0,91457778
2,40425651
14,4866925
0,035ЮЦ24
0,20322159
о,59744074
1,4638585
3,8804532
19, 366290
о, 0260536
о, 147247
о, 412908
0,938519
1,98921
6, 20746
27.134
о, 02009
о,1И75
0,3038
0,6577
i.3°3
2,493
8,053
36, oi
Ак
3,860920781
о, 9483353222
7,4572800
0,3940931226
! 2,52987038
12,42025
0,2116366453
0,946371379
3, 5565639
22, 163
0,135444488
0,496312608
1,6766472
3, 7289704
32,636
о,095257268
°»30979739
о,88768338
2,521856
3,959184
43, 55
0,069712
0, 208286
0,51522
1, ЗЮ04
2,81182
6,1332
59,4
°, 05326
0, 15037
°,3359
°,7571
1, 6942
2,5428
8, 949
78,3

СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
263
■ = 2о
Таблица 12 (продолжение)
п
1
2
3
4
5
6
7
8
x'fc
о, 695996523057
0,2425161935
2, OO621467H
о,121648598
0,861094155
4, 502173890
0,071236890
0, 449637827
1, 533950227
8, 74627223
0,047343641
о, 282258624
0,87501136
2,26714358
12, 8461784
0,03419721
0,1975^9
о,577955о
1,405623
3,524580
16,90989
о, 0255449
о, 144203
o,403510
о,9Н525
1.93487
5»71978
23,250
о, 01972
о, 1096
о, 2973
0, 6419
1, 2б7
2,419
7.Л43
31,31
"
3,448647346
о, 862259339
6,5745421
0,3738856588
2,3432780
10,2341
о,2039326658
о, 897000102
3,4123554
17,948
о, 1308525084
0,472811210 !
1,56625642
3,6о7979
26,94
о,09267369
о,2988830
0,8444717
3,607668
35> 65 |
о, 068299
0,20J17
0,4989З
1,26161
2,766Д7
5» 2578
47,7
0,05223 |
0,14696
0,3261 1
0,7298 !
1,631 I
2, 554
8,о31
63,3
1
хи
о,64205874637З
о,226425522
1,823715696
0,11633384
1 0,81590916
3,9273402
о,06898523
о,433бпз6
1,4738892
7, 7°1б593
о, 0459250З9
0,27281921
о,84002292
2,1558330
11,53869
0,03331161
о, 1919402
о, 5589569
1,348518
3*230516
15,04216
о, 025049
о, 14124
0, 39439
0,89122
1, 88i2
5» 2526
20,218
o,oi937
о, Ю75
о, 2913
о, 6275
1,236
2,355
7» 254
27,49
Ч
3,Н4919557
0,79033926
5,9159563
0,355063931
2, 1676497
8, 6888о
о, 196877965,
0,85310035
3,27549^9
И, 78о
о, 126659862
0,451960122
1,47204634
3,5Ю71343
22,66
О,09ОЦ89
0,288320
о,802943
2, 24886
3,37477
29,93
0,06692
0,1Q82J
о, 48328
1,2147
2,7124
4,5135
39,3
0,0511 1
о, 14з8
о,318
о, 7о6
1,575
2, 56i
7,184
52,2

264
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
S = 2t
Таблица 12 (продолжение)
s = 3
п
1
2
3
4
5
6
7
8
*fc
о, 618306670549
0, 219216919
1, 74759694
о, П3791б7
о, 79429701
3> 688о75
о, 06791834
0,4260651
1,445^441
Ъ 245647
0,045261314
о, 26844030
о, 82408222
2, Ю76392
10,97608
о,0328779
0,1892155
о, 549703
1,320736
3» Ю453
Ц, 2705
о, 024805
о, 13978
0,38989
о, 87971
1,8544
5,0281
18,954
о, 01920
о, 1об5
о, 2885
0, б20б
1, 221
2, 325
7,об4
25,83
А*
2,970015407
0,75885452
- 5.6453865
0,34613148
2,0841141
8,08636
о,19354996
о,83268998
3,2087288
13,485
о, 12470536
0,44243897
1,43021625
3,467876
20,89
0,088914
0,283198
о,782972
2,18ю8
3»29193
27,63
0, 06625
0,19580
0,47562
1,1915
2,6817
4,1918
35,9 |
0,050S
0,1423
0,313
0, 694
1, 550
2, 563
6,78
47,6
Ч
о, 556732974223
0,2004144315
1,5625611175
о, 106606236
0,7334259*3
3,116054790
0,064905106
0, 404879673
1, 36604220
6,08349834
о, 043434890
! 0,25б5И59
0,78153948
1,9849940
9,54791
0,0316247
о,1813742
о,523261
1,242135
2,79806
12,4167
о, 024080
о, 13546
о, Т7656
о, §4547
1,7726
4, 4028
15,940
0,01873
о, 1038
о, 2805
о, 6oi8
1,180
2,245
6,497
21,64
Aft
2,600369234
0,67889601
4,9944767
о,32И3795
1,8519191
6, 746078
0,18419876
0,77633393 |
3,0115129
ю,44984
0,11935037
0,41698481
1, 3218694З
3,353217
16,630
0,085357
0,268620
0,727021
1,98936
3,13401
22,26 |
0,06424
0,18864
0,45310
1,1226
2, 5733
l> 4294
28,3
0,0455
0,138
0, 302
0,663
1,48
2,56
5,64
37,о

СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ -ФУРЬЕ
265
Таблица 12 (продолжение)
8 = 3з
п
1
1 2
3
4
5
6
7
8
А"к
о, 506056748053
0,1850491293
1,4230076338
о, 100071388
о, 678718145
2, 705207168
О, Об21Юбо6
о,385356078
1,29150о8о
5»16443233
0,04181838
0,24609142
о, 7453°4^
1,8853892
8, 392163
о,03046208
0,1741538
о, 4992б28
1,172669
2,575775
11,03968
о,023362
0,13118
о, 36338
0,81141
1, 6887
3,8688 j
13,796
0, 01828
0,1012
0, 2730
0, 5841
1,141
2,170
5,924
18, 35
*к
2,303013991'
0,6158719074
4,505967
о, 2987483656
1,64925841
5,86993
о, 175586276
о,725545382
2,8151101
8,346197
0,11463873
0,39530656
1,2331160
3, 24924Ю
13,445
о, 0820686
о,255432
0,677936
1,82382
3»°5572
18,43
о, 062254
о, 18161
0,43m
1,0540
2,4397
2,9488
23>i
о, 04832 1
о, 1343
0,2916 !
0,6352 ;
Ь4Ч |
2,545
4,6о 1
Зо
Ч
0,491022421505
о,1805393358
1, 3836020056
о,098036891
о,661890025
2,594548183
0,061217527
0,379135207
1,26790211
4>90193Ч1
0,04131776
о, 24288756
о, 7343064
1,8556964 I
8,049944
о,03009763
о, 1719032
0,4918695
1,151745 1
2,515706
ю, 65324
0,023125
о, 12976
о, 359°3
о, 8ooi4
1,66о4
3,7ЦЗ
13,224
0,018136
о,10041
о,27063
о, 57846
1,1292
2> 459
5,7313
17,42
А*
2,216089712
о, 5977642675
4, 367690
0,2918475267
1,58846300
5, Й552
0,172845451 ,
о,709582338
2,7494040
7, 798447
0,11318466
0,38873964
1, 2067540
3,2154331
12,554
о, о8ю|о6
0,251371
о, 663180
1,77521
3,03867
17,38
о,об1599
о,1793°
о, 42391
1,0314
2, 39°4
2,8419
21,8
о, 04793
о, 1330
0, 2882
0, 6262
1,393
2,537
4, 289
27,6

266
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
:32
Таблица 12 (продолжение)
п
1
2
3
4
5
6
7
8
хн
о,463242903602
о,1722783386
1 3128833866
о,094*81744
0,630346817
2, 403749981
о, 059480381
о,367056740
1,221140425
4>433434615
о, 04036383
о, 23680887
0,71358727
1,8001148
7,415814
о, 0294047
о, 167643
о, 477999
1,113163
2,41161
9,96оЗ
о, 022654
о,12696
о, 35041
0, 77780
1, 6040
3, 44о8
12,240
о, 01785
о, 09877
о, 2659
о,5^73
i»i°5
2, 097
5, 344
15,79
Ч
2,057164057
о,5650452737
4,118524
о, 278865834
1,4768292
5, 26861
о,1675299205
о,67888785
2,6176621
6, 8842
о, 1104202
о, 3763996
i> 1577413
3> Ц77547
10,98
о,0790899
о, 243754
0,635989
1,687421
3,оп537
15,5
о,060301
о,17473
о, 40977
о, 9869
2, 2870
2,6917
19,4
0,04716
0,1305 !
о, 2816 I
0,6086 1
1,351 !
2,5ц 1
3,71
ц 1
1 "
1
0,438105645019
1
о, 1648835616
1,2509035088
о,090606690
0,601560214
2,246073656
о,057802630
о, 355418210
1> 175656742
4, 032006237
о,03946324
о,23109754
о, 69426081
1,7484070
6.838366
о,0287590
о, 163696
о,465300
1,078614
2,32448
9,3508
0,022192
о, 12422
о,34198
0, 75598
1, 5487
3,2129
11,430
o,oi757
0,09714
0, 2612
о, 5562 ;
i,o8i
2, О47
4,963
14,41
Ч
1,915378190
0,5362418144
3,898590
0,266541401
1»3778724
4,96487
о,1624156991
о,64968922
2,4860223
6, I692
о, 1078176
о,3649400
1,1127129
3» 0788633
9,625
о,0772765
о, 236778
0,611671
1,610960
2,98933
13>9
о, 059027
о,17028
о, 39бо8
о, 9439
2, 1812
2, 6072
17,5
0,04639
0,1281
0,2751
0,5912
1, 309
2,483
3, 22Э
21,6

СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
267
* = 37
Таблица 12 (продолжение)
s = 4
п
1
2
•3
4
5
6
7
8
Л>
о, 426402564242
о, 1бцб4397°
1,2225836745
0,088921257
о, 588161161
2,177324670
о, 05698465
о, 34975423
1,153392бо
3,8536918
о, 03902972
о, 2283564
0,6850217
1,723646
6,56811
о, 0284530
о,161834
о,459359
1,06270
2,28593
9,°704
0,021965
о,12287
о, 337^7
0, 74536
1, 5220
3,1Ц5
11,076
o,oi743
о, 09632
о, 2589
о,55°6
1,069
2,023
4,777
13,83
1,850071560
о,52307528253
3,79747474
0,2613587940
1,З3283761
4,83394 |
о, 15992927
о, 63561708
2,420569
5,8730 |
о,10656715
о, 3594836
1,091398
3,043609
9,03
0,076419
0,23351
о, 60048
1,57642
2,97898
13,2
о, 05840
о,i68i
0,3895
0,9232
2,129
2,583
16,7
0,0460
0,1269
0,272
0, 583
1, 288
2, 464
3>oi
20
. хк
э,394287002827
0, 1521389830
1, Цб152б512
о,084252646
о, 551666723
2,002798931
0,05461206
о,33337227
1,08868695
3,3966421
0,03778359
о, 2205009
0,6586314
1,652448
5,82293
о, 0275964
i 0,156646
| 0,442972
1 1,01954
1 2,18522
8,3026
1 0,021308
0,11898
1 0,32600
0,71501
1,4463
1 2,8725
10,170
0,01701
1 0,09390
! 0,2518
0,5341
1 1,032
! 1,944
| 4,254
12,33
ч
*>673351729
0,48763917226
3,52223196
0,2460289146
1,21368118
4,50287
0,15274374 0
о,59544850
2,227844
5,1770
о, 102980942
0,343993*7
1,0311770
2,9332762
7,49
о, 074023
0,22451
о,57024
1,48484
2,94796
о, 05660
о, 1619
0, 3707
0,8650
1,981
2, 555
14,5
0,0449
0,1232
0,262
0, 557
1,223
2, 389
2,53
18

268
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
оо
\ (1 +COS#)
У А, Ф(^ ,,= 11(1)4,
Таблица 13. Косинус-преобразование Фурье. Абсциссы и коэффициенты
для правила интегрирования:
(i+^)s . fcti (1+**)'
1 / 1 \ 2
•■^тЫ2!--
Правило точное при Ф (л:) <^(\ + x)~l {i = 0, 1 2п — 1).
Функция Ф (л-) — ограниченная на полуоси 0 < х < оо. Глава 7, § 3, (7.3.3).
s=14 s=13
n
1
2
3
4
5
6
7
8
*fr
2>736399l856}5
0, 324065926
15,989884179
0,146324742
1,103411833
33,74702815
0,084900724
0,562561701
2,920612634
56,04195474
0,053082371
0,321515872
1,030561072
5,77665103
96,9250540
0,037316639
0, 21726589
0,64611877
1,6180247
7,6820915
135,46270
0,02801294
0,1593919
°, 4536749
1,064656
3,05449
9,79158
174,1474
0,021252
0,118620
0,32483
0,71209
1,44224
4,9707
14,285
I 240,00
a»
22,69558010
1,8603517245
105,519833
0, 8074441626
2,661657205
222,5005
о,457Ц38544
1,528526383
4,0592701
З67,6597
0,2809118798
0,835675511
1,65003704 j
8,656443
629,45
0,19584221
0, 54824680
1,12246637
1, 39180385
12, 617478
879,88
0,146286
0,393949
0,785085
1,29870
1,64749
16,0648
H3i,5
0,11052
0,2874
0,54444
0,91408
1.1255
4,1616
21,419
1 1556
xk
2,024932114051
0,3113879818
11,813342869
0,141115895
1,043280383
25,34979375
0,083104742
0, 548258267
2,690363833
41,16886079
0,052292845
0, 316221759
1,01152778
5,47874375
70,825663
0,03669526
0,21322507
0,63131074
1,5625802
| 7,3684503
loo, 3038
0,0276686
0,157284
0, 446835:
1,045372
2,86708
9,23523
127,827
0,021060
0,117500
0,32150
0, 70407
1,42509
4,8285
13,322
1 174,35
Afc
14,76146265
1,7869246503
63,845299
0,7766094975
2,535055°94
136,8434
0,4470898693
1,48938209
3,61007247
221,2978
0, 276636217
0,821273353
1,63552683
7,7921827
375,341
0,19250186
0,53703129
1,0949689
1,3817864
11,66003
531,38
0,144458
0, 388375
0,772396
1,28359
1,47357
14,7667
677,74
0,109508
0,284565
0,538567
0,905135
1,12949
3,81583
19,360
921,8 1

КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
269
4
Таблица 13 (продолжение)
,2
5==13
хк
хн
Afc
1»3257493бо25о
о, 2892012467
7,6036386152
о,131999890
0,948148426
16,98514960
о, 079560006
°,519919948
2,302815920
26, 61928368
о, 050818523
о, 30640983
0,97662160
4,93! 4098
44,791385
о,оз555ЮЗ
о, 2058617
о, 6050163
1,4737086
6,838212
65,31*3
о, 0269710
о, 153оо9
о,4329Н
1,00545
2,53531
8,3|875
82,363
о, 020689
0,Н533
о, 315ю
о, 68864
1,39*1
4, Я46
п,б54
Ю9, 57
8,444899°97
1,6581488319
31,49926
о,7232042428
2,34238182
7о, 0980
о,42724б5192
.1,40948186
2,54615628
109, 8836
о,268664851
о,794б796°
1,60703263
6, 345005
18э,942
о,1863637
о,5167921
1,0470335
1,3721262
Ю, 07507
2бз;о4
о, Ц0755
о,377°5о
о,746198
1»24753
1,23497
12,7220
332,39
о, 10756
о, 279°9
о,52725
о,88772
3,1286
16,137
440,8
о, 986848574943
о,2700176233
5,4760230602
о,124400953
о,876893223
12,80406764
о,076092658
0,492171658
ii999iio59°
19, 61497383
о, 049443414
0,29731759
0,94441713
4, 4302752
31,881176
о, 03453643
о,1994224
о,5827721
1,406177
6,397903
47,8633
О,0262688
о,148707
о, 418872
о,964588
2,26737
7,7П58
60,273
020325
11321
30883
67353
3595
4,1898
10,290
78,03
5,913814ЮЗ
1,54бЦ23б17
19,01791
о, 6792609966
2, 20265842
43,95*
о,4078460147
1,32876948
2,51108969
67, 86379
0,261240804
о,77006995
1,57784696
5,0990182
Ю7,462
о, 1809362
о, 4993253
1,007545
1,369178
8,793870
159,93
о,137027
о, 365636
0,719381
1,2049
1,1072
11,1855
202.08
Ю5б5
27371
51615
87030
1392
4705
13,815
2б1,0

270
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
— i?
Таблица 13 (продолжение)
s = 2
хк
0,876909169488
0,2612389351
4,7б30079321
0,121080192
о,847620986
11,40237382
о,074400200
0,478673936
1,874027888
17,35289276
о, 048780741
о, 292947502
о, 928896921
4,1931278
27, 6327481
0,034073871
0,19651507
о,57295ю6
1,37811624
6,2007114
42,032199
о, 0259203
о, 146574
0,411916
о, 944299
2,15691
7,44958
53,о6з
0, 020ЦЗ
0, 11215
о, 30570
о, бббо
^343°
4,012
>7Н
67,79
5,166227308
1,4946102269
15,450938
0, 6602230699
2, I4586I7O
36,3194
0,398385П2
1, 288884905
2,3549654
55, 9б4
0, 257665477
о,758226393
1, 56254915
4, 574*66
86, 772
0, 17846664
0,49151265
0,99043129
1, 36870029
8,231942
130,30
о, 135178
о, 359977
о, 706014
1,18213
1,07225
ю, 55Ю
165,2
о, 10469
0,27104
о, 5юб2
0,8614
1,1399
2, 1677
12,905
210,7
0,664290760081
о,2372691066
з,3385548692
о, 112619361
о, 7770722^9
8, 552623168
о, 069569683
0,440613928
1,5847Ц031
12,98926491
о, 046848502
0,280215537
о, 883208242
3» 5309147
19, Зб9бю
0,032835772
о,18881520
о,54753503
1,30921417
5, 6655282
30,257204
о, 0249094
о, 140407
о,391938
о,886688
1,90550
6,83071
38,936
0,01960
о, 1090
о, 2963
о, 6430
1,292
3,459
8,368
48,13
3,818396691
1,3528462955
9,3140129
0,6121475272
2, 00853866
22, 63387
о, 37Ц438459
1,175524842
2,0485472
35,3832
о, 247244090
о,723568439
1,5П98766
3,297112
51,664
0,17187117
о, 47Ю3055
о,94б9З464
1,36791314
6,753464
78, 369
о,129816
о, 34366
о, 66762
1,1141
1,0354
9,0129
Ю1,3
0, 10182
о, 26295
о, 49372
о. 8334
1,1361
1,4351
Ю.857
i25,5

КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
271
*=24
Таблица 13 (продолжение)
*=4
"
1
2
Г 3
4
5
6
7
8
vfr
0,543176000684
0,2159904814
2,5005176169
0,105808781
0,723384263
6,766912417
0, 065244254
0,407528735
1,391338665
10,49558258
0,044949461
0,267681662
0,83719998
2,9523055
Ц,75034б
0,031766956
0,18224963
0, 5264060
1,2546424
5,172086
23,02668
0,0239870
0,134825
0, 374158
0,837258
1,74289
6,37313
30,625
0,019036
0,10569
0,28655
0,61917
1,2359
2,9413
7,4776
37,13
а*
3, Ю3531941
1,2257428019
6,3669816
о,5738402974
1,901208199
15,40541
о,3474439677
1,077674501
1,8877752
25,0688
0,237001198
0,689124757
1,45180503
2,427307
34, 999
о, 1661923
о, 4537б6о
0,9113448
1,3655346
5,472096
52,П2
о, 124933
о, 329012
0,633872
1,05491
1,04664
7, 83616
69,42
о, 0989
о, 2547
о, 4762
0, 8027
1, 1209
1,оюз
9,428
84,64 j
хн
1 0,513835002205
0,2093927335
2,2967057743
о,103798952
о,707890286
6,302459617
о, о6з934916
о,397762201
1,342014772
9,88619305
0,044317480
0,263502453
0,82160381
2,7815437
13,668590
0,031437099
о, 18023497
о, 5199920
1,2383275
5,009990
21,19065
о,0237044
о, 133126
о, 368826
о,822897
1,70213
6,24296
28,552
0,018849
о, 10460
о,28329
о, 6цо8
1,2165
2, 7901
7, 255*
34,51
А/с
2,935234806
1, 186145Ц38
5,73Ю258
о,5625887866
1,869322575
13ЛИ59
о,3402106189
1,049193210
1,8522382
22,715335
0,233591734
о, 677559837
1,42924092
2,216938
31,385
0,1644419
о, 4484949
о,9005701
1,364077
5,074091
46,217
о, 123438
о, 324583
о,62^894
1,03802
1,05393
7,49563
62,i9
о, о979
о, 252
о, 470
о, 792
1,ИЗ
о, 927 1
9,04 1
75,7

272
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
s =
п
1
2
3
4
5
6
7
8
■**
0,465799292657
0,1968873615
1,9660641851
о,100069174
о,679401629
5,5043*0988
0,061521580
о,380101835
Ь 259947097
8,878144073
о,043053927
0,25513700
о, 79004668
2, 4767212
п,954986
о,03080502
о,1763853
о,5077923
1,207389
4, 683656
18,1144
0,0231771
I 0, 129973
0,359040
о, 797Н5
^ ^3459
6, 00440
25,073
о, 018467
0, 10236
о, 27665
о, 59460
1,1763
2,5253
6, 8871
3^,24
j
ч
Z |
2, 663ОЦО566
1,1109534718
4>7707144
о,5417573865
1,80918602
10,99604
о,326923482
o,99834936i
1,79738622
18,9739
о, 22677420
0, 65430119
1. 3804373
1,8957562
25,858
о, 1610898
о, 4384444
о, 8800253
1,3598777
4,31570
37,028
о,120654
0,316409
1 о, 605796
1,00830
1,06965
6, 8666
50,8
о, 0958&
0, 2462
o,458i
о, 7694
1,092
о, 824
8, 346
6i,8
Таблица 13 (продолжение)
2
* = 23
хк
0,428093256913
о, 1852857583
1,7129958463
о,096642640
о,653405707
4,838964735
о, 059371658
о, 364753243 !
1,194855119
8,071415093
0,041796353
о,24680722
о,75830887
2,2216743
ю,677420
0,03019906
о,1727037
0,496l6l3
1,177803
4,351301
15,6650
о,0226987
0,127131
о, 35ойо
о,774888
1,58085
5,78550
22, 242
о,oi8o93
0,10018
0,27014
0, 57838
1,1365
2'^54
6,5988
26, 96
Ак
2,451578479
1,0411633760
4,0976954
о,5226617085
1,75223447
8,934535
0,315139588
о,954936272
1,75683689
16,1236
0, 2ij998912
0,63103035
1, 3276100
1, 6824048
21,876
0,1578779
0,4288461
0,8602913
1,353621
3,61189
30,374
0,, 118131
0, 309090
0,589950
0,983266
1,08485
6,28637
42,2
0,09392
0,2407
0,4462
0,7470
1,0673
0, 7799
7,757
51,6

КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВЛНИЕ ФУРЬЕ
273
Таблица 13 (продолжение)
s = 3
п
1
2
Г3
4
5
6
7
8
Л*
0,412095031243
о,1798231926
1,6086510123
о, 095018254
0,641103241
4,545446653
о, 058387989
о,357850471
1,167146094
7,72257217
0,041173475
о, 242684901
о, 74255520
2, 1121671
ю, 1576774
о,02990246
о,170903З
о, 49°475§
1,163241
4,182702
14,63138
о,022476
о, 12581
о, 34635
о, 76487
! 1,5577
1 5,68о5
21,005
о, 01791
о, 09908
о, 2669
о, 5703
1,И7
2, 229
6, 475
25,58
Ал
2,362274435
1,0083405686
3,8363412
0,5136188809
i>724479337
8, 08792
о, 3097652282
о,9356579286
1,7400454
Н,9337
0,216629242
0,619490179
1,30024825
1,6070315
20, 283
о,1563062
0,4241531
о, 8505648
1,349573
3,28465
27,7
о, 116958
о, 30572
о, 58276
0, 97217
1, 09190
6, oo8i
38,6
0,0930
0, 238
0,440
0, 736
i>°5
о,772
7,49
47,5
хк
0,372341639677
о, 1б479°5702
1,3615201575
0,090413517
! 0, 606178808
3,789498630
0,055753521
0,339712471
1,098032170
6,82874981
1 о, 039353096
0,230679115
о,69688507
1,8478212
8,9324744
0,02902542
0,1655811
0,4736358
1,П9471
3,673587
12,14913
0,021863
0, 12220
°»^14
о, 73818
1,4987
5,3712
17,817
o,oi737
о, 09597
о, 2577
I °. 5476
1,062
2, 027
1 6,167
22, 16
*к
2, Ц0820041
°>91833519735
3,2555680
о,488003466
1,64251705
6, 09945
о,2954240796
о, 8857007632
1,6981205
12, 0Ц8
о, 206817209
о, 585891408
1,21805112
1,4681324
16,581
0,1516590
0,4102648
0,8213401
1,332892
2,42980
21,81
о, 113729
0,296515
о, 56345
о,94303
1,11042
5,1965
30,2
о, 0901
0, 2300
о,423
0,703
i,oi3
o,78i
6,78
37,9

274
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
— 34
Таблица 13
(продолжение)
п
1
2
3
4
5
6
7
8
хк
0,341364840259
°, 1517595935
1,1857532877
о, 08610633
0,573312480
3,185026601
0,053503719
о, 324578453
1»043443255
6,09059557
о; 037650700
0,21955666
о, 65545562
1,6615526
8,0468193
0,02815198
о, 1602758
о,45б7541
1,074316
3) 182842
10,39836
0,021312
0,118988
о, 32598
0,71516
1,44973
5,0534
15,211
о, 01688
о, 093°9
о, 2493
о, 5271
i,oi4
1,891
5.916
19,50
!
АЬ
II
il
1,968037899
0,84095210075
2,8747254
0,464051393
1,56075874
, 4,72598
0, 283232986
0,8446856ц
1,6631974
9,766
0,19765853
0,55494681
1,1419370
1,409582
13,944
0,147С3С5
0,3963801
0,7912981
1» З07705
1,802958
17,860
0,110838
0, 288369
0, 54666
0,91808
1,12498
4,39i6
24,1
0, 0875
0, 2228
0, 408
0, 675
0,977
0,811
6,17
31
хн
о, 332440141201
о,1478432782
1,1385756155
о,084720670
о,562682736
3,011635980
0,052820515
о,320036553
1,027435815
5,868о7955
0,037118030
о, 21610674
о, 64287956
1,6127056
7,8023819
о, 02785952
0,1584975
1 0,4510687
1,058784
3,029715
9,93976
I о,02И39
о,П7975
о, 3230Э
о,70802
1,4347
1 4,9420
Ц,444
0,01672
0,09218
о, 2466
0, 5207
o,999i
1, 854
5,837
18,71
А/с
I,9l8l09514
0,81785492464
2,7767788
0,456345235
1>53332970
4> 37°54
о, 279539797
о, 832466378
1,6523012
9, 122
0, 19479780
о,54541635
1,1189169
1, 399851
13,222
о, 1454803
0,3917147
0,78Ю00б
1,297065
1,646723
16,837
0,109926
0,285812
о, 54НЗ
0,91031
1,1290
4,12П
22,4
о, 0867
0, 220
о, 403
о, 667
о, 966
о, 823
5,97
29

КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ
275
Таблица 13 (продолжение)
= 3й
* = 33
(
1i
7
8
п xh
1 0,316219628090
2 1 О, ЦО6136696
1,0572966164
0,082012271
3 0,541825162
2, 701722081
0,051533550
\ 0,311536268
о,99778459 .
5,4493167
0,03611156
о, 2096358
j 0,6197161
1,5302231
7, 368641
0, 0272721
0,1549229
> 0,439601
1,026975
2,74660
9,1688
0, 020804
0,11603
0,31727
0, 69435
1,4060
4» 7086
13,05
0, 01643
0, 09054
0,2418
0, 5095
о,9738
1, 796
5, 694
17,32
J ; [_
л л
1,827098461
о,77544б9о8о
2, 6II8036
0,4412812325
1,478Ц145
3,780735
о, 272592407
о, 80967344
1,6309620
7,957
о, 18940039
1 о, 5276560
1,0769181
1,3885715
11,95
о, 142366
о, 382320
о, 759965
1,272157
1,40586
15,п
о, 10817
о, 28090
0,5349
о,8953
1,1358
3, 58о
19,7
о, 0852
о, 2163
о, 3950
0,6513
о, 9479
о, 8437
5, 596
1!
II **
|!
|
о, 301793582658
0,1341339587
о,9901026879
о, 079380890
с,521472529
2, 43б028001
0,050333460
о,303662735
0,970542128
5,0590442
0,03518584
о,2037444
о,5991453
1,4638025
6,991706
0, 0266826
0,154335
о, 428045
о, 994364
2,49952
8,55418
о, 020479
0,11413
0,31172
о,681ц
1,3782
4, 4575
и,831
о, 01615
о, 08890
о,2371
о, 4985
0, 95оо
1, 744
5,551
16, 02
А*
1,745793392
о,73771541бо
2,4784821
о, 4266443988
1,42264038
з, 323685
о,266123447
0,78861388
1,6096950
6,933
о,18444623
0,51163705
1,0402269
1,3837713
ю,85
0,139241
о, 372869
о, 738443
1,24255
1,24592
13,7°
о, 10646
0,27613
0,52168
о, 88о6о
1,1409
3, 045
17,4
о, 0837
0,212
о, 387
о, 637
о,931
о, 865
5, 22
23

276
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
* = 3т
Таблица '13 (продолжение)
п
1
2
3
4
5
6
7
8
*»
0,295141364582
0,1311528639
0,9607715432
о, 078053059
0,511489213
2,318066526
о, 049759889
0,299913636
о, 957602909
4,87288533
о, 034752827
о,201009523
о,589767905
1,435301698
6,8195863
о, 0263882
о,149541
о, 422265
о, 9779°о
2,39040
8,29318
0,020319
о, про
о, 30893
о, 67468
1.3*45
4.3254
11,284
0, 01бО
о, о882
о,235
о,494
о,94о
5.48
15,4
А*
1,708165850
о, 7^04504414
2 4209541
0,4194812491
1,39487185
3,13580
о, 263034285
0,778592016
1,59892556
6,4686
о, 182132199
0, 50425382
1,0237232
1, 382689
10> 35
о,137681
о, 368144
о, 727578
1,22б21
1,19031
13,1
о,10562
о, 27379
0,51692 !
о, 87328
1,1427
2, 7860
16,5
0,0831
0,210
о, 383
о, 630
о, 924
о, 874
5,03
21
хк
о, 277026873832
о, 1231308380
0,8861391811
о, о743441°5
о, 482405509
2,01625377!
0,048121641
о,2892395З6
о,920723382
4,34577391
0, 033564670
о,193574401
о,564809853
1, 3638383З2
6,3508838
0,0255151
о,144229
0,405143
о,928909
2, и897
7, 64958
о, 019845
о,11046
о,30094
о,65542
1,3231
3» 9055
9,891
o,oi57
0, 0862
0,229
о, 480
о,912
1,67
13» 8
Ч
1,605208108
о, 6742966604 1
2, 2756Ю8
о,3986356439
1,31224413
2,69921
о,254217800
о,750034021
1,56544739
5,2422
о, 175795523
о,48435б95
о, 98049993
1,381690
9,019
о, 133053
о, 354Ц2
о, 695134
1,173J7
1,09387
11,5
о, 10314
о, 26687
о, 50274
о, 85095
1,1451
2, о753
14,2
0, 0812
0, 205
°, 373
0,613
0,904
0,900
М7
1

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 277
2т
ГЛАВА 20
ТАБЛИЦЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА
Таблица 14. Узлы и коэффициенты для правила вычисления:
6+/00 П
■ 5 p"V<p(p)</p» ^ AkV(Pk) (e>0), arg p = 0 при р > 0,
£=1
s = 0,1 (0,1)3, s
--H-S-)
s = 0,25 (0,5) 2,75.
Функция ф (р) считается аналитической, регулярной в полуплоскости Re (p) > 0 и
ограниченной при р ->оо в секторе | arg р [ < (я/2) — 5 (5 > 0).
Правило интегрирования является точным, если ф (р) = р~1 (/ = 0,1, . . . , 2я — 1).
Глава 8, § 1 и 2, (8.1.4).
s = 0,1
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
к
1
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7 ,
1,2
3,4
5,6
7,8
1,2
3,4
5,6
7,8
9
1,2
XX
7,8
9,ю
Pk
0,1000000+ 0,0000000/
1,loooooo± 1,0488089/
1,7862722+ 2,5681268/
2,7274556+ 0,0000000/
2,3199603+ 4,2257278/
3,8800397 ± 1 ,400°53<n'
2,7636582+ 5,9533395*
4,7972134± 2,9405162/
5,3782569+ о,ооооооо/
3,Ц71288± 7,7240216/
5,5694068+ 4,5593991*
6,5834644± 1,5119808/
3,487°5б4± 9,5241962/
6,24ь8978± 6,2293836/
7,6об4439± 3,0923073/
8,0292040+ о,ооооооо/
3,7938i84±i 1,345996/
6,8409793* 7,9357966/
8,5027097± 4,7197159*
9,2624928± 1,5676998/
4,0743505 + 13,184427/
7,3834202+ 9,6697513/
9,3047524± 6,3820379*
ю,347392 + 3,1759376/
10,680171 + 0,0000000/
4,3335386 + 15,036102/
7,88о6з74±п,425410/
10,033485 + 8,0715648/
11,321426 ± 4,8153969*
11,930914 ± 1,6011328/
0,1051137 + о,ооооооо/
0,05255685+ 1,102442/
—2,782016 + 0,02246881/
5,6б9Ц5 + 0,000000/
0,8073119 + 5,343290/
-0,7547551 + 19,30748/
8,672230 + 3,о83259*
-51,35325 =F 6,688904*
85,46715 + 0,000000/
—7,744213 ± 12,19036/
30,22731 + П4,9875*
—22,43054 ± 290,5836/ !
-4,70344 + 15,55974*
224,3731 + 98,30425*
-821,6593 + 151,4323*
1224,084 + 0,0000/
'26,81807 + Ц,3б353*
—259,6597 + 386,7253*
645,0837 + 2012,331*
—412,1894 ± 4214^77*
8,821340 ± 40,90097*
—587,1396 + 590,1787*
4360,664 + 2145,187*
—12442,49 + 2686,323/
17320,40 + о,ооо/
-55,88649 + 4,375706/ 1
1191,405 + 765,0891/
—6027,284 + 8436,417*
П5б4,50 +32354,37*
—6672,678 +60291,86/

278
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
s = 0,2
Таблица 14 (продолжение)
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
А'
1
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4 •
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6 j
7
1,2
7,8
1,2
3,4
7,8
9
1,2
и
7,8
9,ю
"*
0,2000000+ 0,0000000/
1,2000000± 1,0954451'
1,8855166+ 2,6261568/
2,8289669+ о,ооооооо/
2,4i89953± 4,2900515'
3,9810047+ 1,4196462/
2,8б2б288± 6,0218443'
4,8976984+ 2,9717164'
5,4793455+ о,ооооооо/
3,24бо872± 7,7955719'
5,6695485± 4,5985230/
6,6843643± 1,5245439'
3,5860242± 9,5980941'
6,34179бЗ± 6,2743621/
7,707ю82± 3,П38473'
8,1301426+ о,ооооооо/
3,8928053+11,421776/
6,9407028+ 7,9853274' i
8,6031554+ 4,7480947/
9,3б333б6± 1,5769664/
4,1733604 + 13,261758/
7,4830156+ 9,7229508/
9,4050097± 6,4158539'
10,448098 ± з., 1924248/
10,781033 + о,ооооооо/
4,432573i±i5, И4742'
7,9801375 + 11,481646/
10,133584 ± 8,1098381/
11,421987 ± 4,8377242/
12,031719 ± 1,6084782/
Ч
0,2178249+ о,оооооо/
0,1089124+ 1,193076/
—2,767235 ± 0,1078295'
5,752295 + о,ооооооо/
0,5174385т 5,103115'
—о,4о852бо± 18,70583/
8,097633 + 2,429620/
—48,21122 + 4,99019б/
8о,445°° + о,оооооо/
—6,372506 ± 11,25972'
24,18062 + 105,6395'
—17,69920 ± 267,1270/
-13,59538 + 12,97660/
203,1799 ± 80,46159'
—741,6134' + 122,6928/
1104,276 + 0,0000/
22,47197 =F 13,58593'
—214,2328 ± 347,3566/
527,8632 T 1791,435'
-335,9934 ± 3742,898/
9,318050 ± 34,35219'
—526,7886 q= 488,0377'
3844,495 ± 1760,670/
—10910,80 + 2196,163/
15167,76 + о,ооо/
—47,06578 Т 1,193658/
935,3015 =F 693,4173'
—4946,586 ± 7396,298/
9452,197 +28095,04'
-5443,738 ±52182,95'

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 279
Таблица 14 (продолжение)
s = 0,3
п
1
2
3
•
4
5
6
7
; 8
I
9
10
к
1
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2 !
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
3,4
5,6
7,8
1,2
М
5,6
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9,1°
Pfc
0,3000000+ о,оооооор/
i,3oooooo± 1,1401754*'
1,9848175 ± 2,68291261*
2,9303650+ о,ооооооо/
2,5i8o8o7± 4,3534o86/
4,o8i9i93± 1,4389680/
2,9616407+ 6,0895657*'
4,9981636+ 3,0025871*
5,5803915+ о,ооооооо/
3,3450795± 7,8664609/
5,7б9б85о± 4,6373115*
6,7852355+ 1,5370029/
3,68502оз± 9,6714188/
6,441б9б9± 6,3190155*
7,8о77547± 3,1352372*
8,2310562+ о,ооооооо/
3,9918161 + 11,497049*
7,о404322± 8,0345482/
8,70359°5± 4,7763025*
9,464i6i3± 1,5861780/
4,272W9 ±13^38635*
7,5826i89± 9,7758564*
9,5052615± 6,4494901*
10,54879° ± 3,2088261/
10,881878 + о,ооооооо/
4>531б255±15>1929б8/
8,0796464 + 11,537604/
10,233680 ± 8,1479292*
11,522538 ± 4,8599476/
12,132511 ± 1,6157899*
О,3342728 + 0,000000/
0,1671364 ± 1,270432/
—2,728367 ± 0,2293172*
5,79Ю°8 + о,ооооооо/
0,2599271 =F
—о, 09279069 ±
7,5Цб42 +
—45,обоц +
75,42530 +
4,840641/
18,02536/
1,859297*
3,4942»6/
0,000000/
-5,i84752 ± 10,334*8*
18,95046 + 96,65608/
-13,59857 ± 244,7799*
—12,47326
183,2471
—667,4248
993,6зб2
18,73741
-175,6171
428,5403
-271,4934
9,416549
—470,1896
3379,613
-9547,247
13257,15
—39,47620
811,7484
—4042,882
7691,277
—4420,499
=F 10,75028/
± 65,18642/
+ 98,П275*
+ 0,00000/
+ 12,68585*
± 310,6469*
+ 1590,298/
± 3316,411*
28,73°i8i
401,6778/
1437,216/
1784,678/
О,000/
± 1,061444*
+ 623,7580/
± 6463,772/
±24344>63*
±45085,64*

280
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
s = 0,4
Таблица 14 (продолжение)
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
1
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3>4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
3,4
5,6
7,8
1,2
3,4
5,6
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9Ио
Pk
Ah
0,4000000+ 0,0000000/
i,4oooooo± 1,1832169/
2,0841689+ 2,7384755*
3,0316623+ о,ооооооо/
2,б17212б± 4,4158421/
4,1827874± 1,4580297*
3,0606914+ 6,1565301/
5,0986101+ 3,0331386/
5,6813972+ 0,0000000/
3,4441040+ 7,9367069/
5,8698i65± 4,6757733*
6,8860795± 1,5493602/
3,7340435+ 9,7441834*
6,5415996+ 6,3633507*
7,9о8з840± 3,1564801/
8,33194бо+ о,ооооооо/
4,o9o8499±n,57i825/
7,1401673± 8,0834647*
8,8о4015б± 4,8043424*
9,5б49б73± 1,5953358*
4,37Ч413±13,415065*
7,6822296± 9,828473°*
9,6о55о79± 6,4829494*
10,649468 ± 3,2251429*
10,982706 + о,ооооооо/
4,6306952 ±15,270789/
8,1791б37±п,593288/
ю,333775 ± 8,1858405/
11,623079 ± 4,8820685/
12,233288 ± 1,6230682/
0,4508242 + о,оооооо/
0,2254121 + 1,333556*
—2,668040 ±
5,786904 +
о,03494402=F
0,1904681 ±
6,933И6 ±
-41,93432 +
70,45324 +
о,3401313<
0,0000000/
4,562205/
17,27988/
1,367364*
2,193312*
0,000000/
—4,164587 ± 9,428502/
14,46803 =F 88,08875*
—10,07803 + 223,6034*
—11,36297
164,6293
-598,9564
891,8310
15,54519
-142,9672
344,8507
-217,2033
+ 8,843390*
± 52,19887*
+ 77,24o8i/
+ 0,00000/
=F 11,71584*
+ 276,6735*
+ 1407,869*
± 2931,988/
9,224900 ± 23,92742*
—417,6396 =F 328,9845*
2962,593 ± 1166,344*
-8336,583 =F 1440,807*
11565,26 + 0,000/
"32,979Ч
6b6,1721
—3290,016
6228,776
-3571,728
+ 2,597048/
+ 557,3262/
± 5631,509*
^21050,90/
±38886,40/

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 281
Таблица 14 (продолжение)
s = 0,5
Рк
Ч
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
7,3
1,2
3,4
5,6
7,8
9
1,2
7,8
9,10
0,5900000+ 0,0000000/
i,5oooooo± 1,2247449'
2,1835б53± 2,7929183/
3,1328694+ о,ооооооо/
2,71бз875± 4>47739i6*
4,28зб125± 1,4768417/
3,1597785± 6,2227628/
5,1990390± 3,°6338ю/
5,7823650+ о,ооооооо/
3,5431591± 8,0063273/
5,9б99433± 4,7139166/
6,986897б± 1,5616183/
3,88зо92б± 9,8164008/
6,б415042± 6,4073746/
8,оо899б8± 3,1775791'
8,4328129+ о,ооооооо/
4, i899o6o±i 1,646114/
7,2399°8о± 8,1320827/
8»9°443°8± 4'8322173/
9,6657553± 1,6044406/
4,47051П±13,49Ю56/
7,7818478± 9,8808053/
9,7©57491± 6,5162345/
10,750133 ± 3,24137Ьб/
11,083518 + о,ооооооо/
4,7297819 ±15,3482 ю/
8,2786894 ±п, 648702/
ю,433868 ± 8,2235746/
11,723610 ± 4,9040883/
12,334051 ± 1,6303136/
0,5641896+ о,оооооо/
о,2820948± 1,381977/
-2,589075 ±
5,742340 +
-0,1581054^
0,4402002 +
6,361338 ±
-38,86357 =F
65,56866 +
0,4389226/
0,000000/
4,273630/
16,48298/
0,9481800/
1,077047/
0,000000/
-3,295627 ± 8,554271/
ю,66395 =F .79,97558/
-7,086225 ± 203,6376/
—10,28444 + 7,220274/
147,35°$ ± 41,23529/
—536,0239 =F 59,65250/
798,479° + о»о0000/
12,83067 T 10,71704/
—115,5129 ± 245,4469/
274,7443 =F 1243,027/
-171,7799 ± 2586,461/
8,829543
-369,2771
2589,930
—7264,429
10070,46
-27,44431
544,5355
—2665,204
5018,810
-2870,415
± 19,84403/
=F 268,0686/
± 940,5531/
=F 1154,800/
+ 0,000/
± 3,58цб9/
нн 494,9337/
± 4891,908/
+ 18165,56/
±33482,42/

282
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
S = 0,6
Таблица 14 (продолжение)
Pk
10
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
7,8
1,2
3,4
5,6
7-8
1,2
3,4
5,6
7,8
9,ю
0,6000000+ 0,0000000/
1,6оооооо± 1,2649111''
2,2830022± 2,8463069/
3,2339956+ 0,0000000/
2,8i56o23± 4,5380940'
4,3843977 ± 1,4954138*'
3,2589001+ 6,2882873'
5,2994513± 3,0933234'
5,8832971+ 0,0000000/
3,6422435± 8,0753386/
6,0700657± 4,7517493'
7,0876908± 1,5737797'
3,9*21667± 9»888о832/
6,74ЦЮ7± 6,4510938/
8,Ю95937± 3,1985370'
8,5336578+ о,ооооооо/
4,2889836+11,719926/
7,3396539± 8,1804075/
9,оо48з66± 4,8599302/
9,7665260^ i,6i34934'
4,5695995±i3,5666i6/
7,88i4732± 9,9328579'
9,8о59854± 6,5493481'
10,850785 ± 3,2575283'
11,184314 + о,ооооооо/
4,8288851 ±15,425237'
8,3782231 ±11,703849'
ю,533959 ± 8,2611340/
11,8124132 ± 4*9260085/
12,434802 ± 1,6375266/
0,6715050+ о,оооооо/
о,3357525± ' 1,415б57'
-2,494384 ± 0,5248249/
5,660273 + о,оооооо/
-0,3204369 т
o,656i894±
5,806092 ±
-35,87333 +
6о,80597 +
3,980149'
15,64768/
0,5956609/
°»13349°о*
О,0000000/
-2,561841 + 7,720273/
7,469672 + 72,34244'
-4,572078 ± 184,9034'
—9,252507 +
131,4106 ±
-478,4050 +
7П,1б52 +
5,847394'
32,05002/
44,95262/
о,ооооо/
ю,53421 + 9,721007/
—92,55825 ± 216,9250/
216,3769 + Ю94,б12/
—134,0171 ± 2276,750/
8,298743 ± 16,38835'
—325,И58 Т 217,2536/
2258,120 ± 753,2421'
—6317,326 q: 918,1016/
8752,718 + 0,000с/
—22,75ю8 ± 4,150142/
443,2956 + 437,0736'
-2148,690 ± 4237,3°7*
4021,774 T15644,21/
"2293,293 ±28780,96'

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 283
Таблица 14 (продолжение)
s = 0,7
ю
1,2
1,2
3
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
7,8
1,2
7,8
9
1,2
3,4
7,8
9,ю
Pk
Ak
0,7000000+ 0,0000000/
1,7000000 ± 1,3038405'*
2,3824757± 2,8987006/
3»335°486+ о,ооооооо/
2,948541+ 4,5979837*'
4,485Ц59± 1,5137550*'
3,3580543+ 6,3531262/
5,3998481+ 3,1229748*
5,9841953+ о,ооооооо/
3,7413558+ 8,143756?
6,1701838± 4,789279°*
7,1884604± 1,5858467*
4,0812648+ 9,9592424*
6,84i3i92± 6,494545*
8,2ioi754± 3,2193567*
8,6344814+ о,ооооооо/
4,з88о820±и,79327о*
7,4394051+ 8,2284445*
9,1052332± 4,8874840*
9,8672799+ 1,6224950*
4,6687061 + 13,641752*
7,9811054+ 9,9846354*
9,9062168 + 6,5822930/
10,951424 ± 3,2735994*
11,285095 + о,ооооооо/
4,9280042 ±15,501877*
8,4777б47±п,758735*
10,634047 ± 8,2985213/
11,924645 ± 4,947«303*
12,535539 + 1,6447075*
0,7703832+ 0,000000/
о,з85191б± 1,434938*
—2,386874 + 0,5974120/
5,54413° + о,ооооооо/
-0,4537529*
0,8389445±
5,272758 ±
-32,98469 ±
56,19425 +
3,686375*
14,78632/
0,3034981*
0,6505945*
0,0000000/
—1,947829 ± 6,932831*
4,818725 + 65,20449*
—2,485704 + 167,4052*
—8,277688 -т
116,7865 ±
-425,8489 =F
635,4505 +
4,693619*
24,41650/
32,77658/
0,00000/
8,601366 Т 8,751231*
-73,47863 ± 191,0245*
168,1004 + 961,4507*
—102,8379 ± 1999,888/
7,685622
-285,0744
1963,715
-5482,741
7593,599
+
13,47715'
175,0607/
598,6287*
723,2378'
0,0000/
-18,78927
359,3604
-1723,416
3203,619
-1820,389
± 4,41ю82/
+ 383,9913*'
+ 3660,158/
+ 13446,21/
+ 24698,61/

284
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
s = 0,8
Таблица 14 (продолжение)
Pk
Ч
1,2
1,2
3
1,2
3,4
10
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
3,4
5,6
7,8
1,2
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9,ю J
0,8000000+ 0,0000000/
1,8оооооо± 1,3416408/
2,4819823+ 2,9501535'
3,4360354+ о,ооооооо/
3,оццоЗ± 4,6570928/
4,5858597± 1,5318739'
3,4572391± 6,4173008/
5,5002301+ 3,1523437'
6,0850616+ о,ооооооо/
3,8404946± 8,2115967'
6,2702979± 4,8265129/
7,2892074+ 1,59782Ц/
4,18038 58 ±10,029890/
6,9412294± 6,5376428/
8,зЮ7425± 3,2400409/
8,7352846+ о.ооооооо/
4,4872004+11,866154/
7,539i6i3± 8,2761988/
9,205б210± 4»9H88l3^
9,9680175+ 1,6314464^
4,7678302 ±13,716471'"
8,0807445 + 10,036142/
ю,006444 ± 6,6150718/
11,052051 + з,28959ю'
11,385861 + о,ооооооо/
5,0271389± 15,578136/
8,5773139+и,8133б1/
ю,734135 ± 8,3357386/
12,925149 ± 4,9695552/
12,636264 ± 1,6518569/
о, 8589370+ о, оооооо/
0,4294685+ 1,440481^
—2,269367 + 0,6566463'
5,397б71 + о,ооооооо/
-0,5601167 +
0,9895852 +
4,7б544о ±
-30,21466 ±
51,75738 +
3,- 396280/
13,9ЮЗЗ«'
0,06534888/
1,289198/
о,оооооо/
-1,439033 ± 6,196149'
2,647591 + 58,56753'
-о,779°89б+ 151,1325'
—7,366888 =F
Ю3,4398 ±
-378,0838 +
564,8808 +
3,730374'
18,12777'
22,79087/
о, ооооо/
6,982895 =F 7,824604/
—57,71775 ± 167,6315'
128,4509 =F 842,3751'
—77,28654 ± 1753,041'
7,030814 ± 11,03559^
—249,0006 + 140,1932/
1703,376 ± 471,6751'
-4749,071 + 563,7120/
6576,188 + о,оооо/
—15,45932 ± 4,449бо9'
290,0455 + 335,7439'
-1374,715 ± 3153,152'
2535,179 +П534,ьо/
-1434,620 ±21160,58/

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 285
Таблица 14 (продолжение)
s = 0,9
Pk
Ч
ю
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
7,8
1,2
М
7,8
9
1,2
3,4
7,8
9,ю
0,9000000+ о,ооооооо/
1,9оооооо+ .1,3784049'
2,58i5i9°± 3»0007i50'
3,5369622+ о,ооооооо/
3,П34586± 4,7154513'
4,6865414 ± .1,5497785'
3,55б453о± 6,4808313'
5,6005983+ 3,1814381'
6,1858975+ о,ооооооо/
3,939б589± 8,2788734'
6,3704082± 4,8634581'
7,3.899328 ± 1,6097059'
4,279529°± ю, Ю0037'
7,0411415± 6,5804847'
8,4П2955± 3,2605924'
8,8360682+ о,ооооооо/
4,5863381 ±п,938587'
7,6з89224± 8,3236755'
9,3060002± 4,942i249'
10,068739 ± 1,6403484'
4,8669715 ±13,79°78о/
8,1803902± 10,087382/
10,106666 ± 6,6476868/
11,152666 ± 3,3055043'
11,486613 + о,ооооооо/
5,1262887 ±15,654018/
8,6768707 ±н, 867733'
10,834220 ± 8,3727885'
12,125645 ± 4,9911845'
12,736976 ± 1,6589751'
0,9357787-г о,оооооо/
о, 4678894 ± Ь433202/
-2,Ц4543 ±
5,224866 +
—0,6418389^
1,109728 ±
4,287092 T
-27,5763? ±
47,5ИЗЬ +
0,7028220/
0,0000000/
3,113200*
13,03013'
0,1250115/
1,796648/
0,000000/
—1,021879 ± 5,512б4°'
0,8964106 т 52,42943'
°,593357б± 136,0628/
—6,524063 HF 2,931697'
91,31870 ± 12,99637'
-334,8243 =F Ц,69293'
500,9952 + 0,00000/
5,634668 т 6,952625/
—44,78335 ± 146,6098/
96,13573 =F 736,2394'
-56,51915 ± 1533,519'
6,364753
-216,6918
473,905
■4105,629
5685,037
—12,67222
233,0321
■1090,030
1991,569
ii2i,43i
±
±
+
+
±
±
=F
±1
8,996948/
111,5202/
368,0125/
433,9007'
0,0000/
4,332400/
292,2487/
2709,313'
5875,888/
8100,04/

286
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 14 (продолжение)
s=l
п
1
' 2
3
4
5
6
7
8
9
10
/г
1
1,2
1,2
3
1,2
3.4
1,2.
3,4
5
1,2
3.4
5,6
1,2
п
7
1,2
3.4
5.6
7.8
1,2
7,8
9
1,2
ч
7,8
9,ю
"л
1,0000000+ 0,0000000/
2,0000000 ± 1,4Ц213^
2,6810829+ з,°5°43°2/
3,6378343+ 0,0000000/
3,2128069+ 4,7730874'
4,787i93i± 1,5674764'
3,6556943± 6,5437369'
5,7оо9533± 3,2102656/
6,2867048+ о,ооооооо/
4,0388475± 8,3456005/
6,4705И9± 4,9001211/
7,49°6375± 1,6215024/
4,3786936+10,169693'
7,Ц10552+ 6,6230459'
8,5п8з49± 3,2810136/
8,9368328+ о,ооооооо/
4,6854946 + 12,010579'
7,7386881+ 8,3708794'
9,4063713+ 4,9692173'
10,169446 ± 1,6492018/
4,S66i293±i3,864686/
8,2800422 ±10,138360/
10,206883 + 6,6801407/
11,253270 ±'3,3213405'
11,587351 + 0,0000000/
5,2254534 ±15,729529'
8,77б4347±и,921854'
ю,934304 ± 8,4096730/
12,226132 + 5,0127193'
12,837677 ± 1,66б0б2б/
Ч
1,0000000+
о,5000000 ±
—2,014889 ±
5,029778 +
-0,7013771 =F
1,201377 ±
3,839662 T
-25,07945 +
43,47958 +
—0,6838709 +
—0,4905398 +
1,674411 +
-5,75°792 =F
80,36204 +
—295,7773 +
443,3321 +
4,517451 +
—34,24264 ±
70,02048 =F
-39,79529 ±
5,709631 ±
— 187,9118 =F
1272,273 +
—3542,613 q=
4906,084 +
0,000000/
1,414214'
0,7365076/
0,0000000/
2,839866/
12,15506/
0,2735704'
2,187252/
0,000000/
4,883230/
46,78139'
122,1628/
2,274225/
8,8539^0/
8,210356/
0,000000/
6,Ц2475'
127,8087/
641,9332/
1338,784'
7,302187'
88,06122/
283,8708/
328,9586/
0,0000/
—10,34902 ± 4,110936'
186,3272 т 253,3224'
—858,6520 ± 2322,065/
1551,634 =F 8439,833'
—868,4606 ±15457,42'

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 287
Таблица 14 (продолжение)
S =1 ,1
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
1
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3>4
5
1,2
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
3,4
7,8
1,2
7,8
9
1,2
3,4
7,8
9,ю
Pk
1 , 1000000-1- 0,0000000/
2,юооооо± 1,4491377*
2,7806719 ± 3,09934^'
3,7386563+ 0,0000000/
3,3121832+ 4,8300276/
4,8878168+ 1,5849746''
3,75496i8± 6,6060358/
5,8oi2959+ 3,2388336/
6,3874847+ о,ооооооо/
4,1380594± 8,411794*
6,5706182+ 4,93б5о86/
7,5913224± 1,6332127/
4,4778786± 10,238870/
7,24С9707± 6,6653319*
8,6123612± 3,3°i3°7i/
9»°37579%Ь о,ооооооо/
4,7846693 ±12,082136/
7,8384585± 8,4178151/
9,506734З± 4,996i6ii/
10,270138 ± 1,6580074/
5,0б53032±13,938195*
8,3797005 + 10,189079/
10,307097 ± 6,7124358/
U,353862 + з,337юо8/
и, 688075 + о,ооооооо/
5,3246324 ±15,804676/
8,8760058 ±и, 975727*
11,034386 ± 8,4463946/
12,326610 ± 5,0341609/
12,938366 ± 1,6731197/
|
1,051137 +
о,5255685±
—1,882664 ±
4,816464 +
—0,7412490+
1,266817 ±
3,424221 +
—22,73025 ±
39,66319 +
—о,413б324±
-1,564551 =F
2,503752 ±
—5,046782 т
70,50178 ±
—260,6474 +
391,43бо +
3,596618 +
—25,71750 ±
49.И505 +
—26,46860 ±
5,о8ю54 ±
—162,4044 +
1095,636 +
—3051,080 +
4226,585 +
0,000000/
1,384766/
0,7584880/
0,0000000/
2,578432/
11,29330/
0,3859872/
2,4750°6/
0,000000/
4,307635*
41,60921/
109,3911*
1,7371Ю/
5,550553*
3,099752/
0,000000/
5,397931'
111,0693*
558,3922/
1166,461/
5,8994бо/
68,97000/
216,0116/
244,7295*
0,0000/
—8,420261 + 3,824416'
148,2254 + 218,7131/
-671,4871 ± 1985,273*
Н97,4б1 ^ 7199,279*
—665,2539 ±13179,8о/

288
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 14 (продолжение)
s= 1,2
Pk
Ч
10
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
7,8
1,2
3,4
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9,ю
1,2000000+ 0,0000000/
2,2000000+ 1,4832397/
4,88з8б15± 12,153266/
7,9382334± 8,444873''
9,6070896± 5,0229587'
10,370816 + 1,6667660/
10,407306 i 0,7445745'
п,454444 ±3,3527862/
11,78878b + 0,0000000/
5,4238253^15,879462/
8,9755839*12,029355/
11,134466 ± 8,4829552/
12,427081 ± 5,0555106/
13,039044 ± 1,6801469/
1,089124 + 0,000000/
0,5445622+ 1,34б194<'
2,8802837± 3,1474840/
3,8394326+ 0,0000000/
3,4115857+ 4,8862965/
4,9884143+ 1,6022799/
3,8542540* 6,6677454'
5,9016266+ 3,2671490/
6,4882388+ 0,0000000/
4,2372935* 8,4774591'
6,6707182+ 4,9726267/
7,6919884+ 1,6448388/
4,5770834*10,307577'
7,3408877* 6,7073480/
8,7128749* 3,3214752'
9,1383080+ 0,0000000/
—1,749880 +
4,588884 +
—0,7639602 т
1,308522 +
3,041108 T
—20,53230 ±
36,07151 +
—0,2009158±
-2,372334 :p
. 3,117812 +
-4,410307 т
61,66563 ±
—229,1415 +
344,8615 +
0,7697104/
0,0000000/
2,330523'
10,45192/
0,4675303'
2,673355/
0,000000/
3,784618/
36,89442/
97,69958/
1,301908/
2,953536'
0,8547536'
0,0000000*
2,841833 + 4,720140/
—18,87957 ± 96,22878/
32,56037 T 484,6049/
—15,97807 ± 1014,335/
4,489438 * 4,743531'
-139,9039 =F 53,52044/
94b 3475 * i6i,b666/
—2622,898 + 177,6644/
3635,019 + 0,0000/
—6,825291 ± 3,502194/
117,2744 =f 188,1252/
—520,8433 + 1693,262/
913,9372 + 6129,914/
—502,9985 ±11220,27/

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 289
Таблица 14 (продолжение)
s- 1,3
Pk
Ak
:о
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
5,6
7
1,2
vx
7,3
1,2
1:1
7,8
9
1,2
3,4
7,«
9,ю
1 , 3000000- 'г 0,0000000/
2,зоооооо+ 1,5165751'
2,9799166± 3,1948960*
3,94° 1668+ о,ооооооо/
3,5110127+ 4,9419177'
5,0889873± 1,6193985'
3,9535б97± 6,7288823/
6,0019462+ 3,2952186/
6,5889683+ о,ооооооо/
4,ЗЗ65489± 8,5426157'
6,77°8i50i 5,0084812/
7,7926361± 1,6563824/
4,6763072 + 10,375823/
7,4408064+ 6,749°994'
8,8133765+ 3,3415203'
9,2390199+ о,ооооооо/
4,9830706+12,223577*
8,оз8о12б± 8,5109004/
9,7074375+ 5,0496125/
10,471480 ± 1,6754784'
1,114243 + о,оооооо/
0,5571212 + 1,299871'
—1,618291 + 0,7712330*
4,3 50824 + о,ооооооо/
-о,771945б Т 2,097289/
1,329067 ± 9,636850/
2,690047 + 0,5230357'
—18,48665 ± 2,795012'
32,70745 + 0,000000/
—0,03658166+ з>312204'
—2,956004 + 32,61529/
3,549707 ± 87,03501/
—3,838578 £ 0,9524226/
53,77913 + 0,9465385'
-2oo,972i ± 3,843253'
303,1773 + о,оооооо/
2,226688 Т 4,Ю82б9/
-13,44543 ± 83,12504/
19,61529 + 4i9»6i88/
-7,839424 ± 88о,3532/
5,2636974+14,084049'
8,5790351 + 10,289758'
10,507511 ± 6,7765589'
п,5550Ц ± 3,36.83977'
11,889484 + o,oogoooo/
5,5230320 + 15,953895'
9,0751687 + 12,082743'
11,234545 ± 8,5193572'
12,527544 + 5,0767696/
13,1397и ± 1,687Н45'
3,94И66
—120,1437
806,9605
—2250,709
3121,017
-5,51Ц81
92,24299
—400,2-405
688,3612
—374,2952
± 3,795184'
=F 41,09240/
± 118,4805/
+ 124,7466/
+ о,оооо/
± 3,165808/
=F 161,2392/
±1440,826/
+ 5210,055'
±9537,364'
Юв, И. Крылов, Л. Т. Шульгина

290
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
s= 1,4
Таблица 14 (продолжение)
ю
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
7,8
1,2
5,6
7,8
9
1,2
1:1
7,8
9,ю
Pk
1,4000000+ 0,0000000/
2,4000000+ 1,5491934''
3,0795689+ 3,2416089/
4,6408623+ 0,0000000/
3,6ю4б29± 4,9969i3i'
5,1895371 ± 1,6363365*'
4,0529077± 6,7894623/
6,1022551± 3»323°486/
6,6896744+ о,ооооооо/
4,4358247± 8,6072733*
6,8709089+ 5,°44°78i*
7,8932664+ 1,6678454*
4,7755494±ю,443б18/
7,54°72б6+ 6,79°59И*
8,9П8664± 3,3б1444б*
9,3397153+ о,ооооооо/
5,0822962 +12,294277*
8,13779бо± 8,5570587*
9,8o7778i± 5,0761249*
10,572130 ± 1,6841452*
5,3629169 ±14,156406*
8,6787111 ±ю,33972б/
10,607712 ± 6,8083915*
п,б55575 ± 3,38393б5*
11,99017° + '0,0000000/
5,6222 519 ±16,027977*
9,1747602 + 12,135893*
п,334б22 ± 8,5556024*
12,628000 ± 5,°97939о*
13,240367 ± 1,6941129*
Ч
1,127060 + о,оооооо/
0,5635302 ± 1,247168/
—1,489391 ± 0,7641804*
4,105843 + о,ооооооо/
-0,7675239 =F
1,ЗЗЮ54 ±
1,879453'
8,852934^
2,370269 =F 0,5568854*
-16,59219 ± 2,851830/
29,57090 + о,оооооо/
0,08744461± 2,887876*
-3,353163 =F 28,74774*
3,829249 ± 77,34072*
-3,328052
46,76758
-175,8609
265,9697
q= 0,6745385*
=F о,5718089/
± 6,031932*
+ О,000000/
1,728346 т 3,560032*
-9,i7i895 ± 71,59955*
9,644080 т 362,5429*
-1,637000 ± 762,6224*
3,439541 ± 3,020621/
—102,8628 + 31,15898*
690,2292 ± 84,45871*
-1927,876 + 83,42350*
2675,267 + о,ооооо/
-4,433445
72,09166
-304,2419
510,1022
-272,9550
± 2,830652*
+ 137,7262/
±1223,227*
+4420,431*
±8094,543*

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 291
Таблица 14 (продолжение)
s = 1,5
Pk
Ч
ю
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3>4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
5,6
'7,8
1,2
3,4
5,6
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9,ю
о, ооооооо*
1,5000000+
2,5000000+ 1,5811388/
з,179239°±
4,1415220+
3,7099348±
5,2900652 +
4,1522669 +
6,202554°±
6,7903582+
3,2876531/
0,0000000/
5,0513036/
1,6530995'
6,8495°°4'
3,3506451'
0,0000000/
4,5351200± 8,6714431'
6,97юооо± 5,0794229'
7,99388оо± 1,6792293'
4,8748094 + 10,510970/
7,6406484+ 6,8318279'
9,0143449+ 3,3812504'
9»44°3949+ о,ооооооо/
5,1815378 + 12,364173'
8,2375835± 8,6029664/
9,9081116+ 5,1024980/
10,672767 ± 1,6927672/
5,4621507+14,228391/
8,7783927±ю,з8945о/
10,707910 ± 6,8400742/
11,756125 + 3,3994036/
12,090.843 4* о,ооооооо/
5,7214848 + 16,101715/
9,2743581 ±12,1888о8/
11,434698 ± 8,5916930/
12,728447 ± 5Д190199'
13,341012 ± 1,7010525/
1,128379 + о,оооооо*
0,5641896^ 1,189416/
-1,364421 ± 0,7497034'
3,857221 + о,ооооооо/
—0,7528628 т 1,677374'
1,317052 ± 8,103998/
2,080620 + 0,5730018/
-14,84601 + 2,854710/
26,65915 + 0,000000/
0,1782317 ± 2,508743'
-3,597070 + 25,26613/
3,983028 ± 68,55783'
-2,874694 =F 0,4560445?
40,55693 =F 1,689160/
-153,5404 ± 7,565032/
232,8447 + о,оооооо/
1,327175
-5,851505
2,104566
2,983953
2,985560
—87,81004
589,1043
-1648,434
2289,437
+: 3,072136/
+ 61,49975'
+ 312,5498/
+ 659,4037'
+ 2,390877'
+ 23,27463'
+ 57,92043'
+ 51,54575'
+ о, ооооо/
-3,552270 ± 2,507343'
55,94681 + 117,2596/
-228,3045 + 1036,174'
370,2956 + 3743,974'
-193,8215 + 6859,666/
10*

292
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 14 (продолжение)
s = 1,6
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
|
10 |
k
1
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
3,4
5,6
7,8
1,2
5,6
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9,10
f>k
1,6000000+ 0,0000000/
2,б00ОООО± I,6l245l6/
3,2789256* 3,3330566/
4,2421488+ о,ооооооо/
3,8094272+ 5,1051089/
5,3905729± 1,6696928/
4»2516464± 6,9090111/
! 6,3028432± 3,378оц1/
6,8910207+ о,ооооооо/
4,6344342± 8,7351361/
7,0710883± 5,П45207/
8,0944775+ i,69°5359<
4,9740863 ±ю, 577889/
7,74°57i6± 6,8728145*
9,1Ц8125± 3,4°°939б'
9,541°593+ о,ооооооо/
5,2807947 ±12 f 4ЗЗ671'
8,3373750± 8,6486276^
10,008439 ± 5,1287341*
ю,773392 ± 1,7013451'
5,5613985 ±14,300009/
8,8780798 ±ю, 438934'
10,808104 ± 6,8716093/
11,856666 ± -3,4147999'
12,191505 + о,ооооооо/
5,82073оз±1б,17511З'
9,3739623 ±12,241492'
п,534772 ± 8,6276310/
12,828888 ± 5,14°0135'
13.441647 ± 1,7079636/ 1
4
1,119175 +
о,5595875±
-1,244378
3,607931
—0,729956^
1,289544
1,819652
! -13,24373
23,96733
0,2419124
—3,716862
4,034538
-2,474185
35,07540
-133,75Ь2
203,4292
1,006402
-3,Зо8352
—3,462880
6,32^418
2,578547
-74,74752
501,726b
— 1407,046
1956,096
—2,8 34776
43,07729
-168,6475
261,5804
—132,6158
+
\ =F
±
=F
±
+
±
=F
±
=F
=F
±
+
0,000000/
1,127885/
0,7289457'
0,0000000/
1,491096/
7,3929Н'
0,5748539'
2,813551'
0,000000/
2,171676/
22,Ц399'
60,62631/
0,2864494'
2,480753'
8,566833'
0,000000/
=F 2,640623/
+ 52,68072/
Т 268,8758/
± 5б9,Ю7б/
±
±
+
+
1,881264/
17,06449'
37,45599*
27,3119b'
0,00000/
± 2,202833'
Т 99,52297'
± 875,8иЗ'
:F3165,6i5'
±5804,542/

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 293
Таблица 14 (продолжение)
5 = 1,7
Pk
Ч
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3>4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
3,4
7,8
1,2
3,4
5,6
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9>ю
1,7000000 + 0,0000000/
2,7000000 ± 1,6431677*
3,3786276 ± 3,3778456'
4,3^27449 ~г о,ооооооо/
3,9089388 ± 5-1583476/
5,49i°6i2 ± 1,6861216/
4>35i°452 ± 6,9680080/
6,4031233 ± 3>4°5i6n''
6,9916630 + 0,6000000/
4,7337665 ± 8,7983629*
7,17И74о ± 5,493770/
8,1950596 ± 1,7017667'
5»0733798 ±10,644382/
7,8404962 ± 6,9135555*
9,2152696 ± 3,4205145*
9,6417089 + о,ооооооо/
5,3800667 ±12,502779*
8,4371703 ± 8,6940462/
ю,ю8759 ± 5 > 1548353*
10,874005 ± 1,7098796*
5,6606598 ±14,371267/
8,9777721 ±10,488182/
10,908294 ± 6,9029988/
н,957197 ± 3,4301264/
12,292155 -г о,ооооооо/
5.9199881 ±16,248176/
9,4735726 ±12,293947*
11,634846 ± 8,6634182/
12,929322 ± 5,1609208*
13,542272 ± 1,7148467*
1,100547 + о,оооооо/
о,5502737± 1,063755*
-1,130035 ± 0,7030165/
3,360618 + о,ооосооо/
—0,7006101 + 1,320404*
1,250884 ± 6,721688/
1,585712 Т о,5б54745*
-11,77981 ± 2,737234*
21,48874 + о,оооооо/
0,2837605 ± 1,873424*
-3,737830 Т 19,35453*
4,оо4343 ± 53,486о6/
—2,122085 T 0,1568032/
30,25410 T 3, ою686/
-116,2682 ± 9,143612/
177,3730 + о,оооооо/
о,751775б Т 2,261151/
—1,394i6i ± 45>о°635*
—7,445554 + 230,8200/
8,638214 ± 49°»2866/
2,216645
-63,45296
426,4178
-1198,946
1668,630
—2,252811
32,87377
—122,1378
177,8692
—85,80215
± 1,470852/
=F 12,21473*
± 21,88907*
q= 9,220047*
+ 0,000900/
± 1,921307*
ц=> 84,21556*
± 738,6863/
+ 2672,092/
4:4904,501*

294
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 14 (продолжение)
5=1,8
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
к
1
1,2
1,3
3
1,2
3,4
1,2
3.4.
5
1,2
3,4
5>ь
1,2
3,4
5,6
7
1,2
| 3,4
5,6
| 7,8
1,2
1 3,4
5,6
7,8
9
| 1,2
3,4
5,6
7,8
9»10
Pk
i,8oooooo-f- 0,0000000/
2,8000000± 1,6733201/
3,4783437+ 3,4220445^
4,4433127+ о,ооооооо/
4,оо«4б86± 5,2110373*'
5,59153Н± 1,7023908/
4,4504624+ 7,0265045*'
6,5033946+ 3,4320915*
7,0922859+ о,ооооооо/
4,8331160+ 8,86пз37*
7,2712572+ 5,1839965^'
8,2956268± 1,7129232/
5,1726892 ±10,710458/
7,9404222± 6,9540553'
9,31571б5± 3,4399769*
9,7423441+ о,ооооооо/
5,4793532±12,571502/
8,53^9694± 8,7392262/
10,209072 ± 5,1808038/
10,974605 ± 1,7183712/
5,7599344± 14,442169*
9,0774697 ±ю, 537198*
11,008481 ± 6,§342448/
12,057719 ± 3,4453841*
12,392794 + Ь,сооооор/
6,oi92579±i6,3209o8f
9,573i890± 12,346176'
1 11,7349l7 ± 8,6990566/
13,029749 ± 5,1817429*
! 13,642888 :h 1,7217019/
*k
1,073671
0,5368356
—1,021958
3,П7587
—0,6664343
1,203270
1,377оо8
-ю,44779
19,21523
0,3082702
—3,681708
3,9Ю274
—1,813969
26,02762
—100,8510
154,3485
+
±
±
+
+
±
+
+
+
±
±
+
±
+
0,5512604 +
o,oi5288i9±
—10,16775 +
10,13803 ±
1,897214
| —53,72078
I 361,6707
—1019,896
Ц21» 172
—1,7826ц
24,83063
—86,18996
1ЦД499
1 —50,4714
±
+
±
±
+
0,000000/
0,9981087/
0,6729684/
0,0000000/
1,164871*
6,091541*
0,5474838*
2,633631*
0,000000/
1,610705*
16,87119*
47,07764*
0,05952322/
3,333i5i*
9,385550* ,
0,000000/
1,929206/
38,35008*
197,7427*
421,6282/
1,141980/
8,463895*
10,243*3*
3,976Ь34*
0,сооооо/
± 1,664890/
+ 71,05619*" I
± 621,7277*
^=2251,764*
±4138,003/ j

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 2Й5
Таблица 14 (продолжение)
п
1
2
j 3
4
5
6
7
8
9
10
к
1
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
3,4
5,6
7,8
1,2
3,4
5,6
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9,ю
s« 1,9
Р/с
1,9000000+ 0,0000000/
2,9000000+ 1,7029386/
3,5780730+ 3.4656761/
4,5438540+ 0,0000000/
4,1080156± 5,2631948'"
5,б919844± 1,7185049'
4,5498971+ 7,0845131*'
6,6озб577± 3,4588ю4/
7,19^9°4+ о,ооооооо/
4,9324823± 8,9234582/
7,3713381± 5,2183842/
8,39б1797± 1,7240070/
5,2720141 ±10,776124/
8,0403497+ 6,9943i8i/
9,4i6i536+ 3,4593288/
9,8429656+ о,ооооооо/
5,5786537+12,639348/
8,6367722+ 8,7841712/
10,309380 ± 5,2066414/
11,075194 ± 1,7268208/
5,8592217±Ц,512721/
9,1771723 + 10,585984'
11,108664 ± 6,965349^
12,158232 ± 3»4605739'
12,493421 + о,ооооооо/
6,н85395 + 1б,393315'
9,6728 Н2 ±12,398184/
11,834988 ± 8,7345481'
13,130169 ± 5,2024810/
13,743494 ± 1,7285297'
Ак
1,039754 +
о,5198771±
—0,9205281±
2,88о8ю -(-
—0,6288440T
1,148721 ±
1,191676 +
-9,240552 ±
17,13751 +
o,3i92j68±
-3,566994 +
3,767635 +
-1,545522 ±
22,33454 +
—87,29482 ±
134,05Н +
о, 3947457Т
1,02344 ±
— 11,89920 +
11,00092 ±
i,6i7i32±
—45,3б2б1 +
306,1379 +
—866,1393 ±
1208,533 +
0,000000/
0,931945'
0,6397815'
о,ооооооо/
1,023904/
5,503008/
0,5231181/
2,509630/
0,000000/
1,380286/
14,66797'
41,34301'
0,01176992/
3,493597'
9,368544'
0,000000/
1,640269/
32,59523'
169,0629/
361,9464'
0,8798274'
5,595277'
1,7П737'
13,30430/
о, ооооо/
— i,4°42io± 1,434214'
18,53004 + 59,78524'
—58,67977 ± 522,2146/
66,31362 +1894,45°'
—24,23980 ±3486,288/
I.

296
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
s = 2
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
6
7
1 8
9
10
1,2
3,4
5,6
1,2
и
7
1,2
3.4
5.6
7,8
1,2
3.4
5.6
7,8
9
1,2
3.4
5.6
7,8
9.1°
2,0000000 +0,0000000/
3,ооооооо± 1,7320508/
3,б77«Цб± 3,5р87б19>;
4,б4437°7+ 0,0000000*'
4,2075788±5,31483бк"
5,7924212 ±1,7344683'
4,6493486 ±7,1420458''
6,7°39128±3,4853228;'
7,2934772+0, ооооооо/
5,03i8645± 8,9853460/
7,47Ц1б7± 5,2525446/
8,4967188 ± 1,735°194*
5,3713538±ю,841388/
8,1402784± 7,034348и'
9,51б58п± 3,4785721^'
9,9435738+ о,ооооооо/
5,6779679 ±12,707823/
8,73б5785± 8,8288851/
10,409682 ± 5,23235°3^
11,175772 ± 1,7352289/
5,9585216+14,582927*
9,2768798 ±ю,634544*
и,208844 ± 6,9963138*
12,258736 ±.3,475^968/
12,594°39 + о,ооооооо/
6,2178325 ±16,465399*
9,7724392±12,449971*
11,935^57 ± 8,7698944*
13,230582 ± 5,2231358*
13,844090 ± 1,7353304*
Таблица 14 (продолжение)
Ч
1,000000 + 0,000000/
о,5000000 ± о,86602 54*
-о,8259б35±
2,651927 +
о,6043514*
о,ооооооо*
-0,5890635+ 0,8967878/
1,089064 ± 4,956о23*
1,027825 + 0,4942626/
-8,150559 ± 2,37И90*
15,24547 + о,оооооо/
°, 3198347+ i,i79°3i*
—3,4с92б2 + 12,71978*
3,589427 ± 36,22605/
—1,312613 ± 0,06240530*
19,11763 + 3,529827*
-75,40515 ± 9,155919*
116,2003 + 0,000000/
0,2737877+ 1,389932*
1,715756 ± 27,63505*
—12,86275 + И4,2552*
п,37320 ± 310,1734^
1,373028
-38,20735
258,6197
-734,3525
1026,134
0,6720096/
3,430188/
4,367337*
19,60804/
о, ооооо/
—1,100907 ± 1,22886о/
13,62825 + 50*16569*
-37,86980 ± 437,7472*
31,00800 +1591,262/
—5,16554° ±2933,048*

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 297
Таблица 14 (продолжение)
s = 2,1
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
1
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
3.4
5,6
7,8
1,2
3,4
5,6
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9,ю
Pk
2,1000000+ 0,0000000/
3,1000000+ 1,7606817/
• 3,7775678+ 3,5513220/
4,7448645+ о,ооооосо/
4,307i574± 5>3б597б2/
5,8928426+ 1,7502852/
4,7488161+ 7,199И45*
6,8о41боз± 3,5и6335/
7,394°471+ о,ооооооо/
5,1312б22± 9,°4б8о6о/
7,57И931± 5,2864823/
8,5972447+ 1,7459617/
5,4707078 ±10,906258/
8,2402084+ 7,074494/
9,6169994± 3,4977о87/
10,044169 + о,ооооооо/
5,7772954 + 12,775432/
8,8363882+ 8,8733712/
10,509977 + 5,2579323/
и,27б339 ± 1,7435961/
6,0578336± 14,652795/
9,3765921 ±10,682880/
11,309021 ± 7,0271407/
12,359231 + 3,49^>7535/
12,694645 + о,ооооооо/
6,3i7i366±i6,537166/
9,8720728 ±12,501542/
12,035125 ± 8,8050974/
13,330989 ± 5,2437086/
13,944677 ± 1,742Ю43/
Ч
0,9555791+
о,4777895±
—0,7383421±
2,432263 +
—o,548i35i=P
.1,025925 ±
0,8835823 +
—7,170008 ±
13.52843 +
0,312б929±
-3,22Ц74 +
3,386571 ±
—1,Ш543 ±
16,32399 T
—65,00297 ±
100,5362 +
0,1813736+
2,162585 ±
— 13,24106 +
п,37489 +
1,1бЦ53 +
—32,10071 +
218,0526 +
—621,6074 ±
869,9436 +
0,000000/
0,8011765/
0,5674830/
0,0000000/
0,7827145/ !
4,450009/
0,4624844/
2,223389/
0,000000/ 1
1,003952/
11,00264/
31,67296/
0,09680230/
3,473001/
8,8ооо14/
0,000000/
1,173987/
23,37257/
122,8470/
2б5,35п/
0,5082320/
1,822064/
8,534751/
23,57477/
0,00000/
—0,8587979± 1,047696/
9,843641 + 41,98317/
—22,34564 ± 366,2176/
5,511263 +1334,468/
8,327325 ±2464,141/

298
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
s = 2,2
Pk
Таблица 14 (продолжение)
2,2000000+ 0,0000000/
1,2 3,2000000+ 1,7888544'
1,2 | з.87733*6± 3.5933751'
3 I 4,84533^8+ о,ооооооо/
1,2 I 4,4067506± 5,4166296/
3,4 ! 5,9932494+ 1,7б5959б*
1,2 | 4,8482990 + 7,2557300/
3,4 I 6,9044оо6± 3,5377470/
5 I 7,494боо8+ о,ооооооо/
1,2 ! 5,2306747± 9,1078473^
3,4 I 7,б715*75± 5,3202016/
5,6 | 8,б977579± 1,7568354*
1,2 I 5,5700759 ±ю, 970740/
3,4 ! 8,340139б± 7,П37257''
5,6 ! 9»7174088± 3,5167402/
7 ! 10,144752 + о,ооооооо/
1,2 | 5,8766357±12,842681/
3,4 8,9362014+ 8,9176331'
5,6 ю,6Ю2б8 ± 5,2833894*
7,8 J 11,376896 + 1,7519230/
1,2 I 6,1571576 ±14,722327/
3,4 I 9,4763092 + 10,730996/
5,6 11,409194 ± 7,0578317*
7,8 12,459719 ±*3,505745о*
9 12,795242 + о,ооооооо/
1,2 I 6,4i645i7±i6,6o862o/
3,4 9,9717п8±12,552898/
ю ! 5,6 12,135191 ± 8,8401588/
7,8 I 13,431390 ± 5,2642003/
9,ю | 14,045256 ± 1,7488518/
0,9076037+
0,4538018 +
—0,6576231 +
2,222850 +
0,000000/
0,7379867/
0,5298863/
0,0000000/
-0,5069306+
0,9607325 +
0,6808203/
3,983968/
0,7571222+ 0,4290673/
—6,291011 ± 2,070499*
и,97538 + о,оооооо/
о,2999652 + о,8522288/
-3,014289 =F 9,493899*
3,168126 ± 27,63262/
—0,9380814+ 0,1185983*
13,90510 + 3,348556*
-55,92421 ± 8,343645'
86,82200 + 0,000000/
0,1117125т 0,9884812/
2,421212 ± 19,72028/
-13,18270 н- 104,4147*
11,10358 ± 226,6228/
0,9790092 +
—26,90451 =F
183,4975 +
-525,3297 ±
736,4230 +
0,3799759*
0,6513503*
11,22916/
25,76129/
о,ооооо/
—о,666353°± 0,8891368/
6,946530 + 35,04541'
— 10,96140 ± 305,7818/
— п,3749б +П17,357/
17,50998 + 2067,326*

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАС/. 299
Таблица 14 (продолжение)
п
1
2
3
4
1 5
6
7
8
9
10
к
1
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1.2
3,4
5
1,2
3.4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
3'1 !
7,8 j
1,2 !
3,4
5,6
7,8
9
1,2
1 Н
I 7,8
9,10
Pk
ч
2,3000000+ о,ооорооо/
3,3000000+ 1,8165902/
3,977Ю55± 3,6349391*'
4,9457890+ о,ооооооо/
4,5063577± 5,4668099/
6,0936423+ i,78i4953f'
4,9477965± 7,3119032'' |
7,0046340± 3,5636677' !
7,595*391+ о,ооооооо/
5,3301015± 9,1684782/
7,77i6398± 5,3537066/
8,7982588± 1,7676417'
5,6694573 ±и, 034842/ I
8,44оо721± 7,153о8и/
9,8i78o96± 3,5356685/ |
10,245322 + 0,0000000/ j
5,9759886 ±12,909577'
9,0360178± 8,9616742/
10,710552 ± 5,3087232/
11,477442 ± 1,7602102/
6,2564930+14,791^29/
9,5760308 ±ю, 778896/
11,509365 ± 7,0883886/
12,560198 ± 3,5206722*
12,895829 + о,ооооооо/
6,5157774+16,679765'
10,071356 ±12,604043/
12,235257 ± 8,8750804/
13,531705 ± 5,2846118/
14,145825 ± 1,7555731' |
0,8571096 + о,оооооо/
0,4285548 ± 0,6769639'
—0,5836675 ± 0,4921763'
2,02444 5 + о,ооооооо/
—0,4661653 T 0,5902099'
0,8947202 ± 3,556554'
0,6466932+ о,3950449'
—5,505726 ± 1,916054/
10,57517 + о,оооооо/
0,2833955+ 0,7212367/
—2,796344 + 8,172270/
2,941504 ± 24,05678*
—0,7894811 ± 0,1307634'
11,81668 q: 3,177035'
—48,01924 ± 7,821437'
74,84118 + о,оооооо/
о, 06005024 нь о, 82975 26/
2,538020 ± 16,59966/
—12,80746 =F 88,57995'
10,63794 ± 193,2246/
0,8224313 ± 0,2802256/
—22,49574 ± 0,1789112/
154,1279 Т 12,80409/
—443,2625 ± 26,61535'
622,473° + 0,00000/
-0,5140550 ± 0,7^3377'
4,75°439 + 29,18123/
—2,793518 ± 254,8328/
-24,41637 + 934,н87'
23,40206 ±1732,033'

300
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
s = 2,4
Таблица 14 (продолжение)
Pk
2 , 4ОООООО+ О, ССООООО/
1,2 з>4000000± 1,8439089/
1,2 I 4»°7б8888± 3,6760308/
3 5»°4б2224+ 0,0000000/
1,2 I 4>6о59779± 5»51б5304/-
3,4 6,1940221± 1,7968959*
1,2 I 5,°473°8о± 7>367б444*
3,4 7,1048607± 3,5893999*
5 I 7,6956625+ о,ооооооо/
1,2 I 5»4295421± 9*2287070/
3,4 7,8717Ю2± 5,387°°1б<'
5,6 8,8987478± 1,7783820/
1.2 I 5>76885i8±ii,c9*57°''
3,4 8,5400058± 7,1922191*
5,6 9»9i82020± 3,5544952^
7 I 10,345881 + 0,0000000/
1,2 I 6,0753536 + 12,976124*
3,4 9,1358375± 9,о°54977*
5,6 10,810831 ± 5,3339357*
7,8 I п,577978 ± 1,7684582*
1,2 I 6,3558397 + 14,860405*
3,4 9,6757568 + 10,826581/
5,6 и,6с9532 + 7,1188131*
7,8 12,660669 + 3,5355358'
9 I 12,996406 + о,ооооооо/
1,2 I 6,6i5H35±i6,75°6o4*
3,4 10,171006 +12,654979'"
5,6 12,335321 + 8,9098637*
7>8 13,632173 ± 5,3°49440*
9,ю 14,246387 ± 1,7622686/
0,8050432 + р,сооооо/
0,4025216 ± 0,6185110/
-0,5162578 +
1,837559 +
0,4548758*
о,оооосоо/
-0,4264122 ^ 0,5099792*
0,8289338 + 3,166149*
0,5506346 =F 0,3612330/
—4,806464 + 1,762922/
9,316701 + 0,000000/
0,2643772 + 0,6085517*
—2,574528 + 7,017967*
2,712673 ± 20,90022/
—0,6624860 ± 0,1357023*
10,01864 гь 2,974832* *
—41,15222 ± 7,261019*
64,39717 + о,оооооо/
0,02250718+ 0,6944478*
2,550230 ± 13,94063*
-12,21090 '-£ 75,ООб5б*
10,04068 + 164,4778*
0,6886500+ 0,2032310/
—18,76552 ± 0,7468797*
129,21,93 + 13,54240*
-373,4326 + 26,49412*
525,3854 + о,ооооо/
-0,3940787
3,104672
2,898332
—32,02266
26,81626
+ 0,6323386/
^ 24,23927*
+ 211,9745*
+ 779,7355*
±1449,151''

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 301
Таблица 14 (продолжение)
s = 2,5
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
k
1
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
5,6
7
1,2
3,4
*'$ 1
7,8
1,2
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9»ю 1
*А
2,5000000+ о,осооооо/
3,5сооосо± 1,8708287/
4,17б68ю± 3,7166659*'
5,466381+ о,ооооосо/
4,7056106+ 5,5658034*
6,2943895± 1,8121651/
5,Ц68330± 7,4229633*
7,2050811 ± 3,649477*'
7,7961717+ о,ооооооо/
5,5289959± 9,2.885416/
7,9717788± 5,4200903/
8,9992254± 1,7890572/
5,8682590+11,161931*
8,6399406± 7,231433*
10,018586 ± 3,5732219*
10,446429 + о,ооооосо/
6,1747304+13,042328/
9,2356602+ 9,0491070*
10,911105 + 5,359°286/ i
11,678504 + 1,7766677*
6,4551974 + 14,928961*
9,7754872 + ю,874055*
11,709697 ± 7,149Юб9*
12,761132 ± 3,5503367*
13,096973 + о,соооооо/
6,7Ц4598± 16,821142/
10,270661 +12,705708/
12,435385 ± 8,9445Ю4*
13,732556 ± 5,3251980*
Ч,34б940 ± 1,7689385*
Ч
0,7522528
0,3761264
~о,455П49
1,662482
—0,3881173
0,7642437
0,4673894
-4,i8578o
8,189034
о,244со72
-2,354227
2,486346
-0,5543294
8,474820
-35,20037
55,31201
+
±
+
+
+
±
+
+
+
±
±
±
+
±
+
—0,004063087+
2,487436 ±
—11,46845 =F
9,361207 +
0,5748245
-15,61799
108,1386
-314,1192
442,7997
—0,3000176
1,888036
6,704160
—36,31191
28,39586
±
+
+
±
о,соосоо/
0,5629344^
0,4184190:
о,ооооооо/
о,4]92329; 1
2,810.931*
0,3282598/
1,613385*
о,осоооо/
0,5119560/
6,012698/
18,12081/
0,1353441*
2,754847*
6,684101/
0,000000;
0,5795269*
11,68098/
63,39652*
139,7807*
0,1443013*
1,115153'
13,66860/
25,68000/
0,00000/
± 0,5301654*
^ 20,08646/
± 175,9988*
Т 649,8844*
±1210,843*

302
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
.=2,6
Таблица 14 (продолжение)
Рк
Ч
ю
2 ,6оООООО+0, OOOOOQ'O/
1,2 | 3,6000000 + 1,8973666/
1,2 | 4,2764814+ 3,7568594*
3 I 5»2470372+ о,ооооооо/
1,2 I 4,8052551± 5>6l46409/
3,4 I 6,3947449± 1,8273059'
1,2 I 5,2463710± 7»4778б9б/
3»4 " 7,3052955± 3»Цоз 149*
5 I 7,8966672+ o,oooooooi
1,2 I 5,6284626± 9»3479898*
3,4 8,o7i8456± 5,4529766/
5,6 | 9,0996919± 1,7996688/
1,2 I 5» 9676783 ±и. 224530/
3,4 8,7398766± 7,2698573*
5,6 10,118963 ± 3,5918503/
7 I 10,546965 + о,ооооооо/
1,2 I 6,274H87 + 13,108l95*
3,4 9,335486о± 9,0925052/
5,6 11,011374 ± 5,3840036/
7,8 | ii,77902i ± 1,7848391*
1,2 I 6,5545657± 14,9972оо/
3,4 9,8752219+10,921321/
5,6 11,809859 ± 7.1792717'
7,8 12,861588 ± 3,5650756*
9 I 13» 197532 + о,ооооооо/
1,2 I 6,8i38i59±i6,891383*
3.4 10,370320 ±12,756234*
5,6 12,535447 ± 8,9790223/
7,8 13,832933 ± 5,3453746*
9,ю I 4,447484 + 1,7755832/
0,6994843 + 0,000000*
0,3497422 ± 0,5104532*
-0,399945 ±
1,49934 +
0,3831574*
о,ооооооо/
-0,3516153 + 0,3770997*
0,7013574 ± 2,488934*
0,3955116 =F 0,2965938*
-3,636543 ± 1,469203/
7,181546 + о,оооооо/
0,2231335 ± 0,4294360/
—2,139552 + 5,139669*
2,266160 ± 15,67950*
—0,4625249 ± 0,1312209/
7,152008 + 2,5270б7/
—30,053l6 ± 6,107423*
47,42524 + о,ооосоо/
—о, 02219572 Ч1 0,4822581/
2,372922 ± 9,765753*
—10,63888 q^ 53,48672/
8,637892 ± 118,60201
0,4783615
—12,96914
90,33445
-263,8251
372,6624
0,09962878/
1,333516*
13,35928/
24,39404*
0,00000/
—0,2266477 ± 0,4429013*
1,003560 + 16,60650/
9,0912151 ± 145,8634*
—38,16452 + 540,8501/
28,64614 ±1010,380/

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 303
Таблица 14 (продолжение)
s = 2,7
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
k
1
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3.4
5
1,2
1,2
3,4
5,6
7
1,2
3.4
7,8
1,2
1:*
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9,ю
Pk
2,7000000+ 0,0000000/
3,7000000+ 1,9235384/
4,З762897± 3,7966255*
5,3474207+ о,ооооооо/
4,9°49Ио± 5»6630543'
М95о89°± 1,8423218/
5,3459213+ 7,5323723^"
7,4055°39± 3,6655055^'
7,99749^+ о,ооооооо/
5,7279416± 9,4070589*
8,1719107± 5,4856643^'
9,2ооц78± 1,8102177^'
6,об7Ю9б±и,287575/
8,8398136+ 7,3'о8зб45/
10,219332 ± 3,6103819/
10,647491 + о,ооооооо/
6,3735181±13,173729'*
9>4353Н7± 9,1356952/
и,1и6з8 ± 5,4088624/
п,879529 ± 1,792973"'
6,6539445 ±15, о65128/
9,9749бо7±ю,9б8з811/
11,910018 ± 7,2093093*
12,962036 ± 3,5797534*
13,298081 + 0,0000000*'
6,9131818 + 16,961330/
10,469985 ±12,806558/
12,635508 ± 9,0134007'
13,933305 ± 5»3654747'
14,548021 + 1,7822029/
Ч
0,6473808 +
0,3236904 ±
—0,3503007 ±
1,347982 +
-0,317438 =F
0,6408342 ±
o,33367oi =F
-3,151979 ±
6,284000 +
0,2023972 ±
-1,933540 =F
2,054834 ±
—0,3848541 ±
6,023684 +
—25,61149 ±
40,59270 +
-0,03391933 +
2,22479° ±
—9,767208 +
7,900027 ±
0,3969198 ±
—ю,74572 +
75,32796 +
—221,2511 +
313,1913 +
0,000000/
0,4612081/
0,3493667/
о,ооооооо/
0,3227423/
2,198098/
0,2665698/
1,331689/
о,оооооо/
0,3591765/
4,383550/
*3,54034*
о,1245359*
2,299067/
5,543587/
о,оооооо/
0,4002059/ I
8,146594*
45,°45б2/
юо,4732/
о,06613774*
1,441266/
12,75199'*
22,80719*
о, ооооо/
—0,1697270 ± о ,3687333*
о,374°663 + 13,69822/
10,42699 ±120,6714/
—38,26812 + 449,4463* I
27,96048 ±841,9979е'

304
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
s = 2f
Таблица 14 (продолжение)
1,2
1,2
3
10
1,2
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
3,4
7,8
1,2
5,6
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9,1°
Pk
2,8000000+ 0,0000000/
3,8009000+ 1,9493589*
4,47бю53± 3,8359775*
5,4477894+ 0,0000000/
5,0045776+ 5,71Ю545/
6,5954224+ 1,8572157*
5,4454835+ 7,5864804/
7,5°57о68± 3,6905230/
8,0976194+ о,ооооооо/
5,8274326+ 9,4б575б2/
8,2719741+ 5,5181568/
9,3°°5934+ 1,8207051/
6,1665523 + 11,349870/
8,9397518+ 7,34б668о/
10,319693 ± 3,6288181/
10,748006 + о,ооооооо/
6,4729285+13,238936/
9,5351463+ 9,1786801/
11,211898 ± 5,4336065/
11,980028 ± 1,8010700/
6,7533334 + 15,132747*'
10,074704 +11,015238/
12,ою174 + 7,2392211/
13,062478 ± 3,5943708/
13,398622 -j- 0,0000000/
7,0125571 + 17,03^988/
10,569655 ±12,856684/
12,735568 ± 9,047б473':
14,033071 ± 5,385499"
14,648550 ± i,78879V9?'
0,5964840 + о,оооооо/
0,2982420 ± 0,4152719*
-0,3058979 + 0,3172538*'
1,208280 + 0,0000000/
—0,2848580 Т
0,5831001 ±
0,2753684*
1,936316/
0,2806487 + 0,2384112/
-2,725716 + 1,201771*
5,486619 + о,оооооо/
0,1822697 ± o,29955l6*
-1,738341 =F 3,730426/
i,8543H + 11,67033*
—0,3193495 ± 0,1162217/
5,061760 + 2,076448/
-2i,7868o ± 5>001786/
34,68526 + о,оооооо/
-0,04084519^ 0,3312141*
2,056917 ± 6,781159*
-8,887318 + 37,87ои/
7,169488 ± 84,98272/
0,3284069 ± 0,04135655*
—8,884081 ± 1,469161/
62,70471 + и,95253*
-185,2724 ± 21,04987*
262,8431 -г о,ооооо/
—0,1258248 ± 0,3059811*
—0,06152405+ 11,27407*
10,99833 ± 99,65428*
—37,15486 +372,9465*
26,64212 ±700,7646/

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 305
Таблица 14 (продолжение)
s = 2,9
Pk
Ч
ю
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5»6
1,2
3,4
7
1,2
3,4
*>$
7,8
1,2
3»4
7,8
9
1,2
3,4
7,8
9,ю
2,9000000+ о,ооооооо/
3,9000000± 1,9748418/
4,5759279± 3,8749282/
5,5481442+ о,осооосо/
5,Ю42545± 5,7586520/
6,б957455± 1,8719906/
5,545°57i± 7,6402023/
7,6о59043± 3.71537И*
8,1980771+ о,ооооооо/
5,9269351 ± 9,524°887/*
8,3720360+ 5,55°4577/
9,4010291+ 1,8311321/
6,2660061 + 11,411823/
9,0396910+ 7»3847713*
10,420048 ± 3,471605/
10,848511 + о,ооооооо/
6,5723493 + 13,303821/
9,6349808+ 9,2214629*
11,312152 ± 5,4582375*
12,080518 + 1,8091304/
6,8527323±15»2ооо6з/
10,17445° ±11,061894*
12,110328 ± 7,2690088/
13,162912 + 3,6089285*
13,499155 + о,ооооооо/
7,1119417 + 17,100359*
10,669329 +12,906612/
12,835627 ± 9,о817б37*
14,134032 ± 5,4054488/
14,749072 ± 1,7953685/
0,547239° + о,оооооо/
0,2736195 ± 0,3726588/
-0,2663212 + 0,2869651/
1,079881 + о,ооооооо/
-0,2548438 =F 0,2342312/
0,5284633 + 1,701473*
0,2353449 =F 0,2122510/
—2,351797 ± 1,080052/
4,78о144 + о,оооооо/
0,1630843 + 0,2491140*
-1,555372 + 3,167732*
1,605907 ± 10,03938*
-0,2642766 ± 0,1069903*
4,244319 =F 1,863209/
-18,50026 ± 4,488438*
29,58767 + о,оооооо/
—0,04424291+ 0,2733860/
1,879761 ± 5,632511'
—8,024050 + 31,78255*
6,462152 ± 71,76985*
0,2709682 + 0,02330953*
—7,329202 ± 1,44Ю47*
52,10696 q: 11,04124*
-154,9172 ± 19,21986/
220,2841 + о,ооооо/
—0,09217806+ 0,2531122/
—0,3512552 T 9,2536о2/
11,02720 ± 82,15448/
—35,23219 +309,0231/
24,92204 ±582,4710*

306
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 14 (продолжение)
Pk
Ч
3,0000000+ 0,0000000/
1,2 4,0000000 + 2,0000000/
1,2 I 4,6757570± 3>9* 3489б<*
3 5 > б4*Ц86о+ о,ооооооо/
1,2 I 5»2°39412± 5*8058568/
3,4 I 6,7960588 ± 1,8866493^"
1,2 I 5>644б417± 7,6935462/
3,4 7,7о6о9б7+ 3» 740053 к'
5 8,2985232+ о,ооооооо/
1,2 I 6,02б44?7± 9»5820б31/
3,4 8,4720963± 5.5825704«
5,6 9,5014551 ± 1,844998;
1,2 I 6,зб547о8 + и,473438;
3,4 9* 1396312+ 7,4226773;
5,6 10,520395 ± 3,6654105;
7 I ю,949оо7 + о,ооооооо/
1,2 I 6,6717805 + 13,368387;
3,4 9,7348179± 9,2640463;
5,6 11,412402 + 5,482757i;
7,8 12,180999 ± 1,8171549;
1,2 I 6,9521408 + 15,267079;
3,4 10,274201 +11,108353;
5,6 12,210480 ± 7,2986740/
7,8 13,263340 ±. 3,6234273;
9 13,599679 + о,ооооооо/
1,2 I 7,21133 54 ±17,169447;
3,4 10,769007 ±12,95ь347;
5'Ь 12,935685 ± 9,И57512;
7,8 i4,2343§7 ± 5.4253245'
9,ю | 14,849586 ± 1,8019150;
0,5000000 + о,оооооо/
0,2500000 ± 0,3333333;
-0,2311844 ±
0,9623689 +
-0,2271294 =F
0,4771294 ±
0,2585931;
0,0000000/
0,19863805
1,49478;
0,1967649 + 0,1881490;
-2,024695 ± 0,9668640/
4,155861 + о,ооооосо/
0,1450636 ±
-1,385457 =F
1,490393 ±
0,2065825/
2,684179'
8,620126/
—С,218П4б + 0,09737518;
3,551358 + 1,6б20бЗ;
-15,68193 ± 4,007719;
25,19737 + о,оооооо;
—0,04510400+ 0,2250632/
1.70Ю39 ± 4,668552;
—7,195027 + 26,62808/
5,789092 ± 60,51915;
0,2229722 + 0,010426l6/
—6,033658 + 1,375216/
43,22678 + 10,07803/
-129,3480 ± 17,38889;
184,3639 -г 0,00000/
—о,06657101 ± 0,2087472/
-0,5326705 + 7,587079;
ю,68з73 ± 67,61150*
—32,80819 3=255,6928/
22,97369 ±483,5296;

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 307
Таблица 14 (продолжение)
s = 1/3
п
1
2
3
-
4
5
6
7
8
9
10
k
1
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3.4
5
1,2
3»4
5>6
1,2
3»4
5,6
7
1,2
3,4
5,6
7,8
1,2
3,4
5'о6
7,8
9
1,2 1
1:1
7,8
9.Ю
0,33333333+ 0,0000000/
1,3333333 ± 1,1547005*
2,0179293 ± 2,7015624/
2,9641414 + о,ооооооо/
2,5511197 ± 4,3743204/
4,П5547о ± 1,4453502/
2,9946534 ± 6,1119700/
5,0316478 ± 3,0128059/
5,6140644 + о,ооооосо/
3,3780841 ± 7,8899468/
5,8030627 ± 4,6501680/
6,8188^32 ± 1,5411331'
3,7180251 ± 9,6957352^'
6,4749976 ± 6,3338289/
7,8412996 ± 3.Ц23344'
8)2646888 + о,ооооооо/
4,0248248 ±11,522029/
7,0736766 ± 8,0508873/
8,7370667 ± 4,7856676/
9,4977653 ± ip5892365/
4,3054055 +13,364161/
7,6158216 ± 9,7934272/
9,5386775 ± 6,4606627/
10,582351 ± 3.2Ц2744*
10,915489 + о,ооооооо/
4,5646468 ±15,218953/
8,1128179 ±11,556196/
10,267046 ± 8,1605861/
11,556052 ± 4,8673326/
12,166104 ± 1,6182197/
0,3732822 + о.оооооо/
0,1866411 ± 1,293087/
-2,710506 ±
5,794295 +
0,2675182/
0,0000000/
0,1813335 =F 4,749303'
о,оо53о75б4± 17,78341/
7,320196 ±
-44,01384 4=
73,76057 +
1,686876/
3,039431/
о,оооооо/
—4,826889 ± 10,02945/
17,37667 + 93,75193'
—12,36314 ± 237,5886'
—12,юо75
176,8933
-643,974б
958,7375
17,61637
-164,1105
399,0123
-252,3315
9,380226
-452,2133
3235,461
-9127,433
12669,98
-37,19574
760,3244
3776,35»
7173,022
—4119,606
=F 10,08096/
± 60,61643/
=F 90,76497/
+ о,ооооо/
=F 12,36804/
± 299,0167/
т 1527,464/
±3183,754/
27,04333/
376,0260/
1341,472/
1663,049/
о,ооо/
=F
+
± 1,644202/
=F 601,2080/
± 6175,583'
+ 23198,44'
±42924,73/

ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
S=2/3
Таблица 14 (продолжение)
Pk
1
1,2
1,2
3 .
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3-4
5-6
7
1,2
3-4
5.6
7,8
1,2
3,4
5,6
7,8
9
1,2
3.4
5.6
7,8
9,10
0,66666667+ о,оосоооо/
1,6666667 ± 1,2909945'
2,3493ИД ± 2,88i343i<"
3,3oi37i9 + о,ооооооо/
2,8817662 ± 4,5781087/
4,4515671 ± 1,5076664/
3,3249994 ± 6,3315881/
5,3663842 ± 3,1131228/
5,9505662 + о,орооооо/
3,7083153 ± 8,1210156/
6,1368116 ± 4,7768023/
7,1548731 ± 1,5818347/
4,0482295 ± 9,9355801/
6,8080161 ± 6,4800737/
8,1766499 ± 3,2124319'
8,6008758 + о,ооооооо/
4,3550469 ±11,768873/
7,4061541 ± 8,2124638/
9,0717686 ± 4,8783169/
9,8336971 ± 1,6195001/
4,6356686 ±13,616753'
7,9478939 ± 9,9674065/
9,8728068 ± 6,5713300/
10,917879 ± '3,2682512/
11,251503 + о,ооооооо/
4,8949627 ±15,476373'
8,4445833 ±11,740468/
10,600684 ± 8,286о779'
11,891142 ± 4,9405672/
12,501961 ± 1,6423174'
0,7384881+ о,осоооо/
0,3692440+ 1,430076/
-2,423958 ± 0,5747055'
5,586404 + 0,0000000/
—0,41241б9Т
o,78i66io±
5,447823 ±
-33,93515 ±
57,7134 +
3,784074'
15,07561*
о,394572и
0,4060992/
о,ооооооо/
—2,140109 ± 7,189839'
5,645994 ± 67,52825/
—3,136641 ± 173,1009/
-8,595789 =F 5,055683/
121,5171 ± 26,80177/
-442,8215 T Зб,57бо6/
660,5388 + о,ооооо/
9,208392 T 9,070407/
-79,44364 ± 199,3732/
183,1654 ? 1004,215/
—112,5609 ± 2088,703/
7,896404
-297,9720
2057,903
-5749,169
7963,422
—20,03497
385,5897
1855,987
3458,356
1967,554
± 14,39184'
Т 188,2506/
± 646,8589/
=F 783,9641'
+ 0,0000/
± 4,352бо8/
Т 401,1477/
± 3844,393'
Т1445, Зо/
±25995,39'

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 309
Таблица 14 (продолжение)
s - 4/3
Pk
1,2
1,2
1,2
ЗА
1,2
3,4
5
1,2
3.4
5,6
1,2
3,4
7
1,2
3,4
5,6
7,8
1,2
5,6
7,8
9,ю
1,3333333-Ь о,соооооо.'
2,ззззззз± 1,5275252*'
3,0131320+ 3,2Ю5431''
3,973736i~i- о,ооооооо/
3,5441603+ 4'9':>°3i8o/
5,1225064+ 1,6250643'
3,9866799+ 6.749^68/
6,0353837+ 3,304^215/
6,6225396+ о,осооосо/
4,3696386+ 8,5642231/
6,8041800+ 5,02o3752'
7,826l8l5+ 1,6602123'
4,7^93860 + 10,398471'
7,4741130+ 6,7629586/
8,8468744± 3,348175!'
9,2725863Jr 0,0000000/
5,0161440 + 12,247456'
8,0712733± 8,5263146/
9,74°8851+ 5,0584656'
10,505031 ± 1,6783723'
5,29б7б9о±14,ю82ю/
8,6122598 + 10,306441'
ю,54°912 + 6,7871366/
11,588536 ± 3,3735854'
11,923048 -f 0,0000000/
5,5561038 ±15,978627/
9,1083652 + 12,100486/
11,267904 + 8,5314562/
12,561030 + 5,0838360/
13,173264 ± 1,6894705'
1,119846
0,5599233
о,оооооо/
1,282945'
-1,574959 + 0,7697783'
4,269765 + о,ооооооо/
-о,7717399 + 2,022941'
1,331663 + 9,371874'
2,580029
-17,83847
31,63674
0,5365220/
2,820598/
о,оооосо/
о,008869949 ± 3 >165555'
—3,107384 + 31,28162/
3,658437 + 83,69864/
—3,66i793 =F 0,8524793'
51,34846 + 0,3907265/
-19^,2754 + 4,654126^
290,2973 -г о,оооооо/
2,048628
—11,90290
15,98971
-5,575515
3,768685
— 1Ц,120б
766,1935
-2137,922
2965,281
—5,1279-86
85,02996
-365,7485
624,1555
-337,7490
+ 3,918598'
+ 79,П552'
=F 399,7567'
+ 839,3930'
+ 3,519212'
+ 37,52765'
+ 106,2106/
+ 199,7978'
-j- 0,0000/
± 3,053342'
+ 153,0430'
±1364,643'
+ 4933,262/
±9031,421'

:H0
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
s = 5/3
Таблица 14 (продолжение)
п
1
2
3
4
5
' 6
! 7
1 8
9
10
k
1
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6 |
1,2
3,4 |
5,ь 1
7 1
1,2
3,4
5,6 1
7,8
1,2
м
5,6 !
7,3 !
9 |
1,2
3,4 1
5,6
7,8
9,ю
Pk
Ak
1,6666667+ О, ООСЮООО/
2,6666667± 1,6329932/
3,3453919± З.3629827/
4,3092161+ о,ооооооо/
3,8757662± 5,1406632/
5,4575672± 1,6806633/
4,3i79i°2± 6,9483986/
6,3696976± 3,3961364/
6,9581178+ о,ооооооо/
4,7006538± 8,7773385/
7,1378124± 5,1377848/
8,i6i5339± 1,6980314/
5,0402802 ±ю,622264/
7,8071878± 6,9000022/
9,1817851+ 3,4i4c02i/
9,6081606+ 0,0000000/
5,3469744 ±12,479786/
8,4039048+ 8,6789334/
10,075319 ± 5,ИбЦ98/
10,840468 ± 1,7070395'
5,6275712 ± ц, 347554'
8,94454^8 +10,471792/
10,874898 ± 6,8925517/
11,923688 ± 3,4250252/
12,258606 + о,ооооооо/
5,8869008 + 16,223859/
9,4403685 ±12,276487/
11,601488 ± 8,6515057/
12,895845 ± 5,1539612/
13,508732 ± 1,7125554/
1,107732 + о,оооооо/
o,553866i± 1,085351/
-1,167477 ± 0,7121679/
3,442687 + о,оосоооо/
—0,7110043=1=
1,264870 ±
}> 37.5592'
6,940911'
1,660798 Т 0,5696790/
—12,25279 ± 2,766073/
22,29173 + о,ооосоо/
о,2719444± 1,968731/
—3,74°4Ю =F 20,24903/
4,022332 ± 55,78191/
-2,234347 Т 0,1960742/
31,79196 =F 2,859579/
-121,8567 ± 8,992699/
185,7058 + о,оооооо/
о,8300866нн 2,382137/
-1,970466 ± 47,44530/
-6,272864 =р 242,9217/
7,967-Но ± 515,3689/
2,332417
-67,03442
450,2762
-1264,886
1759,731
1,597786/
13,69730/
26,59792'
14,65000/
0,00000/
—2,433291 ± 2,012429/
36,ои88 q= 89,06591*
-136,3501 ± 782,0097/
203,3243 =£2827,923*
—99,99891 ±5l88»673/

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 311
Таблица 14 (продолжение)
s = 7/3
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3.4
5,6
1,2
5,6
7
1,2
3,4
5,6
7,8
1,2
3,4
5,6
7,8
9, ю
Рк
2,3333333+ 0,0000000/
3,3333333+ 1,8257419*
4,оюз6<ч6± 3,6486881/
4,9792638+ о,ооооооо/
4,5395630+ 5>4834339<
6,1271037+ 1,7866437*
4,9809654+ 7,3305311*
7,0380436± 3,5722659*
7,6286485+ о,ооооооо/
5,3632468+ 9,1885987*
7,8049968± 5,3648281/
3,8317564+ 1,7712291/
5,7025874 + 11,056126/
8,4733832+ 7,1661511*
9,8512747+ 3,5419553*
10,278843 + о,ооооооо/
6,0091089 + 12,931797*
9,0692937± 8,9763060/
10,743979 ±'5,317Цо8/
п,5Ю955 ± 1,7629639*
6,2896073 + 14,814524*
9,6092723 + 10,794815*
п,542754 ± 7,0985447*
12,593689 ± 3,5256337*
12,929355 ~г о,соооооо/
6,5488883 + 16,703411*
10,104572 ±12,621044*
12,268612 ± 8,8866901/
13,565248 ±- 5,2913979'"
И,179347 ± 1,757§078/
0,8398849 + о,ооосоо/
0,4199424 ± 0,6571770*
—0,5604830 + 0,4796741*
1,960851 + о,ооооооо/
-0,4527773 Т
0,8727198 ±
0,5623576*
3,422393*
0,6131561 Т 0,3837163*
-5,263454 ± 1,864740*
10,14048 + о,оооооо/
0,2772683 ± 0,6817546*
—2,722541 T 7,769845*
2,865215 ± 22,960l6i
—0,7448913 ± 0,1331084/
11,18694 T 3,11234°*
-45,62123 ± 7,637692*
71,19825 + 0,000000/
0,04613630 т 0,7822049*
2,552108 ± 15,66525/
-12,62909 =F 83,81970/
ю,45°79 ± 183,1567*
0,7754498 ± 0,2522840/
-21,18193 ± о,393994б*
Н5,3б24 + 13,13°98/
-418,7161 ± 26,66796/
588,3602 + о,ооооо/
-0,4708147
4,147240
-0,6530634
27,38394
24,78052
±
+
±
+
0,7096804/
27,43838/
239,7По/
879,6784*
±1632,327/

312
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
s = 8/3
Таблица 14 (продолжение)
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
*
1
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
7
1,2
3,4
7,8 |
1,2
3,4
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9,ю
Pk
Ak
2,6666667+О, OOOOOOO/
3,6666667 zfc 1,9148 542г
4,343oi94i3J834i68/
5,3139612+0, ооооооо/
4,8716911 ±5,6469629/
6,4616422 ±i,83733°2''
5,31273^5 ±7,5142490/
7,37^Ю17±3,6571280/
7,9636569+0 i ооооооо/
5,б9478о6±9»38741С9«
8,1385558±5»4747902/
9,1666637 ±1,8оЬ7о?3'"
6,0339645 ±11,266732/
8,8об5оп± 7,2955515/
10,185876 ± 3*6042153^
10,613983 + о,ооооооо/
6,34оз8з8±13,151921''
9,402038i± 9,1213214/
11,078218 ± 5,4005889/
11,846027 ± 1,7902659/
6,62o8i7i±i5,042520/
9,9417Цо±1о,952717/
11,876632 ± 7,1993ю8/
12,928554 ± 3,5748675/
13,26456b + 0,0000000/
6,8800 <;88±i6,938047/
10,436763 ±12,789806/
12,602154 ± 9,0019559/
13,899848 ± 5,3587831/
14,5451° ± 1,7799990/
0,6646393 + о,оооооо/
0,3323196 ± 0,4772578/
—0,3662408 ± 0,3604527/
1,397121 + о,ооооооо/
-0,3283975 =F
0,6607172 ±
0,3400477/
2,291711/
0,3532462 т 0,2763795/
-3,306716 ± 1,376722/
6,571580 + о,оооооо/
0,2092618 ± 0,3813382/
-2,оою99 =F 4,623487/
2,124157 ± 14,22192/
—0,4093004 ± 0,1269863/
6,380276 + 2,3747Ю/
-27,01933 ± 5,729475/
42,76134 + о,оооооо/
—0,03061641 =F 0,4260046/
2,276969 ± 8,656148/
-ю,о6оц + 47,70922/
9,Цбпз ±106,2037/
0,4225322 ± 0,07622276/
^—и,4437о ± 1,415535/
80,04609 + 12,98042/
—234,6574 ± 23,36078/
33i,9297 + о,ооосо/
—0,1870996 ± 0,3921075/
о,559б317 =F 14,ЬЬ979/
10,07936 ±128,5694/
—38,39224 =F 478.1323*
28,27266 ±894,8812/

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 313
Таблица 14 (продолжение)
5-0,25
Pk
ю
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
3,4
7,8
1,2
3,4
7,8
9
1,2
3,4
7,8
9,ю
0,25С 0000+ 0,0000000/
1,2500000+ 1,1180340/
1>93516о4± 2,6546887/
2,о79б792-г о,ооооооо/
2,4685320+ 4,3218481/
4,озц68о± i,42934°3/
2,9121298+ 6,0558012/
4,9479334 + 2,9871922*
5,5298737+ о,ооооооо/
3,2955792+ 7,8310979^'
5,719б174± 4,6179586/
6,7348034± 1,5307863/
3,6355188+ 9,6348273^
6,3917463± 6,2967290/
7,757433б± 3,1245бс9''
8,1806024+ о, ооооооо/
3,9423077±п,459475^
6,9905668± 8,0099762/
8,6533742+ 4,7622198/
9,41375*3+ 1,5815790/
4,2228731±13,300253*
7,53281бз± 9,7494400/
9,455^62+ 6,4326943;
10,498446 + 3,2006361/
ю,8зЦ57 + о,ооооооо/
4,4820971 +15,153906'
8,0298909 ±п, 509660/
10,183632 ± 8,1289063/
11,472263 ± 4,8488488/
12,082117 ± 1,6121383/
0,2758157+ о,оооооо/
0,1379078+ 1,233485'
-2,750654+ 0,1698034/
5,777123+ 0,0000000/
0,3846076 +
—о, 2466998 ±
7,8о6533±
-46,63457 +
77,9319° +
4,974258/
18,37458*
2,134332/
4,217320/
0,000000/
—5,756652+ 10,79531'"
21,46774 + 101,0987/
—15,57318 ± 255,8105/
—13,03431 =F 11,82121/
193,0518 ± 72,52091/
—703,7943 + 109,9116/
1047,829 + о,оооо/
20,53268 + 13,14763;
—194,1281 ± 328,662?/
47б,Ш1 + 1688,460/
—302,3778 ± 3524,196;
9,409772 +
-497,9974 +
3605,855 +
-10208,98 =F
14183,70 +
31,43223;
443,0227;
1591,864/
1981,309;
О,000/
—43,12593 ± 0,03579918/
894,755° + 658,2496/
—4474,328 ± 6917,035;
8531,300 +26159,57;
—4908,463 ±48515,2°;

314
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 14 (продолжение)
5 ^0,7Г|
Pk
ю
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7,8
1,2
7,8
9,ю
0,7500000+ o,ooooooo/
1,7500000+ 1,3228757'
2,4322251+ 2,9245415'
3,3855499 f- 0,0000000/
2,9644931+ 4,6276339'
4,5355069+ 1,5228417^'
3,4076429+ 6,3852953'
5,45^409± 3,1376941'
6,0346323+ 0,0000000/
3,7909220± 8,i77748o/
6,2202414± 4,8о79325'
7,2388367± 1,5918454'
4,1308225± 9,994б295;*
6,8912741± 6,5161148/
8,2604608± 3,2297156'
8,6848855+ 0,0000000/
4,4376387 + 11,829769/
7,489282б± 8,2523567*
9,1554282± 4,9°1202о/
9,9176507+ 1,6269769'
4,7i8266o±i3,679163/
8,0309242 ±10,010422/
9,9563307+ 6,5987030/
п,оо1739 ± 2,2816050/
и,33548о + о,ооооосо/
4,9775б9б + 15,54ос54'
8,5275384 ±п, 786о8о/
10,684091 ± 8,317151°'
11,974898 ± 4,9587048'
12,585903 ± 1,6482861/
0,8160489+ о,оооооо/
0,4080245± 1,439375'
—2,329198 + 0,6286870/
5,474446 + о,ооосооо/
—0,5101639 + 3,54об44'
0,9181884 + 14,34948/
5,015637 ±
-31,58394 ±
53,95266 +
0,1780652/
0,9871893'
о,ооооооо/
—1,681152 + 6,557956'
3,677014 + 61,82335'
—1,587838 ± 159,1168/
—7,813976 + 4» 189864^*
109,9564 ± 21,11621/
-401,3850 + 27,52956'
599,3013 + 0,00000/
7,755709 + 8,281692/
—65,21556 + 179,0226/
147,2819 =F 900,2245'
—89,4Ц°3 + 1872,884/
7,36i3i2
-266,5533
1829,491
-дюз, 98i
>68,179
+
12,20202/
156,7856/
531,9823^
639,4284/
0,0000/
-17,05112 ± 4»453586i
323,0284 + 359,2656/
-1540,325 + 3398,332'
2852,333 4=12456,78/
-1617,578 ±22865,91'

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 315
Таблица 14 (продолжение)
* = 1,25
Рк
Ч
ю
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5.6
7,8
1,2
3,4
5>$
7,8
9
1,2
7,8
9,ю
1,2500000+ о,оосоооо/
2,2500000± 1,5000000/
2,9300977+ 3,1712793/
3,8898047+ о,ооооооо/
3,4612962+ 4,9141866/
5,0387038 ± 1,6ю8б22/
3,903909°+- 6,6983845/
5,9517878+ 3,2812141/
6,5386066+ о,ооооооо/
4,г8б91.85± 8,5101005/
6,7207670± 4,9905865/
7,7423145± 1,6506208/
4,6266930 + ю, 341757^*
7,3908469+ 6,7282565/
8,7631272± 3,3315130/
9,188666 + о,ооооооо/
4,9334639±i2,i88674/
7,9881225+ 8,4877259/
9,6572645+ 5,0363034/
10,421149 ± 1,6711279/
5,2140932 + 14,047730/
8,5291993 + 10,264682/
10,457409 + 6,7605858/
11,504730 ± 3,Збо6оп/
11,839137 + о,ооооооо/
5,4734270 + 15,916723/
9,0253755 ±12,056079/
и,184506 ± 8,5011759'
12,477314 ± 5,0661514/
13,089379 ± 1,6836494/
1,103263 +
о,55^313 +
—1,683836 ±
4,470935 +
—0,7696455+
1,321277 +
2,861609 Т
-19,49046 +
34,36097 +
о,оооооо/
1,323915'
0,7716149/
о,ооооооо/
2,212017/
10,04077/
0,4982530/
2,743оо8/
0,ОООООО/
-0,1132299± 3,542232/
-2,689729 T 34,70186/
3,354590 + 92,24240/
—4,116556 +
57,60838 ±
—214,6574 +
323,4344 +
1,117380/
1,882957/
2,458830/
о,оооооо/
2,518312 T 4,406079/
—16,00312 + 89,46983/
25,67869 =F 451,0689/
—11,64226 ± 945,!98о/
4,209616 ±
— 129,6978 =F
871,8114 +
-2430,236 T
3368,929 +
4,245643/
46,96370/
138,8112/
149,6067/
о,оооо/
—6,136239 + 3,334683/
104,0879 + 174»24оо/
—457,1491 + 1562,404/
794.6Ц9 -Т 5652,555/
—434,8658 ±10346,63/

ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
.s = 1,75
Таблица 14 (продолжение)
1,2
1,2
3
1,2
3.4
1,2
3>4
5
1,2
5.6
1,2
7
1,2
3.4
5.6
7,8
1,2
3,4
7.8
9
1 .2
3-4
7,8
9ЛО
Pk
Ak
1,7500000+ 0,0000000/
2,7500000± 1,6583124/
3,4284839± 3,4oooi73*
4,393°322+ о,ооооооо/
3,9587015± 5»1847боо/
5,5412985± 1,6942759*
4,4007516+ 6,9973!8о/
6,4532боо± 3,4186531*
7,0419768+ о,ооообоо/
4.7834391± 8,8298047*
7,2212159± 5,1667160/
8,2453450+ 1,7073542/
5,123о32б±ю,677471/
7,8904591± 6,9338353*
9,2654943± З.4302596/
9,6920282+ о,ооооооо/
5,4297081+12,537188/
8,4870694± 8,7166658/
10,158916 + 5.1678360/
10,924306 ± 1,7141307*
5,7Ю2955±14»4об7б2/
9,0276203 + 10, 512719*
10,958388 ± 6,9186396/
12,оо7459 ±.3,4377638/
12,342476 + о,ооооооо/
5,9696215 + 16,284583*
9'52338о!±12,320090/
11,684882 ± 8,6812559*
12,979536 ± 5.1713425*
13,592581 ± 1,7182777*
1,088065 +
о,544°32б +
-1,075185 ±
3,238436 +
—0,6840329 +
1,228о66 ±
1,478321 Т
-п,09774 ±
20,32691 +
0,000000*
1,031058/
0,6884442*
о,ооооооо/
1,240776/
6,401431*
o,5574072f
2,688390*
о, оооооо/
0,2979300 ± 1,737826'
—3.718177 ^ 18,07624*
3,964279 ± 5°>19404*
—1,962802
28,07044
-108,3143
165,5013
=F
±
+
0,1045425*
3,194820/
9,301378/
о,оооооо/
0,6454280 + 2,089521/
—0,6332593 ± 41,55848*
—8,946166 + 213,6967/
9.478030 ± 454.7640/
2,05l807 + 1,297212/
—58,40375 + 10,21646/
392,8119 + 15,63004*
-1106,035 =F 2,078977*
1540,239 + о,сооооо/
—2,005071
28,61015
—102,9863
Н3.7867
—66,86151
± 1,789891*
=F 77,38412/
+ 677,8641/
+ 2453.447*
±4505,793*

ФОРМУЛА ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 317
Таблица 14 (продолжение)
s = 2,25
Pk
Ak
10
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3,4
5
1,2
3,4
5,6
1,2
3,4
5,6
7
1,2
3,4
7,8
1,2
3,4
5,6
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9>ю
2,2500000+ 0,0000000/
3,2500000+ 1,8027756/
3,9272i74± 3,6142172/
4,8955653+ 0,0000000/
4,45б5525± 5,441778о/
6,0434475+ 1,7737445''
4,?98o459i 7,2838713'
6,9545i82± 3»55°73i2/
7,5448719+ 0,0000c00/
5,2803863± 9,1382135/
7,7216039± 5,3369806/
8,7480099+ 1,7622469/
5,6i97649±n,002838/
8,390Ю57± 7,1334308/
9,7676103± 3,5262172/
10,195039 + 0,0000000/
5,92631064=12,876173/
8,9861092± 8,9396810/
10,660411 ± 5,2960716/
11,427170 ± 1,7560715'
6,2068239 ±14,756968/
9,5-26i694±io,754973/
11,459280 ± 7,0731268/
12,509959 ± 3,5132166/
12,845536 + 0,0000000/
6,466ii32±i6,644231*
10,021533 ±12,578497'
12,185224 ± 8,8576370/
13,481588 ± 5,2744160/
14,095542 ± 1,7522157/
0,8826101 + 0,000000/
0,4413051 ± 0,7071769/
-0,6198119 ± 0,5110106/
2,122234 + 0,0000000/
—0,4864541 4= 0,6341612/
0,9277592 ± 3,765528/
0,7000099 T- 0,4120760/
—5,887140 ± 1,993277'
11,25687 + 0,000000/
0,2920660 ± 0,7842977/
—2,906193 + 8,810967/
3,055432 ± 25,78954/
—0,8608964 ± 0,1257223/
12,82218 =F 3,267566/
-51,83381 ± 8,088893/
80,62765 + o,ooooco/
0,08389273+ 0,9059867/
2,494822 ± 18,09808/
-13,02820 =F 96,19457/
10,89079 ± 209,3018/
0,8976839 ± 0,3269240/
—24,60882 =f 0,19189481/
168,2120 =f 12,13738/
-482,6494 ± 26,33063/
677,1795 + 0,00000/
—0,5857110 ± 0,8177634'
5,77Ю36 =F 31,98903'
—6,525565 ± 279,2134'
—19,03063 T1021,835/
20,81217 ±1892,590/

318
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
2,75
Таблица 14 (продолжение)
Pk
Ч
ю
2,7500000+ о,ооооооо*'
1,2 3» 7500000 ± 1» 93Ц917'
1,2 | 4»42б19^6± 3,8163524*
3 I 5»397бо68+ о,ооооосо*
it? I 4,954743о± 5*6871054*
3,4 6,545*57о± i,84978381
1,2 I 5» 3957009+ 7,5594752'
3,4 7,4556o6i± 3.6780357*
5 I 8,0473861+ о,соооооо*
1,2 I 5»777б85б± 9»4364536*
3,4 8,2219426± 5.5019347*
5,6 9.2503719± 1,8154690*
1,2 I 6,1168295^11,318766*
3,4 8,8897826+ 7,3275415*
5,6 10,269513 ± 3,6196118*
7 | 10,69775° + о,ооооооо*
1,2 I 6,4232220 ±13,206373*
3,4 9,4852302± 9,1572131*
5,6 11,161769 ± 5,4212486*
7,8 J 11,929780 ± 1,7970261*
1,2 I 6,7036377 ±15,098976/
3,4 10,024832 ±10,991834*
5,6 11,960097 ± 7,2242308*
7,8 13,012258 ±t 3,5870696/
9 I I3t348353 +'0,0000000*
1,2 I 6,9б2868з±1б,996195*
3,4 10,519819 ±12,831646/
5,6 12,685538 ± 9,0305404*
7,8 13,983489 ± 5»3754963*
9,ю I 14,5982.87 ± 1,7855034*
0,6217516 + 0,000000*
0,3108758 ± 0,4378243*
-0,3274719 ±
1,276695 +
0,3330900*
0,0000000*
—0,3007209 =F 0,2982306*
0,6115966 ± 2,0б3708*
0,3061284 нь 0,2522471*
—2,931943 ± 1,2б573б*
5,873380 + 0,000000*
0,1922336 ± 0,328129.2*
—1,834485 + 4,044929*
1,953128 ± 12,57364*
—0,3506947 ± 0,1205333*
5,523308 =F 2,186802/
—23,62716 ± 5.269473*
37,53085 + о,оооооо*
—о, 03789542^ о, 3642019*
2,142596 ± 7,434589*
—9,32б549 =F 41,31134*
7,532724 ± 92,42183*
0,3611686 ± 0,05279237*
-9,773303 ± 1,463560*
68,74204 + 12,37073*
-202,5014 ± 21,94304*
286,9648 + о,ооооо*
—о,14б3354 ± 0,3360296*
0,1353094 ^ 12,43061*
10,79298 + 109,6845*
-37,83553 =F 409,4876*
27,36445 ± 768,2664*

ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА В СЛУЧАЕ s=l
319
Таблица 15. ТАБЛИЦА ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТИ УЗЛОВ И
КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА В СЛУЧАЕ s = 1
В таблице приведены узлы и коэффициенты квадратурной формулы для
обращения преобразования Лапласа:
Ш j e"F(p)dp~ 2 WlPk),
•б асимп-
где F (р) имеет при удалении р на бесконечность в секторе | arg р \ <
тотическое представление вида
р(р)~1;[«о+-р-+-рт+.
Эта формула соответствует формуле (8.1.4) для s = 1 с той лишь разницей, что
коэффициенты Ak отличаются от коэффициентов А^ формулы (8.1.4) множителем 1/р^ .
" Число, стоящее в таблице в скобках, означает порядок действительной и мнимой части
следующего за ним комплексного числа, причем действительная и Мнимая части этого числа
стоят в двух рядом стоящих строках таблицы. Глава 8, § 1 и 2, (8.1.4) *).
Литература: Salzer H. E. [21].
п
1
2
3
4
5
6
k
1
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3»4
5
1,2
3,4
Pk
1 , ООООО ООООО ООООО
+ , ООООО ООООО ООООО/
(1), 20000 ООООО ООООО
±,1414213562 3731°'
(1),2б8ю 82873 62775
±, 305°4 30199 24741*'
(0,36378 34252 74450
+ , ООООО ООООО ООООО*
(1), 32128 06896 87153
±,477308743327664;
(0,478719310312847
±,1567476416 89521*
(0,365569432546357
±,65437 3689936008/
(0,57009 53298 67179
±,321026560030855*
(0,628670475172928
+ , ООООО ООООО ООООО/
(0,403884753448.880
±,834560041487222/
(0,647051493670157
±,49°°1 2П47 42139* |
*к
1 , ООООО ООООО ООООО j
+, ооооо ооооо роооо/
(1)—, 10000 рОООО ООООО
±,353553390593274*
(1)-,7б487 49087 42292
+ ,417164024474744*
(2) ,18297 49817 48458
+, ооооо ооооо ооооо/
(2) ,113015399959715
^,124716758502502/
(2)-,1330153999 59715
±,600717327370474*
(2) ,158268018645860
±,241256457822444*
(3)-> Н999 84465 97547
q= ,06804 22795 22023*
(з) ,273343289465922
+ , ООООО ООООО ООООО,/
(2)-, 43515 53303 60738
±,14015 3°б21 56406/ 1
(3) ,226060411893629 !
^ >305ю 3359° 45053*
*) Н. Е. Salzer 121 J.

320 ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 15 (продолжение)
п
6
7
8
9
10
и
к
5,6
1,2
3'4
5>6
7
1,2
3,4
5,6
7,8
1,2
3,4
5,6
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9,1о
1,2
3,4
5,6
Pk
1 (1),749°6 37528 80963
±,162150238877839'
(2),04378 69356 15068
±,1016969328 3795°''
(1),7ЦЮ 55219 18764
±,6623045922 63928;
(1),85118 34825 10295
±,32810 1362432506/
1 (0,893683278840522
+, 00000 00000 ооооо/
(2),О4685 49463 28212
±,12010 57859 98138/
(1),77386 8814683055
±,83708793062379^
(1),94063 71213 69074
±,49692 1728762329/
(2), 1016944600 66575
±,016492017968222/
(2), 04966 1292606868
±,13864 68597 89140/ |
(2), 08280 04220 05509
±,1013835966 ио88/
(2), 1020688322 08485
±,о668о 14072 379°4'
(2), И253 26985 72707
±,033213405315218/
(2), и 58735092 12863
+ , 00000 00000 00000/
(2),05225 45336 73444
±,15729 52904 56393''
(2),О8776 43464 00826
±,11911 8538983012/
(2), 10934 Зо343о6ооо
±,084096729960031/
(2), 12226 13Ц8 41б22
±,05012 71926 Зб7б9'
(2), 12837 67707 78109
±,016660625841623/
(2), О5467 03443 8о6б1
±,1760329803 18069/
(2),09235 95404 40419
±,1371872571 4i666/
(2),и6о2 97826 74372
Ч
(3)-, 1855448788 57555
±,917792364863809/
(2)—,02052 78557 17089
Т ,68441 92002 36232/
(з) ,515229623731723
±,595468136990574'
(4)— ,249066942445402
. ±,Ю403 34617 47917'
(4) ,39619851725.8801
-\-, осооо ооооо ооооо/
(2) ,9494116889 07913
±,2547666248 17678/
(4)-,13348 64737 46002
±,07024 3101049801/
(4) ,33485 44415 43744
±,56903 15433 80431'
(5)—,026126208468682
±, 13549°6оЦ 74389'
(3)-,07288 77701 73724
±,11542 584бр85664/
(4) -,0663121443 7588о
=F, 2634268181 33772/
(5) ,ио89б4544 38357
±,113963986306724/
(5)-,38773 39741 51362
+ ,154680840275919'
(5) ,568485223704662
-|-, ооооо ооооо ооооо/
(3) -,и874 Ц018 99897
:Р,Ч1Зо 36923 21723*
(4) ,46553 60846 39817
=F, 00019 01773 03058/
(5)—,289165722703242
±,18169 1851000964/
(5) ,612769997058515
^,954085989073240/
(6) —,03690 20468 80026
±,1969904635 29004/
(з) ,226353719378214 -
=F, 09133 78244 89705'.
(4) —,19213 53бо8 30204
±,741458062287689/
(5)-,23244 78758 40433

ОБРАЩЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА В СЛУЧАЕ s = 1 321
Таблица 15 (продолжение)
п
11
12
13
Ц
k
7,8
9>i°
и
1,2
3,4
5,6
7,8
9,ю
11,12
1,2
3,4
5,6
7,8
9,ю
11,12
13
1,2
3,4
5,6
7,8
9,ю
11,12
р*
±,Ю154 83279 S4373'
(2), 13112 36972 48751
±,067205058221876/
(2), 13962 64354 83486
±,o3347 4764i8i9on'
(2), 14238 03995 44621
+, 00000 00000 00000/
(2),09664 60291 60388
±,155269887259769;
(2), 12223 22798 01269
±,11913 37085 37902/ j
(2), 14989 47208 49361
i, 05042 6730131942/
(2), 15500 39910 84164
±,016774090754267/
(2), 05693 577бо 58305
±,194846293682977;
(2), 13928 7203046514
±,084424969660733'
(2),'0590718754 54784
±,213724667907769'
(2), 10066 97077 38162
±,173451013895605/
(2), 12802 75656 56813
±,136835371252579'
(2), 14687 26198 20812
±,101769443369505'
(2), 16654 49617 71492
±,033658144667106/
(2), 15936 91748 38046
±,067502384900982/
(2), 16888 81894 39782
-f- , 00000 00000 00000/
(2), 06109 53706 59108
±,232659732506469/
(2), 10446 65324 69181
±,191718385*6 58014;
(2), 13347 48601 89496
±,154639361328642/
(2), 15397 О4064 75505
±,11922 43399 83808/
(2), l68l8 54191 75291
±,08468 94658 26821/
(2), 17720 85352 97203
±,05064 57474 84236/
Ч
^,649784612524991'
(6) ,203708932399208
±,19605 5170910873'
(6) -,58473 3351793539
т, 22658 8957409109^
(6) ,81193 94137 34596
± , 00000 00000 00000/ 1
(5) — ,юб01 19866 54о66
Т,05994 71349 01648/
(6) ,131530215740167
hF ,0158024463 59525'
(7) ,094173318462161
±,15155 50733 73935* 1
(7)—,052191205652078 j
±,284094757369523' !
(3) ,019770417084491
±,316226175536523'
(6) -,54087 59155 92675
±,373470940051152'
(з) -,39079716902556
т, 10553 604310534'
(5) ,13258286039431
hF ,13341 53228 1686/
(6) —,02702 49823 0006
±,24252 155128905'
(7)-,05597 13873 1143
q=, 13281 71176 8448/
(7) -,86609 64335 3174
Т,32898 467326691/
(7) ,34509 53472 2402
±,31856321976495'
(8) ,1156777745 9242
+, ооооо ооооо оооо/
(з) ,28570144704751
=F ,42257 37703 1972* j
(5) ,13950 679^5 3728 ;
±,24654947254365'
(6)-,40703 88893 5434
=F, 14745 48622 0113' S
(7) ,29542848615168
q=,05619 88920 8362/
(7)-,93440 59273 ЗИ9
±,68417 862739122/
(8) ,14168955460489
T,23329 17388 1153/
/410В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина

322
ЧИСЛОВЫЕ ТАБЛИЦЫ
Таблица 15 (продолжение)
п
ч
15
1 16
k
13, и
1,2
3,4
5,6
7,8
9,ю
11,12
13,И
15
1,2
3,4
5>6
7,8
9,ю
11,12
13,И
15,16
Ч
(2), 18159 88757 34216
±,01б85 5б74473441'
(2),об301 97985 47933
±,251644726856788*
(2), 13862 07821 90320
±,17253 4325870271*'
(2), 16065 ОЗЦб 08034
±,13б77 80304 39440'
(2), 17644 52176 566б4
±,101977439029861'
(2), 187М 33207 9624i
±,067729816593316'
(2), 19335 7061672769
±,03379 3998819329''
(2),ю8о6 52491 38980
±,21006 207304П28/
(2), 19539 6510778120
, 00000 00000 00000/
(2), 435° 27629 38985
±,19051 08735 8918°'
(2), 1И48 92355 51544
±,22847 З895039124'
(2), 16696 74163 72794
±,154420808926595'
(2), 18422 71884 49675
±,119357249777675'
(2), 19646 09742 94033
±,08490 34449 41219'
(2), 20432 29769 83798
±,050812953398998'
(2),2o8i7 3162164224
±,016917163428816/
(2),06485 62832 44948
±,27067 410180245.2/
Ч
(8)-,07386 33554 0440
±,4077478000 1204'
(3) ,38001675351110
±,50883 13306 H31'
(6) ,41388830376509
Т,6184004287 2333'
(7)—,01694097595195
4 ±,60093063354820/
(8)—,11368933115576
Т,24504 289234219'
(8) ,5574098444 2647
±,49998 124803205/
(9)—,12685729817048
Т ,04749 12174 494У
(5)-,40584 57857 8724
±,09752 029122456'
(9) ,16456196072199
,00000 00000 0000/
(6) ,8323433120837
±,9239995259706/
(5) ,0291507593847
^,60253 3421497'
(8)—,1121872558046
Т,0285904207 613'
(8) ,5843963892001
Т ,13827 16922874'
(9)-,15373 99707 302
±,1171501818490/
(9) ,2102572434385
q=, 35200 92325 588/
(9)—,1045727057607
±,58341 54653 451'*
(3) -,74667 51219 346
±,2334187Н8757'

ФОРМУЛА С РАВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
323
Таблица 16. ЗНАЧЕНИЯ КООРДИНАТ УЗЛОВ ДЛЯ ПРАВИЛА
ВЫЧИСЛЕНИЯ С РАВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ:
Е + /00 „
е-/ос Л =1
Правило точное при <р(р) = р~ / (/ = 1, 2, ..., л). Функция <р(р) считается
аналитической, регулярной в полуплоскости Re (р)>0 и ограниченной в секторе j arg p I < (л/2)-&(& > 0).
Глава 8, § 3, (8.3.1) (s = 1).
Литература: Sa I z er H. [14].
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
/
l
1,2
1,2
3
1,2
3,4
1,2
3>4
5
1,2
5>6
1,2
5,6
7
1,2
3,4
5,6
7,8
1,2
3,4
5,6
7,8
9
1,2
3,4
5,6
7,8
9,10
pi
1 ,00000000+0,00000000/
0,66666667 ±0,47140452*'
0,46343318±o,66891655/
0,6248577 8+0, оооооооо/
0,31209699+0,78442870/
о,54боз449±о, 22670497/
о, 19029304+0,86260499*
о, 46724697 ±o, 36843448/
0,53392634+0,00000000/
о,08786626 ±0,92009404/
0,39416727+0,46819799/
0,49826825+0,14769920/
—0,00076496 ±0,96470825/
0,32727 973 ±0,54346944''
°,45588935±o,25464118/
0,4922 4949+Q1 оооооооо/
—0,07902919+1,00066480/
0,26601917+0,60293762/
0,41223251+0,33698985/
o,47i829i2±o, 10911533/
—0,14919526 + 1,03046752/
0,20966304+0,65149353/
o,3693i455±o,40305392^
0,44525659+0,19444915/
0,46 815071+0,ooooqooo/
-o,2i284773±i,0557095^
o,i57544i8±o,-69213469/
0,32790360+0,45764025/
0,41610417 ±0,26374950/
o,45488509±o,08636297/
r'/
1,ОООООООО+0,ОООООООО/
1,00000000+0,70710678/
0,69981792+1,01011279/
i, 60036417+0, оооооооо/
0,43788772+1,10059277/
1,56211228+0,64856456/
0,24387201 q= 1,10548034/
1,31966923+1,04058814/ ,
1,87291752+0,00000000/
0,10285254т 1,07702331/ |
1,05229916т l ,24993725;
1,84484830+0 f 54685928/
—0,000821964=1,03658217/
0,813175814=1,35033175; I
1,67190107^0,93385569;
2,03149016+0,00000000/
—0,07843500+Q» 99З14110;
0,61252402+1,38829762/
1,45409421+1,18868595/ 1
2,01181677 + 0,46525329/
—0,137618444=0,95050835/
0,44761307+1,39088424;
1,23580348+1,34870244;
1,886169754= 0,82371403/
2,13606428+0,00000000/
—0,18351682=1=0,91023036/
0,312667944=1,37363580/
1,03454187+1,44386337;
1,71443371^1,08670151/
2,12187330=1=0,40285183/
V«10*

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ
ИНТЕГРИРОВАНИЮ
АйзенштатВ. С, Крылов В. И., Метельский А. С.
1. Таблицы для численного преобразования Лапласа и вычисления интегра-
00
лов вида \xse~K l(x)dx. Изд-во АН БССР, Минск, 1962.
о
АйзенштатВ. С, Метельский А. С.
00
1. Вычисление интегралов вида \xse~xft(x)dx. Известия АН БССР, сер. физ.-
о
техн. наук, 1961, № 1, 29—36.
2. Численное преобразование Лапласа. Инж.-физ. ж., 1961, т. 4, № 2, 82—91.
Аккерман Р. Б.
1. Квадратурные формулы типа формул Маркова. Тр. Матем. ин-та АН СССР,
1959, т. 53, 5—15.
Александров С. И.
1. Об одном приближенном методе кратного интегрирования. Уч. записки
Глазовск. гос. пед. ин-та, 1959, вып. 6, 3—11.
Алимов А.
1. Построение формул приближенного вычисления двойных интегралов
х2 у2
в области (D), представляющей гиперболу -^ — wT= 1 и прямую х — с.
Сб. научно-исслед. работ. Ташкентский текстильн. ин-т, I960, вып. 9,
25—29.
А м е р б а е в В. М.
I. К вопросу о вычислении интерполяционного многочлена Чебышева. Вестн.
АН Казах. ССР, 1960, № 11, 56—59.
АндрейковП. Б.
1. Новый метод приближенного вычисления определенного интеграла. Сб.
студ. научно-исслед. работ Белорусской с.-х. акад., 1953, № 1, 114—122.
АртмеладзеН. К.
1. О формулах механических кубатур. Тр. Тбилисского Матем. ин-та, 1939;
т. 7, 147—160.
АхиезерН. И.
I. О теореме акад. С. Н. Бернштейна относительно квадратурной формулы
П. Чебышева. Ж- Ин-та матем. АН УССР, т. 3, 1937, 75—82.
А х и е з е р Н. И., К р е й н М. Г.
1. О некоторых формулах квадратур П. Чебышева и А. Маркова. Сб.
памяти Граве, 15—28, 1940.
Ахмедов Т. Д.
1. Построение формул приближенного вычисления двойных интегралов по
области, представляющей эллипс. Сб. научно-исслед. работ. Ташкентский
текстильн. ин-т, 1960, вып. 9, 17—23.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 325
Бахвалов Н. С.
1. О приближенном вычислении кратных интегралов. Вестн. МГУ, сер. ма-
тем., механ., астрон., физ., химии, 1959, № 4, 3—18.
2. Оценка в среднем остаточного члена квадратурных формул. Журнал
вычислит, матем. и матем. физики, т. I, № 1, 1961, 64—77.
Безикович Я. С.
1. О формулах механических квадратур с п ординатами, верных для
многочленов степени не выше 2л — 2, 2л — 3. Тр. Индустр. ин-та. Л., раздел
физ.-матем., 4:2, 9—18, 1937.
2. Процесс механических квадратур для несобственных интегралов. Ученые
записки ун-та, сер. матем., Л., т. 6, 1939, 36—42.
Б е р е з и н И. С, Жидков Н. П.
1. Методы вычислений, т. I, Физматгиз, 1959.
БернштейнС. Н.
1. О формуле квадратур Чебышева. Собр. соч., т. II, стр. 198—200, изд. АН
СССР, 1954.
2. О формулах квадратур Котеса и Чебышева. Собр. соч., т. И, стр. 200—205,
изд. АН СССР, 1954.
3. О формулах квадратур с положительными коэффициентами. Собр. соч.,
т. II, стр. 205—228, изд. АН СССР, 1954.
4. Примеры формул квадратур с положительными коэффициентами и
рациональными абсциссами. Собр. соч., т. II, стр. 228—231, изд. АН СССР,
1954.
б. Примеры формул квадратур, аналогичных формуле Чебышева. Собр.
соч., т. II, стр. 231—236, изд. АН СССР, 1954.
6. Об одной системе неопределенных уравнений. Собр. соч., т. II, стр. 236—
242, изд. АН СССР, 1954.
7. Некоторые приложения параметрического метода к изучению
квадратурных формул. Собр. соч., т. II, стр. 243—261, изд. АН СССР,
1954.
Бертова Е. И., Кузнецов Я. Т., Натансон И. П., Цареград-
с к и й X. А.
1. О приближенном вычислении определенных интегралов при помощи
мультипликативного метода выделения особенностей. Прикл. матем. и механика,
1953, т. 17, JSfe 5, 639—644.
Боровский П. В.
1. О точности формул механических квадратур в задачах по определению
перемещения. Труды Киевск. автодор. ин-та, 1956, № 2, 170—175.
БуткевичА. В.
1. О вычислении многозначных логарифмов. (Новые формулы для
интерполирования, численного интегрирования и суммирования аналитических
функций.) Изв. высш. учебн. заведений. Геод. и аэрофотосъемка, 1958,
№ 5, 39—41.
Бялкова А. И.
1. Вычисление коэффициентов Фурье — Чебышева. Сб. «Методы вычислений»,
вып. 1, изд. ЛГУ, 1963, 27—29.
Вельмин В. П.
1. Остаточные члены механических квадратур. Изв. Сев.-Кав. индустр. ин-та,
Новочеркасск, 1935, 1(15), 19—37.
Ветчин кин В. П., Коган Ф. М.
1. Новые формулы численных квадратур, Гостехиздат, М.— Л., 1949.
Виленкин Н. Я.
1. Кубатурные формулы для вычисления моментов функций двух
переменных. Изв. высш. уч. заведений. Матем., 1960, № 4, 49—54.
2. О приближенном вычислении кратных интегралов. Вычисл. матем., сб. 5,
1959, 58-71.
11 В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина

326 БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
В л а д и н е ц И. И.
1. Применение дополнительных ординат при приближенном вычислении
определенных интегралов по правилу трапеций. Тр. Николаевского кораб-
лестроит. ин-та, 1954, № 7, 53—56.
Георгиев Г. И.
1. Формулы механических квадратур в классе Сг для двойных интегралов.
Доклады Болгарской Акад. наук, 1952, т. 5, № 1, 1—4 (русск.).
2. Формулы механических квадратур для кратных интегралов с
минимальным числом членов. ДАН СССР, 1952, т. 83, № 4, 521—524.
3. Формулы механических квадратур с равными коэффициентами для
кратных интегралов. ДАН СССР, 1953, т. 89, № 3, 389—392.
Геронимус Я. Л.
1. О формулах квадратур Гаусса и Чебышева. ДАН СССР, 1946, т. 51, 655-^
658.
2. О некоторых квадратурных формулах. ДАН СССР, 1949, т. 65, 437—440.
3. Степень точности квадратурных формул. ДАЛ СССР, 1949, т. 68, 437—440.
4. Теория ортогональных многочленов. Гостехиздат, 1950.
Гинзбург Б. Л.
1. Обобщение различных интерполяционных формул в случае неравных
интервалов. Инж. сборник, 1952, т. 12, 201—220'.
2. Применение обобщенных формул механических квадратур к расчету
гидродинамической решетки. Тр. Ленингр. политехи, ин-та, 1953, т. 2.
3. Формулы численных квадратур, наиболее выгодные для применения. УМН,
1954, т. 9, №2, 137—142.
Г р е б е н ю к Д. Г.
1. О приближенном вычислении интегралов различной кратности при
помощи теории полиномов, наименее уклоняющихся от нуля. Тр. Ин-та ма-
тем. и механ. АН Уз. ССР, вып. 6, 1950, 3—66.
2. К приближенному вычислению интегралов различной кратности при
помощи теории полиномов, наименее уклоняющихся от нуля. Тр. Ин-та матем.
и механ. АН Уз. ССР, 1951, т. 8, 72—98.
3. Построение формул для приближенного вычисления двойных интегралов
в области D, представляющей круг х2 + у2 = к1. Тр. Ин-та матем. и
механ. АН Уз. ССР, 1952, т. 9, 29—59.
4. Построение формул приближенного вычисления тройных интегралов по
области D, представляющей сферу. Тр. ин-та матем. и механ. АН Уз. ССР,
1954, т. 13, 43-55.
5. Построение формул приближенного вычисления тройных интегралов по
области D, представляющей эллипсоид. Тр. Ин-та матем. и механ. АН
Уз. ССР, 1954, вып. 13, 57—69.
6. Построение формул приближенного вычисления тройных интегралов по
области, представляющей эллиптический конус. Тр. Ин-та матем. и механ.
АН Уз. ССР, 1955, т. 16, 66—75.
7. Формулы приближенного представления одного интеграла. Тр. Ин-та
матем. и механ. АН Уз. ССР, 1955, т. 16, 76—78.
8. Формулы приближенного вычисления интеграла с двумя бесконечными
пределами. ДАН Уз. ССР, 1957, № 9, 5—11.
9. О погрешности формул некоторых квадратур с двумя бесконечными
пределами. ДАН Уз. ССР, 1957, № 12, 5—7.
10. Обобщение квадратурной формулы Гаусса на случай т переменных. Изв.
АН Уз. ССР. Сер. физ.-матем. наук, 1958, № 2, 69—76.
П. Построение формул типа Гаусса приближенного вычисления определенных
интегралов. Тр. Ин-та математики АН Уз. ССР, 1962, вып. 24, 93—113.
ДемидовичБ. П. и Марон И. А.
1. Основы вычислительной математики. Физматгиз, 1960.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 327
Дзюбенко СТ.
1. Асимптотические квадратуры со специальным разложением разности
между верхним и нижним пределами интеграла в геометрическую прогрессию.
Научные тр. Укр. с.-х. академии, 1957, т. 9, 407—420.
Доронин Г. Я.
1. К вопросу о формулах механических квадратур. Сб. научных тр. Днепро-
петр. инж.-строит, ин-та, 1955, № 1—2, 210—217.
Д и т к и н В. А.
1. О некоторых приближенных формулах для вычисления трехкратных
интегралов. ДАН СССР, 1948, т. 62, 445-447. '
2. См. ЛюстерникЛ. А. и ДиткинВ. А.
ДиткинВ. А. и ЛюстерникЛ. А.
1. Об одном приеме практического гармонического анализа на сфере. Вычисл.
матем. и вычисл. техника, 1953, № 1, 3—13.
ЕрмаковС. М.
1. Об одном способе построения кубатурных формул. Тр. Матем. ин-та АН
СССР, 1959, т. 53, 37-42.
2. О точной оценке остатков формул механических кубадур и многомерного
интерполирования. ДАН БССР, 1962, т. 6, 73—77.
ЕругинН. П. и Соболеве. Л.
1. Приближенное интегрирование некоторых осциллирующих функций.
Прикл. матем. и механ., 1950, т. 14, 193—196.
Жидков Н. П.
1. См. БерезинИ.С. и ЖидковН. П.
Журавский А. М.
1. О сходимости формул механических квадратур между бесконечными
пределами. Тр. Всерос. матем. съезда, М., 1927, 220—222. См. также Л., Ж.
физ.-матем. общества, 2:1, 1928, 31—52.
2. О приближенных кратных квадратурах. Изв. АН СССР, сер. матем., 1937,
т. 1.
3. Об одном приеме приближенного интегрирования дифференциальных
уравнений и вычисления квадратур. Изв. АН СССР, сер. матем., 1940, т. 4.
3 а н д е н Г.
1. Элементы прикладного анализа. М.— Л., 1939.
3 и я е в К. Г.
1. Построение формул приближенного вычисления двойных интегралов в
области, представляющей фигуру, ограниченную параболой у2 = 2рх и
прямой х — с. Сб. научно-исслед. работ. Ташкентский текстильн. ин-т, 1960,
вып. 9, 31—37.
Иванова А. Н.
1. Некоторые случаи кубатурной формулы Л. А. Люстерника для правильных
многоугольников. Вычисл. матем. и вычисл. техника, 1953, сб. 1, 27—36.
2. О сходимости последовательности квадратурных формул гауссовского типа
на бесконечных интервалах. ДАН СССР, 1955, т. 104, 169—172.
Канторович Л. В.
• 1. О приближенном вычислении некоторых типов определенных интегралов
и других применениях метода выделения особенностей. Математический
сб., 1934, т. 41, 235—245.
2. Об особых приемах численного интегрирования четных и нечетных
функций. Тр. Матем. ин-та им. В. А. Стеклова АН СССР, 1949, т. 28, 3—25.
Караниколов X.
1. Об одной формуле механической квадратуры. УМН, 1954, т. 9, №2, 157—161.
Кардашевский К. М.
1. Асимптотическая оценка погрешности в квадратурных формулах для
функций с интегрируемой производной. Тр. Днепропетр. хим.-технол. ин-
та, 1956, т. 5, 245—248.
11*

328 БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
Карпов А. Б.
1. Квадратурные формулы для кораблестроительных расчетов. Тр.
Горько век. политехи, ин-та, 1958, т. 14, 23—33.
Кеда Н. П.
1. Об одном аналоге эйлерова метода увеличения точности механических
квадратур. ДАН БССР, 1960, т. 4, 43—46.
2. К теории квадратур для периодических функций. ДАН БССР, 1961,
т. 5, №9.
3. Квадратурные формулы с производными для периодических функций.
Изв. АН БССР, сер. физ.-техн., 1961, № 4.
4. Квадратуры типа Чебышева для периодических функций. Изв. АН БССР,
сер. физ.-техн., 1962, № 1.
Кенжегулов X. К.
1. О некоторых оценках приближенного интегрирования. Тр. 1-й Научной
конференции матем. кафедр пед. ин-тов Поволжья, 1960, Куйбышев, 1961,
80—86.
Коган Ф. М.
1. См. В е т ч №« к и и В. П. и К о г а н Ф. М.
Козулин Ю. Н.
1. Расчет электромагнитного поля осциллятора над двухслойной средой.
Уч. записки Кишиневск. ун-та, 1957, т. 29, 175—181.
Колмогорова П. П.
1. Численное решение несобственных интегралов, встречающихся при
интерпретации магнитных и гравитационных аномалий, на электронных
цифровых машинах. Геология и геофизика, 1962, № 4, 115—118.
Коробов Н. М.
1. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории
чисел. ДАН СССР, 1957, т. 115, № 6, 1062—1065.
2. О приближенном вычислении кратных интегралов. ДАН СССР, 1959, т. 124,
№ 6, 1207—1210.
3. О некоторых теоретико-числовых методах приближенного вычисления
кратных интегралов. УМН, 1959, т. 14, № 2, 227—230.
4. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов.
Вестн. Моск. ун-та. Сер. матем., механ., астрон., физ., химии, 1959, № 4,
19-25.
5. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов. ДАН СССР, I960*,
т. 132, № 5, 1009—1012.
Кошляков Н. С.
1. О вычислении по формулам механических квадратур определенных
интегралов с бесконечными пределами. Изв. АН СССР, сер. физ.-матем., 1933,
801—808.
2. О вычислении определенных интегралов по формуле механических
квадратур типа Эрмита. Инж.-физ. ж., 1958, т. 1, 89—93.
К р е й н М. Г.
1. См. А х и е з е р Н. И., К Р е й н М. Г.
Кругликова Л. Г., Крылов В. И.
1. Численное преобразование Фурье. ДАН БССР, 1961, т. 5, 279—283.
Крылов А. Н.
1. Лекции о приближенных вычислениях. М.— Л., 1950.
Крылов В. И.
1. О вычислении неопределенного интеграла с малым числом значений
интегрируемой функции. ДАН СССР, 1954, т. 94, № 4, 613—615.
2. Увеличение точности механических квадратур. Формулы эйлерова вида.
ДАН СССР, 1954, т. 96, № 3, 429—432.
3. Сходимость механических квадратур в классах функций различного
порядка дифференцируемости. ДАН СССР, 1955, т. 101. № 5, 801—802.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 329
4. Увеличение точности механических квадратур при наличии главного
участка интегрирования малой длины в интегральном представлении
остатка квадратуры. ДАН СССР, 1955, т. 101, JMb 6, 989—991.
5. Приближенное вычисление интегралов от функций, содержащих
быстро колеблющиеся множители. ДАН СССР, 1956, т. 108, №6, 1014—»
1017.
6. По поводу доказательства невозможности построения квадратурной
формулы с равными коэффициентами и числом узлов, большим девяти. Тр. Ин-та
физ. и матем. АН БССР, 1957, вып. 2, 249—254.
7. О механических квадратурах с равными коэффициентами для интегралов.
ДАН БССР, 1958, т. 2, № 5, 187-192.
8. Итоги и перспективы исследований некоторых вопросов теории
механических квадратур. Тр. Ин-та физ. и матем. АН БССР, 1959, вып. 3.
9. О знаках коэффициентов квадратурной формулы Котеса. ДАН БССР, 1959,
т. 3, № 11, 435—439.
10. Приближенное вычисление интегралов. Физматгиз, 1959.
И. См. Кругликова Л. Г., Крылов В. И.
12. См. Айзенштат В. С, Крылов В. И., Метельский А. С.
13. Интерполирование наивысшей степени точности в задаче неопределенного
интегрирования. Тр. Матем. ин-та им. Стеклова, 1951, т. 38, 97—145.
К р ы л о в В. И., К о р о л е в Н. И., С к о б л я Н. С.
00
1. Замечание о вычислении интеграла \ xse~~x f(x)dx. ДАН БССР, 1959, т. 3,
№ 1, 3-7.
К р ы л о в В. И., Л у г и н В. В., Я н о в и ч Л. А.
1. Таблицы для численного интегрирования функций со степенными особен-
1
ностями \ х&(1 — х)* f(x)dx. Изд. АН БССР, 1963.
о
Крылов В. И., П а л ь ц е в А. А.
1. О приближенном интегрировании функций, имеющих логарифмические
особенности. Изв. АН БССР, сер. физ.-техн. наук, 1962, № 1, 13—18.
2. О численном интегрировании функций, имеющих логарифмические
особенности. Изв. АН БССР, сер. физ.-техн. наук, 1963, № 1, 14—23.
К р ы л о в В. И., С к о б л я Н. С.
1. О численном обращении преобразования Лапласа. Инж.-физ. ж., т. 4,
№ 4, 85—101.
К р ы л о в В. И., Ф е д е н к о Н. П.
00
1.0 приближенном представлении интеграла \ xse~~xf(x)dx механической
квадратурой, содержащей значение £(0). Изв. АН БССР, сер. физ.-техн.
наук, 1962, № 2, 5—9.
К р ы л о в В. И., Ф и л и п п о в а М. А., Ф р о л о в а М. Ф.
1. Вычисление неопределенного интеграла с малым числом значений
интегрируемой функции. Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1959, т. 53, 283—301.
Крылов В. И., Шульгина Л. Т.
1. О сходимости одного квадратурного процесса. ДАН БССР, 1962, т. 6, 139—
141, № 3.
К р ы л о в В. И., Я н о в и ч Л. А.
1. Об условиях сходимости кубатурного процесса для непрерывно
дифференцируемых функций. ДАН БССР, 1961, т. 5, 486—488.

330 БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
Кузьмин Р. О.
1. О работах Стеклова по теории механических квадратур. Л.. 1928,
1—8.
2. К теории механических квадратур. Изв. Ленингр. политехи, ин-та, отд.
техн., естеств. и матем., 1931, т. 33, 5—14.
3. Sur la methode de Tchebycheff pour revaluation approchee des integrates.
С. г. Acad. Sci., 1935, v. 201, 1094—1095.
4. Sur la methode de quadrature de Tchebycheff. C. r. Acad. Sci., 1936, v. 202,
272—273.
5. О способе Чебышева для приближенного вычисления интегралов. Л., Сб.
Ин-та инж. ж.-д. трансп. 1938, т. 132, 3—22.
6. О распределении корней полиномов, связанных с квадратурами Чебышева.
Изв. АН СССР, сер. матем., 1938, № 4, 427—444.
7. О формулах механических квадратур. Тр. Ленингр. индустр. ин-та, 1939,
т. 3, 16—31.
8. О формуле Чебышева для кратных интегралов^ ДАН СССР, 1948, т. 61, № 3.
Кузнецов Я. Т.
1. См. Б е р т о в а Е. И., Кузнецов Я. Т., Н а т а н с о н И. П., Ц а-
реградский X. А.
Л а н ц о ш К.
1. Практические методы прикладного анализа. Физматгиз, М., 1961.
Лащенов К. В.
1. О мультипликативном методе выделения особенностей в численном
интегрировании. Уч. зап. Ленингр. гос. пед. ин-та им. А. И. Герцена, 1958,
т. 183, 151—177.
Левин М.
1. Об одном способе вычисления двойных интегралов. Уч. зап. Тартуск. ун-та,
1961, вып. 102, 338—341.
Ливенцов
1. О приближенных квадратурах. Матем. сб., 1878, т. 9, 569—573.
Л и в ш и ц И. М„ Ю р к ш т о в и ч П. А.
1. Рационализация техники приближенного вычисления определенных
интегралов по формулам численных квадратур. Сб. научн. тр. Белорусск.
политехи, ин-та, 1957 (1958), т. 60, 56—68.
Лозинский С. М.
1. О формулах механических квадратур. Изв. АН СССР, сер. матем., т. 4,
1940, 113—126.
Люстерник Л. А.
1. Некоторые кубатурные формулы для двойных интегралов. ДАН СССР,
1948, т. 62, № 4, 449—452.
2. Применение кубатурных формул к численному решению задачи Коши для
некоторых уравнений математической физики. Вычисл. матем. и вычисл.
техника, 1953, № 1, 14—26.
Люстерник Л. А. иДиткинВ. А.
1. Построение приближенных формул для вычисления кратных интегралов.
ДАН СССР, 1948, т. 61, 441—444; см. также Изв. АН СССР, отд. техн.,
1948, 1163—1168.
Мансуров X.
1. Аналог формулы Эйлера — Маклорена для функций двух переменных.
Изв. АН Уз. ССР, сер. физ.-матем наук, 1961, № 6, 15—22.
Марон И. А.
1. См. Демидович Б. П., Марон И. А.
Медведев Г. А.
1. О вычислении сложных интегралов и некоторых трансцендентных
выражений на электронной модели. Тр. Сибирск. физ.-техн. ин-та при Томском
унте, 1961, вып. 40, 58—63.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 331
Метельский А. С.
1. См. ААзенштатВ. С, Крылов В. И., М е т е л ь с к и й А. С.
2. См. АйзенштатВ. С, Метельский А. С. [1].
3. См. Айзенштат В. С, Метельский А. С. [2].
Микеладзе Ш. Е.
1. Исследование формул механических квадратур. Тр. Тбилисского матем.
ин-та, 1937, т. 2, 43—107.
2. Формулы квадратур с разностями. Сообщ. АН Груз. ССР, 1942, т. 3, 1001 —
1003.
3. О формулах механических кубатур, содержащих частные
производные интегрируемой функции. Сообщ. АН Груз. ССР, 1943, т. 4, 297—
300.
4. О вычислении интеграла функции, зависящей от параметра. Сообщ. АН
Груз. ССР, 1944, т. 5, 575—583.
5. О численном интегрировании. ДАН СССР, 1945, т. 49, 166—167.
6. Новые квадратурные формулы и их приложения к интегрированию
дифференциальных уравнений. ДАН СССР, 1948, т. 61, 789—790.
7. Численное интегрирование. УМН, 1948, т. 3, вып. 6, 3—88.
8. Новые методы интегрирования дифференциальных уравнений, изд. АН
СССР, М., 1951.
9. Приближенные формулы для кратных интегралов. Сообщ. АН Груз. ССР,
1952, т. 13, 193—200.
10. Численные методы математического анализа. М., Физматгиз, 1953.
11. Формулы численного дифференцирования и интегрирования для
регулярной функции. Тр. 3-го Всесоюзн. матем. съезда, 1956, М., АН СССР, т. 2,
151—152.
12. Квадратурные формулы для регулярной функции. Сообщ. АН Груз. ССР,
1956, т. 17, 289—296.
13. Приближенные формулы для кратного интеграла от регулярной функции.
Сообщ. АН Груз. ССР, 1956, т. 17, 577-584.
14. Формулы механических квадратур для кратных интегралов. Тр.
Тбилисского матем. ин-та АН Груз. ССР, 1956, т. 22, 277—299.
15. Квадратурные формулы для кратных интегралов, имеющие по возмож
ности высшую степень точности. Сообщ. АН Груз. ССР, 1957, т. 18,
3—10.
Милн В. Е.
1. Численный анализ. ИЛ, М., 1951.
Мысовских И. П.
1. Кубатурные формулы для вычисления интегралов по гипершару. ДАН
СССР, 1962, т. 147, № 3, 552—555.
2. О кубатурных формулах для круга и шара. Сб. «Методы вычислений»,
вып. 1, изд. Ленинградского ун-та, 1963, 3—11.
3. О построении кубатурных формул для простейших областей. Ж- вычисл.
матем. и матем. физика, 1964, т. 4, № 1, 3—14.
4. Окубатурных формулах для вычисления интегралов по понерхности сферы.
Сибирский матем. ж., 1964, т. 5, № 3, 721—723.
5. О методе механических квадратур для решения интегральных уравнений.
Вестн. Ленинградского ун-та, 1962, № 7, 78—88.
Назаров Н. Н.
1. Приближенное вычисление двойных определенных интегралов. Бюлл.
Ср. Азиатск. ун-та, 1925, т. L0, 91—119.
Натансон И. П.
1. Конструктивная теория функций. Гостехиздат, М.—Л., 1949.
2. См. Б е р т о в а Е. И., Кузнецов Я. Т., Натансон И. П., Ц а-
реградский X. А. [1].

332 БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
Николаева М. В.
1. О приближенном вычислении осциллирующих интегралов. Тр. Матем.
ин-та АН СССР, 1949, т. 28, 26—32.
Нужный В. В.
1. Обобщенная формула численных квадратур. Сб. научн. тр. Уманского
с.-х. ин-та, 1960, вып. 12, 453—465.
Никольский С. М.
1. К вопросу об оценках приближений квадратурными формулами. УМН,
1950, т. 5, вып. 2, 165—177.
2. Квадратурные формулы. Физматгиз, 1958.
Пальцев А. А.
1. См. Крылов В. И., Пальцев А. А.
П а н о в Д. Ю.
1. О коэффициентах формулы Грегори для приближенного вычисления
определенных интегралов. Уч. зап. Московского гос. ун-та, 1934, вып. 2, 67—71.
ПахареваН. А.
1. См. Положий Г. Н., Пахарева Н. А., Степаненко И. 3.
и др. [1].
Пересада В. П.
1. К вопросу о вычислении интегралов в конечных пределах от функций
с быстропеременной фазой. Радиотехника, 1957, т. 12, № 9, 12—19.
П о г р е б ы с с к и й И. Б.
1. О вычислении интегралов от быстроколеблющихся функций и об
экспоненциальной интерполяции. Укр. матем. ж., 1955, т. 7, 291—294.
П о л о ж и й Г. Н., П а х а р е в а Н. А., С т е п а н е н к о И. 3. и др.
1. Математический практикум (для вузов). М., Физматгиз, 1960.
Ремез Е. Я.
1. О некоторых классах линейных функционалов в пространствах С и об
остаточных членах формул приближенного анализа. I. Тр. Ин-та матем.
АН УССР, 1939, т. 3, 21-62.
2. О некоторых классах линейных функционалов в пространствах Ср и об
остаточных членах в формулах приближенного анализа. Тр. Ин-та матем.
АН УССР, 1940, т. 4, 47—82.
3. Об остаточных членах некоторых формул приближенного анализа. ДАН
СССР, 1940, т. 26, 130—134.
4. Некоторые вопросы структуры формул механических квадратур, могущих
служить для двухсторонней численной оценки решений дифференциальных
уравнений. Укр. матем. ж., 1958, т. 10, № 4, 413—418.
Робинсон Г.
1. См. УиттекерЭ., Робинсон Г.
Саникидзе Д.
1. О некоторых квадратурных формулах, содержащих производные
интегрируемой функции. Сб. научн. тр. студ. Тбилисского ун-та, 1958, № 8, 7—14.
Севастьянов Н. Б.
1. Об одной формуле приближенного интегрирования. Тр. Калининградского
техн. ин-та рыбн. пром. и хоз., 1960, вып. 11, 97—102.
СенютовичВ. А.
1. О приближенном вычислении двойных интегралов. Тр. Ленинградского
техн. ин-та холодильн. пром., 1956, т. 14, 324—330.
Скарборо Д.
1. Численные методы математического анализа. М.— Л., 1934.
Скобля Н. С.
1. См. К р ы л о в В. И., К о р о л е в Н. И., С к о б л я Н. С.
2. См. Крылов В. И., Скобля Н. С.
3. О вычислении интеграла Меллина. ДАН БССР, 1961, т. 5, 142—145.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 333
Смирнов В. Н.
1. Увеличение точности механических квадратур для интегралов
00 00
{ е~х2/2 f (х) dx, {xs e~x f (x) dx.
—со О
Автореф. дисс. канд. физ.-матем. наук, ЛГУ, 1953.
2. Увеличение точности механических квадратур типа Чебышева — Эрмита,
Чебышева—Лягерра. Сб. научн. тр. Куйбышевск. индустр. ин-та, 1955,
вып. 5, 32—61.
3. О квадратурных формулах Гаусса. Сб. научн. тр. Куйбышевск. индустр.
ин-та, 1956, вып. 6, кн. 2, 235—245.
4. Новая формула механических квадратур. Сб. научн. тр. Куйбышевск.
индустр. ин-та, 1957, вып. 7(a), 77—85.
Смоляк С. А.
1. Интерполяционные и квадратурные формулы на классах Wf и £*• ДАН
СССР, 1960, т. 131, № 5, 1028-1031.
2. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях
некоторых классов функций. ДАН СССР, 1963, т. 148, № 5, 1042—1045.
Соболеве. Л.
1. См. Е р у г и н Н. П., Соболеве. Л.
2. О формулах механических кубатур в л-мерном пространстве. ДАН СССР,
1961, т. 137, № 3, 527—530.
3. Различные типы сходимости кубатурных и квадратурных формул. ДАН
СССР, 1962, т. 146, № 1, 41—43.
4. О кубатурных формулах на сфере, инвариантных при преобразованиях
конечных групп вращений. ДАН СССР, 1962, т. 146, № 2, 310—313.
5. О числе узлов кубатурных формул на сфере. ДАН СССР, 1962, т. 146, № 4,
770—773.
6. О формулах механических квадратур на поверхности сферы. Сибирский
матем. ж., 1962, т. 3, № 5, 769—796.
Соболь И. М.
1. Многомерные интегралы и метод Монте-Карло. ДАН СССР, 1957, т. 114,
№ 4, 706—709.
2. Точная оценка погрешности многомерных квадратурных формул для
функций класса Sp. ДАН СССР, 1960, т. 132, № 5, 1041—1044.
3. Точная оценка погрешности многомерных квадратурных формул для
функций классов W\ и Н\.
Ж- вычисл. матем. и матем. физ., 1961, т. I, № 2, 208—216.
4. О вычислении бесконечномерных интегралов. Ж. вычисл. матем. и
матем. физ., 1961, т. I, № 5, 917—922.
С о л о до в В. М.
1. О вычислении кратных интегралов. ДАН СССР, 1959, т. 127, №4, 753—756.
С о н и н Н. Я.
1. О приближенном вычислении определенных интегралов и входящих при этом
вычислении целых функций. Варшавские универ. известия, 1887, т. 1, 1—76.
Стеклов В. А.
1. О приближенном вычислении определенных интегралов при помощи формул
механических квадратур. Сходимость формул механических квадратур.
Изв. Росс. А. Н., 1916, № 3, 169—186.
2. Sur I'approximation des fonctions a I'aide des polyndmes de Tchebyscheff
et sur les quadratures, I, II, III. Изв. Росс. А. Н., 1917, т. II, 187—218, 535—
566, 687—718.
3. Quelque remarques complimentaires sur ies quadratures. Изв. Росс. А. Н.
(6), 1918, т. 12, 587—614.

334 БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
4. Remarques sur les quadratures. Изв. Росс. А. Н. (6), 1918, т. 12, 99—118.
5. Sur les quadratures. Note I. Изв. Росс. А. Н. (6), 1918, т. 12, 1859—1900.
6. Sur les quadratures. Note II. Изв. Росс. А. Н. (6), 1919, т. 13, 65—96.
7. Sopra la teoria della quadrature dette meccaniche. Atti Accad. Lincei, 1923,
32: 1, 320—326.
Степаненко И. З.
1. См. Положий Г. Н., Пахарева Н. А., Степаненко И. 3.
и др. [I].
Турецкий А. X.
1. Сб оценках приближений квадратурными формулами для функций,
удовлетворяющих условию Липшица. УМН, т. 6, вып. 5, 1951, 166—171.
2. Об оценке приближений формулами квадратур для аналитических функций.
Уч. зап. Белорусского ун-та, 1954, № 16, 32—40.
3. О формулах квадратур, точных для тригонометрических полиномов. Уч.
зап. Белорусского ун-та, сер. матем., 1959, вып. 1(49), 31—54.
4. Замечания к работе Л. А. Чаналова «Общие .квадратурные формулы типа
Гаусса». Уч. зап. Белорусского ун-та, сер. матем., 1959, 1(49), 19—26.
5. О квадратурных формулах с четным числом узлов, точных для
тригонометрических полиномов. ДАН БССР, 1960, т. 6, № 9.
6. О существовании квадратурных формул Чебышева для бесконечного
интервала. Beoii АН БССР, № 2, 1962, сер. ф1з.-тэхн. навук.
УиттекерЭ., Робинсон Г.
1. Математическая обработка результатов наблюдений. М.— Л., 1935.
Феденко Н. П.
1. Об асимптотических значениях коэффициентов квадратурной формулы Ко-
теса. ДАН БССР, 1962, т. 6, № 1, 7—8.
2. См. Крылов В. И., ФеденкоН. П.
Филиппова М. А.
1. См. К р ы л о в В. И., Ф и л и п п о в а М. А., Ф р о л о в а М. Ф.
Ф о к В. А.
1. Об остаточном члене некоторых формул квадратур. Изв. АН СССР, сер.
физ.-матем., 1932, 419—448.
Ф р а н к М. Л.
1. Метод приближенного вычисления двукратных интегралов,
распространенных по площади прямоугольника. Тр. Ленингр. индустр. ин-та, разд.
физ.-матем. наук, 1938, вып. 1, № 5.
Фролова М. Ф.
1. См. Крылов В. И., Филиппова М. А., Фролова М. Ф. [I].
Фрумкин П. Б.
1. Приближенное вычисление сумм отрезков ряда Фурье. Тр. Ленингр. ин-та
авиац. приборостр., 1956, вып. 14, 71—78.
Харадзе А. К.
1. Об одном обобщении формулы Симпсона. Тр. Тбилисского ун-та, 1955, т. 56,
23—28.
X е йфец Б. С.
1. Применение приближенных формул для вычисления кратных
интегралов в инженерной практике. Изв. АН СССР, отд. техн. н., 1954, № 3,
39—48.
Чакалов Л.
1. Об обобщенной квадратурной формуле. ДАН СССР, 1949, т. 68, 233—236.
Чебышев П. Л.
1. О квадратурах. Поли. собр. соч., т. 3, Изд. АН СССР, 1948, 49—62; см.
также J. Math. Pures Appl. (2), 1874, v. 19, 19—34.
Чендов Н. Н.
1. О квадратурных формулах для функций бесконечно большого числа
переменных. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1961, т. 1, 418—424.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 335
Ч е т а е в Н. Г.
1. К вопросу об оценках приближенных интегрирований. Прикл. матем. и
механ., 1957, т. 21, № 3, 419—423.
Цареградский X. А.
1. См. Б е р то в а Е. И., Кузнецов Я. Т., Натансон И. П.,
Цареградский X. А.
Шайдаева Т. А.
1. Квадратурные формулы с наименьшей оценкой остатка для некоторых
классов функций. Тр. Матем. ин-та АН СССР, 1959, т. 53, 313—341.
Ш а р ы г и н И. Ф.
1. О применении теоретико-числовых методов интегрирования в случае
непериодических функций. ДАН СССР, I960, т. 132, № 1, 71—74.
2. Оценки снизу погрешности квадратурных формул на классах функций.
Ж- вычнсл. матем. и матем. физ., 1963, т. 3, № 2, 370—376.
Шульгина Л. Т.
1. См. К р ы л о в В. И., Ш у л ь г и н а Л. Т.
Э з р о х и И. А.
1. Функционально-аналитическая разработка общего метода построения
остаточных членов для различных линейных формул многомерного
приближенного анализа. Уч. записки Киевск. пед. ин-та, физ.-матем. сер.»
1954, т. 16, № 5, 41—87.
2. Общие формы остаточных членов линейных формул многомерного
приближенного анализа. I. Матем. сб., 1956, т. 38 (80), 389—416.
3. Общие формы остаточных членов линейных формул многомерного
приближенного анализа. II. Матем. сб., 1957, т. 43 (85), 9—28.
4. См. Э з р о х и Т. Г., Э з р о х и И. А.
Э з р о х и Т. Г., Э з р о х и И. А.
1.0 представлении остаточных членов некоторых «-мерных формул
приближения. Изв. Киевск. политехи, ин-та, 1956, т. 19, 178—204.
Э з р о х и Т. Г.
1. Общая форма остаточных членов некоторых приближенных формул в
«-мерном пространстве. Докл. АН УССР, 1955, т. 3, 174—179.
Юркштович П. А.
1. См. Лившиц И. М., Юркштович П. А.
Я н о в и ч Л. А.
1. Сходимость кубатурного процесса для абсолютно непрерывных функций.
ДАН БССР, 1962, т. 6, № 2, 77—79.
2. См. К р ы л о в В. И., Я н о в и ч Л. А.
Abramowi tz M.
1. On the practical evaluation of integrals, J. Soc. Indust. Appl. Math., 1954,
v. 2, 20—35.
AchyeserN. I. and К г e i n M. G.
1. Sur une formule de quadrature de Tchebicheff. C. R. Acad. Sci., Paris, 1935,
v. 200, 890—892.
Adachi, Ryuzo
1. Approximate formulas for definite integrals and differential coefficients. Ku-
mamoto J. Sci., A, v. 2, 1955, 196—209.
A h 1 i п А. С
1. On error bounds for Gaussian cubature. SIAM Rev., 1962, v. 4, Mb 1,
25—39.
Ai tken A.C. and FrewinG. L
1. The numerical evaluation of double integrals. Proc. Edinburgh Math. Soc,
1923, v. 42, 2—13.
Ajne В iorn, Dalenius Tore.
1. Nagra tillampningar av statistika ideer pa numerisk integration. Nord. Mat.
Tidskr., 1960, v. 8, № 4, 145—152, 198.

336 БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
А 1 brech t J.
1. Formein zur numerischen Integration uber Kreisbereiche. Z. Angew. Math.
Mech., 1960, v. 40, № 10—11, 514—517.
A 1 b г е с h t J. and С о 1 1 a t z L.
l.Zur numerischen Auswertung mehrdimensionaler Integrale. Z. Angew. Matho
Mech., 1958, v. 38, 1—15.
A m b 1 e, О 1 e
1. A set of formulas for numerical integration. Norske Vid. Selsk. Forh. Trond-
heim, 1952, v. 25, 38—41.
Angelescu A.
1. Sur des polynomes generalisant les polynomes de Legendre et d'Hermite et
sur le calcul approche des integrates multiples. Thesis, Univ. of Paris, 1916.
Angervo J. M.
1. Einige Vereinfachungen bei numerischer Quadratur und Differentiation.
Jber. Deutsch. Math. Verein., 1932, v. 42, 144—159.
A p p e 1 P.
1. Sur une classe de polynomes a deux variables et le calcul approche des
integrales doubles. Ann. Fac. Sci. Univ. Toulouse, v. 4, 1890, p. H. 1 — H. 20.
A s с о d i G.
1. Un'osservazione sulle formule di quadratura. Boll. Un. Mat. Ital. (3), 2, 212—
216, 1947.
Barre t t W.
1. On the remainders of numerical formulae, with special reference to
differentiation formulae. J. London. Math. Soc, v. 27, 1952, 456—464.
2. On the remainder term in numerical integration formulae. J. London. Math.
Soc, v. 27, 1952, 465—470.
3. Convergence properties of Gaussian quadrature formulae. Comput. J., 1961,
3, № 4, 272—277.
Bar tholomew G. E.
1. Numerical integration over the triangle. Math. Tables Aids Comput., v. 13,
1959, 295—298.
В a s s J. and G u i 1 1 о u d J.
1. Methode de Monte-Carlo et suites uniformement denses. Chiffres, v. 1, 1958,
149-155.
Beard R. E.
1. Some notes on approximate product integration. J. Inst. Actuar., v. 73, 1947,
356—403.
Belgrano BremardJ. C.
1. Acotaciones de los restos en las formulas de Euler — Maclaurin. Rev. Mat.
Hisp.- Amer., 1953, 13, № 5—6, pp. 320—327.
Bergeon R., Ceschino F., Hennebu tte L.
1. Calcul d'une integrale triple sur machine automatique numerique. Mem.
artill. franc, 1956, 30, № 3, 695—717.
В е г t i a u F.
1. New Numerical Integration Methods. Simon Stevin, 1951, v. 29, № 4, 196—202.
В i с к 1 e у W. G.
1. Formulae for numerical integration. Math. Gaz., v. 23, 1939, 352—359.
2. Finite difference formulae for the square lattice. Quart. J. Mech. and Appl.
Math., v. 1, 1948, 35—42.
Biermann, Otto.
Vorlesungen uber Mathematische Naherungsmethoden. Vieweg, Braunschweig,
1905.
Bi lha rz H.
1. t)ber die Gaussche Methode zur angenaherten Berechnung bestimmter
Integrale. Math. Nachr., v. 6, 1951, 171—192.
2. Bemerkung zwr genaherten Quadratur. Arch. Math., v. 3, 1952, 251—256.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 337
В i 1 1 i n g s С.
1. См. Riley J. A. and Billings C.
В i г i n d e 1 1 i С
1. Sul calcolo numerico degli integrali multipli. Alti Accad. Naz. Lincei. Rend.
CI. Sci. Fis. Mat. Nat. (8), v. 11, 1951, 40—44.
2. Su nuove formule interpolatorie del Picone per funzioni in piu variabili e loro
contributo al calcolo numerico degli integrali multipli. Compositio Math.,
v. 10, 1952, 117—167.
В i г к ho f f G. and Yo u n g D.
1. Numerical quadrature of analytic and harmonic functions. J* Math. Physics,
1950, v. 29, 217—221.
Blanc Ch.
1. Evaluation stochastique de l'erreur dans les formules d'integration numerique.
С R. Acad. Sci., Paris, v. 233, 1951, 726—727.
Blanc Ch. and L i n i g e r W.
1. Stochastische Fehlerauswertung bei numerischen Methoden. Z. Angew. Math.,
Mech., v. 35, 1955, 121-130.
В 1 a n с h G. and Rhodesl.
1. Seven point Lagrangian integration formulas. J. Math. Phys., v. 22, 1943,
204-207.
В 1 a 11 e r Ch.
1. EineModifizierung der Simpsonschen Regel. Elem. Math., v. 11, 1956, 56—59.
В о i v i n G.
1. Cm. Lansraux G., Boivin G.
Bo ley B. A.
1. A method for the numerical evaluation of certain infinite integrals. Math»
Tables AidsComput., v. 11, 1957, 261—264.
Bomhard Badovinac Marijan.
1. Nuevas formulas para el calculo de areas. «Ingenieria у arquit», 1961, v. 14,
№ 160, 22, 24-31.
В о n fi gl i С
1. Formula di integrazione approssimata adatta per la parabola. Riv. Catasto
e serv. Teen, erariali, 1954, 9, № 2, 114—116.
Bo t te ma O.
1. Simpson's method of approximation. Nieuw Arch. Wisk. (2), v. 21, 1941,
111—118.
Bourget H.
1. Sur une extension de la methode de quadrature de Gauss. C. R. Acad. Sci.,
Paris, v. 126, 1898, 634—636.
Bouzi ta t J.
1. Stir Tintegration numerique approchee par la methode de Gauss generalisee
et sur une extension de cette methode. С R. Acad. Sci., Paris, v. 229, 1949,
1201—1203.
Boxer R.
1. Cm. Thaler S., Boxer R.
Bri dgla nd Т. Е.
1. A note on numerical integrating operators. J. Soc. Indusf. Appl. Math., v. 6,
1958, 240—256.
2. A note on numerical integrating operators. II. J. Soc. Industr. Appl. Math.,
1960, 8, № 3, 531—536.
Brock P. and M и г г а у F. J.
1. The use of exponential sums in step by step integration. Math. Tables Aids
Comput., v. 6, 1952, 63—78, 138—150.
Brouwer D.
1. On the accumulation of errors in numerical integration. Astr. J., v. 46, 1937,
149—153.

338 БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
Brun V.
1. A generalization of the formula of Simpson for non-equidistant ordinates.
Nord. mat. tidskr., 1953, v. 1, 10—15.
2. An application of a «Carpenter's curve» to Simpson formulas. Abstr. Short
communs Internat. Congress Math, in Edinburgh. Edinburgh, Univ.
Edinburgh, 1958, 157.
Buckingham R. A.
1. Numerical methods. Pitman, London, 1957.
Buckner H.
1. Bemerkungen zur numerischen Quadratur I. Math. Nachr., v. 3, 1950, 142—145.
2. Bemerkungen zur numerischen Quadratur II. Math. Nachr., v.3, 1950, 146—151.
Bu'kovics E.
1. Beitrage zur numerischen Integration, I. Monatsh. Math., 1953, v. 57, № 3,
217—245.
2. Beitrage zur numerischen Integration, II. Monatsh. Math., 1954, v. 57, № 4,
333—350.
3. Beitrage zur numerischen Integration, III. Monatsh. Math., 1954, v. 58, № 4,
258—265.
В u rn e t t D.
oo
1. The numerical calculation of \ xme~xf (x) dx. Proc. Cambridge Philos. Soc,
v. 33, 1937, 359—362.
Burnside W.
1. An approximate quadrature formula. Messenger of Math., 1908, v. 37, 166—167.
Bushkowitch A. V.
1. Cm. Shohat J. A., Bushkowitch A. V.
Butler R.
00
1. On the evaluation of \ (s\nm t)/tm dt by the trapezoidal rule. Amer. Math.
Monthly, 1960, v. 67! № 6, 566—569.
Butzer P. L.
1. Fourier-transform methods in the theory of approximation. Arch. Rational
Mech. and Analysis, 1960, v. 5, № 5, 390—415.
Cameron R. H.
1. A Simpson's rule' for the numerical evaluation of Wiener's integrals in
function space. Duke Math. J., v. 18, 1951, 111—130.
Cameron R. H. and G г a v e s R. E.
1. Additive functionals on a space of continuous functions. I. Trans. Amer.
Math. Soc, 1951, v. 70, 160—176.
Capuano R.
1. Cm. Salzer H. E., Zucker R. and Capuano R.
С а г n a h a n P. D. M.
1. Cm. Greenwood R. E., Carnahan P. D. M. and Nolley N.
С а г г u s P.
1. Cm. Kopal Z., Carrus P. and Kavanagh К. Е.
С a s s i n a U.
1. Sulla formula sommatoria di Euler col resto di Malmsten. Scritti mat. onore
Filippo Sibirani, Bologna, 1957, 49—61.
Cerri 1 lo M.
1. On the evaluation of integrals of the type / (Tlf xv ..., xn) =
^ -Trr/ \ ^(s)e 'Tl* 2 ' П ds an(* the mechanism of formation of

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 339
transient phenomena. 2a. Elementary introduction to the theory of
the saddlepoint method of integration. Res. Lab. Electronics, Massachusetts
Inst. Technology, Cambridge, Mass., Techn. Rept., 1950 (1954), Л"о 55:
2a. v. 4.
С e r u 1 u s F. and HagedornR.
1. A Monte-Carlo method to calculate multiple phase space integrals, I, II.Nuo-
vo Cimento (10), v. 9, 1958, Supplement, 646—677.
Cha ко N.
1. Calcul d'integrates doubles pour de grandes valeurs d'un parametre.C. R.Acad
Sci., 1958, v. 247, № 6, 637—639.
Chakrabarti M. C.
1. Remainders in quadrature formulae. Bull. Calcutta Math. Soc, 1947, v. 39,
119-126.
Chri s to f fel E. B.
1. Ober die Gaussische Quadra tur und eine Verallgemeinerung derselben. J. Rei-
ne Angew. Math. (Crelle's Journal), v. 55, 1858, 61—82.
Cioranescu N.
1. О noua formula de medie si aplicatiile, ei la cuadraturile mecanice. Gaz. mat.
si fiz., 1953, v. 5, № 9, 410-414.
Clausen T.
1. Ober mechanische Quadraturen. J. Reine Angew. Math., 1830, v. 6, 287—
289.
Clenshaw С W., Си г ti s A. R.
1. A method for numerical integration on an automate computer. Numerische
Math., 1960, v. 2, № 4, 197—205.
Clerk — Maxwell J.
1. On approximate multiple integration between limits of summation. Cambridge
Phil. Soc. Proc, 1877, v. 3, 39-47.
С о М a t z L.
1. Numerische und graphische Methoden. Handbuch der Physik. Bd. 2.
Berlin — Gottingen — Heidelberg, Springer, 1955, 349—470.
2. Cm. Albrecht J. and Collatz L.
Cooke J. С
1. Osculatory interpolation and integration. J. Math, and Phys., 1957, v. 35,
№ 4, 394—400.
Co les R.
1. Ober die Newtonsche Differential — methode. 1722.
Co X i u A.
1. Asupra formulei de cuadratura a lui Hardy. Gaz. mat. si fiz., 1958, v. АЮ,
№ 7, 404—412.
2. О observare asupra unei formule de cuadratura cu 4 noduri. Gaz. mat. si fiz.,
1959, v. All, № 5, 281—285.
3. Asupra unei formule de cuadratura cu doua noduri duble. Lucrari s$iin$.
Inst, politehn, Cluj, 1959, 41—48.
Cree ly J.
1. Some applications of finite differences. "Math. Mag., 1953, v. 26, № 4, 189—
197.
С so m a Z.
1. Angenaherte Quadra tur im Falle ungleicher Teilintervalle. Period, poly techn.
Electr. Engng., 1960, v. 4, № 1, 31—36.
Cur ti s A. R.
1. Cm. Clenshaw С W„ Curtis A. R.
D a h 1 q u i s t G.
1. The Monte-Carlo method. Nordisk. Mat. Tidskr., 1954, v. 2, 27—43.
D a 1 e n i u s T.
1. Cm. Ajne Bjorn; Dalenius T.

340
БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
D a n fo r d M. В.
1. См. Greenwood R. Е., Danford M. В.
D а п i е 1 1 P. J.
1. Remainders in interpolation and quadrature formulae. Math. Gaz., 1940,
v. 24, 238—244.
D a s S. С
1. The numerical evaluation of a class of integrals. II. Proc. Cambridge Philos.
Soc, 1956, v. 52, 442—448.
Davis P. J.
1. Errors of numerical approximation for analytic functions. J. Rational Mech.
and Analysis, 1953, v. 2, № 2, 303—313.
2. On simple quadratures. Proc. Amer. Math. Soc, v. 4, 1953, 127—136.
3. On a problem in the theory of mechanical quadratures. Pacif. J. Math., 1955,
v. 5, Suppl. № 1, 669—674.
4. On the numerical integration of periodic analytic functions. В сб. «On
numerical approximation». (Sympos., Wisconsin, 1958), 1959, 45—59.
Davis.P. J., Rabinowi tzP.
1. On the estimation of quadrature errors for analytic functions. Math. Tables
AidsComput., 1954, v. 8, № 48, 193—203.
2. Abscissas and weights for Gaussian quadratures of high order. J. Res. Nat.
Bur. Standards, v. 56, 1956, 35—37.
3. Some Monte Carlo experiments in computing multiple integrals. Math. Tables
Aids Comput., v. 10, 1956, 1—8.
4. Additional abscissas and weights for Gaussian quadratures of high order:
values for n = 64, 80 and 96. J. Res. Nat. Bur. Standards, 1958, v. 60, № 6,
613-614.
5. Some geometrical theorems for abscissas and weights of Gauss type. J. Math.
Anal. Appl., 1961, v. 2, 428—437.
D e n g 1 e r M.
1. Numerische Losung des Integrals \ f(u)l{w(u) — w(q)}2du. Z. Angew. Math.
als J f(u
Mech., 1954, v. 34, № 12, 471—474.
D e r u у t s J.
1. Sur le calcul approche de certaines integrales definies. Bull, de Г Acad, de
Belgique, 1886, t. 2, 301—311.
D i d о n a t о A. Rl; J а г n a g i n M. P.
1. Integration of the general bivariate Gaussian distribution over an offset circle1.
Math. Comput., 1961, v. 15, 375—382.
D ieul ef a i t С. Е.
1. Nuevos principios en el problema de la cuadratura mecanica. An. Soc. dent,
argent., 1958, v. 166, № 1—2, 23—25.
2. Sobre la convergencia de la cuadratura mecanica. Math, notae., 1959, v. 17,
№ 1—2, 37—42.
Dijksterhuis E. J.
1. Die Integrationsmethoden von Archimedes. Nordisk Mat. Tidskr., v. 2, 1954,
5—23.
Dingle R. B.
1. The evaluation of integrals containing a parameter. Appl. Sci. Res., 1955,
v. B4, № 6, 401—410.
D u i j v es t i j n A. J. W. and В e r gh u i s J.
1. The computation and the expansion of some triple integrals originating from
the theory of cosmic rays. Math. Centrum, Amsterdam, Rekenafdeling, rep, v,
R261, 1955.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 341
Dwi ght H. В.
1. Tables of integrals and other mathematical data. The MacMillan Company,
New York, 1961.
EltermannH.
1. Ein Beitrag zur numerischen Integration bei nicht gleichabstandigen Abszis-
sen und Berechnung von Kurvenintegralen. Z. Angew. Math. Mech., 1953,
v. 33, № 8/9, 254—255.
E n g v a 1 1 A.
1. En formel for berakning av Gauss'felintegral. 12-te Skand. matematiker
kongr. Lund, 1953, Lund, 1954, 40—41.
E n 1 о w E. R.
1. Quadrature of the normal curve. Ann. Math. Statist., v. 5, 1934, 136—145.
E w i n g G. M.
1. On approximate cubature. Amer. Math. Monthly, v. 48, 1941, 134—136.
E x n e r G.
1. Cm. Hirschleber A., Exner G.
F a v a r d J.
1. Sur les quadratures mecaniques. Enseign. math., 1957, v. 3, № 4, 263—275.
Fet ti s H. E.
1. Numerical calculation of certain definite integrals by Poisson's Summation
formula. Math. Tables Aids Comput., 1955, v. 9, № 51, 85—92.
2. Lommel-type integrals involving three Bessel functions. J. Math. Phys.,
1957, v. 36, 88—95.
3. On the calculation of the function jo (z, 0) for large values of z. J. Math. Phys.,
1957, v. 36, № 3, 279—283.
4. Further remarks concerning the relative accuracy of Simpson's and the
trapezoidal rule for a certain class of functions. Z. Angew. Math. Mech., 1958,
v. 38, № 3-4, 159—160.
Filon L. N. G.
1. On a quadrature formula for trigonometric integrals. Proc. Roy. Soc. Edin.,
1928, 49, 38—47.
F i s h m a n H.
1. Numerical integration constants. Math. Tables Aids Comput., 1957, v. II,
1-9.
Fl i nn E. A.
1. A modification of Filon's method of numerical integration. J. Assoc. Comput.
Machinery, 1960, v. 7, № 2, 181—184.
Forsythe G. E.
1. Round —off errors in numerical integration on automatic machinery. Bull.
Amer. Math. Soc, 1950, v. 56, 61—62.
Frame J. S.
1. Numerical integration. Amer. Math. Monthly, 1943, v. 50, 244—250.
F r e w i n G. L.
1. См Aitken A. G. and Frewin G. L.
GarfathH.L.
1. Tchebycheff's mean value theorem and some results derivable therefrom.
J. Inst. Actuaries Students' Soc, 1947, v. 7, 70—80.
G a r n e a E. G.
1. On a new application of Jacobi polynomials in connection with the mean
value theorem. Bull. Amer. Math. Soc, 1943, v. 49, 541—548.
G a u s s С F.
1. Methodus nova integralium valores per approximationen inveniendi. Werke,
1866, v. 3, 163—196,

342
БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
Ga u tsch i W.
oo
1. Exponential integral \e~xtt~n dt for large values of n. J. Res. Nat. Bur.
Stand., 1959, v. 62, № 3, 123—125.
2. Recursive computation of the repeated integrals of the error function. Math.
Compute 1961, v. 15, 227—232.
Gawlik H. J.
1. Zeros of Legendre polynomials of orders 2—64, and weight coefficients of
Gauss quadrature formulae. Armament Research and Development
Establishment, Memorandum (B) 77/58, Fort Halstead, Kent, 1958.
Gebauer J.
1. Sur les series applicables dans l'integration approximative. Casopis Pest.
Mat. Fys., 1934, v. 63, 152—166.
GeorgievG. I.
1. Formulas of mechanical quadrature for polynomials of two real variables»
Univ. d'Etat Varna «Kjril Slavianobalgarski», Fac. Tech. Constructions*
Annuaire 3, 1947—48, 1—46 (болгарск.).
2. Formulas of mechanical quadrature with a minimal number of terms for triple
integrals. Univ. d'Etat Varna «Kiril Slavianobalgarski», Fac. Tech.
Constructions, Annuaire 3, 1947—48, 97—123 (болгарск.).
Gh i z z e t t i A.
1. Une methode generate pour obtenir des formules de quadrature. Proc. Internat.
Congr. Math., 1954, Amsterdam, v. I, Groningen — Amsterdam, 1957 (454).
2. Sulla convergenza dei procedimenti di calcolo, degli integral! definiti forniti
dalle formule di quadratura. Rend. Seminar, mat. Univ. Padova, 1956, v. 26,
201—222.
3. Sulle formule di quadratura. Rend. Sem. Mat. Fis., Milano, 1954—1955,
v. 26, 1—16, 45—60.
4. Sulle formule di cubatura relative ad intervalli piani. Ann. Scuola Norm.
Sup. Pisa (3), 14, 1960, 237—268.
Gi dley J. L., R ase H. F.
1. Numerical integration: a tool for chemical engineers. J. Chem. Educ, 1955,
v. 32, № 10, 535—538.
G i r a u d G.
1. Sur deux formules applicables au calcul numerique des integrates. C. R. Acad.
Sci. Paris, 1924, v. 178, 2227—2229.
Glover J. W.
1. Quadrature formulae when ordinates are not equidistant. Proc. Internat.
Math. Congress, Toronto, 1924, v. 2, 831—835.
Godwin H. J.
00 00 n
1. A method for the evaluation of С *m 1/ — { exp (— i2/2)dt dx. Quart.
J. Mech. Appl. Math., 1952, v°5, 109—115. *
Go 1 ab S.
1. Contribution a la formule Simpsonienne de quadrature approchee. Ann. Po-
lon. Math., 1954, v. I, № 1, 166—175.
Go lab S., 0 1 ech C.
1. Contribution a la theorie de la formule Simpsonienne des quadratures appro-
chees. Ann. Polon. Math., 1954, v. I, № 1, 176—183.
Gol dst ine H. H.
1. On the relation between machine developments and numerical analysis. Bonn.
Math. Schr., 1957, № 2, 1—7.

БИБЛИОГРАФИЯ'ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 343
GolombM. and Weinberger H. F.
1. Optimal approximation and error bounds. On Numerical Approximation,
R.E. Langer, ed., Univ. of Wisconsin Press, Madison, 1959, 117—190.
Goodwin E. T.
00
1. The evaluation of integrals of the form \ f(x)e~x'dx. Proc. Cambridge
—00
Philos. Soc, 1949, v. 45, 241—245.
2. Note on the computation of certain highly oscillatory integrals. Math. Tables
Aids Comput., 1956, v. 10. 96—97.
Greenwood R.E.
1. Numerical integration for linear sums of exponential functions. Ann. Math.
Stat., 1949, v. 20, 608—611.
G г e e n w о о d R. E., С a r n a h a n P. D. and N о 1 1 e у Y. W.
1. Numerical integration formulas for use with weight functions *2 and x/Y I —хъ.
Math. Tables Aids Comput., 1959, v. 13, 37—40.
G г e e n w о о d R. E., D a n f о r d M. B.
1. Numerical integration with a weight function x. J. Math. Phys., 1949, v. 28*
99—106.
Greenwood R.E. and M i 1 1 e г J. J.
1. Zeros of the Hermite polynomials and weights for Gauss' mechanical
quadrature .formula. Bull. Amer. Math. Soc, 1948, v. 54, 765—769.
G г e p p i H.
1. An example of numerical integration. Math. Notae, 1954, v. 14, 64—72.
Grosswald E.
1. Transformations useful in numerical integration methods. J. Soc. Indusl.
Appl. Math., 1959, v. 7, 76—84.
Gurk H. M.
1. The use of stability charts in the synthesis of numerical quadrature formulae.
Quart. Appl. Math., 1955, v. 13, 73—78.
HagedornR.
1. Cm. Cerulus F. and Hagedorn R.
Hal ton J. H.
1. On the efficiency of certain quasi-random sequences of points in evaluating
multi-dimensional integrals. Numer. Math., 1960, v. 2, 84—90.
H a 1 t о n J. H. and HandscombD. С
1. A method for increasing the efficiency of Monte Carlo integration. J. Assoc.
Comput. Mach., 1957, v. 4, 329—340.
Hammer P. С
1. The midpoint method of numerical integration. Math. Mag., 1957—58, v. 31.
193—195.
2. Numerical evaluation of multiple integrals. В сб. «On Numerical
Approximation», R.E. Langer, ed., Univ. of Wisconsin press, Madison, 1959, 99—115.
Hammer P. C, Marlowe O. J., Stroud A. H.
1. Numerical integration over simplexes and cones. Math. Tables Aids Comput.,
1956, v. 10, 130—137.
H ammer P. C. S t rou d A. H.
1. Numerical integration over simplexes. Math. Tables Aids Comput., 1956,
v. 10, 137—139.
2. Numerical evaluation of maltiple integrals II. Math. Tables Aids Comput.,
1958, v. 12, 272—280.
H a m m e r P. C. and W i с к e H. H.
1. Quadrature formulas involving derivatives of the integrand. Math. Comput.,
1960, v. 14, 3—7.

344 БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
HammerP.C. and WymoreA. W.
1. Numerical evaluation of multiple integrals I. Math. Tables Aids Compute
1957, v. 11, 59-67.
Hammerlin G.
1. Zur numerischen Integration periodischer Funktionen. Z. Angew. Math.
Mech., v. 39, 1959, 80—82.
Hammersley J. M.
1. Lagrangian integration coefficients for distance functions taken over right
circular cylinders. J. Math. Physics, 1952, v. 31, 139—150.
Hammersley J. M. and Morton K. W.
1. A new Monte Carlo technique: antithetic variates. Proc. Cambridge Philos.
Soc, 1956, v. 52, 449—475.
Handscomb D. C.
1. Cm. Halton J. H. and Handscomb D. C.
Hardy G. F.
1. On some formulas of approximate summation. J. Inst. Actuar., 1883, v. 24f
95-110.
Harper W. M.
1. Quadrature formulas for infinite integrals. Math. Comput., 1962, v. 16, № 78*
170—175.
Hartley H. O.
1. Table for numerical integration at non-equidistant argument steps. Proc.
Cambridge Philos. Soc, 1952, v. 48, 435—442.
H a r t 1 e у H. O. and К h a m i s S. H.
1. A numerical solution of the problem of moments. Biometrika, 1947, v. 34,
340—351.
H ar tree D. K.
1. Cm. Huskey H. D., Hartree D. K.
HaselgroveC. B.
1. Numerical integration and Diophantine approximation. Abstr. Short communs
Internet. Congress Math, in Edinburgh., Univ. Edinburgh, 1958, 30.
2. A method for numerical integration. Math, of Comput., 1961, v. 15, 323—337.
Heemert A.
1. On the numerical evaluation of certain types of integrales. Nat. Luchtvaartlab.
Amsterdam, Rep. F. 55, 1949, 1—21.
Hennequin A.
1. Sur le calcul approche des integrales doubles. Rev. math, spec, 1962, v. 72,
№ 12, 289—290.
H e i d a m K. Z.
1. An approximation formula for the determination of areas. Nordisk Mat. Tidskr.>
1955, v. 3, 107—110.
Hildebrand F. B.
1. Introduction to Numerical Analysis. McGraw-Hill, New York, 1956.
H i г s с h 1 e b e r A., ExnerG.
1. Genaherte Berechnung Stieltjesscher Integrale mit Auswahlordinatenverfahren,
MT—Mitt., 1957, v. 4, 77—88.
Ho 1 1 a d а у J. C.
1. A smoothest curve approximation. Math. Tables Aids Comput., 1957, v. 11»
233—243.
Hsu L. С
1. Note on Marechal's integral approximation. Acta Math. Sinica, 1953, v. 3,
148—153.
2. A new method of approximate evaluation of multiple integrals. Acta, Sci.
Natur., 1956, № 1, 51—65.
3 A new method of approximate evaluation of multiple integrals. II. Acta Sci.
Natur., 1956, № 2, 91—109.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 345
4. A general approximation method of evaluating multiple integrals. Tohoku
Math. J., 1957, v. 9, № 1, 45—55.
5. A refinement of the line integral approximation method and its application.
Sci. Record (N. S.), v. 2, 1958, 193—196.
6. Some approximation formulas for the integration of violently oscillating
functions and of periodic functions. Sci. Record, 1959, v. 3, № 11, 544—549.
7. Concerning the numerical integration of periodic functions of several
variables. Acta Sci. Math. Szeged, v. 20, 1959, 230—233.
8. A method for finding precise error bounds of numerical integration formulas
in higher dimensions. Acta Math. Acad. Scient. Hung., 1960, v. 11, 163—171.
9. Note on the numerical integration of periodic functions and of partially
periodic functions. Numer. Math., 1961, v. 3, 169—173.
H su L. C. and L i n L. W.
1. Two new methods for the approximate calculation of multiple integrals.
Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 1958, v. 9, 279—290.
. 2. Two new methods concerning the approximate calculation of multiple
integrals. Sci. Rec, 1958, v. 2, № 7, 215—219.
H u a L., W a n g J.
1. Remarks concerning numerical integration. Sci. Record, 1960, v. 4, № 1,
8-11.
H u r w i t z H., P f e i f f e r R. A. and Z w e i f e 1 P. F.
1. Numerical quadrature of Fourier transform integrals. II. Math, Tables Aids
Comput., v. 13, 1959, 87—90.
HUTwitzH. and Z w e i f e 1 P. F.
1. Numerical quadrature of Fourier transform integrals. Math. Tables Aids
Comput., 1956, v. 10, 140—149.
Huskey H. D.
1. On the precision of a certain procedure of numerical integration. With an
appendix by Donglas R. Hartree. J. Research Nat. Bur. Stand., 1949, v. 42,
57—62.
Ihm P.
1. Numerical evaluation of certain multivariate normal integrals. Sankhya,
Indian J. Statist., 1959, v. 21, 363—366.
lonescuD. V.
1. Formule de cubatura in care domeniul de integrare este un triunghi oarecare.
Bull, stiint- Acad. R. P. Romine. Sec. mat. si fiz., 1953, v. 5, № 3, 423—
430.
2. Restul in formula de cuadratura «preferata» a lui Newton. Gaz. mat. si fiz.,
1955, v. A7, № 7, 298—302.
3. De la formula lui Arhimede la о formula de cubatura. Gaz. mat. si fiz. 1956,
v. A7, JM° 1, 3—10.
4. Cuadraturi numerice. Bucuresti, Ed. tehn., 1957, 6, № 17, 598.
5. Formula lui Boole. Studia Univ. Babes — Bolyai. Math. 1958, v. 3, № 3,
39—47.
6. Formules de cubature. Application a I'integration numerique des equations
aux derivees partielles du second ordre de type hyperbolique. Mathematica
(RPR), 1959, v. 1, № 2, 239—280.
7. Formules de quadrature a noeuds exterieurs. Mathematica (RPR), 1960,
v. 2, № 1, 55—142.
Irwin J. O.
1. On quadrature and cubature or on methods of determining approximately
single and double integrals. Tracts for Computers, № 10, Cambridge
University Press, 1923.
J а с с h i a L.
1. On the numerical integration of functions tabulated in logarithmic form.
Math. Tables Aids Comput., 1955, v. 9, № 55, 63—65.

346 БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
Jackson D.
1. The theory of approximation. Amer. Math. Soc. Colloquium Publication. II,
New York, 1930.
J a cob i С G. J.
1. Uber Gauss neue Methode, die Werte der Integrale naherungsweise zu finden.
J. Reine Angew. Math., 1826, v. 1, 301—308.
Johansen P.
1. Note on the preceding paper. Skand. Aktuarietidskr., 1935, v. 18, 122—125.
Johnson W. W.
1. On Cotesian numbers: their history, computation, and values to n — 20.
Quart. J. Pure Appl. Math., 1915, v. 46, 52—65.
Jones J. G.
1. On the numerical solution of convolution integral equations and systems
of such equations. Math. Comput., 1961, v. 15, № 74.
J о u n g D.
1. An error bound for the numerical quadrature of'analytic functions. J. Math.
Phys., 1952, v. 31, 42—44.
К a h n H.
1. Multiple quadrature by Monte Carlo methods. В сб. «Math. Methods for
Digital Computers», 1960, 249—257.
Kanter L. H.
1. The zeros of the Jacobi polynomials and the corresponding Christoffel numbers.
Duke Math. J., 1949, v. 16, 125—130.
Kaplan E. L.
1. Numerical integration near a singularity. J. Math. Phys., 1952, v. 31, 1—28.
KavanaghK-E.
1. Cm. Kopal Z., Carrus P. and Kavanagh К, Е.
Kegel W. H.
T
1, Zur numerischen Berechnung der Integrale \ f (x) Kn (x)dx. Z. Astrophys.,
1962, JMb 1, 54, 34—40.
Kelso J. M.
1. A note on the numerical evaluation of certain probability integrals. J.
Operations Res. Soc. Amer., 1955, v. 3, 343—344.
Kendall M. G.
1. Cm. David F. N. & Kendall M. G.
KhamisS. H.
1. Cm. Hartley H. O. and Khamis S. H.
King G.
1. On the numerical calculation of the values of complex benefits by means of
formulas of approximate summation. J. Inst. Actuar., 1887, v. 26, 276—301.
К i г к b у S.
1. The relative accuracy of quadrature formulae fo the Cotes' closed type. Coll.
Aero. Cranfield. Rep., 1948, № 17, 1—6.
К i r s с h M.
1. Uber die Anwendbarkeit der Tschebyscheffkoeffizienten in der Praxis. Schiff-
bautechnik, 1953, v. 3, № 9, 273—277; № 10, 311—315.
К i sh O.
1. Remark on mechanical quadrature. Acta Math. Acad. Sci. Hungar., 1957,
v. 8, 473—476.
Kneschke A.
1. Uber die genaherte Quadratur. Monatsh. Math. Phys., 1943, v..51, 15—23.
2. Theorie der genaherten Quadratur. J. Reine Angew. Math., 1949, v. 187,
115—128.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 347
Kneser H.
1. Das Restglied der Cotesschen Formel zur numerischen Integration. Jber
Deutsch. Math. Verein., 1932, v. 42, 27—32.
KokF.
1. Numerical integration. Euclides, Groningen, 1950, v. 25, 271—273.
Kolscher M.
1. Die Berechnung vollstandiger elliptischer Integrale dritter Gattung durch
Reihen. Z. Angew. Math. Mech., 1951, v. 31, 114—120.
К 6 n i g
1. Cm. Runge C. und Konig.
К о p a 1 Z.
1. A table of the coefficients of the Hermite quadrature formula. J. Math. Phys.»
1949, v. 27, 259—261.
2. Numerical analysis. Wiley, London and New York, 1955.
KppalZ., CarrusP. and KavanaghK. E.
1. A new formula for repeated mechanical quadratures. J. Math. Phys., 1951,
v. 30, 44—48.
Kowalewski G.
1. Uber die Newtonschen Quadraturformeln. Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss.
Leipzig. Math. Phys. KU 1931, v. 83, 143—164.
2. Interpolation und genaherte Quadratur. Leipzig und Berlin, 1932.
3. Uber die Gausssche Integralapproximation. Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss.
Leipzig. Math. Phys. KL, 1934, v. 86, 189—198.
Kre in M. G.
1. Cm. Achyeser N. I., Krein M. G.
Krivoshein N.
1. Practical formulas for numerical integration. Univ. Nac. Eva Peron.
Publ. Fac. Ci Fisicomat. № 206, serie Tercera. Publ. Esp. 1953, v. 43, 68—
116.
Kuntzmann J.
1. Meilleure formule de quadrature approchee a deux valeurs pour les fonctions
ayant une derivee seconde bornee. С R. Acad. Sci. Paris, 1948, v. 227, 584—
586.
2. Formules de quadrature approchee pour les fonctions continues a deriyee
premiere continue et a derivee seconde bornee. C. R. Acad. Sci. Paris, 1949,
v. 228, 38—40.
Kunz K. S.
1. High accuracy quadrature formulas from divided differences with
repeated arguments. Math. Tables Aids Comput., 1956, v. 10, № 54, 87—
90.
La den H. N.
1. Fundamental polynomials of Lagrange interpolation and coefficients of
mechanical quadrature. Duke Math. J., 1943, v. 10, 145—151.
Lagrange R.
1. Sur le calcul approche des integrates definies. Acta Math., 1932, v. 59, 373—
422.
L a m b e r t R. J.
1. Error terms of numerical integration formulas. Proc. Jowa Acad. Sci., 1960,
v. 67, 369—381.
Lanczos K-
1. Applied analysis. Prentice — Hall, EnglewoodCliffs, N. J., 1956.
Lander u.
1. См. Schafer, O. und Lander G.
L a n g H. A., S t e v e ns D. F.
1. On the evaluation of certain complex elliptic integrals. Math. Comput.,
I960, v. 14, 195—199.

348 БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
L a n s r a u х G.j В о i v i n G.
1. Numerical determination of the factor of encircled energy relative to a
diffraction pattern of revolution. Canad. J. Phys., 1958, v. 36, № 12, 1696—
1709.
Lauffer R.
1. Interpolation mehrfacher Integrale. Arch. Math., 1955, v. 6, 159—164.
Laurent, Pierre — Jean.
1. Remarque sur revaluation d'integrales par la methode de Monte Carlo,
С R. Acad. Sci., Paris, 1961, v. 253, 610—612.
Leach E. B.
1. The remainder term in numerical integration formulas. Amer. Math. Monthly,
1961, v. 68, №3, 273—275.
Ledsham F. C.
1. Numerical integration using sums of exponential functions. Math. Comput.,
1961, v. 15, 48—51.
Lemaitre G.
1. Calcul des integrales elliptiques. Acad. Roy. Belgique. Bull. CI. Sci. 1947,
v. 33, 200—211 (5).
Levenson A.
1. Cm. Lowan A. N., Davis N. and Levenson A.
Levi B.
1. On the approximate calculation ot integrals. Concerning the note of
Mr. Roberto Frucht. Math. Notae, 1947, v. 7, 218—229.
L i e b 1 e i n V.
1. (Jber einen vierfachen Integrator. Monatsh. Math. Phys., 1941, v. 50, 128—
141.
L i n i ge r W.
1. Cm. Blanc С and Liniger W.
Lob a t to R.
1. Lessen over de Integral — Rekening. The Hague, 1852.
Lohmann W.
1. Numerische Auswertung von Integralen uber eine voile Periode von periodi-
schen Integrandenfunktionen mit der «Rechteckregel». Z. angew. Math, und
Mech., 1956, v. 36, № 11—12, 464—465.
Longman I. M.
1. Note on a method for computing infinite integrals of oscillatory functions.
Proc. Cambridge Philos. Soc, 1956, v. 52, 764—768.
2. On the numerical evaluation of Cauchy principal values of integrals. Math.
Tables Aids Comput., 1958, v. 12, 205—207.
3. A method for the numerical evaluation of finite integrals of oscillatory
functions. Math. Comput., 1960, v. 14, № 69, 53—59.
L о t к i n M.
1. A new integrating procedure of high accuracy. J. Math. Phys., 1952, v. 31,
29-34.
2. A new integration procedure. J. Math. Phys., 1953, v. 32, 171—179.
3. A note on the midpoint method of integration. J. Assoc. Comput. Mach.,
1956, v. 3, 208-211.
L о w a n A. N.» D a v i a s N. and Levenson A.
1. Table of the zeros of the Legendre polynomials of order 1—16 and the weight
coefficients for Gauss' mechanical quadrature formula. Bull. Amer. Math.
Soc, 1942, v. 48, 739—743.
L о w a n A. N. and S a 1 z e г Н. E.
1. Table of coefficients in numerical integration formulae. J. Math. Phys.* 1943,
v. 22, 49—50.
2. Table of coefficients for numerical integration without differences. J. Math.
Phys., 1945, v. 24, 1—21.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 349
Luke Y. L.
1. Mechanical quadrature near a singularity. Math. Tables Aids Comput., 1952,
v. 6, 216-219.
2. Coefficients to facilitate interpolation and integration of linear sums of
exponential functions. J. Math. Phys., 1953, v. 31, 267—275.
3. On the computation of oscillatory integrals. Proc. Cambridge Philos. Soc,
1954, v. 50, part 2, 269—277.
3. Numerical analysis. Appl. Mech. Revs., 1955, v. 8, № 8, 309—311.
4. Evaluation of an integral arising in numerical integration near a logarithmie
singularity. Math. Tables Aids Comput., 1956, v. 10, 14—21.
6. Simple formulas for the evaluation of some higher transcendental functions.
J. Math. Phys., 1956, v. 34, 298—307.
Mansion P.
1. Theoreme general de Peano sur le reste dans les formules de quadrature.
Mathesis, 1914, v. 34, 169—174.
M а.г к о f f A.
1. Sur la methode de Gauss pour le calcul approche des integrates. Math. Ann.»
1885, 427—432, v. 25.
M a r 1 о w e O. J.
1. Cm. Hammer P. C, Marlowe 0. J.* Stroud A. H.
Maxwell J. С
1. On approximate multiple integration between limits of summation. Proc.
Cambridge Philos. Soc, 1877, v. 3, 39—47.
Mayot M.
1. Sur la methode d'integration approchee de Tchebycheff. С R. Acad. ScL
Paris, 1950, v. 230, 429—430.
M а у о t M. and M i n e u r H.
1. Extension de la methode d'integration de Gauss aux fonctions presentant des
singularites. С R. Acad. Sci. Paris, 1949, v. 229, 741—742.
M e h 1 e r F. G.
1. Bemerkungen zur Theorie der mechanischen Quadraturen. J. Reine Angew.
Math., 1864, v. 63, 152—157.
Merl i L.
1. Su una formula di quadratura. Boll. Un. Mat. Ital. (3), v. 2, 1947, 132-^
134.
Meyers L. F.
1. Cm. Sard A. and Meyers L. F.
M i 1 1 e r G. F.
1. On certain integrals occurring in a hydrodynamical problem. Proc. Roy.
Soc, 1957, v. A243, № 1232, 66—77.
Mi Her J. С P.
1. Numerical quadrature over a rectangular domain in two or more dimensions,
Part I. Math. Comput., 1960, v. 14, 13—20.
2. Numerical quadrature over a rectangular domain in two or more dimensions.
Part 2. Quadrature in several dimensions, using special points. Math.Comput.,
1960, v. 14, № 70, 130—138.
3. Numerical quadrature over a rectangular domain in two or more dimensions.
Part 3. Quadrature of a harmonic integrand. Math. Comput., 1960, v. 14,
№ 71, 240—248.
Miller J. J.
1. Cm. Greenwood R. E. and Miller J. J.
Miller R. R.
1. Cm. Struble R. A., Miller R. R.
Milne W. E.
1. The remainder in linear methods of approximation. J. Res. Nat. Bur. Stand.,
1949, v. 43, 501-511,

350 БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
2. The error of the trapezoidal formula. Proc. Internat. Congr. Math., 1954, v. 2,
Amsterdam, 1954, 362—363.
M i n S. H.
1. On the numerical integration of a kind of multiple integrals. Acta Sci. Nat.
Univ. Pekinensis, 1959, v. 5, 127—130.
Minding F.
1. tfber die Berechnung des Naherungswerthes doppelter Integrale. J. Reine
Angew. Math., 1830, v. 6, 91—95.
M i n e u r H.
1. Tentatives de calcul numerique des integrates doubles. С R. Acad. Sci.
Paris, 1951, v. 233, 1166—1168.
2. Cm. Mayot M. and Mineur H.
M i s e s R.
1. Zur mechanische Quadratur. Z. Angew. Math.Mech.* 1933, v. 13, 53—56,
2. Formules de cubature. Revue Math, de l'Union Interbalkanique, 1936, v. 1,
17—31.
3. t)ber allgemeine Quadraturformeln. J. Reine Angew. Math., 1936, v. 174,
56—67.
4. Numerische Berechnung mehrdimensionaler Integrale. Z. Angew. Math.
Mech., 1954, v. 34, 201—210.
Moors B. P.
1. Valeurs Approximative d'une Integrale Definie. Gauthier—Villars, Paris, 1905.
2. Etude sur les formules (specialement de Gauss) servant a calculer des valeurs
approximative d'une integrale definie. Verhandelingen Koninkijke Akad.
Wetenschappen. Amsterdam, ISec, Deel II, № 6, 1913.
Мог a n P. A. P.
1. Numerical integration by systematic sampling. Proc. Cambridge Philos.
Soc, 1950, v. 46, 111—115.
2. The numerical evaluation of a class of integrals. Proc. Cambridge Philos.
Soc, 1956, v. 52, 230—233.
3. Addendum to the paper «Numerical evaluation of a class of integrals». Proc.
Cambridge Philos. Soc, 1957, v. 53, 928.
4. Approximate relations between series and integrals. Math. Tables Aids Comput.,
1958, v. 12, 34—37.
Morgenstern D.
1. Statistische Begrundung numerischer Quadratur. Math. Nachr., 1955, v. 13*
161—164.
Morrison D.
1. Numerical quadrature in many dimensions. J. Assoc. Comput. Mach., 1959,
v. 6, 219—222.
Morton K. W.
1. A generalization of the antithetic variate technique for evaluating integrals.
J. Math. Phys., 1957, v. 36, 289—293.
2. Cm. Hammersley J. M. and Morton K. W.
Mosingiewicz K.
1. Badania matematykow radzieckich nad dokladnoscia. przyblizonych metod
calkowania. Techn. i gospqd. morska, 1953, 3, № 11, 374—376.
M u g g i a A.
1. Sul calcolo dell' integralle di Poisson. Atti: Accad. Sci. Torino, CI. Sci. Fis.,
Mat. e Natur., 1952—53, v. 87, 116—126.
M u n г о W. D.
1. Note on the Euler — Maclaurin formula. Amer. Math. Monthly, 1958, v. 65,
№ 3, 201—203.
MunteanuFlorica
1. Le reste dans les formules de quadrature de Weddle et Hardy. «Mathematical*
(RPR), 1961, 3, № 1, 135—158,

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 35f
Murray F. I.
1. См. Brock P. and Murray F. J.
Nelson С W.
1. New tables of Howland's and related integrals. Math. Comput., 1961, v. 15,
№ 73, 12—18.
N e t z о r g D. L.
1. On mechanical quadrature formulas and roots of orthogonal polynomials.
Thesis, Univ. of Illinois, 1937.
Nol ley J. W.
1. Cm. Greenwood R. E., Carnahan P. D. M. and Nolley J. W,
Nonweiler T.
1. A method for numerical evaluation of the integral.
l l
55 и*, ^)ig'
dxdy.
Rept. Coll. Aeronaut. Cranfield, 1956, № 100.
N о v а" к М.
1. О nekterych metodach vypoctu ciselnehodnoty uplneho eliptickeho integralu
prveho druhu. Slaboproudy obzor, 1958, 19, № 8, 25—28.
O'beirne Т. Н.
1. Can numerical integration be exact? Math. Gaz., 1957, v. 41, № 335, 59—60.
Obrechkof f N.
1. Neue quadraturformeln. Abh. Preuss. Akad. Wiss. Math.—Nat. KL, 1940,
№ 4, 1—20.
2. On mechanical quadratures. Spisanie Bulgar. Akad. Nauk, 1942, 65, 191—289.
OdgaardH.
1. The Remainder Term in Some Quadrature Formulas. Copenhagen, 1943.
О к а у а Т.
1. Numerical integration by Tchebychef's q-functions. Proc. Phys.— Math.
Soc. Japan (3), v. 23, 1941, 273—282.
Olech С
1. См. Golab S., Olech C.
Op i tz G.
1. Genaherte Integration in der Nahe eines einfachen Pols. Z. Angew. Math.
Mech., 1961, № 6, 41, 263—264.
Oppolzer T.
1. Lehrbuch zur Bahnbestimmung der Kometen und Planeten. Vol. 11, Engel-
mann, Leipzig, 1880.
OMooleA. L.
1. On the degree of approximation of certain quadrature formulas. Ann. Math.
Statist., 1933, v. 4, 143—153.
Pan Cheng — tun g.
1. On the numerical integration of a kind of multiple integrals. Sci. Rec, 1959,
3, № 11, 534—537.
P e a no G.
1. Resto nelle formule di quadrature expresso con un integrale definito. Atti
Accad. Naz. Lincei. Rend., 1913, v. 22, 562—569.
2. Residuo in formulas de quadratura. Mathesis, 1914, v. 34, 5—10.
Peirce W. H.
1. Numerical integration over planar regions. Thesis, Univ. of Wisconsin, 1956.
2. Numerical integration over the planar annulus. J. Soc. Indust. Appl. Math.,
1957, v. 5, 66—73.
3. Numerical integration over the spherical shell. Math. Tables Aids Comput.,
1957, v. 11, 244—249*

352 БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
Perks W.
1. Two —variable developments of the я-ages method. J. Inst. Actuar., 1945,
v. 72, 377—414.
PetrzelkaJ., SlavicekO.
1. Pfiklad vypoctu soustavy dvojnych integralu s krivou mezi na strojich na
derne Stitky. Stroje zpracov. inform., 1958, № 6, 285—288.
Phi 11 ips W.
1. Approximate integration. J. Inst. Actuar., 1951, v. 77, 159—179.
P о 1 у a G
1. tfber die Konvergenz von Quadraturverfahren. Math. Ztschr., 1933, v. 37,
264—286.
PopoviciuT.
1. Asupra unei generalized a formulei de integrare numerica a lui Gauss. Studii
si cercetari ^tiin^ Acad. RPR* Fil. Iasi, 1955, Ser. 1, v. 6, 29—57.
2. Sur la delimitation du reste dans les formules d'approximation lineaires de
l'analyse. Simpos. Numerical Treatm.- Ordinary Differential Equations,
Integral and Integro-differential equations. Berlin — Stuttgart, Birk-
hauser, 1960, 441—446.
3. Asupra delimitarii restului in unele formule de aproximare liniara ale analizei.
Studii si cercetari mat. Acad. RPR, Fil. Cluj, 1960, 11, № 2, 357—362.
Posse K. A.
1. Sur les quadratures. Nouv. Ann. de Math. (2), v. 14, 1875, 49—62.
Pr i ce P. C.
1. Gauss'formula of numerical integration and the design of experiments. Proc.
Cambridge Philos. Soc, 1954, v. 50, 491—494.
Puwein Max Georg.
1. EineQuadraturformel. Anz. Akad. Wiss. Wien. Math.-Nat. KU 1946, v. 83,
25—26.
2. Eine Rektifikationsformel. Anz. Oster. Akad. Wiss. Wien. Math.-Nat.
KL 1947, v. 84, 77—79.
Quade W.
1. Zur Interpolationstheorie der reellen Funktionen. Z. Angew. Math. Mech.,
1955, v. 35, № 4, 144—156.
2. Zur Interpolationstheorie der reellen Funktionen. Z. Angew. Math. Mech.,
1954, v. 34, JSfe 8/9, 301.
Querry J. W.
1. On mechanical quadratur. Skand. Aktuarietidskr., 1933, v. 16, 222—228.
2. Osculatory mechanical quadrature. Skand. Aktuarietidskr., 1935, v. 18,
108—121.
RabinowitzP.
1. Abscissas and weights for Lobatto quadrature of high order. Math. Comput.,
1960, v. 14, 47—52.
2. Cm. Davis P., Rabinowitz P.
Rabinowitz P. and W e i s s G.
I. Tables of abscissas and weights for numerical evaluation of integrals of the
00
lorm*\e-xxnf(x)dt. Math.. Tables Aids Comput., 1959, v. 13, 285—294.
о
R a d a u R.
1. Sur les formules de quadrature a coefficients egaux. С R. Acad. Sci. Paris,
1880, v. 90, 520—529.
2. Etude sur les formules d'approximation qui servent a calculer la valeur nu-
merique d'une integrale definie. J. Math. Pures Appl. (3), v. 6, 1880, 283—
336.
3. Remarque sur le calcul d'une integrale definie. C. R, Acad. Sci, Paris» v. 97,
1883, 157—158.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 353
Radon J.
1. Restausdrucke bei Interpolations und Quadraturformeln durch bestimmte
Integrate. Monatsh. Math. Phys., 1935, v. 42, 389—396.
2. Zur mechanischen Kubatur. Monatsh. Math. Phys., 1948, v. 52, 286—300.
Ralston A.
1. A family of quadrature formulas which achieve high accuracy in composite
rules. J. Assoc. Comput. Mach., v. 6, 1959, № 3, 384—394.
2. Methods for numerical quadrature. «Math, methods digital computers». New
York — London, John Wiley Sons, Inc., 1960, 242—248.
Rase H. F.
1. Cm. Gidley J. L., Rase H. F.
Rei z A.
1. Quadrature formulae for the numerical calculation of mean intensities and
fluxes in a stellar atmosphere. Ark. Astr., 1950, v. 1, 147—153.
2. On a special case of a quadrature formula of Christoffel. Math. Tables Aids
Comput., 1950, v. 4, 181—185.
3. On quadrature formulae. Proc. Cambridge Philos. Soc, 1950, v. 46, 119—126.
4. On the numerical solution of certain types of integral equations. Arkiv for
Matematik, Astronomi, och Fysik, v. 29A, № 29.
R h 0 d e s I.
1. Cm. Blanch G. and Rhodes I.
R i cci G.
1. Su una formula di K. Petr per il calcolo numerico degl'integral i definiti.
Ann. Mat. Рига Appl. (4), v. 15, 1936, 187—196.
Richardson J. W.
1. On the computation of certain multicentered molecular integrals. J. Chem.
Phys., 1958, v. 28, JSfe 2, 362—363.
R i 1 ey J. A. and В i 1 1 i ngs C.
1. Gaussian quadrature of some integrals involving Airy functions. Math. Tables
Aids Comput., 1959, v. 13, № 66, 97—101.
R i p i a n и A.
1. Die angenaherte Berechnung der Fourier — Koeffizienten einer periodischen
Funktion. Z. Angew. Math. Mech., 1961, 41, № 12, 477—484.
Romberg W.
1. Vereinfachte numerische Integration. Kgl. norske videnskab. forhandU
1955, v. 28, JSfe 7, 30-36.
Rooijen J. P.
1. On numerical integration. Verzekerings — Arch. Actuarieel Bijvoegselt
1953, v. 30, 41—53.
R 0 s s e r J. B.
1. Note on zeros of the Hermite polynomials and weights for Gauss'mechanical
quadrature formula. Proc. Amer. Math. Soc, 1950, v. 1, 388—389.
Rothmann H. A.
1. Numerical integration over the interval (—1,1) with the weight function xn.
Unpublished M. S. Thesis, Massachusetts Institute of Technology, 1960.
2. Gaussian quadrature with weight function xn on the interval (—1,1). Math.
Comput., 1961, v. 15, № 74, 163—168.
R ubbert F. K.
1. Zur Praxis der numerischen Quadratur. Z. Angew. Math. Mech., 1949, v. 29,
186—188; или см. Astron. Nachr., 1949, v. 277, 161—166.
Ruben H.
1. On the numerical evaluation of a class of multivariate normal integrals.
Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 1959—1960, v. A65, 272—281.
RungeC, Кб n i g H.
1. Vorlesungen tiber numerisches Rechnen. Springer — Verlag, Berlin, 1924.

354
БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
R u п ge С, VVi 1 lers F. A.
1. Numerische und graphische Integration. Enc. Math. Wiss., Leipzig, v. 2,
sec. 3, 1909—21, 47—176.
Rutishauser H.
1. Cm. Stiefel E., Rutishauser H.
SadowskyM.
1. A formula for approximate computation of a triple integral. Amer. Math»
Monthly, 1940, v. 47, 639—543.
Sa 1 zer H. E.
1. Coefficients for numerical integration with central differences. Phil. Mag. (7),
1944, v. 35, 262—264.
2. Note on interpolation for a function of several variables. Bull. Amer. Math.
Soc, 1945, v. 51, 279—280.
3. Tables of coefficients for double quadrature without differences, for
integrating second order differential equations. J. Math. Phys., 1945, v. 24, 135—
140.
4. Note on coefficients for numerical integration'with differences. J. Math.
Phys., 1946, v. 25, 86—88.
5. Coefficients for facilitating the use of the Gaussian quadrature formula.
J. Math. Phys., 1946, 244—246, v. 25.
6. Tables for facilitating the use of Chebyshev's quadrature formula. J. Math.
Phys., 1947, v. 26, 191—194.
7. Table of coefficients for repeated integration with differences. Phil. Mag. (7),
1947, v. 38, 331—338.
8. Coefficients for repeated integration with central differences. J. Math. Phys ,
1949, v. 28, 54-61.
9. Formulas for numerical integration of first and second order differential
equations in the complex plane. J. Math. Phys., 1950, v. 29, № 3.
10. Tables of coefficients for the numerical calculation of Laplace transforms.
Nat. Bur. Stand. Appl. Math. Ser., v. 30, U. S. Gov't. Printing Office,
Washington, D. C, 1953.
11. New formulas for facilitating osculatory interpolation. J. Res. Nat. Bur*
Stand., 1954, v. 52, 211—216.
12. Equally weighted quadrature formulas over semi — infinite and infinite
intervals. J. Math. Phys. 1955, v. 34, № 1, 54—63.
13. Osculatory quadrature formulas. J. Math. Phys., 1955, v. 34, № 2, 103^»
112.
14. Equally weighted quadrature formulas for inversion integrals. Math*
Tables Aids Comput., 1957, v. 11, № 59, 197—200.
15. Formulas for the calculating Fourier coefficients. J. Math. Phys., 1967,
v. 36, № 1, 96—98.
16. Tables for the numerical calculation of inverse Laplace transforms. J,
Math. Phys., 1958, v. 37, 89—109.
17. Cm. Lowan A..N. and Salzer H. E.
18. Cm. Lowan A. N. and Salzer H. E.
19. Coefficients for mid — interval numerical integration with central
differences. Phil. Mag., ser. 7, v. 36, 1945, 216—218.
20. Orthogonal polynomials arising in the numerical evaluation of inverse
Laplace transforms. Math. Tables Aids Comput., 1955, v. 9, 164—177.
21. Additional formulas and tables for orthogonal polynomials originating
from inversion integrals. J. Math. Phys., 1961, v. 40, 72—86.
22. Multiple quadrature with central differences on one line. Math. Compute
1962, v. 16. № 78, 244—248.
SalzerH. E„ ShoultzD.C, ThompsonE. P.
1. Tables of osculatory integration coefficients. Convair (astronautics) Division
of General Dynamics Corporation, San Diego, Calif., 1960.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 355
S а 1 z е г Н. Е. and Z и с к е г R.
1. Table of the zeros and weight factors of the first fifteen Laguerre
polynomials. Bull. Amer. Math. Soc, 1949, v. 55, 1004—1012.
S a 1 z e r H. E., Z и с к е г R. and CapuanoR.
1. Tables of the zeros and weight factors of the first twenty Hermite
polynomials. J. Res. Nat. Bur. Stand., 1952, v. 48, 111—116.
S a n d e n H.
1. Praktische Mathematik.Eine Einfuhrungmit besonderer Berucksichtigung von
Statistik und Ausgleichrechnung. 3. Aufl., B. G. Teubner, Leipzig, 1953.
SandorFerenc.
1. Altalanos algoritmus numerikus kvadratura elvegzesere. Magyar tud. akad.
Kozp. fiz. Kutato int. Kozl., 1962, 10, № 1, 65—68.
Sankaran M.
1. Note on some quadrature formulae. Math. Gaz., 1957, v. 41, № 336, 130—136.
Sard A.
1. Integral representations of remainders. Duke Math. J., v. 15, 333—345, 1948.
2. The remainder in approximations by moving averages. Bull. Amer. Math.
Soc, v. 54, 1948, 788—789.
3. Best approximate integration formulas; best approximation formulas. Amer.
J. Math., 1949, v. 71, 80—91.
4. Smoothest approximation formulas. Ann. Math. Statist., 1949, v. 20, 612—615.
5. Remainders: functions of several variables. Acta Math., 1951, v. 84, 319—346.
6. Remainders as integrals of partial derivatives. Proc. Amer. Math. Soc, 1952,
v. 3, 732—741.
7. Approximation and projection. J. Math. Phys., 1956, v. 35, 127—144.
8. The rationale of approximation; On numerical approximation, R. E. Langer,
ed„ Univ. of Wisconsin Press, Madison, 1959, 191—207.
S а г d A. and Meyers L. F.
1. Best approximate integration formulas. J. Math. Phys., 1950, v. 29, 118—123.
S a x e n a R. B.
1. On Simpson's formula of cubature. Ann. polon. math., 1959, v.6,№ 3,289—293.
2. On a generalization of Simpson's formula. Ann. polon. math., 1962, 12, № 1«
71—81.
Scarborough J. B.
1. Numerical mathematical analysis. Johns Hopkins Press, Baltimore, 1950.
S с h a f e г О. und Lander G.
1. Ein elektrisches Gerat zur Berechnung von Produkt-Integralen. Arch. Elektr.
Obertragung, 1950, v. 4, 59—64.
Schlechtweg H.
1. Zur Abschatzung des Restgliedes der Mittelwertformeln zur genaherten
Quadratur. Z. Angew. Math. Mech., 1957, v. 37, № 9—10, 353—361.
Schmidt R. J.
1. Die allgemeine Newtonsche Quadraturformel und Quadraturformein fur
Stieltjesintegrale. J. Reine Angew. Math., 1935, v. 173, 52—59.
2. Mechanische Quadratur nach Gauss fur periodische Funktionen. S.— B.
Math.—Nat. Kl. Bayer. Akad. Wiss., 19, 1947, 155—173.
S с or e r R. S.
Xt
1. Numerical evaluation of integrals of the form / = \f(x)e dx anc* the
Xt
oo
tabulation of the function G£(z) = — \ sin luz + у и*J du. Quart. J,
о
Mech. Appl. Math.* 1950, v. 3, 107—112.

356 БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
Se 1 тег Е. S.
1. Numerical integration by non-equidistant ordinates. Nord. Mat. Tidskr.,
1958, v. 6, 97—108.
2. A note on the preceding paper by V. Brun. Nordisk. Mat. Tidskr., 1959, v. 7,
25—26.
Ser b i n H.
1. Numerical quadrature of some improper integrals. Quart. Appl. Math., 1954,
v. 12, 188—194.
S h а г т a A.
1. On Golab's contribution to Simpson's formula. Ann. polon. math., 1957,
v. 3, № 2, 240—246.
She 1 don J. W.
1. Numerical evaluation of integrals of the form \f(x)g(x)dx. Proc. Indusf.
a
Comput. Seminar, IBM Corp., 1950, 74—77.
SheppardW. F.
1. Some quadrature formulae. Proc. London Math. Soc, 1900, v. 32, 258—277.
Shk lo v N.
1. Simpson's rule for unequally spaced ordinates. Amer. Math. Monthly, 1960,
v. 67, 1022—1023.
Sho h a t J. A.
1. Sur les quadratures mecanique et sur les zeros des polynomes de Tchebycheff
dans un intervalle infini. C. R. Acad. Sci., Paris, 1927, v. 185, 597—598.
2. On a certain formula of mechanical quadratures with nonequidistant ordinates.
Trans. Amer. Math. Soc, 1929, v. 31, 448—463.
3. On mechanical quadrature in particular with positive coefficients. Trans.
Amer. Math. Soc, 1937, v. 42, 461—496.
S h о h a t J. А., В u s h к о w i t с h A. V.
1. On some applications of the Tchebycheff inequality for definite integrals.
J. Math. Phys., 1942, v. 21, 211—217.
Shohat J. A.&TamarkinJ. D.
1. The Problem of Moments. Amer. Math. Soc, Math. Surveys 1, New York,
1943.
Shoh a t J. A., W i nston С
1. On mechanical quadratures. Rend. Circ. Math. Palermo, 1934, v. 58, 153—
165.
Sm i th E. R.
1. The Hermitian polynomials. Amer. Math. Monthly, 1936, v. 43, 354—358.
So n i n N.
1. On the approximate evaluation of definite integrals and on the related integral
functions. Warshawskia Univ. Izvestia, 1887, v. 1, 1—76.
Squire W.
1. Some applications of quadrature by differentiation. J. Soc Indust. Appl.
Math., 1961, v. 9, 94-108.
S t a ncu D. D.
1. Sur une classe de polynomes orthogonaux et sur des formules generates de
quadrature a nombrei minimum de termes. Bull. Math. Soc. Sci., Math, et
Phys. RPR, 1957, v. 1, № 4, 479-498.
2. Generalizarea unor formule de interpolare pentru func^iile de mai multe
variabile §i unele consideratii asupra formulei de integrare numeric^ a lul
Gauss. Bui. §tiin}. Acad. RPR. Sec. Mat. §i Fiz., 1957, v. 9, № 2, 287^
313.
3. Generalizarea formulei de cuadratura a lui Gauss — Christoffel. Studii si
certari stiinj. Acad. RPR, Fil. Iasi. Mat., 1957, v. 8, № 1, 1—18.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 357
4. Contribu^ii la integrarea numerica a func^iilor de mai multe variabile. Stu-
dii §i cercetari mat Acad. RPR Fil. Cluj, 1957, v. 8, № 1—2, 75—101.
5. О metoda pentru construirea de formule de cubatura pentru functiile de doua
variabile. Studii §i cercetari mat. Acad. RPR Fil. Cluj, 1958, v. 9, № 1—4
351—369.
6. О metoda pentru construirea de formule de cuadratura de grad inal de exa-
ctitate. Comun. Acad. RPR, 1958, v. 8, № 4, 349—358.
7. Asupra integrarii numerice a functiilor de doua variabile. Studii si cercetari
stiint. Acad. RPR. Fil. Iasi Mat., 1958, v. 9, JSfe 1, 5—21.
8. Asupra formulelor de cuadratura de tip Gauss. Studia Univ. Babes — Bo-
lyai. Math., 1958, v. 3, № 3, 71—84.
9. Mathematica, v. I (24), fasc. I, 1959.
10. Asupra calcului coeficientilor unei formule generate de cuadratura. Studia
Univ. Babes — Bolyai. Math.—Phys., 1960, JSfe 1, 187—192.
Steffensen J. F.
1. On the remainder form of certain formulas of mechanical quadrature. Skan-
dinavisk Actuarietidskrift, 1921, 201—209.
2. On the degree of rigour required in numerical integrations. Skandinaviske
Matematikerkongressen, Mr5, 1922, 125—130.
3. On a class of quadrature formulas. Proc. Internat. Math. Congress, Toronto,
1924, v. 2, 837—844.
4. Das Restglied der Cotesschen Formel zur numerischen Integration. Jber.
Deutsch. Math. Verein., 1932, v. 42, 141—143.
5. On certain formulas of mechanical quadrature. Skandinavisk Aktuarietidskr.,
1945, v. 28, 1—19.
Stein P.
6. Interpolation, Baltimore, 1927.
1. A note on numerical integration. Math. Gaz., 1956, v. 40, 268—270.
2. On the error in numerical integration. Math. Gaz., 1960, v. 44, № 350, 280—
283.
Steinhaus H.
1. Sur la cubature des trones de bois. Colloquium Math., 1947, v. 1,23—28.
S t e v e n s D. F.
1. См. Lang H. A., Stevens D. F.
Stewart С. Е.
1. On the numerical evaluation of singular integrals of Cauchy type. J. Soc«
Industr. and Appl. Math., 1960, v. 8, № 2, 342—353.
St ief el E.
1. Altes und Neues uber numerische Quadratur. Z. Angew. Math. Mech., 1961,
v. 41, 408—413.
St ief e 1 E., R u t i sh a u ser H.
1. Remarques concernaut l'integration numerique. C. R. Acad. Sci., 1961, v. 252,
№ 13, 1899—1900.
St ielt jes T. J.
1. Quelques recherches sur la theorie des quadratures dites mecaniques. Ann.
Sci. Ecole Norm. Sup. (3), 1884, v. 1, 409—426.
S t о у а п о f f A.
1. Sur le calcul approche des integrales definies. Ann. (Godisnik) Univ. Sofia.
Fac. Thys.—Math. Livre I, 1941, v. 37, 499—521.
Stroud A. H.
1. Remarks on the disposition of points in numerical integration formulas. Math.
Tables Aids Comput., 1957, v. 11, 257—261.
2. Numerical integration formulas of degree two. Math. Comput., 1960, v. 14,
21—26.
3. Quadrature methods for functions of more than one variable. Ann, New York
Acad. Sci., 1960, v. 86, 776—791.
12 В. И. Крылов, Л. Т. Шульгина

358 БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
4. Numerical integration formulas of degree 3 for product regions and cones.
Math. Comput., 1961, v. 15, 143—150.
5. Cm. Hammer P. C, Marlowe O. J., Stroud A. H.
6. Cm. Hammer P. C, Stroud A. H.
7. A bibliography on approximate integration. Math., Comput., 1961, v. 15,
52—80,
S t r u b le G.
1. Tables for use in quadrature formulas involving derivatives of the integrand
Math. Comput., 1960, v. 14, 8—12.
Strub le R. A., Mi 1 ler R. R.
1. Successive approximation applied to quadrature formulas. Amer. Math.
Month., 1960, v. 67, № 7, part 1, 661—664.
S у n ge J. L.
1. A simple bounding formula for integrals. Canad. J. Math., 1953, v. 5, 46—52.
TamarkinJ. D.
1. Cm. Shohat J. A. and Tamarkin J. D.
T a n i m о t о В.
1. On the mechanical cubature. J. Shinsku Univ., 1954, № 4, 73—95.
2. An efficient modification of Euler — Maclaurin's formula. Trans. Japan Soc,
Civil Engrs, 1955, № 24, 1—5.
T a u b er G. E.
1. Evaluation of two — center exchange integrals. J. Chem. Phys., 1958, v. 29,
300—310.
Tchakaloff L.
1. (Jber eine allgemeine Quadratur formel. С R. Acad. Bulgare Sci., 1948, v. 1,
9—12 (болгарск.).
2. General quadrature formulas of Gaussian type. Bulgar. Akatf. Nauk. Izv.
Mat. Inst., v. 1, J\fe 2, 1954, 67—84.
3. Formules generates de quadrature mecanique du type de Gauss. Colloq. Math.,
1957, v. 5, 69—73.
Tchakaloff V.
1. Formules de cubature mecaniques a coefficients non negatifs. Bull. Sci. Math.
(2), v. 81, 1957, 123—134.
Thacher H. С
1. Optimum quadrature formulas in s dimensions. Math. Tables Aids Comput.,
1957, v. 11, 189—194.
ThalerS., Boxer R.
1. An operational calculus for numerical analysis. IRE Conventional Record.,
1956, Part 2, v. 4, 100—105.
Thomas M.
1. Sur la quadrature approximative d'une courbe. С R. Acad. Sci., Paris, 1942,
v. 214, 654—656.
Timman R.
1. The numerical evaluation of the Poisson integral. National Luchtvaartlabora-
torium, Amsterdam. Report, v. F. 32, 1948.
To dd J.
1. Special polynomials in numerical analysis. On Numerical Approximation
R. E. Langer, ed., Univ. of Wisconsin Press, Madison, 1959, 423—446.
T о 1 1 m i e n W.
1. Ober das Restglied der Mittelwertformeln fur angenaherte Quadratur. Z.An-
gew. Math. Mech., 1949, v. 29, 193—198.
T о r t о г i с i P.
1. Resti nelle formule de cubatura. Consiglio Naz. Ricerche. Pubbl. 1st. Appl.
Calcolo, 1950, № 287, 1—8.
2. Su un metodo numerico di calcolo approssimato per gli integrali doppi.
Consiglio Naz. Ricerche, Pubbl, 1st. Appl. Calcolo, 1951, № 303, 1—7.

БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ 359
Т г i с о m i F. Q.
1. Sul resto delle formule di quadratura numerica migliorate col metodo di
«estrapolazione». Boll. Unione Mat. Ital., 1959, v. 14, № 1, 102—104.
T s u j i u с h i J.
1. Cm. Ukita Y., Tsujiuchi J.
T u p p e r S. J.
1. Some new results in numerical analysis. J. Proc. Internat. Gongr. Math.,
1954, v. 2, Amsterdam, 1954, 387—388.
T u г a n P.
1. On the theory of the mechanical quadrature. Acta Sci. Math. Szeged., 1950,
v. 12, 30—37.
T у 1 e г G. W.
1. Numerical integration of functions of several variables. Canadian J. Math.,
1953, v. 5, 393—412.
U h 1 m a n n W.
1. Eine wahrscheinlichkeitstheoretische Begrundung der Integrationsformein
von Newton — Cotes. Z. Angew. Math, und Phys., 1959, v. 10, № 2, 189—207.
Ukita Y., Tsujiuchi J.
1. On the numerical calculation of the response function. J. Mech. Lab. Japan.,
1956, v. 2, № 2, 1—6.
Uspensky J. V.
1. Sur les valeurs asymptotiques des coefficients de Cotes. Bull. Amer. Math.
Soc, 1925, v. 31, 145—156.
2. On the convergence of quadrature formulas related to an infinite interval.
Trans. Amer. Math. Soc, 1928, v. 30, 542—559.
3. On an expansion of the remainder in the Gaussian quadrature formula. Bull.
Amer. Math. Soc, 1934, v. 40, 871—876.
4. On the expansion of the remainder in the Newton —Cotes formula. Trans.
Amer. Math. Soc, 1935, v. 37, 381—396.
V e г no 11 e P.
1. Formule pour la quadrature empirique d'une fonction experimentale. С R.
Acad. Sci., Paris, 1942, v. 214, 107—110.
2. Sur la definition d'une integrale definie quand rintervalle d'integration
contient un point singulier. Application a la sommation des series divergen-
tes a termes positifs. C. R. Acad. Sci., 1958, v. 247, 1822—1824.
Walsh J. L.
1. Interpolation and approximation. Amer. Math. Soc. Colloquium Pubis.,
1935, v. 20.
Walther A.
1. Zur numerischen Integration. Skandinavisk Aktuarietidskrift, 1925, 148.
Wang J.
1. Cm. Hua L., Wang J.
Watson G. N.
1. Ober eine Formel fur numerische Berechnung der bestimmten Integrale. Ca«
sopis Pest. Mat. Fys., 1935, v. 65, 1—7.
Weeg G. P.
1. Numerical integration of \ e * Jo (-?-] J\ ( т") х п dx. Math. Tables Aids
Comput., 1959, v. 13, 312—313.
Weinberger
1. См. Golomb M. and Weinberger.
Weiss G.
1. См. Rabinovitz P. and Weiss G.
12*

360 БИБЛИОГРАФИЯ ПО ЧИСЛЕННОМУ ИНТЕГРИРОВАНИЮ
W icke Н. Н.
1. См. Hammer Р. С. and Wicke Н. Н.
Wickens С. Н.
1. Approximate integration. J4 Inst. Actuar., 1923, v. 54, 209—213.
Wilf H. S.
1. Maximally stable numerical integration. J. Soc. Industr. Appl. Math., I960.
v. 8, 537-540.
2. The possibility of Tshebycheff quadrature on infinite intervals. Proc. Nat.
Acad. Sci. U. S. A., 1961, v. 47, 209—213.
Wilki ns J. E.
1. An integration scheme of Marechal. Bull. Amer. Math. Soc, 1949, v. 55.
191—192.
WillersF. A.
1. Cm. Runge C, Willers F. A.
2. Practical Analysis. Dover Publ., New York, 1948.
Wimp J.
1. Polynomial approximations to integral transforms. Math. Comput., 1961,
v. 15, 174—178.
Winston С
1. On mechanical quadratures formulae involving the classical orthogonal
polynomials. Ann. Math., 1934, v. 35, 658—677.
2. См. Shohat J. A., WinstonC.
W i r t i n g e г W.
1. Ober das Fehlerglied bei numerischer Integration. Z. Angew. Math. Mech.,
1933, v. 13, 166—168.
Wol fe С. Е.
1. Note on numerical integration. Proc. Edinburgh Math. Soc, 1928 (2), 1,
139—148.
Wolfe J. M.
1. An adjusted trapezoidal rule using function values within the range of
integration. Amer. Math. Monthly, 1959, v. 66, 125—127.
Wool house W. S. B.
1. On integration by means of selected values of the function. J. Inst. Actuary
1888, v. 27, 122—155.
Woolsey W.
1. Cm. Johnson W., Woolsey W.
Wymore A. W.
1. Cm. H a m m e г Р. С and W у m о г е A. W.
Young A.
1. Approximate product — integration. Proc Roy. Soc, London, 1954, v. A224,
№ 1159, 552—561.
Zemanian A.
1. An approximate method of evaluating integral transforms. J. Appl. Phys.,
1954, v. 25, 262—266.
Ziller A.
1. Methodes de Differentiation et d*Integration Numeriques (Applications).
Publ. Sci. Tech. Ministere de l'Air, Paris, Notes Tech., 1955, № 50.
Zu cker R.
1. Cm. Salzer H. E. and Z u с к е г R.
2. Cm. S a 1 z e г H. E., Z u с к е г R. and CapuanoR.
Z we i f e 1 P. F.
1. Cm. HurwitzHJ, and Z w e i f e 1 P. F.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК ПО ТАБЛИЦАМ
УЗЛОВ И КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ ПРАВИЛ
ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ*)
Айзенштат B.C., Крылов В. И., Метельский А. С.
(1) Таблицы абсцисс и коэффициентов квадратурной формулы
00 П
\ xse~x f (х) dx ж У\ Akf (xk) и произведений А^ь* удобных для вычисле*
о *=г
оо
ния интегралов видах f(x) dxt для п = 1 (1) 15, s = —0,90(0,02)0,
о
3 2 1 112 12
0,05(0,05)3,00 и s=-j, ±j, ±j, —-f, ly, ly, 2-3-, 2 3
с 8-ю значащими цифрами.
Айэенштат В. С, Метельский А. С.
(1) Таблица корней полиномов Лягерра и квадратурных коэффициентов
00
для вычисления \ xse~xf(x)dx для s = 1, 2, 3, п — 1(1) 15 с 8-ю значащими
о
цифрами.
(2) Таблица корней полиномов Лягерра и квадратурных коэффициентов для
00
вычисления \ x8e~xf(x)dx для с _ i — 1 — 4-— — — —
о
п = 4(1) 10 с 5-ю значащими цифрами.
Аккерман Р. Б.
(1) Таблица абсцисс и коэффициентов квадратурной формулы вида
ь п
\ р (х) dx ж A0f (а) + Ап+1 (Ь) + У] Akf (xk) алгебраической степени
. a k=i
точности 2/1 -£■ 2 для [а, 6] = [—1,1], ' р(х) = 1, п = 1(1) 8; для
** Пример чтения библиографического справочника: указание «Айзенштат В. С,
Метельский А. С. (2), Таблица корней полиномов Лягерра и квадратурных
оо
коэффициентов для вычисления \ xse~xf(x)dx для s = ± _ , ^ -L , -J- Jl ^ А ^
а 5
У » "2 ' п ~~ ^} ^* означает* чт0 в библиографии по численному интегрированию
в перечне совместных работ В. С. Айзенштата и А. С. Метельского в работе под
номером 2 находятся таблицы, содержание которых объясняется в дальнейших словах
указания.

862 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК ПО ТАБЛИЦАМ
[а, &] = [0,1], р(х) = х и р(х) — х2, п — 1(1) 4. Таблица абсцисс и весов квад-
1 я-н
ратурной формулы Маркова для четных функций \ f (x)dxzz У\ f (xt)~Att
о /=о __
где хх — абсциссы для промежутка [—1,1], лежащие в пределах [0,1], Ai—
соответствующие коэффициенты, для п = 0(1) 8.
Аналогичная таблица абсцисс и весов формулы Маркова для нечетных
функций.
Для формулы Маркова алгебраической степени точности 2п ф 1
Ь п
^p(x)f (х) dx^^Akf (xk) + An+l f (1):
а) таблица абсцисс и весов для (а, Ь] = (—1,1], р(х) — 1, п = 1(1) 5 и для
к *) = [0,1), Р(х) = Vx,n = 1(1)5;
б) таблица абсцисс и весов для [а, Ь) = [0,1), р(х) = *2, f(x) — четная
функция, п = 1(1) 5 и для [а, Ь) = [0,1), р(х) = 1, f(x) — нечетная функция,
п = 1(1)5.
Таблица абсцисс и коэффициентов квадратурной формулы для вычисления
1
f (xt у, z)dxdydz= \f (r sin 0 cos ф, г sin 0-sin <p, r cos0)dq> для
'(v)' О
п = 1, 2. 8 значащих цифр.
Бертова Е. И., Кузнецов Я. Т., Натансон И. П., Цареград-
с к и й X. А.
(1) Таблица узлов и коэффициентов квадратурной формулы
1
J i*nw^~2 4я)м4я)>
-1 *=i
3 2 111
для а = —7~t — "о"» — "о". — "Г» — 7~. л = 1 (1) 8 с8-ю значащими цифрами.
Ермакове. М.
(1) Таблица узлов и коэффициентов квадратурной формулы вида
N т
D 1=1 а=1
A' n N
- 2 v (*,-. °) + 2 ^ (о. **> - 2 4/ (°. %)+A»f (°. °>-
г=1 v=i f=l
7 значащих цифр.
Канторович Л. В.
(2) Таблица абсцисс и весов квадратурной формулы типа Гаусса наивысшей
1 п
алгебраической степени точности для четных функций \ f(x)dx ж 2j Aif(Ki)*
о /=i
где xi — абсциссы точек Гаусса для (—1,1), соответствующие делению на
2п частей, расположенные на (0,1), а Л/— соответствующие им коэффи-
1
функций \ f (x) dx с* ту S ~7Г= f (Y*i)* где
циенты, и для нечетных
6
А{ и 2?| — коэффициенты и абсциссы Гаусса для (0,1). /г = 1(1)8, 8 значащих
цифр. Таблица абсцисс и коэффициентов формулы типа Гаусса наивысшей

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК ПО ТАБЛИЦАМ 363
алгебраической степени точности для периодических функций. л= 1(1)8.
8 значащих цифр. Значения коэффициентов формулы типа Котеса
наивысшей алгебраической степени точности для четных и нечетных функций,
п = 1(1)5.
Королев Н. И.
см. В. И. Крылов, Н. И. Королев, Н. С. Скобля.
К р у г л и к о в а Л. Г., Крылов В. И.
(1) Таблица узлов и коэффициентов квадратурных формул
оо п
\ И + jcJ f(x)dxzz ^ Akf(xk) для п = !0)5 с 3—12-ю значаши-
о ^ ' k=\
ми цифрами.
Крылов В. И.
см. В. С. Айзенштат, В. И. Крылов, А. С. Метельский; см. Л. Г. Кругликова,
В. И. Крылов.
К р ы л о в В. И., К о р о л е в Н. И., С к о б л я Н. С.
(1) Значения абсцисс и коэффициентов квадратурной формулы
оо п
i xse'xf(x) dx ж ^ Akf i*k) для n = W)5' s = °» ~ 4 c 8—10-ю зна-
0 £=1
чащими цифрами.
К р ы л о в В. И., Л у г и н В. В., Янович Л. А.
(1) Таблицы абсцисс и весов квадратурной формулы
1 п
^(i-xff(x)dx^^ Ahf(xk) для а, р =-0,9(0,1) 3,0; р <а<3,0,
0 k=i
п — 1 (1)8 с 8-ю значащими цифрами.
КрыловВ. И., П а л ь ц е в А. А.
(1) Таблица абсцисс и коэффициентов квадратурной формулы
\ п
) x*lz{i) f(x) dx~ S A*J(x*)при а=°(1)3.±у. n = l w5
о /г=1
с 1—11-ю значащими цифрами и квадратурной формулы
1 п
\1*[г^){*(т)х*1 {Х) dx~llAkf(xk) при <х = 0, я = 1 (1)5
0 k=i
с И—15-ю значащими цифрами.
(2) Таблица абсцисс xk и коэффициентов Ak квадратурной формулы
1 п
\ xalg(^)f(x)dxzz 2 Лл/(хл)для/1 = 1(1)8, a = ±-g f±-j, ±-3,
о ^=i
1111
±у.±у.±"4~'±У' ° (*)5- 5—14 значащих цифр.
Крылов В. И., СкобляН. С.
(1) Таблица узлов рл и весов Ak для выполнения обратного преобразова-
е+/оо п
ния Лапласа ^ \ P~S^P ф(Р)^Р ~ ZJ ^*Ф (Р*) Для s = "3" (у) 3*
е—г оо ^=1
1/1\
TVT/ с "*—^'ю значаЩими цифрами.

304 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК ПО ТАБЛИЦАМ
Кузнецов Я. Т.
см. Е. И. Бертова, Я. Т. Кузнецов, И. П. Натансон, X. А. Цареградский.
Л а щ е н о в К. В.
(1) Таблица абсцисс и коэффициентов квадратурной формулы с логарифми-
1 П
ческой особенностью в середине отрезка \ — In | х \ f (х) dx ж У\ Akf(xk)
-1 *=i
для п = 1(1)6 с б—8-ю значащими цифрами.
Лугин В. В.
см. В. И. Крылов, В. В. Лугин, Л. А. Янович.
Метельский А. С.
см. В. С. Айзенштат, В. И. Крылов, А. С. Метельский; см. В. С. Айзенштат,
А. С. Метельский.
Натансон И. П.
см. Е. И. Бертова, Я. Т. Кузнецов, И. П. Натансон, X. А. Цареградский.
Пальцев А. А.
см. В. И. Крылов, А. А. Пальцев.
Скобля Н. С.
см. В. И. Крылов, Н. И. Королев, Н. С. Скобля; см. В. И. Крылов,
Н. С. Скобля.
Цареградский X. А.
см. Е. И. Бертова, Я. Т. Кузнецов, И. П. Натансон, X. А. Цареградский.
Янович Л. А.
см. В. И. Крылов, В. В. Лугин, Л. А. Янович.
Billings С.
см. Riley J. A., Billings С.
Burnett D.
(1) Таблица корней полиномов Лягерра и весов квадратурной формулы
оо п
{ x-me~xf(x)dx~ ^ Akf(xk) ПРИ т в 2» 3« 4* л = 2,3.4 значащие
цифры.
CapuanoR.
см. Salzer H. E., Zucker R. and Capuano R.
Carnahan P. D.
см. Greenwood R. E., Carnahan P. D., Nolley J. W.
D a n f or d M. B.
см. Greenwood R. E., Danford M. B.
Davis P. J., RabinowitzP.
(2) Таблица абсцисс и весов квадратурной формулы Гаусса высокого порядка?
п = 2, 4, 8, 16, 20, 24, 32, 40, 48.
19—20 значащих цифр.
(4) Таблица абсцисс и весов квадратурной формулы Гаусса высокого порядка:
п = 64, 80, 96. 19—20 значащих цифр.
Fis hman H.
1 т
(1) Таблица узлов и весов для формул гауссова вида \ х п g (x) dx ж 2 b/S (*/)>
о /=1
п = 1(1)5, т = 1(1)8. 12 значащих цифр.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК ПО ТАБЛИЦАМ 365
G a wl ikH. J.
(1) Нули полиномов Лежандра порядков 2—64 и весовые коэффициенты
квадратурных формул Гаусса.
GreenwoodR. E., Carnahan P. D. М., N о 1 1 е у J. W.
(1) Таблица весов и абсцисс для квадратурной формулы
1 т
\ Vi=ffMdX~K>n 2[/(*/.m>-f<-*/.m>l ДЛЯ Ш= 1(1)4'
8 значащих цифр. Значения абсцисс и коэффициентов квадратурной фор-
L п
мулы \ x2f (x) dxmcn У\ f (xin) для п — 1(1)4, 6. 10 значащих цифр.
—1 *=i
Greenwood R. E., Dan ford M. В.
(1) Таблица узлов квадратурной формулы типа Чебышева
1 п
\ xf (x) dx ж тг- zjf(xin) для п = 1,2, 3.8 значащих цифр. Значения
s
In
0 <=*
узлов и весов квадратурной формулы чебышевского типа
1 т
^ xf (х) dx^Km ^ U (xi, m) —7 (xi+mt т)\ Для т = 1(1)4. 7—8 значащих
—1 /=i
цифр.
Greenwood R. Е., Miller J. J.
(1) Таблица корней полиномов Эрмита и коэффициентов квадратурной фор-
00 п
мулы \ e~x*f(x)dxm 2 Я/§ „ / (*/t „) для п==10)5 с 12-ю десятичными
—оо 1=1
знаками и для п — 6(1)10 с 9-ю десятичными знаками.
Hammer Р. С, Marlowe О. J., Stroud A. H.
(1) Значения абсцисс и коэффициентов квадратурной формулы
1 т
{ xng(x)dx?z 2 */£(*/) для п = 1, 2, т = 1(1)5; л=3, m=l(l)4
о /=i
с 18—19-ю значащими цифрами.
Harper W. М.
(1.) Таблица абсцисс и весов для квадратурной формулы
оо п
$ / (х)dx » J*/ ("/)' где K, = Hf(l + aj)k+1
—ОО /=1
для л = 4, £ = 3(1)10; л = 6, £ = 5(1)10 с 10-ю значащими цифрами.
Hartley H. О.
(1) Таблицы для преобразования квадратурных формул с неравноотстоящими
узлами в формулы Котеса при помощи замены переменной х = q>(t):
п
^f(x)dx = ^f(<t(t))<f'(t)dt
а и
с последующим вычислением интеграла при помощи формул Котеса.
Число узлов равно п ф 1. п = 3(1)10.

366 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК ПО ТАБЛИЦАМ
Johnson W. W.
(1) Таблица коэффициентов Котеса для п — 1(1)20 в виде
л 1
k — п '
Kegel W. Н.
(1) Таблица абсцисс и весов для квадратурной формулы
г т оо _хш
^f(x)Kn(x)dx^^aif(ti\ где Кп (х) = J -— dw для п = 1, 2, т =
= 3, 4; г =0, 1 (0,Г) 1, 0 (0,2) 4, 0 (0,5) 8, 0 (1) 15 с 4—6-ю значащими
цифрами.
К о р а 1 Z.
(1) Таблица корней полиномов Эрмита и соответствующих коэффициентов
р£ — 2n+i n\/{Hn (я,-)}2, где Hn (x) — полином Эрмита /i-го порядка*
00 П
квадратурной формулы \ е~х* f (x) dx zz 2n+1 n\ Yn 2j "77 Г77 ^^
п — 10(1)20 с 6-ю значащими цифрами.
Levenson A.
см. Lowan A., Davids N., Levenson A.
Lowan A., Davids N.. LevensonA.
(1) Таблицы нулей полиномов Лежандра порядка 1—16 и весовые
коэффициенты для механических квадратур Гаусса. 1&—20 десятичных знаков
Luke Y. L.
nrh
(3) Коэффициенты для вычисления Сп = \ f(x)s\n Xxdx, выраженные в
—nrh
виде центральных разностей f (x)t и коэффициенты для вычисления
nrh
Вп— \ f (x) cos %x dxt выраженные в виде табличных значений f (х).
—nrh
/2 = 1(1)5.
(4). Значения коэффициентов № и &п квадратурной формулы
rh 1 п
jj х-1 dx ^f(u)du^-£- S 'Xf f « л>
для « = 1(1)10, г = 1(1) (/i + l).
M а г 1 о w e О. J.
см. Hammer P. С, Marlowe О. J., Stroud A. H.
M i 1 ler J. J.
см. Greenwood R. E., Miller J. J.
Nol ley J. W.
см. Greenwood R. E., Carnahan P. D., Nolley J. W.
Peirce W. H.
(3) Таблица узлов и весов квадратурной формулы гауссова вида
1 v
С 113
\r*®(r)dr^ ^ ck®(rk) Аля # = 0» T' "2"» Т» fe==1»2 с 7_10 знача*
щими цифрами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК ПО ТАБЛИЦАМ 367
Rabinowitz P.
(1) Таблица абсцисс и коэффициентов квадратурной формулы Лобатто
\ f (х) dx c^. 2 aknf (xkn) наивысшей алгебраической степени точности
—1 /г=—т
для п = 5(4) 25(8) 49(16) 97 с 19-ю значащими цифрами. х+тп = ^ 1 —
— 2 узла фиксированных; x_kn= —xkn\ a_kn = akn; n = 2m -+> 1;
см. Davis P. J., Rabinowitz P.
Rabinowitz P., Weiss G.
(1) Таблица абсцисс и весов для формулы гауссова типа
оэ Л'
xne-xf(x)dx^Z\ ankNf(xnkN) для п = О, Л^ = 4(4)32; п = 1(1)5,
N — 4(4)16 с 18-ю значащими цифрами.
R e i z A.
00
(4) Значения узлов и коэффициентов для вычисления \xse~xf(x)dx для
о
s = О, п — 1(1)5 с 7-ю значащими цифрами.
R i ley J. А., В i l 1 i ngs С.
(1) Таблица узлов и коэффициентов для квадратурной формулы Гаусса
1 п
\ f (x)dx/x, 2j AkI (xk) для n ~ 27 с 9-ю значащими цифрами.
Rothmann H. А.
I т
(2) Абсциссы и веса формулы Гаусса \ хр f (x)dxzz ^J Wkf (xk) для хр = x2nt
-l
*=i
n = 0(1)5, m = 2, 3, 4; xp = *2n+1, n= 0(1)5, m = 2, 4. 7 значащих цифр.
S al zer H. E.
(1) Таблица коэффициентов M2S квадратурной формулы с центральными
разностями
a+nh
\ jj f(x)dK = [jf(a) + f(a + h)+...+ f[a + (n-l)h] + jf(a + nh)] +
а
+ 2 *Wl*^(« + n/»-|i^V<«)l4nAwAlwf(*"><6).
m — 1(1)29. Точные значения до Af2o и 18 десятичных знаков до /Ибв-
(6) Приведено 12 первых полиномов для нахождения узлов z^n) квадратурной
Г 2 я
формулы Чебышева \ f (г) </г » — ^ f (*/)• Таблица коэффициентов D\n)
для нахождения (п — 1)-х разделенных разностей в виде ^D\n) f (z\n))

368
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК ПО ТАБЛИЦАМ
и абсцисс квадратурной формулы Чебышева г\п) для п = 3(1)7,9 с 8—10-ю
значащими цифрами.
(7) Рассматриваются квадратурные формулы с разностями с шагом вперед
* х х 1 v v т
Хо *о *<. 0 0 0 Л=1
и с разностями с шагом назад
Xi X X \ р р
J . ..jjjj /<*)(<ад* = **$...$$/(* + /Л)<«ад*«
*о -«о *о 0 0 0
Приводятся таблицы коэффициентов G^ и //^для'^2 (1)6, т*=1 (1} 2\
7—12 значащих цифр.
(8) Таблица коэффициентов при 6js и b\s в Л-кратной квадратурной
формуле
Xi X X т
$ • •. jj J / W (dx)" = ft* [<> fo + Bph + J (AfX + b£K)]+ *ml
x$ Xq Xq s=1
A? = 2, s = 0(l)24; A? = 3(1) 6, s==0(l)10. 10—16 десятичных знаков.
(10) Таблица коэффициентов At квадратурной формулы вида
S? «-I
\£~p'/(/)d/^ 2 ^/(/) алгебраической степени точности п — 1 для
л = 2(1)7, р =гГл1(0,1)(л — 1); л = 8, 9, р = 0,2(0,2)(я — 1); /1=10,
11, р = 1(1)(л — 1) и некоторых вспомогательных величин для
нахождения Лг 8 значащих цифр.
(12) Таблица узлов квадратурных формул типа Чебышева
7? « р уг- л
для л = 4(1)10 с 7-ю значащими, цифрами
(14) Таблица узлов р, . ± квадратурной формулы чеоышевского типа
C+iCQ л
1 f ер 1 д
2^ \ -г- F (p)dpzz— 2jF (pj) для обращения преобразования
С—/00 /=1
Лапласа, л «= 1(1)10 с 8-ю значащими цифрами.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК ПО ТАБЛИЦАМ 369
(16) Таблица коэффициентов квадратурной формулы для выполнения обрат*
ного преобразования Лапласа
с-Коо т
± jj ^F(p)rfp»2fWf№
С—/00 k = \
для т = 1(1)6, t = 0(0,1)6, т = 7, * = 0(0,2)7, m = 8, / = 0(0,2)8, m = 9>
/ = 0(1)9, m = 10, / = 0(1)10. 2—8 значащих цифр.
(19) Таблица коэффициентов a2s квадратурной формулы с центральными
разностями
а+("-т)А
■J- ^ /(*)<to-[f(e) + Me+A) + ...+ f(a+'«=2ft)+/(e+rt^l.A)] +
л
- —Т
+ 2 *•. f «2S_1 f (« + n- 4 л) - б45"1 f (e _ 1 fc)] + лА«" Кгт f <*"> (I) для m =
= 1 (1) 25. Точные значения до /(го и 18 десятичных знаков до /С5о-
1
(20) Таблица узлов pt и — и весов квадратурной формулы гауссова типа
с+/оо п
1 [*
щ J ept F (p) dp ж 2А/Л>^(^) Для < = U1)", « = 1(1)8 для вы-
с—/оо г=1
с+/оо
полнения обратного преобразования Лапласа f (t) — к—. \ eptF(p)dp.
С—/00
4—8 значащих цифры.
1
(21) Дополнительная к предыдущей таблица узлов р( и -— и весов для i = 1(1)п,
л = 1(1)16 с 15-ю значащими цифрами.
Sa 1 zer H. E., Sho u 1 t z D. С, Т hom p so n E. P.
(1) Таблица коэффициентов Ci и De квадратурной формулы
*o+Ph л/2
^ f(x)dx^h 2 iCin)(P)fi + D\nHp)V\)
Xo+gh /=—(«—D/2
1 1
для п = 2 (1) 5, p = — у (я — 1) (0, 0 1) у п. 10 десятичных знаков.
Salzer Н. Е., Zucker R.
(1) Таблица узлов и весов квадратурной формулы
°? п
для s = 0, п = 2(1)15 с 12—14-ю значащими цифрами.

Э70
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПРАВОЧНИК ПО ТАБЛИЦАМ
SalzerH. E., Zucker'R., CapuaiioR.
(1) Таблица абсцисс и коэффициентов а\п) и $п) =aj.rt) exp [(л:/(/г,)а]
хвален ^i *{п)2
ратурной формулы \ F (x)dx& ^affh l F (x{f) для п = 1 (1) 20 с
—00 /=1
13-ю значащими цифрами.
Smith E. R.
(1) Нули полиномов Эрмита (— i)ne*u dn (e~xV2)dxn = Ylx\n) при
n = 1(1)27 с 6-ю значащими цифрами.
Stroud A. H.
см. Н а m m e r Р. С, М а г 1 о w е О. J.* S t г о u d A. H.
St rub le G.
(1). Формула наивысшей алгебраической степени точности вида
k-i
1 2 т
J J (х) dx^ 2 2 (4q^j + 2 а, [/<*> (Xj) - f<*> (- x;)),
Л*'« = (4m + 1)! Ckm> k - нечетное,
J/waik2 2 (2t- +V)i + 2aiu{h)<*/)+fw<-*/)].
Л*т = (4m)! C*m> * - четное-
Таблица jc;- и a;. для k = 1, 2, m = 1(1)10. 8—15 значащих цифр.
Wei ss G.
Cm. Rabinowitz P., Weiss G.
Zucker R.
1. Cm. Salzer H. E. and Zucker R.
2. Cm. Salzer H E., Zucker R. andCapuano R.

Владимир Иванович Крылов,
Любовь Тарасовна Шульгина
СПРАВОЧНАЯ КНИГА
ПО ЧИСЛЕННОМУ
ИНТЕГРИРОВАНИЮ
М., 1966 г., 372 стр. с илл.
Редактор И. П. Мысовских
Техн. редактор С. Я. Шкляр
Корректоры: И. Я- Кришталь и А. Ф. Серкина
Сдано в набор 15/IV 1965 г. Подписано к печати
14/Ш 1966 г. Бумага 60X907i6. Физ. печ. л. 23,25.
Условн. печ. л. 23,25. Уч.-изд. л. 27,79. Тираж
21 000 экз. Т-01478.
Цена книги 1 р. 67 к. Заказ № 345.
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Отпечатано в Ленинградской типографии JMb 1
«Печатный Двор» им. А. М. Горького Главполи-
графпрома Комитета по печати при Совете
Министров СССР, Гатчинская, 26 с матриц 2-ой
типографии издательства «Наука» Москва,
Шубинский пер., 10.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ:
Бейтмен Г. и Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции
(функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные
многочлены). 20 л., 1 р. 24 к. (Серия «Справочная математическая
библиотека».)
Виленкин Н. Я., Специальные функции и теория представлений
групп, 30 л., 1 р. 70 к.
Воеводин В. В., Численные методы алгебры (теория и
алгорифмы), 14 л., 98 коп. (Серия «Библиотека прикладного анализа и
вычислительной математики».)
К л и м о в Г. П., Стохастические системы обслуживания, 12 л., 86 коп.
(Серия «Библиотека прикладного анализа и вычислительной математики».)
Самарский А. Н., Разностные методы решения многомерных
уравнений, 15 л., 1 р. 05 к. (Серия «Библиотека прикладного анализа и
вычислительной математики».)
Соболеве. Л., Приближенное интегрирование функций многих
переменных, 22 л., 1 р. 57 к. (Серия «Библиотека прикладного анализа и
вычислительной математики».)
Хренов Л.С, Восьмизначные таблицы тригонометрических
функций, 70 л., 3 р. 91 к.
Предварительные заказы на печатающуюся литературу принимаются
всеми магазинами Книготорга. При отказе в приеме заявки обращайтесь
по адресу: Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, «Союзкнига».
ИМЕЮТСЯ В ПРОДАЖЕ:
Бейтмен Г. иЭрдейи А., Высшие трансцендентные функции.
(Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра.) Перевод с
английского Н. Я. Виленкина. «Наука», 1965, 296 стр., 1 р. 14 к. (Серия
«Справочная математическая библиотека».)
Бремикер К.* Логарифмо-тригонометрические таблицы с шестью
десятичными знаками. Физматгиз, 1962, 664 стр., 3 р. 34 к,
Кампе де Ферье Ж- и др., Функции математической физики
(Справочное руководство.) Перевод с французского, 1963, 102 стр., 28 коп.
Люстерник Л. А. и др., Математический анализ (вычисление
элементарных функций). Физматгиз, 1963, 248 стр., 71 коп.
Сегал Б.И. иСемендяевК- А., Пятизначные математические
таблицы. Изд. 3-е, Физматгиз, 1962, 464 стр., 2 р. 53 к.
Книги продаются в книжных магазинах, а также высылаются почтой
наложенным платежом без задатка всеми республиканскими, краевыми и
областными отделениями «Книга — почтой». В случае отсутствия книги
в местных магазинах заказы следует направлять по адресу: Москва, K-SU
Петровка, 15, магазин № 8 «Москниги».