/
Author: Дэлл Р.В.
Tags: математика инженерия естественные науки справочная книга точные науки
Year: 1933
Text
ф
MATHEMATICS
FOR ENGINEERS
BY
RAYMOND W. DULL
Consulting Engineer; Member, American Society of Mechanical
Engineers; Member^ Western Society of Engineers
FIRST EDITION
FIFTH IMPRESSION
McGraw-Hill book company, inc.
NEW-YORK 370 SEVENTH AVENUE
РАЙМОНД В. ДЭЛЛ
СПРАВОЧНАЯ КНИГА
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ
И СТУДЕНТОВ ВТУЗОВ
перевод с английского
инженеров
а а ермаи и я. з. марголина
•
под редакцией
проф. А. М. ЖУРАВСКОГО
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ТЕХНИКО - ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ЛЕНИНГРАД 1933 МОСКВА
2-я типография ОНТИ им. Евг. Соколовой. Ленинград, просп. Красных Командиров, 29.
ОТ РЕДАКТОРА
Книга Дэлла „Справочная книга по математике" занимает
среднее положение между руководством и справочником по
математике. Ее цель обслужить инженерно-технического
работника, нуждающегося в освежении своих познаний по
математике, и дать ему необходимые справки и указания.
В книге охвачены те разделы математики, которые входят
обычно в большинство технических справочников. Так как
книга рассчитана на читателя, желающего не только
получить требуемую ему справку, но и соответствующие
достаточно простые и наглядные к ней объяснения, то справочник
принял форму руководства.
Однако книгу нельзя назвать руководством в полном
смысле этого слова. Изложение не везде носит систематический
характер. Автор не стремится к последовательному развитию
положений, не гонится за доказательствами. Он стремится
возможно полнее и нагляднее раскрыть основные понятия и
показать их связь с повседневной работой техника. Поясняя
на примерах математические приемы и правила, автор не
загромождает их излишними техническими подробностями,
справедливо полагая, что для техника, обращающегося к
математике, не они играют первую роль. Стремление к возможно
большей наглядности побудило автора широко
воспользоваться геометрической интерпретацией аналитических
приемов. С этой стороны книга содержит богатый материал,
могущий оказаться полезным и при прохождении начал
высшей математики во втузе.
При переводе книги на русский язык английские меры,
непривычные для русских читателей, заменены метрическими
и в числовых примерах сделан пересчет.
В отдельных местах, где приводимые формулы было
желательно дополнить выводом, сделаны примечания. Это
б От редактора
относится по большей части к выводам формального
характера. Были приложены усилия к тому, чтобы по
возможности полностью передать непосредственность изложения
оригинала и никаких дополнений в направлении уточнения
доказательств или придания им большей строгости сознательно
не делалось. Это не отвечало бы задачам, поставленным
перед книгой, и вносило бы известный диссонанс в
изложение.
В главе о логарифмической линейке сохранено описание
американской логарифмической линейки. Мотивы к атому
такие. Правило действий и устройство шкал (кроме шкалы
синусов) таковы же, что и на употребительных у нас
25-сантиметровых линейках. Благодаря сделанным примечаниям
лицо, познакомившееся с американской линейкой, безо всякого
труда сможет работать на линейках обычного типа.
Инженерно-техническому работнику, не имеющему в своей
деятельности постоянного контакта с математикой, в
известные моменты приходится прибегать к ее помощи. В этом
случае наиболее желательной для него является книга, где
в известной последовательности в простой и наглядной форме
дается изложение основных математических положений по
возможности в таком виде, как это чаще всего встречается
в практических приложениях.
Такая книга дает возможность в кратчайший срок
освежить когда-то усвоенное и вспомнить забытое.
Нам думается, что книга Дэлла, довольно близко
отвечающая этим требованиям, будет полезной для наших
инженерно-технических работников.
Л. Журавский.
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА.
Настоящая книга предназначается главным образом для
инженеров, причем мы имели в виду, во-первых, тех из них,
которые нуждаются в быстром получении справки,
во-вторых— желающих восстановить свои прежние математические
познания и, наконец, в-третьих — инженеров, нуждающихся
в пособии по математике.
Обычно для получения соответствующих сведений инженер
обращается либо к техническим справочникам, либо к
учебникам. Первые слишком кратки, и место, отводимое в них
математике, весьма ограничено.
Учебники же предназначаются для сообщения учащимся
соответствующих знаний, а также для воспитания в них уменья
пользоваться методами математики. Промежуточные
рассуждения при этом умышленно пропускаются, предполагается
знакомство с предыдущими отделами, совершенно не
обращается внимания на время, необходимое для получения
желаемого решения, а иногда даже развитие важных
положений предоставляется учащемуся.
Поэтому автор, желая во время практической деятельности
быстро получать нужные справки по математике, был
вынужден составить соответствующие заметки. Первоначально он
не имел намерения опубликовывать указанные заметки, но
многие инженеры, просматривавшие их, высказывали мнение
о полезности их издания.-
Следуя этим пожеланиям, автор произвел тщательный
просмотр своих заметок и внес в них многочисленные
дополнения, в результате чего и появился настоящий труд.
Значительное место в нем отведено рассмотрению вопроса
об абсолютной и относительной погрешностях, который обычно
в учебниках не разбирается.
Там, где это было возможно, одновременно с
аналитическими решениями приведены и графические. Во всех важных
случаях даются пояснительные примеры.
Уменье пользоваться счетной линейкой необходимо каждому
инженеру; поэтому в настоящей книге автор нашел нужным
сообщить основные сведения, касающиеся пользования ею.
8 Предисловие автора
Вместо того, чтобы заставлять читателя запоминать целый
ряд сложных правил, здесь даны простые указания,
охватывающие все практически важные случаи.
Ознакомление с линейкой начинается со шкалы равных
делений, а затем рассматриваются и остальные шкалы. Этот
порядок отличается от обычного, принятого в учебниках.
Так как настоящая книга предназначена для повторения
математики, то она составлена таким образом, что различные
отделы связаны между собой, а не отделены друг от друга,
как это обычно делается в учебниках. Так, например, автор
пользуется методами аналитической геометрии в приложении
к алгебре, что делает последнюю более ясной, а геометрию —
практически более приложимой.
В главе III рассмотрено употребление циркуля для
пропорционального деления, которым весьма часто приходится
пользоваться инженеру. В учебниках он обычно не рассматривается
вовсе.
Элемент времени подробно рассматривается в отделе
тригонометрических функций по той причине, что с каждым
годом возрастает значение периодических зависимостей и
инженер должен быть с ними более основательно ознакомлен.
Автор надеется, что отделы, в которых изложены
дифференциальное и интегральное исчисления, будут весьма полезны
для многих читателей. Графическим методам в этих отделах
отведено значительное место. Функции от функции
рассматриваются более широко, чем это обычно делается в
учебниках. ,
Кроме того, обращено внимание на то значение, которое
имеет в дифференциальном исчислении понятие о . пределе
скорости изменения, а в интегральном — представление об
интеграле как о произведении двух переменных, выражающем
площадь.
Автор глубоко признателен м-ру Ирвингу Меткаф за его
помощь при подготовке рукописи к печати, а также
профессору Корнелльского университета Вальтеру Б. Кэрверу за
многочисленные полезные указания.
Раймонд В. Дэлл.
Чикаго, Иллинойс.
Июн* 1926 |\
Глава Л
8 7 4 2
5 2 7 9
8 2 6 7
3 4 2 5
8 7 6 5
9 8 7 4
3 2
3 2
3 0
4 1
443 5 2
Про верка
4 1
3 0
3 2
3 2
4 4 3 5 2
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПОСРЕДСТВОМ АЛГЕБРАИЧЕ
, СКИХ ФОРМУЛ.
1. Сложение столбцами. При
сложении цифр, находящихся в
одном столбце, например в
столбце единиц, не следует
производить это действие в уме.
В уме нужно отмечать лишь
результаты последовательного
сложения, а именно:
2 — 11 — 18 — 23 — 28 — 32.
Рекомендуется писать сумму
цифр каждого столбца отдельно,
а не переносить десятки в
следующий столбец.
Проверку начинают с левого
столбца.
Самое сложение следует
производить на отдельном листе
бумаги и после проверки пере*
носить полученные ответы на
соответствующее место* 5 2 8 0
■• - - 9 7 6 0, 5 0
3 4 9
4 0 0 6, 7 5
6 5 2 2, 8 9
1 3 2, 1 2
2. Банковский способ сложения. По этому ~~
способу десятки, получившиеся от сложе- 1 б
ния цифр какого-нибудь столбца, приба- 2 2
вляются к единицам суммы цифр следую- 2 1
щего столбца. При этом не приходится скла- 2 5
дывать суммы, полученные от сложения 2 0
отдельных столбцов, как в § 1, а просто 2 6
последние цифры сумм сносятся вниз. 2 6 0 5 1, 2 6
10 Арифкетич. вычисл. посредством алгебраич. формул
%3. Периодическое сложение. При этом способе слагаемые
располагают в столбец и последовательно их складывают,
пока сумма не будет несколько меньше 20.
Эту сумму разбивают на два слагаемых, одно из которых
равно десяти, а второе — оставшемуся числу единиц. Второе
слагаемое складывается с последующими, и когда сумма будет
опять близка к 20, поступают, как описано выше.
8
3
4
2 (17) = 10+ 7, сносим 7
6
1 (14) = 10+ 4, сносим 4
7
8 (19) = 10+ 9, сносим 9
5
3 (17) = 10 + 7, сносим 7
6
4 (17) = 10+ 7, сносим 7
7 (14) = последней сумме
50 = 5-10
64 (О т в е т).
4. Сложение в уме двузначных чисел. Сложение ~ .
следует начинать с первого числа (25) и попеременно - ^
прибавлять в уме сначала единицы (6) следующего ~ 1
числа, а затем десятки (40). Это удобнее, чем приба- g ^
влять сразу единицы и десятки. Таким образом имеем: ^ ,
25 + 6> 31 + 40, 71+1, 72 + 80 и т. д. ' зТ~6
Рекомендуется отмечать в уме только ответы:
25 — 31 — 71—72 — 152 — 154 — 244 — 250—310.
5. Сложение в уме трехзначных чисел; Такое сложение
производится точно так же, как и в случае двузначных
чисел (§4). 2 3 7
После прибавления десятков прибавляют сотни. 7 6 4
Так, в примере, написанном справа, действие про- I ? 1
изведено таким образом: —сГ"Т~
237 — 241 — 301 —1001 —1002 —1042 —1542.
Совместное сложение и вычитание 11
6. Вычитание посредством сложения. Раз- 1 7 9 5 3
ность можно найти как слагаемое; для этого рас- 8 7 2 6
сматриваем уменьшаемое как сумму, а вычитае- 9 2 2 7
мое—как одно из слагаемых.
Пусть, например, требуется вычесть 8726 из 17953.
Рассуждаем так:
Сколько надо прибавить единиц к 6, чтобы получить
сумму, оканчивающуюся цифрой 3? Очевидно, 7.
От сложения 6 и 7 должны получиться три единицы и
один десяток, который мы и прибавили к двум десяткам
в вычитаемом.
Сколько десятков нужно прибавить к тоем десяткам, чтобы
получить сумму, оканчивающуюся цифрой 5? Очевидно, 2 и т. д.
Итак*.
6Н
зч
7-
8-
h7=13
h2=^ 5
-2= 9
1-9=17
Цифры, напечатанные жирным шрифтом, должны быть
написаны в ответе.
7. Вычитание при помощи дополнений. Пусть требуется
вычесть 8 из 27.
Дополнение 8 до 10 равно 2. Если оба числа увеличить
на 2, то очевидно вычитание упрощается:
27 + 2 = 29
8 + 2^10
19
Вычтем 94 из 173:
173 — 94 = (173 + 6) — (94 + 6) = 179 —100 = 79.
8. Совместное сложение и вычитание. Если некоторые
из чисел, стоящих в столбце, должны быть прибавлены, а
другие вычтены, то применяют один из следую- 7 4 8 3
щих методов: 4 8 2 9
1. Сначала складывают отдельно все поло- 3 18 2
жительные числа, затем — все отрицательные. 6 3 3 4
После этого находят разность полученных 8 3 7 1
чисел. 12 17
2. Последовательно складывают и вычитают i о О £ я q
числа, стоящие в каждом столбце. — 1 О 7 Ч Ч
9. Для упрощения вычислений рекомен-
дуется изучить следующую таблицу умножения: 9 9 5 0
12 Арифметич. вычисл. посредством алгебраич. формул
Таблица умножения.
13X1= 13
2= 26
3= 39
13X4= 52
5= 65
6= 78
7= 91
8 = 104
9 = 117
10 = 130
11 = 143
12 = 156
13 = 169
17X1 =
2 =
3 =
4 =
5 =
6 =
7 =
8 =
9 =
10 =
11 =
12-
13 =
14 =
15 =
16 =
17 =
14X1 =
2 =
3 =
14X4 =
= 17
-- 34
= 51
= 68
= 85
= 102
= 119
= 136
= 153
= 170
= 187
= 204
= 221
= 23S
= 255
= 272
= 289
5 =
6 =
7 =
8 =
9 =
10 =
11 =
12 =
13 =
14 =
= 14 :
= 28
= 42
= 56 :
= 70
= 84
= 98
= 112
= 126
= 140
= 154
= 168
= 182
= 196
18 X Ь
2 =
3:
4 =
5 =
6 =
7 =
8 =
9
10 =
11 =
12 =
13 =
14 =
15 =
16 =
17 =
18 =
15X1 =
2 =
3 =
15X4 =
5 =
6 =
7 =
8 =
9 =
10 =
11 =
12 =
13 =
14 =
15 =
= 18
= 36
= 54
= 72
= 90
= 108
= 126
= 144
= 162
= 180
= 198
= 216
= 234
= 252
= 270
= 288
= 306
= 324
- 15
= 30
= 45
• 60
= 75
= 90
= 105
= 120
= 135
= 150
= 165
= 180
= 195
= 210
= 225
16X1= 16
2= 32
3= 48
16X4= 64
5= 80
6= 96
7 = 112
8 = 128
9 = 144
10 = 160
11 = 176
12 = 192
13 = 208
14 = 224
15 = 240
16 = 256
19X1= 19
2= 38
3= 57
4= 76
5= 95
6 = 114
7 = 133
8 = 152
9 = 171
10 = 190 .
11 = 209
12 = 228
13 = 247
14 = 266
15 = 285
16 = 304
17 = 323
18 = 342
19 = 361
10. Как давать сдачу* 1) Назовите стоимость товара;
2) добавьте мелочь до „ровного счета"; 3) прибавьте крупные
монеты.
Пример. Стоимость предмета — 33 коп. Покупатель дает
50 коп.
Другие сокращенные способы вычислений 13
1) Отмечаем, что стоимость товара — 33 коп,; 2)
добавляем 2 коп. до 35 коп.; 3) добавляем 15 коп.
11. Другие сокращенные способы вычислений. Чтобы
умножить на 0,025, следует отделить один десятичный знак
справа и разделить полученное число на 4.
Чтобы умножить на 0fl(3), следует отделить один
десятичный знак справа и разделить полученное число на 3.
Чтобы умножить на 0,05, следует отделить один
десятичный знак справа и разделить полученное число на 2.
Чтобы умножить на 0,075, следует отделить один
десятичный знак справа и вычесть из полученного числа -г- его.
Чтобы умножить на 0,1125, следует отделить один
десятичный знак справа и прибавить к полученному числу -~- его.
Чтобы умножить на 0,1(3), следует отделить один
десятичный знак справа и прибавить к полученному числу -«"его.
Чтобы умножить на 0,1375, следует отделить один
десятичный знак и прибавить к полученному числу -г- его, плюс
1 1
Т °Т Т
Чтобы умножить на 0,18, рассуждают так:
0Д8 = 0,20-0Д* = |-(1от|).
Таким образом, следует разделить на 5 и вычесть 0,1
полученного числа.
Чтобы умножить на 0,2(3), рассуждают так:
0,2(3) = 0,20 + 0,0(3) = ~Г"Ь"7Г полученного числа.
Таким образом, следует разделить на 5 и прибавить к
полученному числу -j- его.
Чтобы умножить на 0^24, рассуждают так:
0,24 = 0,25 — 0,01 = ~ — 0,01.
Таким образом, следует разделить данное число на 4 и
отнять от полученного числа 0,01 первоначального.
14 Арифметич. вычисл. посредством алгебраич. формул
Чтобы умножить на 0,275, рассуждают так:
0,275 = 0,25 + 0,025 = -1 +1 от —• *
4 10 4
Таким образом следует разделить на 4 и прибавить к
полученному числу T7i его.
Чтобы умножить на 0,45, рассуждают так:
О,45 = 0,5О~0,05--| -А от у-
Поэтому следует разделить данное число на 2 и вычесть
1
из полученного числа тт; его.
Чтобы умножить число на 25, следует перенести запятую
на два знака вправо и разделить полученное число на 4.
Чтобы умножить число на 75, следует перенести запятую
на два знака вправо, разделить полученное число на 4 и
умножить на 3.
Чтобы умножить число на 125, следует перенести запятую
на три знака вправо и полученное число разделить на 8.
Чтобы у множить число на 250, следует перенести запятую
на три знака вправо и полученное число разделить на 4.
Обратно:
Чтобы разделить число на 25, следует перенести запятую
на два знака влево и умножить полученное число на 4.
Чтобы разделить число на 75, следует перенести запятую
на два знака влево, умножить полученное число на 4 и
разделить результат на 3.
Чтобы разделить число на 125, следует перенести запятую
на три знака влево и умножить полученное число на 8.
Чтобы разделить число на 250, следует перенести запятую
на три знака влево и умножить полученное число на 4.
12. Арифметические действия часто могут быть
упрощены при помощи алгебраических формул. Пользование
последними удобнее, чем применение сложных правил, которые
к тому же трудно вспоминать.
Применение нескольких таких формул дано ниже.
13. Возвышение в квадрат чисел, оканчивающихся
цифрой 5.
Рассмотрим число, состоящее только из единиц и десятков,
Т. е. двузначное число.
Возвышение чисел в квадрат 15
Пусть число десятков равно а, тогда
(10а + 5) = данному числу.
(10а 4- 5)2 = ЮОа2 + 100а + 25
<lua l =100:i (а + 1) + 25.
Поэтому, если мы умножим число десятков на него самого
плюс единица и припишем справа к полученному
произведению 25, то получим квадрат данного числа.
Пример. Возвысить в квадрат число 35.
Имеем: 100 • 3 • 4 = 1200
Добавляем 25
1225
Можно не умножать на 100, а просто иметь в виду, что
первое из полученных чисел дает сотни искомого квадрата,
число же 25 —последние две цифры его.
Преимущество пользования таблицей умножения,
приведенной в § 9, ясно из следующего примера.
Пример. Возвысить в квадрат 145.
Идем: 14.(14+1) = 14-15-210
приписываем 25
21025.
В этом случае в данном числе имеется 14 десятков.
14. Возвышение в квадрат чисел с дробной частью -=- •
Для возвышения в квадрат числа (и + -у") следует просто
умножить целое число п на ближайшее большее целое число
и к полученному прибавить -^ Так, например,
(7 4-)2 = (7X8)+4 = 56i
(loi)e = 110-J-(ai. §13).
15. Возвышение в квадрат чисел, близких к 50.
Находим избыток данного числа над 50, прибавляем его к 25,
тогда получим сотни искомого числа. Затем добавляем квадрат
упомянутого избытка:
(56)2 == ЮО (25 -f 6) + 6а = 3136
(53)- = ЮО (25 Н 3) + З2 = 2809.
16 Арифметич. вычисл, посредством алгебраич. формул
В самом деле
(50 + а)* = 2500 + 100а + а* = (25 + а) • 100 + а*.
Если число меньше чем 50, то сперва находим разность
между ним и 50. Чтобы найти сотни искомого квадрата,
вычитаем эту разность из 25. К полученным сотням прибавляем
квадрат указанной разности. Так, например:
472 = (25 — з) ЮО+ 32 = 2209
41* = (25 — 9) 100+9* = 1681.
16* Вычисление произведения двух чисел,
оканчивающихся на 5, если десятки у обоих либо четные, либо
нечетные. Обозначим буквой а число десятков первого числа
и буквой Ь число десятков второго числа. Тогда первое
число можно изобразить так:
(10а+ 5),
а второе
(106+5).
(10а+5) (106+5) = 100аЬ4~506 + 50а-Ь 25.
Таким образом
100а£ = а'6-100
50а + 506 =^il. 100.
Следовательно, для получения искомого числа посту*
паем так: складываем полусумму десятков с их
произведением и приписываем к полученному числу справа 25.
Заметим, что а и Ь должны быть либо оба четными, либо
оба нечетными, иначе их сумма не будет нацело делиться на
2, нельзя будет применить указанное правило.
ripuMtp 7. Умножить в уме 65 на 45.
6 + 4_
6X4 = 24
Сумма 29
Приписываем 25
2925 (Ответ).
Вычисление произведения дву;: Чисел 17
Пример 2. Умножить 175 на 195.
i!±i-9= is
17 X 19 = 323
Сумма 341
Приписываем ^~
34125 (О т в е т).
В следующем параграфе рассмотрен случай, когда цифра
десятков в одном числе четная, а в другом нечетная.
17. Вычисление произведения двух чисел,
оканчивающихся цифрой 5, если в одном из них число десятков
четное, а в другом нечетное. Обозначим четную цифру десятков
в первом числе буквой а, а нечетную цифру их во втором—
буквой Ь; имеем:
(10а + 5) (106 + 5) = WOab -{- 50а + 506 + 25,
где, по условию, а — четное, Ь — нечетное. Если уменьшить
b на единицу, чтобы сделать его четным, можно было бы
производить дальнейшие действия так же, как и в § 16. В этом
случае необходимо к полученному результату прибавить 50, так
как это число является коэффициентом при Ь. Итак, имеем:
100ab = ab-100
50 (Ь — 1) + 50а = Q + (^~1} - 100
Прибавляем 25
и 50^
(О т в е т).
Для получения искомого числа следует поступать так:
Прибавляем произведение цифр десятков к полусумме цифры
четных десятков и цифры нечетных, уменьшенной на единицу.
К полученной сумме (являющейся числом сотен в искомом
произведении) приписываем справа 75. Тот же результат
получим, если прибавить цифру десятков, разделенную на 2,
отбрасывая получающийся при этом остаток.
Пример 7. Умножить 45 на 55.
Имеем: 4 X 5 = 20
4 + (5 —1) _ 8 _
2 ~ 2 ~
Сумма 24
Приписываем 75
2475 (Ответ).
* Справочник для инженера.
вчавчиЁлдаяк???'?
18 Арифметич. вычисл. посредством алгебраич. формул
Пример 2. Умножить 165 на 135.
Имеем: 16X13 =208
16 + 12
2
= 14
Сумма 222
Приписываем 75
22275" (Ответ).
Применение алгебраических формул при умножении.
18. Формула а (Ь — с). Раскрывая скобки, получаем:
а (Ь — c) = ab — ас.
Пример, Умножить 945 на 998.
945 X 998 = 945 (1000 - 2) =. 945000 - (945 • 2) =
= 945000 —1890 = 943110.
19. Формула a (cb -f с) = acb -\- ас.
Пример. Умножить 384 на 246.
246 = (6X40)+ 6.,
Отсюда 384 X 246 = 334 [(6 X 40) + 6]
384 X 6 = 2304, 2304 X 40 = 92160
92160 + 2304 = 94464 (Ответ).
Удобнее умножать сначала на 6, а затем на 40.
Самое действие располагается так:
384
246
2304
40 X 2304 = 9216
94464 '
20. Формула ab = Ьа. Иногда оказывается удобным пере-
7 ставить множители. Так, например, 89°/0 от 25 рублей равны
Z } 25% от 89 рублей, т. е. одной четверти от последнего числа.
к 21. Формула {а \-Ь) {а — Ь) = Ф — Ь\
Пример /• Перемножить в уме 52 и 48.
Сравнивая с формулой, имеем:
(50 + 2) (50 — 2) = 502 _ 22 = 2500 - 4 = 2496.
Заметим, что а2 является квадратом среднего
арифметического данных чисел, а б2 — квадратом разности между
последним и данными числами.
Формула (а+й) (а + с) - а2 + (4 + с) а + 6с /Р
Пример 2. Умножить 75 на 65.
(70 + 5) (70 — 5) = 4900 — 25 = 4875.
Пример 3.
97 X ЮЗ = (100 + 3) (100 — 3) = 9991.
Пример 4.
31Х29 = (30 + 1) (30 -1) = 900 -1 = 899.
Если задана разность квадратов чисел, то порядок
действий — обратный.
Пример 5. Найти величину выражения 812 — 622.
Здесь а = 81, b = 62.
(а - Ь) (а + Ь) = 19 X 143 = 2717.
Эту формулу удобно применять в том случае, когда в
прямоугольном треугольнике заданы гипотенуза и один из
катетов, причем требуется найти второй катет.
Пусть: а — длина гипотенузы, b — длина известного катета,
л: — длина неизвестного катета.
Очевидно
х=Уа* — &=У(а + Ь)(а — Ь).
Пример 6. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 5, а один
из катетов равен 3. Определить длину второго катета.
х = У 52 - З2 = /(5 + 3) (5-3) = У8^2 = 4.
22. Формулы (a-\-b)* = a* + 2ab+b*; (a — b)* = tf —
— 2аЬ + Ь\
Пример 7. Вычислить в уме (54)2. Имеем:
542 = (50 + 4)2 = 502 + (2 х 50 X 4) + 42 = 2500 + 400 +16 = 291$
Пример 2. Вычислить в уме (49)2.
49* = (50 -1)» = 2500 ~ (2 X 50 X 1) + I2 = 2500 - 100 + 1 = 2401.
23. Формула (a-\-b) (a-\-c) = a*-\-(b-\-c) a + bc.
Пример /. Умножить в уме 121 на 126.
(120 +1) (120 + 6) = 14400 + (7 X 120) + 6 = 14400 + 840*+ 6 = 15246.
Если задача такого вида не может быть решена в уме,
то, применяя этот способ, можно сильно сократить время,
требующееся для вычислений.
2*
20 Арифметич. вычисл. посредством алгебраич. формул
Пример 2. Умножить 76 на 81.
Имеем:
(80 +1) (80 - 4) = 6400 - 240 - 4 = 6156,
или, иначе,
(70 + 6) (70 +11) = 4900 + 1190 + 66 = 6156.
Заметим, что в этом случае число десятков должно быть
одним и тем же в обоих числах. Произведение двух чисел,
имеющих одно и то же число десятков, равно квадрату
десятков плюс произведение десятков на сумму единиц плюс
произведение единиц.
24. Формула (а + Ь) (с-\-Ь) = ас-\~(а-\-с) b+b2. Следует
обратить внимание на то, что число единиц в обоих числах
одинаково.
Пример. Умножить в уме 42 на 72.
ас= 40 X 70 = 2800
(а + с)6 = (40 + 70)Х2= 220
Ь* = 2X2 = 4
3024
Итак, произведение двух чисел, у которых число единиц
одинаково, равно квадрату единиц плюс произведение единиц
на сумму десятков плюс произведение десятков.
Рекомендуется сравнить это правило с произведением
в п° 23 и заметить разницу между ними.
25. Формула (а 4- Ь) (c + d) = ac + bcAradArbd. 83
Произведение двух чисел равно сумме произведе- 94
ния единиц, произведения десятков и произведений 7212
десятков на единицы. 27
Напишем произведение единиц (12), а непосред- 32
ственно перед ними произведение десятков (72). ~7802
Числа 27 и 32 суть произведения единиц на десятки
и должны быть написаны под сотнями и десятками числа
7212. Заметьте, что при этом способе нет необходимости
переносить какие бы то ни было величины.
Следует помнить, что для произведения единиц
необходимо оставить места двух последних десятичных знаков.
Если же это произведение является однозначным, то на место
второго знака помещается нуль. Так, например:
84
6 2
4808
24
16
5208
Умножение по методу избытка и недостатка 21
Рекомендуется употреблять таблицы умножения,
приведенные в п° 9:
1 4 3
18 6
25218 3X6 = 18 14X18 = 252
84 6X14 = 84
54 3X18 = 54
26598
Если указанных таблиц не имеется, то для отыскания нужных
произведений располагают действия аналогично предыдущему:
1 4
1 2
108
6
1 5
1 5
125
10
1 6
1 7
142
13
1 8
1 9
172
17
1 9
1 9
181
18
168 225 272 342 361
Последнее действие можно формулировать в виде
следующего простого правила:
Прибавьте 100 к произведению единиц, а затем прибавьте
сумму единиц, предварительно сдвинув ее на один знак влево.
26. Умножение на 21, 31, 41 и т. д. или на 401,601 и т. д.
Пример 7. Умножить 287 на 41.
287 X 4 = 1148. Прибавим 287 к 1148, передвинув 287 на один знак
2 8 7 вправо. После некоторой практики, удается прибавлять
4 1 множимое к произведению его на десятки множителя
Ц48 без повторного переписывания, по мере хода умноже-
. ния. Сперва должна быть написана цифра 7, цифру 8
11767 следует прибавить к произведению 4 X 7 и т. д.
Пример 2. Умножить 458 X 601.
£ *> 8 Снесем 58.
Умножим на 6 и прибавим 4 к последней цифре полученного
2752 58 произведения.
27. Умножение по методу избытка и недостатка.
Пример. Умножить 107 X Ю4.
Данные числа больше 100 соответственно на 7 и 4 (то есть 7 и 4
являются избытком для данных чисел).
1. Найдем произведение избытков 7 X 4 = 28; число 28 дает две
последние цифры искомого произведения.
I. Прибавьте избыток одного из данных сомножителей к другому и по^
лученную при этом сумму припишите слева к произведению избытков;
107 + 4 = 111.
Поэтому
11128 = Ответ.
22 Арифметич. вычисл. посредством алгебраич. формул
Пример. Умножить 97 на 96.
Недостатки данных сомножителей до 100 будут соответственно 3 и 4.
1. Произведение недостатков дает последние цифры ответа 3 X 4 = 12.
2." Вычтем недостаток одного из данных сомножителей из другого:
96 — 3 = 93; полученную разность припишем слева к произведению
недостатков. Таким образом, получим ответ 9312.
28. Аликвотные части. Аликвотной частью данного числа
называется такое число, которое содержится в данном большем
целое число раз.
Таким образом
25 = -- от 100, 10 = у от 50.
Удобство пользования аликвотными частями при
вычислениях видно из следующих примеров:
Пример 7. Стоимость 16 часов работы по 25 коп. за час: 25 коп.
есть -г- от 1 руб.
16 X -j- = 4 рубля.
Пример 2. Оплата за 60-часовой заработок из расчета по 75 коп. за
3
час: 75 коп. есть -г- от 1 руб.
60 Х-!^45 руб.
Если приходится часто производить вычисления,
аналогичные приведенным примерам, то весьма удобно
пользоваться аликвотными частями, помещенными в нижеследующей
таблице 1 для шестнадцатых долей.
Таблица 1.
V»
\~*i^
5/i6
7/ie
v8
"""^Г
ч*
V.
6W/o!
12V.
183/4
25
31V4_
371/a
43»/,
50
9/ie
ll/16
1S/ie
15/i6
5/8
7e
*U
56V*
62V,
633,4 1
75 1
81i/4
W»/i
93«/4
3 3
Пример 3. 48 час. по 18-д- коп. составляют ут от 48, т. е. 9 руб.
Аликвотные части 23
Указанным способом можно составлять платежные списки,
вычислять торговый учет и т. д. Твердое знание свойств
шестнадцатых и восьмых долей необходимо инженерам, потому
что различные измерения часто производятся в указанных
долях.
Весьма полезна также нижеприведенная таблица 2
двенадцатых долей.
Таблица 2.
1 Vu
5/l2
7/li
U/tt
V.
%
v«
»/«
■/,
2/з
V»
81/з%|
16»/,
25
33V3
41%
50
58V,
662/s j
75 1
83'/з
№/s
SOKon.-8-i- коп. ="1—^ = 4=41 4 коп.
1 руб.-41-J коп. =1-^=^ = 58-1 коп.
2 1
16 -=г- коп. + 58-^- коп.
17 3
9 11
60 кв. м черепицы по 91-^-коп. = — от 60 руб. =55 руб.
Руб. 120 по16-д-%учета = 120 — -i-от 120 = 120—20 =
= РУб. 100,
24 Арифметич. вычисл. посредством алгебраич. формул
Проценты на 240 руб. по 8-^-°/о в год. -г~ от 240 руб. =)'
= 20 руб. ;
29. Определение места запятой. Запятая должна быть
поставлена только после тщательного выяснения ее места.
В случае вычислений, производимых при помощи
упрощенных способов, а .также на счетной линейке, найти место
запятой обычным приемом весьма затруднительно, почему и
рекомендуем нижеследующие способы.
Пример. Умножить 4652 на 3,1416.
Заметим, что ответ должен быть немного более множимого, взятого
три раза, при этом он будет иметь пять цифр слева от запятой.
Если множитель есть 3141,6, то принимаем его за число 3 с запятой,
передвин) той на три знака вправо; 3 X 4652 будет содержать пять цифр
пл1гс три нуля, что в результате дает восемь знаков слева от запятой.
Если множитель есть 0,0300031416, принимаем его за число 3 с запятой,
передвинутой на шесть знаков влево; 3 X 4652 будет иметь пять знаков, но
перенесение запятой назад на шесть знаков даст в результате один нуль
перед первой значащей цифрой.
30. Положение запятой при делении. При делении
десятичных дробей переносим запятую в знаменателе (в уме)
за первую значащую цифру. Затем переносим запятую
в числителе или в делимом на столько же знаков и в том же
направлении, что и в знаменателе или в делителе. Ставим
запятую на соответствующее место после его определения.
Примеры.
2,717 0,0002717
31416 3,1416
31,416 31416,
0,0000865 ж 0,00009 (О т в е т).
= 11558^10000 (Ответ).
0,002717 2,717
31. Если в данном выражении необходимо перемножить
и разделить несколько чисел, то найти положение запятой
без применения специальных приемов, предназначенных для
этой цели, весьма затруднительно. Для определения
положения запятой рекомендуется исследовать задачу, прежде чем
производить указанные действия. При этом работа упрощается,
так как числа можно предварительно округлить.
Для определения положения запятой, а также
приближенного ответа, поступаем так:
Разбиваем каждое из входящих в данное выражение чисел
на два множителя. Одним множителем является число,
получающееся из данного путем перенесения запятой за
первую слева значащую цифру; вторым — число 10, возведенное
Применение способов, указанных в п° 31. 25
в такую степень, чтобы произведение обоих множителей
равнялось первоначальному числу. Так, например:
4000 = 4,000 X Ю X Ю X 10 = 4 X Ю3.
Точно так же
523 = 5,23 X Ю2. .
Показатель степени при 10 равен числу десятичных
знаков, на которое была передвинута запятая. Если
запятая была передвинута на три знака влево, как в
приведенном примере, и 4 является единственным целым числом, то
показатель положителен. Если же запятая передвинута на
два знака вправо (0,04 = 4 X Ю " ), показатель отрицателен
и равен (— 2).
Точно так» же, если в знаменателе имеется число 10
в какой-либо степени, то его можно перенести в числитель,
изменив при этом знак показателя на обратный:
io = ixw ± = iX-i = ixio-1
200 = 2 Х102 -т^7Г= 1 X-^ = 10-2
3000 = 3 XlO3
0,1 = 1 X Ю-1
0,01 = 1 X 10-2
0,001 = 1 X Ю-3
32. Применение способов, указанных в п° 31* Рассмотрим
следующий пример:
22684 X 0,0713 _ (2ХЮ4) (7 X 10~2)
0,00189X83X6 (2 X Ю-3) (8X10) (6) *
Выделяя множители, представляющие собою степени 10 (это
мы делаем на практике, конечно, без промежуточных
объяснений, изложенных выше), имеем:
2X7 ^у „л4 — 2 + 3 — 1 .
2X8X6
сокращаем на 2:
ХЮ4"
7 7
"4f ХЮ4= -^- X Ю3 = 1,459 X 1(Г= 1459,
26 Арифметич. вычисл. посредством алгебраич. формул
Это и дает положение запятой. Мы теперь знаем
достаточно точно, каков должен быть ответ, и можем легко
указать степень приближения каждого числа в том случае,
если желаем иметь более точный результат.
Пример.
4,89X986 _ 5X1 vin8-2+2-2 L _п*а
373 X 0,07 X 472 ^ 4 X 7 X 5 Л ~" 2,8 ~* и,*°"
33. Деление. В детстве нас учили определять, сколько раз
делитель содержится в делимом, путем проб. Для этого
следовало делить первые цифры делимого на первую слева цифру
делителя; величина произведения полученного частного на
первую цифру делителя сразу показывала, не было ли
пробное частное взято слишком большим.
Если пробное частное умножить на вторую цифру
делителя и прибавить результат к произведению первой цифры
делителя на указанное частное, то полученное при этом число
будет лучше служить для сравнения.
Сравним старый способ с новым. Имеем
113,34412456
5
<
По старому способу следовало бы считать, что цифра
5 взята удачно, так как 5X2 меньше 11. Однако, если мы
умножим вторую цифру делителя, т. е. 4, на 5, — мы должны
будем прибавить 2 к 5 X 2, причем получим 12. Это сразу
покажет, что цифра 5 велика; вместо нее следует взять 4.
34. Деление посредством разложения на множители.
Разложим делитель на множители и произведем деление
сокращенным способом (если возможно — в уме), при этом
выписываем только ответы.
Пример 7. Разделить 504 на 42.
Множителями числа 42 являются: 2, 3 7 или 6 и 7.
504
252
84
2
3
7
или
504
84
1 °
1 7
12 = Ответ. 12 = Ответ.
К этому результату можно притти, разложив предварительно делимое
и делитель на множители л сократив те из них, которые являются
общими
Вычитание
27
Пример 2*
504 12 504-2X2X2X3X3X7
252 2
126 2 42
63
21
7
3 21
3 7
Остающиеся в делимом после сокращения множители:
2X2X3 = 12 (Ответ).
Указанный прием не всегда требует меньше времени, но
зато обычно дает более верные результаты.
Проверка арифметических действий девятками.
35. Сложение* Складываем цифры, образующие каждое
из данных чисел; полученные при этом суммы делим на 9 и
сравниваем сумму получающихся здесь остатков с тем
остатком, который образуется при делении на 9 суммы цифр
нашего ответа (суммы данных чисел).
Пример.
3443 3 + 4 + 4 + 8 19
7128 9 = Т = В °СТаТКе Ь
8873
7 + 1+2 + 8 18
4123 б = -<т- = в остатке 0.
22
15
4
22 4 + 1 + 2 + 3 10
23572 9 ~ ~9~
IS 8 + 8 + 7 + 3 26
ID = -—- = в остатке о.
14 9 9
: в остатке 1.
10
== в остатке
2 + 3 + 5 + 7 + 2 19
■ g = -q- = в остатке 1.
36. Вычитание. Рассматриваем уменьшаемое к£к сумму
вычитаемого и остатка; затем поступаем так же, как и при
проверке сложения.
Пример. 4829 4 + 8 + 2 + 9 = в остатке 5
3347 3 + 3 + 4 + 7 = в остатке 8
1482 1+4 + 8 + 2 = в остатке о
8 + 6 .
—£— = в остатке 5.
28 Арифметич. вычисл. посредством алгебраич. формул
37. Умножение. Находим остатки множимого и множителя,
получающиеся при делении каждого из них на 9; перемножаем
эти остатки и делим их произведение на 9; получающийся
при этом остаток должен быть равен остатку от деления на
9 произведения данных двух чисел.
Пример, 365 5
56 2
2190 -Jo= в остатке 1.
1825
20440 2 + 0 + 4 + 4 + 0 = 10, т. е. в остатке 1.
38. Деление. Рассматриваем делимое как произведение
частного на делитель и поступаем так, как и при проверке
умножения.
39. Упрощение действий при проверке девятками. Пусть
сумма данных чисел 2689143; разделим сумму цифр на 9;
получим 33:9, что дает в остатке 6.
Можно получить этот же результат и более быстрым путем.
Складываем сначала цифры данного числа, а затем цифры
полученной суммы, т. е. 3-f3 = 6, и сразу получаем искомый
остаток вместо того, чтобы находить его делением 33 на 9.
40. Другой сокращенный способ состоит в вычеркивании
всех цифр, образующих вместе 9 1).
Возьмем число 2689143; группируем цифры его так: 6-f-
-1-3, 8 -J- 1, 9; остающиеся цифры 2 и 4 дают в сумме 6, что и
является остатком.
41. Признаки делимости. Все четные числа делятся на 2.
Число делится на 3, если сумма цифр его делится на 3.
Пример. 4782. 4-f7-f-8-j-2 = 21, число 21 делится на 3, поэтому
4782 также делится на 3.
Число делится на 4, если его две последние цифры сами
делятся на 4 или образуют число, делящееся на 4.
Число, оканчивающееся на 0 или на 5, делится на 5.
Четное число делится на 6, если сумма его цифр делится на 3.
7, 11, 13 делят число 1001, а также любое число, в
которое 1001 входит сомножителем, как например 5005, 8008,
12012 и т. д.
*) Второй способ принципиально не отличается от первого. Разница
только в технике выполнения счета. В самом деле, по второму способу мы
откладываем все цифры, дающие в сумме девять. Считая же первым
способом, мы также их не учтем, потому что при делении общей суммы цифр
числа на 9 такие цифры не будут влиять на величину остатка при делении.
Прим. ред.
Сокращенный метод извлечения квадратного корня 29
Число делится на 8, если оканчивается тремя нулями или
если его последние три цифры образуют число, делящееся
на 8, как например 125000 или 164896.
Число делится на 9, если сумма цифр его делится на 9.
Число, оканчивающееся на 0, делится на 10.
Число делится на 25, если оно оканчивается двумя нулями
или если его последние две цифры образуют произведение
25 на какое-либо число.
Число делится на 125, если оно оканчивается тремя
нулями или если его последние три цифры образуют
произведение 125 на какое-либо число.
Множитель данного числа является также множителем во
всех произведениях данного числа.
Общий множитель двух чисел является также и
множителем их суммы или разности.
Пример, 4 есть общий множитель 20 и 36. Число 4 является
множителем 56 и 16.
42. Извлечение квадратного корня при помощи
алгебраической формулы. Здесь применяется формула:
Обратно
Va*-±-2ab+b* = a + b
1_а2
2a + b\
2аЬ + Ь*
Ь\ 2аЬ+Ь*
Пример. Найти квадратный корень из 1156.
Пробный делитель 2а — 60
а + Ь
уГ11'56~ = 30 + 4
900
Полный
делитель
(2а+ Ь) =64
256
256
«. Сокращенный метод извлечения квадратного корня.
мп^ВеЛИЧИ1а Ь весьма мала, то без большой погрешности
можно пренебречь членом №
30 Арифметич. вычисл. посредством алгебраич. формул
Тогда мы получаем
(а±:6)2^а2±2аЬ.
Приведем пример, чтобы показать порядок действий на
основе этой формулы.
Пример. Найти квадратный корень из 327,12. Выбираем число, квадрат
которого близок к данному числу. Это можно сделать или путем
испытаний чисел, или при помощи таблицы либо квадратов либо квадратных
корней в том случае, когда употребление таблицы логарифмов нецелесообразно.
Испытаем а = 18; тогда а2 = 324, получили число немного меньше данного
327,12.
Разность между данным числом 327,12 и 324 при этом равняется
+ 2abf т. е.
327,12^-324 = 2 X 18Х^,
откуда Ь = —^— = 0,087.
Так как а-\-Ь есть корень квадратный из (a -f- b)2, то
а + Ъ = 18 + 0,087 = 18,087;
полученное число 18,087 и есть приближенное значение квадратного корня
из данного числа 327Д2.
В случае, когда квадрат испытуемого числа больше данного
числа, имеем
(а — ЬУ = а2 — 2аЬ приблизительно.
Тогда, чтобы найти квадратный корень из данного числа,
найденного таким же путем, что и выше, значение Ь вычитается
из а-
44. Извлечение кубичного корня при помощи
алгебраической формулы. Здесь применяется формула
(a_|-6)3 = a3-f 3a*6 + 3a62+63 =
=±=a3 + (3a2 + 3a6 + b2)6.
уЛа3 + За2Ь + За62 + Ь3 = а + 5
3a2 + 3a6-fi2
Ь
За26 + ЗаЬ2-|-&3
За26 + 3а62 + 63
= 14700
= 840
= 16
- 15556
==
343000
62224
62 224
Сокращенный способ извлечения кубичного корня 31
Пример. Найти кубичный корень из 405224 1). ■
У 405'224 = 70 + 4
За2
ЪаЬ
Ь*
За^ + ЗаЬ + Ь*
(За2 + ЪаЪ + Ъ ) Ъ
(15556X4 «62224)
45. Сокращенный способ извлечения кубичного корня.
При условии, что Ь весьма малая величина, этот метод подобен
сокращенному методу извлечения квадратного корня. Мы
принимаем *
(a -fi)3 = fl3r3 а2о приблизительно.
Пример. Найти приближенное значение кубичного корня из 2050,16.
Путем проб устанавливаем, что ближайший к данному числу куб есть число
ИЗ)3 = 2197, которое больше данного числа. Поэтому берем а = 13.
Разность между полученным кубом и данным числом
2197 - 2050,16 = 146,84 = - 3 аЧ
-За26 = -ЗХ(13)2Х6 = 146,84
-ЗХ 169 ХЬ = 146,84
Ъ = - 0,29.
Отсюда выражение (а — Ь), представляющее собою кубичный корень из
(а — &)3, равно
Поэтому
13 - 0,29 = 12,71.
2050,16 = 12,71.
Более точное значение: 12,703.
v
*) Для нахождения величин а и Ь следует поступить так: взять цифру а
с расчетом, чтобы куб числа, образованного цифрой а с соответствующим
числом нулей, был наибольшим кубом такого вида, заключающимся в
данном числе. В рассматриваемом примере а = 7, ибо 70 есть такое число, что
его куб, равный 343000, есть наибольший среди кубов двузначных чисел,
состоящих из значащей цифры с нулем, который содержится в заданном
числе 405 224.
Для определения Ь следует выделить полученный куб из данного числа
и разность разделить на За2. В нашем примере 3^ = 14 700. Разность
равна 62 224. Частное от деления равно 4.
Ь соответствии с формулой куба суммы нужно составить числа Sab и Ь2.
Для данного примера эти числа равны 840 и 16. Числа Ъа*, Sab, Ь2
нужно сложить и сумму умножить на Ъ. Вычтя это произведение, получим
новую разность, относительно которой можем продолжать то же действие,
если только полученная разность не будет равна нулюч
нашем примере произведение равно 62 224 и разность равна нулю.
Прим. ре а*
,л,л«м* Абсол. и относит, погреши.
32 Приближен, вычисления, посол.
Глава II.
„РИВЛИЖЕННЫВ «-—ЕЙГ° И ОТИ0СИТЕЛЬНАЯ
46. Приближенные >-^^^^^^
производят вычисление пользуясь ах или из
посредством ивмерении отсчете ^ вычисдениях
справочников, 6ecBe*bH° т°ч£ых знаков. Такие вычисления
излишнее количество ***™£ГЛ дают ЛОЖное впечатление
занимают ojeJbj^JP^измерения есть приближенное
точности. Р^тЬ^аточности его должна зависеть от той
число, причем с™пе"ь ИЗМерение предназначается,
цели, для кот0РОИАПДаН"0же„еР желает сравнить размер вала
ПГЬ' "SSk изготовленного воЬранции, с размером
барабана подъемника, :на.
вала, изготовленного в Америке диаметра, равный
На Ф^3Т 'жёнео обратится^ таблицам для перевода
24 см. Вероятно, «H*f Х£То3937 дюйма. После этого он
мер и увидит, что 1 см ff^^r число дюймов в 24 см. I
умножит в уме 24 на »Д ^ * зубчатое колесо I
Если же он преДП°ла^^"И(ТнадеваеМых в горячем виде), I
при помощи скРе"ляЗеХТраЛр^сточ^и в ступице колеса при-1
то при вычислении Д**«РД Учение постоянной, т. е. 0,3937.1
дется принять в расчет точное значе тся посредством I
47. Округленные-шела Число «^^ ифр> причем1
оторасывания справа одной ил ^ ^ ^ ?> g Q> TO ■
если последняя из оторо увеличИть на единицу. I
предшествующую цифру °ле*У ые прибАиженные значения!
LlrT:Xz:r^z^yr^ з,ш59.»«««.
3,1416 ЗД42 3,14 3,1 3.
^-« Гтрпень точности измерения onpe-j
48. Значащие цифры. ^^^лучившихся в результате
деляется числом зна^^Р'цифрами называются 1, 2, 3,
данного из^рения а3яачащимил ц ФДящие ^ ними ^
сохраненные при' окружении --а- ^ ^
Так, число 3496000 0 ™^й инятому обозначению,
как нуль, стоящий после запятой. Н^ тОЧНЫМ д0 деСяты j
указывает на то, что данное число « занном случае нулЛ
долей единицы. Отсюда »™%™ЫТ> инят во внимание^
Т^ноТаГГ е^ыимймТсло 3999,1 и округляем путе^
Абсолютная погрешность 33
отбрасывания 0,7, то получим число 4000, которое следует
рассматривать как имеющее четыре значащих цифры.
Если в результате измерения некоторой длины мы полу*
чили 14,1 си то это значит, что указанная величина является
точной Д° десятой доли сантиметра. Если же измерение
было произведено с точностью до ближайшей сотой сантй*
метра и результат совпал с предыдущим, то следовало бы
написать, что длина равна 14,10 см.
Другими словами, выражение л: = 14,1 означает, что точное
значение х находится между 14,05 и 14,15, а выражение
х = 14,10 означает, что истинное значение х лежит между
14,095 и 14,105. •
49. Верные цифры. Цифры, которые при округлении
числа не были заменены нулями, называются верными цифрами.
Так, если вместо 247895 взято 248000, .то в последнем
числе имеются три верных цифры.
50. Абсолютйой величиной какого-нибудь числа
называется его положительное значение независимо от его знака.
Абсолютная величина числа обозначается двумя
вертикальными линиями, стоящими по обе стороны его, например так:
|«|. ■
Если а — положительно, то | а | означает то же самое,
что и а; но если оно отрицательно, то абсолютная величина
| а | соответствует положительному значению данного
количества (—а).
В дальнейшем будем называть 1, 10, 100 соответственно
единицами первого, второго и третьего порядка, а 0,1, 0,01,
0,001-—единичными десятичными дробями первого, второго
и третьего порядка.
51. Абсолютной погрешностью мы будем в дальнейшем
называть разность между приближенным и точным значениями
данной величины. Если, например, мы в вычислениях
употребили, вместо точного значения величины, равного 2,457,
ее приближенное значение 2,46, то абсолютная погрешность
оавняется 2,46-2,457 = 0,003..
Абсолютная погрешность положительна, если
приближенное значение величины больше точного ее значения, и
отрицательна, если приближенное значение меньше точного.
Так, если взять 37,142 Еместо 37,14247, то абсолютная погреш
ность равна
37,142 — 37,14247 = — 0,00047.
3 Справочник для инженера.
34 Приближен, Вычислений. Абсол. и относит, погреши.
52. Относительной погрешностью называется отношение
абсолютной погрешности к точному значению длиной
величины. Так как относительная погрешность есть отношение,
то она выражается отвлеченным числом и часто задается
в процентах.
53. Предельная погрешность. Если наибольшее до* усгимое
значение абсолютной или относительной погрешности
результата вычислений произвольно установлено или определяется
условиями задачи, его называют предельной погрешностью
результата.
Если предельная абсолютная погрешность числа, точное
значение которого равно 81,666, есть 0,01, то числа 81,67 и
81,66 имеют погрешность меньшую 0,01. Абсолютные
погрешности будут равны соответственно 0,004 и 0,006.
Выражение: „абсолютная предельная погрешность 0,01"
означает, что численная величина абсолютной погрешности
результата не должна быть больше 0,01.
Всякое число между 81,657 и 81,675 имеет погрешность
меньшую 0,01, ибо точное значение данной величины есть
81,666.
Точно так же выражение: относительная предельная по
грешность /°/о означает, что относительная погрешность]
результата вычислений по абсолютной величине мень
ше 1°/о.
54. Погрешности в числах. Если вместо 212,667 взят*
212,700, то абсолютная погрешность равна 33, а относи
33
тельная есть-212667"
Если вместо 212,667 взято 212,7, то абсолютная погреш
ность равна 0,033, а относительная есть 919 fifiY*
Если вместо 0,212667 взято 0,2127, то абсолютная погреш
паппп« 0,000033
ность равна 0,000033, а относительная есть a oi п(\«1'
33 0,033 0,000033
212667 212,667 0,212667
На величину относительной погрешности влияет толькш
число отброшенных цифр, положение же запятой на нее н€
влияет. Во всех трех случаях относительная погрешности
равна, приблизительно, 0,00015.
j
Погрешности в числах
35
Возьмем теперь вместо 212 667 число 212 600; тогда отно-
— 67
сительная погрешность будет равняться 212667 ' пРичем
— 67
212667
^ 100 1 ^ 1 =0001
^ 212667 ~ 2126,67 ^ 1000 u,UUi'
Таким образом относительная погрешность составляет
величину, меньшую 0,001 от данного числа, или меньшую
единичной десятичной дроби третьего порядка. Порядок на
одну единицу меньше числа верных цифр (4) (см. п° 49).
Если вместо 212 667 взять число 213000, то абсолютная
333
погрешность равна 333, а относительная есть ~ V667 "
Тогда
333
0,333
212667" 212,667
<- * <"-—= 001
^212,667^100 U,Ule
Следовательно, относительная погрешность меньше 0,01
или единичной десятичной дроби второго порядка (см. п° 50).
Таким образом порядок относительной погрешности на
единицу меньше числа верных цифр (3) (см. п° 49).
Если вместо 212 637 взять число 212600, то абсолютная
погрешность равна (— 37), а относительная равна
212637 "
Но
— 37 —0,37
212637 2126,37
■0,37
2126,37
<
<
2126,37 " 1000
= 0,001.
Абсолютная величина относительной погрешности меньше
0,001.
55. Для округления числа в случае, когда предельная
относительная погрешность меньше единичной десятичной дроби
определенного порядка, следует сохранить в числе на одну
верную цифру больше, чем порядок указанной дроби. Обратно,
если нужно найти приближенное значение данного числа путем
РкРугления, то абсолютная величина относительной
погрешности не превысит единичной десятичной дроби, порядок
■которой на единицу меньше числа верных цифр.
3*
36 Приближен, Вычислений. Абсол. и относит, погреши, 1
Поэтому для округления числа таким образом, чтобы отно-1
сительная погрешность была меньше некоторой предельной,!
равной например 1%i т. е. 0,01, следует сохранить три верные!
цирры. Если же погрешность не должна превышать 0,001,1
следует оставить четыре цифры. 1
Таким образом, в случае необходимости округлить числа!
314159, 31415,9, 3,14159, 0,0314159 с предельной относи-1
тельной погрешностью, меньшей 0,001, то нужно оставить!
четыре цифры, взяв соответственно числа 314200, 31420,1
3,142 и 0,03142. 1
Обратно, если вместо 3,2142 мы взяли 3,21, то по-1
грешность не превзойдет предельной, равной 0,01|
или 1%. 1
При рассмотрении погрешностей суммы, разности, произ-1
ведения и частного, которые получаются в результате сло-1
жения, вычитания, умножения и деления чисел, в дальнейшем!
мы будем считать эти числа положительными. I
56. Абсолютная погрешность при сложении. Абсолютная!
погрешность суммы нескольких округленных чисел равна!
алгебраической сумме погрешностей слагаемых. 1
Здесь мы ограничимся рассмотрением случаев, когда при!
округлении чисел отбрасываются дробные десятичные частил
так как при сложении целые числа отбрасываются
редко. 1
Если число слагаемых не превышает 20 и предельная
абсолютная погрешность есть единичная десятичная дробЛ
некоторого порядка, то число знаков после запятой, оста!
влейное в слагаемых, должно быть на единицу больше порядкя
погрешности. 1
В самом деле, ответ будет правильным до одной сотой!
если складывается не больше 20 чисел и количество знаков
после запятой в каждом из слагаемых равно трем. Абсолют!
ная погрешность в этом случае меньше 0,0005, а погрешности
суммы двадцати слагаемых будет меньше 0,0005 X 20, т. el
меньше 0,01. 1
Если число слагаемых меньше 10, то максимальная по!
грешность суммы не может превзойти 0,005, так что прш
округлении ее не следует прибавлять единицы к последней
верной цифре. 1
Если выбирать приближенные значения чисел таким обра!
зом, чтобы приблизительно уравновесить положительные т
отрицательные погрешности, то абсолютная погрешности
~уммы может быть уменьшена* 1
Относительная погрешность суммы 37
Пример. Сложить 4,3416, 9,81643, 0,7295, 21,6844, 0,0037 и 762,123 так,
чтобы сумма имела два верных знака после запятой.
4,342
9,816
0,730
21,684
0,004
762,123
1,284 щ
799,983
Если имеется более 20, но менее 200 слагаемых,
необходимо удержать на два знака после запятой больше порядка
предельной погрешности суммы.
57. Относительная погрешность суммы. Относительная
погрешность суммы нескольких чисел равна абсолютной
погрешности суммы, деленной на эту сумму, т. е.
относительная погрешность суммы =
абсол. погрешность суммы
сумма '
откуда
абсолютная погрешность суммы = относительной
погрешности суммы X сумму.
Итак, предельная абсолютная погрешность каждого
слагаемого не должна быть больше, чем
предельная абсолютная погрешность суммы
число слагаемых
К сожалению, в начале сложения сумма еще неизвестна;
однако путем грубого приближения можно найти
приблизительное значение предельной абсолютной погрешности,
которая не должна быть превзойдена в каждом из слагаемых.
Обычно, для получения приближенной величины суммы
можно отбросить все цифры, кроме первых, причем при
сложении больших и малых чисел последними можно пренебречь.
После небольшой практики получаются очень хорошие
результаты.
Пример, Найти приближенное значение сум ты данных ниже чисел
с погрешностью, не превышающей 1% истинной величины этой суммы.
Можно с первого же взгляда сказать, что сумма близка
2863,146 к 70С0.
3380,433 0Тск>да
3%f? «-I**).
38 Приближен, вычисления. Абсол. и относит, погрешн.
2870
3380
Умножение на 0,01 дает 14. Это и есть предельная абсолют- |
ная погрешность каждого слагаемого.
Если отбросить единицы, то сумма будет иметь погрешность
8^0 меньше 1%, так как абсолютная ошибка каждого слагаемого
30 меньше 14.
340 Выполнение действия показано слева, однако при вычислениях
7470 не нужно переписывать слагаемые. Лучше всего при сложении
десятков производить округление в уме.
58. Абсолютная погрешность при умножении. При умно*
жении точного числа на приближенное, если задана п р е д е л ь-
ная абсолютная погрешность произведения, следует
рассуждать следующим образом.
Пусть:
а — точный первый множитель,
Ъ — приближенный второй множитель,
А — абсолютная погрешность второго множителя
(положительная или отрицательная),
А — абсолютная погрешность произведения.
Тогда:
Ъ — А —точное значение второго множителя,
аЬ — приближенное значение произведения,
а {Ь — А) — точное значение произведения.
Разность между приближенным и точным значениями
произведения равна его абсолютной погрешности.
Таким образом
А = аЬ — а (Ь — А) = а6 — а&-|-аД = ал.
Если в произведении предельная абсолютная погрешность
не должна превосходить 0,01, то величина Да не должна быть
больше 0,01 или абсолютная погрешность множителя Ь должна
быть больше ——.
а
Погрешность рассмотренного произведения будет положи
тельной или отрицательной в зависимости от того, является;
ли погрешность А числом положительным или отрицательным,
В первом случае приближенное значение произведения будет|
больше точного, а во втором — меньше.
Если в произведении можно допустить предельную
погрешность 0,001, то предельная абсолютная погрешность прибли-
* « о*001
женного или округленного числа должна быть не более ——-•
Абсолютная погрешность при умножении 39
Пример. Точное число 391,8 нужно умножить на 3,1415926. Второй
множитель следует округлить так, чтобы абсолютная погрешность
произведения не превышала 0,01.
Если взять Д меньшим чем QQi Q или (перенося запятую)
оУ1,о
0,00001
меньшим ^ oQjo > то, приняв за предельную погрешность
множителя величину —'—z или 0,00001, мы получим
произведение, имеющее погрешность меньше заданной, т. е. (0,01).
Оставив пять десятичных знаков после запятой, получим
число 3,14159, имеющее абсолютную погрешность 0,0000026,
т. е. меньше 0,00001.
Правило. В приближенном множителе следует
сохранять столько десятичных знаков после злпятощ сколько
их имеется до запятой в другом множителе^ плюс число
десятичных знаков в предельной абсолютной погрешности
произведения *)•
Так как
А Л А
Л = да или Д= ,
то А будет иметь либо столько десятичных знаков, сколько
указано правилом, либо на один знак меньше. Поэтому, если
следовать этому правилу, то абсолютная погрешность
произведения будет меньше предельной погрешности.
Число 391,8 имеет три десятичных знака до запятой,
а 0,01—два десятичных знака. Приближенный множитель
должен иметь пять знаков после запятой. Таким образом
будем иметь
391,8 X 3,14159.
Если предельная погрешность произведения должна быть
меньше 0,001, то в приближенном множителе следует оставить
после запятой шесть десятичных знаков, т. е. он должен быть
равен 3,141593.
х) Величина абсолютной погрешности, которая получится в
произведении, если следовать указанному правилу, будет не только меньше
заданной предельной погрешности, но будет меньше пяти единиц следующего
Десятичного порядка
40 Приближен, вычисления. Абсол. и относит, погреши, 1
и
59* Если оба множителя — приближенные и произведение I
должно иметь погрешность, меньшую некоторой абсолютной \
предельной погрешности, то рассуждаем так:
Пусть: I
а — точное значение первого множителя, I
с —точное значение второго множителя, I
&! — абсолютная погрешность первого множителя (положи- I
тельная или отрицательная), I
Д2— абсолютная погрешность второго множителя (положи- I
тельная или отрицательная), I
А — абсолютная погрешность произведения. 1
Тогда: J
a-f-Ai— приближенное значение первого множителя, I
с + Ад — приближенное значение второго множителя, I
ас — точное значение произведения, I
(а + Ах) (с -\- Д2) = ас -\- с Ах -j- а А2 -{- ДХД2 — приближенное I
значение произведения. I
Приближенное произведение меньше точного на абсолют- I
ную погрешность его, т. е. I
А = ас ~\-с \ -f- а А2 4" ДА— ас = с Д1 + а Д2 + Д1Д^ I
Так как Дг и А2 — величины малые, а произведение Д^ I
по сравнению с cAi-j-aA.2 — величина еще более малая, то I
ею можно пренебречь. Поэтому имеем (приближенно) I
А — с Дх + а Д2, 1
откуда I
\А\Щс^\ + \а^\. I
II
Если каждый из множителей округлен так, как это было I
указано в правилах п° 58, то абсолютная погрешность про-1
изведения будет меньше предельной. Ц
В п° 58 абсолютная погрешность произведения равнялась i
а А, в данном же случае она будет состоять из двух частей:!
сДх и аД2, каждая из которых меньше половины предельной!
погрешности. 1
Правило. При умножении во множимом следует сохра-1
нить столько десятичные знаков после запятой, сколькощ
их имеется до нее во множителе, плкс кисло десятичныхЩ
знаков в предельной погрешности произведения. 1
Во множителе необходимо взять столько знаков послещ
запятощ сколько их имеетсч во множимом до нее, яд юс!
число десятичных знаков в предельной погрешности, 1
Относительная погрешность при умножении 4f!
Пример. Округлить числа 30,87541 и 6,21832 так, чтобы абсолютная!
погрешность произведения была меньше 0,01.
Согласно правилу, в первом множителе следует сохранить три внака
после запятой, а во втором — четыре:
30,875X6,2183 = 191,99.
Если итти дальше и округлять числа так, чтобы знаки погрешности
были противоположны, то часто абсолютная погрешность окажется
меньшей, чем если бы знаки были одинаковыми.
60. Относительная погрешность при умножении. Пусть
требуется найти произведение точного числа на приближенное
число таким образом, чтобы относительная погрешность его
не превышала некоторой заданной величины или, иначе говоря,
чтобы относительная погрешность произведения была меньше
определенного числа процентов от него.
Пусть:
а— точный множитель,
с—точное значение второго множителя,
А — абсолютная погрешность второго множителя,
г — его относительная погрешность, *
R — относительная погрешность произведения.
Тогда:
* с-[-А — приближенное значение второго
множителя,
Д
г== его относительная погрешность,
с
ас — точное значение произведения,
а{с 4- Д) — приближенное значение произведения»
а(с -f* Д) — ас = а Д — абсолютная погрешность
произведения,
аД Д D
— = — = /^ = г — относительная погрешность
ас с г
произведения (положительная или
отрицательная).
Относительная погрешность произведения в данном случае
будет равна относительной погрешности приближенного
множителя.
Если необходимо получить произведение с точностью
до нескольких процентов его, то приближенный множитель
можно округлить так, чтобы его относительная погрешность
была меньше предельной для произведения.
42 Приближен, вычисления. Абсол. и относит, погрешн.
Пример /. Умножить точное число 527,8 на 3,1415926 так, чтобы
погрешность произведения не превышала 1%.
В числе, погрешность которого не должна превышать 1%, т. е. 0,01,
следует оставить три цифры (п° 55). Поэтому умножаем
527,8 X 3,14.
Если в приближенном числе взять положительную
относительную погрешность, то погрешность полученного
произведения будет также положительной, а само произведение будет
больше своего точного значения.
Рассмотрение относительной погрешности множителя
показывает, что и при небольшом числе верных цифр в нем
произведение может быть достаточно точным (п° 49). Таким
образом, если в приведенном примере вместо 3,1415926 взять
величину 3,1, то относительная погрешность равна
приблизительно — 0,013 (п° 54), что не на много превышает 1°/о.
Во многих случаях, особенно когда пользуются счетной
линейкой, данные числа приходится округлять, ибо точные
их значения отсутствуют на шкалах линейки. Принимая
во внимание относительную погрешность, можно получить
результат, менее отличающийся от точного значения искомой
величины.
Пример 2. Умножить точное число 3,55 на приближенное 21,245.
В числе 21,245 следует сохранить три верных цифры, т. е. взять 21,2,
и тогда сможем найти на счетной линейке соответствующее деление.
Относительная погрешность равна, приблизительно, —0,002 (см. п° 54).
Знак минус указывает на то, что приближенное произве-
998
дение меньше точного и равняется, приблизительно, 1ППП
от него. Добавочное действие, заключающееся в том, что
найденное произведение делят на 0,988, позволяет получить
результат, весьма близкий к точному значению данного
выражения. Если при вычислении не пользуются счетной линейкой,
то следует просто взять 0,002 от приближенного произведения,
проделав это в уме.
61. Если оба множителя — числа приближенные и их
произведение должно быть вычислено с точностью до
некоторого числа процентов, т. е. иметь определенную
относительную погрешность, то поступаем следующим образом:
Пусть:
а — точное значение первого множителя,
с — точное значение второго множителя,
Ах—абсолютная погрешность первого множителя,
Случай^ если оба множителя—числа приближенные 43
Д2— абсолютная погрешность второго множителя,
гх — относительная погрешность первого множителя
(положительная или отрицательная),
Го — относительная погрешность второго множителя (поло
жительная или отрицательная),
R — относительная погрешность произведения.
Тогда:
a-j-Ai — приближенное значение первого множителя,
с-(-^2 — приближенное значение второго множителя,
гх = —±- — относительная погрешность первого множителя,
г2 = —- — относительная погрешность второго мпржителя,
с
ас — точное произведение,
(а -{- Дх) (с + А2) = ас -J- с Д i1 + а Д2 + ДА> ~ ос + сД1 + аД2
(где AXA2 — отброшено) (п° 59) — приближенное значение
произведения 1).
(ac + сД ! + aAa) — ac л
/с = ! — - = относительной погрешности
ас
сД1+аД0 сДх , а Д.» Дг , До ,
произведения = —— = —i н - = —" = гх ~\- г2.
г ас ас * ас а ' с х *
Таким образом
|/г| = 1г1+га|<|г1|+|гй1.
Если гг и г2 имеют разные знаки, то R — меньше, чем
в том случае, когда они имеют одинаковые знаки.
Если в приближенном произведении допускается
предельная погрешность в 1°/о, то в каждом множителе следует
оставить три верные цифры. В этом случае погрешность
произведения не превзойдет. 0,01, даже если
относительные погрешности сомножителей будут иметь одинаковые
знаки.
Итак, в каждом множителе следует оставить на одну
верную цифру больше, чем имгется знаков после запятой
в предельной погрешности.
1 Знак да есть знак приближенных равенств.
Пример. 3,7511 ^ 3,75. Прим. ред.
44 Приближен, вычисления. Абсол. и относит, погрешн.
Пример /. Найти произведение 814,15928 и 27,18281828 с точностью
до 1%.
В каждом множителе следует оставить три верные цифры, поэтому
имеем:
314X27,2 = 8540,8.
Для сравнения приводим точное произведение;
8539,735.
Если предельная погрешность равна 0,001, т. е. 0J от 7°/0i
то следует оставлять в каждом множителе четыре верные
цифры (если до этого не вычислены в уме относительные
погрешности множителей).
Если rt приблизительно равно г2, но противоположно
по знаку, то в каждом множителе можно оставить только
по две зн^ тщие цифры, и все-таки погрешность произведения
не будет превышать 1%.
Пример 2. Округлить числа 31 885 и 113,81 так, чтобы погрешность
произведения не превышала 1%.
Если вместо 31 885 взягь 32 000, то относительная погрешность равняется
д}^, т.е. 0,0036.
Если вместо 113,84 взять 110, то относительная погрешность равна
Щ14—0'0033-
| R | = 0,0036 - 0,0033 = 0,0003.
62. Если перемножается несколько чисел, то
относительная погрешность произведения приблизительно равна
алгебраической сумме относительных погрешностей
сомножителей.
Если оставить в каждом множителе на одну верную цифру
(п° 49) больше, чем число знаков после запятой в предельной
погрешности (п° 53), то алгебраическая сумма относительных
погрешностей может оказаться большей, чем предельная
погрешность. Во избежание этого, рекомендуется при
округлении некоторых из сомножителей брать знаки рогрешностей
их противоположными знакам остальных.
В тех случаях, когда требуется выбрать множитель, резко
влияющий на величину суммы относительных погрешностей,
следует взять тот из них, у которого цифры, стоящие слева,
невелики, например 112875.
В самом деле, если округлить 112 875 до 112000 и
получить при этом отрицательную погрешность, или 111125
округлить до 112000, получив при этом положительную
погрешность, то указанные погрешности будут больше, чем при
Влияние отбрасывания цифр трава 45
округлении чисел 893875 или 892125 (у которых стоящие
слева цифры велики) до 893 000.
Пример. Какова будет погрешность, если в каждом из множителей
произведения ^ ^ ^ % ^ х ^
оставить три верные цифры?
Напишем приблизительные значения относительной погрешности
каждого множителя над ними:
-0,0305 -0,0009 -т-0,001 ~2'°2°2
928 X 27,6 X 33,5 X 813 = 697 577 414,4.
Приблизительная величина относительной погрешности произведения
буДеТ _ 0,0005 - 0,0009 + 0,001 - 0,0002 = - 0,0006.
Третий множитель округлен так, чтобы получить положительную
погрешность вместо отрицательной,. что до некоторой степени уравновешивает
погрешности.
Для уточнения действия, особенно при вычислении со
счетной линейкой, можно разделить приближенное произведение
на 0,9994 или умножить его на 0,006 и затем прибавить
результат к вышеуказанному произведению.
Если бы мы оставили в каждом из множителей две
верные цифры, то получили бы
+0,002 -0,025 +0,02 *-J,004 ^ ~W7 л/чл
930 X 27 X 34 X 810-691529400
Рекомендуется вычислять относительные погрешности в уме
по мере хода вычислений. Если величины получающихся
псгрешностей чрезмерно велики, то следует вводить
поправочный множитель.
63. Влияние отбрасывания Е*ФР справа в множимом и
множителе показано на следующем примере:
2456786
3134652
I 49Ь?/ 572
А I 12283/930.
(14740/ 716
9827 / 144
7370 / 358
2456 / 786
7370 / 358
В
^70l7~169l48472
46 Приближен, вычислений. Абсол. и относит, потрещи.
Если в множителе последовательно отбрасывать числа 2,
5 и 6 то соответственно исчезнут первый, второй и третий
ряды, указанные буквой А.
Если же отбрасывать цифры 6, 8 и 7 в множимом, то
исчезнут ряды, отмеченные буквой В. Совершенно очевидно,
что числа на площадях А и В, полученные от перемножения
цифр, отброшенных нами во множимом и множителе,
изменят произведение. Если, например, оставить по четыре
верных цифры, то мы можем ожидать в ответе не более четырех
верных цифр*
64. Видоизменение последнего метода,^ позволяющее
упростить умножение. После того, как определено число
значащих цифр, следует приписать нуль к
множимому, а затем умножить его на первую 27 170 У 3,142
слева цифру множителя. _J *__
Отбросим последнюю цифру множимого -
и умножим его на вторую цифру множи-
теля. Отбросим следующую цифру множи- '
мого, после чего умножим его на третью
цифру множителя. Прибавляем однако произ- _ - ».„
ведение отброшенной цифры на соответ- *>**-» &
ствующую цифру множителя. Так, напри-
мер, отбрасывая 7 и умножая на 4, мы говорим: 4X7 = 28,
сносим 3, 4Х1 + 3 = 3 И Т" А' 1>юос<:ч/о^л>1<:
При обычном способе, если мы умножаем 14,3256 X 2,68446
и хотим получить в ответе три верные цифры после запятой,
то замечаем, что всего в ответе должно быть пять цифр.
Поэтому (п° 59): следует удержать четыре знака после запятой
во множимом и пять во множителе, и таким образом
14,3256 X 2,68446 = 38,456.
При сокращенном умножении следует прибавлять еще
одну значащую цифру к множимому.
Если нужно перемножить два числа, например 14,32 и
2 68443 из которых первое получено путем измерения и
соответственно округлено, то во втором множителе следует со
хранить только четыре знака после запятой:
14,32 X 2,6844.
65 Абсолютная погрешность при делении. Если дели-
Тель — число точное, а делимое —приближенное, то для
нахождения частного с некоторой определенной абсолютной
погрешностью поступаем следующим образом.
Относительная погрешность при делении 47
Пусть:
а — точное делимое,
с — точный делитель,
А — абсолютная погрешность делимого,
А — абсолютная погрешность частного.
Тогда:
с
а
точное значение частного,
приближенное значение частного,
с
л а + А а А
А — —■ = абсолютная погрешность част-
с с с
ного.
Поэтому
Д = Лс.
Абсолютная погрешность делимого не должна быть
больше произведения делителя на предельную абсолютную
погрешность частного.
Пример. Вычислить частное
216,58373:435,
если погрешность его не должна быть больше 0,001. Делитель — число
точное.
А не дола но быть больше чем" 0,001 X 435 = 0,435. Поэтому берем
число 217, имеющее погрешность 0,42, т. е. меньшую 0,435:
217 :435 = 0,499.
Более точное частное есть 0,49879, так что абсолютная погрешность
получилась равной 0,0011, т. е. немного больше предельной, вследствие
того, что частное 0,4989 округлено до 0,499.
Если в делимом взята положительная погрешность, то в частном
погрешность будет также положительной.
66. Относительная погрешность при делении.
Рассмотрим случай, когда делитель есть число точное, а делимое—
приближенное, причем требуется, чтобы относительная
погрешность не превосходила некоторой заданной.
Пусть:
а — точное значение делимого,
с —точное значение делителя,
А — абсолютная погрешность делимого,
г — относительная погрешность делимого,
Q — относительная погрешность частного.
48 Приближен, вычисления. Абсол. и относит, погреши.
Тогда:
а + Д — приближенное значение делимого,
А
г = относительная погрешность делимого,
а+А
—■ приближенное значение частного,
а 4-А а А
—■ = абсолютная погрешность частного,
А
<^ = — = —= г — относительная погрешность частного.
Относительная погрешность частного в том случае, когда
делитель — число точное, а делимое — приближенное, равна
относительной погрешности делимого.
Таким образом, если относительная погрешность
делимого взята не больше, чем относительная предельная
погрешность частного, то относительная погрешность
последнего не превысит заданной. Если по условию частное должно
иметь относительную погрешность не большую 1%, то в
делимом следует оставить три значащих цифры. Если
предельная относительная погрешность частного должна быть менее
0,001, то в делимом необходимо сохранить четыре значащих
цифры (п° 55).
Пример. Разделить 483,51 на точное число 84 так, чтобы погрешность
частного не превышала 1% его.
Очевидно (п° 55) в делимом следует оставить три цифры, т. е. взять
его равным 484:
484:84 = 5,74.
67. Если делимое и делитель — числа приближенные,
то, так как делимое равно произведению делителя на частное,
относительная погрешность частного приблизительно равна
алгебраической разности между относительной
погрешностью делимого и делителя. Таким образом, если Q, гх и г2 —
соответственно относительные погрешности частного,
делимого и делителя, то имеем, приближенно,
откуда
I Q К I г, | + | г, |.
Сокращенное деление 49
Относительные погрешности \ гх\ и \ г2\ делимого и де-
лителя должны быть по возможности либо обе
положительными, либо обе отрицательными, ибо при этом относительная
погрешность Q частного (равная алгебраической разности
погрешностей делимого и делителя) уменьшается.
Относительная погрешность частного будет иметь при этом тот же знак, что
и погрешность делимого1). Если возможно, округление
делимого и делителя следует производить так, чтобы они оба
увеличивались или оба уменьшались.
Если относительные погрешности- делимого и делителя
имеют одинаковые знаки, то погрешность частного не будет
превосходить каждую из них.
Итак, если относительные погрешности делимого и
делителя имеют одинаковые знаки и не превосходят
предельной, то относительная погрешность частного будет меньше,
чем предельная.
Если гх и 7-2 будут иметь противоположные знаки, то
относительная погрешность частного делается по абсолютной
величине равной сумме относительных погрешностей
делимого и делителя.
Для того, чтобы определить, какой знак погрешностей
дает численно меньшую разность их значений, следует в уме
исследовать делимое и делитель, а затем соответственно их
округлить.
Один пробный подсчет разности относительных
погрешностей достаточен для определения, сколько верных цифр
следует сохранить в делимом и делителе.
Пример. Разделить 214,68 на 32,477 с погрешностью меньшей 0Д%.
Для пробы сохраним в обоих числах по три верных цифры, округлив
их так, чтобы погрешности были положительными. Погрешность частного
равна (0,0015) — ( + 0,0007) « 0,0008, т. е. менее предельной, равной 0,001.
68. Сокращенное деление. Рассмотрим следующий пример
(см. рис. на стр.50).
Если отбросить в делителе несколько цифр справа,
а именно 78,6, (п° 47), то цифры, заключенные в
параллелограмме ABDC, исчезнут.
Если отбросить в делимом несколько цифр справа,
например 148472, цифры' в треугольнике BED изменятся.
Если некоторые из стоящих справа членов частного не
вычислены, то числа,* заключенные в параллелограмме FGDEt
исчезнут.
х) Это справедливо лишь при условии
4 Справочник для инженера
50 Приближен, вычисления. Абсол. и относит, погреши.
7701169ДД£ДГ?
73703Л58 В
3134652
2456/?ДО
Если при каждом последовательном действии отбрасывать
делителе цифры справа, то ни одно из чисел справа от
вертикальной линии SE не
получится, и эта замена меньше всего
влияет на частное.
Точность частного зависит от
числа, цифр, сохраненных в
делителе и делимом.
Сперва нужно определить на-
глаз целую часть частного (п° 30),
а затем решить, сколько знаков
после запятой следует сохранить,
иначе говоря—определить
абсолютную погрешность. Тогда мы
получаем число значащих цифр
в частном.
Из п° 33 мы узнали, что для
определения верной цифры
частного надо воспользоваться, по
крайней мере, двумя цифрами
делителя, стоящими слева. Таким
образом, чтобы получить верную
последнюю цифру в частном,
мы должны иметь две цифры в
остатке для последнего действия
после отбрасывания в каждом
из предыдущих действий по одной цифре. Таким образом
в делителе должно быть сохранено на одну цифру больше,
чем в частном.
69. Сокращенное деление производится как и
обыкновенное, но при каждом последовательном умножении в делителе
отбрасывается справа по одной цифре. Здесь необходимо
сохранить на одну значащую цифру больше, чем при обычном
способе деления.
Пример. Разделить 77,01169148472 ца 24,56786 так, чтобы иметь в
ответе три верных цифры.
Исследуя делимое и делитель (п° 67), как и в случае обыкновенного
деления, видим, что они должны иметь две верных цифры после запятой,
т. е. всего 4 значащих цифры. При данном же методе необходимо
сохранить по пяти значащих цифр. Если первая значащая цифра делается больше
первой значащей цифры делимого, то в делимом следует оставить еще одну
цифру сверх указанных выше.
Перед тем как отбрасывать цифры в делителе, необходимо выяснить,
сколько следует снести и прибавить к произведению сокращенного
делителя на отдельные цифры частного.
Относ: погрешность при совм. умножении й делении 51
Итак, делимое будет 77,012, а делитель — 24,567.
24567
1
Отбрасываем
в делителе 7
Отбрасываем
в делителе 6
Отбрасываем
в делителе 5
24 остается в делителе
77012
73703
3309
2457
852
737
115
98
17
3134
3 X 8 = 24 сносим 2
3 X 7 + 2 = 23
1X7 = 7 сносим 1
1X6+1=7
3X6 = 18 сносим 2
3X5 + 2 = 17
4 X 5 = 20 сносим 2
4X4 + 2 = 18
Другой способ заключается в том, чтобы сохранить в делителе и де*
лимом одну лишнюю цифру, пренебрегая сноской от отброшенных цифр.
70. Относительная погрешность при совместном
умножении и делении. Относительная погрешность выражений
аХЬХс аХЬХс аХЬ
dXeXf1 dXe ИЛИ dXeXf
приблизительно равна разности алгебраической суммы
относительных погрешностей множителей числителя и
алгебраической суммы множителей знаменателя.
Указанные множители можно округлить так, что
погрешность результата будет очень невелика.
Пример. Вычислить
24,44X3,1416X8
54,6*2 X 10,9^X5,22 '
Для решения следует либо подобрать погрешности числителя и
знаменателя так, чтобы свести алгебраическую сумму их к минимуму, или
сравнить погрешности множителей в числителе и знаменателе, имеющие
одинаковые знаки. . Последний метод позволяет сокращать погрешности.
—0,02 +0,02
24X3,2X8
5^X10,9X5,2
+ 0,006 — 0,004 — 0,004.
Разность алгебраических сумм равна
(- 0,02 + 0,02) - (+ 0,006 - 0,004 - 0,004) = 0,002 (приблизительно).
Окончательная относительная погрешность должна показать,
достаточное ли число цифр сохранено, нужно ли вводить поправочный множитель
и нужно ли увеличить число верных цифр. Этот вопрос следует решить до
выполнения вычислений.
4*
52 Приближен, вычисления. Абсол. и относит, погреши.
71. Оросительная погрешность при возвышении в
степень или извлечении корня. Относительная погрешность
степени равна относительной погрешности основания,
умноженной на показатель степени. Справедливость сказанного
очевидна, так как в п° 61 было доказано, что относительная
погрешность произведения приблизительно равна
алгебраической сумме погрешностей множителей. Если имеется п
одинаковых множителей, то произведение их будет иметь
относительную погрешность в п раз большую, чем погрешность
множителя.
Точно также относительная погрешность корня
приблизительно равна относительной погрешности подкоренного
количества, Деленной на показатель корня.
Дробные степени также имеют относительные
погрешности, равные погрешностям оснований, умноженных на
дробные показатели.
72. Новый метод умножения. Автор предлагает
следующий способ умножения. Преимущество заключается
в том, что числа высшего порядка (т. е.
стоящие слева) получаются в самом начале действия. После
них следуют числа всё меньшего и меньшего порядка.
Таким образом последние могут быть в случае надобности
отброшены.
Пусть, например, требуется умножить 345 на 234.
Напишем цифры одну под другой, как и при обычном методе
умножения. Затем представим себе прямую линию,
вращающуюся вокруг центра, помещенного посредине между двумя
первыми цифрами, расположенными на одной вертикали. При
каждом последующем действии центр вращения переносится
вправо на половину расстояния между цифрами, и берутся
произведения тех чисел, которые пересекаются прямой во
время полного ее оборота. «-г
Поместим сперва центр посредине между 2 и 3 j,
и проведем вертикаль. Первое произведение рав- 1одНГР
няется 6.
При дальнейшем вращении линия не пересечет других двух
чисел, кроме указанных 3 и 2, пбэтому указанное число 6
является окончательным произведением для данного
положения центра. Теперь передвинем центр направо в середину
между первым столбцом (где стоят сотни) и вторым (где стоят
десятки).
При каждом передвижении центра следует передвигать
произведение вправо на один знак.
Новый метод умножения
53
Для второго положения центра при вращении
прямой получим два произведения, а именно:
2 X 4 и 3 X 3/
Хг
Передвинем центр в следующее положение; тогда Х|/
он расположится под цифрой 4 верхней строки, т. е. ук
между 4 и 3. При вращении прямой будем иметь Z ф
три произведения:
4X3, 5Х2и4ХЗ.
Нет необходимости чертить самую
прямую. Достаточно просто ставить точку,
соответствующую центру, имея при этом в виду,
что линия, отделяющая в множимом две
цифры слева, отделит ^множителе две
единицы справа.
Теперь начнем действие сначала и
продолжим его до конца. Способ умножения
8 1
9 1
12
10
12
сложим
в уме
сложим
в уме
16 | сложим
15 J в уме
20
показан справа х).
80730
I) Предлагаемый автором метод есть не что иное как приложение к
умножению чисел известного правила составления коэффициентов произведения
многочленов, расположенных по степеням лг:
(«0*" + а,*""1 + а^"-2 + ... + ап) (V"1 + hx»"1 +...+*„) =
= а060^+т + (o0bt + a1u0)i'"+n-1 + (а0&0+аД+а262)*т+я ~2-Ь . .+«„*«•
Если расположить коэффициенты многочленов в виде двух строк:
b0, bv ЬТ...,Ьт
и составлять отдельные суммы, перемножая коэффициенты, стоящие в
верхней стороне, на коэффициенты, стоящие в нижней, тем способом, как это
указано в тексте, то получаются коэффициенты произведения.
Полагая х = 10, приходим к правилу» высказываемому автором.
Пример.
345Х234 = (3.102 + 4.10 + 5)(2.102 + 3.10 + 4)=3.2-104+(3.3+
4-4-2).10з + (3.4 + 4-3+5-2).102+(4-4 + 5.3).10 + 5.4.
Прим. ред.
54 Приближен, вычисления. Абсол. и относит, погреши.
В нижеследующем примере следует обратить внимание на
то, что во втором положении центра прямая пересечет не
только 3 и 7, но также 3 и 4,
Точки помогают выполнению действия. 4 3 2 1
Как было указано ранее, при описанном методе
мы получаем сперва самые важные части произве- 73
дения. Дальнейшее продолжение действия позволяет
внести поправку в результат и получить его с же- 28
лательной степенью точности. Этот метод может 33
быть с успехом применен также и при умножении 23
с помощью счетов или обычной счетной машины. 13
При этом следует сдвигать на один знак 'вправо 3
каждый раз, когда центр переносится в новое поло-
жение, причем машина дает окончательный резуль- 315433
тат без добавочного сложения.
Пример. Перемножить
246,4182 и 211,7432
так, чтобы погрешность произведения не превышала 0,1%.
Каждое число должно иметь четыре верных цифры. Одно из чисел
должно быть округлено так, чтобы погрешность была положительной.
2464182
2117Ш
4
10
18
32
38
46
28
5216 288
Формулы для приближенных вычислений,
73. Формулы
(1-Ы а+у) = 1 + х+у + ху
(1+д)(1-у) = 1+*_у_;гу.
Если х и у суть малые дроби, то их произведением ху можно
пренебречь. В таком случае произведение можно считать равным
\ + х±у.
Пример 7.
1,0015X1,0024
(1 + 0,0015) (1 + 0,0024) = 1 + 0,0015 + 0,0024 = 1,0039 (приблизительно).
Формулы для приближениях вычислений 55
Пример 2.
1,032X0,996
(1 + 0,032) (1 — 0,004) = 1 + 0,032 — 0,004 = 1,028 (приблизительно).
74. Формула
(l+x)(l + y)(l + z) = l^xJry-\-z + xy-{-yz~}'Xz-]rxyz.
Если х, у и z достаточно малы, то последние четыре
члена могут быть отброшены, и произведение можно считать
приблизительно равным
1 + x + y + z*
Пример.
1,011 X 1.008 X 0,998 = (1 + 0,011) (1 + 0.С08) (1 - 0,002) = 1 + 0,011 +
+ 0,008 - 0,002 = 1,017.
75. Формулы
= l-f-* (прибл.) 1)
1-х
4-х
1+J
1 + х— у (прибл.)2)
1) В справедливости равенства
-Z «1+Х
1-х
можно убедиться следующим простым рассуждением:
(1-*)(1+дг) = 1 + *>,
откуда следует, что
1+* =
1 — х 1-х 1 —х
с точностью до малых величин высшего порядка.
Таким же образом можно установить приближенное равенство:
Прим. ред.
2) Справедливость равенства
jLtjL ~i 4-.* — и
устанавливается так.
Согласно предыдущей формуле имеем
1+£ = (1 + лг)._1_«(1 + дИ1_,)
и далее:
Отсюда вытекает, что
1+*
-1+7^1 + я~^
Прим, ред.
56 Приближен* вычисления. Абсол. и относит* погреши.
76. Формула
(1±:х)п^(1±х) (l±:*)...(n раз) =
= 1 zt дг zt: дг ±.:. = 1 ±: пх.
Величина п может быть положительной, отрицательной,
дробной, целой или иррациональной. В этом случае.
(1-f xf = l-f 2д: (прибл.); VT^k = l — удгСприбл.)1);
х) Если две величины а и Ь разнятся друг от друга на малую
величину Д так, что в равенстве
этой величиной можно пренебречь, заменив его приближенным
a ttb, (*)
то и в равенстве
ак=Ьк + &'
величиной А' можно пренебречь, з меняв это равенство приближенным
ак^Ьк. (♦*)
Это можно сделать в силу того, что величины А и А' одинакового
порядка малости.
Действительно, заметив, что
£.' = ак-Ьк = (Ь + Ь)к-~Ь\
находим, что
т. е. что величины А' и А — малые одного порядка. Если пренебрегаем
одной, то следует опускать и другую. Таким образом из приближенного
равенства (**) следует, наоборот, приближенное равенство (*) с точностью до
малых величин того же порядка,
Положив
a=l/Z, Ь = ]/1в>
можем утверждать, что из равенства
А Ж В (***)
следует, что
к/— к/— /****\
VA^VB { >
с точностью до величин того же порядка.
Положим в равенстве (***)
A = {l=t^xJ,B=\=tx.
Имеем с точностью до величин второго порядка малости при малом *
равенство
\2 _ « __,_ о 1
2
Ы-Г
Формулы для приближенных вычислений 57
(1 _xf = 1 — 2х (прибл.); VT^px = 1 -\-\х (прибл.);
2
уу*Е^ ==1~\х <пРибл^ у=^= 1 + у^ («Рибл
Пример 1.
(1,093)4 = (1 + О,093)4 = 1 + (0,093 X 4) = 1,373 (прибл.).
Пример 2. Найти корень квадратный из 145.
УШ=[Ш (l+^f-Й (l+^)2 =12 (и-^Х^)-
= 12(1 + 2l8) = 12 + 2l = 12'0416'
77. Формула
(a ±: b)n = a* ±: nan~ b (прибл.),
если b — малая величина.
Равенство (****) показывает, что
УТ±Г1»1±у*
с точностью до малых величин 2-го порядка.
Если положить
^-тЬ-Ч^И-
то в силу указанных приближенных равенств следует, что
А = -= я^1 грдг
1 -t- х
В= (1 ^у*) »l-f-*f
т. е. с точностью до малых величин высшего порядка имеет место
равенство
А^В.
Отсюда следует, что с точностью до малых величин того же порядка
справедливо равенство
или
1 -.I-1
1 Н-тг*«
У\±Х 2
Прим. ред.
58 Лриближен. вычисления. Абсол. и относит, погрешн.
Пример 1. Найт'и корень.квадратный ив 105.
_ ' ! I л _1
/105= VЮ0+5 = (100 + 5)2=1002+i-100 2X5 =
= Ю +1X ^ X у = Ю + т = 10,25 (прибл.).
Пример 2. Найти корень квадратный из 620.
• Имеем:
/620 = (625 - 5)У = 625Т- 1х 625~ТХ 5 = 25 -1X ~ X 5 = 24,99
(прибл.)
Пример 5. Найти корень кубичный из 7,85.
l/7,85 = (8 -0,15)3 = 83 - jX\ X0,15 = 2 - 0,0125 = 1,985 (прибл.).
78. Формула
а __
= а _н ах,
1±х
если * мало.
Пример»
щ - 8 + 8(0,0004) - 8,0032.
79* Приближенные значения обратных величин. Величины,
обратные 1 dz x, при х достаточно малом приближенно равны;
1 \С~ ==: ■"■ — х ~^~ (погРешность < x*t если 0 < х < 1);
= 1«— jt-f- дс2—(погрешность < *3, если 0 < х < 1).
= 1 -[- х -\-1 погрешность < х1 -\- 2л:3, если —> л: > 0 1;
= 1 -f- х -f- хН погрешность < л? -|- 2л4, если -у > л > 0 1.
111 6
a^zb a Idzx a
• где х
Отношение и пропорции 59
Глава III.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ. ОТНОШЕНИЕ И ПРОПОРЦИЯ.
ДВУЧЛЕНЫ, ТРЕХЧЛЕНЫ» МНОГОЧЛЕНЫ i). РАЗЛОЖЕНИЕ НА
МНОЖИТЕЛИ. РАДИКАЛЫ.
Алгебраические обозначения.
80. Алгебраические знаки. Если в каком-либо выражении
последовательно стоят только знаки -(- и — или только
знаки X и 2, то действия производятся в порядке слева
направо.
Если в выражении имеются знаки X и :, а также -}-
и —, то ъ том случае, когда не указан другой порядок
действий, сперва производятся умножение и деление.
При раскрывании скобок, перед которыми стоит минус,
знак каждого члена, стоящего внутри них, следует переменить
на обратный.
Отношение и пропорция.
81. Частное, полученное при делении одного числа на
другое, называется отношением»
Отношение а к Ь есть -г- или а: Ь.
Так как отношение имеет вид дроби, то все правила,
касающиеся дробей, могут быть применены и .к отношениям.
Равенство двух отношений называется пропорцией;
например
2 4
_ = — или а : Ь = с : d
о о
суть пропорции.
Первый и четвертый члены ее называются крайними,
а второй и третий—средними членами.
Если второй и третий»члены равны, то каждый из них
является средним пропорциональным между первым и
четвертым членами:
a :b = b: с,
откуда
b = V^c
Если
ad —be,
г) Часто вместо выражений „двучлен", „трехчлен", „многочлен*
употребляют греческие названия их: „бином*, „трином1*, „полином*.
60 * Алгебраические обозначения. Отношение и пропорция *
то:
a:b = c:d
b:a — d:c
a:c — bid
c:a — d:b.
м
* Так как в каждом из этих случаев произведение крайних^
равно произведению средних или ad = be, то любая пара чле-)
нов может служить крайними, а другая пара — средними чле-|
нами пропорции.
ао л а-\-Ь с + с? a d
Ы. Докажем, что ——т = :, если -т-=—.
а — Ъ с — d о с
Так как ad = be или be = adf то, умножая на 2, получим:
2bc = 2ad. '
Последнее равенство можно переписать так:
bc-\- be = ad-{-ad.
Перенося члены, имеем:
be — ad —ad — be'.
Прибавляя к обеим частям равенства ас — bd, получим:
ас -J- be — ad — bd = ac — be -J- ad — bd,
откуда
c(a + b) — d(a + b) = c(a — b) + d(a — 6),
или, вынося за скобки общие множители,
(а+Ь)(с-4) = (а-Ь)(с + 4).
Делим обе части на (а—Ь) (с — d):
(a + b)(c-d) (a-b)(c + d)
(a — b) (c—dj (a — b) (c — d)
или
a-f-b c-\-d
a—b с — d
Если ad—be, то подобным же образом можно доказать
справедливость следующих пропорций:
Свойства пропорции
61
a-^rb c-\-d
~~Т~ dT>
a-\-b c-\-d
а с '
a— b с—dm
L J >
a-b
a
a-\- с_
a — с
a + b
a — b
c — d
с *
b + d
b — d'
c+d
~c—d'
Произведения соответствующих членов двух или более
пропорций также составляют пропорцию.
Если
а с_ m _p_
b ' ~ d n~ q '
то
am ср
bn dq%
Умножение или деление обоих членов отношения на одно
и то же число не изменяет величину отношения:
a am
Если
то
или
b bm #
aib = c:d,
ma: mb = nc : nd
a b с d
mm n n
Если четыре числа составляют пропорцию, то их
одинаковые степени, а также корни одной и той же степени из них
составляют пропорцию.
При а:&== с:dt справедливы пропорции:
1 Л. £ L
an:bn = cn:dn и an:bn=cn :dn.
В случае ряда пропорций: a:b = c:d = e:f=g:h сумма
первых (предыдущих) членов относится к сумме вторых
(последующих) так же, как каждый из предыдущих относится
к своему последующему:
fl + c + e+g_ а с
b + d+f+h~~b ~~~~d~ и т' д-' ■ " ч
62 'Алгебраические обозначения. Отношение и пропорция
или, если
а Ь с , ч
— = — = — = г (постоянное отношение),
х у z v "
то
< Если задача требует нахождения двух чисел, которые отно*
сятся друг к другу как т:п, то рекомендуется представлять
эти неизвестные в виде тх л пх.
Если а:6 = 6: с = с:с/, то b=\/a*d и c — \/ad*.
Обе эти величины являются средними геометрическими
между and.
83, Циркуль для пропорционального деления
представляет собою инструмент, применяемый главным образом для |
перенесения размеров с данной фигуры, с целью получения
подобной ей в увеличенном или уменьшенном виде. Кроме
того, он весьма удобен для графического решения задач
(см. пп° 200, 202, 203, 208).
Зажимной штифт циркуля может перемещаться в прорезах
инструмента, что дает возможность получить различные
отношения расстояний между остриями ножек на обоих концах.
Для каждого определенного положения штифта это отно
шение остается постоянным.
Величины отношений между линейными размерами указаны:
на одной из наружных сторон инструмента. Если штифт под1
веден к делению шкалы, обозначенному цифрой 2, то рас
стояние между остриями на одном конце вдвое больше рас
стояния между остриями на другом.
Длина образцового циркуля, служащего эталоном для изго-j
товления инструментов, выпускаемых в продажу х), разделена!
на 2000 равных частей. На обычных же циркулях имеете^
только около 1000 делений.
Таким образом, на образцовом циркуле длиной в 10 дюймов
на каждый дй)йм приходится по 200 делений, которые можноЩ
отсчитывать при помощи верньера. К сожалению, как было
указано выше, на обычных инструментах число имеющихся
делений значительно меньше.
Установка образцового циркуля (с 2000 делений) произво*
дится, как показано на рис. 1:
1) Речь идгг об изготовлении н применении циркуля в САСШ.
Циркуль для пропорционального деления
63
Пусть:
у—меньший член отношения,
х—больший член отношения,
S—деление, приходящееся против штифта на шкале,
разделенной на 2000 частей.
Тогда
У —.
2000—5
или
2000 у— yS = xS
2000у = xS+yS = (x+y)S
с_ 2000 #
х-\~У
Пример.
Для отношения 1:2, ^=.1 лг = 2 н *£ =
Рис. 1.
2000-1
2 + 1
667 единиц.
Удобный способ установки циркуля в случае, если на нем
не имеется деления, соответствующего нужному отношению,
заключается в следующем:
Выбирают масштаб, имеющийся на обыкновенной
трехгранной чертежной линейке, и берут на нем отрезки, находящиеся
в данном отношении.
На указанной линейке (рис. 2) нанесены шкалы с 10, 20,
30, 40, 50 и 60 делениями на одном дюйме; поэтому какой-
f-
23
31
о г
ч ' i 1 i I
4 6 8
12 М 16 18 20 22 24 26 28 30'
Рис. 2.
нибудь из них окажется пригодным для этой цели. Так,
например, чтобы получить отношение 23 к 31, применяют шкалу
с шестьюдесятью делениями и отмечают на ней двадцать
третье и тридцать первое. Передвигая штифт, добиваются того,
чтобы между остриями на короткой части циркуля помещалось
23 деления, а на длинной части — 31 деление.
Для получения нужного результата бывает достаточно
двух-трех попыток.
Если требуется установить циркуль для отношения 8 к 15,
применяют масштаб с 30 делениями на дюйм. Если же
требуется иметь отношение 0,72 к 1, то берут масштаб с 20 де-
64 Алгебраические обозначения. Отношение и пропорция
лениями и ищут на нем числа 2, 7 и 10, соответствующие
данным, увеличенным в 10 раз.
84. Формула бинома Ньютона для целого
положительного показателя. Эта формула служит для разложения
{а + Ъ)п. Простым перемножением можно, например, найти:
(а + &)* = а2+2аЬ + &2
(а + 6)з = а3 -f ЗаЧ -\ Заб2 + Ь3
(а + ЬУ = а* + 4а36 + 6а262 + 4а63 + М
(а + ЬУ = а6 + 5а46 -f 10а3Ь2 + 10a5Z>3 + 5а64 + 6б.
Если через п обозначить показатель степени, в которую
возвышается бином в приведенных выше случаях, то
результат можно представить в общем виде таким образом: •
(а+Ь)п = ап + па-Ч+п("~21Кп-Ч* +
Члены этого выражения изменяются по определенному
закону, а именно:
1) Показатель буквы а в первом члене разложения равен
показателю степени бинома (в левой части равенства) и
уменьшается на единицу в каждом последующем члене. В
последнем члене он равен нулю.
2) Показатель буквы Ь увеличивается на единицу в
каждом последующем члене. Будучи нулем в первом члене, он
достигает в последнем той же величины, что и показатель
степени бинома.
3) Для нахождения коэффициента любого члена, следует
умножить коэффициент предыдущего на показатель в нем
буквы а и разделить произведение на число предшествующих
членов.
4) Если а и Ь положительны, то перед каждым членом
разложения стоит знак плюс, если же b отрицательно, то чет-j
ные члены (т. е. второй, четвертый и т. д.) будут иметь знак]
минус.
Справедливость такого разложения для целых
положительных показателей может быть легко доказана и в общем
виде.
формула бинома Ньютона дли цел. положит, покасат. 65
Формула бинома для п дробного и отрицательного дана
в п° 458.
85. Удобный способ разложения по формуле бинома
заключается в следующем:
Сперва пишут буквы с соответствующими показателями.
Под ними помещают коэффициенты каждого члена, а затем
их знаки. Наконец полученные члены соединяют вместе.
Пример. Найти, посредством формулы бинома, пятую степень
выражения (Ь — у).
Имеем:
Буквы с показателями . .
• . 4-
б3 -
Ъ*у *у
5 10
+
- SWy + 10^2 -
%3 Ъ&
10 5
+
-106 V + 5ty*
г
-J*
Примечание. Коэффициент четвертого члена получается умножением
коэффициента третьего члена на показатель буквы £, т. е. 10 • 3 = 30, и
делением на 3 — порядковый номер этого члена (или число членов,
предшествовавших четвертому).
86* Для нахождения r-того члена разложения (а -f- х)п
подставляем значения п и г в выражение
п(«-1)(«-2). • .(п-г + 21 ,
1-2-3. . .(г—1)
Пример. Найти шестнадцатый член разложения бинома (a -f- я)20.
Здесь г = 16, п — 20, поэтому имеем:
(п-г+ 2) = (20-16+ 2) = 6
20.19 .18.17 • 16 • 15.14 • 13 -12.11 -10.9.8 • 7.6
1 • 2 • 3 • 4 .5 • 6 • 7 ■- 8 • 9 -10.11-12.13-14 - 15
а5*15.
Сокращая одинаковые множители в числителе и знаменателе, получим
окончательно:
20.19-18.17-16 . 1(. ЛССЛА . л.
1.2.3-4-5 ^
87. Если мы обозначим коэффициенты членов разложения
буквой с (с соответветствующим * порядковым значком), то
получим:
(a -f Ь)п = ап 11 -f А У= ап + cxan~i Ь + с2ап~Ч* +
5 Справочник для инженера.
66 Алгебраические обозначения. Отношение и пропорция
где
с^ — п
n(h-l)
С) :
^8 =
1-2
71(71— 1)(П— 2)
1-2-3
_ п(т1— 1)(т1 — 2)(п — 3)
С*~~ 1-2-3-4
88* Представляя коэффициенты указанным образом, можно
установить связь между знаком при с и величиной
коэффициента.
Взяв например с3, заметим, что числитель в выражении
для него состоит из трех множителей. Знаменатель есть
3 факториал *).
Отметим, кроме того, что
Сх = 71
п(п— 1) 71-
С*= 12 ^Cl *
7l(n — 1)(П — 2) _ 71
1-2-3 * 3
_ п(п —1)(п —2)(п —3) _ 71—3
с'~ 12-3-4 ~~Сз 4 *
Каждый коэффициент равен предыдущему, умноженному
на дробь, числитель которой на единицу меньше, а
знаменатель на единицу больше, чем у дроби, соответствующей
предыдущему коэффициенту.
*) Факториалом k называется произведение 1 • 2 • 3 • 4 • * • к.
Это произведение обозначается знаком!
1.2-3. • •* = £!
В английской и американской литературе можно встретить обозначение:
1-2.3- - -k = \Jk.
Прим. ред.
Треугольник Паскаля 67
Пример. Разложить ( 2у — -у- J •
7
(\ 7
с2 == с1~о~ ^ 7 • 3 = 21 или -
2 1 1 + 1
С5 = с2-у = 21 • -у = 35
с4 « <*,-i- = 35 • 1 = 35
3 3
e5 = e4-j--=35.-|—21
2 91 г 7
Ce ^ С51Г ^ " Т
1 7 * 1
С7 = *в-у- = 7 •-у=»1
2. - £) - (2,)' + 7ДО ( - ±) + 21W. ( ~ ^)2 +
+35(2')4( - i)+ *ьу (- £) + 2иадр (- i)5+
+ 7(2,)(_^)в + (-^)7 = 128^-224^-1- +
89. Треугольник Паскаля. Если расположить коэффициенты
разложения биномов (a-\-b)°, (a-f-b)1, (a + 6)a и т. д. в том
порядке, который указав ниже, то каждый из этих
коэффициентов равен сумме двух других, ближайших к нему и
расположенных справа и слева на предыдущей сверху строке.
1
1 1
1 2 1
13 3 1
14 6 4 1
1 5 10 10 5 1
16 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
18 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 1.26 1Г6 84 36 9 1
1 Ю 45 120 210 252 210 120 45 10 1
1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1
1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1
5*
68 Алгебраические обозначения. Отношение и пропорция
Вторые цифры в каждой строке показывают значения п
для каждого случая.
Треугольником Паскаля можно пользоваться для
определения коэффициентов членов разложения, не прибегая к
вычислениям.
90. Выражения вида (а — b—с)3 могут быть разложены
посредством формулы бинома:
(а — Ь — cf = [(a— Ь)— с]3 = (а— bf—3(a-bfc +
+ 3(а—Ь)с2 —с3 = а3 —За26 + 3а62—б3 —
— Зс(а2 — 2а6 + £2)+Зас2 — ЗЬс*-— с* = а* — За26+3а£2 —
— б3 — За2с + ваЬс — ЗЪЧ -f Зас2 — 36с2 — с3.
Пример. Разложить (a -f- Ъ -\- с)3.
(а + Ь + с)3 = [(а + Ъ) + с]3 = (а + б)3 + 3(а + *)2с + 3(а + Ь)с* + с3 =
= а* + За26 + Зоб2 + б3 + Зас2 4- бабе + ПЧ + Зас2 + 36с2 + с3.
Аналогичным способом выражение (а+ 6— с — с?)3 может
быть представлено в виде [(а ~\-Ь) — (с + ^)]3 и разложено.
Описанный способ весьма упрощает вычисления.
91. Умножение при помощи отделения коэффициентов.
Пользуясь обычным способом умножения, имеем:
4л:2 + 6х +2
2л:2— 5* —1
8л:4 + 12*34- 4дг^
— 20л:3 — 30л:2 —10*
— 4л:2— 6л:—2
8i*— 8*3 — 30*2 — 16л: — 2
При помощи метода отделения коэффициентов это дей*
ствие можно лроизвести так:
• 4+ 6+ 2
2— 5— 1
8 + 12+ 4
— 20 — 30 — 10
— 4— 6 — 2
8— 8 — 30—16 — 2
Употребляя полученные числа в качестве коэффициентов
членов ряда степеней л:, получим
8л:* — 8*3 — 30л:2 -^ 16л: — 2.
Необходимо следить, чтобы степени были расположены в
/бывающем или возрастающем порядке.
Произведение двух биномов, имеющих подобные члены 69
Степени членов множимого и множителя следует
располагать в одном и том же порядке. Отсутствующие степени
заменяют нулями, например
Зл3 + 0 + 4* + 25.
92. Деление при помощи отделения коэффициентов.
Пример. Разделить 12л:4 + 7*3 — 7*2 + 15* ~ 3 на 4л:2 — Зл: + 3.
14 — 3 + 3
12+ 7- 7 + 15-3
12- 9+ 9
15
16 — 16-
16-12 + 12
- 4
- 4
3 + 4-1
3-3
3-3
Таким образом частное равно Зл:3 + 4л: — 1.
Умножение и разложение на множителей,
93. Произведение двух биномов, имеющих общий член,
например
(х+а)(х + Ь) = х* + (а + Ь)х+аЬ.
В этом случае произведение равно сумме следующих
членов: квадрата общего члена» произведения суммы
неодинаковых членов на общий и произведения неодинаковых членов.
Пример,
(л: + 2)(л: + 5) = л:2 + (2 + 5)л: + 2.5 = л:3 + 7л+10.
94. Произведение двух биномов, имеющих подобные
члены. Пусть, например, имеем: (2х—5) (Злг + 4).
Произведение должно содержать член с л:2, член с х и
постоянный член.
Первый из них есть результат перемножения 2х и 3v.
Второй представляет собой сумму частных произведений:
— 5 ■ Зл: и 2х ■ 4.
Свободный или постоянный член есть результат
перемножения—5 и 4.
Таким образом
2х —5
Зх +4
6л* — 1х~- 20.
70 Алгебраические обозначения. Отношение и пропорция
95. Возвышение многочленов в квадрат.
(а-И + с + </+ . . . )2 = a2 + ^2J-c2-)-rf24- • •• •
-f2a(6 + e-^-rf + . • . ) + 2*(c + rf+. . . ) +
+ 2c(c/-f • • .)-r2rf(. ..)+■••
Это выражение получено путем сложения квадратов всех
членов, взятых в отдельности, и удвоенных произведений
каждого члена на сумму всех следующих после него.
96. Одночленный множитель. Одночлен является
множителем м югочлена, если он входит в каждый член последнего.
Так, например, х является множителем выражения
ах-\-Ьх-\-сх.
Вынося х за скобки, получим:
(a -f- Ъ -f- с) х.
Перемещая и группируя соответствующим образом члены
можно иногда вынести за скобки общих множителей. Так,
например,
ax-\-aff+bx + b^ = a(x + i)}-b(x + y) = (a^b)(x-\-i/).
Часто возможность вынесения общего множителя
недостаточно очевидна, как это следует из нижепомещенного
примера:
Пример. Разложи ib на множителей выражение
a* + 2a4 + 2ab2+b*.
Представим 2а* Ъ в виде а?Ъ + с?Ь> и 2ab2 — в виде ab- -\- ab2.
Гогда выражение примет вид
а3 + аЧ + аЧ + аР + а№ + б3.
Далее
аКа + Ь) + ab(a + Ь) + Ь\а + Ь)
яли
(а + Ь)(а* + аЬ + Ь2).
97. Трехчлены, представляющие собой точный квадрат.
a2+2ab+62 = (a-H)2
a2 — 2ab + & = (a — bf
a* + 4ab + № = (a + 2b)*
9a* + Ylab -f № = (3a + 2bf
4a4-f 4a2 + l = (2a2 + l)2.
Трехчлен вида (л:2 -[" Ьх -\~ с) 71
Если удвоенное произведение корней квадратных из двух
членов трехчлена равно третьему члену, то такой трехчлен есть
полный квадрат.
Так, в выражении
9а2 4-12а6 + 462 = (За + 2Ь)2 '
квадратный корень из первого члена есть За, квадратный
корень из второго 26, удвоенное произведение их равно* 12 аЬ,
т. е. второму члену.
98. Разность двух степеней.
а2 — Ь* = (а — Ь){а-\-Ъ)
аъ — Ь* = {а — Ь)(а* + аЪ + №)
ц4_6-4 = (а--6)(а8 + а»6 + аЬя + 4в)
ab^tf^(a — b)(a* + a*b + a4* + ab*-{-b*)
*" _ Ь" = (а — 6) (а"""1 + ал~26 + ал~3^ + ... + б—1)
а« _ 6" = (а + 6) (а*-1 — ап~2Ь -f ап"362 -... + Ьп~%
где п — четное.
а2п _ Ь2п = (?п _ ^ (ап + ^ рп _ четное1#
99. Сумма двух степеней.
a2 + 62 = (a_|„6/"Zri)(a_u/Zri)i) ,
a8.^48 = (a4-6)(aa — a6 + 62) _ :*
a* + b* = (a* + abV 2 -f б2) (а2 — аЬ/ 2-f **)ь
аб + б5 = (а + Ь) (а4 — а36 + а262 — аЬ3 + б4)
а* + Ь* = (а + Ь)(а^1 — а*-Ч + ан^Ь* — ...Л*-1)>
если л — нечетное,
100. Трехчлен вида С*2 -f b* + ^
я2 + 6* + с = (* + />)(л: + <&
где р и 7 — Два числа, сумма которых равна Ь, а
произведение равно с, т. е.
p-\-q = bHpg = cf
Пример» Разложить на множителей х2 -f- л: — 30. Сумма р -\- q = 1
произведение pq *«= — 30.
Единственные множители числа — 30. сумма которых равна единице,
суть (6) и ( — 5), следовательно
х2 + х — 30 = (* + 6)(л:-5).
1) См. главу XXXVII.
72 Алгебраические обозначения. Отношение и пропорция
101. Разложение на множителей некоторых трехчленов
вида (ах2 + bx -f- c\ Пусть, например, имеем трехчлен
Зл:2+И* — 4.
Так как Злг2 есть результат перемножения первых членов
двух биномов, содержащих лг, то сами эти члены суть Зл: и х.
Величина —4 является результатом перемножения
последних членов, которые должны иметь разные знаки.
Единственные числа, удовлетворяющие этому условию, будут 4 и —1,
— 4 и 1 или же 2 и —2. Группируя всевозможными
способами эти пары множителей с множителями Зл: и х9 получим:
Злг + 4\ /Зл: —1\ (Зх — 4\ /3* + 1\ (Зх + 2\ /Злг —2\
л:-1/\ х + 4) \ х + 1)\ * —4/\ х — 2)\ х + 21.
Из них отберем ту пару, которая даст для алгебраической
суммы произведений первых членов на последние величину Их.
Очевидно, это будет вторая пара:
(Зл: —1) и (лг + 4).
Заметим, что если знак последнего члена тринома есть
плюс, то знаки обоих последних членов множителей должны
быть одинаковы и зависят от знака среднего члена.
Если же перед последним членом стоит знак минус, то
знаки последних членов множителей различны.
102. Двучлены и трехчлены, приводимые к виду (а2— Ь2).
Некоторые выражения, например а4 + 464, могут быть
представлены в виде разности двух квадратов посредством
прибавления или вычитания какой-нибудь величины, например
в данном случае 4а262.
Поступая таким образом, имеем:
а* + 4а262 + 46* — 4а262 = а4 + 46*.
Но
а* + 4 *262 + 46* — 4а262 = (а* + 4а262 + 46*) — 4а262.
Полученное равенство может быть представлено в виде
произведения суммы двух количеств и их разности
(а2 + 2аЬ + 262) (а2 — 2аЬ + 262).
Пример. Разложить на множителей выражение
Прибавим и вычтем а2Ь\ тогда получим:
а4 + <№ + Ь* = а4 + 2аЧ* + Ъ* - а2& = (а* + 2<ДО + Ы) - а?62 -
= (а2 + а& + б3) (о2 - ah + Ь%
Многочлены, приводимые к виду (a t.2 -f- bx -\- с) 73
Трехчлены вида
можно разложить на множителей, если ±2pr—q
представляет собой полный квадрат 1).
103. Четырехчлены, приводимые к виду (а2 — №) (см. п° 98).
а2 + 2а6+Ь2 — с2 = (а2 + 2а6+62) — с2 —
= (а+Ь + с){а + Ь — с).
а2— b2 + 2bc — с* = а* — (б2— 26с + с2) =
= (а — Ь -f- с) (а + 6 — с;.
4а2 — б2 + 9дг2 — 4^2 — Пах + 46# = 4а2 — \2ах + 9л:2 — б2 +
+ 4^ — 4у2 = (4а2 — Пах + 9л:2) — (б2 — 4ty + 4е/2) =
= (2а— Зл:)2— (6 — 2у? = (2а — 3*+ 6 —2у) (2а—
— З.г—6 + 2/).
104. Перестановка членов. Многочлен часто может быть
разложен на множителей, если переставить его члены
соответствующим образом; в противном случае эта возможность
может ускользнуть от внимания.
Пример. Разложить на множителей многочлен
*з - 7х2у + Uxy* — ВуК
Переставляя члены, будем иметь:
(дз _ fy3) - (lifig - Uxy*) = (ДР - 2^) U3 + 2*у + V) - 7**, (* - 2у) -
105. Многочлены, приводимые к виду (ах2-\-Ьх-^ с).
Переставляя члены таким образом, чтобы привести
выражение к виду (ах2 + Ьх + с), иногда удается разложить его на
множителей.
Пример, Разложить на множителей многочлен
3*2 - бху + 3^2 - 10* + 10у +
Имеем:
ЗлгЗ-бдг.у + З^- 10* + 10^ + 3 = 3(*2- 2ху +уЪ-10(х-у) + 3=:
= 3(х-у)2-10(х-у) + 3 = \3(х-у)-\][(х-у)-3] =
= (3* — Зу — 1) (дг — I/ — 3).
1) Если выражение
r£2pr - ? = *2>
то трехчлен
jt>2*4 + qxty2 + гУ = /J2*4 ± 2/>Г*У — S2*2^2 + ^4
и может быть представлен в виде
(рх2 it ryl) - {sxy)* = (р*2 + «*у it г#2) (р*2 - ^ rt r^2).
Прим, ред*
74 Алгебраические обозначения. Отношение и пропорция
•106. Общий метод нахождения двучленного
множителя. Если многочлен, содержащий целые положительные
степени л:, обращается в нуль при замене х числом г, то этот
многочлен нацело делится на (л:—г).
Действительно, если произведение двух множителей равно
нулю, то один из них равен либо нулю, либо выражению
равному нулю. Легко доказать, что при этом г должно быть
множителем свободного члена.
Пример 7. Разложить на множителей многочлен
Если положить х = 1 = г, тс
** — я8 — 4*+ 4 = 1 — 1 — 4 + 4 = 0.
Следовательно (х — г), т.е. (* —1) есть множитель данного выражения
*3~*2~** + 4 =х*-4 = {х-2)(х + 2).
Таким образом
х* - х* - 4х + 4 = (х - 1) {х - 2) (х + 2).
Пример 2. Найти множителей выражения 17*3—Wx1—ЪЧх — 6. Так
как сумма коэффициентов не равна нулю, то (х — 1) не является
множителем этого многочлена.
При х = — 1 = г
17*з _ 14*2 _37* - 6 = - 17 -14 + 37 - 6 = 0.
Следовательно двучлен х — ( — 1) = * + 1 будет множителем заданного
выражения..
Примечание, лг следует заменять только множителями свободного
члена (в данном случае — 6), поэтому рекомендуется начинать пробы с
наименьшего множителя.
Дальнейшие сведения относительно разложения на
множителей имеются в главе X.
107. Некоторые формулы для деления.
х2-\-ху-\-у*
х У
л2-
х-
Xs-
х-
л*-
-!?*
—у
~У&
—э
-V
Некоторые формулы для деления 75
х У
х+У
У
*—у *—у
Лг8+у3=^—дгу+уМ—22i_i)
х+У х+У
4$f-*■-*+*
дг + у tf-Г У * "I л^_^
*5 j~ *' = яг* — jfig + *V — лу» + ffA-
Пример. Найти лс, если ж -f- а8 = 1 — ах и а = 0,01.
х -f- ах = 1 — о8
(1 + а)* = 1 - о»
л: = \=£ = 1 - а + а2 + ^^ = 1 - 0,01 + 0,0001 +
. ( —2) (0,000301)
+ 1,01 ' '
Пренебрегая дробью в правой части равенства, найдем
х = 1 _ 0,01 + 0,0001 = 0,9901.
*) Если в этих случаях у есть величина малая по сравнению с х, то
дробной частью разложения можно пренебречь
76 Алгебраические обозначения. Отношение и пропорция
Из приведенных формул можно сделать следующие
выводы:
хп.—уп — всегда делится на *— у,
хп—уп— делится на *+#, только когда
п — четное,
xnjryn'—не делится на л: — у,
хп-\-уп— делится на х-\-у только при
п — нечетном.
Если делителем является х—у, то перед каждым членом
частного стоит знак плюс.
Если делителем является * + #» то перед членами частного
стоят попеременно плюс и минус.
108. Общий метод проверки сложения, вычитания,
умножения и деления. Проверка заключается в замене в данном
выражении и в ответе величины х на единицу.
Такая проверка является операцией чисто арифметической
и подтверждает правильность алгебраических действий, если
дает правильный результат. Покажем применение указанного
способа для случая умножения и деления.
х2 — 2х + 5 подстановка х = 1 дает 4
х2 + 3* — 1 подстановка х = 1 дает 3
** — 2*s + 5*2 12
3*3_6 r2+ 15*
2х — 5
4- *3 —2л:2
17* — 5; подстановка * = 1 дает 12.
Пусть требуется разделить Злг2+ 22*+ 35 на л_|_5.
Производя деление, найдем, что частное равно 3* + 7.
Подставляя * = 1 в делимое, найдем:
3 + 22 + 35 = 60.
Подставляя * = 1 в делитель (предполагая, что делитель
при этом не обращается в нуль), имеем:
1 + 5 = 6.
Производя ту же подстановку в частном, найдем:
3 + 7 = 10.
Общий наибольший делитель 77
Следовательно, действие произведено правильно, так как
?=-
109. Общий наибольший делитель. Общим наибольшим
делителем двух или нескольких многочленов называется
многочлен наивысшей степени из числа входящих множителями
во все эти выражения *).
Пример. Найти общий наибольший делитель выражений
12а**2с и Ъ2сР№<*.
Общий наибольший делитель (или множитель) коэффициентов 12 и 32
есть 4.
Общий наибольший делитель аА№с и а%ъ<? есть а*№с.
Следовательно, общий наибольший делитель заданных выражений
равен 4аЧ2с.
Правило. Для нахождения общего наибольшего
делителя следует:
1) найти наибольший делитель коэффициентов;
2) умножить его на общих буквенных множителей с
наименьшим показателем^ которой они имеют в каком-либо
из данных выражений.
Пример. Найти общий наибольший делитель выражений
З*8 - Злчг и 6*3 — \2х°у + 6ху\
Зх*-~3ху2 = 3х(х + у)(х-у)
6х*-12х'*у + 6ху* = 2.3х(х-у){х-у).
Следовательно, общий наибольший делитель равен
5*(* — у).
*) Делители, отличающиеся лишь коэффициентами, обычно не считаются
за различные. При отыскании общего наибольшего делителя выражений на
коэффициент обычно внимания не обращают, принимая его в наибольшем
делителе равным единице. Так, для одночленов \2аАЬ2с и 32а2^3с3
помещенного ниже примера выражение
СаЧЧ,
где С—произвольный коэффициент, может быть принято за общий
наибольший делитель.
Проще всего взять общий наибольший делитель равным
аЧЧ.
Здесь автор несколько отступает от общепринятых соглашений алгебры,
принимая за обц|ий наибольший делитель лишь выражение
Прим. ред.
78 Алгебраические обозначения. Отношение и пропорция
110.. Нахождение общего наибольшего делителя (метод
Евклида). Если имеются два многочлена, в которые входят
степени только одной переменной х, то для нахождения их
общего наибольшего делителя можно поступить следующим
образом:
Прежде всего следует разделить выражение, содержащее
переменную в более высокой степени, на выражение,
содержащее ее в более низкой. Последнее нужно раздгл тгь на
остаток от первого деления. Продолжая аналогичным образом,
дойдем до такого выражения, которое делит последний
остаток нацело. Это и будет искомый наибольший делитель.
Пример. Найти общий наибольший делитель многочленов
**-5*з + 4л:2+10л:-12
*з_з*2-3* + 9.
Поступая согласно вышесказанному, имеем:
лг*-5*8 + 4*2 + 10лг-12 I *» —3*а-3* + 9
^-3*3-3*2+ 9х I х-2
— 2л* +7л:2-Ь * — 12
-2х* + 6х2 + 6*-18
■5*+ 6
х + 2
х2- Sx+ 6
*3-3*2— $х+ 9
х*-5х*+ 6х
2х2 — 9х + 9
2х2 -10* + 12
дг- 3
л:2_5д: + 6=::д:-3)(л:-2).
Гак как * — 3 (последний остаток) делит нацело х2 — 5х + 6 члоследний
делитель), то х — 3 есть общий наибольший делитель заданных выражений.
111. Общее наименьшее кратное. Общим наименьшим
кратным двух или нескольких многочленов называется
многочлен наименьшей степени, который делится на каждый из
данных без остатка и является произведением всех простых
множителей этих многочленов, причем каждый множитель взятна-
иболыиее число раз, которое он встречается в каком-либо из них.
Пример. Найти наименьшее кратное многочленов:
х2 — 2xy-\~y2t у2 — х2 и х* — ун.
х2 — 2ху + у2 — (х—у)(х~ у)
У2 — х2 = — (* + у> (х —■ у)
х*+уЗ = (х+у)(х2-ху+у2).
Искомое общее наименьшее кратное равно
Дроби вида -0- 79
112. Другой способ нахождения общего наименьшего
кратного двух выражений заключается в делении одного
из них на общий наибольший делитель и умножении частного
на другое выражение.
Пример. Найти общее наименьшее кратное выражений
*3 — 2дг2 + дг + 4 и *3 — 3*2 + 2д: + 6.
Общий наибольший делитель равен х + 1:
*3 — 2лг2 + лг + 4
Общее наименьшее кратное равно
(а-2 - Зд: + 4) (л* - 3*2 + 2х + 6).
113. Действия с нулем. С нулем можно производить все
арифметические действия кроме деления на него, а именно:
Прибавлять нуль: а-|-0 = а.
Вычитать нуль: а—0 = а.
Умножать на нуль: аХО —0.
Возвышать в нулевую степень: а° = 1.
Делить нуль на любое число: — = 0.
114. Дроби, принимающие вид -gr- в случае приближения
хка.
Пусть имеются выражения
а3 —л:3 2 (а—л:)2 ^2 (а2 — я:*)
* а* — л:2 ; * 3(а*—**) ; ^~ 3(а—л:)2 #
Рассматривая их, мы видим, что они теряют
определенность при х = а.
Выясним, как изменяется значение каждой из этих дробей
по мере приближения х к а.
Множитель а — х в этом случае стремится к нулю; однако,
будучи общим для числителя и знаменателя, он может быть
сокращен, если считать, что хфа; тогда получим:
__ ag-f or+jt* =2(а — х) _ 2{а + х)
У~ а+х ; 9 3(а + х); У~~3(а — х)4
Если х приближается к предельному значению а, то для
указанных трех случаев будем соответственно иметь:
За ^ . 0
у приближается к -тг; у приближается к —;
z Ь а
у обращается в бесконечность.
80 Алгебраические обозначения. Отношение и пропорция
Кроме рассмотренной неопределенной формы -z- , имеются
и другие, а именно:
О • оо; —; 0°; оо°; оо — оо.
Радикалы.
115. Корень из данного числа обозначается знаком Y (знак
радикала), который ставится перед этим числом.
Если корень извлекается точно, то радикал рационален;
если же извлечение не может быть произведено точно, то
радикал иррационален.
Корень четной степени из отрицательного числа есть число
мнимое, все же остальные числа действительные.
Корни четных степеней из положительного числа могут
быть числами положительными или отрицательными, однако
обычно берется тот знак, который уже имеется перед корнем.
Радикалы всегда следует приводить к простейшей форме,
например: • _
l/25^6"= ^25^ ■ Vb = 5a2l/~b
V/48a66l0=^16^b8 -i/~3^ = 2ab*[/~ba№.
Как видно из этих примеров, радикал приходится
разлагать на два множителя, из которых один является
наибольшим рациональным.
После этого следует извлечь указанный корень из
рационального множителя и умножить результат на иррациональный:
УТ& = У~[Щ* = (3 аУ = ]/Ъ^.
116. Для упрощения подкоренного количества, если оно
является дробью, следует преобразовать знаменатель так,
чтобы показатель степени в нем делился на показатель корня.
Это может быть сделано посредством умножения числителя
и знаменателя на один и тот же множитель, что не изменит
величины дроби, а затем вынести знаменатель из-под знака
радикала.
Пример. Упростить выражение 1/ к—g. Умножая числителя и
знаменателя дроби на 2лг, имеем/
/&*-■/■&■**-№
Умножение иррациональных одночленов 81
117. Для того, чтобы изменить степень корня, следует
помнить, что между степенью корня и показателем степени
подкоренного количества существует такое же соотношение, как
между знаменателем и числителем дроби. Таким образом, их
можно делить и умножать на одно и то же число, не изменяя
величины корня.
2? 1^56 может быть, например, преобразован так:
Для приведения f/З, )/2, у4 к одной и той же степени
корня, поступаем так:
_ JL 3_ _
j/З = (3)4 = (З,12 = 1^3* = |/ 27
J £
У 2 = (2)2 = (2)12 = ^2* = ^64
^4 = (4р = (4)й=^=^25б. '
118. Сложение и вычитание иррациональных
одночленов. Несколько иррациональных членов могут быть
объединены в один член посредством сложения или вычитания,
если они содержат один и тот же радикал.
Пример.
y*50 + 2^*8 + 6|/"i . ■ '
б^^зу-2 ^ ...
lO/'I
119. Умножение иррациональных одночленов. Сперза
следует привести радикалы к одинаковым показателям.
Перемножая коэффициенты при радикалах, получим коэффициент
произведения. Умножив его на корень из произведения
подкоренных множителей, получим искомый результат* который
следует после этого упростить. ; •" ----i -: - --^
& Справочник для инженера.
82 Алгебраические обозначения. Отношение и пропорция
Примеры.
5 V3 • 2 Vl5 = 10 V45 - 10 YTTS = 30 V3.
X2V^+3V5^
5V^-2V3
20 + 15V6.
4|/*6 —18
20+11/6-18 = 2 4 "^б.^
V 2 • 3* 4 = V^2» - 3^4» = "j/ 23 • 3j/2* = 3]ЙТ7 -= 6^5!
120. Деление иррациональных одночленов. Для деления
иррациональных чисел необходимо привести оба корня к
одному показателю, а затем разделить оба количества друг на
друга. Полученное выражение следует упростить.
Пример. __
aYb-.xYl,-
aYT> ^ а Г~±_
xYУ х у у
Действие сильно упрощается, если радикал представить
в виде дробной степени. Так рекомендуется поступать во всех
случаях, когда показатель корня выше третьей степени.
121. Иррациональные дроби. Если знаменатель дроби
имеет вид У а±УЪ, то для уничтожения в нем
иррациональности следует умножить и числителя и знаменателя на
Ya + YI. I
Va + VT = (Уа + УЪ)(Уа + УЪ) = а+Ъ + 2Уа1>
Уа — УТ (У^ — УЪ)(Уа + УЪ) а-Ъ ' |
h
Рекомендуется запомнить следующее соотношение: |
(а + УЪ)(а-УЪ) = а*-Ь, ]
так как оно часто упрощает уничтожение иррациональности |
в знаменателе:
j
Иррациональные дроби 83
1 + ^2+^3 ^ 1 + /2+КЗ^ 1+1^2 + ^3
1 + /2-/3^ (l+/2)-/3j 1+/2+уз^
_6 + 2К2+2У/"3 + 2/б^З + Ул2 + У'3 + /б у^^
(1+21/2 + 2) —3 V2 " V2
31^2 + 2+1/6 + 21/3
- 2
122. Извлечение корня из иррациональных выражений
и возвышение их в степень. Прежде всего необходимо
привести радикалы к одному показателю.
Примеры,
Возвысить в куб 2 у а*3.
Имеем:
3 3 9
(2 У^)в==23(ад^) 2 =8а * л: 2 = 8 У^ = 8ах* Yale.
Возвысить в квадрат
__ Li.
(3^*5)2 = 9(*5)в =9д:3 =9*^2-
Возвысить в куб (1^2-}-!)•
(/"2 + 1)3 = (У"2)з-[-3(У"2)з-1 + 3 У"2.12 + 13 =
= 2У5 + б + 31Л2 + 1 = 7 + 5УТ.
Найти корень кубичный из выражения: —27 у ах.
Имеем:
JL i
^ - 27 У^ = ( - 27)3 («)• = -3 fa*.
Чтобы найти квадратный корень из двучлена, содержащего
иррациональный член, следует разделить последний на 2,
а затем разложить частное на два множителя, сумма
квадратов которых равна рациональному члену. Вообще
0^+ УэТ = х + 2 VTy -J- * = х +д + 2/3£,
где л: и у — какие угодно числа.
Поэтому, если можно разделить радикал на 2 и разложить
частное на два множителя, которые при возвышении каждого
из них в квадрат и последующем сложении дадут
рациональный член, то данное выражение представляет собой точный
квадрат суммы этих двух множителей.
Так, 8 + 21^12 можно написать в виде: 6+2/12 + 2.
6*
84 Алгебраические обозначения. Отношение и пропорция
Сравнивая это выражение с общим, написанным выше, имеем:
лг = 6, у = 2у 2/^ = 2/12 = 2/6^2=2/6 /2.
Следовательно,
(/б + /2)2 = 6 + 2 /12+2 = 8 + 2/12
или
1^8+2/12 =/6+/2.
Пример.
Найти квадратный корень из 14 + 8 У"3.
i-£I = 4 V 3 = УН = /"6 • / 8.
8 + 6 = 14,
так что
14 + 8/3 = (/6 + /"8)2 или /14 + 8 /3 = У1 + У 8.
123. Степени и корни.
2 •
-п 1
ап — а-а-а-а... п раз.
*
а • а = а
а wi—w
— =а
а
/ т\П тп
[а ) =а
{аЬ)п = апЪп
1 п
5» п _
п п п
п
т
Функции 85
пГТъ
VVa
0 П
а — а
а
ь-п
п
-и а .
п
а
1
а 16
1 ат 1
Ьп
т
а
8 I п г * sf n 8 jmr _ my
V V ~j* = Va~mr=^а я = а~"s
п __ п __ п п
УаУа = Уаа = Уа>
(а + 6)й = а"(1+^-)П.
Глава IV.
ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ. СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.
Переменные и функции.
124. Функции. Переменная у называется функцией другой
переменной х, если величина первой определяется данным
значением второй.
Пример.
д = тх -|- Ъ.
Здесь у есть функция л:, или тх -{-'5, равное у, есть функция *.
Переменная является такой величиной, которая в течение
данного исследования принимает ряд различных значений.
86 Функции и их графики» Составление уравнений
Функции обозначаются символами, например F(x), f(x)t
которые представляют собою выражения, содержащие х.
Таким образом Ьх -f- с можно обозначить через /(л:).
Пример. Резервуар, содержащий 300 л воды, наполняется со скоростью
50 л в час.
В течение х часов резервуар получит 50* литров воды. Так как
к моменту начала вливания он уже содержал 300 л, а мы обозначаем общее
количество воды в резервуаре через у, то получим для у выражение
0 = 50 а:+ 300.
Количество воды есть функция времени:
у — функция х или у =/(*),
где/(дг) означает 50 # + 300.
Пусть мы имеем тело, брошенное вверх с начальной
скоростью vq; обозначая через 5 расстояние движущегося тела
от начальной точки, а через t—время в секундах, получим
следующее равенство: '
5 = г;о* — 4,9/*.
В этом случае расстояние 5 есть функция времени L
Положим, нагревается некоторый сосуд с водой. Его
температура— функция времени.
Скорость трогающегося поезда измеряется счетчиком для
измерения скоростей. Скорость поезда—функция времени.
Площадь квадрата — функция его стороны. Площадь ата
А = х*.
Объем шара — функция его радиуса.
Объем данного весового количества воды — функция ее
температуры.
125. Графики уравнений. Повторяем определение функции
как некоторой величины у, которая изменяется по мере
изменения переменной х9 находясь с последней в определенном
соотношении.
Величина х есть независимая переменная, а величина у —
зависимая переменная.
Точки, находящиеся на прямой линии, служащей основанием,
т. е. на оси лг-ов, представляют собою значения независимой
переменнее X; переменная же высота кривой линии над осью Л'-ов
выражает значения зависимой переменной у, соответствующие
различным значениям независимой переменной х. В больший*
стве случаев эта высота является переменной величиной,
которая показывает, как изменяется зависимая переменная
по отношению к независимой.
Графики уравнений
87
Обычный способ графического изображения функций
состоит в том, что на чертеж наносят значения независимой
переменной в виде абсцисс, а зависимой— в виде ординат.
На рис. 3 графически показан характер изменения функции
при различных значениях независимой переменной. Длина
ординаты есть значение величины зависимой перемейной, т. е.
функции, соответствующей частному значению х (рис. 4).
Чтобы иметь возможность получать величину различных
ординат и избежать необходимости вычерчивать их в каждом
101
8
6
4
2
3*
4 6 8
Рис. 3.
Ю
отдельном случае, проводят кривую, соединяющую их концы,
как это показано на рис. 4.
Она представляет собой средство для нахождения
величины ординаты для каждого частного значения независимой
переменной.
Необходимо помнить, что переменная высота, о которой
мы говорим, представляет собой значения функции.
Если имеется выражение
*2 + 3*+3,
то величина его зависит от значений, которые мы даем
независимой переменной х. В таких случаях говорят, что данное
выражение есть функция от х. Построение графика состоит
в нанесении на чертеж значений функции, вычисленных для
различных х. *
Если читатель усвоит такую точку зрения/то графические
соотношения между зависимой и независимой переменными
станут для него вполне ясными (рис. 5).
Наше выражение может быть также обозначено через у
или другую букву, в таком случае получим равенство
у = х*+3х + 3.
88 Функции и их графики. Составление уравнений
Указанное обозначение не изменит первоначального
соотношения между абсциссами и ординатами точек кривой, как
это видно из рис. 5.
126. Функции нервой степени. Функции первой степени
часто называются линейными функциями, потому что их
график представляет собою прямую линию.
Если функция изменяется точно так же, как и независимая
переменная, то мы имеем равенство у = х. Если же функция
изменяется в два раза быстрее независимой переменной, то
получается равенство у = 2х; если в два раза медленнее,
1
При одинаковом изменении у и х9 т. е. у — х9 наш график
будет иметь вид, показанный на рис. 6. Если мы даем х раз-
Рис 5. Рис. 6.
личные значения, как например 1, 2, 3 и т. д., то очевидно,
что график уравнения у = х представляет собою диагональ
квадратов и является прямой линией, имеющей постоянный
наклон, равный 1.
Таким же образом, при у = 2х, для различных значений х,
мы имеем ряд прямоугольников с совпадающими диагоналями,
как это было и в предыдущем случае.4 Мы также имеем
прямую линию, но лишь с другим наклоном, который в этом
случае равняется отношению двух единицу к одной единице xt
2
т. е. ^ = 2.
ИмбН функцию у = тх, так же, как и выше, мы получаем,
77
что отношение у к х есть — = т.
Функция тх-\-о
89
Здесь т может быть любым числом, отличным от 0, как
например 6, —, —3.
Если т > 1, у возрастает быстрее х.
Если т — отрицательное число, то у возрастает, в то время
как х убывает; в этом случае график образует тупой угол
с положительным направлением оси лг, в то время как при
положительном т — острый угол.
Так как каждый из указанных графиков имеет постоянный
наклон, то все они являются прямыми линиями. Если бы
изменение у по отношению к х не было постоянным,
наклон графика также не был бы постоянен и наша функция
не являлась бы функцией первой степени от лг. Поэтому всем
функциям первой степени соответствуют прямые линии,
127. Изменение функции по отношению к независимой
переменной можно рассмотреть еще и другим путем: пусть у
увеличилось на величину h, в то время как х возросло на k\
h г»
тЬгда наклон гп равняется отношению -у-, В самом деле, имея
первоначальное уравнение
у = тх,
при указанном изменении у и х получаем:
y~[-h = m(x-\-k) = mx -f- mk.
Вычтя (1) из (2), имеем:
у _|- h = т х -\- тк
у = тх
(1)
(2)
/г = тк
откуда наклон
т =
А
к1
Ряс 7.
128. Функция тх-\-Ь. График
Функции у = тх-\-Ъ приведен на
рис. 7.
Если х = 0, то у = Ь, т. е. график отсекает на оси Y
постоянный отрезок длиною 6. Поэтому можно сказать, что все
значения функции у-=тх-\-Ь равны соответствующим
значениям функции у = тх плюс постоянная величина 6.
90 Функции и их графики. Составление уравнении
В этом случае наклон графика не изменяется, а сам
график перемещается в вертикальном направлении кверху
(предполагая, что Ь—положительное число) на расстояние, равное Ь.
Функция имеет постоянное начальное значение Ь
независимо от значения х.
Применение уравнений и графиков весьма полезно при
решении разного рода задач. В настоящей главе будут
приведены некоторые примеры, поясняющие вышесказанное.
Пример. Поезд оправляется со станции, находящейся в 10 км к западу
от Чикаго, со скоростью 30 км/час и идет на запад. Где будет находиться
поезд через х часов после отправления?
В течение х часов поезд пройдет 30 х км. Если расстояние от Чикаго
обозначить через у, мы получаем следующее равенство: # = 30 л:+ 10.
Начальное значение у равно 10.
Отношение величины пути, пройденного поездом, к соответственно
затраченному времени равно 30, что представляет собою скорость движения
или, другими словами, наклон графика.
Другой пример такого же рода дает закон Гука, гласящий, что длина
растянутого стального стержня у равняется его первоначальной (до
растяжения) длине Ь плюс удлинение, пропорциональное растягивающей силе х.
т. е. у = тх -f- 6.
Наклон графика функции тх-{-Ь постоянен для взятых
двух пар значений переменных, как например (jclf уг) и (лг2» Уа)*
Имеем:
yi^mxlJjrb9 y2 = mx2-\-bt
откуда
g% — 9i = ™(x* — *i) и V—?Ls==m-
*2 *1
Обратно, если отношение скоростей изменения функции у
и независимой переменной х постоянно и равно т, то
функция имеет такой вид: у = тх-\-Ь.
Пусть Дг = лга — хи Ау == J72—У и гДе ^х есть величина
изменения *, а Ьу — изменения у; тогда имеем:
Уъ—#i Ау изменение у
•*a — ^1 ^х соответствующее изменение х
129. Уравнение. Уравнение, справедливое для частных
значений входящих в него переменных, остается справедливым
и после того, как над ним произвели любое из следующих
действий:
Прибавление любого количества к обеим частям его.
Вычитание любого количества из обеих частей его.
Уравнение 91
Перенесение любого члена равенства из одной части его
в другую (причем необходимо у переносимого члена
переменить знак на обратный).
Умножение или деление обеих частей его на любое
количество, неравное 0 и не содержащее неизвестных.
Изменение знаков-всех членов на обратные.
Логарифмирование обеих частей уравнения (при условии,
что обе части положительны).
Кроме того, если найти sin, cos, tg и т. д. для обеих частей
уравнения, то указанные тригонометрические величины,
взятые для левой и правой частей уравнения, будут равны друг
другу.
Необходимо помнить, что возвышение обеих частей
уравнения в некоторую степень вносит новые (посторонние) корни,
не удовлетворяющие, вообще говоря, первоначальному
уравнению. Так, например, уравнение * = — 2 имеет только один
корень, а уравнение лг2 = 4 имеет два корня, а именно X = + 2
их = — 2.
Уравнение, не содержащее дроби с неизвестными в
знаменателе, называется целым уравнением.
Таким образом уравнения
оба являются целыми уравнениями, так как они не содержат
неизвестных в знаменателях.
Если обе части уравнения умножить на выражение,
содержащее неизвестное, то получившееся уравнение имеет все
ксрни данного уравнения, а также и корни того уравнения,
которое образуется, если взятый множитель приравнять нулю.
Введенные в наше уравнение таким образом корни называются
посторонними корнями.
Если обе части целого уравнения разделить на целый
общий их множитель, содержащий неизвестное, то
получившееся при этом уравнение содержит все корни данного за
исключением тех, которые имеет уравнение, образующееся
при приравнивании нулю сократившегося общего множителя.
Для определения всех корней данного уравнения, надо кроме
корней, вычисленных из уравнения, получивжнегося после
сокращения на указанный общий множитель, учесть еще и корни
Уравнения, полученного при приравнивании нулю указанного
Общего множителя.
92 Функции и их графики. Составление уравнений
130. Составление уравнений по условиям задачи.
Обозначаем неизвестное количество через х и из условий, даваемых
задачей, найдем равные между собой выражения, образующие
уравнение. Одно какое-либо выражение можно сделать равном
другому, прибавляя к первому или отнимая от него некоторую
величину, или же умножая или деля его на некоторое число.
Применяя указанные приемы для получения равных между
собою выражений, сможем написать уравнение.
Многие законы математики, механики и физики часто
могут быть изображены равенствами, так например:
Длина X ширина = площадь прямоугольника.
Скорость X время = пройденный путь.
Число предметов X цена каждого = общая стоимость.
Число лиц X количество долларов, полученных от
каждого = число полученных долларов.
Квадрат гипотенузы — сумма квадратов катетов.
Задача может давать равенство и непосредственно.
В этом случае, сообразуясь с условиями задачи, можем
написать искомое равенство.
Для пояснения сказанного рассмотрим следующую задачу.
Задача, Через 15 лет А будет, в 3 раза старше, чем он был 5 лет
тому назад. Определить его возраст в настоящее время.
Составляем равенство. Если умножить его возраст 5 лет тому назад
на 3, произведение будет равно его возрасту через 15 лет. Это и дает нам
искомое равенство или уравнение:
Возраст через 15 лет = 3 • (возраст 5 лет тому назад).
Пусть х = возрасту в данное время (который требуется определить).
Тогда х-{- 15 = его возраст через 15 лет,
х — 5 = его возраст 5 лет тому назад.
Пишем уравнение:
л:+15 = 3(л:--5)=:Зл:-15.
2 х = 30, х = 5.
131. Решение задач, содержащих два неизвестных.
В этом случае необходимо иметь два условия. Одно
неизвестное обыкновенно обозначают буквой х, а другое — буквой у.
Однако употреблять для обозначения неизвестных два
символа не всегда обязательно, ибо второе неизвестное может
быть часто выражено через первое. Задачи, в которых для
обозначения неизвестных применяются две буквы, будут
рассмотрены в следующей главе. В приводимых ниже задачах
рассмотрены случаи, ксгда проще употреблять только одну
букву.
Табличный способ 93
Пример. Одно число больше другого на 8, сумма же их равна 14.
Найти числа.
Условие, по которому можно составить равенство, непосредственно
указано в задаче.
Сумма чисел =14.
Другое условие состоит в том, что одно число больше другого на 8.
Обозначим меньшее число через х.
Тогда
л: -(- 8 = большее число.
Составим уравнение
* + (* + 8) = 14.-
2лг+3 = 14, 2лг = 6.
х = 3 = меньшее число,
х -f- 8 = 11 = большее число.
132. Если задача содержит три неизвестных, то для
решения ее должны быть даны три условия.
Пример, За вагонетки, стрелки и переносные рельсы, которые стоят
соответственно по 90, 35 и 15 руб. каждая, было заплачено 1185 руб.
Число стрелок больше числа вагонеток на 4, а число рельс вдвое больше
числа вагонеток и стрелок, взятых вместе. Сколько каждых из этих
предметов куплено?
Мы составляем искомое равенство из первого условия:
стоимость вагонеток -f- стоимость стрелок -f- стоимость рельс = 1185 руб
Обозначим число вагонеток через х.
Тогда х -\- 4 — число стрелок (второе условие).
2 [д: + (дс ~f- 4)] — число рельс (третье условие).
Стоимость вагонеток: 90л: руб.
Стоимость стрелок: 35 (дг -f- 4) руб.
Стоимость рельс: 15(4*-}-8) руб.
Из предыдущего имеем уравнение:
90* + 35 (л:+ 4)+ 15 (4л;+ 8) = 1185, .
откуда (п° 130):
число вагонеток = л: = 5.
число стрелок = х -f- 4 = 9.
число рельс = 4 * -j- 8 = 28.
133. Табличный способ заключается в систематическом
расположении условий задачи, что облегчает составление
равенства. Схему применения этого способа лучше всего можно
уяснить на примере.
Пример. Длина прямоугольного участка вдвое больше его ширины.
Если увеличить длину на 30 м, а ширину уменьшить на 10, то 'площадь его
уменьшится на 100 кв. м.
Найти размеры участка.
Длина X ширина = площадь.
Первоначальный участок 2х х 2*2
Участок после изменения
сторон 2*4-30 at—ID' (2*+ 30) (*--:10#
94 Функции и их графики. Составление уравнений
Условие раве н ств а. Если площадь первоначального участка
уменьшится на 100 кв. м, то она будет равна площади измененного участка.
Отсюда (п° 130): J
2 *2 - 100 = (2 х + 30) (дг - 10).
Решая уравнение, имеем:
* = 20, 2лг = 40.
Пример. Некоторая сумма, отданная по 5%, дает тот же доход, как
и сумма на 200 руб. большая, отданная по 4%. Чему равен первый капитал?
Капитал X величина процентов = долго^
х 0,05 0,05* рублей
* + 200 0,04 0,04(* + 20О) руб.
Условие равенства. Доход в обоих случаях один и тот же
отсюда (п° 130): ллг лл,, , олл
' 0,05л- = 0,04 (дг + 200).
Решая уравнение, имеем:
х = 80Э рублей.
134. Задачи на время »и путь, пройденный в движении
При решении задач этого рода, когда скорость—величина
постоянная, следует помнить, что
Время X скорость = пройденный путь.
D пройденный путь
Время = —£ —•
скорость
~ пройденный путь
Скорость = —-— -—.
время
9
Задача h Скорость экспресса равна -у- скорости обыкновенного поезда.
Если для прохождения 360 км обыкновенному поезду нужно затратить на
4 часа больше, чем экспрессу, то какова скорость последнего?
Время X скорость = пройденный
путь
л* 360
Обыкновенный поезд . . х ЗвО
а 360 9лг в_
Экспресс -Q— -jr- ЗвО
т
Условие равенства. Если 4 часа вычесть из времени пробега
360 км обыкновенным поездом, то получившаяся при этом разность
ровняется времени пробега экспрессом того же расстояния.
Таким образом (п° 130):
360_4==20Э
х х '
Скорость обыкновенного поезда = х = 40.
9
Скорость экспресса = -—- х = 72,
Графики равномерного движения 95
Задача 2. Велосипедист отправляется от некоторого пункта со
скоростью 16 км/час; спустя 45 мин. f-тг часа) из того же места выезжает
автомобиль со скоростью 24 км час. Через сколько времени автомобиль
обгонит велосипедиста?
Время скорость пройденный
путь
Велосипед
Автомобиль
16
X
24
16
24
Условие равенства. Если из времени движения велосипедиста
3
вычесть -j- часа, полученная разность будет равна времени движения
автомобиля.
Поэтому (п° 130):
х 3 х
TZ ~ "Г = 777J X = 36.
16 4 24
Время движения автомобиля = -^j- = -«j-
/2
11
10j
9
8
7
б
5
4
3
2
= 1-х- часа.
135. Графики равномерного движе- ^
иия. Если пешеход проходит 3 км в те- ^
чение каждого часа, то связь между
пройденным путем и временем можно ^
представить графически (рис. 8). §
Расположим шкалу часов на оси X, |
а километров — на оси Y. За первый час §
пешеход прошел 3 км; поэтому наносим ^
точку jc == 1, #==3. Прямая линия, про«>
веденная через эту точку и через начало
координат, определяет соотношение
между временем и расстоянием.
При этом будет иметь место
алгебраическое соотношение
s = 3t.
Если пешеход идет с одной и той же
скоростью, то график показывает, что
он через 4 часа придет в город, расположенный в 12 км
от места его отправления. Если же он будет итти
со скоростью 4 км/час, то он достигнет того же города
за 3 часа, как это видно из графика, ОС* Замети»
У
1
i
12 3 4
7 - бремя в чосог
Рис. 8.
96 Функции и их графики. Составление уравнений
что график второго движения наклонен более круто, чем
первый. Кроме того заметим, что отношение расстояния ко
времени является наклоном графика и что указанные графики
равномерных движений — прямые линии.
Задача. Джонс, проехав 2-=- часа в автомобиле со скоростью 16 км/час,
1 1
делает остановку на 1-у- часа, а затем продолжает путь с первоначальной
скоростью. Пять часов спустя после отправки Джонса в дорогу, в до-
гонку ему выезжает на мотоцикле Смит со скоростью 32 км/час. Какое
расстояние они проедут, прежде
чем Смит нагонит Джонса?
Алгебраическое
решение. Пусть х — пройденное
до момента встречи расстояние
в километрах. За 2-^- часа, при
скорости 16 км/ч тс, Джонс
проедет 40 км. Тогда расстояние,
пройденное Джонсом после
остановки, равно х — 40.
Время движения Джонса
после остановки до того
момента, когда его догонит Смит,
равно:
л:-40
16 '
Общее время нахождения
в пути Джонса равно
120
•
100-
80-
60-
40-
20-
п
1
/\\ъ
з с/
l__, f——-f—
-7
'|32
—1 j г—'
Г
|—, .,
i т
■+1-
*-40
(1)
2 ' 16
пройденное Сми
2 4 6 8
ось бремени-t
Рис. 9.
Время,
том, плюс 5 часов, равно;
х
10
5 +
32
(2)
Но выражения (1) и (2)
равны между собою; поэтому
л:-40
откуда
2 ' 16
лг == 112 км.
-54--
Графический метод (рис. 9). О соответствует точке отправления,
так как в ней t = 0 и s = 0.
л« 16
Проведем прямую ОВ с наклоном —- до пересечения ее с вертикаль-
вым отрезком, соответствующим 2^-=- часам на оси времени. Для следующих
Задачи на проценты
97
1 vr часов s не возрастает, это выражается прямой ВС, параллельной оси
времени. Затем автомобилист продолжает свое движение с первоначальной
скоростью, и это обстоятельство указывается прямой С£, имеющей тот же
наклон, что и прямая ОБ.
Мотоциклист отправляется 5 часов спустя, т. е. t = 5, но так как он
начинает двигаться от того же пункта, откуда отправился и автомобиль, то
и здесь s = 0. Через точку D проводим прямую DE с наклоном, равным 32.
DE является графиком движения мотоциклиста. Оба наши графика
пересекаются в точке Е, которой соответствует s = 112. Отсюда следует, что,
проехав 112 км, мотоциклист нагонит автомобилиста.
Большинство решений графическим способом может быть
получено с достаточной степенью точности, так как почти во
всех случаях, подобных только что изложенному, скорости
D С А
только что
измеряются не абсолютно точно
и потому имеют приближенные 12
значения.
136. Графики нескольких
равномерных движений (рис. 10). ^ 9
Пусть л: отправляется из некоторой^
точки О и аа 4 часа проходит 12 км,
Прямая О А — график движения л:. Час
спустя после выхода л: начинает
двигаться у и проходит то же расстояние;
достигая конечного пункта часом раньше,
чем х. ВС — график движения у» Как
далеко и когда у нагонит х?
Точка пересечения двух указанных
графиков дает ответ на вопрос задачи.
Отрезок EF показывает искомое
расстояние, у нагоняет х два часа спустя после
начала движения х (t = 2).
Теперь рассмотрим z,
начинающего двигаться одновременно
1
1
/ в
W/
кН
Т
Е
,
1 2
емя в часах
Рис. 10.
С X, НО
только с противоположного конца проходимого пути, с той же скоростью»
что и у. DE — график движения z; этот график мы строям с наклоном,
равным наклону ВС, но с отрицательным знаком, так как z движется
в противоположном направлении.
График DE показывает, что z встретится с х после того, как х пройдет
4 км, и спустя \-w- часа после начала их движения. Встреча же zcy произойдет
1
после того, как # пройдет 3 км, и спустя -у часа после начала движения у.
137. Задачи на процедты.
Задача 1. Сколько нужно добавить воды к 12 л 25-процентного
раствора алкоголя, чтобы получить 10-процентный раствор?
Пусть л:—число литров воды, добавляемых к данному раствору.
Тогда 12 -f- х — общее число литров 10-процентного раствора, а 10%
от (12 + *) — число литров чистого алкоголя, но 25% от 12, т. е. 3—-также
число литров чистого алкоголя.
7 Справочник для инженера.
98 Функции и их графики. Составление уравнений
Следовательно, 10% от (12 + *) = 3, или 1,2 + 10% от л: = 3.
10% от л: = 1,8, л: =18.
Задача 2. Рабочий желает наполнить 30-литровый чан 25-процентным
раствором алкоголя в воде. Он располагает 40-процентным раствором,
который хочет смешать с 5-процентным.
Какое количество каждого из растворов он должен взять для получения
30 л 25-процентного раствора?
Пусть х — число литров 40-процентного раствора. Тогда 30 — х — число
литроп 5-процеятного раствора.
Из условия задачи следует, что
0,40 х + 0,05 (30 -х) = 25% от 30.
0,40 * + 0Д5 -0,05 х = 7,5
0,35 л: = 6,0.
* = 17-L; 30-лг = 12-~.
Таким образом, требуется 17 .- л 40-процентного раствора и 12-=-' л
5-процентного.
Задача 3. Некто получает 6% помещенного в банке капитала и,
прибавляя к полученной сумме еще 60 руб., имеет на руках 300 руб. Какой
капитал был помещен в банке?
Пусть х — капитал, находящийся в банке, в рублях
Тогда 0,06 х — полученная из банка сумма в рублях, к
0,06 л: + 60 = 300.
Следовательно
0,06* = 240; * = 4000.
Замечание. Не следует через буквухобозначать вложенный в банк
вообще капитал, через х надо обозначать этот капитал в рублях.
Задача 4. На сколько процентов выше себестоимости должен
кооператив поставить цену на свой товар для того, чтобы делать с нее 20% скидки
и все же при этом иметь 20% прибыли?
Решение состоит в том, чтобы найти, сколько процентов от
себестоимости товара составляет поставленная кооперативом на нем цена, а затем
выяснить, на сколько процентов поставленная цена выше себестоимости.
Пусть с — себестоимость, в рублях.
Тогда 1,20 с— продажная стоимость, в рублях.
Таким же образом, пусть т — проставленная на товаре цена, в рублях.
Тогда 0,80 т — продажная стоимость, в рублях.
Следовательно
0,80 m = 1,20 с; т = 1,50 с,
что означает: товар должен быть помечен ценою выше себестоимости
на 50%.
Задача 5. Если 15% от некоторого числа составляют 9165* то каково
самсе число?
Пусть х — искомое число. Тогда
0,15* = 9165; д: = 61100.
Формулы для вычисления процентных денег 99
2
Задача 6. Каково число, которое, будучи увеличено на 66-^-%,
дает 275?
Пусть л: — искомое число. Тогда
лг + 66-|-<уо от л: = 275, т. е. 1,66— х = 275.
л: = 165.
Задача 7. После вычитания 10% из прейс-курантной цены товара,
кооператив продал его за 13,50 руб.
Какова была прейс-курантнам цена?
Пусть л: — прейс-курантная цена в рублях. Тогда
х — 0,10л: ^ 13,50 или 0,90лг = 13,50.
лг= 15.
138. Формулы для вычислеаия процентных денег.
Обозначим р — капитал, г—число процентов в год, t — время,
в годах.
Процентные деньги = капитал X число процентов в год X
X время, или
/ = prt
,А процентные деньги i
Капитал = г~; , или р = —-.
число процентов X время rt
.. процентные деньги /
Число процентов = — , или г = —--. '
капитал X время pt
~ процентные деньги л i
Время = ^Гу i или t = .
капитал X число процентов рг
Так как процентные деньги на капитал в 200 руб. за
3 года по 6% составляют 36 руб., т. е.:
/ = 200 X бо/о X 3 = 36,
то
_3б
X
f==0,06X200
Сумма, полученная от сложения процентных денег и
капитала, называется наращенным капиталом; она равна:
а = /> + /
= p(l + rf).
7*
100 Функции и их графики. Составление уравнений
Капиталу уменьшенный на величину процентных денег
(если последние платятся авансом), называется учтенным
капиталом. Он равен:
P = p — i
^p — p-r-t
= P(l-rt).
Процентные деньги, уплаченные вперед, как только что
было приведено, называются учетом.
139. Вычисление процентных денег методом шести
процентов. Процентные деньги при 6°/о годовых за 60 дней (2
месяца) составляют 0,01 капитала, а за 6 дней — 0,001 его.
Чтобы найти процентные деньги за 600 дней при 6%
годовых, следует передвинуть запятую в числе, выражающем
капитал, на один знак влево; за 60 дней — на два знака, и за
6 дней — на три знака в том же направлении. После того
как мы определили процентные деньги при 6°/о, мы легко
найдем их и при всяком другом числе процентов. Так, например,
для вычисления процентных денег при 5%, возьмем -j- от
о
7
процентных денег, определенных для 6°/о, а при 7% "г
от них.
Процентные деньги обыкновенно вычисляются, исходя из
360 дней в году.
140. Вычисление процентных денег методом одного дня.
В больших городских банках учетный процент изменяется
ежедневно. Простое правило вычисления процентных денег
за 1 день при объявленном на этот день числе процентов
получается способом, показанным в приведенном ниже примере.
Пример. Вывести правило для вычисления учета за 1 день при 4—-°/о -
._ , __L , L
i-p-rz, г — 20(), *-360*
•- JL -L_ 1
|~р"20о'збо"~р" 8ооо •
Таким образом, чтобы найти процентные деньги за одни день при
4-=-% годовых, следует в числе, выражающем капитал, перенести запятую
на три знака влево, а затем полученный результат разделить на 8.
141. Точное вычисление процентных денег производится,
исходя из 365 дней в году. Процентные деньги, вычислен-
Формулы для вычисления комиссионного вознаграждения 101
ные точно, с процентными деньгами, вычисленными исходя
73
из 360 дней в году, составляют отношение =~. Точную
величину процентных денег можно получить посредством
прибавления к процентным деньгам, вычисленным неточным способом,
1
• -=г этих последних.
Формулы для вычисления скидок с цен. Если цена по
прейс-куранту L, цена после скидки /V, а величина самой
скидки (в процентах) г, то
N=L — rL = L(l — r).
Если нужно последовательно произвести две скидки гх и
/\>, то вторая скидка берется как некоторый процент от
остатка, получившегося после вычитания первой скидки из
первоначальной цены. Таким образом, окончательная цена
получается после вычитания второй скидки из указанного
остатка. Тогда имеем*
N=L{l — rx)(l — r2) и т. д.
Так как
L (1 - rj (1 - г,) = L (1 - г,) (1 - Г1),
то порядок вычитания скидок не влияет на результат.
142. Формулы для вычисления комиссионного
вознаграждения. Оплата посреднических услуг в торговле, т. е. так
называемая „комиссия", вычисляется в зависимости от общего
размера произведенной сделки. Она обычно представляет
собою некоторый процент от назначенной покупателем суммы,
если комиссия получается от покупателя. Если же комиссия
выплачивается продавцом, то она является некоторым
процентом от первоначально назначенной цены (включая скидку,
сделанную впоследствии).
В последнем случае имеем:
с = Рг, г = ^, Р = ±,
где Р есть первоначально назначенная продавцом стоимость
товара, г — размер комиссионного процента, с — комиссия.
В первом же случае будем иметь
п с п с ,
c = Cr, r = -Q> C==T'
102 Функции и их графики. Составление уравнений
где С есть стоимость товара, г — размер комиссионного
процента, с — комиссия.
143. Продажные целы. Комиссия, выплачиваемая агентам
по продаже, вычисляется, исходя из продажных цен. Эта статья
расхода входит в накладные расходы по сделке. Гораздо
логичнее устанавливать стоимость товаров, накладные расходы
и прибыль, исходя из продажной цены, чем из себестоимости.
Тщательно ведя отчетность по сделкам и отмечая все
статьи накладных расходов, торгующая организация будет в
состоянии стандартизировать свои издержки и определить, какой
процент продажной цены могут составлять накладные расходы»
чтобы получить предполагаемую прибыль. В этом случае все
расчеты ведутся, исходя из продажной стоимости, а не из
валовой себестоимости.
Пример 1. Торговец уплачивает С руб. за некоторый предмет плюс
F руб. за перевозку его. Накладные расходы по продаже определены в г%
от продажной цены, а прибыль в />% от нее же. Имеем:
Себестоимость = С -f- F.
Пусть х — продажная цена.
Тогда накладные расходы плюс прибыль равны
г , р
(Продажная цена) — (накладные расходы + прибыль) = себестоимость.
Отсюда
*-(ife-*+ife*)-c+f
* ~~ Too*"" шх ==C^'F
= C+F
Пример 2. Кооператив назначил за 1 кг яблок первого сорта на 10 коп.
больше, чем за килограмм второго сорта, а за килограмм второго сорта
на 15 коп. дороже, чем за третий сорт.
После сортировки партии яблок в 10 кг, обошедшихся в 15 руб.,
кооператив выяснил, что получилось 5,3 и 2 кг соответственно первого, второго
и третьего сорта.
Какую цену должен кооператив назначить за килограмм каждого сорта,
чтобы сохранить указанную разницу в ц~нах на отдельные сорта и получить
при атом прибыль в 5 руб. на всю партию яблок,
I. Цена 1 кг второго сорта = цене 1 кг третьего сорта —f— 1.5 копеек
II. Цена 1 кг первого сорта = цене 1 кг второго .сорта -f- 10 копеек.
III. Общая продажная стоимость = 20 руб.
Пусть х — число копеек за 1 кг тэе гьего сорта.
Общее уравнение Ах-\-Ву-\~С=0
103
продаж пая цена
Рис. И
Тогда число копгек за 1 кг второго сорта равно
дг + 15
и число копеек за 1 кг первого сорта равно
дг + 25.
Отсюда:
5 (х + 25} + 3 (х + 15) + 2х = 2000.
Решая это уравнение, имеем:
цена за 1 кг третьего сорта:
х = 1 р. 83 к.;
цена за 1 кг второго сорта:
* + 15 = 1 р 98 к;
цена за 1 кг первого сорта:
* + 25 = 2 р. 08 к.
144. Диаграмма
предложения и спроса. Кривая
предложения показывает,
как увеличивается
предложение с увеличением цен (рис.
И).
Кривая спроса показывает количество товаров, которое
может быть продано при той или иной цене.
На диаграмме имеется точка, где предложение равняется
спросу.
Эта точка указывает экономически целесообразную
продажную цену.
Глава V.
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ ИЛИ ЛИНЕЙНЫЕ. АНАЛИТИЧЕСКОЕ
И ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЯ
145. Общее уравнение Ах-\-Ву-\-С = 0. Любое линейное
соотношение между двумя переменными х и у может быть
написано в виде такого равенства:
Уравнение у = тх-\~Ь может быть получено из общей
формы при условии, что Bzp.0. Таким образом
Ву= —Ах —С,
АС
9= —
Здесь
(-4)
в
х — -гг
В
есть наклон, а
("§)
отрезок на оси
104
Уравнения первой степени
I
Всякое уравнение вида Ах + By -f- С = О дает в
прямоугольных, координатах график, представляющий собою прямую
линию.
Если /?=0, прямая параллельна оси У.
Если А = 0, прямая параллельна оси X.
Если С = 0, прямая проходит через начало координат.
Если уравнение уможено на постоянную к, т. е.
k(Ax+By + C) = Q,
график этого уравнения одинаков с графиком уравнения
Ах + Ву + С=0.
146. Задачи, приводящиеся к уравнению, содержащему—.
х
Рассмотрим следующий пример:
Пример, А может выкопать канаву в 8 дней. В может сделать то же
самое в 10 дней. Сколько дней потребуется им для выкапывания канавы,
если они будут работать вместе?
Пусть х — число дней, необходимых для совместной работы (искомое).
Тогда часть работы, выполняемая обоими рабочими за 1 день,
_ часть работы, которую А может выполнить за 1 день,
=-^ — часть работы, которую В может выполнить за 1 день, следовательно
х ~~ 8 + 10 - 40'
Отсюда потребное *исло дней:
147. Графическое решение задачи (п° 146). Будем
откладывать время в днях на координатной бумаге, имеющей,
предположим, 20 делений в дюйме, считая, что каждое деление,
отложенное в виде абсциссы, представляет собою один
рабочий день (рис. 12). На оси Y возьмем какую-либо ординату
и примем ее за величину всей работы.
Так как А может выполнить всю работу в 8 дней, находим
точку С, имеющую ординату, равную всей работе, и абсциссу,
равную 8, т. е. числу дней, нужных ему для выполнения
указанной работы. Наклон прямой ОС в этом случае представляет
собою скорость выполнения работы А. Ординаты для каждого
дня выражают количество работы, которое он мог выполнить
в соответствующее число дней.
Графическое решение задачи (п° 186). 105
Так как В может выполнить данную работу в 10 дней, то
О/есть график его производительности.
Величину работы, которую они выполнят в любое число
дней, работая вместе, можно получить при помощи простого
сложения ординат. Итак
работа, производимая А
за 8 дней, выражается
отрезком СЕ, а работа,
производимая В, — отрезком
DE. Откладывая при
помощи циркуля отрезок CF,
равный DE, получаем
EF=EC+ED.
Это равенство
означает, что отрезок EF
выражает работу, которую
А и В произведут вместе
за 8 дней. Поэтому
прямая OF показывает, как
производится работа при
совместном участии в ней
А и В.
Так как наша задача
состоит в том, чтобы
найти, какое время
потребуется для выполнения
указанной работы при одновременном участии в ней
рабочих А и В, то мы найдем, что абсцисса, соответствующая
4
полной работе, равняется 4-jj- дня.
При задачах, аналогичных разобранной, необходимо
помнить, что скорость есть наклон линии, т. е. отношение
ординаты к абсциссе. Обыкновенно этот наклон дается
непосредственно в задаче.
148. Задача. А и В могут выкопать канаву в 10 дней; В и С могут
выполнить ту же работу в 6 дней, а Л и С — в 7-~- дней. В какое время
может произвести эту работу каждый из рабочих в отдельности?
Так как А и В в 1 день могут выкопать ^л канавы, В и С за 1 день—
1 л п 1 2 1 . * i 2
■г, л и С за 1 день — ^Е ее» то сум:ла Тл ~г 7Г "■" Т^ в два Раза больше
время в дуях
Рис. 12.
106
Уравнений первой степени
той работы, которая была бы выполнена рабочими Л, В и С за 1 день,
так как в написанной сумме заключается удвоенная работа каждого рабочего
за од н *ень.
Если через х обозначить время, нужное для выкапывания канавы при
одновременной работе всех трех рабочих, то часть канавы, которую,
работая совместно, они выкопают за 1 день.
Отсюда
10 + 6 + 15 ~"30 л: ;
следовательно
е. A -f- В -f- С выполнят за 1 день -=- всей работы, А + В за один
1
день выполнят тт\ ее- Другими словами
А + В+С:
А + В
5
10
c=i6'
е. для выполнения всей работы
рабочему С нужно 10 дней I гя
работы ). Таким же образом
А
Я + С =
А+В+С=
А
+ с=
В
1
" 6
.1
"~ 5
1
"* 5
2
:15
1
= 5
1
6
~2
"15""
1
""30
1
= 15'
Таким образом для выполне
ния всей работы для А нужно 30»
а для В 15 дней.
Сложим ординаты В-\-С,
A -f- С и А ~\- В, соответствующие
какой-либо абсциссе, например
равной 8 дням, и примем половину полученной суммы за ординату графика общей
работы А + В + С, соответствующую 8 дням (рис. 13). Проведем прямую
А + В -j- С через вершину найденной ординаты и начало координат, а затем
16 24
время в днях
Рис. 13.
Графическое решение задач на сложение функций 107
отложим отрезки Л В, CD и EFt равные ON, отметим точки Л,
С, £, абсциссы которых 10, 15 и 30 указывают число дней работы Л,
В к С.
149. Графическое решение задач на сложение функций.
Пример, В пустой бак впускается через кран вода со скоростью 2 л/мин.
Спустя 10 мин. после начала впуска воды через первый кран, открывают
второй, который пропускает в минуту 3 л, а спустя еще 5 мин. открывают
третий кран, через который вода протекает со скоростью 5 л/мин. По
истечении .5 мин. после пуска третьего крана открывают выпускное
отверстие и за 15 мин. опоражнивают бак, хотя при опоражнивании вода
продолжает поступать в бак из всех
трех кранов.
Требуется начертить график,
выражающий количество воды в баке в
любой момент, а также найти
среднюю скорость опоражнивания бака и
скорость вытекания воды через
выпускное отверстие.
Увеличение количества воды в
баке, происходящее благодаря действию
кранов, так же как и уменьшение его
из-за выпускания воды через
выпускное отверстие, происходит с
постоянной скоростью. Поэюму указанные
увеличение и уменьшен ие количеств
воды выражаются линейными графи
ками.
Первый кран открывается в
момент времени t = 0, когда количество
воды в баке также равно 0. Приток
воды за 20 минут действия одного
первого крана составляет 40 л.
График О А (рис. 14) выражает указанное
поступление воды только через один
первый кран.
Второй кран открывают в момент
времени t = 10, и за 10 мин. своего
действия он впускает в бак 30 л
воды. Прямая ВС есть график
притока воды в бак при действии одного
второго крана.
Спустя 10 мин. после открывания
первого крана, «кроме него начинает
действовать еще и второй; поэтому количество воды в баке при
одновременном действии обоих кренов выражается графиком DE. Последний
получается при помощи сложения соответствующих ординат (графика ВС и
графика О А) для одних и тех же абсцисс. В момент времени ^ = 15
открывают третий кран, который за 10 мин. своего действия впустит в бак
50 л воды. Прямая FG является графиком притока воды через один третий
кран. Если ординату этого графика прибавить к сумме ординат, указанных
Дьпие, гр'афик HJ будет представлять собою суммарный график общего
количества воды, находящейся в баке прч одновременном действии всех
трех кранов.
140
120
100
80
60
.40
20
0
В
н1
/
</
к
1/
>
4,
/i
7
L
Л
/
/
/
/
1
А
G
ч
/
/
,\
\
А
•
4
L
10 20
1ремя в минутах
Рис. 14
30 40
108
Уравнения первой степени
В момент времени t = 20 открывают выпускное отверстие, а в момент
t = 35 бак пуст. Прямая линия KL выражает количество воды в баке во
время опоражнивания его; эта линия имеет отрицательный наклон,
равный 6 -5- л/мин. Скорость вытекания воды через выпускное отверстие вы*
ражается наклоном прямой JM, равным 16-«- л)мин I 81 -«■ л в 5 мин.].
Полный график представляется ломаной линией ODHKL, и ординаты
различных точек его указывают число литров воды в баке в любой момент
времени
150. Система уравнений первой степени с двумя
неизвестными. В этом случае одна из неизвестных величин может
быть исключена посредством сложения или вычитания. В случае
необходимости, уравнение умножают на некоторое число,
которое делает равными коэффициенты у подлежащего
исключению неизвестного.
151. Исключение неизвестных сравнением. Приводим
уравнения данной системы к виду
х = а— у
х = Ь-\-у,
отсюда
а — у = Ь-\-уу или 2у — а — Ь;
так как каждое из выражений а—у и i-fj.paBHO одной
и той же величине х, то они равны друг другу.
152. Исключение неизвестных подстановкой. Пусть дано:
ei*+*ijr = Ci (1)
а2л:+62# = с2. (2)
Из уравнения (2)
х = ?* — *>&
<*2
Подставляя в уравнение (1), получаем:
q,(c2-%) , ь
а2
Освобождаясь от дроби, получаем
i9-
или
ото выражение не содержит л-.
ахс.
д(<*
г
А
у--
щЬ& +
—«А) =
аА~
*А-
а2Ьху =
= а^ -
- ахс.2
-«А
= «2С1
— ахс2
9
Уравнения вида —А— = с 109
х у
Пример,
Злг-f 2# = 27
*-* = *• , ,
Из (2) * = # + 4 и Здг=3^ + 12.
Подставляя в (1), получим:
3^ + 2^+12 = 27,
5^-15.
Следовательно
Подставив в (1), получим
х — 3 = 4 или х = 7.
Все три только что изложенных метода исключения
неизвестных, т. е. сложение (или вычитание), сравнение и
подстановка, приводят к одному и тому же ответу.
153. Уравнения вида j- — = С можно легко решить,
х у
1 1
рассматривая — и — как неизвестные величины.
Пример.
4 3 м а)
(2)
х у Ь
4 10 50
х^ у ~ 3 "
Вычитая (1) из (2), получаем
13 208
У ~ 15 '
Следовательно
1 16 15
Подставляя (3) в (1), получим:
4 48 14 13
х 15" 5 ; х ~ 2 ;
2
'-у
(3)
154» Пример.
1 =5
*-1 ' 0 + 1
2 , 3
= 12.
*-1 ' У + 1
Рассматриваем выражения =- и. —~ПТ* как я*>вые неизвестные»
110 Уравнения первой степени
Тогда
2Ыт)+*(7Тг)-10 (1>
.!> + ■
Вычитая (1) из (2), получаем:
1
откуда
Подставляя (3)
Следовательно
откуда
9 + 1 ~-
*+1 = У 9=-
в (1), получим:
—Ц- + 2 = 5.
X — 1
rh ='■
1
х — 1 = -г- или х =
155. Решить уравнения
ах -f by =,m
Следовательно
ex -f- dy = п.
(DXd^adx+bdy
(2)Xb = bcx + bdy
(3)-(4) = М-*с* =
c/m — bn
~~ ad —be
Таким же образом имеем
an — cm
1
2 '
, 1
4-
= dm
= bn.
dm — b».
(2)
(3)
(1)
(2)
(3)
•4)
Дальнейший ход рассуждений изложен в п° 167.
156. Графики уравнений первой степени с двумя
неизвестными, входящих в систему, являются прямыми
линиями. Быстрый способ решения системы таких уравнений
состоит в следующем: на миллиметровую бумагу наносят
графики указанных уравнений, причем пересечение их
определяет значения х и у, удовлетворяющие обоим уравнениям
(рис. 15). Другой способ, употребл емый для решения
системы, заключается в составлении определителей, см. главу
XVIII (п° 467).
Задачи, приводящиеся к (/равнениям, содержащим -и 111
157. Графическое изображение системы линейных
уравнений вида у = 6 — х и у~4 — X (рис. 16). Значения у в
обоих уравнениях, взятые для всякой величины л*,
отличаются друг от друга на 2, и поэтому график одного
уравнения отсюит от графика другого на 2 единицы по вертикали.
Б алгебраическом смысле это означает следующее: эти уравне-
8
/
6
5
4
3
2
1
1
0
У
—
__1
\
^
1
V
/
г
L
V
ч
л
3 <
'
V*
|\
3 (
1С.
15.
5
з-
7 i
N
9
Рис. 16.
ния не имеют общего решения, т. е. нет таких значений хпу,
которые удовлетворяют обоим уравнениям, так как графики
их не пересекаются.
158. Задачи, приводящиеся к уравнениям, содержащим
JLH JL
х у
Пример. А и В вместе могут выполнить данную работу в 12 дней.
После того как А, работая один, выполнил в течение 5 дней часть
указанной работы, В ее закончил, проработав 26 дней. В какое время может
каждый в отдельности выполнить всю работу?
Пустьх — число дней, нужных А для выполнения всей работы;
у — число дней, нужных В для этой цели.
Тогда
—.—| та Часть всей работы, которую они вместе сделают за 1 день.
Или
1,1 1
1 — _. всего времени, нужного для совместного выполнения
всей работы;
часть всей работы,'выполненная одним Л за 5 дней;
26
часть всей работы, выполненная одним В за 26 дней,
9
112 Уравнения первой степени
Тогда
5 « 26 1 у «
=* 1 нли всей работе,
х у *
JL. JL-JL
х ^ у - 12 •
откуда
дг = 18, а у = 36 дней.
159. Общий случай задач п° 153. А и В вместе могут
выполнить данную работу в а дней; если же А один
сначала проработает т дней, то В, работая один, сможет
закончить оставшуюся часть работы за п дней. За сколько дней
сможет выполнить указанную работу каждый рабочий в
отдельности?
Пусть х—число дней, нужных А для выполнения всей
работы, у— число дней, нужных В для этой же цели.
Следовательно
•i+-!—i-. (1)
х ' у а '
Так же, как и выше,
(2)
(3)
Умножая (1)
Вычитая (3)
Умножая (1)
Вычитая (2)
на п,
из (2),
т —
X
на т,
из (4),
т i n
х ' у
получаем
п , п
х * у
имеем:
!L'-1 —
лс =—-
получаем
т | т
* У
имеем
т — п т
S
а
а(т-
- = 1.
__ п
а
п а — п
а а
пг—гг)
— п
т
а
1 т — а
а
-а
(4)
Графический метод решения 113
Полученные выражения для хиу упрощают задачу и
приводят решение ее к подстановке в формулы надлежащих
величин, что быстро дает искомый ответ.
160. Другая форма уравнения п° 159.
Пример.
1 ^ tjZ 1 Xz
ХУ .
., х+у
Если
*У _
an-*
+ *'
1
1
х + У
5
то
откуда
У х
й
IUU
80
60
40
20
0
В/
У
>
j
(
-
i
1
с
10
и т. д.
Другими словами,
разделяем х и у и
продолжаем решение как обычно.
161. Задача (графи-
ческоз решение). Извоз- бремя в часах
чик, едущий со скоростью
10 км\час, заметил в 18 км Рис. 17.
впереди себя экипаж, дви-
жущийся в том же направлении со скоростью 8 км/час. Какой
путь проедет извозчик, прежде чем он нагонит экипаж?
Проведем прямую АС с наклоном, соответствующим
скорости в 100 км, пройденных за 10 часов, и прямую' ВС с
наклоном, соответствующим скорости в 80 км за те же 10
часов (рис. 17).
Отрезок АВУ изображающий начальное расстояние
экипажей, должен быть равен 18.
Точка пересечения С обеих прямых определяет искомое
расстояние, пройденное .извозчиком, т. е. 90 км> и
затраченное время, равное 9 часам.
162. Задача (графическое решение).
Положим, что два города находятся на расстоянии 50 км
Друг от друга. А отправился из первого города в 6 час. утра
и прибыл во второй в 12 час. дня, сделав во время пути че-
о Справочник для инженера.
114
Уравнения первой степени
тыре остановки, по полчаса каждая, на 10, 20, 30 и 40 км от
места отправления.
v В отправился из второго города в 7 час утра; проехав за
один час 20 км$ он повернул обратно и в течение часа
двигался к месту своего отправления со скоростью 10 км в
чаЬ; затем он повернул опять и стал двигаться в
первоначальном направлении с такой скоростью, какая была у А при
его встрече с В; они встретились в момент начала
движения^ А после его третьей остановки. Продолжая двигаться с
этой же скоростью, В в 10 час. 30 мин. встретил третьего
5С?!
45
40
35
30
25
5
I
с*.
20
'15
Ю
1 Mil I I I I 11/1
• \\в\ 1М 1 л \/\\
1 | \\ .|/1\! \ X \
\ 1 \1/Т 1 у\у 1 1 1 1
ми И км 1
К 1 И 1
Л и М И
1 И \У\' Ч
Og 7 8 9 Ю 11
бремя с/Называемое часами
Рис. 18.
12
человека С, выехавшего из первого города на 2 часа позднее,
чем Л, и двигавшегося с постоянной скоростью. Какова была
скорость движения С и где его встретил В?
Алгебраическое решение этой задачи несколько
затруднительно, а графическое является более простым и
непосредственным.
Решение. Если бы А двигался без остановок, он
прибыл бы во второй город в 10 час. утра, так как все его
остановки, вместе взятые, составляли 2 часа, а прибыл он в
12 час. дня. Поэтому
50 = пройденный путь
4 = затраченное на движение время = скоР°сть или наклон графика.
Полный график движения А, включая получасовые
остановки, показан на рис. 18. Графики движений В к С могут
1
Задача (графическое решение; 115
быть легко получены, причем из них видно, что встреча В
и С произойдет приблизительно на 23 км от места
отправления С (первый город). Наклон графика С приблизительно
равняется 9*/б > это указывает, что С двигался со скоростью
91/б км/час. Для получения точных результатов исследования
необходимо, конечно, иметь диаграмму, вычерченную в боль*
шем масштабе, чем это сделано на рис. 18.
Примечание. В виде абсцисс вместо числа часов можно наносить
время дня, так как и тот и другой способы изображения времени дают
одинаковые результаты.
163. Задача (графическое решение). Два человека
отправляются пешком вокруг острова. Первый идет со
скоростью 5 км/час; скорость второго такова, что он обходит
остров, длина береговой линии которого равна 10 км, за
ЗЧо часа. В какие моменты,
A DC F р
■0123
//
\L_
1 /
/
/
В
/
/
/
1
/1
1 /
I/
У?
/
/
7
/
/
/./
Ё',К
/
Ч
/1
/ /
5 6
бремя
Рис. 19.
7 8 9 Ю
считая от времени
отправления, первый человек
будет обгонять второго?
На рис. 19 ОА, ВС и
т. д. выражают
последовательно повторяющиеся
обходы острова первым
человеком. Когда он
начинает второй обход,
показанный прямою ВС у
расстояние его от начальной
точки равно 0, и график
начинается с точки В, имеющей ту же абсциссу, что и точка Л,
так как движение происходит равномерно и без перерывов.
Линии ОД EF и т. д. представляют собою графики,
выражающие продвижение второго человека.
Точки пересечения графиков, К и Р, дают время и пункты,
где один идущий обгоняет другого. Из диаграммы видно, что
в первый раз это произойдет на расстоянии 5 км от
исходной точки спустя 5 час, а во второй раз спустя 10 час. после
начала движения. На этом основании можно сказать, что
второй человек обойдет 3 раза вокруг острова, в то время как
•первый—5 раз.
Заметим также, что первый человек сделал два с
половиной обхода вокруг острова, прежде чем он обогнал
второго в первый раз; к этому моменту второй обошел остров
лишь полтора раза.
116 Уравнения первой степени
Из предыдущих примеров следует, что графический способ
более нагляден и при употреблении большого масштаба
обыкновенно дает точные результаты.
164. Задача о часах. Два тела движутся при некоторых
определенных условиях с разными скоростями, Обыкноьенный
пример такого движения представляет собою движение стре*
лок часов. о
Пример» В какой момент времени между 5 и 6 часами совпадут стрелки
часов?
•Считая от момента 5 час, положим, что х выражает число минут,
пройденных минутной стрелкой до момента совпадения ее с часовой
стрелкой.
За тот же самый промежуток времени, х часовая стрелка (она
движется в 12 раз медленнее минутной) проходит Vi2 числа минут, пройденных
секундной стрелкой.
Так как в момент 5 час. расстояние между стрелками составляет
25 минутных делений, то.
х = 25 -(- -s-rt , или л: ^г- = 25,
3
откуда х = 27 -=-\ число минут после 5 час, кбгда совпадают стрелки.
165. Графическое решение задач о часах* Выражая
движение стрелок часов графически, получаем-простые решения
задач, аналогичных изложенной в п° 164.
На рис. 20 показаны графики, выражающие движение
стрелок в продолжение 12 час. На оси ординат отложены
деления циферблата, т. е.
пути концов стрелок,
на оси же абсцисс
нанесено время.
Часовая стрелка за 12 час.
делает один оборот,
выражаемый длинной
диагональю. За то же
'самое время минут-.,
ная стрелка
совершает 12 оборотов,
представляемых 12-ю
короткими диагональными "прямыми. Построение этого
графика и объяснение его такие же, как и для графика
задачи п° 163. В разбираемой в настоящем п° задаче точки
пересечения графиков также показывают время и пункты
совпадения движущихся тел. Таким образом, из диаграммы видно,
что обе стрелки совпадают в 12 час. дня, затем спустя не-
Рис. 20.
i
Задача о чистой прибыли 117
и
В
А
О
М N
Рис, 21.
большой промежуток времени после 1 часу дня, после 2 час.
я т. д. Возьмем часть нашей диаграммы, соответствующую
1 часу, и увеличим ее масштаб (рис. 21).
Стрелки образуют между собо!о
прямой угол в момент времени — 3 часа. Если
мы хотим знать, когда стрелки опять
образуют прямой угол, нужно на диаграмме
найти следующий момент, в который
разности расстояний графиков друг от друга
по вертикали будут соответствовать
15-минутным делениям, ибо при этом
расстоянии друг от друга концов стрелки они
пересекаются под прямым углом. На
диаграмме прямая АВ— график движения
минутной стрелки в течение 1 часа, a CD —
график часовой стрелки за то же время. Таким
образом, когда разность ординат наших графиков равняется
вертикальному отрезку, выражающему 15 мин., как например
в точке М, стрелки образуют прямой угол в момент времени,
указываемый точкой Л/. Подобно изложенному, если мы желаем
знать, когда стрелки направлены прямо противоположно друг
другу, следует найти на диаграмме такие точки, для которых
разность ординат равна вертикальному отрезку,
выражающему 30 мин., т. е. */а часа. Эти точки соответствуют
точке N, указывающей момент времени, когда стрелки
принимают прямо противоположное друг другу положение.
166. Задача о чистой прибыли. Чистая прибыль
может быть определена при помощи графика системы
двух уравнений; одно из этих уравнений выражает
общую себестоимость, а другое — общую продажную
стоимость.
Пример. Стоимость необходимого оборудования и его установки до
начала эксплоатации составляет 300 руб. Стоимость материала и рабочих
рук, приходящихся на одно изделие, составляет 60 коп,; одно изделие
продается за 1,25 руб.
Уравнение себестоимости
С = 300 + 0,60 -п,
где п — число выработанных изделий;
Уравнение продажной стоимости
*У=пХ 1-25 = 1,25 п.
Если п =* 800, то С =780, а *У*=10С0, как это видно иа точек Л к В
на диаграмме.
АВ =» чистая прибыль = 1000 — 780 = 220.
118
Уравнения первой степени
При. п = 1000, точка D дает С= 900, а точка Е дает S= 1250.
В точке F продажная стоимость равна себестоимости при п = 461
(рис. 22).
*Е 167. Система урав-
1200j г~ i l 1 7П нений. Общая форма.
Пусть
\а2х + Ь.2у = с2
являются системой двух
уравнений, в которых
ни одна из постоянных
не равна нулю.
Исключая у,
получаем
(а1Ь*~а2Ь1)х =
200 400 600 800
Количество изделий
ис. 22.
Исключая
ЮШ имеем
же
(axbi — a<J>i)y =
== с^а — с^ах.
Если (ахЬ2 — а2Ь])^0, то
_ сг6.2— с.±Ъх
Если ахЬ2— a2^i—0> т. е.
о
» а #:
менить указанный выше способ решения.
а2
a tc2 — gg^
-у—, — мы не можем при-
"1
Положив к =
«1
h
-г~, получаем
oi
а2 = &ап
62 = Л61в
Тогдб. первоначальные уравнения получают следующий вид:
kaxx-\- lcbxy ==c2.
Уравнения со многими неизвестными 119
Эти уравнения выражают либо одну и ту же прямую, либо
две параллельные.
Если с2 = кси уравнения имеют бесконечное число
решений.
Если с2фкс{, уравнения невозможны и не
удовлетворяются никакими значениями х и у.
168. Уравнения со многими неизвестными. Способ,
употребляемый для решения системы двух уравнений с двумя
неизвестными, может быть также применен и для решения
системы трех или более уравнений с числом неизвестных,
равным числу независимых уравнений. При этом рекомендуется
следующий порядок действий: нужно продолжать исключение
одного и того же неизвестного в данных уравнениях до тех
пор, пока не получится система с числом уравнений и числом
неизвестных на единицу меньшим, чем первоначальная. Таким
же образом из полученной системы следует исключить
вторую неизвестную. Эти действия надо продолжать до тех пор,
пока не останется система двух уравнений с двумя
неизвестными; последняя же может быть легко решена. Остальные
неизвестные можно найти посредством подстановки в
уравнения значений найденных неизвестных или производя
исключение в том же порядке, как и ранее, но уже других
неизвестных.
Пример.
7лг + 3# — 2z = 16~ • (1)
5x-y + Sz = 3l (2)
2* + % + 32 = 39. (3)
Умножая все члены ур-ния (2) на три и складывая с (1), имеем
22лг -U 13г = 109. (4)
Умножая все члены ур-ния (2) на 5 и складывая с {3), получим
27* + 28z = 194. (5)
Решая совместно (4) и (5), находим
* = 2, z = 5.
Подставляя полученные значения неизвестных в (1), получим
Легко убедиться в том, что значения л* = 2, у = 4, z — 5 удовлетворяют
Ур-ниям (1), (2) и (3).
120 Уравнения второй степени
Глава VI.
УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ (КВАДРАТНЫЕ). ЯВНЫЕ ФУНКЦИИ.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЯ.
169. Квадратная функция X2. Простейшее квадратное
уравнение имеет вид: у = х2. Его график есть непрерывная
кривая, расположенная всеми своими точками над осью X
симметрично относительно оси Y и проходящая через начало
координат, черезточ-
ку(1,1)и(-1,-1);
кривая эта известна
под названием
параболы (рис. 23).
Прямая линия,
проходящая через
некоторую точку
Л (*i> Уг)> лежащую
на данной кривой, и
имеющая наклон 2лг15
есть касательная к
кривой в этой точке.
Скорость изменения
функции по
отношению к независимой
переменной в любой
точке (*i,#i) нашей
кривой равняется 2х19
т. е., если х1 = 2,
наклон касательной
равен 4.
Эти указания
даются пока без
доказательства. Они
могут применяться в целях облегчения вычерчивания графиков.
Доказательство изложенного будет приведено ниже (п° 896).
При вычерчивании графиков рекомендуется брать отрезок
в 1 см для изображения единицы в том случае, когда
клетчатая бумага разлинована в метрической системе.
170. График функции ах2. На рис. 24 для сравнения
между собою показаны графики функций
!
ftt D
ОС
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
(2
г—7
С
D
с
Э
^-4-
. -з
J
?
— 1-
) (
^
3)
- 1
1
\
\
\
\
4 -
з -;
\
\
\
\
?..
1R
1^
~1А
г- \Ц>
h-1 О
Id
h. 11
р 11
in
L—Q
ft
О
с
D
Л
-3
2
ч
Y
P(x
1
r
n\L\
Г
J \
\ 2
1
-
Ц
Л
4
3
1 5
Рис. 23.
у = 2дс».
(1)
J
График функции ах
121
У=*х*
(2)
х*
3 = ~2-
(3)
Заметим, что для данного значения х ординаты (1) в два
раза больше соответствующих ординат (2) и что
соответствующие ординаты (3)
составляют лишь поло- .
вину ординат (2). гг~1 ■ ■ ■■ ■ ^
Таким же образом,
ординаты двух кривых
у = х2 и у = ах2
находятся в отношении
1:а, где а—некоторое
положительное число.
Взяв кривую
функции х2 и приняв
соответствующие масштабы
для ординат, мы
получим графики функций
2л:2 и -jr- х2 в виде
кривых, совпадающих с
кривой *2.
Изображенная на рис. 23 кривая
представляет собою
геометрическое место
точек выражений х2, 2х2
1 fT
и -тг~ х2 в зависимости °
л*
от принятого масштаба
ординат. . t
Полагая, что график х2 вычерчен в масштабе ординат (1),
мы можем принять его за график 2*2, пересчитав ординаты
соответственно масштабу {2). Также можно считать, что
указанный график х2 выражает -ух29 употребляя 4ЛЯ пересчета
ординат масштаб (3). Изменяя масштаб ординат, мы можем
также произвести обратное действие и график у — 2х2
привести к графику у = х2.
122
Уравнения второй степени
171. Функция второй степени в общем виде у = ах2~\~
-\-bX-\-c. Имеем график функции у —ах2 с началом
координат в точке О; исследуем, как изменится равенство у = ах2,
если начало координат переносится в некоторую другую
точку Ой рассмотрим также получающееся при этом
уравнение нашей кривой, отнесенной
к новым осям (рис. 25). Из
рисунка следует, что
x = x14rh, а у=у1-{-к.
Если эти выражения х и у
подставить в у = ах2, то
Sl+k = a(xx + hy>
= axf -f~ 2аЛ*! -|- а№.
уг = ахх* -f~ 2ahx1 -j- ah2 — к.
Последнее выражение
можно написать в форме:
т или, отбрасывая значки,
•* [3] y==ax*-{-bx + c.
Это выражение
является общей формой функции
второй степени от одного
неизвестного.
Весьма важно запомнить, что указанный общий вид формы
выражает то же самое геометрическое место точек, что и
уравнение у = ах2, отнесенное лишь к другим осям. График обеих
функций есть всегда парабола, выражающая собою любую
квадратную функцию от одного неизвестного.
172. Преобразование координат. В предыдущем п° 171
график у = ах1 *был преобразован в выражение ух = ах? -\-
+ 2ahxx -j- ah* — к посредством подстановки хл -f- h вместо хх
и ух-\~к вместо у. Сравнивая уг = ахх2J™2ahxx-f-afi1 — к
с общей формой .1.
у~~ ах2 -\-ох-{- с,
получаем
а —а
b = 2ah
с = ah- -
к.
(1)
(2)
(3)
Из
[4]
из (3)
или
[5]
уравнения
Преобразование
(2)
/:
имеем
h
= оЛ2 -
k = -
Ъ
"la
—- С — "
Ь2 — 4
координат
t
. /»
4а °*
etc
•
123
Заменяя функцию у = ах2 общим ее видом у = ах2 -\-bx-\-c,
мы просто переносим начало координат в точку (Л, k)> где
, Ь . 6- — Аас
Когда мы перенесли начало координат и желаем найти
вершину параболы в новой системе, направление отсчета от
нового начала к искомой вершине противоположно
произведенному переносу координат, и наши формулы (координаты
вершины в новой системе) примут вид
> Ь , б2 —4ас
Л= —?г~ и к= —
2а «4а
173. Перейдем к изложению весьма важного метода
графического решения уравнений вида x2-\-bx-\-c — 0 и ах2-\-
-}-6*-|-с = 0. Положим, что мы хотим сначала найти корни
уравнения х2-\~ Ьх -f-с = 0, График функции у = х2-\-Ьх~\-с
дает все соответствующие действительные значения хих2-{-
-{-&* +с; среди значений х имеются такие, которые
обращают выражение х2-\-Ьх~\-с в нуль; они и являются корнями
уравнения х2-\-Ьх-\-с = 0.
Берем наш основной график х2 (рекомендуем всегда иметь
его в запасе) и определяем начало координат посредством
выражений для h и к
/, Ь ' & — Аас \
\к = Ык = 4a )'
а ^затём проводим оси X и К. Точки пересечения кривой
с осью X определяют корни данного уравнения.
124 Уравнения второй степени
Пример. Найти графически корни
уравнения х2 + 12л: -f- 32 = 0 .
1X4
Поэтому, располагаем
О в точке (6,4) и
проводим оси X и Y. Ось X
пересекает кривую в
точках — 4 и — 8. Последние
и являются искомыми
корнями (рис. 26).
Если наше
уравнение имеет вид
ах2 -f- Ьх 4- с — О, т. е.
лс2 имеет
коэффициент а, мы можем
применять график,
полученный из графика # = д:2
посредством умножения всех
ординат его на число с.
Проще, однако, пользоваться
графиком у = л2, изменив
предварительно масштаб
ординат.
Начало координат
определяется посредством
вычисления либо^значений h и к
в новом масштабе, либо h и
к
v — в старом.
Пример. Начертим
графкк выражения у =
~2>-16* + 24.
Здесь а =» 2, Ь = —'16,
с = +24,
Ю
А =
6
•16
2л 2X2
4,
-4дс ^ 256-4X2X24 _
4а
= 8.
Преобразование координат 125
»
Возьмем график у = х2 и умножим числа вертикальной оси иа 2, что
даст новый масштаб для вертикальной оси. Затем берем точку с
координатами Ь= '— 4 и £ = 8 (при новом масштабе) и располагаем в ней начало
координат. При таком расположении последнего график у = х2
превращается в график у = 2*2 — 16дг + 24 (рис. 27).
174. Ниже приводятся в качестве упражнений в
определении положения графика и его осей по заданному уравнению
следующие примеры:
Пример 1. х* — 8* -f 14 = 0.
Пусть у = х2 — 8* 4" 14.
Тогда а = lf b = — 8, с = 14.
А- «4 ^(-3)2-4X14, 61-56
Производя отсчет от вершины графика, имеем начало координат в точке
(— 4,-2), т. е. четыре единицы в отрицательном направлении (влево)
и две единицы кверху. Корни уравнения лг2 — 8* -j-14 = 0 приблизительно
таковы: х± = 2,6, лг2 = 5,4.
Пример 2. х2 - Sx + 16 = 0.
Положим у = х2 — 8* -f-16.
A^ = -4,^<-8)2-4><16--
2 *;" 4 ~v"
Начало координат находится в точке ( — 4, 0). Корни уравнения: д:А «s 4,
,v2 г= 4.
Яри.ме/0 & х2 - 8лг + 18 = 0.
А = —4, * = -2.
Начало координат лежит в точке ( — 4, — 2), считая вершину графика
за точку (0, 0). График данного уравнения не пересекает ось Х% и корни
поэтому являются мнимыми (см. п° 183). Они находятся аналитическим
методом и имеют следующие значения:
*l = 4 + li4l/'^l и j^ = 4 —Miy^^T.
Пример </. х2 + Sx + 14 = 0.
h = 4, k = 2 .
Корни таковы: *i = —2,6 и л*2 = —5,4.
#/>u.we/> 5. х2 + 8*+ 16 = 0 .
Л = 4,Л = 0. ,
Корни таковы: *i = — 4, х2 = — 4.
/7/шл<е/> & дг2 + 8л: + 18 = 0 >
h = 4, £ = - 2 .
Корни данного уравнения мнимые и имеют следующие значения:
*i= -4 + l,4iy*^T, дг2= -4-1,41уГ"=7Т.
126 Уравнения второй степени
175. Рассмотрим случай, когда коэффициент при*2
цательный, как например в выражении
у= — 3*2 4-4*4-4
а = —3, 6 = 4, с = 4
-отри-
Л =
4
2(-3)
—2 к
3'
16-4(-3)(4)__
4(-3)
Так как член с *2--отрицательный, то график является
перевернутым, но значения А и к отмеряются так же, как и
ранее, от вершины параболы
независимо от нового положения
параболы. При этом пользуются
новым масштабом (рис, 28).
Если мы перевернем
упомянутый выше график функции
у — х2, то для решения можем
воспользоваться тем же методом,
как и в предыдущих случаях.
Если Ь — отрицательное, то
начало координат расположено
слева от оси параболы.
Если Ъ— положительное, то
начало координат расположено
справа от оси параболы.
Если а — положительное,
парабола направлена вершиной вниз
Самым важным обстоятельством является знак при к.
£2 4ас,
Как мы видели выше, к равно выражению —-г ;отсюда
вытекает, что если а — положительное, той2 — 4асопределяет
знак к. Из изложенного выше следует, что, при
положительном значении а и отрицательном к, ось X будет лежать ниже
любой точки параболы. Уравнение не имеет действительных
корней, ибо нет точек пересечения указанной кривой с осью X.
Если значение а отрицательное, а к—положительное, ось X
лежит выше любой точки параболы, и в этом случае опять
не будет действительных корней. Поэтому, если а и к имеют
одинаковые знаки, получаются корни действительные и не
равные друг другу; если к — 0, корни действительные и равны
между собой; если а и к имеют разные знаки —
действительных корней нет.
Рис i8.
Преобразование координат 127
Отсюда видно, что:
если Ь2 — 4ас>0> корни действительны и не равны друг
ДРУГУ5
если б2— 4ас = 0, корни действительны и равны между
собой;
если Ьг—4ас<0, корни мнимые;
если выражение Ь2 — \чс является полным квадратом,
корни—рациональные числа; в противном случае они будут
иррациональны.
назы-
квад-
Выражение б2 — 4ас
вается дискриминантом
ратного уравнения.
х2 — 8л:+14 = 0
J_8t_f 16:
О
О
(1)
(2)
(3)
Рис. 29
*2 — 8г+18 =
Корни уравнения (1)
приблизительно равны 2,6 и 5,4.
Корни уравнения (2) —
4 и 4.
Корни уравнения (3) —
мнимые.
Так как график (2) с осью
X имеет только одну общую
точку, ур-ние (2) имеет только
один корень, * = 4. Однако
из рис. 29 видно, что если
график (1), дающий два действительных корня, будет
передвинут на 2 единицы кверху, он совпадет с графиком (2). По
мере того, как график (1) перемещается кверху, его неравные
корни приближаются к значению корня (2), т. е. к лг = 4.
Отсюда вытекает, что указанные действительные корни должны
рассматриваться как два корня, из которых каждый равен 4.
Перемещение графика (1) на две единицы кверху
соответствует образованию полного квадрата в ур-нии (1),
получающегося посредством прибавления 2 к каждой его части. Так как корни
получившегося при этом уравнения, лг2— 8дг-(-16 = 2,
отличаются от корней (2) или от среднего значения .* = 4 на
величину ±Y% т. е. на dizYjKj то очевидно, что корни (1)
выражаются так:
0^+V7^= 4+ /2 = 5,414 и ок— VJK^4-/2 = 2,586.
12S Уравнения второй степени
Так как график (3) не имеет с осью X ни одной общей
точки, то в этом случае не существует таких значений х,
которые могли бы обратить х2—8x-f-18 в нуль; т. е. ур-ние (3)
не имеет действительных корней, иначе говоря — последние
мнимы.
Если график (3) переместить на 2 единицы книзу, он
совпадет с графиком (2). Если в левой части ур-ния (3) полный
квадрат получается посредством вычитания из обеих частей (3)
числа 2, то корни получившегося при этом уравнения, х2 —
— 8г-4-16= — 2, будут отличаться от среднего значения х
на величину ±Y— 2, т. е. на:±: V — LK. Отсюда очевидно,
что корни (3) таковы:
ОК+У'^ПЖ^А + У'—^ и ОК—1^^-4 —]/~2.
Точки У, К и L, имеющие (в алгебраическом смысле)
наименьшие ординаты по сравнению с любыми точками
приведенных выше графиков, называются точками минимума.
Если коэффициент при х2 есть 4~ 1> то из предыдущего
вытекает следующее:
1. Корни квадратного уравнения, выраженного через букву л*,
равны абсциссе точки минимума плюс или минус корень
квадратный из значения ординаты, взятого с обратным знаком.
2. Если точка минимума лежит на оси X, корни
действительны и равны друг другу.
3. Если точка минимума лежит ниже оси X, корни
действительны и неравны друг другу.
4. Если точка минимума лежит выше оси X, корни — мнимые,
176. Упрощенные способы построения графика общей
формы квадратной функции у = ах2 -f- Ьх + с. Все приве- •
денные выше функции непрерывны. Наклон касательной
в точке рх (xv #,), как будет доказано далее, равен 2ах1-\-Ь
(п° 913).
Если а—положительное, вершина кривой Ьбращена книзу;
если же а—'отрицательное, кривая перевернута, т. е. имеет
такой вид: О.
Точка на кривой, для которой наклон равен 0, т. е.
вершина графика, имеет абсциссу
xi=~2a (а^0)-
При лг*= —ту-, функция у — ах2-\-Ьх-\-с имеет
наименьшее значение, если а > 0, и наибольшее, если а < 0.
Упрощенные способы построения графика 129
Кривая, выражаемая данной функцией, симметрична отно
сительно прямой линии
Ь_
. х~ 2а'
Приведенным выше исследованием можно определить,
обращена ли кривая выпуклостью вверх или вниз.
В первом случае вершина соответствует максимуму функ*
ции, в другом—минимуму, так как она является наиболее
низко расположенной точкой кривой.
При вычерчивании графика параболы, представляющей
геометрическое место точек, соответствующих уравнению
у = ах2 -\- Ьх -f- с, мы прежде
всего строим ось и вершину
ее, а затем по небольшому
числу точек самое кривую.
Пример. Начертить график
у = х2 — 6х -f- 5 .
Наклон касательной (т)
равняется 2axt -f- Ь = 2х1 — 6. Так как
наклон касательной, проведенной
через вершину, равен 0, то 2х± —
6 = 0, откуда Xi = 3. Величина у,
соответствующая этому
значению х, есть —4. Эти значения х
и у определяют положение
вершины; так как дг-.— положительное,
вершина соответствует минимуму.
Через найденную вершину
проводим ось, представляющую собою
вертикальную прямую. Проводим
горизонтальную касательную к
кривой в ее вершине. Наносим
несколько точек и проводим через
них касательные. Вычерчиваем
самое кривую (рис. 30).
Рис. 30.
При подстановке значений х в том случае, когда
коэффициент при л:2 равен -|-1 (как например в разбираемом
выражении), весьма удобно сначала взять значение х, равное
половине коэффициента при х, с обратным знаком. Следующие
значения х надо брать такими, чтобы они отличались от
первоначально взятого значения на одну и ту же величину. Таким
образом, подставляя л: = 3, получаем у = —4. Затем, дадим х
такие значения, которые отличались бы от 3 на одну и ту же
^ Справочник для инженера.
130
Уравнений второй степени
величину, например 2— и
3^2
4, 1 и 5, О и 6. Найдем,
что у имеет одно и то же значение для
*=3т
и для дс==
=21
гг9
для jt = 4 и jc = 2 и т. д.
Подставляя различные значения х в х* — 6дс+5, получим,
что, при л: —3, х2 — 6*-p5= —4; при дг = 2 и дг = 4,
jc2—6л: + 5= —3. Если л: = 0,
х* — 6х -}- 5 = 5. Отсюда видно,
что, при пересечении кривой
с осью X, значения ординат
изменяют свой знак на
обратный (рис. 30).
Когда ординаты равны
нулю, величина выражения л:2 —
— 6х + 5 также равняется нулю;
в этом случае абсциссы
обозначают те значения х>
которые обращают у в нуль. Итак,
х = 1 и л: = 5 обращают у в
нуль, или, другими словами,
корнями уравнения дс2 — 6х -J- 5 = 0
являются 1 и 5.
Заметим, что если
коэффициент при *2 равен -|-1, то
половина коэффициента при х,
взятая с обратным знаком (эту
величину мы употребляли для
первой подстановки в наше уравнение), равняется полусумме
корней, т. е. их среднему арифметическому.
Пример. Построим график
У = — х2 + 4* + 5 .
Наклон касательной равняется —2хг ~\- 4. Приравняем последнее
выражение нулю и из полученного таким образом уравнения найдем значение х$
оно выражает абсциссу вершины кривой. Соответствующее значение у
найдется посредством подстановки определенного нами значения х в уравнение
нашей кривой. Итак х1 = 2, а ^ = 9. Отсюда следует, что в точке (2,9)
расположена вершина; она соответствует максимуму, так как а<0 (рис. 31).
Вершина должна лежать на оси кривой. Так как указанная ось
определяется формулой х = — тг— > то мы можем непосредственно применять эту
la
формулу для разыскания абсциссы вершины. Так как веошина есть точка
Максимум и минимум квадратных функций 131
данной кривой, то ее координаты должны удовлетворять уравнению нашего
графика. Отсюда следует, что, подставив в данное уравнение значение х\
вместо х, мы получим значение уь которое представляет собою ординату
вершины.
177. Максимум и минимум квадратных функций. В п" 176
было разъяснено, что функция ах2 -f- Ьх -f- с выражает собою
параболу с вершиной, обращенной книзу, в том случае, когда
коэффициент при х — положительный. При этом точка вершины
соответствует наименьшему значению функции.
Если коэффициент при х* — отрицательный, кривая
перевернута и ее вершина обращена кверху. В этом случае
функция имеет максимум.
Если мы найдем ось параболы, соответствующую абсциссе
Ь
•— я~, то этим определяется максимум или минимум функции,
вершина графика которой расположена на указанной оси.
Пример 7. у = *2 — 24* + 108.
Вершина графика выражает минимум, так как коэффициент при х2
равен+1.
л
Абсцисса вершины есть
2а' "
-24
12.
число псямоуголоников,
и ту же длину, но среди
Следовательно, функция х2 — 24* -f~ 108 имеет наименьшее значение
при х = 12.
Пример 2. Нужно обнести забором прямоугольный участок земли с трех
сторон, с четвертой стороны он ограничен уже имеющейся прямолинейной
стеной. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы забор длиною
в 4 км отгораживал наибольшую площадь?
Можно построить бесконечное
сумма сторон которых имеет одну
них будет только один такой,
который будет заключать
максимум площади.
Рассматриваемая нами здесь
функция есть площадь
прямоугольника, т. е. функция его
двух сторон. Так как нам нужно
иметь функцию только от одной
переменной, то мы должны выразить одну какую-либо из
переменных через другую.
Пусть стороны прямоугольника будут х и z (рис. 32). Так как данная
Длина забора равна 4 км, то
2* + z = 4.
9*
х ;
I i
г
Рис. 32.
132
Уравнения второй степени
Отгороженная площадь у = х • z\ если подставить 4 — 2х в это выра
жение вместо z, то получим # = х (4 — 2л-) = — 2л2 + 4дг. Знак коэффициента
при лг2—отрицательный, а поэтому функция # будет иметь наибольшее значение
при х = тг- = ^ = 1, ибо а= — 2 и 6 = 4.
2а
2* + z = 4; 2 + * = 4 или z = 2.
Размеры прямоугольника таковы: 1 км на 2 кл£.
Площадь прямоугольника равна 2 кв. км.
178. Графическое решение задачи п° 177*
у = — 2*2 + 4* (рис. 33).
Так как а = — 2, график ее имеет вершину, обращенную кверху*
Находим положение вершины графика при помощи равенств:
h = lTa =
2 (-2)
= -1 и Ь
16-0
-8
-2.
Располагаем начало координат в точке, отстоящей от вершины
графика у = х2 на 1 единицу влево (т. е. в отрицательном направлении
по оси X) и на 2 единицы вниз (в отрицательном направлении по
оси Y) Единица измерения для оси Y отличается от таковой для
оси Ху так как а = — 2
и числа на оси Y
получены в результате
умножения первоначальных
значений у на 2.
Любая точка графика
выражает площадь,
заключенную между забором
длиною в 4 км и стеной.
ТОЧКИ Pi(xbyl) И Р2(*2>£2)
соответствуют двум
подобным площадям.
Однако, очевидно, что
максимум площади
выражается ординатой вершины
графика, имеющей
координаты (Л, к).
4
«3
1
длины 6
Рис. 33.
им
Необходимо иметь в виду, что значение функции,
показываемое ординатами, не имеет никакого отношения к площади,
находящейся под кривой. Площадь, ограничиваемая кривой,
будет рассмотрена далее. Мы даем переменной некоторое
значение *0; при этом длина ординаты в этой точке выражает
значение у (дг0) для данного частного значения х. Из
графика легко заметить, как изменяется величина функции в
зависимости от различных значений х.
179. Задача. Три улицы, пересекаясь, образуют трехугольный участок
ЛВС.-Длина стороны ВС равна 180 м; точка А находится на расстоянии
Задача на максимум
133
90 м от ВС. На указанном участке должно быть построено прямоугольное
здание с фасадом, расположенным вдоль ВС. Каковы должны быть размеры
здания, чтобы оно занимало наибольшую площадь?
Площадь, занимаемая зданием, может изменяться в зависимости от
длины его сторон. Она есть функция этих сторон.
Пусть х и z обозначают длину сторон. Тогда площадь
Чтобы выравить у только через ©дну переменную, мы должны вторую
из переменных выравить через первую. Д ABC и Д 4MN подобны. Отсюда
MN LA
ВС
откуда
DA ИЛИ 180
90
90
у.+ 90.
Подставляя это значение z в
выражение у> получим
*=-£ + 90* + 0.
Рнс. 34.
Функция у = ^—|" 90* имеет максимум при х = ^—, т. е.
90
Если
->ш
= 90, то z = 90 — ^90 = 45.
90.
Наибольшая величина площади, занимаемой зданием, поэтому, равняется
произведению 90 X 45, то есть 4050 не. м.
Т
у,
Рис. 35.
1
Зту задачу можно решить графически тем же самым
способом, что и предыдущую.
134
Уравнения второй степени
180. Следующий способ весьма удобен для построения
графика параболы.
Возьмем некоторое значение ху например х19 и найдем
соответствующее ему значение у, скажем уг.
Построим прямоугольник, как это показано на рис. 35,
употребляя в случае 1 ух как одну из его сторон, а2^ — как
другую. В случае 2 употребляем х\ в качестве стороны
прямоугольника, параллельной оси параболы, a 2#i — в качестве
другой его стороны.
Разделим хг и уг на равное число частей. Точки
пересечений параллельных прямых и диагоналей, как это показано
на рис. 35, являются точками кривой.
Проведем кривую через эти точки (см. п° 755).
181. Квадратные уравнения. Аналитический способ
решения. Для решения квадратного уравнения, т. е. для
определения значений неизвестных, удовлетворяющих уравнению,
следует поступать так:
1) Привести к общему виду [3]
2) Если возможно, то разложить уравнение на множители*
3) Если трудно найти множители, то следует решать
посредством дополнения до квадрата или по формуле.
4) Проверить результаты, отбрасывая при этом
посторонние корни, полученные во время приведения к общему виду.
Кроме того необходимо учесть потерянные (при делении)
корни.
Пример 7. Найти корни уравнения
З*2 = 10* - 3.
Приводя уравнение к общему виду ах2 -f- bx + с = 0, имеем:
ЗА:2-10л: + 3 = а
Разлагаем уравнение на множители
(*-3)(3*-1) = 0,
откуда
х — 3 = 0 или 3* — 1 = О,
т. е.
. 1
х =2 3 или -г-.
Пример 2. Решить уравнение
х* + 6х= — 5
посредством дополнения до квадрата.
Квадратные уравнения 135
*
Прибавляем к обеим частям уравнения 9, тогда:
лг2 + 6лг + 9 = 4
(* + 3)2 = 4.
- Извлекая корень квадратный из обеих частей уравнения, имеем:
х + 3 = rfc 2.
х = — 3 — 2 или — 3 + 2 = — 5 или — 1.
Пример 3. Найти корни уравнения
9*2 + 30*= —9.
Дополним до квадрата
9лг2 + 30л: + 25=:16.
Чтобы определить величину, которую следует прибавить
к обеим частям уравнения для получения полного квадрата,
обратите коэффициент при х2 в полный квадрат. Тогда число,
которое необходимо прибавить к трехчлену, получится
делением половины коэффициента при х на корень квадратный из
коэффициента при *2 и возвышением частного в квадрат.
/ А V А2
2 =А-=&
1
причем а обращено в точный квадрат.
182. Квадратные уравнения. Индийский способ решения.
Решим общее уравнение [3]:
алг2 + &* + с = 0. (1)
Перенося с, имеем:
ах*-\-Ъх= —с. (2)
Умножаем (2) на 4а, тогда
4а2дг2 + 4а&лг= —4ас.
Дополняем левую часть уравнения до квадрата, для чего
прибавляем к обеим частям величину ЬЬ
4а2лг2 + 4а6л:+62 = 62 — 4 ас.
Извлекая из обеих частей квадратный корень, имеем
<lax + h = ±V &—Aac
_ —b±Vb* — 4ac
Х~~ 2а
136 Уравнения второй степени
Таким образом, если квадратное уравнение представлено
в общей форме (1), то, перенося постоянный член с в правую
часть [см. ур-ние (2)] и дополняя до квадрата, можно
избежать появления дробей. Для этого умножаем все члены
на учетверенный коэффициент при л:2, а затем прибавляем
к обеим частям равенства квадрат коэффициента при х в
заданном уравнении.
Описанный способ дополнения до квадрата называется
индийским.
183. Квадратные уравнения. Решение посредством
формул. Всякое квадратное уравнение с одной неизвестной,
выраженное в явной, ф рме, можно привести к виду ах2-\-Ьх-\-
-|-с = 0 [3], в котором а—положительное, а Ь и смогут быть
положительными или отрицательными.
Корни такого уравнения можно найти по формуле
16] д, = nz_ и *2 = _ .
Исследование указанных значений х покажет, что характер
корней, т. е. являются ли они действительными, мнимыми,
рациональными или иррациональными, определяется тем,
окажется ли величина У №-—4 ас величиной действительной,
мнимой, рациональной или иррациональной (см. п° 175).
Всякое квадратное уравнение вида ах2 -j- Ьх -\- с = 0 может
быть приведено делением на коэффициент при лс2 к форме
корни которого, найденные непосредственным решением, равны
,81 х -p + VJ^Tq -р-у-?=Ц
Сумма корней:
[9] Х1+Х2 = —?г£= — I
Произведение корней:
Отсюда вытекает правило:
Сумма корней квадратного уравнения вида *9 -\-рх -J- q = О
равна коэффициенту при лг, взятому с обратным знакощ
а произведение корней равно постоянному члену»
Составление квадратного уравнения 137
184. Нам уже известно, что если две кривые не
пересекаются, то значения х и у, удовлетворяющие уравнениям
их, будут мнимыми. С другой стороны, если корни
квадратного уравнения мнимые, то величина Ь2— 4 ас — отрицательная.
Поэтому, чтобы решить, лересекаются ли прямая и кривая
второго порядка, следует решить их уравнения совместно.
Исключить у и выяснить, не является ли дискриминант
полученного квадратного уравнения отрицательным.
Пример. Определить, пересекается ли прямая у = 2х -f- 12 с
окружностью дг2 + У2 = 25.
Исключая у, имеем:
*2 + (2a:+12)2 = 25
5*2+ 48*+ 119 = О
Р - 4 ас = (482) ■_ 4. (5) (119) = - 76.
Значение дискриминанта ft2 — 4 ас отрицательное, следовательно линии
не пересекаются.
185. Составление квадратного уравнения. Обозначим
заданные корни через гг и г2. Как указано в п° 183, сумма
корней квадратного уравнения вида х*-{-рх-\-q — 09
ri + r2=—p9
а произведение
Г\Ъ = q;
поэтому, подставляя в общее уравнение — (fi + JaJ вместо р,
и гЛг2 вместо <7> будем иметь
л2 — fa + га)-* + Va = 0-
Раскрывая скобки, находим:
л:2 —*ГуХ — г2х-\- ггъ = 0.
Разлагая на множители, получим:
(х — гг)(х — г2) = 0.
Таким образом для составления квадратного уравнения
по заданным корням следует вычесть каждый из них из х,
а затем приравнять произведение разностей нулю.
186. Разложение многочленов второй степени на
множители. Рассмотрим общую форму трехчлена второй степени:
af + bx+e [3].
Выражение л:2-] х -| обращается в нуль, если (лг — г{)
является его множителем и х = гх.
138 Уравнения второй степени
Кроме того значение х = г2 также обращает указанное
выражение в нуль.
Вследствие сказанного, если гг и г2 суть корни
квадратного уравнения
а а
то многочлен, стоящий в левой части, разлагается на
множители.
<*(х—гх)(х — гъ).
Пример. Найти множители выражения
5л:2 - 7л: - 22.
Имеем:
5лг2 - 1х - 22 = 5 (лг2 - 1,4 х - 4,4).
Решая уравнение
л:2- 1,4* —4,4 = 0,
находим
х2- 1,4 л: + (0,7)2 = 4,89
лг — 0,7 = =t 2,211
л: = 2,911 или — 1,511.
Поэтому заданное выражение разлагается так:
5 (л: -2,911) (л: + 1,511).
Рассмотрим самое общее выражение второго порядка
' + *« + —[(* + =)1-(^^)1}
или иначе
а*-
Правая часть последнего выражения представляет собой
разность квадратов двух количеств, поэтому многочлен можно
представить в виде такого произведения:
[И]
/ , Ь , V& — 4ос\/ . Ь VV — AacX
Характер множителей зависит от величины выражения
№ — 4ас, а именно:
Задачи на составление квадратных уравнений 139
Если Ь2 — 4ас представляет собой полный квадрат, то
множители рациональны.
Если б2 — 4ас не представляет собой полного квадрата,
но является величиной положительной, то*данное выражение
можно разложить на множители и численное значение их
может быть найдено с какой угодно степенью точности.
Если № — 4ас отрицательное, то множители могут быть
выражены только при помощи комплексных чисел.
Если б2 — 4ас равно нулю, то данное выражение само
является полным квадратом.
Пример, Найти множители выражения
8*2+13*-22.
Имеем:
8 (дг2 +1,625 х - 2,75) = 8 [л* +1,625 х + (0,8125)2 - 2,75 - (0,8125)2]
= 8 [(* + 0,8125)2-3,410]
= 8 [(* + 0,8125)2 -1,8472]
==8(д: + 2,659)(л: —1,035).
Таким образом, искомые множители суть:
л:+2>659 и * —1,035.
187. Задачи на составление квадратных уравнений.
Задача 7. Группа лиц взяла на прокат спортивные сани, заплатив 12 руб.
Так как трое из этой группы не могли внести свою часть платы, то
остальным пришлось заплатить на 20 коп. больше. Сколько человек было в группе?
Обозначим через х число лиц в группе.
Тогда число лиц, внесших евою часть платы, будет х — 3.
^— — число рублей, которые должен внести каждый;
12 л ш
— — число рублей, внесенное каждым из заплативших.
х — 3
Отсюда
12 1 12 / on * *\
=■ =- = (заметим, что /О копеек составляют -=- руб.).
х — 3 5 х х у 5 rj
Решая это уравнение, находим
*= 15 или—12.
Второе значение дг очевидно не имеет смысла, так как число лиц,
участвовавших в найме, не может быть отрицательным.
Задача 2. Резервуар наполняется при помощи двух труб в 24 минуты.
Если бы действовала только меньшая труба, то для наполнения резервуара
потребовалось бы на 20 мин. больше, чем если бы действовала только
ббльшая труба. Определить, во сколько времени был бы наполнен
резервуар при действии каждой из труб в отдельности.
Обозначим через дг число минут, нужное для наполнения резервуара
большой трубой; тогда меньшая труба должна действовать дг-|-.20 минут.
140 Уравнения второй степени
Так как
х
1
часть резервуара, наполняемая большой трубой в 1 мин.,
94 — часть резервуара, наполняемая обеими трубами при
одновременном действии их,
■ ■ ofv — часть резервуара, наполняемая меньшей трубой в 1 мин.,
то имеем
1,1 1
-Т- + :
х ' л: + 20 24 '
Решая это уравнение, находим:
х = 40 или —12.
188. Уравнения, приводимые к квадратным. Уравнение,
содержащее только две степени неизвестной, причем
показатель одной из них вдвое больше показателя другой, как
например уравнение
[12] ax2n-\-bxn + c = 0
(где п—любое число), может быть приведено к квадратному.
Пример 1. Найти значения * из уравнения
х* —13*2 -f- 36 = 0.
Разлагая на множители, получим
С*2 — 4) (л:2 — 9) = 0.
Отсюда
Пример 2.
Положим
Найти
**-»
лг2 —4
X =
= 0
±2
ИЛИ
ИЛИ
**-
X =
-9 =
±3.
значения х нз уравнения
** - & = 12.
тогда
р2-
-/> —
12.
0,
Разлагая на множители, имеем:
(р + 3)(р-4)=0,
откуда
р= — 3 или р = 4.
Произведя подстановку, получим
х* = —- 3 или л:* = 4,
откуда
х == 81 или * = 256.
Пример 5. Найти значения л: из уравнения
J - 4* 5** = 0.
Уравнения, приводимые к квадратным 141
Положим х2 = р. Тогда
3
х1 = р%, а х = /о3.
Произведя соответствующую подстановку в данное уравнение, получим
р* - V - Sp = 0.
Разлагаем на множители:
/>(/>2-4р~5) = 0,
откуда
р = 0, или *2 _ 4/э — 5 = (/t? - 5) (р + 1) = 0.
Отсюда /> = 5,
аПОТОМУ л'= 0 или 5;
отсюда х = 0 или 25 1).
Пример 4. Найти значения х из уравнения
д:2 — 4* + У> — 4л: — 21 = 63.
Вычитая 21 из обеих частей уравнения, получим
*2 - \х — 21 + У*2-4* —21 = 42.
Положим р2 = х2 — 4* — 21. При такой замене данное уравнение
получает вид
^2 + ^-42 = 0.
Решая последнее уравнение, получим:
р = т/л:2 — 4дг — 21 = 6, р = - 7.
Продолжая решение, имеем:
л: = 9,81, * = — 5,81 (для р = 6).
189. Пример. Найти корни уравнения
** + 4*3-8* + 3 = 0.
Извлекаем корень квадратный
** + 4*3-8* + 3 1*2 4-2лг-2
X*
2*2+2*1
4*3
4лгЗ + 4лг2
2*2 +4*-2
-4*2-8* + 3
- 4*3 — 8* + 4
-1
Так как левой части данного уравнения недостает 1 до полного
квадрата, последний может быть получен посредством прибавления 1 к каждой
части уравнения, в результате чего оно примет следующий вид:
** + 4*3-8* + 4 = 1.
а) Корень р= — 1 отброшен по той причине, что под Ух понимается
его арифметическое значение.
142 Уравнения второй степени
Извлекая квадратный корень, имеем
Поэтому
Х2 4- 2х — 3 = 0, д^ + 2х — 1 = 0.
Решая, получим
х=\, -з, -i + уг
Замечание. Данная задача также может быть решена посредством
прибавления 4лг2, таким образом:
х4 + 4*3 + 4*3 ~ 4*2 - 8дг + 3 = 0,
откуда
(л:2 + 2д:)2 - 4 (л:2 + 2*) + 3 = 0.
Затем последнее уравнение разлагаем на множители.
Для упрощения решения данной задачи можно также применить теорему
о разложении на множители (п° 186).
190. Пример 1. Найти корни уравнения
^- + £+1-4
*+1
Первый член левой части представляет собою величину, обратную
второму. Обозначим первый член через pt а второй — через — ; при этом
наше уравнение получит вид: р -\ = 4, или р2 — 4/? = — 1.
Прибавляя 4 к обеим частям последнего равенства, имеем:
/>2-4/9 + 4 = 3 или (/9-2)2 = 3,
*-2 = ±/1Г
следовательно
р = 2 + ]/ 3 = 3,44, или 1,56
л:3
х+1
= 3,44,
Решаем два последних квадратных уравнения и находим значения х.
Пример 2. Решите уравнение
Примем радикал за неизвестную. Прибавляя —3 к обеим частям
данного равенства и перенося радикал в левую его часть, получим:
*2-3-Т^"3===6;
этому уравнению можно легко придать более простой вид.
Радикал можно заменить через подстановку z = ух2 — 3, в результате
чего получим z2 — z = 6.
Графический способ Эвклида
143
Пример 3. Решить уравнение х* -\- лг3 — 4х2 -\- х -+- 1 = 0.
Разделив на х2, получим
(*г+^)+(*+4-Н-
Приведем последнее выражение к форме квадратного уравнения
посредством прибавления 2 к обеим частям равенства:
*a+2+i)+(*+4-)=6.
Положив и — х -| , имеем:
и = 2 или —3, т. е. л* -| = 2 или —3.
' X *
191. Графический способ Эвклида для определения
корней квадратного уравнения. Если из точки вне окружности
провести две прямые, пересекающие ее, то площади
прямоугольников, построенных на секущих и их внешних частях,
равны друг другу (Эвклид, "III,'^': '^—---^—.-.^-— ._
31).
На рис. 36: ОА X ОЕ ==
0£> X OQ.
Для того чтобы применить
изложенную теорему к
определению корней квадратного
уравнения ах- -\- bx -J- с = 0, прежде
всего приводим его к следующей
форме:
*2+ —* = — — i
или
[+К
От точки пересечения осей ОХ и ОК (оси расположены
не обязательно- под прямым углом друг к другу) (рис. 37)
откладываем в положительном направлении вдоль оси OY
отрезок О А, равный единице, и ОЕ, равный —. Тогда, со-
144 Уравнения второй степени
гласно приведенной теореме, отрезок OD равняется л:, a OQ
равняется ( J — дг. Величина этих отрезков не может
быть найдена непосредственно, но лишь после определения
координат центра
окружности.
Точки D и Q
представляют собою точки
пересечения
окружности с осью X.
Положим DK=KQ. Тогда
OQ—OD
+ OD-
= ОК,
Величина
Рис. 37
R).
таким образом, представляет собою
абсциссу х центра окружности. Легко заметить, что орди-
ната у есть -~—. Если координатные оси взаимно
перпендикулярны, радиус окружности можно найти из прямоуголь-
^г, Vb*+(c — af ы
ного треугольника £Сл; его величина г = ~- .Из
прямоугольных треугольников DCK и KCQ следует, что
DK=KQ
Vfc — Aac
2а '
Легко видеть, что окружность, расположенная указанным
образом относительно координатных осей, полностью удовле
творяет всем условиям нашей теоремы. Необходимо иметь
в виду, что указанная окружность не представляет собою
графика квадратной функции, она лишь применяется как
Графический способ Эвклида 145
вспомогательное средство для геометрического решения
квадратного уравнения.
Из рис 37 можно определить хг и х2.
b-OK-DK-{-£).
Vb9- — 4ac
la
_ —b—Vtf — Aac
~ 2a ~~m
2a
192. Рассмотрим следующие пять случаев:
Случай 1. Если величины I —х-1и—~— обе
положительны, а радиус окружности больше, чем ордината цен-
c-f-a v
ура у у равная —~—, то окружность должна пересекать ось Л,
и в этом случае х имеет действительные и положительные
значения, как например на рис. 38а, т. е.
У 6* +(с— af с+а
2а > 2а '
V& + (c—a)* >c+a.
Возвышая. 8 квадрат, имеем
62 + (с — а)а>(с + а)9
#> + с2 — 2ас + а2 > с2 -f 2ac -f a2
или
б2 — 4ас>0.
Вычисление радиуса не необходимо. Во всех случаях
окружность должна проходить через точку (0,1), лежащую на
оси Y.
После того как положение центра определено, проводят
Циркулем окружность радиуса СА.
Решим уравнение х2— 6х -f- 5 = 0.
a = l, 6=—6, с = 5
*0 Справочник для инженера.
146 Уравнения второй степени
(-£)-
— 6
"2X1
;+g_5 + l.
=-3
2а
2X1
3.
На рис. 38 а центр окружности находится в точке (3,3)
Описываем из него радиусом СА дугу, которая пересечет
Рис. 38.
ось X в точках 1 и 5. Эти значения * = 1 и л: = 5 являются
корнями уравнения х2 — 6х -\- 5 = 0.
Случай 2. Если выражение ( —9 1 отрицательное
с+а / Ь\
—ту— положительное, то отрезок I — к- I
с-\- а
проводим в
отрицательном направлении, а
2а
в положительном.
Графический способ Эвклида 147
Решим уравнение Злг2 + 28л: + 9 = 0.
(-*)-
6 ~ * 3
с+а^9+3
2а 2ХЗ~А
Из центра I — 4 -~-, 2 I проводим радиусом С А (рис. 386)
дугу, которая пересечет ось Хв точках ^- и —9-Этизна-
1 ' о
чения х=—тг и * =—9 являются корнями уравнения
Зл:2 +28*-И = 0.
Случай 3. Если величины I — о~ ) и 9" отрица*
тельные, откладываем отрезки, выражаю шие обе координаты
центра, в отрицательном направлении, как на рис. 38с,
который дает решение уравнения 2*2-|-9.*:—5 = 0. Корни его
1 с
х =—и лг= ■—5.
Случай 4. Если величина I — ^-1 — положительная и
с+а ( Ь\
— отрицательная, откладываем отрезок, равный I —^-и
с + а
в положительном направлении, а —^ в отрицательном.
В этом случае один корень уравнения будет
положительный, другой — отрицательный.
Случай 5. Если окружность не пересекает оси Ху как
это показано на рис. 38J, то корни мнимые. Действительная
часть корня выражается отрезком ОАГ, а величина мнимой
части — отрезком КТ; точка Т есть точка касания прямой КТ
к нашей окружности. Величина
2а
10*
148
Уравнения второй степени
193. Другое графическое решение квадратного
уравнения (упрощенный способ). Пусть мы имеем систему двух
уравнений такого вида:
у = х* (1)
У=— — — — • (2)
Мы знаем, что значения координат, удовлетворяющие оба
уравнения, соответствуют точкам пересечения двух кривых,
выраженных ур-ниями (1) и (2),
. Поэтому, абсциссы этих точек представляют собою такие
значения х, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Так
как в указанных точках оба уравнения
имеют одинаковые у, то правые их
части равны друг другу, т. е.
х* =
Ьх_
а
(3)
или
ах* + Ьх + с^0.
Последнее выражение есть общая
форма квадратного уравнения [3].
Мы можем, поэтому, заменить ур-
ние (3) системой ур-ний (1) и (2),
что дает нам простой способ
графического решения общего квадратного
уравнения.
Для этого необходимо только иметь
под рукой несколько синек с тща-
Рис. 39. тельно вычерченным графиком у = х2.
Так как график ур-ния (2) есть
прямая линия, то точки пересечения ее с кривой ур-ния (1) дают
корни данного квадратного уравнения.
В случае применения этого способа, следует переносить
все члены уравнения, кроме лг2, в правую сторону равенства
и получившуюся при этом правую часть его надо рассматривать
в отдельности как уравнение прямой линии.
Если прямая линия касается кривой, корни равны друг
другу.
Если прямая линия и кривая не пересекаются, корни
мнимые, так как отсутствие пересечения указывает на то обстоя-
J
Ксадратные уравнения с иррациональными корнями 149
тельство, что не существует таких значений х9 которые удо- -
влетворяли бы обоим уравнениям.
Пример. Решить графически уравнение
л* — 2х — 8 = 0.
Значения .х, удовлетворяющие системе
[у = 2х + Ъ
удовлетворяют также данному уравнению.
Построив графики у = х2 и y = 2*-f-8, мы получаем абсциссы точек
их пересечения: л:= — 2 и лг = 4 (рис. 39).
Таким образом, корни уравнения х2— 2х — 8 = 0 равны: лг= —2,
х = 4.
194. Изложенный способ можно представить несколько
иначе. Данное квадратное уравнение разбиваем на два
уравнения следующим образом. В уравнении 3*2 + 4* = 20
полагаем у = х2* Если это значение х* подставить в
первоначальное уравнение, то оно примет вид 3^-[-4г = 20; теперь
у нас есть система двух уравнений: Зу-|-4л: = 20 и у = х2,
которую можем решить на основании изложенного в
п° 193.
195. Квадратные уравнения с иррациональными,
корнями. Обыкновенно в технических расчетах встречаются
квадратные уравнения с иррациональными корнями.
Излагаемый ниже метод позволяет находить значения таких
корней с большей степенью точности, чем это возможно при
помощи графика. Решение получается здесь при помощи
комбинирования алгебраического и графического методов: график
квадратного уравнения получают из графика функции у = х*
так, как это было объяснено выше, причем значения корней
определяются полученным графиком. В полученные значения
корней следует внести небольшие поправки Лх и А2, которые
определяются таким путем: в первоначальное уравнение
подставляют вместо неизвестного найденное графически его
значение плюс поправка. Таким образом, получим новые
квадратные уравнения, содержащие неизвестные Лх и Л2. Так как
их члены второго порядка весьма малы, то их можно от-,
оросить, в результате чего получаются простые линейные
Функции Ах и h2i позволяющие легко найти величину этих
поправок.
Изложенный метод поясним примером.
150
Уравнения второй степени
Пример, Найти корни уравнения 2дс2 — 9х -f- 6 = 0.
а = 2, 6 =• — 9, с = 6.
* _ * _ -* - о 1
Л~2а~2Х2~" 4
62__4ас 81-4X2X6
* =
4а
4X2
-4-
График функции# = 2*2 — 9х + 6, представленный на рис. 40,
получим из кривой у = *2, взяв начало в точке ( — 2 -j-, 4 —
Рассмотрение
графика дает
приближенные значения корней
д: = 0,8 и х = 3,7.
Положим, Ах есть
поправка к первому
указанному корню;
тогда
дг = 0,8 + Л1.
Подставл я е м
0,8 + ^! в данное
уравнение 2*2 —
— 9х + 6 ==- 0
вместо *; отбрасываем
член второй степени
Л!2, так как он
весьма незначителен по
величине.
Рис. 4G. Тогда имеем
1,28+3,2*! — 7,2 — 9ЛХ + б = 0
5,8 Ai = 0,08
Ах = 0,014.
Итак, х = 0,8 + 0,014 = 0,814 есть значение корня с
внесенной поправкой и вычисленное с точностью до третьего]
знака. Во второе приближенное значение корня вносится]
поправка таким же самым путем лри помощи подстановки |
х — 3,7 + А2.
3-.
\
\
\
? -1
V
\
\
\
\
\
40
20-
18-
16-
14-
12-
10-
8-
,fi
и
\
А
Ц
0 >
о
с
4
'
11
? :
со
.- О} /
*.'/_
Ц
/i
/i
3/
4
/
/
?
5 f
\j
1
' ^
Неявные функции 151
Подстановка 3,7 -J- А2 в данное уравнение вместо х, как
и ранее, дает
27,38 + 14,8А2 — 33,3 — 9А -f 6 = О
5,8А2= —0,08
А2= —0,013.
Итак,
* = 3,7 — 0,013 = 3,687
есть значение корня с внесенной в него поправкой.
Знак минус указывает на то, что значение корня 3,7,
полученное из графика, слишком велико и должно быть
уменьшено на 0,013.
Изложенный метод дает достаточно точные для
практических целей результаты. Конечно, можно внести вторичную
поправку; для этого нужно со значениями корня х = 0,814 и
л: —3,687 повторить изложенные выше действия^ в результате
чего можно получить значения корней с точностью до пятого
или шестого десятичного знака.
Этот метод может быть также применен для системы
квадратных или кубических уравнений, а также для любых
задач, которые решаются графическим способом.
Глава VIL
НЕЯВНЫЕ КВАДРАТНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ. СИСТЕМЫ
КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.
196. Неявные функции. Выражение
[13] Ax*+Bxy + Cy* + Dx + Ey + F=0
есть общая форма квадратного уравнения с неизвестными х
и у. Из него видно, что у есть какая-то функция от х, причем
самый вид функции нам неизвестен.
В таких случаях говорят, что у есть неявная функция
от х.
Поставим себе задачу получить общее представление
о кривых, соответствующих уравнениям указанного вида,
а также соотношениям между членами уравнения и их
коэффициентами.
Причины существования таких соотношений, а также вывод
их, будут рассмотрены далее, в. отделе^ посвященном
аналитической геометрии.
152 Неявные квадратные функции и их графики
Цель введения их здесь — помочь установлению связи
между аналитическим и графическим способами решения
вопросов.
Вообще говоря, наличие членов с неизвестными в первой
степени указывает на то, что координатные оси кривой,
соответствующие кривой, выражаемой членами второй степени
и постоянной, были перенесены. Член Dx указывает на
передвижение кривой в направлении оси X, а члены Су—в
направлены i оси Yt присутствие же и того и другого в ур-нии [13]
указывает на передвижение кривой в обоих направлениях.
Заметим впрочем, что из этого правила имеются исключения
(см. пп° 169 и 197).
Член Вху указывает на поворот кривой на некоторый
угол относительно координатных осей.
Величины и знаки коэффициентов остальных членов
ур-ния [13] (а также свободного члена) определяют форму
и характер кривой.
Особое свойство неявной функции, имеющей вид
Ax* + Bxy + Cy* + Dx + Ey + F^O,
заключается в том, что у является двузначной функцией х,
ибо каждому частному значению х соответствуют два
значения у при условии, что СфО.
Рассмотрим простейшие случаи общего уравнения, а именно:.
[14] у4г2 + £# = 0
'[15] Cy* + Dx = 0
,[16] At3+£#+F=0
117] Cy*+Dx+F=0
[18] Ax*+Cy* + F=0.
Перенося, в ур-нии [14], член Еу и разделив на Е, получим:
А 2
у = —Ех\
что соответствует уравнению у = ах2, в котором
А
а — г.
Этот случай уже был рассмотрен в п° 170. Напомним, что
указанное уравнение соответствует параболе, осью симметрии
Неявные функции 153
которой служит ось Y (рис. 41). Парабола обращена верши*
ной вниз, если а положительно, и вершиной вверх, если
а отрицательно. Таким образом, при разных знаках у Л и
Е и следовательно при а положительном кривая обращена
вершиной вниз.
В ур-нии [15] условия аналогичны предыдущим с той лишь
разницей, что х и у поставлены одно вместо другого, причем
осью симметрии параболы является ось X
Ур-ние [15] приводится к виду
х = ау\
так как переносом члена Су2 и делением на D получаем
С 2
x = ~Dy>
С
Рассуждая точно таким же образом, как и ранее, видим,
что если С и D имеют одинаковые знаки, то вершина пара-
(6)
Рис. 41.
болы направлена в сторону положительных я-ов, а если
разные, то вершина направлена в сторону отрицательных
лг-ов.
Ax* + Ey + F=0 ]16]
получается из общего уравнения, если В, С и D равны нулю.
Cij*-\-Dx + F=0 [17]
получается из общего уравнения, если А, В и Е равны нулю
154 Неявные квадратные функции и их графики
Ур-ния [17] и [16]-могут быть преобразованы к явной форме
у = ах* их = ау2 и изображены по способу, указанному в п° 170.
197. Уравнения вида Ах2 -f- Су2 + F = О. Если каждый из
коэффициентов Bf D и Е равен нулю, то общее уравнение [15]
принимает вид
[18] A** + Cya + F=0. ^
F
Если А = СфО и
- величина отрицательная, то ур-ние
[18] можно представить так
[19] х2 + у2 = а*.
Так как мы знаем, что между сторонами прямоугольного
треугольника существует соотношение (рис. 42)
х2-\-у2 = а2,
то х2-\-у2 равно квадрату расстояния точки Рот начала
координат. Иначе говоря, равенство х2 -f-у2 = а2 указывает, что
точка Р(х, у) находится в постоянном расстоянии от начала
Рис. 42.
Рис. 43.
координат, равном а единиц и что следовательно кривая
представляет собой окружность радиуса а с центром,
расположенным в начале координат.
198. Если А = СфО, уравнение Ax2-{-Cy2-\-F=Q может
быть представлено в виде
[20]
*2+Я2=-
А'
Уравнения вида Ах*-\-Cy* + F=0 155
При(-£)
положительном график представляет собой
окружность; если же I — ~-} — отрицательно, то графика не
существует. Если F=0f то мы получим вместо окружности
точку в начале координат.
Окружность можно применять для графического решения
системы уравнений, как это видно из нижеследующего
примера.
Пример. Найти значения х, удовлетворяющие уравнениям
* — 7^ + 25 = 0.
Начертим окружность, соответствующую уравнению х2 -f- у% = 25, и
прямую, соответствующую уравнению х — ly -j- '25 = 0. Точки пересечения
их — единственные, координаты которых удовлетворяют обоим уравнениям.
Абсциссы этих точек дают значения х, для которых данные уравнения
справедливы.
199. Если график функции представляет собой окруж-
f
ность, член —-т должен быть положительным. Тогда радиус
/—т
окружности равен 1/ —-г. Всякое значение х, большее по
численной величине, делает у мнимым» так как #2 =
F
= — тг — **• В самом деле, при всех значениях неизвестных х
и у величины х2 и у2 — положительные, следовательно при х\
р
большем —, у2 будет отрицательным, что невозможно, ибо
у~ число действительное. В справедливости сказанного можно
убедиться, рассматривая график функции. Всякое значение х9
делающее дг2 большим чем I — -г I, будет соответствовать
точке, лежащей вне круга. Таким образом следует брать
р
156 Неявные квадратные функции и их графики
200. Если А и С неравны между собой, то уравнение
Ax'-^Cyb-^F—O принимает вид
F
где— -т — величина положительная, или
[22] Л9^_„2у9 = а9>
где
[23] п==]/|
и
Уравнение х2~\-п?у? = а? соответствует эллипсу и может
быть написано в виде
■±v~*
Точно так же уравнение окружности x^-j-y2==ar может
быть написано и так:
у ±= ±Va2 — х* .
Сравнение значений у> т. е. ординат, показывает, что
ординаты эллипса п 1
ординаты круга
Отношение ординат эллипса 4*2-}-9у2 = 25 к ординатам
25
кругал2 + #2:=.— (рис. 44) равно
/g:l=/|:l-|:l,
т. е. ординаты эллипса равняются двум третям
соответствующих ординат окружности радиуса
/;
F 5
— или -s- единицы.
Эллипс
157
Для того чтобы уменьшить ординаты окружности в -=-
раза, можно применить циркуль для пропорционального
деления (см. п° 83), установленный для отношений 2 к 3. Проводя
через концы полученных
ординат плавную кривую,
получим искомый график.
Другой метод
построения эллипса показан на
рис. 45. Здесь масштаб
ординат в полтора раза
больше масштаба абсцисс
Окружность имеет радиус,
равный у единиц
горизонтального масштаба, и
изображает уравнение
неявной функции
4a:2 + V = 25.
201. В случае если
Л>0, C<0*F<0,T.e.
при А положительном и
Си F отрицательных,
ур-ние [18] А*2 + Су2 +
-f- F = 0 соответствует
другой кривой.
Простейший
пример этой кривой,
когда уравнение ее
имеет вид
[25] jA — g* = <fl9
показан на рис. 46,
где а = 4, а2 = 16.
Из рисунка видно,
что график
пересекает ось лг-ов в
точках (4, 0) и ( — 4,0).
Никаких других точек, абсциссы которых имели бы значения
между 4 и — 4, кривая не имеет. Она симметрична относительно
°беих координатных осей, имеет две ветви и называется
равносторонней гиперболой.
158 Неявные квадратные функции и их графики
Стороны прямоугольного треугольника (рис. 47) дают
соотношения между х, J7 и а, так как х2 — #2 = а2. Полагая
Рис. 46.
х равным 1, 2, 3 и т. д. (рис. 48) и делая циркулем засечки
на основной линии АВ, получим на последней ординаты равно-
Рис. 48.
сторонней гиперболы, которые можно измерить и перенести
в качестве ординат для получения графика рис. 46.
Гипербола J 59
202. Если уравнение кривой имеет вид х*—#2 = а2,
то точки ее пересечения с осью лг-ов имеют координаты
(а, 0) и (— а, 0). Таким образом вершины обеих ветвей
гиперболы отстоят от начала координат на расстояние а и — а.
Диагональные
прямые, проведенные на
рисунке под углом в 45°,
называются
асимптотами. Уравнения
асимптот поэтому будут
у = х и у = — х.
Если в общем
уравнении А —
положительное, а С и
F—отрицательные, то оно
принимает вид
[26] ;с2-пУ = а3,
из которого получаем
[27]# = ±—y^ftf.
Рис. 49.
Сравнивая это выражение с у = к л:2 — а2, выведенным
из [25], видим, что ординаты их относятся друг к другу как
1 '
или как
/
А
1.
Обращаясь к рис. 49,
можем заметить, что
Рис. 50. ординаты кривой (1)
вдвое длиннее
ординат кривой (2), следовательно мы могли бы начертить
кривую (2), пользуясь графиком (1), при помощи циркуля для
пропорционального деления. Кроме того, уменьшая вдвое
масштаб ординат кривой л:2—#2 = а2, получаем искомую кривую
из основного графика, как зто показано на рис. 50.
Выражение х2 — ri*y2 = a2 представляет собой уравнение
гиперболы. Кривая пересекает ось д:-ов в точках х = а и х = — а.
160 Неявные квадратные функции и их графики
Если F—Q, то мы получаем: *
или
(х — nj){x-\-ny)=:Q,
т. е. уравнение двух прямых
х = пу и х = — пу.
Найденные прямые суть асимптоты гиперболы.
203. Если Л>0, С<0 и F>0, т. е. при А и F
положительных и С отрицательном, уравнение
AjP-)rCy* + F=0[lS]
представляет гиперболу, у которой ось у-ов является осью
симметрии, пересекающей кривую; простейшей формой этой
кривой является равносторонняя
гипербола с уравнением
х* — у*= — а*
или
л: = Hrj/^a —а*.
Точки пересечения ее с осью
ординат имеют координаты (0, а) и
(0, — а). Асимптотами являются
прямые, проведенные под углом 45° к
осям, имеющие те же самые
уравнения, что и асимптоты равносторонней
гиперболы, рассмотренной в
предыдущем п° (рис. 49).
Общее уравнение
i4** + C^-fF=0 [18]
может быть написано в форме
[28]
или
_1
Рис. 51.
п¥-82= — а2
[29]
п
Vf
Сравнивая [29] с выражением лс= ±YУ2 — &* * получен-*
ным для равносторонней гиперболы, видим, что их абсциссы
относятся как -
— : 1 или как
п
/ь
!
Гипербола 161
Метод построения разъяснен в нижеследующем примере.
Пример* Начертить график 9х2 — 25у2 -f-100 = 0 (рис. 52).
Перемещая члены, имеем:
9
25
х* - у*
-4
или
5 4 3 2 1
■?-v
? 3 4 5
Рис. 52.
Сравнивая это выражение с соответствующим равносторонней
гиперболы, т. е. с
х = ± Уф — 4
видим, что их абсциссы относятся как —: 1 или как £ : 3.
Для нахождения этих абсцисс мы применяем,
как и ранее, прямоугольные треугольники, с той
лишь разницей, что здесь независимой
переменной является у, для которого и берем значения
У ~ 3, у = 4, у = 5 и т. д. Принимая их за
гипотенузы, находим длины горизонтальных катетов,
как это показано на рис. 53. Найденные таким
образом величины л: соответствуют равносторонней ^
гиперболе.
Чтобы перейти от графика х = :± у у2 — 4 "ис* ".
к графику л: = rt-^- rfy1 ~ 4 , увеличиваем абсциссы первой кривой в
страза, применяя для этого описанный в п° 83 циркуль для
пропорционального деления.
1 * Справочник для инжен^рп
162 Неявные квадратные функции и их графики
Этот циркуль следует установить так, чтобы между растворениями
ножек сохранялось отношение 5:3, причем короткая сторона циркуля
служит для измерения катетов треугольников (рис. 53), а длинная — для
откладывания абсцисс искомой кривой.
Заметим, что указанные абсциссы откладываются от оси Y в
горизонтальном направлении.
204. Как сказано ранее, в общем ур-нии [13] члены Dx и Су
указывают только на то, что центр кривой находится не в
начале координат, а в какой-то другой точке. Таким образом I
прибавление их к членам уравнения окружности, эллипса I
и т. д. не изменяет общей формы графиков.
Поэтому уравнение
4х*-\-Су* + Г+Ох+Еу^0
является уравнением окружности, если А = С, и уравнением
гиперболы, если А и С — разных знаков. Положение
координатных осей этих кривых, в последнем случае, будет
отличаться от положения осей графика уравнения
Если значения неизвестных в общем уравнении увеличить
или уменьшить на некоторую постоянную величину и
подставить их вместо данных переменных, то этим координатные
оси кривой соответственно переносятся в другое положение.
205. Положив в общем уравнении [13J J3 —0, получим:
Ax* + Cy* + Dx + Ey + F=0. (I)
Дополняя до квадратов сумм, имеем:
4А~т~4С
D2 F*
или
А{*+&)'+с{я+Ш-
1>С+Е*А — AACF
ААС
Положим
D Е
J
Уравнение вида: Ах2 -|- Су2 -f- Dx -\- Еу -f- F = О 765
и подставим эти значения переменных в ур-ние (2); тогда
получим:
т Axf + W- BK+"^*MF,
D*C+E*A — 4ACF -, , „
где член Таг является постоянным, г Фг.
Поэтому мы можем преобразовать данное уравнение так,#
чтобы оно соответствовало той же самой кривой, отнесенной
к другой системе координат, причем эту последнюю можно
выбрать таким образом, чтобы члены, содержащие х и у
в первой степени, исчезли.
Перенесение осей не изменяет коэффициентов членов с л-2
и у2.
Что касается постоянного члена, то согласно ур-нию [30]
величина его изменится и будет равна
[31] F- ^ .
Из сказанного ясно, что после преобразования мы получим
новое уравнение Ахх2 + Су£ +У7* = 0 вида А*2 + Су* + F= 0,
соответствующего или эллипсу (частным случаем которого
при А = С является окружность), или гиперболе, имеющим
центр в начале координат.
Если теперь вычертить график преобразованного
уравнения, а затем провести новую систему координатных осей, для
которых
* = *i —Л и g = gx—k,
то этот график в новой системе осей будет соответствовать
уравнению
A** + Cg*+Dx + Ey + F=0.
Очевидно,
[32] А-£.
[33] к= Е
2С
гле h и к — координаты нового начала.
11*
164 Неявные квадратные функции и их графики
:0.
Пример. Начертить график уравнения
9*2 -f 16^ — 18л; + 64# ~ 8 =
Сравним это уравнение с ур-нием (1) изп°205и надпишем коэффициенты
его над соответствующими коэффициентами данного; тогда получим:
А С D E F
9лг* + 16у2 — 18л: + 64# — 8 = 0.
Из [32] имеем:
Из [33] имеем:
64
2С~2 16
= 2.
Таким образом нашему уравнению соответствует эллипс
с центром, передвинутым на 1 единицу влево и на 2 единицы
вверх по отношению к первоначальному центру.
График
преобразованного уравнения Ах<?--\-
+ 0^ + ^ = 0 [30] на-
чертить легче, чем график
первоначального.
Уравнение
9x^ + 16^ = 81
соответствует эллипсу с
центром в начале
координатной системы 01Х1 и
Ql У\ (рис. 54), построение
которого можно произ-
Рис. 54. • вести по методу,
указанному в п°200.
Этому же эллипсу, отнесенному к системе координат
с началом в точке (—1, 2), соответствует уравнение
9л:2+16^ — 18л: + 64# — 8 = 0.
У
/ 0
\ —
h
у,
\ \
1 \ -Г,
°х /
I
я
Решая это уравнение совместно с другим, которому соот-1
ветствует прямая линия, можно легко найти значения jchj,
удовлетворяющие этой системе. Указанные корни являются
координатами точек пересечения прямой и эллипса.
Если график пересекает ось X, то абсциссы этих точек |
дают значения*, при которых функция равна нулю, т. е. корня *
уравнения. Точно так же ординаты точек пересечения с осью У
Уравнение Bxy-\-F=0
165
дадут значения у, при которых независимое переменное
делается равным нулю.
206. Случай, когда Bxy-\-F=0. Это уравнение
соответствует гиперболе, асимптотами которой являются оси Хи Y
(рис. 55).
Перенося F в правую часть равенства и деля на В, получим:
f
[34] хд = тг = постоянной = С.
Если две переменные изменяются так, что их произведение
равно постоянной величине, то график уравнения
представляет собой
равностороннюю гиперболу, у которой
оси координат являются
асимптотами. Так, график
уравнения pv = С,
связывающего давление и объем газа,
есть гипербола указанного
вида. Быстрый способ
вычисления* ординат этой
кривой указан в пп° 397 и 406
207. Если Л = С = 0, а
ВфО, то общее уравнение
принимает вид
[35] Bxy+Dx^Ey-\-F=0,
которое может быть
переписано так:
или
J-D l E A^F
'Рис. 55
= 0
В9
ED
Прибавляя к обеим частям уравнения величину--^-, имеем:
, D . Е , ED ED F
откуда
1*1 (, + £ ) (, + |)
В*
ED — BF
В*
166 Неявные квадратные функции и их графики
Произведем подстановку.
„ хг = х -f- А и
где
Ух^У + к,
h-JL ь-°
п— в, а к— в-
В таком случае ур-ние [36] примет вид:
*i#i = С,
причем постоянный член равен:
n_ED-BF
° 52
Таким образом
график функции
Bxy+Dx+Ey + F=0
может быть получен вы-
Рис. 56. черчиванием кривой
ED—BF
*i#i:
В*
и переносом начала в точку (Л, к), где
[37]
h-E
D_
В
Пример. Начертить график уравнения
2*у + * + 2# = 9.
В = 2, Del, £ = 2, F=-9,
2 • 1 — 2 ( - 9)
Имеем:
Л = 1, k = ~, С-
= 5.
Вычерчиваем график ду = 5и переносим начало координат в точку
1, yj (рис. 56),
208. Построение графика общего уравнения Ах2 -f- Bxy ■+•
+ Су2 -J-Djc -f- ^У + ^т= 0 посредством сдвига. Если имеется
член Вху> то для вычерчивания графика уравнения последнее
можно привести к более простому виду посредством сдвига.
Сущность этого способа выяснится из нижеследующего
примера.
Построение графика в общем случае 167
Рассмотрим уравнение
t — 2vy + x*~ 2х — 3 = 0. (1)
Решая его относительно у, получим
у = х±У2х~Т5. (2)
Если ур-ние (2) разбить на две части, а именно:
У' = * О)
И
«,''== ±У"2^ТЗ", (4)
то
9 = 9' + у".
Ординаты графика
(2) равны ординатам
(4), сложенным с орди:
натами (3) или
вычтенным из них.
Графики ур-ний (3) "If
и (4) можно построить,
как это сделано на
рис. 57, в одной и той
же системе координат.
Откладывая
ординаты кривой (4) от
линии (3), получим гра* Рис, Ь7.
фик уравнения (1).
Таким образом, взяв х=1 и откладывая ординаты АС и Аг
от прямой у = х в точке В, получим точки D и £,
принадлежащие искомой кривой (1). Точно так же ординаты А'С и
A'F'j соответствующие значению * = 2, будучи отложены
от прямой у' — х в точке В', дадут точки Е и D' — графика
уравнения (1).
Описанный прием называется сдвигом, графика уравнения
у = rt Y2x -f- 3 по отношению к прямой yr = x или линии
сдвига. Последняя, однако, не является осью кривой.
За небольшим исключением, все кривые второго порядка,
общее уравнение которых имеет вид
Ax* + Bxs + Cy*+.Dx + Eg-\-F=*!Q
168
Неявные квадратные функции и их графики
(где ВфО), могут быть построены при помощи метода сдвига.
Если С = 0, то этот метод непригоден, но тогда при АфО |
уравнение можно решить относительно х.
Если А = С=0, способ сдвига также неприменим.
Рассмотрим общее уравнение
Ax* + Bxg-\-Cy*-{-Dx-{-Ey-\-F=0,
где СФО.
Перемещая члены и дополняя до квадрата суммы, получим:
У*
Вх + Е , (Вх-\-Е)*_- Ах* — Dx—F
4С2 — С
В*х* + 2ВЕх + Е*
4С2
+
\Ш1
[38]
Вх-\-Е \2 _ {& — 4 А С) х* + (2ВЕ—4СР)х+(£* - 4СУ)
2С / ~ 4С2
*/
— В _Е_
2СХ 1С
(В* — 4ЛС) *2+QBE—4С£>) х+ (£а — 4CF)
4С2
Таким образом для построения графика общего уравнения
необходимо произвести сдвиг кривой
[39] я-
/<£
2 — 4ЛС) л:2 + УВЕ — 4CZ3) *+(£2 — 4CF)
4С2
или
[40] (£3 — 4ЛС) *2— 4CV+ (2В£ — 4CD) л + (£»- 4СЛ «= 0
по отношению к прямой
[41]
У
В
2С
2С
Кривые второго порядка, соответствующие уравнению [40],
уже были рассмотрены в пп° 196—206. Ниже приведено
несколько примеров на метод сдвига.
Пример /. Построить график уравнения
5*2 - 4*у + ^2 - 12* + И = 0.
Л = 5, 5=-4, С=1, £> = -12, F=U.
Построение графика общего уравнения
169
Уравнение линии сдвига [41] имеет в данном случае вид
-4
У = "
х или у
= 2*.
Подставляя коэффициенты в ур-ние [40], имеем:
(16--20)Ar2-4z,» + (0 + 43)* +(0-
или У
^2 + i^a — 12д: + 11 = 0.
Найденное уравнение
соответствует окружности, так
что для нахождения радиуса
и координат центра следует
пользоваться формулами [30],
[32] и [33].
Уравнение [30], после
подстановки новых
коэффициентов даст:
144 + 0 —4 11
= 25.
4 .
Равенство [32] дает
Равенство [33].
принимает для нашего случая вид
Уравнение х2 + у2 == 25
соответствует окружности оа-
диуса 5 единиц, причем
начало координат, к которому
придется отнести график это-
го уравнения» чтобы преобра- i yj
зовать его ъх2-\-у2 —12* + ; /|
+11 = 0, лежит в точке
(—6, 0) по отношению к
центру окружности
Рис. 58.
/
Начертим окружность и линию сдвига, а затем будем откладывать от
последней ординаты окружности посредством циркуля.
Построение показано на рис. 53.
Пример 2. Построить график уравнения
2дг2 + \ху + 4у2 - 4* - 12 = 0.
Л = 2, # = 4, С = 4, £> = -4, £ = 0, F=~\2*
170 Неявные квадратные функции и их графики
Подставляя коэффициенты в ур-ние [40], имеем: •
(16-32)лг2-64^ + (0 + 64)д: + (0 + 192) = 0.
Упрощая, находим:
*2.+ 4^--4*-12==0.
Уравнение соответствует эллипсу, который следует преобравовать по
методу сдвига.
Уравнение линии сдвига найдем, подставляя коэффициенты в [41].
Имеем:
4 л 1
, = -тдс-0
или и =
*=--2*
Знак минус указывает на то, что наклон прямой — отрицательный.
Для получения остальных данных, характеризующих кривую,
подставляем новые коэффициенты в ур-ние [30]:
Л = 1, С = 4, £>=-4, £ = 0, F=-12.
Пользуясь [30], [32] и [33], находим:
х* + 4у* =
16 .4 — 4»1 - 4 (—12)
4-4
*2 + 4*,2 = 1б,
+ = -т
* = 0.
Для сдвига можно построить либо эллипс дг2 -f- Ay2 = 16, причем начало
координат придется перенести в точку (— 2, 0) (после чего кривая будет
соответствовать уравнению
** + 4у2 — 4*— 12 = 0),
либо окружность
соответствующего радиуса. В последнем
случае ординаты эллипса
получатся при помощи циркуля
для пропорционального
деления. Покажем метод
такого решения.
Уравнение х% + 4у2 = 16
может быть представлено в
таком виде:
г= ±4- у™
Рис. 59.
Сравнивая его с
уравнением окружности
у = ± Vl6 - л:2 ,
видим, что ординаты эллипса имеют длину вдвое меньшую соответствующих
ординат окружности.
Начертим последнюю так, чтобы центр ее находился в точке (2, 0>
а радиус равнялся четырем единицам.
Построение графика общего уравнения 171
Установив циркуль для пропорционального деления для отношения -тг'\,
откладываем соответствующие ординаты от линии ОА, как это показано на
рис. 59.
Пример 3. Построить график уравнения:
л:2 - Ахд + у2 + 4. Vfx - 2 V2 У + 11=0.
Здесь
Л = 1, Я = -4, С = 1, /) = 4 уТ, £=-2/2, F=ll.
Подставляя в [40], имеем:
[16~4.Ы]^-4^ + {2(-4)(~2^)-4;1(4/2)}лг +
+ [8-4.1-11] = 0.
Упрощая, получим:
Подставляя коэффициенты в [41] , определим уравнение линии сдвига
—4 -2УТ
*в"Г * 2
У
= 2*+У~2.
Сравнивая уравнение *2 — #2 = 3 с уравнением равносторонней
гиперболы х2 — у1 = 3, видим, что п = у -=* н что отношение ординат равно
—: 1 или —?=.:!, т. е. 1,735:1.
* Уз
Таким образом в данном случае ординаты, откладываемые от линии
сдвига, будут длиннее, чем ординаты равносторонней гиперболы.
Начертим вертикальную прямую АС (рис. 60)
длиной 1,735, а затем будем засекать из центра С
на горизонтальной прямой A3 точки дугами L-s^v
Xz=z li 2, 3, 4 и т. д., как это описано в п° 201. ^ Ь^10?&%/
Отрезки, измеряемые от точки Л, дадут длинь•/}«-* ■-""V^^r ^—*-
1.73
А
ординат равносторонней гиперболы, соответствую- I ппЯц^ать/ и ■
Щие значениям х = 2, * = 3, х = 4 и т. д. / л л * ,
Взяв циркуль для пропорционального деления разносторонней
и поставив его так, чтобы отношение расстояний гиперболы
!^*лу остриями на обоих его концах равнялось р ^
*» з5: 1, измеряем полученные ординаты
равносторонней гиперболы короткой стороной цчркуля.
атем, пользуясь длинной стороной циркуля, откладываем соответствующие
<о^е3А? °Т линии сдвига, получая таким образом точки искомой кривой
172 Неявные квадратные функции и их графики
209, Кривые, которые приходится преобразовывать по
методу сдвига, всегда являются простыми параболами,
гиперболами или эллипсами. Исключение представляют случаи,
когда уравнение выражает
точку или систему прямых
линий.
Бывают однако случаи,
когда например параболу
или гиперболу приходится
сдвигать по отношению
к линии, почти
перпендикулярной к оси X или
образующей с последней
угол больший 45°. При
этом описанный ранее
метод сдвига оказывается
неудобным.
121
10
Рис. 61.
Здесь приходится
строить основной график
на оси К, как это
описано в п° 203, причем
так следует поступать и в
случае, если С = 0, А ф 0.
Общее уравнение
кривых второго порядка
Ах*+Вху + Су2 + £>*+
+ £^ + F=0,
преобразованное
соответственно указанному
методу, принимает вид:
[42] (S2— ААС)у* — 4Л**2 + (2В£ — 4Л£Ч + (£2 — AAF)^0t
а уравнение линии сдвига будет:
2 А
D
2 А
Построение графика общего уравнения 173
Оба эти выражения лолучены тем же путем, что [40J и [41],
но исходные уравнения решены относительно л-, а не относи:
тельно у»
Пример 4. Построить график уравнения
4*2-4лгу- Зу2 + 64 = 0.
Здесь
:4,В =
4, С=~3, D = 0, £-0, F-64.
величины X, —*•
измеряемые в
горизонт направлении
от линии сдвига
Рлс. 62.
Подставляя коэффициенты в [42], имеем:
[16 - 4 • 4 (— 3)] #2 — 4.16 *з + (0 - 0) х + [0 - 4.4.64] = 0,
откуда
уР - д:2 = 16.
Получаемое уравнение соответствует кривой, для которой ось У служит
осью симметрии, пересекающей кривую (см. п° 203); при этом гипербола
сопряжена с гиперболой х2 — у2 = 16. Уравнение линии сдвига будет иметь вид
-4 _£
2-4 у 8
*= 2"*
174 Неявные квадратные функции и их графики
В данном случае, как и ранее, находим цря помощи прямоугольного
треугольника значения х для у = 1, 2 и т. д. (рис. 62) и откладываем их
горизонтально от линии сдвига.
Для того чтобы выяснить, следует ли применять формулы [40] и [41] или
(42] и J43], необходимо первоначально определить положение линии сдвига.
Для сравнения обоих
указанных приемов на
чертеже указана линия
сдвига, соответствующая
уравнению [41] и
построено несколько ординат по
ур-нию [40].
Пример 5. Построить
график уравнения'
4^ — 4лу + #3 —16лг +
+ 6^ + 22 = 0.
Согласно [41], находим
уравнение линии сдвига
z, = 2*-3,
а из ур-ния [43]
Обе линии сдвига
имеют большой наклон, и
хотя естественнее
воспользоваться формулами
[42] и [43], но для иллю-
трации решим задачу,
пользуясь обоими
методами.
Из данного •
уравнения имеем:
Л = 4, В = — 4, C = lJ
D = -16, £ = 6,^=22.
Подставляя соответствующие коэффициенты в [42], находим: ♦•
2*з = #-3 или х = т 0,707 YУ — 3 .
Если поместить вершину основного графика функции у = лга или
х = ± Yy в точку (0, 3), то он будет соответствовать функции х = it: у у —- 3,
причем его ось симметрии будет совпадать с осью /.
Отношение абсцисс параболы х = zt. 0,707 у у — 3 к абсциссам параболы
х = 3z Yy — 3 равно отношению 0,707:1. Установив циркуль для пропор"
ционального деления так, чтобы он давал отношения 0,707:1, и откладывая
от линии сдвига х — -у у -f- 2 полученные абсциссы, как это выполнялось
в предыдущих примерах, найдем точки искомой кривой.
Однородные квадратные уравнение 175
Если бы было найдено необходимым применять формулы [40] и [41], то
кривая, которую пришлось бы преобразовывать по методу сдвига, имела бы
уравнение . —
4v=#2 + 13 или у=+2у лг — ~.
Применяя основной график л: = у* или у = г£ ух и помещая его
вершину в точку (^г»-0), получим кривую, соответствующую уравнению
у = do А/ х д-. Отношение ординат последней к ординатам графика
/ Тз
функции у = zb2 Л/ х 7- равно 2:1. Для нахождения точек искомой
кривой устанавливаем циркуль для пропорционального деления на
отношение 2 :1, а затем откладываем ординаты от линии сдвига у = 2х — 3. Все
полученные графики представляют собой параболы (рис. 63).
210* Однородные квадратные уравнения. Уравнения, все
члены которых имеют один и тот же порядок (одно и то же
измерение) по отношению к содержащимся в них неизвестным,
называются однородными.
Общая форма однородного квадратного уравнения такова:
[44] Ллг2 + Я^ + О/* = 0.
Уравнения этого вида всегда могут быть разложены на
множители.
Деля на Ау* и дополняя до квадрата, получим:
/*«Л i В(х\ . В* В\ С
U2j^^U/ 4Л2 4Л2 А'
Извлекая квадратный корень, имеем:
7 + й=±|/:
В> — 4АС
4АС '
[451 х _ —B + V& — 4AC
-у- 2Л '
Интересно отметить, что отношение неизвестных в ур-нии
[45] имеет ту же величину, что и корни уравнения ах*-\-
■\-bx-\- с = 0, написанногов явной форме (см. пп° 182 и 183).
Выражение [45] можно представить в таком виде:
/— B+V В* — 4АС\
[46] » "' ' *А
)у = о-
, —B — Vb* — IAC\ п
I
176 . Неявные квадратные функции и их графики
Теперь линейные уравнения можно получить посредством
прямой подстановки значений коэффициентов уравнения [44]
в [46].
Уравнение [44] может быть написано в виде произведения
двух множителей:
Множители, на которые разлагается трехлен [44], могут
быть получены решением ур-ния [44] относительно — Ли- |
нейные уравнения представляются в виде |
r,fi, —B+V& — 1AC —B—V& — 1AC
[48] у = ^—2С х, у = go л
Если одно из двух квадратных уравнений, входящих в
систему, однородно, то система решается посредством
разложения на множители однородного уравнения.
Пример. Решить систему
х2-$у2 + 2у = 3 (а)|
2л-~1ху + 6^3 = 0. (Ь>|
Уравнение (Ь) принадлежит к виду [44], а потому может быть разло- z
же но на множители. Имеем:
4 = 2, Д= -7, С = 6.
Подставляя в [46], получим:
7 + У"49 -4.2-6 п
* 2^2 * = 0-
х — 7у = 0 или х = 2у,
Кроме того
7-У" 49-4-2.6 п
х 2Т2 У = °-
3 - 3
х — -jy = Q или дг —— у.
3
Подставляя значения х = 2у и х ~-туу в уравнение (а), имеем:
* = 2, -6, 2 + У~=1>, 2-У"^Т.
1 * 4 + 2^.-5, 4-2^-5
# = 1, -3, Ч ^ .
Системы квадратных уравнений 177
211* Системы квадратных уравнений вида
[49] Ах* + Вху + Су*+F= 0.
[50] Ах* + Вхху + Сгу* + Л = 0.
Умножая yp-ние [49]HaFx, a [50] —на F, и вычитая после
этого [50] из [49], исключим постоянные члены и получим
однородные квадратные уравнения, которые разлагаются на
множители.
[51] {AF1 — A1F)^ + {BF1-B1F)x4 + {CF1-C1l^^^^
Разделив на (AF±—AxF)y* и дополнив до квадрата, полу
чим после упрощений:
1 r-rBFl —B*F±V l**> — 4АС) /7i*i-(/V-4 41'Y F*-2 FFV) \Ьй—%AxC+ACjft
У 2{A1F-AFi)
Линейные уравнения, которые заменят [51] после
разложения ее на множители, будут:
152} BFx+Bf -у (Я*— 4>*0 ^-ИЯ? -4 Аг Ci) F*~ 2 FFd BBi - 2 (^iC+ACJ]
,V sat— — —-————^——. , у
2(AJP-AFt) ' У
153] х _, BFX-BXF— V(B*-4A OFf+iBS - 4 ^Of- 2 1УД [Bi^ - 2 (Л, С + АСХ))
Эти линейные уравнения могут быть получены прямой
подстановкой коэффициентов А,В9С и т. д., взятых из
данных уравнений.
Чтобы закончить задачу, следует решить совместно каждое
из линейных ур-ний [52] и [53] с одним из ур-ний [49] или
[50]. Самое 'решение можно произвести графически или
аналитически.
Пример. Решить систему
/ 2*2 — Зл# + 4 = 0 (1)
\ 4д^-5^-3 = 0. (2)
Здесь
Л = 2, Д= -3, С = 0, F=4.
^ = 0, £i==4, Q= - 5, Fx= -3.
Подставляя в формулу [52], имеем:
х = Jr?H •^3)-4«4±T/(9-0)9-ftlu~>01ti-2»4(-3)<(-o)4-2[0 , 2 (~ЛЩ
2[0-Я-3}] ' *
откуда
. = 9 — 16+23
12
*аа" 12' ~ * = У*'
Справочник для инженера*
178 Неявные квадратные функции и их графики *
Точно так же из [53] найдем;
9-16-23 5
*=" 12 * = -~2У'
Таким образом получим два линейных уравнения:
Г 3*-4# = 0
\ 2x + Sy=0.
Решая совместно с данными уравнениями (1) и (2), найдем значения
неизвестных, удовлетворяющих данной системе, а именно: j
* = 4, -4,
у ■— 3, — 3, -
2 ' 2
5 ' ' 5 *
Таким образом, уравнения имеют по два действительных и по два vmi
мых корня.
Рассмотренный вид является общим видом квадратные
уравнений, содержащих члены с неизвестными во второй сте
пени (включая и член с ху9 являющийся величиной второго^
порядка) и постоянный член. В указанные уравнения не вхсй
дят только члены с неизвестными в первой степени. |
Как видно из последнего примера, в уравнениях може!
отсутствовать любой член. Так например, в (1) отсут|
ствует Су2, а во (2) — член Ах\ В этом случае в формулц
следует подставить С = 0 и ^ = 0.
Если в уравнении отсутствует постоянный член Fl9 т. а
f\ = 0, то |
— BXF± V(B? — 4AXCX)F* 1
2A,F У . \
или - __^ I
[54]' x = -Bx±VB^-AAxCl «
Эти линейные уравнения могут быть решены совместно в
[49] или [50], как это было сделано в п° 210.
212. Квадратные уравнения вида
Ap + Ctf + F^O
А*2 + С^ + Л = 0. [18]
Будем считать *2 и г/2 за неизвестные и обозначим их че*
рез и и v соответственно так, что
и = х2, v = г/2.
Квадратные уравнения, приводящиеся к линейным 179
Подставив в оба заданные уравнения, находим
I Au +Cv +^=0
t55] I A1u+Clv+F1 = 0.
Последние уравнения соответствуют прямым линиям, т. е.
являются линейными относительно и и v. Таким образом из
них можно определить эти неизвестные, а следовательно л- и
у9 причем
лг = ±V и • 9— — V v -
Пример, Решить систему
16*з-f- 27^2 = 576 (1)
х* + ^2= 25. (2)
Здесь
А = 16, С =27, F= -576
Лх = 1, d = l, /4= -25.
Подставляя ьначения коэффициентов в [55], имеем:
16м + 27^ = 576 (3;
и+ v =ч 25 (4)
Для того, чтобы исключить v, умножаем (4) на 27 и вычитаем из (3):
16и + 27г> = 576
27и + 27* = 675,
откуда
11и = 99
и = 9
* = zt3.
Подставляя ц-9в (4), находим
Каждое значение х может быть взято с каждым из
значений у у причем образуются следующие четыре комбинации:
(3,4), (-3,4), (3,-4), (-3,-4).
Другой способ решения заключается в том, что
рассматривают (1) как особую форму уравнений, рассмотренных
в п° 211, где В и Вх равны нулю, В этом случае найдем
линейные уравнения
[561 х- , VFtFjAfi+ACJ-ACFf-A&F*
1 l A~JF-AFl ' 9
12*
180 Неявные квадратные функции и их графики
[57] х- AlF—AFx 9:
Подставляя в эти формулы соответствующие
коэффициенты, имеем:
[58]
_^У25-576(27 + 16)—16-27- 2525—1 • 1-576-576 _
*-— —576 —16(—25) У~ }
^_ /619 2С0— 270000— 331776 _,_132 ^_ 3 I
~ —576 + 400 у ~~176у ~ 4U' i
Линейные уравнения имеют вид
4лг + 3# = 0
4л:— 3у = 0. !
Решая эти уравнения совместно с (1) или (2), например '*
посредством подстановки, получим искомые корни. Так как "*
ур-ние (2) соответствует окружности, то графическое
решение задачи очень просто.
213. Уравнения вида
Ax* + Bxi?-{-Ctf* + Dx = 0
Агх* + BlXg + Ctf» + Dxx = 0
или
\ AlX* + ВххЯ -f C^ + £1У = 0.
В обеих системах уравнений все члены (за исключением
члечов с неизвестным в первой степени) одного и того же
по'рядка по отношению к неизвестным.
Члена же первой степени в обоих уравнениях сходны.
Для решения такой системы необходимо прежде всего
иск мочить последние члены, после чего получим однородное,
уравнение. Это уравнение разложим на множители, пользуясь,
формулой [46], а затем полученные линейные уравнения ре-}
шим совместно с одним из данных, причем здесь можно при-|
ценить как графический, так и аналитический методы.
Пример. Решить систему
Г л* + 2*7 = б0 (1)1
1 2*2- xg + yt^4g. Щ
Квадр* ур-ния одного порядка по отнош. к неизвестн- 181
Умножая (1) на 2, а (2) на 3, получим:
f 2х*+4ху = \2у (3)
\ 6*2-3^ + 3^ = 12-. (4)
Вычитая (3) из (4), находим:
4*2 — 7л# + 3^ = 0. (5)
Последнее уравнение является однородным, а потому может быть
разложено на множители.
Заметив, что в нем
Л = 4, В~ -7, С = 3,
Поставляем в [46] (п° 210):
7+У49-4.4.3
х '—-—
2-4
- 7+1
-0 = 0,
первое линейное уравнение:
Кроме того
второе линейное уравнение
8
х = у
7-1
0 = 0;
8
0 = 0,
*—4*
(6)
(7)
Решая эти уравнения совместно с (1), имеем:
( х* + 2ху = 6у (1) Г х2 + 2ху = 6у (1)
Х = У (6> 1 х = 2=и (7)
Подставляя (6) в (1):
у2 + 2у*-6у^0
302-б#=:О
Дополняя до квадрата, получим:
у2_2^ + 1 = 1;
0-1= ±1;
у =s 2 или 0,
откуда
* « 2 или 0.
*--г*
Подставляя (7) в (1):
33^2 —9бу=?=0
IV -32^ = 0.
12ty>-352^ + 256 = 256;
llz,- 16 = rtl6;
$. = -yj- или О,
откуда
24 п
лг да — ИЛИ О.
182 Неявные квадратные функции и их графики
214. Система симметричных уравнений. Уравнение, кото*
рое не изменяется при перестановке коэффициентов у
соответствующих членов его, называется симметричным.
Таковы например уравнения:
2лг2 + *у + 2^ = 4,
(1)
Общая форма уравнений этого вида такова:
A(x*+ff*) + BxS+D(x+y)+F=0 \
Положим x=u-{-v, ау = и—v и подставим эти значения
в (1); тогда получим:
A{u* + 2uv + v*Jru> — 2uv-\-v*)i-B(u*— i>2)-f
+ D(2u) + F=0.
Приводя подобные члены и предполагая, что оба
уравнения симметричны, имеем:
(24 + Я)и*+(2Л-Я)г/* + 2Яи + ^=0 (2)
(2Al + Bl)u* + (2Al~Bi)tfi + 2Dlu-\-F1 = 0. (3)
Ур-ние (1) может быть обращено в квадратное
относительно неизвестных и и v посредством прямой подстановки
коэффициентов Л, В, С и Аи Ви Сх в (2) и (3).
Исключив из этих уравнений v*, найдем значения «иг/.
Пример 7. Решить систему
| х2 + у2 + х+у^$ (a)
I *у + * + у = 5. (Ь)
В ур-нии (а) коэффициенты
4 = 1, В = 0, D = l, Fx= -S.
Подставляя их в формулу (2\ найдем:
2«2 +2г>2 + 2и-8 = 0
ила
U2 + v2 + И — 4 = 0. (с)
В ур-нии (Ь) коэффициенты
так что после подстановки в (3) получим:
Система симметричных уравнений 183
Решая совместно уравнения
i u2~\-i>*+ u = 4 (с)
\ и2-т,2 + 2ц = 5, (d)
исключим v2 путем их сложения. Тогда имеем:
2Н2 + Зи = 9, (е)
откуда
3 Q
и = -—- или — .5.
Четыре решения ур-ний (с) и (d) суть:
3 3
и=г Т' ~3' ~3;
»=4-.' -4> <ух -/у 2.
Так как x = u-{-v, ay = u — v, то
* = 1, -З + 'УТ, -3-1У2; 2
9 = 29 -3-/УТ, -3 + iY"2,l.
Пример 2. Решить систему
\ *У = 2.
Имеем для (2) п° 214:
Л«1, В = 0, Z> = 1,
откуда
И;-=0, #, = 1, Di^O;
для (3) п« 214:
2й2 + 2«2 + 2и = 8
и л \z
u2 + v2 -[- " = 4 (с)
«2^^8 = 2. (d)
Исключая v2 путем сложения, имеем:
2и2 + и = 6. . .v -■
Дополняем до квадрата:
4и« + 2и + 1«121
17 3
2и + у = it у, т. е. и = у, ~ 2 .
3 1
Подстановка и~-у в (с) дает: v = it -—, а подстановка и = — 2
дает: 1>= ±У'2г
184 Неявные квадратные функции и их графики
Таким образом, значения и и v сут*
3 3,
« = у, -у. +У2", -/Т
'-Т-Т Т + Т ~2-^2. -2+/Y.
215. Частный случай. Если одно уравнение симметрично,
а симметричность второго нарушена различием знаков его
членов, то для решения задачи следует прежде всего найти
значения (дг+у) и {х—у).
Пример. Найти корни уравнений
*i+^ = 68 (1)
х -у = 6. (2)
Возвышаем (2) в квадрат:
**-Ъу+& = 36. (3)
Вычитаем (3) из (1):
+ 2*у = 32. (4)
Складывая (4) и (1), имеем:
Извлекаем квадратный корень:
х + ч=±Ш (5)
Из (5) и (2):
х = 8 илн — 2,
у = 2 или — 8.
216. Уравнения более высоких степеней, если они
симметричны или если симметрия нарушается только в отношении
знака, часто удается решить путем подстановки х = и -\- v и
y = U—V.
Пример, Найти корни уравнений
( *« + *«= 272 (1)
| * -Я =2. (2)
Положим х = u-\-vt у = и — и; тогда:
а4 _|_ 4u*v + 6u2i/2 + 4uv* -f щА + «4 - 4Л + 6eV — -W 4- v4 =» 272. (3)
Из (2)
2v » 2 или t/ a t (4)
Решение посредством преобразования уравнений 185
Деля (3) на 2 имеем:
и4 + 6uV> + *4 = 136. 5)
Подставляя в (5) вместо v — единицу, имеем:
, и = ±. 3 или rt V^IF.
Подставляя эти значения и и v в выражения х = u -\- v, у ~ и — v,
имеем:
* = 4, -2, l+y-15, 1 — 1^ — 15;
^ = 2, -4, -1+/^15, -1-У1ГТ5.
217. Решение посредством преобразования уравнений.
Многие системы уравнений могут быть легко решены
посредством нахождения величины для каждых двух выражений
Х~\-У> х—у, ху,
а равно и других функций х и у, из которых можно полу
чить значения этих неизвестных.
Пример /. Найти корни уравнений
( *2-J-fy3-15(*--2#) + 80 = () (1)
1 ху=6. (2)
Умножая (2) на 4 и вычитая из (1), имеем:
f x\-4xy + 4y*-lS(x-~2y) + S6 = 0
I (*- 2^)2 -15(лг-2у) + 56 = 0.
Решаем сначала относительно функции (х — 2у), а затем относительно
хну.
Пример 2. Решить систему
| а:2 + ^ = 12 (1)
1 ху+у2^ 4. (2)
Складывая (1) и (2), находим:
х* + 2ху + у*=\6. (3)
Вычитая (2) из (1):
*2-^ = 8. . (4)
Извлекая квадратный корень из (3):
х+у=±А. (5)
Разделив (4) на (5), находим:
.х-у=+2. (6)
Из (5> и (6):
х = 3 или — 3, у — 1 или — 1.
Первое значение х—у соответствует только первому значению х-{-у.
Следовательно, для х и у имеется только две пары значений
186 Неявные квадратные функции и их графики
Иногда применяются специальные способы решений; при которых
сперва находят величины выражений
Г . \ \
У ХУ , V Х + у, —, ;-, ху. (*+#), {х + у)\ xhj и Т. Д.,
X У'
после чего определяют х и у
В некоторых случаях оказывается удобным вводить новые
переменные, например У ху — и и т. д. Наиболее обычны
подстановки
x — u-\~vf # —и—v, y = vx.
Часто путем небольших изменений формы уравнения его
легко привести к виду, удобному для решения.
Пример 7. Решить систему
\
±-±• = 2.
х У
Возвышая в квадрат ур-ние (2), имеем:
1 1,1
*з 2ху
Вычитая (3) из (1), получим:
1
2ху
Прибавляя (4) к (1):
Извлекая квадратный корень:
Складывая (2) и (5):
' + 2x9
up
2
1
Л'
х
^+1
х у
£_ 1
х У
= 12 ил*
= 6 или
1
~ -4
, 1
= rtlO
=-2.
[ -8
- 1.
1
или -г
о
100.
(2)
4. • (3)
= 48. -<4)
(5)-
(2)
Уравнения с тремя неизвестными 187
Примьр 2^ Решить систему
x + y+Yx^f^ ^20
х — у~ V х—у = 6.
Рассматривая V х-{-у и ух — у как неизвестные, определяем их,
а затем находим х и у»
218. Деление одного уравнения на другое. Система из
двух уравнений более высоких степеней может быть часто
решена посредством деления одного из них на другое.
Пример.
( ^ + ^ + ^4^336 (1)
\ х*-хд + у* = \2. (2)
Разделяв (1) на (2), находим:
*Ч-*У + У3 = 28. (3)
Вычитая (2) нз (3), имеем:
2ху = 16
^ = 8. (>)
Прибавляя (3) к (4) и извлекая квадратный корень, имеем:
х+у=±6. (5)
Вычитая (4) из (2):
Извлекая квадратный корень:
дс-у = *2. (6)
• Из (5) и ((5):
х = 4, 2, - 2, -4.
у = 2, 4, -4, -2.
Так как (5) и (6) были выведены независимо друг от друга, мы берем
первое значение х -f- у с каждым из последовательных значений л: — #, а
второе значение х-\-у — с каждым последовательным значением х — у в том
же порядке. Таким образом получим четыре пары .значений для х и у.
219* Уравнения с тремя неизвестными. В этом случае
рассматриваем систему двух уравнений, из которых
исключаем одно неизвестное. Полученное уравнение решаем
совместно с третьим, которое должно содержать неизвестные в
простейшей форме.
Пример U
**+*» + *» =30 (1)
дгу-Ьу*4-** = 17 (2)
x-g-z*=2. (3)
188
Неявные квадратные функции и их графика
Складываем удвоенное ур-ние (2) с (1) и, извлекая квадратный корень, \ ч
получим (4). *
Решая Совместно (4) и (3), найдем нужные корни. 4
Пример 2. Найти корни ?
( x* + y2 + z* = S\
[ ху = 8.
Прибавляем 2ху = 16 к (1) и подставляем г = 14 — (х-\-у) в
полученное уравнение. Находим сначала х-\~у, ъ затем х и у*
220. Графическое решедие системы уравнений, некоторые
из которых — квадратные. Решкм графически систему
| х — у = —1.
\ °
^4 -
Г3 ,
W^
i i «1 1.
; = 225
Рис. 64
Рис. 65
Построив графики, видим, что первое уравнение соответ*
ствует окружности, а второе — прямой. Последняя пересекает .
окружность в двух точках: (—4, —3) и (3, 4). Таким
образом система имеет два решения, а именно:
х= +3, у = +4 и л:=— 4, у= —3.
Графики изображены на рис. 64.
Решим графически систему:
/9*2 + 25^ = 225 I
I 3 = 2. \
Первое уравнение соответствует эллипсу, второе—прямой*
параллельной оси X (рис* 65).
Графическое решение системы уравнений 189
Точки пересечения их суть:
х = 3,7,у = 2 и х= — 3,7, #==2.
Полученные корни действительны и неравны между собой.
Если бы уравнение прямой было у = 3, то уравнение
имело бы два действительных корня:
х = 0,у = 3
Если бы
уравнение прямой имело
вид д = 4, графики
не пересекались бы
и корни были бы
мнимыми.
Система двух
независимых уравнений
с неизвестными х и
у, из которых одно —
линейное, а другое —
квадратное, имеет два
решения. Решения
эти совпадают, если
графики касаются
друг друга,
действительны и различны, если графики пересекаются, и мнимые—
если они не пересекаются, т. е. если они не имеют общих точек.
Решим Графически систему (рис. 66):.
(4л:2 — 9?2 = 36
\ х*+у* = 25.
* = 4,5; 4,5; —4,5; —4,5
- у = 2,2; —2,2; —2,2; 2,2.
Для уравнения л:3-}—^ = 9:
лг = 3; 3; —3; —3
у = 0;0; 0; 0.
Система двух независимых уравнений второй степени
относительно х и у имеет четыре решения.
Точки пересечения их графиков соответствуют
действительным решен ям, а точки касания—паре равных
совпадающих решений.
Рис. 66.
190
Неявные квадратные функции и их графики
Если число действительных решений меньше четырех, го
остальные корни — мнимые.
221. Во многих случаях единственным практически
удобным способом . решения системы квадратных уравнений
является графический способ.
График каждого квадратного уравнения строится по
методам, описанным выше (пп° 196—210), после чего
определяются точки их пересечения.
Применим несколько
построенных ранее графиков к решению
нижеследующих примеров.
Пример 7. Решить систему
iy2 = x (1)
( 5(лг-4)* = 9-./. (2)
Второе уравнение соответствует
параболе вида
где а = — 5, £ = — 9, А = — 4
(по 172).
График функции у = х2, который
можно применить для решения,
должен быть перевернут, так как а —
отрицательное.
Начало координат расположится
в точке (А, к), т. е. ( — 4, — 9),
причем для преобразования ординат
кривой у = х1 можно применить циркуль для пропорционального деления,
установленный на отношение 5:1.
Для первого уравнения строим основной график функции х=у\
причем вершина его совпадает с началом координат, а самая кривая обращена
в сторону положительных лг-ов.
Ось абсцисс является осью симметрии. Точки пересечения обеих
кривых дают значения х и ^удовлетворяющие уравнениям (1) и (2) (рис 67).
Пример 2, Решить систему
*2 - \ху + у* + 4 У~2х + 2 У Ту + 11--0 (рис. 61).
5x2 _ 4лу + у«- - 12лг + 11 =г 0 (рис. 58).
Графики построены по методу, указанному в п° 208. Значения
неизвестных, удовлетворяющих обоим уравнениям, определяются точками
пересечения кривых (рис. 68).
Пример 5. Решить систему;
$ у°--2ху + х*-2х-3=:0 (рис. 57)
[ 2х* + Аху + V - 4* - -12 = 0 (рис. 59).
Построение графиков произведено в п° 208. Пересечения их
определяют значения неизвестных, удовлетворяющих уоавнениям оис. 69.
Система квадратных уравнений с иррацион. корнями 191
222. Система квадратных уравнений с иррациональными
корнями. В п° 195 был рассмотрен способ проверки корней,
найденных из графиков, для случая квадратного уравнения
с одним неизвестным. Тот же самый метод можно применить
и для системы квадратных уравнений с двумя неизвестными.
Пример. Найти приближенное значение корней системы
# + y*-bVTi -51ЛТ# = 0 •' (1)
' *y-2x+y = S, ^ * (2)
^/ / ^
близкое к точным значениям их.
График каждого из этих
уравнений строится, как это
указано в пп° 205 и 207
(рис. 70).
Уточним координаты точки
пересечения Р (х, у).
Другую точку читатель
может определить сам, пользуясь
ею в качестве примера для
упражнения.
Рассматривая график,
видим, что для точки Р (л:, у)
х =5 3,5 (приблизительно)
у = 2,6 (приблизительно).
Пусть
х = 8,5'+ h (3)
1,-2,6 + * . (4)
Рис. 63.
8 10
Подставляя (3) и (4) в (1),
находим:
72,25 + 17Л + Л2 + 6,76 +
+ 5,2* + *а _ 60Д - 7,07Л -
- 18,38 - 7,07* = 0.
Пренебрегая членами, со?
держащими Л и * во второй
степени (вследствие их малости),
имеем:
9,93Л- 1,87* + 0,53 = 0. (5)
Точно таким же способом,
подставляя (3) и (4) во (2,1,
находим:
22Д0 + 2,6Л + 8,5* + Л*~
— 17 - 2А + 2,6 + * - 8.
192 Иеййные квадратные функции и их графики
Пренебрегая членом, содержащим произведение неизвестных, имеем:
0,6А + 9,5*-0,3 = 0. (6)
Решим линейные
уравнения (5) н (6) совместно:
(9,93А—1,87^+0,53=^0 (5)
\ 0,6А+9,5£—0,3=0. (6)
Умножая (5) на 0,6, а
(6) на 9,93, имеем:
1958А-1Д22&+0,318=0 (7)
958А+94,335£-2,979=0. (8)
Вычитая (7) из (8),
находим:
95,457*-3,297 = 0,
откуда
k = 0,0346.
Подставляя вто
значение k в (6), получим:
Л= -0,047.
Подставляя в (3) и (4):
х = 8,5 + А = 8.5 - 0,047 =
= 8,453
(приблизительно)
у = 2,6 + k = 2,6 + 0,0346 «
= 2,6346
(приблизительно).
Если требуется определить
Р[Х\У) ~ ^ значение корней с еще
большей степенью точности, то
действием по тому же методу,
положив:
лг = 8,453 + Л
у = 2,63-16 + k
и продолжая решение, как в
приведенном выше примере
Рис. 70,
Действия над дробями 193
Глава VIII.
ДРОБИ. ДРОБНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Дроби.
223. Действия над дробями* При сложении или
вычитании дробей следует сначала привести их к общему
знаменателю, а затем надписать над ним сумму (или разность)
числителей.
При вычитании дроби, когда перед ней стоит знак минус,
необходимо, до приведения подобных членов, переменить
знаки у всех членов числителя. Знак этот относится ко всей
дроби, а не только к числителю или знаменателю; так,
например, в. выражении I х— } знак минус относится к дроби,
у которой и числитель х и знаменатель 2а — положительные.
Чтобы изменить знак числителя или знаменателя,
необходимо изменить его у всех членов дроби.
Нельзя .сокращать какой-либо член а числителе *и
знаменателе, если один из них является многочленом.
В выражении
а + 6 + 62
Ь
члены с буквой о в числителе и знаменателе не могут быть
сокращены. Сокращать можно только на множители,
входящие во все члены числителя и знаменателя, так как это не
изменяет величины дроби.
Так например в выражении
аЬ + Ь*
аЬ
Ъ является общим 'множителем всех членов числителя и
знаменателя, а потому его можно сократить.
Сделав это, получим:
а + Ь
а
Дроби всегда следует приводить к простейшему виду, при
котором числитель и знаменатель не имеют общих
множителей. Д\я этого разлагают числитель и знаменатель на
множители и сокращают те из них, которые^шляются общими
Для членов того или другого. ^ ^
*^ Справочник для инженера.
194 Дроби. Дробные уравнения. Иррациональн. уравнения
Числитель и знаменатель дроби можно умножить или раз*
делить на одну и ту же величину (неравную нулю), так как
величина дроби от этого не изменится.
224. Основные действия над дробями.
а
Ь
а
Ъ
а + -
С
• d ~~
а
а
Ь '
, с a-f-c
+ ъ — ъ
а , Ь i
а
bad
с Ъ с
d
а
= _£-(„=£());
п
— а а
Ь —Ь
а—Ь —(а —
а
' Ъ
2С-\-Ь
~~с ;
ad
а . с
. а Л
с
-JL = -
с а — с
Ъ Ь
ас ас
<* па t -4-{\\
Т-Чь-{пф0)'
ad-\-bc
b —а—Ь
с
-а -1-6
Дробные уравнения.
225. Дробные уравнения.. Уравнение, содержащее дробь
с неизвестным в знаменателе, называется дробным уравне-{
нием. Обычный метод решения таких уравнений заключается
в том, что их сперва упрощают, а затем умножают, каждый
член на общее наименьшее кратное знаменателей (см. n° 111)'
для того, чтобы избавиться от последних.^
Общее наименьшее^ кратное, как и "всякий множитель,
содержащий неизвестное, может вызвать получение корней,
не принадлежащих данному уравнению. Такие корни
называются посторонними. Их можно найти, приравняв
множитель нулю и решив относительно х полученное уравнение.
Для выяснения, которые из полученных корней являются
посторонними, следует подставить все найденные корня
в данное уравнение. Если некоторые из них не
удовлетворяют ему, то их следует отбросить.
Ниже приведено несколько примеров решения дробных
уравнений.
Дробные уравнения
Пример /. Найти значение * из уравнения
24 ~~ 60 ~
Упрощая, имеем:
1 - 20* 1 + 15* 5
30л: 150л: 6
Умножая все члены уравнения на 150*, т. *' на об^ее наименьшее
кратное знаменателей, получим:
5 - 100* - 1 - 15* - 125/
240* = 4
1
* = -ба-
1
Корень -7р- удовлетворяет уравнению.
Пример 2, Найти величину * из уравнения
3,1 2 ^___
*2 — 25 j * + 5 5 - -
2 *
Член —= можно написать в таком виде:
"5 — *
2
*-5 '
что не изменит его величины. тное знаме-
Умножая все члены уравнения на общее наил!^еньше ^
нателей, т. е. на *2 — 25, имеем:
3 (*2-25) , *2 - 25 _ _ 2 (^2 "" 21L.
*2-25 "Г * + 5 ~ ^~^5
Сокращая, находим:
3 + *-5= -2 (* + 5) = ~~2л^~10
3*= -8
8
*=—у.
п « уравнению, в чем можно
Полученный корегь удовлетворяет заданному у~Рао«*^" »
убедиться подстановкой.
Пример 3. Найти значение * из уравнения
2 + -гт- =*.
Умножая на (6 + *), наименьшее кратное знаме^нателей> П0АУчйм:
12 + 2* +9 = 6* + *2
*2 + 4*-21=0
* = 3 или — 7.
13*
196 Дроби. Дробные уравнения. Иррационалън. уравнении
Оба корня, будучи подставлены в первоначальное уравнение
9
2 -f- ^-j—— =s Xy удовлетворяют ему.
Пример 4, Найти величину х из уравнения
6.
1 лг— 1 лг-1
Умножая все члены уравнения на (л: — 1), имеем:
откуда
х == 6 или 1.
Корень х = 6 удовлетворяет данному уравнению, а корень 1 не удо*
влстворяет ему. Поэтому его, как посторонний, следует отбросить. Мы
ввели этот корень, умножив на (х — 1). Приравнивая этот множитель нулю,
х — 1 = 0, получим х = 1.
226. Способ решения дробных уравнений, при котором
избегается получение посторонних корней. В некоторых
случаях, группируя члены дробного уравнения соответствую-
щим образом, можно привести его к обычному* виду, не
производя умножения обеих частей его на знаменатель.
Пример 4 предыдущего п° можно решить этим способом.
1 х — 1 х — 1
Перенося члены, получим:
л:2 — 1
х— 1
х = 6.
Пример. Найти величину лг из уравнения
2*2 Злг + 2 . 5л:+9
лг-2 ~ х-2 ■"+" 3
Перенося члены и складывая дроби, найдем:
2а8 - 3* - 2 if_+l.
~ х~^2 " 3 '
Сокращая, имеем:
a.+i = fe±2 -
6дг + 3 = 5л: + 9
* = 6.
Решение дробных уравнений 197
Если бы мы. умножили первоначальное уравнение на 3 (* — 2) —
наименьшее кратное знаменателей, то мы бы ввели корень х = 2, не
удовлетворяющий данному уравнению (посторонний).
227. Дробные уравнения с несколькими одночленными
знаменателями- Такие уравнения проще всего решаются
следующим образом. *
Сначала уничтожают одночленные знаменатели, упрощают
полученное выражение и наконец уничтожают остальные
знаменатели по способу, указанному в п° 225.
Пример, Найти величину х из уравнения
9* + 5 8*-7 36* + 15 . 10Т
14 "+" 6дг + 2 - 56 *+" 14 •
Избавляемся от одночленных знаменателей путем умножения всех
членов на 56 — общее наименьшее кратное этих знаменателей.
Имеем: * *
36л;+ 20+ 5б6(^Т^7) =36*+ 13+ 41,
Упрощая полученное уравнение
7 (8* - 7)
= 9,
Злг + 1
умножаем его на (3* +1):
56*-49 = 27*+ 9,
29* = 58
* = 2.
228. Преобразование уравнений; содержащих в каждой
части равенств пару членов вида
х-\-а
х + Ь9
соединенных знаком — . Уравнения указанного вида удобно
решаются, если объединить члены в каждой части уравнения.
Для удобства преобразований иногда следует переносить чдены
из одной части уравнения в другую.
Пример. Решить уравнение
* — 1 , * —6 __ х—- 5 j * — 2
*-2 + *-7 -"7^6 "+* *-3'
Перенося вторые члены из одной части равенства в другую Н при-
в°Дя к общему знаменателю, имеем:
-1 - -1
*з — 5* + 6 ~ *2-13*-f 42 '
198 Дроби. Дробные уравнения. Иррационалън. уравнения
Так как дроби равны и имеют равные числители, то знаменатели
также должны быть равны между собой. Таким образом
л-^ — 5х + 6 = х* — 13л- + 42,
откуда
Этот пример показывает, что иногда не следует сразу производить
освобождение дробей от знаменателей.
Иррациональные уравнения.
229. Иррациональные уравнения преобразуются в
рациональные путем возвышения обеих частей в одинаковую
степень. Последняя зависит от высшей степени корня в данном
уравнении.
Если в первоначальном уравнении имеется только один
радикал, то рекомендуется перенести все рациональные члены
в одну часть равенства, а радикал оставить в другой, после
чего производить возвышение в степень.
Пример,
1+V х =5
V~x~ = 4
* = 16.
Если бы мы извлекли корень квадратный из обеих частей уравнения
*-2 = 4,
то получили бы
dt/ х-2 =2
или
У^-2 =2 и /v-2 =-2.
При извлечении корня из обеих частей уравнения
следует принимать во внимание и тот и другой знак.
Если имеем х—2 = 4, то было бы неправильным считать,
что У х— 2 = 2, и пренебрегать значением корня
—/Т=¥=2.
Необходимо рассматривать оба случая, т. е. следует писать
^/"^2=2.
Если мы решаем иррациональное уравнение, то нам не
приходится извлекать квадратный.корень, так как это действие
уже произведено и указан знак радикала. Так например,
Иррациональные уравнения 199
в уравнении у х— 2 = л:-|~17 дан один случай, в уравнении
же ±Y х—2 = дг + 17 требуется рассмотреть оба случая.
Если задано уравнение
V а^х +V а — х =]Л27\
то имеется в виду только положительное значение корня,
в уравнении же
±V a-\-x ±V a—x = ±V^lx~
— оба значения.
Необходимо помнись, что в выражении — ]/" а—^*Г самый
радикал считается положительным, т. е. имеем:.—■(-]■- У а — л:).
Решая вышеуказанный пример
V~^T~x~ + Va^^ = /"27,
имеем после возвышения в квадрат:
а + х + 21/" а2— л2 +а — лг = 2лг
К а2 — л:* = лг— а.
Возвышая в квадрат вторично, получим:
а2 _ ^a = дЗ —2ах -f а2
2л:2 — 2ал: == О
2л: (л: — а) = 0
л: = 0 или а.
Подстановка обоих корней в уравнение показывает, что
х = а удовлетворяет ему, а корень л: = 0 не удовлетворяет.
В самом деле
Если бы мы взяли отрицательное значение корн^ У а — 0,
равное —V а , то уравнение удовлетворялось бы значением
х = 0. Полученный результат следует понимать так, что -
У а — х означает -\~V а — л*, а потому корень *==0 должен
быть отброшен.
Возвышение в квадрат обеих частей иррационального
уравнения равносильно умножению на величину, содержащую
неизвестные, вследствие чего получаются посторонние корни
(см. пп° 225 и 129).
200 Дроби. Дробные уравнения. Иррациональна уравнения
Пример» Найти корни уравнения
Возвышаем уравнение в квадрат:
v — 2 = *з — 8* +16.
Перенося члены и упрощая полученное равенство, имеем:
*2 _ 9* = - 18.
Решая уравнение! получаем корни
х = 6 или 3.
Корень х = 6, как это легко проверить подстановкой! удовлетворяет
уравнению, а корень х = 3 — посторонний.
Если бы рассматривать отрицательное значение радикала или— у х — 2,
то корень х = 3 обращал бы уравнение в тождество.
Так как в задаче указано лишь положительное значение радикала, то
по сторон ный корень х = 3 должен быть отброшен.
Если в иррациональном уравнении имеются дробные члены,
то до возвышения в степень следует упростить дробь или ^
уничтожить иррациональность знаменателя.
Пример 7. Решать уравнение
, УТ+УТ= 2/7 (лг + 2)2
VT- У"7 УТ+ /7 2(лг-2)" •
Делаем знаменатель рациональным:
(/Т+/7)2 2УТ(УТ-УТ)
'(/Т-У7)0/Т+У7) (/Т+/7)(/Т-/Т)
U + 2)*
2(*-2)
2 + 2/27 + -У _ 2/2^- 2л: , ( л? + 4л: + 4
2-л: 2-х ' 2(2-л:) "
Умножая все члены уравнения на 2(2 — лг), имеем:
4 + AY 2л7 + 2х = 4У'2л7 - 4л* + л:3 +4* + 4
*- — 2л: = О
*(лг - 2) = 0.
Отсюда
л: = 0 или 2.
- Подставим в первоначальное уравнение корень х = 0. Тогда .получим:
УТ+0 _' 0 (0 - 2)3
VT-Q VT+0 ] 2(0-2)
Некоторые особые приёмы решений 201
1 = 0 + 1.
Таким образом корень х = 0 удовлетворяет уравнению.
Корень х = 2, как посторонний, не удовлетворяющий заданному
уравнению, нужно отбросить, ибо он приводит к равенству, где знаменатели
дробей нули.
Пример 2. Решить уравнение
У"27 + 2 _ VT+T + 3
V~2x~ — 2 У^+Т-З'
Умножаем обе части уравнения на (У 2»-2) (/дс+1-3). 'т. е
на общее наименьшее кратное знаменателей. Имеем:
Y2x2 + 2x + 2Y х+Л —3/5-6 = /2*2 + 2* -2/* + 1 +
+ 3/2*'-6.
Упрощая, получим:
6T/2l = 4V* + l
3/5 = 2/7+1.
Наконец, возвышая в квадрат:
18л: = 4л: + 4
2
230. Некоторые особые приемы решений.
Пример L Решить уравнение
2/л:2— 9л:+ 13— /*2 — Ах - 12 = л: - 6.
Разложим подкоренные количества на множители:
2/(лг—3)(лг—6)- /(* + 2)(л:-6) = л:-6,
2/7=^3. V^ZTg — /i"+2 /7^6 = /7=^6• /J^6,
/7=^б(2/ЗГ=1- /*Т2 - /i711^) = 0.
Приравнивая множитель /* — 6 нулю, найдем один иа корней. О а
Равен очевидно дг= 6 (см. п° 129).
Кроме того
2/лГ=3- /7+2 = /7=6.
Возвышаем это уравнение в квадрат:
4*— 12 — 4 У{х - 3) (* +- 2) + лг + 2 =•* - б
— 4/яг3-*-6 = 4 - 4л
202 Кубические функции
Возвышаем вторично в квадрат:
д;2 _ х _ 6 = ,V2 _ 2х + 1,
откуда
л- = 7. •
Подстановкой значений л: = 6 и дс = 7 убеждаемся, что оба корня
удовлетворяют уравнению.
Пример 2. Решить уравнение
х — 7 | - х — Г
Ух-3-2 ' Ух
■ = 4У1
Напишем числитель первой дроби в виде (л- — 3) — 4, а числитель
второй в*в*иде (х — 4) — 1. Имеем:
ТЛг-З-21 Ух -4-1
Упрощаем полученное уравнение:
. -/7=1 + 2 + 1ЛГ=1 +1 = 4 У*^"з.
Приводим подобные члены:
У *^=1 - з УТ^з - з = з (Ух~^з - i).
Возвышаем в квадрат:
* - 4 = 9дг - 27 — 181/7^3 + 9
18/7=3 = 8*-14
9Уд7==3==4л: — 7,
Возвышаем в квадрат вторично:
81 (* - 3) = 16*2 - 56* + 49
81* - 243 = 16*2 _ 56* + 49
16*2-137*+ 292 = 0.
Решая уравнение, находим корни:
73 л
* = йи4.
Оба значения * удовлетворяют заданному уравнению.
Глава IX.
КУБИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
231. Графическое изображение кубических функции.
График функции у = х3 представляет собой кривую,
называемую кубической параболой.
Графическое изображение кубических функций 203
Если х — величина положительная, то # — также
положительное; при отрицательном х, у — отрицательное. Оба случая
представлены на рис. 71.
Если имеется функция у
то положительные значе-
иЗ
ния х дают также положительные х°, следовательно
соответствующее значение у
окажется отрицательным.
Очевидно, при отрица-,
тельных х значения *3 —
отрицательные, а у будут
положительными.
График функции у = —дг3
изображен на рис. 72.
Сравнение последней с рис. 71
показывает влияние знакг
У линус перед х3 на
расположение графика.
Заметим, что для
значений лг, различающихся
только знаком, абсолютные
величины функции одинаковы,
но знак различен.
Рекомендуется аккуратно
вычертить кривые обеих
функций у = л:3 и у = — *3,
так, чтобы можно было в дальнейшем использовать их для
графического решения задач.
232. Функция вида у = ахъ. График этой функции может
быть легко получен из уже построенного графика функции
Рис. 71.
Рис. 12.
а > U или
положительное
Рис. 73.
а < 0 или
отрицательное
Рис. 74.
y==zxbf посредством уменьшения или увеличения масштаба»
°рдинат в отношении а : 1, в зависимости от того, будет л«
204
Кубические функции
а больше или меньше единицы. Способ такого построения
был уже рассмотрен в п° 170, где мы получили график
функции у = ах из графика у = л2.
Здесь весьма удобен циркуль для пропорционального
деления, так как с помощью него можно получить ординаты
кривой у = а*3 непосредственно из ординат у = хг.
Если а — величина отрицательная, то знак этих ординат
следует переменить на обратный. Влияние знака при а на
характер -кривой показано на рис. 73, где а — положительное
{а > 0), и на рис. 74, где а—отрицательное (а < 0).
233. Функция у = а(х—Л)3 + *. Эту функцию можно
представить в таком виде:
[59] y — k = a(x—h)\
Уравнение соответствует кривой у = а*3, у которой
начало координат передвинуто в точку (—А, —&), причем
к измерено в масштабе новых ординат (рис. 75, 76).
— X
Таким образом, вычерчивая график функции у = ахв и
располагая начало координат в точке ( — А, —&), получим кривую
Функции
у — к = а(х — Л)3,
отнесенную к новым осям.
234. Добавление члена тх в кубическое уравнение.
В случае прибавления этого члена функция принимает вид
^ = *3 + лг или у = ахь-\-тх, а график основных функций
у = хв и у = о*8 изменяется.
График функции у = хв -f- x можно легко вычертить,
пользуясь графиком у = хв, ординаты которого у увеличиваются
или уменьшаются на величины, равные значениям
независимой переменной х.
График функции у *= ах' -f- тх
205
Пример, Преобразовать график у = *3 так, чтобы он соответствовал
функции
у = лг3 — Ъх.
Так как ординаты графика последней функции равны ординатам
кривой у = *3, уменьшенным на величину Зл:, то мы можем произвести
вычитание графически, пользуясь следующим способом:
Проведем на графике у = х*
(рис. 77) прямую ЛВ с наклоном — 3.
Если мы возьмем' какую-нибудь
точку Р на нашей кривой» отложим
при помощи циркуля ее ординату у
от линии А В, как это показано для
Рис. 77.
78.
S7, то этим самым мы вычтем из у величину Здг и получим точки
искомой кривой у = лг3 — Здг. Кривая эта изображена на рис. 78.
Пересечение кривой С осью лг-ов дает корни уравнения
. *3_3* = 0.
График отнесен к первоначальным осям координат.^
Изменение формы, которое получает график у = *3 после
преобразования его в график функции у = *3 — Здг, назовем сдетом кривой на
величину у = — Здг.
235. График функции
[60J » у = ахв 4" тх
имеет в зависимости от знаков' при лит одну из форм,
изображенных на рис. 79—84.
Как было указано .ранее, кривую у = ахь можно легко
получить из графика у = хь, так как ординаты их во всех
206 Кубические функции
случаях относятся как all. Если а — не слишком велико, то
весьма удобным является циркуль для пропорционального
деления, так как при помощи него можно весьма просто
произвести нужные преобразования (см. п° 232).
й > 0 положительное
ГП > 0 отрицательное
Рис. 79
а > 0 полоЖительное
/7? < 0 отрицательное
Рис. 81.
а < 0 отрицательное
т =0
Рис. 83.
й > 0 положительное
/77=0
Рис. 80.
О < 0 отрицательное
т<0 положительное
Рис 82.
а < 0 положительное
т>0 отрицательное
Рис. 84.
236. Введение постоянных h н k в уравнение # = ал:3-|-
-}-тл:, которое производится путем подстановки x-\-h
вместо х и # -|- k вместо у и обращает его в уравнение
y-\-k = a{x + hy-\~m{x-\-h\ -Ц)
соответствует перенесению начала координат в точку (Л, k).
Раскрывая в (1) скобки, получим:
у ^= а г3 -}- ЗаЛл:2 + (ЗаА2 + т) л: + аЛ3 + тЛ — Jfe. (2)
График кубической функции 207
Сравнивая полученное выражение с общей формой
кубической функции
[61] У = «*3 + bx2jr сх [ с/,
видим, что
b = 3aht с = ЗаЛ2 + т, d = ah* + mh — k. (3)
Значения коэффициентов а и Ъ всякого уравнения,
представленного в общем виде, определяют величину Л, так как
[62] Л = -^,
после чего легко определить ит:
За
Ь2
[63j m = c —ЗаЛ2 = .
Наконец, зная ham, найдем величину к из уравнения (3):
ГСП ' Ь *С • 2Ь* V
[64] * = ____*
Итак, если мы имеем уравнение у = ал:Г5 -f- mx, то путем
перенесения начала координат в точку (А, к) можем привести
его к общему виду
у = ал:3 -(- 6л:2 -| - ex -\- d.
Координаты нового начала (Л, к) можно выразить в
зависимости от коэффициентов а, 6, с и с/; тогда указанные коор-
I Ь Ьс 2& Л
динаты будут ^— _-_--rfj.
237. Для того, чтобы начертить график кубической
функции, приводим уравнение к общему виду
у = ах* + 6л:2 + сх + rf [61].
Затем берем уже построенный ранее график функции у =
— л:3, преобразовываем его в у = ахд и находим величину
m из [63]:
т-С-За~-
• Сдвигая соответствующим образом график у — ал:3,
получим график г/ = ахъ 4~ л**»
208
Кубические функции
Н ~ 2а 2702
Перенося начало координат в точку (А, к), заканчиваем
преобразование первоначальной кривой и получаем график
искомой функции
y = ax*-\-bx*-\-cx + dr
Пусть АВ (рис. 85)
d есть график щ функции •
у — *3, a ADEВ—тот же
график после
преобразования в у = ах* -}- тпх
по методу,
изложенному в пп° 234 и 235.
Координаты (А, к)
точки, в которую
следует перенести начало
координат,
определяются выражениями
h= * и *=
Рис. 85.
10
? J
1
4\
\
'<?/
|/
/
>
1
1
f 1
I
1 1 ■'■
f
\
\
/
/
/
T
to
CO
tl
4
>» *rj
2
■ h'
Г
И
Я
10
ю|гэ|{
M2
T
It
I
•чир
~г°Г
RCVl-
olrr
-innL
IUU|
эп
1
30
г
Л /
Ц '
/
°H
Д=п
0-
\
\
N
!/
/
'
-
/.
P
OQ
—
>
A»
7
2
J
\
\
^
Z
»
22^
V
\
\B
-6
1
3a
6c ■ 263
3a 27a2 -
График, построенный
указанным выше
способом и отнесенный к
новому началу,соответствует
.функции
у=ах1+Ьх0--\-сх-± dy [61]
являющейся общим
выражением кубической
функции.
Решение любого
уравнения третьей степениг
с одним неизвестным
может быть произведено
теперь графически.
После того, как
найдены приблизительные
значения х, которые
обращают у в нуль, подставляют их в общее уравнение, а ад-
тем, пользуясь методом, изложенным в пп° 195 и 222, опре*
Рис. 86.
Построение графика кубической функции
209
деляют, если это необходимо, более точные значения
независимого переменного.
При построении графика кубической функции
рекомендуется брать масштаб у в десять раз меньше, чем масштаб
х, так как это позволяет
поместить на листе большие
значения у.
Пример 7. Начертить график
функции
у = х* + 5л:2 - 14* + 3.
Имеем:
^ АЛ
3 ll 3 '
Строим график функции у = х6
и проводим линию сдвига с
наклоном — 22 -~-: 1 (АВ на рис. 86).
Сдвигаем кривую по отношению
к А В, для чего откладываем от
последней ординаты графика у = л:3.
Затем переносим начало координат
в точку (A, k):
За
|; 162]
,__ 5( —14) 2-125
3 27
Таким образом кривая, начало координат которой расположено в точке
("о-, — 35,6 ), выражает уравнение
# = *3-}-5л:2-14л: + 3.
Пример 2. Начертить график уравнения
# = 2л*-15*2+11.
Имеем:
Ь2 _ о 225 _
За ~ U 6 "*
Л =
— 15
k = 0
■^ Справочник для инженера.
6
2 (— 15)3
27-4
-37,5
-2,5
-11 = 51,5.
210 Кубические функции.
Строим график основной функции у == *3 и уменьшаем масштаб
ординат на 2, благодаря чему график будет соответствовать функции у = 2*з.
Проводим линию сдвига АВ с наклоном — 37,5 : 1, измеренным в новом
масштабе, после чего сдвигаем кривую у = 2л:3 по отношению к АВ. Перенеся
начало координат в точку (п, k), т. е. в точку ( — 2,5, 51,5), получим
график функции (рис. 87):
у = 2л* — 15л:2+ 11.
238. Графическое решение уравнений вида
ax*+bx* + cx + d = 0.
Для решения таких уравнений с одним неизвестным
является полезным график функции у = ахъ + 6л:2 + сх + J.
Сперва рассмотрим
случай, когда необходимо
найти корни уравнения
x* + bx*-{-cx-\-d=Q.
График функции
у = л*3 -f~ б*2 —J—слс—j— с? дает
все значения этой
функции, соответствующие
действительным значениям
независимой переменной х,
в том числе и таким,
которые обращают *8-j-
-j- bx2 -\-cx-\-d в нуль,
т. е. корням уравнения
x*-\-bx*-\-cx-+d = 0.
Пример. Найти корни
уравнения
д^ — 4лг2 — 4дг + 16 = 0.
Начертим график функции
у = л* _ 4л:2 — 4* + 16,
употребляя для этого график
у — х?:
и *= —5,87.
Пересечение построенного графика с осью X (рис. 88) дает значения
х, обращающие функцию лг3 — 4л:2 — 4л: + 16 в нуль, т. е. корни уравнения
*3 _ 4л:2 — 4л + 16 = 0. Эти корни суть:
лг = 2, х = 4 и х= — 2.
Система уравнений, имеющих иррациональные корни 211
239. Система двух уравнений с двумя неизвестными х
и у* Если одно из уравнений имеет вид у = ахъ + 6л:2 -|- ex -j~
~j~d, то систему можно
решить,вычерчиваягра
фик 'каждой из данных
функций и находя их
точки пересечения»
Пример. Найти значения
х"п у, удовлетворяющие
уравнениям
у = 2ж» —11*3 + 17* —6.
Строим графики,
пользуясь методами, указанными
в пп° 205 и 237. Необходимо
обращать внимание на то,
чтобы ординаты обеих
кривых имели одинаковый
масштаб. Точки пересечения
могут быть также найдены
посредством вычерчивания
каждого графика в отдельности
на прозрачной бумаге и
накладывания их друг на друга
таким образом, чтобы ко*
ординатные оси совпадали.
Значения неизвестных, удовлетворяющие заданным уравнениям, буду г
(рис. 89): '
(0,2, -3,2), (0,7, 1,3) (1,6, 1,3) (3f2, 0,6).
240. Система уравнений, имеющих иррациональные корни
и заданных в форме, сходной с уравнениями предыдущего
значения корней
изложенным в
}
>,
^г *.
г
Y\
0
1
1
й\
R
A i
**
0
J
2—j
Т/
1 **
—I*J -
1 *
ICVi
1 "
[97
Ри
1
1 2
•
—<2л^
с. 89
]Р(х
з\
Л
,У)
4
CD
ч
*>
п°, решается графически, а более точные
можно определить, пользуясь методом,
222.
Найдем значения для координат точки Р(х, у), если
заданы уравнения
9*2 + 16У —18* + 32^ — 56 = О
Я^*3 — ! 1*2+17* — 6.
(1)
(2)
Из рис. 89 видим, что координаты Р суть (3,2; 0,6).
Положим
* = 3,2 + А и # = 0,6 + &.
(3)
14*
272 Кубические функции
Подставляя (3) в (1) и пренебрегая членами второго по-
рядка относительно h и к, имеем:
92,16 + 57,6Л + 5,76 +19,2& — 57,6 — 18Л +19,2 +
• - +32& — 56 = 0
или, после упрощения,
39,6Л -f 51,2/: -f 3,52 = 0. (4)
Точно таким же образом после подстановки (3) во (2f и
отбрасывания членов второго и третьего порядка
относительно Ник, найдем:
0,6 + к = 65,54 + 61,44Л —112,64 — 70,4Л + 54,4 + 17А — 6,
откуда
& = 8,4/1 + 0,7. (5)
Подставив (5) в (4), имеем:
39,6А + 430,08Л -f 35,84 + 3,52 = 0
469,68А=—39,36
h =—0,084.
Подставляя в (5), находим:
к = 0,7056 - 0,7 = 0,006.
Подставляя значения Л и £ в (3), найдем более точные величины
корней
# = 3,116; # = 0,606.
Для получения еще более точных значений х я у описанный прием
может быть повторен.
241. Другой способ графического решения кубического
уравнения xb~{-bx2-\-cx-{-d = 0 состоит в следующем:
Предположим, что имеется система двух уравнений
( у = хъ и
1 у= —cx — d
(если член с л:2 отсутствует).
Как известно, ординаты точек пересечения графиков,
соответствующих этим двум линиям, одни и те же, другими^
словами—абсциссы точек пересечения соответствуют тем зна*
чениям х9 при которых обе функции имеют одинаковую
величину. Поэтому
л:3= —сх — d или x*-\-cx-\-d = Q.
Решение кубического уравнения 213
Таким образом, имея основной график у — хъ и проводя
прямую х= —сх — dy мы сможем быстро определить по
точкам пересечения значения х, удовлетворяющие уравнению
хь-\-сх 4"с/ = 0.
Если в дальнейшем имеется член, содержащий х\ то
подучим систему:
( У = х*
\ У= —Ьх- — сх — J.
Чтобы решить ее, вычерчиваем оба графика в одной и
той же системе координат. Точки пересечения их дадут
искомые корни.
Пользуясь описанным способом, можно решать весьма
трудные задачи; если же решения вообще не имеется, то
графики сразу покажут это.
242. Еще один удобный способ решения кубических ура?
нений заключается в том, что посредством перенесения к&>
чала координат добиваются исчезновения члена с х2. Это
достигается подстановкой х -- вместо х, или же выбором
Так как мы начинаем решение задачи с построения
графика у = л3, то можно перенести его начало в точку (— Л, 0)
или I о> О). Поэтому, после того как указанное
перенесение произведено, проводим прямую, соответствующую
уравнению у= —сх — d9 и отмечаем точки пересечения этих
линий.
243. Также весьма удббно знать наклон кривой, т, е.
скорость изменения функции по отношению к независимой
переменной в общем уравнении
у = ахд -f- 6л:2 -\-cx-\-d.
Этот наклон, найденный по методам, излагаемым в
дифференциальном исчислении, для любой точки Рг (хи ух) равен
т = 3ах^^ 26Ьхг+ с.
После того как график функции вычерчен, легко
определи^ ее максимальное и минимальное значения. Они имеют
214
Кубические функции
место в точках, где наклон кривой равен нулю, т. е. где
касательная к ней параллельна оси X (рис. 90).
Для определения точек максимума и минимума функции,
необходимо приравнять приведенное выше выражение для пг
нулю и найти из по-
максимальное
значение
минимальное
значение
Рис. 90.
Тогда
лученного уравнения
значения хх.
Задача.
Цилиндрический бак помещен под
стропилами крыши.
Размеры помещения указаны
на рис. 91. Какие
размеры придать баку, чтобы
он имел максимальную
емкость?
Пусть* х — высота
бака, г — радиус основания,
у — объем бака.
у = я xz*.
Из подобия треугольников
10 - х 10
откуда
~ 5 '
10 —лг
Таким образом
у=кх №1^= J(*3~20*2+100 x\
т. е.
у = 0,7354*з - 15,7*2 + 78,54*.
Сравнивая с общим уравнением,
имеем:
-7 = 0,7854, 6= -
Рис. 91
15,7, с = 78,54.
Подставляя в выражение
m = За (*х)2 + 2Ъ(хх) + 78,54,
находим:
т = 3 • 0,7854*^ + 2 (- 15,7) Х{ + 7§,54 = 2,356 (xtf - 31,4 (хг) + 78,54.
Чтобы найти максимум, приравниваем т нулю:
2,356 (*t)3 - 31,4 (д-i) + 78,54 = 0.
Пример
По формулам [4 if и Г5]
Ь+ YTfiZTj^r __ + 31Л ± V (31,4)2 - 4 ■ 2,36 ■ 78,54
215
xL=^
2а
= 3,32 или 10.
2 • 2,36
Однако высота бака * не может быть равной 10 метрам, следовательно
она составляет 3,32 метра.
Ив приведенного сперва уравнения
10
10 - 3,32
3,34.
Таким образом размеры бака будут такими: высота 3,32 метра, радиус
основания 3,34 метра. Максимальный объем равен
у = к хг> = 3,1416 • 3,32 • (3,34)2 = Ц4,7 м\
График функции
у = 0,7854*з _ 15,7*2 + 78;54*.
полученный из основного графика у = я3 и сдвинутый по методу,
указанному в п° 236, показывает, как значения у увеличиваются до максимума
140
120
ЮО
80
т-ба
£ 20
i-o
J
~i
\?
- /jl
*J
и-
<
V/
w
У
f—
"w
%
\V
f\
A
A
л=-
!
\
\
*#
T
!*>►
V)
II
'H
C3
G/
/
*
i *
-6,/
-25
fe
/
,86-
\ 5 f
t
-*■)
7 i
S,
^
\
i !
3 1
0 1
/
/
/
/
1 1
70-
60-
50-
, 4{J-
'30-
2U-
to-
2
И
II
>
s*
«s
tl
^
5
3
Нис. 92.
в точке, абсциссу которой равна 3,32, и уменьшаются до нуля при х = 10
(рис. 92).
Наклон графика в точке, где функция достигает максимума, оавен нулю.
216 Целые рациональные функции
Глава X.
ЦЕЛЫЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ.
244.. Целую рациональную функцию или многочлен
(полином), содержащий степени одной неизвестной, можно
представить в общем виде таким образом:
а0г + ахх + а2х +... + ап_хх + а„.
Степень каждого члена этого выражения на единицу меньше
степени предыдущего, вследствие чего при сложении,
вычитании, умножении и делении таких многочленов можно
рассматривать только коэффициенты при степенях. Если какой-
либо из членов приведенного многочлена отсутствует, то это
означает, что его коэффициент равен нулю.
Пример. Сложить многочлены:
*2-1, *4 + 2*» + 4*з + 3* + 5 и 2*3-5*а + * + 1.
Имеем:
10—1
12 4 3 5
2 --5 1 1
14 0 4 5 = л:Ч-4*3 + 4* + 5.
Перемножить многочлены:
2лгЗ + 3*2-л:-2 и Я2 + Я + 4.
2 3-1—2
1 1 4
2 3-1 -2
2 3-1-2
8 12-4-8
2 5 10 9—6 -8-2а:5 + 5^ + 10^ + 9лг2-6дг-8.
245* Теорема об остатке. Теорема. Если многочлен
f(x) разделить на х—с, то остаток. равен f(c)9 т. е. вели-
чине многочлена, в который вместо х подставлено с.
Доказательство. Пусть частное от деления многочлена
f(x) на х — с равно Q{x)9 а остаток равен постоянному /?,
так что
х— с х ' ' х— с
Требуется доказать, что
Я=/(с).
Теорема о множителе 217
Из выражений
f{x) = a0xn~\-aixn~1-{-m . ,-\-ап_1Х-\-ап
г/ \ 11 | 11—\ | 1 1
/ (с) = а0с + ахс -J-... -}- ая-1 с -|- а„
получаем:
/С*) —/ (<0 = Oo«n + «i*"-1 + • • • + a„_i * + ап —
—'(«oc" + «ic"_1 + ••••+ «„_! с + а„) = а0 (хп — с") +
х — с )+...-[- ая-1 (л-— с).
Так как множитель (дс — с) входит во все члены
последнего выражения, то можно вынести его за скобки, обозначив
оставшееся в скобках выражение через Q(x); тогда получим:
№-№ = (х-с) [Q(x)l
Деля на (х — с), найдем:
/^ = Q (*) + -&£!,. т. е. Я =/(<:),
л:—с ^v ' [ х—с J v "
что и требовалось доказать4.
Пример. Пусть /(*) = 2** + 3*2 — 4* - 6, а с = 2.
2л3 + 3*2 — 4лг — 6 | л — 2
2*з - 4*2
7*2— 4л:
7л:2 - 14л:
10*
10*
22 — 4.2-6 =
2*2-|-7*+10
- 6
-20
14
14 = остатку.
246. Теорема о множителе. Теорема. Если с есть
корень уравнения f(x) = 0 (где /(х) — многочлен), то х — с
является множителем выражения f(x).
Доказательство. Если с — корень уравнения f(x) = 0,
то /(с) = 0. Из теоремы об остатке нам известно, что, если
/Ос) разделить на х — с, то остаток равен /(с), т. е. нулю,
а следовательно /Ос) нацело делится на л: — с.
Обратно, Если многочлен f(x) нацело делится на х—с,
то с есть корень уравнения f{x) = 0.
218 Целые рациональные функции
247. Сокращенное деление. В случаях, когда делитель
имеет вид л:—с, а делимое
f(x) = а0хп + О!*1"1 + - • • + ап-\х + ап>
деление можно значительно упростить.
Разделим, пользуясь обычным способом, многочлен
f(x) = 2x*— 9л:3 — 4л:2— 25 на л: —5.
Имеем:
2л:4 — 9л3 — 4л:2 + Олг — 25 1 х— 5 '
2л:4 —Юл3 2л3 + х* + х + 5
л3 —4л:2
л:3 — 5л:2
*а~0л:
х*—5х
5л: —25
5л: —25
Если расположить делимое по убывающим степеням буквы х}
не пропуская ни одной степени (отсутствующие степени
следует писать с коэффициентом 0), то в частном члены будут
также расположены в убывающем порядке.
Степень высшего члена частного можно определить сразу,
после чего легко написать степени остальных членов, убы- х
вающие последовательно на единицу.
Таким образом нет необходимости выписывать каждый
раз степени буквы ху а достаточно, зная показатель этой
буквы в высших членах делимого и делителя, производить
самое действие (т. е. деление) над коэффициентами.
Выпишем соответствующие коэффициенты в приведениям
выше примере. Имеем:
2— 9—4 + 0 — 25 1 1—5
— 10 24-1 + 1 + 5
+ 1 "
— 5
+ 5
— 25
Знак минус при члене 5 в делителе изменяет знак
отдельных произведений на обратный; поэтому, заменяя (— 5) на5>
Сокращенное деление 219
можем прибавлять эти произведения к делимому, вместо того
чтобы вычитать их.
Располагая все числа в ряд, получим:
2 — 9 — 4 + 0 — 25 I 5
+ 10+5 + 5+25
2 + 1 + 1 + 5+ 0
Последнее число (в данном случае 0) есть остаток от
деления. Очевидно, это число равно величине /(*) после
подстановки 5 вместо х, т. е., другими словами, равно /(5),
ибо по теореме об остатке значение /(5) равно остатку от
деления f(x) на х — 5.
Заметим, что все числа в третьей строке последнего
выражения суть коэффициенты при х в частном. Таким образом
частное равно:
2*8 + лг2 + л: + 5.
Правило. При делении многочлена, содержащею
степени одного неизвестного, на двучлен вида х — а будем
поступать следующим образом:
Расположим многочлен по убывающим степеням
неизвестного, причем отсутствующие степени напишем с
коэффициентом 0.
Умножим число, которое должно быть подставлено
вместо х, на первый коэффициент и сложим (алгебраически)
полученное произведение со вторым коэффициентом.
Умножим найденную сумму на число, которое должно
быть подставлено вместо х (т. е. на а), прибавим к
третьему коэффициенту и будем продолжать действовать
таким же образом, пока не дойдем до последнего
коэффициента. Последняя сумма и будет остатком. Он равен
величине многочлена, в котором вместо х подставлено а.
Пример. Разделить / (л:) = 2л:4 — З*3 4- х2 — х — 9 на лг — 2.
Имеем:
2-3+1-1—912
+ 4 +2 +6 +10
2 +1. +3 +5 + 1.
Последнее число, т. е. 1, есть остаток, равный значению /(2). Частное
*е равно 2*3 + л:2+Зл: + 5.
248. Нахождение корней многочленов. Метод, описанный
в предыдущем п°, весьма полезен для нахождения целых
220 Целые рациональные функции
корней уравнения какой угодно степени. Пользуясь* им, мы
испытываем небольшое число целых чисел в качестве
возможных корней и разлагаем многочлен на множители.
Пример» Найти корни уравнения
4*3-*3 — 19дг + Ю = 0.
Испытываем в качестве корня число 2.
Имеем:
4 -1 -19 +10 1 2
8 +14 +10
4+7-5 0.
Остаток равен нулю, следовательно л: = 2 есть корень уравнения,
а (х — 2) является множителем многочлена, находящегося в левой части
равенства.
Частное от деления на х — 2 равно
4*2 + 7лг-5.
Следовательно, имеем:
(х - 2) (4*2 + 1х - 5) = 0.
Ь>еи:ая уравнение
4*2 + 7лг-5=.0,
найдем, что остальные корни многочлена
— 7^/129
х= з *
Говоря о выборе чисел, которые следует испытывать
в качестве корней, следует заметить, что они должны быть
множителями постоянного члена, т. е. в предыдущем
примере— множителями десяти. Предполагается, что до этого
уравнение освобождено от дробей.
Таким образом в уравнении
л:4 —17л:2 —34л:—30 = 0
возможными целыми корнями будут следующие числа:
±1, ±2, ±3, ±5, ±6, ±10, ±15, ±30,
являющиеся множителями 30.
При испытании следует начинать с меньших чисел. Легко
выяснить, что корней больших 5 это уравнение не имеет.
Оно обращается в тождество при следующих значениях л::
5, -3, -1 + 1Л=Т и -l-K^,
которые и являются корнями.
Дробные корни 221
249. Дробяые корни. Дробь — может являться корнем
Я
уравнения, если числитель р есть множитель постоянного
члена, а знаменатель q— множитель коэффициента при
наивысшей степени неизвестного х в этом уравнении.
Пример. Найти дробные корни уравнения
2 4*5 + 2х* - 3*3 - 21 л:2 + х + 6 = 0.
Постоянный член есть 6. Его множителями являются: 1, 2, 3, 6.
Коэффициент при наивысшей степени неизвестного равен 24, причем
его множители суть:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 и 24.
Все возможные комбинации из множителей указанных чисел, взятых
в качестве числителей и знаменателей дробей, будут:
^I-h1*2-*-1-!-3.*-3.-1-*-1-!-3-*.1 -ь1
■+- -г- -т- -т- -г* •+- -Н —— ^^ . ^ ^" I. ~£- .
~ 2' ~ 3' ~ 3' ~~ 4' — 2' ~~ 4' ~ 6' "" 8' ~ 8' "" 12' "~ 24
Подставляя + -у, убедимся, что эта дробь не является корнем урав-
( т?\ имеем:
24 + 2 -3 -21 + 1 +вГ—J-
-12 +5 - 1 +11 -6 ! -
24 -10 +2 —22 +12 0.
Остаток равен нулю, следовательно ( — *о~) — корень уравнения.
Испытаем теперь в качестве корня Полученного частного дробь "f-"g*«
24 -10 +2 -22 +12-1 y
+ 16+4 + 4 -121—
24 + 6 "+б -18 0;
+ -тг является корнем.
Испытываем + -т-:
нения. Испытывая
24
24
+ 6 + 6
+ 18 +18
+ 24 +24
-18 |
+ 18 I
0;
3
_. 3
+ — является корнем.
Деление последке^о частного на 24 дает
х2 +л: + 1.
222 Целые рациональные функции
Таким образом множители заданного многочлена будут:
24 (* + |) (,-2) (*-|) (** + *+1).
250. Перенесение графиков функций. Вычисление коэф.
фициентов преобразованного уравнения. Пусть график
функции y=f(x) перенесен на А единиц влево, так что каждое
значение х будет заменено значением л:—Л.
Пусть теперь уравнение новой кривой будет иметь вид
[65] у = а0хп + ai**"1 + а2хп~2 + • • • + an-i * + <V
Если эту кривую передвинута в прежнее положение, то
уравнение [65] обратится в следующее:
y^f^^aoix-hr + a^x-hT^ + a^x-hr2...
. .. + ««-! (*—*) + «»•
Разделив /(л:) на (*— А), мы получим в остатке ап, в то
время как частное будет равно
а0 (х — Л)*""1 + at(x-r h)*~* + . . . + ап_2 (х — А) + an__v
Разделив полученное выражение на (л: — А) вторично, имеем
следующее частное.
«о (* — Л)^л + ai (* — A)w~6 +.. . + an_2.
Следующее деление на (л: — А) даст в остатке an_z.
Продолжаем действие до тех пор, пока не дойдем до последнего
коэффициента Полученные остатки являются коэффициентами
преобразованного уравнения.
Пример. Требуется перенести график уравнения
у = *в + 7*2 — 22* - 4
на две единицы влево и написать уравнение нового графика.
Имеем:
1+7-22-4 | 2
-4-2+13—8
1 + 9-4-12
+ 2+22
1 +11 +18
1+13
Жирные числа суть коэффициенты преобразованного уравненнл, которое
имеет вид
*з + 13*2 +18* - 12 =/(*).
Графическое изображение многочленов 223
Рис. 93.
251. Приближенное решение уравнений, имеющих
иррациональные корни. Метод, изложенный в п° 250,
полезен для нахождения приблизительных значений
иррациональных корней с любой
степенью точности.
Положим, что значение
корня находится между 2 и 3,
причем после вычерчивания
графика видно, что более точное
его значение лежит между 2,4 /
и 2,5, так что кривую следуе /
перенести на 2,4 единицы влево
(рис. 93). Тогда истинное
значение корня отличается от
полученного менее чем на 0,1.
Перенося вторично начало координат, положим — влево на
0,07 единицы, и найдя, что при этом получается более
близкое к истинному значение х, получим последнее,
складывая результаты последовательных приближений:
* = 2+ 0,4+ 0,07 = 2,47.
252. Графическое изображение многочленов. При
вычерчивании графика многочлена, с целью облегчить вычисление
можно воспользоваться тем, что остаток, получающийся при
делении, дает значение функции у при подстановке в данное
выражение соответствующих значений х*
Рассмотрим выражение
0 = *в + Злг2-2д:-18.
Значение у при х = 0 находится прямой подстановкой и равно ( — 18).
Имеем:
При х = 1
При х = 2
При к = 3
1 4-3 -2 -18 [_!__
1+4 + 2
1 +4 +2 -16.
1 +3-2-18 1 2
+ 2 +10 +16
1+5 + 8-2
1+3-2-18 |_3_
3 +18 +43
1 +6
16
■30.
Остаток (— 16).
Остаток (— 2).
Остаток ( + 30).
224
Целые рациональные функции
Можно заметить, что если х еще больше, то остаток будет положи*
тельным количеством.
Рассмотрим теперь значения функции при отрицательных .v.
При х = — 1
1+3-2-18 J -1
-1-2 + 4
Прн л: = — 2
При
= —3
При х = — 4
1+2-4-14.
1+3-2-18
-2-2 + 8
Рис. 94.
1 +з -2 -18 |_
-3 0 + 6
1 0-2-12
1 +3 -2 -18 |
-4 +4 - 8
1-1+2-26.
Остаток ( —14).
Остаток (— 10)
Остаток (—12).
Остаток (— 26).
Все отрицательные значения л% которые по абсолютной зеличине
больше (—4), дают отрицательные остатки.
Применение метода перенесения кривой 225
Для удобства построения кривой по точкам выпишем значена я
переменных в виде таблицы:
X
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
У
-26
-12
-10
-14
-18
-16
- 2
+ 30
Точки пересечения кривой с осью X дают корни уравнения.
В данном случае имеется один действительный и два мнимых корня
(см. пп° 254 и 260).
253. Применение метода перенесения кривой (метод
Хоряера).
Для того, чтобы найти приближенное значение иррационального корня
уравнения
*з + 3*2_-2аг-18 = 0,
график которого был получен в предыдущем п°, мы замечаем из последнего,
что величина корня' находится между 2 и 3, а потому переносим кривую
на 2 единицы влево. Имеем:
+ 1+3-2-18 | 2
2 +10 +16
1+5 + 8-2
2 +14
1 7 22
:\ 2
1 +9.
Уравнение кривой после перенесения будет
*з + 9лг2 + 22*-2 = 0.
Для А = 2 мы получили остаток (— 2) и определяем что для
следующего перенесения h должно быть около 0,08; тогда остаток будет
близок к нулю.
1 +9,00 +22,0000 -2,0000 | 0,08
+ 0,08 + 0,7264 +1,8181
1 +9,08 +22,7264 -0,1819
0,08 0,7328
1 +9,16 +23,4592
0,8
1 +9,24.
Новое уравнение будет иметь вид
*з + 9,24*2 + 23,4592* - 0,1819 = 0,
15 Справочник для инженера.
226 Целые рациональные функции
откуда видно, что постоянный член равен (—0,1819). Для следующего
перенесения испытываем значение А = 0,007.
1 +9,240 +23,4592 -0,1819 1 0,007
+ 0,007 0,0647 +0,1647
1 +9,247 +23,5239 —0,0172
0,007 + 0,0648
1 +9,254 +23,5887
+ 0,007
1 +9,261
Новое уравнение будет иметь вид
& + 9,261*2 + 23,5387дг - 0,0172 = 0.'
Последнее перенесение дает очень малый постоянный член; повтому,
вместо того чтобы продолжать действовать по-предыдущему, для получения
дальнейшего приближения применим другой метод.
Так как * является величиной весьма малой, то, пренебрегая членами,
содержащими квадрат и куб неизвестной, получим:
23,5887а: = 0,0172,
откуда
л: = 0,00069.
Складывая величины, на которые мы переносили кривую, найдем
значение корня
2 + 0,08 + 0,007 + 0,00069 = 2,08769.
Описанный метод нахождения приближенного значения корня носит
название метода Хорнера.
254. Кратные корни. Некоторые уравнения, например
Jt3 —8лг2 + 21лг —18 = 0,
удовлетворяются только двумя значениями х: 2 и 3; однако
мы говорим, что 3 есть двойной корень, так как (х — З)2
является множителем многочлена
л:8 — 8л:2 + 21л: —18.
Общее число корней многочленного уравнения п-ой
степени равно п. В это число корней входят как действи*
тельные, так и мнимые корни; что касается кратных
корней, то число их равняется числу разу которое они
повторяются.
ЕсЛи целое рациональное уравнение с действительными
коэффициентами имеет среди корней комплексную величину
c-\-id, то оно обязательно должно иметь и корень с—id.
Комплексные корни встречаются попарно. Отсюда следует,
Кратные корни 227
что каждое уравнение нечетной степени с действительными
коэффициентами имеет, по крайней мере, один действительный
корень. Графики многочленов степени выше второй обычно
образуют несколько петель, как это показано на рис. 95.
Если ось X коснется кривой, то уравнение имеет два
действительных равных корня, которые выражаются абсциссой
точки касания. В случае, если петли перенесены выше или
ниже оси X благодаря
наличию членов, влияющих на это
перенесение, то уравнение имеет
комплексные корни. Характер
графика, если эти условия
соблюдены, показан на рис. 96
и 97. Следует, однако, отметить,
что если график не имеет
петель, то все - таки возможно
присутствие комплексных
корней.
Комплексные корни, как уже
указывалось, встречаются
попарно, и каждой вершине кривой соответствуют два
комплексных корня за исключением того случая, когда ветви,
идущие от вершины, пересекают ось ОХ, или кривая касается
Рис. 95.
Рис. 96.
Рис. 97.
своей вершиной оси Х9 и тогда точка касания соответствует
двум действительным и равным между собой корням.
Чем больше разность между значениями корней, тем
значительнее расхождение частей кривой в обе стороны
петли. Обратно, чем меньше отличаются значения корней
друг от друга, тем ближе сходятся ветви кривой. Если
корнем уравнения с рациональными коэффициентами является
иррациональный двучлен а + ^6, та его сопряженная
величина а — у b является корнем того же уравнения, и обратно.
15*
228 Целые рациональные функции
255. Соотношение между корнями и коэффициентами
в общем уравнении л-ой степени. Пусть имеем общую
форму
П I п—1 | П—2 г т м I A
* +PiX +ft* + --- + />n-l*+P« = 0>
полученную из уравнения [65] путем деления последнего
на а0.
В этом случае имеем:
Сумма корней равна коэффициенту второго члена с
обратным знаком, т. е., если /1 = 4:
*1 + *2 + *8 + *4 = — ft-
Сумма произведений корней, взятых попарно, равна
коэффициенту третьего члена9 т. е.
ХгХ2 + Х1ХЪ + *1*4 + ХЧ *3 + х2 Х1 + *3 *4 = Р-2-
Сумма произведений корней, взятых по три, равна
коэффициенту четвертого члена с обратным знаком, т. е.
*1 *2 *3 + Х1 Х2 *4 + *1 *8 *4 "Ь *2 *3 *4 = />Зв
Произведение корней равно свободному члену, причем
если П нечетное, то знак свободного члена следует
переменить на обратный. Таким образом, имеем
Ху Х% Л*з х& z== Pi*
256. Составление уравнений по данным корням. Если
заданы корни jtlf x%, хь ... хп, то, перемножая двучлены
(х — *i)» С*— *з)» (х — *з) • • • (■*—хп) и приравняв
полученное произведение нулю, найдем искомое уравнение.
Пример. Пусть даны корни 4, — 3, dt -— .
В этом случае имеем
(jr_4) (* + 3)~*--|) (i+-|) = 0;
раскрывая скобки, найдем:
4** - 4** - 57*2 _[- 9х + 103 = 0.
Указания, облегчающие графическое решение 229
График многочлена, стоящего в левой части этого уравнения» показан
на рис. 98.
Можно также составить уравнение, пользуясь соотношениями,
указанными в п° 255.
В таком случае имеем.
/»- - (4-'+т-т)=->-
л-«<-»+«(-!)+4(-4)+<-«(4)+<-з)(-4)+
■+(т)(-т)--»-2--?-
„__[«_,> (4)+ м-3,(-4)+Ч4)(-4) +
+<-*(4)Н)]~[-?+?К-
Составляя уравнение, получим:
или
4^4 _ 4д:3 - 57*3 + *х +Ю8 = 0.
f
257. Указания,
облегчающие графическое
решение. После того как график
многочлена вычерчен (при- Рис. 98.
чем для получения
величин у9 соответствующих различным вначениям ху
пользуются методом, указанным в п° 252), сперва определяем,
имеются ли рациональные корни. Необходимо помнить, что
если уравнение представлено в виде
**+ft*ll~1 + ft*l~*+- • • +/V-1 Х + Рп= Ot
свободный член рп равен произведению корней. Если, на*
пример, он равен трем, то только ±3 или ztl могут быть
корнями уравнения при условии, что уравнение имеет
рациональные корни.
230 Целые рациональные функции
258. Увеличение корней уравнения в k раз. Если в
уравнении
f(x) = a0xnj\ra1xn~ljra2xn~2-{-... + ^-1 * + an = °
корнями являются хг, х2, хъ ... хп и мы желаем составить
уравнение, имеющее корни, в к раз большие по сравнению
с первоначальным, то в последнем уравнении следует за-
х
менить х через —г. Тогда имеем
Кт)=а{т) + а{т) +а*(т) + ••■
После освобождения от дробей, получим:
а0 хп + ах кхп~Х + а2 к2 хп~~2 + • • • + an-i ^^"^ + ** ап ==: °-
259. Составление уравнений, имеющих корни, равные
по абсолютной величине корням данного уравнения, но
противоположные им по знаку. Если требуется составить
уравнение, корни которого имеют знаки, противоположные знакам
корней данного уравнения, то для этого следует изменить
знаки членов последнего через один.
Очевидно, что это равносильно умножению корней на
к=— 1.
260. Правило Декарта относительно знаков. Число
действительных положительных корней уравнения /(л:) = 0 не
более, чем число изменений знаков функции f(x).
Общее уравнение f{x) = 0 имеет число действительных
отрицательных корней не большее, чем число изменений
знака функции /( — л:).
Если а — число положительных корней и Ъ — число
отрицательных корней, топ — (a-f-b) = число комплексных корней,
где п—степень уравнения.
Графический метод решения уравнены! высших степеней
особенно рекомендуется в инженерной практике. Если
требуется определить точное значение функции, то части кривой,
лежащие вблизи пересечения графика с осью Ху могут быть
начерчены в очень большом масштабе, со тветственно чему
получим большую степень точности решения.
Функция у = х с положительным показателем 231
Глава XL
СТЕПЕННЫЕ ФУНКЦИИ.
261. Степенные функции. Алгебраические функции,
состоящие из единственного члена, который является простой
степенью переменной, например функции
х29 хьу —дг, д:3, ад: 2и т. д.,
называются степенными.
По своему значению они занимают первое место после
линейных функций, причем степенная функция вида у = ахп
выражает один из трех основных законов, управляющих
явлениями природы.
В п° 170 мы исследовали функцию, получаемую
возвышением в квадрат переменной. Нет необходимости что-либо
добавить к этому исследованию, за исключением разве того,
что обратить внимание читателя на некоторые законы
природы, выражаемые этой функцией. Площадь круга изменяется
пропорционально квадрату радиуса, а путь, проходимый
падающим телом, пропорционален квадрату времени падения.
Можно было бы привести много примеров, подобных
перечисленным, для того чтобы подчеркнуть важность изучения
степенной функции у = ах2.
Кроме того имеется много других соотношений между
переменными, имеющих вид у = ахв, например соотношение
между объемом шара и его радиусом или между объемом
куба и его стороной. Функция у = ал:3 была уже рассмотрена
в п° 232 с достаточными для наших целей подробностями.
Здесь мы разберем еще некоторые виды степенных функций,
о которых ранее не упоминалось.
Для каждой задачи значение а различно, хотя в течение
всего рассуждения оно остается постоянным. В п° 232 было
замечено, какое влияние оказывает величина а на вид
графика функции у = хп.
262. Случай 1. у = хп [бб], где п — положительное. Все
уравнения этого типа, например у ==лг, у — х2, изображаются
кривыми, которые все проходят через точки (0,0) и (1,1).
Эти кривые называются параболами.
Кривая у = х2 называется просто параболой,
у = хь называется кубической параболой,
JL
у = х2 называет ;я полу кубической параболой
232
Степенные функции
\ U у\
\ 1 II
\ 1 с
(-11)
11 1
То
(-1.-1)
III// 1/
с|//с
•
IU)
0,-1)
' р
0
ис. 99.
^
*
Рис. 102.
Вид кривых для различных
целых значений п показан на рис. 99.
^
Рис. 100
Рис. 101.
■п 1—т"
0.5 1.0
Рнс. 104.
Рис. 103.
Графики эти могут быть
заменены прямыми, если
пользоваться
логарифмической бумагой, как это
показано на рис. 127 и 128.
263. Параболы при п
дробном. Соотношение
между графиками у = хп для
различных дробных
значений п показано на рис. 100,
101, 102 и 103.
Степенная функция #=*n с отрицательно показат. 233
На рис. 104 даны графики функций при различных
дробных значениях п, расположенные в первой четверти,
264. Случай 2. у = хп [66], где п — отрицательное. Эти
кривые носят название гиперболических. Общая форма их
уравнений такова:
у = х
или # = -р
или
ухп = 19 где п > 0.
Частный случай, когда ху — 1, уже рассматривался в п° 206.
Соответствующая кривая называется равносторонней
гиперболой.
На рис. 105 изображен
ряд графиков
гиперболических функций для
различных целых отрицательных
значений п, а на рис. 106—
ряд кривых,
соответствующих различным
отрицательным дробным
значениям п. л = -2
Рис. 107
показывает расположение _
графиков у = х~п в^=-3
первой четверти. п--1
Гиперболические
кривые только - что
упомянутого типа
приближаются к
асимптотам,
которыми здесь являются
оси X и Y.
Скорость, с
которой они
приближаются к этим осям, зависит от относительной величины
показателей при х и у. Четверть, в которой располагаются
кривые, определяется четностью или нечетностью показателей.
265. Изменение переменной. Если в уравнении,
содержащем х и у у заменить х на (— *), то график, полученный
таким образом, будет зеркальным отражением первоначального
относительно оси Y.
Рис. 105.
234
Степенные функции
266. Если в функции, содержащей х и у, заменить у на
(— у), то соответствующая кривая является отражением
первоначальной по
отношению к осиЛГ
267. Если в
функции,
содержащей переменные х
и у, поставить
одно взамен
другого, то
полученная функция в этом
2 случае будет изо-
3 бражаться кривой,
^ являющейся отра-
2 жением графика
первоначальной
функции по
отношению к прямой
268. Если при
замене х на (—х)
функция не
изменяется, то график
симметричен по
отношению к оси Y (рис. 108).
269. Если при замене
у на (— у) функция не
изменяется, то
соответствующая кривая
симметрична относительно осиХ
270. Если функция не
изменяется оттого, что х
и у поставлены одно на
место другого, то кривая
симметрична относительно
прямой у = х.
271. Если при замене
л: на,— х и у на — у
функция не изменяется, то кривая симметрична относительно
начала координат.
272. Если при замене х на (— у) и у на (— х) функция
не изменяется, то соответствующая кривая симметрична
относительно прямой у = — х.
Рис. 107.
График функции у = ахи 235
273. Подстановка I — 1 вместо х в уравнение кривой
соответствует умножению всех ее абсцисс на величину а.
274. Подстановка I —) вместо у в уравнение кривой
соответствует умножению всех ее ординат на а.
275. Функции у = ахп и у = хп (см. пп° 261 и 232).
Постоянная а, в выражении у = ахп9 увеличивает или уменьшает
величину функции по отношению ку = / в а раз.
Если а > 1, то ^ увеличивается, если же а < 1, то
значения у делаются по сравнению с у = хп меньшими.
Рис. 108.
Рис. 109.
На рис. 109 показаны графики функций у = хп и уг = 2лгп.
Очевидно, ординаты уг вдвое больше соответствующих
ординат у.
276. Если между переменными х и у существует
соотношение у = ахп, где п—число положительное, то говорят, что
а
у пропорционально х . Точно так же в случае у = —»
говорят, что у обратно пропорционально хп.
277. Во всякой степенной функции от лг, при умножении
х на постоянное число, у также изменяется в постоянное
число раз.
Пусть у — ахп. Возьмем несколько значений х и
соответствующих им значений у, например х19 х% и уи у%%
у% = а (mXl)n = amn (xj*
(1)
(2)
236
Степенные функции
Разделив (2) на (1), имеем:
У> _ am" C*i)n =
т
У, а {х,Т
Это значит, что если в степенной функции умножить х на
постоянную т, то у увеличится в тпп раз, т. е. в постоянное
число раз.
Это правило применяют в тех случаях, когда желают вы*
яснить, существует ли между полученными из опыта данными
степенная зависимость.
— I . График у = I — )
может быть получен из основного графика у = хп
посредством умножения всех
абсцисс последней на а.
Отношение абсцисс этих кривых
равно а: 1.
На рис. ПО изображены
графики указанных функций.
Из нее видны как различие
в форме, так и способ
построения.
Из п° 273 следует, что
Iх \
подстановка I — I вместо д:
в уравнение любой кривой
рассматриваемого вида
соответствует умножению всех
абсцисс на а.
279. Перенесение графиков степенных функций. Если в
степенную функцию у = хп вместо х подставить (x-\-h), то
получим:
Рис. 110.
L68]
9 = (x + h)n
Как и в случае квадратного уравнения (п° 172), это
соответствует передвижению начала координат на расстояние А в
направлении оси X.
Если мы начертим график функции у = хп и желаем
преобразовать его в график функции с/= (* ~Ь А)п, то для этого
следует перенести начало координат в точку (А, 0).
Полученная кр**зая y = {x-\-h)n отнесена к новому началу.
График функции у = ахп -\- тх
237
Пример. Перенести начало координат графика у = х так, чтобы он
соответствовал функции у
(-4-)'
Начертим график у — х , представленный на рис. 111 (на рисунке
обозначен AOLB). Здесь вспомогательные оси суть YYi и XXV Так как
h = —, то начало координат
следует передвинуть влево.
Заметим, что у = л: 2 можно также
написать так:
У2 = Д
в такой форме эта функция
встречается весьма часто.
280. Случай, при котором
в уравнении показательной
функции имеется член тх.
В случае прибавления члена,
содержащего х в первой сте*
пени, например тх, график
основной функции у = хп
необходимо сдвинуть точно таким же способом, какой
применялся для кривых у = х2 и у = х? (см. п° 234).
Если т = 1, то имеем:
у = ахп-{-х.
Это равенство указывает на то, что значение у = ахп
увеличивается или уменьшается на величину х.
Если х—положительное, то мы получим увеличение у,
в противном случае у уменьшается.
Указанное сложение или вычитание члена, содержащего xf
можно произвести графически. Для этого проводим через
начало координат прямую, имеющую наклон т, и
откладываем значения у (из у = ахп) от нее.
Рис. 111.
Пример. Преобравовать график у — х посредством сдвига . таким
образом, чтобы он соответствовал функции у
= v3
+ -
238 Неравенства и переменные
Начертим график у = х , как это показано на рис. 112.
. у Проведем
прямую
9=*ш
с наклоном
Рис. 112.
л:
Т
Возьмем какое - ми-
будь расстояние л: и
посредством циркуля
отложим у = SP — RPX 0T
точки R вверх.
Сделав такое же
построение для нескольких
точек и ооединив их
плавной кривой, получим
искомый график, который и
является графиком
функции
2
~3 i x
Глава XIL
НЕРАВЕНСТВА И ПЕРЕМЕННЫЕ.
281. Неравенства. Принято говорить, что одно число
больше другого, если при вычитании второго числа из
первого разность их — положительная.
Если а больше чем Ь, то это обозначается так: а > Ь.
Если же а меньше 6, то пишут:
а < Ь.
Знаки У> и «£ означают, соответственно, „не больше чем"
и „не меньше чем".
Если в двух неравенствах каждый первый член больше
каждого второго члена, то говорят, что оба неравенства
имеют одинаковый смысл. Так, неравенства х > а и у > Ь
имеют одинаковый смысл.
Если в одном неравенстве первый член больше второго, а
во втором неравенстве первый член меньше второго, то
говорят, что неравенства имеют противоположный смысл- Так,
например, неравенства лг > Ъ и у < а имеют
противоположный смысл.
282. Если к обоим членам неравенства прибавить или
отнять от них одно и то же число, то получим неравенство,
имеющее тот же смысл, что и данное.
Неравенства 239
Пусть а > Ь, и пусть с — некоторое положительное или
отрицательное число; тогда очевидно
а — Ь=р>
где р—число положительное.
Прибавляя с — с = 0, получим:
а-\-с — (Ь + с) = р,
следовательно
а + с > Ь-\- с.
Примеры.
Дано: 8 > 5 Дано: 8 > 5
Прибавим 2 2 Вычтем 2 2
10 > 7 6> 3
283. Если оба члена неравенства умножить или разделить
на одно и то же положительное число, то получим
неравенство, имеющее тот же смысл, что и данное.
Если же оба члена неравенства умножить или разделить
на одно и то же отрицательное число, то полученное
неравенство будет иметь смысл, противоположный смыслу данного.
Пусть а > Ъ и пусть с — какое-нибудь положительное
число; тогда
а — Ь = р9
где р—число положительное.
Умножая последнее равенство на с, имеем
са — сЪ = ср.
Здесь ср—число положительное, следовательно
са > сЬ.
284. Умножение на (— 1) изменяет знаки членов
равенства са — сЬ = ср на обратные; поэтому имеем
сЬ — са= — ср.
Очевидно ( — ср) является числ м отрицательным.
Напишем последнее равенство в такой форме:
— са — ( — сЬ) = отрицательному числу.
Отсюда видим, что
— са К. —сЬ.
240 Неравенства и переменные
Примеры.
Дано 8 > 5 16 > 10
Умножаем на 2 2 — 2 — 2
Дано
Делим
16 >
16
на 2
10
>
10
2
— 32 < —20
16 > 10
—2 —2
8 > 5 -8 <-5
285. Каждый член неравенства может быть перенесен из
одной части его в другую, но при этом необходимо изменить
его знак на обратный.
Пусть
а — Ь .> с — с/.
Добавляя b к обеим частям неравенства (п° 282), получим:
а > с — c/-f-6.
Прибавляя ( — с) к обеим частям' последнего неравенства,
имеем:
а — с > Ъ — d.
286. Если переменить знаки всех членов неравенства на
обратные, то полученное неравенство будет иметь смысл,
противоположный смыслу данного.
Справедливость этой теоремы следует из п° 283, так как
перемена знака равносильна умножению на (— 1). К тому же
результату можно притти, перенося все члены в неравенстве
а — Ь > с — d, как это сделано в п° 285.
Тогда получим;
d — с > Ь — а или — а-|- 6 < —c-\-d.
287. Если сложить соответствующие члены нескольких
неравенств, имеющих одинаковый смысл, то полученное
неравенство будет иметь тот же смысл. Пусть
а > Ь% с > d, е > /. . .
Так как а — 6, с—d, е—/. . .суть величины
положительные, то их сумма
(а+с+е+. . .)—(б-ь^+^Ч- . .)
также положительная, а следовательно
(а-Ьс + е-Ь . .)>(* + </+/+ • .)•
Неравенства 241
2$8« Если каждый член неравенства вычесть из
соответствующих членов равенства, то в результате получим
неравенство, имеющее смысл, противоположный смыслу данного.
Положим а > 6, и nycfb с — какое-нибудь число.
Так как а — Ь = положительному числу и так как число
уменьшается, если вычесть из него положительную величину,
то
с — (а — Ь) <С с.
Перенося члены, имеем:
с — а < с—6.
Таким образом, если вычесть каждый член неравенства
а > Ъ из соответствующих членов равенства с —с, то
полученное неравенство по смыслу противоположно данному*
289. Если а > Ъ и Ъ > с, то а > с.
В самом деле,
; а — Ь — положительному числу,
b — с = положительному числу,
следовательно
, (а — Ь) -f- (b — с) = положительному числу.
Упрощая, получим
а — с = положительному числу, т. е. а > с.
Примечание. Точно таким же образом можно доказать, что если
а < Ь, Ь < с, то а < с.
291. Если соответствующие члены двух неравенств
перемножить между,собой и если все эти члены — положительные,
то полученное неравенство будет иметь тот же смысл, что и
данное.
Пусть а > Ь и с > dy где а, 6, с и с/—положительные.
Умножая первое неравенство на с, а второе на 6, получим:
ас > be и 6с > 6с/.
Отсюда согласно п° 289 заключаем, что
ас > bd.
Примечание. Если некоторые члены неравенств — отрицательные,
то полученное после перемножения неравенство либо имеет тот же смысл,
что и данные, либо — противоположный, либо, наконец, обратится в
равенство.
16
242 Неравенства и переменные *
, Рассмотрим выражение 12 > 6 и перемножим его члены
на соответствующие члены неравенства — 2 > — 5; тогда
получим:
— 24 >— 30.
Умножая на соответствующие члены неравенства — 2 > — 4,
имеем: "\
— 24 =—24.
Умножая на соответствующие члены неравенства—2 > — 3,
находим:
— 24< —18.
292. Частное от деления соответствующих членов
неравенства друг на друга может оказаться либо неравенством,
у которого первый член больше или же меньше второго,
либо —- равенством.
Рассмотрим например выражение: 12 > 6. Разделив оба его
члена на соответствующие члены выражения 3 > 2, получим:
4 > 3. Разделив их на члены неравенства 4 > 2, имеем:
3 = 3.
Наконец, разделив на члены неравенства б > 2, имеем:
2 < 3.
293. Задачи.
Пример h Найти значения х, удовлетворяющие неравенству
3jt —10 > 11.
Перенося члены из одной части неравенства в другую (согласна п° 285)
или прлбавляя к обеим частям его по 10 (см. п° 282;, получим:
Злг > 2L
Разделив на 3 (согласно п° 283), имеем:
* > 7.
Следовательно, неравенство справедливо для всех значений *, больших 7.
Пример 2. Найти значения х, удовлетворяющие система
Здг + 5<38 % (1)
4х < 1х —18. . (2)
Перенося члены в (1), имеем:
Зл: < 33.
Деля оба члена на 3, получим*
х < 11.
Задачи 243
Перенося члены во (2), находим
~3дг <—18
или
*>6.
Результат показывает, что оба неравенства удовлетворяются
значениями х, лежащими между 6 и 11, иначе говоря 6 есть низший, а 11
высший предел д\я х.
Пример 3, Найти значения х л у, удовлетворяющие условиям:
3*-я>-И . . 0)
* + 2Г=0. (2)
Умножая члены (1) на 2, имеем
6аг-2^>-28. (3)
Прибавляя (2) к (3), находим
7*>-2S (4)
или
х > - 4.
Умножим (2) ча 5:
Здг + 6у = 0. (5)
Вычтем (5) из (1):
-7^>-14.
Делим оба члена неравенства на — 7:
У<2-
Таким образом нижний предел * есть ( - 4), а высший предел у равен 2
Пример 4. Найти значения х, удовлетворяющие неравенству
** + Злг>28\
Перенося члены, находим:
*2 + Злг-23 > 0.
Разлагаем левую часть на множителе?':
<*-4) (* + 7) > 0.
Так как (х — 4) (х + 7) является величиной либо положительной, либо
равной нулю, то оба множителя — или положительные или отрицательные.
Первый случай будет иметь место при л#> 4, втсрой — при х < — 7.
Отсюда следует, что х можег быть равен любому числу, не лежащему
между 4 и — 7 и не равному 4 и — 7.
Пример 5. Доказать, что если а и Ь — два положительных, не равных
между собой числа, то
Независимо от того, положительное ли (а — 6) или отрицательное,
величина (а — о,2 — положительна.
Так как а и 6 : ее равны между собой, то (а — б)2 > 0 или
a2-2a6 + 6V>0.
16* - - " ■ ' \ ' - "
244 Неравенства и переменные
Переаося член ( — 2аЬ) в правую часть неравенства, имеем, согласно
п° 285:
а-> + Ь2 > 2ab.
Примечание. Если а и Ь равны между собой, то
а? + Ь* = 2аЬ.
294. Переменная величина. Во многих задачах приходится
иметь дело с величинами, которые изменяются. Такие
величины называются переменными.
Говорят, что одна величина изменяется прймо
пропорционально другой, если при изменении одной из них вторая
изменяется в том же отношении.
Знак ос означает: „изменяется пропорционально"; например
xozy есть краткое обозначение пропорции
х : х' =у:у\
Здесь х' — значение, которое принимает х% когда у
делается равным у'.
Выражение х ос у означает, что если х увеличивается вдвое,
тю у также возрастает в два раза, т. е. отношение х и у
всегдаГ^стается равным некоторой постоянной а.
Если величину постоянного отношения обозначить буквой
к, то при хос у
— — к или х~ку.
У *
. Если х изменяется пропорционально у (*<ху), то л: равно
у, умноженному на постоянную к.
295. Говорят, что данная величина обратно
пропорциональна другой, если при увеличении первой в некоторое
число раз вторая уменьшается в такое же число раз. Так,
например, время, потребное для выполнения какой-либо
работы, изменяется обратно пропорционально числу работающих.
Если х ос—, то величина отношений х : — равна постоян-
У У
ной к (при всех значениях переменных),
дг к
--- = & или ху — к, откуда *==:=— .
У
296. Переменная величина изменяется пропорционально
двум другим, если она пропорциональна произведению этих
последних.
Г1рч^ая и обратная пропорциональность 245
В случ^ если xocyz, причем величина отношения равна
постоянно^ и имеем:
= к или х = kuz.
297. Пе* Ценная величина прямо пропорциональна второй
и обратно />опорциональн$ третьей переменной, если она
пропорцио^ дьна произведению второй на величину,
обратную треть^й
Вслуча^ -<огда хосу—или*ос ~^-, причем к есть
постоянная величц^ отношения, имеем:
У i 1 z
х : _2_ = к или х — к _ —#
Х У
Время, ^киое для выкапывания канавы, прямо
пропорционально ^ длине и обратно пропорционально числу
землекопов. е
В самой деле, если длина канавы в 10 раз больше
первоначальной, д число занятых рабочих увеличено-в 5 раз, то
лая выпоДц лия" работы потребуется в 2 раза больше
времени, чем 00ьше.
Если * Пропорционально у при z постоянном и если х иро-
порционад* £ z при у постоянном, х прямо пропорционально
произведем ^ переменных zy.
Точно . <с же, если х пропорционально каждому из трех
или больц^ л числа переменных, причем остальные имеют
постоянны* ^качения, то х пропорционально их произведению.
х ос yzv,
298. 3^чи.
Пример 1 Если х обратно пропорционально у% причем х = 6 при
у = 8, то ка.*. ' а величина х при у = 12?
АО" 1 |
Так как ^ .,—, то, полагая постоянное отношение л: к равным к,
имеем:
ху = к.
При х =^ у, у = 8, следовательно
jt == 6 • 8 *= 48.
Как ска^ 0 выше, &—постоянная, равная 48 при всяком значении у,
в том лисл« 0ри у =■ 12.
246 Прогрессии
Подставляя значения k и у в уравнение
k = xyf
имеем
х . 12 = 43; х » 4.
Пример 2. Если дгос ^ и #ос г, то докажем, что дгос *,
Пусть m представляет собой величину постоянного отношения ж к у,
а п — величину постоянного отношения у к г. Имеем:
лг = т^ (1)
У=*пг (2)
Подставляя /t2 вместо у в уравнение (1), получим:
х = тяг.
Но произведение т • п есть величина постоянная, следовательно
л: ос г.
Пример 5. Объем конуса изменяется прямо пропорционально высоте
и квадрату диаметра основания. Если высота равна 15, а диаметр основа*
ния 10, то объем равен 392,7-
Каков будет объем конуса, если высота равна 5, а диаметр
основания 20?
Пусть VtiH и D обозначают соответственно объем, высоту и диаметр
основания любого конуса» а V — объем конуса высотой 5, имеющего
диаметр основания равный 20.
Так как V = a HD* или V = kHD\ то при V = 392,7, И =f 15 и D - 10,
имеем: • *
392,7 = Ы5 • 100, (1)
Чо V обращается в V при Н = 5 и D = 20;
V' = k-$ '400. (2)
Деля (1) на (2), получим:
У 5 400 4 . -,, 4 W7 л
З^-ТГ'-ШГ^Т' К~Х (392,7)-523.6.
Глава XIII.
ПРОГРЕССИИ,
.299. Ряд. Совокупность величин, находящихся между
собой в таком отношении, что каждая из них может быть
получена из одной или нескольких предыдущих по некоторому
определеннэму закону, называется рядом.
300. Арифметическая прогрессия. Арифметической
прогрессией называется ряд, каждый член которого, за
исключением первого, получается из предыдущего путем прибавления
Сумма S первых п членов арифметической прогрессии 247
к нему постоянного количества. Это количество называется
разностью прогрессии.
[69] а, (а-И), (а 4-2с/), (a + 3d) . ~
1 В этой арифметической прогрессии а — первый член, d—~
разность.
, Если а = 3, a d = 4, то прогрессия будет иметь вид:,
3, 7, 11, 15, 19. . .
и является возрастающей.
Если а = 17 и d= —7, то получим прогрессию
17, 10, 3, -4, -И . . . ,
которая является убывающей.
Так как для получения каждого последующего члена к
предыдущему прибавляется постоянная величина d, то для
получения третьего члена к* а прибавляется 2с/, для
получения четвертого члена к а прибавляется 3i, для получения
п-ного члена к а следует прибавить (л—1) d. Отсюда
[70] последний n-ный член равен а + (п — 1) й.
В дальнейшем мы будем обозначать последний член
буквой I.
301. Сумма S первых п членов арифметической
прогрессии Пусть
. S=a+(a + d)+(a4-2tf)+ % . . -{-(/ — d) + I.
Напишем члены в обратном порядке:
5=i + (/— d)-f . . . -f-(a + 2«0 + (« + d) + a.
Складывая, имеем:
2S = (a + /)+(« + 0 + (a + 0+ . . . +(a+0
или
25=n (a-f I).
302. Из предыдущего п° имеем:
[71] - S=-|(a+/),
где n -* порядковый номер последнего ч/ена Л ,м--: ^
248 Прогрессии
Так как J = a~f-(i—1) d, то, подставляя в [71], получим.
S = -7J-{a+[a + (n-l)«*]j
или
[72] S=^2a + (n-l)d
303. В большинстве задач на арифметические прогрессии
входят пять величин: a, d, nf I и о.
Если три из них заданы, то остальные две могут быть
найдены путем решения системы уравнений:
( 1 = а + (п — 1) d [70]
js=-^(a-H). [71]
Для удобства представим ряд в следующем виде:
[73] a+(a + d)^-(a + 2d)+ . . . -f-[a + (n-l)^] =
= -;;[2a + (n-l)</].
Если три величины составляют арифметическую
прогрессию, то член, стоящий между двумя остальными, называется
средним арифметическим.
Пусть имеется ряд а, Х> Ъ.
Так как разность этих величин одинакова, то
х — а = Ь — х.
Решая уравнение, получим:
[74] • • * = °-р,
где X есть арифметическое среднее между а и Ь.
301. График арифметической прогрессии. Так как
каждый член арифметической прогрессии образуется из
предыдущего путем прибавления к нему разности а, то ряд
a + (a + d)-Ka + 2</)-f . . , [а + (п - 1) d] [73]
можно представить графически, «ели ординаты будут
соответствовать величинам членов, а абсциссы — их порядковым
номерам.
Арифметическая прогрессия изобразится совокупностью
точек, расположенных на прямой с наклоном d. Абсциссы
Некоторые арифметические ряды 249
этих точек являются целыми числами, ордината же,
соответствующая точке 1, определяется величиной первого члена.
Из графика легко найти величину любого члена
прогрессии, например шестого: его ордината будет АВ.
Сумму членов ряда можно
рассматривать как сумму п
ординат, из которых каждая
равна а, и отрезков,
заключенных между сторонами
треугольника, лежащего выше
ординат а (рис. 113).
Вместо указанного
треугольника можно
рассматривать прямоугольник, вы
сота которого равна
половине отрезка (л — 1) с/, как
это ясно из чертежа.
Таким образом сумма отрезков
ординат, заключенных между
сторонами треугольника, равна полусумме отрезков п
ординат длиной, равной наибольшему из этих отрезков, т. е.
n(n — l)d
:].
Рис. 113.
В таком случае
Сумма членов прогрессии равна сумме ординат нижнего
прямоугольника -|- сумма отрезков ординат мелсду
сторонами треугольника:
n(n — l)d 2na-\-(n—l)nd
2 2
па
f = Jl[2a + (n-l)c/],
что совпадает с выражением, полученным ранее аналитически.
Из графика можно определить как величину каждого
члена, так и сумму Любого числа членов. Для последней цели
следует измерить и сложить соответствующие ординаты.
305. Некоторые арифметические ряды. Пользуясь общим
выражением [73]
a + (a + d) + (« + M)+ . . .+=-5.[2a + (n-D"4
мы можем написать ряд, прибавляя разность d к каждому
члену и получая таким образом последующие члены.
Действительно, прибавляя d к третьему члену, получим четвер-
250 Прогрессии
тый член, третий же был найден из второго путем
прибавления к нему разности d. Пятый член в свою очередь
получается из четвертого, шестой из пятого и т. д. Поступая
подобным же образом, мы сможем найти п членов ряда.
Сумму членов указанного ряда определим подстановкой
соответствующих величин в формулу
S=-n2 [2a + (п-1)'с/]. [72]
Способ образования рядов и подстановки показаны на
нижеследующих примерах.
Пример, Написать ряд, для которого а = 1, </= 1.
Имеем:
Первый член — а = \
Второй . = а + </ = 1 + 1 = 2
Третий . =2 + <* = 2 + 1 = 3
Четвертый 9 = 3 + </ = 3 + 1 = 4
Пятый „ = 4 + </ = 4 + 1=5
Последний член = 1 + (л — 1) 1 = л.
Ряд будет иметь вид:
1+2 + 3 + 4 + 5. . . (#t-l) + n.
Сумма л членов равна
-fjYl + fn^l)!
л (л + 1) п* + п
2 - 2 '
так что
1 + 2 + 3 + 4 + 5+ . . . +(п^1) + л-^±^.
306. Пример 1. Написать арифметический ряд, для которого
а = 2, d = 3.
Имеем!
Первый член = о = 2
Второй „ ==а + </ = 2 + 3 = 5
Третий , =5 + а' = 5 + 3 = 8
Четвертый я = 8 + d = 8 + 3 = 11
Последний член = 2 + (л — 1) 3 = Зл — 1.
Сумма п членов равна
-=-[2.2 + (п-1)з]=^(Зп + 1)-3-^-.
Ряд будет иметь вид:
.- 2 + 5 + 8 + П+Л4+17+ . . . +(Зп-1) = 3и*+П.
Некоторые арифметические ряды 251
Пример 2. Написать ряд, лая которого а *=/>,</» 1.
Имеем:
p + (p + D + (p + 2) + fp + 3)+ . . .+fo-l) + f-
_(? + *) (g-p + 1)
2 ' ' '
так как
9=Я + (п-1)1
п = <7— А> + 1-
Подставляя значения п н а в выражение для суммы, имеем:
га 5-Ц±1|»Ь(,-р+1)-11,»+*"«а-р+Ч
307. Дан 'ряд
2 + 4 + 6 + 8+10-^-12 + ...
Пусть требуется написать выражение для n-го члена и
для суммы п членов этого ряда.
Данный ряд представляет собой арифметическую
прогрессию, так как каждый его член отличается от предыдущего
на постоянную величину и мы можем найти любой член,
например пятый. Для этого подставим в выражение для
пто члена
а+(п-1)</
величины п = 5, а=т=2, с/= 2; тогда получим:
2 + (5-1) 2 = 10,
Последний член ряда будет равен
2 + (л —1) 2 = 2п.
Сумма все* членов его будет равняться
S'=-!j-[4+(n-l)2]=ii(n + l).
Таким образом можем написать:
2 + 4 + 6 + 8+10. . . +(2п — 2) + 2n = n(n+l).-
308. Ряд, образованный нечетными числами, имеет вид:
1 + 3 + 5 + 7+ . .+(2/1-3) + (2л-1) = /Л
* Пользуясь этим выражением, мы можем, при Ъ ом о щи
арифмометра, составить таблицу квадратов.
252 Прогрессии
Первый член= 1 = (1 )Q - n^l
Второй член = 3
Сумма = 4-=(2)* п —2
Третий член = 5
Сумма = 9 = (3)* л = 3
Четвертый член = 7
Сумма =16 = (4)2 п-4
Пятый член = 9
Сумма =25 = (5Т«" п=-5
Шестой член — 11
Сумма = 36 = (б)2 п~6
Седьмой член =13
Сумма =49 = (7)* л = 7
Восьмой член = 15
Сумма =64 = (8)* п = 8
Девятый член = 17
Сумма =81 = (9)2 п = 9
Десятый член = 19
Сумма = 100 = (10)J n = 10.
309. Геометрическая прогрессия. Геометрическая
прогрессия представляет собой ряд чисел, каждое из которых, за
исключением первого, получается из предыдущего путем
умножения на постоянную величину, называемую знаменателем
прогрессии.
Так например, ряды
4, 12, 36, 108 (знаменатель = 3)
4, —2, -{- 1, —2 (знаменатель = — Lr)
а, агу аг\ агь (знаменатель = г)
представляют собой геометрические прогрессии.
Для нахождения п-го члена такого ряда по известному
первому члену и знаменателю, рассмотрим прогрессию
[76] а, аг, аг*у аг*9 а/*4 и т. д.
и заметим, что для получения указанного п-го члена при*
дется умножить а на г*"*1.
Среднее геометрическое 253
Таким образом последний член прогрессии, который мы в
дальнейшим будем обозначать буквой /, есть агп~~*.
[77] l = am-i.
310. Для того, чтобы найти сумму п первых членов
геометрической прогрессии, поступаем так:
Напишем ряд
S^a + ar + ar* + ar*+ . . . +агп~К (1)
Умножим обе части равенства на г, тогда
rS = ar~\-ar*-\-ar*+ . . .-far*. (2)
Вычтем (1) из (2):
5 (г— l) = ar*— a
или
с агп^а (гн—1\
ЗП.*В большинство задач на геометрические прогрессии
входят пять величин: а, г, п, I и S. если три из них заданы,
то остальные две можно определить, решая систему
уравнений:
l=ar -1 [741
'-■«
[78]
312. Среднее геометрическое. Среднее геометрическое
между двумя числами равно корню квадратному из их
произведения или:
Vab,
где а и b —* данные числа.
Пусть среднее геометрическое этих чисел равно О. Из
определения геометрической прогрессии имеем:
■§-v *-*
[79] G = Vab.
Пусть между числами 9 и 576 требуется вставить пять
членов, так чтобы они образовали с данными геометрическую
прогрессию.
2$4 Прогрессии -
.. Общее число членов ряда равно 5 ~Ь 2.«*■ 7; подставляя
в формулу [77], имеем:
576*=9/*
re = 64
г = =2. /
Поэтому искомые ряды имеют* вид:
9, 18, 36, 72, 144, 288, 576
+ 9, —18, +36, - 72, +144, — 288, + 576. #
313. Бесконечная геометрическая прогрессия. Если
знаменатель геометрической прогрессии г меньше единицы, то
по мере увеличения п величина V* уменьшается. В этом
случае выражение [78] можно написать так:
{80] ' s-*="!=«. аг"
1—/••
_ at
Если взять п достаточно большим, то величина-т^-может
быть сделана как угодно малой. Следовательно, при большом
о а
числе членов ряда, сумма их о может отличаться от 1 на
величину, меньшую какого угодно наперед заданного малого
числа.
Указанное свойство бесконечной геометрической
прогрессии обозначается таким образом: '
[81] 5«^=Г^™Г
Это и есть предел суммы членов геометрической
прогрессии при г меньшем единицы и бесконечно большом числе
членов.
314. Некоторые геометрические ряды. Общее выражение
для рядов этого вида таково:
а+аг+аг* + а>* + . . . ^гаг^ = т^ ^~
1 ' 1 — г 1 — л
Весьма важным является ряд:
Графическое изображение геометрической прогрессии 255
Предел суммы членов этого ряда 7
5 -=2а.
315. Смешанная арифметическая и геометрическая
прогрессия. Ряд частично арифметический и частично
геометрический имеет следующий вид:
[82] а, (a + d)r, {a + 2d)r\ (a + 3d) #* и т. д.
Сумма п первых членов этого ряда равна
.-[.+(.-1)^ rig-^H) ■)•
1 1—«ir (1 — r)J
316. Графическое изображение геометрической
прогрессии. Так как а является общим множителем, входящим в
каждый член прогрессии, то первый член можно принять : а
единицу.
В таком случае получим ряд.
1) Формула [83] может быть выведена на основании следующих,
соображений. Представим сумму Sn первых л членов в виде
Sn = a + (a + d)r + (a + 2d)r* + . . . + [а + (л - 1) d) r"-l =
s=(a + ar + ar2 + . . . -f агп-l) -j- (dr + dr* + . . . -f <frn-l) _|_
Выражения, стоящие в скобках, представляют геометрические
прогрессии. Сумму Sn можно представить иначе:
S„
а—аг | dr — dr t dfi — dr , «Л3—dr
r T- 1_Г--Г
1 —г ^ 1-r ' 1
I drn-l — drn_a~ arn — (n - 1 )«&■" ,
• • • 1 иг; —r h
, rfr , d* ■ -, ^- . rfr»-i
^=а"[а4-1(:71)</к-+т^7(1+г+г2+,. ..+^)-
а - [о+ (n-!)</],-" , drfX-r4^1)
. *" 1-r + (1-r)* '
Прим. ред.
256 Прогрессия
Возьмем ОМ—V, г> 1
0^ = 1
и продолжим прямую МРг.
Приняв Sx за центр, a S{PX за радиус, проведем дугу PxS2t
засечем точку *S2 и восставим из нее перпендикуляр S^P2m
Далее, приняв за центр —
52, a S2P2 за радиус,
проведем дугу Р2*^8'
Аналогичным образом получим PnSn
(рис. 114).
Наклон прямой МРг равен
а-г).
OM=OS, = l.
PiSx = 5Х52 = г, следовательно 05а = 1 ~f- r = сумме двух
первых членов.
Вообще />„_, 5._, = 5п_г5й - г*-1, т. е. 05„ = 1 + r-f- г* +
-f- rs -f" • • • + rn l = сумме п членов.
317. В случае, если г<1, следует поступать так же, как и
в предыдущем п°.
Наклон прямой МРхРг и т. д. есть (г—1) (рис. 115).
Уравнение МРХР2 и т. д. в обоих случаях имеет вид
.1—лг
* =
1.- Г
В данном случае, т. е. при сходящемся ряде и при
беспредельном увеличении числа членов, сумма 0Sn приближается
к 0L как к пределу.
Гармоническая прогрессия
257
Это дает возможность графически определить предел
суммы членов ряда: следует просто продолжить МРХ до
пересечения с OL.
Длина OL соответствует значению х при у = 0, следова*
тельно предел суммы членов ряда есть
I-/-*
318. Выше мы рассмотрели
ряд, первый член которого
равен единице. Путем умноже*
ния величины OSn или х на а
предел ряда
Рис. 116.
можно найти сумму членов ряда, у которого первый член
равен а (рис, 116).
Предел этой суммы равен
1 — г9
и для ряда
a_j-ar_}_ar2-]-ar3_|_ # т т _j^ar*-t
умножаем величину х или OL на а.
319. Гармоническая прогрессия. Величины а, 6, с и т. д.
образуют гармоническую прогрессию, если обратные им числа
а о с
составляют арифметическую прогрессию.
Так например, ряд
о з 1 з
3 1
представляет собой гармоническую прогрессию, так как дроби,
обратные его членам,
.L JL 1 Jl JL о
з ' а ' А> з ' з ' ^
образуют арифметическую.
Гармонические ряды обычно приводятся к арифметическим
посредством нахождения величин обратных членам первых.
Для непосредственного получения суммы членов
гармонических рядов общего метода не существует.
17 Справочник для инженера,
258 Прогрессии
320. Гармоническое среднее. Гармоническое ср.еднее между
двумя числами равно удвоенному произведению этих чисел;
деленному на их сумму:
Пусть а и Ъ—два заданных числа, Н — их гармоническое
Среднее.
По определению, имеем:
J. L JL"
а' ~Н' Ь'
откуда
_1___1 _ t._J_
b И~'Н а
аН—аЬ^сЬ — ЬН
аН-\-ЪН^~2аЬ
или
„_ lab
321. Геометрическое среднее между двумя числами есть в
то же время геометрическое среднее между их
арифметическим и гармоническим средними.
. А = ?±Ь (1)
G = V~^b (2)
H=£Ly (3)
Умножая (1) на (3), получим:
АН=аЪ.
Извлекая квадратный корень, имеем:
V АН *=V~ri.
Но G «= У ab [из (2)], следовательно
G^VaH,
Соотношение мёждд гарМбНичёск. и аршрметич. прогр. 259
т. е. равно геометрическому среднему между арифметическим
и гармоническим средними чисел а и Ь.
Если а и Ь—первый и второй члены гармонического ряда,
то п-ый член этого ряда имеет вид
185] /=: аЬ
(п — 1)а — (п — 2)*
& J
1).
Всякий ряд, члены
которого образованы
по этому закону, есть
гармонический,
322. Соотношение
между гармонической
и арифметической
прогрессиями. Это
соотношение может быть
пояснено графически
следующим образом:
Начертим квадрат
АВЕО, сторона
которого равна единице.
Отложим на ОЕ от точки О отрезки, соответствующие
по величине членам гармонической прогрессии, равные в
данном случае
з, 14 1,
4>
б>
Т И Т.
1) Согласно определению гармонической прогрессии имеем:
j i_e j !_« _ J L.
а Ь 6 с " k I
Здесь величина
—, —,—, * .-!
а ' Ь с ' ' ' ' I
обрааует арифметическую прогрессию. Согласно свойствам членов
арифметической прогрессии имеем:
или
4-4-+'"-<> '(4-Ь).
1 л—1 п —2
/ Ь а
Последнее равенство показывает, что
аЬ
(п-1)а-(п-2)Ь
аЪ
h
(л — 1)а — (п — 2)Ь
Прим. ред.
п*
260 Прогрессии
Проведем из вершины А прямые через точки
3, 4» 1> 4 и т- Д-
так, чтобы они пересекли вертикальную линию ВН.
Расстояния ВС, BD, BE, BFх) и т. д. изображают члены
соответствующей арифметической прогрессии. Это значит, что
отрезки ВС, CD, DE
и т. д. равны между
собой.
Если же точки В, С,
Д Е и т. д.
расположены не на одинаковых
расстояниях, то ряд —
'• не гармонический.
323. Для
графического построения
гармонического ряда по
двум данным его
членам, например а и Ь, и
при условий, что
имеется с промежуточных
членов, поступают так:
Расстояние между точками, соответствующими величинам,
обратным а и b (на вертикальной шкале DH), делят на с -\-1
*) Не трудно видеть, чго Д ABC (черт. 117) подобен Д ку, имеющему
вершины в точках /), О и 3. Оба треугольника—- прямоугольные и имеют
равные острые углы.
Из подобия треугольников вытекает пропорция
J3Ctl*=l:3
Таким же образом из Подобия &ABD и треугольников с вершинами
в точках О, Л и И/а следует, что
2Ш = 1: 1-1 = 4-
Из подобия или в данном случае равенства Д ABC и Д АОЕ
следует, что "
Я£=1:Д = 1
и т. д.
Отрезки ВС, BD, BE и т. д., будучи по величине обратными членам
гармонической прогрессии, образуют прогрессию арифметическую. Длины
отрезков ВС, CD, DE и т. д. между собою равны.
Прим. ред.
Предел переменной
261
равных частей. Через полученные точки деления проводят из А
пучок прямых линий и отмечают пересечения их с линией ОХ.
Гармоническое среднее между двумя числами может быть
найдено аналогичным способом, если через середину отрезка DH
(рис. 118) провести прямую и отметить точку пересечения ее
с ОХ.
Глава XIV.
ПЕРЕМЕННЫЕ, ПРЕДЕЛЫ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ.
324. Предел переменной. Пусть переменная принимает ряд
значений, которые приближаются к некоторому постоянному
числу, так что разность между нею и указанным постоянным,
начиная с некоторого значения, может быть сделана и остается
меньше любого как угодно малого наперед заданного числа.
В таком случае постоянное число называется пределом
переменной. Говорят, что последняя стремится к этому
постоянному как к пределу.
Переменная 0,3, 0,33, 0,333 . . ., увеличение которой при
переходе от предыдущего значения к последующему
составляет Vio предыдущего приращения, приближается к -sr как
к пределу.
До 1 1
0,о отличается от -тг меньше чем на ггх.
0,33 отличается от -~- меньше чем на
0,333 отличается от -5- меньще чем на
3 т~~"^ ~- — Ю00 в
Взяв достаточное число десятичных знаков, можно еде*
лать разность между переменной и -тг меньше какого угодно
малого числа. Это значит, что разность приближается к пре*
делу нуль, т. е. является величиной бесконечно малой. -
325. Переменная величина может принимать ряд
значений, как например 6,6, 6,66, 6,666 и т. д., приближающихся
к некоторому числу, которое не является ее пределом. В
данном случае можно сказать, что значение переменной
приближается к 7. Последнее число однако не является пределом
этой переменной, так как невозможно сделать разность между
ней и 7 меньще любого малого числа* Указанная разность
262 Переменные, пределы и неопределенные выражения
всегда остается большей чем -^р независимо от взятого числа
десятичных знаков. Предел рассматриваемого переменного
равен 62/8.
326. Переменная может,приближаться к пределу и всегда
оставаться больше него или всегда оставаться меньше него,
или же быть то меньше, то больше предела. Во всех этих
случаях важно только то, что разность между переменной и ее
пределом становится и остается по абсолютной величине меньше
любого, как угодно малого, заранее заданного числа.
327. Переменная величина может изменяться так, что,
начиная с некоторого значения, она остается по абсолютной
величине все время больше или все время меньше наперед
заданного числа. Если она остается больше любой заданной
величины, то говорят, что она обращается в бесконечность
или возрастает неограниченно. То обстоятельство, что
переменная х возрастает неограниченно и обращается в
бесконечность) обозначается знаком
х-+ оо.
Если переменная остается по абсолютной величине меньше
любого наперед заданного числа, то говорят, что она
приближается к пределу нуль, и называют ее бесконечно малой.
Это изображается знаком дг-*0.
328. — -*со [*->0].
х
Если постоянное конечное число разделить на бесконечно
малую, то частное обращается в бесконечность. Действительно,
а
если числитель дроби постоянная, а знаменатель
уменьшается так, что делается по абсолютной величине меньше
любого заранее заданного числа, то частное возрастает и
может достичь сколь угодно больших значений.
329. — -*0 [лг-юо].
х
Если разделить постоянную конечную величину на
переменную, которая безгранично возрастает, то частное будет
числом бесконечно малым. В самом деле, если числитель
дроби — есть величина постряннад. И знаменатель стремится
Предел переменной
263
к бесконечности, то частное уменьшается и приближается
в пределе к нулю.
330. Переменная не может приближаться к двум неравным
пределам одновременно.
331* Если две переменные всегда равны между собой
й каждая из них приближается к пределу, то их пределы
также равны между собой.
332. Предел алгебраической суммы постоянной и
переменной величин равен алгебраической сумме постоянной и
предела указанной переменной.
333. Предел произведения переменной и постоянной
величин равен произведению постоянной на предел переменной,
334. Предел переменной суммы конечного числа
переменных равен сумме их пределов..
335. Предел произведения двух или нескольких
переменных равен произведению их пределов.
336. Предел частного двух переменных равен частному
их пределов (если предел делителя не равен нулю).
337. Выражение
Hm f(x)
читается:
„предел функции х> если х приближается к пределу,
равному а".4
Если в функции
4дг —Зу
предел х == 5, а предел g — 2, то предел функции от х и у равен:
4-5—3-2 = 14
Найдем
m L *—1 \х+\
Если подставить значение предела непосредственно в
выражение для функции, то получим:
1 — 1^ 0
1 — 1 0 '
которое представляется неопределенным.
Разложив предварительно числитель на множители, получим:
264 Переменные, пределы и неопределенные выражения
так как *->-1, то
limj
4^fLr1+1-2-
Данное выражение стремится к Ъ как к пределу, если х
приближается к 1.
Найдем предел выражения
Г 4y*—2'г-И: 1
L 2*»-3** + 4 L
J а*-ко
со
Прямая подстановка дает — ; однако, разделив числитель
оо
и знаменатель на л3, получаем:
lim
А 2 . Н
4 7-Г-е
X1 Л*
_ х ^ я» .
т 2 1 3 4 «
' Так как л: -> оо , то —тг, —г, —, —г приближаются к нулю,
х* х° х х*
следовательно предел заданного выражения- равен 2.
Найдем предел выражения:
[2х-4 х-2 \^2'
Прямая подстановка даетоо — оо.
Упростим заданное выражение:
л:2 — 6<: + 8 л:—4
lim
2(лг —2) 2
t 2 J**2~~ 2
338. Другие методы.
Г 4т8—2r* + 3r~H 1
I
Если л: приближается к нулю, то первые три членачисли?
теля и первые три члена знаменателя также приближаются i
К нулю; следовательно, согласно n° 326i числитель -> 1, а зна^
Неопределенные выражения 265
менатель-*2; таким образом дробь, согласно п° 328, стремится
к пределу, равному 7} *
339. Если числитель дробж — есть величина постоянная,.
в то время как знаменатель, возрастая, становится по
величине больше любого заданного числа, то частное уменьшается
и в пределе становится меньшим любого заданного числа.
340* Неопределенные выражения. Если в результате дей~
ствиг над переменными и их пределами получаются
выражения вида
О ОО оо
оэ— <ю,0Хсо, оо X 0, -Q-, -Q-, 0°, ооо, 1 ,
то эти выражения являются неопределенными.
При непосредственных подстановках пределов в данные
выражения, часто получаются неопределенности указанного
вида.
Если данное выражение — дробное, то прежде всего следует
его сократить.
Знак-* означает: „приближается к пределу".
Если, придавая переменной х значения, достаточно близкие
к ее пределу, можно приблизить и значения какой-нибудь
функции от х как угодно близко к конечной постоявноЛ/, то
/ называется пределом функции при л:-*а.
Если x->oof т. е. становится бесконечно большим, то три
последние члена знаменателя в примере п°337 делаются
бесконечно малыми по сравнению с первыми членами, а потому
ими можно пренебречь. Следовательно, если х —> оо, то дробь
приближается к предельному значению, равному
-45* _ А.
З.г» — 3 #
Пример. Найти предельное значение
L a w
если /(лг) = лт3.
Имеем:
л Z
.откуда
Km Г
7 I = 3 Д
h h
266 Логарифмы
Глава XV.
ЛОГАРИФМЫ.
341. Джон Непер (1550—1617), сравнивая
арифметическую и геометрическую прогрессии, нашел, что между
членами этих двух рядов существует определенная связь. Это
привело к открытию соотношений, оказавшихся чрезвычайно
полезными в смысле облегчения вычислений.
Рассмотрим приведенную ниже в таблице арифметическую
прогрессию, первый член которой равен нулю, и
геометрическую— с первым членом, равным единице.
1 Геометрическая прогрессия
1 Арифметическая прогрессия
1
0
2
1
4
2
8
3
16
4
32
5
64 128
6
7
256
8
512
9
1024
10
Произведение любых двух членов геометрической
прогрессии может быть найдено путем сложения членов
арифметической, стоящих под ними. Указанное произведение находится
над членом арифметической прогрессии, равным этой сумме.
Так, например, произведение 8 на 32 найдется следующим
образом:
Сложив члены арифметической прогрессии, стоящие под
членами 8 и 32 геометрической, имеем:
3+5=~8.
Разыщем в нижней строке число 8 и найдем
непосредственно над ним искомое произведение, равное 256.
Заметим, что знаменатель данной геометрической прогрес
сии равев? 2, так что ее можно представить в таком виде:
2°, 21, 22, 23/24, 2б, 2\ 2\ 2*, 29, 210.
Показатели этих степеней составляют арифметическую
прогрессию, члены которой даны в нижней строке таблицы.
Число 2 является основанием системы, а показатели
членов геометрической прогрессии (составляющие, как было
указано, арифметическую) называются логарифмами чисел,
которые стоят в верхней строке таблицы над ними.
Так, например, логарифм числа 16 при основании 2 ра-
эен 4, что обозначается так:
Джон Непер
267
Рассмотренные нами ряды, однако, неудобны для
вычислительных целей, так как произведения отсутствующих там
чисел, не являющихся членами геометрической прогрессии, на- '
пример 68 или 250, не могут быть найдены в таблице.
Можно написать какое угодно число рядов, но все они
будут страдать тем недостатком, что между их членами остаются
незаполненные промежутки.
Непер установил для своей системы особое основание. Он
разыскал для промежутка между единицей и двумя ряд из
ста чисел, находящихся в равных отношениях. Таким образом
между 1 и 2 од вставил сто средних геометрических. Отсюда
и произошло название „логарифм", которое по-гречески
означает „число отношения".
342. Приведенные в начале предыдущего п° ряды могут
быть продолжены безгранично как в правую, так и в левую
сторону. В последнем случае мы будем иметь:
Геометрическая прогрессия
1 *
Арифметическая прогрессия
1 1 1 1 1 ! 2 1
32 16 8 4 2 "I
* 1
-5 -4 —3 -2 -1 0 1...
В этом случае соответствующая геометрическая прогресс
сия будет иметь вид:
i i i 1 1 1
26' 24' 23' 22> 2' 2°"'
или
2~\ 2~*. 2~\ Т\ 2~\ 2°...
Чтобы составить таблицу логарифмов для большего ряда
целых чисел, а также для дробных, находящихся в
промежутках между ними (например между 1 и 2), пришлось бы
отыскивать средние геометрические между этими числами.
Вставим по одному геометрическому среднему между
членами последнего ряда. Так как для двух чисел а и Ь оно
равно Vab, то имеем:
Геометрическая
прогрессия
Арифметическая
прогрессия
т iv'2 т tV2 x V1 2 2^... 1
_2 _1_1 _1 о 1 1 3
i..HjmiUl.iii !■ - - 1 U щмии ми , ji пи, .. mm ui in i 1ПЧШЛ1
268
Логарифмы
Путем дальнейших вставок мы можем составить таблицу
логарифмов.
Итак, находя п средних геометрических между какими*
нибудь членами геометрической прогрессии, например между
1 и 2, а также п средних арифметических между
соответствующими членами арифметической, можем составить ряды:
Геометрическая
прогрессия
Арифметическая
прогрессия
2°
0
1
2п
1
п
2
2П
2
п
3
2п
3
п
4
1п
. 4
п '••
п
2п
п
п
w + 1 1
2 п 1
п+г\
п
Продолжив их далее, найдем:
Геометрическая
прогрессия
Арифметическая
1 прогрессия
л + 1
2 п ,
м + 2
2 w ,
п + 2
п >
п + З
о w
Л 9 • • • »
п + 3
w-f п—1
2 » ,
п + ч-1
•
/2
2п 1
2'п
—
» ■
343* Логарифм числа по данному основанию есть
показатель степени, в которую надо возвысить основание, чтобы
получить это число.
Таким образом в выражении
a" = N
х есть логарифм числа N по основанию а. В дальнейшем
будем обозначать это символом
Основание а может быть любым положительным числом,
кроме 1 или 0.
Наибольшим распространением пользуются две системы
логарифмов: неперова или натуральная с основанием 2,71828...
и обыкновенная или бриггова с основанием 10.
Неперова система употребляется в высшей математике,
так как она обладает тем удобством, что наклон касательной
к кривой показательной функции в любой ее точке равен
ординате в этой точке.
Как будет ясно из дальнейшего (см. главу XLI), основным
действием в дифференциальном исчислении является
нахождение наклона касательной к кривой в любой ее точке,
Логарифм числа 269
Если этот наклон равен у, т. е. самой функции, то процесс
дифференцирования оказывается'весьма простым.
■ Обычные вычисления гораздо удобнее производить при
помощи бригговых логарифмов с основанием 10.
Независимо от принятого основания, между числами и их
логарифмами существуют следующие соотношения:
lg{ab) = lga + lgb; lg (-J-) =]ga-lgb. «
lgf( —J === —lgn; lgan = nlga.
n - 1
h(Va) = — ha'> lg основания = 1, lgl=0.
Чтобы выяснить связь между обеими упомянутыми
системами логарифмов, составим следующую таблицу для
небольшого ряда чисел:
1 Неперова система
1 арифм.
1 прогрессия
1 ~3
-2
-1
о
1
2
з
1 4 *
геометрическая
прогрессия
-L *= е""3 = 0,04979
е6
— = е~2 = 0,13534
~ = е-1 = 0,3678
е1
е^=1,0
el = 2,71828
е2 = 7,339
е3 = 20,035
е4 = 54,589
Бриггова система |
арифм.
прогрессия
-3
-2
-1
• 0
1
2
3
4
геометрическая 1
прогрессия 1
100 = 1
10=10
103 = 100
103 = 1000
104 = 10000
344. Рассматривая приведенную таблицу обыкновенных
логарифмов с основанием 10, отметим, что целая часть
логарифма на единицу меньше числа цифр, стоящих слева от
запятой. В случае десятичной дроби, которая выражается
единицей с предшествующими нулями, целая часть логарифма
содержит столько отрицательных единиц, сколько имеется
нулей, считая в том числе и нуль целых.
2JQ • Логарифмы
В этой системе мантисса или дробная часть логарифма
не изменяется при перенесении запятой. 1ак
1021088i) = 127 или lg 127 = 2,1038
101дозз=12>7 или ljr 12,7 = 1,1038
Ю°'1038 = 1,27 или Ig 1,27 = 0,1038.
Мантисса всегда остается положительной, а знак минус
относится только к целой части логарифма или к его
характеристике. Так как таблица логарифмов составлена для чисел
между 1 и 10, то эти логарифмы являются десятичными
дробями, иначе говоря — состоят только из мантиссы. В таком
виде они и даются в таблицах,, служащих для вычислений. .
Всякое число, например 2834, можно рассматривать как
произведение двух множителей: 2,834 и 103.
Согласно основному правилу
lg 2,834 = 0,4524, lg 103 = 3,0000,
следовательно
lg 2834 = 0,4524 + 3,0000 = 3,4524.
Итак для нахождения логарифма числа разлагаем его на
два множителя. Первый из них является числом, у которого
запятая стоит непосредственно после первой слева значащей
цифры; например для числа 2834 первый 'множитель будет
2,834.
Второй множитель представляет собой в данном случае 108,
так как запятая должна быть передвинута на три знака
вправо, чтобы не изменить величину первоначально взятого
числа 2834.
Логарифм первого множителя мы находим непосредственно
из таблиц, так как в них указаны логарифмы чисел от
1 до 10.
Логарифм второго множителя равен показателю степени
при 10, т. е. в данном случае числу 3, являющемуся
характеристикой логарифма произведения.
Таким образом, все действия, необходимые для нахождения
логарифма, сводятся к перенесению запятой за первую слева
значащую цифру и нахождению соответствующей мантиссы;
число знаков, на которое перенесена запятая, определяет
характеристику.
*) Найдено из таблиц.
Нахождение числа по данному логарифму его 271
Пусть, например, требуется найти lg 0,0002834, Поступая
согласно сказанному, имеем:
ls 0,0002834 — Ijr (2,834 • Ю"4) ~ lg 2,834 + Ig HT4.
Но
lg 2,834 = 0,4524
Ig 10^ = —4 или 4,0000,
следовательно
lg 0,0002834 = 4,4524 или 0,4524—4,
Описанный метод отыскания логарифмов значительно
облегчает кх применение, и если следовать ему, то это
действие не представит никакой трудности.
345. Интерполирование. Часто случается, что обычные
четырехзначные таблицы не дают непосредственно значение
логарифма с принятой точностью, и поэтому приходится
совершать дополнительное действие.
Логарифм числа 283,4 не содержится непосредственно
л
в таблице. Четвертая слева цифра — 4 составляет ттг от
разности чисел 283,0 и 284,0. В таблице разности между сосед*
ними логарифмами табулированы, и, обращаясь к- таблице,
находим:
lg 283,0 = 2,4518,
а разность (по отношению к lg 284,0) оказывается равной 15.
Поэтому для получения lg 283,4 прибавляем к lg 283
То от15-
Итак
lg 283,0 = 2,4518
6
lg 283,4 = 2,4524 '
Следует всегда помнить, что с увеличением числа
возрастает и логарифм, а потому, если искомое число больше
данного в таблице, то разность должна быть прибавлена к
последнему.
346. Нахождение числа по данному «логарифму его*
Это действие является обратным по отношению к
предыдущему. Оно состоит в следующем:
272 Логарифмы
Находим в таблицах мантиссу, ближайшую меньшую к
данной.
Положим, например, что дана мантисса 0,4371. Ближайшая
меньшая есть 0,4362, причем разность со следующей
большей указана в таблицах и равна 16, разность же между 0,4362
и 0,4371 равна 9 (десятитысячным).
Логарифму 0,4362 соответствует число 2,73. Логарифм
9
искомого числа (т. е. 0,4371) больше найденного на —послед-
9
«его десятичного знака. Обращая т^- в десятичную дробь,
найдем, что она равна 0,56, или, округляя, 0,6. Поэтому искомое
число будет равно 2,736.
Так как характеристика данного логарифма равна нулю,
то в найденном числе отделяем запятой одну *цифру .слева,
потому что, как было установлено в предыдущем,
'характеристика всегда на единицу меньше числа цифр слева от >за-
пятой в искомом числе, и стало-быть в нем следует убрать
на одну цифру больше слева от занятий, чем число единиц
в характеристике.
Необходимо помнить, что имеющиеся в таблицах мантиссы
.являются логарифмами чисел между 1 и 10, следовательно
в числах, им соответствующих, нужно отделять запятой один
знак слева.
*347. Как избежать получения отрицательной мантиссы?
Было бы крайне неудобным получить в конце вычислений
результат вроде
л/=ю-0'39686,
так как в таблицах даны только положительные мантиссы.
По определению степени с отрицательным показателем,
можно написать в данном случае:-
1 о0,39685 "
Однако для вычисления N пришлось бы после нахождения
степени произвести дополнительное деление.
Во избежание указанных трудностей, необходимо все время
тщательно следить, чтобы мантисса в процессе вычислений
всегда оставалась положительной. Для этого следует
увеличить меньший логарифм на некоторое целое число и таким
образом сделать его большим. В то *ке время, чтобы сохра-
Умножение посредством логарифмов ^3
нить истинную величину логарифма неизменной, следует
вычесть указанное число,
1 Возьмем например выражение
1,58
х 4326'
lg * = lg 1,58 —lg 4326
lg 1,58 = 0,19866
lg 4326 = 3,63609.
Увеличим первый логарифм на 4 и вычтем это число:
lg 1,58 = 4,19866-4
lg 4326 = 3,63609
lg x = 0,56257—4.
Заметим, что мантисса х — положительная, а характеристика
равна (—4).
Число, логарифм которого равен 0,56257, есть 3,652.
Передвигая запятую на 4 знака влево, найдем:
л; = 0,0003652.
348. Если lg Л/= 3,4524, то мантисса соответствует
какому-то числу между 1 и 10, а характеристика — степени 10
(в данном случае третьей). Таким образом, найдя число,
соответствующее мантиссе 0,4524, и перенеся запятую на 3 знака
вправо, получим искомое число.
Если lg /V = 0,4524 — 4, то характеристика равна (—4)
и соответствует 10"", следовательно необходимо перенести
запятую на 4 знака влево. В результате получим:
N=0,0002834.
349. Умножение посредством логарифмов. Для
умножения находим по таблицам логарифмы сомножителей и
складываем их. Полученная сумма соответствует логарифму
произведения. Для нахождения последнего разыскиваем в
таблицах число, логарифм которого равен полученной сумме.
Пример, х = 4,056 • 92,1 - 0,0001832.
Имеем:
1г 4,056 = 0,6081
lg 92,1 = 1,9643
lg 0,0001832 = 0,2629 - 4
lg x = 2,8353 - 4 = 0,8353-2.
x = 6,84 • lO""2 = 0,0684.
1} Спрпючпик Для инженера.
274 Логарифмы
350. Деление посредством логарифмов. Вычитаем
логарифм делителя из логарифма делимого, получим логарифм
частного. По найденному логарифму найдем из таблиц и
самое частное. Рассмотрим в качестве примера нахождение
частного в следующем случае:
/v==2314 2314 141"1
141 "~ • 1 1 '
lg N=\g 2314 — lg 141
lg N=3,3643 — 2,1492 = 1,2151.
Из таблиц находим N= 16,41.
Пример.
0,000168
\g 3,128 = 0,4953
lg 0,000168-0,2253-4
lg W=0,270J + 4
//=18620.
Если из меньшей мантиссы приходится вычитать большую,
то во избежание получения отрицательной мантиссы
прибавляем к меньшей единицу и вычитаем эту единицу из
характеристики.
Пусть, например,
уу_ 0,0333
.49,1 '
' lg 0,0333 = 0,5224 — 2 = 1,5224—3
lg 49,1 =0,6911 + 1.
Теперь можно произвести вычитание:
lg 0,0333 = 1,5224 — 3
lg 49,1 =0,6911 + 1
lg N=0,8213 — 4 '
N= 6,62-10"4 = 0,000662.
" Число N, соответствующее данному логарифму, называется
антилогарифмом последнего.
351. Кологарифм. Остаток, полученный после вычитания
логарифма из 1,0000—1, называется дополнением логарифма
или кологарифмом числа.
Нахождение дробных степеней посредством логарифмов Л/Э
Пользуясь кологарифмами, можно заменить
комбинированное умножение и деление одним умножением.
colg /V 1st N=h^f.
1,0000— 1
lg 0,0734-0,8657 — 2
0,1343 + 1 = colg 0,0734.
Пусть имеется
-,0,0216-0,831
61,3- 4,12 '
lg 0,0216 = 0,3345 — 2
]g 0,831 =0,9196 — 1
colg 61,3 =0,2125 — 2 (lg 61,3 =0,7875+1)
colg 4,12 =0,3851 — 1 (lg 4,12 = 0,6149)
lg /V=4,8517 — 6 = 0,8517 — 5.
/V= 7,167 • 10"5 = 0,00007167.
352. Нахождение степеней посредством Логарифмов.
Если число а возвышено в п-ую степень, т. е.
ап = а • а а. .. (п раз),
то
lg (an) = lg a + lg а+ ... (п раз)
или
Поэтому для вычисления степени отыскиваем в таблицах
логарифм ее основания и умножаем его на показатель п,
а затем по найденному произведению находим
соответствующий антилогарифм. Это и будет искомая степень.
Пример
//=(0,033)3.
)g 0,033 = 0,5185 - 2
lg N= (0,5185 - 2) 3 = 1,5555 - 6 = 0,5555 - 5.
N= 3,59.10~5 = 0,0000359.
353. Нахождение дробных степеней посредством
логарифмов.
а") = аЯ1-
18*
lg V ап J = п lg ап; lg a = m lg a.
z,tv логарифмы
Следовательно
7i Jgr an ' = т lg a
или
Пример.
\%ап = — lg a.
s 1
У(125)2 = 1253.
- 2 2
lg (125 3) = у Ig 125 = у (2,0969) = 13979.
Из таблиц находим:
W= 25.
354. Извлечение корня. Если требуется извлечь корень
л-ой степени, то рассматриваем его как — степень
подкоренного количества. Покажем на примере, как выполняются
в этом случае действия.
5 _1_
1/1728 = (1728)п •
1 1
Ig (i7283) = -y (3,2375) = 1,0792.
#=12.
355. Нахождение обратных величин при помощи
логарифмов. Вычитаем мантиссу логарифма из единицы,
прибавляем единицу к характеристике и меняем знак
характеристики на обратный.
Пример. Найти величину, обратную 426 I т. е. тг?)»
Ig 426 = 2,629410.
Вычитаем мантиссу из единицы:
1,000000
0,629410
0,370590
Прибавляем единицу к характеристике и меняем знак последней на
обратный; тогда
"3,370590
есть логарифм искомого числа, т. е.
// = 0,002347.
Изменение основайия логарифмов 277
356. Нахождение четвертого члена пропорции
посредством логарифмов. Складываем логарифмы второго и третьего
членов пропорции и вычитаем из этой суммы логарифм
первого члена. Разность равна логарифму четвертого члена. По
логарифму можно найти и самое число.
357. Натуральные или нёперовы логарифмы. Эти
логарифмы находятся по таблицам точно так же, кэк и
обыкновенные. Главная разница при пользовании ими по сравнению
с десятичными заключается в том, что при перенесении
запятой вправо на каждый десятичный знак приходится прибавлять
число 2,3026, а при перенесении запятой влево приходится
вычитать это число из логарифма.
Из таблицы, приведенной в п° 343, видно, что lg 10 в этой
системе равен 2,3026; отсюда и вытекает указанное правило.
Таблицы обычно содержат натуральные логарифмы чисел
от 1 до 10.
Таким образом неперов логарифм 245 или 2,45 ■ 102 равен
0,8961 + 2 (2,3026) = 0,8961 + 4,6052 = 5,5013.
Для этой системы остаются в силе все те основные
принципы, которые применялись нами для обыкновенных
логарифмов; поэтому натуральными логарифмами можно
пользоваться при умножении, делении, возвышении в степень и
извлечении корня.
Однако из сказанного., выше ясно, что в натуральной
системе мантисса не является независимой от положения
запятой, так что числа, имеющие одинаковые значащие цифры,
не будут здесь иметь одинаковые мантиссы, как это
происходит в случае применения бриггоных логарифмов.
358. Изменение основания логарифмов. Пусть у —
логарифм числа N по основанию а, х— логарифм того же числа
по основанию с; тогда
каЫ = У и N = av
lgeN=x и N=c*.
Следовательно
ау = сх.
Возьмем логарифмы обеих частей равенства по основанию а:
У = х-кас или \gaN=lScN']gac.
Взяв логарифм обеих частей равенства по основанию с,
имеем:
* = У • кса или lgc N = lga A/lgca.
278 Показательные функции
Таким образом
Заметим, что при перемене основания следует умножить
логарифм числа, взятый по первоначальному основанию, на
логарифм этого основания в новой системе.
Перемена основания сводится к умножению логарифма на
постоянное число.
Так, для обыкновенных логарифмов имеем:
обыкновенный логарифм равен неперову логарифму, умно-
, неперой логарифм
женному на lg10e = j—-^ ,
а для натуральных — имеем:
неперов логарифм равен обыкновенному логарифму, умно'
, НГк обыкн. логарифм
женному на \ge 10 = ; *—£— е
*£ю е
Так как lg10e = 0,4343, a lg, 10 = 2,3026, то
обыкновенный логарифм равен неперову • 0,4343 =
неперов логарифм
~ 23026 '
Неперов логарифм равен обыкновенному логарифму X
о Qno* обыкнов. логарифм
Глава XVJ.
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ОТНОШЕНИЕ К
ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ.
359. Сравнение кривых у = г* и у == ех. Возьмем
функцию у = гх и преобразуем ее в у = етх. Такое
преобразование вполне возможно, ибо перемена основания логарифма
может быть выполнена посредством умножения этого
логарифма на постоянную.
Так как логарифм есть показатель степени, то указанное
преобразование сводится к умножению показателя при новом
основании на постоянную т:
г=ет.
Сравнение кривых
219
Кривая у = етх получается из кривой у = ё*
подстановкой тх вместо ху т. е. умножением абсцисс графика у = ех
1
на ~^Г*
т
Для у = ОВ (рис.119) абс- S
циссы ВРХ и ВР2 суть
соответственно \ge у и lgry, иначе
говоря—
BPq = ±-BP1
или
т
1Яг9 = — 1«е9-'.
Рис. 119.
Если т определено, то можно перейти от системы с
основанием е к системе с основанием г.
Величина — называется модулем системы логарифмов
ТП п
с основанием г.
Заметим, что — есть lgre или
как это доказано
m - \%е г
в п° 358.
360. Если имеется кривая у = г* и требуется начертить
кривую # = /?+\ то следует просто перенести точки кривой
Рис. 120.
влево на расстояние А единиц или, что то же самое, пере**
нести начало координат вправо, т. е. в положительном
направлении, на h единиц.
280 Показательные функции и их отношен, к логарифм, f
Так как
# = г ^ =г ■ г ,
то ординаты новой кривой будут в г раз больше ординат
кривой у = гх. Оба способа преобразования графика последней
функции показаны на рис. 120 и 121.
361. Логарифмические и показательные функции.
Рассмотрим уравнения
у = / (показательная функция)
х — \%гУ (логарифмическая функция).
Оба вида функций эквивалентны, но имеют обратный друг
другу смысл. Если вычертить соответствующие кривые, то
они окажутся одинаковыми. Этот случай аналогичен
следующему:
i
Рис. 124.
Рис. 125,
Оба уравнения соответствуют одной и той же кривой.
График указанных в начале п° функций показан на рис. 122.
Наклон касательной и показательной кривой 281
Кривая у = е х% показанная на рис. 124, представляет
собой зеркальное отражение кривой у = ех по отношению
к оси У.
Влияние замены х на у и
подстановок — х вместо х и — у
вместо у в данные уравнения
видно из рис. 123, 124 и 125,
если их сравнить с рис. 122.
362. Подкасательная к
показательной кривой.
Замечательное свойство показательной
кривой заключается в том, что
длина k подкасательной графика
этой функции (рис. 126) есть
величина постоянная. Если в точке
Р провести касательную к
кривой до пересечения в точке Т
с «осью X, то расстояние ТВ
между этой точкой и основанием
перпендикуляра, опущенного из
Р, есть величина постоянная. Это
подкасательной кривой *).
к > 1, если г = 2
к < 1, если г = 3.
При £=1, г=е = 2,71828.
363. Наклон касательной к графику показательной
функции. Наклон касательной к кривой # = /■% как видно из гра-
фика, равен -^- или, так как величина к — постоянная для
любой точки А
наклон этой касательной равен су (1)
1
Рис. 126.
расстояние называется
где с-
к '
Из (1) можно заключить, что наклон касательной
пропорционален ординате данной точки.
Таким образом, для Р (О, 1^ эта величина равна с== "тг*
*-) Свойство подкасательной показательной кривой, упоминаемое в этом
параграфе, будет выведено в дальнейшем из уравнения кривой.
Прим, оед*
282 Показательные функции и их отношен, к логарифм.
Как было указано в п°362, величина k зависит от /-,
причем если г = е, то & = 1, с = 1.
Произведение сд (наклон касательной) имеет величину,
равную у.
Это свойство касательной обусловливает применение нату*
ральных логарифмов в высшей математике, так как
производная функции равна самой функции.
364. Показательные уравнения вида rx — b. Уравнения
этого типа, Например 20* = 75, решаются с помощью
логарифмов.
Положим г* = 6; тогда lg(/c) = lg6, так как- логарифмы
равных величин также равны между собой.
Следовательно
x\gr = \gb.
Отсюда
Приведенное выше уравнение 20х = 75 можно решить>
подставляя в выражение для х величины г = 20 и 6 = 75;
тогда
lg 75 __ 1,875061 „
* ~ 1г 20 _ 1,301030 - Ь***™*-
Согласно сказанному в начале предыдущей главы,
ординаты графика показательной функции составляют
геометрическую прогрессию, в то время как абсциссы образуют
арифметическую (см. п° 341).
365. Закон сложных процентов. Пусть Р— вложенный
капитал; г — размер процентов.
В конце первого года прибыль равна Рг, а самый капитал
обратится в
р+Рг = Р(1 + г).
Приращение капитала в конце второго года будет равно
Р{1~\-г)г, а капитал будет
(P + rP) + (l + r)Pr
или
P(l+r) + Pr(l + r) = (P+Pr)(l + r)~
= P(l + r)(l + r) = P(l + r)«.
Размеры капитала через п лет
А = Р(1 + г)\
Вычисления при помощи логарифмов 283
Если капитал отдан по сложным процентам, причем
приращение его равно 5% в год, то через п лет этот капитал
будет равен
Л = Р(1 + 7-Г = Р(1,05у.
Откладывая по оси абсцисс годы, а по оси ординат —
размеры капитала, получим кривую, являющуюся графиком
показательной функции.
lg10 1,05 =0,021
\ge 1,05 = 2,302 • 0,021 = 0,048,
откуда
0,048 л лс
е = 1,05.
Таким образом функция будет иметь вид
А = Ре0М8\
Это будет частный случай уравнения
У = ае*х.
366. Характер возрастания показательной функции.
Закон сложных процентов выражает ряд важнейших явлений
природы. Как было замчено ранее, наклон касательной
к кривой у = аех (или скорость возрастания показательной
функции) в любой ее точке пропорционален ординатам или
значениям функции.
Таким образом, если какая-нибудь функция возрастает
пропорционально себе самой, то имеет место изменение по
закону сложных процентов или показательному.
Говорят, что изменение двух количеств происходит4 по
показательному закону, если одно из них изменяется в
геометрической прогрессии, в то время как другое—в
арифметической. Пример представляет трение каната, закрученного
около вала: в то время как число оборотов возрастает в
арифметической прогрессии, трение возрастает в прогрессии
геометрической.
Выражение у = аеЬх есть общая форма показательных
уравнений.
367. Вычисления при помощи логарифмов. Вычисления
при помощи логарифмов дают в результате число с числом
точных значащих цифр, не большим числа десятичных знаков
в мантиссе. Сообразно с этим, если заданное число имеет,
скажем, четыре верных знака, то для вычислений достаточно
четырехзначных таблиц.
284 Показательные функции и их отношен, к логарифм.
Если одно из чисел имеет три верных знака, то точность
вычислений при помощи счетной линейки (которая есть не что
иное, как трехзначная таблица логарифмов) оказывается вполне
достаточной.
В случае шести точных знаков для сохранения
надлежащей точности необходимо употреблять шестизначные таблицы
логарифмов.
368. Модуль убывания или логарифмический декремент.
В очень большом числе явлений природы убывающая
показательная функция встречается чаще, чем возрастающая, так
1то соответствующее уравнение имеет вид
-Ъх
у = ае ,
где Ь—существенно отрицательная величина. Величина (—Ь)
называется модулем убывания г ли логарифмическим
декрементом функции, соответствующим возрастанию переменной х
на единицу. Логарифмический декремент показан для ряда
натуральных и обыкновенных логарифмов, как они идут слева
от единицы (п°343).
369. Приближенные логарифмические формулы. Если
х — малая величина, то
\ge(l±x) = ±x-±x*.
Пример»
1ге (1,0025) = 0,0025 - 9=222^25.
.Указанное соотношение является следствием изложенного в п°464, где
приведены ряды для вычисления логарифмов.
370. Некоторые дополнительные логарифмические
формулы.
h (Же) = lg a + lg b + lg с
lg(^]=lga + lg& — lgc — lgrf
lg(flwiV) = m' lga + n «lgi-j-P • lgc
lg (~sr ) =lga + m • lg b~ n • lgc
\g(a*-b*) = \g[(a~b)(a + b)] = \g(a-b) + lz(a + b)
Логарифмическая бумага 285
]g ]/{^~Ь^Г = ^ 1*[(a-Ь)(а» + аЪ + #)] = £1?(а - 6) +
+ ™№ + а* + &2)
371. Логарифмическая бумага. Бумага, на которой
нанесена сетка из двух взаимно-перпендикулярных систем линий,
расстояние между которыми взято по логарифмической шкале,
называется логарифмической бумагой. Эта бумага весьма
удобна для изображения на ней степенных функций.
Чтобы начертить* на логарифмической бумаге график
функции
у = ахп9 [65]
возьмем логарифмы обеих частей равенства. Имеем:
Ig^^ga + rtlg*- (1)
Положим
y = kl/t K=lgaf X=lgx.
Тогда вместо ур-ния (1) можно написать
[86] Y = nX-\-K.
Если принять X и Y за переменные, то ур-нию [86] будет
соответствовать прямая линия. Линию того же вида мы
получили бы, если бы откладывали значения х и у на
логарифмической бумаге. Действительно, когда мы откладываем какое-
нибудь значение х, то расстояние от начала координат до
точки на оси X, абсцисса которой равна л*, есть нечто иное,
как lg х> Кроме того, наклон прямой, соответствующей ур-нию
]8б], равен п, т. е. показателю степени при х в ур-нии [65].
Пересечение этой линии с осью У есть точка с ординатой К9
равной Iga.
286 Показательные функции и их отношен, к логарифм.
Таким, образом, если нанести на логарифмической бумаге
значения х и у из [65], то величина п будет характеризоваться
наклоном прямой, а значение а можно отсчитать
непосредственно на вертикальной шкале.
372. Примеры графиков степенных функций приведены на
рис. 127 и 128. На рис. 129 показан график зависимости
между путем, проходимым телом, и временем его падения.
3 4 6 810 20 ?0 40 60 80100
значения х
Рис. 127.
При графическом изображении степенной функции сперва
определяется точка (1,1), а затем через эту точку проводится
прямая с наклоном п. Значения х и у находятся из графика
непосредственно.
Логарифмические сетки часто наносятся в виде небольших
квадратов с делениями от 1 до 10 на каждой стороне. Каждый
такой квадрат является повторением предыдущего квадрата,
как это видно из рис. 127, 128 и 129.
j.
f
2 3 4 6 8 10 20 30 40 60 80100 аначет
Рис 128.
100
80
60!
40
30
I
t
c"
V tg5'=Zlgf+lg^+lg$r/
/ un l/ пли V ' 1 /
Ъ 7 "u,,;'w"
J
> ;
3 <
/
*
If
1
6
,905 //
ill / ■*
\rrf *4
1 1 /
1 1 / V
tttc*
Ги я
MV '
8 10 2
0 3
п
i
*>
<э
'г
u 1 /
V^
%\
04
0
/ 0»
Щ
60 ее
0
•Ы
зю
ю|
8
6
время
Гис. 129,
288 Показательные функции и их лтношен. к логарифм.
Каждый последующий квадрат соответствует таким
образом увеличению логарифма переменной на единицу, что
равносильно перенесению запятой на один знак вправо.
5.
В случае, если у — х2 (рис.130), то, при перенесении
запятой в л: на два знака, в у следует перенести ее на три знака,
ибо наклон прямой равен -~-. Начальная точка графика
находится в (1).
С целью экономии места весьма удобно сгруппировать
отдельные квадраты в один и таким образом объединить
Рис. 130 Рис. 131 Рис. 132.
изображение функции на одном квадрате, как это и сделано
на рис. 129.
Во всех случаях желательно определять положение
запятой на-глаз.
После представления функции в логарифмической форме
можно продолжать дальнейшие действия как с линейными
функциями (см. пп° 128 и 145)*
Как было сказано ранее, lga соответствует точке
пересечения с осью К, п — равен наклону прямой.
Если уравнение функции имеет вид
'у = 3(к + 3)\
то ось Y будет пересекаться прямой в точке 3. Вместо
того, чтобы находить lg 3 и откладывать его на оси Y, можно
просто отметить эту точку на указанной оси, ибо масштаб
подобран таким образом, что точка, отмеченная на оси
цифрой'3, соответствует lg3.
Логарифмическая шкала '28У
Если вместо х подставить (х~\-Ъ)% то результат будет
отличаться от того, который получился бы в случае
прямоугольных координат. Мы просто вычитаем из чисел,
указанных на оси X, три единицы и употребляем для отсчитывания
значений х новую шкалу. Эта вторая шкала показана на рис. 133.
1
1601801100
)5 ?0 2530 40 50 I /О |90|
12 17 22 37 57 77 97
27' 47 6787
Рис. 133
Если в уравнении имеется постоянная, изменяющая
значение у, например
ИЛИ
у+з = з(*-ьз)2,
0.30Ю
2
Рис. 134.
0.4771 0.6021 ,
3 4
то для у-ов следует нанести g
дополнительную шкалу, так же \
как это было уже сделано для
лг-ов.
373. Логарифмическая шкала может быть легко получена,
если, вычислив логарифмы чисел от 1 до 10, отложим их
в некотором масштабе на .прямой (рис. 134). Вместо значен****
19 Справочник длж инженера.
290 Показательные функции и их отношен, к логарифм.
логарифмов, на полученной шкале следует надписать
соответствующие им чирла, вследствие чего не будет необходимости
разыскивать их в таблицах. Так например, вместо того* чтобы
в начале шкалы писать 0, мы пишем 1, так как 0 есть lgl;
вместо 0,3010 в точке, соответствующей lg2, мы пишем самое
число 2.
374. Логарифмическая бумага является удобным средством
для выяснения зависимости, связывающей данные, полученные
из опыта, если есть основания предполагать, что зависимость
между переменными выражается показательной функцией,
Если полученные из опыта данные при нанесении на
логарифмическую бумагу, располагаются на прямой линии,
то эта линия соответствует степенной функции. Уравнение,
связывающее переменные, можно легко установить, определив
место пересечения прямой с осью У и ее наклон. Расстояние
точки пересечения от начала координат дает коэффициент а,
а наклон указывает значение показателя степени в уравнении
[65]
375. Логарифмы и
геометрическая
прогрессия. Линия, соединяющая
концы ординат в графике
арифметической
прогрессии, есть прямая. Если
Отложи ь на ординатах
логарифмы членов
геометрической прогрессии, то
концы этих ординат рас-
Рис. 135. положатся также на
прямой.
Действительно, если имеем ряд
а,аг, аг\ а/*.., агп~\ [76]
то, взяв логарифмы его членов, получим:
lga, Iga + lgr, lga-f-21gr, lga+31gr,
Jga + 4fgr,. .., lga + (n — 1) lgr.
Составляя график, в котором по оси абсцисс отложены
деления, соответствующие порядковым нумерам членов, а по
ординатам — их логарифмы, получим чертеж, изображенный
на рис. 135.
у = ах
Логарифмы и геометрическая прогрессия 29J
Так как длина каждой ординаты равна предыдущей плюс
длина, соответствующая lgr, то график будет представлять
собой лрямую.
376. Посредством логарифмической шкалы (например
нанесенной на счетной линейке) можно сразу получить величину
каждого члена прогрессии. Если пользоваться обыкновенным
масштабом, то придется находить их по таблицам.
Применяя описанный способ графического изображения
геометрической прогрессии, можно легко находить любое
геометрическое среднее.
Пример. Найти четыре геометрических средних между числами 2 и 90.
Так как число всех членов равно шести, то отложим на горизонтальной
оси 6 точек на одинаковых расстояниях:
lg 2 = 0.301, lg 90 = 1,954.
Восставим в первой
точке перпендикуляр и
отложим на нем отрезок, равный
lg2, т. е. 0,301, в
соответствующем масштабе. Сделаем
то же самое в шестой точке,
отложив на ординате
отрезок, соответствующий lg 90=
= 1,954. Соединим концы
полученных ординат прямой
линией.
Ординаты остальных
четырех членов прогрессии по- --
лучатся равными отрезкам, отсекаемым проведенной прямой на
перпендикулярах, восставленных из сооотсетствующих делений на оси абсцисс
Измерив эти ординаты, получим:
0,631 0,962
Из таблиц логарифмов найдем,
числа, составляющие ряд
2 4,33 9,16
1.
CNJ С
Т
•Лдг,
|^~-|S
1 ..]<?
t
1
■ CNJ
• со
Js_
1
I
1
icvi
■ CD
!C\J
__1~
ГО
C4J
to
^ 1
in I
CD j
It 1
Г~) )
CD .
Рис. 136.
1,292 1,623.
что этим логарифмам соответствуют
19,6
41,95
901).
*) Если принять точку, в которой отложена ордината, равная lg2, на
начало oiсчета по оси ОХ и выбрать масштаб по оси ОХ с таким расчетом,
чтобы точка, где проведена ордината, равная lg 90 соответствовала абсциссе,
равной 1, то уравнение прямой, о которой говорится в тексте, имеет вид
tf = (lg9D-lg2)* + lg2. (•)
• = 1 ордината у = lg 90.
При х = 0 ордината у = lg 2. При х ■
Уравнение (*) можно написать в виде
*)1*2
292 Показательные функции и их отношен, к логарифм»
377. Из приведенного графика можно также найти
знаменатель прогрессии г, так как Igr как раз равен приращению
ординаты при переходе к каждому последующему члену.
Рассматривая первый и второй члены, имеем:
0,631 — 0,301 = 0,330;
следовательно г есть число, логарифм которого равен 0,330,
т. е. г =-2,44.
378. Для нахождения геометрических средних между двумя
числами имеется еще другой способ, кроме описанного выше.
с , t При нем приходится
}- 5 рабных делении Н воспользоваться логариф-
2 4.38 9J6 19.6 41.95 90 мической шкалой, напри-
> ' * ' ' ] мер той, которая на-
Рис. 136 а. несена на счетной
линейке.
Пусть требуется вставить между двумя заданными числами
четыре геометрических средних.
Находим эти числа на ЛОгаРифшчесНая шкала
шкале и делим отрезок ме- \ 2 3 4
жду ними¥ на 4 + 1 равных, \ ? 34 56789)
частей. Цифры» стоящие ]325 175 2 3 3.03
против полученных делений, 'геометрическое среднее
укажут непосредственно
значения искомых геометриче- Р*с« 137.
ских средних.
Описанный способ иллюстрируется рис. 136а и 137.
379. Сравнение показательной и степенной функций.
В естественных науках встречаются три основных зависимости
между переменными величинами:
1. Степенная зависимость, которая выражается степенной
функцией
У^ах", [65]
Если положить
*1 =
1 1
6,*2- J'** —
1 2
—, *4 - у, лг5 -
5
6
Л = lgf/90 • 25; уь = lg {/90*. 2*; уь = lg {/90323;
^ = lgV/90i".'22;y6 = lgp/90^2. .
Ординаты у it у2, У г* Уь 9ъ представляют собою последовательные
средние геометрические, вставленные между 2 и 90.
Прим. ред.
Изменение показательной функции 293
где п может быть числом положительным или
отрицательным.
2. Гармоническая или периодическая зависимость
у = a sin nx,
свойственная всем периодически повторяющимся явлениям. ;
3. Показательная зависимость (закон сложных процентов^,
рассмотренная в пп° 365 и 366. В степенной функции у = ах\
если х изменится на постоянный множитель (например т),
то у также изменится на постоянный множитель. Другими
словами, если х изменяется в геометрической прогрессии,
то у изменяется также в геометрической прогрессии.
Пример. Пусть m близко к 1 или т = 1 + г, где г — изменение х в
процентах.
Отношение двух значений функции будет:
zf(x+rx) = а[(х+гх)п] = (1 + гд
у * ~ *
Но (1 + г)"
У /(*) ахп
*V^ 1 + пг, следовательно
g'-g_ ax^l+rf-
И
У ах
ах
Это показывает, что процентное изменение у равно пг9
в то время как процентное изменение х — просто г. Поэтому
относительное изменение функции в п раз больше
относительного изменения независимой переменной. Если требуется
определить, следуют ли полученные из Опыта данные
степенной зависимости, надлежит выяснить, вызывает ли постоянное
относительное изменение независимой переменной постоянное
относительное изменение функции, кратное изменению
независимой переменной.
380. Изменение показательной функции. Пусть
ь •
у = ае ... .
Предположим, что показательная функция возрастает
в постоянное число раз, точно так же,- как это имело место
в предыдущем п° для степенной функции.
Из п° 379 следует, что при увеличении л: на постоянную
величину, например А, функция, т. е. у, изменяется на
постоянный множитель:
JL = Q*±h) = ™ **** = еънл
у F{x) ae1x
294 Пока запальные функции и их отношен, к логарифм.
Множитель еьп не зависит от xt т. е. он остается
постоянным, если * А — постоянно, и является тем множителем, на
который изменяется у при увеличении х до U + A).
Иначе говоря, в показательной функции, при увеличении
переменной х в арифметической прогрессии, функция у
возрастает в геометрической.
381. Определение показательной зависимости. Если
переменная х получает постоянное приращение, например
становится равной х + 2, и при этом сама функция возрастает
в постоянное число раз, например получает значение 16 у^ то
зависимость между функцией и переменной может быть
выражена уравнением показательного типа.
Нанося значения функции и переменного на
логарифмическую бумагу, получим прямую, посредством которой
Определю \ „
лим постоянные, входящие в уравнение у = ае -f-c.
Сравнение формул
показательных функций.
Рассмотрим различные формы
показательных функций.
х
у = ае
у = ае •
Функции [87] соответствует
кривая, показанная на pjuc. 138. Эта
Рис. 138. кривая приближается, по мере
продолжения ее влево, к оси X, но
никогда этой оси не пересекает. С увеличением '*
наклон кривой возрастает.
График ур-ния [88] подобен предыдущему по форме, но
здесь каждая ордината кривой у = ех умножена на
постоянную а. Можно считать кривую, показанную на рис. 138, за
график функции [88], но тогда масштаб ординат следует
уменьшить 9 а раз.
В ур-нии [89] значения у, соответствующие различным
зиаюниям *, например 1, 2, 3, 4..., будут такие же, как
и в [88], если положить в последнем лг = &, 2к, Зк и т. д.
Если к—число положительное, то график [89] будет иметь
тот же вид, что и график функции [88], но масштаб абсцисс
придется изменить.
Логарифмическая шкала 295
Таким образом, если вычертить основной график |^=5=в^
то путем изменения масштабов абсцисс и ординат можно пре-
образовать его так, чтобы он соответствовал ур-нию. [89].
Если k — отрицательное, то график изменится точно
таким же образом, как это имело место при изменении
знака у х в п° 361.
Глава XVII.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА. г
382. Хотя инженеры пользуются логарифмической
линейкой чаще, чем лица каких-либо других профессий, мы все же
полагаем, что "большинство из них ограничивается выполнением
на ней лишь простейших действий.
Когда они сталкиваются с многочисленными правилами
пользования линейкой, излагаемыми в соответствующих
пособиях, то предпочитают вместо их запоминания применять
таблицы логарифмов.
Мы считаем, что большинство указанных правил не нужно
запоминать, а достаточно ознакомиться лишь с некоторыми
основными приемами пользования линейкой. Автор надеется,
что рассмотрение приводимых ниже указаний даст
возможность читателю применять линейку с большой пользой.
Предполагается некоторое знакомство читателя со счетной
линейкой, а также знание логарифмов в объеме пп° 341—350.
Логарифмическая линейка по существу представляет* собой
инструмент, заменяющий таблицу логарифмов.
Линейка состоит из нескольких шкал с нанесенными на
них делениями, соответствующими логарифмам чисел. Отрезки
этих шкал могут быть механически сложены или вычтены
друг из друга.
С первого взгляда может показаться странным, что выра*
жения, содержащие квадратные и кубические корни, степени
чисел, различные тригонометрические ^функции и т. д., могут
6$ть вычислены посредством простого сложения или вычита*
ния отрезков шкал или посредством того и другого действия
вместе.
Мы ограничимся рассмотрением логарифмической линейки
с различными двойными шкалами, потому что она является
наиболее удобной и ее следовало бы иметь каждому
инженеру. - -- © -
383. Логарифмическая шкала L. В противоположность
обычно принятому порядку, рассмотрим сначала логарифм
296 Логарифмическая линейка
ческую шкалу, обозначенную на американской десятидюймовой
счетной линейке буквой L*).
Эта .шкала называется шкалой равных делений. Как
известно, логарифмы чисел, образующих геометрическую
прогрессию, сами составляют арифметическую. Поэтому
отсчет следует производить на шкале, разделенной на равные
части.
Мантиссы чисел от 1 до 10 нанесены через одинаковые
промежутки на протяжении 10 дюймов2). Они конечно
являются десятичными дробями, как это показано на рис. 139.
м 1ч щ| it м i f4|nnpi i цгтщ II rsyt'M'ii 11 пум i ii i ni"yi inn t ii-j» mi ii д | тт n mi i i|f ri «ЦГГтрГп'Ч
О ОЛОО 0.200 0300 0400 0.500 0.600 0.100 0.800 0900 Ь000
Рис. 139.
Отрезок между каждыми двумя соседними числами
разделен на 10 равных частей, которые в свою очередь разделен*я
на пять.
.Таким образом эта шкала будет соответствовать
трехзначной логарифмической таблице.
При помощи циркуля мы можем измерить на ней два
отрезка, например отрезок в 2 дюйма, который соответствует
мантиссе 0,2, и отрезок, в 3 дюйма, соответствующий
мантиссе 0,3, а затем можем сложить эти отрезки.
В- результате такого сложения получим отрезок длиной
в 5 дюймов, который соответствует мантиссе 0,5, так как шкала
разделена на равные части.
Обратимся теперь к рассмотрению шкалы D или таблицы
логарифмов. Там мы найдем числа, логарифмы которых суть
0,2, 0,?,и 0,5. Таким образом имеем:
lg 1,58+lg 2,01 =\g 3,18
ИЛ1Г
1,58X2,01 = 3,18.
Рассмотренная шкала является основной шкалой линейки,
причем за единицу ее принят отрезок длиной в 10 дюймов.
*) На линейках системы Rictz'a шкала L (логарифмов) находится внизу
в виде ординарной шкалы.
♦ Прим. ред.
2) Длина десятидюймовой американской линейки равна 25,4 см. Она
немного разнится от 25-сантиметровой линейки системы Rietz'a. Устройство
&калы логарифмов одинаково.
Прим. ред.
Обыкновенная установка для умножения 297
Каждое из делений 0,100, 0,200, 0,300 и т. д. отстоит от
соседнего на 1 дюйм, т. е.
0,100 X 10 = .1,00, 0,200 X 10 = 2,00,
0,300 X 10 = 3,00, и т. д.
384. Шкалы С и D. Шкалы С т DA) градуированы по
логарифмической шкале L, но вместо логарифмов на них
нанесены числа, соответствующие этим логарифмам.
Числа, нанесенные на линейке, и их логарифмы приведены
в следующей таблице:
Числа ...12 3 4 5 6 7 8 9 10
Логарифмы . 0 0,301 0,477 0,602 0,699 0,778 0,845 0,903 0,954 1
Сравним логарифмы, нанесенные на шкале L, с числами
на шкале D (рис. 140).
Преимущество нанесения на шкалу чисел вместо их
логарифмов заключается в том, что при этом нет необходимости
СиО 1 ? 3 4 5 6 7 8 9 1-
| , , J. , 3L, , i, и-, 1 и *—|
L 0.100 0200 0.300 0.400 U500 0.600 0700 0.800 0.9U0 1.000
Рис. 140.
отыскивать числа в таблице, а их можно читать
непосредственно.
При помощи циркуля можно сложить отрезок,
соответствующий числу 2, с отрезком, соответствующим числу 3
(на шкале D). Полученный в результате отрезок отвечает
числу 6.
Движок линейки позволяет складывать и вычитать
подобные отрезки, что заменяет умножение и деление чисел,
соответствующих определенным логарифмам, представленных
отрезками.
385. Обыкновенная установка для умножения. Сложение
двух отрезков логарифмических шкал, например отрезков,
соответствующих числу 2 и числу 3, даег отрезок,
соответствующий числу 6, т. е. дает произведение двух чисел:
2X3 = 6.
В то время как умножение может быть произведено и при
помощи так называемых обращенных шкал, которые будут
рассмотрены ниже, приведенный способ можно при^нить
3) Шкалы С и D американской линейки тождественны по устройству
с нижней двойной шкалой линейки системы Rietzfa.
Прим. ред.
298 Логарифмическая линейка
также и для умножения на числа, обратные данным? при этом
Мы получаем частное.
Для того, чтобы в дальнейшем отличать описанный
способ от других, мы будем его называть обыкновенной
установкой для умножения.
Итак, если индекс (цифра 1 на подвижной шкале линейки)
подведен к какому-либо делению на неподвижной шкале,
отрезоН отэезоН тлзУн "оставлен на
^соот6етств.2^^соот6втств^ютйг^АИеК?т0р0е Чи°Л0 *виЖ:
» ■ »ка (подвижной шкалы),
\ I \а результат читают
н* отрез о И соответствующий 6 —И ни неподвижкой шкале,
ри ^1 то все эти действия,
вместе взятые^ мы
будем называть обыкновенной установкой для
умножения.
386. Обыкновенная установка для деления. Вычитание
одного отрезка логарифмической шкалы из другого, например
отрезка, соответствующего числу 2, из отрезка,
соответствующего 4, дает отрезок, соответствующий числу 2,
которое является частным от деления 4 на 2.
Деление может быть произведено также и при помощи
так называемых обращенных шкал» пользование которыми
будет объяснено далее (в п° 394). Чтобы различать
описанный способ установки, будем в дальнейшем называть его
обыкновенной установкой для деления.
Таким образом:
Если какое-либо число на подвижной шкале
устанавливается против некоторого числа на неподвижной^ а ответ
прочитывается . так же на .
неподвижной шкале против Н— отрезок соответстбующий 4 г*-»
индекса движкау то все эти* . ;
действия, вместе взятще> буЛ I ;
дем называть обыкновенной**" отезыс -*н—--отрезок -*,
соответствуют, с соответствуют., с
установкой для деления. у ^ * .
Если выражение содержит Рис. 142.
три -шсла, то сначала всегда
следует применять обыкновенную установку для
деления.
Пример. Вычислить выражение:
а Хб
Обыкновенная установка для деления 299
Согласно указаниям п° 386, начинаем с вычитания
логарифма с из логарифма а; к полученному результату
прибавляем логарифм b на шкале С.
D С D
а
с
С
х ь
Поставим пэлзун на а на шкале Д установим цифру с
шкалы С или С / х) против волоска ползуна. Теперь поставим
ползун на цифру b шкалы С или CF.
Ответ читаем на шкале D или DF х) против волоска,
387. Если окажется необходимым переместить движок
таким образом, что индекс на одном конце заменяется
индексом другого конца, то данное число умножается или делится
на 10, отчего порядок значащих цифр не меняется.
Необходимо только следить за правильной постановкой запятой.
388. Запятая должна быть поставлена только после
предварительного выяснения ее места или при помощи
правила, изложенного в п° 30.
389. Сдвинутые шкалы *). За единицу длины при
построении шкал CF и DF принята та же самая величина, что и для
шкал С и Д с той
лишь разницей, что { UL.
первые сдвинуты
влево на расстояние,
соответствующее
логарифму тс; в
результате этого индекс 1
будет вблизи -
середины линейки.
Если половина движка находится в жолобе линейки, то все
деления шкалы CD могут быть прочитаны либо на
передвинутых шкалах CF и DF, либо на шкалах С и Д что делает
ненужным выдвигание движка в другую сторону.
!) На линейках системы Rietz'a и вообще на линейках Faber а и Nestler**
шкалы CF и DF отсутствуют.
Интересно отметить, что наличие шкал CF и DF позволяет производить
отсчет произведения во всех случаях, не передвигая движка вторично.
В том случае, когда отметка по шкале С множителя выходит за пределы
шкалы Д вместо шкал Си/) можно пользоваться шкалами CF и DF*
Прим ред.
\с
0
CF
1
2
1
1
3
4-
2 3 4
4 5 6 7
Рис. 143.
р_
5
1
5 6
1 и '
8 9.
300 Логарифмическая линейка
Если взято некоторое число на сдвинутой шкале движка С/7,
то другое число,. связанное с ним каким-либо действием,
должно быть взято на неподвижной шкале DF (при условии,
что число т: не входит в выражение).
В случае, когда при указанных выше действиях приходится
прибавлять какой-нибудь отрезок, например
соответствующий lg 5, и его нельзя найти на шкале С, то, не передвигая
движка, можем сделать сложение отрезков, пользуясь
шкалой CF.
390. Так как шкала DF передвинута по отношению
к шкале D влево на расстояние, соответствующее lg я, то
отсчеты на первой из этих шкал всегда будут больше отсчетов
на шкале D на отрезок,
равный lgir, т. е. на величину ее
смещения.
нч.—отреэоК ооответств. Ч + отрез, соотб. а —*-|
1 I
h*— отрезок ооответстЗ. ГС —*н i
! Lor !
,f
Рис. 144. ■ отрезок ■
1 соответсто а
Такое же соотношение существует между шкалами CF и С
Числа, явившиеся результатом вычисления на шкалах
С и Д могут быть умножены на я. Для этого
.следует'произвести отсчет не на шкале D, а на шкале DF.
Таким же образом число на шкале DF9 которое является
ответом, может быть разделено на к, если прочитать отсчет
не на шкале DF, а на шкале D.
Пользуясь шкалами С и CF, можно получать длины
окружностей по заданным диаметрам. Если диаметр найти на С,
то длина окружности может быть найдена непосредственно
на шкале CF. ,
391. Для того чтобы умяожить какое-либо выражение
на л, следует пользоваться шкалами Си/), но ответ
придется читать на шкале DF; это и будет соответствовать
умножению на тт.
Пример. Пусть х = abn = тсХ5Хб.
Установим индекс движка против цифры 5 на шкале D.
Установим ползун против цифры о шкалы С.
Читаем ответ 94,3 на шкале DF,
Обращенные шкалы 301
Следует помнить, что переход от меньшей шкалы к большей
(сдвинутая шкала имеет деление, соответствующее числу я, там же, где
начинаются шкалы * С и D) должен означать, что наш ответ умножается
на я.
392. Чтобы разделить выражение на я, пользуются
шкалами DF, CF и CIF1), но вместо того, чтобы читать ответ на
шкале DF, его следует читать па шкале D; при этом
производится деление нашего выражения на т.,
п аъ 12X21
Пусть х = — =
J it %
Ставим индекс движка против числа 12 шкалы DF.
Ставим ползун против числа 21 на шкале CF.
Читаем ответ 80,2 на шкале D против черты ползуна.
393. Обращенные шкалы. Шкалы С/ и С IF2)
представляют собой так называемые обращенные шкалы.
Числа, проставленные на обыкновенных шкалах, возрастают
слева направо, в то время как в обращенных шкалах они
возрастают в обратном направлении (рис. 145).
Обращенные шкалы взяты со шкалы L таким же точно
путем, как и шкалы С и D, но только в противоположном
С/1987654 3 • ? ' I
j 1 1, 1 rJ 1 ( ,-J , \ , 1 \
L 1JD00 0.900 0.800 0700 0.600 0.500 0400 D.300 0.200 0.100 0
Рис. 145.
направлении. Иначе говоря, деления этих шкал можно
получить и из шкал С и D, если откладывать их в
противоположном направлении, как это видно из рис 145.
Отрезки, соответствующие логарифмам, складываются,
когда числа на шкалах С/ и D совпадают, и произведение
получается на шкале D против индекса шкалы С/.
394. Для деления индекс шкалы С/ устанавливается
против делимого, находящегося на шкале D; частное находится
на шкале D против отметки делителя на шкале С/.
Пример. Разделить 4 на 2 = 2.
*) См. относительно шкалы CIF следующий параграф.
,; ^ , Прим. ред.
2) На линейке системы Rietz'a, обычно употребляемо»., нет обратной
шкалы. На некоторых линейках Faber'a или Nestler'a имеется обратная
шкала.
Сдвинутой обратной шкалы у этих линеек не?.
Прим ред.
302 Логарифмическая линейка
Описанные приемы вычислений будем называть
обращенными установками для умножения и деления.
Умножение и деление с помощью обратных шкал хотя
и приводится, однако пользоваться этими приемами не
рекомендуется, потому что они, отличаясь от обычных спосо-
^-отреэон соотве*. 3 -~| бов' "°гут затруд-
, , нить и запутать при
q J ;з 2 15 !| применении обыч-
0\ т: ^"^ ' ! [ ных правил.
; ! ; Мы предпочитаем
\г+-отреэ соотб. 2-4 , СВОДИТЬ ВСв ДвЙСТ-
н* отрезок соответствующий 6—J вия к обыкновенным
рис ^6 установкам (пп° 385
и 386).
395. Шкала CIF, т. е. обращенная — смещенная шкала.
Шкала CIF аналогична шкале С/, но является сдвинутой по
отношению к шкале С/ на отрезок, соответствующий lgrc,
точно так же как шкалы ^отрез соотв 2~^
CF и DF смещены от- '» I
носительно шкал С и D. { } 2t5 г\ . . . Л5. . . . |С/
Шкала CIF должна 0 it Vj '# з 4
употребляться совместно 1 0 • J
с другими смещенными ^ отрез соотв^ t
шкалами (при условии, \**—отрезоН соответствутщ,. 4—J
что я не входит в данное р -47
выражение). Если большая
половина движка находится в жолобе линейки, вся шкала*
может быть найдена либо на С/, либо на CIF, причем
отпадает необходимость перемещать движок в другую сторону.
396. Шкала обратных чисел. Сравнивая числа на шкалах
С и С/, видим, что первые обратны по отношению ко вторым.
Таким образом, если мы устанавливаем линейку для сложения
отрезка Ь шкалы С с отрезком а шкалы и посредством
обыкновенной установки (п° 3.5), то имеем:
а X Ь = дг.
Если пользоваться шкалой С/, которая является шкалой
обратных чисел по отношению к числам на шкале С, то
указанное действие дает (рис. 148):
а X -тг — * или -т- == дг.
'Выражение j- X переменное количество = х
303
Затем, если 'число находится в знаменателе, мы можем
умножить обратное ему число посредством обыкновенной
установки (п° 385),
пользуясь шкалой С/.
С I и- отрез, соотб г^н
С и— отрез, соотб. Ь-*>\
I !
/? \<*-етрезоК соотв. О —*^
Рис. 148.
Пример. Вычислить ^ = дг.
Рассмотрим данное выражение как произведение (п° 385)
и воспользуемся для вычисления обыкновенной установкой.
Устанавливаем ползун против числа 471 на шкале D.
Ставим индекс движка против черты ползуна.
Устанавливаем ползун на число 322 на шкале С/ и читаем ответ 146
на шкале D.
После небольшего числа упражнений удается устанавливать индекс
против указанного первого числа, не пользуясь ползуном.
397. Функциональная зависимость ху = С. При
вычерчивании графика ху = С, ордината у = —. Устанавливая индекс
шкалы С/ против числа С на шкале D, можно найти
значения у для ряда значений х, не меняя установки.
398. Выражение -г- X переменное количество — X Так как
частное от деления -г- указывается индексом движка, то без
изменения установки можно произвести умножение его на
какое-нибудь число. Выражение примет вид
а ^
тХс = *.
Поставим ползун против числа а на шкале D.
Подведем число Ь на движке под черту ползуна.
Передвигаем ползун к числу с на шкале С.^
Читаем ответ против черты ползуна на шкале D:
24 X с
Пример, Найти —5^— • где с имеет значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, %
Ставим ползун на 24, на, пиале ZX
304 Логарифмическая линейка
Устанавливаем 33 на шкале С против черты ползуна.
Последовательно устанавливаем ползун на числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
находящиеся на шкале С.
Читаем ответы на шкалах DF и D.
Имеем: 0,727, 1,45, 2,18, 2,9, 3,64, 4,36, 5.09, 5Д1.
а 1
399. Выражение -г- X = *• Для
о переменное количество
втого случая может быть применена обыкновенная установка
пп° 385 и 386). Имеем:
а 1 а
X — = х или
с 6с
В данном случае можем произвести вычисления, как при
делении а на Ь> с помощью обычной установки (п° 386).
Передвигаем, как и ранее, ползун к числу с, но ищем его
на шкале С/или на CJFf так как — есть число, обратное
числу с.
Ставим Ь на шкале С против а на шкале D.
Передвигаем ползун на число е, которое находим на
шкале С/ или C/F.
Против черты ползуна находим на шкале D искомый ответ.
25
Пример. Найти значения -5 » если с = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
о • с
Ставим полэун на 25 на шкале D.
Устанавливаем число 8 на движке С против черты ползуна.
Ставим ползун последовательно на числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, которые
находим на шкале С/ или С//\
Читаем ответы на D или DF: 3,12, 1,56, 1,04, 0,78, 0,625, 0,521,0,440,
0,391.
400. Выражение а X b X переменное количество = х.
Здесь могут иметь место случаи
аХ ЬХс — х и аХ ЬХ — ==лг,
с
где с получает различные значения.
Во всех случаях, когда в выражении содержится более
двух чисел, их следует расположить таким образом, чтобы
сперва произвести обыкновенную установку для деления
(см. п° 386).
Произведение а X Ь, составляющее первую часть выра-
а l
жения, можно рассматривать как —, причем о можно нахо-
Т
Выражение а X Ь X переменное количество = л: 305
днть на обращенных шкалах С/ и C/F. Таким образом мы
производим обыкновенную установку для деления с той лишь
разницей,, что величины Ь отсчитываем на обратных шкалах.
Наше выражение aXbX.c~x принимает теперь вид
~р X с = х9
т. е. приводится к случаю, уже разобранному в п° 398, но Ь
берется на обращенной шкале.
Пример 1. Найти 41 X 81 Хс = лг, где с = 1, 2, 3, 4, 5,''6.
Ставим ползун на число 41 на D.
Устанавливаем число 81 шкалы С/ движка против черты ползуна.-
Ставим ползун последовательно на числа 1/ 2, 3, 4, 5, 6 шкалы С.
Читаем ответы на D или DF:332Q, 6640, 9960, 13 30Э, 16600, 19900.
Пример 2. Найти величину выражения 36 X 51 X 72 = х.
Ставим ползун на 36 на шкале D.
Устанавливаем 51 на шкале.С/ против черты ползуна.
Ставим ползун на 72 на шкале CF.
Читаем ответ .132 200 против ползуна на DF,
В случае аХ ЬХ—~х или — = х поступаем как и
ранее, т. е. пользуемся обыкновенной установкой (пп° 385, 386),
но для С употребляем обращенную шкалу.
Выражение представляем в виде
а ч/ 1
1 с
26X14 _
Пример 3. Вычислить я х.
Устанавливаем ползун на 26, пользуясь шкалой D.
Подводим 14 шкалы С/ под черту ползуна.
Ставим ползун на 9 по шкале CIF.
Результат 40 находим против черты ползуна на шкале DF.
Действие с 9 приходится производить по смещенной обратной шкале,
так как указанное число нельзя найти на шкале С/, ибо в жолобе линейки
остается половина движка.
Рекомендуется сравнить описанный прием с п° 398 и
обратить внимание на различия между ними.
42 х 63
Пример 4, Вычислить = л:, где с = 1, 2, 3, 4, 5 и т. д.
Ставим ползун на 42 на шкале!).
Подводим 63 шкалы С/ под черту ползуна.
20 Справочник для инженера.
306 Логарифмическая линейка
Ставим ползун последовательно на 1, 2, 3, 4... на шкале CIF и С/.
Читаем ответы: 2650, 1320, 832, 661, 529 и т. д. на D или DF.
Примечание. При установке какого-либо числа, например 63, на
обратной шкале, следует наблюдать, чтобы отсчеты производились с
соответствующей стороны цифры 6.
401. Выражение а X Ь X с = X, смещенная шкала. Другой
метод нахождения произведения трех чисел заключается в том,
что пользуются шкалами DF и CF одновременно со шкалой
CIF. Этот прием совершенно одинаков с предыдущим, с той
лишь разницей, что действия производятся на смещенных
шкалах: л ■
аХЬХс = х.
Ставим ползун на а, пользуясь шкалой DF.
Подводим число Ь на движке под черту ползуна (п° 386).
Передвигая последний на деление с шкалы CF9 читаем на
DF результат (п° 385).
Если число с нельзя найти на CF без передвигания движка,
то следует разыскивать его на шкале С, а л: — на D.
К этому приему следует прибегать, когда приходится
делить выражение на те (п° 392).
402. Выражение —w fcw = X. Выражения этого вида вы-
а х #Х с
числяются так же, как указано в п° 400для случая аХбХс,
причем в результате получают на шкале D числа, обратные
искомому. Пользуясь обратной шкалой С/, находим самое
искомое число.
Прежде чем переносить отсчет со шкалы D на С/,
необходимо совместить их индексы.
& ' 1
Пример. Вычислить о V 3 V 6 ^ Хл
Поступаем как в случае <*Х&Хс (п° 400), применяя обычную
установку (пп° 385, 386).
Ставим ползун 2 на D.
Подводим деление 3 яа С/ под черту ползуна.
Устанавливаем ползун на число 6 шкалы С.
Совмещаем индексы движка и шкалы D.
Читаем ответ (0,0278) против черты ползуна на шкале С/.
403. Выражения, в которых имеется множитель я. Пусть
имеем выражение
*ХаХ*-*Х42Хб
Выражения, в которые тс входит делителем 307
Приведем это выражение к виду, удобному для
обыкновенной установки для деления (п° 386):
а 1 w 42 1
^ТХ7Х^ТХ1ГХ^
ь б
Так как здесь тс входит в качестве множителя, то действия
производим на шкалах Си Да затем результат отсчитываем
на смещенных шкалах, что соответствует умножению на тс
(п°391).
Ставим ползун на деление 42 шкалы JD.
Подводим 6 шкалы С/под черту ползуна.
Ставим ползун на,делениеЛ1 шкалы С/.
Читаем ответ (12) против черты ползуна на смещенной
шкале DF.
Перенесение ответа со шкалы. С и D на смещенную
соответствует умножению на тс, \ .
404. Выражения, в которые л входит делителем. Пусть
имеем: , ' ._
ab 37X5
тсс 2 тс
Приведем это выражение к такому виду, чтобы можно
было воспользоваться обыкновенной устандвкой для
деления (п° 386):
...... 1 - С ТС"
Так как тс входит в выражение в качестве делителя, то
действия следует производить на смещенных шкалах, а
полученное в результате число перенести на шкалу Д что
равносильно делению на тс (ti° 392). Очевидно, что -т- , —об-
ратны числам бис, поэтому пользуемся обратными шкалами,
самые же действия производим посредством обыкновенных
(пп° 385, 386)- .
Ставим ползун- на деление 37 шкалы DF. л '"
Подводим 5 шкалы CIF под черту ползуна.
Ставим ползун на деление 2 шкалы CIF.
Читаем ответ (29,5) против черты ползуна на шкале D.
20*
308 Логарифмическая линейка
405. Пропорция. Согласно сказанному в п° 386, можно написать
С D СхО,
90:82 = 25:*
или
откуда
С D 00 ft
pr = jr- или * = 22,8.
Если на линейке найдена величина отношения jrf то Q
может быть каким угодно числом и £>! находится без
дальнейших передвижений движка.
Необходимо помнить, что все числители находятся на
движке, а знаменатели—на неподвижной шкале, т. е. они
располагаются на линейке один над другим.
406. Обратная пропорция. Вычисление членов обратной
пропорции может быть лучше всего пояснено на примере:
Если .12 человек-выполняют работу в 8 дней, то сколько
времени она займет у 16 рабочих ?
Очевидно, если число людей увеличится, то выполнение
указанной работы потребует меньшее количество времени.
Это соотношение „чем больше, тем меньше" называется
обратной пропорцией. Таким образом
12:16 = *: 8, откуда х= 12*8 =6-
Соответствующие действия будут такие же, как и для
случая прямой пропорции, но вместо шкалы С придется
пользоваться обратной шкалой С/.
Итак, для обратной пропорции
CI:D = (CI)l:Di
нли С/_ (СГ),
D~ Dx •'
407. Шкалы А и J31)- Построим новую шкалу посредством
умножения всех логарифмов, нанесенных на шкале L, на 2.
Как мы уже знаем, полученное величины будут
соответствовать логарифмам квадратов соответствующих чисел.
1) Шкалы An С американской линейки соответствуют верхней двойной
шкале линейки системы Rietz'a.
Прим. ред.
Шкалы А и В
309
Таким образом получаем две шкалы, длиной 5 дюймов
каждая. После умножения логарифмов, больших 0,5, на 2,
получим: 1,2, 1,4 и т. д., т. е. будем иметь не только
мантиссу, но и характеристику. Однако вследствие того, что на
линейке мы рассматриваем только мантиссу,
характеристику отбрасываем.
Надписывая вместо логарифмов соответствующие им числа,
получим шкалы А и В. Отрезок, измеренный на шкале D или
С и отложенный на А или В, дает квадрат числа.
1 ? 3 4 5 6 739? ? 3 4 5 $7691
■^flo t Q.2,0,4 t 0,6,0.8 , 0», Of , 04 ,0.6 .Of, <f
Ig L 0 0.Ю0 0200 0300 0.400 0500 0.600 0700 0.800 Q900 1000
Рис. 149.
Если один из множителей данного выражения должен
быть возвышен в квадрат, то его следует найти на шкале
С или D, а затем отложить соответствующий отрезок
или произвести отсчет на шкале А или В, что
соответствует возвышению в квадрат.
Все остальные числа должны отсчитываться на шкалах А
и В, иначе они будут также возвышены в квадрат.
408. Числа на шкале С и D являются корнями
квадратными из тех» которые указаны на шкалах А и В, так как
шкалы эти вдвое длиннее, а отрезки, соответствующие
логарифмам, вдвое больше.
Всякие вычисления, в которых данное выражение умно-
жается на корень квадратный, должны производиться так:
данный множитель находим на шкале А или В, а затем
для автоматического извлечения квадратного корня
разыскиваем деление шкалы С или D, лежащие против
указанного выше.
Все остальные отсчеты следует производить на шкалах С
и £>.
Числа можно возвысить в квадрат, устанавливая волосок
черты ползуна на данное деление шкалы D и производя отсчет
против черты на шкале А непосредственно.
Точно так же корень квадратный из данного числа
находим, устанавливая черту на соответствующее деление шкалы
А и производя отсчет на шкале D. Следует следит , чтобы для
3W Логарифмическая линейка
указанного действия применялась надлежащая шкала, ибо 1^6
не равен У'бО .
Левой шкалой можно пользоваться в тех случаях, когда
в числе имеется нечетное число цифр, а правой—когда оно
четное. В данном случае, выбирая ту или иную шкалу, • мы
действуем точно таким же образом, как и при извлечении
корня по обычному способу, где число предварительно
разбивается на грани по две цифры в каждой.
Пример 1. Найти квадрат 23,2.
Ставим ползун на деление 232 шкалы D.
Против черты находим на шкале А число 538 (ответ).
Пример 2. Найти У 3129 .
Ставим ползун на 313 на правой части шкалы А.
Против черты находим на шкале D 56 (ответ),
409. Шкала К 1). Если логарифмы, нанесенные на шкале L
умножим на 3 и надпишем, вместо логарифмов
соответствующие им числа, то последние будут кубами тех чисел,
которые расположены на шкале D.
Шкала К состоит из трех частей, Длиной по 3V3 дюйма
каждая»
Если поставить ползун на какое-нибудь деление шкалы D
и произвести отсчет на шкале AT, то получим куб данного
I '2345 67891 2345 67891 2345 6789!
> ' ■ I" I ■'■! »""l I I < I I I I' I I I I I \ ■ II I I \ I I I \
ig н о йг 04 аб as, о о.г о.4 об 08 о аг 04 о& оя to •
- . Ig t 0 0.100 0.200 0.300 0.400 0,500 0.6Q0 0700 OJ8D0 0.900 UJQ0, -
Рис. 150. . '.- / ^ ;
числа. Точно так же, если поставить ползун на какоетнибудь
число шкалы К и произвести отсчет на шкале D, то получим
кубичный корень из этого числа (рис. 150).
Необходимо следить за тем, чтобы употреблять
соответствующую из трех частей, шкалы К» , t. ;
Если число разбить" на грани по три "цифры в каждой,
начиная с первого слева от запятой, как это делается ц
арифметике при извлечении кубичного корня, например
-3;428,21г -. . ]-.-.-- с~г\
-... ,,,.,. ,,, ,-•.•> Г. ■ Г.'Л» п г- г-т? ~ - \ '*■". Ь = =•= /г^ч, ..-; ^': ,
„ . х)/Шкала К американской линейки соответствует ординарной верхней
шкале линейки системы Rietz'a. .■•"-■■■.
' Прим. ред.
Шкала тангенсов
311
то, если слева останется одна цифра, следует употреблять
шкалу первую слева, при двух цифрах —среднюю шкалу,
при трех — правую шкалу.
Пример 7. Найти. (34,1)3 = Хш
Ставим ползун на число 341 шкалы D.
Читаем на шкале К против черты ответ: 39600.
Пример 2. Найти ^433 .
Устанавливаем ползуч на число 433 правой части К. Под волоском чи-
ia^M на шкале D ответ: 7,56.
410. Шкала тангенсов ')• Шкала тангенсов получается из
шкалы L точно таким же образом, как и шкалы С и D*
умл 6# 8' КГ 12* 14' 16' 20# 25* 30' .35* 40* 45'
Intncvi 5 )« eg о л са «о <о •* cs* о
19 1У о Г2 Я п го ^r, in щ rv oq о> о.
.о' d-d d d о o.d сэ о о »-
||^1|1|1Ц|Ч|\|1|||||1||||||ЦЧ\Ц'1 |\|1Н|'1||ЦЧ11|||1||||Ц|||^11|111Ц>1|Ц1|||1т|||ч')Ц||ц[
lg L 0 О.Ш0 0.200 0300 01400 0.500 Q600 0700 0800 U90Q 1000 . , ..
Рнс. 151.
Вместо логарифма тангенса на шкале надписаны значения
соответствующих углов (рис. 151).
Если например взять отрезок от левого индекса до
деления 12° и прибавить или отнять его от отрезка,
находящегося на другой шкале, то это соответствует
умножению или делению на tg 12.
Для того чтобы определить положение
запятой, следует помнить, что tg 45° равен 1 и что
тангенсы углов меньших 5°43\ для которых lg tg
равен 0,10000, не даны.
Пример 7. Найти 4 X tg 10° = л-.
Ставим ползун иа число 4 шкалы ZX
Подводим индекс движка под черту ползуна.
Ставим ползун на 10 шкалы 7".
Читаем ответ 0,704 на шкале D.
Пример 2. Найти х в данном треугольнике (рис. .152 : ОГ) t
х • «*-си-**
*г720==~2(Г Рис.152.
На шкале / tg 72* отсутствует, поэтому пользуемся формулой
1 ... ". -. ,.
tg4 =
tg(90°- A) '
1) Шкала тангенсов находится на обратной стороне движка линейки
системы Rietz'a. .-'-■: г.'--.:.
Прим. ред.
312 Логарифмическая линейка
Тогда
1 х_ ;
- ' ' ' " - tgI8° ~* 20 *
Ставим ползун на число 20 шкалы D.
Возводим 18 шкалы Т под черту ползуна.
Читаем на шкале D ответ: 61,6.
411. На шкале Г линейки не указаны тангенсы углов,
меньших 5° 43'; однако, имея в виду, что первые три знака у
синусов и тангенсов таких углов одинаковы, можно в
соответствующих случаях пользоваться шкалой синусов, например
'.'/':: ,, tg2°20, = sin2o20V = 0,0407.
412. Шкала синусов1). Шкала синусов получается из
логарифмической шкалы L, но относится к шкалам А и В,
а не к С и D. По этой причине логарифмическая шкала L
должна соответствовать той же единице, что и шкалы А и В,
т. е. для 10-дюймовой линейки — 5 дюймам. Благодаря
указанному обстоятельству пределы, между которыми можно
поместить значения функции синуса, возрастают.
.. Так. как метод нанесения шкалы синусов ничем не
отличается от метода получения шкалы тангенсов, то повторять
описание его не будем.
Если, в данное выражение входит в качестве множителя
синус какого-либо угла, то все остальные множители следует
брать на шкалах А и В, если они не являются степенями
йЛи корнями.
Следует заметить, что, при переходе от шкалы синусов
к правой части шкалы А, первая значащая цифра
соответствует первой цифре после запятой.
: При переходе к левой части шкалы Аг первая значащая
цифра соответствует второму знаку после запятой.
Пример, Найти . ..,v .
,...„. sinlOJ
Ставим ползун на число 81 шкалы А.
Подводим 10 шкалы; синусов под черту Ползуна.
Индекс движка укажет на шкале Л результат: 466.
1) Устройство шкалы синусов лииейки Rietz'a значительно отличается
от устройства шкалы американской линейки. Шкала синусов линейки Rietz'a
отвечает шкалам С и D. По этой причине на шкале синусов нанесены лишь
углы от 90° до 5° 4'.
Шкала.синусов находится на обратной стороне движка. Для очень
малых углов синус и тангенс по величине совпадают.. На обратной стороне
линейки Rietz'a находится общая шкала синусов и тангенсов малых углов.
•«*А*ч '.---.- - Прим. ред.
Выражения общего вида 313
Рассматривая линейку, замечаем, что за делением,
соответствующим 2°, отмечены также и минуты ('), а. за 1°10'
указаны знаком (7) и секунды. . . . . ..
Если употреблять эти деления для малых углов, то
против индекса движка на шкале А можно найти значения
соответствующих синусов и тангенсов. Практически тангенсы очень
малых углов, равны их синусам.
При определении положения запятой следует помнитьг что
одна минута = 1' = 0,0003
одна секунда = 1" = 0,000005.
413. Косинусы. Косинус угла равен
синусу дополнительного:
cos ,4 = sin (90е — А).
Пример, Найти длину основания
прямоугольного треугольника, показанного на рис. 153.
х = 26 X cos 63° =в
= 26Xsin (90 — 63°):=
= 26 X sin 27°.
Ставим ползун на число 26 шкалы А*
Подводим индекс движка под черту ползуна. { i •
Ставим ползун на число 27 шкалы S. - Ь* :—X—:—И
Против черты ползуна читаем на шкале А
ответ: 11,8. Рис. 153.
414. Логарифмы. Сравнивая шкалы D и L (п° 384), видим,
что у нас имеется средство для нахождения логарифмов,
соответствующих числам, или чисел, соответствующих
данным логарифмам.
Чтобы найти логарифм числа, следует поставить ползун
на нужное деление шкалы Д а затем прочесть мантиссу
на шкале L, после чего необходимо прибавить
характеристику.
Таким же образом для нахождения числа,
соответствующего данному логарифму, следует поставить черту:
ползуна на нужное деление шкалы L и прокзвести отсчет на
шкале D.
415. Выражения общего вида. Предыдущим п°
заканчивается рассмотрение различных шкал и их устройств. Вместе
с тем мы выяснили, каким образом путем механического
сложения и вычитания отрезков различных., шкал линейка
позволяет умножать, делить, возвышать в степень и извлекать
корни из чисел. ....;?....
314 Логарифмическая линейка
Дадим теперь несколько простых правил, которые можно
применять ко всем действиям, производимым на линейке,
причем рассмотрим для этого общее выражение
q X 6 X « X tf
eXfXg *
Если заданное выражение имеет другой вид по сравнению
с написанным выше, то вместо недостающих множителей
можем написать 1. Так как в числителе должно быть на один
множитель больше, чем в знаменателе, то поступаем
следующим образом:
aXbXc^aXbXcXl _
dXeXf dXeXf
Точно так же
аХЬХс=аХЬХс
d dXl
Правило состоит в следующем:
1. Необходимо преобразовать числитель так, чтобы в нем
было на один множитель больше, чем в знаменателе.
2. Первый множитель числителя и ответ будут находиться
на неподвижной шкале.
3. Все остальные числа берутся на движке независимо
от того, входят Ли они в числитель или в знаменатель.
4. Для каждого последовательного множителя знаменателя
нужно передвигать двищок.
. 5. Для каждого множителя числителя следует передвигать
ползун. , , ^
Пример. ОСС С С D
- 243 X 612 X 25,5 X 9,63 X13 _
1,65X7280X4,25X2,34
С С С С.
Ставим ползун на первый множитель числителя 24,5 . . . . (2) и (5)
Подводим 165 движка под ползун "- . (3) „ (4)
Передвигаем ползун на число 612, т. е. на следующий
множитель числителя • г: «..-••.. г . . (3) „ (5)
Подводим 728 движка под ползун . . . (3) „ (4)
Передвигаем ползун на следующий множитель числителя, т. е.
на 255 . . .- . . . . .(3) . (5)
Подводим множитель 425 делителя под ползун . . . , . . . (3) „ (4)
Передвигаем ползун на четвертый множитель числителя,
т. е. на 963 . . • • (3) „ (5)
Подводим множитель 234 знаменателя (на движке) под ползун. (3) , (4)
Ставим ползун на пятый множитель числителя 13 -•-
Китаем ответ против черты ползуна на шкале D . . . ...'.... :w
Выражения, содержащие квадраты чисел
315
Указанный способ выполнения действий весьма прост, так
как ползун передвигается соответственно каждому множителю
числителя, а движок—
соответственно
множителям знаменателя.
На рис. 154
графически представлено
решение данной задачи.
Из рисунка видно
последовательное
прибавление отрезков,
соответствующих
множителям числителя, и
вычитание отрезков,
соответствующих
множителям знаменателя. От:
вет представляет собой
остаток, получившийся
в результате сложения
и вычитаний.
416. Обратные величины.
Пример.
1
243
»65
1
612
728
255
4?5 " |
863
'
234
отсчет 1—^L.
дающий г» Зет* 397,4
Рис. 154.
2,24X0,53X7,81
Чтобы привести выражение к общему виду, вводим в числитель в качестве
множителей единицы так, чтобы число этих множителей было на один больше»
чем в знаменателе. Имеем: ' ..
D С С С 'D
1X1X1X1 г
2,24X0,53X7,81
с с л с
Ставим ползун на единицу шкалы D, что соответствует первому
множителю числителя. , .
Подводим число 224 (первый множитель знаменателя) шцадо на
движке под черту ползуна. * ^ uoU
^ Ставим ползун на 1 шкалы С. .(
Подводим число 53 шкалы С под ползун. ,...г
Ставим ползун на 1 шкалы С. йТ^
Подводим 781 шкалы С под черту ползуна. . ^ V~^P
Ставим ползун на 1 шкалы С.
Читаем ответ 0,1075 против черты ползуна на шкале ZX
417. Выражения, содержащие квадраты чисел-
Пример,
'2,53X1^3)2X341
6,7 X (266)2 *
316 Логарифмическая линейка
Для того, чтобы возвысить в квадрат те члены, при которых стоит
показатель степени 2, их следует перенести со шкал С и D на шкалы АиВ,
а остальные чдены должны сразу отсчитываться на шкалах А и В, иначе
они также будут возвышены в квадрат. Итак, имеем:
А С В А
2,53 X (54,3)2X341 _
6.7 X (266)2 -х-
В С
Как и в предыдущем случае, поступаем так:
Ставим ползун на число 253 (множитель числителя) на шкале А
(передвигаем ползун\
Подводим число 6,7 шкалы В (множитель знаменателя) под черту
ползуна (передвигаем движок).
Ставим ползун на число 543 (множитель числителя) шкалы С
(передвигаем ползун). .....
Подводим число 266 (множитель знаменателя) на шкале С под черту
ползуна (передвигаем движок).
Ставим ползун на число 341 шкалы В (передвигаем ползун).
Читаем ответ 5,43 на неподвижной шкале А под чертой ползуна.
Отметим, что ползун передвигается в тех случаях, когда
ставят множитель числителя, а движок — когда делят на
множители знаменателя. Все числа, за исключением первого
множителя числителя и ответа, разыскиваются на движке.
418. Извлечение квадратного корня из выражении.
Пример. Вычислить
/
33,1 X 0,42 X 198
0,76 X 62 X 0,09 ~~ '
Выполняя действия на шкалах А и В и перенося результат их на шкалу D>
находим значение искомого корня
А В В В D
331X42X198X1
76X62X9 - *'
В В В
Ставим ползун на 331-шкалы А
Подводим 76 на В под ползун,*
Ставим ползун на число 42 шкалы В,
Подводим 62 шкалы В под ползун.
Ставим ползун иа число 198 шкалы В. ф
Подводим 9 шкалы В под ползун.
Ставим ползун на 1 шкалы В.
Читаем ответ 25,5 на шкале Z).
419. Выражения, содержащие квадратные корни.
Пример. Вычислить
135X1^384X563
21 X 332 X V638
= л\
Выражения, содержащие тангенсы 317
Для того, чтобы извлечь квадратный корень из множителя, мы-должны
измерить их на шкалах А и В, а затем перенести результат на шкалы
Си/).
Остальные члены выражения отсчйтываготся на шкалах С и D. Итак
имеем:
D JB_ С С D
135 X У"384 X 563 X1 ^
21 X 332 X У~Ь38 *'
С С В
Ставим ползун на число 135 шкалы D (передвигаем ползун).
Подводим число 21 шкалы С под ползун (передвигаем движок).
Ставим ползун на 384 по шкале В (передвигаем ползун).
Подводим число 332 шкалы С под ползун (передвигаем движок).
Ставим ползун на 563 шкалы С (передвигаем ползун).
Подводим 638 шкалы В под ползун (передвигаем движок).
Ставим- ползун на 1 шкалы С (передзигаем ползун).
Читаем ответ 8,46 на шкале D под чертой ползуна.
420. Выражения, содержащие тангенсы.
Пример. Вычислить
■ 25Xtgl5°'X42_ =д.
l,65Xtg20°Xyi3
Шкала тангенсов построена, исходя из той же единицы измерения, что
и шкалы С н D.
Поэтому при вычислениях с тангенсами следует пользоваться шкалами
С и А " - .
D Т С С D
25Xtgl5°X42xl =
l,65Xtg20QX Vl3~
С Т В ч
Ставим ползун на 25 шкалы Д подводим под него число 165 шкалы С.
Ставим ползун на tg 5° шкалы Т.
Подвовим tg 20° шкалы Т под ползун.
Ставим ползун на число 42 шкалы С.
Подводим число 13 шкалы В под ползун.
Ставим ползун на 1 шкалы С.
Читаем ответ 130 на шкале Z).
Квадратные корни могут в случаях, подобных указанному
выше, вычисляться весьма легко, так_ как подкоренные
количества разыскиваются на шкалах А и. В, а затем
переносятся на шкалы Си Д имеющие одинаковую единицу
измерения со шкалой тангенсов.
Квадраты чисел, входящие а выражения, могут быть
вычислены только, если рассматривать их как произведения двух
равных множителей.
318 Логарифмическая линейка
421. Выражения, содержащие синусы.
Пример. Вычислить
(2,66)2 X sin 10°
14,2Х 0,0232
Для решения задачи с помощью шкал А и В имеются два
основания: во-первых, числа, возводимые в квадрат, берутся
на шкалах Си Д а затем переносятся на шкалы А и В, а
во-вторых, шкала синусов имеет ту же единицу измерения,
что и шкалы А и В, т. е. шкалу синусов можно
рассматривать как аналогичную шкале В.
D S В А
(2,66)а х sin 10° XI _
14,2X0,0232 Хщ \
Ставим ползун на число 266 шкалы D.
Подводим 142 шкалы В под ползун.
Ставим ползун на sin 10° шкалы S.
Подводим 232 шкалы В под ползун.
Ставим ползун на 1 шкалы В,
Читаем ответ 3,73 под ползуном на А
Если в чисХе множителей имеется квадратный корень» то
при вычислениях возникают трудности, ибо указанные корни
приходится разыскивать на шкалах С и Д а шкала синусов
построена в масштабе шкал Л и В. В таких случаях, прежде
чем перейти к дальнейшем вычислениям, рекомендуется Либо
найти отдельно значение синуса, либо вычислить квадратный
корень. Конечно и то и другое следует выполнять при помощи
линейки.
422. Степенные множители. Если числа требуется
возвысить в степень выше третьей, то приходится пользоваться
логарифмической шкалой L, как это показано на
нижеследующем примере.
Пример, Вычислить
* = (3,65)1'61.
\« х == 1,61 X lg 3,65 = 1,61 X 0,5623 = 0,9053.
Против 0,905 шкалы L читаем на шкале D 8,04.
.. . '. , ь,— ; . -
Пример, Найти 1/261.
\2х=±\и261 = Щ^-~<)9№$. '
Против 0,4833 шкалы L находим на шкале D число 3,04.
Правила для вычисления степеней 319
423. Правило для вычисления степеней. Будем
рассматривать шкалы А и В как шкалы квадратов, т. е. чисел с
показателем 2, шкалу К—как шкалу чисел с показателем 3,
CuD—как шкалы чисел с показателем 1, С/—как шкалу
чисел с показателем (—1).
Если дано
п
т
х = а $
•
сперва представляем показатель в виде дроби. Разыскиваем
число а на шкале, соответствующей показателю, который
равен знаменателю. Ответ читаем против черты ползуна на той
шкале, которая соответствует показателю, стоящему в
числителе.
Короче говоря, следует разыскивать данное число на шкале
знаменателя, а результат читать на шкале числителя.
Пусть дано
2
х =*а& = а .
Число а разыскивается на шкале Д соответствующей
показателю 1, которой стоит в знаменателе показателя.
Ответ читается на шкдде А% соответствующей
показателю 2, стоящему в числителе.
Пусть дано
JL
х = \Са == а .
Необходимо подвести ползун к числу а на шкале А
(соответствующей показателю 2).
Ответ читается на шкале D9 соответствующей
показателю 1.
Дано
}/ а = а
Ставим ползун на число а шкалы К (показатель 3).
Читаем ответ ]/а на шкале D (показатель 1).
Дано
х «= У а — а *
320 Логарифмическая линейка
Ставим ползун на число а шкалы К (показатель 3) и читаем
ответ на шкале А (показатель 2).
Дано
в .
х — уа^^а.
Ставим ползун на число а шкалы А.
Читаем ответ У а8 на шкале К под ползуном.
Дано
1 — 1
1 -т " . . . .
х =*-=*= а = а .
V а •
Ставим ползун на число а шкалы А.
Читаем ответ Тг^ под ползуном на шкале С/, т. е. на
шкале, соответствующей показателю (—1).
Индекс движка должен совпадать с индексом шкалы А
Дано
i
* = тсY а = ~X а .
Чтобы найти х = Y а* ставим ползун на число а шкалы А ,
и читаем ответ на шкале D.
Чтобы умножить полученный результат на я, переносим
отсчет со шкалы D на DF.
Дано
э
I. -з "
х =—=- = а — а
а3
Ставим ползун на число а шкалы С/ и читаем ответ на
шкале К.
Дано
х= 1_==дтх 1
*Va *
Ставим ползун на число а шкалы А.
Читаем ответ под ползуном на CIF.
(—1) указывает на необходимость применения обратной
шкалы, а отсчет результата на кратной шкале соответствует
делению на т.
Косоугольные треугольники
321
424* Решение прямоугольных треугольников Согласно
закону синусов, змеем:
[901 а = Ь = °
* * sin A sin В sin С
Эта формула удобна как для решения прямоугольных, так
и некоторых косоугольных треугольников.
Отношения —:—-г t —:—п * . г* равны между собой; по-
sin Л sin о sin С Г J
этому, если линейка установлена на число, соответствующее
С/Г
Ь
Рис. 155.
С
л ~-*0'
Л^шш
b
Ряс. 156.
В
а
С
значению отношения (п° 405), то этим самым она установлена
и для остальных отношений.
Пример* Пусть
Найти а, с и В.
Далее:
А = 35с30'; Ь = !5.
В = 90 — 35° 30' = 54° 30'.
шкала А 15 '__ а __ с
шкала S "~ sin 51° 30' "~ sin 35° 30'"~ sin 90°
а = 10,7, с = 18,4, S = 54° 30'.
Пример. Дано:
Шкалы
Л = 21°, с = 20.
Б = 90о-21° = 69Ос
20 а Ь
S sin 90° ~~ sin 21° "" sin 69°
а ==7,17; 6 = 18,7.
425. Косоугольные треугольники. Для решения
косоугольных треугольников удобно применять две тригонометрические
формулы.
21 Справочник для инженера.
322
Логарифмическая линейки
Если даны два угла и сторона или же две стороны и угол
против одной из них, то следует пользоваться законом
синусов [40]:
А __ а Ь _^ с с
IF ~ sin A ~ sintf- sin C~ sin (A + £)'
Пример. Пусть
г а = 25, i4 = 42°, 5 = 27%
л/Чч^ч>£=25 Найти 6, с и С
■^•с ^5
с
Рис. 157.
Л 25
S ~ sin42°"
6 =
С = 1 0° - (42° + 27°) = 111°.
А 25 b с
S ~ sin 42° sin 27° ~ sin 111°
b , \с
sin 27° sin 69? '
= 17,0; с = 35Д
426. Если даны две стороны и угол, заключенный между
ними, который больше 90°, то следует применять формулу
[91J
D
ia + b)
(a-b)
и закон синусов.
Пример. Дано:
С = 116°, * «=21, а «51.
Найти АУ В и с.
Применим указанную формулу [91]:
1 180° —116°
~- (Л + 5) = i£^_2_L±?_ e 32'.
а + 6 = 72
а — fe = 30.
Подставляя, имеем:
■if32!
72
t*-^-(i4-«
ьо
32°
~-(Л-В) = 14°3'
i4 = 46°3'
В = 32°- 14° if\
= 17° 57'.
Косоугольные треугольники щ
Из формулы
эм:
А
S
а с
sin A sin С
51 с
sin 46° 3' ^ sinllo0
i2?
[90]
с = 63,3.
427. Если даны две стороны и угол, заключенный между
ними, который меньше 90°, то -у (A -J- 5) больше 45°, так что
соответствующий тангенс на линейке отсутствует.
Пользуясь формулой
*г(90°-ЛГ
придаем формуле [91] такой вид:
[92]
tg Ua-b)
(а + 6) rtg90°—|- (Л+В) I (а-Ь)
которой следует пользоваться вместе с
а _ • Ъ с
sin A sin В sin
Пример. Дано
2
Из [92]
С = 80°, а = 130, 6 = 100.
Найти А, В и с.
а+*> = 230
а — Ъ = 30
— (Л + Я) = ^ = 50°.
! tg-~(,4-£)
230Xtg40° 193
30
-£-(Л + 3) = 50Р
-у-(Л-Б) = 8°50'
А = 58°50'
5=50° — 8° 50' = 41° 1(К*
21*
324 щ$ Логарифмическая линейка
Из [90]
с = 151.
428. Способы введения поправок при вычислении на
счетной линейке. Если одно из двух чисел слишком велико для
того, чтобы разыскать его на линейке, то его можно разбить
на две части и каждую из них умножить на второе число
посредством одной установки линейки. Сложение двух
произведений увеличивает точность результата, которая оказывается
выше точности обычных вычислений на линейке, при эт*ом
тратится столько же времени. Выражая сказанное в
алгебраической форме, имеем:
(а-\-Ь)с = ас-\-Ьс.
Пример. Умножить 527,85 на 3,14. Число 527,85 нельзя найтн на линейке
поэтому представим его так:
(527 + 0,85) 3,14 = 527 X 3,14 + 0,85X3,14.
Ставим меньшее число 3,14 на неподвижной шкале D и подводим
к нему индекс движка. Произведения 527X^,14 и 0,85 ХЗД4 можно найти
простым передвигкением ползуна, причем.в главную часть ответа вносится
поправка при добавлении второго произведения, или
1655 + 2 = 1657,00.
Правило. В каждом числе следует брать три
значащих цифры. Четвертая значащая цифра является
сомнительной. Все цифры за четвертой — отбрасываются.
429. Если оба числа таковы, что не могут быть найдены на
линейке! то ход действий может быть алгебраически пояснен так
(а+6) (c + d) = (a + b)c + (a + b)d.
Таким образом потребуется два таких действия, какие были
описаны в предыдущем п°.
Пример. Умножить 45 681 на 38 266, пользуясь 20" линейкой.
Имеем:
(45 600 + 81) 38 200 + (45 600 + 81) 66.
Индекс поставлен на 382 /1742 000000
„ на шкале D \ 3 000000
Индекс на 66 шкалы D 3000 000
1748000000
В действительности произведение равно 1 748 029146.
Если бы мы производили умножение на обычной лииейие, то
получили бы:
1750000000,
Бесконечные ряды
325
Глава XVIII.
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ.
430. Бесконечные ряды. Вп° 298 и в следующих за ним
мы видели, что ряд есть совокупность членов, образованных
по определенному закону. Ряды, о которых шла там речь, имели
конечное число членов, для суммы которых мы и вывели
формулы.
Теперь мы рассмотрим ряды, где число членов
неограниченно. Такие ряды называются бесконечными.
431. Вп° 313 было доказано, что сумма п членов
геометрической прогрессии Sn приближается к предельному значению,
если г —' знаменатель прогрессии — по численной величине
меньше единицы и число членов неограниченно возрастает.
Таким образом, взяв достаточно большое число членов
геометрической прогрессии, можно сделать разность между их
суммой Sn и ее предельным значением как угодно малой.
В случае арифметической прогрессии, как это также было
показано, такого предельного значения для суммы ее членов
Sn не существует, и по мере возрастания числа членов
последняя может возрастать или убывать беспредельно.
432. Если щу м2, щ... представляют собой совокупность
положительных, отрицательных или вместе тех и других
количеств, образующих ряд
И1 + Щ + Щ + • • • + «п + U п+1 + • • • I
то мы обозначаем сумму первых п членов символом Sn:
Sn e ui + Щ + Щ + • • • + «»•
•
Если п возрастает беспредельно, то могут быть два
случая.
Случай 1. Sn приближается к конечной величине как
к пределу.
Случай 2. Sn к пределу не приближается.
В первом случае мы будем обозначать предел, к которому
стремится Sn$ буквой S, или символически
lim Sn «= 5,
и будем называть такой ряд сходящимся. Этот вид рядов
наиболее часто встречается в практических приложениях.
326 Бесконечные ряды
433. Расходящиеся ряды. Во втором случае ряд называется
расходящимся. Здесь можно различать два класса рядов:
7. Расходящи ися рядами являются такие ряды, в
которых абсолютная величина Sn по мере увеличения числа
членов безгранично возрастает,
2. Колеблющимися рядами называются такие ряды, в
которых Sn не обращается в бесконечность при увеличении п, но
и не стремится к определенному пределу.
Величина Sn колеблется, например, в случае ряда
s^i-i + i-i+.-.+f-if-1.
Здесь Sn равно либо нулю, либо единице в зависимости
от того, является ли п четным или нечетным числом.
Пример сходящихся рядов. Рассмотрим геометрическую прогрессию
Положим а = 1, г = -у; тогда ряд примет вид
^ = 1 + T + T + T + ^+-+5S=f
1+1+1+1
2 4 8 16
&,= 1 = 2
* 1 _ l 2"-1
1 2
При увеличении п до бесконечности п—1 стремится к 0:
4m Sn = 2.
. , »->о.
^ = 1
1 _
2 ~~ 2
52 = 1 + -*- = 4
Очевидно, что по мере возрастания п Sn может быть сделано как угодно
близким к 2, т. е- он* может отличаться от 2 на сколь угодно малую веля-
чину.
Несходящиеся ряды
327
Пример расходящихся рядов. Рассмотрим арифметический ряд:
^■.l + 2 + 3 + 4 + ... + n-in+ii).
^=1 + 2 = 3
j3esl + 2 + 3-6
. >Si*=:l+2-f 3 + 4 = 10.
Очевидно, что, при безграничном увеличении п, сумка членов также
возрастает безгранично и ряд является расходящимся.
434. Иногда бесконечный ряд характеризуют л-ым или, как
егр называют, общим членом. В ряде
А. 14-1-1- | " + 1 1
общий или п-й член ;
Предел суммы первых п членов сходящегося ряда
обозначают так:
lim Sn — S
w->-o
и называют суммой ряда.
435. Характер бесконечного ряда не. изменится от
добавления или удаления конечного числа членов, т. е. ряд останется
сходящимся или расходящимся независимо от того, увеличим ли
мы или уменьшим число его членов на конечное количество их.
Однако предел, к которому стремится сходящийся ряд, вообще
говоря, от этого изменится.
Встречаются ряды, для которых нельзя найти сумму их
членов так, как мы это делали в случае геометрической
прогрессии, и мы не сможем определить численного значения
предела; однако при действиях над рядами всегда необходимо
знать, существует ли вообще у данного ряда судаа...
Для выяснения вопроса, является ли ряд сходящимся, его
нужно исследовать, пользуясь следующими теоремами.
- 436. Если, при беспредельном возрастании n, Sn постоянно
возрастает, оставаясь все время меньше некоторого
определенного числа АГ, то Sn приближается к пределу, величина
которого не ^олёе Я/г
; 437. Если, при беспредельном возрастании п9 S& постоянно
убьййет,г оставаясь все время больше нЬкбторого'определён-
328
Бесконечные ряды
ного числа К, то Sn приближается к пределу, величина
которого не меньше К.
438. Ряды, состоящие только из положительных членов.
Ряд, все члены которого—положительные, не может быть
колеблющимся. Sn в таких рядах всегда возрастает, и если можно
доказать, что эта сумма всегда меньше некоторого конечного
числа, то ряд должен быть сходящимся (п°436). На этом
принципе основан следующий способ испытания рядов на
сходимость.
439. Определение сходимости путем сравнения. Пусть ряд
«i + иа+Ив-Ь--- . (!)
состоит только из положительных членов, и мы хотим
определить, является ли он сходящимся. Пусть, кроме того, известно,
что ряд
^1 + ^2 + ^3+ • •• (2)
является сходящимся. Тогда, если каждый член (1) меньше
соответствующего члена (2), то ряд (1) — сходящийся, причем
его сумма не может быть больше суммы ряда (2;.
Пример. Доказать, что ряд
1,1,1, , 1
(п~1)
2+1 + F + jr + i + -+/-^i^-i +- «
сходящийся.
Сравним его с геометрической прогрессией
JL+1+1
2? 2» 2*
2 + 1 + £ + £ + 77 + -+-5ГГГ+-" <2>
Производя сравнение (1) со (2), мы видим, что, начиная с третьего члена,
каждый последующий член ряда (1) меньше соответствующего ряда (А
После сравнения нескольких членов, мы должны сравнить между собой
и n-ые члены (1) и (2).
Если п>3,
"4IWHBNM "W,(I>W ^ .ИЦ1Ч1 . | <•■ •
6 ряде (2) сумма членов, следующих за третьим, не может превысить -f- *
так как ряд стремится к З^г-. Сумма тех же членов в ряде (1) меньше,
чем во (2). Поэтому ряд (1) является сходящимся и его сумма меньше W •
Некоторые ряды, полезные для, исследования сходимости 329
440. Некоторые ряды, полезные для исследования сходи*
мости. Можно доказать» что следующие ряды являются
сходящимися:
a + ar+ar* + ai*+ ... +агп^+... 1),
где —1< г < 1;
1,1,1,1, t 1
1-2 ' 2-3 ' 3-4 ' 4-5 ' "' ' п(п + 1)
*) Убедиться в сходимости ряда при — 1 < г < 1
a + ar + ar* + ai*+... +arn~x + ...
можно, рассматривая сумму первых п членов ряда
Sn= a + or+ ar*+.. + arn-1 "-""
%
~ 1-
Эта сумма состоит иг двух члеьов:
с — а вГ«
Г
В то время, как первый член остается постоянным, второй стремится
к нулю, ибо гп -> 0 при беспредельном возрастании п, если — 1 <[ г < 1.
Сумма первых п членов ряда Sn стремится к и » и эта последняя
величина есть сумма данного ряда*
Прим. ред.
2) Сходимость ряда
J-4- г J-J-J-J-J-' I X t '
1.2"t"2.3i"3-4i"4.5"f"""","ii(n + l)
можно установить так:
или
*.-('Ч)+(1Ч)+(1Ч)+-+(Ь^)-
откуда получаем
"'П
п + 1
При беспредельном возрастании л сумма Sn стремится к единице. Ряд
сходится и сумма его равна 1.
Прим. ред.
330 Бесконечные ряды
- '+?+£+?+£+-+;?+••■*>■
где р > 1.
441. Определение расходимости путем сравнения. Пусть
ряд
. щ+щ-\-щ+и4+:..-{-ин+... (1)
должен быть испытан, не является ли он расходящимся; пусть,
кроме того, мы имеем еще и другой ряд (2), состоящий только
из положительных членов, причем заведомо известно, что он—
расходящийся:
Vi +V2 -f VS + ©4+ • • • + *>„ + . . . (2)
Если члены ряда (2) не больше соответствующих членов
ряда (1), то ряд (1) — расходящийся.
Наиболее важным для испытания на расходимость является
гармонический ряд
1+?+т+т+т+--+1+--
3) В сходимости ряда
1 _}_-JL -L- —L_ 4- ■ 4- -i-—L-4-
1 2Р 2Р qp • " ' тР т
при р 5> 1 можно убедиться из следующих простых соображений. Члены
рассматриваемого ряда остаются меньше соответствующих членов ряда
2 члена . 4 члена ... .8 членов
*i 4- 3TIir+J-j.jl-L'J_j."iL 4-XZ^TX
Ф2Р4Р4Р4Р ' 4Р 8?, ■'. 8£ -1 i "..:■•
Этот последний ряд можно представить в виде
_JL_+J
2^ — 1 • у?
1 i ою-1 ~ лР —t ' аР — 1
сложив-равные члены. ...._.'.v _. „ _.
Последний ряд есть геометрическая прогресеия
*г - - - . ..
со знаменателем пр — \ » который <1» если р>1.
Так как последний ряд сходится, то сходится к данный ряд,
v. , . ч,-:. Прим. ред.
Определение расходимости путем сравнения 331
Можно доказать расходимость этого ряда следующим
образом:
Сгруппируем его члены так, чтобы сумма их в каждой
группе была больше -тг, т. е.
'+-HiH)+(W+l+l)+- ;
В первой группе будет два члена, во второй — четыре,
в третьей — восемь и т. д.
В первой группе -^ > -j- и сумма этих членов больше»
чем -д-, взятая два раза, т. е. -^ X 2 = тг-. Во второй группе
сумма ее членов больше, чем -~-, взятая четыре раза, т, е.
_ X 4 = тг • Таким образом мы можем составить бесконеч-
ное множество групп, причем сумма членов в каждой из них
будет больше -у •
Если же взять п достаточно большим, то сумма членов
всего ряда может быть сделана как угодно велика, т. е. она
может сделаться больше как угодно большого заранее
заданного числа. Следовательно наш ряд — расходящийся.
Пример. ВьГяснить расходимость ряда
1,1.1,1, .1
= +... (1)
УТ VI"1" Vl"r V"s'T""^ VH
Сравним ряд (1) с гармоническим рядом
Т + У + Т + Т+-+Т+- (2>
Так как внаменатель каждого члена ряда (1) меньше знаменателя
соответствующего члена ряда (2), то ряд (1) — расходящийся,
442. Для испытания рядов на расходимость весьма важными
являются следующие ряды:
Геометрический ряд
где г>1. - .. .., . -._ .. . '.. • W- ;
332 Бесконечные ряды
Гармонический ряд
Весьма полезно иметь для справок список всех рядов»
о которых удалось выяснить, являются ли они сходящимися
или расходящимися.
Un4-\
443. Исследование ряда при помощи отношения —
Отношение (n-j-l)-ro члена ряда к л-ому члену называется
критическим отношением или отношением сходимости. Путем
исследования отношения —2И- обыкновенно можно
определи
лить характер ряда и его изменение при беспредельном
увеличении числа членов л. Для геометрического ряда это
отношение имеет постоянную величину независимо от числа членов л,
как это было показано в п° 313 (где предел суммы был получен
из прямолинейного графика).
Рассмотрим ряд
«i + «a + "3+--- + «n + «w + i + --->
члены которого могут быть все положительными или отрица?
тельными, а также могут иметь и разные знаки. Возьмем
отношение —^— и будем увеличивать п беспредельно.
Абсолютная величина отношения
ип+Х
при
беспредельном возрастании л в большинстве случаев стремится
к определенному пределу или беспредельно возрастает.
Назовем такой предел, если он вообще существует, буквой р:
Если
р < 1, ряд сходящийся.
р > 1, ряд расходящийся,
р = 1 не дает никаких указаний относительно того, является ли
ряд сходящимся или расходящимся.
Вывод признака сходимости Коти 333
Пример 1. Определить при помощи отношения —п '■■ характер ряда
2 2а 23 2* 2"
_ n-f-1 _ п
ап+1— 2»+»' "n_ 2"
ига+1_ n-f-1 2№^n + l^n 1 1_ 1
2n+1-n 2n 2п 2л~2 2я
К,
П
lim т = lim T + 9^ =^
п-
-<[1, следовательно данный ряд сходящийся.
1
2"
Пример 2. Определить, является ли сходящимся ряд
2 , 22 , 2» , 2* , , 2Л ,
22 + за + 42 + 53 "*"• ■ '"г (п +1)2 "г "
(п + 2)2 2»
-Ш'
П->00 "п
2>1, следовательно данный ряд расходящийся.
444. Вывод признака сходимости Ковш *)• Рассмотрим
ряд, состоящий из положительных членов
Испытаем данный ряд на сходимость.
Разделив общий член ряда на предшествующий ему член,
получим известное отношение
П
Величина этого отношения, вообще говоря, будет
стремиться к некоторому пределу при безграничном увеличении п.
Если указанное отношение не стремится к некоторому
определенному пределу, то при помощи рассматриваемого способа
нельзя решить вопрос о сходимости ряда.
• *) Признак сходимости, приписываемый автором Коти, был установлен
Даламбером и по этой причине обычно называется признаком Даламбера.
Прим. ре*.
334 Бесконечные ряды
Пусть при безграничном возрастании п отношение
стремится к некоторому определенному пределу, который мы обо*
значим буквой р:
lim з—?=~~р.
п-> со М-п
Величина р может быть меньше единицы, более ее или
равна ей, т. е. р < 1, р > 1 или р — 1.
445. Случай 1. Если при возрастании п предел
отношения —n + 1 , равный ру меньше 1, то величина самого отно-
п
шения может отличаться от р на сколь угодно малое число.
Можно выбрать такое число г, лежащее между ри1, которое
будет больше любого из значений нашего отношения ,
получающихся для последовательных л, начиная с некоторого
значения этого пу например для л==т, а также и для любой
величины л > т.
Таким образом
Ит-И
n = m + l, -^<r, «„+8<^.-W»>^^
"т+1
Л = 771 + 2, ТГ"<Г» *Vk1< Um4-2'r<Um->*>
Um+2
П = т + 39 ~^<r> "m+4 < «m+3 " Г < U»
ит-И
Складывая р таких неравенств, получаем:
^ " • и»+1 + uin+a + Йт+3 + Uw-f 4 + • • • + Mm+p > <
Очевидно, что члены, заключенные в скобки, составляют
геометрическую прогрессию, в которой г < 1; такая прогрес-
Вывод признака сходимости Коши 335
сия, как было доказано, представляет собою сходящийся ряд,
причем сумма членов его постоянно будет меньше, чем. '
1— г'
Следовательно, сумма членов ряда
никогда не будет больше величины
которая является конечным определенным числом.
Поэтому этот ряд (и) — сходящийся.
446. Случай 2. />>1. Такой ряд можно исследовать
таким же образом, как и предыдущий, где р < 1. В этом
случае однако г больше 1, в результате чего данный
геометрический ряд будет расходящимся.
447. Случай 3. Для того чтобы доказать непригодность
разобранного способа для случая, когда р = 1, необходимо
рассмотреть следующий ряд: *
Положим р > 1.
Группируя члены, имеем
1 г !.< 1 . * =2 = 1
zp Зр 2я 2Р 2Р 2Р~~1
J J-4-i- i J_4-J-<-^4- — 4- — + — = — = f—
4Р У 6Р 1р 4? 4? 4Р 4Р 4Р \ 2i>~1
- _gP ~ • • • ~ -tcp ^ QP I OP I gP I gP J QP ' J' I й? Т
\8
' 8" 8P \ 2P_1}
336 Бесконечные ряды
Продолжая далее группировку указанным образом и
составляя ряд из правых членов неравенств, получим
2р
1 ^Ш+
+ея+-+(^г+
(2)
При р>1 ряд (2) является геометрической прогрессией
со знаменателем, меньшим единицы, а мы уже видели, что
такой ряд — сходящийся. Сумма членов ряда (1) меньше суммы
ряда (2), как это видно из приведенных выше неравенств,
следовательно ряд (1)—сходящийся.
При р = 1 ряд (1) превращается в гармонический ряд,
который, как мы уже доказали, является расходящимся рядом.
При р < 1 каждый член ряда (1) будет больше
соответствующего члена гармонического ряда, а следовательно ряд
(1) — расходящийся.
448. Возвратимся теперь к рассмотрению признака
сходимости и к доказательству его непригодности для определения
характера ряда в случае, если предел этого отношения р
равен единице. Рассмотрим ряд (1):
1 . JL + J_4-i- + i-4- 4-1 ' * •
-Р
2Р ^ Зр ^ 4Р т 5Р 1 '•■' пр ' (л + 1)
Составим отношение
ton (^±Л = р = Нт(1 +±) Р=(1Г*
Отсюда видно, что для взятого ряда, независимо от
значения р, р = 1. Однако мы доказали выше, что при р > 1
ряд сходящийся, а при р < 1 ряд расходящийся. А так как р
( и*+Л «
1 предел отношения —) может быть равным единице как
для сходящегося, так и для расходящегося ряда, то отно-
un4-l
шение —— при р = 1 непригодно для определения сходи-
мости ряда.
Ряды, сост* из похож, и отриц. членов 337
449. Для того чтобы ряд, состоящий только из
положительных членов, был бы сходящимся, условие, заключающееся
И 4-1
в том, что отношение ■ делалось и оставалось бы меньше
и»
единицы для всех значений п, вовсе не является достаточным.
Так например, для гармонического ряда это условие
выполнено, а все-таки этот ряд расходящийся.
Предел указанного отношения должен быть меньше
единицы, в то время как для гармонического ряда он равен
единице; признак оказывается, как мы видели только что,
неприложимым.
450. Ряды, все члены которых отрицательны.
Теоремы, доказанные нами для случая рядов с положительными
членами, можно с некоторыми видоизменениями приложить и
к рядам с отрицательными членами. При этом при
доказательстве следует исходить из теоремы п° 437, а не п° 436, как мы
делали ранее.
451. Ряды, состоящие из положительных и
отрицательных членов. Если число отрицательных членов конечно, то
их можно отбросить и испытывать сходимость рядов, как это
сделано в предыдущих п°. Если число положительных членов
конечно, то следует отбросить их и рассматривать ряд только
с отрицательными членами. Очевидно, что такое
отбрасывание членов влияет на величину суммы, но факта
существования предела суммы изменить не может, поэтому если
предел существует, то ряд является сходящимся, хотя величина'
его суммы будет уже другая.
Если в ряде имеется бесконечно большое число членов
как положительных, так и отрицательных, то можно
исследовать его, применяя при этом следующую теорему:
Ряд, состоящий из бесконечно большого числа как поло-
жительных, так и отрицательных членов, является
сходящимся, если другой ряд, составленный из абсолютных зна-'
чений всех членов первого ряда, сходится. л
Предположим, что данный ряд имеет вид
«1 + И2+ИЗ+-- (1)
и что ряд, полученный из .данного путем сложения
абсолютных значений его членов, есть
к] + К] + К] + .-. (2)
22 Справочник для инженера.
338
Бесконечные .ряды
Ряд (2)—сходящийся. Сумма его членов Sn приближается
к некоторому пределу. Пусть это число будет S. Тогда
lim *Sn = *S.
Однако, сумма членов первоначального ряда (1) по
абсолютной величине всегда меньше чем *S, так как сумма,
полученная в результате сложения одних положительных членов,
меньше чем S.
Предположим, что из п первых членов ряда (1) р —
положительны и q — отрицательны. Тогда
Sn[*o(2)) = Pp + Nit
где Рр— сумма р положительных членов, а ^— сумма q—
отрицательных. С другой стороны
Так как (2) — сходящийся, то его сумма никогда не может
превосходить S9 а так как и Рр и Nq — положительны, и их
сумма не превосходит S, то Рр приближается к пределу Р,
a/V} — к пределу TV, и ясно, что
lim £л[из(1)] = Р—N= определенному конечному числу.
п >оо
Поэтому ряд (1), согласно определению, является
сходящимся. Ряды этого вида, которые оказываются сходящимися
не только сами по себе, но абсолютные величины членов
которых образуют сходящиеся ряды, называются абсолютно ;
сходящимися.
Ряды, содержащие положительные и отрицательные члены,
могут быть иногда сходящимися и в том случае, когда
абсолютные величины их членов Образуют ряд несходящийся.
Ряды такого вида называются условно сходящимися.
452. Способ определения характера ряда по величине
отношения членов (см. 443 и след.) может быть применен
•к рядам с положительными и отрицательными членами
следующим образом:
Ряд: if!
(ип или положительный или отрицательный) будет
сходящимся, если . .
lim р±И<1,
что следует непосредственно из n°45l.
Ряды знакопеременные 339
__ Ряд будет расходящимся, если
•Bm(^±l)>l.
В случае, если предел отношения больше единицы, ип не
может приближаться к пределу, равному нулю, и
следовательно ряд не может быть сходящимся, так как основным
условием для сходимости является стремление ип к нулю.
Способ неприменим, если
п->со\ Un J
1.
Доказательство этого положения аналогично приведенному
в п°448.
453. Ряды знакопеременные. Так называются ряды, члены
которых попеременно положительны и отрицательны. Теоремы,
выведенные для случаев рядов с положительными и
отрицательными членами, конечно применимы и в данном
случае.
Кроме того, для знакопеременных рядов имеем следую*
щую теорему:
Если ии ц2, и3... положительные члены знакопеременного
ряда
причем каждый из них по абсолютной величине меньше
предшествующего, и если
Нт ип = О,
Л-»ео
то ряд — сходящийся.
Сумма 2/1 (четное число) членов ряда равна
S2n = (щ — ui) + (и3 — щ) + (кб — и6) + • • • "Г (и2„-1 — "а«) (1)
или
-5ап = Щ — («2 — из) — (и* — иб) — * *. — ща. (2)
Величины, стоящие в скобках, все положительны, каждый
член по абсолютной величине меньше предыдущего, поэтому
величина S2n является положительной и увеличивается с
возрастанием 71.
22*
340 Бесконечные ряды
Кроме того, из (2) мы видим, что S2n всегда
меньше ut 1).
Сумма нечетных членов ряда
*->2п + {= о2п -J- и2п ^ t.. .
Отсюда HmS^ + 1 = Hm52n + limu2n + 1. Но предел и2н + 1 есть
нуль по условию. Следовательно S2n + i имеет тот же предел,
что и S$n. Поэтому сумма любого числа членов, четного или
нечетного, имеет один и тот же предел.
Пример. Ряд
1--J-+ 3 4 + 5 б +■•• +l 1} n +'
является сходящимся, так как каждый его член по абсолютной Величине
меньше предыдущего и
lim и =Iim ( )=0.
П -> 00 Л П->00\П/
Если рассматривать только положительные значения членов, то ряд -~
расходящийся, так как в таком случае он — гармонический. Таким образом
этот ряд — условно сходящийся. Ряд
1 - "25" + "зз" "" 1Г + "р"''" + * " 1)'пг + *'#
является абсолютно сходящимся) так как ряд
1 + -22" + -зг + 1г + -.. + 7?г-- сходяш-ийся*
454. Указания для исследования рядов. Положим, что мы
имеем ряд:
который желаем исследовать на сходимость. Если ряд знаке
переменный, в котором каждый член по абсолютной величине
меньше предыдущего и
lim ил = 0
п->оо
то ряд сходящийся.
1) Из сопоставления того обстоятельства, что S^ все время возрастает
При возрастании п, с тем, что «SL остается меньше uv следует, что «S2j|
имеет предел.
Прим. ред.
Степенной ряд 341
Если ряд не знакопеременный и удовлетворяет этим
условиям, то выясним законы образования его членов, составим
отношение ип + х : ип и найдем
Urn
П -> со
цп + 1
U*
«р.
Если р<1 (по абсолютной величине), то
ряд—сходящийся.
Если р > 1 (по абсолютной величине), то ряд
расходящийся.^
Если р == 1, то способ не годится и ряд следует сравнить
с каким-либо заведомо сходящимся, например:
а-{-аг-\-аг9-\- . . . -(-агп"""** + ..., гдег<1
1+2*г+з*г+4*г+ '" ^^^'", ГАе Р>1т
Если есть основания предполагать, что ряд — расходящийся,
то следует -сравнить его с заведомо расходящимся рядом,
например
1+4+T+T+T+--+V + "-
П-1
a-f-ar+ar3-|-ar84" ■ • • ~\~агП ~Ь • ■ •» гАе г > 1
2* "Г 3> » 4/> г '•' "г" пр
1+tF + -q>"+л?"+ ••• +~1г+-мгде /><1,
455. Ряды, члены которых являются функциями х. Часто
встречаются ряды, члены которых являются функциями какой-
нибудь переменной х. Такие ряды, как мы покажем далее,
имеют большое практическое значение.
456. Степенной ряд. Простейший и наиболее важный из
рядов этого типа есть степенной ряд имеющий вид:
аб+«1* + Са*а+а8*8+ • ■ • +«»*" +
Здесь коэффициенты а<>, аи а2> и т. д. не за1изят от х.
Из дальнейшего будет видно, что такие ряды имеют в
анализе большое значение. Степенной ряд является сходящимся
при одних значениях леи расходящимся — при других.
Определение значений х, при которых ряд сходится, может быть
сделано лишь путем его исследования.
342
Бесконечные ряды
Если по данному ряду составим отношение
а«
tt-1-i
и
заметим, как изменяется это отношение при вырастании п до
бесконечности, то сможем определить интервал сходимости,
т. е. те предельные значения х, между которыми ряд сходится.
Если отношение приближается к какому-нибудь
определенному конечному числу как к пределу, или другими словами,
если соотношение между коэффициентами таково, что
w>00\ <*» /
то при
при
UK
1
ряд — сходящийся,
ряд — расходящийся.
Если | х | = I — I, то о сходимости ряда ничего сказать
нельзя.
Если г = 0, то ряд сходится при любых значениях х.
В случае степенного ряда, сходящегося при х = 6, он
является сходящимся для любого значения х, численно
меньшего, чем by т. е. для — b < х < 6.
Пример:
х . 22*« . 32*з 42*'
2 г 22 "• 23 ~* 2* ~*~ "*
*п + 1_(л + 1)2
а 2п2
ffn + l
> + 1)3
Данный ряд является сходящимся при всех значениях х, численно
меньших 2:
I х | <С — или | х | < 2.
биномиальный ряд 343
457. Биномиальный ряд. В п° 84 и следующих за ним
мы показали разложение бинома. Разлагая согласно этому
методу выражение (1-{-х)п, получим:
„(я —1)(я —2)(я —3) , ,
^ 12-34 *—Г--м
где я может быть целым, дробным, положительным или
отрицательным.
Если мы имеем (а-|-л:)л, то выражение примет вид:
(a-j-*) = а -f-яа х-\ ТТо~ а х г
П(Я —1)(ц —2) ц-8 , ,
"^ 1-2-3 а h
, n(n —1)(П —2)(П —3) п-4 , ,
~*~ 1- 2-3-4 л -t-.-.
Всякий такой ряд, состоящий из бесконечно большого
числа членов и полученный для дробных или для
отрицательных значений я, будет сходящимся, если х по численной
величине меньше чем а. Поэтому сумма членов ряда может
быть найдена с любой степенью точности.
Если х численно больше чем а, то ряд—расходящийся,
но в этом случае величина (а-\-х)п может быть найдена
с любой степенью точности посредством разложения бинома
(лг -|- a)w, так как разложение последнего даст сходящийся ряд.
Рассмотрим выражение:
m(m *— 1) (т — 2) ... (т — п)
°м + 1 1-2-3 ... п + 1
m(m — 1)(т — 2) ... (т — п-\-1)
«,. - П2-3 ... п
оп +1 m — п
а„ п + 1
™_1
lim(^Ul™fe?Wlim ^= = 1.
П -> оо \ Я —| 1 / п->со .. j J
1+Т
344 Бесконечные ряды
Ряд сходится, так как—1 < х < 1.
458. При разложении бинома (a-\-xf его можно написать
в виде (п° 123):
-ка-
Разлагая, имеем
„.(1+^(1+^+=м(^+...)-
Ряд сходится, если
I a I
Интервал сходимости есть промежуток от — а до-f-a.
Пример 7. Разложить (1 — *)0>1 (см. п° 87).
Имеем:
10 _ 1
-9
10 / 9 \
с2 = С1 х -у- = о,1 ^ —2сГу= -°'045
— 19
с3 = с2 —^— = - 0,015 X ~з0 = 0,0285.
Разлагая, получим:
(1 - д)0'1 = 1 - ОД* + 0,045*2 _ 0,0285*3 + ... н т. д.
Пример 2, Разложить (1 — Здг)"~ . Находим' коэффициенты:
*
Ч = Ч'=^~ = -3X -2= +6
с* = с3-^- = -10Х —- = 15.
Разлагая, имеем:
(1^з*)-8 = [1 + (-з*)Г3 = 1 + (-3)(-з*) +
+ 6 ( - 3*)2 4- ( - 10) ( - За:)* +15 ( - 3*)* + • • • =
^1 + 9* + 54*2 -|- 270*з+ 1215^+ ...
Некоторые биномиальный ряды 345
Пример 3, Найти первые пять членов разложения бинома (1 + *)
-3
ci e —£~ .
-7
с2 — ^iA 2 "" 4 х 8 ~" 32
-11
Сз-езЛ з 32 А 12 — 128
-15
^4-с3Х 4 128 А 16 2018-
Таким образом
/1.L ГТ 1 3 , 21 9 77 1155 ,
Заметим, что нечетные степени * имеют отрицательные коэффициенты.
459. Некоторые биномиальные ряды.
[93] (1±^Г^1±пУ + ^^)^±"("-1К"-2)ла+,,,
сходящийся, если х2 < 1.
[94] (1 ±«Г = 1 ipiu + ^Ь^^^" t^V1"1^- • •
сходящийся, если л:2 < 1.
loci / a v-i ! /i _i_ 6r л. *2*2 л- *8*8.*4*4'| \
[95] (в-far) 1--^1+_ + _ + _г + --г4- ... ],
сходящийся, если Ь2х2 < а2.
[96] (l±Ar)^ = l^^ + ^H=^ + ^^Ar5 + A:8=p^+...
сходящийся, если л:2 < 1.
[97] (1±л:)-2= 1ip 2л:+3**^4*3 + 5*^ 6л:6 + ...
сходящийся, если х2 < 1.
4 ._ 1 1 1 „_ 1 1 "
[98] Ц±:хУ=1±-гХ~.-$-х*
х4
О б
сходящийся, если дг2 < 1.
2 2 42 4 6
L _L А .£
2 ' 4 ' 6 ' 8
ДГ"
346 Бесконечные ряды
[99] (1±л)~^=1^А* + ^--т*2 + 4-
,1 3 5 7
сходящийся, если л:2 < 1.
1 *
[100] (1-*)* =1-^*--1.-^-|
12 5 8 . .
_ • . . . yi -Ч—
3 6 9 12
сходящийся, если лг2<1.
[юц »±,fT_1:p^x+^.^_^.
,1 4 7 10 ,
^ 3 6-9 12 "*■ ''"
3
4
2
9 •
6
4
i •
6
6 '
5 8
9 *
7 з 1
9х '
сходящийся, если х2 < 1.
(A \n A
1-| J величину — равной х
(п° 123), получим (1-\-х)п. Рассматривая абсолютные
значения ху меньшие единицы, найдем
(1 + *Г = 1 + с1лг + е2** + с,л:!5+...
Отсюда можно получить некоторые важные формулы:
f102i Iq^=(i+*)-i=i-*+*9-*e+ •
[юз] j-^—= (1—*)-» = 1+*+*9+*Ч- •••
3
[104] /0Й7,7в==(1+х)Т==1+| + ^-^ + ---
[105] у-СГГ^Тв^ (1-^)^ = 1-1 + ^+^+•■•
1 „,7т Здг , 15л:2 35*3 ,
[Ю6] lV===(l+*)2 =1-т
[,07] ^(i-r-H^^+f-
Показательные ряды 347
Заметим, что для ]/(1 — лг) нечетные степени х имеют знаки,
противоположные знакам соответствующих членов разложения
1/0+3.
Приближенные формулы, получаемые из биномиальных
рддов.
461. Если а представляет собой величину малую по
сравнению с 1, и п — тоже величина сравнительно малая, и например
находится между —2 и -f-2, то члены разложения (1-f-a)"
быстро уменьшаются.
Для первого приближения имев^:
[108] (1 + а)п~1 + 'ш
[109] (1 — а)п^1 — па
[ПО] (1 + аГл«1 — пи
.[111] (1 — а)"п^\-\-па.
Если требуется большая точность, то получим:
[112] (1 + аГ»1 + па+£(п-1)а'
[113] (1 —а)ж«1 —na+£(n —l)a«
[114] (1 + а)-"«1 —па + у(п + 1)а*
[115] (1— а)-н«1 + па + у(пЧ1)«2-
В ф-лах (108) — (111) взяты лишь два первых члена
разложения, а в (112)—(115) добавлен еще и третий член.
3
Пример. Найти первое приближение У^и.
Ближайший точный куб есть 216.
з _L J_ _L
•^220-(216 + 4)3=б(1 +щ)3 =6(1+li)3 =6ll + na'*[=s
= 6(l + ^ = б (1 + 0,00617) = 6,037.
462. Показательные ряды/ Показательным называется
ряд, представляющий разложение по возрастающим стерням
х х-й степени некоторого постоянного основания. Этот ряд
348
Бесконечные ряды
может быть получен следующим образом из разложения
бинома, если | п | > 1
2!
пх (пх — 1) (пх — 2)
Если х = 1, то (1) обращается в следующий ряд.
('4)'->+'+"^+=k=^+-.
1111 "С" — 1) | п(п — 1)(п — 2) |
"*"1_t" П2 21 + п» 3! ^ ' ' "
(1)
(2)
или
-1+*+
пх(пх — 1) , пх(пх— 1)(пг — 2)
п2 2!
п°
3!
(3)
В равенстве (3) при беспредельном увеличении п мы
можем придать х любое конечное значение. Пусть п численно
возрастает до бесконечности. Тогда из равенства (3):
v Г*(*-1)1 у Ti *
hm —*—-—- или hm l
П->оо L П" I П->оо|_ Л
= 1.
.. [п(п—1)(п —2)1 ,. Л Зп — 2\ 1
hm -^ ^ - или hm I 1 — = 1.
Кроме того
lim fHfcfpll] „ли lim (*■—*-)=*
.. \пх(пх — 1)(пх — 2)1 ,. , о
hm — -£-* или liml л3
-(•
Зпл2
:)
и т. д. Таким образом для всех конечных значений х ряд(З)
принимает вид:
(14-1+ir+i+i+ ••• )*=<+*+§' +
+ ЗТ+4Г+ ••'
[116] e*=1+*+-f + fVf+ •-.
Показательные ряды
В [116] основание степени есть постоянная е, равная (ср.
п° 343) сумме ряда
имеющей величину 2,7182818..., а показатель х есть
переменная, могущая принимать конечное значение. Так как в
выражении ех неизвестная является показателем степени, то
е называется показательной функцией х9 а ряды, полученные
из этого выражения, называются показательными.
463. Выведем формулу, применимую для любого
положительного основания а.
Положим
тогда
а=:ели a* = ekx=e{l*ea)x-
Отсюда, по формуле [116] имеем:
2! ' 3! 1 •••'
где \ga = lg€a.
Это и есть показательный ряд, где показатель е равен
(\ge a)x. Ряд сходится для всех конечных х.
а \ а •
Составим критическое .отношение ряда; согласно
Я»
п° 443 имеем:
(п + 1)1 _ Qga)H+inl _ lga
ОЫ» ~(lga)tt(n + l)!^n-Hr
п!
Предел этого выражения при безграничном возрастании п
равен нулю. Поэтому, согласно п° 454, ряд сходится для
всех конечных значений х.
Показательный ряд
*2 л:3 х11 ~~*
1+X+-U+ зГ+ ... +(^Tiji+- •••
сходится для всех конечных значений л:.
Величина е является основанием в натуральной системе
логарифмов.
m
Определители
464. Логарифмический ряд. Логарифмическим рядом
называется разложение функции lg«(l-}-•*) по возрастающим
степеням х.
[П7] 1л<1 + *) = *-£ + 4—Т+ ■••
В логарифмическом ряде
1
an + l=:
п
п+ 1
lim
Ряд сходится, если | х | < 1.
Глава XIX.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ф
465. Выражения вида ОхЬ2— о>Ф\* где al9 а2, bi9 62 СУТЬ
какие-нибудь числа, встречаются в математике весьма часто
Н называются определителями.
Соотношение аф2—афъ написанное в форме
а2Ь2
называется определителем второго порядка.
Определитель n-го порядка состоит из п2 элементов, рас-
положенных в п строках и п столбцах. Так, указанный выше
определитель состоит из четырех элементов, расположенных
в двух строках и двух столбцах.
Для разложения определителя второго порядка следует
вычесть из произведения элементов, лежащих на главной
диагонали, произведение элементов, расположенных на другой
диагонали, например
I «1 *i I
I а2 &2 I
13 _б I = <( — 6)— 3 7-= — 24-21=— 45.
= ai 6q — а2 ^1
Каждый член разложения содержит только один элемент из
Каждой строки и один—из каждого столбца.
Система уравнении с двумя неизвестными 351
466. Система уравнении с двумя неизвестными:
aix-{-b1y = cl
Решая эти уравнения посредством обычного аналитического
метода подстановки, имеем:
сх bo — с,2 Ьл
х = rf
а2 &!
ах С? #з Ci
ах b^ — а2 bl
Написав числители и знаменатели в форме определителей,
получим
У
1 <**1
1 с2 Ь2
1 «1*1
J «2*2
X ,
a±cx
а2с2
ai К
а2 Ь2
Определители, находящиеся в знаменателях, одинаковы.
Они составлены из коэффициентов при х и у в данных
уравнениях.
467. Каждый % определитель, стоящий в числителе,
получается из определителя, стоящего в знаменателе, путем
замены коэффициентов при искомых неизвестных постоянными
членами. Чтобы найти числитель выражения для х, следует
заменить коэффициенты при х (т. е. ах и а2) постоянными
членами сх и с2. Точно также для нахождения величины у нужно
заменить Ьг и Ь2 членами сг и с2.
Пример. Решить посредством определителей систему
2лг- tf = l
Зх + 2у = 3.
Определитель для знаменателя будет иметь вид:
2 -1
3 2
как для х, так и для г/.
Для получения числителя дроби в выражении для х следует заменит!?
коэффициенты при х постоянными членами 1 и 3, тогда найдем:
1 -1
3 2
352
Поэтому
Точно так же найдем
Определители
У —
1
3
i
3
2
3
2
3
-1
2
— 1
2
6
- 7
3 1 3
— 1
2
~" 7
468. Определитель третьего порядка. Определитель,
состоящий из 9 элементов, расположенных в трех строках и трех
столбцах, называется определителем третьего порядка. Так
ах Ьг сх
а2 62 с2
а8 63 с3
есть определитель третьего порядка.
Он является весьма удобным обозначением выражения:
а{ &2 с8 "Ь а2 ^3 с1 ~Г а8 ^1 с2 а1 ^3 с2 а2 &1 с3 а3 ^2 с1'
Заметим, что здесь каждый член представляет собой
произведение трех элементов по одному из каждого столбца и по
одному из каждой строки.
Написанное выражение может быть преобразовано таким
образом:
а\ (^2 сз— h сг) — а2 (^i сз — &з ci) + аз (^i с2— ^2 сх).
Члены, заключенные в скобках, являются развернутыми
определителями второго порядка, поэтому определитель третьего
порядка может быть представлен так:
«2 ^2 ^2
а3 63 с3
= ал
&з сз
•а2
+ «3
Ь2с2
469. Итак, мы установили весьма важный способ
получения определителей второго порядка из определителей третьего
порядка.
Составим произведение из каждого элемента первого
столбца и определителя второго порядка, который получается
Определитель третьего порядка
35$
после вычеркивания того столбца и строки, в которых
расположен данный элемент.
Взяв а, отбросим (зачеркнем) первую строку и первый
столбец:
1л. Т» - л. I
ГТ* * ***■ I I I» I
1 Ь „ _ °2 Ct\
№2 02 Сг ~ ,
1 , L Оз Сз
Фз Ь3 СзГ
Взяв а-2, отбросим вторую строку и первый столбец:
|Ьз Сз
\v
\г
1
bi Ci
-02—^2"
Ьз сз|
Взяв а3, отбросим третью строку и первый столбец:
|4i bi Ci
©2 &2 Сг
л*з Ьз Сз
=
bi Ci
&г Сг
Чтобы получить разложение определителя третьего порядка
на определители, второго порядка, следует изменить знак
второго члена, т. е. произведения элемента, находящегося во
второй строке и первом столбце, и соответствующего
определителя второго порядка.
Определитель следующего низшего порядка, получающийся
путем вычеркивания строки и столбца, в котором стоит
известный элемент, называется минором этого элемента»
Так например, в определителе
ai К сх
а2 6о с%
( аЪ *8 С3
минор члена щ есть определитель
Если минору приписан надлежащий знак, то его называют
алгебраическим дополнением соответствующего элемента.
23 Справочник для инженера.
354 Определители
470. Элементы второго и третьего столбца, а также
второй и третьей строки также могут служить для разложения.
[ а\ К с\
а2 62 с2
а3 Ь3 св
= -*г
1 а2 с2
( ( Аз С3
+ *я
«iCx
а3с3
-63
^Ci |
а2 с2
Точно так же
ах Ъ1с1 [
а2 62 с2 = ах
«з *з сз I •
Пример 7. Разложить определитель
2 3
Ь2 Со
&3 С3
&1
о2 с2
«3 с3
+ *
ciib2
«3 ^3
Имеем:
= 2
1 4
2 3
— 7
3 5
2 3
+ 6
3 5
1 4
= 2 (3-8)-7 (9-10)'+ 6 (12-5) =
Пример 2, Разложить определитель
3 2 1
4—6 2
1 0 1
Имеем:
2 1
-6 2|=3
0 1
10 + 7 + 42 = 39.'
— 6 2
0 1
-4
1 + 1
2 1
-6 2
16.
= 3 (- 6 - 0) - 4 (2 - 0) + (4 + 6) = -18-8 + 10 =
471. Решение системы трех уравнений первой степени.
а8 * + 63 у + сз * = <*з-
Предполагая, что коэффициенты при неизвестных,
входящие в определители, не равны нулю, получим для каждого из
этих неизвестных частное двух определителей* точно так же
как и в случае системы двух уравнений (см. п° 466).
Любая система трех уравнений первой степени 355
л: =
1 472. Всякая система трех совместных уравнений пер
вой степени с тревш неизвестными может быть приведена
к общему виду
ах x-\-b1y + ciz = di (1)
а2 х -f- Ь2 у -}- с2 z = d2 (2)
а3 x-\-bsy-\-c3z = ds (3)
Исключая одно из неизвестных, например z> из (1) и (2),
получим
(аг с2 — с{ а2) х -f- (6Х с2 — сх 62) # = 4l с2 — сх <4» (4)
исключая z из (2) и (3)
(а2 с3 — а3 сй) * + (62 с3 — Ь3 с2) y = d2cz — ds c2. (5)
Исключая из (4) и (5) неизвестную у, имеем:
d\ b2 с3— dx с2 &з ~Г ci d% bB — b{ do c3 -f~ 6t Co rf3— Ci 6j t/3
a\ b2 c3—«i Ci 63 -{-Cj a2 63—£x a2 c^-j-^ c2 a3 — cx 62 a3
ax d2 c3 — o^ Co a3-4-сг a2 a3 — c/j a2 c3 -J- at c> я<* — ct. a2 fl3
ai ^2 c8 — ai c2 ^з4~с1 a2 ^з — ^i a2 сз~Ь^1 c2 a3— cx b% a3
fli b2 cf3—gt c/2 b3-^-d1 a2 63 — 6г a2 d3-f- 6X t/2 a3 — ^ fe2 gs
al ^2 c3 al c2 &3 ~~f" ^i «2 ^3 ^1 a2 c3 ~H ^1 c2 a3 ci &2 a8
Заметим, что для системы трех уравнений с тремя
неизвестными число членов в выражениях для этих неизвестных
как в числителе, так и в знаменателе равно шести или 3!,
т. е. 1 • 2 • 3.
Значения х, у и z могут быть получены путем
приведения уравнений к общему виду и подстановки в формулы
X ==
473. Знаменателем во всех приведенных выражениях
служит один и тот же определитель, называемый определителем
систечыш Он составлен из элементов, являющихся
коэффициентами при неизвестных в заданных уравнениях.
23*
di К сх
«2 Ь2 с*
d3 63 С3
«1 W сх
а2 Ь2 с2
a3 bs c3
; и =
ai dx c1
а2 d2 с2
а3 dd c3
<h Ьг сг
а2 Ъ2 с2
а8 63 с3
; z =
ах bx dx
а2 b2 d2
а3 63 dB
ai ^i ci
а2 62 с2
аз 63 сз
356
Определители
Каждый определитель числителей получек путем замены
в определителе системы коэффициентов искомого
неизвестного постоянными членами, совершенно так же, как это мы
делали при решении системы двух уравнений ^п° 466).
Пример. Решить посредством определителей систему:
х — 2д + Ъг = 2
2лг- -3z = 3
х + ^у+ z = 6.
Определитель системы будет иметь вид:
11-2 3
! 2 0 — 3 | = 19.
ji 1 1
Отсюда
2
3
6
X —— '
следовател]
ьно
-2
0
1
19
3
-3
1
1 2 3
2 3-3
1 6 1
1
2
1
; у- —- . -
х = 3, t
у = 2, z=l
-2 2 1
0 3
1 6
~19
474. Злаки алгебраических дополнений. Если элемент
расположен в p-ой строке и в m-ом столбце, то его минор,
умноженный на (—l)m+/7f называется алгебраическим
дополнением элемента.
Возьмем, например, минор элемента cQ в определителе
4-го порядка fli bi ^ d%
й2 Ъг Сг d%
■ Сз ^з'
ui bi §4 di
Алгебраическим дополнением с3 будет:
«1 Ьг di
а2 b% d2
а4 Ь± с?4
Здесь
(-1):
3+3.
4-
ах Ъх dx
а2 Ь% с72
а1 &4 ^4
m = 3, так как с3 стоит в третьем столбце
, р = 3, так как с3 стоит в третьей строке.
Алгебраические дополнения аи а2, а3 обычно обозначаются
буквами: Аи А2> Аъ, а определитель системы буквой D.
Свойства определителей 357
Таким образом
475. Определители л-го порядка. До сих пор мы
рассматривали только определители второго и третьего порядка.
Для решения системы п линейных уравнений с п
неизвестными, необходимо составить определитель, в который войдут
все п2 коэффициентов при неизвестных из заданных
уравнений. В таком случае получим определитель п-го порядка,
обозначаемый обыкновенно буквой А (дельта):
<*i &i Я\
а2 &> 72
А =
ал 641
Яп
Этот определитель заменяет собой алгебраическую сумму
произведений п множителей, каждый из которых может быть
получен, если взять один элемент из каждой строки и один
элемент из каждого столбца. Соответственно правилу,
указанному в п° 474, каждому такому произведению нужно
приписать знак плюс или минус в зависимости от его
расположения в определителе.
476. Свойства определителей. Разложение определителя
п-го порядка дает п! членов.
477. Если все элементы столбца или строки суть нули,
то определитель равен нулю, ибо, разлагая по элементам этого
столбца или строки, получим все члены равными нулю.
478. Если все элементы столбца или строки, кроме
одного, равны нулю, то определитель равен произведению этого
элемента на его алгебраическое дополнение.
ai ь\ с\
а2 Ь.2 с2
а4 64 с4
479. Величина определителя не изменится, если заменить
строки столбцами или наоборот. Это можно доказать,
производя разложение определителя.
480. Всякая теорема, справедливая для столбцов
определителя, справедлива и для его строк, и обратно»
ai &i ci 0
а2 К ^2 0
as bB cB dz
а± 64 с10
= —</8
35$ Определители
481. Перестановка двух строк или столбцов одного на
место другого изменяет знак определителя.
482. Если две строки или два столбца определителя
одинаковы, то определитель равен нулю.
48J. Если элементы какого-нибудь столбца (или строки)
умножить на алгебраические дополнения соответствующих
элементов другого столбца (или строки), то сумма их
произведений равняется нулю.
Так например,
A Ai + h А> + &$Л3+ ■ ' • +6*А = 0
а2Л1 + 62#1+^С'1+- ■ + к2Кг = 0.
484. Если все элементы одного из столбцов умножить на
какое-либо число, • то этим самым и определитель умножается
на это же число-Действительно,
ma^t Ь2 с2... &2
тап 63 с3... къ
т«» К сп-
.*.
= maiA1 -j- та^Аъ -f- та$Ав + • • •
... + makAk =
= т {ахАх -f аЛъ -f ... -f акАк) =
ах Ьг сг ... кх
Clo ^2 ^2 ' ' * ^2
аь 63 с3 ... £3
= т
t • ■ • К«л
485. Только-что доказанная теорема справедлива и для
случая деления, так как деление на т равносильно умно-
1
жению на •—.
го
486. Если каждый элемент одного из столбцов
определителя представить в виде суммы двух количеств, то данный
Разложение определителей
359
определитель можно заменить суммой двух определителей
того же порядка
ах Ьг сг .,. кх
а> Ь> с> ... ко
*2
+
dx hx Cl .
d2 l>z с> .
..k2
dn К сп.
• К
487. Если умножить каждый элемент столбца (или строки)
на одно и то же число и произведение прибавить (или отнять)
к соответствующим элементам другого столбца (или строки),
то определитель по величине не изменится. '
488. Разложение определителей. Посредством применения
принципа, изложенного в п° 487, можно обратить все элементы
столбца (или строки), кроме одного, в нули, причем порядок
определителя может быть понижен на единицу (см. п° 478).
Этот процесс можно продолжать до тех пор, пока не
получится определитель второго порядка.
Перед понижением порядка определитель во многих
случаях можно упростить путем сокращения на множители,
общие для всех элементов столбца или строки. Кроме того
можно уменьшить абсолютные величины членов, вычитая
соответствующие элементы других столбцов (или строк) или
их кратные.
Пример. Определить величину определителя
2—151
1 4 6 3
Д =
Преобразуем этот определитель посредством способа, указанного
в п° 487, таким образом, чтобы сделать все элементы строки или столбца,
кроме одного, равными нулю. Особенно удсбен для этой ц*ли второй столбец.
Прибавим учетверенную первую строку ко второй, тогда цифра 4 во
второй строке обратится в нуль.
Затем прибавим удвоенную первую строку к третьей, а затем — первую
к четвертой. Эти действия, как доказано в предыдущих пп°, не изменят
величину определителя, но в результате их определитель примет вид
2
9
8
5
-1
0
0
и
5
26
17
7
1
7
6
6
=э
9
8
S
26
17
7
7
6
6
360
Определит ели
Вычитая элементы последнего столбца иа первого, получим:
2
2
-1
26
17
7
Прибавим удвоенную третью строку к первой, а затем удвоенную
третью ко второй, тогда найдем:
0 40 19
0 31 18
17 6
= —
40 19
31 18
Вычитая вторую строку ив первой, имеем:
- (162 - 31) = —131.
40 19 |
31 18 I
9 1
31 18
Задача. Даны три числа. Сумма половины первого, трети второго
и одной четверти третьего равна 12. Сумма одной трети первого, четверти
второго и одной пятой третьего равна 9. Сумма всех трех чисел равна 38.
Найти эти числа.
*.. 1 9
2 « 3
■+т-=12
3 ^ 4 + 5 *
12
9
1 38
1
2
1
3
1
1
3
1
4
1
1
3
1
"Г
1
1 |
4 1
1
5
1 |
1 I
4
1
5
1 |
12
-9
+ 38
3 4
J 1_
4 5
4
1
+
X JL
3 4
4 5
2 \ 4 5 / 3 I 3 X/^l 15 16/
Разложение определителей на множители 361
~ 12 -т-
9
38
У~
3
4
1
9
38
12
38
+
12
•4-
тот же, что и для х.
10 6 +
20
^240
:12.
Так как х-\-у-f г = 38,
J 1_
40 36
то z = 20.
Таким образом искомые числа суть б, 12 и 20.
489. Разложение определителей иа множители.
определитель обращается в нуль при
элемента Ь, другим элементом а, то
является множителем определителя.
Пример.
Если
замене какого-нибудь
разность чисел а и Ь
Если
• Ъ, то
D--
D =
1
1
1
1
1
1
а
Ь
с
Ъ
ь
с
а*
№
с2
62
6*
С2
Так как две строки в этом определителе одинаковы, то D =* 0 и (а — Ь)
является его множителем. По той же причине (6 — с) и (с — а) также
являются множителями данного определителя.
Произведение этих трех множителей имеет ту же степень и может
отличаться от D только коэффициентом к. Поэтому
D = k(a-~b)(b-c)(c-a).
Член, полученный из главной диагонали первоначального определителя,
равен be2.
Он должен быть равен соответствующему члену в выражении
. k(a~о)(о-е)(с-~а) или ЫнР.
отсюда
Ь0 = кЫР, г. е. * = 1.
Следовательно
/>**(«--&)(*-с) (с-а).
362 Соединения
Глава XX.
СОЕДИНЕНИЯ.
490. Если для изготовления какой-нибудь вещи требуется
произвести два действия, причем первое может быть
выполнено только одним способом, а второе г способами, то
указанную вещь мо^но изготовить, сочетая первое действие
с любым из г возможных способов осуществления второго
действия. Таким образом данную вещь можно сделать г способами.
Пусть в предыдущем примере первое действие можно
осуществить уже не одним, а двумя способами, второе же по-
прежнему г способами.
Тогда каждый из двух способов выполнения первого
действия можно.сочетать с любым из г способов для второго
действия, следовательно вещь может быть изготовлена 2г
различными способами.
Положим, для изготовления предмета нужно выполнить
гри действия, причем для первого существует п способов
осуществления его, для второго — г и для третьего—s
способов. Рассуждая подобно предыдущему, найдем, что всего
возможно п • г • s способов для того, чтобы изготовить
данный предмет.
Точно таким же образом, если на должяость директора
предприятия могут быть приглашены 4 человека, а на
должность его помощника 6 человек, то существует 6 X 4 = 24
способа замещения указанных вакансий.
п различных вещей можно раздать X мужчинам и а
женщинам (х-\-а)п способами, так как первую вещь можно
раздать (лг + а) способами, вторую — также (х-{-а) способами
и т. д. Следовательно, для п вещей существует
(х-{-а)(х-\-а)(х-\-а)... или (х-\-а)п
способов распределения.
491. Всякое расположение предметов, отличающееся
порядком их расположения, или самими предметами, называется
размещением.
Перестановкой называются размещения, отличающиеся
только порядком расположения предметов, а не самими
предметами.
492. Всякое распределение предметов в группы независимо
от порядка, в котором они расположены в этих группах,
называется сочетанием. Например:
аЬ} ас, ha, bc9 ca, cb,
Число размещений 363
ab и Ьа суть различные перестановки в одном и том же
сочетании. Если рассматривать все три буквы, взятые вместе, то
получим 6 перестановок, а имен1 о:
abc, acb, bca, bac9 cab, cba>
но только одно сочетание: abc.
493. Чясло размещений п различных предметов, взятых
одновременно, равно произведению
п(п— 1)(л — 2)(п — 3). ..3-2-1. или п\
Предположим, что у нас имеется п различных вещей и мы
хотим знать, сколькими способами можно расставить их по п
местам.
Можно поставить любую из вещей на первое место, любую
из оставшихся п—1 вещей на второе место. Первые два
места могут быть заняты п(п — 1) различными способами.
Продолжая действие в том же порядке, найдем, что последние
два места можно заполнить только двумя способами, а
последнее лишь одним.
494. Число размещений п вещей, взятых по г за-раз, будет
равно
п\
(п-г)!
Пусть имеется ряд из г стульев и мы желаем знать, сколькими
способами можно рассадить на них г из п человек.
Каждого из людей можно посадить на первый стул. После
того как он будет занят, можно занять второй стул любым
из (/1— 1) оставшихся людей. Таким образом число возможных
размещений на двух стульях равно п(п — 1), если r<!n.
Последний r-ый стул можно занять столькими способами,
сколько осталось стоящих людей. Следовательно, если мы
захотим выбрать человека, могущего занять r-ый стул, имея
уже (г—1) сидящих, то найдется п — (г, — 1) или (л — rJrl)
людей, не имеющих места.
Итак, общее количество способов рассадить г людей из п
на г стульях будет:
л(п—1)(п —2)(п —3)...(п —г+1) =
п(п — 1)(ух — 2)...3-2 -1 п\
~ (п— г)(я— г— 1)...3-2-1 — {п — г)\
364 Неопределенные коэффициенты
Условились обозначать число размещений из п предметов
но г символом:
Гп— {п — г)\
495. Число сочетаний из п различных вещей по г
одновременно равно
г* п\
п~ И (п —г)1"
В предыдущем случае имелось г людей и А перестановок
из них, но только одно сочетание. Таким образом там было
в г! раз больше перестановок, чем сочетаний.
Если число сочетаний равно х, то х • г\ есть число
возможных размещений
i Л*
(п —г)1
или
л!
* И (п— г)!'
Глава XXL
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ.
Разложение дробей на простейшие»
496. Неопределенные коэффициенты. Коэффициенты,
величины которых в начале решения задачи неизвестны, но
определяются впоследствии, называются неопределенными
коэффициентами.
Если, например, мы хотим разложить выражение (х—1) •
•(* + 1)(*—2), не производя самого перемножения, то можем
вообще написать:
(*—1)(* + 1)(* — 2) = х*-\-Ах*-{-Вх + С. (1)
С целью определения коэффициентов А> В и С из
тождества, которое должно оставаться справедливым для всех
значений Хф положим в (1) * = 0. В этом случае С = 2.
Если дг = 1, то выражение (1) примет вид:
0=1+А+Я+С.
Разложение дроби в бесконечный ряд 365
Если х = — 1, то из (1) будем иметь
0 = -1+Л—S + C.
Решая совместно два последние условные уравнения,
имеем:
А = — 2, В = — 1, С=2.
Следовательно
(л: —1)(лг + 1)(лг —2) = л:8 —2л2 —лг + 2.
497- Разложение дробей.
Пример 7. Разложить дробь
1 + 2лг
1 + * + *2'
Первый член разложения получается посредством обыкновенного деления
и равен, очевидно, 1 :1, т. е. 1. Так как число не делится нацело на
знаменателя, то результатом деления явится бесконечный ряд, начинающийся
членом 1. Последующие члены представляют собой выражения с
возрастающими степенями х. Для определения коэффициентов при этих степенях
положим
а)
т1±^э=1 + Ас+В*» + С«»Н-Л(»+.
' Это равенство будет справедливо для всех значений х, которые
обращают ряд в сходящийся.
Умножая все члены ряда на знаменатель и упрощая его, получим:
1 + 2л: = 1+Л
+ 1
*.+в
+ А
+ 1
Х* + С
+в
+ А
*? + D\
+ с\
■ +в\
+
+
(2)
Применяя принцип неопределенных коэффициентов (п° 496), можно
приравнять коэффициенты в этих двух рядах. Совокупность членов,
стоящих по левую сторону от знака равенства, можно рассматривать как
бесконечный ряд
1 + 2* +0*2 + 0*3 + 0*^...
Сумма членов этого ряда имеет определенную величину для любых
значений xt в то время как ряд, стоящий по правую сторону знака равенства,
имеет определенную величину суммы лишь для тех значений х, которые
делают этот ряд (1) сходящимся. Так как равенство .(2) имеет смысл для
значений х, обращающих ряд в сходящийся, то неопределенные величины
А, В, С можно определить сравнением коэффициентов при одинаковых
степенях х в обеих частях равенства.
Следовательно
Л+1 = 2
В+А+1=0
С+В+А=0
D+C+B=0
Я = —2
С=-+1
Д = + 1.
366
Неопределенные коэффициенты
Таким обрааом дробь
1 + х + *
Разложение может быть также получено делением.
Пример 2. Разложить дробь
2-ЛГ + 2**
*2-2*3 "
Так как первый член разложения есть очевидно —г- или 2* ", то по-
лагаем, что дробь после разложения принимает вид:
2~/-Х2/ = Ах~* + Вх~1 + C+Dx + £*Ч • •.
Освобождая от знаменателя и умножая обе части на *2, имеем:
2-* + 2*2 = Л + В
~2А
х + С I дгЗ + D 1 *3 + £ I *4+...
— 2^1 — 2С| — 2Z)|
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях л: и решая уравнения»
наедем:
Л = 2, 5 = 3, С = 8, D = 16, £ = 32,
откуда .
2~* + 2*2
.v2 — 2*з
= 2л:-2 -)_ 3*-* + 8 +16* + 32*2 + ..
498. Разложение иррациональных выражений. Чтобы
разложить выражение Y^Jrx по методу неопределенных
коэффициентов* положим
Возвышая обе стороны в квадрат, найдем:
а + х = А* + 2АВх + В*
+ 2АС\
x* + 2AD I лгЗ + С2 | **+...
+ 25С| + 2АЕ
+ 2BD
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х9
находим:
А2 = а, откуда А = V~a
2ЛВ=1,
2Л£+2ЯС = 0,
2А 2а
Va~
8а*
D =
¥1
16а3'.
Разложение дроби на простейшие 367
и наконец,
С2 + 2Л£+2В£ = 0,
следовательно __
E__SVa_
~ 128а*'
Таким образом
Заданное иррациональное выражение может быть также
разложено посредством извлечения корня или по формуле
бинома. Следует, однако, заметить, что, независимо от
примененного способа, полученный ряд будет равен данному
иррациональному выражению только при тех значениях л:, которые
делают ряд сходящимся.
499. Простейшие дроби. При сложении дробей получается
одна дробь, у которой знаменатель равен наименьшему
кратному знаменателей слагаемых.
Так например,
5 7 б -= л: + 4
2(лг— 1У2(х—3) х—2 4(л:3 — 6*й + 5х — 6)'
Часто бывает необходимо произвести обратное действие,
а именно разбить данную дробь на сумму или разность
дробей, имеющих знаменатель более низкой степени и более
удобного вида.
Здесь мы будем рассматривать только такие дроби, у
которых числитель имеет более низкую степень, чем
знаменатель. В противном случае, произведя деление, получим
целый многочлен и правильную дробь указанного типа. <
Число простейших дробей, на которые разлагается данная,
зависит от числа простых множителей, на которые можно
разложить ее знаменатель.
Рассмотрим следующие случаи разложения:
500. Случай 1. Знаменатель разлагается на множители
первой степени (линейные), которые являются действитель-
ными, но различными.
Рассмотрим дробь
* + 4
(*— !)(*—2)(аг— 3)
и разложим ее на простейшие.
368 Неопределенные коэффициенты
Положим
• *+4 А . В С
{х— 1)(лг — 2)(дг — 3) д:—l^Jt —2^"лг —3'
Умножая обе части равенства на (х — 1)(х — 2)(х — 3),
получим:
д;+4 = Л(л: — 2)(^—3) + 5(^ — 1)(л: — 3) + С(^ —1(^ — 2)=
= (А + В + С)х* —(5Л + 4В + ЗС)л:+6Л + ЗЯ+2С.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х
имеем;
0 = Л + £+С,
— 1 = 5Л + 4Я+ЗС,
4 = 6Л + ЗЯ + 2С.
Решая уравнения совместно, находим:
Л = -|' ^=-б, С=-|-.
Составим теперь уравнение
* + 4 = __5 6 7
(х —1)(лг—2)(лг —3) 2(лг —1) л: —2+ 2(л: —3)#
Другой способ разложения состоит в рассмотрении
отдельных множителей знаменателя, а именно, (х—1), (л:—2)
и (х — 3), как это указано в п° 266, а затем в подстановке
корней лг = 1, 2 и 3 вместо х.
Остаток во всех случаях будет равен нулю. В этом случае
после упрощений будем иметь
х + 4 = А(х— 2)(лг — 3) + £(лг— 1)(дг — ЗН-ССк — 1)(х — 2)
Подставим значение корня * = 1:
5 = 24 4- 0 + 0,
откуда, как и ранее,
Л 2'
Подставляя корень дг==2, имеем
. 6 = 0- £4-0,
т. е.
5 = -6.
Разложение дроби на простейшие 369
Наконец, принимая * = 3, получим:
7==0 + 0 + 2С
г 7
^ — _ как и раньше»
Правило таково, что множителям (л: — а) соответствует
простая дробь вида
А
х — а*
501. Случай 2. Знаменатель разлагается на действительные
линейные множители, некоторые из которых повторяются,
как например в дроби
5лг2 — 6х — 5
(x-lf U+2V
В этом случае знаменателями отдельных дробей будут не
только (х — I)3, но также (л: — I}2 и (х — 1). В случае, если
они не входят в состав дроби, числители равны нулю.
Рассматривая вышеуказанную дробь, имеем:
5л:2—6л: —5 А . В . С . D
(х—I)3 (лг + 2) " (л: — 1) + (лг —1)2+~ {х— 1)з1~ (*+2) '
Упрощая выражение путем умножения на (л: — I)3 (лг-|-2),
находим:
5л:2 — 6х— 5 = А(х — 1)2(л: + 2) +
* +B(x-l)(x+2) + C(x-\~2) + D(x-l)\
Положив здесь х== — 2, находим, что Z) = —1.
Положив лг = 1, находим, что С*=—2, отсюда
4 = 1, В = 2,
следовательно
5л:2— 6х— 5 _ 1 2 2 J_
(л: — 1)3(л: + 2) л — 1 + (х—1)2_ (л7^!?-Тр2*
Впрочем здесь можно было бы применить и метод,
описанный в п° 500.
Правило. Если в знаменателе имеется множитель
(х — а)п> то данная дробь разлагается на сумму простейших
A i В . С , • N
~„"W + • • ■ +
х — а 1 (х—а)* ' (л: —а)3 ^ • ' • Т (дг„а)«-
24 Справочник д;гя инженера.
370 Неопределенные коэффициенты
502. Случай 3. Знаменатель содержит множители второй
степени, которые не повторяются и не могут быть
разложены на линейные.
Таков, например, знаменатель дроби
Зл:* — 2
Положим, что
Зг> —2 Ах + В , С
(** + * + 1)(*+1) jc* + jt+l + x+r
Упрощая, имеем:
Зх* — 2 = (Ах + В)(х + 1) + С(х*-^х+1) =
= (Л + С)*2 + (Л+5 + С)лг+Я + С.
Применяя способ, приведенный в п°500, и сравнивая коэффи*
циенты, находим:
Л + С = 3
Л+Д+С=0
Я + С = —2,
отсюда
Д = 2, 5=^ — 3, С-:.
Следовательно:
3^ —2 _^ 2* —3 1
(**+* +1)U+1) jP + xrbl^x+Y
Числитель для дроби со знаменателем второй степени
берется равным Ах -f- В, так как знаменатель имеет два
корня.
Правило. Если один из множителей знаменателя
является многочленом второй степени, то следует
предположить, что соответствующая дробь будет иметь вид
Ах + В
ах2 -\- bx -{- с'
503» Случай 4. Знаменатель содержит одинаковые
множители второй степени, как например дробь
л* + *8 — 2л:2 — 5* — 4
(x~l)(x*~lx-\-l)* '
Случай мнимых корней в знаменателе 371
Для разложения дроби на простейшие положим, что она
равна сумме
А , Вх-\-С . Dx + E
Решение находим точно так же, как и в предыдущем случае.
Правило. Если в знаменателе имеется множитель
(ах2 -j- bx -f- c)w, mo дробь следует представить как сумму
простейших:
_Ах + В . Сх+Р . , _J£*±^_
at4J4-6.v-j-c ' [ах2-\-bx-\-с)2 "• ' '" "i (a^-pAr-j-c/'
Во всех случаях степень числителя каждой простейшей
дроби должна быть на единицу меньше, чем степень
соответствующего знаменателя.
Глава XXIL
ГЕОМЕТРИЯ.
504. Угол называется дополнительным другого угла до
прямого, если их сумма равна прямому углу.
505. Угол называется пополнительным другого угла до
двух прямых, если они в сумме равны "двум прямым.
506. Два угла со взаимно перпендикулярными сторонами
или равны между собой, или пополняют один другого.
507. Два угла со взаимно параллельными сторонами или
равны между собою, или пополняют один другого.
508. Прямоугольные треугольники. Если обозначить бук*
вами а и Ь длины катетов, а буквой с — длипу гипотенузы,
то имеем:
[118] il* + 6» = c-
[119] a = V(c + b) (с — Ь)
[120] а = с sin A = b tsA
[121] a^VmV
[122] b = V\c + a) {c — aj
[123] b = c cos A = ~^r
t%A
[124] b^VnT
24*
372
[125]
[126]
[127]
[128]
[129]
[130]
[Ш]
[132]
[133]
[1341
Геометрия
с =
а = Ь
sin A cos A
Площадь = -х-аЬ
1
2-a*ctgA = -j bHSA
1
-.-г с2 sin 2Л
4
6с sin A
= -jj~ac sin В
^tgA
р2 = m'n.
161.
509. В прямоугольном
треугольнике, два острых угла которого
равны соответственно 30° и 60°,
гипотенуза вдвое длиннее меньшего
катета. Больший катет в /3 раз
длиннее меньшего.
510. Если треугольник вписан^ в полуяруг, то он —
прямоугольный (рис, 161).
Равносторонний треугольник
373
511. Теорема Пифагора, В
прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов
Квадрат, построенный на катете а
равновелик прямоугольнику со
сторонами, тис.
Квадрат, построенный на другом
катете, равновелик прямоугольнику со
сторонами п и с.
512. В прямоугольном
треугольнике перпендикуляр, опущенный из
вершины прямого угла на
гипотенузу, есть среднее
пропорциональное между отрезками гипотенузы
(рис. 163).
[135]
Рис. 162.
/
а/
/ т
^
Р
\ь
п ^х.
т p -,/
— = ~П- или р = у тп.
Р п
с
Рис. 163.
513. В прямоугольном треугольнике катет $сть среднее
пропорциональное между проекцией этого катета на
гипотенузу и самой гипотенузой:
Ь
т
а п
И -у~
с Ь
откуда
a = Y тс
[121]
(124]
514. Равносторонний треугольник
(рис. 164).
[136]
[137]
[138]
[139]
Л = 5 = С=60°
Площадь = -~-
ah
= i-a2K 3 =A43301a2
Л
1
а У 3 = 0,866<?
Рис. 164.
374 Геометрия
515. Какой угодно треугольник на плоскости.
[140] А + В + С = 180° = я радианов; 180—Л = 5 + С.
Последнее равенство показывает, что внешний угол равен
сумме двух внутренних, с ним не смежных.
Обозначая буквой s полусумму всех сторон (полупериметр),
имеем:
a-\~b-\-c
[HI]
s =
Радиус вписанного круга равен
(рис. 165):
[Ш]
Y-^—
) (s—Ь) (s—c^
Рис. 165.
[143] Я =
Радиус описанного круга можно
найти, по формуле:
а Ь с
2sinA
[144] Площадмреугольника:
2sin В
1
2sin С
bh = Vs(s— a){s — i)(s— с).
Рис. 166.
516. Прямые, соединяющие вершины
треугольника с серединами
противолежащих сторон, называются медианами. Они
пересекаются в точке G, являющейся
центром тяжести площади треугольника
(рис. 166). Указанная точка лежит на
медиане в расстоянии одной трети ее
от соответствующего основания.
517. Перпендикуляры, опущенные из
вершин на противолежащие стороны,
называются высотами. Они пересекаются
Рис. 167. в точке О (в ортоцентре) (рис. 167).
о
пропорциональности линии в треугольнике
375
518. Перпендикуляры,
восставленные из середины сторон, пересекаются
в точке С, являющейся центром
описанного круга (рис. 168).
Трчки О, С и G лежат на одной
прямой, причем G делит отрезок ОС
на две части, из которых одна вдвое
больше другой.
519. Прямая, делящая угол на две
равные части, называется
биссектрисой.
Биссектрисы углов треугольника
пересекаются в точке Н, являющейся
центром вписанного круга (рис. 169).
520. О пропорциональности
линий в треугольнике. Прямая,
параллельная одной из сторон
треугольника (например МЩАС),
делит две другие стороны на
части пропорциональные (рис. 170).
AM _ CN
MB NB '
Биссектриса делит
противолежащую сторону на части,
пропорциональные двум другим сторонам (рис,
ifiyr '^-'^'~
ВМ АВ
МС *С '
521. Два треугольника равны
между собой, если две стороны и угол,
заключенный между ними в одном
треугольнике, соответственно равны
двум сторонам и углу между ними
в другом.
522. Два треугольника равны{
если сторона и два прилежащих
Рис 161.
Рис. 169.
Рис. 170.
Рис. 171.
>ис. 172.
376
Геометрия
к ней угла в одном из них соответственно равны
стороне и двум прилежащим к ней углам в другом.
523. Если три стороны одного треугольника
соответственно равны трем сторонам другого, то треугольники равны
между собой.
524. Подобные треугольники. Два треугольника подобны,
если углы одного из них равны углам другого, а
сходственные стороны пропорциональны.
525. Прямая, параллельная одной
из сторон треугольника, образует
с двумя другими треугольник,
подобный данному
Д ВСЕ подобен Д АСВ,
Рис. 173 если DE \\ АВ.
526. Два треугольника
подобны, если два угла одного из
них соответственно равны двум
углам другого. Так, например,
если А равен А' и С равен
С", то треугольники ABC и
А'В'С подобны (рис. 174).
В А
Рис! 174.
527. Графическое умножение и деление посредством
подобных треугольников. Пусть требуется графически
перемножить а и 6.
Правило. Начертите треугольник (лучше всего
прямоугольный), сторона которою равна одному из данных чисел,
а высота—единице. Продолжая
его стороны, построим
второй треугольник, подобный
данному, таким образом,
чтобы его высота равнялась вто*
\ рому числу. Основание этого
! треугольника дает искомое
произведение.
Доказательство. Вследст*
Рис. 175. вие подобия треугольников
X ; а — Ь : 1 или .* = qbf
х * ас
Прямоугольник 377
Если а<1, треугольник примет вид, изображенный на
рис 176. Если же а < 1 и Ь < 1, треугг льники будут иметь
177. г.г..
1 f
вид, показанный на рис.
L
1-.
Рис. 176.
Рис. 177.
Пусть требуется разделить графически а на 6.
Правило. Начертите прямоугольный треугольник,
основание которого равно делителю, а высота равна единице.
Продолжая стЬроны его, постройте треугольник, подобный
;р* Ь-Велитвль
&-делимое
Рис. 178.
а-делимое —~*
Ь-делитель
Рис. 179.
первому, таким образом, чтобы основание нового
треугольника равнялось делимому. Высота его будет равна частному.
Доказательство*, х : а = 1: Ь:
Следовательно
а
Если делимое меньше делителя, то получатся
треугольники, показанные на рис. 179.
528. Прямоугольник (рис. 18G).
[145] Площадь = аЬ
[146]
= 4-*/* sin U.
378
[Ш]
Геометрия
диагональ d=y а2Ч* ^
/
V
А.
i
н»
~Т~7-
1 /
-ь и
[148] £/— острый угол между диагоналями = 2 arctg —.
529. Параллелограмм.
[149] Площадь = Ыг
[150] =ab sin С.
Противоположные стороны этой
фигуры параллельны и равны
между собой.
Диагонали делят ее на треугольники, соответственно
равные друг другу.
Углы, примыкающие к каждой стороне, в сумме составляют
два прямых.
Диагонали делятся точкой пересечения их пополам.
dx • rf-2
Р»с. 181.
[151] Площадь = -
sin U, где dx и d$— длины
диагоналей, a U—острый угол между ними.
Центр тяжести площади параллелограмма лежит в точке
пересечения диагоналей.
530. Ромб. Параллелограмм с равными
сторонами называется ролбом (рис. 182).
[152] Площадь = a2 sin С, где С — угол
между соседними сторонами.
di • d.2
[153] Площадь=
-, где с?! и с/2 —
Рис. 182. " 2
N ' длины диагоналей.
531. Трапеция. Четырехугольник, две стороны которого
параллельны, называется трапецией (рис. 183 — 184).
а
медиана
-с у
|' 1 ^
' Ь
Рис. 182.
Т"
' 1
Рис. 181.
[154]
Площадь = — о^~
Четырехугольник
379
[155]
Площадь;
di ' ^2
sin
и.
[156]
W + W = f- + № + 2а&.
Прямая, проведенная через середины непараллельных
сторон трапеции, называется медианой. Длина медианы равна,
полусумме параллельных сторон.
Площадь трапеции равна произведению медианы на
высоту.
Для нахождения центра тяжести трапеции следует разбить
ее на два треугольника и найти их центры тяжести. Прямая,
соединяющая середины параллельных сторон, пересекаясь
с прямой, проведенной через центры тяжести треугольников,
дает искомый центр тяжести площади трапеции.
532. Четырехугольник. Всякая фигура, имеющая четыре .
стороны, называется четырехугольником. ' ( \
\ Л , Ш. U-
nt-ii п «Wo , п <*^ -
[157] Площадь = —' - sin (/. /
[158]
fl» + *e + c» + iP=Ii/1]>+[^rb4m*f
где т — длина прямой, соединяющей середины диагоналей.
Для определения площади четырехугольника его обычно
разбивают на два треугольника и находят сумму их илощадей.
Рис. 185.
Рис. 186.
Сумма внутренних углов четырехугольников равна 360°.
[159] Площадь-у, где / — длина диагонали, Л —ширина
в направлении, перпендикулярном к диагонали (рис 186).
380 Геометрия
533. Правильные многоугольники. В правильном
многоугольнике все стороны, а также все углы равны между собой
(рис. 187).
Бели обозначим буквой п число
сторон этой фигуры, то
[160]
LA^
-2
л
180° =
п— 2
ъ радианов.
360"
2тг
Рис, 187.
[161] ^ 5 = =й= радианов
п
п
Между числом сторон, длиной стороны, радиусом
вписанного круга и площадью существуют следующие соотношения:
п
3
4
5
6
7
8
л
а
1,732/?
1,414/?
1,1756/?
1,000/?
0,8677/?
0,7653/?
2 R sin -£-
/■
0,2887а
0,5а
0,6882а
0,866а
1,0383а
1,2071а
а Д
-jretK-2-
R
0,5773а
0,7071а
0,8506а
1,0000а
1,1524а
1,3066а
а Я
-г- cosec -т-
Площадь
0,433а*
1,000а2
1,7205*2
2,5981а2
3,6339а2
4,8284а2
па2 х i
£
534. Построение
правильных многоугольников. Всякий
правильный многоугольник
может быть построен следующим
образом.
Пусть требуется начертить
• семиугольник. Проведем
полуокружность HGB радиусом АВ>
равным стороне семиугольника.
Разделим "ее на семь равных
частей и через точки деления
проведем радиусы, продолжив
их за пределы
полуокружности. Поставим ножку
циркуля в точку G и радиусом,
равным стороне семиугольника, сделаем засечки Ff E, D и
С. Соединив их прямыми, получим искомую фигуру (рис. 188).
Рис. 188.
Круг
381
535. Подобные
многоугольники. Два
многоугольника подобны, если
их стороны
пропорциональны, а углы равны
между собой (рис. 189).
Рис. 189.
536. Построение подобных многоугольников со сторо
нами, находящимися в данном отношении. Из каждой
вершины проводим диагонали и
продолжим их, как показано
на рис. 190.
Из точки В' проводим
прямую В' С, параллельную ВС.
Продолжая построение
подобным же образом, получим
многоугольник АВ'С1УЕ'ГУ
подобный данному.
Подобные, многоугольники
можно диагоналями разбить на
треугольники, подобные друг
другу и одинаково
расположенные.
Рис. 190.
537. Круг (рис. 191).
[162] Длина окружности =
диаметру X 3,1416 =
радиусу X 6,2832.
[163] Площадь круга =
= * X (радиус)2 =
длине бкружности X радиус
2 ~
__ длине окружности X диаметр
4
— Х* X (диаметр)2 =
= 0,7854 (диаметр)2
Рис. 191.
382 Геометрия
Если А — угол в радианах, то
d с
[164j S — rA = 2r arccos —- = 2r arctg^y.
465] c = lV r2 — </2 =2/-sin^~ = 2</tgy = 2</tg.^
t166] d = ^ ^ = 2 = r cos -y =
с f S '
с t A
2"CtgT
5 rf с
[167] Л ( в радианах) = — = 2 arccos — = 2 arctg ^ =
2</
Рис. 192.
— 2 arcsin
D
538. Вписанный угол А измеряется
половиной дуги, заключенной между его
сторонами. Он равен половине
центрального угла В, опирающегося на
ту же дугу (рис. 192).
539. Все вписанные углы,
опирающиеся на одну и ту же дугу, равны
между собой (рис. 193).
Рис. 193.
LA^LB^LC.
Круг
540. Вписанный угол, опирающиеся
на полуокружность, равен 90° или -~
радианам (рис. 194).
541. Если дуга, на которую
опирается вписанный угол, меньше
полуокружности, то угол — острый (рис. 195).
542. Если же эта дуга больше полу
окружности, то угол — тупой (рис. 196)
543. Угол между хордой cd и
касательной сЬ измеряется
половиной дуги dac. •
Он равен половине центрального
угла Л, опирающегося на эту дугу
(рис. 197).
3S3
Рис. 194.
Рис. 195.
Рис. 197.
384
199.
Геометрия
544. Угол между касательной сЬ и
хордой cd, проведенной через точку
касания, равен любому вписанному
b углу (например В или С), опирающе-
муся на ту же дугу cd (рис. 198).
545. Если две хорды пересекаются
внутри круга, то каждый из двух
полученных углов измеряется полусуммой
дуг, заключенных между хордами (рис.
199).
LB = \{ad + cb).
546. Если две секущие аЬ и
сЬ пересекаются вне круга, то
^ полученный угол измеряется
полуразностью дуг, заключенных
между сторонами (рис, 200). В
самом деле
547. Угол, образованный касательной
и секущей, пересекающимися вне круга,
измеряется пфлуразностью дуг,
заключенных между его сторонами (рис. 201).
[168] /_ А измеряется половиной дуги s
минус половина дуги п, или
LA = LD—LC.
Круг
548. Угол, образованный двумя
касательными к окружности, измеряется
полуразностью дуг, заключенных
между ними (рис. 202).
549. Если две хорды, проведенные
в круге, пересекаются между собой,
то произведение отрезков одной из
них равно произведению отрезков дру- £
гой (рис. 203).
[169] AD>DC = EDDB.
550. Если произвольная прямая,
проходящая через точку Л, пересекает
окружность в точках Р и Q (рис. 204),
то произведение
[170] AP-AQ = const.
551. Если произвольная прямая
проходит через точку А} лежащую вне
круга, и пересекает окружность в
точках Р и Q (рис. 205), то
[171] AP-AQ = AT\
где AT—длина касательной,
проведенной из А.
25 Справочник для инженера.
386
Геометрия
552. Если из точки А,
лежащей вне круга, провести
касательную и секущую, то длина
касательной AD есть среднее
пропорциональное между всей секу- »
i jeft A& и ее внешним отрезком Дш
(рис. 206).
Рис. 206.
[172]
АС
AD
AD
Рис. 207.
ЛВ '
553. Если из точки С,
лежащей вне круга, провести две
секущие, то произведение
длины секущей на ее внешний
отрезок равно произведению
второй секущей на
соответственный ее отрезок (рис. 207).
[173] АС • ВС'= CD -СЕ.
554. Кольцо (рис. 208).
[174]
Площадь = тс (7?а — гч) =
* (£>2 — (Р)
= 2иЛ'Ь.
Рис. 208.
[175]
[176]
К =
R + ,
2 .
b = R—r
Рис. 209.
555. Сектор (рис. 209).
Обозначая длину хорды буквой С, имеем:
А
[177] С = 2г sin-^- (А выражен в радианах).
[178] C_2rsin(-^)°,
Площадь кругового сегмента
387
где S — длина дуги,
кг.
•А
180
(А выражен в градусах)
S = rA (A — в радианах).
rS к г2 А
[179] Площадь = 2 = 36QO (A — в градусах).
556. Площадь части кольца (рис. 210).
[180]
Площадь = тс
A(R* — г»)
360° '
где А — угол в градусах.
Рис. 210.
557. Сегмент (рис. 211).
А
[181] С= хорде = 2r sin -у (А выражен в радианах или
в градусах).
[182] 5 = длине дуги =
= jgQ5- (A — в градусах),
А
S = 2г-^ = г А (А — в радианах).
[183] A = /r — d=rll— cos-y)
(Л — в радианах или
градусах).
Рис. 211.
[184]
с/ = г cos
V4г* — С*
(здесь А — в радианах или градусах).
558. Площадь кругового сегмента* Площадь сегмента
равна площади сектора MONS (рис. 211) минус площадь
треугольника MON.
25*
388 Гео ::етрия
[185] Площадь р=_ ~ (А — sin А) = -у( 5—rsin — К
A S
где Ли в радианах.
. Площадь = г2 arc cos d "[/" г2 — с?2 ,
здесь arc cos -; в радианах.
г ^
Площадь = г2 arc cos (г — h)Y2rh —пг ,
здесь arc cos в радианах.
[186] Площадь = Г(5~2) + СЛ = * "ж^-^У**^*
. С
где arcsm-^ в радианах.
Последняя из приведенных формул действительна, для
сегментов, меньших полукруга. Если же он превышает
полукруг, то его площадь можно получить
путем вычитания меньшего сегмента из
площади круга.
Площадь сегмента равна площади круга
минус площадь сегмента MNS.
Площадь между сторонами квадрата и
_ вписанной в него четвертью окружности
Рис. 212. (рис. 212) находится из формулы:
[187] Площадь = 0,215/* ъ-j г2 *).
*) Истинное выражение площади, заключенной между сторонами ква«
драта и вписанной в квадрат четвертью окружности, дается формулой
(1 - -^Л /* да (1 — 0,785) /* да 0,215л*
Прим* ред.
Парабола 389
559. Эллипс. Эллипс есть кривая, для которой сумма
расстояний от точек ее до двух данных точек (называемых
фокусами), есть величина постоянная (рис. 213 и 214).
Рис. 213. * Рис. 214.
[188] Длина кривой да а [ 4 +1,1 т +1,2 т2],
Ь
где т = —.
'а
[189] Площадь = тс ab.
[190] Площадь заштрихованного сегмента = ху -f- ab arcsin —.
560. Парабола. Параболой называется кривая, каждая
точка которой находится в одинаковом расстоянии от задан-
Рис 215. Рис. 216.
ной прямой (директрисы) и заданной точки, называемой фо
кусом (рис. 215 и .216).
390 Геометрия
[191] Длина дуги ЛОЯ —
1
= -^-[]/ п2 +1 4" ~~ arc s'nb п)»
4А
где п = —.
с
Площадь сегмента, отсекаемого хордой С или С, равняет*
ся -=г С7* или -^г- С"А'.
Площадь сегмента эквивалентна двум третям площади
прямоугольника со сторонами С и А,
'561. Гипербола. Гипербола есть кривая, разность
расстояний всех точек которой от двух заданных точек (фокусов)
есть величина постоянная (рис. 217 и 218).
[192]
Заштрихованная площадь = ab lge I — "4" "Г" г
Рнс. 217.
Рис. 218.
В равнобочной гиперболе а = Ь.
[193] Заштрихованная площадь = a2 lg ( J =
"-— a2ig(—^— | = a2 arc sh — = a2 arc ch —-
Куб 391
562. Циклоида.
Кривая, которую описывает
точка окружности,
когда последняя катится
по неподвижной
прямой, называется
циклоидой (рис. 219). Рис. 219.
[194] Длина дуги 5 = 8л т
[195] Площадь = 3-г2.
563. Площади неправильной формы. Для определения
площадей неправильной формы применяется способ Симпсона,
заключающийся в следующем:
Разделим данную фигуру на четное число полос
одинаковой ширины. Чем меньше будет эта ширина, тем точнее
окажется результат (рис. 220).
Затем пользуются формулой:
[196] Площадь = у [(#о+У») + 4 (У1+#з+#5 + .
0 +
Соответствующие
обозначения указаны на рис. 220,
причем приведенную формулу
можно выразить так:
Площадь равна
произведению одной трети ширины
взятой полоски на сумму
следующих величин: первой и послед
У,
у,
У,
УА
Ум
Рис. 220.
ней ординаты, учетверенной суммы ординат с нечетными
значками и удвоенной суммы ординат с четными значками.
Из последней суммы исключается первая и последняя
ординаты.
Поверхности я объем тел.
564. Куб (рис. 221).
fl97] Объемно8.
[198] Полная поверхность =» ба9.
г—о—н
119У] Диагональ = аУ 3. Рис. 221.
392
/ ^
С-*'
u_,_>
7)
/
Геометрия
.jE. 565. Параллелепипед (рис-. 222).
[200]
[201]
Рис. 222.
Объем = площади
основания X высоту.
Полная поверхность =
= 2(/6 + /А + 6Л).
[202]
• Диагональ d = V fr2 + /2 -f- Л2.
565. Правильная шестигранная призма (рис. 223).
[203] Объем = 4-/3 «2А = 2,6 а2Л = \VT /2А = 0,866 ph.
<
т
>
[204] Боковая поверхность = 6аА =
= 2/3 /А = 3,46 /А.
[205] Площадь основания =
= -|-1/"За2=-2,6а2.
1.1 [2С6] Полная поверхность =
= 6a(h-\-^y~o\ = 6я (А + 0,866а).
Рис. 223. V" ' 2
567. Правильная восьмигранная призма (рис. 224).
[207] Объем = 2 (УТ+1)а2Л = 4,83а2Л =
2 (1-ЫЛ2")
1 + 2/2 +2
/2А = 0,829 ph.
h-—Г J
II I I *
Kl 01И I
L J._i
Рис. 224.
[208] Боковая поверхность = 8ah =
=Г+7Т/А=3'32/А-
[209] Площадь основания ==
= 2(1 -f /T) а2 = 4,828 А
[210] Полная поверхность =
=8а^Ц~ + уУ^у\=8а (A-f 1,207а).
Любая призма или цилиндр 393
568. Прямой круглый цилиндр (рис. 225). ^ ^7"
[211] Объем = *г*А = 0,7854 d*h.
[212] Боковая поверхность = 2*гА.
[213] Площадь основания = тсг2.
h» d *J
[214] Общая поверхность — 2^r (Л-j-r). Рис. 225.
569. Полый цилиндр (рис. 226).
[215] Объем = *h (Я2 — г2).
[216] Внешняя боковая поверхность
= 2*Rh.
[217J Внутренняя боковая
поверхность =2^гЛ.
D -I
Рис. 226.
570. Любая
призма или цилиндр (рис.
227).
[218] Объем =
= h X площадь
основания.
[219] Боковая
поверхность =
=/X периметр
перпендикулярного
сечения.
Рис. 227.
394
Геометрия
ь
^'XV-iJ-.J
571. Усеченный прямой круглый
цилиндр (рис. 228).
<" [220] А = средняя высота = -1"Т \
Рис. 228.
[221] Объем = ъг*к = h X
площадь основания.
[222] Боковая поверхность = 2тггЛ.
572. Усеченная призма или цилиндр любого вида.
[223] Объем = расстояние между центрами тяжести
оснований X площадь перпендикулярного сечения.
[224] Боковая поверхность = периметру перпендикулярного
сечения X расстояние между центрами тяжести двух
периметров.
573. Правильная пирамида или
конус (рис. 229).
[225] Объем = ~о- (площадь
основания X высоту).
[226] Боковая поверхность =
=полупериметру основа-
Рис. 229. .яияХ апофему S.
Рис. 23Э.
574. Любая пирамида или
конус (рис. 230).
[227] Объем = -=г (площади
основания X расстояние
от вершины до плоскости
основания).
Полый шар
575. Усеченная пирамида или конус (оис. 231).
395
Рис. 231.
ч
Г2281 Объем = -%■ (А, + Aa+V Ах. 42),
где Ах и А2—площади оснований, параллельные между собой.
576. Шар (рис. 232).
[229] Объем = -j и/-з = 4,1888 г> =
= -|- £>з = 0,5236 D»,
[230] Поверхность = 4it/-2 =
= 12,56б4г3 = тг£)2.
Поверхность шара равна боковой по- .
верхности описанного вокруг него
цилиндра. . рнс. 232.
577. Полый шар (рис. 233).
[231 ] Объему it (#з _ ,*) =
— 4,1888 (Я8 - И») = -£ фз — с/з) =
— 0,5236 (£>8 _ d») = 4*/?^ -f " <8э
где /?!—средний радиус, равный —-тр—,
п ? —- толщина оболочки.
Рис. 233.
396
Геометрия
Рис 234.
578. Сферический сегмент (рис.
234).
[232] Объем сегмента с одним
основанием =у (Зг2+Л2)=0,5236 (А*-Ь3г2).
п—*.
Рис. 235.
579. Шаровой слой (рис. 235).
[233] Объем шарового слоя ==
= ^[3(^ + га) + Л2].
[234] Поверхность = 2nRh.
_ 580. Сферический сектор (рис.
t 236).
h
[235]
Объем = -г- ъг*к.
Рис. 236.
[236] Полная поверхность = 2ъгк +
-j- ъга = ъг (2А 4" а)' -
581. Эллипсоид (рис. 337).
Рнс. 237.
[237] Объем = -^ яаЬс =
— 4Д888 abc.
Кольцо (тор)
582* Параболоид вращения (рис. 238).
397
тг 1
[238] Объем = -~- r2h = -у объема
описанного цилиндра^
Рис. 238.
583. Параболический слой
(рис. 239).
[239] Объем = -у r,h (г,* -f г22).
Рис. 239.
584. Кольцо (тор) (рис. 240),
[240] Объем = 2*2/? А
[241] Поверхность = 4-2/?г.
Рис. 240.
398
Геометрия
Формулы для призматоидов1)
585. Для нахождения объема призматоидов, имеем:
[242] Объем = ^ {A+J5 + 4М),
где L—расстояние между
параллельными гранями, А и
В — площади этих граней,
Ш д/—площадь среднего
сечения, проходящего на одинако-
( ( вом расстоянии от параллель-
0 ных граней. .
Эта формула очень полезна
для определения вычисления
объема выемок.
В случае рис. 241 имеем:
Площадь А = 60, 5=108, Л/=84, L = 18.
Объем = -~ (60 -f 108 + 4 • 84) = 1512.
586. Клиновидное тело. Формула для призматоида может
быть применена к выемке клиновидной формы (рис. 242).
Л = ^ = 240.
Рнс. 24
8=~
50X20
= 500.
M = 4_0X18=360.
60
[243] Объем = -~ (240 + 500 +
Рис. 242.
+ 4-360) = 21800
В железнодорожной выемке с уклоном откосов 5:1 с той
и другой стороны
площадь ABCD = h (2a + hS),
*) Призматоидом называется тело, ограниченное двумя параллельными
основаниями и произвольным числом боковых граней. Прим. ред.
Клиновидное тело
где 1а — основание выемки, h — высота
от гребня до основания выемки.
Применяя формулу для призматоидов,
получим (рис. 243):
Объем = -£ {А + В+ Ш). [242]
Для случая, показанного на рис. 244,
Рис. 243.
[244] площадь сечения
Уклон откоса, как и
в предыдущем примере,
равен 5:1.
Для определения
объема здесь также можно
применить формулу [242].
Эту же формулу
применяют и для
железнодорожных насыпей.
тп-
»)•
£7 наклон S
1) Формула [244] для площади сечения получается из формул д\я
площади трапеции и треугольника. Площадь данного сечения можно рассма*
тривать как разность между площадью трапеции с основаниями 2т, 2'а
„ т — а. _ - „ m — а
и высотой ^— и треугольником с основанием 2тп и высотой-
Разность площадей этих фигур равна:
2m + 2e т — а __ 2т т_--_п_ _ _т^
2 S 2 * " S
-ля
►»2 — ,
S
тп — а2
S "" S
Прим, ред.
400 Геометрия
587. Правило Симпсона для определения объемов. Для
нахождения объема неправильной фигуры следует вычислить
АЛш А2 и т. д. и подставить их в формулу
h
площади А0, Я19 Л2 и т.
[245] Объема
[(А> + А>) + 4 (Л + Л + Л + ..0 +
+ 2(А* + А1 + ...)].
Необходимо брать
четное число слоев
одинаковой толщины.
[245] А0— площадь пер-
^ вой, Ап — последней по-
^"верхности, Аи Л3> Аь —
площади с нечетными знач-
~ ками, А2У А„ Л6...—
площади с четными значками.
Рис. 245.
588. Объем воды (в прудах) может
быть вычислен по формуле Симпсона,
для чего предварительно необходимо
найти площади сечения по горизонталям
(контурам) (рис. 246).
Глава XXIII
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.
589. Угол характеризуется величиной поворота прямой
около неподвижной точки.
Если это вращение производится в направлении против
часовой стрелки, то угол считается положительным.
Тригонометрические функции 401
При вращении по часовой стрелке угол считается
отрицательным.
Величина угла не ограничена никакими пределами.
Наиболее распространенными единицами для измерения
величин углов являются градус и радиан.
В градусной системе за единицу принимается -^у^ пол-
оои
( 1 \
ного поворота I т. е. -^г прямого угла !.
590. В радиальной системе измерения за единицу принят
центральный угол, дуга которого имеет длину, равную
радиусу. Такой угол называется радианом.
Длина окружности = 2 гс г, следовательно, ей соответствует
2* г л __ / Л& ^
■ 2 я = 6,2832 радианов. ^ ,тщвгггтт^тш^-^г
С другой стороны, окружность соответствует 360*,
поэтому
2 гс радианов = 360°
гс радианов = 180°
1 радиан = — = 57,29578° = 57°17'44",8 у ^
гс \^JZy
тс
1 градус = уел — 0,0174533 радиана.
591. При изучении тригонометрии мы будем рассматривать
во-первых, соотношения между различными функциями угла
при определенном полож^нщ^^щ,^ а во-
вторых, самые углы как меру поворота указанной стороны
при ее непрерывном вращении. В последнем смысле
приходится рассматривать углы, когда идет речь о скорости
вращения. ' ^
^-6 Справочник для инженера.
402
Тригонометрические функции
592. Пусть дано несколько концентрических окружностей
и центральный угол ЛОВ (рис.248). Как известно,
дуга PxQl
Рис. 248.
Иис. 249.
дуга Р&ъ дуга /У23
ОР* " ОРь '
т. е. для дуг, заключенных
между сторонами одного и
того же угла, отношение их
длины к соответствующим
радиусам есть величина
постоянная.
Центральный угол, у
которого это отношение равно
единице, весьма удобен для
измерения углов и, как
сказано выше, называется
радианом.
В одном и том же круге
или в равных кругах два
центральные угла относятся друг
к другу как соответствующие им
дуги (рис. 249):
LAOB дуга АВ
j^AOC дуге АС *
Таким образом, если угол АОС
равен единице, то дуга АС равна
радиусу г:
дуге АВ,
г
LAOB-.
или вообще (см. [164] и следующие)
л S
где О— центральный угол, выраженный в радианах,
длина соответствующей дуги, проведенной радиусом г.
Отюда S = г 6, т. е. длина дуги равна произведению
диуса на центральный угол (выраженный в радианах).
5—
ра*
i
Координаты 403
Рис. 250.
593- Координаты. Положение точки Р на плоскости можно
определить прямоугольными координатами х и у, что не
требует пояснений, или полярными
координатами.
• В последней системе
положение точки определяется длиной
прямой г, соединяющей ее с
началом координат и
называемой радиусом-вектором, и углом
А, который называется
полярным углом (амплитудой) (рис.
250). * ^Г
Радиус-вектор обычно обозначается буквой р, а полярный
угол—буквой 6.
594. Функции'угла. Расположим вершину угла в начале
координат, а неподвижную (начальную) сторону его
совместим с положительным направлением оси %. Пусть
подвижная сторона угла занимает различные положения
относительно неподвижной. Обозначим координаты произвольной
точки Р на этой стороне буквами х и уу а расстояние от
начала координат—буквой г (рис. 251).
>^<\\
1 °" у\
р
(Ь) Рис. 251. <С)
Отношения между х, у и г будут называться
тригонометрическими функциями угла Л.
Знак г будет всегда приниматься положительным. Знак же
самой функции определится знаками координат точки Р, т. е.
будет соответствовать квадранту, в ко!ором эта точка находится.
Указанные отношения имеют следующие названия:
A (s\
[246] Синус A (sin А) = ^
[247] Косинус AJ(cosA)=-
[248] Тангенс A kg A) = -£ [249] Котангенс ^jjAgAy
[250] Секанс Л^есЛ)--
г
X
[251] Косеканс AjfcosecA) = —.
26*
404
Тригонометрические функции
Полагая длину радиуса равной единице, получим:
[252] sin А=у [253] cos A = x
[254] sec,4 = —
[255] cosec Л = —.
9
Из геометрии известно, что *2-{-i/2 = r2, поэтому
[256] г= V **+Р = "^4 = ^оТЛ = XSec A = y cosec A
[257] * = V-^7^rcoSA = -^=y ctg A-^.
[258] * Т КЙ=^Г = г sin Л = дг tg Л = -^ - -J-^.'
595. Из формул [246] — [251] получим следующие
соотношения между тригонометрическими функциями:
[259] sin А = ^ й [260] cosec Л г *
[261] cos^ =
[263] 1гЛ =
cosec A
1
[262] sec 4 =
sin A
1
COS-A
1
sec Л
-±-A \т «л-ф^.
596. Функция некоторых углов. Из геометрии известно,
что в прямоугольном треугольнике, один из острых углов
которого равен 30°, катет, лежащий против этого угла,
равняется половине гипотенузы. Полагая у равным единице,
получим из формул [246]—[251]
■в1п30в=г|-
cos30°=-|]/3" = ^|-
ctg30o="K3
sec 30'
3V Уз
cosec 30°=^.
Аналогичным образом можно вычислить функции углов
45° и 60°.
Функции некоторых углов
405
597. Если угол равен 90°, то, выбирая точку Р на его
подвижной стороне арасстоянии а от начала координат, получим г = а.
Координаты точки Р будут 0 и г = а, следовательно,
> — Ж
а
sin 90° = ^ = — = 1
г а
х_ _0_
г а
cos 90°:
0
«ы
t g 90 = — = — = со
5 л: 0
ctg90°== — = -=0
У а
sec 90° = — = -=-. = со
х 0
X.
core г 90°= — :
а
а
1.
Рис. 253.
Обозначения tg 90° = со и sec 90° = со имеют тот смысл,
что для данного положение стороны эти функции не могут
получить конечное значение.
598. Для угла 120° можно получить соотношение между
сторонами из уже рассмотренного случая угла 30°, но так как х
во второй четверти отрицателен, то он будет равен (— 1).
sin 120° =
cos 120°-
1*120 =
ctgl20° =
sec 120° =
M. _-
г
X
г
: J/:
X
X
У '
г
X
2
— 1
2--
— 1
— 1
Vs
.2
— 1
*/3
2
-V~*
i
V*
—2
Рис. 254.
г 2 2
cosec 120° = — = -== = — у~з
У V3 3 У *
Рассуждая таким же образом, можем составить таблицу
значений тригонометрических функций для часто
встречающихся углов.
406 Тригонометрические функции
6
в
градусах
0
30
45
ео 1
90
120
135
150
ISO
210
225
240
270
300
315
330
360
*° 1
в
дианах
0
те
~6~
те
Т
те
"Г
те
Т
2те
3
Зте
4
5те
6
те
7те
6
5те
4
4те
3
3*
5те
3
7те
4
11»
6
2те
sin 6
0
1
2
ут 1
2 |
уг
2
1
2
ут
2
1
2
0
1
2
2
-Уз
2
-1
-Уз
2.
-У2
2
1
2
1 °
cos 6
1
Ут
2
ут
'2
1
2
0
1
2
-У2
2
-Уз
2
-1
-Уз
1 2
2
1
2
0
1 1
2
/2
2
Уз
2
1
tgO
0
Уз
3
1
Уз
оо
-Уз
— 1
-Уз"
3
0
Уз
3
1
Уз"
оо
I-VT
-1
-Уз
3
0
ctgO
оо
уз;
1
Уз
3
0
-Уз
3
— 1
-Уз
со
Уз"
. 1
Уз"
3
0
I-VT
1 3
-1
-Уз
со
sec 6 1
1
2УЗ
3
У2
2
оо
-2
-2/3
3
-1
-2У1
3
-У2
-2
оо
2
| У2
|2УЗ~
3
1
cosec 6
оо
2
У2
2УТ
3
1
2УЗ
3
У2"
2
оо
I-V2
-2У5
3
-1
1-2УЗ
3
-У2
-2
со
1
Хорды I
0
1/2-УУ
Уз-УУ
1
Ут
ут
Т/2+ ^"21
У2+/Т
2 1
1/2-нУТ
У2+У.Т
УТ
УТ
1 1
У2-УТ
У;2-У"3
0
Графин, изображение триюнометприческ. функций 407
599. Графическое изображение тригонометрических
функций во всех четырех квадрантах при радиусе, равном
единице:
У\
о «О
\
0
■ — ctg Л
- cos *Ч -
У/Л
—«
- — 1
» 1
1 У
....
. i
•-ver
1
X
sm 4
_
„'♦„ Л
!Д • *'а"
■Т^
1 1
versi/7 4
Ns^
/ с
/ ^
f*—
^yfCQS А -
—ч—J —
N4/
у-
t
Л
0
Рис. 255.
Рис. 256.
t versing
»-* versing
i A '
Рис. 257.
Рис. 253.
В качестве единицы можно взять отрезок любой длины,
например 10 см. В таком случае величина функции будет
равняться частному от деления длины соответствующей
линии (т. е. линии синуса, линии косинуса и т. д.), измеренной
в сантиметрах, на 10.
40S Тригонометрические функции -
600* Дополнительные углы. Во всяком прямоугольном
треугольнике сумма /. А и ^ В равна 90°, т. е. каждый из них
является дополнительным другого до 90°,
поэтому любая тригонометрическая
функция одного из этих углов равна
функции другого угла с приставкой „со" „(ко)".
Таким образом, косинус, котангенс и
косеканс являются синусом," тангенсом и
секансом дополнительного угла (рис. 259):
sin Л =
Рис. 259.
cos (90 — ,4) = cos£.
601. Знаки тригонометрических функций. Для
определения знака функции рассмотрим знаки координат точки Р
на подвижной стороне угла (рис. 260а)
Л'
-v
\0
1~
у
igA-
Рис. 260а
(знак -J-)
и (рис. 260Ь)
tg А = -^-(знак —).
sin
CSC
tg
ctg
Рис. 260b.
бое положительны
X
cos
sec
Рис. 261.
На рис. 261 показано,
какие функции в данном
квадранте положительны. Так,
например, если угол
находится в I или IV квадранте, то его косинус положителен, а
если—во II или III, то косинус отрицателен.
Знаки тригонометрических функций 409
602. Функции отрицательных углов. Начертим углы А и
— А. Пусть ОР— положение подвижной- стороны угла At
a OF •— положение подвижной стороны угла — А во всех
четырех квадрантах (рис. 262).
262а.
Рис. 262Ъ.
Рис. 262с.
Рис. 262d.
Если обозначим координаты точек Р и Рг через (*, у) и
(А> У*) соответственно, то получим:
х = х , у = — у , г=г,
следовательно
Ь(-А) = К
sin
— sin A
cos Л
cos(— A) = ~=-^
Г г
— ctg^
X
хг
с1*(-Л) = ^ =
X
X
У
410 Тригонометрические функции
sec(— Л) = у =
= sec А
cosec (—Л) = — = = — cosec A.
У —У
603. Функции углов (n-^zte J, например, sin(90° + b),
cos (180° — 6), sin (6 — 90°) и т. д.
Для приведения этих углов к соответствующим острым
(меньшим 90°), следует выразить данный угол в виде суммы
угла кратного 90°, или-^, и угла, меньшего 90°, например,
п~±Ь или и-90° ^6.
Если п—четное, то названия функций дадного угла будут
одинаковы с названиями функций соответствующего острого.
Если же п — нечетное, то название функций острого угла
следует изменить на обратное, т. е. добавить приставку „со"
(см. п° 600). В обоих случаях функциям острого угля 6
следует приписать те знаки, которые соответствуют знакам
функций первоначального угла. Если, например, угол
(-!+.)
лежит в III квадранте, то координаты точки в этом
квадранте определят знак функций (см. п° 601).
Пример, sin 680° = sin (7 X 90 + 50). Так как п—число^ нечетное и
синус в IV квадранте—отрицателен, то
sin 680°= —cos 50°.
604. Соотношения между тригонометрическими
функциями угла.
>A = JL
Рис 263.
sin.
л л
cos A = —
г
6 X
ctg4 = -
[246]
[247]
[248]
[249]
Соотношения между тригбнометр. функциями угла 411
sec,4 = — [250]
cosec-4 = — [251]
У
r.}T?TF-Sf3-^4-*«~^-^co.i4 [256]
~Vr*-y* =rCosA = ^A = yctgA=^A
u = Vr2 — *2 =rsmA = xtgA =
[265]
[266]
[267]
[268]
[269]
[270]
[271]
ctg A cosec A
sin2A+cos2A = l
sec2A —tg2A — 1
cosec2 A — ctgM = l
sin A • cosec Л = 1 [259], [260]
cosA.secA = l [261], [262]
[257]
[258]
Рис. 264.
tg^ctgA = l [263], [264]
sin A < A <tg А (если 0 < A < 90°).
Um
sin.
412 Тригонометрические функции
[272]smЛ = ^^i4 = 1 = cosi4.tgi4 = Vl-cosM:
ctg A cosec
*ХА 1 KsecM —1
Kl + tgM /l + ctgM sec
_ . A A _,_, / 1 —cos 2.4
= 2 sin -s-cos-K-
sin.4 1
[273] cos A = f^= —~ = sin Л • ctgA =
«=/1 — sinM = 1 — = ct§4 =
V 1+Ъ*А Vl + ctg*A
V cosec2 Л—1 „Л . 0 Л , . /l-f-cos2/l
Гд—в«°»,Т-я,п,Тв-К 2 •
cosecЛ
[274] tgi4 = -^=-^ = sini4.seci4 = l/eecai4-l =
совЛ ctgi4
SI
in Л Vl— cosM
1/" 1 — s'inM cos Л l/cosec2 Л — 1
2tgT sec Л
. , о Л cosec Л'
i_tg-T
[275] ctg Л = ^--7 = x ■ = cos A • cosec Л =
sin A tg Л
-/cosec^-^^1"""2^^^—
sin Л У 1 — cos2 Л
__ 1 cosec A
1/7ес2Л — 1 sec Л
[276] sec Л = -*Xd = -i- - -7—*- =
sin Л cos Л |/ 1—sin2 Л
Соотношения между тригонометр. функциями угла 413
cosec А ■
'У\+.<Л?А
ctg^ = 1 = 1 =
cos A sin Л У1 — cos2 A
— У l+tgM _^ sec A
tgЛ V^secM — l*
sin (A rt В) = sin A cos £ rt= cos A sin B.
cos (/4 rt 5) = cos Л cos В rp sin Л sin B.
lafA-±-m *g^±tg£
CtgH=t5):
ctgi4ctggi^l
ctg£zbctg/L"
[277]
[278]
[279]
[280]
[281]
[282]
[233]
[284]
[285]
[286]
[287]
[288]
[289]
[290T
[291] cos2i4 = cosM —sinM==l —2sin2/l = 2cosM —1.
sin Л -f- sin Z> = 2 sm —x— cos —к— •
•a • » о ,Г+ВГ~>А — В
sin A — sin .d = 2 cos t-^— • sin—„—.
cos A -}- cos В = 2 cos—^— «cos—~—.
. D _ . Л^-Я . А — В
cos A — cosii= —2 sin—^— • sin—^—.
tsA+tsB= ™{ЛА + В\.
s l B cos A • cos Ь
5 5 cos A • cos 5
. л , . D sin(/4 + ^)
qtg Л + ctg J5 = —7-Л—Lr-p-.
d sm^4-sin#
ctg^ —ctgfi =
sin(iB —Л)
sin Л • sin В
sin 2 Л = 2 sin Л cos Л.
v-^'
[292]
[293]
tg2A-
ctg2^ =
2tg^
1-tgM-
ctgM — 1
2ctg^ ■■
414 Тригонометрические функции
[294] sin^. = ±j/l:
■COS Л
[2951 cos^ij/A
[296] tg^ = -j/.I
+ COS^
— cos Л 1 — cos Л
-j- cos A sin A
sin Л
[297] sinM =
1 + cos A '
1 — cos2i4
[298] со8М = 1 + 7-2Л.
[299] sin9 Л — sin2 В = sin (Л + В) sin (Л — B).
[300] cos9 Л — sin2 В = cos (A -f B) cos (Л — B).
1 —cos2y4
[301] tgM:
1 + сов2Л
[302] с12-Л_1_со82Л.
reA„ . Л=!=В sin,4=tsinB
[зоз] t8f___=c_x:f__5.
[304| ctg^g=sin^sin4.-
1 J e 2 cos 5 — cos Л
[305] sin A cos 5 = -i- [sin (4+#) + зт(Л — 5)].
[306] cos A sin 5 = -| [sin (Л -f B) — sin (Л — B)].
f 3071 cos Л cos В = -|[cos (Л + В) + соз(Л — В)].
[308] sin A sin В = — -| [cos (Л + B) — cos (Л — B)]
График синуса 415
605. Если 6 есть малая величина, то sin в, tg6 и угол Q
приблизительно равны между собой.
Пример. ^^ 2о ^ 0 0349 (из таблиц);
tg 2° = 0,0349 (из таблиц);
угол 2°, в радианах = 0,0349 (из таблиц).
Если угол несколько больше, то в таблицах будет иметься
некоторая разница между значениями указанных величин,
однако с известным приближением этой разницей можно
пренебречь, i
Удобства от замрны угла его синусом или тангенсом— I.
очевидны* так как при этом избегается утомительная опера- I /
ция с нахождением десятичных знаков его выражения в ра- *-
дианах.
606. Если х есть величина малая, то, выражая угол в ра*
дианах, можем считать, что
cos* = l—rjr*~.
Пример.
cos 0,006 = 1 - 0,000018 = 0,999982.
Глава XXIV.
ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
607. График синуса. Рассмотрим функцию
у = sin xf
где х—радиальная мера угла.
Вычертим график этой функции в прямоугольных
координатах, откладывая по оси абсцисс число радианов в угле,
а по ординатам—синусы соответствующих углов (рис. 265).
Кривая пересечет ось X в точках, где
* = 0, rc,2«,3ic,4rc, ... kv9
а также в точках, где
•*= — *> — 2*, — 3*, — 4*,. . . — к?9
причем к обозначает здесь любое целое, положительное или
отрицательное число, или же нуль.
По мере увеличения угла х от 0 до тг > S возрастает; од
0 до 1,
416 Графики тригонометрических функций
Но мере увеличения угла х от -~- до % у убывает от
1 до 0.
С увеличением угла * от тс до -тр у убывает от О до
— 1. " < -
1
2„^л
Зп -тт\ • тс У]
2 \J[i*/
л
1
/^
» ft
-*—х —
V—Sin JT tf/W ^
\ 1 /
п\ зп /2п
Г"' ^**—*"^-
Рис. 265.
С увеличением угла х от -~- до 2тс, у возрастает от
-1 до 0.
Из графика ясно видно, что для действительных
значений х величина у не может быть больше 1 и меньше ■ 1-
Значений х, которые делали бы у по абсолютной величине
больше единицы,—не существует.
Синус является периодической функцией с периодом 2 тс
или 360°. Это значит, что график функции, после каждого
поворота подвижной стороны угла, повторяется, и что у имеет
одинаковую величину для всех значений х, разнящихся Друг
от друга на величины, кратные 2 тс.
608. Построение графика синуса (синусоиды). Будем
откладывать на оси абсцисс углы, а на ординатах —
соответствующие значения синусов, как это показано на рис. 266.
* Согласно п° 599, где дан график функции sin А, отрезок
РВ для каждого положения Р дает величину sin А в
соответствующем масштабе.
609. График функции &т{х-\-В). Пусть имеется
вычерченный график у —sin лг, в системе прямоугольных
координат с началом в точке Ох и пусть нам необходимо перенести
это начало в точку О, а затем написать уравнение, связывающее
х и у в новой системе (рис. 267).
Из рисунка видим, что хг = х -f- В.
Подставляя эту величину в уравнение у = sin xl9 получим:
у = sin (x-{-B).
График функции sin (x-\-B) 417
VO
о
5
а
>. х
V
• с: I
н
*
X !
О
'
*
ИГ* (#+т)и!$* ^ А^ чэо
X U|S = Л *tt# ТОО
27 Справочник для инженеоа.
41$ Графики тригонометрических функций
Таким образом замена хх на (х-\-В) соответствует
простому перенесению начала координат на расстояние,
соответствующее углу В,, по оси X. При этом мы получаем
график функции y = sm{x-\-B).
Из сказанного ясно, что для построения графика
заданной функции следует начинать с уже имеющейся кривой
у = sin х.
Если В — положительно, то начало координат нужно
перенести в положительном направлении оси X, в противном же
случае — в отрицательном направлении. Расстояние, на которое
приходится переносить начало координат, определяется
величиной В.
Рекомендуется всегда иметь под рукой вычерченный гра-
% фик функции у = sin х. Передвигая начало координат, легко
получить график для у = sin (л: -j- В).
Если /.5= то имеем:
8т(*+-0=8т(*-ИОг
но так как косинус угла равен синусу дополнительного, то
можем напирать .-•—
sin(*-f 90°) = cos л: О,
откуда видно, что графики синуса и косинуса — одинаковы,
но для последнего начало координат в первоначальном
графике синуса следует передвинуть на отрезок, соответствую-
щий углу 90° или -у радианов (см. п° 622 и 624).
610. График функции у = sin пх, при п —
положительном. Пусть имеется график функции у = sin xv Положим х\
равным пх, тогда
y = sinnx.
£| ! Коэффициент п при х влияет лишь на величину абсциссы,
цо не изменяет значений ординат. Если п = 2, то хл = 2xf
* т. е. х в два раза меньше чем хх. Таким образом подстановка
вместо хг величины х укорачивает абсциссы в отношении
1 : п/
i) sin (* + 903) = sin [90° — ( —at)] = cos( — at) = cosat. ,
Прим, ред*
График функции у « sin (nx + 5)
419
На рис. 269 показаны графики функций у = sin х и # =
= sin3*.
Если л < 1, то кривая будет более растянут^, чем
у s= sin х.
Аналогичные результаты можно получить, изменяя
масштаб абсцисс на основном графике функции # —sin*
в л раз.
611. Рассмотрим измерение значении у в уравнении у:==
— sin 2л:, при возрастании * от 0 до -~" или от 0 до 90е. -
х 0° 9°
2лг 0° 18°
Я 0 (0,309
18° ! 27°
36° ! 51°
36° | 45°г 54°; 63° 72°
72° i 90°I 108° \ 126° 144° |
81°
162°
90е
180о
[0,588 Ь,809 ;0,951 1,00 -0,951 -0,809 -0,588 -0,309 0,00
Заметим, что два угла лг, имеющие одинаковые синусы или
значения у, отличающиеся лишь знаками, являются
пополнительными, т. е. в сумме составляют 90°. Таковы, например,
углы 9° и 81°.
В ряде углов 2,: углы,, имеющие одинаковые синусы,
равны в сумме 180°, например 18° и 162°.
Из приведенной таблицы видно, что значения у при
изменении л: от 0 до 9Э? образуют две волны: одну
положительную, а другую—отрицательную.
612. График функции у = &т(пх-{~В). Пусть имеется
график функции у = sin nxlt построенный по правилам,
указанным в п° 610.
Положим хг = х -f- ■
п
Нам требуется передвинуть начало координат указанного
графика из точки Ох в точку О и написать уравнение,
дающее зависимость между х и у в новой системе координат.
27*
420 Графики тригонометрических функций
Из чертежа имеем:
л. В
Подставляя в уравнение y — smnxl9 получим:
i/ = s'n ш x -j I = s\n(nx-\~B).
Рис. 270. -
Переход от у = &\ппх1 к у = sin (nx -f- В) соответствует
перенесению начала координат графика первой из этих
функций (т. е. y^sinnxj на расстояние, соответствующее
В
Если на вычерченном графике y — sinx изменить масштаб
абсцисс в отношении 1 : п, а затем перенести начало
координат в точку I—,0] в первоначальной кривой или в точку
(5, 0) в графике с измененным масштабом, то получим
искомый график функции у = sin (nx -\- В), отнесенный к новому
началу координат.
Если В — число положительное, то начало следует
передвинуть в направлении положительных л*, если же оно
отрицательное, то в противоположную сторону.
613. График общего уравнения у = а sin (пх-\-В)
(рис. 271). Так как ординаты этой кривой, т. е. значения у>
увеличены по сравнению с ординатами графика у ==
= sin(n*-f-i?) (который был разобран в предыдущем п°), в а
раз, то мы сразу же можем построить кривую функции у =
= as\n(nx-{-B).
Постоянный множитель а изменяет высоту волны в а раз.
Возьмем основной график y = sinx.
График общего уравнения 421
Изменим масштаб абсцисс в отношении 1 : п. Перенесем
начало координат в точку I —, 0 1, если абсциссы измерены
в первоначальном масштабе, или в точку (5, 0,) если сни
взяты в измененном масштабе.
Рис. 27L
Умножим каждую ординату на а или изменим масштаб
ординат так, чтобы каждая единица в первоначальном
масштабе отвечала а единицам в новом.
Выполнив указанные операции, получим график функции
у = a sin (пх + В), отнесенный к новому началу.
614. Элемент времени в синусоидальных функциях. Если
и л: и у соответствуют измеренным расстояниям или длинам,
то график синуса мржет изображать форму волн, получаемых
при колебаниях струн и т. д.
Пусть у обозначает линейное расстояние, а х—время
в секундах, тогда график синуса может изображать
периодические колебания, например колебания пружины, звуковые
волны, проекции кривошипа на координатную ось,
проходящую через центр вращения, и т. п. .
Обозначим буквой <о (омега) угол в радианах,
описываемый прямой ОР в одну секунду, при равномерном движении,
начатом из положения ОЛ.
Через t секунд прямая ОР займет положение ОР', описав
при этом угол 6.
Будем откладывать время в секундах по оси абсцисс,
а синусоидальную функцию—по оси ординат.
Раз прямая ОР поворачивается в одну секунду на ш
радианов, то по истечении /' секунд полный угол поворота _ 6
будет равен ш/ радианов (другими словами угол G возрастает
422
Графики тригонометрических функций
на <о радианов в секунд;, и основное уравнение у =■» sin x
примет вид
# = OPsinotf.
Здесь о представляет собой угловую скорость в радианах
в секунду и поэтому угол на который повернулась точка за
t секунд, равен <*>t.
Пример. Точка Р (рис. 272) движется в направлении против часовой
стрелки по окружности радиуса в 10 см. Движение начинается в точке А
и происходит равномерно с угловой скоростью, равной одному обороту
в 10 секунд.
Требуется начертить кривую, показывающую изменение расстояний
проекции точки Р на вертикальный диаметр от центра О в зависимости
от времени, а также написать уравнение движения.
3 сеИ. и пи.
JL сен иди 1.256 радиана
Рис. 272.
•
Решение. Если один оборот совершается в течение 10 секунд, то, деля
окружность на десять равных частей, видим,, что каждая такая часть
представляет собой путь, проводимый точкой в одну секунду. Каждое деление
соответствует углу ш, равному -^д = 0,6283 радиана, так как целая
окружность соответствует 2 те = 6,283 радианов.
Выберем удобный масштаб абсцисс и отложим на оси х десять
равных частей, как это показано на рисунке.
Будем проектировать положение точки Р на соответствующие
ординаты. Соединяя полученные точки плавной кривой, получим искомый
график синусов (синусоиду).
Угловая скорость <о равна 0,6283 радиана в секунду. Радиус ОР равен
10 см, а РВ= 0/> sin 0,6283*.
Поэтому
у = 10 sin (0,62830-
Расстояние ОР представляет собой длину кривошипа или
величину максимальной деформации пружины/ колеблющейся
Элемент времени в синусоидальных функциях 423
около своего среднего положения, или, наконец,
максимальное отклонение маятника. Оно называется^ амплитудой
графика.
Если вместо угловой скорости задано *шсло оборотов
кривошипа п в секунду, то эту скорость можно легко найти,
имея в виду, что тело поворачивается на 2 кп радианов в
секунду, т. е.
О) = 2 7ГП
и наша синусоидальная „функция примет вид:
y = OPsin2^nt.
615. Для преобразования-трафика функции у = sin x в
график синусоидальной функции времени, рассуждаем
следующим образом. Пусть у = г sin .со/, тогда
— = sinw*.
Обозначим — буквой Ь (лямбда), в таком случае
Полагая * = «tf, получим:
• - -• О) 'У
На рис. 273 показана кривая y^sinx с дополнительной
горизонтальной шкалой, на которой отложено время, и до\
основной'график синуса
11 М-
шИа^а, времени
Рис' 273.
полнцтельной вертикальной шкалой амплитуд,
соответствующих различным моментам, рремёнй.' ^
424
Графики тригонометрических функций
Пример. Требуется преобразовать основную «кривую g&*sinx в
график функции у — 0,5 sin 41.
Имеем:
^ = X яди у = 0,5 X.
Полагая х = 4 *, цолучим
г =
4 *
Если теперь начертить вертикальную шкаду*7Г делениями, вдвое
большими, чем для имеющейся кривой, а также горизонтальною шкалу для вре-
основной график синуса
0.25 0.50 0.75 1,0 1.25 1.50 175 2.00 2.25
нобая шкала времени.
Рис. 271
мени с масштабом, вчетверо большим, чем на основном графике, то и
получим искомый график функции
# = 0,5 sin 4*.
Пусть угловая скорость, выраженная в радианах в
секунду, равна о>. Условимся считать отрезок оси,
соответствующий числу секунд, в течение которых совершается
полный оборот, равным отрезку на оси абсцисс,
соответствующему углу 2-я на основном графике. Тогда последний можно
легко разделить на нужное число частей.
616. Пусть п есть число оборотов кривошипа в одну
минуту. Угловая скорость будет равна
<а = —
2ъП
60 '
а уравнение примет вид
Период и частота 425
Угловая скорость ш определяет период графика. Периодом
в случае равномерного вращения будет являться время,
нужное для одного оборота. Заметим, что на рис. 272 кривая
имеет период, равный 10 секундам, так как один оборот
происходит в течение 10 секунд, после чего кривая повторяется.
Если о) равна 1 радиану в секунду, то период равен 2г<
секундам и у = sin U
2 7С
Для любого значения <о период будет равен .
Длина волны есть расстояние, между двумя одинаково
расположенными точками на графике.
В случаях быстрого вращения часто бывает необходимо
рассматривать периоды времени в десятые и даже в сотые
доли секунды.
617. Рассмотрим движение точки тела, вращающегося со
скоростыо 180 оборотов в минуту. В секунду происходит
3 оборота или, как говорят, частота равна 3. Таким образом
время, потребное для одного оборота, равно -~- секунды,
а угловая скорость
2 ТС" + о ГЧ?
а> = —— = 18,85 радианов в секунду.
"3 ,
Уравнение, соответствующее кривошипу радиусом в 15 см,
будет
у = 15 sin (18,85^.
618. Частота равномерного вращательного движения есть
число оборотов в секунду или .
О)
частота == -^ == числу .периодов в секунду.
Частота есть величина, обратная периоду, т. е.
1
частота = .
период
На рис. 275 эта величина равна 3, так как в одну секунду для
точки, делающей 3 оборота в секунду, получаются три волны.
619. Если отсчет углов должен начинаться не от горизон*
тальной оси X, а от какого-нибудь другого положения
неподвижной стороны, то
# = г sin (а/-}-с).
426
Графики тригонометрических функций
Здесь с—угол между
неподвижной стороной и
положительным направлением
оси X. Этот угол будет
считаться положительным или
отрицательным в зависимо-
-Ч*
с§1 § сти от two, измерен ли он
о ^ от оси X против часовой
~ £ стрелки или в сторону ее?
.-к вращения.
# = rsin(<tt/4-c)
А_.
Г
= sin(o>r-|-c).
Элемент времени в синусоидальных функциях 427
Положим ,— = ?, тогда у == 1 г.
Обозначим величину (<»*+с) буквой X, тогда
Ш О)
Новые шкалы для отсчета переменных показаны на
рис. 276, где вычерчен график основной функции y = sinx.
Если с задано в угловой мере, то располагаем начало
координат, откладывая с непосредственно по угловой шкале.
Если же с дано в единицах времени или в частях <о,
то следует пользоваться шкалой времени, относя начало
с
в точку —.
Пример. Требуется вычертить график функции
# = rsin (со* — 1,1),
причем максимальная амплитуда равна 0>5л а «> = 4 радиана в секунду.
Имеем:
у = 0,5 sin (4*-1,1)
Положим
JL = s»(4*-U>
ТГ = *Q-g» тогда у = 0,5 ?.
Если положить Х= 41 — 1,1, то
Отсюда
* = * + ii
или
-~ = 0,275 секунд на один радиан
4
^-г = 3,63 радианов в секунду.
Отложим на оси времени от нового начала 1 секунду
в таком масштабе, чтобы этот отрезок соответствовал от-;
резку 3,63 рад* ана по угловой шкале, и разделим его на
доли <?екунды, как это показано на рис. 277 и 278.
Постоянный угол с передвигает лишь кривую вдоль оси
X (или оси t в данном случае), но не меняет самого вида
графика. ---,---.-
428
Графики тригонометрических функций
Если рассматривается движение кривошипа, то а
представляет собой его длину.
J J рад
У
05
!?
-0.1.
0
иана
0
У
-1.0-
-0.8
■0.2
-^- основной график
>^^Nf синуса /
/ (иНалаК радианов /
1 i i i
i ' i i
• шНала времени ,
1 i i i
i i i j
0,5 се* \сен 1.5 сен 2 о?*
Рис. 277.
4-$
хЗ
Г
\ 0.4
\ 0.2
У
•/
0
«*—
С
J
Y
- д —*-
Li-'*
Го) w
\ шКала радианов/
шКалъ времени
Рис. 278.
-Пример. Кривошип ОР' (рис. 279), длиной 60 см, начинает двигаться
из положения, образующего угол 30° или ■ ^ = 0,5236 радиана с
горизонтальным направлением. Время t в начале движения равно нулю. В одну
секунду происходит 2 оборота.
Так как время одного оборота равно -^- секунды, то, деля^
окружность на 12 частей, находим, что каждая часть. соответствует времени
0,0417 секунды.
Кривошип делает два оборота в секунду, т. е. поворачивается на угол
2 • 2 л радианов. Следовательно <о = 4 п.
Переменный ток 429
30° = — радианов, поэтому согласно сказанному в n° 6i3, следует пе-
6
В
редвинуть начало координат на величину —> равную в данном случае
♦
-з— = -77Г = 0,0417 секунды,
4 к 24
1
что совпадает с одним из сделанных на окружности делений. Уравнение
движения будет иметь вид:
# = 60 sin [4я*+ -£)._
Рис. 219.
620. Переменный ток. Сила переменного тока возрастает
до некоторого положительного максимума, уменьшается до
нуля, а затем до отрицательного минимума, после чего опять
возрастает до нуля, чем и заканчивается цикл.
Эта изменяющаяся сила тока i является синусоидальной
функцией. Такова например,
1 = 10 sin (2000,
где t—протекшее время, а величина 200* есть число
радианов в соответствующем углу фазы.
Так как график зависимости есть синусоида, а
максимальное значение синуса равно единице, то в данном случае
наибольшее значение / равно 10 единицам. Это значение
функция имеет в точке, за которой ординаты кривой начинают
уменьшаться. В течение одной секунды происходит несколько
циклов. Полный цикл изменений заканчивается после того,
как угол 200/ достигает величины 2*, т. е. когда
2001 -» 2 к, t = 0,01 * = 0,0314,
430
Графики тригонометрических функций
Таким образом продолжительность цикла равна
1
314
10000
Рис. 280.
или около -rtj=r секунды и ток изменяет направление примерно
60 раз в секунду. 5
Расстояние между точками, в которых кривая пересекает
горизонтальную ось, показывает время, необходимое для
каждого изменения
направления тока. Очевидно оно
равно половине того
времени, в течение которого
совершается полный цикл
(рис. 280).
В данном случае время,
нужное для каждого
изменения направления, равно
0,0157 секунды.
621. Функция вида JC = asin(riy-\-B). Эти функции сходны
С уже рассмотренными функциями вида */==asin {пх-^-B)t но
отличаются от них тем, что пе- г;
ременные, входящие в формулу,
поставлены одно на место
другого. Вследствие этого
положение осей необходимо
соответственно изменить.
Что касается уравнений
х = sin у, х = sin (у-\-В)их —
= sin пу, то для них
справедливо все сказанное в
предыдущих п* об уравнениях
у = sin х
~, у z=sin(x ^\-ВУ
у = sin пХш '
^х~аып(лу+8),
У
fi = 0
Так как хиу заменяют друг
друга, то графики данных
функций следует строить не на оси
Х9 а на оси У, как это и
показано на рис. 581, где изображен ' Рис. 281.
график х = a sin (пу -\~В).
.622. График функций. Рассмотрим функцию #ec^s*",
где х — угол в радианах. Пусть имеется система прямоуголь-
Построение графика косинуса
431
яых координат, причем по оси абсцисс отложены величины
углов (в радианах), а по ординатам — соответствующие им
значения косинусов.
Кривая пересекает ось X в точках, где
2 ' 2 '.; ' * \ 2) *
*вт
а также где
те ;
и
Здесь
k—любое целое,
положительное число или
нуль. При л: = 0,
у~\ (рис. 282).
623.
Построение графика
косинуса. Так как
cos*—sin(90°+jc),
то график
косинуса представляет Рис. 282.
собой синусоиду,
передвинутую вдоль оси X на
расстояние, соответствующее
тс лл
углу -j или 90°.
На рис. 283 точка О есть
начало синусоиды, а точка О' —
начало графика косинуса,-
Кривые отличаются друг от
друга только тем, что начала
их находятся в
расстоянии, со-
о т ветствующем
углу 90°,
поэтому график
косинуса
следует строить
трчно так же,, Рис. 284.
как график
синуса, начиная его на указанном выше расстоянии от начала
координат (рис. 284).
1
п
2
б'\
. /1
\J
X
Рис. 283.
C0SJC
432 Графики тригонометрических функций
624. График функции
y — cos(x-\-B)
у = cos 2 х
у = cos пх
у = cos(nr+5)
у = а cos (пл: + 5)
подчиняются тем же законам, что и соответствующие
синусоидальные кривые.
Указанные графики могут быть получены из графика
основной функции
у = cos х,
так же как и соответственные кривые функций синуса.
Будет ли данная кривая изображать изменения синуса или
косинуса, зависит только от положения начала координат.
Если в данных уравнениях поменять х и у местами, то
построенные графики придется отнести не к оси X, а к оси Y.
625. Сложные периодические колебания или графики
волн. Общие уразнеаия у = a sin (пх-\-В) и у = a cos (nx -f-
-\-В) выражают простейший вид периодического движения.
Сложное периодическое движение выражается более
общими формулами вида
у=ах sin {пх-\-В^-\-а2 sin (2nx-\-B^)-\i . . . -j-uj cos(n*4~Z?i)i"
Рис. 285.
Звук музыкального инструмента, например флейты или
скрипки, состоит из главного тона, выражаемого уравнением
# = eisin(ru: + Z?i)
Ограничивающие кривые
433
и обертонов или гармоник
у = а2 sin (2пх + В2)
у = аг sin (Зпх + £3) и т. д.
Для получения графика такой сложной функции удобнее
всего начертить каждую синусоиду отдельно, а затем
сложить соответствующие ординаты.
На рис. 285 сделано построение для функции
у = 2 sin х + -у sin 3 *.
у=а $т(пх +В)
626. Затухающие колебания. Многие законы природы
выражаются графически кривыми синусов и косинусов с
уменьшающимися
амплитудами. Величина
амплитуды а
убывает как
показательная функция. Она
обычно
представляется в виде ае~ х.
В этих случаях
общее уравнение си*
нусоидальной
функции принимает вид
sin (nx + В)
—Ьх
у = ае х sin (nx-\-B).
Рис.* 286.
Для получения ординат кривой последнего уравнения
удобнее всего вычертить отдельно графики функций е"** и
a sin (плг-f-fi), а Затем перемножить их ординаты.
Величина Ь в данном уравнении может рассматриваться
как мера сопротивления или задерживающий эффект и
называется логарифмическим декрементом колебания (рис 286,).
627. Ограничивающие кривые* При построении графиков
функций вида
j = е sin д^ или о = t* cos -j- и т. п.,
где один из множителей есть синус или косинус, проще
всего рассматривать кривую, выражаемую другим
сомножителем, как ограничивающую кривую.
28 Справочник для ижжеа?ра.
43-4 Графики тригонометрических функций
Рассмотрим уравнение
У У =
0)
у = е '* sin ~ т "х'
Так как синус по
абсолютной величине
не может быть
больше 1, то значение у
* в уравнении (1) не
может быть численно
больше чем первый
лХ
множитель е
I
80:
60
40
20
Л-
и
20
40
60
80
100
120
140
с_
•"
h-2>
у
f
1 /
п
ч 4
^v^
V
£
' /
П
s
\
Рис
^
J
у
V
. 287а.
/
/
1
bh
*<■>
7V
тс-
6
\
\
)
°2п
8
\
V
#'
\
\
ч
/
\
\
\
\
|Ю
•
ч
\
1
\
,
\
\
3
1
\
\
\\
\
}
П
12
Предельные значения sin —^~
суть-f-l и —1, поэтому у
имеет предельные значения, |
i г ?
--JX - тлг
равные е и —е
Таким образом кривые,
выражаемые уравнениями
у = е и у = —е ,
можно рассматривать как
ограничивающие для фунчции у
уравнения (1).
Построение искомого •
графика облегчается, если иметь
в виду следующее:
ъх
Когда sin -у- =-0, у — О,
следовательно кривая (I)
пересекает ось X в тех же точках,
что и кривая у— sin -^—, а
D oa7U именно при * = 0, ±2, ±4,
±6 И Т. Д.
Кроме того кривая, выражаемая уравнением (1), и график
показательной* функции у— е. , касаются друг друга в тех
Сложение ординат
435
точках, где синус достигает максимума или минимума, т. е.
где sin -5- равен -J-.1 или — 1.
Таким образом кривая функции (1) касается
ограничивающей кривой в точках, абсциссы которых равны
*== —1, —3, :±:5 и т. д.
Другим примером применения ограничивающих кривых
является случай уравнения
S = р cos Аг-9
график которого показан на рис. 287Ь.
•n't
Кривая пересекает ось X, когда cos -£- = 0, и касается
nt
*t
ограничивающих кривых, когда cos -4- == 1 или cos А = — 1.
4 4
628. Сложение ординат* Если уравнение состоит из двух
или большего числа членов, как например
о • ~х j 1
. у = 2 sin ^j-+-£-*,
•
3
2
М-3-2-1 '
I
у.
„
и
-3
Y
/
Рг
1 ;
-
-•
г*~»
У
\ \
V
3
1 t
^=2=
^
X
(О
9
ие.
388.
то удобно вычертить вспомогательные кривые в одинаковом
масштабе* располагая их одну под другой, и сложить их
ординаты (рис. 288).
28*
43Ь Графики тригонометрических функций
Рис. 289.
В данном случае придется построить трафики функций
ух = 2 sin -^- и у2 =Y *'
Для получения ординат
искомой кривой имеем
629; Графики обратных
тригонометрических
функций. Уравнение у = sin x
может быть написано еще и
в такой форме:
х = arc sin-jf..
Последнее выражение
означает, что х есть угбл,
синус которого рявен у.
Очевидно, что графики
функций y = sin х и х =
— arcsin*# одинаковы по
форме. В первом случае у «сть функция х, а во втором х
является функцией у.
Таким образом в случае функции х = arc sin у график
следует отнести к оси У, а не к оси X (как в первом уравнении).
Указанные
соображения действительны
также для косинуса,
тангенса и т. д.
Другой метод
построения графиков об*
ратных
тригонометрических функций
заключается в том, что
график основной функции
чертится на
прозрачной бумаге и
поворачивается вокруг оси, проходящей через начало координат и
наклоненной к оси X под углом 45° (рис. 289).
630. Сравнение графикой синуса и косинуса. Отметим,
что у == cos ( -т- х) =5я cos х и . поэтому ■• графики функций
у = со>х и у = cos ( — х) — одинаковы. Отсюда следует, что
при изменении знака х на противоположный, у получает те
\
-1
г?
у - cos х
/ у = Sin X
К-АД V /
\ ' \ / Is \ ' Л /
\/ \/ / N \' \/
\ X / v ' \ X
с/ = sin (- /;
Рис. 290.
График функции y = t%&
437
же самые значения и следовательно график косинуса
симметричен относительно оси Y (рис. 290). -
631. График фуак-
^my^t«x. При из- . \у /|
менении угла от 0
до 90° или до -^-
тангенс изменяется
от 0 до ©о.
Дальнейшему увеличению
угла от. 90° до 180°
соответствует
увеличение тангенса от
— ОО ДО 0.
Рис. 251.
(г
~v\
\Xkj
(</Л
к
.5**
iyr I •» "Л- v
В йрёдёла**" от 180* до 270° тангейс принимает >#а*Йния
от 0 до со и наконец для углов от 270° дЬ 360° он
Изменяется от —со до 0 (рис 291). ~■'•"''■ .
438 Графики тригонометрикеских функций
632. Построение графика функции у *= tjj x. Согласно
сказанному в п° 594, где показаны соотношения между
тригонометрическими функциями, на рис. 292 (а) (Ь) (с) и (d)
изображены величины линии тангенса в различных
квадрантах.
Откладывая величины углов как абсциссы, а значения
функции у = 1% х—как ординаты, можно легко построить ее
график.
Так как tgx—положителен в I и III квадрантах и
отрицателен во II и IV, то положительные значения тангенсов PS
соответствуют углам в I и III четверти, а 5/^ и SP%—во II
и IV.
Пример нахождения тангенса для угла во втором
квадранте показан на рис. 293.
*\Л
р
S
0
^ X
90* /
П/2,,Х
~Г
633. Графики функций
Я-tg (*-f£)
y = tg пх
y^tg (пх + В)
y^atg (n*-f В)
строятся по тем же правилам, что и соответствующие
функции синуса.
Общая форма функции
у^а tg (пх + В)
показана графически на рис. 294.
Здесь ординаты, увеличены а а раз яо сравнению с тако-
вымя для графика.
Сравнение графика тангенса
439
Путем изменения
масштаба абсцисс основного
графика у = tg x9
передвижения начала^
координат в точку
(4.о)"
умножения ординат на а,
получим кривую,
выражаемую уравнением
y = atg(nx-{-B)
Рис. 294.
в новой системе коорди-
.нат.
— Пример» Построит* График
уравнения (рис. 295)
y^tg (20 + 45*
Рис. 295.
Период функции у —
== tgr лд: есть—.
634. Сравнение
графика тангенса. На рис.
296 даны для сравнения
несколько графиков
тангенсов.
Рис. 296
440
Графики тригонометрических функций
\*~
\ ъ
\ о
V
\v*
я
2
90*
V
\
\
\
\
180* X
П Зп
г
270*
\ 1
N
вес*
|2п
К
Рис. 297.
635» График функции
a ctg (пх-\-В). Эта
функция применяется сравни*
тельно редко, а потому
ограничимся
рассмотрением графика функций
у = ctg х и общего
уравнения
a cib {пк-\-В).
о Сравнению с
первым, ординаты кривой
общего уравнения увеличены
в а раз;
Таким образом
кривая функции у = a ctg
(пх-\-В) может быть
построена точно
таким же образом, как и
для у = a ctg (пх + В)
в п°633.
^ Здесь также
берется основной
график фуйкции j/=ctg х,
масштаб абсцисс
изменяется в
отношении 1: л, начало
координат
переносится в-точку
(4-о)
Рис. 299.
и ординаты
умножаются на а (рис. 298).
После выполнения
указанных действий
. получим искомый
график, приведенный к
новому началу.
636. Построение
графика функции
У — ctgX. Так как
ctg* = tg (-J — -^j »
то построение' гра-
Графики функций у = sec x и # = cosec#
441
фика данной функции можно осуществить, строя кривую так
же, как для тангенса. Необходимо начинать ее из положения,
соответствующего углу 90°, по отношению к начальному по-
>?
ъ
i
У
') о
.
РйС
V?
_Ха
300,
90*
- у= esc
180'
~7Н
X
270"
360*
Л
Рис. 301.
ложению подвижной стороны для графика у = tg х. Самое же
вращение следует производить в отрицательном направлении,
так как перед х стоит зцак *** (рис. 299),
637. Графики функций у = ёбсх и. J?», соме*. Полагая
радиус окружности равным единице, -видим, что
радиус-вектор OS или OSx является линией4 секанса. Для нахождения
442 Решение треугольников
величин «той линии вращаем радиус-вектор OS до
вертикального положения, а затем проектируем его на
соответствующую ординату (рис. 300).
График косеканса аналогичен предыдущему, но начальное
положение подвижной стороны угла х должно быть взято на
90° далее (рис. 301).
Ясно, что путем перенесения начала координат на отрезок,
соответствующий углу 90°, мы получим график секанса. Дру*
гимн словами «
sec х ~ cosec (90° -f" х).
Глава XXV.
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
638. Решение прямоугольных треугольников. Для
решения прямоугольных треугольников пользуются формулами,
указанными в главе XXIII, и следующими соотношенями,
известными из геометрии:
L A + L В = 90°; с2-=а2 + 62.
Решение будет возможным, если известны два элемента
треугольника (не считая прямого угла), причем один из них
должен быть стороной.
Выбираемая для решения
тригонометрическая формула должна содержать
|а три величины, из которых две заданы,
а одна является искомой.
Пример U Дано; А = 32° 16'; а = 200. Найти
Ь, с и В. Имеем: В = 90е - А = 90° -. 32° 16' =
= 57° 44'.
sin А = — ил
с
sin 32° 16'
следовательно
200
а
sin A
10,53386,
с =
= 374,6
с g А = — или Ь = a cig A
а
ct*3i°lt' = 1.58»,
следовательно
6 = 2Ш-1,5339 = 316/78...
: 0,53386
Пример. 2. Депо: а да 52,6; Ь «в 65,4.
,- _.с» У^+Ъ2 =.V 2767 + 4277 «83,92,
Решение прямоугольных треугольников
из таблиц находим
443
отсюда
А = 38° 49',
в ^90° -38° 49' = 51? И'. «
■'"Я/)ил«е/> J. Дано: Л = 59°58'; Ь = 412. Найти а, с, S.
tgi4
-, т. е. а = 6 tg Л
tg59°58' = 1,7297
.л = 412.1,7297 = 712,64
cos Л = — или с = т .
с cos Л
с== 050050 в823'П
^ = 90° — Л = 90° - 59° 58' = 30° 2'.
Пример 4. Дано: 5 = 70°10/; с = 35,2.
sln5?= — или А = с sin В
sin 70П0'=0,94368
6 = 35,2.0,94068 = 33,112
cos В ssb- — или а = с cos В
cos 70° 10' = 0,33929
а = 35,2-0,33929 = 11,94
Л = 90° - В = 90° - 70э10' = 19° 50'.
639. Употребление логарифмов при решении
прямоугольных треугольников ускоряет вычисления и делает их более
точными.
Пример Ь Дано: а = 23,47; В = 26°15,2'. Найти Л, Ъ и с.
Имеем:
A = tg£, o = atgS; ^^С05^С==с^'
lg tgS = 9,64576 — 10
lga^ 1,37051
lgo = 1,01627
* =s 10,38
lgcosB= 9,95272-10
lga= 1,37051
lgc = 1,41779
с = 26Д7
- -: Л = 90°^5 = 90э--26о15,2'=:бЗа44^'л : ^
Пример 2. Дано: 5 = 58° 39'; с = 35,73. Найти Л, а и 'b. *
Имеем:
— = sin В иди Ь = е sin Z?, ;— = cos В или а = с cos 2?.
с с
lg sin 5= 9,93146-10
lg с ^1,55303
lgo = 1,4S449
6 = 30,51
lg cos Я = 9,71622-10
Jgc = 1,55303
lga= 1,26925
a = 18,59
Л = 9tf> - # *= 90° - 5SC39' ~ 31° 2V-
444 Решение треугольников
Пример 3. Дано: а = 50; Ь == 60, Найти А, В и с.
j~tgAttsA = ^
\S a = 11,6990 -10
lg6= 1,7782
Iff tg A = 9,9208 -
Л = 39° 48'.
10
— == sin А, с
€
lg a = 11,6990-10
lg sin A = 9,8063 — 10
~ \gc= 1,8927
с = 78,1
cr
sin
640. Другой прием при решении прямоугольных
треугольников с помощью логарифмов. Предположим» что нам
нужно найти катет а прямоугольного треугольника по данной
гипотенузе с и другому катету Ъ (рис. 303).
Так как а= /(712,2)2 - (554,5)2,
то а можно вычислить обычным способом. Однако
применение логарифмов при таком виде выражения неудобно.
Из алгебры известно, что
#>_ с* = (Ь+с) \Ь — с),
Ь + с = 1266,7
Ъ — с =157,7,
а = 1/1266,7 157,7.
отсюда
Полученное выражение может быть легко вычислено с
помощью логарифмов.
Косоугольные треугольники.
641. Закон синусов. Во всяком треугольнике стороны
пропорциональны синусам противолежащих углов
Отсюда
а
sin A
ж sin В ;
а
sin Л
а
с
' Ь
sin В
sin A
sin С
с
= ——^~
т. д.
• [90}
642а Закон косинусов: Во всяком треугольнике квадрат
стороны равен сумме" квадратов Двух других сторон минус
Решение косоугольных треугольников
445
удвоенное произведение этих сторон на косинус угла,
заключенного между ними.
1а* = Ь2-{-с*—2Ьс cosA
\ ь* =*& + <? — 2ас cos В
[309]
или
[310]
[ С2 = а2_(_^2_2аЬ cos С
£2_|_с2_а9
cosA=-
cos B-
COS С-
2 he
а"-^с--За
2 ас
аМ-62—с9
2аЬ
643. Решение косоугольных треугольников. При
решении косоугольных треугольников наиболее важным является
знание закона синусов (п° 641) и закона косинусов (п° 642).
Рекомендуется сперва вычертить треугольник по заданным
элементам и измерить его стороны и углы. Для многих задач,
встречающихся в инженерном деле, точность полученных при
этом способе результатов оказывается вполне достаточной.
Если же требуется большая точность, то применяют
логарифмические таблицы.
Часто при решении косоугольных треугольников бывает
удобно разбивать их на прямоугольные, применяя при этом
соотношение с2 = а2 -{- б2, а также обычные тригонометрические
формулы.
. Пример» Даны три стороны
косоугольного треугольника. Найти
его углы (рис. 304)!.
Имеем:
, А2 == 152 _ х2
Л2 = 1С* —(20-*)*,
отсюда
225 — ж« = 100 - 400 + 40дг - х\
40л: = 525,
л= 13,125,
13,125
*-i4te!BeT5"
*os С =
20 —лг 6,875
Рис. 304.
0,875; А = 28° 57',
= 0,6875;C*=46o34't
10 10
В = 180° - (А + С) = 180°- 75°31'
:104°29V
446
Решение треугольников
Косоугольный треугольник имеет 6 элементов: три
стороны и три угла. Из трех заданных элементов по крайней
мере один должен быть стороной треугольника, тогда
можно найти остальные три
элемента.
В зависимости от того, какие
элементы заданы и какие требуется
найти, рассмотрим следующие случаи:
644. Случай 1. Даны два угла
и одна сторона.
Условие. Сумма двух данных
. угдов должна быть меньше 180°.
Для решения, начертим, треугольник, а затем применим
закон синусов (рис. 305),
Рис. 305.
Данные
А В, а
Искомые
Ь
С
с
Формулы
, _ a sin-15
~~ sin>4
С = 180°-(Л + В)
a sin С о sin (A + В)
sin A sin A
Для проверки можно применить формулу:
с cos B-\-b cos С —а.
Площадь треугольника^
аЬ
sin
С-
a* sin
sin \
2 sin Л
Другой способ решения. Опустим перпендикуляр из
вершины на основание и решим два прямоугольных
треугольника (этот перпендикуляр не следует опускать на' заданную
сторону а).
Пример. С а у ч а й 1. Дано: Ь =* 6,362; А = 76° 13'; С = 35°17'. Найти
В =х 183° - {А + С) =180° -111° 30' = 68° 30'.
о sin С
__ Ь sin A
°~~ s\nB
1g*= 0,80359
ZsinA= 9,98731-
10,79090 -
\gslnB=* 9,96868-
-10
-10
-10
l*a= 0,82222
a =» 6,641
sin В
lg6= 0,80359
lgsinC=s 9,76164-10
10,56523-10
tesinB^ 9,96868-10
lgc=> 0,59655
c= 3,95
Случай 3 447
645. Случай 2. Даны две стороны и угол между шшнгл.
Обозначим большую сторону буквой а (а > Ь\
Применяя закон синусов и закон косинусов, имеем:
Данные
а, Ь, С
Сперва следует
найти меньший
Для проверки
формулу
о cos£f"-f-
Искомые
с
В
А
можно
Формулы
с= Ycfi + Ш — 2аЬ cos С
stnJ3 =
А = 180° - (В
применить
cos
Л = .
Другой способ решения. Опустим
перпендикуляр из вершины на
основание и решим два прямоугольных
треугольника (не следует опускать этот перпендикуляр из
вершины данного угла С).
Пример. Случай 2. Дано: а = 20,63; ^ = 12,55; С = 27°24'.
с = y> + 62-~2a&cosC= У(20.63)2 + (12,55)^— 2 • 20,63.12,55 • 0,8873 =
« /425.6 + 157,5 - 459,7"== 11,09,
sin В-
b sin С
]gb^= 1,09864
lgslnCj=_ 9,66295 - 10
10*76159 -10"
lgc^ 1,04571
lgsin5= 9,71588-10
£= 31° 19'.
4 = 180° — (31° 19' + 27° 24') = 121° 17'.
646. Случай З. Даны три стороны. Заметим, что
большая сторона должна быть меньше суммы двух других сторон.
Начертим треугольник и применим для нахождения
неизвестных элементов закон синусов и закон косинусов.
Формулы
№ + с2 — а*
2Ьс
6 sin A
с sin Л
Рис. 307.
Данные
о, Ь, с
Искомые
А
В
С
cos A —
sin В =
sinC =
448 Решение треугольников
Для проверки имеем
Л + Я + С-Ш)0.
Если требуется большая точность, то находим полупериметр
. т с__ а-гЬ \ с
л 2 '
а затем отыскиваем нужные элементы, как это показано ниже:
л _ Ц Если половина угла близка Если половина угла
*~ »f«e" к НУЛЮ| то применяем близка к 90°, то при-
формулу меняем формулу
а, Ь, с, А sm-y^j/ ^— cosT=|/ --£—
♦„Л l/(S-b)(S-c)
В «n-j—j/ ^ coi-y-j/
" В_ f(S-a)(S-c)
lg 2 - V 5(5—6)
r . С , /(5—a) (5-6) С ,/.
5(5— 6)
ac
5(5-r)
. С , /(5- a) (S-~ b)
tgT=l/ 5(5-c)
Для проверки имеем:
,4 + 5 + 0=180°., .
Площадь треугольника равна
VS(S—a)(S—b)(S—cj:
Пример. Случай 3. Дано: а = 10; Ь = 12; с=14. Найти Л, В и С,
со, Л ** + C* ~ ** ~ Ш + 196 ~ 10° --= 0 711
«0,84010,
= 0,98010,
Проверяем: Л -}- В + С в 180° 3'.
А~
5 =
С=*
= 44° 26'.
sin В —
57° 8'.
6 sin Л
a
.^ с sin Л
gin С = • =с
78° 29/.
a
12-
J4
0.70008 . ,
10 =t1
■>
•0,70038
10
Случай 4 44д
647. Случай 4. Даны две стороны и угол против одной
03 них. Заметим, что при некоторых соотношениях между
заданными элементами иногда треугольник построить вообще
невозможно, иногда можно построить два треугольника
иногда же один.
Начертим пробный треугольник,
если это окажется возможным. Затем
применим закон синусов.
Пусть даны:
Д а и 6. уУд
. „ Ъ sin A
sin а =
- а
Если sin£>l, то решение невозможно.
Если sin 5 = 1, то треугольник — прямоугольный.
Если sin В < 1, то возможны два решения: Вх и В%.
Действительно, угол В может быть острым или тупым
(дополнительным первого до 180°).
ВХ^А всегда будет меньше 180°.
j52-j-<4 может быть, а может и не быть меньше 180°.
Очевидно решение возможно лишь в первом случае.
Итак имеем:
Данные Искомые Формулы
l л в • о & sin Л
а, о, А В sin 5 = ,
Q С=18(Р-(Л + В),
b sin С
хВ
уа> + & __ 2аЬ cos С .
Для проверки имеем:
a cos В -f- Ь cos A = с.
Площадь треугольника = -~к~ ab sin С.
Пример /.Случай 4. Дано: А = 43° 26'; а = 4,75; Ъ = 18,6. Найти
с, В, С.
. D о sin 4
sin 5 = -
lg 6 = 1,26951
lg sin Л = 9,83728 —10
1,10679
lg a = 0,67669
lg sin В = 0,43010.
Это показывает, что sin В > 1, т. е. решение невозможно.
29 Справочник для инженера.
450 Решение треугольников
Пример 2. Дано: А = 43° 26'; а = 14,75; Ь = 18,6. Найти с, В и С.
6 sin Л
lg
sin 5 =
Ig* =
sini4 =
lga =
~V~" *
1,26951
9,83728-
11,10679 -
1Д6879
-10
-10
lgsinJ3 = 9,93800-10
Отсюда ясно, что sin£<l и что воамсяны два решения. Произведем
вычисления для В = 60° 6' и В= 119°54/.
Последний угол является дополнительным для 60° 6' до 180°.
В = 60°6'
С«= 180° - (А + В) = 180° -
— (43° 26' -f 60° 6') = 76° 28'
г sin С
sin Л
lga =
г sin С =
1,16879
9,98777 -
10
11,15656 -10
lgsin4 = 9,83728 —10
lgc = 1,31928
с = 20,86.
£' = 119° 54'
С = 180р - (43° 26' -f H9° 54') :
= 16° 40'
, a sin С'
с' = —-—-г—
sin Л
lga = 1,16S79
lgsinC7^ 9,45758-10
10,62637 — 10
Igsin^= 9,83728 — 10
lgc= 0,78909
c= 6Д53
648. Простое правило для определения, какую формулу
следует применить при решении данного треугольника.
Законом косинусов можно пользоваться * в тех случаях,
когда даны две стороны и угол между ними или три стороны,
а законом синусов—* во всех остальных случаях.
Для треугольников с тупыми углами можно пользоваться
обеими формулами.
649. Решение треугольников. При решении
треугольников для нахождения каждого неизвестного лучше
пользоваться заданными элементами, чем определять сначала один
элемент, а затем пользоваться полученным результатом для
нахождения других. Так например, если мы, вычислив одну
сторону, воспользуемся ею для нахождения другой, то всякая
погрешность, сделанная при первом вычислении, будет
влиять на результат последующего.
Необходимо выбирать такую функцию (синус или тангенс),
в выражение которой войдет искомый элемент и заданные
величины. Там, где это возможно, лучше всего помещать
неизвестное в числителе с целью избежать деления.
Полярные координаты 451
650. Тупые углы. Если при решении треугольника
выяснится, что косинус угла отрицательный, то угол — тупой.
Так например, если cos А = — 0,7660, то А — тупой угол,
а его дополнение А будет иметь косинус, равный -f- 0,7660.
Из таблиц найдем:
Л' = 40°
А = 180° — 40° = 140°.
Глава XXVI.
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ.
651. Полярные координаты. Положение точки на
плоскости можно определить не только прямоугольными
координатами х и #» но также посредством угла 9 и отрезка ОР,
отложенного на подвижной
стороне угла 6. Указанный
отрезок называется
радиусом-вектором и обычно обозначается
буквой р (рис. 309).
Радиус-вектор р и
векторный угол 0 называются
полярными координатами точки
Р (?у в), причем в скобках пишут
сначала радиус - вектор (см.
по 704).
Если векторный угол 6
образуется путем вращения в
направлении, противоположном
часовой стрелке, то он считается положительным. При
вращении же по часовой стрелке—отрицательным.
Радиус-вектор измеряется от полюса до заданной точки,
если р положителен, и от заданной точки до полюса, если
р отрицателен.
Так, точка Рг получена вращением подвижной стороны на
угол 6 и величина отрицательного радиуса-вектора
откладывается в обратном направлении на продолжение ОР.
Координаты точки Pf в последнем случае суть (— р, 6).
Точка г может быть также определена и координатами (р, б2),
как это показано на рис 309, где 62 = 84~180о.
Можно приобрести бумагу, на которой нанесена сетка. Бумага
с углами, указанными в градусах и радианах, весьма удобна для
изображения графиков функций, зависящих от величин углов.
29*
Рнс. 309.
452 Полярные координаты
652. Полярный график функции р = я cos 0 [311]. Если
отрезок а, лежащий на неподвижной стороне угла 6,
проектируется на подвижную сторону,
то длина проекции равна р.
Геометрическое место
точек Р при изменении угла В
является окружностью, ибо при
получении каждой проекции
\д образуется прямоугольный
треугольник с вершиной прямого
угла в Р и гипотенузой а.
Как известно из геометрии
(см. п° 540), в этом случае
кривая АРгО есть
полуокружность (рис. 310).
• Рис. 310. Для угла 02, лежащего во II
квадранте и имеющего
отрицательный косинус, отрезок р2 откладывается на продолжении
подвижной стороны, как это показано на рис. 310.
Угол при вершине Р2 также
прямой и при изменении 6
в пределах II квадранта точка
Р2 описывает полуокружность
ОР2А.
Если подвижная сторона
угла 6 поворачивается на 360°,
то окружность описывается
дважды.
Полярные координаты
обладают по сравнению с
прямоугольными тем преимуществом,
что отрезок ОР имеет и
величину и направление.
Такие отрезки называются
векторами.
653. Полярный график
функции p = asin6 [312]. Так Рис 311.
как p = asin6, то
радиус-вектор равняется стороне, лежащей против угла 9 в
прямоугольном треугольнике с гипотенузой а. Поэтому отрезок а
следует откладывать не на ОА, а на перпендикулярной к ней ОВ.
Проекция указанного отрезка на подвижн} ю сторону угла 9,
как это было доказано в предыдущем п°, является катетом
Соотнош. между полярн. и прямоуголън. координатами 453
Рис. 312,
например график
прямоугольного треугольника, у которого вершина прямого
угла лежит в Рг.
При переходе-угла 6 во II квадрант точка Р2 описывает
полуокружность ВР20.
В III и IV квадрантах sinQ отрицателен, так что р следует
откладывать на продолжении подвижной стороны.
654. Вращение
полярных графиков.
Так как пользование
полярными
графиками синусов и
косинусов весьма удобно,
то необходимо знать,
как следует
преобразовать график
Р = cos9, чтобы
получить • из него какой-нибудь другой,
р = cos (6 ±15°).
Начертим окружность, соответствующую уравнению
р = cos 6, и повернем ось на второй из углов, стоящих
в скобках, в направлении, указанном знаком (рис. 312).
Если же повернуть не ось, а самый график, то
направление вращения должно быть противоположно указанному знаком/
Полученное положение
окружности и будет выражать
графически функцию р = cos(6 ± 15°).
Как и ранее, мы начинаем
=** построение графика основной
I функции и избегаем возмож-
Л * ности ошибиться, принимая во
I внимание при вращении рей
знак, стоящий при постоянной.
Рис. 313. 655. Соотношение между
полярными и прямоугольными
координатами. Из рис. 313, где полярные координаты точки
Р суть (р, 6), а прямоугольные — (х, и у), имеем:
[313]
[314]
х = р cos6
у = р sinG.
Пользуясь этими формулами, можно преобразовать любое
уравнение, заданное в прямоугольных координатах, в
уравнение, выражающее ту же функцию в полярной системе.
с
454 Полярные координаты
#
Так например, уравнение прямой линии # = 5 принимает
р cos 6 = 5.
2дг+у = 4
2р cos 6-f-p sin 6 = 4.
вид
Уравнение
обращается в
Уравнение окружности х2-\-у2 = а* после преобразования
обращается в такое:
p2Cos26-f р2 sin2 6 = а*
или
р2 (cos2e-f-sin26) = aS
откуда
р2 = а2 или р_ а%
Для перехода от полярных координат к прямоугольным
имеем следующие формулы:
[315] А-^Х
[316]
Из формулы 1.315] можем получить следующие
соотношения, удобные в практических приложениях:
6 = arctg
л
1_L\
/^
Л>/
L Av
Г ^/
/ '
/ i
/^а i
•к-Н-
pj-
V
• = arc cos
Vx*+ff*
= arc sin
У
V*+y*
tge
_JL
sin'
У
X
и cos9 =
/*2+02'
656. График функции p = a cos 6-}- 6 sin 9 [317]. Предпо
ложим, что мы имеем прямоугольник со сторонами а и Ь,
изображенный на рис. 314. Опишем вокруг него окружность.
График функции p = acos6 -f" Ьsin6 455
Диагональ прямоугольника будет являться диаметром
окружности и равна
Очевидно, радиус окружности будет равняться
— Ya*+b*.
Уравнение окружности в прямоугольных координатах,
начало которых расположено в нижней левой вершине
прямоугольника, будет иметь вид
Раскрывая в полученном уравнении скобки, имеем:
Приводя подобные члены и сокращая, получим:
х*-\-у*=-ах-\-Ьу.-
Выразим теперь это уравнение в полярных координатах»
Для этого вспомним, что
*2 + #2 = Р2; лг^рсозб, y = psin6.
Тогда
р2 — ap cos 0 -f- 6p sin 6.
Разделив на р, имеем:
p = acosf)-|-&sin6
или
р= Va* + b* I г а —cos9+ г * ==> sin 6 У
Положим теперь
а .. Ь
a = arc cosrv =F^ — arc sm ^r . , "»
Va* + b* ]/V + 62
тогда найдем из предыдущего
р = у a2-f-62 (cos a cos 9 + sin a sin 6) = Va*-{-b* cos (б — a).
Это уравнение, как уже было доказано в п° 654, выра
жает окружность р — V a2+62 cos9, повернутую на угол <х.
456
Полярные координаты
Таким образом график функции'
р = a cos 8 -J- b sin 6
есть окружность радиуса i^V a2m-{-b2 ,
прямоугольника со сторонами а и Ь.
Если р' есть р&диус-вектор кривой a cos 6, a ft
вектор кривой Ъ sin в, то
График (с) на рис. 315 получен посредством сложения
соответствующих радиусов-векторов из графиков (а) и (6)
b sm н
описанная вокруг
радиус-
Пользуясь циркулем, можно сложить два или несколько
радиусов-векторов и получить таким образом точки искомого
графика.
657. Элемент времени в полярных графиках синуса и
косинуса. Полярные координаты весьма полезны при изучении
графиков? синуса и косинуса,
рассмотренных в п° 614 и следующих.
Их можно с удобством применять
для изучения вращательного
движения.
В настоящем п° рассмотрим
только график синуса.
Пусть о) — угол в радианах,
описанный подвижной стороной
(например кривошипом или
арматурой электродвигателя) в 1 сек.
> при равномерном вращении.
Через t сек. эта сторона повернется на угол 6 = ®t
радианов, следовательно
Р = a sin <*tf f рис. 316).
Элемент времени в полярных графиках 457 .
658. Если угловая скорость равна 0,6981 радианов в
секунду, то
p = asin (0,69810,
причем а представляет собой длину кривошипа.
Период графика равен числу секунд, нужному для
одного оборота.
На рис. 317 показан график вращательного движения,
имеющего период 10 сек. Это значит, что один оборот
совершается в течение 10 сек.
В случае очень быстрого вращения приходится строить
графики для весьма малых промежутков времени, например
десятых и даже сотых частей секунды (см. п° 614, где для
этой же цели применены прямоугольные координаты).
Рис. 317. Рис. 318.
Если измерять углы не от горизонтальной оси, а от какой-
нибудь другой, лежащей под некоторым углом к горизонтали,
тогда
р —asin (art — с),
и наш график примет вид, показанный на рис 318.
Следует помнить, что полярные координаты суть не (р, I),
а (р, 6), где 6 = <о/.
Так например, выражение
p = asin (0,6981/)
Рис. 319. р = а sin (<*>t -f с).
Рис. 320. р = а sin-(wt — с).
L-сЛа
Рис. 321. р = — а sin (mt -f о Рис. S22. р = —а sin (<of — с).
V /
Рис. 323. р = а cos (а>* + с). Рис. 324. р = а cos (а* ~~ с).
Рис. 325. о = — а cos (u>* + с). Рис. 326. р = — а cos (t»f — с).
Сложение векторов 459
совсем не уравнение в полярных координатах, но
|p = asin (0,6981/)
{ 6 = 0,6981/
является парой полярных уравнений в параметрической
форме.
Можно вычертить кривую p = sin art, употребляя вместо
координаты 6 — время t, так же как это мы делали с х в
случае прямоугольных координат, однако это даст нам не
окружность, а более сложные кривые.
659. Полярные графики функций синуса я ксНсинуса
рис. 319 — 326).
Глава XXVIL
ВЕКТОРЫ, МНИМЫЕ И КОМПЛЕКСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.
Векторы.
660. Вектором называется отрезок прямой, имеющий
определенное направление. Если какое-нибудь количество
обладает последним свойством (т. е. определенностью
направления), то вектор может служить весьма удобным средством
для графического изображения этого количества.
Выражение, представляемое вектором, должно обладать
как величиной, так и направлением, так что длина вектора
характеризует величину, а направление его соответствует
направлению данного количества.
Два вектора равны между собой, если они имеют
одинаковую величину и направление. Из каждой точки, принятой
за начальную, на данной плоскости можно провести вектор,
равный другому, лежащему в той же плоскости.
661. Сложение векторов. Если имеется два вектора АВ
и ВС (рис. 327а), то первый из них можно рассматривать
как символ, изображающий движение от точки А к точке В,
а второй — от В к С. В результате этих движений
получается перемещение тела из Л в С
Сумма векторов АВ и ВС есть вектор суммы АС, иначе
говоря
АВ + ВС = АС.
460 Векторы, мнимые и комплексные величины
Сумма двух указанных векторов есть вектор,
соединяющий начало первого с концом второго (предполагая, что
начало второго вектора совпадает с концом первого).
Если два вектора имеют общее начало, то их сумму
можно представить в виде диагонали параллелограмма, сторонами
которого являются эти векторы (рис. 327Ь).
Рис. 327а.
Рис. 327Ь.
Проекции вектора на координатные оси называются его
составляющими или компонентами. Так, на рис. 328 .МгМ2
есть горизонтальная составляющая вектора ABf a- NXN2 —
вертикальная.
Таким образом
вектор АВ = вектору•М1М2-}-вектор Л/^Л^.
Если все векторы параллельны, то результирующий
вектор по величине равен алгебраической сумме их длин и имеет
одинаковое с ними направление.»
N,
/V,
В
Рис. 328.
М9
Рис. 329.
Векторы, не параллельные между собой, как например АО
и ОВ на рис. 329, также могут быть сложены. Для этого
конец одного вектора, безразлично которого, совмещается
Сложение векторов ч ^461
первого
с началом второго. Вектор, соединяющий начало
с концом второго, представляет собой их сумму.
Первый вектор характеризует перемещение из точки О
в точку А,. второй — из точки А в В. В результате
получается перемещение из О в В, которое и выражается одним
вектором ОВ.
Пример 7. Рассмотрим движение лодки, пересекающей реку, скорость
течения которой равна 3 км/час. Лодка может пройти в спокойной воде
4 км/час.
Пусть АВ -г направление скорости лодки (рис. 330); ВС—направление
скорости течения. Через 15 минут после начала движения, если бы" оно
происходило в спокойной воде, лодка
пришла бы в точку D. Но так как за это время
течение отнесло ее на расстояние DE, то
положение лодки в конце указанного
промежутка времени определится точкой Е,
3
причем длина DE = -j- км.
Через 30 минут после отправления,
лодка прошла бы в спокойной воде 2 км,4
но течение снесло ее на расстояние 1х/2 км-
Таким образом конечное положение
определится точкой С
Проследив за движением лодки до конца
ее пути, видим, что направление его
определяется линией АС.
Так как изображенные на рисунке
отрезки являются векторами скорости, то
вектор АС характеризует по величине и
направлению скорость лодки по отношению
к наблюдателю, стоящему на берегу.
Решая задачу аналитически, получим:
ЛС= V & + $2 = 5 км/час.
Пример 2. Велосипедист движется на сев?р со скоростью 15 км/час.
Ветер дует с северо-запада и имеет скорость 10 км/час. Чему равна его
скорость по отношению к велосипедисту?
Движение со скоростью 15 км/час при отсутствии ветра
создает эффект ветра со скоростью 15 км\час.
' Добавляя сюда скорость ветра, дующего с
северо-запада, равную 10 км/час, найдем результирующую скорость
23,2 км/час.
Пример 3. Цапфа кривошипа паровой машины движется
со скоростью 3 м/сек. Какую скорость имеет ползун, если
в рассматриваемый момент кривошип образует с горизонталью
угол 45°?
Длина кривошипа — 30 см, длина шатуна — 1,2 м.
Нарисуем схему механизма (рис. 332} и проведем в точке
В касательную ВС к окружности. Отложим на этой
касательной отрезок длиной в 3 единицы. Далее проведем прямую BE,
перпендикулярную к АВ. Отрезок BE будет изображать скорость
Рис. 330.
462 Векторы, мнимые и комплексные величины
вращения точки В вокруг А, которая не влияет на скорость пол*
ауна.
Проводя CD параллельно BE и горизонтальную прямую BD, найдем
точку D пересечения этих линий. Отрезок BD выражает по величине и
направлению скорость
ползуна.
Пример 4,
Рассмотрим колесо радиуса г,
катящееся с угловой
скоростью о>; скорость
движения центра положим
равной vj.
Скорость любой
точки обода по отношению
к центру равна го> = v±.
Абсолютная скорость
любой точки есть век-
по отношению к центру и абсолютной скорости са-
Рис. 332,
тор суммы скорости
мого центра, как это показано на
Для нахождения е ели чины и
правления скорости точки В»ъ
положении, указанном на рисунке,
начертим В А = vt параллельно г/j (т. е.
горизонтально), и скорость гш,
касательную к окружности в точке В»
Замыкая треугольник, получим вектор К,
изображающий искомую абсолютную
скорость точки В.
Очевидно, v перпендикулярна
к ВС, так как В и С находятся на
колесе, которое является твердым
телом *).
Скорость точки С равна нулю.
рис. 333 для точки В,
на-
А
>-*-
*&L — — — —
^
•
Ву^^
/ N \
f \ \
_t \. ин>
1 к к
\ х
\ V
\ \
N. \
^^_\
к с
0
V
riO
Мнимые и комплексные величины.
662. Если такое уравнение как лс2 —{— 1 == 0 вообще имеет
решение, то должно существовать число, квадрат которого
*) Перпендикулярность вектора скорости к направлению ВС вытекает
из следующих соображений.
Угол при вершине А в параллелограмме скоростей равняется углу
ВОС, Действительно, линия АВ перпендикулярна к ОС и направление
скорости гш перпендикулярно к ВО, Так как стороны углов взаимно
перпендикулярны, то углы равны. Сравнивая Д ВСО с треугольниками,
образующими параллелограмм скоростей, видно, что угол между направлением
скоростей v и го) равен углу ОВС,
Угол между направлением скорости гь> и ВО прямой.
Из отмеченного только что равенства углов следует, что направление
скорости v перпендикулярно к ВС,
Прим, ред.
График мнимой единицы 463
равен (— 1). Обозначим это число буквой г, тогда по
определению имеем:
?=— 1.
г Предположим9 что это число / может- входить наравне
с другими числами в алгебраические выражения и что над
ним можно производить обычные алгебраические действия
(т. е. сложение, вычитание и т. д.).
663. График мнимой единицы. Если мы желаем
изобразить графически положительную величину а, то можем
отложить на линии ОА (рис. 334) соответствующий отрезок вправо
от точки О, т. е. в положительном направлении.
Умножая а на (— 1), получим q
(— а). Эту величину придется ; ; \А
отложить налево от точки О, н~а-(-П=-в-*+* а -*^
т. е. в отрицательном направ- рис 334.
лении.
Таким образом, умножение числа а на ( — 1) в
геометрическом смысле равносильно вращению отрезка,
изображающего эту величину, на два прямых угла, вокруг точки О.
Величина (— а) изображается отрезком, равным отрезку а,
но направленным в другую
сторону от точки О.
jB Как было сказано ррнее, i
есть число, квадрат которого
а/ = afl равен (—1):
аДго£7£и-а
J P=-l,
0\а = аЯЯЯ)П
следовательно наши предыду-
tz/3»a\FTV4lP?*-a/ щие Действия свелись к
умножению а на Р или i • и
Умножение а на i равно-
Рис. 335. сильно действию, которое,
будучи повторено дважды,
соответствует повороту вокруг точки О на два прямых угла.
Иначе говоря, умножение на i геометрически равносильно по
вороту на один прямой угол.
В таком случае величину ai естественно изобразить
отрезком ОВ9 равным по величине ОА, но образующим с
последним угол 90° (рис. 335).
Точно также при умножении а на / • i • / угол поворота
равен трем прямым, так как / • / • i—p==z —L
464 Векторы, мнимые U комплексные величины
Умножение на /•/•/•/ = /4 = г2 • Р = 1 можно представить
себе как вращение на четыре прямых угла, т. е. возврат
в исходное положение.
Из сказанного видно, что все четные степени / равны
( + 1) или (—1), а нечетные — (+0 и ( — *7-
Так как ( — 0 означает i; (— 1), то (— г)2 = ( — I)2/2 =
= !.(-«•
Следовательно имеем еще одно число (— г), квадрат
которого равен (— 1).
Если мы отметим, что знак У —1 выражает
определенный квадратный корень из (— 1), и назовем его /, то
— V—1 или (— /) выражает другой квадратный корень *
из (-1).
Величина / называется мнимой единицещ а величина аг—
мнимым числом, причем а — число действительное, отличное
от нуля.
Выражение а-\-Ы называется комплексным количеством,
причем в нем а и Ь суть любые действительные числа.
664. Сложение и вычитание мнимых количеств. Из
предыдущего п° следует, что
0-1 = 0
1 • г = /
i+i = 2/
I + / + /+ . . . +г(п членов) = ni (1)
. zt/zr^ = ±y-^rf^iy = ±yi& . \Г^ь =
= =teV=T" = ±ei (2)
ш + 4/ = (а + 41 /. (3)
665. Формула (1) n° 664 показывает, чему равно
произведение действительного числа на Мнимое
У:=ГГ ■ У=Т =i.i=p= — 1,
отсюда
Y~ZTa . yZTb=VT • V~b~i • /= V~ab - (—1)-= — V"ab-
Правило. Произведение двух мнимых колич ств с
одинаковыми знаками перед радикалами есть действительное
Значение комплексных количеств 465
отрицательное количество. Произведение мнимых величин
с разными знаками есть количество положительное.
При действиях над мнимыми количествами выражения
вида V —а всегда следует писать в виде У а • /. Причины
этого ясны из следующего примера:
jrp^r _ уы _^f~*
уы
ббб. Значение комплексных количеств* Всякое
действительное число или выражение, содержащее только
действительные числа, можно рассматривать как определяющее
некоторую точку на линии.
Пусть имеем выражение 5-f 3 и точку О на прямой ОВ,
соответствующую нулю. '
Отрезок О А содержит 5 единиц, отрезок АВ— 3 единицы
(рис. 336):
ОЛ+Л5 = 05 = 5 + 3.
Таким образом ОВ есть графическое изображение
величин 5 + 3.
Аналогичными рассуждениями можно убедиться в том, что
выражение вида а 4~ Ы9 называемое комплексным
количеством, может также
рассматриваться как определяющее точку
на плоскости.
Действительная часть
комплексного выражения измеряет-
0-
А
В
■н
Рис. 336.
1
Рис. 337.
ся отрезком на горизонтальной прямой, а мнимую следует
отложить* на вертикальной оси (см. п° 663). Так например,
точка Р (рис 337), соответствующая выражению a-]-W,
имеет абсциссу а и ординату Ь.
Соответственно этому указанные оси носят название оси
действительных: чисел и оси мнимых *чисел.
Расстояние ОР называется мод]льм числа а-\-Ы% и как
это легко доказать, равно У а?-\-Ь2.
30 Справочник для инженера.
466 Векторы, мнимые и комплексные величины
667. Комплексные количества часто получаются в
качестве корней уравнений степени выше первой и введение их
в математику сделало возможным решение
таких уравнений.
Положим, имеется квадратное уравнение
л:2— 8*+18 = 0,
Ц имеющее корни ,
л: = 4+1,41 ТЛ^Т
л: = 4 — 1,41 У — 1 .
Если построить график данного уравнения, то увидим, что
кривая не пересечет оси X и уравнение не имеет
действительных корней (рис. 338).
При решении квадратных уравнений с отрицательным
дискриминантом следует разлагать их корни на действительные
числа и мнимые, соединенные между собой знаком плюс
или минус.
668. Векторное изображение. Если изобразить величину
а горизонтальным отрезком (отложенным направо от нуля,
если а — положительно, и налево, если а—отрицательно),
а мнимое число Ы—вертикальным отрезком (вверх, если
Ь — положительно и вниз, если оно отрицательно), то это
дает возможность представлять комплексные количества
в виде отрезков, имеющих направления на плоскости*
669. Комплексное количество
x-\-yi. Если х—действительное J
число, a gi— мнимое, то Ъектор ОР
выражает сумму этих двух
составляющих. . ■
Обратно, всякое выражение вида I
—1— 7.1 f Г\Г1ГН* я А Я OAT tf АКТкФГкПКТЙ ТМ*КТГ\Г\ J *
01
х +У* определяет некоторый вектор
на- плоскости.
Если начало такого вектора ле
жит в точке О, т. е. в начале коорди- Рис. 339.
нат, то конец его есть точка (дг, д).
Поэтому мы можем выразить положение точки на
плоскости посредством комплексного количества, иначе говоря,
выражение x-\-gi определяет точку, координаты которой
суть х и д (рис. 339).
Такое представление выражения x-\-gi совпадает с уже
описанным в п° 666.
Сопряженные комплексные количества
467
Пример сложения. Представить в виде векторов выражения 2-1-2/
и 1 + 6/, а также найти их сумму.
Вектор О А изображает комплексное количество 2 + 2/ (рис. 340).
Вектор ОВ изображает комплексное количество 1 + 6/.
Сумма этих векторов есть вектор ОС.
Пример вычитания (рис. 341). Найти вектор, изображающий
выражение (1 +1) - (2 - 3i).
Так как вычитаемое плюс разность равно уменьшаемому, то здесь
можно поступать по предыдущему, считая вектор (2 — 3/) и искомый —
сторонами параллелограмма» а вектор (1 +1) — диагональю.
Рис. 340.
Рис. 341.
Так как комплексное число определяло, в приведенных
примерах, конец вектора, т.е. определенную точку, то два
комплексных выражения равны между собой только в том
случае, если они соответствуют одной и той же точке, а это
возможно лишь в том случае, если их действительные и
мнимые части соответственно равны, т. е. обе абсциссы и обе
ординаты раБны между собой.
Кроме того, если x-\-yz = 0, то д: = 0 иу = 0.
670. Сопряженные комплексные количества. Два
комплексные количества называются сопряженными, если они
различаются только знаками, стоящими перед членами,
содержащими и
Сумма и произведение сопряженных количеств есть
действительное количество.
В самом деле,
(х+У*) + (х — yi) = x^si+x— уг = 2х
(х -f yi) (x—yi) = x* -у2 P = л2 +#2.
30«
468 Векторы, мнимые и комплексные величины
Произведение двух сопряженных количеств всегда
положительно и представляет собой сумму двух квадратов.
Сумма, произведение или частное двух комплексных вы?
ражений всегда представляет собой также комплексное
выражение, имеющее вид а-\-Ы1).
Пример*
(х + yi) + (u + vt) = x + u + (g + v)i
(х + yi) (и + vi) = (хи — yv) -f (xv + yu)i.
671. Если комплексное количество равно нулю, то его
действительная и мнимая части порознь равны нулю.
Если же два комплексных количества равны между собой,
то мнимые и действительные части их соответственно равны.
Пример* Если х -|- yi = и + vi, то х = и, у = v.
Действия над комплексными выражениями производятся по тем же
алгебраическим правилам, что и над действительными.
672. Умножение комплексных количеств. Умножение
Производится по тем же правилам алгебры, что и умножение
действительных чисел.
C*i + iff г) (*2+4fo) = *i*2 + '#1*2 + 4fe«i ~f РУ1У2 =
= С*1*2 — У1У2) + {*\У j + x&Jl
673. Деление комплексных количеств. Выражение
х\ + #i' ^
— I . может быть упрощено путем умножения числителя
х2 Т" У21
и знаменателя на х%—#2/, сопряженное со знаменателем.
*) Интересно отметить, что при замене комплексных количеств, над
которыми производятся определенные действия, сопряженными результат
заменяется сопряженным числом
Это видно из равенств
; + Ы) ±. (с,+ di) = a =fc с + {Ъ ± d) i
Ы) zt(c — di) = a±:c — (b2:d) i
((a + bi) (c+di) = ab-bd+(ad+be)i
' ( (а — bi) (с — di) = ас - bd — (ad+ be) i
о j a -)- 6/ ac-j- bd . be — ad - .
a~bi ^ ac-\- bd be — ad
c—di ~~ c2 + d* C2 — J2
В первых равенствах сопоставлены результаты действия сложения или
вычитания, произзеденные над комплексными количествами и затем над
величинами, с ними сопряженными.
В равенствах вторых и третьих сопоставлены результаты умножения и
деления. Прим. р ед.
Ч!::
Комплексные выражения в полярных координатах 469
Этим последний обращается в действительное количество.
*i -г Щг _ XjX2 + Щ\ у2 — *Х\Уо — 1*У\У<> _
*2+*>2
Ы2+Ы2
С^ + Ы*
х1у2 — х2у1
(^2)2 + Ы2 '
Р(х + 'У)
Рис. 342.
674. Комплексные выражения в полярных координатах.
Точка Р (*, #) в прямоугольных координатах с началом в О
выражает комплексное количество
x-Jrii/.
Если обозначить полярные
координаты точки Р через (р, 6), где р ^ 0, и
принять за начало координат точку О,
а ОХ—за полярную ось, то
лг == р cos 6, у = р sin 9 —
или
[318] *+#* = p (cos 6 -f-1 sin 6),
где р^О.
Выражение, стоящее в последнем уравнении с правой
стороны от знака равенства, называется тригонометрической или
полярной формой комплексного количества. Угол 6
называется аргументом или амплитудой, а
>—модулем или абсолютной
величиям +/21/31} ной комплексного выражения.
Пример, Найти аргумент, абсолютную
величину и выразить в полярной форме
выражение 2^1.2/3".
Сравнивая данные с общей формой
комплексного выражения х -f- iy% видим, что здесь
поэтому
Р = Y*?+g* = ft+12 = 4.
УЗ , т. е. О = 60°.
Таким образом заданное выражение примет в полярной форме
следующий вид (рис. 343):
4 (cos60°-f/*1п60%
470 Векторы, мнимые и комплексные величины
675. Выражение р (cos в +1 sin 0) в полярных * координатах
представляет собой комплексное количество в зависимости
от его модуля и амплитуды.
Множитель (cos Ь -J-/sin 6), зависящий только от 6, указывает
на величину поворота по отношению к оси X отрезка, длина
которого равна единице, и называется версором или степенью
вращения 6. (Версор часто сокращенно обозначают
символом cis Q.)
Множитель р называется тензором.
Тензор указывает на то, что отрезок, длина которого
равна единице, должен быть увеличен в р раз.
В результате поворота единичного вектора и умножения
его на р точка Р приводится в положение, определяемое
радиусом-вектором р и углом 6, который образует р с полярной
осью.
Из сказанного видно, что выражение
(cos 6 -|-i sin 0)
есть просто более общая форма числа и Действительно, i
соответствует * повороту отрезка длиной в единицу на прямой
угол, a (cos 6-j-1 sin Ь) — на угол 0. Если угол 6 равен 90°, то
версор обращается в и
Так как
з-М4-?'•)•■
то точка, определяемая выражением 3—4i, может быть
найдена вращением единичного отрезка на угол
в = arc sinl ц- J =r= arc cos
и увеличением единичного вектора в 5 раз.
676. Умножение комплексных количеств, заданных
в полярной форме. Если два комплексных выражения за*
даны в полярной форме
*i + iffi = Pi (cos 6X + /sin 6X)
*2 + W2 = ?2 (COS 6fi + * sin вз)>
то, перемножая члены, стоящие в правых частях, получим:
Pi P2 tcos *i cos 62 -[- i (sin 0X cos 62 -f- cos 6г sin %) — sin 6, sin 62] =
= Pi H [(cos^ -f 62) + / sin (б! +\)] (см. формулы [ЗОб] и [308]).
4)
Умножение комплексных количеств
471
Поэтому абсолютная величина произведения двух
комплексных количеств равна произведению абсолютных
величин сомножителей, а угол поворота равен сумме их углов
поворота.
Пример. Найти произведение (1 + 0 & +' V 3 ). Приводя к полярной
форме (см. п° 674), имеем:
V 2 (cos 45° + / sin 45°). 2 У 3 (cos 30° + / sin 30°).
Отсюда
е1==45°, е2 = зо°, Р!=У"2, р2 = 2/з:(
Следовательно искомое произведение равно
21/б~(сов 75° +/sin75°).
Умножение показано графически на фиг. 345 в прямоугольных
координатах, причем
/\ выражает 1 + '
И2 выражает
/>8 выражает (1 + 0(3 + * УТ) » (3- >(3) + Ц 3 + VT) ==
= (3 -1,73) + * (3 +1,73) = 1,27 + 4,73 /.
Итак, в прямоугольных координатах
х +у*=* 1,27 + 4,73 i. •
JJ2* Векторы, мнимые и комплексные величины
В полярныж же координатах
Р (cos 6 + i sin 6) « 2 У б~(со8 75° + / sin 75°) = 4,898.0,2588 -f
+1 • 4,398 • 0,9659 =^ 1,27 + 4,73 /.
Совпадение результатов показывает правильность применения обоих
способов.
677. Деление комплексных,количеств, выраженных в
полярной форме. Если нужно разделить одно комплексное
количество на другое, то, выразив их в полярной форме, находим:
p^cosflf-f-g'sinfli) _ px (cos 61 -\- /sin QjXcos 62— / sin 08) _
р2(cos 62 -J- /sin G2)- p2 (cos %-)-/ sin 03)(cos62— /sin %)
_ Pilcost^-e^ + Zsin^-b2)] _ Pl
# ~ ft(cos»et + «n«ee) "£" [C0S (Ql - fJ2)+
Поэтому абсолютная величина частного двух комплекс*
ных выражений равна частному их абсолютных величин,
а угол поворота частного равен разности углов поворота
делимого и делителя.
Пример» Найти аналитически и графически частное'
3 + iVT
l + i в
Инеем:
3+/УТ з + iVT l ~ / _ (з + УТ) -1(3'- у?) _
1+< __ 1+' l~i 2 ' -
_ З+'УТ . 3~УУ 3 + 1,732 3 — 1,732 , __
— 2 '2 2 2 '~
«2,366 — 0,634/.
Переписывая полученное выражение в полярной форме, получим:
Р1 = Узз-куз> =2Уз7
Р2=УТ2+Т2 = УТ
* А У* г й
"^"у? T-e'6l=:
= 30°; ^02 = ^ = 1, т. е.62 = 45*
Р2 У 2
&!-=-&* «30°-45° = 15°,
Теорема Моавра 473
следовательно
Ъ\+.Ъ = 2,45 [cos (—15°) + / sin ( —15°)] = 2,45 • 0,9659 -
— 2,45 .0,2588 / = 2,366 — 0,634/,
что подтверждает правильность полученного выше результата.
Графическое решение показано на рис. 346, где
Pi соответствует выражению 3 -|- / у 3,
Р2 соответствует 1 + h
Р3 соответствует частному —~~р .
678. Теорема Иоавра. По теореме Моавра
[319] (cos О -j- / sin Ь)п = cos n 6 -f- / sin n 6,
где п может быть любым положительным, отрицательным,
целым или дробным числом.
Согласно теореме, доказанной в п° 676 относительно
произведения двух комплексных количеств, можем утверждать,
что
1) абсолютная величина произведения какого угодно числа
комплексных количеств равна произведению абсолютных
величин этих количеств;
2) угол поворота произведения какого угодно числа
комплексных количеств равен сумме углов поворота сомножите*
лей.
Отсюда
[р (cos 6 + / sin в)]* = рп (cos п 6 -f i sin n 6).
Полагая p = 1, найдем
(cos 6 +" * sin .G)w — cos n 6-}-/sin n 0,
что и выражает теорему Моавра,
Точно также
(cos 0-j-/sin в)"" =cos(—6)-f-/sin (— 9)
(cos 9 -f- i sin О/"* = cos( — p в) -f- / sin ( — pft)
(cos64-/sin9) ==cos( —J +'sin-/—J
474 Векторы, мнимые и комплексные величины
р
Наиболее общая формулировка задачи извлечения корня
n-ой степени из выражения z = p(cos0-)-/sin6), будет:
п значений для к, а именно & = 0, 1, 2, 3, 4, . . . (п — 1),
дает л значений для zn*
Других значений у корня быть не может.
1) Относительно дробных значений п следует иметь в виду, что
выражение (cos 6 -f- / sin 6)n имеет несколько значений, одно из которых стоит
в правой части равен ства (319).
Формула Моавра для отрицательных и дробных значений выводится
следующим образом: (cos 6 +' sin 6) ~ = ft , . . л = cos 6 — / sin 0 =
J * г х ' cos о -j-1 sin 0
= cos( — 6)-|-isin( — 6)
(cos6-Heine)-' ^{(cose + isinG)-1^ =[cos( —e)-f./sin(-6)F «
= cos ( — p 6) + i sin ( — p 6),
Из равенства
/A A \£
( cos —' -f- i sin — J '= cos 6 -j- / sin 0 % . (*)
следует, что jl
/ A_L • • ft\ « 6 . . . 6
(cos и -j- i sm o) = cos f- / sin —.
Я Я
Однако, нужно иметь в виду, что на ряду с равенством (*) имеет место
равенство / 6 + 2bt, . . b + 2kn\q . „ , . . ft ,w
( cos • f- , sm ! 1 = COS 0 + I Sin 0, (**)
\ я я J
где Jt—любое целое число.
Из равенства (**) видно, что
i_
(cos 6 + i sin 0) = cos —! +isin~J-
Я Я
Корень q-on степени комплексного числа имеет несколько значений.
Число этих различных значений равно показателю корня q.
Комплексное количество
-£- \Р ' / А А\Р
(cosO-WsinO)* =»|(cos6 + /sin^ffl =(cos- + isin-j =
= cos - (- / sin -£-~.
q q
Относительно поеледнего равенства надо иметь в виду ту же оговорку,
что и относительно равенства (*). Прим. ред.
Приложения теоремы Моавра в тригонометрии 475
Пример. Найти корень 5-й степени из (2 -|- 2/).
Имеем:
(2 + 2i)» 2 V 2 [ cos (45° + * • 360°) + / sin (45° + к - 360°)]
,JL ±
(2 + 20 & = (2 У"2) б [cos (9° + Ь. 72°) + / sin (9 + к - 72°)].
Для & = 0, 1, 2, 3, 4, получим 5 значений корня:
(2 /2)6 (cos 9° + /sin 9°)
j_
(2/2) 5(cos81° +/sin81°)
j_
(2 У2) 5 (cos 153° + i sin 153°).
(2 У*2) б (cos 225° + i sih 225°)
JL
(2 /2) б (cos 297° 4- / sin 297°)
Все эти 5 корней—неодинаковы. Величины их можно найти, пользуясь
таблицами натуральных тригонометрических величин.
679. Приложения теоремы Моавра в тригонометрии.
Случай 1-. Пусть требуется выразить совлб и sin л 0 через
cos в и sin 9, причем л — целое положительное число.
По теореме Моавра имеем:
cos л 6 -j- /sin л 6 = (cos 6 -f^ * s*n *0W ^ c°sW G +
+ n/C0S^16sin6+y=yz2.C0Sn"26sin2e+ ...
Отбирая действительные и мнимые . члены уравнения, по*
лучим искомые выражения.
Пример. Выразить cos (6 6) и sin (6 6) через cos 6 н sin 6.
Имеем:
cos 6 0 -|- ' sln 6 6 = (cos 0 + i sin G)e = cos6 0 + 61 cos5 0 sin 0 -f"
+ ( — 15)cqs40sin20 + ( — 2O)/coss0sin30 + 15cos20sih40 +
+ 6/cos0sin50~sin60.
Объединяя действительные члены, получаем
cos 6 0 = cos» 0 — 15 cos* 0 sin2 0 +15 cos* 0 sin4 0 — sin6 0.
Объединяя мнимые члены, после деления на / получим:
sin 6 0 = 6 cos5 0 sin 0 — 20 cos8 0 sin8 0+6 cos 0 sin5 0.
Случай 2. Пусть требуется выразить cos* 6 и sinn6
через синусы и косинусы кратных 6 углов.
476 Векторы^ мнимые и комплексные величины
Полагая u = cos0~f-/sinO, получим:
и = cos£0-j- isinkb
Складывая и вычитая полученные выражения, находим:
нв+н~~ = 2 cos к 6
и — и~ =2 /sin & О,
где Z: — любое целое число.
Если А: = 1, то
2 cos 9 = и-|~-и~
2/sin 0 = и— и ~ ,
следовательно
cos 6 = (u -f- u ) = и -f-пи -j —-— и + . . .
• • • j- rnz y -f- и
Коэффициенты членов разложения попарно равны, а
потому могут быть сгруппированы таким образом:
2П Мл / ^ | — ?К | ( п~~2 | — (П — 2К !
cos 0=(и +м ) + п(и -[- u v ) + •...
Члены, заключенные в скобках, соответственно равны
следующим выражениям:
2 cos п 6 , 2 cos (п — 2) 0 . . . и т. д.
Пример, Выразить cos4 6 через косинусы углов, кратных 6.
Имеем:
2^.cos46 = (и + а-1)* = и4 + 4«2 + 6 +4ц-2+«"4 = иЧ и~4 +
+ 4 («а + м~2) + 6 = 2 cos 4 б + 4 • 2 • cos 2 6 + 6.
Деля обе части уравнения на 24, найдем:
cos4 6 = -1 (cos 4 6 + 4 cos 2 6 + 3).
Пример. Выразить sin5 6 через синусы углов кратных 6.
Имеем:
или
32/ sin5 0 = и5 - 5м* + Юа — Юи"-1 + 5и~3 - и~* »
= (и5 - м-5) - 5 («в — и-8) + 10(и - и~*) =
« 2/ sin 5 § — 5 • 2/ sin 3 б + 10 И sin б,
откуда ■
sin5 9 « -jg- (sin 5 6 — 5 sin 3 6 -f- 10 sin ф.
Разложение в ряд посредством теоремы Моавра 477
680. Разложение в ряд sin n Ь и cos n 6 посредством
теоремы Моавра и формулы биаома.
cos n 0 -]- /sin n 6 = (cos 0 -j- / sin 0)n ==
ф
= cos 0 -р ш cos 0 sin 9 — —^—^—- cos 6 . sin2 6 —
in(n — l)(n — 2) M-.3ft . ял i
-too C°S в • Sin8 0 -f-
+ й«(я-1Ня--2Мн-3)(п^Ьм,-.() -s.n5fj + t ^ ^
Отбирая и складывая действительные члены уравнения,
получим:
G пл 71(71 1) »~1л • о л I
COS 71 б = COS 6 ~ i . о «OS 6 Sin5 6 +
+ ^^^^ cos- 8 sin* 6 -. . .
Положим ot = n 6, тогда 0 = — и п = тг, причем а
должно оставаться постоянным, тогда как п и 6 изменяются.
Подставляя полученные для а, вил значения в выражение для
cos n 6, получим:
cosa = cos" в J___Lcos"-86sin«e-|--
1.2.3-4 сов* °'sin46-
т(т-0 .
—__—cos
т(т-')(т-»)(т-4...,, ..
'_* : rrvS 0 . sin4
a(a —0)(a-2 6)(« —3ft) „_4fi/ sin0 \«
. + 1T2T3T4-—~cos e\-l-j -• " "
Если тг обращается в бесконечность, — приближается к ну
^ . sin О
лю, cos ч -~> 1, —т > 1, a — 0 -* а,
-= cos 0- jr- cos 9
478 Векторы, мнимые и комплексные величины
Поэтому
. а*, а* а«
[321] со*а = 1-2Г+-4!-6! + ' 'f
где а выражен в радианах.
Отбирая коэффициенты с мнимыми частями, имеем:
sin п 6 = п cos Ь sin f) -г '- cos 6 sin8 в -f-
+ »(n-l)(n-2)(n-3)fn-4) cos^9sin69_ . . .
Производя те же подстановки а, пи 9, что и в
предыдущем случае, будем иметь
-t-
w_ift / sin 6 \
sin a = а cos 6 • I —у~ 1 —
а(а —8)(ot —26) n-3fl/sin6i
ЗТ- COS 6l~9~j
а(а —6)(« —2Q)(a—36)(а —46) w_5fi/sin6\6
+ 51 COS Ч~в~/ +' *
Находя предел при п, равном бесконечности, получим
а* «б а7
[322] sina^a- — ^—^-^-...,
где а выражен в радианах.
Приведенные формулы для разложения в ряд синуса и
косинуса применяются при составлении таблиц этих
функций (см. п° 980).
681. Показательные выражения sin 6, cos б и tjjO. Из
алгебры (п° 462) известно, что
Если вместо х подставить ib, где i=V— 1» то получим
/ е« е* в» , ,-./ ев в* в», \
Гиперболические функции 479
Однако, из предыдущего п° нам известно, что выражения,
заключенные в скобках, равны, соответственно, cos 0 и sin 6,
иначе говоря,
е =cose*+zsin6. . (2)
Подставляя вместо х величину (— /б), получим:
е~ = cos9—i sin 6. (3)
Вычитая (3) из (2),
sin8 = -l_2.e—. (4)
Прибавляя (2) к (3):
cos6= e +g . (5)
Наконец, деля (4) на (5), найдем:
е —е
tg6:
i (е +е )
682. Показательные формы комплексных количеств. Из-
предыдущего п° имеем:
cos в -}- /sin 6 = е ,
поэтому,
x-\-ig = p (cos в -|~ /sin в) = ре* ,
где 6 выражен-в радианах.
Аналогично, если •
*i + Щ\ = Pi (cos ^ +1 sin 6J = pie^
*2 + 4fa = Pa (cos 92 +«sin 62) = P2 e f t
тогда
• (*i+Wi)(i. + Uf«) = Pihe'ft + W.
/лава XXVIII.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЙ.
683. Гиперболические функции. Некоторые формы суммы
и разности двух показательных функций вида еи -f- е~~и и
е*— е~и встречаются в математике так часто, что им дали
особое название — гиперболические функции.
jfgg Гиперболические функции
и —и
е — е
Выражение ~ называется гиперболическим
синусом и обозначается символом sh и.
[323] shu=eU~€ U.
U | —U
е ~т" с *
Выражение ^ называется гиперболическим
косинусом и обозначается символом ch ы.
U | — U
[321] ch»=e "у .
Подобным же образом
[325] tgh и =ь
[326] ctgrhu= „ ._„
sh и
• {327] sech и =
shu = eu-e~u
1 U | —U
спи е -f-e
спц e -f~e
shu eu — e
1
спи е -\-е
1 2
[328] cosech и = —— = — —
shu e —e
684. Приведенные выражения дают возможность
установить соотношения между гиперболическими функциями,
причем получаются «следующие формулы, аналогичные таковым
для круговых функций:
[329] сЬ2ы — eh»u = lf
так как
Ч'-)-(^-)= 4
е — 2 -|- е
е2и+2 + в~2я
1.
Точно также можно найти, что:
[330} sech2u + tgh3u = l
[331] ctgh2 и — cosech2 и = 1.
Гиперболические функции 481
tghu
[332] shu=l/ch2u —1-- , , -
/1 — tghaii
— 1 ^VT—*edF~u_
Kctgh2 u — 1 sech и
= __L_
cosech u
1
(333] chu = Vrsh2« + l = ^-
/l—tgh2ii •
_ ctghu Kcosech2 ц -|-1 1
V ctgh2 u — 1 cosech ц sech u
[334] tghu= . sh" ^^^^
* Vsh*u-\-l chu
= Yl — sech2tf= ■ ?—=====—J—
У cosech2 u -j-1 ctgh и
u±v — («±e) -
[335] sh (u±v)=~ 2e ==
— sh и ch v dt ch и sh v.
[336] ch(u=t^)
2
ч=чch u • ch v ± sh ы sh v.
и ± v — (u ± v)
[337] ^(«±0)-?,^-^.^-
tgh u ± tgh p
lzttghatghf
[338] sh?fc='2shiichu. 7
[339] ch2u = ch2n + sh2a/
[340i .,„. *h^=TTW«/
• 685. Если x = achu и # = ashu, то разность их
квадратов равна . j-
31 Справочник для инженера.
482 Гипероолннеские функции
но из [329] имеем:
ch2u — sh2w=l,
поэтому
Из этого следует, что гиперболические функции,
написанные в форме параметрических уравнений
х — a ch u и у = a sh и,
выражают равнобочную гиперболу точно таким же образом,
как параметрические уравнения (см. п° 805)
лг — cos Ь и у = sin О
выражают окружность. Указанным свойством
гиперболических функций объясняется их название.
686. Если ch u = —п [324] прибавить к sh u —
-—2-J323], т. е.
tit е -f~e , е —е
ch a + sh и = —~ ! 2^~r,
то получим:
[341] ew = ch«+shii.
Вычитая shn = ^~e U [323] из ch ц = ^ + е ц ^^
найдем:
t342] e~w=chu — shu- .
687. Соотношение между гиперболическими и
тригонометрическими функциями. Если в выражение (4) п° 681
подставить вместо в величину *6, то будем иметь:
ismiQ —-к-[е ' —е 'J *= 2 (е —е ) —s"9*
[343] sin 16 = f sh».
Точно также подставляя в выражение (5) п° 681 вместо Ь
величину i% получим:
сошЛ—|tf« -Ьв-<№]»|(вв-е-в) = сЬ6
Графики гиперболических функций
[344] cos/e = cM.
Деля [343] на [344], найдем:
[345] tg/e = /tghe.
688. Разложеаие ЛкХ и ch.* в ряд. Из формул
Sh^ = -l(ea'-e-a!)[323]
х х- х3 .**
в =*\ Л-х+—+—. + — + - • *
4S?
а ' з!
имеем:
sh^ = T
1г+ • ••)]=д:+ж+^т+ • "
[346]
Адг^дс-Ь^ + ^Ч-
Подобным же образом найдем:
[347]
Лх-Ц-г + ж+1Г +
Приведенные ряды sh* и ch x являются сходящимися
для всех действительных значений х и могут применяться
для выч ?сления его гиперболических функций.
689. Графики гипе^бэлических функций (рис. 347 и 348).
1
и 1
1 **
1 "
/^
; П
./i 2sin hx
С4—-L-.
Х\г—
Рис. 347.
Рис. 348.
sh;
ch v ==
ех+е~х
31*
484 Решение тригонометрических уравнений
Глава XXIX.
РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
690. Решение тригонометрических уравнений может быть
разделено на три части:
1. Выражаем все тригонометрические соотношения,
встречающиеся в данном уравнении, через какую-нибудь функцию
целого угла.
2. Решаем полученное ур-ние (1) как алгебраическое.
3. Определяем все углы, соответствующие полученным
из (2) значениям функции.
24
Пример» Дано tg 2 6 as —-, найти 8.
Имеем: )
2tg8 24 f
i _ tg2 e ~ 7
или
\г\.£ъ + и%ъ — 12«о.
Решая, полученное квадратное уравнение, найдем:
4 3
tg 8 = —-^ или -j-« —1,33 или 0,75,
откуда
0 = 126,9° или е = 36,9°1).
Пример. Дано: cos 8'+ sin 8 = 1.25. Найти 6.
Выразим cos 6 через sin 6, пользуясь формулой [273]:
cos в в 1^1 —sin2 8. '
Подставляя, имеем:
sin 8 + У1 —sin2 8 = 1,25 или У1 —sin2 6 = 1,25 - sin в.
Возвышая обе части уравнения в квадрат •
1 — sin2 8 = 1,562 — 2,5 sin 8 + sin3 8
2 sin2 8—*2,5 sin 8+ 0,562 = 0
sin2 8 —1,25 sin 8 + 0,281 = 0.
l) Следует помнить, что по данному тангенсу находится бесчисленное
множество дуг. Все такие дуги различаются друг от друга на 180°. Общее
решение поставленной задачи имеет вид
8 = 126,9°+ 1^0%
8 « S6,9° + 180°*,
где k—любое целое положительное или отрицательное число.
Прим. ред.
Решение тригонометрических уравнений 485
Решая последнее квадратное уравнение, найдем:
sin 8 = 0,95 нли sin 6 = 0,294.
0 = 72°53' или 17°7'1). ,
Пример* Дано уравнение
tg0.tg20 + ctg6 + 2 = O. Найти 6.
Имеем:
* 2 в - -т!^Г [2М] И ** в - tJO 1275V
Подставляя в данное уравнение, найдем:
tg3 — 2tg6-.l=0,
откуда ^ - '
tg6 = l±: У 2 =2,4142 или —0,4142,
следовательно
6 = 67°30' или — 22°30'.
Пример. Дано уравнение
arc tg (л* -f-1) + ^с *g (* — 1) = arc tg 2
Для нахождения х поступаем так:
Положим б а= arc tg (лг + 1), тогда tg 6 == х -}-1
и P = arctg(Ar —1), тогда tgP = *-—1.
Иа формулы [280] имеем:
8 + p = arc tg 2^17^2 ~ arc ** 2
или
отсюда
или
следовательно
2^ = 2,
2—л*
** + * —2 — 0 ид:— —2 или 1.
*) Следует иметь в виду, что в тексте приведены лишь простейшие
"решения задачи. - :"■;
Прим. рел.
486 Решение тригонометрических уравнений
691. Уравнения вида sin (лг-j-Z?) = с sin*. Если угол В и
постоянная с — известны, то данное уравнение можно
привести к виду
692. Уравнения вида tg (х -f- В) = с tg х; где Вис —
постоянные, приводятся к виду
sin (2* 4-В) = Z+* sinв*),
С 1'
откуда можно найти sin (2л:-j- В), а затем самое л:.
*) Напишем пропорцию
sin (х-{-В) __ с
sin* 1 '
Возьмем производную пропорцию
sin(*+#> +sin* _ с + 1
sin(x-\- В) — sin x """ с — 1"
Представляя числитель и знаменатель дроби, стоящей в левой части
равенства, в логарифмическом виде, получим
2Sin(, + i-B)coslB c + 1
2 cos (х +1 В) sin -ifi C7
c-lf
COS MC ~j- у U 1 Sin у Д
откуда следует, что
Прим, ред.
2) Иэ равенства
tg(* + ff> ^ с
tg* 1
следует, что
tgU + ffl + tg*^ с + 1
tg(* + £) — tg* -С —1
После приведения к логарифмическому виду числителя и знаменателя
дроби, в левой части равенства получим
sin(2* + £) = с+1
sin В с —1
или
sin (2* + В) = ^—^ sin В'
с — 1
Прим. ред.
Уравнение вида a cos nb ~|- Ь sin пЪ = с 487
693. Уравнения вида a cos n ft -}- ft sin n ft — сх),
приводятся к виду
е-1
ГС
предполагая, что |
л. а 1 .С ~
[ d,ctgA ' aiC5uy^qrpj'
с\^Уа*+Ь*.
*) Решая уравнения
a cos п0-}-& sin n 6 = с 6>Q e . .
подберем величины г й 9 так, чтобы имели место равенства
a — rsincp» 6 = rcos<f.
Величины г и ср определяются по формулам
г = У^а2 -f- б2 f = arc tg «г-,
где под arc tg -г понимается простейшее значение этой функции. Заменяя
а и 6 их выражениями через г и у, представим уравнение в виде
sin <p cos п 8 -f- cos 'f sin n 8 =
или
с
sin (n 0 + 9) =
Уравнение имеет решение лишь при условии
При этом условии получаем
0 = —I — » -f" arc sin ■ , }
или
0 — —I — arc tg -7- + arc sin n—r r.
где под arc tg -%- понимается простейшее, а под arc sin -,._ ,, ,-}
о у a2 -f 6^
любое значение этой функции.
В случае, когда Ь<0, решение уравнения приводится к разобранному
случаю, если умножить обе части равенства на — 1. . -
flpUM, p'tA:
488 Решение тригонометрических уравнений
694. Графическое.решение тригонометрических
уравнений.
Пример. Дано уравнение 2 cos х = х. Найти значения х (в радианах),
удовлетворяющие этому уравнению.
Начертим кривые д — 2 cos х и д = х, тогда абсциссы точек их
пересечения дадут корни уравнения (рис1 349).
»695. Уравнение R sin (X -f- с) = a cos дг -j- b sin .* обращается
в тождество при некоторых значениях си/?.
Начертим произвольный угол x = XON (рис. 350),
находящийся в I квадранте, и постоянный угол с = NOP, причем
OP~R9 a NP перпендикулярна к ON:
Положим PN=a и NO = b. Проведем PS и NQ
параллельно оси Y и MN параллельно оси X, тогда
РМ = a cos xy MS=J?Q = b sin x
РМ -j- MS = jR5 = /? sin (дг + с) = a cos x + 6 sin лг.
Таким же способом можно доказать что равенство
сохраняется, когда л: находится в другом квадранте, и вообще при
любом значении лг из рисунка видно, что
а . . а
tg С ~ — ИЛИ С = аГС tg -тт.
Кроме того -•---•
$96. Графики . для уравнений вида у «= a-cos дг + 6 s*n *
можно получить, находя с и R по полученным выше форму-
Графики сложных тригонометрических функций 489
лам и вычерчивая график функции у = R sin (дг -^ с), как это
сделано в п° 619.
Такой., способ гораздо проще, чем непосредственное
вычерчивание кривой у = a cos лг-|-6 sin *.
Пример, Начертить график функции
д = cos* — Y 3sin* + l. •
Имеем:
а = 1, 6= - УЗ, tg<
£=, с= -30° =
1Г
/?
я= УТ+з==2.
Поэтому начертим график # = 2 sin (* — "Z~ ) ~"t~ ^ или» паиЛя график
у = 2 sin (* -1- -£-), перемещаем начало координат на 1.
697. Пример /. Начертить график функции
# = sin 2x -f- sin * +
2#
?!1
I
Рис. 351-
•
>
п/
Р"*
^>
/1
гР7
ч~
ч
V
\
V
Л
?\
—з.
к
ч
j
d
k
Зл
4
.-■
П\
HI
•1
^»5^'
LQJ
•
T *
L^
л
*
N
""ЭП
>.;
•*.
4
^
t
?
-
k*
;'
ч
—
*•
-
4
С
и
к
,t
*
^1
Phc. 352.
Чертим графики i/=sin2x и г/ —siu.v на одной и той же оси
(х выражено ъ радианах) и к сумме ординат этих кривых прибавляем
ъг. Полученная кримя (рис. 352) будет выражать данное уравнение.
490
Решение тригонометрических уравнений
Пример 2. Начертить график функции
у = sin 5* —' sin 3* -f- sin x .
Чертим на одной и той же оси графики функций ух = sin 5*, у% =
= sin3*, у3 = sin* (лг выражено в радианах). Для получения ординат
искомой кривой складываем алгебраически ординаты построенных графиков.
Построение показано на рис. ?53.
Рис. 353.
698. Системы тригонометрических уравнений. Приведем
несколько примеров графического решения системы
тригонометрических уравнений
Пример 1. Решить графически систему
у = 1 — cos х
у == 1 + sin X.
Корни, удовлетворяющие этим уравнениям, найдутся как координаты
точек пересечения соответствующих кривых (рис. 354).
2
1
О
/
S
^
п/г..
—
к^
l'*
ST
?
7
4s
т
Г
ч
Ъ
t* 1
Зд
'
ь
ч*
2
ГХ
Ьп
i
■Зп
>1
л
h—J
*
Величина ,v равна
Рис. 354.
* х = п«+-£*,
где п—любое целое число.
Пример 2. Решить графически систему
Г $ = 3sine + 2cos0
\ y»3cosO + 2sinG.
0)
(2)
Системы тригонометрических уравнений
491
Из пп° 695, 696 известно, что эти уравнения можно привести к виду
у = /? sin (0 + с).
В ур-нии (1) а = 2; 6 = 3; tg с = -|; с = 33;7°.
R = УаЧ1^^ У13" =- 3,6.
Ур-ние (1) принимает вид
# = 3,6 sin (8 + 33,7°).
3
Точно также в ур-нии (2) а = 3; Ъ = 2; tg с = -=-; с = 55,3°.
Л =: УТЗ"= 3,6.
Таким образом имеем из (2)
у = 3,6 sin(0 + 56,3°).
Откуда следует, что
где п — любое число.
Тот же результат получается из графика рис. 355.
. Рис. 355.
'- 699. Ви многих случаях решения тригонометрических
уравнений графический способ является единственно практически
целесообразным. Это видно из следующего примера.
Рис. 356.
492 Простейшие приложения координат
Пример. Решить графически систему.
. g = sin 2х -f sin x + у
у = sin Sx — sin 3* -)- sin #.
Построение соответствующих графиков производится, как это было
указано в п° 607. Пересечение кривых дает координаты, соответствующие
искомым корням (рис. 356).
Глава XXX.
ПРОСТЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КООРДИНАТ.
- 700. Применение алгебраических методов к решению
геометрических иг тригонометрических задач называется
аналитической геометрией.
701. Величины отрезков. Длина линии определяется числом
единиц, пройденных точкой, образующей эту линию
Отрезок прямой в одном направлении считается
положительным, а в противоположном — отрицательным (рис. 357).
Так например,
р ~_я Р&^-РЛ,
1 откуда
Рис.357. Ve+Vi-O.
Законы сложения и вычитания отрезков прямей
аналогичны законам сложения и вычитания алгебраических
количеств.
Для удобства, за положительное направление отрезков
будем считать направление вправо по горизонтальной пря-
\ с мой, за отрицательное —
4' v, vrr i - i^ г. : j——ч направление влево по ней.
А
-L*—С-
t
в\ . « \С |
1 ~ I I .
QX ц»_ AQ
X + I
с! ^
В ■ - г
Ах 3 \* 10
Г
At
С'1 » '0
Рис. 358. - Рис. 359.
Отрезок прямой между данными начальной и конечной
точками * определяет хумму-положительных и отрицательных
отрезков. На рис. 358 слагаемые отрезки, во избежание
Координаты > 493
ошибки, отложены не на .самой линии АЕ, а на
параллельных ей.
Таким образом
AC+CB + BD+DE+EC=AC.
Пример. АВ — СВ -f- CD = AD (рис. 359). Величина суммы отрезков
равна AD, так как AD есть длина отрезка от начальной до конечной
точки.
702. Геометрия одного измерения ограничивается
рассмотрением прямой. Здесь точка является основным
элементом, причем положение ее- на линии определяется значением
одной переменной.
Всякое алгебраическое уравнение, содержащее эту
переменную, соответствует одной или нескольким точкам линии.
703. Геометрия двух измерений. Здесь за основной
элемент также может быть принята точка. Положение ее
определяется значениями двух переменных, относящихся
к двум неподвижным линиям, расположенным на плоскости и
называемым осями координат.
Каждое алгебраическое уравнение между переменными
соответствует кривой (геометрическому месту), которую
описывает точка, двигаясь на плоскости по определенному
закону.
704. Координаты. В аналитической геометрии
применяются, главным образом, прямоугольные координаты, хотя
pixA
(а)
РШ
Р(*.-Ц)
прямоугольные
Координаты
Р(-хгУ)
(Ь)
Иосоуголы 'ые
Ноеодинаты
Рис. 360.
(С)
полярные
Координаты
часто
ными.
приходится пользоваться косоугольными или поляр*
Соотношение между • прямоугольными координатами (х, у)
и полярными (р, 0) было указано ранее (см. п° 655).
494 Простейшие приложения координат
jc.—.p cos. в. [313]
у^9 sin 0 [314]
0 = arctg-f-[315]
Р = V^TF &1(*
Полярная форма уравнения дает положение точки кривой
с такой же определенностью, как и прямоугольная, причем
координатами в ней являются расстояние от начала (полюса),
называемое радиусом-вектором р, и угол 6, образуемый
радиусом-вектором с полярной осью {угол 6 называется
векториальным углом или амплитудой).
Мы видели, что можно легко перейти от.прямоугольных
координат к полярным, для этого следует подставить в
уравнение вместо х величину р cos 6, а вместо у— величину
р sin 0.
Если требуется перейти от полярных координат к
прямоугольным, то в полярное уравнение кривой следует
подставить вместо р cos" 6 и р sin В соответственно величины х и у.
Кроме того, иногда удобно пользоваться подстановкой
у
в полярное уравнение кривой у.х*-{-д2 вместо р и —
вместо tg В. ■ -
Р(*.9)
У
0
-* X »-
>(х.У)
1
-у
1"
Рис. 361.
Рис. 362.
7*5. Ь~ли начала координат расположены в различных
точках, то имеем
[323] х = a -f p cos в
[324] #==& + Р sin 6.
Расстояние между двумя точками в косоуг. координ. 495
706. Если полярная ось образует с осью X угол <?, причем
начала координат совпадают, то
[325] * = р cos (O + 9)
[326] jr = p sin (6 + ?).
707. Если в предыдущем случае начало перенесено в точку
(а, 6), то
х = а 4- Р cos (6 -j- ф)
^ = й -j- p sin (S -f- ?).
ЯМ
[327]
[328]
'j-e-н
V
0
d/
■ ih-Чг)
1
'fl
If
1 |
т« I,
Рис. 363.
Рис. 364.
708. Расстояние между двумя точками» например
А (*а, у2) и В (хи уг) (рис. 364).
Из Д ABC _ _
Выражая это геометрическое соотношение через
координаты, найдем
[329] ^l^i-^ + te!-^)2.
где d—расстояние между точками А и В.
709. Расстояние между двумя точками в косоугольных
координатах (рис. 365).
Пользуясь законом косинусов (п° 642), имеем:
[330] сз«:азЛ-#_ 2abcosC.
Поэтому
АВ*=*АС* + ВО> —2АС^ .os (180°—?).
Но cos (180° — <?)= —cos<p«
496 Простейшие приложения координат
Выражая тригонометрические соотношения в координатах,
получим
</2 = (Xl _ *2)а + (уг —g2f + 2 (хх — *2) (ух — #2) cos ?
или
[331] d=V(Xi-x*)* + (!Ji— ff^+2(xl — x,)(yl-y2) cos ?.
710. Употребляя полярные координаты для точек
А(?и ®i) и ^(р2> ^г) (рис. 366), найдем из предыдущей формулы
[332] d = V?? + Ра2 - 2 РЛ cos (62 -1J.
Рис/365. Рис. 366.
Пример. Иайти расстояние между точками (4,-5) и (— 3,. 6) в
прямоугольной системе координат.
Подставляя в формулу [331], имеем:
d - YWi-xtf + iSi-y*? = /[4-(-»)Р + [-5-( + б)Р =
= У" 72+ (- 11)2 = УТЮ.
Пример 2. Найти длину стороны треугольника /, пользуясь методом
аналитической геометрии и употребляя косоугольные координаты.
Дано» Сторона ОА = 3; сторона ОВ = 5 (рис. 367).
Угол между ними 0 = 53° 2'.
Принимая две стороны за координатные оси и применяя формулу
<*= V(*i - *г)8 + (tfi-У$ + 2 (*i - *2) (#1 -3fe) cos 0 ,
имеем:
^=-^(5^0)2+ (0-3)2+ 2(5^0) (0-3) а,6«
= У25 + 9-18 =У1б = 4.
711. Измерение углов между прямыми. За
положительное направление при измерении угла между двумя прямыми
принимается направление против часовой стрелки.
Наклон прямой 497
На рис. 368 прямая В и прямая А образуют угол,
начинающийся у В и измеряемый от нее в сторону,
противоположную вращению часовой стрелки.
Точно также угол между А и В измеряется от Л в
указанном выше направлении (рис. 369).
Последний угол является пополнительным первого до 180°.
'(5,0)
й(х„<а)
Рис. 367.
Рис. 368.
Рис. 369.
71?» Наклон прямых (рис. 370 и 371). В прямоугольных
координатах наклон, или градиент прямой есть отношение
изменения ординаты к соответствующему изменению абсциссы
при движении точки по этой прямой.
Наклон будет положительным^ если с увеличением
абсциссы увеличивается и ордината, и отрицательным, если при
увеличении абсциссы ордината уменьшается.
Рис. 370.
Так как наклон есть отношение изменения ординаты к
соответствующему изменению абсциссы, то он измеряется tg ft,
где. 6 — угол, образуемый прямой с осью абсцисс.
Обозначая наклон буквой т, имеем:
m = tgO *)•
713. Наклон прямой, проходящей через точки Рг (хи у{)
и Р2 (дг2, Д>г), выраженный через координаты этих точек
(рис. 372).
*) В русской литературе величина т .обычно называется угловым
коэффициентом. Прим. ред.
32 Справочник для инженера.
498 Простейшие приложения координат
Если т
[333]
наклон прямой, то
Ух—42
т
-X)
Заметим, что наклон выражен здесь посредством
координат двух точек, через которые проходит прямая.
В случае, когда линия
параллельна оси У, мы не
можем говорить об ее
наклоне, так как
изменение ординаты при
изменении абсциссы не имеет
здесь никакого смысла.
Выражение
т
QO
Рис. 372.
просто означает, что
прямая параллельна оси / и
ее наклон не определяется
конечной величиной.
714. Параллельные прямые (рис. 373). Если две линии
параллельны, то \ и 6.2 равны между собой и наклоны линий
одинаковы, иначе говоря
Рис. 373.
Рис. 374.
715. Перпейдикулярные прямые (рис. 374). Пусть
имеются две перпендикулярные прямые. В этом случае
0a = 0i + y,
отсюда
[334]
tge2=-ctg61 =
М\
Угол между прямыми
499
или
[335]
ТП.2 ===
1_
Две прямые перпендикулярны друг к другу, если их
наклоны являются величинами, обратными и противоположными
по знаку.
716. Угол между прямыми. Пусть р ^сть угол между
прямыми^ и /g тогда
%^{>i + $ или р = вя —в1в
Пользуясь формулой для
тангенса разности двух углов
[280] (глава XXIII), имеем:
to- о = 1«S ~*8В1 = ™* — Щ
SiJ l + tgbxtg% l + mo/nj '
откуда
[336] P = arctgl5~^i-.
Если же угол, образуемый
прямыми /А и /.2, равен (*л, то
откуда
р, = 18СУ> — Р и tg£'= —
mt — m2
Рис. 375.
tjrp (п°603),
■tgp':
1 -j~* /nl m2
Пример. Найти угол между прямыми, соединяющими точки (5, 0)
(6. УУ)и(0,0)(— V3, -5).
Обозначим наклон первой прямой через ть тогда по формуле [333]
mi==- 5-6
Наклон второй прямой равен:
0 + 5
Q-YT.
т2 =
0+^3 Y * '
Подставляя в найденную выше формулу, имеем
* 9
Р = arctg
ут
-7--== = arc tor
1^3 6
: 10°50'
/т
1
1
32*
500 Простейшие приложения координат
717* Деление отрезка в данном отношении. Пусть Рг и
Р2 — две заданные точки, лежащие на прямой (рис. 376).
Точка А делит отрезок вну-
р : ■ "}., тренним образом^ если она лежит
г лежду Л и Ръ и' внешним обра-
рис 376 зом> если она лежит за точками
Рг и Р2.
Положение точки деления „зависит от отношения ее
расстояний до точек'/*, и Р2.
Если прямая имеет положительное направление, то весьма
удобно считать, что точка А делит отрезок на части РХА и
АР%, причем их отношение равно х0 .
При внутреннем делении оба эти отрезка читаются
в том же направлении, что и РХР2, т. е.
л —~-—► р*
Рг ► А ► Р2.
В случае же внешнего деления отношение во всех случаях
РХА'
равно —дгр;--
Таким образом здесь либо РХА положительно, а А'Р$—
отрицательно, либо РХА'—отрицательно, а А'Р% —
положительно. Следовательно отношение этих отрезков в обоих
случаях есть величина отрицательная
Л —+"Р8 • Л . Р,
А' ■ А' —-— />,
Р2 « А' А' . Р4
Если РУА' положительно, а А'Р2 отрицательно, то
Если PxAf .отрицательно, а А'Р2 положительно, то
\РХА'\
\А'Р*
<1.
718. Деление прямой, соединяющей точки (хи ух) и
(лг2, у?) в данном отношении г. Пусть даны точки А (лги ух)
и В (*2, у*) и пусть С (*, у)—искомая точка, делящая
отрезок в данном отношении (рис. 377).
Деление прямой, соединяющей тбчки
Из подобия треугольников имеем:
АЕ АС >
501
CD ~~ CB
откуда
х2 — х
Аналогично найдем:
±- = Г
или х
_ Хг + Г*2
7 1 + г •
у -^- или # = У1
•ГУа
У2 — У
1 + г
Если С (л:, у) лежит между Л и В, то г может иметь
любое положительное значение.
Если С лежит на продолжении прямой за точкой Л,
то г — отрицательно и по абсолютной величине меньше
единицы.
Если же С лежит на продолжении прямой за точкой #,
то г—отрицательно и по абсолютной величине больше
единицы..
Независимо от того, будет ли отрезок делиться внешним
или внутренним образом, координаты делящей точки будут
х _ хг + гх2 y_gi±gi.
*- 1+г И У 1+г
Для нахождения середины отрезка полагаем г—1, тогда
предыдущие формулы примут вид:
X = "
*1 + *2
И 0 =
ffi + jte
502
Простейшие приложения координат
719. Площадь треугольника (рис. 378). Площадь Д АВС=
= Д ABD + /\BCD + &ADC.
Рис. 378.
Так как площадь каждого треугольника равна половине
произведения основания на высоту, то
Пл. Д ABD-
Пл. Д BCD-
Пл. Д ADC-
Таким образом
1
BDXBE 1 , w ч
2 ^"^ С**- *з) \У2 — У\)
BDXCD 1
2 = Т ^2~^ ^3~
AFXCD 1
1/2)
2~ (*з—*i) (Уъ—Уъ)
Пл. ДЛвС=-2~ 1(^2— *8)Ufe — #i)-M*2 — лг3)(Уз— #а) +
+ (*« — *i) (Уз— Jfo)]- *
Упрощая полученное выражение, имеем:
[337] Д АВС = ~ [д^ + ОДз + ^з*/!— Уi*2 — У2хв — У^\Ь
720. Правила для вычисления площади треугольника.
Весьма удобно поступать по следующему правилу:
выписывают в столбец абсциссы вершин в направлении против
часовой стрелки.
Второй столбец нужно начать с ординаты второй
вершины, затем перейти к третьей и наконец ■' -\
к первой. . +ОД2-~У1*2!
Перед каждым произведением следует ста- -f-*2#3 — У&в ?
вить знак плюс. -f- х%уv—y3*i
Правила для вычисления площади треугольника
503
Переходим к третьему столбцу. Начинаем его с ординаты
первой вершины и продолжаем писать их в том же порядке,
как и абсциссы первого столбца.
Четвертый столбец состоит из абсцисс, начиная со
второй, после которой идет третья и первая (как во втором
столбце).
Перед произведениями третьего и четвертого столбцов
ставится знак минус.
Складывая все эти произведения, имеем:
721. Выражение для площади треугольника в виде
определителя. Предполагая, что вершины суть точки с
координатами (*i,7i) C*2>*/s) С*з> #з)> можно написать определитель:
*i #i 1
х2 у2 1
*3 #3 1
Разлагаем его на сумму трех произведений из элементов,
расположенных на линиях, у которых стрелки направлены
влево (рис. 379), и, вычитая сумму трех произведений из
элементов, указанных линиями со стрелками, направленными
вправо, находим:
•*1#2 + *2#3 + Х<бУ1 — i/i*2 — у2Хд — уьХх.
А =
1
f^yj
Рис. 379.
Рис. 380.
722. Если начало координат расположено в одной из
вершин треугольника, например (хл,.ув)9 то в таком случае
(*з> Уъ) обращаются в (0, 0) (рис. 380).
Подставляя указанные значения координат в [337J, имеем:
[338] A=-f [д^+О+О-^л-0-0]:
[xiffz—y&h
504
Простейшие приложения координат
Определитель этого выражения легко запомнить, так как
х\Уч—#1*2 можно написать так:
'1 У\
■*2 У 2
откуда
2 ! X2 #а
Пример. Найти площадь треугольника, у которого одна вершина
лежит в начале координат, а две другие имеют координаты (4, 3) и (2, 5).
Л =
1
4 3
2 5
1
j- (4 • 5 — 2 • 3) = 7.
723. Площадь многоугольника. Если заданы прямоуголъ-.
ные координаты вершин многоугольника, то его можно
разбить диагоналями на треугольники, а затем найти его пло-
х щадь по той же схеме, которая применялась ^ля нахождения
площади треугольника.
Следует рассматривать последовательно вершины в
направлении против часовой стрелки, например Рг (хи уг),
Рис. 331.
Рис. 382.
Р% \хъ Уъ)> Р% (*з> Уз) и т« Д»> а затем применять способ,
указанный в предыдущих п° для
треугольников.
Таким образом в случае шестлугольника
получим:
A==z~2 ^ХгУ* + л*9г» + *аУ4 + Х4Уь + х6уг —
— У\х% —y%xb — ybXi —У4.хь—уъх^\.
-Гх^—УхХъ
+ ХъУЪ—у*Хв
+ ^4—^8^4
+ *4#5 —,&Л>
4 -ЧУ 1~У*>ХХ
Составление уравнений
505
Пример 7. Найти площадь многоугольника, изображенного на рис. 381.
+ 2-4= 8
+ 7- 1= 7
+ 11- 4= 44
+ 17-11-137
+ 14- 8 = 112
+ 9-10= 90
+ 4-2= 8
- 2- 7= 14
- 4.11= 44
- 1-17= 17
— 4-14= 56
-И- 9= 99
- 8- 4= 32
-Ю- 2= 20
+ 456 -282
Площадь = -у- [456 - 282] = 87.
Пример 2. Найти площадь многоугольника, показанного на рис. 382.
724, Составление уравнений. Иногда задачи даются
в форме геометрических или тригонометрических
соотношений, и для того чтобы решить их в* общем виде мы
выражаем указанные соотношения в форме уравнения.
Разберем для примера несколько задач.
Задача 1. Точка движется на плоскости таким образом, что расстояние
ее от точекЯх (4, — 3) и Р2 (— 3,6) — одинаковы (рис. 383).
v^^
\U—4—»
— 4—I/
Рис. 383.
Рис. 384.
Найти уравнение кривой, которую чертит данная точка, или, иначе
говоря, геометрическое место точек, удовлетворяющих поставленному
условию.
Нам нужно выразить данное соотношение в виде некоторого
соотношения между х и у, т. е. между координатами точки.
Из условия имеем
Из п° 708 мы знаем, что расстояние между двумя точками, например
Р}Р, выражается формулой
Точно
^(*-4)2 +(у + 3)2;
506 Простейшие приложения координат
Итак ___ _ '
у(х _ \г _р <у + 3>* = У л -г ^ + </ - 6)2.
Возвышая обе части в квадрат, имеем: *
*з - 8л: + 16 + if- + 6у + 9 = *2 + 6* + 9 + ^ - 12у + 36,
откуда
1х-~9у + \0 = 0.
Задача 2. Расстояние между двумя точками равно 8 си. Точка движется
так, что сумма расстояний ее от данных точек всегда равна 10 см.
Проведем через данные две точки ось X. Ось Y направим посредине
между ними, как это показано на рис. 384.
Из условия задачи имеем:
Р>Р + РгР = 10.
Напишем это соотношение в зависимости от координат х и у,
применяя для этого формулу [329], дающую расстояние между точками
откуда
9*2 + 25#з = 225.
Как известно из п° 200, полученное уравнение соответствует эллипсу.
Р&У)
Рис. 385.
Рис. 386.
Задача 3. Найти уравнение кривой, по которой движется точка,
если разность ее расстояний от двух других точек Р2 (5,0) и /\ ( — 5,0)
равна 8.
Из условия задачи (рис. 385)
PiP—P2P=S,
отсюда __
Vtr + V + j2- V(*-5,Ч-^ = 8
или
9*2 _ Щ2 = 144.
Задача 4. Найти уравнение геометрического места точек, расстояние
которых от Pt ( — 2, 2) всегда равно 4.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку 507
или
Пусть Р (х,у) — произвольная точка искомой кривой.
Из условия задачи
рхр = V (7+ г2 ТЧ11*)* = 4.
Возвысим обе часги уравн ния в квадрат, тогда получим
х* + 4дг +?4 +У1 - % + 4 = 16,
Это и есть уравнение искомого геометрического места, являющегося,
как это видно из определения, окружностью.
Глава XXXL
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ.
725. Всякое уравнение первой степени относительно х и у
выражает прямую линию (п° 145).
Для того чтобы определить положение прямой и написать
ее уравнение, необходимо определить две постоянные.
726. Уравнение прямой, проходящей через данную точку.
Положение прямой вполне определяется, если задан ее наклон
и координаты какой-либо лежащей на ней точки.
Из п° 713 имеем:
m
9\ — 9*
[333]
х1 х2
Пусть даны координаты некоторой
определенной точки Ро(хо,Уо) и пусть
кроме того Р(х,у) —произвольная
точка на прямой, тогда
m
= У ~Уо
х — хп
Y
0
у/Ч*. У)
/Ро(х*Уо)
Рис. 387.
.Освобождая правую часть, от знаменателя» имеем:
[339] у — Уо=т(х—х6).
Это и есть уравнение прямой, проходящей через данную
точку, в системе прямоугольных координат.
Пример h Написать уравнение прямой* проходящей через точку (4,4) и
имеющую наклон, равный 2. — —
В данном случае *0 = 4, у§ = 4, т = 2.
Подставляя в уравнение - —* - =
£-^^m(*-*Q^ [339]
508
Линейные уравнения. Пряная линия
имеем:
у —. 4 = 2 (лг — 4) или у = 2х — 4.
Последнее выражение и является уравнением искомой прямой. '
Пример 2. Увеличение скорости тела, падающего под действием £илы
тяжести, пропорционально времени. Если скорость тела в некоторый
определенный момент t0 равна v0, а в любой произвольный момент t она равна
V, ТО
v — Vq = k (t — tQ).
Если v и vQ заданы в метрах в секунду, a t и t0— в секундах, то к —
коэффициент пропорциональности, равный постоянной g = 9,81 м/сек2.
Пример 3. Расширение стального стержня почти пропорционально
повышению температуры. Если длина этого стержня при некоторой
температуре t0 равна /0, а / — его длина при некоторой температуре f, то
/-4 = *(*-«.
727. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
(наклоном)*
Если заданы наклон прямой и длина отрезка, отсекаемого
ею на оси К, то можно написать уравнение этой прямой
в явном виде.
Уравнение прямой,
проходящей через данную точку (п° 726),
у—у0 = т(х — х0).
Так как координаты
заданной точки в данном случае суть
(0,6), то, подставляя в
предыдущее уравнение х0 == 0 пу0 = 6,
получим:
у — Ь = т(х — 0)
Рис. 388.
или
д = тх + Ъ9 (n° 128),
которое и является уравнением прямой в явном виде;
определяющем наклон ее и пересечение с осью Y (рис. 388).
Пример 7. Написать уравнение прямой, пересекающей ось У в точке
«—3, если наклон прямой равен 3.
Здесь Ь = — 3, т = 3.
Подставляя в уравнение
~у~тх-{-Ь,
имеем: . . .
у ш= 3* — 3.
Это и есть искомое уравнение (cmy n° 12$)
Прямые, параллельные осям 509
Пример 2. По закону Гука удлинение упругой нити прямо
пропорционально растягивающему усилию. Если длина этой нити при нагрузке,
равной нулю, есть Iq, а длина при действии нагрузки t есть /, то
/-*# + /»
Пример 3, Если в момент t = О скорость падающего тела равна
vq м/сеКу причем эта скорость пропорциональна времени, то
V = kt + V0.
Так как степень изменения скорости по отношению к времени
обозначается обычно буквой g, то
V = gt + Vq.
В предыдущей главе (п° 145) были приведены рассуждения
относительно общего уравнения первой степени Ах-\-Ву-\-
-}-С = 0. Это было сделано с целью выяснить соотношения,
существующие между уравнением и его графиком. В
настоящем отделе мы повторим некоторую часть упомянутых
рассуждений с тем, чтобы продолжить их далее.
Если В ф О, то, решая уравнение относительно у7
получим:
АС
9 = —Вх-~В'
Сравнивая с явной формой уравнения прямой
у = тх ~j- Ь,
видим, что
А . С
т = ~Т* аА = ""Т
Представив общее уравнение в таком виде, можно сразу
определить длину отрезка, который данная прямая отсекает
на оси Y\
728. Прямые, параллельные осям. Если прямая
параллельна оси X, то ее наклон т равен нулю.
Подставив это значение т в выражение у = т г -f- #, %
имеем:
У = 0 • х -р Ь или у — Ь.
Отсюда видно, что все точки прямой имеют одинаковые
ординаты, равные Ь.
В случае линии, параллельной оси К, уравнение ее нельзя
представить в виде у = тх -f~ Ь9 так как для такой прямой т
не имеет определенной конечной величины. Поэтому поставим
51U Линейные уравнения. Прямая линия
х и у одно на место другого Тогда независимой переменной
явится #} причем будем иметь
х = ту ~ 6.
Но по отношению к оси Y т = 0, отсюда
х = 0 • у -f- Ъ или х = Ь.
Если в этих уравнениях 6 = 0, то у = 0 и л: = 0. Эти
уравнения выражают ось X и ось Y — соответственно.
729. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Если даны координаты двух точек, лежащих на прямой, то
этим определяется ее положение, а также и вид уравнения.
прямоугольн. Координаты » / Носоугольн. координаты
Рис. 389.
Пусть Р(х,у) — произвольная точка на прямой.
Проведем ординаты и линии, параллельные оси X, как
это показано на рис. 389.
Из подобия треугольников имеем:
РА =Р»В
АРг РгВ
или
[340] У—У\ _ У%~У\ = У1—Уа
X Х^ Хг>""""""" X] Х-± ""—" ЛГд •
или же
[341] j _л= ££=£,(,_,,).
дг2 хг
Последние уравнения называются уравнениями прямой,
проходящей через точки jPi(*i>i/i) ^ ^(х&Уъ)'
Уравнение прямой, проходящей через две точки 511
Пример. Написать уравнение прямой, проходящей через точки (2,3)
и (6, 6).
Положим Р2(х9,уо) = (6,6),тогда лг2 = 6, уг = 6; /\ {х^уу) = (2,3), тогда
^ = 2,^ = 3.
Подставляя в уравнение
У —У1 _ У*—У\
х—х^
имеем:
y-J._6-3
х-2 6-2
или 4# —12 = 3*—б,
откуда
: *9i + *i#2 + x.j/—ухх.2 — ъх — хд.
4у-3* = 6.
Это и есть уравнение искомой прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две дайные точки
Р\(Х^У\) и ^2>(г2»1/2)» написанное в форме определителя,
имеет вид
х у 1
х1у11 | =? 0.
Это выражение можно легко запомнить.
Как известно из предыдущего (гл* XIX),
х у \\
\х\У\ 1
х* Уа 11 , •
Прибавим и вычтем л^у,, что не изменит величину
выражения, тогда
*У\ + х&2 + *аУ -УЛ — У** — *ijf + xgt — *ij?i = 0.
Приводя подобные члены, находим:
^2 (у—jfi)—xxis — ui)+x(yi—yd—*i(yi—#2) = о
(*a — *i) is — Ух) + (* — *i) fai —#•/ = 0
или
(x2 — xl)(y—yl) = (x — x1)(yo — yl).
Разделив обе части на (дг2 — xt) (x — хг) и сокращая
одинаковые члены, получим
У—Уг=У2 — Угг
X Xi Х>2 Xi
512 Линейные уравнения. Прямая линия i
Полученное уравнение одинаково с уравнением прямой, |
проходящей через две данные точки [340].
730. Уравнение прямой в отрезках. Если даны точки
пересечения прямой с осями X и У, то, пользуясь форму- |
лами, приведенными в п° 729, можно написать уравнение ;|
прямой, проходящей через две указанных точки. Обозначим I
последние через (а, 0) и (0, 6), где а — абсцисса точки
пересечения прямой с осью X, а Ь — ордината точки пересечения с осью Y. |
Итак, точка пересечения с осью X: Р% = (а, 0), II
*2 = а, #2=^0, 1
а точка пересечения с осью У: Рг = (0, Ь) I
^ = 0и^ = 4. I
Подставляя в уравнение прямой, проходящей через две I
точки (п° 729), имеем: I
у — Ь ^0 — Ь^ Ь I
х — 6 а—0 а' I
а(у — Ь) = — Ьх или Ьх-j- ay -- аб. 1
Разделив на аб, получим j
[342] -aH = h
Так как величина а равна длине отрезка, отсекаемого 1
прямой на оси Y (от начала координат до точки пересече- I
прямоуг Координаты косоигольн Координаты
Рис. 390.
ния), а Ь равно отрезку, отсекаемому на оси К, то
полученное уравнение называется уравнением прямой в отрезках
на осях (рис. 390).
Нормальный вид уравнения прямой
513
Пример, Прямая пересекает ось X в расстоянии 8 от начала координат,
а ось У—в расстоянии'(—10) от начала. Найти уравнение этой прямШ
По условиям задачи,а = 8, Ь == —10.
х и
Подстановка в формулу 1- ^- = 1 дает:
а о
— £- «=Д или Юх — 8у = 80,
8 10
откуда
5* — 4у = 40.
Это и есть искомое уравнение.
731. Нормальный вид уравнения прямой. Если известны
длина и направление перпендикуляра, опущенного из начала
координат на прямую, то
последняя этим вполне
определяется.
Пусть расстояние прямой
от начала равно р9 а угол,
образуемый перпендикуляром,
равен 6 и пусть необходимо
выразить координаты точек
прямой через /> и 6, вместо х
и у (рис. 391).
Если А — основание
перпендикуляра, опущенного из начала
координат на прямую, то координаты этой точки, выраженные
через р и 9, будут:
x = pcosb и # = psin9.
Наклон прямой О А равен tg9, но так как данная прямая
перпендикулярна к О А, то наклон ее есть (— ctg 6), т. е.
т = — ctg 9. -
Производя соответствующую подстановку в уравнении
прямой, проходящей через данную точку,
имеем:
У—Уь = т (х — хо),
у — psin9 = — ctg9 (*—pcos9).
cos 6
sin
г- и умножая обе части уравнения
Подставляя ctg 9:
на sin6, подучим:
у sin 9 — р sin2 9 = — х cos 9 -f- p cos2 9,
33 Справочник для инженера.
5f4 Линейные уравнения. Прямая линия
Перенося члены в левую часть и вынося р за скобки,
находим:
#sin6 + *cos6— p (sin26 +cos26) = 0.
Но (sin2 6 -J- cos- 6) = 1, следовательно
[343] ysin8-j-Arcos6 — p = 0.
Полученное уравнение, где координаты выражены в
зависимости от р и 0, называется нормальным видом уравнения
прямой.
Пример. Найти нормальную ферму уравнения прямой линии, для
которой р =а= 10, а б а= 35°.
Подставляя в [343J, имеем:
х cos 35°+g sin 35° —10 =± 0.
732. Приведение общего уравнения прямой к форме в
отрезках. Если ни одно из количеств Л, ВиС в общем уравне*
нии прямой Ах + Bff -f- C= 0 не равно нулю, то, перенося сво*
бодный член С в правую часть, можем представить общее
уравнение прямой в форме
Ас-}-*/»*—С.
Деля на—С, получим
или
*-L
£ _£
а в
Рис. 392.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением —*f""T* — 1
(п° 730), видим, что
а= —-— длина отрезка, отсекаемого прямой на оси Х\
• 6=—-к—длина отрезка, отсекаемого прямой на оси У.
Если С=0, то оба отрезка равны нулю.
Если А или В равно нулю, то линия параллельна
соответствующей координатной оси.
Приведение общего уравнения прямой к норм, виду 515
733, Приведение общего уравнения прямой к нормальному
виду (рис. 393). Координаты х и у основания перпендикуляра,
опущенного из начала координат на прямую, суть:4* = р cos 6
и у=рsin 6 (п° 731).
Подставляя эти значения их в общее уравнение прямой,
получим :
Ар cos 6 + Вр sin 6 + С = 0.
Наклон перпендикуляра (п° 715) есть величина, ббра^най
и имеющая противоположный знак по сравнению с наклоном
данной прямой. Но из п° 731 наклон прямой, выражаемой
общим уравнением, равен
А
msss-~F9
поэтому наклон перпендикуляра
В
равен --р т. е.
5 А
Из тригонометрии известно,
,4*
0
£4
Р/
А
i ^*
что
cos о =
Подставляя, имеем:
cos & =
t
1
Рис. 393.
[273] .
Кроме того
/'+(*)■
+Уа*-\-& ".
tgb:
sint
cos<
[274]
Подставляя сюда значение косинуса, находим:
зЬв . В
Л'
откуда
33*
В
sin о = •
•Уа*+в*
$16 Линейные уравнения. Прямая линия
Теперь подставим полученные значения sin в и cos Q
в уравнение
: Apcosb-{-Bps\nb-\-C=*0.
Тогда получим:
А*р В*Р _;
•±. VA*-fЯ2 + d= V Л2+Я3
Разделим обе части на ± 1/"-<4а —Ь- ^а- Тогда
А*Р ■ В*р = —С
А*-\-& Ла + Яа ±]/Л2+В»
р(Ла-1-Ва)__ С
Ла+52 ~~ ±1ЛАа + Я>
г С
—р
Подставляя значения sin б, cos 9 и р в нормальное
уравнение прямой, имеем окончательно
Таким образом общее уравнение приводится к
нормальному виду путем деления всех его членов на корень
квадратный из суммы квадратов, коэффициентов при хну. Знак
радикала следует брать противоположным знаку при 09 т. е.
таким образом, чтобы знак при р был минус 1).
734. Уравнение прямой, проходящей через точку (х0, у0)
перпендикулярно к линии Ах-\-Ву-г С = 0 (рис. 394).
Известно, что уравнение прямой должно быть представлено
в виде . .
У—Уо^т\х — лг0).
' • д
Наклон линии Ах-\-Ву-\-С=0 равен — тр.
*) Величина р, как длинна перпендикуляра, опущенного из начала коор-
динат ва прямую, положительна. По этой причине знак радикала у А2 -J- В2
выбирается так, чтобы величина
1±Va9- + № ~ р.
окааалась отрицательной. Прим. ре а*
Расстояние от данной точки Р
517
Так как искомая прямая перпендикулярна к указанной
выше линии, то ее наклон есть величина, обратная и про*
тивоположная по знаку по
отношению к т.
Поэтому
m'- B
и уравнение искомой линии
будет иметь вид
В
[346] у —у0 = -д(х — *о)*
где х0 и у0 — координаты дан- рис. 394.
ной точки.
735. Расстояние от данной точки Р (дг0, yQ) до примой
Ах-{-Ву^С — 0. Перевдсем начало координат эданную
Рис. 395.
точку Р (*о> Уо) и напишем новое уравнение прямой (см. пп°
172, 205, 236, 262 и 270):
* = *о + *'» Э = Sfo+У'
Подставляя в уравнение прямой, получим:
Л(*'+*о) + ^+Уо) + С=0.
Раскрывая скобки, имеем:
_ Ах>+в/+Аг0^Вл+С~0, _ 1),
где х' и у' — переменные координаты, a Ax$ + Вуо*\* С^"" J
янный член,
518 Линейные уравнения. Прямая линия
Согласно п° 733, расстояние от начала координат до дан-
яой прямой равно постоянному члену, деленному на ±YA* -f- ВК
Поэтому
ГЧ47] .Ахр + Вдр + С
IM/j а— +уЛ2^В2 >
рР(600,400) где дго и у0 — координаты данной
точки.
Пример, Гавань В расположена в
С/800 0) ^ км пРямо к севеРУ °т гавани Л,
**-* '- ' а гавань С — в 800 км к востоку от А.
Военный корабль стоит в 600 км к во-
Рис 396 зтоку и в 400 км к северу от А, а
торговое судно идет из В в С. Как близко
подойдет судно к кораблю?
Начертим ррафик* как показано на рис. 396. Из рисунка видно,
что данные задачи позволяют легко написать уравнение прямой в от*
резках, отсекаемых ею на осях координат. Для этого еледует подставить
a = 300 и b = 500 в уравнение
а + 6 - Х*
Таким образом имеем:
* У
800 + 500 = 1§
откуда
5* + &V-4000 = 0.
Сравнивая это с уравнением Ах -f- By -|- С = 0, видим, что здесь
A = S, B = S, C= -4000.
Координаты точки Р суть (600, 400),
т. е.
*о = 600, #о = 400
Подставляя эти значения в формулу *
имеем:
5.690 + 8-400-4000 2200
~ =^У"25 + 64 ~ УМ
If J=^!g2200-ylg89,
откуда
с/=233,2,
736. Уравнение прямой, цроходящей через данную точку
^0*0 У о) и образзгющую угол 6 с линией Ах-\-Ву-\~С*=*0.
Дузд> наклон данной линии равен т, а наклон * искомой
есть т\
Полярное уравнение прямой, проходящей через две точки 519
Так как согласно п° 726 мы можем написать уравнение
линии, проходящей через точку Р и имеющей наклон т\
для чего нужно подставить значение т' в
у—у0 = т' (х — х0),
то остается определить только т\
Из п° 716 имеем:
tff 0 *= г-: —7 ИЛИ г-г-
* 1 -)- m m 1 + J
где в — угол между двумя прямыми, имеющими наклоны
т и т'.
Помня, что определенному значению tg 6 соответствуют
два угла, и решая относительно т\ имеем:
т ± tg 8
#и — «
Из п° 727
т-
т tg б'
_А
откуда
т
i±4tg6'
Рие. 397.
Подставим полученное значение т' в уравнение прямой,
проходящей через данную точку, получим:
[348]
— 4± *« °
1 ± ^ tgf в
737. Полярное уравнение прямой, проходящей через две
точки, например Рг (ри 9г) и Р2 (р* ва), имеет вид (рис. 39/).
[349] fh sin (8 - 6J + Plp2 sin (6, — 6a) -f
+ PP2sin(62 —6) = 0,
где (р, 6) —переменные координаты любой точки на прямой1).
1) Уравнение прямой линии, проходящей через две данные точки
Р\ (*х> Ух) и Pz (х2> у£> в прямоугольных координатах имеет вид
х — хх у — ух
** —*1 Уз — Ух
520 Линейные уравнения. Прямая линия
738. Системы прямых линий. Рассмотрим уравнение
[350J у — тх = к.
Если левая часть уравнения остается неизменной, а
постоянному члену к дают различные произвольные значения,
то графики уравнений образуют ряд прямых, параллельных
друг другу, так как все они имеют
одинаковый наклон.
Величина к является постоянной
для каждой из этих линий, но имеет
различные значения при переходе от
одной линии рассматриваемого ряда
к другой. Эта величина называется
параметром, а совокупность
указанных линий — системой параллельных
прямых.
Если необходимо определить какую-
нибудь из линий системы, например пря-
Рис. 398. мую, проходящую через точку (2,2)
и параллельную к у—'Злг = 2, то,
сохраняя уравнение в форме у —- Зх == к, мы сохраним и условия
параллельности, а находя соответствующее значение к,
определим положение искомой прямой.
Если прямая проходит через некоторую точку, то
координаты последней должны удовлетворять уравнению данной
линии..
По'дставляя значения (2, 2) в уравнение
имеем:
у — 3х = к9
2 — 6 = к или к == — 4.
или, если освободиться от знаменателей,
Заменяя прямоугольные координаты полярными, получим:
Р?2 (cos 0 sin ^2 "™ sin ^ cos ^ + PPl (cos ^2 sin ®1 — sin ^2 Cos &l) +
+ ppi (cos 0X sin в — sinO^ cos 9) — 0.
Уравнение после преобразований примет вид . _
рр2 sin (63 - 6, + paPi sin (Ьх - 9а) + ррх sin (6 - вх) = 0
Прим. ред.
Системы прямых, перпендикулярных к линии у — тх =: к 521
Таким образом, отрезок, отсекаемый прямой на оси У,
равен (—4). Подставляя это значение вместо к в уравнение
системы, найдем
у — 3*= — 4 или у — 3*4-4 = 0,
которое и является уравнением искомой прямой.
739. Системы прямых, перпендикулярных к линии у —
— тх = к (рис. 399). Сравнивая уравнения
у — тх = к
ту-\-х = к9
видим, что наклон прямой в первом уравнении есть величина,
противоположная по знаку и обратная по величине по
отношению к наклону во втором.
Согласно п° 715 это
указывает на то, что линия,
представляемая вторым
уравнением, перпендикулярна
к линии, соответствующей
первому.
* Если в этих двух
уравнениях придавать к раз,-
личные значения, то
получим две системы
прямых, перпендикулярных
одна к другой. Если нам
требуется написать
уравнение одной линии,
перпендикулярной к другой и
проходящей через некоторую точку, то мы можем сделать
это, поставив коэффициенты при х и у один на место
другого и изменив знак члена, содержащего у*
Такое преобразование соответствует перемене знака
наклона и замене его величины на обратную.
Пусть имеется уравнение
2^+3^-4 = 0, ^
тогда общий вид уравнения системы прямых,
перпендикулярных к данной, будет:
, -- .. . Зх — 2у = £. ^
Если требуется написать уравнение линии,
перпендикулярной к прямой 2*4тЗ# —4== 0 и проходящей через точку
Рис. 399.
522
Линейные уравнения. Прямая линия.
,(3, — 2), то посредством подстановки значений координате
общее уравнение Зх—2у = к определим постоянную к.
Заметим, что указанную подстановку не следует
производить в уравнении 2лг + 3у — 4 = 0, ибо точка (3, — 2) лежит
не на этой прямой. *
Имеем:
3-3 — 2( — 2)^к
9 + 4 = &
£ = 13.
Подставляя в общее уравнение, получим
Зх—2^ = 13.
Это и есть уравнение прямой, перпендикулярной к 2*~f-3jf—
— 4 = 0 и проходящей через точку (3,—2).
740. Системы прямых, проходящих через данную точку.
Рассмотрим уравнение
у—у0 = т(х—х0)
и пусть координаты данной точки (лг0, у) будут (3, — 3),
тогда уравнение примет вид
у-\~3 = т(х^-3). >
Придавая т различные
значения, получим систему линий,
которые все будут проходить через
данную точку (3,—3). Если
требуется найти уравнение прямой,
имеющей наклон 2 и проходящей
через точку (2,2), то можем сразу
написать
у~2=*2{х~2)
или
Рис.400. у — 2лг + 2 = 0.
Аналогичным образом можно найти уравнение прямой,
проходящей через две точки, например (2, 2) и (***% 3).
Напишем уравнение системы прямых, проходящих через
точку (2, 2).
Имеем:
у — 2~=т(*—2).
Сист. прямых* проход, через точку пересеч. двух дан. лин. 523
Подставим сюда вместо х и у координаты — 3 и 3, тогда
3 — 2 = т(-3 — 2),
откуда
Уравнение прямой принимает вид:
у-2=-у(*-2)
или
. 5у —10=— *+2
x + Sg —12 = 0.
Для проверки сравним полученный результат с тем, кото*
рый дает подстановка в уравнение прямой, проходящей через
две точки (п° 729):
Ц — Ч\_У\—Уъ
X Х\ Х\ Х%
у —2JI — 3^ _\_
х — 2 2+3 5
— 5у + 10 = * —2
х + 5у —12 = 0.
741. Системы прямых, проходящих черев точку
пересечения двух данных линий. Если уравнения
Ах + Ву+С=0
А'х+В'у-\-С = 0
соответствуют двум прямым, то уравнение
[351] - Ax + By+C+k(A'x + B'y + C') = Q
соответствует системе прямых, проходящих через точку
пересечения данных линий.
Для удобства положим
f(x,y) = Ax + By + C
g(X,y)=:A'x + B'y + C',
тогда, согласно сказанному выше, выражение
/(*.*)+*w*.*)i-o
определяет еястему прямых с параметром к.
524 Линейные уравнения. Прямая линия
Пусть точкой пересечения данных линий является Р(а, Ь).
Тогда оба уравнения, т. е. /(*, у) = 0, g(x4 y) = 0
удовлетворяются значениями х — а пу = Ь, так как Р(а, Ь) лежат на обеих
линиях.
Если
f (а, Ь) = 0 и g(a, Ь) = 0, то
f(a,b) + k[g(a,b)] = 0
для всех значений к. Таким образом каждая линия системы
/(*!#) + £[£(*> у)] проходит через точку Р(а, 6), так как
координаты ее удовлетворяют уравнению.
Преимущества описанного способа, видны из
нижеследующих примеров.
Пример /. Найти уравнение прямой, проходящей черев точку пересечения
линий
2х + у — 4 = 0 и * + 3# —3 = 0 ,
и точку Р(3, 3).
Напишем уравнение системы прямых, проходящих через точку
пересечения двух данных линий. Имеем:
2*+у-4 + *(* + %г-3) = а
Так как искомая прямая проходит через точку Р(3, 3), то координаты
последней удовлетворяют уравнению указанной прямой.
Подставляя х = 3, у =* 3 в уравнение системы» получим:
6 + 3-4 + ^3 + 9-3) = 0<
откуда
5 + 9* = 0; А=-1.
Таким образом
2* + у-4-!ч* + 3^-3) = 0
или
Ш-6>-21 = 0.
Это и есть уравнение искомой прямой.
Пример 2. Найти уравнение прямой, проходящей через пересечение
2х + у + 2 = 0 и *-2# + 2 = 0
и параллельной прямой л
3*-4>-5 = 0.
Уравнение системы прямых, проходящих через пересечение данных,
имеет вид
2лг+^ + 2 + *(*-20 + 2) = О
или
(2 + к)х + (1 - 2k)ff + 2(1 + к) = 0.
Наклон этой линии равен
2 + *
' ■ ~Г=Г2Т - • ••-- :
Уравнение х cos k-\-ys\nk— р = 0 * ' 525
Этот наклон должен быть равен наклону прямой Зл: — 4j/ — 5 = 0, т. е.
-т-, поэтому
2 + k 3 ,Ц
- 1 _ 2k ~ 4 или k = 2 *
Подставляя, имеем:
2*+у + 2 + £(*-2у + 2) = 0.
Упрощая, находим:
t5*-20# + 26 = 0
Полученная прямая параллельна данной, так как коэффициенты при
х и у в их уравнениях одинаковы.
Изложенный метод применим к любому уравнению вида
точно таким же образом, как и к уравнению прямой, поэтому
в дальнейшем мы воспользуемся им.
Главное преимущество этого метода заключается в том,
что нам не нужно знать координаты точки пересечения двух
данных линий, хотя они и могут быть легко найдены (как это
показано на примерах), если решить уравнения совместно.
Если же координаты точки пересечения найти трудно, то
данный метод особенно удобен.
742. Уравнение х cos k-\-y sin k— p = 0 [352].
Очевидно, это нормальный вид уравнения прямой,
причем, придавая к различные значения, получим систему
прямых. Расстояние каждой из них от начала координат равно р.
Если линия, определяемая уравнением
л: cos k-{-у sin к— 2 = 0,
проходит через точку (4, 0), то
4 cos к = 2, откуда cos к = —
sin k = ±Vl— cos2 к ==fc
В таком случае уравнение
х cos k~\-y sin к — 2 = 0
обращается в такое:
^±: 0-^-2 = 0 илил:± ]Лз>-4 = 0.
I/4 ~ 2
526 Линейные уравнения. Прямая линия
Каждая из форм уравнения прямой заключает в себе две
постоянных. Если одной из них придать определенное
численное значение, а другую оставить неопределенной, то
получим систему прямых линий.
Из предыдущих рассуждений видно удобство пользования
общим уравнением системы прямых в тех случаях, когда
необходимо найти линию, удовлетворяющую двум условиям.
При этом общее уравнение можно написать в такой форме,
чтобы удовлетворялось одно условие, а затем подобрать
параметр соответственно второму условию.
743. Произведение двух линейных уравнений.
Если каждое из уравнений #
Ах + Ву + С=0
Л'л: + Я> + С' = 0
соответствует прямой линии, то уравнение
(Ах + Ву + С){А'х + В'д-{-С') = 0
соответствует совокупности этих линий.
Д эйствительно, если, точка Р (а, Ь) лежит на линии Ах +
-\-Ву-]-С = 0 (или на A'x*\-&y-\-C' = 0)f то координаты
ее удовлетворяют уравнению, иначе говоря, при значениях
х = а и у = Ь левая часть уравнения обращается в нуль.
Значения координат Р (а, 6), удовлетворяющие одному из
уравнений данных линий, удовлетворяют и их произведению,
а это значит, что любая точка, лежащая на линии Ах-\~
+ By -f- С = 0 или А'х -f- В'у -f- С =*= 0, лежит на линии,
выражаемой уравнением
(Ax+Bg + Q (А'х + В'д + С') = 0.
Пример.
jc + 2у_= О
х — 2у — 1 ="0.
Произведение равно X2 — 4у2 — х — 2у = 0.
Координаты любой точки, например (2,-1)лежащей на линии* f 2у = 0,
обращают л*вую часть в нуль, так как 2 — 2 = 0, а следовательно
произведение этого множителя на другой равно нулю. Таким образом все
точки, лежащие на прямой х -f- 2у = 0, лежат на линии X2 *— 4у2 — х—2у = 0.
Сказанное справедливо и относительно прямой х -— 2у — 1 =0.
»
744. Уравнения второй степени, выражающие прямые ли-
иии. Уравнение, правая часть которого равна нулю, а левая
часть может быть разложена на два множителя первой сте-
п ни, выражает прямые линии.
Геометрическое место точки
527
Пример,
3*й-ИО*0 + 5у«О
соответствует двум прямым линиям, так как левую часть его можно
разложить на линейные множители
&х + 4у) (х + 2у) = 0.
Уравнения прямых суть:
Зх + 4у = 0
Координаты всех точек этих линий удовлетворяют данному уравнению
(см.у>44В).
Необязательно, чтобы эти линии пересекались—они могут быть и
параллельными. Так, уравнение
х2+у* + 2хУ + Зх + Зу + 2 = 0
соответствует параллельным прямым
х + у + 2^0.
Глава XXXII.
УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ. КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ. ПАРАБОЛА.
Конические сечения
745. Геометрическое место точки, движущейся так, что
ее расстояние от некоторой неподвижной точки находится
в постоянном отношении к расстоянию
до неподвижной прямой» называется
коническим сечением.
Неподвижная точка называется фоку
сом, а неподвижная прямая^-директри- *
сой. Постоянное отношение указанных о
выше расстояний называется эксцентри- \
ситетом и обозначается буквой е. £
Конические сечения подразделяются *
на три класса: ,§
Если е = 1, то кривая является
параболой.
Если е<1, то кривая есть эллипс.
Еслие>1, то кривая есть гипер- Рис.401.-
бола.
Эти кривые названы коническими сечениями по той при*
чине, что они получаются при пересечении конуса
плоскостями.
528 Уравнения второй степени. Конич. сечения. Парабола
746. Уравнение любого конического еечения в
прямоугольных координатах. Пусть директрисой служит ось >\
а фокусом — неподвижная точка (р,0), расположенная на оси X,
и пусть Р{х, у) произвольная точка на кривой (рис. 402).
Согласно определению конического сечения, имеем:
FP __ ,
PN ~€т[
Пользуясь формулой [329], имеем:
FP= У&-рГ + (у-0)*=У(х-р)*+д*
PN=x.
Тогда
t? —— •
X
Возвышая это выражение в квад-
Р(Х>У; рат, получим
с«_(*-/>)3+уа
[353] (1 — е2)**+#2 — 2рх+р*- = 0.
Это и есть уравнение конического
сечения. Чтобы найти точки пересечения"
кривой с осью X, положим у = 0, тогда
е2)дг» + 0 — 2/;*-fV = 0
747. Уравнение конического сечения в полярных
координатах. На рис. 403 полюс расположен в фокусе, а ось ОХ
является полярной осью.
Пусть Р(р, 6)—произвольная точка, лежащая на кривой.
Согласно определению конического сечения
OP=e-PN (1)
ОР=?
PN=p-{-OM = p-\-p cos 6.
или
Уравнение конического сечения в полярн. координатах 529
Подставляя значения ОР и PN в ур-ние (1), имеем:
р = е (р + Р cos 6) = e/>-|-ep cos 6
р— ер cos Ъ = ер,
откуда
[354]
Р =
ер
1—е cos 6"
Как будет показано ниже,
некоторые конические сечения имеют
два фокуса и две директрисы.
Уравнение, отнесенное к другому фокусу
и директрисе, есть
л_ еР
Рис. 403.
r~l + ecos6 *
Парабола.
748. Уравнение параболы. Для параболы е = 1 поэтому
кривая является геометрическим местом точек,
расположенных на одинаковом расстоянии от
фокуса и от директрисы.
Из сртределения следует, что
посредине между фокусом и
директрисой имеется точка, в которой кривая
пересекает ось X. Эта точка называется
вершиной параболы (рйс. 404).
Весьма удобно помещать начало
координат в вершине, ибо уравнение
кривой в этом случае принимает более
простой вид.
Таким образом координатами
фокуса являются
Рис, 404.
а уравнение директрисы
(И-
х =
Р_
2
где р — расстояние RF (фиг. 404)*
Пусть Р(х, ^ — произвольная точка на кривой. Согласно
определению
FP = PN.
34 Справочник для инженера.
530 Уравнение второй степени. Конин, сечения. Парабола
По формуле [329], дающей расстояние между двумя
точками, имеем:
PN=X + JL.
Поэтому
/(—■fc)'+*-*+f-
Возвышая в квадрат и упрощая, получим
[355]
Уравнение директрисы
2рх.
._. Е_
2 *
Фокус находится в точке
(М
Ур-ние [355] показывает, что кривая симметрична
относительно реи X и что последняя пересекается кривой только
в вершине.
Придавая р произвольные значения» получим параболы
различного вида.
Уравнение параболы, осью которой является ось Y, а
вершина находится в начале координат, имеет вид (рис. 405а)
[356] *х* = 2рд.
Парабола и квадратное уравнение 531
Уравнение директрисы имеет вид:
* Фокус находится в точке f О, -х- 1.
Если р—-отрицательно, то кривая обращена выпуклостью
вверх (рис. 4056).
749. Упрощение общего уравнения конического сечения.
Уравнение параболы. Уравнение конического сечения [353]
(1— в2)*2+#а — 2рх + р* = 0
в случае, когда е = 1, т. е. когда кривая есть парабола,
обращается в следующее:
у* = 2рх — р*
или, иначе,
*-*(*-f)-
Перенесем начало координат в точку I -—•, 01, тогда
г ] Р г
х = х +-тр # = #•
Подставляя в полученное выше уравнение, имеем:
^ = 2,(*'+-f)-/>2
S'* = 2px\
Опуская значки, имеем окончательно
у* = 2рх, [355]
которое и является уравнением параболы.
750. Latus rectum. Хорда LLX (рис. 406), проведенная
через фокус и параллельная директрисе, называется Latus
rectum.
Из определения параболы следует, что расстояния L от
фокуса и от директрисы равны между собой и в данном
случае'равны р. Общая длина Latus rectum равна 2р.
751. Парабола и квадратное уравнение. В отделе
алгебры (п° 169 и след.) очень большое внимание уделялось
коническим сечениям вообще, а особенно параболе. Ее отно-
34*
532 Уравнение второй степени. Конич. сечения. Парабола
шение к функциям второй и высших степеней уже
рассматривалось в указанных ir. Поэтому рекомендуется, прежде чем
переходить к дальнейшему, вновь просмотреть их.
Особенно важное значение имеет п°, где рассматривается
перенесение бсей и начала координат, так как сказанное там
поиложимо и ко всем коническим сечениям.
0'
13
о
3
ч
£
"S
|
0
7^
р1г
u._ h —**
Р(*>У1
/
F
*-N.
«i—X н
с- ^
l'
5л
<
•a
Ь>
s^
1
X
X9
Рис. 406. Рис. 407.
Сравнивая степенную функцию у —ах2 (п° 170) с
уравнением х2 = 2ру9 мы видим, что форма их одинакова, и постоян-
1
ная а равна гг •
it 2Р
Перенесение осей параболы. Преобразуем уравнение
у2 = 2рх соответственно положению начала в точке
(У{ — h — к) (см. п° 171). Тогда
лг = хг — h
У^Уг — k.
Подставляя эти значения в
У* = 2рх,
имеем:
(9i-k)* = 2p(x1-h).
Опуская значки, получим (рис. 407):
[357] (y-k)o = 2p(x-h).
Примечание. Начало координат может быть перенесено также в точку
(Л, к), тогда [357] будет иметь вид
Общее уравнен, параболы с осью, параллельн. оси X или У 533
Фокус расположен в точке (й + -£-, к).
Уравнение директрисы x = h—£> ).
752. Общее уравнение параболы с осью, параллельной
оси X или оси Y.
Уравнения вида
9* + Dx + Ey + F=OfrAe £>Ф0 • (1)
x* + Dx + Ey + F=0, где ЕфО (2)
соответствуют параболам, причем в случае (1) ось кривой
параллельна оси X, а в случае (2) — оси Y.
Для доказательства дополним (1) до квадрата, тогда имеем:
++E9+\---Dx + \~ F
или
[358] ^+|^_/>(*-*^).
Полученное уравнение сходно с [357], причем
h= ^ , *= 2~,2р=— D
или
Исследуя подобным же образом (2), имеем:
!) Координаты фокуса и уравнение директрисы относятся к ур-нию [357].
Они выводятся из соответствующего уравнения директрисы
2
и координат Г 0» -fe- J фокуса параболы
у~ =s 2 ■>*
с помощью преобразования
л: а *х — А
? = *-*■ /7р«ш. ред.
534 Уравнение второй степени. Конин, сечения. Парабола
так что jp — ur D _
к=—tf—» ^== 2~'^ ^'
Расстояние от фокуса до директрисы
. Е
753. Функция второй степени у = ах? + Ьх + с [3]. Это
уравнение можно привести к виду [357]. В самой деле,
/ . Ь\* б2—4ас
* = а(Х + Та)- 4а—
ИЛИ
« .(*+^)'-т('+^)-
Здесь» очевидно
Л-_2^' *~ 4а '
Полученное уравнение соответствует параболе, так как
приводится к виду [357]. " * '
Вершина кривой лежит в точке (Л, к) или
/_А У—4дс\
\ 2а' 4а /•
Указанный вид уравнения уже рассматривался в отделе
алгебры (п° 171 и след.). Там же обсуждался вопрос о
перенесении начала координат. Таким образом повторный
просмотр указанных пп° будет способствовать большей ясности
и даст возможность в этом месте избежать ненужных
повторений.* Трактовка всего вопроса в алгебре мотивировалась
желанием уяснить графические соотношения.
754. Уравнение параболы в полярных координатах f
(рис. 408). Для параболы е === 1, так что, подставляя это зна- !
чение е в уравнение - j
получим
[36Ц]
Р==. еР [354]
1-е cos в
1 — cos 6
Построение параболы
Ь35
755. Построение параболы. Приведем доказательство
правильности метеда построения параболы, указанного в п° 180.
На рис. 409
х = М'Р; у = ОМ'
АВ = 2а; OH=h.
N Jth.a)
Рис. 408.
Рис 409.
По построению NC и МН суть равные части АС и АН,
соответственно.
Поэтому
NC МН . • NC jl (
АС ~ АН или h
Из подобия треугольников
х = NC NC
у ОС а
(2)
Но из (1) 7VC ——. Подставляя это выражение в (2), имеем:
а
а
Т
или у2 = -]- х.
Это уравнение есть уравнение параболы*
756. Траектория снаряда. Рассмотрим движение снаряда,
выпущенного из начала координат с начальной скоростью
V м/сек, под углом а к горизонту (рис. 410).,
536 Уравнение второй степени. Конин, сечения. Парабола
Если бы на снаряд не действовали никакие другие силы,
например давление ветра или сила тяжести, то 0н двигался бы
с первоначальной скоростью в ее направлении.
В конце промежутка времени t секунд снаряд должен
был бы находиться в положении, определяемом координатами
x = t К cos a
у = t Vsin a.
Если же принять во внимание силу тяжести, то у будет
уменьшаться на величину -тр gt2 (за t секунд).
Таким образом координаты снаряда в конце t секунд будут:
* = *Kcosa (1)
y = *Ksina —-|-£*з. (2)
Исключая из этих уравнений время t путем подстановки
его величины из (1)
— К cos a
в ур-ние (2), имеем:
х х/ . Я х*
* Kcosa 2 V cos2a
♦
Упрощая, находим:
Последнее уравнение соответствует параболе
рассмотренного в п° 752 (2) вида.
p
Окружность 537
757. Параболический свод. Уравнение параболы вида,
изображенного на рис. 411, с началом координат, помещенном
в вершине кривой, будет
х*=-2ру.
Так как высоты свода удобнее измерять, как показано на
рисунке, то перенесем начало координат в точку О.
Тогда
# = / — А.
Подставляя в предыдущее уравнение и опуская значки,
имеем
если х = s, то у = 0, следовательно
s*=—2p(0—h)
s* = 2ph
'2hm
Взяв определенные значения для Л и 5 и подставив их
в полученное уравнение, можем определить значения и для
различных аначений *. Таким образом уравнение кривой свода
будет иметь вид
*»=---j^ia-h)
или
. hx*
Графический метод построения см. п° 180.
Глава XXXIIL
ОКРУЖНОСТЬ И ЭЛЛИПС.
758. Окружность. Окружностью называется геометрическое
место точек, равноотстоящих от некоторой постоянной точки,
называемой центром.
Обозначим координаты центра через (A, k)$ а радиус —
через г.
Расстояние между двумя точками находится по формуле
[3291 поэтому (рис. 412) . * ■
538
Окружность и эллипс
Возвышая обе части равенства в квадрат, получим:
[362] (лг-А)2 + & — fc)2 = A
Это и есть уравнение окружности.
Если t = 0 и 4 = 0, т. е. начало координат расположено
в центре, то
(л:—0)2 + (у—0)* = г2
или
**+*■ = А. [19]--
Полученное уравнение
является уравнением окружности, центр
которой расположен в начале
координат.
Раскрывая скобки в
выражении (л: — Л)2 + (у—/с)2 = г-2, имеем:
х2+у2—2hx — 2ify + A2 +
+ k2-r2 = 0.
Сравнивая полученное с общим
Рис. 412. уравнением второй степени
Ах2 + Bxy + Cy* + Dx + Ey + F=0,
замечаем, что член, содержащий ху, в нем отсутствует,
а коэффициенты при х2 и у2 равны между собой.
Таким образом, общее уравнение окружности имеет вид:
[363] x2+y*+Dx + Ey + F=0.
Координаты центра и радиус определяются из
D Е 1 ,_
Л=--2-> *=-Т' Г = ^У D* + E2-4F. *
Если D2~\-E2— 4/Г>0, то уравнение соответствует
окружности.
Если же, Z?2 4~ Е2 — 4F=0, то радиус равен нулю, так что
уравнению соответствует точка.
В случае, когда £>2 + Е2 — 4F < 0, радиус — величине
мнимая, окружность также мнимая.
Если D = 0, то А = 0, т. е. центр лежит набей К.
^ Если £—0, то it = 0 и центр лежит да оси X
~ Если /) = 0и /Г = 0, то центр лежит в начале координат.
Если ^=0, то №-\~к2~lA.-ъ е. начало координат лежит
на окружности. ~ . * "~
Определение окружности 539
759. Определение окружности. В каждом из уравнений
[362] и [363] имеются три произвольных постоянных, а именно:
Л, к и г в первом случае и D% E и F во втором. Таким
образом, чтобы написать уравнение окружности, необходимо иметь
три различных условия, определяющие указанные постоянные.
Эти условия могут иметь либо геометрический характер, либо
могут быть выражены в алгебраической форме, причем тогда
из [362] и [363] получим систему уравнений, посредством
которых удается выяснить значения искомых постоянных.
Пример 7. Найти уравнение окружности, проходящей черев точки (1,7),
(8,6) и (7,-1).
Каждая пара координат должна удовлетворять уравнению окружности
Г362], поэтому инеем:
(1 - A)2-f (7-*)2 = г*
(8-А)2 + (6-*)2 = г2
(7-А)2-{-(-1--*)2 = г2.
Решая эти уравнения совместно, находим:
А = 4, * = 3, г = 5.
Отсюда видно;'что искомое уравнение будет иметь вид
(*-42) + fe-3)2 = 52
или
rf+tf8 —а* —б.увО.
Пользуясь общей формой уравнения окружности [363] и подставляя
в него координаты данных точек, найдем:
l+49~D + 7£ + F = 0
64+36 + 8D + 6£ + /r=0
49 + l + W-E+F=*0.
Решая эти уравнения совместно, получим:
D= -S, £= -6,^=0.
Подставляем в [363]
как и ранее. - • -
Пример Z Найти уравнение окружности, центр которой лежит на линии
2лг + Зу = 0 и проходящей через точки /\ (0, — 4) и Р2 (4,0).
Пусть искомое уравнение имеет вид
x2 + y2 + Dx + Ey + F^0.
У ТмГП^~"точкй Р\ и "Р% принадлежат кривой, то "их коордййатьг Щ\Х#П
удовлетворять ее уравнению.
Имеем: ' ^ - ._
р^+16+о-4#+_/:==_ о - - -■- -
540
Окружность и эллипс
Центр окружности имеет координаты I
2 ' TJ*
лежит
пря
мой 2х + $у = 0. Подставляя в это уравнение указанные координаты центра»
получим:
2(~х)+3(~х)=0иАи2/>+3£=за
Решаем совместно уравнения
16-4£ + F=0
16 + 4D + F=0
2D + 3E = 0,
£ = 0, F= -16, D = 0
и ур-ние [363} обращается в следующее:
*2+у2 = 16.
Здесь радиус равен 4, а центр лежит в начале -координат.
760. Уравнение окружности в полярных координатах
(рис. 413). Пусть О А — полярная ось, О — полюс и пусть
центр С имеет координаты
откуда
Рнс. 413. Рис. 414. .
В этом случае уравнение окружности будет:
1364] P2~2pPi cos (6 — ej + p^ — ^ = 0*).
Если центр лежит на полярной оси, то имеем;
[365]
Р2—2ррх cos O + Pi2—г> = 0.
*) Ур-нйе [364] получается из рассмотрения Д ОРС (рис. 413\ Выражая
сторону PC через стороны FO и ОС> по известной тригонометрической
•формул* получаем
** « Р8 + PiB —>Рх сдз (б - Oj).
Hvum* ред
Системы окружностей - 54f
Если полюс лежит на окружности, то
[Збб] р — 2r cos (6 — 6J = 0.
Если полюс лежит на окружности, а полярная ось является
диаметром, то найдем
[367] р — 2r cos 6 = 0.
Наконец, если центр лежит в полюсе, то
р = г.
761, Системы окружностей (рис 414). Если /(*, у) = 0
и g(x> yJ^O суть уравнения двух окружностей, то, согласно
п°(74),
/<*,*) + *[* <*.1Й=0
является уравнением геометрического места точек,
проходящего через точки пересечения данных окружностей.
Это геометрическое место представляет собой либо
окружность, либо прямую, являющуюся общей хордой окружностей.
Пусть
f(x, y) = A1x* + A1y* + D1x + E1y + F1 = Q
В таком случае уравнение
/(*.F)+*fr<**)]=0
примет вид
[368] Al*+A1?+D1x+EiS+F1 + k[AS+4?+
+DiX-hE24+F2] = 0,
откуда
<д+*.42)>+(Лг+М^+(А4-ВД*+
+ (El + kEJy-\-(F1-\-kFi)~0.
Так как коэффициенты при х2 и у2 равны, а член ху
отсутствует, то полученное уравнение соответствует окружности.
Исключением явится случай, когда коэффициенты при
квадратах неизвестных обращаются в нуль. В этом случае
уравнение будет соответствовать прямой, которая является
общей хордой данных окружностей.
Последним обстоятельством можно легко воспользоваться
для нахождения общей хорды, так как, придавая k значение
получим уравнение, в котором члены с х° и у* исчезнут
и полученное уравнение, удовлетворяющееся координатами
542
Окружность и эллипс
точек пересечения двух окружностей,: соответствует прямой,
проходящей через эти точки, т. е. общей хорде.
Пример 7. Пусть имеем два общих уравнения окружностей (рис. 415)
rt+f + Dp + Ea + Fi^O
x^ + y^+D2x + E2g + F2 = 0.
Y\
Рис. 415.
(*)
Положив k = *— 1 или, что то же самое, вычтя второе уравнение из
первого, получим:
(О, - А,)* + to - *> я + *i - F* = о.
Это и будет уравнение общей хорды двух данных окружностей.
Если окружности касаются, то прямая, выражаемая последним
уравнением, есть их общая касательная.
Пример 2. Найти уравнение окружности» проходящей через точку (1,2),
и пересечение окружностей
2*2 + 2^2 — 3* - Ау -1 = 0
3*2 + 302 — Sx _ у _ 4 = 0.
Польауясь [368], имеем:
2*2 + 2у2-.3*-4#-1 + * (3*з + 3#2-8*-у-4) = 0.
Так как окружность проходит через точку (1,2)» то координаты последней
должны удовлетворять уравнению кривой, поэтому
2 + 8 —3 — 8 —1 + ^ fS + 12-8-2-.4)=*0,
откуда k = 2.
Искомое уравнение примет вид:
2*2 +2у2 -3*-4#- 1 + 2(3*2 + Зу2-8*-~#- 4) = 0
или
8*2 + ДО -19* - ву - 9 = 0.
762. Длина касательной (рис. 416). Обозначим буквой t
длину касательной ТР0 к окружности с центром С (A, k) и
радиусом г.
Из прямоугольного треугольника СТР0
p^CPf — А
Эллипс
Пользуясь формулой [329], имеем:
543
[369]
Заметим, что подкоренное Y
выражение здесь точно такое
же, как в [362], но вместо
переменных х иу подставлены
координаты точки Р(х0, у0).
Вследствие сказанного можно
написать под знаком ^
радикала общее выражение, стоя- -jr
щее в правой части уравнения и
[363], тогда получим:
; Рис. 416.
[370]
f= )/*о2+*Л>* + ^*о + ^о + ^~.
Пример. Найти длину касательной/проведенной к окружности л^ + ^З-—
— 4* + 6#-—3 = 0 из точки (5,6).
На [370] имеем:
*= Y 58 + 62-4.5 + 6-6^3=^74.
763. Эллиас. Из п° 745 нам уже известно, что если отно
шение е меньше единицы, то коническое сечение есть эллипс.
N
N*
№
~P*j(he2)-r- ae=)@Cb^
ae*W-ff -f-/>.-g(i-e*)J
D'
Рис. 417.
544 Окружность и эллипс
764. Уравнение эллипса (рис. 417). Пусть Р(х,у) —
произвольная точка кривой, тогда
FP^eNP,
где F—фокус, ND—директриса.
Разделим FB точкой А внутренним образом (см. п° 717),
* точкой А!—внешним образом в отношении е:1, тогда
В А Г Л'
i 1 ■ \
Jg- = e, FA = eAB (l)
I*- = -etFA' = eBA'. (2)
Поместим начало координат посредине между А и А'.
Вычитая (1) из (2), найдем:
FA — FA = e(BA'—AB) >)
AF+ FA' = е (ВА + В А') (*)
АА' = е{ВА+ВА+АО + ОА').
Полагая АА' = 2а, получим:
2а = е(2ВА + 2АО) = е(2ВО)
ВО = ±.
. е
1) При рассмотрении отрезков, расположенных по оси, принято
приписывать отрезкам направления. Приписывая направление отрезку,
рассматривают на ряду с длиной и величину отрезка. Под величиной отрезка
понимается его длина, если направление отрезка одинаково с направлением
оси, и длина, взятая со знаком минус, если направление отрезка
противоположно направлению оси. В рассматриваемых формулах знаками F'A, AB,
FA\ А*В обозначены величины отрезков. При этом первая буква
соответствует началу отрезка, а вторая — его концу. При таком обозначении
перестановка букв соответствует изменению направления отрезка и изменяет
знак величины отрезка.
Например * ш
FA&-AF.
Последнее следует иметь в виду при рассмотрении равенств (*)•
Прим. ред.
Другие соотношения 545
Прибавим (1) к (2), тогда
FA+FA' = e{AB + BA')
2-OF=eAA' = 2ae,
т. е.
OF=ae.
Примем О за начало координат, а ОВ и ОС—за оси
X и Y. Согласно рисунку, координаты фокуса F будут
( — ае,0).
Из соотношения
Pf=e NP, NP=x + BO,
возвышая в квадрат, имеем:
H« = e»A^ = e»f* + -f-)- (3)
Из формулы [329]
PF> = (x + ea)*+y\ . (4)
Из (3) и (4) следует, что
ИЛИ
(1 — е2) л;2 +#2 = а2 (1 — е2). (5)
Мы можем найти отрезок, отсекаемый кривой на оси К,
т. е. меньшую полуось 6, положив дг = 0 и z/ = 6. Подставив
полученные значения д: и j в ур-ние (5), получаем:
62 = а2(1_е2) или (!_e2) = i!.#
Подставляя это значение (1 — е2) в ур-ние (5), найдем
б2
Деля на б2:
Р71] . *+£-!.
Это и есть основное уравнение эллипса.
765. Другие соотношения. Из рис. 417 имеем:
СО2 — квадрат малой полуоси = а2 (1 — е2)
35 Справочник для инженера. . щ
546 Окружность и эллипс
OF2 = а2е2, поэтому координаты фокуса будут (—ае, 0)
CF' = a2(l — e2) + a2e2 = a2 — a2e2 + a?e2===a2f т.е. CF = a.
Итак, чтобы определить положение фокуса, если даны
длины большей и меньшей полуосей, следует сделать на оси
засечки радиусом а из центра С. Пересечение
соответствующих дуг с осью X определит положение фокусов.
Так как Ь2 = а2 (1-е2) = а2 — а2е\ то
GV = a2-42 и ае=*±Уа* — Ъ* 'ч
^=т-ае==а(т~е)===т(1"е2)-
Фокус F* лежит в точке (ае, 0); фокус F—в точке ( — ае, 0).
Примечание, ае = г£ . у аа — б2.
Уравнение директрисы М):
a
е
Уравнение директрисы /V'Z)':
jz^
е
r^ a a2
Заметим, кроме того, что — = - = .
е у а2— о2
Уравнение эллипса можно представить в форме
X2 V2
a2 ^ a2 (1-е2)
766. Второй фокус и директриса. Возьмём F*A' = AF
и ОВ'^ВО.
N'B' параллельна NB; PN' перпендикулярна к N'B'. Таким
образом
или
V (ае — х)2 + у2 =e(-j-—x) = a —
ex.
Возвышая в квадрат, имеем:
(ае — х)2+у2 = а2—2 аех -f e2x2
a2e2 — 2aexArx2-\-y2 = a2 — 1aex f е*х2
"(l-e*)**+j* = a*(l-e*).
Уравнение конического сечений 547
Последнее уравнение совпадает с (5), полученным в п° 764,
следовательнд его можно привести к виду
а2 ^ б2 1т
Таким образом уравнение эллипса остается тем же,
независимо от того, к которому фокусу и директрисе он отнесен.
767. Уравнение конического сечения, приводимое к
уравнению, эллипса. Общее уравнение конических сечений имеет
вид:
(1— е2)*2 + #2 —2рл+Р2 = 0,
причем оно отнесено к системе, в которой I\D (рис. 417)
является осью К, а точка В — началом координат.
Разделив написанное выше уравнение на (1 — е2) и
дополняя до полного квадрата, имеем:
\ 1-е2 У ^ 1 — е* (1 — в*)2 *
Кроме того, из рис. 417 следует, что
р = -?-_ав = —(1-е2)
r e e
или
Р а
1-е3 е
Поэтому наше уравнение можно переписать так:
(*-f)!+^b
а\
Перенося теперь начало координат из точки В в точку О
с координатами/—>0], приведем уравнение к форме
^ 1— е2
или
»2
£—=1
а2 ' а2(1-е2)
или
——— - i Хш
а* { Ь2
35*
548 Окружность и эллипс
Для нахождения величины р поступаем так:
а /1 2\ №
р= — (1 — е2) — —.
Но .
ае = V & — б2,
таким образом
б2 б2
ае у аъ — №
Это можно вывести иначе:
п2е2
/a2_62 *
Следует отметить, что а2 (1—е2) = 6'3 и стало быть
1 е а2"
768. Эксцентриситет £ в зависимости от коэффициентов
членов общего уравнения. Из п° 765
а2
1) Равенство
получается сразу из уравнения
й»-
\Х 1-е*} "t"l_e2~(l-e2)2'
если заметить, что 6 есть ордината эллипса, соответствующая точке О.
Положив
*=-*-
находим
1 — «2 (1 — е*р•
откуда и следует указанная "формула.
Прим. ред.
Фокальные радиусы 549
Если Л<С,'то имеем:
CD*+AE* — 4ACF CD*+AE?—1ACF
4А2С 4 АС2 "
С ~~ CD*+A&-^bACF
ААЮ
(см. п° [772]).
Производя преобразования, найдем:
, С[СР*+АЕ*— 4 ACF] — А [CLP-+-A&—4 ACF]_
е'_ С[С£>2+/1#—AACF\ ~
С—А
т. е.
/•
~~ С '
С-А „
~— или 1 — е- =
= С*
Предполагается, что С — коэффициент при у2 больше, чем
коэффициент А при дг2. Большая ось направлена по оси X.
Если же А > С, то большая ось направлена по оси К,
причем
[372] e=j/jiZL^,
откуда
1 е Л"
Пример. Найти эксцентриситет е из уравнения
Л = 1, С==4
769. Фокальные радиусы (радиусы векторы). Из
определения эллипса или из соотношений, выведенных в п° 764,
имеем (рис. 417):
PF=ePN=e (i- + jrj.. (1)
550 Окружность и эллипс
Кроме того, из п° 766
PF = ePN' = e (~ ~ х\ .
(2)
Рис. 418.
Складывая (1) и (2), получим:
pF+PF = e (-j + х\ + е t-y - х\ =
2а.
Таким образом сумма
расстояний от любой точки
эллипса до фокусов есть
величина постоянная и равна
большой полуоси (рис. 418).
770. Случай, когда
большая ось направлена по оси К.
Если заменить х на у и у на xf то
„2 v2
[373]
Ml
a*
-4- —=1
Рис. 419.
Эллипс в этом случае
будет иметь вид, показанный на
рис. 419.
Координаты точек
пересечения кривой с,осью Y будет |
(О, а) и (0, —а).
Координаты точек
пересечения с осью X
(6,0) и (-6,0).
Случай, когда большая ось эллипса направлена по оси Y 551
Координаты фокуса F (О, ае); фокус F находится в точке
(О, — ае). Уравнение директрисы ND
а
Уравнение директрисы N'D
а_ %
771. Уравнение эллипса, оси которого параллельны осям
координат, но не совпадают с ними (рис. 420). Если начало
Y
0
N .
( Г
D ^
-. Л *.
С А
N'
0'
Рис. 420.
координат перенесено из центра эллипса в точку (—А, —к),
то первоначальное уравнение
аа ^ 6*
1
примет вид
[374]
(дг-Л)» , (я-к)*
а9 ~*~ Ь* ~~~1,
Примечание. Начало координат может быть перенесено и в точку
(А, к), причем получим уравнение
(* + А)2 ■ (* + *)««
а2 "Г 62 -1'
Найденная форма основного уравнения элЛипса является
более общей.
В разбираемом случае центр находится в точке (hy к).
Уравнения осей эллипса суть: лг = А, у = к.
552 Окружность и эллипс
Фокус F находится в точке (Л — ае9 к) или в (А — ]fcp—б2, к)*
Фокус F' лежит в точке (Л + «е> к) или в (й-}-}Л*2—Ь2, к}.
Уравнение директрисы ND:
е
или #
Уа2 —б2'
Уравнение директрисы N'D':
x = h + ±
или
1 V~a*-b*%
Таким образом приведение уравнения к виду
(x-hf {y~kf_
а2 "*" б2 А
соответствует простому дополнению до квадрата членов,
содержащих х и у.
772. Форма Ах1 + Су2+ Л* + Еу -f Z7 = 0. Это уравнение
выражает эллипс с осями, параллельными осям координат.
В этом случае координаты А и С имеют одинаковые знаки,
но различны по величине.
Дополняя квадраты членов с х и у имеем:
л I л- DX~irl _l EY CD*j-AE* — 4ACF
„ Разделив на правую часть уравнения, найдем:
п», ._(i±mL_+ (,+g)' t.
1 J C£>2 + ^^ —4ЛС/7 ^ С£>2+Л£2—4ЛСУ *
4Д2С 4ЛС*
Если ^4 > С, то уравнение имеет вид
a2 ^ 62 x»
Форма Ax*-\-Cy*+Dx+Ei/-{-F=0 553
т. е. большая ось направлена по оси Y. Сравнивая ур-ние
[375] с уравнением эллипса [371], видим, что
h~ 2A'k~ 2C
Ь* =
D Е_
1А'к~ 2С
CD*-{-AE* — 4ACF
4А*С
CD*-{-AE* — 4ACF
4А&
Если А^>С, то поставим а2 и б2 одно вместо другого
и получим уравнение вида
l!j_ —-1
а» + 6a ~
Итак, уравнение
Лдг2 + Су» + £* + £у + F= О
может быть преобразовано к одной, из форм
дг2 . и3 . #2 , л:2 ,
путем перенесения начала в точку
\ 2А' 2С/
Пример, 4*2 + V - 16* + 18у — 11 = 0.
Объединяя члены с х и у и дополняя до квадрата, получим
4*2-16A: + 16 + V + 18y + 9 = ll + 16 + 9
или
4(*-2)2 + 9(^ + 1)2 = 36,
откуда
(*-2У ■ .(у+ !)»_..■
32 Т 23 '
„2 = 9, а = 3, Ь2 = 4,Ь = 2, А = 2, * = —1, ае= У а^^Р = уу
Фокус F находится в точке (Л — ае, &), т. е. в данном случае в точке
(2- V 5.-1).'
Фокус F — в точке (Л + ае, &) или в (2 -f- У^ — 1)»
Уравнения директрис
* = 2-Д= и * = 2+-iL
554
Окружность и эллипс
773. Случай, когда б&льшая ось параллельна оси Y
а начало расположено не в центре (рис. 421). Уравнение
принимает форму
(g-k)* . (*-/»)*
а* + б2 ~Ь
Центр эллипса лежит в точке (A, fc).
Уравнение большей оси: л: = Л.
Фокус F расположен в точке (A, &-f"ae) или в
(Л, & + У^^Щ.
Фокус Т7' лежит в точке (Л, k — ае) или (А, & — У а2—bz).
Уравнение директрисы ND:
yz=k или у = к-
VI
•4»
Уравнение директрисы NT/
а
-к +
к-\ или 1/-Лп-- г ,
где Ь — меньшая полуось,
параллельная оси X.
Рис. 421.
Рис. 422.
774. Эксцентрический угол (эксцентрическая аномалия).
Окружности, построенные на большой и малой осях
эллипса как на диаметрах, называются вспомогательными
окружностями (рис. 422).
Уравнение эллипса в полярных координатах 555
Уравнение эллипса:
а2 + bi — *•
Уравнение окружности, построенной на большей оси:
Х2-+-У = а*.
Уравнение окружности, построенной на меньшей оси:
Пусть <р — центральный угол, образованный неподвижной
стороной, расположенной на оси X, и подвижной —
пересекающей окружности в точках R и Q. Проведем RP и QP
параллельно осям X и Y и отметим их точку пересечения Р.
Получаем:
CW=OQcos<? nMP=ORsm<?
х = а cos ? и у = Ь sin ф.
Подставляя эти значения х и # в уравнение эллипса, найдем.
a2 cos2 9
+
б2 sin* о
Точка Р лежит на эллипсе.
р(р1
cos2 <?-{-sin2 <р = 1.
Рис. 423.
775. Уравнение эллипса в полярных координатах
(рис. 423). Если е < 1, то уравнение (см. п° 747)
1 — е cos <
соответствует эллипсу.
556 Гипербола
Для других фокуса и директрисы имеем:
[376] ра= *Р .
1 J P l + ecos6-
Если 6 = 90°, то величина 2р равна длине фокальной
хорды, перпендикулярной к оси, Имеем:
/> = — (l—Acos6 = 0.
Подставляя в [376], находим
е— (1-е2)
е
1 — 0
Умножая на а, найдем
. ар=а%1— е2) = 62
Р =
а (1—в2).
2р =
а
26*
Глава XXXIV.
ГИПЕРБОЛА.
776. В п° 745, где дается определение конических сечений,
указано, что если постоянное отношение е расстояний точек
от фокуса к
расстояниям от директрисы
больше единицы, то
геометрическое место
таких точек
называется гиперболой
(рис. 424).
Согласно
определению, линия FB
делится кривой
внутренним образом,
причем отрезки
прямой находятся в,
отношении е : 1 -
аеили)/а\Ь? FA 'А лг>
-rft = e; FA = eAB.
Рис. 424. /ш
Гипербола . 557
Кроме того, гипербола делит FB, внешним образом
пересекая ее продолжение в точке А', причем абсолютная
величина отношения отрезков остается равной е.
Г В г • : А'
Г—-—4—. В В * А'
. Рис. 424а. Рис_424Ь.
FA' = -e-A'B.
FA+AA' = FA'.
Положим АА' = 2а. Тогда, как и в случае эллипса, имеем:
еАВ + 2а=? — еА'В
е(АВ-{-А'В) = -2а
е(ВА' — АВ) = 2а
е2ВО = 2а
е
Кроме того
FF = 2(FA + AB + BO).
Но *
FF = 2FO, FA = eAB, ВО = —, АВ = а ——.
е е
2FO = 2(e •АВ+АВ+~\<=2 \е(а ~ ^~)-\-
т. е.
FO — m.
558 ^ Гипербола
Пусть начало координат расположено в точке О и пусть |
осью X является ОВ> а осью Y—ОС. В таком случае
координаты одного фокуса будут F(— ае, 0), а координаты другого
фокуса F'(ае> 0).
Из соотношения
PF' = eN'P,
справедливого для всех точек кривой, получим, возвышая
его в квадрат:
РГ*~е*-№Р* = *(х — -jV
С другой стороны, из основной формулы для расстояния
между двумя точками находим:
Pff = (x-.ae)*-{-!?.
Поэтому
откуда, как и в случае эллипса, получим
В случае гиперболы е > 1, поэтому лучше переписать
уравнение в таком виде:
(е2 — 1) л:2 — х? = а2 (е2 — 1).
Полагая
д* = а2(в9_ J) или (е2— 1) = ^,
получим, подставляя в предыдущее уравнение,
б2 ' " *
Разделив на б2, находим окончательно:
дг2 I/2
[377] ?-fr-l.
Это и есть основное уравнение гиперболы. Так как
6* = aV — 1) = aV — a\
то
а2в5 = аг_|_^ или ае=Уа*-\-Ь\
Случай, когда фокусы лежат на оси Y
559
Координаты фокуса F будут (— ае, 0)} где ае = "|/ а2 + ^2.
Фокус F' лежит в точке (ае, 0).
Уравнение директрисы ND:
а
* = ■
Уравнение директрисы N'D'i
а
причем
а
е
Va*-\-b*
777. Случай, когда фокусы лежат на оси К (рис. 425).,
Если х и у поставить одно на место другого, то основное
уравнение
*а У* _ i
«a k2 ~ 1
v I/2
а" Т
в случае, когда фокусы расположены на оси Y, примет вид:
PW]|s-p—1 йли
62 а2
-1.
Фокус F' лежит в точке (0, ае),
причем ае = l^a2 -f- b\
Фосус F расположен в точке
(0, — ае).
Уравнение директрисы ND
напишется так:
а
9 = —*
где
а
е
Рис. 425.
778. Вывод уравнения гиперболы из общего уравнения
конических сечений. Общее уравнение конических сеченийтаково:
(1— е2)*2 + #2 — 2рх + р2=-=0.
Так как в случае е > 1 коэффициент при я2—отрицателен»
то имеем, меняя знак,
(е2 — 1) л:2 — г/2 + 2/>* — р2 = 0.
560
Гипербола
Деля на (е2 — 1) и дополняя до квадрата сумму членов,
содержащих дг, найдем:
Из рис. 424 видно, что
р = ае-
ее4
или
f<"-«
а
е2_! е2_!
Теперь можем переписать наше уравнение в таком виде:
[379]
(*+^-а=
= Л2
Если перенести начало координат из точки В в точку О,
координаты которой суть (—, ОI, то уравнение обратится
в следующее:
\ w
f\-
\J
Y
0
ае—-
N' У
(I x
V
x'z.
У2 _
= а2
или
и'2
а2(е2 —1)
= 1,
откуда
Рис 426.
а2 б2 ~~ Ь
779. Фокальные радиусы (радиусы-векторы) (рис. 426).
Из сказанного в п° 776 следуют соотношения
PF=ePN=e l-j + A
PF = ePN'
(1)
(2)
Асимптоты
561
Вычитая (2) из (1),.
№-W-(f + х).-.(, -f) =
— а-\~ех— ех-\^а — 2а.
Таким образом разность расстояний от любой точки
гиперболы до фокусов есть величина постоянная и равна длине
поперечной оси, пересекающей гиперболу. Длина оси, пересекающей
гиперболу, равна расстоянию между вершинами, равному 2а.
780. Асимптоты (рис. 427). Пусть POF— прямая,
проходящая через центр гиперболы, т. е. через точку О. Прямая
будет выражаться
уравнением g\ у/А
у = тх*
•
Если при возрастании х
точка Р удаляется в
бесконечность, то прямая
POP*, вращаясь вокруг О,
будет приближаться к
предельному положению
АА.
Прямые АА' и ВВ'
называются асимптотами.
Координаты точки Р(х,у) должны удовлетворять уравнению
гиперболы
Рис. 427.
х*
1/2
Ь2 L
и уравнению прямой
у = тх.
Решая оба эти уравнения совместно, получим:*
аЬ
ЛГ = П=
\ГЬ2 — а2т2
Пусть теперь точка Р (*, у) движется по кривой, причем л
обращается в бесконечность. В таком случае знаменатель
полученной дроби, т. е. величина Yb2— а2т2 должна
приближаться к нулю.
Если Ь2 — а2т2 = 0, то
т = rt—.
а
•JU Справочник пла инш-йыера
562
Гипербола
Подставляя это значение т в уравнение у = тх, найдем:
Ь Ь
у =— х и у = х
* а а
или
Ьх п
у - = 0
у-\ д: = 0.
Это и будут уравнения асимптот.
Уравнения асимптот можно представить в той же общей
форме, как и гиперболу, если объединить их в одно
уравнение второй степени (см. п° 743).
Таким образом получим:
('-4-)('+4*)-'
или у*
откуда
б2
*2=0,
Деля полученное
выражение на £2, найдем:
л:2 и2
аЛ
№
781. Сопряженные
гиперболы (рис. 428). Две
Рис. 428. гиперболы называются
сопряженными, если они
имеют общие сТси, причем каждая ось симметрии пересекает
одну из гипербол и не пересекает другую.
Если в уравнении гиперболы отсутствуют члены,
содержащие переменные в первой степени, то уравнение сопряженной
кривой находится путем перемены знаков при л2 и у2 в
данном уравнении на обратные.
Так например, если имеется
16л2—я* =16,
то уравнение сопряженной гиперболы будет:
^ —16*2 = 16.
Преобразование уравнения гиперболы 563
Таким образом
л:2 и* V2 л:2
а2 £2 — А И £2 а2 Х
выражают сопряженные гиперболы.
782. Преобразование уравнения гиперболы путем
перенесения начала координат.
Перенося начало координат, можно преобразовать
уравнение гиперболы точно таким же образом, как и в случае эллипса
(см. п° 771).
Возьмем общее уравнение гиперболы
a2 '6s ~
и перенесем начало координат из центра этой кривой в точку
(—А, —к), тогда получим:
[380]
(x-h)* (д-к)\
t>*
1.
Примечание. Можно
перенести начало координат
и в точку (А, к), причем
уравнение будет иметь вид:
а2 б2
= 1.
N
У о
л
})
0
\
I
с
W У
X
тг \
Координаты нового
положения центра суть (А, к).
Уравнение большой оси:
д = к.
Фокус Fr расположен в рис# 429.
точке (А4-ое, к).
Фокус F лежит в точке (А — ае, к), причем
ае = 1/^ру2#
Уравнение директрисы ND:
:Л— -
Уравнение директрисы N'D'
36»
*-л+4.
564
причем
Гипербола
а
Если ось, пересекающая гиперболу, параллельна оси У",
то преобразованное уравнение будет иметь вид
[381]
(у—*)« (*-*)2
а2 Ь*
Рис. 430.
Уравнение оси: x = h.
Координаты центра в новой
системе суть (A, fe).
Фокус F' расположен в
точке (А, к-\-ае)\
Фокус F лежит в точке
(А, к—ае), причем
ae^V^rb*.
Уравнение директрисы ND:
Уравнение директрисы Л/ф':
у = к-т,
i ае
783. Равнобочная гипербола. Если а = Ь, то уравнение §
а2 А»
принимает вид
*« —у* = <А [25]
Это уравнение соответствует кривой, называемой равно-
бонной гиперболой. Асимптоты такой гиперболы образуют
с осями координат углы, равные 45°.
Уравнения асимптот будут -
у==х и д = —х.
Эксцентриситет е равен V 2 или 1,414.
Уравнение равнобочной гиперболы 565
Длина хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной
к диаметру, равна 2а.
784. Уравнение равнобочной гиперболы, отнесенной к
асимптотам как к осям. При повороте осей на угод в 45°
по часовой стрелке между прежними и новыми координатами
получаются следующие соотношения (см. п° 793):
х = *' cos (— 45°)—у' sin С — 45°)
9 = *' sin ( — 45°)+#' cos (— 45°),
откуда
* = -}=&+?) (1)
и
у=7Т(/-д/)' (2)
Подставляя значения переменных из (1) и (2) в уравнение
равносторонней гиперболы л:2—у2 = а2, получим:
i-(*'* + 2*' у' +3'2) - у(*'* - 2*V +/2) = а2.
Отбрасывая значки и упрощая, найдем:
[382] *# = -у
Отсюда видно» что если переменные изменяются так, что
их произведение остается постоянным, то кривая^
изображающая их в прямоугольных координатах, есть равнобочная
гипербола.
Гипербола, для которой прямые
* + 2? + 3 = 0
3*+4у + 5 = 0
являются асимптотами, будет иметь уравнение вида
(* + 2(/ + 3)(3* + 4# + 5)+£^00.
х) Уравнение (х + 2у + 3) (3* -)- 4у -f 5) + k = 0 есть уравнение кривой
2-го порядка, обладающей тем свойством, что точки ее пересечения
с прямыми
л: + 2^ + 3 = 0
Здг + 4^ + 5 = 0
лежат в бесконечности. •
566 Гипербола
Уравнение же сопряженной гиперболы будет
(* + 2z, + 3) (Злг+4# + 5)-* = 0.
Если гипербола удовлетворяет дополнительному условию,
например она должна проходить через точку (1, — 1), то
можно легко определить значение к.
В самом деле, подставив значение (1, —1) в предыдущее
уравнение, найдем:
(1-2 + 3) (3-4 + 5) + * = 0,
откуда к= — 8.
Уравнение гипербол примет вид:
(* + 2у + 3)(3* + 4? + 5)-8 = 0
или
3x* + 10xy-\-8y* + Ux + 22y+7 = 0.
Аналогичным образом можем найти уравнение
сопряженной гиперболы
3*2 + 10*у+8#2 + 14л+22# + 23 = 0.
Если принять асимптоты за координатные оси, то их
уравнения'будут:
х = 0 и у = О или ху = 0.
Таким образом, уравнение равнобочной гиперболы
отличается от уравнения ее асимптот тем, чтр в правой части его
вместо нуля стоит постоянная к, т. е.
ху = к.
Эта кривая гипербола и прямые (*) — асимптоты.
Сопряженная гипербола отличается от данной знаком члека в поавой
части равенства
Если отвести ту и другую к асимптотам, то уравнения их примут вид
х'д' = е ; х'у' = — е.
Таким образом, когда уравнение гиперболы дано в виде.
(* + 2у + 3) (3лг + 4у_|_5)_|-* = 0,
уравнение сопряженной гиперболы будет
(лг+2у + 3)(3* + 4«,4-5)-Л = а
Прим. ред.
. Уравнение вида Ax*-\-Cy*-\-Dx +Ey + F*=Q 567
Значение этой постоянной определяется дополнительным
условием, которому должна удовлетворять кривая, например
проходить через точку
plVj?±p_, УсРЛ-ъЛ
являющуюся ее вершиной, причем в этом случае уравнение
принимает вид
х3 = ——»
т. е. выражает гиперболу, отнесенную к асимптотам как к осям,
обычно косоугольным.
785. Уравнение вида Ajfi + Су* + Dx + Еу -f F = 0.
Если А и С имеют разные знаки, то приведенное выше
уравнение соответствует гиперболе, оси которой параллельны
осям координат.
Приводя это уравнение к виду [375], имеем:
(*+~ёгУ , (*+-агУ
=i.
CD* + AE* — \ACF ^ CD*+AE* — 4ACF
4Л2С 4ЛС2
Так как знаки А и С — противоположны, то 4А2С и 4ЛС2
будут также иметь разные знаки.
Если знаменатель второй дроби отрицателен, то ось,
пересекающая гиперболу, параллельна оси X.
Если первый знаменатель отрицателен, то ось,
пересекающая гиперболу, параллельна оси Y.
г { ~D —E \
Если перенести начало координат в точку I -.у, ^ к
то уравнение вида Ах*-\-Су*~\- Dx-\-Ey-\~ F=0 можно
преобразовать к виду
х* 9* =1 [377]
о2 б2
или
V-тг-1- &п]
568 Гипербола
786. Эксцентриситет е, выраженный через
коэффициенты членов общего уравнения. Из п° 776
а2
^ CD*+ЛЕ2—4ACF_ CD* + AP- AACF
, ~ 4ЛС2 "^ 4Л2С rt^z^C
СРа+ЛЕ2—44СУ
4A2C
откуда
»/■
±Л = С
с
причем ось, пересекающая гиперболу, параллельна XX. В
случае, когда ось, пересекающая гиперболу, параллельна YY, мы
получим
-Z1
±А + С
Знаки в подкоренном выражении должны быть выбраны
так, чтобы е оказалось вещественным.
Так как в уравнении гирпеболы А и С имеют различные
знаки, то сумму абсолютных величин А и С следует
поставить в числителе, а абсолютную величину С — в знаменателе.
Пример. Найти эксцентриситет гиперболы, выражаемой уравнением
Приводя к общему виду
16 48
находим
48л:2 - 16#2 = 768
Заметим, что из уравнения равнобочной гиперболы следует
.-/тр. у*
Соотнош. между эксцентриситетом эллипса и гиперболы 569
787. Уравнение гиперболы в полярных координатах.
Если е>1, то уравнение
соответствует гиперболе.
788. Соотношение между эксцентриситетом е эллипса
и гиперболы в случае одинаковых а и Ь. Пусть е —
эксцентриситет гиперболы, ег — эксцентриситет эллипса.
Из пп° 776 и 764
Так как а и Ь в обеих формулах одинаковы, то
е2 —1 = 1 — exa или e* + ei2 = 2,
т; е. сумма квадратов эксцентриситетов равна 2.
Примеры* Сравнить уравнения
-rg Г" ^ * (гипербола)
•у£- + -^- = 1 (эллипс).
В обоих случаях а = 4, А = 2.
Подставляя эти значения в выражения, написанные выше, имеем:
* * «2 16
Для аллипса
отсюда
Так как
будем
в«
в =
иметь:
1-
вз +
= 1,25
= 1,118 (для гиперболы)
61 в2 16
е12=А = о,75
е, = 0,866*
ех* = 1,25 + 0,75 =
= 2,00.
при значениях а и Ь, одинаковых в обоих уравнениях, то значения вив!
могут быть изображены как катеты прямоугольного треугольника. шШ , ,
570
Гипербола
Приняв постоянный отрезок за гипотенузу и построив против нее
прямой угол А графическим путем, выразим соотношения между е и ev
Следует заметить, что в уравнении, соответствующем гиперболе, е должно
быть больше 1.
Если ех приближается к 0, е приближается к 1,414.
789. Соотношение между эксцентриситетом эллипса и
гиперболы, имеющих одинаковые значения а и р. Обозна-
Щ
чим эксцентриситет эллипса через е, а эксцентриситет
гиперболы через ег (рис. 431).
Предположим, что эксцентриситет эллипса равен величине,
обратной эксцентриситету гиперболы, т. е*
1
е = —}
ех • '
тогда
а а
ае = — и — = аех.
&i e
Поэтому расстояние р между фокусами и директрисами
одинаково в обоих случаях, но расположение их таково, что
фокус одной кривой находится там, где проходит директриса
другой, и обратно. ^
790. Если в уравнении эллипса Ь заменить на Ъ У —1,
т. е! на 6с, то оно обратится в уравнение гиперболы. Точно
также, сделав такую подстановку в уравнениях касательной,
Уничтожение членов первой степени 571
нормали и т. д. эллипса, получим соответственно уравнения
касательной, нормали и т. д. гиперболы.
791* Выражения для р в уравнении гиперболы. Из п°
778 имеем:
(в2_1)з-а #
Извлекая корень Квадратный, находим:
.££_ = .
б2 —1
■ а
Глава XXXV.
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА.
792. Уничтожение членов первой степени посредством
перенесения начала координат. Пусть имеем общее
уравнение второго порядка
Ax*+Bxy + Cy*-{-Dx-{-Ey-\-F=0. (1)
Перенесем начало координат в точку (А, к), тогда
x = x'-\-h |
У = !/ + к J
где х' и у'— координаты точки в новой системе.
Подставляя эти значения д: и у в (1), имеем:
Ах?* + 2AhxJ + ЛА2+Вх!у' + SA/ -f ЯЬ:' + Bhk+С/3 +
откуда
4*'*+Я*У + Су'2 + (2ЛА + ££+D)x'+(Bh -f-2C£-f £)/+
+ (ЛА2 + £А£+О:2 + £А + ££-|--Я==0. (2)
Выберем значения А и £ таким образом, чтобы коэффициенты
при х' и у' обратились в нуль, тогда
2ЛА + Bk + D = 0, (3)
Bh + 2Ck+E = 0. (4)
572 Общее уравнение второго порядка
Решая эти уравнения совместно, получим:
. 2CD — BE п
л- & — 4АС /'
2AE—BD
&—4АС
Если подставить эти величины в постоянный член
уравнения (2): -
Ah* + Bhk + Ck*-\-Dh-\-Ek+F,
то он будет равен
rtM, -{4ACF+BDE-AE*-CD*-FB*) -, .
1*Щ & — ААС ' К)
Полученное выражение является крайне важным для
выяснения характера кривой.
Мы назовем его дискриминантом.
Подставляя (3), (4) и (5) во (2), получим общее уравнение,
отнесенное к новым осям:
Л*'2 + £*У + СУ2 —
[№] _ 4ACF+ ВЕ — АЕ2 — С£2 — FB* _ ft
52 _ 4 AC
Заметим, что члены с неизвестными в первой степени
исчезли, а коэффициенты при х2, ху и у2 остались прежними.
Если дискриминант равен нулю, то
и уравнение выражает две прямых линии, как это доказано
в п° 210.
793. Вращение осей (рис. 432). Пусть оси ОХ к OY
поворачиваются на угол В до тех пор, пока они не займут
положения ОХ и О У',. В таком случае произвольная точка кривой
Р(х, у) будет иметь в новой системе координаты (х', у').
Проведем РМ перпендикулярно к ОХ и опустим перпендикуляры
из точек Р и М на ОХ и OY.
ZNPM^b
x = OT-LT
*) Предполагается, чгс
В*-ААСфО.
Поим, ред.
Вращение осей 573
OT=x'cosb
LT = MN=: у' sinO.
*=*=*'cos 9— lysine.
Точно также у
y = OR-{-RS
OR = x' sin 6
RS = PN=y' cos 6
y = x' sin 0 -f-j/ cos 9.
Будем теперь поворачивать
координатные оси кривой,
выражаемой общим уравнением
Лдг9+Вху + С#9+Dx +
+ £y+F=0. [13]
Уравнения Для
преобразования координат будут: Рис. 432.
[385] х = х' cos 9— /sin6
у=:х/ sin 6 -}-у' cos О.
Подставляя значения переменных в [13], найдем:
У
A cos2 9
5 sin 9 cos в
С sin2 в
Е
х'* -
► cos 9
sin 6
-2А sin 6 cos 6
2C sin 6 cos 9
-B sin2 6
£ cos2 9
r -\-E cos 9
* —Z)sin6
+ A sin2 9
— 5. sin 9 cos 9
x'y' С cos2 9
/+F=0.
Если выбрать 9 так, чтобы коэффициент при х'у' обратился
в нуль, то •
В (cos2 9 — sin2 9) = 2(Л — С) cos 9 sin 9
или
В cos 29 = {А — С) sin 29
sin
20_
cos 29
= tg 26 =
В
А —С '
574 Общее уравнение второго порядка
794. Определение вида кривой второго порядка. Для
определения характера линий, выражаемых уравнением
второго порядка, составляем его дискриминант (п° 792).
Если
b=4ACF-\-BDE—AE> — CD* — FB* = Q,
то уравнению соответствуют две прямых, действительных или
мнимых, пересекающихся, параллельных или совпадающих.
Доказательства этого уже приведены в п° 792 и 210.
Если А^О, то имеем в случае:
если В2— 4ЛС=0 — параболу,
если В2— 4ЛС<0 — эллипс,
если В2 — 4ЛС > 0 — гиперболу.
Необходимость выяснения величины В2 — 4АС (если Д^О)
следует из явного выражения у через х.
-(Вх + Е)± У(& - 4ЛС)*2 + 2(ВЕ - 2СР)х + (£2 - \CF) f381
9 ~ 2С '
как то дано в п° 208.
Если не считать сдвига, это будет то же самое коническое
сечение, что и
g ^ V(B*-MC)x* + 2(BE-2CD)x + (b*-4CF) ^ m
Приводя это выражение к рациональному виду, получаем:
— 4CV + (B2 — 4ЛС)*2 + 2(5£—2CZ))*-b(£2—4Cf) = 0.
Отсюда ясно, что если Б2—4ЛС=0, то уравнение —
квадратное по отношению кг/и линейное по отношению к х и,
следовательно, выражает параболу.
Если Б2 — 4ЛС«<0 (т. е. отрицательно), коэффициенты при
э& и у2 будут иметь одинаковые знаки и геометрическое место
является эллипсом.
Если В1 — 4ЛС>0(т. е. положительно),то коэффициенты
при лг* и у2 будут #меть разные знаки. В этом случае урав?
нение соответствует гиперболе.
7?5. Касательная (метод секущей). Уравнение касатель*
рой к кривой в точке Р(х, у) находится следующим образом:
Возьмем вторую точку Р2 на кривой, лежащую близко от Р,
и проведем через них прямую. Она будет называться секущей.
Касательная (метод секущей)
575
Если точка Р2» двигаясь по кривой, приближается к Р9 то
прямая будет вращаться вокруг Р.
Предельное положение секущей, когда Р2 бесконечно при*
ближается, называется касательной в точке Р.
Вычислим наклон секущей, как
это сделано в нижеследующем
примере.
Пусть кривая, изображенная на
рис. 433, имеет уравнение
5z/ = л:3.
Точки Р0(х0У #о) и Р2(^о + Л,
^о~Ь^) лежат на кривой, а потому
их координаты должны
удовлетворять ее уравнению.
Поэтому
S(Uo + k) = (xQ + h)*
5^о + 5А: = Здг0^/г -j-
+ 3x,h* + h*+xQ\
Вычитая (1) из (3), найдем
5& = 3*о2Л+3*0Л2+А3
у._ Зл:о2Л + Зг0Л2+^8
Наклон равен
к _ Зу + Злг0/»-Н*
h 5
Рис. 433.
(4)
т-
Если Р2 приближается Ро, так что h и к стремятся к нулю,
то наклон
_ зу+ЗгоН-л»
приближается к -
^-. (5)
Это и есть наклон касательной.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку, есть
У— Уо = т(х — *о). (6)
576 ' Общее уравнение второго порядка
Подстановка (5) в (6) дает
Зхг?
У—Уо^-j-ix — Xo).
796. Касательные к коническим сечениям в произвольной
точке Р0(х0> Уо) могут быть определены по методу,
указанному в п° 795.
Для окружности *24-*/2 = г2 уравнение касательной:
[386] x0xJryQy = r1\
дАя параболы у2 — 2рх уравнение касательной:
[387] *to# = p(*-r*o);
для эллипса—дг ~Ь ьГ = * Уравнение касательной:
[388] -^-+^--1»
X2 V*
для гиперболы —^ т§- = 1 уравнение касательной:
[389]
х0х у0у
а2 &«
Уравнение касательной к любому коническому сечению
в точке Po(xq, у о) может быть найдено подстановкой х0х
вместо дг2 и у0у вместо у% J '—— вместо ху, ^
у-\-Уо
вместо х и <л вместо у.
Если дано общее уравнение
Л**+Я*я + Ог>+£>л:+£0+F== О,
то уравнение касательной в точке Po(x0i y0) имеет вид
[390] Ахох+В **• + ** + Cyqy + Ц_ (х + Хо) +
!) Ур-ния [386] — [389] получаются из ур-ния [390] при частных
значениях коэффициентов А, В, С, D, E, F. Вывод ур-ния [390] дается в п° 907.
Прим. ред.
Уравнение касательной к коническому сечению 577
Пример U Найти касательную к кривой Здг2 — Аху + 2у — 7 = 0 в точке
(1,-2). Здесь Л = 3, #=-4, С = 0, D = 0, £==2, F=—7, лг0 = 1,
Подставляя эти величины в приведенное выше уравнение касательной,
получим:
3.1-*-4 1-9-?.-* + 0 + 0+^-(у^-2)-7 = 0
или
Зд: — 2у + Ах + у — 2 — 7 = 1х —у — 9 = 0.
Это и есть уравнение искомой касательной.
Пример 2. Найти уравнение касательной к кривой
3*2 - 2ху - я3 + 3* - 4 ц - 3 = О
в точке ( — 3, 5).
Здесь
Л = 3, # = -2, С= —1, Я = 3, £=-4, £=-3
*0 = -,3, #0 = 5.
Подставляя в уравнение касательной, найдем:
3(-S)*-l(-%, + 5*)-lfo)-r
+ -|_(-3 + *)-2(s + 5)-3 = ft
Упрощая, имеем:
35*+ 8^ + 35 = 0.
Это и есть уравнение искомой касательной.
Пример 3. Найти уравнение касательной к кривой
4*2 + ^-5*-12#--8 = 0.
в точке (4, 6).
Здесь
Л = 4, В = 0, С=1, Я = -5, £=-12, £=^8,д-0 = 4,^0 = 6
Из общего уравнения касательной имеем:
4-4* +1(6^)^-1(4 + ^-6(6 + ^-8-0
откуда
27* —108 = 0 или * = 4.
797. Уравнедие касательной к коническому сечению* если
известен ее наклон.
Уравнение касательной, имеющей наклон т 1):
Для окружности х2-\~у2 = г2:
[391] y = mx±rV m2 + l-
!) Все ур-ния (391) — (397) выводятся из одного принципа. Этот
принцип таков. Отыскивается точка пересечения прямой
у = тх + п (*)
с соответствующей кривой.
37 Справочник для инженера.
578 Общее уравнение второго порядка
Для параболы у2 = 2рх,
[392] у==тх+-±-..
Для параболы jt2 = 2/>y:
[393] У = тх-
рт
2 -
2 '
х2 г/2
Для эллипса —j- -j- -jtt = 1:
[394] у = m r ± V, а2т°- + 6*
х2 у2
Для гиперболы ——^ -^т~ = 1*
[395] у = тх ± Уа?т* — Ь*
х2 и2
Для гиперболы —> jg- = — 1:
[396] + 2 у = тх± V Ь* — а*т*
Для гиперболы ху = с:
[397] y = mx±2V —
cm
Величина п берется так, чтобы две точки пересечения совпадали. Тогда
прямая служит касательной. Рассмотрим для примера ур-ние [397 {.
Абсциссы точек пересечения прямой (*) с окружностью
находятся из уравнения
х2 + (тдг + п)2 = г2
или
(1 -f т2)х2 -f- 2mnx + ri* - г2 = 0. (**)
Если
т2п2 — (1 + т2) (п2 — г2) = 0, (***)
то ур-ние (**) имеет двойной корень и точки пересечения прямой с
окружностью совпадают.
Прямая становится касательной.
Соответствующее значение п получается из равенства (***)
п>- = г2(1+т2)
или
п = ±гУ"1_+та.
Окружность имеет две касательных, параллельных данному направлению,
Уравнение касательных
y=^mx^irYrn2Jr\ .
•Прим. ред.
Свойства касательных и нормалей к коническим сечениям 579
798. Нормали к коническим сечениям. Нормалью к
кривой в точке Рх{хи уг) называется прямая, перпендикулярная
к касательной в этой точке.
Уравнение нормали можно найти путем определения
наклона касательной, после чего наклон нормали легко получить,
припомнив, что он является величиной, обратной и имеющей
противоположный знак по отношению к указанному наклону
касательной. Кроме тогО| нормаль проходит через ту же точку
кривой Pi{xlf У)), что и касательная.
Зная найлон нормали и координаты точки, через которую
она проходит, можем написать искомое уравнение.
Уравнения нормали для различных конических сечений будут:
Для окружности х2-\-у2 = г2:
[398] х0у = ху0.
Для параболы #2 = 2рх:
[399] у0х + РУ = х& о + РУо-
х и
Для эллипса —р- 4- -—- = 1:
аы о*
[400] а*у0х — ЪЧ0у = (а9 - б2) хоУо.
JK2 I/2
;Для гиперболы —^ Ъг = 1 •
[401] а*у0х + Ь*х0у = (а2 + б2) х0у0.
Если дано уравнение кривой в общей форме
Ax^Bxy + CyZ + Dx + Ey+F^O,
то уравнение нормали в точке Ро(х0,у0):
799. Свойства касательных и нормалей к коническим
сечениям. Касательная и нормаль к эллипсу делят
соответственно внешний и внутренний углы между
радиусами-векторами, проведенными из фокусов в данную точку, на две
равные части.
На рис. 434
IFPD= IDPF
/_FPN= IN PC.
37*
580
Общее уравнение второго порядка
Таким образом, для того чтобы провести касательную и
нормаль к эллипсу в точке Р, следует соединить ее прямыми
С фокусами и разделить пополам внешний и внутренний углы,
образованные этими
прямыми.
Из физики
известно, что угол
падения равен углу от-
Л/ ражения волны, по-
этому, если потолок
имеет форму
эллипсоида, то шопот
человека, стоящего в
точке F, можно
слышать только в F', в
соседних же с F'
точках он слышен не
будет (рис. 435).
Касательная и нормаль к параболе делят пополам
соответственно внутренний и внешний углы между радиусом-вектором
и прямой, проведенной через
точку касания параллельно
оси X.
На рис. 436
/_FPD = IDPN
IFPC= tCPE.
/ / >К/Ч\
/ !"' ЧЛ ! \
I fr- * L
F Г
Рис. 435. * Рис. 436.
Этим свойством параболы пользуются при устройстве
параболических рефлекторов. Все лучи, выходящие из источника
света, помещенного в фокусе, отражаются по линиями,
параллельным оси параболы.
Касательная и нормаль к гиперболе делят пополам
соответственно внутренний и внешний углы, образованные
радиусами-векторами, проведенными из точки касания.
Диаметр конического сечения 581
Из рис. 437 имеем
IF'PA= IAPF.
£FPD= IDPC.
800. Диаметр конического сечения. Геометрическое место
середин параллельных хорд называется диаметром
конического сечения. Указанные хорды называются сопряженными
с данным диаметром (рис. 438).
В
0^
р^о
г ^
■^~ /
о/
^
>>г
-^ъ
Рис. 437.
Рис. 438.
Сказанное лучше всего иллюстрировать примером.
Возьмем уравнение эллипса
jL-
6»
= i.
Пусть уравнение одной из хорд будет:
у = тх-\-с
и пусть Pi(xv yd и Р^(х2, у^— точки ее пересечения с
кривой, а Р3(х3, Уз) * середина хорды, проходящей через Рх и Р2,
так что
*1+*2 „ .. ._ УХ-\-У2
2
*з:
И »8 =
Найдем координаты точек пересечения хорды с кривой,
для чего решим совместно их уравнения. Подставляя
значения х1г yv лг2 и у2, найдем:
—сРст .1.
Уг-
а*т?-\-Ь*'
(2)
582 Общее уравнение второго порядка
Придавая теперь параметру с различные значения,
получим координаты середин каждой хорды данной системы.
Поэтому можно найти геометрическое место этих точек,
если выполнить условия (1) и (2) независимо от значений с.
Исключим с путем деления (1) на (2), тогда получим:
Таким образом координаты середин системы хорд,
имеющих наклон т, должны удовлетворять условию
т
х а*_
У ~ б2
или
Ь2
* а2т
Это и есть уравнение диаметра, проходящего через
середины хорд, имеющих наклон т.
Точно таким же образом можно найти уравнения любого
диаметра, делящего пополам хорды с наклоном т, и для
других конических сечений.
Так, для параболы у2 — 2рх это уравнение имеет вид
т
х2 и2
для гиперболы —5 fr- = 1 имеем:
а2 б2
б2
агт
801. Свойства диаметров. Рассматривая уравнение
диаметров параболы, видим, что каждый из них параллелен ее оси
или, иначе говоря, каждая прямая, параллельная оси параболы,
делит на две равные части хорды какой-либо системы!
Касательная, проведенная через конец диаметра,
параллельна хорде, которая делится им пополам.
Каждый диаметр эллипса проходит через его центр.
Если один диаметр, например АА' (рис. 439), делит пополам
хорды Ь, с и т. д., параллельные второму диаметру ВВ', то второй
диаметр делит пополам хорды, параллельные первому. Такие
диаметры называются сопряженными.
Подкасательные и поднормали
583
Касательная, проведенная через
раллельна сопряженному диаметру.
Если провести систему хорд,
имеющих наклон т, то получим
диаметр, наклон которого равен
6*
конец диаметра,
патл
а~т
Отсюда следует, что т и тА
являются величинами наклона
сопряженных диаметров, если
или
или же
т
т-
а2т
arm
mm =
6*
Каждый диаметр
гиперболы проходит через центр ее.
Если А А'и ВВ' (рис. 440)
суть сопряженные диаметры
гиперболы CAD и C'A'D',
то они являются также
сопряженными диаметрами
сопряженной гиперболы EBF
и E'B'F.
Касательная, проведенная
через конец диаметра,
параллельна сопряженному
диаметру.
802.. Подкасательные и
поднормали. Проекция
отрезка Р0Т на ось X (рис. 441)
называется подкасательной рис< 441.
в точке Р0. Точно также
проекция отрезка P0N на ось X называется
малью в точке Р0.
Итак, подкасателъная есть отрезок ТМ9
поднормаль — отрезок MN.
поднор-
584 Общее уравнение второго порядка
Рассмотрим уравнение касательной к параболе у2 = 2рх
в точке Р0С*о> Уо)-
уу0 = р(х + х0). [387]
Чтобы найти точку пересечения ее с осью X, положим
у = 0, тогда
рх-\-рх0 = 0
х = —хо = ОГ,
следовательно
TO=xQ.
Подкасательная
ТМ=ГО + ОМ = х0 + х0 = 2х0.
Уравнение нормали в точке Р0(хо, уо) можно написать так:
УоХ + РУ = *оУо + РУо.
Положим у = 0, тогда
..= ХоУо + РУо — г г д
х. _—Хо^р^
Уо
Но
ON=x0+.p
MN=ON—OM=x0+p — x0 = p9
Таким образом длина поднормали любой точки параболы
Ро(х<ь У о) есть величина постоянная и равна /?.
Удобный графический прием для построения касательной,
нормали, подкасательной и поднормали к параболе
заключается в следующем:
Опишем окружность из фокуса, радиусом, равным
расстоянию от последнего до данной точки. Окружность эта
пересечет ось X в точках, через которые проходят касательная и
нормаль. Опуская перпендикуляр из Р0 на ось X, получим
подкасательную и поднормаль (рис. 442).
Применяя тот же самый метод, как и в случае параболы,
к эллипсу, найдем, что подкасательная для люСо.1 точки
Pq(*o> У о) будет равна
*о.
Параметрические уравнения кривой 585
Если имеется система эллипсов, имеющих одну и ту же
большую ось, то касательные для точек, имеющих
одинаковые абсциссы, пересекут продолжение большой оси в общей
точке N (рис. 443).
°ис. 442. Рис. 443.
Начертив окружность с диаметром, равным большей оси
эллипса, и выбрав точку Р0 на этой окружности, имеющую
абсциссу л:0, проведем касательную .PQN. Касательные к точ*
кам эллипсов с этой абсциссой построить весьма легко, так
как для этого следует только соединить их с точкой Л/.
Глава XXXVI,
УРАВНЕНИЯ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ И В ПОЛЯРНЫХ
КООРДИНАТАХ.
803. Параметрические уравнения кривой. Если каждая из
двух переменных координат точки, лежащей на кривой,
выражена в виде функции третьей переменной, то такие
уравнения называются параметрическими уравнениями кривощ
а третья переменная называется параметром.
Если известно уравнение, связывающее переменные, и
если задаться соотношением между одной из переменных и
параметром, то часто бывает возможно определить
соотношение между параметром и второй переменной. Таким путем
можно представить данную кривую в виде ряда
параметрических уравнений. Однако, обычно при выооре параметра
задаются известным^ геометрическими соотношениями между
586 Уравн. в параметр, форме и в полярн. координатах
переменными и параметром или рассматривают как параметр
время, в течение которого точка находилась в движении;
переменные же выражают в виде функций времени. В
предыдущих главах мы уже имели несколько . примеров
параметрических уравнений, таковы (п° 456)
x = tv cos a
или (п° 800)
y = tv Sin ос — ^^
— а2 ст
и
а*т?+Ь*
804. Параметрические уравнения прямой. Из уравнения
прямой
д—уо=-(х—*о) (1)
п
0 m
мы знаем, что наклон линии равен — и что она проходит
через точку (*0, у0).
Разделив (1) на т, имеем:
У~Уо = х — хдв
т п
Примем каждое из этих отношений равным третьей пере*
менной t9 тогда
^ZL^^t и * = *0+я* (2)
[403] _"
^—^ = t или y = y0 + mt. (3)
т
Ур-ния (2) и (3) суть параметрические уравнения прямой (1).
Пример. Представить уравнение
5у - Ах = 15
в параметрической форме.
Имеем:
Sy^ix+lS.
Положим каждую часть равенства равной t, тогда
t = 5y,
* = 4*-fl5,
Параметрические уравнения прямой 587
Отметим, что после исключения t из этих двух уравнений
получим уравнение в прежней форме.
Данное уравнение можно представить также и в таком виде:
Sy - 5 = 4* + Ю = t
t=;5y-S и * = 4лг+-10
/5 t 1
или же
откуда
* = _,__5;
* + 4,
1.
Мы сделаем эти соотношения более ясными, применив
совершенно новый род координатных осей.
Пусть имеются три взаимно перпендикулярные
координатные оси, проходящие через точку О и подобные тем, кото-
\^^0-2 А 6 '8 Ю/2 14
Рис. 444.
рыми пользуются в аналитической геометрии в пространстве.
Проведем через эти оси следующие пересекающиеся
плоскости: плоскость через оси X и Y для изображения
соотношений между jfHj, плоскость через ось X и ось 7*, для
изображения соотношений между х и t, и наконец плоскость
588 Уравн. в параметр, форме и в полярн. координатах
через оси К и Г для соотношений между у и L Следует
помнить, что4 мы рассматриваем плоскости, а не пространство,
как в соответствующих случаях аналитической геометрии.
Для удобства на рис. 444 эти оси изображены в перспективе.
Нанесем на плоскости XT график уравнения
* = 4- t — 5.
4
На плоскости YT построим график уравнения
и на плоскости XY — график уравнения
Взяв произвольную точку на какой-либо из этих прямых,
посредством проектирования определим соответствующие
точки на остальных.
Пример. Пусть t = 10. Проектируя на прямую
4
юайдем координаты (10, 7у). Таким образом
Теперь проектируем на
тогда
у = Ю - 1 = 9.
Из этих точек на обеих линиях опускаем перпендикуляры на
плоскость ХУ, тогда найдем точку (7у , 9) на прямо
Следует отметить, что прямая
4
проходит через точку ( — 5, — 1) и что ее наклон равен -?-•
Наклон прямой
4
по отношению к оси Т равен —т- , а наклон прямой у = t — 1 равен 1.
Если мы зададим две4 из указанных прямых, то третья определится
весьма легко.
* = 7j
Параметрическое уравнение окружности 589
Вообще можно начертить одну из параметрических прямых
в любом месте на плоскости, причем второе параметрическое
уравнение определится из заданных условий.
805. Параметрическое уравнение окружности. Рассмотрим
окружность с центром в начале координат и радиусом г,
описываемую точкой Р{ху у), которая движется от оси в
направлении против часовой стрелки- (рис. (445).
Из рисунка видно, что
cos'
х
г
sin Ь = -£
откуда
[404]
х = г cos О
у = г sin 6.
Здесь мы получим параметрические уравнения
окружности, в которых угол 8 является параметром.
Соотношение между окружностью и приведенными выше
параметрическими уравнениями может быть выведено путем
построения графика х = г cos Ь
на плоскости ХЪ, графика У\
у = г sin 9 на плоскости Y ^
окружности на плоскости
Рис. 445.
Рис. 446.
Несколько точек этих трех кривых отмечены на рие. 446.
Окружность имеет радиус, равный 6. Аналогичным образом
можно показать, что уравнение параболы
о» = 4*
590 Уравя. в параметр» форме и в полярн. координатах
может быть представлено в виде системы
Для эллипса
ские уравнения
х2 у2
—^-[-Т7==1 мы получили бы параметриче-
х = a cos l
у — b sin 6
Для гиперболы
хы
и.
j = 1 можно получить систему
х — a sectt,
y = btgbf
или
х = а ch/ и
у= Ь sh t (см. п° 685).
Для .построения кривых следует придавать параметру
различные значения, а затем вычислять х и у, располагая
полученные результаты в виде таблицы.
806. Параметрические уравнения параболы.
Пример. Авиатор, летящий горизонтально со скоростью 45 км/час,
хочет попасть бомбой в мишень на земле. Высота самолета над землей —
1000 м. На каком расстоянии от мишени он должен бросить бомбу, т. е.
чему равно расстояние ЛВ?
Расположим начало координат в точке, где
начинается движение бомбы. Пусть Р (х, у) —
положение ее через t секунд (рис. 447).
Если обозначим через v скорость бомбы в
"метрах в секунду, то через t секунд она пройдет
в горизонтальном направлении vt метров.
Таким образом
х = vi
Кроме того, как известно из физики, через t
секунд бомба пройдет по вертикали вниз расстоя-
\РМ)
ние, равное
отсюда
gt2 (пренебрегая ветром и т. д.),
»=—£■*■
■=/!?!
: 10С0,
g = 9,81 (приблизительно).
Развертка круга (эвольвента)
591
следовательно
^т/*™ =14 3
V 9,81 %*
сек.,
т. е. бомба достигает земли через 14,3 сек. В течение этого времени она
движется и в горизонтальном направлении.
Подставляя t в уравнение
х — vt,
где v = 45 км!час. или 12,5 м/сек., имеем
* = 12,5.14,3 = 178,75 лс.
Заметим, что уравнения могут быть приведены к обычной форме путем
исключения из них t:
2 2*2
g ^
807. Развертка круга (эвольвента). Если круг обернуть
ниткой, то кривая,которую будет чертить на плоскости точка
нити, когда последняя
разматывается,
называется разверткой круга
(эвольвентой).
Проведем ось X
через центр окружности и
точку Р в том положении
ее, когда она находится
на окружности.
Примем за параметр
угол поворота 0 радиуса,
проведенного в точку
прикосновения
разматываемой нити к
окружности.
Из чертежа (рис. 448)
иадем: Рис. 448.
х = ОМ^ ОВ+ВМ^ ОВ 4- LP
ОВ = а cos6, LP=TP sinQ = a6sinO
y = MP=^BL^BT—LT
ф BT=a sin 0, LT^TPcosb = ab cos6.
Таким образом получим уравнения
х = a cos 0 -f- а Ь sin 6
у == a sin 0 — ab cos0.
[405]
592 Уравн. в параметр, форме и в полярн. координатах
808. Пример движения. Если туго намотанная нить
начинает разматываться с окружности радиуса а с постоянной
угловой скоростью к радианов в секунду, то угол поворота
радиуса через t сек. будет равен kt радианов. Подставляя
эту величину в параметрическое уравнение развертки круга,
получим уравнение движения точки Р(х, у):'
х = а (cos kt-\-kt sin kt)
y = a (sin kt — kt cos kt).
809. Циклоида. Геометрическое место положений точки
Р(х, у), лежащей на окружности, катящейся без скольжения
по прямой, называется циклоидой.
Рис. 449.
Расположим начало координат в точке О—пересечении
кривой с осью X.
Проведем в какой-нибудь точке окружность радиуса а.
Обозначив через 6 угол, на который повернулась катящаяся
окружность, примем его за параметр.
Имеем:.
P£ = asin6, CB = a cos6.
Согласно указанным выше условиям
ОЛ = дуга АР=аЪ.
Из чертежа следует, что
х = OD = ОА — РВ = аО — a sin 6
у =-. DP = АС— СВ = а — a cos О,
Построение циклоиды 593
откуда
[406]
л: es а (6 — sin 0)
# = а (1 — cos 6),
где Ь выражен в радианах.
Это и есть уравнение 'циклоиды
в параметрической форме.
Касательная РТ и нормаль РА
пересекают окружность в концах
вертикального диаметра РА , при
любом положении окружности.
Площадь, ограниченная кривой и
осью ОХ, равна
Л = 3*а2.
Длина кривой
s— 8 а.
810. Построение циклоиды.
Разделим данную окружность на
некоторое число равных частей ... 1, 2,
3, 4 и т. д. (рис. 450).
Отложим отрезок РР, равный
длине окружности, и разделим этот
отрезок на такое же число равных
частей.
Через точки деления окружности
проводим прямые, параллельные
PF, а именно: 1—9, 2—8, 3—7
и т. д.
Если круг повернется на одно
деление, например РР/, 'точка Р
передвинется в положение,
совпадающее с прямой 1—9, параллельной РР'.
Положение точки Р на этих
параллельных линиях может быть
определено двояким образом: 1)
путем помещения центра в
различные положения и засекания точек
на прямых, дугой радиуса а или, иными словами, путем
вычерчивания нескольких окружностей, 2) путем простс го
отступания на одно деление по мере перехода от одной
параллельной к другой, пока не дойдем до середины.
38 Справочник для инженера
594 Уравн, в параметр, форме и в полярн. координатах
Переходя, затем, к другому концу РРГ и двигаясь по
направлению к середине, найдем аналогичным способом точки
второй половины кривой.
Основанием для этого построения является то
обстоятельство, что окружность каждый раз передвигается на одно
деление.
811. Трохоида (рис. 451). Если окружность катится без
скольжения по прямой, то точка, лежащая на радиусе
окружности или его продолжении, описывает кривую, называемую
трохоидой*
Если расстояние от данной точки до центра окружности,
катящейся по оси Х} меньше радиуса, .то кривая называется
фороченнр9
удлиненной трохоидой, если же это расстояние больше
радиуса, то кривая называется укороченной трохоидой или
трохоидой с петлями. . _ ,
В обоих случаях параметрическое уравнение имеет вид
[407] х = аЪ — bsinb
у = а — Ь cos 9,
причем Ь соответствует расстоянию точки по радиусу до
центра катящегося круга.
Для построения трохоиды вычерчиваем окружность в
различных положениях (точно так же, как и в случае циклоиды)
и отмечаем на радиусах расстояние Ь для соответствующих
положений, после чего соединяем полученные точки плавной
кривой.
812. Гипоциклоида и эпициклоида. Точка, лежащая на
окружности, катящейся без скольжения внутри другой,
неподвижной окружности, описывает кривую, называемую гипо-
Построение эпициклоиды и гипоциклоиды
595
циклоидой. Если подвижная окружность катится по
неподвижной снаружи, то точка ее описывает эпициклоиду.
Пусть г —радиус катящейся окружности, R — радиус
неподвижной, тогда уравнение гипоциклоиды в
параметрической форме имеет вид (рис. 452):
[408]
[409]
Xr=(R — r) cos^-f-r cos (*~Г-А
# == (Я —г) sin 0 — r sin f^-r oV
Уравнение эпициклоиды будет
^ = (/?^-r)Cos6 — г cos (^т^е) и
v^(#-f-r) sinO —г sin (^7^еУ
Рис. 452.
Рис. 453.
Параметр 6 есть переменный угол, выраженный в
радианах, который образует с осью Л линию, проходящую через
центры окружностей.
Ось Ху как это видно на рис. 452 и 453, проходит через
начальную точку кривой. Если радиусы R и г соизмеримы,
то кривая — замкнутая."
813. Построение эпициклоиды и гипоциклоиды. Разделим
половину'катящейся окружности на п равных частей, как это
показано на рис. 452 и 453, и пусть точки деления будут
7, 2, 3 и т. -Д. Приняв О за центр и О/, 02, 03 за радиусы,
проводим дуги, как это показано на рисунках.
38*
596 Уравн. в параметр, форме и а полярн. координатах
Опишем дуги АГ, А2, A3', взяв их такой же длины как
и дуги 7—2, 2—3 и т. д., а затем проведем радиусы OVf
02, 03' и т. д.
Если катящаяся окружность подвинется вперед -на одно
деление, точка Р передвинется от начальной точки на
неподвижной окружности в точку, лежащую на первой внешней
концентрической окружности. Тек как центр катящейся
окружности лежит на радиальной линии О/', то ее новое положение
может быть найдено аналогично тому, как мы поступали
в случае циклоиды.
814. Особые виды гипоциклоид. Если радиус катящейся
окружности равен половине радиуса неподвижной, то геоме-
Рис. 454. Рис. 455..
трическое место обращается в прямую, являющуюся очевидно
диаметром неподвижной окружности (рис. 454).
Если радиус катящейся окружности равен четверти радиуса
неподвижной, то получим кривую с четырьмя вершинами,
называемую астроидой. Параметрические уравнения астроиды
будут:
х =Д RCQS 6 -f j R cos 36
3 1 *
V = ^rRsmb — 4-/?sin 36.
4 4
Уравнение этой линии в прямоугольных координатах
*8+#Т=сГ.
Уравнения кривых в полярных координатах 597
Оно может быть получено путем исключения 6 из
приведенных выше параметрических уравнений.
Если у эпициклоиды
радиус неподвижной окружности
равен радиусу подвижной, то
получим кривую, называемую
кардиоидой (рис. 456).
Параметрические уравнения
кардиоиды будут:
* = 2#cos6 — Л cos 26
# = 2£sin6 — /?sin26.
Уравнение этой кривой в
прямоугольных координатах будет
(л* 4-#*+2Я*)2 = Щх*+д*).
График этих уравнений
вычерчивается точно так же, как и
в случаях, рассмотренных в
предыдущих п°. Рис. 456.
Уравнения кривых в полярных координатах.
815. При исследовании уравнений в полярной форме
рекомендуется выяснить следующее:
1. Точки пересечения с полярной осью, для чего полагают
6 = 0°, 180° и /г; 180°.
2. Пересечения с прямой, перпендикулярной к полярной
оси, для чего полагаем Ь = 90°, 270° и т. д. или (2п—1) 90°.
3. Значения 9, при которых кривая проходит через полюс,
для чего полагаем р = 0.
4. Симметричность кривой относительно полюса. Для этого
подставляют вместо р величину (— р), причем если уравнение
от этого не изменяется, то кривая симметрична «относительно
полюса.
Если подстановка (*—6) вместо О не изменяет уравнения,
то кривая симметрична относительно прямой,
перпендикулярной к полярной оси.
5. Крайние значения. Решаем уравнение относительно 6
и определяем максимум- и минимум р. Определяем значение О,
для которых р обращается в бесконечность, а также при
которых р становится мнимым.
816. Применение полярных координат. Если геометриче-*
ское место чертится концом отрезка прямой переменной длины,
598 Уравн. в параметр, форме и в полярн. координатах
другой конец которого закреплен, то применение полярных
координат в этом случае оказывается весьма удобным.
817. Спирали. Спиралью называется кривая, описываемая
точкой, движущейся по прямой, вращающейся вокруг непо-
движногр полюса, причем длина радиуса - вектора и угол,
образуемый им с полярной осью, в:зрастают или убывают
по некоторому определенному закону.
818. Спираль Архимеда. Если отношение радиуса-вектора
к полярному . углу есть величина постоянная, то
соответствующая кривая называется спиралью Архимеда (рис. 457).
Полярное уравнение ее имеет следующий вид:
[410] ■ р = *в,
где 0 выражен в радианах.
Можно определить также спираль Архимеда как кривую,
которую чертит точка, движущаяся с постоянной скоростью
по радиусу-вектору, в то время как последний вращается
с постоянной угловой скоростью-
Рис. 457. Рис. 458. •
819. Гиперболическая спираль. Кривая, описываемая
точкой, радиус-вектор которой изменяется обратно
пропорционально полярному углу, называется гиперболической спи- I
ролью. |
Полярное уравнение гиперболической спирали имеет вид
[411} р-~- и . >*=*. _ . ' |
1
Эта кривая начинается в .бесконечно удаленной от полюса 1
точке п п&ътепшШ9 приближается к полюсу, никогда однако ;]
.,• Логарифмическая спираль 599
его не достигая (рис. 458). Она имеет асимптоту,
параллельную полярной оси и расположенную в расстоянии к над ней.
820. Параболическая
спираль. В этой кривой
квадрат радиуса - вектора
пропорционален
полярному углу (рис. 459).
Уравнение ее пишется
так:
[412] р«='*0.
821, Жезл. В этой
кривой квадрат
радиуса-вектора обратно .
пропорционален полярному углу. Ее
уравнение будет:
Г413] Р2 = Т-
Рис. 459.
\ ф
/Ч
Г\
\ 0
\p(pJ)
/\у^ 1
~^^ -
Полярная ось является асимптотой этой кривой (рис. 460).
Жезл начинается в
бесконечности и постоянно при-,
ближается к полюсу, никогда
его не достигая.
822. Логарифмическая
спираль» Логарифмическая
спираль есть кривая,
обладающая, тем свойством, что
разность логарифмов
радиусов-векторов
пропорциональна разности
соответствующих полярных углов (рис. .461).
Уравнение кривой
[414]
5 а
или
кЬ
ас
где В выражена в радианах, а — значение р при
Если а = 2, то при
8 =-2, —1, 0, 1, 2, 3, 4 и т. д.
Ржт, -j, 1» 2, 4, 8, 16 и т. д.
1 = 0.
600 Уравн. в параметр, форме и в полярн. координатах
Рис. 464.
Определение эмпирических уравнений 601
823. Лемниската. Геометрическое место точек, произведение
расстояний которых от двух неподвижных точек F и F* есть
величина постоянная (равная -^-а2], называется
лемнискатой.
Полярное уравнение кривой имеет вид
[415]. p* = a2cos29,
Так как максимальное значение cos 29 есть 1, то
максимальная величина р есть а.
Если cos 29 отрицателен, то р — мнимая величина. Таким
образом между прямыми, образующими угол 45° и 135е
с осью X, нет точек кривой (рис. 462).
Если вместо 9 подставить (—9), то уравнение от этого
не изменится. Отсюда следует, что кривая симметрична
по отношению к полярной оси.
Если р = 0, то cos 29 = 0 и 9 = 45° или 135°, следовательно
кривая проходит через полюс при этих значениях угла.
Уравнение р2 == a2 sin 29 выражает лемнискату, повернутую
относительно начала на угол 45°.
824. Трехлепестная роза* Уравнение этой кривой (рис. 464)
имеет вид
[416] P = asin39.
825. Четырехлепестная роза (рис. 465). Уравнение этой
кривой таково: (
[417] P = acos2 9.
Глава XXXVII. _ ,
ЭМПИРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.
826. Определение эмпирических уравнений. Кривая,
вычерченная на основании данных, полученных из опыта,
называется эмпирической кривой.
Уравнение, соответствующее кривой, которая в
'достаточной степени приближается к эмпирической кривой, называется
эмпирическим уравнением.
Многие явления природы, как это было найдено путем
опыта, характеризуются какой-либо из трех основных зависи-
мостей:
1) степенной (п° 244),
2) показательной (п° 365),
3) гармонической (п° 613),
£02 Эмпирические уравнения
Степенная функция имеет общую форму
y~~k = m{x—h)n.
Если л=1, то уравнение соответствует прямой линии
у = тх -j- b или у = тх.
Если п > О, то уравнение принадлежит к параболическому
типу »
y-k = m(x-h)n,
причем вершина кривой лежит в точке (Л, к). Сюда относятся
также частные формы:
у = тх\ у — тхп-\- Ьу у = сх2~\- Ьх-\-а.
Если п < 0, то уравнение принадлежит к гиперболическому
типу
y — k = m(x—h)~n,
причем центр соответствующей кривой лежит в точке (А, к). [
К этому типу относятся частные случаи :
а а ! L Ъ *»
#=-«> У = "у»+*» ху = Ъх гоу.
Последняя форма приводится к виду
* У
■г '
827. Во всех случаях, когда требуется найти эмпирическое I
уравнение, рекомендуется сначала вычертить кривую в прямо- §
угольных координатах по данным опыта, чтобы получить 1
общее представление об ее характере. |
Если геометрическое место приближается к прямой линии, -|
то можно принять уравнение у = тх -\-Ь*
Если необходимо установить зависимость между
переменными не с очень большой точностью, то для определения длины
отрезка Ь, отсекаемого на оси У, и величины наклона
проводят прямую т, наилучшим образом соответствующую
средним положениям нанесенных точек.
Для несколько более точного определения выбирают пару
точек, которые весьма хорошо представляют данные
наблюдения, и соединяют эти точки прямой (п° 729),
Способ, наименьших квадратов
603
Если эти точки суть (хit У\) и (*2> У»\ то уравнение
прямой будет
*/, —у0 t ч
S—9i= I _~(* — xJ- '
Xi Ли 2
Пример» При исследовании механизма выяснилось, что усилие Р%.
необходимое для поднятия груза W, изменялось следующим образом (рис. 466):
W
р
10
2,6
20
4,0
30.
5,25,
40
6,53
50
7,85
60
9,10
70
10,4
80
11,65
" 90
12,95
100
14,25
«
Нанося соответствующие точки на. миллиметровую бумагу, можно
заметить, чго зависимость между переменными выражается прямой, причем
Рис. 466.
удобными для подстановки в уравнение координатами являются W =10
Р=2,6 и W =100, Р= 14,25. Таким образом получим:
1, = 0,129*+ 1,3
Р= ОД 291^+1,3
828. Способ наименьших квадратов. Если измерения
произведены более тщательно и требуется составить более
точное уравнение, то необходимо произвести следующие
вычисления (воспользовавшись выводами теории метода
наименьших квадратов).
Взяв данные предыдущей задачи, подставим их попарно
в уравнение у = тх -f- b, в результате чего получим десять
уравнений:
" ' ' 9Д=-60т+6
10,4 = 70т ~Ц
11,65 = 80т-\~Ь
12,95 = 90т+ 6
14,25- 100т -f~ Ъ
2,6 =10т-
4 =20т-
5,25 == 30т -
6,53 = 40т -
7,85 == 50т -
Г*
-Ь
-Ь
-Ь
-Ь
604 Эмпирические уравнения
Умножаем каждое уравнение на коэффициент при т и
сложим результаты.
Имеем:
• 5713,7 = 38 500т + 5506.
Умножаем каждое из уравнений на коэффициент при Ь
и сложим результаты, тогда найдем:
84,58 = 550т+106.
Решая полученные уравнения относительно т и Ь, найдем:
т = 0,1287
6 = 1,380. .
Теперь уравнение примет вид
Р= 0,12871^+1,380.
Итак, способ наименьших квадратов можно
формулировать следующим образом:
. 1. Составим ряд уравнений первой степени путем
подстановки данных, полученных из опыта, в общее уравнение.
2. Если можно получить столько же уравнений, сколько
имеется искомых постоянных, то, решая их совместно, найдем
значения этих постоянных. Если число уравнений больше
числа искомых постоянных, то следует умножить каждое
уравнение на коэффициент при первой постоянной и сложить
полученные уравнения. Продолжая описанный процесс требуемое
число раз, лолучим столько уравнен! й, сколько их
требуется для определения постоянных.
3. Решим совместно полученные уравнения.
4. Подставив найденные постоянные в общее уравнение,
получим нужное эмпирическое уравнение.
829. Зависимости? приводимые к прямолинейным.
Уравнения, имеющие графики не в виде прямых (при вычерчивании
их в прямоугольных координатах), могут быть обращены
в линейные, если воспользоваться различными видами
координат, являющихся функциями х и у.
Пусть, например, имеется уравнение
у = а -\- Ьх*.
Обозначив х2 через и, получим линейноеГ уравнение
у = а -j- bu>
Зависимости, приводимые к прямолинейным
605
Предположим, что из опыта мы получили следующие
соотношения между сопротивлением и скоростью:
V
R
,0
510
10
800
20
1720
30
3300
40
5300
50
8100
Найдя соответствующие точ* и в прямоугольной системе
координат, видим, что они располагаются на кривой, близкой
к параболе, следовательно зависимость между переменными
выражается формулой:
у = а+Ьх*.
Пусть и =V* и y — R, тогда, преобразовав указанные
выпе числа, составим таблицу:
и 100 400 900, 1600 2500
6000-
5000-
4000-
3000 -
2000 -
юоо-
•*
8-
6-
Ь
4-
2,-
R
ч
800
1720 3300 5300 8100
^^ 810*0=о+ 250(1 л Мчпт
/ \^ ""'~'
jS
40Q
200
800
400 600 . 800 1000,
а
1200 1600 2000 2400
U = х*
Рис. 467.
Проведем на-тлаз прямую, наилучше приближающуюся в
среднем к данной системе точек.
Эмпирическое уравнение может теперь быть найдено, если
определить постоянные, соответствующие этой прямой, и
подставить общее уравнение.
606 Эмпирические уравнения
Обычно для этого бывает достаточно двух точек, например:
800=-a-fl00&
8100 = а + 25006, .
откуда
а = 500, 6 = 3,00.
Подставляя эти величины в уравнение
получим
# = 500 + Зи = 500 + 31Л
Можно построить графики каждого из указанных выше
уравнений, служащих для определения а и 6, для чего будем
откладывать пэ оси общие величины а, а по ординатам —
величины Ь. Пересечение прямых даст значение а и 6,
удовлетворяющее обоим уравнениям (рис. 467).
Если требуется большая степень точности, то следует
воспользоваться методом наименьших квадратов (см.
предыдущий п°).
830. Описанный способ приведения уравнений различного
вида к уравнению прямой весьма удобен во многих случаях
практики. Пусть, например, в результате нанесения точек на
миллиметровую бумагу представляется вероятным, что
зависимость между переменными может быть выражена равенством
• & = а* + Ы
Полагая y* = v и х2 = и, проводим соответствующую
прямую, чтобы убедиться, как это согласуется с исходными
данными. Для установления истинного вида зависимости может
потребоваться произвести много пробных попыток такого
рода.
Уравнения вида
Ь
могут быть приведены к линейному виду путем подстановки
1 *
и:
л*
Уравнения вида
ху = Ьх + ау
приводятся к линейному виду посредством деления на ху.
Степенные функции
607
При этом получаем:
х у
Полагаем
- 1 ' 1
и = — и v=~~.
х У
Можно поступить иначе. Деля хд = Ьх -\- ад на х, имеем:
• *-'+(*
Положив ц = —, приводим зависимость между х иу к
линейному виду.
В линейных уравнениях необходимо определить две
постоянные; для этого нужно иметь два независимых условия,
связывающие их. Подстановка результатов двух наблюдений
позволяет определить зависимость между ними, так как
указанные условия дадут возможность составить систему двух
уравнений.
Как это легко заметить, описанному преобразованию
к линейному виду могут быть подвергнуты лишь те уравнения,
в которых нужно определить две постоянные.
831. Степенные функции, выражаемые общим уравнением
' у--к = а(х — Л)п,
могут быть представлены в линейной форме
логарифмированием, так как
k(y — k) = \gd f nlgU — А).
Положив
v = lg{g — к), u^\%(x — h),%
имеем:
v = lg a -f- nu>
где Iga — величина постоянная.
Этот метод объясняет удобство пользования
логарифмической координатной бумагой: Следует заметить, что на ней
вместо значений и и v указаны соответствующие логарифмам
величины х и у.
Таким образом, если есть основания предполагать
степенную зависимость между переменными, то рекомендуется
наносить значения переменных непосредственно на
логарифмическую бумагу.
608
Эмпирические уравнения
Пример. Предположим» что приведенные ниже результаты опыта под*
чиняются закону
п • • .
х 5 10 20 40 60 80 100
у 97 553 3130 17700 48800 100030 175000
Логарифмируя уравнение, находим:
Положим
v = lgy, C = lo;a, u = \gx.
Соответствующее линейное уравнение будет иметь вид:.
v = nu-\-C.
u(^\gx)
v i—lgy)
0,699
1,9868
1,00
2,743
1,301
3,496
1,602
4,248
1,778
4,688
1,903
5,000
2,00
5,243
6.000
5 000
V
1,——^—J 1 ——J J i 1
4.000
з:ооо
г.ооо
- 1.0001
L
fl 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4
Mg o=0.243 •"„ •
Рис. 46Ь.
.Нанося эти числа на миллиметровую бумагу, где по
абсциссам откладываются и, а по ординатам — v (рис. 468), видим
Степенные функции
609
из рисунка, что отрезок, отсекаемый прямой на оси К, равен
(в масштабе ординат) 0,243. Таким образом свободный член С,
соответствующий lga, равен 0,243.
Наклон прямой оказывается равным 2,51, следовательно
ц = 2,5.
Уравнение прямой (для переменных и и v) имеет вид:
v^= 2,5 и + 0,243
или
" lg# = 0,243 +2,5 lg*
C = lga = 0,243, откуда а = 1,75.
100.000
80.000
60.000
40.000
30.000
20.000
* Ш 000
8.000
6.000
4.688
4.248
3.496 ,
/
*
,
Г1 1
А 1
II! -
"'И
1 1
4.000i
3.000
2.000]
■ 10 20 30 40 60 80 100 200 300 600 1000
Значения *
1дСП00Ч301 1.602 1.978.2.000
Рис. 469
Таким образом искомая зависимость выражается формулой
0 = 1,75 л*.
Соотношения, выражаемые указанным уравнением, могут
быть вычерчиваемы на стандартной логарифмической бумаге.
В этом случае вместо логарифмов можно отмечать самые зна-
39 Справочник для инженера.
610 Эмпирические уравнения
чения переменных, а результаты читаются прямо по шкалам,
так как при постановке отметки какой-либо точки здесь
автоматически находятся соответствующие логарифмы.
На рис. 469 показан график степенной функции,
вычерченный на логарифмической координатной бумаге, причем наклон
прямой непосредственно определяет показатель степени при
независимой переменной, а точка пересечения с осью X дает
значение ее коэффициента при ней.
Пример* Покажем применение метода наименьших' квадратов к случаю
степенной функции у = ах11.
х 4 7 И 15 21
у 28,6 79,4 182
Логарифмируя, имеем:
1г* = и | 0,6021 0,845
318 589
\gy = v | 1,456
Составим уравнения вида
Имеем:
1,900
1,04
2,26
1Д8
2,50
1,32
2,77
v = дм -j- С.
1,456 = 0,602 п + С
1,900 = 0,845п + С
2,26 =1,04 п + С
2,50 =1,18 п+С
2,77 =1,32 п + С
Умножим каждое уравнение на коэффициент при соответствующем
и сложим результаты:
0,876 = 0,362п +0,602 С
1,606 = 0,714 п + 0,845 С
2,352 = 1,084 п +1,04 С
2,94 = 1,383 п +1,18 С
3,662 = 1,748 п +1,32 С
11,436 = 5,2»! п + 4,987 С
Складывая первоначальные уравнения, где коэффициентом при С
является во всех случаях единица, имеем:
10,886 = 4,986 n + SC.
Решая оба эти уравнения совместно, получим из
11,436 = 5,294 п + 4,987 С
10,886 = 4,986 п + 5,000 С
следующее:
п = 1,816 С =1* а = 0,366, откуда
Таким образоИ искомое уравнение будет:
:2,32.
Степенные функх&ш, в которых п—величина отрицат. 611
832. Степенные функции, в которых п — величина
отрицательная. Эти функции называются функциями
гиперболического типа и могут быть найдены точно таким же образом,
как и рассмотренные в предыдущем п°.
Нижеследующая таблица дает объем К в кубических футах
одного фунта насыщенного пара, при давлении Р фунтсв на
квадратный дюйм, причем требуется определить зависимость,
связывающую эти величины.
На основании опыта можно предположить, что эта
зависимость имеет вид
PVn = C
или
p = CV~n.
V
р
26,43
14,7
22,40
17,53
19,08
20,80
16,32
24.54
14,04
28,83
12Д2
33,71
10,51
39,25
9,147
45,49
Взяв логарифмы, получим:
hv
ЪР
1,4221
1,1673
1,3502
1,2430
1,2806
1,3181
1,2127
1,3900
1,1473
1,4599
1,0835
1,5277
1,0216
1,5938
i
0,9612
1,6580
Линейная форма зависимости между переменными будет
lgP= — nlgV+C.
Вместо того чтобы выбирать две точки на прямой и
подставлять их координаты в общее уравнение с целью после
совместного решения полученных уравнений найти значения
постоянных, часто пользуются так называемым методом
средних, который дает более точное приближение. Однако этот
последний все же менее точен, чем метод наименьших
квадратов (п° 828).
Суть метода средних состоит в следующем:
. Подставляем все отсчеты, полученные из опыта, в
уравнения прямых и располагаем полученные уравнения в две
группы.
39*
612 Эмпирические уравнения
Сложим члены этих групп, причем получим два уравнения.
Решаем их совместно, как в предыдущих примерах, причем
пользуемся подстановкой
\gP=v9 lgK=M, lga = C
v = nu-\-C
1,1673 = 1,4221 n
1,2430 = 1,3502 n
1,3181 = 1,^806 n
1,3900= 1,2127 n + С
G
С
С
5,1184 = 5,2656 n + 4C
1,4599= l,1473n + C
1,5277 = 1,0835 n + C
1,5938 = 1,0216 n + С
1,6580 = 0,9612 л + С
6,2394 = 4,2136 n + 4C
Решая полученные уравнения совместно, имеем:
п = —1,064
C = lga = 2,6764,
откуда
а = 475.
Уравнение имеет вид:
p=tfSV~im
или
РК1>064 = 475.
Если соответствующие точки не лежат на прямой, в случае,
когда мы предположили зависимость у = ахп, но
располагаются по кривой, загибающейся вверх при возрастании лг, то
следует выяснить, нельзя ли преобразовать график к
прямолинейной форме путем вычитания некоторой постоянной к из
значений у*
Бели какая-нибудь из этих попыток покажет, что график
выпрямляется, то подбирают значение k, обращающее этот
график в линию, которую можно принять за прямую.
Таким образом уравнение можно будет привести к виду
у — к = ахп или у = ахп -{- к.
Уравнения вида y = a-^bx~\- • • • ^rgx4 613
Точно также, если график загибается вниз, то, прибавляя
постоянную к9 приведем уравнение к виду
у-\-к = ахп или у = ахп—к.
Другой метод спрямления графика состоит в прибавлении
постоянной к ко всем значениям независимой переменной.
При этом все точки графика переместятся справа налево на
различные расстояния. Если этот метод окажется
удовлетворительным, то уравнение будет иметь вид
y=C(x-h)n.
Некоторые кривые могут быть выпрямлены посредством
употребления двух добавочных постоянных в тех случаях,
когда одна постоянная не приводит к нужному результату.
833. Эмпирические уравнения вида
у = a-f- bx-\-с*2-]- ^*34" • • ■ +#*П-
Подставляя в указанное уравнение значения переменных,
полученных из опыта, можно получить достаточное число
уравнений, составляющих систему и могущих служить для
определения величины постоянных а, 5, с, d и т. д.
Необходимо иметь по крайней мере столько уравнений,
сколько требуется определить постоянных. Для обычно тре-;
бующеися степени точности достаточно определить три члена.
Если же требуется большая степень точности, то определяют
большее число их.
Некоторые члены могут отсутствовать или так
незначительно влиять на результат, что ими можно с успехом
пренебречь.
Пример Из опыта получены следующие данные:
X
У
1
14
2
64
3
182
4
398
5
742
614
Эмпирические уравнения
Пусть требуется определить четыре постоянных; тогда составляем четыре
уравнения:
и = а + Ьх + сх* + dx*
64 = a-f 2b + Ac + Sd
182 = a
393 = a
3b + 9c + 21d
4b + 16c + 64c/.
Решая совместно указанные уравнения, имеем:
a = 2, о = 3, с = 4, «/ = 5.
Уравнение имеет вид:
у = 2 + 3лг + 4д2 + 5;<з.
834. Закон естественного роста или показательный
выражается формулами
y = abx или у = аекх.
Уравнения этого вида могут быть преобразованы в
линейные посредством логарифмирования обеих частей:
но lge — постоянная, равная 0,4343, поэтому
hy = 0,4343 Ьг-j-lga.
Последнее уравнение является
линейным по отношению к \gy их и
дает, возможность определить
искомую зависимость.
• Употребляя
полулогарифмическую бумагу,
можно начертить со-
,, у, ответствующую пря-
"60 70 80 90 100 110 .120 130 мую, так как орди-
рис 470 наты бУдУт
откладываться на
логарифмической шкале, а абсциссы — на обычной, имеющей
равные деления.
Пример. Опыты Тоуэра дали следующие соотношения между величиной
коэффициента трения и температурой подшипника
(°
и-
120
0,0051
110
0,0059
100
0;0071
90
0,0085
80 \ 70
0,0102 0,0124
60
0,0148
Закон естественного роста или показательный 615
Предполагая, что между переменными существует зависимость вида
имеем
\g p, = 0,4343 kt + \g a.
Составляя таблицу из приведенных выше данных, имеем:
t
lfiT Н-
120
3/7076
110 | 100
57709 | 578513
90
У,9294
80 1 70 | 60
1 *
2",0086%| £0934 | "2Д703
Составим семь уравнений, в которые подставим соответствующие
значения t и lg {х.
Затем пользуясь методом средних, найдем два уравнения. Решая
последние! имеем в результате (рис. 47^)*
fx^ 0,2113 в"0'0184'
Если требуется большая степень точности, то следует
пользоваться методом наименьших квадратов.
На рис. 471 показана прямая, нанесенная на
полулогарифмической бумаге.
Указанная бумага весьма полезна для коммерческих
вычислений. Так как изменение ординаты графика характеризует
0.015 [ *
!
4
60 70 80 90 100 110 '20
Рис. 471.
I
I
•13
Рис 472.
относительное изменение функции у, то кривая показывает,
в каких случаях был получен наибольший процент прибыли.
Если, например, график А на рис. 472 показывает про*
дажную цену товара, а В — себестоимость в течение
известного промежутка времени, то оценка экономического
положения может быть сделана с одного взгляда
&16 Приложение координат к геометрии трех измерений
Глава XXXVIIL
ПРИЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ К ГЕОМЕТРИИ ТРЕХ ИЗМЕРЕНИЙ.
Аналитическая геометрия в пространстве.
835. Аналитическая геометрия в пространстве изучает
при помощи аналитического метода тела и поверхности в
пространстве, что вызывает необходимость рассматривать три
измерения и пользоваться тремя переменными.
Если одна из переменных равна нулю, то аналитические
соотношения между оставшимися двумя будут такими же, как
в случае, когда мы
рассматривали две переменные.
Если пользуются
прямоугольными
координатами, то применяют три
пересекающиеся взаимно
перпендикулярные
плоскости, называемые
координатными плоскостями,
X XOYy YOZ и ZOX.
*~ Указанные
координатные плоскости
пересекаются по трем взаимно
перпендикулярным прямым
OX, OY и OZ,
называемым координатными
осями.
Обычный метод определения положения точки Р(х, у, г)
показан на рис. 473. Стрелки указывают положительное
направление осей.
836. Другой метод определения положения точки в
пространстве заключается в том, что задается ее радиус-вектор,
т. е. расстояние до начала координат, и углы, образуемые
этим радиусом-вектором с координатными осями. Эти углы
называются направляющими углами.
В этом случае точка Р обозначается условно, таким образом:
Я(Р, «, % Т).
Проектируя радиус-вектор на координатные оси, найдем
равенства, связывающие указанную систему с системой
прямоугольных координат, а именно:
[418] _ дг = р cos я, у = р cos 3, z ==- р cos^-
Расстояние между двумя точками в пространстве 617
Кроме того из показанного на рисунке^ параллелепипеда
имеем:
[419] Р2 = *9+ ** + **.
Решая совместно эти уравнения, получим:
f = р2 cos2 a -f р2 cos2 p + f cos2 T»
откуда
[420] cos2 a + cos2 р + cos2 т = 1.
Так как
jt = pcosot, ^ = pcosP, z = pcos7
? = Vx* + !fi + *9
то имеем:
[421]
[422]
[423]
cosa =
cosp
cost
_ У _ = JL
z z
837. Расстояние между
двумя точками в
пространстве. Пусть заданы две точки
Рг и Ро (рис. 474). Из рис. 474
имеем
TJ\2 =~АВ2 + CD2 УВС2 L
АВ = х2—хг
ВС^у2 — уг
CD = z2—zv
Следовательно
Обозначив расстояние PtP2 через df получим окончательно
[424] 4 = У(х3-х1)*М¥>---У1У-+(**-*#'
'618 Приложение координат к геометрии трех измерений
Направление линии РхРг% которая не проходит через начало
координат, определяется „углами направления" <х, р и ?
прямой, проходящей через начало и параллельной РХРГ
Ребра параллелепипеда, показанного на рис. 474,
параллельны координатным осям:
поэтому
[425] cos a
*2 — *1
,з=з, eo.p.a^jb, cosr
Возвышая в квадрат последнее равенство й складывая,
найдем попрежнему
cos2 « + cos* р + cos2 if = 1.
838. Углы между двумя радиусами-векторами или между
двумя прямыми. Пусть через начало координат проведены
прямые, параллельные данным
прямым ОРг и ОР2 (рис. 475),
причем точка Рг определяется
координатами рх, <хг, (3lf fi> a
точка Р2 — координатами^ р2,
а2> Рг и Т2 и пусть, кроме
* того, 6—-угол между прямыми
ОРг и ОР2.
Если прямоугольные
координаты Рг суть (дгх, ylf zj, то:
ОА = хХ) AB=yu BPt = zx.
Проектируя OPt и ОА+АВ+ВРг на ОЯ2, имеем:
Pi cos 6 = х cos «2 +J/ cos p2 -f* z cos Y2-
Проектируя 0/\ на координатные оси, получим:
^Ficosaj )
y = P1cospi У
Z=p1CQSYi J
ПодставЛяя (2) в (1) и деля на р19 находим:
cos в = cos ax cos Ц + cos Pj cos Pj -f" cos Yi °os Тз-
(i)
(2)
Некоторые уравнения с одной переменной 619
Если <*!, plt Ti» и «2, p2i Та суть углы направления двух прямых
то в случае их параллельности
а в случае перпендикулярности
cos ax cos а9 -f- cos px cos P2 + cos ft cos if. -
= 0.
Л
T^w)
/ч
Рис. 476.
Рис. 477.
839. Деление отрезка прямой в данном отношении.
Пусть требуется разделить отрезок РХР% точкой Р3 в
отношении
mi
т%
, т. е. пусть
Тогда
#з
z»
РЛ
РА'
__/п1*2
тл
__ЩУ2
тл
_"11*2
т1
т2*
-f-m2ATi
4-п»2
-\~™&1
-fma
+
-\-щ.
840. Поверхности. Геометрическое место точек, соответ
ствующих уравнению с тремя переменными, называется
поверхностью. Легко видеть, что если в заданном уравнении,
например х*-\-у*—z = 10, придавать х и у различные значения
и находить значен гя z, то точки Р будут располагаться на
некоторой поверхности.
841. Некоторые уравнения е одной переменой. Уравнение
г = 0 определяет координатную плоскость XOY.
620 Приложение координат к геометрии трех измерений
Уравнение у = 0 определяет плоскость XOZ.
Уравнение л:==0 определяет плоскость YOZ.
Уравнение z = k соответствует плоскости, параллельной
XOY и отстоящей от нее на расстоянии к единиц.
Точно также х = к соответствует плоскости, параллельной
YOL и лежащей на расстоянии к единиц от нее, а уравнение
у = к соответствует плоскости, параллельной XOZ;
Всякое алгебраическое уравнение с одной переменной
соответствует одной или большему числу плоскостей,
параллельных координатным.
842. Уравнение с двумя переменными первой степени
соответствует плоскости, перпендикулярной к координатной
плоскости этих переменных.
Пример, Рассмотрим уравнение
Зд: + 2# = 5.
В плоскости ХОУ этому уравнению соответствует прямая АВ (рис 478).
Если из какой-либо точки этой прямой Р восставить перпендикуляр к
плоскости ХОУ, то каждая точка Q на
нем будет иметь те же самые значения х
и у, что и другая точка, лежащая на этом
же перпендикуляре. Эги значения
переменных удовлетворяют уравнению
За: + 25 = 5.
Далее, если PQ движется вдоль АВ,
X оставаясь всегда перпендикулярной к
плоскости ХОУ, или параллельной оси Zt то
координаты любой точки получаемой при
этом поверхности удовлетворяют
уравнению Зх + 2у = 5, которое очевидно и
является уравнением плоскости.
843. Любое уравнение с двумя переменными (рис. 479).
Рассмотрим уравнение
^2 + 22 = 25.
Точка Я (v} г) принадлежит окружности, лежащей в
плоскости KZ. Если провести перпендикулярно плоскости YZ
прямую PQ, то любая точка (^лежащая на ней, будет иметь
те же самые у и *, что и точка Р, а следовательно будет
удовлетворять уравнению */2 + 22 = 25. Так как мы ваяли
точку Р произвольно, задавшись только условием, чтобы
она. лежала на окружности, то наше, уравнение соответствует
прямому' круглому цилиндру, образующие, которого парал-
Рис. 478.
Прямые в пространстве 621
лельны оси Х% а пересечение с плоскостью YZ представляет
собой упомянутую выше окружность.
Совершенно аналогичным образом можно доказать, что
геометрические места точек, удовлетворяющих уравнениям
Ф "Г №
,2
1
а2 Ь"~1
У==2/72Г,
суть цилиндрические
поверхности! образующие
которых перпендикулярны
к плоскости,
соответствующей этим переменным, а
пересечение их с плоско- Рис. 479.
стями суть соответственно •
эллипс, гипербола и парабола. Вообще же, всякое уравнение
с двумя переменными в аналитической геометрии в
пространстве соответствует цилиндрической поверхности. Так как
образующие перпендикулярны плоскости, к которой
относятся переменные, то они параллельны оси третьей переменной.
Образующая линия PQ называется элементом, а
геометрическое место, лежащее в плоскости, — директрисой или
направляющей цилиндрической поверхности.
844. Кривые в пространстве. Геометрическое место,
которому соответствуют два уравнения с тремя переменными,
является кривой, расположенной в пространстве.
Так как уравнение с тремя переменными соответствует
поверхности, то очевидно, что система из двух уравнений
удовлетворяется только координатами тех точек, которые
лежат на пересечении этих поверхностей. Пересечение двух
поверхностей есть кривая, которая и выражается системой
двух уравнений.
Прямые в пространстве. Так как y = k есть уравнение
плоскости, параллельной XOZt и так как z = k соответствует
плоскости, параллельной XOY, то их пересечение есть
прямая, параллельная оси X.
Точно также:
z = к и х = к выражают линию, параллельную оси Y;
х = к и у = k выражают прямую, параллельную оси Y.
622 Приложение координат к геометрии трех измерений
В частности
* = 0, у = 0 — уравнения оси Z\ x~Otz = 0—уравнения оси Y\
j = 0 г z=Q—уравнения оси X.
Более подробные сведения о прямой см. п° 725.
845. Шар. Пусть С (A, ky J)—центр шара радиуса г.
Так как любая точка шара находится в расстоянии г от
центра, то
СР=г.
Из формулы (424) имеем:
[426]
или
г = у (х- hf + (a— kf-\-(z - 0»
(х- Л)» + («,- kf -f (z- О2 = А
Это и
>'
есть
уравнение шара, центр
которого лежит в С (А,
к, /), а радиус равен г
(рис. 480).
Если центр
расположен в начале
координат, то А = 0, £ = 0,
X 7 = 0 и уравнение
принимает вид:,
427] *2 + #2 + 22 = г*.
Раскрывая скобки в
уравнении
Рис 480.
получим
x*+y* + z*— 2Адг — 2kg — 2lz + №-\-к* + Р — /* = 0.
Это уравнение можно представить также в виде:
x*+y*+z*+Gx + Hy + Kz + L = 0.
Дополняя соответствующие члены до квадратов, имеем
[4М] (,+ «)ч(,+|)Ч(,+4)'-
—-^(G8+ № + К* — 4L).
Проекции 623
Последнее уравнение принадлежит к виду
причем координаты центра суть:
>г\
а радиус равен
r = ^-/G2 + №+^-4L
при условии, что CP-f-ff^-f-^2—4L>0.
846. Проекции. Через кривую, расположенную в
пространстве, может проходить сколько угодно поверхностей, причем
уравнение каждой пары их определяет эту кривую.
Рассмотрим две поверхности
*а+#2 + *2 = 25
г = 3.
Первое представляет собой уравнение шара * радиуса 5
с центром в начале координат. Последнее же соответствует
плоскости,
параллельной XOY и
проходящей над ней в
расстоянии 3 единиц
(рис. 481).
Если координаты
какой - либо точки
удовлетворяют обоим
уравнениям, то они
удовлетворяют также
уравнению х2-{-&*=*
= 16, полученному
из них посредством
подстановки z = 3
в л2+#2 + *2 = 25. '
Так как х*-\-у* = 16 соответствует поверхности,
проходящей через пересечение указанных ранее поверхностей,
то очевидно, что это уравнение соответствует цилиндру
с образующей,, параллельной плоскости XY* Таким образом
можно сказать, что подстановка z — k (где
k—постоянная) в уравнение поверхности дает уравнение цилиндра,
проходящего через пересечение плоскости z = k и данной
Рис. 481.
624 Пр иложение координат к геометрии трех измерений
поверхности, или уравнения проекции на плоскость XY
линии, полученной от пересечения z~k и поверхности.
Описанным способом можно определить характер кривой,
получающейся в результате пересечения данной поверхности
плоскостью, параллельной координатной.
847. Проекция кривой на координатную плоскость.
Повторяя рассуждения, приведенные в предыдущем п°, можно
найти уравнение проекции на плоскость XY кривой,
определяемой двумя уравнениями, посредством исключения
переменной z из этих последних. Уравнение, полученное в
результате, и является уравнением искомой проекции.
Точно также для проектирования на плоскость XZ
исключаем у, а для проекции на плоскость YZ исключаем из
двух уравнений переменную х.
Итак, кривую можно представить двумя уравнениями
с двумя переменными в каждом.
Проекция геометрического места на координатную плоскость
называется изображением его на этой плоскости.
Дая нахождения уравнения
кривой, по которой
пересекается поверхность с
плоскостью XY, примем z = 0, для
плоскости XZ примем # = 0,
для плоскости YZ примем х = 0.
Пример. Определить вид кривой,
по которой поверхность у2 + z2 = Ax
пересекается с плоскостью z = 4
(рис. 482).
Исключая посредством подстановки z = 4 переменную zt имеем:
#2-4* +16 = 0.
Полученную кривую можно рассматривать как кривую, заданную
уравнениями
у2-4л: + 16 = 0
z = 4-
Рис. 482
Если взять первое» видим, что у2
Плоскости XY, являющееся параболой.
#2 — 4* +16 = 0 '
y2 + z*^4xl).
4* + 16 = 0 есть изображение на
г) Система уравнений
у2 - 4* + i6 = 0
02+2? = 4*
(*)
Поверхность вращения
625
848. Пересечение поверхности с координатными осями.
Чтобы найти:
пересечение с осью X, полагаем у = 0, z = О
„ „ У, „ •* = <), 2 = 0
» Z, „ * = 0, у = Ъ.
Рекомендуется исследовать симметричность поверхности,
для чего делаем подстановки (—х) вместо xf (—у) вместо у
и (—г) вместо z.
Если после такой подстановки уравнение не изменяемся,
то поверхность соответственно симметрична по отношению
к плоскостям YZ, XZ
или XY и по отношению
к оси Xf Y и Z.
849. Поверхность
вращения. Поверхность,
образующаяся при
вращении плоской кривой
вокруг прямой, служащей
осью, называется
поверхностью вращения.
Отсюда следует, что каждое
сечение этой
поверхности плоскостью, иерпен-
Рис. 483.
дикулярной к оси,
является окружностью, как и путь, проходимый точкой,
образующей кривую.
Рассмотрим эллипс
( д2 +V— 12л: = 0
{ * = 0,
который вращается вокруг оси X (рис. 483).
не равносильна системе
у2-4лг + 16 = 0
z = 4.
В самом деле, исключая у2 из уравнений (*), приходим к системе
#2-4л: + 16 = 0
*2 = 16,
которая распадается на две
у2 — 4л: + 16 = 0 \ и у* — 4*+ 16 = 0
(**)
... г
Первая система есть сисема (* %).
40 Справочник для инженер*. *
*= -4
. Прим. ред.
626 Приложение координат к геометрии трех измерении
Пусть Р(х> у, г) есть точка, принадлежащая поверхности
вращения.
Проведем плоскость через ось X и точку Р и пусть OY'
есть пересечение ее с плоскостью YZ.
Уравнение эллипса, отнесенное к осям ОХ и О У как
к координатным осям, есть
Проведем плоскость, перпендикулярную к оси ОХ и
проходящую через Р. Из РАВ имеем:
&* = *+.?. (2)
Подставляя значение у'* из (2) в (1), получим:
*2 + 4z2+42 —12* = О,
которое и является
искомым уравнением.
Пример, Вращая прямую
2* + 3z = 12, 0 = 0 вокруг
оси Z, получим конус.
Определить его уравнение (рис.
484).
Проведем плоскость че-
J/ рез OZ и Р, а также
плоскость, проходящую через Р
и перпендикулярную к оси
OZ.
Уравнение прямой, ле
жащей в плоскости ZOX',
будет
2х' + 3* = 12. (1)
Из прямоугольного Д АВР имеем:
*' = Vx* + g*. (2)
Подставляя (2) в (1), получим:
2У"5Г+^2 + 3* = 12
или
12-3* .——
—2 Я^ + Л
откуда следует, что
. . 9 (12-3^)2
Из первого примера мы видим, что уравнение поверхности
вращения получается подстановкой Уy2-\-z* вместо у, а во
Рис. 484.
Поверхность вращения 627
втором примере мы нашли новое уравнение подстановкой
Vx2Jr9* вместо х.
Вообще для того, чтобы найти уравнение кривой, следует
вычислить корень квадратный из суммы квадратов двух
переменных, исключая той, которая откладывается 'по оси
вращения, и подставить его вместо одного из переменных,
входящих в уравнение кривой.
Для уравнения, связывающего х и у, при вращении вокруг
оси X, следует подставить yy2-\-'z2 вместо у, так как у и z
суть переменные, отличные от х. Величину Vy^-^-z1
необходимо подставить в уравнение там, где у в него входит.
Сказанное можно формулировать в таком виде:
Если /(дг, #) = 0 есть уравнение кривой в плоскости XY
и если ось X является осью вращения, то уравнение
поверхности вращения будет
f(x, Ур+7«) = 0.
Если кривая f(x, y)==0 вращается вокруг оси К, то
уравнение соответствующей поверхности будет
Наконец, если кривая f(y, z) = 0 вращается вокруг оси
Z, то получим такое уравнение поверхности вращения:
. 850. Уравнение конуса. Поверхность конуса получается
путем вращения прямой z — mx-\-c вокруг оси Z.
Подставляя 1Л*2-{-#2 вместо дг, получим:
z = mV^Ty2 + c или /^М1?^^1^
ш 9
откуда
[429] * + jie(«ZL£
Точно также при вращении прямой у = mx -f- к вокруг
оси X, следует сделать подстановку Vд2+& вместо у, тогда
получим
VsMr^ = mxJt~k или y2 + z* = (mx + fy*.
40*
628 Приложение координат к геометрии трех измерений
851. Сплющенный сфероид. Эллипс
о2 ^ б2 1
при вращении вокруг малой оси дает сплющенный сфероид.
Вращая вокруг оси Z, мы должны сделать подстановку
V х*-\-у* вместо х, причем получим:
х* + У2 | & _ <
о2 "*" А2 ~~ *
или
[430] . £ + £ + £ = 1.
852. Вытянутый сфероид. Если вращать эллипс
— 4- — — 1
вокруг большой оси (оси А), то, подставляя вместо z
величину V^H"-2'2, получим уравнение вытянутого сфероида
853. Параболоид вращения есть поверхность, образованная
вращением параболы
x* = 2pz
вокруг ее оси (оси Z).
Подставляя Vx?-\ry* вместо х в приведенное уравнение,
получим искомое
[432] ' x*-\-y* = 2pz.
854. Однополый гиперболоид вращения. Однополым
гиперболоидом вращения называется поверхность,
образованная вращением гиперболы
а» б2
вокруг оси, не пересекающей кривую (оси Z).
Подставляя У"лс2 + у? вместо л:, получим:
которое и является искомым уравнением.
Плоскость 629
855. Двуполый гиперболоид вращения. Двуполым
гиперболоидом вращения называется поверхность, образованная
вращением гиперболы
х2 г2
вокруг оси, пересекающей кривую (оси X),
Подставляя вместо z величину Vy2-^-z29 найдем искомое
уравнение:
[434]
62 — !■
Глава XXXIX.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.
Линейные уравнения.
856. Плоскость. Наиболее удобной формой уравнения
плоскости является нормальная форма, которую мы сперва и
рассмотрим.
Возьмем произвольную плоскость, например ABC (рис. 485).
Проведем прямую ON, перпендикулярную к плоскости ABC,
и примем направление от О к N за положительное на этой
прямой.
Пусть OD = р есть
расстояние от начала
координат до плоскости,
причем D— точка встречи
перпендикуляра ON с этой
плоскостью.
Обозначим углы,
образуемые ON с осями
координат, через а, р и т
и пусть Л (*, у, z) —
произвольная точка в
плоскости. Начертив коорди- ,
наты этой точки, найдем: Рис- 485;
ОЕ = х, EF=y, FP = z.
Проектируя OE-\-EF-\-FP и OP на ON, получим:
(пр. 0£) + (пр. £7ч + (пр. ДР) = (пр. ОР),
откуда
х cos а -\-у cos 3 -|~ z cos Т = р
630 Линейные уравнения с тремя переменными
или
[435] * cosa + i/cosp-|-*cosK — р==0:.
Это и есть нормальная форма уравнения плоскости, где р
есть расстояние плоскости от начала координат, а, Р и | —
углы, образуемые перпендикуляром, опущенным из начала
координат на плоскость, с координатными осями.
857. Общее уравнение первой степени.
[436] Ax + Bg + Cz + D = Q
есть уравнение плоска ;ти, потому что его можно привести
к Нормальной форме.
Умножим уравнение на постоянную kf величину которой
определим, сравнивая уравнение
kAx + kBg + kCz + kD^Q (1)
с нормальной формой
xcosa + #cosp4-*c°s"f — р = 0. [435]
Уравнение (1) совпадает с [435], если можно найти к,
удовлетворяющее равенствам:
кА = сова, &£ = cosp, fcC = cos;f (2)
Й) = —р. (3)
Возвышая в квадрат (2) и складывая, найдем*.
к* (Л2 + Я2 + С2) = cos2 a 4- cos2 p -f cos2 T = 1 (См. п° 837),
откуда
■»-—=j_.
Подставляя это выражение в (1), получим:
Общее уравнение первой степени 631
Следует отметить, что ур-ние [437] написано в
нормальной форме, причем
[438]
■ A R В
cosif-
С —D
■у^ + Да + С8*' F ztV^ + ^ + C?".
Из сказанного ясно, что знак радикала должен быть
противоположным знаку при Д так как р должно быть
положительным.
Чтобы привести уравнение к нормальному, следует
разделить все его члены на
d=1^42 + £2 + C2,
причем знак радикала должен быть противоположен знаку при Д
Коэффициенты при *, у и z в уравнении плоскости
пропорциональны косинусам углов а, (5 и ?» составляемых
перпендикуляром к плоскости с осями координат. Таким образом
плоскости, выражаемые уравнениями
Ax+By±Cz + D = D и А'х + В'у + С'г+1У = 0
параллельны, если
А'~ В' С Г
и перпендикулярны, если
АА'+ВВ' + СС' = 0.
1) Если плоскости
параллельны, то
Ax + By + Cz + D^O
A'x + B'y + C'y + D = Q
cos a __ cos ft __ cosy
cos a' cos P' cosy'*
Отсюда с помощью равенств (438) получаем
А' ~ Б' ~ С *
Равенство (439) вытекает из равенства
cos б = cos a cos a' -|~ cos p cos [/ 4" cos Y cos Y*
(cm. n° 838), когда в последнем заменим косинусы углов а, (3, Y> «'» V* Y
их выражениями через коэффициенты.
Прим ред.
632 Линейные уравнения с тремя переменными
Угол между пересекающимися плоскостями можно найти
из формулы
ПЧ01 • АА' + ВВГ + еС
L«*| cos уАъ + Вь + С2 у Лл2 + 5,2 + С/2 •
858. Уравнения вида:
Ах + By -f- D = 0 соответствуют плоскости, перпендикуляр*
ной к плоскости XY.
By-\-Cz-\-D = Q соответствует плоскости, перпендикуляр*
ной к плоскости YZ.
Ах -f- Cz -f- D = 0 соответствует плоскости,
перпендикулярной к плоскости JfZ.
Уравнение в форме: •
Ах + Z) = 0 соответствует плоскости, перпендикулярной
к оси X.
By-{-D = 0 соответствует плоскости, перпендикулярной
к оси Y.
Cz-f-^ = 0 соответствует плоскости, перпендикулярной
к оси z.
Если уравнение имеет вид /)==(), то очевидно плоскость
проходит через начало координат.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку />(2,3,4)
и параллельной плоскости, соответствующей уравнению
24*-15y + 27s-80 = 0.
Пусть требуется представить искомое уравнение в форме
Ax + By + Cz + D = Q. (1)
Так как эта плоскость параллельна заданной, то отношения
коэффициентов при неизвестных равны между собой:
^- = -* =£ ' (2)
24 -15 27' U}
Точка Р принадлежит искомой плоскости, поэтому ее координаты
удовлетворяют уравнению последней.
Подставляя эти координаты в (1), имеем:
2Л+ЗД + 4С + Д = 0. (3)
Решая (2) и (3) совместно, найдем.4
АГ±С. В=-|С • (4)
Подставляя 'это в (3), получим:
Расстояние от тонки до плоскости 633
/) = -уС. .(5)
Подставляя (4) и 5) в (1), получим
Деля на С и умножая на 9, найдем окончательно:
8x-5y+9z-31 = 0.
Это и есть искомое уравнение.
Лучшее решение указано в п° 862.
859. Уравнение плоскости в отрезках на осях
координат. Если отрезки, отсекаемые плоскостью на осях X, Y к Z,
равны соответственно а, Ь и с, а уравнение плоскости есть
Ax + By + Cz + D = Q, [436]
причем координаты точек пересечения (а, 0, 0), (0, 6, 0)
и (0, 0, с) должны удовлетворять уравнению, то имеем:
Aa + D = Q, £6 + D = 0, Cc + D = Q
<ми
а о с
Подставляя в уравнение плоскости, получим:
D D D
а Ь * с
x — jy-"z + D = 0t
Разделив уравнение на (— D), найдем/.
Это уравнение называется уравнением плоскости в
отрезках на осях координат.
860. Расстояние от точки до плоскости. Приведем ура*
внение плоскости к нормальному виду:
.xcosa-j-^cosP + zco&T—р = 0. [435]
Пусть имеется точка Р0 (х0, у0, zQ) и пусть d — искомое
расстояние от нее до плоскости,
634 Линейные уравнения с тремя переменными
Спроектируем OEf EF и FPq на ON (рис. 486), тогда
ОЕ = *0 cos <x
EF— У о cos P
/^0 = ^0 COST,
следовательно
или
[441]
р -]- d = x0cos<* -\-y0cos$ -{-ZqCosI 0
d = x0 cos a -f-#o cos P -f"*b cos T —P •
cos а
ztV> + S2+Ca zfcy*4 + i+4 _з"
Таким образом, чтобы
найти расстояние от
данной точки до плоскости,
следует в нормальное
уравнение последней
подставить координаты этой
точки.
* Пример. Определить рас*
стояние от точки (— 1, 2, 3)
до плоскости 2х 4- у — 2г 4- *
+ 8 = 0.
Имеем:
А = 2, Я=1, С = -2, D = 8.
Из формулы [438] п° 457
получим:
Здесь D — положительно, а потому перед радикалом следует поставить
-знак минус, чтобы р оказалось положительным.
1) В зависимости от положения точки Р0 относительно плоскости знак d
может быть как плюсом, так и минусом. Если точка Р0 лежит с той же
стороны от плоскости, что и начало координат, то d имеет знак —. Если
точка Pq и начало координат лежат по разные стороны от плоскости, то d
-имеет знак -J- .
Прим. ред.
Далее
Система параллельных плоскостей
cos р = > =„ = — —
С -2 2
«J
cosy =
Va*+b»-+o -з* з
-£> -8 8
— УА* + В*+С* -3 3
'-(-0(-4)+'(-т)+»4-т. '««
откуда
rf--y
861. Система плоскостей» Уравнение плоскости
заключает в себе две или три постоянных, которые следует
определить. Обычно в нем одна из указанных постоянных может
быть выбрана произвольно, причем в этом случае уравнение
соответствует системе плоскостей. Особенно важны две
системы плоскостей, к рассмотрению которых и перейдем.
862. Система параллельных плоскостей. Уравнение
системы плоскостей, параллельных данной
имеет следующий вид:
[442] Ax + Bg + Cz + k=Qt
где к — произвольная постоянная.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку Р (3,2, — 1)
и параллельной плоскости
7л: — у — z — 14 = 0.
Уравнение параллельной плоскости будет:
Подставляя в это уравнение координаты данной точки Р (3, 2, — 1),
лежащей на искомой 'плоскости, имеем:
«21-2 + 1+£ = 0,
откуда
к = - 20.
Таким образом находим уравнение искомой плоскости:
1х— у — г — 20 = 0.
636 Линейные уравнения с тремя переменными
863. Система плоскостей, проходящих через линию
пересечения двух плоскостей. Если заданы две плоскости
^2Jt + 5^ + C2z + Z)2 = 0,
то система искомых плоскостей выражается уравнением:
[m]A1x+Bly+C1z+D1-\-k(Asx-i-B#+Czz+D,) = 0,
где к — произвольная постоянная.
Действительно, координаты любой точки, находящейся на
линии пересечения плоскостей, должны удовлетворять обоим
уравнениям, поэтому они удовлетворяют и уравнению
системы.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через пересечение
плоскостей
2л:+>-4 = 0
ff + 2z = Q
и перпендикулярной к плоскости
3* + 2у — Ъг = 6.
Уравнение системы плоскостей, проходящих через пересечение двух
других, выражается уравнением
ИЛИ '
2* + (*+1)# + 2Ь-4 = 0.
Чтобы искомая плоскость была перпендикулярна к данной Зл: -|- 2у -—
— Ъг = 6, должны существовать следующие соотношения между коэффд-
циентами
A±A2 + flA+CiCa = О
^ = 2, Bx = k + \, Сх = 2к
А% = 3, i^2 == 2, С2 =: — 3.
Подставляя, имеем:
2.3 + (* + 1)'2 + 2*(-3) = 0
6 + 2 + ?£-6£ = 0
— 4k = - 8
* = 2.
Теперь остается подставить полученное • значение к в уравнение
системы, прячем будем иметь
или
2x + 3y + 4z~ 4 = 0.
Это и есть искомое уравнение.
Плоскость, проходящая через три заданные точки 637
864. Система плоскостей, проходящих через данную
точку Р0 (лг0, у09 20). Пусть имеем уравнение
Ax + By + Cz + D^Q, (1)
соответствующее некоторой плоскости, проходящей через
точку Р0 (х09 у0, го). Так как координаты последней должны
удовлетворять ур-нию (1), то
Ax0 + By0+Cz0 + D = 0. (2)
Вычитая (2) из (1), получим:
[444] Mx — xJ-hB(g—g0) + C(z — z0) = 6.
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (1, — 2,1)
и параллельной плоскости
Уравнение плоскости, параллельной данной, будет иметь вид:
y-3x + 4z + k = 0.
Но из [444]
A(x-l) + B(y + 2) + C(z-l) = 0.
Раскрывая скобки, получим
Ax + By + Cz-A+2B-C = 0.
Сравнивая оба уравнения, видим, что
Л = ~3, Я=1, С = 4, k = -А + 2Д-С=3 + 2--4 = 1,
откуда искомое уравнение можно напасать так:
Злг —у —4z —1=0
(см. п° 857 и 862).
865. Плоскость, проходящая через три заданные точки.
Если плоскость
Ax + By + Cz + D^-0
должна проходить через три точки:
Л (*» У и *i)> А (*2, У* *2) и Р3 (*8, уь, z3),
то должны быть соблюдены три условия:
Я*х +Вух+Съ+0 = 0
Ax% + Bt,2+Czi + D = 0
Axb + Byb + Czb+D = 0.
Для определения четырех коэффициентов решим
указанные уравнения, причем лучше всего, пользуясь последними
тремя из них, выразить коэффициенты А, В и С через D,
а затем подставить в уравнение
Ax + Bi, + Cz + D = 0.
633 Линейные уравнения с тремя переменными
Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки (2, 3. 0)
(-2, -3, 4) и (0,6, 0).
Подставляя значения координат в формулу, получим:
2A+3B + D = 0 (1)
-2Л-ЗЯ + 4С + £ = 0 (2)
6Я + £> = 0 % (3)
Иа ур-ния (3) В =- -^. (4)
Подставляя утроенное В в (1), получаем:
2A-^ + D = 0
- Л = -|. (5)
Подставляя удвоенное А и утроенное В во (2), находим:
! + ^- + 4C + D = Q
4С + 2£> = 0
С- 2.
(6)
Подставляя найденные выражения А, В, С'в Ах -\- Вд -\- Cz -j- D = 0,
получаем:
D D D _J_n n
Умножая на -g, найдем: '
• Ъх + 2д + bz - 12 = 0.
Это и есть искомое уравнение.
866. Уравнения плоскостей, делящих пополам углы между
двумя пересекающимися плоскостями. Для нахождения
указанных уравнений приводим уравнения данных плоскостей к
нормальной форме. Так как каждая точка плоскости, делящей
пополам угол между данными плоскостями, отстоит на одинаковое (по
абсолютной величине) расстояние от последних, то имеем:
Л L , вг
[445]
+ VAJ + BS + CS
С2
z-Ь
■YAf+BJ + C?
■ А
tVAf + BS + CS
в,
*=УА2*+Вг*+С<?*
А
*+
VAf-\-B?~yc? ±КЛ2+^22+с92
Прямая линия 639
Это и есть уравнение плоскостей, делящих пополам угол
между плоскостями
A1x + Baf + C1z + D1 = 0
A2x + B& + C2z + D2 = 0.
867. Прямая линия. Пересечение двух плоскостей
представляет собой прямую линию, поэтому система двух
уравнений первой степени
A*x-\-B& + C&+D2 = Q
выражает прямую в пространстве. Гораздо удобнее, впрочем,
привести указанные уравнения к одному уравнению,
содержащему две переменные, для чего решаем их совместно.
В этом случае уравнение дает проекцию прямой на одну
из координатных плоскостей и является уравнением прямой,
лежащей в этой плоскости.
Для того чтобы найти проекцию прямой на плоскость XY9
следует исключить г.
В приведенных уравнениях
Z^—Axx—Bxy — Dx ^ —А2х—В& — Р2
откуда
С^х + Вя + А) = ЫА^х + Вя + Щ
ИЛИ
[446] HA-^2Q^+(fiiC2-5A)^+(QA-CA) = o.
Уравнение проекции на плоскость XY, представленное
в общем виде, будет
Г1А71 it A^Ct АгС2 , QAi C2D1
Проекция на плоскость XZ имеет уравнение
Г44Я1 у— В,С^—В2Сг , ВгР2—-В%Р1
L**aj х- AiBjt_Афх г^АхВ2—Афх •
Для проекции на плоскость YZ найдем
Г4491 « AtCy A2Ct I АгР2 Ac.Pt
640
Линейные уравнения с тремя переменными
Пример. Определить уравнения проекций на координатные плоскости
прямой, выражаемой уравнениями
Ъх + 2у + z-5 = 0
*-f2y-2z — 3 = 0.
Здесь
Л1==3, В1 = 2, d = lf />! = —5
Л2 = 1, Д2 = 2, С2=-2, Z>2 = -3
0 =
Ы._3.(-2) 1.(-3)-(-2)(-5)
2.(-2)-2-1 *~* 2(~2)-2.1
7 13
— д=: -7-х —g- или 7дг -f- 6у -
13 = 0
есть уравнение проекции на плоскость XY,
Уравнение
4^-7*-4 = 0
есть уравнение прямой на плоскости YZ.
На рис. 487 показано расположение прямой и ее проекций:
на координатные плоскости.
Из чертежа видно, что прямые АС и DB, проектирующие
концы отрезка АВ на плоскость XY, параллельны оси Z.
1.0
АВ « прямая в пространстве
n 7R CD s проекция на плоскость XY
°'/& £/".'. . . -Z*
0.50 ^ s • * * ZY
0.25 С
0.25 0,5ра75>ч1,0 1.25 150175 *
Рис. 487.
Точно также прямые Л£ и 5F, проектирующие отрезок Л£
на плоскость JfZ, параллельны оси I7. Наконец GA и //В,
проектир!ующие АВ на плоскость XZ, параллельны оси X.
868. Уравнение прямой, проходящей через данную точку
Ро (хо> Уо* zo) и образующей углы а, В и f с осями. Пусть
Р (*> у, z) находится на прямой в расстоянии d от- Р0.
Прямая, параллельная плоскости . 641
Из формулы [425] п° 837 имеем:
cos а = -—~*~, cos р = 1 ~ > cos 7:
откуда
[450]
cos a cos ji cos If
869. Прямая, проходящая через две данные точки. Пусть
даны точки Рх (хи у19 гг) и Р2 (x2i #2, z2).
Из предыдущего п° имеем:
x~xi _ У — Уг _ * — *\ ф
cos a cos^ cosy. '
кроме того
х1 Х2 _ У\ У2 _ *1 *2 f2)
cos а cosP cost "
Для исключения неизвестных косинусов делим (X) на (2):
х — *i _ ff —ffi _ g— Zi
*2 *l #2 У\ ^2 ^1 *
ИЛИ
* —*1 _ У— Ух _ Z — ZX
[451]
•^1—^2 У1 —У 2 Zl — Z*
870. Прямая, параллельная плоскости. Прямая,
образующая углы а, р и к с осями, параллельна плоскости
Ax + Bg-{-Cz-\-D = Q
только в случае, если
Acosa-^-Bcosfi-^Ccosy^O *)•
х) Условие параллельности прямой и плоскости, выражаемое уравнением
. Л cos a -f 5 cos Р + С cos Y = 0,
получается из условия перпендикулярности двух прямых (см. п° 838), если
заметить, что косинусы углов, образуемых перпендикуляром к плоскости
с координатными осями, пропорциональны коэффициентам А, В, С, а угол
между перпендикуляром к плоскости и прямой ей параллельной — прямой.
Прим. ред.
41 Справочник для инженера.
642 Уравнения второй степени с тремя Переменными
871. Прямая, перпендикулярная к плоскости. Прямая,
образующая углы <*, Р, Ъ с осями координат, перпендикулярна
к плоскости .
Лл: + Я# + Сг + £>=0,
только если
cos ot cos|3 cosy
Глава XL.
УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
(В ПРОСТРАНСТВЕ).
872. Уравнения второй степени.
[452] Ax* + By*~\-Cz* + Dxy + Eyz+Fxz + Gx-lr
Уравнения этого типа соответствуют так называемым
поверхностям второго порядка.
Существуют пять основных видов указанных поверхностей, а
именно: эллипсоид, однополый гиперболоид, двуполый
гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид.
Вырождением этих поверхностей являются: конусы,
цилиндры, плоскости, прямые и точки.
873. Эллипсоид. Простейшим уравнением этой поверхности
является:
Y2 н2 V2
Ее можно рассматривать как поверхность, образованную
эллипсом переменных размеров, движущимся параллельно
плоскости XYy причем центр его всегда находится на оси Z,
а концы оси, параллельной оси ОХ, описывают эллипс
«2 Т- с„ 1»
х) Условие перпендикулярности прямой и плоскости, выражаемое
равенством
А ^ В _ С
cos a cos j3 - cos f '
вытекает из условия параллельности двух прямых, если заметить, что А,
В, С пропорциональны косинусам углов, образуемых перпендикуляром к
плоскости с осями координат.
Прим. ред.
Уравнения второй степени 643
концы оси, параллельной оси Y, описывают эллипс
и2 z2
. б2 ^ с* 1§
Координаты точек пересечения эллипсоида с координат*
ными осями суть:
Х=±ау Y
Следы на координатных
плоскостях будут:
на плоскости
•#+р=1 (эллипс),
на плоскости XZ:
■ + ■
*2
на плоскости
1 (эллипс),
YZ:
Рис. 488.
f? + -|> = 1 (эллипс).
Уравнение линии пересечения эллипсоида
jr2 w2 z2
С2Т42ТС2
и плоскости z = к9 параллельной плоскости XY, получим,
подставляя z = k в уравнение эллипсоида:
JT2 7J2
а2 Tj2 A ^
с2
или
а2 1 А2
О С**
1.
Этот эллипс можно рассматривать как кривую,
производящую эллипсоид, при изменении к от *fc до —с.
Его большая полуось равна
-V
"JF;
41*
644 Уравнения второй степени с тремя переменными
а меньшая полуось равна
£.|^2=#Г
(предполагая, что а > Ь).
Другая форма уравнения эллипсоида имеет вид
У2 , - ** _л
Ь*(а*—л*) { с2 (а2—*2)
а2 а2
Из этого уравнения видно, как изменяются длины
большей и меньшей оси, так как в знаменателе i/2 и г1 появляется
переменная величина.
874. Однополый гиперболоид (рис. 489). Основное
уравнение однополого гиперболоида есть
[454]
^~Р с2
Поверхность эту можно рассматривать как образованную
эллипсом переменных размеров, движущимся параллельно
плоскости XY, причем центр
его все время находится на оси Z.
Концы оси, параллельной оси X,
описывают гиперболу
К
£i_ 2l =i
а2 " с2 '
Рис. 489.
Координаты пересечения с осями суть
х = ±а, у = ±Ь.
' Следы на координатных плоскостях суть:
^на плоскости XY—эллипс:
а концы оси, параллельной оси Y,
следуют гиперболе
,2 *2 _i
51
б2
_
"с2
Однополый гиперболоид 645
на плоскости XZ — гипербола:
х2 z2
на плоскости KZ — гипербола:
Эта поверхность обладает тем свойством, что через любуют
ее точку можно провести две прямых, целиком лежащих
на ней.
Уравнение однополого гиперболоида может быть перепив
сано в такой форме:
или
аг а*
Пересечение поверхности
i!j-i£_?_2_i
а2 -*- Ь2 -С2
и плоскости z = &, параллельной XYf получим, подставляя
z = k в указанное выше уравнение:
или
a2(c2 + z2) '
с2
У2
б2 (а2— х*)
62(c2 + z2)
с2
Z2
с2 (а2 — дг2)
fl2T42 * ~ -2
+ —*— -1
Последнее выражение можно рассматривать как уравнение
эллипса, описывающего в пространстве рассматриваемую по-,
верхность по мере того, как к принимает различные значения,
или секущая плоскость перемещается параллельнд ЦАРС*
кости XV\
646 Уравнения второй степени с тремя переменными
875. Двуполый гиперболоид (рис. 490). Основное
уравнение этой поверхности будет
[455] 4-£-4-1.
Ее можно рассматривать, как образуемую эллипсом
переменных размеров, движущимся параллельно плоскости YZ>
в то время как центр движется по оси X.
Единственные точки пересечения осей с поверхностью суть
x = ±at y = Q, z = 0.
Следы на координатных плоскостях суть:
на плоскости XY —
гипербола:
~ У2
а2 *62 ~ 1;
на плоскости XZ -
бола:
X2
■гипер-
Рис. 490.
~9 л9 ~" If
с плоскостью YZ поверхность не пересекается.
Чтобы определить вид кривых, получающихся при
пересечении двуполого гиперболоида плоскостью х = ку
параллельной YZy подставим это значение х в уравнение*
Получаем:
х*
У
Ъ*
с2
А*
б2 ^ с2 а2
или
Г
б2
■ = 1.
(£2 —а2) -Л&~~ а2)
Это уравнение можно рассматривать как уравнение пере~
менного эллипса, соответствующего различным значениям к.
Если
—-а<к<Са.
то эллипс—мнимый, а потому поверхность не существует
в предела* от х = — ц до х ==<??
Эллиптический параболоид
647
876. Эллиптический параболоид (рис. 491). Основное
уравнение этой поверхности
[456]
О* ^ fr *'
Ее можно рассматривать как образуемую эллипсом
переменных размеров, движущимся параллельно плоскости XY,
причем его центр все время
находится на оси Z. Концы
оси, параллельной оси X,
движутся по параболе
jr* = a*z. •
Концы оси, параллельной
оси Y, следуют параболе
у* = ЪЧ.
Точки пересечения с
координатными осями суть:
^=0, Г=0, Z = 0.
Рис. 491.
Следы на координатных плоскостях суть:
на плоскости XY—точка:
JT2 772
а2 ^ 62 и
на плоскости XZ—парабола:
t8 = аЧ\
на плоскости YZ—парабола:
у*
У-z.
Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью
z = k, параллельной плоскости XY, определяется уравнением
02 "Г Ь2 К
ИЛИ
qp!< ■
b*k
1.
643 Уравнения второй степени с тремя переменными
Эти уравнения можно рассматривать как уравнения
переменного эллипса, который описывает в пространстве
эллиптический парабо-
Z\ /^ | лоид по мере
изменения к от нуля до
бесконечности.
877. Гиперболический
X параболоид (рис. 492).
Основное уравнение этой
поверхности есть
[457] *г-Ъ = *.
Рис. 492.
Z>2
Образующей кривой является парабола, лежащая в
плоскости *===£, параллельной плоскости YZ. Уравнение
к*
или
есть уравнение образующей параболы. Вершина образующей
находится в точке I к, О, — I, движущейся по параболе
x* = a*z, лежащей в плоскости XZ. Последняя кривая
имеет вершину, обращенную вниз (рис. 492).
Сечения, параллельные плоскости YZ, суть параболы с
вершинами, обращенными вверх, сечения же, параллельные
плоскости XY, суть гиперболы.
Описанная поверхность обладает тем свойством, что
через любую ее точку можно проверти прямую, целиком
лежащую на поверхности параболоида *),
1) Ур-ние [457] можно рассматривать как результат исключения
величины X по уравнениям
(*)
а ^ Ь
а Ь
Совокупность ур-ний (*) характеризует линию пересечения двух пдрг
скостей, т. с. прямую»
Конусы 649
878. Конусы (рис. 493). Общее уравнение конуса есть:
[458]
Поверхность конуса можно рассматривать как образованную
переменным эллипсом, движущимся параллельно плоскости XY,
причем концы большей оси следуют ^\
прямой
л2 z2
Пересечения с осями суть:
х = 0, д = О, z = 0.
Следы на координатных плоскостях
суть:
на плоскости XY—точка:
— 4- ^- = О
а2 + б2 U'
Рис. 493.
Так как ур-ние [457] есть следствие уравнений (*), то координаты
любой точки прямой принадлежат поверхности параболоида, на котором
прямая лежит целиком.
Чтобы убедиться} что через каждую точку Р0 (х0, у0, z0) поверхности
параболоида проходит прямая, достаточно подобрать X так, чтобы
х = — уо
El
Ь
Тогда из уравнения параболоида
vt'+irAir-T)-**
следует, что
(*+*)»-*
т. е. точка лежит на прямой (*).
Иначе говоря, через любую точку поверхности параболоида проходит
прямая (*).
Совершенно также можно убедиться, что через каждую точку
поверхности параболоида проходит прямая вида
Прим. ре$.
*0
а
9
+
Уо
Ь
Уп
*
=
z
р
у..
£50 Уравнение второй степени с тремя переменными
ма плоскости XZ—две прямых:
1 — =0-
а2 с2 '
:на плоскости YZ—две прямых:
б2 с2
= 0.
'Рассматривая уравнения конуса и однополого гиперболоида
а2"1" б2 c2_U
X* л2 г2
а2 ^ б2 с2 '
видим, что они отличаются лишь тем, что в уравнении
гиперболоида имеется свободный член.
Указанные поверхности не имеют общих точек. Если гид
в приведенных уравнениях бесконечно возрастают, то
значения х в них приближаются друг к другу.
Говорят, что гиперболоид и конус асимптотичны друг
к другу и находятся в той же связи как гипербола и ее
асимптоты на плоскости.
879. Цилиндры. В п° 843 было показано, что уравнению
с двумя переменными соответствует цилиндрическая
поверхность. Цилиндр, образующие которого
пересекают данную кривую и параллельны
одной из координатных осей, называется
проектирующим цилиндром* Уравнение его
можно найти путем исключения третьей
переменной из уравнений кривой-
Для определения кривой адожно
пользоваться двумя уравнениями проектирующих
цилиндров, рассматривая ее как их пере-?
сечение,
Пример. Построить кривую пересечения двух
цилиндров
. х2+у2==2у (1)
и^Рис 494,
j* + «a_8* + 7 = 0.
(2)
Начертим след поверхности (1) на плоскости XV, причем образующие
цилиндра перпендикулярны к этой плоскости.
Начертим теперь след цилиндра (2) на плоскости YZ. Образующие
его перпендикулярны к указанной плоскости.
Цилиндры 651
Чтобы начертить перспективный вид пересекающихся цилиндров,
рекомендуется взять по оси Y единицу масштаба вдвое меньше, чем по осям
X и Z (например, для последних взять 10 мм = 1, а для первой 5 мм = 1).
Для построения в перспективе круга или эллипса чертим описанный квадрат
или прямоугольник, что дает четыре точки соприкосновения с кругом или
эллипсом. Эти точки приходятся в серединах четырех сторон. Указанный
способ облегчает вычерчивание эллипса или круга (рис. 494).
Возвращаемся к решению задачи.
Рассмотрим плоскость, уравнение которой у = k. Она параллельна
плоскости XZ и образующим проектирующих цилиндров. Она пересекает
Рис. 495.
ось Y в точке М, проекцию кривой на плоскости XY в точках А и В,
а проекцию на плоскость YZ в точках Си D. Эти точки определяют
положение образующих проектирующих цилиндров. Точки пересечения
образующих EF и GH одного цилиндра с образующими EG и FH другого
определяют точки кривой пересечения проектирующих цилиндров. Взяв
несколько секущих плоскостей, т е. придавая k различные значения, по*
строим кривую пересечения поверхностей х2 + у2 = 2у и у2 + г2 — 8s -4»
+ 7 = 0 (рис. 495).
652
Дифференциальное исчисление
880. Параметрические уравнения кривой в пространстве.
Если координаты в пространстве заданы как функции
переменного параметра, то получаются уравнения кривой в
параметрической форме, например:
x = At\ y = l — 2t, z = t* + 2.
Хорошим примером таких кривых является винтовая линия,
к рассмотрению которой переходим.
Если точка движется по поверхности прямого круглого
цилиндра таким образом, что расстояние, проходимое ею
в
направлении, параллельном оси
этого цилиндра, пропорционально
углу, на который она
поворачивается вокруг оси, то точка
описывает винтовую линию.
Пусть имеется уравнение круг-
лого цилиндра:
и пусть Ро — начальная точка
кривой, расположенная на оси X, а
точка Р (дг, у, z) лежит на этой
кривой.
Согласно условию ВР пропорциональна &0, где к —
постоянная, зависящая от шага винтовой линии.
Из рис. 496 имеем:
х = ОА = OB cos 6 = г cos О
у = АВ = OB sin 6 = г sin 6,
откуда находим параметрические уравнения рассматриваемой
кривой:
* = rcosQ; # = rsin-6; z = №.
Глава XLL
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Скорости изменения величин.
881. Прежде чем начать изучение дифференциального
исчисления, рекомендуется отчетливо восстановить в памяти
основные и наиболее важные отделы алгебры, тригонометрии
и аналитической геометрии. Хорошее знание указанных рхде-
Скорость изменения величины 653
лов математики, а также соответствующее умение
пользоваться излагаемыми в них математическими преобразованиями
существенно помогут понять должным образом методы
дифференциального исчисления.
Весьма существенно вполне понять связь между функцией
и независимой переменной или аргументом. При изображении
функций мы пользуемся ординатрй как мерой величины
функции, соответствующей некоторому значению независимой
переменной.
Кривая, изображающая функцию, проходит через концы
ординат, переменную длину которых мы изучаем, доставляя
весьма удобный способ как изображения самих этих длин,
так и для интерполирования с целью нахождения
промежуточных значений, заключающихся между вычисленными.
При построении графиков функций исключительно важно
установить правильным образом, какую из переменных,
следует принять за функцию, а какую — за независимую
переменную. Этот вопрос решается таким путем: если две
переменные величины изменяются так, что значения первой из
них зависят от значений второй, то первая величина является
функцией второй. Первая из указанных* переменных
изображается ординатой точки, абсцисса которой выражает вторую,
т. е. независимую переменную. Говоря проще, ординаты
представляют собою значения функции, в то время как
соответствующие абсциссы — значения независимой
переменной.
882. Скорость изменения величин. Одним из наиболее
важных вопросов, предлагаемых физикой и изучающихся в
дифференциальном исчислении, является вопрос об определении
скорости изменения переменных, т. е. величины изменения
функции, соответствующей изменению величины независимой
переменной на единицу. Если эта скорость постоянна, график
функции является прямою линией и ординаты ее, выражающие
значения функции, возрастают (или убывают) на определенную
постоянную величину при возрастании независимой переменной
на единицу. Однако, вообще говоря, указанная скорость
изменения может быть величиной и непостоянной; поэтому
необходимо рассмотреть ниже так называемую среднюю скорость
изменения и скорость изменения в данный момент, последнюю
иногда называют мгновенной скоростью.
Дифференциальное исчисление изучает указанные скорости
изменения величин, причем оно само возникло и развилось
из исследования задач такого рода.
654
Дифференциальное исчисление
883. Средняя скорость изменения. Средняя скорость из*
Менения (возрастания или убывания) функции в любом
интервале представляет собою величину изменения (возрастания
или убывания) функции, деленную на число единиц аргумента,
заключающееся в указанном интервале; другими словами, она
является частным от деления величины изменения функции
на величину изменения независимой переменной в том же
интервале. Таким образом, в функции, изображенной на рис. 497,
величина ее возрастания равна 8 в интервале от лг =
= 15 до л? = 25; величина же возрастания независимой
переменной, очевидно, равняется 10, и средняя скорость возра-
8
стания функции в этом интервале есть т~ или 0,8.
Точно так же мы найдем и среднюю скорость убывания
функции в некотором интервале, или, как это обычно делается,
найдем отрицательную
скорость возрастания функции, ибо
убывание функции можно
рассматривать как отрицательное
возрастание ее.
884. Скорость изменения в
данный момент. Касательная
к кривой линии показывает
направление этой кривой в точке
касания. В том случае, когда
функция выражается прямой
линией, направление последней
или ее наклон является мерой
скорости возрастания указанной функции. Поэтому, в свою
очередь, наклон касательной к кривой представляет собою
скорость возрастания в данный момент функции, выражаемой
указанной кривой. Другими словами, касательная указывает
те изменения величины функции, которые произошли бы
в некотором интервале, если бы функция продолжала
возрастать в указанном интервале с той же скоростью, что и в
начале его, т. е. в точке касания. Таким образом, скорость
изменения в данный момент у функции, изображенной на рис. 497,
равна 0,5 для точки с абсциссой * —15. Выражение „в
данный момент" может вызвать недоумение, ибо для любого
изменения, функции, как бы оно мало ни было, требуется
некоторый, хотя бы и крайне незначительный, промежуток
времени. В виду этого приходится исследовать соотношения
м^жду переменными для весьма малых интервалов изменения
25-
20-
15-
5-
Р
* Ч ' " ' ' I' '
Г 00
,2Л
5 ' 10 15 20 25 30
Рис. 497.
Переменные и: пределы 655
иХ значений и предметом изучения является средняя Cfcd*
рость изменения в этих интербалах. При исследовании
движения поезда скорость его* в некоторый Данный момент,
не может быть принята за число йилометрйй, пройденных им
в течение часа, который включает в бебя и рассматриваемый
момент времени; скорость поезда в данный момен? не может
быть взята даже как число метров, пройденных 3& бдну
секунду, включающую в себя и рассматриваемый момент
времени, несмотря на то, что меньший интервал все
значительнее приближает величину средней скорости к величине
скорости в данный момент, т. е. к скорости в начале интервала.
В этом случае, уменьшая интервал времени и находя
соответствующую ему среднюю скорость, мы можем как угодно
близко подойти к определению точного значения скорости
поезда в данный момент времени, т. е. скорости того момента,
с которого интервал начинается. Другими словами, скорость
в какой-либо момент является пределом, к которому стремится
средняя скорость по мере того, как интервал делается все^
меньше и меньше, т. е. приближается к нулю.
Чрезвычайно важно уяснить себе, что величина, на которую^
переменная отличается от ее предела, несущественна, в то*
время как сам предел имеет первостепенное значение.
Разность между переменной и ее пределом может быть сделана
как угодно малой и в конце концов ею можно будет
пренебречь и не рассматривать ее. Такой вывод может некоторым
из читателей показаться неясным или неудовлетворительным»
Однако, если рассматриваются только пределы переменных,
то никаких затруднений возникнуть не может.
885. Размеры величин. Для того чтобы определить размер
какого-либо количества, мы должны сравнить его с принятым
за единицу количеством такого же рода, что и данное.
Сравнивая V оно ППО с *' мы Д°лжны будем сказать, что первое-
очень мало. Если же мы сравним 1 с 1000000, то здесь
придется сказать, что 1 очень мала. В случае же сравнения
1 000 000 с Ю00000 мы несомненно будем считать, что
указанная дробь чрезвычайно мала. Вопрос о размере количества
имеет весьма важное значение в дифференциальном исчислении
и мы позднее познакомимся с ним достаточно близко.
886. Переменные и пределы. Для того чтобы показать,,
каким образом переменная приближается к пределу, рассмот-
656 Дифференциальное исчисление
рим три точки Л, Вп и С, находящиеся на прямой линии
(рис. 498).
Пусть расстояние между точками Л и С равняется 1;
предположим, что положение точки Вп изменяется с течением
времени и что в течение первого рассматриваемого интервала
его Вп лежит посередине между Л и С в точке Вг.
В течение следующего интервала положение подвижной
точки Вп изменяется от Вх к В2, причем точка В2 находится
посередине между А и Вх\ в течение третьего интервала точка
Вп переходит из положения В2 в положение Вг> причем /?3,
оро в свою очередь, так-
j „3 ^2 ,1 f же находится
посередине между А и Z?2.
^ ,л Мы можем, очевидно,
взяв достаточно
большое число
интервалов, сделать точку Вп как угодно близкой к точке Л. Таким
образом, для первого интервала расстояние между Л и Вп
1 1 1
равняется -у, для второго интервала -j" > для третьего -д-,
для четвертого -т^- и т. д. Взяв достаточно большое число
интервалов, мы можем дробь, выражающую расстояние между
Вп и Л, сделать как угодно малой, хотя бы например сделать
ее подобной дроби • пп~ nm . Если какая-либо переменная
убывает указанным образом, т. е. так, что ее величина в конце
концов делается и остается меньше любой, какой угодно малой,
наперед заданной величины, то мы говорим, что данная
переменная стремится к пределу, равному нулю.
Рассмотрим теперь расстояние между точками Вп и С,
изменяющееся по мере того, как число интервалов
возрастает. В этом случае
для первого интервала ВХС = -~- — 0,5
3
„ второго „ . . . . ♦ ^ В>С = -j- = 0,75
7
„ третьего „ Б3С = -g~ — 0,875
15
„ четвертого „ Д^С =■ zrz~ ~- 0,9375
Понятие- о пределе
657
31
для пятого интервала • ВЬС = -^ ^ 0,96875
„ шестого „ ЯеС = Ц = 0,934375.
Из предыдущего следует, что величина указанного
расстояния от Вп до С постепенно приближается к 1, по мере
того как число интервалов возрастает. Чем больше будет
рассматриваемых интервалов, тем ближе значение расстояния
будет подходить к единице*
Таким образом 1 является предельным значением
расстояния от Вп до С. Взяв достаточно большое число интервалов,
мы можем сделать значение переменной как угодно близким
к единице. Числа 0 и 1 являются соответственно пределами
переменных расстояний от Вп до Л и от Вп до С, которые
сами выражаются дробными числами. Пользование этими
пределами гораздо удобнее, чем значениями указанных
расстояний*
887. Понятие о пределе. Для иллюстрации свази между
переменной и ее пределом служит нижеследующий цример.
Кверху брошен мяц, причем соотношение ме^жду высотой
его в метрах А и временем подъема в секундах t дано
в виде равенства
А = 46*—4,9Л
Найти скорость спустя 3 секунды после ^начала полета.
Рассмотрим интервал Бремени, начинающийся в момент
после 3 сек.; пусть 0,01 сек. величина интервала.
Если
* / = 3, то А = 46-3—4,9- 32 = 93,9 (1)
Если
t = 3,01, А = 46 • 3,01 — 4,9 • 3,012 = 94,06551- <2)
Разность высот (А), равная 0,16551, соответствует разности
времени * = 0,01 сек. Средняя скорость изменения высоты
в интервале от (= 3 до * = 3,01 равна
ОД6551 1A-ci /
■ 0f>1— sa= 16,551 м! сек.
Пусть продолжительность интервала делается «се меньше й
меньше, т.е. пусть она приближается к пределу, равному нулю.
Таким же путем, какой применялся выше, вычислим среднюю
^* Справочник для инженера.
653 Дифференциальное исчисление
скорость изменения высоты (А) для каждого из интервалов »
составим таблицу этих средних скоростей; при этом
обозначим разность высот через А А, а интервал времени — через А*
ДА
0.01
0,001
0,0001
0,00001
0,000001
0,16551
0,0165951
0,001659951
000016599951
0,0000165999951
16,551
16,5951
16,59951
16,599951
16,5999951
По мере того, как А/ берется все меньше и меньше, ско-
ДЛ _
рость-г-: все ближе стремится к некоторому предельному
числу. Наблюдая за изменением величины -т~, можно скорее
всего предположить, что указанным предельным числом
будет 16,6. " ,
Для того чтобы найти это предельное число, мы можем
продолжать рассуждение следующим образом:
Вместо того, чтобы давать символу Ai численные значения,
произведем исследование в общем виде при помощи
алгебраических действий, рассматривая уравнение
Л = 46* —4,9 А (1)
Если t возрастает до значения * + Д/, то Л соответственно
увеличивается до значения Л-f-ДА, ибо возрастание.t
вызывает изменение величины А, зависящей от алгебраического
соотношения между А и /. Поэтому имеем
А + А А = 46 (t + А/) — 4,9Ч'*+Д tf =
= 46/ + 46Д*— 4,9 *3 — 9,8Ш —Д4,9*2
Вычитая (1) из (2)> получаем
ДЛ = 46Д* — 9,ЭШ — 4,9ДА
Делим это выражение на А*:
^ = 46-^-9,8*-4,9Д*.
Пусть теперь A t стремится к нулю. Тогда отношение д-т
приближается к выражении* (46 — 9 fit), которое и является точным
предельным значением средней скорости, к которому
последняя стремится_при Д* приближающейся к нулю. Другим ело-
}' (2)
Понятие о пределе 659
вами, выражение 46—9,81 — 4,9 A t дает среднюю скорость
возрастания для любого интервала А/, в то время как
выражение 46 — 9,8 *, в свою очередь, дает точное значение
скорости возрастания в моменты времени t.
Для момента * = 3 выражение 46 — 9,8/ дает 46 — 29,4 =
АЛ
—16,6, что и является поэтому пределом отношения д—,
определявшегося в численном примере этого пл.
АЛ
Необходимо заметить, что выражение -т-т , вообще говоря,
не стремится к нулю, несмотря на то, что величины А/ и АЛ
стремятся к пределу, равному нулю.
Совершенно необходимо, чтобы предыдущее объяснение
было бы отчетливо понято. Если здесь имеются какие-либо
затруднения, следует вернуться к приведенному выше в
настоящем п° примеру и продолжить составление таблицы
значений А/, АЛ и — до тех пор, пока не станет очевидным,
что А£ и АЛ беспредельно уменьшаются, а их отношение
— стремится к некоторой определенной величине, как к
своему пределу.
Рассмотрим предел некоторогов ыражения, например::
# = 10-f 1000 ОООДлг+1 000 000 ОООДЛ
На первый взгляд кажется, что можно не ожидать, что это
выражение, имеющее столь большие коэффициенты, бу^ет
при А*, приближающемся к нулю, само приближаться к 10,
Как к своему пределу. Однако, не доверяя первому
впечатлению, исследуем, что будет происходить указанным
выражением по мере того, как мы будем брать А* все меньшем и
меньшим. Имеем:
Д* = 0Д |/ = 10 + 100000 + 1000ЭООО = 1010С010
Дл: = 0,01 у = 10 + 10000 +100000 .= 110010
Алг = 0,001 # = 10 + 10.0+1000 = 2010
Д* = 0,0С01 # = 10+ 100+ 10 = 120
Д* = 0,000001 # = 10 + 1+0001 = 11,001
А* = O.O0OJOQO01 # = 10 + 0,001 + О.ОС0000001 = 10,001С00001
Д* = 0,000000000001 у = 10 + 0,000001 +О,()О0О0СО0СЮ(ШП =
= 10,000001000000001.
Продолжая уменьшать А*, т. е. заставляя А* приближаться
* нулю, как к пределу, мы можем сделать величину у как
угодно близкой к 10. Приведенный пример должен помочь
• 42*
6C0
Дифференциальное исчисление
нам уяснить, каким образом выражение с чрезвычайно боль*
шими коэффициентами может приближаться к некоторому
малому числу как к пределу в том случае, когда переменная,!
входящая в выражение, стремится к пределу, равному нулю.
Символ А*-* 0или Aje = 0 читается таким образом—„дельта
.* стремится к пределу, равному нулю", или так — „предел
дельта х есть нуль".
888. Графическая иллюстрация. Пусть Р(2,1) и Р, (2 + A х9
1-[-Д#)— две точки на кривой, уравнение которой есть# =
*=/(*)> а прямая CD — секущая, проведенная через точки Р
и Рг. Тогда, как это видно на
.лп Дм
рис. 499, выражение -~
представляет собою наклон секущей CD:
Эго отношение, кроме того,
является средней скоростью
возрастания функции на интервале А*.
По мере того как А г
приближается к пределу, равному нулю,
точка Рх стремится в свою очередь
к своему предельному положению Р.
Тогда секущая, проходящая чере^Ш
Рис. 499. точки Р и Pv вращаясь около §
точки Р, приближается к своему!
предельному положению АВ, которая является касательной ||
к данной кривой в точке Р. Эта касательная представляет Ц
собою точное предельное положение секущей, к которому сна
стремится по мере того, как А* приближается к нулю; наклон
же касательной является точным значением предела к кото-
рому Стремится величина выражения т-2- в том случае, когда
Алг приближается к нулю.
Наклон касательной, проходящей через какую угодно точку
кривой,являтся в то же время и наклоном кривой в точке касания*
Пример. Найти скорость изменения функции у по отношению к
независимой переменной х при х = 3, если*
4у = д:2-2л: + 4. (Щ
Пусть (х0, У)) — координаты некоторой точки кривой, выражающей фун*
кцию у, тогда 4#0 = *и2 — 2*0 + 4.
Если на этой кривой взята какая-либо другая точка с координатами1;
{xQ-{-&xf lfo"f"A#)> то равенство (1) получает вид i
4(^+Ду) = (*о + Д*)2-2(*0 + Д*) + 4 " (2)
ъЯ
•
As
pi
• ч
pjf__
—н
•
AX
yO
"7
-4
h—-
Производная .661
Вычитая (1) из (2)» имеем:
4Д# ~ 2х0Ьх — 2Хх +• &х\ .
Делим последнее равенство на 44*,
*£-JSL_JLJ-Av .
Д*~ 2 2 +йХ*
Если Д* приближается к нулю, то
by лг0 1
-г2- стремится к ~ «-.
Тогда, при *0 = 3 .
Последнее означает, что в той точке рассматриваемой кривой, для которой
л = 3, скорости изменения у п х одинаковы, или, другими словами, чго
наклон касательной в этой точке равен 1.
Глава XLIL
ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
889. Производная. Дана функция у независимой
переменной х, а также два соответствующих друг другу значения х
и yi если х получает приращение А*, которое вызывает
появление приращения &у у переменной у, то предел отнеше-
няя -д^-, при А*, стремящемся к пределу, равному кулю, на*
зывается производной у по х.
Символ для обозначения производной у по х пишется так:
dy
. dx*
То же самое выражается и иначе:
[«,] ' *№u=lim Г/с+.у-/М].
а* а** о L A* J
Таким образом
</(4л* + Зл:) _ [4(лг + Ау)^ + 3(лг + М1— [4t»+3r]
Лс Д<г-»0 AjC
или
662
Основные правила дифференцирования
890. Значение пределов. Исходя из того, что было уже
сказано о пределах, читатель вероятно оценит степень их важ*
ности; в противном случае следует восстановить в памяти те
отделы, где они разбирались (п° 887).
Если разность между переменной величиной х и
постоянной С постоянно делается меньше любого как угодно малого
значащего числа и таковой остается, то говорят, что перемен*
ная х стремится к пределу С. В этом случае, разумеется,
рассматриваются абсолютные значения разности, а знак их
во внимание не принимается.
891. Дифференцирование* Действие, посредством которого
находят производную фулкции, называется
дифференцированием. Это действие равносильно тому, которое производят,
чтобы найги выражение для скорости изменения в данный
момент, для скорости движения или для наклона линии.
Производная многочленного алгебраического выражения
может быть всегда найдейа по способу, изложенному в п° 889;
однако, ниже будут даны более быстрые и менее сложные
методы определения производных, которые охватят все
элементарные типы алгебраических, логарифмических и
тригонометрических функций.
Так как выражение -j- при подстановке в него координат
(*о> Уо) какой-либо точки кривой дает наклон ее в этой точке,;
то уравнение касательной к указанной кривой, проведенной:
через точку (дг0, #0), выражается так:
[461]
ч"^ЛШх^~х^
У =00
а уравнение нормали—таким образом:
1
[462)
У— Уо =
dgL
dx
(х—х0).
См. аналитическую геометрию (пп° 795 и 798).
892. Производная постоянной величины. Производная пс
стоянной
Влияние постоянного слагаемого 663
Так как постоянная С не изменяется при изменений х на
< величину &х, то ее приращение АС равно нулю, т. е.
ДС
= 0.
Поэтому
[463]
dC
dx
= 0.
Так как равенство у = С является уравнением прямой
линии, параллельной оси Х% то наклон в этом случае в любой
точке равен нулю.
893. Производная переменной, взятая по этой же
переменной. Производная переменной, взятая по ней самой, равна
единице.
Если
с
Так
у — х, то
ах
х, и Д# =
как
Длг
dx~
= Д*.
Дгг
Длг ~
= 1.
1,
= 1
Рис. 500.
Это соотношение можно видеть на рис. 500.
894. Влияние постоянного слагаемого. Пусть выражение
F(x) представляет собою некоторую функцию от х.
Рассмотрим равенство
sr = F(*) + C
Очевидно, что С исчезает при вычитании! производимом
для получения Ду (п° 888). Следовательно, выражение -~, а от-
du
сюда и -г- имеют ту же величину, что и при
дифференцировании функции g = F(x), не содержащей величины С.
Наклон касательных к двум кривым, проведенным в
точках Р и Рг (рис. 501), одинаков Мя любого значения *о,
входящего в оба уравнения, выражающие кривые. Прибавленная
664
Основнще правила дифференцирования
постоянная величина 5 только передвигает криаую на 5 еди*
ниц кверху. Наклон касательной не меняется, так как кривая
перемещается параллельно самой
себе, а касательная остается
параллельной своему первоначальному
положению. Следовательно,
величина производной одинакова в
обоих случаях.
895. Производная произведения
функции на постоянную величину.
Производная произведения
постоянной на функцию от переменной
по этой перъментй равна
произведению постоянней на производщю
функции, т. е.
d[Cf(x)] _cd[f(x)]
Рис. 501. dx dx *
что видно из следующего: пусть у = С • /(*), тогда
У + Д# = С/(*-ЬДг),
откуда
Ау = С[/(дгЧ-Д*)—/(*)].
А* Ал:
1464]
Переходя к пределу, получим
. dg_ d[f(x)]
___С—/—-
896. Производная степени. Имеем выражение у = *2.
Пусть лг==лг0, тогда
So + ^ = (*о + А*)2 = V + 2*о ■ д* + Л ^ •
Вычитая Уо = х02, имеем
Д<у = 2л?0Д*-|- Ас2.
Разделив на Алг, получим
^ = 2*0-f Лж,
Ал: и '
Производная степени
Пусть Ал стремится к 0; тогда
665
^-2*0
dx
для любой точки *с.
Скорость изменения ординат для точки х = 2 есть
отношение 4:1.
Скорость изменения ординат для точки л: = 3 есть
отношение 6:1.
Скорость изменения ординат для точки х = 4 есть
отношение 8:1.
4 3 2 10 12 3 4
(О)
Рис. 502.
Таким же путем» какой мы применяли для разыскания про*
изводной выражения у — х*, мы найдем производную и
функции у — х*
dx"**0
в любой точке *0; если у = хА, то
dA
dx
W
в любой точке д:0; вообще, если п—любое положительное
целое число и мы имеем у = хп, то
dy n-i
[465]
для любой точки xq.
dx
= пх0
666 Дифференцирование алгебраических функций
Глава XLIIL щ
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
897. Дифференцирование суммы. Пусть и есть функция
от х (например х*), a v — какая-либо иная функция от х
(например 2х)\ кроме того пусть
y = uArV-
Приращения Д#, Дц, Дг;. переменных у9 и, г; соответствуют
приращению Дл: независимой переменной л*.
Пусть
yo = "o + *V
Положим теперь
х == х0 -J- Дл:.
При этом имеем
Уо+АУ = "о + А« + ^о + Д^-
Вычитая у0= u0-{-vQ, получаем
^ Ду = Дц -{- Lv.
Разделив на Дат, имеем:
Ду Дц | Др
Длс —Дл: Дл:'
Пусть Дл: стремится к нулю; тогда
хаи£л dy du , dv
Производная суммы двух функций есть сумма их про-^
изводных.
Таким же образом, имеем
d(u-\-v—w) du \<fo_ dzv
~dx dx *~^ dx dx*
Пример, Найдем производную выражения
y = x? + 2x* — Sx + 9.
Такая функция соответствует выражению
у = и -f- v — W -J- с
dy _d (лЗ) rfff*2) J (5лг) , d (9)
с/л: ~</л: + с/л: cfc ^ с/л:
с/л: ' с/л: ад:
«Зл2 + 4*-5.
Производная степени 667
Производная суммы любою числа функции равна
алгебраической сумче их производных.
Эти функции обозначаются весьма разнообразно: иногда
через буквы uf vt w, или символами F(x)> f(x) и т. д., в
других случаях они даются в виде целых выражений, например
х~-\-2ах, хъ и т. д. Как бы они ни были заданы, указанное
правило определения производной суммы функций остается
в силе.
898. Производная степени. Пусть у —и , где п —
положительное целое число, и—любая функция от х
# + Л# = (н + Д"Г
Разлагая выражение (u -f- Д«Г по формуле бинома,
получаем
1 a n i' п — 1 * 1 п(п 1/ п — 2 а а г ? * п
y-\-ty — u + пц Ди~1 \7о—и "Ди--}--*-+ли •
Вычитая у = ил, имеем:
Разделив на Д*, получим
Д? п-1ДИ | п(/1 —1) П-2 а Д" I
Д.к Д* ' 1 • 2 Ад:
I л n-i Ди
.. .-4-Ди * -а— •
1 Дг
При приближении Дл: к 0, Ди также приближается к 0, т. е.
[467] dx==nu 'Ж'
Если u = х, что представляет собою частный случай, то
9 = **
II
ау п — хах п—1 г****
57=7"' ^-«* • [465]
Можно показать, что эта формула остается справедлива
при любом постоянном п, и таким образом мы имеем
следующее правило.
Производная функции, возведенной в некоторую степень,
показатель которой есть положительное, отрицательное,
668 Дифференцирование алгебраических функций
дробное или даже иррациональное постоянное число, равна
произведению показателя степени на функцию в степени^
уменьшенной на единицу, умноженному на производную
самой функции.
Таким образом, если п есть положительная дробь ---. то
р_
у = и*
--* ,
r^fti dy Р q K/da
Таким же образом, если и—отрицательно и равно — т, то
— т
у = и
dy -т-\ du
-f- — — т- и • т~ •
ах ах
v 3
Если и = х, а п = -j-, то
у = х*
dy _3_ ~Т dx^ 3_ --^
dx~ 4 х * dx ~ 4 *■
Если y — Vx, у = х
*2. = к -I— _1_
dx 2X ~2Vx'
V 1 -3 •
Если у = -ц, V = х
___3.д: _ —.
Если у = (л:2 -+• З)8, то это выражение можно представить
так:
у = и*
dx dx
Дифференцирование функции от функции 669
Следовательно
^ = 3(^ + 3)2.2лг=6г(л:2 + 3)2.
899. Дифференцирование функции от функции. Пусть и —
функция от х, а у — функция от ы. В этом случае и изме»
du du
няется в -т- раз быстрее, чем х, aj/ — в -р- раз быстрее,
чем и. Поэтему, очевидно, у изменяется в -Д • -г- быстрее
чем х»
Отсюда
хлаъЛ
[469J
iL^^L
dx du
du
ШТх
Переходя к простому арифметическому примеру, увидим
следующее: если у, например, изменяется в 4 раза быстрее,
чем и, а и — в 6 раз быстрее, чем х, то у изменяется
в (4 X 6) = 24 раза быстрее, чем х.
Распространим сказанное на функцию от функции, когда
последняя также является функцией от функции.
Если х — функция от t, z—функция от х$ у — функция
ОТ Z, ТО
мтл1 аУ dV dz dx .
Таким же образом, для любого числа функций от функций
производная имеет вид
Г17П J9 dV
[471] Tt= ...Tr
Если t—независимая переменная, у — последняя по
порядку функция, то в равенство [471] следует проставить
надлежащим образом числители и знаменатели.
Пример. Нагревают стальной стержень. Длина его есть функция его
температуры, которая в свою очередь является функцией времени (г). В этом
случае длина стержня есть функция от функции при независимой
переменной t. Скорость изменения длины стержня в секунду равна произведению
скорости изменения длины для одного градуса и скорости увеличения
температуры в секунду.
В графике, соответствующем функции от функции, наклон
функции у по отношению к независимой переменной х
равняется величине наклона у по отношению к и, умноженной на
• величину наклона и по отношению к х*
670 Дифференцирование алгебраических функций
900. Графическое изображедие функций от функций.
При рассмотрении в координатной системе соотношений между
тремя переменными у, х и t9 из которых х есть функция
от t, а у — функция от дг, получается весьма простой
способ, выясняющий связь между функциями от
функций.
Не следует смешивать это соотношение с тем, которое
соответствует кривой в пространстве. -
Пусть скорость измене-
Y
У
г *
/
\ ■/
АУЛ /
........ ;
/ |ДУ
1
г '
J '
о 7^7^
! '•/ г'*'' '''
vfizzaZs/
г/ й Лг В
Рис. SS. -
JG AB FE
jh~ac'de
ния х по отношению / (рис.
503)
AB it
АС~ А/ '
скорость изменения у
относительно X
FE Ду -
DE Д.'
Скорость же изменения у
относительно /
- JG _*9
JH ~'дГ*
Тогда
Ду Ду Дг
Предположим; что скорость изменения х относится к
скорости изменения / как l1/*: 1. Примем за единицу длины для
измерения наклона отрезок на прямой О Т\ т. е. пусть А С = 1Г
АВ = 1-^г-, а также и DE = 1-=-.
Положим, скорость изменения у относится к скорости
изменения дг как 2:1; тогда EF—1-^ X 2 = 3 .
Имеем EF=JG = 3; кроме того///== 1, будучи равно
единице длины на оси О Г, с которой мы начали наше
построение. Отсюда следует
JG
и
1^X2.
Произв. функции, возведенной в некоторую степень 671
Пример. Продифференцируем
1_
у^у^Г+~х = (а + х)2.
Положим (а + х) = и . Тогда
du i 2 dy 1 2
<fe с/ас/л: 2 • Л1*
Подставляя значение н, взятое выше, получим:
1 1
901. Производная функции, возведенной э некоторую
степень, может быть найдена при помощи формулы для
производной функции от функции.
Пусть у = ил, где л — положительное целое число, а и —
любая функция от л:.
Из формулы для производной функции от функции имеем
dj _dy du
Если х получает приращение А*, то у и и получают
соответственно приращения &у и Ац.
У + Ьу = (и + ±и)\
Разлагая (и-\-Ьи)* по формуле бинома, получаем
g + Ay^H' + H-n^'Au-f П(1~2г) u"-'AU»+ •••+*""•
Вычитая # — uw, имеем:
A W — 1 А I П (/I "1) п — 2 * о*| j in
Д^ = л-и • Au-j ^ ц . Диа+... -f Awu.
Деля на At/, имеем
При приближении An к 0, ^- приближается к л-ия~Л
672 Дифференцирование алгебраических функции
Поэтому,
dy п~-\
du
Подставляя эту величину в выражение
dx du dx l J
получаем •
dy n-i</u - тл*1л
Tx = nu dx' [4671
902. Производная произведения двух функций.
Рассмотрим две функции от х, например (**-|-"3) и (** -f" Ъх -f- 9).
Произведение их
у = (^+3)(г2+5^ + 9).
Мы могли бы конечно сначала произвести указанное пере* |
множение, а затем и найти искомую производную обычным |
путем (т. е. производную суммы), однако более быстрый спо- |
соб заключается в следующем: 1
Пусть y = uXv} где и и v — две функции, являющиеся |
сомножителями. |
Пусть х = х0, т. е. пусть х имеет некоторое определенное
значение.
Тогда
yo = u0Xv0. |
Пусть х получает приращение Ддг, тогда • |
J/o + ^^K + MK + M I
= "о^о + Щ • Ди + ио ^v ~Ь ^и ^v ш
Вычитая у0 — ujvQ> получим
Ду = v0 Ди -j~ и0 Дх/ -f- Ди Ди.
Разделив на Длг, получаем |
Ду Ди , Ди . А Дт/ >
Пусть Дл* приближается к 0.
j
Пример произведения д&ух функций 673
Тогда I Au . —- I также приближается к 0, причем
получается следующее выражение:
[472]
du , da . dv
V •
dx dx d.
x
Применяем эту формулу к примеру, приведенному в начале п°.
Пусть u = *2-f 3; z> = *2~f 5д:+9.
Тогда
^-(,■+3) rf^+^+9) +(л,+5,+?) jjjj^
^ + 5*_+j). = 2,+5; ^+3) _ '
d* с/л:
g = (^ + 3)(2* + 5) + (jt«+5^ + 9)(Zr) =
= 4л3 + 15л2 + 24лг + 15.
Перемножение данных функций друг на друга до
дифференцирования дает л4 ~\- 5*8 -\- 12дс2 4~ 15дг -j- 27. При
дифференцировании последнего выражения как суммы получаем
производную: 4*3-[- 15л:2-\- 24л*-|-15. Получили такой же самый
^результат, какой был получен при помощи формулы
производной для произведения функции.
Пример. Продифференцируем у = {х -\~ I)5 (2х — I,3.
% - (*+D5 d (27х 1)3 + у* - D3 ^-^
= (v + D5 • 3 (2л: - 1)2 ■ ~(2xd~ г) + (2х - \f . 5 (jc + 1)* —^^
= б (* + I)5 (2* - 1)2 + 5 (2х - 1)3 (х + I)1
= (2*-l)2(*+.D4(16* + l).
Наклон графика функции у~и - v равняется функции _и,
умноженной на величину наклона функции v=f(x), плюс
функция v> умноженная на величину наклона функции и = F{x).
Производная произведения двух функций равна перной
функции, умноженной на производную второй, плюс вторая
функция, умноженная на производную первой.
903. Пример произведения двух, функций. Пусть х и у—
переменные значения двух сторон прямоугольника; нужно
Узнать, с какой скоростью изменяется величина площади
43 Справочник для инженера.
674 Дифференцирование алгебраических функций
этого прямоугольника, равная произведению двух его сторон,
являющихся функциями времени.
Пусть А0 — величина площади прямоугольника, а д:0, у0—
значения сторон его в некоторый момент времени /0. Спустя
некоторый промежуток времени А/, т. е. в момент *0+^,
будем иметь
Ао + ЬА = (хо + Ьх)(у0+Ьу) = х0уо+хоЬу-\-уоЬх-\-ЬхЬу
АЛ = х0Ьу +у0 Д* +Ддг ■ Az/.
Так как каждая переменная изменяется в зависимости от
времени /, то
ы
— *о
U
А*
М
Ду
%
ху\у
А
*
"71
н
<
=*
гЬХ'Ау
Лу ,
ьх
Рис. 504.
Последнее выражение
представляет собою среднюю
скорость изменения величины
площади по отношению ко
времени. Скорость изменения
площади в данный момент есть
предел этого выражения при
приближении Д£ к нулю (рис. 504).
Указанный предел
выражается так:
dA _ dy
dt "**' dt
dt
т. е. он равен длине прямоугольника, умноженной на скорость
изменения ширины его плюс ширина прямоугольника,
умноженная на скорость изменения длины.
Пример, Дано
Найдем производную.
Данное выражение можно написать так:
*=*2.(1+*«)
Из формулы для дифференцирования произведения имеем
• 1 з
dx . dx
+а+*2)
dx3
dx
Другой вид формулы для производной произведения 675
Так как
з
£0±*>_1 = __а_(1+,2)-Т-2* = -
dx 2 " ' ' £
(1+*8)2
dx2 3 т
*
с/л:
dx ~
5
-*2
~ 3
(1+*2)2
з У~
2 •
1
i 3*2
1 1
2(1 +л*)2
унт
2 Vi+x* Y(i+*¥
904. Производная произведения нескольких функций*
Производная произведения конечного числа функций есть
сумма произведений, получающихся посредством умножения
производной каждой из данных функций на произведение всех
остальных. Таким образом, если
y = U'V*ZU>
то
гмпчл dy du . dv , dw
[473] —r- ==vw -7 huw—j h-uv-j—.
L а* ал: ' dx dx
♦
905. Другой вид формулы для производной произведения.
Если
y=u-v,
то
Лу __ dv , с/ц
с/л: с/л: Г с/л:'
Разделив обе части последнего равенства на #, получим
Г4741 A *fy _Я ^ ■ w </ц J_ J^ _L- — ^ц
у dx у dx у dx v dx и dx*
Таким же образом, если
у = и • v • w,
то
Г4751 А ^ J- ^и . _1_ cfo , Ji_ dw
у dx и dx v dx * w dx '
43*
576 Дифференцирование алгебраических функции
Каждый член этого равенства заключает в себе только
одну переменную, что упрощает составление производной для
произведения любого числа переменных.
906. Производная частного от деления двух функций.
Дано
и
и — —.
. v
Положим л: = а:о"> тогда
Вычитая
Разделив
(1)из
Л/7
ai/
на Ал
У0 ^Г "5Г "
^0
(2), получаем:
и0+Аи
v0 -f- &v
, получим
*9 V°
Щ_
у0'
+ Az/
0 А*
— «о Аг;
+Д»)
• Ад: v0(v0-\-bv)
Пусть Ал: приближается, к нулю. Тогда
. / и \ du " dv
™ ■ %—а
V
Пример 7. Продифференцировать выражение
лг — 1
следовательно
dx 4лг2
Пример 2. Продифференцировать выражение
х
.+*'
Наклон кривойу "заданной уравнением в общем виде 677
Даем нашему выражению такой вид
(1+*)2
Так как данное выражение есть частное от деления двух функций, то
. " (1+x)Trfa--«)T_a_x)Trfa+»)T
dy __ ах dx
~dx:~~~ 1 + х '
так как
d(\-x)2 _ 1 п -~Т ( dx\ -1
^-т»-*'" •(-*)'
2/1-.
1
da + x)2 ,_t гт7&у 1
cfy - УТ+7 1/*Т=Г7
У* 2 У 1 — л: (1 + д:) 2 f 1 + *(1-|-*)
-1
907. Наклон кривой, заданной уравнением в общем виде
Ax*+Bxy + Cy*-\-Dx + Ey+F=Q, '
в некоторой ее точке Рг(хи уг).
Возьмем какую-либо другую точку на данной кривой,
например точку Q(x1-{- &xu уг -f-^i)» лежащую вблизи первой
.точки Pv и подставим значения координаты обеих точек
в уравнение. Имеем:
Axf+Bx^ + Cyf+Dx,. + Eyx+F= 0. (1)
+£>(*1-H*)+£tei+Ay)4-/r=o. (2)
Раскрывая скобки в выражении (2) и вычитая затем (1)
из (2), получим:
^ (Я^+ЯЛ.Н-2 0/х + СДН-£) =
= - Их (2 A* f ЛДлг -J- .%х + ВЬу + £>),
678 Дифференцирование алгебраических функций
откуда
by _ 2Ах1-\-АЬх-\-Ву1-{-ВЬу-\-Р
Ьх Bx1 + Bbx^2Cyl + Cby + E'
По мере того, как точка Q приближается к точке Ри Д*
и ^у приближаются к нулю, а предел отношения -д-,
равный некоторому числу т, представляет собою наклон
касательной к.нашей кривой в точке Рг.
Итак
Г1771 ™ — d& — 2Ах1-\-ВухАГР
есть наклон кривой в точке Pi{xl9 yx).
Уравнение касательной к кривой А&-\-Вху-\-Су*-\-Ох-\- :|
-\-Ey-\-F-Q в точке (xlt ух) поэтому выражается так:
Г4781 и и = 2Axl+By1+D , .
l478J y Ux 2Cyx+BxY + E I* *lh
откуда
2 Суд -f Bxtf + Ey — 2 Qtf — Вх1У1 — Eyx =
• =—2 Axxx—Byxx—Dx+2 Atf-j-Bjtjift + £>*,.
Преобразуя далее, имеем
2Ax1x-\-B(x1y + ylx)+2Cy1y-\-Dx + Ey =
= 2 i4*j» + 2 fi*^+2 Cyf 4- D^ + Ey,.
Прибавляя выражение Dxl-\-Eyt-\-2F к обеим частям
последнего равенства, получим:
2 Аххх + B(*tf+ухх) + 2 Су^ + Д х + *,) + Ду +^)+2 F-
= 2 Atf -f 2 В*^ +2 Qtf + 2 D^ + 2 Еу»+ 2 F.
Разделив это равенство на 2, имеем
Аъх+В •'*+** +Cga + D2±* + E*±Si+F=0
^AxS + BxM+Cyf + Dvt+.Ey^F.
Дифференцирование неявных функций 679
Так как точка (хи ух) лежит на кривой и стало быть
правая часть последнего равенства равна нулю, то уравнение
касательной должно иметь следующий вид:
[479] А^х + В***** +Су1У + В^Ь^- +
Это уравнение получится из уравнения данной кривой,
если в нем заменить *2 через XiX, у2 через у$, ху через
я!—2~^у х через 2~' 9 Ч6ре3 2
Изложенное в этом п° представляет собою доказательство
правила, приведенного в п° 793. Все возможные примеры
касательных к кривым 2-го порядка могут быть разобраны при
помощи последнего способа более просто, чем каким-либо другим
путем.
Пример» Найти уравнение касательной к кривой
х* + ху + V — 2х — 2д — 12 = О
в точке х = 2.
Чтобы найти значение у, соответствующее х = 2, подставим последнее
в наше уравнение:
4 + 2<, + V_4_2#-jl2 = 0
V = 12; у = ±УЪ^
Тогда уравнения касательной в точке (2, Т 3 ) таково:
2*+?У + ^3* +4^Tg-(*+2)-fg+-T3")-12 = 0, [479]
в точке же (2, — У 3 ) оно такое же самое, но знак при у 3 изменяется
на обратный.
908. Дифференцирование неявных функций. Во всех
предыдущих случаях, за исключением последнего п°, функция
всегда задавалась как явная функция от независимой
переменной. Предположим теперь, что у есть неявная функция х
и задается например уравнением
Мы можем это выражение представить в явном виде
у = ± У 9 —л:2
или
6 SO Дифференцирование алгебраических функции
В первом уравнении у есть явная функция л:, а во
втором х — явная функция у. Для возможности
дифференцирования вовсе нет необходимости выражать соотношение между
переменными явным образом.
Продифференцируем, например, обе части данного
уравнения по л*; при этом получим:
dx* { dy* _=0
dx ' dx
' dx , dij n
dq 2x x^
______ ^.
Если переменные входят в уравнение таким образом, что
у без затруднений нельзя выразить как функцию х> мы можем
найти производную у по х, применяя следующий порядок
действий. *
Переносим все члены уравнения в одну часть равенства,
а затем дифференцируем каждый член его в отдельности.
Все члены полученного после дифференцирования выра-
dy .
жения, содержащие -fS переносим в левую часть равенства;
все остальные члены—в правую часть. Выносим ~f- за скобку
в левой части равенства и делим обе части его на
множитель левой части, стоящий при ->—.
Применение этого способа будет понятно из решения
следующего примера.
Пример. Продифференцировать
3# + 5x:y + 7xyZ + l0tf + 2S = Q.
Дифференцируем каждый член в отдельности:
d(3x*)
dx
:9*2
dx - dx
Производная от производной 681
Перенося все члены с -~- в одну сторону равенства, а остальные
в другую, получим
5*2 -J- + 14*3, ^ + <%* f- = - (9*2 + 10^ 4- V).
Вынося ~f~ за скобку, имеем:
-J- (5*2 +14 *у + ЗОЛ = - (9** 4- Ю лу + 1у\
°ТКУАа <fc _ 9*24-10^ + 7^)
dx 5x*+Uxy + Wy2 '
909. Дифференцирование общего уравнения кривой
второго порядка. Общее уравнение имеет вид
Ax*-\-Bxy + Cy* + Dx + Ey + F=0.
Так как второй член уравнения является произведением
двух переменных, то его дифференцирование дает
dj . dx
В
X~dx~+y dx
Производя дифференцирование данного уравнения, имеем:
откуда получим:
или
2-Ar-|-&.^ + fy + 2C^ + D + £^ = a
Окончательно имеем для ~~ выражение
dy 2Ах-{-Ву-\-Р
dx~ 2Су^-Вх-\-Е>
совпадающее с результатом, полученным в п° 907.
910. Производная от производной. Производная, вообще
говоря, есть некоторая функция независимой переменной,
следовательно может быть найдена ее производная; такая
682 Дифференцирование алгебраических функций
производная от производной называется второй производной
от первоначальной функции.
Если */=/(*), то
d(f[x]) __dij
dx dx"
Выражение
d
№
обозначается символом -т%.
с/дг а.
ДГ
Этот символ не означает, что вторая производная есть
квадрат первой производной; он лишь указывает на то
обстоятельство, что было произведено повторное
дифференцирование, при котором производная первоначальной функции
рассматривалась как зависимая переменная, дифференцируемая
по независимой.
Для выражения функции и ее производных обыкновенно
употребляется и другое обозначение, а именно:
/ (х) означает функцию,
f'(x) означает ее производную, а
f (х) означает производную функции, /'(*)>
f (x) называется второй производной функции /(*).
Таким же образом производная от /"(*) называется третьей
d^u
производной от f(x) и обозначается символом f" (x) или ~ty-
Пример. Если
8 = *.+ ■!>,
ТО
ах
-££ = 30** +И*-5
ах-
-S = 120x3 _60*-V
а*8
911. Последовательное дифференцирование. Процесс на
хождения производных от производных называется последо»
вательным дифференцированием»
Пример.
ах
График производной от общего вида квадраты, уравнения 683
— -n(n-l)x
g = „(n-l)(n-2)*»-8
^=»(n-l)(n-2) (n-S). • .(n-r + l)*»~r.
ax
Если /г является положительным целым числом и г = га, то
-^ = п(га-1)(га-2)(п-3). . . 1=га/
ад:
912. Графики производных. В отделе аналитической
геометрии были приведены общие формы квадратного, кубичного
и степенного уравнений, а также были показаны изменения в их
виде, происходящие вследствие перемещения кривых,
выражаемых этими уравнениями. Те же самые принципы, что и
в аналитической геометрии, можно применить для определения
соотношения между кривой, соответствующей некоторой
функции, и кривой, соответствующей ее производной.
При дифференцировании функции вида у равен полиному от*
мы установили, что кривая ее производной представляет собою
кривую на одну степень ниже чем сама функция. Кривая
производной от функции 2-ой степени есть прямая, а кривая
производной от кубической функции есть кривая второго
порядка, так как производная является функцией второго
порядка от дг.
Рис, 505 показывает кривые производных* получившихся
в результате последовательного дифференцирования простой
степенной функции.
913. График производной от общего вида квадратного
уравнения у = ах2 -J- bx -f- С. Дифференцируя данное
уравнение, имеем
1-2.Г + ».
Последнее выражение указывает на то, что кривая,
соответствующая производной данной нам функции, представляет
собой прямую линию, уравнение которой
у — 2ах-\-Ь.
Эта прямая имеет наклон, равный 2а, и отсекает на оси
Y отрезок 6, а на оси X ( — у J (рис. 506).
684 Дифференцирование алгебраических функций
5-<
1 -
з-;
i -
'
20л
14
10
5
Г
<
7 '
/
J '
П
У
'
1 !
й
'
5 i
> -J
>-<
-»-
\ <
3 -
-—*-
? -
20&-П
l5 ■
ml
JU0
-5J-
о"Г";
? 3 4 !
1
> 6
'"rfjr" 2
□ *
to
У
У\
""Л
*
0
j Рис. 506 .
2 Q =иаИ
X
Пример (рис. 5°<7). По-
?а-наИпон строи ib кривую производной
ф)НКЦИИ
у -.л:2 + 12* + 32
а = \\Ъ = 12, с - 32
-Ь -12
= —о.
2а 2
Наклон m = 2.
График производной кубической функции 685
914. График производной кубической функции
у = ах% -[- Ьх2 -f- ex -\- d.
Дифференцируя, получаем:
ах
Если мы нанесем на рис.
dy
508 значения Чг- в виде
ординат, то полученная, при этом
кривая представляет собою
параболу, ибо равенство
у = Зал:2 -f- 2bx -f- с
есть уравнение параболы в
явной форме.
Взяв основной графику = *2
и перенеся начало координат
в точку (Л, k)t а затем
умножив ординаты на а!, мы
получим кривую, выражаемую
уравнением Рис. 507. '
9 = <{хъ + Ъ'х + с',
в котором
и Ь' ш ь ь'*
4а'с'
[б].
Сравнивая полученное в общем виде уравнение с
уравнением кривой производной данной кубической функции, мы
видим, что
а'^За, Ь' = 2Ь, с=с. •
Подставив эти значения коэффициентов в [4] и [5],
получим
Ъ Ь2—Зас
За За
[480]
С помощью преобразований можно основной график
У = х2 превратить в график, выражающий кривую
производной любого кубического уравнения.
ш Дифференцирование алгебраических функций
„л нечаем новое начало координат
Если h *«£Е£5 сПт°а;УоГо в положительном направле-
-^^ZnTkroZ £2. указывается ее знаком
нии. Положение к точ 'ТИКальная шкала для у-х-
v^жМаееГ*нГзМае, ГвГичины?А и * вычисляются соответ-
ственно этой новой шкале. |
I
Рис. 508.
Имея в запасе несколько готовых графиков у = л:2, можно *
легко построить кривую производной любого кубического
уравнения указанного вида, найдя предварительно новое начало
координат и нЪвую шкалу. Рис. 508 показывает кривую j
производной функции I/= дс3-f-Зл2—12*. I
915. График производной уравнений вида !
у = ах1 -f- Ьхь -|- ex* -f- dx ~\~ е. J
Дифференцируя, имеем
of*
График производной многочлена 4*ой степени
687
Выражение, стоящее в правой части равенства,
представляет собою кубическую функцию.
Из п° 237 следует, что посредством переноса начала
координат и сдвига график у = л:8 может быть использован для
получения графиков уравнений вида
Подставляя в. соответствующие равенства вместо а
величину 4а, ЗЬ вместо 6, 2с вместо с, мы можем найти также
Рис. 509.
новое начало координат и необходимое смещение данного
графика, для которых наш график будет представлять собою
кривую производной уравнения четвертой степени.
Равенства, служащие для преобразования, получают в этом
случае вид:
[481]
, Ь . be Ь* , Ь /62-4ас\ ,
т = наклон линии смещения = 2с — -
ЗЬ*
Аа
Пример (рис. 509). Продифференцировать графическим путем
у = ~y + *3 — 18x3 — 15*.
688 Дифференцирование алгебраических функций "?
916. Графическое дифференцирование. Графическое
дифференцирование состоит в простом построении некоторой I
новой кривой путем проведения ординат, величина которых 1
находится для различных точек из выражения для наклона
данной кривой.
Для того чтобы графически продифференцировать данную
кривую (рис. 510), следует тщательно провести касательные
к ней в точках 1, 2, 3 и т. д., а затем составить отношение
вертикальной стороны треугольников, показанных на рис. 510,
производная Нрава*
Рис. 510. 1
к горизонтальной стороне их. Величины этих отношений (т. е. I
наклонов), нанесенных на рисунке в виде ординат соответ- I
ствующих точек, определят положение кривой производной 1
данной * функции. В разбираемом случае горизонтальный |
отрезок в каждом из треугольников равен единице; поэтому |
вертикальные высоты их представляют собою ординаты. I
Таким образом ордината, соответствующая х = 0, есть аа\ I
а соответствующая точке х = 1 есть Ы> и т. д. I
Кривая производной получается проведением кривой че- *
рез концы этих ординат. Следует иметь в виду, что здесь *
могут иметь место как положительные, так и отрицатель- \
ные наклоны.
К сожалению, достаточно точное проведение касательной
к кривой весьма затруднительно. Существуют другие способы,.
основанные на том же самом принципе, но лучше достигающие ■
указанной цели. Они будут рассмотрены ниже.
. j
Сравнение графика функции с графиком ее производной 689
Не следует упускать из виду, что ординаты графика
производной, в сущности* показывают ту скорость изменения
в данный момент, с которой возрастает ордината
первоначальной кривой при возрастании абсциссы на единицу.
917. Проведение касательной к кривой в некоторой ее
точке. Возьмем простой или поопорциональный циркуль и
найдем центр кривизны. Совместим катет треугольника с
прямой, проходящей через точку касания и найденный центр;
приложим линейку к
гипотенузе треугольника, а
затем передвинем
треугольник в положение
ABC и проведем в точке ^
Р касательную АВ (рис. *
511).
918. Сравнение
графика функции с графиком
ее производной.
Рассмотрим точки Р и Q (рис.
512), лежащие ведьма
близко друг от друга. Из
п° 888 мы узнали, что ко
мере того, как Q
приближается к точке Р9 секу- ^
щая PQ стремится к
положению касательной к
кривой в точке Р (наклон
секущей стремится к
наклону кривой в этой точке
и представляет собою
среднюю скорость изменения ординат в весьма малом
интервале РК).
44 Справочник для инженера.
690 Дифференцирование алгебраических функций
Таким образом отношение
представляет собою среднюю скорость изменения.
Поэтому
Из этого соотношения следует, что отрезок QK по
численной величине ^ равен площади полосы со сторонами р'Р* и
pq. Точно так же площади последующих полос численно
равны отрезкам RL, SM, TN и т. д., т. е.
QK-{- RL + SM-\- TN -j- • • • = площади всех полос,
вместе взятых = p'F • р'q' -f- q'Q • qV + /R' •//+•••
Если ширина полос непрерывно уменьшается, а число их
возрастает (сумма указанных частей ординат будет при этом
оставаться равной отрезку BU, находящемуся при
первоначальной кривой), то площадь всех полос, вместе взятых, будет. |
стремиться к площади, расположенной под графиком
производной, как к своему пределу.
Это весьма важное сравнение показывает, что разность
ординат первоначальной кривой по численной величине
равняется площади, заключенной между указанными ординатами,
графиком производной и осью X.
UB = площадь p'FU'u'.
Это соотношение используется при графическом
дифференцировании.
В этом случае, исходя из разности ординат
первоначальной кривой, строят площади полос, а затем проводят кривую»
Пример. Дана кривая OABCD (рис. 513).
Продифференцировать ее графически.
Прежде всего, делим расстояние между крайними ее
ординатами на полосы, каждая шириною 0,5 единиц. Первая
ордината находится у точки Л, находящаяся же против нее
ордината кривой производной должна быть такой величины»
чтобы площадь соответствующей полосы, выраженная в
квадратных единицах, равнялась бы численно длине ординаты
у точки А. Устанавливаем на циркуле для пропорционального
деления отношение 2: 1 и откладываем высоту
прямоугольников в два раза больше, чем отрезки Аа, ВЬ9 Сс и т. д.
Сравнение графика функции с кривой ее производной 691
Можно провести плавную кривую, которая образует равные
треугольные площадки, расположенные над кривой и под нею,
1.51
dy
Рис. 513.
в результате чего наши прямоугольники и полоски, находя-,
щиеся под кривой и получившиеся после ее проведения,
будут иметь равные площади. Проведенная
таким образом кривая и есть кривая
производной.
На рис. 514 проведена горизонтальная
прямая так, чтобы заштрихованные площади С и
D были равны друг другу. Таким образом
наша кривая делит всю заштрихованную
площадь на равные части.
Отложим отрезок а'А (рис. 513), равный
удвоенной длине аА. Это можно выполнить
при помощи циркуля для пропорционального
деления, установленного на отношение 2:1.
Затем отложим отрезок Ь'В', равный удвоенному — ЪВ, и т. д.
Проведем кривую через точки, расположенные указанным
выше образом. Эта кривая будет представлять собою искомый
график производной.
44*
Рис. 514.
692 Приложения дифференциального исчисления
Глава XLIV.
ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ.
919. Вычисление приближенных значений корней
уравнения по методу Ньютона. Покажем применение метода
Ньютона на каком-либо примере.
Положим, нам дано уравнение
^Ч-Зг2—2*—14 = 0.
Прежде всего начертим его график (п° 252).
Этот график покажет, что корень данного уравнения
немного больше, чем 2:
Подставим в данное, уравнение, а также в его первую
производную, х — 2:
# = 8 + 12 — 4 — 14 = + 2
J-Sr. + fa-»
-7^ = 12+ 12 — 2 = 22 = наклон.
ах
Пусть Аж есть весьма малое расстояние от точки дг = 2
до пересечения оси X с касательной, проведенной к кривой
в той же точке, для которой абсцисса х = 2.
Примем,, что часть графика от указанной точки касания до
пересечения с осью X является прямой линией, т. е. график
совпадает с касательной; тогда
наклон его
= 0,09.
В этом случае (т. е.
считая, что график совпадает с каса-
Рис. 515. тельной), график пересечет ось
X в некоторой точке,
находящейся на расстоянии в 0,09 единицы от точки х = 2
(вправо от х = 2), поэтому
л: ^2,09.
Приближенное решение уравнений 693
Если х, есть первое приближенное значение корня
уравнения /(*) = 0, то выражение yv
[482]
ДГо -— ХЛ
. /fa)
/'fa)
представляет собою другое значение его, вообще говоря
более близкое к действительному. Это действие можно
повторить любое число раз.
Для доказательства справедливости высказанного
положения поступаем так: строим график данного уравнения и
находим первое приближенное значение *,. После подстановки *,
в У=/(х) получаем y=f(Xl). ■« *х
Обозначаем весьма малое расстояние от точки
пересечения оси Л с касательной, проведенной через точку P(xt, и)
кривой, до точки x = xlt через Ддг. У)
Тогда наклон кривой в точке, соответствующей х = хи
р i \ f(xi)
1'~~Ах~ пРиближенно,
следовательно
Ах-
/fa)
то
V'('i)'
Но так как х2'=х1 — Ал:,
х%— лгг
[482]
/fa)
/fa)
Пример. Найти приближенное
значение корня уравнения
л- -f- sin x — 3 == 0.
Пусть
У\ = * — 3, а у2 = sin *.
Тогда
У^Уг + У*.
0-
-I
-2
-3
\ХЙ-
si
i
■—i
— с
X
I
2
uS
3
2
^
0s
V
♦ j
^/
L4~
•
,
1
«**<
у
^
71
/
p
Рис. 516.
Проводим графики выражений д^х-3 и yo-sin* <* берется
пол^ТГГ^СКАаДЬ1ВаЯ соо^тствующие ординаты этих двух графиков,
получим график выражения J ^ ч^лив,
^ = дг -j- sin л: — 3.
И» рис. 516 видно, что значение корня близко к ^ = 2,2.
694 Приложения дифференциального исчисления
Тогда
f{Xi) = 2,2 + sin 2,2 - 3 = 0,009
f(Xl) в 1 -f cos 2,2 = 1 - 0,588 = 0,412
*2 -2,2 -^g—ад -0,022.
*а = 2,178
сеть искомое приближенное значение корня.
Применение метода Ньютона к решению уравнений, не
представляющих собою многочленов, дает весьма
благоприятные результаты, в то время как для решения многочленных
уравнений более пригоден способ Хорнера (п° 253).
920. Скорость (в обычдом смысле) и векториальная
скорость. Термин „скорость" имеет двоякий смысл. В одном
случае под словом „скорость" понимают скорость движения
(т. е. скорость, с которой изменяется проходимый
движущимся телом путь) независимо от направления. В других же
случаях слово, „скорость" означает скорость в определенном
направлении; здесь, следовательно, последняя представляет
собою векториальную величину, обладающую как
определенным направлением, так и определенными размерами.
921. Перемещение. Изменение положения некоторой частицы
называется ее перемещением»
Пусть А и В (рис. 517) представляют собою два
перемещения одной и той же точки, причем Рг есть ее
первоначальное положение. Проведя сначала от- ' а
резок Р\Р%> равный и параллельный А9
а затем из точки Р2 отрезок Р^Ръ,
ряс. 517. Рис. 518.
равный и параллельный В, мы найдем такое одно
перемещение Р{Р$, которое эквивалентно данным двум, А и В.
Это результирующее перемещение может быть выражено
диагональю параллелограмма, построенного на отрезках А
и Ву как на его сторонах. Оно изображено на рис. 517. как
Прямолинейное движение 695
замыкающая сторона треугольника, стороны которого суть А
й В, и отмечено стрелкой, направленной в сторону, прямо
противоположную направлению замыкающей стороны треугольника.
Перемещение можно разложитб на какое угодно число
составляющих перемещений. Так, например, перемещение Р\Р^
(рис. .518) можно разложить на составляющие, параллельные
прямым А и В.
922. Прямолинейное движение. Рассмотрим движение
точки Р по прямой линии АВ (рис. 519).
Пусть s есть расстояние точки Р до некоторой
неподвижной точки А; пусть, кроме того, /—время, за которое
движущаяся точка проходит расстоя- - «
ние АР, обозначаемое через s* д,
Так как t почти всегда прини- Р Р'
мается за независимую перемен- Рис. 519.
ную, то каждому значению t
соответствует некоторое положение точки Р, а следовательно
и некоторое расстояние s. s есть функция U или
Положим, что t получает приращение Л/,- тогда 5 также
получит приращение As.
В таком случае — = средняя скорость за промежуток
времени д£.
Если Р движется равномерно, это отношение представляет
собою постоянную величину и имеет одно и то же значение
в любой момент времени.
Если Р движется неравномерно, то скорость в данный
момент (скорость изменения 5 по отношению к /) есть предел
* отношения -—г-., когда Д* стремится к нулю. Таким образом
[483] "elim-s--af
ah* Ы at
Указанная скорость есть первая производная пути по
времени.
Из опыта известно, что тело, падающее в пустоте вблизи
земной поверхности, подчиняется следующему закону:
где s—пройденный путь в метрах, t—время в секундах.
•r^ Приложения дифференциального исчисления
Дадим t приращение Af. Тогда s получит приращение As.
s+ti-*8'<' + a"'=4,905(, + ^-
= 4,905 *2 -f 9,81 • t- M + 4,905 А/2.
Вычитая * = 4,905 *2, получим
As = 9,81 • t- M -f 4,905 • А*2.
Разделив на А/, имеем среднюю скорость в интервале
времени А/:
^ = 9,81 f +4,905 Д*.
Скорость в данный момент времени:
*=9,81.,.
Например, скорость в конце 10-ой секунды
^- = 9,8110^98,1 м\сек.
923. Ускорение в прямолинейном движении. Скорость
изменения скорости точки, движущейся по прямой, в
зависимости от времени, называется ускорением; последнее мы
будем обозначать буквой а. Таким образом
d(-\
Г4841 a-±L^AllL = ^l.
Пример» Вертикальная высота мяча, брошенного кверху со скоростью
50 м/сшк, в конце t сек. равняется
Л = 50*-4,905&
v = ^ = 50 - 9,811 м\сек.
at
а == —jt% = — 9,81 м/сек2.
Заметим, что скорость уменьшается по мере того, как поднимается
мяч; вто происходит вследствие того, что ускорение отрицательно.
Мяч поднимается до того момента, когда скорость становится оавной
нулю, т. е.
л
Кривые расстояний
697
Тогда
50 — 9,811 = 0
t = 5,1 сек.
Мяч поднимается 5,1 сек. после того, как его бросили.
Чтобы определить высоту, с которой он начнет падать обратно, найдем
h для г = 5,1 сек.
Л = 50*-4,905*2
= 255 - 127,58 = 127,42 м.
924. Кривые расстоядий. Наклон кривой расстояний
выражает скорость:
ds 7
v = -jt = k — скорость изменения s в зависимости от г.
со
путь
0
^У dt
бремя t
ds
Рис. 520.
время t
Рис, 523.
Если наклон представляет собою постоянную величину,
скорость также постоянна (рис. 520).
Если наклон изменяется, то и скорость представляет собою
также переменную величину (рис. 521).
698 Приложения дифференциального исчисления
925. Кривые скоростей. Наклон кривой на рис. 522
выражает ускорение, т. е. степень изменения скорости по
отношению ко времени.
dv
It
_'JIL
dt ~
d*s
dP
Если наклон имеет постоянную величину, то и ускорение
постоянно.
Л
- есть переменная, наклон изменяется,
Если
же
dt*
поэтому и ускорение также изменяется (рис. 523).
926. Угловая скорость и угловое
ускорение. Рассмотрим точку,
вращающуюся около центра О (рис. 524).
Пусть 6 угол, на который
повернется отрезок ОР за время /, а о>—
угловая скорость, т. е. скорость
изменения 0 в зависимости от времени
(О выражено в радианах).
Тогда
[485] угловая скорость = о> = -у- •
Угловое ускорение я, т. е.
скорость изменения угловой скорости по
Рис. 524. отношению ко времени, выражается так:
[486] угловое ускорение = а
d№\
d<»=a\dt) =<ръ
dt dt Л*'
В этом случае, когда задается число оборотов в минуту п,
вместо угловой скорости <о можно пользоваться равенством
ш = «
радиан в секунду.
Пример» Колесо, выходя на состояния покоя, начинает вращаться вокруг
своей оси под действием постоянного момента, причем оно будет за t сек
поворачиваться на угол
§ = &*,
Средняя скорость 699
где k — некоторая постоянная. Найдем угловую скорость и ускорение
колеса в момент времени U
• db
Скорость = ю = — = 2k • t радиан/сек.
d м
Ускорение = а = -гг '-
■ 2k радиан/сек2.
Рис. 525.
927. Средняя скорость. Средняя скорость точки,
передвинувшейся из положения Рх в положение Р2 за некоторый
промежуток времени, есть частное от деления длины хорды /\P2 на
число единиц времени, соответствующих этому промежутку.
По мере того как промежуток времени движения нашей
точки уменьшается, перемещение РАР2 становится рее меньше
и меньше, а направление средней скорости
приближается к направлению касательной в точке Plf
и мы, в конце концов,, имеем как по величине, так
и по направлению скорость в данный момент.
Величина средней скорости точки есть
частное от деления длины дуги РгР^нл число
единиц интервала времени, в течение которого
произошло перемещение точки из положения Рг в Р2*
Если точка двигается по кривой, величина
скорости представляет собою скорость изменения
длины пройденного пути в зависимости от
времени. Сама же скорость в данной точке Р
определяется вектором РТУ касательным к траектории в
указанной точке. Такая скорость есть векториальная величина,
ибо она имеет и направление и размеры. Скорость, когда идет
речь о ее направлении, следует всегда выражать указанным выше
j образом. Величина скорости
точки, понимая ее, как путь,
пройденный в единицу времени,
независимо от направления, не
может быть выражена вектором,
ибо в этом случае нет никаких
указаний относительно ее
направления.
По мере того как интервал
времени А; приближается к нулю,
величина средней скорости, не характеризуемой направлением,
стремится к величине скорости в данный момент в данной тачке Р
как к пределу. Такой предел также не характеризуется
направлением.
Рис* 526.
700 Приложения дифференциального исчисления
Средняя, не характеризуемая направлением величина скоро*
сти для данного интервала А* стремится к величине скорости
в данный момент t по мере того как А*
приближается к нулю.
Вектор, выражающий скорость точки
Р в данный момент и являющийся
касательной к траектории в указанной
точке, представляет собою направление
и путь, который прошла бы точка за
единицу времени, если бы ее движение
продолжалось без действия сил, начиная
с указанного момента.
Пример. Колесо радиуса г вращается со
скоростью ,Л/ оборотов в минуту. Найти
величину и направление скорости точки,
находящейся на ободе колеса (рис. 527).
Рис. 527.
Пусть s -
4
■дуга АР (от А до движущейся точки /*). Тогда
S = И).
где г — радиус, 0 — угол вращения в радианах.
Величина скорости, вычисляемая независимо от ее направления, есть
■= г — = 2пг• N м/мин,
dt
dt
с/0
так как 2л есть угол одного поворота, а --п- = 2nN для N оборотов.
Векториальная скорость также равняется 2~rN м/мин и направлена
она по касательной в точке Р. Величина скорости, вычисленная независимо
от направления, одинакова для всех точек,
скорость же векториальная для данной точки
отличается по направлению от скорости для
других точек, хотя последняя имеет везде
одну и ту же численную величину.
928. Величина скорости в
данный момент и ианравлеиие
движения точки. Пусть As— длина дуги
PQ, пройденная точкой за весьма
малый промежуток времени А*, ко- Р\
торый имеет место непосредственно
вслед за некоторым
рассматриваемым моментом (рис. 528).
528.
•■'-'<•- As
; Тогда скорость v есть предел средней скорости -д—
рат хорды (Дс)2=(Ал;)2 Ь(д#)2> откуда
'■•■•-•';^)'(^гч^+(^)'--:.
Квад-
Величина скорости в данный момент 701
Пусть А/ приближается к нулю. Тогда:
As „ ds
-т— приближается к —jr = v
Ajt „ t/лг
-д7~ приближается к ~~rr==vx
*У А dy
-д7" приближается к —n~ = vy
-г— приближается к 1. .
Произведя подстановку, получим
[487] ' v = V^J+^.
Направление движения есть направление касательной, или
Разделив числитель и знаменатель на dt9 получим:
м. л dt vy
tg A = —j— = —*- = направление движения.
Пример. Рассмотрим х и у как функции времени L Выпущено ядро
в таком направлении, что за t сек. оно проходит по горизонтали путь
х = 153 У"3 t,
а по вертикали
у = 153/ — 4,905/*.
Найти скорость в конце 10-ой секунды.
-^==153 УЗ
at
4г = 153 - 9,811
at
Подставив t = 10, получим
л - 153 - 9,81 X Ю = 54,9
702 Приложения дифференциального исчисления
Пример* Рассмотрим уравнения движения проекций снаряда на оси X и
Y.
Скорость возрастания высоты снаряда в любой момент есть скорость
движения его вертикальной проекции, т. е.
j
вертикальная скорость = —у- = 153 — 9,811
Таким образом в момент t = 10 снаряд поднимается по вертикали кверху
со скоростью
153 - 9,81 X Ю = 54,9 м/сек.
Точно так же, так как
— = 307
снаряд будет двигаться в го-
Рис. 529. ризонтальном направлении
со скоростью 307 м/сек.
Если мы начертим в некотором масштабе векторы, представляющие
собою составляющие скорости, то действительная скорость как по величине,
так и по направлению будет выражаться диагональю прямоугольника*
Поэтому
v = V(307)2 + (54,9)2 ^ 312
t*^gf==0,lS.
Л = Ю°2(У.
Таким образом в момент времени г = 10 снаряд будет двигаться со
скоростью 312 м/сек в таком направлении, которое образует с горизонтом
угол в 10ЩУ.
929. Соотношение между угловой и линейной скоростями
в круговом движении точки.
Из рис. 530
откуда
As _ Aft
& ~ Г' bt Рис.530.
Тогда при Af, стремящемся к нулю,
[488а] -di==r'St-
Скорость любой точки тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси, есть произведение расстояния данной точки
от оси на угловую скорость тела.
Криволинейное движение на плоскости 703
Аналогичный закон существует и для касательного
ускорения.
[489]
dv dw
~dt~~r~dT
Касательное ускорение некоторой точки тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси, есть угловое ускорение
относительно указанной оси, умноженное на расстояние данной
точки от оси.
930. Криволинейное движение на плоскости. Выше
пояснялось, что термин „скорость" цмеет двоякий смысл: в одних
случаях его
применяют в виде ско*
рости точки,
движущейся по некоторой
траектории
безотносительно к
направлению движения, и
здесь скорорть
является величиной не-
векториальной.В
других случаях термин
„скорость" выражает
скорость движения в
некотором данном
направлении.
Положим точка
перемещается по
криволинейной траектории
из Рг в Р2 за интервал времени А;, причем v и v-\-&v выра-<
жают скорости нашей точки в положениях Рг и Рг
Направления скоростей в указанных точках совпадают с направлением
соответствующих касательных к данной кривой, ибо
движущаяся точка продолжала бы двигаться по касательной, если
некоторая сила не заставила ее итти по данной
криволинейной траектории. Если As выражает путь, пройденный за время А/,
то -дт" представляет собою величину средней скорости за
время А/.
Проьедем PXS= /У?2 = »+ д«*
Иис. 531.
704 Приложения дифференциального исчисления
R-iS выражает собою изменение скорости за интервал
времени Af, a --—— дает среднюю скорость этого изменения,
т. е. ускорение.
Так как скорость и ускорение являются величинами
векториальными, то вектор R{S можно разложить в любых
направлениях, однако аая удобства его составляющие берутся по
нормали и по касательной к данной кривой. Изменение
скорости от v до u-j-Au указывается направлением вектора RXS.
Проведем нормали РгС и Р^С и спроектируем RXS на
касательную и нормаль в точке /?]в Проекция вектора RXS на
эту касательную есть RtT, а на нормаль — отрезок PiQ*
Интервал времени есть А*.
Из рис. 531 следует, чтб
PtQ= TS=PXS -sin Д?, .
,. Wl ,. ГЛ£-81пАу1
нормальная составляющая = lim ~д^~~ = lim ~^ •
Подставляем и-{-. Ди вместо /^5, затем одновременно
умножаем и делим на А? и As, что не изменяет величину
выражения. Тогда:
нормальная составляющая: = lim
По мере того как А/ становится все меньше и меньше,
т. е. приближается к нулю,
'/ I а \ sin A? A» Asl
v-{-kv приближается к v
—г—- стремится к 1 (п° 936)
А<р 1
-д- стремится к — (п° 975),
As ds
-дт- стремится к -т = v.
Таким образом
490J нормальная составляющая = v • 1
1 v>
Р Р
где р есть радиус кривизны данной кривой в ?очке Рг.
Криволинейное движение на плоскости
705
Если траектория есть окружность, р = ги
[491] нормальное ускорение для траектории — окружности,
г/2
есть ~~- •
Если скорость по величине постоянна, касательное ускоре-
ние равно нулю, а нормальное все же равняется — и
направлено к центру окружности.
Касательное ускорение есть
R.T^PJ—P^.
lim
AfJ-
Ho Р1Г=Р15- cos Ay = (г;-}-Аг/) cos А? и/>1/?1 = «у, поэтому
(у + A«)__cos А? — ч? 1
касательное ускорение =
: lim
Д£->0
А*
= lim Г
дооь
(cos Ay — 1) у -j~ Аг; * cos Ay
A*
А так как
1 — cos Ay = 2 sin2 -=- Ay,
то касательное ускорение = lim
2v
sin'1
"Ay
A/
i Дг; л
+ -г- cos Ay
A/
Умножив и разделив первый член этого выражения
на Ау, а затем произведя в нем соответствующие
преобразования, получим:
касательное ускорение =
1
lim
sinTT-Ay
2 . 1 . Ay . А»
1 ~ o.'sin^Ay —-f _. cos Ay
у Ay
45
Справочник для инженера.
706 Приложения дифференциального исчисления
Sin 7)-А'?
—z стремится к 1.
sin -у А? стремится к 0.
cos А? стремится к 1.
Следовательно,
[4921 касательное ускорение = — 1 • 0 • -тг + -гг —
1 at at
dv d2s
Тело весом W, перемещающееся по криволинейной
траектории, имеет в любой момент своего движения:
dv
касательное ускорение = -тт
«г*
нормальное ускорение = •—.
Согласно основным законам движения, сила, вызывающая
W .
движение, —а*), должна быть равнодействующей двух сил
составляющих, т. е.
W dv
касательной силы = — • -г ,
g dt
W v*
нормальной силы = — • —.
S Р
[493] Равнодействующее ускорение равняется
или
^(нормальное ускорение)2 4" (касательное ускорение)2
равнодействующее ускорение= 1 / ~ -J- I —)
и оно имеет направление, определяемое углом
[494] . 6=arctg^t
dv
?1й
1) Буквой а обозначено ускорение движения.
Криволинейное движение на плоскости 707
где В есть угол между касательной к кривой в точке Рх и
направлением равнодействующего ускорения.
Задачи.
931. Вследствие повышения температуры ребро металлического куба
удлиняется на 0,04 см за один чае.
Как быстро возрастает объем его за час, если длина ребра обозначена
через Ху а объем куба через V?
Нам известно соотношение
V = л*
Длина ребра лг, а следовательно, и V являются функциями другой
переменной величины—времени, которую мы обозначим через t (в часах).
Тогда
<W__dV_ dx
dt ~~ dx'dt' ДО*]
из соотношения V == x*t
dx **'
Мы знаем, кроме того, что скорость изменения х по отношению ко
времени есть 0,04 см/час, т. е.
Подставляя эти величины, получим
*У = З*2 X 0,04 = 0,12 t2.
dt
Если мы теперь пожелаем узнать, с какой скоростью изменяется
объем при х9 имеющем какое либо определенное значение, нам следует
только подставить это значение х в приведенное выше выражение. Так
например, когда дг = 10,
^ = 0,12 (10)2 = 12 см^час.
dt
932. Один конец 20-метровой пожарной лестницы находится на земле
в 12 м. от основания здания; другой коиец покоится на стене. Первый конец
отодвигают от здания по прямой, перпендикулярной к нему, с постоянной
скоростью в 4 м/сек. Найти закон движения второго конца лестницы.
Первый способ. Рассматриваем высоту второго конца как функцию
горизонтального расстояния от основания нашей лестницы до здания,
а расстояние это рассматриваем как функцию времени. Такое соотношение
вводит функцию от функции.
Из прямоугольного треугольника получается
&+&=*2№. (1)
Из условий задачи следует, что расстояние от основания лестницы до
Здания есть функция времен i:
*:=12 + 4*. (2)
45*
708 Приложения дифференциального исчисления
Дифференцируя (1), получаем
откуда скорость изменения у по отношению к х есть
dy_ _j*_= x
dx
/400
Рис. 532.
Из (2) найдем скорость
изменяется в зависимости
t, т. е.
dx .
5? = 4-
Так как
dy dy dx
dt~~dx'dt*
то
dy __ x
dt /400 — *2
Ax
У400-д:2
с которой x
от времени
[469]
Х4-
(3)
Предположим теперь, что мы желаем знать, с какой скоростью
перемещается верхушка лестницы в момент времени t = 1 сек.
Подставим t = 1 во (2), получим
* = 12 + 4 • 1 = 16.
Подставляя же х = 16 в (3), получаем
*я
Л У400 - 256
4X16 64 - 1 ,
12 = - 5 Т MiCeK-
Знак минус указывает на то, что высота уменьшается со скоростью
5 -х- м/сек*
Надо заметить, что в этой задаче мы имеем такое геометрическое
соотношение, которое позволяет выразить неявным образом связь между
х и у посредством уравнения
Лг2 + ^2 = 202,
Кроме того, исходя из условий задачи, мы можем выразить л: как явную
функцию третьей переменной t и найти производную от у по t, применяя
формулу для разыскания производной функции от функции.
Криволинейное движение на плоскости
709
Второй способ (рис. 533). Напишем высоту у в виде функции
горизонтального расстояния, выраженного через время t, тогда мы будем
просто иметь функцию у независимой переменной /, т. е.
г,= У"400-(12 + 4*)*
= 4 1/16 — 6/ — *2
= 4 (16 - 61 - **)*
2(-6-
-6f-*a)
20 _
Td(l6 — 6t-P)
dt
-12 — 4/
У16-6*-*2 yi6-6/-<2
Если t = 1, как и выше, то
cfy_ -12-4
Л У16-6—1
16
з :
— 5 -г- лс'сек.
Если задача требовала бы найти формулу движения
верхушки лестницы относительно начальной точки А% то
искомое уравнение этого движения
имело бы вид
у = 16 — 4 У16 —6* —0.
Доказательство последнего
предоставляется читателю.
При решении задачи по
второму способу, геометрическое
соотношение и соотношение
между расстоянием и временем
были объединены в одном
уравнении. Это было сделано
простой подстановкой независимой
переменной t вместо расстояния х соответственно уравнению,
выражавшему связь между ними.
Говоря другими словами, если у выражено через л*, а х
через t, то д может быть выражено непосредственно через Л
В виде примера возьмем
Рис. 533.
Тогда
у = хъ и Х~Р.
710
Приложения дифференциального исчисления
Мы можем продифференцировать у как функцию от функции
dx~5x И dt lt
Tt==i'a4=5xix2i=Sfix2t=10fitt469*
или можно также продифференцировать у по независимой
переменной непосредственно:
В некоторых случаях часто бывает неудобно применять
последний способ и поэтому первый, хотя и требует
большего количества времени, является более надежным, чем
второй.
933. Вода втекает с постоянной скоростью, равной 10 см*/мин
в сосуд, имеющий форму прямого конуса. Половина вертикального угла
при вершине его равна 45°, ось вертикальна, конус обращен вершииой
книзу>
С какой скоростью поднимается поверхность воды в конусе ji
увеличивается площадь этой поверхности?
Вычислить скорость, с которой поднимается поверхность воды, когда
глубина ее равна СМ.
Объем = -S* h • и А2 = -J- яЛ3 .
dV v>
— =г тел" = скорость изменения
объема по отношению к высоте.
Из условия задачи
dV m з/
— = 1U см6/мин.
Рис. 534.
dV dV dh
Но
dh
dt-dh'di ™иЮ = 1:А2~,
[469]
откуда
dh
dt =
10
лД2-
Когда Л.— 25,
dh 10 ' лллм
dt ~V^25^ ад051 см1мин-
Криволинейное движение на плоскости' 711
Вычисленная величина есть скорость, с которой возрастает высота
воды в тот момент, когда она равна 25 см.
Чтобы определить скорость, с которой увеличивается площадь
поверхности воды, рассмотрим выражение для площади
А = *Л2.
Дифференцируя, получаем
dk
dh
= 2?tA — скорости изменения площади.
Скорость изменения площади по отношению ко времени есть
dA
dt '
dA
}Ttz
dA
dk '
dt
Г469]
Из первой части задачи знаем, что
dt тгЛ2
Поэтому
Когда h = 25,
dA 9rW10 20
Л4 _20
dt ~25
= 0,8 cm2jmuh.
Вычисленная величина и есть та скорость, с которой увеличивается
площадь поверхности в тот момент, когда высота воды равна 25 ел*.
934. Корабль А, плывущий .
на восток со скоростью 12 ~~\
км/час, покинул некоторую
точку за 5 часов до того
момента, когда другой
корабль В прибыл в нее с
севера, плывя со скоростью 16
км/час. Как быстро изменялось
расстояние между кораблями
в момент времени, спустя 2
часа после того как А покинул
данную точку?
о
оо
1.
Рис. 535.
Пусть х равно расстоянию от А до указанной точки, а у —от В до нее.
Пусть, кроме того, z—расстояние между данными кораблями. Из рис. 535
видно,4 что
22 = *2+<Л
2*.
или
Дифференцируя это выражение по времени, получаем
dz dx , dy
dz dx , du
zdi = xdi+!>di'
a)
712 Приложения дифференциального исчисления
Но х = 12 *, следовательно
— -12
а у = 80 — 16 /, откуда *
В тот момент, когда f = 2 (2 часа после выхода Л из указанной точки),
,г = 12 X 2 = 24
у = 80-16. 2 = 48
z = У (24)2 + (48)2 = У2880 = 53,66.
* Подставляя эти значения в (1), получим
53,66^== 24Х12 + 43Х (-16)= -480.
dz — 4£0
di = ~53,66~ =" ~ 8'95 км1час-
Отсюда мы видим, что расстояние между кораблями уменьшается со
скоростью 8,95 км/час в момент времени, имеющий место спустя 2 часа
после того, как Л покинул данную точку.
935. Сила, масса и ускорение. Ньютон показал, что
ускорение тела прямо пропорционально действующей силе и
обратно пропорционально его массе. Этот закон известен под
названием второго закона Ньютона и выоажается в
математических обозначениях таким образом:
[495] « = *£•
т
*) Уравнение
у = 80 - 16 /
получается из следующих соображений.
При равномерном движении зависимость между у и t выражается
равенством
y = at-\~b.
При t = 0, т. е. в начальный момент, расстояние корабля от гавани
равно 80 км, 6 = 83.
Скорость движения 16 км/час, при этом движение происходит в на*
оглавлении, обратном направлению оси OY:
а = - 16.
Прим. ред.
Сила у масса и ускорение 713
За единицу силы мы принимаем силу в 1 г, а за единицу
ускорения 1 см/сек2. Последнее обозначается так: ^.
сек
Если сила в 1 г действует на массу в 1 г, то ускорение,
вызываемое этой силой, равно 9,81 м/сек2. Это соотношение
справедливо как в случае падающего тела, так и в любом
другом случае, причем следует рассматривать только силу,
вызывающую ускорение, все же остальные можно не
рассматривать. Рассмотрим, в виде примера, тело массой в 1 г,
скользящее по столу, на краю которого прикреплен блок.
Через блок перекинута нить, один конец которой привязан
к данному телу, а другой конец к грузу, уравновешивающему
трение данного тела о стол. Если к телу приложена сила
в 1 г в горизонтальном направлении, то она дает ему
ускорение в 9,81 м'сек для всякой секунды своего действия.
Другими словами, возрастание скорости данного тела в секунду
будет равно 9,81 м/сек. Это возрастание скорости в одну секунду
не зависит от времени действия силы и не зависит также от
первоначального положения тела, т. е. от того
обстоятельства, была ли данная масса в покое или в движении.
Для удобства единица массы принимается такой, чтобы
коэффициент пропорциональности k сделать равным 1. Тогда,
если единица силы, т. е. сила в 1 г, действует на массу
в 9,81 г (вместо того чтобы действовать на массу в 1 г),
то ускорение будет равно 1 см/сек2. Итак, для того чтобы
£ = 1, за единицу массы следует принять массу в 9,81 г.
Тогда
вес
масса =—.
Указанную единицу массы 9,81 г обозначаем буквой g.
а вес буквой W. Тогда
W
масса Л/= — t
g
или
_F F_ F * g
a~ M~W~~~W~*
8
откуда
F= Ma— .
714 Дифференцирование тригонометрических функций
Сила, действующая на тело, вызывает движение этого тела
в том направлении, в каком она сама действует.
Сила и ускорение являются векторными величинами,
обладающими как размерами, так и направлением, в то время
как масса — величина скалярная, т. е. она никакого
направления не имеет.
Из п° 923:
dv d2s
ускорение = -^ = ^2.
Тогда
мол г **<**> W dv „d*s W d*s
[496] ^-Л#^-Т.^-Л#г?-Т.зр.
Если силу F разлагают на две составляющие Fx и 7*2 и
если аг и а2 представляют собою соответствующие
составляющие ускорения, то
Fx = Мах и 7*2 = Ма2*
Таким образом, составляющие какой-либо силы, взятые Ц
по осям X и Y, каковы:
F=Max и Fy = Ma&.
Глава XLV. |
I
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ.
936. Производная функции у = sin и. Рассмотрим функцию
у == sin и,
где и — некоторая функция х.
Пусть х0 — некоторое конечное значение х, а щ и у0 — '
соответствующие значения и и у.
Тогда
jfc = sin'Mo.
Пусть теперь x = xq-\-bx. Тогда
#о + &у = sin (и0 -г Аи).
Вычитая у0 = sin u0, получим
Д# = sin (и0 -4- Аа) — sin м0.
Производная функции у = sin и
715
Из тригонометрии известно, что разность синусов двух
разных углов
sin4— sinfi = 2cosy(.4-f В) .sin^(A — B). [283]
Положим Л = и0 + Ди> В = и0. Тогда получаем:
Ьу = sin (но + Дм) — sin w0 = 2 cos -^ (2 щ -f дн) sin -5- Ди
A$r = 2cos(u0-|—~\ -sin^Aiz.
С 4
Рис. 536.
Разделив на Ди,
Ди
2 cos
("°+-т)
Рис. 537.
• 1 л
sin -уДи
Ды
Так
как
Ду Д# в Дц
Ддг Ди " Д* '
[469]
то
^=2cos(%+^)
• 1 А
Sill -fr Дц -
Дй '
sin-тгДи
_Ди
Д*
/ , Дм \ 2 • Ди
716 Дифференцирование тригонометрических функций
Так как Ад: стремится к нулю, то
*!L =
dx
= COS U0
-r- X bm
ax дк->о
sin-^-Ды
Из последнего выражения видно, что необходимо найти
предел выражения дроби
1 л
sin -ppAu
По мере того как Ал: стремится к нулю, Ды также
стремится к нулю.
Рассмотрим весьма малый угол и определим, что
происходит с величиной отношения синуса этого угла к самому углу,
по мере того как угол стремится к нулю, т. е. определим
im
[sin Q I
• J*
Пусть AT касательная к окружности в точке Л, а ВС
перпендикуляр к прямой О А (рис. 537). Площадь треугольника
ОСВ меньше площади сектора ОАВ, который в свою очередь
меньше площади треугольника ОАТ9 т. е.
ВС
~ ВС-ОС< -1б,з<-^Л77
99 < о < — или —.sine<е<tg<>
г г г
cos 6 <
6
sin О
<
1
cosQ
По мере того как в приближается к нулю, ОС стремится
0С ' 1 ft 1 1
к г, стремится к. 1, cos я стремится к 1 и <г-
стремится к 1.
Так как первый И третий члены неравенства оба
стремятся к 1, то
6
sin
q— стремится к 1,
Производная функции у = sin и 717
а следовательно и
sin 6 i
стремится к 1.
6
Отсюда при Ди, стремящемся к О,
• 1 л
-1л„
стремится к 1 и поэтому
г л«, <fy rf" </(sin u) du
[497J "£—cosh • ^, или —^—=cosU • -^ .
Если н==лг, то
,.лв1 d(sinx) dx
[498] —тт—— = cos;c • -,= cosjc.
Далее, если у = sin (Z?* -\- С), где В и С—постоянные, то
^- = Bcos(B
B-cos(Bx-\-C).
[499] rf[sin(**+C)]=i?-cos(£r + C) • -£-
Таким же образом
[500] rfH-sin(g, + C)] = АВ . cos (& + С)
Пример, Продифференцировать no x
у = 5 sin2 *.
Пусть м = sin х, тогда
9 = 5«2 и -^- = ^«.
аи
dy _ dy_ da_ du __
dx du dx dx ~~ ' *
Подставив эти значения, получим
о? [5 sin2 л:] -л . rm ,
— j = 10 • sm x • cos x — 5 (2 sm л: • cos x]9
718 Дифференцирование тригонометрических функций
Из тригонометрии известно» что
2 sin х • cos x = sin 2*, [290]
0ТКУ*а ,,- . о , II
d[5sin-*] c .
—-—j = 5 • sin 2x.
dx
937. Производная функции у — cos и. Из тригонометрии I
известно, что (n°603) f
• / * \ i
cos ы = sin I -^ mi. I
' -I
Поэтому, 1
dy rf[,in(l—°)l /« \ rf(T-°) I
•ST «ь ^cos(t-") «fa - 5
—cos^T_uj_.
Из тригонометрии известно, что
/ it \
cos Г-rt u I = sin и.
Поэтому
d (cos u) . du
[501] ——,—- = — smu - -j— •
а с ал:
Далее, если и = л:, т. е. # = cos лг, то
[502] ^.„^U-^-dnx,
а если у = cos [5л: -j~ С], где В и С — постоянные, то
[503] d[cos(Bx + C)] __fi. s.n(Вд. + с)
Таким же образом, если у = Л • cos [бл: -f" СЪ то
[504] А- = d[A-*»}Bx+Cn ==_AB sin (Лг + с).
1 dx dx
Графическое дифференцирование функции у = sin х 719
938. Производная функции у = vers и1) приводится ниже,
но без вывода ее, ибо эта функция употребляется весьма
редко.
[505] J(versu)_r du
dx
sin и
dx
939. Графическое дифференцирование функции у =
= sin^. Если кривая производной функции синуса тща-
у = Sin X
0
d (smx)
dx
0
/ • i \n An X
1 oj у - sin x [
\ /b) у -cos x
Рис. 53S.
*) Функция vers и определяется
равенством
vers и = 1 — cos u.
Происхождение самого наименования
sinus verusu будет понятно из рисунка.
На прилагаемом рисунке отрезок АС
играет для угла ABC такую же роль,
как отрезок АВ, изображающий синус
угла АОВу. играет в отношении этого
угла.
Прим, ред.
720 Дифференцирование трихбномйтрических функций
тельно вычерчена в соответствии с указаниями, данными
в п° 916, то она одинакова с кривой синуса, но сдвинута
влево относительно последней на половину волны, т. е. на
те
"2
3,1416
— 1,57 единицы.
Эта кривая, разумеется, есть кривая косинуса, как было
показано в пп° 622 и 623.
940. Графическое дифференцирование функции у =
= cos X. Кривая производной функции у — cos x одинакова
£/ = COS X
с кривой производной функции i/ = sin*, но также сдвинута
влево на половину волны. Это обстоятельство означает, что
последняя кривая представляет собою одно и то же, что
и график z/ = sin;r, но она сдвинута относительно указанного
графика влево на одну волну, т. е. на отрезок, равный
3,1416 единицам. Такое положение кривой обращает ее в кривую
функции синуса со знаком минус, т. е. в график у =— sin-*:
(рис.~539).
Чтобы найти кривые последовательных производных
функции у = sin х или у — cos x9 следует только передвигать
1
начало координат вправо на расстояние, равное -^ те, т. е. на
1,57 единицы при каждом последовательном
дифференцировании (рис 540).
КривоьйипнО'куЛисный механизм
721
y = sinjr
е) у = sin *
Рис. 540.
941. Крявошипно кулисный механизм. При рассмотрении
паровой машины с кулисным механизмом, подобным
показанному на рис. 541, мы можем применить закон косинуса.
Рис 541.
Для первоначальной кривой у = а- cos<*>*.
46 Справочник для инженера.
722 Дифференцирование тригонометрических функций
Пример» Положим, 1-метровый кривошип делает 6 об./мин. Каковы
скорость и ускорение поршне в момент поворота кривошипа на угол в 30°
от среднего положения?
Аналитический способ
ш = 2 п [так как один оборот 2 к делается за 1 сек.]
а = 1 (длина кривошипа в метрах).
Тогда
у = cos 2nt.
-У- = — 2зт sin Int = скорость поршня
•-— = — 4я2 • cos 2nt = ускорение поршня.
Так как кривошип поворачивается на 360° в 1 сек., а 30° = —г- обо*
рота, ту »
. 1
~jL — — 2 те sin 2 • ^«- • я = — 2 я sin -g- = -~ ЗД4 л«/свл = скорость.
- -^f-==-4n2cos2ir. ~= -4«2.cos-|- = -39,47X0,886 =
= — 34,18 м/сек2 = ускорение поршня
942. Графическое решение задачи п° 941. Начертим
кривую косинуса в подходящем горизонтальном и
вертикальном масштабе и нанесем время на оси абсцисс. Так как
кривошип делает один полный оборот в 1 сек., то наш период
равен 1 сек. Разделим этот период на некоторые число
делений, например на 12 (рис. 542).
Кривошип проходит 1 сек. в одну окружность длиной
(2 X 3,1416), т. е. 6,28 м в 1 сек. Поэтому, отношение пути ко
времени есть отношение 6,28 : 1.
Первая производная пути по времени дает скорость,
поэтому, чтобы получить значения скорости, мы графически
дифференцируем данную кривую. - Из п° 940 следует, что
передвигание начала координат вправо на расстояние, равное
-~- я, равносильно дифференцированию первоначальной
кривой; при этом следует определить новый масштаб для
вертикальной оси, т. е. для ординат. Кривая .производной
одинакова с графиком самой функции, но начало координат в ней
получено в результате перенесения его из первоначального
положения, а масштаб ординат — путем изменения также пер*
Графин ское решение задачи п° 941 723
воначального масштаба. Последнее происходит вследствие
того, что данная функция была умножена на 2 тг, т. te. на 6,28;
поэтому вертикальный масштаб для кривой производной надо
взять таким, чтобы значения производной находились бы в
отношении 6,28 : 1 к значениям первоначальной функции.
Другими словами, единица расстояния выражает 1 единицу
ход поршня от центра движения
Рис. 542.
в графике первой; чальной функции и 6,28 единиц в графике
производной. Таким образом наибольшее значение
первоначальной функции есть 1, в то время как наибольшее
значение производной составляет 6,28 единиц.
В качестве кривой ускорений, т. е. кривой второй
производной, употребляется опять та же самая кривая, но, будучи
вторично перенесена^влево на расстояние, равное ~^7Г> при*
46*
724 Дифференцирование тригонометрических функций
чем значения второй производной в 6,28 раза больше
соответствующих значений первой производной. Изложенное выше
становится ясным при рассмотрении рис. 542, где изображены
кривые первоначальной функции, а также ее первой и второй
производных. Здесь мы видим, что наибольшая высота петли
кривой, выражающей вторую производную, составляет
6,28 X 6,28 = 39,47 единиц; это означает, что данное
расстояние, будучи в действительности измерено по вертикали,
в графике- второй производной, в 39,47 раза больше такового,
имеющего место в графике первоначальной функции.
Ускорение представляет собою весьма важное понятие
в учении о движении тел, и приведенный пример поясняет
метод его вычисления.
943. Простое гармоническое движение (П. Г. Д.). Если
точка Р движется по окружности с постоянной угловой
скоростью, равной <о радианам в
секунду, т. е. за t сек. поворачивается
на угол в ю/ радиан, то ее
проекция Q на какой-либо диаметр
совершает некоторое колебательное
движение вперед и назад, которое
называется простым гармоническим
движением.
Пусть х равно расстоянию от
центра вращения до указанной
проекции точки. Тогда
Рис. 543. дг = г • cos &L
Если величина данного угла есть С в момент времени t = 0, то
X = Г COS (Ы rj- С).
Это выражение есть общая формула простого
гармонического движения, показывающая расстояние колеблющейся
точки от центра.
Продифференцировав, получим
~йТ = — шг s*n № "^ ^ == СК0Р0СТЬ точки Q.
Продифференцировав вторично,
[507] ^ = - <*>*r cos (Ы + С) =
as= — ш2* = ускорение точки Q.
Другая задача на простое гармоническое движение 725
Отсюда следует, что ускорение это всегда прямо
пропорционально перемещению ху но обратно ему по знаку.
Многие случаи движений, как например колебания частиц
воды, световые и звуковые волны, переменный ток,
колебание пружин, можно представить в виде простых
гармонических движений, которые и выражаются
посредством приведенной выше формулы.
944. Другая задача на простое гармоническое
движение. Если тело т, подвешенное на пружине,
оттянуть книзу от его положения равновесия на
расстояние *, то неуравновешенная сил F будет
действовать на это тело по направлению кверху.
Эта сила прямо пропорциональна х по величине и
обратна по знаку, ибо она действует в
направлении, противоположном х*
Таким образом
F—— kxt
- J.J
Рис. 544.
где к есть некоторая постоянная величина, зависящая от
свойств пружины. Когда тело будет отпущено, оно начнет
колебаться вверх и вниз, а х будет изменяться в зависимости
от времени t.
r« dx
1ак как скорость здесь равна —тг> ускорение равно
<Рх _
-"n^t а неуравновешенная сила г=та, то
d2x
р= т . _. = — kx (ибо F= — кх),
откуда
d*x
т
Таким образом, вторая производная данной функции
равна самой функции, умноженной на постоянную величину
(-*)■
Если обратимся к п° 943, то мы увидим, что косинус
представляет собою функцию такого же характера, что и
рассматриваемая здесь.
Поэтому, все законы, выведенные для косинуса, можно
приложить и к настоящему случаю.
726 Дифференцирование тригонометрических функций
Начнем с общей формы функции косинуса, в которой
время является независимой переменной. Тогда
х = а • cos(ort-t-ft)
dx
—- = — о a sin (ort -f- 6)
_!- = — csfla cos (o 14- 6),
at4 •
Подставляя x вместо a cos (art -j- 6), получим
d*x
dt*
= — «fix.
Но так как
d*x _ k
dt* ~ m*'
то
2 *
m
• Если отсчет времени производится с того момента, когда
пружина была отпущена и начала колебаться, то ft = 0 и наше
уравнение получает вид
х = a • cos art,
где дг = а в момент начала колебательного движения.
945. Производная функции х = tg и. Из тригонометрии
известно, что
tgu^^JL.[274]
5 cosu L J
Мы можем продифференцировать это выражение,
применяя формулу для нахождения производной частного
c?(sinH) . rf(cosu)
COS U —^—; Sin U
Но
djtgu) _ du £u
du cos* и
d (sin u) . d (cos u)
———'=cosu; —±-j = —sinu.
du du
Производная других тригонометрических функций 727
По, тому
j(tg и) eos2 и •-{- sin2 ц
с и cos2 и
Из тригонометрии известно, что
an2H + cos2u = l. [265]
Поэтому
v * ' = s— = sec2 u.
rfu cosJ и
Но так как
c/(tgiz) _ djtgu) du UM1
dx ~ du ' dx ' iWy*
TO
г-лоп d(tgu) Q du
Если у = tg дг, то * = и и
[509] i^£ieiec.»
Далее, производная данной функции, выраженной в общем
виде:
[5Ю] d[tg(Bjc + Q] =j?sec3(g;t + c)t
Точно также
[511] d[Atz(Bx + C)} =i4gsec3(^ + C).
-946. Производные других тригонометрических функций
у = ctg и.
[512] iSL =_^i0 =_cosecau . *L m
dx dx dx
Для функции же, выраженной в общем виде,
[513] rfHctgCfe + C)] =_ЛДсо5есЧ^ + С).
у = sec u.
728 Дифференцирование тригонометрических функций
гс1>и d& d(secu) . du
Для функции, выраженной в общем виде
[515] d № secfx + С)] = АВ sec (Вх + С)Ъ (Вх+С),
у = cosec u.
rrt^i ^i/ d (cosec и) . </н
[516] it"" dx > =-cosecuctgM^.
Для функции, представленной в общем виде, у=я
= 4cosec(£* + C):
Г5171 Jf/ _ c/[/4cosec(&r + 0] __
L J . dx dx
= —AB coses (Bx + C) - ctg(Bx +Q.
947. Примеры дифференцирования тригонометрических
функций.
Пример /. Продифференцировать у = cos3 6. Данное выражение напишеи
в такой виде: (cos в)3 = у. Пусть и = cos в; тогда
du . л
у = и3 и -7- — 3 и2.
Так как
*-*'-4. [469]
то
^- = -.3cos2e.sine.
Пример 2. Продифференцировать у = Vl + 3 tg2 в = (1 + 3 tg2 9)
Пусть и ==3tg30, откуда
_g.. = 6tge. -^^=6tge.sec2e.
(/и с/и 2Vl + u 2Vl + 3tg2e '
dy dy du 6 tg 0 sec2 в
Производные обратных тригонометрических функций 729
Пример 3. Продифференцировать у = sin x • cos x. Дифференцируем
данное выражение как произведение двух функций:
du . d(cosx) . d(sinx)
-~- = sm x j f- cos x
dx J~
dx dx
+ cos x (cos x) = cos2 x — sin2 x,
sin*(~ sinje) +
Рис. 545. Рис. 546.
948. Производные обратных тригонометрических
функций. Продифференцируем у = arc sin и. Здесь,
и = sin у
du
-^=созу.
Рассмотрим треугольник, изображенный на рис. 545. Из
него следует, что и = sinyf a cosy = 1^1 — и2, откуда
-g. = cosi, = iA
но так как
то
is.
du
1
du
d4
1
VT-
[518]
4л_.4у_ . 4e~
rfjr </и <£* "J/^X
Продифференцируем у = arccos и.
Идя тем же самым путем, что и выше, т. е. пользуясь
треугольником рис. 545, дифференцирование функции у =
= arccos и дает
du
[519] &__'_*__-
dx
VT
949. Применяя основной треугольник, изображенный на
730 Дифференцирование тригонометрических Функций
рис. 546, таким же образом, как это делалось в предыдущих
случаях, мы можем найти производные функции arctgu.
Дифференцируя функцию у = arctgiz, получаем:
du
[5201 Jy — dx
dx~ 1 + и2 '
Так как мы показали общий метод дифференцирования
обратных тригонометрических функций, то приведенные ниже
производные даны без выводов
[521]
[522]
[523]
[524]
rf(arcctgu)
Тх
d(arcsec и)
dx
d(*rccosec и)
Тх
d (arc vers u)
dx ~
au
dx
' 1 + и* '
du
dx
uVu* — !'
du
dx
uVu* — 1
du
dx
УЧи — ul
950. Графическое исследование обратных функций
Переход данной функции в обратную является простой
перестановкой переменных, которая может быть произведена
графическим путем посредством вращения графика данной
функции вокруг прямой, проходящей ч<*рез начало координат
и образующей с координатными осями углы в 45° (п° 629).
Поэтому графики данной функции у = sin л* и обратной формы
y = arcsin* располагаются таким образом, как это изображено
на рис. 547.
Выражение y = arcsin x означает, что у есть угол в
радианах, синус которого равен л:.
Поворот данной кривой вокруг прямой линии,
составляющей углы в 45° с осями координат, равносилен перестановке
переменных х и у. При этом кривая производной находится
вместо горизонтального в вертикальном положении.
Производные гиперболических функций
731
dx cosy
УЧ — sin2 у
1
Для того чтобы придать у
из всевозможных только одно
JC ~ sin с/ или
' ц = arc sin/
Другими словами, мы можем графически дифференцировать
по у вместо того, чтобы дифференцировать по х9 в
результате чего получим
производную от х по у, т. е. например
dx 1 du
zL~ == . вместо -т-
dy cos x dx'
Но так как мы переставили
переменные посредством
поворота кривой
x = siny или у = arcsin xf
то
dy_^ 1 _ _1
dx cosy Vl — sin2y"
Так как sin y==x, то
4l = 1 г
Рис. 547.
значение, мы рассматриваем у в интервале между 2 П If
т. е. — -| <# <у (n°629). Поэтому значение радикала
берется со знаком плюс.
Если значение у находится в интервале между 0 и к, т. е.
то функция */ = arccos.r имеет только одно значение и для
производной ее берется радикал
знаком.
-л:2 с отрицательным
951. Производные гиперболических функций. Так как
в работе инженера гиперболические функции встречаются
весьма редко, то производные их приводятся ниже без
вывода.
rf(shu) , du
[525]
dx
--=ch u
dx'
732 Дифференцирование тригонометрических функций
[526] rf(;hw) =shM.jg.
dx dx
[527p
[528]
[529J
[530]
[531]
[532]
Ц «- — sech2 и * -7-.
c/(cthM) fa2 ^
ал: dx
«/(cosech u) , x . du
-j* = — cosech и • ctgh и • -т-
d (sech и) - , . , du
—^—i — = — sech и • tgh и • у-
du
d (Arsh и) dx
~d* ~ K^+T
du
rf(Archw) _ dx
dx ~ У u*—l
[533]
[534]
[535J
[536]
du
d(Artghu) dx
dx ~~ 1-й2
du
d (Arctgh и) dx
Tx
«/(Arcosech и)
dx
of (Arsech u)
dx uyr^£'
и2 — 1 '
du
dx
uV 1-f и2'
</u
rf*
Производные функции \%а и- 733
Глава XLVL
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ И ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ.
952. Производные функции lgau. Пусть у ±= lgaи, где и
есть некоторая функция дг.
Положим х0 есть некоторое определенное значение xt а
у0 и Uq — соответствующие значения у и и.
Тогда, y0 = \gaii0.
Пусть х получает приращение Аде, т. е.
дг = дг0 + Алг и ^ = Уо + д^ = '8Га(ио + ди)-
Вычитая, получим
АУ = ha ("О + ДИ) — lga «О
Разделим на А»:
Одновременно умножим и разделим правый член равенства
на и0, имеем:
Ау = 1 ц0
Аи и0 Дм
Так как m • lga ЛГ= lga ЛГ> то
А(С->о[ A«J rfM Aa^OWoL \ Щ J Л
Найдем
Пусть -д— = 2:.
ь [*.(И"£Т1
Ааг>0 L \ ио / J
734 Дифференцирование логарифм, и показат. функций
По мере того как Д* приближается к нулю, Ди также
Ди
и0
стремится к нулю, а -^, т. е. z, стремится к бесконечности.
Подставив z вместо -^- в приведенное выше выражение,
получим
ЫЧ1+т)"]-
Известно, что
(l+i)'_1+..±+'j^(i)> .
4^=±fc->(i)V...
откуда
. л_1 (i_i)(i-2)
lim [fl-Ь—VI = lim
«-»•«> L \ z / J *>«
(»--■)
"* 3! + "
По мере того как z приближается к бесконечности,
выражения II J, I 1 —' ) и т. д. приближаются к единице, и
.1гЛ(1+т)"]=Ы1+1+4г+5Г'+-+(^Т)!]-
Поэтому
[537] dl-_=A.is\iA-1JhAi * Ч----4- . 1
Производные функции \gau 735
Выражение, находящееся в скобках, обозначается буквой е
и представляет собою сходящийся бесконечный ряд (п° 343,
462).
[538] d± = h*«'-
Так как
то
du щ
4И-*К . *L [4691
dx~du dx> [^U
dy \_ du
i58» fx-n'Tx^e
или
dx ~~ и dxlg"e-
'Если основание с равняется е, то lg, е — 1 и
Предел суммы членов указанного выше бесконечного ряда
е есть основание неперовой системы логарифмов, он равняется
2,71828...
Если у = lg лг, то
[541] £ = !&•.
Если же основание равно е, то lg, e = l, откуда, в случае
[542] &«±.
L , dx x
Но если основание* есть 10, то lg10 e = 0,43429 = М% откуда
при y = lgl0*f
[543] &-£,
ал: *
Приведенные выше формулы показывают, что скорость
возрастания логарифма данного числа обратно пропорциональна
последнему. В геометрическом смысле это означает, что график
736 Дифференцирование логарифм, и показат. функций
функции # = !&* имеет наклон, равный 1 в точке лг==1,
наклон, равный -~— в точке х = 2, наклон, равный-^— в точке
х = 3, и т. д.
Рассмотренный случай противоположен случаю
показательной функции, ибо в последнем скорость возрастания функции
прямо пропорциональна значению ее в любой точке.
953. Дифференцирование логарифма, данного в общем
виде.
пи* dfajAx + B)] . A
l3MJ rdx ~АхА-В'
Г5451 с/[1г,0(Аг + Д)] = 0.4343 А
1 • J dx Ax-^-B '
Пример 1. Продифференцируйте
S = lge(.a + bx + cX*).
Положим у = \geu, где а = а -\- Ьх -\- сдг3.
^_ = I.*i [540]
dx и dx
^ = Ь + 2сх.
ах
±=dg^^± Ь±2сх_
dx du dx и ' a-^.bx + cx2
Пример 2. Найти посредством логарифмирования производную функции
где и, v и w.— функции от лг, a n, m и р —г постоянные величины*
В данном случае
he У = п he V + mY%ev — p \ge w.
d(key)jd(\%ey) dM_
dx dy dx ' ^
• Ho
d(igty)^i
Ф} У'
Следовательно,
dx и dx
Сравнение методов дифференцирования
Продолжаем далее:
у dx dx dx dx
ji_ du , m dv p_ dzv
и dx ' v dx w dx *
c/t/ Г n du , m с/г; p_ cfw "I
dJC -*- У у u dx v dx w dx J
[•n du | m
dv
zif L и dx v dx w
954. Сравнение методов дифференцирования.
Пример* Продифференцировать
# = (2*3-1) (1+*з)2.
Применим формулу для производной произведения
dy dv . du rj<701
Положим и = 2дг8 — 1, a v = (1 + *3)2 ^ z2» r*e г = 1 + л3.
du c ^ dv * dz -j 0
-,-= 6л:2; -т~ = 2z; -т- = 3*-.
с/* cfz dx
Тогда
£=£..* ==2 <!+*»)■ 3*2 = 6*2(1 + *з).
-^ = (2л:3^1).бл;2.(1+^) + (1+^)2-^2
= б*2 (2x3 — 1) (1 + *8) + б*2 (1 + *3Д
упростив последнее выражение, получим
^- = 18*8 + 18*5.
dx '
Рассмотрим ту же задачу, применяя
lg# = lg" + lgv.
1 dy 1 <fa 1% Л/ ГА<7.
у dx и dx v ax
Так как выше мы имели
о?лг ал:
47 Справочник для инженера.
738 Дифференцирование логарифм, и показат. функций
_ вх2 б*2
2*3-1 + 1+х* ш
Умножив обе части равенства на #, т. е. на (2*3 — 1) (1 +д^А
получим
dy ^блг2 (2лг» — 1) (1+*8)2 б*2 (2*3-1) (1 + л*)2
</л: 2л:3-1 + 1+*3
= б*2 (1 + дЗ)2 + 6л:2 (2л:3 - 1) (1 + х*)
= 18л8 + 18*5.
Из сравнения приведенных здесь двух методов
нахождения производной произведения следует, что логарифмический
метод является более простым, что становится особенно
ясным в практической работе.
955. Сравнение графиков функции у = lg X с графиком
ее производной у = — . Если ординаты графика указанной
производной, т. е. у' = —?—, обозначаются через у', то
уравнение ее имеет вид
Это равенство есть уравнение равносторонней
гиперболы. Отсюда следует, что в этом случае имеется
зависимость между данной логарифмической кривой и указанной
гиперболой. Поэтому иногда натуральные логарифмы
называются гиперболическими логарифмами. Так как десятичные
логарифмы составляют 0,4343' от значения соответствующих
натуральных (т. е. звачение натуральных логарифмов
в 2,303 раза больше.значения соответствующих десятичных),
то эти две системы логарифмов могут быть выражены
посредством одного и того же графика путем изменения
масштаба ординат, как это показано на рис. 548.
Указанное изменение производится и в масштабе ординат
графика производной. В этом случае уравнение графика
производной для десятичных логарифмов (т. е. при
основании 10) имеет следующий вид:
,_ dy _ 0,4343
9 ~ dx ~~^c e
Производная показательной функции
739
График этот поясняет соотношение между указанными
двумя системами логарифмов. Если мы вычертим график
десятичных логарифмов в том же вертикальном масштабе,
что и логарифмов натуральных, то получим кривую,
подобную пунктирной линии, нанесенной на рис. 548.
— 10,8685
0,4343
0,8686
•Ш.4343 .
Следует заметить, что ординаты кривой натуральных
логарифмов в 2,303 раза больше ординат логарифмов
десятичных.
График производной десятичных логарифмов, так же, как
и график производной натуральных, представляет собою
равностороннюю гиперболу.
956. Производная показательной функции. Пусть у = а",
где и есть некоторая функция от х.
Возьмем логарифм обеих членов уравнения
Продифференцируем оба члена последнего равенства
1 dy du .
s /- — -—-, lor a.
у dx dx ъ*
47*
740 Дифференцирование логарифм* и показат. функций
dx
du , „ du .
В том случае, когда а = е, lgee = l, a
[547]
Если и — х9 то
dy _ d(eu) _. и ^ du^
dx dx dx
[548]
У = е
dy
dx
Так как выражение у — ех является функцией обратной
для y = \gex9 то, как это выше было объяснено (п°361),
у есть число, логарифм которого равняется х.
Таким образом число,
логарифм которого при
основании е есть х9 равно еж.
Особенностью функции
х
у = е
является то обстоятельство,
что производная ее также
равняется е ;
dy_
dx
= е
Длина подкасательной
Это означает, что график
производной данной
первоначальной функции у — ех есть
график этой последней,
есть постоянная величина,
равная 1. Отрезок АВ (рис. 549) представляет собою подкаса
тельную в точке Р. Так как здесь первоначальная кривая
в то же время представляет собою и график производной,
то на чертеже приводится одна кривая. Подкасательная
здесь является постоянной не только для функции у = ех9 но
также и для более общих случаев функций этого вида, т. е.
и для функций у = сепх или у = сах*
,ifc-
dx
eu
vr
1
—
*2
&rcsin x
e
Относительная скорость возрастания 741
Пример, Продифференцируйте у = еи, где и = arcsin лг.
ах
Отсюда
957. Производные функции у = И*, где миг; — функции дг.
Прологарифмируем данное выражение,
Дифференцируя оба члена этого равенства по х, получим
1 dy v du - dv ,
Так
[549]
как
y = u
-(t-
V
! j TO
—=— == vu
ax
du
dx
—i
+
rfu
с/лг
~dx'
•"+«
!*.«)
0 rf«
1*.a
Пример. Продифференцировать # = (1 + ж3)8111 х
у = uv, где и = (1 -f- я2) и v = sin *
с/и n c?v
~i— = 2л: и -т- = cos *•
ах ах
Подставив в формулу, получим:
-J = sin x (1 + *2)sin * - * 2* + cos x (1 + *2)siaa? • ige (1 + **)■
958. Относительная скорость возрастания и закон
сложных процентов. Если скорость возрастания функции
разделить на саму функцию, то получившееся при этом частное
представляет собою скорость возрастания данной функции
на единицу ее величины. Указанное частное
dy_
dt \ dg
или f-
У У dt
называется относительной скоростью возрастания данной
функции.
742 Дифференцирование логарифм, и показат. функции
Если относительная скорость возрастания функции есть
постоянная величина, то сама функция изменяется по закону
сложных процентов; если
[550] ft = *.
то
гссп 10° du
[ээЦ — • —*— = скорость возрастания в процентах*
Закон сложных процентов выражается формулой
в которой: А — наращенный капитал; Р—основной капитал»
г — процентные деньги на единицу основного капитала за
год; к — число раз подсчета наращенного капитала в году;
л — число лет.
Пусть число раз подсчета наращенного капитала, выпол
няемое в течение года, возрастает беспредельно, т. е. &-*оо
Положим .
JL-JL
к ~ г '
тогда
»-'('+4-Г-',[(1+т)Г-
Переходя к пределу, получим:
&'[(1+т)Т-й,,[(1+т)Т-
Но так как из п° 952 известно, что
Hm(l + -f)" = e,
ТО
[552] А = Регп-
Здесь А представляет собою наращенный капитал,
получившийся спустя п лет из некоторого основного Р и
процентных денег на него при непрерывном возрастании
основного капитала qq скоростью г 8 год. При отрицательных зн^*
Графин, дифференц. при помощи графика показ, функции 743
чениях г выведенная формула выражает обесцениваемое
капиталовложение.
Когда г отрицательно, то z также имеет отрицательное
значение, а I 1 -| 1 все же стремится к величине е при z-> оо#
Пример. Если указанная непрерывная скорость составляет 6%,
взятых со знаком минус, то
Основание натуральных логарифмов е может быть заменено каким-
либо другим основанием, например 10; вспомним, что е = 10 • • Тогда
д _ р. (100,43429)П1 ^ р . 100,43429 гяв
Однако в последнем выражении первоначальное значение г
как коэффициента при п исчезает; это обстоятельство делает
основание е более удовлетворительным для вычислений
подобного рода.
Закон сложных процентов можно изложить следующим
образом:
Если какая-либо величина, например у, изменяется таким
путем, что скорость ее возрастания (или убывания) по
отношению к некоторой другой величине, например х, всегда
пропорциональна ей самой (т. е. у), то она изменяется по закону
сложных процентов. Таким образом
у = Ре $
где Р есть значение у при лг —0, а г есть определенная
скорость возрастания, выраженная в процентах.
Пример. Скорость химической реакции возрастает на 10Vo при
повышении температуры на 1°. Вывести формулу для v при любой
температуре.
v = P 1,10*.
Если f = 0, х> = А
Из таблицы натуральных логарифмов
1,10 =е°'0953.
Тогда
<,==Ре0>т*^Р.е0>ти,
где Р — скорость реакций при 0°.
959. Графическое дифференцирование при помощи
графика показательной функции.
Из вывода производной для показательной функции мы
знаем, что ордината в этом случае измеряет наклон графика
744 Дифференцирование логарифм, и покаэат. функций
показательной функции в той точке его, для которой она
была восстановлена, так как
а.у- -е1
_У - положительно
dy
dx
положительна
(ь)
•отрицательно
■4 -3-2 -' | 1 2 1-40 АВ-:в£
Рис. 551.
Построив на кальке кривые показательных функций
у = е , у =
— х — а? ж
у = —е , у = е и у= —е
мы можем определить ординаты графика производной любой
кривой посредством простого наложения соответствующей
показательной кривой, нанесенной на кальку, на данную
кривую. Перемещая кривые до тех пор, пока не найдем точку
показательной кривой, в которой наклон последней будет
равен наклону данной кривой, откладываем ординату для про-
Графин, дирференц. при помощи графика показ, функц. 745
изводной кривой^ равную ординате показательного графика
в указанной точке его.
Если ординаты и абсциссы показательной кривой имеют
различные масштабы, мы можем свести этот случай к графику
-£
-
} *
"1
t ^~ 1
I Г
у
) -i
1
1
1 -<■
\
х -;
\
\
\
-3
г-
>-
}''
\4Y
^
) у"
i \
^ V
■у
г5
■\-
с
►
? -
? -
S4
< \
&\
•
1
ъ.
100,
90J
ЯП-
7П
60-
50-
40-
30
20-
ИП~
уи~
inV
IUV
20-
30-
•30-
'C\J-
MU
m
[20
У
[40-
kn-
1 ;
v
/
f
? "
/
/
/
h
4
/
/
/
/'
3
% «
1
«
-
) i
5
Рис. 552.
Ьа;
iy==e посредством деления масштаба абсцисс на 6, что
превращает данный график в кривую.# = е х (см. п° 381).
Образцовый график изображен на рис. 552, также в целях
пояснения изложенного метода показана часть показательной
кривой в точке касания с данной кривой.
746 Дифференциалы
Глава XLVIL
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ.
960. Обозначение дифференциала. Положим, зависимая
переменная у есть функция независимой переменной х. Пусть
символ dx, называемый дифференциалом независимой
переменной, выражает приращение независимой переменной, т. е.
dx = kx. В этом случае мы под выражением „дифференциал
зависимой переменной" (или, что то же самое, дифференциал
функции, дифференциал у, либо dy) понимаем дифференциал
независимой переменной, умноженный на производную данной
функции, т. е.
шляет собо*
Разделив приведенное выше выражение на dx, получим
где символ -^представляет собою производную, а не дробь.
dx~ [dx)9
где левый член равенства представляет собою дробь,
являющуюся частным от деления одного дифференциала на
другой, а правый член есть производная. Согласно приведенному
определению дифференциалов, мы можем рассматривать
производную как* частное от деления двух дифференциалов.
Здесь важно заметить, что в то время как dx = Длг, dy,
вообще говоря, не равняется Aj. Дифференциал независимой
переменной представляет собою ее приращение,
дифференциал же зависимой переменной есть произведение
производной и приращения переменной независимой. Таким образом,
du
производная функции у по х равняется дроби -f-, но ни
* by
в коем случае не равна дроби д—.
Если
^ = 2х
dx ZX'
то мы можем над этим уравнением производить такие же
действия, как и над дробью; т. е. можем написать так:
dy = 2х • J;ct
Приложение дифференциалов к исследованию кривых 747
Точно таким же образом, если мы имеем произведение
двух производных
dy du 1)
du'dx '
то можем сократить du, в результате чего данное выражение
dy
приводится к -г-.
Таким же путем, если у = и ~j~ v, то
dy du | dv
dx~d^ + d^f
a [553] dy = du-\-dv.
Точно также, если y — uv, то
dy cfo , e/u
dx dx*dx*
[554] dy = и • dv -f- т>с/и«
Точно также, если # = —, то
rfy dx dx
dx u*
rccci J v du — udv
[555] <fy = ^ .
961. Приложение дифференциалов к исследованию
кривых. Пусть РЛ — касательная к данной кривой, проходящая
через ее точку Р{х9 у) (рис 553).
*) Равенство
dx du dx*
основное в дифференциальном исчислении, имеет место вовсе не на
основании того соображения, которое высказывает автор. Здесь дело гораздо
тоньше. Простое сокращение на du невозможно по той причине, что в
первой дроби du означает полное приращение и, тогда как в дроби du
означает его главную часть.
Возможность сокращения вытекает из того, что предел отношения
полного приращения к его главной части равен 1.
Прим. ред.
74S Дифференциалы
Положим, х получает приращение Длт, которое, согласно
данному выше определению, равно dx. При этом dy— диффе-
ренциал функции — равняется ее производной, умноженной
на dx. Так как производная функции равна тангенсу угла СРД
то
dy=tg CPA-dx.
ГА — ^*
ig = tg СРА или СА = tg CPA • dx,
следовательно
С А = dy.
Заметим, что
Ау = ВС.
Дифференциал функции у,
т. е. dyt есть та величина, на
которую возрастает у, по мере
того как х возрастает на
некоторое количество dx при том
условии, что скорость
возрастания у в интервале dx
остается такой же, какой она
была в начале его.
Мы рассматривали скорость изменения зависимой
переменной по отношению к независимой как предел отношения
и назвали предел этот производной. Такое предельное
значение указанного отношения мы обозначали следующим образом:
~т~ = некоторая величина к (постоянная или переменная).
Мы только-что видели, что это выражение можно
написать в виде такого равенства
dy = к • dx9
где
Подставив f (x) вместо к, получим дифференциальное
уравнение
{556] dg=f{x)dx,
где /'(*) есть скорость изменения зависимой переменной по
«отношению незавиршушй.
Рис. 553.
Дифференциал дуги
749
962. Длина кривой. Длина кривой есть предел периметра
вписанного в нее многоугольника при безграничном
увеличении числа его сторон. Чтобы понять основание для такого
определения, рассмотрим, как бы мы могли измерить длину
кривой линии при помощи линейки. Можно представить себе
линейку, которая покоробилась, несмотря на то, что была сделана
Рис. 554.
Рис. 555.
очень тонко. Очевидно, что весьма существенно для такого
измерения воспользоваться идеей о вписанном
многоугольнике, как это только что было высказано.
Мы примем, что предельная величина отношения между
весьма малой хордой и стягиваемой ею дугой при
приближении соседних точек Р и Pf друг к другу равна единице:
"хорда PF'
lim
1.
L дуга PF
Здесь несущественно, рассматривается ли точка Р, как
приближающаяся к Р\ или наоборот, F— к Р, так как
в обоих случаях предел расстояния между ними равняется нулю.
963. Дифференциал дуги. Пусть s — расстояние от точки А
до переменной точки Р, измеренное по кривой. Обозначим
угол ВРТ через букву <?. Если Р прошло весьма малый путь
до точки Р\ то приращения х, у
и 5 таковы:
Д* = РВ; by = BFnbs = дуга РР'.
Из рис. 556 видим, что
DDD' а* а*
cos BPF ==-нт^ = 7—
PF
As
д
PF
Sin ОГГ ppf ^ pp/.
По мере того как Р
приближается к F% I BPPf приближается О
к <?. и
Рис. 556.
As дуга PF 1
15Ъ' = unt стремится к 1.
РР хорда РР г
750 Исследование кривых
Тогда, в пределе,
dx . dy
Эти равенства означают, что dx и dy являются сторонами
прямоугольного треугольника с гипотенузой ds> лежащей на
касательной, проведенной к данной кривой в точке Р.
Надо иметь в виду, что, так как х есть переменная
независимая, то dx — kx; но dy не равняется Ду, так же, кхки ds
не равняется As, ибо у н s — переменные зависимые, что
можно видеть на рис 556.
Из сказанного мы получаем весьма важные
дифференциальные равенства.
[557] А« = (Лс)*+(ф)».
[558] ds = dxyf1±^JL}\
[559] ■ Л=*/1+(^)'.
Глава XLVIIL
ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ.
964. Параметрические уравнения. Если уравнение кривой
дано в параметрической форме
[560] x==f(i)HS==f(t),
to весьма часто представляется удобным найти производную у
по х без предварительного исключения t из данных двух
уравнений. И х и у представляют собою функции t, в то же
время у .есть и функция х. Нам известно такое соотношение:
В таком случае
it
[561] ^--т^
Л
Составляющие скорости в пространстве
Пример, х = /2 -f-1, а у = t — 1, найти -У- .
dt ~ lt ' *' Л 1
751
dx 2t + Y
965. Составляющие скорости в пространстве. Если .точка
движется по кривой, расположенной в пространстве (не
плоской), то проекции вектора ее скорости на три координатные
оси называются составляющими данной скорости.
На рис. 557 j
dt
RT=
df
4l
dt
Ho
($)'-№'+№<%)'•
г
0
do /
dt/y
- p/ dx j
f- dt.
1 R
dz
dt
о
A4
dt
к
так как
г
Рис. 557.
(PTf = (PQp -f- (QRy -f (R 7)9.
Пример. Из п° 830 известно, что параметрические уравнения винтовой
линии
х = г cos 9; у = г sin в; z = £ в,
где в — угол, на который поворачивается точка вокруг данной оси; г —-
радиус цилиндрической поверхности; k — постоянная, величина которой
зависит от шага винтовой линии.
Найти касательную составляющую скорости в данный момент для
точки, двигающейся на винтовой линии при условии, что 9 возрастает со
скоростью 2 радиана в секунду:
j-= -г sin в-^-= — 2rsin6
тт =* rcos 8 • ~тг = 2r cos 9
752 Исследование кривых
dt k dt Zkt
dt
= 2.
Таким образом
ds
^=У(_2г sin в)2 + (2гсозв)2 + (2*)2 = 2Уг2 + *2.
966. Наклон кривой. К выяснению частного значения
производной или, что то же, наклона кривой в некоторой точке
ее, следует подходить, как мы это
увидим ниже, с известной
осторожностью.
Рассмотрим в виде примера, по*
ясняющего сказанное, кривые
степенных функций, в которых -
показатель степени при независимой
переменной является дробью. Такие
. кривые имеют резкие переломы,
-2-1 1 1 2 подобные тому, какой показан на
рис. 558, где изображен график
Рис. 553. функции
Рис. 559.
Этот график имеет перелом в точке, абсцисса которой х = 0.
Для указанной точки производная не является конечной
величиной, так как в равенстве
dy_ 2
dx
3^7
Случаи, цргда производная положительна или отрицат. 753
правый член, не представляет собою конечной величины при
х = 0, ибо его знаменатель в этом случае обращается также
в нуль. В указанной точке производная меняет свой знак
с — на +.
При исследовании геометрического места точек
повернутой гиперболы или параболы могут встретиться
затруднения, подобные только что изложенному. В случае
какого-либо сомнения (нет ли у кривой перелома) весьма
полезно построить кривую данного уравнения, в результате
чего будут видны любые характерные ее особенности
(рис. 559).
967. При исследовании функции для некоторого значения
мы должны будем выяснить, является ли она при указанном х
непрерывной. Если рассматриваемая функция имеет вид дроби
и если можно найти такое значение дг, которое обращает
знаменатель в нуль, то при найденном х функция имеет
разрыв. Поэтому рекомендуется указанный знаменатель
приравнять нулю и решить получившееся при этом уравнение, затем
следует испытать значения х9 близкие к получившемуся из
уравнения (надо испытать значение больше получившегося и
меньше его) для того, чтобы определить характер изменения
вблизи точки, абсцисса который есть корень решенного
уравнения. Функция может иметь разрыв не только тогда, когда
знаменатель обращается в нуль, но также и в других
случаях, однако всегда представляется весьма разумным
исследование функции при указанном условии (приравнивание нулю
знаменателя и т. д.).
968. Случаи, когда производная положительна или отри*
цательна. Рассмотрим y = f(x). Если ордината, т. е. значение
функции, возрастает, в то время как абсцисса возрастает, или,
говоря другими словами, если ордината возрастает при
движении точки по кривой слева направо, то функция является
возрастающей. График ее поднимается кверху, а поэтому
скорость ее изменения -т— положительна (рис. 560).
Касательная к такой кривой, проведенная через ту точку ее,
для которой производная положительна, образует с осью Л'угол
меньше 90°.
Если ординаты, т. е. значения функции, убывают, в то время
как абсцисса л: возрастает, то кривая является нисходящей и
производная ее-~Д- отрицательна (рис. 561).
48 Справочник для инженера.
754
Исследование кривых
Касательная к этой кривой; проведенная через ту точку ее,
для которой производная отрицательна; образует с ооью X
угол, находящийся между 90° и 180°.
Рис. 560.
Рис. 561.
969. Если на кривой может быть найдена такая точка, в
которой функция не возрастает и не убывает, то кривая в этой
точке не поднимается и не опускается. Касательная к кривой,
проведенная через указанную
точку, является параллельной
оси X, т. е. ее наклон, так же
как и скорость изменения
функции, равен нулю (рис. 562):
*!L
dx
0.
Рис. 562.
Если точка, двигаясь по кри-
пой слева направо, проходит
через такое положение, при
котором производная изменяет свой
' знак с положительного на
отрицательный, а кривая из
поднимающейся превращается в нисходящую, то само собой
следует, что указанное положение точки дает максимум
значения функции. Если же точка, двигаясь слева направо,
проходит через положение, при котором производная изменяет
знак,,свой с отрицательного на Положительный, то такое
положение определяет точку минимума на рассматриваемой
кривой (рис. 563). .
Вогнутость кривой 7$5
-* ^ = 0\ у-достигает
маКсимум
970. Воглутость кривой. Вогнутость кривой проще всего
может быть выяснена, если обратиться к рассмотрению
определенной кривой. Возьмем в виде примера график
у^хъ— 4 л: (рис. 564).
Положим,
некоторое положение точки,
например Ри
соответствует
какому-либо значению дг, на1
пример *i. По мере
того, как значение л
возрастает, т. е.
данная точка движется
по кривой слева
направо,
последовательно проходя
положения P2f Р$, Pi и
т. д., наклон
касательной, т. е. произ-
dt/ -
водная -г—, убывает.
Трафик, как мы
видим, обращен
вогнутостью книзу.
Поэтому, если
dq
производная-J- no*
ложи те ль на и
является убывающей,
кривая обращена во
гнутостью книзу.
Касательная,
проведенная к кривой
через точку Рб> па~
раллельна оси X, т. е.
Наклон ее есть нуль и
Рис. 563а.
Ас °"
з- достигает
минимум
Рис* 563Ы
При дальнейшем перемещении точки вправо к положениям
Р& Ръ Р& Pq и т. д., указанный наклон делается
отрицательным и убывает, в то время как х продолжает возрастать. В точ-
48* .
756
Исследование кривых
ках Р6> Ръ Pg» Pq и т. д. наша кривая опять обращена
вогнутостью книзу, а поэтому мы выводим следующее заключение:
Если производная -т- убывает по мере того, как х возра*
стаерг, кривая обращена вогнутостью книзу ( независимо от
того^ будет ли —т-
величиной положительной или
отрицательной 1.
В то время как точка
передвигается еще далее
вправо, последовательно
проходя через Р/, Р2',
/У и т. д., наклон
касательной или, что то же,
значение производной, все
еще остается
отрицательным, но превращается из
величины убывающей в
величину возрастающую.
Говоря другими словами, по
мере возрастания х
возрастает и значение
производной, в этом случае
наша кривая обращена
вогнутостью кверх^
Касательная, проходящая
через точку Р5\ параллельна
. оси X, т» е. ее наклон есть
Рис. 564. нуль, и
dx U'
Во время прохождения точки через положения Р/, P/, P8'i
Р9' и т. д. наклон касательной, т. е. значение производной,
становится положительным и при возрастании х сам также
возрастает, кривая же все еще обращена вогнутостью кверху»
Поэтому мы выводим заключение, что
Вогнутость кривой
757
dy
если производная ~-f~ возрастает по мере того, как и х
возрастает, кривая обращена вогнутостью кверху
[независимо от того9 будет ли "-т— величиной положительной или
отрицательной 1.
Обращаясь опять к рис. 564, где графики
у —xs — 4х
вычерчены при одних и тех же осях, а их ординаты выражают
da • (fiu
соответственно у, -т- и . ^ f мы заметим весьма интересное
соотношение: кривая производной пересекает ось X, т. е.
проходит через свои нулевые значения, в .таких точках, которые
являются абсциссами максимума и минимума первоначальной
кривой.
Для всех тех значений лг, для которых график пэрвой
производной лежит над осью X (производная здесь положительна),
первоначальная кривая поднимается кверху вправо. Для всех
же тех значений дг, для которых график первой производной
находится под осью X (производная отрицательна),
первоначальная кривая вправо падает.
Если при возрастании х (в направлении слева направо)
положительный знак ординаты графика первой производной
изменяется на отрицательный, т. е. если график первой
производной пересекает ось X сверху вниз, то первоначальная
кривая имеет максимум в той своей точке, для которой указанное
пересечение является абсциссой, ибо в этой точке у' = 0.
Если при возрастании х кривая производной пересекате
ось X, идя снизу вверх, т. е знак ее ординаты меняется с
отрицательного на положительный, то первоначальная кривая
имеет минимум в той своей точке, которая соответствует
нулевой точке графика производной.
Для всех значений дг, для которых график второй
производной расположен выше оси X, т. е. где он положителен;
758
Исследование кривых
кривая данной функции обращена вогнутостью кверху; для
всех ж& значений абсциссы, для которых график второй
производной находится под осью X, т. е. где он отрицателен,
первоначальная кривая обращена вогнутостью книзу.
971. Точки перегиба. При том значении xf при котором
график второй производной пересекает ось Х\
dx*
=-0
и кривая данной функции имеет точку перегиба.
Знак второй производной -4, вообще говоря, изменяется,
а следовательно график функции получает выгиб в обратную
сторону, т. е. он имеет точку перегиба.
Точка перегиба есть точка максимального или
минимального наклона графика функции.
Рис. 565.
Пример (рис* 565).
у = Xi - 8 *2 — х + 16
*' = *
dx
~~ dx*
4*3-16 дг-1.
= 12д:2 —16
Заметим, что кривая первой производной пересекает ось X тогда, когда
график функции достигает максимальных, либо минимальных значений.
Определение значений максимума и минимума 759
Кривая же второй производной пересекает ось X, когда график первой
производной достигает максимальных или минимальных значений, а график
функции имеет точки перегиба.
Заметим, кроме того, что ордината графика второй производной
положительна для минимальных значений первоначальной функции и
отрицательна для ее максимальных значений.
Если кривая второй производной лежит над осью X, т. е. если
dx* ^ '
кривая функции обращена вогнутостью кверху, если же кривая второй
производной расположена под осью X, т. е. если
то кривая функции обращена вогнутостью книзу.
Дая определения тех значений дг, при которых данная
функция имеет точку перегиба, следует вторую производную
приравнять нулю, а затем решить получившееся при этом
уравнение.
972. Определение значений максимума и минимума,
функция одной переменной, как это следует из предыдущих
рассуждений, имеет максимум своего значения в точке х = xQf если
наклон = -т- = 0, и если -т^ чО1).
'Таким же образом, функция одной переменной имеет
минимум своего значения в точке х = лг0, если
&Ч л d2y . л
наклон = -у— = О и если -г~ > 0.
ах г/*2
Обыкновенно бывает достаточно построить весьма
приблизительный график, чтобы он позволил увидеть ординаты
максимума и минимума, не ведя дальнейших исследований.
!) Функция может достигать максимума или минимума еще и в тех
случаях, когда при данном значении х производная функция терпит разрыв
непрерывности, изменяя свой знак.
3
Например, функция# = У'х2 имеет минимум при * = 0. Этот минимум
нуль. Между тем производная ...
d3 „ 2 1
Ух
при этом значении х обращается в бесконечность.
Прим. ре*.
7'йО Исследование кривых
973. Правила для нахождения максимума или минимума.
Чтобы решить предлагаемые ниже задачи, определите выражение
той величины, которая согласно задаче должна иметь
максимум (или минимум), а затем условьтесь считать это выражение
функцией, т. е. ординатой у.
Выразите у только через одну переменную х. Иногда для
^того бывает удобно представить у как функцию от функции,
а затем привести последнюю к обыкновенной функции,
зависящей от одной переменной.
Найдите первую производную и определите те значения дг,
которые дают
ах
Исходя из характера задачи, обыкновенно бывает легко
решить, имеет ли функция, в рассматриваемой точке,
максимум или минимум. Если же это обстоятельство определить не
легко, то найдите значения второй производной для тех точек,
для которых первая производная обращается в нуль.
Если —тА > 0, функция имеет минимум для данной точки.
Если -т*5 < 0, функция имеет максимум для данной точки*
Пример. Стальной цилиндрический бак, состоящий из стенок и дииЩа
одинаковой толщины, должен обладать емкостью в 140 лс3. Найдите такие
размеры бака, при которых величина его поверхности стаиовитси
наименьшей.
™ к& .
Пусть А — высота, D — диаметр, $ — площадь поверхности, t = —т—|-
+ % Ph.
Объем = -т— = 140 лс3 (постоянная величина).
Исключаем Л посредством подстановки
140X4
А = .
в уравнение поверхности. Тогда
к£2 560 кР __пР> 560
4+*D2#l~4~hD'
Скорость изменения поверхности по отношению к диаметру есть
Js *D 560
dP~~ 2 £>а' ' "
J
Правила для нахождения максимума или минимума 761
когда
560
Я2
Функция $ будет иметь минимум,
ds _ tzD
dD ~ 2
nD_560
2 ~~ £*
tcZ>3 = 1120
D3 = 357
D =s 7Д л* = диаметр.
Подставляя найденное значение D в
*D2A
«140,
получим
ДО
подсчитывает стоимость работ для
точки В, которая лежит на 90 м
Л = 3,5 == глубина бака.
Заметим, что диаметр в два раза больше глубины.
Пример 2. Производитель работ
проведения туннеля от точки А
ниже точки Л и на расстоянии
150 м от нее по горизонтали.
Он вынужден вести работы
через землю и камень. Согласно
его смете работа этого рода
составляет на линейный метр
30 руб. в яемле и 90 руб. в
камне. Какие расстояния нужно
пройти в земле и в
каменистой породе, чтобы стоимость
указанной работы была
наименьшей?
Пусть х —- горизонтальное
расстояние, показанное на рис.
566; 150 — х расстояние, на
котором извлекалась земля;
V* + 8100 — расстояние, на
котором извлекалась
каменистая порода.
Так как стоимость есть функция, минимум которой мы желаем найти,
то составляем выражение для этой стоимости в виде функции двух
указанных расстояний, т. е.
земля
Мамень
-150
>*■ 150 - х —1-х-
1
О
СП
В1Л
С =
СТОИМОСТЬ :
90
( У*»+ 8100)+ 30 (150-
2
= 90 (*3 + 8100) + 30 (150 - х)
£-* (жЧ-ЯООГ Г- ftlf±«»)-S0«
dx 2 dx
90*
30.
У**2+ 8100
Для того чтобы наша функция имела минимум, -у— должно равняться
нулю.
762 Исследование кривых
Поэтому
90 * 30 = 0
У> + 8100
Злг
1
Ух* + 8100
Злг= У> + 8100.
Возвышая в квадрат, получим:
л;2 + 8100 = 9л-з
8^ = 8100
л:2 =1012,5
х = 31,8.
Уд?+ 8100 = У 31,82 + 8100 = 95,5 м
есть расстояние, на котором нужно извлечь каменистую породу.
150 — х 5= 118,2 л< — расстояние, проходимое в земле.
Стоимость « 90 (95,5) + 30 (118,2) = 12141 руб.
Пример 3. Часовая стоимость топлива, расходуемого на движение
парохода, пропорциональна кубу скорости и составляет 20 руб. при
скорости в 20 км Прочие издержки- составляют 100 руб. в час. Наедите
наиболее экономичную скорость парохода в стоячей воде.
Стоимость топлива = F= ks* (s = число километров в час).
Тогда 20 = k (20)3, откуда k == 0,0025.
Поэтому,
F= 0,0025 s».,
Стоимость эксплоатации в час = 0,0025 s3 -\-100.
Стоимость на километр = С = — = 0,0025 s2 + 1Q0 s ~*
С будет иметь минимум, когда
^ = 0,005s-100s-2 = 0
as
адм.-™
S"
s' = 20000
• s = 27,1 км/час.
Представим этот ответ в общем виде. Пусть k — коэффициент при s,
определяемый, как и выше, из опыта, и пусть а — постоянная сумма
различных затрат по эксплоатации в час. Тогда наиболее экономичная ско*
рость дается выражением
Правила для нахождения максимума или минимума 763
Замечание. Различные авторы дают соотношение, в котором mohj-n
ность пропорциональна кубу скорости, а так как изменяющаяся мощность
пропорциональна расходу топлива, то последний также пропорционален
кубу скорости.
Пример 4. Прочность балки прямоугольного сечения на изгиб
пропорциональна ширине последнего и квадрату его высоты. Найти размеры
наиболее прочной балки, какую можно
вырезать из круглого бревна диаметром бОслс.
Пусть S—прочность балки на
изгиб, х — ширина балки, у — высота
балки.
Тогда
S^k-xy*.
Из треугольника (рис* 567)
л-з + ^бОЗ-ЗбОО
V = 3600 - А
Тогда
5=Ь: (зесо-*2)
~ = 3600*-3 Ь3
ах
dx*
= -6 kx
dS л (PS
у- = 0, а -j-тг = отрицательное
Рис. 567.
число в том случае, когда
3 kx* = 36C0 к
v2==1200 .
д: = 34,6 %
# = 49,0.%
Пример 5. Из механики известно для приводного ремня следующее
соотношение:
Напряжение, вызываемое центробежными силами = С = , где го
Я
есть вес 1 м ремия с площадью сечения в 1 см2. Если Т2 — наибольшее
напряжение ведущей части ремня (которое он может выдержать), то
величина передаваемого усилия иа единицу сечения будет -
F^T2-
8
Передаваемая мощность на квадратный сантиметр сечения ремня равна
P = F-v.
Тогда
~ _ w • ifi
764 Исследование кривых
Чтобы найти максимум мощности, приравняем первую производную
Нулю:
dP r 3 ZD-V*
dv g
Следователь»»
3 ZOV2 ~
' = / О •
Но = С == напряжение, вызываемое центробежными силами. Тогда
* зс=г2
Т" .
Максимум передаваемой мощности получается в том случае, когда
напряжение, вызываемое центробежной силбй, составляет одну треть
наибольшего допустимого рабочего напряжения ремня*
Пример 6. При какой скорости приводная цепь, имеющая рабочую
иагруаку Р, будет давать максимум мощности в том случае, когда
принимается во внимание центробежная сила?
Пусть w — вес одного метра цепи; v — скорость цепи в метрах в
секунду; g = 9,81 м/секК
ZO * V
Натяжение, вызываемое центробежными силами, С = •
8
Если 7*2 — наибольшее допускаемое рабочее натяжение цепи, то
появляющееся при передаче мощности натяжение радоо
F_T%—-,
а передаваемая мощность, как и в предыдущем примере,
Р = T2v •
g
dv 2 g
Наивыгоднейшая скорость цепи есть
г 3 w
Возьмем, например, обыкновенную кованую цепь.
w = 6 xt на 1 л*
Г2 = 450 кг. •
,Я|/"«^!!1-15Мс|*.
Практически же, имея в виду прочность зубцов, а также и некоторые
другие обстоятельства, является нецелесообразным давать цепи скорость
более 3 м/сек* Поэтому совершенно очевидно, что центробежная сила не
Кривизна
765
влияет на сопротивление' цепи; она входит в задачу и рассматривается
в ней только в том случае, если цепь очень слабо натянута, что вызывает
удары зубьев звездочки.
974. Кривизна. Рассмотрим дугу, обращенную вогнутостью
по всей длине к своей хорде. Степень изогнутости дуги
может быть измерена углом р, находящимся между
касательными, проведенными через ее концы, т. е. углом, на который
поворачивается касательная, если точка касания движется по
данной кривой от одного ее конца к другому.
р ср' — ? * А?
Отношение
дуга PF
As
есть средняя кривизна дуги РРГ на единицу ее длины. По мере
того как Р приближается к Р', т. е. As -► О,
1. А»
hm -г1---
Это выражение называется кривизной в точке Р. Следует
заметить, что изменение кривизны находится в прямой зави-
Рис. 568.
Рис. 569.
симости от степени изгиба кривой, т. е. кривизна больше,
если кривая, изогнута более резко, она меньше, если кривая
более приближается к прямой линии*
Пример 7. Найдите кривизну в точке Р окружности радиуса а (рнс. 569).
9+-0
$ = aQ.
766 Исследование кривых
Тогда
i*L = **в ^ 1
c/s . а с/0 . а
Кривизна окружности постоянна и равна числу, обратному величине
ее радиуса. Вследствие этого радиус не применяется для измерения крл-
внэны, ибо последняя не изменяется прямо пропорционально ему.
975. Радиус кривизды. В предыдущем п° мы нашли; что
радиус окружности есть величина, обратная ее кривизне.
Радиус кривизны какой-либо кривой в любой точке ее
определяется как радиус такой окружности, которая имеет
ту же кривизну, что и данная кривая в указанной точке.
Следовательно; радиус кривизны кривой в некоторой ее
?очке есть величина, обратная кривизне в этой же
точке.
г-/-от 1. "S
</? </? (1)
d4
?- arctg^
Из п» 949 [520]
т
d?dx
(2)
Кроме того
ds=V{dxY4(dy)\ (3)
Подставляя (2) и (3) в (1), получим
[564] _ds _ [1 + \dxJ J'
dx*
Так как обыкновенно требуется знать численйбе
значение р, то знаком его можно пренебречь.
. Теорема Ролля 767
Если кривая дана уравнением x = f(y), можно показать,
что таким же образом, как и выше, получается соотношение
2
[5651
ыт
*1
Пример,
{> = -
. df
Найдите радиус кривизны параболы
N
ffig
dx1
Р^
dx '
d{2g-*)
dx
3
<Г-у
dx*
2 2 1
У ~ 6 3.
~2У dx
3
~~ 1
54
•
в2-
,4
V
.= ■
= 4 at в точке
1
54
- 63,23
(9,6;^
Глава XLIX.
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯДЫ.
976. Теорема Ролля, Если функция f(x) и ее производная
/'(*) однозначны и непрерывны при всех значениях х} от
х = а до х = Ь, и если кроме
того /(в)=/(4) = 0, то f(x)
обращается в нуль по крайней
мере для одною значения х9
находящегося между а и Ь.
В геометрическом смысле это
означает, что если непрерывная
кривая пересекает ось X в двух
точках, х — а и х = Ь, и имеет во
всякой точке этого интервала
Конечный наклон, то в некоторой
точке, скажем, х = х0 (а < х0 < Ь),
касательная к данной кривой
параллельна оси X (рис. 570).
977. Закон среднего. Закон среднего, называемый иногда
теоремой о среднем значении, выводится из теоремы Рблля
и заключается в следующем:
Y
0
•
/
/
ч-О .;..
-—h-
у~\^
1
-А-Ь -
—*А
h
>
—!*J
k х
\
Рис. 570.
768
Разложение функций в ряды
Если f(x) и ее первая производная f(x) непрерывны от
х = а до х=Ь, то существует такое значение х = xv
которое лещит между х = а и х = Ь и дает равенство
[566]
или
Пусть
№-f(a)
-Л*|)
Ь — а
(1)
Hb)-f(a)
= Q.
Ь — а
Так как а и Ь постоянные, то и Q постоянная и
№-f(a)-(b-a)Q = Q.
В ■
(2)
Рис. 571.
Пусть <р(*) — функция, полученная в результате замены а
буквой,* во (2).
?М=/(б)-/М-(*-*)(2 . (3)
*'(*)=-/'(*)+ Q. (4)
Так как f(x) и /'(•*) непрерывны между х — а и * = &,
то'<р(дг) и <?'(*) также непрерывны между дг = а и х=Ь.
Из (2) имеем
<6-a)Q=/(6)-/(a).
Обобщение закона среднего 769
Подставив это выражение в (3), получим
Тогда
?(*)-/<*)-/(*)-л
Таким же образом из (3) получим
<?(а)=/(й)-/(а)-[/(6)-/(а)] = 0.
Откуда следуетг что <р (л:) удовлетворяет условиям теоремы
Ролля (п° 976) следовательно
?'(*i)=0.
Равенство (4) получает вид
или
где Xi находится между * —а и х = Ь.
Подставив в (2), получим
№-f(a) + (b-a)f'(Xl),
что и требовалось доказать.
978. Обобщение закона среднего. Если функция /(*)> а
также ее первая и вторая производные /'(*) и /"(■*)
непрерывны от х = а до х == 6, то существует такое значение
л = дг2 между дг = а и д: = 6, для которого
/ (6) =/(а) + (4 - а)/'(а) + (-^^ /"(*J.
Положим
№-f(a)-(b-a)f'(a) _ ,
\b-aY R' (1)
2!
Так как а и Ь постоянны, тон/? также постоянна, а потому
f(b)-f(a) - (6 - «)/'(а) - (-^^К = 0. (2)
Подставляя в левую часть ур-ния (2) букву дг вместо ат
получим функцию
K(x)=№-f(x)-(b-x)f>(x)-(±=f)lR. (3)
49 Справочник для инженера.
770 Разложение функций а ряды
Дифференцируем (3), имея в виду, что третий член правой
части является произведением. Таким образом
Так как /(*), f'(x) и /"(л) непрерывны, то ^(х) и <?&(*)
также непрерывны.
Из ур-ния (2) имеем:
(£^R = №-f(a)-(br-a)f(a).
Подставляя полученное выражение в (3), найдем
?2 («) =f(b) ~f(a) -(Ь- a)f'(a) -/(&) +/(<*) -f
+ (A-o)f(a) = 0.
Крэме того, из ур-ния (3)
?2(6)=/(б)_/(б)_(6_б)/'(5)_(^)!/г=о.
Отсюда видно, что функция <?2 (х) удовлетворяет условиям
теоремы Ролля, а потому
?2'(*2) = 0,
и ур-ние (4) превращается в уравнение
o=(b-x2)[R-f"(x2)] ■■:
или
Подставляя это значение R в ур-ние (2), имеем
/(*) = /(«) + (^ *)/'(«) + (i=j^ /"(**)>
что и требовалось доказать.
Пользуясь тем же приемом, можно показать, что
Формула Тэйлора с остаткам 77 f
Вообще ".*"".
№ =/(а)Н-(6-а)/'<а) + (-^=г^ /"<«)-+-
[567] +<1^ГЧа)+...+^^-Г-1(в) +
где а<*п < 6. Последнее выражение является общей формой
обобщенной теоремы о среднем.
919. Формула Тэйлора с остатком. Если в общей формуле
закона о среднем (п° 78) подставить х вместо Ь\ то получим
выражение
/(*) =/(<*) + -^4Г" Г(а) + ^ТП^ Г (в) +
[568] + (-^=^ /'"(«)4- • • 4- (\~^ Г1 («)+
П
которое называется формулой Тэйлора.
Эта формула справедлива для всех значений х от л: —а
до х = Ь, при том условии, что функция и п ее
последовательных производных конечны и непрерывны в интервале от
* = а до х — Ь. Подставляя х вместо 6, мы получаем
выражение, справедливое в указанных пределах.
% Таким образом, функция f(x) может быть заменена равным
ей конечным рядом, состоящим из членов (х — а).
В формуле [568] последний ее член г"^/*(*») назы-
вается остатком. Если этот остаток можно сделать как
угодно малым, взяв для этого достаточно большое л, то
указанный ряд [568] превращается в бесконечный сходящийся
ряд, причем он стремится к пределу, равному /(*). Для тех
значений х, для которых остаток стремится к пределу,
равному нулю, т. е. когда
lin r(^!lr(rJ=0>
П -> оо L п * J
функция равняется сумме членов сходящегося ряда.
49*
772 Разложение функций в ряцы
Пример* Разложить sin x в ряд по степеням (х — а). Имеем:
fix) == sin х, тогда f(a) = sin a
f(x) = cos дг, /(а) = cos a
/'(*) = — sin x, /" (a) =3 — sin a
/ (*) = — cos x, f'f(a) = — cos a
/^(*) = sin x fIV(a) = sin a
fv (*) s=s cos x f^(a) = cos a
Подставив эти выражения в [568], получим:
-sin х as sin a -f- cosa(* -<- а) — sin a jr cos a 7 b
z ч о ' *
+ sma___L + C0Sa___e
Если в [568] вместо ли подставим а ~Ь А, то мы получим
другую форму ряда Тэйлора, а именно:
[569] /(в + А)-/(а)4-яГ(а)+-^Г(в) + ^:Г'(в) +
+ ^г/»(в)+...+^Г15ГГ-1(а) + ^./-(И)+...
Этот ряд, в частности, весьма полезен в том случае, когда
мы желаем выразить функцию суммы двух величин в виде
ряда, состоящего из степеней только одной из указанных
двух величин.
Пусть
Если х получает приращение Л, то
/U+*)-/W+/W-A + ^-W + i^-Ai+... (2)
Дифференцируя функцию (1), имеем
f(x) = 3ax*-{-2bx-\-c
ft*) = 6a* +26 £^L^Zax-{-b
■rW-ба £1Г1 = в
/W(*) = 0 прип^4.
Формула Маклорена с остатком 773
Подставляя эти значения в (2), получаем
f(x + h) = (ax* + bx* + cx + d)+(3ax*-\-2bx + c)hl-
+ (3ax+b)h* + ah*.
В большинстве случаев значительно проще составлять ряд
по последнему способу, чем сначала производить подстановку
(л:-|-Л) вместо *» а затем выполнять перемножение, указанное
в выражении
f(x + h) = a(x + h)* + b(x + h)* + c(x + h) + d.
980. Формула Маклорена с остатком. Эта формула является
частным случаем формулы Тэйлора, в которой а = 0, цричем
ряд Тэйлора превращается в
[570] /М=/(0)+ДО)*+Г(0)^+/'ЧО)-^-Ь
+/w«e-ff-+. •. +/(п-1}(0) (й)]+Г(^ •
Этот ряд называется рядом Маклорена.
Пример /. Найти ряд для cos*.
HMJw = cos,=/(0)+/40),H-i^ + i^ + .,. .
/(0) = cos 0 = 1.
Первый член ряда = 1.
/у/ \ djcosx) ,
/ (*) « fa = "" sln *•
тогда
/'(0)= —sin 0 = 0.
Второй член = 0 • х = 0.
*,к ч rf( — sinдг)
f"(x) = —^- *- = - cos лг,
тогда
/"(0)= — cos0= —1.
__ 1 . х2 ^х2
Третий член = ^j =5= —JF"
тогда
«/# /ч d( — cos*) .
/'" W = —^—- =sin *•
/"'(0) = sin 0 = 0.
774 Разложение функций в ряды
3!
Четвертый член = —«}— ^ и*
"; - * п i ч" rf (sin*)
/'(*) = dx ^COSAf,
тогда
/'(0)=: cos 0 = 1.
„ , 1.** дг*
Пятый член =
4! 4!
Напишем ряд:
х'£ , л4 *6 , д*
[571] . «^Т1—ЗГ + 1Г-'6Г + 1Г
Пример 2. Разверяуть в ряд sin x.
Пусть /О) = sin х, тогда /(0) = sin 0 = 0
/' (*) = cos лг, f (0) = cos 0 = 1
/"(*)== — sin** /'(0)= -sin0 = 0
' /"' (*) = - cos ду /'" (0) = - cos 0 = - L .
Таким образом, наш ряд примет вид
|572] ' 81п* = *~1Г + 1Г~7Г + ~9Г~*-'
а также
I X8 X5 X* \ -
|573] / (sin л:) = / ^ х jj- +_-§1 )
Пример 3. Развернуть в ряд выражение cos x -f- / sin x. Пользуясь
найденными выше рядами для cos л? и /sin*, имеем:
[574] ccs* + ishia:=(1 fr + lj Ж+#*0 + 1'(*~Ж +
+_г__г+...) = 1+'л;-зг+зг-1г4:---=1+'д:+-:
Пример 4. Разверяуть в ряд выражение lge(l -(-•*)••
Пусть /(*) = lge(l + яг), тогда /.(0j = l?e 1 = 0.
/W = TT^' /'(0) = l
Подставляя эти значения в формулу
, /<*) = /(0;+/'(О)*+/"_(Р) -J + /"' (0) -g- + ... \Щ
2^
2!
Неопределенные формы 775
получим
[575] ^(1+*)-*-^ + ^-~^+...
Для разложения в ряд выражения !ge (1 — х) подставляем в [575] ( — лг)
вместо х. Имеем:
[576] .'\и<Х-х)=-х—£^~£.-...-
То обстоятельство, что в этом ряде все члены имеют знак минус,
согласуется с тем, wo логарифмы чисел, меньших единицы, отрицательны.
Пример. Разложить в ряд е%х •"
f(x) = eix, тогда /(0) = е° = 1
f(x) = i.e<a /' (0) = / • в° = / = У — 1
/"(*) = PeU /" (0) = I2 • е° ±= /2 =f — 1
/"'(*) = z3 • eiv f" (0) = i» • e° = /3 = - у ZTi.
Отсюда,
i'2^2 /Sv3 i4**
2! ] 3! ^ 4! ^ '"e •
Но так как этот ряд одинаков с полученным ранее рядом дл*
cos х -f-1 sin x, то
[578] егх = cos x-\-i sin лг.
981. Предел выражения—— при лг, стремящемся к 0.
х
В п° 936 было показано, что этот предел равен единице. То
же самое можно доказать посредством разложения в ряд:
'-тг+
Отсюда легко видеть, что когда х приближается к 0, то
предел суммы членов ряда равен единице. Поэтому
9$2. Неопределенные формы. Основными видами
неопределенных форм являются:
0. со
7Г> • 0--со. со —со, . ,
0 оо *
sin л?
X
X
1
у«5 у5 у*
Л. 1 Л Л |
3! ' 5! 7! ' "
- - х •
1 5! 71 + • * *
776 Разложение функций в ряды
Особенно часто встречается форма -~-, причем в нее
можно превратить формы — и 0 • оо.
А
Любая дробь ~лг может быть написана в виде
1
1
Если теперь А>и В возрастают беспредельно, то -~г и -~-
стремятся к нулю, и дробь обращается в -jr.
Точно также, если в произведении АВ один из
множителей, например А, приближается к нулю, а другой В
возрастает беспредельно, то указанное произведение можно
представить в таком виде:
А
Л '
В
О '
что также является неопределенностью вида -г%
Для раскрытия неопределенности в этом случае
необходимо найти предел дроби, когда числитель и знаменатель
приближаются к нулю.
f(Y)
Рассмотрим дробь \ { .
Предположим, что при некотором значении х, называемом
критическим значением, дробь обращается в -р-.
Для некоторого другого значения х дробь будет иметь
определенную величину, которую можно определить путем
подстановки вместо х этого значения.
Попытаемся определить предел, к которому стремится
дробь по мере того, как значение дг приближается к
критическому.
[569]
Неопределенные формы 77?
Предположим, что при дг==0 обе функции /(*) и 'f(x)
обращаются в нуль, т. е.
* /(e) = 0 и ?(а) = 0,
где а есть критическое значение х.
Г)о формуле Тэйлора имеем:
f(a+h)=f(a) + f(a)h+ ^ + -Hjf Ь •
?(«+*) = ?(«)+? (g)^+ T 2j + з; + •
Но так как /(a) = О и ? (a) = 0, то
Если h приближается к нулю, причем ряд Тэйлора является
сходящимся, то
[580] 1{т(Щ) = Ж
Поэтому мы можем найти искомый предел дроби
посредством простой подстановки вместо числителя и знаменателя их
первых производных, взятых: по лг, а затем заменить в
последних х величиной а.
Пример. Найти, пользуясь изложенным выше приемом,
Если подставить 3 вместо х, то получим:
9-9 0
778
Частное и полное дифференцирование
Дифференцируя, имеем:
c?U2-9)
dx
2х
d(x-3)
dx
6.,
Поэтому пределом дроби, при *"-»3, является число 6.
Пример 2. Найти
;. \х* + 6х*
hm I-
х —♦ о *•
■]■
Дифференцируя, получим:
3*3 +*2
4*3+12*
~?(х) 9*2 + 2* *
Если подставить х = 0, то дробь все же примет неопределенную форму.
Дифференцируя вторично, имеем
/'(*) _ 12*2+12
<{>"(*) - 18* + 2 *
Подставляем * = 0, тогда
• i5m r/"Wl_ iim r/.(*)1_i.2_fi
Поэтому
lim
Т** + 6*Ч_,
Пример З» Найти
, lim x — n j tg ~ =lim
* —л
Для получения новых числителя и знаменателя, дифференцируем
числитель и знаменатель предыдущей дроби. Тогда:
d{x — n)
dx if
lim
dx
1 о *
Tcosec-T
2
= -2.
cosec-—
A 4b
' Глава L.
ЧАСТНОЕ И ПОЛНОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ.
983. Функции двух независимых переменных. До
настоящей главы мы рассматривали только функции одной
независимой переменное Надо заметить, что хотя кроме
Дифференц. функции двух независимых переменных 779
того мы исследовали и функции вида y — uv и ух —и,
но последние представляли собою также функции только
одной независимой переменной: в первой из них и и v
являлись функциями независимой переменной х, во второй же
буквы х и у применялись обычно для того, чтобы указать
на то обстоятельство, что данная функция является функцией
от некоторой независимой переменной t.
Ниже мы рассмотрим функцию,'значение которой зависит
от значений двух независимых переменных. Такой функцией,
например, является объем газа. Объем этот зависит от
температуры газа, а также от действующего на него давления,
причем и температура и давление могут изменяться
независимо друг от друга.
984. Дифференцирование функции двух независимых
переменных. При изучении функции /(*, у) двух независимых
переменных три различных соотношения между
функцией и независимыми переменными могут представить
интерес. . ^
Мы можем исследовать во-первых, каким образом
изменяется указанная функция по мере изменения х, в то время
как величина у остается постоянной; во-вторых -— каким
образом изменяется эта же функция в зависимости от
изменения у, причем остается постоянной величина х и, в-третьих,
мы определим характер изменения функции в зависимости
от одновременного изменения обеих независимых
переменных х и у.
Пусть функция f(x, у) двух независимых переменных,
выражается равенством
z=f(x,y),
-которое согласно изложенному в отделе аналитической
геометрии трех измерений является уравнением некоторой
поверхности. Если одна из независимых переменных
рассматривается как' величина переменная, а другая как постоянная,
то получаемая в этом случае производная называется частной
производной.
В этом случае производимые для получения производной
действия одинаковы с теми, которые выполнялись при
дифференцировании функции одной независимой переменной;
уравнение z=f(x,y) графически выражается плоской
кривой, образующейся при пересечении поверхности z —f(x, у)
с некоторой плоскостью, .параллельной плоскости
координат. ._.,."" ч - ^ \ ^
780
Частное и полное дифференцирование
Если величине у дано некоторое постоянное значение уо>
а х рассматривается как величина переменная, то для какого-
либо значения *, например лг0, имеем:
К* ==/(л,о+ А*, #о) —/С*о, У о)
и
*.№-&
не-
i
где подстрочный знак х (в A^z) указывает на то, что х
dz
зависимая переменная, и где -з символ, выражающий част
ную производную.
Поясним изложенное геометрическим путем. Пусть Р— *
некоторая точка на кривой, образованной при пересечении 1
j плоскости #=#о с
поверхностью j
находится на расстоянии
*о от плоскости YZ9 как
это изображено на рис. 572.
Возьмем какую - либо
другую точку А на этой
же кривой) а затем
опустим на плоскость XY
перпендикуляры PC и
TADf которые пересекут
ее в точкрх С и D. Обо- j
значим отрезок CD че- !
рез А*. Проведем
прямую РВ параллельно CD
я прямую РТ, касательную к кривой в точке Р. Тогда АВ
геометрически выражает Алг, а отрезок ТВ выражает согласно
dz
изложенному в п° 960 dz = -j- dx\ это равенство, будучи на*
«писано в новых символах, превратится в dxz — --т- dx*
Тем же самым путем, если величине х дано некоторое
постоянное значение *0, а. у рассматривается как величина
переменная, то для любого значения у> например уо*
Г/ V =/(** Уо'+ h) ~7(*о, Уо)
р
U-'e—
А>
Л
£-
f
Дх
—f
X
с
Рис. 572.
0
Полное дифференцирование 781
и
v._
ty
Рис. 573.
li m
Ay—♦•
Для того чтобы пояснить это геометрически, проведем
на расстоянии лг0 от координатной плоскости и параллельно
ей плоскость x = xof как это
показано на рис. 573. Возьмем
на кривой, образованной
пересечением проведенной плоскости
с поверхностью z =/(*, #),точ-
ки Р и А' и проведем к
плоскости XY перпендикуляры PD*
и Т'А'С, которые пересекут
ее в точках С и D'. Проведем
отрезок РВ' параллельно CD'.
Пусть CU = Д#. Начертим
прямую РТ\ касательную к
рассматриваемой кривой в точке Р.
Тогда, геометрически, А'В' и
ТВ' соответственно выразят
985. Полное дифференцирование. Теперь остается еще
рассмотреть тот случай, когда переменные х и у изменяются
одновременно, но независимо друг от друга.
„ Пусть, как это было выше, х = хо и у = у0- Обозначим
через Р0 (*о> y0f zo) точку пересечения проведенных двух
плоскостей с поверхностью z=f(x>y). Положим, что х получает
приращение Дд: = dx, ay — приращение by = dy; пусть, кроме
того, L — точка нашей поверхности, имеющая координаты
*0-[-Дг, уо-\-ку, zo + Az. На рис. 57£ видим, что CD—.dx,
CC' = dy.
Проведем через точку Р0 плоскость PqTT'R таким
образом, чтобы она касалась рассматриваемой поверхности в точке
Р0* Тогда отрезок PqT будет представлять собою касательную
к дуге PqA, a Pq T — касательную к дуге Р0А'. Плоскость
PqTT'R, являясь касательной плоскостью к рассматриваемой
поверхности в точке Р0, довольно хорошо представляет
измерение функции на небольшом участке поверхности,
примыкающей к точке Р0.
Отрезок RN выражает приращение dz, появляющееся
у ординаты касательной плоскости, когда х и у получили
782
Частное и полное дифференцирование
приращения dx и dy. Оно мало отличается от приращения
функции, изображаемой отрезком' L/V.
р(*0,Уо,±
Рис. 574.
Проведем прямую TS параллельно плоскости yY. Тогда
получим ART'S, равный Д 77><Д откуда #5= ГА»).
Тогда
Но
RN=RS+SN.
dz
RN=dz; RS^j^-dx; SN=T'B':
dy
dy.
(2)
Подставив значения (2) в (1), получим
[581]
dz = -±dx + ~dy.
dx
Дифференциал функции двух независимых переменных
равняется сумме произведении, получаемых от умножения
частных производных этой функции, взятых по каждой
независимой переменной, на дифференциал соответствующей
переменной.
х) &PT'S и /STPqB равны между собой как два прямоугольных
треугольника с равными катетами T'Sf = Р0В и равными ,/ RT'S— /_ BP$Tt
которые образованы параллельными сторонами.
Прим, ред.
Полное дифференциротние 783
Это определение распространяется на функции, в которые
входит любое число независимых переменных. Таким образом,
. ди г , ди j . да ,
Если независимые переменные, в свою очередь, являются
функциями одной какой-либо независимой переменной /, то
мы можем составить выражение для полной производной
данной функции и, по этой последней переменной t,
следующим образом.
Разделим написанное выше равенство на dt:
du ди_ dx | да
dx
dt ! dy
dy . da
Tt^~~di
dt'
Пример. Плотина, поставленная поперек канала, образует
прямоугольное озеро в 2000 м шириною и 5000 м в длину. Шгорм увеличивает
Рис. 575.
ширину озера со скоростью 50 м'мин, а длину со скоростью 200 м/мин.
С какой скоростью будет возрастать площадь поверхности озера в момент
времени спустя 10 минут после начала шторма?
Пусть х — ширина озера, у — длина озера, z — площадь,
^
dt
z~xy
dz dx . dz dy
Tx4t^r~dy dt
dz
dx *n. dz
4?= 200
at
784 Частное и полное дифференцирование
уо « 5000 + 200 X Ю = 7000
*0 = 2000+ 50X10 = 2500.
-^ = *оХ50 + *оХ200 =
= 7000X50 + 2500X200 =
= 850000 м2/мин.
986. Дифференцирование функции от функции двух или
более независимых переменных. Названное
дифференцирование носит тот же характер, что и изложенное в
предыдущем п° дифференцирование для нахождения полной
производной. Если u=f(xty) и если величины х и у не зависят друг
от друга, но каждая из них представляет собою функцию
некоторой переменной t, то
. du j , да j
Разделив это равенство на dtt получим
^582J dt ~ dx dt + dg dt '
где полная производная —тг представляет собою скорость
изменения функции и по отношению к L *
Тем же самым путем, если u=f(xfy,z) и если величины
х,у и z не зависят друг от друга, но каждая из них является
функцией переменной *, то
r*o*i du _ди dx ,ди dy_ s^L^L.
l583J lT~~dx4i+^ dt Г dz dt'
Пример. Дана формула
pV^kT.
где р — давление, V — объем, Т — температура, к — постоянная,
зависящая от свойства газа.
Положим к в 5 и пусть в данный момент объем и температура газа
будут: VQ = 0,5 слез, Г0 = 250°. Тогда
0,5^ = 5X250
р0 — 2500 jw/jiA
С какой скоростью изменяется давление, если температура поднимается
со скоростью 0,5°, а объем увеличивается со скоростью 0,002 л3 в минуту?
Последовательное частное дифференцирование 785
Так как р является функцией дв>х других переменных, входящих
в данное равенство, то напишем его в такой форме:
Но
[582]
dp _
dt ~
dp _
dt'
ч т
dp dT dp dV
" dT * dt + dV* dt
5 dp ST
V ; dV V*
Условия задачи дают, чтс
dV
dT
—- =j 0,5 — скорость изменения температуры по отношению ко времени.
dt
-J- = 0,092 — скорость изменения объема по отношению ко времени.
at
Подставив эти значения, получим
dp dp dT.dp dV 5 л. 5Гплло
' dt^JT-W+W- ^ = T"°»5-175W02.
Так как требуется узнать скорость, с которой изменяется давление
в том случае, когда V = 0,5 и Г = 250, то
<//> 5-0,5 50-250-0,002 с iln ftc
"Л =-05 025 = 5-100= -95.
Этот ответ означает, что давление убывает со скоростью 95 кг/м2
в минуту в том случае, когда объем равеи 0,5 кг3, а температура равна 250°.
987. Последовательное частное дифференцирование.
Если z представляет собою функцию двух независимых пе-
dz dz
ременных х и j/, то первые две производные ее, -т— и -~т—»
сами являются некоторыми-функциями х и у; каждая из этих
производных может быть опять продифференцирована как
по х, так и по у.
Рассмотрим функцию z = x*Y у :
<?* v * ду 2 .* 2\у
Каждая из этих производных является функцией х и у
Поэтому здесь будут две частные производные от каждой из
полученных выше производных; одна из них будет по дг,
другая по у.
50 Справочник для инженера.
786 Частное и полное дифференцирование
дх yw ду 4Vff*
Производная от qx по х обозначается: -3-5.
Производная от ~*— по у обозначается: -. > .
Производная от -^- по л: обозначается:
j- по jc ооозначается: ^ > *-
Производная от -ч— по # обозначается: -3-5 •
Во всех тех случаях, когда z является функций л: и у, обе
о^2 <32z
вторые частные производные ■> л и ■. ^ • одинаковы.
988. Зависимые переменные. Если некоторые из
заданных переменных являются функциями остальных, то первые
называются зависимыми переменными.
Рассмотрим равенство
в котором пусть z будет функцией х и у. Если величина у
постоянна, z будет функцией л: и в этом случае частная
производная и по х
Ox [ dx
Если же х рассматривается как величина постоянная,
частная производная и по у будет
ди о \п dz
В том случае, когда z принимают за постоянную,
ди 0 ди 0
d* ду *
Таким образом, значение частной производной зависит ot
того, какие из величин во время дифференцирования
принимаются за постоянные. Характер же задачи обычно дает у ка-
Зависимые переменные 787
зания, какую из независимых переменных следует
рассматривать как функцию.
Если величины х и у зависят друг от Друга и соотноше*
ние между ними выражается равенством
или уравнением
?(*,#) = 0,
либо системой параметрических уравнений
\y = F,(t),
то мы знаем, что движение точки является связанным на
плоскости XY, следовательно значение z в этом случае
относится к частной кривой в пространстве, даваемой
пересечением цилиндра ?(*,#) = О с поверхностью z=f(x,y).
Всегда, когда существует между х и у подобное
соотношение, мы можем взять такую переменную t (или также
самое величину *), чтобы х и у могли бы быть выражены как
функции этой переменной, а затем мы можем
продифференцировать данную функцию, т. е. функцию х и у, по переменной L
. ди . . ди ,
du ди dx , ди dy
^~'lx4T~^'dy^dft
Дифференцируя и по,*, получаем
гсян с/и ди dx , ди_ dy^ ди , ди dy
{ЪЪЦ . dx ~ дх dx + Jjf dx ~ дх *+" ду dx #
Дифференцируя же и по у, получаем
Г*й<1 ^и ди_ dx . ди dy^ ди dx , ди
[5W| dy ~ dx dy ±~dy'~dy~ dx dy^ dy'
Таким же образом, если
и = /(*»£.*),
то согласно п° 986
du ди_ dx . ди dq , ди dz
~dt~~^x dt + ^~ЗГ + dz dt '
Если же у =» о (х)у a z = \ (л:), то •
r-o^n du ди . ди du . ди dz
[586] ■7Z~'d7+-df~d7+-fc~fc'
so*
788 Частное и полное дифференцирование
Эти формулы весьма полезны при дифференцировании
сложных функций одной переменной.
гт о ч du V а* — хй . о
Пример: Найдем -т—, если и = х. е sin1* х.
Пусть
у= Уа*-х*
z = sin3 лг.
Тогда
U — xeyz
ди у_ ди „у ди
Кроме того,
—— = eyz; -т~ = хеуг; -^— = хеу.
дх ду дг
dy х dz 0 . й
cfr y^a2_^2 dx
Подставляя эти производные в
</* ~ дл: ^ cty Л ^ dz dx ' l**°J
имеем
-у— = ePz yz=~==.4-$xeysin2 x • cos x =
989. Полные дифференциалы. В своем месте (п° 985) была
выведена формула для полного дифференцирования. Если
мы умножим на dt равенство
du да dx , ди dy , ди dz
4i~lfx4t^lfyllt^lh dt '
то получим
Эта формула может быть распространена на случаи
какого угодно числа .переменных, к которым ее и можно
соответствующим образом применять.
990. Дифференцирование неявных функций. Предположим,
что у, будучи функцией х, определяется неявным образом
посредством уравнения
/(г,у) = 0.
Так как функция /(*, у) в этом случае для всех
соответствующих друг другу значений х и и является постоянной
Основные понятия интегрального исчисления 789
величиной — нулем, то полный дифференциал ее также должен
быть равен нулю, т. е.
Перенеся первый член в правую часть этого уравнения и
разделив затем обе части полученного при этом равенства
одновременно на -г— и на ах, получим:
158.1 &~f.
Это равенство позволяет весьма удобным способом сразу
написать производную -у- неявной функции; его следует
обычно применять вместо способа, изложенного выше в п° 908.
Пример» Дано f(x,y) = х2д — ху3 = 0. Найти -j-.
&■?**-* it=*-w
откуда
dy _
dx~
дх ixg
'df~ «2_
Глава Ы.
-у3
■Ъхуъ-
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.
Основные
понятия н
теоремы
991. В дифференциальном исчислении мы изучали методы
определения скорости изменения величины в любой данный
момент. В интегральном же исчислении нам задается скорость
изменения величины, а мы желаем найти значение ее в любой
момент. Задаваемая в этом случае скорость изменения
подлежащей определению величины есть производная последней:
Дифференцирование представляет собою действие, против^-
положнсе тому, которое производится в интегральном исчис-
790 Интегральное исчисление
лении, в том же.самом смысле, как деление противоположно
умножению, возведение в степень — извлечению корня.
Рассмотрим закон падения тел. Величина скорости падения
(скорость изменения расстояния по отношению ко времени
падения) в любой момент выражается уравнением
V — gt,
.которое мы можем представить в форме
ds . ■ ■
Нам дается скорость движения, а мы желаем найти фор*
мулу, выражающую пройденный за время t путь. Мы знаем,
что искомая формула имеет вид
S 2 *
Таким образом, наша задача заключается в том, чтобы
найти метод определения указанной формулы из уравнения
скорости движения. Процесс разыскания функций, производная
или, что то же самое, скорость изменения которой задана,
называется интегрированием.
992. Положим, что выражение f(x) обозначает данную
производную, которая может представлять собою хп9 lg*,
или какую-либо другую функцию х\ пусть, кроме того, F{x)
является искомой функцией, производная которой есть f(x).
Тогда
. ^=/«. а)
Знак / , стоящий перед некоторым выражением, указы*
вает, что над последним надо произвести действие
интегрирования в том же самом смысле, как знак У~~ указывает,
что из количества, находящегося под ним, следует извлечь
квадратный корень. Символ с? г, находящийся за выражением,
перед которым стоит знак / , означает, что указанное
выражение представляет собою производную искомой функции,
взятую по х.
Тогда, действие, обратное действию (1), должно быть
обозначено следующим образом:
f f(x)dx = F(x). (2;
Постоянная интегрирования 791
F(x), другими словами, представляет собою функцию»
первая производная которой по х есть /(лг).
Выражения, получающиеся при употреблении этих символов,
имеют различный вид, так например
dx
Й^'ИТ'Д-
Следует иметь в виду, что указанные формулы означают
интегрирование выражений
№ /т
— и
* 1+*2 '
т. е. интегрирование той части всего выражения, которая
остается после отбрасывания символов математического
действия / и dx.
Нам известно из алгебры, что
т. е. если совершить над некоторой величиной 'два обратных
действия, мы получим первоначальную величину. Таким же
образом
d
или
J[-*-F(*)]dx = F(x),
откуда видно, что символы
d
-Тх" /-
dx
выражают обратное друг другу действие.
Точно также, если и есть некоторая функция-дг, то
[589] /•£*-*
что представляет собою весьма полезную формулу.
993. Постоянная интегрирования. Из дифференциального
исчисления известно, что прибавление некоторой постоянной
к функции не влияет на величину скорости ее изменения
792 Интегральное исчисление
В этом случае наклон кривых будет одинаков для одного
и трго же значения х (рис. 576). По этой причине, если
нам дан наклон, т. е. производная или,
другими словами, скорость изменения
функции, мы должны иметь, кроме
того, еще и такое дополнительное
указание, которое позволит определить
значение постоянной величины. При
этом мы будем в состоянии
определить точное положение кривой,
соответствующей проинтегрированному вы-
| i ражению.
I I Если нам даны начальная точка
J-, х ч или начальное условие, мы можем
Рис. 576. определить значение указанной
постоянной.
Из сказанного выше следует, что при интегрировании
весьма существенно прибавлять некоторую постоянную, напри-.
мер таким образом:
ff(x)dx = F(x) + C.
Если мы находим производные выражений
? = *з + 6,
ir = *8 + l,
то видим, что для всех кривых этих функций будем иметь
Таким образом, если нам нужно проинтегрировать Зл:2, то
искомая функция может представлять собою любую из
трех, приведенных выше, так же как и функцию
у = дг3 4" любая постоянная.
Все указанные кривые одинаковы и для некоторого
данного х все они имеют одну и ту же величину наклона; они
только смещены одна относительно другой в вертикальном
направлении. Для того же чтобы определить одну из них
как данную функцию, надо найти соответствующее значение
Постоянной интегрирования.
Интегрирование выражения хп 793
994. Интегрирование выражения хп. Процесс
интегрирования более затруднителен; чем дифференцирование, и весьма
значительное число выражений непосредственно не поддаются
интегрированию. В интегральном исчислении многие
формулы получаются из соответствующих формул
дифференциального исчисления посредством простого представления
последних в обозначениях интегрального исчисления.
Если мы дифференцируем
* «4-1 i г*
то получаем
dy n+1 п „ .
: dx /i + l
При помощи же обратного действия получим
[590] ( x«dx= -4-i xn+l + C
J П + 1
Другой пример:
у = — cos х -f- С
dy .
-г2- = Sin X.
ах
Обратное действие дает
sin х dx = —cos * -f- С.
/■
Из первого примера мы видим, что дифференцирование
степени х дает функцию, степень которой на единицу меньше,
а интегрирование — на единицу больше, чем у
первоначальной функции.
Если
/? у \ п &У п
(х) = х или ~ = х ,
то
п + 1
Мы можем применять последнюю форму для
непосредственного интегрирования различных степеней, так например
/У4 Интегральное исчисление
dg
dx
*9 .
dx '
— 4
= х ;
= x^i
0 =
0-=
-S
— 3
и
X *
-——1
11 i
4
+с
-С.
995. Постоянаый множитель. Пусть у — ащ где и есть
некоторая функция от х. Дифференцируя, получаем выражение
d(au) Жл_ ,
dx ~adx'
в котором а — постоянный множитель.
Производя обратное действие, т. е. интегрируя, получаем
du
Но так как
то *
1591]
1 а —г- dx = au.
J dx
f™-.dx = u,
Г du , Г du
a-j-dx = a -g-
откуда видно, что любой постоянный множитель при
интегрируемой функции может быть написан как перед, так и под
знаком интегрирования.
996* Интегрирование суммы и разности. Из
дифференциального исчисления известно, что
d(u-{-v — w) ' du , dv dw
dx dx dx dv
Интегрируя это выражение, получаем
/{£+^-Jdr)dx==u+v-zo+a
Но так как
Г du , С dv , Г dw ,
uss J ~dJ dx; * = J dx 'A-"- J Я7'dx>
Вычисление площадей посредством интегрирования 795
то
[5«l/(
d{u-\- v — w)\
dx
ГУ 1 A
Лdu ' dv dm \ .
J 'X J \ dx i dx
Интеграл суммы двух или большего числа функций равен
сумме интегралов слагаемых. Таким образом,
Точно также
/(£—£)dx= fi£dx- fidx=u-v+a
Интеграл разности двух функций равен разности их
интегралов.
997. Вычисление площадей посредством интегрирования.
Одно из первых приложений интегрирования заключается
в решении задачи об
определении площади, расположенной под
данной кривой.
Единственное условие,
необходимое для решения вопроса,
состоит в том, чтобы указанный
график был непрерывным в
рассматриваемом интервале.
Если ордината CD (рис. 577)
неподвижна, a PQ перемещается
вправо, то площадь Л будет
изменяться в некоторой
определенной зависимости от изменения лг,
ибо ордината изменяется как
функция независимой перемен*
ной х, которая сама изменяется по
Рис. 577.
Если
скорость возрастания данной площади,
оси абсцисс.
dA
т. е. —i—> определена,
то мы можем найти А посредством интегрирования. —
Если мы увеличиваем х на величину Ддг, то А
увеличивается на АЛ. Из рис. 577 следует, что площадь
прямоугольника PBQQ' есть у- А г, а площадь прямоугольника EFQ'Q
равна (y + Aj)Ar.
796 Интегралы ое исчисление
Кроме того, из рис. 577 видно, что если данная кривая
поднимается от точки Р до точки Р', то
прямоугольник PBQQ' < АЛ < прямоугольник EFQ'Q,
т. е.
уАх<АА<(у+Ау)Ах.
Если же кривая опускается от точки Р до точки Р г то
(у+Ау)Ах<АА<АуАх.
Разделив на А*, получим
у < -д— < у -f- Ay, если кривая поднимается
# + д7 < ~дтг < У> если кривая опускается.
По мере того как Av приближается к нулю, у-\-Ау
стремится к у как к пределу. Отсюда следует, что вне
зависимости от того, будет ли кривая подыматься или опускаться
D - ТУ А Д^4
от точки г до точки rt при А*, стремящемся к нулю, —г-
имеет значение, находящееся между у и некоторым
выражением, которое имеет предел у.
Поэтому, по мере того* как А* стремится к нулю, -д—
стремится к пределу у.
Последнее выражение есть средняя скорость возрастания А
на интервале Ад». Напишем сказанное выше в символах
.. Г АЛ 1 dA ,( v
A*-M)
Так как символы у и f(x) представляют собою одно и то
же, т. е. ординату, то один из них может быть подставлен
вместо другого. Из последнего выражения следует, что ско-.
рость,.-с которой возрастает площадь Л в какой-либо точке,
равняется высоте кривой, т. е. равняется ординате в
указанной точке.
Так как
dA u '
dA=y dx=f(x) dxt
Вычисление площадей посредством интегрирования 797
следовательно
[593] A^fydx = ff(x) dx.
Мы можем теперь найти площадь под любой кривой, если
известно уравнение, выражающее высоту g через
горизонтальное расстояние х (х отсчитывается от какой-либо
определенной точки), при том условии, что мы будем в состоянии
проинтегрировать выражение ydx.
Пример. Найдем площадь, ограниченную кривой у = х2, неподвижной
ординатой, восставленной из точки х =* 1, и некоторой подвижной
ординатой.
Здесь А =з I у dx получает вид / xl dx:
Л= С x*dx = -у+ С
Если площадь возрастает от начальной точки х = 1, то при х = 1,
А =* 0, т. е.
следовательно
с—L.
Подставив найденное значение С, получим формулу для возрастающей
площади в таком виде
Если мы желаем найти влощадь при х = 5, то получим
зззз 1,р'-
Для того чтобы найти площадь, заключающуюся между
кривой, осью X и данными ординатами, в том случае, когда
кривая расположена под осью X, можно произвести тот же
самый вывод, но только здесь указанная площадь будет
выражаться отрицательным интегралом, т. е.
A=-fydx = -ff(x)dx
В случае, если кривая находится как выше, так и ниже
оси X, результирующая площадь будет представлять собою
площадь над осью X минус площадь под нею.
798
Интегральное исчисление
Точно таким же образом, как это было изложено выше,
площадь, ограничиваемая кривой, осью У и двумя абсциссами,
выражается
A=fxdy.
Геометрический смысл этого выражения можно увидеть*
обратившись к рис. 578. у\
Рис. 578.
На рис. 579 показан график функции у = х*; площадь,
находящаяся между этим графиком, осью Y и абсциссами
О и # = а,
А = / уЧу + С.
Если у = 0, то и А = 0, а следовательно иС = 0.
Отсюда
8
2ат
./*<,-;* Х$.1£
-х = а
На рис. 580 изображен гра-
/— фик у2 — х; площадь, находящаяся
^" межяу этим графиком, осью X и
х ординатами, которым
соответствуют абсциссы х = 0 и х = а>
Рис. 580.
=yV dx+c.
Если д: = 0, то и Л = 0, а следовательно и С*==0.
Отсюда
s
,= ix1 dy
- 2
2а2
Нахождение среднего значений rtocp. вычисл. площади 799
Площадь прямоугольника = а х/а = А2.
Поэтому, площадь, находящаяся под параболой, равна
двум третям площади прямоугольника.
998. Задачи на определение средней величины. Во многих
задачах, в которые входит некоторая изменяющаяся
величина, требуется найти ее среднее значение за данный
промежуток времени. Это среднее значение графически выражается
посредством ординаты, которая
является в свою очередь средней
по величине из всех ординат на
данном отрезке абсцисс. Высота
эта, будучи умножена на основание
(соответствующий отрезок оси абс-
цисс)^ дает площадь,
расположенную под данной кривой (рис. 581).
Если мы рассматриваем случай,
в котором ординаты показывают
изменение скорости в некотором
промежутке времени, и если
требуется знать пройденный за этот
же . промежуток времени путь, то
производим простое перемножение средней скорости на
число единиц, заключающееся в указанном интервале времени.
Говоря другими словами, мы находим площадь, расположенную
под нашей кривой, между двумя неподвижными
ординатами, которые определяются данным интервалом времени.
1
о
«^
<э
^t
о
0
Р
/
S*
1 S
м "
время
Рис. 581.
I
р расстояние^
§
I
врем 9
Рис. 582а.
К расстояние А
время
Рис. 582Ь.
999. Нахождение среднего значения посредством
вычисления площади. Многие технические задачи могут быть
решены весьма просто, если считать, что площадь под кривой
представляет собою некоторую функцию.
Импульс = среднее значение
силы X время.
Рис. 533.
-Pi-
Скорость = среднее значение
ускорения X время.
Рис. 584.
расе таяние
£ис. 585.
Работа=среднее значение силы X
X пройденный путь.
^ *""" 22Я Объем = средняя величина попе-
к&об'ем Лк речного сечения X высота.
Нахождение среднего значения поср. вычисл. площади 801
В случае (а) (рис. 582) наклон есть величина постоянная, т. е.
скорость изменяется равномерно. Пройденный путь равен
произведению времени на среднюю скорость; другими словами,
площадь под графиком представляет собою величину пути,
проходимого за рассматриваемый промежуток времени.
Случай (Ь) аналогичен случаю (а) за исключением того,
что в первом скорость не возрастает равномерно, т. е.
ускорение есть величина переменная. В обоих случаях величина г/
представляет собою скорость движения, т. е. скорость
изменения положения в пространстве по отношению ко времени.
Другой пример такого же типа состоит в определении
импульса силы из графика сила—время (рис. 583). Выше
показано еще несколько подобных примеров на рис. 584, 585 и 586.
Пример. Найдем импульс Q, сообщаемый движущемуся телу перемен*
ной силой F спустя t секунд после начала движения.
В дополнительном промежутке времени А/ телу сообщается добавочный
импульс AQ, подобно тому как площади, расположенной под кривой (п° 997),
дается приращение.
Таким же самым образом рассмотрим прямоугольники PBQQf и
EP'Q'Q.
FM < AQ < (F+bF) A*.
Разделив это неравенство на А/,
получим
^<4? <F+*F.
По мере того как А/ приближается к f
нулю, F-\~kF приближается к F и —д~
также приближается к F.
Тогда, как и ранее,
Т. е.
следовательно
Рис. 5Л.
dQ^FdU
Путь. Таким же образом, для графика скорость — время
существует формула
\= fvdt.
51 Справочник для инженера.
302
Интегральное исчисление
Скорость. Точно так же для графика ускорение — время
площадь под кривой дает полное изменение скорости, т. е.
изменение скорости = v = I adt.
Работа. Формула работы или площади под графиком
сила — путь
работа — / FdS.
Объем. Формула для объема или площади под. графиком
поперечного сечения А8, выражаемого через соответствующую
высоту, которую обозначаем* через букву х,
объем = К= / Asdx>
1000. Площадь в полярных координатах. Пусть Р=/{8)
уравнение в полярных координатах, где функция Д8)
однозначна и непрерывна. Мы желаем определить площадь,
находящуюся между
радиусами-векторами ОВ . и ОС (углы этих
векторов отложены от
начальной прямой — полярной оси) и
данной кривой р = /(0).
Пусть ОР представляет
собою радиус-вектор,
составляющий с начальной прямой угол Ь9
который получает приращение
A3. Пусть кроме того OS
выражает радиус-вектор, который
образует с начальной прямой
угол 9 + Д\ При этом р
получает значение р -f- Ар. В то время как угол 6 получает прира-
щение А6, площадь ВОР, т. е. Л, получает, в свою очередь,
приращение АЛ. Если скорость, с которой увеличивается пло-
dA
щадь, т. е. >^ , определяется так же, как и в прямоугольных
координатах, то площадь А может быть найдена посредством
интегрирования.
Из рис. 588 видно! что площадь сектора круга РОЕ есть
половина произведения радиуса на дугу РЕ, т. е.
-j Р X рА6,
Площадь в полярных координатах 803
а площадь сектора DOS другого круга равняется
-1 [р-f Др] [p-f-Др] ДО.
Тогда, сравнив указанные сектора, получим неравенство
~ р* Д0<ДЛ< -^-[p-f-Ap]2. ДО,
в том случае когда р, т. е. ДО), возрастает при движении
точки Р к положению S.
Последнее выражение превращается в неравенство
•у [р_+Др]«ДО<ДЛ<-ур» ДО,
в том случае, когда р или /(0) убывает при движении точки Р
к положению S.
Разделим теперь эти неравенства на ДО.
Тогда, если р возрастает,
2 ^ ДО ^ 2 '
если же р убывает,
[р+Др]2 . _м. . £
2 ДО ^ 2'
По мере того как ДО приближается к нулю,
[р+Ьр]* . * Р2
-—*-~—— приближается к -~~,
независимо от того, возрастает ли р или убывает, и вели-
Д4 Р2
чина дц лежит между -~- и некоторым количеством, кото-
р2
рое стремится к -у как к пределу.
Следовательно, по мере того как ДО приближается к нулю,
ДЛ Р^
дп стремится к -у
дэ
51*
J?.[^-]-^-4-^w№
Графическое интегрирование
4 = -1Гр1<Ю + С или А=-~ /ДО)Л + С.
Пример. Найти площадь, ограниченную кривой (рис. 589).
р = аУЧ — cos 8
$04
Поэтому
[594]
Рис. 539.
±АЪ- /•(« ^l-cos6)a
-Я<»=/
.</е
= -у Al-cos 0).<Ю
= 4" [6-sinO] + C."
Если 8 = 0, то и А = 0, а следовательно и С = 0.
При 6 = 2тг, Л = -^ (2 тс — 0) = it. Д2.
Глава LIL
ГРАФИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.
Графические методы интегрирования*
1001. Графическое интегрирование. В п° 916 было пока*
зано, что ординаты интегральной кривой *)> т* е* первообраз*
ной функции, численно выражают площадь полос, располо*
!) Интегральной кривой называется кривая, ивображающая
первообразную функцию. Прим* ред.
Графическое интегрирование 805
женных под графиком интегрируемой функции. Из\агаеуый
ниже графический метод интегрирования основан на этом
свойстве, причем указанные ординаты получаются путем
прибавления той ординаты, которая выражает площадь данной
полосы к сумме ординат, выражающих площади всех
предшествующих полос.
Такое сложение ординат выполняется таким же образом,
как и при методе суммирования (п° 1036).
Рассмотрим данный график OABCDE, который
желательно проинтегрировать графическим путем.
Следует' постоянно иметь
в виду следующие два
обстоятельства.
3.0
5
4
3
2
1
/7
0
1*
1
•
1
Та
/
й
•
/
/
/
/
/
В
ь
/77
?
*
1
t
/
/
f
^ i
i
/
/
s
[с
' »
J
v.
•
/
f
*
у""
и
d
*£»
4
•
1
М
Е
10
1.0
fir
*
_5
$
Y
ъ»»£^а
~>гЛ*Ц
иная Нривая\
: \Ш
Рис. 590.
1.0
Риз. 591.
го
з.о
1. В то время как функция u = F(x) достигает максимума
(или минимума), функция # = /(*) пересекает ось X.
2. В то время как */=/(*) достигает максимума (или
минимума), g = F(x) должна иметь точку перегиба.
Таким образом на рис 590 кривая ОМ должна касаться
оси ОХ в начале координат, а также должна иметь точку
перегиба при л: = 4-н~; на рис. 591 кривая функции,
получающейся в результате интегрирования, должна достигать
максимума несколько влево от х = 3.
Начиная действие с первой полосы О А 1, определим
среднюю ее высоту. Для этого проведем горизонтальную
прямую an, расположив ее таким образом, чтобы площади за-
806 Графическое интегрирование
штрихованных треугольников, получающихся при ©том, были
равны друг другу.
После небольшой практики глаз приучается весьма точно
определять правильное положение прямой an. Построим
отрезок 1а, равный ординате, измеряющей площадь первой полосы.
Таким же путем найдем среднюю ординату для второй
полосы, при этом продолжим an до точки т, а затем
проведем отрезок тг, равный 62. Тогда отрезок г2 представляет
собою сумму указанных двух ординат, т. е. он выражает
площадь, расположенную под кривой ОАВ,
Продолжая аналогичное построение 'для различных полос,
мы придем к выводу, что отрезок MS измеряет площадь
OABCDE в квадратных единицах.
В случае если ширина полосы есть дробь, весьма
полезным является применение циркуля для пропорционального
деления, которым обычно пользуются весьма редко. На
рис. 591 ширина полос взята равной 0,5 единицы, причем
циркуль устанавливается на отношение 2 : 1, и тогда
значение интеграла измеряется непосредственно на вертикальной
шкале ординат.
Если ширина полос берется равной 2 единицам, циркуль
устанавливается на отношение 1 : 2.
Если ширина полос берется равной 10 или 20 единицам,
рекомендуется считать, что новый масштаб ординат кривой,
получающейся в результате интегрирования, равен масштабу
ординат интегрируемой кривой, умноженному на 10 или на
20 соответственно.
1002. Графическое определение постоянной
интегрирования. Дана функция
у = 6х* -f6* —36,
построим ее график так, как показано на рис. 592.
Кроме того, попытаемся построить и кривую ее интеграла,
т. е. функции, получаемой в результате интегрирования
данной. Построение интегральной кривой начнем от точки ее,
соответствующей точке А графика данной функции. Здесь мы
заметим, что таких точек может быть сколько угодно, ибо
нам ничего неизвестно о положении оси X относительно
второй кривой, причем график интеграла будет выражать
интегрирование данной кривой вне зависимости от того, где бы
мы ни расположили ось X.
Однако, если мы получаем добавочное указание, что
при х == 0 значение интеграла равно 15, то мы сразу можем
Пример графического интегрирования 807
поместить начало координат для графика интеграла в точке,
лежащей ниже его пересе *ения с осью Y на 15 единиц.
1003. Работа растяжения
пружины. Пусть W— работа,
необходимая для растяжения
пружины на длину s. W
является функцией от s и стало
быть должна существовать
некоторая формула, которая
будет выражать W через s
(рис. 593).
Согласно закону Гука,
удлинение прямо пропорционально
растягивающей силе, т. е.
где к— постоянная, величина
которой зависит от свойств
пружины.
Имеем
работа = I F • ds*
Подставляя в это выражение
F—ks, получаем Рис.592,
работа = J ks ds= -j- ks* -f C.
При UP = 0, s —0, тогда С = 0, следовательно
W
ks^
2
Рис. 593.
'\ о r\
ij ij i! i
• 1004. Пример графичс-
S H ского интегрирования. Мы
желаем определить работу,
происходящую при
расширении 1 кг сухого, насыщенного пара при падении
давления Со 100 кг/см* до 15 ке/сл*2.
Прежде всего строится первоначальная кривая по данным,
взятым из таблицы пара, а затем, исходя из этой кривой,
наносят кривую интеграла, для чего пользуются циркулем
808 Графическое интегрирование
для пропорционального деления, установленным на
отношение 10 : 1 (рис. 594).
Искомая работа равняется
77X10 = 770 кг-см.
Предположим, что работа расширения пара в этом
примере должна быть поровну разделена между тремя
цилиндрами машины
тройного расширения. Тогда
делим ординату,
выражающую всю
совершаемую работу, на три
равные части, а затем
точки делений проектируем
в горизонтальном
направлении на кривую
интеграла. Проекции
точек делений на кривой
интеграла переносим по
вертикали на кривую
расширения пара.
Перенесенные таким путем
на эту последнюю
кривую точки А и В определяют величину начального давления
для каждого из цилиндров.
1005. Графическое интегрирование графиков скорости.
Измеритель скорости автомобиля, двигавшегося по неровной
проселочной дороге, дал приведенные ниже отсчеты за
различные периоды времени, считаемые от начала движения*
Время дается в минутах, а скорость — в километрах/час.
щ
80
60
40
20
Л
/
/
.-7—
>
г
4
•
'
к»
т -
1
1
\в
^%,
*
*'
,*"'
0 «-**
--
- \
12
16 20
Рис. 594.
24 28
Время
01112|31415[6 1-7)8
Скорость | 0 110120 125 { 28 J 291 261 241 20
Из характера задачи следует, что
путь = J v dt.
Построив график скорость — время и проинтегрировав его,
мы найдем пройденный путь.
Для этого сначала наносим кривую скорость— время, а
затем при помощи циркуля для пропорционального деления,
установленного на отношение 3 : 1, строим кривую интеграла,
График интеграла. от а 809
40
30
Так как в этом случае скорость дана в километрах/час,
то ординаты первой кривой следовало бы разделить на 60,
но так как наш циркуль
установлен на отношение
3:1, то вертикальный
масштаб нужно разделить
лишь на 20.
За первые 3 минуты
автомобиль прошел 3/4 км,
за 8 же первых минут
пройденный путь был
несколько меньше 3 км.
1006. Основные
формы интегральных
кривых» Прием,
заключающийся в перенесении
начала координат основных
кривых и применяемый
с той целью, чтобы они
изображали данное
уравнение, можно применить
в случае интегрирования
таким же образом, как
и при дифференцировании,
будут иметь другое значение
i
I
10
1 I I I I I I \ I3
1111111/11
~1—————\А——
I I I I I I /I | I
——————кп——
/2
III •/[
—————\~1~\———
к
————I / I———
/ ' \ А
—-£ Ly_J J
/I V I
z/=A 4 •
f \/ Г\
*r 1 I
Рис. 595.
хотя при этом величины пи
1007. График интеграла от а.
Jadx = ах + Ь.
17
Рис. 596
Если а == 0, график имеет вид, показанный на рис. 596.
Если а есть любая конечная величина, не равная 0, график
имеет вид, показанный на рис. 597, где а— наклон; отрезок,
отсекаемый графиком на оси У, равен 6; отрезок, отсекаемый
графиком на оси X, равен — -.
ц
810 Графическое интегрирование
1008. График интеграла от постоянной величины при
различных постоянных интегрирования. На рис. 598 пока*
зан график, получившийся при интегрировании функции# — %
если постоянная интегрирования равна 12.
f 1—тг—1 *
/
/
пунНтирные пря-
^ л*ые являются
графинами интеграла
y=z при раэли чшх
значениях
постоянных
4 5 6 7 8
Проведенные пунктиром прямые линии показывают
графики интеграла функции у = 2 для различных постоянных
интегрирования.
1009. График интеграла функции у = ах + *• Пользуясь
аналитическим методом, имеем:
/
ах*
(ax + b)dx = -j- + bx+C.
Кривой этого интеграла является парабола. Поэтому
возьмем график у — дг2, изменим вертикальные масштаб, как это
показано на рис. 599, и, подставив в формулы
преобразования (п° 172) — вместо а, получим такое начало коорди-
нат, которое делает взятый график выражающим кривую
нашего интеграла. Тогда
2-
а а '
Ь'^-44-J
4- —
2
6а-2аС #> с
~~Та 2«
График интерала фднкфш д = ах* -f- bx -f- с
«?//
Пример. На рис. 599 показано графическое интегрирование функции
15-
10-
S-
05
S
>
Ъ
*
am
*А
ъ
*
*5
*
§
в
3
■§
1
<v*
Н/.
II
5*
|Л*11
Рис. 599.
при постоянной интегрирования, равной — 12.
Л = -| = 1; С= -12;*=g + 12=15.
Рис. 600 показывает график
$ = У"(3* + 2)*г,
когда постоянная
интегрирования принята равной — 5.
а^А=4
а 3
1010. График
интеграла функции ^ = ал:2 +
-.ybX-\-c. ...... Рис.600
Пользуясь тем же приемом, что и в предыдущем случае, мы
получаем значения А и £ с той лишь разницей, что здесь а является одной
третью, а 6 — половиной соответствующих величин, входящих в общие
формулы преобразования 1). Тоща
А =
b
2
* 3
.=
ь
2а '
b
2а
* =
(ii
ь
2"С
Зт
— бас
1^
)■
27-
11 9
be
2а ~
— постоянная.
оЗ
12 аа
\ Смотри п° 172,
Прим. .ред.:
812
Определенный интеграл
Рис. 601.
Пример. Проинтегрировать графическим способом функцию (рис. 601)
у*=-
ъ
*2
т = -— 5
З*2
; 6 = 2; с
2(-5)
* 2
4
"4°
-5.
= -5
8
• »•*
-»i.
= -3,63
Глава LIIL
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.
Интегрирование между пределами.
1011. Определенные интегралы. Существует особый метод
нахождения площадей, объемов и т. п. величин, которые
выражаются площадью, расположенной под данной кривой и
считаемой от точки Р др P/. Этот метод весьма прост и сущности
^го можно понять из следующих рассуждений,
Определенные интегралы 813
Рассмотрим площадь под кривой
между ее ординатами» восстановленными в дг = 2ивл: = 4.
Из формулы площади имеем
2^
А = J 2V xdx = 2 f хЧх=*
8
4л:2
Начнем измерять площадь,
соответствующую х = 2. В этом
случае А = О, отсюда
*_
4 • 22
а следовательно
с-
_4_
3
3
2*.
Рис. 602.
Формула площади теперь будет
Л = -
4 i-
3 1 '
Последняя формула дает величину площади под данной
кривой для любой точки х, находящейся за лг —2. ■:>■
Если дг = 4, то
4 - 4 -
А-?' 42-т'22-
Точно также, если мы желаем найти площадь от х = а
до х = Ь, мы получим (рис. 602)
4^-4-
Последнее выражение представляет собою простую разность
между значениями функции, получающейся в результате инте*
грирования, взятыми в начале и в конце рассматриваемого
интервала»
8H
Определенный интеграл
Символ
ff{x)dx
применяется для обозначения разности между значениями
функции, получившимися в результате интегрирования, взятыми
при х = Ь и прц х = а. Этот символ называется определенным
интегралом от а до 6, в то время как а и Ь называются
пределами интегрирования.
Указанная разность также пишется еще и в таком.виде:
ь • 4 . |4
/ f(x)dx=/2Vxdx = ±
а 2
Так как интегралы, выражающие площади, объемы, работу
и т. п., все имеют одну и ту же форму, то формула
определенного интеграла может быть применена ко всем им.
ь
V^fAdx
[595]
W=ffdx.
1012. Среднее значение функции f(x) выражается средней
величиной ординаты, т. е.
ff(x)dx
среднее значение функции f(x) ="^-т *
(от а- = а дож = 5) о О.
Так как
ь
I f(x) dx = площадь APQE,
а
то если мы строим прямоугольник АСВЕ, равновеликий
площади APQE, на основании АЕ, равном (6 — а):
площадь AC BE
среднее значение = ^т, + =
AE'FD = FD (рис. 603)-
Определение среднего значения ординаты
815
1013. Определение среднего значения ординаты
графическим способом. Положим,
мы желаем найти среднее
значение ординаты между х — а и
х = Ь посредством
графического способа (рис. 604).
Проинтегрируем
обыкновенным графическим путем и
получим С единиц, измеряющих
искомую площадь. Отложим
отрезок С единиц от точки а
в горизонтальном направлении.
Среднее значение ординаты
С л
есть ч -. Для его определе-
что
Рис. 603.
Ь — а
ния построим в точке А
ординату, равную единице, и проведем прямую aBD до
пересечения с перпендикуляром Еи$ который и дает искомое
среднее значение ординаты.
Рис. 604.
Доказательство. Из подобных треугольников:
среднее значение ординаты: С=1 : (Ь—а), откуда
С
среднее значение ординаты = т *
816 Определенный интеграл
1014. Перестановка пределов. Так как
ff(x).dx = F(b)-F(a),
а
где F(x) = J f(x) • dx, a
a
ff(x).dx = F(a)-F(b),
TO
[596]
о а
f (*)dx = - ff(x)dx
Рис. 605.
q Перестановка пределов
равносильна изменению знака
определенного интеграла.
1015. Разбивка пределов
интегрирования. Если
.__ ff(x)dx = F{Xl)-F(a)
ff(x)dx = F(b)-F(Xl),
а?4
то, складывая эти два интеграла, получим:
Xi Ь
Но
f f(x)dx + ff(x)dx=*F(b)-F(a).
a xt
Ъ
ff(x)dx = F(b)-F(a),
следовательно
о хх о
ffcydx = //(*) dx + ff(x)dx,
на рис. 605:
Площадь в параметрической форме КТ7
ь -' ,
J f(x) dx=* площадь APDC
а •
I1
I f(x) dx == площадь АРЕВ
a *
Ъ
I f(x)dx — площадь BEDC.
1016. Площадь в параметрической форме. Пусть даны
уравнения
x^ttt),y = ?(/).
Тогда
dx = f'(t).dt
Подстановка последних выражений в / у • dx дает
[597] A = f<?{t).f(t).dt.
Пример, Найти площадь эллипса из уравнений
х = а • cos <р» У = Ь • sin 9.
djf = — а • sin <p • с/ ср,
тс
При д: = 0, ? = -тг» при * = а, <р ^ О.
Тогда
.а 0
Л = / у dx «= / [6 sin 9 (— а sin <р) <fy] =»
2
I ab sin2 <p • dy =t
4
= площадь одного квадранта.
n ^ ч у П<*Ь 1
Вся площадь = 4 Х~~/Г~ -=Ji**b.
52 Справочник для инженера.
818 Интегрирование посредством приведения
Глава LIV.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОСРЕДСТВОМ ПРИВЕДЕНИЯ.
1017. Элементарные приемы. Приступая к интегрированию
функции, следует выяснить, находится ли она в наиболее
удобном для этой цели виде. Если указанная функция есть
сумма нескольких членов, следует интегрировать каждый член
отдельно. Если функция заключает в себе произведение или
степень, то часто самое лучшее выполнить соответствующие
действия прежде, чем начать интегрирование. Дроби иногда
бывает возможно превратить в целые величины, выполнив
соответствующее деление. Иногда бывает весьма удобно
написать их в виде отрицательных степеней. Радикалы
следует рассматривать как дробные степени.
Чтобы проверить результат интегрирования, нужно просто
продифференцировать этот результат, а затем полученную
функцию сравнить с подинтегра^ьной функцией. Обе они
должны быть совершенно одинаковы.
Пример. Проинтегрировать
J xY ** + <** dxssYj 2x^x2 + a* dx = TJ (*2 + ^y2-2xdx.
Но 2х есть производная от (д:2+а2).
Тогда, полагая, что (лг? -J-. а2)2 есть интеграл, дифференцируя,
получаем
-|(*2-f а2).2лг</*.
Эго выражение в три раза больше того, которое мьг интегрировали, а
искомая функция
^j(x*+abT+C.
1018. Простейшие преобразования при интегрировании.
Обыкновенно бывает легче интегрировать, если в
интегрируемом выражении предварительно произвести возвышение
в степень, а затем раскрыть скобки.
Пример. Найти I 'dr + х2)г<1х*
С (а2 + *W* = f(a* + За4*2 + За2** + я*) dx=*
J аЧх + j SaWdx + f 3a*x*dx + f x*dx =
Основные формулы интегрирований 8/9
1019. Основные формулы интегрирования. Так как
интегрирование— действие, обратное дифференцированию, то
мы можем сразу составить таблицу формул интегралов
некоторых выражений, которые мы изучили при их
дифференцировании. Кроме того, мы выведем допольнительно еще
и другие формулы, пользуясь имеющимися у нас сведениями.
Если появляется сомнение в правильности результата,
продифференцируйте его и посмотрите, получится ли при этом
первоначальная функция:
/ undu = —г—г -4- С
I cos u v и = sin н -f- С
/sinHcfa== — cos и'-{-С
/ sec2 и du = tg и -f- С
I cosec2 udu = — ctg a -{- C-
/ sec и • tg ы rfu — sec и 4" С
/ cosec и • ctg udu — —cosec u 4" С
/ tg udu = lg (sec u)-\-С
I ctg и </n = lg (sin и) 4~ С
1610] fsecuda=lg'(sec и -f- tg u) + C=lg[tg(|- + -|) j + C
52*
820 Интегрирование посредством приведения
[611] / cosec и • rfu=lg(cosec ы—ctg u)-\-C = lg tgf -~-) + С
Г du • . и . п и \п
I _ _ arc sin }- С = — arc cos h С
*/ |/а*—ц2 а а
Г du 1 . и . ^ 1 * и | -г»
/ —S—j—г- = — arc tgf f- G = arcctg hC
Г du 1 и . ~ 1 и , ~
# — = — arc $ec —+■ С = arc cosec hC
J иТ/и8—/г2 а а а а
[612
[613
[614
[615
J uVu2—a* a a a j
[616] fvJ^=\z(u+Vu*±a*)+C
1020. Интегрирование посредством введения новых
переменных» Дано для интегрирования
fm
dx.
Положим, соответствующая функция, получающаяся в
результате интегрирования, есть F(x); т. е.
ff(x)dx = F(x) (1)
или
/W-^TO (2) !
Пусть
* = ?(«), (3)
т. е. л: есть некоторая функция и.
Тогда /(лг) и Ft*) являются функциями и и мы имеем
функцию от функции. Из дифференциального исчисления
известно *
d[F(x)] =d[F(x)] d± (4)
du dx du "
Но из равенства (2),
Интегрирован, посредством введения новых перемени. , 821
Подставив это выражение в (4), получим:
d[F(x)] _f(.dx
da ~/{X)dH'
Интегрирование по и дает
[617] F(x)=ff(x)^da. (5)
Но из равенства (1)
F(x) = ff(x)dx.
Подставляя это выражение в (5), получаем
[618] ff(x)dx=ff(x)^du:
Подстановка вместо х его значения, выраженного через и,
в ур-ние (3), с последующим затем упрощением обыкновенно
дает весьма удобную для интегрирования формулу.
Пример. Найти / (a -{- bx) dx.
Пусть а-\-Ьх — и. Тогда
и — a dx _1_ -
Х~ Ь ' du~b*
Откуда согласно [618] следует:
Подставив вместо и его значение, выраженное через xf
получим:
Посредством этой формулы можно сразу интегрировать
любую функцию вида (а + Ьх)п при каких угодно значениях п.
f
822 . Интегрирование посредством приведения
С интегралом J (a — 6 г) dx можно поступать точно
таким же образом, подставив а—6* = и, тогда получим:
/
(.-^--V^'k
/
X
/
dx ___ (<* — Ьх) * , г _ 1 | г
(a — bxf ~ — 6 ^^~Ь (а — Ьх)^^.
dx _ (а —6лг)~2 f п ___ 1 хГ
(а —бл:)3 — 26 ^ 26 (а —6л:)2
Исключение из этого правила получается при п== —1,
когда интеграл в обоих рассмотренных случаях приводится
к логарифмической форме.
л Г dx
Положим a-f~6*==w. Тогда
_^_ и — a dx _"i
*~ 6 "Д^Т?
Подставив последние выражения в данное, получим:
Тем
же самым путем рассмотрим
Г Adx
J а + Ьх*
Интегрирован, посредством введения новых перемени. 823
Положим а-\- Ьх = и. Тогда
и — а
dx
и пг — ~г«
л Ь " da~ Ь'
Подставив последние выражения в данное, получим:
(* пх
Пример 7. Определите / е о?л\
Пусть пх = к. Тогда
п du n
Согласно [618]
/>*<& = Д"1 А, = 1 /•«Л « 1 . в« = i е™ + С
J J п п J п п
Из этого выражения следует, что интеграл
ff*dx = \e*° + C.
Пример 2. Найдите /tgxdx
/tgxdx — fSn-dx.
J COS*
Положим cos x ~ и. Тогда х = arccos в, откуда
dx 1 1 1
Тогда щ
/•*£.&« /,-*(__Lybl-_ ГА.. /•*,_,,.+ c
e/ cos a: J cos x\ sinx) J cos * e/ u
Следовательно
y\g *cfc= -1^(008^ + 0 = ^^+0.
Таким же образом
/ ctg xdx =?lg (sin*) + C
824 Интегрирование посредством приведения
Пример 3. Дано Л*3 — 5*) (2лг — 5) </*.
Положим л3 — 5 х = и. Тогда (2 лг — 5) cfc = du
dX== l
Так как и = *3 — 5*, то
/V~ 5a:) (2л:--5) dx = ^(x*-5x)2 + C. '
Пример 4» Дано / e^cos e^ok.
Положим ех = и
х • lg e =? lg и
lgu . ok 1 1
X = -е— = Iff И И -г = — = -^
Ige * du и ех
I e^cosвлЛг =s / e*cos e^-^ cfa = / cose37 </и = / cosu </и «= sin вж + С •
1021, Интегрирование по частям. Из дифференцирования
произведения известно, что
d . ч du . cfo
Тогда при интегрировании получаем выражение
uv=fvindx+fu<&dx'
•
которое является обратным написанной выше
дифференциальной формуле.
Написав последнее выражение в измененном виде,
получим формулу, весьма полезную для интегрирования:
[«ч ■/.£*—/.£*.
Для применения этой формулы необходимо определить
функции и и v таким образом, чтобы произведение и -т-рав-
Интегрирование по частям 825
нялось бы функции, данной для интегрирования, т. е. чтобы
dv , t \
Если указанную формулу написать с помощью
дифференциалов, то получится такое выражение:
[620] I udv = uv — / v du.
Если интегрируемая величина разделяется на два
множителя и и dv, то интеграл можно найти при помощи
формулы [620].
Пример /.Найти / х \g xdx.
Пусть Ig x = и, тогда du = — • dx.
Пусть xdx~ dv, тогда v = —.
Подставляем эти значения в формулу
J xlg xdx = Yl2x— / У "7 «& = у*1** — уУ xdx*=
х* 1
Для пояснения напишем равенство
(и) (dv) (и) (*) (V) (du)
hxxdx = \%x^-J^-dx.
Пример 2. Найти / sin2 x dx.
Пусть и = sin xt тогда du = cos x dx.
Пусть dv = sin x dx, .тогда v = — соз x.
Подставляя в формулу а^я интегрирования по частям* получим
/ sin2 х dx == — sin x cos x + / cos2 * d*. (1)
Ho cos2* = 1 — sin2*. Следовательно
fcos*xdx= idx— fsln2xdx=*x — fili&xdx (2)
826 Интегрирование посредством приведения
Подставив (2) в (1), получим:
/ sin2* dx = — sin * cos * -J- л- — / sin2* dx
Перенесем / sin2* с/* в левую часть равенства:
, 2 / sin2* dx = * — sin * • cos * -f- C,
откуда
У' 0 , * sin * * cos * . ^
sin-* dx = у s г С •
Пример 3. Найти / e sin л*</* и / e cos nxdx.
Пусть и = sin n*, тогда du = n cos n*c/*
eaa?
Пусть dv — eax* тогда x/ = —
Подставив в
/ е sin n* с?* = uv — I vdu,
получим
дает
У* ах еах Геах
е sin nxdx = sinn*— / ncosn*d*.
a J a
Вторичное интегрирование по частям,
и = cos nx; du = — п sin nx dx
dv = e™dx; */ = £_
а •
— / eaj?cos n*c/* в V«cosn*+ / Ч-»2 sln "*<**
а,/ а4 «/ а-
Поэтому
р«ю> sin ef* = — sin nx rr n cos nx — / eax • sin nx dx*
e a a2 a2«/
Последний член правой части этого равенства равен левой части ею,
умноженной на —. Поэтому, перенеся этот член ш левую часть, получим
п2 + а2 Г ах еах еах . г
—1.— / •вш.,и1пжЛг = sin n*-4-n cos nx+C=s
о J a a*
= —<г (a sin д* — п cos n*) -f- С. »
Интегрирование посредством приведения 827
Следовательно
I е®30sin nxdx = "21 2 (а sin nx "~~ n cos пх^ "Ь ^ *
Таким же образом
Г еах
9 еах cos nx dx = —sri—5" (я sin n* -f- a cos пдг) + С
t/ a* -f- n^
1022. Интегрирование посредством преобразования
функции в известную интегрируемую форму. Часто бывает, что
данная для интегрирования функция может быть
преобразована в обычную легко интегрируемую форму.
—■— dx»
Пример 2. Если -у- = х или иначе dy = х dxy то
v=z fxс/лг== i-fix dx = у + С.
Пример 3. Если с^ = д:>^1—-д^с/дг, то
y=f*VT=xb,dx= -^.±J ^l-#)T(-Zx)dx =
Этот результат можно получить; представив взятый интеграл в виде
где (1 — х2)2 = и, (— 2 лг с/лг) = du, так как
Посредством таких преобразований был получен указанный выше
интеграл.
1023. Интегрирование функции при помощи приведения
ее к известной интегрируемой форме. Если интегрируемая
функция может быть непосредственно разбита на два
сомножителя,, одиц из которых есть производная другого, то дан-
828 Интегрирование посредством приведения
ный интеграл равен половине квадрата второго сомножителя,
так как
[621] JBg*-£+C,
Пример 7. Найти§{х* + 2х) (Зх2 + 2) dx.
Выражение (Зх2 -[- 2) dx есть дифференциал от (х* -f" 2лг). Поэтому
данный интеграл есть
«2 (х* + 2х)2
"У ИАИ 2~
т. е.
• У (*» + 2*) (3*з + 2)dx = {х2 + 2xf + С.
Пример 2. Найти / sin x cos x dx.
cos x есть производная от sin x и поэтому интегрируемая функция
получит «ид
fuTxdx = Y + C*
Тогда
/ sin х • cos xdx = —s h С-
Более общая формула для этого соотношения
/
5
Поимер 3. Найти f х {а* + х2)* dx.
«Положим а2 -)- л£ = ц и du = 2 л: dx. Тогда
7
v:jaH^)T| c;
Значение многих интегралов может быть определено сразу,
иа правил дифференциального исчисления, ибо интегриро-:
ванне есть действие, обратное дифференцированию* Если,
требуется ^проинтегрировать функцию, следует прежде всега
Интегрирование посредством приведения 829
попытаться привести ее к такому виду, который
представляет собою легко находимый дифференциал некоторой
известной функции. Если этот способ не приводит к решению, то
для нахождения интеграла надо испытать другие схемы.
Ниже приведены основные формулы интегрирования, с ко*
торыми можно сравнивать ту или иную данную функцию:
/
л-И
и du = г-г- + С (если п -£—1). (1)
1 3
1
Пример h Найти / х2 dx.
1
fxTdx = \xT+C
Пример 2. Найти / х~ 1>63 • dx.
I
1 вч л:-0'68
* ах 0,63 +С"
Случаи (2), (3) и (4), приведенные ниже, представляют
собою специальные формы интеграла / undu.
f
\п Jn~lJv * t„™ A L\n + 1
(а*"+&)*'</*= m(n^1)g (<**" + Ь)п^ + С. (2)
Примеры на эту формулу: I Y х* +63 x8dx;
I s\nnxcosxdx ==—, smn* *-j-C (3)
Пример на эту формулу: / sin3 x cosxdx.
cos1xsinxdx = j—r- cos x-\~C. (4)
/i-f— 1
/
Примеры на эту формулу:
/ cos8* sin л: с/л:
830 Интегрирование посредством приведения
или
/
s'mxdx
cos2 л? '
который можно представить так:
sin* • cos" x dx.
/•
1024. Приведение интегрируемой функции к
логарифмической форме, непосредственно вытекающее из вида
функции. Если интегрируемая функция, может быть написана
в виде дроби, числитель которой есть производная
знаменателя, то данный интеграл есть логарифм этого знаменателя,
ибо
du^
dx = \gu-\-C.
/-
Пример 7. Найти ' / v dx.
Производная от (ех + 5) есть ех. Поэтому
exdx
I-
= 12(^ + 5)4-0.
ех + 5
Пример 2. Найти / ' g t о' dx.
Производная от (5 + дс2) есть 2х; поэтому
/3 х2 — 5
_ _— fa,
гть (З*2
dx = \g(x*-Sx)-\-C.
Производная от (л£ — 5 х) есть (3 я2 — 5); поэтому
3*2-5
/
х6 — 5 х
Из предыдущего можно вывести заключение, что успех
, при интегрировании функции зависит от правильно
выраженной схемы приведения данной функции к
некоторой,известной форме, которая может быть легко найдена как
дифференциал известного интеграла. Испытывая разные
преобразования, можно найти такое, которое соответствует данной
функции, приводя ее к известному интегралу.
Форма fxm{a+bxn)» -dx. &1
1025. Логарифмическая форма / dx или
/da
4-
[622]
da
/•
f du
= lg« = C. (5)
Так, например, I —^ dx — lgx^-j-C [d(x-) = 2 xdx].
Специальные логарифмические формы:
/■
•M-ldx 1
w 1г(ал:^ + й) + С. (6)
axmjr b та 5Ч J ' ' ч '
/л3 • dx 1
^4375- = -37^Ig(3jc4 —5)+C.
/ctgf ax dx = I — dx — — lg sin ax 4- С (7)
6 J sin ад: a l v '
/tga*Jjr = I < dx= lgcosav-f-C (8)
J cos ал: a * x '
/, Г (sec2 ал: 4-.sec ax • tgax) , /лч
sec ад: адг == I !—rt s—- ад: = (9)
J sec ад:-f-tg ал:
= — Ig (sec ax -f- tg ал:) -f- С
I cosec ал: dx = —lg (cosec ax — ctg ax) -J- С (10)
1026. Форма J Xm (a -f- бд:^ • dx.. Дифференциальные
биномы вида
[623] fxw(a + bxnY-dx
также интегрируются посредством формулы для
интегрирования по частям. Ниже даются четыре главные формулы
приведения. Эти формулы приводят данное выражение к более
832 Интегрирование посредством приведений
простому виду, т. е. к более удобному значению для
т или р:
I
П \р + 1
х (a~\-bxYdx = 7 f— . '
(np-j-m+l)b J vi//
*) Формула (1) выводится следующим образом. Интегрируя по частям,
получим
Перенося последний интеграл из правой части равенства в левую,
получим
пг + пр + 1 Г п nv _Xm-» + 4a + bxn)P + 1
п(Р + 1) JX <a + bx>dx 1ф + Щ
-^*f •»/- —
Деля на коэффициент при интеграле, входящем в левую часть равенства»
получим формулу (1).
Прим» ред. ,
Форма fxm(a + bxn)v • dx 833
Эта формула уменьшает показатель степени т на п, но
она неприменима, если пр -j- m -f-1 = 0.
xm(a-\-bxn)pdx=- T+_fV + . <2>
_| °"Р , < fxm(a-\-bxY-1dx>).
пр-{- m-f-1 J
Эта формула уменьшает показатель степепи /> на единицу,
но она неприменима, если пр-\- т-{-1 = 0.
{т -\-1) о, J
х) Вывод формулы (2).
Интегрируя по частям, находим:
/>(а + 6Л'^= / + 1(Я + ^^
t/ m +1
-Jig- Л^н-.с + ь»)*-**., *«+% W +
m -j- 1 в/ • m -(-1
m-f" 11/ m-f It/
Перенесем последний интеграл в левую часть равенства. Получим •
np + rn + l fxm(a + bxn)Pdx=: * + Ч. + Ь*>> +
+ -2P2L./V(e+fct")*-iA,
m -J- 1 е/
Разделив на коэффициент при интеграле в левой части равенства,
получим формулу (2). Прим. ред.
2) Вывод формулы (3).
Заменим в равенстве (1) m на т -f- п. Получаем
(пр + п + т + 1)Ь
<m + 1)a fxm(a + Ьхп)» dx.
(пр + п + т + 1)Ь J
Перемещая оба интеграла из одной части равенства в другую и деля
на коэффициент при интеграле» стоящем в правой части равенства, получим
формулу (3). Прим. ред.
53 Справочник для инженера.
834 Интегрирование посредством приведения
Эта формула увеличивает показатель степени т на п;
она' весьма полезна при отрицательном т, но неприменима,
если т -\-1 = 0.
/'" <«+j'°>'*■- - Х+%° +
№
Эта формула увеличивает показатель степени /? на
единицу. Она неприменима, если р ~f-1 = 0.
Пример. Найти J*—?J^.
/dx
.2
с/дг
1), приведем данный интеграл к / --=
J Va
который решается сразу.
В этом случае m = 2, п = 2, р= ~-, 6 = — 1 на заменяется а2.
Следовательно
J K 2 2 У Va*-rf
: Va2 — л-2
+ "V arcs*n 1" &
- 2 -г 2 «д^„4 Q
1027. Тригонометрические формулы приведения.
Приводимые ниже формулы получаются при помощи интегриро-
*) Вывод формулы (4).
Заменим в формуле (2) величину р на р -f- 1. Получаем
J - np + л И- m + 1
^n(P + l) Г х,п n р dx
Перенеся первый член из правой части равенства в левую- и разделив
на коэффициент при интеграле, стоящем в левой части, получим формулу (4).
Прим. ред.
Тригонометрические формулы приведения 835
вания .по частям. Эти формулы значительно экономят
время*).
1) Интегрируя по частям, находим
• w n j sin
sm x cos" x dx =±
n+I
J- ШТ| Ainw~2^cosw+2 *</*.
П + l e/
Преобразуем интеграл, входящий в правую часть равенства.
Получаем
/
. т п 1 sm%i ^cos7*"*" л:
sm x cos * rf* =
n + 1 '
+ -~^,1- fslnm-2xcosnxdx ^Ц=^~ fsinmxcosnxdx.
n + 1 «/ n + 1 «/
Перенося последний интеграл из правой части равенства в левую и
разделив на коэффициент, получившийся при интеграле в левой части равенства,
придем к формуле [626]. Заметим, что формула [626] неприменима,
е.ели m = — п.
Интегрируя по частям, можно получить для того же интеграла
sinw*coawW*
иное выражение
/•
„»»+i „«.„.«-i
(**) fsiumхcos" хdx = Sm"'"*"f' '*- -t
+ n~\ fsinm + 2*cos"-2 xdx.
m + 1 e/
Преобразуя интеграл во второй части равенства (**), имеем
/
г ш п 1 sinw +1 х cosw 1 х .
sin х cos x dx = г-1 г
7П -р 1
+ n7V AinWArcosw-2 *</*--^--L fsmmxcosnxdx.
m + lt/ m + lt/
Перенося последний интеграл из правой части равенства (**) в левую
и разделив на коэффициент, получившийся при интеграле в левой части
равенства, получим формулу [627].
Формула [627] отпадает, если m = — п.
Заменяем в равенстве [626] т на тп + 2. Имеем
Г cosn* ^ cos" + * лг . - m +1 /* cosn* ^
•/ sin™"2* * (п - m + 2) smm-x д: п - т + 2 ■/ sinM*
53*
836 Интегрирование посредством приведения
[624] У V xdx = ^L-± j tg""2 x dx
[625] /ctg» x dx- C-^- - /ctg"-2 x dx
. w n i sin x cos т л:
sin x cos *ал: = -г-
— —* / sin x cos дг ax
m-f-n J
. w n i sin л: cos x .
sin x cos л: ал: = j b-
m-f-n '
[628] f-^r- dx =
П — 1 Г . m w-2 j
; / Sin X COS X CX
m-\- n J
n n+l
COS X
sin л: (m—l)sin x
n — m-{- 2 /■ cosn* ck:
n — m-f- 2 Г cos *
i / . w—:
A ^ sin
2
sin лг
Разделив на коэффициент при интеграле в правой части равенства
и перенеся интегралы из одной части равенства в другую, придем к
равенству [628].
Равенство [629] получается из равенства [627] заменой m на —т.
Равенства [630] и [632] получаются из равенств [626] и [62S], если
? последних положить п = 0. Равенства [631] представляют собой частный
случай равенства [627] при т = 0.
Равенство [633] получается из равенства [627], если в нем взять т = 0
и п земенить на — п + 2.
dx sin дг . — n-\-\ /* dx .
/dx sin* , —n + 1 Г dx
cosn-*x~~(-~n + 2)cosn-1x - n-f 2 У cosn
X
Перенеся первый член из правой части равенства в левую и разделив
на коэффициент при последнем интеграле, получим равенство [633].
Положим в равенстве (*) п = — т. Находим ^
Это равенство есть не что иное как равенство [624].
Положим в равенстве (**) т= —п. Получим равенство [625].
При и. р?д.
Тригонометрические формулы приведения 837
п—\
COS X
г629] f-^r- dx = —^т- г
^ sin х (п — m)sin х
\ п — 1 /* cos xdx
-i
п — т J sin'" x
sin x cos*
[630] f s\nmxdx =
, 771—1 /* . w-2 ,
/ sin xdx
m
n—1
r/r>41 /• n f cos x smx , n — 1 Г n-2 /
[631] J cos xdx = j J cos x dx
L6«] У sin- * (m _ 1} sin—* л ^ m - 1У sinw"2 x
/dx s^n^ Ln — ^ Г dx
^77" ~ (n-l) cos""1 x + "^У cos""2*'
1028. Формулы f—g*^ и ,/^+/+c **
Разделив числитель и знаменатель на а и составив в
знаменателе полный квадрат, приведем первое из данных
выражений к следующему виду:
у-
dx
Hi)
b \2 б2 — 4ас*
4а2
Положим х 4- тг~ = и; тогда du = dx и
838 Интегрирование посредством приведения
Если б2 — 4ас отрицательно, то
Г6341 f ^х = 2 t Ъах+Ь J)
Если б2 —4ас положительно, то
Г6351 /* *** = 1 1 2дд:~Ь&~ У&2 — 4ас
Если б2 — 4ас = 0, то
[636] У а^4-^+с = ~2адг + 6'
[637] Формула fa/+tJ+cdx-
Следующий пример разъясняет метод.
*) Если Ь2 — 4ас < 0, то, положив
У"4"|
находим
arctg Z =
У*4 ас - б2
лу [634].
J_ Г du ^ J^ 1 f р
Выражая и через *, получим формулу [634].
Если б2 — 4 ас > 0, то
с/а
ы»
" 4а3
2^Уб2_4 ас\ W Уб2 _ 4ас
V Й j l " 1а
Г du \ \ \ I у 6*_4«Л
У , У>-4«с ' У^-4ас I М" 2^ У
"+ 2а j l
V 2а /) у> _ 4вс *2ви+Уб2-4ас
Выражая а черев *, получим равенство [635].
Прим. ред.
Интегралы, содержащие дробные cm-пени 839
Пример. Найти f /+£+П ** /"^ + <Ь + Ц- Л =
г з(*+3)-4 /' (*+3W* _ 4 r__d^__
'J J* + S)* + 2 аДГ_ Л У (* + ЗУ» + 2 *J (х + ЗЯ + 2-
4/
2 (лг + З) </*__ 3 , , - „
<* + 8/ + 2 = Т '* [(* + 3) + 2]*
согласно формуле
Формула
имеет вид
-^-=IgH[599].
У
с/л:
du
а2 + и2
[613]
где в-*+3,-«= /2.-4 (х+1*Ч-2 = ~ у? arctg^T + С*
Следовательно
•/
7$£ъ*—Т ЫЬ+Ф+П-^««гЩ- + С.
1029. Идтегралы, содержащие дробные степени X или
двучлена {а-\-Ьх). Если в выражении после знака интеграла
находятся дробные степени двучлена вида (а-)- Ъх), то
следует вводить такое обозначение
a-\-bx = z49
где п — наименьший общий знаменатель показателей степени
при (а-\-Ьх).
з
Пример. Найти Г <* + 2)*+4 ^
^ (лг + 2)"2~3
Пусть * + 2 = г4. Тогда
з
J (лг + 2)2-3 J
Делим числитель на знаменатель, а затем интегрируем. После инте-
* *
грирования заменяем z через (#-f-2,4.
Точно таким же образом, в случае дробных степеней л\ берем z а
степени, которая равняется наименьшему общему знаменателю показателе^
степени при х,
840
Пример 2. Найти
Интегрирование посредством приведения
1 j_
</*.
лгз +4
Положим х = *6; тогда dx = 6z5 c?z и
1 _i
J лгЗ+4 ^ -J
Делим числитель на знаменатель, как и в предыдущем примере, до
тех пор, пока степень остатка не сделается достаточно малой, что можно
было бы производить интегрирование, после которого заменяем z через
*У-
Этот случай получается как частный из предыдущего при уеловии
а = О, Ь = 1.
1030. Интегрирование посредством тригонометрических
подстановок. Выражения, содержащие У а? — х2 или Ух2 ± а2,
могут быть заменены тригонометрическими величинами.
Если встречается У а2 — л:2, полагаем х = a sin <р.
91
Ух2 — а\
Тогда:
дг = а tg <p.
х = a sec <p.
Уо2
/а2 + *■
Ух2— а2
Рис. 606.
л:2 превращается в a cos 9
х2 „ в а sec 9
так как в прямоугольном
треугольнике с катетом дг, лежащим
против угла <р> и с гипотенузой а
X X
sin ф = — и tgf ср = \^гг.
я / tt2 —л:2
Другие функции угла <р можно также определить из
треугольника, показанного на рис. 606.
Пример. Найти / Уq2 __ х2 dx*
Положим х = a sin <р; тогда dx = a cos cp Жр. •
/ уа2 — д^2 . (/д, — / а cos (p X в COS Cp </'f =5 / a2 COS2 'f cfy.
Построение функций У а*— х2 или Ух2-\-ай
Интегрируем по частям. Из п° 1021
°41
Тогда
/ cos2 9 </'f =
ср -f -«г sin 2?
/
a2 cos2 9 cfy = -<у-Ы + -9- sin 2? Г-j- С
=з -^r- f arcsin (- sin 9 cos cp) -f- С
= -у- [arcsin "f + "J" V?^' ] + С
/* У а2 - д:2 dx= -^
-~- arcsin —
2 а
+ JLy-aa--*2 4-C.
1031. Построение функций У а2 — х2 или Улг2 + а2.
Исходя из соотношений, связывающих элементы треугольников,
показанных на рис. 607, построим треугольники, в которых а
имеет определенное значение, а х несколько значений. При
этом значения функции
У а2 — х2 и У х2±а2
могут быть получены
графическим путем и
нанесены в виде ординат.
Тогда можно весьма
быстро построить и
проинтегрировать данные
функции 'графически.
Пример. Если a = б и мы
желаем найти функцию У аг -f- *2»
построим О А = 6. Проведем
ОХ X. к О А и возьмем ряд
значений. х: х == 0, 1, 2, 3...
842 интегрирование посредством приведения
В атом случае длина гипотенузы дает значения функции у а2 + х2 для
каждого взятого значения х (рис. 603).
Поставим эти гипотенузы в положение ординат и проведем кривую
через конечные их точки. Эта кривая представляет собою график функции
у a2 -f- х2 при а = 6, т. е. график функции у 36 -f- х2. Получившуюся
кривую можно проинтегрировать графическим способом.
1032. Квадратные выражения. Если выражение ах2-{-
-f- Ьх -^ с находится под знаком радикала, то путем
добавления к нему членов до полного квадрата его можно привести
к двучленной форме, имеющей вид a (t2-\-k). Это
выражение может быть проинтегрировано посредством
тригонометрической подстановки, как то было изложено в п° 1030.
ах2 -f- Ьх -f- с = а
.(-+4н-^)+(т-^)]-
Правая часть этого равенства представлена в двучленной
форме. Положим
Если многочлен 2-ой степени не находится под знаком
радикала, то его можно интегрировать как двучлен.
1033. Идтегрировадие рациональных дробей.
Рациональная дробь, зависящая от х, представляет собою такую дробь,
числитель и знаменатель которой являются многочленами,
зависящими от х. Если степень числителя равна или больше
степени знаменателя, то такую дробь следует упростить,
разделив числитель на знаменатель.
/х* + 3х?
х* + 2х + \
*+Ъх* 2 Q , 5* + 3
*> + 2* + l * * "Г" * ^+ хЧ + Ъх + Г
Тогда
/$№*-/"• +/**-/•* + Я™-
Интегрирование последнего члена может быть произведено по спо
собу, изложенному в п° 1028 [637].
1034. Интегрирование посредством разложения данной
дроби на простейшие. В отделе алгебры (п° 499) было
показано превращение данной дроби в сумму простейших дробей,
• Интегрирование посредством разложения 845
знаменатели которых являлись сомножителями знаменателя
данной дроби. Например (п° 499)
5л:2 — Зх — 24* х — 2 ■ 3 4
(л5 — 1) (дг+3) (* + 4) х*—1~*~х + 3 дг+4*
Если наша задача состоит в том, чтобы проинтегрировать
эту дробь, то
/• 5дг9 — Зг — 24 , '/••* —2 , , Л 3 ,
у ^^тетж^м)dxe J -*=т dx-+ J ^т"з dx~
4 Л- ■
7-
*+4
Г xdx . Z9 — 2cfe . /• 3 , /• 4 ,
/* (2лг + 3) ,
Пример. Найти у jj^1|. дД 2л:
Множителями знаменателя являются: лг, х — 1, л: + 2; составим ра.
венство
2л: + 3 = А В С
хъ + х2 — 2л: л: "*" л: — 1 """ х + 2 '
Освобождаемся от знаменателей
2л: + 3=-Д (* —1) (* + 2) + В* (л:+2) + Сл: (х- 1).
Приравнивая друг другу коэффициенты при одинаковых степенях и
решая получившиеся при этом уравнения, получим
л- 2 , л- 3 , с- 6 .
Подставив эти значения, получим
2л- + 3 3,5 1
х (х — 1) (л: + 2) 2л:^3(л: —1)- 6(л: + 2)'
dx
/■J2*_+3) dx 3^ f*Lj_JL Г dx l Г
J *(*-!)(*+ 2) 2 J x + 3 J *-l 6 J
x + 2
5
= 1-1«*4- -J-1« (* — 1 > 1- \g (x + 2) + C= lg C^^1}^ iv
л: 2 (дг +2)«
1) Переход к окончательному выражению получается при замене
C = lgC'.
Прим» ред.
*844 Интегрирование посредством приведения
1035. Последовательное интегрирование. В
дифференциальном исчислении 'мы познакомились с применением
последовательных производных высшего порядка, которые полу- ||
чаются посредством последовательного дифференцирования. |]
При интегрировании мы имеем обратное действие.
Пример, Найдите уу если 3 = 8*. Тогда
—3-— = Sx .«.rf^J-toA.
Q.
Интегрируя, получаем
Ho -jtq может быть написано также и в таком виде:
'&) .
с/лг '
Тогда
U* ' = 4*3 + Сх или с/ (&\ = (4** + Cj) dx.
dx
Интегрируя, получаем
■& = У(4*» + Q <£г = ~- *» + Сх* + Q,
откуда
*=(-г *• + <**+<*)**•"
Интегрируем еще раз
*«/(-J-*8+ <** + « а = 4-л4+-¥- + с^+с^
Последний результат пишут также и в такой форме:
у = f f f 8дг dx dx dx.
В том случае, когда интегрирование производится два
раза, пишут так:
у = J ff{x) dxdx.
Если пределы не указаны, то в таком случае интеграл
является неопределенным.
Определенный интеграл как предел суммы 845
Пример* Ускорение движущейся точки — величина постоянная и
равная а. Найти выражение для пройденного пути s.
d2s
Ускорение а = -i-p
Тогда
\ dt )
dt
'(*-)■
adt
^-/аЛ-Ы + Ъ
откуда
ds = (at + Ci) dt.
Повторив интегрирование, получим
.-/(* +
С±) dt = ~ t2 + Ctt + C2.
2
Глава LV.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (МЕТОД СУММИРОВАНИЯ).
1036. Определенный интеграл как предел суммы. Пусть
у представляет собоюнекоторую функцию, которая при
непрерывном изменении х также
изменяется непрерывным образом. Пусть
кроме того yv у2, у& . •, У» будут
значения указанной функции в
интервалах Аде* (не обязательна равных
между собою), рассматриваемых от
х = а до х = Ь (рис. 6С9).
Умножим каждое из этих зна--
чений у4 на Дя:,, а затем составим
сумму полученных при этом
произведений. Эта сумма равна
ffi A*i + #2 д*2+доД*з +
Рис. 609.
Будем теперь число полос, находящихся в промежутке от
л: = а до х = Ь, увеличивать беспредельно таким путем, чтобы
ширина каждой из этих полос А*,- приближалась к 0. При
этом указанная сумма будет стремиться к пределу, которым
является интеграл
А
dx.
846 Определенный интеграл
или
.. ь
[638] дJ™ о [#iA*i +^ДГ2 +М*в + • • • + У,А*п = /if Л,
П—юо L J а
где А* есть наибольшая из всех значений ширины полос А*,.
Иногда сумма членов, заключенная в квадратные скобки,
сокращенно пишется в таком виде:
h
Члены yi&xl9 у^х2 и т. д. выражают площади
прямоугольников. Легко заметить, что по мере того как число этих
прямоугольников беспредельно увеличивать, сумма площадей
их будет приближаться к площади, расположенной .под
данной кривдой, как к своему предельному значению. В своем
месте было доказано, что эта площадь представляет собою
определенный интеграл; отсюда следует, что предельное
значение суммы площадей указанных прямоугольников, при
беспредельном увеличении числа их, представляет собою также
определенный интеграл данной функции между пределами
лг = а и лг = 6.
В большинстве трудов по интегральному исчислению,
начиная от открывшего его Ньютона и до настоящего времени,
указанный выше процесс суммирования излагается, как
составление суммы бесконечно малых полос, которые, складываясь
вместе/ дают определенный интеграл. Отсюда и возник знак
интегрирования / , который представляет собою измененную
букву 5, выражающую слово сумма. Результатом указанного
толкования процесса суммирования явились значительные
затруднения в правильном понимании истинного смысла
процесса интегрирования, ибо вследствие указанного
представления о суммировании следовало пренебрегать малыми
треугольниками, находящимися у вершины полос, причем получалось
впечатление, что интегральное исчисление является только
приближенным методом. Поэтому, весьма важно обратить
внимание на то обстоятельство, что рассматриваемое понятие
есть предел этой суммы, а не сама сумма, которую мы
рассматриваем, t
Этот предел представляет собою вполне определенную
величину и никакой ее частью нельзя пренебрегать. Если
Определенный интеграл как предел суммы 847
такой взгляд понят, то представление об определенном
интеграле как о некотором выражении площади или объема не
вызовет никаких затруднений.
Точно таким же образом теорему о суммировании можно
применить к вычислению работы, объема и т. д.
Работа равна:
lim
AS —Ю
F, Ast + F2 Д*2 + Fb Л*3 Н- • • • Н- F» Д*.
ь ь
Fds
Объем равен:
lim
Да*—>0
Г 1 -
Atbxi + ^*2 +'ЛД*в + • • •+ДА*»» = У ^ rf*-
Интегрирование для нас теперь является методом
вычисления предела, суммы.
Этот метод применим во всех тех случаях, когда
рассматриваемая величина представляет собою предел суммы, имеющей
следующий вид:
У\ А*1 + #2 Д*2 -f #3 А*8 + . . • + Уп Д*» = J] fix) dx.'
При этом следует поступать следующим образом:
Разделить исследуемую величину на части таким образом,
чтобы было очевидно, что искомый ответ получится
посредством нахождения предела суммы
указанных частей. Затем следует
составить выражение для
величины этих частей и
интегрировать между пределами х = а и
х = 6, т. е. найти предел суммы
при безграничном увеличении
числа частей ее.
Некоторые авторы выражают
•ту основную теорему в таком
виде:
ъ
да? —»о
Рис. 610.
Пример. Найти, какое количество угля может быть извлечено из кону-
с образной кучи, диаметр основания которой равен 30 м, а угол естествен-
848
Определенный интеграл
ного откоса 27е, при помощи конвейера шириною в 30 см, который движется
на одном уровне с землей и проходит через центр основания кучи.
а = 15 X tg 27° = 15 X 0,5095 = 7,643
Ь = 0,15 X tg 27° = 0,15 X 0,5095 = 0,076.
^ 3f 27'
Рис. 611.
Расстояние от вершины конуса до точки D = 7,643 -j- 0,076 = 7,719.
Перпендикулярное расстояние с = 7,719 X cos 27е
= 7,719X0,891 = 6,878.
• Если мы берем переменные расстояния х на прямой с и выделяем
слои dx перпендикулярно к прямой с, то в сечениях получатся параболы,
подобные показанной на рис. 612.
При этом ^
d (выраженное через х) = tg 36° X * = 0,7265 х.
е (выраженное через *) = tg 27° X х = 0,5095 х.
Высота параболы = d-\-e = 1,2360 х
f ^ c^27* = 0891 = 1Д22*
к = 2/Х tg 63°= 2 X1Д22 х X 1,963 = 4,405 х.
Архимед установил, что парабола,
вписанная в прямоугольник, имеет площадь,
равную двум третям площади последнего
(£М. п° 560). Поэтому, мы можем принять,
что наши бесконечно тонкие слои
толщины dx высекают прямоугольники
высотою 1,236*, шириною 4,405*, две трети
площади которых равняются площадям
рассматриваемых парабол.
6,878
2 /3,6297 x*dx
Рис. 612.
/
6,873
2 X 1,236 х X 4,405 х
i/w
6,878
3,6297*3
= 2,42 X 6,8783 = 787,395.
J
Площади, ограничиваемые плоскими кривыми
849
Вычислим объем малого треугольного клина у точки D1):
3QX 0.3X0.076 ^^3
787,395 - 0,684 = 786,711 л»
786,711 X 1,25 (удельный вес угля) = 983,389 тонн
3,14 Х152Х 7,643
Объем всего конуса ■
Процент извлеченного угля =
3
786,711
= 1799,926.
X 100 = 43,7 %.
1799,926
1037. Площади, ограничиваемые плоскими кривыми.
Прямоугольные координаты. Метод суммирования. Пред-
Рис. 613.
положим, мы желаем найти площадь, ограниченную кривой
# = /(*), осью X и двумя ординатами х — а и х = 6.
Искомая площа&ь есть предел суммы прямоугольников
ybxf т. е.
[639]
Л== lim \>y&x= I ydx
д*-*° а а
ъ
= ff(x)dx,
*) При вычислении объема малого треугольного клина он принимается
за объем трехгранной призмы, имеющей в основании треугольник со
стороной, равной 0,3 и высотой 0,076.
Высота призмы равна диаметру кучи, т. е. 30.
Прим. ред. -
54 Справочник для инженера.
°5® Определенный интеграл
Этот резулбтат получается согласно изложенного в n° 10I1.
Таким же образом, площадь, ограниченная кривой, овью Y
и абсциссами у— с и у = d9 есть
d d
[640] А= lim J\xbS=fxdy.
д*->° с с
Пример 7. Найти площадь, ограниченную кривой (рис. 614 и 615)
х = 2+у-у*
Рис. 614.
Рис. 615.
Точкам пересечения данной кривой с осью У соответствует абсцисса
х = 0; подставив * = 0 в наше уравнение и решив его относительно у}
получим
* = —1, у = 2
A = fxdy = f(2 + y-y*)dy = .
-.(•+'-4H-»+W)
' =4-
Пример 2. Найти площадь гипоциклоиды (рис. 613)
х = a sin6 6, у = a cos3 6.
J
Площади, ограничиваемые плоскими кривыми
Из рис. 616
и
А = 4 Г ydx.
0.
Из * = a sin3 б
cfc = За sin2 6 cos 8 с? 0.
Подставив эти значения # и х в формулу площади, получим
± je
2
Л = 4 f а cos3 6 За sin2 6 cos 6 . db = 12а2 f cos*0 • sin20 • db.
851
*" Рис. 616.
Применяя формулу приведения (п° 1027) [627],
/т , п 1 cos *'Sinw+ x . m—-1 Л w_2 , n i
cosw л: • sin" x dx = = 1> ;— / cosw ' x sin ' x dxt
m + n w m + nj
получим:
/
cos4 6 . sin2 6 . d 0 :
m + n
cos3 0 • sin3 0
**/
cos2 8 sin28 d 0.
' Так как 2 sin 0 cos 8 = sin 20, то
Поэтому
cos2 0 sin2 0 = 4" s^2 28.
4
sin220</0,
i Г cos20sin20c/0 = ~ /*sii
ражение можно проинтегриров
5 1021.
1 /' cos20 sm20c/0 = i(0-~sin40J =
Последнее выражение можно проинтегрировать по способу, показан*
ному в примере п" 1021.
40 — sin 48
64 . '
54»
852
Определенный интеграл
cosSG-sin3© , 4ff — sin46
Поэтому
12a2 /,cos46sin26c/e==12a2[
Подставляя значения пределов, получим:
площадь
64
)•
-»*(£)■ **
2У™ 8 '
1038. Полярные
координаты. Если уравнение кривой,
данной в полярных
координатах, есть
р=/(<»,
р Л0Г и если требуется найти
величину площади, находящейся
между кривой и двумя радиу-
^ сами-векторами, то искомая
площадь представляет собою
предел суммы круговых сек-
Рис. 617. торов, как например это
показано на рис. 617.
Указанная сумма площадей этих секторов есть
1 р^да, +1 р2*ле2 +... +1 Р|,«дв = 2 у Р'2Ае< •
о
[641] lim V 1 hmt= f-^«W =
искомая площадь
(согласно основной теореме).
Пример. Найти площадь кардиоиды, уравнение которой
р = a (1 + cos 6),
f| изменяется от 0 до 2л.
a
Из / "о" Р2 ^°» име*м
р
площадь- ^ia2(l + cos6)2rf0 = y'-°-(l+2cos0 + cos2e)^
6 о
= ^. f (1 + 2cos6 + cos29) </6.
Длина кривой £53
Но cos2 6 = -i- cos 20 + у <п° 604) I298]» поэтому
площадь = -у / ( 1 + 2 cos 9 + *2"Cos26 -f тг J eft =
6
= -y- /*(l,5 + 2cose+lcos2eUe==^ri,56 + 2sin6 + ~sin29l =
1039» Длина кривой. Прямоугольные координаты. Из
сказанного в п° 962-об измерении кривых, а также из некоторых
теорем геометрии следует, что длина кривой определяется как
предел суммы вписанной ломаной линии при безграничном
возрастании ее сторон при одновременном уменьшении каждой
из них до нуля.
Положим, кривая дана
некоторым уравнением
^Нл
У
\
У
'>^
дг,
^
%
xt+ дх-
Рис. 618.
Рис. 619.
и требуется определить длину дуги PQ. Точки Р(а, с) и
Q(b, d) даны.
Возьмем какое-либо число точек на дуге PQ и проведем
хорды, соединяющие эти точки. Тогда, при безграничном
возрастании числа этих хорд дуга PQ является пределом суммы
их длины.
Рассмотрим одну из указанны* дорд, например хорду РХР%
(рис. 619). < - ~
Здесь
854 Определенный интеграл
Разделим выражение, находящееся под знаком радикала,
на (Л*})2, а сам радикал умножим на Дл^; тогда
1
™=М£:ГЬ- •
Согласно теореме о среднем значении
А*! J Кх ,$
где х' — абсцисса точки F, касательная в которой к кривой
параллельна хорде РХР^ Тогда
i.
хорда Рх Р2 = [1 +/'С*')2] 2 д*1 = длине первой хорды.
Таким же самым путем можно выразить длину хорд Р2Рг
РЪРА и т. д.
Сумма этих хорд равна
[1 +/' (*')Т л*+[14- Г (*")2Р а*. + • • •
• • • + [1 +№Я))2Р Д*„ = S [1 +/' t*#F д **
Согласно основной теореме
Km S[l+r(^A*.-/[l+/r(*W^
4*—ОТ /
ИЛИ
Если за независимую переменную принимается у вместо*
то эта формула превращается в.
d I
[643] 5=Х!Ш9+1Г^ •
с
где пределами интегрирования являются значения у, равнце с и сГ
Длина кривой. Прямоугольные координаты 855
Пример. Найти длину кривой у = х2 от х = 3 до х = 6.
Если
Тогда
в
5= У [1 + 4л:2]"2"с/лг.
з
Пусть 2 * = tg 9» откуда
dx = -у sec2 9 cfcp.
Треугольник рис. 620 показывает, что
У^1 + 4 лг2 = sec <р.
Тогда
б i о о о
/'[1+4*ЧТЛ-/,»ес9-у sec? f^y/w* ?rff = y ^/ ^>
У 3 аз
На [633] имеем
6 6
1 /* rf* = -1Г sin? л- — /* d<9 I
2 ,/ cos3? . 2 [ 2 cos39 "^ 2 */ cos? J'
з a
Из рис. 620 следует, «то
2х
sin, д l/r+47^^ /г-^ ^ -
2cos2cp 2 *Ki-J-** 1
1+4*2 Рис.620.
Из [610]
f -^^h(^^ + isk)^h(VT+^+2x).
J COS <p
Поэтому
в в
з з
= 1 [б VT+Ш- зУТ+Зб) +
+ -^[1г(>ПТш +12) - 18(Т^Г+ 36 + Ь)3 = 72>24~ 18'2S +
+ у [3,18 - 2,49] = 27,34 единиц.
856
Определенный интеграл
1040. Длина кривой. Полярные координаты. Пусть из
точки Р проведена прямая PN' перпендикулярно к OQ (рис. 621)
(хорда />Q)2 = (PNy + (N'Qf.
Напишем это равенство в таком виде:
(х°еда ™~ (^v)2^ra PN)>+ (^-)2(W- .
После соответствующей подстановки в последнее равенство
получим*
(„орд, PQ)«=(_^)Vm)S+(-^)W
или
дуга PN
PN'
Длина кривой в эжтом случае представляет собою предел
суммы длины хорд по мере приближения А6 к нулю. Дроби
PN' N'Q л л
рдг и -Jtq- приближаются к 1 по мере того, как Д9
стремится к нулю, при этом дуга PQ приближается к хорде PQ.
Отсюда длина дуги
[ич *-/[.«•+(£)*]>.'
Тогда определенный интеграл,
т. е. длина дуги, взятая между
двумя предельными углами,
Р i
[б45]^=/[,^(^)2]2с/в.
. Рис. 621.
а
Длина дуги, кроме того, может быть выражена и таким
образом: г
[646]
*-f [*+■*№
dr.
Пример. Найти полную длину кардиоиды
г = 2а(1—cos6).
Продифференцировав это выражение, получим
е/г
db
= 2 a sin 0.
«и
Т
Поверхности тел вращения 85?
Приставляем последние два выражения в формулу длины кривой
к 1
5= AaKl- cos 6)2 + sin2 ft] 2 с/ 0 =
и
= 2 /%asin-|- rf9 = 16a Г- cosyl = 16 a.
о о
1041. Поверхности тел вращения. При вращении
кривой у=/(х) вокруг оси X образуется
соответствующая криволинейная
поверхность. Обозначим площадь
этой поверхности через 5.
Рассмотрим бесконечно
малую дугу ds, при
вращении которой образуется
узкая полоса? опоясывающая
указанную поверхность.
Длина этой полосы равна 2ъу}
ширина ее ds, а ее
площадь 2ъу ds. Из п°1039
мы имеем для длины
кривой ds выражение р ,~х
подставив его в формулу, выведенную выше, получим
поверхность =12^ 1гМ ~^") <*•*
/ \ / /.
1 1 1 1
1 1
1 ^ 1
II ..
■&S
или
[647]
площадь поверхности тела вращения
ь 1
-»-/'['+№)•]
dx.
А так как
ds = V(dxV + (dgP s=[l+(^J]2dx'
858 Определенный интеграл
то
ь ь
[648] площадь поверхности =* / 2iryrfs = 2it yds.
a a
Пример. Найти площадь поверхности, образуемой вращающейся
параболой
#2 = 4*
вокруг оси Х9 между л: = 0 и * = 8
1
* У*"
Следовательно поверхность =
?. 1 ' i '? 1 з
« /*4я*7(1 + -Ц2с& = 4* У#(д: + 1)Тс/д: = уя(^ + 1)у1* = ^«.
о о
104?» Объемы тел вращения. Пусть У обозначает объем
тела, образующегося при вращении кривой CD вокруг оси АВ
или оси OY.
Пусть уравнение
кривой CD
X Разделим площадь
ACDB на прямоугольные
полосы, как это показано
на рис. 623.
Каждый прямоугольник
при вращении образует
цилиндр.
Искомый объем равен
пределу суммы объемов
этих цилиндров, по мере того как число их безгранично
возрастает.
Если толщину таких цилиндрических пластов обозначить
через Aatj, Адг2, Дд:3 и т. д., а. соответствующие радиусы их
основания через yv y2f ув и т. д., то объем первого из
указанных цилиндров будет ъу\ Д*х.
Рис. 623,
Давление жидкости на вертикальные стенки 859
Сумма же объемов всех подобных цилиндров в этом случае
п
1
Применяя основную теорему, получим
откуда
[649]
lim ^ ку?^ = f *y*dx,
объем = V—n I y*dx.
Пример. Найти объем,
образующийся при вращении
эллипса
вокруг оси X (рис. 624).
Преобразуем данное
уравнение
Так как более удобно
рассматривать вращение только
одной правой половины ал-
Рис. 624.
ляпса, т. е. вращение правого верхнего квадрата его АВ вокруг оси
21Ш&2
._ . -. ... . - *, дРа'
VB, а ватем умножить полученный результат на 2, то
^ = nfg*-dx = nf-^(a*--x*)dx=-
Следовательно
V^=
4w.eba
1043. Давление жидкости на вертикальные стенки.
Положим ABCD представляет собою часть площади стенки
резервуара и требуется найти полное давление жидкости на нее.
Разделим Л С на л частей, в результате чего получим п
элементарных площадей вида у Адг. Так как давление на
квадратный метр равцо глубине, умноженной на вес W одного
860
Определенный интеграл
куб. метра жидкости, то давление на одну прямоугольную
полосу есть
Wxy A*.
Сумма же всех давлений на п прямоугольников
приблизительно равняется
V Wxykx.
Давление на ABCD представляет собою предел этой
суммы. Отсюда, согласно основной теореме,
lim J] Wxybx=fWxydx= wfxydx.
> Давление же жидкости на
вертикальную погруженную в
q\' *^е повеРхноеть> которая огра-
1
лх
1
1.:
о
(*,У)
Рис. 625.
Рис. 626.*
ничена кривой, осью X и двумя горизонтальными линиями
х = а и х=Ь, выражается таким образом:
ъ
[650J давление жидкости = W I ух dx.
Пример. Найти давление .на аадвижку, закрывающую круглую трубу,
наполненную наполовину водой* Диаметр трубы 2 м (рис. 626).
Уравнение окружности в поперечном сечении трубы
откуда
Пределы интегрирования
*■ + *•= 1,
у = VT^oft W= 1000 ки
jr-^0 и *=*!.
Работа, совершаемая при подъеме жидкости 861
Тогда:
давление жидкости = 1000 / У1—х-х dx = — —=— (1 — х2) j\ --=
• == -у • 1000 - 333 кг
все давление = 2X333 == 666 ш.
Заметим, что у должно быть функцией х.
1044. Работа, совершаемая при подъеме жидкости до
некоторого уровня* Работа, производимая при поднимании
тела, равна весу его, умноженному на вертикальную высоту
подъема. По мере того как
цистерна или вообще какой-либо
резервуар опоражнивается,
уровень жидкости в нем
понижается, а расстояние этого
уровня от его первоначального
положения увеличивается.
Таким образом здесь мы можем
рассматривать указанное изме*
няюйцееся расстояние уровня
жидкости как переменную
величину.
Рассмотрим резервуар,
показанный на рис. 627. Мы
желаем знать величину работы, происходящей при опорожнивании
резервуара с уровня а до уровня Ь, а также при подъеме
наполняющей его жидкости до высоты О.
Разделим АВ, как обычно, на п цилиндров, из которых
каждый имеет толщину А*. Объем каждого цилиндра равен ъу2 &х9
а его вес есть
. Работа, затрачиваемая на поднимание одного такого
цилиндра жидкости, равна
WvyZbx-x.
Работа, затрачиваемая на поднимание всех этих цилиндров,
равна
Рис. 627.
2 W^x • Д*
862
имеры на применение интегрирований
lim У W*y*xbx= f WvyHdx.
Следовательно, между пределами х = а и х=Ь
ъ ь
работа = / Wng*x dx = W* I у*х dx.
[651]
Пример» Найти работу,
У расходуемую иа выкачивание
воды иа полусферического
резервуара глубиною 10 ж и на
поднимание ее до уровня,
лежащего на 10 м выше указанного
резервуара (рис. 628).
Уравнение окружности с
центром в точке О:
*2-[-у2=:100.
Уравнение окружности того
А X же радиуса, но с центром в
f точке О^.
(* -10)3+0* = 100.
Раскрывая скобки, имеем:
#2 = 20* — х\
Следовательно
20
работа = 1000 п f(2Qx ~ *») х dx = 3140 /"(20*2 _ д.3) <& =
Рис. 628.
20
10
10
Г 20*3 лг4120
= 3140 Ну- - ~ |1о = 28784380 кг• лс
Глава LVI.
ПРИМЕРЫ НА ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРИРОВАНИЯ.
1045. Пример интегрирования* Некоторая величина у
возрастает одновременно с увеличением л: со скоростью,
постоянно равной 0,06 у. Найти уравнение, определяющее
функцию у$ если при дг = 0, у = 80.
Прежде всего заметим, что данная величина у изменяется
со скоростью, которая выражается в процентах от самой
функции. Поэтому изменение ее происходит по закону
сложных процентов (п° 958).
Напряжение в ремне и в приводном шкиве 863
Из условий задачи следует, что
^ = 0,06У. ■
Это выражение не может быть проинтегрировано в том
виде? который оно сейчас имеет, но если мы разделим обе
части его на у9 то
-1-4-0.06.
У dx %
Левый член этого равенства представляет собою
производную \g€ у, взятую по х. Тогда
hy = 0,06x + C.
Но при х == 0, у = 80. Следовательно
l2# = lg80 = 0 + C, *
откуда
C=lg.80.
Тогда
Ig# = 0,06* + lg80
или
ky — Ig 80 = 0,06 л:,
откуда
1?| = 0,06л,
Это равенство означает, что 0,06 х есть показатель
степени, в которую следует возвести основание е, чтобы
получить дробь |~.
80'
Поэтому
У 0,06а? ©л °»°6а>
~ =е' или у = 80е' .
1046. Напряжение в ремне и в приводном шкиве.
Рассмотрим весьма малый элемент ремня, находящийся у вершины
шкива и стягивающий угол Д9, который является частью
всего угла обхвата 6, выраженного в радианах.
Указанный элемент As рассматриваем как твердое тело,
находящееся под действием некоторых сил. Это дает
возможность применить здесь законы механики твердого тела.
864
Примеры на применение интегрирований
Так как тело в этом случае находится в покое» то
горизонтальные и вертикальные силы, действующие в
противоположные стороны, будут равны друг другу.
Пусть Т—напряжение
на одном конце элемента
As, Т+А Т — напряжение
на другом конце As, P— '
нормальное давление, {* —
■^ -коэффициент трения.
. Разность между
горизонтальными составляю -
щими сил Т и Г-[-А 7
равна трению,
возникающему вследствие
давления Pf т. е. равняется уР.
Тогда
<Г+А70сов~-
— Tcos -у = 1*А
Рис. 629.
Приведя подобные члены, получим
A/ cos — = цР.
Разложив силы по вертикали, получим
. P=~(r+^sin-^-_1_7'sini» =
ОТ • М А-\Т • М
= 2/-sin-x—\-Ы sin ~л~»
Подставляя это значение Р, получим:
АГ cos -^- = ^(гГ+ДЛып-^
или
C0ST~
Д9
sm
Нйпрятение в ремне и в приводном шкиве 865
или
. ДО
0 ^Г= *(2Т-\-АТ) Sln 2
1 М АН ' АН '
cos -J- -2"
Д9
По мере того как АН приближается к 0, cos-^- приближается
. ДО
sin-у Д7- dT
к 1, выражение ___ стремится к i( a __ стремится к-^-.
т
Отсюда вытекает, что, взяв предел обеих частей
последнего равенства, получим
2Ж=^-2Т, или 7^=^.
dT.= y.TdH.
Группируя для интегрирования одинаковые переменные,
получим
Устанавливаем должные пределы переменных, и интегри
руем
г, о
откуда
'ЯГ* 7*1 — lft 72внЛ
или
[652] lgtf—^-=jj.6 (в логарифмическом виде)
х) На рис. 629 изображено разложение сил, действующих иа элемент
ремня, лежащего в верхней части шкива. Однако рассуждения,
послужившие для вывода соотношения
остаются без изменения для всякого другого элемента ремня. Давление Р
будет направлено для каждого элемента по радиусу, а ьагяжение иа концах
Элемента ремня прядется проектировать на радиус и соответствующую
касательную. Прим. ред.
55 Справочник для инженера.
866
Примеры на применение интегрирования
или
Т
[653] -=г- = е1А (в виде показательной функции).
В случае сдвоенного ременного привода, где А и В
соединены как один привод (рис. 630):
Т9
То
= е
А
Соединив эти два выражения
вместе, получим
Тх
Bw=
— е ,
т. е. отношение напряжений
ведущей части ремня (натянутой) и
ведомой есть
[654]
7*1 _-eK»i+»j
. „v. wv. 3
Если угол обхвата одинаков у обоих шкивов, то
(655]
Л
pi29
При трех приводных шкивах
напряжение ведущей стороны (В^онЛ) ^
напряжение ведомой стороны
В этом случае конечно предполагается, что отношение
скоростей соответственным образом компенсируется
натяжением ремня или что передаваемая приводными шкивами сила
уравновешена. -
1047. Закон охлаждения. Закон охлаждения был открыт
Ньютоном; этот закон говорит, что температура нагретого
тела, находящегося в среде постоянной температуры,
например в воздухе, падает со скоростью, пропорциональной
разности температур этого тела и окружающей его среды.
Если буквой В обозначена указанная разность в градусах,
то скорость изменения температуры равна • , и указанное
Вывод уравнений движения тяжелой точки 867
данным законом соотношение есть
где к постоянный коэффициент, зависящий от применяемых
единиц.
Напишем последнее выражение в форме дифференциалов
At- X db
Теперь мы подошли к главному вопросу этого примера.
Мы можем интегрировать каждую переменную между
должными пределами: t между tx и /2> а ^ — между 6Х и в2. Таким
образом,
[656] '2-/, = ^lg-^-.
Отсюда легко видеть, что чем больше разность
температур, тем значительнее скорость охлаждения. Поэтому, если
требуется остудить кофе в кратчайший срок во время
поспешного завтрака, оставьте его стоять возможно дольше,
прежде чем добавлять молока.
1048. Работа расширения газа. Расширение газов,
происходящее изотермически, т. е. при постоянной температуре»
изображается гиперболой у =—. Из выражения
дифференциала lgex (n° 952) [542] следует, что кривая
производной lgex представляется уравнением
dx
X
Поэтому работа, совершаемая при расширении газа,
выражается логарифмическим графиком.
1049. Вывод уравнений движения тяжелой точки i
посредством интегрирования). Если мы пренебрегаем
сопротивлением воздуха, то горизонтальное ускорение отсутствует и
55*
868
Примеры на применение интегрирования
остается только одно вертикальное ускорение силы тяжести,
равное — 9,81 м/сек?, т. е.
= —9,81.
(1)
Интегрирование обоих этих выражений, выполненное
дважды, дает искомые уравнения. Постоянные интегрирования
определяются начальными
условиями, при которых точка
была приведена в движение.
Пример, Найти уравнения
движения проекции снаряда,
выпущенного со скоростью 700 м/сек.
под углом в 30° к горизонту (рис.
631).
Интегрируя приведенные
выше равенства (1), получим
У,= 700 cos 30° •
Рис. 631.
Интегрируем вторично
[657] *=Cf + Jfe; y =
£«о.£—WH-*._
■4t90a« + C1l + *t. (3)
Если мы выберем наши оси так, чтобы они проходили через начальную
точку полета, то при * = 0* = 0и# = 0.
Отсюда i = 0 и ^ = 0,
Значения С и Q определяем из (2) при t = 0.
dx _ р. *9 -Г
Составляющие начальной скорости равны
,ух = -^ ■= 700 • cos 30° = 606,2
Vy = -^ = 700 sin 30 = 350.
Подставляя эти значения С и С\ в (3), получим
х = 606,2*; у = 350* — 4,905*3.
1050, Пройденный путь. Зная скорость v двигающегося
тела в любой момент, мы можем найти посредством
интегрирования путь 5, пройденный за какой угодно промежуток
времени.
S^fvdt.
Балки
869
Если
то
x = f ay^-^P — t,
vx = 2t, a vy = fi — l.
Подставив найденные значения vx и vy в формулу
» = ^Ю2 + Ю2,
получим
h-GH
V tt W
к
ц%^^^4^^^^
^=
г, = ]/(202 4- (Р — I)2 = К^4 + 2^+1 = ^ + 1-
Отсюда пройденный путь
[658] S=jvdt = f(fi +1) dt = ^3 -f t.
Постоянная интегрирования равна нулю, ибо при * = 0
5 = 0.
1051. Балки. Срезывающее усилие в каком-либо сечении
балки есть алгебраическая сумма всех поперечных сил,
взятых по одну и ту же сторону от сечения. Если эта сумма,
т. е. равнодействующая
указанных поперечных сил, действует
на часть балки, расположенную
влево от сечения, и
направлена кверху, то она счтается
положительной, если же вниз,
то — отрицательной.
Рассмотрим балку, на
которую действует, во-первых,
равномерно распределенная
нагрузка, равная го кг/м, и во-
вторых,— четыре сосредото-
ченных силы Wu W2, W* и WA. Пусть Rt и R2 выражают
соответственно реакции левой и правой опор (рис. 632).
Срезывающее усилие тогда в любом сечении,
расположенном например между силами W2 и IF3, равно
5 = /?!— Wx— Г2 — гох.
Изгибающий момент в каком-либо сечении балки есть
алгебраическая сумма моментов всех сил, расположенных
по одну сторону от рассматриваемого сечения, взятых
относительно центра тяжести этого сечения.
24
Рис. 632
870 Примеры на применение интегрирования
Если равнодействующий момент направлен по часовой
стрелке, его считают положительным, если же против часовой
стрелки, то — отрицательным.
Обращаясь к рис. 632, видим, что изгибающий момент
в этом случае
[659] M=Rtx-W1(x-a)-W2U-b) ^-.
Продифференцируем это уравнение изгибающего момента
ML = RV-Wx-W^wx.
Сравнивая последнее равенство с уравнением
срезывающего усилия, замечаем, что они одинаковы.
Графики момента и срезыва-
100 200 300 ющего усилия всегда находятся
в таком соотношении друг с дру.
гом, как кривые первоначальной
| функции и ее первой производной.
i i i II Если мы построим график мо-
h*—3 н« 3—и* 4 н-2-** .мента, а затем продифференци-
р^ \2 *н руем его графическим путем, то
Я» Рис 633 2 мы П°ЛУЧИМ график
срезывающего усилия.
Если нам дан график срезывающего усилия, который,
вообще говоря, легко можно построить, то посредством
графического интегрирования мы можем получить график момента.
Предположим, нам дана балка, нагруженная таким
образом, как это показано на рис. 633:
D 100X9 + 200X6 + 300X2
реакция Кх = : -г= =
. = 900 + 1200 + 600 =225 ^
1) Величина реакции R± определяется так. Балка находится в
равновесии под влиянием сил и реакций. Беря момент сил и реакций относительно
правого конца балки, получим
12/?!-100.9-200.6-300.2 = О,
откуда следует, что
100-9 + 200.6 + 300.2
Таким же образом находится величина реакции R2
Прим. ред.
Балки
871
реакция /?2 =
100 X 3 + 200 X 6 + 300 X Ю
12
_ 300+1200 + 3000 _ q„
Заметим, что наклон графика для. первых трех единиц
длины балки один и тот же. Поэтому, если найден наклон
для одной единицы, то его следует оставить и для всех этих
трех единиц (рис. 634).
Так как каждый из
изгибающих моментов
у концов балки равен
нулк), то постоянная
интегрирования здесь
также равняется нулю.
Поэтому мы ведем кривую
момента от нуля.
„ 300
I 200
I ЮО
* о
Г
11000
| 800
,* 600
| 400
3 200
5 О
1
;=Г
12 3 4 5 6
пролет
<£{
225
t
I
г :
^
) i
Тм—
125
1
\
{
:
_,
[8 9^
L
^
* 1
7R
г 3—1
3 i
3 1
Ц
v—
0 1
1 12 л
h
1
1 1
п
С
2 х
200
100 250 200
к2-
-3-Н
Ц
2м
Рис. 631.
635.
1052.
Пример. Рассмотрим балку, нагруженную таким образом, как это
показано на рис. 635.
RV
200 X 12 + 100 X 7 + 250 X 4 + 200 X 2
2400 + 700 + 1СС0 + 400
= 5С0 1)
__ 100 X 5 + 250X8 + 200X10-500Х 3 _
, 1_
500 + 2000+ 2С 00 —1500 __ -п
- 12 ~~2Ж
х) Величина реакций опор находится так же, как и в предыдущем при
мере. Прим. ред.
872 Примеры на применение интегрирования
На диаграмме (рис. 636) видим, что изгибающий момент имеет два
максимума, один положительный (х = 3) и другой отрицательный (л: = 8).
| 300
| 200
з
i
100
о
100
е-200
| 300
2 3_Л 5 к 7 8-9-Ю и 12
1 12
Рис. 636.
1053. Балки, несущие равномерно распределенную
нагрузку. Рассмотрим случай равномерно нагруженной балки
длиною / м с нагрузкой w кг/м (рис. 637).
Общая нагрузка балки = w • I.
|1ШШ|йШШШШ- Давление на каждую опору =
|' : . |i wl
- / - X •
2 '
Срезывающее усилие на рас-
/^стоянии х от левого конца =
Рис. 637.
wl
т
WX.
WX.1
Изгибающий момент = ^^ — —-.
Исследуем характер графика этого момента, обозначая
изгибающий момент, т. е. значение функции, буквой Y.
Тогда
v wlx zox9
Балки, несущие равномерно распределенную нагрузку 873
или
wlx
гихл
г-о.
Сравнивая это уравнение с уравнением второй степени,
данном в общем виде, замечаем, что %
Л = -^ ; D= -^; £ = 1 и £2-4/4С=0,
т. е. наше уравнение выражает смещенную относительно
начала координат параболу.
w
Разделив на -^-, получим
1х
1х-
4
2Y
го
P___2Y
4 ги
[660]
wr-
— 8Y+Pw
4w
w{ 8 )
Отрицательный знак
указывает, что
парабола обращена вершиной
кверху (рис. 638).
Кроме того,
характер последнего
равенства говорит о том,что
начало координат
находится влево от оси
Параболы на расстоянии
-~- единиц и ниже вер-
Pw
шины ее на-
8
единиц.
Рис. 638.
собою
Заметим также, что kt pa ное —^-, - представляет
о
максимальный изгибающий момент балки, величина которого
может быть найдена в любой книге по сопротивлению материалов.
В виде пояснительного примера, на диаграммах рис. 639
представлен случай равномерно нагруженной балки длиною
12 м, нагрузка ее составляет 200 кг/м.
874 Примеры на применение интегрирования
Выведенный выше параболический закон распределения
моментов весьма полезен, так' как он позволяет составить
чертеж, из которого могут быть найдены максимальные
изгибающие моменты как при любой равномерно распределенной
нагрузке, так и при
любой величине пролета.
Из равенства
2 г>.
G
О
CD
Го
=k
*2 =
W
ди а грамма (эпюра)
перерьзыбающих сил
7 8 9 "10 11 1?
1 .а»"^
1 .%
\У\
о
| 3600 ]
1 U
^°^е^ '
. ^
которое является
уравнением кривой изгибающего
момента для того случая,
когда начало координат
совпадает с вершиной
параболы, ордината кривой
о изгибающего момента в
rvi любом сечении х может
1 быть получена
посредством умножения величины
л:2
-7J— на нагрузку, прихо-*
дящуюся на один метр
длины балки. Для этого
следует предварительно
выбрать соответствующие
горизонтальную и
вертикальную шкалу.
Так например, для балки с пролетом в 16 лс, нагруженной
200 кг на погонный метр, максимальная- ордината
параболической кривой, т. е. максимальный изгибающий момент, равняется
—-200 = 6400 кг.
Для балки пролетом в 20 м, нагруженной 300 кг на
погонный метр, максимальный изгибающий момент равен
102
^r-w = 5Q го = 50Х 300 = 15000 кг.'
х2
Рассмотрим рис. 640, где изображена парабола у = "тг* Для
балки какого-либо пролета, например в 15 м, раствором
циркуля на 15 . единиц найдем на чертеже место, где ширина
Рис. 639.
Бахкщ несущие равномерно распределенную нагрузку 875
параболы будет равна 15 единицам. Наибольшая ордината,
соответствующая такой ширине кривой, будучи умножена на
пролет б м
2D 16 1? 8 4 ,0
Рис. 610.
нагрузку погонного метра балки, дает максимальный
изгибающий момент.
Если желательно определить изгибающий момент в
некоторой точке балки, следует измерить ординату,
соответствующую этой точке, в вертикальных
единицах, а затем умножить ее на
нагрузку погонного метра.
Диаграмма срезывающих усилий
также может быть весьма просто
построена путем откладывания
реакций, как это показано на рис. 641,
и проведения диагональной линии.
Графический метод
определения срезывающего усилия и
изгибающего момента балок является наиболее
целесообразным на практике, особенно в случае, если на балку действует
совокупность сосредоточенных сил и равномерно
распределенной нагрузки.
ъролет
Рис. 641.
876 Примеры на применение интегрирования , |
I
1054. Уравновешивание изгибающих моментов балки. I
Изгибающие моменты балки, вызываемые нагрузкой, должны
быть уравновешены соответствующими моментами внутренних
сил, действущих на ее сечениях. Представим себе некоторое
сечение балки, как это показано на рис. 642. Примем во
внимание, что в этом сечении лежит особая линия, называемая
нейтральной осью. Эта линия обладает тем свойством, что
сумма взятых около нее моментов внутренних сил,
приходящихся на площади полос, лежащих на растягиваемой части
балки, будет уравновешиваться суммой таких же моментов
внутренних сил, приходящихся на площади полос сжимаемой части
балки.
Рис. 642.
Кроме того, будем иметь в виду^ что напряжение
изменяется в зависимости от величины деформации и что
модуль Юнга одинаков при растяжении и сжатии.
Заметим еще, что радиус кривизны балки чрезвычайно
велик по сравнению с размерами ее сечения.
Пусть ОХ—нейтральная ось, пусть кроме того /—!
напряжение, действующее на расстоянии от оси ОХ, равном
единице. Тогда напряжение в точках сечения, находящихся от
оси ОХ на расстоянии у, будет fg.
Сила сопротивления (внутренние силы), приходящаяся на
полосу:
напряжение X площадь полосы = Ь Ду X /у.
Момент внутренних сил, приложенных на одной полосе,
Сумма моментов внутренних сил всех полос растягиваемой
Уравновешивание изгибающих моментов балки 877
стороны равна сумме моментов сжимаемой и суммирование
моментов для всех полос дает
При переходе к пределам это выражение равняется
ffhfdy,
т. е. . **
момент внутренних сил = / / [площадь X (расстояние)2].
Здесь выражение I [площадь X (расстояние)2], являющееся моментом
второго порядка, имеет случайно ту же форму, что и интеграл момента
инерции. Автору неясно, почему же мы можем считать, что неподвижная
балка имеет момент инерцищ хотя бы даже для нее и получалась та же
самая форма уравнения, что и для последнего. Это обстоятельство в моей
институтской работе представлялось мне более или менее вагадочным и
очень неудачно, что такое сближение с моментом инерции было сделано
уже давно. Термин „момент инерции" целесообразнее было бы здесь
заменить термином „момент сечения". Однако, так как все существующие
книги пользуются первым названием, мы можем только указать на
изложенное выше обстоятельство, а затем, все-таки, следовать примеру других авторов.
Тогда
[661] момент внутренних сил = /Л
Так как изгибающий момент М равен моменту внутренних
сил, то имеем
Если /х — максимальное напряжение на растягиваемой
стороне — fyxi
/2 — максимальное напряжение на сжатой стороне =
= /j/* то
Si Уъ *
или
[652] Т = 4'
где С есть расстояние от нейтральной оси сечения волокна,
в котором возникает наибольшее напряжение. С может ра-.
вняться значению либо ух, либо уг в зависимости от того,
какое из них больше.
878 Примеры на применение интегрирования
1055. Энергия. Если некоторое тело может производить
работу, преодолевая при этом приложенные к нему силы, то
оно обладает энергией.
Растянутая пружина может выполнить работу, преодолевая
растягивающую силу, при том условии, что указанная сила
позволит ей сократиться. Двигающееся тело также может
производить работу, преодолевая силу, пытающуюся его
остановить, т. е. силу сопротивления движению. И тело и пружина
в этом случае обладают энергией.
Энергия положения, т. е. энергия тела, находящегося
в покое, называется потенциальной энергией, а энергия
движения называется кинетической энергией. Пружина,
находящаяся в растянутом состоянии, как это было в приведенном
выше примере, имеет потенциальную энергию, а двигающееся
тело обладает энергией кинетической.
Количество энергии, имеющееся у тела в любой момент
времени, есть то количество работы, которое может тело
произвести, преодолевая при этом силу сопротивления, за
время изменения его положения от рассматриваемого момента
до некоторого предельного положения. Поэтому единица
энергии одинакова с единицей работы.
Количество кинетической энергии тела в любой момент
равно той работе, которую тело может произвести за время
изменения скорости от ее величины в данный момент до нет
которой предельной величины.
Обыкновенно за предельную величину скорости принимают
нуль. Тогда кинетическая энергия представляет собою ту
работу, которую тело может произвести, израсходовав всю
свою скорость, т. е. придя в состояние покоя.
Положим, сила в р кг действует на тело, весом W и мас-
сой т I т = 1, которое движется в направлении силы
со скоростью v. Перемещение As тела за промежуток времени
А/ есть As = v • А£, так как
As
Работа, производимая силою р кг, за промежуток А/, есть
Аи = р • As = р • v А/.
Известно, что сила р кь равна произведению массы на
ускорение, а так как ускорение за промежуток времени А/
At;
равняется -д-т, то
Энергия
879
w
Подставим (2) в (1). Тогда
Ди= .
g
или
&V
Переходя к пределу, имеем
1 du__
dv
Следовательно
[663] u = -
Дг/
д«
~д7
Wv
g
Wv
g
WV*
1g
(2)
v\t
Если тело приходит в движение с начальной скоростью
<у0, пределами интегрирования служат значения v и v0; если
же начальная скорость равна нулю, то указанные пределы
г/ и 0. Поэтому формула [663] дает величину всей работы,
производимой при возрастании скорости тела от 0 до v.
Так как указанная работа сообщает телу скорость, то
последняя в свою очередь даст равное этой работе количество
кинетической энергии, которое будет освобождаться телом
при переходе его в состояние покоя. Поэтому
кинетическая энергия (в килограмме- метрах) = »
(вес) (скорость)2 1 , 4w/ v> -
= 2X9,81 (ускорение) = у (масса) Х (скорость)-.
Потенциальная анерхия, т. е. энергия положения, может
быть иллюстрирована примером тела некоторого веса,
поднятого на данную высоту над землей.
Такое тело может произвести работу, равную
произведению его веса на высоту подъема.
Если нет потерь энергии, вызываемых трением или
изменением количества тепла в теле, то сумма потенциальной и
кинетической энергии его или системы тел остается постоянной.
1056. Количество движения. Произведение массы
движущегося тела на скорость его называется количеством
движения. Если масса тела и его скорость остаются постоянными,
/
880 Примеры на применение интегрирования
то количество движения измеряется произведением массы на
скорость
М— т- v.
Если же скорость является величиной переменной, то диф
ференцируя последнее выражение по времени /, имеем
dim • v) dv
—Tf = m # "777"== скоРость изменения количества движения.
Но так как
dv f
т ~j~ =f = сила,
то сила также может быть измерена как скоростью
изменения количества движения, так и массой, умноженной на
ускорение.
Количество движения является величиной векториальной
и поэтому оно может быть как разложено на составляющие,
так и получено в виде равнодействующего вектора.
Рд шица количества движения есть количество движения
единицы массы, движущейся с единицей скорости.
W
Так как т = (где W в килограммах *), g в метрах в
гекунду-лвадрат), то
килограммы килограммы X секунды2
т = = = :
метры метры
секунды2 •
и
[664] mv = М= КЙЛ0ГРаммыХ секунды»
метры
ч/ метрЫ
X — = килограммы X секунды.
секунды
1057. Соотношения, связывающие работу, импульс,
мгновенный импульс и количество движения. Действие силы
может быть дано, во-первых,' в виде произведения силы на
путь, которое называется работой, во-вторых — в виде
произведения силы на время, что называется импульсом.
Произведение массы на ускорение, которое выражает скорость
изменения количества движения, есть сила.
*
1) Килограммы, выражающие вес W, суть килограммы веса. Они имеют
' масса X Длина ..
размерность ^ * **х не следует смешивать с килограммами массы. -
Работа, импульс и количество движения 881
Подобно силе, импульс является величиной векториальной.
Если в течение времени t сила F постоянна как по величине,
так и по направлению, то импульс ее Q равняется Ft. Если
же величина силы F изменяется, то импульс за время А/
есть F&t*
bQ = Fbt,
откуда ' .
Тогда для любого промежутка времени t
t
Q = flFdt
6.
Здесь F должно быть выражено через t, для того чтобы
можно было выполнить интегрирование.
Единицей импульса является импульс единицы силы,
действующей в течение единицы времени; эта единица выражена
в килограмм-секундах.
Если сила F, действующая на массу Л/, сообщает ей
ускорение а, то
F= Ma.
Если F постоянна, то и а также постоянно, и
V Vq
т. е.
[665] F= MX V~V° или Ft = Mv-Mv0.
Если F изменяется по величине, то
[ббб] F=Mllr> иб° a==JW
и
Fdt = M-dv.
Если в момент времени * = 0 скорость v0f а спустя t
секунд скорость v, то
t i>
[667] />•* = fMdv.
0 v0
56 Справочник для инженера.
882 Примеры на применение интегрирования
или
ffdt=Mv — Mv0.
Следовательно, за любой период времени импульс
равнодействующей силы, действующей на тело, равен изменению
количества движения.
Теперь является очевидным, почему применяются
указанные единицы импульса и количества движения. Это
происходит потому, что задачи, заключающие в себе силу, массу
и скорость, могут быть решены непосредственно, вместо того
чтобы составлять два уравнения: одно между силой, массой
и ускорением, другое же М£жду скоростью, ускорением и
временем.
, Кратковременный импульс силы, которая действует весьма
малый интервал времени, называется мгновенным импульсом*
1058. Инерция. Инерция представляет собою такое
свойство тела, которое является причиной сопротивления
последнего любому изменению его
состояния покоя или равномерного и
прямолинейного движения. Тело
остается в покое или в равномерном и
прямолинейном движении, пока на
него не подействует какая - либо
сила.
1059. Момент инерции.
Вычисление кинетической энергии
вращающихся тел производится
посредством определения момента
инерции тела.
Рассмотрим массы (не веса)
четырех тел, присоединенных легкой
проволокой к оси вращения. Пусть
эти массы будут 5, 4, 3 и 2
единицы на расстоянии в 2, 3, 4 и 5 л*
от оси, соответственно. Пусть кроме того вся данная
система тел вращается со скоростью <о радиан в секунду.
Масса в 5 единиц, находящаяся на расстоянии 2 л* от оси
должна иметь линейную скорость, равную 2®м/сек.
Поэтому ее кинетическая энергия
-2~Х 5 X (2<о)2 =! х22ш2.
©-
&
©
Рис. 643.
Момент инерции 883
Общая кинетическая энергия данной системы являемся
суммой кинетических энергий тел, входящих в систему, т. е.
кинетическая энергия = -^- [5 • 22 -|- 4 • З2 4- 3 • 42 +
+ 2 ■ 52]о>2 = -1 [20 + 36 + 48+50] со2 = |-154а>2. .
Общая масса всех тел М== 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Разделив 154 на 14, получим 11 = (3,317)2.
Подставляя в выведенное выше выражение вместо числа
154 его значение Л/(3,317)2, имеем
кинетическая энергия = —Л/3,3172 <о2.
Здесь весьма уместно входящий в последнее выражение
сомножитель Л/(3,317)2 называют моментом инерции
системы вращающихся масс. Если бы данные массы были
сосредоточены в одной точке, находящейся на расстоянии
3,317 м от оси вращения, то кинетическая энергия системы
осталась бы неизменной. Указанное расстояние (3,317)
называется радиусом инерции системы.
Момент инерции обычно обозначают буквой /. Из
предыдущего следует, что
/со2
[668] кинетическая энергия вращения = -~-,
где /—момент инерции системы, со —
угловая скорость в радианах.
Пример. Найти момент инерции
сплошного колеса равномерной плотности и толщины
отнесительно оси, перпендикулярной к
плоскости колеса и проходящей через его центр.
Дано: внешний радиус колеса R и масса
колеса, приходящаяся иа 1 м1 площади плоской
стороны его. Разделим колесо на
концентрические кольца шириною Лг и радиуса г.
Л/асса одного кольца равна М 2 тс г • А г.
Момент инерции одного кольца р ..
(М-2п гМ)г* или 2 тс Mr3- Лг.
Момент инерции всего колеса есть предел суммы выражений •
2тсЛ/гЗ.Дг,
взятой для всех колец, по мере того как пг приближается к нулю, как
своему предельному значению, а г изменяется между г =» 0 и г = R,
56*
884
Примеры на применение интегрирования
Поэтому:
отсюда
т инерции колеса = / 2 л Mr3 dr — —
О
масса всего колеса = тс Л//?2,
Л2
момент инерции = те Л/Л2 X ~о~ •
Л*Я*
Ив этого выражения видно, что энергия вращающегося колеса такая
же самая, как если бы вся масса данного колеса была сосредоточена в
узком кольце радиуса
-^ = 0,707/?.
Выражение / х2 • dM (dM обозначает любой дифференциал
массы, соответствующей элементу, расположенному на
расстоянии х от оси) представляет собою общую форму для
момента инерции. Сумма дифференциалов масс равна всей
массе. Выражение f'x2dAx) называется также моментом
второго порядка, взятым для массы.
1060. Моменты инерции площади плоской фигуры
относительно двух параллельных осей, лежащих в ее плоскости.
Пусть Хо — центральная ось
А . данной фигуры 2), а Хг—
' f какая либо другая ось, па- ,
раллельная первой и
расположенная на расстоянии d
от нее.
Момент инерции
относительно оси Х1
Ix=fy*dA. (1)
645.
<*2.
Подставляя (2) в (1), имеем:
4> = fy*dA+2dfydA + d* JdA.
(2)
*) Буквой А обозначается пл.щадь.
Прим. ред.
2) Центральной осью называется ось, проходящая через центр тяжести.
Прим. ред.
Центр параллельных сил 885
2d I ydA = момент массы относительно Х0 = О,
ибо Х0 проходит через центр тяжести, т. е. центр масс.
Тогда
[«9] IXi=IXi+AdK
Момент инерции площади плоской фигуры относительно
любой оси, лежащей в плоскости ее, равен моменту, инерции
площади относительно оси, параллельной данной и
проходящей через центр тяжести площади, плюс произведение
последней на квадрат расстояния между, этими двумя осями.
Пример. Дано
1Х (для прямоугольника) = -=-=-,
где А — высота, Ь — основание.
Найти / относительно основания.
bh* , f f / h \2 6Л» , ЬА3 ЬА»
/=/SBo+.^ = -f + bA(A)2 =
12 ^ 4 3 '
1061. Радиус инерции. Из п° 1059 известно, что
I=fx*dA = R*A,
где R — радиус инерции, т. е. расстояние от оси такой точки,
в которой можно условно считать сосредоточенной всю массу
тела, причем момент инерции остается тем же самым. Из
приведенной выше формулы имеем
[670] *el/r*
1062. Центр параллельных сил. В случае системы
параллельных сил (так же, как и в других случаях) момент
равнодействующей равен сумме моментов самих сил, т. е.
xR = FlxiJrF2x<iJrFzxti-\- ...+J1»*»
или
Х- R
Если какую-нибудь геометрическую величину, т. е. линию,
площадь или объем, разделить на бесконечно малые элементы,
то центр тяжести этих геометрических величин может быть
найден посредством определения точки приложения равнодей-
886
Примеры на применение интегрирования
ствующей сил тяжести, приложенных к соответствующим
элементам. Последнее может быть произведено тем же путем,
что и в случае равнодействующей нескольких
параллельных сил. _
Если через х обозначена абсцисса центра тяжести линии
длиною s, то она определяется равенством
sx = lim [xt As -[- л:2 As + *3 As -f .. • -J- xn As] = x ds г)
где Asj являются бесконечно малыми элементами линии,
каждый из которых находится на соответствующем расстоянии
х% по горизонтальному направлению от начала координат.
Тогда
j xds __ f у ds _ j z ds
Пример. Найти координаты центра тяжести дуги
окружности радиуса г, в зависимости от величины
стягиваемого ею центрального угла 2 р.
Возьмем ОХ на линии симметрии дуги. Тогда
а потому центр тяжести будет лежать на линии ОХ.
Применяя полярные координаты, имеем
х = г cos 6, ds = rdb
и
s = 2r£.
Подставив эти значения в [671], получим:
J г • cos Ь » rdb j г2» cos 8 • d6
Рис. 646.
/*А
2г?
2r2sinp
/••sin?
2rp
2r£
Центр тяжести, площади А. Составляя сумму' моментов
элементарных площадей, имеем
Ах = lim [*! ДА + *2 ДЛ + *з А-^з + • • • + хп АЛЛ = fx dA
Ai Jfc.0 "
*) При определении центра тяжести дуги эта дуга считается
однородной и удельный вес принимается равным единице.
Прим, ред.
Центр параллельных сил
887
(xdA
[672] х= J А- ;
fydA
fzdA
Пример. Найти положение центра тяжести треугольной пластинки,
равномерной толщины и плотности, вычисляя моменты относительно оси,
проходящей через одну из вершин
пластинки и паралллельной противоположно»
стороне.
Берем элемент площади
А А = у Ад:,
так как вся треугольная пластинка может
быть составлена из элементов этого вида.
Из пэдобия треугольников имеем
X
У
ид
h
А =
bh
Тогда
/ xdA I xydx Iх ~Т~ ^х / ~Т~ *2 ^х
bh
2
3
bh
2
bh
2
bh_
2
2А
Центр тяжести объема. Составляя уравнение моментов,
имеем
vx = lim [лг, Avt 4~ xi ^^2 4~ *з ^з 4~
[67»] х~
Jxdv
tjgdv
+ ■*« Лг,«] = Jxdv
*) Центр тяжести лежит на прямых, параллельных сторонам
треугольника и проходящих в расстоянии, равном двум третям высоты от противс -
лежащих вершин. Точка пересечения этих прямых совпадает с точкой
пересечения медиан треугольника.
. . Прим* ред.
888
Частное и кратное интегрирование
Пример. Найти центр тяжести полушара.
Выбирая оси таким образом, как это покавано на рис. 648, имеем
1/ = 0 и *"= 0.
Иввеетно, что
Элементарный слой имеет
площадь основания ъф и высоту Л*,
отсюда
Д v = пу2. ^x,. a dv = пу% dx;
кроме того
или
получим
х2 + у<
! = Г* ~ А
Подставив эти значения в
__ \ xdv
*. —- _ii , .
fnx (r2-x2)dx fr*x dx fx^dx
rcr3
— ягз
3r* 3r* _ 3
4И» 8r3 8
Глава LVIl.
i"
r.
ЧАСТНОЕ И КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.
1063. Частное интегрирование. Частное интегрирование
представляет собою действие, обратное частному
дифференцированию. При интегрировании данного дифференциального
выражения» заключающего, в себе две или более независимых
переменных, мы рассматриваем сначала только одну из них
как величину, изменяющую свои Значения, а остальные—как
величины, остающиеся во время интегрирования постоянными.
Полученное в результате такого интегрирования выражение
мы опять интегрируем, но рассматривая при этом уже другую
переменную как величину, изменяющуюся во время этого
Частное интегрирование 889
вторичного интегрирования» а остальные переменные
принимаем за постоянные, и т. д.
Таким образом
и = f J f{x, y)dydx
указывает, что требуется найти такую функцию и от х и у,
чтобы
^ =/(*,<,) (п'987).
Получающаяся при первоначальном интегрировании по у,
когда х рассматривается как постоянная, величина
постоянная интегрирования может зависеть от х9 но может и
оставаться постоянной.
Тогда
или
ди
^7 = У/С*» y)d9 + C-
Так как дифференцирование по у обоих выражений дает
в общем виде один и тот же результат /(*, у)9 то будем
рассматривать общий случай,
[674] -£ = j /(*> #) dy + ? (*)•
где у(х) — некоторая произвольная функция х.
Пример. Дано и = J.J в ху dy dx; требуется найти и.
Интегрируя сначала по # и рассматривая при этом х как величину
достоянную, имеем
Интегрируя это выражение по х и принимая при этом у ва постоянную,
получаем
890 Частное и кратное интегрирование
Так как ? (*) и J <p (x) dx. являются выражениями произвольными, мы можем
написать получившийся ответ в такой форме:
где фг (*) и <J>2 Ы представляют собою некоторые произвольные функции.
1064. Геометрическое значение частного интегрирования.
Пусть поверхность CD выражается в прямоугольных
координатах уравнением z=f(x> у) (рис. 649).
: Рис. 649.
Возьмем на плоскости XY некоторую площадь АВ и
построим прямой цилиндр АВА'В' с образующими,
параллельными оси OZ. Пересечение этого цилиндра с поверхностью
z = f(x, у) происходит по некоторой кривой А'В'.
Проведем перпендикулярно плоскости YX и параллельно
ZY ряд плоскостей, пересекающих цилиндр и отстоящих
друг от друг на расстояние Д*. Кроме того, проведем
перпендикулярно YX и параллельно ZX другой ряд плоскостей
Частное интегрирование. Другой метод 891
на расстоянии А*/ друг от друга. Эти плоскости рассекут
цилиндр на некоторое число вертикальных столбов, которые
имеюту вершины криволинейную поверхность, а в основании—
площадь АгД^у.
Рассмотрим столбик PQ и . призму PQ, образованную*
плоскостью, проходящей через точку Р и параллельной
плоскости XY. Координатами точки Р являются х, у, z, а высота
призмы есть z, т. е. f(x,y), ибо z= f(x9 у). Поэтому, объем
нашей призмы PQ равен /(*, у) А* кут
Тогда, применив способ суммирования, получим
объем" призм = \\/(*> У) кхку.
Если теперь мы будем увеличивать число секущих
плоскостей, уменьшая при этом Ад: и Ау безгранично, то сумма
объемов призм будет приближаться к объему цилиндра, т. е.
[675] У = ИтУУ/(*,*)-Д*Д*.
Д_у>0 "
Это выражение есть
//
z dx dy.
1065. Частное интегрирование. Другой метод. Объем
цилиндра может быть найден не только таким путем, как это
имело место в предыдущем п°; этот объем можно найти»
рассматривая его как тело, составленное из множества слоев,
вырезанных из цилиндра плоскостями, параллельными координатной
плоскости YZ и отстоящими друг от друга на расстояние А*.
Если подставить в равенство
* = /(*. У)
вместо х величину ОА9 то значения z при этом будут давать
различные точки пересечения поверхности z—f(xf у) с
плоскостью BCDE, т. е. мы будем иметь значения z,
соответствующие различным точкам прямой CD, откуда площадь
АЕ
■ BCDE= ff{OAy)-dy,
АВ
Объем слоя, ограниченного гранями BCDE и FGH!
(рис. 650), равняется
АЕ
площадь BCDE X Дх = Дxf f(OA, y)dg.
АВ - • "
892
Частное и кратное интегрирование .
Объем всего цилиндра есть предел суммы объемов всех
слоев, расположенных между К и L, т. е.
0L АЕ %
V=fdxff{x,y)dy,
OK AB
где АЕ и АВ являются функциями дг. *
Эту формулу обычно пишут в виде
[676] V=f[ff{x,g)dy]dx,
а* щ
где и{ и из представляют собою функции, лг, а ах и а^—■
постоянные величины, служащие пределами для х.
г\
4 Рис. 650.
В отделе аналитической геометрии трех измерений (п°847)
было показано, что уравнения проекций кривой на
координатные плоскости были одинаковы с уравнениями соответ
ствующих цилиндров. В следующих за указанным параграфом
будут рассматриваться только величины х и у, a z будет
исключаться.
1066. Вычисление площадей двойным интегрированием.
Пусть у =/(х) — данная кривая и мы желаем применить метод
Вычисление площадей двойным интегрированием 893
двойного интегрирования к решению задачи о вычислении
площади, расположенной под указанной кривой. Многие из
задач этого рода могут быть решены при помощи простого
интегрирования, но их можно решить также и двойным
интегрированием. Следует заметить, что применение в подобных
случаях двойного
интегрирования является наиболее
целесообразным.
Рассмотрим площадь между
кривой АС, ординатами х = а
и х = Ь и осью X* Разделим
интервал (Ь — а) на п весьма
малых полос, шириною Ал*
каждая; Возьмем затем какую-либо
одну из этих полос, например
РВ> и разрежем ее на ряд
небольших прямоугольников
высотою Ai/.
Тогда площадь каждого из получившихся прямоугольников
равна Ал* Д#. Если просуммировать эти прямоугольники по */,
мы получим площадь полосы РВ, т. е.
f{x)
Ддг V Ai/= площадь полосы РВ.
о
Если теперь мы просуммируем все полосы между
пределами л: = а и дг== Ь, то будем иметь
Рис. 651.
a L о J
площадь всех полос.
Переходя к пределу при том условии, что сначала Д#,
а затем Ал: стремятся к нулю, мы получим искомую площадь
Ъ f{x)
[677] Л:
а О
Заметим, что знак интеграла, находящийся внутри
последнего выражения, относится к dy, а снаружи его —к dx.
Пример. Найти двойным интегрированием площадь круга
*2 + У2 = о2-
Для того чтобы упростить решение, будем находить площадь первого
квадранта, а ватем полученный результат умножим на 4.
894 Частное и кратное интегрирование
В первом квадранте
у=УсР-х*.
Площадь прямоугольника
у — Vuэ —
lim
Д2/->0
s*
2/-0
/ *
Д*
Площадь суммы полос = lim
Да;-» О
} а2 ~м*
2 U +
а? = 0 \°
Ллг =
а/ "Ка-'—а?' \ а Уа-—'л2
-f\f *]—!! *
rf* =
О \0
о о
о о
Г х г— ^ , а2 . * \а *>а-
= |д У е--*- +~2~ arCsln Т10 = ^4~- .
Рис. 652.
Рис. 653.
Площадь круга в четыре раза больше полученного
результата, т. е. она равна ъа-.
1067* Вычисление двойяым интегрированием площади
между двумя кривыми. Из рис. 653 непосредственно видно,
что площадь, заключенную между двумя' кривыми, можно
получить, вычитая простой интеграл от F (х) из простого
интеграла от /(*). Такой же результат можно получить й при
помощи двойного интегрирования.
Вычисление двойным интегрированием
895
Рассмотрим элемент площади Д*Д#, как это делалось
и ранее. Тогда площадь полосы PQ равна
Г («О
л* 2 л^'
Суммирование полос от А до В между пределами лг = а
и х = Ь дает
Ъ Vf(v) Л Ь f(x)
a L.F(a>) J « ,F(a:)
Переходя к пределам при условии, что сначала &у
стремится к нулю, а затем А*, получаем
Ь f(x)
площадь = / I dy dx.
и F(x)
[678]
Рис. 654.
Это выражение можно привести к той же самой форме,
как и в случае простого интегрирования, так как
F(x)
- Тогда
Ъ f(v) Ь Ъ Ь
f f dydx = J'[f(x)-F(x)]dx = f f(x)dx- f F(r)dx.
a F(x) a a a
896
Частное и кратное интегрирование
Мы можем, также, сначала просуммировать по х, а затем
по у. Тогда
а ш
площадь = / I dx dy,
с <f(y)
где ф (у) и <р (у) являются
функциями, обратными функциям
f{x) и F(x).
Пример. Найти двойным
интегрированием площадь, находящуюся
между параболами у- = х и у = А
Применяем формулу,
Рис. 655.
-/Л*'
площадь = / / cty с/лг. [678]
a £(#)
Сначала пишем с соответствующими пределами интеграл полосы PQ%
J *-} da-
y~F{x) х*
Затем, чтобы найти пределы для второго интеграла, решаем совместно
уравнения двух данных парабол, в результате чего получаем значения
пределов 1 и 0.
Теперь следующее действие, т. е. суммирование полос от_а до Ь
Ух
(в данном случае а = 0 и 6 = 1), выражается припиской к I dy знака
X*
интеграла, имеющего соответствующие пределы, в результате чего имеем
х = 1 у — Ух~
х = 0 у - а?2
Интегрируем сначала по у:
1 _ 1 1 1[ 1
/ М? dx = fiYx- **) dx = fx2 dx - f* • dx.
0 0 0 0
1 T i •
y> dx - Jmx = p|— -f-],=т - т=т
Интегрируем по *:
V dx-
о о
Графическое решение предыдущей задача 89?
W
¥
Л
- .-»,i
?г
, _ -
~~
^Г-5
Ч
/•
\_
<
- л,-
л/
у
W
\
!
S"
S*
S
У
и\
й
—l/j
/ \
^1
Ая
\с.
Ас *
\\ На
0.2 0.4
0.6 0.8
Рис. 656.
1.0
1068» Графическое решение предыдущей задачи. Задача
на вычисление площади между двумя кривыми у2 = х и л2 = у
может быть решена графически следующим образом:
Построив данные
кривые, рассмотрим по- Щ
лосы, 0,2 единицы шири-
ною каждая, и приведемд g!
горизонтальные прямые
таким образом, чтобы
получились соответст- ° ** I
венные равные
треугольные площади, как это од
изображено на рис. 656.
Установим затем
циркуль для пропорцио-^
нального деления на от- !
ношение 5:1, так как
каждая из полос имеет Q
ширину в 0,2 единицы.
Графиками интегралов
являются кривые ОА и ОВ.
Так, ордината АС выражает
в данном вертикальном
Масштабе площадь, находящуюся
под кривой #2 = лг, а ордината
ВС — площадь между
кривой у = х* и осью Х9 то
разность этих ординат, т. е.
АВ, выражает разность
между указанными площадями,
т. е. площадь, находящуюся
между данными кривыми.
На практике не является
необходимым заштриховывать
треугольные площадки. Рис. 657.
Пример. Найти площадь, заключенную между параболой #2 = 4<ur + 4a-
и прямой линией у = 2а — дг.
Решая совместно данные уравнения, получим, что прямая н парабола
пересекаются в точках А (0,2 а) и В (8а, — 6а).
Строим полосы, как это показано на рис. 657, и затем применяем формулу
площадь :
57 Справочник для инженера.
[«»!•
у = с а?=«(у)
898 Частное и кратное интегрирование
Из уравнения у2 = 4av f 4л'2
Из
уравнения у =
Пишем интегралы
Л-
2а
-/
-во
2а -
/
г/3— 4а2
2а-
г/
с/л:
- х
dy
у°- — 4а*
имеем
х = 2а — #.
2л
= />-*
— Са
#а - 4а2 \ 64
• 4а2 \
22Х2 (ал
а
— а
3
4а
Если это выражение сначала интегрировать по х, то задача
сделается значительно более трудной. Вертикальные полосы
ограничиваются влево от оси Y только кривой параболы и
должны быть составлены отдельно от остальной площади^
расположенной вправо от оси Y.
Для площади, влево от оси У имеем
а?=0 y=2Vax + а3 о •
2 J J dy dx = 22 /* j/а^ + а2 ck =-
a; = —я j/=0 — с
[0
3 '
а
Для площади вправо от оси Y имеем
^2a*-^4-^(a*-fa2)2
= 16а2 — 32а2 + 36а2 — -|а2 = 20а2 — ~а2-=18|-а2.
и 8а2 2 64 2
Вся площадь = -~«- + 18-о-а2 = -q-а2,
т. е. то, что у на« получалось и выше.
1069. Вычисление двойным интегрированием площадей
плоских фигур* Полярные координаты* Дано уравнение
р=Д6) кривой в полярных координатах, требуется найти
площадь, заключенную между радиусами-векторами $х и fo
и данной кривой.
Вы
числение площадей
899
Рассмотрим элементы площади (рис. 659). Из
элементарной геометрии известно, что
сектор АОС = i р X рДО = *- Р2 А6
сектор BOD = -j (Р + АР)2 д^
отсюда площадь
Рис. 658.
Рис. 659.
Если мы принимаем AQ за постоянную и производим
суммирование по р, to получаем площадь сектора РОЕ, которая
равняется
АО Ит У (р + 4-Ар)Ар = АЧ р . dp.
Если мы теперь произведем суммирование по 6, то
получим сумму клинообразных заштрихованных площадок» т. е,
Л= lim Уа8 /" р</р = / / pt/pa'B.
•i
р = 0
», р = 0
Площадь, заключенная между двумя кривыми, данными
в полярных координатах, может быть вычислена двойным
интегрированием, точно так же как это производилось, когда
кривые были даны в прямоугольных координатах.
57*
900
Частное и кратное интегрирование
В этом случае выражение для площади принимает форму
[680] А = J J Р с/р с/0.
Рис. 660,
Рис. 661.
Если суммирование производить сначала по 0, считая при
этом 0 за постоянную, мы получим кольцевой сегмент круга,
как это показано на рис. 661.
Предел суммы таких круговых сегментов
Рис. 662.
площади ииеем
[681] А =
их 0 = <р (о)
pdbdo.
Пример. Найти площадь,
заключенную между двумя окружностями,
которые касаются друг друга изнутри
и имеют радиусы гх и г2 (рис. 662).
Известно, что
Pi = 2r1cosG
р2 = 2r2 cos 6.
Интегрируем между пределами -у
и 0, тогда для половины искомой
W/
р, =з 2Г, COS 9
р с/р </6.
pt =r 2rj COS в
Вычисление момента площади двойным интегрированием 901
Затем
2 j/ L 2 J2rAoo*e , •' L * J
2 [rf -- ri2] cos2 0 rfO
0. .ГО sin 201*
:G).
-|w
Так как этот результат являегея выражением для половины искомой
площади, то вся она равняется
1070. Вычисление момента площади двойным
интегрированием. Рассмотрим какой либо элемент площади,
например PQ, точка Р которого имеет координаты х и у. Площадь
этого элемента равна
ДлгДу. Момент же этой
площади относительно
оси Y есть
произведение самой площади на
расстояние ее до
указанной оси, т. е.
момент равняется
выражению Дя:Л^,
умноженному на х9 т. е. х&хку
(рис. 663).
Составим подобные
произведения для
каждого из элементов,
находящихся внутри
кривой АВ, ограничивающей полную площадь, а затем при
помощи двойного суммирования сложим все эти элементы
вместе. Тогда ^
Мр= lim Y^x^ybx^ffxdydx*
Рис. 663.
902
Частное и кратное интегрирование
Это выражение представляет собою момент площади
относительно оси У.
Таким же образом найден момент площади относительно
оси X. Этот момент
[682]
А£ = ffydxdy,
В этих формулах пределы интегрирования определяются
подобно тому, как это производится при вычислении площади.
Тогда
х ч= Ъ у — f (.r)
/683] Му^ f I xdydx
х — а y~F(x)
[684]
Л/,
I
Рис. 664.
а? - Ь y = f(x)
J ydydx.
*y**F{x)
1071. Вычисление
двойным интегрированием
координат центра тяжести
(рис. 664). Если мы будем
считать, что масса
исследуемой площади
^концентрирована в точке (г, у) таким
образом, что момент площади
не изменился, то указанная
точка будет центром масс
или центром тяжести.
Согласно сказанному,
Му = площадь Х.х
Мх = площадь X у
М
х =
У
У
мх
или
[685]
площадь
х = Ъ v = f<*)
х = о у
/ I
площадь
:dydx
х =
г.=^а у ~ F (х)
Ь fix)
И **■■
Fix)
Центр тяжести 903
х~Ъ у ~f(x)
j J ydydx
~__ x — g у = F(x)
Ь f{x)
SS d9dx
a F(x)
Точно так же выводятся подобные выражения и в полярных
координатах.
f f P2 cos 0 do db
[686] v —? Wj*l
x =
pd?db
(0)
/* У p2sin 8 dp rfe
'2 / '
/' /' Pc/prf')
Пример. Найти центр тяжести площади, ограниченной линиями
у2 = 4лг, л: = 4 и у = 0 .
4 2х 2 4 _ " 4
Д/„= А /' *<*W*~ f[xu]l2lVX dx== fx2V~xdx.
*u=SS xdvdx~S[xy]Vy=^ Xdx^Sx2V'
JL
О |/~0 О
. . ~ J2xdx = {*tu =16.
о * . . .
4 2V"a> 4 .'_*'. -i
Площадь = / / dydx^ I ydx=c J 2У xdx^l -y- I =- у .
0 0 0 0
904 Частное и кратное интегрирование
Подставив эти значения в формулу пО 1071, получим
128
5 12
32 ~~ 5 ;
3
16
1 3
ув32вТ-
3
1072. Положение центров тяжести различных фигур.
Треугольник.
Рис. 665.
Рис. 666,
Полукруг.
§3^17
Дуга полуокружности.
Рис. 667.
Положение центров тяжести различных фигур 905
Параболический сегмент.
Половина параболического
сегмента.
Ряс. 66Ь.
Рис 669.
Площадь над
параболической кривой.
Рис 670.
906 Частное и кратное интегрирование
^0424^
Рис. 671.
Четверть круга.
1-,
Площадь разности квадрата и
вписанной в него четверти круга.
"7
г
1
Трапеция.
Рис. 673.
Положение центров тяжести различных фигур 907
Трапеция.
id)
Четырехугольник
Рис. 675.
1073. Вычисление двойным интегрированием момента
инерции площади плоской фигуры (рис. 676). Если мы
рассматриваем какой-либо элемент площади, например элемент PQ,
точкаРкоторого имеет
координаты х и у, то
умножение площади
этого элемента, равной
ДуД*, на квадрат
расстояния его до оси Y
дает произведение
л2 ДуДлг, которое
называется моментом
инерции данного элемента
относительно оси К.
Если мы составим
подобные произведения
для каждого из элементов, а затем при помощи двойного
суммирования все эти произведения сложим, то получим
lim V V д»ДуД*
676.
ff*djdx.
908
Частное и кратное интегрирование
Устанавливая пределы так же. как и в случае вычисления
площади, имеем выражение
ь y = f(x)
[687] '* = // x4ydxt
a y — F(x}
которое представ \яет собою момент инерции площади АВ
относительно оси Y.
Точно так же момент инерции относительно оси X
Ь y = f (ос)
[688]
/* = // y%dadx.
a yz=zF{x)
Эта формула отличается от предыдущей только тем, что
в ней вместо дг2 подставлено у*.
1074. Полярный момент инерции. Прямоугольные
координаты (рис. 677). Момент инерции площади плоской фигуры
относительно оси, пер-
ffxj пендикулярной к ее
Г75>ч^ плоскости, определяет-
1д1 1\У^ ся ПРИ пом01йи Дв°й-
л У| I а ного интегрирования*
Если точка Р
какого-либо элемента
указанной площади имеет*
Л координаты х и у, то
расстояние от Р до О
равно
Рис. 677.
Vx*+y*.
Если теперь площадь этого элемента Aj/A* будет умно-
*жена на квадрат его расстояния от О, то мы получим так на -
аываемый полярный момент инерции нашего элемента, т. е.
Суммирование полярных моментов инерции всех элементов
дает \
Дзе->0
Полярный момент инерици 909
Вводя пределы, получим выражение
Ь y = f(x)
а у - F(x)
представляющее собою уравнение полярного момента инер-
ции, который обозначается через /0.
Из написанных выше равенств имеем:
[689] /о - ff(x* +#*) dy dx = ff л:2 dy dx -J-/
+ ffy*dydx.
Сравнивая эту формулу с формулами моментов инерции
около осей прямоугольных координат X и Y, видим, что
Пример, Найти /0 площади,
ограниченной прямыми
Ь
лг = а, у = 0 и у = —х (рис.678).
Данные прямые образуют
треугольник ОЛВ. При суммировании
площадок вертикальной полосы пределами
являются величины х и 0.
а
При суммировании же полос в
треугольнике, пределы равняются а и 0
Тогда из формулы
имеем
Ь»
— х
■ ''[(4+й)^:'-(1+5)^-(М)-
1075. Вычисление полярного момента инерции двойным
интегрированием. Полярные координаты. В этом случае
элемент площади равен рДрДб (см. пю 1069 относительно
площади в полярных координатах). Здесь мы также имеем
соотношение
910
Частное и кратное интегрирование
подетавив которое в уравнение полярного момента инерции
в полярных координатах
to = ff(x*+y*)dgdx,
Рис. 679.
получим
X Вводя пределы, получаем
выражение
[690] /о=// Р»*Л,
которое представляет собою
полярный момент инерции в по*
лярных координатах.
Пример. Найти /0 площади круга
р = 2rco* G
около точки 0 (рис. 679).
Подставив р = 2r cos 6 в. формулу [620], получим
те те
W7 ■-**-/и::-*-
п р —0 п
~~ 2 V
-/
4/*сов4в««Ь
-kfij соИОД-*' \?*^% + \f«*M ]■
ft
IT
-*'[a3*!+*.(4+*-»)]\-
■-[•+S+«]-[-S]-**4-¥-
Вычисление площади поверхности 911
1076. Вычисление двойным ннтегрировлнием площадей
криволинейных поверхностей (рис. 680).
Предположим, что данная поверхность СВ выражается
уравнением
Требуется найти площадь А поверхности СВ.
Пусть А является прямоугольной проекцией некоторой
части данной поверхности А на плоскость XY>
Проведем один j\
ряд плоскостей
параллельно
координатной плоскости YZ
на расстоянии Длг
друг от друга и
другой ряд —
параллельно ZX-—на
расстоянии Ду. Эти
плоскости образуют
усеченные призмы»
ограниченные у их
вершины элементом
поверхности, проекцией
которого на плос
кость XY является
площадка Л* Лу.
Рассмотрим плоскость,
касательную к на
шей поверхности в точке Р. Из аналитической геометрии
известно, что
площадь элемента Д к Ду =* площадь элемента касательной
плоскости X cos Ч >
где 7 есть угол, который касательная плоскость образует
с координатной — XY- Тогда
Д* Д^ = площадь элемента касательной плоскости X cos 7.
Но так как
Рис. 680.
cost-
И*)'
1
.+
(1)7
912 Частное и кратное интегрирование
то
А А - пл°ЩаДь элемента касательной плоскости
['+&HD7
Отсюда
площадь элемента касательной плоскости —
Произведя суммирование всех элементов касательной пло-
• скости, получим
Тогда
[691] площадь - / / [ 1 + Щ + [%)Td*dx'
Вводя пределы интегрирования, имеем:
х^Ъ y-f(x)
[692] площадь = f f [l + (^j+.
х~а y—F{x)
где y=f(x) и # = F(*) являются уравнениями проекций
кривых» ограничивающих площадь, на плоскость XY*
Если по какой-либо причине является более удобным
проектировать площадь на плоскость XZ, выведенная формула
получает вид
х=*Ъ « = «(#)
[693] площадь-J f [l + (^)'-H
х^=а z = ф (а?)
+(fc)f**•
Вычисление площади поверхности 913
В случае же проекции на плоскость KZ, имеем:
y = d z-Q{y)
[694]
t/ = с z — g(y)
Для надлежащего усвоения настоящего п° весьма полезно
восстановить в памяти метод, при помощи которого находят
проекцию площади на
плоскость XY (см. отдел
аналитической геометрии,
п° 847). В основном, этот
метод заключается в том,
что посредством
исключения z из уравнений по1
верхностей, пересечение
которых образует кривую,
ограничивающую
рассматриваемую площадь
данной поверхности,
находится уравнение проекции
указанной кривой на
плоскость XY.
Пример, Найти поверхность
шара (рис. 681)
х2 -\-у2-\- z2 = г2.
Рис. 681.
Рассмотрим восьмую часть искомой поверхности, т. е. площадь
поверхности шара, заключающуюся в одном квадранте между координатными
плоскостями.
Из уравнении
я2 Н~ у2 Н~ з2 === j*
имеем
dz
Ох'
dz
У_
z
Тогда
,^\дх) ~*\Ъу) "-^гЗ-Г^-^-г^-г^
x2 + y2 + z2
z2
I2 — X2 — у2
58 Справочник для инженера.
914 Частное и кратное интегрирование
Приравнивая z нулю (z = 0), мы получаем проекцию площади на
плоскость XY, т. е.
*2 + #г=''3-
Составляем искомое равенство
а? = Ь y = f{x)
8
x = r y=zVt* — x*
о? = a # =s= J1 (a?)
аг = 0 у = 0
откуда
Л = 4 яг2 .
1077. Вычисление объемов тройдым интегрированием*
Объемы, огракиченные поверхностями, уравнения которых
даны, могут быть вычислены, при помощи трех
последовательно выполненных интегрирований, тем же самым способом,
что и при двойном
интегрировании.
Прежде всего, данное
тело разделим на
прямоугольные
параллелепипеды с размерами Д*, Ду,
Дг. Тогда объем каждого
из них равняется
Ддг Ду Д*,
что и представляет собою
элемент объема.
Просуммируем все эти
элементы объема,
лежащие в пространстве,
ограниченном данными
поверхностями, следующим
образом: сначала сложим
элементы каждого
столбца, затем сложим столбцы
таким способом, чтобы получить отдельные параллельные
между собою слои, и наконец возьмем сумму всех слоев,
в результате чего и получим полный объем.
Тогда
[695] v===£z ESS** ау д* " Г / /л dy dx*
Рис. 682.
Вычисление объемов тройным интегрированием 915
Рассмотрим пределы интегрирования для того случая, когда
вычисляется объем части эллипсоида
х-
л ~ъ
а* ^Г ft, -Г С2 А,
лежащей в первом квадранте.
Прежде всего, выясним пределы суммирования элементов
Ал: Д# Az,
в столбцы. Это суммирование производится по z в пределах
Е
б2 •
Суммирование столбцов в слои выполняется по у в
пределах от
/х- у2
/х%
1— а2 •
Так как кривая, ординаты которой служат при указанном
суммировании столбцов пределами, лежит в плоскости XY,
то она находится из уравнения
Y2 «2 ~2
^ ' б2 ' с* '
путем приравнивания г нулю (г = 0).
Суммирование же слоев, производящееся для получения
всего объема, выполняется по х в пределах от
jc = 0 до х = ОА = а.
Приняв во внимание сказанное о пределах суммирования,
мы можем составить искомое уравнение объема:
V= I J J dzdydx
X = 0 у zz 0 z — 0
-./ ?
яг ■— 0 |/ =з О
:abc
=44 Г V-*»>*=-
4a2 J *=o
58*
916 Частное и кратное интегрирование
~^ Anabc
Объем всего эллипсоида=
3
Обычное обозначение тройного интеграла в случае
вычисления объема таково:
а у = <?(х) z=f{x,y)
V=ff f dzdydx.
0 0 0
Легко заметить, что здесь пределы интегрирования по х
и у одинаковы с теми, которые мы берем при вычислении
площади АСВО плоскости XY, т. е. — площади проекции
данного тела на указанную координатную плоскость.
Действительно, упомянутая площадь АСВО выражается так:
а У = *(х)
A = f J dydx.
0 у'=0
Это обстоятельство означает, что мы можем найти
искомый объем и при помощи двойного интегрирования, т. е.
У = <Р (х)
V=fj zdydx.
у =Ь
Таким образом, действия как с двойным, так и с
тройным интегралом, в котором производится интегрирование
по z, приводят к одному и тому же результату.
1078. Сравнение простого и двойного интегрирования.
Первоначально в п° 997, а затем в пп° 1011 и 1036 было
показано, что вычисляемая простым интегрированием площадь
выражается так:
А= fy dx-
При вычислении же двойным интегрированием (п° 1066)
площадь выражается иначе:
A = ffdydx.
Мы можем это выражение привести к первому путем
интегрирования его сначала по у. Тогда
А = f у dx.
о
Рис. 683.
Вычисление моментов посредством интегрирования 917
1079. Вычисление моментов посредством
интегрирования (рис. 683). Разделим на элементы данную геометрическую
величину, как например линию, поверхность или объем. При
этом первая разделится на элементы длины, вторая — на
элементы площади и третий разделится на элементы объема.
Пусть каждый из этих элементов, As, АЛ или А К будет
умножен на его расстояние от некоторой выбранной точки,
или на расстояние его
относительно прямой, либо
какой-нибудь плоскости. Полученные при
этом произведения являются
соответственно моментами
указанных элементов относительно
выбранной точки, прямой или
плоскости. Предел суммы
произведений каждого из
элементов на его расстояние
относительно точки, прямой или
плоскости, получающиеся по
мере того, как число
элементов безгранично возрастает, а
размеры их безгранично убывают, называется моментом
первого порядка соответствующей геометрической величины
относительно точки, прямой, либо плоскости.
Мх = lim y#As==
= момент линии.
Таким же образом момент площади плоской фигуры
относительно оси X выражается
Af«= lim Уд LA.
Кроме того, так как
Ai4 = A*-A^t
то имеем равенство,
JydA = Jfydxdy,
которое указывает на то обстоятельство, что здесь двойное
интегрирование равносильно по получаемому результату
простому интегрированию»
918
Частное и кратное интегрирование
Формула момента первого порядка для объема
относительно одной из координатных плоскостей, например
относительно XY) такова:
Л#ч
ху
НтУ аК= fzdV.
ДУ->0
Перед интегрированием, вместо символов As, АЛ и ДК
следует подставить соответствующие им выражения
элементов длины, площади и объема.
Таким образом, так как
AV= Ajf • by • Az,
то
fzW^fffzdzdydx.
Заметим, что посредством подстановки
вместо ds, dydx вместо dA и dzdydx вместо dVt фор-
Рис. 68 k
мулы для простого интегрирования превращаются в двойные
и тройные интегралы.
10SO. Приближенное интегрирование (рис. 685). В так
называемом способе трапеций для вычисления площади, находящейся
под некоторой данной кривой, вместо прямоугольных площадок
берутся площади трапеций, что позволяет получать результат
с большей степенью точности относительно действительной
величины данной площади. Разделим расстояние от а до Ь
Приближенное интегрирование . 919
на любое число п равных между собою делений и построим
на них трапеции. Чем больше взята величина п, тем ближе
будет вычисленная площадь к точному значению данной.
Рис. 685.
Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон ее,
умноженной на ширину ее, которую мы обозначаем через А*.
Тогда
~9~ (#о + #i) A r — площадь первой трапеции;
~9~ (#1 +#2) ^х — площадь второй трапеции;
~о" Gfa + Уз) д* — площадь третьей трапеции;
"у(Уп-1+Уя)Ддг — плоЩаДЬ п-ой трапеции.
Складывая площади трапеций от а до 6, получаем
-5-(Уо + 2ЛН-2Л-Ь2уН +2Лгп_1 + *||)А*. ,
По этому правило, вытекающее из способа трапеций, ва
клю чается в том, что
[696] площадь = (-2-^0 + ^1+^2+^3+ • • • +
+^-1 + -2-^У^
920 Частное и кратное интегрирование
ю
Пример, Посредством способа трапеций вычислить / х2 dx,
1
Делим промежуток от х = 1 до х — 10 на 9 частей*
Тогда каждая часть, т. е. Дд: = 1.
Подставляем значения дг=1, лг = 2. л: = 3, • • • * = 9 в уравнение
у = х2у так как оно выражает кривую, площадь под которой мы желаем найти.
Тогда
Уо =* Ъ 9i = 4» #2 = 9» • • • Уп — 8*- .
Подставляя эти значения в формулу [696], получим
площадь = (у + 4 + 9 +16 + 25 + 36 +49 + 64 + 81 +\V я
«=3341.
Посредством же интегрирования имеем:
1
Таким обравом ошибка меньше 0,5%*
1081* Правило Симпсона для приближенного
вычисления (рис. 686). Приближенное вычисление площади,
расположенной под данной кривой, может быть произведено с большей
степенью точности, если вместо того чтобы проводить прямые
а с ь
Рис., 686.
линии, образующие верхние стороны трапеций, провести
параболическую кривую, а затем просуммировать находящиеся под
нею площади. Параболическая кривая может быть
проведена через любые три точки данной кривой. Вычисленная
посредством такой параболы площадь будет ближе к точной
Правило Симпсона 921
величине площади, чем в том случае, когда применяется
трапецоидальный метод и верхними сторонами трапеций
являются прямые линии.
Разделим интервал от а до Ь на п равных частей, ширина
которых равна Д*. Через три точки, взятые на данной
кривой, например через точки Ро> Л» ^з> проведем дугу
параболы.
Тогда площадь полосы аР0РхРгС равняется площади
трапеции аРоР^с плюс площадь параболического сегмента PqP\P£
площадь трапеции = -=г (у0 + У 2) 2 Дх = (уо + у2)л*.
Площадь параболического сегмента PqP\P^ равна двум
третям площади описанного параллелограмма:
площадь P0PiP* = -A З1 — -2 (У0+У2) 2Д* =
2
= — (2yl— y0— yjbx*
откуда площадь первой полосы есть
2
площадь = (у0 + у2) А* + у (2yt —y0— ite) л* —
= ~^(#* + 4#1+#2).
Площадь остальных полос находится точно так же:
площадь второй полосы
-3-^2 + 4^3 + ^4),
площадь третьей полосы:
~^(#4 + 4у& + #6);
площадь последней полосы:
Сложив площади всех полос, получим:
Ал:
[697] площадь = — (#0 -f 4^ + 2у2 + 4g*+2yA + ... + У,).
Это выражение и представляет собою правило Симпсона
в том случае, когда п есть четное число.
922 Частное и кратное интегрирование
ю
Пример. Вычислить I x2dx посредством правила Симпсона.
1
Возьмем 10 частей. Тогда А* = 0,9 единицы.
Подставляя в уравнение у = х2 абсциссы
дг = 1; х = 1,9; х = 2,8; х = 3,7; х = 4,6; л: = 5,5; х = 6,4; л: = 7,3;
* = 8,2;'* —9,1; лг = 10
и соответствующие ординаты
у = 1; # = 3,61; ^ = 7,84; ^ = 13,69; у + 21,16; у = 30,25; у = 40,96;
у = 53,29; у = 67,24; у = 82,81; у = 100
в формулу Симпсона, получим:
площадь « ^ [1 + 4 • 3,61 + 2 • 7,84 + 4 • 13,69 + 2 • 21,16 +
+ 4 • 30,25 + 2 • 40,96) + 4.53,29 + 2 • 67,24 + 4.82,81 + 100] =
= 0,3 (1 + 14,44 +15,68 + 54,76 + 42,32 + 121 + 81,92 + 213,16 -f
+ 134,43 + 331,24 -f 100) = Q,3 • 1110 = 333.
Этот ответ является точным .значением данного интеграла, что мы й
должны были ожидать, ибо кривая у = х2 — парабола.
Величина Ал: была взята дробной с той целью, чтобы показать, как
может быть вычислена площадь в подобном случае.
1082. Применение планиметра для делен интегрирования.
Планиметр представляет собою инструмент, измеряющий
площади. Он может так же широко применяться, как и данные
нами методы приближенного вычисления площадей- Так как
планиметр вычисляет площади механически, то им можно
пользоваться таким же путем и при интегрировании. В атом
случае не требуется каких-либо специальных указаний за
исключением того, что следует быть хорошо знакомым с
пользованием инструментом для нахождения площадей.
Применение планиметра в интегрировании ограничено
нахождением определенных интегралов, т. е. измерением
определенных площадей, как например площади, заключенной
между двумя вычерченными кривыми, или площади между
кривой и осью X или Y внутри некоторых пределов.
Для того чтобы найти величину площади при помощи
планиметра, подвижным острием инструмента обводят
периметр, т. е. пограничные кривые измеряемой фигуры, а искомая
величина площади ее дается отсчетом особого
регистрирующего колесика планиметра.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Глава I.
Арифметические вычисления с помощью алгебраических формул.
1. Сложение столбцами (9). 2. Банковский способ сложения (9). 3.
Периодическое сложение (10). 4. Сложение в уме двузначных чисел (10).
5. Сложение в уме трехзначных чисел (11). 6. Вычитание посредством
сложения (11). 7. Вычитание при помощи дополнений (11). 8. Совместное
сложение и вычитание (11). 9. Таблица умножения (11). 10. Как давать
сдачу (12). 11. Другие сокращенные способы вычислений (13). 12.
Арифметические действия (14). 13. Возвышение в квадрат чисел, оканчивающихся
цифрой 5 (14).
14. Возвышение в квадрат чисел, оканчивающихся на -~-(15). 15. Возвышение
в квадрат чисел, близких к 50 (15). 16. Вычисление произведения двух
чисел, оканчивающихся на 5, если десятки у обоих либо четные, либо
нечетные (16). 17. Вычисления произведения двух чисел, оканчивающихся
цифрой 5, если в одной из них число десятков четное, а в другой
нечетное (17).
Применение алгебраических формул при умножении.
18. Формула а (Ь — с) (18). 19. Формула a (cb + с) = acb + ас (18).
20. Формула аЪ = Ьа (18). 21. Формула (а + Ь)(а — Ъ) =• а2 — Ь2 (18).
22. Формулы (а + о)* = а^ + 2аЬ + о2; (а - Ь? = а* - 2аЬ + Ь* (19). 23.
Формула (а + Ь) (а + с) = а2 + (6 + с) а + be (19). 24. Формула (a + b)(c + b) =
= ас + (а + с)Ь + *>2 (20). 25. Формула (a + b){c + d) = ac + bc + ad +
+ bd (20). 26. Умножение на 21, 31, 41 и т. д. или на 401, 601 и т. д. (21).
27. Умножение по методу избытка и недостатка (21). 23. Аликвотные
части (22).29. Определение места запятой (24). 30. Положение запятой при
делении (24). 31. Если в данном выражении необходимо перемножить и
разделить несколько чисел (24). 32. Применение способов, указанных в п° 31 (25).
33. Деление (26). 34. Деление посредством разложения на множители (26).
Проверка арифметических действий девятками
35. Сложение (27). 36. Вычитание (27). 37. Умножение (28). 38. Деление
(28). 39. Упрощение действий при проверке девяткам i (28). 40. Другой
сокращенный способ 28). 41. Признаки делимости (28). 42. Извлечение
квадратного корня при помощи алгебраической формулы (29). 43.
Сокращенный метод извлечения квадратного корня (29). 44. Извлечение кубичного
корня при помощи алгебраической формулы (30). 45. Сокращенный способ
извлечения кубического корня (31.
924
Оглавление
Глава П.
Приближенные вычисления. Абсолютная и относительная погрешности.
46. Приближенные значения величин (32). 47. Округленные числа (32).
48. Значащие цифры (32). 49. Верные цифры (33). 50. Абсолютная
величина (33). 51. Абсолютная погрешность (33). 52, Относительная
погрешность (34). 53. Предельная погрешность (34). 54. Погрешности в числах (34).
55. (35). 56. Абсолютная погрешность при сложении (36). 57.
Относительная погрешность суммы (37). 58. Абсолютная погрешность при умножении
(38). 59. Если оба множителя •— приближенные (40). 60. Относительная
погрешность при умножении (41). 61. Если оба множителя — числа
приближенные (42). 62. Если перемножается несколько чисел (44). 63. Влияние
отбрасывания цифр справа (45). 64. Видоизменение последнего метода (46).
65. Абсолютная погрешность при делении (46). 66. Относительная
погрешность при делении (47). 67. Если делимое и делитель — числа приближен*
иые (48). 68. Сокращенное деление (49). 69. Сокращенное деление (50).
70. Относительная погрешность при совместном умножении и делении (51).
71. Относительная погрешность при возвышении в степень или извлечении
корня (52). 72. Новый метод умножения (52).
Формулы для приближенных вычислений.
73. (54). 74. (55). 75. (55). 76. (56). 77. (57). 78. (58). 79. Приближенные
значения обратных величин (58).
Глава III. *
Алгебраические обозначения. Отношение и пропорция. Двучлены,
трехчлены, многочлены. Разложение на множители. Радикалы.
Алгебраические обозначения.
80. Алгебраические знаки (59).
Отношение и пропорция.
81. (59). 82. (60). 83. Циркуль для пропорционального деления (62).
84. Формула бинома Ньютона для целого положительного показателя (64).
85. Удобный способ разложения (65). 86. Для нахождения г того члена
разложения (а + х)т (65). 87. (65). 88. (66). 89. Треугольник Паскаля (67).
90. Выражения вида (а — Ь — с)3 (68). 91. Умножение при помощи отделения
коэффициентов (68). 92. Деление при помощи отделения коэффициентов (69).
Умножение и разложение на множителей.
93. Произведение двух биномов, имеющих общий член (69). 94.
Произведение двух биномов, имеющих подобные члены (69). 95. Возвышение
многочленов в квадрат (70). 96. Одночленный множитель (70). 97. Трехчлены,
представляющие собой точный квадрат (70). 93. Разность двух степеней (71).
99. Сумма двух степеней (71). 100. Трехчлен вида (х2 + Ъх + с) (71). 101.
Разложение на множители некоторых трехчленов вида (ах2 + Ьх + с) (72).
102. Двучлены и трехчлены, приводимые к виду (а2 — о2) (72). 103. Четы-
рехчлены, приводимые к виду (а2 — б2) (73). 104. Перестановка членов (73).
105. Многочлены, приводимые к виду (a*2 -J- Ьх + с) (73). 106. Общий метод
Оглавление
925
яахождения двухчленного множителя (74). 107. Некоторые формулы для
деления (74). 108. Общий метод проверки сложения, вычитания, умножения
и деления (76). 109. Общий наибольший делитель (77). 110. Нахождение
общего наибольшего делителя (метод Евклида) (78). 111. Общее наименьшее
кратное (78). 112 Другой способ нахождения общего наименьшего кратного
двух выражений (79). 113. Действия с нулем (79). 114. Дроби, принимающие
вид т=г в случае приближения х к а (79).
Радикалы,
115. (80). 116. (80). 117. (81). 11S. Сложение и вычитание иррациональных
одночленов (81). 119. Умножение иррациональных одночленов (81). 120.
Деление иррациональных одночленов (82). 121. Иррациональные дроби (82).
122. Извлечение корня из иррациональных выражений и возвышение их
в степень (83). 123. Степени и корни (84).
Глава IV.
Функции и их графики. Составление уравнений. Переменные
и функции.
124. Функции (85). 125. Графики уравнений (86). 126. Функции первой
степени (88). 127. (89). 128. Функции тх + Ь (89). 129. Уравнение (90).
130. Составление уравнений по условиям задачи (92). 131. Решение задач,
содержащих два неизвестных (92). 132. Если задача содержит три
неизвестных (93). 133. Табличный способ (93). 134. Задачи на время и путь,
пройденный в движении (94). 135. Графики равномерного движения (95). 136.
Графики нескольких равномерных движений (97). 137. Задачи на проценты (97).
138. Формулы для вычисления процентных денег (99). 139. Вычисление
процентных денег методом шести процентов (100). 140. Вычисление
процентных денег методом одного дня (100). 141. Точное вычисление
процентных денег (100). 142. Формулы для вычисления комиссионного
вознаграждения (101). 143. Продажные цены (102). 144. Диаграмма предложения и
спроса (103).
Глава V.
Уравнения первой степени или линейные. Аналитическое
и графическое решение.
145. Общее уравнение Ах -{- By + С = 0 (103). 146. Задачи, приводящие
к уравнению, содержащему — (104). 147. Графическое решение задачи
(п° 146) (104). 148. Задача (105). 149. Графическое решение задачи на
сложение функций (107). 150. Система уравнений первой степени с двумя
неизвестными (108). 151. Исключение неизвестных сравнением (108). 152.
Исключение неизвестных подстановкой (108). 153. Уравнения вида 1 =
s= с (109). 154. Пример (109). 155. (110) 156. Графики уравнений первой
степени с двумя неизвестными, входящих в систему, являются прямыми
линиями (110). 157. Графическое изображение системы линейных уравнений
вида # = 6 — х и # = 4 — х (111). 158. Задачи, приводящиеся к уравнениям,
содержащим — и — (Ш). 159. Общий случай задач n°158(112).f60. Другая
926
Оглавление
орма уравнения п°159. (113) 161. Задача (графическое решение) (113). 162.
адача (113). 163. Задача (графическое решение) (115). 164. Задача о
часах (116). 165. Графическое решение задач о часах (116). 166. Задача о
чистой прибыли (117). 167 Система уравнений. Общая форма (118). 168.
Уравнения со многими неизвестными (119).
Глава VI.
Уравнения второй степени (квадратные). Явные функции.
Аналитическое и графическое решения.
169. Квадратная функция х2 (120). 170. График функции ах2 (120).
171. Функция второй степени в общем виде у = ах2 -\- Ьх — с (122). 172.
Преобразование координат (122). 173. (123) 174. (125). 175. (126). 176.
Упрощенные способы построения графика общей формы квадратной функции
лу = а*2 -|- bx -f- с (128). 177. Максимум и минимум квадратных функций (131).
178. Графическое решение задачи п° 177 (132)Л79. (132)180. (134)181.
Квадратные уравнения. Аналитический способ решения (134). 182. Квадратные
уравнения. Индийский способ решения (135). 183. Квадратные уравнения.
Решение посредством формул (136). 184. (137). 185. Составление квадратного
уравнения (137). 186. Разложение многочленов второй степени на
множителей (137). 187. Задачи на составление квадратных уравнений (139). 188.
Уравнения, приводимые к квадратным (140). 189. (141). 190. (142). 191.
Графический способ Эвклида для определения корней квадратного уравнения (143).
192. (145). 193. Другое графическое решение квадратного уравнения
(упрощенный способ) (148). 194. (149). 195. Квадратные уравнение с
иррациональными корнями (149).
Глава VII.
Неявные квадратные функции и их графики Системы
квадратвых уравнений.
196. Неявные функции (151). 197. Уравнения вида Ах2 + Cy2+F = 0. (154).
198. (154). 199. (155). 200. (156). 201. (157). 202. (159). 203. (160). 204. (162).
205. (162).206. Случай, когда Bxg + F=*0 (165). 207. (165). 208. Построение
графика общего уравнения Ах2 -f- Вху -\- Су2 + Dx -f- Ey -f- F — 0 посредством
сдвига (166). 209. (172). 210. Однородные квадратные уравнения (175). 211. Си- *
стемы квадратных уравнений неполного вида (177). 212. Квадратные
уравнения полного вида (178). 213. Квадратные уравнения (180). 214. Система
симметричных уравнений (182). 215. Частный случай (184). 216. Уравнения
более высоких степеней (184). 217. Решение посредством преобразования
уравнений (185). 218. Деление одного уравнения на другое (187). 219
Уравнения с тремя неизвестными (187). 220. Графическое решение системы
уравнений, из которых некоторые — квадратные (188). 221. (190). 222. Система
квадратных уравнений с иррациональными корнями (191)
Глава VIII.
Дроби. Дробные уравнения. Иррациональные уравнения.
Дроби.
223. Действия над дробями (193). 224. Основные действия над
дробями (194).
%
Оглавление
Дробные уравнения.
927
225. Дробные уравнения (194). 226. Способ решения дробных уравнений
при котором избегается получение посторонних корней (196). 227. Дробные
уравнения с несколькими одночленными знаменателями (197). 228,
Преобразование уравнений, содержащих в каждой части равенств пару членов вида
■■ Т ,, соединенных знаком — (197).
х -f- о
Иррациональные уравнения.
229. Иррациональные уравнения (198). 230. Некоторые особые приемы
решений (201).
Глава IX.
Кубические функции.
231. Графическое изображение кубических функций (202). 232. Функции
у = ах* (203). 233. Функция у = а (х — А)з + к (204). 234. Добавление
члена тх в кубическое уравнение (204) 235. График функции у = a*3 -f- mx (205).
236. Введение постоянных А и & (206). 237. (207). 238. Графическое
решение уравнений (210). 239. Система двух уравнений с двумя неизвестными
х и #(211). 240. Система уравнений, имеющих иррациональные корни (211).
241. Другой способ (212). 242. Еще один удобный способ (213). 243. (213).
Глава X.
Целые рациональные функции.
244. (216). 245. Теорема об остатке (217). 245. Теорема о множителе (217).
247. Сокращенное деление (218). 248. Нахождение корней многочленов (219).
249. Дробные корни (221). 250. Перенесение графиков функций (222).
251. Приближенное решение уравнений, имеющих иррациональные корни
(223). 252. Графическое изображение многочленов (223). 253. Применение
метода перенесения кривой (метод Хорнера) (225). 254. Кратные корни (226).
255. Соотношение между корнями и коэффициентами в общем уравнении
n-ой степени (228). 256. Составление уравнений по данным корням. (228).
257. Указания, облегчающие графическое решение (229). 258. Увеличение
корней уравнений в к раз (230). 259. Составление уравнений, имеющих корни,
равные по абсолютной величине корням данного уравнения, но
противоположные им по знаку (230). 260. Правило Декарта относительно знаков (230).
Г л а в а XI.
Степенные функции.
261. Степенные функции (231). 262. Случай 1.у*=хп [66], где п —
положительное (231). 263. График параболы при п дробном (232). 264. Случай 2.
и = хп [661 где п — отрицательное (233). 265. Изменение переменной (233).
266. (234). 267. (234). 268. (234). 269. (234). 270. (234). 271. (234). 272. (234).
273. (235). 274. (235). 275. Функции у = ахп и у = хп (235). 276. (235).
277. (235). 278. Случай функции [67] у = С~\ (236). 279.Перенесение
графиков степенных функций (236). 280. Случай, при котором в уравнении
показательной функции имеется член тх (237).
928 Оглавление
Глава XII.
Неравенства и переменные.
281. Неравенства (238). 232. (238). 283. (239). 284. (239). 285. (240). 286
(240). 287. (240;. 288.(241). 289. (241). 291. (241). 292. (242). 293. Задачи (242).
294. Переменная величина (244). 295. (244). 296. (244). 297. (245). 298. (245).
Глава XIII.
Прогрессии.
299. Ряд (246). 300. Арифметическая прогрессия (246). 301. Сумма первых
п членов арифметической прогрессии (247). 302. (247). 303. (248). 304.
График арифметической прогрессии (248). 305. Некоторые арифметические
ряды (249). 306. (250). 3t>7. (251). 308. (251). 309. Геометрическая прогрессия.
(252). 310. (253). 311. (253). 312. Среднее геометрическое (253). 313.
Бесконечная геометрическая прогрессия (254). 314. Некоторые геометрические
ряды (254). 315. Смешанная арифметическая и геометрическая
прогрессия (255). 316. Графическое изображение геометрической прогрессии (255).
317. (256). 318. (257). 319. Гар моническая прогрессия (257). 320. Гармони*
ческое "среднее (258). 321. (258). 322. Соотношение между гармонической и
арифметической прогрессиями (259). 323. (260).
Глава XIV.
Переменные» пределы и неопределенные выражения.
324. Предел переменной (261). 325. (261). 326. (262). 327. (262). 328. (262).
329. (262). 330. (263). 331. (263). 332. (263). 333. (263). 334. (263). 335. (263),
336. (263). 337. (263). 338. Другие методы (264). 339. (265). 340. (265).
Глава XV,
Логарифмы.
. 341. Джон Непер (266). 312 (267). 343. Логарифм числа (268). 344. (269).
345. Интерполирование (271). 346. Нахождение числа по данному логарифму
его (271). 347. Как избежать получения отрицательной мантиссы (272),
348. (273). 349. Умножение посредством логарифмов (273). 350. Деление
посредством логарифмов (274). 351. Кологарифм (274). 352. Нахождение
степеней посредством логарифмов (275). 353. Нахождение дробных степеней
посредством логарифмов (275). 354. Извлечение корня (276). 355.
Нахождение обратных величин при помощи логарифмов (276). 356. Нахождение
четвертого члена пропорции посредством логарифмов (277). 357.
Натуральные или Неперовы логарифмы (277). 358. Изменение основания
логарифмов (277).
Глава XVL
Показательные функции и их отношение к логарифмическим.
359. Сравнение кривых у = г* и у = ех (278). 360. (279). 361.
Логарифмические и показательные функции. (280). 362. Подкасательная к пока*
зательной кривой (281). 363. Наклон касательной к кривой показательной
функции (281). 364. Показательные уравнения вида г* = Ъ (282). 365. Закон
Оглавление Р29
сложных процентов (282). 366. Характер возрастания показательной
функции (283). 367. Вычисления при помощи логарифмов (283). 368. Модуль
убывания или логарифмический декремент (284). 369. Приближенные
логарифмические формулы (284). 3/0: Некоторые дополнительные
логарифмические формулы (284). 371. Логарифмическая бумага (285). 372. Примеры
графиков степенных функций (286). 373. Логарифмическая шкала (289). 374.
Логарифмическая бумага (290). 375. Логарифмы и геометрическая
прогрессия (290). 376. (291). 377. (292). 378. (292) 379. Сравнение показателей и
степенной функции (292). 380. Изменение показательной функции (293).
381. Определение показательной зависимости (294).
Глава XVII.
Логарифмическая линейка.
382. (295), 383. Логарифмическая шкала L (295). 384. Шкалы С и D (297).
385. Обыкновенная установка для умножения (297). 386, Обыкновенная
установка д\я деления 298). 387. (299). 388. (299). 389. Сдвинутые шкалы
(299). 390. (300). 391/Умножение на те (300). 392. Деление на те (301).
393. Обращенные шкалы (301). 394. (301). 395. Шкала с CIF, т е.
обращенная смещенная шкала (302). 396. Шкала обратных чисел (302). 397.
Функциональная зависимость ху = С (303). 393. Выражение -т- X переменное
количество = х (303). 399. Выражение 4 X =дг(304).
х . о переменное количество v '
400. Выражение а X Ь X переменное количество = х (304). 401. Выражение
а X Ь X с = х. Смещенная шкала (306). 402. Выражение ^ , = х (306).
403. Выражения, в которых имеется множитель те (306). 404. Выражения,
в которые те входит делителем (307). 405. Пропорция (308). 406. Обратная
пропорция (308). 407. Шкалы А и В' (308). 408. (309). 409. Шкала К (310).
410. Шкала тангенсов (311). 411. (312). 412. Шкала синусов (312). 413.
Косинусы (313). 414. Логарифмы (313). 415. Выражения общего вида (313).
416. Обратные величины (315). 417. Выражения, содержащие квадраты
чисел (315). 41$. Извлечение квадратного корня из выражений (316). 419. Вы*
ражения, содержащие квадратные корни (316). 420. Выражения, содержащие
тангенсы (318) 421. Выражения, содержащие синусы (318). 422. Степенные
множители (318). 423. Правило для вычисления степеней (319). 424.
Решение прямоугольных треугольников (321), 425. Косоугольные треугольники
(321). 426. (322). 427. (323). 428. Способы введения поправок при
вычислении по счетной линейке (324). 429. (324).
Глава XVIII.
Бесконечные ряды.
430. Бесконечные ряды (325). 431. (325). 432. (325). 433. Расходящиеся
ряды (326). 434. (327). 435. (327). 436 (327). 437. (327). 438. Ряды, состоящие
только и» положительных членов (328). 439. Определение сходимости путем
сравнения (328). 440. Некоторые ряды, полезные для исследования
сходимости (329). 441. Определение расходимости путем сравнения (330). 442.
(331). 443. Исследования ряда при помощи отношения — (332). 444.
ип
59 Справочник для инженер.!.
930 . Оглавление
Вывод признака сходимости Коши (333). 445. (334). 446. (335). 447. (335).
448. (336). 449. (337). 450. Ряды, все члены которых отрицательны (337).
451. Ряды, состоящие из положительных и отрицательных членов (337).
452. Способ определения характера ряда по величине отношения членов (338).
453. Ряды знакопеременные (339). 454. Указания для исследования
рядов (340). 455. Ряды, члены которых являются функциями х (341). 456.
Степенной ряд (341). 457. Биномиальный ряд (343). 458. (344). 459. Некоторые
биномиальные ряды (345). 460. (346). 461. (347). 462. Показательные
ряды (347). 463. (349). 464. Логарифмический ряд (350).
Глава XIX-
Определители.
465. Выражение вида а^з — o2bi... (350). 466. Система уравнений с двумя
неизвестными (351). 467. (351). 468. Определитель третьего порядка (352).
469. (352). 470. (354). 471. Решение системы трех уравнений первой
степени (354). 472. (355). 473. (355). 474. Знаки алгебраических дополнений (356>.
475. Определители n-го порядка (357). 476. Свойства определителей (357). \
477. (357) 478. (35 Л 479. (357). 480. (357). 481. (358). 432. (358). 483. (358).
484. (358), 485. (358). 486. (358). 487. (359). 488. Разложение определителей
(359). 489. Разложение определителей на множители (361).
Глава XX. |
Соединения* 1
490. (362). 491. (362). 492. (362). 493. (363). 494. Число размещений (363). I
'495. Число сочетаний (363). I
Глава XXI. 1
Неопределенные коэффициенты. 1
Разложение дробей на простейшие. 1
495. Неопределенные коэффициенты (364). 497. Разложение дробей (365).
493. Разложение иррациональных выражений (366). 499. Простейшие дроби
(367). 500. (367). 501. (369). 502. (370). 503. (370).
Глава XXIL
Геометрия. J
504. (371). 505. (371). 506. (371). 507. (371). 508. Прямоугольные
треугольники (371). 509. (372). 510. (372). 511. Теорема Пифагора (373). 512. (373). 1
513. (373). 514. Равносторонний треугольник (373). 515. Какой угодно тре- 1
угольник на плоскости (374). 516. (374). 517. (374). 518. (375). 519. (375). |
520. О пропорциональности линий в треугольнике (375). 521. (375). 522 (375).
523. (376). 524. Подобные треугольники (376). 525. (376). 526. (376). 527.
Графическое умножение и деление посредством подобных треугольников (376).
Ь28. Прямоугольник (377). 529. Параллелограмм (378). 530. Ромб (378).
531. Трапеция (378). 532. Четырехугольник (379). 533. Правильные
многоугольники (380). 534. Построение правильных многоугольников (380).
535. Подобные многоугольники (381). 536. Построение подобных
многоугольников со сторонами, находящимися в данном отношении (381). 537. Круг
(381). 538. (382). 539. (382). 540. (383). 541. (383). 542. (383). 543. (383). 544. (384).
Оглавление 537
545. (384). 546. (384). 547. (384). 548. (385). 549. (385). 550. (385). 5Ы. (385>
552. (386). 553. (386). 554. Кольцо (386). 555. Сектор (386). 556. Площадь
части кольца (387). 557. Сегмент (387). 558. Площадь кругового сегмента (387).
559. Эллипс (389). 560. Парабола (389). 561. Гипербола (390). 562.
Циклоида (391). 563. Площади неправильной формы (391).
Поверхности и объем тел.
564. Куб (391). 565. Параллелепипед (392). 566. Правильная
шестигранная призма (392). 567. Правильная восьмигранная призма (392).
563. Прямой круглый цилиндр (393). 569. Полый цилиндр (393). 570. Любая
призма или цилиндр (393). 571. Усеченный прямой круглый цилиндр (394).
572. Усеченная призма или цилиндр любого вида (394). 573. Правильная
пирамида или конус (394). 574. Любая пирамида или конус (394). 575.
Усеченная пирамида или конус (395). 576. Шар (395). 577. Полый шар (395).
578. Сферический сегмент (396). 579. Шаровой слой (396). 580. Сферический
сектор (396). 581. Эллипсоид (396). 582. Параболоид вращения (397). 583.
Параболический слой (397). 584. Кольцо (тор) (397).
Формулы для призматоидов,
585. (398). 586. Клиновидное тело (398). 587. Правило Симпсона для
определения объемов (400). 588. (400).
Глава XXIII.
Тригонометрические функции.
589. (400). 590. (401). 591. (401). 592. (402). 593. Координаты (403).
594. Функции угла (403). 595. (404). 596. Функции некоторых углов (404).
597. (405). 598. (405). 599. Графическое изображение тригонометрических
функций (407). 600. Дополнительные углы (403). 601. Знаки
тригонометрических функций (408). 602. Функции отрицательных углов. (409). 603.
Функции углов (п-~-±6) (410). 604. Соотношение между тригонометрическими
функциями угла (410). 605. (415). 606. (415).
Глава XXIV.
Графики тригонометрических функций.
607. График синуса (415). 608, Построение графика синуса
(синусоиды) (416). 609. График функции sin (x + В) (416). 610. График функции
у = sin nx, при п положительном (418). 611. (419). 612. График функции
у = sin (nx -[- В) (419). 613. График общего уравнения у = a sin (nx + В) (420).
614. Элемент времени в синусоидальных функциях (421). 615. (423). 616. (424).
617. (425). 618. (425). 619. (425). 6^0. Переменный ток (429). 621. Функции
вида х = a sin (пу + В) (430). 622. График функций (430). 623. Построение
графика косинуса (431). 624. График функций (432). 625. Сложные
периодические колебания или графики волн (432). 626. Затухающие колебания (433).
627. Ограничивающие кривые (433). 628. Сложение ординат (435). 629.
Графики обратных тригонометрических функций (436). 630. Сравнение
графиков синуса и косинуса (436). 631. График функции # = tg* (437). 632. По- '
строение графика функции у = tg x (438). 633. Графики функций у =s
= tg (* + £)> # = tgnx (438). 634. Сравнение графика тангенса (439),
635. График функции a ctg (nx + В) (440). 636. Построение графика функции
у = ctg х (440). 637. Графики функций у = sec x и у ;= cosec x (441),
59*
932
Оглавление
Глава XXV.
Решение треугольников.
638. Решение прямоугольных треугольников (442). 639. (443). 640.
Другой прием при решении прямоугольных треугольников с помощью
логарифмов (444).
Косоугольные треугольники,
641. Закон синусов (444). 642. Закон косинусов (444). 643. Решение
косоугольных треугольников (445). 644. (446). 645. (447). 646. (447). 647. (449).
648^ Простое правило (450). 649. Решение треугольников (459). 650. Тупые
углы ($51).
Глава XXVi.
Полярные координаты.
651. Полярные координаты (451). 652. Полярный график функции
р = a cos 8 [311] (452). 653. Полярный график функции р = a sin Ь [312] (452).
654. Вращение полярных графиков (453). 655. Соотношение между
полярными и прямоугольными координатами (453). 656. График функции
Р = a cos 6 -f- b sin 6 [317] (454). 657. Элемент времени в полярных графиках
синуса и косинуса (456). 658. (457). 659. Полярные графики функций синуса
и косинуса (459).
Глава XXVII.
Векторы» мнимые и комплексные величины.
Векторы,
660. (459). 6 31. Сложение векторов (459).
Мнимые и комплексные величины,
662. (462). 663. График мнимой единицы (463). 664. Сложение и
вычитание мнимых количеств (454). 665. (464). 666. Значение комплексных
количеств (465). 667. (466). 668. Векторное изображение (466). 669.
Комплексное количество х -j- yi (466). 670. Сопряженные комплексные
количества (467). 671. (468). 672. Умножение комплексных количеств (468). 673.
Деление комплексных количеств (468). 674. Комплексные выражения в
полярных координатах (459). 6/5. (470). 676. Умножение комплексных количеств,
заданных в полярной форме (470). 677. Деление комплексных количеств,
выраженных в полярной форме (472). 678. Теорема Моавра (473). 679.
Приложения теоремы Моавра к тригонометрии (475). 680. Разложение в ряд
sin n 6 и cos n 0 посредством теоремы Моавра и формулы бинома (477).
631. Показательные выражения sin 0, cos 0, tg 0 (478). 682. Показательные
формы комплексных количеств (479).
Глава XXVIII.
Гиперболические функции.
633. Гиперболические функции (479). 684. (480). 635. (481). 686. (482),
687. Соотношение между гиперболическими и тригонометрическими
функциями v482). 683. Разложение sh* и ch* в ряд (483). 689. Графики гипер*
болических функций (483).
Оглавление 933
Глава XXIX.
Решение тригонометрических уравнений.
690. (484). 691. Уравнения вида sin (х + В) = с sin x (486). 692.
Уравнения вида tg (х 4- В) = ctg л: (486). 693. Уравнения вида a cos n G -|- Ь sin n Ь =
= с (487 J. 694. Графическое решение тригонометрических уравнений (488).
695. Уравнение R sin (* + с) = a cos x + Ь sin л: (488). 696. (488) 697. (489).
698. Системы тригонометрических уравнений (490). 699. (491).
Глава XXX.
Простейшие приложения координат.
700. (492). 701. Величина отрезков (492). 702. Геометрия одного
измерения (493). 703. Геометрия двух измерений (493). 704. Координаты (493).
705. (494). 706. (495). 707. (495). 708, Расстояние между двумя точками (495).
709. Расстояние между двумя точками в косоугольных координатах (495).
710. (496). 711. Измерение углов между прямыми (496). 712. Наклон прямых
(497). 713. Наклон прямой, проходящей через точки Р\(х\, у{) и /^(^г» У2)>
выраженный через координаты этих точек (497). 714. Параллельные прямые
(488). 715. Перпендикулярные прямые (498). 716. Угол между прямыми (499).
717. Деление отрезка в данном отношении (500). 718. Деление прямой,
соединяющей точки (*}, уи) и (*2t у%) в данном отношении г (500). 719.
Площадь треугольника (502). 720. Правила вычисления площади (502). 721.
Выражение для площади треугольника в виде определителя (503). 722. (503).
723. Площадь многоугольника (504). 724. Составление уравнений (505).
Глава XXXI.
Линейные уравнения. Прямая линия.
725. (507). 726. Уравнения прямой, проходящей через данную точку (507).
727. Уравнение прямой с угловыми коэффициентами (508). 728. Прямые,
параллельные осям (509). 729. Уравнение прямой, проходящей через две
точки (510). 730. Уравнение прямой в отрезках (512). 731. Нормальный
вид уравнения прямой (513). 732. Приведение общего уравнения прямой
к форме в отрезках (514). 733. Приведение общего уравнения прямой к
нормальному виду (515). 734. Уравнение прямой, проходящей через точку (x0fyt))
перпендикулярно к линии Ах + By -f- С = 0 (516\ 735. Расстояние от
данной точки Р (xQ, yQ) до прямой Ах + By -f- С = 0 (517). 736. Уравнение
прямой, проходящей через данную точку Р х0, у0) и образующую угол 6 с
линией Ах -f- By + С — 0 (518). 737. Полярн )е уравнение прямой, проходящей
через две точки, например Р-_ (pj, Gj)h P^KH^ ^г) (519). 733. Системы прямых
линий (520). 739. Системы прямых, перпендикулярных к линии у — тх =
= к (521). /40. Системы прямых, проходящих через данную точку (522).
741. Система прямых, проходящих через пересечение двух данных линий (523).
742. Уравнение х cos к-\-у sink — р = 0 (525). 743. Произведение двух
линейных уравнений (526). 744. Уравнения второй степени, выражающие прямые
линии (526)<
Глава XXXII.
Уравнения второй степени. Конические сечения- Парабола.
745. Геометрическое место точки (527). 746. Уравнение любого кони*
ческого сечения в прямоугольных координатах (528). 747. Уравнение
конического сечения в полярных координатах (528).
934 Оглавление
Парабола.
748. Уравнение параболы (529). 749, Упрощение общего уравнения
конического сечения. Уравнение параболы (531). 750. Latus rectum (531).
751. Парабола и квадратное уравнение (531). 752. Общее уравнение
параболы с осью, параллельной оси X или оси Y (533). 753. Функция второй
степени у = ал:2 -f- Ьх + с (534). 754. Уравнение параболы в полярных
координатах (534). 755. Построение параболы (535). 756. Траектория снаряда (535).
757. Параболический свод (537).
Глава XXXIII.
Окружность и эллипс.
758. (537). 759. Определение окружности (539). 760. Уравнение
окружности в полярных координатах (540). 761. Системы окружности (541) 762.
Длина касательной (542). 763. Эллипс (543). 764. Уравнение эллипса (544).
765. Другие соотношения (545). 766. Второй фокус и директриса (546). 767.
Уравнение конического сечения, приводимое к уравнению эллипса (547).
768. Эксцентриситет е в зависимости от коэффициентов членов общего
уравнения (548). 769. Фокальные радиусы (549). 770. Случай, когда большая
ось направлена по оси К. (550). 771. Уравнение эллипса, оси которого
параллельны осям координат, но не совпадают с ними (551). 772. Форма
Ах2 + Сф + Dx + Ey -f F = 0 (552). 773. Случай, когда большая ось
параллельна оси Y и начало расположено не в центре (554). 774. Эксцентрический
угол. Эксцентрическая аномалия (554). 775. Уравнение эллипса в полярных
координатах (555).
- Глава XXXIV.
Гипербола.
776. (556). 777. Случай, когда фокуеы лежат на оси Y (559). 778. Вывод
уравнения гиперболы из общего уравнения конических сеченнй (559). 779.
Фокальные радиусы (радиусы-векторы) (560). 780. Асимптоты (561). 781.
Сопряженные гиперболы (562). 782. Преобразование уравнения гиперболы
путем перенесения начала координат (563). 733. Равнобочная гипербола (564).
784. Уравнение равнобочной гиперболы, отнесенной к асимптотам как
к осям (565). 785. Уравнение вида Ах2 + Су2 + Dx + Ey + F — 0 ' (567).
786. Эксцентриситет е, выраженный через коэффициенты членов общего
уравнения (568). 787. Уравнение гиперболы в полярных координатах (569).
788. Соотношение между эксцентриситетом е эллипса к гиперболы в
случае одинаковых а и о (569). 789. Соотношение между эксцентриситетом
эллипса и гиперболы, имеющих одинаковые значения аир (570). 790. (570).
791. Выражения для р в уравнении гиперболы (571).
Глава XXXV.
Общее уравнение второго порядка.
792. Уничтожение членов первой степени посредством перемещения
начала координат (571). 793. Вращение осей (572). 794. Определение вида
кривой второго порядка (574). 795. Касательная (метод секущей) (574). 796.
Касательные к коническим сечениям (576). 797. Уравнение касательной
к коническому сечению, если известен ее наклон (577). 798. Нормали
Оглавление $35
к коническим сечениям (579V 799. Свойства касательных я нормалей
к коническим сечениям (579). 800. Диаметр конического сечения (581). 801.
Свойства диаметров (582). 802. Подкасательные и поднормали (583).
Глава XXXVI.
Уравнения в параметрической форме и в полярных координатах.
803. Параметрические уравнения кривой (585). 804. Параметрические
уравнения прямой (586). 805. Параметрическое уравнение окружности (589).
806. Параметрическое уравнение параболы (590). 807. Развертка круга
(эвольвента) (591). 808. Пример движения (592). 809. Циклоида (592). 810.
Построение циклоиды (593) 811. Трохоида (594). 812. Гипоциклоида и эпициклоида
(594). 813. Построение гипоциклоиды и эпициклоиды (595). 814. Особые виды
гипоциклоид (596). 815. Уравнения кривых в полярных координатах (597).
816. Применение полярных координат (597). 817. Спирали (598). 818.
Спираль Архимеда (598). 819. Гиперболическая спираль (598). 820.
Параболическая спираль (599). 821. Жезл (599). 822. Логарифмическая спираль (599).
823. Лемнискаты (601). 824. Трехлепестная роза (601). 825. Четырехлепесткая
роза (601).
Глава XXXVII.
Эмпирические уравнения.
826. Определение эмпирических уравнений (601). 827. (602). 828.
Способ наименьших квадратов (603). 829. Зависимости, приводимые к
прямолинейным (604). 830. (606). 831. Степенные функции (607). 832. Степенные
функции, в которых р. — величина отрицательная (611). 833. Эмпирические
уравнения вида t/ = a -f- Ьх + ex2 -f-... + gxn (613). 834. Закон естественного
роста или показательный (614).
Глава XXXVIII.
Приложение координат к геометрии трех измерений.
835. (616). 836. (616). 837. Расстояние между двумя точками в про*
странстве (617). 838. Углы между двумя радиусами-векторами или между
двумя прямыми (618). 839. Деление отрезка прямой в данном
отношении (619). 840. Поверхности (619). 841. Некоторые уравнения с одной
переменной (619). 842. Уравнение с двумя переменными первой степени (623).
843. Любое уравнение с двумя переменными (620). 844. Кривые в
пространстве (621). 845. Шар. (622) 846. Проекции (623). 847. Проекция кривой на
координатную плоскость (624). 848. Пересечение поверхности с координат
ными осями (625). 849. Поверхности вращения (625). 850. Уравнение ко
нуса (627). 851. Сплющенный сфероид (628). 852. Вытянутый сфероид (628).
853. Параболоид вращения (628). 854. Однополый гиперболоид
вращения (С23). 855. Двуполый гиперболоид вращения (629).
Глава XXXIX.
Линейные уравнения с тремя переменными.
856. Плоскость (629). 857. Общее уравнение первой степени. (630). 858.
(632). 859. Уравнение плоскости в отрезках на осях координат 633). 860.
Расстояние от точки до плоскости (633). 861. Система плоскостей\635). 862,
Система параллельных плоскостей (635). 863. Система плоскостей, проходя-
936
Оглавление
щих через линию пересечения двух плоскостей (636). 864. Система
плоскостей, проходящих через данную точку (637). 865. Плоскость, проходящая
через три заданные точки (637). 866. Уравнения плоскостей, делящих
пополам углы между двумя пересекающимися плоскостями (638). 867.
Прямая линия (639). 868. Уравнение прямой, проходящей через данную
точку и образующей углы а, ^ | с осями (640). 869. Прямая, проходящая
через две данные точки (641). 870. Прямая, параллельная плоскости (641).
871. Прямая, перпендикулярная к плоскости (642).
Глава XL.
Уравнения второй степени с тремя переменными (в пространстве).
87?- Уравнения второй степени (642). 873. Эллипсоид (642). 874.
Однополый гиперболоид (644). 875. Двуполый гиперболоид (646). 876. Элиптиче-
ский параболоид (647). 877. Гиперболический параболоид (648). 8^8. Конусы
(649). 879. Цилиндры (650). 880. Параметрические уравнения кривой в
пространстве (652).
Глава XLI.
Дифференциальное нечисление.
881. (652). 882. Скорость изменения величин (653). 883. Средняя
скорость изменения (654/ 884. Скорость изменения в данный момент (654).
885. Размеры величин (655). 886. Переменные и пределы (655). 887.
Понятие о пределе (657). 888. Графическая иллюстрация (669).
Глава XLII.
Основные правила дифференцирования.
839. Производная (661). 890. Значение пределов (662). 891.
Дифференцирование 662). 892. Производная постоянной величины (662). 893.
Производная переменной, взятая по этой же переменной (663). 894. Влияние
постоянного слагаемого (663). 895. Производная произведения функции на
постоянную (664). 896. Производная степени (664)-
Глава XLIII.
Дифференцирование алгебраических функций.
897. Дифференцирование суммы (666). 898. Производная степени (667).
899. Дифференцирование функции от функции (669). 9С0. Графическое
изображение функций от функций (670). 901. Производная функции,
возведенной в некоторую степень (671). 902. Производная произведения двух
функций (672). 903. Пример произведения двух функций (673). 904. Производная
произведения нескольких функций (675). 905. Другой вид формулы для
производной произведения (675). 906. Производная частного от деления двух
функций (676). 907. Наклон кривой, заданной уравнением в общем виде v677).
М)8. Дифференцирование неявных функций (679). 909. Дифференцирование
общего уравнения кривой второго порядка (681). 910. Производная от
производной 681). 911. Последовательное дифференцирование (682). 912. Графики
производных (683)\ 913. График производной от общего вида квадратного
уравнения у = ах2 + Ьх + с v683). 914. График производной кубической
функции у — а*3 -|- Ьх2 -\- сх-\- d ЧС35). 915. График производной уравнений
Оглавление 937
E£^M?1?lt П* + СХ + *** + е (68б)- 916' Графическое дифференциро-
Qi^rioi;!!;: РТДеНГ касатель»<>а «кривой^некоторой ее точке (689).
918. Сравнение графика функции с графиком ее производной (689),
Глава XL1V.
Приложения дифференциального исчисления.
919. Вычисление приближенных значений корней уравнения по методу
Ньютона (692). 920. Скорость (в обычном смысле) и векториальная
скорость (694). 921. Перемещение (694;. 922. Прямолинейное движение (695).
923. Ускорение в прямолинейном движении (696). 924. Кривая
расстояний (697). 925. Кривые скоростей (698). 926. Угловая скорость и угловое
ускорение (698). 927. Средняя скорость (699). 923. Величина скорости в
данный момент и направление движения точки (700). 929. Соотношение между
угловой и линейной скоростями в круговом движении точки (702). 930.
Криволинейное движение на плоскости (703). Задачи. 931 (707). 932. (707).
933. (710). 934 (711). 935. Сила, масса и ускорение (712).
Глава XLV4
Дифференцирование тригонометрических функций.
936. Производная функции у = sin и (714). 937. Производная функции
у = Cos и (718). 933. Производная функции у = vers и (719). 939.
Графическое дифференцирование функции у == sin x (719). 940. Графическое
дифференцирование функции # = cos:t (720). 941. Кривошипно-кулисный
механизм (721). 942. Графическое решение задачи п° 941 (722). 943. Простое
гармоническое движение (724). 944. Другая задача на простое гармовическое
движение (725). 945. Производная функции у = tg и (726). 946. Производные
других тригонометрических функций у = ctg и и т. д. (727). 947. Примеры
дифференцирования тригонометрических функций (728). 948. Производные
обратных тригонометрических функций (729). 949. (729). 950. Графическое
исследование обратных функций (730). 951. Производные гиперболических
функций (731).
Глава XLVI.
Дифференцирование логарифмических н показательных функций.
952. Производные функции \ga и (733). 953. Дифференцирование лога*
рифма, данного в общем виде (736). 954. Сравнение методов
дифференцирования (737). 955. Сравнение графиков функции у = \g x с графиком её
производной у = — (738). 956. Производная показательной функции (739).
957. Производные функции у = иР (741). 958. Относительная скорость
возрастания и закон сложных процентов (741). 959. Графическое
дифференцирование при помощи графика показательной фунцкии (743).
Глава XLVII.
Дифференциалы.
960. Обозначение дифференциала (746). 961. Приложение дифферент
циалов к исследованию кривых (747). 962. Длина кривой (749). 963.
Дифференциал дуги (749).
938 Оглавление
Глава XLVIII.
Исследование кривых.
964. Параметрические уравнения (750). 965. Составляющие скорости
в пространстве (751). 966. Наклон кривой (752). 967. (753). 968. Случаи,
когда производная положительна или отрицательна (753). 969. (754)!
970. Вогнутость кривой (755). 971. Точки перегиба (758). 972. Определение
значений максимума и минимума (759). 973. Правила для нахождения
максимума или минимума (760). 974. Кривизна (765). 975. Радиус
кривизны (766)
Глава XLIX.
Разложение функций в ряды.
976 Теорема Ролля (767). 977. Закон среднего (767). 978. Обобщение
закона средней (769). 979. Формула Тэйлора с остатком (771). 980.
Формула Маклорена с остатком (773). 981. Предел выражения при х,
стремящемся к 0 (775) 982. Неопределенные формы (775).
Глава L
Частное и полное дифференцирования.
983. Функции двух независимых переменных (778). 984.
Дифференцирование функции Двух независимых переменных (779). 985. Полное
дифференцирование (781). 936. Дифференцирование функции от функции двух
или более независимых переменных (784). 987. Последовательнее частное
дифференцирование (785). 988. Зависимые переменные (786). 989. Полные
дифференциалы (788). 990. Дифференцирование неявных функций (788).
Глава LI.
Интегральное исчисление.
991. (789). 992. (790). 993. Постоянная интегрирования (791). 994.
Интегрирование выражения хт (793). 995. Постоянный множитель (794)
996. Интегрирование суммы и разности (794). 997. Вычисление площадей
посредством интегрирования (795). 998. Задачи на определение средней
величины (799). 999. Нахождение среднего значения посредством
вычисления площади (799). 1000. Площадь в полярных координатах (802).
Глава LII.
Графическое интегрирование.
Графические методы интегрирования.
1001. Графическое интегрирование (804). 1002. Графическое определение
постоянной интегрирования (806). 1003. Работа растяжения пружины (807).
1004. Пример графического интегрирования (807). 1005. Графическое
интегрирование графиков скорости (808). 1006. Основные формы интегральных
кривых (809). 1007. График интеграла от а (809). 1008. График интеграла
от постоянной величины при различных постоянных интегрирования (810),
1009. График интеграла функции у~,ах-\-Ь (810). 1010. График интеграла
функции у = ах2-\- Ьх -j- с (811). 0
Оглавление 939
Глава LIII.
Определенный интеграл.
1011. Определенные интегралы (812). 1012. Среднее значение (814).
1013. Определение среднего значения ординаты графическим способом (815).
1014. Перестановка пределов. (816). 10l5. Разбивка пределов
интегрирования (816). 1016. Площадь в параметрической форые (817).
Глава LIV.
Интегрирование посредством приведения.
1017. Элементарные приемы (818). 1018. Простейшие преобразования
при интегрировании (818). 1019. Основные формулы интегрирования (819).
1020. Интегрирование посредством подстановки новых переменных (820).
11)21. Интегрирование по частям (824). 1022. Интегрирование посредством
преобразования функции в известную интегрируемую форму (827).
1023. Интегрирование функции при помощи приведения ее к известной
интегрируемой форме (827). 1024. Приведение интегрируемой функции
к логарифмической форме, непосредственно вытекающее из вида функ-
du *
ции (830). 1025. Логарифмическая форма I — dx или I — (831).
1026. Форма / хт (a-{-bxnY dx (831). 1027. Тригонометрические формулы
приведения (834). 1028. Формулы I дл,2 + ^ + с и / flJKa^6jir + c Л(837).
1029. Интегралы, содержащие дробные степени х или двучлена (а -f- Ьх) (839).
1030. Интегрирование посредством тригонометрических подстановок (840).
1031. Построение функций YcP — х* или Ух?±а2 (841). 1032. Квадратные
выражения ах2 -f- bx -f- с (842). 1033. Интегрирование рациональных
дробей (842). 1034. Интегрирование посредством разложения данной дроби
на простейшие (812). 1035. Последовательное интегрирование (844).
Глава LV.
Метод суммирования.
1036. Определенный интеграл как предел суммы (845). 1037. Площади,
ограниченные плоскими кривыми. Прямоугольные координаты. Метод
суммирования (849). 1038. Полярные координаты (852). 1039. Длина кривой.
Прямоугольные координаты (853). 1040. Длина кривой. Полярные
координаты (856). 1041. Поверхности тел вращения (857). 1042. Объемы тел
вращения (858). 1043. Давление жидкости на вертикальные стенки (859).
1044. Работа, совершаемая при подъеме жидкости до некоторого уровня (861).
Глава LVI.
Примеры на применение интегрирования.
1045. Пример интегрирования (862). 1046. Напряжение в ремне и
в приводном шкиве (863). 1047. Закон охлаждения (866). 1048. Работа
расширения газа (867). 1049. Вывод уравнения движения тяжелой точки (867).
940 Оглавление
1050. Пройденный путь (868). 10^1. Балки (869). 1052. Пример (871).
1053. Балки, несущие равномерно распределенную нагрузку (872). 1054.
Уравновешивание изгибающих моментов балки (876). 1055. Энергия (878).
1056. Количество движения (879). 1057. Соотношения, связывающие работу,
импульс, мгновенный импульс и количество движения (880). 1058.
Инерция (882). 1059. Момент инерции (882). 1060. Моменты инерции площади
плоской фигуры относительно двух параллельных осей, лежащих в ее
плоскости (884). 1061. Радиус инерции (885). 1062. Центр параллельных сил (885).
Глава LVIL
Частное и кратное интегрирование.
1063. Частное интегрирование (888). 1064. Геометрическое значение
частного интегрирования (890). 1065. Частное интегрирование. Другой
метод (891). 1066. Вычисление площадей двойным интегрированием (892).
1067. Вычисление двойным интегрированием площади между двумя кривыми
(894). 1068. Графическое решение предыдущей задачи (897). 1069.
Вычисление двойным интегрированием площадей плоских фигур. Полярные
координаты (898). 1070. Вычисление момента площади двойным
интегрированием (901). 1071. Вычисление двойным интегрированием координат центра
тяжести (902). 1072. Положение центров тяжести различных фигур (904).
1073. Вычисление двойным интегрированием момента инерции площади
плоской фигуры (907). 1074. Полярный момент инерции. Прямоугольные
координаты (908). 1075. Вычисление полярного момента энерции двойным
интегрированием (909). 1076. Вычисление двойным интегрированием
площадей криволинейных поверхностей (911). 1077. Вычисление объемов тройным
интегрированием (914). 1078. Сравнение простого и двойного
интегрирования (918). 1079. Вычисление моментов посредством метода
суммирования (917). 1030. Приближённое интегрирование (918). 1081. Правило Симп-
сона для приближенного вычисления интеграла (920). 1082. Применение
планиметра для целей интегрирования (922).
Ответственный редактор Е. В. Пулькина. Технический редактор Р. В* Эмдина.
Сдана в набор 21/V 1933 г. Подписана к печати 27 XI 1933 г*
Формат 82XH1W ГТТИ № 201. Инд. Т-20-5(5а>5. Тип. зн. в 1 п. л. 41.760.
Ленгорлит № 25139. Тираж 7.000-583/* л. Заказ № 976.