ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
IV
В.Б. БЕРЕСТЕЦКИЙ
Е.М. ЛИФШИЦ
Л.П. ПИТАЕВСКИЙ
КВАНТОВАЯ

Л.Д. ЛАНДАУ и Е.М. ЛИФШИЦ
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
ФИЗИКА
В десяти томах
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ

В.Б. БЕРЕСТЕЦКИЙ, Е.М. ЛИФШИЦ, Л.П. ПИТАЕВСКИЙ
Том IV
КВАНТОВАЯ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Издание четвертое, исправленное
Под редакцией Л.П. Питаевского
Рекомендовано Министерством
образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов
физических специальностей университетов
МОСКВА
ФИЗМАТЛИТ

УДК 530.1@75.8)
Л22
ББК 22.31
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика:
Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. IV/B. Б. Берестецкий,
Е. М. Л и ф ш и ц, Л. П. П и т а е в с к и й. Квантовая электроди-
электродинамика. — 4-е изд., испр. — М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2002. —720 с.— ISBN
5-9221-0058-0 (Т. IV).
Четвертое издание четвертого тома курса «Теоретическая физи-
физика», заслужившего широкую известность в нашей стране и за рубе-
рубежом. Том включает в себя релятивистскую теорию свободных частиц
во внешнем поле, теорию испускания и рассеяния света, релятивист-
релятивистскую теорию возмущений и ее применение к электродинамическим
процессам, теорию радиационных поправок, асимптотическую теорию
процессов при высоких энергиях.
3-е изд. — 1989 г.
Для студентов старших курсов физических специальностей вузов,
а также аспирантов и научных работников соответствующих специ-
специальностей.
Ил. 27.
Ответственный редактор курса «Теоретическая физика» академик
РАН, доктор физико-математических наук Л. П. Питаевский
ISBN 5-9221-0058-0 (Т. IV)
ISBN 5-9221-0053-Х	© ФИЗМАТЛИТ, 1989, 2001, 2002

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию		9
Предисловие ко второму изданию		9
Из предисловия к первому изданию		10
Некоторые обозначения 		12
Введение
1.	Соотношения неопределенности в релятивистской области	15
Г л а в а I. Фотон
2.	Квантование свободного электромагнитного поля 		19
3.	Фотоны		24
4.	Калибровочная инвариантность 		27
5.	Электромагнитное поле в квантовой теории 		30
6.	Момент и четность фотона 		32
7.	Сферические волны фотонов 		35
8.	Поляризация фотона		41
9.	Система двух фотонов 		47
Г л а в а П. Бозоны
10.	Волновое уравнение для частиц со спином 0		50
11.	Частицы и античастицы 		55
12.	Истинно нейтральные частицы 		60
13.	Преобразования С, Р, Т 		63
14.	Волновое уравнение для частицы со спином 1		70
15.	Волновое уравнение для частиц с высшими целыми спина-
спинами 		74
16.	Спиральные состояния частицы 		76
Глава III. Фермионы
17.	Четырехмерные спиноры		83
18.	Связь спиноров с 4-векторами		86
19.	Инверсия спиноров 		90
20.	Уравнение Дирака в спинорном представлении		95
21.	Симметричная форма уравнения Дирака 		98
22.	Алгебра матриц Дирака 		103
23.	Плоские волны		107
24.	Сферические волны 		110
25.	Связь спина со статистикой 		114
26.	Зарядовое сопряжение и обращение спиноров по времени	118
27.	Внутренняя симметрия частиц и античастиц 		122
28.	Билинейные формы		125
29.	Поляризационная матрица плотности 		130
30.	Двухкомпонентные фермионы		135
31.	Волновое уравнение для частицы со спином 3/2		140

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава IV. Частица во внешнем поле
32.	Уравнение Дирака для электрона во внешнем поле	143
33.	Разложение по степеням 1/с	148
34.	Тонкая структура уровней атома водорода 	152
35.	Движение в центрально-симметричном поле	154
36.	Движение в кулоновом поле 	159
37.	Рассеяние в центрально-симметричном поле	166
38.	Рассеяние в ультрарелятивистском случае	169
39.	Система волновых функций непрерывного спектра для рас-
рассеяния в кулоновом поле 	171
40.	Электрон в поле плоской электромагнитной волны	175
41.	Движение спина во внешнем поле	178
42.	Рассеяние нейтронов в электрическом поле 	185
Г л а в а V. Излучение
43.	Оператор электромагнитного взаимодействия		187
44.	Испускание и поглощение		190
45.	Дипольное излучение 		192
46.	Электрическое мультипольное излучение 		195
47.	Магнитное мультипольное излучение		200
48.	Угловое распределение и поляризация излучения		202
49.	Излучение атомов. Электрический тип 		211
50.	Излучение атомов. Магнитный тип		216
51.	Излучение атомов. Эффекты Зеемана и Штарка 		219
52.	Излучение атомов. Атом водорода 		223
53.	Излучение двухатомных молекул. Электронные спектры .	229
54.	Излучение двухатомных молекул. Колебательный и враща-
вращательный спектры		236
55.	Излучение ядер 		237
56.	Фотоэффект. Нерелятивистский случай 		240
57.	Фотоэффект. Релятивистский случай		245
58.	Фоторасщепление дейтрона 		249
Глава VI. Рассеяние света
59.	Тензор рассеяния 	254
60.	Рассеяние свободно ориентирующимися системами	265
61.	Рассеяние на молекулах	272
62.	Естественная ширина спектральных линий 	276
63.	Резонансная флуоресценция 	281
Глава VII. Матрица рассеяния
64.	Амплитуда рассеяния		284
65.	Реакции с поляризованными частицами 		290
66.	Кинематические инварианты		293
67.	Физические области		296
68.	Разложение по парциальным амплитудам 		302
69.	Симметрия спиральных амплитуд рассеяния 		305
70.	Инвариантные амплитуды 		312
71.	Условие унитарности 		316
Глава VIII. Инвариантная теория возмущений
72.	Хронологическое произведение 	321

ОГЛАВЛЕНИЕ
73.	Диаграммы Фейнмана для рассеяния электронов		325
74.	Диаграммы Фейнмана для рассеяния фотона		332
75.	Электронный пропагатор		335
76.	Фотонный пропагатор		340
77.	Общие правила диаграммной техники 		345
78.	Перекрестная инвариантность		353
79.	Виртуальные частицы		354
Глава IX. Взаимодействие электронов
80.	Рассеяние электрона во внешнем поле 		360
81.	Рассеяние электронов и позитронов на электроне		364
82.	Ионизационные потери быстрых частиц 		374
83.	Уравнение Брейта		381
84.	Позитроний		388
85.	Взаимодействие атомов на далеких расстояниях 		393
ГлаваХ. Взаимодействие электронов с фотонами
86.	Рассеяние фотона электроном 	400
87.	Рассеяние фотона электроном. Поляризационные эффек-
эффекты 	405
88.	Двухфотонная аннигиляция электронной пары 	415
89.	Аннигиляция позитрония 	418
90.	Магнитотормозное излучение	423
91.	Образование пар фотоном в магнитном поле	433
92.	Тормозное излучение электрона на ядре. Нерелятивист-
Нерелятивистский случай 	436
93.	Тормозное излучение электрона на ядре. Релятивистский
случай 	449
94.	Образование пар фотоном в поле ядра 	459
95.	Точная теория рождения парв ультрарелятивистском слу-
случае 	463
96.	Точная теория тормозного излученияв ультрарелятивист-
ультрарелятивистском случае 	470
97.	Тормозное излучение электрона на электронев ультраре-
ультрарелятивистском случае	477
98.	Излучение мягких фотонов при столкновениях 	482
99.	Метод эквивалентных фотонов	489
100.	Образование пар при столкновениях частиц 	496
101.	Излучение фотона электрономв поле интенсивной элек-
электромагнитной волны	501
Глава XI. Точные пропагаторы и вершинные части
102.	Операторы полей в гейзенберговском представлении . . .	508
103.	Точный фотонный пропагатор 		511
104.	Собственно-энергетическая функция фотона		518
105.	Точный электронный пропагатор		522
106.	Вершинный оператор 		526
107.	Уравнения Дайсона 		530
108.	Тождество Уорда		533
109.	Электронный пропагатор во внешнем поле		536
110.	Физические условия перенормировки 		543
111.	Аналитические свойства фотонного пропагатора 		549
112.	Регуляризация интегралов Фейнмана		553

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава XII. Радиационные поправки
113.	Вычисление поляризационного оператора		558
114.	Радиационные поправки к закону Кулона 		562
115.	Вычисление мнимой частиполяризационного оператора по
интегралу Фейнмана		565
116.	Электромагнитные формфакторы электрона		570
117.	Вычисление формфакторов электрона 		574
118.	Аномальный магнитный момент электрона		579
119.	Вычисление массового оператора 		581
120.	Испускание мягких фотонов с ненулевой массой		587
121.	Рассеяние электрона во внешнем поле во втором борнов-
ском приближении 		592
122.	Радиационные поправки к рассеянию электрона во внеш-
внешнем поле 		598
123.	Радиационное смещение атомных уровней 		602
124.	Радиационное смещение уровней мезоатомов		610
125.	Релятивистское уравнение для связанных состояний . . .	612
126.	Двойное дисперсионное соотношение 		619
127.	Рассеяние фотона на фотоне 		627
128.	Когерентное рассеяние фотона в поле ядра		635
129.	Радиационные поправки к уравнениям электромагнитного
поля 		637
130.	Расщепление фотона в магнитном поле		648
131.	Вычисление интегралов по четырехмерным областям . . .	656
Глава XIII. Асимптотические формулы квантовой элек-
электродинамики
132.	Асимптотическое поведение фотонного пропагатора при
больших импульсах 		661
133.	Связь между «затравочным» и истинным зарядами . . .	665
134.	Асимптотическое поведение амплитуд рассеяния при вы-
высоких энергиях 		669
135.	Выделение дважды логарифмических членов в вершин-
вершинном операторе		674
136.	Дважды логарифмическая асимптотика вершинного опе-
оператора 		680
137.	Дважды логарифмическая асимптотика амплитуды рассе-
рассеяния электрона на мюоне 		683
Глава XIV. Электродинамика адронов
138.	Электромагнитные формфакторы адронов		690
139.	Рассеяние электронов адронами 		696
140.	Низкоэнергетическая теорема для тормозного излучения	699
141.	Низкоэнергетическая теорема для рассеяния фотона на
адроне 		703
142.	Мультипольные моменты адронов 		706
143.	Неупругое рассеяние электронов адронами		712
144.	Превращение электрон-позитронной пары в адроны . . .	715
Предметный указатель		717

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании «Квантовой электродинамики» исправ-
исправлены ошибки и неточности, обнаруженные после выхода второго
издания, и внесено несколько уточняющих текст добавлений.
Я признателен читателям книги, сообщившим мне свои заме-
замечания. В особенности я благодарен В. И. Когану, А. И. Никишову
и В. И. Ритусу.
Сентябрь 1988 г.	Л. П. Питаевский
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Первое издание предлагаемого тома Курса теоретической фи-
физики было опубликовано в двух частях в 1968 и 1971 гг. под на-
названием «Релятивистская квантовая теория». Кроме основного —
квантовоэлектродинамического — материала это издание содер-
содержало также главы, посвященные слабым взаимодействиям и
некоторым вопросам теории сильных взаимодействий. Сейчас
включение этих глав представляется нам несвоевременным. Тео-
Теория сильных и слабых взаимодействий бурно развивается на
основе новых физических идей, и ситуация в этой области ме-
меняется очень быстро, так что момент для последовательного из-
изложения теории заведомо еще не наступил. Ввиду этого в насто-
настоящем издании мы ограничились квантовой электродинамикой,
что отражено в изменении заглавия книги.
Наряду со значительным числом исправлений и мелких изме-
изменений, в настоящем издании сделан также и ряд более крупных
добавлений. Из них отметим операторный метод вычисления се-
сечения тормозного излучения, вычисление вероятности рождения
пар фотоном и вероятности распада фотона в магнитном поле,
исследование асимптотического поведения амплитуд рассеяния
при высоких энергиях, обсуждение процессов неупругого рассея-
рассеяния электронов адронами и превращения электрон-позитронных
пар в адроны.

10	ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Несколько слов об обозначениях. Мы вернулись в этой кни-
книге к обозначению операторов буквами со «шляпкой» — единооб-
единообразно с остальными томами этого курса. Для произведения же
4-вектора с матричным вектором 7^ (которое обозначалось бу-
буквой со шляпкой в первом издании книги) специальных обозна-
обозначений не вводится. Такие произведения выписываются явно.
К сожалению, нам пришлось готовить это издание без уча-
участия Владимира Борисовича Берестецкого, скончавшегося в
1977 г. Но часть из указанных выше добавлений была состав-
составлена ранее всеми тремя авторами совместно.
Мы искренне благодарны всем нашим читателям, сообщив-
сообщившим нам свои замечания по первому изданию книги. В особен-
особенности мы благодарим В. П. Крайнова, Л. Б. Окуня, В. И. Ритуса,
М. И. Рязанова и И. С. Шапиро.
Июль 1979 г.	Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В соответствии с общим планом этого курса настоящий том
посвящен релятивистской квантовой теорий в широком смысле
этого слова: теории всех явлений, связанных с конечностью ско-
скорости света, в том числе всей теории излучения.
Как известно, эта часть теоретической физики в настоящее
время еще далека от своего завершения даже в отношении ле-
лежащих в ее основе физических принципов. Это относится в осо-
особенности к теории сильных и слабых взаимодействий. Но даже
квантовая электродинамика, несмотря на достигнутые в ней за
последние 20 лет блестящие успехи, все еще не удовлетворитель-
удовлетворительна по своей логической структуре.
При отборе материала для этой книги мы ограничивались те-
теми результатами, которые представляются, с разумной степенью
уверенности, достаточно надежно установленными. Естественно,
что при таком подходе большую часть книги занимает квантовая
электродинамика. Мы стремились вести изложение с реалисти-
реалистической точки зрения, подчеркивая делаемые в теории физиче-
физические предположения, но не вдаваясь в обоснования, которые при
современном состоянии теории все равно имеют чисто формаль-
формальный характер.
При рассмотрении конкретных применений теории мы не ста-
ставили своей целью охватить все огромное число относящихся сюда
эффектов и ограничивались лишь основными из них, дав допол-
дополнительно некоторые ссылки на оригинальные работы, содержа-
содержащие более детальные исследования. При проведении вычислений,
отличающихся здесь обычно значительной громоздкостью, мы
часто опускали некоторые промежуточные формулы, но всегда

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ	11
старались указать все используемые нетривиальные методиче-
методические моменты.
По сравнению с другими томами этого курса изложение в
этой книге предполагает более высокий уровень подготовки чи-
читателя. Мы исходили из того, что читатель, который в процессе
изучения теоретической физики достиг квантовой теории поля,
уже не нуждается в излишнем «разжевывании» материала.
Эта книга написана без непосредственного участия нашего
учителя Л. Д. Ландау. Но мы стремились руководствоваться тем
духом и отношением к теоретической физике, которому он все-
всегда учил нас и которое он проводил в других томах этого кур-
курса. Мы часто спрашивали себя, как бы отнесся Дау к тому или
иному вопросу, и старались ответить так, как подсказывало нам
многолетнее общение с ним.
Мы благодарны В. Н. Байеру, оказавшему нам большую по-
помощь в составлении § 90 и 97, В. И. Ритусу за большую помощь
в написании § 101, Б. Э. Мейеровичу за помощь в некоторых вы-
вычислениях. Мы благодарны также А. С. Компанейцу, предоста-
предоставившему нам свои записи лекций по квантовой электродинамике,
прочитанных Л. Д. Ландау в МГУ в 1959/60 учебном году.
тд 1Q~7	В. Б. Берестецкий,
июнь мы г.	Е м Яифши% д п Питаевский

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Четырехмерные обозначения
Четырехмерные тензорные индексы обозначаются гречески-
греческими буквами A, /i, v', ... , пробегающими значения 0, 1, 2, 3.
Принята 4-метрика с сигнатурой (Н	). Метрический тен-
30Р gfii/ieOO = 1? gll = g2 = g33 = -1).
Перечисление компонент 4-вектора дается в виде а^ =(а°,а).
Для упрощения записи формул индекс компонент 4-векторов
часто опускается х) . При этом скалярные произведения 4-векто-
4-векторов записываются просто как (ab) или ab: ab = a^W = ао&о — ab.
4-радиус-вектор ж^ = (t, r). Элемент 4-объема с/4ж.
Оператор дифференцирования по 4-координатам: д^= д/дх^1.
Антисимметричный единичный 4-тензор ех^р, причем е0123 =
= -eoi23 = +1.
Четырехмерная E-функция: S^(a) = д(ао)д(з).
Трехмерные обозначения
Трехмерные тензорные индексы обозначаются латинскими
буквами г, /с, /, ... , пробегающими значения ж, у, 2.
Трехмерные векторы обозначаются буквами жирного прямо-
прямого шрифта.
Трехмерный элемент объема d?x.
Операторы
Операторы обозначаются буквами со шляпкой ^ 2) .
Коммутаторы или антикоммутаторы двух операторов:
Транспонированный оператор /.
Эрмитово-сопряженный оператор /+.
Матричные элементы
Матричный элемент оператора F для перехода из начального
состояния г в конечное /: Ffi или (f\F\i).
:) Такой способ записи широко используется в современной литературе.
Это требует, конечно, от читателя особого внимания.
2) Для упрощения записи формул шляпка опускается над спиновыми ма-
матрицами. Шляпка не пишется также над обозначениями операторов в ма-
матричных элементах.

НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ	13
Обозначение |г) используется как абстрактный символ состо-
состояния независимо от конкретного представления, в котором мо-
может быть выражена его волновая функция. Обозначение (/| —
символ конечного («комплексно-сопряженного») состояния :) .
Соответственно через (s | г) обозначаются коэффициенты раз-
разложения системы состояний с квантовыми числами г в суперпо-
I \	V^ I \ / I \
зицию состоянии с квантовыми числами s: \г) = }_^s \s)\s \ ч-
Приведенные матричные элементы сферических тензоров:
Уравнение Дирака
Матрицы Дирака: 7^> причем G°J = 1? (т1J = (т2J =
= G3J — — 1- Матрицы ос = 7°7> Р — 7°- Выражения в спи-
норном и стандартном представлениях: B1.3), B1.16), B1.20).
75 = -г7<у727з? G5J = х (см< B2.18)).
а»" = i/2 G^7nw - 7^) (см. B8.2)).
Дираковское сопряжение: ф = '0*7°.
Матрицы Паули; а = (ax,ay,az)] определение на с. 97.
4-спинорные индексы: а, /3, ... и а, Д ... , пробегающие зна-
значения 1, 2 и 1, 2.
Биспинорные индексы: г, /с, /,..., пробегающие значения 1,
2, 3, 4.
Разложение Фурье
Трехмерное разложение:
/(k)e*kr^3, /(к) =
и аналогично для четырехмерного случая.
Единицы
Везде, где не оговорено особо, используются релятивистские
единицы, в которых Н = 1, с = 1. В этих единицах квадрат
элементарного заряда е2 = 1/137.
Атомные единицы: e = l,/i=l,m=l.B этих единицах
с = 137. Атомные единицы длины, времени и энергии: Н2/те2,
/i3/me4 и те^/Н2 (величину Ry = те4:/2Н2 называют ридбергом).
Обычные единицы — абсолютная (гауссова) система единиц.
1) Обозначения Дирака

14	НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Постоянные
Скорость света с = 2,998 • 1010 см/с.
Элементарный заряд :) |е| = 4,803 • 10~10 ед. СГСЭ.
Масса электрона т = 9,11 • 10~28 г.
Постоянная Планка Н = 1,055 • 10~27 эрг • с.
Постоянная тонкой структуры а = е2/Не; 1/а = 137,04.
Боровский радиус Н2 /те2 = 5,292 • 10~9 см.
Классический радиус электрона ге= е2/тс2 = 2,818-10~13 см.
Комптоновская длина волны электрона /i/mc = 3,862-10~и см.
Энергия покоя электрона тс2 = 0,511 • 106 эВ.
Атомная единица энергии те4:/Н2= 4,360-Ю1 эрг = 27,21 эВ.
Магнетон Бора \е\Н/2тс = 9,274 • 101 эрг • Гс.
Масса протона тр = 1,673 • 10~24 г.
Комптоновская длина волны протона Н/трс = 2,103-10~14 см.
Ядерный магнетон \е\Н/2трс = 5,051 • 10~24 эрг • Гс.
Отношение масс мюона и электрона т^/т = 2,068 • 102.
Ссылки
Ссылки на другие тома этого курса снабжены римскими циф-
цифрами: I—«Механика», 1988; II—«Теория поля», 1988; III —
«Квантовая механика», 1989; VIII—«Электродинамика сплош-
сплошных сред», 1982; X—«Физическая кинетика», 1979.
:) В этой книге (везде, кроме гл. XIV) обозначение е для заряда частицы
включает в себя его знак, так что для электрона е = — |е|.

ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Соотношения неопределенности
в релятивистской области
Изложенная в т. III этого курса квантовая теория имеет су-
существенно нерелятивистский характер и неприменима к явлени-
явлениям, сопровождающимся движением со скоростями, не малыми
по сравнению со скоростью света. На первый взгляд можно бы-
было бы ожидать, что переход к релятивистской теории возможен
путем более или менее непосредственного обобщения аппарата
нерелятивистской квантовой механики. Внимательное рассмо-
рассмотрение, однако, показывает, что построение логически замкнутой
релятивистской теории требует привлечения новых физических
принципов.
Напомним некоторые физические представления, лежащие в
основе нерелятивистской квантовой механики (III, § 1). Мы виде-
видели, что фундаментальную роль в ней играет понятие измерения,
под которым понимается процесс взаимодействия квантовой си-
системы с «классическим объектом» («прибором»), в результате
которого квантовая система приобретает определенные значения
тех или иных динамических переменных (координат, скоростей и
т. п.). Мы видели также, что квантовая механика сильно ограни-
ограничивает возможность одновременного существования у электро-
электрона :) различных динамических переменных. Так, неопределен-
неопределенности Aq и Ар, с которыми могут одновременно существовать
координата и импульс, связаны соотношением AqAp ~ H 2) ; с
чем большей точностью измерена одна из этих величин, с тем
меньшей точностью может быть одновременно измерена другая.
Существенно, однако, что каждая из динамических перемен-
переменных электрона в отдельности могла быть измерена со сколь угод-
угодно большой точностью, причем в течение сколь угодно короткого
промежутка времени. Это обстоятельство играет фундаменталь-
г) Как и в т. III, § 1, мы говорим для краткости об электроне, имея в виду
любую квантовую систему.
2) В этом параграфе пользуемся обычными единицами.

16	ВВЕДЕНИЕ
ную роль для всей нерелятивистской квантовой механики. Толь-
Только благодаря ему можно ввести понятие о волновой функции,
основное в аппарате этой теории. Действительно, физический
смысл волновой функций ф{д) заключается в том, что квадрат ее
модуля определяет вероятность получения, в результате произ-
произведенного в данный момент времени измерения, того или иного
значения координаты электрона. Ясно, что необходимой пред-
предпосылкой для введения понятия о такой вероятности является
принципиальная возможность осуществления сколь угодно точ-
точного и быстрого измерения координаты; в противном случае это
понятие стало бы беспредметным и потеряло бы свой физиче-
физический смысл.
Существование предельной скорости (скорости света с)
приводит к новым принципиальным ограничениям возможно-
возможностей измерения различных физических величин (Л. Д. Ландау,
R. Peierls, 1930).
В т. III, § 44 было получено соотношение
(v' -v)ApAt~H,	A.1)
связывающее неопределенность Ар измерения импульса элек-
электрона с продолжительностью At самого процесса измерения; v
и vf — скорости электрона до и после измерения. Из этого со-
соотношения следует, что добиться достаточно точного измерения
импульса в течение достаточно короткого времени (т. е. мало-
малого Ар при малом At) можно лишь ценой достаточно большо-
большого изменения скорости в результате самого процесса измерения.
В нерелятивистской теории это обстоятельство есть проявление
неповторимости измерения импульса через короткие промежут-
промежутки времени, но ни в коей мере не затрагивает принципиальной
возможности сколь угодно точного однократного измерения им-
импульса, поскольку разность vf—v может быть сделана сколь угод-
угодно большой.
Наличие же предельной скорости меняет положение вещей
коренным образом. Разность vf — г>, как и самые скорости, не
может теперь превышать с (точнее, 2с). Заменив в A.1) г>7 — г> на
с, мы получим соотношение
H/c,	A.2)
определяющее наилучшую принципиально достижимую точ-
точность измерения импульса при данной продолжительности изме-
измерения At. Таким образом, в релятивистской теории оказывает-
оказывается принципиально невозможным сколь угодно точное и быстрое
измерение импульса. Точное измерение импульса (Ар —>• 0) воз-
возможно лишь в пределе бесконечно большой продолжительности
измерения.
Есть основания считать, что претерпевает изменения также
и вопрос об измеримости координаты электрона самой по себе. В

§ 1	СООТНОШЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ	17
математическом формализме теории это проявляется в несовме-
несовместимости точного измерения координаты с утверждением о поло-
положительности энергии свободной частицы. Мы увидим в дальней-
дальнейшем, что полная система собственных функций релятивистского
волнового уравнения свободной частицы включает в себя (наря-
(наряду с решениями с «правильной» зависимостью от времени) так-
также решения с «отрицательной частотой». Эти функции войдут,
в общем случае, и в разложение волнового пакета, отвечающего
электрону, локализованному в небольшом участке пространства.
Волновые функции «отрицательной частоты» связаны, как
будет показано, с существованием античастиц - позитронов. По-
Появление этих функций в разложении волнового пакета выра-
выражает собой неизбежное в общем случае образование электрон-
позитронных пар в процессе измерения координат электрона.
Неконтролируемое самим процессом возникновение новых ча-
частиц лишает смысла измерения координат электрона.
В системе покоя электрона минимальная погрешность изме-
измерения его координат
Aq ~ П/тс.	A.3)
Этому значению (единственно допустимому уже из соображе-
соображений размерности) отвечает неопределенность импульса Ар ~ тс,
которая, в свою очередь, соответствует минимальной пороговой
энергии образования пары.
В системе отсчета, в которой электрон движется с энергией
6, вместо A.3) имеем
Aq~ch/e.	A.4)
В частности, в предельном ультрарелятивистском случае энер-
энергия связана с импульсом соотношением е « ср, и тогда
Aq~H/p,	A.5)
т. е. погрешность Aq совпадает с дебройлевской длиной волны
частицы г) .
Для фотонов всегда имеет место ультрарелятивистский слу-
случай, так что справедливо выражение A.5). Это значит, что о
координатах фотона имеет смысл говорить только в тех случа-
случаях, когда характерные размеры велики по сравнению с длиной
волны. Но это есть не что иное, как «классический» предель-
предельный случай, соответствующий геометрической оптике, в которой
) Речь идет об измерениях, для которых из любого результата опыта мож-
можно сделать заключение о состоянии электрона, т. е. мы отвлекаемся от из-
измерений координат с помощью столкновений, когда за время наблюдения
результат осуществляется не с вероятностью 1. Хотя из факта отклонения
частицы в таком случае можно сделать заключение о местоположении элек-
электрона, из отсутствия отклонения вообще нельзя сделать никаких выводов.

18	ВВЕДЕНИЕ
можно говорить о распространении света вдоль определенных
траекторий — лучей. В квантовом же случае, когда длина волны
не может рассматриваться как малая, понятие координат фотона
становится беспредметным. Мы увидим в дальнейшем (см. § 4),
что в математическом формализме теории неизмеримость коор-
координат фотона проявляется уже в невозможности составить из
его волновой функции величину, которая могла бы играть роль
плотности вероятности, удовлетворяющей необходимым требо-
требованиям релятивистской инвариантности.
На основании всего сказанного естественно думать, что буду-
будущая теория вообще откажется от рассмотрения временного хода
процессов взаимодействия частиц. Она покажет, что в этих про-
процессах не существует точно определяемых характеристик (да-
(далее в пределах обычной квантовомеханической точности), так
что описание процесса во времени окажется столь же иллюзор-
иллюзорным, какими оказались классические траектории в нереляти-
нерелятивистской квантовой механике. Единственными наблюдаемыми
величинами будут являться характеристики (импульсы, поля-
поляризации) свободных частиц - начальных частиц, вступающих
во взаимодействие, и конечных частиц, возникших в результа-
результате процесса {Л. Д. Ландау, R. Peierls, 1930).
Характерная постановка вопроса в релятивистской кванто-
квантовой теории состоит в определении амплитуд вероятности пере-
переходов, связывающих заданные начальные и конечные (т. е. при
t —>• Т00) состояния системы частиц. Совокупность амплитуд пе-
переходов между всеми возможными состояниями составляет ма-
матрицу рассеяния, или S-матрицу. Эта матрица будет носителем
всей информации о процессах взаимодействия частиц, имеющей
наблюдаемый физический смысл (W. Heisenberg, 1938).
В настоящее время полной, логически замкнутой релятивист-
релятивистской квантовой теории еще нет. Мы увидим, что существующая
теория вносит новые физические аспекты в характер описания
состояния частиц, приобретающего некоторые черты теории по-
поля (см. § 10). Она строится, однако, в значительной мере по об-
образцу и с помощью понятий обычной квантовой механики. Такое
построение теории привело к успеху в области квантовой элек-
электродинамики. Отсутствие полной логической замкнутости в этой
теории проявляется в существовании расходящихся выражений
при прямом применении ее математического аппарата, но для
устранения этих расходимостей существуют вполне однозначные
способы. Тем не менее эти способы в значительной степени сохра-
сохраняют характер полуэмпирических рецептов, и наша уверенность
в правильности получающихся таким путем результатов основа-
основана в конечном счете на их прекрасном согласии с опытом, а не на
внутренней согласованности и логической стройности основных
принципов теории.

ГЛАВА I
ФОТОН
§ 2. Квантование свободного электромагнитного поля
Поставив своей целью рассмотреть электромагнитное поле
как квантовый объект, удобно исходить из такого классического
описания поля, в котором оно характеризуется хотя и бесконеч-
бесконечным, но дискретным рядом переменных; такое описание позво-
позволит непосредственно применить обычный аппарат квантовой ме-
механики. Представление же поля с помощью потенциалов, задава-
задаваемых в каждой точке пространства, есть по существу описание
с помощью непрерывного множества переменных.
Пусть А (г, t) —векторный потенциал свободного электромаг-
электромагнитного поля, удовлетворяющий «условию поперечности»
divA = 0.	B.1)
При этом скалярный потенциал Ф = 0, а поля Е и Н:
Е = -А, H = rotA.	B.2)
Уравнения Максвелла сводятся к волновому уравнению для А:
АА - — = 0.	B.3)
dt2	v J
Как известно (см. II, § 52), в классической электродинамике
переход к описанию с помощью дискретного ряда переменных
осуществляется путем рассмотрения поля в некотором большом,
но конечном объеме пространства V г) . Напомним, как это де-
делается, опустив детали вычислений.
Поле в конечном объеме может быть разложено на бегущие
плоские волны, так что его потенциал изобразится рядом вида
>r + a?e-*kr),	B.4)
к
где коэффициенты ак зависят от времени по закону
ak~e"ia;*, o; = |k|.	B.5)
В силу условия B.1) комплексные векторы ак ортогональны
соответствующим волновым векторам: akk = 0.
1) Во избежании загромождения формул лишними множителями будем
полагать V = 1.

20	фотон
Суммирование в B.4) производится по бесконечному дискрет-
дискретному набору значений волнового вектора (его трех компонент кХ1
ку, kz). Переход к интегрированию по непрерывному распреде-
распределению можно произвести с помощью выражения
с13к/BтгK
для числа возможных значений к, приходящихся на элемент объ-
объема к-пространства d3k = dkxdkydkz.
Заданием векторов ак полностью определяется поле в данном
объеме. Таким образом, эти величины можно рассматривать как
дискретный набор классических «переменных поля». Для вы-
выяснения способа перехода к квантовой теории, однако, следует
произвести еще некоторое преобразование этих переменных, в
результате которого уравнения поля приобретают вид, аналогич-
аналогичный каноническим уравнениям (уравнениям Гамильтона) клас-
классической механики. Канонические переменные поля определяют-
определяются посредством
L
B.6)
Pk = —gL(?)
(они, очевидно, вещественны). Векторный потенциал выражает-
выражается через канонические переменные согласно
А = л/4тг ^2 (Qk cos kr ~ ~pk sinkr) •	B-7)
k
Для нахождения функции Гамильтона Н надо вычислить
полную энергию поля
I Г 9 9
выразив ее через величины Qk, Pk. Представив А в виде разло-
разложения B.7), вычислив Ей Н согласно B.2) и произведя инте-
интегрирование, получим
к
Каждый из векторов Рк и Qk перпендикулярен волновому
вектору к, т. е. имеет по две независимые компоненты. Направ-
Направление этих векторов определяет направление поляризации соот-
соответствующей волны. Обозначив две компоненты векторов Qk,
Pk (в ПЛОСКОСТИ, перпендикулярной к) ПОСредСТВОМ Qkcn Р\аа
(а = 1,2), перепишем функцию Гамильтона в виде

§ 2 КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 21
Таким образом, функция Гамильтона распадается на сумму
независимых членов, каждый из которых содержит только по
одной паре величин Qkcn Рка- Каждый такой член соответству-
соответствует бегущей волне с определенными волновым вектором и поля-
поляризацией, причем имеет вид функции Гамильтона одномерного
гармонического осциллятора. Поэтому о полученном разложе-
разложении говорят как о разложении поля на осцилляторы.
Перейдем теперь к квантованию свободного электромагнит-
электромагнитного поля. Изложенный способ классического описания поля де-
делает очевидным путь перехода к квантовой теории. Мы должны
рассматривать теперь канонические переменные — обобщенные
координаты Qka и обобщенные импульсы Р\^а — как операторы
с правилом коммутации
PkaQka ~ QbaPka = ~i	B-9)
(операторы же с разными ка все коммутативны друг с другом).
Вместе с ними становятся операторами (эрмитовыми) также по-
потенциал А и, согласно B.2), напряженности Е и Н.
Последовательное определение гамильтониана поля требует
вычисления интеграла
±J	H2)d3x,	B.10)
в котором Е и Н выражены через операторы Pkcn Qka- Факти-
Фактически, однако, некоммутативность последних при этом не про-
проявляется, так как произведения QkaPka входят с множителем
coskr-sinkr, обращающимся в нуль при интегрировании по все-
всему объему. Поэтому в результате для гамильтониана получается
выражение
ка
в точности соответствующее классической функции Гамильтона,
что и естественно было ожидать.
Определение собственных значений этого гамильтониана не
требует особых вычислений, так как сводится к известной зада-
задаче об уровнях энергии линейных осцилляторов (см. III, § 23).
Поэтому мы можем сразу написать для уровней энергии поля
(	?)	B-12)
ка
где Nka — целые числа.
К обсуждению этой формулы мы вернемся в следующем па-
параграфе, а сейчас выпишем матричные элементы величин Qkcn

22	фотон
что можно сделать непосредственно с помощью известных фор-
формул для матричных элементов координат осциллятора (см. III,
§ 23). Отличные от нуля матричные элементы равны
(Nka\Qka\Nka - 1} = (Nka - l|Qka|iVkQ> = У^. B.13)
?
Матричные элементы величин Рка = Qka отличаются от матрич-
матричных элементов Qka лишь множителем ±ш.
В дальнейших вычислениях, однако, будет удобнее пользо-
пользоваться вместо величин Qkcn Рка их линейными комбинациями
uQka =Ь iPkai которые имеют матричные элементы только для
переходов Nka —>> Nka ± 1. Соответственно этому вводим опера-
операторы
(классические величины ска, с^а совпадают с точностью до мно-
множителя \/2тт/со с коэффициентами akai a^a в разлож:ении B.4))
Матричные элементы этих операторов равны
(iVka - l|cka|iVka) = (iVka|C+JiVka - 1) = y/N^. B.15)
Правило коммутации меж:ду с\^а и с^а получается с помощью
определения B.14) и правила B.9):
?	?	1-	B-16)
Для векторного потенциала мы возвращаемся к разложению
вида B.4), в котором, однако, коэффициенты являются теперь
операторами. Напишем его в виде
А = ^(cka Aka + г^А^),	B.17)
ka
где
Vi^^Llkr.	B.18)
Мы ввели обозначение е^ для единичных векторов, указываю-
указывающих направление поляризации осцилляторов; векторы е^ пер-
перпендикулярны волновому вектору к, причем для каждого к име-
имеются две независимые поляризации.
Аналогично для операторов Е и Н напишем
+ c+aHkJ, B.19)
ha	ha
причем
= iu>Akcn Hka = [nEkJ (n = k/a;).	B.20)

КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 23
Векторы Ака взаимно ортогональны в том смысле, что
B.21)
Действительно, если Ака и А?.,а, различаются волновыми векто-
векторами, то их произведение содержит множитель ег(к~к )г, дающий
нуль при интегрировании по объему; если же они различаются
лишь поляризациями, то е^е^а '* = 0, так как два независимых
направления поляризации взаимно ортогональны. Аналогичные
соотношения справедливы для векторов Е^, Н^. Их нормиров-
нормировку удобно записать в виде
HkaH*k,a,)d3x = uSwSaa'.	B-22)
Подставив операторы B.19) в B.10) и произведя интегрирова-
интегрирование с помощью B.22), получим гамильтониан поля, выраженный
через операторы с, с^:
ка
Этот оператор в рассматриваемом представлении (матричные
элементы операторов с, с4" из B.15)) диагоналей, и его собствен-
собственные значения совпадают, конечно, с B.12).
В классической теории импульс поля определяется как инте-
интеграл:
Р = — f[BH]d3x.
4тг J
При переходе к квантовой теории заменяем Е и Н операторами
B.19) и без труда находим
\(PL+QL)n	B-24)
ка
— в соответствии с известным классическим соотношением меж-
между энергией и импульсом плоских волн. Собственные значения
этого оператора
P = ^>(iVka + i).	B.25)
ка
Представление операторов, осуществляемое матричными эле-
элементами B.15), есть «представление чисел заполнения»,—оно
отвечает описанию состояния системы (поля) путем задания
квантовых чисел Nka (числа заполнения). В этом представле-
представлении операторы поля B.19) (ас ними и гамильтониан B.11)) дей-
действуют на волновую функцию системы, выраженную в функции

24	фотон
чисел Nka; обозначим ее Ф(ЛГка,?). Операторы поля B.19) не за-
зависят явно от времени. Это соответствует обычному в нереляти-
нерелятивистской квантовой механике шредингеровскому представлению
операторов. Зависящим же от времени является при этом состо-
состояние системы ФGУксп^)) причем эта зависимость определяется
уравнением Шредингера
гд-^ = НФ.
dt
Такое описание поля по существу релятивистски инвариант-
инвариантно, поскольку оно базируется на инвариантных уравнениях Мак-
Максвелла. Но эта инвариантность не выявлена явно, —прежде все-
всего потому, что пространственные координаты и время входят в
описание крайне несимметричным образом.
В релятивистской теории целесообразно придать описанию
внешне более инвариантный вид. Для этой цели надо восполь-
воспользоваться так называемым гейзенберговским представлением, в
котором явная временная зависимость перенесена на сами опе-
операторы (см. III, § 13). Тогда время и координаты будут равно-
равноправным образом входить в выражения для операторов поля, а
состояние системы Ф будет функцией только от чисел заполне-
заполнения.	^
Для оператора А переход к гейзенберговскому представле-
представлению сводится к замене в каждом члене суммы в B.17), B.18)
множителя егкг на ег(кг-^M т< е. к тому, чтобы под А\^а пони-
понимать зависящие от времени функции
^^-^.	B.26)
В этом легко убедиться, заметив, что матричный элемент гей-
гейзенберговского оператора для перехода i —> f должен содержать
множитель exp{—i(Ei — Ef)t}, где Е{ и Ef — энергии начального
и конечного состояний (см. III, § 13). Для перехода с уменьше-
уменьшением или увеличением N^ на 1 этот множитель сводится соот-
соответственно к e~iujt или eiujt. Это требование будет соблюдено в
результате указанной замены.
В дальнейшем (при рассмотрении как электромагнитного по-
поля, так и полей частиц) мы всегда будем подразумевать гейзен-
гейзенберговское представление операторов.
§ 3. Фотоны
Обратимся к обсуждению полученных формул квантования
поля.
Прежде всего, формула B.12) для энергии поля обнаружи-
обнаруживает следующую трудность. Наиболее низкому уровню энергии

фотоны	25
поля соответствует равенство нулю квантовых чисел N\^a всех ос-
осцилляторов (это состояние называют состоянием вакуума элек-
электромагнитного поля). Но даже в этом состоянии каждый осцил-
осциллятор обладает отличной от нуля «нулевой энергией» ио/2. При
суммировании же по всему бесконечному числу осцилляторов мы
получим бесконечный результат. Таким образом, мы сталкиваем-
сталкиваемся с одной из «расходимостей», к которым приводит отсутствие
полной логической замкнутости существующей теории.
Пока речь идет лишь о собственных значениях энергии поля,
можно устранить эту трудность простым вычеркиванием энер-
энергии нулевых колебаний, т. е. написав для энергии и импульса
поля г)
**u>	P = Е ^«к.	C.1)
ha	ha
Эти формулы позволяют ввести основное для всей кванто-
квантовой электродинамики понятие о световых квантах, или фото-
фотонах 2) . Именно, мы можем рассматривать свободное электромаг-
электромагнитное поле как совокупность частиц, каждая из которых имеет
энергию uj{= huo) и импульс к(= пНоо/с). Соотношение между
энергией и импульсом фотона —такое, каким оно должно быть
в релятивистской механике для частиц с равной нулю массой
покоя, движущихся со скоростью света. Числа заполнения N\^a
приобретают смысл чисел фотонов с данными импульсами к и
поляризациями е^аК Свойство поляризации фотона аналогично
понятию спина у других частиц (специфические особенности фо-
фотона в этом отношении будут рассмотрены ниже, в § 6).
Легко видеть, что развитый в предыдущем параграфе мате-
математический формализм находится в полном соответствии с пред-
представлением об электромагнитном поле как о совокупности фото-
фотонов; это есть не что иное, как аппарат так называемого вторич-
вторичного квантования в применении к системе фотонов 3) . В этом
методе (см. III, § 64) роль независимых переменных играют чис-
числа заполнения состояний, а операторы действуют на функции
этих чисел. При этом основную роль играют операторы «уни-
1) Это вычеркивание можно произвести формально не противоречивым
образом, условившись понимать произведения операторов в B.10) как «нор-
«нормальные», т. е. такие, в которых операторы сг" располагаются всегда левее
операторов с. Формула B.23) примет тогда вид
) Представление о фотонах было впервые введено Эйнштейном (A. Ein-
Einstein, 1905).
3) Метод вторичного квантования в применении к теории излучения был
развит Дираком (P. A. M. Dirac, 1927).

26	фотон
чтожения» и «рождения» частиц, соответственно уменьшающие
или увеличивающие на единицу числа заполнения. Именно таки-
такими операторами и являются с^, cjj^,: оператор с^а уничтожает
фотон в состоянии ка, а с^а — рождает фотон в этом состоянии.
Правило коммутации B.16) соответствует случаю частиц,
подчиняющихся статистике Бозе. Таким образом, фотоны явля-
являются бозонами, как этого и следовало ожидать заранее: допу-
допустимое число фотонов в любом состоянии может быть произ-
произвольным (мы вернемся еще в § 5 к роли этого обстоятельства).
Плоские волны А\^а B.26), фигурирующие в операторе А
B.17) в качестве коэффициентов перед операторами уничтоже-
уничтожения фотонов, можно трактовать как волновые функции фото-
фотонов, обладающих определенными импульсами к и поляризация-
поляризациями е^а\ Такая трактовка соответствует разложению ^-операто-
^-оператора в виде ряда по волновым функциям стационарных состояний
частицы в нерелятивистском аппарате вторичного квантования
(в отличие от последнего, однако, в разложение B.17) входят
как операторы уничтожения, так и операторы рождения частиц;
смысл этого различия выяснится в дальнейшем, см. § 12).
Волновая функция B.26) нормирована условием
2)d3x = и;	C.2)
Это есть нормировка на один фотон в объеме V = 1. Действи-
Действительно, интеграл в левой стороне равенства представляет собой
квантовомеханическое среднее значение энергии фотона в состо-
состоянии с данной волновой функцией :) . В правой же стороне ра-
равенства C.2) стоит энергия одного фотона.
Роль «уравнения Шредингера» для фотона играют уравне-
уравнения Максвелла. В данном случае (для потенциала А(г,?), удо-
удовлетворяющего условию B.1)) это — волновое уравнение
— - АА = 0.
«Волновые функции» фотона в общем случае произвольных ста-
стационарных состояний представляют собой комплексные решения
этого уравнения, зависящие от времени посредством множителя
Говоря о волновой функции фотона, подчеркнем лишний раз,
что ее отнюдь нельзя рассматривать как амплитуду вероятности
:) Обратим внимание на то, что коэффициент 1/Dтг) в интеграле C.2)
в два раза больше обычного коэффициента 1/(8тг) в B.10). Эта разница
связана, в конечном счете, с комплексностью векторов Ека, Нка, в отличие
от эрмитовых операторов поля Е, Н.

§ 4	КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ	27
пространственной локализации фотона — в противоположность
основному смыслу волновой функции в нерелятивистской кван-
квантовой механике. Это связано с тем, что (как было указано в § 1)
понятие координат фотона вообще не имеет физического смы-
смысла. К математическому аспекту этой ситуации мы вернемся еще
в конце следующего параграфа.
Компоненты разложения Фурье функции А(г,?) по коорди-
координатам образуют волновую функцию фотона в импульсном пред-
представлении; обозначим ее A(k, t) = A{k)e~lujt. Так, для состоя-
состояния с определенным импульсом к и поляризацией е^ волновая
функция импульсного представления дается просто коэффици-
коэффициентом при экспоненциальном множителе в B.26):
/—е(а)
Aka(k ,а ) = V4:7r-j=6kfk6aaf.	C.3)
В соответствии с измеримостью импульса свободной части-
частицы волновая функция импульсного представления имеет более
глубокий физический смысл, чем функция координатного пред-
представления: она дает возможность вычислить вероятности и\^а
различных значений импульса и поляризации фотона, находя-
находящегося в заданном состоянии. Согласно общим правилам кван-
квантовой механики и\^а дается квадратом модулей коэффициентов
разложения функции А (к7) по волновым функциям состояний с
определенными к и е^а
wka ос
к'а'
(коэффициент пропорциональности зависит от способа норми-
нормировки функций). Подставив сюда C.3), получим
После суммирования по двум поляризациям найдем вероятность
того, что фотон имеет импульс к:
wkoc |A(k)|2.	C.5)
§ 4. Калибровочная инвариантность
Как известно, выбор потенциалов поля в классической элек-
электродинамике неоднозначен: компоненты 4-потенциала А^ мож-
можно подвергнуть произвольному калибровочному (или градиент-
градиентному) преобразованию вида
А^-^А^ + с^х,	D.1)
где х — произвольная функция координат и времени (см. II, § 18).

28	фотон
Для плоской волны, если ограничиться преобразованиями,
не меняющими вида потенциала (его пропорциональности мно-
множителю ехр(—ik^x^)), неоднозначность сводится к возможности
прибавления к амплитуде волны любого 4-вектора, пропорцио-
пропорционального 4-вектору к*1.
Неоднозначность потенциала сохраняется, конечно, и в кван-
квантовой теории — применительно к операторам поля или к волно-
волновым функциям фотонов. Не предрешая способа выбора потен-
потенциалов, надо писать вместо B.17) аналогичное разложение для
операторного 4-потенциала
где волновые функции А^а — 4-векторы вида
или в краткой записи, опуская четырехмерные векторные индек-
индексы:
Ак = V^-^=e-ikx, ее* = -1.	D.3)
V2cj
Здесь 4-импульс к^ = (о;, к) (так что кх = cot — kr), a e — единич-
единичный 4-вектор поляризации :) .
Если ограничиться калибровочными преобразованиями, не
меняющими зависимости функции D.3) от координат и време-
времени, то они будут состоять в замене
е»-> е» + Хк»,	D.4)
где х = х(к^) —произвольная функция. Поперечность поляри-
поляризации означает, что всегда возможна такая калибровка, при ко-
которой 4-вектор е имеет вид
e" = @,e), ek = 0	D.5)
(такую калибровку мы будем называть трехмерно поперечной).
В инвариантном четырехмерном виде это требование записыва-
записывается в виде условия четырехмерной поперечности
ек = 0.	D.6)
Обратим внимание на то, что это условие (как и нормиро-
нормировочное условие ее* = — 1) не нарушается преобразованием D.4)
:) Выражение D.3) не имеет вполне релятивистски-ковариантного D-век-
торного) вида, что связано с неинвариантным характером принятой нами
нормировки на конечный объем V = 1. Это, однако, не имеет принципиаль-
принципиального значения и вполне компенсируется удобствами такого способа норми-
нормировки. Мы увидим в дальнейшем, что им обеспечивается простое и автома-
автоматическое получение реальных физических величин в должной инвариантной
форме.

§ 5	КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ	29
в силу того, что к2 = 0. С другой стороны, равенство нулю ква-
квадрата 4-импульса частицы означает равенство нулю ее массы.
Тем самым выявляется связь между калибровочной инвариант-
инвариантностью и равенством нулю массы фотона (другие аспекты этой
связи будут указаны в § 14).
Никакие измеримые физические величины не должны ме-
меняться при калибровочном преобразовании волновых функций
фотонов, участвующих в процессе. Это требование калибровоч-
калибровочной инвариантности играет в квантовой электродинамике даже
большую роль, чем в классической теории. Мы увидим на много-
многочисленных примерах, что оно является здесь, наряду с требова-
требованием релятивистской инвариантности, мощным эвристическим
принципом.
В свою очередь калибровочная инвариантность теории тесно
связана с законом сохранения электрического заряда; мы оста-
остановимся на этом ее аспекте в § 43.
Мы упоминали уже в предыдущем параграфе, что коорди-
координатная волновая функция фотона не может быть истолкована
как амплитуда вероятности его пространственной локализации.
В математическом аспекте это обстоятельство проявляется в не-
невозможности составить с помощью волновой функции величи-
величину, которая уже хотя бы по своим формальным свойствам мог-
могла играть роль плотности вероятности. Такая величина должна
была бы выражаться существенно положительной билинейной
комбинацией из волновой функции А^ и ее комплексно-сопря-
комплексно-сопряженной. Кроме того, она должна была бы удовлетворять опре-
определенным требованиям релятивистской ковариантности — пред-
представлять собой временную компоненту 4-вектора (дело в том,
что уравнение непрерывности, выражающее сохранение числа
частиц, записывается в четырехмерном виде как равенство нулю
дивергенции 4-вектора тока; временной компонентой последнего
и является в данном случае плотность вероятности локализации
частицы, см. II, § 29). С другой стороны, в силу требования ка-
калибровочной инвариантности 4-вектор А^ мог бы входить в ток
лишь в виде антисимметричного тензора F^ = д^Ау — дуА^ =
= —^(кцАу — куАц). Таким образом, 4-вектор тока должен был
бы составляться билинейно из F^v и F*^ (и компонент 4-векто-
4-вектора кц). Но такой 4-вектор вообще невозможно составить: всякое
выражение, удовлетворяющее поставленным условиям (напри-
(например, kxF*uFxu), обращается в нуль в силу условия поперечности
(к Fv\ = 0), не говоря уже о том, что оно не было бы существен-
существенно положительным (так как содержит нечетные степени компо-
компонент kfj).

30	фотон
§ 5. Электромагнитное поле в квантовой теории
Описание поля как совокупности фотонов есть единственное
описание, вполне адекватное физическому смыслу электромаг-
электромагнитного поля в квантовой теории. Оно заменяет классическое
описание с помощью напряженностей поля. Последние выступа-
выступают в математическом аппарате фотонной картины как операто-
операторы вторичного квантования.
Как известно, свойства квантовой системы приближаются к
классическим в тех случаях, когда велики квантовые числа,
определяющие стационарные состояния системы. Для свободно-
свободного электромагнитного поля (в заданном объеме) это означает,
что должны быть велики квантовые числа осцилляторов, т. е.
числа фотонов N\^a. В этом смысле глубокое значение имеет то
обстоятельство, что фотоны подчиняются статистике Бозе. В ма-
математическом формализме теории связь статистики Бозе со свой-
свойствами классического поля проявляется в правилах коммутации
операторов ci^, cjj^,. При больших N\^ai когда велики матричные
элементы этих операторов, можно пренебречь единицей в правой
стороне перестановочного соотношения B.16), в результате чего
получится
т. е. эти операторы перейдут в коммутирующие друг с другом
классические величины с\^а, с^а, определяющие классические на-
напряженности поля.
Условие квазиклассичности поля требует, однако, еще уточ-
уточнения. Дело в том, что если велики все числа N\^ai то при сумми-
суммировании по всем состояниям ка энергия поля во всяком случае
окажется бесконечной, так что условие становится беспредмет-
беспредметным.
Физически осмысленная постановка вопроса об условиях ква-
квазиклассичности основана на рассмотрении значений поля, усред-
усредненных по некоторому небольшому промежутку времени At. Ес-
Если представить классическое электрическое поле Е (или магнит-
магнитное поле Н) в виде разложения в интеграл Фурье по времени,
то при усреднении его по промежутку времени At заметный
вклад в среднее значение Е дадут только те из компонент Фу-
Фурье, частоты которых удовлетворяют условию о;At < 1; в про-
противном случае осциллирующий множитель e~iujt при усреднении
почти обратится в нуль. Поэтому при выяснении условия ква-
квазиклассичности усредненного поля надо рассматривать лишь те
из квантовых осцилляторов, частоты которых ио < I/At. Доста-
Достаточно потребовать, чтобы были велики квантовые числа этих
осцилляторов.

§ 6	ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ	31
Число осцилляторов с частотами между нулем и ио ~ I/At
(отнесенное к объему V = 1) по порядку величины равно х)
3 1	E-1)
(!)¦
Полная энергия поля в единичном объеме ~ Е2. Разделив эту
величину на число осцилляторов и на некоторую среднюю энер-
энергию отдельного фотона (~ Нш), найдем порядок величины чисел
фотонов	_ з
AT	^ С
Пи4
Потребовав, чтобы это число было велико, получим неравенство
E.2)
Это и есть искомое условие, допускающее классическое рас-
рассмотрение усредненного (по промежуткам времени At) поля. Мы
видим, что поле должно быть достаточно сильным — тем боль-
большим, чем меньше интервал усреднения At. Для переменных по-
полей этот интервал не должен, разумеется, превышать периодов
времени, в течение которых поле заметно меняется. Поэтому до-
достаточно слабые переменные поля во всяком случае не могут
быть квазиклассичны. Лишь в случае статических (постоянных
во времени) полей можно положить At —>• оо, так что правая
сторона неравенства E.2) обращается в нуль. Это значит, что
статическое поле всегда классично.
Уже было указано, что классические выражения для элек-
электромагнитного поля в виде суперпозиции плоских волн должны
рассматриваться в квантовой теории как операторные. Физиче-
Физический смысл этих операторов, однако, весьма ограничен. Действи-
Действительно, физически осмысленный оператор поля должен был бы
приводить к равным нулю значениям поля в состоянии фотон-
фотонного вакуума. Между тем среднее значение оператора квадрата
поля Е2 в нормальном состоянии, совпадающее с точностью до
множителя с нулевой энергией поля, оказывается бесконечным
(под «средним значением» мы понимаем квантовомеханическое
среднее значение, т. е. соответствующий диагональный матрич-
матричный элемент оператора). Избежать этого нельзя даже с помощью
какой-либо формальной операции вычеркивания (как это можно
сделать для энергии поля), так как в данном случае мы должны
были бы сделать это путем некоторого разумного видоизмене-
видоизменения самих операторов Е, Н (а не их квадратов), что оказывается
невозможным.
) В этом параграфе пользуемся обычными единицами.

32	фотон
§ 6. Момент и четность фотона
Как и всякая частица, фотон может обладать определенным
моментом импульса. Для выяснения свойств этой величины у
фотона предварительно напомним, каким образом связаны в ма-
математическом аппарате квантовой механики свойства волновой
функции частицы с ее моментом.
Момент частицы j складывается из ее орбитального момента 1
и собственного момента — спина s. Волновая функция частицы со
спином s есть симметричный спинор ранга 2s, т. е. представля-
представляет собой совокупность 2s + 1 компонент, которые при поворотах
системы координат преобразуются друг через друга по опреде-
определенному закону. Орбитальный же момент связан с координат-
координатной зависимостью волновых функций: состояниям с орбиталь-
орбитальным моментом / соответствуют волновые функции, компоненты
которых выражаются (линейно) через шаровые функции поряд-
порядка /.
Возможность последовательным образом различать спин
и орбитальный момент требует, следовательно, независимости
«спиновых» и «координатных» свойств волновых функций: ко-
координатная зависимость компонент спинора (в заданный момент
времени) не должна ограничиваться никакими дополнительны-
дополнительными условиями.
В импульсном представлении волновых функций координат-
координатной зависимости отвечает зависимость от импульса к. Волновой
функцией фотона (в трехмерно поперечной калибровке) являет-
является вектор А (к). Вектор эквивалентен спинору второго ранга, и
в этом смысле можно было бы приписать фотону спин 1. Но эта
векторная волновая функция подчинена условно поперечности,
к А (к) = 0, представляющему собой дополнительное условие, на-
налагаемое на импульсную зависимость вектора А (к). В результате
эта зависимость уже не может быть задана для всех компонент
вектора одновременно произвольным образом, что и приводит к
невозможности разделения орбитального момента и спина.
Отметим, что к фотону неприменимо также определение спи-
спина как момента покоящейся частицы, поскольку для фотона,
движущегося со скоростью света, вообще не существует системы
покоя.
Таким образом, для фотона можно говорить лишь о его пол-
полном моменте. При этом заранее ясно, что полный момент может
пробегать лишь целочисленные значения. Это видно уже из того,
что среди величин, характеризующих фотон, нет никаких спино-
спиноров нечетного ранга.
Как и для всякой частицы, состояние фотона характеризу-
характеризуется также своей четностью, связанной с поведением волновой
функции при инверсии системы координат (см. III, § 30). В им-

§ 6	МОМЕНТ И ЧЕТНОСТЬ ФОТОНА	33
пульсном представлении изменению знака координат отвечает
изменение знака всех компонент к. Воздействие оператора ин-
инверсии Р на скалярную функцию <р(к) заключается только в
этом изменении: Р<р(к) = ср(—к). При воздействии же на вектор-
векторную функцию А (к)) надо еще учесть, что изменение направле-
направления осей на обратное меняет также знак всех компонент вектора;
поэтому :)
РА(к) = -А(-к).	F.1)
Хотя разделение момента фотона на орбитальный момент и
спин лишено физического смысла, тем не менее удобно ввести
«спин» s и «орбитальный момент» / формальным образом как
вспомогательные понятия, выражающие свойства преобразова-
преобразования волновой функции по отношению к вращениям: значение
5 = 1 отвечает векторности волновой функции, а значение / есть
порядок входящих в нее шаровых функций. Мы имеем при этом в
виду волновые функции состояний с определенными значениями
момента фотона, представляющие собой для свободной частицы
сферические волны. Число / определяет, в частности, четность
состояния фотона, равную
P = (-l)/+1	F.2)
В таком же смысле можно представить оператор момента j
как сумму is+j. Оператор момента связан, как известно, с опера-
оператором бесконечно малого поворота системы координат; в данном
случае — с действием этого оператора на векторное поле. В сум-
сумме s~+j оператор 1з действует на векторный индекс, преобразуя
друг через друга различные компоненты вектора. Оператор же
1 действует на эти компоненты как на функции импульса (или
координат).
Подсчитаем число состояний (с заданной энергией), которые
возможны при заданном значении j момента фотона (отвлека-
(отвлекаясь при этом от тривиального Bj + 1)-кратного вырождения по
направлениям момента).
При независимых Ins такое вычисление осуществляется про-
простым подсчетом числа способов, которыми можно по правилам
векторной модели сложить моменты Ins так, чтобы получить
1) Условимся определять четность состояния по действию оператора ин-
инверсии на полярный вектор, каковым является А (или соответствующий
электрический вектор Е = га;А). Оно отличается по знаку от действия на
аксиальный вектор Н = г[кА], поскольку инверсия не меняет направление
такого вектора:
РН(к) = Н(-к).
2 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

34	фотон
нужное значение j. Для частицы со спином s = I мы нашли бы
таким образом (при заданном отличном от нуля значении j) три
состояния со следующими значениями / и четности:
l = j±l,P= (-l)l+1 = (-l)j.
Если же j = 0, то получается всего одно состояние (с / = 1) с
четностью Р = +1.
В этом подсчете, однако, не учтено условие поперечности век-
вектора А; все три его компоненты рассматривались как независи-
независимые. Поэтому из полученного числа состояний надо еще вычесть
число состояний, соответствующих продольному вектору. Такой
вектор можно написать в виде k<p(k), откуда ясно, что по сво-
своим трансформационным (по отношению к вращениям) свойствам
его три компоненты эквивалентны всего одному скаляру (р х) .
Следовательно, можно сказать, что лишнее состояние, не совме-
совместимое с условием поперечности, соответствовало бы состоянию
частицы со скалярной волновой функцией (спинор ранга 0), т. е.
со «спином 0» 2) . Момент j этого состояния совпадает поэтому
с порядком входящих в (р сферических функций. Четность же
этого состояния как состояния фотона определяется действием
оператора инверсии на векторную функцию lap:
т. е. равна (—1)J. Таким образом, из полученного выше числа
состояний с четностью (—1)J (двух при j ^ 0 и одного при j = 0)
надо вычесть одно.
Окончательно мы приходим к результату, что при отличном
от нуля моменте фотона j существуют одно четное и одно нечет-
нечетное состояния. При j = 0 мы не получим вовсе никаких состоя-
состояний. Это означает, что фотон вообще не может иметь равного ну-
нулю момента, так что j пробегает лишь значения 1, 2, 3, ... Невоз-
Невозможность значения j = 0, впрочем, очевидна: волновая функция
состояния с равным нулю моментом должна быть сферически-
симметрична, что заведомо невозможно для поперечной волны.
Принята определенная терминология для различных состоя-
состояний фотона. Фотон в состоянии с моментом j и четностью (—1)J
называют электрическим 2J -польным (или Е^/'-фотоном), а при
) Действительно, когда говорят о характере преобразования величины
при вращении, речь идет о преобразовании в данной точке, т. е. при задан-
заданном к. При таком преобразовании k<^(k) вообще не меняется, т. е. ведет себя
как скаляр.
2) Подчеркнем лишний раз, что здесь не имеется в виду состояние какой-
либо реальной частицы. Производимый подсчет имеет формальный харак-
характер и сводится, с математической точки зрения, к классификации всей со-
совокупности преобразующихся друг через друга величин по неприводимым
представлениям группы вращения.

§ 7	СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ФОТОНОВ	35
четности (—1)^'+1—магнитным 2^-полъным (или Му-фотоном).
Так, электрическому дипольному фотону отвечает нечетное со-
состояние с j = 1, электрическому квадрупольному — четное со-
состояние с j = 2, магнитному дипольному — четное состояние с
з = 1х) •
§ 7. Сферические волны фотонов
Определив возможные значения момента фотона, мы долж-
должны теперь найти соответствующие им волновые функции 2) .
Рассмотрим сначала формальную задачу: определить такие
векторные функции, которые являлись бы собственными функ-
функциями операторов j2 и jz; при этом мы не предрешаем заранее,
какие именно из этих функций входят в интересующие нас вол-
волновые функции фотона, и не учитываем условия поперечности.
Будем искать функции в импульсном представлении. Опера-
Оператор координат в этом представлении3 = id/dk (см. III, A5.12)).
Оператор же орбитального момента
т. е. отличается от оператора момента в координатном представ-
представлении лишь заменой буквы г на к. Поэтому решение поставлен-
поставленной задачи в обоих представлениях формально одинаково.
Обозначим искомые собственные функции посредством Yjm
и будем называть их шаровыми векторами. Они должны удо-
удовлетворять уравнениям
? = j(j + l)Yim, jzYjm = mYjm	G.1)
(ось z — заданное направление в пространстве). Покажем, что
этим свойством обладает любая функция вида aljm, где а —
какой-либо вектор, образованный с помощью единичного векто-
вектора п = k/o;, a Yjm — обычные (скалярные) шаровые функции.
Последние будем везде определять согласно III, § 28:
X ]YTt \ J-l / — \ J- /	" \ I 	J-i \ COo G ) о	1 i . Zi)
tmV/ v /	Л/ >!	/7 . i	i \ I / v	/	v /
1) Эти названия соответствуют терминологии классической теории излуче-
излучения: мы увидим в дальнейшем (§ 46, 47), что излучение фотонов электриче-
электрического и магнитного типов определяется соответствующими электрическими
и магнитными моментами системы зарядов.
) Этот вопрос был впервые рассмотрен Гайтлером (W. Heitler, 1936). Из-
Излагаемая форма решения принадлежит В. Б. Берестецкому A947).

36	фотон
(^ — сферические углы, определяющие направление п) :) .
Для этого вспомним правило коммутации III, B9.4):
Правую сторону этого равенства можно написать в виде (—
где s~—оператор спина 1 (воздействие этого оператора на вектор-
векторную функцию как раз определяется равенством ?га/с = ~i>eiklal]
см. III, § 57, задача 2). Поэтому имеем
Воспользовавшись этим равенством, найдем
3%ак = (к + %)о>к = акк-
Следовательно,
Но шаровая функция Yjm есть собственная функция операторов
1 и lZl соответствующая собственным значениям этих величин
j(j + 1) и 771, так что мы приходим к равенствам G.1).
Мы получим три существенно различных типа шаровых век-
векторов, выбирая в качестве вектора а один из следующих векто-
векто2)
ров 2)
n.	G.3)
v J
Таким образом, определяем шаровые векторы следующим об-
образом:
jm ~
V J \J ' """/
G.4)
) Отметим для будущих ссылок значение функций при в = 0 (п — вдоль
оси z):
Ylm(nz) = fJ?L±lsmo.	G.2а)
V 4тг
2) Оператор Vn = |k| Vk и действует на функции, зависящие только от
направления п. Он имеет (в сферических координатах) всего две составля-
составляющие:
п~ \дв' sin6 dip) '
Оператор, обозначенный ниже посредством Ап, — угловая часть оператора
Лапласа:

§ 7	СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ФОТОНОВ	37
Рядом с каждым вектором указана его четность Р. Шаровые
векторы трех типов взаимно ортогональны, причем Y^—про-
Y^—продолен, a Y^ и Y^ —поперечны по отношению к п.
Шаровые векторы могут быть выражены через скалярные
шаровые функции. При этом Y^ выражаются через шаровые
функции лишь одного порядка / = j, a Y^ и Y^ —через шаро-
шаровые функции порядков I = j ±1. Это обстоятельство очевидно:
достаточно сравнить указанные в G.4) четности шаровых век-
векторов с четностью (—1)г+1 векторного поля, выраженной через
порядок содержащихся в нем шаровых функций.
Шаровые векторы каждого из типов взаимно ортогональны
и нормированы согласно
G.5)
Для векторов Y^ это очевидно в силу условия нормировки ша-
шаровых функций Yjm. Для векторов Y^ нормировочный инте-
интеграл
Y-i i AnYjmdo,
и, поскольку AnYjm = —j(j + l)ljm, то мы приходим к G.5). К
-%.г(м)
такому же интегралу сводится нормировка векторов Y^m.
Заметим, что к шаровым векторам G.4) можно было бы прий-
прийти и без произведенной выше прямой проверки уравнений G.1) —
уже на основании общих соображений о трансформационных
свойствах функций. Такие соображения привели нас в предыду-
предыдущем параграфе к выводу о том, что векторная функция вида пер
отвечает значению j момента, совпадающему с порядком шаро-
шаровых функций, входящих в ер] если положить просто ер = Yjmi то
функция пер будет соответствовать также и определенному зна-
значению т проекции момента. Таким образом, мы сразу приходим
к шаровым векторам Y^. Но изложенные в § 6 рассуждения
о трансформационных свойствах не изменятся, если заменить
множитель п в произведении пер вектором Vn или [nVn]; таким
образом, мы получим шаровые векторы двух других типов.
Вернемся к волновым функциям фотона. Для фотона элек-
электрического типа (Ej) вектор А (к) должен обладать четностью
(—1)J. Такую четность имеют шаровые векторы Y^ и Y^; из
них, однако, лишь первый удовлетворяет условию поперечности.
Для фотона магнитного типа (Mj) вектор А (к) должен иметь

38	фотон
четность (—ly^~ ; такую четность имеет только шаровой вектор
Y^\ Поэтому волновые функции фотона с определенным мо-
моментом j и его проекций т (и энергией со)
-oo)Yjm(n),	G.6)
причем в качестве Yjm надо писать Y^ или Y^ соответственно
в случае фотона электрического или магнитного типа; заданное
значение энергии учитывается множителем #(|к| —ио). Функции
G.6) нормированы условием
—— / a;a;/A*Ym,(k)A^m(k)rf3A; = ш8(ш' - u>)8jji8mmi. G.7)
Для волновых функций координатного представления усло-
условие G.7) эквивалентно условию х)
± J
= u>S(u>' - oo)SjjfSmmf. G.8)
Действительно, интеграл в левой стороне равенства, выражен-
выраженный через потенциалы, имеет вид
if*	/з
27Г J и j m	ujm
Сюда надо подставить
Awjm(r) = Г Л ¦ ^^.гкг d3k
После этого интегрирование по d3x дает E-функцию BтгKE(к/ —
— к), которая устраняется интегрированием по d?А/, и интеграл
приводится к виду G.7).
До сих пор мы подразумевали поперечную калибровку потен-
потенциалов, при которой скалярный потенциал Ф = 0. В различных
применениях, однако, могут оказаться более удобными другие
способы калибровки сферической волны.
( }	G.9)
d3k'
1)Это условие того же типа, что и B.22). Появление множителя
6{ио' — uj) в правой стороне равенства связано с тем, что здесь рассматри-
рассматривается поле (сферическая волна) во всем бесконечном пространстве вместо
поля в конечном объеме V = 1.

СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ФОТОНОВ
39
Допустимое преобразование потенциалов в импульсном пред-
представлении состоит в замене
А -> А + п/(к), Ф -> Ф + /(к),
где /(к)—произвольная функция. Выберем ее в данном случае
таким образом, чтобы новые потенциалы выражались через те
же шаровые функции и чтобы они по-прежнему имели опреде-
определенную четность. Для фотона электрического типа эти условия
ограничивают выбор потенциалов следующими функциями:
ujjm^
(э)
jm
CnYjm),
G.10)
где С — произвольная постоянная. Для фотона же магнитного
типа такая добавка к А^м^(к) лишала бы его определенной чет-
четности, и поэтому при тех же условиях выбор G.6) оказывается
однозначным.
Вероятность того, что фотон с определенными моментом и
четностью будет зарегистрирован движущимся в направлении
п, лежащем в элементе телесного угла do, согласно C.5) и G.6)
равна
w(n)do =
¦ jm
do.
G.11)
Мы написали выражение для фотона ?7-типа. Но поскольку
, распределения вероятностей w(n) для фо-
jm
тонов обоих типов одинаковы.
^ 2
Квадрат модуля
¦ jm
не зависит от азимутального угла ср
(множители е^1^ в шаровых функциях сокращаются). Поэто-
Поэтому распределение вероятностей w(n) симметрично относительно
оси z. Далее, поскольку каждый из шаровых векторов обладает
определенной четностью, квадраты их модулей четны по отно-
отношению к инверсии, т. е. по отношению к замене полярного угла
в —>> тг—в; это значит, что функция wF), будучи разложена по по-
полиномам Лежандра, содержит полиномы лишь четного порядка.
Определение коэффициентов такого разложения сводится к вы-
вычислению интегралов от произведений трех шаровых функций и
дальнейшему суммированию по компонентам. То и другое про-
производится по формулам, полученным в III, § 107-108, и приводит

40	фотон
к следующему результату:
ОО
П1\\1Л\ — / 	1 \ иу-г J- у J ¦ / х [Arm _L 1 | I ^ ^	11^	^	IV
Ш \\J i 	 I -L у	/ Iti/6 n^ J. J I л r»	Oil 'm 	'm	C\ I
A.'jr	-^	уU \j \J J \lIL	lii \J I
n=0
x it 3. \ Po (cos в). G 12)
Приведем, наконец, выражения компонент шаровых векторов
в виде разложений по шаровым функциям. При этом мы поль-
пользуемся «сферическими компонентами» вектора, определенными
согласно III, § 107; компоненты Д вектора f:
f0 = if f+1 = —J—(fx -\- if ) f_1 = —(fx — if ). G.13)
Если ввести «циркулярные орты»:
(e(x,y,z) _орты осей ж, у, z\ то
f = YX-lf-bf.xeW, fx = (-lI-^-^* = feW. G.15)
л
Сферические компоненты шаровых векторов выраж:аются с по-
помощью З^-символов через шаровые функции следующими фор-
формулами:
, G.16)
	 2_	1	7 \
+ А -А -т) yj-i,m+A-
Эти формулы выводятся следующим образом. Каждый из
трех шаровых векторов имеет вид Yjm = aljm, где а — один из
трех векторов G.3). Поэтому
Yjm =
и задача сводится к нахождению матричных элементов векто-
векторов а относительно собственных функций орбитального момен-
момента. Согласно A07.6) (см. III) имеем

ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНА	41
д Jmax~ большее из чисел / и j. Поэтому достаточно знать от-
отличные от нуля приведенные матричные элементы (/||a||j). Для
них имеются формулы:
§ 8. Поляризация фотона
Вектор поляризации е играет для фотона роль «спиновой ча-
части» волновой функции (с теми оговорками, которые были вы-
высказаны в § 6 по поводу понятия спина фотона).
Различные случаи, которые могут иметь место для поляри-
поляризации фотона, ничем не отличаются от возможных типов поля-
поляризации классической электромагнитной волны (см. II, § 48).
Произвольную поляризацию е можно представить в виде на-
наложения двух выбранных каким-либо определенным образом
взаимно ортогональных поляризаций е^1) и е^2) (e^W2)* = 0).
В разложении
е = eie^ + е2е<2)	(8.1)
квадраты модулей коэффициентов е\ и е2 определяют вероят-
вероятность того, что фотон имеет поляризацию е^1) или е^2).
В качестве последних можно выбрать две взаимно перпенди-
перпендикулярные линейные поляризации. Можно также разлагать про-
произвольную поляризацию на две круговые с противоположными
направлениями вращения. Векторы правой и левой круговой по-
поляризации обозначим соответственно e^+1) и е^); в системе ко-
координат ^т]( с осью ( вдоль направления фотона n = k/a;
е(+!) = -^(е(« + ieM), е^1) = -±=(е^ - ie^). (8.2)
Возможность двух различных поляризаций фотона (при за-
заданном импульсе) означает, другими словами, что каждое соб-
собственное значение импульса двукратно вырождено. Это обстоя-
обстоятельство тесно связано с равенством массы фотона нулю.
Для свободно движущейся частицы с ненулевой массой все-
всегда существует система покоя. Очевидно, что именно в этой си-
системе отсчета выявляются собственные свойства симметрии ча-
частицы как таковой. При этом должна рассматриваться симмет-
симметрия по отношению ко всем возможным поворотам вокруг центра

42	фотон
(т. е. по отношению ко всей группе сферической симметрии). Ха-
Характеристикой свойств симметрии частицы по отношению к этой
группе является ее спин «s, определяющий кратность вырожде-
вырождения (число 2s + 1 преобразующихся друг через друга различных
волновых функций). В частности, частице с векторной (три ком-
компоненты) волновой функцией отвечает спин 1.
Для частицы же с равной нулю массой не существует систе-
системы покоя — в любой системе отсчета она движется со скоростью
света. По отношению к такой частице всегда имеется выделенное
направление в пространстве — направление вектора импульса к
(ось ?). Ясно, что в таком случае отсутствует симметрия по отно-
отношению ко всей группе трехмерных вращений, и можно говорить
лишь об аксиальной симметрии относительно выделенной оси.
При аксиальной симметрии сохраняется лишь спиралъностъ
частицы — проекция момента на ось ?; обозначим ее А х) . Ес-
Если потребовать также симметрии по отношению к отражениям
в плоскостях, проходящих через ось ?, то состояния, различа-
различающиеся знаком А, будут взаимно вырождены; при А ф 0 мы
будем иметь, следовательно, двукратное вырождение 2) . Состо-
Состояние фотона с определенным импульсом и соответствует одному
из типов таких двукратно вырожденных состояний. Оно описы-
описывается «спиновой» волновой функцией, представляющей собой
вектор е в плоскости ^г/; две компоненты этого вектора преобра-
преобразуются друг через друга при всех поворотах вокруг оси ( и при
отражениях в плоскостях, проходящих через эту ось.
Различные случаи поляризации фотона находятся в опреде-
определенном соответствии с возможными значениями его спирально-
сти. Это соответствие можно установить по формулам III, E7,9),
связывающим компоненты векторной волновой функции с ком-
компонентами эквивалентного ей спинора второго ранга 3) . Проек-
Проекциям А = +1 или — 1 соответствуют векторы е с отличной от
нуля лишь компонентой е^ — ге^ или е^ + ie^, т. е. соответственно
е=е^+1) или е=е^~1^. Другими словами, значения А= + 1 и — 1
соответствуют правой и левой круговой поляризации фотона (в
§ 16 этот же результат будет получен путем прямого вычисления
собственных функций оператора проекции спина). Таким обра-
образом, проекция момента фотона на направление его движения мо-
может иметь лишь два значения (=Ы); значение 0 не возможно.
Х)В отличие от проекции т момента на заданное направление (ось z) в
пространстве, о которой шла речь в предыдущем параграфе.
) Отметим, что таким же образом классифицируются электронные термы
двухатомной молекулы (см. III, § 78).
) Напомним, что компонентам волновой функции как амплитудам веро-
вероятности различных значений проекции момента частицы (о которых здесь
и идет речь) отвечают контравариантные компоненты спинора.

ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНА	43
Состояние фотона с определенными импульсом и поляриза-
поляризацией есть чистое состояние (в смысле, разъясненном в III, § 14);
оно описывается волновой функцией и соответствует полному
квантовомеханическому описанию состояния частицы (фотона).
Возможны также и «смешанные» состояния фотона, соответ-
соответствующие менее полному описанию, осуществляемому не волно-
волновой функцией, а лишь матрицей плотности.
Рассмотрим состояние фотона, смешанное по его поляриза-
поляризации, но соответствующее определенному значению импульса к.
В таком состоянии (его называют состоянием частичной поля-
поляризации существует «координатная» волновая функция.
Поляризационная матрица плотности фотона представляет
собой тензор второго ранга рар в плоскости, перпендикулярной
вектору п (плоскость ?77; индексы а, /3 пробегают всего два зна-
значения). Этот тензор эрмитов:
Ра/3 = P*pai	(8-3)
и нормирован условием
Раа = Р11 + Р22 = 1-	(8.4)
В силу (8.3) диагональные компоненты рц и р22 вещественны,
причем определяются одна по другой условием (8.4). Компонента
же р\2 комплексна, а р2\ = р\2- Всего, следовательно, матрица
плотности характеризуется тремя вещественными параметрами.
Если известна поляризационная матрица плотности, то мож-
можно найти вероятность того, что фотон имеет любую определен-
определенную поляризацию е. Эта вероятность определяется «проекцией»
тензора рар на направление вектора е, т. е. величиной
Раре*аер.	(8.5)
Так, компоненты рц и р22 представляют собой вероятности ли-
линейных поляризаций вдоль осей ? и г/. Проецирование на векторы
(8.2) дает вероятности двух круговых поляризаций:
1-[l±i(Pl2-p2i)}.	(8.6)
Свойства тензора рар по форме и по существу совпадают со
свойствами тензора Jap, описывающего частично поляризован-
поляризованный свет в классической теории (см. II, § 50). Напомним здесь
некоторые из этих свойств.
В случае чистого состояния с определенной поляризацией е
тензор рар сводится к произведениям компонент вектора е:
РаC = еаёр.	(8.7)
При этом определитель \рар = 0|. В обратном случае неполя-
ризованного фотона все направления поляризации равновероят-
равновероятны, т. е.	^ ,	, ч
РаC = 0ар/2,	(8.8)
При ЭТОМ \ра(з\ —

44	фотон
В общем случае частичную поляризацию удобно описывать
с помощью трех вещественных параметров Стокса ?i, ?2, ?3 *) ,
через которые матрица плотности выражается в виде
+6 6 - i&
+ *6 1 - 6
Все три параметра пробегают значения между —1 и +1. В непо-
ляризованном состоянии ?i = ?2 = Сз = 0; для полностью поля-
поляризованного фотона Ci + С| + Сз = 1-
Параметр ?з характеризует линейную поляризацию вдоль
осей ? или г/; вероятность линейной поляризации фотона вдоль
этих осей равна соответственно A + ?з)/2 или A — ?з)/2. Зна-
Значения ?з = +1 или — 1 отвечают поэтому полной поляризации в
этих направлениях.
Параметр ?i характеризует линейную поляризацию вдоль на-
направлений, составляющих угол ср = тг/4 или ср = —тг/4 с осью ?.
Вероятность линейной поляризации фотона в этих направлениях
равна соответственно A + ?i)/2 или A — ?i)/2; в этом легко убе-
убедиться, спроецировав тензор р^ на направления е = A, ±1)/д/2.
Наконец, параметр ^2 есть степень круговой поляризации;
согласно (8.6) вероятность того, что фотон имеет правую или
левую круговую поляризацию, равна A + ^)/2 или A — <^2)/2.
Поскольку две поляризации отвечают спиральностям А = =Ы, то
ясно, что в общем случае ^2 есть среднее значение спирально-
сти фотона. Отметим также, что в случае чистого состояния с
поляризацией е
?2 = i[ee*]n.	(8.10)
Напомним (см. II, § 50), что по отношению к преобразованиям
Лоренца инвариантными величинами являются ^2 и V^i + ?3 •
Мы встретимся также в дальнейшем с вопросом о поведении
параметров Стокса по отношению к операции обращения време-
времени. Легко видеть, что они инвариантны по отношению к этому
преобразованию. Это свойство не зависит, очевидно, от приро-
природы поляризационного состояния, и потому достаточно убедиться
в нем хотя бы в случае чистого состояния. Обращению време-
времени отвечает в квантовой механике замена волновой функции ее
комплексно-сопряженной (см. III, § 18). Для плоскополяризован-
ной волны это означает замену 2)
k-»-k, е^-е*.	(8.11)
:) Не смешивать обозначение параметров с обозначением оси ?!
) Дополнительное изменение знака е связано с тем, что обращение време-
времени меняет знак векторного потенциала электромагнитного поля. Скалярный
же потенциал не меняет знака; поэтому для 4-вектора е обращение времени
есть преобразование	. * *.	.
Р Р	(eo,e)->(eS,-e*).	(8.11а)

ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНА	45
При таком преобразовании симметричная часть матрицы плот-
плотности A/2) (е^е^ + е^е*), а тем самым и параметры ?i и ?з не
меняются. Неизменность же параметра ?2 ПРИ том же преобразо-
преобразовании видна из (8.10); она очевидна также уже из смысла ?2 как
среднего значения спиральности. Действительно, спиральность
есть проекция момента j на направление п, т. е. произведение
jn; обращение же времени меняет знак обоих этих векторов.
В дальнейших вычислениях нам понадобится матрица плот-
плотности фотона, записанная в четырехмерной форме, т. е. в виде
некоторого 4-тензора р^. Для поляризованного фотона, описы-
описываемого 4-вектором е^, этот тензор естественно определить как
/V = Че1-	(8-12)
При трехмерно поперечной калибровке е = @,е), если одна из
пространственных осей координат выбрана вдоль п, отличные от
нуля компоненты этого 4-тензора совпадают с (8.7).
Для неполяризованного фотона трехмерно поперечной кали-
калибровке отвечает тензор p^v с компонентами
Pik = -(Sik - щпк), ры = pio = poo = 0	(8.13)
(если одна из осей совпадает с направлением п, мы возвращаемся
к (8.8)). Непосредственно использовать тензор р^у в таком трех-
трехмерном виде, однако, неудобно. Но мы можем воспользоваться
калибровочным преобразованием; для матрицы плотности это
есть преобразование вида
Pilv -> Pilv + XiiK + хЛ^	(8.14)
где Хц — произвольные функции. Положив
получим вместо (8.13) простое четырехмерное выражение
Четырехмерное представление матрицы плотности частично
поляризованного фотона легко получить, переписав предвари-
предварительно двумерный тензор (8.9) в трехмерном виде:
Ргк = (l/2)(ef Ч1) + ef)ef) + (S1)i2) ?^
где е^1), е^2) — единичные векторы, орты осей ? и г/. Требуемое
обобщение достигается заменой этих 3-векторов пространствен-
пространственно-подобными единичными вещественными 4-векторами е^1), е^2\
ортогональными друг другу и 4-импульсу фотона к:
еAJ = еBJ = _^	еA)еB)=0,	e(l)jfc = е^к = 0. (8.16)

46	фотон
В трехмерно поперечной калибровке: е^) = @, е^), еB) = @, е
Таким образом, четырехмерная матрица плотности фотона
М^-ФФ). (8-17)
Удобство того или иного фактического выбора 4-векторов е^1),
B)
ev J зависит от конкретных условии рассматриваемой задачи.
Надо иметь в виду, что условия (8.16) не фиксируют выбо-
выбора е^1) и е^2) однозначным образом. Если какой-либо 4-вектор
е^ удовлетворяет этим условиям, то им же будет удовлетворять
и любой 4-вектор вида е^ + х^ц (в силу того, что к2 = 0). Эта
неоднозначность связана с калибровочной неоднозначностью ма-
матрицы плотности.
Первый член в (8.17) отвечает неполяризованному состоя-
состоянию. Поэтому его можно было бы заменить, согласно (8.15), на
—g^/2. Такая замена снова эквивалентна некоторому калибро-
калибровочному преобразованию. При оперировании с 4-тензорами вида
(8.17), разложенными по двум независимым 4-векторам, удобно
применять следующий формальный прием. Записав (8.17) в виде
з
а, 6=1
представим коэффициенты р(' двухрядной матрицей
Р =
Как всякую эрмитову двухрядную матрицу, ее можно разло-
разложить по четырем независимым двухрядным матрицам — матри-
матрицам Паули <тж, Оу, gz и единичной матрице 1:
в чем легко убедиться прямым сравнением с (8.17), использовав
известные выражения матриц Паули A8.5) (объединение трех
величин ?ь ^2? ?з в «вектор» ? имеет, конечно, чисто формальный
смысл, преследующий лишь цель удобства записи).
Задача
Написать матрицу плотности фотона в представлении, в котором «ося-
«осями» координат являются циркулярные орты (8.2).
Решение. Компоненты тензора рар в новых осях (а, /3 = ±1) полу-
получаются проецированием тензора (8.9) на орты (8.2):
(
2 \-& -

§ 9	СИСТЕМА ДВУХ ФОТОНОВ	47
§ 9. Система двух фотонов
Рассуждения, аналогичные проведенным в § 6, позволяют
произвести подсчет числа возможных состояний и в более слож-
сложном случае системы двух фотонов {Л. Ландау', 1948).
Будем рассматривать фотоны в системе их центра инерции;
импульсы фотонов ki = —к2 = к х) . Волновую функцию систе-
системы двух фотонов (в импульсном представлении) можно пред-
представить в виде трехмерного тензора второго ранга А^(п) состав-
составленного билинейно из компонент векторных волновых функций
обоих фотонов; каждый из индексов этого тензора соответству-
соответствует одному из фотонов (п — единичный вектор в направлении к).
Поперечность же каждого из фотонов выражается ортогональ-
ортогональностью тензора Ац* вектору п:
Аищ = 0, А1кщ = 0.	(9.1)
Взаимная перестановка фотонов означает перестановку ин-
индексов тензора Aik вместе с одновременным изменением знака п.
Поскольку фотоны подчиняются статистике Бозе, то
Aik(-n) = Aki(n).	(9.2)
Тензор AM, вообще говоря, не симметричен по своим индек-
индексам. Разделим его на симметричную (sik) и антисимметричную
(dik) части: Ац^ = Sik + а^. Соотношению (9.2) (а также усло-
условиям ортогональности (9.1)) должна, очевидно, удовлетворять
каждая из этих частей в отдельности. Отсюда получаем
sik(-n) = sik(n),	(9.3)
aik(-n) = -aik(n).	(9.4)
Инверсия системы координат сама по себе не меняет знака ком-
компонент тензора второго ранга, но меняет знак п. Поэтому из (9.3)
видно, что волновая функция Sik симметрична по отношению к
инверсии, т. е. соответствует четным состояниям системы фото-
фотонов; волновая же функция щк отвечает нечетным состояниям.
Антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен (дуа-
(дуален) некоторому аксиальному вектору а, компоненты которого
выражаются через компоненты тензора согласно щ = 1/2Щыаки
где eiki — антисимметричный единичный тензор (см. II, § 6). Ор-
Ортогональность тензора a^i вектору п означает, что векторы а и
1) Такая система отсчета существует всегда, за исключением случая двух
фотонов, движущихся параллельно друг другу в одну и ту же сторону. Сум-
Суммарный импульс ki +k2 и суммарная энергия ш\ +CJ2 таких фотонов связаны
друг с другом таким же соотношением, как и для одного фотона, и потому
не существует системы отсчета, в которой было бы ki + кг = 0.

48	фотон
п параллельны г) . Поэтому можно написать а = п<р(п), где ср —
скаляр; согласно (9.4) должно быть а(—п) = —а(п), а потому
Это равенство означает, что скаляр ср может быть линейно по-
построен из шаровых функций только четного порядка L (включая
порядок нуль).
Мы видим, что антисимметричный тензор щк по своим транс-
трансформационным (по отношению к вращениям) свойствам эквива-
эквивалентен одному скаляру (ср. примеч. на с. 34). Сопоставив по-
последнему «спин» 0, найдем, что момент состояния J = L. Таким
образом, тензор щк соответствует нечетным состояниям системы
фотонов с четным моментом J.
Обратимся к симметричному тензору s^. Поскольку он че-
четен по отношению к изменению знака п, ему отвечают четные
состояния системы фотонов. Отсюда же следует, что все компо-
компоненты Sik выражаются через шаровые функции четного порядка
L (включая L = 0). Произвольный симметричный тензор второ-
второго ранга Sik сводится, как известно, к скаляру (вц) и к симмет-
симметричному тензору (s'ik) с равным нулю следом (s^ = 0).
Скаляру вц приводится в соответствие «спин» 0, а потому мо-
момент отвечающих ему состояний J = L, т. е. четен. Тензору же
s'ik соответствует «спин» 2 (см. III, § 57). Складывая по правилу
сложения моментов этот «спин» с четным «орбитальным момен-
моментом» L, находим, что при заданном четном J ф 0 возможны три
состояния (с L = J±2, J), а при нечетном J ф 1 — два состояния
(с L = J ± 1). Исключение составляет J = 0 с одним состоянием
(L = 2) и J = 1 с одним состоянием (L = 2).
В этих подсчетах, однако, еще не учтено условие ортогональ-
ортогональности тензора s^ вектору п. Поэтому из полученного числа со-
состояний надо вычесть число состояний, которым соответству-
соответствует симметричный тензор второго ранга, «параллельный» векто-
вектору п. Такой тензор (обозначим его s"k можно представить в виде
sik = riibk + nkbi,
где b —некоторый вектор. Согласно (9.3) этот вектор должен
удовлетворять условию Ь(—п) = —b(n). Таким образом, ответ-
ответственный за «лишние» состояния тензор s"k эквивалентен нечет-
нечетному вектору. Этот вектор должен, следовательно, выражаться
через шаровые функции только нечетных порядков L. Заметив
:) Имеем: a,ik = e-iki&i-, и условие ортогональности дает
= [па] г = 0.

J
0
1
2k
2A; + 1
Четные
1
—
2
1
Нечетные
1
—
i
—
§ 9	СИСТЕМА ДВУХ ФОТОНОВ	49
также, что вектору соответствует «спин» 1, найдем, что для ка-
каждого четного момента J ^ 0 возможны два состояния (с L =
= J ± 1), а для каждого нечетного J — одно состояние (с L =
= J); особый случай представляет J = 0 с одним состоянием
(L = 1). Сведя вместе полученные результаты, получим следую-
следующую таблицу, указывающую число возможных четных и нечет-
нечетных состояний системы из двух фотонов (с равной нулю суммой
импульсов) для различных значений полного момента J:
(9.5)
(к — целое положительное число, отличное от нуля). Мы видим,
что при нечетных J отсутствуют нечетные состояния, а значение
J = 1 вообще невозможно г) .
Волновая функция системы двух фотонов А^к определяет
корреляцию их поляризаций. Вероятность того, что два фотона
одновременно имеют определенные поляризации ei и в2, пропор-
пропорциональна
^г/се1ге2Аг
Другими словами, если задана поляризация ei одного фотона,
то поляризация второго в2 пропорциональна
е2* с* Аке*и.	(9.6)
В нечетных состояниях системы А^ совпадает с антисим-
антисимметричным тензором СЦ&. При этом
e2ei ос а{ке[{е\к = О,
т. е. поляризации обоих фотонов взаимно ортогональны. В слу-
случае линейной поляризации это означает перпендикулярность их
направлений, а в случае круговых поляризаций — противополож-
противоположность направлений вращения.
Четное состояние с J = 0 описывается симметричным тензо-
тензором, сводящимся к скаляру
Sik = const • (Sik - щпк).
Поэтому из (9.6) получим ei = e^. В случае линейной поляри-
поляризации это означает параллельность их направлений, а в случае
круговых поляризаций — снова противоположность направлений
вращения. Последнее обстоятельство очевидно: при J = 0 во вся-
всяком случае должна быть равна нулю сумма проекций моментов
фотонов на одно и то же направление к (проекции же на проти-
противоположные направления ki и к2, т. е. спиральности, при этом
одинаковы).
х) Другой способ вывода этих результатов — см. задачу 1 к § 69.

ГЛАВА II
БОЗОНЫ
§ 10. Волновое уравнение для частиц со спином 0
В гл. I было показано, каким образом можно построить кван-
квантовое описание свободного электромагнитного поля, отправляясь
при этом от известных свойств поля в классическом пределе и
опираясь на представления обычной квантовой механики. Полу-
Полученная таким образом схема описания поля как системы фотонов
несет в себе многие черты, которые переносятся и на релятивист-
релятивистское описание частиц в квантовой теории.
Электромагнитное поле представляет собой систему с беско-
бесконечным числом степеней свободы. Для нее не существует закона
сохранения числа частиц (фотонов), и в ряду его возможных со-
состояний имеются состояния с произвольным числом частиц х) .
Но таким же свойством должны, вообще говоря, обладать в ре-
релятивистской теории также и системы любых частиц. Сохране-
Сохранение числа частиц в нерелятивистской теории связано с законом
сохранения массы: сумма масс (масс покоя) частиц не меняет-
меняется при их взаимодействии; сохранение же суммы масс, скажем,
в системе электронов означает неизменность также и их чис-
числа. В релятивистской же механике закона сохранения массы не
существует; должна сохраняться лишь полная энергия системы
(включающая в себя также и энергии покоя частиц). Поэтому
число частиц уже не должно сохраняться и тем самым всякая
релятивистская теория частиц должна быть теорией систем с
бесконечным числом степеней свободы. Другими словами, такая
теория частиц приобретает характер теории поля.
Адекватным математическим аппаратом для описания си-
систем с переменным числом частиц является аппарат вторичного
квантования (см. III, § 64, 65). В квантовом описании электромаг-
электромагнитного поля в роли оператора вторичного квантования высту-
выступает 4-потенциал А. Он выражается через (координатные) вол-
волновые функции отдельных частиц (фотонов) и операторы их ро-
рождения и уничтожения. Аналогичную роль в описании системы
частиц играет оператор квантованной волновой функции. Для
его построения надо прежде всего знать вид волновой функции
:) Фактически, разумеется, число фотонов меняется лишь в результате
различных процессов взаимодействия.

§ 10	ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 0	51
одной свободной частицы и уравнения, которому эта функция
подчиняется.
Следует подчеркнуть вспомогательный характер понятия по-
поля свободных частиц. Реальные частицы взаимодействуют, и за-
задача теории состоит в изучении этих взаимодействий. Но всякое
взаимодействие сводится к столкновению, до и после которого
систему можно рассматривать как совокупность свободных ча-
частиц. В § 1 отмечалось, что это — единственно измеримые объек-
объекты. Поэтому мы пользуемся полями свободных частиц как сред-
средством описания начальных и конечных состояний.
Мы начнем релятивистское описание свободных частиц со
случая частиц со спином 0. Математическая простота этого слу-
случая позволит наиболее ясно выявить основные идеи и характер-
характерные черты такого описания.
Состояние свободной частицы (без спина) может быть полно-
полностью определено заданием одного лишь ее импульса р. При этом
энергия е частицы г) е2 = р2 -\-т2 (где т — масса частицы), или
в четырехмерном виде:
р2 = т2.	A0.1)
Как известно, законы сохранения импульса и энергии связа-
связаны с однородностью пространства и времени, т. е. с симметрией
по отношению к любому параллельному смещению 4-системы ко-
координат. В квантовом описании требование этой симметрии озна-
означает, что волновая функция частицы с определенным 4-импуль-
сом при указанном преобразовании 4-координат может только
умножаться на фазовый множитель (с равным единице моду-
модулем). Этому требованию удовлетворяет лишь экспоненциальная
функция с линейным по 4-координатам показателем. Другими
словами, волновая функция состояния свободной частицы с опре-
определенным 4-импульсом р*1 = (б, р) должна быть плоской волной:
const -e~ipx, px = st-pr	A0.2)
(выбор знака в показателе в релятивистской теории сам по себе
условен: он сделан в соответствии с нерелятивистским случаем).
Волновое уравнение должно иметь функции A0.2) в качестве
частных решений при произвольном 4-векторе р, удовлетворяю-
удовлетворяющем условию A0.1). Оно должно быть линейным как выражение
принципа суперпозиции: любая линейная комбинация функций
A0.2) тоже описывает возможное состояние частицы и потому
тоже должна быть решением. Наконец, оно должно быть по воз-
возможности более низкого порядка; более высокий порядок внес
бы лишние решения.
1) Обозначим энергию отдельной частицы е в отличие от энергии Е систе-
системы частиц.

52	бозоны	гл. п
Спин есть момент частицы в системе отсчета, в которой она
покоится. Если спин частицы есть «s, то ее волновая функция
в системе покоя является трехмерным спинором ранга 2s. Для
описания же частицы в произвольной системе отсчета ее вол-
волновая функция должна быть выражена в виде четырехмерных
величин.
Частица со спином 0 описывается в системе покоя трехмер-
трехмерным скаляром. Такой скаляр, однако, может иметь различное
четырехмерное «происхождение»: это может быть четырехмер-
четырехмерный скаляр ф, но может быть и четвертая компонента 4-вектора
фу (времениподобного), у которого в системе покоя отлична от
нуля лишь составляющая ф$ г) .
Для свободной частицы единственный оператор, который мо-
может войти в волновое уравнение, — это оператор 4-импульса р.
Его компонентами являются операторы дифференцирования по
координатам и времени:
(^)	A0.3)
Волновое уравнение должно представлять собой дифферен-
дифференциальную связь между величинами ф и ф^, осуществляемую с
помощью оператора j?. Эта связь должна, разумеется, выражать-
выражаться релятивистски инвариантными соотношениями. Таковыми яв-
являются
где т — размерная постоянная, характеризующая частицу 2) .
Подставив ф^ из первого уравнения во второе, получим
(р2 - т2)ф = 0	A0.5)
(О. Klein, В. А. Фок, 1926; W. Gordon, 1927). В раскрытом виде
это уравнение записывается как
-д^ф = (-^ + А) ф = т2ф.	A0.6)
Подставив в него ф в виде плоской волны A0.2), получим р2 =
= т2, откуда видно, что т — масса частицы. Отметим, что вид
уравнения A0.5), конечно, заранее ясен из того, что р —един-
—единственный скалярный оператор, который можно составить с по-
помощью р (по этой причине такому же уравнению удовлетворяет
х) Либо, аналогичным образом, временная компонента 4-тензора более вы-
высокого ранга; этот случай, однако, привел бы к уравнениям более высокого
порядка.
2) Постоянные т введены в A0.4) так, что гр^ и ф имеют одинаковую раз-
размерность. Вводить в этих двух уравнениях различные постоянные тщ и rri2
было бы бессмысленно, так как их всегда можно было бы сделать одинако-
одинаковыми путем переопределения ф или ф^.

§ 10	ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ 0	53
каждая из компонент волновой функции частицы с любым спи-
спином — это мы неоднократно увидим в дальнейшем).
Таким образом, частица со спином 0 описывается по суще-
существу всего одним (четырехмерным) скаляром ф, подчиняющимся
уравнению второго порядка A0.5). В уравнениях же первого по-
порядка A0.4) роль волновой функции играет совокупность вели-
величин ф и ф^, причем 4-вектор ф^ сводится к 4-градиенту скаляра
ф. В системе покоя волновая функция частицы не зависит от ко-
координат (пространственных) и поэтому пространственные ком-
компоненты 4-вектора ф^ обращаются, как и должно быть, в нуль.
Для проведения вторичного квантования полезно выразить
энергию и импульс частицы в виде интегралов по пространству
от некоторых билинейных (по фиф*) комбинаций, представля-
представляющих собой как бы пространственную плотность этих величин.
Другими словами, надо найти тензор энергии-импульса Т^, со-
соответствующий уравнению A0.5). С помощью этого тензора за-
закон сохранения энергии и импульса выражается уравнением
д^тр = 0.	A0.7)
Согласно общим правилам теории поля (см. II, § 32), напишем
вариационный принцип, следствием которого являлось бы урав-
уравнение A0.5). Такой принцип должен заключаться в требовании
минимальности «интеграла действия»
S = ILdAx	A0.8)
= I
от некоторого вещественного 4-скаляра L — плотности лагран-
жевой функции поля г) . С помощью скаляра ф (и оператора д^)
можно составить вещественное билинейное скалярное выраже-
выражение вида
L = дцф* • д»ф - гп2ф*ф,	A0.9)
где m — размерная постоянная. Рассматривая фиф* как неза-
независимые переменные, описывающие поле («обобщенные коорди-
координаты» поля (/), легко видеть, что уравнения Лагранжа
J_9L_ = дЬ	A0 10)
дх^ dq^ dq
(q^ = d^q) действительно совпадают с уравнениями A0.5) для
фиф*, причем тп — масса частицы. Отметим также, что выра-
выражение A0.9) написано с таким общим знаком, чтобы квадрат
1) Соответствующий вторично квантованный оператор L называют лагран-
лагранжианом поля. Для упрощения терминологии будем пользоваться этим тер-
термином как для «квантованной», так и для «неквантованной» плотности ла-
гранжевой функции.

54	бозоны	гл. п
производной по времени, \дф/дг\2, входил в L со знаком плюс; в
противном случае действие не могло бы иметь минимума (ср. II,
§ 27). Выбор же общего числового коэффициента в L условен (и
отражается лишь на нормировочном коэффициенте в ф).
Тензор энергии-импульса вычисляется теперь по формуле
(суммирование по всем q). Подставив A0.9), получим
Т^ = д»ф* • дуф + дуф* • д^ф - Lg^	A0.12)
(эти величины, как и следовало, вещественны, что обеспечивает-
обеспечивается вещественностью L). В частности,
Too = 2^5 - L = d~Wd-? + V^* ¦ V^ + m*W> A0ЛЗ)
dt dt	dt dt
ги dt dx* dx* dt	v ;
4-импульс поля дается интегралом
= [т^с13х,	A0.15)
т. е. Tqo и Тм играют роль плотности энергии и импульса. Отме-
Отметим, что величина Too существенно положительна.
Формулой A0.13) можно воспользоваться для нормировки
волновой функции. Плоская волна, нормированная на одну ча-
частицу в объеме V = 1, запишется в виде
Действительно, для этой функции Too = ?5 так чт0 полная энер-
энергия в объеме V = 1 совпадает с энергией одной частицы.
Момент импульса, сохранение которого связано с изотропи-
изотропией пространства, тоже может быть выражен в виде простран-
пространственного интеграла; однако такое представление момента нам в
дальнейшем не понадобится.
Наконец, помимо законов сохранения, связанных непосред-
непосредственно с пространственно-временной симметрией, уравнения
A0.4) допускают еще один закон сохранения. Действительно, лег-
легко убедиться, что в силу A0.4) (и таких же уравнений для *ф*)
имеет место уравнение
V = 0,	A0.17)
где
эи = ш(ф*ф11 + ф;ф) = iWd^ - {д^*)Ф\- (юла)

§ 11	ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ	55
Отсюда видно, что j^ играет роль 4-вектора плотности тока. При
этом A0.17) есть уравнение непрерывности, выражающее закон
сохранения величины
Q = J jod6x,	A0.19)
где
« (??)	A0.20)
Обратим внимание на то, что jo—не положительно опреде-
определенная величина. Уже это обстоятельство показывает, что в об-
общем случае ее заведомо нельзя интерпретировать как плотность
вероятности пространственной локализации частицы. Смысл вы-
выражаемого уравнением A0.17) закона сохранения выяснится в
следующем параграфе.
§ 11. Частицы и античастицы
Следуя общим правилам проведения вторичного квантования,
мы должны рассмотреть разложение произвольной волновой
функции по собственным функциям полного набора возможных
состояний свободной частицы, например по плоским волнам фр:
ф =
После этого коэффициенты ар, ар надо было бы понимать как
операторы ар, а+р уничтожения и рождения частиц в соответ-
соответствующих состояниях г) .
При этом, однако, мы сразу сталкиваемся со следующим но-
новым (по сравнению с нерелятивистской теорией) принципиаль-
принципиальным обстоятельством. В плоской волне, являющейся решением
уравнения A0.5), энергия е должна удовлетворять (при задан-
заданном импульсе р) лишь условию е2 = р2 + ш2, т. е. может иметь
два значения: ±л/р2 + т2. Физическим же смыслом энергии сво-
свободной частицы могут, однако, обладать лишь положительные
значения е. Между тем просто опустить отрицательные значе-
значения недопустимо: общее решение волнового уравнения образу-
образует лишь суперпозиция всех его независимых частных решений.
Это обстоятельство указывает на необходимость некоторого из-
х) Снабжаем ^-функции индексом 4-импульса р, в дальнейшем функции
с «отрицательной частотой» будем обозначать через ф-р. Операторы же а,
а+ снабжаем индексом трехмерного импульса р, полностью определяющего
состояние реальной частицы.

56	БОЗОНЫ	ГЛ. II
менения истолкования коэффициентов разложения фиф* при
вторичном квантовании.
Напишем это разложение в виде
р	р
где в первой сумме стоят нормированные согласно A0.16) плос-
плоские волны с положительными, а во второй — с отрицательны-
отрицательными «частотами»; е везде обозначает положительную величину:
е = +ур2+т2. При вторичном квантовании коэффициенты
ар в первой сумме заменяем обычным образом операторами
ар уничтожения частиц. Во второй же сумме замечаем, что при
дальнейшем образовании матричных элементов временная зави-
зависимость ее слагаемых будет соответствовать не уничтожению,
а рождению частиц; множитель eist = (e~ist)* отвечает одной
лишней частице с энергией е в конечном состоянии (ср. конец
§ 2). Соответственно этому коэффициенты ар заменяем опера-
операторами Ь^ рождения некоторых других частиц. Заменив так-
также во второй сумме в A1.1) обозначение переменной суммиро-
суммирования р на — р (чтобы экспоненциальный множитель приобрел
вид е~г(Рг-?г) получим ^-операторы в виде
Р	Р
A1.2)
Таким образом, все операторы ар, Ьр оказываются умножен-
умноженными на функции с «правильной» зависимостью от времени
(~ е~^*), а операторы ар, 6р—на комплексно-сопряженные им
функции. Это и дает возможность истолковать, в соответствии с
общими правилами, операторы ар, Ьр как операторы уничтоже-
уничтожения, aaj, 6+ — как операторы рождения частиц с импульсами р
и энергиями е.
Мы приходим к представлению о частицах двух родов, высту-
выступающих совместно и равноправно. О них говорят как о части-
частицах и античастицах (смысл такого названия выяснится ниже).
Одним из них отвечают в аппарате вторичного квантования опе-
операторы ар, а+, а другим —6р, 6+. Оба вида частиц, операторы
которых входят в один и тот же ^-оператор, тем самым имеют
одинаковые массы.
К этим результатам можно прийти и исходя из прямых тре-
требований релятивистской инвариантности.

§ 11	ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ	57
Преобразования Лоренца представляют собой в математиче-
математическом смысле повороты четырехмерной системы координат, меня-
меняющие направление оси времени (вместе с чисто пространствен-
пространственными поворотами, не затрагивающими оси времени, они соста-
составляют группу преобразований, которую называют группой Ло-
Лоренца 1)). Все эти преобразования обладают тем общим свойст-
свойством, что они не выводят ось t за пределы соответствующей поло-
полости светового конуса, чем и выражается физический принцип —
существование предельной скорости распространения сигналов.
Но в чисто математическом отношении поворотом является
также и одновременное изменение знака всех четырех координат
(четырехмерная инверсия): определитель этого преобразования
равен +1, как и определители всякого другого поворотного пре-
преобразования. При этом ось времени переводится из одной поло-
полости светового конуса в другую. Хотя это обстоятельство и озна-
означает физическую неосуществимость такого преобразования (как
преобразования системы отсчета), но в математическом отноше-
отношении отличие сводится лишь к тому, что (в силу псевдоевкли-
довости метрики) такой поворот не может быть произведен без
того, чтобы не допустить попутно комплексное преобразование
координат.
Естественно полагать, что это отличие должно быть несуще-
несущественно, когда речь идет о четырехмерной инвариантности. То-
Тогда всякое выражение, инвариантное по отношению к преобра-
преобразованиям Лоренца, должно быть инвариантно и по отношению
к 4-инверсии. Точная формулировка этого требования в приме-
применении к скалярному ^-оператору будет дана в § 13. Но сразу
же отметим, что оно во всяком случае приводит к необходимо-
необходимости одновременного присутствия в ^-операторах членов с обоими
знаками перед е в показателях, поскольку замена t —>• —t как раз
меняет этот знак.
Вернемся к выражениям A1.2) и установим перестановочные
соотношения между операторами ар, а+, (и 6р, &+). В случае
фотонов это было сделано (для операторов сГр , с?) исходя из
аналогии с осцилляторами, т. е. по существу из свойств электро-
электромагнитного поля в классическом пределе. Теперь такой анало-
аналогии нет. Для установления правил коммутации (Бозе или Ферми)
между операторами мы можем руководствоваться лишь видом
построенного из этих операторов гамильтониана.
х) Отметим, что совокупность всех трехмерных (пространственных) пово-
поворотов составляет сама по себе группу, входящую в группу Лоренца в каче-
качестве подгруппы. Совокупность же преобразований Лоренца сама по себе не
составляет группы: результат последовательных преобразований Лоренца
может сводиться к чисто пространственному повороту.

58	бозоны	гл. п
Последний получается (см. III, § 64) подстановкой ф и ф^
вместо ф и ф* в интеграл /Too d?x г) . Таким образом найдем
Н = ^б(а+ар + 6р6+).	A1.3)
р
Легко видеть, что разумный результат для собственных зна-
значений этого гамильтониана получается, лишь если операторы
удовлетворяют правилам коммутации Бозе:
_	(И.4)
(все другие пары операторов коммутативны; в том числе ком-
коммутативны все операторы частиц ар , а+ со всеми операторами
античастиц 6р, Ьр). Действительно, в таком случае
Н = Z) 6(SpSp + Ьр Ьр + !)•
р
Собственные значения произведений ар ар и 6+ 6р равны положи-
тельным целым числам Np и Np — числам частиц и античастиц.
Бесконечную же аддитивную постоянную ^? («энергия вакуу-
вакуума») можно снова просто опустить:
E = ^2s(Np + Np)	A1.5)
р
(ср. формулу C.1) и примечание к ней). Это выражение суще-
существенно положительно и соответствует представлению о двух ро-
родах реально существующих частиц. Аналогичным образом для
полного импульса системы частиц получим
P = ^p(JVp + JVp).	A1.6)
р
Если бы мы приняли вместо A1.4) перестановочные соотно-
соотношения Ферми (антикоммутаторы вместо коммутаторов), то по-
получили бы	^
Н =
р
и вместо формулы A1.5)—физически бессмысленное выраже-
выражение ^2s(Np — Np). Это выражение не является положительно
) В нерелятивистской теории при этом полагается писать сопряженный
оператор ф+ слева от ф. Здесь же порядок безразличен, так как перестановка
ф+ и ф привела бы лишь к перестановке равноправных операторов ар иЬр.
Необходимо, однако, выбрав тот или иной порядок, всегда придерживаться
одного правила.

§ 11	ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ	59
определенным и поэтому не может представлять собой энергию
системы свободных частиц.
Таким образом, частицы со спином 0 являются бозонами.
Далее, рассмотрим интеграл Q A0.19). Заменив в j° функ-
функций фиф* операторами ф и ф+ и произведя интегрирование,
получим
q = J2D^p -ЪрЧ) = Е№р -ЧЧ - !)• (п-7)
р	р
Собственные значения этого оператора (за вычетом несуществен-
несущественной аддитивной постоянной У^ 1):
р-^р)'	(п-8)
р
т. е. равны разностям полных чисел частиц и античастиц.
До тех пор, пока мы рассматриваем свободные частицы, от-
отвлекаясь от всякого взаимодействия между ними, смысл зако-
закона сохранения величины Q (как, впрочем, и законов сохранения
полных энергии и импульса A1.5, 11.6)) остается, разумеется, в
значительной степени условным: сохраняется в действительно-
действительности не только эта сумма, но и каждое из чисел 7Vp, Np в от-
отдельности. Будет ли сохраняться величина Q в результате вза-
взаимодействия, зависит от характера взаимодействия. Если Q со-
сохраняется (т. е. если оператор Q коммутирует с гамильтонианом
взаимодействия), то выражение A1.8) показывает, какое этот за-
закон вносит ограничение на возможные изменения числа частиц:
могут возникать и исчезать лишь пары «частица+античастица».
Если частица электрически заряжена, то ее античастица
должна иметь заряд противоположного знака: если бы та и дру-
другая имели одинаковые заряды, то возникновение или уничто-
уничтожение их пары противоречило бы строгому закону природы —
сохранению полного электрического заряда. Мы увидим ниже
(§ 32), каким образом эта противоположность зарядов (при вза-
взаимодействии частиц с электромагнитным полем) возникает в те-
теории автоматически.
Величину Q иногда называют зарядом поля данных частиц.
Для электрически заряженных частиц Q определяет, в частно-
частности, полный электрический заряд системы (в единицах элемен-
элементарного заряда е). Подчеркнем, однако, что частицы и антича-
античастицы могут быть электрически нейтральны.
Таким образом, мы видим, как характер релятивистской за-
зависимости энергии от импульса (двузначность корня уравнения
52 = р2 + т2) совместно с требованиями релятивистской инва-
инвариантности приводит в квантовой теории к появлению нового
классификационного принципа для частиц—возможности суще-
существования пар различных частиц («частица + античастица»),

60	БОЗОНЫ	ГЛ. II
находящихся в описанном выше соответствии друг с другом. Это
замечательное предсказание было впервые сделано (для частиц
со спином 1/2) Дираком в 1930 г., еще до фактического открытия
первой античастицы — позитрона х) .
§ 12. Истинно нейтральные частицы
При проведении вторичного квантования ^-функции A1.1)
коэффициенты ар и ар рассматривались как операторы, от-
относящиеся к различным частицам. Это, однако, не обязатель-
обязательно: как частный случай входящие в ф операторы уничтожения и
рождения могут относиться к одним и тем же частицам (как это
было для фотонов — ср. B.17)). Обозначив в этом случае указан-
указанные операторы как ср hcJ, напишем ^-оператор в виде
^V^	A2.1)
р
Описываемое таким оператором поле соответствует системе оди-
одинаковых частиц, о которых можно сказать, что они «совпадают
со своими античастицами».
Оператор A2.1) эрмитов (ф+ = ф); в этом смысле такое поле
имеет вдвое меньше «степеней свободы», чем комплексное поле,
для которого операторы ф и ф+ не совпадают.
В связи с этим лагранжиан поля, выраженный через эрмитов
оператор ф, должен содержать лишний (по сравнению с A0.9))
множитель 1/2 2)
L = A/2)(д^ф'д^ф-т2ф2).	A2.2)
Соответствующий тензор энергии-импульса
%и = д^ф ¦ д„ф - Lglu/,	A2.3)
так что оператор плотности энергии
1)	На бозоны понятие античастиц было распространено Вайскопфом и Па-
Паули (V. Weisskopf, W. Pauli, 1934).
2)	Подобно лишнему множителю 1/2 в операторе B.10) плотности энергии
электромагнитного поля (выраженного через эрмитовы операторы Е и Н),
по сравнению с плотностью энергии фотона C.2), выраженной через его
комплексную волновую функцию; ср. примеч. на с. 26.

§ 12	ИСТИННО НЕЙТРАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ	61
Подставив A2.1) в интеграл JTqqcPx, получим гамильтониан
поля
2
Р
Отсюда снова видна необходимость квантования по Бозе:
{сР, гр~}_ = 1,	A2.6)
и собственные значения энергии (снова за вычетом аддитивной
постоянной)
" PNP.	A2.7)
При квантовании же по Ферми мы получили бы бессмысленный
результат —не зависящее от Np значение Е.
«Заряд» Q рассматриваемого поля равен нулю. Это ясно уже
из того, что заряд Q должен менять знак при замене частиц ан-
античастицами, а в данном случае те и другие совпадают. В связи с
этим не существует и 4-вектора плотности тока. Действительно,
выражение
j^ = {[ф^д^ф — (д^ф^)^]	A2.8)
для оператора сохраняющегося 4-вектора j при ф = ф^ обраща-
обращается в нуль (вектор же фд^ф сам по себе не сохраняется). Это
в свою очередь означает отсутствие какого-либо особого зако-
закона сохранения, который бы ограничивал возможные изменения
числа частиц. Очевидно, что такие частицы, во всяком случае,
электрически нейтральны.
Частицы такого рода называют истинно нейтральными, в
отличие от электрически нейтральных частиц, имеющих антича-
античастицу. В то время как последние могут аннигилировать (превра-
(превращаясь в фотоны) лишь парами, истинно нейтральные частицы
могут аннигилировать поодиночке.
Структура ^-оператора A2.1) —такая же, как структура опе-
операторов B.17)—B.20) электромагнитного поля. В этом смысле
можно сказать, что и сами фотоны — истинно нейтральные ча-
частицы. В случае электромагнитного поля эрмитовость операто-
операторов была связана с вещественностью напряженностей поля как
измеримых (в классическом пределе) физических величин. В
случае же ^-операторов частиц такой связи не существует, по-
поскольку им вообще не соответствуют какие-либо непосредствен-
непосредственно измеримые величины.
Отсутствие сохраняющегося 4-вектора тока есть общее свой-
свойство истинно нейтральных частиц и не связано с равным нулю
спином (так, оно имеет место и для фотонов). Физически оно

62	БОЗОНЫ	ГЛ. II
выражает отсутствие соответствующих запретов для изменения
числа частиц. С формальной же точки зрения существует пря-
прямая связь между отсутствием сохраняющегося тока и веществен-
вещественностью поля — эрмитовостью оператора ф.
Лагранжиан комплексного поля
L = д^ф+ • д^ф - т2ф+ф	A2.9)
инвариантен по отношению к умножению ^-оператора на произ-
произвольный фазовый множитель, т. е. по отношению к преобразо-
преобразованиям	^	^	^	^
ф -+ ешф, ф+ -+ е~шф+	A2.10)
(их называют калибровочными). В частности, лагранжиан не ме-
меняется при бесконечно малом калибровочном преобразовании
ф —>• ф -\- iSoi, • ф, ф —>• ^ — iSoi, • ^ .	A2.11)
При бесконечно малом изменении «обобщенных координат»
q лагранжиан испытывает изменение
dL * dL
dq	dq, ^
— —	] да + > 	 	да
dq dx^dq^J	^-^ дх^ \dq^
(суммирование по всем q). Первый член обращается в нуль в си-
силу «уравнений движ:ения» (уравнений Лагранжа). Понимая под
«координатами» q операторы ф и ф+ и положив
дф = гда • ф, 8ф+ = — гда • ^+,
получим
г^ т д (Т dL "^+ dL
дь = гда	 фф^
Отсюда видно, что условие неизменности лагранжиана (SL = 0)
эквивалентно уравнению непрерывности (d^j^=O) для 4-вектора
A2Л2)
Легко убедиться, что для лагранжиана A2.9) эта формула при-
приводит к току A2.8).
Таким образом, в математическом формализме теории суще-
существование сохраняющегося тока оказывается связанным с ин-
инвариантностью лагранжиана по отношению к калибровочным
преобразованиям (W. Pauli, 1941). Лагранжиан же истинно ней-
нейтрального поля A2.2) этой симметрией не обладает.

§ 13	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С, Р, Т	63
§ 13. Преобразования С, Р, Т
В противоположность 4-инверсии трехмерная (простран-
(пространственная) инверсия не сводима к каким-либо поворотам 4-систе-
мы координат: определитель этого преобразования равен не +
+ 1, а — 1. Свойства симметрии частиц по отношению к инверсии
(Р-преобразование) не предопределяются поэтому соображения-
соображениями релятивистской инвариантности х) .
В применении к скалярной волновой функции операция ин-
инверсии заключается в преобразовании
Рф(г,г) = ±ф(г,-г),	A3.1)
где знак «+» или « —» в правой стороне отвечает соответственно
истинному скаляру или псевдоскаляру.
Отсюда видно, что надо различать два аспекта поведения
волновой функции при инверсии. Один из них связан с зависимо-
зависимостью волновой функции от координат. В нерелятивистской кван-
квантовой механике рассматривался только этот вопрос, — он приво-
приводит к понятию четности состояния (которую мы будем назы-
называть теперь орбитальной четностью), характеризующей свойс-
свойства симметрии движения частицы. Если состояние обладает
определенной орбитальной четностью (+1 или —1), то это зна-
значит, что
Другой аспект — поведение (при инверсии координатных
осей) волновой функции в данной точке (которую удобно пред-
представлять себе как начало координат). Оно приводит к понятию
внутренней четности частицы. Внутренней четности +1 или —
— 1 отвечают (для частицы со спином 0) два знака в определении
A3.1). Полная четность системы частиц дается произведением
их внутренних четностей и орбитальной четности относительно-
относительного движения.
«Внутренние» свойства симметрии различных частиц прояв-
проявляются, разумеется, лишь в процессах их взаимных превраще-
превращений. Аналогом внутренней четности в нерелятивистской кван-
квантовой механике является четность связанного состояния слож-
сложной системы (например, ядра). С точки зрения релятивистской
теории, не делающей принципиального различия между состав-
составными и элементарными частицами, такая внутренняя четность
не отличается от внутренней четности частиц, фигурирующих в
) Группу Лоренца, дополненную пространственной инверсией, называют
расширенной группой Лоренца (в отличие от исходной группы, не содержа-
содержащей Р, которую в этой связи называют собственной). Расширенная группа
содержит все преобразования, не выводящие ось t из соответствующих по-
полостей светового конуса.

64	БОЗОНЫ	ГЛ. II
нерелятивистской теории в качестве элементарных. В нереляти-
нерелятивистской области, где последние ведут себя как неизменяемые,
их внутренние свойства симметрии не наблюдаемы, и поэтому
их рассмотрение было бы лишено физического смысла.
В аппарате вторичного квантования внутренняя четность вы-
выражается поведением ^-операторов при инверсии. Скалярному и
псевдоскалярному полям отвечают законы преобразования
Р:ф(г,г)^±ф(г,-г).	A3.2)
Самый же смысл воздействия инверсии на ^-оператор должен
быть сформулирован в виде определенного преобразования опе-
операторов уничтожения и рождения частиц —такого, чтобы в его
результате возникало изменение A3.2). Легко видеть, что тако-
таковым является
Р :ар^ ±а_р, % ->> ±Ь_р	A3.3)
(и то же самое для сопряженных операторов). Действительно,
произведя эту замену в операторе:
^ (р	)	A3.4)
Р
и переобозначив затем переменную суммирования (р —>> — р), мы
приведем его к виду ±V>(?, —г). Таким образом, если обозначить
через 4pp(t,r) оператор, в котором произведено преобразование
A3.3), то можно написать равенство
^F(t,r) = ±^(t,-r).	A3.5)
Отметим, что преобразование A3.3) имеет вполне естественный
вид: инверсия меняет знак полярного вектора р, так что частицы
с импульсом р заменяются частицами с импульсом —р.
В A3.3) операторы ар и Ьр преобразуются либо оба с верхни-
верхними, либо оба с нижними знаками. В аппарате вторичного кванто-
квантования это является выражением одинаковости внутренних чет-
ностей частицы и античастицы (со спином 0). Сама же по себе эта
одинаковость очевидна уже из того, что частицы и античастицы
(со спином 0) описываются одними и теми же (скалярными или
псевдоскалярными) волновыми функциями.
В релятивистской теории возникает также симметрия по от-
отношению к преобразованию, не имеющему аналога в нереляти-
нерелятивистской теории; его называют зарядовым сопряжением (С-пре-
образование). Если взаимно переставить все операторы ар и 6р:
С:ар^Ьр, Ьр^ар	A3.6)

§ 13	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С, Р, Т	65
(т. е. взаимно заменить частицы античастицами), то ф перейдет
в «зарядово-сопряженный» оператор фсс, причем
$c\t,r)=$+(t,r)	A3.7)
Это равенство выражает симметрию, с которой входят в теорию
понятия частиц и античастиц.
Отметим, что в определении преобразования зарядового со-
сопряжения содержится некоторый несущественный формальный
произвол. Смысл преобразования не изменится, если ввести в
определение A3.6) произвольный фазовый множитель:
ар —>> еш6р, 6р —>> е~гаар.
Тогда было бы
а двукратное повторение этого преобразования по-прежнему
приводило бы к тождеству (ф —>> ф). Все такие определения, од-
однако, эквивалентны друг другу. Поскольку свойства ^-операто-
^-операторов не меняются при умножении на фазовый множитель (ср. ко-
конец предыдущего параграфа), можно просто переобозначить ф
на фе^а'2, после чего вернуться к определению зарядового сопря-
сопряжения в виде A3.6),A3.7).
Поскольку зарядовое сопряжение заменяет частицу нетожде-
нетождественной ей античастицей, оно не приводит в общем случае к
возникновению какой-либо новой характеристики частицы или
системы частиц как таковых.
Исключение в этом смысле составляют системы, состоящие
из равного числа частиц и античастиц. Оператор С переводит
такую систему саму в себя, и потому в этом случае у нее суще-
существуют собственные состояния, отвечающие собственным значе-
значениям С = =Ы (последние следуют из того, что С2 = 1). Для опи-
описания зарядовой симметрии можно при этом рассматривать ча-
частицу и античастицу как два различных «зарядовых состояния»
одной и той же частицы, отличающихся значением зарядового
квантового числа Q = =Ы. Волновая функция системы предста-
представится как произведение орбитальной и «зарядовой» функции и
должна быть симметричной по отношению к одновременной пе-
перестановке всех переменных (координатных и зарядовых) любой
пары частиц. Симметрия же «зарядовой» функции определит
зарядовую четность системы (см. задачу) :) .
Понятие зарядовой четности, естественным образом возника-
возникающее для «истинно нейтральных» систем, должно относиться и
*) В этих рассуждениях мы имеем в виду частицы со спином 0. Описанный
способ рассмотрения непосредственно обобщается и на другие случаи — см.,
например, задачу к § 27.
3 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

66	БОЗОНЫ	ГЛ. II
к истинно нейтральным «элементарным» частицам. В аппарате
вторичного квантования это понятие описывается равенством
фс = ±ф;	A3.8)
знаки «+» и « —» отвечают зарядово-четным и зарядово-нечет-
ным частицам.
В § 11 было указано, что релятивистская инвариантность дол-
должна означать также и инвариантность по отношению к 4-инвер-
сии. По отношению к оператору скалярного (в смысле 4-пово-
ротов) поля это значит, что при таком преобразовании должно
быть:	^	^
всегда с одинаковым знаком «+» в правой стороне. В терми-
терминах преобразования операторов ар, Ьр превращение ?/>(?, г)
в ip(—t, —r) достигается перестановкой в A3.4) коэффициентов
при е~грх и егрх, т. е. заменой
«Р^?р, ^р^«р	A3.9)
Заменяя а-операторы 6-операторами, это преобразование вклю-
включает в себя взаимную замену частиц античастицами. Мы видим,
что в релятивистской теории естественным образом возникает
требование инвариантности по отношению к преобразованию, в
котором одновременно с пространственной инверсией (Р) и обра-
обращением времени (Т) производится также зарядовое сопряжение
(С); это утверждение называют СРТ-теоремой :) .
В этой связи, однако, уместно подчеркнуть, что хотя изло-
изложенные здесь и в § 11, 12 рассуждения и представляются есте-
естественным развитием понятий обычной квантовой механики и
классической теории относительности, но полученные таким пу-
путем результаты выходят за их рамки как по форме (^-операторы,
содержащие одновременно операторы рождения и уничтожения
частиц), так и по существу (частицы и античастицы). Эти ре-
результаты нельзя поэтому рассматривать как чисто логическую
необходимость. Они содержат в себе новые физические принци-
принципы, критерием правильности которых может быть лишь опыт.
Если обозначить через фСРГ(г,г) оператор A3.4), в котором
произведено преобразование A3.9), то можно записать:
фсргA,г) = ф(-^-г).	A3.10)
Сформулировав, таким образом, 4-инверсию как преобразо-
преобразование A3.9), мы тем самым устанавливаем для ^-оператора так-
также и формулировку преобразования обращения времени: вместе
х) Оно было сформулировано Люверсом (G. Luders, 1954) и Паули
(W. Pauli, 1955).

§ 13	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С, Р, Т	67
с преобразованием СР (его называют комбинированной инвер-
инверсией) оно должно давать A3.9) . Учитывая определения A3.3) и
A3.6), находим поэтому
Т:ар^ ±а±р, Ър -> ±Ъ±р	A3.11)
(знаки «±» отвечают таким же знакам в A3.3)). Смысл этого
преобразования вполне естествен: обращение времени не только
переводит движение с импульсом р в движение с импульсом —
—р, но также и переставляет начальные и конечные состояния в
матричных элементах; поэтому операторы уничтожения частиц
с импульсами р заменяются операторами рождения частиц с им-
импульсами —р. Произведя в A3.4) замену A3.11) и переобозначив
переменную суммирования (р —>> — р), найдем, что :)
$r(t,r) = ±$+{-t,r).	A3.12)
Это равенство аналогично обычному правилу обращения вре-
времени в квантовой механике: если некоторое состояние описыва-
описывается волновой функцией ф(г, г), то «обращенное по времени» со-
состояние описывается функцией ?/>*(—?, г); переход к комплексно-
сопряженной функции связан с необходимостью восстановить
нарушенный изменением знака t «правильный» характер зави-
зависимости от времени {Е. P. Wigner, 1932).
Поскольку преобразование Т (а с ним и СРТ) переставляют
начальные и конечные состояния, то для них понятия собствен-
собственных состояний и собственных значений не имеют смысла. Они
не приводят поэтому к новым характеристикам частиц как тако-
таковых. О следствиях же, к которым они приводят в применении к
процессам рассеяния, будет идти речь в § 69, 71.
Рассмотрим, как меняется при преобразованиях С, Р и Т опе-
операторный 4-вектор тока j*1 A2.8). Преобразование A3.2) вместе
с заменой (do,di) —>> (<9о, — дг) дает
Р-Ф,Ъ^^Ф,-%,-т,	A3.13)
как и должно быть для истинного 4-вектора. Преобразование
A3.7) дало бы просто
C:(i°Jkr-^(-i°,-Jkr,	A3-14)
если бы операторы ф и ф^ были коммутативны. Некоммутатив-
Некоммутативность этих операторов возникает, однако, только от некоммута-
некоммутативности ар и <2р (или 6р и 6р с одинаковыми р; но в силу правил
1) Если определять операцию Т безотносительно к другим преобразовани-
преобразованиям, то возникнет тот же произвол в выборе фазового множителя, который
имеется для операции С. Требование же симметрии СРТ оставляет произ-
произвольным выбор фазового множителя лишь в одном из преобразований, С
или Т.

68	БОЗОНЫ	ГЛ. II
коммутации A1.4) перестановка этих операторов приводит лишь
к появлению членов, не зависящих от чисел заполнения, т. е. от
состояния поля. Отбрасывая (как и в A1.5),A1.6)) эти члены,
как несущественные, мы вернемся к правилу A3.14), имеющему
естественный смысл: заменяя частицы античастицами, зарядо-
зарядовое сопряжение меняет знак всех компонент 4-тока.
Поскольку операция обращения времени связана с транспо-
транспонированием начальных и конечных состояний, при применении к
произведению операторов она меняет порядок множителей. Так,
В данном случае, однако, это обстоятельство несущественно: в
силу коммутативности ^-операторов (в указанном выше смы-
смысле) возвращение к исходному порядку множителей не отража-
отражается на результате. Заметив также, что при обращении времени
(do,di) —>> (—do,di), найдем правило преобразования тока:
T:(f,%,r^(f,-l)-t,r.	A3.15)
Трехмерный вектор j меняет знак в соответствии с классическим
смыслом этой величины.
Наконец, при преобразовании СРТ имеем
СРТ : (jo, j)t)P ->> (-jo, -j)-t,-r,	A3.16)
в соответствии со смыслом этой операции как 4-инверсии. Под-
Подчеркнем в этой связи, что поскольку 4-инверсия сводится к пово-
повороту 4-системы координат, по отношению к ней вообще не суще-
существует двух типов (истинных и псевдо) 4-тензоров любого ранга.
До сих пор мы подразумевали частицы свободными. Но ре-
реальный смысл квантовые числа четности приобретают лишь при
рассмотрении взаимодействующих частиц, когда с ними связы-
связываются определенные правила отбора, разрешающие или запре-
запрещающие те или другие процессы. Такой смысл, однако, могут
иметь только сохраняющиеся характеристики — собственные зна-
значения операторов, коммутирующих с гамильтонианом взаимо-
взаимодействующих частиц.
В силу релятивистской инвариантности коммутативным с га-
гамильтонианом должен во всяком случае быть оператор СРТ-пре-
образования. Что же касается преобразований С и Т (а с ними и
Т) по отдельности, то опыт показывает, что электромагнитные и
сильные взаимодействия инвариантны по отношению к ним, так
что соответствующие квантовые числа четности в этих взаимо-
взаимодействиях сохраняются. В слабом же взаимодействии эти законы
сохранения нарушаются г) .
) Идея о возможном несохранении четности в слабых взаимодействиях

§ 13	ПРЕОБРАЗОВАНИЯ С, Р, Т	69
Забегая несколько вперед, укажем, что оператор взаимодей-
взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем дается про-
произведением операторных 4-векторов А и j. Поскольку зарядовое
сопряжение меняет знак j, то инвариантность электромагнитно-
электромагнитного взаимодействия по отношению к этому преобразованию озна-
означает, что должен изменяться также и знак А. Другими словами,
фотоны — зарядово-нечетные частицы.
Указанное поведение операторов А находится в соответствии
со свойствами 4-потенциала в классической теории. Действитель-
Действительно, из преобразований
С:	(Ao,A)->(-Ao,-A)t)P,
Р:	(А,, А)->(!,,,-A)t)_r,
СРТ:	(Ao,A)^(-Ao,-A)_t)_r,
следует:
Т: (ЛО,А)->(ЛО,-А)_*,Г,
что и отвечает классическому правилу преобразования потенци-
потенциалов электромагнитного поля при обращении времени.
Требование СРТ-инвариантности не накладывает каких-ли-
каких-либо ограничений на свойства частиц самих по себе. Оно приводит,
однако, к определенной связи между свойствами частиц и ан-
античастиц. Сюда относится, прежде всего, равенство масс тех и
других,— это ясно уже из изложенной в § 11 связи между 4-ин-
версией и самим происхождением понятия о частицах и антича-
античастицах.
Далее, из СРТ-инвариантности следует, что коэффициенты
пропорциональности между векторами электрического и магнит-
магнитного моментов и вектором спина различаются у частицы и ан-
античастицы лишь знаком. Действительно, магнитный момент ме-
меняет знак при С- и Т-преобразованиях и (будучи аксиальным
вектором) Р-инвариантен. Поэтому преобразование СРТ', пре-
превращая частицу в античастицу, в то же время не меняет знак
магнитного момента; вектор же спина меняет знак. То же самое
относится к электрическому моменту, остающемуся неизменным
при обращении времени и меняющему знак при С-преобразова-
нии и (по свойствам полярного вектора) при пространственной
инверсии.
Требования же Р- или Т-инвариантности (если таковые со-
соблюдаются) ограничивают свойства уже каждой из частиц: они
была впервые высказана Ли и Янгом (Т. D. Lee,C. N. Yang, 1956). Еще
раньше общая мысль о необязательности Р- и Т-инвариантности физиче-
физических законов была высказана Дираком A949).

70	БОЗОНЫ	ГЛ. II
запрещают существование у частицы электрического дипольного
момента. Действительно, единственный вектор, который можно
построить для покоящейся элементарной частицы из ее ^-опера-
^-операторов,— это вектор оператора ее спина. Этот вектор Р-четен и
Т-нечетен; он может поэтому определять только магнитный, но
не электрический момент. Подчеркнем, что для этого запрета до-
достаточно требования уже лишь одной Р- или Т-инвариантности.
Задача
Определить зарядовую и пространственную четности системы, состоя-
состоящей из частицы со спином 0 и ее античастицы, с орбитальным моментом /
относительного движения.
Решение. Перестановка координат частиц эквивалентна инверсии
(относительно центра инерции) и поэтому умножает орбитальную функцию
на (—1)г; перестановка зарядовых переменных эквивалентна зарядовому со-
сопряжению и умножает «зарядовый» множитель в волновой функции на ис-
искомое С. Из условия С{—II = 1 имеем
С =(-!)'¦
Пространственная четность системы Р есть произведение орбитальной чет-
четности и внутренних четностей обеих частиц. Поскольку внутренние четно-
четности частицы и античастицы одинаковы, то в данном случае Р совпадает с
орбитальной четностью: Р = (—II.
§ 14. Волновое уравнение для частицы со спином 1
Частица со спином 1 описывается в ее системе покоя трехком-
понентной волновой функцией — трехмерным вектором (о такой
частице часто говорят как о векторной). По своему четырех-
четырехмерному происхождению это могут быть три пространственные
компоненты 4-вектора ф^ (пространственноподобного) или же
смешанные компоненты антисимметричного 4-тензора второго
ранга ф^, у которых в системе покоя обращается в нуль времен-
временная (ф°) и пространственные (фгк) компоненты х) .
Волновое уравнение — дифференциальная связь между вели-
величинами ф^, ф^р — устанавливается соотношениями, которые мы
запишем в виде
A4.2)
:) Забегая вперед, укажем, что совокупности 4-вектора ф^ и 4-тензора фи^
отвечает совокупность четырехмерных спиноров второго ранга <J , ^о, С ,
причем ^af3 и 77а/з — симметричные спиноры, переходящие друг в друга при
инверсии (см. § 19).

§ 14	ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1	71
где р = id (А. Ргоса, 1936). Применив к обеим сторонам урав-
уравнения A4.2) операцию j5^, получим (ввиду антисимметрично-
антисимметричности фпу)
р»ф^ = 0.	A4.3)
Из A4.1, 14.2) можно исключить фц„, подставив первое урав-
уравнение во второе. Учитывая A4.3), получаем
(р2 - т2^ = 0,	A4.4)
откуда снова (ср. § 10) видно, что т — масса частицы. Таким
образом, свободную частицу со спином 1 можно описывать все-
всего одним 4-вектором ф^, компоненты которого удовлетворяют
уравнению второго порядка A4.4), а также и дополнительно-
дополнительному условию A4.3), исключающему из ф^ часть, принадлежащую
спину 0.
В системе покоя, где ф^ не зависит от пространственных ко-
координат, найдем, что р°фо = 0. Поскольку в то же время р°фо =
= тфо, мы видим, что в системе покоя ^о = 0, как и должно
быть. Вместе с фо обращаются в нуль также и ф^.
Частица со спином 1 может обладать различной внутренней
четностью —в зависимости от того, является ли ф^ истинным
вектором или псевдовектором. В первом случае
а во втором
Уравнения A4.1),A4.2) могут быть получены из вариацион-
вариационного принципа с лагранжианом:
L = A/2) ф^Ж"* ~ A/2)ф^*(д^ - dv%) -
- A/2)</>И^€ " диф1) + т2ф^*. A4.5)
Роль независимых обобщенных координат играют в нем ф^ ?/>*,
Для нахождения тензора энергии импульса формула A0.11)
в данном случае не вполне удобна, так как она привела бы к
несимметричному тензору, который нуждался бы еще в допол-
дополнительной симметризации. Вместо этого можно воспользоваться
формулой
1) Если бы мы производили варьирование только по ф^ (предполагая зара-
заранее ф^и выраженными через ф^ согласно A4.1)), то уравнение A4.3) должно
было бы вводиться как дополнительное условие, не связанное с вариацион-
вариационным принципом.

72	бозоны	гл. п
в которой предполагается, что L выражено в виде, относящемся
к произвольным криволинейным координатам (см. II, § 94). Если
L содержит только компоненты самого метрического тензора g^v
(но не их производные по координатам), то формула упрощается:
т _ 2 d^TgL _ dL _ т
(напомним, что d Ing = —g^dg^).
Поскольку дифференцирование в формуле A4.6) производит-
производится не по величинам ф^ Ф^у, ПРИ ее применении необязательно
считать эти величины независимыми; можно сразу воспользо-
воспользоваться связью A4.1) и переписать лагранжиан A4.5) в виде
L = (-1/2) WV>V/VP + m2VvVC<T•	A4.7)
Тогда
(A/2) фХ
A4.8)
В частности, плотность энергии дается существенно положитель-
положительным выражением
Too = A/2) фгкФ1к + ФогФш + Ш2 (фОф*о + фгф*) .	A4.9)
Сохраняющийся 4-вектор плотности тока дается выражением
f = i {ф^*ф„ - гГФ1) ¦	A4.10)
Его можно найти согласно формуле A2.12) дифференцировани-
дифференцированием лагранжиана A4.5) по производным д^фу. В частности,
A4.11)
и не является существенно положительной величиной.
Плоская волна, нормированная на одну частицу в объеме
V = l:	.
^ =-LiVT**, «„«"' = -1,	A4.12)
где и^—единичный 4-вектор поляризации, удовлетворяющий (в
силу A4.3)) условию четырехмерной поперечности
и^ = 0.	A4.13)
Действительно, подставив функцию A4.12) в A4.9) и A4.11), по-
получим
Too = -2е2ф^* = е, j° = 1.
В противоположность фотону векторная частица с ненуле-
ненулевой массой имеет три независимых направления поляризации.
Соответствующие им амплитуды см. A6.21).

§ 14	ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 1	73
Поляризационная матрица плотности для частично поляри-
поляризованных векторных частиц определяется таким образом, чтобы
в чистом состоянии она сводилась к произведению
	 *
Р/11У — ^\1^1>
(аналогично выражению (8.7) для фотонов). Согласно A4.12),
A4.13) она удовлетворяет условиям
рРр^ = 0, р? = -1.	A4.14)
Для неполяризованных частиц матрица p^v должна иметь вид
Щц.» + ^V^Vv- Определив коэффициенты а и b из A4.14), найдем
в результате
/V = ~з
Квантование поля векторных частиц производится аналогич-
аналогично скалярному случаю, и нет необходимости повторять заново
все рассуждения, ^-операторы векторного поля имеют вид
(~+ («)* грх - (а) -грх\	^^
I flpa\ е -\- Ораи„ е I ,
\	/
где индекс а нумерует три независимые поляризации.
Положительная определенность выражения A4.9) для Too и
неопределенность j° A4.11) приводят, как и в скалярном случае,
к необходимости квантования по Бозе.
Существует тесная связь между свойствами истинно ней-
нейтрального векторного и электромагнитного полей. Нейтральное
векторное поле описывается эрмитовым ^-оператором:
'Т4 X ^ 1
Фа — У
ра
Лагранжиан этого поля
Электромагнитному полю отвечает случай т = 0. При этом
4-вектор ф^ становится 4-потенциалом А*1, а 4-тензор ф^у —тен-
—тензором поля F^v, связанным с потенциалом определением A4.1).
Уравнение A4.2) превращается в д^ф^ = 0, что соответствует
второй паре уравнений Максвелла. Из него уже не следует усло-
условие A4.3), которое, таким образом, перестает быть обязатель-
обязательным. Ввиду отсутствия дополнительного условия нет необходи-
необходимости рассматривать в лагранжиане фи и фпУ как независимые

74	бозоны	гл. п
«координаты», и лагранжиан A4.18) сводится к
L = -A/4)ф^ф>*	A4.19)
в согласии с известным классическим выражением лагранжиа-
лагранжиана электромагнитного поля. Этот лагранжиан, вместе с тензором
V*jlm/j инвариантен по отношению к произвольному калибровочно-
калибровочному преобразованию «потенциалов» ф^. Ясно видна связь этого
обстоятельства с нулевой массой: лагранжиан A4.18) не облада-
обладает этим свойством благодаря члену т^ф^ф^.
§ 15. Волновое уравнение для частиц
с высшими целыми спинами
Поскольку волновые уравнения A4.3, 14.4) следуют непосред-
непосредственно из задания массы и спина частицы, практическое ис-
использование лагранжиана сводится не столько к выводу этих
уравнений, сколько к построению выражений для энергии, им-
импульса и заряда поля.
Для этой цели, как уже отмечалось, можно пользоваться вме-
вместо A4.5) выражением A4.7), а последнее можно преобразовать
еще дальше. Использовав A4.1), переписываем A4.7) в виде
В силу A4.3) последний член обращается в нуль, а предпослед-
предпоследний есть полная производная. Опустив ее, получим лагранжиан
L' = - {д„ф1) (д»ф») + т2ф;ф».	A5.1)
Он имеет ту же структуру, что и лагранжиан A0.9) частицы
со спином 0, отличаясь лишь заменой скаляра ф на 4-вектор ф^
и общим знаком. Последнее связано с тем, что ф^ — простран-
ственноподобный вектор, так что ф^ф^* < 0, в то время как для
скалярной частицы фф* > 0.
Если построить 4-тензор энергии-импульса и 4-вектор тока с
помощью лагранжиана A5.1), то мы получим выражения того
же вида, что и выражения A0.12) и A0.18) для скалярного поля:
A5.2)
A5.3)
Их отличие от A4.8) и A4.10) тоже сводится к полным произ-
производным. Но локальные значения этих величин не имеют (как

§ 15	ЧАСТИЦЫ С ВЫСШИМИ ЦЕЛЫМИ СПИНАМИ	75
уже подчеркивалось ранее) глубокого физического смысла. Су-
Существенны лишь объемные интегралы Р^ A0.15) и Q A0.19),
которые будут совпадать при обоих выборах Т^ и j^.
Такой способ описания непосредственно обобщается на части-
частицы с произвольным (целым) спином. Волновая функция части-
частицы со спином s есть неприводимый 4-тензор ранга s, т. е. тензор,
симметричный по всем своим индексам и обращающийся в нуль
при упрощении по любой паре индексов:
Ф..Ф...и... = Ф...и..Ф..., Ф...»./... = 0.	A5.4)
Этот тензор должен удовлетворять дополнительному условию
4-поперечности:
Р»Ф...»... = 0,	A5.5)
а каждая из его компонент — уравнению второго порядка:
(р2 -т2)ф„, = 0.	A5.6)
В системе покоя условие A5.5) приводит к обращению в нуль
всех компонент 4-тензора, среди индексов которых есть 0. Дру-
Другими словами, волновая функция в системе покоя (т. е. в нере-
нерелятивистском пределе) сводится, как и следовало, к неприводи-
неприводимому 3-тензору ранга s, число независимых компонент которого
равно 2s + 1.
Лагранжиан, тензор энергии-импульса и вектор тока для по-
поля частиц со спином s отличаются от A5.1)—A5.3) лишь заменой
Ф\ на W..-
Нормированная плоская волна:
^^-е-^\ ^„...^"- = -1,	A5.7)
причем амплитуда волны удовлетворяет условиям
и-^-Р/1 = 0.	A5.8)
Имеется 2s + 1 независимых состояний поляризации.
Квантование поля производится очевидным обобщением слу-
случаев спина 0 или 1.
Изложенная схема вполне достаточна для поставленной це-
цели— описания поля свободных частиц. Иное дело, если ставить
задачу об описании взаимодействия частиц с электромагнитным
полем. Это взаимодействие должно было бы вводиться в ла-
лагранжиан, из которого все уравнения могли бы быть получе-
получены без необходимости постановки дополнительных условий. Од-
Однако фактически оказывается, что такое описание взаимодей-
взаимодействия применимо только для электронов — частиц со спином 1/2
(см. § 32). Поэтому для других спинов эта задача могла бы иметь
лишь методический интерес.

76	БОЗОНЫ	ГЛ. II
Отметим, что для всех (целых и полуцелых) спинов s > 1 ока-
оказывается невозможным сформулировать вариационный принцип
с помощью одной только функции (тензорной или спинорной),
ранг которой соответствует данному спину. Для этой цели ока-
оказывается необходимым ввести в качестве вспомогательных так-
также тензорные или спинорные величины более низкого ранга. При
этом лагранжиан подбирается таким образом, чтобы эти вспомо-
вспомогательные величины автоматически обращались в нуль в силу
следующих из вариационного принципа уравнений поля свобод-
свободных частиц :) .
§ 16. Спиральные состояния частицы 2)
В релятивистской теории орбитальный момент 1 и спин s
движущейся частицы не сохраняются каждый в отдельности.
Сохраняется лишь полный момент j = 1 + s. He сохраняется
поэтому и проекция спина на какое-либо заданное направление
(ось z\ и поэтому эта величина не может служить для пере-
перечисления поляризационных (спиновых) состояний движущейся
частицы.
Сохраняется, однако, проекция спина на направление им-
импульса: поскольку 1 = [гр], то произведение sn совпадает с со-
сохраняющимся произведением jn (n = р/|р|). Эту величину на-
называют спиралъностъю 3) (мы уже рассматривали ее для фото-
фотона в § 8). Ее собственные значения будем обозначать буквой А
(А = —s,..., +s), а состояния частицы с определенными значе-
значениями А будем называть спиральными состояниями.
Пусть фр\ — волновая функция (плоская волна), описываю-
описывающая состояние частицы с определенными р и A, a w '(p)—ее
амплитуда; для краткости обозначений мы не выписываем ин-
индексы компонент этой функции (для целого спина это — 4-тен-
зорные индексы).
Мы видели в предыдущих параграфах, что при релятивист-
релятивистском описании частиц с отличным от нуля (целым) спином при-
приходится вводить волновую функцию с числом компонент, пре-
превышающим 2s + 1. Однако число независимых компонент при
этом остается равным 2s + 1; «лишние» компоненты устраня-
устраняются наложением дополнительных условий, в силу которых эти
х)См. Fierz M.,Pauli W.//Pioc. Roy. Soc. —1939. — V. A 173. —P. 211. В
этой работе указанная программа проведена для частиц со спином 3/2 и 2.
2) Содержание этого параграфа относится к частицам с любым (целым или
полу целым) спином.
) В английской литературе — helicity.

§ 16	СПИРАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ	77
компоненты обращаются в нуль в системе покоя (в следующей
главе мы увидим это же для полуцелых s).
Согласно формулам преобразования момента (см. II, § 14)
спиральность инвариантна относительно преобразований Лорен-
Лоренца, не меняющих направления р, на которое проецируется мо-
момент. Поэтому число А сохраняет при таких преобразованиях
свой смысл квантового числа, и для изучения свойств симмет-
симметрии спиральных состояний можно воспользоваться системой от-
отсчета, в которой импульс |р| <С т (в пределе — системой покоя).
Тогда фр\ сведется к нерелятивистской Bs + 1)-компонентной
волновой функции. Обозначим ее амплитуду через ^^A^(n), ука-
указав в качестве аргумента направление п = р/|р|, вдоль которого
квантуется момент. Амплитуда w^ —собственная функция опе-
оператора us:
nWA)(n) = Xww(n)	A6.1)
В спинорном представлении w^ — контравариантный симмет-
симметричный спинор ранга 2s; согласно формулам соответствия E7.2)
(см. III) его компоненты можно перечислять также по отвеча-
отвечающим им значениям проекции спина а на фиксированную ось
В импульсном представлении волновые функции рассматри-
рассматриваемых состояний совпадают в основном с амплитудами
Именно:
фрХ(к) = u^x\k)S^(iy - п) = г/А)(р)<*B)A/ - п),	A6.2)
где импульс как независимая переменная обозначен к, в отличие
от его собственного значения р, a v = к/|к|, в отличие от п =
= р/|р| 2) . В нерелятивистском пределе
фпХ(и) = w?\v)8{2){v - n) = ww(nM{2){u - п). A6.3)
1)	Приведенные рассуждения (как и перечисление возможных значений Л)
относятся к частицам с отличной от нуля массой. Для частиц с нулевой
массой системы покоя не существует, а спиральность может иметь лишь
два значения Л = ±s. Последнее связано с упомянутым уже в § 8 обсто-
обстоятельством: состояния такой частицы классифицируются по их поведению
по отношению к группе аксиальной симметрии, допускающей только дву-
двукратное вырождение уровней (с точки зрения свойств волнового уравнения
это означает, что при переходе к пределу т —»¦ 0 система уравнений для
частицы со спином s распадается на независимые уравнения, отвечающие
безмассовым частицам со спинами s, s — 1, ... ). Так, для фотона Л = ±1, а
роль соответствующих г^/Л) играют трехмерные векторы е^1) (8.2).
2)	Здесь ^-функция ^^2^ определена так, что J S^2\iy — n) dou = 1. В A6.2)
(и в аналогичном случае ниже, см. A6.4)) опущена ^-функция, обеспечива-
обеспечивающая заданное значение энергии.

78	бозоны	гл.
Более подробно это выражение надо было бы написать в виде
где явно указана также и дискретная независимая переменная а.
Оператор спиральности !зп коммутативен с операторами jz
и j2. Действительно, оператор момента связан с бесконечно ма-
малым поворотом системы координат, а скалярное произведение
двух векторов инвариантно по отношению к любому повороту.
Поэтому существуют стационарные состояния, в которых части-
частица обладает одновременно определенными значениями момента
j, его проекции j'z = т и спиральности А. Будем называть такие
состояния сферическими спиральными состояниями.
Определим волновые функции этих состояний в импульсном
представлении. Это можно сделать непосредственно по аналогии
с полученными в т. III, § 103 формулами для волновых функций
симметричного волчка. Они были получены там на основании
формул для преобразования волновых функций при конечных
вращениях (см. III, § 58). Последние, в свою очередь, основаны
только на свойствах симметрии по отношению к вращениям; по-
поэтому они применимы к функциям в импульсном представлении
в той же мере, как и к координатным функциям.
Наряду с фиксированной в пространстве системой координат
xyz (по отношению к которой записываются функции ^-шд), вве-
введем также «подвижную» систему ^г/^ с осью ? вдоль направле-
направления v. Не повторяя заново соответствующих рассуждений (ср.
вывод формулы A03.8) (см. III)), напишем
где ?/г-д — волновая функция в «подвижной» системе координат,
описывающая состояние частицы с определенным значением
("-проекции момента: j^ = А; в импульсном представлении эта
функция совпадает, очевидно, с амплитудой г^л). Нормирован-
Нормированная (см. ниже) волновая функция
(i	A6.4)
Здесь возникает, однако, вопрос о выборе фаз, связанный со
следующей неоднозначностью. Поворот системы координат ^г/^
относительно xyz определяется тремя углами Эйлера а, /3, 75
направление же i/, от которого только и может зависеть волновая
функция частицы, зависит лишь от двух сферических углов а =
= у?, /3 = в. Поэтому надо условиться о каком-либо выборе угла
7- Будем полагать 7 = 0, т. е. определим Z?^(i/) как
?	&	^1.	A6.5)

§ 16	СПИРАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ	79
В силу E8.21) (см. III) функции A6.5) удовлетворяют усло-
условиям ортогональности и нормировки:
(dov = sm6d6d(p). Ортогональность же функций ^jm\ по индек-
индексу А обеспечивается множителем г^л). Таким образом, функции
ФзтХ ортогональны, как и должно быть, по всем индексам jmA,
а при выбранном в A6.4) коэффициенте они нормированы усло-
условием
/ №jm\\2dov = 1.	A6.7)
При этом предполагается, что амплитуды г^Л) нормированы на
единицу: г/АМА)* = 1.
Рассмотрим поведение волновых функций спиральных состо-
состояний по отношению к инверсии координат. Произведение поляр-
полярного вектора v на аксиальный вектор j — псевдоскаляр. Поэтому
ясно, что в результате инверсии состояние со спиральностью А
переходит в состояние с —А; надо лишь определить фазовые мно-
множители в этих преобразованиях.
При инверсии v —ь —V. Вектор v определяется двумя углами
(р, #, и преобразование v —>• —v осуществляется заменой (р —>•
—>• (^ + тг, в —>• тг — в. Тем самым фиксируется ось ?, но остается
неопределенным полож:ение осей ^ и г/, зависящее такж:е и от
третьего угла Эйлера 75 преобразование одних только в и (р не
дает возможности различать в этом смысле инверсию системы
координат от поворота оси ?. В терминах всех трех углов Эйлера
инверсия есть преобразование
а = (р —)> (р + тг, /3 = в —)> тг — б, 7^^ —7-	A6.8)
Поэтому, если Z?^(i/) определено согласно A6.5) (т. е. с 7 =
= 0), а замена v —>• — i/ подразумевается как результат инверсии,
то
?>Am(-")=?>Am(V + T^-^T)-	A6"9)
С помощью формул E8.9), E8.16), E8.18) (см. III) находим по-
поэтому
или
^Ат("И = (-1)~АЛ-Ат(")	A6.10)
(j — А — целое число).
Аналогичную формулу для спинора w^ мож:но получить,
(Л)
заметив, что его компоненты уоа совпадают, с точностью до

80	БОЗОНЫ	ГЛ. II
множителя, с функциями
wixHu)cxD^(u)*.	A6.11)
Действительно, применив формулу преобразования E8.7) (см.
III) к собственным функциям спина и положив, что его ("-про-
("-проекция имеет определенное значение А (т. е. заменив в правой
стороне E8.7) (см. Ill) ipjmi на Sm/\), мы найдем, что D^(y) —
спиновые волновые функции, отвечающие определенным значе-
значениям его z- и ("-проекций (<т и А). Совокупность этих функ-
функций (а = —s,..., +s) составляет (по формулам соответствия
E7.6) (см. III)) ковариантный спинор ранга 2s. Компоненты же
контравариантного спинора (которым по формулам E7.2) (см.
III) отвечают компоненты ига ) преобразуются как комплексно-
сопряженные от компонент ковариантного спинора того же ран-
ранга. Из A6.10),A6.11) имеем
n/A)(-i/) = (-1)S-V-A)(*/)	A6.12)
(s — А —целое число). Операция инверсии в применении к w^
состоит однако не только в замене v —>> — i/, но и в умножении на
общий фазовый множитель («внутренняя четность» частицы),
который мы обозначим г/:
-v) = r/(-l)s-V-A)(i/).	A6.13)
Для релятивистской же амплитуды г^Л)(к) это преобразование
запишется в виде
Ри^(к) = г]Cи^(-к) = r/(-l)s-V-A)(k),	A6.14)
где /3 — некоторая матрица, единичная по отношению к компо-
компонентам и^\ остающимся в пределе |р| —>• 0. Важно, что эта ма-
матрица не зависит от квантовых чисел состояния, и в этом смысле
разница между A6.13) и A6.14) несущественна :) .
Применив A6.14) к A6.2), получим закон преобразования
волновых функций состояний |пА):
РфпхП = 17(-1)в" Vn-AM-	A6-15)
Для сферических спиральных состояний, воспользовавшись
A6.10) и A6.12), получим закон преобразования:
= v(-l)J~SlPjm-xH-	A6-16)
:) Так, для s = l амплитуды и^ —4-векторы A6.22); при этом /3 — полно-
полностью единичная матрица по 4-векторным индексам: Д^ = 8^и. Для s = 1/2
(как мы увидим в следующей главе) и^ — биспинор; при этом фазовый мно-
множитель 7] = г, а /3 — матрица Дирака 7° (см. B1.10)).

16	СПИРАЛЬНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦЫ	81
Состояния ipjmo преобразуются, согласно A6.16), сами через
себя, т. е. обладают определенной четностью. Если же А ф 0, то
определенной четностью обладают лишь суперпозиции состоя-
состояний с противоположными спиральностями:
= ^ (^imA ± ^im-A) •	A6-17)
При инверсии они преобразуются сами через себя согласно
Обратим внимание на то, что мы произвели в этом параграфе
классификацию состояний свободной частицы с заданным мо-
моментом, оперируя только с сохраняющимися величинами и не
прибегая к понятию орбитального момента (использованного, на-
например, в § 6, 7 для классификации состояний фотона).
В качестве примера рассмотрим случай спина 1. В системе
покоя амплитуды г^л) D-векторы) сводятся к трехмерным век-
векторам е' >, которые и играют здесь роль амплитуд w^ '. Действие
оператора спина 1 на векторную функцию е дается формулой
(sie)fc = -ieikiei	A6.19)
(см. Ill, § 57, задача 2). Поэтому уравнение A6.1) принимает вид
i[neW] = AeW.	A6.20)
Его решения (в системе координат ^г/^ с осью ? вдоль п) совпа-
совпадают с циркулярными ортами G.14) :) :
е(°) = г@, 0,1), е = т4=
у/2
В системе отсчета, где частица имеет импульс р, амплитуды спи-
спиральных состояний — 4-векторы
„(о)/* = (И ?.е(оЛ и(=ы)„ = @ ^±1)^	Aб22)
\т т )
Если е — полярный вектор, то г\ = — 1. Тогда функции A6.17)
(при s = 1—трехмерные векторы) имеют следующие четности:
Р = (-1У,
p = (-1)я
ф^т0 : P = (-l)j.
:) Выбор фазовых множителей фиксируется требованием, чтобы вычис-
вычисленные с помощью собственных функций A6.21) матричные элементы опе-
операторов спина отвечали общим определениям в т. III, § 27, 107.

82	бозоны	гл. п
Сравнивая с определением шаровых векторов G.4), мы видим,
что эти функции тождественны (с точностью до фазовых мно-
множителей) соответственно с Y^, Y^, Y^. Определив фазовые
множители (скажем, путем сравнения значений при 6 = 0), по-
получим следующие равенства:
" jm
(j — целое число!); е(Л)' = [пе(л)] —циркулярные орты в осях
^'rfX повернутых относительно ^г/^ на 90° вокруг оси ?.
Последняя из формул A6.23) эквивалентна выражению
E8.23) (см. III) для (г^{в). Из первой же (или второй) формулы
(i)
можно получить простое выражение для функций (ц_[т. Имеем
2? + 1 п(Я _
и±\т —
Скалярное произведение в правой стороне равенства раскрываем
в системе ?7/?, причем
д^ дп/ \дв' sin(9 дш)'
дц) \дв sin(9 д(р.
Вспомнив определение G.2) функции Yjm и определение A6.5),
получим в результате
m > 0. A6.24)

ГЛАВА III
ФЕРМИОНЫ
§ 17. Четырехмерные спиноры
В нерелятивистской теории частица с произвольным спином
s описывается Bз+1)-компонентной величиной — симметричным
спинором ранга 2s. С математической точки зрения это — вели-
величины, реализующие неприводимые представления группы про-
пространственных вращений.
В релятивистской теории эта группа выступает лишь как под-
подгруппа более широкой группы четырехмерных вращений — груп-
группы Лоренца. В связи с этим возникает необходимость в постро-
построении теории четырехмерных спиноров D-спиноров)—величин,
осуществляющих неприводимые представления группы Лорен-
Лоренца; ее изложению посвящены § 17-19. При этом в § 17, 18 рас-
рассматривается лишь собственная группа Лоренца, не содержащая
пространственной инверсии; последняя будет рассмотрена в § 19.
Теория 4-спиноров строится аналогично теории трехмерных
спиноров (В. L. van der Waerden, 1929; G. E. Uhlenbeck, O. La-
porte, 1931).
Спинор ^а есть двухкомпонентная величина (а = 1,2); как
компоненты волновой функции частицы со спином lfe t;1 и ?2
отвечают собственным значениям ^-проекции спина, равным со-
соответственно + х/2 и — lfe. При всяком преобразовании (собствен-
(собственной) группы Лоренца две величины ^, ?2 преобразуются друг
через друга:
Коэффициенты а, /3, 7? ^ — определенные функции углов пово-
поворота 4-системы координат, подчиненные условию
ш5-/37 = 1,	A7.2)
т. е. определитель бинарного преобразования A7.1) равен 1, как
и определители преобразований координат в группе Лоренца.
В силу условий A7.2) билинейная форма ^S2 — ^S1 (где ^а
и?- два спинора) инвариантна относительно преобразования
A7.1) (она отвечает частице со спином 0, «составленной» из двух
частиц со спином 1/2)- Для естественной записи таких инвариант-
инвариантных выражений наряду с «контравариантными» компонентами

84	фермионы
спинора t;a вводятся также и «ковариантные» компоненты ?а.
Переход от одних к другим совершается с помощью «метриче-
«метрического спинора» gap x) :
U=gapZli,	A7-3)
где
так что
Тогда инвариант ^S2 — ^S1 записывается в виде скалярного
произведения ?aSa. При этом ?aSa = —?aSa.
До сих пор перечисленные свойства формально совпадали со
свойствами трехмерных спиноров. Разница, однако, возникает
при рассмотрении комплексно-сопряженных спиноров.
В нерелятивистской теории сумма
фгфи+ф2ф2*,	A7.6)
определяющая плотность вероятности локализации частиц в про-
пространстве, должна была быть скаляром, а для этого компоненты
фа* должны были преобразовываться как ковариантные компо-
компоненты спинора; другими словами, преобразование A7.1) должно
было быть унитарным (а = 5*, /3 = —7*)- В релятивистской
же теории плотность частиц не является скаляром; она пред-
представляет собой временную компоненту 4-вектора. В связи с этим
указанное требование отпадает и на коэффициенты преобразова-
преобразования не накладывается теперь никаких дополнительных (помимо
A7.2)) условий. Четыре комплексные величины а, /3, 7? 8 ПРИ
одном лишь условии A7.2) эквивалентны 8 — 2 = 6 веществен-
вещественным параметрам —в соответствии с числом углов, определяю-
определяющих вращение 4-системы координат (повороты в шести коорди-
координатных плоскостях).
Таким образом, комплексно-сопряженные бинарные преобра-
преобразования оказываются существенно различными, так что в реля-
релятивистской теории существует два типа спиноров. Чтобы разли-
различить эти типы, приняты специальные обозначения: индексы спи-
спиноров, преобразующихся по формулам, комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженным формулам A7.1), записываются в виде цифр с точками над
ними (пунктирные индексы). Таким образом, по определению,
^~?а*,	A7.7)
1) Спинорные индексы будем обозначать первыми буквами греческого ал-
алфавита: а, /3, 7, • • •

§ 17	ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ СПИНОРЫ	85
где знак ~ означает «преобразуется как». Другими словами, фор-
формулы преобразования «пунктирного» спинора:
,/'= «У +/ЗУ, ^'^У+сГу.	A7.8)
Операции опускания и поднимания пунктирных индексов
производятся так же, как и для непунктирных индексов:
7/1=7/2, т = -г]1.	A7.9)
По отношению к пространственным вращениям поведение
4-спиноров совпадает с поведением 3-спиноров. У последних, как
мы знаем, ф^ ^ фа. В силу определения A7.7) 4-спинор щ ве-
ведет себя, следовательно, при вращениях как контравариантный
3-спинор фа. Собственным значениям проекции спина lfe и —lJ2
соответствуют поэтому ковариантные компоненты гц ищ.
Спиноры высших рангов определяются как совокупности ве-
величин, преобразующихся как произведения компонент несколь-
нескольких спиноров первого ранга. При этом среди индексов спинора
высшего ранга могут быть как пунктирные, так и непунктирные.
Например, существует три типа спиноров второго ранга:
Тем самым указание одного лишь полного ранга спинора недо-
недостаточно для однозначного определения этого понятия; мы будем
поэтому при необходимости указывать ранг в виде пары чисел
(к, I) —числа непунктирных и числа пунктирных индексов.
Поскольку преобразования A7.1) и A7.8) алгебраически не-
независимы, нет необходимости фиксировать последовательность
пунктирных и непунктирных индексов (в этом смысле, напри-
например, спиноры (а@ и ^а — одно и то же).
Для того чтобы иметь инвариантный характер, всякое спи-
норное равенство должно содержать с обеих сторон одинаковое
число непунктирных и пунктирных индексов; в противном слу-
случае оно заведомо нарушится при переходе от одной системы от-
отсчета к другой. При этом надо помнить, что комплексное сопря-
сопряжение подразумевает замену пунктирных индексов непунктир-
непунктирными и наоборот. Поэтому имеет инвариантный характер соот-
соотношение г]а@ = (?а^) между двумя спинорами.
Свертывание спиноров или их произведений может произво-
производиться лишь по парам индексов одинакового рода —двум пунк-
пунктирным или двум непунктирным. Суммирование же по паре ин-
индексов различного рода —не инвариантная операция. Поэтому
из спинора

86	ФЕРМИОНЫ
симметричного по всем к непунктирным и по всем / пунктирным
индексам, нельзя образовать спинор более низкого ранга (на-
(напомним, что упрощение по паре индексов, относительно которых
спинор симметричен, дает в результате нуль). Это значит, что из
величин A7.10) нельзя составить меньшего числа каких-либо их
линейных комбинаций, которые бы преобразовывались друг че-
через друга при всех преобразованиях группы. Другими словами,
симметричные 4-спиноры реализуют неприводимые представле-
представления собственной группы Лоренца. Каждое неприводимое пред-
представление задается парой чисел (/с, /).
Поскольку каждый спинорный индекс пробегает два значе-
значения, имеется к + 1 существенно различных наборов чисел
«1«2 • • • OLk в A7.10) (содержащих 0, 1, 2, ... , к единиц и /с, к — 1,
... , 0 двоек) и / + 1 наборов чисел $\$2 • • • $1- Всего, следователь-
следовательно, симметричный спинор ранга (/с, /) имеет (fc + l)(Z + l) незави-
независимых компонент; это и есть размерность осуществляемого им
неприводимого представления.
§ 18. Связь спиноров с 4-векторами
Спинор ?а^ с одним пунктирным и одним непунктирным ин-
индексами имеет 2-2 = 4 независимые компоненты — как раз столь-
столько, сколько компонент имеет 4-вектор. Ясно поэтому, что тот
и другой реализуют одно и то же неприводимое представление
собственной группы Лоренца, и между их компонентами должно
иметься определенное соответствие.
Для установления этого соответствия обратимся прежде все-
всего к аналогичному соответствию в трехмерном случае, учиты-
учитывая, что по отношению к чисто пространственным вращениям
поведение 3- и 4-спиноров должно быть одинаковым.
Для трехмерного спинора фа@ имеют место формулы соот-
соответствия (см. III, § 57), которые мы запишем здесь в виде
где аж, ау, az—компоненты некоторого трехмерного вектора а.
Переходя к четырехмерному случаю, надо заменить компонен-
компоненты ф°о на (а@, а под аж, ayi az понимать контравариантные ком-
компоненты а1, а2, а3 4-вектора. Что же касается выражения для
четвертой компоненты вектора, а0, то его вид заранее ясен из

§ 18	СВЯЗЬ СПИНОРОВ С 4-ВЕКТОРАМИ	87
отмеченного в § 17 обстоятельства: величина A7.6) должна пре-
преобразовываться как а0. Поэтому а0 ~ (и + ?22; коэффициент
пропорциональности определяется так, чтобы скаляр СаяСа^ сов-
совпадал со скаляром 2а/ха/х = 2а2.
Таким образом, мы приходим к следующим формулам соот-
соответствия:
«^(с^+с21), «2 = k12-c2i),
2	?	I1»1)
Обратные формулы:
С22 = Сп = а° - а3,
С12 = -C2i = а1 - «а2, С21 = -С12 = а1 + ш2.
При этом
CQ/jCa4 = 2а2.	A8.3)
Отметим также, что
СарС? = S>2-	A8.4)
Последнее равенство следует из того, что спинор второго ранга
(ар(!у антисимметричен по индексам cry и потому пропорциона-
пропорционален метрическому спинору.
Соответствие между спинором (а@ и 4-вектором является
частным случаем общего правила: всякий симметричный спинор
ранга (/с, к) эквивалентен симметричному неприводимому (т. е.
обращающемуся в нуль при упрощении по любой паре индексов)
4-тензору ранга к.
Связь между спинором и 4-вектором можно записать в ком-
компактном виде с помощью двухрядных матриц Паули :) :
/О 1\	/0 -г\	/1 0\	,10_ч
Если обозначить символически посредством ( матрицу величин
(а@ с верхними индексами (причем первый — непунктирный), то
формулы A8.2) записываются в виде
С = а<т + а°	A8.6)
1) Для упрощения обозначений операторы (матрицы), действующие на
спиновые переменные, будем обозначать буквами без шляпок.

ФЕРМИОНЫ
(во втором члене подразумевается, конечно, произведение а0 на
единичную матрицу). Обратные формулы:
a=±Sp(Co-), a° = iSpC.	A8.7)
С помощью формул A8.6), A8.7) можно установить связь
между законами преобразования 4-вектора и спинора и тем са-
самым выразить закон преобразования спинора через параметры
поворотов 4-системы координат.
Запишем преобразование спинора ^а в виде
где В — двухрядная матрица, составленная из коэффициентов
бинарного преобразования. Тогда преобразование пунктирного
спинора:
rf'= (В*г,)Р = (г,В+У,	A8.9)
а преобразование спинора второго ранга (а@ ~ ^arj^ запишем
символически как (' = В(В+ :) . При бесконечно малом преоб-
преобразовании В = 1 + А, где А —малая матрица, и с точностью до
малых величин первого порядка
С' = С+(АС + СА+).	A8.10)
Рассмотрим сначала преобразование Лоренца к системе от-
отсчета, движущейся с бесконечно малой скоростью SY (без изме-
изменения направления пространственных осей). При этом 4-вектор
аУ = (а0, а) преобразуется согласно
а7 = а - a°6V, а0' = а0 - sl6V.	A8.11)
Воспользуемся теперь формулами A8.7). Преобразование а0
можно представить, с одной стороны, как
а0' = а0 - sl6V = а0 - - Sp((a6V),
z
а с другой стороны, как
) Для ковариантных компонент:
& = (М-1?)а = (?В-1)а, V'& = (VB*-1)&	A8.8а)
(так, чтобы произведение двух спиноров ^QSQ оставалось инвариантным).

§ 18	СВЯЗЬ СПИНОРОВ С 4-ВЕКТОРАМИ	89
Эти выражения должны совпадать тождественно (т. е. при про-
произвольном ?). Отсюда находим следующее равенство:
Таким же способом, рассмотрев преобразование а, получим
а\ + А+сг = -6V.
Эти равенства как уравнения для А имеют следующее решение:
А = A+ = --<r?V.
2
Таким образом, бесконечно малое преобразование Лоренца
спинора ^а осуществляется матрицей
B = l--(anNV,	A8.12)
где п —единичный вектор в направлении скорости SY. Отсюда
легко найти преобразование и для конечной скорости V. Для
этого вспомним, что преобразование Лоренца означает (геомет-
(геометрически) поворот 4-системы координат в плоскости t n на угол <р,
связанный со скоростью V равенством thcp = V г) . Бесконечно
малому преобразованию соответствует угол Scp = 8V, а поворот
на конечный угол ср осуществляется ср/^-кратным повторени-
повторением поворота на Sep. Возводя оператор A8.12) в степень tp/Stp и
переходя к пределу #<р —>• О, получаем
В = е-%па.	A8.13)
Математический смысл действия этого оператора выясняется,
если заметить, что по свойствам матриц Паули все четные сте-
степени от по* равны 1, а все нечетные степени равны па. Учиты-
Учитывая, что ch разлагается по четным, a sh — по нечетным степеням
аргумента, получаем окончательно
В = ch^ - ncrsh^ th(p = V.	A8.14)
Отметим, что матрицы В преобразований Лоренца оказываются
эрмитовыми: В = В^~.
Рассмотрим теперь бесконечно малый поворот простран-
пространственной системы координат. При этом трехмерный вектор а
преобразуется согласно
а; = а- [50а],	A8.15)
:) Напомним, что в плоскостях, содержащих ось времени, метрика псевдо-
псевдоевклидова.

90	ФЕРМИОНЫ
где SO — вектор бесконечно малого угла поворота. Соответствую-
Соответствующее преобразование спинора можно было бы найти аналогичным
образом. В этом, однако, нет необходимости, так как по отноше-
отношению к пространственным поворотам поведение 4-спиноров совпа-
совпадает с поведением 3-спиноров, а для последних преобразование
известно заранее из общей связи оператора спина с оператором
бесконечно малого поворота:
В = 1 + -а5в.	A8.16)
Переход к повороту на конечный угол в производится аналогич-
аналогично переходу от A8.12) к A8.14):
В = ехр( —пег ) = cos - + mcrsin-,	A8.17)
где n —орт оси вращения. Эта матрица унитарна (В+ = В~1),
как и должно быть для пространственного поворота.
§ 19. Инверсия спиноров
При изложении (в т. III) трехмерной теории спиноров мы
не рассматривали их поведения по отношению к операции про-
пространственной инверсии, поскольку в нерелятивистской теории
это не привело бы к каким-либо новым физическим результа-
результатам. Остановимся, однако, теперь на этом вопросе для лучше-
лучшего уяснения последующего рассмотрения инверсионных свойств
4-спиноров.
Операция инверсии не меняет знака аксиального вектора, ка-
каковым является вектор спина. Поэтому не меняется и значение
его проекции sz. Отсюда, следует, что при инверсии каждая из
компонент спинора фа может преобразовываться только через
саму себя, т. е. должно быть
A9.1)
где Р — постоянный коэффициент. Произведя инверсию дважды,
мы вернемся к исходной системе координат. В случае спиноров,
однако, возвращение к начальному положению можно понимать
в двух различных смыслах: как поворот системы на 0° или на
360°. Для спиноров эти два определения не эквивалентны, так
как фа меняют знак при повороте на 360°. Таким образом, воз-
возможны две альтернативные концепции инверсии: в одном случае
Р2 = 1, Р = ±1,	A9.2)
а в другом
P2 = -l, P = ±L	A9.3)

§ 19	ИНВЕРСИЯ СПИНОРОВ	91
Существенно при этом, что понятие инверсии должно быть
определено одинаково для всех спиноров. Недопустимо, чтобы
различные спиноры вели себя при инверсии различным образом
(согласно A9.2) или A9.3)), так как тогда не из всяких двух спи-
спиноров можно было бы построить скаляр (или псевдоскаляр): если
бы спинор фа преобразовывался согласно A9.2), а у/*—соглас-
у/*—согласно A9.3), то величина фа(ра умножилась бы при инверсии на ±г
вместо того, чтобы оставаться неизменной (или менять только
знак).
Следует также подчеркнуть, что (при любом определении ин-
инверсии) приписывание спинору той или иной четности Р не имеет
абсолютного смысла, поскольку спиноры меняют знак при пово-
повороте на 2тг, который всегда можно произвести одновременно с
инверсией. Абсолютный характер, однако, имеет «относительная
четность» двух спиноров, определяемая как четность составлен-
составленного из них скаляра фа(ра] поскольку при повороте на 2тг меняют
знак одновременно все спиноры, связанная с этим неопределен-
неопределенность не отражается на четности указанного скаляра.
Обратимся теперь к четырехмерным спинорам.
Отметим прежде всего, что поскольку инверсия меняет знак
лишь трех (ж, у, z) из четырех (?, ж, у, z) координат, она комму-
коммутативна с пространственными вращениями, но не коммутативна
с преобразованиями, поворачивающими ось t. Если L есть преоб-
преобразование Лоренца к системе отсчета, движущейся со скоростью
V, то PL = L Р, где L' — преобразование к системе, движущей-
движущейся со скоростью —V.
Отсюда следует, что при инверсии компоненты 4-спинора ^а
не могут преобразовываться через самих себя. Если бы инверсия
спинора ^а заключалась по-прежнему в преобразовании A9.1)
(т. е. изображалась бы матрицей, пропорциональной единичной
матрице), то она коммутировала бы со всеми вообще преобразо-
преобразованиями Лоренца, чего заведомо не должно быть (так как опе-
операции LhL'b применении к ^а заведомо не совпадают).
Таким образом, инверсия должна преобразовывать компо-
компоненты спинора ^а через другие величины. Таковыми могут быть
лишь компоненты некоторого другого спинора г/а, не совпада-
совпадающего по своим трансформационным свойствам с ^а. Посколь-
Поскольку инверсия не меняет (как уже отмечалось выше) ^-проекции
спина, компоненты ?х и ?2 могут перейти при инверсии лишь
в компоненты гц и^, отвечающие тем же значениям sz = XJ2 и
sz = — Y2. Понимая под инверсией операцию, дающую 1 при дву-
двукратном повторении, можно определить ее действие формулами
Г^%, Щ^?а-	A9.4)

92	фермионы
Для ковариантных компонент ?а и контравариантных т]а эти
преобразования имеют обратный знак:
? _^ _*,<*	jA -^ —{	(IQ 4а)
так как опускание и поднимание одного и того же индекса про-
происходит с различными знаками, см. A7.5) и A7.9) х) . Если же
инверсия понимается в таком смысле, что Р2 = — 1, то ее дей-
действие определяется формулами
С	7 I'ljCX')	I iQL ' ^S	V	* /
или, что то же,
? _^ —irf1	rf* —V —i?	MQ *>a)
Некоторое различие в характере двух определений инвер-
инверсии состоит в том, что при втором определении комплексно-
сопряженные спиноры преобразуются одинаково: если Sa = г/^,
На = ?а*, то из A9.5) будем иметь Еа —>> —%В.а^ На —)> — iSa, т. е.
такое же правило, как и для ?a, r/a. При определении же A9.4)
мы получили бы преобразование Sa —>• i7a, Ha —>• Sa, обратное
по знаку преобразованию спиноров ?a, r/a. К возможным физи-
физическим аспектам этого различия мы вернемся в § 27.
Ниже будем для определенности везде подразумевать опре-
определение A9.5).
По отношению к подгруппе вращении спиноры ^а и щ преоб-
преобразуются, как мы знаем, одинаково. Образовав из их компонент
комбинации
Г±%,	A9.6)
мы получили бы величины, преобразующиеся при инверсии со-
согласно A9.1) с Р = ±г. Эти комбинации, однако, не ведут себя
как спиноры по отношению ко всем преобразованиям группы Ло-
Лоренца.
Таким образом, включение инверсии в группу симметрии тре-
требует одновременного рассмотрения пары спиноров (?а, щ)] та-
такую пару называют биспинором первого ранга). Четыре компо-
компоненты биспинора реализуют одно из неприводимых представле-
представлений расширенной группы Лоренца.
х) Определение A9.4), конечно, в известном смысле условно, что связано с
независимостью величин ^а и г]а. Так, введя вместо г]а новый спинор r]f^ =
= ?tS4Jd, получим вместо A9.4) эквивалентное определение:
S ^ е 4OL1 Цос ^ е S •

§ 19	ИНВЕРСИЯ СПИНОРОВ	93
Скалярное произведение двух биспиноров (?a,r/d) и (Еа,На)
может быть образовано двумя способами. Величина
?аЗа + щН*	A9.7)
при инверсии вообще не меняется, т. е. является истинным ска-
скаляром. Величина
?аЗа - щН*	A9.8)
тоже инвариантна по отношению к поворотам 4-системы коор-
координат, но меняет знак при инверсии; другими словами, она яв-
является псевдоскаляром.
Двумя способами может быть определен также и спинор вто-
второго ранга (а@. Определив его законом преобразования
H<V,	A9.9)
мы получим величины, преобразующиеся при инверсии согласно
С4 -»¦ С&р-	A9-ю)
При этом 4-вектор а^, которому эквивалентен такой спинор, пре-
преобразуется (в соответствии с формулами A8.1)) согласно
(а0, а) —>• (а0,—а), т. е. является истинным 4-вектором (а трех-
трехмерный вектор а —полярным вектором).
Можно, однако, определить ?а^ также и согласно
С?Р ~ ?анР - Sar]beta.	A9.11)
Тогда х)
С* -+ -Cd/3.	A9.12)
Такому спинору соответствует 4-вектор, для которого инверсия
означает преобразование (а0,а) —>> (—а0,а), т. е. 4-псевдовектор
(трехмерный же вектор а аксиален).
Симметричные спиноры второго ранга с индексами одинако-
одинакового типа определяются законами преобразования:
рР„рзР + ?0~а, г,&р~г}&Н$ + щН&.	A9.13)
При инверсии они переходят один в другой:
х) Подчеркнем, что законы преобразований A9.10) и A9.12), различающи-
различающиеся знаком в правой стороне, отнюдь не эквивалентны, поскольку в обеих их
сторонах стоят компоненты одного и того же спинора (ср. примеч. на с. 92).

94	фермионы
Пара (?,a^r]ae) образует биспинор второго ранга. Число его
независимых компонент равно 3+3 = 6. Столько же независимых
компонент имеет антисимметричный 4-тензор второго ранга а^и.
Поэтому между тем и другим должно существовать определен-
определенное соответствие (оба реализуют эквивалентные неприводимые
представления расширенной группы Лоренца).
Поскольку по отношению к собственной группе Лоренца спи-
спиноры ?а^ и т]^о преобразуются независимо, то и из компонент
4-тензора a^v могут быть составлены две группы величин, преоб-
преобразующихся только друг через друга при всех поворотах
4-системы координат. Это разбиение осуществляется следующим
образом.
Введем трехмерный полярный вектор р и трехмерный акси-
аксиальный вектор а, связанные с компонентами 4-тензора a^v
согласно
A9.15)
((р, а) —краткое обозначение, которое мы будем применять для
перечисления компонент такого тензора). При этом а^=(—р,а),
а из двух величин
я2 — г»2 — ^ п n^v an- ^	n^ynP(J
2	о
первая является скаляром, а вторая псевдоскаляром; по отно-
отношению к собственной группе Лоренца тот и другой одинаково
инвариантны. Вместе с ними инвариантны также и квадраты
трехмерных векторов f± = р ± га. Это значит, что всякий пово-
поворот в 4-пространстве для векторов f^ эквивалентен «повороту» в
трехмерном пространстве, вообще говоря, на комплексные углы
(шести углам поворота в 4-пространстве соответствуют три ком-
комплексных «угла поворота» трехмерной системы). Операция же
пространственной инверсии, меняя знак р (но не а), переводит
векторы f+ и — f~ друг в друга. Компоненты этих векторов и
составляют искомые две группы величин, образованных из ком-
компонент тензора а^р'.
Тем самым становится очевидным также и соответствие меж-
между компонентами 4-тензора а^р и спиноров ?°^, r/^л. Поскольку в
группу Лоренца входят в качестве подгруппы пространственные
вращения, соотношения между компонентами спинора и компо-
компонентами трехмерного вектора должны быть такими же, как для

§ 20	ИНВЕРСИЯ СПИНОРОВ	95
трехмерных спиноров:
1	\	A9-16)
/ х= 2 fe-^ii)' / у = 2 fe + ^iib / * = r?i2-
Задача
Установить общее соответствие между спинорами четного ранга и 4-тен-
зорами.
Решение. Все спиноры с четными к + / реализуют однозначные не-
неприводимые представления расширенной группы Лоренца и поэтому экви-
эквивалентны 4-тензорам, реализующим такие же представления г).
Спинор ранга (к, к) преобразуется при инверсии согласно
cQ"-^-^±c^...7,..,	а)
Такой спинор эквивалентен симметричному неприводимому 4-тензору
ранга к — истинному или псевдотензору в зависимости от знака в A).
Спиноры рангов (к,1) и (/,&), составляющие биспинор, преобразуются
при инверсии согласно
B)
к	I
При / = к + 2 биспинор эквивалентен неприводимому 4-тензору а[дг,]рсг...
ранга к + 2, антисимметричному по индексам \рг/] и симметричному по всем
остальным индексам. Неприводимость этого тензора означает, что он дает
нуль при упрощении по любой паре индексов и дает нуль при образовании
дуального по любым трем индексам (т. е. ех^иаа[/ли]ра... = 0); последнее
условие означает, что тензор дает нуль при взятии циклической суммы по
трем индексам — [iv и одному (любому) из остальных.
При / = к + 4 биспинор эквивалентен неприводимому 4-тензору
a\\[i\\yp\GT... ранга к + 4 со следующими свойствами: он антисимметричен
по парам индексов [А//] и [isp], симметричен по всем остальным, симметри-
симметричен по отношению к перестановке пары [X/j] с парой [i/p], дает нуль при
упрощении по любой паре индексов и дает нуль при образовании дуального
по любой тройке индексов.
Вообще, при / = к-\-2п биспинор эквивалентен неприводимому 4-тензору
ранга к + 2п, антисимметричному по п парам индексов и симметричному по
остальным к индексам. 4-тензоры, антисимметричные по большему числу
(тройкам, четверкам и т. д.) индексов, в этой классификации не появляются
по очевидной причине: антисимметричный тензор третьего ранга эквивален-
эквивалентен (дуален) псевдовектору, а антисимметричный тензор четвертого ранга
сводится к скаляру (пропорционален единичному псевдотензору ех^ир); ан-
антисимметрия же по еще большему числу индексов в 4-пространстве вообще
невозможна.
1) Спиноры же нечетного ранга осуществляют двузначные представления
группы: пространственный поворот на 360° меняет знак спиноров, так что
каждому элементу группы отвечают две матрицы противоположного знака.

96	ФЕРМИОНЫ
§ 20. Уравнение Дирака в спинорном представлении
Частица со спином 1/2 описывается в своей системе покоя
двухкомпонентной волновой функцией — 3-спинором. По своему
«четырехмерному происхождению» это может быть как непунк-
непунктирный, так и пунктирный 4-спинор. В описании частицы в про-
произвольной системе отсчета участвуют оба таких 4-спинора; обо-
обозначим их посредством (а и г|а !).
Для свободной частицы единственным оператором, входящим
в волновое уравнение, может быть (как уже указывалось в § 10)
лишь оператор 4-импульса р^ = гд^. В спинорных обозначениях
этому 4-вектору соответствует операторный спинор р л, причем
PU=P22=Po+Pz, P22 =Pii =Ро -Pz,	B0.1)
Р12 = -Р2\ =Рх- Фу, Р21 = -Рп =Рх + Фу.
Волновое уравнение представляет собой линейную дифференци-
дифференциальную связь между компонентами спиноров, осуществляемую
с помощью оператора раь. Требование релятивистской инвари-
инвариантности фиксирует следующую систему уравнений:
р^щ = те, Щае = тщ,	B0.2)
где т — размерная постоянная. Вводить в эти два уравнения
различные постоянные rai и Ш2 (или же изменить знак перед
га) было бы бессмысленно, так как надлежащим переопределе-
переопределением ^а или г]& уравнения все равно могли бы быть приведены
к прежнему виду.
Исключим из уравнений B0.2) один из двух спиноров, под-
подставив г]о из второго уравнения в первое:
Но согласно A8.4) ра^р ь =р28", так что получаем
{р2 - т2) С = 0,	B0.3)
откуда видно, что га — масса частицы.
Обратим внимание на то, что необходимость введения мас-
массы в волновое уравнение требует одновременного рассмотрения
:) Трехмерный спинор первого ранга может «происходить» также от 4-спи-
норов более высоких нечетных рангов, которые в системе покоя становятся
антисимметричными по одной или нескольким парам индексов. Такие вари-
варианты, однако, привели бы к уравнениям более высоких порядков (ср. при-
примеч. на с. 52).

§ 20	УРАВНЕНИЕ ДИРАКА В СПИНОРНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ	97
двух спиноров (^а и т]а)'- с помощью лишь одного из них нельзя
составить релятивистски инвариантное уравнение, которое со-
содержало бы какой-либо размерный параметр. Тем самым волно-
волновое уравнение автоматически оказывается инвариантным отно-
относительно пространственной инверсии, если определить преобра-
преобразование волновой функции как
Р : Г ->¦ Щ&, Щ -> %?а.	B0.4)
Легко видеть, что при такой замене (и одновременной замене
р®-Р —>> р а, очевидной из формул B0.1)) два уравнения B0.2)
переходят друг в друга. Два спинора, переходящих друг в дру-
друга при инверсии, составляют четырехкомпонентную величину —
биспинор.
Релятивистское волновое уравнение, изображаемое системой
B0.2), называется уравнением Дирака (оно было установлено Ди-
Дираком в 1928 г.). Для дальнейшего исследования и применения
этого уравнения рассмотрим различные формы, в которых оно
может быть представлено.
С помощью формулы A8.6) переписываем уравнения B0.2)
в виде
(р0 + P<r)v = raf, (р0 - i>cr)? = тг].	B0.5)
Здесь символы ? и т\ обозначают двухкомпонентные величины —
спиноры
(первый — с верхними, а второй — с нижними индексами), а при
умножении матриц а на любую двухкомпонентную величину /
здесь и ниже всегда подразумевается умножение по обычному
матричному правилу
(<7/)а = Vapfp-	B0.7)
Запись / в виде вертикального столбца f ^ 1 отвечает тому, что
каж:дая строка в а перемножается со столбцом /.
Для удобства дальнейших ссылок выпишем здесь еще раз
матрицы Паули
= (? о). ".= (? о"). " = (о -0 ^
6ik	B0.9)
°х =
и напомним их основные свойства:
(см. Ill, § 55).
4 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

98	фермионы
Напишем также волновое уравнение, которому удовлетворя-
удовлетворяет комплексно-сопряженная волновая функция, составленная из
спиноров
Поскольку все операторы р^ содержат множитель г, то р* = —JV
При взятии комплексно-сопряженного от обеих сторон уравне-
уравнений B0.5) надо также учесть, что в силу эрмитовости матриц
сг(сг* = а)
и мы получаем уравнения в виде
г;*(ро + per) = -mf*, С(Ро ~ P<r) = -mrf.	B0.11)
В этой форме записи условно подразумевается, что оператор р^
действуют на функцию, стоящую слева от них. Запись ?* и г/* в
виде горизонтальных строк соответствует матричному умноже-
умножению в этих уравнениях: строка / перемножается со столбцами в
матрицах а:
(/V)a = ffaPa.	B0.12)
Преобразование инверсии для ?*, г/* определяется как ком-
комплексно-сопряженное от преобразования B0.4):
Р : Za* ^-iri*&, Vl^-ie*.	B0.13)
§ 21. Симметричная форма уравнения Дирака
Спинорная форма записи уравнения Дирака является наибо-
наиболее естественной в том смысле, что она непосредственно выявля-
выявляет его релятивистскую инвариантность. Однако в применениях
могут оказаться более удобными другие представления волно-
волнового уравнения, получающиеся путем другого выбора четырех
независимых компонент волновой функции.
Будем обозначать четырехкомпонентную волновую функцию
символом ф (с компонентами ipi, г = 1, 2, 3, 4). В спинорном
представлении это есть биспинор:
)	B1-1)
Но с равным правом можно выбрать в качестве независимых
компонент ф любые линейно независимые комбинации компо-
компонент спиноров ? и г/ :) . Условимся при этом ограничивать до-
1) Для краткости будем говорить о четырехкомпонентной величине ф как
о биспиноре также и в неспинорных ее представлениях.

§ 21	СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА	99
пустимые линейные преобразования лишь требованием унитар-
унитарности; такие преобразования не меняют составленные из ф и ф*
билинейные формы (см. § 28).
В общем случае произвольного выбора компонент ф уравне-
уравнение Дирака можно представить в виде
где 7^ (/^ — О? 1; 2, 3)—некоторые четырехрядные матрицы
{матрицы Дирака). Будем обычно записывать это уравнение в
символической форме, опуская матричные индексы:
(>ур-т)ф = 0,	B1.2)
где
^	7= G\72,73) •
спинорной форме уравнения с компонентами ф из B1.1) соответ-
соответствуют матрицы х)
о (О Ц	@ -<г\	/О1 Q^
7° = (i о) ' ^ = U О J '	B1'3)
как это легко видеть, записав уравнения B0.5) в виде
и ро-
р0 -ра	0 J\vJ~ "° W
и сравнив с B1.2).
В общем случае матрицы 7 должны удовлетворять лишь
условиям, обеспечивающим равенство р = т . Для выяснения
этих условий умножим уравнение B1.2) слева на jp. Имеем
(l^Pfi) (l^Pis) Ф = т (Рц1^) Ф = ТП ф.
Поскольку РцРь, — симметричный тензор (все операторы р^ ком-
коммутативны), можно переписать это равенство как
откуда видно, что должно быть
7*V/ + 7V = 2g/.	B1.4)
Таким образом, все пары различных матриц 7^ антикоммутатив-
ны, а квадраты каждой из них:
G1J = G2J = G3J = -1, G°J = 1.	B1-5)
1) Здесь и в дальнейшем используется краткая запись четырехрядных
матриц через двухрядные: каждый символ в выражениях B1.3) предста-
представляет собой двухрядную матрицу.

100	ФЕРМИОНЫ
При произвольном унитарном преобразовании компонент
ф^ф' = \]ф, где U — унитарная четырехрядная матрица) матри-
матрицы 7 преобразуются согласно
У = UjU'1 = U^U+	B1.6)
(так что уравнение (р/р — т)ф = 0 переходит в (р/'р — т)ф' =
= 0). Перестановочные соотношения B1.4) при этом, разумеется,
остаются неизменными.
Матрица 7° из B1.3) эрмитова, а матрицы j антиэрмитовы.
Эти свойства сохраняются и при всяком унитарном преобразо-
преобразовании B1.6), так что мы будем всегда иметь х) :
7+ = -7, 7°+=7°-	B1-7)
Напишем также уравнение для комплексно-сопряженной
функции ф*. Взяв комплексно-сопряженное от уравнения B1.2),
с учетом свойств B1.7) получим
(Ро7° - Р7 - rn)^* = 0-
Переставляем ф* согласно ^ф* = ф*^ и умножаем затем урав-
уравнение справа на 7°5 замечая, что ^7° = ~7°7> и вводя новый
биспинор	_	_
ф = </,*/, Ф* = Ф1°,	B1-8)
получаем	_
ф('ур + т) = 0.	B1.9)
Как и в B0.11), оператор ^предполагается здесь действующим
на функцию, стоящую слева от него. Функцию ф называют ди-
раковски-сопряженной (или релятивистски-сопряженной) функ-
функции ф. Смысл множителя 7° B ее определении заключается в
том, что (в спинорном представлении) он переставляет спиноры
?* и г/* так, что в ф = (г/*,?*) первым оказывается (как и в ф)
непунктирный, а вторым — пунктирный спинор; именно по этой
причине ф является более естественным (чем ф*) «партнером»
ф, когда, например, они фигурируют совместно в различных би-
билинейных комбинациях (см. § 28).
Преобразование инверсии для волновой функции можно пред-
представить в виде
Р: ф^^ф, ф^-пр^.	B1.10)
При спинорном представлении ф матрица 7° переставляет, как и
должно быть при инверсии, компоненты (и?|. Инвариантность
1) Эти равенства можно записать вместе в виде
7Л+=7°7Л7°-	B1.7 а)

§ 21	СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА	101
уравнения Дирака относительно преобразования B1.10) в общем
случае очевидна и непосредственно: заменив в уравнения B1.2)
рч-ри одновременно ф —>> ijQip, получим
(Ро7° + Р7 - тЪ°Ф = 0.
Умножив это уравнение слева на 7° и учитывая антикоммута-
антикоммутативность 7° и 7, вернемся к исходному уравнению.
Умножив уравнение (jp — т)ф = 0 слева на ф, а уравнение
^G^+ т) = 0 справа на ф и сложив их, получим
~Ф^ (РцФ) + (Рцф) 7*V = Рц {Ф^Ф) = 0,
где скобки указывают, на какую функцию распространяется дей-
действие оператора р. Полученное равенство имеет вид уравнения
непрерывности d^j^ = 0, так что величина
f = ф^ф = (ф*ф, ^*7°7^)	B1.11)
представляет собой 4-вектор плотности тока частиц. Отметим,
что его временная компонента j° = ф*ф положительно опреде-
определена.
Уравнение Дирака можно представить в форме, разрешенной
относительно производной по времени:
*f = Щ,	B1.12)
где Н — гамильтониан частицы х) . Для этого достаточно умно-
умножить уравнение B1.2) слева на 7°- Для гамильтониана получа-
получается выражение
Я = ар + /3т,	B1.13)
где введено общепринятое обозначение для фигурирующих здесь
матриц:
а = 7°7, /3 = 7°.	B1.14)
Отметим, что
агак + акаг = 2Sik, pet + a/3 = 0, /З2 = 1,	B1.15)
т. е. все матрицы а, /3 антикоммутируют друг с другом, а их ква-
квадраты равны 1; все они эрмитовы. В спинорном представлении
Ч? D-
1) Для частицы со спином 0 волновое уравнение не могло быть представле-
представлено в таком виде: уравнение A0.5) для скаляра ф — второго порядка по вре-
времени, а система A0.4) уравнений первого порядка для пятикомпонентиой
величины {ip,ipfj,) содержит производные по времени не от всех компонент.

102	ФЕРМИОНЫ
В предельном случае малых скоростей частица должна опи-
описываться, как и в нерелятивистской теории, всего одним двух-
компонентным спинором. Действительно, перейдя в уравнениях
B0.5) к пределу р —>> 0, е —>> га, получим ? = г/, т. е. оба спи-
спинора, составляющие биспинор, совпадают друг с другом. Здесь,
однако, проявляется недостаток спинорной формы записи урав-
уравнения Дирака: при предельном переходе остаются отличными от
нуля все четыре компоненты ф, хотя в действительности лишь
две из них независимы. Более удобно такое представление вол-
волновой функции ф, при котором в пределе две из ее компонент
обращаются в нуль.
Соответственно этому введем вместо ? и г/ их линейные ком-
комбинации if и х:
Тогда для покоящейся частицы х — 0- Это представление ф бу-
будем называть стандартным. При инверсии (р ж х преобразуются
сами через себя согласно
Р: cp^icp, X^-iX-	B1.18)
Уравнения для ср и х получим, складывая и вычитая уравне-
уравнения B0.5):
Роф ~ VcrX — шф-, ~РоХ + Ра(Р = тХ-	B1.19)
Отсюда видно, что стандартному представлению отвечают ма-
матрицы
о) • v^-L-^u;
Поскольку в B1.17) складываются отдельно первые и вторые
компоненты ? и г/, то в стандартном представлении, как и в спи-
норном, компоненты ф\ и ф% отвечают собственным значениям
проекции спина +V2, а ф2 и ф^ — проекции —1/2- В обоих этих
представлениях, следовательно, матрица V2S, где
о _ п /1 и а . ( 0 а\ _ (Q аЛ
представляет собой трехмерный оператор спина: при действии
1/2^z на биспинор, содержащий лишь компоненты ф\, ф% или ^2,
ф±, биспинор умножается на + lfe или — lfe. В произвольном пред-
представлении эта матрица может быть записана в виде
Е = -а75 = --[аа]	B1.22)
(определение 75 см. ниже, B2.14)).

§ 22	СИММЕТРИЧНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА	103
Задачи
1. Найти формулы преобразования волновой функции при бесконечно
малом преобразовании Лоренца и бесконечно малом пространственном по-
повороте.
Решение.В спинорном представлении ф при бесконечно малом пре-
преобразовании Лоренца
l - \v6v) Z, П = (l + \<tSV^ т,
(см. A8.8), A8.8а), A8.12)). Обе формулы можно записать вместе в виде
ф' = И - -cxSV j ф.	A)
\ 2 /
Аналогичным образом закон преобразования при бесконечно малом по-
повороте:
ф' =(л + г-Ъ5в\ ф.	B)
В таком виде формулы справедливы в любом представлении ф, если пони-
понимать под аиЕ матрицы в том же представлении.
Легко проверить, что матрицы аиЕ составляют компоненты антисим-
антисимметричного «матричного 4-тензора»
a^ = i(yv_7V) = (cMS)
(перечисление компонент дано по правилу A9.15)). Введем также бесконеч-
бесконечно малый антисимметричный тензор 8е^и = ($V,$0). Тогда
и обе формулы A), B) можно записать в едином виде:
ф' = (l + -^Че^ ф.	C)
2. Написать уравнение Дирака в таком представлении, чтобы оно не
содержало мнимых коэффициентов (Е. Majorana, 1937).
Решение.В стандартном представлении в уравнении
мнимыми являются лишь матрицы ау, и i/З. Эту мнимость можно устра-
устранить, произведя такое преобразование ф = Uip, в результате которого мни-
мнимая матрица ау переставится с вещественной матрицей /3. Для этого надо
положить
Тогда
ax = UaxU=-ax, а'у = Р, a'z =-az, P'=ay,
и уравнение Дирака приобретает вид
/ Г\	Г\	Г\	Г\	\
( тг: - «жтг + Р~^	oiz— + imoLy ) ф' = 0,
\dt	дх ду	dz	)
в котором все коэффициенты вещественны.

104	ФЕРМИОНЫ
§ 22. Алгебра матриц Дирака
При вычислениях, связанных с уравнением Дирака, прихо-
приходится широко пользоваться матрицами 75 не прибегая к их кон-
конкретному виду в том или ином определенном представлении.
Правила оперирования этими матрицами всецело определяются
перестановочными соотношениями
yy + yy^gA*", //,^ = 0,1,2,3,	B2.1)
выражающими все их общие свойства.
В этом параграфе мы приведем ряд формул и правил алге-
алгебры матриц 7, полезных в различных вычислениях.
«Скалярное произведение» матриц 7 самих на себя: g^v^Y =
= 4. Для краткой записи введем, по аналогии с ковариантными
компонентами 4-векторов, обозначение 7/х = g^j^. Тогда
7*л" = 4-	B2.2)
Если же матрицы 7/х и 7^ разделены одним или несколькими
множителями 7, то одной или несколькими перестановками мно-
множителей (с помощью правила B2.1)) можно привести 7/х и 7^
к соседним положениям, после чего суммирование (по /i) совер-
совершается согласно B2.2). Таким способом получаются следующие
формулы:
^ = -27,
2YYj\	'
Обычно множители 7^, ... фигурируют в комбинации с раз-
различными 4-векторами в виде «скалярных произведений» :)
7а = 7%.	B2-4)
Для таких произведений формулы B2.1) принимают вид
(o7)(b7) + (bj)(aj) = 2(аЬ), (о7)(а7) = а2	B2.5)
а формулы B2.3):
= -2(а7),
= 2[(d7)(o7)(b7)(c7)
B2.6)
1) В этом издании книги мы не пользуемся каким-либо специальным
обозначением для такого произведения. В литературе часто используются
обозначения буквами со шляпкой или перечеркнутыми буквами.

§ 22	АЛГЕБРА МАТРИЦ ДИРАКА	105
Широко используемой операцией является взятие следа про-
произведения некоторого числа матриц 7- Рассмотрим величины
Т^2-^ = i/4SpG/7/ •••1ц"п)-	B2.7)
В силу известного свойства следа произведения матриц этот тен-
тензор симметричен по отношению к циклическим перестановкам
ИНДеКСОВ /il/i2 • • • Цп-
Так как матрицы j имеют одинаковый вид в произвольной
системе отсчета, величины Т также не зависят от выбора систе-
системы. Поэтому они образуют тензор, выражающийся только через
обладающий этим свойством метрический тензор g^v.
Но из тензора второго ранга g^v можно составить лишь тен-
тензоры четного ранга. Уже отсюда сразу следует, что след произ-
произведения любого нечетного числа множителей 7 равен нулю. В
частности, равен нулю след каждой из 7 *) :
Sp7^ = 0.	B2.8)
След единичной четырехрядной матрицы (которая подразу-
подразумевается стоящей в правой стороне перестановочного соотноше-
соотношения B2.1)) равен 4. Поэтому из B2.1), взяв след от обеих сторон
равенства, найдем
т\ш = g^	B2.9)
След произведения четырех матриц
rpXfii/p _ gX^gvp _ g\Vg№ _|_ gXpg^y^	B2.10)
Эту формулу можно получить, например, «протаскивая» в
SpG^7^7z/7/?) множитель 7^ направо с помощью перестановоч-
перестановочного соотношения B2.1); после каждой перестановки возникает
один из фигурирующих в B2.10) членов:
и т. д. После всех перестановок справа остается —Т^урх =
= — Т^ур, которое переносим налево. Этим же способом вычис-
вычисление следа произведения шести 7 сводится к следам произведе-
произведений четырех множителей и т. д. Так,
	 X/irjivpar 	 Хьтрррат _i_
^	-\- gXrjipvpa^ B2.11)
Отметим, что все следы Т ^'" вещественны и что они отлич-
отличны от нуля, лишь если каждая из матриц 7°, 71? • • • встречается
:) След матрицы инвариантен относительно преобразований j = UjU
Поэтому B2.8) очевидно и из конкретных выражений матриц B1.3).

106	ФЕРМИОНЫ
в произведении четное число раз; то и другое очевидно из полу-
полученных формул. Отсюда, в свою очередь, легко сделать вывод,
что след не меняется при изменении порядка всех множителей
на обратный:
грХ/jb...pa _	X
Как уже упоминалось, множители 7 фигурируют обычно в
виде скалярных произведений с различными 4-векторами. В та-
таких случаях, например, формулы B2.9) и B2.10) означают, что
B2.13)
Особую роль играет произведение 7°717273. Для него приня-
принято специальное обозначение:
rJ> — _7/л/0/л/1/л/2/л/3	(еуеу л л\
У 		о У У У У •	\ZjZj.j.^li
Легко видеть, что
/лАл^ + уу = 0^ ^2 = ^	B2.15)
т. е. матрица 75 антикоммутативна со всеми 7/х. По отношению
же к матрицам а и /3 имеют место правила
а75 - 75а = 0, /375 + j5f3 = 0	B2.16)
(коммутативность с сх следует из того, что сх = 7°Т есть произ-
произведение двух матриц 7/х).
Матрица 75 эрмитова; действительно,
75+ = ^3+^2+^1+^0+ = _^73727170^
и поскольку последовательность 3210 сводится к последователь-
последовательности 0123 четным числом перестановок, то
75+ =75-	B2.17)
Укажем также вид этой матрицы в двух конкретных пред-
представлениях:
спинорное 75 = ( о 1) '
. о -и	<2218»
стандартное 7 = ( _ i n ) •
След матрицы 75 равен нулю:
Sp75 = 0	B2.19)
(это видно и прямо из B2.18)). Равны нулю также и следы произ-
произведений 757^7Z/. Для произведений же 75 на четыре множителя
7^ имеем
1/4 Sp757V7V = iex^p.	B2.20)

23	ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ	107
Отметим еще формулу:
x ^^ср,	B2.21)
справедливую для взаимно перпендикулярных 4-векторов а, 6,
с: ab = ас = be = 0.
В некоторых случаях (в задачах, в которых фигурируют
нерелятивистские частицы) может возникнуть необходимость в
вычислении следов произведений, в которые входят раздельно
7° и трехмерный «вектор» 7- Отличны от нуля лишь следы про-
произведений с четным числом множителей 7° и Т- При этом все
множители 7° сводятся к 1, а следы произведений с двумя и
четырьмя множителями 7 даются формулами
y4Sp(a7)(b7) = -ab,
i/4Sp(a7)(b7)(c7)(d7) = (ab)(cd)-(ac)(bd) + (ad)(bc).
§ 23. Плоские волны
Состояние свободной частицы с определенными значениями
импульса и энергии описывается плоской волной, которую пред-
представим в виде
фр = ^=?Ще-грх.	B3.1)
Индекс р указывает значение 4-импульса; амплитуда волны ир —
определенным образом нормированный биспинор.
При дальнейшем проведении вторичного квантования нам
понадобятся, наряду с волновыми функциями B3.1), также и
функции с «отрицательной частотой», возникающие в реляти-
релятивистской теории, как было объяснено в § 11, в связи с двузнач-
двузначностью корня =Ь у р2 + т2. Как и в § 11, мы будем везде понимать
под е положительную величину е = +л/р2+ш2, так что «отри-
«отрицательная частота» есть —е\ изменив также знак р, мы получим
функцию, которую естественно обозначить как ф-р:
^-Регрх.	B3.2)
Смысл этих функций выяснится в § 26. Ниже мы будем парал-
параллельно выписывать формулы для фр и ф-р.
Компоненты биспинорных амплитуд ир и и-р удовлетворяют
системам алгебраических уравнений
(jp — т)ир = 0, (jp + m)u-p = 0,	B3.3)
получающимся подстановкой B3.1), B3.2) в уравнение Дирака

108	ФЕРМИОНЫ
(что сводится к замене в последнем оператора р на ±р) г) . Со-
Соотношение р2 = т2 является при этом условием совместности
каждой из этих систем. Мы будем всегда нормировать биспи-
норные амплитуды инвариантными условиями
прир = 2m, u_pU-p = — 2m	B3.4)
(черта над буквой обозначает, как везде, дираковское сопряже-
сопряжение: п = г?*7°). Умножив уравнения B3.3) слева на п±р, получим
(u±pju±p)p = 2m2 = 2р2, откуда видно, что
upjUp = п-pju-p = 2р	B3.5)
Отметим, что переход от формул для ир к формулам для и-р
производится путем изменения знака га.
4-вектор плотности тока:
3 = Ф±р1Ф±Р = — u±pju±p = 2,	B3.6)
ZS	S
т. е. j*1 = (l,v), где v = р/е — скорость частицы. Отсюда видно,
что функции фр нормированы «на одну частицу в объеме V = 1».
В силу уравнений B3.3) компоненты амплитуды волны связа-
связаны друг с другом некоторыми соотношениями, конкретный вид
которых зависит, конечно, от выбора представления ф. Найдем
их для стандартного представления.
Из уравнений B1.19) имеем для плоской волны
(е - т)(р - pax = 0, (е + т)х - рспр = 0.	B3.7)
Из этих равенств находим соотношение между (р и х в ДВУХ эк~
Бивалентных видах:
<Р = ^-Х, Х = -^-^>	B3-8)
е — т	е + т
(эквивалентность этих формул очевидна: умножая первую из
них слева на рсг/(е + га) и учитывая, что (perJ = р2 и е2 —
— гп? = р2, получаем вторую). Общий же множитель в (р и х
выбираем таким образом, чтобы удовлетворить условию норми-
нормировки B3.4). В результате получим для ир (и аналогично для
U-p) следующие выражения:
B3.9)
х) Отметим также аналогичные системы, получающиеся из уравнения Ди-
Дирака B1.9) для комплексно-сопряженной функции:
upi'yp — т) = 0, п-р{^р + т) = 0.	B3.3а)

§ 23	ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ	109
(вторая формула получается из первой изменением знака перед
т и переобозначением w —>> (na)wf). Здесь п —орт вектора р,
dbW — произвольная двухкомпонентная величина, удовлетворяю-
удовлетворяющая лишь условию нормировки
w*w = 1.	B3.10)
Для п = u*j° G0 из B1.20)) имеем
пр = {у/е + т w*, —yje — т w*(na)),
,		B3.11)
(ncr),-V? + m w )
и перемножением убеждаемся, что действительно п±ри±р= =Ь2га.
В системе покоя, т. е. при е = га, имеем
B3.12)
т. е. и? представляет собой тот 3-спинор, к которому сводятся в
нерелятивистском пределе амплитуды каждой из волн. Отметим,
что в биспиноре и-р обращаются в нуль в системе покоя пер-
первые, а не вторые две компоненты. Это свойство решений уравне-
уравнения Дирака с «отрицательными частотами» очевидно: положив
в B3.7) р = 0 и заменив е на —га, получим if = О Х) .
Амплитуда плоской волны содержит одну произвольную двух-
компонентную величину. Другими словами, при заданном им-
импульсе существует два различных независимых состояния в соот-
соответствии с двумя возможными значениями проекции спина. При
этом, однако, проекция спина на произвольную ось z не может
иметь определенного значения. Это видно из того, что гамиль-
гамильтониан частицы с определенным р (т. е. матрица Н = ар + /Зга)
не коммутативен с матрицей T,z = — гахау. В соответствии со
сделанными в § 16 общими утверждениями сохраняется, однако,
спиральность А — проекция спина на направление р: гамильто-
гамильтониан коммутативен с матрицей nS.
Спиральным состояниям отвечают плоские волны, в которых
трехмерный спинор w = w^(n)—собственная функция опера-
оператора пег:
B3.13)
Явный вид этих спиноров:
w
sin|
(А=1/2)_ е -/ cos 2	(A=-i/2)_
- I /2 f J ™	"
1)~B спинорном же представлении имеем ? = — г\ вместо соотношения ? = т/,
справедливого в системе покоя для решений с «положительными частота-

110	ФЕРМИОНЫ
где в и ср — полярный угол и азимут направления п относительно
фиксированных осей xyz г) .
Другой возможный выбор двух независимых состояний сво-
свободной частицы с заданным р (более простой, хотя и менее на-
наглядный) отвечает двум значениям ^-проекции спина в системе
покоя; обозначим ее а. Соответствующие спиноры:
= (?), wi°=-w = E). B3.15)
В качестве же двух линейно независимых решений с «отрица-
«отрицательной частотой» мы выберем плоские волны, в которых трех-
трехмерные спиноры
w{a)' = -ayw{~a) = 2aiw{a)	B3.16)
(смысл такого выбора выяснится в § 26).
Можно найти такое представление плоской волны, в котором
в любой системе отсчета (а не только в системе покоя) она име-
имеет всего две компоненты, отвечающие определенным значениям
той же физической характеристики — проекции спина в системе
покоя (L. Foldy, S. A. Wouthuysen, 1950).
Отправляясь от амплитуды ир в стандартном представлении
B3.9), ищем унитарное преобразование к такому представлению
в виде
и'р = Uup, U = ew^n,
где W — вещественная величина; поскольку 7+ = — 7> ПРИ этом
автоматически [7+= U~1. Разлагая в ряд и учитывая, что (^пJ =
= — 1, представим U в виде
JJ = cos W + 7n sin W
(ср. переход от A8.13) к A8.14)). Из условия, чтобы в преобразо-
преобразованной амплитуде и'р вторые две компоненты обратились в нуль,
найдем
т + г
так что
Gп)|р|
^	т)
В новом представлении
' V^()	B3.17)
:) Решение уравнений B3.13) допускает умножение на произвольный фа-
фазовый множитель, что связано с возможностью произвольного поворота во-
вокруг направления п.

§ 24	СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ	111
Гамильтониан частицы в этом представлении принимает вид
Н' = f/(ap + Cm)U-1 = /Зе	B3.18)
(все матрицы /3, а, 7 стандартного представления). Этот гамиль-
гамильтониан коммутативен с матрицей
которая в новом представлении является оператором сохраняю-
сохраняющейся величины — спина в системе покоя.
§ 24. Сферические волны
Волновые функции состояний свободной частицы (со спином
Y2) с определенными значениями j момента представляют со-
собой спинорные сферические волны. Определим их вид, для чего
напомним предварительно аналогичные формулы нерелятивист-
нерелятивистской теории.
Нерелятивистская волновая функция есть 3-спинор ф = ц2) •
Для состояния с определенными значениями энергии ? (а с нею
и величины импульса р *)), орбитального момента /, полного мо-
момента j и его проекции т волновая функция имеет вид
ф = R /(г)О-/ (в ш)	B4 1)
Ее угловая часть ftjim — трехмерные спиноры, компоненты ко-
которых (для двух значений j = / ± Y2, возможных при данном /)
даются формулами
Г1±ТПу
1 1 т —
1,т-1/2
B4.2)
(см. III, § 106, задача). Будем называть ftjim шаровыми спинора-
спинорами. Они нормированы условием
/¦
= SjjtSutSmmt.	B4.3)
Радиальные же функции Rpi представляют собой общий мно-
множитель в обеих компонентах спинора ф и даются формулой
:) В этом параграфе р обозначает |р|.

112	ФЕРМИОНЫ
C3.10) (см. III):
RPi = J-^-Ji+i/2(Pr)-	B4.4)
Они нормированы условием
оо
fr2Rp4Rpldr = 2nS(pf -p).	B4.5)
о
Возвращаясь к релятивистскому случаю, напомним прежде
всего, что для движущейся частицы не существует раздельных
законов сохранения спина и орбитального момента: операторы
shI каждый в отдельности не коммутируют с гамильтонианом.
По-прежнему, однако, сохраняется (для свободной частицы) чет-
четность состояния. Поэтому квантовое число / теряет смысл ука-
указания на определенное значение орбитального момента, но им
определяется (см. ниже) четность состояния.
Условимся рассматривать искомую волновую функцию (би-
спинор) в стандартном представлении: ф = (^). По отношению к
вращениям ср и х веДУт себя как 3-спиноры. Поэтому их угловая
зависимость дается теми же шаровыми спинорами ftjim. Пусть
if ос Oj/m, где / — одно (определенное) из двух значений: j + l/2
или j— 1/2. При инверсии (р(г) —>• гср(-т) (см. B1.18)), и поскольку
ftjlm(-n) = (—l)'^7m(n), то
Составляющие же х веДУт себя при инверсии согласно х(г) ~^
—>• — гх(~г)- Для того чтобы состояние обладало определенной
четностью (т. е. чтобы при инверсии все компоненты умножа-
умножались на один и тот же множитель), необходимо, следовательно,
чтобы угловая зависимость х давалась шаровым спинором fLji'm
с другим (из двух возможных) значением /: поскольку эти зна-
значения различаются на 1, то (—II = — (—II.
Далее, радиальная зависимость (р и х будет определяться те-
теми же функциями Rpi и Rpi' (со значениями / и /7, отвечающими
порядку входящих в ftjim шаровых функций). Это ясно из того,
что каждая из компонент ф удовлетворяет уравнению второго
порядка (р2 — т2)ф = 0, которое при заданном значении |р| име-
имеет вид
(А + р2)^ = 0,
формально совпадающий с нерелятивистским уравнением Шре-
дингера для свободной частицы.

24	СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ	113
Таким образом,
Ч> = ARplttjlm,	X = BRpi'uji'm,	B4.6)
и остается определить постоянные коэффициенты А ж В. Для
этого исследуем удаленную область, в которой сферическую вол-
волну можно рассматривать как плоскую. Согласно асимптотиче-
асимптотической формуле C3.12) (см. III)
B4.7)
так что (р представляет собой разность двух плоских волн, рас-
распространяющихся в направлениях ±п (п = г/г). Для каждой из
них имеем согласно B3.8)
Х=
: + т
Из сказанного выше (формулы B4.6)) ясно, что (ncr)Qjim =
= aftjifmi где а —постоянная. Эту постоянную легко определить,
сравнив значения обеих сторон равенства при т = lfe и направ-
направлении п вдоль оси z. Использовав G.2а), найдем
/п \г). 	7^~^О • /	f24 R\
Собрав написанные формулы и сравнив с B4.6), получим
В = —	А.
е + т
Наконец, коэффициент А определяется общей нормировкой ф.
Нормируя ф условием
¦/ш/ d3x = 27rSjj'Su'Smm'S(p — p),	B4.9)
B4.10)
Таким образом, при заданных значениях j и т (и энергии е)
существует два состояния, различающихся своей четностью. По-
Последняя однозначно определяется числом /, принимающим зна-
значения j zb Y2: при инверсии биспинор B4.10) умножается на
г(—1) . Компоненты этого биспинора, однако, содерж:ат шаровые
функции обоих порядков / и /7, в чем выражается отсутствие
определенного значения орбитального момента.
При г —>• оо в каждом небольшом участке пространства сфе-
сферические волны B4.7) можно рассматривать как плоские с им-
импульсом р = ±рп. Поэтому ясно, что волновые функции в им-
импульсном представлении отличаются от B4.10) в основном лишь
5jj
находим окончательно

114	ФЕРМИОНЫ
отсутствием радиальных множителей и приданием п смысла на-
направления импульса.
Для прямого перехода к импульсному представлению надо
произвести разложение Фурье:
ф(р') = Г\l;(r)e-ip'rd3x,	B4.11)
Интеграл вычисляется с помощью формулы разложения плоской
волны по сферическим (см. III, C4.3)):
ОО	I	/ \
е^ = ^^г%1(г)ГГти)г1т{^).	B4.12)
У 1=0 m=-l	KF/
Представляя множитель е~гр г в B4.11) в виде такого разложе-
разложения и учитывая B4.5), для компонент Фурье функции
получаем,
Стоящий здесь интеграл равен коэффициентам при шаровых
функциях в определении шаровых спиноров B4.2), а вместе с
множителем Yimt(p/ /р') снова образует тот же шаровой спинор,
но уже от аргумента р7 /р1:
Применив этот результат к биспинорной волновой функции
B4.10), получим ее импульсное представление
) (^ __ ._, ^^ j . B4ЛЗ)
Состояния \pjlm) совпадают с рассмотренными в § 16 состо-
состояниями |pjra|A|) (где |А| = 1/2): те и другие обладают опреде-
определенными значениями pjm и четности. Поэтому шаровые спи-
спиноры Sljim выражаются через функции D^ (те и другие —от
аргумента р/р). При р —)> 0 волновые функции B4.13) сводятся
к 3-спинорам Qjim, четность которых Р = r/(—1I (где г/ = г —
«внутренняя четность» спинора). Сравнение с результатами § 16
приводит к следующей формуле:
-l/2m ± W	1Jl/2m)
(при I = j T V2)? гДе ^^A^ — 3-спиноры B3.14).

§ 25	СВЯЗЬ СПИНА СО СТАТИСТИКОЙ	115
§ 25. Связь спина со статистикой
Вторичное квантование поля частиц со спином 1/2 (спинорно-
го поля) производится таким же образом, как это было сделано
в § 11 для скалярного поля.
Не повторяя заново всех рассуждений, напишем сразу вы-
выражения для операторов поля, вполне аналогичные формулам
(Н.2):
суммирование производится по всем значениям импульса р и по
а = zb1/^. Операторы уничтожения античастиц 6ро- (как и опера-
операторы уничтожения частиц арсг) стоят в виде коэффициентов при
функциях, которые по своей координатной зависимости (егрг)
соответствуют состоянию с импульсом р х) .
Для вычисления гамильтониана спинорного поля нет необхо-
необходимости в определении его тензора энергии-импульса (как мы
это делали для скалярного поля), поскольку в этом случае суще-
существует гамильтониан частицы, с помощью которого может быть
записано волновое уравнение (уравнение Дирака) B1.12). Сред-
Средняя энергия частицы в состоянии с волновой функцией ф есть
интеграл
д-±?>х = г [ф>уо^<Рх.	B5.2)
dt	J	dt
Обратим внимание на то, что «плотность энергии» (подынтег-
(подынтегральное выражение) не является здесь положительно определен-
определенной величиной.	_
Заменяя в B5.2) функции ф и ф на ^-операторы, учитывая
взаимную ортогональность волновых функций с различными р
или а, а также соотношение п±р(Т^ои±рG = 2е для волновых ам-
амплитуд, получаем гамильтониан поля в виде
Й = Е ? («p<x<W - ЬрДра) •	B5-3)
ра
Отсюда видно, что в данном случае квантование должно про-
производиться по Ферми:
{«р^«рЛ+ = 1> {WbpV}+ = l,	B5-4)
1) Те и другие функции отвечают также одинаковым значениям а проек-
проекции спина в системе покоя; для функций ф_р_а это будет показано в § 26 —
см. B6.10).

116	ФЕРМИОНЫ
а все другие пары операторов а, а+, 6, 6+ антикоммутативны
(см. III, § 65). Действительно, гамильтониан B5.3) переписыва-
переписывается тогда в виде
e(a+aapa + b+abpa - 1),
pa
и собственные значения энергии (как всегда, за вычетом беско-
бесконечной аддитивной постоянной):
<Npa + Npa),	B5.5)
pa
т. е. оказываются, как и следовало, положительно определенны-
определенными. При квантовании же по Бозе мы получили бы из B5.3) бес-
бессмысленные не положительно определенные собственные значе-
значения
Аналогичное B5.5) выражение
iVp(T)	B5.6)
pa
получается и для импульса системы — собственных значений опе-
оператора f ф+рф d3x.
Оператор 4-тока	^
? = ^ф,	B5.7)
и для оператора «заряда» поля получаем
Q = Ф
per	per
B5.8)
его собственные значения
3 = Е(ЖР--ад	B5.9)
per
Таким образом, мы снова приходим к представлению о час-
частицах и античастицах, к которым относится все сказанное по их
поводу в § 11.
Но в то время как частицы со спином 0 являются бозона-
бозонами, частицы со спином lfe оказываются фермионами. Если про-
проследить за формальным происхождением этого различия, то мы
увидим, что оно возникает в связи с разницей в характере выра-
выражений «плотности энергии» для скалярного и спинорного полей.
В первом случае это выражение оказывается положительно оп-
определенным, в результате чего в гамильтониан A1.3) оба члена

§ 25	СВЯЗЬ СПИНА СО СТАТИСТИКОЙ	117
(а'^'а и 66+) входят со знаком плюс. Для обеспечения положи-
положительности собственных значений энергии замена ЪЪ+ на Ъ+Ъ дол-
должна происходить при этом без изменения знака, т. е. по прави-
правилу коммутации Бозе. В случае же спинорного поля «плотность
энергии» не является положительно определенной величиной, в
результате чего в гамильтониане B5.3) член 66+ оказывается со
знаком минус, и для получения положительных собственных зна-
значений замена 66+ на 6+6 должна сопровождаться изменением
знака, т. е. происходить по правилу коммутации Ферми.
С другой стороны, вид плотности энергии непосредственно
связан с трансформационными свойствами волновой функции и
с требованиями релятивистской инвариантности. В этом смы-
смысле можно сказать, что и связь спина со статистикой, которой
подчиняются частицы, тоже является прямым следствием этих
требований.
Из того факта, что частицы со спином 1/2 являются фермио-
нами, следует также общее утверждение: все частицы с полу це-
целым спином являются фермионами, а частицы с целым спином —
бозонами (в том числе доказанное в § 11 утверждение для части-
частицы со спином 0) г) .
Это становится очевидным, если заметить, что частицу со
спином s можно представить себе «составленной» из 2s частиц
со спином 1/2. При полуцелом s число 2s нечетно, а при целом s —
четно. Между тем « сложная» частица, содержащая четное чис-
число фермионов, является бозоном, а содержащая нечетное число
фермионов — фермионом 2) .
Если система состоит из частиц разного рода, то для каждо-
каждого рода частиц должны быть введены свои операторы рождения
и уничтожения. При этом операторы, относящиеся к различным
бозонам или же к бозонам и фермионам, коммутируют друг с
другом. Что же касается операторов, относящихся к различным
фермионам, то в пределах нерелятивистской теории их можно
было считать либо коммутирующими, либо антикомму тирующи-
тирующими (III, § 65). В релятивистской же теории, допускающей взаим-
взаимные превращения частиц, следует считать операторы рождения и
уничтожения различных фермионов антикомму тирующими, так
1) Происхождение связи между спином частицы и статистикой, которой
она подчиняется, было выяснено Паули (W. Pauli, 1940).
2)В этих рассуждениях подразумевается, что все частицы с одинаковым
спином должны подчиняться одной статистике (вне зависимости от спосо-
способа их «составления»). Что это действительно так, видно из аналогичных
рассуждений. Так, если бы существовали фермионы со спином 0, то из фер-
миона со спином 0 и фермиона со спином 1/2 можно было бы составить
частицу со спином ^2, которая была бы бозоном — в противоречии с общим
доказанным для спина 1/^ результатом.

118	ФЕРМИОНЫ
же как и операторы, относящиеся к различным состояниям од-
одних и тех же фермионов.
Задача
Найти лагранжиан спинорного поля.
Решение. Функция Лагранжа, отвечающая уравнению Дирака, да-
дается вещественным скалярным выражением
L = \ (Ф^д^Ф ~ д^Ф • ^Ф) ~ ™ФФ-	(!)
Понимая под «обобщенными координатами» q компоненты ф и ф, легко убе-
убедиться в том, что соответствующие уравнения Лагранжа A0.10) совпадают
с уравнениями Дирака для фиф. Общий знак лагранжиана (как и общий
коэффициент в нем) в данном случае условен. Поскольку L содержит произ-
производные от ф и ф линейно, действие S = J Ld4x все равно не может иметь ни
минимума, ни максимума. Условие SS = 0 определяет в этом случае лишь
стационарную точку, но не экстремум интеграла.
Лагранжиан спинорного поля получается заменой в A) ф оператором
ф. Применив к этому лагранжиану формулу A2.12), получим оператор тока
B5.7).
§ 26. Зарядовое сопряжение и обращение спиноров
по времени
Множители фра = ирае~грх, стоящие в B5.1) при операторах
аро-, представляют собой волновые функции свободных частиц
(будем говорить «электронов») с импульсами р и поляризация-
поляризациями а:
Ф$ = Фра-
Множители же ф_р_а при операторах ЬрG надо рассматривать
как волновые функции позитронов с теми же р, а. При этом,
однако, окажется, что электронные и позитронные функции вы-
выражены в различных биспинорных представлениях. Это ясно из
того, что фиф различны по своим трансформационным свойст-
свойствам и их компоненты удовлетворяют различным системам урав-
уравнений. Для устранения этого недостатка надо произвести опреде-
определенное унитарное преобразование компонент ф_р_а — такое, что-
чтобы новая четырехкомпонентная функция удовлетворяла тому
же уравнению, что и фра х) . Именно такую функцию мы и бу-
будем называть волновой функцией позитрона (с импульсом р и
поляризацией а). Обозначив матрицу требуемого унитарного
:) Для частиц со спином 0 этот вопрос вообще не возникал, так как ска-
скалярные функции ф лф* удовлетворяют одному и тому же уравнению, и ф1р
просто совпадает с фр.

§ 26	ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ	119
преобразования Uc-> напишем
$	-а.	B6.1)
Операция С, с помощью которой эта функция образуется из
ф_р_а1 называется зарядовым сопряжением волновой функции
(Н. A. Kramers, 1937). Это понятие не ограничено, конечно, его
применением к плоским волнам. Для всякой вообще функции ф
существует «зарядово-сопряженная» функция
Cil>(t,r) = Uc$(t,r),	B6.2)
преобразующаяся, как ф, и удовлетворяющая тому же уравне-
уравнению.
Свойства матрицы Uc следуют из этого определения. Если
^ — решение уравнения Дирака ('ур — т)ф = 0, то ф удовлетво-
удовлетворяет уравнению
или
Умножив это уравнение слева на Uc-
+ тЛсф = О,
потребуем, чтобы функция исф удовлетворяла тому же уравне-
уравнению, что и ф:
— т)исф = 0.
Сравнив оба уравнения, найдем следующее «соотношение ком-
коммутации» между Uс и матрицами ^ 1)\
UcY = --y^Uc.	B6.3)
Будем предполагать далее, что волновые функции заданы в
спинорном или стандартном представлении (к общему случаю
произвольного представления мы вернемся лишь в конце этого
параграфа). В этих представлениях
0,2 = ^0,2	1,3 = -1,3
G0'1'3)* = 70Д'3, 72* = -72-
Тогда условиям B6.3) удовлетворяет матрица Uc = ^7с727°
с произвольной постоянной rjc- Из требования С2 = 1 следует,
что \rjc\2 — 1, так что матрица Uc определена с точностью до
) Отметим также следующее отсюда равенство:
5=j5Uc.	B6.3а)

120	ФЕРМИОНЫ
фазового множителя. В дальнейшем мы выберем т\с = 1, так
что
Uc = 727° = -ау.	B6.5)
Заметив также, что ф = ^*70 = 7О/0* = 7О/0*> можно записать
действие оператора С в следующем виде:
= 7VV = tV-	B6-6)
В явном виде преобразование B6.6) для спинорного представле-
представления
С: f*^-ir/d*, щ^-i^,	B6.7а)
или, что то же,
С : fa -^ -ir;a, r/d -^ -ifa*.	B6.76)
Преобразование зарядового сопряжения для плоских волн
Ф±ра легко произвести, воспользовавшись их явными выраже-
выражениями B3.9) и матрицей Uc в стандартном представлении:
Uc=(_°ay ~SV)-	B6-8)
Заметив, что
<уу<т* = —аау,
при определении w^f согласно B3.16) получим
Ucu-p-cj = up(Tl UcU-p-cj = гарсг.	B6.9)
Таким образом,
Сф-р-а =фра,	B6.10)
так что функции ф-р-а фигурирующие в ^-операторах B5.1)
вместе с операторами Ьрсг, действительно отвечают состояниям
частицы с импульсом р и поляризацией а. Мы видим также что
электронные и позитронные состояния описываются одними и
теми же функциями:
Фра = Фра = Фр<У
Это вполне естественно, так как функции фра несут в себе све-
сведения лишь об импульсе и поляризации частицы.
Аналогичным образом можно рассмотреть операцию обраще-
обращения времени. Изменение знака времени должно сопровождать-
сопровождаться комплексным сопряжением волновой функции. Для того что-
чтобы получить в результате «обращенную по времени» волновую
функцию (Тф) в том же представлении, что и исходная ф, надо

§ 26	ЗАРЯДОВОЕ СОПРЯЖЕНИЕ	121
еще произвести над компонентами ф* (или ф) некоторое унитар-
унитарное преобразование. Таким образом, аналогично B6.2) предста-
представим действие оператора Т на ф в виде
T4>(t,r) = UT$(-t,r),	B6.11)
где Ut — унитарная матрица.
Снова пишем уравнение Дирака, которому удовлетворяет ф:
и уравнение для ф:
(i7°— + nrV + m) ф(г, г) = 0.
Заменим в последнем уравнении t —> — t и умножим его слева на
-UT:
(iUTJ°- - iUTlV\ Щ-t, г) - титЩ-t, г) = 0.
\	ot	/
Мы хотим, чтобы функция UTi/j{—t,r) удовлетворяла тому же
уравнению, что и ф(г,г):
+ i7V) итф(-Ь г) - mUT^(-t, г) = 0.
dt	/
Сравнив оба уравнения, найдем, что матрица Ut должна удов-
удовлетворять условиям
[7Г7° = *y0UT, UtI = -7^т-	B6.12)
В спинорном и стандартном представлениях этим условиям удо-
удовлетворяет матрица х)
[7T = i73717°-	B6.13)
Таким образом, действие оператора Т дается формулой
f^(t,r) = i73717°^(-*Jr) = ^737V*(-^r).	B6.14)
В явном виде это преобразование для спинорного представления
Т: Г^-С %^гтГ	B6.15а)
ИЛИ
Т: еа^«е°*, V&^~ivl	B6-156)
В стандартном представлении
а °)	B6.16)
:) Выбор фазового множителя в B6.13) связан с выбором в B6.5) сообра-
соображениями, указанными ниже, в примеч. на с. 124.

122	фермионы
Найдем результат воздействия на ф всех трех операций Р, Т
и С. Для этого пишем последовательно:
PTtP(t,r) = г
CPTtP(t,r) = I2(l°l44*r = 727°7173V'(-i,-r),
ИЛИ
CPTi/>(t, r) = i-y6i/>(-t, -r).	B6.17)
В спинорном представлении
CPT : С -> -if", % -> ir,d,	B6.18)
в чем легко убедиться и прямо из правил преобразований B0.4),
B6.7), B6.15) ').
Написанные выше выражения для матриц Uc и Ut предпо-
предполагали спинорное или стандартное представление ф. Выясним,
наконец, какие из свойств этих выражений сохраняются для про-
произвольного представления ф.
Если ф подвергается унитарному преобразованию:
ф' = иф, У = U-yU-1, ф' = ^*70/ = фи+=фи~\ B6.19)
то в новом представлении
(дфу = и(Сф) = иисФ = иис(Ф'и) = иисиф'.
Сравнивая с определением матрицы U'c в новом представлении
((СфУ = и'сф ), находим
и'с = UUCU.	B6.20)
Преобразование B6.20) совпадает с преобразованием матриц
7 лишь для вещественных U. Поэтому и выражение B6.5) спра-
справедливо лишь в представлениях, получающихся из спинорного
или стандартного вещественным преобразованием.
Матрица B6.5) унитарна, а транспонирование меняет ее знак:
UCU? = 1, Uc = -Uc	B6.21)
Эти свойства инвариантны относительно преобразования B6.20),
а следовательно, имеют место в любом представлении. Матрица
B6.5) также и эрмитова (Uc — U^), но это свойство в общем
случае нарушается преобразованием B6.20).
:) Запись СРТ предполагает действие операторов в порядке справа налево.
Общий знак в B6.17), B6.18) зависит от этого порядка ввиду некоммутатив-
некоммутативности Т с С и Р (в их действии на биспинор).

§ 27	ВНУТРЕННЯЯ СИММЕТРИЯ ЧАСТИЦ И АНТИЧАСТИЦ	123
Все сказанное (в том числе B6.21)) относится и к свойствам
матрицы Ut-
В аппарате вторичного квантования преобразования С, Р,
Т для ^-операторов должны быть сформулированы как прави-
правила преобразований операторов рождения и уничтожения частиц.
Эти правила можно установить (подобно тому, как это было сде-
сделано в § 13 для частиц со спином 0), исходя из требования, чтобы
преобразованные ^-операторы могли быть представлены в виде
B6.22)
Задача
Найти оператор зарядового сопряжение в представлении Майораны
(см. задачу 2, § 21).
Решение. Матрица U'c в представлении Майораны получается из
матрицы Uc = —OLy в стандартном представлении преобразованием B6.20) с
U = (pty -\-/3)/у/2 и равна U'c = oty (ау и /3 обозначают матрицы стандартного
представления). Обозначая штрихом величины в представлении Майораны,
имеем Сф' = Uс (ф'* /3^), и поскольку /3' = ау, то
Сф' = ау{ф'*ау) = ауауф'* = ф'*,
т. е. зарядовое сопряжение эквивалентно комплексному сопряжению.
§ 27. Внутренняя симметрия частиц и античастиц
Волновая функция частицы со спином 1/ъ в ее системе покоя
сводится к одному 3-спинору (обозначим его через Фа). С поведе-
поведением этого спинора при инверсии связано понятие о внутренней
четности частицы. Однако (как было уже указано в § 19), хотя
два возможных закона преобразования 3-спиноров (Фа —>> ±гФа)
и не эквивалентны друг другу но приписывание спинору опреде-
определенной четности не имеет абсолютного смысла. Не имеет поэтому
смысла говорить и о внутренней четности самой по себе частицы
со спином у2. Можно, однако, говорить об относительной вну-
внутренней четности двух таких частиц.
Из двух (трехмерных) спиноров Ф^1) и Ф^2) можно составить
скаляр Фа ф'2)а. Если это — истинный скаляр, то говорят, что
описываемые данными спинорами частицы имеют одинаковую
четность; если же это — псевдоскаляр, то говорят о противопо-
противоположной внутренней четности частиц.
Покажем, что внутренние четности частицы и античастицы
(со спином Y2) противоположны (В. Б. Бересгпецкий, 1948).

124	фермионы
Для этого заметим, что если к обеим сторонам Р-преобразо-
вания A9.5) (в спинорном представлении)
р- е^т, va^ie	B7.1)
применить операцию С B6.7), то получим
где индексом с отмечены компоненты биспинора фс = (%)
зарядово-сопряженного биспинору ф = (Ч. Произведя комплекс-
комплексное сопряжение и переместив индексы, найдем
Р- Vl^ir, еа^Щ%-	B7.2)
Мы видим, что зарядово-сопряженные биспиноры преобразуют-
преобразуются при инверсии по одинаковому закону.
Пусть ф^ —волновая функция частицы (электрона), а ф^ —
волновая функция античастицы (позитрона). Последняя есть
биспинор, зарядово-сопряженный некоторому «отрицательно-ча-
«отрицательно-частотному» решению уравнения Дирака. В системе покоя каждая
из них сводится к некоторому 3-спинору:
р(э)а _ (э) _ ф(э)а	Аи)а _ (п) _ ф(и)а
Согласно B7.1), B7.2) эти спиноры преобразуются при инверсии
П° 3аК°НУ	Ф« -> гФ«,	B7.3)
одинаковому для Ф^э^ и Ф^п). Произведение же ф(э)ф(п) меняет
знак, что и доказывает сделанное утверждение.
Истинно нейтральной называют частицу, совпадающую со
своей античастицей (см. § 12). ^-оператор поля таких частиц
удовлетворяет условию
Для частиц со спином 1/2 это означает условия (в спинорном
представлении)
С = -гГ+, Va = -*?"•	B7.4)
Как и всякие соотношения, выражающие собой какие-либо фи-
физические свойства, эти условия инвариантны относительно пре-
преобразования СРТ 2) . Легко проверить, что фактически они ин-
инвариантны не только по отношению к СРТ, но и по отношению
к каждому из трех преобразований в отдельности.
:) В представлении же Майораны истинная нейтральность означает просто
эрмитовость оператора ф' (см. задачу к § 26).
2) Точнее, преобразование СРТ должно быть определено в данном случае
так, чтобы оставлять инвариантными соотношения типа B7.4). Это достиг-
достигнуто соответствующим выбором фазового множителя в определении матри-
матрицы Ut (cm. примеч. на с. 121).

§ 28	ВНУТРЕННЯЯ СИММЕТРИЯ ЧАСТИЦ И АНТИЧАСТИЦ	125
Мы условились в § 19 определять инверсию спиноров как пре-
преобразование, для которого Р2 = —1, и до сих пор следовали это-
этому определению. Легко видеть, что полученный выше результат
об относительной четности частиц и античастиц не зависит, как
и должно быть, от способа определения инверсии.
Если инверсия определена условием Р2 = 1, то вместо B7.1)
будет
Р: ?*->%, %->?*•	B7.5)
Зарядово-сопряженная же функция преобразуется при этом по
закону
tea _^ _ с	с _^ _tca
s ^ Ча->	Ча ^ s •>
отличающемуся от B7.5) знаком. Соответственно этому трехмер-
трехмерные спиноры Ф будут преобразовываться согласно
ф(э)« _^ ф(э)<*?	ф(п)а _^ _ф(п)а^
так что произведение ф(э)ф(п) будет по-прежнему псевдоскаля-
псевдоскаляром.
Единственное возможное различие в физических следствиях
обеих концепций инверсии состоит в том, что при определении
B7.5) условие истинной нейтральности поля не было бы инва-
инвариантным относительно этого преобразования (или преобразо-
преобразования СР): оно меняло бы относительный знак обеих сторон ра-
равенств B7.4). Фактически истинно нейтральные частицы со спи-
спином !/2 неизвестны, и в настоящее время нельзя сказать, имеет
ли указанное различие в двух определениях инверсии реальный
физический смысл х) .
Задача
Найти зарядовую четность позитрония (водородоподобная система из
электрона и позитрона).
Решение. Волновая функция двух фермионов должна быть анти-
антисимметрична относительно одновременной перестановки координат, спинов
и зарядовых переменных частиц (ср. задачу к § 13). Перестановка первых
умножает функцию на (—1)\ вторых — на (—1I+5 (где S = 0 или 1 —полный
спин системы), третьих — на искомое С. Из условия (—1)г(—lI+sС = —1 на-
находим
C = (-l)l+s-
Поскольку внутренние четности электрона и позитрона противоположны,
пространственная четность системы Р = (—1)г+1. Комбинированная чет-
четность: СР = (-1M+1.
1) Неполная эквивалентность двух определений инверсии была отмечена
Рака (G. Racah, 1937).

126	ФЕРМИОНЫ
§ 28. Билинейные формы
Рассмотрим трансформационные свойства различных били-
билинейных форм, которые можно составить из компонент функций
фиф*. Такие формы вообще имеют большое значение в кванто-
квантовой механике; к их числу относится и 4-вектор плотности тока
B1.11).
Поскольку фиф* имеют по четыре компоненты, из них можно
составить 4-4 = 16 независимых билинейных комбинаций. Клас-
Классификация этих величин по их трансформационным свойствам
очевидна из перечисленных в § 19 способов перемножения двух
произвольных биспиноров (которыми в данном случае являются
ф и ф*). Именно, можно составить скаляр (обозначим его через
S), псевдоскаляр (Р), смешанный спинор второго ранга, эквива-
эквивалентный истинному 4-вектору V^ (четыре независимых величи-
величины), смешанный спинор второго ранга, эквивалентный 4-псевдо-
вектору А^ D величины), и биспинор 2-го ранга, эквивалентный
антисимметричному 4-тензору Т^у (шесть величин).
В симметричном виде (для любого представления ф) эти ком-
комбинации записываются следующим образом:
S = фф, Р = гф^ф,
V* = ф^ф, А^ = ф^^ф, Т^ = Щ)о^ф, B8.1)
где
a^ = iG/i7l/-7V) = (a,iS)	B8.2)
(перечисление компонент в B8.2) по A9.15)) :) . Все написанные
выражения вещественны.
Скалярность и псевдоскалярность величин S и Р очевидна
из их спинорного представления:
что как раз соответствует выражениям A9.7) и A9.8). Вектор-
Векторный характер величин V^ очевиден после этого из уравнения
Дирака: умножив равенство р^^ф = тпф слева на ф, получим
поскольку справа стоит скаляр, скаляром должно быть и выра-
выражение в левой части.
Правило составления величин B8.1) очевидно: они составля-
составляются так, как если бы матрицы 7^ образовывали 4-вектор, 75
1) При унитарном преобразовании ф (изменении представления) имеем
ф^Щ, -y^U-ylT1, ф^фи~\
и инвариантность билинейных форм при таких преобразованиях очевидна.

§ 28	БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ	127
было псевдоскаляром, а стоящие с обеих сторон фиф образо-
образовывали вместе скаляр г) . Отсутствие билинейных форм, кото-
которые имели бы характер симметричного 4-тензора, очевидное из
спинорного представления, ясно и из этого правила: поскольку
симметричная комбинация матриц 7^7^ + 7^7^ = 2g^^, то такая
форма свелась бы к скаляру.
Вторично-квантованные билинейные формы получаются за-
заменой в B8.1) ^-функций ^-операторами. Для большей общнос-
общности будем считать, что два ^-оператора относятся к полям раз-
различных частиц; будем различать их индексами а и Ь. Выясним,
как преобразуются такие операторные формы при зарядовом со-
сопряжении. Замечая, что 2)
фс = ис% %С = и?ф,	B8.3)
имеем, используя B6.3) и B6.21):
ФаФъ =
При перестановке операторов к исходному порядку (ф слева от
ф) в силу правил коммутации Ферми B5.4) изменится знак про-
произведения (и, кроме того, появятся члены, не зависящие от состо-
состояния поля, которые опускаем, как и при аналогичных выводах в
§ 13). Таким образом, получим
Преобразовав аналогичным образом также и остальные формы,
найдем, что при зарядовом сопряжении 3)
аЬ ~^ 1Ьа '
«Псевдоскалярность» j5 сама соответствует этим правилам, поскольку
2)	Для получения второго равенства из первого пишем
~ТС	Гг7-*/Т 0*\1 О ~0Г7-* ОТ	~0Г7-+ ОТ ~0 0*Г7-+^ Г7-+Т
<ф = \Uc(il>J )J 7 = 7 Ucl Ф = ~1 USJ ^ = 77 ЩФ = исФ
(использованы B6.3), B6.21) и эрмитовость 7°)-
3)	Обратим внимание на то, что для билинейных форм, составленных из
^-функций (а не ^-операторов), преобразования B8.4) имели бы обратный
знак, поскольку возвращение к исходному порядку множителей ф и ф не
сопровождалось бы изменением знака.

128	фермионы
Аналогичным образом выясняется поведение тех же форм
при обращении времени. При этом надо помнить (см. 13), что
эта операция связана с изменением порядка расположения опе-
операторов, и поэтому,например,
Подставив сюда
фт = [/"г?, ?Т = -и$ф,	B8.5)
получим
{фаФъ) = -фь&ти^фа = фьиТи^фа = фЬфа-
Рассмотрев таким же образом остальные формы, найдем
Sab^Sba, Раь^-Рьа, (V0, V)ab -»¦ (V0, -\)ba, ,,.
1 : ^ ^	^ ^	^	B8.6)
(А°,А)аЬ -»• (А0, -А)ьа, Т% = (р,а)а6 -> (р, -a)te
(р, а —трехмерные векторы, эквивалентные компонентам Т^
согласно A9.15)).
При пространственной же инверсии, в соответствии с тензор-
тензорным характером величин :) ,
р Sab^ Sab, Pab "»¦ -Р<Л, (V°, V)ab ~* (V°, -V)eb,
' (A0, A)ab -+ (-A0, A)ab, T% = (p, a)a6 ^ (-p, a)a6.
Наконец, совместное применение всех трех операций оставляет
все Sab, РаЬ) Т^ неизменными и меняет знак всех V^, A^ что
как раз соответствует смыслу этого преобразования как 4-инвер-
сии: поскольку 4-инверсия эквивалентна повороту 4-системы ко-
координат, то по отношению к ней нет разницы между истинными
и псевдотензорами любого ранга.
Рассмотрим попарные произведения билинейных форм, со-
составленных из четырех различных функций фа, фь, фс, фA. Мы
получим различные результаты в зависимости от того, какие па-
пары этих функций перемножаются между собой. Оказывается,
однако, возможным свести всякое такое произведение к произ-
произведениям билинейных форм с фиксированными парами множи-
множителей (W. Pauli, M. Fierz, 1936). Выведем соотношение, лежащее
в основе такого приведения.
:) Во избежание недоразумений напомним, что преобразования Т и Р тре-
требуют также изменения аргументов функции; правые стороны (преобразо-
(преобразованные формы в B8.6), B8.7)) — функции соответственно от
хт = (-*,г), хР = (*,-
если левые стороны — функции от х =

§ 28	БИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ	129
Рассмотрим совокупность четырехрядных матриц
1, 75, 7^, ^75, 1°""	B8.8)
A — единичная матрица). Перенумеровав эти 16 (= 1 + 1+4 +
+ 4 + 6) матриц в какой-либо определенной последовательности,
обозначим их посредством 7 (А = 1,..., 16), а те же матрицы
с опущенными 4-тензорными индексами (/i,z/) посредством 7А-
Они обладают следующими свойствами:
A	А	А	iA7B = ^- B8.9)
В силу последнего из этих свойств матрицы jA линейно незави-
независимы. Поскольку же их число равно числу D • 4) элементов че-
четырехрядной матрицы, матрицы 7 составляют полную систему,
по которой может быть разложена произвольная четырехрядная
матрица Г:
r = ^CA7A, cA = iSp7Ar,	B8.10)
А
или в раскрытом виде с матричными индексами (г, А; = 1, 2, 3,4):
Предположив, в частности, что матрица Г содержит всего один
отличный от нуля элемент (Г/т), получим искомое соотношение
(«условие полноты»)
j.	B8.11)
А
Умножая это равенство с обеих сторон на ф^ ф^,фтф^1 имеем
(фаф*)(фсфь) = I ^(фа1АфЬ)(фС1Аф")-	B8.12)
А
Это —одно из равенств указанного выше типа: оно сводит про-
произведение двух скалярных билинейных форм к произведениям
форм, составленных из других пар множителей :) .
Другие равенства этого типа можно получить из B8.12), за-
заменяя
ф* -> ^вфа, фЬ -> 7е'ФЬ
:) Напомним во избежание недоразумений, это здесь имеются в виду фор-
формы, составленные из ^-функций. Для форм, составленных из антикоммути-
рующих ^-операторов, знак преобразования был бы обратным.
5 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

130	ФЕРМИОНЫ
и пользуясь разложением (см. задачу)
R
Укажем здесь для дальнейших ссылок также и аналогичное
B8.11) соотношение для двухрядных матриц. Полную систему
линейно независимых двухрядных матриц аА (А = 1,... ,4) со-
составляют
l,ax,ay,az.	B8.13)
Для них
SpH = 0 (И^1), -SpaAaB = 6АВ.	B8.14)
Условие полноты:
Saryfa = A/2) Yl °«Р°*>1 = A/2)<Та^*у + (V2)*a/3^7 B8-15)
(а, /б, • • • = 1,2) или иначе:
^.	B8.16)
Задача
Вывести формулы, аналогичные B8.12), для скалярных произведений
двух билинейных форм Р, У, А, Т.
Решение. Обозначим:
Js = (фафь) $V),	jP = (^a75
Jv = (фа^фь) (фс^ф%	Ja = (^аг7"
a теми же буквами со штрихом — такие же произведения с переставленными
фь и ipd. Указанным в тексте способом получим
Us = Js + Jv + Jt +	Ja +	Jp,
4J^ = 4JS - 2JV +	2JA -	4JP,
4J^ = 6J5 - 2JT	+	6Jp,
4J^ = 4JS + 2JF -	2JA -	4JP,
4JP = Js — Jv + Jt —	Ja +	Jp
(первая строка — по формуле B8.12)).
§ 29. Поляризационная матрица плотности
Координатная зависимость волновой функции *ф, описываю-
описывающей свободное движение с импульсом р (плоская волна), сводит-
сводится к общему множителю егрг, а амплитуда ир играет роль спино-
спиновой волновой функции. В таком (чистом) состоянии частица пол-
полностью поляризована (см. III, § 59). В нерелятивистской теории

§ 29	ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ	131
это означает, что спин частицы имеет определенное направле-
направление в пространстве (точнее, существует такое направление, вдоль
которого проекция спина имеет определенное значение +У2). В
релятивистской теории такая характеристика состояния в произ-
произвольной системе отсчета невозможна ввиду (отмеченного уже в
§ 23) несохранения вектора спина. Чистота состояния означает
лишь, что спин имеет определенное направление в системе покоя
частицы.
В состоянии частичной поляризации не существует опреде-
определенной амплитуды, а лишь поляризационная матрица плотно-
плотности pik (i,k = 1,2,3,4 — биспинорные индексы). Определим эту
матрицу таким образом, чтобы в чистом состоянии она сводилась
к произведениям
Pik = upiupk.	B9.1)
Соответственно этому матрица р нормируется условием
Spp = 2m	B9.2)
(ср. B3.4)).
В чистом состоянии среднее значение спина определяется ве-
величиной
[	B9.3)
Соответствующее выражение для состояния частичной поляри-
поляризации:
s = f Sp (p7°S) = f Sp (p757)-	B9.4)
4S	4S
Амплитуды Up, up удовлетворяют системам алгебраических
уравнений
(jp — т)ир = 0, пр^р — га) = 0.
Поэтому матрица B9.1) удовлетворяет уравнениям
(jp - т)р = 0, p(jp - га) = 0.	B9.5)
Таким же линейным уравнениям должна подчиняться матрица
плотности и в общем случае смешанного (по спину) состояния
(ср. аналогичный вывод в III, § 14).
Если рассматривать свободную частицу в ее системе покоя,
то к ней применима нерелятивистская теория. Но в этой тео-
теории состояние частичной поляризации полностью определяется
тремя параметрами — компонентами вектора среднего значения
спина "s (см. III, § 59). Ясно поэтому, что те же параметры будут
определять поляризационное состояние и после любого преобра-
преобразования Лоренца, т. е. для движущейся частицы.
s = - [ф*ЪфA3х = —ир1ир = —upj°^up.

132	ФЕРМИОНЫ
Обозначим удвоенное среднее значение вектора спина в си-
системе покоя через ? (в чистом состоянии |?| = 1, в смешанном
|?| < 1). Для четырехмерного описания поляризационного состо-
состояния удобно ввести 4-вектор а^, совпадающий в системе покоя
с трехмерным вектором ?; поскольку ? — аксиальный вектор, то
а^ — 4-псевдовектор. Этот 4-вектор ортогонален 4-импульсу в си-
системе покоя (где Ы1 = @, ?), р^ = (га, 0)), а потому и в произ-
произвольной системе отсчета
а% = 0.	B9.6)
В произвольной системе отсчета будет также и
а^ = -С2.	B9.7)
Компоненты 4-вектора а^ в системе отсчета, в которой части-
частица движется со скоростью v = р/б, находятся путем преобразо-
преобразования Лоренца из системы покоя и равны
а° = МС||, а± = Сь ац = -С||,	B9.8)
т "	м т "
где индексы || и _L означают компоненты векторов ? и а, парал-
параллельные и перпендикулярные направлению р х) . Эти формулы
можно записать в векторном виде:
р(Ср) а° = 5Е = ^ а2 = С2 + ^^ B9.9)
туе + т)	е т	т2
Рассмотрим сначала неполяризованное состояние (? = 0).
Матрица плотности в этом случае может содержать в качестве
параметров лишь 4-импульс р. Единственный вид такой матри-
матрицы, удовлетворяющей уравнениям B9.5), есть
Gр + т)	B9.10)
(И. Е. Тамм, 1930, Н. В. G. Casimir, 1933). Постоянный коэффи-
коэффициент выбран в соответствии с нормировочным условием B9.2).
1) По своим трансформационным свойствам компоненты среднего вектора
спина s (как и всякого момента) являются в релятивистской механике про-
пространственными компонентами антисимметричного тензора S ^. 4-вектор
ах связан с этим тензором посредством соотношений
1	9
D — 	о	СЬиРр)	(л —	с-	*J/j,vPp-
2m	m
Подчеркнем, что в произвольной системе отсчета пространственная часть а
4-вектора ах отнюдь не совпадает с вектором 2 s. Легко видеть, что
2s|| = — (аце - а°\р\) = С||, 2s± = —а± = — ?±.

§ 29	ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ	133
В общем случае частичной поляризации (? ^ 0) ищем матри-
матрицу плотности в виде
р = — (jp + m)p'(jp + га),	B9.11)
4m
автоматически удовлетворяющем уравнениям B9.5). При С 7^ 0
вспомогательная матрица // должна обращаться в единичную;
поскольку
(jp + гаJ = 2m('yp + га),
то B9.11) совпадет с выражением B9.10). Далее, она должна
содержать 4-вектор а линейным образом в качестве параметра,
т. е. иметь вид
B9.12)
во втором члене фигурирует скалярное произведение псевдовек-
псевдовектора а и «матричного 4-псевдовектора» 7^7- Для определения
коэффициента А напишем матрицу плотности в системе покоя:
р = ^A + 7°)A + А757С)A +7°) = ?A +7°)A + ^757С),
и вычислим, согласно B9.4), среднее значение спина. Восполь-
Воспользовавшись перечисленными в § 22 правилами, легко найдем, что
единственный отличный от нуля член в искомом следе
2 s = -L Sp (р757) =  SP (GCO) = ^С-
Приравняв это выражение ?, получим А = 1. Окончательное вы-
выражение для р найдем, подставив B9.12) в B9.11) и переставив
множители р' и (^р + т)] в силу ортогональности аир произве-
произведение jp антикоммутативно с ja:
а потому коммутативно с 75Gа)-
Таким образом, матрица плотности частично поляризованно-
поляризованного электрона дается выражением
Ы + ™)[чЫ)}	B9.13)
(L. Michel, A. S. Wighiman, 1955). Если матрица р известна, то ха-
характеризующий состояние 4-вектор а (а с ним и вектор ?) можно
найти по формуле
a" = -^-Sp(p7V)-	B9-14)
2т
Формулы для матрицы плотности позитрона аналогичны
формулам для электрона. Если бы мы описывали позитрон (с

134	ФЕРМИОНЫ
4-импульсом р) позитронной амплитудой Up3 и определенной
в соответствии с такой амплитудой матрицей плотности р^п03\
то никакого отличия от случая электрона вообще не было бы
и матрица р(пш) давалась бы той же формулой B9.13). Одна-
Однако при фактических вычислениях сечений процессов рассеяния
с участием позитронов приходится иметь дело (как мы увидим
в дальнейшем) не с UpO3\ а с амплитудами «отрицательной ча-
частоты» U-p. Соответственно этому и поляризационную матрицу
плотности (обозначим ее /?' ') следует определить так, чтобы для
чистого состояния она сводилась к U-piu-p^.
Согласно B6.1) позитронная амплитуда г4>п = Ucu-p. Об-
Обратно:
и_р = Ucu{™3\ п-р = ^4ПШ) = и{р°3)ис
(ср. B8.3)). Если
( —)			(поз)	(поз)	(поз)
Ргк -U-piU-pk, p\k )=U)I >У>рк \
то с помощью этих формул получим
р(~) = UcP"UO3)U*c.	B9.15)
Подставляя сюда для р(пш) выражение B9.13) и производя (с
помощью B6.3), B6.21)) простые преобразования, получаем
р(-) = \Ы-т)[\-1ь{1а)].	B9.16)
В частности, для неполяризованного состояния
{) \т).	B9.17)
В дальнейшем, говоря о позитронных матрицах плотности, мы
будем иметь в виду матрицы р(~) и индекс (—) у них будем опус-
опускать (матрицами же р(п03) фактически не приходится пользо-
пользоваться) .
В различных вычислениях нам часто придется усреднять по
спиновым состояниям выражения вида uFu{= щР^щ), где F —
некоторая (четырехрядная) матрица, аи-биспинорная ампли-
амплитуда состояния с определенным 4-импульсом р. Такое усреднение
эквивалентно замене произведений и^щ матрицей плотности р^
частично поляризованного состояния.
В частности, полное усреднение по двум независимым спи-
спиновым состояниям эквивалентно переходу к неполяризованному
состоянию; при этом согласно B9.10) имеем
-= Y^ upFup = - Sp (jp + m)F.	B9.18)
поляр

§ 29	ПОЛЯРИЗАЦИОННАЯ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ	135
Аналогично для волновых функций отрицательной частоты
- = 5Z ll-vFu-v = - Sp (jp - m)F.	B9.19)
поляр
Если речь идет не об усреднении, а о суммировании по спиновым
состояниям — результат в два раза больше.
Проследим, каким образом матрица плотности B9.13) пере-
переходит в пределе в свое нерелятивистское выражение. Для этого
перейдем к системе покоя электрона. В стандартном представле-
представлении волновых функций амплитуды ир в этой системе становятся
двухкомпонентными; вместе с ними должна стать двухрядной
матрица плотности. Действительно, в системе покоя имеем
и с помощью выражений матриц j B1.20) и B2.18) находим
о)' Рнр = тA + О	B9.20)
(нули обозначают двухрядные нулевые матрицы). Если принять
обычную в нерелятивистской теории нормировку матрицы плот-
плотности на 1 (Sp/9Hp = 1) вместо нормировки на 2т, то это выраже-
выражение надо будет разделить на 2т, так что в согласии с формулой
E9.6) (см. III) получится
Аналогичным образом нерелятивистский предел позитрон-
ной матрицы плотности:
/0 0
Наконец, напишем упрощенное выражение матрицы плотно-
плотности в ультрарелятивистском случае. Положив в B9.8) |р| « е
(тем самым мы пренебрегаем величинами относительной мало-
малости (m/бJ), подставив эти выражения в B9.13) или B9.16) и
выбрав направление р в качестве оси ж, запишем
- 71) ± т] [l - т5 (^G° - т'Кн - С±7±)] ,
Р = \[
где верхний знак относится к случаю электрона, а нижний — к
случаю позитрона. При раскрытии произведения главные члены
в нем выпадают, а члены следующего порядка дают

136	ФЕРМИОНЫ
или, при записи бG° ~~ 71) в виде IP'-
Р = ^GР)[1 + 75(±С|| + С±7±)]-	B9-21)
Это и есть искомое выражение матрицы плотности в ультра-
ультрарелятивистском случае. Обратим внимание на то, что все компо-
компоненты вектора поляризации ? входят в него равноправно как чле-
члены одного порядка величины. Напомним, что ?м есть компонента
этого вектора, параллельная (при ?ц > 0) или антипараллельная
(?ц < 0) импульсу частицы. В частности, для спирального со-
состояния частицы ?ц = 2А = ±1; при этом матрица плотности
принимает особенно простой вид:
р=1Gр)A±2А75),	B9.22)
совпадающий, как и должно быть, с видом матрицы плотности
нейтрино или антинейтрино — частицы с нулевой массой и опре-
определенной спиральностью (см. § 30).
§ 30. Двухкомпонентные фермионы
Мы видели в § 20, что необходимость описания частицы со
спином !/2 двумя спинорами (? и г/) связана с массой частицы.
Эта причина отпадает, если масса равна нулю. Волновое урав-
уравнение, описывающее такую частицу, может быть составлено с
помощью всего одного, скажем пунктирного, спинора г/:
Р°\ = 0,	C0.1)
или, что то же,
(ро + р<т)г/ = 0.	C0.2)
В § 20 было также отмечено, что волновое уравнение, содер-
содержащее массу га, автоматически оказывается симметричным по
отношению к инверсии (преобразование B0.4)). При описании
же частицы одним спинором эта симметрия теряется. В ней, од-
однако, нет необходимости, поскольку симметрия по отношению к
инверсии не является универсальным свойством природы.
Энергия и импульс частицы с т = 0 связаны соотношением
е = |р|. Поэтому для плоской волны (rjp ос е~грх) уравнение C0.2)
дает
(па)г]р = -rip,	C0.3)
где п — орт вектора р. Такое же уравнение
(ncr)r/_p = -rj-p	C0.4)

§ 30	ДВУХКОМПОНЕНТНЫЕ ФЕРМИОНЫ	137
имеет место и для волны с «отрицательной частотой» (т]-р ос
ос егрх). Вторично квантованный ^-оператор:
Ч	ВД +<А)- C0-5)
Отсюда, как обычно, следует, что rf_p — волновые функции ан-
античастицы.
Из определения операторов р®^ B0.1) видно, что р°^* =
— —рыр. Поэтому комплексно-сопряженный спинор г/* удовле-
удовлетворяет уравнению р^^г]*- = 0, или, что то же,
P«prf* = 0.
Обозначим 7/^* = ?^, выразив этим тот факт, что комплексное
сопряжение превращает пунктирный спинор в непунктирный.
Таким образом, волновые функции античастицы удовлетворяют
уравнению
= 0,	C0.6)
или
(Ро - Р«т)е = 0.	C0.7)
Для плоской волны имеем отсюда
(шт)?р = ?Р.	C0.8)
Но !/2 (пег) есть оператор проекции спина на направление дви-
движения. Поэтому уравнения C0.3) и C0.8) означают, что состоя-
состояния частицы с определенным импульсом автоматически оказы-
оказываются спиральными — проекция спина вдоль направления дви-
движения имеет в них определенное значение. При этом, если спин
частицы противоположен импульсу (спиральность —1/2I то спин
античастицы направлен вдоль импульса (спиральность +У2).
Частицами с такими свойствами являются, возможно, суще-
существующие в природе нейтрино. При этом частицу со спираль-
ностью —1/2 условно принято называть нейтрино, а частицу со
спиральностью +1/2 — антинейтрино х) .
1) Существование нейтрино было предсказано теоретически Паули для
объяснения свойств /3-распада A931). Уравнение C0.1) впервые рассматри-
рассматривалось Вейлем (Н. Weyl, 1929). Основанную на этих уравнениях теорию
нейтрино сформулировали Л. Д. Ландау; Лщ Янг и Салам (Т. D. Lee,
С. N. Yang, A. Salam) в 1957 г.
Экспериментально вопрос о равенстве нулю массы нейтрино до настояще-
настоящего времени не выяснен окончательно. В дальнейшем мы будем употреблять
термин «нейтрино» условно для обозначения частицы, описываемой урав-
уравнением C0.3).

138	ФЕРМИОНЫ
В связи с невырожденностью состояний нейтрино по направ-
направлениям спина напомним сделанное в § 8 замечание о том, что
частице с массой 0 свойственна лишь аксиальная симметрия от-
относительно направления импульса. В случае истинно нейтраль-
нейтральной частицы — фотона — в эту симметрию входят как вращения
вокруг оси, так и отражения в проходящих через ось плоско-
плоскостях. В случае же нейтрино симметрия относительно отражений
отсутствует, и мы имеем дело лишь с группой вращений вокруг
оси, сохраняющей проекцию момента на ось, но не меняющей
ее знака. Симметрия относительно отражений существует лишь
при условии одновременной замены частицы античастицей.
Надо также отметить, что обязательная продольная поляри-
поляризация означает, что у нейтрино спин вообще не отделим от орби-
орбитального момента (как и у фотона с обязательной поперечностью
полей, см. § 6).
С помощью одного спинора т\ (или ?) можно образовать всего
четыре билинейные комбинации, составляющие вместе 4-вектор
f = (r,*V,rl*a7]).	C0.9)
Легко проверить, что в силу уравнений
(ро + ро-)г] = 0, т/*(?о - per) = 0
имеет место уравнение непрерывности д^ — 0, т. е. j^ играет
роль 4-вектора плотности тока частиц.
Плоские волны нейтрино удобно нормировать способом, ана-
аналогичным тому, как это было сделано в § 23 для частиц с массой:
п — J—u е-1Рх п — J—0, Jpx	(fu^^(^\
IP — /к~ Р	' 1~Р —
причем спинорные амплитуды нормированы инвариантным усло-
условием
и*±рA,а)и±р = 2(е,р).	C0.11)
При этом плотность частиц и плотность их тока: j° = 1, j =
= р/е = п.
Поскольку свободное нейтрино с заданным импульсом всегда
полностью поляризовано, в этом случае не существует понятия о
смешанном (по спину) состоянии. Тем не менее может оказаться
удобным ввести двухрядную поляризационную «матрицу плот-
плотности», определенную просто как спинор второго ранга
РаC = UaU*?	C0.12)
(при этом Spp = 2е). Выражение для этой матрицы можно на-
написать, заметив, что она должна удовлетворять уравнениям
(е + ра)р = р(е + per) = 0.

§ 30	ДВУХКОМПОНЕНТНЫЕ ФЕРМИОНЫ	139
Отсюда видно, что
р = е-ра.	C0.13)
При рассмотрении различных процессов взаимодействия ней-
нейтрино могут фигурировать наряду с другими частицами (со спи-
спином 1/2), обладающими массой и поэтому описывающимися че-
тырехкомпонентными волновыми функциями. В таких случаях
удобно соблюсти единообразие обозначений, введя формально и
для нейтрино «биспинорную» волновую функцию, две из компо-
компонент которой, однако, равны нулю: ф = ( j. Но такая форма ф,
вообще говоря, нарушится при переходе к другому (не спинор-
ному) представлению. Это затруднение можно обойти, заметив,
что в спинорном представлении имеем тождественно
где ? — произвольный «балластный» спинор, выпадающий из от-
ответа (матрица 75 из B2.18)). Поэтому условие истинной «двух-
компонентности» нейтрино будет соблюдено при описании его
четырехкомпонентным ф в любом представлении, если понимать
под ф решение уравнения Дирака с т = 0:
{1Р)ф = 0,	C0.14)
подчиненное дополнительному условию г/2A + ^5)ф = ф, или
-у5ф = ф.	C0.15)
Это условие можно учесть, условившись производить во всех
формулах, куда входят ф и ф, следующую замену:
ф^±±?ф, ф^ф1-^±.	C0.16)
Так, 4-вектор плотности тока запишется в виде (замена C0.16)
в выражении ф^^ф)
f = 1^A - 7VA + 1Ь)Ф = ^7МA + 1Ь)Ф-	C0.17)
В соответствии с этим же правилом четырехрядная матрица
плотности нейтрино должна быть записана как
р=\A + 75)ЫA " 75) = ^A + 75)Ы-	C0.18)
В спинорном представлении она сводится, как и должно быть, к
двухрядной матрице C0.13)
/0 0\
Р=(е-ар О)'

140	ФЕРМИОНЫ	ГЛ. Ill
Аналогичные формулы для антинейтрино отличаются от на-
написанных изменением знака перед 75-
Нейтрино — электрически нейтральная частица. Нейтрино с
описанными выше свойствами не является, однако, истинно ней-
нейтральной частицей. Отметим в этой связи, что «нейтринное по-
поле», описываемое двухкомпонентным спинором, по числу воз-
возможных для него состояний частиц (но, разумеется, не по другим
своим физическим свойствам) эквивалентно истинно нейтраль-
нейтральному полю, описываемому четырехкомпонентным биспинором.
Вместо состояний частиц и античастиц с определенными спи-
ральностями здесь имелось бы столько же состояний одной ча-
частицы с двумя возможными значениями спиральности и автома-
автоматически соблюдалась бы симметрия по отношению к инверсии.
Отметим, однако, что равенство нулю массы «четырехкомпо-
нентного» нейтрино имело бы, так сказать, «случайный» харак-
характер, поскольку оно не было бы связано со свойствами симметрии
описывающего его волнового уравнения (допускающего также и
отличную от нуля массу). Поэтому учет различных взаимодей-
взаимодействии такой частицы автоматически привел бы к появлению хотя
и малой, но все же не равной строго нулю массы покоя.
§ 31. Волновое уравнение для частицы со спином 3/2
Частица со спином 3/2 описывается в своей системе покоя сим-
симметричным 3-спинором третьего ранга (с 2s + 1 = 4 независимы-
независимыми компонентами). Соответственно в произвольной системе от-
отсчета в ее описании могут участвовать 4-спиноры ?а^5 туа/з7 и
Са^7 ? Хав'' кажДыи из которых симметричен по всем одинако-
одинаковым (пунктирным или непунктирным) индексам; при инверсии
спиноры в первой и во второй паре переходят друг в друга.
Для того чтобы в системе покоя 4-спиноры ?а^7 и %/з7 пере-
переходили в 3-спиноры, симметричные по всем трем индексам, они
должны удовлетворять условиям
Действительно, в системе покоя
Р*0 -+ Ро€ = m8i
(как это видно из B0.1)). Поэтому условия C1.1) приводят к
равенствам
бкГь = о, *&"Vr = о,
где буквы со штрихом обозначают соответствующие 3-спиноры;
другими словами, эти спиноры дают нуль при упрощении по ин-

§ 31	ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦЫ СО СПИНОМ 3/2	141
дексам а/3, а это и означает, что они симметричны по этим ин-
индексам, а потому и по всем трем индексам.
Дифференциальная связь между спинорами (иг/ устанавли-
устанавливается соотношениями
Р6Чб = т&, РР,& = тт?б-	C1-2)
Симметричность левых сторон этих уравнений (по индексам /3,
7 или а, 6) обеспечивается условиями C1.1), в силу которых они
обращаются в нуль при упрощении по всем индексам. В систе-
системе покоя 3-спиноры (' и г/' в силу уравнений C1.2) совпадают.
Исключив из уравнений C1.2) т\ или ?, найдем, что каждая из
компонент спиноров (иг/ удовлетворяет уравнению второго по-
порядка
= 0.	C1.3)
Совокупность уравнений C1.1), C1.2) составляет полную си-
систему волновых уравнений для частицы со спином 3/2 *) . До-
Добавление спиноров С, х не привело бы ни к чему новому. Они
строятся согласно
Уравнения частиц со спином 3/2 могут быть сформулированы
также и в ином виде, в котором используются векторные аспекты
свойств спиноров {W. Rarita, J. Schwinger, 1941; А. С. Давыдов,
И. Е. Тамм, 1942). Паре спинорных индексов а/3 сопоставляется
один четырехмерный векторный индекс \i. Поэтому компонен-
компонентам спинора третьего ранга (°^ можно привести в соответствие
компоненты «смешанных» величин ф^ с одним векторным и од-
одним спинорным индексом. Аналогично, спинору тра^ ставятся
в соответствие величины ф^ а совокупности обоих спиноров —
«векторный» биспинор ф^ (биспинорный индекс не выписыва-
выписываем). Волновое уравнение запишется тогда в виде «уравнения Ди-
Дирака» для каждой из векторных компонент ф^:
Aр-т)ф^ = 0	C1.4)
с дополнительным условием
7^ = 0.	C1.5)
Используя выражения для матриц 7^ в спинорном представле-
представлении и формулы связи между компонентами спинора и вектора
:)О лагранжевой формулировке этих уравнений см. указанную на с. 76
статью Фирца и Паули.

142	фермионы
A8.6), A8.7), легко убедиться в том, что уравнения C1.2) содер-
содержатся в C1.4), а условие C1.5) эквивалентно условию симмет-
симметричности спиноров ?а^ и т]а^ по индексам /3j или /3j. Умножив
уравнение C1.4) на 7^, получим ввиду C1.5)
или, воспользовавшись правилами коммутации матриц 7^,
W%i/>» - -f%i4* = о-	(З1.6)
Второй член снова обращается в нуль в силу C1.5), а первый
дает
FVV = 0.	C1.7)
Легко видеть, что это условие, автоматически следующее из
C1.4), C1.5), эквивалентно условиям C1.1).
Наконец, еще один способ формулировки волнового уравне-
уравнения состоит во введении величин фц^\ (г, /с, / = 1, 2, 3, 4) с
тремя биспинорными индексами, по которым фц^\ симметричны
(V. Bargmann, E. P. Wigner, 1948). Совокупность этих величин
эквивалентна совокупности компонент всех четырех спиноров ?,
г/, С, х- Волновое уравнение записывается в виде системы «урав-
«уравнений Дирака»
C1.8)
Легко видеть, что эти уравнения уже приводят к нужному чис-
числу (четыре) независимых компонент фц^и и постановка дополни-
дополнительных условий не требуется. Действительно, в системе покоя
C1.8) сводятся к равенствам
lim^mkl = ФгкЬ
в силу которых обращаются в нуль (в стандартном представле-
представлении) все компоненты сг,А;,/ = 3,4, т. е. ф^\ сводятся к компо-
компонентам 3-спинора третьего ранга.
Изложенные результаты очевидным образом обобщаются для
частиц с любым полуцелым спином s. При описании уравнени-
уравнениями вида C1.4), C1.5) волновая функция будет симметричным
4-тензором ранга Bs — l)/2 с одним биспинорным индексом. При
описании же уравнениями вида C1.8) волновая функция будет
иметь 2s биспинорных индексов, по которым она симметрична.

ГЛАВА IV
ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
§ 32. Уравнение Дирака для электрона
во внешнем поле
Волновые уравнения свободных частиц по существу выража-
выражают собой лишь те свойства, которые связаны с общими требо-
требованиями пространственно-временной симметрии. Происходящие
же с частицами физические процессы зависят от свойств их вза-
взаимодействий.
Описание электромагнитных взаимодействий частиц в реля-
релятивистской квантовой теории оказывается возможным путем об-
обобщения способа, применяемого для этой цели в классической и
нерелятивистской квантовой теориях.
Этот метод, однако, применим для описания электромагнит-
электромагнитных взаимодействий лишь частиц, не способных к сильным вза-
взаимодействиям. Сюда относятся электроны (и позитроны) и, та-
таким образом, для существующей теории оказывается доступной
вся огромная область квантовой электродинамики электронов.
Не способны к сильным взаимодействиям также и нестабильные
частицы — мюоны; они описываются той же квантовой электро-
электродинамикой в области явлений, происходящих за времена, малые
по сравнению с продолжительностью их жизни (связанной со
слабыми взаимодействиями).
В этой главе мы рассмотрим круг задач квантовой электроди-
электродинамики, ограниченный рамками теории одной частицы. Это — за-
задачи, в которых число частиц не меняется, а взаимодействие мо-
может быть введено при помощи понятия внешнего электромагнит-
электромагнитного поля. Помимо условий, позволяющих рассматривать внеш-
внешнее поле как заданное, пределы применимости такой теории огра-
ограничены также условиями, связанными с так называемыми ради-
радиационными поправками.
Волновое уравнение электрона в заданном внешнем поле
можно получить так же, как это делается в нерелятивистской
теории (см. III, § 111). Пусть А^ = (Ф, А) —4-потенциал внешне-
внешнего электромагнитного поля (А — векторный, Ф — скалярный по-
потенциалы). Мы получим искомое уравнение, заменив в уравне-
уравнении Дирака оператор 4-импульса р разностью р — еА, где е —

144	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
заряд частицы :) :
[j(p-eA) -т]ф = 0.	C2.1)
Соответствующий этому уравнению гамильтониан получается
путем такой же замены из B1.13):
Н = а(р - еА) + (Зт + еФ.	C2.2)
Инвариантность уравнения Дирака при калибровочном пре-
преобразовании потенциалов электромагнитного поля выражается
в том, что его вид остается неизменным, если одновременно с
преобразованием А —>> А + грх (где х ~ произвольная функция)
преобразовать волновую функцию согласно 2)
ф -> фе1ех	C2.3)
(ср. аналогичное преобразование для уравнения Шредингера в
т. III, § 111).
Плотность тока, выраженная через волновую функцию, дает-
дается той же формулой B1.11) j = ф'уф, что и в отсутствие внешнего
поля. Легко видеть, что при повторении с уравнением C2.1) (и
написанным ниже уравнением C2.4)) тех же выкладок, которые
были произведены при выводе B1.11), внешнее поле выпадает, и
уравнение непрерывности оказывается справедливым для преж-
прежнего выражения тока.
Произведем над уравнением C2.1) операцию зарядового со-
сопряжения. Для этого пишем уравнение
еА)+т] = 0,	C2.4)
которое получается комплексным сопряжением из C2.1) так же,
как было получено в свое время уравнение B1.9) (при этом надо
помнить, что 4-вектор А веществен). Переписав это уравнение в
виде
[j(p + eA) +т]ф = 0,
умножив его слева на матрицу Uc и воспользовавшись соотно-
соотношениями B6.3), найдем
[7(р + еА) - т](Сф) = 0.	C2.5)
Таким образом, зарядово-сопряженная волновая функция
удовлетворяет уравнению, отличающемуся от исходного измене-
:) Подразумевается заряд вместе со своим знаком, так что для электрона
е = — \е
2
) Преобразование C2.3) с функцией х(?,г) иногда называют «локальным
калибровочным преобразованием» в отличие от «глобального калибровоч-
калибровочного преобразования» A2.10) с постоянной фазой а.

§ 32	УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	145
нием знака заряда. С другой стороны, операция зарядового со-
сопряжения означает переход от частиц к античастицам. Мы ви-
видим, что если частицы обладают электрическим зарядом, то зна-
знаки заряда электрона и позитрона автоматически оказываются
противоположными.
Уравнение первого порядка C2.1) может быть преобразовано
в уравнение второго порядка путем применения к C2.1) опера-
оператора ^(р — еЛ) + га:
[T'VG^ - еА»)(р„ - еАу) - т2]ф = 0.
Произведение 7^7^ заменяем на
уу = 1(уу + уу*) + I(yy _ Y^) = gT + а»\
где a^v— антисимметричный «матричный 4-тензор» B8.2). При
умножении на a^v можно произвести антисимметризацию, т. е.
заменить
(р^ - еА^)(рр - еАр) -+ -{(р^ - еА^)(рр - еАр)}_ =
z
= -Ле(дуА^ - д^Ар) = —F^
{F^y = д^Ау — дуА^ — тензор электромагнитного поля). В резуль-
результате получим уравнение второго порядка в виде
Up- eAf - т2 - ^-ei^aH ф = 0.	C2.6)
Произведение F^va^v можно записать в трехмерном виде, вы-
выразив его через компоненты
а»" = (a,iS), F^ = (-Е,Н).
Тогда
[(р - еАJ - т2 + еЕН - геаЩф = 0,	C2.7)
или, в обычных единицах,
cdt с
+ — SH - i—<хЕ\ф = 0. C2.7а)
с	с
Появление в этих уравнениях членов, содержащих поля Е и Н,
связано с наличием у частицы спина; мы вернемся к их обсужде-
обсуждению в следующем параграфе.
Среди решений уравнения второго порядка имеются, конеч-
конечно, также и «лишние», не удовлетворяющие исходному уравне-
уравнению первого порядка C2.1) (они представляют собой решения

146	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
уравнения C2.1) с измененным знаком перед га). Отбор нужных
решений в конкретных случаях обычно очевиден и не представ-
представляет труда. Регулярный метод отбора состоит в том, что если ср
есть произвольное решение уравнения второго порядка, то реше-
решение правильного уравнения первого порядка есть
ф = [j(p- eA) + т](р.	C2.8)
Действительно, умножая это равенство на j(p — eA) — га, мы ви-
видим, что правая часть обращается в нуль, если (р удовлетворяет
уравнению C2.6).
Следует подчеркнуть, что способ введения внешнего поля в
релятивистское волновое уравнение путем замены р на р — еА
не самоочевиден. В его проведении мы по существу опирались
на дополнительный принцип: указанная замена должна произво-
производиться в уравнениях первого порядка. Именно в результате этого
в уравнении C2.6) появились дополнительные члены, которые не
возникли бы, если бы замена была произведена непосредственно
в уравнении второго порядка.
Среди стационарных решений уравнения Дирака во внеш-
внешнем поле могут иметься состояния как непрерывного, так и дис-
дискретного спектра. Как и в нерелятивистской теории, состояния
непрерывного спектра соответствуют инфинитному движению,
при котором частица может находиться на бесконечности, где
ее можно рассматривать как свободную. Поскольку собственные
значения гамильтониана свободной частицы равны ±л/р2 + га2,
ясно, что непрерывный спектр собственных значений энергии ле-
лежит при е ^ га и при е ^ —га. Если же — га < е < га, то частица
не может находиться на бесконечности, так что движение фи-
финитно и состояние принадлежит дискретному спектру.
Как и для свободных частиц, волновые функции с «положи-
«положительной частотой» (е > 0) и с «отрицательной частотой» (е < 0),
определенным образом входят в схему вторичного квантования.
Для частиц во внешнем поле эта схема естественно обобщается
путем замены плоских волн в формулах B5.1) соответственно
нормированными собственными функциями уравнения Дирака
фп и фп , относящимися к положительным (вп ) и отрица-
отрицательным (—e)i ) частотам:
ф = ^{«n</4+) exp(-«4+)*)
- П -( л	-<_)	C2-9)
Ф = Y,&n Фп D+))	i ] D))}
При этом надо иметь в виду, что по мере углубления потенци-
потенциальной ямы уровни энергии могут перейти границу е = 0, т. е. из

§ 33	УРАВНЕНИЕ ДИРАКА ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	147
положительных сделаться отрицательными (или, для потенциа-
потенциала другого знака, из отрицательных — положительными). Тем не
менее из соображений непрерывности надо продолжать считать
эти уровни электронными (а не позитронными). Другими слова-
словами, к электронным следует относить все состояния, которые при
бесконечно медленном выключении поля примыкают к положи-
положительной границе непрерывного спектра (е = га).
Хотя уравнение Дирака для электрона во внешнем поле и да-
дает возможность, как уже было сказано, решать широкий круг за-
задач квантовой электродинамики, необходимо в то же время под-
подчеркнуть, что применимость понятия внешнего поля в рамках
одночастичной задачи в релятивистской теории все же ограниче-
ограничена. Эта ограниченность связана с самопроизвольным рождением
электрон-позитронных пар, возникающим в достаточно сильных
полях (см. ниже, § 35, 36).
Мы не будем рассматривать в этой книге вопрос о введении
внешнего поля в волновые уравнения частиц с отличным от 1/2
спином, поскольку он не имеет прямого физического смысла —
реальные частицы с такими спинами являются адронами и их
электромагнитные взаимодействия не могут быть описаны вол-
волновыми уравнениями. В этой связи следует отметить, что эти
уравнения могут приводить и к физически противоречивым ре-
результатам. Так, волновое уравнение для частиц со спином 0 име-
имеет комплексные (с мнимыми частями обоих знаков) уровни энер-
энергии в поле достаточно глубокой потенциальной ямы. Волновое
уравнение для частиц со спином 3/2 приводит к нарушению при-
причинности, проявляющемуся в появлении решений, распростра-
распространяющихся со сверхсветовой скоростью.
Задача
Определить уровни энергии электрона в постоянном магнитном поле.
Решение. Векторный потенциал: Ах = Az = О, Ау = НХ (поле Н
направлено по оси z). Сохраняются (наряду с энергией) компоненты ру, pz
обобщенного импульса.
Воспользуемся уравнением второго порядка для вспомогательной функ-
функции if (см. C2.8)) и примем, что (р есть собственная функция оператора Ег
(с собственным значением а = =Ы), а также операторов ру, pz. Уравнение
для (р имеет вид
Это уравнение по форме совпадает с уравнением Шредингера для линейного
осциллятора. Собственные значения е определяются формулой
г2 - т2 - pi = \е\НBп + 1) - еНа, п = 0, 1, 2, ...
(ср. III, § 112). Отметим, что волновая функция ф, которую следует опреде-
определить из (р по формуле C2.8), не является собственной функцией оператора
Yiz — в соответствии с тем, что для движущейся частицы спин не является
сохраняющейся величиной.

148	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
§ 33. Разложение по степеням 1/с *)
Мы видели (см. § 21), что в нерелятивистском пределе (v —>•
—>> 0) две компоненты (%) биспинора Ф = [ у ) обращаются в
нуль. Поэтому при малых скоростях электрона х ^ <Р- Это да-
дает возможность получить приближенное уравнение, содержащее
только двухкомпонентную величину <р, путем формального раз-
разложения волновой функции по степеням 1/с.
Исходим из уравнения Дирака для электрона во внешнем по-
поле в виде
if№- = {cot (р - -А) + /W + еф} ф.	C3.1)
В релятивистской энергии частицы содержится также и ее энер-
энергия покоя тс2. Для перехода к нерелятивистскому приближению
она должна быть исключена, для чего вместо ф вводим функцию
ф1 согласно
ф = ф'е-1тсН1п.
Тогда
(гП— + тсЛ ф' = [col (р - -А) + рте2 + еф} ф'.
Представив ф1 в виде ф1 = ( / ), получим систему уравнений:
V X )
(i«| - еф) <р' = са{р- е-А) х\	C3.2)
(iHlL - еФ + 2тс2) Х' = са (р - -A] if'	C3.3)
\ dt	J	\ с /
(ниже будем опускать штрихи у (р и %, что не вызовет недоразу-
недоразумений, так как в этом параграфе мы пользуемся только преоб-
преобразованной функцией ф1).
В первом приближении в левой стороне уравнения C3.3) ос-
оставляем лишь член 2тс2х и получаем
х = J-<7 (р - е-А) ^р	C3.4)
2тс \ с /
(отметим, что х ~ v/c). Подстановка этого выражения в C3.2)
дает
Для матриц Паули справедливо соотношение
(ста)(сгЬ) = ab + гсг[аЬ],	C3.5)
) В этом параграфе пользуемся обычной системой единиц.

§ 33	РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ 1/с	149
где a, b — произвольные векторы (см. B0.9)). В данном случае
а = Ь = р — ^А, но векторное произведение [ab] не обращается
в нуль в силу некоммутативности р и А:
[(р - -А) (р - -А)] (р = г —{[AV] + [VA]}<p = i— rot A • ip.
Таким образом,
(а (р - -А)J = (р- -AY - -сгН	C3.6)
V V	с / /	\ с /	с
(где Н = rot А — магнитное поле), и для (р получается уравнение
Иг^ = Н(р=\—(р--А) +еФ-—аЩ(р.	C3.7)
dt	[2т V с J	2mc Jr	V J
Это — так называемое уравнение Паули. Оно отличается от
нерелятивистского уравнения Шредингера наличием в гамильто-
гамильтониане последнего члена, который имеет вид потенциальной энер-
энергии магнитного диполя во внешнем поле (ср. III, § 111). Таким
образом, в первом (по 1/с) приближении электрон ведет себя как
частица, обладающая наряду с зарядом также и магнитным мо-
моментом:
/х = —Hs.	C3.8)
тс
При этом гиромагнитное отношение (е/тс) двое больше, чем
это было бы для магнитного момента, связанного с орбитальным
движением :) .
Плотность р = ф*ф = ^*^ + Х*Х- В первом приближении вто-
второй член должен быть отброшен, так что р = |(^|2, как и должно
быть для шредингеровского уравнения.
Плотность же тока:
j = сф*а.ф = с(ср*сгх + )
Согласно C3.4) подставляем сюда
X = г^-о- (-iHV - ^а) <р, X* = ^~ (ifiV - ^а) <р*<г,
2гпс \	с /	2тс \	с /
а произведения, содержащие по два множителя сг, преобразуют-
преобразуются с помощью формулы C3.5), представленной в виде
(сга)сг = а + г [ста], cr(cra) = а + г[асг].	C3.9)
1)Этот замечательный результат был получен Дираком в 1928 г. Двух-
компонентная волновая функция, удовлетворяющая уравнению C3.7), была
введена Паули A927) еще до открытия Дираком его уравнения.

150	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
В результате получается
j = ^(ipVip* - (p*Vtp) - —А(р*ср + — Tot((p*a(p), C3.10)
2т	тс	2m
в согласии с выражением A15.4) (см. III) из нерелятивистской
теории.
Найдем теперь второе приближение, продолжив разложение
до членов ~ 1/с2 :) . Будем предполагать при этом, что имеется
только электрическое внешнее поле (А = 0).
Прежде всего замечаем, что с учетом членов ~ 1/с2 плот-
плотность
Это выражение отличается от шредингеровского. Имея в виду
найти (во втором приближении) волновое уравнение, аналогич-
аналогичное уравнению Шредингера, мы должны ввести вместо (р другую
(двухкомпонентную) функцию ^Шр5 Для которой сохраняющий-
сохраняющийся во времени интеграл имел бы вид J |^шр|2 d3x, как это должно
быть для уравнения Шредингера.
Для нахождения требуемого преобразования пишем условие
= j {^v + -?
и производим интегрирование по частям:
f(V<p* -a)(crVip)d3x = - I\p*(crV
(или то же с переставленными ip и ip*). Таким образом,
J\р*шр<ршрё3х = j {^V - J^(ip*Aip + <^Д<Л} d3x,
откуда видно, что
feb (fe)^- (ЗЗЛ1)
Для упрощения записи будем считать, что состояние стаци-
стационарно, т. е. заменим оператор iHd/dt энергией е (с вычтенной
энергией покоя). В следующем (после C3.4)) приближении име-
имеем из C3.3):
1 Л г-еФ
X = — ( 1 - -—~
2тс \	2тс2
Это выражение надо подставить в C3.2), после чего заменить
ср на <рШр? согласно C3.11), опуская все время члены более вы-
высокого порядка, чем 1/с2. После простого вычисления получим
1)Ниже следуем методу В. Б. Берестецкого и Л. Д. Ландау A949).

§ 34	РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СТЕПЕНЯМ 1/с	151
уравнение для (ршр в виде ?(ршр = Н(ршр, где гамильтониан
Я = |1 + еФ--Р^ + -^ {(<тр)Ф(стр) - 1(Р2Ф + Фр2)} .
2m	8m3c2 4m2c2 I	2	J
Выражение в фигурных скобках преобразуется с помощью
формул
(сгр)Ф(сгр) = Фр2 + (сгрФ)(сгр) = Фр2 + i/i(crE)(crp),
р2Ф - Фр2 = -П2АФ
где Е = —УФ —электрическое поле. Окончательное выражение
для гамильтониана:
Я = И + еФ - -?— - -^<т[Ер] - -^— div E. C3.12)
2m	8m3c2 4m2c2 L J 8m2c2	v	J
Последние три члена — искомые поправки порядка 1/с2. Пер-
Первый из них — следствие релятивистской зависимости кинетиче-
кинетической энергии от импульса (разложение разности сл/р2 + т2с2 —
— тс2). Второй член, который может быть назван энергией спин-
орбитального взаимодействия, — энергия взаимодействия дви-
движущегося магнитного момента с электрическим полем х) . По-
Последний же член отличен от нуля только в тех точках, где нахо-
находятся заряды, создающие внешнее поле; так, для кулонова поля
точечного заряда Ze\ АФ = —47rZe5(r) (С. G. Darwin, 1928).
Если электрическое поле центрально-симметрично, то
г аг
и оператор спин-орбитального взаимодействия можно предста-
представить в виде
4m2c2r	dr 2m2c2r dr
Здесь 1 — оператор орбитального момента, 1з = 1/20* — опера-
оператор спина электрона, U = еФ — потенциальная энергия электро-
электрона в поле.
:) Введя магнитный момент C3.8) и скорость v = p/m, получим эту энер-
энергию в виде — ^/x[Ev]. На первый взгляд этот результат может показаться
неестественным, так как при переходе в систему отсчета, движущуюся вме-
вместе с частицей, возникает магнитное поле Н = ^[Ev], в котором магнитный
момент должен был бы иметь энергию —/хН. В действительности появле-
появление множителя Уг («томасовская половинка», L. Thomas, 1926) связано с
общими требованиями релятивистской инвариантности в сочетании со спе-
специфическими свойствами электрона как «спинорной» частицы с присущим
ей значением гиромагнитного отношения (см. § 41).

152	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
§ 34. Тонкая структура уровней атома водорода
Определим релятивистские поправки к уровням энергии ато-
атома водорода — электрона в кулоновом поле неподвижного яд-
ядра :) . Скорость электрона в атоме водорода v/c ~ a <C 1. По-
Поэтому искомые поправки можно вычислить путем применения
теории возмущений — как среднее по невозмущенному состоянию
(т. е. по нерелятивистской волновой функции) от релятивистских
членов в приближенном гамильтониане C3.12). Для несколько
большей общности положим заряд ядра равным Ze, предпола-
предполагая при этом, однако, что и Za <С 1.
Напряженность поля ядра Е = Zer/r3, а его потенциал удов-
удовлетворяет уравнению АФ = —47rZe5(r). Подставив это в C3.12)
(последние три члена), с учетом отрицательности заряда элек-
электрона получим оператор возмущения
V = --^- + -^-Ts + —6(г).	C4.1)
8ш3 2r3m2	2m2 W	V J
Поскольку согласно нерелятивистскому уравнению Шредин-
гера
р2ф = 2ш (	)
(во = —mZ2a2/2n2 —невозмущенный уровень, п — главное кван-
квантовое число), среднее значение
Эта величина, как и среднее значение второго члена в C4.1),
вычисляется с помощью формул (см. III, § 36)
	т maZ 	9	(maZJ 	q	(maZ)s	/o. оч
r-l _ —_^ r-2 — _A	1—? r-6 — _—v	1	 C4.2)
(последняя относится к / ф 0); собственное значение
Is = \ 2
[	о,	i = o.
Наконец, усреднение третьего члена производится с помощью
формул
Г 1 (ZamV2 , п
C4.3)
1) Влияние движения ядра на значения этих поправок представляет собой
эффект более высокого порядка малости, которым мы здесь не интересуем-
интересуемся.

§ 34	ТОНКАЯ СТРУКТУРА УРОВНЕЙ АТОМА ВОДОРОДА	153
Результат простого вычисления с использованием написан-
написанных формул может быть представлен во всех случаях (при всех
j и I) в виде
As = -™?*? (-L. - ±) .	C4.4)
2n3 Vj + 1/2 4n/	V J
Формула C4.4) и дает искомую релятивистскую поправку
к энергии водородных уровней — энергию тонкой структуры х) .
Напомним, что в нерелятивистской теории имеет место как вы-
вырождение по направлениям спина, так и кулоново вырождение
по /. Тонкая структура (спин-орбитальное взаимодействие) сни-
снимает это вырождение, но не полностью,— остаются двукратно
взаимно вырожденными уровни с одинаковыми n, j, но разны-
разными I = j ± Y2 (невырожденными оказываются при этом лишь
уровни с наибольшим возможным при заданном п значением j =
= Jmax = ^max+ У2 = n — lJ2). Таким образом, последовательность
водородных уровней с учетом тонкой структуры такова:
Уровень с главным квантовым числом п расщепляется на п ком-
компонент тонкой структуры.
Напомним, что в нерелятивистской механике «случайное»
вырождение уровней энергии в кулоновом поле связано с суще-
существованием специфического для этого поля закона сохранения:
сохраняется величина А, оператор которой
(см. III, C6.30)). Со специфическим законом сохранения связано
и остающееся в релятивистском случае двукратное вырождение:
гамильтониан уравнения Дирака Н = ар + /Зт — е2 /г коммута-
коммутативен с оператором
Т = ?е + -!-/3(Sl + 1)т5(Я - т/3)
г	та
(М. Н. Johnson, В. А. Ырртапп, 1950). В нерелятивистском пре-
пределе этот оператор / —>> SA.
:) Эта формула (как и более точная формула C6.10)) была получена Зом-
мерфельдом (A. Sommerfeld) из старой теории Бора еще до создания кван-
квантовой механики.

154	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
Мы увидим в дальнейшем (§ 123), что это оставшееся вы-
вырождение снимается так называемыми радиационными поправ-
поправками (лэмбовский сдвиг), не учитываемыми уравнением Дирака
одноэлектронной задачи.
Забегая вперед, укажем уже здесь, что по порядку величины
эти поправки ~ mZ^a5 ln(l/a). Поправка же второго порядка по
спин-орбитальному взаимодействию была бы ~ m(ZaN1 так что
ее отношение к радиационным поправкам ~ Z2a/1пA/а). Для
водорода (Z = 1) это отношение заведомо мало, и потому задача
о точном решении уравнения Дирака в этом случае не имеет
смысла. Эта задача, однако, может иметь смысл для уровней
энергии электрона в поле ядра с большим Z (см. § 36).
§ 35. Движение в центрально-симметричном поле
Рассмотрим движение электрона в центрально-симметрич-
центрально-симметричном электрическом поле.
Поскольку при движении в центральном поле сохраняются
момент и четность (относительно центра поля, выбранного в
качестве начала координат), к угловой зависимости волновых
функций такого движения относится все сказанное в § 24 по по-
поводу сферических волн свободных частиц. Меняются лишь ради-
радиальные функции. Соответственно этому будем искать волновую
функцию стационарных состояний (в стандартном представле-
представлении) в виде
ip =
где / = j ± Y2, I' = 2j — /, а степень —1 введена для упрощения
последующих формул.
Уравнение Дирака в стандартном представлении дает следу-
следующую систему уравнений для ср и %:
(е - т - U)ip = арх, {е + т ~ и)х = 0"Р<Р,	C5.2)
где U(r) = еФ(г) —потенциальная энергия электрона в поле. Вы-
Вычисление результата подстановки сюда выражений C5.1) сводит-
сводится к вычислению правых сторон этих уравнений.
Выражая шаровой спинор ?lji'm через Q,jim согласно
j m	\ rJ J m
(cm. B4.8)), пишем:

§ 35	ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	155
Преобразовав теперь произведение (сгр)(сгг) с помощью форму-
формулы C3.5), найдем после раскрытия векторных операций
= {-divr - (rV) - а[гг]}Щ1т = - \gf + 2-g + *
Г	К.	Г	Г
где 1 = [гр] — оператор орбитального момента; штрих означает
дифференцирование по г. Собственные значения произведения
а 1 = 211з равны
J	J\J	) V	) 4 ^_j _ 3/2? / = j + 72•
Для единообразия записи формул в обоих случаях (/ = j± Y2)
удобно ввести обозначение
„
\
(j+V2)
+U+1/2)=l,
Число ж пробегает все целые значения, исключая значение О
(причем положительные числа отвечают случаю j = / — 72, а
отрицательные — случаю j = I -\- 1/2)- Тогда \сг = — A + х), так
что
(сф)х = - (V + ^T^g) °j7m*
При подстановке этого выражения в первое из уравнений
C5.2) шаровой спинор ftjim в обеих сторонах уравнения сокра-
сокращается. Поступив аналогичным образом и со вторым уравнени-
уравнением, получим в результате следующую систему для радиальных
функций:
)
C5-4)
(s-m-U)f = 0,
ИЛИ
C5.5)
(gry-*(gr) + (s-m-U)fr = O.
Г
Исследуем поведение / и g на малых расстояниях, предполо-
предположив, что поле U(r) возрастает при г —>• 0 быстрее, чем 1/г. Тогда
в области малых г уравнения C5.4) принимают вид
f' + Ug = О, g'-Uf = 0.

156	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
Они имеют вещественные решения вида
/= const • sin I U dr + S) , g = const • cos I U dr + S) , C5.6)
где E — произвольная постоянная. Эти функции осциллируют при
г —>• 0, не стремясь ни к какому пределу. Легко видеть, что такая
ситуация соответствует в нерелятивистской теории «падению»
частицы на центр.
Прежде всего отметим, что область малых расстояний не на-
накладывает в этом случае ограничений на выбор решения: усло-
условие при г = 0 для осциллирующей функции отсутствует и выбор
постоянной 6 остается произвольным (правильного же поведения
волновой функции в области больших г можно добиться при лю-
любом е надлежащим выбором 8). Можно устранить эту неопреде-
неопределенность, рассматривая сингулярный (при г = 0) потенциал как
предел при г о —>• 0 потенциала, «обрезанного» на некотором г о
(т. е. равного U(r) при г > го и ?У(го) при г < го). При конечном
го получается, разумеется, определенная система уровней энер-
энергии. Однако энергия основного состояния стремится к — оо при
го^О.
В нерелятивистской теории это как раз и означает «падение»
на центр, поскольку частица на глубоком уровне локализована в
малой области вокруг г = 0. В релятивистской же теории такая
ситуация вообще недопустима, так как означает неустойчивость
системы относительно самопроизвольного рождения электрон-
позитронных пар. Действительно, если в вакууме для рождения
такой пары нужна энергия, превышающая 2га, то в поле доста-
достаточна уже меньшая энергия. При наличии связанного состояния
электрона с энергией е < т возможно рождение пары с затра-
затратой лишь энергии е + т < 2т, причем рождаются свободный
позитрон и электрон в связанном состоянии. Если же энергия
уровня связанного состояния е < —га, то такое поле может рож-
рождать позитроны (с энергией — е > га) самопроизвольно, без затра-
затраты энергии от внешнего источника. В рассматриваемом же поле
при го —>• 0 имеется бесконечное множество таких «аномальных»
уровней с е < —га. Поэтому поля с потенциалом Ф(г), возра-
возрастающим при г —>• 0 быстрее, чем 1/г, в теории Дирака вообще
нельзя рассматривать. Подчеркнем, что это относится к потен-
потенциалам обоего знака. «Падение» происходит, конечно, лишь в
случае притяжения, но поскольку знак U = еФ зависит также и
от знака заряда, то в одном случае аномально ведут себя элек-
электронные, а в другом — позитронные уровни; во втором случае
поле рождает свободные электроны.
Рассмотрим далее поведение волновых функций на больших
расстояниях. Если поле U(r) достаточно быстро убывает при
г —>• оо, то при определении асимптотического вида волновых

§ 35	ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	157
функций на больших расстояниях можно полностью пренебречь
полем в уравнениях. При е > т, т. е. в области непрерывного
спектра, мы возвращаемся тогда к уравнению свободного движе-
движения, так что асимптотическая форма волновых функций (сфе-
(сферических волн) отличается от таковой для свободной частицы
лишь появлением дополнительных «фазовых сдвигов», значения
которых определяются видом поля на близких расстояниях х) .
Эти сдвиги зависят от значений J и /, или, что то же, от вве-
введенного выше числа ус (а также, разумеется, и от энергии е).
Обозначив их посредством 5^ и используя выражение свободной
сферической волны B4.7), мы можем сразу написать искомую
асимптотическую формулу
2 1 ( V^m(^f к)
г V2e?\_^/^T^ujVm sin (^ 5) J
или, с учетом определения C5.1):
+ Ч	C5"
где р = V е1 — га2. Общий коэффициент здесь отвечает норми-
нормировке радиальных функций согласно B4.5).
Волновые же функции дискретного спектра (е < т) при
г —>• оо экспоненциально затухают по закону
rVm2-?2),	C5.9)
n — ь	i
где Aq — постоянная.
Как и в нерелятивистской теории, фазовые сдвиги 5^ (точнее,
величины е2 * — 1) определяют амплитуду рассеяния в данном
поле (об этом будет подробнее идти речь в § 37). Мы не станем
исследовать здесь аналитические свойства этих величин (ср. III,
§ 128). Отметим лишь, что е2 * как функция энергий по-преж-
по-прежнему имеет полюсы в точках, соответствующих уровням связан-
связанных состояний частицы. Вычет функции е2г5* в таком полюсе
определенным образом связан с коэффициентом в асимптотиче-
асимптотическом выражении соответствующей волновой функции дискрет-
дискретного спектра. Найдем эту связь, обобщающую нерелятивистскую
формулу A28.17) (см. III). Необходимые вычисления вполне ана-
аналогичны произведенным в т. III, § 128.
1)Ср. III, § 33. Как и в нерелятивистской теории, U(r) должно убывать
быстрее, чем 1/г. Случай U ~ 1/г будет рассмотрен особо в § 36.

+{? + mu)
\ де J r де	де
158	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
Продифференцируем уравнения C5.5) по энергии:
= rg,
ие
(drg\ >c drg /	TT\^rf	-P
V де ) т де	де
Умножим эти два уравнения соответственно на rg и на —г/, а
два уравнения C5.5) — соответственно на — rg и на г/, после чего
все четыре уравнения сложим почленно. После всех сокращений
получим
Интегрируем это равенство по г:
г2 (#— -
после чего переходим к пределу г —>> оо. В силу условия норми-
нормировки интеграл в правой стороне равенства обращается в еди-
единицу. В левой же стороне учтем, что в асимптотической области
функции / и g связаны равенством
О/У
е + т
получающимся из C5.5) при пренебрежении членами с U и с 1/г.
В результате получим
frf()\l.	C5.10)
де	\ е J \
Эта формула лишь коэффициентом (е-\-т вместо 2т) отлича-
отличается от аналогичной нерелятивистской формулы (для функции
%). Поэтому нет необходимости повторять все дальнейшие вы-
вычисления, и мы сразу приведем окончательную формулу, спра-
справедливую вблизи точки ? = ?о (^о ~~уровень энергии):
/,	C5.11)
е — so у т + s
где Aq — коэффициент в асимптотическом выражении C5.9).
Задача
Найти предельный вид волновой функции при малых г в поле U ~ r
~s
e<i.
Решение. Для свободной частицы имеем при малых г: f ~ г , g ~
г1 , так что при / < /': / > g, а при I > lf: f <^ g. Делаем предположение

§ 36	ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ	159
(оправдывающееся результатом), что такое соотношение сохраняется и в
рассматриваемом поле. При / < I' (т. е. / = j — Y2, к = — / — 1) в первом
из уравнений C5.4) член с g можно опустить, так что по-прежнему / ~ г .
Из второго же уравнения имеем тогда g ~ rfU, т. е. g ~ rz+1~s = rl ~s.
Аналогичным образом рассматривается случай / > I'. В результате находим
при/ <lf : f ~ r\ g - rl'~s;
при I > lf : f ~ rl~s, g ~ rl .
§ 36. Движение в кулоновом поле
Изучение свойств движения в наиболее важном случае куло-
нова поля начнем с исследования поведения волновых функций
на малых расстояниях. Будем говорить для определенности о
поле притяжения: U = —Za/r x) .
При малых г в уравнениях C5.5) можно опустить члены с
е ± гп] тогда
(fr) + -fr - —gr = О,
г	г
Ы/	УС	. ZOL г	^
- -gr + —fr = 0.
Функции fr и gr входят в каждое из этих уравнений равноправ-
равноправным образом. Поэтому обе ищем в виде одинаковых степеней г:
fr = ar1', gr = br1'. Подстановка в уравнения дает
аG + к)- bZa = 0, aZa + 6G - ус) = 0,
откуда
72 = ^2 - (ZaJ.	C6.1)
Пусть (ZaJ < х2. Тогда 7 вещественно, причем из двух зна-
значений должно быть выбрано положительное: соответствующее
решение либо не расходится при г = 0, либо расходится менее
быстро, чем другое. Такой выбор можно обосновать путем рас-
рассмотрения потенциала, обрезанного (как было объяснено в пре-
предыдущем параграфе) на некотором малом го, с дальнейшим пе-
переходом к пределу го —>> 0 (ср. аналогичные рассуждения в т. III,
§ 35). Таким образом,
С	ZOL	.
/ =	g = const -r ,
7 + x	C6.2)
/
7 = л/х2
Хотя волновая функция и может обратиться при г = 0 в бес-
бесконечность (если 7 < 1), интеграл от \ф\2 остается, разумеется,
) В обычных единицах U = — Ze /r. При переходе к релятивистским еди-
единицам е заменяется безразмерным а.

160	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
сходящимся. Если (ZaJ > х2, то оба значения 7 из C6.2) —мни-
—мнимые. Соответствующие решения при г —>• 0 осциллируют (как
r~l cos(|/y| lnr)), что снова отвечает, как уже было объяснено вы-
выше, недопустимой в релятивистской теории ситуации «падения»
на центр. Так как ж1 ^ 1, это значит, что чисто кулоново поле
можно рассматривать в теории Дирака лишь при Za < 1, т. е.
Z < 137.
Остановимся на качественном описании ситуации, возникаю-
возникающей при Z > 137. Снова, чтобы избежать неопределенности в
граничном условии при г = 0, следует рассматривать потенци-
потенциал, обрезанный на некотором расстоянии г о (И. Я. Померанчук,
Я. А. Смородинский, 1945). Это имеет не только формальный,
но и прямой физический смысл. Заряд Z > 137 фактически мо-
может быть сосредоточен только в некотором «сверхтяжелом» ядре
конечного радиуса. Рассмотрим поэтому, как меняется располо-
расположение уровней с увеличением Z при заданном tq.
В «необрезанном» кулоновом поле энергия е\ нижнего уров-
уровня обращается при Za = 1 в нуль и кривая зависимости ?i(Z)
обрывается — при Za > 1 уровень е\ становится мнимым (см.
C6.10)). В «обрезанном» же поле, при заданном г о ф 0, уро-
уровень е\ проходит через нуль лишь при некотором Za > 1. Но
значение е\ = 0 никак не выделено физически, а при tq ф 0
оно ничем не выделено и формально — кривая зависимости E\(Z)
здесь не обрывается. При дальнейшем увеличении Z уровни про-
продолжают понижаться, и при некотором «критическом» значении
Z = Zc(ro) энергия е\ достигает границы (—га) нижнего конти-
континуума уровней. Как было объяснено в предыдущем параграфе,
это означает обращение в нуль энергии, требуемой для рожде-
рождения свободного позитрона. Поэтому критическое значение Zc —
это максимальный заряд, которым может обладать «голое» ядро
при заданном tq.
При Z > Zc уровень е\ < —т и становится энергетически вы-
выгодным рождение двух электрон-позитронных пар. Позитроны
уходят на бесконечность, унося кинетическую энергию 2(|?]_| —
— га), а два электрона заполняют уровень е\. В результате обра-
образуется «ион» с заполненной К-оболочкой и зарядом Z3<^ = Z — 2
(С. С. Герштейн^Я. Б. Зельдович, 1969). Эта система устойчива
при Z > Zc, вплоть до значений Z, когда границы —т достигнет
следующий уровень *) .
х) Так, если заряд ядра равномерно распределен в сфере радиуса го =
= 1,2 • 10~12 см, критическое значение Zc = 170, а следующий уровень до-
достигает границы — т при Z = 185 (В. С. Попов, 1970). Подробное изложение
количественной теории — см. обзорную статью Я. Б. Зельдовича и В. С. По-
Попова (УФН.— 1971. — Т. 105. — С. 403).

§ 36	ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ	161
Наконец отметим, что даже в случае точечного заряда ход
потенциала на малых расстояниях искажается за счет радиаци-
радиационных поправок. Их учет приводит, однако, лишь к поправкам
~ а к значению Zca.
Обратимся теперь к точному решению волнового уравнения
(G. Darwin, 1928; W. Gordon, 1928).
Дискретный спектр (е < т). Будем искать функции / и
g в виде
где введены обозначения
р = 2Аг, А = л/ш2-?2, 7 = V*2 - Z2a2.	C6.4)
Такая форма представляется естественной ввиду известного уже
нам поведения функций при р —>> 0 C6.2) и их экспоненциального
затухания (~ е~р'2) при /э —>• оо. Поскольку при /э —>• оо первое
равенство C5.9) должно выполняться и в случае кулонова поля,
следует ожидать, что при р —>• оо будет Qi ^> Q2-
Подставив C6.3) в C5.4), получим уравнения
p(Qi+ Q2)' + (т + x)(Qi + Q2) - PQ2 + ZaJz^iQ!- Q2) = 0,
(штрих означает дифференцирование по р). Их сумма и разность
дают
)Q + [H
C6 5)
Р) Q2+[K+ —^) Ql = 0,
или, после исключения Q\ или Q2,
pQi + B7 + 1 - p)Q'i - G - ^f) Qi = о,
pQ'2' + B7 + 1 - p)Q'2 - G + 1 - ^f) Q2 = 0
(надо учесть, что 72 — (Zae/XJ = ж2 — (Zam/XJ). Решение этих
уравнений, конечное при р = 0:
C6.6)
6 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

162	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
где F(a, /3, z) — вырожденная гипергеометрическая функция. По-
Положив в каком-либо из уравнений C6.5) /9 = 0, найдем связь
между постоянными А ж В:
В = -7"Za?/AA	C6.7)
к — Zam/X
Обе гипергеометрические функции в C6.6) должны сводить-
сводиться к полиномам (в противном случае они будут возрастать при
р —>• оо как е^, а с ними будет возрастать — как ер'2 — и вся вол-
волновая функция). Функция F(a,f3,z) сводится к полиному, если
параметр а равен целому отрицательному числу или нулю. Обо-
Обозначим
7- Zae/X = -nr.	C6.8)
Если пг = 1, 2, ... , то обе гипергеометрические функции сводят-
сводятся к полиномам. Если же пг = 0, то сводится к полиному лишь
одна из них. Но равенство пг = 0 означает, что 7 = Zas/X, и
тогда, как легко проверить, Zam/X = |х|. Если к < 0, то коэф-
коэффициент В C6.7) обращается в нуль, так что Q2 = 0, и требуемое
условие не нарушается. Если же х > 0, то В = — А, и Q2 остается
при пт = 0 расходящейся функцией. Таким образом, допустимы
следующие значения квантового числа пт\
_ Г 0, 1, 2, ... при х<0;	,эдоч
Пт - \ 1, 2, 3, ... при х>0.	^D-yJ
Из определения C6.8) находим теперь следующее выражение
для дискретных уровней энергии:
~ = f1 +	^а)\	2I *	C6Л0)
В частности, энергия основного уровня Is у2 (|х| = 1, пг = 0):
ei = ту/1 - (ZaJ.
При Za <C 1 первые члены разложения формулы C6.10) да-
ют
m	2(|x|+nrJ [ \к\ +пг [\>с\ Щх\+пг)
Обозначив пг + \к\ = п (= 1, 2, ... ) и заметив, что |х| = J+V2, мы
вернемся к формуле C4.4), полученной нами ранее с помощью
теории возмущений. Как уже было указано в конце § 34, дальней-
дальнейшие члены этого разложения не имеют смысла, поскольку они
заведомо перекрываются радиационными поправками. Формула
C6.10), однако, имеет смысл в своем точном виде при Za ~ 1.

§ 36	ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ	163
Отметим, что обнаруживаемое приближенной формулой C4.4)
двукратное вырождение уровней сохраняется и в точной фор-
формуле: поскольку в нее входит лишь |х|, уровни с разными / при
одном и том же j по-прежнему совпадают.
В волновой функции нам осталось еще определить общий
нормировочный коэффициент А. Как всегда, волновая функ-
функция дискретного спектра должна быть нормирована условием
/ \ф\2 d3x = 1; для функций / и g это означает условие
(/2+g2)r2rfr = l.
Коэффициент А проще всего найти по асимптотическому виду
функций при г —>> оо. С помощью асимптотической формулы
(см. Ill, (d. 14)) находим
Сравнив эту формулу с выражением C6.22), которое будет най-
найдено ниже, определим А. Собрав затем полученные формулы,
выпишем окончательные выражения для нормированных волно-
волновых функций:
S
1 ±BАK/2 Г (m±g)rB7 + nr + l) I 1
) ГB7 + 1) [4,m(Zam/X)(Zam/X-x)nr\\
x{(^-x)F(-nr,27 + l,2Ar)TnrF(l-nr,27 + l
C6.11)
(верхние знаки относятся к /, нижние — к g).
Непрерывный спектр (е > т). Нет необходимости заново
решать волновое уравнение для состояний непрерывного спек-
спектра. Волновые функции этого случая получаются из функций
дискретного спектра заменой :)
у/т — е —)> — гл/е — т, А —)> — ф, — пг —)> 7 — г—— C6.12)
Р
(о выборе знака при аналитическом продолжении корня ^/m — e
см. т. III, § 128). Заново, однако, должна быть произведена нор-
нормировка функций.
х) Ниже в этом параграфе р обозначает |р| =

164	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
Проделав в C6.11) указанную замену, представим функции /
и g в виде
Я _
ra
х [e^FG - гг/, 27 + 1, -2фг) т e
где А7 — новая нормировочная постоянная и введены обозначе-
обозначения
и	, е	C6.
р	х — ivm/s
(величина ? вещественна, поскольку 72 + (Zae/pJ = х2
/j))
Согласно известной формуле
(см. Ill, (d. 10)) имеем
F(j + 1 - iz/, 27 + 1, -2фг) = ei:prFG + iv, 27 + 1, 2фг) =
= e-2^rF*G - ii/, 27 + 1, -2ipr),
поэтому
C6.14)
Нормировочный коэффициент А' определяется сравнением
асимптотического выражения для этой функции с общей фор-
формулой C5.7) для нормированной сферической волны. Выпишем
сразу получающееся таким образом выражение для волновых
функций непрерывного спектра (и затем проверим его) х) :
C6.15)
Асимптотическое выражение для этой функции находится с
помощью формулы III, (d, 14), в которой в данном случае су-
существен только первый член (второй убывает с более высокой
степенью 1/г):
f\ л/2 /szbmsin/	тг/ . о-	т о	тг/\	/or -\г\
1) Волновые функции в поле отталкивания получаются отсюда изменением
знака перед Za, т. е. изменением знака v.

§ 36	ДВИЖЕНИЕ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ	165
где
<*„ = ?- argГG + 1 + iv) - ^ + у,	C6.17)
или
e2i6* _ х - ivm/e ГG + 1 - iv) ^(l-^)	/gg щ
7 — iv 7 + 1 + zi/
Отметим для будущих ссылок выражение фаз в ультрареляти-
ультрарелятивистском случае (е ^> га, v ~ Za)
е2г5« = * ГG + 1-^а)е^-7)>	C6.19)
7 - г^а ГG + 1 + iZa)
Выражение C6.16) отличается от C5.8) лишь логарифмиче-
логарифмическим членом в аргументе тригонометрической функции. Как и
в случае уравнения Шредингера, медленность убывания куло-
нова потенциала приводит к искажению фазы волны, которая
становится медленно меняющейся функцией г.
При аналитическом продолжении в область е < т выражение
C6.18) принимает вид
е2ъ5„ _ * ~ Zam/X ГG + 1 - Zae/X) ^{l-^)	/gg 20)
Оно имеет полюсы в точках, где 7 + 1 — Zae/X = 1 — nr, nr =
= 1,2,... (полюсы Г-функции в числителе), а также в точке
7 — Zae/X = —nr = 0 (если при этом ж < 0); как и следовало
ожидать, эти точки совпадают с дискретными уровнями энергии.
Вблизи какого-либо из полюсов с пг ф 0 имеем
Вид Г-функции вблизи ее полюса находится с помощью извест-
известной формулы Г(^)ГA — z) = п/s'mnz:
Sin 7Г 7 + 1 — 	 « 7Г COS 7ГПГ — 	 (? — ?о ) =
V	А /	ds \ X /
A)(eeo)
— уровень энергии). Таким образом :) ,
2^	^+^L?L±]_.	C6.21)
:) Легко убедиться в том, что эта формула остается справедливой и при
пг = 0.

166	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
В конце предыдущего параграфа была получена формула
C5.11), связывающая вычет функции е2г5* в ее полюсе с ко-
коэффициентом в асимптотическом выражении волновой функции
соответствующего связанного состояния. В случае кулонова по-
поля, однако, эта формула должна быть несколько видоизменена
в связи с тем, что вместо постоянного фазового сдвига 5^ (как
это было в C5.7)) в C6.16) стоит сумма 5^ + v\nBpr). В левой
стороне C5.11) надо поэтому писать не е2г^, а
ехр[2ъ5„ + 2iulnBpr)] -+ e2^BiArJ(r^+7).
Используя C6.21) и определяя из C5.11) коэффициент Aq (кото-
(который будет теперь степенной функцией г), находим асимптотиче-
асимптотический вид нормированной волновой функции дискретного спек-
спектра:
J
Эта формула была уже использована для определения коэффи-
коэффициента в C6.11).
§ 37. Рассеяние в центрально-симметричном поле
Напишем асимптотическое выражение для волновой функ-
функции частицы, рассеивающейся в поле неподвижного силового
центра, в виде :)
ф = иерё1р* + и'ер,ё1рг/г.	C7.1)
Здесь и?р — биспинорная амплитуда падающей плоской волны.
Биспинор же и' , является функцией направления рассеяния п7,
а при каждом заданном значении п7 совпадает по форме (но,
конечно, не по нормировке!) с биспинорной амплитудой плоской
волны, распространяющейся в направлении п7.
Мы видели в § 24, что биспинорная амплитуда плоской вол-
волны полностью определяется заданием двухкомпонентной вели-
величины — 3-спинора w, представляющего собой нерелятивистскую
волновую функцию в системе покоя частицы. Через этот спинор
выражается и плотность потока: она пропорциональна w*w (с ко-
коэффициентом пропорциональности, зависящим только от энер-
энергии е и, следовательно, одинаковым для падающих и рассеянных
*) В § 37, 38 р обозначает |р|, а в качестве индексов у амплитуды пишем
отдельно вир.

§ 37	РАССЕЯНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ	167
частиц). Поэтому сечение рассеяния da = (wf*w'/w*w)do или, ес-
если (как и в § 24 нормировать падающую волну условием w*w = 1,
da = w'*w'do.
Введем оператор рассеяния / согласно определению
w' = fw.	C7.2)
Ввиду двухкомпонентности величин w, wf определенный таким
образом оператор аналогичен операторной амплитуде рассеяния,
фигурирующей в нерелятивистской теории рассеяния с учетом
спина (см. III, § 140). Поэтому непосредственно переносятся сюда
полученные там формулы, выражающие оператор через фазо-
фазовые сдвиги волновых функций в рассеивающем поле. Надо лишь
произвести переобозначение этих фаз, выразив введенные в III,
§ 140 сдвиги 6^ и 6^ через фазовый сдвиг 6^, фигурирующий
в релятивистской формуле C5.7). Напомним, что фазы 6^~ и 6^
относились к состояниям с орбитальным моментом / и полным
моментом j = / + Y2 и j = / — Y2. Согласно определению C5.3)
ус = — / — 1 при j = / + Y2 и ус = / при j' = I — Y2. Поэтому мы
должны переобозначить
(и помнить, что индекс у S задает теперь значение числа х!).
Таким образом, получим следующие формулы:
Т=А + Ви<т,	C7.3)
(X)
А = i~ Y№ + 1)^Ш-1-1 - 1) + К*™1 - 1)№(cos0), C7.4)
гр i=o
В = ±Y(e2iS-'-i - e2iSl)Pl(cose),	C7.5)
2ptt
где v — единичный вектор в направлении [пп'].
Поскольку w — спинорная волновая функция в системе по-
покоя, то и поляризационные свойства рассеяния описываются с
помощью / теми же формулами, что и в III, § 140.
В случае кулонова поля оказывается возможным выразить
обе функции А (в) и В (в) через одну. Укажем вкратце ход соот-
соответствующих вычислений :) .
Gluckstern R. L., Lin S.R.//J. Math. Phys. —1964.—Vol. 5. —P. 1594.

168	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
Для кулонова поля фазы 6^ даются формулой C6.18), кото-
которую представим в виде
—:Скч
1	C7.6)
ГG + 1 + iv)
(замечаем, что еш1 = еш™ при к > 0 и еш1 = — еш™ при к < 0). С
помощью введенных таким образом величин ряды C7.4), C7.5)
могут быть представлены в виде
А(в) = X-G{d)-i^^F{d),
Р , п Р г,*	п	C7-7)
где
оо	оо
G{9)=l-Yjl2Cl{Pl + Pl-l), F{9)=l-Y^lCl{Pl-Pl-l). C7.8)
1 = 1	1 = 1
При преобразовании ряда В (в) использованы следующие рекур-
рекуррентные соотношения между полиномами Лежандра:
Pl + Р1г = ctg в- ¦ l{Pt - Pi-г),	C7.9)
P?-P?L1 = tgl.l(Pi + Pi-1).	C7.10)
С другой стороны, в силу тождества
)[
dcosO
= l[Pi(cose) + Pi-1(cos9)} C7.11)
функции F{0) и G{0) связаны друг с другом соотношением
G = A - cos^	 = -ctg- — .	37.12
dcosO	2 d6
Тем самым А (в) и В (в) оказываются выраженными через одну
функцию F{9) x) .
х) Функция FF) не выражается в замкнутом виде через элементарные
функции. Однако ее можно записать в виде определенного двойного ин-
интеграла— см. указанную выше статью.

§ 38	РАССЕЯНИЕ В УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКОМ СЛУЧАЕ	169
§ 38. Рассеяние в ультрарелятивистском случае
Особо рассмотрим рассеяние в ультрарелятивистском случае
(е ^> га). В первом приближении полностью пренебрегаем в вол-
волновом уравнении массой га. При этом удобно пользоваться для
ф спинорным представлением ф = ( ^ ), так как уравнения для
(и?] при 777, = 0 разделяются:
-icrVr/ = -{e - U)rj	C8.1)
(приобретая «нейтринный» вид, см. § 30).
Спиральному состоянию электрона, поляризованного в на-
направлении р, отвечает волновая функция ф = ( Я j, а поля-
поляризованному против р: ф = ( j. В силу независимости урав-
уравнений для ? и г/ ясно, что это свойство при рассеянии не ме-
меняется. Другими словами, при рассеянии ультрарелятивистских
электронов сохраняется спиральность. Из соображений симмет-
симметрии (продольная поляризация) очевидно, что при рассеянии спи-
спиральных частиц отсутствует азимутальная асимметрия. Можно
также утверждать, что сечение рассеяния спиральных электро-
электронов не зависит от знака спиральности; это следует из того, что
центральное поле инвариантно по отношению к инверсии, а знак
спиральности при инверсии меняется на обратный.
В ультрарелятивистском случае формулы C7.3)-C7.5) мо-
могут быть существенно упрощены (D. R. Yennie, D. G. Ravenhall,
R. N. Wilson, 1954).
Пусть падающий электрон поляризован, скажем, вдоль на-
направления движения п. Для плоской волны с определенным зна-
значением пег спинор ?(= {if + х)/л/2) пропорционален тому же
3-спинору w, который фигурировал в стандартном представле-
представлении волны. Поэтому связь между спинорными амплитудами па-
падающей и рассеянной волн в новом представлении по-прежнему
осуществляется тем же оператором /.
В результате рассеяния вектор поляризации поворачивает-
поворачивается вместе с импульсом, приобретая направление п7. Воздействие
оператора / на спиновую волновую функцию электрона сводится
поэтому к повороту спина на угол в (угол между п и п7) вокруг
оси v. В свою очередь такой поворот эквивалентен повороту си-
системы координат вокруг той же оси в обратном направлении, т. е.
на угол —в. Отсюда следует, что оператор / должен совпадать
(с точностью до коэффициента) с оператором, осуществляющим
преобразование волновой функции при указанном изменении си-
системы координат, т. е. с оператором A8.17) с заменой в —>> — в.

170	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
Сравнив C7.3) с A8.17), найдем, что должно быть
j = -itge-.	C8.2)
Таким образом, в ультрарелятивистском пределе
C8.3)
Выражение для А (в) C7.4) тоже можно упростить, если вос-
воспользоваться возникающим в том же пределе соотношением меж-
между фазами 8к и 8-^. Для его вывода замечаем, что уравнения
C5.4) для функций / и g после вычеркивания членов с т стано-
становятся инвариантными относительно замены
к^-к, f -+ g, g->-/,
не затрагивающей параметров самой частицы или поля. Поэтому
должно быть fx/gx = —g-n/f-m и после подстановки асимпто-
асимптотических выражений находим
tg (pr-)L + s^j = - ctg [pr - y
откуда
Используя это соотношение (и заменяя в первом члене суммы в
C7.4) индекс суммирования / на / — 1), получаем
А(в) = -V/(eM| - l)[Pi(cos0) + Pi^icosd)}.	C8.5)
2ip *-^
Из C8.2) следует, что Re(AB*) = 0. Это значит, что в рассма-
рассматриваемом приближении сечение не зависит от начальной поля-
поляризации частиц, а неполяризованный пучок остается неполяри-
зованным и после рассеяния (см. формулы III, A40.8)—A40.10)).
Отметим также, что при в —>• тг выражение А(в) C8.5) стремится
к нулю как (тг — вJ (напомним, что Pi(—1) = (—II). Вместе с
ним стремится к нулю также и сечение
Перечисленные свойства исчезают, разумеется, в следующих
приближениях по малой величине т/е. В частности, анализ по-
показывает, что при в —)> тг сечение стремится к пределу, пропор-
пропорциональному (т/еJ.

§ 39	ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ	171
Для кулонова поля в ультрарелятивистском случае фазы 5^
не зависят от энергии, как это видно из C6.9) г) . Поэтому в чисто
кулоновом поле сечение рассеяния при е ^> га имеет вид
da = —if-do,	C8.7)
где т — функция только от угла.
§ 39. Система волновых функций непрерывного спектра
для рассеяния в кулоновом поле
В дальнейшем (см. § 95, 96) будут рассмотрены различные
неупругие процессы, происходящие при рассеянии ультрареля-
ультрарелятивистских электронов в поле тяжелого (Za ~ 1) ядра. Для вы-
вычисления соответствующих матричных элементов нам понадо-
понадобятся волновые функции, асимптотическая (при г —>> оо) форма
которых складывается из плоской и сферической волн.
Мы увидим, что в ультрарелятивистском случае (энергия
электрона е ^> га) основную роль в рассеянии играют передачи
импульса (от электрона ядру) q = |р7 — р| ~ га. Этим значениям
q отвечают «прицельные расстояния» р ~ 1/q ~ 1/га, причем
электрон отклоняется на углы 2)
0~1~™.	C9.1)
р е
В терминах координат г (расстояние от центра) л z = r cos в это
означает область
р = rsm6 ~ 1/ra, p(r — z) = pr(l — cos в) ~ 1.	C9.2)
При этом г ~ е/гп2, т. е. мы имеем дело с областью больших
расстояний.
Напишем уравнение Дирака в виде
(б - U - тр + госЧ)ф = О, U = -Za/r.	C9.3)
Преобразуем его в уравнение второго порядка, для чего приме-
применим к C9.3) оператор (е — U + mf3 — iaV):
(А + р2 - 2еи)ф = {-iocVU - 112)ф.	C9.4)
Поскольку в рассматриваемой области г ^> Za/e, то U <^ е.
В первом приближении можно пренебречь в C9.4) правой
) Это видно и непосредственно из уравнений C8.1), поскольку для кулоно-
кулонова поля заменой г —»¦ г' /е энергию е можно вообще устранить из уравнений.
2) В этом параграфе р обозначает |р|.

172	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
стороной. Остающееся уравнение
по форме совпадает с нерелятивистским уравнением Шрединге-
ра в кулоновом поле
J-Д + ? + ^) ф = О,	C9.5а)
2т	2т г /
отличаясь от него лишь очевидным изменением обозначения
параметров (в «потенциальной энергии»—лишний множитель
е/т). Поэтому мы можем сразу написать его решение, имеющее
требуемый асимптотический вид (см. III, § 136).
Так, волновая функция, содержащая асимптотически плос-
плоскую (ос егрг) и расходящуюся сферическую волны, имеет вид
C9.6)
Р )
где F — вырожденная гипергеометрическая функция, а и?р —
постоянная биспинорная амплитуда плоской волны, нормирован-
нормированная принятым нами условием B3.4)
п?ри?р = 2т.	C9.7)
Волновая функция C9.6) нормирована таким образом, что
плоская волна в ее асимптотическом выражении имеет обычный
вид
и?р грг
отвечающий одной частице в единичном объеме. Поскольку в
ультрарелятивистском случае р ~ ?, в C9.6) можно положить
Zae/p ~ Za\
= C^Le^F (iZa, I, %{pr - pr)),	C9.8)
Обратим внимание на то, что хотя мы рассматриваем рассто-
расстояния настолько большие, что рг ^> 1, заменить в C9.8) гипергео-
гипергеометрическую функцию ее асимптотическим выражением нельзя:
аргументом функции F является не рг, а величина pr(l — cos б),
не предполагающаяся нами большой :) .
:)В т. III, § 135 мы интересовались сколь угодно большими г, и поэтому
такая замена была возможна для любых углов в.

§ 39	ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ РАССЕЯНИЯ В КУЛОНОВОМ ПОЛЕ	173
В применениях оказывается необходимым также следующее
приближение в ф, которое имеет спинорную структуру, отлич-
отличную от структуры C9.8) (сводящейся к множителю и?р). Для
его вычисления пишем ф в виде
В правой стороне уравнения C9.4) сохраняем теперь член с пер-
первой степенью U и для функции ср получаем уравнение
(А + 2ipV - 2eU)<p = -iuep(aVU)F.	C9.9)
Его решение можно найти, заметив, что функция F удовлетво-
удовлетворяет уравнению
(А + 2ipV - 2eU)F = 0
(в чем можно убедиться, подставив C9.6) в C9.5)). Применив к
этому уравнению операцию V, получим
(А + 2ipV - 2eU)VF = 2eFVU.
Сравнив с уравнением C9.9), найдем
<р = ~(<xV)uepF.
Выпишем окончательное выражение для ф^ и для такой же
функции ф^~\ содержащей в своем асимптотическом выражении
сходящуюся сферическую волну:
ф<?> = ^=/pr (l - gv) F(iZa, 1, i(pr - pr))uep,
= -5=e*Pr (l - ^V) F(-iZa, 1, -i(pr + pr))u?p, C9.10)
J IS	V	As
С = ^Za>2Y{\ - iZa)
(W. H. Furry, 1934). Выпишем также аналогичные функции
(ф_?_р) с «отрицательной частотой», которые понадобятся при
рассмотрении процессов с участием позитронов. Их можно по-
получить из функций ф?р заменой р—)>— р,?—)>— ?, причем р =
= |р| не меняется (в силу последнего обстоятельства параметр
iZa гипергеометрической функции меняет знак, как это видно
из первоначального выражения C9.6), в котором этот параметр
фигурирует в виде iZae/p). Таким образом, получим
C9.11)
fe V) F(~iZa, 1, i(pr +
g V) F(iZa, 1, -i(pr -

174	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
По поводу произведенных вычислений надо еще сделать сле-
следующее замечание. Поставленное нами асимптотическое условие
само по себе отнюдь не достаточно для однозначного выбора ре-
решения волнового уравнения (это ясно хотя бы из того, что всегда
можно добавить к ф, не нарушая этого условия, любую кулонову
расходящуюся сферическую волну). Написав решение уравнения
C9.5) в виде C9.6), мы тем самым молчаливо подразумевали вы-
выбор решения, конечного при г = 0. Такое требование было необ-
необходимым в III, § 135, 136, где рассматривались решения точного
уравнения Шредингера, справедливые во всем пространстве г) .
В данном же случае уравнение C9.5) относится лишь к большим
расстояниям, и потому произведенный отбор решения нуждается
в дополнительном обосновании.
Оно дается тем фактом, что большим «прицельным расстоя-
расстояниям» р = г sin в соответствуют большие орбитальные моменты
/ и малые углы рассеяния в: при р ~ 1/га имеем
/ ~ рр ~ ре ~ е/т ^> 1,
а угол в можно оценить квазиклассическим способом:
p J dr
Это значит, что в разложении ф по сферическим волнам будут
фигурировать (в рассматриваемой области г и в) в основном вол-
волны с указанными большими значениями /. Но сферическая волна
с большим / заведомо убывает до малых значений при приближе-
приближении к началу координат на «классически недостижимые» (бла-
(благодаря центробежному барьеру) расстояния г <С l/е. Поэтому,
если производить «сшивание» решения уравнения C9.5) с реше-
решением точного уравнения C9.4) на малых расстояниях при г ~ ri,
где //'е ^> г\ ^> Za/e, то граничное условие для решения урав-
уравнения C9.5) будет заключаться в требовании его малости, чем и
оправдывается сделанный нами выбор.
Задача
Для кулонова поля притяжения с Za ^C 1 найти поправку (относитель-
(относительного порядка Za) к нерелятивистской волновой функции дискретного спек-
спектра.
Решение. Скорость электрона в связанном состоянии v ~ Za, так
что при Za < 1 в нулевом приближении волновая функция — нереляти-
нерелятивистская, т. е.
ф = ифир,
1)~В изложенном в т. III, § 135 ходе решения это условие было обеспечено
выбором частного интеграла вида A35.1) вместо общей суммы интегралов
с различными значениями /3\, 02 •

§ 40 ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 175
где ^Нр — удовлетворяющая нерелятивистскому уравнению Шредингера
функция, и — биспинор вида и = ( q j, где w — спинор, описывающий
поляризационное состояние электрона. В следующем приближении пишем:
ф = ифир + ф^1' и, подставляя в C9.4), находим для ф^1' уравнение
7Г ~ Ы +	 Ф{) = г—- V-
где sn — нерелятивистский дискретный уровень энергии. Здесь опущены чле-
члены относительного порядка (Za) (следует учитывать, что в нерелятивист-
нерелятивистском случае основные расстояния — порядка боровского радиуса: г ~ 1/mZa).
Решение этого уравнения: ф^ ' = — т^сх.и\7фир, так что
( i \
ф = ( 1 - —aV ифир.
§ 40. Электрон в поле плоской электромагнитной волны
Уравнение Дирака может быть решено точно для электро-
электрона, движущегося в поле плоской электромагнитной волны
(Д. М. Волков, 1937).
Поле плоской волны с волновым 4-вектором к (к2 = 0) зави-
зависит от 4-координат лишь в комбинации ср = кх, так что 4-потен-
циал
А" = А"(у>),	D0.1)
причем он удовлетворяет условию калибровки Лоренца
д^ = к^А* = 0
(штрих означает дифференцирование по ср). Поскольку посто-
постоянный член в А несуществен, в этом условии можно опустить
штрих и записать его в виде
кА = 0.	D0.2)
Исходим из уравнения второго порядка C2.6), в котором тен-
тензор поля
F^ = к^А1, - КА1^.	D0.3)
При раскрытии же квадрата (id — еАJ надо учесть, что в силу
D0.2) дц(А^ф) = А^д^ф. В результате получим уравнение
[-д2 - 2ie(Ad) + е2А2 - т2 - ie(jk)(jA')]^ = 0	D0.4)
Ищем решение этого уравнения в виде
ф = e-ipxF((p),	D0.5)

176	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
где р— постоянный 4-вектор. Прибавление к р любого векто-
вектора вида const • к не меняет такого вида функции ф (требуется
лишь соответствующее переобозначение функции F((p)). Поэто-
Поэтому можно без ограничения общности наложить на р одно допол-
дополнительное условие. Пусть
р2 = т2	D0.6)
Тогда при выключении поля квантовые числа р^ переходят в
компоненты 4-импульса свободной частицы. Смысл компонент
4-вектора р при наличии поля более нагляден в специальной си-
системе отсчета, выбранной так, чтобы было Aq = 0. Пусть в этой
системе вектор А направлен по оси ж1, а к —по оси х3 (т. е.
электрическое поле волны направлено по ж1, магнитное — по ж2,
а сама волна распространяется вдоль оси ж3). Тогда D0.5) будет
собственной функцией операторов
Pi =2 — , Р2 = г — , р0 -р3 = г [ — - — 1
ох1	ох2	\дхо ох6/
с собственными значениями р\, р2, ро — Рз (сами же эти операто-
операторы, как легко видеть, коммутативны с гамильтонианом уравне-
уравнения Дирака). Таким образом, в данной системе отсчета р1, р2 —
компоненты обобщенного импульса вдоль осей ж1, ж2, а р° — р3 —
разность между полной энергией и компонентой обобщенного
импульса вдоль оси ж3.
При подстановке D0.5) в D0.4) замечаем, что
d»F = k»F', d^F = k2F" = 0,
и находим для F(cp) уравнение
2i(kp)Ff + [-2е(рА) + е2А2 - ie(jk)(^Af)}F = 0.
Формальное решение этого уравнения
кх
{
-ъ [ \-?-{рА) - ^А2} dip + ^ММ I
У [(кр)ур } 2(кР) \ * 2(кР) (
где и/л/2ро—произвольный постоянный биспинор (о форме его
записи см. ниже).
Все степени (/ук)(/уА) выше первой равны нулю, поскольку
= -G*0G*0Ы)Ы) + 2(kA)(jk)(jA) = -к2 А2 = 0.
Поэтому можно заменить
1+
2{кр)	2{кр)

§ 40 ЭЛЕКТРОН В ПОЛЕ ПЛОСКОЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ 177
так что ф принимает вид
где х)
кх
jj^ [(РА) - е-А2] dip. D0.8)
о
Для выяснения условий, налагаемых на постоянный биспи-
нор и, следует считать, что волна бесконечно медленно «вклю-
«включается», начиная от t = —оо. Тогда А —>> 0 при кх —>> —оо и
ф должно переходить в решение свободного уравнения Дирака.
Для этого и = и(р) должно удовлетворять уравнению
GР - т)и = 0.	D0.9)
Этим условием отбрасываются «лишние» решения уравнения
второго порядка. Так как и не зависит от времени, это условие
остается в силе и при конечных кх. Таким образом, и(р) совпада-
совпадает с биспинорной амплитудой свободной плоской волны; будем
предполагать ее нормированной тем же условием B3.4): пи =
= 2га.
Изложенные рассуждения позволяют также сразу выяснить
нормировку волновых функций D0.7). Бесконечно медленное
включение поля не меняет нормировочного интеграла. Отсюда
следует, что функции D0.7) удовлетворяют тому же условию
нормировки
/»
у7°^М3я = BтгK5(р/ - р),	D0.10)
что и свободные плоские волны.
Найдем плотность тока, отвечающую функциям D0.7). Заме-
Заметив, что
прямым перемножением получим
f = ФРГФР = ~ {р" " еА* + к» (е-^- - ?f-) } . D0.11)
Если А^(ср) периодические функции и их среднее (по времени)
значение обращается в нуль, то среднее значение плотности тока
D0.12)
1) Выражение для S совпадает с классическим действием для частицы
движущейся в поле волны (ср. II, § 47, задача 2).

178	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
Найдем также плотность кинетического импульса в состоя-
состоянии фр. Оператор кинетического импульса есть разность р—еА =
= id — eA. Прямым вычислением найдем
8(кр)ро ™х
D0.13)
Среднее по времени значение этого 4-вектора, которое обозначим
через </м, есть	2
Его квадрат:
q2 = m^, m* = mi/1 - —A2;	D0.15)
V	m2
m* играет роль «эффективной массы» электрона в поле. Сравнив
D0.14) и D0.12), мы видим, что
? = ч^/ръ.	D0.16)
Отметим также, что условие нормировки D0.10), выраженное
с помощью вектора q, имеет вид
( q)	D0.17)
Ро
(переход от D0.10) к D0.17) проще всего произвести в указанной
выше специальной системе отсчета).
§ 41. Движение спина во внешнем поле
Переход к квазиклассическому приближению в уравнении
Дирака производится так же, как и в нерелятивистской теории.
В уравнение второго порядка C2.7а) подставляем ф в виде :)
ф = ueiS/n,
где S — скаляр, и — медленно меняющийся биспинор. При этом
предполагается выполненным обычное условие квазиклассично-
квазиклассичности: импульс частицы должен мало меняться на расстояниях по-
порядка длины волны й/|р|.
В нулевом приближении по Н получается обычное класси-
классическое релятивистское уравнение Гамильтона—Якоби для дей-
действия S. При этом все члены, содержащие спин (и пропорци-
пропорциональные Н), выпадают из уравнений движения. Спин появил-
появился бы лишь в следующем приближении по Н. Другими словами,
) Пользуемся сначала обычными единицами.

§ 41	ДВИЖЕНИЕ СПИНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	179
влияние магнитного момента электрона на его движение — все-
всегда того же порядка величины, что и квантовые поправки. Это
вполне естественно ввиду чисто квантовой природы спинового
момента, который пропорционален Н.
В связи с такой ситуацией приобретает смысл постановка за-
задачи о поведении спина электрона, совершающего заданное ква-
квазиклассическое движение во внешнем поле. Решение этой задачи
содержится в следующем приближении по Н в уравнении Дирака.
Мы применим, однако, другой способ, более наглядный и не свя-
связанный непосредственно с уравнением Дирака. Он обладает тем
преимуществом, что позволяет рассматривать движение любой
частицы, в том числе обладающей «аномальным» гиромагнит-
гиромагнитным отношением, не описываемым уравнением Дирака.
Наша цель состоит в установлении «уравнения движения»
для спина при произвольном (заданном) движении частицы.
Начнем с нерелятивистского случая.
Нерелятивистский гамильтониан частицы во внешнем поле
Н = Н' - /icrH,	D1.1)
где в Н' включены все члены, не содержащие спина (см. III,
§ 111); /i — магнитный момент частицы. Этот вид гамильтониана
не связан с определенным сортом частиц. Для электронов \i =
= еН/2тс (заряд электрона е = — |е|!), а у нуклонов \i содержит
еще и «аномальную» часть х)
/i/ = /i-_^.	D1.2)
2тс	У J
Согласно общим правилам квантовой механики операторное
уравнение движения спина получается из формулы
1 (
Подставив сюда D1.1), найдем
или
1 = f[sH].	D1.4)
Усредним это операторное равенство по состоянию квази-
квазиклассического волнового пакета, движущегося вдоль заданной
траектории. Эта операция сводится к замене оператора спина его
*) С учетом радиационных поправок очень малая «аномальная часть» со-
содержится также и в магнитном моменте электрона.

180	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
средним значением s, а вектора Н —функцией Н(?), представ-
представляющей собой изменение магнитного поля в точке нахождения
частицы (волнового пакета) при ее заданном движении вдоль
траектории. В нерелятивистском приближении, т. е. в рамках
уравнения Паули, 1з = с/2 есть оператор спина частицы в ее си-
системе покоя, среднее значение которого мы обозначили в § 29 как
С/2. Таким образом, мы приходим к уравнению
* =
В таком виде это уравнение имеет, по существу, чисто класси-
классический характер. Оно означает, что вектор магнитного момен-
момента прецессирует вокруг направления поля с угловой скоростью
—2/iH/ft, оставаясь неизменным по величине :) .
В том же нерелятивистском случае скорость v частицы ме-
меняется согласно уравнению
dt тс
т. е. вектор v вращается вокруг направления Н с угловой ско-
скоростью —еН/тс. Если // = 0, то \i = e/i/2mc, и эта угловая ско-
скорость совпадает со скоростью —2/iH//i вращения вектора С; ДРУ-
гими словами, вектор поляризации сохраняет постоянный угол
с направлением движения (мы увидим ниже, что этот результат
остается в силе и в релятивистском случае).
Произведем теперь релятивистское обобщение уравнения
D1.5). Для ковариантного описания поляризации надо при этом
пользоваться введенным в § 29 4-вектором а, а уравнение движе-
движения спина должно определять производную da/dr по собствен-
собственному времени г 2) .
Возможный вид этого уравнения может быть установлен уже
из соображений релятивистской инвариантности, если учесть,
что его правая часть должна быть линейна и однородна по тен-
тензору электромагнитного поля F^ и по 4-вектору а^, а, помимо
них, может содержать только 4-скорость и^ = р^/т. Этим усло-
условиям удовлетворяет лишь уравнение вида
aFav + №Fuvax,	D1.6)
dr
) Классически уравнение D1.5) получается непосредственно из равенства
dM/dt = [/Ш],
где М — момент импульса системы, /л — ее магнитный момент, [/хН]—дей-
[/хН]—действующий на систему момент сил. Положив М= |^С? М= 27 С = мС полу-
получим D1.5).
2) Ниже снова полагаем с = 1, h = 1.

§ 41	ДВИЖЕНИЕ СПИНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	181
где а, /3 — постоянные коэффициенты. Легко видеть, что в си-
силу условия а^и^ = 0 и антисимметричности тензора F^v (так
что F^u^Uy = 0) никаких других выражений требуемого вида
составить нельзя.
При v —>• 0 это уравнение должно совпадать с D1.5). Положив
а^ = @, С), и» = A, 0), т = ?, получим
Сравнив с D1.5), найдем: а = 2/i.
Для определения /3 учтем, что оУи^ = 0. Продифференциро-
Продифференцировав это равенство по т и воспользовавшись классическим урав-
уравнением движения заряда в поле
dr
(см. II, § 23), получим
da^	du^	e трци	е
dr	dr	m	m
Поэтому, умножив уравнение D1.6) с обеих сторон на и^ учтя
равенство и^иУ1 = 1 и сократив общий множитель F^u^a^ по-
получим
Таким образом, находим окончательно релятивистское урав-
уравнение движения спина
— = 2/jF^ay - 2n'u^FyXUyax	D1.7)
dr
(V. Bargmann, L. Michel, V. Telegdi, 1959) :) .
Перейдем от 4-вектора а к величине ?, непосредственно ха-
характеризующей поляризацию частицы в ее «мгновенной» систе-
системе покоя; связь между а и ? дается формулами B9.7)—B9.9).
Сразу же отметим, что из D1.7) автоматически следует, что
a^da^/dr = 0, т. е. а^оУ = const. Поскольку а^оУ = —С2, это
означает естественный результат: при движении частицы ее по-
поляризация ? остается неизменной по величине.
Уравнение, определяющее изменение направления поляриза-
поляризации, получим, перейдя в D1.7) к трехмерным обозначениям. Рас-
:)В другом виде подобное уравнение было впервые найдено Я. И. Френ-
Френкелем A926).

182	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ.
крыв пространственные компоненты этого уравнения, найдем
da.
аН + -*— (av)E — -*—v(aE)
J	e V }	m V J
аН + (av)E
dt	e L J	e V }	m
([])	(
m	m
Сюда надо подставить B9.9), учитывая при дифференцировании
равенства р = ?v, е2 = р2 + тп2 и уравнения движения
^	| = e(vE).	D1.8)
Элементарное, хотя и довольно длинное вычисление приводит к
следующему уравнению х) :
D1.9)
Особый интерес представляет не столько изменение абсолют-
абсолютного направления поляризации в пространстве, сколько его из-
изменение по отношению к направлению движения. Представим ?
в виде
С = пСц + С±	D1.10)
(где n = v/v) и выпишем уравнение для проекции ?ц поляри-
поляризации на направление движения. Вычисление с помощью D1.8),
D1.9) приводит к следующему результату 2) :
dt
_ А (С±Е).	D1.11)
/
Ряд примеров применения полученных уравнений рассмотрен
в задачах к этому параграфу. Здесь же отметим лишь, что при
движении в чисто магнитном поле поляризация частицы без ано-
аномального магнитного момента сохраняет постоянный угол со ско-
скоростью (?ц = const). Таким образом, этот результат, указанный
:) Если ввести, как это часто делается, для заряженных частиц гиромаг-
гиромагнитный коэффициент (множитель Ланде) g согласно fi = g ^ • \ (= g -^Z f)'
то уравнение запишется в виде
§ = -1- (g - 2 + 2^) [СН] + -5-(g - 2)-J-(vH)[vC] +
dt 2m \	e J	2m	e + m
s + m
) Несколько короче это уравнение можно получить, раскрывая временную
компоненту уравнения D1.7).

§ 41	ДВИЖЕНИЕ СПИНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	183
уже выше для нерелятивистского случая, действительно, имеет
общий характер.
Уточним условия применимости полученных уравнений. Упо-
Упомянутое вначале требование достаточно медленного изменения
импульса частицы сводится к определенному условию малости
полей Е и Н; в частности, ларморов радиус в магнитном поле
(~ р/еН) должен быть велик по сравнению с длиной волны ча-
частицы. Помимо этого, однако, должно выполняться, строго го-
говоря, еще и условие не слишком быстрого изменения полей в
пространстве: поле должно мало меняться на размерах квази-
квазиклассического волнового пакета. Тем самым, поле должно мало
меняться на расстояниях порядка длины волны частицы A/р), а
также на комптоновской длине волны, 1/га г) .
Впрочем, в практических задачах о движении в макроскопи-
макроскопических полях условие медленности их изменения заведомо вы-
выполняется, так что фактически требуется лишь достаточная их
малость.
В § 33 были найдены первые релятивистские поправки для
гамильтониана электрона, движущегося во внешнем поле. Для
электрона в электрическом поле приближенный гамильтониан
имеет вид (см. C3.12))
Н = Й'--?-(а\вЦ), p = -tV,	D1.12)
Am \ L тл /
где в Н1 включены члены, не содержащие спина. В нашем случае
в силу медленного изменения поля в Н' следует пренебречь чле-
членом с производными от Е (т. е. с divE); можно опустить также
малый член с р4, не имеющий отношения к интересующим нас
здесь эффектам поля, так что Н1 (в отсутствие магнитного поля)
сводится к нерелятивистскому гамильтониану Н' = р2/Bт) +
+ еФ.
Формулу D1.12) можно получить также исходя из уравне-
уравнения D1.9), не прибегая непосредственно к уравнению Дирака.
Тем самым будет достигнуто ее обобщение (в квазиклассическом
случае) для частиц с аномальным магнитным моментом.
С точностью до членов первого порядка по скорости v урав-
уравнение движения спина в электрическом поле получается из
г) Последнее требование возникает из условия, чтобы разброс скоростей в
волновом пакете в его системе покоя был мал по сравнению с с; в против-
противном случае в этой системе нельзя было бы пользоваться нерелятивистскими
формулами.
Если поле меняется слишком быстро, в уравнениях могут оказаться суще-
существенными дополнительные члены, содержащие производные поля по коор-
координатам.

184	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ
D1.9) в виде
f = (M +
Если потребовать, чтобы это уравнение получалось квантовоме-
ханически путем коммутирования оператора спина с гамильто-
гамильтонианом (согласно D1.3)), то, как легко проверить, надо положить
й¦=»' = (<•'+?) ИЕЭ) ¦ <«-и>
Это и есть искомое выражение. При // = 0 мы возвращаемся к
D1.12). Обратим внимание на то, что «нормальный» магнитный
момент е/2т входит с лишним множителем lfe по сравнению с
аномальным моментом 1л'1).
Задачи
1. Определить изменение направления поляризации частицы при ее дви-
движении в плоскости, перпендикулярной однородному магнитному полю (v J_
н).
Решение. В правой стороне уравнения D1.9) остается лишь первый
член, т. е. вектор ? прецессирует вокруг направления Н (ось z) с угловой
скоростью
2 + 2/() = _/е+2 Ч
е	\е
С этой же угловой скоростью вращается в плоскости ху проекция ? на эту
плоскость (обозначим ее (д). Вектор же v вращается в той же плоскости с
угловой скоростью — eH/s (как это видно из уравнения движения р = sv =
= e[vH]). Отсюда видно, что (д поворачивается относительно направления
v с угловой скоростью —211 Н.
2. То же при движении вдоль направления магнитного поля.
Решение. При совпадающих направлениях v и Н уравнение D1.9)
приводится к виду
т. е. ? прецессирует вокруг общего направления v и Н с угловой скоростью
-2//шН/е.
3. То же при движении в однородном электрическом поле.
Решение. Пусть поле Е направлено вдоль оси ж, а движение проис-
происходит в плоскости ху (при этом ру = const). Из D1.9) видно, что вектор ?
прецессирует вокруг оси z с мгновенной угловой скоростью
s + т	) е
Снова разложим ? на составляющие C^z и (д (в плоскости ху). Тогда
Сц =	^
:) Это и есть та «томасовская половинка», которая упоминалась в приме-
примечании на с. 151. Изложенный здесь вывод ясно демонстрирует ее происхо-
происхождение.

§ 42	РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ	185
Из D1.11) находим, что (д вращается относительно направления v с мгно-
мгновенной угловой скоростью
. 2vy ffim2 Л ру fem о ,
Ф = 	 I	А* ) = — I	^l1
v2 \ е2	J е V р2
§ 42. Рассеяние нейтронов в электрическом поле
При столкновениях нейтронов с ядрами рассеяние на боль-
большие углы определяется основным взаимодействием — ядерными
силами. При рассеянии же на малые углы становится существен-
существенным, как мы увидим, взаимодействие магнитного момента ней-
нейтрона с электрическим полем ядра (J. Schwinger, 1948).
Будем предполагать нейтрон нерелятивистским, так что
рассматриваемое взаимодействие описывается приближенным
гамильтонианом D1.13). Весь магнитный момент электрически
нейтральной частицы является «аномальным», а оператор Н'
сводится в этом случае к оператору кинетической энергии х) :
Н = -—Д + i^cr[EV].	D2.1)
2т	тс
Ввиду малости электромагнитного взаимодействия нейтрона
амплитуда fem обусловленного им рассеяния может вычисляться
в борновском приближении:
fem = -JO
2тгЛ2
(cm. Ill, § 126), или
fem = ^o-[EqP], Eq = jE(r)e-^rd3x	D2.2)
q
(p, p7 — импульсы нейтрона до и после рассеяния, /iq = р7 —
— р). В написанном виде амплитуда fem является оператором по
отношению к спиновой переменной.
Прежде чем заняться дальнейшим вычислением, сделаем сле-
следующее замечание. Формула D2.1) была выведена в предыду-
предыдущем параграфе для медленно меняющихся полей (что факти-
фактически означало пренебрежение в гамильтониане членами, содер-
содержащими производные от поля по координатам). В применении
к кулонову полю ядра это значит, что длина волны Н/р долж-
должна быть мала по сравнению с существенными в интеграле Eq,
:) В этом параграфе пользуемся обычными единицами, а буква m обозна-
обозначает массу нейтрона.

186	ЧАСТИЦА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	ГЛ. IV
расстояниями г ~ 1/д. Отсюда Hq <С р, так что угол рассеяния
в ~ Hq/p <С 1. Таким образом, требуемое условие выполняется
как раз для рассеяния на малые углы.
Для кулонова поля с потенциалом Ф = Ze/r компонента Фу-
Фурье напряженности
Eq = —гцФд = — щ •
(см. II, E1.5)). Подстановка в D2.2) дает
При малых углах рассеяния Hq « рв, [рр7] ~ p26v, где v — еди-
единичный вектор в направлении [рр7]. Таким образом,
п	. 2Zefi
fern = l—^VV.
в he
К этому выражению надо прибавить амплитуду ядерного рас-
рассеяния. Ввиду быстрого убывания ядерных сил с расстоянием
эта амплитуда стремится при малых углах к конечному (зави-
(зависящему от энергии) комплексному значению, которое обозначим
через а. Поэтому полная амплитуда рассеяния
f = a + i-trv, b=^ = 2Za^.	D2.3)
О	ch	e
Мы видим, что электромагнитное рассеяние действительно ста-
становится преобладающим при достаточно малых углах.
Форма выражения D2.3) совпадает с рассматривавшейся в
т. III, § 140. Поэтому мы можем прямо воспользоваться выведен-
выведенными там формулами. Сечение рассеяния, просуммированное по
всем возможным конечным поляризационным состояниям:
^ = \а\2 + Ъ- + 26Ima • 1/?,	D2.4)
do	в2
где ^ — начальная поляризация пучка нейтронов (Р см. в III,
§ 140). Если начальное состояние не поляризовано (? = 0), то
поляризация после рассеяния
С' = Шта'У	D2.5)
S \а\262+Ъ2	V 7
Эта поляризация максимальна при в = Ь/|а|, причем
= Ima/|a .

ГЛАВА V
ИЗЛУЧЕНИЕ
§ 43. Оператор электромагнитного взаимодействия
Взаимодействие электронов с электромагнитным полем, как
правило, может рассматриваться с помощью теории возмуще-
возмущений. Это обстоятельство связано со сравнительной слабостью
электромагнитного взаимодействия, выражающейся в малости
соответствующей безразмерной «константы связи» — постоянной
тонкой структуры а = е2/Не = 1/137. Эта малость играет фун-
фундаментальную роль в квантовой электродинамике.
В классической электродинамике (см. II, § 16, 28) электро-
электромагнитное взаимодействие описывается членом
-efA^	D3.1)
в плотности лагранжиана системы «поле+заряды» (А — 4-потен-
циал поля, j — 4-вектор плотности тока частиц). При этом плот-
плотность тока удовлетворяет уравнению непрерывности
V = 0,	D3.2)
выражающему закон сохранения заряда. Напомним (см. II, § 29),
что калибровочная инвариантность теории тесно связана именно
с этим законом. Действительно, при замене А^ —>• А^ + д^х D.1)
к плотности лагранжиана D3.1) добавляется величина —ej^d^x?
которая в силу D3.2) может быть записана в виде 4-дивергенции
и поэтому выпадает при интегрировании по d^x в действии S =
В квантовой электродинамике 4-векторы j ж А заменяются
соответствующими вторично квантованными операторами. При
этом оператор тока выражается через ^-операторы согласно j =
= ф^ф. Роль обобщенных «координат» q в лагранжиане
(jA)d3x
играют значения ф^ф^Ав каждой точке пространства. Посколь-
Поскольку плотность лагранжиана оказывается зависящей только от са-
самих «координат» q (но не от их производных по ж), переход

188	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
к плотности гамильтониана по формуле A0.11) сводится лишь
к изменению знака плотности лагранжиана х) . Таким образом,
оператор электромагнитного взаимодействия (интеграл по про-
пространству от плотности гамильтониана взаимодействия) имеет
вид
V = е / (jA)d3x.	D3.3)
Оператор свободного электромагнитного поля представляет
собой сумму
А = YfinAn{x) + <%А*п(х)},	D3.4)
П
содержащую операторы рождения и уничтожения фотонов в раз-
различных состояниях (нумеруемых индексом п). Каждый из них
имеет матричные элементы лишь для увеличения или уменьше-
уменьшения соответствующего числа заполнения Nn на 1 (при неизмен-
неизменных остальных числах заполнения). Поэтому и оператор А име-
имеет матричные элементы лишь для переходов с изменением числа
фотонов на 1. Другими словами, в первом приближении теории
возмущений возникают только процессы однократного излуче-
излучения или поглощения фотона.
Согласно B.15) матричные элементы
(Nn - l\cn\Nn) = (Nn\c+\Nn - 1} = у/Щ;.	D3.5)
Если в начальном состоянии поля фотоны (сорта п) отсутству-
отсутствуют, то A|с+|0) = 1. Матричный элемент оператора D3.3) для
испускания фотона
ftA*n)d3x,	D3.6)
где Ап(х) —волновая функция излучаемого фотона, a jfi — мат-
матричный элемент оператора j для перехода излучателя из началь-
начального состояния г в конечное / 2) . 4-вектор j% = (р/г J/г) назы-
называют током перехода.
Аналогичным образом получается матричный элемент для
поглощения фотона:
Vfl(t) = eJ(jfzAn)d3x.	D3.7)
Он отличается от D3.6) лишь тем, что вместо А* (х) стоит Ап(х).
:) Независимо от этих рассуждений укажем, что если речь идет лишь о по-
поправке первого порядка малости, то всякая малая поправка к лагранжиану
переходит в гамильтониан лишь с изменением своего знака (см. I, § 40).
2) Обозначения в D3.6) содержат некоторую непоследовательность: индек-
индексы у Vfi относятся к состояниям всей системы «излучатель+поле», а у jfi —
к состояниям одного излучателя.

§ 44	ОПЕРАТОР ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ	189
Указанием аргумента t у Vfi мы подчеркиваем, что речь идет
о зависящем от времени матричном элементе. Выделив в волно-
волновых функциях временные множители, можно обычным образом
перейти к независящим от времени матричным элементам:
Vfi(t) = vne-^-EfTu)t	D3.8)
(Ei, Ef—начальная и конечная энергии излучающей системы;
знаки =р соответствуют испусканию и поглощению фотона ио).
Волновая функция фотона с определенным импульсом к и
определенной поляризацией
kr	D3.9)
(см. D.3); временной множитель опущен). Подставив в D3.6),
найдем матричный элемент для испускания такого фотона в виде
Vfi = е\/4^=ф-?(к),	D3.10)
где j/z(k) —ток перехода в импульсном представлении, т. е. ком-
компоненты Фурье
jft(k) = J jft(r)e-*k43x.	D3.11)
Аналогичная формула для поглощения фотона:
Vfi = eV4^=eMj?(-k).	D3.12)
Уравнение сохранения тока в импульсном представлении за-
записывается в виде условия 4-поперечности токов перехода:
M/i = W(k) - кЫк) = 0-	D3-13)
Написанные в этом параграфе формулы, в которых не пред-
предопределен вид оператора тока, имеют общий характер и справед-
справедливы для электромагнитных процессов с участием любых заря-
заряженных частиц. Существующая теория дает возможность уста-
установить вид оператора тока (и тем самым в принципе вычислить
его матричные элементы) лишь для электронов. При применении
же к системам сильновзаимодействующих частиц (в том числе
к ядрам) мы ограничимся изложением полуфеноменологической
теории, в которой токи перехода выступают как заимствуемые
из опыта величины, удовлетворяющие лишь общим требованиям
пространственно-временной симметрии и уравнению непрерыв-
непрерывности.

190	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
§ 44. Испускание и поглощение
Вероятность перехода под влиянием возмущения V в первом
приближении дается известными формулами теории возмуще-
возмущений (III, § 42). Пусть начальное и конечное состояния излучающей
системы относятся к дискретному спектру г) . Тогда вероятность
(в единицу времени) перехода г —>> / с испусканием фотона есть
dw = 2n\Vfi\2S(Ei -Ef- uo)dv,	D4.1)
где v условно обозначает совокупность величин, характеризую-
характеризующих состояние фотона и пробегающих непрерывный ряд значе-
значений (при этом волновая функция фотона предполагается норми-
нормированной на E-функцию «по шкале и»).
Если испускается фотон с определенным значением момен-
момента, то единственной непрерывной величиной является частота ио.
Интегрирование формулы D4.1) по dv = duo устраняет E-функ-
цию (заменяя ио определенным значением ио = Е{ — Ef), и тогда
вероятность перехода
w = 27r\Vfi\2.	D4.2)
Если же рассматривается испускание фотона с заданным им-
импульсом к, то dv = d3k/B7rK = uo2duodo/B7rK. При этом предпо-
предполагается, что волновая функция фотона (плоская волна) норми-
нормирована на один фотон в объеме V = 1, как это принято везде в
этой книге; dv есть число состояний, приходящихся на фазовый
объем Vd3k. Таким образом, вероятность испускания фотона с
заданным импульсом запишется в виде
-Ef-co)-0^,	D4.3)
или после интегрирования по duo:
dw = J-\Vfi\2uo2do.	D4.4)
4тг2
Сюда должен быть подставлен матричный элемент Vfi из
D3.10).
В следующих параграфах мы воспользуемся этими форму-
формулами для вычисления вероятности излучения в различных кон-
конкретных случаях. Здесь мы рассмотрим некоторые общие соот-
соотношения между различными видами радиационных процессов.
*) Тем самым, во всяком случае, подразумевается пренебрежение отдачей:
излучатель как целое остается неподвижным.

§ 44	ИСПУСКАНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ	191
Если в начальном состоянии поля уже имелось отличное от
нуля число Nn данных фотонов, то матричный элемент перехода
умножается еще на
(Nn + l\4\Nn) = ^Nn + 1,	D4.5)
т. е. вероятность перехода умножается на Nn + 1. Единица в этом
множителе отвечает спонтанному испусканию, происходящему и
при Nn = 0. Член же Nn обусловливает вынужденное (или инду-
индуцированное) испускание: мы видим, что наличие фотонов в на-
начальном состоянии поля стимулирует дополнительное испуска-
испускание таких же фотонов.
Матричный элемент Vif перехода с обратным изменением со-
состояния системы (/ —Ьъ) отличается от элемента Vfi заменой
D4.5) на	,
(Nn - l\cn\Nn) = у^К
(и заменой остальных величин их комплексно-сопряженными).
Этот обратный переход представляет собой поглощение фото-
фотона системой, переходящей с уровня Ef на уровень Е^. Поэтому
между вероятностями испускания и поглощения фотона (для за-
заданной пары состояний г, /) имеет место важное соотношение :)
^± = ^±1	D4.6)
^(погл)	ДГ
(оно было впервые указано А. Эйнштейном в 1916 г.).
Свяжем число фотонов с интенсивностью падающего извне
на систему излучения. Пусть
Ikeduido	D4.7)
есть энергия излучения, падающего в единицу времени на едини-
единицу площади и имеющего поляризацию е, частоту —в интервале
duo и направление волнового вектора — в элементе телесного угла
do. Указанным интервалам отвечают k2dkdo/B7r)^ осцилляторов
поля, на каждый из которых приходится по N\^e фотонов задан-
заданной поляризации. Поэтому ту же энергию D4.7) мы получим,
составив произведение
k2dkdo АТ ^ Ни3 л?- j j
с	JSir^fbUJ = 	jN\rGduodo.
/ r\ \ Q	JVC	/^» Q О	JVC
BтгK	8тг3с2
Отсюда находим искомое соотношение:
iVke = ^-he-	D4.8)
Ли3
Пусть dw^' есть вероятность спонтанного излучения фотона
с поляризацией е в телесный угол do] индексами (инд) и (погл)
) Ниже в этом параграфе пользуемся обычными единицами.

192	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
отметим аналогичные вероятности для индуцированного испус-
испускания и поглощения. Согласно D4.6) и D4.8) эти вероятности
связаны между собой следующими соотношениями:
7 (погл) 7 (инд) 7 (сп) 8тг с т	/ л л г\\
dwL = dwL = dwL	7ke-	D4-9)
Если падающее излучение изотропно и не поляризовано (/ке
не зависит от направлений к и е), то интегрирование D4.9) по
do и суммирование по е дают аналогичные соотношения между
полными вероятностями радиационных переходов (между задан-
заданными состояниями г и / системы)
^(погл) = ^(инд) = ^(cn)TrV^	D4.10)
где / = 2 • 4тг/ке — полная спектральная интенсивность падающе-
падающего излучения.
Если состояния г и / излучающей (или поглощающей) си-
системы вырождены, то полная вероятность излучения (или по-
поглощения) данных фотонов получается суммированием по всем
взаимно вырожденным конечным состояниям и усреднением по
всем возможным начальным состояниям. Обозначим кратности
вырождения (статистические веса) состояний г и / посредством
gi и gf. Для процессов спонтанного и индуцированного испус-
испускания начальными являются состояния г, а для поглощения —
состояния /. Предположив в каждом случае все gi или gf на-
начальных состояний равновероятными, получим, очевидно, вмес-
вместо D4.10), следующие соотношения:
g/^(nom) = giW{*HA) = g.^(cnO[VL	D4.11)
В литературе часто используются так называемые коэффици-
коэффициенты Эйнштейна, определяемые как
Aif = w^\ Bif = w^^ Bfi = w^om^i	D4.12)
(величина I/с есть пространственная спектральная плотность
энергии излучения). Они связаны друг с другом соотношениями
gfBfi = giBif = SiAij^.	D4.13)
§ 45. Дипольное излучение
Применим полученные формулы к испусканию фотона реля-
релятивистским электроном в заданном внешнем поле. Ток перехода
в этом случае есть матричный элемент оператора
j =

§ 45	ДИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ	193
в котором ^-операторы предполагаются разложенными по си-
системе волновых функций стационарных состояний электрона в
данном поле (см. § 32). Переходу электрона из состояния г в со-
состояние / отвечает матричный элемент (O^1j|j|1^Oj). Такое изме-
изменение чисел заполнения осуществляется оператором ata^, и для
тока перехода получаем
jfi = ^/W = (Ф}Фг,Ф}афг),	D5.1)
где фг и г/jf — волновые функции начального и конечного состо-
состояний электрона.
Выберем волновую функцию фотона в трехмерно попереч-
поперечной калибровке D-вектор поляризации е = @, е)). Тогда в D3.10)
произведение jfie* = —j/^e*. Подставив Vfi в D4.4), получим сле-
следующую формулу для вероятности излучения (в 1 с) в элемент
телесного угла do фотона с поляризацией е:
io,	D5.2)
Z7T
где
l3x.	D5.3)
Суммирование по поляризациям фотона осуществляется пу-
путем усреднения по направлениям е (в плоскости, перпендику-
перпендикулярной заданному направлению n = k/a;), после чего результат
умножается на 2 соответственно двум независимым возможно-
возможностям поперечной поляризации фотона х) . Таким образом, полу-
получается формула
dwn = e2^\[njfi(k)]\2do.	D5.4)
Очень важен случай, когда длина волны фотона А велика по
сравнению с размерами излучающей системы а. Такая ситуация
связана обычно с малостью скоростей частиц по сравнению со
скоростью света. В первом приближении по а/А (соответствую-
(соответствующем дипольному излучению —ср. II, § 67) в токе перехода D5.3)
можно заменить единицей множитель е~ , мало меняющийся в
1) Для усреднения используется формула
е;е? = -(Sik — щпк)	D5.4а)
(ае)(Ье*) = -{ab - (an)(bn)} = -[an][bn],	D5.46)
где а, Ь — постоянные векторы.
7 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

194	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
области, где ф{ или ф$ заметно отличны от нуля. Такая замена
означает, другими словами, пренебрежение импульсом фотона
по сравнению с импульсами частиц в системе.
В том же приближении интеграл j/i@) может быть заменен
его нерелятивистским выражением, т. е. просто матричным эле-
элементом Vfi скорости электрона по отношению к шредингеров-
ским волновым функциям. В свою очередь этот элемент v^ =
= —iuoYfi, a evfi = d^ где d —дипольный момент электрона (в
его орбитальном движении). Таким образом, находим следую-
следующую формулу для вероятности дипольного излучения:
dwen = — |e*d^|2do	D5.5)
(направление п фигурирует здесь в неявном виде: вектор е долж-
должен быть перпендикулярен п). Просуммировав по поляризациям,
получим
dwn = — |[nd/i]|2rfo.	D5.6)
Ввиду нерелятивистского (по отношению к электрону) харак-
характера этих формул их обобщение на любые электронные системы
очевидно: под d^ надо понимать матричный элемент полного
дипольного момента системы.
Проинтегрировав формулу D5.6) по всем направлениям, най-
найдем полную вероятность излучения:
w = *f\dfi\2,	D5.7)
О
или в обычных единицах:
ig/,|2-	D5.7а)
Интенсивность / излучения получается умножением вероят-
вероятности на fvuj:
1=^№-	D5.8)
Эта формула обнаруживает непосредственную аналогию с
классической формулой (см. II, F7.11)) для интенсивности ди-
дипольного излучения системой периодически движущихся частиц:
интенсивность излучения частоты uos = suo (где ио — частота дви-
движения частиц, s — целое число) равна
h = f||ds|2,	D5.9)

§ 46	ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ	195
где ds—компоненты Фурье дипольного момента, т. е. коэффи-
коэффициенты разложения
d(t)= J2 dse~isu}t.	D5.10)
Квантовая формула D5.8) получается из D5.9) заменой этих
компонент Фурье матричными элементами соответствующих пе-
переходов. Это правило (выражающее собой принцип соответ-
соответствия Бора) является частным случаем общего соответствия
между компонентами Фурье классических величин и квантовы-
квантовыми матричными элементами в квазиклассическом случае (см. III,
§ 48). Излучение квазиклассично для переходов между состоя-
состояниями с большими квантовыми числами; при этом частота пере-
перехода Нио = Е{ — Ef мала по сравнению с энергиями излучателя Е{
и Ef. Это обстоятельство, однако, не привело бы к каким-либо
изменениям в виде формулы D5.8), справедливой для любых пе-
переходов. Этим объясняется тот (в известном смысле случайный)
факт, что принцип соответствия для интенсивности излучения
оказывается справедливым не только в квазиклассическом, но и
в общем квантовом случае.
§ 46. Электрическое мультипольное излучение
Вместо того чтобы рассматривать излучение фотона в задан-
заданном направлении (т. е. с заданным импульсом), рассмотрим те-
теперь излучение фотона с определенными значениями момента j
его проекции т на некоторое избранное направление z. Мы виде-
видели в § 6, что такие фотоны могут быть двух типов — электриче-
электрического и магнитного; начнем с излучения фотонов электрического
типа. При этом снова будем считать размеры излучающей систе-
системы малыми по сравнению с длиной волны.
Вычисления удобно производить с помощью волновых функ-
функций фотона в импульсном представлении, т. е. представив 4-век-
тор А^(г) в виде интеграла Фурье. Тогда матричный элемент
i(r)Al(r)<Px = ejd'x ¦ ^(r)|0i*(k)e"to D6.1)
(для упрощения записи формул опускаем индексы uojm у волно-
волновых функций фотона).
Для ?//-фотона берем волновую функцию из G.10), выбрав
произвольную постоянную С равной
С = -

196	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
Цель такого выбора состоит в том, чтобы в пространственных
компонентах волновой функции (А) сократились члены, содер-
содержащие шаровые функции порядка j' — 1 (как это видно из фор-
формул G.16)). Тогда А будет содержать только шаровые функции
порядка j + 1, в результате чего соответствующий вклад в Vfi
окажется (как это будет очевидно из дальнейшего вычисления)
более высокого порядка малости (по а/А), чем вклад от ком-
компоненты А0 = Ф, содержащей шаровые функции более низкого
порядка j.
Таким образом, полагаем
(п = к/а;). Подставив это выражение в D6.1) и проинтегрировав
по
получим
Vfi = -eJJ—^ / d3x ¦ pfl(r) / done-lkrY*m(n). D6.2)
Для вычисления внутреннего интеграла воспользуемся разложе-
разложением B4.12), записав его в виде
e^r = 4тг f; ? г1ё1(кг)?Ст (fj Ylm (±) ,	D6.3)
i=o -i
где
fcr) = ^n/{2kr)Jl+ih{kr)	D6.4)
(cm. Ill, C4.3)) 1). Подставив это разложение в D6.2), получим
(остальные члены обращаются в нуль ввиду ортогональности
шаровых функций). В силу условия а/А « 1 в интеграле по
$х будут играть роль лишь расстояния, для которых кг <^ 1.
Поэтому можно заменить функции gj(kr) первыми членами их
разложений по кг 2) :
g.(kr) « (кгУ .	D6.5)
6JV } Bj + l)!!	V J
1)	Нормировка функций gi такова, что их асимптотический вид при
кг —>- оо:
gi(kr)&	у—	'—!-.	D6.4а)
кг
2)	Степень кг совпадает с порядком функции Yjm, в произведении с кото-
которой выступает gj. Тем самым оправдывается пренебрежение членами в А,
содержащими шаровые функции более высокого порядка.

§ 46	ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ	197
В результате получим
V ^з \^з н~ 1)-'
где введены величины
D6.7)
(напомним, что lj,-m — (~l)J~m^m)- Величины D6.7) называ-
называют 2J -польными электрическими моментами перехода системы
по аналогии с соответствующими классическими величинами (II,
Для электрона во внешнем поле pfi = ф%ф%^ и тогда величины
D6.7) вычисляются как матричные элементы от классической
величины
47Г rJY-
В нерелятивистском (по скоростям частиц) случае момент
перехода может быть в принципе вычислен аналогичным обра-
образом для любой системы N взаимодействующих частиц. При этом
плотность перехода выражается через волновые функции систе-
системы в виде
N
pfi(r) = /^/(ГЬ • • • > Гдг)^г(гь . . . , Г#) ^ <*(Г - Гп) • d?Xi . . . d?XN,
*	п=1
D6.8)
где интеграл берется по всему конфигурационному простран-
пространству 2) .
Использованная нами волновая функция фотона соответству-
соответствует (в координатном представлении) нормировке на E-функцию по
шкале о;, как и предполагается в формуле D4.2). Подставив в нее
D6.6), получим вероятность ??/-излучения 3)
(э) _ 2Bj + l)(i + l) 2,7 + 1 2,Ю(э) х ,2	Ш Q)
) Мы определяем мультипольные моменты без множителя е в соответ-
соответствии с тем, что и токи определены в этой книге без зарядового множителя.
) Возможна ситуация, когда вероятность перехода обращается в нуль в
силу приближенных правил отбора, справедливых лишь в пренебрежении
спин-орбитальным взаимодействием электронов. В таком случае для получе-
получения отличного от нуля результата надо пользоваться волновыми функциями
с релятивистской поправкой, учитывающей это взаимодействие.
3) На первый взгляд могло бы показаться, что в силу изотропии простран-
пространства полная вероятность испускания фотона не должна зависеть от значения
т. Что это не так, легко понять, если заметить, что для испускания фотонов
с различными значениями т должны быть различны конечные состояния
системы (при заданном ее начальном состоянии); ср. ниже правило D6.16).

198	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
В частности, при j' = 1 имеем
wfl = —e2\(Q^_m)fi\2.	D6.10)
Величины QiJh связаны с компонентами вектора электрического
дипольного момента формулами
eQ^Q = idz, eQi±i — T—/=(dx =Ь idy).	D6.11)
Просуммировав D6.10) по значениям га, мы вернемся, как и сле-
следовало, к уже известной нам формуле D5.7) для полной вероят-
вероятности дипольного излучения.
Угловое распределение мультипольного излучения определя-
определяется формулой G.11). Нормируя ее на полную вероятность ис-
испускания Wjm, имеем
dwjm = \Y^l(n)\2Wjmdo = ™3m \VnYjm\2do.	D6.12)
В частности, для j = 1
У10 =iA/ACOs6>, Yi±i = =F4/ — sm0-e±i(p,
V 4тг	'	у 87Г
где #, <р— полярный угол и азимут направления п относительно
оси z. Вычисляя градиент, найдем, что угловое распределение
дипольного излучения с определенными значениями га дается
выражениями
7	3 • 2 Л 7	7	3 1+ COS2 в /	/ . п -, о\
аг^ю = w\o— sin vdo, dw\^±\ = w\^±\	do. D6.13)
Их можно было бы, разумеется, получить и из формулы D5.6),
положив в ней один раз (для га = 0): dx = dy = 0, dz = rf, a
другой раз (га = ±1): с^ = Tidx = d/y/2, dz = 0.
Если порядок величины размеров системы (атома или ядра)
есть а, то порядок величины электрических мультипольных мо-
моментов есть, вообще говоря, Q3jm ~ о?. Вероятность же мульти-
мультипольного излучения
w3jm ~ ak(kaJj.	D6.14)
Увеличение степени мультипольности на 1 уменьшает вероят-
вероятность излучения в отношении ~ (каJ.
Законы сохранения момента в четности приводят к опреде-
определенным правилам отбора, ограничивающим возможные измене-
изменения состояния излучающей системы. Если начальный момент си-
системы равен Ji, то после излучения фотона с моментом j момент

§ 46	ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ	199
системы может принимать лишь значения Jj, определяющиеся
правилом сложения моментов (Jj — J/ — j):
\Ji-Jf\ < j < Ji + Jf.	D6.15)
При заданных значениях Ji и Jf тем же правилом D6.15)
определяются возможные значения момента фотона j. Но по-
поскольку вероятность излучения быстро убывает с увеличением j,
то излучение происходит в основном с наименьшей возможной
мультипольностью.
Проекции Mj, и Mf моментов J^ и Jj вместе с проекцией т
момента фотона удовлетворяют очевидному (из того же закона
сложения моментов) правилу
Mi-Mf =т.	D6.16)
Четности Pi и Pf начального и конечного состояний излуча-
излучающей системы должны удовлетворять условию Р/Рф = Рг, где
Рф — четность излученного фотона; поскольку четности могут
иметь лишь значения ±1, это условие можно записать также в
виде
РгР1 = Рф.	D6.17)
Для фотона электрического типа Рф = (—1)J, так что правило
отбора по четности для электрического мультипольного излуче-
излучения:
P{Pf = (-i)J'.	D6.18)
Правила отбора по полному моменту и по четности являются
вполне строгими и должны соблюдаться при излучении любы-
любыми системами. Наряду с этими правилами могут существовать и
другие, более жесткие, связанные с теми или иными особенностя-
особенностями структуры конкретных излучающих систем. Такие правила
неизбежно имеют лишь более или менее приближенный харак-
характер; мы рассмотрим их в дальнейших параграфах этой главы.
Зависимость вероятности испускания от квантовых чисел га,
Mi, Mf всецело определяется тензорным характером мульти-
польных моментов. Величины Qjm с заданным j составляют сфе-
сферический тензор ранга j. Зависимость его матричных элементов
от указанных квантовых чисел дается формулой
\{nfJfMf\Qh_m\nlJlMl)\2=^f ^ _\
D6.19)
(см. Ill, A07.6)), где буква п условно обозначает совокупность
остальных, помимо J и М, квантовых чисел состояния систе-
системы. Стоящие в правой стороне равенства D6.19) приведенные

200	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
матричные элементы от чисел m, Mi, Mf не зависят. Подстав-
Подставленная в D6.9) эта формула и определит искомую зависимость,
которая оказывается пропорциональной
з J* \2
т -Mi)
(при этом предполагается, конечно, что излучатель не находится
во внешнем поле; тогда частота перехода ио не зависит от чисел
Mi и Mf).
Просуммировав вероятность по всем значениям Mf (при за-
заданном Mi), мы получим полную вероятность испускания фото-
фотона данной частоты с начального уровня системы щЗ^ В силу
изотропии пространства очевидно, что эта величина не будет за-
зависеть также и от начального значения Mi. Суммирование осу-
осуществляется с помощью формулы
\rii3i)\z D6.20)
Mf	ZJi + i
(см. Ill, A07.11)).
§ 47. Магнитное мультипольное излучение
Волновая функция фотона магнитного типа А^ = @, А), где
А дается формулой G.6). Подставив ее в D6.1), получим для
матричного элемента перехода
Vt- - -е^- fdsr-\f(r) (do -e~ikrY^*(n)	D7 Л
Z7T J	J
Компоненты вектора Y^ выражаются согласно G.16) через ша-
шаровые функции порядка j. Воспользовавшись снова разложени-
разложением D6.3), получим для внутреннего интеграла
/¦
и после подстановки gj из D6.5) :)
ЛТ ' — 1 ?ш	\ • / \ 7"Ж7"\-М-/^|	1 7О
1/ р . 	 	рл J 	 I 1 /> • I Т* IТ*'' ж	1^1 /7 Т*
/г	Bi +1)!! У J/U y J'm \r)
Сюда надо подставить согласно определению G.4):
) Не смешивать ток j с моментом j\

§ 47	МАГНИТНОЕ МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ	201
После этого преобразуем под интегралом
и получим
где введены величины
/^/3 D7-3)
Их называют 2J -полъными магнитными моментами перехода.
Ввиду аналогии между выражениями D7.2) и D6.6) для ве-
вероятности испускания получается формула, отличающаяся от
D6.9) лишь заменой электрических моментов магнитными. Оста-
Остается в силе также и формула D6.12) для углового распределения
(как уже было отмечено в связи с G.11)).
Рассмотрим структуру выражения D7.3) при j = 1. В этом
случае функции
rY iz	гУ = Т^= (я ±
а их градиенты равны просто циркулярным ортам ev ;,
G.14). Поэтому величины e{Qim)fi представляют собой сфери-
сферические компоненты вектора
13х,	D7.4)
который по своей структуре аналогичен классическому магнит-
магнитному моменту (см. II, § 44). Полная вероятность Л/fl-излучения
выражается через эту величину формулой (обычные единицы)
г.	D7.5)
Покажем, каким образом формула D7.4) связана с обычным
квантовым нерелятивистским выражением оператора магнитно-
магнитного момента.
Выражение тока перехода (см. III, § 115):
3fi = -^/V^ - ФгУф}) + fg rotW$s^),	D7.6)
где /i — магнитный момент частицы, s — ее спин. Поэтому
~
?- J фг
^[г)]ё3х. D7.7)

202	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
Во втором члене пишем
Гi/>i[rV]il>*fd3x = - [ ф}[гЧ^3х + f то1{гф)ф^3х.
Последний интеграл преобразуется в интеграл по бесконечно
удаленной поверхности и обращается в нуль. Таким образом, два
первых члена в D7.7) одинаковы. В третьем члене преобразуем
интеграл следующим образом (временно обозначаем F = ф^рьф^:
f[r[VF]]d3x = (f)[r[d{ • Р]] - f[[FV]r]d3x.
Интеграл по поверхности обращается в нуль, а в последнем ин-
интеграле имеем: [[FV]r] = —Fdivr + F = —2F. Таким образом,
f[riotF}d3x = 2 I Fd3x.
В результате выражение для /л^ принимает вид
где L = —i[rV] — оператор орбитального момента частицы. Как и
должно быть, jjLji оказывается матричным элементом оператора
? = -^L + ^s,	D7.9)
2т	s
складывающегося из операторов орбитального и собственного
магнитных моментов частицы.
Правила отбора для магнитного мультипольного излучения
аналогичны правилам для электрического случая: для полного
момента справедливы те же правила D6.15),D6.16), а для чет-
четности — правило
PiPf = (-l)i+1,	D7.10)
получающееся подстановкой в D6.17) четности Mj-фотона: Рф =
i1
§ 48. Угловое распределение и поляризация излучения
Выведенные в § 46 и 47 формулы относились к испусканию
фотона с определенными значениями момента j и его проекции
т. Соответственно предполагалось, что и излучающая система
(скажем, ядро) до и после испускания обладает не только опре-
определенными значениями момента J, но и определенными поляри-
поляризациями, т. е. значениями М.

§ 48	УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ	203
Рассмотрим теперь более общий случай излучения частично
поляризованным ядром (размеры которого по-прежнему пред-
предполагаются малыми по сравнению с длиной волны). Испускае-
Испускаемый фотон по-прежнему обладает определенным моментом j,
но может быть частично поляризован. Найдем вероятность ис-
испускания как функцию направления п фотона. Она должна быть
выражена через матрицы плотности, описывающие поляризаци-
поляризационные состояния ядра и фотона.
Для этого предварительно напишем вероятность испускания
как функцию направления п и спиральности А фотона (А = =Ы)
для случая, когда начальное и конечное ядра обладают опреде-
определенными значениями: 3{М{ и JfMf.
Матричный элемент испускания фотона с определенными jm
пропорционален матричному элементу 2-7-польного (электриче-
(электрического или магнитного) момента ядра:
(JfMfJmlVlJiMi) <х (-l)m(J/M/|Qi,_m|JiMi).	D8.1)
Волновая функция испущенного фотона (в импульсном пред-
представлении) пропорциональна Y^(n) или Y^(n). Волновая же
функция фотона с импульсом в направлении п и спиральностью
А пропорциональна вектору поляризации е' К Матричный эле-
элемент испускания фотона пА получится перемножением D8.1) с
проекцией волновой функции состояния \jm) на волновую функ-
функцию состояния |пА):
Согласно A6.23) для фотонов обоих типов
e(A)*Yjm(n)<x^(n).	D8.2)
Матричный же элемент мультипольного момента выражаем
обычным образом через приведенный элемент. В результате по-
получаем амплитуду вероятности перехода в виде
(J/M/;nA|F|JlM,)a(-l)^-^+-(_^/ Jm Д) QD<&(n),
D8.3)
где Q обозначает (Jf\\Q\\Ji).
Теперь мы можем перейти к общему случаю смешанных по-
поляризационных состояний. Согласно общим правилам квантовой
механики вероятность перехода будет пропорциональна

204	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
выражению г)
(го)
х (М^рЩмЩМ'^ЩЦХЧр^Х), D8.4)
где pW, p(f', p^) — матрицы плотности начального ядра, конеч-
конечного ядра и испущенного фотона; символ (га) под знаком суммы
означает, что суммирование производится по всем дважды по-
повторяющимся га-индексам (MiM^MfM^W). В D8.4) надо под-
подставить D8.3).
Обозначим вероятность испускания фотона в телесный угол
do через w(n)do. Полная вероятность испускания по всем направ-
направлениям и со всеми поляризациями фотона и вторичного ядра не
зависит, очевидно, от начального поляризационного состояния
ядра. Она дается уже известными нам формулами и нас здесь не
интересует. Поэтому условимся нормировать вероятность w(n)
на 1. Для нее получается 2)
w(n) =
(m)
-4 Д) (-M'f -т> M
1) Если начальное и конечное состояния системы описываются суперпози-
суперпозициями
n	m
то матричный элемент
а его квадрат
nn mm
Переход к случаю смешанных состояний осуществляется заменой
ппппг —г Pnni 1	^т'^т —' Рт'т
так что
К/1^Ю|2 "> Yl y^y^'n'Pni'Pm'm-
nn' mm'
2)При преобразованиях знакового множителя можно пользоваться тем,
что числа 2Ji, 2J/, 2Mj, 2M/ одинаковой четности. Напомним также, что
числа j, m целые, а Л = ±1.

§ 48	УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ	205
(в правильности нормировки мы убедимся ниже). Преобразу-
Преобразуем эту формулу, разложив произведение двух D-функций в ряд
A10.2) (см. III)
\\'+т' n(j) n(j)	_
)	VXmU_x,_m, -
( з \(
-A' -Aj[m -mf -
(индексы Л = А — A7, /j = m — m'] L — целые числа, L ^ 2j).
Таким образом, получаем окончательно
L (го)
C 3 L\(j j L\f Jf j Ji\
\\ -A' -A) ym -m' -n) {-Mf -m MJ
M
-M'f -m>
х(М;|р(Л|М/)(Л'|рG)|А). D8.5)
Как и выше, X}(m) означает суммирование по всем (дважды по-
повторяющимся) m-индексам. При этом надо помнить об отличии
индексов А, А7 от остальных m-индексов: суммирование по ним
производится не по всем 2j +1 возможным (при данном j-индек-
се) значениям, а лишь по двум значениям: А, А7 = =Ы, отвечаю-
отвечающим двум поляризациям фотона.
Формула D8.5) содержит в себе всю необходимую информа-
информацию об угловом распределении испускаемых фотонов и их поля-
поляризации, а также о поляризации вторичных (т. е. испустивших
фотон) ядер. При этом подразумевается, что начальная матрица
плотности задана.
Угловое распределение. Угловое распределение фотонов
получится суммированием по всем поляризациям фотона и вто-
вторичного ядра. Усреднение по поляризациям осуществляется под-
подстановкой матриц плотности неполяризованных состояний:
(A|pW|A'> = 16хх,, {Mf\pW\M'f) = -J—SMfM,f, D8.6)
после чего суммирование сводится к умножению на 2 (для фото-
фотона) или на 2Jf + 1 (для ядра). Другими словами, суммирование
осуществляется просто заменой
W ^ 6MfM,.	D8.7)

206	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
Таким образом, угловое распределение
L (m)
C j L\( j j L \ / Jf j Ji\
x U A 0){m m' pL ) {M m MJ x
C j L\( j j L \ / Jf
U -A 0){m -m' -pL ) {-M
f j
-m' -pL ) {-Mf -m MJ
Эту формулу можно существенно упростить, произведя сум-
суммирования по т-индексам.
Прежде всего замечаем, что
5	S
и потому сумма
(J J Ll = / 2 (i -1 о) при четных L^
^^ \А —А 0у I гл	г
A=±i	I, U	при нечетных L.
Таким образом, в сумме по L остаются лишь члены с четными L,
т. е. в нее входят шаровые функции (Dq ') лишь четных поряд-
порядков. Этот результат можно было предвидеть: в силу сохранения
четности вероятность должна быть инвариантна по отношению
к инверсии, т. е. к замене п —>• —п.
Таким образом,
L
3 3
х
х lyL) [т -т' -ц) \-Mf
(го)
L \( Jf j J%\
' -ц) \-Mf -га MJ
-га'
Отметим, что здесь легко проверить нормировку: в силу фор-
формулы
после интегрирования по направлениям остается лишь член с
L = \i = 0; с помощью формул
C 3
\т —т
2
убедимся, что интеграл равен 1.

§ 48	УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ	207
Дальнейшее суммирование по mm!Mf во внутренней сумме
в w(n) производится с помощью формулы A08.4) (см. III). В
результате получим для углового распределения фотонов следу-
следующую окончательную формулу:
п>(п) = (_1)
4тг
j j
где обозначено
-1 o)\
>«
^S*=(-1)L"^l^-	D8-10)
Внутренняя сумма в D8.9) берется по всем \\i\ ^ L, а внешняя —
по всем четным значениям L, удовлетворяющим условиям
L ^ 2j, L ^ 2Ji	D8.11)
(эти условия — следствие правила треугольника, которому дол-
должны удовлетворять j-индексы в З^'-символах, фигурирующих в
D8.9), D8.10)). В силу этих условий число членов в сумме обычно
невелико. Так, при Ji = 0 или 1/2 остается лишь член с L = 0, т. е.
излучение изотропно (легко убедиться в том, что член с L = 0
равен !/4, как и должно было быть по условию нормировки). При
Ji = 1, 3/2 или при j = 1 в сумме по L остается два члена: L = 0,
2. Отметим также, что если матрица плотности pW диагональна
(Mi = Мг7), то \i = 0, и функция распределения D8.9) принима-
принимает вид разложения по полиномам Лежандра (согласно A6.5) и
E8.23) (см. III) функции Dqo сводятся к функциям P^(cos^)).
Наконец, если
(Mi|pW|M/> = l/BJi + l)JM.M/,
т. е. начальное ядро не поляризовано, то все VL = 0, кроме
7 оо — -1- ) •
:) Действительно, заметив, что
J О J
-М' О
имеем
J L
(
Е/ -,\J-m' ( J L
мм>^~1)	\-М' р М)°мм' =
/о т I 1 V ^ J L L\( J 0 J
после чего из определения D8.10) найдем указанный результат.

208	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
Величины Vbfi — удобные характеристики поляризационно-
поляризационного состояния ядра; назовем их поляризационными моментами.
Формула D8.10) определяет эти величины через матрицу плот-
плотности рмм'- Прямой проверкой легко убедиться в справедли-
справедливости обратной формулы, выражающей эту матрицу через поля-
поляризационные моменты:
V^ 2L + 1.-L, i\j-M' ( J
M
Пусть /l^ — некоторый сферический тензор, зависящий от
поляризационного состояния ядра. Согласно общим правилам
(см. III, A4.8)) его среднее значение в состоянии с матрицей плот-
плотности рмм1 равно
7ьЙ = Е PMM>(JM'\fLfl\JM).	D8.13)
ММ'
Выразив матричные элементы величин /^ через приведенный
элемент (J\\fb\\J) согласно
{JM'\fL»\JM)=iL(-l)J-M'(_JMl L ^j(J\\fL\\J)
и введя поляризационные моменты согласно определению D8.10),
получим
Поляризация фотона. При заданных (наряду с р^) матри-
матрицах р^ и р(Н формула D8.5) определяет вероятность перехода,
при котором испускаемый фотон и ядро оказываются в опреде-
определенных поляризационных состояниях. Эти состояния являются
по существу характеристикой не процесса излучения как тако-
такового, а тех детекторов, которые регистрируют фотон и ядро от-
отдачи, выделяя их определенные поляризации. Более естественна
другая постановка вопроса, в которой конечное состояние систе-
системы «ядро+фотон» заранее не фиксируется, и требуется опреде-
определить поляризационную матрицу плотности этого состояния при
заданном лишь направлении испускания фотона.
Ответ на этот вопрос дается той же формулой D8.5). Если
представить ее в виде
}})^ D8.15)
(ш)
то выражение (Mf, п\\р\М*] пА7) и будет искомой матрицей
плотности, так как согласно общим правилам квантовой механи-
механики вероятность w перехода в наперед заданное состояние дается

§ 48	УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ	209
ее «проекцией» на данные р^)р^'. Множитель w(n) выделен в
D8.15) для того, чтобы эта матрица была нормирована обычным
условием
XMf
Если мы интересуемся поляризацией только фотона, то надо
просуммировать по Mf = М'г\
\/) = ^(М/;пАИМ/;пА/).
Mf
Вполне аналогично выводу формулы D8.9) получим
8тггп(п)
D8.16)
(Л = А — А7), причем суммирование производится по всем целым
значениям L, удовлетворяющим условиям D8.11).
В частности, круговая поляризация определяется парамет-
параметром Стокса
(см. задачу к § 8). В силу соотношения D8.8) в этой разности
выпадают все члены с четными L, и для ^2 получается формула,
отличающаяся от выражения D8.9) лишь тем, что суммирование
производится по нечетным (вместо четных) значениям L.
Поляризация вторичных ядер. Наконец, если нас интере-
интересует только конечная поляризация ядер, надо положить р^ —>> 6.
Если при этом произвести также и интегрирование по направле-
направлениям фотона, то матрица плотности вторичного ядра будет
(Mf\p\M'f)= fw(n)(Mfn\p\M'fn)do =
Jf j i
f -m Мг
t ( Jf j Ji
г {-Mf - М
-m

210	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
Вычисленные по этой матрице поляризационные моменты равны
%. D8.17)
Если начальное ядро не поляризовано, то и конечное ядро не
будет поляризовано. Однако при этом будет иметься корреля-
корреляционная поляризация, т. е. поляризация ядра после излучения в
заданном направлении. Положив pW —>> S/BJi + 1) (и соответ-
соответственно w(n) = 1/Dтг)) и произведя вычисление, аналогичное
выводу D8.9), получим для описывающей эту поляризацию
матрицы плотности
(M/;n|p|M};n) =
{ -l o)[-M'f \i Mf
чет L	\ J
Соответствующие этой матрице поляризационные моменты
j L\ (Jf Jf
Возникают моменты лишь четного порядка (это — тоже след-
следствие упоминавшегося уже сохранения четности).
Если вторичное ядро в свою очередь излучает, то, будучи
поляризованным, оно даст неизотропное распределение фото-
фотонов. Так как поляризационные моменты D8.19) зависят от на-
направления п фотона, испущенного при первом распаде, возника-
возникает определенная корреляция между направлениями последова-
последовательно испущенных фотонов (при неполяризованном первичном
ядре). Аналогичным образом могут быть рассмотрены и другие
корреляционные явления при каскадных испусканиях (корреля-
(корреляция поляризаций и т. п.) :)
Задача
Связать поляризационные моменты Vi^ и 7^2/л со средними значениями
вектора момента J и тензора квадрупольного момента Q%k-
Решение. Приведенные элементы вектора J и тензора Qik
определяются из равенств
т = (j\\j\\jJ ^г = (JWQPf
2J + 1 ' Чл 2J + 1
1) Подробное изложение этих вопросов можно найти в статье А. 3. Дол-
гинова в книге «Гамма-лучи» (изд-во АН СССР, 1961).

§ 49	ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТИП	211
(ср. III, A07.10), A07.11)). Оператор Qik выражается через операторы мо-
момента формулой G5.2) (см. III):
^* =
^* = 2JBJ- 1
Отсюда находим среднее значение
ж _ 3Q2	2 2	23(J + l)BJ
1J" v™ "' ^ 2JBJ-1)
Приведенные матричные элементы:
(j\\j\\j} =
/3BJ + l)(J+l)BJ + 3)
(J\\Q\\J) = Q^j	2JBJ - l)	•
Из D8.14) видно теперь, что поляризационные моменты Vi^ совпадают со
сферическими компонентами вектора
3 *
а моменты 7^2^ — со сферическими компонентами тензора
10 JB J - 1) Q,fc
3) g '
§ 49. Излучение атомов. Электрический тип :)
Энергии внешних электронов атома (принимающих участие
в оптических радиационных переходах) в грубой оценке имеют
порядок величины Е ~ me4//i2, так что излучаемые длины волн
А ~ Нс/Е ~ К2/(ате2). Размеры же атома а ~ К2/те2. По-
Поэтому в оптических спектрах атомов, как правило, выполняется
неравенство а/А ~ о « 1. Такой же порядок величины имеет
отношение v/c ~ а, где v — скорости оптических электронов.
Таким образом, в оптических спектрах атомов выполняется
условие, в силу которого вероятность электрического дипольного
излучения (если оно допускается правилами отбора) значительно
превосходит вероятности мультипольных переходов 2) . В связи
с этим в спектроскопии атомов наиболее важную роль играют
именно электрические дипольные переходы.
:)В § 49-51, 53-55 пользуемся обычными единицами.
) Типичные значения вероятности дипольных переходов в оптической
области спектра атомов имеют порядок 108 с.

212	ИЗЛУЧЕНИЕ
Как уже указывалось, такие переходы подчинены строгим
правилам отбора по полному моменту атома J и по четности
Р1):
\J' - J\ ^l^J + Jf,	D9.1)
PPf = -1.	D9.2)
Неравенство | J' — J\ ^ 1 означает, что момент J может меняться
лишь на 0, ±1; в силу неравенства J + J' ^ 1 дополнительно
запрещен переход 0 —>> 0. Четности начального и конечного со-
состояний должны быть противоположны 2) .
Вероятность излучения с переходом nJM —>> п'J'M' опреде-
определяется соответствующим матричным элементом дипольного мо-
момента атома согласно
w(nJM -> n'J'M1) = —\(nfJfMf\d-m\nJM)\2,	D9.3)
3hcs
со = ui(nJ —>> n J1).
Просуммировав D9.3) по всем значениям М' = M — т (при за-
заданном М), мы получим полную вероятность излучения данной
частоты с атомного уровня nJ. Суммирование производится с
помощью D6.20) и дает
w(nJ -> n'J') = ^L^—\(nrJr\\d\\nJ)\2.	D9.4)
Стоящий здесь квадрат модуля приведенного матричного эле-
элемента иногда называют силой линии перехода] эта величина сим-
симметрична относительно начального и конечного состояний.
Наблюдаемая интенсивность излучения получается умноже-
умножением w на fko и на число атомов в источнике, находящихся на
данном возбужденном уровне (Nnj). Так, в газе с температурой
Т это число Nnj ос BJ + 1) exp(—Enj/T); множитель BJ + 1) —
статистический вес уровня с моментом J.
Дальнейшие заключения о вероятностях перехода в атомных
спектрах можно сделать лишь при конкретизации характера со-
состояний атома. Мы не станем останавливаться здесь на методах
расчета матричных элементов, степень приближенности которых
не имеет четкого теоретического характера. Выведем лишь неко-
некоторые соотношения для довольно широкой (в особенности в лег-
1) Будем теперь обозначать квантовые числа начальных и конечных со-
состояний соответственно буквами без штриха и со штрихом. Буквами п, п'
будут обозначаться совокупности остальных (помимо указываемых явно)
квантовых чисел, определяющих состояния системы.
) Правило отбора по четности было установлено Лапортом (О. Laporte,
1924).

§ 49	ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТИП	213
ких атомах) категории состояний, построенных по типу LS-свя-
зи(см. III, § 72). Такие состояния характеризуются, помимо пол-
полного момента, также и определенными значениями сохраняю-
сохраняющихся в этом случае орбитального момента L и спина S.
Поскольку дипольный момент представляет собой чисто ор-
орбитальную величину, его оператор коммутирует с оператором
спина, т. е. его матрица диагональна по числу S. По числу же
L для дипольного момента имеют место такие же правила отбо-
отбора, как для любого орбитального вектора (см. III, § 29). Таким
образом, переходы между состояниями, построенными по LS-th-
пу, подчинены дополнительным (помимо D9.1), D9.2)) правилам
отбора:
S" - S = 0,	D9.5)
\Lf -L\ ^1^L + Lf.	D9.6)
Подчеркнем лишний раз, что эти правила — приближенные и на-
нарушаются при учете спин-орбитального взаимодействия.
Отметим, что правило D9.5) (запрещение переходов меж-
между термами различной мультиплетности) справедливо не только
для дипольных, но и для всех вообще переходов электрическо-
электрического типа: электрические мультипольные моменты всех порядков
представляют собой орбитальные тензоры, так что их матрицы
диагональны по спину. Так, для электрических квадрупольных
переходов, помимо общих правил
| J1 - J\ <: 2 ^ J + J', РР1 = 1,	D9.7)
в случае LaS-связи имеют место дополнительные правила отбора:
S" - S = 0, \Lf - L\ ^ 2 ^ L + L'.	D9.8)
Зависимость вероятности излучения от чисел *S, J, J' может
быть определена в явном виде. Этот вопрос непосредственно ре-
решается с помощью общих формул для матричных элементов сфе-
сферических тензоров при сложении моментов. Согласно формуле
A09.3) (см. III) имеем 1):
\(nfLfSJf\\d\\nLSJ)\2 =
\(n'L'\\d\\nL)\2. D9.9)
:) В формулах т. Ill, § 109 под «моментами подсистем 1 и 2» надо понимать
теперь орбитальный момент и спин атома, взаимодействием между которы-
которыми пренебрегаем. Роль величин /} играет орбитальный вектор dq.

214	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
Подставив это в D9.4), получим
( тот	I т1 о т/\ 4cJ3
wynLbJ —)> п L bJ
LSJ)
3hcs	[	J
D9.10)
причем oo = oo(nLS —>• n'L'S) x).
Для этих вероятностей можно получить определенное прави-
правило сумм. Для квадратов б^-символов имеет место формула сум-
суммирования (см. III, A08.7))
С ее помощью находим из D9.10)
n'L'SJ') = — —!—\(riL'\\d\\nL)\2. D9.12)
Отметим, что эта величина оказывается не зависящей от началь-
начального значения J.
Если мы имеем дело с излучением газа с температурой, много
большей интервалов тонкой структуры атомного терма nSL, то
состояния с различными J заселены равномерно, т. е. все значе-
значения J равновероятны. Вероятность того, что атом находится на
уровне с некоторым определенным значением J, в таком случае
равна
	2-^±1		D9.13)
BL + 1)B5 + 1)'	V	J
т. е. отношению статистического веса этого уровня к полному
статистическому весу терма nSL. Усреднение выражений D9.10)
или их сумм D9.12) по этим вероятностям сводится к умножению
на фактор D9.13); обозначим это усреднение чертой над буквой.
Полная вероятность излучения всех линий спектрального муль-
типлета (образованного всеми возможными переходами между
компонентами тонкой структуры двух термов nSL и п'SL') есть
сумма:
w(nLS -> n'L'S) = ^2^2w(nLSJ -> n'L'SJ').	D9.14)
J J'
Поскольку, разумеется, ^2jBJ + 1) = BS + 1)BL + 1), для пол-
полной вероятности получается выражение, совпадающее с D9.12).
1) Пренебрегая спин-орбитальным взаимодействием при вычислении ма-
матричных элементов, мы пренебрегаем также и зависимостью частот от J и
J , т. е. тонкой структурой начального и конечного уровней атома.

§ 49	ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТИП	215
Поэтому для относительной вероятности (или, что то же, отно-
относительной интенсивности) отдельной линии получим
wjnLSJ -> n'L'SJ') = BJ
Г Z/ J' SY
w(nLS -+ n'L'S)	B5 + 1)
Анализ численных значений, даваемых этой формулой, об-
обнаруживает, что среди линий мультиплета наиболее интенсивны
те, для которых AJ = AL (их называют главными линиями, в
отличие от остальных компонент мультиплета, называемых са-
сателлитами). При этом интенсивность главных линий тем боль-
больше, чем больше начальное значение J.
Суммирование величин D9.15) по J или по J' дает
n'L'SJ')	2J + 1
w(nLS -+ n'L'S)	" BL + 1)B5 + 1)'	(	,
,j wjnLSJ -> n'L'SJ1) _	2J' +1	^ ' ^
> n'L'S)	BL + 1)B5 + 1)'
Таким образом, сумма интенсивностей всех линий спектрально-
спектрального мультиплета, имеющих один и тот же начальный (или конеч-
конечный) уровень, пропорциональна статистическому весу начально-
начального (или конечного) уровня.
Остановимся еще на сверхтонкой структуре спектральных
линий атома. Напомним, что сверхтонкое расщепление атомных
уровней возникает в результате взаимодействия электронов со
спином ядра, если последний отличен от нуля (см. III, § 122).
Полный момент атома (вместе с ядром) F складывается из пол-
полного момента электронов J и момента ядра I. Каждая компо-
компонента сверхтонкой структуры уровня nJ характеризуется своим
значением квантового числа F'.
Строгий закон сохранения момента приводит теперь к стро-
строгому правилу отбора для полного момента F] при электрическом
дипольном излучении
\Ff -F\ ^1^F + Ff.	D9.17)
Но ввиду чрезвычайной слабости взаимодействия электронов со
спином ядра им можно вовсе пренебречь при вычислении ма-
матричных элементов электрических (и магнитных) моментов элек-
электронной оболочки атома. Поэтому остаются справедливыми так-
также и прежние правила отбора по электронному моменту J и
по электронной четности. В частности, в силу последнего невоз-
невозможны электрические дипольные переходы между компонентами
сверхтонкой структуры одного и того же терма: все эти уровни
обладают одинаковой четностью, между тем как указанные пере-
переходы возможны лишь между состояниями различной четности.
Поскольку оператор дипольного момента коммутирует со спи-
спином ядра, зависимость матричных элементов от чисел / и F

216	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
может быть найдена в явном виде; эти вычисления лишь оче-
очевидным изменением обозначений отличаются от произведенных
выше для LS-связи. Вероятность излучения, просуммированная
по конечным значениям проекции полного момента F:
w(nJIF->n'fIF')=4uS l \{n'J'lF'\\d\\nJIF)\2, ,
v	; 3ftc32F + llx	" "	л ' D9.18)
ш = w(nJ —>¦ n'J1),
причем квадрат приведенного матричного элемента
\(n'j'lF'\\d\\nJIF)\2 =
{y j {} \(n'J'\\d\\nJ)\2. D9.19)
Задача
Большинство линий в спектрах щелочных металлов можно описать как
результат переходов одного внешнего (оптического) электрона в самосогла-
самосогласованном поле атомного остатка, образующего замкнутую конфигурацию;
состояние атома построено по типу LS-связл. В этих предположениях опре-
определить относительные интенсивности компонент тонкой структуры спек-
спектральных линий.
Решение. Полные моменты L и S = Уз атома совпадают с орбиталь-
орбитальным моментом и спином оптического электрона.Поэтому четность состояния
-j=l+72 Равна (~1)L (четность замкнутой конфигурации
атомного остатка положительна). Правила отбо-
j=l- /2 ра п0 четности запрещают, следовательно, диполь-
ный переход с L' = L, так что возможны лишь
переходы с L — L = ±1. Переходы между компо-
¦ J=l- 1li нентами дублетных уровней n, Lnn, L — 1 дают в
j=l- з/2 силу правила отбора по J всего три линии (рис. 1).
Их относительные интенсивности (обозначим их
Рис. 1	а, 6, с) проще определить, не прибегая непосред-
непосредственно к формуле D9.15), из правил D9.16). Со-
Составляя отношения суммарных интенсивностей линий с одним или другим
начальным (или конечным) уровнем, получаем два равенства:
b + c _ 2L	a + b _ 2L
а ~ 2L + 2' с ~ 2L-2'
откуда
a:h:c=[{L + 1)BL - 1)] : 1 : [(L - 1)BL + 1)].
Если L=l, то нижний уровень не расщеплен, линия с отсутствует, а а/Ь=2.
§ 50. Излучение атомов. Магнитный тип
Магнитный момент атома по порядку величины дается бо-
ровским магнетоном: /i ~ еН/тс. Эта оценка отличается множи-
множителем а от порядка величины электрического дипольного момен-
момента: d ~ еа ~ Н2/(те) (поскольку и v/c ~ а, то \i ~ dv/c, как и
71, L
а
Ъ
с
п',
Т.-Л '

§ 50	ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ. МАГНИТНЫЙ ТИП	217
следовало ожидать). Отсюда следует, что вероятность магнитно-
магнитного дипольного (Ml) излучения атомом примерно в о? раз меньше
вероятности электрического дипольного излучения (той же ча-
частоты). Поэтому магнитное излучение фактически играет роль
лишь для переходов, запрещенных правилами отбора электриче-
электрического случая.
Что касается электрического квадрупольного (Е2) излуче-
излучения, то отношение его вероятности к вероятности М1-излучения
по порядку величины равно
Е2 (еа2Jии2/с2 а4т2ии2 (АЕ\2	/СП1ч
	 ~	— ~ 	 ~ 		EU.1)
Ml	^	И?	\ Е J	У J
(квадрупольный момент ~ еа2, Е ~ In?/та?—энергия атома,
АЕ — изменение энергии при переходе). Мы видим, что для сред-
средних атомных частот (т. е. при АЕ ~ Е) вероятности Е2- и М1-из-
лучений имеют одинаковый порядок величины (при условии, ра-
разумеется, что то и другое разрешено правилами отбора). Если же
АЕ <С Е (например, для переходов между компонентами тонкой
структуры одного и того же терма), то 7\/fl-излучение более ве-
вероятно, чем ?72-излучение.
Магнитные дипольные переходы подчинены строгим прави-
правилам отбора
\Jf - J\ ^ 1 ^ J + J',	E0.2)
РР1 = 1.	E0.3)
В случае LaS-связи возникают дополнительные правила отбо-
отбора, даже еще более ограничительные, чем в электрическом слу-
случае. Последнее обстоятельство связано со специфическим свойс-
свойством магнитного момента атома, возникающим в результате оди-
одинаковости всех частиц в системе (электроны). Именно, оператор
магнитного момента атома выражается через операторы его пол-
полных орбитального и спинового моментов:
? = -/iO(L + 2S) = -/iO(J + S),	E0.4)
где /io = |e\H/Bmc) —магнетон Бора (см. III, § 113). Ввиду со-
сохранения полного момента оператор J вообще не имеет недиа-
недиагональных по энергии матричных элементов; так что в теории
излучения достаточно писать д = / )
При пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием
каждый из моментов L и S сохраняется по отдельности. Поэтому
:) Исключение представляют случаи, когда электронный момент атома J
не сохраняется: при учете сверхтонкой структуры, в присутствии внешнего
поля и т. п. (см. задачи).

218	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
оператор спина диагоналей по всем квантовым числам nSL, ха-
характеризующим нерасщепленный терм. Для того чтобы вообще
имел место какой-либо переход, должно, следовательно, непре-
непременно измениться число J. Таким образом, имеем правила отбора:
п' = щ S' = S, L' = L, J'-J = ±l,	E0.5)
т. е. переходы возможны лишь между компонентами тонкой
структуры одного и того же терма.
Вычисление вероятности излучения в этом случае может
быть произведено до конца. Изменив соответствующим образом
обозначения в формуле D9.10), найдем
Входящий сюда приведенный матричный элемент спина по от-
отношению к собственным функциям его самого дается формулой
(S\\S\\S) = y/S(S+l)BS + l)	E0.6)
(см. III, B9.13)). Нужный нам б^'-символ равен
(S J-l L\2 _ (L + S + J + 1)(L + S - J + 1)(L - S + J)(S -L + J)
\J S 1i ~	5B5 + l)B5 + 2)BJ -1JJBJ + 1)
E0.7)
(см. таблицу в III, § 108). В результате получим
w(nLSJ -> nLS, J - 1) = ^^w(nLS, J - 1 -)¦ nLSJ) =
x (J + L-S). E0.8)
Переходы между компонентами сверхтонкой структуры од-
одного и того же уровня (их частоты лежат в радиоволновой обла-
области) вообще не могут происходить как электрически-дипольные,
поскольку все эти компоненты обладают одинаковой четностью.
Без изменения четности происходят переходы Е2 и Ml. Но ввиду
очень малой величины интервалов сверхтонкой структуры полу-
получение Е2 маловероятно по сравнению с Ml (ср. E0.1)), так что
указанные переходы осуществляются как магнитно-дипольные.
Задачи
1. Найти вероятность М1-перехода между компонентами сверхтонкой
структуры одного и того же уровня.
Решение. Вероятность перехода дается формулами D9.18),
D9.19), в которых будет фигурировать теперь диагональный приведенный
матричный элемент магнитного момента: (nJ||//||nJ). Его значение можно

§ 51	ЭФФЕКТЫ ЗЕЕМАНА И ШТАРКА	219
написать сразу, если заметить, что полный (неприведенный) матричный эле-
элемент (nJ'M\iiz\nJM) как раз определяет расщепление данного уровня в эф-
эффекте Зеемана (см. III, § 113) и равен —/logM, где g — множитель Ланде.
Приведенный же матричный элемент (см. III, B9.7))
(nJ\\fi\\nJ) = —JJ(J + 1)BJ + l)(nJM\fiz \nJM) =
M
В результате находим для искомой вероятности х)
97? _|_ 1
winJIF -+ nJI, F - 1) = 	^—winJI, F - 1 -> nJJF) =
v	) 2F-1 V	У
Это выражение отличается от E0.8) лишь очевидным изменением обозна-
2
чении и лишним множителем g .
2. Найти вероятность М 1-перехода меж:ду зеемановскими компонентами
одного и того же атомного уровня.
Решение. Речь идет о переходе М —»¦ М — 1 при неизменных значени-
значениях nJ; частота перехода (см. ниже, E1.3)): huo = fiogH (g — фактор Ланде).
Матричный элемент сферической компоненты //_i вектора /х:
(см. III, B7.12) и предыдущую задачу). Вероятность перехода
§ 51. Излучение атомов. Эффекты Зеемана и Штарка
Во внешнем магнитном поле Н (которое предполагаем сла-
слабым) каждый атомный уровень с полным моментом J расщеп-
расщепляется на 2 J + 1 уровней
W	E1.1)
) Интересный пример представляет переход между компонентами сверх-
сверхтонкой структуры основного уровня атома водорода (lsi/2), строго запре-
запрещенный не только как Е1, но и как Е2 (последнее — по правилу, запрещаю-
запрещающему квадрупольный переход с J-\-J = 1). Этому переходу отвечает частота
и = 2тг-1,42-109 с (длина волны Л = 21 см). Положив g = 2, / = х/2, J = У2,
F = 1, F7 = 0, получим	з 2

220	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
где Е(о) — невозмущенный уровень, /ig — магнетон Бора, g — фак-
фактор Ланде, М — проекция момента J на направление поля (см.
III, § 113). Вырождение по направлениям момента, таким обра-
образом, полностью снимается.
Соответственно расщепляются и спектральные линии, возни-
возникающие от переходов между двумя расщепленными уровнями.
Число компонент линии определяется правилом отбора для чис-
числа М, согласно которому при дипольном излучении должно быть
т = М-М' = 0,±1.	E1.2)
Дополнительно к этому правилу запрещены переходы с М =
= М1 = 0, если при этом J1 = J. Это непосредственно видно из
общих выражений B9.7) (см. III) матричных элементов произ-
произвольного вектора.
Компоненты, возникающие от переходов с т = 0, =Ы, назы-
называют соответственно тг- и а-компонентами. Их частоты:
- gf(M ± 1)].
В частном случае, когда g = g7, имеем
Пи* = Пио^\ noja = Пио^ т VogH,	E1.4)
независимо от значения М; другими словами, в этом случае ли-
линия расщепляется в триплет с несмещенной тг-компонентой и
симметрично расположенными по обе стороны от нее двумя
а-компонентами (так называемый нормальный эффект Зеемана).
Полная (по всем направлениям) вероятность излучения про-
пропорциональна квадрату модуля \(nfJfMf\d-m\nJM)\. Поэтому,
в силу формулы D6.19) с j = 1, относительная вероятность излу-
излучения каждой из зеемановских компонент спектральной линии
равна
М' т -М
В частном случае нормального эффекта Зеемана имеется все-
всего три компоненты, каждая из которых возникает от переходов
со всех начальных М при заданном т. Поскольку
Е (м- ™ -и) = 5
MM1 V	7
MM1
(см. III, A06.12)), в этом случае излучение всех трех компонент
равновероятно.
Больший интерес представляет, однако, относительная ин-
интенсивность зеемановских компонент при наблюдении в опреде-
определенном направлении (по отношению к направлению приложен-
приложенного к источнику магнитного поля). Согласно D5.5) вероятность

§ 51	ЭФФЕКТЫ ЗЕЕМАНА И ШТАРКА	221
излучения (а с нею и интенсивность линии) в заданном направ-
направлении п пропорциональна ^ |e*d^|2, где суммирование произ-
производится по двум независимым поляризациям е, возможным при
данном п.
При наблюдении вдоль поля (ось z) эта сумма есть
Переходя к сферическим компонентам, получаем
Это значит, что в продольном (по полю) направлении наблю-
наблюдаются лишь две сг-компоненты (га = =Ы). Их интенсивности
пропорциональны
J' I J
f=Fl ±1 -М/
Обладая определенными значениями проекции момента га вдоль
направления распространения, эти линии имеют правую (га = 1)
и левую (га = — 1) круговые поляризации (см. § 8).
При наблюдении в перпендикулярном полю направлении
(пусть это будет ось х) интенсивность пропорциональна сумме
\{dz)fl\2 + \{dy)fl\2 = \(do)ft\2 + i{|(di)/,|2 + М_1)/г|2}.
Таким образом, в поперечном направлении наблюдаются две
а-компоненты и тг-компонента с интенсивностями, пропорцио-
пропорциональными соответственно
j' I j V fjf 1 j
f =F 1 ±1 -М) ^ \M О -М
(интенсивности а-компонент вдвое меньше, чем при продоль-
продольном наблюдении). При этом тг-компонента поляризована линейно
вдоль оси z, а а-компоненты наблюдаются в этом направлении
поляризованными линейно вдоль оси у.
Отметим, что относительные интенсивности зеемановских ком-
компонент целиком определяются начальными и конечными значе-
значениями J и М вне зависимости от других характеристик уровней.
Правила отбора запрещают электрически-дипольные перехо-
переходы между зеемановскими компонентами одного и того же уров-
уровня, поскольку все они обладают одинаковой четностью. По той
же причине, которая была указана в конце предыдущего пара-
параграфа для переходов между компонентами сверхтонкой структу-
структуры уровня, указанные переходы осуществляются как магнитно-
дипольные. В силу правила отбора по числу М переходы проис-

222	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
ходят лишь между соседними компонентами (Мг — М = ±1) г) .
Расщепление уровней атома в слабом электрическом поле {эф-
{эффект Штарка), в отличие от расщепления в магнитном поле, не
приводит к полному снятию вырождения по направлениям мо-
момента. Все уровни, за исключением уровней с М = 0, остаются
двукратно вырожденными: к каждому относятся два состояния
с проекциями момента М и —М.
Вычисление относительных интенсивностей штарковских ком-
компонент спектральной линии аналогично изложенному выше для
эффекта Зеемана 2) . При этом надо иметь в виду, что в интен-
интенсивность тг-компонент дают вклад (при М ф 0) переходы М —>>
—>> М и — М —>> — М а в интенсивности сг-компонент — переходы
М —>> М ± 1 и — М —>> — (М ± 1). Поэтому, например, при по-
поперечном наблюдении эффекта интенсивности тг-компонент про-
пропорциональны
2(J' 1 J у
Z\M 0 -MJ
а интенсивности сг-компонент пропорциональны суммам
f 1 J \2, 1/ J7	I J
If
2V
( J' 1 J V
\M ± 1 Tl -М)
(напомним, что при изменении знака всех чисел второй строки
З^'-символы могут изменить лишь знак, квадраты их не меняются).
Во внешнем, даже слабом поле полный момент J, строго гово-
говоря, перестает сохраняться; в однородном поле соблюдается точно
лишь сохранение проекции момента М. Поэтому и при радиаци-
радиационных переходах в слабом поле сохранение момента становится
не строго обязательным, и в спектре атомов могут появиться ли-
линии, запрещенные обычными правилами отбора.
Вычисление интенсивностей этих линий сводится к вычисле-
вычислению поправок в матрице дипольного момента, что в свою очередь
требует определения поправок к волновым функциям стационар-
стационарных состояний. В первом приближении теории возмущений (по
слабому внешнему полю) в волновой функции появляются «при-
1)	Эти переходы обычно имеют частоты в сантиметровом диапазоне и на-
наблюдаются в поглощении и вынужденном испускании (электронный пара-
парамагнитный резонанс): поглощающие атомы находятся в сильном постоян-
постоянном магнитном поле (производящем зеемановское расщепление) и слабом
радиочастотном поле резонансной частоты.
2)	Мы имеем здесь в виду квадратичный эффект Штарка, свойственный
всем атомам, за исключением водорода (см. III, § 76). Поле предполагается
настолько слабым, что вызываемое им расщепление уровней мало по срав-
сравнению даже с интервалами тонкой структуры.

§ 52	ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ. АТОМ ВОДОРОДА	223
меси» состояний, соединенных с исходным отличными от нуля
матричными элементами возмущения (—Ed в электрическом по-
поле): добавка некоторого состояния гр2 к состоянию ф\ есть
— Edoi /
	W2-
Е\ — Е2
В результате в матричном элементе «запрещенного» перехода
появится член
- (Ed2i)d32
Е — Е '
отличный от нуля, если разрешены переходы из «промежуточ-
«промежуточного» состояния 2 в начальное и конечное состояния 1 и 3.
§ 52. Излучение атомов. Атом водорода
Атом водорода представляет единственный случай, в котором
вычисление матричных элементов перехода может быть произ-
произведено до конца в аналитическом виде (W. Gordon, 1929).
Четность состояния атома водорода равна (—1) , т. е. одно-
однозначно определяется орбитальным моментом электрона (напом-
(напомним, что число / как определяющее четность состояния сохра-
сохраняет свой смысл и для точных релятивистских волновых функ-
функций, т. е. при учете спин-орбитального взаимодействия). Поэтому
правило отбора по четности строго запрещает электрически-ди-
польные переходы без изменения /; возможны лишь переходы с
/ —>• / ± 1. Изменения же главного квантового числа п не ограни-
ограничены.
Дипольный момент атома водорода сводится к радиус-векто-
радиус-вектору электрона: d = ег. Поскольку волновая функция электрона в
атоме водорода представляет собой произведение угловой части
и радиальной функции Rni, приведенные матричные элементы
радиус-вектора тоже представляются в виде произведения
оо
(п',1 - l\\r\\nl) = A- 1\\и\\1) Г
где (/ — 11|v||/) —приведенные матричные элементы единичного
вектора v в направлении г. Последние равны
(см. III, B9.14)). Таким образом,
оо
/rif 1 	 1 ll/rHnA— 	 (nlWrWri1 / 	 1\—i\f] I 7? / i -л 7? ir^rlr f^O 1}
\ ,	II II /	\ II II ,	/	J n,l nl	К I
0

224	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
Нерелятивистские радиальные функции дискретного спектра
атома водорода даются формулой C6.13) (см. III) :)
п(+2
B/
х F(-n +1 + 1,21+ 2, —). E2.2)
П
Интеграл E2.1) с произведением двух вырожденных гипергео-
гипергеометрических функций вычисляется с помощью формул, приве-
приведенных в т. III, § i 2) . Вычисление приводит к результату
(n',l-l\\r\\nl) =
- 1)!
4B/ - 1)! у (n - / - l)!(n' - 1I	(n + n')n+n'
x \F(-n + I + 1, -n' + /, 2/, -
{n-n'Y
) E2.3)
где F(a, f3,j,z) —гипергеометрические функции. Поскольку па-
параметры а, /3 в данном случае равны отрицательным целым чи-
числам (или нулю), эти функции сводятся к полиномам 3) .
Приведем для справок выражения, получающиеся из E2.3) в
некоторых частных случаях (значение / указываем спектроско-
спектроскопическим символом «s, р, с/, ... ):
2 28п7(п-1Jп-5
(<п-\-2Jп+6
,/о и и \|2 215п9(п-2Jп-6
\Bp\\r\\ns}\ =	.
1\ ^И И /I	3(п + 2J^+6
:)В этом параграфе пользуемся атомными единицами. В обычных еди-
единицах написанные ниже выражения для матричных элементов координаты
должны быть умножены на К2/(те2) (если же речь идет о водородоподобном
ионе с номером Z, то на h2/(mZe2)).
) Во введенных там обозначениях речь идет о вычислении интеграла
^2Z2+2(~n+^+l> —n'+l). Оно осуществляется с помощью формул (f. 12)—(f. 16).
3) Численные таблицы матричных элементов и вероятностей переходов для
водорода можно найти в книге: Бете Г., Солпитер Э. Квантовая механика
атомов с одним и двумя электронами. — М.: ИЛ, 1960.

§ 52	ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ. АТОМ ВОДОРОДА	225
Формула E2.3) непригодна для переходов без изменения глав-
главного квантового числа п (переходы между компонентами тонкой
структуры уровня). В этом случае (п = п') для осуществления
интегрирования исходим из представления радиальных функций
через обобщенные полиномы Лагерра:
2 1(п-1-1)\ г,п BЛ 21+1 /2г
В интеграле
a
заменяем один из полиномов его выражением через производя-
производящую функцию (см. Ill, § d):
После (п — I — 1)-кратного интегрирования по частям получим
интеграл вида
00
00
Ie~ppn+l{?)
о
—/—1
в котором заменяем полином Лагерра его явным выражением
согласно формуле
п—т
П
После проведения дифференцирования в сумме остается всего
три члена, после чего интегрирование элементарно. Вычисление
приводит к простому результату:
(n,l-l\\r\\nl) =глД- -пл/п2-/2.	E2.6)
Интеграл
оо	оо
Г	о	Г
/ Rniji_iRnlr*dr= I Xn1 ,i-\\TXni)dr
о	о
(где Xnl = rRnl) представляет собой коэффициент разложения
функции г Xnl п0 системе ортогональных функций Хп',1-\{п' — 1?
8 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

226	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
2, ... ). Сумма квадратов модулей этих коэффициентов равна
интегралу от квадрата разлагаемой функции х) . Поэтому
ОО
[r2X2nldr.	E2.7)
Воспользовавшись известным выражением для среднего квадра-
квадрата г2 в состоянии nl (см. III, C6.16)), найдем следующее правило
сумм:
V |(п'/ - 1||г||п/)|2 = /
V |(п',/ - 1||г||п/)|2 = / —[5п2 + 1 - 3/(/ + 1)].	E2.8)
При заданных значениях п, / и больших значениях п' матрич-
матричный элемент перехода nl —>> nl' убывает по закону
|(п'Г||г|Н|2ос JL,	E2.9)
в чем можно убедиться как из частных выражений E2.4), так и
из общей формулы E2.3). Этот результат вполне естествен: куло-
новы уровни энергии Е' = — 1/2п/2 при больших п' расположены
квазинепрерывно, и вероятность перехода на какой-либо уровень
в интервале dE' пропорциональна плотности расположения этих
уровней, которая сама ос п'~3.
Эффект Штарка в водороде имеет, как известно, специфи-
специфический характер (см. III, § 77)—расщепление пропорционально
первой степени электрического поля. При этом поле предпола-
предполагается хотя и не сильным (условие применимости теории возму-
возмущений), но в то же время таким, чтобы расщепление уровней
было велико по сравнению с их тонкой структурой. В этих усло-
условиях величина момента вообще не сохраняется и уровни должны
классифицироваться по параболическим квантовым числам ni,
П2, т. Последнее из них — магнитное квантовое число т — по-
прежнему определяет проекцию орбитального момента на ось z
(направление поля), которая в данных условиях (пренебрежение
спин-орбитальным взаимодействием) сохраняется. Поэтому для
него имеет место обычное правило отбора
m/-m = 0,±l.	E2.10)
Ограничений же для изменения чисел ni, П2 не имеется.
Матричные элементы дипольного момента в параболических
координатах тоже могут быть вычислены аналитически. Полу-
1) Суммирование производится по состояниям как дискретного, так и
непрерывного спектров.

§ 52	ИЗЛУЧЕНИЕ АТОМОВ. АТОМ ВОДОРОДА	227
чающиеся формулы, однако, очень громоздки, и мы не станем
приводить их здесь г) .
Задачи
1. Найти штарковское расщепление уровней водорода в случае, когда
расщепление мало по сравнению с интервалами тонкой структуры (но вели-
велико по сравнение с лэмбовским сдвигом).
Решение.В указанных условиях остается двукратное вырождение
невозмущенных уровней с / = j' d= х/2, в связи с чем штарковское расщепле-
расщепление остается линейным по полю. Значение расщепления А определяется из
секулярного уравнения
-Д -E(dzI2 _n Д-+р|М ^
-E(dzJ1 -A -°' A-±b|(d,)i2
(индексы 1, 2 отвечают состояниям с / = j ± 1/2 и заданным магнитным
квантовым числом т\ возмущение V = —Edz диагонально по т и не имеет
элементов, диагональных по /). Матричный элемент орбитальной величи-
величины dz вычисляется с помощью формул B9.7) и A09.3) (см. III), согласно
которым
U, I - 1, m\dz \jlrn) = . . ™	=(j, / - l\\d\\jl),
0\ i - i\\d№ = -Bj +1) {' ~* \
причем надо положить / = j + г/2] величина (I — l||<i||/) берется из E2.6). В
результате получим А = ±| д/п2 — (j + 1/2J ^™^Е.
2. Определить вероятность испускания фотона при переходе между со-
состояниями 2si/2 —»¦ lsi/2 атома водорода (G. Breit, E. Teller, 1940).
Решение. Рассматриваемый процесс строго запрещен для Е1-пере-
хода по четности, а для ?72-перехода по правилу D6.15). Поэтому следует
вычислить вероятность М1-перехода, даваемую формулой D7.5). В данном
случае (/ = 0), однако, магнитный момент — чисто спиновая величина, и его
матричный элемент в пренебрежении спин-орбитальным взаимодействием
обращается в нуль в силу взаимной ортогональности орбитальных волно-
волновых функций с различными главными квантовыми числами. Это значит,
что для получения отличного от нуля ответа было бы недостаточно прибли-
приближения уравнения Паули, и надо исходить из полного уравнения Дирака.
В стандартном представлении волновых функций ток перехода )
Согласно C5.1), B4.2), B4.8) волновые функции состояний с / = 0, j = г/2
имеют вид
I /	? ( \ ( \
а. I	j \Т )W\im)
~ 4тг V -ig(r)(o-n)w(m)
где п = г/г, a w(m) — вещественный единичный 3-спинор, отвечающий зна-
значению m проекции спина. Таким образом,
jfi = —{ffgiWf<r(<m)Wi - gifiWf(<rn)<rWi}.
) Эти формулы и соответствующие численные таблицы см. в указанной
выше книге Г. Бете и Э. Солпитера.
) В этой задаче пользуемся релятивистскими единицами.

228	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
Подставив это выражение в D7.4) и произведя интегрирование по направ-
направлениям п, получим
б	б
[Iji = -—Wf[(TCr]WiI = --WfCTWil
02	о
(в силу условий коммутации матриц Паули [сгсг] = 2гсг); здесь
оо
I = fiffgi + figf)r3dr.	A)
О
Вероятность же испускания фотона D7.5), просуммированная по значениям
т/, есть
Из C5.4) имеем (при к = —1)
г -\- т -\- а/г 1т
во втором члене точная функция / заменена нерелятивистской радиальной
функцией R. Если ограничиться приближением g = R'/2m, интеграл
аг — и	w;
о	о
в силу ортогональности функций Rf и й^. В следующем приближении, с
учетом C),
оо
О
Учитывая, что в силу ортогональности точных функций гр{ и i\)f имеем (при
оо
/<
о
первый член в D) после интегрирования по частям переписываем как
0	0
Вычисление интеграла с функциями
р	0/	чЗ -mar	р	(^<^K Л ГПаГ\ -mar/2
Rf = 2(ma) e , Ri = —y=- [1	— J e
(cm. Ill, § 36) и разностью энергий
2 Л 1\ 3 2
дает / = 23'2a2 /(9m). Отсюда вероятность перехода (обычные единицы)
mc'a11 .. 1П_6 _x
Соответствующее время жизни состояний 2s i/2 очень велико, и факти-
фактически гораздо вероятнее высвечивание путем одновременного испускания
двух фотонов (см. примеч. на с. 263).

§ 53	ЭЛЕКТРОННЫЕ СПЕКТРЫ МОЛЕКУЛ	229
§ 53. Излучение двухатомных молекул.
Электронные спектры
Специфика молекулярных спектров связана в первую оче-
очередь с разделением энергии молекулы на электронную, колеба-
колебательную и вращательную части, из которых каждая следующая
мала по сравнению с предыдущей. Структура уровней двухатом-
двухатомных молекул была подробно изучена в т. III, гл. XI. Здесь мы
займемся выяснением возникающей картины спектра и вычисле-
вычислением интенсивности линий в нем :) .
Начнем с общего случая, когда при переходе меняется элек-
электронное состояние молекулы (а вместе с ним, вообще говоря, так-
также колебательное и вращательное состояния). Частоты этих пе-
переходов лежат в видимой и ультрафиолетовой областях спектра.
Об их совокупности говорят как об электронном спектре мо-
молекулы. При этом мы всегда будем иметь а виду электрически-
дипольные переходы; переходы других типов вообще мало суще-
существенны в молекулярной спектроскопии.
Как и для дипольных переходов и любой системе, справед-
справедливо правило отбора для полного момента молекулы J:
\J'-J\ < 1 ^ J + J'-	E3.1)
Строгому правилу отбора по четности системы соответству-
соответствует в данном случае правило отбора по знаку уровня; напомним,
что по принятой в молекулярной спектроскопии терминологии
состояния с волновыми функциями, не меняющими или меняю-
меняющими знак при инверсии (изменение знака координат электронов
и ядер), называются положительными или отрицательными.
Таким образом, имеем строгое правило:
+ -> -, - -> +•	E3.2)
Если молекула состоит из одинаковых атомов (с ядрами одно-
одного и того же изотопа), то появляется классификация уровней по
отношению к перестановке координат ядер: симметричные (s)
уровни с волновыми функциями, не меняющими знак при этом
преобразовании, и антисимметричные (а) уровни с функциями,
меняющими знак. Поскольку оператор электронного дипольно-
го момента этим преобразованием вообще не затрагивается, его
матричные элементы отличны от нуля лишь для переходов без
изменения этой симметрии 2) :
s —>> s, а —>> а.	E3.3)
:) Дальнейшее изложение основано на материале, содержащемся в т. III,
§ 78, 82—88. Чтобы не загромождать текст, будем избегать постоянных ссы-
ссылок на эти параграфы.
) Это правило относится, очевидно, и к переходам любой мультипольно-
сти.

230	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
Это правило, однако, не является абсолютно строгим. Дело в
том, что существование у уровня данного свойства симметрии
связано с существованием у молекулы того или иного опреде-
определенного значения суммарного спина ядер /. Ввиду чрезвычайной
слабости взаимодействия ядерных спинов с электронами спин /
сохраняется с большой точностью, но все же не строго. При учете
этого взаимодействия / не будет иметь определенного значения,
свойство симметрии (s или а) не сохраняется и правило отбора
E3.3) теряется.
Электронные термы молекулы из одинаковых атомов харак-
характеризуются также своей четностью (g или и) — поведением вол-
волновых функций при изменении знака координат электронов (отс-
(отсчитываемых от центра молекулы) при неизменных координатах
ядер. Существует тесная связь между этим свойством электрон-
электронного терма, с одной стороны, и ядерной симметрией и знаком
относящихся к этому терму вращательных уровней, с другой.
Уровни, относящиеся к четному (g) электронному терму, могут
иметь характеристики s+ или а—, а относящиеся к нечетному
терму — характеристики s— или а+. Из правил E3.2) или E3.3)
следует поэтому также правило
g -+ щ и^ g.	E3.4)
В качестве приближенного правило E3.4) остается справед-
справедливым также и для молекул из разных изотопов одного и того
же элемента. Поскольку заряды ядер одинаковы, рассматривая
электронный терм при неподвижных ядрах, мы будем иметь в
таком случае дело с системой электронов в электрическом по-
поле, обладающем центром симметрии (в точке, делящей пополам
расстояние между ядрами). Симметрия электронной волновой
функции по отношению к инверсии в этой точке и определяет
четность терма, а поскольку вектор электрического дипольного
момента при этом преобразовании меняет знак, то мы приходим
к правилу E3.4). Приближенность правила, основанного лишь
на таком выводе, связана с необходимостью рассматривать ядра
как неподвижные. Поэтому оно нарушается при учете взаимо-
взаимодействия между электронным состоянием и вращением молеку-
молекулы.
Дальнейшие правила отбора связаны с теми или иными кон-
конкретными предположениями о сравнительной величине различ-
различных взаимодействий в молекуле (т. е. о ее типе связи). Тем самым
эти правила могут быть лишь приближенными.
Большинство электронных термов двухатомных молекул от-
относится к типам связи а или Ь. Оба эти типа характеризуются
тем, что связь орбитального момента с осью (электрическое вза-
взаимодействие обоих атомов в молекуле) велика по сравнению со
всеми другими взаимодействиями. В связи с этим существуют
квантовые числа Л и S (проекция орбитального момента элек-

§ 53	ЭЛЕКТРОННЫЕ СПЕКТРЫ МОЛЕКУЛ	231
тронов на ось молекулы и полный спин электронов). Оператор
орбитальной величины — электронного орбитального момента —
коммутирует с оператором спина, так что
S' - S = 0 (случаи а, Ь).	E3.5)
Изменение же числа Л подчинено правилу отбора
Л7 - Л = 0, ±1 (случаи а, 6),	E3.6)
причем для переходов между состояниями с Л = 0 (S-термы)
имеет место дополнительное правило
S+ -+ S+, S" -+ S" (случаи а, Ь)	E3.7)
(напомним, что состояния S+ и S~ различаются поведением по
отношению к отражению в плоскости, проходящей через ось мо-
молекулы). Правила E3.6),E3.7) получаются путем рассмотрения
молекулы в системе координат, жестко связанной с ядрами (см.
III, § 87); правило E3.6) аналогично правилу отбора по магнит-
магнитному квантовому числу в случае атомов.
Типы связи а и b отличаются друг от друга соотношением
между энергией взаимодействия «спин — ось» и энергией враще-
вращения (разностями вращательных уровней). В случае а первая из
них больше второй, а в случае b — много меньше. Далее рассмот-
рассмотрим эти случаи раздельно.
Случайа.В этом случае существует квантовое число S —
проекция полного спина на ось молекулы (а с ним и число О =
= S + Л — проекция полного момента). Если оба (начальное и
конечное) состояния относятся к случаю а, то справедливо пра-
правило
S' - S = 0 (случай а)	E3.8)
(следующее из упомянутой уже коммутативности дипольного мо-
момента со спином). Из E3.6) и E3.8) следует г) :
О'-О = 0,±1.	E3.9)
Если О = О7 = 0, то дополнительно к общему правилу E3.1)
запрещены переходы с J' = J 2) :
J' - J = ±1 при О = О' = 0 (случай а).	E3.10)
) Это правило остается в силе также и в случае с (связь орбитального
момента с осью мала по сравнению со связью «спин—орбита»), когда числа
Л и Е в отдельности не существуют.
2) Это правило аналогично запрету переходов с J = J' при М = М' = 0
для атомов (см. § 5), где, однако, оно могло представлять интерес лишь при
наличии внешнего поля. В данном случае правило непосредственно следует
из приведенной ниже формулы E3.12); З^'-символ ( q q q 1 обращается
в нуль при J' = J, когда сумма J' + J + 1 нечетна.

232	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
Рассмотрим переходы между какими-либо двумя определен-
определенными колебательными уровнями, относящимися к двум различ-
различным электронным термам (типа а). При учете тонкой структу-
структуры электронного терма каждый из этих уровней распадается на
несколько компонент, число которых BS + 1) у обоих должно
быть одинаково в силу правила E3.5). Согласно правилу E3.8)
каждая из компонент одного уровня комбинирует только с одной
компонентой другого с тем же значением S.
Возьмем далее одну пару уровней с одинаковыми S; их зна-
значения О и О7 могут различаться (вместе с Л и Л7) на 0 или ±1.
При учете вращения каждый из них распадается на последо-
последовательность уровней, различающихся значениями чисел J и J7,
пробегающих значения J ^ |O|, J' ^ |?У|. Зависимость вероят-
вероятностей перехода от этих чисел может быть установлена в общем
виде (Н. Honl, F. London, 1925).
Матричный элемент перехода nATtJMj —>> п' A'Vt' J' M'j (n —
остальные, помимо О и Л, характеристики электронного терма)
равен
\(riArn'JrMrj\dq\nAnjMj)\ =
х \(n'Af\dqr\nA)l E3.11)
где dq и dqi — сферические компоненты вектора дипольного мо-
момента соответственно в неподвижной системе координат xyz и в
«подвижной» системе ^т]( с осью ( вдоль оси молекулы (эта фор-
формула получается с помощью формулы A10.6) (см. III)). Матрич-
Матричные элементы (п'A'\dq>\nA) не зависят от вращательных кванто-
квантовых чисел J, J7, а зависят только от характеристик электрон-
электронных термов (причем в данном случае не зависят от числа S г));
поэтому в обозначении матричного элемента опущены индексы
п' = Л7 + ? и О = Л + ?.
Вероятность перехода nAOJ —>> n'A'Q'J' пропорциональна
квадрату матричного элемента E3.11), просуммированному по
M'j. В силу формулы A06.12) (см. III) имеем
Jf l V
Mj
V
q MjJ 2J
1) В этом можно убедиться подобно тому, как это было сделано в начале
III, § 29 для скалярной величины /. В данном случае оператор векторной
величины d коммутирует с оператором сохраняющегося (в нулевом прибли-
приближении) вектора S, а Е есть проекция S на ось ? во вращающейся системе
координат, в которой и надо рассматривать условие коммутации d и S.

§ 53	ЭЛЕКТРОННЫЕ СПЕКТРЫ МОЛЕКУЛ	233
так что
w(nAuJ -> rik'u'j') =
В(п',п;А',А), E3.12)
где коэффициенты В не зависят от J, J' (мы пренебрегаем, ко-
конечно, относительно малой разницей в частотах переходов с раз-
различными J, J') х) .
Если просуммировать E3.12) по J7, то (в силу свойства ор-
ортогональности З^-символов (см. III, A06.13)) мы получим просто
В(п',п; Л7, Л). Другими словами, полная вероятность перехода с
вращательного уровня J состояния О на все уровни J' состоя-
состояния О7 не зависит от J.
Случай Ъ. В этом случае существует, наряду с полным
моментом J, также и квантовое число К — момент молекулы без
учета ее спина. Правила отбора по этому числу совпадают с об-
общими правилами отбора для всякой орбитальной векторной ве-
величины (каковой является электрический дипольный момент):
\К' - К\ <: 1 ^ К + К1 (случай Ъ)	E3.13)
с дополнительным запрещением перехода с К = К' при Л = Л7 =
= 0 (аналогично E3.10)):
К' - К = ±1 при Л = Л7 = 0.	E3.14)
Рассмотрим переходы между вращательными компонентами оп-
определенных колебательных уровней двух электронных состоя-
состояний, относящихся к типу Ь. Вероятности переходов между ними
определяются теми же формулами E3.12), в которых надо пи-
писать К, Л вместо J, О. При учете тонкой структуры (при S Ф 0)
каждый вращательный уровень К распадается на 25 + 1 компо-
компонент с J = \К — S\, ... , К + S, в результате чего вместо одной
линии J —>• J7 возникает мультиплет. Поскольку в данном слу-
случае мы имеем дело со сложением свободных (не связанных с осью
молекулы) моментов К и S, формулы относительных вероятно-
вероятностей перехода для различных линий мультиплета совпадают с
аналогичными формулами D9.15) для компонент тонкой струк-
структуры атомных спектров, где такую же роль (в случае LaS-связи)
играют моменты L и S.
1) Каждый из рассмотренных вращательных уровней J при учете Л-удво-
ения расщепляется еще на два уровня, из которых один положителен, а
другой отрицателен. Поэтому вместо одного перехода J —»¦ J' будем иметь с
учетом правила отбора E3.2) два перехода: с положительной (отрицатель-
(отрицательной) компоненты уровня J на отрицательную (положительную) компоненту
уровня J . Вероятности этих переходов одинаковы.

234
ИЗЛУЧЕНИЕ
ГЛ. V
Таким образом, мы рассмотрели правила отбора, определяю-
определяющие возможные линии спектра во всех основных случаях, кото-
которые могут представиться в двухатомных молекулах.
Совокупность линий от переходов между вращательными ком-
компонентами двух данных электронно-колебательных уровней со-
составляет, как говорят в спектроскопии, полосу; ввиду малости
вращательных интервалов линии в полосе расположены очень
тесно. Частоты этих линий даются разностями
nwjj> = const + BJ(J + 1) - B'J'{J' + 1),	E3.15)
где i?, В' — вращательные постоянные в обоих электронных со-
состояниях (во избежание излишних усложнений предполагаем
электронные термы синглетными). При J' = J, J ± 1 формула
E3.15) изображается графически
(рис. 2) тремя ветвями (парабо-
(параболами), точки которых для цело-
целочисленных J определяют значе-
значения частот (расположение ветвей
на рис. 2 отвечает случаю В' <
< В] при В' > В они открыты
в сторону малых о;, причем верх-
верхней является кривая для J' = J —
— 1) х) . Наличие перегибающейся
ветви приводит, как это ясно из
рисунка, к сгущению линий по направлению к определенному
предельному положению {канту полосы).
Говоря об интенсивностях линий, следует упомянуть также
своеобразное явление чередования интенсивностей в некоторых
полосах электронного спектра молекул из атомов одного и того
же изотопа (W. Heisenberg, F. Hund, 1927). Связанные с ядер-
ядерными спинами требования симметрии приводят к тому, что у
электронных S-термов вращательные компоненты с четными и
нечетными значениями К обладают противоположной симмет-
симметрией по отношению к ядрам и соответственно различными ядер-
ядерными статистическими весами gs и ga (см. III, § 86). Согласно
правилу E3.14) при переходах между двумя различными S-тер-
мами допустимы лишь J' = J ± 1; при этом один из S-термов
должен быть в силу E3.4) четным, а другой —нечетным. В ре-
результате при заданном значении J' — J переходы с последова-
последовательными значениями J происходят попеременно между парами
симметричных и парами антисимметричных уровней (как это ил-
иллюстрируется схемой рис. 3 на примере состояний S^T и Sj). С
другой стороны, наблюдаемая интенсивность линии пропорцио-
Рис. 2
*) Серии линий, отвечающих переходам с J' = J + l, J, J — 1, называют
соответственно Р-, Q- и Д-ветвями.

53
ЭЛЕКТРОННЫЕ СПЕКТРЫ МОЛЕКУЛ
235
нальна числу молекул, находящихся в данном начальном состо-
состоянии, а тем самым его статистическому весу. Поэтому интенсив-
интенсивность последовательных линий (J = 0, 1, 2, ... ) будет попе-
попеременно большей и меньшей, пропорционально попеременно gs
и ga (помимо монотонного хода, предсказываемого формулами
E3.12) 1).
J'=0
Рис. 4
Для изменения колебательного квантового числа при перехо-
переходах между двумя различными электронными термами никаких
строгих правил отбора не существует. Существует, однако, пра-
правило (принцип Франка-Кондона), позволяющее предсказать наи-
наиболее вероятное изменение колебательного состояния. Оно осно-
основано на квазиклассичности движения ядер, связанной с их боль-
большой массой (ср. сказанное о предиссоциации в III, § 90) 2) .
В интеграле, определяющем матричный элемент перехода
между колебательными состояниями Е и Е' электронных термов
U(г) и ?/'(г), основную роль играет окрестность точки г = го, в
которой
U(ro)-U'(r()) = E-E'	E3.16)
(т. е. импульсы относительного движения ядер в обоих состоя-
состояниях одинаковы: р = р'). При заданном значении Е вероятность
перехода (как функция конечной энергии Е') тем больше, чем
меньше каждая из разностей Е — U и Е' — U1'. Она максимальна
при
Е - [/(г0) =Е'- U'(г0) = 0,	E3.17)
т. е. когда «точка перехода» г о (корень уравнения E3.16)) сов-
совпадает с классической точкой остановки ядер (рис. 4 иллюстри-
иллюстрирует графически эту связь между Е и наиболее вероятным Е').
Для наглядности можно сказать, что наиболее вероятен переход
) При этом предполагается, что все состояния с различными значениями
суммарного ядерного спина заселены равномерно.
) Строго говоря, необходимо также, чтобы колебательное квантовое число
было достаточно велико.

236	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
вблизи точки, в которой ядра останавливаются и в окрестности
которой проводят, следовательно, больше времени.
§ 54. Излучение двухатомных молекул. Колебательный
и вращательный спектры
Перечисленные в предыдущем параграфе правила отбора и
формулы для вероятностей перехода сохраняют свою силу и для
переходов, в которых электронное состояние молекулы не меня-
меняется :) . Остановимся здесь лишь на некоторых специфических
особенностях этих переходов.
Прежде всего, правилом отбора E3.4) переходы (дипольные)
без изменения электронного состояния вообще запрещаются в
молекулах из одинаковых атомов, поскольку при таком переходе
четность электронного терма осталась бы неизменной. Как сле-
следует из сказанного в § 53, этот запрет мог бы нарушиться лишь
при учете взаимодействия ядерных спинов с электронами, а для
молекул из различных изотопов одного и того же элемента — уже
и за счет влияния вращения на электронное состояние.
Вычисление матричных элементов дипольного момента сво-
сводится (по формулам § 87 (см. III)) к их вычислению в системе
координат, вращающейся вместе с молекулой. Волновая функ-
функция молекулы в этой системе представляет собой произведение
волновой функции электронов при заданном расстоянии г меж-
между ядрами и волновой функции колебательного движения ядер
в эффективном поле U(r) электронов и ядер. При полном пре-
пренебрежении влиянием движения ядер на электронное состояние
начальная и конечная электронные волновые функции при рас-
рассматриваемых переходах одинаковы. Интегрирование по коор-
координатам электронов дает поэтому в матричном элементе просто
средний дипольный момент молекулы d (направленный, очевид-
очевидно, вдоль ее оси) как функцию от расстояния г. Ввиду малости
колебаний функцию d(r) можно разложить по степеням колеба-
колебательной координаты q = г — tq. При переходах, связанных с изме-
изменением колебательного состояния, нулевой член разложения вы-
выпадает из матричного элемента ввиду ортогональности волновых
функций колебательного движения в одном и том же поле U(qI
так что остается член, пропорциональный q. Если рассматривать
колебания как гармонические, то согласно известным свойствам
:) Переходы с изменением колебательного (а с ним и вращательного)
состояния образуют, как говорят, колебательный спектр молекулы; он ле-
лежит в близкой инфракрасной области (длины волн менее 20 мкм). Перехо-
Переходы же с изменением лишь вращательного состояния образуют вращатель-
вращательный, спектр, лежащий в далекой инфракрасной области (длины волн более
20 мкм).

§ 55	ИЗЛУЧЕНИЕ ЯДЕР	237
линейного осциллятора (см. III, § 23) матричные элементы будут
отличны от нуля лишь для переходов между соседними колеба-
колебательными состояниями; другими словами, для колебательного
квантового числа v будет справедливо правило отбора
v -v = ±l.	E4.1)
Это правило, однако, нарушается при учете ангармоничности ко-
колебаний, а также следующих членов разложения функции d(q).
При чисто вращательном переходе (без изменения также и
колебательного состояния) матричный элемент проекции диполь-
ного момента на подвижную ось ( можно положить равным про-
просто среднему дипольному моменту молекулы d = d@) *) . Для
вероятности перехода J —>> J —>> 1 получается в результате фор-
формула
w(nJ -> п, J - 1) = — d2 j2~u\	E4.2)
V	'	J 3ftc3 JBJ + 1)'	V J
позволяющая вычислить не только относительные (как E3.12)),
но и абсолютные значения вероятностей. (Формула E4.2) напи-
написана для случая а; в случае b надо писать К, Л вместо J, О.)
Частоты чисто вращательных переходов даются разностями
вращательных энергий BJ(J+ 1) и равны
fiwjj-i = 2BJ.	E4.3)
Последовательные линии находятся на одинаковых расстоя-
расстояниях BВ) друг от друга.
§ 55. Излучение ядер
Для 7-излучения ядер, как правило, выполняется условие ма-
малости размеров системы (радиуса ядра R) по сравнению с длиной
волны фотона. Однако расстояния между ядерными уровнями
(а тем самым и энергия 7-кванта) обычно малы по сравнению с
энергией, приходящейся в ядре на один нуклон. Поэтому вели-
величина R/X не связана непосредственно со скоростью v/c нуклонов
в ядре и, вообще говоря, значительно меньше ее. Соответственно
этому и вероятность М/-излучения, как правило, больше веро-
вероятности излучения Е, I + 1 (ср. начало § 50).
Общие правила отбора по полному моменту («спину») ядра
и по четности —те же, что и для излучения любой системой. Ха-
Характерной особенностью ядерного излучения является распро-
*) В молекуле из одинаковых атомов d = 0, что очевидно из соображений
симметрии.

238	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
страненность переходов высших мультипольностей. В противо-
противоположность атомам, излучение которых обычно является элек-
электрически-дипольным, у ядра при малых энергиях такие перехо-
переходы сравнительно редки, оказываясь запрещенными правилами
отбора.
Если радиационный переход ядра можно рассматривать как
одночастичный — изменение состояния одного нуклона при неиз-
неизменном состоянии ядерного «остова», —то добавляются правила
отбора по моменту этого нуклона. Однако точность соблюдения
таких «одночастичных» правил отбора оказывается очень низ-
низкой.
Специфическими для ядра являются правила отбора по изо-
изотопическому спину. Напомним, что проекция Тз изотопического
спина определяется уже массой и номером ядра:
T3=1-(Z-N) = Z-^.
При заданном же значении Тз абсолютная величина изотопи-
изотопического спина может иметь любые значения Т ^ |Тз|. Правило
отбора по числу Т для радиационных переходов возникает в свя-
связи с тем, что операторы электрических и магнитных моментов
ядра, выраженные с помощью операторов изотопических спинов
нуклонов, представляют собой суммы скаляра и жз-компоненты
вектора в изотопическом пространстве (см. III, § 116). Поэтому
их матричные элементы отличны от нуля лишь при условии
Т'-Т = 0,±1.	E5.1)
Само по себе это правило, однако, не накладывает особых огра-
ограничений на переходы в легких ядрах (для которых только и
можно говорить с достаточной точностью о сохранении изото-
изотопического спина); дело в том, что среди низколежащих уровней
этих ядер фактически вообще нет уровней с Т > 1.
Но для ?71-переходов имеется еще дополнительное правило
в связи с тем, что для электрического дипольного момента изо-
топически-скалярная часть выпадает, и его оператор сводится к
жз-компоненте изотопического вектора (см. III, § 116). Поэтому
если Тз = 0, то дополнительно запрещены переходы с AT = 0.
Другими словами, в ядрах с одинаковым числом нейтронов и
протонов (N = Z, А = 2Z) ?71-переходы возможны лишь при
Т'-Т = ±1 (Т3 = 0).	E5.2)
Разумеется, точность соблюдения этого правила зависит от точ-
точности, с которой сохраняется изотопический спин ядра.
На вероятность ??1-переходов в ядре оказывает влияние так-
также эффект отдачи ядерного остова при движении отдельных ну-
нуклонов. Этот эффект приводит к тому, что в создании диполь-
дипольного момента протоны участвуют с эффективным зарядом еA —
— Z/A) вместо е, а нейтроны — с зарядом —eZ/A вместо 0 (см.

§ 55	ИЗЛУЧЕНИЕ ЯДЕР	239
III, § 118). Уменьшение эффективного заряда протона приводит
к некоторому подавлению вероятности ?71-переходов.
Уровни энергии несферических ядер обладают вращательной
структурой. В связи с этим появляется специфическая для таких
ядер вращательная структура спектра j-излучения.
Симметрия поля, в котором движутся нуклоны в «неподвиж-
«неподвижном» несферическом (аксиальном) ядре, совпадает с симметри-
симметрией поля, в котором движутся электроны в «неподвижной» двух-
двухатомной молекуле из одинаковых атомов (точечная группа С^).
Поэтому свойства симметрии уровней несферического ядра (а
с ним и правила отбора для матричных элементов) аналогич-
аналогичны симметрии уровней двухатомной молекулы (см. III, § 119). В
частности, как и у двухатомной молекулы из одинаковых ато-
атомов, запрещены электрически-дипольные переходы внутри од-
одной и той же вращательной полосы (т. е. без изменения внутрен-
внутреннего состояния ядра) —ср. § 54. Такие переходы осуществляются
поэтому как Е2- или М1-переходы. В первом случае полный мо-
момент ядра J может меняться на 2 или 1, а во втором —на 1.
Согласно D6.9) вероятность квадрупольного перехода, про-
просуммированная по значениям проекции М1 полного момента яд-
ядра в конечном состоянии:
М'
(J —полный момент ядра; О —его проекция на ось ядра; т =
= М — М'). С помощью формулы A10.8) (см. III) эта сумма вы-
выразится через квадраты заданных величин — диагональных (по
внутреннему состоянию ядра) квадрупольных моментов перехо-
перехода Q2A> определенных по отношению к связанным с ядром осям
координат ^г](. При этом А = О — О7, так что в данном слу-
случае (О7 = О) фигурирует лишь компонента Q20- По определению
просто квадрупольным моментом ядра называют величину
eQo = е J РпBB - е2 " V^d^dC = -2e(Q20)u.
Поэтому получим
^	^n I ?j . E5.3)
В раскрытом виде
^0 7^0 7 Л\	^	U2(J2 U2)
wE2(UJ -> П, J - 1) =
wE2(UJ -> П, J - 2) =

240	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
По поводу этих формул надо, однако, сделать следующее за-
замечание. В них использованы матричные элементы, вычислен-
вычисленные с волновыми функциями вида
Фтм = const
(х — волновая функция внутреннего состояния ядра). Эти функ-
функции отвечают определенным (по величине и знаку) значениям
проекции момента на ось (. В ядрах же мы имеем дело с состоя-
состояниями, обладающими лишь определенными четностью и величи-
величиной проекции момента (последнюю обычно и понимают под О).
Поэтому при О ф 0 в качестве начальной и конечной волновых
функций надо было бы взять комбинации вида
-у=(Фтм ± iI>j,-q,m), -^{Фз'пм' ± il>j',-n,M')-
Произведения первых и вторых членов дадут прежнее значение
матричного элемента квадрупольного момента. «Перекрестные»
же произведения приведут к отличным от нуля интегралам, если
20 ^ 2 :) . Поэтому формула E5.3), строго говоря, непригодна
при О = Y2, 1; в этих случаях в вероятности перехода появляется
дополнительный член, не выражающийся через среднее значение
квадрупольного момента 2) .
Аналогично выводу формулы E5.3) для вероятности М 1-пе-
рехода получается формула
, J — 1) =
2/0 т i\(J-l 1 A2 4cj3 2J2-^2	/гг/п
BJ " 1]{ -n о п) = п&» т^тП)' E5'4)
где /i — магнитный момент ядра (эта формула непригодна при
п = i/2).
§ 56. Фотоэффект. Нерелятивистский случай
В § 49-52 мы рассматривали радиационные переходы (испус-
(испускание или поглощение фотона) между атомными уровнями дис-
дискретного спектра. Фотоэффект отличается от такого процесса
:) Для матричных элементов 2г-польных моментов в подынтегральные вы-
выражения войдут произведения вида
Интеграл по углам будет отличен от нуля при q = — 2Q, между тем как q
пробегает значения лишь от — / до /; поэтому должно быть 20, ^ I.
2) Фактически этот член дает существенную поправку лишь при Q = :/2,
когда связь между вращением и внутренним состоянием ядра особенно ве-
велика (см. об этом III, § 119).

§ 56	ФОТОЭФФЕКТ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	241
поглощения фотона лишь тем, что конечное состояние относит-
относится к непрерывному спектру.
Сечение фотоэффекта может быть вычислено до конца в ана-
аналитическом виде для атома водорода или для водородоподобного
иона (с зарядом ядра Z <С 137).
В начальном состоянии имеем электрон на дискретном уровне
Е{ = —/ (/ — потенциал ионизации атома) и фотон с определен-
определенным импульсом к. В конечном состоянии электрон имеет им-
импульс р (и энергию Sf = е). Поскольку р пробегает непрерывный
ряд значений, сечение фотоэффекта дается формулой
da = 2n\Vfl\26(-I + ш-е)^-з	E6.1)
(ср. D4.3)), причем волновая функция конечного состояния элек-
электрона предполагается нормированной на одну частицу в объеме
V = 1. Таким же образом по-прежнему нормирована волновая
функция фотона; для перехода к сечению da вероятность dw
должна быть при этом разделена на плотность потока фотонов
(равную с/V = с), но в релятивистских единицах это не отража-
отражается на виде формулы E6.1).
Выберем, как и в D5.2), трехмерно поперечную калибровку
фотона. Тогда
Vfi = -eAjfi = -
где обозначено
Mfi = f^*(ae)eikr^x	E6.2)
(ф = ф^ и ф' = фf — начальная и конечная волновые функции
электрона). Заменив в E6.1) d3p —>> p2d\p\do = s\\>\dsdo и проин-
проинтегрировав E-функцию по cfe, перепишем эту формулу в виде
da = e2^-\Mfi2do.	E6.3)
2ttcj
Мы произведем вычисления в двух случаях, различающихся
значением энергии фотона: для w>/h для ио 4с га. Поскольку
/ ~ meAZ2 <^ 777,, эти две области частично перекрываются (при
/ <^ ио <^ 777), так что исследование этих случаев дает по существу
полное описание фотоэффекта.
Начнем со случая
ио < га.	E6.4)
При этом скорость электрона мала как в начальном, так и в
конечном состояний, так что по отношению к электрону зада-
задача— целиком нерелятивистская. Соответственно этому заменим
в E6.2) а нерелятивистским оператором скорости v = —iSJ/m

242	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
(ср. § 45). Кроме того, можно перейти к дипольному приближе-
приближению—положить егкг « 1, т. е. пренебречь импульсом фотона по
сравнению с импульсом электрона. Тогда
2ttcj
«
= -^ [ф'*\7ф ¦ d3x.	E6.5)
Будем рассматривать фотоэффект с основного уровня атома
водорода (или водородоподобного иона). Тогда
ф = &е*т)*'2 e
/к
(в обычных единицах те2 —>> 1/ао, где ^о = Н2/те2 — боровский
радиус).
В качестве же ф' надо взять волновую функцию, асимптоти-
асимптотическая форма которой содержит плоскую волну (егрг) и наряду с
ней сходящуюся сферическую (см. III, § 136, где такая функция
обозначалась через фр ). В силу правила отбора по / переход из
5-состояния возможен лишь в ^-состояние (дипольный случай).
Поэтому в разложении х)
E6.7)
(n = p/_p, ni = г/г) достаточно оставить лишь член с / = 1.
Опустив несущественные фазовые множители, получим
ф' = А(пщ)Др,(г).	E6.8)
С функциями ф и ф' из E6.6), E6.8) имеем
3(Ze2mM/2 [[, w ч -Ze2mrr> ( \л	2л
= -^——-1— / / (nni)(nie)e	Rpi(r)doi • г dr =
2^/тгтр JJ
pm
0
Согласно формулам C6.18) и C6.24) (см. III) радиальная функ-
функция (в принятых здесь единицах)
о \/8irZe2m
Rpl =
где обозначено:
ZSjn(ZS\	Eб.9)
:) Ниже в этом параграфе р обозначает |р|.

56	ФОТОЭФФЕКТ. НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	243
Нужный нам интеграл вычисляется с помощью формулы
Xzz1~lF(a т kz)dz — rDUa~7(A — к)~а
(см. Ill, (f. 3)). Заметив также, что
Г
Jo
получим
3(ne) e-21/arcctg»/
Энергия ионизации с основного уровня атома водорода (или
водородоподобного иона) / = Z2e4m/2. Поэтому
w = jl + J=?(l + i/2).	E6.10)
2m	2m
Учитывая это соотношение, пишем окончательное выражение
для сечения фотоэффекта с испусканием электрона в элемент
телесного угла do:
da = 27тгаа2 (—)	^^(nefdo,	E6.11)
где а = Н2/(mZe2) = clq/Z (здесь и ниже — обычные единицы).
Отметим, что угловое распределение фотоэлектронов определя-
определяется множителем (пеJ. Он максимален в направлениях, парал-
параллельных направлению поляризации падающих фотонов, и обра-
обращается в нуль в перпендикулярных вектору е направлениях, в
том числе в направлении падения. Для неполяризованных фото-
фотонов формула E6.11) должна быть усреднена по направлениям е,
что сводится к замене
(пеJ -> 1[п0п]2,
где п0 = к/к (см. D5.46)).
Интегрирование же формулы E6.11) по углам дает полное
сечение фотоэффекта:
а =	аа
3
(М. Stobbe, 1930).
Предельное значение а при Ни —>> / (т. е. v —)> оо):
П9^ = 0,2з4	E6.13)
— 	=—	E6.12)
\huoJ 1-е-2™	У J
aa	0,23
Зе4	Зе4 Z2	' Z2

244	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
(в знаменателе е = 2,71... !). Как и должно быть для реакции с
образованием заряженных частиц (см. III, § 147), сечение фото-
фотоэффекта вблизи его порога стремится к постоянному пределу.
Случай же Ни ^> / (причем по-прежнему Ни <С тс2) отвечает
борновскому приближению [у = Ze2/(Hv) <С 1). Формула E6.12)
принимает вид
(/о = e4m/B/i2) —энергия ионизации атома водорода).
Процессом, обратным фотоэффекту, является радиационная
рекомбинация электрона с неподвижным ионом. Сечение этого
процесса (<трек) можно найти по сечению фотоэффекта (<Тф) с
помощью принципа детального равновесия (III, § 144). Соглас-
Согласно этому принципу сечения процессов г—»/и/—»г(с двумя
частицами в каждом из состояний г и /) связаны соотношением
P
где pi, Pf — импульсы относительного движения частиц, a gj,
gf — спиновые статистические веса состояний г и /. Учитывая
также, что для фотона g = 2 (два направления поляризации),
а статистический вес свободного электрона и иона равен стати-
статистическому весу основного состояния атома водорода, получаем
для этого состояния
0"рек = О"ф —	E6.15)
(р = mv — импульс падающего электрона, к — импульс испуска-
испускаемого фотона).
Задачи
1. Получить формулу E6.14) путем прямого использования борновского
приближения в нерелятивистском случае.
Решение. В борновском приближении в качестве ф в формуле E6.5)
надо писать просто плоскую волну ф = егрг, а ф — по-прежнему функция
E6.6). Тогда
m J
Фурье-компонента дается формулой E7.66), так что
v/t и 8^p-3m3/2(Ze2M/2n.
Подставив в E6.5) и проинтегрировав по do, получим E6.14) (при этом, с
достаточной точностью, р /Bт) йш).
2. Определить полное сечение радиационной рекомбинации быстрого не-
нерелятивистского электрона (/ <^С mv2 <^C тс2) с ядром (заряд Z <^С 137).

§ 57	ФОТОЭФФЕКТ. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	245
Решение. Сечение захвата на i^-оболочку (главное квантовое число
п = 1) получается подстановкой E6.14) в E6.15):
рек 2 7Г 5 3 2/^0
3	\ ?
(е = mv /2 — энергия падающего электрона; Ни и е). Из других состояний
образующегося атома существенны лишь s-состояния: при вычислении ма-
матричного элемента в борновском приближении существенны значения вол-
волновой функции связанного состояния при малых г (как это будет видно из
вычислений в § 57), а при / > 0 эти значения малы по сравнению со значе-
значениями функций с / = 0; при этом достаточно учитывать два первых члена
разложения ф по степеням г. Для состояний с / = 0 и произвольным п эти
члены
1	Л _ г \
а)'
т. е. содержат п лишь в виде общего множителя п~3^2 (написанное выра-
выражение получается разложением функции C6.13) (см. III)). Поэтому полное
сечение рекомбинации
(значение ^-функции: ?C) = 1,202).
§ 57. Фотоэффект. Релятивистский случай
Обратимся к случаю
ш > /.	E7.1)
При этом также е = со — /^>/, и потому влияние кулонова
поля ядра на волновую функцию фотоэлектрона (фг) может быть
учтено с помощью теории возмущений. Пишем ф' в виде
ф' = -L(?/e*pr + VA)).	E7.2)
Фотоэлектрон может быть релятивистским; поэтому невозму-
невозмущенная функция в E7.2) написана в виде релятивистской плос-
плоской волны B3.1).
Хотя в начальном состоянии электрон нерелятивистский, в
его волновой функций ф тем не менее должна быть (по вы-
выясняющимся ниже причинам) учтена релятивистская поправка
(~ Ze2). Такая функция дается формулой (см. задачу к § 39)
ф= (l- — 7O7V) ^^нр.	E7-3)
где ^нр — нерелятивистская функция связанного состояния E6.6),
aw — биспинорная амплитуда покоящегося электрона, нормиро-
нормированная принятым нами условием пи = 2т.

246	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
Подставим функции E7.2), E7.3) в матричный элемент
E6.2) *):
м
К1 ~ й
. E7.4)
Имея в виду получить первый член разложения этой величины
по Ze2, мы можем во втором члене в фигурных скобках заменить
^нр просто постоянной (Ze2mK/2/л/тт. Первый же член в резуль-
результате такой замены обратился бы (при р — k ^ 0) в нуль (именно
поэтому в ф необходимо учитывать также и первую релятивист-
релятивистскую поправку, пропорциональную Ze2] при v ~ 1 эта поправка
дает вклад в сечение того же порядка, что и следующий член
разложения ^нр по Ze2).
В первом члене в E7.4) производим интегрирование по ча-
частям, переводя действие оператора V с ^нр на экспоненциальный
множитель. В результате получим
= (?eW?(tf( 7e) U + J_707(p _ k)l u L-Z#mr\	+
; 2(тгтеI/2 \ w '[ 2т У	'1 V	/р-к
E7.5)
где векторный индекс означает пространственную компоненту
Фурье. С точностью до члена ~ Ze2 2)
/ -Ze'mrx	_ 8irZe2m	,-- fix
:) Функция E7.3) была получена для расстояний г ~ l/(mZe2), на ко-
которых поправочный член в ней относительного порядка величины Ze . Но
для основного состояния (а также и для всех вообще s-состояний) форму-
формула E7.3) пригодна для любых г, поскольку производная от чисто экспо-
экспоненциальной функции E6.6) (а с нею и поправочный член в E7.3)) всегда
пропорциональна Ze . Это обстоятельство позволяет воспользоваться фор-
формулой E7.3) в рассматриваемой задаче, в которой существенны малые г.
(При v ~ 1 существенны г ~ 1/т.)
2) Взяв компоненту Фурье от обеих сторон равенства
р~Хг
(А-Х2)-	 = -4тг<Нг),
г
получим
Дифференцирование этого выражения по параметру А дает
(e"Ar)q = /_ ,8ГЛчм?-	E7-66)

§ 57	ФОТОЭФФЕКТ. РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	247
Для вычисления же компоненты Фурье ф^ пишем уравне-
уравнение, которому удовлетворяет функция
(оно получается подстановкой E7.2) в C2.1)). Применив к обеим
сторонам этого уравнения оператор G°? + 27 V + т)> получим
(А + р2)фA) = -Ze2(j°? + i7V + m)GV)-e*pr.
г
Умножим это уравнение на е гкг и проинтегрируем по d3ж, при-
причем в членах с А и V производим обычным образом интегриро-
интегрирование по частям:
(р2 — к2)ф\, = —Ze2(/y°? — 7k + га)G°гО ( - ) =
\г/к—р
= -Ze2Be7° - 7(k - P))GV)—^-.
(K — p)
В последней строке учтено, что амплитуда и1 удовлетворяет
уравнению
(б7° ~~ Р7 ~ т)и' = 0, или (б7° + Р7 ~~ т)^и' = 0.
Отсюда находим
pOQ.	E7.7)
(k2-p2)(k-pJ f	V У
Подставив E7.6), E7.7) в матричный элемент E7.5), предста-
представим его в виде
Mfi =	^	}-—и Аи,
П (sm)V2(k-pJ
где
А = аGе) + GeO°Gb) + Gс)т°Gе),
	 1	е 1	, 		к — р		 к — р
а ~ (к-рJ m к2 - р2 '	~ ~2m(k-pJ' C ~ 2ш(к2-р2)'
Сечение
= —^	J—^-1(u Аи)(иАи )do,
cj(k-pLm V	A	У '
где А = 7°^.+7° (см- § 65). Это выражение надо еще просуммиро-
просуммировать по конечным и усреднить по начальным направлениям спи-
спина электрона. Эти действия производятся по описанным ниже, в
§ 65, правилам с помощью поляризационных матриц плотности
начального и конечного состояний:

248	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
(в начальном состоянии р = 0, е = га). Они приводят к выраже-
выражению
, 16e2(Ze2mM|p|	/ т
d° = 	 	Ч
пЧг Sp & APA)do'
тш[к — рL
Вычисление следа (с использованием формул B2.22)) предста-
представляет собой чисто алгебраическую операцию и приводит к сле-
следующему результату:
Sp (р'АрА) = -^-[ар - (Ь - с)(б + га)]2 +
г + т
+ 4га(Ье)[(б + га) (се) + а(ре)]
(вектор е предполагается вещественным — линейная поляриза-
поляризация фотона).
Придадим формуле сечения фотоэффекта окончательный вид,
введя полярный угол в и азимут ср направления р относитель-
относительно направления к в качестве оси z и плоскости k, e в качестве
плоскости xz (так что ре = |р| cos (p sin в). При ио ^> / сохранение
энергии можно записать в виде е — т = ио (вместо е — т = ио — I).
Легко проверить, что тогда
к2 -р2 = -2га(б-га), (к - рJ = 2ф-га)A -^cos<9),
где v = р/е — скорость фотоэлектрона. После простых преобра-
преобразований получим окончательно
rz
е
л	^5 4 2	v3(l-v2Ksm2
da = Z a rz	# v }
е ( / 2Y{ cos(
V	;
I Го A — л/1 — v2)(l — vcos6)~\ 2 1 i /r^o\
+ 2 — ^	^	'- cos (p \do, E7.8)
L	1 — v2	J	J
где re = e2 /ra.
В ультрарелятивистском случае (е ^> га) сечение фотоэф-
фотоэффекта имеет резкий максимум при малых углах (в ~ л/l — г>2),
т. е. электроны испускаются преимущественно в направлении па-
падения фотона. Вблизи максимума пишем
E7.9)
[
и главные члены в E7.8) дают
Элементарное, хотя и довольно длинное интегрирование вы-
выражения E7.8) по углам приводит к следующей формуле для

§ 58	ФОТОРАСЩЕПЛЕНИЕ ДЕЙТРОНА	249
полного сечения (F. Sauter, 1931):
' е
G-1)'
5
/з + МЛ	i hZijp)! E7.10)
U 7 + i V 27л/^^Т ^-./t^I/J
X
7 + 1 V 27д/72 ~ 1 7 ~
где для краткости введен «лоренцев множитель»
7 = -== = -»	.	E7.11)
V1 — ^ тп	т
В ультрарелятивистском случае эта формула сводится к просто-
простому выражению
а = 27г^5а4г^/7.	E7.12)
В случае же I <^ ио <^т переход в E7.10) к пределу малых j — 1
приводит к известному уже нам результату E6.14).
§ 58. Фоторасщепление дейтрона
Характерной особенностью дейтрона является малость его
энергии связи (по сравнению с глубиной потенциальной ямы).
Это обстоятельство позволяет описывать происходящие с уча-
участием дейтрона реакции без детального знания хода ядерных
сил, с помощью одной лишь энергии связи (см. III, § 133). При
этом предполагается, что длины волн сталкивающихся частиц
велики по сравнению с радиусом действия ядерных сил а.
Это относится и к расщеплению дейтрона 7"квантами, для
которых /са <С 1. Предполагается также, что и ра <^ 1, где р —
импульс относительного движения освободившихся нейтрона и
протона (это условие более сильное, чем предыдущее 1)).
Исходим из нерелятивистской формулы для сечения фотоэф-
фотоэффекта E6.5), проинтегрировав ее по направлениям:
е2р М 4тг | /
2 3
Здесь р — импульс относительного движения протона и нейтро-
нейтрона 2) , a m в E6.5) заменено их приведенной массой М/2 (где
М — масса нуклона). Матричный элемент берется от скорости
протона Vp, поскольку лишь протон взаимодействует с фотоном.
Выразив лгр через импульс p(vp = v/2 = р/М), получим
^Энергия фотона, при которой ра и 1 (а = 1,5 • 10 13 см), составляет
15 МэВ.
2) В этом параграфе р обозначает |р|.

250	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
Индекс (э) указывает, что эта формула соответствует электри-
электрически-дипольным переходам: ер/М = елгр = d, так что epfi/M =
d
Нормированная волновая функция начального (основного)
состояния дейтрона:
/ . . _ — кг	,
, ¦¦ -----	E8-2)
2тг г
где / = 2,23 МэВ — энергия связи (см. III, § 133) :) . В качестве же
волновой функции конечного состояния можно взять функцию
свободного движения, т. е. плоскую волну
ф' = егрг.	E8.3)
Причина заключается в том, что в рассматриваемой теории «раз-
«размер дейтрона» 1/х считается большим по сравнению с эффек-
эффективным радиусом взаимодействия а. Поэтому взаимодействие
между протоном и нейтроном надо учитывать лишь в S'-cocto-
яниях, пренебрегая им в состояниях с / ф 0, волновые функции
которых малы на малых расстояниях. Между тем, согласно пра-
правилам отбора, электрические дипольные переходы между дву-
двумя ^-состояниями (основным состоянием и ^-состоянием непре-
непрерывного спектра) запрещены. Это и дает возможность в данном
случае пренебречь взаимодействием нуклонов в конечном состо-
состоянии.
Путем интегрирования по частям находим для матричного
элемента
i— ~	i—	i—
4тгр
= -г J2 [е-^Че— ?х = ЛР ('—) = Х[2Л
V 2тг J	г	У 2тт \ г Jp V 27ГР
(см. примеч. на с. 246).
Заметив также равенство
(x + p)J+
м	м
:)Эта функция может быть уточнена введением поправки, связанной с
конечностью а. Это достигается заменой нормировочного коэффициента в
E8.2) коэффициентом
2тгA - ах)
(см. III, A33.13)). Соответственно появится множитель 1/A — а>с) и в фор-
формулах для сечения. Фактически эта поправка не так мала: для основного
состояния дейтрона ак и 0,4.
Основное состояние дейтрона является состоянием sSi с малой «приме-
«примесью» состояния 3Di, связанной с действием тензорных ядерных сил (см.
III, § 117). Этой примесью, а тем самым и тензорными силами мы будем
пренебрегать.

§ 58	ФОТОРАСЩЕПЛЕНИЕ ДЕЙТРОНА	251
выражающее сохранение энергии, получим окончательно сечение
фоторасщепления в виде (в обычных единицах)
М (М3	V J
{H. A. Bethe, R. Peierls, 1935). Оно имеет максимум при Нои = 21
и обращается в нуль при Ноо 4/и при Ноо —>• оо.
Описываемое формулой E8.4) электрически-дипольное по-
поглощение фотона не дает, однако, главного вклада в сечение
вблизи порога фотоэффекта (Ноо близкие к /). Дело в том, что в
этой области главный эффект должен происходить от переходов
в ^-состояние, которых в электрически-дипольном поглощении
нет. Их нет также и в электрически-квадрупольном поглощении:
хотя они не противоречат в этом случае правилу отбора по чет-
четности, но запрещены правилом отбора по орбитальному моменту
(напомним, что мы пренебрегаем тензорными силами, без кото-
которых L и S сохраняются по отдельности). Для вычисления сече-
сечения фоторасщепления вблизи порога надо поэтому рассмотреть
магнитно-дипольное поглощение, для которого правила отбора
допускают переходы между ^-состояниями (Е. Fermi, 1935).
Заменяя в формуле E8.1) электрический момент магнитным,
имеем
аМ = \шМр\^п\2.	E8.5)
Магнитный момент орбитального движения не дает вклада в /л^,
так как орбитальный момент L не имеет матричных элементов
для переходов между ^-состояниями. Спиновый магнитный мо-
момент
1л = 2/jpSp + 2/insn = 2(/ip - /in)sp + 2/inS,
где S = sp + sn, a /ip, \in — магнитные моменты протона и ней-
нейтрона. В пренебрежении тензорными ядерными силами полный
спин сохраняется, так что его оператор не дает переходов. По-
Поэтому
В том же приближении (без тензорных сил) спиновые и коорди-
координатные переменные разделяются. Вместе с волновыми функция-
функциями представится в виде произведения спиновой и координатной
частей также и матричный элемент
iifi = 2(fip - fin)(spSfMf\sp\spSM) [ф'*(г)ф(г)с13х.
Но наличие спин-спиновых ядерных сил приводит к тому, что
волновое уравнение для координатных функций ф(г) содержит

252	ИЗЛУЧЕНИЕ	ГЛ. V
в качестве параметра значение спина S. Если Sf = *S, то ф'(г) и
ф(г)—собственные функции одного и того же оператора и по-
поэтому ортогональны. Таким образом, из начального состояния
3S фоторасщепление будет происходить лишь в состояние непре-
непрерывного спектра 1S.
Квадрат |/х^|2 в E8.5) должен быть, конечно, усреднен по
проекциям М спина S в начальном состоянии. Таким образом,
задача сводится к вычислению величины
l^—x Yl \(spS'M'\sp\spSM)\2,
м
причем sp = sn = Y2, S = 1, S1 = 0. По общим формулам для ма-
матричных элементов при сложении моментов эта величина равна
\Ы Я'\\* Ik Я\\2 —
\ z? z? z? / —
, S' i
Sp
(использованы формулы III, A07.11), A09.3)). Приведенный ма-
матричный элемент
Eр115р115р) = \/sp(sp + 1)B5р + 1) = у/ 3/2.
Формула E8.5) принимает в результате вид
2
Ь'*фA3х .	E8.6)
Начальная функция ф дается формулой E8.2). Конечная же
функция
ф' = —Rpo(r).
2р
Это — первый (/ = 0) член разложения E6.7) функции, содержа-
содержащей асимптотически плоскую и сходящуюся сферическую вол-
волны; опущен несущественный фазовый множитель. Поскольку ин-
интегрирование производится по области вне радиуса действия
ядерных сил, радиальная функция
Rpo{r) = 2 sm(pr + s>.
Фаза 5 связана с энергией виртуального уровня (Д = 0,067 МэВ)
системы «протон+нейтрон» при S = 0:
ctgS = —,
v

58	ФОТОРАСЩЕПЛЕНИЕ ДЕЙТРОНА	253
(см. III, § 133). Теперь
[
J
/2^ Im
[	()
ртт J	ртт х-
После простых алгебраических преобразований получим сле-
следующее выражение для сечения фоторасщепления (в обычных
единицах):
E8.7)
При Коо —>• / это сечение обращается в нуль как у/Нш — I — в соот-
соответствии с общими свойствами поведения сечений вблизи порога
реакции (см. III, § 147).
Процессом, обратным фоторасщеплению, является радиаци-
радиационный захват протона нейтроном. Сечение захвата (а3) получа-
получается из сечения фотоэффекта (сгф) с помощью принципа деталь-
детального равновесия (ср. вывод E6.15)). Спиновый статистический
вес нейтрона и протона равен 2-2 = 4. Статистический же вес
дейтрона (в состоянии с S = 1) и фотона равен 3-2 = 6. Поэтому
3 (ПиJ 3(М2	/ко о\
а3 = -^——а<ь =	^—'-	a<h.	E8.8)

ГЛАВА VI
РАССЕЯНИЕ СВЕТА
§ 59. Тензор рассеяния
Рассеяние фотона электронной системой (будем для опреде-
определенности говорить об атоме) представляет собой поглощение на-
начального фотона к с одновременным испусканием другого фото-
фотона к7. При этом атом может остаться либо на начальном, либо
на каком-то другом дискретном уровне энергии. В первом слу-
случае частота фотона не меняется {рэлеевское, или несмещенное
рассеяние), а во втором — меняется на величину
ио' -ио = Ei - Е2,	E9.1)
где Ei, E2 —начальная и конечная энергии атома {комбинацион-
{комбинационное, или смещенное рассеяние) х) . Если начальное состояние ато-
атома является основным, то при комбинационном рассеянии Е2 >
> Ei, так что ио' < ио — рассеяние происходит с уменьшением ча-
частоты (так называемый стоксов случай). При рассеянии же на
возбужденном атоме возможен как стоксов, так и антистоксов
{ио' > ио) случай.
Поскольку оператор электромагнитного возмущения не име-
имеет матричных элементов для переходов с одновременным изме-
изменением двух фотонных чисел заполнения, эффект рассеяния по-
появляется лишь во втором приближении теории возмущений. Его
надо рассматривать как происходящий через определенные про-
промежуточные состояния, которые могут быть двух типов:
I. Фотон к поглощается, атом переходит в одно из своих воз-
возможных состояний Еп; при последующем переходе в конечное
состояние испускается фотон к7.
П. Испускается фотон к7, атом переходит в состояние Еп\ при
переходе в конечное состояние поглощается фотон к.
Роль матричного элемента для рассматриваемого процесса
играет сумма (см. III, D3.7))
х) В этой главе величины, относящиеся к начальному и конечному состоя-
состояниям рассеивающей системы, отмечены индексами 1 и 2.

§ 59	ТЕНЗОР РАССЕЯНИЯ	255
где начальная энергия системы «атом+фотоны» ?\ = Е\ + о;, а
энергии промежуточных состояний
?1п = Еп, 8% = Еп+ш + ш',
V,, — матричные элементы поглощения фотона к, V' — матрич-
матричные элементы испускания фотона к7; начальное состояние из
суммирования по п исключается (что отмечено штрихом у знака
суммы). Сечение рассеяния
\2i^,	E9.3)
где do' — элемент телесного угла для направлений к7. Энергия
света dV', рассеянного (в 1 с) в телесный угол do1, выражается
через интенсивность / (плотность потока энергии) падающего
света формулой
UJ
Будем считать, что длины волн начального и конечного фото-
фотонов велики по сравнению с размерами а рассеивающей системы.
Соответственно этому рассматриваем все переходы в дипольном
приближении. Если описывать состояния фотонов плоскими вол-
волнами, то этому приближению отвечает замена множителей e^kr
единицей. Тогда волновые функции фотонов (в трехмерно попе-
поперечной калибровке)
AeuJ =
В рассматриваемых условиях оператор электромагнитного
взаимодействия может быть написан в виде
V = -dE,	E9.4)
где Е = —А —оператор напряженности поля, d —оператор ди-
польного момента атома (аналогично классическому выражению
энергии системы малых размеров в электрическом поле —см. II,
§ 42). Его матричные элементы:
Vni = -iVbrco (edni), V^n = iVbru? (е^2п).
Подставив эти выражения в E9.2), E9.3), получим сечение рас-
рассеяния (пишем его в обычных единицах) :) :
da =
V^ / (d2ri<
^ I ujnl
— uj —
ie)
гО
+
(d2n
UJnl
e)(d
+ UJ
me'*)!
-гО J
2ujujfS
-do', E9.5)
fkvni = En-Ei, си'- си = ий-
:)Эта формула была впервые получена Крамерсом и Гейзенбергом
(Н. A. Kramers, W. Heisenberg, 1925) еще до создания квантовой механики.

256	РАССЕЯНИЕ СВЕТА
Суммирование производится по всем возможным состояниям
атома, включая состояния непрерывного спектра (при этом со-
состояния 1 и 2 автоматически выпадают из суммирования, по-
поскольку диагональные матричные элементы dn = d22 = 0).
Бесконечно малые мнимые добавки в знаменателях соответству-
соответствуют обычному правилу обхода полюса в теории возмущений (см.
III, § 43): к энергиям промежуточных состояний Еп, по которым
происходит суммирование, добавляется бесконечно малая отри-
отрицательная мнимая часть. Правило обхода существенно, когда по-
полюсы выражения E9.5) по переменной Еп попадают в область
непрерывного спектра (так, если состояние 1 — основное состоя-
состояние атома, то для этого Нш должно превышать порог ионизации
атома) :).
Введем обозначение (обычные единицы) 2)
/ \ _ 1
[ЧкJ1 -т
п
\ (djJn(dk)ni , (dkJn(dj)ni I
	— i	;	;	—
\-UJni — cj — гО ujni + uj — гО J
(г, к = x,y,z — трехмерные векторные индексы). С его помощью
формула E9.5) перепишется в виде
7	UJ(UJ + CJ12) I/ \	/* |2 7 /	/ГГЛ ГЛ
da = -ь	—^|(с^J1е^ ек\Чо .	E9.7)
с4
Обозначение E9.6) оправдано тем, что эту сумму действи-
действительно можно представить как матричный элемент некоторого
тензора. В этом проще всего убедиться, введя векторную вели-
величину Ь, оператор которой удовлетворяет уравнению
гЪ + o;b = d.
Ее матричные элементы
ь _ dni	, _ d2n
UJ — UJn\	UJ + UJn2
так что
{cik) 2i — {bkdi — dibkJi-	E9.8)
Матричные элементы (c^Ji будем называть тензором рассея-
рассеяния света.
Из сказанного следует, что правила отбора для рассеяния
совпадают с правилами отбора для матричных элементов про-
произвольного тензора второго ранга. Сразу же отметим, что ес-
если система имеет центр симметрии (так что ее состояния могут
) Для молекулы роль порога ионизации в данном аспекте играет порог
диссоциации на атомы.
) Большинство результатов, излагаемых в § 59-61, принадлежит Плачеку
(G. Placzek, 1931-1933).

§ 59	ТЕНЗОР РАССЕЯНИЯ	257
классифицироваться по четности), то переходы возможны лишь
между состояниями одинаковой четности (в том числе без из-
изменения состояния). Это правило противоположно правилу от-
отбора по четности при излучении (электрически-дипольном), так
что имеет место альтернативный запрет: переходы, разрешенные
в излучении, запрещены в рассеянии, а разрешенные в рассея-
рассеянии—запрещены в излучении.
Разложим тензор С{к на неприводимые части:
^ = сЧ, + 4 + 4,	E9.9)
где
С° = -<4i, 4к = ~(Сгк + Cki) ~ C°Sik, tfh = ~(cik ~ Cki) E9.10)
о	Z	Z
— соответственно скаляр, симметричный тензор (с равным нулю
следом) и антисимметричный тензор. Их матричные элементы:
(со)м = I ? "Ш+"., {dihn{di)nl}	E9.11)
E9.12)
2CJ + LU12 V^4 {diJn{dk)nl — {dkJn{di)nl	/rO 1Q\
	 У	;	^7	-—:		{ЪУЛб)
z—' (cJrii — uj)(ujn2 + и)
(знаки обхода полюсов для краткости опускаем).
Рассмотрим некоторые свойства тензора рассеяния в предель-
предельных случаях малых и больших частот фотона г) .
Для несмещенного рассеяния (coi2 = 0) антисимметричная
часть тензора при ио —>> 0 обращается в нуль (из-за множителя
ио перед суммой в E9.13)). Скалярная же и симметричная части
тензора рассеяния стремятся при w^Ok конечным пределам.
Соответственно сечение при малых ио пропорционально а;4.
В обратном случае, когда частота ио велика по сравнению со
всеми существенными в E9.6) частотами o;ni, иоП2 (но, конечно,
по-прежнему длина волны ^> а), мы должны вернуться к фор-
формулам классической теории. Первый член разложения тензора
рассеяния по степеням 1/ио равен
_ — (diJn(dk)ni] = ~(dkdi — didkJi
uj
*) Случай резонанса (когда и близко к одной из частот uni или U2n) будет
рассмотрен в § 63.
9 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

258	РАССЕЯНИЕ СВЕТА
и обращается в нуль в силу коммутативности rf^, dk. Следующий
член разложения
( \	1
(Q/cJ21 = —
и2
п
_ _1_
Используя определение d = ^ ег (сумма по всем электронам в
атоме) и правила коммутации между импульсами и координата-
координатами, получаем
(сгк)п = ~—Jik, (сгкJ1 = О,	E9.14)
где Z — общее число электронов в системе, га — масса электрона.
Таким образом, в пределе больших частот в тензоре рассеяния
остается лишь скалярная часть, причем рассеяние происходит
без изменения состояния системы (т. е. рассеяние целиком коге-
когерентно— см. ниже). Сечение рассеяния в этом случае
da = r2eZ2\e'*e\2dof,	E9.15)
где ге = е2/га. После суммирования по поляризациям конечного
фотона получим формулу
da = r2eZ2{\ - (eriJ}dof = T2eZ2 sin2 в • do',	E9.16)
действительно совпадающую с классической формулой Томсона
(см. II, (80.7); в — угол между направлением рассеяния и векто-
вектором поляризации падающего фотона).
Рассмотрим рассеяние света совокупностью N одинаковых
атомов, расположенных в объеме, размеры которого малы по
сравнению с длиной волны. Тензор рассеяния такой совокупно-
совокупностью будет равен сумме тензоров рассеяния каждым из атомов.
При этом, однако, надо учесть, что волновые функции (с по-
помощью которых вычисляются матричные элементы дипольного
момента) для нескольких одинаковых атомов, рассматриваемых
одновременно, нельзя считать просто одинаковыми. Волновые
функции по самому своему существу определены лишь с точно-
точностью до произвольного фазового множителя, и эти множители у
каждого атома свои. Сечение рассеяния должно быть усреднено
по фазовым множителям каждого атома независимо.
Тензор рассеяния (cikJi каждого атома содержит множитель
ег((р1-(р2) ^ Где ^ь ^2 — фазы волновых функций начального и ко-
конечного состояний. Для смещенного рассеяния состояния 1 и 2
различны, и этот множитель отличен от единицы. В квадрате
модуля

§ 59	ТЕНЗОР РАССЕЯНИЯ	259
(сумма — по всем N атомам) произведения членов суммы, отно-
относящихся к различным атомам, будут содержать фазовые мно-
множители, которые обратятся в нуль при независимом усреднении
по фазам атомов; останутся лишь квадраты модулей каждого из
членов. Это значит, что полное сечение рассеяния N атомами
получится умножением на N сечения рассеяния на одном атоме
(рассеяние некогерентно).
Если же начальное и конечное состояния атома совпадают,
то множители el<^{pi~{p'2^ = 1. Множителем N будет отличаться
в этом случае амплитуда рассеяния совокупностью атомов от
амплитуды рассеяния на одном атоме, сечение же рассеяния —
соответственно множителем N2 (рассеяние когерентно) г) . Ес-
Если уровень энергии атома не вырожден, то несмещенное рассея-
рассеяние будет, таким образом, полностью когерентным. Если же уро-
уровень энергии вырожден, то будет иметься также некогерентное
несмещенное рассеяние, происходящее от переходов атома меж-
между различными взаимно вырожденными состояниями. Отметим,
что последнее представляет собой чисто квантовый эффект: в
классической теории рассеяние без изменения частоты всегда ко-
когерентно.
Тензор когерентного рассеяния дается диагональным матрич-
матричным элементом (с^)ц; обозначим его через а^ (опустив для
упрощения обозначений индекс, который должен был бы ука-
указывать состояние атома). Согласно E9.6)
ее (сгк)п = ? \Ш^и + WinWnii . E9Л7)
z—' lujni — cj — гО ujni + uj — гОJ
ujni + uj —
n
Это выражение можно представить также в виде
E9.18)
где выделено предельное выражение E9.14). Здесь р —суммар-
—суммарный импульс электронов атома; в эквивалентности этих формул
легко убедиться, заметив, что матричные элементы импульса и
дипольного момента связаны друг с другом соотношениями
epin/ra =
и учтя соотношения, использованные при выводе E9.14).
Если сумма или разность Е\ ± ио не совпадают ни с одним из
уровней энергии атома Еп (в том числе в области непрерывного
х) Заметим, что множитель Z2 в формулах E9.15), E9.16) имеет ту же
природу: сечение когерентного рассеяния на Z электронах одного атома в
Z раз больше сечения рассеяния на одном электроне.

260	РАССЕЯНИЕ СВЕТА
спектра), можно опустить члены гО в знаменателях. Заметив, что
Pin = Pnii найдем тогда, что тензор а^ эрмитов х) :
Oik = 4r	E9-19)
Это означает, что его скалярная и симметричная части веще-
вещественны, а антисимметричная — мнима. Отметим, что антисим-
антисимметричная часть заведомо обращается в нуль, если атом нахо-
находится в невырожденном состоянии; волновая функция такого со-
состояния вещественна, а тем самым вещественны и диагональные
матричные элементы.
Тензор otik связан с поляризуемостью атома во внешнем элек-
электрическом поле. Чтобы установить эту связь, вычислим поправ-
поправку к среднему значению дипольного момента системы, если си-
система помещена во внешнее электрическое поле
-(Ее-^ + Е*е^).	E9.20)
Это можно сделать, воспользовавшись известной формулой тео-
теории возмущений (см. III, § 40): если на систему действует возму-
возмущение
V = Fe~iujt + F+eiuj\
то поправка первого порядка к диагональным матричным эле-
элементам некоторой величины / равна
- и - гО
Г f (°) 7?*	f (°)/?* 1 • .1
Jin *ln _^_ Jnl Гп\	elUJt I
l-CJnl + CJ — гО CJrii — CJ + ZOJ	J
(возмущение V должно рассматриваться как бесконечно медлен-
медленно включающееся от t = — оо, так что в первом члене ио должно
пониматься как ио + гО, а во втором — как ио — гО; в соответствии
с этим и написаны мнимые добавки в знаменателях).
В данном случае F = —dE/2 и поправка к диагональному
матричному элементу дипольного момента оказывается равной
djy = -(de-iut + d*eiart),	E9.21)
где d — вектор с компонентами
di = c$Ek,	E9.22)
:) Этот результат связан с пренебрежением естественной шириной линии,
а тем самым и с возможностью поглощения падающего света (см. § 62).

§ 59	ТЕНЗОР РАССЕЯНИЯ	261
(п)/ \
причем выражение для тензора aik (со) отличается от выражения
E9.17) для otik обратным знаком мнимой добавки в знаменате-
ле второго члена. По определению, а^ (со) есть тензор поляри-
поляризуемости атома в поле с частотой со. Для частот, при которых
мнимые добавки в знаменателях могут быть опущены и тензор
(п)
ctik эрмитов, тензоры а^ и а^. просто совпадают друг с другом.
В частности, при со = 0 формула E9.22) переходит в форму-
формулу G6.4) (см. III), причем выражение для тензора статической
поляризуемости G6.5) (см. III) совпадает с а^@) из E9.17). От-
Отметим также, что если состояние 1 —основное :) , то все соп\ > О
и правило обхода в первом члене в E9.17) существенно только
при со > 0, а во втором —при со < 0. В таком случае
aik(u,)=a$(\u,\).	E9.23)
По смыслу формул теории рассеяния в них подразумевается, что
со > 0; тогда тензор а^ совпадает с тензором поляризуемости.
В дальнейшем нам понадобится наряду с сечением еще и ам-
амплитуда рассеяния фотона /. Как обычно в теории возмущений,
она совпадает, с точностью до нормировочного множителя, со
взятым с обратным знаком матричным элементом E9.2). Подо-
Подобрав этот множитель так, чтобы представить сечение E9.7) в
виде da = \f\2dof, найдем для амплитуды упругого рассеяния
/ = со2агке**ек.	E9.24)
Согласно оптической теореме (см. ниже формулу G1.10))
мнимая часть амплитуды рассеяния вперед (т. е. без изменения
импульса и поляризации) определяет полное сечение at всех воз-
возможных упругих и неупругих процессов для данного начального
состояния фотона:
at = — lm(u2aike*ek) = 4ттЛ* ~а*ые*ек.	E9.25)
Таким образом, полное сечение определяется антиэрмитовой ча-
частью тензора рассеяния.
Формула E9.25) имеет простой классический смысл. Элек-
Электрическое поле Е производит в единицу времени над системой
зарядов работу, равную ^ evE = Ed. Представив поле в виде
E9.20), а дипольный момент в виде E9.21), E9.22) и усреднив
эту работу по времени,получим
1	*
-и\ I e^k -
1) Только такой случай (который мы и будем иметь в виду в последую-
последующих рассуждениях) допускает вполне строгое рассмотрение из-за конечно-
конечности времени жизни возбужденных состояний (см. § 62).

262	РАССЕЯНИЕ СВЕТА
(Е = еЕ). С другой стороны, если Е —поле падающего света,
то средняя плотность потока энергии в нем равна |?7|2/(8тг), а
поглощаемая атомом энергия равна
Приравняв друг другу полученные выражения, получим форму-
формулу E9.25).
Если момент J основного состояния атома равен нулю, то в
силу сферической симметрии а^ = с^г/с- Тогда
at = 4тгсЛт<х	E9.26)
Для системы с моментом такое же соотношение верно для вели-
величин, усредненных по его направлениям в пространстве (см. § 60).
Для энергий фотона выше порога ионизации атома главный
вклад в полное сечение at вносит процесс ионизации — поглоще-
поглощение фотона при фотоэффекте. Сечение же рассеяния является
величиной более высокого порядка по е2 (ср., например, E6.13)
с E9.16)).
Если же энергия фотона лежит ниже порога ионизации (но
не близко к резонансу, т. е. к какой-либо из дискретных частот
возбуждения атома), то сечение, сводящееся в этом случае к се-
сечению рассеяния, а вместе с ним и мнимая часть амплитуды, ока-
оказывается более высокого порядка малости, чем ее вещественная
часть. Пренебрегая мнимой частью, мы снова получаем E9.19).
Положение дел меняется вблизи резонанса, где сечение возраста-
возрастает; эта ситуация будет рассмотрена в § 63.
Наряду с рассеянием, к двухфотонным процессам, появляю-
появляющимся во втором порядке теории возмущений, относится также
и двойное испускание — одновременное испускание атомом двух
квантов.
Выражение для вероятности этого процесса отличается от
формулы E9.5) только заменой ио —>> —ио, е —>> е* (испускание
фотона ио вместо поглощения) и лишним множителем
dsk ш2 duo do
Bтг)з	Bтг)з
— числом квантовых состояний испускаемого фотона в заданных
интервалах частоты ио и направлений к; частота же второго фо-
фотона определяется по ио равенством ио-\-ио' = ио\2. Таким образом,
вероятность излучения (в единицу времени) х)
dw = |(Ы21е-*4|2^^—dodo duo,	E9.27)
) Здесь и ниже в этом параграфе — обычные единицы.

§ 59	ТЕНЗОР РАССЕЯНИЯ	263
где
п \ _ V^ Г (djJn(dk)ni , (dkJn(dj)ni 1
{ гкJ1 Z^ LcJm+cj-гО шп1 + ш'- Ш
отличается от (cik) 21 E9.6) лишь знаком перед ио. Просуммировав
это выражение по поляризациям фотонов и проинтегрировав по
направлениям их вылета х) , получим
^fe\(blkJ1\2doo.	E9.28)
6
Вероятность испускания двух фотонов ио и ио' обычно очень
мала по сравнению с вероятностью испускания одного фотона с
частотой ио + ио'. Исключение составляют случаи, когда прави-
правила отбора, запрещая второй процесс, допускают первый. Тако-
Таковы, например, переходы между двумя состояниями с J = 0, для
которых всякие процессы излучения одного фотона запрещены
строго. Другим примером является переход из первого возбу-
возбужденного состояния атома водорода Bs 1/2) B основное состояние
A^1/2M запрещенный как для Е1-, так и для М1-излучения (см.
задачу 2, § 52) 2).
Если атом находится в поле падающего на него потока фото-
фотонов о;, к, то наряду со спонтанным двойным испусканием, веро-
вероятность которого есть E9.27), существует также и вынужденное
двойное испускание: под влиянием поля испускается еще один та-
такой же фотон и с ним фотон а/, к7. Вероятность этого процесса
отличается от вероятности спонтанного испускания множителем
TVke — плотностью числа фотонов падающего света с заданными
к, е. Плотность потока падающих фотонов есть
dl = cTVb-e	= Nb-e—-—duodo.
кеBтгK	ке8тг3с2
Выразив отсюда TVke через dl и разделив на dl вероятность про-
процесса, получим его сечение
^e*k\2dol.	E9.29)
Аналогичным образом, если атом находится в поле фотонов ио1',
к7, то при падении на него фотона о;, к происходит вынужденное
комбинационное рассеяние, сечение которого пропорционально
плотности числа фотонов ио1', к7.
1)	Эта операция сводится к полному усреднению по направлениям е со-
согласно eie*k = Sik/З и последующему умножению на 2 • 2 • 4тг • 4тг.
2)	Время жизни уровня 2si/2, обусловленное двойным испусканием, соста-
составляет 0,15 с.

264	РАССЕЯНИЕ СВЕТА
Вычисление тензоров (c^)i2 или (b^A;)i2 Для конкретных ато-
атомов требует вычисления сумм вида
<2)	fif^	E90)
причем Е принимает значения Е\ ± Нио или Е\ ± йо/. Пусть, для
упрощения записи, речь идет об атоме водорода. Запишем сумму
E9.30) в виде интеграла
(Л42)J1 = f iltZWdiGfar'iEtfMr') d3xd3xf,	E9.31)
где
G(r, r7; Я) = V ^(г)^(г).	E9.32)
V ' ' } ^ Еп - Е - гО	V	J
п
Подействуем на функцию G оператором Н — Е, где Н — га-
гамильтониан атома. Поскольку Нфп = ЕпфП1 получим
{Н - E)G =
Но стоящая здесь сумма есть, в силу полноты системы функций
фП1 E-функция 6(т — г7). Таким образом, функция G удовлетво-
удовлетворяет уравнению
(Я - E)G(r, г7; Е) = 6(г - г7),	E9.33)
т. е. является функцией Грина уравнения Шредингера (правило
обхода в E9.32) определяет, какое из решений этого уравнения
следует выбрать). Тем самым задача о вычислении суммы E9.30)
сводится к нахождению функции Грина атома. Точное решение
уравнения E9.33) возможно, однако, лишь если известны точные
решения однородного уравнения Шредингера, т. е. фактически —
лишь для атома водорода :) .
Задача
Вычислить вероятность упругого рассеяния электрона (нерелятивист-
(нерелятивистского) на почти монохроматической стоячей световой волне G7. Л. Капица,
П. А. М. Дирак, 1933).
Решение. Стоячую волну можно рассматривать как совокупность
фотонов с импульсами к и —к (и одинаковыми поляризациями). Рассея-
Рассеяние же электрона — как поглощение фотона с импульсом к и вынужденное
испускание фотона с импульсом —к, в результате чего импульс р электро-
электрона получает приращение 2/гк, поворачиваясь (без изменения величины) на
:)См. Hostler L.//J. Math. Phys. —1964.—Vol. 5. —P. 591. Применение
этой функции Грина к вычислению амплитуды рассеяния на атоме водо-
водорода—см. Грановский Я. Я.//ЖЭТФ. —1969. —Т. 56. —С. 605.

§ 60	РАССЕЯНИЕ СВОБОДНО ОРИЕНТИРУЮЩИМИСЯ СИСТЕМАМИ	265
угол в: |р| sin@/2) = Лии/с. Вероятность этого процесса можно получить из
сечения томсоновского рассеяния E9.15)
da = т\ |е'*е| 2do = r2edo
путем умножения на плотность потока фотонов с импульсом к и число фо-
фотонов с импульсом —к.
Плотность потока фотонов с частотами в интервале duo равна
где Uujduj — плотность энергии в стоячей волне в спектральном интервале
duo (множитель г/2 учитывает, что энергия волны разделена поровну меж-
между фотонами противоположных направлений). Импульсы к всех фотонов,
образующих стоячую волну, параллельны определенному направлению п
(«направление» стоячей волны). Другими словами, плотность энергии как
функция частоты и направления фотонов п: ишп> = иш6^2\п! — п). Соот-
Соответственно этому число фотонов с импульсом —к равно (ср. D4.8)):
'	, / 8тг3с3 иш
N-^do =
В результате получаем для вероятности рассеяния электрона (в 1 с)
2Л4 fTT2j
w = ^?^Ju«duJ-
Множитель ио~4 вынесен за знак интеграла, поскольку степень немонохро-
немонохроматичности Аио предполагается малой. Значение интеграла обратно пропор-
пропорционально Аио (при заданной полной интенсивности).
§ 60. Рассеяние свободно ориентирующимися системами
Если уровень энергии атома не вырожден, то поляризуемость
и интенсивность когерентного рассеяния определяются одним и
тем же тензором а^ = (с^)ц. Если же уровень вырожден, то
наблюдаемые значения указанных величин получаются усредне-
усреднением по всем состояниям, относящимся к данному уровню. По-
Поляризуемость должна быть определена как среднее значение
Наблюдаемая же интенсивность рассеяния определяется средни-
средними значениями произведений
Поэтому связь между поляризуемостью и рассеянием становится
менее прямой.
Отметим, что хотя каждая из величин (с^)ц может быть
комплексной, их средние значения вещественны (предполагает-
(предполагается, что поглощение отсутствует и а^ — эрмитов тензор). Дей-
Действительно, при усреднении можно произвольным образом вы-
выбрать совокупность независимых волновых функций (отвечаю-
(отвечающих данному вырожденному уровню), а при этом можно всегда
добиться того, чтобы все функции были вещественными.

266	РАССЕЯНИЕ СВЕТА
Для свободных (не находящихся во внешнем поле) атомов
или молекул вырождение уровней связано обычно со свободно
ориентирующимся в пространстве моментом. Пусть начальное
состояние при рассеянии имеет момент Ji, а конечное J%- Как
обычно, сечение рассеяния должно быть усреднено по всем зна-
значениям проекции М\ и просуммировано по значениям М.2. После
первого усреднения сечение перестает зависеть от М2, так что
дальнейшее суммирование сводится к умножению на BJ2 + 1).
Таким образом, усредненное сечение рассеяния
do = uJ\^J*ek^mdd,	F0.1)
где
^7ТТ	= B-72 + 1)(<ЧкЫс1т)*21\ F0.2)
1 М1М2
а черта с индексом 1 означает усреднение по М\.
Для несмещенного рассеяния состояния 1 и 2 относятся к од-
одному и тому же уровню энергии (ио\2 — 0). Если речь идет лишь
о когерентном рассеянии, то состояния 1 и 2 должны совпадать
полностью, т. е. должно быть: М\ = М.^. Суммирование по М2,
а с ним и множитель 2J2 + 1 в F0.2) при этом отпадают:
Результат усреднения можно написать без особых вычисле-
вычислений, если учесть, что усреднение по М\ эквивалентно усредне-
усреднению по всем ориентациям системы, после чего среднее значение
может выражаться только через единичный тензор 5^. При этом
могут оказаться отличными от нуля только средние значения
произведений компонент скалярной, симметричной и антисим-
антисимметричной частей тензора рассеяния в отдельности; ясно, что с
помощью единичного тензора нельзя составить выражения, ко-
которые по своим свойствам симметрии могли бы соответствовать
перекрестным произведениям. Таким образом,
B1)	^,0 с с , B1) s . B1) a
Ciklm = GWikSlm + 4/m + сШт >
где
F0.5)
Другими словами, сечение (а с ним интенсивность) рассеяния
свободно ориентирующейся системой распадается на сумму трех

§ 60	РАССЕЯНИЕ СВОБОДНО ОРИЕНТИРУЮЩИМИСЯ СИСТЕМАМИ	267
независимых частей, о которых мы будем говорить как о скаляр-
скалярном, симметричном и антисимметричном рассеянии.
Каждый из трех членов в F0.4) выражается всего через одну
независимую величину. Скалярное рассеяние — через величину
G21, а для симметричного и антисимметричного рассеяния имеем
с;
= Gk^uh + SiSki ~
Шт
I	п I'fV 41b / 1
l1;	F0.6)
Ciklm = -G2l(SUSkm ~ Sim8ki),
-i
(комбинация единичных тензоров составляется по свойствам
симметрии, после чего общий коэффициент находится сверты-
свертыванием по парам индексов И и km).
Подстановка формул F0.4)—F0.6) в F0.1) приводит к следу-
следующему выражению для сечения рассеяния:
da = ии'3{о°21\е'*е\2 + ±G*21 (l + |е'е|2 - ||е'*е|2
G21 ( + |ее| |
) +
-G^(l-\e'e\2)\do'. F0.7)
6	J
Эта формула определяет в явном виде угловые зависимости и
поляризационные свойства рассеяния.
Полное сечение рассеяния по всем направлениям, просумми-
просуммированное по поляризациям конечного фотона и усредненное по
поляризациям и направлениям падения начального фотона, лег-
легко получить прямо из F0.1). Для этого замечаем, что
если усреднение производится как по поляризациям, так и по на-
направлениям распространения фотона (суммирование же по ним
соответственно даст результат в 2 • 4тг раз больший). В результате
получим
— _ 8тг /з B1) _ 8тг ,
а _ им с1Ык-—шш
У	У
Выше уже было указано, что правила отбора для рассеяния
совпадают с правилами отбора для матричных элементов про-
произвольного тензора второго ранга. В связи с разложением ин-
интенсивности рассеяния на три независимые части целесообразно
сформулировать эти правила для каждой из частей в отдельно-
отдельности.

268	РАССЕЯНИЕ СВЕТА
Правила отбора для симметричного рассеяния совпадают с
правилами отбора для электрически-квадрупольного излучения,
поскольку последнее тоже определяется неприводимым симмет-
симметричным тензором (тензором квадрупольных моментов). Для ан-
антисимметричного рассеяния правила отбора совпадают с тако-
таковыми для магнитно-дипольного излучения, поскольку оба опре-
определяются аксиальным вектором (напомним, что антисимметрич-
антисимметричный тензор эквивалентен (дуален) аксиальному вектору) г) . При
этом, однако, имеется отличие в том, что диагональные матрич-
матричные элементы, которые в излучательном случае дают средние
значения электрических или магнитных моментов (и не соот-
соответствуют излучательным переходам), в случае рассеяния суще-
существенны— они относятся к когерентному рассеянию.
Для скалярного рассеяния правила отбора совпадают с тако-
таковыми для матричных элементов скалярной величины. Это зна-
значит, что возможны переходы лишь между состояниями одинако-
одинаковой симметрии. В частности, должны быть одинаковыми значе-
значения полного момента J и его проекции М (причем диагональ-
диагональные по М матричные элементы от числа М не зависят — см. III,
B9.3)). Для несмещенного рассеяния, тем самым, состояния 1 и 2
должны совпадать полностью (не только по энергии, но и по М),
так что несмещенное скалярное рассеяние полностью когерент-
когерентно. Обратно, поскольку в скалярном рассеянии все состояния во
всяком случае комбинируют сами с собой, то в когерентном рас-
рассеянии всегда имеется скалярная часть.
Аналогично произведенному выше усреднению сечения рас-
рассеяния, для свободно ориентирующейся в пространстве систе-
системы должен быть усреднен по направлениям момента J\ также и
тензор поляризуемости. Усреднение производится совсем просто:
очевидно,что
<*гк = ((Нк)П = (С°)ц 6ik.
Симметричная и антисимметричная части тензора рассеяния при
усреднении выпадают: 6^ есть единственный изотропный тензор
второго ранга.
Выше было отмечено, что диагональные матричные элемен-
элементы скаляра не зависят от числа М\. Поэтому знак усреднения
над (с0) 11 можно вообще опустить (и вычислять (с°)ц при лю-
любом значении Mi), так что поляризуемость
aik = (co)n<W	F0.9)
х) Речь идет, конечно, о тех правилах отбора, которые связаны с симмет-
симметрией, а не с конкретным видом аксиального вектора в случае излучения:
вектор магнитного момента содержит спиновую часть, между тем как при
рассеянии рассматриваются матричные элементы от величин орбитальной
(координатной) природы.

§ 60	РАССЕЯНИЕ СВОБОДНО ОРИЕНТИРУЮЩИМИСЯ СИСТЕМАМИ	269
По той же причине знак усреднения можно опустить и в величи-
величине Gji, определяющей скалярную часть когерентного рассеяния:
F0-10)
(множитель 2J2 + 1 опущен в соответствия с F0.3)). Таким об-
образом, имеется простая связь между средней поляризуемостью
и скалярной частью когерентного рассеяния. То и другое опре-
определяется величиной
?	F0.П)
п Ш"
Задачи
1. Найти угловое распределение и степень деполяризации при рассеянии
линейно поляризованного света.
Решение. Пусть в — угол между направлением рассеяния п и на-
направлением поляризации падающего света е. Рассеянный свет содержит две
независимые компоненты, поляризованные в плоскости п е (интенсивность
1\) и перпендикулярно ей (интенсивность /2); степень деполяризации дается
отношением I2/I1. Интенсивности 1\ и /2 определяются по формуле F0.7) с
соответствующим образом направленными е'.
При скалярном рассеянии свет остается полностью поляризованным в
той же плоскости (/2 = 0), а угловое распределение интенсивности
(Здесь и ниже выражения для I = 1\ + /2 нормированы так, чтобы давать 1
при усреднении по направлениям.) При симметричном рассеянии
1=^F + sin2 в), If = —^r-
zU	i\ 6 + sin C7
При антисимметричном рассеянии
/=|A+СО82в), Ь. = -^.
2. To ж:е для рассеяния естественного света.
Решение. Переход в формуле F0.7) к естественному (неполяризо-
ванному) падающему свету осуществляется заменой
1
отвечающей усреднению по направлениям поляризации е при заданном на-
направлении падения п. Рассеянный свет будет частично поляризован, и из
соображений симметрии очевидно, что его две независимые компоненты бу-
будут линейно поляризованы в плоскости рассеяния пп (интенсивность /ц) и
перпендикулярно ей (интенсивность ij_). Угол рассеяния (угол между п и
п') обозначим через в.
Для скалярного рассеяния
I = 1± + 1ц = -A + cos2 (9), -Д- = cos2 (9;

270	РАССЕЯНИЕ СВЕТА
для симметричного рассеяния
для антисимметричного рассеяния
/ = -B + sin2 0), ^ = 1 + sin2 в.
8	ij_
3.	Для рассеяния циркулярно поляризованного света определить коэф-
коэффициент обращения (отношение интенсивности компоненты, поляризован-
поляризованной по кругу в «обращенном» направлении, к интенсивности компоненты,
поляризованной в «правильном» направлении).
Решение. При циркулярно поляризованном падающем свете угло-
угловое распределение и степень, деполяризации (отношение 1\\/1±_) —такие же,
как при рассеянии естественного света.
Пусть вектор е падающего света имеет компоненты е = A,г,0)/у2 (в
системе координат с плоскостью xz, совпадающей с плоскостью рассеяния,
и осью z вдоль направления п). Тогда для «обращенной» и «правильной»
циркулярно поляризованных компонент рассеянного света векторы поляри-
поляризации равны
е' = —=(cos#, — г, — sin#) и е' = —=(cos#, г, — sin0).
V2	V2
Вычисляя интенсивность с помощью F0.7), находим коэффициенты об-
обращения Р для всех трех типов рассеяния:
Р° = 4 I Ps = 13 + cos26> + 10cos6>	= l-cos4(<9/2)
S 2'	13 + cos2 в- 10 cos (9'	1-sin4 ((9/2)
(в — угол рассеяния),
4.	Вычислить сечение рассеяния фотона малой частоты на атоме водо-
водорода в основном состоянии.
Решение. Фотон малой частоты может рассеиваться только
упруго. Поскольку в основном состоянии атома водорода орбитальный мо-
момент L = 0, согласно правилам отбора в пренебрежении спин-орбитальной
связью имеется только скалярное рассеяние. Статическая поляризуемость
атома (в обычных единицах)
9 / Н2 ч 3
(см. III, § 76, задача 4). Подставив в F0.8), получим искомое сечение:
5. Вычислить сечение упругого рассеяния 7~излУчения дейтроном
(Я. A. Bethe, R. Peierls, 1935).
Решение. Волновые функции основного состояния дейтрона и его
состояний непрерывного спектра (диссоциированный дейтрон)
(см. E8.2), E8.3)). Матричный элемент дипольного момента dpo =
= —zeppo/(Mcjpo) вычислен в § 58:
_ 4тгге
р0 =

61
РАССЕЯНИЕ СВОБОДНО ОРИЕНТИРУЮЩИМИСЯ СИСТЕМАМИ
271
причем частоты cjpo = (р + к )/М. Тензор поляризуемости
Шр0 ,_, 2 d3p	е2 ) г
|d0|	/fe
Первый член связан с виртуальным возбуждением внутренних степеней сво-
свободы дейтрона; он написан в виде F0.11). Второй член связан с воздействием
поля волны на поступательное движение дейтрона в целом. Поскольку это
движение квазиклассично, соответствующая часть тензора рассеяния дает-
дается формулой E9.14) (с массой дейтрона 2М в качестве т).
Вычисление оцк сводится к взятию интеграла
оо
1	Г
2	У (^
р_
Имеем
8d\\\ d\J
л=1
оо
При 7 < 1 подынтегральное выражение имеет в верхней полуплоскости ком-
комплексной переменной z полюсы в точках гЛ, г^/1 + 7, г^/1 — 75 интеграл Jo
вычисляется по вычетам в этих полюсах. В результате получим
A-7K/2 _ /J_ , M
V872 74
согласно F0.8), F0.10)
2l
274	274	V872
Полное сечение рассеяния выражается через Щ
и равно (в обычных единицах)
8тг
при 7 = — < 1.
Амплитуда рассеяния при 7 > 1 (выше порога диссоциации дейтрона) по-
получается из амплитуды при 7 < 1 аналитическим продолжением, причем у
нее появляется мнимая часть, которая должна быть положительна (в соот-
соответствии с правилом обхода в E9.17)):
При 7^1 получается а = (8тг/3)(е /Мс ) , что соответствует, как и следо-
следовало ожидать, нерелятивистскому рассеянию на свободном протоне.
Угловое распределение излучения
4	4тг
где 0 — угол рассеяния. Определив амплитуду рассеяния согласно
E9.24), будем иметь
Согласно оптической теореме E9.26) эта величина совпадает с о;сг^/D7г), где
at—полное сечение фотодиссоциации E8.4). Напомним, что сечение упру-
упругого рассеяния — более высокого порядка (~ е4), чем сечение диссоциации
(~ е , см. E8.4)), так что at совпадает с сечением диссоциации. По той же
причине в рассмотренном приближении амплитуда рассеяния при 7 < 1
(ниже порога диссоциации) оказалась вещественной.

272	РАССЕЯНИЕ СВЕТА
§ 61. Рассеяние на молекулах
Специфика молекулярного рассеяния связана с теми же свойс-
свойствами молекул, которые лежат вообще в основе теории их спект-
спектров,— с возможностью раздельного рассмотрения электронного
состояния при неподвижных ядрах и движения ядер в заданном
эффективном поле электронов.
Пусть частота падающего света ио меньше энергии иое перво-
первого электронного возбуждения. Тогда при рассеянии электронные
термы не могут возбудиться. Рассеяние будет либо несмещен-
несмещенным, либо смещенным за счет возбуждения вращательных или
колебательных уровней.
Предположим далее, что основной электронный терм молеку-
молекулы не вырожден (и не имеет тонкой структуры). Другими сло-
словами, предполагается, что равны нулю полный спин электронов
и проекция их полного орбитального момента на ось молекулы
(для молекул типа симметричного волчка). Так, для двухатом-
двухатомных молекул это значит, что основной электронный терм должен
быть 1S. Как известно, эти условия выполняются для основных
состояний большинства молекул х) .
Наконец, будем предполагать частоту ио большой по срав-
сравнению с интервалами ядерной (вращательной и колебательной)
структуры основного терма, а разность иое — ио находящейся в
таком же отношении к ядерной структуре возбужденного элект-
электронного терма. Другими словами, частота падающего света долж-
должна быть достаточно далека от резонансов. Именно эти условия
позволяют при вычислении тензора рассеяния отвлечься сначала
от движения ядер, рассматривая задачу при заданной ядерной
конфигурации.
В такой задаче тензор рассеяния совпадает с тензором по-
поляризуемости otik = (cifc)ii и вычисляется в принципе по общей
формуле E9.17), в которой суммирование производится по всем
возбужденным электронным термам. Полученные таким обра-
образом величины (Хм будут функциями координат q ядерной конфи-
конфигурации (от которых как от параметров зависят энергии и вол-
волновые функции электронных термов). Ввиду невырожденности
состояния тензор а^((/) будет вещественным, а потому и симмет-
симметричным.
г) Излагаемые ниже результаты могут, однако, быть справедливы (с опре-
определенной точностью) также и в случаях, когда вырождение основного элект-
электронного терма связано с отличным от нуля спином, а спин-орбитальное вза-
взаимодействие мало (так что вызываемой им тонкой структурой можно прене-
пренебречь) . В этом приближении состояния с различными направлениями спина
не комбинируют и в этом смысле ведут себя как невырожденные. Таков, на-
например, случай молекулы О 2 с основным термом Е.

61	РАССЕЯНИЕ НА МОЛЕКУЛАХ	273
Тензор aik(q) представляет собой электронную поляризу-
поляризуемость заданной ядерной конфигурации молекулы. Для решения
реальной задачи о рассеянии надо еще учесть движение ядер в
начальном и конечном состояниях. Пусть i/jSi{q) и /0s2(^) —яДеР~
ные волновые функции этих состояний (так что «si, 52 — наборы
колебательных и вращательных квантовых чисел). Искомый тен-
тензор рассеяния представляет собой матричный элемент тензора
ctik(q)i вычисленный по этим функциям:
= / ^t2{q)oiik^Sldq.	F1.1)
Ввиду симметричности тензора cxik(q) будет симметричным (как
при совпадающих, так и при различных «si, 52) также и тензор
F1.1). Таким образом, мы приходим к выводу, что в рассматри-
рассматриваемых условиях антисимметричная часть будет отсутствовать
как в несмещенном, так и и в смещенном рассеянии. Рассеяние
будет содержать в себе лишь скалярную и симметричную части.
Скалярная часть поляризуемости a°(q) не зависит от ориен-
ориентации молекулы, а зависит лишь от внутреннего расположения
атомов в ней. Обозначим посредством v совокупность колеба-
колебательных квантовых чисел молекулы, а г совокупность враща-
вращательных чисел, за исключением магнитного числа га. Тогда ма-
матричные элементы
(v2r2rri2\oP\virimi) = (v2\oP\vi)8rir28mim2.	F1.2)
Диагональность по числам г, га— общее свойство всякого ска-
скаляра. Специфическим в F1.2) является то, что матричные эле-
элементы в данном случае вообще не зависят от этих чисел. Таким
образом, скалярное рассеяние имеется только для чисто колеба-
колебательных переходов и не зависит от вращательного состояния.
Симметричное рассеяние определяется матричными элемен-
элементами тензора afk. Его компоненты относительно неподвижной
системы координат xyz выражаются через компоненты afrkr в
связанной с молекулой системе ^г]( согласно
^'*'A'iAfe'ib	F1.3)
г'к'
где Dili — направляющие косинусы новых осей относительно ста-
старых. Величины otfrkr не зависят от ориентации молекулы, a D^
не зависят от ее внутренних координат. Поэтому
г'к'

274	РАССЕЯНИЕ СВЕТА
Сумма по r2m2i ik квадратов модулей этих величин равна, как
легко убедиться :) ,
|(^2|a^>i)|2. F1.4)
Г2ГП2 ik	i'k'
Это значит, что полная интенсивность рассеяния с переходами с
данного колебательно-вращательного уровня v\r\ на все враща-
вращательные уровни колебательного состояния v2 не зависит от г\.
Для молекул типа симметричного волчка можно пойти даль-
дальше и установить зависимость интенсивности рассеяния от вра-
вращательных квантовых чисел для каждого перехода v\r\ —>> v2r2.
Числами г являются в этом случае момент J и его проекция к
на ось молекулы. Введем вместо декартовых компонент asik со-
соответствующий сферический тензор второго ранга, компоненты
которого обозначим а\(\ = 0, ±1, ±2). Согласно формуле A10.7)
(см. III) квадраты модулей его матричных элементов
\(v2J2k2m2\ax\viJikimi)\2 =
где a\/(q) —сферический тензор поляризации, отнесенный к свя-
связанным с молекулой осям, А7 = к2 — к\. Просуммировав по т2 и
А = т2 — т\ (при заданном га), получим (ср. III, A10.8))
^2 \(v2J2k2m2\ax\v1J1k1m1)\2 =
1712Х
/от I 1\ I ^2 ^ <*1 \ |/ —	\ |2 (рл г\
= \2>J2 + 1J I 1 л/ i I 1(^2 С^Л7 ^1/1 • (bl.uj
Этой величиной определяется интенсивность рассеяния с коле-
колебательно-вращательным переходом v\J\k\ —>• v2J2k2. Поскольку
матричные элементы (^I^aH^i) от вращения молекулы вообще
не зависят, тем самым определяется зависимость интенсивности
как от чисел Ji, J2l так и от fci, k2. Отметим, что в правую сто-
сторону F1.5) входит всего одна сферическая компонента тензора
поляризуемости.
) При преобразовании суммы используется равенство, выражающее уни-
унитарность матрицы Dik'.
ik Г2ГП2

61	РАССЕЯНИЕ НА МОЛЕКУЛАХ	275
Если просуммировать равенство F1.5) по J2 и &2, то полу-
v2\aX'\vi
т. е. мы возвращаемся к правилу сумм F1.4).
Особым случаем симметричного волчка является ротатор —
линейная молекула (в частности, двухатомная). Проекция мо-
момента на ось такой молекулы равна нулю (в невырожденном
электронном состоянии с равным нулю электронным орбиталь-
орбитальным моментом) 2) . Поэтому в F1.5) в этом случае надо положить
кг= к2 = 0.
Наконец, рассмотрим вопрос о правилах отбора в колебатель-
колебательном комбинационном рассеянии вместе с аналогичным вопросом
для колебательных спектров испускания (или поглощения) мо-
молекулы 3) .
Для рассеяния вопрос сводится к нахождению условий, при
которых отличны от нуля матричные элементы тензора Щи{я)-)
вычисленные по колебательным волновым функциям ^v(q)] при
этом следует рассматривать отдельно скаляр а0 (для скалярного
рассеяния) и неприводимый симметричный тензор afk (для сим-
симметричного рассеяния). Аналогичную роль в излучении (или по-
поглощении) играют матричные элементы вектора d(q)—диполь-
ного момента молекулы, усредненного по электронному состоя-
состоянию при заданном положении ядер (для двухатомных молекул
это было уже указано в § 54).
Колебания многоатомной молекулы классифицируются по
типам симметрии — неприводимым представлениям соответству-
соответствующей точечной группы: Dai а — номер представления (см. III,
§ 100). По этим представлениям определяется также и симметрия
волновых функций колебательных состояний молекулы (см. III,
§ 101). Симметрия волновых функций первого колебательного
состояния (квантовое число va = 1) совпадает с симметрией Da
) При суммировании по J2 при заданных к\ и X' (а потому и^2 = к\ + X')
имеем
в силу A06.13) (см. III). После этого производится суммирование по &2 (или,
что то же, по А' = &2 — &i) при заданном к\.
) Мы не рассматриваем здесь эффектов, связанных со взаимодействием
колебаний и вращения молекулы (см. III, § 104).
3) Эти спектры относятся к инфракрасной области и наблюдаются обычно
в поглощении.

276	РАССЕЯНИЕ СВЕТА
типа колебания. Симметрия же высших состояний (va > 1) дает-
дается представлением [D^a]—симметричным произведением пред-
представления Da само на себя va раз. Наконец, симметрия состоя-
состояний с одновременно возбужденными различными колебаниями а
и b дается прямым произведением [Dvaa] x [D^b] x) . Способ на-
нахождения правил отбора различных величин (скаляра, вектора,
тензора) по типам симметрии изложен в т. III, § 97.
Правила отбора, основанные на свойствах симметрии моле-
молекулы, являются строгими. Наряду с ними существуют также и
приближенные правила, связанные с предположением о гармо-
гармоничности колебаний и с разложением функций а^((/) или d(q) по
степеням колебательных координат q. Они возникают как след-
следствие известного правила отбора для гармонического осцилля-
осциллятора, согласно которому матричные элементы его координаты q
отличны от нуля лишь для переходов с изменением колебатель-
колебательного квантового числа Av = =Ы.
§ 62. Естественная ширина спектральных линий
До сих пор при изучении испускания и рассеяния света мы
рассматривали все уровни системы (скажем, атома) как стро-
строго дискретные. Между тем возбужденные уровни, имея веро-
вероятность высветиться, обладают конечным временем жизни. Со-
Согласно общим принципам квантовой механики это приводит к
тому, что уровни становятся квазидискретными, приобретая ко-
конечную (малую) ширину (см. III, § 134); они записываются в виде
Е — гТ/2, где Г(= Т/Н) —полная вероятность (в 1 с) всех возмож-
возможных процессов «распада» данного состояния.
Рассмотрим вопрос о том, каким образом это обстоятельство
сказывается на процессе излучения (V. Weisskopf, E. Wigner,
1930). Заранее ясно, что ввиду конечности ширины уровня ис-
испущенный свет окажется не строго монохроматическим: часто-
частоты будут разбросаны в интервале Да; ~ Г(= Т/Н). При этом в
силу конечности времени жизни начального состояния излуча-
излучающей системы более естественной является постановка задачи о
нахождении полной вероятности испускания фотона данной ча-
частоты, а не о вероятности в единицу времени. Вычислим эту ве-
вероятность прежде всего для случая перехода атома с некоторого
возбужденного уровня
х) Свойства симметрии колебательных волновых функций, разумеется, не
зависят от конкретного вида колебательной потенциальной энергии; они не
зависят, в частности, от сделанного в т. III, § 101 предположения о гармо-
гармоничности колебаний.

§ 62	ЕСТЕСТВЕННАЯ ШИРИНА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ	277
на основной уровень E2i обладающий бесконечным временем
жизни и потому строго дискретный.
Пусть Ф — волновая функция атома и фотонного поля, Н =
= Н(°) + V — гамильтониан этой системы, причем V — оператор
взаимодействия атома и фотонного поля. Будем искать решение
уравнения Шредингера
г^ = (#@)+У)Ф	F2.1)
в виде разложения по волновым функциям невозмущенных со-
состояний системы
Ф = 2>„(*)Ф(,°) =J2^(t)e-t?v?j>)-	F2.2)
Для коэффициентов ay{t) получим систему уравнений
^	Sv - Sl)t}.	F2.3)
Пусть \v) —состояние с энергией 8V = Е2 +cj, в котором атом
находится на основном уровне E2i и имеется один квант с опре-
определенной частотой uj\ обозначим это состояние символом \ио2). В
начальный момент времени система находится в состоянии |1),
в котором атом возбужден на уровне Е\, а фотоны отсутствуют.
Другими словами, при t = 0 должно быть
аг = 1, а„/ = 0 для |z/) ф |1).	F2.4)
Найденное с этим начальным условием решение уравнения F2.3)
даст (при надлежащей нормировке волновых функций) вероят-
вероятность к моменту t перехода атома 1 —>> 2 с испусканием фотона
в интервале частот duo\
Нас будет интересовать вероятность при t —>• 00:
dw = \au2{oo)\2duo.	F2.5)
Для лучшего понимания постановки вопроса напомним, что
при нахождении обычной вероятности излучения (в 1 с) с пере-
переходом 1 —)> 2 (без учета ширины уровня) уравнение F2.3) надо
решать, заменив в первом приближении в его правой стороне все
auf(t) значениями F2.4). Полученное решение рассматривается
затем при больших t (ср. III, § 42). Мы можем теперь уточнить
смысл этой процедуры: она относится ко временам, малым по

278	РАССЕЯНИЕ СВЕТА
сравнению с продолжительностью жизни возбужденного уров-
уровня; большие t означают при этом времена, большие по сравне-
сравнению с периодом 1/{Е\ — ?^M н0 все же малые по сравнению с
1/Гь
В нашем же случае, когда рассматриваются времена, сравни-
сравнимые с 1/Г]_, функция a\(t) убывает со временем по закону
F2.6)
Функции же ayi(t) для состояний |z/), которые могут возникнуть
при высвечивании атома, со временем возрастают. Если высве-
высвечивание с данного уровня Е\ возможно на различные (помимо
Е2) уровни атома, то будет много возрастающих функций auf(t)]
каждая из них отвечает состоянию, в котором атом находится
на одном из своих уровней и имеется один фотон соответствую-
соответствующей энергии. Тем не менее в правой стороне уравнения F2.3) по-
прежнему останется всего один член —для |z/) = |1). Действи-
Действительно, поскольку матричные элементы могут быть отличны от
нуля лишь для переходов с изменением на 1 числа фотонов ка-
какой-либо одной энергии, они заведомо равны нулю для переходов
между состояниями, содержащими по одному фотону различных
энергий.
Таким образом, имеем для a^it) уравнение
dt
= <о;2|У|1> exp |i(o; - w12)t - yt} , F2.7)
где uo\2 = Ei — E2. Интегрируя с условием аШ2@) = 0, находим
F2.8)
ш -ол2 +гГ:/2
Отсюда вероятность dw F2.5):
dw = \(u2\V\l)\2— d0J
Поскольку ширина Гх ^С ио\2-> в множителе |(о;2|1/|1)|2 можно
положить ио = ио\2- Тогда величина 2тг|(о;2|1/|1)|2 есть обычная
вероятность излучения (в 1 с) фотона, обладающего частотой
U012-) а также другими (кроме частоты) характеристиками (на-
(направление движения, поляризация), от существования которых
мы до сих пор для упрощения отвлекались. Отметим, что зави-
зависимость вероятности от этих характеристик полностью опреде-
определяется множителем |(о;2|1/|1)|2. Другими словами, учет ширины
уровня не меняет поляризационных свойств и углового распре-
распределения излучения.

62	ЕСТЕСТВЕННАЯ ШИРИНА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛИНИЙ	279
Сумма
^2	F2.9)
взятая по поляризациям и направлениям движения фотона, есть
полная обычная вероятность излучения. Это есть в то же вре-
время та часть ширины уровня Е\ (парциальная ширина), которая
связана с переходом 1 —>• 2, в отличие от полной ширины Г]_, со-
составленной из вкладов от всех возможных способов «распада»
данного квазистационарного состояния х) .
Произведя такое же суммирование вероятности dw, получим
следующую окончательную формулу для частотного распреде-
распределения испускаемого света:
dw = WtEl	^		F2.10)
где wt = Fi^/Fi —полная относительная вероятность перехода
1	—>• 2. Это — распределение дисперсионного вида. Форма спек-
спектральной линии, описываемая формулой F2.10), свойственна
изолированному неподвижному атому; ее называют естествен-
естественной 2) .
Пусть теперь уровень Е2 атома — тоже возбужденный, с ко-
конечной шириной Г2- Для простоты будем предполагать, что эта
ширина связана с переходом атома в основное состояние Eq с
испусканием одного фотона (окончательный ответ — формула
F2.12) — от этого предположения не зависит). Тогда процесс рас-
распада состояния 1 можно рассматривать как процесс излучения
двух фотонов, изучавшийся в § 59. Матричный элемент этого
процесса — пока без учета конечности времени жизни состояния
2	— дается формулой
(в формуле E9.2) изменено обозначение состояния 2 —>> 0, а в
сумме по п оставлен лишь тот из членов, отвечающих нахожде-
нахождению атома в состоянии 2, который резонансно велик при значе-
значении а/, близком к Еэ — Eq). Если теперь учесть конечное время
:) Формулы F2.6), F2.9) можно, разумеется, получить и решая аналогич-
аналогичное F2.7) уравнение для a\{t).
Отметим, что переходы в состояния непрерывного спектра, обусловли-
обусловливающие конечную ширину уровня, не обязательно связаны с испусканием
фотонов. Сильно возбужденные (рентгеновские) уровни могут распасться
с испусканием электрона и образованием положительного иона в основном
состоянии (эффект Оже).
2) В отличие от уширения, связанного со взаимодействием атома с другими
атомами (уширение столкновениями) или с наличием в источнике атомов,
движущихся с различными скоростями (доплеровское уширение).

280	РАССЕЯНИЕ СВЕТА
жизни состояния 2, то это приведет в F2.11) только к замене
Е2 -> Е2 — гГ2/2, так что
EQ-E2+uo' +гГ2/2
Подставив это значение матричного элемента в уравнение для
aujuj'2{t) (отличающееся лишь обозначениями от F2.7)), получим
после вывода, вполне аналогичного выводу F2.8):
•„\ _	(uu'b\V\u2)(u2\V\l)
а'0{°°)
V ' (ио' - U020 + iT2/2)(uo +uo' - ио1О + гГх/2)
Вероятность испускания фотонов ио л ио' равна
dw = |gwo(°°)| duoduo =
Ti-^2 Гг-^о duoduo'	/^o n оч
=	. F2.12)
о	о Г/ /	\9 i t~i9 /лГ/ i /	\o . t-\O /^i \	/
2tt 2tt [(cj7 — CJ20) + Г2/4][(а; + ио' — иою) г+ Г^/4J
Как и должно было быть, это выражение имеет резкие максиму-
максимумы при ио' ~ uo2q и ио ~ ио\2.
Искомая форма спектральной линии, отвечающей переходу
1 —)> 2, получится интегрированием F2.12) по duo' (которое может
быть распространено на всю область от —оо до +оо). Интеграл
вычисляется проще всего путем замыкания пути интегрирования
бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоско-
полуплоскости комплексной переменной ио' и определяется суммой вычетов
подынтегрального выражения в полюсах
ио = uo2q + iV2/2 и ио = иою — ио + гГх/2.
В результате получим
7 Fi + Г2 duo	/п~ Л о\
dw = w+	,	62.13
Z7T [иО
где wt = Fi-^^-^/^i^)—полная вероятность двойного пере-
перехода 1 ->> 2 -^ 0 :).
Форма линии F2.13) отличается от F2.10) лишь заменой Гх
на Гх + Т2 — ширина линии равна сумме ширин начального и
конечного состояний.
Отметим, что ширина линии оказывается, вообще говоря, не
равной вероятности Гх^2 самого перехода 1 —>> 2, т. е. не про-
пропорциональной интенсивности линии (как это было бы в класси-
классической теории). Поскольку Гх + Г2 > Гх^2, линия может иметь
большую ширину при сравнительно малой интенсивности.
:) В более сложных случаях wt —полная вероятность всех каскадов, начи-
начинающихся с перехода 1 —>¦ 2 и заканчивающихся на уровне 0.

§ 63	РЕЗОНАНСНАЯ ФЛУОРЕСЦЕНЦИЯ	281
§ 63. Резонансная флуоресценция
Учет конечной ширины уровней в задаче о рассеянии света
существен в случаях, когда частота ио падающего света близка к
одной из «промежуточных» частот иоп\ или ио2П —так называе-
называемая резонансная флуоресценция (V. Weisskopf, 1931).
Рассмотрим несмещенное рассеяние системой (скажем, ато-
атомом) в основном состоянии, так что начальный и конечный уров-
уровни совпадают и строго дискретны. Пусть частота света близка к
некоторой частоте ujn\, где уровень п возбужденный, а потому
квазидискретный.
Этот вопрос можно было бы решить методом, изложенным
в предыдущем параграфе. В этом, однако, нет необходимости,
поскольку задача полностью аналогична рассмотренной в т. III,
§ 134 задаче о нерелятивистском резонансном рассеянии на ква-
квазидискретном уровне. Согласно полученным там результатам ам-
амплитуда рассеяния должна содержать полюсный множитель
С другой стороны, при \ио — иоп\\ ^> Гп формула должна перехо-
переходить в нерезонансную формулу E9.5). Отсюда ясно, что искомое
сечение рассеяния получится просто заменой Еп на Еп —гГп/2 в
формуле E9.5), причем в сумме по п можно ограничиться лишь
резонансными членами
?Mn(d2ne'*)(dnie)
da =
^do.	F3.1)
Суммирование производится по всем состояниям (с различны-
различными проекциями момента Мп), отвечающим резонансному уровню
Еп] состояния 1 и 2 относятся к одному и тому же (основному)
уровню, но могут различаться значениями М\ и М2.
Сечение F3.1) максимально при ио = иоп\. По порядку величи-
величины его значение в максимуме равно <ттах ~ о;4с/4/Г2. Поскольку
вероятность спонтанного перехода п —>• I, ас ним и ширина Гп
имеют порядок о;3сР, это значение
<Ттах - СО'2 - А2,	F3.2)
т. е. порядка квадрата длины волны света и не зависит от посто-
постоянной тонкой структуры — вместо типичных значений ~ т\ вне
области резонанса.
Подчеркнем, что поскольку атом до и после рассеяния нахо-
находится на строго дискретном (основном) уровне, то и частоты пер-
первичного и вторичного фотонов строго совпадают. Поэтому при

282	РАССЕЯНИЕ СВЕТА
облучении монохроматическим светом монохроматичным будет
и рассеянный свет. Если же падающий свет имеет спектральное
распределение интенсивности /((*>), причем функция I{uS) мало
меняется на ширине Гп, то интенсивность рассеянного света бу-
будет пропорциональна
Iju>nl)du>	F33)
Другими словами, форма линии рассеяния будет совпадать с
естественной формой линии при спонтанном испускании с уров-
уровня Еп.
Сечению F3.1) отвечает тензор рассеяния
Ы21
Шп\ -ш -iTn/2
В частности, тензор поляризуемости
— и — г! п/2
F3-5)
Сразу же отметим, что прибавление мнимой части к уровням
энергии промежуточных возбужденных состояний нарушает эр-
митовость тензора поляризуемости и при частотах ниже порога
ионизации. У него появляется мнимая часть, непосредственно
связанная с поглощением света.
Поглотив квант, атом рано или поздно вновь перейдет в ос-
основное состояние с испусканием одного или нескольких фотонов.
Поэтому с такой точки зрения сечение поглощения есть просто
полное сечение at всех возможных процессов рассеяния :) . С
другой стороны, согласно формуле E9.25), выражающей собой
оптическую теорему, это сечение определяется антиэрмитовой
частью тензора поляризуемости.
Подставив в E9.25) тензор а^ из F3.5), найдем следующую
формулу для сечения поглощения фотона частоты о;, близкой
F3.6)
В пределе Гп —>> 0 последний множитель в этой формуле стре-
стремится к E-функции 8{ио — uoni)-) B соответствии с тем, что в этом
случае может поглощаться лишь фотон строго определенной ча-
частоты. Пусть на атом падает свет со спектральной и угловой
х) Подчеркнем, что речь идет о поглощении системой, находящейся в ста-
стабильном, основном состоянии. Ввиду конечности времени опыта постановка
вопроса для возбужденного состояния была бы другой.

§ 63	РЕЗОНАНСНАЯ ФЛУОРЕСЦЕНЦИЯ	283
плотностью потока энергии 1\^е (ср. D4.7)). Тогда плотность по-
потока числа фотонов равна — duo do, и вероятность поглощения
UJ
^(погл) = ^(погл) ike duJ do	^637)
UJ
Если функция I\^e(uo) мало меняется на ширине Гп, то после ин-
интегрирования по частотам получим
^(погл) = 4?Г2 ^ |dnie|2/ke(o;ni) duo do.
мп
Заметив, с другой стороны, что, согласно D5.5),
lne*|2do = ? V |dnle|2do
мп	мп
есть вероятность спонтанного испускания фотона частоты
мы вернемся к формуле D4.9).

ГЛАВА VII
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
§ 64. Амплитуда рассеяния
Общая постановка задачи о столкновениях состоит в том,
чтобы по заданному начальному состоянию системы (некоторая
совокупность свободных частиц) найти вероятности различных
возможных конечных состояний (другие совокупности свобод-
свободных частиц). Если символ |г) обозначает начальное состояние, то
результат столкновения можно представить как суперпозицию
где суммирование производится по различным возможным ко-
конечным состояниям |/). Коэффициенты этого разложения (f\S\i)
(или в краткой записи Sfi) составляют матрицу рассеяния, или
S-матрицу :) . Квадраты \Sfi\2 дают вероятности переходов в
определенные состояния |/).
В отсутствие взаимодействия между частицами состояние си-
системы не менялось бы, чему соответствовала бы единичная 5-ма-
трица (отсутствие рассеяния). Удобно всегда выделять эту еди-
единицу, представив матрицу рассеяния в виде
Sfi = Sfi + гBтгL^4) (Pf - Pi)Tfi,	F4.2)
где Tfi — новая матрица. Во втором члене выделена четырехмер-
четырехмерная E-функция, выражающая закон сохранения 4-импульса (Pi
и Pf — суммы 4-импульсов всех частиц в начальном и конечном
состояниях); остальные множители введены для удобства в даль-
дальнейшем. В недиагональных матричных элементах первый член
в F4.2) выпадает, так что для перехода г —>• / элементы матриц
S и Т связаны друг с другом соотношением
Sfi = гBтгL^4) (Pf - Pi)Tfi.	F4.3)
Матричные элементы Т^, остающиеся после выделения E-функ-
ции, будем называть амплитудами рассеяния.
При возведении модулей \Sfi\ в квадрат появится квадрат
E-функции. Его надо понимать следующим образом. E-функция
х) От английского слова scattering или немецкого Streuung.

§ 64	АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ	285
возникает от интеграла
,5D) (Р/ _ p.) = _1_ Г
V. / J
Если же вычислять другой такой же интеграл при Pf = Pi (в си-
силу наличия уже одной E-функции), причем распространить инте-
интегрирование по некоторому большому, но конечному объему V и
интервалу времени ?, то получится 1/?/BтгL х) . Поэтому можно
написать
Разделив на ?, получим вероятность перехода в единицу времени
Wi^f = Bтт)?4)(Р/ - Pi)\Tft\2V.	F4.5)
Каждая из свободных частиц (начальных и конечных) опи-
описывается своей волновой функцией — плоской волной с некото-
некоторой амплитудой и (для электрона это — биспинор, для фотона —
4-вектор и т. п.). Амплитуда рассеяния Tfi имеет структуру вида
Tfi = и\и% ... Quiu2 ...,	F4.6)
где слева стоят амплитуды волновых функций конечных, а спра-
справа— начальных частиц; Q есть некоторая матрица (по отноше-
отношению к индексам компонент амплитуд всех частиц).
Наиболее важны случаи, когда в начальном состоянии име-
имеется всего одна или две частицы. В первом случае речь идет о
распаде, во втором —о столкновении двух частиц.
Рассмотрим сначала распад частицы на произвольное число
других частиц с импульсами р'а в элементе импульсного про-
пространства Yl d3p'a (индекс а нумерует частицы в конечном состо-
состоянии, так что Х]р7а = Р/)- Число состояний, приходящихся на
этот элемент (и на нормировочный объем V 2) , есть
n
BтгK '
На эту величину надо умножить выражение F4.5):
dw = Bж)Ч^(Р} - Pt)\Tfl\2Vl[^0.	F4.7)
1)Это можно показать иначе, вычислив сначала интеграл по каждой из
координат в F4.4) в конечных пределах и затем устремив пределы к беско-
бесконечности с помощью формулы D2.4) (см. III):
sin2a^
hm ———— = Tvd(a).
?2
) Для большей наглядности вычислений в этом параграфе не будем пола-
полагать нормировочный объем равным единице.

286	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
При этом волновые функции всех частиц, используемые при
вычислении матричного элемента, должны быть нормированы на
одну частицу в объеме V. Так, для электрона — это плоская вол-
волна B3.1), для частицы со спином 1 —A4.12), для фотона—D.3).
Все эти функции содержат множитель \/y/2eV ^ где е — энергия
частицы. Однако в дальнейшем будет удобным условиться пи-
писать во всех вычислениях волновые функции частиц без этих
множителей (которые включим в выражение для вероятности).
Таким образом, электронная плоская волна будет
ф = ue-ipx, пи = 2т,	F4.8)
а фотонная волна
А = V^ee~ikx, ее* = -1, ек = 0.	F4.9)
Вычисленную с такими функциями амплитуду рассеяния обо-
обозначим (в отличие от Tfj) Mfi. Очевидно, что
Tfi =	™П	-;	F4.10)
в знаменателе стоит по одному множителю \j2eV на каждую
начальную или конечную частицу.
В частности, для вероятности распада получим вместо F4.7)
dw = Bir)*SW(Pf - Pi)\Mfi\2- TT d3p'a ,	F4.11)
V }	V ; ЪП /г| 2s 11 BttK2s^	V	J
2s
где e — энергия распадающейся частицы; нормировочный объем,
как и должно быть, из этой формулы выпал х) .
Придадим формуле F4.11) более законченный вид (устранив
в ней 6-функции) для случая, когда распад происходит на две
частицы (с импульсами р^, р^ и энергиями 6^, е^). В системе
покоя распадающейся частицы р[ = —р72 = р7, е\ + е'2 = т, так
что имеем
dw = -i-IM/^^-^^p; + p!,)^ + 4 -
Первая E-функция устраняется интегрированием по d3pf2] диф-
дифференциал ж:е d?Pi переписываем в виде
Н = p'2d\p'\do = \р'^о?-ЩЩ^	F4.12)
:) Если среди конечных частиц имеется N тождественных, то при интегри-
интегрировании по их импульсам (с целью нахождения интегральной вероятности)
должен быть введен множитель 1/ЛГ!, учитывающий тождественность со-
состояний, различающихся перестановкой частиц.

§ 64	АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ	287
(в справедливости этой записи легко убедиться, заметив, что ?]_2 —
— raf = ?2 — га'22 = р/2). Интегрирование по d(e[ + e'2) устраняет
вторую 8-функцию, и получается
dw = —-—\Mfi\2\pr\dor.	F4.13)
Рассмотрим теперь столкновение двух частиц (с импульсами
Pi и р2 и энергиями е\ и ?2) c превращением их в совокупность
произвольного числа частиц с импульсами р'а. Вместо F4.11) по-
получим теперь
dw = BтгL^4) (Pf -
is2l/^l BttK2s^
Интересующей нас величиной в этом случае является, одна-
однако, не вероятность, а сечение da. Инвариантное (относительно
преобразований Лоренца) сечение получается из dw делением на
величину
3 = т^—,	F4.14)
где / обозначает 4-скаляр
I = ^{Р1Р2? - m\ml	F4.15)
(см. II, § 12) 1). В системе центра инерции (pi = —Р2 = р)
J=|p|(ei+e2),	F4.16)
так что
^(L ) ^	F4-17)
V
что совпадает с обычным определением плотности потока стал-
сталкивающихся частиц (i>i, V2—их скорости) 2) . Таким образом,
находим для сечения формулу
da = Bn)AS^(Pf - Рг)\Мп\2- ГГ d3p'a .	F4.18)
1)	На будущее выпишем также выражение для / в виде
I2 = i/4[s - (mi + m2f][s - (mi - m2J],	F4.15a)
где s = (pi +P2J.
2)	В произвольной системе отсчета
3 = (l/V)V(vi-v2J-[viv2]2.
Это выражение сводится к обычной плотности потока во всех случаях, когда
vi || v2: j = |vi -v2\/V.

288	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
Придадим этой формуле окончательный вид, исключив из
нее S-функцию для случая, когда в конечном состоянии тоже
имеется всего две частицы. Будем рассматривать процесс в си-
системе центра инерции. Пусть е = е\ + ?2 = ?*\ + е^—полная
энергия; pi = —Р2 = р и р[ = — р2 = р7 — начальный и конеч-
конечный импульсы. Устранение о-функции производится так же, как
и при выводе F4.13), и получается
!?L	F4.19)
da	\Mfi\do
64тг2	\р\е2
(в частном случае упругого рассеяния, когда род частиц при
столкновении не меняется, |р'| = |р|).
Перепишем эту формулу еще и в другом виде, введя в нее
инвариантную величину
t = (pi - р[J = т\ + т? - 2(pipi) =
= ml + ml - 26167! + 2IP1IIP7!! cos6>, F4.20)
где в — угол между pi и р^ В системе центра инерции импуль-
импульсы |pi| = |p| и Ip^l = |p;| определяются одной только полной
энергией ?, и при заданном е
rft = 2|p||p/|rfcos0.	F4.21)
Поэтому в F4.19) можно заменить
2|р||р'|
где (ip — азимут р'х относительно pi 1). Таким образом,
do =-^\Mfl\^df	F4.22)
64тг	I2 2тг
(мы снова ввели инвариант / согласно F4.16)). Азимут <р, а с
ним и сечение в форме F4.22) инвариантны относительно преоб-
преобразований Лоренца, не меняющих направление относительного
движения частиц. Если сечение не зависит от азимута, формула
F4.22) принимает особенно простой вид
da = J-\Mfi\2-.	F4.23)
64тг J I2	V	J
Если одна из сталкивающихся частиц достаточно тяжела (и
ее состояние в результате столкновения не меняется), то ее роль
1) Поскольку правильный знак дифференциала в подобных случаях оче-
очевиден, будем ниже для простоты писать dt вместо d(—t) и т. п.

§ 65	АМПЛИТУДА РАССЕЯНИЯ	289
в процессе сводится к роли неподвижного источника постоян-
постоянного поля, в котором рассеивается другая частица. В соответ-
соответствии с тем, что в постоянном поле сохраняется энергия (но не
импульс!) системы, при такой трактовке процесса столкновения
представим элементы ^-матрицы в виде
F4.24)
В выражении для \Sfi\2 квадрат одномерной E-функции дол-
должен пониматься как
[6(Ef - Ei)]2 ^ ±5(Ef - Ei)t.
Перейдя затем (как и при выводе F4.11)) к амплитуде Mfi вме-
вместо Tfi, получим следующее выражение для вероятности про-
процесса, в котором одна частица, рассеиваясь в постоянном поле,
создает в конечном состоянии некоторое число других частиц:
dw = 2тг6(Ег - е)\Мп\2— П
BttK2s^
Здесь снова е{= Ei) —энергия начальной частицы, р'а и е'а — им-
импульсы и энергии конечных частиц. Сечение же рассеяния полу-
получится делением dw на плотность потока j = v/V, где v = |р|/б —
скорость рассеиваемой частицы. В результате нормировочный
объем снова выпадает из ответа и получается
da = 2тг6(Ег - е)\Мп\2— П d*p'a .	F4.25)
V / Л /*1 2|р| 11 BttK2s^	V	J
В частном случае упругого рассеяния в конечном состоянии
имеется тоже одна частица с тем же (по величине) импульсом
и той же энергией. Заменив d3pf —>> p^dlp'ldo' = \p'\s'ds'do' и
устранив 8{е' — е) интегрированием по de1\ получим сечение в
виде
da = -^—\Mfi\2do'.	F4.26)
16тг2' /г|	V	7
Наконец, если внешнее поле зависит от времени (скажем, поле
системы частиц, совершающих заданное движение), то в *5-ма-
трице отсутствует также и 6-функция от энергии. Тогда Sfi =
= iTfi и после перехода от Tfi к Mfi согласно F4.10) вероятность,
например, процесса, в котором поле рождает определенную со-
совокупность частиц, будет даваться формулой
dw = \МН\2 ТТ d3p'a .	F4.27)
I /*l 11 BтгK2^	V	J
10 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

290	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
§ 65. Реакции с поляризованными частицами
В этом параграфе мы покажем на простых примерах, каким
образом учитывается при вычислении сечения рассеяния поля-
поляризационное состояние участвующих в реакции частиц.
Пусть в начальном и в конечном состояниях имеется по од-
одному электрону. Тогда амплитуда рассеяния имеет вид
Mfi = п'Аи(= u^AikUk),	F5.1)
где и ж и1 — биспинорные амплитуды начального и конечного
электронов, А — некоторая матрица (зависящая от импульсов и
поляризаций остальных участвующих в реакции частиц, если та-
таковые имеются).
Сечение рассеяния пропорционально |М^|2. Имеем
(пАи)* = и'-у0* А* и* = ьГА+^+и',
или
(п'Аи)* = пАи1,	F5.2)
где х)
Таким образом,
\Mfi\2 = (п'Аи)(пАиг) = \1(п!кАыщпшАшг.	F5.3)
Если начальный электрон находился в смешанном (частично
поляризованном) состоянии с матрицей плотности р и если нас
интересует сечение процесса с образованием конечного электро-
электрона в определенном наперед заданном поляризационном состоя-
состоянии //, то надо заменить произведения компонент биспинорных
амплитуд
щп'к ->> p'ik, щпт ->> pim.
Тогда
\Mfi\2 = Sp(pApA).	F5.4)
Матрицы плотности р и р' даются формулой B9.13)
1	5	F5.5)
р
(и аналогично для /У).
Если начальный электрон не поляризован, то
Р= \<ЛР + ™)-	F5-6)
1) В связи с необходимостью образовывать матрицу А отметим для буду-
будущего следующие легко проверяемые равенства:
^ = 7м, TY • • • 7Р = Y • • • 7V, 75 = -75, TV = 7V-	F5.2а)

§ 65	РЕАКЦИИ С ПОЛЯРИЗОВАННЫМИ ЧАСТИЦАМИ	291
Подстановка этого выражения эквивалентна усреднению по по-
поляризациям электрона. Если требуется определить сечение рас-
рассеяния с произвольной поляризацией конечного электрона, то на-
надо положить также р1 = (jp +ra)/2 и удвоить результат; эта опе-
операция эквивалентна суммированию по поляризациям электрона.
Таким образом, получим
\ S {Ы + т)А{1Р + тI},	F5.7)
поляр
где Х^поляр означает суммирование по начальным и конечным по-
поляризациям, а множитель 1/2 превращает одно из суммирований
в усреднение.
Матрица плотности р1 в F5.4) —вспомогательное понятие, ха-
характеризующее, по существу, свойства детектора (выделяющего
ту или иную поляризацию конечного электрона), а не процес-
процесса рассеяния как такового. Возникает вопрос о поляризацион-
поляризационном состоянии электрона, в которое он приводится процессом
рассеяния самим по себе. Если р(*' — матрица плотности этого
состояния, то вероятность детектирования электрона в состоя-
состоянии р1 получится проецированием р(*> на /У, т. е. образованием
следа Sp(p^)p'). Этой же величине будет пропорционально соот-
соответствующее сечение, т. е. квадрат |М^|2. Сравнив с F5.4), мы
делаем вывод, что
pW ~ ApA.	F5.8)
Поскольку заранее известно, что р^ должно иметь вид F5.5)
с некоторым 4-вектором ал*\ дело сводится к определению по-
последнего. Это можно было бы сделать по формуле B9.14), но еще
проще поступить, как будет указано ниже.
Мы видели в § 29, что компоненты 4-вектора а выражаются
через компоненты 3-вектора ? — среднего (удвоенного) значения
спина электрона в его системе покоя. Поляризационные состоя-
состояния электронов полностью определяются этими векторами, и це-
целесообразно выражать через них также и сечение рассеяния.
Очевидно, что квадрат |М^|2 будет линеен по каждому из век-
векторов ? и ?7, относящихся к начальному и конечному электронам.
Как функция от ?7 он будет иметь вид
\Mfi\2 = a + 0C',	F5-9)
где а и /3 сами — линейные функции ?.
Вектор ?7 в F5.9)—заданная поляризация конечного элект-
электрона, выделяемая детектором. Вектор же С \ отвечающий ма-
матрице плотности р^\ легко найти следующим образом. Согласно
сказанному выше
ю*

292	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
Ввиду релятивистской инвариантности этой величины можно
вычислять ее в любой системе отсчета. В системе покоя конеч-
конечного электрона имеем согласно B9.20)
Поэтому
и, сравнив с F5.9), находим, что
?(/) =р/а.	F5.10)
Таким образом, вычислив сечение как функцию параметра ?',
мы тем самым определим и поляризацию С .
В более сложных случаях (более чем по одному начальному
или конечному электрону) вычисления производятся аналогич-
аналогичным образом по изложенной схеме.
Так, если в начале и конце имеется по два электрона, ампли-
амплитуда рассеяния приобретает вид
где и\, и2— биспинорные амплитуды начальных, а г^, и2— ко-
конечных электронов. При образовании квадрата |М^|2 появятся
члены вида
и вида
Первые приводятся к произведениям двух следов вида F5.4), а
вторые — к следам вида
Sp (p'1Ap1Cp'2Bp2D).
Позитроны описываются амплитудами «отрицательной ча-
частоты» и(—р). Для реакций с участием позитронов отличие от из-
изложенного выше сводится к тому, что в качестве матриц плотно-
плотности надо пользоваться выражениями, отличающимися от F5.5),
F5.6) лишь изменением знака перед m (ср. B9.16), B9.17)).
Обратимся к поляризационным состояниям участвующих в
реакции фотонов.
Поляризация каждого начального фотона входит в амплиту-
амплитуду рассеяния линейно в виде 4-вектора е, а каждого конечного
фотона —в виде е*. В обоих случаях в сечение (т. е. квадрат
\М%\ входит 4-тензор е^е*. Для перехода к случаю произволь-
произвольного частично поляризованного состояния этот тензор должен

§ 66	КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ	293
быть заменен четырехмерной матрицей плотности — 4-тензором
е^е* ->> р^у.	F5.11)
В частности, для неполяризованного фотона, согласно (8.15),
/V = -g^/2-	F5.12)
Таким образом, усреднение по поляризациям фотона сводится
к тензорному свертыванию в |М^|2 по соответствующим двум
тензорным индексам \iv х) .
Если требуется произвести не усреднение, а суммирование
по поляризациям фотона, то надо заменить е^е* вдвое большим
выражением:
е^е* -> -g^.	F5.13)
Матрица плотности поляризованного фотона дается форму-
формулой (8.17). Выбор 4-векторов е^1), е^ фигурирующих в этом вы-
выражении, диктуется обычно конкретными условиями задачи. В
одних случаях эти векторы могут быть связаны с определенными
пространственными направлениями в некоторой системе отсче-
отсчета. В других случаях более удобно связывать их с фигурирую-
фигурирующими в условиях задачи характерными 4-векторами — 4-импуль-
сами частиц.
В (8.17) поляризация фотона описывается параметрами Сток-
са, составляющими «вектор» ? = (?ь?25?з)- Как и для электро-
электрона, необходимо отличать поляризацию ?'*' конечного фотона как
такового от поляризации ?7, выделяемой детектором. Если изве-
известен квадрат амплитуды рассеяния как функция параметра ?7:
то поляризация ?^ = /3/а, что аналогично формуле F5.10).
§ 66. Кинематические инварианты
Рассмотрим некоторые кинематические соотношения для про-
процессов рассеяния, в которых как в начальном, так и в конечном
состояниях имеется всего по две частицы. Мы имеем в виду со-
соотношения, являющиеся следствием одних лишь общих законов
сохранения и потому справедливые вне зависимости от природы
частиц и от законов их взаимодействия.
г) Выражение F5.12) как бы сводит усреднение по двум реально возмож-
возможным поляризациям фотона к усреднению по четырем независимым направ-
направлениям 4-вектора е.

294	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
Запишем закон сохранения 4-импульса в общем виде, не пред-
предрешающем, которые из импульсов относятся к начальным, а ко-
которые— к конечным частицам:
91 +Я2 + Яз + <74 = 0.	F6.1)
Здесь ±да — 4-векторы импульсов, причем два из них отвеча-
отвечают падающим частицам, а два — рассеянным; для последних им-
импульсами являются — qa. Другими словами, у двух из qa времен-
временная компонента q% > 0, а у двух q% < 0.
Наряду с сохранением 4-импульса должен соблюдаться за-
закон сохранения заряда. При этом под зарядом можно понимать
не только электрический заряд, но и другие сохраняющиеся ве-
величины, имеющие разный знак у частиц и античастиц.
При заданных видах участвующих в процессе частиц квадра-
квадраты 4-векторов qa являются заданными квадратами масс частиц
(^2 _ </77,2). g зависимости от значений, пробегаемых временными
компонентами д^, и от значений зарядов мы получим три разные
реакции. Запишем эти три процесса так:
1.1 + 2-> 3 + 4,
П. 1 + 3^2 + 4,	F6.2)
III. 1 + 4^2 + 3.
Здесь цифра означает номер частицы, а черта над цифрой отли-
отличает античастицу от частицы. Переходу от одной из реакций к
другой, т. е. перенесению частицы из одной стороны формулы в
другую, отвечает изменение знака соответствующей временной
компоненты q^ а также знака заряда, т. е. замена частицы ан-
античастицей. (Наряду с процессами F6.2) возможны, конечно, и
обратные реакции.)
О трех процессах F6.2) говорят как о трех перекрестных (или
кросс-) каналах одной (обобщенной) реакции.
Приведем несколько примеров. Если частицы 1 и 3 — электро-
электроны, а 2 и 4 — фотоны, то канал I представляет собой рассеяние
фотона электроном; ввиду истинной нейтральности фотона ка-
канал III — то же, что I. Канал же II есть превращение электрон-по-
зитронной пары в два фотона. Если все четыре частицы — элек-
электроны, то канал I — рассеяние электрона на электроне, а каналы
II и III — рассеяние позитрона на электроне. Если частицы 1 и
3 —электроны, а 2 и 4 —мюоны, то канал I —рассеяние ена/i,
канал III — рассеяние е на Д, канал II — превращение пары её в
пару щ1.
При рассмотрении процессов рассеяния особую роль играют
инвариантные величины, которые можно составить из 4-импуль-
сов. Их функцией являются инвариантные амплитуды рассеяния
(см. § 70).

§ 66	КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ИНВАРИАНТЫ	295
Из четырех 4-импульсов можно составить две независимые
инвариантные величины. Действительно, в силу F6.1) всего три
4-вектора qa независимы; пусть это будут 9ъ 92, 9з- Из них можно
составить шесть инвариантов: три квадрата q\, q%, 9з и три про-
произведения 9192? 919з5 929з- Но первые три есть заданные квадраты
масс, а вторые три связаны одним соотношением, следующим из
равенства :)
(?i + 92 + 9зJ = Ял = гп\.
Для достижения большей симметрии удобно, однако, рассма-
рассматривать не два, а три инварианта, в качестве которых выберем
следующие:
*=D1+Ы2 = (</2+</4J,	F6.3)
и = (qi +<?4J = (92 + 9зJ-
Они связаны, как легко видеть, соотношением
s + t + u = h,	F6.4)
где
h = т\ + т\ + т\ + m\.	F6.5)
В основном (I) канале инвариант s имеет простой физический
смысл. Это есть квадрат полной энергии сталкивающихся частиц
A и 2) в системе их центра инерции (при Pi + Р2 = 0: s = (е\ +
+ ?2J)- В канале II аналогичную роль играет инвариант ?, а в
канале III — инвариант и. В связи с этим каналы I, II, III часто
называют «s-, t- и ^-каналами.
Не представляет труда выразить инварианты «s, ?, и через
энергии и импульсы сталкивающихся частиц в каждом из кана-
каналов. Рассмотрим «s-канал. В системе центра инерции частиц 1 и
2 временные и пространственные компоненты 4-векторов qa за-
задаются следующим образом:
94 = -Р4 = (-^4, Р;в)
:) В общем случае, когда в реакции участвуют n ^ 4 частиц, число функ-
функционально независимых инвариантных переменных равно Зп — 10. Действи-
Действительно, имеется всего 4п величин — компонент п 4-импульсов qa. Между
ними имеется п функциональных связей q% = m^ и еще четыре, даваемых
законом сохранения ^ qa =0. Произвольные значения могут быть приданы
шести величинам — по числу параметров, определяющих общее преобразо-
преобразование Лоренца (общий четырехмерный поворот). Поэтому число независи-
независимых инвариантных переменных: 4п — п — 4 — 6 = Зп — 10.

296	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
(индекс s у ps, p^ напоминает о том, что эти импульсы относятся
к реакции в s-канале). Тогда
s = e2s, es = ei +?2 = ?з + ^45	F6.7)
4sp2 = [s- (mi + m2f}[s - (rai - m2J],	_ g.
4sp's2 = [s - (m3 + ra4J][s - (m3 - m4J];
2t = h — s + 4psp's - -(m2 - ra|)(ra2 -
J	F6.9)
2u = h — s — 4psp's + -(m2 — m\)(m\ — m\
s
В случае упругого рассеяния (mi = газ, rri2 = m4) имеем |ps| =
= |p;s|, так что s\ = ?3, ?2 = ?4- Вместо F6.9) при этом получа-
получаются более простые формулы
* = "(Р, " P'J2 = -2р5A " cosва),
+ (J
где 6S — угол между ps и p7s. Отметим, что инвариант —t пред-
представляет собой при этом квадрат переданного при столкновении
(трехмерного) импульса.
Аналогичные формулы для других каналов получаются про-
простым изменением обозначений. Для перехода к t-каналу надо
произвести в F6.6)—F6.10) замену s <-> ?, 2 <-> 3; для перехода
к г^-каналу — замену s <-> и, 2 <-> 4.
§ 67. Физические области
Рассматривая амплитуды рассеяния как функции независи-
независимых переменных s,t,u (связанных лишь соотношением s+t+u =
= /1), мы сталкиваемся с необходимостью различать физически
допустимые и недопустимые области их значений. Значения, ко-
которые могут отвечать физическому процессу рассеяния, должны
удовлетворять определенным условиям, являющимся следстви-
следствиями закона сохранения 4-импульса и того факта, что квадрат
каждого из 4-векторов qa есть заданная величина q2 = vr?a.
Произведение двух 4-импульсов
PaPb > rnamb.	F7.1)
Поэтому (qa + qbJ = (pa + pbJ > (ma + mbJ,
если qa=pa, Qb= Pb (или qa = —pa, qb = -pb),
или же (qa + qbJ = (pa - pbJ ^ (raa - mbJ,
если qa=pa, Qb = ~Pb-

§ 67
ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ
297
Отсюда следует, что для реакции в s-канале:
(mi + ГП2J ^ s > (шз + ГП4J,
(mi — газJ ^ t ^ (га,2 — т^J,
(mi — ГП4J ^ ^ ^ (га,2 — газJ
F7.2)
(аналогичные неравенства — в t- и г^-каналах).
Для нахождения остальных условий составим 4-вектор L, ду-
дуальный произведению каких-либо трех из 4-векторов qai скажем
Т"	/Jj U P	I' f}>~7 О\
J-j\ — C\ni/ рО_\ 0.2 О-*^'	\ /
В системе покоя одной из частиц (например, частицы 1)
q1 = (gJ,O). При этом L имеет
лишь пространственные компонен-
компоненты: Li = ei0kiq^ql3. Другими сло-
словами, L — пространственноподоб-
ный вектор, и во всякой системе
отсчета L2 ^ 0. Раскрыв квадрат
L2, получим условие
^ = 0 s = 0
4
0. F7.4)
>А
-4-4 = 0
Рис. 5
Оно может быть выражено через инварианты «s, t, и в едином
для всех каналов виде
stu ^ as + Ы + си,	F7.5)
где
ah = (
bh = (т2т2
ch = (т\т\
+
— т2 — га|),
тп2
F7.6)
(Т. W. В. КгЪЫе, 1960).
Для графического изображения областей изменения перемен-
переменных s, ?, и удобно пользоваться так называемыми треугольными
координатами на плоскости (плоскость Мандельстама; S. Мап-
delstam, 1958). Координатными осями в ней являются три пря-
прямые, образующие в пересечении равносторонний треугольник.
Координаты «s, ?, и отсчитываются по направлениям, перпенди-
перпендикулярным этим трем прямым. (Считаем положительными нап-
направления внутрь треугольника, как указано на рис. 5 стрелка-
стрелками.) Другими словами, каждой точке плоскости отвечают зна-
значения «s, ?, и, изображающиеся (с соответствующими знаками)

298
МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
длинами перпендикуляров, опущенных на три оси. Выполнение
условия s +1 + и = h обеспечивается при этом известной геомет-
геометрической теоремой (если высота равностороннего треугольника
равна К) х) .
Рассмотрим важный случай, когда основному (s) каналу от-
отвечает упругое рассеяние; при этом массы частиц попарно оди-
одинаковы:
mi = 7713 = т, т2
Пусть 777 > \i. В условии F7.5) имеем
h = 2(ra2+/i2), a = c = 0,
F7.7)
6=(ra2-/i
2J
так что
sut
(m2 - /i2Jt.
F7.8)
Граница области, определяемой этим неравенством, состоит из
прямой t = 0 и гиперболы
5гб= (ш2_^2J,	F7.9)
две ветви которой лежат в секторах и < 0, 5 < 0 и 5 > О,
и > 0; оси «s = 0 и гл = 0 являются асимптотами гиперболы.
Вместо F7.8) можно написать
s = 0
- - t=4m2
t > 0, su> (ra2 -
,2\2
или
t < 0, su< (ra2 -/i2J.
Кроме того, из условий F7.2)
надо дополнительно учесть
неравенство s > (ra + /iJ в s-ка-
нале л и > (га + /iJ в г^-канале;
остальные неравенства удовле-
удовлетворяются после этого автома-
автоматически. В результате найдем,
что каналам I, II, III («s, ?, и)
отвечают, как говорят, физиче-
физические области, изображенные на
рис. 6 штриховкой.
Если \i = 0 (частицы 2, 4 — фотоны), то нижняя ветвь ги-
гиперболы касается оси t = 0 и физические области выглядят, как
показано на рис. 7.
:) Соединив, например, точку Р (рис. 5) с тремя вершинами треугольника
ABC, мы разобьем его на три треугольника с высотами s, t, щ приравняв
сумму их площадей площади треугольника ABC, найдем требуемое равен-
равенство. Аналогичным образом оно доказывается и в случае, когда точка Р
лежит вне треугольника ABC.

§ 67
ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ
299
Если же т = /i, то границы области F7.8) вырождаются в ко-
координатные оси и физическими областями являются показанные
на рис. 8 три сектора.
'-- t = 4m2
t = 0
Рис. 7	Рис. 8
В общем случае четырех различных масс уравнение
stu = as + Ы + си	F7.10)
определяет кривую третьего порядка, ветви которой ограничи-
с> 0
с< 0
Рис. 9
вают физические области трех каналов, как показано на рис. 9.
Пусть
Тогда
а^ Ь^ с, а > 0, 6 > 0.
Кривая F7.10) пересекает координатные оси в точках, лежащих
на прямой
as + Ы + си = 0
(см. штриховые линии на рис. 9). В зависимости от знака с она
проходит, как показано на рис. 9. При с < 0 физическая область

300	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
г^-канала захватывает часть площади координатного треугольни-
треугольника; другими словами, в этом случае величины «s, ?, и могут быть
одновременно положительными. Все три ветви граничной кри-
кривой имеют в качестве асимптот соответствующие координатные
оси (в этом легко убедиться, исключив из уравнения F7.10) одну
из переменных с помощью соотношения s -\-t + u = h n устремив
затем одну из оставшихся переменных к бесконечности). Условия
F7.2) не вносят в общем случае ничего нового по сравнению с
границами, устанавливаемыми уравнением F7.10). Прямые ли-
линии, соответствующие знакам равенства в F7.2), не пересекают
заштрихованных на рис. 9 физических областей; некоторые из
них касаются границ этих областей, отвечая экстремальным зна-
значениям переменных «s, t или и в соответствующем канале.
В случае, когда масса одной из частиц больше суммы масс
трех остальных (mi > rri2 + шз + т±), наряду с каналами I, II, III
возможен еще четвертый канал реакции, отвечающий распаду:
IV. 1 ^2 + 3 + 4,	F7.11)
Для этого канала в системе покоя распадающейся частицы
?2 + ?3 + ?4 = mi, Р2 + РЗ + Р4 = 0.
Инварианты:
s = ml + ттт! ~~ 2mi?2,
t = m\+ml- 2mi?3,	F7.12)
U = 777^ + 777^ — 2t77i?4-
Из F7.1) получим теперь:
(ш3 + m4J ^ s ^ (mi - m2J,
(m2 + m4J ^K(mi- m3J,	F7.13)
(Ш2 + ШзJ ^ U ^ (mi — 7T74J.
Таким образом, все три инварианта положительны, т. е. физи-
физическая область канала распада находится внутри координатного
треугольника.
Задачи
1. Найти физические области в случае трех одинаковых масс: т\ = т,
7П2 = гпз = mi = // (например, реакция К + тг —»¦ тг + тг).
Решение. Уравнение F7.10) принимает вид
stu = /12(т2 -/л2J,	A)
причем
s + t + и = З//2 + т2.

68
ФИЗИЧЕСКИЕ ОБЛАСТИ
301
Области I, II, III ограничены одинаковыми по форме кривыми (для I: s > 0,
t < 0, и < 0, и аналогично для II и III). Если га > 3//, то A) имеет также
ветвь (замкнутую кривую) cs>0,?>0,i6> 0 — границу области канала
IV (рис. 10).
Рис. 10
2.	То же в случае rai = га, rri2 = //, газ = rri4 = 0, т > ц (например,
реакция ц + v -л е + is).
Решение. Условие F7.5) принимает вид
stu ^ ?тг2//25,
причем s + t + и = га2 + //2. Физические области ограничены осью s = 0 и
двумя ветвями гиперболы ?гб = m2fi2 (рис. 11).
3.	То же в случае rai = газ = га, гаг = 0, га4 = //, причем га > 2//
(например, реакция р + 7 —>-р + 7г0).
Решение. Уравнение границ F7.10) принимает вид
stu = a(s + и) + fr?, a/i = га2//4,
= га4Bга2-//2)
= 2га2+//2.
,_
Исключив гб, получим
— а	, \ а/г
+ s-h)t+ — =0.
S	J	S
При заданном s это — квадратное
уравнение для ?. При s>(ra+//J
(область s-канала) каждому s от-
отвечают два отрицательных значе-
значения t. При s=(m-\-/iJ эти два кор-
корня квадратного уравнения сли-
сливаются в один: t=—mfi2/(m+fi).
Граница области s-канала имеет вид, показанный на рис. 12. Нижняя ветвь
граничной кривой асимптотически приближается к оси и = 0, а верхняя
пересекает эту ось в точке t = //4/(//2 — га2).
Область гб-канала симметрична по отношению к области s-канала, а
область t-канала расположена, как показано на рисунке.
Рис. 12

302	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
§ 68. Разложение по парциальным амплитудам
Существенным этапом в анализе реакции вида
a + b^c + d	F8.1)
является разложение амплитуды рассеяния по парциальным ам-
амплитудам, каждая из которых отвечает (при заданной полной
энергии е) определенному значению полного момента частиц J
в системе их центра инерции х) .
Эти парциальные амплитуды представляют собой, другими
словами, элементы ^-матрицы в моментном представлении:
{eJ'M'\S\eJM).
Поскольку момент J и его проекция М на заданную ось z со-
сохраняются, 5-матрица диагональна по этим числам (как и по
энергии е). При этом в силу изотропии пространства диагональ-
диагональные элементы не зависят от значения М. При заданных J, М, е
матрица рассеяния остается еще матрицей по отношению к спи-
спиновым квантовым числам; элементы этой матрицы мы будем за-
записывать более коротко в виде
{eJM>!\S\eJM\ = (A'|SJ(?)|A),	F8.2)
где А и А7 — совокупности спиновых квантовых чисел. В каче-
качестве последних наиболее естественно воспользоваться здесь спи-
ральностями частиц. Напомним, что спиральность (в отличие
от проекции спина на произвольную ось в пространстве) сохра-
сохраняется для свободной частицы, а также что она коммутирует
как с импульсом, так и с моментом частицы (см. § 16). Поэтому
спиральностями можно пользоваться как в импульсном, так и в
моментном представлениях матрицы рассеяния.
Элементы ^-матрицы по индексам спиральностей мы будем
называть спиральными амплитудами рассеяния и, таким обра-
образом, будем подразумевать под А и А7 совокупности спиральностей
начальных и конечных частиц: А = (Аа, А&), А7 = (Ас, А^).
В импульсном представлении элементы матрицы рассеяния
определяются по отношению к состояниям |бпА) (п = р/|р| —на-
—направление импульса относительного движения в системе центра
инерции), а в моментном — по отношению к состояниям \eJMX).
Они выражаются друг через друга в виде разложений
\JMX) = I |nA)(nA|JMA) don,	F8.3)
г) Большая часть результатов, излагаемых в § 68, 69, принадлежит Жакобу
и Вику (М. Jacob, G. С. Wick, 1959).

§ 68	РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ПАРЦИАЛЬНЫМ АМПЛИТУДАМ	303
где интегрирование производится по направлениям п (энергию
е в символах состояний будем для краткости опускать). В силу
унитарности этого преобразования (см. III, § 12) коэффициенты
обратного преобразования
(JM A|nA) = (nA| JM А)*.	F8.4)
По общему правилу преобразования матриц эти же коэффици-
коэффициенты определят связь между элементами ^-матриц в обоих пред-
представлениях:
(n'A'|S|nA) = ^2(nfXf\JMXf)(JMXf\S\JMX)(JMX\nX). F8.5)
JM
Коэффициенты разложения F8.3) легко найти с помощью
результатов § 16.
Пусть волновые функции всех состояний выражены в им-
импульсном представлении, т. е. как функции направления импуль-
импульса (при заданной энергии); это направление как независимую пе-
переменную обозначим v в отличие от направления п как кванто-
квантового числа состояния. В этом представлении волновая функция
имеет вид A6.2)
ФпхН = uwS{2)(v - п).	F8.6)
При подстановке F8.6) в разложение F8.3) последнее сводится
к одному члену:
*Флм\ = (yX\JMX)vS К	F8.7)
Спиральность Аа и А^ каждой из двух частиц определяется
как проекция ее спина на направление ее же импульса. Если им-
импульсы частиц ра = р, р^ = — р, то для первой частицы это —
направление п, а для второй — направление —п. Если рассма-
рассматривать теперь систему как одну частицу со спиральностью Л в
направлении п, то Л = Аа — А&. Ее волновая функция (в импульс-
импульсном представлении) может быть представлена согласно A6.4) в
виде
Сравнив выражения F8.7), F8.8) (и изменив обозначение пере-
переменной v на п), получим для искомых коэффициентов
(п\\Ш\) = у!Е±1яЦ,(п).	F8.9)
Подстановка этих коэффициентов в F8.5) дает
<п'А'|5|пА> = ? ^1)^(п'Lм*(nXA'I^IA), F8.10)
JM
А = Аа — Ль, Л = Ас — Ad,

304	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
где использовано сокращенное обозначение F8.2). Выберем нап-
направление п в качестве оси z\ тогда
<п'А'|5|пА> = ? 2-^D%\(n')(\'\SJ\\).	F8.11)
и F8.10) принимает вид
J
Мы видим, что разложение по парциальным амплитудам осу-
осуществляется с функциями ?>д/д в качестве коэффициентов. Для
реакции вида F8.1) удобно определить амплитуду рассеяния /
таким образом, чтобы сечение (в системе центра инерции) было
da= \(ri\'\f\n\)\2do'	F8.12)
(сравнением с F4.19) можно связать эту амплитуду с матричным
элементом Mfj). Ее разложение по парциальным амплитудам на-
напишем в виде
(n'A'|/|nA) = ^BJ + l)D^M(n')D(kJ>(n)(X'\fJ\X), F8.13)
JM
или, выбирая ось z вдоль направления п:
(n'A'|/|nA> = ^BJ + l)Z?^(n')(A'|/J|A>.	F8.14)
J
Эта формула представляет собой обобщение обычного разложе-
разложения по парциальным амплитудам для рассеяния бесспиновых ча-
частиц (см. III, A23.14)). Поскольку Dqo = ^l(cos#), при равных
нулю спинах F8.14) сводится к разложению по полиномам Ле-
жандра
L
Сечение F8.12) относится к случаю, когда все частицы име-
имеют определенные спиральности. Если же частицы находятся в
смешанных поляризационных состояниях, то сечение получает-
получается путем усреднения произведения
по поляризационным матрицам плотности частиц
(см. примеч. на с. 204). Так, для реакции между неполяризо-
ванными частицами a, b с образованием неполяризованных же

69	СИММЕТРИЯ СПИРАЛЬНЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ	305
частиц
-
(ось z
с, d получим
do v~^
(Л)
х (А(
направлена по п,
JJ'
eAd|/J'|A«
знак у
cd
;А5)*Дд/д(п/)Дд,д(п/) F8.15)
означает суммирование по
. Заменив функцию ?)д/д согласно формуле E8.19)
(см. III) и затем воспользовавшись разложением A10.2) (см. III),
получим окончательно
da =
(A)JJ'
-Л о)(а' -A'
(б —угол между n7 и осью 2:); суммирование по L производится
по всем целым значениям, возникающим при векторном сложе-
сложении J и J7.
Разложение амплитуды рассеяния по парциальным ампли-
амплитудам полностью учитывает все свойства углового распределе-
распределения рассеяния, связанные с симметрией по отношению к про-
пространственным вращениям. Оно, однако, не учитывает в явном
виде свойства, связанные с симметрией по отношению к про-
пространственной инверсии. Р-инвариантность (если взаимодействие
обладает ею) приводит к определенным связям между различ-
различными спиральными амплитудами (см. ниже, § 69).
§ 69. Симметрия спиральных амплитуд рассеяния
Требования, налагаемые симметрией по отношению к преоб-
преобразованиям Р, С, Т (если, конечно, данный процесс взаимодей-
взаимодействия частиц действительно обладает этой симметрией), приво-
приводят к появлению определенных связей между различными спи-
спиральными амплитудами рассеяния и тем самым уменьшают чи-
число независимых амплитуд *) .
) Само число независимых амплитуд не зависит, конечно, от конкретно-
конкретного представления матрицы SJ и остается одинаковым при любом выборе
спиновых переменных.

306	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
Для установления этих связей выясним предварительно свой-
свойства симметрии спиральных состояний системы двух частиц.
Рассмотрим частицы в системе их центра инерции. Одна обла-
обладает импульсом pi=p и спиральностью Ai относительно направ-
направления р, а другая — импульсом р2= — р и спиральностью А2 от-
относительно направления —р. Если же определять спиральности
для обеих частиц относительно одного и того же направления р,
то они будут равны Ai и — А2. Соответственно они будут описы-
описываться плоскими волнами с амплитудами Up и Up . Систе-
Система же обеих частиц описывается функцией (многокомпонентной)
(AiA2)	„	„	(Ai)	(-А2)
Up , составленной из произведении амплитуд Up и Up
Рассматривая теперь систему как одну частицу со спираль-
спиральностью Л = Ai — А2 в направлении п = р/|р|, мы можем напи-
написать волновую функцию (в импульсном представлении, т. е. как
функцию п) для состояния с определенными значениями J, М,
Ai, A2 (а также полной энергии е)\
^ A = X1-X2 F9.1)
(ср. F8.8)). Так как Л есть проекция полного момента на р, то
должно быть
|Л| ^ J.	F9.2)
Согласно A6.14) при инверсии
= r/ir/2(-l)Sl+S2"Al+A2^("Al"A2)(n), F9.3)
где 7/i, 7/2 — внутренние четности частиц. Использовав также
A6.10), найдем закон преобразования функций F9.1):
Hjmx,x2 =ViV2(-l)Sl+S2-JipjM-M-x2-	F9.4)
Если частицы тождественны, то возникает вопрос о симмет-
симметрии по отношению к их перестановке. Перестановка частиц озна-
означает перестановку их импульсов и спинов. Для уяснения смы-
смысла этой операции в применении к функции F9.1) замечаем,
что в ее определении имеется асимметрия, состоящая в том, что
моменты обеих частиц проецируются на направление одного и
того же вектора pi = р — импульса одной (первой) из частиц.
После перестановки место этого вектора займет вектор р2 = —р;
проекции моментов ji и J2 на этот вектор будут — Ai и А2 (вме-
(вместо проекций Ai и — А2 на р). Поэтому результат воздействия
оператора перестановки частиц (Р12) на функцию F9.1) можно
записать как

§ 69	СИММЕТРИЯ СПИРАЛЬНЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ	307
где по-прежнему Л = Ai — A2. Использовав затем F9.3) и A6.10),
найдем
2^1,	F9.5)
где 5i = 52 = s.
Для тождественных частиц допустимы состояния лишь сим-
симметричные (для бозонов) или лишь антисимметричные (для фер-
мионов) относительно перестановки. Поскольку первый случай
имеет место при целом, а второй при полуцелом спине частиц
«s, в обоих случаях допустимые спиральные состояния системы
двух частиц можно записать в виде линейных комбинаций
или, согласно, F9.5)
Фшх1х2 + (-1УФшх2х1-	F9.6)
Замечательно, что эта комбинация имеет единый вид для бозо-
бозонов и фермионов.
Для системы из частицы и античастицы результат переста-
перестановки выражается той же формулой F9.5). Однако, в отличие от
случая тождественных частиц, здесь допустимы состояния обеих
перестановочных симметрии, т. е. обе комбинации
Ф± = ФшХгХ2 ± (-1)^ма2А!-	F9.7)
Эти состояния обладают определенными зарядовыми четностя-
ми С. Операцию зарядового сопряжения можно представить как
результат полной перестановки всех переменных (спиновых и за-
зарядовых) двух частиц с последующей обратной перестановкой
спиновых переменных (спиральностей). Результат первой опе-
операции должен совпадать с результатом перестановки в системе
двух тождественных частиц. Отсюда ясно, что при верхнем знаке
в F9.7) (совпадающем со знаком в допустимом для тождествен-
тождественных частиц состоянии F9.6)) система будет зарядово-четна, а
при нижнем знаке — зарядово-нечетна:
Сф± = ±ф±.
Наконец, рассмотрим операцию обращения времени. Волно-
Волновая функция покоящейся частицы со спином s и его проекцией
а преобразуется согласно
(см. III, F0.2)). Волновую функцию двух частиц в системе их
центра инерции тоже можно рассматривать (в отношении транс-
трансформационных свойств) как волновую функцию «покоящейся
частицы» с моментом J и его проекцией М. Что касается спи-
спиральностей Ai, A2, то они не меняются: обращение времени ме-
меняет знак векторов импульса и момента, а потому произведения

308	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
jp не меняются. Таким образом,
TiPjmmx2 = (-1)J~M^jmmx2-	F9.8)
Теперь можно сразу написать соотношения симметрии для
спиральных амплитуд.
Если взаимодействие Р-инвариантно, то для реакции
а + b —>> с + d
должны совпадать (при заданных J и е) амплитуды переходов
|ЛаА6) -»• |AcAd> и Р|АаА6) -»• P|AcAd).
Использовав F9.4), найдем поэтому
(\c\d\SJ\\a\b) =
rhH+	J - Ла, -Ль>. F9.9)
ЦаЦЪ
Если же вместо состояний с определенными спиральностями вы-
выбрать состояния с определенными четностями, т. е. комбинации
1
(где Л1Л2 = ЛаЛ^ или ЛСЛ^), то обратятся в нуль амплитуды пе-
переходов, не сохраняющих четность.
Обращение времени преобразует каждое состояние согласно
F9.8) и, кроме того, переставляет начальные и конечные состо-
состояния. Поэтому Т-инвариантность приводит к соотношениям
(\c\d\SJ (,е)\К\) = (XaXb\SJ(s)\XcXd).	F9.10)
Эти две амплитуды, однако, относятся к различным процессам
(прямая и обратная реакции). Лишь в случае упругого рассеяния
оба процесса по существу совпадают, и тогда F9.10) представля-
представляет собой определенную связь между спиральными амплитудами
одной и той же реакции.
При упругом рассеянии двух тождественных частиц число
различных амплитуд уменьшается еще и в силу перестановоч-
перестановочной симметрии. Мы видели, что при заданном J осуществляют-
осуществляются либо только симметричные, либо только антисимметричные
по Л]_, Л2 состояния. Тем самым сохранение момента автомати-
автоматически означает сохранение также и симметрии по отношению к
перестановке спиральностей.
Аналогичная ситуация имеет место при упругом рассеянии
частицы на античастице (или при превращении такой пары в
другую пару, т. е. при реакции вида а + а —>> Ъ + Ъ). При за-
заданном J существуют как симметричные, так и антисимметрич-
антисимметричные по Л]_, Л2 состояния, но этим состояниям отвечают разные

§ 69	СИММЕТРИЯ СПИРАЛЬНЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ	309
значения зарядовой четности системы. Отсюда следует, что если
взаимодействие частиц С-инвариантно, так что зарядовая чет-
четность сохраняется, то переходы между состояниями различной
симметрии по Ai, A2 запрещены г) . Подчеркнем, однако, отличие
от случая тождественных частиц, когда при каждом заданном J
состояния одной из симметрии вообще отсутствуют. В случае же
«частица — античастица» запрещены лишь переходы между со-
состояниями различной симметрии, хотя сами эти состояния (для
каждого J) существуют.
В силу универсальной СРТ-инвариантности существование
Т-инвариантности означает также и СР-инвариантность. Послед-
Последняя приводит к равенству амплитуд двух реакций, из которых
одна получается из другой заменой всех частиц античастицами
(и изменением знака спиральностей), причем Х^ = — Аа, ... 2) :
(AcAd|SJ|AaA6> = (AeA^|SJ|A^>.	F9.11)
Число независимых амплитуд одинаково для всех кросс-ка-
кросс-каналов одной и той же обобщенной реакции; поэтому для опре-
определения этого числа можно рассматривать любой из каналов.
Так, одинаковым числом независимых амплитуд описываются
упругое рассеяние а + 6—)>а + 6и аннигиляция а + а —>• b + b.
При этом ограничения, налагаемые в первом случае Т-инвари-
антностью, эквивалентны ограничениям, налагаемым во втором
случае С-инвариантностью.
Остановимся еще на реакции распада одной частицы на две:
а —>• b + с. В системе центра инерции (система покоя частицы а)
имеем рь = —рс. Умножив на р^ равенство ja = j^ + jc, получим
Aa = A6-Ac	F9.12)
(спиральность Aa первичной частицы определена как проекция
ее спина на направление импульса одной из вторичных частиц).
Это соотношение является, можно сказать, следствием допол-
дополнительной симметрии, которой обладает данный процесс: акси-
аксиальной симметрии вокруг направления р^ и рс. Если спин пер-
первичной частицы sa < Sb + «sc, то соотношение F9.12) уменьшает
число допустимых наборов значений Аа, А^, Ас и тем самым чис-
число независимых спиральных амплитуд распада. Полный момент
J в данном случае совпадает со спином первичной частицы sa,
так что является фиксированной величиной.
) Аналогичный запрет может возникнуть и как следствие изотопической
инвариантности взаимодействия нетождественных частиц. Так, с точностью
до этой инвариантности запрещены переходы между состояниями различ-
различной симметрии по Ai, A2 при рассеянии нейтрона протоном.
2) Поскольку эти две амплитуды относятся к различным реакциям, интер-
интерференция между которыми тем самым невозможна, фазовый множитель в
F9.11) вообще не имеет смысла и его можно положить равным 1. Реальным
смыслом обладает лишь следующее из F9.11) равенство сечений.

310	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
Р-инвариантность при распаде выражается соотношением
(\b\c\SJ\\a) = ^(-1)в«-в*-«с(_Ль? -\C\SJ\ - Ха) F9.13)
(здесь использован наряду с F9.4) также и закон преобразования
волновой функции одной частицы A6.16)).
Когда первичная частица истинно нейтральна, дальнейшие
ограничения возникают, если сохраняется С-четность. Здесь на-
надо различать три случая. Если продукты распада тоже истинно
нейтральны, то должно быть Са = СьСс\ это условие либо запре-
запрещает распад вовсе, либо удовлетворяется, не приводя к новым
ограничениям. Если частицы бис вообще различны, то С-ин-
С-инвариантность устанавливает соотношение между амплитудами
различных процессов: а —>> Ь+с иа4 Ъ-\- с. Наконец, для распада
а —>> Ъ + Ъ возникает ограничение, связанное с тем, что при задан-
заданной зарядовой четности С и заданном полном моменте J = sa
система может находиться лишь в состояниях либо симметрич-
симметричных, либо антисимметричных по спиральностям — в зависимости
от четности числа J и знака С.
СР-инвариантность приводит к равенству амплитуд распа-
распадов а4& + сиаЧ& + с:
<A6Ac|SJ|Aa) = <AjAc|SJ|Aa>	F9.14)
причем Xq; = — Аа, ... ), т. е. к равенству вероятностей распада
частицы и античастицы. Если частица может распадаться раз-
различными способами (по разным каналам), то это равенство от-
относится к каждому из каналов. Подчеркнем, однако, что этот
результат предполагает соблюдение СР-инвариантности, не яв-
являющейся универсальным свойством природы. Универсальный
характер имеет лишь СРТ-инвариантность; это требование са-
само по себе привело бы лишь к равенству
(XbXc\SJ\Xa) = (A^J|A^Ae),
в котором правая сторона относится к процессу, обратному рас-
распаду. Мы увидим ниже (см. § 71), что условие GРТ-инвариант-
ности вместе с требованиями унитарности все же приводит к
некоторому, хотя и более ограниченному соотношению для ве-
вероятностей распада частицы и античастицы.
Задачи
1. С помощью F9.6) получить классификацию возможных состояний
системы двух фотонов.
Решение. В этом случае Ai, Аг = =Ы. При четных J (J > 0), согласно
F9.6), допускаются три симметричных по А1А2 состояния:
а) ipjMii б) ipjM-i-v B)

§ 69	СИММЕТРИЯ СПИРАЛЬНЫХ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ	311
При нечетных J (J > 1) допускается одно антисимметричное состояние:
г) ^jmi-i — фзм-\\-
Состояния в) и г) обладают в то же время определенной (+1) четностью:
согласно F9.4)
P{^jmi-i ± фзм-и) = ±(-1)j(^jmi-i ± ^jm-ii);
множитель =Ь(—1)J = 1, так как верхний знак относится к четным, а ниж-
нижний — к нечетным значениям J. Состояния же а) и б) сами по себе не обла-
обладают определенной четностью, но, составив из них комбинации
мы получим четные и нечетные состояния. При J = 0 допускаются (в связи
с условием |Ai — А2| ^ J) лишь Ai = A2, так что состояние в) выпадает, и
остаются лишь одно четное и одно нечетное состояния а ) и б ). Наконец, при
J = 1 единственное допустимое при нечетных J состояние г) запрещено, так
как для него А = 2 > J. Таким образом, мы приходим к таблице допустимых
состояний (9.5).
2. В нерелятивистском приближении полный момент системы J есть ре-
результат сложения спина S и орбитального момента L. Для системы двух
частиц найти связь между состояниями \JLSM) и | JMA1A2).
Решение. Согласно правилу составления волновых функций при сло-
сложении моментов имеем
)s1a1^s2a2{(Tl(T2\SMs)}i)LML{MLMs\JM).	A)
Здесь фза — собственные функции спина s с проекцией а (на фиксированную
ось z), фьмь — то же для орбитального момента L с проекцией Ml; выраже-
выражение в скобках отвечает сложению si и S2 в S, после чего S складывается с L
в J; суммирование — по всем m-индексам. Выразим все функции в импульс-
импульсном представлении как функции направления п (импульса р = pi), причем
функции фза выразим с помощью формулы E8.7) (см. III) через функции
спиральных состояний фп\:
Для функции же фьмь имеем
фьмь = Ylml (n) = i
(использованы формула E8.25) (см. III) и определение A6.5)). Подставив
эти функции в A), воспользуемся дважды разложением A10.1) (см. III),
а также свойством ортогональности коэффициентов Клебша—Гордана (см.
III, A06.13)). В результате получим i\)jlsm в виде разложения
^JLSM = ^ ^jma1a2(JMAiA2|JLS'M>,	B)
AiA2
где
2 = 1pn\11pn,-\2DAM(n)\ —A	j Л = Ai - A2,

312	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
а коэффициенты
(JMAiA2|JLSM) =
= (_0ь(-1Г-в2+VBL + 1)BS + 1) (? _% Д)(? f _JA). C)
В силу унитарности преобразования B)
(JLSM\JMX1X2) = {JM\1\2\JLSM)\
§ 70. Инвариантные амплитуды
В спиральных амплитудах используется определенная систе-
система отсчета — система центра инерции. Между тем при вычисле-
вычислении амплитуд рассеяния с помощью инвариантной теории воз-
возмущений (а также для исследования их общих аналитических
свойств) удобно записывать амплитуды в явно инвариантной
форме.
Если частицы, участвующие в реакции, не имеют спина, то
амплитуда рассеяния зависит только от инвариантных произве-
произведений 4-импульсов частиц. Для реакции вида
a + b^c + d	G0.1)
в качестве этих инвариантов можно выбрать какие-либо две из
определенных в § 66 величин «s, ?, и. Тогда амплитуда рассеяния
СВОДИТСЯ К ОДНОЙ фуНКЦИИ Mfi = f(s,t).
Если же частицы обладают спинами, то, помимо кинемати-
кинематических инвариантов «s, ?, и, существуют также инварианты, кото-
которые можно составить из волновых амплитуд частиц (биспиноров,
4-тензоров и т. п.). Амплитуды рассеяния должны тогда иметь
вид
Y	G0.2)
где Fn —инварианты, линейно зависящие от волновых амплитуд
всех участвующих частиц (а также от их 4-импульсов). Коэффи-
Коэффициенты /n(s,?) называют инвариантными амплитудами.
Выбрав волновые амплитуды так, чтобы они отвечали части-
частицам с определенными спиральностями, мы получим определен-
определенные значения инвариантов Fn = Fn(\i,\f). Тогда спиральные
амплитуды рассеяния представятся в виде линейных однород-
однородных комбинаций инвариантных амплитуд fn. Отсюда видно, что
число независимых функций fn(s,t) совпадает с числом незави-
независимых спиральных амплитуд. Поскольку число последних опре-
определяется легко (как было объяснено в § 69), тем самым облег-
облегчается задача построения инвариантов Fni — мы заранее знаем,
сколько их должно быть.
Рассмотрим некоторые примеры. Во всех примерах будем
считать, что взаимодействие Т- и Р-инвариантно; последнее

§ 70	ИНВАРИАНТНЫЕ АМПЛИТУДЫ	313
свойство означает, что инварианты Fn должны быть истинны-
истинными (а не псевдо) скалярами.
Рассеяние частицы со спином 0 на частице со спином
1/2» Для подсчета числа инвариантов — или, что то же, числа
независимых спиральных амплитуд — замечаем, что полное чис-
число элементов матрицы SJ (т. е. число различных наборов чисел
Ai, A2, А^, А'2) в данном случае равно 4 (Ai = Х[ = 0, А2, А'2 =
= ±х/2) С учетом Р-инвариантности число независимых элемен-
элементов сводится к двум, после чего учет Т-инвариантности уже не
меняет этого числа.
В качестве двух независимых инвариантов можно выбрать
Fi = и и, F2 = uf(jK)u.	G0.3)
Здесь и = и(р), и1 = u(pf) —биспинорные амплитуды начального
и конечного фермионов; К = к + к', где к и к' — 4-импульсы
начального и конечного бозонов г) .
Т-инвариантность величин G0.3) станет очевидной, если за-
заметить, что произведения И'и и п/гу^и преобразуются при обра-
обращении времени по тому же закону B8.6), что и операторы фф и
ф^ф, матричными элементами которых они являются: произве-
произведение п'и инвариантно само по себе, а 4-вектор п'^и преобразу-
преобразуется по закону
п'^и —>> п'^и, п'^уи —>> —п'^уи.
Таким же образом преобразуются 4-импульсы (Х°,К) —>•
—> (А;0, —К), и скалярное произведение F2 = К^п'^и), следова-
следовательно, инвариантно.
Упругое рассеяние двух тождественных частиц со спи-
спином !/2. Для подсчета числа независимых спиральных амплитуд
удобно исходить из линейных комбинаций спиральных состояний:
фЧ = ф++ + V—, Ф2ё = ^++ - Ф-,
Фзё = Ф+- + Ф-+, Фи = Ф+- ~ Ф-+,
где индексы «+», « —» указывают значения спиральностей (i1/^)
двух частиц. Состояния lg, 2g, 3g четны, а состояние и нечетно
по отношению к перестановке частиц. Поэтому переходы g <H> и
запрещены, так что с учетом перестановочной симметрии остает-
остается 16— 6 = 10 матричных элементов. По отношению к инверсии
1) На первый взгляд можно было бы составить еще инвариант вида
п'а^ик^к'ии (матрицы а^и, определены в B8.2)). Легко, однако, убедить-
убедиться в его сводимости к инвариантам G0.3), если учесть закон сохранения
к' = р + к — р' и уравнения
('ур)и = ти, п' (*ур) = тп\
которым удовлетворяют биспинорные амплитуды.

314	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
Р функции ф\ё, фзё и ip2g имеют противоположные четности; за-
запрещение переходов между ними уменьшает число независимых
амплитуд до шести. Наконец, Т-инвариантность приводит к сов-
совпадению амплитуд переходов lg —>> 3g и 3g —>> lg, так что оста-
остается всего пять независимых амплитуд. В качестве пяти незави-
независимых инвариантов можно выбрать
F3 = (п[^и1)(пг2Ъи2), F4 = (п[^^и1)(пг2^и2) G0.4)
где u\, и2 — биспинорные амплитуды начальных, а уьъ ^ — ко-
конечных частиц. Перестановка начальных (или конечных) частиц
не приводит к новым инвариантам: новые инварианты выража-
выражаются через старые (см. задачу к § 28). Но выражение G0.2) с
Fn из G0.4) не учитывает в явном виде требования, согласно
которому перестановка двух тождественных фермионов долж-
должна менять знак амплитуды рассеяния. Удовлетворяющее этому
требованию выражение можно записать в виде
Mfi = [(uiuJiu^fifau) - (u^i)(uiu2)/iM)] + ••• G0-5)
При перестановке р± и р2 (или р\ и р2) кинематические инва-
инварианты: s —>• «s, t —>• и, и —>• t, так что указанное требование
выполняется автоматически.
Упругое рассеяние фотона на частицах со спином 0 и
1/2» Амплитуду этих процессов целесообразно выразить с помо-
помощью единичных пространственноподобных 4-векторов е^1), е^2\
удовлетворяющих условиям
AJ_ BJ__X	A)B)_Q
e(i) А; = еB) А; = 0, е(%' = еB) А;' = 0	{(иЛ)
(для каждого из двух фотонов эти 4-векторы могут служить те-
теми 4-ортами, с помощью которых осуществляется инвариантное
описание их поляризационных свойств —см. § 8).
Пусть к ж к1 — начальный и конечный 4-импульсы фотона, а р
и р1 — то же для рассеивающей частицы. Рассмотрим 4-векторы
Р=р+ р'х
где
Рх=рх+ р'х - КхрК + Рк^ Nx = e^PPqvK	G0.7)
К2
K = k + kf, q=p-pf = kf -k.
Они очевидным образом взаимно ортогональны. Они ортогональ-
ортогональны также 4-векторам К, q, а следовательно, и /с, к1. Будучи ор-
ортогональны времениподобному 4-вектору К {К2 = 2 к к' > 0), они
сами пространственноподобны (действительно, в системе отсче-
отсчета, в которой К = 0, из КР = 0 следует, что Pq = 0, а потому

§ 70	ИНВАРИАНТНЫЕ АМПЛИТУДЫ	315
Р2 < 0). Пронормировав Р и JV, т. е. образовав
еA)А=А^ еB)Л= Р^	G0<8)
мы получим пару 4-векторов, обладающих всеми требуемыми
свойствами. Отметим, что е^ —истинный, а е^1) —псевдовектор.
Представим амплитуду рассеяния фотона в виде
Mfi = FA/VA4>	G0.9)
выделив в ней 4-векторы поляризации еие' начального и конеч-
конечного фотонов.
Спиральность фотона пробегает всего два значения (=Ы). По-
Поэтому для рассеяния фотона на частице со спином 0 число неза-
независимых спиральных амплитуд такое же, как для взаимного рас-
рассеяния частиц со спином 0 и 1/21 т. е. равно 2. Тензор FXfJj в G0.9)
должен быть построен только из 4-импульсов частиц. Его можно
представить в виде
где /i, /2 — инвариантные амплитуды. Обратим внимание на то,
что в FXfJj не может быть члена с произведением еA)леB)/х? так
как это произведение — псевдотензор и при подстановке в G0.9)
дало бы псевдоскаляр.
Наконец, рассмотрим рассеяние фотона на частице со спи-
спином !/2- Для подсчета числа независимых спиральных амплитуд
замечаем, что полное число элементов матрицы SJ в этом слу-
случае есть 16 (спиральность каждой из двух начальных и двух
конечных частиц пробегает по два значения). Требование Р-ин-
вариантности уменьшает это число до 8, после чего требование
Т-инвариантности доводит его до 6.
Представим тензор F\^ в этом случае в виде
+ G2{e^ef - ef eW) + G3(e^ - e^), G0.11)
где Go, G3 — истинные, a Gi, G2 — псевдоскаляры. Те и другие
билинейны относительно биспинорных амплитуд фермионов
п{р') и и(р), т. е. имеют вид
Gn=u(p')Qnu(p).	G0.12)
Общий вид матриц (по биспинорным индексам) Qn:
Qo = /1 + /2G*0, Qi = 75[/з +
5
где К = k+k'. Коэффициенты /1, ... , /s — инвариантные ампли-
амплитуды, число которых получилось здесь равным 8 (вместо нуж-
нужного 6) ввиду того, что еще не учтено требование Т-инвариант-
Т-инвариантности.

316	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
Обращение времени переставляет начальные и конечные
4-импульсы частиц, меняя также знаки их пространственных
компонент:
(ко, к) <->• (к'о, -к'), (ро, Р) ^ (р0, -р');	G0.14)
4-векторы поляризации фотонов преобразуются согласно
(е0,е)о(е/0*,-е/*)	G0.15)
(ср. (8.11а)), так что
В силу последнего преобразования условие инвариантности ам-
амплитуды рассеяния G0.9) эквивалентно требованию
С другой стороны, как следствие замен G0.14), имеем
(Ко, К) ->¦ (Ко, -К), (g0, q) -»¦ (-go, q),
(Ро, Р) ^ (Ро, -Р), (No, N) -»¦ (iV0, -N),
так что
(ei1'2),eA'2))^(eA'2\-eA'2)).	G0.16)
Из выражения G0.11) следует поэтому, что должно быть
Сг(),1,3 —^ ^0,1,3 G^2 "^ —G2-
Но при обращении времени
как это ясно из законов преобразования псевдоскалярных и псев-
псевдовекторных билинейных форм в B8.6). Поэтому из выражений
G0.12), G0.13) видно, что в силу Т-инвариантности амплитуды
рассеяния должно быть
/з = /б = 0.	G0.17)
§ 71. Условие унитарности
Матрица рассеяния должна быть унитарной: SS^ = 1, или в
матричных элементах:
S!n = 5fi,	G1.1)
где индекс п нумерует все возможные промежуточные состо-
состояния :) . Это —наиболее общее свойство й'-матрицы, которым
:) Смысл символа Sfi в G1.1) зависит, конечно, от конкретного выбора
квантовых чисел и от нормировки волновых функций системы. Он должен
быть определен так, чтобы было J^ Sif = 1.

§ 71	УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ	317
обеспечивается сохранение нормировки и ортогональности состо-
состояний при реакции (ср. III, § 125, 144). В частности, диагональные
элементы равенства G1.1) выражают просто тот факт, что сумма
вероятностей перехода из данного начального в любое конечное
состояние равна единице:
Подставив в G1.1) матричные элементы в виде F4.2), полу-
получим
Tfi - T*f = гBтгL ? ${4) (Pf ~ Pn)TfnT*n =
n
4Y{4)-Pn)T:fTm. G1.2)
Написанные здесь две эквивалентные формы правой стороны
равенства получаются при записи условия унитарности соответ-
соответственно в виде SS+ = 1 или S+S = 1, с разными порядками
расположения множителей S и 5+.
Обратим внимание на то, что левая сторона этого равенства
линейна, а правая квадратична по матричным элементам Т. По-
Поэтому если взаимодействие (как, например, электромагнитное)
содержит малый параметр, то левая сторона будет первого, а
правая — второго порядка малости. В первом приближении по-
последней можно, следовательно, пренебречь, и тогда
Tft = T*f,	G1.3)
т. е. матрица Т эрмитова.
Для придания условию унитарности G1.2) более конкретного
вида надо уточнить, что именно подразумевается под суммиро-
суммированием по п. Сделаем это для столкновения двух частиц, причем
будем считать, что законы сохранения допускают только упругое
рассеяние; тогда и все промежуточные состояния в G1.2) — такие
же «двухчастичные». Суммирование по ним означает интегриро-
интегрирование по промежуточным импульсам р", р" и суммирование по
спиновым квантовым числам (например, спиральностям) обеих
частиц, которые обозначим через А":
Г v
J
А"
Исключив E-функции тем же способом, как это делалось в § 64,
получим «двухчастичное» условие унитарности в виде
2	Г
гр	/тп* 	 * У \ |Р| / гг\ /тп* II II jll
1 fj — ±Af — 	 > 	 I 1 frilir.t-1 Co CIO ,

318	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
где р — импульс, е — полная энергия в системе центра инерции.
Нормировочный объем исчезает из этого соотношения после пе-
перехода от амплитуд Tfi к амплитудам М^, согласно F4.10):
Mfi - M*f = —'— 2^ — / MfnM*ndo".	G1.4)
^ A" s ^
Определим амплитуду упругого рассеяния так, чтобы было
da= \{ri\'\f\n\)\2do'	G1.5)
(n, n7 — направления начального и конечного импульсов; А, А7 —
начальные и конечные спиновые квантовые числа). Сравнение с
F4.19) показывает, что
(n'A'l/lnA) = -LMfi,	G1.6)
и условие унитарности G1.4) принимает вид
<n'A'|/|nA) - (n\\f\n'\T =
= ^ Е [(n'\'\f\n"\")(n\\f\n"\"ydo", G1.7)
обобщающий известную формулу нерелятивистской теории (см.
III, A25.8)).
Амплитудой упругого рассеяния на нулевой угол называют
диагональный матричный элемент Т^, в котором конечное сос-
состояние частиц совпадает с начальным :) . Для этой амплитуды
условие унитарности G1.2) принимает вид
отгпф- — Г?^4 Х^ IT- 12ЛD)ГР- — Р )	G18^
П
Правая сторона этого равенства лишь множителем отличается от
полного сечения всех возможных процессов рассеяния из данного
начального состояния г; обозначим это сечение посредством at.
Действительно, суммируя вероятность F4.5) по состояниям / и
деля на плотность потока j, находим
так что	2V
— 1тТц = at-
3
Нормировочный объем исчезает отсюда после замены Тц =
= Mu/BeiV • 2б2У) (б1, 62— энергии частиц в системе центра
инерции) и подстановки j из F4.17):
1тМц = 2\p\sat.	G1.9)
:) Подчеркнем, что речь идет именно об элементах матрицы Т, а не S, т. е.
диагональный элемент берется после исключения из S единичной матрицы.

§ 71	УСЛОВИЕ УНИТАРНОСТИ	319
Эта формула составляет содержание так называемой оптической
теоремы. Если ввести амплитуду упругого рассеяния G1.6), она
примет свой обычный вид
Im(nA|/|nA) = MCTi	G1.10)
4тг
(ср. III, A42.10)).
Если ^-матрица дана в моментном представлении (парциаль-
(парциальные амплитуды), то ввиду ее диагональности по J условие уни-
унитарности пишется для каждого значения J в отдельности.
Так, если возможно лишь упругое рассеяние, условие унитар-
унитарности имеет вид
Y,(X\SJ\\")(\\SJ\\"y = 6xx,	G1.11)
А"
В силу Т-инвариантности матрица упругого рассеяния симмет-
симметрична (ср. F9.10)) и поэтому может быть приведена к диагональ-
диагональному виду. После этого условие унитарности требует равенства
диагональных элементов по модулю единице; их принято в таком
случае записывать в виде
SZ = expBiSJn),	G1.12)
где 8jn — вещественные постоянные — функции энергии (индекс
п нумерует при заданном J диагональные элементы). В общем
случае, когда число N независимых амплитуд превышает ранг
(квадратной) матрицы SJ, коэффициенты преобразования, осу-
осуществляющего диагонализацию SJ, зависят от J и В (в этих ко-
коэффициентах, наряду с главными значениями матрицы, заклю-
заключены также независимые величины, эквивалентные исходным N
величинам). Но если число N совпадает с рангом матрицы SJ
(и тем самым с числом ее главных значений), то коэффициен-
коэффициенты диагонализации универсальны. При этом диагонализирую-
щие состояния — это состояния с определенными четностями (но,
конечно, уже без определенных спиральностей).
Условие G1.11), выраженное с помощью парциальных ампли-
ТУД (^\fJ\^), имеет вид
<A'|/J|A> - <A|/J|A'>* = 2i|p| EWV^I/V)*, G1.13)
A"
в чем легко убедиться, подставив в G1.7) разложение F8.13) и
учтя ортонормированность D-функций. При Т-инвариантности
матрица (А7|/^|А) симметрична, и G1.13) принимает вид
Im(A'|/J|A) = |p|(A'|/J/J+|A).	G1.14)
Если матрица диагонализована, то ее диагональные элементы
fn = ^b(expBiEJn) - 1) = ^-exp(iSjn)smSJn. G1.15)
2г|р|	|р|

320	МАТРИЦА РАССЕЯНИЯ
Наконец, укажем некоторые следствия, возникающие из усло-
условия унитарности вместе с требованием СРТ-инвариантности. В
силу последней
Tfi = %,	G1.16)
где in/ — состояния, отличающиеся от г и / заменой всех ча-
частиц античастицами (а также изменением знака векторов момен-
момента при неизменных импульсах). В частности, для диагональных
элементов
Т — Т—
J-гг — 1Ц-
-гг
Из G1.8) или G1.9) следует поэтому, что полное сечение всех
возможных процессов (с заданным начальным состоянием) оди-
одинаково для реакций между частицами и античастицами.
В частности, одинаковы полные вероятности распада (т. е.
времена жизни) частицы и античастицы. Эти результаты (наря-
(наряду с равенством масс частицы и античастицы — § 11)—важней-
11)—важнейшие следствия СРТ-инвариантности взаимодействий. Напомним
(см. конец § 69), что такое же утверждение для каждого из воз-
возможных каналов распада в отдельности требует также соблюде-
соблюдения СР-инвариантности.
Задача
Исходя из условия унитарности, найти связь между фазами парциаль-
парциальных амплитуд фоторождения пионов на нуклонах G + N —»¦ тг + N) и упру-
упругого рассеяния пионов на нуклонах (тг + TV —»¦ тг + TV); при этом учитывается,
что тг TV-рассеяние связано с сильными взаимодействиями, а фоторождение
и 7^-рйссеяние — с электромагнитным взаимодействием.
Решение. Обозначим парциальные амплитуды:
{nN\S\"<N) = S*y, {-yN\S\-yN) = 577, {nN\S\nN) = S^
(опущены индексы J и спиральностей). Фоторождение — процесс первого, а
7^-рассеяние — второго порядка по заряду е; поэтому Snl ~ е, S11 — l~e2.
Амплитуда же Snn малости не содержит. С точностью до членов ~ е условия
G1.1) дают
Отг7^77 ^тгтг^^тг ~ ^тг7 ~г ^тгтг^^тг — '	\ /
0777^777 ~1~ ^тгтг^тгтг И Отгтг^тгтг = 1	B)
(в правой стороне равенства B) надо понимать 1 как единичную матрицу
по спиновым переменным). В силу Т-инвариантности матрица Sn7r симмет-
симметрична, а ?7тг = 5^7- Выберем матрицу S^n в диагональной форме, т. е. по
отношению к состояниям пиона с определенными четностями; тогда из B)
следует, что диагональные элементы имеют вид е2г6п с различными посто-
постоянными 8ъ- После этого находим из A) для каждого из элементов матрицы
О7Г7 •
С /С* _ _р2г<5тг
^7Г7/ ^тг7 —	'
откуда
С
Таким образом, фаза парциальной амплитуды фоторождения (в состояние
с определенной четностью) определяется фазой упругого тг TV-рассеяния.

ГЛАВА VIII
ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ
§ 72. Хронологическое произведение
Вероятности различных процессов при столкновениях частиц,
взаимодействие между которыми можно считать малым, вычис-
вычисляются с помощью теории возмущений. В своей обычной (для
нерелятивистской квантовой механики) форме аппарат этой те-
теории обладает, однако, тем недостатком, что в нем не выявляют-
выявляются явным образом требования релятивистской инвариантности.
Хотя при применении такого аппарата к релятивистским зада-
задачам окончательный результат и будет удовлетворять этим требо-
требованиям, но неинвариантная форма промежуточных формул су-
существенно усложняет вычисления. Настоящая глава посвящена
развитию свободной от этого недостатка последовательной реля-
релятивистской теории возмущений; она была построена Фейнманом
(R. P. Feynman, 1948-1949).
Имея в виду вторично квантованное описание системы, обо-
обозначим через Ф ее волновую функцию в представлении чисел
заполнения различных состояний свободных частиц. Гамильто-
Гамильтониан системы Н = Hq + V, где V — оператор взаимодействия.
Пусть Фп — собственные функции невозмущенного гамильтониа-
гамильтониана; каждая из них отвечает некоторым определенным значениям
всех чисел заполнения. Произвольная функция Ф представляется
в виде разложения Ф = ^СПФП. Тогда точное волновое уравне-
уравнение
г^ = (Но + 9)Ф	G2.1)
представится в виде системы уравнений для коэффициентов Сп:
iCn = J2 vnm exp[i(En - Em)t]Cm,	G2.2)
m
где Vnm — не зависящие от времени матричные элементы опера-
оператора V, а Еп — уровни энергии невозмущенной системы (ср. III,
§ 40).
По определению оператор V не зависит явно от времени. Ве-
Величины же
Vnm(t) = Vnm exp[i(En - Em)t]	G2.3)

322	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
можно рассматривать как матричные элементы зависящего от
времени оператора
V(t) = ехр(^Я0?)УехрНЯ0?).	G2.4)
О нем говорят как об операторе в представлении взаимодей-
взаимодействия (в отличие от исходного не зависящего от времени шре-
дингеровского оператора V 1)). Обозначив теперь прежней бук-
буквой Ф волновую функцию в этом новом представлении, запишем
уравнения G2.2) в символическом виде
G2.5)
Изменение волновой функции в этом представлении связано
лишь с действием возмущения, т. е. отвечает процессам, про-
происходящим благодаря взаимодействию частиц.
Если Ф(?) и Ф(? + St) —значения Ф в два бесконечно близких
момента времени, то в силу G2.5) они связаны друг с другом
посредством
ф(? + St) = [1 - iStV(t)№(t) = exp[-iSt • У(*)]ФD).
Соответственно значение Ф в произвольный момент tf может
быть выражено через значение в некоторый начальный момент
U (tf > U) как
V(ta)} Ufa),	G2.6)
где знак Yi означает предел произведения по всем бесконечно
малым интервалам 6ta между t{ wtf. Если бы V(t) было обычной
функцией, то этот предел сводился бы просто к
ехр{ -г / V(t)dt\.
-1
Но такое сведение основано на коммутативности множителей
(взятых в различные моменты времени), подразумевающейся
при переходе от произведения в G2.6) к суммированию в экс-
экспоненте. Для оператора V(t) такой коммутативности нет, и све-
сведение к обычному интегралу невозможно.
:) Подчеркнем, что в определении G2.4) фигурирует невозмущенный га-
гамильтониан Но. Этим оно отличается от гейзенберговского представления
операторов, в котором
VH{t) = exp(iHt)V ехр(-Ж)
(см. III, § 13 и ниже, § 102).

72	ХРОНОЛОГИЧЕСКОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ	323
Напишем G2.6) в символическом виде
ф(?;) = Техр<( -г \ V(t)dt }Ф(и),	G2.7)
U
где Т— символ хронологизации, означающий определенную («хро-
(«хронологическую») последовательность моментов времени в после-
последовательных множителях произведения G2.6). В частности, по-
положив ti —>• — оо, tf —>• +00, получим
ф(+оо) = 5Ф(-оо),	G2.8)
где
= Texpl-i I V(t)dt\.	G2.9)
—оо	'
Смысл записи G2.7)-G2.9) формально точного решения вол-
волнового уравнения состоит в том, что такая запись позволяет лег-
легко написать ряд, представляющий собой разложение по степеням
возмущения:
^	ОО	ОО	ОО
• • • fdtk ¦ T{V{h)V{t2)... V{tk)}. G2.10)
Jc — П	'
^~u —oo —oo	—oo
Здесь в каждом члене к-я степень интеграла написана в виде
fc-кратного интеграла, а символ Т означает, что в каждой обла-
области значений переменных ti, ?2, • • •> tk надо располагать соответ-
соответствующие операторы в хронологическом порядке справа налево
в порядке возрастающих значений t x) .
Из определения G2.8) ясно, что если до столкновения систе-
система была в состоянии Ф^ (некоторая совокупность свободных час-
частиц), то амплитуда вероятности ее перехода в состояние Ф/ (дру-
(другая совокупность свободных частиц) есть матричный элемент
Sfi. Другими словами, эти элементы и составляют ^-матрицу.
Оператор электромагнитного взаимодействия был написан
уже в § 43:
V = е f(jA)d3x.	G2.11)
Подставив его в G2.9), получим
S = Техр <^ -ie / 0А) dAx \ .	G2.12)
1) Вывод правил релятивистской теории возмущений с помощью разложе-
разложения G2.10) принадлежит Дайсону (F. Dayson, 1949).
11*

324	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
Существенно, что оператор G2.12) релятивистски инвариан-
инвариантен. Это видно из скалярности подынтегрального выражения,
инвариантного характера интегрирования по dAx и инвариант-
инвариантного характера операции хронологизации. Последнее обстоятель-
обстоятельство требует, однако, разъяснения.
Как известно, последовательность двух моментов времени t\
и ^2 (знак разности t2 — t\) не зависит от выбора системы отсчета,
если эти моменты относятся к мировым точкам х\ и Х2, разделен-
разделенным времениподобным интервалом: [%2 — х±J > 0. В таком слу-
случае инвариантность хронологизации автоматична. Если же (х2 —
— х\J < 0 (пространственноподобный интервал), то в разных си-
системах отсчета может быть как ?2 > ^ъ так и h < t\ x) • Но такие
две точки отвечают событиям, между которыми не может суще-
существовать причинной связи. Очевидно поэтому, что не могут быть
некоммутативными операторы двух физических величин, отно-
относящихся к таким точкам: некоммутативность операторов физи-
физически означает совместную неизмеримость данных величин, что
предполагает наличие физической связи между обоими измере-
измерениями. Следовательно, хронологичность произведения останется
инвариантной и в этом случае: хотя преобразование Лоренца мо-
может нарушить последовательность моментов времени, но ввиду
коммутативности множителей их можно переставить обратно в
хронологический порядок 2) .
Легко видеть, что данное в этом параграфе определение
^-матрицы автоматически удовлетворяет условию унитарности.
Представив S в виде хронологического произведения, фигуриру-
фигурирующего в G2.6), и учитывая эрмитовость V, найдем, что *S+ вы-
выражается произведением таких же множителей ex.p(i6ta • V(ta))
1) Вместо времениподобных и пространственноподобных интервалов часто
говорят для краткости об областях соответственно внутри и вне светового
конуса: все точки ж, отделенные от точки х интервалом с (х — х'J > 0,
находятся внутри двуполостного конуса с вершиной в точке х', а точки,
отделенные интервалом с [х — х'J < 0, — вне этого конуса.
)В применении к произведению V(t\)V(t?*) • • • это утверждение надо
уточнить во избежание недоразумений. Поскольку сам оператор V не обла-
обладает калибровочной инвариантностью (он меняется вместе с А), множите-
множители V(ti), Vfc), • • -, коммутативные при одной калибровке потенциала, мо-
могут оказаться некоммутативными при другой калибровке. Сделанные выше
утверждения надо поэтому сформулировать как возможность такого выбо-
выбора калибровки потенциала, при котором V{t\) и V(fe) вне светового конуса
будут коммутативны. Эта оговорка, очевидно, никак не сказывается на ин-
инвариантности ^-матрицы: амплитуды рассеяния как реальные физические
величины вообще не могут зависеть от калибровки потенциала (формально
эта независимость следует из отмеченной в § 43 калибровочной инвариант-
инвариантности интеграла действия).

§ 73	ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ	325
(с обратным знаком в показателе) в хронологически обратном
порядке. Поэтому при перемножении S и *S+ все множители по-
попарно сокращаются.
Обратим внимание на то, что унитарность оператора S обес-
обеспечивается в данном случае эрмитовостью гамильтониана. Но
требование унитарности имеет в действительности более общий
характер, чем предпосылки, лежащие в основе излагаемой тео-
теории. Оно должно было бы выполняться и при квантовомехани-
ческом описании, не использующем понятий о гамильтониане и
волновых функциях.
§ 73. Диаграммы Фейнмана для рассеяния электронов
Покажем на конкретных примерах, каким образом осуще-
осуществляется вычисление элементов матрицы рассеяния. Эти при-
примеры облегчат дальнейшую формулировку общих правил инва-
инвариантной теории возмущений.
Оператор тока j содержит произведение двух электронных
^-операторов. Поэтому в первом порядке теории возмущений
могли бы возникнуть процессы, в которых участвуют всего (в
начальном и конечном состояниях) три частицы — два электро-
электрона (оператор j) и один фотон (оператор А). Легко, однако, ви-
видеть, что такие процессы между свободными частицами невоз-
невозможны — они запрещены законом сохранения энергии и импуль-
импульса. Если р\ и р2—4-импульсы электронов, а к— фотона, то со-
сохранение 4-импульса изображалось бы равенством к = Р2 ~ Pi
или к = р2 -\-Pi- Но такие равенства невозможны, так как для
фотона к2 = 0, а квадрат (р2 ± р\J заведомо отличен от ну-
нуля. Действительно, вычисляя значение инварианта (р2 =Ь р\J в
системе покоя одного из электронов, получаем
(р2 ±PiJ = 2(га2 ±pip2) = 2(m2 ± exe2 T P1P2) = 2ra(ra ± e2).
ПОСКОЛЬКУ ?2 > ТП, ТО
(P2+PiJ>0, (Р2-Р1J <0.	G3.1)
Таким образом, первые неисчезающие (недиагональные) эле-
элементы ^-матрицы могут появиться лишь во втором порядке тео-
теории возмущений. Все относящиеся сюда процессы содержатся в
операторе второго порядка, получающемся при разложении вы-
выражения G2.12):
Поскольку электронные и фотонные операторы коммутативны
друг с другом, фигурирующее здесь Т-произведение можно

326	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
разбить на два Т-произведения:
lx)Mx'))- G3.2)
В качестве первого примера рассмотрим упругое рассеяние
двух электронов: в начальном состоянии имеем два электрона с
4-импульсами р\ и ]92, а в конечном — два электрона с другими
4-импульсами р% ир^. Подразумевается также, что все электроны
находятся в определенных спиновых состояниях; индексы спино-
спиновых переменных для краткости везде опускаем.
Поскольку в обоих состояниях фотоны вообще отсутствуют,
нужный нам матричный элемент Т-произведения фотонных опе-
операторов есть диагональный элемент @| ... |0), где символ |0) обо-
обозначает состояние фотонного вакуума. Это среднее по вакууму
значение Т-произведения представляет собой определенную (для
каждой пары индексов /j,v) функцию координат двух точек х и
х1. При этом в силу однородности 4-пространства координаты
могут входить лишь в виде разности х — х1. Тензор
D^(x - х1) = 1@\ТА»(х)А„(х')\0)	G3.3)
называют фотонной функцией распространения (или фотонным
пропагатором). Явное выражение для нее будет получено в § 76.
Для Т-произведения электронных операторов нам надо вычис-
вычислить матричный элемент
C4|T№)jV)|12>,	G3.4)
где символы |12), |34) обозначают состояния с парами электро-
электронов с соответствующими импульсами. Этот элемент тоже может
быть представлен в виде среднего по вакууму с помощью оче-
очевидного равенства
{2\F\l) = {0\a2Fa+\0),
где F — произвольный оператор, аа|и ^ — операторы соответ-
соответственно рождения первого и уничтожения второго электрона.
Поэтому вместо G3.4) можно вычислять величину
х)Г(х'))а+а+\0)	G3.5)
(индексы 1, 2, ... для краткости заменяют р\, р2, ... ).
Каждый из двух операторов тока есть произведение j =
а каждый из ^-операторов представляется суммой
ф = ^2(арфр +?+^-р)> Ф = ^2(^Фр +%Ф-Р) G3-6)
р	р
(вторые члены содержат позитронные операторы, которые в дан-
данном случае «не работают»). Поэтому произведение j^{x)jy(x')

§ 73	ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ	327
представляется в виде суммы членов, каждый из которых содер-
содержит произведение двух операторов ар и двух йр. Эти операто-
операторы должны обеспечить уничтожение электронов 1, 2 и рождение
электронов 3, 4. Другими словами, это должны быть операторы
ai, a2, ajj", a^, которые, как говорят, свертываются с «внешни-
«внешними» операторами а^, а^", аз, сц в G3.5) и сокращаются согласно
равенствам
@|apa+|0) = 1.	G3.7)
В зависимости от того, из которых ^-операторов берутся ai, a2,
ajj", a^, в G3.5) возникают четыре члена
G3.5) = а3
где ф = ^(ж)? ^' = Ф{х')-) а дугами соединены свертываемые опе-
операторы, т. е. те, из которых берется пара операторов а, а+ для
сокращения согласно G3.7). В каждом из этих членов последова-
последовательными перестановками операторов ai, Ъ>2, ... приводим сопря-
сопряженные операторы к попарному соседству (aia^ и т. п.), после
чего среднее значение их произведения сводится к произведению
средних значений G3.7). Учитывая, что все эти операторы анти-
коммутативны A, 2, 3, 4 —различные состояния!) :) , найдем, что
матричный элемент G3.4) равен
G3.9)
Отметим, что общий знак этой суммы условен и зависит от по-
порядка, в котором мы расположили «внешние» электронные опе-
операторы в G3.5). Это обстоятельство соответствует тому, что об-
общий знак матричного элемента для рассеяния тождественных
фермионов вообще произволен. Относительный же знак различ-
различных членов в G3.9) от принимаемого порядка расположения
внешних операторов, конечно, не зависит.
Два члена в первой и второй строках G3.9) отличаются друг
от друга лишь одновременной перестановкой индексов /i, v и ар-
аргументов ж, х1. Такая перестановка не изменит, очевидно, и ма-
х) Ввиду этой антикоммутативности операторы j(x) и j(xf) можно в дан-
данном случае считать (при вычислении матричного элемента) коммутативны-
коммутативными и опустить знак Т-произведения.

328	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
тричный элемент G3.3) (в котором порядок множителей все рав-
равно устанавливается символом Т). Поэтому после перемножения
G3.3) и G3.9) и интегрирования по dAxdAx' четыре члена в G3.9)
дают попарно одинаковый результат, так что матричный элемент
Sfi = ie2 JJdAx dV • D^(x - ж'){(^"^K^W'Vi) -
^?2)} G3.10)
(обратим внимание на исчезновение множителя 1/2!).
Электронные волновые функции — плоские волны F4.8), по-
поэтому выражение в фигурных скобках
где Х= (х + ж')/2, ^ = х — х'. Интегрирование по dAx dAx' заменя-
заменяется интегрированием по d^^d^X. Интеграл по d^X дает E-функ-
цию (в силу которой pi+p2 = Рз+Ра)- Перейдя затем от матрицы
S к матрице М (см. § 64), получим окончательно для амплитуды
рассеяния
G3.11)
Здесь введена фотонная функция распространения в импульс-
импульсном представлении
f	ik4%	G3.12)
Каждый из двух членов амплитуды G3.11) может быть символи-
символически представлен в виде так называемых диаграмм Фейнмана.
Первый член представляется диаграммой
е2(п47/1«2)?>АИ/(А)(пз7"«1) =	У*	G3.13)
Каж:дой из точек пересечения линий (вершине диаграммы) сопо-
сопоставляется множитель 7- «Входящие» сплошные линии, направ-

§ 73	ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ	329
ленные к вершине, отвечают начальным электронам; им сопоста-
сопоставляются множители и — биспинорные амплитуды соответствую-
соответствующих электронных состояний. «Выходящие» сплошные линии, на-
направленные от вершин — конечные электроны, этим линиям со-
сопоставляются множители п. При «прочтении» диаграммы ука-
указанные множители записываются слева направо в порядке, соот-
соответствующем передвижению вдоль сплошных линий против на-
направления стрелок. Обе вершины соединены штриховой линией,
отвечающей виртуальному (промежуточному) фотону, «испус-
«испускаемому» в одной вершине и «поглощаемому» в другой; этой ли-
линии сопоставляется множитель —iDfll/(k). 4-импульс виртуально-
виртуального фотона к определяется «сохранением 4-импульса в вершине»:
равенством суммарных импульсов входящих и выходящих ли-
линий; в данном случае к = Pi — Рз — Pa ~ V2- Помимо всех пере-
перечисленных множителей, диаграмме в целом приписывается еще
общий множитель (—геJ (показатель степени — число вершин в
диаграмме), и в таком виде она входит слагаемым в iMfi. Анало-
Аналогичным образом второй член в G3.11) представляется диаграм-
диаграммой
Pi
(надо иметь в виду, что к' = р\ — р± = рз — ръ). Безразлично,
начинать ли прочтение диаграммы от конца рз или р^ получа-
получающиеся при этом выражения совпадают друг с другом в силу
симметричности тензора D^. Безразличен также выбор направ-
направления линии виртуального фотона: изменение этого направления
приведет лишь к изменению знака /с, несущественному в силу
четности функций DiJjly(k) (см. § 76).
Линии, отвечающие начальным и конечным частицам, назы-
называют внешними линиями или свободными концами диаграммы.
Диаграммы G3.13) и G3.14) отличаются друг от друга обменом
двух свободных электронных концов (рз и р4)- Такая переста-
перестановка двух фермионов меняет знак диаграммы; это правило со-
соответствует тому, что в амплитуду G3.11) оба члена входят с
разными знаками.
Мы будем в дальнейшем всегда пользоваться диаграммами
Фейнмана в описываемом, импульсном, представлении. Отметим,
однако, что эти диаграммы могут быть приведены в соответствие
с членами амплитуды рассеяния также и в их первоначальном —
координатном — представлении (интегралы G3.10)). Роль элек-
электронных амплитуд при этом играют соответствующие коорди-
координатные волновые функции, а пропагаторы берутся в координат-

330	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
ном представлении. Каждой вершине отвечает одна из перемен-
переменных интегрирования (х или х' в G3.10)); множители, приписыва-
приписываемые пересекающимся в одной вершине линиям, берутся в функ-
функции этой переменной.
Рассмотрим теперь взаимное рассеяние электрона и позитро-
позитрона; их начальные импульсы обозначим соответственно р- и р_|_,
а конечные р'_ и р'_^.
Операторы рождения и уничтожения позитронов входят в
^-операторы G3.6) вместе соответственно с операторами унич-
уничтожения и рождения электронов. В то время, как в предыду-
предыдущем случае уничтожение обеих начальных частиц обеспечива-
обеспечивалось оператором ф, а рождение обеих конечных — оператором
ф, здесь роль этих операторов противоположна по отношению
к электронам и позитронам. Поэтому сопряженной функцией
ф(—р+) будет описываться теперь начальный позитрон, а конеч-
конечный позитрон — функцией ф(—р+) (причем обе —от 4-импульса
с обратным знаком). С учетом этого различия получим в резуль-
результате амплитуду рассеяния х)
Mfi = -е2(«(р'_O"«(Р
2	(pl_)Yu(-p'+)). G3.15)
Первый и второй члены в этом выражении представляются
следующими диаграммами:
G3.16)
Правила составления диаграмм меняются лишь в части, касаю-
касающейся позитронов. По-прежнему входящим сплошным линиям
сопоставляется множитель и, а выходящим п. Но теперь входя-
входящие линии отвечают конечным, а выходящие — начальным пози-
1) Для рассеяния нетождественных частиц общий знак амплитуды одно-
однозначен. Он определяется тем, что в G3.5) «внешние» операторы должны
быть расположены таким образом, чтобы оба электронных оператора стоя-
стояли по краям:
{0\а'Ъ' ...Ъ+а+\0)
(или же оба в середине); этим условием обеспечивается «одинаковый знак»
начального и конечного состояний вакуума. Общий знак амплитуды можно
проверить и по нерелятивистскому пределу: мы увидим далее (см. § 81),
что в этом пределе второй член в G3.15) стремится к нулю, а первый — к
борновской амплитуде резерфордовского рассеяния.

§ 73	ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ	331
тронам, причем импульсы всех позитронов берутся с обратным
знаком.
Обратим внимание на различный характер двух диаграмм
G3.16). В первой диаграмме в одной из вершин пересекаются
линии начального и конечного электрона, в другой вершине —
то же самое для позитрона. Во второй же диаграмме в каждой
из вершин пересекаются линии электронов и позитронов — на-
начальных и конечных; в верхней как бы происходит аннигиляция
пары с испусканием виртуального фотона, а в нижней — рожде-
рождение пары из фотона.
Это различие отражается и в свойствах виртуальных фото-
фотонов в обеих диаграммах. В первой диаграмме (диаграмма «рассе-
ивательного» типа) 4-импульс виртуального фотона равен раз-
разности 4-импульсов двух электронов (или позитронов); поэтому
к2 < 0 (ср. G3.1)). Во второй же диаграмме («аннигиляцион-
ной») к' = р- +р+, и потому к'2 > 0. Отметим в этой связи, что
для виртуального фотона всегда к2 ф 0, в отличие от реального
фотона, для которого к2 = 0.
Если сталкивающиеся частицы не тождественны и не явля-
являются частицей и античастицей (скажем, электрон и мюон), то
амплитуда рассеяния изобразится всего одной диаграммой:
G3.17)
Диаграмма же аннигиляционного или обменного типа в этом слу-
случае невозможна. Мы получим этот результат аналитически, на-
написав оператор тока как сумму электронного и мюонного токов
J =?(е)+?Ы = (Ф
и взяв в произведении jfJj(x)jiy(x/) матричные элементы от чле-
членов, производящих требуемые уничтожения и рождения частиц.
Вернемся к процессам первого порядка, запрещенным, как
было указано в начале параграфа, законом сохранения 4-импуль-
са. Матричные элементы оператора
= -ге h
(x)A(x) dAx	G3.18)
для таких переходов отвечают рождению или уничтожению «в
одной и той же точке х» трех реальных частиц: двух электронов
и одного фотона. Они возникают в результате свертывания опе-
операторов ф(х) и ф(х) в одной точке х и определяются (например,

332	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
для испускания фотона) интегралами вида
Sfi = -ге 1ф2{х)ф1{х){1А*{х)) d4x,
обращающимися в нуль благодаря наличию в подынтегральном
выражении множителя ехр[—г{р\ — р2~ к)х] с отличным от нуля
показателем. На языке диаграмм это значит, что равны нулю
диаграммы с тремя свободными концами
G3.19)
По этой же причине невозможны процессы второго порядка,
в которых участвовали бы (в начальном и конечном состояниях)
шесть частиц. В матричном элементе Sfi соответствующих пе-
переходов интеграл по dAx dAx' распался бы на произведение двух
обращающихся в нуль интегралов по d^x и d^x1 от произведений
трех волновых функций, взятых в одной и той же точке. Други-
Другими словами, соответствующие диаграммы распались бы на две
независимые диаграммы вида G3.19).
§ 74. Диаграммы Фейнмана для рассеяния фотона
Рассмотрим другой эффект второго порядка — рассеяние фо-
фотона на электроне {эффект Комптона). Пусть в начальном сос-
состоянии фотон и электрон имеют 4-импульсы к\ и р\, а в конеч-
конечном &2 и р2 (а также определенные поляризации, которые для
краткости не указываем).
Фотонный матричный элемент
х)Аи(х')с+\0),	G4.1)
к
Свертывая внешние и внутренние операторы, получаем
G4.1) = ъА» А'„4 +с2 \A'pcf = А*2/1А'1р + А^А'1 G4.2)
(при этом учтена коммутативность операторов ci, с^; по этой же
причине знак Т в данном случае может быть опущен). Электрон-
Электронный матричный элемент
'	'Ф>Ц0).	G4.3)

§ 74	ДИАГРАММЫ ФЕЙНМАНА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ФОТОНА	333
В нем фигурируют четыре ^-оператора. Только два из них бу-
будут заняты уничтожением электрона 1 и рождением электрона 2,
т. е. будут свернуты с операторами а^ и Ъ>2- Это могут быть опе-
операторы ф1, ф или ф1, ф (но не ф, ф или ф1, ф'\ рождение и уничто-
уничтожение в одной и той же точке х или х1 двух реальных электро-
электронов вместе с одним реальным фотоном приводит к равному нулю
выражению). Произведя свертывание двумя способами, получим
в матричном элементе G4.3) два члена; выпишем их сначала в
предположении t > tf:
G4.3) = а^ф^ф)^ -ffW+^jih" ФШ/Ф')^ ¦ G4.4)
В первом члене свертываются операторы
ъ^ ф'а^ —>>
Поскольку операторы a^a^ и aia^ диагональны и стоят на краях
произведения, они заменяются их средним по вакууму значени-
значением, т. е. единицей. Для аналогичного преобразования второго
члена в G4.4) надо сперва «протащить» оператор а^ налево, а
ai направо. Это осуществляется с помощью правил коммутации
операторов ар, а+, в силу которых
{ар,ф}+ = фр, {а+,ф}+ = фр.
В результате выражение G4.4) преобразуется к виду
(OK^'VXlWi) - ^ГФгКФ^Ф'М, t > t1 G4.6)
(разумеется, усреднению подвергаются лишь операторные мно-
множители). Аналогичным образом при t < tf получим выражение,
отличающееся перестановкой штриха и индексов /i, v.
@|-(?7Vi)(?27^) + (?27V)(?7V)|0), t<t'. G4.7)
Оба выражения мож:но записать в едином виде, введя хроно-
хронологическое произведение ^-операторов согласно определению
)> г'<^	G4.8)
(г, к — биспинорные индексы). Тогда первые и вторые члены в
G4.6), G4.7) можно записать единым образом:
?27^@|Т^ • фГ\О)^Ф[ + ф^^^Тф' • Ф\О)^ф1	G4.9)
(ф • ф обозначает матрицу фгф^).

334	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
Обратим внимание на то, что в естественно возникшем опре-
определении G4.8) произведения операторов при t < tf и t > tf бе-
берутся с различными знаками. Этим оно отличается от определе-
определения Т-произведения, которым мы пользовались для операторов
А и j. Происхождение этого различия связано с тем, что ферми-
онные операторы ф, ф антикоммутируют вне светового конуса
(в отличие от коммутирующих бозонных операторов А, а также
билинейных операторов j = ф^ф) :) . Тем самым обеспечивается
релятивистская инвариантность определения G4.8) (формальное
доказательство правил коммутации ^-операторов будет дано в
§ 75) 2).
Введем электронную функцию распространения (или элек-
электронный пропагатор) — биспинор второго ранга Gik(x-x') —со-
—согласно определению
Gik(x - х1) = -ф\Тфг(х)фк(х')\0).	G4.10)
Тогда электронный матричный элемент запишется в виде
{2\Tf(x)f(x')\l) = гф^О^Ф'г + гф^О^фг. G4.11)
После умножения на фотонный матричный элемент G4.1) и
интегрирования по d^xd^x1 оба члена в G4.11) дают одинаковый
результат, так что получается
Sfi = -ie2 ГГсРх
= -ie2 ГГсР
х {A^(x)Aliy(xf) + AUxf)Alfl(x)}. G4.12)
Подставив для электронных и фотонных волновых функций
плоские волны F4.8), F4.9) и выделив E-функцию, как это было
сделано для G3.10), получим окончательно амплитуду рассеяния
Mfi = -47re2U2{(^)G(Pl + fci)Gei) + Gei)G(pi - к2)(^2)}иъ
G4.13)
) Напомним, что сами по себе ^-операторы не отвечают каким-либо изме-
измеримым физическим величинам и потому не обязаны быть коммутативными
вне светового конуса.
) Аналогично можно определить Т-произведение любого числа ^-операто-
^-операторов. Оно равно произведению всех этих операторов, расположенных справа
налево в порядке возрастания времени, причем знак определяется четно-
четностью перестановки, которую нужно произвести, чтобы получить этот по-
порядок из порядка, указанного под знаком Т-произведения. Соответственно
этому определению знак Т-произведения меняется при перестановке любых
двух ^-операторов, например:

§ 75	ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР	335
где ei, e2 — 4-векторы поляризации фотонов, G(p) —электрон-
—электронный пропагатор в импульсном представлении.
Два члена в этом выражении представляются следующими
диаграммами Фейнмана:
G4.14)
/' = pi - k2
Штриховые свободные концы диаграмм отвечают реальным
фотонам; входящим линиям (начальный фотон) сопоставляет-
сопоставляется множитель л/4тге, а выходящим линиям (конечный фотон) —
множитель у4тге*, где е — 4-вектор поляризации. В первой диаг-
диаграмме начальный фотон поглощается вместе с начальным элект-
электроном, а конечный испускается вместе с конечным электроном.
Во второй диаграмме испускание конечного фотона происходит
вместе с уничтожением начального электрона, а поглощение на-
начального фотона — с рождением конечного электрона.
Внутренняя сплошная линия (соединяющая обе вершины) от-
отвечает виртуальному электрону, 4-импульс которого определяет-
определяется сохранением 4-импульса в вершинах. Этой линии сопоставля-
сопоставляется множитель iG(f). В отличие от 4-импульса реальной час-
частицы квадрат 4-импульса виртуального электрона не равен т .
Рассматривая инвариант /2, например, в системе покоя электро-
электрона, легко найти, что
2
= (pi-k2J<m2.	G4.15)
§ 75. Электронный пропагатор
Введенное в предыдущих параграфах понятие о функциях
распространения (пропагаторах) играет основную роль в аппара-
аппарате квантовой электродинамики. Фотонный пропагатор D^ ста-
становится основной величиной, характеризующей взаимодействие
двух электронов. Эта его роль наглядно проявляется в положе-
положении, занимаемом им в амплитуде рассеяния электронов, куда
D^ входит умноженный на токи переходов двух частиц. Анало-

336	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
гичную роль играет электронный пропагатор во взаимодействии
электрона и фотона.
Займемся теперь фактическим вычислением пропагаторов,
начав с электронного случая.
Подействуем на функцию
Gik(x - х1) = -ЩТфг(х)фк(х')\0)	G5.1)
(г, к — биспинорные индексы) оператором jp — га, где р^ = гд^.
Поскольку оператор ф(х) удовлетворяет уравнению Дирака (jp—
—тп)ф(х) = 0, мы получим нуль во всех точках ж, за исключением
лишь тех, в которых t = tf. Дело в том, что G(x — х1) стремится
к различным пределам при t —>• f' + 0 и f —>• t' — 0: согласно
определению G4.8) эти пределы равны соответственно
и, как мы увидим, на световом конусе не совпадают. Это приво-
приводит к появлению в производной dG/dt дополнительного члена с
6- функцией:
|	^	6(t -
G5.2)
Замечая, что в оператор jp — га производная по t входит в виде
ijQd/dt, имеем поэтому
^l(r',t)}+\O). G5.3)
Вычислим стоящий здесь антикоммутатор. Перемножив опе-
операторы V>(r, ?) и ip(rf,t) (см. G3.6)) и учтя перестановочные пра-
правила для фермионных операторов ар, 6р, найдем
^	г(г)Ф-рк(г% G5.4)
где ф±р(г) —волновые функции без временного множителя (как
и в § 73, 74, для краткости не выписываем у них поляризацион-
поляризационные индексы). Но совокупность всех функций ф±р(т) —собствен-
—собственных функций гамильтониана электрона — составляет полную сис-
систему нормированных функций, и согласно общим свойствам та-
таких систем (ср. III, E.12)):
Рг(г)ф;к(г') + ф.рг(г)ф*_рк(г')] = 8гкё(г - г'). G5.5)

§ 75	ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР	337
Сумма же в правой стороне равенства G5.4) отличается от напи-
написанной заменой фк на (V>*70)fc и равна jfkS(r — r'). Таким образом,
5(r-r')jik-	G5-6)
Отметим, что из этой формулы следует, в частности, упомя-
упомянутое уже в § 74 утверждение об антикоммутативности опера-
операторов фиф вне светового конуса. При (х — х'J < 0 всегда су-
существует такая система отсчета, в которой t = t'\ если при этом
г ф г7, то антикоммутатор G5.6) действительно равен нулю.
Подставив G5.6) в G5.3) (и опустив биспинорные индексы),
найдем окончательно :)
GР - m)G(x - х') = 6^ (х - х').	G5.7)
Таким образом, электронный пропагатор удовлетворяет урав-
уравнению Дирака с E-функцией в правой части. Другими словами,
это есть функция Грина для уравнения Дирака.
Нам придется в дальнейшем иметь дело не с самой функцией
C{i = х — ж7), а с ее компонентами Фурье
G(p) = / G@eip4^	G5.8)
(пропагатором в импульсном представлении). Взяв компоненту
Фурье от обеих сторон G5.7), найдем, что G(p) удовлетворяет
системе алгебраических уравнений
(-yp-m)G(p) = 1.	G5.9)
Решение этой системы:
G(p) = ^±^.	G5.10)
Четыре компоненты 4-векторар в G(p) являются независимыми
переменными (не связанными соотношением р2 = р^ — р2 = т2).
Написав знаменатель в G5.10) в виде р$ — (р2 +т2), мы увидим,
что G(p) как функция от ро при заданном р2 имеет два полюса:
при ро = ±?, где е = ур2 -\-т2. При интегрировании по dpo в
интеграле
г	г	г
G5.11)
1) В явной записи с биспинорными индексами
Gр - m)uGik(x - х) = 5{А\х - x')8ik.	G5.7а)

338	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
(т = t — tf) возникает поэтому вопрос о способе обхода полюсов;
без указания этого способа выражение G5.10) еще по существу
неопределенно.
Для выяснения этого вопроса вернемся к исходному опреде-
определению G5.1). Подставим в него ^-операторы в виде сумм G3.6),
заметив при этом, что отличны от нуля средние по вакууму лишь
от следующих произведений операторов рождения и уничтоже-
уничтожения:
@|ара+|0) = 1, @|6рЬ+|0) = 1.
(Поскольку в состоянии вакуума никаких частиц нет, то, прежде
чем «уничтожить» частицу оператором ар или 6р, надо «родить»
ее оператором ар или 6р.) Получим
Gik(x-x') = -г^2
,k(r'), t-t'>0; G5.12)
p
p
= г V^ el?^~tf^-pi(r)^_pk{r'I t — t1 < 0
p
(при t > t' вклад в G дают только электронные, а при t < t' —
только позитронные члены).
Представив себе суммирование по р замененным интегриро-
интегрированием по d3p и сравнив G5.12) с G5.11), мы увидим, что интег-
интеграл
e-ipoTG(p)dp0	G5.13)
должен иметь фазовый множитель е гет при т > 0 и ег?Т при т <
< 0. Мы удовлетворим этому, если условимся обходить полюсы
ро = е и ро = — е соответственно сверху и снизу (в плоскости
комплексного переменного ро):
:y^	G5.14)
— ?
w 0 +?
Действительно, при т > 0 замыкаем путь интегрирования бес-
бесконечно удаленной полуокружностью в нижней полуплоскости,
так что значение интеграла G5.13) будет даваться вычетом в
полюсе ро = +?; при т < 0 замыкаем контур в верхней полу-
полуплоскости, и интеграл определится вычетом в полюсе ро = —е.
В обоих случаях получится требуемый результат.

§ 75	ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР	339
Это правило обхода (правило Фейнмана) можно сформули-
сформулировать иначе: интегрирование производится везде вдоль самой
вещественной оси, но массе частицы т приписывается бесконеч-
бесконечно малая отрицательная мнимая часть:
т^т-гО.	G5.15)
Действительно, имеем тогда
е -> л/р2 + (т- гОJ = л/р2 + га2 - гО = е - гО.
Другими словами, полюсы ро = ±? смещаются вниз и вверх от
вещественной оси:
•	G5.16)
так что интегрирование вдоль этой оси становится эквивалент-
эквивалентным интегрированию вдоль пути G5.14) г) . С учетом правила
G5.15) пропагатор G5.10) можно написать в виде
G(p) = ^ + т .	G5.17)
Правило интегрирования при сдвиге полюса демонстрирует-
демонстрируется следующим соотношением:
—L- = pl-m5(x).	G5.18)
х + гО	х
Его надо понимать в том смысле, что при умножении на какую-
либо функцию f(x) и интегрировании имеем
оо	оо
Г l^Ldx = I f-^dx - гтг/(О),
J x + гО	J x
G5.19)
— оо	—оо
где перечеркнутый знак интеграла, или символ Р, означает глав-
главное значение.
Функция Грина G5.10) представляет собой произведение бис-
пинорного множителя jp + m и скаляра:
^	^—2.	G5.20)
Соответствующая координатная функция G^(^) является, оче-
очевидно, решением уравнения
(р2 - m2)G^(x - х') = дD)(х - х'),	G5.21)
:) Полезно заметить, что правило сдвига полюсов соответствует тому, что
G(x — х') приобретает бесконечно малое затухание по |т|, где г = t — t1'.
Действительно, если записать значение ро в смещенных полюсах как — (е —
— iS) и +(е — iS) (где S —»¦ +0), то временной множитель в интеграле G5.13)
будет равен ехр(—ге|т| — 6\т\).

340	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
т. е. функцией Грина уравнения (р2 — т?)ф = 0. В этом смысле
можно сказать, что G^\x — х') есть пропагатор скалярных ча-
частиц. Легко убедиться вычислением (подобным произведенному
выше), что функция распространения скалярного поля выража-
выражается через ^-операторы A1.2) формулой
G^(x - х') = -г@\Тф(х)ф+(х')\0).	G5.22)
аналогичной определению G5.1). При этом хронологическое про-
произведение определяется (как для всяких бозонных операторов)
следующим образом:
Ш^} ?>''	G5.23)
, t < t .
(с одинаковыми знаками при t > t' и t < t').
§ 76. Фотонный пропагатор
До сих пор нам приходилось (в § 43, 74) использовать явный
вид операторов электромагнитного поля А при нахождении ма-
матричных элементов лишь по отношению к изменению числа ре-
реальных фотонов. Для этой цели было достаточным написанное
в § 2 представление потенциалов свободного поля в виде разло-
разложения по поперечным плоским волнам.
Такое представление, однако, не дает само по себе полного
описания произвольного поля. Это ясно уже из того, что диа-
диаграммы рассеяния G3.13), G3.14) должны учитывать и кулоново
взаимодействие электронов. Последнее описывается скалярным
потенциалом Ф и заведомо не может быть сведено к обмену лишь
поперечными виртуальными фотонами (описываемыми вектор-
векторным потенциалом, подчиненным условию div A = 0) х) .
Таким образом, мы по существу не имеем еще полного опре-
определения операторов А, без чего невозможно прямое вычисление
фотонного пропагатора согласно формуле
D^(x - х1) = 1@\ТА»(х)А„(х')\0).	G6.1)
С другой стороны, калибровочная неоднозначность потенциалов
в значительной степени лишает физического смысла те операто-
1)При условии div A = 0 уравнения Максвелла приводят к следующим
уравнениям для АиФ:
<9Ф
ПА = -4ttj + V —, АФ = -4тгр.
dt
В этой калибровке Ф удовлетворяет статическому уравнению Пуассона (ср.
с формулой G6.13) для Doo в этой же калибровке).

§ 76	ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР	341
ры, которые пришлось бы вводить для исчерпывающего кванто-
квантования электромагнитного поля.
Эти затруднения, однако, имеют лишь формальный, а не фи-
физический характер, и их можно обойти, использовав некоторые
общие свойства пропагатора, очевидные из требований реляти-
релятивистской и калибровочной инвариантности.
Наиболее общий вид 4-тензора второго ранга, зависящего
только от 4-вектора ? = х — х', есть
ада=g^D(e) - д^а^не), G6.2)
где D, D^ —скалярные функции инварианта ?2 :) . Отметим,
что тензор автоматически оказывается симметричным.
Соответственно в импульсном представлении будем иметь
,	G6.3)
где D(k2), D® (к2) —компоненты Фурье функций ?>(?2), D^(^2).
В физические величины — амплитуды рассеяния — фотонная
функция распространения входит умноженной на токи перехо-
переходов двух электронов, т. е. в комбинациях вида j^iD^j^ (см.,
например, G3.13)). Но в силу сохранения тока (d^j^1 = 0) его
матричные элементы j2i — Ф21Ф1 удовлетворяют условию 4-по-
перечности
МЛ21 = 0,	G6.4)
где к = р2 — pi (ср. D3.13)). Ясно поэтому, что никакие физиче-
физические результаты не изменятся при замене
D^y -> D^y + Хц.К + Xi/^,	G6.5)
где Xfi ~ любые функции к и ко. Этот произвол в выборе D^
соответствует произволу в калибровке потенциалов поля.
Произвольное калибровочное преобразование G6.5) может
нарушить релятивистски инвариантный вид D^, предположен-
предположенный в G6.3) (если величины Хц не составляют 4-вектора). Но и
оставаясь в рамках релятивистски инвариантных форм пропа-
пропагатора, мы видим, что выбор функции D^\k2) в G6.3) вполне
произволен; он не отразится на физических результатах и мо-
может устанавливаться из соображений удобства [Л. Д. Ландау,
А. А. Абрикосов, И. М. Халатников, 1954).
Нахождение функции распространения сводится, таким об-
образом, к определению всего одной калибровочно-инвариантной
1) Эти функции различны в трех областях значений аргумента, не пере-
переходящих друг в друга при преобразованиях Лоренца: вне светового конуса
(^2 < 0), в верхней (^2 > 0, (о > 0) и в нижней (^2 > 0, ^о < 0) полостях
светового конуса.

342	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
функции D(k2). Если рассмотреть заданное значение к2 и вы-
выбрать ось z вдоль направления к, то преобразования G6.5) не
будут затрагивать компоненты Dxx = Dyy = —D(k2). Достаточ-
Достаточно поэтому вычислить всего одну компоненту DXX1 пользуясь при
этом любой калибровкой потенциалов.
Воспользуемся калибровкой, в которой div A = 0 и оператор
А дается разложением B.17), B.18):
А = V \[^(скае^е-гкх + с?,е(а>V**), и = |к| G6.6)
(индекс а = 1, 2 нумерует поляризации). Из всех средних по ва-
вакууму значений произведений операторов с, с4" отличны от нуля
лишь
(O|ckac+JO) = 1.
По определению G6.1) получим поэтому
)	*C G6.7)
(г, к — трехмерные векторные индексы; от суммирования по к
мы перешли к интегрированию по с13к/BтгK). Тот факт, что в
показателе экспоненты стоит абсолютное значение разности т =
= t — ?', есть следствие хронологизации произведения операторов
в G6.1).
Из G6.7) видно, что подынтегральное выражение без множи-
множителя егк? есть компонента трехмерного разложения Фурье функ-
функции Dih(r,t). Для Dxx = —D она равна
Для нахождения Dxx(k2) осталось разложить эту функцию в ин-
интеграл Фурье по времени. Это разложение дается формулой
оо
= _J. [
2тг J
е	[
и	2тг J kl - к2 + гО
— оо
Как было объяснено в предыдущем параграфе, такое интегри-
интегрирование подразумевает обход полюсов ко = ±|к| = =Ьо; соответ-
соответственно снизу и сверху; при т > 0 интеграл определяется выче-
вычетом в полюсе ко = +о;, а при т < 0 —вычетом в полюсе ко = —ио.
Таким образом, находим окончательно
D(k2) = _JZ!_.	G6.8)

§ 76	ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР	343
Появление -\-гО в знаменателе, к которому в изложенном выво-
выводе мы пришли автоматически, совпадает с правилом G5.15): из
(равной нулю) массы фотона вычитается гО. Из G6.8) видно,
что соответствующая координатная функция D{^2) удовлетво-
удовлетворяет уравнению
-d^D{x - х1) = 4тт5^(х - х1),	G6.9)
т. е. является функцией Грина волнового уравнения.
Мы будем обычно полагать D^ = 0, т. е. пользоваться функ-
функцией распространения в виде
^	G6.10)
{калибровка Фейнмана).
Укажем также другие способы калибровки, которые могут
представить определенные преимущества в некоторых примене-
применениях.
Положив D^ = — D/k2, получим пропагатор в виде
Dp, = | (glu, - Щ	G6.11)
{калибровка Ландау). При этом D^k" = 0. Такой выбор анало-
аналогичен лоренцевой калибровке потенциалов {А^к^ = 0).
Калибровке потенциалов трехмерным условием divA = 0
аналогична калибровка пропагатора условиями
Duk1 = 0, Dotk1 = 0.
Вместе с равенством Dxx = — D = —Атг/к2 эти условия дают
G6.12)
Для того чтобы получить такое D^, надо произвести над пропа-
гатором G6.10) преобразование G6.5), положив
		47га;			47rfe
Х° ~ ~2(oj2-k2)k2' Х% ~ 2(cj2-k2)k2'
При этом для остальных компонент D^ получается
2 А)г = 0.	G6.13)
Такую калибровку называют кулоновой {Е. Salpeter, 1952); от-
отметим, что Dqq здесь — компонента Фурье кулонова потенциала.
Наконец, калибровке потенциалов условием Ф = 0 аналогич-
аналогична калибровка пропагатора, в которой
A)i = AH = 0. G6.14)

344	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
Эта форма оказывается удобной для применения в нерелятивист-
нерелятивистских задачах (И. Е. Дзялошинский, Л. П. Питаевский, 1959).
Все выписанные выражения относятся к импульсному пред-
представлению пропагатора. В некоторых случаях удобно пользо-
пользоваться смешанным частотно-координатным представлением, т. е.
функцией
^	G6.15)
В фейнмановской калибровке G6.10)
где
оо
тл( \ л f eikr	dsk	i [ eikr - e~ikr j -и
Diuo.r) = 4тг /	= —— / 	kdk,
V ' J	J uo2 - k2 + гО BттK	тгг J uo2 - k2 + гО
0
или, после замены k —)> — к во втором слагаемом подынтеграль-
подынтегрального выражения:
(X)
п/ ч	if eikrkdk
irr J uj2 - к2 + гО
— oo
Последнее интегрирование производится путем замыкания кон-
контура интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в
верхней полуплоскости комплексной переменной к и сводится к
взятию вычета в полюсе к = |о;| + гО. Окончательно получим
V.	G6.16)
В связи с этим выражением сделаем следующее замечание.
Описываемый диаграммами G3.13), G3.14) процесс можно рас-
рассматривать наглядно как рассеяние электрона 2 в поле, созда-
создаваемом электроном 1 (или наоборот). Функция G6.16) соответ-
соответствует обычному «запаздывающему» потенциалу ос егиг (см. II,
F4.1), F4.2)) только при ио > 0. Знак о;, однако, зависит от услов-
условного выбора направления стрелки к на диаграмме. Отмеченное
свойство функции D(o;,r) означает, что в квантовой электроди-
электродинамике следует считать источником поля ту из частиц, которая
отдает энергию, т. е. испускает виртуальный фотон.
В заключение остановимся на вопросе о пропагаторе частиц
со спином 1, но с отличной от нуля массой. В этом случае кали-
калибровочный произвол отсутствует и выбор пропагатора однозна-
однозначен.
Подставив ^-операторы A4.16) в определение
GV = -1@\Тф»(х)ф+(х')\0),	G6.17)

§ 77	ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ	345
получим выражение, отличающееся от G6.7) лишь заменой стоя-
стоящей в подынтегральном выражении суммы по поляризациям на
Суммирование по поляризациям эквивалентно усреднению с по-
последующим умножением на 3 — число независимых поляризаций.
Усреднение дает матрицу плотности неполяризованных частиц
A4.15). Таким образом, в результате найдем следующее выра-
выражение для пропагатора векторных частиц:
G^{P) = - 2 *	(g^ - ^f) ¦	G6.18)
р2 — т2 + гО \	т2 /
Обратим внимание на аналогичную структуру пропагаторов
G5.17) и G6.18): в знаменателе стоит разность р2 — т2, а числи-
числитель есть, с точностью до множителя, матрица плотности непо-
неполяризованных частиц с данным спином.
§ 77. Общие правила диаграммной техники
Произведенное в § 73, 74 для некоторых простых случаев
вычисление элементов матрицы рассеяния содержит в себе все
принципиальные моменты общего метода. Не представляет осо-
особого труда установить путем соответствующих обобщений пра-
правила вычисления матричных элементов в любом порядке теории
возмущений.
Как уже указывалось, матричный элемент оператора рассея-
рассеяния S для перехода между любыми начальными и конечными
состояниями совпадает со средним по вакууму от оператора, по-
получающегося умножением S справа на операторы рождения всех
начальных частиц и слева — на операторы уничтожения всех ко-
конечных частиц.
В результате такого приведения элемент ^-матрицы в п-м
порядке теории возмущений принимает вид
{f\S^\i) = ±@\...b2fblf...alf...clfx
х / d4xi...d4xnT{('(l;1(-iejAi)ipi)...(ipn(-iejAn)'(l;n)} x
хс+...о+...Ь+...|0> G7.1)
(индексы Н, 2г, ... нумеруют начальные частицы (отдельно по-
позитроны, электроны, фотоны), индексы 1/, 2/, ... —конечные
частицы; индексы 1, 2, ... у операторов ф и А означают: ф\ =
= ф(х\), ... ). Входящие сюда операторы ф, А представляют

346	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
собой линейные комбинации операторов рождения и уничтоже-
уничтожения соответствующих частиц в различных состояниях. Таким
образом, получаем для матричных элементов выражения в ви-
виде средних по вакууму от произведений операторов рождения
и уничтожения частиц и их линейных комбинаций. Вычисле-
Вычисление таких средних осуществляется с помощью следующих утвер-
утверждений, составляющих содержание теоремы Вика (G. С. Wick,
1950).
1.	Среднее по вакууму от произведения любого числа бозон-
ных операторов с^, сГ равно сумме произведений всех возможных
попарных средних (сверток) этих операторов. При этом в каж-
каждой паре множители должны стоять в той же последовательно-
последовательности, что и в первоначальном произведении.
2.	Для фермионных операторов а+, а, 6+, b (одних и тех же
или различных частиц) правило меняется лишь в том, что каж-
каждый член входит в сумму со знаком плюс или минус в зависимо-
зависимости от четности или нечетности числа перестановок фермионных
операторов, необходимых для того, чтобы поставить рядом все
попарно усредняемые операторы.
Ясно, что среднее значение может быть отлично от нуля,
лишь если наряду с каждым множителем а, 6, д в произведе-
произведении имеется также по множителю а+, 6+, с4". При этом сверты-
свертывать следует только пары операторов (а,а+), ... , относящихся
к одинаковым состояниям, причем лишь такие, в которых а+,
... стоят справа от а, ... : частица сначала рождается, а затем
уничтожается (средние же значения @|а+а|0) = 0, ... ).
Если каждая пара (а,а+), ... входит в произведение всего
по одному разу, то теорема Вика очевидна (среднее значение
сводится при этом к одному произведению попарных средних).
Она очевидна также и в случае, когда все операторы уничтоже-
уничтожения стоят в произведении справа от операторов рождения (та-
(такое произведение называют нормальным); среднее значение при
этом равно нулю. Отсюда легко путем полной индукции дока-
доказать теорему Вика для общего случая, когда одна и та же пара
операторов входит в произведение несколько (к) раз.
Рассмотрим среднее значение @| . .сс+.. |0), в котором пара
бозонных операторов входит к раз (для фермионных операторов
дальнейшие рассуждения вполне аналогичны). Переставив мно-
множители с, с^~ в некоторой паре, получим на основании правил
коммутации
@|..сс+..|0) = @|..с+с..|0) + @|..1..|0).	G7.2)
Среднее значение @| .. 1.. |0) содержит к — 1 пару, и для него
теорема Вика предполагается справедливой. С другой стороны,

§ 77	ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ	347
если раскрывать среднее значение @| .. сс+.. |0) по теореме Вика,
то оно будет отличаться от среднего значения @| .. с+с.. |0) как
раз членом
(при раскрытии @| .. с+с.. |0) аналогичный член @| .. 1.. |0) х
х @|с+с|0) = 0). Поэтому из G7.2) следует, что если теорема
Вика справедлива для матричного элемента @| .. с+с.. |0), то она
остается справедливой и после перестановки с' и с^~. Поскольку
для одного определенного (нормального) порядка множителей
теорема Вика заведомо справедлива, то она тем самым верна в
любом случае.
Будучи верна для произведений операторов а, 6, ... , теорема
Вика верна и для любых произведений, содержащих наряду с са-
самими а, 6, ... также их линейные комбинации ф,ф, А. Применив
эту теорему к матричному элементу G7.1), мы представим его
в виде суммы членов, каждый из которых будет произведени-
произведением некоторых попарных средних. Среди последних будут встре-
встречаться свертки операторов ф, ф, А с «внешними» операторами —
операторами рождения начальных или уничтожения конечных
частиц. Эти свертки выражаются через волновые функции на-
начальных и конечных частиц согласно формулам:
|0)=Лр, @\срА\0) = А*р,
@\фа+\0) = фр, @\арф\0) = ф*р,	G7.3)
(О\Ьрф\О)=ф.р, @\Щ\0)=ф_р,
где Ар, фр — фотонные и электронные волновые функции с им-
импульсами р (поляризационные индексы, как и в § 73, 74, для
краткости не выписываем). Будут также встречаться свертки
«внутренних» операторов, стоящих под знаком Т-произведений.
Поскольку при применении теоремы Вика последовательность
множителей в каждой свертываемой паре сохраняется, в этих
свертках сохранится хронологическая последовательность опе-
операторов, так что они заменяются соответствующими пропагато-
рами х) .
х) По поводу последнего утверждения надо сделать следующее замечание.
При доказательстве теоремы Вика мы использовали правила коммутации
операторов с, с^~, которые имеют смысл лишь для реальных («поперечных»)
фотонов. «Внешние» операторы с^~, с/ отвечают, разумеется, именно таким
(начальным и конечным) фотонам. Операторы же А (входящие под знаком
Т-произведения) описывают, как было указано в § 76, не только поперечные

348	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
Каждый из членов суммы, на которую разбивается матрич-
матричный элемент в результате его раскрытия по теореме Вика, изо-
изображается определенной диаграммой Фейнмана. В диаграмме
n-го приближения содержится п вершин, каждой из которых
ставится в соответствие одна из переменных интегрирования —
один из 4-векторов жх, #2? ••• В каждой вершине сходится три
луча — два сплошных (электронных) и один штриховой (фотон-
(фотонный), которым соответствуют электронные (ф и ф) и фотонный
(А) операторы как функции одной и той же переменной х. При
этом оператору ф соответствует приходящая в вершину, а ф —
выходящая из нее линия.
Для иллюстрации приведем несколько примеров соответствия
между членами матричного элемента третьего приближения и
диаграммами. Опустив знак интеграла, знаки операторов и знак
Т, а также множители — iej и не выписав аргументов у операто-
операторов, напишем эти члены символически в виде
а (ф Аф)(фАф)(фАф) =
б (фА ф) (ф Аф) (фА ф) = -е-1—«-г*
-+-	^_l^	G7.4)
с! С!С1
г (ф Аф) (фА ф) (ф Аф) =
Для наглядности электронные и фотонные свертки изображены,
как и на диаграмме, соответственно сплошными и штриховыми
дугами. Направление стрелок на электронных свертках (от ф к
ф) соответствует их направлению на диаграммах. Для внутрен-
внутренних фотонных сверток направление безразлично (что проявля-
проявляется и в четности фотонного пропагатора как функции х — х1).
Среди получаемых таким образом членов есть эквивалент-
эквивалентные, различающиеся лишь перестановкой номеров вершин — со-
соответствием между вершинами и номерами переменных х\1Х2-)- •.,
т. е. попросту обозначением переменных интегрирования. Чис-
Число таких перестановок равно п\. Оно сокращает множитель 1/п!
фотоны. Ситуация здесь такая же, как и при вычислении D^u в § 76. В
силу релятивистской и калибровочной инвариантности достаточно доказать
теорему для тех произведений (т. е. компонент тензора @|TAMA^ ... |0)),
которые определяются поперечными частями потенциалов. Тем самым она
будет доказана и для любых произведений.

§ 77	ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ	349
в G7.1), после чего учитывать диаграммы с перестановкой вер-
вершин уже не надо. С этим обстоятельством мы уже сталкивались
в § 73, 74. Так, эквивалентны две диаграммы второго приближе-
ния:
(фАф)(фАф) = (\	/
1 >^Ч	G7-5)
(фАф)(фАф) = {/ X
В G7.4) и G7.5) изображены только внутренние свертки, ко-
которым соответствуют внутренние линии диаграмм (виртуальные
электроны и фотоны). Оставшиеся свободными операторы свер-
свертываются с теми или иными внешними операторами, в резуль-
результате чего устанавливается соответствие между свободными кон-
концами диаграмм и теми или иными начальными и конечными ча-
частицами. При этом ф (свертываясь с операторами aj или bf)
дает линию конечного электрона или начального позитрона, а ф
(свертываясь с а^~ или bf) — начального электрона или конечного
позитрона. Свободный оператор А (свертываясь с с^~ или с/) мо-
может соответствовать как начальному, так и конечному фотонам.
Таким образом, получается по нескольку топологически одина-
одинаковых (т. е. состоящих из одинакового числа одинаково располо-
расположенных линий) диаграмм, отличающихся лишь перестановками
начальных и конечных частиц по входящим и выходящим сво-
свободным концам.
Каждая такая перестановка эквивалентна, очевидно, опреде-
определенной перестановке внешних операторов а, 6, ... в G7.1). Яс-
Ясно поэтому, что если среди начальных или среди конечных ча-
частиц имеются тождественные фермионы, то относительные зна-
знаки диаграмм, различающихся нечетным числом перестановок
свободных концов, должны быть противоположны.
Непрерывающаяся последовательность сплошных линий на
диаграммах составляет электронную линию, вдоль которой
стрелки сохраняют непрерывное направление. Такая линия мо-
может либо иметь два свободных конца, либо образовывать замкну-
замкнутую петлю. Так, диаграмма
имеет петлю с двумя вершинами. Сохранение направления вдоль
электронной линии является графическим выражением сохране-
сохранения заряда: «входящий» в каждую вершину заряд равен «выхо-
«выходящему» из нее заряду.
Расположение биспинорных индексов вдоль непрерывной
электронной линии соответствует записи матриц слева напра-

350	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
во при движении против стрелок. Биспинорные индексы раз-
разных электронных линий никогда не перепутываются. Вдоль неза-
незамкнутой линии последовательность индексов заканчивается у
свободных концов на электронных (или позитронных) волновых
функциях. На замкнутой же петле последовательность индексов
тоже замыкается, т. е. петле соответствует след произведения
расположенных вдоль нее матриц. Легко видеть, что этот след
должен быть взят со знаком минус.
Действительно, петле с к вершинами отвечает совокупность
к сверток
(фАф)(фАф)...(фАф)
(или другая эквивалентная, отличающаяся перестановкой вер-
вершин). В (к — 1)-й свертке операторы фиф уже стоят рядом
в том порядке (ф справа от ф), в котором они должны стоять
в электронном пропагаторе. Операторы же, стоящие по краям,
приводятся в соседство с помощью четного числа перестановок с
другими ^-операторами и после этого оказываются расположен-
расположенными в порядке фф. Поскольку
@\Тф'ф\0) = -@|Т^'|0)
(ср. примеч. на с. 334), то замена этой свертки соответствующим
пропагатором связана с изменением общего знака всего выраже-
выражения.
Переход к импульсному представлению в общем случае про-
производится вполне аналогично тому, как это было сделано в § 73,
74. Наряду с общим законом сохранения 4-импульса должны со-
соблюдаться также «законы сохранения» в каждой вершине. Од-
Однако всех этих законов может оказаться недостаточно для од-
однозначного определения импульсов всех внутренних линий диа-
диаграммы. В таких случаях по всем оставшимся неопределенными
внутренним импульсам остаются интегрирования (по с/4]9/BтгL),
производящиеся по всему ^-пространству (в том числе и по ро от
—оо до +оо).
В изложенных рассуждениях подразумевалось, что роль воз-
возмущения играет взаимодействие между самими частицами, «ак-
«активно» участвующими в реакции (т. е. между частицами, состоя-
состояние которых в результате процесса меняется). Аналогичным об-
образом рассматривается также случай, когда в задаче фигурирует
внешнее электромагнитное поле, т. е. поле, создаваемое «пассив-
«пассивными» частицами, состояние которых при данном процессе не
меняется.
Пусть А^е\х) — 4-потенциал внешнего поля. Он входит в лаг-
лагранжиан взаимодействия вместе с фотонным оператором А в

§ 77	ОБЩИЕ ПРАВИЛА ДИАГРАММНОЙ ТЕХНИКИ	351
виде суммы А + А^ (которая и перемножается с оператором
тока j). Поскольку А^ не содержит никаких операторов, он не
может образовывать сверток с другими операторами. Иначе го-
говоря, внешнему полю будут соответствовать в диаграммах Фейн-
мана лишь внешние линии.
Представим А^ в виде интеграла Фурье:
\	G7.6)
A^\q) = / A^(x)eiqxd4x.
В выражениях для матричных элементов в импульсном пред-
представлении 4-вектор q будет фигурировать наряду с 4-импуль-
сами других внешних линий, отвечающих реальным частицам.
Каждой такой линии внешнего поля сопоставляется множитель
A^e\qI причем линию надо рассматривать как «входящую» —в
соответствии со знаком показателя в множителе e~iqx, с кото-
которым A^e\q) входит в интеграл Фурье («выходящей» же линии
надо было бы сопоставить множитель A^e^(q)). Если при этом
окажется, что закон сохранения 4-импульса не фиксирует (при
заданных 4-импульсах всех реальных частиц) однозначным об-
образом 4-импульсы всех линий внешнего поля, то по остающим-
остающимся «свободными» q производится интегрирование (по с/4д/BтгL),
как и по всем другим не фиксированным 4-импульсам линий
диаграммы.
Если внешнее поле не зависит от времени, то
(A),	G7.7)
где А^е; (q) —трехмерная компонента Фурье:
A^{q)= f A^(r)e~icird3x.	G7.8)
В этом случае внешней линии сопоставляется множитель А^ (q)
и ей приписывается 4-импульс q^ = @, q); энергии электронных
линий, пересекающихся (вместе с линией поля) в вершине, при
этом одинаковы в силу закона сохранения. По всем остающимся
нефиксированными трехмерным импульсам р внутренних линий
должно производиться интегрирование по сРр/Bтг)^. Вычислен-
Вычисленная таким образом амплитуда Mfi определяет, например, сече-
сечение рассеяния F4.25).
Дадим сводку окончательных правил диаграммной техники,
по которым составляется выражение для амплитуды рассеяния
(точнее — выражение для iMfj) в импульсном представлении.

352	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
1.	Приближению п-го порядка теории возмущений отвечают
диаграммы с п вершинами, в каждой из которых сходятся од-
одна входящая и одна выходящая электронные (сплошные) и одна
фотонная (штриховая) линии. В амплитуду процесса рассеяния
входят все диаграммы, имеющие свободные концы (внешние ли-
линии) в числе, равном числу начальных, и конечных частиц.
2.	Каждой внешней входящей сплошной линии сопоставляет-
сопоставляется амплитуда начального электрона и(р) или конечного позитро-
позитрона и(—р) (р — 4-импульс частицы). Каждой выходящей сплош-
сплошной линии сопоставляется амплитуда конечного электрона п(р)
или начального позитрона п(—р).
3.	Каждой вершине сопоставляется 4-вектор —iej^.
4.	Каждой внешней входящей штриховой линии сопоставля-
сопоставляется амплитуда начального фотона уАке^, а выходящей линии —
амплитуда л/4тге* конечного фотона (е —4-вектор поляризации).
Векторный индекс \i совпадает с индексом матрицы 7^ в соответ-
соответствующей вершине (так что возникает скалярное произведение
7е или 7е*)-
5.	Каждой внутренней сплошной линии сопоставляется мно-
множитель iG(p), а внутренней штриховой линия — множитель —
—iDfjLy{p). Тензорные индексы /j,v совпадают с индексами матриц
7^, 7^ в вершинах, соединяемых штриховой линией.
6.	Вдоль каждой непрерывной последовательности электрон-
электронных линии стрелки имеют неизменное направление, а расположе-
расположение биспинорных индексов вдоль них соответствует записи ма-
матриц слева направо при движении против стрелок. Замкнутой
электронной петле отвечает след произведения расположенных
вдоль нее матриц.
7.	В каждой вершине 4-импульсы пересекающихся в ней ли-
линий удовлетворяют закону сохранения, т. е. сумма импульсов
входящих линий равна сумме импульсов выходящих линий. Им-
Импульсы свободных концов — заданные (с соблюдением общего за-
закона сохранения) величины, причем позитронной линии припи-
приписывается импульс —р. По импульсам внутренних линий, оста-
остающимся нефиксированными после учета законов сохранения во
всех вершинах, производится интегрирование (по с/4]9/BтгL).
8.	Входящему свободному концу, отвечающему внешнему по-
полю, сопоставляется множитель A^(q); 4-вектор q связан с 4-им-
пульсами других линий законом сохранения в вершине. Если
поле не зависит от времени, свободному концу сопоставляется
множитель A(e)(q), а по остающимся нефиксированными трех-
трехмерным импульсам внутренних линий производится интегриро-
интегрирование по сРр/BтгK.

§ 78	ПЕРЕКРЕСТНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ	353
9. Дополнительный множитель — 1 привносится в выражение
для iMfi каждой замкнутой электронной петлей в диаграмме и
каждой парой позитронных внешних концов, если эти концы —
начало и конец одной последовательности сплошных линий. Если
среди начальных или среди конечных частиц имеется несколько
электронов или позитронов, то относительный знак диаграмм,
различающихся нечетным числом перестановок пар тождествен-
тождественных частиц (т. е. соответствующих им внешних концов), должен
быть противоположным.
Для уточнения последнего правила добавим, что одинако-
одинаковыми знаками должны во всяком случае обладать диаграммы
с одинаковыми сплошными линиями, т. е. диаграммы, которые
оказались бы тождественными после снятия с них всех фотон-
фотонных линий. Напомним также, что при наличии тождественных
фермионов общий знак амплитуды условен.
§ 78. Перекрестная инвариантность
Представление амплитуд рассеяния Mfi интегралами Фейн-
мана обнаруживает их замечательную симметрию, состоящую в
следующем.
Любую из входящих внешних линий диаграммы Фейнмана
можно рассматривать (без изменения ее направления) как части-
частицу в начальном или античастицу в конечном состоянии, а каж-
каждую выходящую линию — как конечную частицу или начальную
античастицу. Одновременно с переходом от частицы к антича-
античастице меняется также и смысл приписываемого линии 4-импуль-
сар: р = рэ для частицы (скажем, электрона) ар = — ри для пози-
позитрона. Меняется также и приписываемая частице поляризация.
Поскольку входящей внешней линии должна сопоставляться вол-
волновая амплитуда и, а выходящей и* — для электрона и = иЭ1 а
для позитрона и = гл*. Но переход от и к и* означает изменение
знака проекции спина частицы (или ее спиральности).
Для фотона, как истинно нейтральной частицы, изменение
смысла внешней линии означает просто переход от испускания
фотона к его поглощению или наоборот: внешняя фотонная ли-
линия с импульсом к отвечает либо поглощению фотона с импуль-
импульсом /сдогл = ^5 либо испусканию фотона с импульсом /сисп = — к
и с противоположным знаком спиральности.
Такое изменение смысла внешних линий эквивалентно пере-
переходу от одного перекрестного канала реакции к другим каналам.
Отсюда следует, что одна и та же амплитуда как функция им-
импульсов свободных концов диаграмм описывает все каналы ре-
12 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

354	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
акции г) . В зависимости от канала меняется лишь смысл аргу-
аргументов функции: при переходе от частицы к античастице заме-
заменяется pi —>> — pf, где pi — 4-импульс начальной (в одном канале),
a pf — 4-импульс конечной (в другом канале) частицы. Об этом
свойстве амплитуды рассеяния говорят как о перекрестной сим-
метрии, или перекрестной инвариантности.
В терминах введенных в § 70 инвариантных амплитуд, функ-
функций кинематических инвариантов, можно сказать, что эти функ-
функции будут одни и те же для всех каналов, но для каждого канала
их аргументы пробегают значения в своей физической области.
Другими словами, интегралы Фейнмана определяют инвариант-
инвариантные амплитуды как аналитические функции; их значения в раз-
разных физических областях являются аналитическим продолже-
продолжением функции, заданной в одной из областей. Так как подын-
подынтегральные выражения интегралов Фейнмана содержат особен-
особенности, то и инвариантные амплитуды имеют особенности, опре-
определяемые из выражений для этих интегралов (с учетом прави-
правила обхода полюсов). Если инвариантные амплитуды вычислены
для какого-либо канала по интегралам Фейнмана, то и их ана-
аналитическое продолжение к другим каналам будет автоматически
учитывать эти особенности.
Подчеркнем, что перекрестная инвариантность есть нечто
большее, чем свойства матрицы рассеяния, вытекающие из об-
общих требований пространственно-временной симметрии. Послед-
Последние требуют равенства амплитуд процессов, получающихся друг
из друга перестановкой начального и конечного состояний с за-
заменой всех частиц античастицами (при неизменных импульсах
р всех частиц и измененных по знаку проекциях их моментов).
Это — требование СРТ-инвариантности 2) . Перекрестная же ин-
инвариантность позволяет делать такое преобразование не только
для всех частиц сразу, но и для любой частицы в отдельности.
§ 79. Виртуальные частицы
Внутренние линии диаграмм Фейнмана играют в инвариант-
инвариантной теории возмущений роль, аналогичную роли промежуточ-
промежуточных состояний в «обычной» теории. Характер этих состояний,
однако, в обеих теориях различен. В обычной теории в промежу-
промежуточных состояниях сохраняется импульс (трехмерный), но не со-
) Если тот или иной канал запрещен сохранением 4-импульса, то вероят-
вероятность перехода автоматически обращается в нуль ^-функцией, фигурирую-
фигурирующей в F4.5) в качестве общего множителя.
) Обратим внимание на то, что формальное описание перехода от одной
из указанных реакций к другой путем изменения знака всех 4-импульсов на
диаграммах Фейнмана отвечает смыслу операции СРТ как 4-инверсии.

§ 79	ВИРТУАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ	355
храняется энергия; в этом смысле о них говорят как о виртуаль-
виртуальных состояниях. В инвариантной же теории импульс и энергия
входят равноправно: в промежуточных состояниях сохраняют-
сохраняются все компоненты 4-импульса (результат того, что в элементах
S-матрицы интегрирование производится и по координатам, и
по времени, чем достигается инвариантность теории). При этом,
однако, в промежуточных состояниях нарушается присущая ре-
реальным частицам связь между энергией и импульсом (выражае-
(выражаемая равенством р2 = т2). В этом смысле говорят о промежуточ-
промежуточных виртуальных частицах. Соотношение между импульсом и
энергией виртуальной частицы произвольно — оно такое, какое
требуется сохранением 4-импульса в вершинах.
Рассмотрим некоторую диаграмму, состоящую из двух частей
(/ и //), соединенных одной линией. Не интересуясь внутренней
структурой этих частей, представим диаграмму схематически в
виде
G9.1)
(изображенные линии могут быть как сплошными, так и штри-
штриховыми). В силу общего закона сохранения, суммы 4-импульсов
внешних линий частей I и II одинаковы; в силу сохранения в
каждой вершине — этой же величине будет равен и 4-импульс р
внутренней линии, соединяющей части / и II. Другими слова-
словами, этот импульс однозначно определен, так что в матричном
элементе по нему не производится интегрирования.
В зависимости от канала реакции квадрат р2 может быть как
положителен, так и отрицателен. Всегда существует такой ка-
канал, в котором р2 > 0 :) . Тогда виртуальная частица по своим
формальным свойствам становится вполне аналогичной реаль-
реальной частице с вещественной массой М = \/р2. Для нее можно
ввести систему покоя, можно определить ее спин и т. п.
Фотонный пропагатор G6.11) по своей тензорной структуре
совпадает с матрицей плотности неполяризованной частицы со
спином 1 и отличной от нуля массой:
о
(см. A4.15)). С другой стороны, пропагатор (как величина, сос-
составленная квадратично из операторов поля) играет для вирту-
виртуальной частицы роль, аналогичную роли матрицы плотности ре-
реальной частицы. Поэтому виртуальному фотону надо приписать,
х) Таков, например, канал (если он допустим энергетически), в котором все
свободные концы части / соответствуют начальным, а части // — конечным
частицам. Тогда р = Pi (сумма 4-импульсов всех начальных частиц), и в
системе центра инерции р = (Р/3, 0), так что р2 > 0.
12*

356	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	ГЛ. VIII
как и реальному, спин 1. Однако в отличие от реального фотона
с его двумя независимыми поляризациями — виртуальный фотон
как «частица» конечной массы может иметь все три поляриза-
поляризации.
Функция распространения электрона
G ex jp + т.
Здесь т — масса реального электрона, между тем как «масса»
виртуальной частицы М = ур2. Написав
М + т, . л,\ . М- гп
1Р + т = ~1пГ^р + ^ + ~ш
мы видим, что первый член отвечает матрице плотности частицы
с массой М и спином 1/2, а второй член — матрице плотности
такой же «античастицы» (ср. B9.10) и B9.17)). Вспомнив, что
частица и античастица имеют различные внутренние четности
(см. § 27), придем к выводу, что виртуальному электрону надо
приписать тот же спин !/2, но нельзя приписать определенной
четности.
Характерная особенность диаграммы G9.1) состоит в том,
что ее можно рассечь на две не связанные друг с другом части,
пересекая при этом всего одну внутреннюю линию х) . Эта линия
соответствует в таком случае одночастичному промежуточному,
состоянию — состоянию с всего одной виртуальной частицей. Ам-
Амплитуда рассеяния, соответствующая такой диаграмме, содер-
содержит характерный (не подвергающийся интегрированию!) мно-
множитель
р2 - т2 + гО
происходящий от внутренней линии р (причем т — масса элек-
электрона, если линия электронная, или т = 0, если линия фотон-
фотонная). Другими словами, амплитуда рассеяния имеет полюс при
тех значениях р, при которых виртуальная частица стала бы фи-
физической [р2 = т2). Эта ситуация аналогична тому, как в нере-
нерелятивистской квантовой механике амплитуда рассеяния имеет
полюсы при значениях энергии, отвечающих связанным состоя-
состояниям системы сталкивающихся частиц (см. III, § 128).
Рассмотрим диаграмму G9.1) для того канала реакции, в ко-
котором все правые свободные концы отвечают начальным, а все
левые — конечным частицам; при этом р2 > 0. Тогда можно ска-
сказать, что в промежуточном состоянии система начальных частиц
превращается в одну виртуальную. Это возможно, лишь если та-
такое превращение не противоречит необходимым законам сохра-
сохранения (без учета сохранения 4-импульса): сохранению момента,
1) Этим свойством обладают диаграммы почти всех процессов в первом
неисчезающем приближении.

§ 79	ВИРТУАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ	357
заряда, зарядовой четности и т. п. В этом и заключается необхо-
необходимое условие появления, как говорят, полюсных диаграмм. При-
Присутствуя для одного из каналов, такие диаграммы тем самым бу-
будут в силу кросс-инвариантности существовать и для остальных
каналов реакции.
Например, указанные законы сохранения не препятствуют
возникновению виртуального электрона согласно е + 7 —> е. Эта
возможность отвечает полюсу амплитуды комптон-эффекта (а
тем самым и другого канала этой реакции — двухфотонной анни-
аннигиляции электронной пары). Возникновение виртуального фото-
фотона, согласно е~ +е+ —>> 7, отвечает полюсу амплитуды рассеяния
электрона на позитроне, а тем самым и электрона на электроне.
Из двух же фотонов не может получиться ни виртуального элек-
электрона, ни виртуального фотона (превращение 7 + 7 ~> е запре-
запрещено сохранением заряда и момента, а превращение 7 + 7 ~> 7 ~~
сохранением зарядовой четности). В соответствии с этим ампли-
амплитуда рассеяния фотона на фотоне не может содержать полюсных
диаграмм.
Происхождение полюсных особенностей амплитуд рассеяния,
за которым мы проследили, исходя из интегралов Фейнмана,
имеет в действительности более общий характер, не связанный с
теорией возмущений. Покажем, что эти особенности возникают
уже как следствие условия унитарности G1.2).
Предположим, что среди фигурирующих в G1.2) промежу-
промежуточных состояний п есть одночастичное. Вклад этого состояния:
= B7г)
А
где р и А — 4-импульс и спиральность промежуточной части-
частицы. Интегрирование по d3p заменим интегрированием по d^p (по
области р° = е > 0) согласно
dsp -> 2е6(р2 - M2)dAp
(М — масса промежуточной частицы). Интегрирование устраня-
устраняет E-функцию 5^{Pf — р); перейдя затем от амплитуд Tji к ам-
амплитудам Mfi согласно F4.10), найдем
(М/г - М^)(") = 2т6(р2 - М2) Y, MfnM*n.	G9.3)
А
Предполагая Т- и Р-инвариантность, будем иметь (с точностью
до фазового множителя) М^ = Mj/^, где состояния i7, f от-
отличаются от г, / лишь знаком спиральностей частиц (при тех
же импульсах). Взяв сумму равенств G9.3) и такого же для
Mfit — M*,n,, получим
)	2 - M2)R,	G9.4)

358	ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ	Г
где обозначено
Mfi = Mfi + Mri4 R = - ^(MfnM*n + МГпМ*,п).
Отсюда и следует, что М ^ как аналитическая функция от р2 =
= р? = р^ имеет полюс при р2 = М2. Согласно G5.18) имеем
для полюсной части
-т-^(одноч)	R	/^Л г\
М*л =	.	G9.5)
11	р2 - М2 + гО	v J
Реальные переходы в одночастичное состояние возможны только
при значении Р2 = Р? равном М2. Таким образом, мы действи-
действительно получили структуру амплитуды рассеяния, отвечающую
диаграмме вида G9.1).
Наконец, остановимся на важном свойстве диаграмм, содер-
содержащих замкнутые электронные петли. Это свойство можно лег-
легко получить путем применения к виртуальному фотону поня-
понятия зарядовой четности: виртуальному фотону, как и реально-
реальному, надо приписать определенную (отрицательную) зарядовую
четность х) .
Если некоторая диаграмма содержит замкнутую петлю (с
числом вершин N > 2), то наряду с этой диаграммой в ампли-
амплитуде рассматриваемого процесса должна фигурировать также и
другая диаграмма, отличающаяся от первой лишь направлением
обхода петли (при N = 2 понятие направления обхода, очевид-
очевидно, не имеет смысла). «Вырежем» эти петли по идущим к ним
штриховым линиям. Мы получим тогда две петли Пт и Пд:
G9.6)
которые можно рассматривать как диаграммы, определяющие
амплитуду процесса превращения одной совокупности фотонов
(реальных или виртуальных) в другую: число N есть при этом
сумма чисел начальных и конечных фотонов. Но сохранение за-
зарядовой четности запрещает превращение четного числа фото-
фотонов в нечетное. Поэтому при нечетном N сумма выражений, со-
соответствующих петлям G9.6), должна обратиться в нуль. Обра-
Обращается, следовательно, в нуль также и суммарный вклад в ам-
амплитуду рассеяния двух диаграмм, содержащих эти петли в ка-
1) Это следует из тех же соображений о действующем в каждой вершине
операторе электромагнитного взаимодействия, которые были указаны в § 13
для реального фотона.

§ 79	ВИРТУАЛЬНЫЕ ЧАСТИЦЫ	359
честве своих составных частей (так называемая теорема Фаррщ
W. H. Furry, 1937).
Таким образом, при составлении амплитуды какого-либо про-
процесса можно вовсе не рассматривать диаграмм, содержащих пет-
петли с нечетным числом вершин.
Проследим более детально за происхождением указанного
взаимного сокращения диаграмм. Замкнутой электронной петле
отвечает выражение (при заданных импульсах фотонных линий
dAp ¦ SV[{1el)G{p){1e2)G{p + кг)... ],	G9.7)
I
где р, р + fci, ... —импульсы электронных линий (остающиеся
не вполне определенными после учета законов сохранения в вер-
вершинах). Произведем над всеми матрицами ^ ж G операцию за-
зарядового сопряжения, т. е. заменим их на Uq J^Uc и Uq GUc-
Выражение G9.7) при этом не изменится, так как след произве-
произведения матриц инвариантен относительно такого преобразования.
С другой стороны, согласно B6.3),
e	G9.8)
а потому
l	fi±? G{-p).	G9.9)
fi? {p)
р2 — т2
Но замена G(p) транспонированной матрицей с измененным зна-
знаком у р означает, очевидно, изменение направления обхода петли,
в которой направление всех стрелок заменяется обратным. Дру-
Другими словами, произведенное преобразование превращает одну
петлю в другую, причем появляется множитель (—1)^, происхо-
происходящий от замены G9.8) в каждой вершине. Таким образом,
IIi = (-1)*ПП,	G9.10)
т. е. вклады обеих петель одинаковы при четном и противопо-
противоположны по знаку при нечетном числе вершин.

ГЛАВА IX
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
§ 80. Рассеяние электрона во внешнем поле
Упругое рассеяние электрона в постоянном внешнем поле
представляет собой простейший процесс, существующий уже в
первом приближении теории возмущений (первое борновское
приближение). Ему отвечает диаграмма с одной вершиной
(80.1)
где р и р' — начальный и конечный 4-импульсы электрона, a q =
= р — р. Поскольку энергия электрона при рассеянии в постоян-
постоянном поле сохраняется (е = ?7), то q = @, q) x) .
Соответствующая амплитуда рассеяния
}	(p),	(80.2)
где А^ (q) — компонента пространственного разложения Фурье
внешнего поля. Сечение рассеяния, согласно F4.26),
da = \Mfi\2dof.	(80.3)
16тг2
Для электростатического поля А^ = (щ\ 0), так что
В нерелятивистском случае биспинорные амплитуды плоских
волн и(р) сводятся к нерелятивистским (двухкомпонентным) ам-
амплитудам. Для рассеяния без изменения поляризации это —не
зависящая от р величина, причем в силу принятого нами усло-
условия нормировки и*и = 2т. Учитывая это, получаем
2
da =
2тг
) В случае внешнего поля такая диаграмма не запрещается, конечно, за-
законом сохранения 4-импульса (как это было в диаграмме G3.19) с реальным
фотоном): квадрат q2, в отличие от квадрата 4-импульса реального фотона,
не должен быть равен нулю; из интеграла Фурье, представляющего внешнее
поле, автоматически выбирается компонента с нужным q.

§ 80	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	361
где f7(q) = eA$ (q) —компонента Фурье потенциальной энергии
электрона в поле; это выражение совпадает с известной форму-
формулой Борна (III, A26.7)).
В общем релятивистском случае сечение рассеяния неполя-
ризованных электронов получается усреднением квадрата |М^|2
по начальным и суммированием по конечным поляризациям, т. е.
путем образования величины
2 ^
поляр
где суммирование производится по направлениям спина началь-
начального и конечного электронов; множитель 1 /2 превращает одно из
этих суммирований в усреднение. По изложенным в § 65 прави-
правилам получим
1
2
поляр
Для вычисления следа замечаем, что 7° G^O° = 7PS гДе Р =
= (б, —р), и потому
4	4
= т2 + р'р = е2 + т2 + рр7 = 2б2 - q2/2.
Отсюда сечение
Для поля, создаваемого статическим распределенном зарядов
с плотностью р(г), имеем
4e)(q) = ^,	(80.6)
где p(q) — фурье-образ распределения р(г) (формфактор). В ча-
частности, для кулонова поля точечного заряда Ze имеем: p(q) =
= Ze. Тогда сечение рассеяния
(i)	(80.7)
(N. F. Mott, 1929). Квадрат
q2 = 4p2sin2@/2),

362	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ	ГЛ. IX
где в — угол рассеяния. Поэтому выражение перед скобкой по
своей угловой зависимости может быть названо резерфордов-
ским сечением:
с/сгрез = do——j— = do—	-4— sm -	(80.8)
(в нерелятивистском пределе коэффициент ?2/р4 —>> 1/(ггг2/г;4)).
Таким образом х) ,
da = ^стрез (l - v2 sin2 -).	(80.9)
Отметим, что в ультрарелятивистском случае угловое распре-
распределение отличается от нерелятивистского сильным подавлением
рассеяния назад (при в —>> тг: da/dape3 —>> т2 /е2).
В ультрарелятивистском случае для рассеяния на малые углы
(80.7) дает
da = ^f^do'.	(80.10)
Хотя эту формулу мы получили в борновском приближении (т. е.
предполагая Ze2 <^ 1), она, тем не менее, остается справедливой
(для углов в ^ т/е) также и при Ze2 ~ 1. В этом можно убе-
убедиться с помощью ультрарелятивистской точной (по Ze2) вол-
волновой функции фер C9.10). Это решение, справедливое в обла-
области C9.2), остается, конечно, справедливым и в асимптотической
области сколь угодно больших г. Здесь
F ос 1 + const • е^рг~рг\ ^^ - 1 - cos в - в2 < 1,
?
так что поправочный член остается, как и следовало ожидать,
малым. Волновая же функция вида etprF, совпадая по форме
с нерелятивистской функцией (с очевидным изменением пара-
параметров), имеет тот же асимптотический вид, а поэтому и для
сечения получается резерфордовское выражение.
Для вычисления сечения рассеяния произвольно поляризо-
поляризованных электронов можно было бы воспользоваться по общим
правилам матрицей плотности B9.13). В данном случае, однако,
1) Выражаемое этой формулой отличие da от dape3 специфично для ча-
частиц со спином !/2- Для рассеяния частиц со спином 0 (если бы их движение
в электромагнитном поле описывалось волновым уравнением) получилось
бы da = dape3- На первый взгляд кажется странным, что выражающий этот
чисто квантовый эффект множитель не содержит h. Надо, однако, помнить,
что условие применимости борновского приближения (е2/(hv) <C 1) проти-
противоположно условию квазиклассичности для движения в кулоновом поле и
поэтому переход к классическому случаю в формуле (80.9) невозможен.

§ 80	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	363
можно получить результат менее громоздким способом, предста-
представив биспинорные амплитуды и(р') и и(р) в виде B3.9); перемно-
перемножив их, получим
и*(р')и(р) = w'* {е + т + (е — m)(nfa)(ncr)}w,
или, воспользовавшись формулой C3.5),
и*(р')и(р) = w'*fw,	(80.11)
где г)	^
f = А + Bvci,
А = (е + т) + (е - m)cos#, Б = —i(e - m)sin6>, (80.12)
[nn']
sin в
Двухкомпонентная величина C-спинор) w представляет со-
собой нерелятивистскую спиновую волновую функцию электрона.
Переход к частично поляризованным состояниям осуществляет-
осуществляется поэтому заменой произведений waw*o (a, /3 — спинорные ин-
индексы) нерелятивистской двухрядной матрицей плотности рар.
Таким образом, надо заменить
\Mfi\2 -> e2\A(oe\q)\2 Spp(A - Ви(т)р'{А + Вист),
где
р= 1(
а ^ и ^' — векторы начальной и конечной поляризации, выделя-
выделяемой детектором. Вычисление следа приводит к результату
da = dao{l + ^ ~ 1да')^ + ^'^g^ + 2AW»W у (8ОЛЗ)
где с/сго —сечение рассеяния неполяризованных электронов.
Представив фигурную скобку в (80.13) в виде {1 + С С}'
найдем поляризацию конечного электрона как такового (в от-
отличие от детектируемой поляризации ?' — см. § 65 ) 2) :
Mf) = (А2-|Б2|)С
Мы видим, что рассеянные электроны поляризованы, лишь ес-
если поляризованы падающие электроны. Это обстоятельство —
общее свойство первого борновского приближения (ср. III, § 140).
) Определения / здесь и в § 37, § 38 различаются общим множителем.
) Формула (80.14) отвечает формуле, найденной в задаче 1, (см. т. III,
140) и получается из нее при вещественном А и мнимом В.

364	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ	ГЛ. IX
В нерелятивистском случае (е —>• га) из (80.14) получается
С = С T- е- электрон сохраняет при рассеянии свою поляриза-
поляризацию (естественное следствие пренебрежения спин-орбитальным
взаимодействием).
В обратном, ультрарелятивистском, случае имеем
А = еA +cos#), В = -ies'mO
(в соответствии с общей формулой C8.2)).
Если при этом падающий электрон имеет определенную спи-
ральность (? = 2Ап, А = i1/^), т0 из (80.14) получается после
простого приведения
С(/) = 2Ап'.
Другими словами, после рассеяния электрон остается спираль-
спиральным, сохраняя прежние значение (А) спиральности.
Это свойство, как уже было объяснено в § 38, связано с тем,
что при пренебрежении массой уравнение Дирака в спинорном
представлении распадается на два независимых уравнения для
функций ? и г/. Этот результат имеет и более общее значение,
поскольку ток
а с ним и оператор электромагнитного возмущения V = ejA, не
содержат смешанных по ? и г/ членов, а потому не имеют матрич-
матричных элементов для переходов между ?- и //-состояниями. Отсюда
следует, что если ультрарелятивистский электрон обладает опре-
определенной спиральностью (т. е. отлично от нуля либо ?, либо г/), то
в процессах взаимодействия эта спиральность будет сохранять-
сохраняться в приближении, отвечающем полному пренебрежению массой
электрона.
§ 81. Рассеяние электронов и позитронов на электроне
Рассмотрим рассеяние электрона на электроне: два электрона
с 4-импульсами pi, р2 сталкиваются, приобретая 4-импульсы р\',
Р2 . Сохранение 4-импульса выражается равенством
Pl+P2=Pl+P2-	(81.1)
Ниже мы будем пользоваться введенными в § 66 кинематически-
кинематическими инвариантами, определенными согласно
s = (Р1 +р2J = 2(ш2
и = (р! -p'2f = 2(m2 -pip'2),
s + t + u = Am2.

§ 81	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ НА ЭЛЕКТРОНЕ	365
Рассматриваемый процесс изображается двумя диаграммами
Фейнмана G3.13), G3.14), и его амплитуда равна :)
Mfi = 4тге2{1(^7^2)К7^1) " ;Кт^2)(^1)}. (81.3)
Согласно указанным в § 65 правилам для состояний началь-
начальных и конечных частиц, описывающихся поляризационными ма-
матрицами плотности pi, pi/,... , заменяем
1\2
\М}1
(81-4)
Для рассеяния неполяризованных электронов (не интересу-
интересуясь при этом их поляризацией после рассеяния) мы должны по-
положить для всех матриц плотности р = 1/2(/ур + га), умножив
результат на 2 • 2 = 4 (усреднение по поляризациям двух на-
начальных и суммирование по поляризациям двух конечных элек-
электронов). Сечение рассеяния определяется формулой F4.23), в
которой надо положить, согласно F4.15а), I2 = 1/as(s — 4m2).
Представим сечение в виде
da = dts(s4*em2){f(t, и) + g(t, и) + f(u, t) + g(u, t)},
+ raOI/], (81.5)
В /(t, i/) сначала вычисляются следы (с помощью B2.9), B2.10)),
а затем производится суммирование по /i и v 2) ; в g(t, гл) сначала
производится суммирование по /i и z/ (с помощью формул B2.6)).
:) Этот вид М/г находится в соответствии с общим выражением G0.5). В
первом не исчезающем приближении теории возмущений из пяти инвари-
инвариантных амплитуд отлична от нуля только одна: fs(t,u) = 4тте2/t.
2) Отметим для будущих ссылок формулу
(m2 -

366	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
В результате получим
/(*, и) = ?[(piP2J + (Р1РгJ + 2m2(m2 -pipi)],
) ^
tu
или, выразив функции / и g через инварианты (81.2),
/	w	ч	(8L6)
g(t, и) = g(u, t) = fu (j - m2) ( s- - 3m2).
Таким образом, сечение
, 2 4:7rm2dt A \s2+u2 . „ 2/,	2\1 ,
da = rp	{ — 	+ Am it — m )\ +
+ J_ [?l±*! + 4m2(ti - m2)! + ± f ? - m2) (s- - 3m2) }, (81.7)
где re = e2/m.
Применим эту формулу в системе центра инерции. Здесь
s = 4б2, t = -4p2 sin2 -, и = -4р2 cos2 -,
2	2	(81.8)
—rft = — 2р dcos6 = — do
7Г
(|р|, ? — величина импульса и энергия электронов, не меняющи-
меняющиеся при рассеянии; в — угол рассеяния). В нерелятивистском слу-
случае (б « га) :) получим
2 тгш4^
Р2
/1.1	1 \
— + — - — =
Vt2 и2 tu)
cos4 - smz - cos2 - /
2	2	27
4A + 3 cos2 6>) , /	ч /О1 пч
	^^	^rfo H' P-) 81'9
(где v = 2p/ra — относительная скорость электронов) что на-
находится в согласии с нерелятивистской теорией (см. III, § 137).
В общем случае произвольных скоростей формула (81.7) после
*) Скорость v предполагается малой (v <^ 1), но такой, чтобы все еще вы-
выполнялось условие применимости теории возмущений: е /f(= e /(Hv)) <C 1.

§ 81	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ НА ЭЛЕКТРОНЕ	367
подстановки (81.8) и простых преобразований может быть при-
приведена к виду
22 22 4	3 .	2 2
,	2m(s + P)
(81.10)
(СЛ. Мoiler, 1932). В ультрарелятивистском случае (р2 « ?2)
,	2Ш2 C + COS26>J , /	ч	(ол лл\
da = rp— -	-——do (у. р.)-	(81.11)
е2 4 sin4 0
В лабораторной системе отсчета, в которой один из электро-
электронов (скажем, второй) до столкновения покоился, выразим сече-
сечение через величину
т	т
— энергию (в единицах га), переданную налетающим (первым)
электроном второму *) . Инварианты
s = 2га(га + ei), t = -2ra2A,
и = — 2га(б1 — т — гаД).
Подстановка этих выраж:ений в (81.7) приводит к следующей
формуле для распределения по энергиям вторичных электронов
(или, как говорят, 6-электронов), возникающих при рассеянии
быстрых первичных электронов:
da = 2nrl^\ fr-1^ - 2^ + 2^1 + l}, (81.14)
е21\Д2A_ДJ	ДG-1-Д)	J'	V	J
где 7 — ?i/rn] т/\ и 777,G ~ 1 ~ Д) —кинетические энергии двух
электронов после столкновения; тож:дественность обеих частиц
проявляется здесь в симметрии формулы по отношению к этим
величинам. Если условиться называть электроном отдачи тот из
них, который имеет меньшую энергию, то Д будет пробегать зна-
значения от 0 до G—1)/2. При малых Д формула (81.14) принимает
вид
da = 2тгг^^—-— = —^ —, Д < 7 - 1-	81.15
7 I A	vi ^
Отметим, что эта формула, выраженная через скорость налетаю-
налетающего электрона (v\ = |pi|/ei), сохраняет свой вид при переходе
к нерелятивистскому случаю. Естественно поэтому, что она по
форме совпадает с результатом нерелятивистской теории (ср. III,
A48.17)).
1) Кинематические соотношения для упругих столкновений в различных
системах отсчета см. в т. II, § 13.

368	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ	ГЛ. IX
Рассмотрим теперь рассеяние позитрона на электроне
(Н. Bhabha, 1936). Это —другой кросс-канал той же обобщен-
обобщенной реакции, к которой относится рассеяние электрона на элек-
электроне. Если р_, р_|_ —начальные, а р'_, рг_^_ — конечные импульсы
электрона и позитрона, то переход от одного случая к другому
осуществляется заменой
Pi -+ -У+> Р2^Р-, р[ -+ -Р+, Р2 -+ Р--
При этом кинематические инварианты (81.2) приобретают сле-
следующий смысл:
s = (p_-pVJ, t=(p+-p'+J, u = {p.-p+J. (81.16)
Если ее-рассеяние было «s-каналом, то ёе-рассеяние есть гл-ка-
нал реакции. Квадрат амплитуды рассеяния, выраженный через
s, ?, гл, остается прежним, а в знаменателе формулы (81.5) надо
заменить s —> и. Таким образом, для сечения рассеяния позитро-
позитрона на электроне получим вместо (81.7)
7 2 4:7rm2dt f I \s2 + и2 . А 2 и	2\1 ,
da = rp	{ — 	+4m (t — т )\ +
+ J- f?l±*l + 4m2(ti - m2)! +Ц8-- m2) (s- - 3m2) ). (81.17)
В системе центра инерции значения инвариантов s, t, и от-
отличаются от (81.8) перестановкой s и и:
s = -Ар2 cos2 -, t = -4p2 sin2 -, u = 4б2.	(81.18)
В нерелятивистском пределе формула (81.17) сводится к фор-
формуле Резерфорда
(J^ (н-р-)'	(81Л9)
где v = 2p/m. Она получается из первого члена в фигурных
скобках в (81.17), происходящего от диаграммы «рассеиватель-
ного» типа (см. § 73). Вклады же от «аннигиляционной» диа-
диаграммы (второй член в (81.17)) и от ее интерференции с рассе-
ивательной диаграммой (третий член) в нерелятивистском пре-
пределе обращаются в нуль :) .
В общем случае произвольных скоростей вклады всех трех
членов в (81.17)—одного порядка величины (лишь в области
1) Переход к нерелятивистскому пределу в рассеивательном и аннигиля-
ционном членах амплитуды рассеяния — см. ниже (83.4) и (83.20). Анниги-
ляционный член (83.20) содержит множитель 1/с2 и потому обращается в
этом пределе в нуль.

§ 81	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ НА ЭЛЕКТРОНЕ	369
малых углов первый член преобладает благодаря множителю
?~2 ос sin @/2). После приведения подобных членов можно пред-
представить сечение рассеяния позитрона на электроне (в системе
центра инерции) в виде
,	, re2m2f(s2+p2J I	8e4-m4 1
da = do-i — < ±^
16 s2 [ p2 sin4((9/2)	p2s2 sin2((9/2)
12g4 + m4 _ 4p2(g2+p2) . 2 0 , 4|И -2 0 1 /gj 2Q)
s4	s4	2 s4 2J' V ' У
Симметрия по отношению к замене в —>> тг — 0, характерная
для рассеяния тождественных частиц, при рассеянии позитрона
на электроне, разумеется, отсутствует. В ультрарелятивистском
пределе выражение (81.20) отличается от электрон-электронного
сечения лишь множителем cos4 @/2):
daee = cos4 -daee (у. р.).	(81.21)
В лабораторной системе отсчета, в которой одна из частиц
(скажем, электрон) до столкновения покоилась, снова вводим ве-
величину
д = g+ - е'+ = g-~m^	(81.22)
т	т
т. е. энергию, передаваемую позитроном электрону. Аналогично
(81.13) имеем теперь
s = — 2т(е+ — т — тА), t = —2т2 А, и = 2т(т + ?+).
Подставив эти выражения в (81.17), после простых преобразо-
преобразований получим следующую формулу для распределения вторич-
вторичных электронов по энергиям:
l_2l!±41±l1 +
где 7 — z+fm, А пробегает значения от 0 до j — 1. При А <^
<С 7 ~~ 1 из (81.23) получается та же формула (81.15), что и для
рассеяния электронов.
Поляризационные эффекты при рассеянии электронов или
позитронов вычисляются по общим правилам, изложенным в
§ 65. В сколько-нибудь общих случаях вычисления приводят к
громоздким формулам. Здесь мы ограничимся лишь нескольки-
несколькими замечаниями :) .
1) Более подробные сведения по этому вопросу можно найти в обзорной
статье McMaster W. H.//Rev. Mod. Phys.—1961.—V. 133,—P. 8.

370	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ	ГЛ. IX
В рассматриваемом (первом не исчезающем) приближении
теории возмущений в сечении отсутствуют члены, линейные по
векторам поляризации начальных или конечных частиц. Как и в
нерелятивистской теории (см. III, § 140), такие члены запрещены
требованиями, вытекающими из эрмитовости матрицы рассея-
рассеяния. Поэтому сечение рассеяния не меняется, если поляризована
лишь одна из сталкивающихся частиц, а рассеяние неполяризо-
ванных частиц не приводит к их поляризации.
Эти же требования запрещают корреляционные члены в се-
сечении, содержащие произведения поляризаций трех из участву-
участвующих в процессе (начальных и конечных) частиц. Сечение содер-
содержит, однако, двойные и четверные корреляционные члены. При
рассеянии неодинаковых частиц (электрон и позитрон, электрон
и мюон) в нерелятивистском пределе эти члены обращаются в
нуль, поскольку отсутствует спин-орбитальное взаимодействие.
При столкновении же одинаковых частиц корреляционные чле-
члены имеются уже в нерелятивистском случае благодаря обменным
эффектам.
Задачи
1. Определить сечение рассеяния поляризованных электронов в нереля-
нерелятивистском случае.
Решение.В нерелятивистском случае биспинорные амплитуды в
стандартном представлении становятся двухкомпонентными, а матрицы
плотности — двухрядными матрицами B9.20). В амплитуде рассеяния (81.3)
остаются отличными от нуля лишь члены с /j, = v = 0, содержащие диаго-
диагональные (в стандартном представлении) матрицы j°. Вместо (81.4) будем
иметь
Y^ \Mfi\2 = 16тг2е4 • 4m4| (^ + -^) Sp(l + <rCi) Sp(l + сгС2) -
поляр
- -?- Sp(l + <Td) Sp(l + <тС2)} = 16ttV ¦ 4m4 ¦ Jl + \ - ^-A + CiC2)l
tu	;	Ц2 u2 tu	J
(суммирование по поляризациям конечных электронов). Отсюда сечение рас-
рассеяния
da = i
где в — угол рассеяния в системе центра инерции, dao — сечение для неполя-
ризованных частиц (81.9). Для полностью поляризованных электронов эта
формула совпадает с результатом задачи в III, § 137 (при этом I^-J^^^l,
?1?2= cos a, a — угол между направлениями поляризации электронов).
Для рассеяния позитронов на электронах поляризационная зависимость
в том же приближении отсутствует (da = dao), в этом легко убедиться, за-
заметив, что в нерелятивистском пределе в электронных и позитронных ам-
амплитудах ир и u-p отличны от нуля различные пары компонент.
2. В нерелятивистском случае определить поляризацию рассеянных эле-
электронов при рассеянии неполяризованного пучка на поляризованной мишени.
Решение. Вычисляем сечение рассеяния при заданных начальной
поляризации ?2 и детектируемой конечной поляризации (^ (детектируется

§ 81	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ НА ЭЛЕКТРОНЕ	371
поляризация лишь одного из конечных электронов). Тем же способом, что
и в задаче 1, получим
1	_ г ., . 2cos(9A -cos0I
da = -da0 1 - Ci С 2	 •
2	L SlS2 l + 3cos26> J
ляризации р
Cl ~~C2
Отсюда для вектора поляризации рассеянного электрона имеем
2cos(9A -cosв)
+ 3cos26>
3. В нерелятивистском случае определить вероятность обращения на-
направления спина полностью поляризованного электрона при рассеянии на
неполяризованном электроне.
Решение. Аналогичным образом находим сечение при заданных по-
поляризациях ?х и ?[:
2 cos (9A +cos (
Положив CiCi = ~1? найдем отсюда вероятность обращения направления
спина:
da_ _ (l-cos(9J
da0 ~ 2(l + 3cos26>)'
4. Определить отношение сечений рассеяния спиральных электронов
с параллельными и антипараллельными спинами в ультрарелятивистском
случае.
Решение. В (81.4) надо положить, согласно B9.22),
Pi = ?GPi)(l - 2Ai75), P2 = ^GР2)A - 2А275),
,	1 ,	,	1 ,
Pi = -7Рь Р2 = -7Р2,
где Ai, Л2 = dz1^. Вычисление следов производится по приведенным в § 22
формулам; в частности,
dT = 2(ac)(bd) - 2(ad)(bc).
В результате получим
da (s2+u2 s2+t2 2s2 \ ^ Л fs2-u2 s2 -12 2s2 \
— oc	1	1	+ 4AiA2	1	1	).
dt V t2	v?	tu /	V t2	u2	tu /
Поскольку импульсы сталкивающихся электронов (в системе центра инер-
инерции) взаимно противоположны, то одинаковым спиральностям (Ai = A2) от-
отвечают антипараллельные спины, а различным спиральностям (Ai= — А2) —
параллельные спины. Подставив s, t, и из (81.8) (считая р2 и s2), найдем
для искомого отношения
11 I	).	A)
(i
da-11 8
Это соотношение минимально A/s) при 0 = тг/2.

372	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
5. То же для рассеяния позитронов на электронах.
Решение. В этом случае вместо (81.4) надо вычислять
- —
tu
(остальные члены получаются из написанных перестановкой р+ и р'_). Ма-
Матрицы плотности:
р_ = iGp-)(l - 2Л_76), р+ = iGP+)(l + 2Л+76),
1 ,	1 ,
Р- = -7Р-? Р+ = -7Р+,
где Л+, Л- = di1^ (причем для позитрона, как и для электрона, Л+ = 1fe
означает спин, направленный по его импульсу). Вычисление дает
da fs2+u2 s2+t2 2s2 \ АЛ Л (s2-u2 s2 -12 2s2 \
— oc 	+	+	 - 4Л+Л- 	+	+	 .
dt V t2	u2	tu /	V t2	u2	tu /
Отсюда для отношения сечений получается результат, совпадающий с фор-
формулой A) задачи 4.
6. Определить сечение рассеяния мюонов на электронах.
Решение. Процесс описывается всего одной диаграммой G3.17).
Вместо (81.5) имеем
,	7re4dt	4:7re4dt
do- =	i"^/(^ u) = }	;—;—^tt	;	^ffa u^ (x)
(PePfj,J - m A*	[s- (m + pJ\[s - (m - fi2J\
f(t, u) = —— Sp[G//M + //OЛGРм + P)lV] Sp[GPe + ^OлGРе + m)ju]
(pe, Рц и p'e, p'p — начальные и конечные 4-импульсы электрона и мюона;
m, fi — их массы). Инварианты:
s = (ре +Р/лJ = т2 + р2 + 2реРд,
t = (Ре -РеJ = 2(Ш2 -реР	^
2 + р2
РеJ
U= (ре- p'^f =ГП2
u = 2(т2 + р2).
Вычисление приводит к результату
B)
Формулы A) и B) решают поставленный вопрос. В системе центра инерции
e4do
da =
(se+sMJp4sin4((9/2)
х [(tee» + p2J + (еее^ + p2 cos вJ - 2(щ2 + р2)р2 sin2((9/2)],
где do = 2тг sin 9d9; ee, ?/j, — энергии электрона и мюона; р2 = е\ — т2 =
= s2 — р2. При р2 ^С //2 мы возвращаемся к формуле (80.9) для рассеяния на

§ 81	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ И ПОЗИТРОНОВ НА ЭЛЕКТРОНЕ	373
неподвижном кулоновом центре. В ультрарелятивистском случае (р ^> fi )
е4 1+cos4 ((9/2) ,
da =	do.
8р2 sin4 ((9/2)
В лабораторной системе (в которой до столкновения покоится электрон)
, „ fe2V dA ( 2 Д т2д2\
шт = 2тг ( — 	 1 — vu	Д do.
\т) vgA2 ^ "Дтах 2?2 у
Здесь sM — энергия, a vM = p^/s^ — скорость налетающего мюона; тА =
= е'е — т = S/j, — e'fj, — энергия электрона отдачи, а
Д	_ 	?_
max
т2 + /i2
— максимальное значение А.
7. Определить отношение сечений взаимного рассеяния спиральных элек-
электронов и мюонов с параллельными и антипараллельными спинами в уль-
ультрарелятивистском случае (е^ ^> //, se ^ ш).
Решение х). Аналогично задаче 4 находим
2
@ — угол рассеяния в системе центра инерции).
8. Определить сечение превращения электронной пары в мюонную
(В. Б. Берестецкий, И. Я. Померанчук, 1955).
Решение. Это другой кросс-канал реакции, к которой относится
//е-рассеяние. В этом канале
S = (Ре — РдJ, t = (ре — РеJ, U = (j)e ~ Р/хJ,
где ре, ре — 4-импульсы электрона и позитрона, а р^, р — мюона и антимю-
она. Порог реакции отвечает энергии электронной пары, равной (в системе
центра инерции) 2//, так что должно быть ?>4// . В лабораторной системе, в
которой до столкновения покоится электрон, а позитрон имеет энергию е+,
t = 2т(е+ + т) и 2т?+,
так что должно быть s+ > еп, где пороговая энергия sn = 2fi2 /m (здесь и
ниже произведены все пренебрежения, допускаемые неравенством ц ^> т).
Дифференциальное сечение (вместо A), B) задачи 6)
. 47re4ds pti ч , 4ds
da = 	/ (г, и) ~ 4тге —
При заданном t величина s пробегает значения между границами, опреде-
определяемыми уравнениями su и //4, s + t + гб^ 2//2, т. е.
| |- V) < в < р2 - | + i
Элементарное интегрирование приводит к результату:
A)
) Другой способ решения этой задачи дан в конце § 144.

374	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ	ГЛ. IX
(в лабораторной системе t = 2ms+). Эта формула неприменима в непосред-
непосредственной близости к порогу: когда s+ — гп ~ /^е4, образующиеся мюоны
нельзя считать свободными частицами (с учетом же кулонового взаимодей-
взаимодействия между ними сечение будет стремиться при s+ -> еп не к нулю, а к
константе (см. III, § 147)).
Сечение A) максимально при s+ = 1,7еп- Его значение в максимуме
примерно в 20 раз меньше сечения двухфотонной аннигиляции при той же
энергии.
§ 82. Ионизационные потери быстрых частиц
Рассмотрим столкновения быстрой релятивистской частицы
с атомом, сопровождающиеся возбуждением или ионизацией по-
последнего. В нерелятивистском случае такие неупругие столкнове-
столкновения были рассмотрены в III, § 144—150; здесь будет дано реляти-
релятивистское обобщение полученных там формул (H.A.Bethe, 1933).
Скорость падающей на атом частицы предполагается боль-
большой по сравнению со скоростями атомных электронов (тем са-
самым во всяком случае предполагается, что Za < 1, ,т. е. атомный
номер не слишком велик). Этим условием обеспечивается приме-
применимость борновского приближения к рассматриваемому процес-
процессу. Решение задачи несколько различно в зависимости от того,
является ли быстрая частица легкой (электрон, позитрон) или
тяжелой (мезон, протон, а-частица и т. п.). Мы рассмотрим здесь
последний случай, более простой.
Пусть р = (б, р) и р' = (е'тР*) — начальный и конечный им-
импульсы быстрой частицы в лабораторной системе отсчета, в ко-
которой атом до столкновения покоился; разность q = р' — р дает
энергию и импульс, передаваемые частицей атому. Разделим весь
интервал возможных передач импульса на две области:
I)H!<m, ц)Н!>^	(82.1)
т	т
где т — масса электрона, / — некоторая средняя атомная энер-
энергия (потенциал ионизации атома). Обе области перекрываются
друг с другом при / <С q2/ra <С га; это обстоятельство позво-
позволит произвести точную сшивку результатов, получающихся для
каждой из областей. Будем говорить о значениях q в первой и
во второй областях соответственно как о малых и больших пере-
передачах импульса.
Малые передачи импульса. В этой области атомные элек-
электроны можно считать нерелятивистскими как в начальном, так
и в конечном состояниях атома. Амплитуда процесса дается вы-
выражением
f	(q),	(82.2)

§ 82	ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ	375
где JnQ — 4-ток перехода атома из начального состояния @) в
конечное (n), Jprp — 4-ток перехода быстрой частицы; эти то-
токи заменяют здесь собой выражения (u'ju), которые стояли бы,
например, в амплитуде рассеяния двух «элементарных» частиц
— электрона и мюона G3.17) (ср. также A39.3)). Токи перехо-
перехода берутся в импульсном представлении (см. D3.11)). Сечение
процесса в лабораторной системе отсчета:
dan = 2n5(e — e' —
lfi
2
2|p|2s'B^K
(82.3)
где o;no = &n — bo — частота перехода между состояниями атома.
Конечное состояния может относиться как к дискретному, так и
к непрерывному спектру; первый случай отвечает возбуждению,
а второй — ионизации атома. В законе сохранения энергии (учи-
(учитываемом E-функцией в (82.3)) пренебрежено энергией отдачи
атома, что заведомо допустимо при малых передачах импульса.
Фотонный пропагатор удобно выбрать в данном случае в ка-
калибровке G6.14), в которой отличны от нуля лишь его простран-
пространственные компоненты:
7~). (ri\ 	 		[ А. 	 Ч.^Ч.к j	iоо л\
uj2 — q2 V	cj2 /
Тогда и для 4-токов перехода в (82.2) нужны только их простран-
пространственные компоненты.
Атомный ток перехода Jno(q) B данном случае есть компо-
компонента Фурье обычного нерелятивистского выражения:
Jno(q) = — / e~zqr(/0oV'0* — фпV^o)^ x^	(82.5)
где ^о, фп — атомные волновые функции (причем для упроще-
упрощения записи мы опускаем здесь и ниже знак суммирования по
электронам атома, т. е. пишем формулу так, как если бы в ато-
атоме был всего один электрон). Проинтегрировав в первом члене
по частям, можно переписать это выражение в виде матричного
элемента:
Jno(q) = \(^е-щг + e-zqrv)n(b	(82.6)
где v = — — V — оператор скорости электрона.
m
Что касается тока перехода рассеиваемой частицы, то ввиду
относительной малости теряемого ею импульса (|q| <^ |р|) можно
заменить его просто диагональным элементом
Jpp@) = 2pz,	(82.7)
отвечающим классическому прямолинейному движению (ср. ни-
ниже (99.5)); здесь введен также множитель z, учитывающий воз-
возможное отличие заряда частицы (ze) от заряда электрона.

376	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ	ГЛ. IX
Малость q означает также и малость угла отклонения части-
частицы $. При этом продольная и поперечная (по отношению к р)
компоненты q равны
-?ц « ? соп0 = ^, g±«|p|t9,	(82.8)
так что qp « — ?о;по-
Подстановка ((82.4)-(82.8)) в (82.2) дает с учетом того, что
си = сипо'.
В первом члене замечаем, что
qv/ + /qv = 2г/,
где / = e~zqr (см. III, § 149); поэтому матричный элемент этого
оператора совпадает с матричным элементом 2г(/)по = 2о;по/п0-
Во втором же члене достаточно заменить, ввиду малости q, е~щг
единицей. Тогда
М-(га) _ 8тгге f^^-iqr\	•
/г — ~	^~{8Уе JnO-фЗ
Квадрат модуля этого выражения:
+ (prn0Ju4} (82.9)
(во втором члене здесь положено е~щг « 1 — iqr; в первом члене
этого нельзя сделать по причине, которая выяснится ниже, — см.
примеч. на с. 378).
Потери энергии быстрой частицей в результате ее неупругих
столкновений с атомами :) определяются величиной
do',	(82.10)
П **	П
где суммирование производится по всем возможным конечным
состояниям атома, а интегрирование — по направлениям рас-
рассеянной частицы; будем называть эту величину эффективным
торможением (отношение н/е называют сечением потери энер-
энергии).
х) Эти потери часто называют ионизационными, хотя они связаны не толь-
только с ионизацией, но и с возбуждением атомов.

82
ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ
377
Интегрирование в (82.10) можно произвести в два этапа: как
усреднение по азимуту направления р7 относительно р и затем
интегрирование по do' « 2nbdf&, где # — малый угол отклонения.
Первая операция заменяет qrno на
qrn0
—
V
где хпо — матричный элемент одной из декартовых координат
атомных электронов :) . Интегрирование же по $ можно заме-
заменить интегрированием по д2, заметив, что
9	9	9	9	UJ n
-g2 = -<0 + q2 « -<0 + -^
^2 _ uj0M
^2
P2
(82.11)
и потому 2'dd'd = с%2|/р2 (M — масса быстрой частицы). В ре-
результате получим
/{I,
—zqr\
M2
Нижний предел интегрирования по q2:
2:
(82.12)
(82.13)
В качестве же верхнего предела выберем некоторое значение
такое, что
(82.14)
т. е. лежащее в области перекрытия областей I и II (см. (82.1)).
Интегрирование и суммирование в (82.12) осуществляется по-
подобно тому, как это было сделано в т. III, § 149 для нерелятивист-
нерелятивистского случая. Весь интервал интегрирования разделим еще на
две части: а) от |g2|min до |д2|о и б) от |д2|о до |g2|i, где значение
|д2|о такое, что
(82.15)
(величина та — порядка величины импульсов атомных электро-
электронов). В области а) можно разложить е~щг « 1 —iqr, и вклад этой
1) Безразлично какой: после подразумевающегося ниже суммирования по
направлениям момента атома в конечном состоянии матричный элемент хпо
уже не зависит от направления оси х.

378
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
области в ус принимает вид
|<72|min
4тг(ге
(Интегрирование во втором члене можно распространить до бес-
бесконечности.)
Суммирование осуществляется с помощью формулы
2т
(82.16)
где Z — число электронов в атоме (см. III, A49.10)). Результат
представим в виде
где / — некоторая средняя атомная энергия, определяемая фор-
формулой
1 г
1п/=
2?тг
(82.18)
В области же б) имеем, согласно (82.11), |д2| « р2т92, т. е. |д2|
не зависит от номера п конечного состояния атома; не зависят от
п также и пределы интегрирования. Поэтому суммирование по
п в (82.12) можно произвести под знаком интеграла. В первом
члене оно осуществляется формулой
2т1
(82.19)
(см. III, A49.5)), и интеграл от него равен :)
27rZ(ze2J 1п\д2\^
Интеграл же от второго члена в (82.12) по этой области дает
пренебрежимый вклад в к.
1) Логарифмическая расходимость интеграла на верхнем пределе есть как
раз та причина, по которой в первом члене в (82.12) нельзя было разлагать
по степеням q.

§ 82	ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ	379
Складывая последнюю формулу с (82.17), находим вклад в
ус от всей области малых передач импульса:
2nZ(zey rinkW_^2l	(g220)
9	Л /Г9 ТО	^	'
mv2 L M2I2	J
Большие передачи импульса. Обратимся к столкновени-
столкновениям с передачей импульса, большой по сравнению с импульсом
атомных электронов (q2 ^> ml). В этой области можно, очевид-
очевидно, пренебречь связью электронов в атоме, т. е. считать их сво-
свободными. Соответственно этому столкновение быстрой частицы
с атомом будет представлять собой ее упругое рассеяние на каж-
каждом из Z атомных электронов. При этом ввиду большой скорости
частицы атомные электроны можно считать первоначально по-
покоящимися.
Обозначим через тА энергию, передаваемую быстрой части-
частицей атомному электрону, и пусть da a — сечение упругого рассе-
рассеяния с такой передачей. Дифференциальное эффективное тор-
торможение на всем атоме будет тогда
dn = ZmAdaA.	(82.21)
Максимальная энергия, которая может быть передана покоя-
покоящемуся электрону сталкивающейся с ним частицей массы
М ^> т, равна
л	2тр2	2тр2
тАтах =	~
т2 + М2 + 2те М2 + 2те
где е и р — энергия и импульс налетающей частицы (см. II,
A3,13)). Будем предполагать далее, что энергия е хотя и может
быть ультрарелятивистской (е ^> М), но в то же время
е « —.	(82.22)
т
Тогда даже максимальная передаваемая энергия
шд ~ ^^_ = 2rm;V, 7 = — = , *	(82.23)
М2	f ' f М л/Г^2	v ;
остается еще малой по сравнению с первоначальной кинетиче-
кинетической энергией падающей частицы (?nAmax <С ? — М). Соответ-
Соответственно и передача импульса q остается всегда малой по сравне-
сравнению с первоначальным импульсом частицы р. Это обстоятель-
обстоятельство позволяет считать движение последней неменяющимся при
столкновении, т. е. рассматривать падающую частицу как беско-
бесконечно тяжелую. Тогда сечение рассеяния получится просто пре-
преобразованием сечения рассеяния электрона на неподвижном цен-
центре (80.7) к лабораторной системе отсчета, в которой электрон

380	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ	ГЛ. IX
первоначально покоился. Это легко сделать, заметив, что в ука-
указанном приближении
-g2«q2 = 4p2sin2^, do' = ^,
4 Ч	V	2'	р2
а относительная скорость v в обеих системах — одна и та же.
Формула (80.7) принимает вид
t \ч2\ WI.
Передача энергии А выражается через тот же инвариант q2 со-
согласно —q2 = 2т2А. Поэтому имеем :)
^)?.	(82.24)
2
Вклад в эффективное торможение от рассматриваемой обла-
области передачи импульса получится интегрированием (82.21) в пре-
пределах от введенной выше границы |g2|i до |g2|max — 2m2Amax. Он
равен
2 (ln—Г71	v )•	(82.25)
Наконец, сложив вклады (82.20) и (82.25), получим окончатель-
окончательно следующий результат для полных ионизационных потерь бы-
быстрой тяжелой частицы:
(82.26)
(в обычных единицах). В нерелятивистском случае отсюда полу-
получается прежняя формула A50.10) (см. III):
а в ультрарелятивистском случае
у (8228)
1A — v21с2)
Торможение зависит только от скорости (но не от массы) бы-
быстрой частицы. Убывание торможения при увеличении скорости,
согласно (82.27), сменяется в ультрарелятивистской области мед-
медленным (логарифмическим) возрастанием.
:)В этой формуле не учитываются, конечно, специфические эффекты
сильных взаимодействий, если тяжелая частица является адроном. Эти эф-
эффекты (адронный формфактор), однако, становятся существенными лишь
при \q2\ ос 1/М2, а при условии (82.22) такие передачи импульса исключены.

§ 83	УРАВНЕНИЕ БРЕЙТА	381
Задачи
1. Определить эффективное торможение релятивистского электрона.
Решение. Вклад области малых передач импульса по-прежнему да-
дается выражением (82.20). Для области больших передач вместо (82.24) сле-
следует воспользоваться формулой (81.14), учитывающей обменные эффекты.
Интегрируя Ada а по d А от \q2\i/2m2 до G — 1)/2 и складывая с (82.20),
находим
9
2/2	\7 Т2/	72	87
В нерелятивистском случае получаем формулу из задачи к § 149 (см. Ill), a
в ультрарелятивистском G ^> 1)
ln^ + iV	B)
2. То же для позитрона.
Решение. Для da а в области больших передач следует воспользо-
воспользоваться (81.23), причем верхний предел по А равен j — 1. Ответ в ультраре-
ультрарелятивистском случае:
2ш2с473 23"
Я	12
§ 83. Уравнение Брейта
Как известно, в классической электродинамике система вза-
взаимодействующих частиц может быть описана с помощью функ-
функции Лагранжа, зависящей лишь от координат и скоростей са-
самих частиц и правильной с точностью до членов ~ 1/с (см. II,
§ 65). Это обстоятельство связано с тем, что излучение появля-
появляется лишь как эффект порядка 1/с2.
В квантовой теории этой ситуации соответствует возмож-
возможность описания системы уравнением Шредингера, учитывающим
члены второго порядка. Для электрона, движущегося во внеш-
внешнем электромагнитном поле, такое уравнение было установлено
в § 33. Теперь мы займемся выводом аналогичного уравнения,
описывающего систему взаимодействующих частиц.
Будем исходить из релятивистского выражения для ампли-
амплитуды рассеяния двух частиц. В нерелятивистском приближении
она переходит в обычную борновскую амплитуду, пропорцио-
пропорциональную компоненте Фурье потенциала электростатического вза-
взаимодействия двух зарядов. Вычислив же амплитуду с точностью
до членов второго порядка, мы сможем установить вид соответ-
соответствующего ей потенциала, учитывающего члены ~ 1/с2.
Предположим сначала, что две частицы — различные, с мас-
массами mi и т2 (скажем, электрон и мюон). Тогда рассеяние

382	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
изображается одной диаграммой
Р2
Ей соответствует амплитуда
Mfi = e2(uf1^u1)Dfll/(q)(uf2Yu2), q = р[ - pi = Р2 ~ Р2 (83.1)
(здесь предположено, что заряды частиц одного знака; в против-
противном случае е2 заменяется на — е2).
Дальнейшие вычисления заметно упрощаются, если фотон-
фотонный пропагатор D^ выбрать не в обычной, а в кулоновой кали-
калибровке G6.12),G6.13) *):
Аю = -^, Aw = 0, Dik = -	^
q2	q2 — и1 /с1 — гО
Тогда амплитуда рассеяния
Mfi = е2{(^7Ч)D7%)Аю + Kt^i)Dt^2)A4- (83-3)
В пренебреж:ении всеми членами, содержащими 1/с, второй
член в фигурных скобках выпадает вовсе, а первый дает
Mfi = — 2mi • 2m2(w^f:[w[ ^(w^'^w^ )f7(q),	(83.4)
где	2
[/(q) = ^-,	(83.5)
а через w\, w®, ••• обозначены введенные в § 23 спинорные
(двухкомпонентные) амплитуды нерелятивистских плоских волн.
Функция U(q) представляет собой компоненту Фурье потен-
потенциальной энергии кулонового взаимодействия: U(r) = е2/г.
В следующем (по 1/с) приближении «шредингеровская» вол-
волновая функция свободной частицы сршр (нормированная по ин-
интегралу J |^Шр|2^3ж) удовлетворяет уравнению
= (е- mtfW Я<°> = ^ - -g_, p = -iV, (83.6)
в котором учтен следующий член разложения релятивистского
выражения для кинетической энергии. Амплитуду (спинорную)
1) В этом параграфе мы выписываем во всех промежуточных формулах
множители с, а в окончательных формулах также и h.

§ 83	УРАВНЕНИЕ БРЕЙТА	383
такой плоской волны обозначим через w (при 1/с —>• О она пере-
переходит в w^). Именно через эти амплитуды и должна быть выра-
выражена искомая амплитуда рассеяния для того, чтобы по ее виду
можно было определить «шредингеровский» потенциал взаимо-
взаимодействия частиц в рассматриваемом приближении.
В соответствии с формулой C3.11) биспинорная амплитуда
свободной частицы и выражается через «шредингеровскую» ам-
амплитуду w — с требуемой здесь точностью — в виде
(83.7)
w
2тс
С помощью этой формулы находим
= 2mi (l -
Smfc2
2mic2
[ 8mfc2
= -w'l{i[aq] + 2pi + q}^i
с
(где q = Pi — Pi = P2 — P^)- Аналогичные выражения для
(г^270г^2) и (^27^2) отличаются заменой индексов 1 на 2 и со-
соответственно заменой q на —q.
Подставим эти выражения в (83.3). Поскольку произведение
(^7^1)(^27^2) уже содержит множитель 1/с2, то в D^ можно
пренебречь членом со2/с2 в знаменателе. В результате получим
амплитуду рассеяния в виде
Mfi = -2mi • 2m2(wflwf*2U(рь р2, q)wiw2),	(83.8)
где
b P2, Q) =
г<п[др2] _ г(Т2[др2]
(индексы 1, 2 у матриц Паули указывают, на чьи спинорные ин-
индексы они действуют: <j\ действует на^, а а2 на w2).

384	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ	ГЛ. IX
Функция f7(pi, р2, q) есть оператор взаимодействия частиц в
импульсном представлении. Он связан с оператором C/(pl5 р2, г)
в координатном представлении формулой
Г
= BттK?(Р1 + р2 - pi - р/2)[/(Рь Р2, q). (83.10)
Если оператор U представляет собой просто функцию U(r) (r =
= ri — г2), то f7(pi, p2, q) не зависит от pi, p2 и формула (83.10)
сводится к обычному определению компоненты Фурье:
Отсюда ясно, что для нахождения f7(pi, p2, г) надо вычислить
интеграл
-> Р2, С
и затем заменить pi, р2 операторами pi = —iVi, p2 = — iV2,
расположив их правее всех других множителей.
Нужные интегралы вычисляются дифференцированием фор-
формулы
-.	(83.11)
q2 Bтг)
Так, взятием градиента находим
J
q2 BттK
Далее (a, b — постоянные векторы)
J
4тг(ад)(Ьд) jgr А = 1
4
= 1 &_^_ е (Ъ_
BтгK 2 V dv) J	\ дЧ) q2B7rK'
получившийся интеграл после интегрирования по частям сводит-
сводится к (83.12) и дает
Г 4^(aq)(bq)e,qr^ = 1 (aV)br = !_ Гь _ (аг)(ЬгI
7	q4	BтгK 2V У г 2r L	r2 J
Наконец,
J
4тг(ад)(Ьд) iqr^g_ = _(aV)(bV)i.
q2	Bтг)з	V Д 'г

§ 83	УРАВНЕНИЕ БРЕЙТА	385
При раскрытии производных надо иметь в виду, что это выраже-
выражение содержит в себе E-функцию 5(г). Для ее выделения замечаем,
что после усреднения по направлениям г:
-(aV)(bV)i = -i(ab)Ai = Ц (ab)<5(r).
г	3	г 3
Раскрывая теперь производные обычным образом, находим
eqrJgg_ = 1_ Г _ 3ИМ) + ±[(аЬ)(У(г)
q2	BтгK г3 I	г2 / 3 V } V У
(83.14)
(при усреднении по направлениям г первый член обращается в
нуль и остается лишь член с E-функцией).
С помощью этих формул получим следующее окончательное
выражение для оператора взаимодействия частиц:
J
е2	Г^ ^ i r(rPi)P2l	e2h г ^ 1 . е2/г
^	Г P1P2+	2	-. 2 2 3Гр1СГ1+
2mim2C2r L	г2 J 4mfc2r3
4mirri2C2 I r3	г5	3
Полный гамильтониан системы двух частиц в этом прибли-
приближении
где i7^0^ — гамильтонианы свободных частиц из (83.6).
Два электрона. Если обе частицы тождественны (два элек-
электрона), то в амплитуде рассеяния появляется второй член, изо-
изображающийся «обменной» диаграммой
Вычислять его вклад в оператор взаимодействия, однако, нет
необходимости. Дело в том, что описание системы тождествен-
тождественных частиц уравнением Шредингера может осуществляться с
помощью такого же оператора взаимодействия, как для нето-
нетождественных частиц, если условиться о должной симметризации
13 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

386	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ	ГЛ. IX
решений уравнения. В частности, при рассмотрении рассеяния
частиц такая симметризация автоматически учтет вклады в ам-
амплитуду, соответствующие обеим фейнмановским диаграммам.
Таким образом, гамильтониан системы двух электронов по-
получится из формул (83.15),(83.16), если просто положить в них
777,! = 7772 *) :
, р2, г) = ± - тг (^J5(г) - -4т (PlP2
/ г	\тс/	2т2с2г \
(«Т2 + 2<7i)[rp2]}
тс
3(<пг)(<гаг) _ SnaiG25{r)\ (83Л7)
г5	3	J
Заметим, что присутствие членов с E(г) не означает, конечно,
наличия особо сильного взаимодействия. Интегральная величи-
величина всех поправочных членов одинакова, и по смыслу произведен-
произведенного разложения все они должны рассматриваться как малые по
сравнению с первым членом — кулоновым взаимодействием.
Различные группы членов в операторе взаимодействия
(83.17) имеют различный характер. Члены первой строки в U
имеют чисто орбитальное происхождение. Во второй строке сто-
стоят члены, линейные по операторам спина частиц; они отвечают
спин-орбитальному взаимодействию. Наконец, квадратичные по
спиновым операторам члены третьей строки описывают спин-
спиновое взаимодействие 2) .
Электрон и позитрон. Система из электрона и позитро-
позитрона требует особого рассмотрения. Амплитуда рассеяния в этом
случае складывается из двух членов:
Mfi = -e2[u(p'_)ru(p-)]D^(p. -р'_)[п(-р+)^и(-р'+)} +
+ e2[u(-P+Wu(p-)]Dlu,(p- +p+)[u(p'_hl/u(-pl+)} (83.18)
(первый отвечает рассеивательной, а второй — аннигиляционной
диаграмме). Поскольку волновая функция системы «электрон +
) Волновое уравнение с гамильтонианом (83.17) было впервые установлено
Брейтом (G. Breit, 1929), а его последовательный квантовомеханический
вывод дан Л. Д. Ландау A932).
2) Это взаимодействие упоминалось в т. III, § 72 в связи с тонкой структу-
структурой атомных уровней, а спин-спиновое взаимодействие электронов с ядром
рассматривалось в т. III, § 121 в связи со сверхтонкой структурой уровней.
В частности, формула A21.9) (см. III) соответствует ^-функционному члену
в операторе спин-спинового взаимодействия.

§ 83	УРАВНЕНИЕ БРЕЙТА	387
позитрон» не должна быть антисимметричной, оба члена дают
независимые вклады в оператор взаимодействия.
Первый член (структура которого совпадает со структурой
амплитуды (83.1)) приводит, естественно, к оператору, отличаю-
отличающемуся от (83.17) лишь общим знаком. Займемся преобразова-
преобразованием второго члена.
Воспользуемся здесь фотонным пропагатором в обычной ка-
калибровке:
п 4тг	4тг
В данном случае к = р+ +р_, и поскольку частицы «почти нере-
нерелятивистские», то
4 = ^^ « 4mV » (Р+ + р_J ее к2.	(83.19)
С2	С2
Поэтому для фотонного пропагатора достаточно написать
Здесь уже содержится множитель l/с2. Поэтому амплитуды
и(р) достаточно брать в нулевом приближении:
где w_\ w^ фигурирующие в B3.12) 3-спиноры (ниже индексы
@) у них опустим). С этими амплитудами
п(-р+)^и(р-) = и*(-р+)и{р-) = 0,
п(— р+)*уи(р-) = и* (—p+)oLu(j)-) = 2m(w*crw-).
После подстановки этих выражений «аннигиляционная» часть
амплитуды рассеяния принимает вид
м(анн) = _e*_!!_BmJ(w*aw-)(wt*_vwt).	(83.20)
j	т2с2
Отсюда, однако, еще нельзя прямо сделать заключений о виде
оператора взаимодействия. Во-первых, спиноры w, через кото-
которые выражаются амплитуды и(—р+), еще не являются в бук-
буквальном смысле позитронными. Позитронные амплитуды полу-
получаются из и(—р+) преобразованием зарядового сопряжения; со-
согласно B6.6) соответствующие им спиноры (обозначим их через
w+) связаны с w соотношением w+ = oyw*, откуда
w* = cryw+ = —w+Gy, w = — <jyW+.	(83.21)
13*

388	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ	ГЛ. IX
Во-первых, амплитуда рассеяния должна быть приведена к
виду, в котором сворачиваются друг с другом электронные (w-
и w'_) и позитронные (w+ и w+) спиноры. Эта цель достигается
с помощью формулы
[w aw-)(w _aw ) = -{w _W-)(w w ) — -{w _aw-)(w aw ),
(83.22)
которая сама следует из B8.16).
Наконец, выразив w и wf через w+ и и^, согласно (83.21),
найдем, как легко проверить,
(w*wr) = (n/+w+), (w*awr) = -(w'\ctw+).	(83.23)
Подставив (83.23) в (83.22) и затем в (83.20), получим оконча-
окончательное выражение для аннигиляциоиной части амплитуды рас-
рассеяния
М Гм; = -
Г /* /*
< w _w +
(матрицы а- и сг+ действуют соответственно на W- и гу+). Выра-
Выражение в квадратных скобках представляет собой оператор взаи-
взаимодействия в импульсном представлении. Соответствующий ко-
координатный оператор
?()	g	),5(r), r = r_-r+	(83.24)
(Pirenne, 1947; В. Б. Берестецкий и Л. Д. Ландау, 1949). Полный
оператор взаимодействия электрона и позитрона есть
с U из (83.17).
§ 84. Позитроний
Полученные в предыдущем параграфе формулы можно при-
применить к позитронию — водородоподобной системе из электрона
и позитрона.
В системе центра инерции операторы импульсов электрона
и позитрона в позитронии: р_ = —р+ = р, где р = —iKV —
оператор импульса относительного движения, соответствующий
относительному радиус-вектору г = г_— г+. Полный гамильто-

§ 84	позитроний	389
ниан позитрония г)
ТТ 	 Р		 б	. туг	туг	туг
m r
г3
Здесь /io = еН/Bтс) —магнетон Бора, й/ = [гр] — оператор ор-
орбитального момента, S = (сг+ + сг_)/2— оператор полного спина
системы (его квадрат S2 = ^(З + сг+сг_)). В V\ включены все
поправочные члены чисто орбитального характера; V2 — спин-ор-
спин-орбитальное взаимодействие; V3 включает в себя спин-спиновое и
«аннигиляционное» взаимодействия.
«Невозмущенный» гамильтониан
т г
отличается, естественно, от гамильтониана атома водорода лишь
заменой массы электрона приведенной массой га/2. Уровни энер-
энергии позитрония поэтому вдвое меньше (по абсолютной величине)
уровней атома водорода:
Е = -J^L	(84.2)
(п — главное квантовое число).
Остальные члены в (84.1) приводят к расщеплению уров-
уровней (84.2) —появлению тонкой структуры. Возникающие уровни
классифицируются прежде всего по значениям полного момен-
момента j. Мы видим также, что операторы спинов частиц входят в
гамильтониан (84.1) только в виде суммы S. Это значит, что га-
гамильтониан коммутативен с оператором квадрата полного спина
S2, т. е. полный спин продолжает сохраняться и в рассматри-
рассматриваемом (втором по 1/с) приближении. Поэтому уровни энергии
позитрония можно классифицировать также и по полному спи-
спину, принимающему значения S = 0 и S = 1. Уровни со спином
О называют уровнями парапозитрония, а уровни со спином 1 —
уровнями ортопозитрония.
Следует подчеркнуть, что сохранение полного спина в пози-
позитронии является в действительности точным законом, не свя-
связанным с тем или иным приближением по 1/с; он следует из
) В обычных единицах.

390	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ	ГЛ. IX
СР-инвариантности электромагнитных взаимодействий. Пози-
Позитроний представляет собой истинно нейтральную систему, а по-
потому его состояния характеризуются определенными зарядовой
и комбинированной четностями. Последняя равна (—1)^+1 (см.
задачу к § 27); поскольку S может иметь лишь два значения, 0
и 1, то сохранение комбинированной четности эквивалентно со-
сохранению полного спина.
При S = 0 полный момент j совпадает с орбитальным. При
спине же S = 1 и заданном j число / пробегает значения j, j• ± 1,
соответственно чему каждый уровень (n, j) ортопозитрония рас-
расщепляется, вообще говоря, на три уровня. Поскольку значениям
I = j и I = j ±1 отвечают различные четности, гамильтониан не
имеет матричных элементов, связывающих эти состояния. Од-
Однако оператор возмущения (первый член в V3), вообще говоря,
имеет недиагональные элементы, связывающие состояния с / =
= j-\-lnl=j — 1, при этом число / теряет, разумеется, строгий
смысл орбитального момента.
Специфическими свойствами обладает эффект Зеемана в по-
позитронии (В. Б. Берестецкий, И. Я. Померанчук, 1949).
Орбитальный магнитный момент позитрония равен всегда
нулю: поскольку в позитронии [г+р+] = [г_р_], оператор
Щ = W)([r+p+] - [г-р-]) = 0.
Оператор же спинового магнитного момента
<т_)	(84.3)
не пропорционален оператору полного спина S = 1/2(сг+ ~~ сг-) •> а
операторы S2 и Д2 не коммутативны. Поэтому состояния с опре-
определенными значениями полного спина S и его проекции Sz не
являются, вообще говоря, собственными состояниями для маг-
магнитного момента.
Состояния с заданными S и Sz описываются спиновыми фун-
функциями Xssz •> имеющими вид
Хп = су+су— •) Xi—I = P+P—1
1
Хю = -щ
Хоо = -щ
где а и ^ — спиновые функции одной частицы, соответствующие
проекциям спина +lfe и —XJ2 (индексы «+» или « —» указыва-
указывают, что функция относится к позитрону или электрону). Из них
первые две (хп и Xi-i) —одновременно и собственные функции
оператора jiZl отвечающие собственному значению \iz = 0. Функ-

§ 84	позитроний	391
ции же хю и Хоо не являются собственными функциями \iz\ та-
таковыми являются комбинации
-^(Хю + Хоо) = <*+?-, -^(Хю - Хоо) = а_C+.	(84.5)
Легко видеть, что единственными отличными от нуля элемента-
элементами матрицы (S'SzI/jLzISSz), вычисленными по функциям (84.4),
являются элементы
(ОО|//,|1О) = AО|м2|ОО) = 2//о-	(84.6)
В слабых магнитных полях (когда /jLqH <С А, где А — раз-
разность между энергиями уровней с S = 0 и S = I) исходным
приближением для вычисления зеемановского расщепления яв-
являются состояния с определенными значениями полного спина.
В первом приближении это расщепление дается средним значе-
значением оператора энергии возмущения
VH = -%Н.
Но все диагональные матричные элементы оператора fiz (а тем
самым и Vh), вычисленные по функциям (84.4), равны нулю.
Таким образом, в слабых полях линейный эффект Зеемана в по-
позитронии отсутствует.
В предельном случае сильных полей (/jqH ^> А) можно пре-
пренебречь взаимодействием спинов, приводящим к установлению
определенных значений S. Компоненты расщепленного уровня
будут в этом случае соответствовать состояниям с определенны-
определенными значениями \iz = ±2/io (описываемым функциями (84.5)), а
величина их сдвига будет составлять ±2/jqH.
Задачи
1. Определить тонкую структуру уровней парапозитрония (В. Б. Бере-
стецкий, 1949) :).
Решение. Искомая энергия расщепления уровня дается средними
значениями поправочных членов в гамильтониане (84.1), вычисленными по
волновым функциям невозмущенных состояний с различными значениями
j = I (равными 0, 1, ... , п — 1). При S = 0 отличный от нуля вклад возни-
возникает только от Vi и второго члена в Уз-
Невозмущенные волновые функции (обозначим их через ф) удовлетво-
удовлетворяют уравнению Шредингера 2)
= (е+-)ф, Я = --±-.
4п2
) Вычисление тонкой структуры ортопозитрония см. Соколов А. А., Цы-
товичВ. Я.//ЖЭТФ. —1953. — Т. 24. —С. 253.
) При вычислении удобно пользоваться атомными единицами.

392	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
Поэтому
р4ф = р2 ( Е + - ) <ф = (Е + - ) <ф- фА- - 2 ( V-
V	)	\	)	\
Среднее значение
+ 4tt|V@)|2 + ff
О
\2
Последний интеграл равен — J \ip@)\2do; поскольку ф@) /0 только при / =
= 0, а волновые функции ^-состояний сферически-симметричны, интеграл
равен — 4тг|'0(О)| и сокращается со вторым членом.
Введя оператор орбитального момента 1 = [гр], запишем
^2 д ф 2 дф 1 ф
г дг г2	V Ту
Отсюда получаем для другого нужного нам среднего значения
/ ^*^-(гр)р^3ж = - / if;*-—--d3x =
J г6	J г or2
(при / = 0 последний член отсутствует).
Согласно известным формулам теории атома водорода (см. III, C6.14),
C6.16)) с учетом замены массы электрона m на т/2 имеем
^3	П ф Q\
l) V ^ J'
2n2'	2n3B/ + l)'
С помощью написанных формул получим для искомых уровней энергии
парапозитрония
Е =_1_а2^1М	_пЛ
nl 4п2	П2 2n3 V2/ + 1 32п/ "
2. Определить разность энергий основных состояний (п = 1, / = 0)
орто- и парапозитрония.
Решение. Зависимость энергии от полного спина S при / = 0 содер-
содержится лишь в среднем значении второго члена в Уз (первый же член обра-
обращается в нуль при усреднении по углам в сферически-симметричном 5-со-
стоянии )). Основной уровень ортопозитрония (Si) лежит выше основного
уровня парапозитрония ^So) на величину
12
10-4эВ.
:) Усреднение по углам должно производиться до интегрирования по г, как
это видно из способа вычисления интеграла (83.14), приводящего к первому
члену в Уз.

§ 85	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ	393
§ 85. Взаимодействие атомов на далеких расстояниях
Между двумя нейтральными атомами, находящимися на бо-
больших (по сравнению с их собственными размерами) расстоя-
расстояниях г, действуют силы притяжения. Обычное квантовомехани-
ческое вычисление этих сил (см. III, § 89) становится, однако,
неприменимым на слишком больших расстояниях. Дело в том,
что в этом вычислении рассматривается лишь электростатиче-
электростатическое взаимодействие, т. е. не учитываются эффекты запазды-
запаздывания. Такое рассмотрение справедливо лишь до тех пор, по-
пока расстояние г остается малым по сравнению с характерными
длинами волн Ао в спектрах взаимодействующих атомов. В этом
параграфе будет произведено вычисление, свободное от такого
ограничения.
Поступим примерно так же, как в § 83, т. е. будем вычис-
вычислять в первом не исчезающем приближении амплитуду упруго-
упругого (без изменения внутреннего состояния) рассеяния двух раз-
различных атомов. Полученное выражение сравним с амплитудой,
которая получилась бы при описании взаимодействия атомов по-
потенциальной энергией U(r).
В последнем случае первым не исчезающим элементом 5-ма-
трицы, описывающим данный процесс, был бы элемент первого
приближения
Sfl = -i j
/ exp{-i(?i + е2 - е[ - e'2)t}dt. (85.1)
Здесь ф\, ф2 и ф[, ф'2 — не зависящие от времени части волновых
функций (плоских волн), описывающих поступательное движе-
движение двух атомов с начальным и конечными импульсами; ?4, e2 и
e'i-> е2 ~кинетические энергии этого движения; координаты ri и
г2 атомов как целого можно понимать как координаты их ядер,
а расстояние г = |ri — r21• Временной интеграл в (85.1) дает,
как обычно, E-функцию, выражающую собой закон сохранения
энергии. Для дальнейшего сравнения будет, однако, удобно фор-
формально рассматривать предельный случай бесконечно больших
масс атомов; при заданных их импульсах этому пределу отвеча-
отвечают равные нулю энергии е. Иначе можно сказать, что рассма-
рассматриваются времена, малые по сравнению с периодами 1/е. Тогда
(85.1) примет вид
Sfi = -it f ф'1ф'*2и(г)ф1ф2A3х1A3х2,	(85.2)
где t — интервал интегрирования по времени.

394	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ	ГЛ. IX
Фактическое вычисление амплитуды упругого рассеяния мо-
можно при сделанных предположениях разбить на два этапа. Сна-
Сначала усредняем ^-оператор по волновым функциям неизменных
(основных) состояний обоих атомов (при заданных координатах
их ядер ri и Г2), а также по фотонному вакууму — в начале и в
конце процесса фотоны отсутствуют. В результате получим ве-
величину, являющуюся функцией от расстояния между ядрами;
обозначим ее через (S(r)) г) . Чтобы найти искомый матричный
элемент перехода, надо вычислить затем интеграл
Sfi = J Ф'*1'ф1*2{8{г))'ф1'ф2^х1^х2.	(85.3)
Сравнив с (85.2), мы увидим, что если получить выражение для
(S(r)) в виде
(S(r)) = -itU(r),
то U(г) и будет искомой энергией взаимодействия атомов.
Поскольку мы имеем дело в данном случае со столкновени-
столкновением не элементарных частиц, а сложных систем (атомов, которые
в промежуточных состояниях могут быть возбуждены), обыч-
обычные формальные правила диаграммной техники здесь непосред-
непосредственно неприменимы, и мы начнем с исходного выражения для
^-оператора в виде разложения G2.10).
Для взаимодействия атомов существенны компоненты полей
с частотами порядка атомных (и меньшими). Соответствующие
длины волн велики по сравнению с атомными размерами. По-
Поэтому оператор электромагнитного взаимодействия может быть
взят в виде
F = -E(n)di-E(r2)d2,	(85.4)
где di, d2 — операторы дипольных моментов атомов (имеются в
виду зависящие от времени — гейзенберговские — операторы), а
Е(г) —оператор электрического поля, который берется в точках
нахождения соответствующих атомов.
Как известно, средние значения дипольного момента атома в
его стационарных состояниях равны нулю (см. III, § 75). Отсюда
следует, что отличная от нуля амплитуда рассеяния появится
только в четвертом приближении теории возмущений, т. е. как
матричный элемент оператора
t4- T{9 (h)V (t2)V (h)V(t4)}. (85.5)
1) Вместо более громоздкого обозначения диагонального матричного эле-
элемента— с указанием состояний атома и фотонного поля.

1
0
0
3
2
—о
—о
4
1
\
\ t
>s
3
2
/
/
\
\
4
1
]
i
i
4
3
2
I
I
I
А
4
§ 85	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ	395
Действительно, в более низких порядках каждый член в произ-
произведениях операторов V будет содержать хотя бы один из опера-
операторов di или d2 в первой степени и при усреднении по состоянию
соответствующего атома обратится в нуль.
Усредним оператор (85.5) по фотонному вакууму. По теоре-
теореме Вика среднее от произведения четырех операторов поля Е
сводится к сумме произведений их попарных средних (сверток).
Разбиение на пары может быть произведено тремя способами,
которые можно изобразить диаграммами:
(85.6)
где штриховые линии изображают свертки, а цифрам отвечают
аргументы t\, ?2, ^з? ^4- Кроме того, каждой точке могут от-
отвечать пространственные координаты ri или Г2 (причем двум
точкам ri и двум Г2; в противном случае в данном члене суммы
один из операторов di или d2 войдет в первой степени и обра-
обратится в нуль при усреднении по состоянию атома). Очевидно,
что в точках, соединенных линиями, должны стоять различные
ri и Г2. В противном случае диаграмма (т. е. соответствующий
ей член в матричном элементе) сведется к произведению незави-
независимых функций от ri и от Г2, вместо того чтобы быть функцией
от разности ri — Г2; такие члены не имеют отношения к рассе-
рассеянию г) . В соответствии с этими условиями можно расставить
аргументы ri и Г2 по четырем точкам диаграммы четырьмя спо-
способами. Учитывая также коммутативность операторов di и d2
и усредняя по состояниям каждого из атомов, находим, что все
получающиеся таким образом 3 • 4 = 12 членов одинаковы (они
различаются лишь обозначением переменных интегрирования).
В результате получим
(85.7)
где г, /с,... —трехмерные векторные индексы.
1) Они дают не интересующие нас здесь поправки к собственным энергиям
каждого из атомов.

396	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ	ГЛ. IX
Для вычисления величин
Dg(Xl - х2) = (Т(Ег(Х1)Ек(х2)))	(85.8)
воспользуемся калибровкой потенциалов, в которой скалярный
потенциал Ф = 0. Тогда Е = —dA/dt, и мы имеем
Dg(Xl - х2) = ^	^
1\U12	ОТ
где х = х\ — Х2, a Dik(x) — фотонный пропагатор в данной кали-
калибровке х) .
Ниже нам будет удобнее пользоваться пропагатором Dik(uo, r)
в смешанном о;, r-представлении, который связан с Dik(t, r) со-
соотношением
При этом
Dg(t, r) = -г [u;2Dtk(u;, r)e~iwt^.	(85.9)
J	27r
Величины
otikih - t2) = i(T!{di(ti)dk(t2)))	(85.10)
разлагаем в интеграл Фурье
(X)
—iwt / \ dcu
2тг
сю
/
Положив для удобства ?2 = 0, t\ = t, запишем по определению
Т-произведения
оо
сцк(ч>)= I elwtatk{t)dt =
— СЮ
0	оо
= г Г eiwt(dk(O)di(t))dt + i f eiwt(di(t)dk(O))dt. (85.11)
) Первая производная —Dik(t) имеет конечный скачок при t = 0. Поэтому
dt
вторая производная, т. е. функция Dik(t), содержит также ^-функционный
член (~ (Г4)(ж2 — х\)). Этот член, однако, равен нулю при всех п ф Г2 и нас
здесь не интересует.

§ 85	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ	397
Входящие сюда средние (по основному состоянию атома) значе-
значения выражаются через матричные элементы дипольного момента:
(dk(O)di(t)) =
(di(t)dk(o)) =
Для сходимости интегралов в (85.11) в первом из них надо
понимать ио как ио — гО, а во втором —как ио + гО. Произведя ин-
интегрирование, получим
= V (
alk(uo) = V (
по + и — гО J
по
п
Если основное состояние является ^-состоянием, то этот тензор
сводится к скаляру: а^ = с^гЬ ГДе
а(ш) = - V |dOn|2 (	+	) •	(85.13)
n
Если же атом обладает моментом, то тот же результат получится
после усреднения по его направлениям, что и будет подразуме-
подразумеваться (нас интересует, конечно, взаимодействие атомов, усред-
усредненное по их взаимным ориентациям).
Сравнив (85.12) с выражением E9.17), мы увидим, что a^iuo)
совпадает с тензором когерентного рассеяния фотона частоты ио
на атоме. Согласно E9.23) а(ш) при ио > 0 совпадет с поляризу-
поляризуемостью атома. Значения же а(ио) при ио < 0 выражаются через
значения при ио > 0 с помощью очевидного из (85.13) соотноше-
соотношения а(—со) = а(ио).
Подставив полученные выражения в (85.7), найдем
/п/ \\ 1 / ii	ii dQi dQ,2 duj\ duj2
(Sir)) = - / dt\. . . dti—-—-—-—-
X V J/ 2 J	2тг 2тг 2тг 2тг
x exp{-ia;i(ti - t2) - гоо2{и ~ U) - ifii(*i - t4)
(r = ri — r2; мы учли также четность функции Z?^(a;, r) по г).
Интегрирование по трем временам дает E-функции (в силу кото-
которых —Oi = О2 = a;2 = cji), а по четвертому — множитель t:
{S(r)) = -itU(r),
где
U(r) = \ I ^ai(u)a2(uj)[Dlk(u, r)]2^.	(85.14)

398	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ	ГЛ. IX
Эта формула и определяет энергию взаимодействия двух ато-
атомов на любых расстояниях, больших по сравнению с атомными
размерами а. Остается найти и подставить сюда явное выраже-
выражение для функции Dik(uj, г).
Сравнив друг с другом выражения G6.14) и G6.8), найдем,
что
Dik{u, k) = (Sik - Щ) D(u, к),
где D дается формулой G6.8). В о;, r-представлении эта связь
выразится, следовательно, равенством
Dik(co, г) = - (Sik + -\т-?~) Я(", г)-	(85-15)
Подставив сюда D(w, г) из G6.16) и произведя дифференциро-
дифференцирования, найдем
Dik(uj, r) = \Sik[l + —- - —. ^
N1 —. (85.16)
Наконец, подставив это выражение в (85.14), после простых пре-
преобразований с учетом четности функции а(ио) получим следую-
следующее окончательное выражение для энергии взаимодействия ато-
атомов:
Щг) =
ОО
= -L Г
тгг2 j
uor (cjtJ (cjr)^ (cjr)^
(85.17)
Это общее выражение можно упростить в предельных случа-
случаях «малых» (а <С г <^ Ао) и «больших» (г ^> Ао) расстояний.
При г < Ао в интеграле существенны (см. ниже) значения
о;~о;о, где ojq^c/Xq — атомные частоты; поэтому иог<^1. В этом
случае можно оставить в квадратных скобках только последний
член и заменить экспоненту единицей. Написав интеграл в преде-
пределах от — оо до оо (с целью дальнейшего преобразования), найдем
(X)
^) = А / aiMaiMdw.	(85.18)
Как и должно быть, мы получили для взаимодействия на этих
расстояниях закон 1/г6. Интеграл в этой формуле легко вычис-

§ 85	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМОВ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ	399
ляется, после подстановки в него а(оо) из (85.13), путем замыка-
замыкания контура интегрирования бесконечно удаленной полуокруж-
полуокружностью в нижней полуплоскости комплексной переменной ио] при
этом интеграл определяется вычетами подынтегрального выра-
выражения в полюсах ио = оопо ~ coq. Предположив для упрощения
записи результата оба атома одинаковыми, получим (в обычных
единицах)
~ v ,	/	,	(85.19)
n,n'
что совпадает с формулой Лондона (см. III, § 89, задача).
В предельном же случае больших расстояний, г ^> Ао, в инте-
интеграле существенны значения со < с/г <С ooq] при со > ooq интеграл
погашается быстро осциллирующим множителем ехрBго;г). По-
Поэтому можно заменить поляризуемости а\(ио) и ot2{uS) их стати-
статическими значениями ai@) и «2@). После этого интегрирование
производится элементарно (причем для обеспечения сходимости
следует заменить в экспоненте г —>> г + гО. В результате оконча-
окончательно находим (в обычных единицах):
U(r) = _g3ficai@)aa@)	(852())
4тг	г7
(H.B.G. Casimir, D. Polder, 1948) :).
1) В изложенном выводе мы частично следовали И. Е. Дзялошинскому
A956).

ГЛАВА X
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
§ 86. Рассеяние фотона электроном
Сохранение 4-импульса при рассеянии фотона свободным
электроном (эффект Комптона) выражается равенством
p + k=p' + kr	(86.1)
где рак — 4-импульсы электрона и фотона до столкновения, а
р1 и к1 — их 4-импульсы после столкновения. Введенные в § 66
кинематические инварианты:
s = (р + кJ = (pf + к1J = т2 + 2рк = т2 + 2р'к',
t=(p- р1J = (к1 - кJ = 2(ш2 - рр1) = -2кк',	(86.2)
и=(р- к1J = (pf - кJ = т2 - 2рк' = т2- 2р'к,
s + t + u = 2m2.
Рассматриваемый процесс изображается двумя диаграммами
Фейнмана G4.14), и его амплитуда
Mfi = -AKe2e*ep(uQ^u),	(86.3)
где
Q
s — m2	и m
(86.4)
Здесь е, е' — 4-векторы поляризации начального и конечного фо-
фотонов; и, и' — биспинорные амплитуды начального и конечного
электронов.
Согласно изложенным в § 65 правилам, для произвольных
поляризационных состояний частиц квадрат |М^| заменяется
на
г2е4
\Mfl\2 -»¦ 16тг2е4 Sp {pieyp{$Q^p{e}PttQXa} •	(86.5)
о	(р)	(рУ
одесь рК >, рК > — матрицы плотности начального и конечного
электронов, р^\ р^' —то же для фотонов; фотонные (тензор-
(тензорные) индексы выписаны явно, а электронные (биспинорные) под-
подразумеваются; знак Sp относится именно к последним индек-
индексам. К этим же индексам относится знак эрмитова сопряжения
в определении Q^ = 70E^7°-

§ 86	РАССЕЯНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ	401
Рассмотрим рассеяние неполяризованного фотона на неполя-
ризованном электроне, не интересуясь при этом их поляризаци-
поляризациями после рассеяния. Усреднение по поляризациям всех частиц
достигается с помощью матриц плотности:
РЦ = Р{х1 = ~\ё^ Р{е) = \{ПР + т\ рМ' = \Ы + ш);
переход к суммированию по поляризациям конечных частиц осу-
осуществляется умножением еще на 2 • 2 = 4.
По формуле F4.23) (в которой надо положить теперь I2 =
= -(s — m2J — см. F4.15а)) получим для сечения
da = ^{dt2J МЫ + ™)QX
С помощью формул F5.2а) находим, что Q^x = Q\^. Отделив
члены, переходящие друг в друга при замене к <Н> —к' (и соот-
соответственно s <-> и), представим сечение в виде
da = dt *e [/(s, и) + g(s, и) + f(u, s) + g(u, s)] ,
(s — m2J
где обозначено
f(s u\ =	 x
x
pr(e i/) — 	 X
6V ' J 4,(s-m2)(u-m2)
x Sp {GP7 + m)Y(^fp + jk + m)
(в этих обозначениях мы заранее имеем в виду, что результат
будет зависеть лишь от инвариантных величин).
Суммирование по \i и v выполняется с помощью формул
B2.6); отбросив затем члены с нечетным числом множителей 7,
получим
f(s, и) =	— Sp{(jp')(lP + Jk)(jp)(jp + jk) +
(s — m2J L
+ Am2{^fp + ^fk){^fk — jpf) + ^i2Gj9)G]9/) + 4m4}.
Вычислив след с помощью формул B2.13) и выразив все вели-
величины через инварианты s, и, найдем после простых преобразо-
преобразований
Ж и) = (s_2m2J {4m2 - (S - m2)(« - m2) + 2m2(S - m2)} .

402	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Аналогичным образом вычисляется g:
/ \	2т2	Г/1 2 | /	2\ | /	2\1
g(s, и) =	—	 {4га +(s-m ) + {и-т )) .
(s — т2)(и — т2
В результате для сечения получим
m2dt Г / т2 . т2 \
	i^l (	2+ 	г)
s — т2J l\s — m2 и — т2 /
s — m2 и — т2 / 4 \и — т2 s — т2
где ге = е2 /га. Эта формула выражает сечение через инвари-
инвариантные величины. С ее помощью легко выразить сечение через
параметры столкновения в любой конкретной системе отсчета.
Сделаем это для лабораторной системы отсчета, в которой
электрон до столкновения покоился: р = (га, 0). Здесь
s - га2 = 2гаа;, и - га2 = -2гао/.	(86.7)
Написав уравнение сохранения 4-импульса в виде р + к — к1 = р1
и возведя его в квадрат, получим
рк — рк1 — кк1 = 0,
откуда (в лабораторной системе)
т(ио — ио') — иоио'{1 — cos д) = 0,
где $ — угол рассеяния фотона. Этим равенством определяется
связь между изменением энергии фотона и углом рассеяния:
- - - = -A - costf) = 0.	(86.8)
Инвариант t:
t = -2kk' = -2шш'A - costf) = 0.
При заданной энергии ио находим (с помощью (86.8))
dt = 2a/2dcos # = -и'2 do', do' = 2тг sintfdtf.
Подстановка написанных выражений в (86.6) приводит к следу-
следующей формуле для сечения рассеяния в лабораторной системе
отсчета:
da=rl(^Y (!± + ^- sin2 A do>	(86<9)
{О. Klein, Y. Nishina, 1929; И. Е. Тамм, 1930).
Поскольку угол $ однозначно связан с со' соотношением (86.8),
сечение может быть выражено через энергию рассеянного фото-
фотона со':
К + — +(—--) -2т(— --) ' (86Л0)
LUJ	UJ \UJ UJ J	\UJ UJ J л

§ 86	РАССЕЯНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ	403
причем ио' меняется в пределах
	 W ^оо.	(86.11)
1 + 2ио/т	У	J
При uj <С т в (86.9) можно положить ио1 ~ о;, и получает-
получается, как и должно быть, классическая нерелятивистская формула
Томсона
da= -r2(l + cos2 $)do'	(86.12)
(см. II, G8.7)).
Для вычисления полного сечения вернемся к формуле (86.6).
(входящие в нее инварианты s, ?, и пробегают значения, удовле-
удовлетворяющие неравенствам
s > га2, i ^ 0, us ^ ш4.	(86.13)
Они были уже получены в § 67 (соответствующая им физиче-
физическая область — I на рис. 7, с. 299). Легко убедиться в них и непо-
непосредственно, написав выражения инвариантов в системе центра
инерции. Здесь р + к = 0, а энергии электрона е и фотона ио
связаны посредством е = \/ио2 + т2. Инварианты:
s = (е + иоJ = га2 + 2ш(ш + е),
и = т2 - 2ио(е + a;cos6>),	(86.14)
t = -2uo2(l -cos#),
где б — угол рассеяния (угол между рир' или между кик7). Три
неравенства (86.13) получаются из условий: ио ^ 0, — 1 ^ cos в ^ 1.
При заданном s (заданной энергии частиц) интегрирование
по t можно заменить интегрированием по и = 2m2 — s — t в
интервале
m4/s ^ гл ^ 2m2 — s.
Введя вместо s, гл величины
s — т2	т2 — и	/оп -, гч
ж =	—, у =	—,	(86.15)
т2	т2
получим
Г
J
и после элементарного интегрирования
МЫ (8616)

404
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
ГЛ. X
Первые члены разложения при х
дают
8тггР2
а =
1 (нерелятивистский случай)
A-х) (н. р.).	(86.17)
Первый член есть классическое томсоновское сечение. В обрат-
обратном, ультрарелятивистском случае i » 1, и разложение форму-
формулы (86.16) дает
(у. р.).
(86.18)
В лабораторной системе отсчета
х = 2ио/т,	(86.19)
так что формулы (86.16)—(86.18) прямо дают зависимость
а	сечения рассеяния на неподвижном
электроне от энергии фотона. На
рис. 13 дан график зависимости а от
ио/т.
Отметим, что в ультрареляти-
ультрарелятивистском случае сечение падает с уве-
увеличением энергии как в лабораторной
системе отсчета (а ос uo~l In о;), так и в
системе центра инерции х « 4а;2/??!2,
а ос о; In о;). Угловое же распреде-
распределение в ультрарелятивистском случае
носит в этих двух системах отсчета
совершенно различный характер.
В лабораторной системе диффе-
дифференциальное сечение имеет резкий
максимум в направлении вперед. В
(
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
V
\
\
\
\
1
0
0,01 0,1
Рис. 13
10 100
ио/т
узком конусе # < ^Jm/uo имеем а/ ~ а; и сечение da/do' ~ r2
(достигая значения г2 при $ —>• 0). Вне этого конуса сечение
убывает, и в области #2 ^> тп/ио (где ио' « га/A — cos?9)) имеем
2 cj(l-costf)
т. е. сечение уменьшается в ~ ио/т раз.
В системе же центра инерции дифференциальное сечение
имеет максимум в направлении назад. При тг — в <^ 1 имеем
из (86.14)
Наибольший член в сечении (86.6)
da « 8тгг2
m2dt
4(s — т2)(т2 — и)

§ 87	ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ	405
откуда
г?	do1
2 1 + (тг - 6Jио2/т2
Сечение da /do' ~ т\ в узком конусе тг — б < га/а;, а вне его
уменьшается по порядку величины в о;2/га2 раз.
§ 87. Рассеяние фотона электроном.
Поляризационные эффекты
Вернемся к исходным формулам предыдущего параграфа и
покажем, каким образом должны производиться вычисления с
учетом поляризации начальных и конечных фотонов и электро-
электронов.
Матрица плотности фотона выражается, согласно (8.17), с по-
помощью пары единичных 4-векторов е^1\ е^2\ удовлетворяющих
условиям (8.16). В данном случае можно выбрать эти векторы
единым образом для обоих фотонов. Это — введенные в § 70
4-векторы х)
^A) 	 N	B) 	 Р	/ог-7 -I \
— —/ : •) с — —/ •)	\	/
где
КХ = kX + klX, qX = к'Х -кХ=рХ- р'Х.
Величины Q^v в (86.5) даются формулой (86.4). Их можно
рассматривать как компоненты 4-тензора (в том смысле, что они
образуют 4-тензор после образования величин u'Q^u, как гово-
говорят, «в обкладках»). Все компоненты 4-тензора можно исчер-
исчерпать, проецируя его на четыре взаимно ортогональных 4-век-
тора, например на определенные выше Р, TV, g, К. Поскольку
тензоры p/2J , pJJ содержат только компоненты по Р и 7V, фак-
факб	Q
р p/ , pJ	р	, ф
тически нам нужны будут компоненты Q^v тоже лишь по этим
4-векторам.
) Альтернативный способ вычисления состоит в том, чтобы с самого нача-
начала рассматривать определенную систему отсчета (скажем, лабораторную) и
для каждого фотона выбрать в качестве е^\ е^ два чисто пространствен-
пространственных (е = @, е)) вектора, ортогональных по отношению к импульсу фотона
и по отношению друг к другу. При этом, однако, все вычисления будут про-
производиться в трехмерной форме, а результат не будет иметь инвариантного
вида.

406	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Другими словами, достаточно искать в Q^v лишь члены вида
Qv» = QoWeP + еBЧ2)) + Qi^e^ + е^) -
- «г2(е<М2) - е{№) + QM]^] ~ 42L2)); (87-3)
остальные члены при подстановке в (86.5) все равно выпали бы.
Величины Qq и Q% являются скалярами — в том же смысле, как
и Q^y есть 4-тензор; они содержат поэтому матрицы 7 лишь в
«инвариантных» комбинациях: jK и т. п. В том же смысле Q\
и Q2 — псевдоскаляры (N — псевдовектор!) и должны содержать
матрицу 75-
Непосредственным проецированием тензора Q^v находим
и т. д. Для вычисления удобно сначала выразить Q^ через вза-
взаимно ортогональные 4-векторы Р, TV, д, К:
Дальнейшее вычисление сводится к чисто алгебраическим пре-
преобразованиям с помощью приведенных в § 22 формул. Кроме
того, можно сделать в Q^v замены, которые не отразятся на
результате при дальнейшем образовании произведения u'Q^u.
Например, поскольку
то можно заменить в Q^ слагаемые
5
jp + jp -> 2т, 75Ы) -^ 2т75.	(87.4)
Опустив детали вычислений, приведем результат :) :
^5	(87.5)
Q2 = _ша+75^	Q3 = та+ + -а-
где
1 , 1
а± =±
— т2
х) Выражение (87.3) со значениями (87.5) соответствует виду G0.11)—
G0.13), установленному в § 70 из общих соображений. Помимо равенств
f3 = f6 = 0, следующих из Т-инвариантности, здесь оказывается равной
нулю еще одна инвариантная амплитуда (/2). Это — свойство рассматрива-
рассматриваемого приближения теории возмущений, и оно исчезло бы в более высоких
приб лижениях.

§ 87	ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ	407
Для дальнейших вычислений удобно применить к Q^v тот же
формальный прием, который был описан в § 8 для матрицы
плотности фотона: четыре компоненты тензора (87.3) по направ-
направлениям е^1), е^ объединим в двухрядную матрицу Q, которую
затем разложим по матрицам Паули. Аналогично формуле (8.18)
получим
Q = Qo + Q<r, Q = (Qi, Q2, Qs)	(87.6)
Что касается фигурирующего в (86.5) тензора Q^y = 7°Q/L7°j
то используя (87.3) и (87.5), легко убедиться (с помощью правил
(F5.2а))), что его компоненты получаются из компонент Q^v за-
заменой величин Qo, Qi, ... на Qo, Q1, ..., где
Qo = Qo, Qi = -Qi, Q2 = -Q2, Q3 = Qz, (87.7)
и одновременной перестановкой индексов \iv х) . В матричном
виде это значит, что
Q = Q0 + Q3r.	(87.8)
Уточним теперь смысл 4-векторов е^1^ е^ в их отношении
к поляризации фотонов. Для каждого из фотонов независимые
направления поляризации будут определяться поперечными (по
отношению к импульсу фотона к) составляющими 3-векторов
е(Д)^ еB) 2) ф Легко видеть, что как в системе центра инерции, так
и в лабораторной системе (системе покоя начального электрона)
вектор Р лежит в плоскости к к7, а вектор N перпендикулярен
этой плоскости. Поэтому направление е^1) имеет смысл поля-
поляризации перпендикулярно плоскости рассеяния, а направление
е^2) — поляризации в плоскости рассеяния. Надо также учесть,
что параметры Стокса ?i, ?2? ?з определяются по отношению к
осям xyz, образующим правовинтовую систему (с осью z вдоль
направления к). Легко видеть, что для начального фотона та-
такую систему составляют векторы N, —Pj_, k, а для конечного
фотона — векторы N, Р7±, k7 (P_l, Р7± — составляющие Р, пер-
перпендикулярные соответственно к и к7). Изменение знака е^ в
матрице плотности фотона (8.17) эквивалентно изменению зна-
знака ?i и ?2- Поэтому матрицы плотности начального и конечного
:)Для матрицы Q/j,u в исходной форме (86.4) мы имели бы просто
Qни = Qvv Это свойство, однако, теряется в результате преобразований,
включающих замены типа (87.4) и т. п.
2) Продольные же компоненты е (как и временные компоненты 4-век-
4-векторов е) можно при этом просто игнорировать: их несущественность обес-
обеспечивается калибровочной инвариантностью.

408	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
фотонов, отнесенные к 4-ортам е^\ е^\ будут
, 7	(87-9)
pW = \(l + €<r), * = (-&-&&•
Теперь тензорный след
вычисляется как след матричного произведения матриц
(87.6)-(87.9) с помощью C3.5). В результате получается
\Mfl\2 = SttVSpIO^'Qo^Qo +P{e)'Qp{e)Q) +
+ (? + t')(p{eYQoP{e)Q + P{eYQp{e)Qo) - *(? -
- PieYQpie)Q) + />(e)'(
'^'()()'()Qo)}- (87.Ю)
Рассеяние на неполяризованных электронах. Вычис-
Вычислим до конца сечение рассеяния поляризованных фотонов непо-
ляризованным электроном, просуммированное по поляризациям
конечного электрона. Для этого надо положить в (87.10)
Р{е) = \{1Р + ™I р(е)/ = 1GР; + т)
и удвоить результат, который должен быть подставлен вместо
|М^|2 в формулу для сечения F4.22)
32тг2 (s - m2J ' /г|
((р — азимут в системе центра инерции или в лабораторной си-
системе). Ряд членов в (87.10) обращается тождественно в нуль.
Вычисление остальных членов приводит к следующему оконча-
окончательному результату (в обозначениях (86.15)):
+i)+^
у 2/	4
уJ	\х у
где da — сечение рассеяния неполяризованных фотонов, давае-
даваемое формулой (86.9); множитель у2 связан с тем, что в (87.11)
нет суммирования по поляризациям конечного фотона.

§ 87	ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ	409
В лабораторной системе формула (87.11) принимает вид
l&?i + *22б& + *3з6& },
do' = smddddip, (87.12)
где
Fo = HL + ^ - sin2 0, F3 = sin2 0,
ш' ш	(87.13)
Fu = 2 cos 0, F22 = ( — + — ) cos i?, F33 = 1 + cos2 -d
(U. Fano, 1949). Заметим, что хотя выражение (87.12) не содер-
содержит явной зависимости от азимута плоскости рассеяния <р, но
имеется неявная зависимость, поскольку параметры ?i, ^2 , Сз
определяются относительно осей ж, у, z, связанных с плоскостью
рассеяния. Напомним, что ось х для обоих фотонов одинакова и
перпендикулярна плоскости рассеяния:
х || [kk;],
а оси у лежат в плоскости рассеяния:
' || [k'[kk']j
у || [k[kk'j], у'
Взяв сумму сечений, различающихся знаком ? (т. е. положив
?' = 0 и удвоив результат), мы получим полное (просуммирован-
(просуммированное по поляризациям конечного фотона) сечение рассеяния поля-
поляризованного фотона на неполяризованном электроне. Обозначив
его через cfcr(|), имеем
\{)	(87.14)
где
n2
F = Fo + &F3 = - + - - A - 6) sin2 #.	(87.15)
UJ' UJ
Мы видим, что сечение рассеяния фотонов, поляризованных пер-
перпендикулярно плоскости рассеяния (?з — 1), больше, чем для
фотонов, поляризованных в плоскости рассеяния (?з — ~1)« От
циркулярной же поляризации сечение не зависит. Оно не зависит
также и от параметра ?]_. Поэтому сечение рассеяния совпадает
с сечением для неполяризованных фотонов, если отсутствует ли-
линейная поляризация относительно осей х или у (?з — 0) или даже
если имеется поляризация относительно направлений, составля-
составляющих 45° с этими осями.
Аналогичными свойствами обладает сечение рассеяния непо-
неполяризованных фотонов с детектированием поляризованного фо-

410	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
тона. Это сечение (обозначим его через da(^f)) получится из фор-
формулы (87.12), если положить в ней ? = 0:
F' = F0 + &F3.	(87.16)
Из формулы (87.12) можно найти также поляризацию вто-
вторичного фотона как такового; параметры этой поляризации обо-
обозначим через ?'*' в отличие от детектируемой поляризации ?7.
Согласно изложенным в § 65 правилам величины Q ' равны от-
отношениям коэффициентов при ^ к члену, не содержащему ?':
?(/) = ^?ь #> = ^2, № = *±?*.	(87.17)
В частности, при рассеянии неполяризованного фотона
ЙЛ=^=0, Uf) = -	«*** 2 ¦	(87.18)
S1	S2	S3	uj/uj' + uj'/uj - sin2 &	V	7
При этом ?з > 0, т.е. вторичный фотон поляризуется перпен-
перпендикулярно плоскости рассеяния. Циркулярная же поляризация
вторичного фотона возникает, лишь если первичный фотон цир-
кулярно поляризован: ^ ?" 0 только при ^2 7^ 0-
Рассмотрим случай, когда падающий фотон полностью поля-
поляризован линейно (?2 = 0, ^\ + ?| = 1)> и найдем сечение рассе-
рассеяния, в котором детектируется тоже линейная поляризация вто-
вторичного фотона. Выразив параметры <^ и ^ через компоненты
векторов поляризации фотонов е и е7, получим следующее вы-
выражение для сечения рассеяния:
W	(87.19)
где Э — угол между направлениями поляризации падающего и
рассеянного фотонов х) .
Согласно этой формуле сечение ведет себя существенно раз-
различным образом в случаях, когда поляризации е и е7 взаимно
х) Формулу (87.19) саму по себе было бы проще получить, положив с само-
самого начала в амплитуде рассеяния (86.3) е = @, е), е = @, е') и произведя
дальнейшее вычисление квадрата амплитуды в трехмерном виде (т. е. раз-
разделив временные и пространственные компоненты 4-векторов).
Усреднив cos2 в = (ее7J по направлениям е и е' (с помощью D5.4а)) и
удвоив сечение (переход к суммированию по е7), мы вернемся, конечно, к
(86.9)

§ 87	ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ	411
перпендикулярны и когда они лежат в одной плоскости. Отли-
Отличая эти два случая индексами _L и ||, имеем в нерелятивистском
пределе (со <С га, ио' « ио)
da± = 0, da\\ = г2 cos26 do'	(87.20)
в согласии с классическими формулами. В обратном, ультраре-
ультрарелятивистском, случае имеем ио ^> га, ио' ~ га/A — cost?). Здесь
надо различать области больших и малых углов (оо/оо' велико
или мало):
= d = \T^Ldd = lr2e md°'	^2 > —;
4 ео;	4 eo;(l-cos^)'	о;'	(87.21)
= 0, dcrii = ri cos2 вс/о7, t92 ^C —.
Мы видим, что в области очень малых углов сечение рассея-
рассеяния совпадает с классическим. Равенство же da± ~ da\\ при не
слишком малых углах означает, что в этой области в ультра-
ультрарелятивистском случае рассеянное излучение не поляризовано;
подчеркнем, однако, что это заключение относится именно к ли-
линейно поляризованному падающему фотону: из (87.17) видно,
что для циркулярно поляризованного фотона в ультрареляти-
ультрарелятивистском случае ^ ^ cost? • ?2-
Рассеяние на поляризованных электронах. Для поляри-
поляризованных электронов вычисление следов в формуле (87.10) ста-
становится очень громоздким, хотя и не представляет принципиаль-
принципиальных затруднений. Мы приведем здесь некоторые окончательные
результаты такого расчета :) .
В общем случае сечение зависит как от поляризационных па-
параметров начального и конечного фотонов ? и ?7, так и от поля-
поляризаций начального и конечного электронов, характеризующих-
характеризующихся векторами ? и ?'. Зависимость сечения от каждого из этих
параметров линейна. Сечение имеет вид
k + ¦¦¦}•
о Ш
(87.22)
Здесь da(?, ?') —сечение (87.12). Выписаны все члены, содержа-
содержащие произведения двух поляризационных параметров. Опущены
:) Более подробные сведения можно найти в обзорных статьях: Tolhoek H.
A.//Rev. Mod. Phys.-1956.-V. 28.-P. 277; McMaster W. #.//Rev. Mod.
Phys. — 1961. — V. 33. — P. 8.

412	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
члены, содержащие произведения трех или четырех параметров;
эти члены несущественны, если нас интересуют корреляции меж-
между поляризациями лишь двух частиц: они выпадают, когда по-
поляризационные параметры двух других частиц полагаются рав-
равными нулю. Приведем значения некоторых из коэффициентов в
лабораторной системе отсчета:
п	1 — COS# {л	О i 1 /\
f = —	(k cos v + к ),
т
п/	1 — COS# /1,1/	q\
f = —	(к + к cos ш,
т
1 — cos #
ml	uj — uj' + 2m
/ 1 — cos $
f(k + k'cost?) - A + cost?) ш + ш>—(к - k')l ¦
ml	и — uj' + 2m	J
(87.23)
В сечении (87.22) отсутствует член вида G?; это значит, что
поляризация электрона не влияет на полное (просуммированное
по ?' и ?') сечение рассеяния поляризованных фотонов. Отсут-
Отсутствует также член вида G'C'] эт0 значит, что при рассеянии непо-
ляризованных фотонов электрон отдачи не поляризуется.
Мы видим также, что в члены, билинейные по поляризациям
электрона и фотона, входят только параметры ?2? ^2> отвеча-
отвечающие круговой поляризации фотона. Векторы же поляризации
электронов ? и ?7 входят в виде скалярных произведений f ?, ... ,
содержащих лишь проекции этих векторов на плоскость рассея-
рассеяния. Поэтому, например, сечение рассеяния поляризованного фо-
фотона поляризованным электроном
da(t, О = da(Z) + k2 (-) Vc<k'	(87.24)
Z \ UJ /
отличается от da(?) только при наличии у фотона круговой поля-
поляризации, а у электронов — отличной от нуля проекции среднего
спина на плоскость рассеяния. По той же причине электрон отда-
отдачи поляризуется только в случае, если фотон обладает круговой
поляризацией; вектор же возникающей поляризации электрона
лежит при этом в плоскости рассеяния:
?(/) = i^2g.	(87.25)
F
Соотношения симметрии. В заключение укажем, что ка-
качественные свойства поляризационных эффектов при рассеянии
фотонов на электронах следуют уже из общих требований сим-
симметрии.

§ 87	ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ	413
Параметр ^2 циркулярной поляризации — псевдоскаляр (см.
§ 8). Поэтому в силу требования Р-инвариантности члены вида
ос ^2 (или ос <*>>) в сечении рассеяния могли бы возникнуть лишь
как произведение ^2 на какой-либо псевдоскаляр, составленный
из имеющихся в нашем распоряжении векторов кик7 г) . Но из
двух полярных векторов нельзя составить псевдоскаляр. Отсюда
и следует, что указанных членов в сечении не может быть.
Параметры линейной поляризации ?i и ^2 связаны с компо-
компонентами двумерного (в плоскости, перпендикулярной к) симмет-
симметричного тензора
В данном случае одна из осей поляризации выбрана вдоль век-
вектора v = [kk7], а другая лежит в плоскости к к7 (вдоль вектора
[ki/] или [kV] для одного или другого фотона). Члены ос ?х мог-
могли бы возникнуть в сечении лишь как произведения Sa^ua[k.fi/]ij
(или, что то же, Sa^uak'n) и т. п. Но поскольку v — аксиальный и
к —полярный векторы, a Sap — истинный тензор, то такие про-
произведения не инвариантны по отношению к инверсии. Поэтому
членов ос ?i (или ос ?JJ в сечении тоже не может быть. Члены
же ос ?3 (или ос ?д) возникают как произведения Sapuaup и т. п.
и соображениями симметрии не запрещаются.
Члены в сечении, пропорциональные электронной поляриза-
поляризации ?, не запрещены по четности: такие члены могли бы быть об-
образованы как произведения двух аксиальных векторов: ?z/. Они,
однако, должны отсутствовать в рассмотренном нами первом не
исчезающем приближении теории возмущений как следствие эр-
митовости матрицы рассеяния в этом приближении (см. § 71).
В силу этой эрмитовости квадрат амплитуды рассеяния (а
с ним и сечение) не меняется при перестановке начального и
конечного состояний. В то же время сечение должно быть ин-
инвариантно по отношению к обращению времени — перестановке
начального и конечного состояний вместе с одновременным из-
изменением знака векторов импульса и момента всех частиц (пара-
(параметры же Стокса ?]_, ?2? Сз ПРИ этом не меняются — см. § 8). Ком-
Комбинируя оба эти требования, заключаем, что в рассматриваемом
приближении сечение не должно меняться при одновременном
изменении знака всех импульсов и моментов без перестановки
х) Рассматриваем процесс в лабораторной системе, где р = 0, р' = к — к7.
Очевидно, что интересующие нас следствия требований симметрии (нали-
(наличие или отсутствие тех или иных членов в сечении) не зависят от выбора
системы отсчета.

414	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
начального и конечного состояний, т. е. при преобразовании
к -> -к7, к7 -> -к7, С -> -С7 С7 -> -С'	(87.26)
и неизменных параметрах ?, ?7.
Преобразование (87.26) меняет знак произведения ?z/, и пото-
потому такпе члены не могут фигурировать в сечении. Подчеркнем,
однако, что этот запрет не является следствием строгих требова-
требований симметрии и может нарушаться в следующих приближениях
теории возмущений.
Заметим, что симметрия по четности запрещает члены вида
^1^3 и ^2^3 в двойной корреляции между поляризациями фото-
фотонов друг с другом и не накладывает никаких ограничений на
вид корреляции фотонов с электронами. Однако все члены ви-
вида ?i?2j ?iC СзС запрещены в первом приближении требовани-
требованием инвариантности относительно преобразования (87.26). Так,
члены вида ?i?'2 и CiC можно было бы образовать (с точки зре-
зрения соблюдения четности) как скаляры, например ^{Sapk'a^p) и
(Sa{3kfaV{3)(?k.)] эти комбинации, однако, меняют знак при преоб-
преобразовании (87.26).
Разрешенные корреляционные члены вида &С могут быть об-
образованы как произведения типа ^(С^). Векторы поляризации
электронов входят в них лишь в виде проекций на плоскость
рассеяния.
Наконец, ряд соотношений между коэффициентами в разре-
разрешенных членах возникает из требований кросс-универсальности.
Каналы реакции, различающиеся перестановкой начального и
конечного фотонов, отвечают одному процессу — рассеянию фо-
фотона на электроне. Поэтому квадрат модуля амплитуды, а с ним
и сечение рассеяния должны быть инвариантны по отношению
к преобразованию, выражающему переход от одного из этих ка-
каналов к другому:
ях электронов. В
замены:
со^-со', k^-k', ?i*+?i, 6^-Й, ?з^?з- (87-27)
Изменение знака параметра ^2 очевидно из выражения & =
= г[ее*]п, в котором вектор [ее*] при замене е <-> —е* меняет
знак, а вектор п = к/а; при замене к <н> —к, ио <н> —ио не меняет-
меняется. Преобразование (87.27), не затрагивая импульсов электронов,
оставляет лабораторную систему, лабораторной. Поэтому сече-
сечение (87.22) не должно менять своего вида при этом преобразова-
преобразовании; формулы (87.12), (87.22),(87.23) действительно удовлетво-
удовлетворяют этому условию.
при неизменных импульсах и поляризациях электронов. В трех-
трехмерном виде это преобразование означает замены:

§ 88	ДВУХФОТОННАЯ АННИГИЛЯЦИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ПАРЫ	415
§ 88. Двухфотонная аннигиляция электронной пары
Аннигиляции электрона и позитрона D-импульсы р_ и р+) с
образованием двух фотонов (к\ и к2) отвечают две диаграммы:
¦<— Р-
Они отличаются от диаграмм рассеяния фотона на электроне
заменой
р —>> р_, р'—>> —р+, к —>> — fei, ?/ —>> Й2-	(88.2)
Оба процесса — два перекрестных канала одной и той же (обоб-
(обобщенной) реакции. После замены (88.2) кинематические инвари-
инварианты (86.2) приобретают следующий смысл:
s = (р_ - fciJ,
) (	)	(88.3)
к2J
= (р_ - к2J
Если рассеяние фотона было «s-каналом, то аннигиляция есть
t- канал.
Квадрат |Му^|2 для аннигиляции (усредненный по поляриза-
поляризациям электронов и просуммированный по поляризациям фото-
фотонов) будучи выражен через инварианты s, и, совпадает с ана-
аналогичной величиной для рассеяния с изменением лишь смысла
инвариантов :) . В формуле же для сечения F4.23), в множите-
множителях при \Mfi\2, надо заменить: s <-> ?, причем для величины /
имеем теперь, согласно F4.15а),
I2 = U{t-Am2).
4
Произведя соответствующие изменения в формуле (86.6), полу-
получим в результате сечение аннигиляции
2т	2
7 о 2 т as
Физическая область аннигиляционного канала есть область II на
рис. 7 (см. с. 299). При заданном t (заданной энергии в системе
:) При этом учитывается, что фотоны и электроны имеют одинаковое чи-
число (два) независимых поляризаций и потому несущественно, по которым
|М/г| усредняется, а по которым суммируется.

416	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
центра инерции) интервал изменения s определяется уравнением
границы su = т4. Вместе с соотношением s + t + и = 2т2 это
дает
^/t(tAm) ^ s - т2 ^ -- + -\/t(t-Am2). (88.5)
Интегрирование выражения (88.4) элементарно; результат на-
надо еще разделить на 2, учитывая тождественность двух конеч-
конечных частиц (фотонов). Таким образом, получим
(88.6)
где г = t/4m2 (Р. Л. М. i?irac; 1930).
В нерелятивистском пределе (т —> 1) находим отсюда
<т = -НЦ(н.р.).	(88.7)
В ультрарелятивистском же случае (т —>> оо)
^l)(y. р.).	(88.8)
В лабораторной системе, в которой одна из частиц (скажем,
электрон) до столкновения покоилась, инвариант г есть
r = i(l+7), 7 = --	(88-9)
2	m
Формулы (88.6)—(88.8) дают зависимость полного сечения от
энергии налетающего позитрона:
^^T^]	(88-10)
В частности, в нерелятивистском пределе х)
l (н. р.),	(88.11)
где г>+ — скорость позитрона.
В системе центра инерции электрон, позитрон и оба фотона
имеют одинаковые энергии е = ио. Инварианты:
тп2 — s = 2е(е — |р| cos 6), m2 — и = 2е(е + |р| cos 6),
? = 4б2,	(88.12)
где в — угол между импульсами электрона и одного из фотонов.
*) Эта формула, однако, неприменима, когда г>+ < а, и нельзя пренебрегать
кулоновым взаимодействием компонент пары (ср. конец § 94).

§ 88	ДВУХФОТОННАЯ АННИГИЛЯЦИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ПАРЫ	417
Подставив (88.12) в (88.4), получим угловое распределение анни-
гиляционных фотонов
В ультрарелятивистском случае оно имеет симметричные мак-
максимумы в направлениях в = 0 и в = тг. Вблизи 6 = 0
2 2 j
7	гет ао	/ \	/оо 1 /i\
rfcr « 	^	 (у. р.).	(88.14)
2s2((92+m2/s2) U F J	V	7
Полное сечение получается из (88.6):
4г>
In 1±^ - 2B - г;2)! ,	(88.15)
1 — г>	J
где г; = |р|/б = v?2 — т2/е — скорость сталкивающихся частиц.
Мы не будем рассматривать здесь в деталях поляризацион-
поляризационные эффекты при аннигиляции *) . Остановимся лишь на неко-
некоторых качественных особенностях этих эффектов в предельных
случаях больших и малых скоростей v сталкивающихся частиц.
Будем рассматривать процесс в системе центра инерции.
В пределе v —>• 0 отличный от нуля вклад в сечение даст
лишь состояние с орбитальным моментом относительного дви-
движения / = 0. Но S-состояние системы «электрон + позитрон»
имеет отрицательную четность (см. задачу к § 27). В нечетных
же состояниях системы двух фотонов их поляризации взаимно
ортогональны (см. § 9). Таким же свойством должны, следова-
следовательно, обладать в нерелятивистском случае и аннигиляционные
фотоны.
Если электрон и позитрон поляризованы, то в том же нере-
нерелятивистском случае можно утверждать, что их аннигиляция
возможна лишь при антипараллельных спинах. Действительно,
поскольку аннигиляция происходит в ^-состоянии, полный мо-
момент системы совпадает с полным спином частиц, равным 1 при
параллельных спинах. Система же двух фотонов вообще не име-
имеет состояний с полным моментом 1 (см. § 9).
В ультрарелятивистском пределе (v —>• 1) аннигиляция про-
продольно поляризованных (спиральных) электрона и позитрона во-
возможна лишь при разных знаках их спиральностей 2) . В этом
пределе спиральные частицы ведут себя как нейтрино (см. ко-
конец § 80), а потому аннигилирующие электрон и позитрон долж-
должны быть аналогичны нейтрино и антинейтрино, откуда и следует
сделанное утверждение.
^См. McMaster W. H.//Rev. Mod. Phys. —1961. — V. 33. —P. 8.
2) Поскольку направления импульсов частиц в системе центра инерции
противоположны, различным по знаку спиральностям отвечают параллель-
параллельные спины.
14 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

418	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Аннигиляция же электрона и позитрона с одинаковыми спи-
ральностями возникает в ультрарелятивистском случае лишь
при учете членов, содержащих т. По порядку величины ампли-
амплитуда этого процесса отличается множителем т/е от амплитуды
аннигиляции пары с параллельными спинами; сечение же отли-
отличается соответственно множителем {т/еJ
Задача
Найти сечение образования электронной пары при столкновении двух
фотонов (G. Breit, J. A. Wheeler, 1934).
Решение. Этот процесс обратен двухфотонной аннигиляции элек-
электронной нары. Квадраты амплитуды обоих процессов одинаковы, а их связи
с сечением различаются лишь тем, что теперь I2 = (&1&2J = ?2/4. Поэтому
daобр = d(Jz,tt{t - 4m2)/t.
В системе центра инерции (t = 4s2 = 4cj2)
d(To6p = V с/сГанн,
где v — скорость компонент пары. При интегрировании с целью нахождения
полного сечения надо учесть, что ввиду нетождественности двух конечных
частиц (электрон и позитрон) не надо делить результат на 2, как в случае
аннигиляции. Поэтому (в системе центра инерции)
аобр = v2a^ = ^A - v2) (C - v4) In ^ - 2B - v2)} .	A)
2	I	I-v	)
В произвольной системе отсчета К, в которой два фотона к\ и &2 летят
навстречу друг другу, имеем (из инвариантности Aiife)
2
UJ1UJ2 = ио ,
где ио — энергия фотонов в системе центра инерции. Поскольку в этой систе-
системе энергии фотонов и компонент пары совпадают, то ш = е = т/у/1 — т2.
Поэтому для перехода к системе К надо положить в A)
L т2
v = \ 1	.
CJ1CJ2
§ 89. Аннигиляция позитрония
В силу сохранения импульса аннигиляция электрона и по-
позитрона в позитронии должна сопровождаться испусканием по
крайней мере двух фотонов. Такой распад, однако, возможен (в
основном состоянии) только для парапозитрония. В § 9 было по-
показано, что полный момент системы двух фотонов не может быть
равен 1. Поэтому ортопозитроний, находящийся в состоянии 3<Si,
не может распасться на два фотона. Более того, поскольку в со-
состоянии 3S\ позитроний представляет собой зарядово-нечетную
систему (см. задачу к § 27), то в силу теоремы Фарри (см. § 79)
невозможен его распад и вообще на любое четное число фотонов.
Напротив, в состоянии 1Sq позитроний зарядово-четен, и пото-
потому запрещен распад парапозитрония на любое нечетное число
фотонов.

§ 89	АННИГИЛЯЦИЯ ПОЗИТРОНИЯ	419
Основным процессом, определяющим время жизни позитро-
позитрония, является, таким образом, двухфотонная аннигиляция в слу-
случае парапозитрония и трехфотонная аннигиляция в случае ор-
топозитрония (И. Я. Померанчук, 1948). Вероятность распада
можно связать с сечением аннигиляции свободной пары.
Импульсы электрона и позитрона в позитронии ~ те2/Н, т. е.
малы по сравнению с тс. Поэтому при вычислении вероятности
аннигиляции можно перейти к пределу двух частиц, покоящих-
покоящихся в начале координат. Пусть а27 — сечение двухфотонной анни-
аннигиляции свободной пары, усредненное по направлениям спинов
обеих частиц. В нерелятивистском пределе, согласно (88.11) :) ,
^)Ч	(89.1)
тс2 J v
где v — относительная скорость частиц. Мы получим вероятность
аннигиляции г^; умножив сг27 на плотность потока, равную
v\ip(O)|2. Здесь ф(г))—нормированная на 1 волновая функция
основного состояния позитрония:
ф(г) = -^=е-г'а, а = ^-2	(89.2)
/3	те2
2
те2
(боровский радиус позитрония а в два раза больше радиуса ато-
атома водорода из-за вдвое меньшей приведенной массы). Эта веро-
вероятность, однако, отвечает усредненному по спинам начальному
состоянию. Между тем в позитронии из четырех возможных спи-
спиновых состоянии системы двух частиц способно к двухфотонной
аннигиляции лишь одно (с полным спином 0). Поэтому средняя
вероятность распада гЙ27 связана с вероятностью распада пара-
позитрония г^о соотношением W2j = wo/^- Таким образом,
wo = 4\^(O)\2(va2^v^o.	(89.3)
Подставив значения величин из (89.1),(89.2), получим для про-
продолжительности жизни парапозитрония
т0 = —^— = 1, 23 • 10~10 с.	(89.4)
тс2а5
Обратим внимание на то, что ширина уровня Fq = H/tq мала по
сравнению с его энергией
4	2
Ifr =	= тс —.
I 0СН1 4/г2	4
Именно это обстоятельство и позволяет рассматривать позитро-
позитроний как квазистационарную систему.
) Формулы (89.1)—(89.7) написаны в обычных единицах.
14*

420	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Аналогичным образом найдем, что вероятность распада ор-
топозитрония связана с усредненным по спинам сечением трех-
фотонной аннигиляции свободной пары соотношением
wi = ^з7 = !№@)|2(гкт37)„-ю	(89.5)
О	О
C/х— относительный статистический вес состояния со спином 1).
Забегая вперед, укажем, что
сг37 = ^-—-<*( —) •	89.6
3v	\ тс2 /
Поэтому продолжительность жизни ортопозитрония
П = ——	— = 1,4-ИГ7 с.	(89.7)
2(тг2 - 9) mc2aQ	'	V J
Неравенство Гх <С \Е0Си\ в этом случае, разумеется, выполняется
еще в большей степени, чем для парапозитрония.
Вычислим сечение трехфотонной аннигиляции свободной па-
пары (A. Ore, J. L. Powell, 1949).
Согласно F4.18) сечение рассматриваемого процесса в систе-
системе центра инерции выражается через квадрат амплитуды фор-
формулой
(89.?
da^ = -——¦———dlki + K2 + k.3)dluji + 002 + ^3 — ^тп) х
4/
Bтт)92ол
причем, согласно F4.16), / = 2m—v = m2v, где ^ — относитель-
относительная скорость позитрона и электрона (которую предполагаем ма-
малой); кх, к2, кз и cl>x, 6^2, ^3 — волновые векторы и частоты
возникающих фотонов; S-функции выражают законы сохранения
энергии и импульса. В силу этих законов три частоты cji, 6^2, ^3
должны изображаться длинами сторон треугольника с перимет-
периметром 2т. Другими словами, величины импульсов кх, к2, кз и
углы между ними полностью определяются заданием двух ча-
частот.
Трехфотонной аннигиляции отвечают диаграмма
^^ Р-
-Р+
и еще пять диаграмм, получающихся перестановкой фотонов
&Ъ ^2 ^ ^з- Соответствующую амплитуду запишем в виде
Mfi = ^)^ef*e^*e^*u{-p+)Qx^u{p.),	(89.9)

§ 89	АННИГИЛЯЦИЯ ПОЗИТРОНИЯ	421
где
q\iw = ^JXG(k3 -p+WG{p- - W,	(89.10)
пер
причем сумма берется по всем перестановкам номеров фотонов
1, 2, 3 вместе с одновременными такими же перестановками соот-
соответствующих тензорных индексов \/j,v. Квадрат модуля ампли-
амплитуды, усредненный по поляризациям электрона и позитрона и
просуммированный по поляризациям фотонов:
i J2 \Mft\2 = DтгK Sp {p+Q^p.Q^} ,	(89.11)
поляр
где	1
P=~(lP-
Матрицы Q отличаются от матриц Q^v обращением порядка
множителей в каждом члене суммы. В интересующем нас пре-
предельном случае малых скоростей электрона и позитрона можно
положить их 3-импульсы р_ и р+ равными нулю, т. е. положить
р_ = р+ = (га, 0). Тогда электронные функции Грина
G(p_ _ kl) =
и т. п., а матрицы плотности сводятся к
т / о i 1 \
Р± = уG ±1)-
При перемножении в (89.11) возникает большое количество чле-
членов. Однако число подлежащих вычислению членов можно силь-
сильно уменьшить, если воспользоваться в полной мере симметрией
по отношению к перестановкам фотонов. Так, достаточно пере-
перемножить шесть членов в QXfJjl/ (89.10) лишь с одним каким-либо
членом в Q F. В оставшихся, таким образом, шести следах то-
тоже можно выделить некоторые части, переходящие друг в друга
при различных перестановках фотонов. Возникающие при рас-
раскрытии следов произведения 4-векторов р, fci, &2, &з выража-
выражаются через частоты o;i5 о^? ^з- Поскольку р = (га, 0), то рк\ =
= rao;i, ... Произведения же к\к2, ••• определяются из урав-
уравнения сохранения 4-импульса: 2р = к\ + k<i + к%] так, переписав
это равенство в виде 2р — к% = к\ + k<i и возведя его в квадрат,
получим
кгк2 = 2га(га - о;3), ...	(89.12)
В результате все же довольно длинного вычисления получа-
получается
4
поляр

422
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
ГЛ. X
Подставив это выражение в (89.8), найдем дифференциальное
сечение трехфотонной аннигиляции:
7rzmz
CJ1CJ2
-2га)-
-. (89.13)
dasj =
Здесь надо еще исключить E-функции. Первая из них устра-
устраняется интегрированием по с/3/сз, после чего заменяем остальные
дифференциалы:
d3kid3k2 —>>
где #12— угол между ki и к^; подразумевается, что уже произ-
произведено интегрирование по направлениям ki и азимуту к2 отно-
относительно ki. Дифференцируя равенство
= у <
COS #12,
находим
rf cos #12 =
UJ2,
CJ1CJ2
Интегрированием по ио% устраняем вторую E-функцию. В резуль-
результате получим сечение для аннигиляции с образованием фотонов
с заданными энергиями в виде
1 8е6 Г (т-иоЛ2 , {т - и2\2 , {т-иЛ2\ , , ,QO i7lx
, = -—-^ I	 +l	 +(	 >dwiduJ (89.14)
6 vmz к \ uj\UJ2 / V CJ1CJ3 / V CJ2CJ3 /
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
)
CJ1CJ2 / V CJ1CJ3
(имея в виду дальнейшее интегрирование по частотам, мы вве-
ввели сюда множитель 1/q1 учитывающий тождественность фотонов
F	(ср. примеч. на с. 286)).
Каждая из частот o;i5 6^2, ^3 мо-
может пробегать значения между 0 и
т (значение т достигается двумя ча-
частотами, когда третья равна нулю).
При заданном ио\ частота ио2 меняется
между m—uoi и т. Интегрируя (89.14)
по U02 в этих пределах, получаем спек-
спектральное распределение фотонов рас-
У
у
уУ
У
1
/
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 пада:
Рис. 14
су ч
\2т(т-ш\)
Зг>т3
2т(т —
Bm —
In
m —
Bm —
Функция ^(c^i) монотонно возрастает от нуля при ио\ = 0 до
1 при ио\ = т; на рис. 14 изображен ее график.

§ 90	МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ	423
Полное сечение аннигиляции получается интегрированием
(89.14) по обеим частотам:
т т
I '
(oJi+oJ2-m)
О т-
Стоящий здесь двойной интеграл равен (тг2—9)/3, и мы приходим
к приведенной выше формуле (89.6).
§ 90. Магнитотормозное излучение
Согласно классической теории (см. II, § 74) ультрареляти-
ультрарелятивистский электрон, движущийся в постоянном магнитном поле
Д", излучает квазинепрерывный спектр с максимумом, приходя-
приходящимся на частоту
где
-) ,	(90.1)
т/
« М^	(90.2)
IpI	e
— частота обращения электрона с энергией е по круговой орбите
(в плоскости, перпендикулярной полю) х) . Будем считать, что
продольная (вдоль Н) составляющая скорости электрона равна
нулю; этого всегда можно добиться надлежащим выбором систе-
системы отсчета.
Квантовые эффекты в магнитотормозном излучении имеют
двоякое происхождение: квантование движения электрона и
квантовая отдача при испускании фотона. Последняя определя-
определяется отношением huo/s, и условие применимости классической
теории требует его малости. В этой связи удобно ввести пара-
параметр
Но т
где Щ = т2/(\е\П)(= т2с3/\\е\П)) = 4,4 • 1013 Гс. В классиче-
классической области х ~ fbuj/e <С 1. В случае х ^ 1 энергия излученного
фотона fvuj ~ ?, причем при % 3> 1 (как мы увидим в дальней-
дальнейшем) существенная область спектра простирается до частот, при
которых энергия электрона после испускания
е' „ тё± < 6.	(90.4)
н
) В этом параграфе полагаем с = 1, но сохраняем множители Л.

424	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Для того чтобы электрон оставался ультрарелятивистским, поле
должно удовлетворять условию
|- « 1.	(90.5)
Что касается квантования самого движения электрона, то оно
характеризуется отношением Hooq/s; Hooq есть расстояние между
соседними уровнями энергии при движении в магнитном поле.
Поскольку
huo_ _ H_ (т\2
е " Но U ) '
то ввиду (90.5) Hujq <С ?, т. е. движение электрона квазиклас-
сично вне зависимости от значения х- Другими словами, можно
пренебречь некоммутативностью операторов динамических пе-
переменных электрона друг с другом (величины « Hujq/s), учиты-
учитывая в то же время их некоммутативность с операторами фотон-
фотонного поля (величины ~ Hujq/s) :) .
Квазиклассические волновые функции стационарных состоя-
состояния электрона во внешнем поле могут быть представлены в сим-
символическом виде
ф = {2H)-1'2u{p)eW (-|Я<) р(г),	(90.6)
где ip(r) ~ exp(iS/H) —квазиклассические волновые функции
бесспиновой частицы (S(r)) —ее классическое действие); и(р) —
операторный биспинор
ит=
УР)
получающийся из биспинорной амплитуды плоской волны и(р)
B3.9) заменой р и е операторами 2)
2I/2
р = Р - еА = -ihV - еА, Н = (р2 + ш2)
Р — обобщенный импульс частицы в поле с векторным потен-
потенциалом А(г); порядок, в котором стоят операторные множители
1) Полное решение квантовой задачи о магнитотормозном излучении бы-
было дано Н. П. Клепиковым A954), а первая квантовая поправка к клас-
классической формуле — А. А. Соколовым, Н. П. Клепиковым и И. М. Тер-
Терновым A952). Излагаемый в этом параграфе вывод, использующий яв-
явным образом квазиклассичность движения, принадлежит В. Н. Байеру и
В. М. Каткову A967). Аналогичный метод был использован ранее Швин-
гером (J. Schwinger, 1967) для получения первой квантовой поправки в ин-
интенсивности излучения.
2)В этом параграфе (в отличие от гл. IV) обобщенный импульс обозна-
обозначается прописной буквой Р; обозначение же р применяется для обычного
(кинетического) импульса.

§ 90	МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ	425
в Ф, несуществен, поскольку их некоммутативностью мы прене-
пренебрегаем; спиновое состояние электрона определяется 3-спинором
w).
Для вычисления вероятности излучения фотона в квазиклас-
квазиклассическом случае удобнее исходить не из окончательной формулы
теории возмущений D4.3), а из формулы, в которой еще не про-
произведено интегрирование по времени. Для полной (за все время)
дифференциальной вероятности имеем х)
/
оо
= f Vfi(t)dt	(90-7)
(ср. III, D1.2)); суммирование производится по конечным состо-
состояниям электрона.
Использовав (90.6), запишем матричный элемент для испус-
испускания фотона w, кв операторном виде
—Ht) ^L
H
BЯ)
(-г«)
где в квадратных скобках операторы действуют налево; поле
фотона выбрано в трехмерно поперечной калибровке. Множи-
Множители exp(±iHt/H) превращают стоящие между ними шрединге-
ровские операторы в зависящие явно от времени операторы гей-
гейзенберговского представления. Запишем Vfi(t) в виде
где Q(t) обозначает гейзенберговский оператор
Q(t) = J^(ae*)e-k?W^i^,	(90.8)
BЯ) V2 v ;	BЯ) V2	v J
а матричный элемент берется по отношению к функциям cpf, cpi.
1) Подставив
Vfi(t) = Vfi
получим afi = 27rVfi6(u)fi). Учитывая, что квадрат ^-функции надо пони-
понимать как
\5(ш)\2 -> (t/2jr)*(w),
где t — полное время наблюдения (ср. вывод F4.5)), получаем из (90.7) для
вероятности в единицу времени формулу D4.3).

426	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Суммирование в (90.7) производится по всем конечным вол-
волновым функциям cpf] оно осуществляется с помощью равенства
выражающего полноту системы функций (ff. В результате полу-
получим
dw = L-'LJL I dti / dt2 • eiuj{tl~t2)(i\Q+(t2)Q(ti)\i). (90.9)
j j
Если интегрирование производится по достаточно большому про-
промежутку времени, можно ввести вместо ?]_, t2 новые переменные
и в интеграле по dt рассматривать подынтегральное выражение
как вероятность испускания в единицу времени. Умножив ее на
Hw, получим интенсивность
dl = —2dzk f e-iujT(i\Q+ U+-}qU- -) \i)dr.	(90.10)
Ультрарелятивистский электрон излучает в узкий конус под
углами в ~ m/e относительно его скорости v. Поэтому излуче-
излучение в заданном направлении п = k/о; формируется на участке
траектории, на котором v поворачивается на угол ~ гп/е. Этот
участок проходится за время т такое, что r|v| « tooq ~ m/e ^C 1.
Именно эта область даст основной вклад в интеграл по т. Поэто-
Поэтому в дальнейших вычислениях мы будем систематически разла-
разлагать все величины по степеням ooqt. При этом, однако, может
оказаться необходимым сохранять более чем один старший член
разложения ввиду сокращений, происходящих из-за того, что
1 — nv ~ в2 ~ {m/eJ.
Если привести оператор Q+Q к виду произведения комму-
коммутативных (с требуемой точностью) операторов, то взятие диа-
диагонального матричного элемента (г| ... |г) сведется к замене этих
операторов классическими значениями (функциями времени) со-
соответствующих величин. Эта цель достигается следующим обра-
образом.	^
Согласно сказанному выше, в выражении для Q(t) надо учи-
учитывать некоммутативность электронных операторов лишь с опе-
оператором ехр[—гкг(?)], связанным с фотонным полем. Имеем
р ехр (-гкг) = ехр (-гкг) (р - Пк),
Я(р)ехрНкг) = exp (-ikr) Я (р - ftk)	l ' ]

§ 90	МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ	427
Эти формулы — следствие того, что ехр(—гкх) есть оператор
сдвига в импульсном пространстве. С помощью (90.11) выносим
в (90.8) оператор ехр(—гкг(?)) налево и записываем Q(t) в виде
Q(t) = exp[-ikr(t)l R(t), R(t) = Д^(ае*)^^, (90.12)
где H1 = H - Пои, p' = p - Hk.
Теперь
Q+Qi = R2 exp(ikr2) exp(-ikri)^i	(90.13)
(здесь и ниже индексы 1 и 2 отмечают значения величины в
моменты времени t\ = t — т/2 и t2 = t + т/2). Остается вычис-
вычислить произведение двух некоммутативных операторов exp(ik?2)
и ехр(—гкгх). Само это произведение уже можно считать комму-
коммутативным с остальными множителями.
Обозначим
L(t) = exp(—iour) exp(ik?2) exp(—ik?i);	(90.14)
именно эта комбинация операторов входит в (90.10). По смыслу
оператора ехр (гНт/Н) как оператора сдвига по времени имеем
exp(ik?2) = ехр [гН- ) exp(ikrri) ехр (—гН- ) .
Подставив это выражение в (90.14) и учтя, что exp(ikri) есть
оператор сдвига в импульсном пространстве, преобразуем L к
виду
L(r) = ехр \г[Н - Пш]-}ехр {-гЯ(р! - йк)-} . (90.15)
Продифференцировав (90.15) по т и снова использовав свойства
оператора сдвига по времени, запишем *)
*L = 1- ехр \i[H - Пш]-\ [Н - Пио - Я(рг - Пк)] х
x ехр (-«Я(р1 - Пк)-\ =-[Н - Пш - Я(р2 - йк)]?(т).
(90.16)
После того как некоммутативность операторов таким обра-
образом использована, можно заменить вое операторы соответству-
соответствующими классическими величинами (в том числе гамильтониан
:) В силу сохранения энергии гейзенберговские операторы H(pi) и H(f>2)
совпадают, поэтому в таких случаях аргумент у Н не пишем. Но, конечно,
Я(р1 — hk) отнюдь не совпадает с Я(р2 — hk).

428	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Н энергией электрона е). Имеем тождественно
е(р2 - Пк) = [(р2 - ПкJ + т2}1/2 = [(е - fkoJ + 2^(а;е - кр2)]1/2.
Разность
о;? — кр2 = we(l — nv2)
мала, поскольку, согласно сказанному выше, 1 — vn ~ (m/бJ. С
точностью до первого порядка по этой разности имеем
б(р2 — hk) « е + —H(u) -
г'
где е' = ? — йо;. Из (90.16) находим теперь дифференциальное
уравнение для функции L(r):
Щшлг2к)Ь.	(90.17)
dr г'
Это уравнение должно решаться с очевидным начальным усло-
условием L@) = 1. Заметив, что
т
w2dr = r2 -гь
о
получим
L(t) = exp {i4(kr2 - kri - wr)} .	(90.18)
До сих пор мы не использовали конкретного вида траектории
электрона. Выразим теперь г2 — ri в (90.18) через pi с помощью
уравнения движения электрона в плоскости, перпендикулярной
полю Н (см. II, § 21):
pi . еНт , [piH] Л	еНт\
г2 — ri = — sm	+ ^-^—}- 1 — cos	 .
еН	е	еЯ2 V	е )
Разлагая по степеням т, имеем отсюда
k(r2 - п) -шткит {(vm - 1) + т*51 - г2^} (90.19)
(в последнем члене положено nvi ~ 1).
Преобразуем остальные множители в (90.13). Прямым рас-
раскрытием произведения в R(t) (с матрицей а из B1.20)) находим
R(t) =w*fe*(A + i[B*])wi,
А = ? (I + Г) = ?±^v,	(90.20)
2 \s e'J	2e' '	V	7
В = - н — -^-— w — n — v + v—
2 Vs + m s' + m/ 2s7 V	/

§ 90	МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ	429
где p'(t) = p(t) — fik.] опущены члены высших порядков по т/е.
Таким образом, окончательно имеем
exp(-io;t)(i|Q+Qi|i) = ЩЯгЦт),	(90.21)
RlRr = Sp i±f	i±^
Множители A + ?сг) /2 — двухрядные поляризационные матрицы
плотности начального и конечного электронов.
Рассмотрим интенсивность излучения, просуммированную по
поляризациям фотона и конечного электрона и усредненную по
поляризациям начального электрона. В результате указанных
операций получим после простого вычисления :)
2 ^
1	V R\RX = ^±AvlV2 1) + - (Щ (-Y.
2	^ l	2s'2 ViZ } 2 V е' ) V г )
поляр
С требуемой точностью
2 т2 • 2 , т2	1 ?^2 12 2
ViV2 = V - — V + — VV = 1 - — - -U>0T .
Подставив эти выражения в (90.21), а затем в (90.10), получим
2
dl = —-^—L2
4тг2
[ (т2е2 + е12 22\ Г «wre Л	, г2 2А\ й
I — +	ШпТ ехр < —	 1 — vn + — uoi > dr.
J \s?f 4s/2 ° / F I e' V	24 °/J
X
— сю
(90.22)
Эта формула дает спектральное и угловое распределение интен-
интенсивности излучения.
Для нахождения спектрального распределения произведем
интегрирование по don. Выбирая направление v в качестве по-
полярной оси с углом $ между п и v, имеем
nv = v cos #, don = sm'&d'&dip,
) Здесь использовано также следующее обстоятельство. При суммирова-
суммировании по е:
^2 = (vie)(v2e*) = viv2 - (vin)(v2n).
е
Но при подстановке (90.21) в (90.10) можно произвести интегрирование по
частям, заметив, что
( , ( is. \ is' d ( is.
(vm)exp	kn =	ехр	kn
V s' J su dt\ \ s'
и аналогично для V2n. В результате найдем, что для дальнейшего интегри-
интегрирования vin и V2n мож:но заменить здесь единицей.

430	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
и интеграл
{iujTS \ j 27rsf Г {iujTSv\ ( iuorevW
exp 	nv aon =	< exp 	 —exp —	 >.
V e' J	iuursv I \ e' J	\ e' J )
При подстановке этого выражения в (90.22) мы получим два чле-
члена, показатели экспонент которых имеют разный порядок вели-
величины. Показатель экспоненты второго члена оказывается гораз-
гораздо большим, поскольку содержит множитель 1 + v « 2 и вместо
малого множителя l — v~ т2/Bб2) в первом члене. Сместив кон-
контур интегрирования по т в нижнюю полуплоскость комплексного
переменного т, можно сделать второй член малым и пренебречь
им. После этого можно снова совместить контур интегрирования
с вещественной осью. Из вывода видно, однако, что имеющийся
теперь полюс в подынтегральном выражении при т = 0 должен
обходиться снизу. Таким образом,
оо
dl ie2uj I	(m2 . s2 + e'2 2 2\	Г iujrs	(л	. r2 2\] j
— = 	 / 	+	U)nT exp < —	 1 — v + —U)n > dr.
du 2тг J	\s2r	4ssf ° / Fl e'	V	24 °/ J '
— oo
причем контур интегрирования выбирается указанным выше
способом. Используя интегральное представление функции Эй-
ри Ф (см. Ill, § b), нетрудно показать, что первый член сводится
к интегралу от функции Эйри, а второй — к производной от нее.
Окончательно находим
^	/=., ,-_-,.,_. _,.-- ,-,--, , (90.23)
_Х
1/2
X
/ *- \ '	2/	\ 2/3
= \%) = 5" fe)	(9°-24)
(А. И. Никишов, В. И. Ритпус, 1967). Максимум в частотном рас-
распределении лежит при х ~ 1; при х ^ 1 отсюда следует (90.1),
а при х ^> 1 —(90.4). В классическом предельном случае имеем
Ни) ^С ?, так что е1 « ?, ж « (uj/ujq) k(m/eJ\ второй член в круг-
круглых скобках мал и (90.23) переходит в классическую формулу
G4.13) (см. II).
На рис. 15 изображены графики спектрального распределе-
распределения при различных значениях х- Отложена величина
1 dl
как функция отношения ио/иоС1 где
2/з + Х

90
МАГНИТОТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
431
Величина /кл есть классическая полная интенсивность излуче-
излучения (ср. II, G4.2)).
///кл
0,4
0,3
0,2
0,1
0
г-
\3Х=(
ч \
3 ""^
0,5
1 1,5
Рис. 15
2,5
0,8
0,6
0,4
0,2
\
\
\
\
ч
О 0,5 1,0 1,5
Рис. 16
Для вычисления полной интенсивности излучения выраже-
выражение (90.23) надо проинтегрировать по о; от 0 до е. Перейдем к
интегрированию по ж, заметив, что
1
а следовательно, х меняется от 0 до оо. Произведя в первом члене
в (90.23) дважды интегрирование по частям, получим
/= е2т2Х2 Г 4±
О /^Й2 /
(90.25)
На рис. 16 изображен график функции /(х)//кл.
При х ^ 1 в интеграле существенна область х ~ 1. Разлагая
подынтегральное выражение по х и интегрируя это разложение
с помощью формулы
о
получаем
/=/к
(90.26)
При ^ > 1 в интеграле существенна область, в которой
3 /
XX /2~1, т. е. ж < 1. В первом приближ:ении можно поэтому
заменить Ф'(х) на Ф7@) = -31/6ГB/3)/B0г), после чего инте-
интегрирование дает
2/з =
C )	0 37?W (Л1_у\	(90.27)
243/г2 V А)	' П2 \HomJ	V	J
Магнитотормозное излучение приводит к возникновению поля-
поляризации движущихся электронов (А. А. Соколов, И. М. Тернов,

432	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
1963). Для рассмотрения этого вопроса надо найти вероятность
радиационного перехода с обращением направления спина.
Положив в (90.21) Ci = -С/ = С ICI = 1? получим
i?*i?1 = (B1B2)-(e*B1)(eB2)-
- (e*[BiC])(e[B2C]) -i(Ce*)(e[BiB2]).
Суммирование по поляризациям фотона дает после простых пре-
преобразований
Д2Д1 = (В!В2)A - (CnJ) + (Cn)(nBi)(CB2) +
+ (Cn)(nB2)(CBi) - г(С - n(nC))[BiB2]. (90.28)
Будем предполагать, что х ^ 1? и будем искать лишь глав-
главный член разложения вероятности по степеням Н. Поскольку вы-
выражение (90.28) (с В из (90.20)) уже содержит /г2, то все остаю-
остающиеся (в том числе в показателе экспоненты в (90.18)) величины
е' можно заменить на е.
Разложив
2s
Buj (	т . m
2 = — П — V — -V + V —
2e V	2	e
r2 - r*i = rv + ^v
и подставив (90.28) в (90.21) и затем в (90.10), найдем диффе-
дифференциальную вероятность перехода в единицу времени (dw =
= dl/Hui). Она интегрируется с помощью формулы
^	(90.29)
(ж0 - г0J - х2 '
где в данном случае
2	2
=Т
Вычисление приводит к результату
ah2 ( е\5 з I	dz
тгш2 \mJ U J (l + ?2/12K
[А _
V4
где сделана замена: z = тио^е/т^ а контур интегрирования по
2 проходит ниже вещественной оси и замыкается в нижней по-
полуплоскости. Выполнив это последнее интегрирование, получим

§ 91	ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ФОТОНОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	433
окончательно полную вероятность радиационного перехода с
обращением спина:
w
Бл/За П2 ( е\Ъ зЛ 2^2 8л/3 е > \	/пп огл
= ~~^	2 (~J wo I ! - оСи - "Г^гА '	90.30
16 т2 \т/	у 9 й 15 \е\ J
где ?ц = ?v, ?_l = С^И/Н. Эта формула пригодна как для элек-
электронов (е < 0), так и для позитронов (е > 0).
Вероятность (90.30) не зависит от знака продольной поляри-
поляризации ?ц, но зависит от знака (±. Поэтому и возникающая в ре-
результате излучения поляризация поперечна :) . Для электронов
вероятность перехода из состояния со спином «по полю» ((± = 1)
в состояние со спином «против поля» больше вероятности обрат-
обратного перехода. Поэтому радиационная поляризация электронов
направлена против поля, а ее степень в стационарном состоянии
равна (при ?ц =0)
w(U = -l)-w(U = l) _ 8л/3 _ Q 92
(C i) + (C i) 15
Позитроны поляризуются (с такой же степенью) в направлении
по полю.
§ 91. Образование пар фотоном в магнитном поле
Образование электрон-позитронной пары фотоном в магнит-
магнитном поле и магнитотормозное излучение — два перекрестных ка-
канала одной и той же реакции. Поэтому амплитуда Mfi процесса
образования пары получается из амплитуды тормозного излуче-
излучения просто путем замены
е, р ->> -е+, -р+; е1\ р7 ->> -е_, -р_; cj, k -^ -о;, -к
(91.1)
(здесь ?_, р_ и ?+, р+— энергии и импульсы электрона и по-
позитрона в паре; е, р и е', р7 —начальные и конечные энергии и
импульсы электрона при тормозном излучении). В терминах уг-
углов и абсолютных значений преобразование импульсов есть
|Р| -> |р+|, |Р7| -> |р-|, 0 ^ тг - 0+, 0; ^ 0_, у? ^ ^ - тг, (91.2)
где 0± — углы между р± и к, ср — угол между плоскостями к, р+
и к, р_. В случае тормозного излучения сечение процесса выра-
1)Это обстоятельство, впрочем, ясно заранее: аксиальный вектор возни-
возникающей поляризации может быть направлен лишь вдоль единственного фи-
фигурирующего в задаче аксиального вектора Н.

434	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
жается через амплитуду формулой :)
(см. F4.25)); E-функция устраняется интегрированием по е'. По-
Помня, что в данном случае р7 и к — независимые переменные, и
замечая, что
d3pf = \v'\e'de'dd, d3k = u2
надо просто заменить
8{е - е' - uo)d3pd3k -> oj2\pf\
Тогда
2^duj-	(9L4)
В случае же образования пары фотоном сечение выражается
через амплитуду согласно
da =
5{u e+ s_f
8ujss+ V + } Bтт)
или, после исключения S-функции:
da = |М^|2|р+||р-^о+^о_&+.	(91.5)
8BttMcj
Сравнив с (91.4), мы увидим, что для получения сечения обра-
образования пары из сечения тормозного излучения надо произвести
в последнем замену (91.1), умножить его на
(91.6)
и заменить do'do^ на do+do-.
В ультрарелятивистском случае (ио ^> га) 2) это можно сде-
сделать в формулах, полученных в предыдущем параграфе. При
этом предполагается, что обе частицы пары являются ультраре-
ультрарелятивистскими; легко проследить, что в таком случае остаются
справедливыми все использованные в § 90 приближения.
В частности, вероятность рождения пары неполяризованным
фотоном, просуммированную по проекциям спина электрона и
позитрона и проинтегрированную по направлениям вылета элек-
электрона, получим, произведя замену (91.1) в формуле (90.22) (точ-
х) В этом параграфе снова полагаем не только с = 1, но и й = 1.
) Точнее, должно быть uj sin $ ^> т, где $ — угол между к и Н; при $ = 0
пары вообще не рождаются. Ниже полагаем Ф = тг/2.

91
ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ФОТОНОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
435
нее —в выражении для dl/uo), при этом d3к = uo2duodon заменя-
заменяется на d3p+\
dw =
J V+z-
47Г2 U J \?+?-
— oo
4е2_
- nv+ + T^
dr, (91.7)
где а;о+ = |e|i?/?+; п —единичный вектор в направлении им-
импульса фотона, лежащего в плоскости, перпендикулярной маг-
магнитному полю. Интегрирование производится так же, как это
было сделано в § 90, причем (поскольку выражение (91.7) зави-
зависит только от угла между п и v_|_) безразлично — интегрировать
по do+ или по don. Поэтому ответ можно получить непосред-
непосредственно по аналогии с (90.23):
dw =
где теперь
х =
2 2 7
_Х
Не+е-
2/3
_ \e\Huo ( П2\е\Нио\
(91.9)
Полная вероятность рождения пары в единицу времени полу-
получается интегрированием (91.8) по ?+ (причем, ввиду очевидной
симметрии по отношению к ?+ н ?_ = ио — ?+, достаточно ин-
интегрировать от 0 до ио/2 и затем удвоить результат). Производя
замену переменной интегрирования ?+ на х и интегрируя первый
член в (91.8) дважды по частям, получаем
oo
|е|3Я	Г
х И/4 (д. 3/2 -
(91.10)
) 2/3
(А. И. Никишов, В. И. Ритпус, 1967).
В предельном случае слабых полей (х ^С 1) в интеграле
(91.10) существенны значения х вблизи нижнего предела. По-
Поскольку эти значения велики, можно воспользоваться асимпто-
асимптотическим выражением для функции Эйри
ФЫ « —
(см. III, § Ь). Введя переменную интегрирования у = ж3/2 — 4/х
и полож:ив у = 0 везде, где это возмож:но, получим в результате

436	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
вычисления
_ 33/2|е|3Я
w = —^	ехр(——1, х<1.	(91.11)
Экспоненциальное убывание вероятности при х —>> 0 отвечает
невозможности рождения пар в классическом пределе.
В обратном предельном случае сильных полей (х ^> 1) в ин-
интеграле (91.10) существен только второй член, причем он опре-
определяется областью значений ж, в которой ж /2 ~ 1/х < 1. В этой
области можно заменить функцию Ф'(ж) ее значением
ф'@) = З^ГB/3)_
Использовав значение интеграла
получим
S"^l ЩЩ х»1. (91.12)
24/з .
Функция mw(x)/\e\^H имеет максимум, равный 0,11, при
^ 11.
§ 92. Тормозное излучение электрона на ядре.
Нерелятивистский случай
Этот и несколько следующих параграфов посвящены важно-
важному явлению тормозного излучения, сопровождающего столкно-
столкновения частиц. Начнем с нерелятивистского столкновения элек-
электрона с ядром. Будем считать, что ядро остается неподвижным,
т. е. рассмотрим излучение при рассеянии электрона в кулоновом
поле неподвижного центра (A. Sommerfeld, 1931).
Исходим из формулы D5.5) для вероятности дипольного из-
излучения
dw = — \e*dfi\2dok.	(92.1)
В данном случае начальное и конечное состояния электрона от-
относятся к непрерывному спектру, а частота фотона
^ = -^(р2-Р'2),	(92.2)
2ш
где р = mv ир' = mv7 — начальный и конечный импульсы элек-
электрона. Если начальная и конечная волновые функции электрона
нормированы на одну частицу в объеме V = 1, то выражение

§ 92	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	437
(92.1), умноженное на d?p'/BтгK и деленное на плотность пада-
падающего потока, v/V = v, даст сечение dakpf излучения фотона к в
телесный угол dok с рассеянием электрона в интервал состояний
d3pf. Заменив матричный элемент дипольного момента d = ег
матричным элементом импульса согласно
,	1 е
dfi =	Р/Ь
гш т
запишем выражение для сечения в виде :)
2
BттLтр
где
Р/г = / ф}pфid3x = -г / ф)Чфг<Рх.
В качестве ^ и ^j надо воспользоваться точными волновыми
функциями в кулоновом поле притяжения, причем теми функци-
функциями, которые асимптотически содержат в себе плоскую и сфери-
сферическую волны; в ф$ сферическая волна должна быть сходящейся,
а в ф{—расходящейся (см. III, § 136). Эти функции имеют вид
/ л шг 7-1 /• -1 • / \ \ Zc ТП
on • — /л . puirL hi I qi у	о I пглгр — TIT* I I	IJ — 	*
p2	(92.4)
ф* = Afeip'rF{-iv\ 1, -i{p'r + р'г)), и' = ^^
p'
с нормировочными коэффициентами
Ai = enu/2T(l - iu), Af = епи'/2ГA + iu').	(92.5)
Заметив, что
VF(iu, 1, i(pr - pr)) = « (pT- - p) F' = -p-(?f) ,
запишем V^z в виде
v
При умножении на ф% и интегрировании первый член обращает-
обращается в нуль ввиду ортогональности ф^ ъф$. Поэтому для матрич-
матричного элемента pfi имеем
P/i = iAiAfp^-,	(92.6)
где
j = I1 €^Lf{%v', 1, «(р'г + p'r))F(iv, 1, i(pr - рг))^3ж, (92.7)
q = p' - p.
:) В этом параграфе обозначаем р = |р|, // = |р7 .

438	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Мы вынесли д/др из-под знака интеграла, подразумевая, что
при дифференцировании J величины v^ и1\ q должны рассма-
рассматриваться как независимые параметры и лишь после проведения
дифференцирования следует выразить v и q через р.
Интеграл вычисляется путем замены каждой из вырожден-
вырожденных гипергеометрических функций их выражениями в виде кон-
контурных интегралов. Мы приведем здесь лишь результат :) :
J = BF(iv', iv, I, z),
В = 4ne-™(-q2 - 2qp)-^(q2 - 2qp/)"il//(q
z _ pq2^ + ppO - 2(qp)(qp/)
Здесь F{ii>', iv^ 1, z)—полная гипергеометрическая функция.
После дифференцирования в (92.6) можно положить q = р7 —
— р; при этом
^^ q	{pp){)	(99)
(р-рО2
(z < 0). Отметим такж:е, что
-q2 - 2qp = q2 - 2qp7 = p2 - p/2 > 0.
В результате находим для матричного элемента следующее окон-
окончательное выражение:
x A - zY^^-^iupqFiz) + A - z)Ff(z)(pfp-pp% (92.10)
где для краткости обозначено
F(z) =F(ivf,iv, 1, z).	(92.11)
Сечение получается подстановкой (92.10) в (92.3), но общая
формула очень громоздка и трудно обозрима. Поэтому мы сра-
сразу перейдем к вычислению спектрального распределения излу-
излучения, т. е. проинтегрируем сечение по направлениям фотона и
конечного электрона.
Интегрирование по do\z и суммирование по поляризациям фо-
фотона сводится к усреднению по всем направлениям е и умноже-
умножению на 2 • 4тг, т. е. к замене
8тг г-
>> -—oik.
о
После этого сечение
<*<V = ^—Pfi T^i = т-^Pfi dudopf.	92.12
Зтр	BтгK 6тг3р
^Вычисления см. Nordsieck A.//Phys. Rev. — 1954. — V. 93.—P. 785.

§ 92	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	439
Квадрат |р/г|2 вычисляем, используя (92.9)—(92.11) и учитывая,
что
Г A-ги J =
Получаем
. (92.13)
Для интегрирования сечения (92.12) dopr = 2тг sini?rfi? перей-
перейдем от переменной $ (угол рассеяния) к переменной
2РР	/-,	Q\	7	7Г(Р — Р'J 7
(Р — Р'J	РР'
Чтобы взять интеграл по dz, преобразуем выражение в фигур-
фигурных скобках в (92.13). Согласно дифференциальному уравнению
гипергеометрических функций (см. III, (е. 2)) имеем
2A - z)F" + [1 - A + iv + iv')z\F' + vvF = О,
2A - z)F"* + [l-(l-iu- iu')z]Fr* + uu'F* = 0.
Умножив эти два уравнения соответственно на F* и^и сложив
их, получим
A _ z) \*-z(F'F* + F7*F) - 2z\Ff\2 +
Vdz
+ %\У ~г ^ )Z / 771/* 771 1 771/ 77'*\ 1 ?VV 771 2	r\
1-z V	У 1-^ J
Отсюда видно, что выражение в фигурных скобках в (92.13) рав-
равно	1 ,
{---} = ^(^^+^^)	(92Л4)
и интегрируется непосредственно.
Собрав полученные формулы, найдем окончательное выраже-
выражение для сечения тормозного излучения в интервале частот duo x)
7 	 64тг2 у2 2 т2с2 р	1	( d \тр(с\\2\ duj
3	е (р — р'J р A — e~27TU')(e27TU — 1) у с/^	у cj
(92.15)
где
Zamc Ze2	, Ze2	,
^= 	 = —, v=-—, Р =
) Формулы (92.15)—(92.25) пишем в обычных единицах.

440	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Рассмотрим предельный случай, когда обе скорости v и vf на-
настолько велики, что v <С 1, ь>' <С 1 (но, разумеется, по-прежнему
v < 1, так что Za < i/ < 1; это возможно лишь для малого Z).
Для вычисления в этом случае производной Ff(^)) воспользуемся
формулой
±F(a, /?, 7, z) = ^F(a + 1, /3 + 1, 7 + 1, *),
az	7
которую легко получить простым дифференцированием гипер-
гипергеометрического ряда. Имеем
F'@ = iv ¦ ii/F(l, 1, 2,0 = y HI ~ 0
(последнее равенство очевидно из прямого сравнения соответ-
соответствующих рядов). Для самой же функции F(?) имеем просто
F@ « ^@, О, 1, О = 1-
В результате из (92.15) находим
л	16 г?2 2 с2 л v + v' duo Ze2 .. л Ze1 .. л	/по л п\
йош = —Zzari— In	-—, -— < 1, — < 1. (92.16)
3	v^ v — v' uj	nv	nv'
Малость v и v1 есть как раз условие применимости борнов-
ского приближения в случае кулонова взаимодействия. Поэтому
саму по себе формулу (92.16) проще получить непосредственно
с помощью теории возмущений (см. задачу 1).
Пусть теперь быстрый (г/< 1) электрон теряет на излучение
значительную долю своей энергии, так что v' ^C v и z/ может
быть не малым. Тогда
-С и 4р'/р = 4z//z/ « 1, F@ « ^(^', 0, 1, О = 1,
(92.17)
f«i, |4i-
При uf ^ 1 эта формула дает такое ж:е предельное выражение
,	32V2 2c2v'dw
3	vs uj
как и формула (92.16) при vf ^C ^.Поэтому формулы (92.16),
(92.17) вместе перекрывают (при v ^C 1) весь диапазон значе-
значений v1.
У, 1, 2,
и сечение

§ 92	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	441
При ио —>> ujq (где Hujq = mv2/2) скорость г/ —>> 0 и z/ —>> оо. В
этом пределе (92.17) дает
dGu = ™lZ3a2r2e ('У **?-.	(92.18)
3	\v/ mv2
Таким образом, da^/dco стремится при ш-Уцк конечному пре-
пределу. Это обстоятельство можно обосновать в общем виде со-
соображениями, аналогичными изложенным в т. III, § 147. Физи-
Физически оно связано с тем, что частота со = ljq является границей
лишь непрерывного тормозного спектра. Электрон может излу-
излучить также и частоту uj > ljq, перейдя в связанное состояние.
Но сильно возбужденные связанные состояния в кулоновом по-
поле по своим свойствам мало отличаются от близких к их границе
свободных состояний. Поэтому граница, отделяющая непрерыв-
непрерывный спектр от дискретного, по существу не является физически
выделенной точкой.
Перейдем к случаю, когда оба параметра z/, z/ ^> 1. В этом
случае движение как начального, так и конечного электронов
квазиклассично. Мы будем считать, что
р2/Bт) ~ fvuj\ тогда нам понадобится
асимптотическое выражение для функции t _ q	^ _ 1
F(?) при v, v1 —)> оо и ^ ~ 1 (более точное
б	ф
(?) р ,	^ (
условие будет сформулировано ниже, см.	Рис. 17
(92.24)).
Для получения этого выражения исходим из интегрального
представления гипергеометрической функции (е. 3) (см. III), ко-
которое запишем в виде
F(ir,i/, ii/, I, 0 = t^
с
(92.19)
где введено обозначение
г) = z//z/, 0 < г/ < 1,
так что
^ = -77^-	(92'2°)
(lT/J
В качестве же контура интегрирования выбираем показанный
на рис. 17 путь, проходящий вдоль отрезка вещественной оси и
обходящий точки ? = 0и?=1 :).
) Для гипергеометрической функции F(a, /3, 7? О контур должен быть
выбран так, чтобы при его обходе функция
V{t) = etta-1+\t-lf-a
возвращалась к исходному значению. При целом j (в данном случае 7 = 1)
указанный контур этому условию удовлетворяет.

442	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
При v^ z/ ^> 1 значение подынтегрального выражения на
нижней части этого контура мало и им можно пренебречь: при
обходе точки t = 0 сверху вниз подынтегральное выражение
умножается на малый множитель ехр(—2тгг/^/), а при обходе точ-
точки t = 1 снизу вверх оно умножается на ехрBтг7/г/). Интеграл
гЫ	*-		(92.21)
2тгг
вычисляем методом перевала. Перевальная точка to определя-
определяется условием /'(to) = 0, откуда to = A — TJ)/2. В этой точке,
однако, обращается в нуль также и производная /"(to), так что
надо писать
где
г/, \ о	I -/1 I \ 1 1 — 77	1 /•/// /i \	16Г7
/(to) = Z7T?7 + гA + г?) In	-, a=—f (to) =	—.
1 + ц	2г	A — т/2J
Предэкспоненциальный же множитель l/t в подынтегральном
выраж:ении пишем в виде
t to t0
(ограничиться членом I/to здесь нельзя, так как это привело
бы к обращению в нуль фигурирующей в (92.15) производной
с/|.Р(?)|2/d?). Таким образом, находим, после очевидной подста-
подстановки в интегралах,
х - / е^ '"dx+ , , \_,„ I xeixS/
_ —сю	—ос
Интегралы здесь равны соответственно
сю	сю
2
о	о
(92.22)
сю	сю
[CO8^dx = ———, 2 [xsm — ^ =
J з	з2/згB/з)	уз
Аналогичным образом вычисляется производная F'(?), согласно
(92.19) она дается интегралом, отличающимся от (92.21) лишь

§ 92	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	443
заменой предэкспоненциального множителя I/it на v1 /{I — ??).
После этого простое вычисление приводит к результату
Наконец, подставив это выражение в формулу (92.15), най-
найдем, с требуемой точностью, следующий простой результат:
16тг
Условие применимости этой формулы, т. е. условие применимо-
применимости асимптотического выражения (92.23), состоит в требовании
малости в последнем второго члена по сравнению с первым: A —
— r\)v ^> 1, или после выражения параметров гипергеометриче-
гипергеометрической функции через физические величины:
о;» JLTOtL.	(92.24)
Ze1 2
Условие (92.24) совпадает с условием, определяющим «высо-
«высокочастотный предел» при классическом излучении в кулоновом
поле притяжения, а величина Huda^ с dau из (92.23) совпадает с
выражением G0.22) (см. II) для «эффективного торможения»
в этом пределе. Этот результат нуждается в некотором обсу-
обсуждении. Может показаться, что для применимости классической
формулы излучения требуется, кроме квазиклассичности движе-
движения, также и малость энергии кванта по сравнению с энергией
электрона, т. е. условие Ни <С тг>2/2, что не предполагалось при
выводе (92.23). В действительности, однако, значение Ни должно
быть мало не но сравнению с энергией электрона на бесконечно-
бесконечности, а по сравнению с его кинетической энергией на том участке
траектории, где в основном происходит излучение. Эта энергия
гораздо больше начальной из-за ускорения электрона в поле ио-
иона.
Действительно, излучение высоких частот происходит в ос-
основном на малых расстояниях от иона, где
v(r)/r ~ и.	(92.25)
(Мы обозначили через v(r) скорость электрона на расстоянии г
от иона, в отличие от скорости v на бесконечности.) Учитывая,
что при этом Ze2/r ~ mv2(r), находим, что кинетическая энер-
энергия на участке, где происходит излучение:
mv2(r) ^ т fuZ?\ 2/3 _ rnv^ fujZe^\ 2/3 mv^
2 ~ 2 V га ) ~ 2 V mv3 )	2
Поэтому излучение даже кванта с энергией порядка mv2/2 не
меняет существенно движения на участке излучения и дополни-
дополнительного условия малости Ни не требуется.

444	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Отметим также, что движение на участке (92.25) при задан-
заданным моменте импульса Ш не зависит от начальной энергии. Со-
Соответственно и энергия, излучаемая при пролете по траектории
(обозначаемая в II, § 70 как d?UJI зависит только от /. Сечение
ddu можно получить, умножая вероятность излучения d?UJ/fiuo
на 2npdp (р — прицельное расстояние) и интегрируя по всем р.
Поскольку в квазиклассическом случае
pdp = H2ldl/(m2v2),
это приводит к зависимости dau = l/^2, соответствующей
(92.23). Приведенное рассуждение объясняет, почему в эту фор-
формулу входит именно начальная (а не конечная) скорость элек-
электрона.
Для того чтобы перейти к классическим формулам во всей
области A — 7/)z/ ~ I, z/ 3> 1, надо было бы найти асимптотику,
гипергеометрической функции в условиях близости перевальной
точки к особой точке t = 0; мы не будем останавливаться здесь
на этом ввиду очевидности окончательного результата.
Все написанные формулы относятся к кулонову полю притя-
притяжения. Сечение излучения в поле отталкивания получается из
(92.15) заменой: v —>> —v, z/ —>> — z/. При этом, в частности, пре-
предельная борновская формула (92.16) вообще не меняется. В пре-
пределе же: ^< 1, z/ —>• оо получим вместо (92.18)
<1аш = 1-^Lz3a2r2e f^'exp (_^Щ^Л ^	(92.26)
3	\v/	\ ^h{ujQ—u)J mv2
т. е. дифференциальное сечение стремится при ио —>> ujq к нулю
по экспоненциальному закону. Этот результат снова естествен; в
поле отталкивания связанные состояния отсутствуют и частота
ио = ooq является истинной границей спектра излучения.
Задачи
1. Найти в борновском приближении сечение тормозного излучения при
нерелятивистском столкновении двух частиц с различными отношениями
е/т.
Решение. Дипольный момент двух частиц с зарядами ei, в2 и мас-
массами mi, ui2 в системе их центра инерции равен
( ei e2 \
777-1777-2	^
где [i = 	, г = п — Г2. Отсюда
777,1 + 777,2
\ТП1 777,2/	\mi 777,2/
Матричный элемент

§ 92	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	445
(р = ^v, р = fiv —импульсы относительного движения) вычисляется по
плоским волнам г)
_ 1 \	4тгщ	,
v- = —Л q = p -р-
/	2
с помощью формулы
В результате находим
,	е?е| / ei е2\%'Д w * ч ^ , ,
dcrkp' = ——	7(eq)(e q)—do^do^.
тН \mi rri2 J v g4	cj
После суммирования по поляризациям угловое распределение излуче-
излучения дается множителем sin 0, где 0 — угол между направлением фотона к
и вектором q, лежащим в плоскости рассеяния (см. D5.4а)). После интегри-
интегрирования по направлениям фотона
16 2 2 ( ei в2 \ v' duo	sin 6d6
dcr = ee II
3	\Ш1	ТП2 J V UJ V2 + V'2 — 2wf COS0
где 9 — угол рассеяния. Наконец, интегрирование по dO дает
16 2 2 ( ei е2 \ 1 v -\- vf duj
3	\mi ГП2/ v2 v — v' uj
Для излучения в поле неподвижного кулонова центра эта формула совпа-
совпадает с (92.16).
2. Найти в борновском приближении сечение тормозного излучения при
нерелятивистском столкновении двух электронов 2).
Решение. Дипольное излучение в этом случае отсутствует, так что
надо рассматривать квадрупольное излучение. В классической теории спек-
спектральное распределение полной интенсивности квадрупольного излучения
дается формулой
I. = (l/90)\(DikU2,
где Dik = ^2eCxiXk — r2Sik) — тензор квадрупольного момента системы за-
зарядов ). Для двух электронов в системе их центра инерции
е	2
^-^ik — \дХ%Хк Т* Oikji ^* — ^*1 1*2-
При переходе к квантовой теории компоненты Фурье надо заменить матрич-
матричными элементами (ср. сказанное в § 45 о дипольном излучении), и при над-
надлежащей нормировке волновых функций (плоских волн) получится — после
деления на энергию фотона uj — сечение излучения с рассеянием электронов
в интервал состояний d p':
с/сгр/ = 	\(Dik) р'р\2———1
Р 90cj	РР уBтгK
) Замена двух частиц одной частицей с приведенной массой допустима,
конечно, только в нерелятивистском случае.
2)	Скорость столкновения v удовлетворяет условиям а <^ е2/(hv) ^C 1.
Классический случай (е2/(hv) > 1) рассмотрен в задаче к II, § 71.
3)	Эта формула получается из G1.5) (см. II) так же, как F7.11) (см. II)
получается из F7.8) (см. II).

446	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
v = 2р/т — начальная скорость относительного движения; излучаемая ча-
частота ш = (р2 — р )/т.
Оператор Dik вычисляется путем трехкратного коммутирования Dik с
гамильтонианом
и равен
(\	/	\ \
	"	Pi + Pi	"	 I - Oik [ —Pi + Pi — I •
С учетом тождественности обеих частиц (электронов) матричные элементы
вычисляются по волновым функциям
ih — ^ (pipr 4- p~ipr\ ih , — ^ (pipr Л- P~ipr\
где знаки «+» и «-» соответствуют суммарным спинам электронов 0 и 1
(перестановке электронов отвечает замена г —»¦ —г).
Громоздкие вычисления приводят к следующей формуле для спектраль-
спектрального распределения излучения:
Зж2
Л(тш = -^-OLril 17 - —	— +
= —otr2e\ 17 —
15 е\
12B - жL - 7B - x)V - Зж4	1
B-xKy/T^x	л/х) х
где х = cj/s, as = p2/m — начальная энергия относительного движения
электронов; сечение усреднено по значениям полного спина электронов. Эф-
Эффективное торможение
е
Хизл = ft uodcFuj = 8,1ат2?
о
(Б. К. Федюшин, 1952).
3. Определить энергию излучения, возникающего при испускании ядром
нерелятивистского электрона в s-состоянии.
Решение. Волновая функция испущенного ядром электрона — рас-
расходящаяся сферическая s-волна, нормированная на равнй единице полный
поток:
-
л/4тгг>
1) Это выражение аналогично классической формуле
- -Ufcprl,
г*
которая получилась бы в результате дифференцирования Dik с учетом клас-
классического уравнения движения
т.. е2г

§ 92	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.НЕРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	447
(см. III, C3.14)). В качестве волновой функции конечного (после испускания
фотона) состояния электрона выберем плоскую волну
/	гр'г
ф/ = е р .
Матричный элемент перехода
f С	\	Г
Pfi = (Pif) = / Фг РФ/d x = —== e p +p
v P — P	V v cj
(интеграл вычисляется согласно E7.6а)). Энергия излучения получается из
формулы D5.8), умноженной на d3p'/BтгK и проинтегрированной по на-
направлениям р' (что сводится к умножению на 4тг). В результате получим
спектральное распределение излученной энергии
г) 2 /3
duj.
Зтгу
При uj —>- 0 конечная скорость электрона г/ —»¦ г;, и эта формула совпадает,
как и должно быть, с нерелятивистским пределом классического результата
(см. задачу к II, § 69). Полная излученная энергия (в обычных единицах)
15тг \cj
где е = mv2/2 — начальная энергия электрона.
4. Определить энергию излучения, возникающего при отражении нере-
нерелятивистского электрона от бесконечно высокой «потенциальной стенки».
Решение. Пусть электрон движется нормально к стенке. Хотя фо-
фотон может быть испущен в любом направлении, но поскольку в нереляти-
нерелятивистском случае импульс фотона мал по сравнению с импульсом электрона,
можно считать, что и отраженный электрон будет двигаться нормально к
плоскости стенки. Пусть стенка находится при х = 0, а электрон движется
со стороны х > 0. Волновые функции стационарных состояний одномерного
движения, нормированные на 8{р/2тг) (р = рх), имеют вид стоячих волн (см.
III, § 21):
фъ = 2sinpx, фf = 2 sin//ж.
Матричный элемент оператора р = рх'-
оо
л- [ • id.	Mpp
= —4г / snip х— sinpxdx =	-.
J	dx	p2 — p'
0
(интегралы такого вида надо понимать как предел при 6 —»¦ +0 от значения,
получающегося путем введения в подынтегральное выражение множителя
нергия, излучаемая при однократном отражении электрона, получа-
получается из D5.8) умножением на dp' = dujjv1 и делением на г>/2тг (плотность
потока бегущей к барьеру волны в начальной функции ф?)\
аъ 4cjV. .227rduj 82/,	/-.ч
dEu = ——-\pfi\	 = —e vv duj.	A)
3m2	vv/	3^
При малых частотах (uj <^ s = ??iv /2) имеем v и г; и A) переходит в клас-
классическую формулу F9.5) (см. II), которую надо интегрировать по углам

448	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
и учесть, что v = Дг>/2, где Дг> — изменение скорости электрона при от-
отражении; так и должно быть, поскольку при отражении от стенки условие
малости времени столкновения F9.1) (см. II) во всяком случае выполняется.
Квантовая формула A) позволяет, однако, найти также и полную излучае-
излучаемую энергию:
fdEu	16 v2
Е = / 	аи = —as —
J duo	9тг с2
о
(в обычных единицах).
5. Определить энергию тормозного излучения при рассеянии медленно-
медленного электрона на атоме.
Решение. При условии ра <С 1 (где а — атомные размеры) рассея-
рассеяние на атоме изотропно и не зависит от энергии электрона (см. Ill, § 132).
Волновые функции начального и конечного состоянии электрона пишем в
виде
Apr	р~гр'г
Фг = е +/	5 Ф/ — е +/	•>
Г	Г
где / — постоянная вещественная амплитуда рассеяния. Эти выражения от-
относятся к асимптотической области расстояний г ^ а, которые в данном
случае как раз и существенны: г ~ 1/р ^> а. Вычисленный по этим функци-
функциям матричный элемент
Р/г = 	(V- V)
(интегралы вычисляются, как в задаче 3). Подставив это выражение в
(92.12), получим сечение излучения с рассеянием электрона в направлении
р' (обычные единицы):
2ар' ,	,,2, duj	( .
dcr^ =	-(v - v ) dayup —,	A)
Зтгрс2	и
где d(jynp = f2dop' —дифференциальное сечение упругого рассеяния. При
Ни ^С р2/Bт) можно положить рй/, и тогда эта формула переходит, как
и следовало ожидать, в нерелятивистскую формулу для излучения мягких
фотонов (см. § 98) х).
Интегрируя A) по направлениям р7, получаем
2ар' 2 , /2ч du
daL0 = -	—(у +v )сгупр —,	B)
Зтгрс2р	uj
где сгупр = 4тг/2 — полное сечение упругого рассеяния. Наконец, умножив на
Ни и проинтегрировав по и от 0 до р2/Bт) = е, получим «эффективное
торможение»
Хизл = / hojdduj = 	ao-ynpS ( - 1 .	C)
J	45тг	\cj
:)Тот факт, что «факторизация» сечения (выделение множителя сгупр)
произошла в данном случае при произвольных и, в известном смысле слу-
случаен и связан с независимостью амплитуды рассеяния от энергии.

§ 93	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	449
§ 93. Тормозное излучение электрона на ядре.
Релятивистский случай
Обратимся к тормозному излучению электрона на ядре в
случае релятивистских скоростей электрона г) . При этом будем
предполагать выполненным условие применимости борновского
приближения, т. е. как для начальной (г>), так и для конечной
(V) скоростей электрона: Ze2 /hv <С 1, Ze2/hv' <С 1. При этом
во всяком случае заряд ядра не должен быть слишком велик:
Z 1
Как и в предыдущем параграфе, будем пренебрегать отдачей
ядра, так что ядро играет лишь роль источника внешнего поля
(об оправдании такого пренебрежения см. § 97).
Согласно (91.4) сечение тормозного излучения выражается
через его амплитуду формулой
da = \Mfi\2 ^|р/| dokdofdco.	(93.1)
1 /г| 8BттM|р| k	V J
В первом не исчезающем приближении матричному элементу
i отвечают две диаграммы:
к\	/q	q\	/к
(93.2)
Свободный конец q соответствует внешнему полю, так что q =
= р'—р-\-к есть 4-вектор передачи импульса ядру. Пренебреж:ение
отдачей означает, что временная компонента q° = 0.
Согласно диаграммам (93.2) имеем
и.
^+1
Т m	J m
(93.3)
Промежуточные 4-импульсы / = р — /с, f/=pf~\~k] введем обо-
обозначения:
f2 -m2 = -2кр = -2xcj, f2 - т2 = -2кр' = -2х'ио, (93.4)
л(е)
Aq — скалярный потенциал внешнего поля; для чисто кулонова
поля
4% ^	(93-5)
:) Большая часть излагаемых ниже результатов была получена Бете н
Гайтлером (Н. A. Bethe, W. Heitler, 1934) и независимо Заутером (F.
Sauter, 1934).
15 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

450	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Подставляя в (93.1), имеем для сечения
4тг2 |p|q4 V v
где
Не рассматривая поляризационных эффектов, усредним сечение
по направлениям спина начального электрона и просуммируем
по поляризациям конечных электрона и фотона. Это сводится к
замене
е^еи{и Q^u){uQ и ) —>> —-opQfl{/yp + m)Q [jp +m).
Вычисление следа производится по стандартным формулам (см.
§ 22). Некоторое упрощение выкладок достигается использова-
использованием равенства
где р = (б, — р), если р = (б, р). Кроме того, число подлежащих
вычислению членов можно сократить, если учесть симметрию
по отношению к замене р <<->• р , к —>• — fc, ^^ — q (такая за-
замена приводит лишь к циклической перестановке множителей в
произведении матриц и поэтому не меняет его следа).
В результате получается следующее выражение для диффе-
дифференциального сечения тормозного излучения с испусканием фо-
фотона заданных частоты и направления и с вылетом вторичного
электрона в заданном направлении :) :
,	Z2ar2e p'm4 duo , , ,
da =	do^do x
4тг2 pq4 uj
где
= ? — np, и = e' — np7 (n = k/o;), q = p7 + k — p.
:) Здесь и ниже в этом параграфе р, р7, q обозначают абсолютные значения
трехмерных векторов: р=|р|, р=|р|', ^ = |q|-

§ 93	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	451
Простыми преобразованиями можно придать этой формуле вид,
несколько более удобный для исследования:
do =	 —	sm6d6sm6 d6 dcp< — Dб — q ) sin в +
2тг uj pq4	lx/2
+ t-Dб72 - q2) sin2 в + ^4(P2 sin2 0 + P2 sin2 0') ~
- ^Bб2 + 2б72 - g2)sin0sin07cos^}, (93.8)
где
ус = e — p cos 0, и = ef — p' cos 07,
q2 =p2 + p'2 + a;2 - 2pa; cos 0 + 2p7a; cos 07 -
— 2ppf (cos 0 cos 07 + sin 0 sin 07 cos y?),
0 и 07 — углы меж:ду k и соответственно рир', (р — угол меж:ду
плоскостями k, p и к, р7.
Интегрирование (93.8) по направлениям фотона и вторично-
вторичного электрона довольно громоздко. Оно приводит к следующей
формуле для спектрального распределения излучения :) :
и р
:' , 7/ е IV \ , т I bee' , W
х (eV2 +Р2р'2 + ш2??') + pL (f-Ц^ - Г-Ц^-)} }, (93.9)
где
X
/2
L ln, / ln^ Г 1П.
ss7 — рр' — т2	е — р	е' — р'
Напомним, что допустимые значения частот в полученных фор-
формулах ограничены только условием, налагаемым на конечную
скорость электрона (Ze2/v' <C 1): электрон не должен терять по-
почти всю свою энергию. При ио —>• 0 сечение излучения расходится,
как duo/uo] это — проявление общего правила, которое будет рас-
рассмотрено в § 98.
В нерелятивистском пределе (р ^С т) импульс фотона мал
по сравнению с импульсом электрона, так как
1) Интегрирование по направлениям одного только вторичного электрона
тоже может быть произведено в аналитическом виде — см. Gluckstern R. L.,
Hull M. H.//Phys. Rev. —1953.—V. 90. —P. 1030.
15*

452	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Поэтому q2 « (р7 — рJ. Положив в (93.8) е = е1 = га, в пренебре-
пренебрежении всеми р, р', ио по сравнению с га, получим
2 9 9 c/cj v'm2
тг	cj р^4
х (р2 sin2 в + ]У2 sin2 б7 - 2ppf sin б sin в' cos <p),
или
Лт = _—?- nq^—		(93.10)
тг р	q uj
в согласии с формулой, полученной в борновском приближении
в задаче 1 § 92. Соответственно и для спектрального распределе-
распределения излучения получается известный уже нам результат
(92.16) *).
В ультрарелятивистском случае, когда велики как началь-
начальная, так и конечная энергии электрона (б, е' ^> га), угловое рас-
распределение фотонов и вторичных электронов имеет очень спе-
специфический характер. При малых углах 6, в1 фигурирующие в
знаменателях формулы (93.8) величины х, V равны
(93.11)
и в области в ^ т/е становятся очень малыми. В этой области
мала также и величина вектора q(g ~ га). Таким образом, в уль-
ультрарелятивистском случае фотон и вторичный электрон летят
вперед в узком конусе с углом раствора ~ т/е.
Количественную формулу для углового распределения в уль-
ультрарелятивистском случае легко получить из (93.8), подставив
х, V из (93.11), заменив во всех других местах р, р1 на ?, е1 и
пренебрегая q2 по сравнению с е2. Введя удобные обозначения:
S = ^9, 8' = -в',	(93.12)
т	т
представим эту формулу в виде
7	8 гу2 2?>гт duo f Jf с/ 7с/ 7
da = -Z are	SdS • 6 d6 dip x
rt
тг	е sg4 uj
'COSV У (93.13)
2)A + ?'2)J V	;
:) Получить эту формулу предельным переходом в (93.9), однако, довольно
хлопотно ввиду взаимных сокращений ряда членов.

§ 93	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	453
Написав q2 = [nq]2 + (nqJ(n = к/а;), легко найти, что для
малых углов
(	^) +m2 A±*- - 1±*1\\ (93.14)
При 6 ~ 81 ~ 1 второй член здесь мал по сравнению с пер-
первым. Эти члены сравниваются в области еще меньших углов, где
S ~ т/е. Хотя здесь q становится в особенности малым (q ~
~ т2/е <С га), интегральный вклад этой области в сечение все
же мал по сравнению с вкладом всей области 6 < 1 (как легко
видеть — в отношении га2/б2). Но q может достигать значений
~ w? /е также и при 5 ~ 5f ~ 1, если при этом
1<5-<П<7' <^7'	(93Л5)
Вклад этой области —того же порядка величины, что и все ин-
интегральное сечение (или даже является основным в нем —см.
ниже).
Интегрирование формулы (93.13) по ср и по 8' дает угловое
распределение фотонов (заданной частоты) безотносительно к
направлениям вторичных электронов *) :
л о гу2 2 duo e' S • dS
da = 8Z are-7JYTW
1).
2J/
muj 2
(93.16)
Проинтегрировав по ?, найдем спектральное распределение
излучения в ультрарелятивистском случае:
л	л г?2 2du ?! \ ? . ?f 2] Л 2??f 1\	/по 17n
dau = 4Z are	- + --- fin	--)	93.17
и ? l?f ? 3JV ти 2)
(эту формулу можно, конечно, получить и непосредственно из
(93.9)).
Обратим внимание на присутствие в (93.16) и (93.17) лога-
логарифма большой величины (даже при ио ~ е отношение — ~
ти
~ — ^> 1). Если она велика настолько, что велик даже ее лога-
т
рифм, то в указанных формулах члены, содержащие логарифмы,
) Сначала интегрируют по (р (в пределах от 0 до 2тг). Интегрирование
по 6' удобно заменить интегрированием по разности |А| = \6' — д\, разбив
его область на две части: от 0 до некоторого До и от До до оо, где До
удовлетворяет неравенствам mJ? ^C До *С 1. В каждой области возможны
соответствующие пренебрежения в подынтегральном выражении.

454	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
становятся основными. Отметим, что этот логарифм происходит
от интегрирования по области (93.15) г) . Таким образом, в лога-
логарифмическом приближении (т. е. в пренебрежении членами, не
содержащими большого логарифма) вторичный электрон летит
под углом ~ (т/еJ к направлению падения.
Наконец, приведем предельную формулу для области вбли-
вблизи жесткой границы спектра, когда ультрарелятипистский элек-
электрон излучает почти всю свою энергию: ио « е ^> е'. Из (93.9)
легко находим
dau = 2Z агр — { — In	— —	In 	— — — >. (93.18)
е I р12 е' - р' 4р'3	е' - р' р' )
Формулы (93.17),(93.18) перекрывают весь интервал значений
ио для ультрарелятивистского начального электрона; при ио «
« е ^> е' ^> т эти формулы совпадают. Если вторичный элект-
электрон нерелятивистский (р1 <^т), то
dau = 2Z2ar2eV2m{?-^.	(93.19)
т	е
Поляризационные эффекты. Поляризационные эффекты
в тормозном излучении могут быть исследованы тем же общим
методом, который был описан в § 65. Вопрос о выборе 4-векто-
ров е^1), е^2) в данном случае особенно прост. Поскольку процесс
удобно рассматривать фактически лишь в одной определенной
системе отсчета (системе покоя ядра), то достаточно положить
е^1) = @, е^1)), е^2) = @, е^2)), где е^\ е^ — перпендикулярные
к единичные векторы, из которых один лежит в плоскости кр,
а другой перпендикулярен ей.
Не будем приводить здесь ни самих довольно громоздких
вычислений, ни их количественных результатов. Отметим лишь
некоторые качественные свойства поляризационных эффектов 2).
) В этом легко убедиться, рассмотрев область интегрирования, в которой
ср и А = 5' — 6 удовлетворяют условиям: т/е < А, ср ^С 1. В этой области
q2/т и А2 + (f2S2, а выражение в фигурных скобках в (93.13) содержит
члены, пропорциональные (р или А (при ср = 0 и А = 0 оно обращается в
нуль). Интегралы же вида
A2d(pdA
Г cp'dcpdA	f
i 	г	z	 или / .
J (A2 + ?VJ	J
логарифмически расходятся; их «обрезание» происходит на границах ука-
указанной области значений переменных.
2) Более подробное обсуждение этих эффектов можно найти в указанной
на с. 411 обзорной статье МакМастера, а также в книге Байер В. Н., Кат-
Катков В. M.j Фадин В. С. Излучение релятивистских электронов. — М.: Атом-
издат, 1973.

§ 93	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	455
Эти свойства могут быть получены с помощью различных соот-
соотношений симметрии, подобно тому как это было сделано в § 87
для эффекта Комптона.
Излагаемая теория отвечает первому не исчезающему при-
приближению теории возмущений. В этом приближении сечение не
может содержать члена, пропорционального одному лишь век-
вектору поляризации начального (?) или конечного (?7) электрона.
Отсутствие члена ос ? означает, что полное (просуммированное
по поляризациям фотона и вторичного электрона) сечение излу-
излучения не зависит от поляризации падающего электрона.
Из числа членов, пропорциональных одним только поляриза-
поляризационным параметрам фотона (?j_, ?^ ?з)> отсутствует член ос ^2-
Это значит, что при излучении неполяризованным электроном
фотон не обладает круговой поляризацией. Здесь имеется, одна-
однако, отличие от аналогичного результата для эффекта Комптона.
В последнем случае такие члены были запрещены простран-
пространственной четностью в связи с невозможностью составления псев-
псевдоскаляра из единственных имевшихся в нашем распоряжении
двух независимых векторов к, к7. В случае же тормозного
излучения имеется три независимых импульса (р, р7, к), что
достаточно для построения псевдоскаляра (к[рр7]). Член вида
^(kfpp7]) не противоречит пространственной четности и, строго
говоря, отличен от нуля. Однако он не инвариантен по отноше-
отношению к изменению знаков всех импульсов (ср. (87.26)) и потому
отсутствует в первом борновском приближении.
Существование псевдоскаляра (к[рр7]) приводит также к то-
тому, что наряду с членом ос ^ оказывается разрешенным в се-
сечении также и член ос ?[ (в противоположность ситуации при
эффекте Комптона). Этот член возникает как произведение вида
(где v = [kp]), инвариантное как по отношению к пространствен-
пространственной инверсии, так и по отношению к изменению знака всех им-
импульсов. Таким образом, излучаемый фотон обладает линейной
поляризацией обоих видов (как в направлениях осей е^1) и еB),
так и в «диагональных» направлениях, под углом 45° к этим
осям).
Это относится, однако, только к условиям, когда регистри-
регистрируется также и направление вылета вторичного электрона. При
интегрировании же по всем направлениям р7 член ос ^ в сечении
обращается в нуль. Это очевидно из соображений симметрии:
после интегрирования оба несовпадающих друг с другом «диа-
«диагональных» направления становятся эквивалентными, и потому
предпочтительная поляризация вдоль одной из них (как это име-
имеет место при {;[ т^ 0) невозможна.

456	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Степень линейной поляризации не зависит от поляризацион-
поляризационного состояния падающего электрона: корреляционные члены в
сечении вида ?]_? и ^С запрещены в первом борновском при-
приближении. Член же <5>>С разрешен, так что при излучении поля-
поляризованным электроном фотон обладает круговой поляризацией
(Я. Б. Зельдович, 1952).
Экранирование. Полученные выше формулы выведены для
чисто кулонова поля. Если же речь идет об излучении при столк-
столкновении не с «голым» ядром, а с атомом, то должна быть учте-
учтена экранировка поля ядра электронами, приводящая к уменьше-
уменьшению сечения. Для этого надо ввести в потенциал внешнего по-
поля A^e\q) атомный формфактор F(q) (см. III, § 139). Согласно
A39.2) (см. III) это достигается заменой Z на Z — F(q). Выясним
условия, при которых экранирование существенно.
Определенному значению q в формфакторе отвечают рассто-
расстояния г ~ 1/q в пространственном распределении электронных
зарядов в атоме. Формфактор приближается к значению Z (пол-
(полное экранирование) при q < 1/а, где а —размеры атома.
С другой стороны, в ультрарелятивистском случае существен-
существенный вклад в сечение излучения возникает, как мы видели выше,
уже от области значений q вблизи того наименьшего значения,
которое вообще может иметь q при заданных начальной и конеч-
конечной энергиях электрона. В ультрарелятивистском случае
<7min =р-р -ш = л/е2 - т2 - л/е12 - т2 - (е - е1
2ее'
(93.20)
Экранирование существенно, если qm[n < 1/а или
— > ту-.	(93.21)
ти 1/т
Это условие во всяком случае выполняется при достаточно боль-
больших энергиях падающего электрона.
Если gmin <С 1/а («полная экранировка»), то с логарифмиче-
логарифмической точностью можно сразу выписать ответ для спектрального
распределения излучения. Действительно, под знаком логариф-
логарифма в (93.17) как раз стоит левая часть неравенства ее1/(тио) ^>
^> та. При соблюдении неравенства интеграл по dq, приводя-
приводящий к этому логарифму, обрежется на значении порядка пра-
правой стороны неравенства. Согласно модели Томаса — Ферми а ~
aoZ~1/s, где ао ~ 1/(те2) — боровский радиус (см. III, § 70); то-
тогда am ~ ~ l/(aZ^3). Таким образом, при полной экранировке
логарифм в (93.17) следует заменить на ln(l/(aZ1/3)).

§ 93	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ.РЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	457
Потеря энергии. Потеря энергии электроном на излучение
характеризуется «эффективным торможением»:
е—
= I
(93.22)
Вычисление интеграла с с1аш из (93.17) приводит к следующему
результату :) :
s2 + 4т2 е+р (8s + 6р)т2 2S+p 4
— - +
3
г?2 2 Г 12s2 + 4т2, е+р (8s + 6р)т2 , 2
= Z OLTpe\ 	In	 — -	—	In
е I Зер	т	Зер2
Зер	т	Зер2	т 3
+ ЛТП 77 / Zpye ~\- р) \ I	/OQ ОСЛ
	г I —	 ] г j (yo.zoj
sp V m2 J )
где F{^)— функция Спенса, определенная согласно A31.19). В
нерелятивистском случае формула (93.23) переходит в
уг — —72п>г2т (н n "l	(Q4 94)
>^изл — л шегп [а. р.)	{Уд.z^±;
(использовано, что F(?) « ^ при ^ ^С 1 —см. A31.23)). Это вы-
выражение можно, конечно, получить и непосредственным инте-
интегрированием нерелятивистской борновской формулы (93.16). В
ультрарелятивистском случае
|-i) (у. р.)	(93.25)
(при ? > 1 имеем F(?) « i^ln2^ — см. A31.20); оба члена с
квадратом логарифма в (93.23) могут быть при этом опущены).
Отношение хизл/? называют также сечением потери энергии
на излучение. При больших е оно растет логарифмически. Это
возрастание устраняется, однако, при учете экранирования. При
полном экранировании хизл/? стремится к постоянному пределу
e(/())
При столкновении с атомом некоторое излучение происхо-
происходит не только на ядре, но и на электронах. Мы увидим ниже
(см. § 97), что в ультрарелятивистском случае сечение излуче-
излучения электрона на электроне отличается от сечения излучения
на ядре лишь отсутствием множителя Z2. Поэтому наличие Z
атомных электронов можно приближенно учесть заменой Z2 на
Z(Z )
)
При прохождении через среду, содержащую N атомов на еди-
единицу объема, быстрый электрон теряет в среднем свою энергию
:) Хотя формула (93.17) вблизи верхнего предела неприменима, ввиду схо-
сходимости интеграла это несущественно.

458	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
на расстояниях порядка
эту длину называют радиационной.
Длина когерентности. Формуле (93.20) можно дать и дру-
другое, более общее истолкование: для применимости полученных
формул необходимо, чтобы внешнее поле, в котором движется
электрон, мало менялось (в направлении движения) на расстоя-
расстояниях
— ~ Ц- (= -^-);	(93.27)
эту длину называют длиной формирования излучения или дли-
длиной когерентности х) . Значение (93.27), полученное в борнов-
ском приближении, имеет в действительности (для ультрареля-
ультрарелятивистских частиц) совершенно общий характер — легко полу-
получить его и в противоположном предельном случае квазикласси-
квазиклассического движения. Действительно, из формулы (93.22) 2) сразу
видно, что для излучения под малыми углами к направлению
движения существенны времена
е'	ее'
г
ешA — v) т2и
т. е. участок траектории с длиной ст ~ /ког.
При заданной частоте ио длина когерентности растет с уве-
увеличением энергии электрона. Между тем формулы, полученные
для тормозного излучения на отдельном изолированном атоме,
могут быть справедливы для излучения при прохождении через
среду лишь при условии, что на длине когерентности не про-
происходит повторного излучения фотона или рассеяния электрона.
Первое означает, что должно быть /ког <С /рад. Но уже значитель-
значительно раньше нарушается второе условие — на пути ~ /рад возникает
многократное рассеяние электрона на ядрах атомов среды.
Для формулировки количественного условия вернемся к фор-
формуле (90.22) до того, как в показателе экспоненты произведено
интегрирование по времени, и запишем его в виде
tl+T	,	t\+T	ч
/I	л С	\
A — nv)dt и	< A — v)t + - / Odt>, (93.28)
e' |	2 J	f
:) Излагаемые соображения принадлежат М. Л. Тер-Микаэляну A953).
2) Вывод формулы (90.22) основан только на малости кривизны траекто-
траектории и в этом смысле не связан с тем, что в § 90 рассматривалось конкретно
магнитное поле.

§ 94	ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ФОТОНОМ В ПОЛЕ ЯДРА	459
где в — малый угол между v и п, связанный с рассеянием на
ядрах. При кулоновом рассеянии угол в меняется малыми «пор-
«порциями», так что изменение в со временем имеет характер медлен-
медленной «диффузии по углам». Средний квадрат отклонения элек-
электрона на пути t — t\{= c(t — ti))
1 кул i
где /кул — длина свободного пробега по отношению к кулоновым
столкновениям. Для этого пробега имеем
1	5
^кул	?	Xmin
Xmin и Xmax ~ минимальный и максимальный углы рассеяния
в одном столкновении, для которых рассеяние можно еще счи-
считать резерфордовским (ср. X, § 41) :) . Первый из них определя-
определяется атомными размерами а, на которых поле ядра экранирует-
экранируется: Xmin ~ 1/(^а)- Большие же углы рассеяния ограничены (для
ультрарелятивистского электрона) расстояниями порядка ради-
радиуса ядра R : Xmax~l/(pR)- Если положить Д«1, 5-1CT13Z1/3cm ~
~ reZ1/3, то получим
2	2
/KVJI ~ 	 ~ 	^пал-	(93.29)
Второй член в (93.28), набегающий за время т ~ /ког, оценивается
теперь как
Для применимости формул тормозного излучения, полученных
без учета многократного рассеяния, этот член должен быть мал
по сравнению с единицей. Отсюда находим условие
/ког < а/рад,	(93.30)
более сильное, чем условие /ког ^ /рад (^- Д- Ландау, И. Я. По-
меранчук, 1953).
§ 94. Образование пар фотоном в поле ядра
Образование электрон-позитронной пары при столкновении
фотона с ядром (Z + j —>> Z + е~ + е+) и тормозное излучение
:) Напомним, что длина пробега определяется транспортным сечением
сгТр = /A — cosx)cfcr(x). Для рассеяния ультрарелятивистских электронов
на кулоновом центре сечение da(x) дается формулой (80.10).

460	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
при столкновении электрона с ядром (Z + е~ —>• Z + е+7) —Два
перекрестных канала одной и той же реакции. В § 91 были уже
сформулированы правила, по которым преобразуются формулы
при переходе от второго из этих случаев к первому. В данном
случае, применив эти правила к формуле (93.8), получим следу-
следующее выражение для дифференциального сечения образования
пары неполяризованным фотоном, усредненное по поляризаци-
поляризациям компонент пары :) :
7	ZOirt mp+P-dS • л 7Л	' Л 7Л 7
da =	—?±?	sin0+d0+ smв-d6-dip x
2тг	usq4
х
DDе2_ - q2) sin2 в+ + v\{\e\ - q2) sin2 в. -
B4 + 26^ - g2) sin0+ sin0_ cos yp}, (94.1)
ус± = е± — р± cos 0±, q2 = (р+ + р_ — кJ, ?+ + ?_ = о;
(Я. Л. ?ейе; Ж. Яей/ег; 1934).
Таким же преобразованием получим из (93.9) распределение
компонент пары по энергиям:
da?+ = Z2c
р+р_
?--
p%
т*и (j е+е- -р\ , у g+g_ -p^
fc+ „я	"^ fc-	„я
)]}.
— р±
Поскольку полученные формулы основаны на борновском при-
приближении, они справедливы при условиях Ze2/v± <^ 1. Отме-
Отметим, что симметричность формул (94.1),(94.2) по отношению к
электрону и позитрону является следствием именно борновского
приближения; она исчезла бы в более высоких приближениях.
:)О поляризационных эффектах в образовании пар фотоном см. ту же
литературу, которая была указана в § 93 для тормозного излучения.

§ 94	ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ФОТОНОМ В ПОЛЕ ЯДРА	461
В ультрарелятивистском случае (е± ^> га) электрон и пози-
позитрон вылетают под углами в± ~ т/е± к направлению падающего
фотона. Угловое распределение дается формулой, аналогичной
(93.13):
51 _ + ^	51±51	+
! 2s+s_ A + <Я_)A + 6_)
fe ^)(irt^fe}-<*+<"-^ (94-3)
причем
2 (l±i l±ii)
i- = 8l + 82_- 28+8. cos <^ + m2 (l±i± + l±ii) . (94.4)
Распределение по энергиям в этом случае:
(94.5)
Интегрирование этого выраж:ения по ?+ (в пределах от га до о;)
дает полное сечение образования пар фотоном заданной энер-
а = —а
2cj 109\	^	/П/|м
--— J, о;» га.	(94.6)
Как и для тормозного излучения, логарифмический член в
сечении в ультрарелятивистском случае происходит от области
значений q ~ m /е. Этому соответствуют теперь углы, для ко-
которых
(вместо if < т/е в (93.15)). Таким образом, в логарифмическом
приближении направления электрона и позитрона образуют об-
обратно пропорциональные энергиям частиц малые углы с направ-
направлением фотона и лежат почти в одной плоскости с последним,
но по разные стороны от него.
Вблизи порога реакции (ио —>> 2т) борновское приближение
неприменимо. Вывод количественной формулы в этом случае
требовал бы точного учета кулонова взаимодействия трех заря-
заряженных частиц, имеющихся в конечном состоянии (ядро и па-
пара). Симметрия по отношению к электрону (притягивающемуся
1) Ввиду сходимости интеграла у обоих пределов неприменимость форму-
формулы (94.5) при малых е± — т несущественна.

462	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
к ядру) и к позитрону (отталкивающемуся от ядра) при этом,
конечно, исчезает.
Если
(94.7)
то борновское приближение еще применимо. При нерелятивист-
нерелятивистских энергиях пары со ~ 2га ^> р±, поэтому q ~ со. В (94.1) можно
положить везде е± = н± = га, со = 2га, после чего эта формула
сводится к выражению
	о о
sin2 6+ + р2_ sin2 6_)do+do-d,?+. (94.8)
da = ^г1е±Е^^
64тг2 m5
После интегрирования по углам
da = 1-Z2
2Z2ar2P ,
(ш - 2m)J(?+ - т)(е- - m)d?+. (94.9)
3m3
Наконец, интегрируя по ?+ (в пределах от га до со — га), по-
получаем полное сечение
Если относительная скорость г>о компонент рождающейся пары
мала, то необходимо учесть их кулоново взаимодействие друг
с другом (А. Д. Сахаров, 1948). Оно становится существенным,
когда г>о порядка (или меньше) скорости частицы в связанном
состоянии электрона и позитрона (позитроний):
^о < а.	(94.11)
Рассмотрим процесс в системе центра инерции пары. На диа-
диаграммах, изображающих процесс в этой системе, существенны
виртуальные импульсы ~ га. Другими словами, существенны
расстояния между электроном и позитроном ~ 1/га. Между тем
волновая функция их относительного движения ф(г) существен-
существенно меняется лишь на расстояниях г ~ 1/(гаг>о) ~ 1/(гаа), т. е.
больших по сравнению с 1/га. Поэтому учет взаимодействия ча-
частиц сведется к появлению в матричном элементе перехода мно-
множителя ф* @). Соответственно дифференциальное сечение умно-
умножится на |^*@)|2, т. е. на
27ra/vo	(94.12)
1 _ е-2тга/у0	Ч	J

§ 95	ТЕОРИЯ РОЖДЕНИЯ ПАР. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	463
(см. III, A36.11)). Относительная скорость двух частиц есть ско-
скорость одной из них в системе покоя другой. Сравнив значения
инварианта р+^р^ в этой системе и в лабораторной системе (си-
(системе покоя ядра), получим
=?+?_ -Р+Р-,
откуда можно найти vq. Если р+ и р_ близки к друг к другу
по абсолютному значению и направлению, то для vq получается
приближенная формула
применимая при vq <^i 1; р = (р+ + р_)/2, е = (б+ + ?-)/2,
# — угол между р+ и р_.
Поправка в сечении, определяемая формулами (94.12),
(94.13), приводит к появлению аномалии в корреляции между
импульсами рождаемых электрона и позитрона: узкому макси-
максимуму при р+ « р_.
§ 95. Точная теория рождения пар
в ультрарелятивистском случае
В двух предыдущих параграфах тормозное излучение и ро-
рождение пар фотоном в релятивистской области были изучены
на основе борновского приближения, для чего во всяком случае
требовалось выполнение условия Za <C 1. В § 95, 96 излагает-
излагается теория этих процессов, свободная от указанного ограничения,
т. е. справедливая и при Za ~ 1 (Н. A. Bethe, L. Махгтоп, 1954).
При этом предполагается, что обе частицы (начальный и конеч-
конечный электрон или компоненты пары) ультрарелятивистские; их
энергия е ^> га.
Мы видели, что в ультрарелятивистском случае обе частицы
летят под малыми углами (б, в' или 0_|_, в-) к направлению фо-
фотона: в ^ те. Такое свойство сохраняется и в точной (по Za)
теории, и мы будем рассматривать именно эту область углов.
Передача импульса ядру в этой области: q ~ га. Это значит,
что в волновых функциях существенны прицельные параметры
р ~ 1/(/ ~ 1/га, т. е. «большие» расстояния. На таких расстояни-
расстояниях можно пользоваться волновой функцией, полученной в § 39.
Изложим соответствующие вычисления для рождения пар.

464	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Сечение рождения пары имеет вид, аналогичный сечению
фотоэффекта (ср. E6.1),E6.2)):
da = 2тг
Bтг)з
(95.1)
где
Mfi = / ф^р_(осе)е1^гф^+_р+($х.	(95.2)
Здесь фе-р- —волновая функция электрона, а ф_?+_р+ —волно-
—волновая функция с отрицательной энергией (—?+) и импульсом — р+.
Функция же фе_р_, относящаяся к частице в конечном состо-
состоянии, должна содержать в своей асимптотике (наряду с плоской
волной) сходящуюся сферическую волну; это обстоятельство от-
отмечено верхним индексом (-) у функции. Согласно C9.10) такая
волновая функция х)
(95.3)
Функция же ф_? р должна содержать в своей асимптотике
расходящуюся сферическую волну (индекс (+) сверху), посколь-
поскольку по смыслу она является волновой функцией «начального со-
состояния с отрицательной энергией». Волновая функция позитро-
позитрона (образуемая из ip-J*p+) окажется при этом со сходящейся
волной в асимптотике, как и требуется для конечной частицы.
Согласно C9.11) такая функция
(95.4)
¦ IV).
Отметим, что необходимость учета членов ~ 1/е в (95.3),
(95.4) связана с матричной структурой Mfi (95.2). Матричный
элемент (ск)у^, есть вектор с направлением, близким к к. Поэтому
этом параграфе р± = |р±|, q= |q|.

§ 95	ТЕОРИЯ РОЖДЕНИЯ ПАР. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	465
основной член в (ске)у^ оказывается малым, а поправочные чле-
члены одного порядка величины с ним.
Подставляя (95.3),(95.4) в (95.2) и пренебрегая членами
/(_), находим
Mfi = ^g
(95.5)
где
N = С(+)С(-} = irv/(shirv),	(95.6)
/= f e~i(irF*_F+dzx,
= -i. f e~icir(VF-)*F+d3x,
2e_ J
1+ = —
(95.7)
q = p+ + p- - k
(F- и F+ — обозначают для краткости гипергеометрические
функции, входящие в (95.3) и (95.4)). Сразу же отметим, что
интегралы /, I+, 1_ связаны одним тож:деством: из
/¦
F, )г16т — 0
имеем
q/ + 2б+1+ + 2б_1_ = 0.	(95.8)
Квадрат |М^| усредняем по поляризациям падающего фо-
фотона и суммируем по направлениям спинов электрона и позитро-
позитрона :) . Это осуществляется заменой тензора:
и биспинорных произведений:
^±iZ± -^ 2р± = (б±7° - Р±7 Т Н-
Заменив такж:е о: = 7°Т? найдем
|М/
г|2
:) Вычисления с учетом поляризации всех частиц см. Olsen H., Maximon
L.//Phys. Rev. — 1959. — V. 114. — P. 887, а также указанную на с. 454 книгу
В. Я. Байера, В. М. Каткова и В. С. Фадина.

466
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
ГЛ. X
Выпишем сразу результат, получающийся после надлежащих
пренебрежений, для интересующего нас ультрарелятивистского
случая в области малых углов
в± ~ т/е < 1.
Введем вспомогательные векторы:
s± = -(p±U, s± = ?-±
(95.9)
(95.10)
(индекс _L означает составляющую, перпендикулярную направ-
направлению к). С их помощью ответ записывается в виде
|м/г|2 -+ ?L<
гт6-
' 2s-
}¦
(95.11)
Здесь учтено, что / ~ -I± ~ —1± (как это видно из (95.8)), и
q	m
опущены члены более высокого порядка по т/е.
Интегралы 1± мож:но представить в виде
= I ^—
/, I, i(p_r
(95.12)
Интеграл J выражается через полную гипергеометрическую
функцию :) :
4тг fq2 -
=~ 2
q2 \q2 —
о	(
2p_q/
- ~ P+P-)
2(p+q)(p-q)
(95.13)
(g2-2p+q)(g2-2p_q)
Дифференцирование по р± должно производиться при заданном
параметре q, и лишь затем можно положить q = р+ + р_ —
— к. Приведем результат в форме, в которой уже произведены
пренебрежения, отвечающие ультрарелятивистскому случаю и
условиям (95.9):
i+ = —-
(95.14)
) Проведение вычислений см. в указанной на с. 438 статье Нордсика.

95	ТЕОРИЯ РОЖДЕНИЯ ПАР. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	467
si " " 7^~i % -L	Ts + S—^
Здесь введены обозначения:
(95.15)
F(^) = F(-iv, iv, 1, г)
—вещественная функция). Интеграл / вычисляется затем
прямо из (95.8).
Подставив значения интегралов в (95.11), а затем в (95.1), по-
получим искомое дифференциальное сечение. Окончательная фор-
формула:
) zare
тг V shTTi//	g4cj3
5_dS- • d<pde+\F2(z)
x
x [-2ee (<*? + *f) + w2(S2 + 5)ff + 2F^ + el
x J+J.^-cos^] + t-jAfFf2(z)[-2s^Fie+ + 62_?) +
4	^	- cos ^]}. (95.16)
При v -л О
7rz//(sh7rz/) ->> 1, F(^) -^ 1, F\z) ^v2 -^0.
Выраж:ение (95.16) сводится при этом, как и должно быть, к фор-
формуле Бете — Гайтлера (94.3), отвечающей борновскому прибли-
приближению. Оно сводится к той же формуле также и при произволь-
произвольном v ^ если углы вылета пары удовлетворяют условиям
|5+ -5-\ < 1, |тг-<р| < 1.
Действительно, при этом q <^ т, так что второй член в фигур-
фигурных скобках в (95.16) может быть опущен ввиду наличия в нем
лишнего (по сравнению с первым членом) множителя (q/mL:. В
первом же члене имеем (заметив, что A — z) ~ q2/т2 <С 1 х))
F(z) -	*	^
F(iv, iv, 1, 1)	.	.	,
ГA — IV)T(\ + ZI/)	7Г1/
(95.17)
в результате чего сокращается аналогичный множитель перед
фигурными скобками.
Перейдем теперь к интегрированию сечения по направлениям
вылета пары.
:) Это значение функции можно получить из формулы (е. 7) (см. II), свя-
связывающей гипергеометрические функции аргументов z и 1 — z.

468	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Интегрирование по углам разобьем на две области, I и II, в
которых соответственно
1I ~Z> 1-21, ПI ~Z< 1-21,
где z\ —некоторое значение, для которого 1 ^> 1 — z\ ^> (т/еJ.
Поскольку в области II 1 — z <С 1, (/ <С ттг , то, согласно ска-
сказанному выше, здесь dcr ~ da^ = dcr^—о, где с/ав — сечение в
борновском приближении. Поэтому интеграл по углам :
da?+ = I da = da + / da^o = (йае+)в + (da -
J	Ji	Jn	Ji
(95.18)
где (da?+ )в — проинтегрированное по углам борновское сечение
(94.5).
В области I имеем
q2/т2 ~ 8\-\- 82_ -\- 28+8- cos (p.
От переменных J+, J_, ур перейдем к переменным ?+, ^_, z.
Прямым вычислением якобиана преобразования найдем
8+d8+ • 8_d8_ • dtp ^ g+g~ ^+^-^ ?
+ +	^ 8m2	'
причем
- €-) cos^
Выразив отсюда cos yp и s'mcp и подставив в (95.16), после простых
алгебраических преобразований получим
=
=(
2 72Л.2
\2Z
2mJ3
Наконец, вводим вместо ?_|_, ?_ новые «сферические» перемен-
переменные Х-) Ф:
?+ + ?- ~ 1 = л/^sin X cos Ф'->
С+ ~ С- = л/1 — 2 sin х sin ф;
О ^ X ^ тг/2^ 0 ^ ф ^ 2тг;

95
ТЕОРИЯ РОЖДЕНИЯ ПАР. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ
469
Указанные интервалы изменения х и Ф отвечают изменению
?+, ?_ от 0 до 1, т. е. J+, S- (или, что то же, #+, в-) от 0 до оо;
быстрая сходимость интеграла допускает такое расширение обла-
области изменения углов. После преобразования корень в знаменате-
знаменателе сводится к y/z(l — z)cosx] интегрирование по dxdip элемен-
элементарно и дает
da = 2А • 2ndz(e2+
е2_
-е+е
3
Л \^& + —Ff2(z)]
/ L 1 — z v2	J
Сюда введен лишний множитель 2, учитывающий тот факт, что
интегрирование по z будет производиться от 0 до z\, между тем
как при изменении азимута ср от 0 {(„\iiP-
до тг и от тг до 2тг каждое значение
z проходится дважды.
Интегрирование по dz произво-
производится с помощью формулы (92.14),
которая при v1 = — v (и соответ-
соответственно вещественной F(z)) имеет
вид
1,12
F2
1 d
Интеграл от этого выражения
равен ziF(zi)F/(zi)/u2. Значение
z\F{zi) « F(l) берется из (95.17),
а предельное выражение для F'{z\
\
\
\
\
\
\
О 0,1 0,2 0,3 v
Рис. 18
1) дастся формулой :)
V
где
\F'{z) =
1
iu, 2, z) « -[
iu)
- iu) -
(95.19)
Подставив все найденные выраж:ения в (95.18), получим сле-
следующую окончательную формулу:
da?+ =
г_ + 2-е+е
3
/ L
in
- \ - f(aZ)] %
2	J ws
(95.20)
:) Вывод этих формул можно найти в приложении к статье Davles H.,
Bethe H. A., Maximon L. C.//Phys.Rev. — 1954. — V. 93. —P. 788.

470	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Полное сечение образования пары фотоном с энергией ио\
о = — Zzari In— - — - f(aZ)\.	(95.21)
9	е L m 42 J V }\	V	У
Мы видим, что в этих формулах изменения сводятся к вычи-
вычитанию из логарифма универсальной функции атомного номера
f(aZ). На рис. 18 дан график этой функции. При i/<1 функ-
функция /Н « 1, 2zA
§ 96. Точная теория тормозного излучения
в ультрарелятивистском случае
Матричный элемент для тормозного излучения
Mfi = I ^(аеЧе-^р^я;	(96.1)
волновые функции начального (б, р) и конечного (б7, р7) элек-
электронов содержат в своих асимптотиках соответственно выходя-
выходящую и входящую сферические волны. Вычисление этого инте-
интеграла аналогично вычислению матричного элемента (95.2). Мы,
однако, изложим здесь другой способ вычисления сечения тор-
тормозного излучения, основанный на квазиклассичности процесса
и не использующий явного вида волновых функций электрона в
поле ядра; в этом смысле метод не связан с конкретным видом
потенциала поля (В. Н. Байер, В. М. Катков, 1968).
В процессе тормозного излучения ядро передает электрону
и фотону импульс q = р7 + к — р. Как и в задаче о рождении
нар, надо различать две области значений передачи импульса
q^, поперечной по отношению к р:
I) rn > q± > иот2/е2, II) q± - иот2/е2 < га.	(96.2)
Очевидно, что в области I сечение испускания фотона дается
своим борновским значением: для таких q^ изменение импульса
отдачи ядра при излучении несущественно, как это будет пока-
показано в § 98 (см. вывод условия (98.10)). Поэтому в области I се-
сечение процесса равно произведению точного сечения рассеяния
электрона в поле неподвижного ядра и вероятности испускания
фотона, не зависящей от вида поля. Но согласно (80.10) сече-
сечение рассеяния в кулоновом поле для малых углов совпадает со
своим борновским значением. То же самое относится поэтому к
сечению всего процесса в области I.
Таким образом, требует особого рассмотрения только область
П. Малым передачам импульса отвечает прохождение электро-
электрона мимо ядра на больших прицельных расстояниях: р ~ l/q±_ ^
^ б/га2.Но на таких расстояниях движение электрона заведомо

§ 96	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	471
квазиклассично, в чем легко убедиться простым применением
обычного условия квазиклассичности D6.7) (см. III)к ультраре-
ультрарелятивистскому уравнению C9.5).
Квазиклассичность движения позволяет применить метод,
использованный уже в § 90 для магнитотормозного излучения.
При этом выражение (90.7) в данном случае представляет собой
вероятность испускания при однократном прохождении электро-
электрона мимо ядра.
Для фигурировавшей в § 90 функции L остается в силе фор-
формула (90.18); единственное отличие состоит в форме квазиклас-
квазиклассической траектории электрона г = г(?), по которой вычисляется
разность Г2 — ri.
На больших прицельных расстояниях поле ядра можно счи-
считать слабым. В нулевом приближении траектория представляет
собой прямую, проходящую на расстоянии р от центра. В следу-
следующем приближении имеем уравнение движения (ср. I, § 20)
dp _ _pd?
dt	r dr
где р — вектор в плоскости жу, перпендикулярной начальному
импульсу электрона, а в качестве г в правой стороне уравнения
следует взять функцию нулевого приближения:
Следовательно,
|^.	(96.3)
С достаточной точностью скорость v(t) = p(t)/e (где энергия
е зависит только от величины, но не от направления р) можно
считать постоянной. Еще одно интегрирование дает тогда
t
r(t) - ri = vi (t -h)-\ JW) - Pi]dtf.	(96.4)
h
Положим t\ = —oo, так что величины pi = p(—oo) = p и v = p/e
будут начальными импульсом и скоростью электрона.
Представим вероятность (90.7) в виде
(96.5)
гДе
ЛТГ Г	г F	л
а(р) = е\ — / R(t) ехр< г — [out — kr(t)J >at,	(96.6)
V cj y	L e'	J
— oo
R(t) = -pz ae )-t^=,

472	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
здесь е1 = е — со, р'(?) = р(?) — к. Классическая функция р(?)
дается формулой (96.3). Если р — начальный импульс электрона,
то для кулонова поля (U = — vjr, v = Za) имеем
Введя передачу импульса в классическом рассеянии
А = р(оо) - р(-оо) = -2ри/р2,	(96.7)
можно переписать эти формулы как
(96.
Используя теперь формулу (90.20) для R(t) и выражения
(96.8) для p(t) и r(t), мож:но произвести интегрирование по вре-
времени в (96.6). Оно осуществляется введением переменной
?'
вместо t и использованием формулы
оо
= 2гХК1(Х),
где Xi — функция Макдональда. В полном проведении этого вы-
вычисления, однако, нет необходимости, поскольку нам требуется
выражение а(р) лишь для малых значений независимого пара-
параметра А(А ^С га). В этом случае находим
а(р) = w*fT>Wi • Ax^i(x),	(96.9)
где
UJS
n = k/o;, a D — некоторая функция р, е и к (но не р), причем ее
точный вид несуществен х) . Поскольку в ультрарелятивистском
х) Спиноры Wi и Wf можно считать при интегрировании постоянными, т. е.
можно пренебречь изменением поляризации электрона при его классическом
ультрарелятивистском движении. Это следует из уравнений, полученных в
5 41.

§ 96	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	473
случае фотон испускается под малым углом в к направлению
скорости электрона, имеем
X ~ P — L
ИЛИ
Х = Р	A + d), d = —.	(96.10)
Уже было упомянуто, что (96.5) есть вероятность испускания
фотона при однократном прохождении электрона мимо ядра на
прицельном расстоянии р. Сечение испускания фотона с задан-
заданными частотой и направлением получается умножением этой ве-
вероятности на dpxdpy/v « dpxdpy = d2p и интегрированием по
прицельным параметрам:
,я, Г
12р.	(96.11)
Не следует, однако, думать, что эта формула без интегрирова-
интегрирования no d2p дала бы также и распределение конечных электронов
по направлениям. Отклонение электрона при его движении по
классической орбите однозначно определяется внешним полем и
заведомо не совпадает с неопределенным квантовомеханическим
отклонением (а предельное значение р;(оо) классической функ-
функции p'(t) не совпадает поэтому с реальным конечным значени-
значением импульса электрона). Для нахождения этого распределения
необходимо, следовательно, переразложить волновую функцию
электронов по плоским волнам.
Как видно из (96.11), а(р) есть амплитуда испускания фото-
фотона при столкновении на прицельном расстоянии р. Но выраже-
выражения (96.5),(96.6) определяют эту амплитуду лишь с точностью до
фазового множителя. Последний есть, очевидно, е~гкр, —ввиду
наличия не зависящего от времени члена r±(oo) = p в г(?), этот
постоянный множитель должен присутствовать в Vfi(t) и может
быть вынесен из-под знака интеграла. Поскольку он не является
оператором, он не затрагивается операциями коммутирования и,
таким образом, амплитуда процесса испускания есть
e~ikf)a(p),	(96.12)
где а(р) дается выражением (96.9).
Пусть электрон описывается при z —>• — оо плоской волной с
импульсом р, направленным вдоль оси z. Это значит, что вол-
волновая функция электрона при 2: Ч -оо не зависит от ж и у и
сводится к постоянной, которую можно положить равной 1.

474	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Тогда волновая функция электрона, прошедшего через поле, при
z —>> оо равна :)
ф(оо)
= S(p) = expj-i Г U(x, у, z)dz\.	(96.13)
С другой стороны, по смыслу амплитуды перехода (96.12) волно-
волновая функция электрона, прошедшего через поле и испустившего
фотон, есть
е-»к*а(р)ЗД.	(96.14)
Амплитуда же процесса испускания фотона, в котором электрон
остается в состоянии с определенным импульсом р7, дается соот-
соответствующей фурье-компонентой функции (96.14), т. е.
= fe
, (96.15)
д q_L — поперечная компонента вектора передачи импульса яд-
ядру (ср. III, A31.7)). Сечение же рассеяния с заданным значением
есть	3 2
Вычислим теперь S(p). В рассматриваемом случае кулонова
поля интеграл в экспоненте расходится, в соответствии с расхо-
расходимостью фазы в кулоновом рассеянии. Поэтому интеграл надо
брать между конечными пределами:
R	R
j Udz = -2v f d2Z = -2u[\n(R + y/Ri + p2) - \np]
-R	-R
(i? ^> p). Первый, постоянный, член не существен, так что
S{p) = exp(-2iu\np) = p~2iv.	(96.17)
Подставляя (96.9), (96.17) в (96.15) и интегрируя по направ-
направлениям вектора р в плоскости жу, находим
(96.18)
1)Ср. Ill, A31.4). Мы имеем при этом в виду аналогию между уравне-
уравнением C9.5) (в котором полагаем р2 и г2) и нерелятивистским уравнением
Шредингера C9.5а). Учитывая различие коэффициентов в этих уравнени-
уравнениях, легко видеть, что в нашем случае условие A31.1) (см. III) применимости
уравнения A31.4) (см. III) действительно удовлетворяется. Тот факт, что
эта формула не относится к области сколь угодно больших г, не существен
по тем же причинам, что и в III, § 131.

96	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ. УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКИЙ СЛУЧАЙ	475
где J\ — функция Бесселя. Множители, не содержащие v =
здесь не выписаны.
Мы видим, что зависимость амплитуды a(q±) (а следователь-
следовательно, и сечения (96.16)) от v содержится в отдельном множителе. С
другой стороны, при v —>• 0 сечение должно стремиться к своему
борновскому значению. Поэтому ясно, что сечение будет отли-
отличаться от борновского лишь множителем, который не зависит от
поляризации электрона и не влияет на поляризационные эффек-
эффекты.
Интеграл (96.18) может быть выражен через гипергеометри-
гипергеометрическую функцию с помощью формулы
оо
х К i (ax) Ji(bx)xdx =
о
_ ЪГB - А/2)ГA - А/2) Л Ъ2 \ ~1+Х/2 р ( A j_A 2 б2
Это дает
( n\2iv
a(q_0 ос i/(l - ii/) f ^J Г2A - iv)F(iv, 1 - гг/, 2, ^), (96.19)
где
^ = 1- ^'jl+E2J, ?=—;	(96.20)
здесь использовано, что в области II (см. (96.2)) параллельная р
компонента вектора q равна
(96.21)
В этом легко убедиться, если учесть, что в указанной области
углы между импульсами р, р' и к удовлетворяют условиям
(93.15).
Гипергеометрическая функция в (96.19) может быть сведена
к функции F(z) (95.15) с помощью формулы
F(a, Ъ + 1, с + 1, *) = —F(a, 6, с, *) + gl—?Ы(а, 6, с, ^).
с — а	о(а — с)
Окончательный результат представится тогда в виде
da = daBj^ [f2(z) + i^-F'2(z)],	(96.22)
где dGB — борновское сечение (93.13) (Н. A. Bethe, L. Maximon,
1954). При q ^> т? /е имеем z ~ 1, так что весь коэффициент

476	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
при с1ав стремится к единице. В этом смысле формула (96.22),
выведенная для области II, автоматически справедлива при всех
q < т. Когда q < т2/е и поправочный множитель в (96.22)
отличен от единицы, векторы р, р7, к почти компланарны и
величины 6 и 81 почти равны друг другу; это уже было учтено в
(96.22). Таким образом, q в выражении (96.20) для z может быть
переписано как
t = 82 + 8'2 - 258' costp + ^4A + 82)\	(96.23)
т	As2s'
т. е. можно положить 6 = 81 во втором члене в (93.14), но не в пер-
первом члене, который не содержит малого коэффициента
{~т2/е2).
Для нахождения интегрального (по углам) сечения излуче-
излучения нет необходимости производить интегрирование заново, как
это ясно из следующих рассуждений (Н. Olsen, 1955). Различные
направления р7 (при заданной энергии е') отвечают вырождению
конечного состояния электрона. Очевидно, что результат сумми-
суммирования по состояниям, относящимся к одному вырожденному
уровню, не зависит от того, каким образом будет выбран пол-
полный набор этих состояний. Мы можем поэтому воспользоваться
для целей суммирования по направлениям р7 системой функций
Vvp/ вместо системы ф?,1 (необходимой для вычисления диф-
дифференциального сечения), т. е. определить матричный элемент
тормозного излучения как
Легко убедиться, что этот интеграл совпадает с интегралом
GVf?ap)*, если в последнем заменить параметры волновых функ-
функций согласно
р+, _р+, ?+ ->> -р, —р, -е; р_, _р_, е- -> р7, _р7, ?7; к ->> -к
(а также заменить переменные интегрирования: г —>> —г).
Отсюда ясно, что интегральное (по углам) сечение тормозно-
тормозного излучения можно получить из интегрального сечения образо-
образования пары (95.20), умножив последнее на
cj2 duo ^ ш2 duo
Р2+ и ?+ ?+
(ср. (91.6)) и заменив ?+ —)> —?, ?_ —)> е'. Таким образом, найдем
л л г?2 2s'\e' . е 2] Г, 2ее' 1 ?( ^\1 duo mr ъл\
da = AZ arp— — + — — - In	— - — f(aZ)\ —. (96.24)
e sis s' 3ll тш 2 J V J\ и	V	J

§ 97	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ	477
Мы видим, что поправки к борновским формулам для инте-
интегральных сечений тормозного излучения и образования пары да-
даются одной и той же функцией f(aZ).
Формула (96.24), не связанная с какими-либо ограничения-
ограничениями на величину Za, допускает переход к классическому пределу
К —>• 0, Za —>• оо. В этом пределе надо также положить е ~ е .
Имея в виду асимптотическое выражение Ф(^) ~\ylz при \z\ —>•
—>• оо и значение Ф(/) = —С (С— постоянная Эйлера), находим
для эффективного торможения
"e2 fin 2g2 - I - с] duo.	(96.25)
3c L mauZe2 2	J	v	J
Это выражение, не содержащее й, есть классическое спектраль-
спектральное распределение интенсивности тормозного излучения.
§ 97. Тормозное излучение электрона на электроне
в ультрарелятивистском случае
Тормозное излучение электрона на электроне изображается
восемью диаграммами Фейнмана: четырьмя диаграммами
I	,	I
Pi< '< |< Pi РК |< k Pi (97.1а)
I	I
Р2 <	к	Р2	Р2 <	к	Р2
РК	|<	Pi
Р2<	'<	|<	Р2	(97.16)
и четырьмя «обменными» диаграммами, получающимися из изо-
изображенных перестановкой р[ и р'2. Мы приведем здесь результа-
результаты вычислений для ультрарелятивистского случая (G. Altarelli,
F. Buccella, 1964; В. Н. Байер, В. С. Фадин, В. А. Хозе, 1966) х).
В лабораторной системе отсчета (система покоя одного из
начальных электронов,—скажем, второго) интегральное по на-
направлениям фотона сечение излучения может быть представлено
в виде суммы da = da^ + da^2\ где
-l] fln^^^ - IV (97.2)
:) Соответствующие вычисления можно найти в указанной на с. 454 книге
Байера, Каткова и Фадина.

478	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
2	2'mduj Г (л т . т2 \ -, 2е о . 2т Ът2  ^	т
= -art	{ 4 - — +	 In—-2 + —	\ ио >	—;
3	е и2 IV cj 4aW m	uj 8а;2 J	2'
(
uj I V m m2 J uj
г2 3m	4a;] ?тг2
- » + ^) In* - (l - *±) Infl - ^) х
2 J	V
[?тг3 ?тг2 3m o ,4a;] ?тг2 3?тг o 2cj 4cj2
	 —	~r	— Л ~r — —	~r	— Л ~r — —
4cj3 2cj2 uj m J 2cj2 uj m m2
^ m
^ —5
2
(97.4)
(б —начальная энергия первого электрона).
Точность этих формул —до членов относительного порядка
т/е. С этой точностью оказывается, что вклады в сечение от
различных диаграмм не интерферируют друг с другом, и в этом
смысле da^ и da^ отвечают излучению каждым из двух элек-
электронов — соответственно быстрым электроном и электроном от-
отдачи (диаграммы (97.1а) и (97.16)).
Диаграммы обменного типа дают такой же вклад в сечение,
как и диаграммы «прямые». В силу тождественности электронов
суммарный вклад прямых и обменных диаграмм следует разде-
разделить на 2; поэтому можно рассматривать только вклад прямых
диаграмм и не учитывать тождественности частиц. Для столк-
столкновения же электрона с позитроном вместо обменных фигури-
фигурируют аннигиляционные диаграммы. Их вклад, однако, оказыва-
оказывается относительного порядка т/е, т. е. пренебрежем. Поэтому с
указанной точностью сечения тормозного излучения при столк-
столкновениях электрона с электроном и с позитроном одинаковы.
При uj ^> m отношение
da^ т „ л
	 ~ — < 1,
сЫ1) uj	'
т. е. излучение электроном отдачи мало по сравнению с излуче-
излучением быстрым электроном (когда это отношение достигает по-
порядка т/е, формула (97.3), разумеется, теряет смысл). Напро-
Напротив, при ио <^т обе части сечения почти сравниваются:
7 (I) 16 2duj л 2е2 1 B) 16 2duj л г	..	/п^ г\
doK > = — аге— In —, doK > = — are— In -, ио < т. (97.5)
3	uj muj	3	uj uj
Для справедливости формул (97.2)-(97.5) необходимо, чтобы
хоть один из электронов после излучения оставался ультраре-
ультрарелятивистским. Другими словами, частота фотона должна быть
достаточно далека от жесткой границы спектра, т. е. от макси-
максимальной частоты о;тах, которая может быть излучена. Конечная
энергия электронов будет минимальна, а энергия фотона мак-
максимальна, когда оба электрона движутся после излучения в на-
направлении фотона и имеют одинаковые скорости. Тогда из зако-
законов сохранения имеем
е + т = o;max + 2ej\ |р| = о;тах + 2|р7 .

§ 97	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ	479
Исключив отсюда е' и р', получим
(е + т- о;тахJ - (|р| - о;тахJ = 4т2,
откуда
т(е — т)	Гг.^ гЛ
^тах =	Г7-	(97.6)
т + ?-\р\
При е ^> т имеем a;max ~ ?• Таким образом, формулы (97.2)-
(97.4) справедливы при условии
<^тах — оо ~ е — а; > га	(97.7)
Сечение излучения быстрым электроном (97.2) в точности
совпадает с сечением излучения электрона на ядре с Z = 1 (фор-
(формула (93.17)). Это совпадение не случайно, и его причины выяс-
выясняются из анализа роли отдачи в процессе излучения.
При выводе формулы (93.17) мы пренебрегли отдачей не-
неподвижной частицы (ядра) — изменили ее постоянным внешним
полем. Это сводится к пренебрежению временной компонентой
4-вектора передачи импульса q = р' — р + к (энергией отдачи).
Покажем, что в ультрарелятивистском случае, такое пренебре-
пренебрежение допустимо при излучении электроном не только на ядре,
но и на электроне.
Напишем q2 в виде
_д2 = _(?' + ц, - еJ + (р[, + и> - рцJ + (р'± - piJ, (97.8)
где нижние индексы указывают компоненты векторов р' и р
(начальный и конечный импульсы электрона), параллельные и
перпендикулярные направлению фотона к. В ультрарелятивист-
ском случае углы в ж в1 (между к и соответственно рир') малы:
в < га/е, в1 < т/е1. Поэтому
|P±| ~ W ~ т, щ « |р| - ^ « в - ? - Hi,	(97.9)
и аналогично для р7±, р!..
Без учета отдачи имеем е1 -\- ио — е = 0, разность р|. + ио —
— Р\\ ~ га2/б, так что
V«(p'±-P±J~m2.	(97.10)
Энергия отдачи (на электроне):
q0 = е' + о; - ? ~ q2/Bm) ~ m.	(97.11)
Изменением ж:е р7^ из-за изменения е' можно пренебречь. По-
Поэтому первые два члена в (97.8) дают изменение q2 при учете

480	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
отдачи; обозначим его через Aq2. Используя (97.9), получаем
/2	/2	2	2 \
л 2	//,	\ I ТП	Р I , Wi . р | \
Aqz & (е +ш-е)[ -— - *-^ + — + —
v	'\ г' г'	е	е )
т —.
е
Сравнив с (97.10), мы увидим, что Ад2 <С |д2|, чем и оправдыва-
оправдывается пренебрежение отдачей х) .
Тот факт, что быстрая частица излучает в узкий конус (с уг-
углом раствора ~ т/е) в направлении своего движения, позволя-
позволяет получить сечение излучения в системе центра инерции путем
простого пересчета сечения (97.2) из лабораторной системы 2) .
В системе центра инерции оба электрона излучают одинако-
одинаково, каждый в направлении своего движения (это обстоятельство
наглядно объясняет причину отсутствия интерференции меж-
между излучениями обеих частиц). Энергия ультрарелятивистского
электрона в системе центра инерции связана с его энергией е в
лабораторной системе соотношением 2Е2 = те, а частоты О и а;
фотона в этих системах — соотношением ио/е = ft/E (эти равен-
равенства легко получить, сравнивая значения инвариантов (ргръ) и
(pik) в обеих системах). Поэтому для сечения излучения каждым
из электронов и системе центра инерции находим
-2-] fin ^E -")-!). (97.12)
3l\	2п	2/ V	J
[	+
Q E lE-U	E
Для применимости (97.12) также необходимо, чтобы частота
фотона не была близка к границе спектра. Для ультрареляти-
ультрарелятивистской частицы указанное выше преобразование прямо дает
/е « Е.	(97.13)
Таким образом, в системе центра инерции электроны могут из-
излучить лишь половину своей полной энергии 2Е. Прямое вы-
вычисление Отах легко произвести, заметив, что после излучения
такого фотона электроны будут двигаться (в той же системе) с
одинаковыми скоростями в направлении, обратном направлению
фотона. Имеем
2Е = 2Е + Отах, 2|р | =
:) Это заключение, разумеется, тем более справедливо для излучения элек-
электроном на ядре, для которого энергия отдачи go ~ q2/BM) ~ т2/М, где
М — масса ядра.
2) В общем случае такой пересчет невозможен, поскольку вклад в спектр
в заданном интервале частот duo возникает от фотонов, излученных в суще-
существенно различных направлениях.

§ 97	ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ	481
откуда
^	^	(97.14)
т	Е
и в ультрарелятивистском случае снова получаем (97.13). Таким
образом, формула (97.12) применима при условии
0тах -0~?-0>га.	(97.15)
Приведем теперь формулы для излучения в системе центра
инерции в обратном предельном случае, вблизи границы спек-
спектра, когда х)
Omax-O<m.	(97.16)
Поскольку в этом случае отдача весьма существенна, результаты
отличаются от случая рассеяния на неподвижном центре и ока-
оказываются различными для электрон-электронного и электрон-
позитронного рассеяния {В. Н. Байер, В. С. Фадин, В. А. Хозе,
1967).
В случае рассеяния электрона на электроне, кроме квадра-
квадратов диаграмм (97.1), вклад в сечение излучения вблизи границы
спектра дают также произведения (интерференционные члены)
прямых и обменных диаграмм, в которых излучает одна и та же
начальная частица, например произведение второй из диаграмм
(97.1а) и диаграммы
I
Р2<	[<	'<	Р1
Это связано с тем, что вблизи границы конечные частицы имеют
близкие импульсы и нет причин для малости обменных членов.
Окончательный ответ для сечения:
da = 2ar^Q--^1/2^L.	(97.17)
ГП	Qmax
При рассеянии электрона на позитроне логарифмически боль-
большой вклад в сечение излучения вносят квадраты аннигиляцион-
ных диаграмм, в которых излучают начальные частицы:
А^	Ж /с
-р+^1—^	Р- -Р+<	j-X—P-	(97.18)
:) Разумеется, полученный в борновском приближении результат приго-
пригоден, как обычно, лишь до тех пор, пока относительная скорость конечных
электронов велика по сравнению с а. В противном случае следует учитывать
взаимодействие частиц в конечном состоянии.
16 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

482	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
С нелогарифмической точностью существенны также и квадра-
квадраты других диаграмм. Интерференционные же члены малы. Окон-
Окончательный ответ:
da = 2агв2^--^/(Ь^ + l)^-.	(97.19)
Таким образом, излучение при электрон-позитронном рассеянии
логарифмически велико по сравнению с излучением при элек-
электрон-электронном рассеянии.
§ 98. Излучение мягких фотонов при столкновениях
Пусть dao — сечение некоторого процесса рассеяния заряжен-
заряженных частиц, который может сопровождаться излучением опре-
определенного числа фотонов. Наряду с этим процессом рассмотрим
также и другой процесс, отличающийся от первого лишь испус-
испусканием одного дополнительного фотона. Если частота ио этого
фотона достаточно мала (соответствующие условия будут сфор-
сформулированы ниже), то сечение da процесса простым образом свя-
связано с d<jQ.
Действительно, при малых da$ можно пренебречь обратным
влиянием испускания этого кванта на процесс рассеяния. Други-
Другими словами, сечение da может быть представлено в виде произ-
произведения двух независимых множителей: сечения da$ и вероятно-
вероятности dw испускания одного фотона при столкновении. Испускание
мягкого фотона — процесс квазиклассический; поэтому его веро-
вероятность совпадает с классически вычисленным числом испущен-
испущенных при столкновении квантов, т. е. с классической интенсив-
интенсивностью (полной энергией) излучения dl, деленной на w(= Hui).
Таким образом,
.	(98.1)
Покажем, как эта формула может быть получена по общим
правилам диаграммной техники (J. M. Jauch, F. Rohrlich, 1954).
Диаграммы процесса с дополнительным фотоном получаются из
диаграмм основного процесса путем добавления внешней фотон-
фотонной линии, «ответвляющейся» от какой-либо (внешней или вну-
внутренней) электронной линии, т. е. путем замены
кг*
\	(98.2)
р-к р
Легко видеть, что основную роль будут играть диаграммы, полу-
получающиеся такой заменой во внешних электронных линиях. Дей-
Действительно, если р — импульс внешней линии (р2 = т2), то при

§ 98	ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ	483
малых к будет также и (р — кJ ~ т2, т. е. добавляющийся в
диаграмме множитель G(p — к) будет находиться вблизи своего
полюса.
Для линии начального электрона р замена (98.2) сводится к
замене в амплитуде реакции:
и(р) —>> evA7rG(p — к)(/уе*)и(р) =
(р — кJ — т2	2(рк)
Заметив, что
GР)Gе*) = 2^е* - Gе*)GР)? ipu(p) = ти(р),
получим правило замены в виде
и(р) -+ -ел/^^-иЬ).	(98.3)
(рк)
Аналогичным образом для линии конечного электрона р' замена
на диаграмме
X
р р -\-к
означает замену в амплитуде:
и(р) -+ еуДкп(р')^-1.	(98.4)
(р'к)
Во всех остальных частях диаграммы можно вообще прене-
пренебречь изменениями импульсов линий, связанными с испускани-
испусканием фотона к. При этом подразумевается, что энергия фотона ио
во всяком случае мала по сравнению с энергиями всех частиц,
участвующих в реакции (в том числе по сравнению с энергиями
излучаемых жестких фотонов, если таковые имеются).
Пусть для определенности сечение dao относится к рассея-
рассеянию электрона на неподвижном ядре (с возможным излучени-
излучением жестких фотонов). Амплитуда этого процесса, который мы
условно назовем упругим, имеет вид
} =п(р')Ми(р).
Произведя в ней один раз замену (98.3), а другой раз (98.4) и
сложив результаты, получим амплитуду тормозного излучения
тех же жестких фотонов и мягкого фотона к х) :
)	(98.5)
:) Обратим внимание на то, что появление разности в этой формуле явля-
является естественным результатом калибровочной инвариантности; амплитуда
реакции не должна меняться при замене 4-вектора поляризации е —»¦ е +
+ const • к.
16*

484	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Соответственно сечение
da = dayup
(р'е) (ре) 2 dsk
(р'к) (рк)
BttKcj
Просуммировав по поляризациям фотона /с, получим
da = —е
р	р
2 ds
dsk
(98.6)
(98.7)
(p'jfe) (р/с)
Выраженная через трехмерные величины, эта формула имеет
вид х)
,	/ fv'nl	fv'nl \ dudok j	/no оч
da = a[—	— —	-) 	-daYUr>.	(98.8)
Vl-v'n l-vn/ 4tt2cj ynp'	V J
где n = k/o;, a v и v7 — начальная и конечная скорости электро-
электрона. Мы видим, что выражение, стоящее перед dayupi действи-
действительно совпадает с (деленной на ио) классической интенсивно-
интенсивностью излучения (ср. II, F9.4)), как и утверждалось в формуле
(98.1).
Условие применимости полученных формул требует также,
помимо малости ио по сравнению с ?, чтобы передача импульса
ядру q была велика по сравнению с изменением Jq этой величи-
величины, связанной с испусканием мягкого фотона. Имеем
?q = (р7 - р - к) - (р7 - р)^=о = Spr - к,
причем
де	v
а |к| = ио. В нерелятивистском случае (v<l) получаем поэтому
условие
о;/|ф < 1.	(98.9)
При рассеянии на кулоновом (и вообще на медленно спадающем
с расстоянием) потенциале |q| ~ 1/р (р — прицельное расстоя-
расстояние), так что это условие можно представить и в виде о;т < 1,
где т ~ p/v — характерное время столкновения.
В ультрарелятивистском случае фотоны излучаются в основ-
основном в направлениях вблизи v или v7 (как это видно из знамена-
знаменателей в (98.8)). Если угол в рассеяния электрона мал, то направ-
направления всех трех векторов р, р7, п близки друг к другу. Тогда
:) Для ее вывода удобно вернуться к (98.6), положив
р = (е, ev), рк = еиA — vn), ... , е = @, е)
и произведя заново суммирование по поляризациям с помощью D5.4а).

§ 98	ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ	485
и поскольку |q| ~ ев, мы получаем условие
#> - —.	(98.10)
? ?2
Ввиду квазиклассического характера формул (98.5)-(98.8)
они справедливы для излучения любыми заряженными части-
частицами (не обязательно электронами, для которых был проведен
вывод). В общем случае, когда в реакции участвует несколько
таких частиц, формула (98.5) должна быть записана в виде
(98.11)
где суммирование производится по всем частицам (с зарядами
Ze)] соответствующим образом меняются и формулы (98.6)-
-(98.8). В частности, в нерелятивистском случае
Mfi = M(*np)e-^Y1 z{y' - v)e*-	(98Л2)
Для двух частиц эта формула принимает вид
Mfi =
(98.13)
/ /	\	17111712
q = m(v — v), m =	,
777-1 H~ ТП2
где v и v7 — относительная скорость частиц до и после столкнове-
столкновения. Интегрируя квадрат |Му^|2 по направлениям вылета фотона
и суммируя по направлениям его поляризации, получим отсюда
нерелятивистское спектральное распределение излучения в виде
da = d
2е2 / Zi Z2y 2du
-— — - — ) q —.
Зтг \mi rri2/	uo
Полученные результаты обобщаются на случай одновременного
излучения нескольких мягких фотонов. Для каждого из фото-
фотонов в амплитуду Mfi добавляется свой множитель того вида,
который стоит при М^пр) в (98.5). В этом легко убедиться непо-
непосредственно, скажем, на примере двух фотонов. Линии обоих ис-
испускаемых фотонов должны добавляться на внешних электрон-
электронных линиях, причем в двух различных последовательностях, т. е.
диаграмма с внешней линией р заменяется двумя диаграммами
с линиями
\ \	или	\ \

486	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Каждая из них содержит множитель (знаменатели электронных
пропагаторов)
11	11
или
+ (pfe)) 2(pfci)	2((ркг) + (pfe)) 2{рк2)
Их сумма равна
¦2(pfc2)'
т. е. содержит произведение двух независимых множителей, от-
отвечающих первому и второму фотону. После этого в сумме всех
диаграмм члены собираются (в силу калибровочной инвариант-
инвариантности) в произведение разностей
fjp'el) _ (реЩ ((Р^Ц _ МП
\(pfki) (pki)) V (р'к2) (рк2) J
Соответственно факторизации амплитуды разбивается на
множители также и сечение процесса. Таким образом, мягкие
фотоны испускаются независимо. Сечение процесса с испускани-
испусканием п мягких фотонов может быть представлено в виде
da = dayupdw\ ... dwn,	(98.14)
где dw\, dw2-) • • • —вероятности отдельного испускания фотонов
dk\, dk2-) ... При интегрировании этой формулы по конечному
интервалу значений переменных (частот и направлений), одина-
одинаковому для всех квантов, должен быть введен множитель 1/п!,
учитывающий тождественность фотонов.
Если проинтегрировать сечение излучения (98.1) по частотам
в некотором конечном интервале от ио\ до 6^2, то мы получим
выражение вида
da ~ a In— dayup	(98.15)
(ср. (98.8)). При этом подразумевается, что обе частоты мягкие,
так что возможные значения ио2 ограничены условием приме-
применимости метода. С логарифмической точностью, однако, можно
положить U02 ~ ?, где е — начальная энергия излучающей ча-
частицы. Значения же ио\ вообще ничем не ограничены снизу. Но
устремив ио\ к нулю, мы увидим, что сечение излучения всех воз-
возможных мягких квантов обращается в бесконечность. Выясним
смысл этой ситуации — так называемой инфракрасной катастро-
катастрофы (F. Bloch, A. Nordsieck, 1937). При
a In— > 1	(98.16)
будет da > dayup. Но это означает неприменимость теории возму-
возмущений — невозможность вычислять da как величину более высо-
высокого порядка малости, чем dayup. Другими словами, параметром

§ 98	ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ	487
малости должно считаться в данном случае не а, а произведение
l(/)
Таким образом, вывод формул (98.5),(98.6) на основе теории
возмущений оказывается неверным при достаточно малых ча-
частотах. С другой стороны, классическая формула для интенсив-
интенсивности dl (см. II, F9.4)) применима в тем большей степени, чем
меньше ио. Поэтому формула (98.1) останется правильной, если
несколько видоизменить ее смысл в сторону большей классично-
классичности. Именно, в (98.1) подразумевалось, что излучается один фо-
фотон; тогда теряемая частицей на излучение энергия совпадает с
ио и «сечение относительной потери энергии» дается выражением
coda /б, или
dayup^-.	(98.17)
В действительности же при достаточно малых ио вероятность из-
излучения не мала, а вероятность излучения двух и более фото-
фотонов не меньше, а больше вероятности излучения одного фотона.
В этих условиях выражение (98.17) останется справедливым, но
классическая интенсивность dl будет определять не вероятность
излучения одного фотона, а среднее число излученных фотонов
dn = —,	(98.18)
или в конечном интервале частот
п= [ —.	(98.19)
J и
UJ=UJl
Поскольку мягкие фотоны излучаются статистически незави-
независимо (это справедливо во всех приближениях теории возмуще-
возмущений), к процессу множественного излучения можно применить
формулу Пуассона: вероятность w(n) излучения п фотонов вы-
выражается через среднее число п формулой
w(n) = — ехр(-га).	(98.20)
п!
Представим сечение процесса рассеяния с излучением фото-
фотонов в виде
da = dayup -w(n).	(98.21)
Поскольку ^2w(n) = 1, то dayup представляет собой полное се-
сечение рассеяния, сопровождаемого любым мягким излучением.
Это обстоятельство, очевидно из классического рассмотрения; по
теории же возмущений dayup есть сечение чисто упругого рассея-
рассеяния. Но теория возмущений здесь неприменима. Получается так,

488	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
что rf(jynp, вычисленное по теории возмущений как сечение упру-
упругого рассеяния, в действительности учитывает излучение любых
мягких фотонов. Что же касается сечения чисто упругого рассе-
рассеяния, то оно в действительности равно нулю: при ио\ —>> 0 среднее
число п —>> оо, и согласно (98.20) обращается в нуль вероятность
излучения любого конечного числа фотонов х) .
Задачи 2)
1. Найти спектральное распределение тормозного излучения мягких фо-
фотонов при рассеянии ультрарелятивистского электрона на ядре.
Решение. Интегрирование формулы (98.8) по do^ дает
da = aF(f)—daynp,	A)
и
где
(p — импульс, 0 — угол рассеяния электрона). В ультрарелятивистском слу-
случае основную роль играет область углов
(нижняя граница — условие (98.10), о верхней границе см. ниже). При этом
? и ев/Bт) <С 1, так что
а сечение упругого рассеяния электрона на ядре (см. (80.10))
2 2 ^ с/о
Интеграл
16 2 2 6^ / 6^
логарифмически расходится; он обрезается снизу на углах в ~ т2ш/е2, а
сверху — при ? ~ 1, т. е. на углах в ~ т/е (при ? —»¦ оо
4
7Г
так что интеграл сходится). Таким образом, с логарифмической точностью
находим
16^2 zduj . г2	,с,
асго, = —Z аге — In		E)
3	и ти
— в согласии с логарифмической частью формулы (93.17) (в которой надо
положить е ~ г'). Достичь не логарифмической точности можно, лишь вый-
выйдя за пределы квазиклассической области.
) Мы вернемся еще к обсуждению этой ситуации в § 130 в связи с изуче-
изучением радиационных поправок.
) Приведенные ниже применения формулы (98.7) принадлежат В. Н. Бай-
Байеру и В. М. Галицкому A964).

§ 99	МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ	489
2. Для столкновения двух ультрарелятивистских электронов определить
(в системе центра инерции) сечение одновременного испускания двух мягких
фотонов в противоположных направлениях под малыми углами к импуль-
импульсам электронов.
Решение. Фотоны, летящие в противоположных направлениях, ис-
испускаются различными электронами, каждым в направлении своего движе-
движения. Сечение одновременного излучения
da = daynp • aF(?)	aF(?)	, f = — sin -,	F)
cji	CJ2	m 2
где e — энергия каждого из электронов, в — угол рассеяния в системе цен-
центра инерции, одинаковый для обоих электронов (поскольку фотоны испус-
испускаются заведомо в различных направлениях, вводить в сечение множитель
Уг не надо). Сечение упругого рассеяния электронов на малые углы в си-
системе центра инерции в ультрарелятивистском случае совпадает с D) (ср.
(81.11)). В отличие от A) сечение F) ведет себя при в —»¦ 0 как 6d6, так что
интеграл сходится. С одной стороны, это обстоятельство позволяет прово-
проводить интегрирование до 0 = 0 (не заботясь о возможном нарушении условия
применимости метода). С другой стороны, основной вклад в интегральное
сечение дает теперь область в ~ гп/е (а не ^ < m/г), так что надо поль-
пользоваться точным выражением B). Результат интегрирования сечения по
углам рассеяния:
daUJluJ2 = - 5 + -СC) \геа	= 5,9геа
7Г L 2 -1	UJ\ UJ2	UJ\ UJ2
(С —функция Римана; СC) = 1,202).
§ 99. Метод эквивалентных фотонов
Сравним два процесса, описываемых диаграммами:
(99.1)
кружки изображают условно всю внутреннюю часть диаграм-
диаграммы). Диаграмма а) изображает столкновение фотона к(к2 = 0)
с некоторой частицей с 4-импульсом q (и массой m; q2 = т2). В
результате столкновения образуется система (частица или груп-
группа частиц) с общим 4-импульсом Q. Диаграмма б) изображает
столкновение той же частицы q с другой частицей, 4-импульс
которой р, а масса М (р2 = М2). В результате столкновения эта
последняя частица приобретает 4-импульс р' и образуется та же
система Q. Второй процесс можно рассматривать как столкнове-
столкновение частицы q с испущенным частицей р виртуальным фотоном,
импульс которого к = р — р1 (к2 < 0). Если при этом \к\2 мало,

490	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
то виртуальный фотон мало отличается от реального. Очевид-
Очевидно, что с такой ситуацией можно встретиться при столкновени-
столкновениях очень быстрых частиц: электромагнитное поле заряженной
частицы, движущейся со скоростью v ~ 1, почти поперечно и
потому близко по своим свойствам к полю световой волны. В
этих условиях сечение процесса б) можно выразить через сече-
сечение процесса а) :).
Итак, будем считать частицу М ультрарелятивистской: ее
энергия (в системе покоя частицы га) е ^> М. Если массы стал-
сталкивающихся частиц т и М различны, то для определенности
будем считать, что га < М.
Амплитуду процесса а) (с участием реального фотона) мож-
можно представить в виде
М$ = -еуД^(е^),	(99.2)
где е^ — 4-вектор поляризации фотона, a J^ — ток перехода,
отвечающий вершине (кружок) диаграммы. Амплитуда же про-
процесса б)
Mfi = Ze^UnJ»),	(99.3)
где j^ — ток перехода частицы т (нижняя вершина диаграммы);
Ze — заряд этой частицы. Ток J — функция от к = Q — q и потому
в этих случаях различен: к2 = 0 в (99.2) и i2 / 0 в (99.3). Но
если во втором случае
\к2\ <га2,	(99.4)
то и здесь можно взять J при к2 = 0.
Изменение импульса частицы М при испускании виртуально-
виртуального фотона, р — р7 = к, мало по сравнению с ее первоначальным
импульсом |р| ~ ?; поэтому в токе перехода j можно положить
р = р7. Другими словами, рассматриваем движение частицы М
как прямолинейное и равномерное. Поскольку такое движение
квазиклассично, соответствующий ток не зависит от спина ча-
частицы 2) :
h = V-	(99.5)
:) Излагаемый ниже метод был разработан Вейцзеккером и Вильямсом
{К. Weizsacker, E. J. Williams, 1934); основная идея этого метода была еще
раньше высказана Ферми (Е. Fermi, 1924).
2) При нормировке волновых функций на одну частицу в единичном объ-
объеме ток j^ = A, v), где v — скорость. Но мы условились (см. § 6) опускать
в волновых функциях нормировочный множитель 1/л/2б\ Соответственно
этому в jM надо ввести дополнительный множитель 2s, и мы приходим к
выражению (99.5).

§ 99	МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ	491
Условие поперечности тока (jk = 0) дает теперь еио—рхкх = 0,
где ось х выбрана в направлении р. Отсюда
ио = vkx,	(99.6)
где v = px/s— скорость частицы М. Поскольку
-k2 = -ио2 + к2х + к\ъоо2A- v2) + к^	(99.7)
(k_L — поперечная к оси х составляющая вектора к), условие
(99.4) эквивалентно неравенству \\<l±_\ <C m и значительно более
слабому неравенству для ио : ио <С ту/1 — v2.
Далее, из условия поперечности тока J (Jk = 0) следует при
использовании (99.6)
Jo = — +	•
V	Ш
Поэтому для скалярного произведения j J получим
и
= 2(Joe - JxPx) « 2е-(j±k± + ^f Jx).	(99.8)
и \	г1 J
Произведение ж:е Je в (99.2) раскроем, выбрав 4-вектор поля-
поляризации реального фотона в трехмерно поперечной калибровке:
ек = —ек = 0, откуда ех « —е±к±/ои. Тогда
(99.9)
Сравним выраж:ения (99.8) и (99.9). Они окажутся пропорци-
пропорциональными друг другу, если можно пренебречь вторыми членами
в скобках. Поскольку ток J относится к верхнему узлу диаграм-
диаграммы (99.16), он не связан с направлением р; поэтому Jx и J^
надо считать величинами одного порядка. Допустимость указан-
указанного пренебрежения требует, следовательно, соблюдения условий
|к_ь| ^С оо и ио <^ ?2|к^|/М2; они не противоречат предыдущим
условиям, уже наложенным на к^ yl ио.
Приняв, что в (99.9) фотон поляризован в плоскости хк
(так что е^ || kj_), и заметив, что в силу поставленных условий
е^ ~ е2 = 1, получим теперь
M(r) = ге^2Л
JL	— к2 и
Согласно сказанному выше при этом предполагаются выполнен-
выполненными условия
(99.11)
— < |kj_| < m,	(99.12)
72

492	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
где для краткости обозначено:
/1 - v2 '
Отсюда можно найти связь между соответствующими сече-
сечениями. Согласно общей формуле F4.18) имеем (в системе покоя
ЧаСТИЦЫ 777,)
где dpQ — статистические веса частиц Q. Используя (99.10) и
(99.7), получаем
da = dar-n(k)d3pf,	(99.13)
где
Напомним, что dar —сечение процесса а), вызванного столкнове-
столкновением реального фотона с покоящейся частицей, причем образу-
образуется система частиц Q в определенных интервалах их импульсов.
Сечение же da относится к процессу б) образования той же си-
системы Q при столкновении быстрой частицы (массы М) с той же
покоящейся частицей, причем быстрая частица теряет импульс
р — р7 = к, оставаясь в интервале d?p' значений р7. Множитель
п(к) в (99.13) можно истолковать как плотность (в к-простран-
стве) числа фотонов, которым эквивалентно электромагнитное
поле быстрой частицы.
Интегрирование по d?p' равнозначно интегрированию по
d3k = duid2k±. Произведя интегрирование по d2k±, мы получим
сечение процесса, в котором полная энергия Е системы частиц Q
лежит в заданном интервале dE = duo (E — m = e — е' = о;, где е
же' — начальная и конечная энергии частицы М). Интегрирова-
Интегрирование по направлениям к^ означает усреднение по направлениям
поляризации падающего фотона (вместе с умножением на 2тг).
После этого получим
da = n(uo)darduo,
(Л Г п\ о / А1 2^е2 [ kidk±	(99.15)
77(ш) = / п к • 2nk±dk± =	 / j-
Интеграл по к_\_ расходится при больших к_\_. Расходимость,
однако, всего лишь логарифмическая. Это обстоятельство позво-
позволяет (в пределах применимости излагаемого метода) получить

§ 99	МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ	493
ответ в логарифмическом приближении: предполагается, что ве-
велик не только аргумент логарифма, но и сам логарифм. С такой
точностью достаточно положить для верхнего предела интегри-
интегрирования к±тгх ~ т — верхний предел неравенства (99.12). Про-
Произведя интегрирование, получим для спектрального распределе-
распределения эквивалентных фотонов (в обычных единицах)
п(ш)ёш= *Zaln^^.	(99.16)
тг	Ни) uj
Принятое приближение означает, что численный коэффициент в
аргументе логарифма остается неопределенным: введение такого
коэффициента означало бы прибавление к большому логарифму
относительно малой величины (~ 1) и представляло бы собой
превышение допустимой точности.
Задачи
1. Найти сечение тормозного излучения при столкновении быстрого
электрона с ядром, исходя из сечения рассеяния фотонов на электроне.
Решение.В системе отсчета Ki, в которой электрон до столкнове-
столкновения покоился, процесс можно рассматривать как рассеяние на электроне
эквивалентных фотонов поля ядра х). Согласно (86.10) сечение рассеяния
фотона электроном в системе К\
2mdoj'i \ uji uj'i fm m\	( 1 1 \	...
= 7гге2—^ — + — + ( — - — ) - 2m ( — - — , A)
где cji и uo[ начальная и конечная энергии фотона в этой системе. Сечение
тормозного излучения в системе К\
(uo[) = /
B)
где n(cji) — функция (99.16). Ввиду инвариантности сечения переход к си-
системе отсчета К, в которой покоится ядро, сводится к преобразованию ча-
частоты uj'i . Частоты uj'i и а/ в системах К\ и К связаны формулой Доплера
ш =7^iA -vcosfli), 7= гл	т>	C)
где в\ —угол рассеяния в системе К\. Этот же угол связывает
гласно (86.8):
Из C) и D) находим
.1- —= -(l-cos0i).	D)
u)[ cji m
= ил — ,	E)
е
1) Рассеяние же виртуальных фотонов на ядре (в системе покоя ядра) ис-
исключается большой массой последнего: сечение рассеяния стремится к нулю
при увеличении массы рассеивающей частицы.

494	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
где г = 777-7 и ? —начальная и конечная энергии электрона в системе К
(г — г' = uj'). Подставив E) в A), получим
2mduj (г е т2и' 2muj'
«СГрасс = 7ГГе
аил ye e' ?f2ujf иле'
Это выражение надо подставить в B) и интегрировать по uj\ при заданном
uj' (т. е. заданном г') в пределах между
_ 2еш'	_ 2muj'
Wlmax — 	, СОi min —
m	e'
(эти значения получаются из C)-D) при в\ = 0 и в\ = тг. Ввиду быстрой
сходимости интеграла при больших uj\ главный вклад в него дает область
loi вблизи нижнего предела (т. е. можно положить cJimax —)¦ оо). Вычисляя
интеграл с логарифмической точностью г) получаем
асгизл = 4reaZ	1	In	.
и' г \е' г 3/ ти'
Для справедливости этого результата, помимо условия ? ^> т (ультрареля-
(ультрарелятивистский электрон), должно выполняться условие (99.11): существенные
при интегрировании частоты uj\ ~ cjimin должны быть много меньше е. От-
Отсюда ? — ?f = uj' <^L ??f/т. В этих условиях полученный результат, как и
следовало ожидать, совпадает с логарифмической точностью с (93.17).
2. То же для тормозного излучения электрона на электроне.
Решение.В этом случае виртуальный фотон может рассеиваться
либо на быстром электроне, либо на электроне отдачи; фотоны, эквивалент-
эквивалентные полю одного электрона, рассеиваются на другом, и наоборот. Рассеяние
виртуальных фотонов на быстром электроне дает сечение da^3JI совпадаю-
совпадающее с сечением излучения электрона на ядре с Z = 1.
Рассеяние же виртуальных фотонов на электроне отдачи дает сечение
излучения
Гизл = du • n(uj)dcrpSbCC(uj, и),
с с/сгРасс(<^, сУ) из A) (с соответствующим изменением обозначений частот).
Для области значений, пробегаемых uj при заданном uj', имеем (ср. D))
uj ^ uj ^ оо	при uj > —;
,	uj'	, m
uj ^ uj ^ 	 при cj < —.
m — 2а;7	2
При а/ < ?тг/2 интегрирование по uj дает
16 2duj' Л о/ . u/2V ?
uj uj\ ?
are	1	+ — In —
3 uj 'у m m2 J '
в согласии с (97.4). Если же uj' > m/2, то надо различать случаи uj' ~ m и
1) Это значит, что путем однократного интегрирования по частям выделя-
выделяем член, содержащий большой логарифм, а остальными членами пренебре-
пренебрегаем. Эта операция сводится к вынесению логарифма \n(e/(Ji) из-под знака
интеграла при значении uji = uji min.

100	МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ	495
j ~ ? ^> т. В первом случае получаем
2 2mduj' ( т т2 \ е
4 - — + —2 In -
J
3	12 \	i	л 12 I
uj1 \ и1 4a/J m
в согласии с (97.3) (в аргументе логарифма произведена замена с требуемой
точностью е/ио на г/т). В случае же ио ~ г метод эквивалентных фотонов
вообще неприменим для вычисления da^3JI. Частота виртуальных фотонов
uj пробегает значения, начиная от а/, и при uj = uj' ~ г, следовательно, не
выполняется условие (99.11).
3. Определить полное сечение образования пары при столкновении фо-
фотона с ядром, исходя из сечения образования пары при столкновении двух
фотонов.
Решение. Энергия фотона в системе покоя ядра (система К): ио^>т.
Перейдем в систему отсчета Ко, в которой ядро движется навстречу фотону
со скоростью г>о такой, что
1 _ _cj_
л/^^о 2т
В этой системе энергия фотона
Искомое сечение а вычисляем в системе Ко как сечение образования пары
при столкновениях падающего фотона шо с эквивалентными фотонами ядра,
энергии которых обозначим через и'':
= /
где а11 — сечение образования пары двумя фотонами; оно дается получен-
полученной в задаче к § 88 формулой A), в которой надо положить
Перейдя к переменной v вместо uj' , получим
а = 2r2eaZ Г v\n\— A - v2)] [C - v4) In ^-^- - 2vB - v2)]dv.
J	1-777,	J L	1 — V	-I
0
При учете сходимости интеграла на верхнем пределе интегрирование рас-
распространяется на всю область от порога реакции uj' = m (v = 0) до uj' =
= оо {у = 1) и производится с логарифмической точностью (т. е. логарифм
ln[cj(l — v2)/m] заменяется его значением при v = 0 и выносится из-под знака
интеграла). В результате получим
28 ^2 2l "
а = —aZ re In —
9	m
в согласии с (94.6); формула справедлива при ln(cj/m) > 1.

496	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
§ 100. Образование пар при столкновениях частиц
Образование электронной пары при столкновении двух заря-
заряженных частиц описывается диаграммами двух типов:
р-
A00.1)
Две верхние сплошные линии отвечают сталкивающимся части-
частицам, нижняя — рождающейся паре.
Рассмотрим в ультрарелятивистском случае столкновение
двух тяжелых частиц (ядер). Изменением состояния движения
самих этих частиц при таком столкновении можно пренебречь,
т. е. можно рассматривать их как источники внешнего поля :) .
Этому отвечают, две диаграммы первого типа:
\qV lgB)	lgB) lgA)
II	II	A00.2)
P- P -P+	P- P -P+
где q^\ q^ — «импульсы» компонент Фурье полей двух частиц.
Потенциал А^ = (Ао, А), создаваемый равномерно движу-
движущейся со скоростью v классической частицей, удовлетворяет
уравнениям
- vt - г0),
ПА = -47rZev?(r - vt - г0).
Его компоненты Фурье:
А0(ш, k) = -*f^Le-*kr°6(oo - kv)
UJ2 — к2
и аналогично для А (о;, к). В четырехмерном виде
где U — 4-скорость частицы, а 4-вектор xq = @, го). Если яд-
ядро 1 покоится в начале координат (iq = 0), то р = Tq ) есть
вектор прицельного расстояния (в плоскости, перпендикулярной
1) Случай столкновения двух легких частиц (электронов), изменением дви-
движения которых нельзя пренебречь, значительно более сложен. См. об этом
указанную на с. 454 книгу В. Н. Байера, В. М. Каткова и В. С. Фадина.

§ 100	ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ ЧАСТИЦ	497
направлению движения ядра 2). Это выражение для A^(q) и дол-
должно использоваться при аналитической записи диаграмм A00.2).
В проведении вычислений этим способом в данном случае, од-
однако, нет необходимости. Сечение образования пары может быть
определено с помощью метода эквивалентных фотонов по из-
известному уже нам сечению образования пары фотоном на ядре.
Замена поля одной из частиц (скажем, первой) спектром эквива-
эквивалентных фотонов означает, что в диаграммах A00.2) линии q^
рассматриваются как линии реальных фотонов. Совокупность
этих двух диаграмм становится тогда тождественной с совокуп-
совокупностью диаграмм, отвечающих образованию пары фотоном на
ядре 2. При ?+, е- ^> т сечение последнего процесса дается
формулой (94.5). Умножив это выражение на спектр (99.16) эк-
эквивалентных фотонов первого ядра, получим (с логарифмиче-
логарифмической точностью) дифференциальное сечение образования пары
при столкновении частиц:
л	8 2/7 7 \2 ds+ds- ( 2 i 2 i 2	\
da = -re{ZlZ2a) ^-±—^ (е+ + е_ + -е+е.) х
2?+?- 1п^	A00.3)
S++S-
где 7 = 1/л/1 — v2 ^> 1.
Здесь предполагается, что
га < е+, е- < Ш7 :	A00.4)
верхнее неравенство есть условие применимости метода эквива-
эквивалентных фотонов. В тоже время область, определяемая неравен-
неравенствами A00.4), совпадает с областью энергий электрона и по-
позитрона, существенных при интегрировании выражения A00.3).
При интегрировании по ?+ или Е- при заданной сумме е = ?+ +
+?_(^> 777,) существенна область вблизи верхнего предела; отбра-
отбрасывая члены, не содержащие большого логарифма, получаем
7	56 2//7 А7 \2i ? л ту de
da = —rAZ\Z<ia) In — In—- —.
9тг eV	} m ее
Интеграл по ?, взятый по области A00.4), расходится как куб ло-
логарифма, а на краях этой области — лишь как квадрат логариф-
логарифма. В логарифмическом приближении (In 7 ^> 1), следовательно,
область A00.4) действительно основная, и интеграл может быть
взят в пределах от m до 7777. Имеем

498	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
так что полное сечение образования пары
а = ^rl(ZlZ2af In3 -*	A00.5)
27тг	у 1 — v2
(Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1934).
Рассмотрим теперь случай нерелятивистских скоростей стал-
сталкивающихся ядер. В этом случае становится существенным изме-
изменение движения ядер под влиянием их взаимодействия, и основ-
основной вклад в сечение образования пары дают диаграммы второго
типа в A00.1). Таких диаграмм —четыре: две диаграммы
P2< | < '	< P2	p'2<	» < ! < P2	A00.6)
life	Ifc
I
и две аналогичные, в которых виртуальный фотон к (рождаю-
(рождающий пару) испускается первым, а не вторым ядром :) .
Будем считать, что энергия пары мала по сравнению с кине-
кинетической энергией относительного движения ядер в системе их
центра инерции:
2	(Ю0.7)
(v — начальная относительная скорость, М=М\М2/ {М1
приведенная масса ядер). Тогда можно пренебречь обратным
влиянием рождения пары па движение ядер. Если в диаграммах
A00.6) убрать электрон-позитронную линию, то оставшиеся их
части будут изображать испускание сталкивающимися частица-
частицами виртуального фотона малой частоты (а;=?++?_).
Мы возвращаемся, таким образом, к ситуации, рассмотренной в
§ 98 для испускания реального мягкого фотона, и можем восполь-
воспользоваться полученной там для нерелятивистского случая форму-
формулой (98.13) (с тем отличием, что вместо амплитуды л/1тге* реаль-
реального фотона будет стоять пропагатор виртуального фотона 2) .
) Отметим, что образованию пары при столкновении двух электронов от-
отвечает всего 36 диаграмм: 2! • 3! = 12 диаграмм типа а), получающихся друг
из друга перестановками двух начальных и трех конечных электронов, плюс
2 • 2! • 3! = 24 диаграммы типа б), получающиеся таким же образом из двух
диаграмм A00.6).
2)В нерелятивистском случае импульс фотона мал по сравнению с из-
изменением импульса излучающих частиц (\Sp\ ~ ш/v), и потому им можно
пренебречь (по сравнению с Sp) даже тогда, когда не пренебрегаем энергией
фотона. Это тем более относится в данном случае к виртуальному фотону,
для которого к2 = (р+ +р_J > 0, так что |к| < ш. В этих условиях разница
между реальным и виртуальным фотоном исчезает, чем и оправдывается
использование формулы (98.13).

§ 100	ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ ЧАСТИЦ	499
Таким образом, амплитуда всего процесса рождения пары запи-
запишется в виде
2XDXfl(k)[-ie(u-^u+)], A00.8)
где q = @, q), q = M(v' - v).
Как обычно, в нерелятивистском случае фотонный пропага-
тор следует выбрать в калибровке G6.14). По амплитуде A00.8)
находим сечение процесса:
2
х 	 р+ р~	D7rJfe_7Q^+h (Ю0.9)
2s+2s_B7rNu;2(u;2-k2JV J ' ' ^ +l ' V	J
где
w = ?+ + e—, k = p+ + p_, Q = q — —k(qk);
UJ2
d<Jpa,c — сечение упругого рассеяния ядер друг на друге (в систе-
системе их центра инерции). Оно дается формулой Резерфорда :)
^	A00.10)
(приближенное равенство предполагает малость отклонения
ядер от их начального направления движения —оси х). Подста-
Подставив это выражение в A00.9) и произведя обычным образом сум-
суммирование по поляризациям пары, получим
х р{Ы	)GQ)G^ )GQ)}?^
A00.11)
Дальнейшее вычисление производится в приближении, в кото-
котором все возникающие при интегрировании логарифмы считаются
большими величинами. Мы увидим, что с этой точностью основ-
основную роль играют энергии пары ?_|_, ?_ ^> т и углы б между р+
и р_ в области
ш/б<6>< 1.	A00.12)
) Диаграммы A00.6) соответствуют борновскому приближению для рас-
рассеяния ядер. Однако поскольку формула Резерфорда точная (для кулонова
взаимодействия), то справедливость полученных результатов в действитель-
действительности не требует соблюдения условия применимости борновского приближе-

приближе500	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
С соответствующими пренебрежениями вычисление следа в
A00.11) дает
+ 2(p+q)(p_q) ^
причем можно положить: |р+| = ?+, |p_| = ?_. В знаменателе
же
()
е+е-
Интегрируя по направлениям р+ и р_ при постоянном угле
между ними, получаем
da = —(ZiZ2e2J—( — — — ) (е\ + e2_)de+de- x
Зтг2	v2 \ Mi М2 /
CLQyCLQz	(~\ с\г\ 1 о\
х	;	7^^~- A00.13)
92 + ш (?+ + ?-
Вид зависимости от в подтверждает предположение A00.12),
и интегрирование по в дает In —^±?z	# Интегрирование же по-
следнего множителя в A00.13) производится в пределах от qy =
= qz = 0 до 4 /q* + q% ~ 1/R, где Д — величина порядка радиуса
ядер (это значение соответствует наименьшим прицельным рас-
расстояниям— см. ниже); это интегрирование дает
тгln(ql + q% + q2z)
2тгIn —.
qy=qz=O
С другой стороны, полная энергия пары, равная изменению энер-
энергии ядер, есть
? = (?++ е-) = y(v/2 - v2) ~ Mv(v'x - vx) = vqx,
откуда qx = e/v. Таким образом, находим
) tIn
rfcr = —(ZiZ2e ) 	 — — —-) -t	In — In——ds+ds-,
3ttV	J v2 \M2 Mj s4	Re me +
а после интегрирования по ?+ или в- при заданной сумме е
da = V(ZlZ2e2Je^(^ - ^ifln^ln^. A00.14)

§ 101	ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ	501
Энергии е можно привести в соответствие прицельное расстоя-
расстояние р ~ v/e (энергия пары — порядка частоты, отвечающей вре-
времени столкновения). Поэтому логарифмическая расходимость
при интегрировании по ? в A00.14) означает такую же расходи-
расходимость по прицельным расстояниям. Это значит, что существен-
существенны большие р (тем самым, кстати, оправдывается использова-
использование сечения рассеяния A00.10) в чисто кулоновом поле ядра).
Соответственно существенна область энергий: т ^ е ^ v/R.
Интегрирование A00.14) дает полное сечение образования пары;
окончательно (в обычных единицах)
dG = ™-(ZlZ2aJrl(c-O^ - ^)ln3 J™- A00.15)
27тг	' e\vJ V M2	Mi /	mc2R	V	J
(E. M. Лифшиц, 1935) *).
§ 101. Излучение фотона электроном
в поле интенсивной электромагнитной волны
Применимость теории возмущений к процессам взаимодей-
взаимодействия электрона с полем излучения предполагает (помимо мало-
малости константы взаимодействия а) также достаточную слабость
этого поля. Если а —амплитуда классического 4-потенциала по-
поля электромагнитной волны, то характерной величиной в этом
смысле является безразмерное инвариантное отношение
f = ел/l - а2/т.	A01.1)
В этом параграфе мы рассмотрим процессы излучения, воз-
возникающие при взаимодействии электрона с полем сильной элек-
электромагнитной волны, для которой ? может иметь любое значе-
значение. Применяемый метод основан на точном учете этого взаимо-
взаимодействия; взаимодействие же электрона с новыми испускаемыми
фотонами может по-прежнему рассматриваться как малое воз-
возмущение (Л. И. Никишов, В. И. Ритус, 1964).
Рассмотрим монохроматическую плоскую волну, для опреде-
определенности циркулярно поляризованную. Ее 4-потенциал напишем
в виде
А = а\ cos if + d2 sin^, ср = kx,	A01.2)
где k^ = (о;, k) —волновой 4-вектор (k2 = 0), а 4-амплитуды а\
и п2 одинаковы по величине и взаимно ортогональны:
а\ = а\ = а2, а\п2 = 0.
х) Числовая ошибка исправлена Л. Б. Окунем A953).

502	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
Будем предполагать потенциал калиброванным условием Лорен-
Лоренца, так что а\к = с^А; = 0.
Точная волновая функция для электрона в поле произволь-
произвольной плоской электромагнитной волны была найдена в § 40
(см. формулы D0.7),D0.8)). Изменим, однако, ее нормировку:
потребуем, чтобы фр отвечала равной единице средней простран-
пространственной плотности числа частиц, — подобно тому как мы нор-
нормируем волновые функции свободных частиц на одну частицу в
единичном объеме. Поскольку для функции D0.7) средняя плот-
плотность равна j'q = qo/poi для получения требуемой нормировки
надо умножить ее на д/ро/G(Ь т- е- заменить в D0.7) множитель
1/у/2ро на l/y/2qo. Для волны с 4-потенциалом A01.2) получим
Фр = { ^y
Г • (dip) •	. • (а,2р)	• 1	(лс\л о\
х ехр< — ге-—— simp + ге-—— cosip — iqx >, A01.3)
I (kP)	(kp)	)
simp + ге
(kP)	(kp)
где
Согласно D0.14) 4-вектор q — средний кинетический 4-импульс
электрона; будем называть его квазиимпульсом.
Элемент ^-матрицы для перехода электрона из состояния фр
в состояние *фрг с излучением фотона с 4-импульсом к^ = (о;7, к7)
и 4-вектором поляризации е1:
Sfi = -iej^p,{ie'*)i^p^dAx.	A01.5)
Подынтегральное выражение в A01.5) представляет собой ли-
линейную комбинацию величин
Г1'
ехр(—га\ sin (р + iot2 cos ф) • < cos (p,
где
)^ a2 e(
(кр) {kp'))'	\{kp) {kp')
Вместе со множ:ителем ещ>[г(кг-\-pf — р)х] эти величины выделяют
всю зависимость подынтегрального выражения от х.

§ 101	ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ	503
Разложим их в ряды Фурье, обозначив коэффициенты раз-
разложения соответственно Bs, B\s, i?2s> например:
ехр(—ia\ sin cp + га2 cos ф) =
оо

= expf — iJa\ + a?,sm((p — sin<pi) J
Bse~tS(p.
Эти коэффициенты выражаются через функции Бесселя соглас-
согласно формулам:
В8 =
Ви = i[
B2s = l:[
где z = уfa\ + a|, cos^o = «2/^5 sin^o = «2/^- Функции ,BS,
-Sis? ^2s связаны меж:ду собой соотношением
= sBs,	A01.8)
которое является следствием известного соотношения для функ-
функций Бесселя:
Js_1(z) + Js+1(z)=2sJs(z)/z.
В результате матричный элемент A01.5) приобретает вид
Sfi =	У M{f)B^)ii8(i\sk + q-q' -к'); A01.9)
довольно громоздкие выражения для амплитуд MV мы не ста-
станем здесь выписывать. Таким образом, Sfi представляет собой
бесконечную сумму членов, каждому из которых соответствует
закон сохранения
sk + q = q' + kr.	A01.10)
Поскольку
g2 = q'2 = m2(l + ^2) = ml	A01.11)
(ср. D0.15)), а к2 = к' =0, то равенство A01.10) возможно лишь
для 5^1. 5-й член суммы описывает излучение фотона к' за
счет поглощения из волны s фотонов с 4-импульсами к. Из вида
равенства A01.10) очевидно, что все кинематические соотноше-
соотношения, имевшие место для эффекта Комптона, будут относиться к
рассматриваемым процессам, если заменить импульсы электрона
квазиимпульсами д, а импульс падающего фотона — 4-вектором

504	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
sk. В частности, для частоты излучаемого фотона в системе от-
отсчета, где электрон в среднем покоится (q = 0, qo = ^*), имеем
и =	,	A01.12)
l + (su;/m*)(l-cos0)
где в — угол между кик7 (ср. (86.8)). Можно сказать, что ча-
частоты ио' являются гармониками частоты ио. В принятых нами
обозначениях (§ 64) амплитуда процесса излучения s-й гармони-
гармоники совпадает с M[V, а выражение
dWs = \M\f\2	^^	BтгL^4)E?; + q - q' - к')
A01.13)
дает соответствующую дифференциальную вероятность (отне-
(отнесенную к единице времени) :) .
Структура амплитуд М$ подобна структуре амплитуд рас-
рассеяния с плоскими волнами: п(р') ... и(р). Поэтому и операции
суммирования по поляризациям частиц производятся обычным
образом. После суммирования по поляризациям конечных элек-
электрона и фотона и усреднения по поляризациям начального элек-
электрона получается
¦,Jjr e2m2 dskfdsqf rD) / 7 .	/ i/\
dWs =	—5{)(sk + q — q — к )
" \ A01.14)
Для интегрирования этого выраж:ения замечаем, что ввиду
аксиальной симметрии поля циркулярно поляризованной волны
дифференциальная вероятность не зависит от общего азимуталь-
азимутального угла (р вокруг направления к. Вместе с наличием 8-фуик-
ции это обстоятельство дает возможность произвести интегри-
интегрирование по всем переменным, кроме одной; в качестве последней
выберем инвариантную величину и = (kkf)/(kpf). Тогда после
интегрирования по d3k d(pd(qf0 + ио') имеем
г(ал / 7 i / 1 i\d q d к
5У }(sk + q — q — к) —^
q'ow'	(l + uJ
) Обратим внимание на то, что нормировка функций фр на единич-
единичную плотность отвечает нормировке на ^-функцию «по шкале q/B7r)»
(ср. D0.17), где множитель qo/po в правой части равенства будет теперь
отсутствовать). Именно поэтому число конечных состояния электрона дол-
должно измеряться элементом d q /Bтг) .

§ 101	ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ	505
Действительно, в системе центра инерции (система, в которой
sk + q = q7 + k7 = 0) указанное интегрирование дает
27r|q/|dcos#/i?s, где Es = suo + go = ш' + qfOl а в — угол между
k и q7 (ср. преобразование F4.12)). С другой стороны, в этой же
системе
Es л л п Esdu
и =	- - 1, асоъв = —	—.
qf0-\4'\cos6
Интервалу — 1 ^ cos в ^ 1 соответствует интервал
mi	mj
(при преобразованиях следует помнить, что (кр) = (kq)).
Таким образом, полная вероятность излучения в единицу вре-
времени
s=l
Us
е2т2
A01.15)
где :)
{кр')'	тУ
A01.16)
При ? ^С 1 (условие применимости теории возмущений) подын-
подынтегральные выражения в A01.15) могут быть разложены по сте-
степеням ?. Так, для первого члена разложения в W\ получается
2 А Г2 + _^_ _ 4JL Л _ Ml du
0
= ?W 2 А Г2 + _^_ _ 4JL Л _
4	У L 1+	V
гл _ ± _ A
^ ± A) lnA + ttl) +1 + А	_,
4р0 S LV mi «f/ V	U 2 mi 2A + miJJ'
A01.17)
) Для вычисления z надо заметить предварительно, что
~ (kq) (kq')'
В этом легко убедиться, выбрав систему отсчета, в которой (ai)o = («2H =
= 0, а векторы ai, a2, k направлены по осям ж1, ж2, ж3, и заметив, что в
силу kQ = 0 будет Qo = Q3-

506	ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ	ГЛ. X
причем и\ ~ 2(кр)/т?. Как и должно быть, этот результат сов-
совпадает с формулой Клейна— Нишины для рассеяния фотона на
электроне: положив в A01.17) —а2 = 4тг/о;, ?2 = 4тге2/(т2ио) и
разделив на плотность падающего потока F4.14), мы вернемся к
(86.16) (интегральное сечение рассеяния не зависит от начальной
поляризации фотона) г) .
Приведем также выражение для вероятности испускания вто-
второй гармоники (первый член разложения W2 при ? <С 1):
«2
PO J (l+uJU2\	U2
U2
0
u\
Л4Л
Вообще, основной член в Vl^ (при не слишком больших s) про-
пропорционален ?2s.
Остановимся теперь на противоположном случае: ? ^> 1. Па-
Параметр ? можно сделать большим, например, путем уменьшения
частоты оо при фиксированной напряженности поля (очевидно,
что ? = eF/(muiI где i7" — амплитуда напряженности поля). По-
Поэтому ясно, что случай ? ^> 1 по существу сводится к процессам
в постоянном однородном поле, напряженности Е и Н которого
взаимно перпендикулярны и равны по величине (назовем услов-
условно такое поле скрещенным). Вероятность излучения в этом поле
можно получить предельным переходом ? —>• оо, но проще произ-
произвести вычисления сразу для постоянного поля, взяв 4-потенциал
в виде
А^ = a^ip, <p = kx, ak = 0	A01.19)
(так что F^y = к^ау — куа^ = const). Точная волновая функ-
функция электрона в этом поле получается подстановкой A01.19) в
D0.7),D0.8):
/	\л i G^)Gа) 1 и(р)	г • (аР) 2 , • 2 о2
L	2(кр) J V2po	2(кр)	6(кр)
A01.20)
Получающийся с помощью этой функции результат является
точным для излучения электрона в скрещенном поле при любой
энергии электрона. Но в ультрарелятивистском случае этот ре-
результат (при надлежащей форме его представления —см. ниже)
:) Указанное значение а2 отвечает нормировке 4-потенциала на один фо-
фотон в единичном объеме. Для его определения надо приравнять и энергии
классического поля с (вещественным) 4-потенциалом A01.2).

§ 101	ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ	507
относится к излучению электрона не только в скрещенном, но и
во всяком постоянном однородном электромагнитном поле, в том
числе в постоянном магнитном поле (которое было рассмотрено
в § 90).
Для формулировки этого утверждения заметим, что состоя-
состояние частицы в произвольном постоянном однородном поле опре-
определяется столькими же квантовыми числами, что и состояние
свободной частицы, и эти квантовые числа всегда можно вы-
выбрать так, чтобы при выключении поля они переходили в кван-
квантовые числа свободной частицы, т. е. в ее 4-импульс р^(р2 = т2).
Таким образом, состояние частицы в постоянном поле будет опи-
описываться постоянным 4-вектором р.
Полная интенсивность излучения, будучи инвариантной ве-
величиной, зависит лишь от инвариантов, которые можно соста-
составить из постоянных 4-тензора F^v и 4-вектора^. Учитывая так-
также, что F^y должен входить в интенсивность только вместе с
зарядом е, получаем три безразмерных инварианта:
х2 = -4(VJ = -4«2(м2, / = !%?,
2 т	т	A01.21)
д = ±-ex,vpF^F^.
т4
В скрещенном поле / = д = 0, в то время как в общем слу-
случае отличны от нуля все три инварианта. Но если электрон —
ультрарелятивистский (ро <С т), а вектор р составляет с по-
полями Е, Н углы в ^> га/_ро, to х2 ^ /? 9 (другими словами,
для ультрарелятивистской частицы почти для всех направлений
р любое постоянное поле выглядит как скрещенное). Если, кро-
кроме того, напряженности поля |Е|, |Н| <С т2 /е (= m2c3/(e/i), то
|/|, \д\ <^1Х) . В этих условиях интенсивность, вычисленная для
скрещенного поля и выраженная через инвариант %, будет отно-
относиться также к излучению во всяком постоянном поле.
Инвариант х выражается через напряженности Е, Н соглас-
согласно	2
Для постоянного магнитного поля х совпадает с введенной в § 90
величиной (90.3), так что изложенные здесь соображения дают
другой способ получения результатов § 90 2) .
1)	При этом в выражении для \ можно с той же точностью считать р
обычным кинематическим 4-импульсом частицы.
2)	Подробное изложение теории различных процессов в сильных полях см.
в обзорах А. И. Никишова и В. И. Ритуса в сб. «Квантовая электродина-
электродинамика явлений в интенсивном поле» (Труды ФИАН. — М.: Наука, 1979.—Т.
in).

ГЛАВА XI
ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
§ 102. Операторы полей в гейзенберговском
представлении
До сих пор при рассмотрении различных конкретных элек-
электродинамических процессов мы ограничивались первым неисче-
неисчезаю щим приближением теории возмущений. Перейдем теперь к
изучению эффектов, возникающих при учете высших приближе-
приближений. Эти эффекты носят название радиационных поправок.
Более глубокое понимание структуры высших приближений
может быть достигнуто на основе предварительного изучения об-
общих свойств, которыми обладают точные (т. е. не разложенные
по степеням е2) амплитуды рассеяния. Мы видели (см. § 72), что
последовательные члены ряда теории возмущений выражаются
через операторы полей в представлении взаимодействия — опе-
операторы, временная зависимость которых определяется гамиль-
гамильтонианом системы свободных частиц Hq. Точные же амплиту-
амплитуды рассеяния более удобно выражать через операторы поля не
в этом, а в гейзенберговском представлении, в котором зависи-
зависимость от времени определяется сразу точным гамильтонианом
системы взаимодействующих частиц Н = Hq + V.
По общему правилу составления гейзенберговских операто-
операторов имеем
ф(х) = ф(Ъ г) = ехр(гЯ*)^(г) ехр(-гЯ4)	A02.1)
и так же для ф(х) и А(х), причем ф(т), ... —не зависящие от
времени (шредингеровские) операторы :) . Сразу же отметим,
что гейзенберговские операторы, взятые в одинаковые момен-
моменты времени, удовлетворяют тем же правилам коммутации, что и
операторы в шредингеровском представлении или в представле-
представлении взаимодействия. Действительно, имеем, например,
= ехр(*Я*)Шг), ?,(r/)}+ exp(-itft) = ^k6(r - г') A02.2)
1) В этой главе операторы с временным аргументом будут относиться к
гейзенберговскому представлению, а операторы в представлении взаимодей-
взаимодействия будем отмечать дополнительным индексом int.

§ 102	ОПЕРАТОРЫ В ГЕЙЗЕНБЕРГОВСКОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ	509
(ср. G5.6)). Аналогичным образом операторы ф(г, г) и А(?, r')
коммутативны:
$i(t, r), A(t, r')}_ = 0
(в различные моменты времени это уже отнюдь не так!).
«Уравнение движения», которому удовлетворяет гейзенбер-
гейзенберговский ^-оператор, можно получить по общей формуле A3.7)
(см. III):
-i^t^l = Нф(х) - ф(х)Н.	A02.3)
Для гамильтониана шредингеровское и гейзенберговское пред-
представления тождественны, причем гамильтониан выражается оди-
одинаковым образом через операторы полей в обоих этих представ-
представлениях. В данном случае при вычислении правой стороны в
A02.3) можно опустить в гамильтониане часть, зависящую толь-
только от оператора А(х) (гамильтониан свободного электромагнит-
электромагнитного поля), поскольку эта часть коммутативна с ф(х). Согласно
B1.13) и D3.3) имеем
Н = f ф*(t, г)(ар + /Зт)ф(г, r)d3x +
+ е / i/;(t, r)GA(?, r))^(t, г)с/3ж =
= / ?/>(?, г){7^+ 777, + еGА(?, r))}'0(t, г)с/3ж. A02.4)
Вычислив коммутатор {i7, i/;(t, r)}_ с помощью A02.2) и устра-
устранив E-функцию интегрированием по с/3ж, получим
(jp- е^А - т)ф^, г) = 0.	A02.5)
Как и следовало ожидать, оператор ф(г, г) удовлетворяет урав-
уравнению, формально совпадающему с уравнением Дирака.
Уравнение же для оператора электромагнитного поля A(t, r)
очевидно из соответствия с классическим случаем. В этом слу-
случае (большие числа заполнения — см. § 5) после усреднения по
состоянию поля операторное уравнение должно перейти в клас-
классическое уравнение Максвелла для потенциалов C0.2) (см. II).
Поэтому ясно, что уравнение для оператора просто совпадает по
форме с уравнением Максвелла, т. е. (при произвольной кали-
калибровке) имеем
ж),	A02.6)
где jb'(х) = ф(х)^ф(х) — оператор тока, тождественно удовле-
удовлетворяющий уравнению непрерывности
диТ(х) = 0-	(Ю2.7)

510	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
Существенно, что уравнения A02.6) линейны по А^ и/, и
потому не возникает вопрос о порядке следования этих операто-
операторов.
Как и аналогичные уравнения для волновых функций, си-
система операторных уравнений A02.6),A02.7) инвариантна отно-
относительно калибровочного преобразования
^	^	(lOz.oj
ф(х) - {){)
где х(х) ~ произвольный эрмитов оператор, коммутирующий (в
один и тот же момент времени) с ф :) .
Установим теперь связь между операторами в гейзенбергов-
гейзенберговском представлении и в представлении взаимодействия. Для
упрощения рассуждений удобно сделать формальное предполо-
предположение (не сказывающееся на окончательном результате), что вза-
взаимодействие V(t) адиабатически «включается» от t = — оо к ко-
конечным временам. Тогда при t —>> — оо оба представления гейзен-
гейзенберговское и представление взаимодействия — просто совпадают.
Совпадают и соответствующие волновые функции системы Ф и
$int:
Ф1п4(* = -оо) = Ф.	A02.9)
С другой стороны, волновая функция в гейзенберговском
представлении от времени вообще не зависит (вся временная за-
зависимость перенесена на операторы), а в представлении взаимо-
взаимодействия для зависимости волновой функции от времени имеем,
согласно G2.7),
$int(<) = S(t, -оо)Ф^(-оо),	A02.10)
где введен оператор
5(t2, h) = Texp j-i Г V{t')dA	A02.11)
с очевидными свойствами
t, h)S(tu t0) = 5(t, t0), S-\t, h) = S(tu t). A02.12)
Сравнив формулы A02.10) и A02.9), найдем соотношение
Sint(*) = S(t, -оо)Ф,	A02.13)
:) Подчеркнем, что здесь идет речь именно о гейзенберговских ^-операто-
^-операторах. В представлении взаимодействия калибровочное преобразование элек-
электромагнитных потенциалов вообще не затрагивает ^-операторов.

§ 103	ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР	511
устанавливающее связь между волновыми функциями в обоих
представлениях. Соответственно формула преобразования опе-
операторов:
г) = S\t, -oo)^int(t, r)S(t, -ос) =
= 5(-оо, t)^int(t, rM(t, -oo) A02.14)
(то же самое для ф и А).
Сделаем в заключение еще одно общее замечание. Мы уже
неоднократно указывали, что в релятивистской квантовой тео-
теории физический смысл операторов поля весьма ограничен из-за
бесконечности нулевых флуктуации. Это тем более относится к
операторам в гейзенберговском представлении, которые факти-
фактически содержат в себе еще и расходимости, связанные с взаимо-
взаимодействием. В этой главе § 102,109 посвящены изложению фор-
формальной теории, в которой вопросы устранения этих бесконеч-
бесконечностей не обсуждаются и действия со всеми величинами произ-
производятся так, как если бы они были конечными. Получаемые та-
таким образом результаты имеют преимущественно эвристическую
ценность: они позволяют более глубоко уяснить смысл разложе-
разложений теории возмущений; возможно также, что они сохранятся в
каком-то виде и в будущей теории, свободной от нынешних за-
затруднений.
§ 103. Точный фотонный пропагатор
Основную роль в аппарате точной (без разложений по степе-
степеням е2) теории играют понятия о точных пропагаторах :) .
Точный фотонный пропагатор (который мы будем обозна-
обозначать рукописной латинской буквой ТУ) определяется формулой
V^(x - х') = i@\TA^(x)A^(x')\0),	A03.1)
где Ац{х) — гейзенберговские операторы, в отличие от определе-
определения G6.1):
D^(x - х') = i<0|T4nt(sLnV)|0>,	(Ю3.2)
в котором фигурировали операторы в представлении взаимо-
взаимодействия. В отличие от точного пропагатора A03.1), функцию
A03.2) можно назвать пропагатором свободных фотонов.
Ввиду невозможности точного вычисления среднего значения
A03.1) нельзя получить точное аналитическое выражение для
V^v, хотя определение A03.1) и позволяет установить некоторые
г) Эти понятия были введены Дайсоном (F. Dyson, 1949); им же в основном
построен весь излагаемый в этой главе аппарат.

512	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
общие свойства этой функции. Этому будет посвящен § 111, a
пока мы займемся вычислением Т)^ по теории возмущений с
помощью диаграммной техники. Для этого надо выразить V^
через операторы в представлении взаимодействия.
Пусть сначала t > t'. Используя связь между А(х) и A[ni(x)
(ср. A02.14)), пишем
Vfll/(x-xf)=i(O\Afl(x)A1/(xf)\O) =
= i@|S(-oo, t)A™\x)S(t, -oo)S(-oo, t')A™\x')S{t', -oo)|0).
Согласно A02.12) заменяем
S(t, -ooM(-oo, t') = S(t, t')
5(-oo, t) = S(-oo, +oo)S(oo, t).
Тогда
^	-oo)|0>, A03.3)
где для краткости обозначено
?=?(+ос, -ос).	A03.4)
Поскольку по определению A02.11) 5(^2, ti) содержит только
операторы в моменты времени между t\ и ?2, расположенные
в хронологическом порядке, то очевидно, что вообще все опера-
операторные множители в квадратных скобках в A03.3) расположе-
расположены в порядке убывания времен слева направо. Поставив перед
скобкой символ хронологизации Т, мы можем затем произвольно
переставлять порядок множителей, так как оператор Т автома-
автоматически устанавливает их в нужном порядке. Воспользовавшись
этим, перепишем выражение в скобках в виде
)A^(x')S(oo, t)S(t, t')S{t'} -00)] =
Таким образом,
V^x - х') = i@\S-1T[Ai^(x)Aft(x')S\\0).	A03.5)
Легко убедиться аналогичным образом, что эта формула верна
и при t < t'.
Покажем теперь, что множитель S-1 можно вынести из-под
знака усреднения по вакууму в виде некоторого фазового множи-
множителя. Для этого вспомним, что гейзенберговская волновая функ-
функция вакуума Ф совпадает со значением 6int(—оо) волновой функ-
функции этого же состояния в представлении взаимодействия
(см. A03.9)). Согласно же G2.8) имеем
^	?, -оо)Ф^(-оо) = Фш^+оо).

§ 103	ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР	513
Но вакуум представляет собой строго стационарное состояние;
в нем невозможны никакие самопроизвольные процессы рожде-
рождения частиц. Другими словами, с течением времени вакуум оста-
остается вакуумом; это означает, что <I>int(+oo) может отличаться от
^int(~°°) лишь некоторым фазовым множителем ега. Поэтому
(-oo) = ешФ1п1(-оо) = <0|S|0^int(-oo).	A03.6)
Произведя комплексное сопряжение и учтя унитарность опера-
оператора S, получим
Отсюда ясно, что выражение A03.5) может быть переписано в
виде
V (х ЖЛ_;4"ДУ
Подставив сюда (в числитель и знаменатель) разложение G2.10)
для S и произведя усреднение с помощью теоремы Вика (см.
§ 77), мы получим разложение V^ по степеням е2.
В числителе A03.7) усредняемые выражения отличаются or
матричных элементов типа G7.1), рассматривавшегося в § 77,
лишь тем, что вместо «внешних» операторов рождения или уни-
уничтожения фотонов в них стоят операторы A1^t(x) и A1^t(xf). По-
Поскольку все множители в усредняемых произведениях, стоят под
знаком хронологизации, попарные свертки этих операторов с
«внутренними» операторами Amt(xl), Aini(x2), ... будут давать
фотонные пропагаторы D^v. Таким образом, результаты усред-
усреднения выразятся совокупностями диаграмм с двумя внешними
концами, составляемых по описанным в § 77 правилам, с той
лишь разницей, что внешним (как и внутренним) фотонным ли-
линиям диаграммы будут отвечать теперь пропагаторы D^ (вме-
(вместо амплитуд е реальных фотонов). В нулевом приближении
при S = 1 числитель выражения A03.7) совпадает просто с
DAy{x—x'). Следующие отличные от нуля члены будут ~ е2. Они
изобразятся совокупностью диаграмм, содержащих два внешних
конца и две вершины:
-о-
A03.?
Вторая из этих диаграмм состоит из двух не связанных меж-
между собой частей: штриховой линии (которой отвечает — iD^) и
17 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

514	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
замкнутой петли. Такое распадение диаграммы означает распа-
распадение соответствующего ему аналитического выражения на два
независимых множителя. Прибавив к диаграммам A03.8) диа-
диаграмму (штриховую линию) нулевого приближения и «вынеся
ее за скобку», найдем в результате, что с точностью до членов
второго порядка числитель в A03.7) равен
—о-
Выражение же @|*S|0) в знаменателе A03.7) представляет собой
амплитуду «перехода» из вакуума в вакуум. Его разложение со-
содержит поэтому лишь диаграммы без внешних концов. В нуле-
нулевом приближении @|<l?|0) = 1, а с точностью до членов второго
порядка получим
Разделив с той же точностью числитель на знаменатель, найдем,
что фигурная скобка сокращается и остается
-О-
Таким образом, диаграмма с отсоединенной петлей выпадает из
ответа. Этот результат имеет общий характер. Вдумавшись в
способ построения диаграмм, отвечающих числителю и знаме-
знаменателю в A03.7), нетрудно понять, что роль знаменателя @|5|0)
сводится к тому, что в любом порядке теории возмущений точ-
точный пропагатор V^ будет изображаться лишь диаграммами, не
содержащими отделенных друг от друга частей.
Заметим, что диаграммы без внешних концов (замкнутые
петли) вообще не имеют физического смысла и их не следует
учитывать даже независимо от того, что они выпадают при об-
образовании пропагатора V. Действительно такие петли предста-
представляют собой радиационные поправки к диагональному элементу
5-матрицы для перехода вакуум —вакуум. Но согласно A03.6)
сумма всех этих петель (вместе с единицей нулевого приближе-
приближения) дает лишь несущественный фазовый множитель, который
не может отразиться ни на каких физических результатах.
Переход от координатного к импульсному представлению
происходит обычным образом. Так, во втором приближении те-
теории возмущений пропагатор —iD^if(k) (который мы будем изо-
изображать жирной штриховой линией) дается суммой

§ 103	ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР	515
где все диаграммы вычисляются по обычным правилам (перечис-
(перечисленным в § 77), с той лишь разницей, что внешним фотонным
линиям, как и внутренним, тоже сопоставляются множители —
-iDlliy(k).
Аналитическая запись этой формулы дает поэтому х)
A03.10)
(биспинорные индексы у матриц j и G, как обычно, не выписы-
выписываем).
Члены следующих приближений строятся аналогичным об-
образом; они изображаются совокупностями диаграмм с двумя вне-
внешними фотонными концами и нужным числом вершин. Так, чле-
членам ~ е4 отвечают следующие диаграммы с четырьмя вершина-
вершинами:
A03.11)
--О-О--
Четырьмя вершинами обладает также и диаграмма
верхнюю часть которой составляет петля, образованная одной
«замкнутой на себя» электронной линией. Такая петля отвечает
свертке ф(х)^ф(х), т. е. просто среднему по вакууму значению
тока: @\j(x)\0). Но уже по самому определению вакуума эта ве-
величина должна тождественно обращаться в нуль, и это тожде-
тождество не может, разумеется, быть изменено никакими дальнейши-
дальнейшими радиационными поправками к такой петле 2) . Поэтому вооб-
вообще никакие диаграммы «с замкнутыми на себя» электронными
линиями не должны учитываться ни в каком приближении.
Часть диаграммы («блок»), заключенную между двумя фо-
фотонными линиями (внешними или внутренними), называют вооб-
) При определении знаков не забыть о множителе — 1, привносимом за-
замкнутой электронной петлей!
) Хотя прямое вычисление по диаграммам и привело бы к расходящимся
интегралам.
17*

516	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
ще фотонной собственно-энергетической частью. В общем слу-
случае такой блок еще сам может быть разделен на части, соеди-
соединенные попарно одной фотонной линией, т. е. имеет структуру
вида
O-F-O-F- ...-Г-О
где кружки обозначают блоки, которые уже нельзя разделить
дальше таким способом; эти части называют компактными (на-
(например, из четырех собственно-энергетических частей четверто-
четвертого порядка A03.11) компактны первые три).
Обозначим символом гТ^/^тг) сумму всех (бесконечного
множества) компактных собственно-энергетических частей; фун-
функцию Тц1у(к) называют поляризационным оператором. Класси-
Классифицируя диаграммы по числу содержащихся в них компактных
частей, можно представить точный пропагатор V^ в виде ряда
где каждому заштрихованному кружку сопоставляется
Аналитически этот ряд запишется в виде
V = D + D—D + D—D—D + ... =
4тг	4тг 4тг
(тензорные индексы для краткости опущены). Но ряд в квадрат-
квадратных скобках вновь совпадает с рядом для Т). Поэтому имеем
l^pv{k).	A03.13)
4тг
Умножив это равенство слева на обратный тензор (D~1)T^i и
снрава на {7)~1)иа (и изменив обозначения индексов), получим
его в эквивалентном виде:
^ = Drf - ^-.	A03.14)
Подчеркнем, что представление V в виде A03.12) подразуме-
подразумевает, что из диаграмм можно выделить более простые блоки, ко-
которые вычисляются по общим правилам диаграммной техники.
Комбинируя такие блоки друг с другом, мы получим правильные
выражения для диаграмм в целом. Допустимость такого разде-
разделения составляет важную и отнюдь не тривиальную) особенность

§ 103	ТОЧНЫЙ ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР	517
диаграммной техники. Она связана с тем, что общий числовой
коэффициент в диаграмме не зависит от ее порядка.
Это же свойство позволяет использовать функцию D (если
она известна) для упрощения вычислений радиационных попра-
поправок к амплитудам различных процессов рассеяния: вместо того,
чтобы рассматривать каждый раз заново диаграммы с различ-
различными поправками к внутренним фотонным линиям, мы можем
просто заменить эти линии жирными, т. е. сопоставить им про-
пагаторы D (вместо D), взяв их в требуемом приближении.
Если фотонная линия отвечает реальному (а не виртуально-
виртуальному) фотону, т. е. если она является внешним концом диаграммы
в целом, то после введения в нее всех собственно-энергетических
поправок мы получим, как говорят, эффективную внешнюю ли-
линию. Ей отвечает выражение, отличающееся от A03.13) заменой
множителя D поляризационной амплитудой реального фотона:
^	A03.15)
Если же речь идет о линии внешнего поля, то вместо е^ здесь
надо писать А^ .
Все сказанное в § 76 относительно тензорной структуры и ка-
калибровочной неоднозначности приближенного пропагатора D^
относится и к точной функции V^y. Оставаясь в рамках реляти-
релятивистски инвариантных представлений этой функции, напишем
ее общий вид в форме
^ *^)	\^;	A03.16)
первый член отвечает калибровке Ландау, а во втором члене
Т>^ — калибровочно-произвольная функция. Аналогичное пред-
представление приближенного пропагатора :) :
^k-^.	A03.17)
Заметим теперь, что продольная часть пропагатора связана с
не имеющей физического смысла продольной частью 4-потенци-
ала и не участвует во взаимодействии. Поэтому взаимодействие
не меняет ее, так что должно быть
V®(k2) = D®(k2).	A03.18)
Обратные тензоры, по определению, удовлетворяют равен-
равенствам
X>~lVXy — 5х D~lDXy — 5х
:) Определение D^ в этой формуле не совпадает с определением в G6.3).

518	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
Для прямых тензоров A03.16) и A03.17) обратные тензоры с
учетом A03.18) имеют вид
Т)—]-(ь.\ 	 1 (а-	к^ку \ 1 к^ку
Л	Л	A03-19)
Из этих формул следует, что поляризационный оператор пред-
представляет собой поперечный тензор:
V»u = V{k2) (g^ - ^),	A03.20)
причем V = к2 — Атг/V или
V(k2) =	—	.	A03.21)
v } k2[l-V(k2)/k2]	v	J
Таким образом, поляризационный оператор является (в отличие
от самого фотонного пропагатора) калибровочно-инвариантной
величиной.
§ 104. Собственно-энергетическая функция фотона
Для дальнейшего исследования аналитических свойств фо-
фотонного пропагатора будет полезно ввести, наряду с поляризаци-
поляризационным оператором, еще одну вспомогательную функцию П^(А;),
которую называют собственно-энергетической функцией фото-
фотона. Именно, Ш^/(А7г) определяется как сумма всех вообще (а
не только компактных) собственно-энергетических фотонных ча-
частей. Изобразив эту сумму квадратиком на диаграмме, предста-
представим точный пропагатор суммой
т. е.
Выразив отсюда П^ в виде
и подставив в это равенство A03.16), A03.19) и затем A03.21),
получим
2(^)	^	A04.2)

§ 104	СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА	519
Мы видим, что П^ (как и Vfjiv)—калибровочно-инвариантный
тензор.
Полезность величины П^ связана с ее выражением в коорди-
координатном представлении. Его легко найти, заметив, что равенство
с учетом следующей из A03.18) поперечности тензора Vxp —
в координатном представления можно написать в виде
и^(х - х') =
Для осуществления дифференцирования сюда надо подставить
Vxp{x-x')-Dxp{x-x') =
= i{\TAx(x)A<>(x') - TAUx)ApQt(x')\0). A04.3)
Мы видели в § 75, что дифференцирование Т-произведения тре-
требует, вообще говоря, осторожности ввиду его разрывного харак-
характера. Но усредняемая в A04.3) разность непрерывна вместе со
своими первыми производными, так как правила коммутации
для компонент операторов Ах(х) и Axni(x) (взятых в один и
тот же момент времени) одинаковы и соответствующие скачки
сокращаются (ср. § 75). Поэтому дифференцирование разности
A04.3) можно производить под знаком Т. Согласно A02.6) (и та-
такому же уравнению без правой части для операторов свободного
электромагнитного поля A^ni(x)) получим в результате выраже-
выражение
U^(x - х') = 4me2@\Tj^x)jv(x')\0).	A04.4)
Оно в явном виде выявляет калибровочную инвариантность П^,
поскольку таковы операторы тока.
Из A04.4) можно получить важное интегральное представле-
представление этой функции.
Ввиду A04.2) достаточно рассмотреть скалярную функцию
П = П^/3. В координатном представлении
Щх - х1) = ^г
t<t, A045)

520	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
где символ п нумерует состояния системы «электромагнитное +
+ электрон-позитронное поля» :) . Так как оператор тока j(x)
зависит от х^ = (?, г), зависят от х также и его матричные
элементы. Эту зависимость можно установить в явном виде, если
выбрать в качестве состояний \п) состояния с определенными
значениями полного 4-импульса.
Зависимость матричных элементов тока от времени, как и
для всякого гейзенберговского оператора, дается выражением
{n\f(t, т)\т) = {п\^(г)\т)е-«Е™-Е^,
где Еп, Ет — энергии состояний \п) и |га), j(r) — шредингеров-
ский оператор.
Для определения координатной зависимости матричных эле-
элементов рассматриваем оператор j(r) как результат преобразова-
преобразования оператора j@) путем параллельного переноса на расстоя-
расстояние г. Оператор такого переноса есть ехр(ггР), где Р — оператор
полного импульса системы (см. III, A5.13)). Имея в виду общее
правило преобразования матричных элементов (см. III, A2.7)),
находим поэтому, что
Вместе с предыдущей формулой это дает окончательно
(n\f(t, r)\m) = (n\f@)\m)e-^™-^x.	A04.6)
Отметим также, что матрица (n|j^@)|m) эрмитова (как и ма-
матрица A04.6) оператора j^(t, r) в целом), а в силу уравнения
непрерывности A02.7) она удовлетворяет условию поперечности
).	A04.7)
Вернемся к вычислению функции П(х — х'). Подставив A04.6)
в A04.5), получим
П(е) = ^@|^@)|п)(п|^@)|0)е^р^, т^0,	A04.8)
где х — х' = ? = (т, ?). Обозначим
)*5\k - Рп). A04.9)
*) Оператор тока сохраняет заряд, поэтому состояния \п) в A04.5) могут
содержать лишь одинаковые числа электронов и позитронов.

§ 104	СОБСТВЕННО-ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ФОТОНА	521
Суммирование производится по всем системам реальных элек-
электронных пар и фотонов, которые могут быть рождены виртуаль-
виртуальным фотоном с 4-импульсом к = (о;, к) (А > 0), а для каждой из
таких систем — еще и по ее внутренним переменным (поляриза-
(поляризации и импульсы частиц в системе центра инерции) х) . В резуль-
результате такого суммирования функция р может зависеть только от
/с, а ввиду ее скалярности — только от к2. В частности, р не за-
зависит от направления к. Имея в виду эти свойства функции /э,
переписываем A04.8) в виде
П@ = -г
Переход к импульсному представлению осуществляется подста-
подстановкой сюда формулы
оо
е-гш\г\ = 2iu; Г e-ikor	1	dko_	A04.10)
J	к2 - и2 + гО 2тт	V	J
(использованной уже в § 76) и дает
оо	оо
П(А;2) = f d(fi2) Гd{u
о	о
или окончательно 2)
оо
n(fc2) = /• p(pW)	(шл1)
J к2 - и2 + г0
0
:) Такое определение состояний |п), очевидно, тождественно с определе-
определением их как состояний, для которых отличны от нуля матричные элементы
@|j|n) зарядово-нечетного оператора.
) Формальные вычисления, аналогичные произведенным выше, требуют
осторожности ввиду наличия упоминавшихся уже расходимостей. Это при-
приводит, в частности, к появлению в правой части A04.11) дополнительных
расходящихся членов, не имеющих явно релятивистски инвариантного вида
(так называемые швингеровские члены). Мы не выписываем их, поскольку
они все равно исчезают при перенормировке (см. § 110) и не сказываются
на дальнейших результатах.

522	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
Коэффициент р в этом интегральном представлении называют
спектральной плотностью функции П(к2). Он обладает свой-
свойствами:
<0,
р(к2) > 0 при к2 > 0.
Действительно, 4-импульс к виртуального фотона, который
может родить систему реальных частиц, непременно временипо-
добен (к2 совпадает с квадратом полной энергии частиц в систе-
системе их центра инерции). В силу же условия поперечности
A04.7) имеем
Но 4-вектор @|j|n), ортогональный времениподобному 4-вектору
(Рп), пространственноподобен, т. е.
а потому, согласно определению A04.9), р > 0.
§ 105. Точный электронный пропагатор
Подобно фотонному, точный электронный пропагатор опре-
определяется формулой
gik(x - х1) = -г@\Тф^х)фк(х')\0)	A05.1)
(г, к — биспинорные индексы), отличающейся от определения
G5.1) пропагатора свободных частиц
Gik(x - х') = -г@\Тф^(х)^кп\х')\0)	A05.2)
заменой ^-операторов в представлении взаимодействия гейзен-
гейзенберговскими.
Те же рассуждения, что и при выводе A03.7), позволяют пре-
преобразовать Ож к виду
д.к{х - х>) = _гЮШШ1)Ж.	(Ю5.3)
1кУ	}	@|5|0>	V	У
Разложение этого выражения по степеням е2 приводит к пред-
представлению (/-функции в виде совокупности диаграмм с двумя
внешними электронными линиями и различным числом вершин.
При этом роль знаменателя в A05.3) снова сводится к необхо-
необходимости учитывать лишь диаграммы без изолированных «ваку-
«вакуумных петель». Так, с точностью до членов ~ е4 графическое

§ 105	ТОЧНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР	523
представление пропагатора д (жирная сплошная линия) имеет
вид х)
Жирной сплошной линии сопоставляется (в импульсном пред-
представлении) функция iQ(pI а всем сплошным и штриховым лини-
линиям в диаграммах правой стороны равенства — пропагаторы
свободных частиц соответственно iG и —iD.
Блок, заключенный между двумя электронными линиями,
называют электронной собственно-энергетической частью. Как
и в фотонном случае, такую часть называют компактной, если
она не может быть разделена дальше на две другие собственно-
энергетические части путем рассечения по одной электронной
линии. Сумму всех возможных компактных частей обозначим
через —iMik-) функцию —iMik{p) называют массовым операто-
оператором. Так, с точностью до членов ~ е4 имеем
A05.5)
Путем суммирования, в точности аналогичного выводу A03.13),
получим
д{р) = G(P) + G(p)M(p)g(P)	A05.6)
(биспинорные индексы опускаем) или для обратных матриц
д-\р) = G~l{p) - M(p) =1Р-т- М(р).	A05.7)
В § 102 уже было отмечено, что гейзенберговские ^-операто-
^-операторы (в противоположность ^-операторам в представлении взаи-
взаимодействия) меняются в результате калибровочного преобразо-
преобразования электромагнитных потенциалов. Вместе с ними оказывает-
оказывается калибровочно-неинвариантным также и точный электронный
пропагатор д. Выясним закон его калибровочного преобразова-
преобразования (Л". Д. Ландау, И. М. Халатников, 1952).
х) Как уже было объяснено в § 103, не надо учитывать также и диаграм-
диаграммы с «замкнутыми на себя» линиями, которые появились бы здесь уже во
втором порядке:

524	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
Заранее ясно, что изменение Q при калибровочном преобра-
преобразовании должно выражаться через ту же величину D^l\ которая
добавляется при этом преобразовании к фотонному пропагато-
ру. Это станет очевидным, если заметить, что при вычислении
Q по диаграммам теории возмущений каждый член ряда выра-
выражается через функции D и никаких других электромагнитных
величин в них не входит. Этим обстоятельством можно восполь-
воспользоваться для упрощения выводов: можно делать любые частные
предположения о свойствах произвольного оператора х в преоб-
преобразовании A02.8), лишь бы ответ был выражен через D^.
В результате преобразования A02.8) пропагаторы V A03.1)
и Q A05.1) переходят в
- дХ(х)][А(х') - д'х(х')}\0)
Будем считать теперь, что операторы %, усредняются независи-
независимо от всех остальных операторных множителей в Т-произведе-
нии; это предположение вполне естественно, поскольку в силу
калибровочной инвариантности «поле» %, не принимает никако-
никакого участия во взаимодействии. Положим также, что обращается
в нуль среднее по вакууму от самого оператора х '• @|х|0) = 0-
Тогда в A05.8) члены, содержащие %, отделяются и получается
ZV -»¦ ?V + *@|Т[^ - д^х(х) ¦ д1х(х')}\0),	(Ю5.9)
Gik -»¦ Qik@\Teie^e-ie^x^\0).	A05.10)
Дальнейший вывод произведем для бесконечно малого пре-
преобразования; чтобы подчеркнуть эту малость, будем писать дх
вместо х
Преобразование A05.9) можно (независимо от малости
записать в виде :)
- х1),	A05.11)
- х) = i@\TSx(x)Sx(x')\0).	A05.12)
Отсюда видно, что функция S^ определяет изменение при кали-
калибровочном преобразовании продольной части фотонного пропа-
гатора Т>A\ Предположение о зависимости этой функции только
*) Переход от A05.9) к A05.11) возможен, если функция d^ и ее произ-
производная по t непрерывны при t = t'. В противном случае правые части этих
выражений отличались бы ^-функционными членами (ср. вывод формулы
G5.2)). В импульсном представлении это условие эквивалентно предполо-
предположению о том, что dSl\q) убывает при |g21 —>> схэ быстрее, чем 1/q2.

§ 105	ТОЧНЫЙ ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР	525
от разности х — х' означает, конечно, определенное ограничение
на свойства оператора ?%; в общем случае вполне произвольно-
произвольного калибровочного преобразования пространственно-временная
однородность пропагатора может нарушиться.
В преобразовании же A05.11) разлагаем экспоненциальные
множители по степеням 5\ с точностью до квадратичных членов:
С учетом определения A05.12) находим, таким образом, следу-
следующий закон преобразования электронного пропагатора:
G -+ О + 50, 80 = ie2G(x - х')[Ж1\0) - S-l\x - x% A05.13)
В импульсном представлении 1)
q)]-0?.	A05.14)
При этом функция d^ (q) связана с изменением функции Т>^ (q)
8V^{q)=q2d{-l){q).	A05.15)
Для электронного пропагатора можно было бы получить ин-
интегральное представление, аналогичное формуле A04.11). Его
вывод основан на выражениях
Фпт(х) = Фпт@)е-1(Р™-Рп)х	A05.16)
для матричных элементов ^-оператора, подобных использован-
использованным в § 104 выражениям A04.6) для матричных элементов тока.
В противоположность току, однако, сами ^-операторы калибро-
вочно-неинвариантны. Поэтому и координатная зависимость ви-
вида A05.16) не имеет общего характера, а относится лишь к неко-
некоторой определенной калибровке. Тем самым относится лишь к
:) Если функция /(ж) = fi(x)f2(x), то ее компоненты Фурье
= Jf(x)eipxd4x =
При переходе от A05.13) к A05.14) учтено также, что

526	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
определенной калибровке и основанное на A05.16) интегральное
представление пропагатора. Более глубокая физическая причина
этой ситуации состоит в том, что равенство нулю массы фото-
фотона приводит к инфракрасной катастрофе (см. § 98). Вследствие
этого электрон в процессе взаимодействия испускает бесконеч-
бесконечное число мягких квантов, что в значительной степени лишает
прямого смысла «одночастичный» пропагатор A05.1).
§ 106. Вершинный оператор
В сложных диаграммах можно выделить, наряду с собствен-
собственно-энергетическими частями, также и не сводящиеся к ним бло-
блоки другого вида. К важной категории таких блоков мы придем,
рассмотрев функцию
К?к{хи Х2, х3) = @|Т^(Ж1)^(а;2)^(Жз)|0}	A06.1)
с одним 4-векторным и двумя биспинорными индексами; в силу
однородности пространства-времени она зависит лишь от разно-
разностей аргументов жх, #2, хз- Выраженная через операторы в пред-
представлении взаимодействия, функция К имеет вид
К(хг, х2, аз) =
Переход к импульсному представлению осуществляется форму-
формулой
BttL<5V + k-riK&fa, pi; к) =
^4443. A06.3)
В диаграммной технике функциям К^. соответствуют блоки
(треххвостки) вида
A06.4)
Р2	VI
с тремя (одним фотонным и двумя электронными) концами, им-
импульсы которых связаны законом сохранения
pi + k=p2.	A06.5)

§ 106	ВЕРШИННЫЙ ОПЕРАТОР	527
Член нулевого порядка в разложении этой функции об-
обращается в нуль, а член первого порядка в координатном пред-
представлении
ж2, х3) = е Г G(x2 - x)juG(x - х3)
или в импульсном представлении
К^(р2, pi; k) = eG(p2)^G(pi) • Dy^{k)	A06.6)
(биспинорные индексы опущены); соответствующая диаграмма:
A06.7)
При переходе к следующим приближениям диаграммы услож-
усложняются за счет добавления новых вершин. Не все такие диаграм-
диаграммы, однако, дают нечто существенно новое. Так, в третьем по-
порядке возникают диаграммы
1	1	1
I	1	1
I	I	I
A06.8)
Первые три можно рассечь (по одной фотонной или электронной
линии) на простую вершину A06.7) и собственно-энергетическую
часть второго порядка; для четвертой диаграммы такое разбие-
разбиение невозможно. Эта ситуация имеет общий характер. Поправки
первого рода приведут просто к замене в A06.6) множителей G
и D точными пропагаторами Q и V. Остальные же члены разло-
разложения в сумме дадут новую величину, которая заменит в A06.6)
множитель 7/х- Обозначив эту величину через Г^, получим, та-
таким образом, по определению
К»(р2, Р1; к) = №(р2)НеГ„(р2, pi; k)]ig(Pl)}[-iV^(k)}.
A06.9)
Блок, соединенный с другими частями диаграммы одной фо-
фотонной и двумя электронными линиями, называют вершинной
частью, если этот блок нельзя разделить на части, соединен-
соединенные между собой лишь одной (электронной или фотонной) лини-
линией. Величина Г^ представляет собой сумму всего (бесконечного)
множества вершинных частей, включая простую вершину 7^ ее
называют вершинным оператором, или вершинной функцией.

528	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
Приведем все диаграммы вершинного оператора с точностью
до величин пятого порядка:
1	1	I	I	I
А * А+ А+ А+ А+
?
(точный вершинный оператор — геГ здесь обозначен черной точ-
точкой).
Оператор Г (как и оператор у простой вершины) имеет два
матричных (биспинорных) и один 4-векторный индекс; он явля-
является функцией двух электронных (pi, Р2) и одного фотонного (к)
импульсов. При этом все три импульса не могут одновременно
относиться к реальным частицам: диаграмма A06.4) сама по себе
(не как часть более сложной диаграммы) отвечала бы поглоще-
поглощению фотона свободным электроном, но такой процесс несовме-
несовместим с законом сохранения 4-импульса реальных частиц. Поэто-
Поэтому хотя бы один из трех концов диаграммы должен относиться
к виртуальной частице (или к внешнему полю).
Вершинные части можно разделить еще на две категории:
неприводимые и приводимые. Неприводимыми называют те из
них, которые не содержат в себе собственно-энергетических по-
поправок к внутренним линиям и в которых нельзя выделить ча-
частей, представляющих собой поправки (более низкого порядка) к
внутренним вершинам. Так, из диаграмм A06.10) неприводимы
лишь б) и г) (не считая простой вершины а)). Диаграммы а/с),
з), и) содержат собственно-энергетические части; в диаграмме
в) верхнюю горизонтальную штриховую линию можно рассма-
рассматривать как поправку к верхней вершине, а боковые штриховые
в диаграммах д) и е) —как поправки к боковым вершинам.
Заменив в неприводимых диаграммах внутренние линии та-
такими же жирными линиями, а вершины — черными точками (т. е.
заменив приближенные пропагаторы D, G точными Т>, ?/, а при-
приближенные вершинные операторы 7 — точными Г г) , мы полу-
получим, очевидно, совокупность всех вообще вершинных частей.
) Получающиеся таким образом диаграммы называют скелетными.

§ 106	ВЕРШИННЫЙ ОПЕРАТОР	529
Таким образом, разложение вершинного оператора имеет вид
Это равенство представляет собой по отношению к Г интеграль-
интегральное уравнение с бесконечным числом членов в правой его части.
Из изложенного ясен общий принцип составления точных вы-
выражений из диаграммных блоков с любым числом концов. Они
строятся как средние по вакууму от Т-произведений гейзенбер-
гейзенберговских операторов: по одному оператору ф(х) на каждый ко-
конечный электрон, ф(х) на каждый начальный электрон и А(х)
на каждый фотон. Приведем еще один пример: диаграммы вида
A06.12)
с четырьмя электронными концами («электронная четыреххво-
стка»). Мы придем к таким диаграммам, рассмотрев функцию
A06.13)
(зависящую, конечно, лишь от разностей четырех аргументов).
Ее компоненты Фурье можно представить в виде
= BтгLE4(]91 +Р2~РЗ -P4)Kik,lm(P3, P^'i Pi, P2), (Ю6.14)
причем
; Pi, P2) =
t(p3, PA; Pi, P2)]6sl{piNtm{p2)- (Ю6.15)
В выражении A06.15) первые два члена исключают из опреде-
определения функции Г(рз, Pa; Pi, P2) диаграммы, распадающиеся на
две не связанные меж:ду собой части с двумя внешними концами

530	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
каждая:
Р4
В третьем же члене множители Q исключают из определения Г
те части диаграммы, которые представляют собой поправки к
внешним электронным линиям.
Отметим также, что по свойствам Т-произведения фермиев-
ских ^-операторов функции Г(рз? Р^ Ръ Р2) обладают свойства-
свойствами антисимметрии:
= -ГгА;,шг(рз, PA] P2, Pi)- (Ю6.16)
Если импульсы pi, р2-> Рз, Ра отвечают реальным частицам, то
нераспадающиеся диаграммы A06.12) изображают процесс рас-
рассеяния двух электронов. Мы получим амплитуду этого процес-
процесса, сопоставив внешним концам диаграммы волновые амплитуды
частиц (вместо пропагаторов Q) х) :
A06.17)
Вследствие A06.16) эта амплитуда автоматически обладает долж-
должной антисимметрией по отношению к перестановкам электронов.
§ 107. Уравнения Дайсона
Точные пропагаторы и вершинная часть связаны между со-
собой определенными интегральными соотношениями. Их проис-
происхождение становится в особенности ясным из диаграммного ме-
метода.
Введенное в предыдущем параграфе понятие о неприводимо-
неприводимости или приводимости распространяется не только на вершин-
вершинные части, но и на любые другие диаграммы (или их части).
Рассмотрим с этой точки зрения компактные собственно-энерге-
собственно-энергетические электронные диаграммы.
Легко сообразить, что из всего бесконечного множества этих
диаграмм лишь одна неприводима; это — диаграмма второго по-
порядка
1)Мы увидим в дальнейшем (см. § 110), что при составлении амплитуд
реальных процессов не надо учитывать собственно-энергетических частей в
свободных концах диаграммы.

107
УРАВНЕНИЯ ДАЙСОНА
531
Всякое усложнение этой диаграммы может рассматриваться
как введение дальнейших поправок к ее внутренним (электрон-
(электронной или фотонной) линиям или же к одной из ее вершин. При
этом существенно, что в силу очевидной симметрии диаграммы
все вершинные поправки достаточно приписывать лишь к одной
(любой) из ее двух вершин :) .
Поскольку, таким образом, из всех компактных собственно-
энергетических электронных частей лишь одна неприводима, со-
совокупность всех таких частей (т. е. массовый оператор ЛЛ изоб-
изобразится всего одной скелетной диаграммой:
A07.1)
Записанное в аналитическом виде, это графическое равенство
дает 2)
= -ie2
к)Т»(р + к, р; к)
A07.2)
Аналогичное выражение может быть написано и для поляри-
поляризационного оператора V. Среди фотонных компактных собствен-
собственно-энергетических частей тоже лишь одна неприводима, так что
V представляется всего одной скелетной диаграммой:
р + к
A07.3)
) Для ясности подчеркнем, что хотя мы получим всю требуемую совокуп-
совокупность диаграмм, вводя поправки лишь к одной из вершин, но для каждой
определенной диаграммы структура поправочного блока, вообще говоря, за-
зависит от того, которой из вершин он приписывается. Например:
где для одной и той же диаграммы обведены квадратами блоки, которые
играют роль вершинной части при отнесении ее к правой или левой вершине.
2)Если в A07.1) точную вершинную часть приписать левой вершине, то
в уравнении A07.2) переставятся множители 7 и Г. Обе формы уравнения,
разумеется, по существу эквивалентны.

532	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
Соответствующее аналитическое равенство:
A07.4)
(биспинорные индексы в A07.2) и A07.4) опущены). Соотноше-
Соотношения A07.2) и A07.4) называют уравнениями Дайсона. Их мож-
можно получить также и прямым аналитическим вычислением. Так,
для вывода уравнения A07.2)рассмотрим величину
Gр - m)uGik(x - х') = -i(jp- т)ц@\Тф1(х)фк(х')\0)
(р = id — оператор дифференцирования по х). Она вычисляется
с помощью A02.5) точно так же, как это было сделано в § 75 при
выводе уравнения G5.7) для пропагатора свободных частиц. В
результате получим
(jp-m)ilGik(x -x) =
- х');
E-функционный член в правой части этого равенства такой же,
как в G5.7), поскольку коммутационные соотношения при t =
= tf для ^-операторов в гейзенберговском представлении и в
представлении взаимодействия одинаковы. Первый же член есть
—iejiyKj^(x^ х, ж7), так что можно написать (снова опуская бис-
биспинорные индексы):
GР - m)Q(x - х) = -ге^К^х, х, х) + 5^(х - х). A07.5)
Для перехода к компонентам Фурье замечаем, что если проин-
проинтегрировать определение A06.3) по cZ4fc с/4_р2/Bтг)8, то получим
, p; A)^L = |к^@, 0,
с, х, х')е1р<кХ ж'^4(ж — х'), A07.6)
откуда видно, что интеграл в левой части представляет собой
компоненту Фурье функции К^(х, х, х'). Таким образом, взяв
компоненту Фурье от обеих частей уравнения A07.5), использо-
использовав затем определение A06.9) и вспомнив, что jp — т = G~l{pI
получим
о Г	dAh
— ie /7 y{p + k)L ^{p + k, p; k)y{p) • DuV\kx
Наконец, умножив это равенство справа на G~1(pI придем вновь
к уравнению A07.2).

§ 108	ТОЖДЕСТВО УОРДА	533
§ 108. Тождество Уорда
Еще одна связь между фотонным пропагатором и вершинной
частью, более простая, чем уравнение Дайсона, возникает как
следствие калибровочной инвариантности.
Для ее вывода совершим калибровочное преобразование
A02.8), предполагая х(х) = $х(х) бесконечно малой простой
(неоператорной) функцией 4-координат х. Тогда электронный
пропагатор изменится на величину
Sg(x, х1) = ieQ{x - x')[Sx(x) - SX(x')}.	A08.1)
Подчеркнем, что калибровочное преобразование такого вида на-
нарушает пространственно-временную однородность и функция 5Q
зависит уже от аргументов ж и ж7 по отдельности, а не только от
разности х — х'. Ее разложение Фурье происходит поэтому по пе-
переменным ж и ж7 в отдельности. Другими словами, в импульсном
представлении 5Q является функцией двух 4-импульсов:
Pl) = ItSG(x, x')eip2X-ipiX'dAxdAxf
Подставив сюда A08.1) и произведя интегрирование по
или d^^d^x1 (? = х — ж7), получим
SG(p + q,p)= ieSX(q)[G(p) ~ Q(p + <?)]•	(Ю8.2)
С другой стороны, при том же калибровочном преобразова-
преобразовании к оператору А^(х) добавляется функция
которую можно рассматривать как бесконечно малое внешнее
поле. В импульсном представлении:
SA^(q) = iq^Sxiq)-	A08.4)
Величину Sg можно вычислить и как изменение пропагатора под
влиянием этого поля. С точностью до величин первого порядка
по дх это изменение изобразится, очевидно, одной скелетной диа-
диаграммой:
p+q
Здесь жирная штриховая линия — эффективная линия внешнего
поля, т. е. ей сопоставляется множитель (см. A03.15))

534	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
Но 4-вектор SA^'(q) продолен (по отношению кд),а тензор VXl/
поперечен. Поэтому второй член здесь обращается в нуль, так
что остается
i«
I	A08.5)
i$G(p + q,p) = <	f <
p+q	p
где тонкой штриховой линии сопоставляется обычным образом
просто поле 6А^е\ В аналитической форме:
8Q = eG(p + </)Г"(р + q, p; q)G{p) ¦ 6А&.	A08.6)
Подставив сюда A08.4) и сравнив с A08.2), находим соотно-
соотношение
0(р + q)~ 0(р) = -0(Р + Я)ГЦ(Р + q, P] q)G(p) • q»
или для обратных матриц
\	l	q, p; q)	A08.7)
(Я. S. Green, 1953).
Устремив в этом равенстве q —> 0 и сравнив коэффициенты
при бесконечно малом q^ в обеих его сторонах, получим
^-1(р)=Г"(р,р;0)	A08.8)
Это — так называемое тождество Уорда (J. С. Ward, 1950). Мы
видим, что производная по импульсу от Q~1(p) совпадает с вер-
вершинным оператором при нулевой передаче импульса :) . Произ-
Производная же от самой функции Q(p)
iG{p) *д^[*Г"(р р; 0)]ig(p)	A08.9)
Аналогичным образом можно было бы найти также и выс-
высшие производные, проводя вычисления с точностью до членов
более высоких порядков по 5\- Нам такие формулы, однако, не
понадобятся.
Рассмотрим теперь производную dV{k)/dkll от поляризаци-
поляризационного оператора. В отличие от функции Q(p) величина V(k)
калибровочно-инвариантна и не меняется при введении фиктив-
фиктивного внешнего поля A08.4). Поэтому производную от V нельзя
вычислить тем же способом. Однако и для нее можно получить
определенное диаграммное выражение.
:)В нулевом приближении, т. е. для пропагатора свободных частиц, это
тождество очевидно: G~1(p) = jp — m, и потому dG~1 /др^ = 7м-

108
ТОЖДЕСТВО УОРДА
535
Для этого рассмотрим первую из диаграмм, входящих в опре-
определение V, —диаграмму второго порядка
4тг
— и <
р + к
«о
A08.10)
Сплошным линиям в ней отвечают множители iG(p) и
iG(p + к). Дифференцирование по к заменит второй из них на
dG(p + k)/dk, а согласно тождеству A08.9) такая замена эквива-
эквивалентна добавлению лишней вершины на электронной линии:
ie дУ
4тг дк
A08.11)
Мы видим, что в первом неисчезающем порядке искомая про-
производная выразилась через диаграмму с тремя фотонными кон-
концами («фотонная треххвостка»). Сразу же подчеркнем, что эта
диаграмма сама по себе отнюдь не дает амплитуду превращения
одного фотона в два. Амплитуда такого процесса выразилась бы
суммой диаграммы A08.11) и другой такой же диаграммы с из-
измененным направлением обхода петли; согласно теореме Фар-
ри эта сумма обращается и нуль. Сама же по себе диаграмма
A08.11) не равна нулю.
Подобным образом можно дифференцировать и более слож-
сложные диаграммы, последовательно добавляя вершины с к' = 0
на все электронные линии, зависящие от к. Существуют, однако,
диаграммы, в которых зависимость от к имеется и во внутренних
фотонных линиях, например диаграмма слева на рисунке
Производная от графика в фигурной скобке представлена здесь в
диаграммном виде путем введения нового графического обозна-
обозначения — фиктивной трехчастичной фотонной вершины — точки,

536	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
в которой сходятся три штриховых линии и которой сопоставля-
сопоставляется величина	1
4ni^— = 2ikll = ty	A08.12)
(У К^
Теперь можно дифференцировать любой график, добавляя на
зависящие от к линии вершины v^ или j^ и вычисляя далее по
где ieV^xjy сумма внутренних частей всех полученных указанным
способом «фотонных треххвосток».
Для дальнейшего нам понадобится еще и вторая производная
поляризационного оператора. Аналогичным образом дифферен-
дифференцируя еще раз равенство A08.13), имеем
где ie2Q — сумма внутренних частей всех «фотонных четырех-
хвосток» вида
Ч
ie?G
a
A08.15)
к-к	хк
(разумеется, с включением и графиков с фиктивными трехфо-
тонными вершинами A08.12)).
§ 109. Электронный пропагатор во внешнем поле
Если система находится в заданном внешнем поле А^(х), то
точный электронный пропагатор определяется той же форму-
формулой A05.1), но в гамильтониан Н = Hq + V, осуществляющий
преобразование к гейзенберговскому представлению операторов,
входит также и взаимодействие электронов с внешним полем:
V = е I Aj»d3x + e Г A^d3x.	A09.1)
Поскольку внешнее поле нарушает однородность пространства
и времени, то пропагатор G(x, x1) будет зависеть теперь уже от
обоих аргументов ж и ж7 в отдельности, а не только от их разности
х — х1
Если перейти обычным образом к представлению взаимодей-
взаимодействия, то получится обычная диаграммная техника, в которой
наряду с виртуальными фотонными линиями будут фигуриро-
фигурировать также и линии внешнего поля. Такая техника, однако, неу-
неудобна в тех случаях, когда внешнее поле нельзя рассматривать

§ 109	ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	537
как малое возмущение, прежде всего — когда частицы в поле мо-
могут находиться в связанных состояниях. Между тем электрон-
электронный пропагатор во внешнем поле необходим в первую очередь
как раз для изучения свойств связанных состояний, в частности
для определения уровней энергии с учетом радиационных по-
поправок. Для построения такого пропагатора следует исходить из
представления операторов, в котором внешнее поле учитывает-
учитывается точно, уже в нулевом приближении по электрон-фотонному
взаимодействию (W. H. Furry, 1951).
В дальнейшем мы будем предполагать внешнее поле стацио-
стационарным, т. е. не зависящим от времени.
Требуемое представление ^-операторов дается формулами
C2.9) вторичного квантования во внешнем поле:
fte\t, г) =
A09.2)
t, r) = ?+Й+L+)	?V
где фп (г) и e\i — волновые функции и уровни энергии соот-
соответственно электрона и позитрона, являющиеся решениями «од-
ночастичной» задачи — уравнения Дирака для частицы в поле.
Легко понять, что операторы A09.2) являются ^-операторами в
некотором представлении {представлении Фарри), как бы про-
промежуточном между гейзенберговским и представлением взаимо-
взаимодействия. Их можно записать в виде
где
t, r) = ехр(гЯ1*)^(г) ехрНЯх*),
?, г) = (/^)^()(Я)
/
Оператор же электромагнитного поля А^ разумеется, коммути-
коммутирует со вторым членом в Ях, и потому для него представление
Фарри совпадает с представлением взаимодействия.
Электронный пропагатор нулевого приближения в новом пре-
представлении определяется как
G^\x, х1) = -г@|Т^(Ж)Йе)И|0).	(Ю9.4)
Оператор ip(eJ(t, r) удовлетворяет уравнению Дирака во внеш-
внешнем поле
^ - m]^(e)(t, г) = 0,	A09.5)

538	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
а функция G^ — соответственно уравнению
[jp- ejA^e\x) - m]G{e\x, х') = 5А(х - х'),	A09.6)
(ср. вывод A07.5)).
Диаграммная техника, выражающая точный пропагатор Q
в виде ряда по е2, строится путем перехода от гейзенбергов-
гейзенберговского представления к представлению Фарри — в точности так,
как мы производили ранее переход к представлению взаимодей-
взаимодействия. Мы получим в результате диаграммы того же вида, при-
причем сплошным линиям будут соответствовать теперь множители
iG^ (вместо iG).
Незначительное отличие в правилах записи аналитических
выражений диаграмм возникает лишь в связи с тем, что в коор-
координатном представлении G^ — функция не только от разности
х — х'. В постоянном внешнем поле, однако, сохраняется одно-
однородность времени, и потому моменты t и t' по-прежнему будут
входить лишь в виде разности t — t' = т, так что
G*e) =G*e)(т, г, г').
Переход к импульсному представлению осуществляется разло-
разложением Фурье по каждому из аргументов функции:
r, r)= ///eW-Pi'-^G(e, P2, pO^^.^2-. A09.7)
Каждой линии, которой отвечает множитель iG^e\e, P2, Pi),
должно приписываться теперь одно значение виртуальной энер-
энергии ?, но два значения импульса — начальный pi и конечный р2:
гО^Це, р2, Р1) =<^^ .	A09.8)
В результате получается правило записи аналитических выра-
выражений диаграмм, в которых обычным образом производятся ин-
интегрирования по ск/Bтг), а по d3pi/B7rK и с/3]92/BтгK интегриро-
интегрирования производятся независимо, с учетом сохранения импульса
в каждой вершине. Например,
.'VG(e)(e-w, p"-k, p'-k) x
.(w, k)	—. A09.?

§ 109	ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	539
Важно отметить, что в излагаемой технике необходимо учиты-
учитывать также и диаграммы с «замкнутыми на себя» электронными
линиями, которые в обычной технике отбрасываются как связан-
связанные с «вакуумным током». При наличии внешнего поля этот ток
уже не должен обращаться в нуль в связи с вызываемой полем
«поляризацией вакуума». Так, в диаграмме
A09.10)
Р2
верхней петле отвечает множитель
Здесь, однако, надо еще уточнить смысл, придаваемый интегра-
интегралу по о;. Дело в том, что интегрирование компоненты Фурье
функции G^e\r) по оо сводится к взятию значения этой функ-
функции при т = 0; но функция G^(r) разрывна в этой точке, так
что надо указать, какое именно из ее двух предельных значе-
значений должно быть взято. Для выяснения этого вопроса достаточ-
достаточно заметить, что интеграл A09.11) происходит от свертывания
^-операторов, стоящих в одном и том же операторе тока:
где ip(e;(t, r) стоит слева от ip(e'(t, r). Согласно определению про-
пагатора A09.4) такой порядок множителей при t = t' получится,
если понимать t' как t' = ? + 0, т е. предельное значение функции
G^e'(t — t') —как предел при t — t' —>• —0. Иначе можно сказать,
что интеграл по doo/2n в A09.11) надо понимать как
' —, т->-0.	A09.12)
Массовый оператор во внешнем поле определяется так же,
как в § 105: — гЛ4 есть сумма всех компактных собственно-энер-
собственно-энергетических блоков. Он является теперь функцией энергии е и
импульсов pi и р2 на тех концах внешних линий, которыми они
соответственно входят и выходят из блока:
A09.13)
? Р2
2'
Pi e

540	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
Поступая в точности так, как при выводе A05.6), получим урав-
уравнение
д(е, Р2, Pi) — G^e'(e, p2,
<%, Р2, р")М(е, р", p')G(e, p', Pl)pLp!L. A09.14)
Более естественный вид этому уравнению можно придать, ес-
если вернуться к координатному представлению по пространствен-
пространственным переменным, введя функцию
д(е, г, г') = JJg(e, p2, Pl)e*<i»'-PiO?g?*, (Ю9.15)
-//
(б —число, р = — гV — оператор дифференцирования по коорди-
координатам г). При этом надо учесть, что согласно A09.6)
b°?--fp-ejA^(x)]G^(e, r, r7) = 5(r-r').	A09.16)
В результате получим следующее уравнение:
и аналогично для других величии. Произведя в A09.14) обратное
преобразование Фурье, получим
G(e, г, r')-G(e)(e, г, г7) =
(б, г, г2)Л^(б, г2, ri)^(e, ri, г7)^
Применим теперь к обеим сторонам равенства оператор
= 6(r-rf). A09.17)
Особая ценность функции Q(e, r, г7) состоит в том, что ее
полюсы определяют уровни энергии электрона во внешнем поле.
Покажем это сначала для приближенной функции
G^e\e, г, г7). Подставив операторы A09.2) в определение пропа-
гатора A09.4), получим (в точности аналогично формулам
G5.12) для пропагатора свободных частиц)

§ 109	ЭЛЕКТРОННЫЙ ПРОПАГАТОР ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ	541
и после перехода к компонентам Фурье по времени
sLiLll A09.19)
-гО J v	;
Мы видим, что G^e\e, г, г7) как аналитическая функция е имеет
на положительной вещественной полуоси полюсы, совпадающие
с уровнями энергии электрона, а полюсы на отрицательной полу-
полуоси совпадают с уровнями энергии позитрона. Значения еп > гп
образуют непрерывный спектр :) , и соответствующие полюсы
сливаются в два разреза плоскости е: от —оо до — т и от т до
+оо. На отрезке \е\ < т лежат полюсы, определяющие дискрет-
дискретные уровни энергии.
Для точного пропагатора Q{e, r, г7) можно получить анало-
аналогичное разложение, выразив его через матричные элементы шре-
дингеровских операторов, с которыми матричные элементы гей-
гейзенберговских ^-операторов связаны равенствами
(m\ih(t r)\n\ — lmUh(v\\n\ рхпГ—i(K —К \f\	(Л 0Q 90^1
Здесь Еп — точные (т. е. со всеми радиационными поправками)
уровни энергии системы во внешнем поле. Оператор ф увеличи-
увеличивает, а оператор ф уменьшает на 1 (т. е. на +|е|) заряд системы.
Это значит, что в матричных элементах (п|^|0) и @|^|п) состо-
состояния \п) должны соответствовать равному +1 заряду системы,
т. е. могут содержать, помимо одного позитрона, лишь некоторое
число электрон-позитронных пар и фотонов; энергии этих состо-
состояний обозначим через Еп . Аналогичным образом в матричных
элементах @\ф\п) и (п|^|0) состояния \п) содержат один элек-
электрон и некоторое число пар и фотонов (энергия Еп ). Вместо
A09.18) получим теперь
gik(t-t',r,r') =
-t% t<t',
A09.21)
и отсюда
да	_
г г-') -У ) Wi(r)|n)(n|^(r'
, г, г) - 2_^ S - (+)
п К ? ~ ^п + w
in
— гУ)
A09.22)
) Предполагается, что внешнее поле исчезает на бесконечности.

542	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
Пусть е близко к какому-либо из дискретных уровней энергии
Еп (или к одному из —Е4 )• Тогда из всей суммы в A09.22)
можно оставить лишь один соответствующий полюсный член.
Подставив его затем в A09.17), мы увидим, что множители, за-
зависящие от второго аргумента г' (при г ф г7), из уравнения вы-
выпадают. В результате мы получим однородное интегродиффе-
ренциальное уравнение для функции @\ф(г)\п) (или (n|^(r)|0),
которую мы обозначим для краткости через Фп(г) г) . Опуская
индекс п, имеем
^	I lk{e, r, n)*,(ri)^i = 0
A09.23)
(</. Schwinger, 1951). Дискретные уровни энергии Еп выступа-
выступают теперь как собственные значения этого уравнения. Тем са-
самым уравнение A09.23) становится основой регулярной проце-
процедуры для определения этих уровней.
Выразим, например, из A09.23) поправку первого порядка по
Л4 к дискретному уровню энергии электрона ?п, полученному в
результате решения уравнения Дирака
= 0;	A09.24)
волновая функция фп(г) пусть нормирована условием
ф*пфп?>х = 1.	A09.25)
Собственную функцию уравнения A09.23) запишем в виде
,	A09.26)
где фп ' — поправка к фп. Подставив A09.26) в уравнение A09.23),
умножив его слева на фп{т) и проинтегрировав по d?x 2) , полу-
получим искомое выражение
Еп — Ег,
J'^ni{v)Mik{en, r, r^nkin^xcPx!. A09.27)
) В пренебрежении радиационными поправками Фп (г) совпадают (для со-
состояний с одним электроном или позитроном) с волновыми функциями фп
или фп —решениями уравнения Дирака.
2) При интегрировании надо использовать самосопряженность дифферен-
дифференциального оператора уравнения A09.24) с целью перебросить его действие
с фпХ) на фп

§ 110	ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПЕРЕНОРМИРОВКИ	543
§ 110. Физические условия перенормировки
Излагавшаяся до сих пор в этой главе теория носила в зна-
значительной степени формальный характер. Мы оперировали со
всеми величинами так, как если бы они были конечными, и на-
намеренно не обращали внимания на встречающиеся в теории бес-
бесконечности. Между тем при фактическом вычислении функций
Х>, ?/, Г по теории возмущений встречаются расходящиеся ин-
интегралы, которым нельзя, без привлечения дополнительных со-
соображений, приписать какого-либо определенного значения. В
возникновении таких расходимостей проявляется логическое не-
несовершенство излагаемой квантовой электродинамики. Мы уви-
увидим, однако, что в этой теории можно установить определенные
предписания, позволяющие однозначным образом производить
«вычитание бесконечностей» и в результате получать конечные
значения для всех величин, имеющих непосредственный физи-
физический смысл. В основе этих предписаний лежат очевидные фи-
физические требования, сводящиеся к тому, чтобы масса фотона
была равна нулю, а заряд и масса электрона были равны их на-
наблюдаемым значениям.
Начнем с выяснения условий, налагаемых на фотонный про-
пагатор.
Рассмотрим процесс рассеяния, который может происходить
через одночастичные промежуточные состояния с одним вирту-
виртуальным фотоном. Амплитуда такого процесса должна иметь по-
полюс, когда квадрат суммарного 4-импульса начальных частиц Р
совпадает с квадратом массы реального фотона, т. е. Р2 = 0; мы
видели в § 79, что это требование следует из общего условия уни-
унитарности. Полюсный член в амплитуде возникает из диаграммы
вида G9.1):
причем с учетом радиационных поправок обе части диаграм-
диаграммы должны быть соединены жирной штриховой линией (точный
фотонный пропагатор). Это значит, что функция Т>(к2) должна
иметь полюс при к2 = 0, т. е. должно быть
при ?;2^0,	A10.2)
/ъ
где Z — постоянная. Для поляризационного оператора же V(k2)
отсюда получается, согласно A03.21), условие
V@) =0.	A10.3)

544	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
При этом коэффициент A10.2)
Z	к2
Дальнейшие ограничения на функцию V(k2) можно получить
из анализа физического определения электрического заряда ча-
частицы. Оно состоит в том, что две классические (т. е. сколь угод-
угодно тяжелые) частицы, покоящиеся на больших расстояниях друг
от друга, должны взаимодействовать по закону Кулона: U = е /г
(имеются в виду расстояния г ^> 1/га, т — масса электрона). С
другой стороны, это взаимодействие выражается диаграммой
\к	(П0.4)
где верхние и нижние линии отвечают классическим частицам.
Фотонные собственно-энергетические поправки учтены на линии
виртуального фотона. Всякие же другие поправки, затрагиваю-
затрагивающие линии тяжелых частиц, привели бы к обращению диаграм-
диаграммы в нуль. Действительно, добавление каких-либо еще внутрен-
внутренних линий в диаграмме A10.4) (например, соединение линий а
и с или а и Ъ фотонной линией) приводит к появлению на диа-
диаграмме линий виртуальных тяжелых частиц, которым сопоста-
сопоставляются соответствующие пропагаторы. Но пропагатор частицы
содержит ее массу М в знаменателе и обращается в нуль при
М —>> оо.
Из вида диаграммы A10.4) ясно (ср. § 83), что множитель
е2Т>(к2) в ней должен представлять собой (с точностью до знака)
фурье-образ потенциала взаимодействия частиц. Статичность
взаимодействия означает, что частоты виртуальных фотонов ио =
= 0, а большим расстояниям отвечают малые волновые векторы
к. Фурье-образ кулонова потенциала есть 4тге2/к2. Наконец, по-
поскольку функция Т) зависит только от квадрата к2 = о;2 — к2, то
мы приходим к условию
?;2^0,	A10.5)
т. е. коэффициент в A10.2) должен быть Z = 1 (знак в условии
A10.5) очевиден: V(k2) стремится к пропагатору свободных фо-
фотонов D(k2)). Для поляризационного оператора V(k2) это значит,
что должно быть
V(k2)/k2 -> 0, к2 -> 0.	A10.6)

§ 110	ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПЕРЕНОРМИРОВКИ	545
Помимо известного уже нам условия A10.3), отсюда следует, что
должно быть также и
V'@) = 0.	A10.7)
В § 103 было отмечено, что эффективной внешней линии реаль-
реального фотона отвечает в диаграмме множитель A03.15), или, с
учетом A03.16) и A03.20),
4тг
Мы видим теперь, что ввиду A10.5),A10.6) поправочный член
здесь обращается в нуль. Другими словами, мы приходим к важ-
важному результату: во внешних фотонных линиях вообще не надо
учитывать радиационных, поправок.
Таким образом, естественные физические требования приво-
приводят к установлению определенных (равных нулю) значений ве-
величин V@) и Vf@). Между тем вычисление этих величин по
диаграммам теории возмущений привело бы для них к расходя-
расходящимся интегралам. Мы видим, что способ устранения этих бес-
бесконечностей состоит в приписывании расходящимся выражени-
выражениям наперед заданных значений, устанавливаемых физическими
требованиями. О такой процедуре говорят как о перенормировке
соответствующих величин :) .
Способ проведения этой операции можно сформулировать и
в несколько иной форме. Так, для перенормировки заряда части-
частицы вводят нефизический «затравочный» заряд ес как параметр,
который входит в выражение исходного оператора электромаг-
электромагнитного взаимодействия, фигурирующего в формальной теории
возмущений. После этого условие перенормировки формулиру-
формулируется как требование e2V(k2) —>> 4тге2/А;2 (при к2 —>> 0), где е —
истинный, физический заряд частицы. Отсюда находим связь
e2Z = е2, и с ее помощью нефизическая величина ес исключается
из формул, определяющих наблюдаемые эффекты. Потребовав
же сразу Z = 1, мы тем самым произведем перенормировку как
бы «на ходу» и избавимся от необходимости введения фиктив-
фиктивных величин даже в промежуточных выкладках.
Перейдем к выяснению условий перенормировки электронно-
электронного пропагатора. Для этого рассмотрим процесс рассеяния, кото-
который может проходить через одночастичное промежуточное со-
состояние с одним виртуальным электроном. Амплитуда такого
процесса должна иметь полюс, когда квадрат суммарного 4-им-
пульса начальных частиц Pi совпадает с квадратом массы реаль-
х) Идея такого подхода была высказана впервые Крамерсом (Н. Kramers,
1947). Систематическое же использование метода перенормировок в
квантовой электродинамике осуществлено в работах Дайсона, Томонаги
(S. Tomonaga), Фейнмана и Швингера.
18 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

546	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
ного электрона: Р2 = га2. Полюсной член в амплитуде возникает
из диаграммы вида
A10.8)
где с учетом радиационных поправок жирная линия — точный
электронный пропагатор. Это значит, что функция G(p) должна
иметь полюс при р = га , т. е. должна иметь предельную форму
д{р)ъгх 21Р + ™. +g(p), P2^m\	(П0.9)
р2 — т2 + гО
где Z\ —скалярная постоянная, a g(p) остается при р2 —>> т2 ко-
конечной. Матричная структура полюсного члена в A10.9) (про-
(пропорциональность jp + 777,) является следствием того же условия
унитарности, из которого возникает и само требование наличия
полюса. Покажем это, одновременно выяснив важный вопрос об
условиях перенормировки внешних электронных линий.
Если G(P) имеет предельный вид A10.9), то обратная матри-
матрица
G~l(p) ~ —("jp — га) — ("ур — ra)gG?? — га), р2 —>> га2. A10.10)
Zi
Массовый же оператор
Л4 = G~l — Q~l « A — — ) (jp — га) + (jp — т)д{'УР — m),
p2 ^m2. A10.11)
Эффективной внешней (скажем, входящей) электронной линии
отвечает в диаграмме множитель (ср. A03.15))
U(p) = и(р) + д(р)М(р)и(р),	A10.12)
где и(р) — обычная амплитуда волновой функции электрона, удо-
удовлетворяющая уравнению Дирака (jp — т)и = 0. В силу требо-
требований релятивистской инвариантности (ZY, как и и, — биспинор)
предельное значение Ы{р) при]?2 —>• га2 может отличаться от и(р)
лишь постоянным скалярным множителем:
U(p) = Z'u(p).	A10.13)
Этот множитель Z' определенным образом связан с множителем
Zi, но найти эту связь просто подстановкой A10.10),A10.11) в
A10.12) нельзя ввиду возникающей неопределенности: результат
будет зависеть от порядка, в котором совершается предельный
переход в различных множителях в A10.12).

§ 110	ФИЗИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ ПЕРЕНОРМИРОВКИ	547
Можно, однако, обойтись без выяснения вопроса о правиль-
правильном способе предельного перехода, обратившись вместо этого к
условию унитарности в применении к реакции, изображаемой
диаграммой A10.8). Соотношение унитарности относится, вооб-
вообще говоря, не к отдельным диаграммам, а к амплитудам процес-
процессов в целом. Но при р2 —>> т2 полюсная диаграмма A10.8) да-
дает основной вклад в соответствующую амплитуду М^, так что
другие диаграммы, относящиеся к той же реакции, можно не
рассматривать.
В силу требований унитарности, как это было показано в § 79,
одночастичное промежуточное состояние приводит к появлению
в амплитуде реакции мнимой части с E-функционным членом
т8(р2-т2) J2 ЩпМ*п,	A10.14)
поляр
где в данном случае индекс п относится к состоянию с одним
реальным электроном, а суммирование производится по его по-
поляризациям (во избежание лишних усложнений считаем, как и в
§ 79, что произведена симметризация обеих сторон соотношения
унитарности по спиральностям начальных и конечных частиц;
тогда Mfi = Mif). Амплитуда Mfn отвечает процессу, изобра-
изображаемому диаграммой
и имеет вид
Mfn = (M'fnU) = Z'(M'fnu),
где ML — множитель с одним свободным биспинорным индек-
индексом х) . Аналогичным образом амплитуда М*п имеет структуру
вида
М*п = (ПМ'1) = Z'(uM'*n).
Суммирование по поляризациям электрона заменяет произведе-
произведение (M'fnu)(uM'*in) на M'fn(^p + m)M'*n1 так что член A10.14) в
амплитуде М^ принимает вид
Z'2in8(p2 - т2)Щп{1Р + т)М'*гп].
) Здесь необходимо некоторое уточнение. Электрон как стабильная ча-
частица не может в действительности превратиться в другую совокупность
реальных частиц. Можно, однако, формально рассматривать в качестве по-
последних некоторые воображаемые частицы с такими массами, которые бы
допускали такое превращение. Получающееся соотношение надо понимать
тогда в смысле аналитического продолжения к реальным значениям масс.
18*

548	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
По этому члену в мнимой части можно восстановить весь полюс-
полюсной член в амплитуде рассеяния; согласно G9.5) находим
2
= _z4Mfni,P + m)M;n} 2 m2_
1	(р2-т2+г0)	'	F
С другой стороны, вычисление этой же амплитуды непосред-
непосредственно по диаграмме A10.8) дает
Сравнение обеих формул подтверждает написанное выше пре-
предельное выражение для Q(p) (первый член в A10.9)), причем
Z' = yfz[.	A10.15)
Покажем теперь, что после установления требуемого предель-
предельного вида электронного пропагатора уже нет необходимости в
постановке каких-либо новых условий для вершинного операто-
оператора.
Рассмотрим диаграмму
I
A10.16)
Р2	Р1
описывающую рассеяние электрона во внешнем поле А^е\к) (в
первом порядке по полю) с учетом всех радиационных попра-
поправок. В пределе к —>• 0, р% —>• Pi = p собственно-энергетические
поправки к линии внешнего поля исчезают (напомним, что эти
поправки исчезают вообще при всяком к2 = 0). Тогда диаграмме
будет соответствовать амплитуда
Mfi = -еп(р)Г(р, р- 0)U(p)A^(k -> 0)	A10.17)
— произведение потенциала А^ на электронный ток перехода
ЫТЫ. Но при к —>• 0 потенциал А^е\х) сводится к не зависящей
от координат и времени постоянной. Такому потенциалу вообще
не соответствует никакое физическое поле (частный случай кали-
калибровочной инвариантности), так что он не может вызвать ника-
никакого изменения электронного тока. Другими словами, в рассма-
рассматриваемом пределе ток перехода UYU должен просто совпадать
со свободным током щи:
, р; 0)W(p) = Ziu(p)T^u(p) = п(р)^и(р). A10.18)

§ 111	АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФОТОННОГО ПРОПАГАТОРА	549
Это требование есть, по существу, тоже выражение определения
физического заряда электрона. Легко видеть, что оно автома-
автоматически выполняется вне зависимости от значения Z\. Действи-
Действительно, подставив G~1(p) из A10.10) в тождество Уорда A08.8),
найдем
, р; 0) = Zf V - 7^д(р)GР -т)- (jp -
и равенство A10.18) удовлетворяется в силу уравнений
(jp — т)и = 0 H(jp — га) = 0.
Мы видим, что при составлении амплитуды физического процес-
процесса «перенормировочная постоянная» Z\ вообще выпадает. Мало
того, воспользовавшись неопределенностью, возникающей из-за
расходимостей при вычислении Г, можно просто потребовать,
чтобы было
п(р)Г^(р, р; 0)и(р) = п(р)^и(р), р1 = га2,	A10.19)
т. е. положить Z\ = 1.
Удобство такого определения состоит в том, что отпадает
необходимость во введении поправок во внешние электронные
линии: имеем просто
Ы(р) =и(р).
В этом можно убедиться и непосредственно, заметив, что при
Z\ = 1 массовый оператор A10.11)
М = (чр- m)g(jp - га)	A10.20)
и второй член в A10.12) очевидным образом обращается в нуль.
Таким образом, не будут требовать «перенормировки» внешние
линии всех реальных частиц —как фотонов, так и электронов х) .
§ 111. Аналитические свойства фотонного пропагатора
Исследование аналитических свойств фотонного пропагатора
удобно начать с изучения свойств функции П(А;2). Дело в том,
что прямое использование для этой цели определения A03.1) за-
затрудняется калибровочной неоднозначностью операторов
и проистекающей отсюда неопределенностью их свойств.
1) При перенормировке фотонного пропагатора условие Z = 1 возника-
возникало как необходимое физическое требование, а после этого исчезновение по-
поправок к внешним фотонным линиям происходит уже автоматически. С
формальной точки зрения, однако, ситуации для фотонных и электронных
внешних линий аналогичны: при Z ф 1 волновая амплитуда е^ реального
фотона с учетом поправок умножалась бы на \/Z.

550	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
Исходя из выражения собственно-энергетической функции
фотона через матричные элементы калибровочно-инвариантного
оператора тока в § 104 было получено интегральное представле-
представление функции П(к2) A04.11). Обозначив переменную к2 через t:) ,
рассмотрим свойства функции П(?) в плоскости комплексного t.
Из интегрального представления
оо
П(*)= Г p{t')dt'	A11.1)
W J t - V + гО	V	J
0
видно, что на отрицательной вещественной полуоси функция
П(?) вещественна, а во всей остальной плоскости удовлетворя-
удовлетворяет соотношению симметрии
П(Г) =П*(?).	AП.2)
Функция П(?) может иметь особенность лишь в особых точ-
точках функции p(t). Последние лежат при значениях t = /с2, являю-
являющихся пороговыми для рождения виртуальным фотоном различ-
различных совокупностей реальных частиц. При этих значениях «всту-
«вступают в игру» новые типы промежуточных состояний в сумме
A04.9). Вклад от этих состояний равен нулю ниже порога и отли-
отличен от нуля выше порога, что и приводит к особенности функции
в самой точке порога. Эти пороговые значения, разумеется, веще-
вещественны и неотрицательны 2) . Поэтому и особые точки функции
П(?) лежат на положительной вещественной полуоси переменной
t. Если провести разрез по этой полуоси, то функция П(?) будет
аналитична во всей разрезанной таким образом плоскости.
Член +г0 в знаменателе подынтегрального выражения в
A11.1) показывает, что полюс t' = t должен обходиться снизу.
Иными словами, под значением функции П(?) при вещественном
t следует понимать ее значение на верхнем берегу разреза. Ис-
Используя правило G5.18):
L lrs(x),	(ш.з)
х ± гО	х
находим, что для вещественных t
1тП(?) = 1тП(? + гО) = -mp(t).	(Ш-4)
На нижнем же берегу разреза 1т П имеет обратный знак, а ИеП
на обоих берегах одинаково. Поэтому скачок функции П(?) на
разрезе
( г0) -1тП(?-г0) = -2mp(t).	A11.5)
:) Не смешивать с обозначением времени!
2) Так, точка к2 = 0 является порогом для рождения трех (или большего
нечетного числа) реальных фотонов, точка к2 = 4т2 — порог для рождения
электрон-позитронной пары и т. п.

§ 111	АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФОТОННОГО ПРОПАГАТОРА	551
Само интегральное представление A11.1) можно рассматри-
рассматривать в этом аспекте просто как формулу Коши для аналитиче-
аналитической функции П(?). Действительно, применим формулу Коши
u(t) = — [^Ж	(ш.6)
2тгг J t' —t
G
к контуру
A11.7)
огибающему разрез. В предположении достаточно быстрого убы-
убывания П(?) на бесконечности, интеграл по большой окружно-
окружности исчезает, а интегралы по берегам разреза дают следующую
формулу {дисперсионное соотношение), определяющую функ-
функцию П(?) по ее мнимой части:
п( } = 1 Г ьппу-но)^ = 1 Г ьпщр
W тг J	t'-t	тг J t -1 - г
Подставив сюда A11.4), получим A11.1) :) .
Аналитические свойства функций V(t) и V(t) совпадают со
свойствами функции П(?), через которую они выраж:аются про-
простыми формулами A04.2) и A03.21). Для V(t) имеем
(Ш.9)
На вещественной полуоси (t > 0), согласно сказанному выше,
надо понимать t как t + гО. Мнимую часть T>(t) можно вычис-
вычислить затем с помощью A11.3) и A11.4), причем надо учесть, что
согласно A10.6) U(t)/t —>> 0 при t —>> 0. Тогда найдем
ImV(t) = -47T2E(t) + ^lmn(t) = -4n26(t) - ^-p(t). A11.10)
Применив теперь к функции T>(t) дисперсионное соотно-
соотношение вида A11.8), получим для нее следующее интегральное
1) Дисперсионные соотношения была введены в квантовую теорию поля
Гелл-Маном, Гольдберзером и Тирринзом (М. Gell-Mann, M. L. Goldherger,
W. E. Thirring, 1954).

552	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ
представление:
ОО
V(t) = JpL + 47Г Г еЮ. dt> .
w t + iO	J t'2 t-tf + iO
0
Эту формулу называют разложением Челлена-Лемана (G.
/егг; 1952; Н. Lehmann, 1954).
Существует тесная связь между положением разреза для
функции V(t) (а тем самым и ее мнимой частью на разрезе),
с одной стороны, и условием унитарности для амплитуды про-
процесса а + Ь —>> c + rf, изображаемого диаграммой A10.4), с другой
стороны (эта реакция, конечно, чисто воображаемая; она не про-
противоречит, однако, законам сохранения, и формальное условие
унитарности для нее должно выполняться).
В начальном состоянии (г) этого процесса имеются две «клас-
«классические» частицы а и 6, а в конечном — две другие с и d Условие
унитарности G1.2) х) :
Tfi - Щ = гBтгL Y, TfnT*nSHPf - Pi);	A11.12)
П
суммирование в правой стороне производится по всем физиче-
физическим «промежуточным» состояниям п. В данном случае эти-
этими состояниями являются, очевидно, состояния систем реальных
пар и фотонов, которые могут быть рождены виртуальным фото-
фотоном /с, т. е. как раз те состояния, которые фигурируют в матрич-
матричных элементах в определении функции р(к2) A04.9). Амплитуды
Mfi и Mif содержат соответственно множителя V(k2) и Х>*(А;2),
а их разность — мнимую часть ImV(k2). Мы видим, таким обра-
образом, что уже известная нам (из A11.4)) связь между появлением
у V мнимой части и существованием указанных промежуточных
состояний является следствием необходимых требований унитар-
унитарности.
Мы увидим в дальнейшем, что фактические вычисления по
теории возмущений функции V(t) (или, что то же, функции
V(t)) удобно начать с вычисления мнимой части V, в которой не
возникает расходящихся выражений. Но если затем вычислять
функцию V(t) по дисперсионной формуле вида A11.8), то инте-
интеграл окажется расходящимся и понадобится производить допол-
дополнительные операции вычитания с целью удовлетворить условиям
V@) = 0 и ?'@) =0. Это вычитание можно, однако, произвести
без явного оперирования с расходящимся интегралом. Для этого
достаточно применить дисперсионное соотношение A11.8) не к
:) Напомним, что амплитуды Tfi отличаются от амплитуд Mfi лишь мно-
множителями (см. F4.10)).

§ 112	РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФЕЙНМАНА	553
самой функции V(t), а к функции V(t)/t2. Тогда V(t) предста-
представится в виде
ОО
* [ 'V?\.	A11.13)
[	?\
тг J t' (f — t — гО
О
Этот интеграл уже сходится, а получаемая таким образом функ-
функция V(t) автоматически удовлетворяет требуемым условиям.
О соотношении вида A11.13) говорят как о дисперсионном
соотношении «с двумя вычитаниями». Смысл использованного в
нем перехода к функции V(t)/t2 становится особенно наглядным,
если записать A11.13) в виде
оо	оо	оо
УН) = 1 /
w тг
/	/
тг / f -1 - гО тт /	*'	тг
0	0	0
A11.14)
Если обозначить первый («нерегуляризованный») интеграл как
V(t) , то все выражение в правой стороне будет равно
V(t)-V@)-fP'@).
§ 112. Регуляризация интегралов Фейнмана
Рассмотренные в § 110 физические условия перенормировки
позволяют, в принципе, получить однозначным образом конеч-
конечное значение амплитуды всякого электродинамического процесса
при ее вычислении в любом приближении теории возмущений.
Ознакомимся прежде всего с характером расходимостей, воз-
возникающих в интегралах, написанных непосредственно по диа-
диаграммам Фейнмана. Важные указания на этот предмет дает под-
подсчет степеней виртуальных 4-импульсов, входящих в подынте-
подынтегральные выражения для этих интегралов.
Рассмотрим диаграмму n-го порядка (т. е. содержащую п вер-
вершин), имеющую Ne электронных и 7V7 фотонных внешних линий.
Число Ne четно, и электронные линии образуют Ne/2 непрерыв-
непрерывных последовательностей, каждая из которых начинается и за-
заканчивается внешним концом. Число же внутренних электрон-
электронных линий в каждой такой последовательности на единицу мень-
меньше числа вершин на ней; поэтому полное число внутренних элек-
электронных линий в диаграмме равно
п - Ne/2.
В каждую вершину входит одна фотонная линия; в 7V7 вершинах
фотонная линия — внешняя, а в остальных п — 7V7 — внутренняя.

554	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
Поскольку каждая внутренняя фотонная линия связывает две
вершины, полное число таких линий равно
(п - Ny)/2.
Каждой фотонной внутренней линии сопоставляется множитель
D(k), содержащий к в степени —2. Каждой же электронной вну-
внутренней линии сопоставляется множитель G(p), содержащий р
(при р2 ^> т2) в степени — 1. Таким образом, суммарная степень
4-импульсов в знаменателе диаграммы равна
2n-Ne/2-N1.
Число же интегрирований (по d^p или d^k) в диаграмме рав-
равно числу внутренних линий, за вычетом числа п — 1 налагаемых
на виртуальные импульсы дополнительных условий (из п зако-
законов сохранения в вершинах один связывает импульсы внешних
концов диаграммы). Учетверив, получим число интегрирований
по всем компонентам 4-импульсов:
Наконец, разность между числом интегрирований и степенью
импульсов в знаменателе интегрируемого выражения (обозна-
(обозначим ее через г) равна
г = 4- 3/27Ve-7V7.	(П2.1)
Отметим, что это число не зависит от порядка диаграммы п.
Условия г < 0 для диаграммы в целом, вообще говоря, недо-
недостаточно для сходимости интеграла; необходимо, чтобы были от-
отрицательны аналогичные числа г' и для внутренних блоков, ко-
которые можно было бы выделить из диаграммы. Наличие блоков с
г' > 0 привело бы к их расходимости, хотя остальные интегриро-
интегрирования в диаграмме и сходились бы при этом даже «с избытком».
Условия г < 0, однако, достаточно для сходимости простейших
диаграмм, в которых п = Ne + 7V7 и имеется всего одно интегри-
интегрирование по d^p.
Если же г ^ 0, то интеграл во всяком случае расходится. При
этом степень расходимости — не менее чем г, если число г четно,
и не менее чем г — 1, если г нечетно (уменьшение степени расхо-
расходимости на 1 в последнем случае связано с обращением п нуль
интеграла от произведений нечетного числа 4-векторов при ин-
интегрировании по всему 4-пространству). Степень расходимости
может увеличиться при наличии внутренних блоков с г' > 0.
Отметим, что так как Ne и 7V7 — целые положительные числа,
из A12.1) видно, что существует лишь несколько пар значений
этих чисел, при которых г ^ 0. Перечислим простейшие диа-
диаграммы каждого из таких типов, но сразу же исключим из них

112
РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФЕЙНМАНА
555
случаи Ne = 7V7 = 0 (вакуумные петли) и Ne = О, 7V7 = 1 (сред-
(среднее значение вакуумного тока), поскольку они не имеют физи-
физического смысла и соответствующие диаграммы должны просто
отбрасываться, как уже было указано в § 103. Остальные случаи
таковы:
. —о—
Pl-f
A12.2)
Г = 0
В первом из этих случаев расходимость квадратичная, а во всех
остальных (г = 0 или г = 1) —логарифмическая.
Диаграмма г — первая поправка к вершинному оператору.
Она должна удовлетворять условию A10.19), которое запишем
здесь в виде
п(р)А»(р, р; 0)и(р) =0, р2 = т2.	A12.3)
где
Л" = Г"-7".	(П2.4)
Обозначим интеграл Фейнмана, записанный прямо по диа-
диаграмме, через А^{р2, Р\] к). Этот интеграл логарифмически рас-
расходится и сам по себе условию A12.3) не удовлетворяет. Мы, од-
однако, получим величину, удовлетворяющую этому условию, об-
образовав разность
2, pi; к) = Atl(p2, pi; к) - Л"(рь pi; 0)L?=m2. A12.5)
|р?=то2
Главный член расходимости в интеграле А.^(р2, р\\ к) полу-
получится, если считать в подынтегральном выражении 4-импульс
виртуального фотона / сколь угодно большой величиной. Он
имеет вид х)
ше J
РРР
и не зависит от значений 4-импульсов внешних линий. Поэтому в
разности A12.5) расходимость сокращается и получается конеч-
конечная величина. О такой операции устранения расходимости путем
вычитаний говорят как о регуляризации интеграла.
:) Полное выражение для интеграла записано в § 117 (см. A17.2)).

556	ТОЧНЫЕ ПРОПАГАТОРЫ И ВЕРШИННЫЕ ЧАСТИ	ГЛ. XI
Подчеркнем, что возможность регуляризации интеграла
Л**(р2, pi] к) путем одного вычитания обеспечивается тем, что в
данном случае расходимость — лишь логарифмическая, т. е. наи-
наименее сильная из всех возможных. Если бы в интеграле содержа-
содержались расходимости различных порядков, то одно вычитание при
к = 0 могло бы оказаться недостаточным для устранения всех
расходящихся членов.
После определения первой поправки в Г^ (первого члена раз-
разложения Л^) первая поправка в электронном пропагаторе (диа-
(диаграмма A12.2,5)) может быть вычислена по тождеству Уорда
A08.8), которое можно записать также и в виде
^	-А^(р,р;0),	(П2.6)
введя массовый оператор ЛЛ вместо Q и Л^ вместо Г^. Это урав-
уравнение должно быть проинтегрировано с граничным условием
п(р)М(р)и(р) = 0, р2 = ш2,	A12.7)
следующим из A10.20).
Наконец, для вычисления первого члена разложения поля-
поляризационного оператора обратимся к тождеству A08.14); после
упрощения по двум парам индексов оно дает уравнение
з d2v = 2G
4тг дкадк*
связывающее скалярные функции
v = ЧзР» и g = g^.
Обе эти функции зависят только от скалярной же переменной к2
поэтому находим
2k2V"{k2) + Г'(к2) = —V(k2),	A12.8)
о
где штрихи означают дифференцирование по к2. Ввиду условия
7^@) = 0 из этого уравнения ясно, что должно быть и
V@) =0.	A12.9)
В первом приближении теории возмущений V(k2) определя-
определяется диаграммой A12.2,д) (с 4-импульсами концов fc, fc, 0, 0).
Соответствующий интеграл Фейнмана (обозначим его через
О (к2)) расходится логарифмически, и его регуляризация осуще-
осуществляется одним вычитанием по условию A12.9):
G(k2) =Щк2) -0@).

§ 112	РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ ИНТЕГРАЛОВ ФЕЙНМАНА	557
После этого V(k2) определяется решением уравнения A12.8) с
граничными условиями V@) = О, V'@) = 0.
В следующем приближении теории возмущений поправка к
вершинному оператору (Л^) определяется диаграммами
A06.10,в-^). Из них неприводимая A06.10,г) вычисляется та-
такой же регуляризацией интегралов с помощью одного вычита-
вычитания согласно A12.5), как и при вычислении поправки первого
приближения Л^ . Содержащиеся же в приводимых диаграммах
внутренние собственно-энергетические и вершинные части более
низкого порядка сразу заменяются известными уже (регуляризо-
Л^ )
ванными) величинами первого приближения
после чего получившиеся интегралы регуляризуются снова со-
согласно A12.5) :) . Поправки V^ и Л4^ могут быть затем вы-
вычислены с помощью уравнений A12.6) и A12.8).
Описанная систематическая процедура дает, в принципе, воз-
возможность получить конечные выражения для 'Р, ЛЛ и Л^ в лю-
любом приближении теории возмущений. Тем самым становится
возможным и вычисление амплитуд физических процессов рас-
рассеяния, описывающихся диаграммами, в которые блоки V, Л^,
Л^ входят как составные части.
Мы видим, таким образом, что установленные выше (см.
§ 111) физические условия оказываются достаточными для одно-
однозначной регуляризации всех встречающихся в теории диаграмм
Фейнмана. Это обстоятельство является отнюдь не тривиальным
свойством квантовой электродинамики и носит название пере-
перенормируемости 2) .
Для фактического вычисления радиационных поправок опи-
описанная выше процедура может, однако, оказаться не наиболее
простым и рациональным путем. В следующей главе мы уви-
увидим, в частности, что целесообразный путь может начинаться
с вычисления мнимой части соответствующих величин; эти ча-
части даются интегралами, не содержащими расходимостей. Вся
величина в целом определяется затем путем аналитического про-
продолжения с помощью дисперсионных соотношений. Тем самым
оказывается возможным избежать громоздких вычислений, тре-
требуемых для прямой регуляризации путем вычитаний.
1)	В диаграммах же еще более высоких приближений может оказаться
необходимым заранее заменить уже регуляризованными значениями также
и «четыреххвостые» блоки Q'.
2)	Другой подход к теории перенормировок в квантовой электродинами-
электродинамике изложен в книге: Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию
квантованных полей. — М.: Наука, 1984.

ГЛАВА XII
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
§ 113. Вычисление поляризационного оператора
Приступая к фактическому вычислению радиационных по-
поправок, начнем с вычисления поляризационного оператора
(J. Schwinger, 1949; R. P. Feynman, 1949). В первом приближе-
приближении теории возмущений он дается петлей в диаграмме
Р
kZ>k
р — к
Как уже отмечалось, задача облегчается, если начать ее с вы-
вычисления мнимой части искомой функции. В свою очередь это
вычисление проще всего осуществляется путем использования
соотношения унитарности. При этом линии виртуального фото-
фотона рассматриваются как отвечающие воображаемой «реальной»
частице — векторному бозону массы М2 = А;2, взаимодействую-
взаимодействующему с электроном по тому же закону, что и фотон. Тем са-
самым A13.1) становится диаграммой «реального» процесса, чем
и оправдывается применение к ней условия унитарности.
Таким образом, рассматриваем A13.1) как диаграмму для
амплитуды перехода бозона самого в себя (диагональный эле-
элемент ^-матрицы) через распад на электрон-позитронную пару.
Крестики на диаграмме A13.1) показывают, по каким линиям
она должна быть рассечена на две части так, чтобы показать
промежуточное состояние, фигурирующее при применении соот-
соотношения унитарности. Это состояние содержит электрон с 4-им-
пульсом р- = р и позитрон с р+ = —(р — к).
Соотношение унитарности с двухчастичным промежуточным
состоянием G1.4) при совпадающих начальном и конечном со-
состояниях дает
f	A13.2)
поляр **
Здесь амплитуда Мц, составленная по диаграмме A13.1), есть
—,	A13.3)
4тг

§ 113	ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА	559
где е^ —4-вектор поляризации бозона; согласно A4.13) он удов-
удовлетворяет уравнению
е^к» = 0.
Амплитуде же Mni отвечает диаграмма распада бозона на
пару:
¦jfe
Р- -Р+
Соответствующее выражение имеет вид
Mni = -eV^etlf, j" = «(p_)y«(-p+).	(И3.4)
Подставив A13.3),A13.4) в A13.2), получим
\^	(П3.5)
поляр
При этом р = р_ = —р+ и е = ?+ + Е- = 2б+—импульсы и
суммарная энергия пары в системе ее центра инерции; интегри-
интегрирование производится по направлениям р, а суммирование — по
поляризациям обеих частиц.
Усредним теперь обе стороны равенства A13.5) по поляриза-
поляризациям бозона. Усреднение осуществляется формулой
(ср. A4.5)). Приняв во внимание поперечность тензора V^ и
вектора jfJj(VfJjiykl/ = 0, j^k^ = 0) и использовав, что VJZ = 37^,
получим в результате
2lmV = ^М
поляр
Суммирование по поляризациям производится обычным об-
образом, интегрирование по do сводится к умножению на 4тг, и в
результате находим
e2^Sp7/.GP- + mO/"GP+ ~ т) =
Введем переменную
2	_J = 2(т2 +Р+Р-).	A13.7)

560	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Тогда
?2=?, р2=?/4-т2,
и окончательная формула для Im V принимает вид
lmV(t) = ~-\	(t + 2m2), t > 4m2.	A13.8)
Значение ? = 4m2 — пороговое для рождения виртуальным
фотоном одной электрон-позитронной пары (ср. примечание на
с. 550); в рассматриваемом приближении теории возмущений (~
е2) состояние с одной парой является единственным, которое мо-
может фигурировать в качестве промежуточного состояния в усло-
условии унитарности A13.2). В том же приближении, следовательно,
при t < 4m2, правая сторона в A13.2) равна нулю, так что
ImP(t)=0, ?<4m2.	A13.9)
По этой же причине в рассматриваемом приближении раз-
разрез для функции V(t) в плоскости комплексного t простирается
лишь от точки t = 4m2 на вещественной оси, и эта точка долж-
t
о	W	-1	о	1
Рис. 19
на фигурировать в качестве нижнего предела в дисперсионном
интеграле A11.13). Таким образом, имеем
OO
Зтг J tf -t-iO
Am2
Для формулировки результата удобно ввести вместо t другую
переменную, определив ее следующим образом:
Это преобразование отображает верхнюю полуплоскость комп-
комплексного t на полукруг единичного радиуса в верхней полуплос-
полуплоскости комплексного ?, как показано на рис. 19 (одинаковой штри-
штриховкой изображены соответствующие друг другу отрезки в обеих
плоскостях). Нефизической области @ ^ ?/m2 ^ 4) отвечает при

§ 114	ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА	561
этом полуокружность ? = е1{р', 0 ^ ср ^ тг. Физическим же обла-
областям (? < 0 и ?/т2 > 4) отвечают правый и левый вещественные
радиусы.
Интеграл A13.10) проще всего вычисляется с помощью под-
подстановки
причем сначала имеем в виду случай t < 0 (тогда знаменатель в
области интегрирования не обращается в нуль и мнимую добавку
гО можно опустить). Выраженный через переменную ? результат
интегрирования имеет вид
Аналитическое продолжение этой формулы определит функцию
V(t) ив области t > Am2: для этого надо положить в ней ? = ?ег7Г
(при этом логарифм дает вклад в мнимую часть: 1п? = 1п? +
+ гтг) :) . Для нефизической области надо положить ? = е1(р, и
тогда
W Г_10 gin2 ? _	/	in2 ?\	^1
Зтг I 3	2	V	iF &2/' A13ЛЗ)
^ 2^
sin.
4m2	2
В предельном случае малых \t\ (^ —>¦ 1) эти формулы дают
V{t) = -^-—2, |i|«4m2.	A13.14)
15тг т2
В обратном же случае больших \t\ (? —>• 0), получим
|*|1П	t
—*Aп-^	гтг), ?>4т2.
Зтг V т2	/
По смыслу теории возмущений полученные формулы спра-
справедливы до тех пор, пока Р/Dтг) <С D~l = t/Dir). Поэтому усло-
условие применимости формул A13.15):
-1лШ«1.	A13.16)
Зтг т2
Радиационные поправки, содержащие aln(\t\/m), называют ло-
логарифмическими.
:) Осуществляемое таким образом аналитическое продолжение есть, как и
требуется, продолжение на верхний берег разреза, поскольку полукруг на
плоскости ? соответствует именно верхней полуплоскости t.

562	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
§ 114. Радиационные поправки к закону Кулона
Исследуем на основании полученных формул радиационные
поправки к закону Кулона. Эти поправки можно наглядно опи-
описать как результат поляризации вакуума вокруг точечного заря-
заряда.
Без учета поправок поле неподвижного центра (с зарядом е\)
дается кулоновым скалярным потенциалом Ф = А^ =е\/г. Ком-
Компоненты его трехмерного разложения Фурье:
Ф(к) =4б)(к) =47rei/k2.
С учетом радиационных поправок это поле заменяется «эффек-
«эффективным полем»:
4тг	4тг
(ср. A03.5)). Второй член и дает искомую добавку к скаляр-
скалярному потенциалу. В первом приближении теории возмущений
для V(k2) надо взять полученное в предыду-
предыдущем параграфе выражение, а функцию D(к2)
заменить ее нулевым приближением
?>(?;2) « L>(?;2) = -4тт/к2.
Таким образом, радиационная поправка к по-
потенциалу поля
Рис- 20	<УФ(к) = -^\V(-k2).	A14.2)
Для определения вида этой поправки в координатном пред-
представлении надо произвести обратное преобразование Фурье:
%-	A14-3)
Поскольку EФ(к) —функция лишь от t = —k2, то, произведя ин-
интегрирование по углам, получим
4тг2г
(в последнем преобразовании использована четность подынтег-
подынтегрального выражения как функции от у = \/—t). Теперь мож-
можно сместить контур интегрирования в верхнюю полуплоскость
комплексной переменной у, совместив его с разрезом функции

§ 114	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К ЗАКОНУ КУЛОНА	563
V(—y2) (рис. 20). Этот разрез начинается от точки 2гт и идет
вверх по мнимой оси (причем физическому листу соответствует
левый берег разреза). Введя вместо у новую переменную, соглас-
согласно у = гж, найдем
оо
г) = _L_ Г1т6Ф(х2)е-гххс1х.
2т
Наконец, возвращаясь к интегрированию по t = ж2, имеем окон-
окончательно:
оо
Щг) = — [ Im6<S>(t)e-rVldt.	A14.4)
2тг2г J
4т2
Мнимую часть
берем из A13.8) и после очевидной замены переменной находим
A14.5)
{Е. Uehlmg, R. Serber, 1935).
Входящий сюда интеграл может быть вычислен в двух пре-
предельных случаях.
Рассмотрим прежде всего малые г (mr <C 1). Разобьем инте-
интеграл от первого члена в круглой скобке на два:
i	i	Ci
причем (i выбрано так, что l/(rar) > d > 1. В силу этого в
первом интеграле можно положить г = 0, и тогда
Ci
В /2 можно, напротив, пренебречь единицей под корнем:
оо	оо
12 И Г e-2mr<dC = _]n?i .e-2mrCi + 2mr f
Ci	Ci

564	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
В экспоненте и нижнем пределе интеграла можно положить (д =
= 0. Сделав после этого замену переменной 2тгС, = ж, получим
ОО
h = - lnBCi) + In — + [ e-xlnxdx = - lnBCi) + In — - С,
mr J	mr
0
где С = 0, 577 ... —постоянная Эйлера. В интеграле же от вто-
второго члена в A14.5) можно сразу положить г = 0:
(X)
Складывая все три интеграла (причем вспомогательное число (д
сокращается), получаем
+ f°(lnJ--C-§)l, г«1.	A14.6)
Зтг V тг	6 / J	m
При TTir > 1 в интеграле существенна область ? — 1 ~ 1/ {тг) <С
<С 1. Заменой ? = 1 + ? и соответствующими пренебрежениями
он сводится к интегралу
оо
е-2тг Г е-2тгЦ 3 /^ =	3
2 V S S 8(mrK/2
0
Таким образом, в этом случае *)
^^)	1	A14.7)
тг (?тггK/2 /	?тг
Мы видим, что поляризация вакуума искажает кулоново поле
точечного заряда в области г ~ 1/т (= /i/(?tic)), где т — масса
электрона. Вне этой области искажение поля убывает по экспо-
экспоненциальному закону.
Сделаем еще одно замечание, имеющее общий характер. Мы
подразумевали до сих пор, что радиационные поправки происхо-
происходят от взаимодействия фотонного поля с электрон-позитронным.
Так, приписывая внутренние замкнутые петли в фотонных соб-
собственно-энергетических диаграммах электронам, мы учитывали
тем самым взаимодействие фотона с «электронным вакуумом».
Но фотон взаимодействует и с полями других частиц; взаимо-
взаимодействие с «вакуумами» этих полей описывается такими же соб-
собственно-энергетическими диаграммами, в которых внутренние
*) Происхождение множителя е 2тг в дФ(г) понятно уже из вида исходно-
исходного интеграла A14.4): при больших г в нем существенны значения t вблизи
нижнего предела. Другими словами, показатель экспоненциального множи-
множителя определяется положением первой особенности функции $Ф(е).

§ 115 ВЫЧИСЛЕНИЕ МНИМОЙ ЧАСТИ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА	565
петли приписываются соответствующим частицам. Вклады та-
таких диаграмм по порядку величины отличаются от вкладов элек-
электронных диаграмм некоторыми степенями отношения ттге/гтг, где
т — масса данной частицы, а те — масса электрона.
Ближайшие по массе к электрону частицы — мюоны и пио-
пионы. Численно отношения те/т^ и mejm^ близки к а. Поэтому
радиационные поправки от этих частиц должны были бы учиты-
учитываться вместе с электронными поправками следующих порядков.
Но если для мюонов вычисление радиационных поправок с по-
помощью существующей теории в принципе допустимо, то для пи-
пионов (являющихся сильно взаимодействующими частицами) это
невозможно.
Это обстоятельство в принципе ограничивает возможность
точных расчетов конкретных эффектов в существующей кван-
квантовой электродинамике. Рассмотрение же в сколь угодно высо-
высоких приближениях поправок от одного лишь фотон-электронно-
фотон-электронного взаимодействия было бы превышением допустимой точности.
Рассмотренные в этом параграфе радиационные поправки к
закону Кулона простираются, как мы видели, в области расстоя-
расстояний г < 1/те. Мы можем теперь добавить, что полученные фор-
формулы недостаточны на расстояниях г < 1/га^ (или l/m^), где
становятся существенными также и эффекты поляризации ва-
вакуума других частиц.
§ 115. Вычисление мнимой части
поляризационного оператора по интегралу Фейнмана
При прямом вычислении по диаграмме (петля на диаграм-
диаграмме A13.1)) поляризационный оператор в первом приближении
теории возмущений давался бы интегралом
->> -е2 / Svi^G(p)^G(p- k)-^-.	A15.1)
4тг
Однако этот интеграл, взятый по всему четырехмерному р-про-
странству, квадратично расходится и для получения конечного
результата должен быть регуляризован по описанным в § 112
правилам.
Мы не будем воспроизводить здесь полностью такой вывод,
но покажем, каким образом можно вычислить по интегралу
A15.1) мнимую часть поляризационного оператора (которая бы-
была определена нами в § 113 с помощью условия унитарности);
этот вывод содержит в себе ряд поучительных моментов.
Мнимая часть интеграла A15.1) не содержит расходимости
и не требует поэтому регуляризации. Для скалярной функции

566	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
imV = yslmVJl имеем
3BтгL У (р2-ш2+г0)[(р-А;J-т2+г0]
После вычисления следа интеграл принимает вид
ImV(k2) =Ъп Г
J
Пусть к2 > 0. Переходим к системе отсчета, в которой к =
= (&о, 0). В этой системе
Введя также обозначение е = у р2 + т2 (е не совпадает с «энер-
«энергией» виртуального электрона ро0? перепишем A15.2) в виде
/
7 *?ЧРо, р)
аро—	:—		—,
0	'11 5.3)
@, Р) = — (ТП +? +^0^0 — р0).
Подынтегральное выражение имеет четыре полюса по пере-
переменной ро'.
а)ро = ? — гО,	а')ро = — е — гО,
Ь) ро = ко — е + гО,	б7) ро = ко + ? — гО.
На рис. 21 показано расположение этих полюсов; для опре-
определенности будем считать, что ко > 0 (окончательный ответ
есть функция от к$ и от знака ко не зависит). Вычислим скачок
функции V(t), испытываемый ею на разрезе в плоскости комп-
/JT\	лексной переменной t = к2 =
х-х / у хх	= /Cq или, что то же самое, на
• • /	вещественной оси в плоскости
> |	> комплексного ко- Вещественная
/ •	•/ часть функции V(t) непрерыв-
_ _ —^/ а	Ь на на разрезе, так что скачок
Рис. 21	AV(t) = 2iImV(t). A15.4)
Прежде всего покажем, каким образом уже по виду интегра-
интеграла можно установить положение разреза. Обозначим в A15.3)
интеграл по ро как /(р, ко). До тех пор, пока верхние и ниж-
нижние полюсы на рис. 21 находятся на конечных расстояниях друг

115 ВЫЧИСЛЕНИЕ МНИМОЙ ЧАСТИ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА
567
от друга, путь интегрирования по ро можно увести вдаль от по-
полюсов (штриховая линия на рисунке). В этом случае интеграл
7(р, ко) не изменится при бесконечно малом смещении полю-
полюсов b и Ъ' вниз или вверх от вещественной оси, т. е. при замене
ко —>> ко + iS, S —> 0. Другими словами, значения /(р, ко) при
стремлении ко к своему вещественному значению сверху и сни-
снизу будут одинаковы, так что /(р, ко) не даст вклада в скачок
AV. Ситуация изменится, лишь если два полюса (при ко > 0 это
могут быть полюсы а и Ь) окажутся как раз один под другим,
так что контур интегрирования будет «зажат» между ними и не
сможет быть уведен. Таким образом, скачок AV ф 0, лишь если
где-либо в области интегрирования по d3p может быть выполне-
выполнено условие ко — е = ?, т. е. ко = 2е = 2л/р2 + т2. Для этого,
очевидно, должно быть ко ^ 2т, т. е. t ^ 4m2 :) .
Перепишем интеграл /(р, ко) в виде
опустив члены гО в знаменателе и соответственно изменив кон-
контур С интегрирования, как показано на рис. 22. Мы видим, что
возникновение скачка AV(t) связано с невозможностью увода
Рис. 22
контура от полюса а (когда контур зажат между а и Ь). Имея это
в виду, заменим контур С контуром С7, проходящим под точкой
а, соответственно добавив интеграл по малой окружности С" во-
вокруг этой точки. После этого контур С можно беспрепятствен-
беспрепятственно увести от полюсов, так что интегрирование вдоль него дает
вклад лишь в регулярную часть функции V(t). Для определения
:) Аналогичным образом убеждаемся в отсутствие разреза при t = к2 < 0.
Выбрав в этом случае систему отсчета, в которой к = @, к), найдем, что
полюсы подынтегрального выражения лежат при
ро = ±(е-гО), ро =
Оба нижних полюса лежат всегда в правой, а оба верхних — в левой полу-
полуплоскости ро, так что никакая их пара не может оказаться рядом.

568	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
же искомого скачка достаточно рассматривать лишь интеграл по
окружности С7/, что сводится к взятию вычета в полюсе а. Эта
операция может быть осуществлена заменой в подынтегральном
выражении:
1	9	9
	—>> —2тгг6(ро — е )	A15.6)
pI-s2
(знак « —» связан с тем, что окружность вокруг полюса обходит-
обходится в отрицательном направлении). При этом следует учитывать
в аргументе E-функции лишь корень ро = +? (обходится лишь
полюс а, но не а7); это условие будет автоматически учтено, если
условиться производить интегрирование лишь по половине им-
импульсного 4-пространства: ро > 0.
После замены A15.6) скачок интеграла /(р, ко) вычисляется
непосредственно:
оо
X
А/ = {/(р, к0 + iS) - /(р, ко - г5)}я_>+о = -2ттг х
оо
/ <*(Ро - е2)г<р(ро,
J
. (ко — роJ — г2 + i5 (ко — роJ — г2 — it
0
Используя равенство
	1	 р	1
(ко — РоJ — е2 ±id	(ко — роJ — i
(см. A11.3)), получаем
гп6[(ко - ро? ~
А/ = гBтггJ j 6(р20 - е2N[(ко - ро? - е2] ^(р0, р) dp0.
о
Аргументы E-функций мож:но переписать в инвариантном виде,
вычитая и прибавляя к ним р2:
pi - е2 = р2 - т2, (ко - роJ - е2 = (к - рJ - т2.
После этого находим окончательно
АГ(к2)=гBтггJ Г dAp • ф)8(р2 - тп2N[(р - кJ - тп2]. A15.7)
Ро>0
Ввиду наличия E-функций интегрирование производится факти-
фактически лишь в области пересечения гиперповерхностей
р2 = ш2, (р - кJ = ш2.	A15.8)
Поскольку в этой области все 4-векторы р времениподобны, то
условие интегрирования по ро > 0 имеет инвариантный характер
(верхняя полость конуса р2 = тп2).

§ 115 ВЫЧИСЛЕНИЕ МНИМОЙ ЧАСТИ ПОЛЯРИЗАЦИОННОГО ОПЕРАТОРА	569
Сравним A15.7) с исходной формулой A15.2). Мы видим, что
скачок функции V(t) на разрезе в плоскости t можно получить,
если в исходном фейнмановском интеграле произвести замену
2 * ._ ->¦ -2тгг5(р2 - т2)	A15.9)
в пропагаторах, отвечающих пересеченным на диаграмме A13.1)
линиям петли (S. Mandelstam, 1958, R. Cutkosky, 1960).
Обратим внимание на то, что условия A15.8) выделяют ту
область импульсного пространства, в которой линии виртуаль-
виртуальных частиц на диаграмме отвечают реальным частицам (или,
как говорят, 4-импульсы р и р — к лежат на массовой поверх-
поверхности). Здесь ясно видна связь с методом соотношения унитар-
унитарности, в котором эти же линии заменялись на линии реальных
частиц промежуточного состояния.
Мы видим также математическую причину отсутствия рас-
расходимости в мнимой части диаграммы: она определяется интег-
интегрированием по конечной области массовой поверхности вмес-
вместо интегрирования по всему бесконечному импульсному 4-про-
странству в исходном фейнмановском интеграле.
Чтобы получить теперь из A15.7) выведенную в § 113 фор-
формулу, вернемся к системе отсчета, в которой к = 0, и проведем
интегрирование по
d^p = |р|б de фо do.
Интегрирование сводится к снятию E-функций. При этом
6(р2 - ш2)ф0 = S(pl - ?2)фо -^ —8(ро - e)dp0
и затем
8[(р - кJ - m2]ds = 5[(ро - к0J - s2]de =
= ё(-2ек0 + k2)ds -»¦ — ё(е - Щйе.
2ко	2
В результате получим
AV{t) = -^ | ^i^(e, p)do,	A15.10)
где t = к2 = /cq, а значение функции (р берется при
р0 = е = ко/2, р2 = е2 - га2 = /$/4 - га2,
т. е. равно
и не зависит от угла. Поэтому интегрирование по do сводится к
умножению на 4тг, и мы возвращаемся к A13.8).

570	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
В изложенном выводе существен только тот факт, что диа-
диаграмма рассекается на две части путем пересечения всего двух
линий. Поэтому сформулированное правило остается в силе и
для диаграмм, составленных из любых двух блоков, соединенных
двумя (электронными или фотонными) линиями. Интеграл, вы-
вычисленный путем замены A15.9), определит при этом тот вклад в
мнимую часть диаграммы, который в методе соотношения уни-
унитарности связан с соответствующим двухчастичным промежу-
промежуточным состоянием.
§ 116. Электромагнитные формфакторы электрона
Рассмотрим вершинный оператор Г^ = Г^{р2, р\\ к) в случае,
когда две электронные линии являются внешними, а фотонная —
внутренней. Электронным внешним линиям отвечают множите-
множители и\ = u(pi) иЙ2= Ufa), так что Г входит в выражение для
диаграммы в виде произведения
j%=u2r»Ul.	A16.1)
Как уже отмечалось в § 111, оно представляет собой электронный
ток перехода с учетом радиационных поправок. Требования ре-
релятивистской и калибровочной инвариантности позволяют уста-
установить общий вид матричной структуры этого тока.
Оператор электромагнитного взаимодействия V = e(jA) —
истинный скаляр (а не псевдоскаляр), чем выражается сохра-
сохранение пространственной четности в этих взаимодействиях. По-
Поэтому ток перехода jji — истинный 4-вектор (а не псевдовектор).
Он может выражаться, следовательно, только через истинные же
4-векторы, составленные из имеющихся в нашем распоряжении
двух 4-векторов р\ и р2 (третий к = р2 — р\) и биспиноров щ и
U2. Таких независимых 4-векторов, билинейных по Щящ, всего
три:
или, что то же,
,	A16.2)
где Р = pi +Р2- Но условие калибровочной инвариантности тре-
требует поперечности тока перехода к 4-импульсу фотона к:
jfik = 0.	A16.3)
Этому условию удовлетворяют первые два из 4-векторов A16.2):
первый в силу уравнений Дирака
— m)ui = 0, U2(^(P2 — m) = 0,	A16.4)

§ 116	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ ЭЛЕКТРОНА	571
а второй — потому, что Рк = 0. Ток jfi представляется линейной
комбинацией этих двух 4-векторов:
3% = Н{п2и{)Р» + /2(u27^i),
где /i, /2 — инвариантные функции; их называют электромаг-
электромагнитными формфакторами электрона.
Так как 4-импульсы р\ и р2 относятся к свободному электро-
электрону, то р2 = р2 = 7П2, и из трех 4-векторов pi, P2-> k (связанных
равенством к = р% — Р\) можно составить всего одну незави-
независимую скалярную переменную, в качестве которой выберем к .
Тогда формфакторы — функции к2.
Выражение для тока можно представить и в других видах,
с другим выбором двух независимых членов. Использовав урав-
уравнения A16.4) и правила коммутации матриц 7, легко убедиться,
что
(Ща^щЖ = -2m(u27^i) + fau^P»,	A16.5)
где а^ = 1/2(t//7z/ ~~ 7^7^) • Коэффициент при таком члене име-
имеет, как мы увидим, важный физический смысл, так что будем
писать
2 ^2	A16.6)
где /, g — два других формфактора; смысл выделения множите-
множителя 1/Bга) выяснится ниже :) . Для краткости мы пишем вместо
тока вершинный оператор, подразумевая, что он должен браться
«в обкладках» Щ • • • Щ.
Для выяснения свойств формфакторов рассмотрим диаграм-
диаграмму A10.16) процесса взаимодействия электрона с внешним по-
полем. Соответствующая ей амплитуда рассеяния
Mfi = -ej^Hk),	A16.7)
где Ар — эффективное (с учетом поляризации вакуума) внеш-
внешнее поле.
Амплитуда A16.7) описывает два канала реакции. В канале
рассеяния инвариантная переменная
Заменив же р2 —» р_, Р\ —^ — р+, мы перейдем к аннигиляцион-
ному каналу, отвечающему рождению пары с 4-импульсами р_
и р+. В этом канале
Область же значений 0 < t < 4m2 —нефизическая.
1)Во избежание недоразумений напомним: в определении A16.6) предпо-
предполагается, что к — 4-импульс входящей в вершину фотонной линии; для вы-
выходящей линии знак второго члена был бы обратным.

572	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Обратимся к условию унитарности A11.12). В канале рассея-
рассеяния (t < 0) нет в данном случае физических промежуточных
состояний: один свободный электрон не может изменить свой им-
импульс или родить какие-либо другие частицы. Нет их, конечно,
и в нефизической области. Поэтому при t < 4m2 правая сторона
в равенстве A11.12) отсутствует, так что матрица Tfi (или, что
то же, Mfi) эрмитова:
Mfi = M*f.
Перестановка начального и конечного состояний означает пере-
перестановку р2 и pi, а тем самым замену к —>> —к. Представив Mfi
в виде A16.7), имеем поэтому
Но Д(е)(—к) = А^*{к), так что отсюда следует, что матрица
токов перехода тоже эрмитова:
3fi=3if ПРИ t<4m2.	A16.8)
Используя свойства матриц 7 B1.7), легко проверить, что
Поэтому j*.? отличается от jfi лишь заменой функций f(t) и g(t)
комплексно-сопряженными. Из равенства A16.8) следует тогда,
что эти функции вещественны. Таким образом,
Im/(t) = Img(t) =0, t < 4m2.	A16.9)
В аннигиляционном же канале (? > 4т2) состояние / — пара,
которая может превратиться в пару же с другими импульсами
(упругое рассеяние) или в какую-либо более сложную систему.
Поэтому правая часть условия унитарности отлична от нуля,
матрица Mfi (а с нею и jfi) не эрмитова, а потому формфак-
торы комплексны.
Аналитические свойства функций f(t) и g(t) вполне анало-
аналогичны рассмотренным в § 111 свойствам функции V(t) (хотя
это и затруднительно доказать столь же прямым способом). Эти
функции аналитичны в комплексной плоскости ?, разрезанной
вдоль положительной вещественной оси t > 4m2, причем
Условие перенормировки A10.19), примененное к вершинно-
вершинному оператору A16.6), приводит к требованию
/@) = 1.	A16.10)

§ 116	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ ЭЛЕКТРОНА	573
Для того чтобы автоматически учесть это условие (при вычис-
вычислении функции /(?) по ее мнимой части), надо применить дис-
дисперсионное соотношение вида A11.8) не к самой функции /(?), а
к (/ — 1)/?. Тогда получим дисперсионное соотношение «с одним
вычитанием»:
оо
-i = - f -^fp
тг J t'(t' —t — г
4m2
Для формфактора же g(t) никакие значения физическими
требованиями заранее не предписываются. Поэтому для него
дисперсионное соотношение пишется «без вычитаний»:
оо
(t)= 1 Г
6 W тг J t'
Img(t')
-1 - гО
4m2
Значение g@) имеет важный физический смысл: оно дает
поправку к магнитному моменту электрона. Чтобы убедиться в
этом, рассмотрим рассеяние нерелятивистского электрона в по-
постоянном, медленно меняющемся в пространстве магнитном по-
поле.
Член в амплитуде рассеяния A16.7), связанный с формфак-
тором g(fc2), имеет вид
SMfi = ^-ё{к2){п2а^щ)крА^{к).	A16.13)
Для чисто магнитного поля А^е^ = (О, А); постоянство поля
во времени означает, что 4-вектор к^ = @, к), а медленному
изменению поля в пространстве отвечают малые к (имея в виду
дальнейший переход к пределу к —>> 0, сразу пишем в A16.13)
А^ вместо эффективного Л^). Раскрыв выражение A16.13) и
выразив его через трехмерные величины, получим
8M}i = ^-g(-k2)(u2Su1)i[kAk],
где S —матрица B1.21). Произведение i[kAk] заменяем напря-
напряженностью магнитного поля Нк, после чего можно перейти к
пределу к —>> 0. Наконец, введя нерелятивистские спинорные ам-
амплитуды г^х, u>2, согласно B3.12),
U2 =
находим окончательно
и\ = v2m f q1 j ,
= — g@)Hk • 2m(w%<rw1).	A16.14)

574	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Сравним это выражение с амплитудой рассеяния в постоян-
постоянном электрическом поле со скалярным потенциалом Ф^:
Мы видим, что электрону в магнитном поле можно приписать
дополнительную потенциальную энергию
2т
Это значит, что электрон обладает «аномальным» магнитным
моментом
^	A16.15)
(обычные единицы) в дополнение к «нормальному» дираковско-
му магнитному моменту еН/Bтс).
§ 117. Вычисление формфакторов электрона
Обратимся к фактическому вычислению формфакторов элек-
электрона (J. Schwinger, 1949).
В нулевом приближении теории возмущений вершинный опе-
оператор Г^ = 7^5 т- е- электронные формфакторы
/ = 1, 9 = 0-
Первая радиационная поправка к формфакторам определяется
вершинной диаграммой
A17.1)
V-
(с двумя реальными электронными концами и одним виртуаль-
виртуальным фотонным концом). Мы начнем с вычисления мнимых ча-
частей формфакторов. Как было показано в предыдущем параг-
параграфе, они отличны от нуля лишь в аннигиляционном канале
(к2 > Am2); в соответствии с этим 4-импульсы электронных кон-
концов в диаграмме A17.1) отвечают рождающимся электрону и

§ 117	ВЫЧИСЛЕНИЕ ФОРМФАКТОРОВ ЭЛЕКТРОНА	575
позитрону и обозначены через р- и —р+. Аналитическое выра-
выражение диаграммы A17.1):
^/)-^(-*>+), A17.2)
или, в раскрытом виде,
У7(*2) - ±е№)оГк„ = f	X({PJ%	A17.3)
2т	J (р2 — т2)[(р2 — к2) — т2]
где обозначено
^(р) = С2 Y GP + т)*у» Gр - 7^ + тO*	A17.4)
4тг3(р_ — рJ
и для краткости опущены множители п(р_) ... гл(— р+); везде
ниже подразумевается, что обе стороны равенства берутся в этих
«обкладках».
Проведенный на диаграмме A17.1) горизонтальный пунктир
рассекает ее на две части таким образом, чтобы показать проме-
промежуточное состояние, которое фигурировало бы при вычислении
мнимой части формфактора по условию унитарности: это есть
состояние электрон-позитронной пары с импульсами, отличны-
отличными от р_, р_|_. Это же рассечение показывает, где в интеграле
A17.2) должна быть произведена замена полюсных множителей,
если производить вычисление по правилу A15.9) (в A17.3) эти
множители выделены в подынтегральном выражении).
Интеграл в A17.3)—того же вида, что и в A15.2). Поэтому
мы можем сразу написать результат преобразования в форме
A15.10), минуя промежуточные этапы:
A17.5)
где t = /с2, интегрирование производится по направлению векто-
вектора р, а 4-векторы р'_ = р и р'+ = к — р в определении функции
(р^(р) (см. A17.4)) становятся 4-импульсами реальных (а не вир-
виртуальных) частиц. Выражение A17.5) относится к системе отсче-
отсчета, в которой к = 0; это — система центра инерции рождающейся
пары р_, р_|_ (а тем самым — и «промежуточной» пары р'_, р'+).
В этой системе, следовательно,
и легко проверить, что
/2 = (р - p_f = -2р2A - cos^) = -*^ill?(l - cos^), A17.6)

576	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
где в — угол между р и р_ (причем р2 = р2,). Подставив теперь
A17.4) в A17.5) и исключив в подынтегральном выражении ма-
матрицы 7^ • • • lv с помощью формул B2.6), получим
~jk + m)<yu =
/
J
л 2Т / о (f п
- 4m2) J 27r(l-cos6>)
f	^	[-2m27'i + 4m(P" + 2/") +
J 27r(l-cos6»)L	'	V	^ '
f
- 4m2) J 27r(l-cos6»)
+ 2AP+ - 7/O"GP- + 7/)], (П7.7)
где введены 4-векторы
/ =p-p- = @, f), P = p.-p+ = @, 2p_). A17.8)
Интегрирование сводится теперь к вычислению интегралов
(П7.9)
V	7
1 - cos в 2тг
с каждым из трех перечисленных числителей.
Интеграл / логарифмически расходится при в —>• 0. Перепи-
Переписывая его как
/ =
Р 7
о	о
мы видим, что расходимость отвечает малым «массам» вирту-
виртуального фотона. Таким образом, это— «инфракрасная» расходи-
расходимость. Мы отложим ее подробное рассмотрение до § 122. Здесь
отметим только, что она фиктивна в том смысле, что при пра-
правильном учете всех физических эффектов подобные расходимо-
расходимости взаимно компенсируются и исчезают. Поэтому мы можем
произвольным образом «обрезать» интеграл снизу, а в дальней-
дальнейшем, при расчете реальных физических явлений, устремить пре-
предел обрезания к нулю.
Здесь будет проще всего совершать обрезание релятивистски
инвариантным образом. Для этого припишем виртуальному фо-
фотону / малую, но конечную массу А (А <С га), т. е. заменим в
фотонном пропагаторе D(f2) в A17.2)
/2^/2-А2.	A17.10)
После этого
1= / ALL = in * -4m .	(ii7.il)
J /2-л2	л2	v ;

§ 117	ВЫЧИСЛЕНИЕ ФОРМФАКТОРОВ ЭЛЕКТРОНА	577
Интеграл /^, в котором /^ — пространственноподобный
4-вектор, должен выражаться через 4-вектор Р^ (из двух име-
имеющихся в нашем распоряжении 4-векторов Р^ и к^ простран-
ственноподобен при произвольных р_|_, р_ только Р^). Поэтому
1^ = АР^. Умножив это равенство на Р^ и вычислив интеграл
P^I^ в системе центра инерции пары (компоненты 4-векторов /
и Р — из A17.8)), найдем
А=±_ f fp
2р2 J 1 -
Таким образом,
cos в	2
-1	-1
A17.12)
Аналогичным образом вычисляется интеграл
A17.13)
g	Ц^ +
(для определения коэффициентов в этом выражении достаточно
вычислить интегралы /^ и 1^уР^Ру).
Дальнейшее вычисление происходит следующим образом.
Подставив A17.11)—A17.13) в A17.7), мы получим между «об-
«обкладками» п(р-) ... и(—р+) сумму ряда членов. В каждом из
них «прогоним» (с помощью правил коммутации матриц 7^)
множитель 7Р+ направо, a jp~ —налево; после этого можно за-
заменить 7Р- —> Ш") 7Р+ -^ —тп, поскольку
п(р-Ьр- = ™,п(р-), jp+u(-p+) = -ти(-р+).
В получающейся в результате сумме
-Цр+р_I^ + 2тР» - 3PV
мож:но еще заменить Р^ эквивалентным ему (в обкладках!) вы-
выражением
(ср. A16.5)). Наконец, выразив все величины через инвариант
t = к2 B]9+_р_ = t — 2m2, Р2 = 4m2— t) и сравнив затем обе сторо-
стороны равенства A17.7), получим следующие формулы для мнимых
частей формфакторов:
Img(t) = <f	A17.14)
f-3t+8m2+2(t-2m2) In Ll±«l], A17.15)
L	V	J	A2 J V	J
Инфракрасная расходимость имеется только в Im/(t).
19 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

578
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Сами функции f(t) и g(t) вычисляются по их мнимым частям
с помощью формул A16.11),A16.12). Интегрирование в этих
формулах удобно произвести с помощью тех же подстановок,
которые были использованы в § 113 при вычислении V(t). Вы-
Выраженные через переменную ? A13.11) формфакторы определя-
определяются формулами
_ 1 = °LS2(l
2тг1 V
A17.17)
где F(?) — функция Спенса, определенная согласно A31.19).
В нефизической области @ < ?/т2 < 4) надо положить ? =
= ег(р. Тогда выражения для формфакторов могут быть приве-
приведены к виду
ip/2
\ xtgxdx
о
A17.18)
— -?-.	A17.19)
2тг sin (p
Наконец, выпишем предельные формулы для малых \t\:
= —, |t|<4m2, A17.20)
3 cos cp + 1
2 sin if
и для больших 111:
if In-, t»Am>
0, -t>4m2,
/,\	am л t
.am
I-
t
о,
* > 4т2,
-1 > 4т2.
A17.22)
Формула A17.21) справедлива (в отношении Re/), как говорят, с
дважды логарифмической точностью, т. е. с точностью до квад-
квадратов больших логарифмов :) .
1) Выражение для вершинного оператора в случае одного виртуального
и одного реального электронных концов и реального фотонного конца —
см. Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — М.:
Наука, 1981.-П. 5.1.3.-С. 330.

§ 118	АНОМАЛЬНЫЙ МАГНИТНЫЙ МОМЕНТ ЭЛЕКТРОНА	579
§ 118. Аномальный магнитный момент электрона
Как уже было указано в § 116, значение g@) определяет ра-
радиационную поправку к магнитному моменту электрона. Если
ставить себе целью вычисление лишь этой величины, то вычис-
вычисление всей функции g(t), конечно, не обязательно. С помощью
A17.14) и A16.12) имеем
g@) = I Г ^^1 dtf = ^ [
V У тг J	V	4тг J
1
С учетом этой поправки магнитный момент электрона
+У	A18.2)
2тс\ 2тг/	V	J
Эта формула была впервые получена Швингером A949).
В следующем приближении (~ а2) радиационные поправки
в формфакторах изображаются семью диаграммами A06.10,в—
и). Определение даже одного только значения g@) в этом при-
приближении требует очень сложных вычислений. Отсылая за дета-
деталями вычислений к оригинальным статьям, приведем лишь окон-
окончательное значение поправки второго приближения :) :
g^ + kC)H,384, (П8.3)
12 2	4 /	тг2
так что магнитный момент электрона
+	0
^)	(П8.4)
тг2 /
(С. Sommerfield, 1957; A. Petermann, 1957).
Остановимся особо на вкладе поляризации вакуума в поправ-
поправку gB)@). Это — диаграмма
A18.5)
содержащая фотонную собственно-энергетическую часть. Она
отличается от диаграммы A17.1) первого приближения лишь
тем, что вместо фотонного пропагатора D(f2) = 4тг//2 в ней
стоит произведение
:) Проведение вычислений по методу унитарности— см. Терентьев М. В./1
ЖЭТФ. —1962.—Т. 43.—С. 619.
19*

580	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
где V(f2)—вычисленный в § 113 поляризационный оператор в
первом (~а) приближении. Частично повторив (с этим измене-
изменением) произведенные в предыдущем параграфе вычисления, по-
получим для «поляризационной части» поправки
1
f2)l
1
B)
-1
2 I
причем
(см. A17.6)). Вычисление этого интеграла, а затем интеграла
оо
_ I [
ЗпoляpVvV —	/ J-±±±<5пoляpVl' ) t,
4m2
приводит к значению
^oLp(o) = 4(^ - т) = °'О164; A18-9)
К	7Г^ V 36	3 /	7Г^
оно составляет ~ 5% всего значения A18.3).
Мы уже отмечали (в конце § 114), что определенный вклад
в радиационные поправки могут вносить также и эффекты по-
поляризации вакуума других частиц. Вклад мюонного вакуума в
аномальный магнитный момент электрона мы получим по тем
же формулам A18.6)-A18.8), в которых (в том числе в опре-
определении переменной /2) га есть по-прежнему масса электрона
(гае), но в качестве параметра га, входящего в выражение V(f ),
должна быть взята масса мюона (га^). Величина V(f2)/f2 есть
функция только отношения /2/га2 В интеграле же A18.8) суще-
существенна область значений t (а потому и /2), сравнимых с га2; так
что отношение /2/га2 ~ (гае/га^J <С 1 и для оценки интегралов
можно воспользоваться предельной формулой A13.14), согласно
которой
v(f) _ a f\
/2	15тг т2
Отсюда видно, что вклад в gB)@), обязанный мюонной поляри-
поляризации вакуума, имеет лишний малый множитель (гае/га^J.
Обратная ситуация возникает, однако, при нахождении по-
поправок к магнитному моменту мюона. Поскольку в A18.3) мае-
са частицы не входит, это значение g^ @) относится и к мю-
ону, причем в нем учтен вклад поляризации мюонного же ва-
вакуума. Но вклад поляризации вакуума других частиц — элек-
электронов — оказывается в данном случае значительно больше. Он

§ 119	ВЫЧИСЛЕНИЕ МАССОВОГО ОПЕРАТОРА	581
вычисляется по формулам A18.6)—A18.8), в которых надо те-
теперь заменить т^т^, а в качестве V(t) подставить электронный
поляризационный оператор. В противоположность предыдуще-
предыдущему случаю теперь будет существенна область значений /2/т2е~
^(т^/теJ^1 и в качестве V(f2) нужно взять предельное вы-
выражение A13.15):
1п
Р	Зтг т% '
Вычисление интегралов приводит к значению
[gB)@)k. „ = («)\\ы^- |) = 1,094
\7г/ \3 те 36/	тг2
(Я. Suura, E. H. Wichmann, 1957; A. Petermann, 1957).
Сложив A18.10) со A18.3), получим для магнитного момента
мюона
Заметим, что вклад поляризации мюонного вакуума A18.9) со-
составляет ~ 2% всего значения gB)@). Вклад такого же порядка
(ввиду близости масс) дала бы и пионная поляризация вакуума,
которая вообще не может быть вычислена точно. По этой при-
причине не имело бы уже смысла и вычисление поправок ~а3 к
магнитному моменту мюона.
§ 119. Вычисление массового оператора
На примере вычисления массового оператора продемонстри-
продемонстрируем метод прямой регуляризации интегралов Фейнмана.
В первом неисчезающем приближении массовый оператор
представляется петлей в диаграмме
р—к
A19.1)
d4k
Ей отвечает интеграл
-Щ(р) = (-геJ J-fGip -
подставив пропагаторы и сведя вместе множители 7^
— ,
месте множите
помощью формул B2.6), получим
[(р-кJ -

582	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
(чертой над буквой ЛЛ мы обозначаем нерегуляризованное зна-
значение интеграла). В фотонный пропагатор введена фиктивная
«масса фотона» А с целью устранения (как и в § 117) инфра-
инфракрасной расходимости.
Преобразуем интеграл с помощью формулы A31.4), понимая
в ней под а\ и а,2 два множителя в знаменателе A19.2). После
простой перегруппировки членов в знаменателе нового интегра-
интеграла получим
1
~Т7( \	8тгг 2 / л47 /л 2т — Оур) + Нк)	/11П оч
М(р) = - ——е d к dx KW) yf'	119.3
BргL J	J [(к - pxJ - a2]2
0
где
a2 = mV - (p2 - m2)x(l - x) + A2(l - x).	A19.4)
Замена переменной к —>• к + рт приводит подынтегральное
выражение в A19.3) к виду, в котором его знаменатель зависит
только от к2. При этом однако, согласно A31.17),A31.18), к ин-
интегралу добавится аддитивная постоянная:
о
член с (jk) в числителе теперь опущен как обращающийся в нуль
при интегрировании по направлениям 4-вектора к (ср. A31.8)).
Регуляризация этого интеграла заключается в таких вычита-
вычитаниях, которые привели бы его к выражению вида A10.20). Пос-
Последнее обращается в нуль при умножении на волновую амплиту-
амплитуду и(р), если р — 4-импульс реального электрона. Не вводя и(р)
явно, можно сформулировать это условие как требование обра-
обращения Л4(р) в нуль при замене
(pip) -+ m, p2 -+ га2.	A19.6)
Форма интеграла A19.5) удобна при этом тем, что 4-вектор р
входит в него только в виде jp и р2 (а члены вида кр отсутству-
отсутствуют).
Вычтя из A19.5) такое же выражение с заменой A19.6), по-
получим
1
dxi2m-hp)(l-x)]\
.(к2-а2J (к2-а2J
О
1
Г л [	1-х	гтг2	]
— / d к / dx	Нр — га) — —Нр — га) >, A19.7)
J	J	(к2-а2J	4	J
О

§ 119	ВЫЧИСЛЕНИЕ МАССОВОГО ОПЕРАТОРА	583
где
al = т2х2 + А2A -х).
Для окончательной регуляризации, однако, должно быть про-
произведено еще одно вычитание: согласно A10.20) при замене
A19.6) должно обратиться в нуль не только Л4(р) в целом, но
и оно же без одного множителя jp — m. Соответствующим вычи-
вычитанием целиком отбрасываются второй и третий члены в фигур-
фигурных скобках в A19.7) :) . Первый же интеграл предварительно
преобразуем, введя еще одно вспомогательное интегрирование с
помощью формулы A31.5), положив в ней п = 2 и понимая под
а и b соответственно к2 — а2 и к2 — Oq. Тогда выражение A19.7)
принимает вид
1
1
\ 16тгг
— тп)	е
\2У
2/747 /л /л ilP + rn)\2m — (/ур)A — х)]хA — х)
/ d к dx dz^-	^	^-^	^	-
J	J J	[Р - al + (р2 - ш2)хA - x)z]*
о о
(здесь использовано также тождество р2—т2 =
Сразу же произведем интегрирование по с/4к. Предположив, что
р2 — т2 < 0, и воспользовавшись A31.14), получим
1 1
ml \*?Т71 	 I Л/Т) l l 1 	 ПГ ]\ф( 1 	 ПГ I
2тг у	у
- Л2A - х) + (ш2 - р2)хA - x)z
О	О
Теперь остается, опустив временно множитель (р/р — т), вычесть
такой же интеграл с заменой A19.6); после простых приведений
получим
2
Л4(р) = (jp — тJ— х
2тг
11	Г
Р Р тA — х2) — GР + т){1 — хJ 1 —
х dx dz	*-^^г»ч- (ngi
J J	m2x + (m2 -p2)(l-x)z	V
0	0
(в общем знаменателе опущен член с А2, так как это не приве-
приведет здесь к расходимости; в другом месте А2A — х) заменено на
х) Тем самым мы в процессе «перенормировки на ходу» (см. с. 545) опуска-
опускаем поправки к перенормировочной константе Z\ (см. § 110). Соответствую-
Соответствующие интегралы логарифмически расходятся. Если ввести «параметр обре-
обрезания» Л ^> т , р , ограничив область интегрирования по d к условием
к2 ^ Л2, то эту поправку можно вычислить в явном виде. Вычисление при-
приводит к результату
4 4

584	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
А2, так как инфракрасной расходимости будет отвечать расходи-
расходимость при х —>• 0).
Интегрирование в A19.8) (сначала по z, затем по х) довольно
длинно, но элементарно и приводит к следующему окончатель-
окончательному результату:
— р
_	Р^4Р-41п\	1пЦ
Н	1	Н)
B	1п	1пЦ
тр 1.2A-р)\ Н	1-р	Н)	т
A19.9)
где обозначено
т — р
Р= 	2
т2
(R. Karplus, N. М. Кг oil, 1950). Интеграл вычислен в предполо-
предположении р > 0, причем р ^> А/га. В соответствии с правилом обхода
полюсов, при аналитическом продолжении выражения A19.9) в
область р < 0 фаза логарифма определяется заменой га —>• га —
— гО; при этом р —>• р — гО, так что lnp при р < 0 надо понимать
как
1пр = 1п|р| -гтг, р<0.	A19.10)
Рассмотрим поведение массового оператора при р2 ^> т2.
Имеем тогда —р ~ р2 /т2 > 1 ис логарифмической точностью
М(р) = -[G-1(P)-G-1(p)] « ^GJ9)ln4-	(П9.11)
Как и в случае фотонного пропагатора (ср. формулы A13.15),
A13.16) для поляризационного оператора), поправка к G~l ока-
оказывается малой только при не слишком большой энергии, именно
при
iLiniL«l.
4тг т2
В данном случае, однако, логарифмический рост в известном
смысле фиктивен, он может быть устранен надлежащим выбо-
выбором калибровки, т. е. функции D^ в фотонном пропагаторе
(Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов, И. М. Халатников, 1954). Имен-
Именно, для этого надо положить (в обозначениях § 103)
=0,	A19.12)
между тем как формула A19.9) получена в калибровке
D^ =D.	A19.13)
Это свойство калибровки A19.12) делает ее особенно удобной
для исследования характера теории при р2 ^> га2, что и будет
использовано ниже, в § 132.

§ 119	ВЫЧИСЛЕНИЕ МАССОВОГО ОПЕРАТОРА	585
Для доказательства сделанного утверждения замечаем, что
если мы интересуемся только членами ~ е2, то преобразование
от калибровки A19.13) к калибровке A19.12) можно считать бес-
бесконечно малым. Соответственно этому можно прямо воспользо-
воспользоваться формулой A05.14), положив в ней
q2
а также заменив, с требуемой точностью, функции Q в подын-
подынтегральном выражении на G. В интеграле по d^q будет суще-
существенна область q ^> р; при этом G(p — q) в подынтегральном
выражении много меньше G(pI и им можно пренебречь. Тогда
= -G-2(P)SQ(P) = -ie2G-l{p) f
именив пре
5G-\p) = -f
4тг
Наконец, применив преобразование A13.11),A13.12), получим
-\p) = fG-Hp) [^ « "f Mln^,
J — Q	4тг	р2
где Л — вспомогательный верхний предел, расходимость на кото-
котором устраняется перенормировкой. Последняя состоит в вычи-
вычитании того же выражения при р2 « т2, так что окончательно
имеем	2	2
Это выражение как раз сокращается с разностью Q~l — G~l из
A19.11).
Наконец, остановимся на вопросе о причинах, приводящих к
необходимости введения конечной «массы фотона» А при регу-
регуляризации интеграла A19.2), тесно связанной с его поведением
при р2 —)> т2.
Прежде всего отметим, что сам по себе этот интеграл с А = 0
конечен при р2 = т2 (для устранения несущественной в дан-
данном аспекте расходимости на больших к полагаем при этом, что
интеграл берется по большой, но конечной области /с-простран-
ства). Необходимость же введения А возникает при вычитании
перенормировочного интеграла, который без этого расходился
бы при р2 = т2. Выясним поэтому, как вел бы себя при р2 —>• т2
нерегуляризованный массовый оператор. Поскольку же это по-
поведение существенно зависит от выбора калибровки, рассмотрим
общий случай произвольной калибровки (между тем как инте-
интеграл A19.2) написан уже при определенном выборе—A19.13)).
Воспользуемся снова преобразованием A05.14). Представив
S^ в виде
V)	^ J^%	(Ц9.14)

586	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
будем считать, что 6а — вариация функции а(д2), существенно
меняющейся лишь на интервалах q2 ~ т2 и конечной при q2 ~
« т2. В подынтегральном выражении в правой стороне A05.14)
в разности Q(p) — Q(p — q) при малых q оба члена близки и ин-
интеграл сходится. Поскольку при малых q
Sip-q) ~	^^—,
р2 _ mz _ 2pq
G(p—q) можно опустить по сравнению с G(p) при q^>(p2—m2)/m.
Интеграл же
логарифмически расходится в области
(р2 -т2)/т2 < q2 <m2.
С логарифмической точностью имеем поэтому
Q	4тг	р2 — m2
Это равенство можно проинтегрировать. Заметив, что при
а2 = е2 —>• 0 точный пропагатор ?/ должен совпадать с пропага-
тором свободных частиц G, получим
*С п\	A19.15)
где ао = а(га2), С —некоторая постоянная. Для определения по-
последней сравним выражение
g~l(p) = (jp - га) [l + —(С - а0) 1пр\,	A19.16)
получающееся из A19.15) в первом приближении по а, с анало-
аналогичным выражением, получающимся из интеграла A19.2) при
А = 0 1):
г	и
G~ (р) = (jp — га) 1 + — lnp .	A19.17)
L	7Г	J
Согласно определению A19.14) функция a(q2) совпадает с отно-
отношением D^/D. Поэтому калибровка A19.13), к которой относит-
относится A19.17), отвечает а = ао = 1. Потребовав совпадения A19.16)
и A19.17) при этом значении ао, получим G = 3.
) Чтобы получить A19.17), нет необходимости производить вычисления
заново. Член ~ \пр в A19.9) как раз и получен в предположении р ^> Л, до-
допускающем переход А —»¦ 0. Член же ~ In (А/т) возникает из=за вычитания
перенормировочного интеграла и в исходном интеграле A19.2) отсутствует.
Это вычитание не затрагивает, как легко видеть, членов ~ In p.

§ 120	ИСПУСКАНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ С НЕНУЛЕВОЙ МАССОЙ	587
Таким образом, окончательно находим следующее предель-
предельное выражение (инфракрасную асимптотику) неперенормиро-
ванного электронного пропагатора при р2 —>• т2:
A19.18)
(А. А. Абрикосов, 1955). Подчеркнем, что справедливость этой
формулы связана лишь с неравенствами а <С 1, 11п/э| ^> 1, меж-
ду тем как формулы теории возмущений требовали бы также
и условия а|1п/9|/2тг <С 1. Отметим также, что знак разности
р2 — т2 здесь не существен, так как мнимая часть выражения
A19.18) все равно находилась бы за пределами его точности.
Перенормированный пропагатор должен иметь при р2 = т2
простой полюс. Мы видим, что A19.18) удовлетворяет этому тре-
требованию только в калибровке, в которой
= 3D	A19.19)
(так что clq = 3). В этом случае регуляризация интеграла Фейн-
мана (имеющая целью устранить его расходимость на верхних
пределах) не будет требовать введения конечной «массы фото-
фотона». В других же калибровках нулевая масса фотона приводит
к возникновению при р2 = т2 точки ветвления вместо простого
полюса, и устранение этого «дефекта» требует введения конеч-
конечного параметра А.
§ 120. Испускание мягких фотонов с ненулевой массой
При вычислении электронных формфакторов в § 117 мы
столкнулись с расходимостью интегралов на малых частотах вир-
виртуальных фотонов. Эта расходимость тесно связана с обсуждав-
обсуждавшейся уже в § 98 инфракрасной катастрофой. Там было указано,
что сечение любого процесса с участием заряженных частиц (в
том числе рассеяния электрона внешним полем, изображаемого
диаграммой вида A17.1)) имеет смысл не само по себе, а лишь
при учете одновременного излучения любого числа мягких фо-
фотонов. Как будет подробно объяснено ниже (см. § 122), в сум-
суммарном сечении, учитывающем излучение мягких фотонов, все
расходимости сокращаются. При этом, разумеется, для получе-
получения правильного результата предварительное «обрезание» рас-
расходящихся интегралов во всех складываемых сечениях должно
производиться одинаковым образом.
В § 117 это обрезание было осуществлено путем введения
фиктивной конечной массы виртуального фотона А. Поэтому мы
должны теперь видоизменить и полученные в § 98 формулы так,

588	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
чтобы они описывали излучение мягких «фотонов» с ненулевой
массой.
С формальной точки зрения такой фотон относится к «век-
«векторным» частицам со спином 1, свободное поле которых рассмат-
рассматривалось в § 14. Оно описывается 4-векторным ^-оператором
Vv = %/4^ -^(ci^er** + с+кае^егкх), а = 1, 2, 3
A20.1)
(здесь изменены обозначения и нормировка по сравнению с
A4.16) с целью приведения в соответствие с фотонным случаем).
Взаимодействие «фотонов» A20.1) с электронами надо опи-
описывать лагранжианом того же вида, что и для истинных фотонов:
-е?"Й.	A20.2)
(с заменой операторов потенциала А^ на ф^). Тогда амплитуды
процессов испускания фотонов конечной массы будут даваться
обычными формулами диаграммной техники, с тем лишь отли-
к* = А2.	A20.3)
Суммирование же по поляризациям испущенного фотона дол-
должно будет производиться по трем независимым поляризациям
(двум поперечным и одной продольной) вместо двух у обычно-
обычного фотона. Это эквивалентно усреднению по матрице плотности
неполяризованных частиц
4(^)	A20-4)
(ср. A4.15)) с последующим умножением на 3.
Пропагатор «фотонов» с ненулевой массой
(ср. G6.18)). Однако в силу калибровочной инвариантности амп-
амплитуды реальных процессов рассеяния не зависят от продольной
части фотонного пропагатора, и это свойство не связано с кон-
конкретным видом его поперечной части. Поэтому второй член в
скобках фактически выпадает, и остается выражение того же
типа, что и для обычных фотонов:
^	A20.5)
(которым мы и пользовались в § 117, 119).
Обратимся теперь к изучению мягких (в объясненном в § 98
смысле) фотонов.

§ 120	ИСПУСКАНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ С НЕНУЛЕВОЙ МАССОЙ	589
Произведенный в § 98 вывод формул (98.5),(98.6) переносит-
переносится на рассматриваемый случай с тем лишь изменением, что при
раскрытии квадратов (р±кJ в знаменателях электронных про-
пагаторов прибавляется член к2 = А2. В результате вместо (98.6)
получим
.2 (р'е)	(ре)
da = rfavnn • е
(рк)-Х2/2
4тг2а;
где dayup — сечение того же процесса без излучения мягкого фо-
фотона (который называем условно «упругим» процессом). В даль-
дальнейшем при интегрированиях по d? к будут существенны значе-
значения |k| ~ А. При этом р'к ~ рк ^> А2, так что членами А2 в зна-
знаменателях можно пренебречь. Суммирование по поляризациям
фотона осуществляется, как указано, с помощью A20.4). После
сделанного пренебрежения второй член в A20.4) не дает вклада
в сечение, и остается х)
da = -dayup • e2f^- - -*-Y-?Lu	A20.6)
y P \(pfk) (pk)J 4тг2и;	V	J
(pfk) (pk)J
Таким образом, мы возвращаемся к формуле (98.7), в которой,
однако, надо понимать теперь ио как
ш = лД2 + А2.	A20.7)
Формула A20.6) имеет совершенно общий характер. Она при-
применима как при упругом, так и при неупругом рассеянии и даже
при изменении сорта частиц. Результат же дальнейшего инте-
интегрирования по d3к зависит от 4-векторов ржр\ иными словами,
от характера основного процесса рассеяния.
Рассмотрим случай упругого рассеяния, когда
|р| = |р'|, е = е',
и определим полную вероятность испускания фотонов с часто-
частотой, меньшей некоторого о;тах; при этом предполагается, что
х > А,	A20.8)
а сверху значение о;тах ограничено условиями применимости тео-
теории излучения мягких фотонов (98.9),(98.10).
Вычислим прежде всего интеграл по d3 к в нерелятивистском
пределе. При |р| = |р;| <С т имеем
(J_	Р у ^ (qkJ	q
V (р'к) (рк))
2
1) На первый взгляд могло бы возникнуть сомнение в допустимости прене-
пренебрежения Л2 до усреднения ввиду наличия Л2 в знаменателе второго члена
в A20.4). Однако легко непосредственно убедиться в том, что этот член при
усреднении дает вклад ~ Л • Л~ которым можно пренебречь.

590	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
(q = p7 — р). Интегрирование этого выражения по направлениям
к дает
47rq2
После этого имеем из A20.6)
2 2
eg
тгт2
О
7"f!	*_|
У [ 3(k2 + A2)J
или, произведя интегрирование в предположении cjmax/A ^> 1,
da = dayup • — fin ^^ - -) , q2 < m2.	A20.9)
Зтг V Л	6 /
В общем релятивистском случае для вычисления интеграла
воспользуемся формулой A31.4). С ее помощью имеем для инте-
интеграла по углам
1
1= Г^?^= fdx [
J (Pk)(p'k) J J
О
или, раскрыв скалярные произведения с р = (б, р), р' = (б, р7),
1
Интеграл с/ок легко вычисляется в сферических координатах с
полярной осью вдоль вектора рх + р;A — ж), после чего
1
I
— [	4:7rdx	_f
~ J (ги;J-[рЖ + р'A-*)]2к2 У
0	0
Два других интеграла (с (ркJ и (р'кJ в знаменателях) получа-
получаются отсюда при q = 0. Заметив также, что
ppf = е2 - рр7 = m2 + q2/2,
получим
1	Wmax
da = ^fdX f ^W f	-2 + ^/2
7Г J	J л/k2 + Л2 I [m2 + q2x(l - ж)к2 + s2A2
} <120ло>

120
ИСПУСКАНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ С НЕНУЛЕВОЙ МАССОЙ
591
Интегрирование по d|k| сводится к вычислению интегралов
вида
Wmax
f	k2d\k\	_ 1 f
J (ak2 + A2)Vk2 + A2 ~ a J
d\k\
(ак2 + А2)л/к2 + А2
оо
2cJmax _ 1_ f
A	a J (az2
dz
1 -I
a
Во втором интеграле подставлено |k| —>> Xz и верхний предел
(^max/A) заменен на оо, что допустимо ввиду сходимости интег-
интеграла.
Возникающие затем интегралы по х в A20.10) не могут быть
полностью выражены через элементарные функции. Результат
представим в виде
da = a\Fl-±-
где
dav
>2 + i)-i],
тг|р|	m
+ q2 /* dx 1 1 + л/1 - а
¦?2 J ал/l — a	\fa
A20.11)
A20.12)
A20.13)
а = — [m2
Найдем асимптотическое выражение для сечения в ультра-
ультрарелятивистском случае. При этом предполагается, что не только
? ^> т, но и |q| ^> т, т. е. угол рассеяния не слишком мал. В этих
условиях в интеграле A20.13) существенна область значений ж,
в которой а <^ 1; после соответствующих пренебрежений
2тг?2 а
2тг
:) Функция F(?) уже встречалась в задачах к § 98. Это неудивительно,
так как с логарифмической точностью A20.11) можно получить, интегрируя
сечение испускания фотонов нулевой массы (98.8) по о; в пределах от Л до
cJmax- Если ввести вместо ? переменную в согласно ? = sh@/2), то
FF) = -((9cth(9-l).
7Г
A20.12а)

592	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Интеграл надо обрезать при а ~ т2/' е2, т. е. при х ~ т2/q2 снизу
и при 1 — х ~ m2/q2 сверху. Тогда
2тг L г2 т2	т2 \ 2тг L т2	т т2
Эта формула справедлива с точностью до квадратов логариф-
логарифмов, как говорят, с дважды логарифмической точностью. С этой
же точностью достаточно положить в первом члене в A20.11)
4
7Г
Окончательно
A20.14)
§ 121. Рассеяние электрона во внешнем поле
во втором борновском приближении
В первых двух приближениях по внешнему полю рассеяние
электрона изображается диаграммами
\Q	q2=p'-f\	\qi=f~P
A21.1)
р	р	p'=p+q
Первой из них отвечает амплитуда М^ ~ Ze2, рассмотренная
в § 80. Амплитуда же второго приближения М^ ~ (Ze2J.
Легко видеть, что члены такого же порядка возникают и от
радиационных поправок. В третьем порядке теории возмущений
радиационные поправки к амплитуде рассеяния изображаются
диаграммами
A21.2)
Р а Р Р
М<3»

121	РАССЕЯНИЕ ВО ВТОРОМ БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ	593
При этом МC) ~ Ze2 -е2, и если Z ~ 1, то М^ ~ М^2\ Согласно
F4.26) сечение рассеяния
da = |м|-} +М^} +MJf|2-^.	A21.3)
В стоящем здесь квадрате амплитуды мы имеем право сохра-
сохранить, наряду с |ML^|2, также и интерференционные члены меж-
между Mfi и Mfi и между Mfi и ML . Таким образом, с точностью
до членов ~ е6 сечение представится суммой
da = cfcr^1) + da^ + с/сград,	A21.4)
где da^ —сечение в первом борновском приближении (см. § 80),
а поправки к нему
)мB)* do'
, !l l^	A21-5)
Напомним (см. § 80), что
М$ = \е\(п'7°и)Ф(Ч),	A21.6)
где $(q)—компонента Фурье скалярного потенциала постоян-
постоянного внешнего поля (Ф = Aq ) и учтено, что заряд электрона
е = —|е .
Два выражения A21.5) могут, очевидно, вычисляться незави-
независимо. Первое будет рассмотрено в этом, а второе —в следующем
параграфе.
Амплитуда второго приближения, построенная по диаграмме
A21.1), дается интегралом :)
= -е2
.2 / J тт/
' - f)»(f -
A21.7)
«4-импульсы» внешнего постоянного поля q\ = / — р и б/2 = pf — f
не имеют временных компонент. Поэтому
/о = е = е',	A21.8)
где еже1 — начальная и конечная энергии электрона, совпадаю-
совпадающие друг с другом при упругом рассеянии.
х) Напомним, что здесь надо пользоваться правилом диаграммной техни-
техники, относящимся к постоянному внешнему полю, — см. сформулированное в
§ 77 правило 8.

594	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
В чисто кулоновом поле неподвижного заряда Z\e\:
Для такого потенциала интеграл A21.7) логарифмически расхо-
расходится (при f^pnf^p7). Эта расходимость специфична для ку-
лонова поля и связана с медленностью его убывания на больших
расстояниях. Ее происхождение легче всего уяснить на примере
нерелятивистского случая. Согласно т. III, A35.8), коэффициент
при сферической волне ехр(г|р|г)/г в асимптотическом выраже-
выражении волновой функции электрона в кулоновом поле имеет вид
Но этот коэффициент и является амплитудой рассеяния элек-
электрона в поле, и мы видим, что ее фаза содержит расходящий-
расходящийся (при г —>• оо) член. При разложении амплитуды рассеяния
по степеням Za этот член приведет к расходимости всех чле-
членов разложения, начиная со второго (так как сама функция fF)
пропорциональна Za). Ситуация в релятивистском случае имеет,
разумеется, аналогичный характер.
Эти рассуждения показывают в то же время, что расходя-
расходящиеся члены должны сократиться при вычислении сечения рас-
рассеяния, в котором фаза амплитуды несущественна. Простейший
путь корректного проведения вычислений состоит в том, чтобы
рассмотреть сначала рассеяние в экранированном кулоновом по-
поле, т. е. положить
с малой константой экранирования S (S <С |р|). Тем самым устра-
устраняется расходимость в амплитуде рассеяния, а в окончательном
ответе для сечения уже можно положить 6 = 0.
Подставив A21.9) в A21.7), получим
g}	+ m)Ji +-yJ]u(p),
П21Н»
Здесь p2 = e1 — m? = p7 и интеграл J симметричен по отноше-
отношению к р и р'; из соображений векторной симметрии очевидно,
где введены
обозначения:
f
и3/
f
J + <P][p2 - f2 + гО]'
-P + P'

§ 121	РАССЕЯНИЕ ВО ВТОРОМ БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ	595
что вектор J должен быть направлен вдоль р + р7. Исключив
теперь матрицы 'у с помощью равенств
*ури = (т°? ~~ га)^5 п'~/р' = п!(rfs — га),
получим
{ff l22°Ji + h) + m(Ji - J2)]«(p). A21.11)
Для проведения дальнейших вычислений перейдем (как и в
§ 80) от биспинорных амплитуд и и и' к соответствующим им
(согласно B3.9) и B3.11)) 3-спинорам w и г*/. Прямым перемно-
перемножением находим
п'и = w'*{(s + га) — (б — га) cos б + гиа{е — т) sin^}^,
vfj°u = w'*{(s + m) + (б — га) cos б — шо-(е — га) sin^}^,
где
fnn'l	р	/ Р7	л	/
V = ^	^,	П = — ,	П = -*—,	COS^ = ПП .
^'	||'	||'
После этого амплитуда A21.11) представится в виде :)
Mf) = 4nw'*(A^ + B^utr)w,
^e + m) + {e-m) cos^]e(J1 + J2) +
+ m)-(e-m)cos0]m(Ji - J2)}, A21.12)
BB) = A4z2a2(e - m) sin0[e(Ji + J2) - m(Ji - J2)].
Амплитуда ж:е рассеяния первого приближ:ения в аналогич-
аналогичных обозначениях имеет вид
му/ =
= ^[(e + m) + (e-m)cos0],	A21.13)
где q = p7 - р.
Сечение рассеяния и поляризационные эффекты выражают-
выражаются через величины А = А^ + А^ и В = i^1) +i?B) формулами,
полученными в т. III, § 140. Так, сечение рассеяния неполяризо-
ванных электронов:
da = (\А\2 + \B\2)do' « rfa^1) + 2(А^ ReA® - г
:) Определение величин А л В здесь соответствует определению в § 37 и в
т. III, § 140, и отличается множителем от определения в § 80.

596	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
После подстановки A21.12),A21.13) простое вычисление дает
, A21.14)
где v = р/е— скорость электрона, в— угол рассеяния. В резуль-
результате рассеяния электроны поляризуются, вектор поляризации
конечных электронов
., _ 2Re(AB*)
или, после подстановки A21.12),A21.13),
С =
Перейдем к вычислению интегралов J\ и J2. Оно облегча-
облегчается применением метода параметризации по формуле A31.2).
Интеграл J\ принимает вид
1 1 1
= -2 Г Г [Г
/	Г»\ О i col > ¦ Г/	Г»\ О i col > i Г Г»О	О	•/"\"l>=  Q
1 — f) + S 2]^i + [(p — fJ + ^2]^2 + [f — p — «0]^з}3
0 0 0
Интегрирование по ?3 устраняет E-функцию; приведя подобные
члены в знаменателе, получим
о о
Введя вместо f новую переменную k = f — ^ip7 — C2P5 сведем
интегрирование по d3f к интегралу вида
dSk	. 7Г2
= г-
(к2 - а2 - гОK 4а3 '
так что
1 1-6
6
2 У У
0 0
Вместо ^i и ^2 вводим симметричные комбинации: х = ?1+^2? У —
= Ci —С2- Интегрирование по у (в пределах от 0 до х) элементарно

121
РАССЕЯНИЕ ВО ВТОРОМ БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
597
и дает
1
~~2№ J '
x dx
I [bx* - 2x + 1 - —2x - «] [A - xY ~—2x- io]
2
s21
7	Р + РР
где о =	?-?- = шо -.
2Р2	2
Для вычисления интеграла по х при S —> О разбиваем область
интегрирования на две части:
1	1-6г	1
IpI
Г	А	Г	А ^ Г	А	Л^Я
... ах = / ... ах + / ... аж, 1 ^> Oi
О	0	1—Ji
В первом интеграле мож:но положить 6 = 0] тогда х
1—8\	-, х
S ¦ " -
О
Во втором же интеграле можно положить х = 1 везде, кроме чле-
члена A —жJ, а также положить 6 = 0 в первой скобке знаменателя.
Тогда 2)
... dx =
2A -
¦In-
- 2х + 1 - гО
о
2A-,
In
+ in] .
1/2
dx'
1/2
2i
1-И <*
При сложении обоих интегралов величина S\, как и следовало
ожидать, выпадает, и получается
2|p|3sin2((9/2)
1
— In
0
sin -
S	2
A21.16)
:) Правило обхода (член гО) позволяет определить изменение аргумента
выражения под знаком логарифма при переходе от 0 к 1 — Si: при обходе
точки ветвления снизу аргумент меняется от 0 до — тг.
) И здесь правило обхода определяет знак корня при переходе от положи-
положительных к отрицательным значениям подкоренного выражения.

598	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Интеграл J2 вычисляется аналогичным образом и равен
тг3 [l - sin(/)
= Л - -1	i^4 -	gbsing.	A21.17)
2
4|p|3cos2-sin- 2|p|3cos2-
|П	2 2	' '	2
Остается подставить эти выражения в A21.14),A21.15), и мы
получим окончательные результаты:
daB) = AZafe^ A_8inl)do>j	A21.18)
sin - In sin -
C' = ^nm	22	A2119)
j	2	/	H \	H	^	'
1 — v2 sm - cos -
V	2/ 2
(VK Л. McKinley, H. Feshbach, 1948; Д. Я. Da/ife, 1950).
В первом борновском приближ:ении сечения рассеяния элек-
электрона и позитрона (в одном и том же внешнем поле) одинаковы.
Во втором приближении эта симметрия исчезает. Для рассеяния
позитрона (заряд +|е|) амплитуда первого приближения A21.6)
B)
имеет обратный знак, знак же MV} не меняется. Поэтому сече-
ние da^, представляющее собой интерференционный член меж-
между М\^ и ML , изменит знак. То же самое произойдет и с вы-
выражением A21.19) для вектора поляризации. Вообще, переход
от формул для рассеяния электрона к формулам для рассеяния
позитрона можно произвести формальной заменой Z —>> —Z.
§ 122. Радиационные поправки
к рассеянию электрона во внешнем поле
Перейдем к вычислению радиационных поправок к рассея-
рассеянию электрона во внешнем поле (J. Schwinger, 1949).
Соответствующая часть амплитуды рассеяния изображает-
изображается двумя диаграммами A21.2). Диаграмма а дает в амплитуду
вклад
4тг
где 7^(—q2)—поляризационный оператор, отвечающий петле в
диаграмме. Вклад диаграммы б:
где Л° — поправочный член в вершинном операторе (Г^=

§ 122	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К РАССЕЯНИЮ	599
согласно A16.6)
Сложив оба вклада, получим :)
Мл /	/—I 0/^)
fi = \^ T Ц/рад^
QPfl(q) /(q)	2П?) ^g(
q2	2m
Обсудим прежде всего вопрос об инфракрасной расходимо-
расходимости, содержащейся в формфакторе /(—q2), а тем самым и в ам-
амплитуде рассеяния A22.1).
Уже было указано (см. § 98), что точная амплитуда чисто
упругого рассеяния сама по себе равна нулю, т. е. не имеет смыс-
смысла. Физическим смыслом обладает лишь амплитуда рассеяния,
определенного как процесс, в котором может быть испущено лю-
любое число мягких фотонов с энергией каждого, меньшей некото-
некоторого заданного значения а;тах, удовлетворяющего условиям при-
применимости теории излучения мягких фотонов. Другими словами,
имеет смысл лишь сумма
da = daynp + daynp / dwu + daynp — / dwUl I dwU2 + ... ,
J	J	J
0	0	0
A22.2)
где dayup — сечение рассеяния без испускания фотонов, dw^ —
дифференциальная вероятность испускания электроном фотона
частоты ио. При этом предполагается, что dayup само вычисля-
вычисляется в виде ряда теории возмущений, т. е. в виде разложения
по степеням а 2) . Тогда после сведения вместе членов каждого
порядка по а из всех слагаемых в A22.2) мы получим da в виде
разложения по а, каждый из членов которого будет конечным.
В первом борновском приближении dayup ~ а2. Этот член,
естественно, имеет смысл сам по себе. Если же мы хотим учесть
следующую поправку в dayup (член ~ а3), то наряду с ней надо
взять также и второй член в сумме A22.2): поскольку dw^ ~ а,
при умножении на dayup ~ а2 отсюда тоже возникает величина
:) При преобразовании надо помнить, что если q^ = @, q), то q^ = @, — q)!
Поэтому aOuqu = — 7°Ч7-
2)Что касается вероятности div^, то необходимость учета радиационных
поправок в ней зависит от cjmax; предел ио —»¦ 0 отвечает классическому слу-
случаю, в котором радиационные поправки исчезают; поэтому выбором доста-
достаточно малого cjmax можно всегда сделать их малыми.

600
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
~ а3. Покажем, что при сложении этих двух величин инфра-
инфракрасная расходимость устраняется.
Расходящийся член в формфакторе / согласно A17.17) имеет
вид х)
2 \2rnJ А
Соответствующий член в амплитуде A22.1):
а в сечении рассеяния A21.5):
Л/
16тг2
Сравнив это с борновским сечением
найдем, что
С другой стороны, второй член в A22.2) с f dwu из A20.11) дает
Wma
Наконец, сложив A22.3) и A22.4), получим
2m
A22.4)
A22.5)
Мы видим, что расходящийся вклад от мягких (|k| ~ А) вирту-
виртуальных фотонов действительно сокращается с вкладом излуче-
излучения таких же реальных фотонов. Та же ситуация имеет место в
любом другом процессе рассеяния.
В то же время появляется зависимость сечения рассеяния от
а;тах. Эта зависимость — следствие того, что величина о;тах, вхо-
входит в самое определение рассеяния как процесса, в котором мо-
может быть испущено любое число мягких фотонов. Естественно,
:) В этом легко убедиться, использовав соотношение
между |q| и переменной ?, с помощью которой написана формула A17.17).

§ 122	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К РАССЕЯНИЮ	601
что сечение такого процесса будет тем меньше, чем ниже пре-
предел cjmax частот фотонов, испускание которых мы еще относим
к данному процессу рассеяния.
Найдем теперь полное выражение для радиационной поправ-
поправки к сечению рассеяния. Поступая по стандартным правилам
(см. F5.7)), находим для сечения, усредненного по поляризаци-
поляризациям начального и просуммированного по поляризациям конечного
электронов:
da =
A22.6)
Согласно A22.1)
<2рад = а + bjq, <2Рад = 7°<2+рад7° = О + ^TQ,
а = /(-q2) - 1 - ±V(-q2), 6 =-Lg(-q2).
q2	2m
С точностью до членов, линейных по а и 6, след в A22.6) равен
- Sp{... } = 2(е2 - ?-Vl + 2а) - 26mq2.
4	\	4 /
Поэтому
Г	2	1
A22.7)
где da^ — борновское сечение рассеяния неполяризованных
электронов (80.5); формфактору / приписан индекс А для на-
напоминания о том, что он «обрезан по массе фотона А».
Остается прибавить к A22.7) сечение испускания мягких фо-
фотонов. Если представить f\ в виде
/A(-q2) = l-|F(^)ln^ + aF2,	A22.8)
то согласно A20.11) это добавление сведется к замене в A22.7)
/л на
-Fi + aF2.	A22.9)
2 \2m/ 2cjmax 2
С этой заменой A22.7) дает окончательный ответ.

602	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Отметим, что в нерелятивистском пределе г)
Q2 « т\	A22.10)
Обратим внимание на то, что специфика внешнего поля вхо-
входит в радиационную поправку к сечению только через посред-
посредство da^'; множитель же в фигурных скобках в A22.7) имеет
универсальный характер. В нерелятивистском приближении
daw = -da^.f^(\n-^ + f\ q2«m2 A22.11)
Зтг т2 \ 2cjmax 30 /
(сюда входят вклады от всех членов в A22.7)). В обратном же,
ультрарелятивистском, случае основной вклад вносит только
член с /cjmax — 1 и получается
Жтрад = -da^ • — In ? In -^-, q2 > m2.	A22.12)
Отметим в заключение, что рассмотренные здесь радиацион-
радиационные поправки не приводят к появлению каких-либо поляризаци-
поляризационных эффектов, отсутствующих в первом борновском прибли-
приближении (в отличие от поправок второго борновского приближе-
приближения, рассмотренных в § 121). Дело в том, что специфика первого
борновского приближения в конечном счете связана с эрмито-
востью ^-матрицы. Это свойство, однако, сохраняется и при уче-
учете рассмотренных радиационных поправок, поскольку в этом
приближении отсутствуют какие-либо реальные промежуточные
состояния в канале рассеяния (так что правая часть соотноше-
соотношения унитарности обращается в нуль) 2) .
§ 123. Радиационное смещение атомных уровней
Радиационные поправки приводят к смещению уровней энер-
энергии связанных состояний электрона во внешнем поле (так назы-
называемое смещение Лэмба). Наиболее интересный случай этого ро-
х) Это выражение отличается от нерелятивистского A17.20) заменой
In Л —»> In 2cJmax ~ 5/6.
) Вычисление радиационных поправок к процессам, появляющимся лишь
во втором приближении теории возмущений, значительно более громозд-
громоздко и в этой книге не будет воспроизведено. Ограничимся лишь некоторы-
некоторыми литературными ссылками: радиационные поправки к рассеянию фотона
на электроне — Brown L. M., Feynman R.//Phys. Rev. — 1952. — V. 85. —P.
231; к двухфотонной аннигиляции пары — Harris J., Brown L. M.//Pbys.
Rev. — 1957.—V. 105.—P. 1656; к рассеянию электрона электроном и по-
позитроном— Redhead M.//Proc. Roy. Soc. — 1953. — V. А220. — P. 219; Поло-
Половин Р. Б.//ЖЭТФ. — 1956. — Т. 31. — С. 449; к тормозному излучению— Фо-
Фомин П. Я.//ЖЭТФ. —1958. —Т. 35 —С. 707.

§ 123	РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ	603
да — смещение уровней атома водорода (или водородоподобного
иона) :) .
Последовательный метод вычисления поправок к уровням
энергии основан на использовании точного электронного пропа-
гатора во внешнем поле (см. § 109). Но если
Za< 1,	A23.1)
то можно воспользоваться более простым способом, в котором
внешнее поле рассматривается как возмущение.
В первом приближении по внешнему полю радиационная по-
поправка во взаимодействии электрона с постоянным электриче-
электрическим полем описывается теми двумя диаграммами A21.2), кото-
которые уже рассматривались нами в связи с задачей о рассеянии
электрона в таком поле; переход от одной задачи к другой тре-
требует лишь простой переформулировки (см. ниже).
Легко понять, однако, что таким способом можно найти толь-
только ту часть сдвига уровня, которая обусловлена взаимодействием
с виртуальными фотонами достаточно больших частот. Действи-
Действительно, рассмотрим, например, следующую (по внешнему полю)
радиационную поправку к амплитуде рассеяния электрона:
A23.2)
(в отличие от A21.2,6") эта диаграмма содержит две вершины
внешнего поля). В той области интегрирования по с/4/с, где ко
достаточно велико, эта поправка содержит лишнюю степень Za
и поэтому несущественна. Но введение в диаграмму второй вер-
вершины внешнего поля вводит в нее также и еще один электрон-
электронный пропагатор G(f). При малых к (и нерелятивистских внеш-
внешних концах р и р') оказываются существенными импульсы вир-
виртуальных электронов /, близкие к полюсу пропагатора G(f).
Появляющийся в результате малый знаменатель компенсирует
лишний малый множитель Za. To же самое относится, очевидно,
г) Сдвиг водородных уровней впервые вычислил Бете (Н. A. Bethe, 1147)
с логарифмической точностью на основе нерелятивистского рассмотрения;
этот расчет послужил толчком для всего последующего развития квантовой
электродинамики. Разность уровней 2s ь2 и 2рь2 (в первом неисчезающем
приближении теории возмущений) была точно вычислена Кроллем и Лэм-
бом (N. M. Kroll, W. E. Lamb, 1949), а полная формула для сдвига уровней
была найдена Вайскопфом и Френчем (V. Weisskopf, J. В. French, 1949).

604	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
и к поправкам всех вообще порядков по внешнему полю. Други-
Другими словами, в области малых частот виртуальных фотонов внеш-
внешнее поле должно учитываться точным образом.
Разобьем искомый сдвиг уровня SES г) на две части:
SES = 5Е® + 5EW	A23.3)
происходящие соответственно от взаимодействия с виртуальны-
виртуальными фотонами частоты в областях I) ко > х, II) ко < ус. При этом
выберем ус так, чтобы было
(ZaJra< х<га	A23.4)
(Z2a2m — порядок величины энергии связи электрона в атоме).
Тогда в области I достаточно учитывать поле ядра лишь в первом
приближении. В области же II надо учитывать поле ядра точным
образом, но зато (в силу условия ус <^т) можно решать задачу
в нерелятивистском приближении — не только по отношению к
самому электрону, но и для всех промежуточных состояний. При
условии A23.4) области применимости обоих способов расчета
перекрываются, что и позволяет произвести строгую «сшивку»
обеих частей поправки к уровню.
Высокочастотная часть сдвига. Рассмотрим сначала
область I. В ней можно воспользоваться поправкой к амплитуде
рассеяния A22.1), из которой, однако, необходимо предваритель-
предварительно исключить вклад виртуальных фотонов, относящихся к обла-
области П. Такие фотоны вносят лишь малый вклад в формфактор
д, который поэтому не нуждается в изменении. В функцию же
/ виртуальные фотоны малых частот вносят большой вклад из-
за инфракрасной расходимости. Поэтому в качестве / в A22.1)
надо подставить функцию /^, из которой область ко < ус уже
исключена.
Такое исключение можно было бы произвести прямым спо-
способом, вычитая из / интеграл по области ко < ус. Требуемый
результат можно, однако, получить без новых вычислений, ис-
используя результаты § 122.
Для этого заметим, что исключение частот ко < ус можно
рассматривать как один из возможных способов инфракрасно-
инфракрасного обрезания. Результат же для поправки к сечению рассеяния
не может, разумеется, зависеть от способа обрезания при усло-
условии, что таким же образом обрезается и вероятность испускания
реальных мягких фотонов, т. е. в понятие «упругого» рассея-
рассеяния включается испускание с частотами лишь от ус до заданного
а;тах. Если выбрать а;тах = х, то явный учет испускания фото-
фотонов станет излишним. Отсюда ясно, что /^ получается из опре-
1)~В этом параграфе Е8 обозначает энергию электрона в атоме, не
включающую в себя его энергию покоя. Индекс s — совокупность кванто-
квантовых чисел, определяющих состояние атома.

§ 123	РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ	605
деленной в § 122 функции /Wmax просто заменой а;тах на ж. В
частности, в нерелятивистском случае
J
Зтгш2 V 2>с 24
Преобразуем теперь поправку A22.1) к амплитуде рассеяния,
представив ее как результат соответствующей поправки к эф-
эффективной потенциальной энергии электрона в поле. Сравнивая
амплитуду A22.1)
с борновской амплитудой рассеяния A21.6)
-е(и*Фи),
мы видим, что роль такой поправки играет (в импульсном пред-
представлении) функция
еёФ(Ч) = е<2рад(Ч)Ф(Ч).	A23.6)
В нерелятивистском случае, взяв V и д из A13.14) и A17.20), а
для /, подставив /^ из A23.5), получим
f + 11 - I) + -^q7} Ф(я). A23.7)
2х 24 5/ 4тгш J
Соответствующая функция ?Ф(г) в координатном представле-
представлении
6Ф(г) = -i^(lnf + 11 - 1) ДФ(г) - г-^^Ф(г). A23.8)
Зтгш2 V 2х 24 5/	4тгш
Смещение уровня 5Е$ получим, усредняя е6Ф(г) по волно-
волновой функции невозмущенного состояния электрона в атоме, т. е.
как соответствующий диагональный матричный элемент 2) :
с I-» (I)	еа (л m . 11 1\/ ia^i \ - еа , \
SE\L) =	 In	)(s ДФ s) -г	(s
s	Зтгш2 \ 2>с 24 5/X ' ' ' 4тгшХ '
A23.9)
x) Подчеркнем отличие этой поправки к потенциалу от поправки, рассмат-
рассматривавшейся в § 114. Последняя включала в себя только эффект поляризации
вакуума (диаграмма A21.2,а)) для кулонова поля как такового. Поправка же
A23.8) относится уже ко взаимодействию поля с электроном и включает в
себя также и эффект изменения движения электрона (диаграмма A21.2,5)).
2) Строго говоря, определенные в § 117 формфакторы относились к вер-
вершинному оператору при двух свободных электронных концах (р2 = р2 =
= гп2). Для электрона же в атоме энергия Es—уровень, вообще никак не
связанный с р. Этим отличием можно, однако, пренебречь в области I.

606	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
В первом члене достаточно использовать при усреднении не-
нерелятивистскую функцию электрона. Во втором же члене такого
приближения недостаточно: нулевое приближение по нереляти-
нерелятивистским функциям обращается в нуль ввиду отсутствия у мат-
матриц 'у диагональных элементов. Поэтому здесь надо воспользо-
воспользоваться найденной в § 33 приближенной релятивистской функци-
функцией ф = ( Г, ), сохранив в ней малые (в стандартном представле-
нии) компоненты \. Имеем
и, подставив из C3.4)
2т	2т
получим
2т J
± [АФ - if -
= _±_ [{<р*
2т J
(при преобразовании интеграла использовано тождество C3.5) и
произведено интегрирование по частям). Поскольку Ф = Ф(г), то
и поэтому
1	} г dr '
где I = — г [г V] —оператор орбитального момента. Наконец, соб-
собрав полученные выражения и подставив в A23.9), найдем
? + ^)^АФ^ + -г-М^1т^ A23Л0)
2к 30/	4тгш2	г dr
где теперь уже в обоих членах усреднение производится по нере-
нерелятивистской волновой функции.
Низкочастотная часть сдвига. Для вычисления второй
части сдвига уровней используем прием, основанный в конечном
итоге на условии унитарности.
В силу возможности испускания фотона возбужденное состо-
состояние атома является квазистационарным (а не строго стационар-
стационарным). Такому состоянию можно приписать комплексное значе-
значение энергии, причем его мнимая часть равна — w/2, где w — ве-
вероятность распада состояния, т. е. в данном случае полная веро-
вероятность испускания фотона (см. III, § 134). В нерелятивистском

§ 123	РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ	607
приближении излучение является дипольным, и согласно D5.7)
имеем
1	2
ImSEs = ~-ws = --
sf
(где суммирование производится по всем нижележащим уров-
уровням, Esi < Es), или в эквивалентном виде:
ImSE8 = -- / duo • > |dee/|2(?7e - ES,N5(ES - Es, - u>).
3{
A23.11)
Чтобы найти вещественную часть SES1 следует рассмотреть
Es как комплексную переменную и произвести аналитическое
продолжение. Это можно сделать, рассматривая E-функции как
происходящие от полюсов. Правило обхода полюсов задается,
как обычно, добавлением отрицательной части к массам вир-
виртуальных частиц, в данном случае —к массам msi электрона в
промежуточных состояниях атома. Роль этих масс играют msi =
= т + Esi, так что надо положить
Esi ->> Esi - гО,
откуда следует замена
5(Es-Es,-u) = --Im——1	—	A23.12)
тг Es — Esi — uj + гО
(ср. A11.3)).
Подставив A23.12) в A23.11), найдем, таким образом,
1т8Ея=1т^- I duo • > ^|d^'2 (E° ~ E°')*
=Im— f duo-Y" |d
3n I	^
Es - Еа> - ш + гО
Искомое аналитическое продолжение получится теперь просто
опусканием знака Im в обеих частях равенства. Нам надо, одна-
однако, выделить из 6ES лишь ту часть, которая связана с вкладом
частот в области II: uj < к. Для этого достаточно заменить верх-
верхний предел интеграла на к. Произведя интегрирование, получим
в результате
= —y"\dssr\2(Esr-EsK\n	.	A23.13)
Зтг^	' V	J Es/-Es+i0	V	J
sf
(в силу неравенства A23.4) на верхнем пределе мы пренебрегли
разностью Es — Es/ по сравнению с к). В дальнейшем нас будет

608	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
интересовать только вещественная часть уровня; она получается
заменой в A23.13) аргумента логарифма на k/\Esi — Es\.
В выражении A23.13) преобразуем член с 1пх, заменив мат-
матричные элементы дипольного момента d = ег матричными эле-
элементами импульса р = тv и его производной р:
- Es) =
sf	s1
'Ps's - Pss'(p)s's}-
Заменив теперь р согласно операторному уравнению движения
электрона р = — eV<I>, получим
(Ea, - EsK = -^ X)
Ш s'
^	A23Л4)
Поэтому можно переписать A23.13) в виде
Зтгт2	т Зтг
A23.15)
Полный сдвиг. Наконец, сложив обе части, найдем следую-
следующую окончательную формулу для сдвига уровня:
Зтг ^у ' v	У 2\ES -Ea,\
s
+ -^- —(в|АФЫ + -^-<8|о-1^ —|в> A23.16)
Зтгт2 30	4тгт2	г dr
(как и должно быть, вспомогательная величина к из нее выпа-
выпала) х) .
Все матричные элементы в A23.16) берутся по отношению к
нерелятивистским волновым функциям электрона в атоме. Для
атома водорода (или водородоподобного иона) эти функции зави-
зависят только от трех квантовых чисел: главного квантового числа
1) Определение поправок следующего порядка в сдвиге уровней требует
очень сложных вычислений. Наиболее полную сводку и систематический
вывод таких поправок (вместе с соответствующей библиографией) можно
найти в статьях: Erickson G. W., Yennie D. R.l/Ann. of Phys. — 1965. — V.
35.-P. 271, 447.

§ 123	РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ	609
п, орбитального момента / и его проекции т (но не от полного
момента j); соответствующие же уровни энергии зависят только
от п. Введем обозначение :)
(пЧ'т'\г\п1т)\2(Еп, -Enf\n m(Ze^2 .
A23.17)
Уровни энергии пропорциональны (Ze2J, а характерный раз-
размер атома пропорционален Ze2; поэтому определенные согласно
A23.17) величины Ln\ от Z не зависят. Эти величины могут быть
найдены численно.
Далее рассмотрим отдельно случаи / = 0 и / ф 0. При / = 0
последний член в A23.16) исчезает. Во втором члене воспользу-
воспользуемся уравнением
которому удовлетворяет потенциал кулонова поля ядра. Отсюда
{п1т\АФ\п1т) = 4vrZe2|^m@)|2 = |4m(ZeLn, i = 0,
(см. C4.3)). В первом же члене вводим обозначение A23.17) и
еще раз используем равенство A23.14):
\(n'l'm'\r\n00)\2(En, -Enf = ^(	^p
n'I'm'	m
В результате получим следующее выражение для сдвига s-тер-
мов:
(обычные единицы).Числовые значения нескольких величин
п= 1	2	3	4	оо
Ln0 = -2,984 -2,812 -2,768 -2,750 -2,721
Невозмущенные уровни Еп = —mc2(ZaJ/Bn2); поэтому отно-
относительная величина радиационного сдвига
SEn0
Z2a3\n—.	A23.19)
Za
:) Матричные элементы от г диагональны по числу j и от j не зависят;
поэтому суммирование по s в A23.16) сводится к суммированию по п, /, т.
В силу изотропии пространства сумма A23.17) не зависит, конечно, и от
квантового числа т.
20 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

610	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
В случае / ^ 0 в A23.16) исчезает второй член. Третий же вы-
вычисляется с помощью формул, приведенных в § 34. В этом члене
имеется зависимость также и от числа j. В результате получим
ШЗ	Зтгп3 L ш 8 /(/ )(	)
A23.20)
Таким образом, радиационный сдвиг снимает последнее вы-
вырождение, оставшееся после учета спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия,— вырождение уровней с одинаковыми значениями пи j,
но разными / = j zb !/2- Так, числовое значение L21 — +0,030 и из
A23.18)—A23.20) получается следующая величина для разности
уровней 2s ъ и 2pii> атома водорода:
(этой разности отвечает частота 1050 МГц).
§ 124. Радиационное смещение уровней мезоатомов
В конце § 118 была выяснена существенная роль, которую
играет эффект поляризации электронного вакуума в радиаци-
радиационной поправке (второго приближения) к магнитному моменту
мюона. Еще важнее этот эффект для радиационного сдвига (уже
в первом приближении) уровней /i-мезоводорода — водородопо-
добной системы из протона и /i-мезона (А. Д. Галанин, И. Я. По-
меранчук, 1952).
В произведенном в предыдущем параграфе расчете сдвига
уровней обычного атома был учтен, в частности, эффект поля-
поляризации электронного вакуума (электронная петля в диаграм-
диаграмме A21.2,а)). Если, аналогичным образом, для мезоатома учи-
учитывать эффект поляризации мюонного вакуума, то весь расчет
полностью переносится и на этот случай, с заменой лишь везде
массы электрона т = те массой мюона т^. Поскольку относи-
относительный сдвиг уровней оказался не зависящим от массы электро-
электрона (см. A23.19)), для мезоводорода получился бы тот же самый
результат.
Легко видеть, однако, что значительно больший вклад в сдвиг
уровней мезоатома внесет эффект поляризации электронного ва-
вакуума. Действительно, замена мюонной петли в диаграмме элек-
электронной означает замену мюонного поляризационного оператора
электронным. Но поляризационный оператор V(q2) обратно про-
пропорционален квадрату массы частицы (при нерелятивистских
значениях q2). Ясно поэтому, что указанная замена приведет к
увеличению эффекта в {т^/теJ раз. Именно этим вкладом и

§ 124	РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ УРОВНЕЙ МЕЗОАТОМОВ	611
определится порядок величины сдвига уровней, который будет
\Е\	\т
т. е. на четыре порядка больше, чем у обычного водорода х) .
Более наглядно происхождение этого эффекта можно понять,
вспомнив, что искажение кулонова потенциала поляризацией
электронного вакуума простирается на расстояния ~ 1/гае
(§ 114). В обычном атоме водорода электрон находится на рас-
расстояниях от ядра ~ 1/(теа), т. е. вне основной области иска-
искажения поля; в мезоводороде же мюон находится на расстояниях
~ 1/(т^а), как раз попадающих в эту область.
Для точного вычисления сдвига уровней мезоатома нельзя,
однако, пользоваться приближенным нерелятивистским выраже-
выражением для поляризационного оператора, как это было сделано в
формуле A23.7), использованной при вычислении сдвига уровней
обычного атома. Дело в том, что характерные импульсы мюона
в атоме мезоводорода |р^| ~ ат^. Для мюона такие импульсы
являются нерелятивистскими, но по отношению к электрону —
уже релятивистскими.
Мы должны, следовательно, воспользоваться полным реля-
релятивистским выражением A14.5) для эффективного потенциала
поля ядра, искаженного поляризацией электронного вакуума.
Сдвиг уровня определится путем усреднения по волновой функ-
функции мюона в атоме:
8Е
п1
= —\е\ / \фп1\25Ф(г)A3х = —\е\ / R2nl(r)№(r)r2dr, A24.1)
где Rni — радиальная часть кулоновой (нерелятивистской) вол-
волновой функции. Для водородоподобного иона с зарядом ядра
Z\e\ функции Rni(r) зависят от г лишь в безразмерной комби-
комбинации р = Zam^r (расстояние, измеренное в кулоновых едини-
единицах). Учитывая это и подставляя 5Ф(г) из A14.5) (с зарядом Z\e\
вместо ei), приведем интеграл A24.1) к виду
г)Е 1 — —-—п/6т ZO 11	I	(Л 94 9^
lli	о_	/Л ^Ъ ILL \ г?	 II	\	)
С2
где
(X)	(X)
Qnl(x) = / pdp / .
О	1
1) По аналогичной причине вклад поляризации мюонного вакуума в сдвиг
уровней обычного атома водорода будет, напротив, пренебрежимо малым.
20*

612	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Так, для нескольких первых уровней мезоводорода числен-
численный расчет дает следующие значения относительного сдвига:
=-6,4-КГ3, ^Н? = -2,8-10-4, ^21 = -2,0-КГ5.
§ 125. Релятивистское уравнение для связанных
состояний
Метод, примененный в предыдущих параграфах к вычисле-
вычислению радиационного сдвига атомных уровней, неприменим для
решения такой задачи, как определение поправок к уровням по-
позитрония—системы из двух равноправных частиц, ни одна из
которых не может рассматриваться по отношению к другой как
источник внешнего поля.
Систематический метод решения этой задачи основан на том,
что уровни энергии связанных состояний являются полюсами
точной амплитуды взаимного рассеяния двух частиц (амплиту-
(амплитуду нужно рассматривать как функцию суммарной энергии час-
частиц в системе центра инерции). Действительно, позитроний в
каждом из своих дискретных состояний можно рассматривать
как «промежуточную частицу» определенной массы, через об-
образование которой может идти процесс рассеяния электрона и
позитрона; каждому же «одночастичному» промежуточному со-
состоянию отвечает полюс амплитуды рассеяния (разумеется, эти
полюсы лежат в нефизической области 4-импульсов рассеиваю-
рассеивающихся частиц).
Согласно A06.17) точная амплитуда рассеяния строится из
точной «четыреххвостой» вершинной части Г^? im и поляризаци-
поляризационных амплитуд и частиц. Последние, очевидно, не имеют отно-
отношения к полюсным особенностям, и потому удобнее не рассмат-
рассматривать их вовсе, говоря вместо этого о полюсах самой вершинной
части, т. е. функции
Ггк, 1т(р'-, -Р+; Р-, -Р+),	A25.1)
где обозначения 4-импульсов внешних концов диаграммы
A06.12) отвечают рассеянию позитрона на электроне.
Подчеркнем, что утверждение о наличии полюсов относится
именно к точной амплитуде рассеяния или к точной вершин-
вершинной части; в каждом же отдельном члене ряда теории возмуще-
возмущений полюс отсутствует. Последнее очевидно уже из того, что в
фейнмановских диаграммах каждого приближения фигурируют
лишь электронные (и фотонные) линии, но не линии «состав-
«составной частицы» —позитрония как целого. Отсюда в свою очередь
следует, что вычисление амплитуды рассеяния вблизи ее полю-
полюсов требует суммирования бесконечной последовательности диа-

125
УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ
613
грамм. Выясним, какие именно диаграммы входят в эту после-
последовательность .
В первом неисчезающем (первом по а) приближении теории
возмущении вершинной части A25.1) отвечают две диаграммы
второго порядка:
-Р+
V-
- +Р+
A25.2)
-р+	-р+
а
или в аналитическом виде:
A25.3)
В следующем (втором по а) приближении имеется уже 10
диаграмм четвертого порядка:
-Р+
Р-
A25.4)
-Р+
и еще пять диаграмм, различающихся перестановкой р-^—р'^.
Все эти диаграммы имеют по сравнению с диаграммами A25.2)
лишнюю степень е2 = а. Покажем, однако, что в диаграмме
A25.4,а) эта лишняя степень малости компенсируется малым
(при малых импульсах электрона и позитрона) знаменателем.

614	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Будем рассматривать все величины в системе «центра инер-
инерции». Поскольку, однако, 4-импульсы внешних концов диаграмм
не предполагаются физическими (т. е. р2 ф т2), то хотя в этой
системе р+ = — р_, но ?+ ф ?_. Таким образом, 4-импульсы
концов
Р- = (е-> Р), Р+ = (е+, -Р)?
A25.5)
Энергия связи электрона и позитрона в позитронии ~ та2. По-
Поэтому в интересующей нас окрестности полюсов амплитуды рас-
рассеяния
I	II	I	2 /
|б_ — 77l| ~ |?+ — 777| ~ р /777
Вклад в вершинную часть от диаграммы A25.4,а)
-p- -p+)-f)km *
^. A25.7)
В интеграле A25.7) существенна область значений q^ = (go, q),
близких к полюсам одновременно обеих функций G. В этой обла-
обла— 7771 малы и электронные пропагаторы
сти
Glq) =	—^	—	~	ко — т — — +
(go +m)(q0 - т) - q2 + гО	2 L	2m
^o 1 Г	«2 1 -1
т	A25.8)
Полюсы этих двух выражений лежат по разные стороны от веще-
вещественной оси в плоскости комплексной переменной до 5 замкнув
путь интегрирования вдоль этой оси, скажем, в верхней полу-
полуплоскости, вычислим интеграл по до по вычету относительно со-
соответствующего полюса :) . В результате найдем, что
[
J
' ~ р'-J(р- — qJ
:) Для диаграммы же A25.4,е), отличающейся от A25.4,а) лишь взаимным
направлением электронных линий, оба полюса оказались бы лежащими по
одну сторону от вещественной оси, так что после сделанных пренебрежений
интеграл вообще обратился бы в нуль.

§ 125	УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ	615
и отсюда, с учетом A25.6), оценку
гDа)	{f	J
(таLта2 т2а
Такой же порядок величины имеет и вклад в Г от диаграммы
второго порядка A25.2,а) (первый член в A25.3)), чем и дока-
доказывается сделанное выше утверждение о порядке малости диа-
диаграммы A25.4,а). Аналогичная ситуация имеет место и во всех
дальнейших приближениях теории возмущений.
Таким образом, вычисление интересующей нас вершинной
части вблизи ее полюсов требует суммирования бесконечной по-
последовательности «аномально больших» диаграмм с промежу-
промежуточными состояниями типа внутренних линий диаграммы
A25.4,а). Для этих диаграмм характерно, что они могут быть
рассечены между концами р_, — р+ и р'_, —р'+ на части, со-
соединяющиеся друг с другом лишь двумя электронными лини-
линиями г) . Совокупность же всех диаграмм, не удовлетворяющих
этому условию, назовем «компактной» вершинной частью и обо-
обозначим через Tikjm] поскольку аномально большие диаграммы
в нее не входят, эти величины можно вычислять по обычной те-
теории возмущений. Так, в первом приближении Г определяется
обеими диаграммами второго порядка A25.2), а во втором — во-
восемью диаграммами четвертого порядка (все диаграммы, за ис-
исключением A25.4,а, б)).
Классифицируя некомпактные вершинные части по числу со-
содержащихся в них «двойных связей», можно представить полную
Г в виде бесконечного ряда:
A25.9)
где все внутренние сплошные жирные линии — точные пропага-
торы Q (ряд такого вида часто называют лестничным). Чтобы
просуммировать этот ряд, «умножим» его слева еще на одну Г 2) :
+ ...
) Такое определение включает в себя все аномально большие диаграммы,
но наряду с ними также и некоторые «нормальные», например диаграмму
A25.4,5).
) Т. е. умножаем все члены ряда на Г и две Q и производим соответствую-
соответствующее интегрирование по 4-импульсам новых внутренних связей.

616	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Сравнив теперь этот ряд с исходным рядом A25.9), мы уви-
увидим, что
Р-	q	Р-	Р-	Р-	Р-	Р-
±	A25Л0)
Это графическое равенство эквивалентно следующему интегра-
интегральному уравнению:
/ IV, smip1-, q-p'+ -p'-\ q, -p+)Gst(q)Gnr(q-p+ -pf-) x
''- A25.11)
Функции Г и Q вычисляются по теории возмущений, после чего
уравнение A25.11) дает, в принципе, возможность вычислить Г
с любой требуемой точностью.
Для определения же уровней энергии достаточно знать лишь
положение полюсов функции Г. Вблизи полюсов Г ^> Г, так
что первым членом правой стороны A25.11) (вторая диаграм-
диаграмма справа в A25.10)) можно пренебречь, и уравнение становится
однородным относительно Г. В этом уравнении переменные р+,
р_, а также и индексы fc, / становятся параметрами, зависимость
от которых остается произвольной (не определяется самим урав-
уравнением). Опустив эти параметры (а вместе с ними и штрихи у
остающихся переменных р^? Р-)? получим уравнение
гГг,ш(р_; -р+) = / fir, sm(p_, q-p+ -р-\ q, -p+)Gst{q) x
^ A25.12)
(E. E. Salpeter, H. A. Bethe, 1951).
Записанное в системе центра инерции (р+ + р_ =0), уравне-
уравнение A25.12) имеет решения лишь при определенных значениях
6+ + ?_, которые и дают уровни энергии позитрония. Функция
I\5 m играет при этом лишь вспомогательную роль. Вместо нее
удобнее ввести другую функцию:
XsriPU P2) = GstipiWt, n(Pl5 P2)Gnr{P2)-	A25.13)

§ 125	УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ	617
Тогда уравнение A25.12) примет вид
i4
= /fir,
A25.14)
в котором Г выступает как ядро интегрального оператора. Как
уже упоминалось, Г может вычисляться по теории возмущений;
то же самое относится, конечно, и к функции Q~l.
Покажем, что в первом (по а) приближении теории возму-
возмущений A25.14) сводится, как и следовало ожидать, к нереляти-
нерелятивистскому уравнению Шредингера для позитрония.
В первом нерелятивистском приближении Г определяется од-
одной лишь диаграммой A25.2,а) (диаграмма аннигиляционного
типа A25.2,5) обращается в этом приближении в нуль) х) . Как и
по аналогичному поводу в § 83, фотонный пропагатор удобно вы-
выбрать в кулоновой калибровке G6.12),G6.13), причем достаточно
оставить в нем лишь компоненту Dqq. Тогда
Ггг, sm(P-, Q-P+ -Р-\ Я, -Р+) = -е27г°ЛгтАю(<7 ~ Р-) =
где
U(q) = -47re2/q2
— компонента Фурье потенциальной энергии кулонова взаимо-
взаимодействия позитрона и электрона. Уравнение A25.14) принимает
вид
A25.15)
где также заменены точные пропагаторы Q пропагаторами сво-
свободных электронов G. Для последних имеем приближенные вы-
выражения (ср. A25.8))
G(p_) « ^	^
где выделены матричные множители, a g(p) — скалярная функ-
функция:
g(p) = [?-m- р2/Bш) + гО].	A25.16)
:) Напомним, что скорости частиц в позитронии v/c ~ а. В этом смысле
разложения по а и по 1/с взаимно связаны.

618	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
При подстановке этих выражений в A25.15) замечаем, что все
отличные от нуля матричные элементы
совпадают с элементами —Xim- Поэтому матричное уравнение
A25.15) эквивалентно уравнению для скалярной функции
г. A25.17)
Введем теперь вместо р_|_, р- переменные
Р= & Р) = Р~ ~ Р+ > Р=^_ +]9+
D-импульсы относительного движения частиц и позитрония как
целого). В системе центра инерции
р= (Е + 2т, 0),
где полная энергия обозначена через Е + 2т, т. е. Е —уровень
энергии, отсчитываемый от массы покоя. Выразив через эти пе-
переменные, перепишем A25.17) в виде
*Х(Р, Р) =
B^L
В это уравнение Р входит уже только как параметр, а функция
X входит в правую часть равенства только в виде интеграла
-/
, P)dq0.
Проинтегрировав обе стороны равенства по de, получим из него
замкнутое уравнение для ф:
где

§ 126	ДВОЙНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ	619
Замкнув путь интегрирования по ds, скажем, в верхней полу-
полуплоскости комплексного ?, вычислим интеграл по вычету в со-
соответствующем полюсе и окончательно получим
^-=0.	A25.18)
тгK
Это и есть уравнение Шредингера для позитрония в импульсном
представлении (см. III, A30.4)).
Если бы мы ограничились для Г диаграммами A25.2), но
учли бы в них (а также и в Q) следующие члены разложения
по 1/с, мы получили бы уравнение Брейта (см. § 83). Учет же
диаграмм из A25.4) (вместе с дальнейшими членами разложения
по 1/с) дает радиационные поправки к уровням позитрония; од-
однако вычисления становятся очень сложными.
Приведем вычисленную с этими поправками разность основ-
основных уровней орто- и парапозитрония :) :
+)} A25.19)
6 V 9	/ 7Г 2 J	V	J
Первый член в фигурных скобках — тонкое расщепление (см. за-
задачу 2, § 84). Второй член — радиационная поправка к разности
уровней. Мнимая же часть разности связана с вероятностью ан-
аннигиляции парапозитрония (см. (89.14)), т. е. с комплексностью
уровня 1Sq] для парапозитрония ширина уровня оказывается то-
того же порядка величины, что и радиационная поправка к его
вещественной части.
§ 126. Двойное дисперсионное соотношение
Следующим по сложности за вершинной частью с тремя внеш-
внешними линиями является блок с четырьмя концами. В квантовой
электродинамике возможны три такие простейшие диаграммы:
\
\
у
X	J	I	A26.1)
Первая из них описывает рассеяние фотона на фотоне. Осталь-
Остальные представляют собой отдельные члены радиационных попра-
поправок — к рассеянию фотона на электроне (диаграмма б") и к рас-
рассеянию электрона на электроне (диаграмма в).
^Karplus R., Klein A//Phys. Rev. - 1952.-V. 87.-P.

620	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Этот параграф посвящен изучению некоторых общих свойств
диаграмм такого рода. Но для упрощения и конкретности мы
будем вести изложение применительно к определенной диаграм-
диаграмме—A26.1,а).
Импульсы линий такой диаграммы обозначим следующим об-
образом:
кз	к2
/
q — k.
/ q-ki-k2
q-k2	A26.2)
\
ks	ki
4-импульсы fci, A;2, &з, A;4 отвечают реальным фотонам, так что
их квадраты равны нулю.
Отделив зависимость от поляризаций фотонов, амплитуду
Mfi, соответствующую диаграмме A26.2), можно выразить через
несколько скалярных функций 4-импульсов фотонов. Это —ин-
—инвариантные амплитуды, о которых шла речь в § 70; конкретное
выделение их для рассеяния фотона на фотоне будет произве-
произведено в следующем параграфе. Будучи скалярными, они зависят
лишь от скалярных же переменных, в качестве которых можно
выбрать, например, любые две из величин
A26.3)
ниже мы выбираем в качестве независимых s и t.
Каждую из инвариантных амплитуд (которые мы обозначим
здесь той же буквой М) можно представить интегралом вида
м= [	^^	,
I ГО	ОГ/	7\О	ОГ/	7	7\О	ОГ/	7\О	*")"!'
J [q2 — m2\[(q — к аJ — m2\[(q — к\ — к2J — m2\[(q — к2J — т2\
гп2 ^гп2 - гО,	A26.4)
где В — некоторая функция всех 4-импульсов; множители в зна-
знаменателе происходят от пропагаторов четырех виртуальных
электронов.
При достаточно малых s и t амплитуды М вещественны (точ-
(точнее, могут быть сделаны таковыми надлежащим выбором фазо-
фазового множителя). Действительно, малость s обеспечивает невоз-
невозможность рождения фотонами реальных частиц (электрон-по-
зитронной пары) в «s-канале, а малость t — такую же невозмож-
невозможность в t-канале :) . Другими словами, в обоих каналах отсут-
) Изображенные на диаграмме A26.2) направления внешних линий отве-

§ 126	ДВОЙНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ	621
ствуют реальные промежуточные состояния, которые могли бы,
согласно условию унитарности, привести к появлению мнимой
части амплитуды.
Будем теперь увеличивать s при фиксированном (малом) зна-
значении t. При s ^ 4m2 у амплитуды М появится мнимая часть,
связанная с возможностью рождения пары двумя фотонами в
«s-канале. Поэтому для М можно написать дисперсионное соот-
соотношение «по переменной s»:
ОО
M(s, t) = - [ Als{s''t] ds'}	A26.5)
7Г J sf — s — iO
4m2
где Ais(s, t) обозначает мнимую часть M(s, t).
Как и для всякой диаграммы вида
q	к2
кз	q — ki—k2	k\
Ais(s, t) вычисляется по правилу A15.9) заменой в интеграле
A26.4) соответствующих полюсных множителей E-функциями:
2iAla(s, t) = BтггJ Г ^5(д2 - rn2)S[(g-к, - к2Г - т^] 4
13У ' ^ V J J [(q-k4y-mi][(q-k2y-mi]	Ч'
A26.6)
причем интегрирование производится по половине (/-простран-
(/-пространства, в которой д° > 0.
Мы можем сделать существенный дальнейший шаг, заметив,
что интеграл A26.6) имеет структуру (в смысле своих полюсных
множителей) того же типа, что и амплитуда реакции, изобра-
изображающейся диаграммой вида
fe
q-k2
Поэтому и аналитические свойства Ais(s, t) как функции от t
подобны аналитическим свойствам этой амплитуды. В частно-
частности, у функции Ais(s, t) может появиться (при увеличении t)
чают s-каналу. В t-канале входящими должны быть линии 1 и 3, так что
4-импульсами начальных фотонов были бы к\ и — fe. Физические области
для рассеяния фотона на фотоне в переменных s, ?, и — заштрихованные
секторы на рис. 8 (с. 299). Так, s-каналу отвечает область, в которой s >
> 0, t<0, u<0.

622	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
мнимая часть только тогда, когда оба множителя в знаменате-
знаменателе будут одновременно обращаться в нуль. Это, однако, не про-
произойдет сразу же после достижения значения t = 4m2 — порога
рождения пары в t-канале. Дело в том, что наличие E-функций в
подынтегральном выражении ограничивает область интегриро-
интегрирования в ^-пространстве, которая может оказаться несовместимой
со значением t = 4m2. Протяженность области интегрирования
зависит от значения s (аргументы E-функций содержат к\ и к2).
Поэтому зависит от s и граничное значение t = ?c(s), за которым
функция A\s(s, t) становится комплексной.
Подобно тому как функция M(s, t) выражается через свою
мнимую часть Ais(s, t) формулой A26.5), функция Ais(s, t) в
свою очередь выражается через A2(s, t) = Im A\s(s, t) дисперси-
дисперсионным соотношением «по переменной t»:
Подставив теперь A26.7) в A26.5), получим двойное дисперси-
дисперсионное соотношение, или представление Манделъстама для ам-
амплитуды M(s, t):
(X) (X)
= J- f [ 	^^	dt'ds',
тг2 J J (sf -s-iO)(tf -t-iO)
A26.8)
V	J
{S.Mandelstam, 1958).
Функцию .4.2 (s, t) называют двойной спектральной плотно-
плотностью функции M(s, t). Ее можно получить из интеграла A26.6)
повторным применением к нему правила замены A15.9). Обо-
Обозначив для краткости
h=q, h = q~h, h = q~k2, U = q- h- k2, A26.9)
получим
BiJA2(s, t) =
= BтггL f iB6(lj - m2N(ll - m2N(l23 - m2N(lj - m2)d*q,
A26.10)
причем интегрирование производится по области g° > 0.
Следует, однако, иметь в виду, что формула A26.10) име-
имеет лишь символический смысл. Дело в том, что область s > 0,
t > 0 — нефизическая. Соответственно в этой области величи-
величины /]_, 12, ... при вещественных q оказываются, вообще говоря,

§ 126	ДВОЙНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ	623
комплексными; понятие же S-функции при комплексных значе-
значениях аргумента не является полностью определенным. Точнее
было бы говорить прямо о взятии вычетов в соответствующих
полюсах исходного интеграла A26.4). В нашем случае это, одна-
однако, не играет роли. Условие обращения в нуль четырех знаме-
знаменателей в A26.4) или четырех аргументов E-функций полностью
определяет компоненты 4-вектора q. Переходя к интегрирова-
интегрированию по /2, /|, • • • (см- ниже) и формально оперируя с интегра-
интегралом A26.10) по обычным правилам, мы найдем (с точностью до
знака) выражение для А2.
Для дальнейших вычислений выберем систему центра инер-
инерции (в «s-канале). Тогда
fci = (w, k), k2 = (w, -k), k3 = (w, k'), U = (", -k'), A26.11)
s = 4оД t = -(k - k'J = -4a;2 sin2@/2),
и = -(k + k'J = -4a;2 cos2(#/2),
где в — угол между кик7 (угол рассеяния). Ось х пространствен-
пространственных декартовых координат направим по вектору k + k7, а ось у —
по к-к7 *).
Преобразуем теперь интеграл A26.10), выбрав квадраты
l\, l\, ... в качестве новых переменных интегрирования (вместо
четырех компонент q). Имеем
поэтому якобиан преобразования
^(^i? hi h, h)
d(q°, qx, qy, qz)
где D — определитель, составленный из 16 компонент 4-векторов
Wt h, h, h- Интегрирование в A26.10) сводится просто к замене
функций В и D в подынтегральном выражении их значениями
при 2)
\\ = ll = lj = ll =m2.	A26.13)
Из условий l\ = l\ = m2 получаем, как и в § 115,
q°=Gj, q2=o;2-m2.	A26.14)
1)При t > 0 : (к — к'J < 0, т. е. вектор к — к7 мнимый. Это затрудне-
затруднение, однако, легко обойти, раскрыв все векторные выражения при t < 0 и
произведя затем аналитическое продолжение к t > 0.
) Такой способ интегрирования автоматически учитывает лишь по одному
из нулей аргументов ^-функций.

624	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Остальные два условия дают
(q - hf - т2 = -2qk± = -2a;2 - 2qk' = 0,
(q - к2J - т2 = -2а;2 - 2qk = О,
так что
qk = qk = — s/4,
или в компонентах:
Qz = ±у/и? - т* - ей = ± [st -4^+«>] 1/2.	A26.15)
Таким образом, интеграл A26.10) равен
Ш)'	A26Л6)
где суммирование производится по двум значениям q из A26.15).
Определитель D мож:но записать с помощью единичного ан-
антисимметричного тензора:
(при преобразованиях использована антисимметрия е^рG). За-
Заметив, что из четырех множителей временную компоненту имеет
только fci, находим
Раскрыв это выражение при t < 0 и затем продолжив к t > 0,
получим
D = -u;qzVs + tV^i -+ ±-{st[st - 4m2(«s + ?)]}1/2. A26.17)
4
Выбор знака в этом выражении можно произвести на осно-
основании следующих соображений. Положим для простоты В = 1.
Тогда видно, что в физической области (s > 0, t < 0) имеем
Ais(s, t) < 0. Действительно, оба знаменателя в подынтеграль-
подынтегральном выражении в A26.6) имеют одинаковый (отрицательный)
знак:
(q - hJ - m2 = -2а;2 - 2qk7 < -2а;(а; - |q|) < 0,
(q - к2J - m2 = -2а;2 - 2qk < -2а;(а; - |q|) < 0
(здесь использовано, что, в силу наличия двух E-функций в чис-
числителе, имеет место A26.14) и потому |q| < о;) :) . Из A26.7)
:) Разумеется, это не случайно. Отрицательность A\s в действительности
следует из условия унитарности, что особенно ясно при t = 0, когда А\8
определяет полное сечение.

126
ДВОЙНОЕ ДИСПЕРСИОННОЕ СООТНОШЕНИЕ
625
видно тогда, что отрицательна должна быть и функция ^(s, t)
при s > 0, t > 0 (если учесть, что, согласно A26.16), эта функ-
функция знакопостоянна). Это значит, что в A26.17) надо выбрать
верхний знак, так что окончательно
Ао = -7Г2
{st[st-4.m2(s
1/2
A26.18)
Так как по своему смыслу функция ^(s, t) должна быть ве-
вещественна, то кроме положительности s и t имеется еще условие
положительности выражения в квадратных скобках в знамена-
знаменателе:
st - 4ra2(s + ?) ^ 0, s > 0, t > 0.
A26.19)
Эти неравенства определяют область, по которой должно про-
производиться интегрирование в двойном дисперсионном интеграле
A26.8) (заштрихована на рис. 23). Ее границей является кривая
s?-4ra2(s + ?) =0
с асимптотами s = 4m2 и t = 4m2.
Дисперсионные соотношения в форме A26.5) и A26.8) еще
не учитывают условий перенормировки, и при буквальном их
применении интегралы оказались бы
расходящимися и требовали бы регу-
регуляризации. Условие перенормировки
для амплитуд M(s, t) заключается в
требовании
М@,0) =0.
A26.20)
Am2
Рис. 23
Действительно, амплитуда рассея- 4т2
ния фотона на фотоне должна обра-
обращаться в нуль, когда к\ = &2 = к% =
= &4 = 0 (а потому и s = t = 0),
поскольку к = 0 означает постоян-
постоянный во времени и пространстве потенциал, которому не отвеча-
отвечает никакое физическое поле (мы еще обсудим это условие более
детально в следующем параграфе).
Для автоматического учета этого условия надо написать дис-
дисперсионное соотношение «с вычитанием» (подобно переходу от
A11.8) к A11.13)). Мы придем к такому соотношению естествен-
естественным образом, произведя сначала тождественное преобразование
соотношения A26.8) с помощью тождества
1
st
0' - s)(t' - t) (s' - s)(t' - t)s't' (s' - s)s't'
+ * +J-.
(f-t)s't' s't'

626	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Подставив его в подынтегральное выражение в A26.8), получим
M(s t) = it ff A2(s',t')ds'dt' ? f f(s')ds'
K2 J J (S' - S)(t' - t)s't' 7Г J (S'-S)S'
t [ g(t')dt'
где
s't'
Последние равенства, однако, имели бы смысл лишь при усло-
условии сходимости всех интегралов. В противном же случае функ-
функциям /(s), g(t) и постоянной С должны быть предписаны за-
заранее заданные значения, соответствующие условию перенорми-
перенормировки. Именно надо положить
С = 0, f(s) = Als(s,0), g(t)=Alt(O,t),
где Ait —мнимая часть M(«s,t), появляющаяся при увеличении
t при заданном малом «s, подобно тому как A\s — мнимая часть,
появляющаяся при увеличении s при заданном малом t. Первое
из этих равенств очевидно: С = М@, 0) = 0. Второе (и анало-
аналогичным образом третье) следует из сравнения равенства
i 0) = ? Г iif
7Г J (Sf -
с однократным дисперсионным соотношением A26.5), написан-
написанным «с вычитанием», отвечающим условию A26.20):
щ t) = t fM?±Uds'.	A26.21)
тг J (sf - s)sf
Таким образом, окончательное двойное дисперсионное соот-
соотношение «с вычитанием»:
' 2
ds'dt*
? Г АиУ, 0) ds,+ tf Л»@, О
ds+ f	м
nj (s'-s)s'	nj (t'-t)t'
Если значения s, t сами лежат в области интегрирования, то ин-
интегралы A26.21),A26.22), как всегда, надо понимать как предел
при
s^s + iO, t^t + iO.	A26.23)

127
РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ФОТОНЕ
627
§ 127. Рассеяние фотона на фотоне
Рассеяние света на свете (в вакууме) является специфически
квантовоэлектродинамическим процессом; в классической элек-
электродинамике оно отсутствует из-за линейности уравнений Мак-
Максвелла :) .
В квантовой электродинамике рассеяние фотона на фотоне
описывается как результат рождения двумя начальными фото-
фотонами виртуальной электрон-позитронной пары и последующей
аннигиляции этой пары в конечные кванты. Амплитуда этого
процесса (в первом неисчезающем приближении) изображается
шестью «квадратными» диаграммами со всеми возможными от-
относительными расположениями их четырех концов. Сюда отно-
относятся диаграммы
q-k4y
/q-ki-k2 \
A27.1)
а	б	в
и еще три диаграммы, отличающиеся от этих лишь изменением
направления обхода внутренней электронной петли. Вклад этих
последних совпадает с вкладом диаграмм A27.1), и потому пол-
полная амплитуда рассеяния
М^ = 2(М« + М^ + М^в
где М^а\ М^б\ М(в) — вклады диаграмм а,
Согласно F4.19) сечение рассеяния
do'
64тг2
в.
A27.2)
A27.3)
где do' — элемент телесных углов для направления к7 в системе
центра инерции. Угол рассеяния в этой системе обозначим
через в.
Инвариантные амплитуды. Выделив поляризационные
множители четырех фотонов, представим Mfi в виде
A27.4)
1) В предельном случае малых частот этот процесс был впервые рас-
рассмотрен Эйлером (Н. Euler, 1936), а в ультрарелятивистском случае —
А. И. Ахиезером A937). Полное решение задачи дано Карплусом и Ней-
Нейманом (R. Karplus, M. Neumann, 1951).

628	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
4-тензор Мх^р (его называют тензором рассеяния фотона на
фотоне)—функция 4-импульсов всех фотонов. Если написать
аргументы функций со знаками, отвечающими одинаковым на-
направлениям внешних концов диаграммы, то в силу симметрии
совокупности диаграмм A27.1) очевидно, что тензор
М\^р(къ А;2, -к3, -А;4)
будет симметричен по отношению к любым перестановкам четы-
четырех аргументов вместе с одновременной такой же перестановкой
его четырех индексов. В силу калибровочной инвариантности ам-
амплитуда A27.4) не должна меняться при замене е —>• е + const • к.
Другими словами, должно быть
**MAww = A#MAww = ... = 0.	A27.5)
Как легко сообразить, отсюда следует, в частности, что разло-
разложение тензора рассеяния по степеням 4-импульсов fci, &2, •••
должно начинаться с членов, содержащих четверные произведе-
произведения их компонент. Тем самым во всяком случае
МА/1„р@, 0, 0, 0) = 0.	A27.6)
Для конкретного выделения инвариантных амплитуд целе-
целесообразно, однако, с самого начала выбрать определенную кали-
калибровку 4-векторов поляризации е — калибровку, в которой
е? = @, ei), e? = @, e2), ...	A27.7)
Тогда
Mfi = МШтеце2ке11е1т,	A27.8)
где Mikim — трехмерный тензор.
В качестве двух независимых поляризаций выберем для каж-
каждого из фотонов круговые поляризации с противоположными на-
направлениями вращения, т. е. два спиральных состояния со спи-
ральностями А = =Ы. После этого тензор М^\т можно предста-
представить в виде
МШт= Y, ^А^АзА^^^Ч^;	A27.9)
Ai А2A3A4
16 величин Мд1л2ЛзА4 являются функциями от «s, ?, и и играют
роль инвариантных амплитуд; не все они, однако, независимы.
Величины Мд1л2ЛзА4 —трехмерные скаляры. Пространствен-
Пространственная инверсия меняет знак спиральностей; инвариантные же пе-
переменные «s, ?, и остаются неизменными. Поэтому требование

§ 127	РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ФОТОНЕ	629
Р-инвариантности приводит к соотношениям
MXl\2\3\4(s, *, и) =M_Al_A2_A3-A4E, t, и).	A27.10)
Обращение времени переставляет начальные и конечные фото-
фотоны, не меняя их спиральностей; переменные s, ?, гл снова оста-
остаются неизменными. Поэтому требование Т-инвариантности при-
приводит к равенству
MXl\2\3\4(s, *, и) = ^A3A4A!A2E, t, г/).	A27.11)
Наконец, еще одно соотношение является следствием инвариант-
инвариантности амплитуды Mfi относительно перестановки двух началь-
начальных или двух конечных фотонов. Если произвести сразу обе пе-
перестановки (к\ <-> &2, к% <-> k^), то переменные s, ?, гл не изме-
изменятся, а перестановка в поляризационных индексах приведет к
соотношению
^AiA2A3A4(^ *, и) = MA2AlA4A3E, t, и).	A27.12)
Легко убедиться, что в силу свойств симметрии A27.10)—A27.12)
число независимых инвариантных амплитуд сводится к пяти; в
качестве них можно, например, выбрать
(индексы «+», « —» означают спиральности +1 и —1).
Если подставить в A27.3) вместо Mfi одну из амплитуд
М\1\2\3\41 то мы получим сечение рассеяния с заданными по-
поляризациями начальных и конечных фотонов. Сечение же, про-
просуммированное по конечным и усредненное по начальным поля-
поляризациям, получится заменой
\Mfl\2 -> i
2	2. A27.13)
Соотношения симметрии A27.10)—A27.12) связывают между
собой различные инвариантные амплитуды как функции одних и
тех же переменных. Дальнейшие функциональные соотношения
возникают как следствие перекрестной симметрии (см. § 78), если
учесть, что амплитуда Mfi во всех каналах описывает одну и
ту же реакцию (взаимное рассеяние двух фотонов) и потому не
должна меняться при переходе от одного канала к другому.
Переход от «s-канала (которому отвечает направление стре-
стрелок на диаграммах A27.1)) к t-каналу осуществляется переста-
перестановкой 4-импульсов &2 и — &з (т. е. заменой переменных s <-> t) и
перестановкой индексов спиральностей А2 <-> —Аз- Аналогичным

630	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
образом, переход от s- к г^-каналу осуществляется перестановкой
&2 и — &4 (причем s <-> и) и заменой А2 <-> — А4. Это приводит к
соотношениям
M+_+_(s, ?, и) = М++++(^, ?, 5),
М+__+E, t, г/) = М++++(?, 5, г/),	A27.14)
, ?, и) = M++++(s, г/, *),
М+^	(s, ?, гл) и Af++^	полностью симметричны по перемен-
переменным s, ?, и х) . Поэтому достаточно вычислить лишь 3 из 16
амплитуд, например,
Соотношения A27.10)—A27.12), A27.14) относятся к полным
амплитудам — суммам вкладов всех трех диаграмм A27.1). Но
сами эти вклады связаны между собой соотношениями, очевид-
очевидными из сравнения диаграмм. Так, диаграмма б получается из
диаграммы а заменой &2 ^ — &4? е2 ^ е|' и ПОТОМУ их вклады
в инвариантные амплитуды получаются друг из друга заменой
переменных s <-> и и индексов А2 <-> — А4; аналогично вклад диа-
диаграммы в получится из а заменой t <-> и. Аз <-> — А4.
Вычисление амплитуд. Интеграл М\^\ отвечающий диа-
диаграмме A27.1,а), имеет вид A26.4), причем
\	rn) x
х (Т^ХТЗ - 7^4 + m)Ge^)Gg - 7^1 - 7^2 + т)}. A27.15)
Интегралы A26.4) логарифмически расходятся. В соответ-
соответствии с условием A27.6) их регуляризация осуществляется вы-
вычитанием значения при к\ = &2 = • • • = 0 2) . Вычисление
регуляризованных интегралов, однако, чрезвычайно громоздко.
Наиболее естественный путь для вычисления амплитуд рас-
рассеяния фотона на фотоне основан на использовании двойного
1) Здесь учтена также симметрия по отношению к паре конечных фото-
фотонов. Поскольку три переменные s, t, и не независимы, достаточно было бы
писать два аргумента (например, два первых); мы сохраняем все три лишь
с целью более ясного выявления симметрии их перестановок.
) Отметим, что при суммировании вкладов всех диаграмм расходящиеся
части интегралов сокращаются. В этом легко убедиться, заметив, что асимп-
асимптотический (при q —>- 00) вид интеграла есть
/
После усреднения по направлениям q (ср. A31.10)) след легко вычисляется

§ 127	РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ФОТОНЕ	631
дисперсионного соотношения (В. De Tollis, 1964). Этот метод
наиболее полно учитывает симметрию диаграмм и почти пол-
полностью исключает трудности интегрирования.
Функция A\aJ(s, t) (и аналогично А^.') для каждого задан-
заданного набора спиральностей Ai, A2, A3, А4 вычисляется соглас-
согласно A26.6). Ввиду наличия под интегралом двух E-функций нам
нужно знать значение В(а' лишь при
lj = q2 = га2, lj = (q-ki- k2J = га2;	A27.16)
эти равенства можно учитывать уже при вычислении следа
A27.15). Но для дальнейшей подстановки в A26.22) нам фак-
фактически требуется значение AfJ лишь при t = 0. (Это равенство
означает, что к = к7 и к2 = к±.) Тогда интеграл A26.6) принима-
принимает вид
^)(S'0) = "TV . J [(e-fa)'-m']»
(ср. вывод A15.10)). Введя угол # между q и к, получим
(q — к2J — га2 = — 2а;A — |q| cos 7?) = — y/s\ 1 — - у s — Am2 cos # .
L Z	J
Интегралы A27.17) фактически выражаются через элементар-
элементарные функции. Вычисление же функции А)^ (s, t) согласно ее
определению A26.18) вообще не требует интегрирования, при
этом выражение для В^ должно быть взято для значений q из
A26.15), удовлетворяющих, помимо A27.16), также и условиям
(q — к2J = га2, (q — /С4J = га2.
После вычисления функций A\s, Ац, А2 дисперсионное соот-
соотношение A26.22) дает амплитуду непосредственно в виде одно-
и двукратных определенных интегралов.
Приведем здесь окончательный результат для трех инвари-
инвариантных амплитуд, достаточных,согласно сказанному выше, для
и дает
/
/»4
71J'
Суммирование по диаграммам означает симметризацию этого выражения
по индексам Л, //, г/, р, в результате чего оно обращается в нуль. Подчеркнем,
однако, что это сокращение имеет в известном смысле случайный характер
и не устраняет необходимости регуляризации, хотя она и сводится при этом
к вычитанию конечной величины.

632	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
определения также и всех остальных амплитуд г) :
-^М++++ = -1 - B + **) B(t) - B + ^) В{и) -
8а2	V	s /	V	s /
_ 81	^Л _ 24
s\	t \ s/
т
A27.18)
4 Л 2\ г, ч . \2(t2+u2) 16 4 4 8 1 т(, ч
i6\s/	Ls^	s t и tu\
()
r(s)+T(t)+T(u)] -
t и) L V ;	V ;	V Л
/1	9 \	/1	9
и st/	\t su/	\s tu
8a2	st	su	tu
Здесь введены следующие обозначения:
B(s) = 1/1 - - Arsh
- 1, s < 0,
A27.19)
выражения же в областях 0<s<4hs>4 получаются из
A27.19) путем аналитического продолжения по правилу s —)> s +
+ iO, т. е. через верхнюю полуплоскость этих переменных. (Для
упрощения записи в формулах A27.18),A27.19), и только в них,
буквы s и t обозначают отношения s/m2, t/m2.)
Сечение рассеяния Предельному случаю малых частот
(со <^ га) отвечают малые значения переменных 5, ?, и. Пер-
Первые члены разложения инвариантных амплитуд по этим пере-
переменным:
45т4 '	+ + 45т4 '	+ +	45т4
15m4
х) Некоторые детали преобразований интегралов, различные представле-
представления трансцендентных функций В, Т, I л их предельные выражения — см.
De Tollis ?.//Nuovo Cimento. — 1964. — V. 32. —P. 757; 1965. —V. 35. —P.
1182; Costantini V., De Tollis В., Pistoni C//Nuovo Cimento. —1971. —. V.
2A. —P. 733.

§ 127	РАССЕЯНИЕ ФОТОНА НА ФОТОНЕ	633
Подставив эти выражения в формулу A27.3), получим сечения
рассеяния поляризованных фотонов. Дифференциальное же се-
сечение рассеяния неполяризованных фотонов вычисляется соглас-
согласно A27.13) и равно (в обычных единицах)
,	A27.21)
а полное сечение г)
9ТЗ oof fiiUj \	oof fiiUj \	о
а =	а тр 	 = 0, 031а тр 	 , Нш <С тс .
10125тг	\тс2 /	\тс2 /
A27.22)
В обратном, ультрарелятивистском случае полное сечение
рассеяния неполяризованных фотонов 2)
а = 4,7а4 (-) , Йо; > тс2.	A27.23)
Наконец, укаж:ем дифференциальное сечение рассеяния на
малые углы в ультрарелятивистском случае:
da = — In4 -do, — < в < 1.	A27.24)
тг2а;2 в	Нио
Это выраж:ение справедливо с логарифмической точностью —
следующий член разложения содержит на единицу меньшую сте-
степень большого логарифма. Для перехода к пределу 9 = 0 (рас-
(рассеяние вперед) формула A27.24) непригодна. Вместо нее имеем
здесь
4 2*-	2
da = —— In4 —-do, 6> < —.	A27.25)
i:2{jj2 тс2	Пии
Выраж:ение A27.25) легко получить с помощью общих фор-
формул A27.18), положив в них t = 0 и заметив, что при s ^> 1
наиболее высокую (вторую) степень большого логарифма содер-
содержит лишь функция
^lnln.
т2 / 4 т2	т
С этой точностью отличны от нуля лишь амплитуды
М++++ = М	= М+_+_ = -16e4ln2(o;/m).
Мы видим, в частности, что в этом случае поляризация фотона
при рассеянии не меняется.
) При переходе от da к а надо ввести множитель ^2? учитывающий то-
тождественность двух конечных фотонов.
) К происхождению этой зависимости а от и мы еще вернемся в конце
5 134.

634
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
На рис. 24 изображен график зависимости полного сечения
рассеяния от частоты (в логарифмической, по обеим осям, шка-
шкале). Сечение убывает в сторону как малых, так и больших час-
частот и достигает максимума при fvuj ~ l,5mc2. Излом кривой
сг, 10~30см2	ПРИ Яш — тс2 отражает из-
менение характера процесса
в связи с появлением воз-
возможности образования ре-
реальной электронной пары.
Случай малых частот.
В случае малых частот {ио <С
<С т) амплитуду рассеяния
фотона на фотоне можно по-
получить также и совсем иным
способом, исходя из попра-
поправочных членов в функции
Лагранжа слабого электромагнитного поля (см. ниже, § 129).
Малая поправка к гамильтониану взаимодействия V1 отлича-
отличается лишь знаком от малой поправки к лагранжиану. Согласно
A29.21) имеем
10"
101
Рис. 24
2
hu/mc
V' = ~
|{(Ё2 -
Н2J + 7(ЁЙJ}
A27.26)
Поскольку этот оператор — четвертого порядка по полю, он
имеет матричные элементы для интересующего нас перехода уже
в первом приближении.
Для вычисления надо подставить в A27.26)
H = rotA,
A27.27)
Ё = - —,
А =
-ikx
кЛ
(А — номер поляризации), после чего элемент ^-матрицы вычис-
вычисляется как
= -i(f\Jv'dt\i) = -г(
A27.28)
(ср. § 72, 77). При нормировке А, как в A27.27), амплитуда рас-
рассеяния Mfi непосредственно определяется по Sfi согласно
+ h - кг - k2)Mfi	A27.29)
(ср. § 64). Среднее значение в A27.28) вычисляется по теореме
Вика с помощью G7.3), причем свертывать надо, разумеется,
только «внешние» операторы Скд, с^д с внутренними А.

§ 128	КОГЕРЕНТНОЕ РАССЕЯНИЕ ФОТОНА В ПОЛЕ ЯДРА	635
§ 128. Когерентное рассеяние фотона в поле ядра
Другими (наряду с рассеянием фотона на фотоне) нелиней-
нелинейными эффектами, описывающимися квадратными диаграммами
вида A27.1), являются распад одного фотона во внешнем по-
поле на два фотона (и обратный процесс «слияния» двух фотонов
в один) и рассеяние фотона во внешнем поле. Первому процес-
процессу отвечают диаграммы, в которых один из четырех внешних
фотонных концов заменен линией внешнего поля. Второму же
процессу отвечают диаграммы с двумя внешними линиями ре-
реальных и двумя — виртуальных фотонов.
К последней категории относится, в частности, когерентное
(упругое) рассеяние фотона в постоянном электрическом поле
неподвижного ядра. В общем случае вычисления приводят к
очень громоздким формулам (содержащим кратные квадрату-
квадратуры) х) . Мы ограничимся здесь лишь некоторыми оценками.
В силу требований калибровочной инвариантности амплиту-
амплитуда рассеяния при ио —>> 0 должна содержать произведения ком-
компонент 4-импульса начального (к) и конечного (А/) фотонов (по-
(подобно тому как разложение амплитуды рассеяния фотона на фо-
фотоне начинается с четверных произведений компонент 4-импуль-
сов всех фотонов). Другими словами, амплитуда рассеяния фо-
фотона малой частоты пропорциональна ио2. Учитывая также, что
эта амплитуда содержит внешнее поле (поле ядра с зарядом Ze)
во втором порядке, заключаем, что сечение рассеяния
-) do, o;<m.	A28.1)
т/
Зависимость от частоты находится, разумеется, в соответствии
с общими заключениями § 59.
Коэффициент в A28.1) нельзя вычислить с помощью функ-
функции Лагранжа однородного электромагнитного поля (как это
можно было сделать для рассеяния света на свете). Причина за-
заключается в том, что в данном процессе существенны расстояния
от ядра г ~ Z/ra, на которых поле ядра нельзя рассматривать как
однородное.
Приведем результат точного расчета:
da++ = da— = 1,004 • 10~3 {Zafr2e (-У cos4 -do,
da+_ = da_+ = 3, 81 • 10{Zafr2e (-) sin4 - do.
^Cm. Costantini V., De Tollis В., Pistoni C//Nuovo Cimento. — 1971. — V.
2A. — P. 733; De Tollis В., Lusignoli M., Pistoni C//Nuovo Cimento. — 1976. —
V. 32A. —P. 227.

636	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Индексы «+» и « —» обозначают здесь (как ив § 127) спирально-
сти +1 или — 1 конечного или начального фотонов; в — угол рас-
рассеяния в системе покоя ядра (V. Costantini, В. de Tollis,
G. Pistoni, 1971).
Для оценки сечения при высоких частотах воспользуемся оп-
оптической теоремой (см. § 71). Промежуточное состояние, фигу-
фигурирующее в правой части соотношения унитарности, является в
данном случае состоянием электрон-позитронной пары (ему от-
отвечает рассечение диаграмм по двум внутренним электронным
линиям между фотонными концами). Поэтому оптическая теоре-
теорема связывает амплитуду упругого рассеяния фотона на нулевой
угол с полным сечением образования пары фотоном в поле яд-
ра сгпар- Определив амплитуду /(о;, в) рассеяния на угол 9 так,
чтобы сечение рассеяния было da = \f\2do (ср. G1.5)), будем
иметь
Im/(o;, 0) = ^сгпар.
Сечение <тпар отлично от нуля, разумеется, лишь при ио > 2т. В
ультрарелятивистском случае, взяв <тпар из (94.6), получим
/"(ш) ее Im/(w, 0) = J-(ZaJre-\ln— - — 1, ш » т. A28.3)
9тг	ml m 42 J
Вещественная часть амплитуды рассеяния определяется по
мнимой части дисперсионным соотношением. Это соотношение
должно быть написано «с одним вычитанием», т. е. его надо пи-
писать для функции f/t (где t = о;2), поскольку при ио —)> 0 ам-
амплитуда / ос ио2 (ср. с соотношением «с двумя вычитаниями»
A11.13)). Выделяя вещественную часть дисперсионного интегра-
интеграла (для чего достаточно понимать интеграл в смысле главного
значения) и перейдя от интегрирования по t1 = а/2 к интегриро-
интегрированию по ио1', имеем
, 0) = ^!
7Г
2т
При ио ^> т в интеграле существенны значения ио' ~ ио ^> т,
так что для f"(oo') можно использовать выражение A28.3); при
этом нижний предел интеграла можно заменить нулем. Главное
значение интеграла можно представить как полусумму интегра-
интегралов по путям, проходящим по верхнему и нижнему берегам пра-
правой вещественной оси в плоскости комплексной переменной ио']
в свою очередь, эти пути можно затем повернуть в плоскости
ио' до совпадения соответственно с верхней и нижней мнимыми

§ 129	ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	637
полуосями. В результате f'(oo) представится в виде
оо	оо
9тг	т
Ш2+^2)	9тг
О
и окончательно
Re/(о;, 0) = -(Zafre-.	A28.5)
18	m
Обратим внимание на то, что вещественная часть амплитуды, в
отличие от мнимой части, не содержит большого логарифма.
Сумма квадратов выражений A28.3) и A28.5) дает сечение
рассеяния на нулевой угол:
2
аа
= J?_(ZaLr2 f^ {ln2^i^ + ^ko	A28.6)
(F. Rohrlich, R. L. Gluckstern, 1952).
Полученный для рассеяния строго вперед результат A28.6)
пригоден и в некоторой области малых углов. Можно показать,
что условие его применимости в <С (га/о;J. Эта область, однако,
вносит лишь малый вклад в полное сечение рассеяния. Основной
же вклад в полное сечение дает область углов в < га/а;; это легко
понять на основании общего (не на нулевой угол) соотношения
унитарности, связывающего друг с другом амплитуды рассея-
рассеяния фотона и образования пар фотоном. В этой области, однако,
логарифмический член отсутствует, так что полное сечение рас-
рассеяния
а ~ {Zafr\ (-) 2 в2 ~ (ZaLr2e	A28.7)
\т/
(Н. A. Bethe, F. Rohrlich, 1952). Таким образом, при больших ио
сечение когерентного рассеяния стремится к постоянному пределу.
§ 129. Радиационные поправки к уравнениям
электромагнитного поля
При квантовании электрон-позитронного поля (см. § 25) мы
видели, что в выражении для энергии вакуума появляется бес-
бесконечная постоянная, которую можно записать в виде х)
?(ра\	A29.1)
ра
1) Пишем здесь ? вместо Е во избежание путаницы с напряженностью
электрического поля.

638	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
где ?ра — отрицательные частоты решений уравнения Дирака.
Сама по себе эта постоянная не имеет физического смысла, так
как энергия вакуума равна нулю по определению. С другой сто-
стороны, при наличии электромагнитного поля уровни энергии e^J
будут меняться. Эти изменения конечны и имеют определенный
физический смысл. Они описывают зависимость свойств про-
пространства от поля и меняют уравнения электромагнитного поля
в вакууме.
Изменение уравнений поля выражается в изменении его функ-
функции Лагранжа. Плотность L функции Лагранжа является реля-
релятивистским инвариантом и потому может быть функцией лишь
от инвариантов Е2 — Н2 и ЕН. Обычное выражение
Lo = — (Е2-Н2)	A29.2)
8тг
есть первый член разложения общего выражения по степеням
инвариантов.
Мы найдем функцию Лагранжа в случае, когда поля Е и Н
настолько медленно меняются в пространстве и времени, что их
можно считать однородными и постоянными; тогда L не содер-
содержит производных от полей. На формулировке необходимых для
этого условий мы остановимся в конце параграфа.
Однако для того чтобы поставленная задача имела смысл,
необходимо еще предполагать электрическое поле достаточно
слабым. Дело в том, что однородное электрическое поле может
рождать из вакуума пары. Рассмотрение поля самого по себе как
замкнутой системы допустимо, лишь если вероятность образова-
образования пар достаточно мала. Именно, должно быть
w)	A293)
(изменение энергии заряда е на расстоянии Н/ (те) должно быть
мало по сравнению с тс2). Мы увидим ниже (см. также зада-
задачу 2), что в таком случае вероятность образования пар экспо-
экспоненциально мала.
Если наряду с электрическим полем имеется также и маг-
магнитное, то, вообще говоря, можно выбрать систему отсчета, в
которой Е и Н параллельны. Тогда магнитное поле не влияет на
движение заряда в направлении Е. Именно в этой системе (вы-
(выбор которой будет подразумеваться в дальнейших вычислениях)
и должно выполняться условие A29.3).
Вычисление функции Лагранжа начнем с определения изме-
изменения W' энергии вакуума. Величина W' дается изменением за
счет поля «нулевой энергии» A29.1). Из этой величины, одна-
однако, надо еще вычесть средние значения потенциальной энергии

§ 129	ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	639
электронов в «состояниях» с отрицательной энергией. Послед-
Последнее вычитание означает просто, что полный заряд вакуума по
определению равен нулю.
Нулевая энергия при наличии поля:
A29.4)
/	Ol
per	per
где фра — отрицательно-частотные решения уравнения Дирака
в данном поле.
Будем предполагать, что интегрирование ведется по единич-
единичному объему, а волновые функции нормированы на 1 в этом объ-
объеме; тогда ?q есть энергия единицы объема. Согласно сказанному
выше из ?q надо вычесть величину
pa
f
J
где ip = — Er — потенциал однородного поля. Но согласно теореме
о дифференцировании оператора по параметру (см. III, A1.16))
per J	per
Таким образом, окончательно полное изменение плотности энер-
энергии вакуума
W = (So - В^) - (So - Ъ—)	•	A29.5)
Свяж:ем W' с изменением плотности лагранжиана V (L =
= Lq + L'). Для этого воспользуемся общей формулой
W = l^ql^~Li
где q—«обобщенные координаты» поля (см. II, § 32). Для элек-
электромагнитного поля роль величин q играют потенциалы А и (р.
Поскольку
H = rotA,	A29.6)
то из числа «скоростей» q в L входит лишь А, а дифференциро-
дифференцирование по А эквивалентно дифференцированию по Е. Поэтому
W1 = Е— - L1.	A29.7)
<9Е	V	J

640	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Сравнив A29.5) и A29.7), найдем
Ь' = -[?о-?оЫ=н=о\.	A29.8)
Таким образом, вычисление V сводится к вычислению суммы
A29.1).
Рассмотрим сначала случай, когда имеется лишь магнитное
поле. «Отрицательные» уровни энергии электрона (заряд е =
= — |е|) в постоянном однородном поле Hz = Н
-4~} = -у/т2 + \е\НBп - 1 + а) + р2,	A29.9)
гс = 0, 1, 2, ... ; а = ±1
(см. задачу к § 32). Для вычисления суммы учтем, что число
состояний в интервале dpz есть
\e\Hdpz
2тг 2тг
(см. III, § 112); первый множитель есть число состояний с раз-
различными значениями рХ1 от которых энергия не зависит. Кроме
того, все уровни, за исключением лишь уровня с п = 0, а =
= — 1, двукратно вырождены: совпадают уровни с n, a = +1 и
п + 1, а = —1. Поэтому
V^T^f + 2
B7ГJ - V
-оо	n~L
A29.10)
Расходимость интегралов в A29.10) устраняется при вычис-
вычислении V A29.8) вычитанием значения суммы при Н = 0. Для
проведения этой «перенормировки» удобно вычислить сначала
сходящееся выражение
(дт2J	2BтгJ
оо
X
О "	n=1
8тг2 [т2
8тг2 . ...
71 = 1
Суммирование в фигурных скобках мож:но свести к суммирова-

§ 129	ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	641
нию геометрической прогрессии следующим способом:
оо
= -Ш [,
8тг2 J
ф =
L п=о
оо
_ \е\Н
8тг2
О
dr] =
оо
_ \е\Н
8тг2
О
Г е~ш2т] cth(\e\Hr])dr]. A29.11)
Для нахождения V надо теперь дважды проинтегрировать Ф по
т2, после чего в
Н = 0. Находим
т2, после чего вычесть значение получающейся величины при
/2
^р{г/|е|Яcth(|e|tf) -
A29.12)
где ci и С2 зависят от i7, но не зависят от т2.
Из соображений размерности и четности по Н очевидно, что
V как функция от Н и m должна иметь вид
L =m f ( —
Vm4
Поэтому членов, нечетных по т2, в L7 вообще не может быть,
так что С2 = 0. Коэффициент же с\ определяется из условия,
чтобы разложение V по степеням Н2 начиналось с члена ~ Н^.
Действительно, член ~ Н2 в V означал бы просто изменение
коэффициента в исходном лагранжиане Lq = —Н2/(8тг). Но это
было бы, по существу, изменением определения напряженности
поля, а тем самым и заряда. Поэтому устранение членов ~ Н2
означает перенормировку заряда. Легко проверить, что для это-
этого надо положить
оо
ЯV Г е-" ,
с\ =	 / — ат\.
3 • Этт2 У ц '
о
Наконец, произведя еще в A29.12) замену переменной m2r] —>• г/,
21 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

642	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
получим окончательно
оо
L'(H; Е = 0) = ^-2 [{-rjbtibbq + 1 + ^}е"^, A29.13)
где b = \е\Н/т2.
Вернемся к общему случаю, когда наряду с магнитным име-
имеется также и параллельное ему электрическое поле Е, удовлет-
удовлетворяющее условию A29.3).
Для вычисления V в этом случае нет, однако, необходимо-
г	-	(-)
сти решать заново задачу оо определении уровней энергии е\,
электрона в поле. Достаточно заметить, что если искать волно-
волновую функцию — решение уравнения второго порядка C2.7)—в
виде произведения
где Хпа — волновая функция в магнитном поле при Е = 0 и pz =
= 0, то масса т и поле Н войдут в уравнение для Фе(%) лишь в
комбинации
ш2 + |е|ЯBп + 1 + а).
Если теперь учесть, что суммирование по рх (от которого уровни
энергии не зависят) по-прежнему дает множитель \е\Н/Bтг), то
из соображений размерности величину
ф(#, Е) =
(dm2J
можно записать в виде
|е|ЯBп
_^	\е\Н
т2 + р.\Я
п=0а=±1
±1±21)
а = Щ A29.14)
(каж:дый член этой суммы есть производная — d2e\>
просуммированная по всем квантовым числам, кроме п). Здесь
F — неизвестная пока функция, которую мы найдем из сообра-
соображений релятивистской инвариантности.
Действительно, Ф должно быть функцией скаляров Н2 — Е2
и (ЕНJ = (ЕНJ:
Ф(#, Е) = f(H2 - Е2, (ЕНJ).

129
ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
643
Поэтому
Ф@, Е) = f(-E2, 0) = Ф({Е, 0).
Но функция Ф(гЕ, 0) получается из A29.11) заменой Н —>> гЕ]
после переобозначения переменной интегрирования найдем
оо
ф{гЕ, 0) = — / (
8тг2 J
A29.15)
Сравнив это выражение с пределом Ф(Д" —>> 0, ?7), вычисленным
из A29.14), мы сможем найти функцию F.
Переход к пределу Н —>• 0 в A29.14) производится путем за-
замены суммирования по п интегрированием по dn = dx/Bb):
ф@, ??) = -J-
V ' J	8тг2
(X)
1 + ж	8тг2 J
A29.16)
V	7
I/a
Приравняв выражения A29.15) и A29.16) и продифференциро-
продифференцировав это равенство по I/a = z, получим
= — I e r'zri ctg r\ dr\.
После этого суммирование в A29.14) снова сводится к сумми-
суммированию геометрической прогрессии, и дальнейшие вычисления
аналогичны произведенным выше: выражаем Ф через гп?, Е и i7,
интегрируем дважды по т2, вычитаем значение при Е = Н =
= 0 и определяем постоянные интегрирования, как при выводе
A29.13). Окончательный результат :) :
L' = -^ Je-^{-
?тг2с3 / '
_ \e\Hf_
т2 V
A29.17)
\e\hH\
?тг2с3 /
1)Этот результат был впервые получен Гейзенбергом и Эйлером
(W. Heisenberg, H. Euler, 1935). В изложенных вычислениях использованы
также идеи вывода, предложенного Вайскопфом (V. Weisskopf, 1936).
21*

644	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Параметры а и b можно записать в инвариантном виде
!|е
а = —
A29.18)
где Т и Q обозначают инварианты:
т = ^(н2 - е2), д = ен, т±%д = ±(н ± еJ. A29.19)
После того как формула A29.17) выражена через инварианты
J- и д, она тем самым становится применимой в произвольной
системе отсчета (а не только в той, где Е || Н).
Сразу же отметим несколько условный характер записи фор-
формулы A29.17). Она пригодна лишь при соблюдении условия ма-
малости электрического поля: а <^1 A29.3) (не учтенного в A29.17)
в явном виде). Это проявляется в том, что подынтегральное вы-
выражение в A29.17) имеет полюсы при г/ = птг/а (п = 1, 2, ...),
так что в написанном виде интеграл, строго говоря, не имеет
смысла. Поэтому A29.17) может, по существу, служить лишь для
получения членов асимптотического (см. ниже) ряда по степеням
а путем формального разложения ctga.
Математически интегралу A29.17) можно придать смысл, об-
обходя полюсы в плоскости комплексного г/. При этом у L', а тем
самым и у плотности энергии W' появляется мнимая часть. Ком-
Комплексность энергии, как обычно, означает квазистационарность
состояния х) . В данном случае стационарность нарушается ро-
рождением пар, а величина —21m.W' есть вероятность w рожде-
рождения пары в единице объема в единицу времени; так как малые
добавки к W и L отличаются только знаком, то вероятность w,
выраженная через Е и i7, равна просто
w = 2ImLr.	A29.20)
Очевидно, что она пропорциональна е~п/а (см. ниже A29.22)).
Именно вследствие экспоненциальной малости Im Wf при а ^С 1
имеет смысл асимптотический ряд по степеням а с сохранением
в нем любого конечного числа членов.
Рассмотрим предельные случаи формулы A29.17). В слабых
полях (а ^С 1, Ь <С 1) первые члены разложения:
L' = ^(а2Ь2J + ?ИJ	А^	2
8тг2	45	45-87r2m4
1) Направление обхода в интеграле должно быть выбрано так, чтобы бы-
было ImVF7 < 0. Этому требованию отвечает обычное правило замены массы
т2 —>- т2 — гО (в данном случае а —»¦ а + гО).

§ 129	ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	645
В частности, при 6 = 0 относительная поправка
L/	2
а
— = а	.
Lq	45тг
Мнимая часть L' при а <С 1 получается из интеграла A29.17)
взятием полувычета в ближайшем к нулю полюсе котангенса,
т. е. при г/а = тг — гО. Согласно A29.20) она дает вероятность
рождения пары слабым электрическим полем:
w = f.a\-*l\
4тг3
или, в обычных единицах:
1 / еЕП\2тс2 fтс\3 ( тгш2с3\	/mnoo\
w = — 	 	 — exp —	 .	A29.22)
4тг3 Vm2c3/ П\П) FV \е\ПЕ )	V	У
В сильном магнитном поле (а = 0, Ъ ^> 1) исходим из фор-
формулы A29.13), записанной (после замены Ъг\ -Л г\) в виде
оо
8тг2 J ц L3
г]2
'
0
При Ь> 1 в этом интеграле существенна область 1 <^ r\ <^ b. В
ней е~Г]' ~ 1, и мож:но пренебречь вторым членом в скобках, а
интеграл обрезать (с логарифмической точностью) на пределах
г/ « 1 и г/ « 6. Тогда
L' = ^-^In6	A29.23)
(более точное вычисление заменяет In Ь на In 6 — 2,29). В этом
случае
— « — In о.
Lo Зтг
Отсюда видно, что радиационные поправки к уравнениям поля
могли бы достигнуть относительного порядка единицы лишь в
экспоненциально больших полях:
Я « !^!е37г/«.	A29.24)
к
Тем не менее вычисленные поправки имеют смысл: они нару-
нарушают линейность уравнений Максвелла и тем самым приводят
к наблюдаемым, в принципе, эффектам (например, к рассеянию
света на свете или во внешнем поле).
Связь напряженностей Е и Н с потенциалами А и ср остается,
по определению, прежней—A29.6). Поэтому не меняется также
и первая пара уравнений Максвелла:
divH = 0, rotE = - —.	A29.25)

646	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Вторая же пара уравнений получается путем варьирования дей-
действия
S =
= f(L0 + L')dAx
по А и (р. Они могут быть записаны в виде
rot(H - 4тгМ) = — (Е + 4тгР),	A29.26)
div(E + 47rP) =0,	A29.27)
где введены обозначения:
йТ'	йТ'
Р = —, М = —.	A29.28)
uhj	Gx1
По форме уравнения A29.25)—A29.27) совпадают с макроскопи-
макроскопическими уравнениями Максвелла для поля в материальной сре-
среде :) . Отсюда видно, что величины Р и М имеют смысл векторов
электрической и магнитной поляризации вакуума.
Отметим, что Р и М обращаются в нуль для поля плоской
волны, в котором, как известно, оба инварианта Е2 — Н2 и ЕН
равны нулю. Другими словами, для плоской волны нелинейные
поправки в вакууме отсутствуют.
Остановимся, наконец, на условиях применимости получен-
полученных формул. Для того чтобы поля можно было считать посто-
постоянными, их относительные изменения на расстояниях или проме-
промежутках времени ~ 1/га должны быть малы; этим обеспечивается
малость связанных с производными поправок к Lq по сравнению
с самим Lq. Так, если поле зависит только от времени, это при-
приводит к естественному условию
о;<га.	A29.29)
Для случая слабого поля, однако, имеется и более жесткое
условие. Оно возникает из требования, чтобы член четвертого
порядка A29.21) был велик по сравнению с квадратичной по про-
производным поправкой к Lq] в противном случае этот член потерял
бы смысл. Так, для электрического поля, зависящего только от
времени, это приводит к условию
ш « т^,	A29.30)
гп2
более жесткому, чем A29.29).
Условие A29.30) не возникает, однако, при решении задачи о
рассеянии фотона на фотоне, рассмотренной в последнем разде-
разделе § 127. Там мы с самого начала интересуемся только четырех-
фотонным процессом, описываемым членами четвертого поряд-
порядка в функции Лагранжа, и вопрос об относительном значении
1)См. VIII, § 75. При сравнении надо помнить, что в макроскопической
электродинамике среднее значение микроскопической напряженности маг-
магнитного поля обозначается через В, а не Н, как здесь.

§ 130	ПОПРАВКИ К УРАВНЕНИЯМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ	647
других членов в V не имеет отношения к делу. Поэтому доста-
достаточно было потребовать выполнения лишь условия A29.29).
Задачи
1. Определить поправку к полю малого неподвижного заряда ei, свя-
связанную с нелинейностью уравнений Максвелла.
Решение. При Н = 0 имеем из A29.21)
Ш Л?	A)
Р	ЪЕ?.
<9Е 90тг2ш4
В центрально-симметричном случае из A29.27) находим
(Е + 4тгР)г2 = const = ei	B)
(постоянная определена из условия, что при г —»¦ оо поле совпадает с куло-
новым полем заряда е\). Приближенно решая B), получаем
45тгт4г4'
Y	(з)
г \ 225тгш4г4>
Нелинейную по ei поправку в C) следует отличать от линейной поправ-
поправки в A14.6), связанной в конечном счете с неоднородностью кулонова поля.
Поправка C) более высокого порядка по а, но медленнее убывает с расстоя-
расстоянием и быстрее растет с увеличением е\.
2. Непосредственно оценить вероятность рождения пары в слабом одно-
однородном постоянном электрическом поле в квазиклассическом приближении
с экспоненциальной точностью (F. Sauter, 1931).
Решение. Движение в слабом поле Е (медленно меняющийся потен-
потенциал (р = — Er = —Ez) квазиклассично. Поскольку в амплитуду реакции
волновая функция конечного позитрона входит в виде начальной «отри-
«отрицательно-частотной» функции, рождение пары можно рассматривать как
переход электрона из «отрицательно-частотного» в «положительно-частот-
«положительно-частотное» состояние. В первом из них при наличии поля квазиклассический им-
импульс определяется равенством
е = —\/p2{z) + т2 + | е \Ez,	A)
а во втором
е = -\-\/p2{z) + т2 + | е \Ez,	B)
Переход из первого состояния во второе есть переход через потенциальный
барьер (область мнимого p(z)), разделяющий области зависимостей A) и B)
с вещественными p(z) при заданном е. Границы этого барьера z\ и z2 лежат
при p(z) = 0, т. е.
е = -т + | е \Ezi, е = +т + | е \Ez2.
Вероятность перехода через квазиклассический барьер
Z\	1
w ос ехр (-2 I Mz)\dz) =ехр(-4— \ yj\ -?*d?\,
\ J	J	\ eE J	)
Z2
откуда
^2 .
/ 7ГШ \
w ос ехр	,
что в согласии с A29.22).

648	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
§ 130. Расщепление фотона в магнитном поле
Нелинейные поправки в уравнениях электромагнитного поля
приводят к ряду специфических эффектов при распространении
фотонов во внешних полях.
С целью придания этим уравнениям более обычного вида (ср.
примеч. на с. 646), будем обозначать в этом параграфе напря-
напряженности электрического и магнитного полей буквами Е и В;
буквами же D и Н обозначим величины
D = Е + 4тгР, Н = В - 4тгМ, Р = —, М = —.
Тогда уравнения A29.25)—A29.27) примут вид
divB = 0, rotE = - —,
да	A30.1)
divD = 0, rotB= —.
dt
Рассмотрим распространение фотона в постоянном однород-
однородном магнитном поле Bq. Обозначив величины, относящиеся к
слабому полю электромагнитной волны, буквами со штрихом,
будем иметь для них уравнения
[кН'] = -сЛУ, [кЕ']=.В',
kB' = 0,	kD' = 0,	V ;
причем
D'i = eikE'k, В[ = vikH'k;	A30.3)
тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости вакуума
являются функциями внешнего поля Bq. Предполагая это поле
слабым в смысле | е {Во/т2 <С 1, найдем из лагранжевой функ-
функции A29.21):
%: )	2 /	A30.4)
= Sik ^l[	)
где b = Bq/Bq.
Напомним, что частота фотона предполагается малой: ш <^т
(условие A29.29)). Отметим, однако, что характер структуры
тензоров sik и цж не связан с этим предположением, а являет-
является следствием уже инвариантности квантовой электродинамики
относительно пространственной инверсии и зарядового сопряже-
сопряжения. Так, первая запрещает появление в D7 членов вида const-В7
и const • Во(ВоВ7) (инверсия меняет знак Е и D при неизменных
Н и В), а вторая запрещает появление в е^ и /^ антисимметрич-
антисимметричных и нечетных по Bq членов вида е^\В^\ (зарядовое сопряжение
меняет одновременно знак всех полей).

§ 130	РАСЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	649
Ввиду наличия в рассматриваемой задаче избранной плос-
плоскости— плоскости, проходящей через к и Ь, — в качестве двух
независимых поляризаций фотона естественно выбрать линей-
линейные поляризации в этой плоскости и перпендикулярно ей. Будем
отмечать индексами _L и || поляризации, при которых вектор В7
соответственно перпендикулярен плоскости k, b или лежит в
ней.
В случае перпендикулярной поляризации вместе с вектором
В7 перпендикулярен плоскости k, b также и вектор Н7:
В7 =
45т4
Векторы же Е7 и D7 лежат в плоскости k, b. В этом случае из
уравнений A30.2) получаем закон дисперсии фотонов в виде к =
= п±_ио с «показателем преломления» (обычные единицы)
^sin2#,	A30.5)
п± 1 +
90m4c
где в — угол между к и Bq х) .
Во втором случае векторы В7 и Н7 лежат в плоскости k, b, a
векторы Е7 и D7 перпендикулярны ей. Для показателя прелом-
преломления получается
пи = 1 + -**^-В$ sin2 0.	A30.6)
11	45т4с7
Отметим, что п_\_ ^ пц. Знак равенства достигается при 6 = 0,
когда п± = пц = 1.
Наиболее интересным проявлением нелинейности уравнений
Максвелла с учетом радиационных поправок является расщепле-
расщепление фотона на два фотона во внешнем магнитном поле
(S. L. Adler, J. N. Bahcall, С. G. Callan, М. N. Rosenbluth, 1970).
В постоянном и однородном поле этот процесс идет с сохра-
сохранением энергии и импульса 2) . При распаде фотона к на фотоны
ki и к2 имеем
о;(к) = o;(ki) + о;(к2), ki + k2 = к.	A30.7)
Для фотонов в вакууме в отсутствие внешних полей ио = к и
равенства A30.7) могут выполняться лишь для трех фотонов,
движущихся в одном направлении. Но и в таком случае распад
*) Выразив В7 через И' во втором из уравнений A30.2), подставим из него
Л' в первое уравнение, после чего спроецируем последнее на направление
Ь. Произведение кЕ7 выражается через ЬЕ7 из уравнения kD7 = 0.
2) Сохранение импульса связано с пространственной однородностью поля,
но имеет место, конечно, лишь для процессов с незаряженными частицами.
В лагранжеву функцию заряженных частиц входят не только напряженно-
напряженности, но и потенциалы поля, зависящие от координат и в однородном поле.

650	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
строго запрещен инвариантностью относительно зарядового со-
сопряжения— в силу теоремы Фарри (см. § 79) сумма диаграмм с
тремя фотонными внешними концами обращается в нуль.
Наличие внешнего поля делает распад фотона возможным
(он изображается диаграммами с тремя фотонными концами и
одной или более линиями внешнего поля). Но эта возможность
оказывается связанной с характером поляризации фотонов. Эту
связь можно установить уже из анализа законов сохранения
A30.7) с учетом изменения закона дисперсии фотона в магнит-
магнитном поле.
Запишем закон дисперсии в виде
ш = к + Р(к),	A30.8)
где /3(к) — малая (в слабом поле) добавка. Ее наличие делает, в
принципе, возможным выполнение равенств A30.7) для импуль-
импульсов ki, k2, лежащих в некотором узком конусе вблизи направле-
направления к. Ввиду близости направлений всех трех векторов к, к]_, к2
можно в малых членах /3(к) положить их все направленными
вдоль к и считать, что к\ -\-к2 = к. Тогда закон сохранения энер-
энергии запишется как
Р(хк) - /3i(*fci) - РъЫк ~ h)) = h + |k - ki| - к
(x = k/fc); поскольку закон дисперсии зависит от поляризации
фотона, функции /3, P\,Pi могут быть различными. Учитывая,
что
|k-ki| = p-fciJ + 2?;?;i(l-cos#)]1/2 « к - кг + kkl $2
2 (к — ki)
(# — малый угол между к и ki), имеем
^ > 0. A30.9)
)
Это неравенство определяет необходимые для распада свойства
закона дисперсии.
Для частот ио <^ т закон дисперсии дается формулами
A30.5),A30.6), так что /3(к) « —к[п(к) — 1], где функция п(к)
зависит от направления, но не от величины вектора к. Тогда
должно быть
fcini(x) + (k- ki)n2{>c) - кп(*с) > 0.	A30.10)
Поскольку п_\_ > пц, этим условием сразу исключаются распады
7.1 ->7|| +7|h 7± -^7|| +7±?
где символ 7 означает фотон, а индексы _L и || отвечают двум
определенным выше поляризациям :) .
:) Численные расчеты показывают, что неравенство п± > щ верно не толь-
только при и ^С т (когда справедливы выражения A30.5),A30.6)), но и при всех
и < 2т (порог для рождения пар фотоном).

§ 130	РАСЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	651
Для распадов
7.L ~> 7.L + 7-Ь 7|| ~+ 7|| + 7||
левая часть неравенства A30.10) обращается в нуль, поскольку
функции п, п\ , П2 одинаковы. Для выяснения вопроса в этом
случае необходимо учесть зависимость коэффициента преломле-
преломления от /с, появляющуюся по мере увеличения ио. Требуемое нера-
неравенство:
&]_п(х, к\) + (к — fci)n(x, fc — fci) — кп(н, к) > 0.
Уже из общих соображений можно утверждать, что n(x, fc) —
возрастающая функция /с, и потому это неравенство не может
быть выполнено, так что рассматриваемые распады тоже невоз-
невозможны (действительно, заменив п(к — к\) и п{к{) на п(А;), мы
заведомо увеличим всю сумму, между тем как после замены она
станет лишь равной нулю). Сделанное утверждение относится
к любым прозрачным средам и является следствием формулы
Крамерса-Кронига для показателя преломления (ср. VIII, § 84).
В данном случае внешнее поле представляет собой «прозрачную
среду» для фотонов всех частот ио < 2т — вплоть до порога рож-
рождения пар, т. е. появления поглощения фотонов.
Таким образом, единственными разрешенными процессами
распада оказываются
7|| ^7±+7±,	A30.11)
7||->7||+7±-	A30.12)
Уже было отмечено, что импульсы ki и к2 направлены под малы-
малыми углами # к импульсу начального фотона к. Если пренебречь
этими углами, т. е. считать импульсы всех фотонов параллель-
параллельными (будем называть такое приближение коллинеарным), то
распад A30.12) окажется невозможным, как это видно из следу-
следующих рассуждений.
Аналогично A27.14), представим амплитуду распада в виде
где е, ei, e2 — 4-векторы поляризации фотонов, определенные,
как обычно, по их 4-потенциалам А. Выбрав трехмерную кали-
калибровку потенциалов, е = @, е), перепишем это выражение в виде
Две независимые поляризации определяются ортами х)
ем || [kb], e± || [k[kb]].	A30.13)
:) Индексы || и J_ соответствуют определенным выше поляризациям. Надо
помнить, что орты е определяют направления векторного потенциала А (и
тем самым поля Е7) и перпендикулярны направлению В7.

652	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
Легко видеть, что в разложении
Мт =
AAiA2
(индексы A, Ai, A2 пробегают значения _L, ||; ср. A27.9)) век-
векторы е^ должны встречаться в каждом члене четное @ или 2)
число раз. Действительно, амплитуда Mfi инвариантна относи-
относительно преобразования GР, а поскольку потенциалы А (а с ними
и е) СР-инвариантны, то должен быть СР-инвариантен также
и тензор Mih\. При СР-преобразовании ец —>> ец, е^ —>> —е^
(зарядовое сопряжение меняет знак Ь, а инверсия меняет знак
к, оставляя аксиальный вектор b неизменным). Поэтому если
в каком-либо члене разложения вектор е^ входит один раз, то
соответствующий скаляр М\\1\2 должен быть СР-нечетен. Но
из единственных двух (в коллинеарном приближении) векторов
k = ki = к2 и Ь, которые оба меняют знак при СР-преобразова-
СР-преобразовании, нельзя составить СР-нечетного скаляра, чем и доказывает-
доказывается сделанное утверждение.
Таким образом, в коллинеарном приближении распад A30.12)
запрещен. Более детальная оценка показывает, что отношение
амплитуды этого процесса к амплитуде разрешенного в колли-
коллинеарном приближении распада A30.11):
^II±J - $2 ~ a2 (J^j,	A30.14)
где
(углы # оцениваются из A30.9) как #2 ~ п± — пц).
Тот факт, что из всех распадов оказывается возможным (в
главном приближении) лишь распад 7|| —^ 7-L +7±> означает, что
в неполяризованном пучке фотонов, распространяющихся в маг-
магнитном поле, в конце концов устанавливается перпендикулярная
(_L) поляризация.
Перейдем к вычислению амплитуды распада Mfi = М^_цц
по теории возмущений, т. е. в предположении В о ^С Вкр.
Первые (по а и по внешнему полю) неисчезающие фейнма-
новские диаграммы имеют вид
к2
A30.15)

§ 130	РАСЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	653
(со всеми возможными перестановками концов), где три конце-
концевые линии отвечают фотонам, а одна — внешнему полю. Но в
коллинеарном приближении соответствующая этим диаграммам
амплитуда обращается в нуль. Действительно, в силу калибро-
калибровочной инвариантности внешнее поле может войти в амплитуду
процесса лишь в виде 4-тензора его напряженностей F^, а 4-век-
торы поляризации фотонов — лишь в антисимметричных комби-
комбинациях
с волновыми 4-векторами. Окончательное выражение для ампли-
амплитуды строится из тензора внешнего поля F^, тензоров /^ /i/^,
Ни,» тРех фотонов и их волновых 4-векторов к^ к\у^ А^; при
этом оно должно быть линейным по каждому из тензоров /^,
а для диаграмм A30.15) —линейным и по F^v. В коллинеарном
приближении 4-векторы к\ и А;2 сводятся к к: к\ = кио\/ио, А;2 =
= ксоэ/оо. В этих условиях всякое скалярное произведение, по-
построенное указанным образом, обращается тождественно в нуль:
легко сообразить, что такое произведение будет содержать по
крайней мере один равный нулю множитель к2 или ке.
Таким образом, в коллинеарном приближении первый отлич-
отличный от нуля вклад в амплитуду распада возникает лишь от ше-
шестиугольных диаграмм вида
к
A30.16)
с тремя линиями внешнего поля г) . Отвечающая таким диаграм-
диаграммам амплитуда строится уже с тремя множителями F^v. Такие
скалярные произведения могут быть отличны от нуля. Но все от-
отличные от нуля произведения содержат волновые векторы фото-
фотонов только через посредство тензоров /^; легко сообразить, что
добавление еще и других множителей к приведет к появлению
в произведении равных нулю множителей к2 или ке. Но компо-
компоненты тензора /^ совпадают с компонентами напряженностей
Е7 и В7 поля фотона. Это значит, что если амплитуду распада,
отвечающую диаграммам A30.16), представить как матричный
элемент некоторого оператора, то этот оператор, будучи выра-
выражен через операторы напряженностей полей фотонов, не зависит
:) Поправки же, связанные с учетом неколлинеарности в диаграммах
A30.5), дали бы в амплитуде вклад следующего порядка по а по сравне-
сравнению с вкладом от диаграмм A30.16).

654	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
от их частот. В свою очередь, отсюда следует, что вычисление ам-
амплитуды распада (отвечающей диаграмме A30.16)) с помощью
лагранжиана A29.17) даст правильный ответ, не ограниченный
условием uj <С т.
В конце § 127 было объяснено, каким образом гамильтониан
взаимодействия получается из найденной в § 129 лагранжевой
функции L. Теперь речь идет о процессе с участием трех фото-
фотонов, и соответствующий оператор взаимодействия получается из
членов разложения L, содержащих тройные произведения полей
фотонов Е7, В7. При этом надо рассматривать только член вида
(В'Во)(Е'ВоJ,	A30.17)
в который каждый из векторов В7 и Е7 входит умноженным ска-
лярно на Bq. Действительно, произведения Е72, В/2,Е7В7 проис-
происходят, в четырехмерной записи, от скаляров вида f^f^, кото-
которые в коллинеарном приближении тождественно обращаются в
нуль. Тот факт, что выбран член именно с одним множителем В7
и двумя Е , связан с тем, что рассматривается процесс с одним
||-фотоном и двумя .L-фотонами; у первого составляющую вдоль
Bq имеет поле В7, а у последних — поле Е7.
Функция Лагранжа L выражается через инварианты Т =
= (В2 — Е2)/2 и Q = ЕВ. Нужный нам член разложения получа-
получается из члена ос TQ2. Вычисление с помощью A29.17) дает для
последнего выражение
136
630тг2ш8
Положив В = Bq + В7, Е = Е7 и взяв из Т слагаемое BqB7, a
из (/—слагаемое BqE7, получим искомый член разложения ви-
вида A30.17). Таким образом, оператор трехфотонного взаимодей-
взаимодействия, приводящего к распаду 7|| —^ 7i-L + 72±> дается выраже-
выражением
|(
(BoE'1)(BoE'2)(BoB/) сРх,	A30.18)
где
В7 =
и аналогично для Ё72; ср. A27.26),A27.27) :) .
Согласно изложенным в § 64 правилам амплитуда распада
Mfi вычисляется по определению
Sfi = -i(f\ fv^dt\i) = iB7rL6^(k -h- k2)Mfi
x) Удвоение коэффициента в A30.18)—за счет того, что Ei и Er2 могут
быть взяты из каждого из двух множителей Е в L.

130	РАСЩЕПЛЕНИЕ ФОТОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ	655
и равна
Мп = -г 13е6 Dтг) 3/2uouoiuo2Bl sin3 в
1	3157r2m8V J	°
(в — угол между к и Во). Вероятность распада в единицу времени
(см. F4.11)):
dw = BтгL?(к - ki - к2N(ш -u)i- u;2)\Mfi\2	Л3Ш3к2	_
(лишний множитель A/2) учитывает уменьшение фазового объ-
объема за счет тождественности двух конечных фотонов). Первая
E-функция устраняется интегрированием по d^k2. Для устране-
устранения второй E-функции замечаем, что при пренебрежении диспер-
дисперсией:
uj — ио\ — U02 = к — к\ — |к — ki| « —	—A —
и потому х)
ш 1
Г Г
J J
о о
= 2тг / ш\(ш-
uoiJduoi = —о;5.
15
Окончательно находим для полной вероятности распада фо-
фотона в единицу времени (обычные единицы):
_ а3 / 13 \2шс2 / Пи
/ Пи \5/ffosin(9\6 _
Vmc2/ \ BKp ) ~
Как уже упоминалось, применимость этой формулы не тре-
требует условия ио ^ т. Она ограничена лишь условием малости
членов, отвечающих диаграммам восьмого порядка. Для оцен-
оценки заметим, что в матричном элементе восьмого порядка может
иметься, например, член, отличающийся от членов шестого по-
порядка безразмерным инвариантным множителем вида
1)При этом подразумевается, что при учете дисперсии аргумент ^-функ-
^-функции действительно обращался бы в нуль при некотором cos&i < 1. Таким
образом, дисперсия требуемого характера необходима для того, чтобы рас-
распад был возможным, но сама вероятность распада от дисперсии (если она
мала) не зависит.

656	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
^/m^J. Условие его малости приводит к весьма слабому
условию
и; < ш(ш2/(|е|Б0)).
§ 131. Вычисление интегралов
по четырехмерным областям
Сведем здесь некоторые правила и формулы, полезные для
вычисления интегралов, возникающих в теории радиационных
поправок. Типичная формула интеграла, отвечающего диаграм-
диаграмме Фейнмана:
т \К id к	/-iq-i-i\
	, A31.1)
а\п2 •••ап
где ai, U2-) ... —полиномы второй степени по 4-вектору /с, f(k) —
полином какой-либо степени п7, а интегрирование производится
по всему четырехмерному /с-пространству.
Удобный метод вычисления таких интегралов (принадлежа-
(принадлежащий Фейнману, 1949) основан на предварительном преобразова-
преобразовании (параметризации) подынтегрального выражения путем вве-
введения дополнительных интегрирований по вспомогательным пе-
переменным ?i, ?2, ••• согласно формуле
а\A2 ... ап
О	О
A31.2)
В результате такого преобразования вместо п различных ква-
квадратичных полиномов в знаменателе возникает n-я степень всего
одного полинома второй степени.
Устранив E-функцию интегрированием по d^n и введя новые
переменные согласно
получим формулу A31.2) в эквивалентном виде:
1	х\
	\	= (n-1)! [dxi ft
aia2...an	J	J
0	0
Xn-2
Lr.~ 1	Ц	—. A31.3)
1-1 + a,2(Xn-2 — Xn-i) + ¦ ¦ ¦ + an(l — xi)]n

§ 131	ИНТЕГРАЛЫ ПО ЧЕТЫРЕХМЕРНЫМ ОБЛАСТЯМ	657
При п = 2 эта формула имеет вид
1
1 _ /
а\п2 J
— ж)]2
A31 4)
и проверяется прямым вычислением. Для произвольного же п
формула может быть доказана по индукции от п — 1 к п. Дей-
Действительно, произведя в A31.3) интегрирование по dxn-\, полу-
получим в правой стороне равенства разность двух (п — 2)-кратных
интегралов того же вида. Предполагая для них формулу спра-
справедливой, получаем 	 	—	 , что совпадает
CL\ — CL2 \-CL2CL3 • • • CLn CL1CL2, . . . CLn J
с выражением в левой части равенства A31.3).
Дифференцированием A31.3) по ai, a2, ... можно получить
аналогичные формулы, служащие для параметризации интегра-
интегралов, содержащих в знаменателях какие-либо из полиномов в сте-
степенях выше первой.
Регуляризация расходящихся интегралов осуществляется вы-
вычитанием из них интегралов аналогичного вида. Для вычисле-
вычисления такой разности может оказаться целесообразным предвари-
предварительное преобразование разности подынтегральных выражений
(каждое из которых уже было преобразовано с помощью A31.2))
с помощью формулы
1
J_ _ J_ — _ / n(a
an bn	J [(a-b
- b) dz
После преобразования, согласно A31.3), четырехмерное ин-
интегрирование в A31.1) приводится к виду
A31.6)
где / — 4-вектор, а а2 — скаляр, оба они зависят от параметров
#1, ... , xn-i] скаляр а2 будем считать положительным.
Если интеграл A31.6) сходится, то в нем можно произвести
замену переменных согласно к — 1^к (сдвиг начала координат),
после чего он принимает вид
f(k)d4k	A31.7)
(к2 -а2)п
(с другой функцией /(&)), так что знаменатель содержит лишь
квадрат к2. Что касается числителя, то достаточно ограничиться

658
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
рассмотрением скалярных функций / = F(k2). Действительно,
для интегралов с числителями другого вида имеем
),	A31.8)
(к2-а2)п
f k»kuF(k2)d4k _ 1 ^ f k2F(k2)d4k	П 31 9)
J (k2-a2)n ~ 4g J (k2-a2)n'	^ ''
k^kukpkaF(k2)d4k _
24
I
/ (k2JF(k2)d4k
J (k2-a2)n
С\
->-
и т. д., что очевидно уже из соображений симметрии (при инте-
интегрировании по всем направлениям к).
В исходном интеграле A31.1) каждый из множителей ai,
п2ч • • • в знаменателе имеет (как функция от ко) по два нуля, ко-
которые обходятся при интегрировании по dko согласно
обычному правилу (см. § 75). После
преобразования к виду A31.7) вмес-
вместо 2п простых полюсов подынтеграль-
подынтегральное выражение имеет всего два по-
полюса n-го порядка, которые обходят-
обходятся по тому же правилу (путь С на
рис. 25). Смещая контур интегрирова-
интегрирования, как показано стрелками, можно
совместить его с мнимой осью в плос-
плоскости ко {С1 на рис. 25). Другими сло-
словами, переменная ко заменится на ко —
= ikfQ с вещественной переменной к$. Изменив также обозначение
к на к7, будем иметь
I/*		 К*		 1^"		^ 	 I К*	I 1^"	\ 	 	 l/"*	\ \ \\ \ \ \
ГЬ 	 0	"^	V П *^ "^ 7 		}	V-L*J-L.-LJI
где к' — 4-вектор в евклидовой метрике. При этом
А	А ,	,9 к'2
74 7	" 74 7 '	" 7 I ^ 7 "у ТСЛ
/Ч I/* 	V /} /Ч ]/* 	 /} ]/* /Ч	/Ч1 I
Uj ГЬ 7 LUj ГЬ 	 О ГЬ Uj	LtzUD.
где dft — элемент четырехмерных телесных углов. Интегрирова-
Интегрирование по dft дает 2тг2 (см. II, § 111), после чего
~).	A31.12)
Рис. 25
'
Обозначив к' = z, получим окончательно
F(k2)d4k
(к2 -а2)п
= {-1)пт
[
J
2 [ F(-z)zdz
A31.13)

131	ИНТЕГРАЛЫ ПО ЧЕТЫРЕХМЕРНЫМ ОБЛАСТЯМ	659
В частности,
d4k _	(-1)пгтг2
(к2 - а2)п а2(^-2)(п - 1)(п - 2)
A31.14)
Логарифмически расходящаяся часть в интегралах A31.7)
может быть выделена в виде
[(t-ff-^F-	(Ш15)
Легко видеть, что и в таком интеграле допустимо преобразование
к —>• к + 1. Действительно, разность первоначального и преобра-
преобразованного интегралов
.[(/с-/J-а2]2 (к2-а2J.
представляет собой сходящийся интеграл, и потому в нем замена
к —>• к + I во всяком случае допустима. Произведя ее и заменив
еще затем к —>• —/с, получим ту же величину с обратным знаком,
откуда и следует ее равенство нулю.
Линейно расходящийся интеграл должен иметь вид
[(*-У-аТ'	(ШЛ6)
но фактически такой интеграл расходится лишь логарифмиче-
логарифмически: подынтегральное выражение асимптотически (при к —>> оо)
равно /с^/(/с2J и обращается в нуль при усреднении по направ-
направлениям. Сдвиг начала координат, однако, не оставляет интеграл
A31.16) неизменным, а добавляет к нему аддитивную постоян-
постоянную. Продемонстрируем это для случая бесконечно малого сдви-
сдвига к —>• к + 61, вычислив разность
A31.17)
= П
У 1
С точностью до членов первого порядка по 51
щы1) _ ^ w
(А;2-а2K (А;2 - а2J )
В первом члене усреднение по направлениям заменяет числитель
на к251^ (ср. A31.9)), после чего находим :)
= -—81».	A31.18)
2	V	У
{к2-а2У
1) Более громоздкое вычисление приводит к такому же результату и при
конечном /.

660	РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
В окончательных выражениях для радиационных поправок
часто фигурирует трансцендентная функция, определяемая ин-
интегралом
= [ 1пA + ж) dx	A31.19)
J	х
(ее называют иногда функцией Спенса). Отметим здесь для спра-
справок некоторые ее свойства:
^+1-ln2^	A31.20)
F(-?) + F(-l + ?) = -? + ln? ln(l - С),	A31.21)
F(l) = ?, F(-l) = -^.	A31.22)
Разлож:ение при малых ?:
il ^-^+...	A31.23)
9 16	V	7

ГЛАВА XIII
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ
§ 132. Асимптотическое поведение фотонного
пропагатора при больших импульсах
В § 113 был вычислен первый (по а) член разложения поляри-
поляризационного оператора V(k2) и было найдено, что при \к2\ ^> т2
с логарифмической точностью он имеет вид
<p(k2) = ^к2Ы^.	A32.1)
Зтг	т2
Там же было указано, что по смыслу вывода этой формулы (как
поправки первого приближения к пропагатору 4ttD~1 = к2)
предполагается выполненным условие
^llnM^i,	A32.2)
Зтг т2
чем ограничивается применимость формулы со стороны боль-
больших \к2\. Покажем теперь, что в действительности выражение
A32.1) остается справедливым и при гораздо более слабом усло-
условии
fln^<l.	A32.3)
Зтг т2
Ход доказательства состоит в следующем :) . Прежде всего,
замечаем, что хотя при условии A32.3) вклад в V(k2) может воз-
возникать, в принципе, от членов всех порядков (по а) ряда теории
возмущений, но в каждом (n-м) порядке надо учитывать только
члены ~ ап lnn(|A;2|/m2), содержащие большой логарифм в той
же степени, что и а] члены с более низкими степенями логариф-
логарифма заведомо малы в силу неравенства а< 1.
Далее, исследование ряда теории возмущений для V можно
свести к исследованию рядов для Q и Г^ с помощью уравнения
Дайсона
=i^Sp J'
V(k2) =i^Sp JЪд(р + к)Т»(р + к, р; к)О(р)-0-л A32.4)
1) Излагаемая постановка вопроса и результаты принадлежат Л. Д. Лан-
Ландау, А. А. Абрикосову и И. М. Халатникову A954).

662 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII
(см. A07.4)). Поскольку функция V(k2) калибровочно-инвари-
антна, при ее вычислении можно выбрать любую калибровку
для величин Q и Г. Наиболее удобна для этой цели калибров-
калибровка Ландау, в которой пропагатор свободных фотонов имеет вид
G6.11):
§ (	Ц)	A32.5)
A)@ = 0 в A03.17)). Оказывается, что в такой калибровке ряды
теории возмущений для Q и Г^ вообще не содержат членов с
нужными степенями логарифмов. Поэтому в A32.4) достаточно
подставить для Q и Г^ их нулевые приближения: G = G, Г^ = ^.
Тогда выражение A32.4) сводится к интегралу
V(k2) =i^Sp J ЪО(р + к)^О(р)ф^.	A32.6)
Это — интеграл Фейнмана, отвечающий диаграмме A13.1) пер-
первого (по а) приближения, который и приводит (после соответ-
соответствующей перенормировки) к формуле A32.1).
Приступая к доказательству сделанных утверждений, про-
проследим прежде всего за происхождением логарифма в интеграле
A32.6). Легко видеть, что логарифмический член возникает от
области интегрирования
р2 > \к2\ при \к2\ > т2.	A32.7)
Действительно, формально разлагая G по степеням 1/G]э), име-
имеем
G(p) « -i- = 2f,
7Р V
G(p - к) « —-— « — + — 7^— + —7&—7&— =
jp-jk 7Р 7Р 7Р 7Р 7Р 7Р
_ 7Р . GР)G^)GР) ,
2	BJ
р2	(р2J	(р2K
При подстановке в A32.6) первый член, не зависящий от /с, вы-
выпадает в результате регуляризации (в соответствии с условием
V/k2 —)> 0 при к2 —)> 0). Второй член обращается в нуль при
интегрировании по направлениям р. Третий же интеграл лога-
логарифмически расходится по р2] взяв его в пределах от р2 ~ \к2\
(ниж:ний предел области A32.7)) до некоторого вспомогательно-
вспомогательного «параметра обрезания» Л2, получим
-^к2Ы—.	A32.8)
Для регуляризации следует вычесть из V/k2 его значение при
к2 = 0. Но поскольку логарифмическая точность предполагает

§ 132	ФОТОННЫЙ ПРОПАГАТОР ПРИ БОЛЬШИХ ИМПУЛЬСАХ	663
условие \к2\ ^> т2, при вычислении с этой точностью регуля-
регуляризация осуществляется вычитанием значения при |/с2| ~ т2, в
результате чего Л2 в аргументе логарифма заменяется на т2 и
мы приходим к A32.1).
Так как интересующие нас поправки в Q и Г^ имеют лога-
логарифмический характер, то с их учетом Q и Г^ будут отличаться
от G и 7^ медленно меняющимися логарифмическими множите-
множителями. Поэтому и в точном интеграле A32.4) будет существенна
та же область A32.7), что и в приближенном интеграле A32.6).
Тем не менее положить просто к = 0 в Т^(р + к, р; к) нельзя:
ввиду квадратичной расходимости интеграла его регуляризация
требует рассмотрения также и двух следующих членов разложе-
разложения Г^(р + к, р; к) по степеням к. Мы, однако, ограничимся здесь
обсуждением поправок к Т^(р, р, 0), достаточно ясно демонстри-
демонстрирующим роль выбора калибровки и различие в характере интег-
интегралов, возникающих от диаграмм разных типов. Отметим также,
что в аналогичном исследовании для Q нет необходимости, по-
поскольку поправки в Г и Q связаны друг с другом тождеством
Уорда A08.8).
Первой (по а) поправке к Г(]э, р\ 0) отвечает диаграмма
и соответственно интеграл
Г^1) = -ia J 1xG{pl)^G{Pl)YDXu{p-Pl)^. A32.9)
В обычной калибровке имеем
и в интеграле существенна область р2 ^> р2, в которой он лога-
логарифмически расходится. Вычислив интеграл
-47ГШ
(Р?)
:) Во избежание недоразумений при сравнении с результатами § 117 напом-
напомним, что в § 117 оба электронных конца диаграммы предполагались физиче-
физическими, между тем как здесь предполагается р ^> \к2\ ^> гп2, т. е. обе линии
заведомо не физические.

664 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII
и регуляризовав логарифм, получим
4тг	т2
В калибровке же Ландау вместо A32.10) получим интеграл
-47ГШ
Произведя усреднение по направлениям р\ и приведение мат-
матриц 7? найдем, что этот интеграл обращается в нуль, так что
логарифмический член в Г^1) выпадает х) .
В поправках второго (по а) порядка рассмотрим диаграмму
р
Соответствующий интеграл:
Г"B) = -a2 J 1xG{p2)YG(p1)^G(p1)YG(p2ha x
При обычной калибровке D-функций этот интеграл содержит
член с квадратом логарифма, происходящий от области интег-
интегрирования
р\ >2>2>Р2-	A32.11)
Действительно, после пренебрежения р2 в аргументе функции
Dyp{p2 — Pi) интегрирование по d^pi становится таким же, как
в A32.9), и дает \пр?>] последующее же интегрирование по dAp2
снова имеет логарифмический характер и приводит к квадрату
Ъ\{р2/т2). При выборе же для D-функций калибровки Ландау
при обоих интегрированиях логарифмические члены выпадают.
*) Поправки к G х в обеих калибровках, найденные из поправки Г^ с
помощью тождества A08.8), согласуются, конечно, с результатами § 119.

§ 133	СВЯЗЬ МЕЖДУ «ЗАТРАВОЧНЫМ» И ИСТИННЫМ ЗАРЯДАМИ	665
Такая же ситуация имеет место для всех других диаграмм,
входящих в скелетную диаграмму
A32.12)
Диаграммы же других типов, с пересекающимися фотонны-
фотонными линиями, например, входящие в скелетную диаграмму
A32.13)
(ср. A06.11)), вообще не содержат членов с нужной степенью ло-
логарифма ни в какой калибровке (в них нельзя выделить такую
область значений переменных, в которой интеграл сводился бы
к нескольким последовательным логарифмическим интегрирова-
интегрированиям).
Эти рассуждения (и аналогичные для следующих членов раз-
разложения Г по степеням к) подтверждают, что в калибровке Лан-
Ландау не возникает поправок к Q и Г с нужными степенями лога-
логарифма, так что выражение A32.1) действительно справедливо и
при условии A32.3).
Функция Х>(А;2), соответствующая поляризационному опера-
оператору A32.1), имеет вид
= ^ттг^ег A3214)
Зтг ш2
В силу условия A32.3) разлагать это выражение по степеням а
нет необходимости.
§ 133. Связь между «затравочным» и истинным
зарядами
Применимость формулы A32.14) ограничена, однако, со сто-
стороны больших \к2\ в связи с уменьшением ее знаменателя. Дей-
Действительно, вывод этой формулы основан на пренебрежении диа-
диаграммой A32.13) (и другими, с еще большим числом жирных фо-
фотонных линий) по сравнению с диаграммой A32.12). Но добав-

666 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII
ление каждой такой линии привносит в диаграмму множи-
множитель e2V с точным пропагатором V. При этом роль малого па-
параметра играет, вместо а = е2, величина
	^1UT « 1-	A33-!)
Зтг т2
Когда, по мере возрастания |/с2|, эта величина по порядку срав-
сравнивается с единицей, из теории, по существу, вообще исчезает
малый параметр.
Возникающую ситуацию можно понять более ясно, если при
выводе A32.14) производить перенормировку не «на ходу», а пу-
путем предварительного введения «затравочного» заряда электро-
электрона ес, который в дальнейшем подбирается так, чтобы привести
к правильному наблюдаемому значению физического заряда е
(см. § 110). Если интеграл «обрезается», как это было сделано
выше, на вспомогательном верхнем пределе Л2, то затравочный
заряд будет его функцией, ес = ес(Л ), и в заключение должен
быть произведен переход к пределу Л —>• оо.
При таком способе подхода к задаче поляризационный опе-
оператор будет
Зтг	\к2\
(выражение A32.8) с ес вместо е), и соответственно
Т)(Ь2\ — ^	_		(Л ЧЧ ОЛ
?У[гъ ) —	^	7г- .	[100. Z)
к2 , егс . Az
1 + — In
Зтг \к2\
Определив теперь физический заряд е согласно условию
получим
е2 =	^с л2 ,	A33.3)
Зтг Пш2
или
е2 =	f		A33.4)
Зтг гп2
Если формально перейти в A33.3) к пределу Л —>> оо, то е2 —)>
—>• 0 независимо от вида функции е2(Л). Такая «нулификация»
заряда означает, разумеется, невозможность строгого проведе-
проведения перенормировки. Этот переход к пределу нельзя, однако,

§ 133	СВЯЗЬ МЕЖДУ «ЗАТРАВОЧНЫМ» И ИСТИННЫМ ЗАРЯДАМИ	667
произвести, не нарушив предположений, сделанных при выводе
A33.3). Из A33.4) видно, что по мере увеличения Л (при задан-
заданном значении е2) е2 растет; но уже при е2 ~ 1 формулы теряют
свою применимость, поскольку их вывод основан на предполо-
предположении
е\ « 1	A33.5)
как условия применимости теории возмущений к «затравочно-
«затравочному» взаимодействию. Нарушение неравенства A33.5) при увели-
увеличении Л имеет важное принципиальное значение. Оно означает
логическую неполноту квантовой электродинамики как теории
со слабым взаимодействием. По существу это означает логиче-
логическую неполноту имеющейся теории вообще. Действительно, ее
аппарат связан именно с возможностью рассматривать электро-
электромагнитное взаимодействие как слабое возмущение. Все вычисля-
вычисляемые величины получаются в теории в виде рядов по степеням
е2, причем эти ряды являются в действительности асимптоти-
асимптотическими. Для придания этим рядам определенного смысла при
не малых значениях е2, во всяком случае, требовались бы до-
дополнительные соображения, не следующие из общих принципов
существующей теории.
В то же время следует подчеркнуть, что в квантовой электро-
электродинамике описанные трудности могут иметь лишь чисто теоре-
теоретическое значение. Они возникают при фантастически огромных
энергиях, не представляющих никакого реального интереса х) .
Можно ожидать, что в действительности уже несравненно рань-
раньше электромагнитные взаимодействия «запутываются» со сла-
слабыми и сильными взаимодействиями, в результате чего чистая
электродинамика теряет смысл 2) .
В заключение этого параграфа покажем, каким образом фор-
формулы A33.3),A33.4) могут быть получены с помощью простых
рассуждений, основанных на смысле понятия перенормировки и
на соображениях размерности (М. Gell-Mann, F. Low, 1954).
Рассмотрим квадрат затравочного заряда как функцию пара-
параметра обрезания, е2(Л2), и введем функцию с/, определяющую со-
соотношение между значениями е2 при двух различных значениях
ее аргумента: е2( Л|) = е2( Л2 )d. При Л2, Л| > тп? функция d не
зависит от т, будучи безразмерной величиной, она может быть
х) Так, равенство (а/тг) ln(s2/т2) = 1 достигается при е ~ 1093т.
2) Противоположная ситуация имеет место в теориях, в которых взаимо-
взаимодействие между частицами осуществляется не электромагнитным полем, а
так называемыми полями Янга—Миллса. Связь перенормированного заряда
с затравочным в таких теориях дается формулой типа A33.4), но с обратным
знаком в знаменателе, так что при заданном значении е затравочный заряд
ес уменьшается с ростом Л. Такое свойство теории называют асимптоти-
асимптотической свободой. Разумеется, теория с асимптотической свободой принципи-
принципиально отличается от теории с нулификацией заряда.

668 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII
функцией только безразмерных же величин е2(А2) и
A33.6)
От этого функционального соотношения можно перейти к
дифференциальному уравнению. Для этого напишем равенство
A33.6) для бесконечно близких значений Л^ и Л|. Обозначив
Л^ = ? и положив Л| = ? + d^ получим для функции
ас(?) = е^(Л^) следующее дифференциальное уравнение:
dac = ip(ac)^.	A33.7)
Здесь введено обозначение
/ \	\dd(ac, x)~\	/loo о\
ср{ас) = ас v	A33.8)
L дж J х=1
и учтено, что, по определению A33.6), d(ac, 1) = 1. Интегрируя
уравнение A33.7) в пределах от ? = Л^ до ? = Л^, получаем
A33.9)
Во всей области интегрирования е^ мало. Поэтому можно вос-
воспользоваться для (p(ct) выраж:ением, отвечающим первому при-
ближ:ению теории возмущений. Поправка к затравочному заря-
заряду, е^, дается величиной е2ск2Т(к2). Взяв для поляризационного
оператора его первое приближение A32.1), найдем
-,( Л| \ н . ас -1 Л|	/ \ о?с
\ AfJ	Зтг Л|	Зтг
после чего интегрирование в A33.9) приводит к результату
J_ in M = _L- - _J_.	A33.10)
3^ Л2 ес2(Л2) ес2(Л2)	V	J
При Л^ ^~ ттг2 затравочный заряд ес(к\) стремится к истинному
заряду е, и тогда A33.10) совпадает с A33.3),A33.4). х)
1) Систематическое развитие метода, основанного на использовании функ-
функциональных свойств пропагаторов и вершинных частей (так называемый
метод ренормализационной группы), дано в книге: Боголюбов Н. Н., Шир-
ков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1984.

§ 134	АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ	669
§ 134. Асимптотическое поведение амплитуд рассеяния
при высоких энергиях
Рассмотрим вопрос об асимптотическом (при высоких энер-
энергиях) поведении амплитуд и сечений двухчастичных процессов
рассеяния (_/ + 2 —>• 3 + 4)- Для основных электродинамических
процессов в первом (по а) неисчезающем приближении ответ на
этот вопрос может быть найден, исходя из полученных в пре-
предыдущих главах конкретных формул, справедливых при любых
энергиях. Здесь, однако, мы рассмотрим этот вопрос с более об-
общей точки зрения, которая позволит находить такие асимптоти-
асимптотики прямым способом.
Как и в § 66, введем инвариантные переменные
s = (pi +р2J, 1=(Р1-РзJ, и = (р1-р±J	A34.1)
(причем pi + Р2 = Рз + Ра)] обозначения соответствуют реакци-
реакциям в «s-канале, которые мы и будем рассматривать. В ультраре-
ультрарелятивистском случае, когда энергии много больше масс частиц,
в системе центра инерции энергии обеих частиц приближенно
одинаковы. Обозначив через е сумму энергий сталкивающихся
частиц, получим в этой системе р\ = (е/2, pi), P2 = (е/2, —
-Pi), Рз = (е/2, р3), Ра = (е/2, -р3), Р? = Рз = ?2/4> и тогДа
s = б2, t = --A - cos<9), и = --A + cos6>),	A34.2)
где в — угол между pi и р2.
Рассмотрим сначала асимптотику сечения реакции при неко-
некотором фиксированном значении угла рассеяния в. Тогда все три
переменные s, ?, и пропорциональны друг другу и устремля-
устремляются к бесконечности вместе. В ультрарелятивистском случае
массы частиц не могут войти в ответ, и единственной величи-
величиной размерности длины является 1/е (= Нс/е). Поэтому уже из
соображений размерности следует, что дифференциальное сече-
сечение двухчастичных реакций уменьшается с ростом энергии по
асимптотическому закону
da/doocl/s при s, |t|, \u\ —)> оо.	A34.3)
Если относить сечение не к элементу телесного угла do, а к диф-
дифференциалу ей, то (поскольку do ос dt/s)
da/dt ex l/s2.	A34.4)
Сечение выражается через амплитуду рассеяния (в ультрареля-
ультрарелятивистском случае) как da/dt ос \Mfi\2/s — см. F4.22),F4.23).
Поэтому закон A34.3) означает, что в асимптотическом пределе
амплитуда рассеяния не зависит от s:
Mfi = const.	A34.5)

670 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII
Как ясно из характера вывода, эти результаты относятся не
только к первому неисчезающему, но и к высшим (т. е. с уче-
учетом радиационных поправок) приближениям теории возмуще-
возмущений, если только не обращать внимания на логарифмические
(вида ln(s/m2)) множители; зависимость от безразмерных ло-
логарифмов, разумеется, не может быть выяснена из соображений
размерности :) .
Иная ситуация возникает, если увеличивать s при фиксиро-
фиксированном ?, т. е. при фиксированном квадрате передаваемого им-
импульса. Другими словами, рассматривается рассеяние на малые,
убывающие с ростом энергии углы:
s -+ оо, 111 - s92 = const, 0 ~ (| t |/«sI/2.	A34.6)
В таком случае соображения размерности позволяют утверждать
лишь, что суммарная степень 1/ s и 1/t в da/dt равна 2 (а в ам-
амплитуде Mfi — нулю) 2) . Поэтому для нахождения наименее бы-
быстро убывающей с ростом s части сечения надо выделить мно-
множитель, зависящий от 1/t в наибольшей степени. Но такие мно-
множители возникают, лишь если фейнмановскую диаграмму мож-
можно разделить между концами 1, 3 и 2, 4 на Две части путем
пересечения линий виртуальных частиц. Суммарный 4-импульс
таких линий равен р\ — р%, от чего и возникает зависящий от t =
— (Pi~PsJ множитель. Таким образом, асимптотика диаграммы
в области A34.6) зависит от характера возможных пересечений
диаграммы в t-канале.
Аналогичным образом асимптотика в области
s -+ оо, \и\ ~ s(n - вJ = const, |тг - 0| ~ (\u\/sI/2, A34.7)
отвечающая рассеянию на углы, близкие к тг, определяется ха-
характером возможных пересечений диаграммы в г^-канале (т. е.
между концами _/, 4 и %•> 3).
Простейший пример — рассеяние электрона на электроне,
описывающееся диаграммами G3.13) и G3.14). Из них рассе-
рассечение в t-канале по линии виртуального фотона допускает пер-
первая; она и определит асимптотическое поведение амплитуды рас-
рассеяния в области A34.6). Линии виртуального фотона отвечает
D-функция, пропорциональная 1/t. Поэтому асимптотики ам-
1)	Суммирование рядов, содержащих логарифмические поправки, может
привести к экспоненциальной зависимости от логарифмов, что означает из-
изменение показателя степенной зависимости. Это изменение, однако, мало в
силу малости а.
2)	Значение 11 \ ^> т2 здесь мы предполагаем постоянным. Получающиеся
таким образом результаты остаются справедливыми — в смысле зависимости
от s (т. е. от энергии) —и при \t ~ m .

§ 134	АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ	671
плитуды и дифференциального сечения рассеяния:
Mfi ос s/t, da ос dt/t2.	A34.8)
Асимптотика же в пределе A34.7) (вблизи направления назад)
определяется «обменной» диаграммой G3.14); в этом пределе
Mfi ос s/u, do ос du/u2.
В случае взаимного рассеяния различных частиц (электрон и
мюон) обменная диаграмма отсутствует; поэтому для него сече-
сечение рассеяния на углы в « тг убывает по закону A34.3),A34.4) :) .
Покажем, что эти результаты для асимптотики рассеяния
электрона на электроне не меняются и при учете радиационных
поправок. Для этого рассмотрим поправки различного рода к
диаграмме G3.13).
Мы уже видели, что диаграммы, представляющие собой по-
поправки к внутренней D-функции (см. A13.11)) или к вершинным
частям (см. A17.1)), приводят лишь к логарифмическим поправ-
поправкам в амплитуде; они не меняют степенной зависимости A34.8).
Покажем, что то же самое относится к диаграмме, допускающей
рассечение по двум (вместо одной) внутренним фотонным лини-
линиям:
^ Pi
ф
Рг-pi-q \д	A34.9)
'<	»<
Соответствующая этой диаграмме амплитуда рассеяния отлича-
отличается от амплитуды, отвечающей диаграмме G3.13), заменой мно-
множителя 1/t на
У2-д)) л4„
с последующим интегрированием по d^q. Существенная область
интегрирования — та, которая приводит в результате к наимень-
наименьшей степени 1/s. Для этого во всяком случае q должно быть мало
по сравнению с р\, р2- Отбросив малые в этом смысле члены (а
также члены р\ = р\ = т2), перепишем это выражение как
GPi)GP2)	А„	A34.Ю)
-pi ~qJ
1)Все эти утверждения находятся, конечно, в согласии с результатами
81 —см. (81.11) и задачу 6.

672 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII
Знаменатель не будет содержать «s, если qo и qx (ось ж —по на-
направлению pi = — Р2) будут ос 1/y/sj а компоненты qyi qz могут
быть сх 1/д/| 11; тогда область интегрирования ос 1/s. Числитель
же имеет порядок величины р\Р2 ос s. Таким образом, замена
одной внутренней фотонной линии в диаграмме двумя не меня-
меняет ее зависимости от s (при заданном t 1)). Другими словами,
вклад диаграммы A34.9) в амплитуду рассеяния следует тому
же асимптотическому закону A34.8), что и вклад основной диа-
диаграммы. Положение не изменится при добавлении в диаграмме
еще и других параллельных внутренних фотонных линий, а так-
также при введении поправок к внутренним электронным линиям.
Этот результат имеет общий характер: всякой диаграмме, ко-
которая может быть разрезана в t-канале или в г^-канале на две час-
части путем пересечения любого числа внутренних фотонных ли-
линий, отвечает вклад в амплитуду с асимптотикой соответственно
Mfi ос s/t при t = const или s/u при и = const (В. Г Горшков,
В. Н. Грибов, Л. Н. Липатов, Г В. Фролов, 1967; Н. Cheng,
Т. Т. Wu, 1969).
В качестве другого примера рассмотрим комптоновское рас-
рассеяние, описываемое двумя диаграммами G4.14). Эти диаграм-
диаграммы не допускают рассечения в t-канале, но вторая из них рассе-
рассекается в г^-канале по внутренней электронной линии; в обозначе-
обозначениях этого параграфа она имеет вид
Pi-P4	A34.11)
PS	P2
Это значит, что рассеяние сосредоточено в основном вблизи на-
направления назад (как это уже было отмечено в конце § 86; см.
(86.20)). Для нахождения асимптотики в этой области замеча-
замечаем, что множитель G, отвечающий внутренней линии диаграм-
диаграммы A34.11), имеет порядок величины l/j(pi — р^) ос 1/уу[п\.
Поэтому амплитуда рассеяния Mfi ос a(s/\u\) /2; в нее введен
множитель а в соответствии с тем, что диаграмма A34.10) —
второго порядка. Отсюда дифференциальное сечение: da/du ос
ос or/\u\s. Интеграл этого выражения по \и\ определяется обла-
областью значений \и\ <^ s. В результате полное сечение убывает с
х) Снова напомним, что речь идет только о степенных асимптотиках, и по-
потому можно не обращать внимания на логарифмические расходимости при
интегрировании. Мы вернемся к более подробному исследованию диаграмм
вида A34.9) в § 137.

§ 134	АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ ПРИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИЯХ	673
ростом энергии по закону о ос а2/s (точнее, о ос (а2/s) ln(s/m2));
ср. (86.20)) *).
Но для этого процесса радиационные поправки меняют асим-
асимптотику. Изменение возникает за счет диаграмм шестого порядка
типа
Рз	Vi
1	A34.12)
Р4
Р2
Они допускают в t-канале рассечение по двум внутренним фо-
фотонным линиям и потому дают вклад в амплитуду с асимптоти-
асимптотикой Mfi ос o?s/t множитель а3 отвечает шестому порядку диа-
диаграммы. При достаточно больших s эта часть амплитуды стано-
становится основной и тогда дифференциальное сечение
da/dt ос а6/*2.
Интеграл этого выражения по t определяется областью малых
значений \t\ ~ т , т. е. областью углов рассеяния в ~ m/y/s
(обратим внимание на то, что рассеяние происходит теперь в
основном в направлении вперед, а не назад). В результате полное
сечение перестает убывать с энергией:
а ос а6/т2 = аА/г2е.	A34.13)
Убывающая часть сечения сравнивается с этой его постоянной
частью е = л/s ос т/а2.
Аналогичная ситуация имеет место для рассеяния света на
свете. В первом неисчезающем приближении оно описывается
«квадратными» диаграммами A27.1), которые могут быть рас-
рассечены по двум внутренним электронным линиям. По 4-импуль-
су этих линий в диаграмме производится интегрирование, при-
причем существенны импульсы ~ д/s, и малые значения t (или и)
ничем не выделены. Поэтому асимптотика этих диаграмм при
любом t = const (или и = const) дается законом A34.5): Mfi =
= const ос а2. При этом полное сечение убывает с ростом энер-
энергии: а ос a^/s (ср. A27.23)); углы, близкие к нулю или к тг,
здесь никак не выделены. Но в восьмом порядке появляются диа-
диаграммы, допускающие рассечение (в t- или в г^-канале) по двум
) Точный вид зависимости сечения от \и или 11 \ при их значениях ^ т ,
разумеется, не может быть выяснен на основании излагаемых соображений.
Подразумевается, что интеграл по \и\ (или по \t\) сходится на значениях
~ т . Это действительно так для всех процессов, за исключением упругого
рассеяния заряженных частиц.
22 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

674 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII
внутренним фотонным линиям, например,
A34.14)
Эти диаграммы приводят к постоянной асимптотике сечения:
а ос а8/т2 при yfs ^> т/а2 :) .
Постоянная асимптотика для полного сечения — характерное
свойство процессов рассеяния, диаграммы которых рассекаются
(в t- или в г^-канале) по внутренним фотонным линиям. Это свой-
свойство имеет место и в тех случаях, когда в конечном состоянии
реакции возникает более двух частиц.
§ 135. Выделение дважды логарифмических членов
в вершинном операторе
Поправки вида (aL)n (L — большой логарифм) могут стать
существенными, как уже было отмечено в конце § 133, лишь
при фантастически высоких энергиях и потому имеют только
теоретическое значение. Но в амплитудах реальных процессов
рассеяния возникают также и гораздо большие поправки — ви-
вида (aL2)n. Такие члены, содержащие по квадрату логарифма на
каждую степень а, называют дважды логарифмическими.
Характерным параметром разложения в дважды логарифми-
логарифмических поправках является величина
^1п24,	A35.1)
тг т2
где е — фигурирующие в задаче энергии (скажем, суммарная
энергия сталкивающихся частиц в системе их центра инерции).
Условие применимости теории возмущений требует малости этой
величины; оно нарушается при энергиях
е ~ mexp(-J-) ~ 3 • 104m.	A35.2)
\2 У а/
1) Сечение когерентного рассеяния фотона в поле ядра имеет постоянную
асимптотику уже в первом неисчезающем приближении, описываемом «ква-
«квадратными» диаграммами, два из концов которых — линии внешнего поля
(см. A28.7)). В действительности, однако, эти диаграммы должны были бы
изображаться в виде A34.12), где верхняя сплошная линия была бы линией
ядра. Линии внешнего поля становятся тогда внутренними линиями диаг-
диаграммы и происхождение постоянной асимптотики становится очевидным.

§ 135	ВЫДЕЛЕНИЕ ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧЛЕНОВ	675
Поставим себе целью освободиться от этого условия и получить
формулы, применимые при условии
2
^1п2^<1.	A35.3)
Ясно, что это потребует суммирования бесконечного ряда попра-
поправок всех степеней (aL2)n.
Дважды логарифмические поправки возникают в двух кате-
категориях случаев. К одной из них относятся процессы рассеяния
на фиксированный конечный угол; их сечения (как мы видели в
предыдущем параграфе) всегда падают в асимптотической обла-
области высоких энергий. Дважды логарифмические поправки в этих
случаях тесно связаны с инфракрасной расходимостью. Сюда от-
относится, в частности, упругое рассеяние электрона во внешнем
кулоновом поле; в § 122 была найдена первая дважды логариф-
логарифмическая поправка к его сечению. Полному определению этих
поправок при условии A35.3) посвящены этот и следующий па-
параграфы.
К другой категории относятся убывающие с ростом энергии
сечения реакций при заданном квадрате передачи импульса, т. е.
для углов, асимптотически приближающихся к нулю или к тг;
как было показано в предыдущем параграфе, это имеет место
для процессов, диаграммы которых не могут быть рассечены в t-
или в г^-канале по внутренним фотонным линиям. В этом случае
дважды логарифмические поправки не связаны с инфракрасной
расходимостью. В качестве такого рода примера в § 137 будет
рассмотрено электрон-мюонное рассеяние назад, т. е. при и =
= const.
Отметим прежде всего, что при условии A35.3) однологариф-
мические поправки
и потому могут быть опущены. Поскольку в Q и V дважды лога-
логарифмические поправки вообще отсутствуют, эти функции можно
полагать теперь равными просто их невозмущенным значениям
GnD.
Вычисление же вершинного оператора Г требует суммиро-
суммирования дважды логарифмических членов, возникающих из беско-
бесконечного ряда диаграмм. Этой задаче посвящен следующий пара-
параграф. Предварительно же изложим метод, позволяющий выде-
выделять дважды логарифмические члены из отдельных интегралов
Фейнмана до фактического проведения в них интегрирования по
всем переменным (В. В. Судаков, 1956).
Рассмотрим поправку первого (по а) порядка к вершинному
оператору, изображаемому диаграммой A17.1), которую удобно
22*

676 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII
изобразить здесь (переобозначив переменные) в виде
P2~f/ \Pl-f
или, аналитически,
_ _i?l f l4lPz - if + mh^bpi ~lf + mhud4f	П 35
4тг3 J [(p2-/J-m2zO][(p/Jт2+г0][/2+г0]' V '
-/J-т2+г0][/2+г0]'
Будем предполагать, что
\<?\^>Pi,pI т2,	A35.6)
причем концы р\, ]92 могут быть как физическими, так и вирту-
виртуальными. Из A35.6) следует, что
A35.7)
т. е. 4-векторы pi, ]92 имеют большие компоненты при малых
квадратах — ситуация, возможная в силу псевдоевклидовости че-
четырехмерной метрики. Дважды логарифмические члены возни-
возникают именно при условиях A35.6).
Мы увидим в дальнейшем, что при интегрировании по с/4/
будут существенны относительно малые значения /. Поэтому
можно пренебречь / в числителе подынтегрального выражения,
после чего Г^1) приобретает вид
/1,	A35.8)
где
1 " У [(Р2 " /J " ™2 + tO][(pi - /J - ш2 + гО][/2 + гО]'	^ '^
Матричный множитель в A35.8) можно упростить,
если учесть, что Г всегда входит в диаграммы, по существу,
умноженным на матрицы G^2 + га) и {^р\ + га):
G^2 + т)ГGР1 + га).	A35.10)
Действительно, если линии р\ и р% виртуальные, то множители
происходят от G(pi) и G(p2)] если ж:е линии отвечают реальным

§ 135	ВЫДЕЛЕНИЕ ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧЛЕНОВ	677
электронам, то Г умножается на г^? и щ, причем в силу уравне-
уравнений Дирака имеем
2
2т	2т
Переставляя порядок матричных множителей и пренебрегая ка-
каждый раз, согласно условию A35.7), возникающими квадратами
р2, Р2, та2 по сравнению с (piP2), получаем
• 2
-f га) « — — (piP2)(/7P2 + ^)l^{lPi + m)Ii.
Поэтому окончательно можно представить Г^1) в виде
где
t = q2 « -2(pip2)-	A35.12)
Отметим, что интеграл Д сходится при больших / и потому уже
не требует регуляризации.
Основной пункт дальнейших вычислений — введение новых,
более удобных переменных интегрирования.
Разобьем / на составляющие, тангенциальные и нормальные
по отношению к плоскости р\, р2:
/ = upi + vp2 + f± = /ц + f±,	A35.13)
/U»i = f±P2 = 0.	A35.14)
В качестве ж:е новых переменных выберем коэффициенты и, v
и величину
P=-fl	A35.15)
Из условий A35.7) видно, что метрика в плоскости р±р2 псевдо-
псевдоевклидова. Поэтому временную ось можно выбрать в этой плос-
плоскости, так что /j_ — пространственноподобный 4-вектор и р > 0.
Обозначим временно индексами 0, х компоненты 4-векторов
в плоскости p\P2i si индексами у, z — компоненты в нормаль-
нормальной плоскости. Для преобразования элемента 4-объема с/4/ =
= d2 f±cP/ц к новым переменным пишем
d2f± = |fj_|d|fj_|d<p = y2dpd<p -+ ndp
(имея в виду, что подынтегральное выражение в A35.9) не зави-
зависит от угла (р). Далее,
d2f\\ = д[°' \л dudv = \РюР2х ~P2oPix\dudv w -\q2\dudv.

678 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII
Действительно, ввиду малости квадрата р\ имеем р\х ~ р|о? и
поэтому
(Р10Р2х ~
Таким образом,
2О -P2xPlxJ =
t\dudvdp.	A35.16)
Дальнейшие вычисления зависят от соотношения между ве-
величинами р2, ?>2э ш2- Рассмотрим два случая.
Случай виртуальных электронных линий. Пусть им-
импульсы pi, p2 отвечают виртуальным электронам, причем
IPil, |р||»™2-	A35.17)
Мы увидим, что основной областью интегрирования, при-
приводящей к дважды логарифмическому выражению, является в
этом случае область, определяемая неравенствами
О
\tu\, \tv
A35.18)
Соответственно этому в знаменателе подынтегрального выраже-
выражения в A35.9) можно пренебречь т2, р\, р?>, /2 по сравнению с
(pif) или (рг/), так что
= Г
J
2(p2/)-2(pi/)(/2+t0)
Для величин же (pi/), fe/), /2 имеем
/2 =	2
Тогда
A35.19)
^НI J
p + tuv — iO и v
A35.20)
Согласно условиям A35.18) интегрирование по р производит-
производится в пределах от 0 до меньшего из \tv\ или \tu\ и дает
{\tu\,\tv\}
p + tuv — гО
гтг, iuu < 0,
О, tuv>0.
A35.21)

135
ВЫДЕЛЕНИЕ ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧЛЕНОВ
679
Логарифмическое же интегрирование по v производится в пре-
пределах от — 1 до —\p\/t и от \p\/t до 1 (и аналогично по и).
При подстановке (A35.21) в A35.20) интеграл по dudv от перво-
первого члена обращается в нуль ввиду нечетности подынтегральной
функции. Интегрирование же второго члена производится по ин-
интервалам значений uvlv одинакового (при t < 0) или различного
(при t >0) знака. В обоих случаях области v > 0 и v < 0 дают
(после интегрирования по и) одинаковый вклад, и в результате
находим (знак интеграла совпадает со знаком t)
1	1
	 гтг2 ~ I du I dv 	 гтг2
Of	I	У	I	V	t
In
In
A35.22)
Наконец, подставив значение 1\ в A35.11), получим окончатель-
окончательно
2тг
In
A35.23)
Случай физических электронных концов. Пусть теперь
импульсы pi, p2 отвечают реальным электронам, так что
Pi =P2 =
A35.24)
В этом случае существенна область интегрирования
0
\tu\, \tv\; 0
A35.25)
Поскольку р\ — т — Р2~ т = 0, то пренебрегая р\ и р\ по
сравнению с (pif) или (р2/M снова приводим интеграл A35.9) к
виду A35.19). Для устранения появляющейся в этом случае ин-
инфракрасной расходимости надо, однако, ввести еще в фотонный
пропагатор конечную массу фотона А ^ т (ср. § 117):
¦/
4/
2(pi/) ¦ 2(р2/)(/2 - А2
A35.26)
Далее, имеем
/2 и -tuv - р,
так что
1л =- —
—tv
2т2и,
dp
p + tuv + A2 — '
—^	^-, г = ^ « 1. A35.27)
I и — tv v — ти	t

680 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII
После интегрирования по р (аналогичного A35.21)) находим
j 	 гтг / / du dv
2\t\ J J и — rv v — ти^
причем интегрирование производится при условии tuv + A2 < 0.
Области v > 0 и v < 0 снова дают одинаковый вклад, и после
интегрирования по и находим
= — I dv I 	= — /
t J J (u-tv)(v-tu)	t J
In
S/v	0
1
rS-v2
dv
v
(S — tv2)(t — v)
A35.28)
где 5 = A2/t, \5\ ^C \т\ и учтено, что т\ ^С 1.
В интеграле A35.28) три области значений v приводят к два-
жды логарифмическим выраж:ениям:
1)|г|<г;<1, II)y/sjr<^v < |r|, III)VrS <^v <^ y/sjr.
(Для определенности считаем, что y/S/т ^С |т|. Ответ от этого
предположения не зависит.) Делая в каждой области соответ-
соответствующие пренебрежения, получаем
^).	A35.29)
А /
Наконец, подставив в A35.11), найдем окончательно
Р1; Ч) = -f 7Ч1п2кТ + 41пЧ1пт)'
4тг V гп2	гп2 Л /
„21
2
что совпадает с A17.21).
§ 136. Дважды логарифмическая асимптотика
вершинного оператора
Когда вычисленные в предыдущем параграфе поправки
достигают значений порядка единицы, вычисление вершинного
оператора требует суммирования всей бесконечной последова-
последовательности дважды логарифмических членов всех степеней по а.
Решение этой задачи оказывается возможным благодаря тому,
что такие члены возникают только от диаграмм определенного
типа, а вклады диаграмм различного порядка оказываются свя-
связанными друг с другом простыми соотношениями.

§ 136	ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА ОПЕРАТОРА	681
Именно, дважды логарифмические члены возникают, как мы
убедимся ниже, от всех диаграмм вида
A36.1)
и т. п., в которых каждая из фотонных линий соединяет правую
и левую электронные линии; при этом они могут любым образом
пересекаться друг с другом.
Перенумеруем фотонные импульсы Д, /2, ... в порядке сле-
следования, скажем, правых концов их линий. Тогда различные диа-
диаграммы одинакового порядка будут отличаться друг от друга пе-
перестановкой левых концов фотонных линий. В каждом интеграле
Фейнмана производим пренебрежения в числителе и знаменате-
знаменателе, подобные тем, которые были сделаны в интеграле A35.5);
после этого числитель преобразуем тем же способом, что и при
выводе A35.11). В результате сумма всех диаграмм с п фотонны-
фотонными линиями, составляющая член ~апвГ, представится в виде
пер
... +Pi/n)-2(p2/i)... 2(р2/!+ ... +Р2/„
(сумма берется по всем перестановкам индексов у импульсов /д.
в произведениях (p2fk)] члены гО и А2 в знаменателях для крат-
краткости не выписываем).
Очевидно, что если переставить в сумме A36.3) каким-либо
образом индексы у множителей /& в произведениях (pifk), то это
сведется лишь к переобозначению импульсов и потому не изме-
изменит значения 1п. Поэтому можно распространить суммирование
в A36.3) по всем перестановкам множителей /& как в произведе-
произведениях {p2fk)i так и в {Pifk)i разделив после этого результат на п\.

682 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII
Воспользуемся теперь важной формулой
JJ J	A36.4)
а\(а\ + аг) • • • Ы\ + а2 + ... + ап) а\ п2 ап
пер
где сумма берется по перестановкам индексов 1, 2, ..., п1).
Двукратное применение этой формулы сводит сумму интегра-
интегралов к произведению п одинаковых интегралов вида A35.19) (или
A35.26)), так что
In = I?/nl	A36.5)
Подставив это в A36.2) и просуммировав Г(п) по всем п = 0, 1,
2, ... , получим окончательно
Г"(Р2, Pi; g) = 7"exp(|l</i).	A36.6)
В частности, подставив сюда 1\ из (A35.22), получим дважды
логарифмическую асимптотику вершинного оператора с вирту-
виртуальными электронными концами
Г"(Р2,Р1; q) =7"ехр{-^ In 4 In 41}'	A36-7)
(В. В. Судаков, 1956).
Подставив же 1\ из A35.29), найдем асимптотику для вер-
вершинного оператора в случае реальных электронных концов:
A36.8)
Множитель, отличающий Г^ от его невозмущенного значения 7^,
определяет также и отличие амплитуды рассеяния электрона во
внешнем поле от ее борновского значения. Поэтому сечение рас-
рассеяния
fln + 41nlnH.	A36.9)
2тг V т2	т2 X / )
Для устранения инфракрасной расходимости надо, однако,
еще умножить это выражение на сумму вероятностей испускания
различного числа мягких фотонов с энергией, не превышающей
некоторого малого о;тах, т. е. на величину (см. A22.2))
Wmax	Wmax	Wmax	Wmax
1 + / dwu + — / dwUl / dwU2 + ... = exp< / dwu >.
0	0	0	0
A36.10)
1) При п = 2 эта формула очевидна, а ее обобщение легко достигается
индукцией от п к п + 1.

§ 137	ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА АМПЛИТУДЫ	683
Интеграл в экспоненте берем из A20.14) (выражение, стоящее
множителем при dayUp) и в результате находим окончательно
следующую асимптотическую формулу для сечения рассеяния
электрона с энергией е при большой передаче импульса:
da = daB exp< — — In — ln^=— >,	A36.11)
I 7Г	ТП2	CJmax >
|<?2| >m2, -^ln2- - 1
2тг m
[А. А. Абрикосов, 1956). Первый (по а) член разложения этого
выражения совпадает, естественно, с формулой A22.12).
Обратим внимание на то обстоятельство, что если положить
o;max ~ ?, то один из логарифмов в A36.11) становится порядка
единицы; другими словами, дважды логарифмические поправки
сокращаются, если рассматривать сечение с одновременным ис-
испусканием фотонов любых энергий г) . В принятом приближении
экспоненциальный множитель в A36.11) обращается тогда в еди-
единицу, так что сечение оказывается совпадающим с борновским —
в соответствии с общим утверждением в конце § 98.
§ 137. Дважды логарифмическая асимптотика
амплитуды рассеяния электрона на мюоне
В качестве примера другого рода рассмотрим рассеяние элек-
электрона на отрицательном мюоне, причем ограничимся случаем
рассеяния строго назад, т. е. на угол в = тг (В. Г Горшков,
В. Н. Грибов, Л. Н. Липатов, Г В. Фролов, 1967). Этот про-
процесс является простейшим с двух точек зрения. Во-первых, вви-
ввиду нетождественности обеих частиц отсутствуют обменные диа-
диаграммы. Во-вторых, при рассеянии назад сильно подавлено из-
излучение мягких фотонов, в результате чего не возникает инфра-
инфракрасной расходимости. Действительно, согласно (98.8), сечение
испускания мягких фотонов
da = а \ (-V + Т^Т- ~ Т^ ~ Т^) П1 'тг^упр.
L\l-v^n 1-v^n l-ven 1-v^n/ J 4tt2w Jl
A37.1)
где ve, v^ и Vg, v' —скорости частиц до и после столкновения.
Но в ультрарелятивистском случае равенство импульсов равно-
равнозначно равенству скоростей, и с этой точностью имеем в системе
1) При рассеянии на конечный угол сформулированное в § 98 условие
мягкости фотона требует только, чтобы было cjmax ^C ?, что позволяет с
логарифмической точностью применять полученные здесь формулы и при

684 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII
центра инерции при рассеянии назад ve = — v^ = — ve = v^. В
результате выражение A37.1) обращается в нуль.
Если рассматриваемый процесс рассеяния отвечает «s-кана-
лу реакции, то в t-канале он переходит в процесс превращения
электрон-позитронной пары в пару {1^~{1~. В этом канале условие
в = тг означает, что совпадают направления движения е~ и /i~ (и
е+ и /i+). Подавление тормозного излучения в этом канале име-
имеет особенно наглядный смысл, так как направление движения
заряда каждого знака вообще не меняется.
Взаимное сокращение главных членов в сечении излучения
приводит к тому, что в его асимптотике не возникают дважды
логарифмические поправки. Соответственно не возникает (с той
же дважды логарифмической точностью) инфракрасной расхо-
расходимости и при интегрировании по импульсам виртуальных фо-
фотонов в амплитуде рассеяния.
Если описывать процесс с помощью инвариантных перемен-
переменных S = (ре +р^J, t = (ре - р'еJ, U = (ре -pJJ2, TO рассеянию
назад в ультрарелятивистском случае будут отвечать значения
s = -t > m2, u = 0.	A37.2)
В первом (по а) приближении теории возмущений рассеяние
электрона на мюоне описывается диаграммой
A37.3)
Соответствующая амплитуда:
? ^Ч^>)(п(еЧ«(е)).	A37.4)
Переход к предельному случаю A37.2) в этом выражении осу-
осуществляется заменой матричного 4-вектора ^ его «проекцией»
7^ на плоскость, нормальную плоскости ре, р'е (или, что то же,
плоскости р^^ р' поскольку при ультрарелятивистском рассе-
рассеянии назад ре « р'^ р'е ~ Pfj). Действительно, параллельными
плоскости ре, р'е составляющими являются матрицы
= G^е + 1Р'е)? = (
Vs	Vs
(первая совпадает с 7°,а вторая равна пе7, где пе —орт направ-
направления ре). Используя уравнения Дирака для биспиноров и^ и
и^\ находим, что (п^'^и^)(п^'j^u^) ~ 1/s, и потому эти
члены могут быть опущены.

137	ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА АМПЛИТУДЫ	685
В следующем приближении добавляется диаграмма
Ре<	|<	|<	Ре
/-Pel	\pe-f	A37.5)
У	У
и диаграмма с «перекрещенными» фотонными линиями, кото-
которую удобно изобразить в виде, отличающемся от A37.5) лишь
направлением одной из сплошных линий:
-Ре
A37.6)
P/i-Pe
Исследование соответствующих интегралов показывает, что в
обеих диаграммах возникают дважды логарифмические вклады
от областей мягких виртуальных фотонов: | (/ — ре) <С m?e или
о
| \f~Pe) | ^ те- Эти вклады связаны с инфракрасными расходи-
мостями интегралов и, согласно сказанному выше, в данном слу-
случае заведомо должны взаимно сокращаться. В диаграмме A37.6)
имеется, однако, дважды логарифмический вклад еще и от обла-
области больших импульсов: |/2| ^> т2^. Именно этот вклад и должен
быть вычислен.
Диаграмме A37.6) отвечает интеграл
Л/ГB)	.а2 [ (п^'
-fJU2-rnl)U2-rnl)(Pe-fY
A37.7)
где уже учтено, что ре ~ р'. Положим снова
f = uPe + vp'e + Д	A37.8)
(ср. A37.13)). Дважды логарифмический вклад возникает от
области, определяемой неравенствами
\su\, \sv\ ^> р ^> т^; Шц/s ^ \u\, \v\ ^C 1,	A37.9)
где р = —f]_- В A37.8) 4-вектор f± определен так, что f±pe =
= f±.Pe = 0; в данном случае (рассеяние назад) отсюда следует,
что в системе центра инерции fj_ = 0, так что р = fj.
В числителе интеграла A37.7) можно пренебречь me, m^, a
также всеми членами с и или v\ множители и или v в числителе

686 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII
сокращают соответствующие полюсы в знаменателе (см. ниже), в
результате чего не возникают требуемые квадраты логарифмов.
Замечая, что (р'е — /J « tu ~ —su, (ре — /J « — sv, /2 ~ sm; —
— р, и преобразуя элемент интегрирования с/4/, согласно A35.16),
переписываем интеграл A37.7) в виде
*l	2тг2 J	su • sv(suv — p + гОJ
Числитель подынтегрального выражения преобразуется далее
путем усреднения по направлению fj_ и замены (по тем же при-
причинам, что и в A37.4)) 7^ 7Л на 7±^ 7±- После простых преоб-
преобразований получим
j(i) = -i_EL f PdudvdP . A37.10)
/12/	Z'	_i_ *П^2
Наконец, заменив в числителе тождественно р = (р — suv) + ,
можно опустить второй член, который сократил бы простые по-
полюсы и тем самым не дал бы дважды логарифмического вклада.
Таким образом,
fddd(i37.il)
f.
4тг2 J uv(p — suv — гО)
Этот интеграл по форме совпадает с A35.20), поэтому ин-
интегрирование по р производится тем же способом. Однако по-
поскольку теперь р ^> т2, возникает условие suv ^> т2^ (вместо
suv > 0). В результате находим
^[dudv:	A37.12)
2тг J uv
причем область интегрирования ограничена неравенствами
m2/s < и, v < I suv > m2
(при вычислении с логарифмической точностью сильные нера-
неравенства ^> заменяются простыми неравенствами >). Прямое вы-
вычисление дает
jW = ?Ha2-2-.	A37.13)
4тг т2
В более высоких приближениях теории возмущений интере-
интересующие нас вклады ~ап In n s получаются от аналогичных
A37.6) диаграмм «лестничного» типа с большим числом «пере-
«перекладин». Поэтому полная дважды логарифмическая асимптотика

§ 137	ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА АМПЛИТУДЫ	687
амплитуды рассеяния дается бесконечной суммой
Ре < 1< Ре	< |< 1<	< |< |< 1<
iMfi = \ + ] ] + ]]]+...
р^ У Ур^	у у у	у у у у
A37.14)
Для установления общего вида членов этой суммы рассмотрим
еще диаграмму третьего приближения (третий член ряда
A37.14)). Соответствующий ей интеграл можно привести к виду
7\43) = М™ jB), JB) = (-Y [ <**i ******	 A37.15)
с областью интегрирования
Дваж:ды логарифмическую часть этого интеграла можно выде-
выделить, наложив на переменные интегрирования еще условия
v2 > vi, u2^>ui.	A37.16)
Тогда
= (^\2 fdu1dv1du1dv1= (a_y f
\2тг/ J U1U2V1V2	\2тг/ J
где & = lnE^/?7i2), r/i = — In Vi, а область интегрирования опре-
определена неравенствами
Аналогичным образом n-й член ряда может быть представ-
представлен в виде М^ = M{pj(n\ где
J(n){cr) = (?f jd?,xdrh...dZndrh,	A37.17)
с областью интегрирования
&>г/г (г = 1, 2, ...,п), а>^п, %>0.	A37.18)
Полная амплитуда рассеяния равна
(X)
М/г = М};} [l + J] J^(a)].	A37.19)
71 = 1
Для вычисления этой суммы введем теперь вспомогатель-
вспомогательные функции А(п;(?, г/), которые даются теми ж:е интегралами
A37.17), но с областями интегрирования
&>тн (« = 1, 2, ...,п), е>^п>0, 7?>т?п>0 A37.20)

688 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ КВАНТОВОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ ГЛ. XIII
(различные пределы интегрирования по ?п и т\п вместо одинако-
одинаковых в A37.18)). Очевидно, что Mfi = М\^А(а, а), где
ОО
A(f, г/) = Y^ А{пЧ^ Ч), ^@) = 1-	A37.21)
п=0
Из определения функций А^п\^ rf) видно, что они удовлет-
удовлетворяют рекуррентным соотношениям:
= ^ f
m)
а просуммировав эти равенства по п (от 1 до оо), найдем инте-
интегральное уравнение, определяющее функцию А(?, г/):
, г/) = 1 + ±Ja(Zu rnKi*n,	A37.22)
Для дальнейшего будет достаточно рассмотреть функцию
?, г/) в области ? > г). Тогда уравнение A37.22) можно запи-
записать в виде
•п С
АИ, V) = 1 + ±JjA(Zu rnKi*n.	A37.23)
О тух
Дифференцируя это равенство по г/, имеем
A37.24)
а дифференцируя затем еще ипо(, находим для А(?, г/) диффе-
дифференциальное уравнение
^- - —А = 0.	A37.25)
Это уравнение должно быть решено с граничными условиями
А& 0) = 1, ^ =0,	A37.26)
дг] ?=г]
непосредственно следующими из A37.23),A37.24).
Решение можно получить с помощью преобразования Лапла-
Лапласа по переменной ?:
A37.27)
с

§ 137	ДВАЖДЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ АСИМПТОТИКА АМПЛИТУДЫ	689
где контур С в плоскости комплексного р— замкнутая кривая,
охватывающая точку р = 0. Подставив A37.27) в уравнение
A37.25) и приравняв нулю подынтегральное выражение, полу-
получим
где ср(р) —произвольная функция. Первое из граничных условий
A37.26) дает теперь (р(р) = 1/р + ф{р), где ф(р) —аналитическая
функция, не имеющая особенностей внутри контура С. Второ-
Второму же условию A37.26) можно удовлетворить, положив ф(р) =
= —2тгр/а; действительно, тогда
дА
дц
_ _ 1
с
Собрав полученные выражения и положив ? = г/ = а, найдем
, а) = --Ц— / р-^-
2ттг аа J dp
т
2ттр
С
Наконец, проинтегрировав по частям и воспользовавшись из-
известной формулой
с
(Д(^) = —iJ\(iz)—функция Бесселя мнимого аргумента), полу-
получим окончательно для амплитуды рассеяния
Сечение же рассеяния (на угол в = тг) соответственно равно
t, A37.29)
aln
где с/сг^1)—сечение в борновском приближении в ультрареляти-
ультрарелятивистском случае (см. задачу 6, § 81) :).
1) Дополнительные ссылки на работы по дважды логарифмическим асимп-
асимптотикам можно найти в обзорной статье: Горшков В. .Г.//УФН. — 1973. —Т.
ПО.-С. 45.

ГЛАВА XIV
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ
§ 138. Электромагнитные формфакторы адронов
До сих пор в этой книге речь шла о квантовой электродина-
электродинамике частиц, не способных к сильным взаимодействиям, —элек-
—электронов, позитронов и мюонов. Существует также большое число
частиц, участвующих в сильных взаимодействиях; их называют
адронами :) .
Адронами являются, например, протоны и нейтроны, имею-
имеющие спин Y2, тг-мезоны со спином 0 и другие частицы. Адрона-
Адронами, разумеется, являются и атомные ядра, так как они состоят
из протонов и нейтронов.
Построение исчерпывающей электродинамики адронов в рам-
рамках существующей теории невозможно. Ясно, что нельзя соста-
составить уравнений, определяющих электромагнитные взаимодей-
взаимодействия адронов без учета значительно более интенсивных сильных
взаимодействий.
В частности, без учета последних нельзя установить и явный
вид адронного тока, с помощью которого должны описываться
взаимодействия в квантовой электродинамике.
В этой ситуации адронный ток вводится как феноменологиче-
феноменологическая величина, структура которой устанавливается лишь исходя
из общих кинематических требований, не связанных с какими-
либо предположениями о динамике взаимодействий 2) . Оператор
же электромагнитного взаимодействия будет иметь по-прежнему
вид
e(JA),	A38.1)
где теперь ток обозначен прописной буквой J (в отличие от элек-
электронного тока j). Поскольку порядок величины этого взаимо-
взаимодействия задается тем же элементарным зарядом е, можно по-
прежнему пользоваться методами теории возмущений 3) .
Установим вид тока перехода между двумя состояниями сво-
свободно движущегося адрона (не сопровождающегося каким-либо
г) От греческого слова «хадрос», означающего крупный, массивный.
) Вопросы электродинамики адронов, связанные с кварковой моделью, в
этой книге не рассматриваются.
3) В этой главе е обозначает элементарный заряд (е > 0).

138	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ АДРОНОВ	691
превращением самого адрона). Этот ток входит в «треххвостку»
A38.2)
которая сама может входить как часть в какую-либо более слож-
сложную диаграмму (например, упругого рассеяния электрона на ад-
роне). Штриховая линия в диаграмме A38.2) изображает вир-
виртуальный фотон; она не может отвечать реальному фотону, так
как свободная частица не может поглотить (или испустить) та-
такой фотон. При этом q2 = (р2 — р\J < 0.
Рассмотрим сначала адрон со спином 0. Пусть щ и иъ —вол-
—волновые амплитуды начального и конечного состояний адрона, в
которых он имеет 4-импульсы р\ и р2] для частицы со спином
0 эти амплитуды — скаляры (или псевдоскаляры) :) . Адронный
ток перехода Jfi между этими двумя состояниями должен быть
билинеен по ^1,иЦ. Запишем его в виде
Jfi=ulTui,	A38.3)
где 4-вектор Г — неизвестный вершинный оператор (кружок на
диаграмме A38.2)). Если положить и\ = и^ = 1, то будет просто
Jfi = Г-
Универсальным свойством тока в электродинамике, связан-
связанным с калибровочной инвариантностью теории, является его со-
сохранение. В импульсном представлении оно выражается ортого-
ортогональностью тока перехода 4-импульсу фотона q = р2 — р\:
qjfi = 0.	A38.4)
В данном случае это значит, что оператор Г должен иметь вид
Y = PF(q2),	A38.5)
где Р = р\ -\~P2-) F(q2) —скалярная функция единственной инва-
инвариантной независимой переменной — квадрата q2. Поскольку род
адрона при переходе не меняется, то р\ = р\ = М2 (М — масса
адрона), и потому Pq = 0.
*) Напомним, что плоская волна записывается в виде ф = .	е грх. Нор-
V2s
мировке на одну частицу в единичном объеме отвечает (для частиц со спи-
спином 0) нормировка скаляра согласно и* и = 1; при этом можно положить
просто и = 1 (см. § 10). Мы определяем ниже ток перехода по отношению
к амплитудам щ, U2 в соответствии со способом обозначений, принятым в
5 64.

692	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ	ГЛ. XIV
Матричные элементы A38.3) с Г из A38.5) (а с ними и сам
оператор J)—истинные 4-векторы. Поэтому оператор взаимо-
взаимодействия A38.1)—истинный скаляр. Таким образом, электро-
электромагнитное взаимодействие адронов со спином 0 оказывается
Р-инвариантным автоматически. Оно оказывается также и Т-ин-
вариантным. Действительно, обращение времени, во-первых, пе-
переставляет начальный и конечный 4-импульсы; при этом сумма
Р = р\ + р2 не меняется. Во-вторых, обращение времени меня-
меняет знак пространственных компонент 4-импульсов, не меняя их
временных компонент; но таким же образом преобразуются и
компоненты 4-потенциала А, так что произведение JA не меня-
меняется.
Инвариантную функцию F(q2) называют электромагнит-
электромагнитным формфактором адрона. В рамках феноменологической те-
теории ее вид, разумеется, не может быть установлен. Можно, од-
однако, утверждать, что эта функция вещественна (в рассматри-
рассматриваемой области q2 < 0). Это следует из тех же соображений, ко-
которые были применены в § 116 к формфакторам электрона: при
q2 < 0 во всяком случае отсутствуют промежуточные состояния,
которые могли бы фигурировать в правой стороне соотношения
унитарности; поэтому матрица Mfi, а с нею и Jfi оказываются
эрмитовыми.
При q = 0 начальное и конечное состояния совпадают, так
что Jfi становится диагональным матричным элементом. В част-
частности, e(J®)n/2?i = eF@) есть плотность заряда, совпадающая
(нормировка на одну частицу в единичном объеме!) с полным
зарядом частицы Ze.
Для электрически нейтральной частицы F@) = 0. Подчерк-
Подчеркнем, однако, что это отнюдь не означает еще истинной нейтраль-
нейтральности частицы. Если частица истинно нейтральна и обладает
определенной зарядовой четностью, то F(q2) = 0 при всех q2:
так как оператор тока зарядово-нечетен (см. § 13), его матрич-
матричные элементы между двумя состояниями одного и того же адро-
адрона равны нулю х) .
Перейдем к адронам со спином 1/2. В этом случае волновые
амплитуды щ, U2 — биспиноры и адронный ток имеет вид
Jfi=u2Tui.	A38.6)
) Это не означает, конечно, что такой адрон вообще не взаимодействует с
электромагнитным полем. Произведение двух операторов тока, «/(ж), J(x'),
уже зарядово-четно, и его матричные элементы отличны от нуля для пе-
переходов между состояниями с одинаковой зарядовой четностью. Поэтому
истинно нейтральный адрон может рассеивать фотон, а также испускать
одновременно два фотона, т. е. участвовать в процессах более высокого по-
порядка по а.

§ 138	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ АДРОНОВ	693
Из билинейных комбинаций U2 и щ и 4-векторов pi, P2 мож-
но составить как истинные 4-векторные, так и псевдовекторные
величины (удовлетворяющие условию A38.4)). Поэтому условие
Р-инвариантности взаимодействия не удовлетворяется автома-
автоматически и должно быть поставлено дополнительно г) . Как было
показано в § 116, при этом условии вершинный оператор содер-
содержит два независимых вещественных (при q2 < 0) формфактора.
Запишем его теперь в виде
Fm) +Fm^ 2M(FeFm)
т) р2 ml	ye ш2 mj p2
= (AM2Fe - q2Fm)^ + 2-^(Fe - Fm)a*vqv, A38.7)
где Fe(q2) и Fm(q2) —инвариантные формфакторы (М — масса
адрона); в эквивалентности трех написанных выражений легко
убедиться с помощью равенств Р2 + q2 = 4М2 и A16.5) 2) .
Электромагнитные формфакторы относятся к категории ин-
инвариантных амплитуд, понятие о которых было введено в § 70.
Их можно рассматривать как амплитуды «реакции», представля-
представляющей собой (в своем аннигиляционном канале) распад виртуаль-
виртуального фотона на адрон и антиадрон. Виртуальный фотон—«ча-
фотон—«частица» со спином 1. В том, что ее распад на две частицы со спи-
спином 1/2 должен описываться двумя независимыми амплитудами,
легко убедиться и подсчетом соответствующих спиральных ам-
амплитуд (\h^c\SJ\\а) (см. § 69). Действительно, в силу Р-инвари-
Р-инвариантности четыре отличных от нуля элемента ^-матрицы попарно
равны друг другу:
(i/2-i/2|51|0> = (-V21/2|S1|0>.
Требование Т-инвариантности (или С-инвариантности — в
аннигиляционном канале) не добавляет новых связей между эти-
1)	Мы не рассматриваем возможные нарушения сохранения четности в
электромагнитных взаимодействиях, связанные с учетом виртуальных сла-
слабых взаимодействий.
2)	Целесообразность определения формфакторов согласно A38.7)
(R. Sackhs, 1962) выяснится ниже. В литературе используются также
формфакторы Fi, F2, определенные аналогично / и д в A16.6), т. е.
согласно
1 2М
Они связаны с Fe, Fm соотношениями
2
Fe =Fi+F2-^-, Fm = Fi+F2.
4M2

694	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ	ГЛ. XIV
ми элементами. С этим обстоятельством связан тот факт, что
взаимодействие, описываемое вершинным оператором A38.7),
автоматически оказывается также и Т-инвариантным (такая си-
ситуация, однако, не имеет уже места для частиц с более высокими
спинами).
При q —>• 0 члены нулевого и первого (по q) порядка в A38.7):
Г" = FMr - ^[^@) - ^(О)К^-	A38.8)
Отсюда видно (см. § 116), что ^е@) = Z— электрический заряд
частицы (в единицах е), a Fm@) — Fe@) — ее аномальный маг-
магнитный момент (в единицах е/2М) х) .
До сих пор мы пользовались только формфакторами в им-
импульсном пространстве. Этого, разумеется, достаточно для опи-
описания наблюдаемых явлений. С чисто иллюстративной целью,
однако, можно дать формфакторам и несколько более нагляд-
наглядную интерпретацию, рассматривая их как фурье-образы некото-
некоторых функций от координат.
Для этого удобно выбрать систему отсчета, в которой Р =
— Pi + Р2 = 0 (так называемая система Брейта)] это всегда
возможно, поскольку Р2 > 4М2 > 0. В этой системе е\ = ?2 = ?,
так что Р° = 2б, а составляющие 4-вектора q равны д° = 0, q =
= 2P2 = -2Pl.
Для адрона со спином 0 ток перехода принимает в системе
Брейта особенно простую форму:
|W(-q2), J = 0.
Отсюда видно, что F(—q2) можно истолковать как фурье-образ
статического распределения зарядов с плотностью
ep(r) = e^ I F(-q2)e^d3q.	A38.9)
В этом смысле говорят о пространственной электромагнитной
структуре частицы: при F = const = Z было бы p(r) = ZS(r);
зависимость же формфактора от q интерпретируется как откло-
отклонение распределения заряда от точечного. Подчеркнем, однако,
что этой интерпретации не следует придавать буквального смыс-
смысла. Функция р(т) вообще не относится к какой-либо определен-
определенной системе отсчета, так как каждому значению q отвечает своя
система.
Лишь в нерелятивистском пределе q2 <^ M2, когда изме-
изменением энергии частицы при рассеянии можно пренебречь, си-
система Брейта совпадает с системой покоя частицы и не зависит
:) Так, для протона Fe@) = 1, Fm@) -Fe@) = 1, 79. Для нейтрона Fe@) =
= 0, Fm@) = —1,91 (магнитный момент полностью «аномален»).

§ 138	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ АДРОНОВ	695
от q. Начальные и конечные состояния частицы в этом прибли-
приближении одинаковы, так что ток перехода становится диагональ-
диагональным матричным элементом и функция р(т) приобретает реаль-
реальный смысл пространственного распределения зарядов. Для эле-
элементарных частиц, однако, характерные значения |q|, на кото-
которых существенно меняются формфакторы, лишь немногим мень-
меньше М. Поэтому в нерелятивистском пределе для них можно
вообще заменить F(—q2) на F@), т. е. рассматривать частицу
как точечную. Иная ситуация для ядер. Масса ядра М про-
пропорциональна числу А нуклонов в нем, а характерное значение
|q| ~ 1/i?, т. е. пропорционально А~ /3 (i? —радиус ядра). Поэто-
Поэтому для достаточно тяжелых ядер характерные q2 <С Л/f2, и, та-
таким образом, нерелятивистское рассмотрение допустимо во всем
существенном интервале; тем самым понятие электромагнитной
структуры ядра приобретает вполне определенный смысл.
Для частицы со спином 1/2 из A38.7) получим в системе
Брейта
J% = (Fe - Fm)^(u2Ul) + FTO(«27°«i) = Fe(H2l0Ul), A38.10)
J/i = --^-^т[*Я(«22«1),	A38.11)
где S —трехмерный оператор (матрица) спина B1.21), а в
A38.10) использовано равенство e(U2ry°ui) = M(U2Ui), которое
легко проверить с помощью уравнений Дирака для щ и Щ при
Pi = -Р2
Временная компонента тока перехода A38.10) отличается от
выражения для «точечной частицы»—электрона множителем
Fe(—q2). Поэтому можно сказать, что формфактор Fe (его назы-
называют зарядовым) описывает «пространственное распределение
заряда» согласно A38.9).
Аналогичным образом трехмерному вектору A38.11) мож-
можно привести в соответствие «пространственное распределение»
плотности токов ej(r) = rot/i(r), где
представляет собой «плотность магнитного момента». Таким об-
образом, формфактор Fm (его называют магнитным) можно ин-
интерпретировать как плотность пространственного распределения
магнитного момента — разумеется, с теми же оговорками, кото-
которые были сделаны выше по поводу распределения заряда. При
этом Fm включает в себя как «нормальный» дираковский маг-
магнитный момент, так и специфический для адрона «аномальный»
момент; «плотности» последнего отвечает разность Fm — Fe.

696	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ	ГЛ. XIV
Естественно считать, что особые точки адронных электро-
электромагнитных формфакторов, как и электронных, лежат при веще-
вещественных положительных значениях аргумента t = q2 = — q2.
Это позволяет сделать определенные заключения об асимпто-
асимптотическом поведении распределения р(г) (и /л(г)) при г —>> оо.
Именно, такое же преобразование интеграла A38.9), которое бы-
было применено в § 114 для перехода от A14.3) к A14.4), приведет
к результату, что при больших г будет р(г) ос е~:к°г, где щ —
абсцисса первой особой точки формфактора F(q2) (ср. также
примеч. на с. 564). Если ближайшая особенность дается поро-
порогом образования виртуальным фотоном пары адронов (массы
Mq каждый), то щ = 2Mq.
§ 139. Рассеяние электронов адронами
Применим полученные в предыдущем параграфе формулы
к упругому рассеянию электрона на адроне. Обозначим началь-
начальный и конечный 4-импульсы адрона через р^ ир^, а 4-импульсы
электрона через ре и р'е] при этом
Pe+Ph=Pe+Ph-
Рассматриваемый процесс изображается диаграммой
A39.2)
Испусканию виртуального фотона электроном отвечает обыч-
обычный вершинный оператор 75 поглощению его адроном — опера-
оператор Г.
Рассмотрим наибилее интересный случай адрона со спином
1/2 (например, рассеяние электрона протоном или нейтроном).
Диаграмме A39.2) соответствует амплитуда рассеяния
M}i = -4Tre2±(u'el»ue)(u'hr^Uh)	A39.3)
(в этой главе заряд электрона есть — е!). Вычисление сечения
по этой амплитуде не представляет принципиальных отличий от
произведенных в § 81 вычислений; при том оператор Г удобно
писать в виде первого из выражений A38.7).

§ 139	РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ АДРОНАМИ	697
Для рассеяния неполяризованных частиц получается следую-
следующий результат:
7	7ra2dt
аа =
[s-(M + mJ][s - (М - тJ] t2(l - t/Ш2)
-^LDM2-t)t]-^^[(,-^J-DM2-t)Dm
A39.4)
Здесь М — масса адрона, т — масса электрона,
S = (pe +phJ, t = q2 = (pe -p'ef, U = (pe-PhJ,
s + t + u = 2m2 + 2M2.
Рассмотрим некоторые предельные случаи.
Для рассеяния электронов на тяжелом ядре представляет ин-
интерес случай, когда передача импульса электроном ядру |q| мала
по сравнению с массой ядра, но не мала по сравнению с 1/R (R —
радиус ядра), так что ядро нельзя рассматривать как точечное.
В таком случае система центра инерции приближенно совпадает
с системой покоя ядра, отдачей ядра можно пренебречь и энер-
энергия электрона не меняется. При этом
-t = q2 < М2, n\dt\ = p2do'e, s - М1 « М1 - и « 2Мее
и формула A39.4) принимает вид
Лт = ?^Dе2-д2)^(-ч2).	A39.5)
В этом приближ:ении в сечении остается лишь член с электри-
электрическим формфактором и A39.5) соответствует формуле (80.5),
справедливой для рассеяния электрона на статическом распре-
распределении зарядов.
При рассеянии электрона на неподвижном нейтроне в том же
предельном случае ее <<М (М — масса нейтрона) формфакто-
ры можно заменить их значениями при q = 0, поскольку, как
уже отмечалось, для отдельного нуклона характерный «радиус»
распределения зарядов сравним с 1/М х) . В силу электрической
нейтральности нейтрона ^е@) = 0, и сечение принимает вид
do = V [4^3- + l] do'e = V (-ф^ + l) do'e, A39.6)
где /i=—Fm@) —магнитный момент нейтрона, $ — угол рассея-
ZJV1
ния. Эта формула отвечает рассеянию электрона на неподвиж-
неподвижном точечном магнитном моменте.
1) Эмпирическое значение среднеквадратичного «радиуса» нуклона
•i 3, Ъ/М и 1/Bштг) (тип — масса пиона).

698	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ	ГЛ. XIV
Наконец, напишем формулу для сечения рассеяния ультраре-
ультрарелятивистского электрона на нуклоне при |q| ^> га. Под q2 мы по-
прежнему понимаем квадрат передачи импульса в системе цен-
центра инерции, так что инвариант t = — q2. В системе же покоя
начального нуклона (лабораторная система) имеем
где ?е, е'е — начальная и конечная энергия электрона, а $ — угол
рассеяния в этой системе. В ультрарелятивистском случае е'е свя-
связана с # той же формулой, что и при рассеянии фотона (ср.
(86.8)):
111,-,	Qx
— — — = —A — cos#).
е'е	Ее	МК	'
Поэтому имеем
-*=
2.. .%
1 -\	sin2 —
М	2
тгг/111 — ?ed°'e
fi + ffisi^!!
V М	2
где rfOg = 27rsin#d#. В формуле A39.4) можно везде опустить
массу электрона tti; выразив все величины через t и s — М2 =
= 2Мее1 получим
^	t	J 4M2 mWL 4M2-t
A39.9)
или, используя A39.7),A39.8),
!_
2	М	2 ^	4М2
A39.10)
(М. Rosenhluth, 1950).
Обратим внимания на то, что формфакторы Fe и Fm дают
независимые вклады в сечение, интерференционные члены от-
отсутствуют. Это оправдывает целесообразность сделанного выбо-
выбора формфакторов.
Задача
Найти сечение рассеяния электрона на адроне со спином 0.
Решение. Используя A38.5), имеем вместо A39.3)
4тге2 /_,
Mfi =	—(г '

§ 140 НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ТОРМОЗНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 699
Для сечения получаем
da = 7ra2dt[(s-uJ + DM2-t)t] г2
[s-(M + mJ][s - (М - mJ]t2 { }
(обозначения те же, что и в A39.4)). При 11 \ ^> т2
F2(t)
е sin4 -14	sin2 -
2	М	2
(обозначения те же, что и в A39.10)).
§ 140. Низкоэнергетическая теорема
для тормозного излучения
В § 98 был исследован процесс испускания фотона при столк-
столкновении частиц в пределе, когда частота фотона стремится к ну-
нулю. Оказалось, что амплитуда процесса обратно пропорциональ-
пропорциональна о; и простым образом выражается через амплитуду того же
столкновения без испускания мягкого фотона (об этой последней
мы будем снова говорить условно как об амплитуде «упругого»
рассеяния и обозначать ее как 7WTnp). В следующем по со при-
приближении будет
Mfi = М^ + М$\	A40.1)
где к главному члену (ос со~1) добавляется не зависящий от со
(ос о;0) поправочный член. Мы увидим, что и этот поправочный
(как и главный) член может быть выражен через М^пр), причем
независимо от деталей электромагнитной структуры адрона. Это
утверждение называют низкоэнергетической теоремой для тор-
тормозного излучения (F. E. Low, 1958).
Мы видели в § 98, что основной вклад в амплитуду испуска-
испускания мягкого фотона (отвечающий первому члену в A40.1)) воз-
возникает от диаграмм, в которых фотон излучается непосредствен-
непосредственно начальной или конечной частицей. Это — диаграммы вида
A40.2)
Р2	Р2	Р2

700	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ	ГЛ. XIV
в противоположность диаграммам вида
A40.3)
в которых фотонная линия выходит из внутренних частей диа-
диаграммы. Для графиков A40.2) характерно, что они могут быть
рассечены на две части путем пересечения одной линии вирту-
виртуального адрона (начального или конечного). Другими словами,
они иллюстрируют существенное в данном аспекте свойство: на-
наличие одночастичного промежуточного состояния с одним ад-
роном. Мы видели в § 79, что в силу требований унитарности
это свойство уже само по себе приводит к появлению полюсной
особенности в амплитуде.
Предположим для простоты, что из двух сталкивающихся ад-
ронов электрически заряжен (и потому может излучать) лишь
один (первый) и что оба адрона не имеют спина. Волновые
амплитуды и таких адронов — скаляры, которые полагаем рав-
равными 1.
Тогда вклад в амплитуду от полюсной части диаграммы
A40.2,а) имеет вид
хМ$ = V^e;Bp1 - ^)eF__J__ir.	A40.4)
Первый множитель отвечает фотону к (е^ — его 4-вектор поля-
поляризации). Второй множитель отвечает электромагнитной адрон-
ной вершине (жирная точка на диаграмме); она записана в фор-
форме A38.5), F — формфактор адрона. Третий множитель — про-
пагатор виртуального адрона р\ — к (М — его масса). Наконец,
множитель it обозначает весь остальной блок. Последний отли-
отличается от амплитуды упругого процесса
A40.5)
Р2
заменой реального адрона р\ виртуальным р\ — к.
Среди первых членов разложения выражения A40.4) по сте-
степеням ио будут члены: 1) обратно пропорциональные о;, 2) не
зависящие от о;, но зависящие от направления к, 3) не завися-
зависящие от о;, к вовсе. Члены третьего (и только такого) рода воз-
возникнут также от «неособых» диаграмм — диаграмм вида A40.3),

§ 140 НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ТОРМОЗНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ 701
не содержащих полюсной особенности, и от неполюсных частей
диаграмм A40.2). Мы увидим, что все такие члены вместе од-
однозначно определяются по членам первых двух типов условием
калибровочной инвариантности и потому не требуют специаль-
специального вычисления.
Амплитуда упругого процесса A40.5) зависит лишь от двух
инвариантных переменных:
s = (p1+p2J = (p'1+p'2J, t = (p'2-p2J.	A40.6)
Замена р\ на р\ — к не только превращает s в (р\ — к +Р2J, но
вводит еще и зависимость от новой переменной
(Р1-кJ-М2 = -2{р1к),
характеризующей «нефизичность» импульса р\ — к. Но уже пер-
первый член разложения по этой новой (малой) переменной устра-
устраняет особенность в амплитуде A40.4) и потому может дать в ней
лишь не зависящие от к члены, которые, согласно сказанному
выше, нас пока не интересуют. Таким образом, мы приходим к
важному заключению, что вместо величины Г в A40.4) можно
подставить физическую амплитуду M^np^(s, ?), лишь заменив в
ней
s -+ (pi +P2 - кJ = s - 2k(pi + р2).	A40.7)
Первые члены ее разложения:
По такой же причине несуществен тот факт, что электромаг-
электромагнитный формфактор F относится здесь к вершине, в которой из
двух адронных концов (р\ и р\ — к) лишь один физический. Его
можно поэтому заменить рассмотренным в § 138 формфактором
вершины с двумя физическими концами, а поскольку фотон к в
данном случае реальный, то F(k2) = F@) = Zi, где eZ\ —заряд
адрона.
Таким образом, находим из A40.8)
-2(kpi)
A40.8)
где многоточие означает члены, не зависящие от к вовсе (между
тем как второй член в A40.8) зависит от направления к). Анало-
Аналогичным образом найдем, что вклад в Mfi диаграммы A40.2,5)

702	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ	ГЛ. XIV
отличается от A40.8) заменой pi, р2, к нар'15 р2, —к. Для глав-
главного члена разложения получим в результате известное уже нам
выражение
(ср. (98.5)).
Не зависящие же от к члены можно определить из требова-
требования, чтобы амплитуда в целом была калибровочно-инвариантна.
Именно, она не должна меняться при замене е* —>• е* + const • /с,
т. е. должна иметь вид Mfi = e* J^, причем k^J^ = 0. Легко ви-
видеть, что для этого нужно добавить к A40.8) не зависящий от к
член
и аналогично для диаграммы A40.2,5). В результате получим
окончательно
A40.10)
Эта формула решает поставленную задачу. Ее можно пред-
представить в более компактном виде, заменив тождественно
(и аналогично для d/dp'i) и введя дифференциальные операторы
rflu = Vl^tfA	д_	A40.11)
(и аналогично d[ ). Тогда
М}°} = ZieV^e; (< + d'A M^np).	A40.12)
Сечение определяется квадратом |Му^|2 с требуемой точно-
точностью
\Mfi\2 = \M{-1}\2 + 2Re(M}-1}M}f).	A40.13)
Второй член дает искомую поправку к сечению излучения. Про-
Просуммировав по поляризациям фотона, получим для этой поправ-
поправки следующее выражение:

§ 141	НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ФОТОНА	703
Таким образом, поправка к сечению излучения выражается через
сечение упругого процесса и его производную по s.
Если заряженный адрон имеет спин 1/2, то вся принципи-
принципиальная сторона вычислений остается прежней. Меняется лишь
конкретный вид вершин и пропагаторов. При этом оказывается,
что после усреднения по поляризациям адронов и фотона оста-
остается справедливой формула A40.14) (Т. N. Burnett, N. М. Kroll,
1968).
§ 141. Низкоэнергетическая теорема
для рассеяния фотона на адроне
В пределе малых частот сечение рассеяния фотона на всякой
неподвижной заряженной частице стремится к своему класси-
классическому значению, даваемому формулой Томсона. Этому преде-
пределу соответствует не зависящая от частоты фотона ио амплиту-
амплитуда, которую обозначим через М\^. Оказывается, однако, что и
для рассеяния фотона (как и для рассмотренного в предыдущем
параграфе тормозного излучения) от деталей электромагнитной
структуры адрона не зависит не только этот первый, но и следу-
следующий член разложения амплитуды по степеням ио:
где М^ ~ и (F. E. Low, 1954; М. Gell-Mann, M. L. Goldherger,
1954).
Рассматриваемый процесс изображается диаграммами трех
видов:
A41.2)
р	р	р	р р	р
а	б	в
из которых первые две снова характеризуются наличием одноча-
стичного промежуточного состояния и потому обладают полюс-
полюсной особенностью.
Аргументация и принципиальная сторона вычислений оста-
остаются теми же, что и в § 140. Достаточно фактически вычис-
вычислить лишь вклад от полюсных частей диаграмм A41.2,а—б"),
причем электромагнитные вершины в них выражаются через
статические формфакторы (заряд Ze и аномальный магнитный
момент /iaH).

704	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ	ГЛ. XIV
Однако, в отличие от случая тормозного излучения, интере-
интересующие нас теперь поправки к сечению комптон-эффекта суще-
существуют лишь для частиц со спином. Дело в том, что в случае
тормозного излучения кроме поправок, связанных со спином,
имеются также поправки, связанные с энергетической зависимо-
зависимостью амплитуды «упругого» процесса. Но в данном случае роль
последней играют формфакторы, которые для «физических кон-
концов» сводятся к постоянным и от энергии не зависят. Поэтому
для рассеяния фотона поправки возникают только за счет маг-
магнитного момента, отсутствующего у частиц без спина. Ниже мы
рассмотрим рассеяние фотона на адроне со спином 1/2.
Понимая под Mfi вклад в амплитуду рассеяния от полюсных
диаграмм, имеем (ср. (86.3),(86.4))
Mfi = -^(Zefe'*ey(u'Q^u),	A41.3)
где
s — М2 v	7
+ (Y-S»yp-lkM+2M(^ + S>»), A41.4)
з = (р + кJ = (р' + к'J, и = (р- к'J = (р' - кJ
и для краткости введены обозначения
МанЛд = ZeS", /wt"X = ZeS'".	A41.5)
Переставляя операторы jp + М и учитывая уравнения
u'ijp - М) = (jp - М)и = 0,
можно преобразовать выражение A41.4) к виду
4 -yd +ь ) 2(рк) + 2(Р>к) d +* )\
2(рк) + 2(Р>к)
2(pkf)
gv 7P ~ чк' + М
2(рк)	2(рк)'
}
Такая форма записи (и аналогичная с переставленными к и к')
делает очевидной калибровочную инвариантность выражения
A41.3), условием которой являются равенства
k'^(u'Q^u) = (u'Q^u)kv = 0	A41.7)
(при проверке надо помнить, что G&Х7&) = 0> kS = kfSf = 0).

§ 141	НИЗКОЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ФОТОНА	705
Поскольку полюсная часть амплитуды рассеяния оказывает-
оказывается, таким образом, калибровочно-инвариантной уже сама по се-
себе, должна быть инвариантной сама по себе также и регуляр-
регулярная часть амплитуды, включающая в себя и вклад диаграммы
A41.2,в). Отсюда в свою очередь следует, что разложение этой
части по степеням к и к' должно начинаться с квадратичных
членов (ср. аналогичное замечание в связи с условием A27.5)).
Другими словами, регулярная часть амплитуды содержит лишь
члены, начиная с пропорциональных ujuj1 ~ ио , т. е. не дает ни-
никакого вклада в интересующие нас члены, пропорциональные о;0
и со1. Все последние содержатся, следовательно, в выражении
A41.3).
Для их фактического вычисления выбираем лабораторную
систему отсчета, в которой покоится начальный адрон. Для фо-
фотонов же выбираем трехмерно поперечную калибровку, в кото-
которой ео = е70 = 0. Тогда (ре) = 0, (/е'*) ~ |р'| ~ о;, и из A41.6)
видно, что первые члены разложения Mfi будут пропорциональ-
пропорциональны о;0, а члены, содержащие /iaH, дадут вклад лишь в члены,
пропорциональные со1.
Волновые амплитуды начального и конечного адронов в ла-
лабораторной системе отсчета с нужной точностью имеют вид
*
' = л/2М(V*, -^(к-
где w, w'— 3-спиноры.
Прямое вычисление приводит к следующему результату:
Mf) = -87r(ZeJ(ef*e)(wf*w),	A41.8)
vf* aw){n([ne]ef*) + [ne](ne7*) —
;[nV*]e)-[n'e'*](ne)-2[e'*e]}, A41.9)
где n = k/o;, n7 = к'/а
Сечение рассеяния
da = -^—\Mfi\2^^dof	A41.10)
64тг2' /г| М2и2	V	J
(см. F4.19)). Для рассеяния на заряженной частице отличны от
нуля как MV , так и MV . Принятая точность допускает при этом
сохранение в квадрате |М^|2 членов |M	()
Первый дает томсоновское сечение. Второй же обращается в нуль
23 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том IY

706	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ	ГЛ. XIV
при усреднении по поляризациям фотонов и адронов. Поэтому
при рассеянии на заряженном адроне рассматриваемые поправ-
поправки проявляются только в поляризационных эффектах.
Для рассеяния же на электрически нейтральном адроне
My = 0 и сечение определяется квадратом |ML^|2. После усред-
усреднения по поляризациям начальных и суммирования по поляри-
поляризациям конечных частиц оно оказывается равным (в обычных
единицах)
°B + sin2#)do',	A41.11)
где $ — угол рассеяния фотона, а аномальный магнитный момент
совпадает с полным моментом \i. Отметим, что по своей угловой
зависимости это сечение соответствует случаю антисимметриче-
антисимметрического рассеяния (см. задачу 2 к § 60).
§ 142. Мультипольные моменты адронов
Рассмотрим теперь ток перехода, соответствующий такой же
как A38.2), диаграмме
A42.1)
в которой, однако, линии р\ и р2 отвечают разным частицам
(массы М\ и М2); фотонную линию к = р\ — р2 удобнее предста-
представлять здесь исходящей из вершины. При этом фотон может быть
теперь как виртуальным, так и реальным: должно быть лишь
к2 < (Mi — М2J, так что значение к2 = 0 допустимо. Таким
образом, применения рассматриваемой диаграммы включают в
себя, в частности, процессы испускания фотона при превраще-
превращениях частиц, в том числе ядер (в последнем случае начальной и
конечной частицами является ядро в различных состояниях).
В связи с поставленным вопросом наиболее интересен случай,
когда длина волны фотона велика по сравнению с характерными
«размерами» частицы (т. е. размерами, входящими в ее форм-
факторы; для ядра они совпадают, конечно, с его «радиусом»).
Тогда ток перехода может быть разложен по степеням к г) .
Отметим прежде всего, что должно быть
Jfi = 0 при к = 0.	A42.2)
) Ниже мы следуем методике, предложенной В. Б. Берестецким A948).

§ 142	МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ АДРОНОВ	707
Действительно, пределу к —>• 0 отвечает постоянный в простран-
пространстве и времени потенциал. Но такой потенциал не имеет физи-
физического значения и не может являться причиной каких-либо ре-
реальных процессов. К этому же выводу можно подойти и с более
формальной точки зрения: рассмотренные в § 138 токи были от-
отличны от нуля при к = 0 за счет членов, пропорциональных
4-вектору Р = р\ + р2\ но при М\ ф М_2 произведение (Рк) Ф 0,
так что такие члены запрещены условием поперечности тока.
Запишем условие поперечности тока Jfi = (pfi, Jfi) в трех-
трехмерном виде:
A42.3)
Этому условию можно удовлетворить двумя способами:
Jfi = o;v(k, о;), pfi = kv(k, uo)	A42.4)
или
Jfi = [ka(k, a;)], pfi = 0.	A42.5)
Здесь v —некоторый полярный, а а —аксиальный векторы. В
первом случае говорят о токе электрического, а во втором — маг-
магнитного типа. Согласно A42.2) v и а при к, ио —>> 0 остаются
конечными или обращаются в нуль.
Пусть энергия фотона ио <С М\. Тогда можно пренебречь эф-
эффектом отдачи и считать покоящейся (в системе покоя частицы
Mi) также и конечную частицу М2; при этом ио становится задан-
заданной величиной: ио = М\ — М2. Состояния покоящихся частиц М\
и М2 характеризуются трехмерными спинорами w\ и W2 рангов
2si и 2.S2, где s\ и 52 — спины частиц. Ток перехода должен быть
билинейной комбинацией w\ и w^. Из произведений компонент
этих спиноров можно составить неприводимые тензоры рангов
/ = 5i+52, ..., |«si — 521 (при заданном / это будет истинный
или псевдотензор в зависимости от внутренних четностей частиц
М\ и М2). Кроме этих тензоров в нашем распоряжении имеется
только вектор к. Чтобы построить первый член разложения тока
по степеням к, надо с помощью этих величин составить вектор
как можно более низкой степени по к. Мы достигнем этой цели,
взяв тензор наименьшего ранга и умножив его скалярно / — 1 раз
на вектор к. Это и будет полярный вектор v или аксиальный
вектор а.
Пусть Qim — сферические компоненты тензора, составленно-
составленного из волновых амплитуд частиц. Сферические же компонен-
компоненты тензора ранга / — 1, составленного из компонент к, равны
|k|^~1Y^-i,m(nM гДе п — к/а;. По общему правилу сложения сфе-
сферических тензоров (см. III, A07,3)) сферические компоненты
23*

708	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ	ГЛ. XIV
вектора v можно написать в виде
где А пробегает значения 0, =Ы (о выборе общего множителя
см. ниже). Используя формулы G.16), можно выразить v через
шаровые векторы:
v = r	v ' ; = > -1Г Qi-щХ
B/-1)!!л//B/ + 1) ^V У ^'
x [V/ + lYS(n) + VZY^fn)]. A42.6)
Подставив в A42.4), найдем El-ток перехода:
A42.7)
(мы различаем везде |к| иш, имея в виду возможные применения
как к реальным, так и к виртуальным фотонам, для которых эти
величины не совпадают).
В A42.7),A42.8) подразумевается, что сферический тен-
30Р Qim (обозначенный здесь Q^)—истинный тензор. Если же
это псевдотензор (в таком случае обозначим его Q^), то форму-
формула A42.6) определит псевдовектор а. Подстановка в A42.5) дает
тогда ТШ-ток перехода:
^[ ' Q^-mYirnW^ A42<9)
Pfi = 0.
Величины Qj^ и Q^ представляют собой адронные электри-
электрические и магнитные мультипольные моменты перехода. Их роль в
электродинамике адронов вполне аналогична роли соответствую-
соответствующих величин в электродинамике электронов. В то время, однако,

§ 142	МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ АДРОНОВ	709
как для электронных систем эти моменты могут быть, в принци-
принципе, вычислены по волновым функциям (как матричные элементы
соответствующих операторов), в электродинамике адронов они
выступают как феноменологические величины, значения кото-
которых находятся из опыта.
Нормировка этих величин в A42.7)-A42.9) выбрана в соот-
соответствии с их определением в § 46. В этом можно убедиться,
рассматривая токи A42.7)—A42.9) как компоненты Фурье тока
перехода в координатном представлении. Так, разложив множи-
множитель е~гкг в интеграле
P/i(k) = J pfi(r)e-ik43x	A42.10)
с помощью формулы D6.3), получим
pft(k) =
Оставив здесь член с наименьшим /, для которого интеграл отли-
отличен от нуля, и заменив функцию ^(|k|r) при |k|r <C 1 ее первым
членом разложения D6.5), мы вернемся к формуле A42.9), при-
причем
i(9) _ / *« / J-..^v r-jd6x	A42.11)
в соответствии с определением D6.7).
Покажем также, что при применении к испусканию реального
фотона полученные формулы приводят к уже известным нам
результатам.
Амплитуда перехода с испусканием фотона с импульсом к =
= от и поляризацией е = @, е):
Mfi = -ел/4тге*Л/*.	A42.12)
Если в начальном и конечном состояниях ядро обладает опре-
определенным значением проекции момента (Mi и Mj), то в сумме
по т в A42.7)-A42.9) остается лишь по одному члену: т = Mi —
— Mf. Поскольку согласно A6.23) произведения Y^e(A)* или
Y^e(A)* (А = =Ы — спиральность фотона, е^ _L n) пропорци-
пропорциональны DlXm, мы возвращаемся к формулам, рассмотренным в
S 48.

710	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ	ГЛ. XIV
Дифференциальная вероятность излучения г)
dw = 2тг<^ - (Ег - Ef)]\Mft\2^^-3	A42.13)
(Ei, ^/—начальная и конечная энергия ядра). Полная вероят-
вероятность получится суммированием по поляризациям и интегриро-
интегрированием no d3к. Подставив A42.7) или A42.9) в A42.12) и затем
в A42.13) и произведя указанные действия, мы вернемся к фор-
формуле D6.9) (или D7.2)).
Формулы A42.7)—A42.9) включают в себя все случаи, кото-
которые могут иметь место для испускания реального фотона. Для
виртуальных же фотонов возможен еще и другой случай, не опи-
описываемый этими формулами (R. H. Fowler, 1930).
Если спины и четности начального и конечного состояний
ядра одинаковы, то из их волновых амплитуд можно составить
скаляр Qq , а с его помощью — ток перехода вида
Pfi = Q0k2, 3fi = Qo^k.	A42.14)
Величину Qq называют монопольным (Е0) моментом перехо-
перехода. Для испускания реального фотона соответствующая ампли-
амплитуда перехода обращается в нуль (так как е*к = 0). Монополь-
Монопольный ток, однако, может быть источником переходов, связанных с
испусканием виртуального фотона. Более того, он является един-
единственным таким источником при s\ = 52 = 0, когда все мульти-
польные моменты равны нулю.
По своей зависимости от о; и к монопольный ток A42.14)
аналогичен электрическому квадрупольному. Соответственно и
момент Qq представляет собой величину того же порядка, что
и квадрупольный момент. К этому заключению можно прий-
прийти также и путем истолкования A42.14) как компоненты Фурье
тока в координатном представлении. Разложив в A42.10) множи-
множитель е~гкг по степеням кг и положив функцию Pfi(r) сферически-
симметричной, получим
Сравнив с A42.14), найдем
Qo = ~\JPfi(r)r2dsx.	A42.15)
Сходство этой величины с квадрупольным моментом очевидно.
г) Множитель 2тт6 в этой формуле вместо BттL6^ в F4.11) связан с тем,
что при пренебрежении отдачей ядра импульс не сохраняется, так что оста-
остается лишь сохранение энергии.

§ 142	МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ МОМЕНТЫ АДРОНОВ	711
Задачи
1. Найти вероятность ионизации атома из if-оболочки за счет энергии
возбуждения ядра ио (так называемая внутренняя конверсия 7-излучения)
при ядерном М/-переходе в пренебрежении энергией связи электрона в ато-
атоме и влиянием поля ядра на его волновые функции х).
Решение. Процесс описывается диаграммой
A)
где р\ и р2 относятся к неподвижному ядру в различных состояниях, а р =
= (т, 0) и// = (m+cj, p') — 4-импульсы начального и конечного электронов.
Этой диаграмме отвечает амплитуда
Mfi = -e2—-u(p)(jJfi)u(p),
q2
где Jfi — ток перехода ядра. После суммирования по конечным и усреднения
по начальным поляризациям электрона получим
(использовано, что Jfiq = 0 и поэтому Jfip = Jfip'). Вероятность конверсии
вычисляется как
т
где da — сечение рассеяния, изображенного диаграммой A) с р = (s,p), a
ipi — волновая функция атомного электрона; для if-электрона
\фг(О)\2 = {Zamf/n.
Множитель 2 учитывает два электрона в if-оболочке атома. Сечение da
вычисляется как
da = 2tt^(s + и - e)\Mfl\2^
(ср. примеч. на с. 710).
Для М/-переходов ток Jfi надо взять из A42.9). Интегрирование dwKOUB
по de' устраняет ^-функцию, а ингегрирование по do' обращает квадрат
Y[^ | в 1. В результате вероятность конверсии окажется выраженной через
квадрат \Q\)ш_ш\2. Но через эту же величину выражается согласно D6.9) ве-
вероятность Wj спонтанного излучения фотона при том же ядерном переходе.
Окончательно получается
(это отношение называют коэффициентом конверсии).
1) Это приближение требует малости заряда ядра и достаточно больших
энергий возбуждения uj (в то же время 1/ш предполагается большим по
сравнению с размерами ядра). Фактически такое приближение малоудовле-
малоудовлетворительно, и более точное вычисление требует учета кулонова поля ядра.

712	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ	ГЛ. XIV
2. То же для ядерного ^/-перехода.
Решение. Тем же способом с током перехода из A42.7),A42.8) полу-
получается
w1	^ / +1 cj2
3. To же для монопольного перехода ядра.
Решение.С током перехода из A42.14) получается
= 4a2(ZaKmW(l + ^
Поскольку монопольное испускание фотона невозможно, исключить отсюда
|Qo|2 нельзя.
§ 143. Неупругое рассеяние электронов адронами
В § 139 было рассмотрено упругое рассеяние электронов ад-
адронами. Аналогичным образом может быть поставлена задача о
неупругом рассеянии. Отличие состоит в том, что конечное ад-
ронное состояние будет теперь отвечать другому адрону или же
совокупности адронов. Закон сохранения импульса A39.1) оста-
останется в силе, если под pfh подразумевать 4-импульс конечного
адрона или суммарный 4-импульс всей образовавшейся в про-
процессе рассеяния совокупности адронов. Таким образом, теперь
p'h Ф РнФ М2, где М — масса начального адрона.
С этим отличием процесс неупругого рассеяния описывается
той же диаграммой A39.2). Нижнюю вершину этой диаграммы
мы обозначим через Jj^, как это делалось в § 138. Однако в от-
отличие от A38.3) или A38.6) мы не будем выражать ток перехода
через вершинный оператор и амплитуды состояний, чтобы не
фиксировать заранее характер конечного адронного состояния.
Теперь можно записать амплитуду рассеяния в аналогичном
A39.3) виде
(такая амплитуда уже использовалась в задаче 1 к § 142, где рас-
рассматривалась передача энергии электрону; аналогичную
структуру имеет амплитуда в задаче о возбуждении ядер элек-
электронами) .
Будем считать энергию начального электрона достаточно
большой, чтобы в конечном состоянии могло образоваться боль-
большое число адронов. Мы будем интересоваться так называемым
инклюзивным сечением, отвечающим тому, что в конечном со-
состоянии фиксируется только импульс электрона, а по всем ад-
ронным состояниям произведено суммирование.

§ 143	НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ АДРОНАМИ	713
Такое дифференциальное сечение запишем, в соответствии с
формулами § 64, в виде
^	()	A43.2)
/
Инклюзивное сечение может зависеть лишь от трех кинема-
кинематических инвариантов, которые могут быть определены путем
измерений, производимых только над электронами. Таких инва-
инвариантов существует три:
t = q2 = (Ре-Р'е)\ S = (pe+phJ	A43.3)
и р\. Необходимость учета третьего инварианта связана с тем,
что в отличие от упругого рассеяния р'h — «масса» конечного
адронного состояния — теперь не задана. Вместо р'h удобно, од-
однако, пользоваться инвариантом
v = qph.	A43.4)
Связь между v и pfh следует из равенства p'h = р^ + q:
-t + 2u.	A43.5)
Если начальный адрон стабилен (например, протон), то энергия
покоя конечного состояния больше чем М, т. е. pfh ^> M2, и из
A43.5) следует (ввиду того, что t < 0):
v> |t|/2	A43.6)
(знак равенства отвечает упругому рассеянию).
Кинематические инварианты можно выразить через энергии
электрона в начальном и конечном состояниях ее и е'е и угол рас-
рассеяния в. Ниже будем считать электрон ультрарелятивистским
(ее ^> 771, е'е ^> га) и пренебрегать его массой. Тогда в системе
покоя начального адрона (лабораторная система) получим
t = -4?еб'е sin2F>/2), v = М(ее - е'е), s - М1 = 2Ме. A43.7)
Подставив A43.1) в A43.2) и выполнив обычным образом
суммирование по поляризациям электронов, получим сечение
рассеяния неполяризованных электронов. Запишем его в виде
или
da = —	^	w^W^,	A43.8)
(g2J BтгK • 8Meeefe ^

714	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ	ГЛ. XIV
где
'	* °	A43.10)
A43.11)
Тензор W^v', конечно, существенно зависит от свойств адрон-
ных токов, и мы можем в общем случае только поставить зада-
задачу о его феноменологической структуре, аналогичную задаче о
формфакторах адронов. Прежде всего, воспользуемся тем, что
тензорная структура W^p должна определяться только 4-век-
торами, имеющими отношение к нижней вершине диаграммы
A39.2), т. е. рь и q. Из них (а также метрического тензора g^)
можно составить всего пять независимых тензоров. Требование
инвариантности относительно обращения времени сводится к
требованию симметричности тензора; таких тензоров можно по-
построить четыре. Наконец, условие сохранения тока, т. е.
W^1' qv = 0, W^q = 0,
сводит число независимых тензоров к двум. Их можно выбрать
в виде
= (рА/| - ^) (PAl/- ^,) A43.12)
и записать W^v как
W> = iirMWiTJJ) + ^W2t$ .	A43.13)
Подставив в A43.8) выражения A43.10) и A43.13), представим
сечение в виде
da = (W2 + 2Wi tg2 ^jde'edayup,	A43.14)
где
,	a2 cos2(tf/2) , ,
daYUr> =	л ' do
У Р 4s? sin4 @/2)
— сечение рассеяния ультрарелятивистского электрона в кулоно-
вом поле (ср. (80.7)).
Мы видим, что сечение определяется двумя структурными
функциями, зависящими от двух инвариантов t и v. Если при
больших энергиях физика адронов не содержит характерных ве-
величин размерности массы (гипотеза масштабной инвариантно-
инвариантности), то можно ожидать, что структурные функции будут зави-
зависеть при больших энергиях от единственного безразмерного па-
параметра tjv. Тогда функции W\, W2 должны иметь вид функций
одной переменной:
щ1 = Ы'-), W2 = ^F2(i)	A43.15)
(заметим, что отношение М/и не зависит от М).

§ 144	ПРЕВРАЩЕНИЕ ЭЛЕКТРОН-ПОЗИТРОННОЙ ПАРЫ В АДРОНЫ	715
§ 144. Превращение электрон-позитронной пары
в адроны
Рассмотрим теперь процесс превращения электрон-позитрон-
электрон-позитронной пары в адроны. Обозначим 4-импульсы электрона и позитро-
позитрона через р- и р+, а 4-импульс (суммарный) совокупности обра-
образующихся адронов через р^ при этом р_ + р+ = Рн- Процесс
изображается диаграммой
Р-
A44.1)
Нижней вершине этой диаграммы отвечает ток перехода из ва-
вакуума в некоторое адронное состояние |п), который обозначим,
как это делалось в § 104, через (п\ J\0).
Диаграмме A44.1) соответствует амплитуда рассеяния
Мп = -^п(-р+O/1«(р_)<п|Л0).	A44-2)
Мы будем интересоваться полным сечением аннигиляции в ад-
адроны Gh, т. е. просуммируем по всем конечным состояниям \п).
Тогда, в соответствии с F4.18),
j	- q),	A44.3)
где q = p- + р_|_. В дальнейшем будем пренебрегать массой элек-
электрона; тогда q2 = 2(р__р+), I = q2/2.
Аналогично тому, как мы поступали в § 143, запишем сечение
в виде
A44.4)
где
w^v = ayp^q" + pv_q^ — 2p^py_ — 1/2q g*1),	A44.5)
h-q)(O\Ju\n)(n\J^\O)	A44.6)
и t = q2 > 0.
Заметим, что t является единственным кинематическим ин-
инвариантом рассматриваемой задачи («треххвостой» диаграммы

716	ЭЛЕКТРОДИНАМИКА АДРОНОВ	ГЛ. XIV
A44.1)) и q — единственным 4-вектором, от которого может зави-
зависеть W^y. Поэтому с учетом требования сохранения тока тензор
W^v можно представить в виде
()	A44.7)
где Ph(t) — единственная инвариантная функция, зависящая от
свойств адронного тока и определяющая сечение аннигиляции.
Подставив A44.5)-A44.7) в A44.4), получим
oh = ^Ph(t).	A44.8)
Обратим внимание на то, что функция Ph(t) = —2Wff/3 в
точности совпадает с определенной в A04.9) функцией p{t), если
в последней формуле понимать под токами адронные токи. Напо-
Напомним также, что p(t) является спектральной плотностью фотон-
фотонной собственно-энергетической функции П(?) : 1тП(?) = —irp(t).
В рассматриваемом низшем приближении по а функция П сов-
совпадает с поляризационным оператором V. В этом приближении,
следовательно, Ph(t) является также и спектральной плотностью
адронного вклада в поляризационный оператор:
ImVh(t) = -irph(t).	A44.9)
Использовав дисперсионное соотношение A11.13) и выразив р^
через сг/i согласно A44.8), получим формулу
:,	A44.10)
гО
0
выражающую адронный вклад в поляризацию вакуума через из-
измеряемое на опыте сечение аннигиляции в адроны.
Заметим, что таким же точно способом можно было бы ре-
решить задачу об аннигиляции электрон-позитронной пары в мю-
онную пару (в первом приближении по а может образоваться
только одна такая пара). Аналогично результату A44.8) мы по-
получили бы
^	A44-и)
где р^ (t) — спектральная плотность мюонной поляризации ваку-
вакуума. Она отличается от электронной поляризации лишь заменой
массы электрона т массой мюона \i и согласно A13.8) дается
выражением
Зтг
Подставив его в A44.11), мы воспроизведем результат, получен-
полученный уже в задаче 8 к § 81.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аннигиляционное взаимодействие
389
Аномальный магнитный момент
179, 185, 695, 703
	мюона 580
	электрона 574, 579
Асимптотическая свобода 667
Биспинор 92
Брейта система 694
Векторные частицы 70, 344, 588
Вершина диаграммы 328
Вершинная функция 527
	неприводимая 528
Внешние линии диаграммы 329
	эффективные 517, 545, 548
Внутренние линии диаграммы 335,
352
Внутренняя конверсия 7-излучения
711
Вынужденное комбинационное рас-
рассеяние 263
Вычет в полюсе амплитуды рассея-
рассеяния 157, 165
Гипотеза масштабной инвариантно-
инвариантности 714
Главные линии мультиплета 213
Группа Лоренца 63
Дираковски-сопряженная функция
100
Дисперсионное соотношение 551,
573
	двойное 622, 630
	с вычитанием 553, 573, 626, 636
Длина когерентности 458
— радиационная 458
Зарядовое сопряжение 64, 119, 123,
307
Затравочный заряд 545, 666
Излучение метастабильного атома
водорода 227
Инверсия 33, 47, 63, 90, 125, 136, 305
—	комбинированная 67, 309
—	четырехмерная 57, 66
Инклюзивное сечение 712
Инфракрасная асимптотика пропа-
гатора 587
—	катастрофа 486
—	двойное 261
Испускание вынужденное 191
Истинно нейтральные фермионы
124
Калибровка Ландау 343, 662
—	трехмерно-поперечная 28, 343
—	Фейнмана 343
—	четырехмерно-поперечная 28, 343
Калибровочное преобразование 27,
38, 45, 62, 144, 342, 510, 525
Каналы реакции 294, 353, 669
Кант полосы 234
Кулоновский интеграл движения
153
Лестничные диаграммы 615, 686
Лэмбовское смещение 154, 602—612
	в позитронии 619
Массовая поверхность 569
Массовый оператор 523, 581
Матрицы Дирака 99, 102
Метод Вейцзеккера-Вильямса 490
Момент перехода магнитный 201,
708
	электрический 197, 708
Монопольный момент 710
Нейтрино 137, 169
Нелинейная поправка к полю заряда
647
Нормальное произведение 25, 346
Нулификация заряда 666
х)Этот указатель дополняет оглавление книги, не повторяя его. В ука-
указатель включены термины и понятия, непосредственно не отраженные в
оглавлении.

718
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Обращение времени 66, 308, 629
Оптическая теорема 261, 282, 318, 636
Параметризация интегралов 656
Параметры Стокса 44
Перенормируемость 557
Плоскость Мандельстама 297
Позитроний орто-, пара- 389
—	тонкая структура уровней 391
—, эффект Зеемана 390
Показатель преломления в магнит-
магнитном поле 649
Полюсные диаграммы 357, 545
Поляризационная матрица плотно-
плотности 43, 73, 131, 139
Поляризационные моменты ядер
208, 210
—	эффекты в рассеянии 369—374,
405—416
	тормозном излучении 457
Поправка релятивистская к волно-
волновой функции 174
Правила коммутации для ^-опера-
^-операторов 336
—	обхода Фейнмана 339
—	отбора в атомах 213, 217
	молекулах 229—231, 233, 237
	рассеянии 256, 267, 275
	во внешнем поле 220, 221
	мультипольного излучения 198,
202
	по изотопическому спину 238
Правило сумм при излучении 226
Превращение в электронную пару
двух фотонов 418
—	электронной пары в мюонную 373,
716
Представление взаимодействия 322,
510
—	гейзенберговское 322, 425, 508
	Майораны 103, 123, 124
—	Мандельстама 622
—	Фарри 537
—	Фолди-Войтхузена 110
Преобразование билинейных форм
Паули-Фирца 128
—	Лоренца спинора, биспинора 88,
103
Прецессия спина в магнитном поле
180, 184
Принцип соответствия 195
—	Франка-Кондона 235
Пропагатор векторного поля 345
—	скалярного поля 340
Пунктирные индексы 84
Радиационное образование дейтро-
дейтрона 253
Разложение Чел лена-Ломана 552
Рассеяние антисимметричное, сим-
симметричное 267, 704
—	когерентное 259, 635
—	комбинационное 254
—	рэлеевское 254
—	света атомом водорода 270
	дейтроном 270
	нейтроном 704
—	скалярное 268
—	электрона на мюоне 372
	световой волне 264
Рекомбинация радиационная 244,
253
Ренормализационная группа 668
Рождение пар полем 156, 644, 647
Сателлиты 215
Свертывание операторов 327
Сечение потерь энергии 376
Сила линий перехода 212
Скалярные частицы 52
Скелетные диаграммы 528, 531, 665
Спектральная плотность 522
	двойная 622
Спин-орбитальное взаимодействие
151, 386
Спин-спиновое взаимодействие 386
Спиральность 42, 49, 76, 109
—, сохранение в ультрарелятивист-
ультрарелятивистском случае 169
Спиральные амплитуды 302
Сферические спиральные состояния
79
Тензор поляризуемости 261
—	рассеяния 256
Тензоры неприводимые 75
Теорема Вика 346
—	СРТ 66, 122, 320, 354
—	Фарри 359
Ток перехода 188, 375, 691, 692
«Томасовская половинка» 151, 184
Тормозное излучение, вычисление
по Вейцзеккеру-Вильямсу 493
	влияние экранирования 456
	дипольное 445
	квадрупольное 445
	мягких квантов 488
	при испускании частицы 446
	отражении от барьера 447
	рассеянии на атоме 448
Трехфотонная аннигиляция пары
419
Уравнение Бете-Солпитера 616
—	Клейна-Фока-Гордона 52
—	Паули 149

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
719
Уровни энергии в кулоновом поле
153, 162
	магнитном поле 147
Условие полноты матриц 129, 130
Фазовые сдвиги 157, 165, 170
Формфактор зарядовый 695
—	магнитный 695
—	электромагнитный электрона 570
Фотон магнитный 34, 200
—	электрический 35, 156
Фоторождение пионов 320
Функция Спенса 457, 578, 660
Чередование интенсивностей 235
Четность внутренняя 63
Четность зарядовая 65, 69, 70, 125
—	орбитальная 63
—	сферических состояний фотона
36, 37
	электрона 113
Шаровые векторы 36
—	спиноры 111
Швингеровские члены 521
Эйнштейна коэффициенты 192
Эффект Комптона 332
—	Штарка тонкой структуры 226
Эффективное торможение 376, 446,
448, 457, 477
Эффективный заряд протона 238

Учебное издание
БЕРЕСТЕЦКИЙ Владимир Борисович
ЛИФШИЦ Евгений Михайлович
ПИТАЕВСКИЙ Лее Петрович
КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
(Серия: «Теоретическая физика», том IV)
Редакторы: Е. В. Сатарова, Д. А. Миртова
Оригинал-макет: В. В. Затекин
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 22.02.01. Формат 60x901/i6
Бумага офсетная №1. Печать офсетная
Усл. печ. л. 45. Уч.-изд. л. 46,11
Тираж: 2000 экз. Заказ №
Издательская фирма
« Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная ул., 90
Отпечатано с готовых диапозитивов в ПФ «Полиграфист»
160001, г. Вологда, ул. Челюскинцев, 3.
Тел.: (8172) 72-55-31, 72-61-75, факс (8172) 72-60-72.
E-mail: pfpv@vologda.ru http://www.vologda/~pfpv
BBN 5-9221-0058-0
785922 100588