Б.Г. Зив
ГЕОМЕТРИЯ
ДИДАКТИЧЕСКИЕ
МАТЕРИАЛЫ
10-е издание
Москва
"Просвещение"
2008
УДК 372.8:514
ББК 74.262.21
3-59
Зив Б. Г.
3-59 Геометрия : дидакт. материалы для 11 кл. /
Б. Г. Зив. — 10-е изд. — М. : Просвещение, 2008. —
128 с. : ил. — ISBN 978-5-09-015960-9.
Данное пособие содержит самостоятельные и контрольные рабо-
ты по геометрии, а также математические диктанты. Дидактиче-
ские материалы адресованы учителям, работающим по учебни-
ку «Геометрия, 10—11» авторов Л. С. Атанасяна, В. Ф. Бутузова,
С. Б. Кадомцева, Л. С. Киселевой, Э. Г. Позняка, но могут быть ис-
пользованы при работе и по другим учебникам.
ISBN 978-5-09-015960-9
© Издательство «Просвещение», 1994
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2000
Издательство «Просвещение», 2008,
с изменениями.
Все права защищены
ПРЕДИСЛОВИЕ
В пособии приведены 19 самостоятельных работ, одна
дополнительная самостоятельная работа, 4 работы на по-
вторение, 3 математических диктанта и 4 контрольные ра-
боты. Самостоятельные работы обозначены буквой С с соот-
ветствующим номером, дополнительная самостоятельная
работа — буквами ДС, математические диктанты — буква-
ми МД, а контрольные работы — буквой К.
Основная цель самостоятельных работ — помочь учите-
лю организовать деятельность учащихся по решению задач
с учетом их индивидуальных особенностей и уровня подго-
товки. Кроме того, самостоятельные работы могут исполь-
зоваться для текущего контроля умений и навыков школь-
ников.
Самостоятельные работы даны в восьми вариантах.
В первом и втором вариантах каждой работы предлагаются
задания, для успешного решения которых учащиеся долж-
ны применять знания на уровне минимальных требований.
Третий и четвертый варианты состоят из задач среднего
уровня сложности. Решение этих задач предусматривает
умение распознавать понятия в стандартных ситуациях,
применение знаний в стандартных условиях или при не-
больших отклонениях от них. Задачи третьего и четвертого
вариантов по сложности примерно соответствуют большин-
ству основных задач учебника.
Пятый и шестой варианты предназначены для наиболее
подготовленных учащихся. При решении задач этих вари-
антов требуется умение применять знания в усложненных
ситуациях, иметь достаточно высокий уровень развития
вычислительных навыков и навыков проведения тождест-
венных преобразований. По сложности эти задачи пример-
но соответствуют наиболее трудным из основных и допол-
нительных задач учебника.
Седьмой и восьмой варианты состоят из задач, при ре-
шении которых требуется творческое применение знаний.
Здесь приходится анализировать сложные геометрические
ситуации, самостоятельно открывать новые факты, уста-
навливать отношения между ними. Задачи из седьмого и
восьмого вариантов могут быть даны отдельным учащимся
после выполнения ими основной работы наравне со всеми
учащимися класса в оставшееся время или использоваться
в качестве необязательных заданий для домашней работы,
а также на факультативных занятиях либо занятиях ма-
тематического кружка. Учителю не следует обязательно
3
выполнять с учащимися все задания каждой из работ. На-
деемся, что представленные в пособии работы позволят
учителю на любом уроке отобрать необходимые задания в
зависимости от цели урока, наличия учебного времени,
уровня подготовки учащихся.
Работы на повторение составлены в четырех вариантах
примерно одинаковой степени сложности. Они позволяют
учителю комплексно повторить темы 10—11 классов. Каж-
дая работа состоит из нескольких небольших задач или
вопросов различной степени сложности. Это дает возмож-
ность каждому ученику проверить свои силы по отдель-
ным вопросам курса геометрии и лучше подготовиться к
выпускному экзамену.
Математические диктанты предназначаются для систе-
матизации теоретических знаний учащихся и могут пред-
шествовать контрольной работе. Диктант составлен из
небольших задач по прямому применению теории. При
проведении диктанта ученик должен в течение нескольких
минут ответить на вопрос или решить задачу, предложен-
ную учителем. Необходимое для ответа время регулиру-
ет учитель в зависимости от сложности вопроса и под-
готовленности класса. На такую работу можно отвести
30—35 мин, после чего учитель вместе с классом проверяет
ответы учащихся, анализирует допущенные ошибки. Он
сам решит, какие задачи дать в виде текста, а какие — с
использованием чертежа. Учитель также по своему усмот-
рению может предлагать не все вопросы диктанта, а только
их часть. Задания математических диктантов могут быть
использованы как набор дополнительных вопросов на экза-
мене по геометрии.
Контрольные работы составлены в четырех вариантах.
Они предназначены для проведения итоговых проверок
знаний по каждой из трех тем учебника и по всему курсу
геометрии. Сложность всех вариантов работ примерно оди-
накова. В каждом варианте имеются более сложные зада-
чи, отмеченные знаком *. Оценка выставляется ученикам
только за основную часть работы, а ученики, решившие до-
полнительную задачу, могут получить вторую оценку за
работу.
В конце пособия даны ответы ко всем самостоятельным
работам, работам на повторение и к контрольным работам.
К наиболее сложным заданиям приведены указания или
решения. Предложенные решения, разумеется, не являют-
ся единственно возможными.
Автор
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Вариант 1
С-1
1. Куб ABCDA,B,C,D, помещен в
прямоугольную систему коорди-
нат (рис. 1), А (2; -2; 0).
1) Найдите координаты всех
остальных вершин куба.
2) Найдите координаты векто-
ров OD, ОС,, ОМ и разложите их
по векторам i, j и k.
2. Даны векторы а {2; -1; 3},
Ь {-3; 2; 1} и с {-10; 6; -4}. Бу-
дут ли коллинеарными векторы
а - Ь и с?
С-2
1.	Даны два вектора а {-2; 1; -1} и b {1; -3; 2}. Найдите
|a + 2ft| и |а | + | 2й|.
2.	В треугольнике АВС ВМ — медиана, А (-1; 2; 2),
В (2; -2; -6), М (1; 1; -1).
1)	Найдите координаты точки С.
2)	Найдите длину стороны ВС.
3)	Разложите вектор ВС по векторам i, j и k.
С-3
1. Ребра правильного тетраэдра DABC равны а, К — сере-
дина ВС. Найдите:
1) DA  АК‘,
2) DA • ВС.
2. В кубе ABCDA,B,C,D, точка М — центр грани DD,C,C.
Какой угол, острый, прямой или тупой, между вектора-
ми AM и BD,2
5
1. |a| = V2, |d| = 1, ab= 135°. Найдите угол между векто-
рами а + b и а - 2Ь.
2. В тетраэдре DABC основанием служит равнобедренный
треугольник АВС, АВ = AC, ADAC = A DAB. Используя
векторы, докажите, что AD 1 ВС.
С-5
1.	Найдите координаты точек, в которые переходит точка
А (100; 200; 1) при:
а)	центральной симметрии относительно начала коор-
динат;
б)	зеркальной симметрии относительно плоскости хОу.
2.	Докажите, что при движении треугольник отобража-
ется на равный ему треугольник.
С—6
1. Докажите, что при движении прямая, перпендикуляр-
ная плоскости, отображается на прямую, перпендику-
лярную плоскости.
2. Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что если
одна из двух параллельных прямых перпендикулярна
плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоско-
сти.
С-7
1. Через образующую цилиндра проведено два сечения, из
которых одно осевое с площадью, равной S. Угол между
плоскостями сечений равен 30°. Найдите площадь вто-
рого сечения.
2. В правильную треугольную призму вписан цилиндр.
Найдите площадь его поверхности, если сторона основа-
ния призмы равна 2V3, а высота 3.
С-8
1. В конусе через его вершину проведена плоскость, пере-
секающая основание по хорде длиной а, стягивающей
дугу в 90°. Наибольший угол между образующими кону-
са равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности ко-
нуса.
2. Длины окружностей оснований усеченного конуса рав-
ны 4л и 10л. Высота конуса равна 4. Найдите площадь
поверхности усеченного конуса.
6
С-9
1. Прямоугольный треугольник с катетами, равными 3 и
4, вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу.
Найдите площадь поверхности тела вращения.
2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна а, а боковые грани наклонены к плоскости осно-
вания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверх-
ности вписанного в пирамиду конуса.
С-10
1. Точка А (0; -72; -75) лежит на сфере с центром О (3; 0; 0).
а) Напишите уравнение сферы.
б) Принадлежат ли этой сфере точки с координатами
(5; 0; 2-73); (4; -1; 0)?
2. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 15 и
7351 лежат на сфере. Найдите радиус сферы, если рас-
стояние от центра сферы до плоскости треугольника
равно 5.
С-11
1. Линия пересечения сферы и плоскости, удаленной от
центра сферы на 8, имеет длину 12л. Найдите площадь
поверхности сферы.
2. Плоскость пересекает шар. Диаметр, проведенный в од-
ну из точек линии пересечения, составляет с плоско-
стью угол в 45°. Найдите площадь сечения, если диа-
метр шара равен 4-73.
С-12
1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна 3, а боковые ребра наклонены к основанию под
углом 60°. Найдите радиус описанной вокруг пирамиды
сферы.
2. В правильную четырехугольную призму вписана сфера.
Найдите отношение площади полной поверхности приз-
мы к площади сферы.
7
С-13
1. Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся
как 2:3:4. Диагональ параллелепипеда равна V29.
Найдите его объем.
2. Основанием прямой призмы служит прямоугольный
треугольник с углом 30°. Расстояние от бокового ребра,
проходящего через вершину прямого угла, до противо-
лежащей боковой грани равно боковому ребру и рав-
но 6. Найдите объем призмы.
С-14
1. Основанием прямой призмы служит треугольник со сто-
ронами 10, 10 и 12. Через большую сторону нижнего
основания и середину противоположного бокового ребра
проведена плоскость под углом 60° к плоскости основа-
ния. Найдите объем призмы.
2. Сечение цилиндра, параллельное его оси, отсекает от
окружности основания дугу в 120°. Радиус основания
цилиндра равен R, а угол между диагональю сечения и
осью цилиндра равен 30°. Найдите объем цилиндра.
С-15
1. Основанием наклонной призмы служит правильный
треугольник. Одна из боковых граней является ромбом
с диагоналями, равными 6 и 8. Боковые ребра наклоне-
ны к основанию под углом 60°. Найдите объем призмы.
2. В наклонном параллелепипеде ABCDAxBiCxDx боковое
ребро равно 10. Расстояния между ребром AAt и ребра-
ми BBj и DDt соответственно равны 5 и 12, а расстояние
между AAt и CCt равно 13. Найдите объем параллелепи-
педа.
С-16
1. В правильной треугольной пирамиде высота основания
равна Л, боковые ребра наклонены к основанию под уг-
лом а. Найдите объем пирамиды.
2. Основанием пирамиды MABCD служит ромб со сторо-
ной а и острым углом А, равным а. Боковое ребро МВ
перпендикулярно к плоскости основания, а грани MAD
и MDC наклонены к нему под углом р. Найдите объем
пирамиды.
8
С-17
1. Через вершину конуса проведена плоскость под уг-
лом 60° к плоскости основания, пересекающая основа-
ние по хорде, стягивающей дугу в 60°. Высота конуса
равна 4V3. Найдите объем конуса.
2. В правильную четырехугольную пирамиду вписан ко-
нус. Найдите отношение объемов конуса и пирамиды.
С-18
1. Стороны оснований правильной четырехугольной усе-
ченной пирамиды равны 6-/2 и 4^2. Площадь диаго-
нального сечения равна 90. Найдите объем пирамиды.
2. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как
1 : 3. Образующая конуса равна 4 и составляет с плоско-
стью основания угол в 60°. Найдите объем конуса.
С-19
1. Площадь поверхности полушара равна 48л. Найдите его
объем.
2. В конус, осевое сечение которого правильный треуголь-
ник, вписан шар. Найдите отношение их объемов.
дс
1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку
М (2; - 1; 3) и параллельной плоскости 2х - Зу + г - 4 = 0.
2. Найдите угол между плоскостями 2х+ «/-2+1 = 0 и
х - 2у + Зг - 2 = 0.

Вариант 2
С-1
1. Куб ABCDAXBXCXDX помещен в
прямоугольную систему коорди-
нат (рис. 2), С (-2; 4; О).
1) Найдите координаты всех
остальных вершин куба.
2) Найдите координаты векто-
ров ОС, ОВХ и ОК и разложите
их по векторам i, j и k.
2. Даны векторы а (-1; 3; -2},
Ь {2; -1; 3} и р {-3; -1; -4}. Бу-
дут ли коллинеарными векторы
а + 2Ь и р?
Рис. 2
С-2
1.	Даны два вектора т {-2; 1; -1} и п {1; 3; 2). Найдите
|2лГ - л | и 12т | - |л|.
2.	В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в
точке О, А (1; 3; -1), В (-2; 1; О), О (0; 1,5; 0).
1)	Найдите координаты вершин С и D.
2)	Найдите длину стороны ВС.
3)	Разложите вектор AD по векторам i, j и Л.
С-3
1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD все
ребраравны а. Найдите:
1) МА  АС-,
2) МА • DB.
2. В кубе ABCDAXBXCXDX точка К — центр грани ААХВХВ.
Какой угол, острый, прямой или тупой, между вектора-
ми АХС и KD?
С-4
1. |а| = 2, |&| = 1, ab = 120°. Найдите угол между вектора-
ми а - b и а + 2Ь.
2. В параллелепипеде ABCDAXBXCXDX основанием служит
ромб ABCD, ZAXAD = ZAXAB. Используя векторы, до-
кажите, что BD 1 ААХ.
11
С-5
1.	Найдите координаты точек, в которые переходит точка
В (0,01; 0,02; -1) при:
а)	осевой симметрии относительно оси Oz;
б)	параллельном переносе на вектор р {0,09; 0,08; 1}.
2.	Докажите, что при движении угол отображается на рав-
ный ему угол.
С-6
1. Докажите, что при движении плоскость, перпендику-
лярная прямой, отображается на плоскость, перпенди-
кулярную прямой.
2. Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что если
одна из двух параллельных плоскостей перпендикуляр-
на прямой, то и другая плоскость перпендикулярна этой
прямой.
С-7
1. Через образующую цилиндра проведено два сечения, из
которых одно осевое. Площадь меньшего из сечений
равна Q. Угол между плоскостями сечений равен 60°.
Найдите площадь осевого сечения.
2. Вокруг правильной треугольной призмы описан
цилиндр. Найдите площадь поверхности цилиндра,
если высота призмы равна 4, а высота основания
призмы 6.
С-8
1. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекаю-
щая основание по хорде, длина которой равна т. Угол
между образующими в сечении прямой, а наибольший
угол между образующими конуса равен 120°. Найдите
площадь боковой поверхности конуса.
2. Найдите радиусы основания усеченного конуса, если его
боковая поверхность равна 208л, образующая 13, а вы-
сота 5.
12
С-9
1. Равнобедренный треугольник, у которого основание
равно 4-/3, а угол при вершине 120°, вращается вокруг
прямой, содержащей основание. Найдите площадь по-
верхности тела вращения.
2. Вокруг правильной треугольной пирамиды описан
конус. Найдите площадь боковой поверхности конуса,
если сторона основания пирамиды равна а, а боковые
ребра наклонены к основанию под углом 30°.
С-10
1. Центр сферы имеет координаты (0; 0; 4). Сфера прохо-
дит через точку (2>/2; 0; 5).
1) Напишите уравнение сферы.
2) Принадлежат ли сфере точки с координатами
(3; 1; 5), (0; V5; 6)?
2. Все стороны квадрата касаются сферы. Диагональ квад-
рата равна 10-/2. Найдите радиус сферы, если расстоя-
ние от центра сферы до плоскости квадрата равно 12.
С-11
1. Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на
12, имеет площадь 25л. Определите площадь поверхно-
сти шара.
2. Плоскость пересекает сферу. Диаметр сферы, проведен-
ный в одну из точек линии пересечения, имеет длину
4-72 и составляет с плоскостью угол в 45°. Найдите дли-
ну линии пересечения.
С-12
1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна 4, а боковые грани наклонены к основанию под
углом 60°. Найдите радиус вписанной в эту пирамиду
сферы.
2. В правильной четырехугольной призме сторона основа-
ния равна 2, а боковое ребро 2-/2. Найдите площадь опи-
санной около призмы сферы.
13
С-13
1. Стороны оснований и диагональ прямоугольного парал-
лелепипеда относятся как 1:2:3. Длина бокового реб-
ра равна 4. Найдите объем параллелепипеда.
2. В основании прямой призмы лежит равнобедренный
прямоугольный треугольник. Диагональ большей боко-
вой грани равна 12 и составляет с плоскостью основания
угол в 45°. Найдите объем призмы.
С-14
1. Основанием прямой призмы АВСАХВХСХ служит тре-
угольник АВС, у которого АВ = ВС = 10, Z.ABC = 30°.
Через ребро ААХ проведена плоскость, перпендику-
лярная к грани CCjBiB. Диагональ сечения составля-
ет с плоскостью основания угол в 45°. Найдите объем
призмы.
2. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отстоит от нее
на расстояние, равное 15. Диагональ получившегося се-
чения равна 20, а радиус основания цилиндра 17. Най-
дите объем цилиндра.
С-15
1. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб,
одна из диагоналей которого равна 6. Диагональ одной
из боковых граней равна 5-/3 и перпендикулярна к
плоскости основания. Боковые ребра наклонены к плос-
кости основания под углом 60°. Найдите объем паралле-
лепипеда.
2. В наклонной треугольной призме ABCAiBiCt боковое
ребро равно 10, расстояния от ребра AAt до ребер ССг и
BBj равны 13, а расстояние от ААХ до противолежащей
боковой грани 5. Найдите объем призмы.
С-16
1. В правильной четырехугольной пирамиде диагональ
основания равна d. Боковые грани наклонены к основа-
нию под углом а. Найдите объем пирамиды.
2. Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный
треугольник АВС, АВ = ВС = a, Л А ВС = а. Ребро BD
перпендикулярно к плоскости основания, а грань ADC
составляет с ним угол р. Найдите объем пирамиды.
14
С-17
1. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекаю-
щая окружность основания по хорде, равной 6>/3 и стя-
гивающей дугу в 120°. Плоскость составляет с плоско-
стью основания угол в 45°. Найдите объем конуса.
2. Вокруг правильной четырехугольной пирамиды описан
конус. Найдите отношение объемов конуса и пирамиды.
С-18
1. Стороны оснований правильной треугольной усеченной
пирамиды равны 8-/3 и 4-УЗ. Площадь сечения, проходя-
щего через боковое ребро пирамиды и середину противо-
положной стороны основания, равна 54. Найдите объем
пирамиды.
2. Высота усеченного конуса равна 5, а диагональ осевого
сечения 13. Радиусы оснований относятся как 1 : 2.
Найдите объем конуса.
С-19
1. Объем шара равен Найдите площадь поверхности
полушара.
2. Вокруг конуса, у которого осевым сечением служит пра-
вильный треугольник, описан шар. Найдите отношение
их объемов.
дс
1. Даны точки А (2; т; -1) и В (1; 2; т) и плоскость
2х - 2у + z - 1 = 0. При каком значении т эта плос-
кость параллельна прямой АВ?
2. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью
2х - 2у + г - 3 = 0, если А (-1; 2; 1) и В (2; -1; -2).

Вариант 3
С-1
1. Тетраэдр DABC помещен в прямоугольную систему ко-
ординат (рис. 3), ZACB = 90°, Z.BAC = 30°, АВ = 10,
DB ± АВС, плоскость ADC составляет с плоскостью
АВС угол в 60°.
1) Найдите координаты вершин тетраэдра.
2) Найдите координаты вектора СМ, где М — точка пе-
ресечения медиан треугольника ADB, и разложите этот
вектор по векторам I, j и k.
Рис. 3
2. В пространстве заданы четыре точки А, В, С и О, при-
чем ОА {1; -1; 2), ОВ {3; -2; 4} и ОС {5; -3; 6). Лежат
ли точки А, В и С на одной прямой?
С-2
1. Дан равнобедренный треугольник АВС (АС = СВ),
А (1; -2; 1), В (3; 2; -3). Вершина С лежит на оси орди-
нат. Найдите площадь треугольника АВС.
2. Вектор а сонаправлен с вектором Ь {-2; 2; 1). Найдите
координаты вектора а, если |а| = 12.
С-3
1. В прямом параллелепипеде ABCDAiB^jD] все ребра
равны a, ZBAD = 60°. Найдите:
1) СгР • АС;
2) В.В • АС.
2. Точки А (1; 1; 5), В (4; 7; 5), С (8; 5; 5), D (5; - 1; 5)
являются вершинами прямоугольника ABCD. Най-
дите больший угол между диагоналями прямоуголь-
ника.
17
С-4
1. В тетраэдре BACD ZBDC = Z.BDA = Z.DCA = Z90°, ВС = 3,
АС = 4. Найдите сумму АВ • АС + ВС • ВА + С А • СВ.
2. В прямой треугольной призме ABCAjBjC, основанием
служит равнобедренный треугольник АВС, АС = СВ = а,
Z.ACB — 120°, ААХ = а, Е и F — середины соответственно
ребер С А и BBt. Найдите:
1) длину EF;
2) угол между прямыми EF и АА^
С-5
1. а) Докажите, что точки А (1; 2; 3) и В (-1; -2; - 3)
симметричны относительно начала координат.
б) Докажите, что точки В (3; -4; 5) и С (3; 4; 5) сим-
метричны относительно плоскости Oxz.
2. Докажите, что при движении двугранный угол отобра-
жается на равный ему двугранный угол.
С-6
1. Докажите, что прямая, содержащая высоту правильной
четырехугольной пирамиды, является ее осью симмет-
рии.
2. Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что любое
сечение правильной четырехугольной пирамиды, содер-
жащее ее высоту, является равнобедренным треугольни-
ком.
С-7
1. Диагональ развертки боковой поверхности цилиндра со-
ставляет со стороной основания развертки угол <р. Най-
дите угол между диагональю осевого сечения цилиндра
и плоскостью основания.
2. Сторона основания правильной четырехугольной пира-
миды равна 10, боковые грани наклонены к основа-
нию под углом 60°. В эту пирамиду вписан цилиндр,
одно основание которого лежит в плоскости основания
пирамиды, а окружность верхнего основания касается
боковой поверхности пирамиды. Найдите площадь бо-
ковой поверхности цилиндра, если радиус основания
равен 2.
18
С-8
1. Центральный угол в развертке боковой поверхности ко-
нуса равен 120°. Площадь боковой поверхности равна
12л. Найдите площадь осевого сечения конуса.
2. Образующая усеченного конуса равна L и составляет с
плоскостью основания угол а. Диагональ его осевого се-
чения перпендикулярна образующей. Найдите площадь
боковой поверхности конуса.
С-9
1. В прямоугольной трапеции ABCD (ВС и AD — основа-
ния) /BAD = 90°, ВС = АВ = a, AD = 2а. Найдите пло-
щадь поверхности тела, образованного при вращении
этой трапеции вокруг прямой, содержащей основание
трапеции AD.
2. В основании пирамиды DABC лежит равнобедренный
треугольник АВС, у которого АС = АВ = а, /ВАС = а.
Вокруг пирамиды описан конус. Найдите площадь его
боковой поверхности, если /DAC = р.
С-10
1. Составьте уравнение сферы, радиус которой равен 2, ес-
ли известно, что центр сферы лежит в плоскости хОг, а
сама сфера проходит через начало координат и точку
А (1; 1; 0).
2. Сторона ромба равна а, острый угол в ромбе а. Все сто-
роны ромба касаются шара, площадь большего круга
которого равна Найдите расстояние от центра ша-
ра до плоскости ромба.
С-11
1. Сечения шара двумя параллельными плоскостями, меж-
ду которыми лежит центр шара, имеют площади 144л и
25л. Найдите площадь поверхности шара, если расстоя-
ние между параллельными плоскостями равно 17.
2. Через точку, не лежащую на сфере, проведены две плос-
кости, касающиеся сферы. Найдите расстояние от цент-
ра сферы до линии пересечения плоскостей, если угол
между плоскостями равен 60°, а площадь сферы 32л.
19
С-12
1. В основании пирамиды лежит треугольник, одна из сто-
рон которого равна 4, а противолежащий ей угол ра-
вен 30°. Боковые ребра пирамиды равны 5. Найдите рас-
стояние от центра описанного около пирамиды шара до
плоскости основания.
2. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб с
острым углом а. В этот параллелепипед вписан шар.
Найдите угол между большей диагональю параллелепи-
педа и плоскостью основания.
С-13
1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит
квадрат. Диагональ параллелепипеда равна d и состав-
ляет с боковой гранью угол 30°. Найдите его объем.
2. Основанием прямой призмы АВСАХВХСХ служит
прямоугольный треугольник ABC (Z.C = 90°), АС = 4,
ВС = 2-/3, Z.ABXC = 30°. Найдите объем призмы.
С-14
1. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диа-
гонали которого равны 6 и 8. Плоскость сечения, прохо-
дящего через два противоположных ребра верхнего и
нижнего оснований, составляет с основанием угол 60°.
Найдите объем параллелепипеда.
2. Радиус основания конуса равен 4, а его высота 10.
В этот конус вписан цилиндр так, что его верхнее осно-
вание касается боковой поверхности конуса, а нижнее
лежит в плоскости его основания. Осевое сечение ци-
линдра — квадрат. Найдите объем цилиндра.
С-15
1. Основанием наклонной призмы АВСАХВХСХ служит пра-
вильный треугольник ABC, Z.AXAC = 2.АХАВ = 60°. Сто-
рона основания равна а, а боковое ребро Ь. Найдите объ-
ем призмы.
2. В наклонном параллелепипеде боковое ребро наклонено
к основанию под углом 60°. Высота параллелепипеда
равна 5>/3. Площади двух смежных боковых граней рав-
ны 40 и 60. Угол между ними равен 45°. Найдите объем
параллелепипеда.
20
С-16
1. Высота правильной четырехугольной пирамиды рав-
на Л, а плоский угол при вершине равен а. Найдите объ-
ем пирамиды.
2. В основании пирамиды лежит треугольник со сторона-
ми -/5, Л и 4. Боковые ребра наклонены к основанию
под углом 45°. Найдите объем пирамиды.
С-17
1. Угол в развертке боковой поверхности конуса равен 120°.
Площадь боковой поверхности конуса равна Зя. Найдите
объем конуса.
2. В правильную треугольную пирамиду вписан конус.
Сторона основания пирамиды равна 10-/3. Расстояние от
,	„	30
середины высоты пирамиды до боковой грани равно —.
Найдите объем конуса.
С-18
1. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны
основания равны а и b (а > Ь). Боковое ребро равно
а - Ь. Найдите объем пирамиды.
2. В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС = 10,
АС = 12. Треугольник вращается вокруг оси, проходя-
щей через вершину С и перпендикулярной АС. Найдите
объем тела вращения.
С-19
1. Шар, радиус которого равен 5, касается плоскости. Че-
рез точку касания проведена плоскость, пересекающая
шар под углом arccos | к касательной плоскости. Найди-
те объем меньшей части шара, отсеченной этой плоско-
стью.
2. Образующая конуса равна 10, а площадь его боковой по-
верхности 60л. Найдите объем вписанного в конус шара.
дс
1. Даны шар, ограниченный сферой (х + I)2 + (у - З)2 +
+ (г - 2)2 = 1, и плоскость 2х - у + 2z - 1 = 0. Пересека-
ет ли эта плоскость шар? Если да, то найдите площадь
сечения.
2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точ-
ки А (1; 0; -2) и В (0; 3; 1) и параллельной оси Ог.
21

Вариант 4
С-1
1 Тетпаэдп DABC помещен в прямоугольную систему ко-
’ ординат (рис. 4), ZACD = 90°, АВ = 8, ZBAC = 60°,
DB1. АВС, плоскость ADC составляет с плоскостью
АВС угол 60°.
1) Найдите координаты вершин тетраэдра.
2) Найдите координаты вектора АК, где К — точка пе-
ресечения медиан грани DBC, и разложите этот вектор
по векторам i, j и k.
Рис. 4
2. В пространстве даны три точки А, В и С, причем
АВ {2; 3; -1} и АС {-4; т; п}. При каких тип эти точ-
ки лежат на одной прямой?
С-2
1. В треугольнике АВС ВС - АС^З, А (1;-1; 1),
В (-1; -1; 3). Вершина С лежит на отрицательной полу-
оси Oz. Найдите длину медианы СМ.
2. Вектор т противоположно направлен вектору р {-1; 2; 1}.
Найдите координаты вектора т, если | т | = 37б.
С-3
1. В правильной треугольной призме ABCAiBiCi все ребра
равны а, Р — середина А1В1. Найдите:
1) СХР  BtC;
2) АР  РСХ.
2. Точки А (14; -8; -1), В (7; 3; -1), С (-6; 4; -1),
D(l;-7;-l) являются вершинами ромба ABCD. Най-
дите острый угол ромба.
23
С-4
1. В пирамиде РНКМ ребро РМ является высотой,
ЛРКН = 90°. Найдите сумму МН • МК + НК • НМ +
+ КМ  КН, если МК = 6, КН = 8.
2. В тетраэдре МАВС МС 1 АСВ, Z.ACB = 135°, АС = aj2,
ВС = МС = а, Е и F — середины соответственно ребер
СА и ВМ. Найдите:
1) длину EF',
2) угол между прямыми EF и СМ.
С-5
1. а) Пусть при параллельном переносе на вектор р точка
А (1; 2; 3) переходит в точку В (4; 5; 6). Найдите коор-
динаты р.
б) Докажите, что точки А (5; 6; 7) и В (-5; 6; -7) сим-
метричны относительно оси Оу.
2. Докажите, что при движении прямая и плоскость, со-
ставляющие угол <р, отображаются на прямую и плос-
кость, составляющие угол ф.
С-6
1. Докажите, что прямая, содержащая точки пересечения
диагоналей противоположных граней прямоугольного
параллелепипеда, является его осью симметрии.
2. Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что любое
сечение прямоугольного параллелепипеда плоскостью,
содержащей точки пересечения диагоналей противопо-
ложных граней, является прямоугольником.
С-7
1. Угол между диагоналями осевого сечения цилиндра и
плоскостью его основания равен а. Найдите угол между
диагональю развертки его боковой поверхности и сторо-
ной основания развертки.
2. В правильную треугольную пирамиду вписан цилиндр,
нижнее основание которого лежит в плоскости основа-
ния пирамиды, а окружность верхнего основания каса-
ется боковой поверхности пирамиды. Найдите площадь
боковой поверхности цилиндра, если сторона основания
пирамиды равна 8-/3, а высота цилиндра 2. Боковые
грани пирамиды составляют с плоскостью основания
угол в 45°.
24
С-8
1. Центральный угол в развертке боковой поверхности ко-
нуса равен 240°. Высота конуса 5-Уб. Найдите площадь
боковой поверхности конуса.
2. Образующая усеченного конуса составляет с плоскостью
нижнего основания угол <р. Диагональ его осевого сече-
ния перпендикулярна образующей конуса. Сумма длин
окружностей оснований равна 2пт. Найдите площадь
боковой поверхности конуса.
С-9
1. Диагонали ромба равны 6 и 8. Этот ромб вращается во-
круг прямой, содержащей одну из его сторон. Найдите
площадь поверхности полученного тела.
2. В основании пирамиды лежит равнобедренный тре-
угольник, боковая сторона которого равна а, а угол при
основании равен а. Боковые грани наклонены к основа-
нию под углом ф. Найдите площадь боковой поверхно-
сти вписанного в пирамиду конуса.
С-10
1. Составьте уравнение сферы с радиусом, равным 3, если
известно, что центр сферы лежит на оси Ог и сфера про-
ходит через точку К (-2; -2; 1).
2. Точки А, В и С лежат на поверхности шара. Хорды АВ
и ВС равны а, угол между ними а. На каком расстоянии
от центра шара находится плоскость АВС, если пло-
щадь большего круга шара равна ?
С-11
1. Сечения сферы двумя параллельными плоскостями име-
ют длины Юл и 24л. Найдите площадь сферы, если рас-
стояние между плоскостями равно 7 и центры сечений
лежат на одном радиусе.
2. Через точку на поверхности шара проведены две плос-
кости, пересекающие его. Обе плоскости удалены от
центра сферы на расстояние 2-/3, угол между ними ра-
вен 60°. Найдите площади получившихся сечений.
25
С-12
1. В основании пирамиды лежит прямоугольный треуголь-
ник, катеты которого равны 3 и 4. Вершина пирамиды
удалена от каждой стороны основания на расстояние,
равное 3. Найдите радиус вписанного в пирамиду шара.
2. В основании прямой призмы лежит треугольник со сто-
роной, равной 5. Угол, лежащий против этой стороны,
равен 150°. Высота призмы равна 24. Найдите площадь
описанной около призмы сферы.
С-13
1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит
квадрат со стороной а. Диагональ параллелепипеда со-
ставляет с боковой гранью угол в 30°. Найдите объем па-
раллелепипеда.
2. Основанием прямой призмы ABCAjBjC, служит прямо-
угольный треугольник ABC (ZC = 90°), АС = 5. Плос-
кость ABiC составляет с плоскостью основания угол
в 45°. Расстояние от вершины В до этой плоскости рав-
но 2V2. Найдите объем призмы.
С-14
1. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1
служит параллелограмм ABCD, BD = 6, Z.ABD = 90°,
Z.BDA = 30°. Плоскость сечения, проходящая через
большие два ребра оснований, составляет с основанием
угол в 30°. Найдите объем параллелепипеда.
2. Сторона основания правильной четырехугольной пира-
миды равна 8, а ее высота 16. В эту пирамиду вписан
цилиндр так, что окружность верхнего основания каса-
ется боковой поверхности пирамиды, а нижнее основа-
ние лежит в плоскости ее основания. Осевое сечение ци-
линдра — квадрат. Найдите объем цилиндра.
С-15
1. Основанием наклонного параллелепипеда служит пря-
моугольник со сторонами, равными аиЬ. Боковое реб-
ро, равное с, составляет с прилежащими сторонами
основания угол в 60°. Найдите объем параллелепипеда.
2. В наклонной треугольной призме высота равна 10-72, а
боковые ребра составляют с плоскостью основания угол
в 45°. Площади двух граней равны 100 и 200, а угол
между ними 120°. Найдите объем призмы.
26
с-16
1. Высота правильной треугольной пирамиды равна Л,
а плоский угол при вершине пирамиды а. Найдите объ-
ем пирамиды.
2. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция
с углом 30°. Боковые грани наклонены к основанию под
углом 60°. Высота пирамиды равна 3-/3. Найдите объем
пирамиды.
С-17
1. Длина хорды и радиус развертки боковой поверхности
конуса соответственно равны 6-УЗ и 6. Найдите объем
конуса.
2. В правильную треугольную пирамиду вписан конус.
Сторона основания пирамиды равна 6>/3. Расстояние от
вершины основания до противоположной боковой грани
равно л/56. Найдите объем конуса.
С-18
1. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде
стороны оснований равны т и 2т, апофема пирамиды
равна --^3 . Найдите объем пирамиды.
2. В равнобедренном треугольнике АВС АС = СВ = 25,
АВ = 48. Треугольник вращается вокруг оси, проходя-
щей через вершину В и перпендикулярной АВ. Найдите
объем тела вращения.
С-19
1. Шаровой сегмент и конус вместе составляют шаровой
сектор. Высота сегмента равна 1, а объем конуса 12л.
Найдите объем шарового сектора.
2. Объем конуса равен 128л, а его высота 6. Найдите объем
описанного около конуса шара.
дс
1. Докажите, что плоскость x-2y + 2z-9 = 0 является
касательной к сфере (х - З)2 + (у - 2)2 + (z + 4)2 = 36.
2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точ-
ки Е (-1; 2; 0) и F (1; 0; -2) и параллельной оси Ох.
27

Вариант 5
С-1
1 Тетраэдр DABC помещен в прямоугольную систему коор-
динат (рис. 5), АВ = АС = 25, ВС = 30, ВО = ОС. Грань
ADC составляет с плоскостью основания угол в 45°.
1) Найдите координаты вершин тетраэдра.
2) Найдите координаты вектора ОК, где К — основание
перпендикуляра, опущенного из точки О на грань ACD,
и разложите вектор ОК по векторам I, j и k.
Рис. 5
2. При каких значениях т векторы а {2; -1; 3}, b {1; 3; -2}
и с {т; 2; 1} компланарны?
С-2
1. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1£>i
сторона основания равна 2, а боковое ребро 4, Е — сере-
дина CD и К — середина С,С; DK пересекает DXC в точ-
ке Р. Найдите расстояние между серединой М отрезка
ВХЕ и точкой Р.
2. Прямая АВ задана двумя точками А (-1; 2; 1) и
В (2; 1; - 1). Найдите координаты точки М, лежащей на
этой прямой, если AM = 3-У14.
с-з
1. Вектор а образует с векторами I и k соответственно углы
120° и 135°. Найдите угол между векторами а и у.
2. В кубе ABCDAlBlCxDi точка М — центр грани ААХВХВ,
К — середина AD. Найдите площадь треугольника
МСХК, если ребро куба равно 1.
29
С-4
1. В прямой треугольной призме АВСАХВХСХ основанием
служит равнобедренный треугольник ABC, BD ± АС,
BD = АС = 4, ВВХ - 2. Через середину диагонали В,С бо-
ковой грани перпендикулярно к ней проведена плос-
кость. Найдите угол между прямой АВХ и этой плоско-
стью.
2. В тетраэдре ABDC BD = ВС = В A, Z.ABD = ZABC = 60е,
Z.CBD = 90°. Используя векторы, докажите, что плоско-
сти DAC и DBC перпендикулярны.
С-5
1. Прямая а содержит биссектрису угла, образованного ко-
ординатными осями Ох и Оу. Найдите координаты точ-
ки Ах, в которую переходит точка А (10; 20; 0) при осе-
вой симметрии относительно прямой а.
2. Является ли движением отображение пространства на
себя, при котором любая точка с координатами (х; у, г)
переходит в точку с координатами (2х; 2у; 2г)?
С-6
1. Докажите, что прямая, содержащая середины противо-
положных ребер правильного тетраэдра, является его
осью симметрии.
2. Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что каж-
дая плоскость, проведенная через середины противопо-
ложных ребер правильного тетраэдра, делит этот тетра-
эдр на две равные части.
С-7
1. В цилиндр, высота которого равна а, вписан прямо
угольник, у которого одна сторона равна а, а другая на-
клонена к плоскости основания цилиндра под углом
60°. Зная, что вершины прямоугольника находятся на
окружностях оснований цилиндра, найдите площадь
осевого сечения цилиндра.
2. Все ребра правильной треугольной призмы равны а.
боковые ребра ее являются осями цилиндрических
поверхностей радиуса а. Найдите площадь боковой
поверхности тела, ограниченного указанными цилинд
рическими поверхностями и плоскостями оснований
призмы.
30
С-8
1	Центральный угол в развертке боковой поверхности ко-
нуса равен 270°. Через вершину конуса проведено сече-
ние наибольшей площади. Найдите угол между плоско-
стью сечения и плоскостью основания.
2	. Через середину высоты конуса проведена плоскость, па-
раллельная основанию. Площади полных поверхностей
частей конуса, которые при этом образовались, отно-
сятся как 3:11. Найдите угол между образующей кону-
са и плоскостью основания.
С-9
1. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна а,
а угол при вершине равен 120°. Треугольник вращается
вокруг прямой, проходящей через вершину треугольника,
которая параллельна биссектрисе угла при основании.
Найдите площадь поверхности тела вращения.
2. В правильной пятиугольной пирамиде боковые ребра
наклонены к плоскости основания под углом <р. Образу-
ющая вписанного в пирамиду конуса равна т. Найдите
площадь осевого сечения конуса.
С-10
1. Дана сфера х1 2 + у2 + г2 = 4 и на ней точка A (V2; V2; г).
Через точки А и В (-V2; 2-J2; V2) проведена прямая.
Найдите координаты точек пересечения этой прямой и
сферы.
2. Плоскость проходит через точки А (3; 0; 0), В (0; 4; 0) и
С (0; 0; 1). Пересекает ли эта плоскость сферу
^44=1^
* V 2 )	169
Если да, то найдите длину линии пересечения.
С-11
1. Два взаимно перпендикулярных сечения шара имеют
общую хорду длиной 12. Зная, что площади этих сече-
ний 100л и 64л, найдите радиус шара.
2. Конус, осевое сечение которого прямоугольный тре-
угольник, и полушар с радиусом R имеют общее основа-
ние. Параллельно основанию полушара проведена плос-
кость. Найдите расстояние от проведенной плоскости до
центра полушара так, чтобы площадь кольца, которое
образовалось при пересечении полушара и конуса этой
плоскостью, была наибольшей.
31
С-12
1. В шар радиуса R вписана пирамида, в основании кото-
рой лежит квадрат. Одно из боковых ребер перпендику-
лярно к плоскости основания, а наибольшее боковое
ребро образует с ней угол в 30°. Найдите площадь боко-
вой поверхности пирамиды.
2. Около шара описана правильная треугольная усеченная
пирамида, стороны основания которой равны а и Ь.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
С-13
1. Стороны основания прямоугольного параллелепипе-
да равны 6 и 8. Через диагональ основания проведена
плоскость, параллельная диагонали параллелепипеда.
Эта плоскость составляет с плоскостью основания угол
в 45°. Найдите объем параллелепипеда.
2. Основанием прямой призмы АВСАХВХСХ служит прямо-
угольный треугольник ABC (ZC = 90°), АС = ВС = а.
Диагональ боковой грани ВХС составляет с плоскостью
грани ААХВХВ угол а. Найдите объем призмы.
С-14
1. Диагонали BXF и ВХЕ правильной шестиугольной приз-
мы ABCDEFAXBXCXDXEXFX равны соответственно 24 и
25. Найдите объем призмы.
2. Сечение, параллельное оси цилиндра, отсекает от
окружности основания дугу в 120°. Найдите отношение
объемов частей, на которые эта плоскость разделила ци-
линдр.
С-15
1. Основанием наклонной призмы служит правильный
треугольник. Все ребра призмы равны между собой. Од-
но из боковых ребер составляет с прилежащими сторо-
нами основания угол в 45°. Площадь боковой поверхно-
сти призмы равна 4(1 + >/2). Найдите объем призмы.
2. В наклонной треугольной призме расстояние от боково-
го ребра до диагонали противолежащей боковой грани
равно 5, а площадь этой грани 40. Найдите объем
призмы.
32
С-16
1. Основанием пирамиды МАВС служит прямоугольный
треугольник ABC, ZC = 90°, Z.A = а. Грань АМВ пер-
пендикулярна плоскости основания, а остальные две
грани наклонены к нему под углом 0. Расстояние от
основания высоты до грани ВМС равно d. Найдите объ-
ем пирамиды.
2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна а, а угол между смежными боковыми гранями а.
Найдите объем пирамиды.
С-17
1. Два конуса расположены так, что основания их па-
раллельны и вершина каждого из них расположена
в центре основания другого. Найдите объем общей
части конусов, если образующая одного из них рав-
на а и составляет с высотой угол 0, а наиболь-
ший угол между образующими другого конуса ра-
вен а.
2. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапе-
ция, основания которой равны 10 и 20, а боковая сторо-
на равна 10. Объем описанного около пирамиды конуса
1000лV3 „ „	,	,
равен ------. Найдите угол наклона боковых ребер к
плоскости основания.
С-18
1. Основаниями треугольной усеченной пирамиды служат
правильные треугольники со сторонами 4 и 12. Одна бо-
ковая грань перпендикулярна плоскости основания, а
две другие составляют с ней угол в 60°. Найдите объем
пирамиды.
2. Параллелограмм ABCD вращается вокруг прямой,
проходящей через вершину А параллельно меньшей
диагонали BD. Найдите объем тела вращения, если
в данном параллелограмме Z.A = 60°, большая сторо-
на 6, а меньшая диагональ перпендикулярна сто-
роне.
2 Эи». II mi.
33
С-19
1. Найдите объем двояковыпуклого стекла, у которого ра-
диусы поверхностей 13 и 20, а расстояние между цент-
рами 21.
2. Объем конуса в 2-| раза больше объема вписанного в
него шара. Найдите величину угла между образующей
конуса и плоскостью основания.
дс
1. Даны плоскость x+y-z-2=0 и точка А, (1; 1; 1).
Найдите координаты точки А,, которая симметрична
данной точке А относительно указанной плоскости.
2. Плоскость а проходит через точку М (1; 1; -2) и пересе-
кает плоскость хОу по прямой у-х=1. Напишите
уравнение этой плоскости.
Вариант 6
С-1
1. Правильная треугольная пирамида DABC помещена в
прямоугольную систему координат (рис. 6). Сторона
основания равна 2, боковая грань наклонена к основа-
нию под углом в 60°.
1) Найдите координаты вершин пирамиды.
2) Найдите координаты вектора ОК, где ОК 1 AD, и
разложите этот вектор по векторам I, j и k.
Рис. 6
2. При каких значениях у векторы т {2; -1; 3}, п {3; 4; -2}
и р {10; у; 2} компланарны?
С-2
1. В прямой треугольной призме АВСА^С, ZABC = 90°,
АВ = 6, ВС - 8, ВВХ = 8. Через вершину А и середину Р
ребра В,В проведена плоскость, параллельная ВС. Най-
дите расстояние от центра К описанной вокруг основа-
ния окружности до точки М пересечения медиан сече-
ния.
2. Прямая EF задана двумя точками Е (-1; 2; 2) и
F (2; 1; 3). Точка Р лежит на луче, противоположном
лучу EF, ЕР = 5VTT. Найдите координаты точки Р.
С-3
1. Вектор т образует с векторами i и j углы в 60°. Найдите
угол, который образует этот вектор с вектором k.
2. В кубе ABCDAlBiCiDi точка Е — середина ААИ а
F — центр грани DDXCXC. Найдите площадь треугольни-
ка EBXF, если ребро куба равно 1.
35
С-4
1. В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный
треугольник ABC (ZC = 90°), BD ± АВС, АС = СВ = 1,
BD = 2. Через середину ребра DC перпендикулярно к
нему проведена плоскость. Найдите угол между AD и
этой плоскостью.
2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAXBXCXDX
АВ = 2, ВС = ААХ = 1. Докажите, что диагональ BDX не
перпендикулярна плоскости AXCXD.
С-5
1. Плоскость а содержит ось Ох и биссектрису угла, обра-
зованного осями Ог и Оу. Найдите координаты точки, в
которую переходит точка В (0; 20; 10) при зеркальной
симметрии относительно плоскости а.
2. Является ли движением отображение пространства на
себя, при котором любая точка с координатами (х; у; z)
переходит в точку с координатами (х - 5; z + 3; z - 7)?
С-6
1. Докажите, что точка пересечения диагоналей паралле-
лепипеда является его центром симметрии.
2. Исходя из доказанного в задаче 1, докажите, что каж-
дая плоскость, проведенная через точку пересече-
ния диагоналей параллелепипеда, делит его на равные
части.
С-7
1. Вершины прямоугольника лежат на окружностях осно-
ваний цилиндра. Стороны прямоугольника относятся
как 1:2, причем меньшие стороны лежат в плоскостях
оснований. Высота цилиндра равна 5, а радиус основа-
ния 2-У5. Плоскость прямоугольника пересекает ось ци-
линдра. Найдите площадь прямоугольника.
2. Все ребра правильной треугольной призмы равны а. Бо-
ковые ребра ее являются осями цилиндрических поверх-
ностей радиуса |. Найдите площадь боковой поверхности
тела, ограниченного указанными цилиндрическими по-
верхностями, плоскостями оснований призмы и лежаще-
го внутри призмы.
36
С-8
1. Центральный угол в развертке боковой поверхности ко-
нуса равен 200°. Через вершину конуса проведено сече-
ние наибольшей площади. Найдите угол между плоско-
стью сечения и плоскостью основания.
2. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как
1 : 2. Через середину высоты конуса проведена плос-
кость, параллельная основаниям и делящая конус
на части, полные поверхности которых относятся как
23 : 39. Найдите угол наклона образующей к плоскости
основания.
С-9
1. Периметр параллелограмма равен Р, а диагональ равна d.
Параллелограмм вращается вокруг оси, проходящей через
вершину параллелограмма и перпендикулярной этой диа-
гонали. Найдите площадь поверхности тела вращения.
2. В правильной пятиугольной пирамиде угол наклона бо-
ковой грани к плоскости основания равен <р, образую-
щая описанного около пирамиды конуса равна L. Най-
дите площадь осевого сечения конуса.
С-10
1. Прямая задана точками А (1; 2; -1) и В (3; 0; 2). Найди-
те координаты точек пересечения прямой АВ со сферой
(х - I)2+ (у - 2)2+ (z+1)2 = И.
2. Плоскость проходит через точки А (2; 0; 0), В (0; 0; 3) и
С (0; 1; 0). Выясните взаимное расположение сферы
х!+(у-1У+г!=яг
и плоскости АВС в зависимости от R.
С-11
1. Площадь большего круга шара равна 50л. Два взаимно
перпендикулярных сечения шара имеют общую хорду
длиной 6. Найдите расстояние от центра шара до плос-
костей сечений, если площадь одного из них 25л.
2. Полушар пересечен плоскостью, параллельной основа-
нию. Получившееся сечение служит верхним основани-
ем цилиндра, нижнее основание которого лежит в плос-
кости основания полушара. Найдите расстояние от
плоскости сечения до центра полушара так, чтобы пло-
щадь боковой поверхности цилиндра была наибольшей.
37
С-12
1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна а. Поверхность вписанного в пирамиду шара де-
лит высоту пирамиды пополам. Найдите боковое ребро
пирамиды.
2. В шар радиуса R вписана правильная шестиугольная
призма. Радиус, проведенный в вершину призмы, обра-
зует с плоскостью боковой грани угол в 45°. Найдите
площадь боковой поверхности призмы.
С-13
1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDAvBfixDi
АВ = 6, ВС = ДЯ. Через диагональ основания и верши-
ну Bj проведена плоскость, удаленная от вершины В на
расстояние, равное 2,4. Найдите объем параллелепипеда.
2. В прямой призме ABCAjBjCj основанием служит пря-
моугольный треугольник ABC (ZC = 90°), Z.ABC = р.
Через диагональ боковой грани В,С проведена плос-
кость, перпендикулярная грани ААХВХВ и составляю-
щая с плоскостью основания угол а. Высота призмы
равна Л. Найдите объем призмы.
С-14
1. Диагональ СХЕ правильной шестиугольной призмы
ABCDEFA1BlClDlEiFl равна 3, ZFCXE = arctg |. Най-
дите объем призмы.
2. Сечение, параллельное оси цилиндра, отсекает от окруж-
ности основания дугу в 60°. Найдите отношение объемов
частей, на которые эта плоскость разделила цилиндр.
С-15
1. Основанием наклонной призмы АВСА^С, служит пря-
моугольный треугольник ABC (Z.C = 90°). Плоскость
грани AAjCjC перпендикулярна плоскости основания.
Боковое ребро призмы наклонено к основанию под уг-
лом 60° и равно катетам основания. Площадь боко-
вой поверхности призмы равна 2 (V7 + V3 + 2). Найдите
объем призмы.
2. В наклонной треугольной призме угол между боковым
ребром и скрещивающейся с ним стороной основания ра-
вен 45°. Длина этой стороны равна 6, а расстояние от бо-
кового ребра до боковой грани, содержащей эту сторо-
ну, 4. Длина бокового ребра равна 5. Найдите объем
призмы.
38
С-16
1. Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный
треугольник АВС, АВ = ВС, А А ВС = а. Грань ADC пер-
пендикулярна плоскости основания, а остальные две
грани наклонены к нему под углом 0. Расстояние от
основания высоты до боковой грани BDC равно d. Най-
дите объем пирамиды.
2. В правильной четырехугольной пирамиде сторона осно-
вания равна а, а угол между смежными боковыми гра-
нями а. Найдите объем пирамиды.
С-17
1. Два конуса расположены так, что основания их парал-
лельны и вершины каждого из них расположены в цен-
тре основания другого. Найдите объем общей части этих
конусов, если радиусы их оснований равны 4 и 6, а об-
щая высота равна 15.
2. Конус вписан в пирамиду, основанием которой служит
прямоугольная трапеция с основаниями, равными 2 и 4.
Объем конуса равен • Найдите угол наклона боковых
граней к плоскости основания.
С-18
1. Основаниями усеченной пирамиды служат ромбы. Диа-
гонали нижнего основания равны 12 и 16, а верх-
него — 8 и 6. Две боковые грани, проходящие че-
рез стороны тупых углов ромбов, перпендикулярны
плоскости основания, а остальные две из них состав-
ляют с основанием угол в 45°. Найдите объем пира-
миды.
2. Расстояние между основаниями перпендикуляров, опу-
щенных из вершин тупого угла ромба на его стороны,
равно 20. Найдите объем тела, полученного от враще-
ния ромба вокруг оси, проходящей через вершину ост-
рого угла, равного 60°, и перпендикулярной большей
диагонали.
39
С-19
1. Найдите объем выпукло-вогнутой линзы, у которой ра-
диусы поверхностей равны 25 и 29, а расстояние между
центрами 6.
2. Отношение объема конуса к объему вписанного в конус
шара равно 8 : 3. Найдите величину угла при вершине
осевого сечения конуса.
дс
1. Даны прямая EF, где Е (1; -2; 1) и F (2; -1; 3), и плос-
кость х-2у+ 2- 3 = 0. Найдите координаты точки Р
пересечения этой прямой с плоскостью.
2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точ-
ки А (1; -1; 1) и В (2; 1; -1) и перпендикулярной плос-
кости х - 2у + г-1 = 0.
Варианту 7
С-1
1. В прямой треугольной призме ABCA,BjC, точки F, М и
К — середины ребер AAit AtBt и ВС соответственно, a
точка Е делит ребро BjCj в отношении 1 : 5, считая от
вершины В„ ZABC = 90°. Боковые ребра призмы и ка-
теты основания равны между собой. Используя метод
координат, установите, лежат ли точки F, М, Е и К в
одной плоскости.
2. Даны три некомпланарных вектора р {1; -2; 1},
q {2; 0; -1}, т {-1; 1; 2}. Разложите вектор а {1; 2; -2}
по векторам р, q и т.
С-2
1. В тетраэдре DABC DB ± ABC, DB = 4, АВ = ВС,
BE 1 AC, BE = АС = 4. Точка Р равноудалена от всех
вершин тетраэдра. Найдите расстояния от точки Р до
вершин тетраэдра.
2. Решите уравнение
yl(x-l)2 + y2+z2 + у/х2 + (у-1)2 + 22 = 1.
С-3
1. В основании пирамиды MABCD, помещенной в пря-
моугольную систему координат, лежит ромб ABCD,
А (-3; 10; -5), С (3; 4; 1), М (5; 8; -3), Z.MAD = Z.MAB.
Найдите высоту пирамиды.
2. Используя скалярное произведение векторов, найдите
наибольшее значение выражения
7sin2x + 0,5 + Vcos2 х - 0,5 +
При каком значении х оно достигается?
С—4
1. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный
треугольник ABC (ZC = 90°), АС = 3, ВС = 5. Ребро AM
перпендикулярно стороне основания AC, AM = 4,
МВ = V30. Найдите высоту пирамиды.
2. В тетраэдре DABC углы ADB, ADC и BDC тупые,
AD = BD = CD. Докажите, что треугольник АВС остро-
угольный.
41
С-5
1. Пусть mt и т2 — пересекающиеся перпендикулярные
прямые. Докажите, что композиция симметрий относи-
тельно этих прямых есть симметрия относительно пря-
мой, которая перпендикулярна этим прямым.
2. Является ли движением отображение пространства на
себя, при котором любая точка с координатами (х; у; г)
переходит в точку (-х + 2; -у - 3; -z + 1)? Если да, то
каким образом может быть получена такая точка?
С-6
1. Даны осевые симметрии Sp и Sq пространства;pnq — оси
симметрии, которые не совпадают; S, ° Sp и Sp ° S, —
композиции этих симметрий. Докажите, что если
S, ° Sp = Sp ° Sq, то р и q — пересекающиеся прямые.
2. На данной прямой I найдите точку, симметричную
данной точке А относительно точки, лежащей в плоско-
сти а (/ пересекает плоскость в точке М).
С-7
1. ABCD и EFKL — два взаимно перпендикулярных осе-
вых сечения цилиндра, причем AD и EL — диаметры
одного основания, М — середина образующей АВ,
ML ± АС. Площадь осевого сечения равна 4. Найдите
площадь поверхности цилиндра.
2. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сто-
рона основания равна а, а боковые грани наклонены к
плоскости основания под углом ф = arctg 2. В эту пира-
миду вписан равносторонний цилиндр (осевое сече-
ние — квадрат), у которого одна образующая принадле-
жит плоскости основания, а окружности оснований
касаются апофем граней AM В и DMC. Найдите пло-
щадь боковой поверхности цилиндра.
С-8
1. Точки А (1; 2; -2), В (4; 2; -2), С (3; 4; -2) лежат на
окружности основания конуса, высота которого равна 3.
Конус пересекает плоскость z = 0. Найдите площадь се-
чения конуса этой плоскостью, координаты вершины
конуса и площадь боковой поверхности конуса.
2. Диагонали осевого сечения усеченного конуса взаимно
перпендикулярны. Площадь боковой поверхности усечен-
ного конуса относится к площади боковой поверхности
конуса, образующей которого служит диагональ сечения,
а радиусом основания — его высота, как >/б : 3. Найдите
угол наклона образующей к плоскости основания.
42
С-9
1. На рисунке 7 изображена
8-звеньевая ломаная линия, /\	/\ а Л.
все звенья которой равны а, / \ / \ / \ /*\
а угол между звеньями a. -Z______jL____s/________Q
Найдите площадь поверхно-
сти, которая образуется при
вращении этой ломаной во- рис. 7
круг оси I.
2. Все ребра правильной треугольной призмы равны а. Че-
тыре вершины призмы лежат в плоскости основания ко-
нуса, а две другие — на его боковой поверхности. Обра-
зующая конуса составляет с плоскостью основания
угол ф. Найдите площадь осевого сечения конуса и ее
наименьшее возможное значение. При каком значении
угла ф это достигается?
С-10
1. Сферы, заданные уравнениями x2 + y2 + z2-2x + 2y-z = 0
и х2 + у2 + z2 + 2х - 2у - 2г - 6 = О, пересекаются. Найдите
длину линии пересечения этих сфер.
2. Найдите множество точек, расположенных вдвое ближе
к точке А (2; О; 0), чем к точке В (-4; 0; 0).
С-11
1. Из точки поверхности шара проведены три равные хор-
ды под углом а одна к другой. Найдите их длину, если
радиус шара равен R.
2. Из одной точки сферы проведены три попарно перпен-
дикулярные хорды длиной а, b и с. Найдите площадь
сферы.
С-12
1. Все ребра четырехугольной пирамиды равны а. Высота
пирамиды является диаметром шара. Найдите длину
линии пересечения поверхностей этих тел.
2. В куб с ребром, равным а, вписан шар. Затем в один из
трехгранных углов при вершине куба вписан второй
шар, касающийся первого шара. Найдите радиус второ-
го шара.
43
С-13
1. Стороны АВ и ВС основания прямоугольного паралле-
лепипеда ABCDAtBtCiDi равны соответственно 6 и 8.
Через середины сторон AD и CD и вершину Bt проведе-
на плоскость, составляющая с плоскостью основания
угол в 45°. Найдите объем параллелепипеда.
2. Основанием прямой призмы ABCAjB^, служит прямо-
угольный треугольник ABC (Z.C = 90°), ВС = 4, ВВХ = 3.
Угол между диагоналями граней ACt и CBt равен
3V2 „ „	,
arccos . Найдите объем призмы.
С-14
1. Около куба описана призма так, что все вершины куба
являются серединами сторон оснований призмы. Осно-
ванием призмы служит трапеция, основания которой
равны а и Ь. Найдите объем призмы.
2. Корыто полуцилиндрической формы наполнено до краев
жидкостью. Сколько процентов жидкости выльется, если
корыто наклонить на 30° так, чтобы образующие цилинд-
ра оставались горизонтальными?
С-15
1. Основанием наклонной треугольной призмы АВСА1В1С1
служит правильный треугольник АВС со стороной, рав-
ной а. Боковое ребро равно b, Z.AXAC = 60°, ZAjAB = 45°.
Найдите объем призмы.
2. В наклонной четырехугольной призме ABCDAXBXCXDX
основанием служит четырехугольник ABCD, у которо-
го АС = 5, BD = 4 и AC ± BD. Диагональное сечение
BB^DiD — прямоугольник, а площадь сечения ААгС^С
равна 30. Найдите объем призмы.
С-16
1. В основании треугольной пирамиды МАВС лежит пра-
вильный треугольник АВС со стороной, равной V2,
МА = 42. Боковые грани пирамиды имеют равные пло-
щади. Найдите объем пирамиды.
2. В тетраэдре DABC М е АВ, причем AM = | АВ, Р — се-
редина медианы AF грани АВС, а К — середина медиа-
ны AL грани ADB. Через точки М, К и Р проведена
плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объ-
ем пирамиды?
44
1. Через вершину конуса проведено сечение, имеющее
наибольшую площадь. Плоскость этого сечения состав-
ляет с плоскостью основания угол arccos . Образую-
щая конуса равна L. Найдите объем меньшей части ко-
нуса, отсеченной этой плоскостью.
2. Длина бокового ребра правильной треугольной пирами-
ды равна 10, длина стороны основания 12. Боковая
грань пирамиды вписана в окружность основания кону-
са, образующей которого принадлежит боковое ребро
пирамиды. Найдите объем конуса.
С-18
1. Стороны основания правильной четырехугольной усе-
ченной пирамиды равны а и Ь (а > &). Через противопо-
ложные стороны верхнего и нижнего оснований прове-
дена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит
объем пирамиды?
2. Прямоугольный треугольник ABC (ZC = 90°), у которо-
го катет ВС = а и ZA = 60°, вращается вокруг прямой,
проходящей через вершину А и перпендикулярной бис-
сектрисе угла А. Найдите объем тела вращения.
С-19
1. Основанием пирамиды служит правильный треугольник
со стороной, равной 1. Основание К высоты пирамиды
лежит на расстоянии 2 - от центра О этого треуголь-
ника, причем луч ОК проходит через одну из его вер-
шин. Найдите площадь поверхности вписанного в пира-
миду шара, если высота пирамиды равна
2. Полый шар радиуса 9 см, толщина стенок которого
3 см, плывет в воде, причем из воды выступает его часть
высотой 6 см. Найдите плотность материала, из которо-
го изготовлен шар.
дс
1. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сторо-
на основания равна 2, а высота 1. Используя метод коор-
динат, найдите угол между AM и плоскостью DMC.
2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точ-
ки А (1; - 1; 1) и В (2; 0; -1), которая была бы парал-
лельна направлению вектора т {3; 1; -1}.
45

Вариант 8
С-1
1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки М, Р, F и К — середины
ребер AD, AAlt А1В1 и'С^С соответственно. Используя
метод координат, установите, лежат ли точки М, Р, F и
К в одной плоскости.
2. Разложите вектор т {1; 1; 1} по трем некомпланарным
векторам а {1; 1; -2}, b {1; -1; 0} и с {0; 2; 3}.
С-2
1. В тетраэдре DABC AD 1 ABC, AD = 2, ZACB = 90°,
АС = СВ = 4. Точка М равноудалена от всех вершин тет-
раэдра. Найдите расстояния от этой точки до вершин
тетраэдра.
2. Укажите в пространственной системе координат все ре-
шения уравнения
у/хг + уг+(2-1)г + V(x-l)2 + |/2+z2 = V2.
С-3
1. В тетраэдре DABC, помещенном в прямоугольную сис-
тему координат, основанием служит равнобедренный
треугольник АВС, АВ = АС. Высоты граней ADC и
ADB, проведенные из вершины D, равны между собой.
А (1; 0;-2), D (2; -1; 1), К (0; 1;-1) — середина ВС.
Найдите высоту пирамиды.
2. Используя скалярное произведение векторов, найдите
наибольшее значение суммы V1 + х + V1 - х +1. При ка-
ком х это значение суммы достигается?
С-4
1. В тетраэдре DABC DB = DC = СВ = АС = 3-/2, AD = 3,
Z.ACB - 90°. Найдите высоту пирамиды, опущенную из
вершины D.
2. В пирамиде MEFKP плоские углы при вершине М рав-
ны а. Вычислите угол Р при вершине диагонального се-
чения ЕМК.
47
С-5
1. Докажите, что композиция трех центральных симметрий
относительно точек А, В и С (точки не лежат на одной
прямой) есть центральная симметрия относительно точ-
ки D, являющейся вершиной параллелограмма ABCD.
2. Является ли движением отображение пространства на
себя, при котором любая точка с координатами (х; у; г)
переходит в точку (х - 1; -у - 2; г + 1)? Если да, то ка-
ким образом может быть получена такая точка?
С-6
1. Докажите, что биссектриса линейного угла двугранного
угла является осью симметрии двугранного угла.
2. Из вершин параллелепипеда проведены три диагонали
его граней. На этих отрезках как на ребрах построен па-
раллелепипед. Докажите, что противоположная верши-
на данного параллелепипеда служит центром симмет-
рии построенного.
С-7
1. ABCD и EFKL — два взаимно перпендикулярных осе-
вых сечения цилиндра, причем AD и EL — диаметры
одного основания, М — середина FA, a N — середина
AL, MN = V17. Площадь осевого сечения равна 16. Най-
дите площадь поверхности цилиндра.
2. Сторона основания правильной четырехугольной пира-
миды равна а. Боковые ребра наклонены к плоскости
основания под углом 60°. В эту пирамиду вписан ци-
линдр, боковая поверхность которого касается основа-
ния пирамиды, а окружности оснований — боковых
граней, причем образующая цилиндра расположена на
диагонали основания. Найдите площадь боковой по-
верхности цилиндра, если его высота равна Л.
С-8
1. Точки А (1; -1; 2), В (-2; -1; 2), С (-2; 3; 2) лежат на
окружности основания конуса. Точка Af^O; 6^ ле-
жит на его боковой поверхности. Найдите площадь бо-
ковой поверхности конуса.
2. Образующая усеченного конуса равна 1, диагонали осе-
вого сечения взаимно перпендикулярны. Площадь пол-
ной поверхности конуса равна ^(-/3+1). Найдите угол
наклона образующей к плоскости основания.
48
C-9	z
1. На рисунке 8 изображено уч >ч уч уч
четыре квадрата со сто- /	'v
роной, равной а. Найдите \	/ х /
площадь поверхности, ко-
торая образуется при вра-
щении этой фигуры вокруг
оси I.	Рис- 8
2. Правильная треугольная призма, все ребра которой рав-
ны, вписана в конус, причем три ее вершины лежат на
боковой поверхности конуса, а три — в плоскости осно-
вания. Образующая конуса составляет с плоскостью
основания угол ф. Найдите площадь осевого сечения ко-
нуса и ее наименьшее значение. При каком значении ф
оно достигается?
С-10
1. Даны две сферы. Первая задана уравнением х2 + у2 +
+ г2 - 2х - 4у - 20 = 0, вторая сфера с центром в точ-
ке О2 (2; 4; 2). Они пересекаются по окружности, длина
которой равна 2nV21. Найдите уравнение второй сферы.
2. Найдите множество точек, расположенных вдвое ближе
к точке М (0; 2; 0), чем к точке Р (0; 4; 0).
С-11
1. Четыре шара радиуса R расположены так, что каждый
шар касается трех других. Найдите радиус сферы, кото-
рая внутренним образом касается данных шаров.
2. Шар касается всех ребер тетраэдра. Сравните суммы
длин скрещивающихся ребер тетраэдра.
С-12
1. В правильной треугольной пирамиде сторона основания
равна а. Боковые грани наклонены к основанию под уг-
лом 60°. Высота пирамиды является диаметром шара.
Найдите длину линии пересечения поверхности этих
тел.
2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна а, двугранный угол при основании пирамиды 60°.
В пирамиду вписаны три равных шара, каждый из ко-
торых касается двух других шаров, плоскости основа-
ния и одной из боковых граней пирамиды. Зная, что
точки касания шаров с основанием лежат на апофемах
основания, найдите радиус шара.
49
С-13
1. В прямоугольном параллелепипеде АВСВА1В1С1В1
АВ = 5, ВС = 12. Через диагональ параллелепипеда BtD
параллельно диагонали основания АС проведена плос-
кость, составляющая с плоскостью основания угол в
60°. Найдите объем параллелепипеда.
2. Основанием прямой призмы АВСА^С] служит прямо-
угольный треугольник ABC (Z.C = 90°), АС = 3, СВ = 6,
М — точка пересечения медиан треугольника АВС, а
Р — центр симметрии грани CCjBjB. Прямая МР со-
ставляет с плоскостью грани AAjCjC угол arcsin-^.
Найдите объем призмы.
С-14
1. Площадь боковой грани правильной шестиугольной
призмы равна Q. Через боковое ребро проведено се-
чение, которое разделило призму на части, объемы
которых относятся как 1:3. Найдите площадь сече-
ния.
2. Две образующие цилиндра с квадратным осевым сече-
нием лежат на основаниях другого цилиндра, а окруж-
ности его оснований касаются боковой поверхности
другого цилиндра. Найдите отношение объемов этих ци-
линдров.
С-15
1. Основанием наклонной призмы ABCAjBjC, служит
треугольник АВС, у которого АВ = 50, АС = 40 и
ZBAC = 60°, АА, = 25. Расстояние от вершины А, до
стороны АС равно 7, а до стороны АВ равно 20. Найдите
объем призмы.
2. Основанием наклонного параллелепипеда АВСРА^С,^
служит квадрат со стороной, равной а. Боковые ребра
тоже равны a, Z.AtAD = ZA,AB < 90°. Двугранный угол
при ребре AAi равен 120°. Найдите объем параллелепи-
педа.
50
С-16
1. В основании пирамиды МАВС лежит правильный тре-
угольник АВС со стороной, равной -/З, МА = 6. Боковые
грани имеют равные площади. Найдите объем пира-
миды.
2. В треугольной пирамиде МАВС МА = 4, МВ = 6,
МС = 5. На ребрах МА, МВ и МС выбраны точки А,,
Bi и Ci так, что МА} = 1, МВХ = 3 и МСХ = 2. В каком
отношении плоскость АХВХС1 разделила объем пира-
миды?
С-17
1. Через вершину конуса проведено сечение, имеющее
наибольшую площадь. Плоскость этого сечения состав-
ляет с плоскостью основания угол arctg 2. Высота кону-
са равна Н. Найдите объем большей части конуса, отсе-
ченной этой плоскостью.
2. Основанием пирамиды служит прямоугольник, сто-
роны которого 12 и 4. Боковые ребра пирамиды рав-
ны 10. Боковая грань, проходящая через боль-
шую сторону прямоугольника, вписана в окружность
основания конуса, а образующая конуса принадлежит
высоте противоположной боковой грани, проведенной
из вершины пирамиды. Найдите объем конуса.
С-18
1. Стороны оснований правильной четырехугольной усе-
ченной пирамиды относятся как 1:2. Через центр
нижнего основания и среднюю линию одной из боко-
вых граней проведена плоскость. В каком отношении
эта плоскость разделила объем пирамиды?
2. В равнобедренном треугольнике угол при вершине
равен 120°, а основание равно а. Этот треугольник
вращается вокруг оси, проходящей через точку
пересечения высот треугольника и параллельной
основанию этого треугольника. Найдите объем тела
вращения.
51
С-19
1. Основанием пирамиды служит равносторонний тре-
угольник со стороной 1. Основание К высоты пирамиды
лежит на расстоянии от центра О этого треугольни-
ка, причем луч ОК проходит через середину одной из
его сторон. Найдите площадь поверхности шара, впи-
2
санного в пирамиду, если ее высота равна ^=.
2. Полый металлический шар, внешний радиус которо-
го R, плавает, будучи наполовину погруженным в во-
ду. Плотность материала рш. Найдите толщину стенок
шара.
дс
1. Основанием пирамиды MABCD служит прямоугольник
ABCD, где АВ = 2, AD = 1. Грань AM В — равнобедрен-
ный треугольник (AAf = ВМ), плоскость которого пер-
пендикулярна плоскости основания. Высота пирамиды
МО = 1. Используя метод координат, найдите угол меж-
ду гранями AMD и DMC.
2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точ-
ку М (1; 1; 1) и перпендикулярной линии пересечения
плоскостей 2х-у + г-1 = 0 и х + у-2г-2 = О.
РАБОТЫ НА ПОВТОРЕНИЕ
П—1	Вариант 1
В основании пирамиды DABC лежит правильный тре-
угольник АВС со стороной, равной а. Две боковые грани
ADB и CDB перпендикулярны к плоскости основания.
Их общее ребро тоже равно а.
1.	Каково взаимное расположение прямых:
1)	АВ и CD', 2) BD и АС; 3) PQ и АС, где Р и Q — се-
редины ребер АВ и CD соответственно?
Дайте обоснование.
2.	Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей
через центр основания параллельно ребрам АС и BD.
Определите вид сечения и найдите его площадь.
3.	Найдите угол между гранями:
1)	ADB и CDB; 2) DAC и АВС.
4.	Чему равен угол между ребром BD и гранью ADC?
5.	Найдите угол между АВ и DC.
6.	Чему равно расстояние между АВ и DC?
П— 1	Вариант 2
Основанием прямой призмы АВСАХВ1С1 служит прямо-
угольный треугольник ABC (/.С = 90°), АС = СВ = а. Бо-
ковые ребра тоже равны а.
1.	Каково взаимное расположение прямых:
1)	ДА, и ВС; 2) А1С1 и ВС; 3) EF и АС, где Е е АВХ
(АЕ : ЕВХ = 1 : 2) и F е СВ, (CF : FBX = 2: 1)?
Дайте обоснование.
2.	Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей че-
рез АС и середину ВХСХ. Определите вид сечения и най-
дите его площадь.
3.	Найдите угол:
1)	между плоскостью сечения и плоскостью основания;
2)	между плоскостью сечения и плоскостью грани
ссхвхв,
4.	Чему равен угол между ВХС и плоскостью грани
ААХВ,В?
5.	Найдите угол между АВ и ВХС.
6.	Чему равно расстояние между АВ и ВХС?
53
П—1	Вариант 3
Основанием пирамиды MABCD служит квадрат ABCD
со стороной, равной а. Грань АМВ является правиль-
ным треугольником и перпендикулярна плоскости осно-
вания.
1.	Каково взаимное расположение прямых:
1)	МВ и AD; 2) АС и MD; 3) EF и РТ, где Е, F, Т и
Р — середины ребер МА, МС, CD и AD соответственно?
Дайте обоснование.
2.	Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей
через середину AD параллельно грани АМВ. Определи-
те вид сечения и найдите его площадь.
3.	Чему равен угол между плоскостями:
1)	АВС и DMC; 2) АМВ и DMC1
4.	Чему равен угол между MD и плоскостью АМВ!
5.	Чему равен угол между MD и АС!
6.	Найдите расстояние между ВС и MD.
П—1	Вариант 4
В тетраэдре DABC грани АВС и DBC — правильные
треугольники со стороной, равной а. Плоскости этих
граней перпендикулярны.
1.	Каково взаимное расположение прямых:
1)	АС и DB; 2) AD и ВС; 3) EF и ВС, где Е иР — середи-
ны ребер АС и BD соответственно? Дайте обоснование.
2.	Через вершину А и середину М ребра DC проведите
плоскость параллельно ВС. Определите вид сечения и
найдите его площадь.
3.	Найдите угол между плоскостями:
1)	ADC и АВС; 2) ADC и ADB.
4.	Найдите угол между медианой грани ADC, проведенной
из вершины А, и плоскостью АВС.
5.	Найдите угол между: 1) AD и ВС; 2) АВ и DC.
6.	Найдите расстояние между AD и ВС.
П—2	Вариант 1
В прямом параллелепипеде ABCDAосновани-
ем служит ромб, диагонали которого АС = 8 и BD = 6.
Через диагональ BD и середину ребра ССХ проведена
плоскость, составляющая с плоскостью основания угол
в 45°.
1)	На какие части эта плоскость делит объем паралле-
лепипеда?
2)	Найдите площадь поверхности призмы ABXBDCXC.
3)	Чему равен угол между диагональю АХС и плоско-
стью грани DDXCXC!
54
П—2	Вариант 2
Основанием пирамиды DABC служит равнобедренный
прямоугольный треугольник ABC (ZC = 90°), АС = СВ =
= 4. Боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°.
1) На какие части делит объем пирамиды плоскость CEF,
где F — середина BD, а точка Е лежит на ребре АВ, при-
чем АЕ : ЕВ = 1 : 3?
2) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
3) Чему равен двугранный угол, образованный гранями
ADC и BDC?
П—2	Вариант 3
Основанием наклонной призмы АВСАХВХСХ служит пра-
вильный треугольник со стороной, равной 4-/3. Верши-
на А] проектируется на середину стороны ВС, боковые
ребра составляют с плоскостью основания угол в 45°.
1) Найдите площадь боковой поверхности призмы.
2) Через сторону основания ВС проведена плоскость,
перпендикулярная грани ССХВХВ. В каком отношении
она разделила объем призмы?
3) Найдите расстояние от вершины В до боковой грани
ААХСХС.
П—2	Вариант 4
В основании пирамиды МАВС лежит равнобедренный
треугольник АВС, АВ = ВС = 10, АС= 12. Высота пирами-
ды равна 4. Боковые грани пирамиды равнонаклонены к
основанию.
1)	Через точки А, О и Е, где Е — середина МВ, а О —
основание высоты пирамиды МО, проведена плоскость. В
каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?
2)	Найдите площадь поверхности пирамиды.
3)	Чему равен угол между МВ и плоскостью грани АМС1
П—3	Вариант 1
Наибольший угол между образующими конуса равен
120°. Площадь осевого сечения равна 16-УЗ.
1)	Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2)	Найдите центральный угол в развертке боковой по-
верхности конуса.
3)	В данный конус вписан другой конус, основание ко-
торого параллельно основанию данного конуса и делит
его высоту в отношении 1 : 2, считая от вершины. Вер-
шина вписанного конуса совпадает с центром основания
данного. Найдите отношение объемов этих конусов.
4)	Найдите площадь поверхности описанного около
данного конуса шара.
55
П—3	Вариант 2
В цилиндре, высота которого равна 8, через его образу-
ющую проведены две плоскости, угол между которыми
60°. Площади сечений равны 32 V3.
1)	Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
2)	Найдите острый угол между диагоналями развертки
боковой поверхности цилиндра.
3)	Выясните, можно ли в данный цилиндр вписать
шар, и если да, то найдите отношение их объемов.
4)	Найдите площадь поверхности описанного около это-
го цилиндра шара.
П—3	Вариант 3
В усеченный конус вписан шар, диаметр которого равен
5->/3. Образующие конуса составляют с плоскостью осно-
вания угол в 60°.
1)	Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2)	Найдите объем конуса.
3)	Укажите размеры развертки боковой поверхности
конуса (центральный угол развертки, радиусы концент-
рических окружностей).
4)	Какова площадь поверхности описанного около ко-
нуса шара?
П—3	Вариант 4
Цилиндр, осевое сечение которого квадрат, вписан в
конус так, что окружность верхнего основания ци-
линдра касается боковой поверхности конуса, а ниж-
нее основание лежит на основании конуса. Площадь
боковой поверхности цилиндра равна 16п, а образую-
щая конуса составляет с плоскостью основания угол
в 45°.
1)	Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2)	Какова наибольшая возможная площадь сечения,
проведенного через вершину конуса?
3)	Найдите отношение объема конуса, отсеченного от
данного конуса верхним основанием цилиндра, к объе-
му цилиндра.
4)	Найдите объем вписанного в конус шара.
56
П—4	Вариант 1
1. В наклонной треугольной призме АВСАХВХСХ все ребра
равны a, Z.AXAC = Z.AXAB = 60°. Используя векторы:
1) найдите угол между АХС и медианой АК основания;
2) докажите, что грань СС,В,В — прямоугольник.
2. Призма АВСАХВХСХ задана координатами своих вершин
А (1; 2; 2), В (-1; -1; 2), С (3; -2; 2), А1 (1; 2; 5). Най-
дите угол между прямой АЕ, где Е — середина АХСХ, и
плоскостью, которая перпендикулярна диагонали гра-
ни ВХС.
П—4	Вариант 2
1. В тетраэдре МАВС основанием служит правильный тре-
угольник АВС со стороной a, AM = 2а, Z.MAC =
= Z.MAB = 45°. Используя векторы:
1) докажите, что AM 1 СВ;
2) найдите расстояние между серединами ребер АС и
ВМ.
2. Пирамида MABCD задана координатами своих вершин
М(-1;2;5), А (1; -1; 2), В (-2; 1; 2), С (-1; 3; 2),
D (3; 1; 2). Найдите объем пирамиды.
П—4	Вариант 3
1. В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1£>| основанием
служит ромб ABCD со стороной а и углом А, равным
60°. Боковые ребра тоже равны а. Используя векторы:
1) найдите угол между АЕ и BD, где Е — центр сим-
метрии грани DDXCXC;
2) докажите, что АХС 1 BD.
2. В кубе ABCDAXBXCXDX, используя метод координат,
найдите угол между FE, где F — середина DC, а Е —
середина ВХСХ, и плоскостью AXBD.
П—4	Вариант 4
1. В правильном тетраэдре DABC ребра равны а, М — точ-
ка пересечения медиан грани BDC, а Е — середина реб-
ра AD. Используя векторы:
1) найдите расстояние ЕМ',
2) докажите, что РК ± AD, где Р и К — соответственно
середины ребер DC и DB.
2. Основанием пирамиды MABCD служит прямоугольник
ABCD, где АВ = 2 и AD = 1. Грань АМВ — равнобед-
ренный треугольник, плоскость которого перпендику-
лярна основанию пирамиды. Высота пирамиды равна 1.
Используя метод координат, найдите угол между AF и
DE, где F — середина MD, а Е — середина МС.
57
--МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ДИКТАНТЫ -------
МД—1	Вариант 1
1.	Дана точка М (1; 3; 2). Найдите координаты точки
Af] — проекции точки М на плоскость Охг и коорди-
наты точки М2 — проекции точки М на ось Ог.
2.	Даны точки Е (-1; 2; 3) и F (1; -1; 4). Разложите век-
тор EF по векторам I, j и k.
3.	Найдите угол между векторами j и т = 2i - 3k.
4.	В параллелепипеде ABCDA^CjD, вершины А (1; 2; -4)
и С] (3; О; 2). Найдите координаты точки пересечения
его диагоналей.
5.	Даны точки А, В и С, причем АВ {-2; 4; 3} и
АС (4; -8; -6}. Лежат ли эти точки на одной прямой?
6.	Дан вектор т {1; 2; 2}. Найдите координаты единично-
го вектора е, сонаправленного с вектором т.
7.	Вектор а составляет с положительным направлением
оси Ох угол в 135°. Найдите абсциссу вектора а, если
|J| = 2.
8.	DABC — правильный тетраэдр. Упростите выражение
(АВ + ВС) (АВ - ВС) + AD (АС - АВ).
9.	Дано: |а | = 1, |&| = 2, а Ь = 120°. Найдите (а + Ь) а.
10.	В треугольнике АВС А (0; 0; 0), В (1; 2; 1), С (1; -1; 1).
Найдите координаты центра описанной около треуголь-
ника окружности.
МД—1	Вариант 2
1.	Дана точка В (2;-1; 3). Найдите координаты точки
Ех — проекции точки Е на плоскость Оуг и координа-
ты точки Е2 — проекции точки Е на ось Оу.
2.	Даны точки К (2; -1; 3) и М (1; -2; 1). Разложите век-
тор КМ по векторам i, j и k.
3.	Найдите угол между векторами j и п = -2/ + k.
4.	В параллелепипеде ABCDAxBxCxDx с вершиной
В](-1; 3; 2) точка пересечения диагоналей М (2; -1; 1).
Найдите координаты вершины D.
58
5.	Даны точки Е, F и К, причем EF {1; -2; 3} и
ЕК {-2; 4; 6}. Лежат ли эти точки на одной прямой?
6.	Дан векторр {-2; -2; 1}. Найдите координаты единично-
го вектора е, противоположно направленного вектору р.
7.	Вектор а составляет с положительным направлением
оси Оу угол в 135°. Найдите ординату вектора а, если
|a| = 2V3.
8.	В пирамиде НРМКЕ все ребра равны. Упростите выра-
жение (PH - МК) (PH + МК) + НК (МК + КЕ).
9.	Даны векторы т и п: | т | = 2, | п | = V2, п т = 135°. Най-
дите (т - п) п.
10.	В треугольнике MFP М (0; 0; 0), F (2; -1; 3),
Р(-1; 1; 1). Найдите диаметр окружности, описанной
около этого треугольника.
МД—2	Вариант 1
1.	Сечение, параллельное оси цилиндра, отстоит от его
оси на расстояние, равное 3. Найдите площадь сече-
ния, если радиус основания цилиндра равен 5, а его
высота 10.
2.	Основанием прямой призмы служит треугольник со
сторонами 6, 8 и 10. Высота призмы равна 4. Площадь
боковой поверхности описанного около призмы цилин-
дра равна ....
3.	Через вершину конуса проведена плоскость, пересека-
ющая основание по хорде, длина которой равна а. Эта
хорда стягивает дугу в 90°. Угол между образующими
в сечении равен 60°. Площадь боковой поверхности ко-
нуса равна ....
4.	Основанием пирамиды служит треугольник со сторо-
ной, равной 10, и противолежащим ей углом в 30°. Бо-
ковые ребра пирамиды наклонены к основанию под уг-
лом 60°. Площадь боковой поверхности описанного
около пирамиды конуса равна ....
5.	Найдите множество точек, удаленных на а от точки М
и на b от точки Р.
6.	Укажите множество центров всех сфер, которые каса-
ются плоскости в заданной точке.
7.	Через точку А (3; 4; 12), принадлежащую сфере, за-
данной уравнением х2 + у2 + г2 = 169, проведена плос-
кость, перпендикулярная оси Ог. Найдите радиус сече-
ния.
59
8.	Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 и 4.
В этот конус вписан шар. Площадь боковой поверхно-
сти конуса равна ....
9.	Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна 3. Боковые ребра наклонены к основанию под
углом 45°. Площадь описанной около пирамиды сферы
равна ....
10.	В пирамиду с равнонаклоненными к основанию граня-
ми вписан шар. Центр шара делит высоту в отношении
2:1, считая от вершины. Угол наклона боковых гра-
ней к основанию равен ....
МД—2	Вариант 2
1. В цилиндре проведено сечение, параллельное его оси.
Диагональ сечения равна 16 и составляет угол в 60° с
плоскостью основания. Радиус основания цилиндра ра-
вен 5. Найдите расстояние от оси цилиндра до плоско-
сти сечения.
2. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со
стороной, равной 4, и углом в 60°. Высота параллеле-
пипеда равна 5. Площадь боковой поверхности впи-
санного в параллелепипед цилиндра равна ....
3. Через вершину конуса проведена плоскость, пересека-
ющая основание по хорде, длина которой равна т. Эта
хорда стягивает дугу в 60°. Угол между образующими
в сечении прямой. Площадь боковой поверхности ко-
нуса равна ....
4. В правильную треугольную пирамиду вписан конус,
сторона основания пирамиды равна 6, а ее высота 1.
Площадь боковой поверхности конуса равна ....
5. Найдите множество точек, из которых данный отрезок
виден под прямым углом.
6. Укажите множество центров всех шаров данного ради-
уса, которые касаются данной плоскости.
7. Через точку В (3; 4; 12), принадлежащую сфере, за-
данной уравнением х2 + у2 + г2 = 169, проведена плос-
кость, перпендикулярная оси Ох. Найдите радиус сече-
ния.
8. Образующая усеченного конуса равна 6. В этот конус
вписан шар. Площадь боковой поверхности конуса
равна ....
9. В правильной четырехугольной пирамиде боковые реб-
ра наклонены к основанию под углом 45°. Площадь
описанной около пирамиды сферы равна 64л. Сторона
основания пирамиды равна ....
60
10. Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под
углом 45°. В эту пирамиду вписан шар. В каком отно-
шении, считая от вершины, центр этого шара делит
высоту пирамиды?
МД—3	Вариант 1
1.	Основанием правильной четырехугольной призмы слу-
жит квадрат, диагональ которого равна d. Через диаго-
наль основания и противолежащую вершину верхнего
основания проведена плоскость под углом 45° к нему.
Объем призмы равен ... .
2.	В наклонной треугольной призме площади двух граней
равны 30 и 40. Угол между ними прямой. Боковое реб-
ро равно 10. Найдите объем призмы.
3.	Объем наклонной треугольной призмы равен V. Через
среднюю линию основания и середину бокового ребра,
проходящего через вершину основания, противолежа-
щую средней линии, проведена плоскость. Найдите
объем отсеченной треугольной пирамиды.
4.	Основанием пирамиды служит прямоугольный тре-
угольник, катеты которого равны 3 и 4. Боковые грани
наклонены к основанию под углом 45°. Объем пирами-
ды равен ....
5.	Площадь боковой поверхности правильной четырех-
угольной пирамиды равна S, а расстояние от центра
основания до боковых граней d. Найдите объем пира-
миды.
6.	Объем пирамиды равен V. Боковое ребро пирамиды
разделено на три равные части и через точки деления
проведена плоскость, параллельная основанию. Объем
усеченной пирамиды, заключенной между параллель-
ными плоскостями, равен ....
7.	Через середину образующей конуса проведена плос-
кость параллельно плоскости основания. Полученное
сечение служит верхним основанием цилиндра, ниж-
нее основание которого лежит на основании кону-
са. Объем конуса равен 40. Чему равен объем ци-
линдра?
8.	Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под
углом 45°. Основанием пирамиды служит треугольник
со стороной, равной 10, и противолежащим углом
в 30°. Чему равен объем описанного около пирамиды
конуса?
9.	В правильную треугольную призму, сторона основания
которой равна 2-73, вписан шар. Найдите объем шара.
61
10.	Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит
этот диаметр на две части, равные 3 и 9. Найдите объ-
ем меньшей из этих частей.
МД—3	Вариант 2
1.	В правильной треугольной призме сторона основания
равна а. Через сторону основания и противолежащую
вершину верхнего основания проведена плоскость под
углом 45° к основанию. Чему равен объем призмы?
2.	В наклонной треугольной призме две боковые грани
взаимно перпендикулярны, их площади равны 20 и
30. Боковые ребра равны 5. Найдите объем призмы.
3.	В наклонном параллелепипеде через диагональ осно-
вания и середину противолежащего бокового ребра
проведена плоскость. Объем параллелепипеда равен V.
Чему равен объем отсеченной треугольной пирамиды?
4.	Основанием пирамиды служит ромб с углом в 30° и
стороной, равной а. Боковые грани пирамиды наклоне-
ны к основанию под углом 60°. Найдите объем пира-
миды.
5.	Объем правильной треугольной пирамиды равен V, а
площадь ее боковой поверхности S. Найдите расстоя-
ние от центра основания до боковых граней.
6.	Боковые ребра пирамиды разделены на три части в от-
ношении 1:2:1. Через точки деления проведены
плоскости, параллельные основанию. Найдите отноше-
ние объема усеченной пирамиды, заключенной между
параллельными плоскостями, к объему отсеченной пи-
рамиды.
7.	Через середину образующей конуса проведена плос-
кость параллельно плоскости основания. Полученное
сечение служит верхним основанием цилиндра, ниж-
нее основание которого лежит на основании конуса.
Объем цилиндра равен 9. Найдите объем конуса.
8.	Основанием пирамиды служит треугольник со сторона-
ми 6, 8 и 10. Боковые ребра пирамиды наклонены к
основанию под углом 60°. Объем описанного около пи-
рамиды конуса равен ....
9.	Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со
стороной, равной 4-/3, и углом в 60°. В этот параллеле-
пипед вписан шар. Чему равен его объем?
10.	В круговом секторе радиус равен 6, а угол 60°. Этот
сектор вращается вокруг прямой, содержащей один из
ограничивающих его радиусов. Найдите объем тела
вращения.
62
---КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
К—1	Вариант 1
1.	Какой угол образуют единичные векторы а и Ь, если
известно, что векторы а + 26 и 5а - 46 взаимно перпен-
дикулярны?
2.	В кубе ABCDAXBXCXDX длина ребра равна 1, М —
центр грани DDXCXC. Используя метод координат, най-
дите: 1) угол между прямыми AM и BXD', 2) расстоя-
ние между серединами отрезков AM и BXD.
3.	Даны две точки: А, лежащая на оси ординат, и
В (1; 0; 1). Прямая АВ составляет с плоскостью Oxz
угол в 30°. Найдите координаты точки А.
4*. Найдите координаты вектора а, коллинеарного векто-
ру Ь {6; 8; - 7,5} и образующего тупой угол с коорди-
натным вектором j, если | а | = 50.
К—1	Вариант 2
1.	Даны точки А (-1; 2; 1), В (3; 0; 1), С (2;-1; 0) и
D (2; 1; 2). Найдите:
1)	угол между векторами АВ и СВ;
2)	расстояние между серединами отрезков АВ и CD.
2.	Основанием прямой призмы АВСАХВХСХ служит равно-
бедренный треугольник ABC, Z.ACB = 120°, АС = СВ =
= ВВХ. Используя векторы, найдите угол между пря-
мыми АВ и СВХ.
3.	Даны две точки: А, лежащая в плоскости хОу, и
В (1; 1; 1), причем абсцисса точки А равна ее ордина-
те. Прямая АВ составляет с плоскостью гОу угол в 30°.
Найдите координаты точки А.
4*. Даны векторы а {7; 0; 0} и Ь {0; 0; 3}. Найдите множе-
ство точек М, для каждой из которых выполняются
условия ОМ • а = 0 и ОМ -6 = 0, где О — начало коор-
динат.
63

К—1	Вариант 3
1.	Дано: |а| = 2, |6| = 42, а Ь= 135°. Найдите |а - 261.
2.	В кубе ABCDAXBXCXDX длина ребра равна 1, М — сере-
дина ребра AXDX. Используя метод координат, найдите:
1) угол между прямыми АХС и СХМ;
2)	расстояние между серединами отрезков АХС и СХМ.
3.	Даны две точки: А, лежащая на оси аппликат, и
В (2; 2; 0). Прямая АВ составляет с плоскостью хОу
угол в 60°. Найдите координаты точки А.
4*. Вектор Ь, коллинеарный вектору а {8; -10; 13}, состав-
ляет с положительным направлением оси Ог острый
угол, |Ь| = 437. Найдите координаты вектора Ь.
К—1	Вариант 4
1.	Даны точки £ (1;-2; 2), F (3; 0; 2), К (0; -2; 3),
Т (2; 4; 1). Найдите:
1)	угол между векторами EF и КТ;
2)	расстояние между серединами отрезков EF и КТ.
2.	В правильной треугольной призме АВСАХВХСХ все реб-
ра равны между собой. Используя векторы, найдите
угол между прямыми АХС и АВ.
3.	Даны две точки: М, лежащая в плоскости xOz, и
Р (1; 2; 1), причем абсцисса точки М равна ее апплика-
те. Прямая РМ составляет с плоскостью хОу угол в
30°. Найдите координаты точки М.
4*. Даны векторы с {0; -2; 0} и Ь {0; 0; 5}. Найдите множе-
ство точек Е, для каждой из которых выполнимо усло-
вие ОЕ • b = 0 и ОЕ • с = 0, где О — начало координат.
К—2	Вариант 1
1. Прямоугольная трапеция с углом в 45° вращается во-
круг прямой, содержащей большее основание. Найдите
площадь поверхности тела вращения, если основания
трапеции равны 3 и 5.
2. В шар радиуса R вписан конус, у которого образующая
составляет с плоскостью основания угол ф.
1) Найдите площадь боковой поверхности конуса.
2) Если <р = 30°, то найдите наибольшую возможную
площадь сечения, проходящего через вершину конуса.
3*. Сфера, заданная уравнением х* 1 2 + у2 + (г - I)2 = 4, пере-
секает оси координат в точках А, В и С; А — точка пе-
ресечения с осью Ох, В — с осью Оу, a С — с осью Oz
(координаты этих точек положительны). Найдите угол
между плоскостью АВС и плоскостью z = 0.
Ззи.. II».	65

К—2	Вариант 2
1. В цилиндре проведена плоскость, параллельная оси и
отсекающая от окружности основания дугу в 90°. Диа-
гональ сечения равна 10 и удалена от оси на расстоя-
ние, равное 4. Найдите площадь боковой поверхности
цилиндра.
2. В правильной треугольной пирамиде боковые грани на-
клонены к основанию под углом 60°. В эту пирамиду
вписан шар радиуса R.
1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2) Найдите длину окружности, по которой поверх-
ность шара касается боковых граней пирамиды.
3*. Из точки М (-7; 3; -4) проведена касательная к сфе-
ре, заданной уравнением х2 + у2 + г2 - 2х - 4 у - 27 = 0.
Найдите длину касательной от точки М до точки каса-
ния.
К—2	Вариант 3
1. Ромб ABCD со стороной а и углом А, равным 60°, вра-
щается вокруг прямой, проходящей через вершину С и
перпендикулярной диагонали АС. Найдите площадь
поверхности тела вращения.
2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна а, а боковые ребра наклонены к основанию под
углом а.
1) Найдите площадь описанной около пирамиды сферы.
2) Если а = 30°, то найдите угол между радиусом сфе-
ры, проведенным в одну из вершин основания, и плос-
костью основания.
3*. Сфера, заданная уравнением (х - I)2 + у2 + z2 = 5, пере-
секает ось ординат в точке А (у < 0). Через точку
М (1; 1; 0) проведена прямая, параллельная оси Oz и
пересекающая сферу в точке В (z > 0). Найдите угол
между прямой АВ и плоскостью хОу.
К—2	Вариант 4 (начало)
1. Через вершину конуса проведена плоскость, пересека-
ющая основание по хорде длиной 3, которая стягивает
дугу в 120°. Плоскость сечения составляет с плоско-
стью основания угол в 45°. Найдите площадь боковой
поверхности конуса.
67

К—2	Вариант 4 (продолжение)
2. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар.
Расстояние от центра шара до вершины пирамиды
равно а. Боковые грани наклонены к основанию под
углом 60°.
1) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2) Найдите площадь круга, ограниченного окружно-
стью, по которой сфера касается боковой поверхности
пирамиды.
3*. Через точку М (4; 2; 8) проведена плоскость, которая
параллельна оси Ог и составляет с плоскостями хОг и
гОу угол в 45°. Найдите длину окружности, по кото-
рой сфера, заданная уравнением х* 1 2 + у2 + г2 = 25, пере-
секает эту плоскость.
К—3	Вариант 1
1. В правильной треугольной пирамиде боковые грани на-
клонены к основанию под углом 60°. Расстояние от
центра основания до боковой грани равно 2-/3. Найдите
объем пирамиды.
2. В цилиндре проведена плоскость, параллельная его
оси, которая отсекает от окружности основания дугу
2а. Диагональ полученного сечения составляет с осью
цилиндра угол <р и удалена от нее на расстояние, рав-
ное d. Найдите объем цилиндра.
3*. В пирамиду, данную в задаче 1, вписан шар, касаю-
щийся боковой поверхности пирамиды по некоторой
окружности. Плоскость, которой принадлежит эта
окружность, делит шар на две части. Найдите объем
меньшей из этих частей.
К—3	Вариант 2
1. В правильной четырехугольной призме ABCDAXBXCXDX
через концы трех ребер, исходящих из вершины С,
проведена плоскость на расстоянии 4-/2 от этой верши-
ны, составляющая с плоскостью основания угол в 45°.
Найдите объем призмы.
2. В конусе через его вершину под углом <р к плоскости
основания проведена плоскость, отсекающая от окруж-
ности основания дугу 2а. Радиус основания конуса ра-
вен R. Найдите объем конуса.
3*. В призме, данной в задаче 1, проведена плоскость, пер-
пендикулярная диагонали призмы и делящая ее в от-
ношении 1 : 3. Указанная плоскость делит описанный
около призмы шар на две части. Найдите объем мень-
шей из этих частей.
69

К—3	Вариант 3
1. В правильной четырехугольной пирамиде боковые гра-
ни наклонены к основанию под углом в 60°. Расстоя-
ние от середины высоты пирамиды до боковой грани
равно 2. Найдите объем пирамиды.
2. В цилиндре проведена плоскость, параллельная его
оси, которая отсекает от окружности основания дугу <р.
Диагональ полученного сечения равна 2т и удалена от
оси цилиндра на расстояние, равное т. Найдите объем
цилиндра.
3*. В пирамиду, данную в задаче 1, вписан шар, ка-
сающийся боковой поверхности пирамиды по некото-
рой окружности. Плоскость, которой принадлежит эта
окружность, делит шар на две части. Найдите объем
меньшей из этих частей.
К—3	Вариант 4
1.	В правильной треугольной призме ABCA^Ci через
сторону нижнего основания ВС и противолежащую
вершину Ах проведена плоскость под углом в 45° к
плоскости основания. Расстояние от этой плоскости до
вершины А равно 2. Найдите объем призмы.
2.	В конусе через его вершину под углом ф к плоскости
основания проведена плоскость, отсекающая от окруж-
ности основания дугу а. Высота конуса равна Л. Най-
дите объем конуса.
3*. Вокруг призмы, данной в задаче 1, описан шар. Найди-
те объем меньшей части шара, которая отсекается от
него плоскостью боковой грани.
К—4	Вариант 1
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD сто-
рона основания равна 6, а боковое ребро 5. Найдите:
1) площадь боковой поверхности пирамиды;
2)	объем пирамиды;
3)	угол наклона боковой грани к плоскости основания;
4)	скалярное произведение векторов (AD + АВ) AM;
5)	площадь описанной около пирамиды сферы;
6*) угол между BD и плоскостью DMC.
71

К—4	Вариант 2
В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона
основания равна 4-/3, а боковое ребро 5. Найдите:
1) площадь боковой поверхности пирамиды;
2)	объем пирамиды;
3)	угол между боковым ребром и плоскостью основа-
ния;
4)	скалярное произведение векторов | (МВ + МС) ЕА,
где Е — середина ВС;
5)	объем вписанного в пирамиду шара;
6*) угол между стороной основания и плоскостью боко-
вой грани.
К—4	Вариант 3
В правильной четырехугольной пирамиде MABCD бо-
ковое ребро равно 8 и наклонено к плоскости основа-
ния под углом в 60°. Найдите:
1)	площадь боковой поверхности пирамиды;
2)	объем пирамиды;
3)	угол между противоположными боковыми гранями;
4)	скалярное произведение векторов | (МА + МС) ME,
где Е — середина DC;
5)	объем описанного около пирамиды шара;
6*) угол между боковым ребром AM и плоско-
стью DMC.
К—4	Вариант 4
В правильной треугольной пирамиде МАВС сторона
основания равна 2-/3, а боковые грани наклонены к
основанию под углом 60°. Найдите:
1)	площадь боковой поверхности пирамиды;
2)	объем пирамиды;
3)	угол между боковым ребром и плоскостью основа-
ния;
4)	скалярное произведение векторов | (МС + МВ) ОМ,
где О — основание высоты пирамиды;
5)	площадь вписанной в пирамиду сферы;
6*) угол между ME, где Е — середина ВС, и пло-
скостью АМС.
73

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Самостоятельные работы
с—1
Вар. 1. 1. 1) В (-2; -2; О), D (2; 2; О), С (-2; 2; О), А, (2; -2; 4),
В, (-2; -2; 4), D, (2; 2; 4), Сх (-2; 2; 4).
2) OD {2; 2; О}, ОСу (-2; 2; 4}, ОМ {0; 2; 2}, OD = 2i + 2j + 0 • k,
ОС1 = -2/ + 2/ + 4Л, ОМ = 0l + 2j + 2k.
2. Да, будут.
Вар. 2. 1. 1) А (2; 0; 0), В (-2; 0; 0), D (2; 4; 0), А, (2; 0; 4),
В, (-2; 0; 4),	(-2; 4; 4), D, (2; 4; 4).
2) ОС {-2; 4; 0}, ОВ^ {-2; 0; 4}, ОК {-2; 2; 2},
dC = -2i + 4j+0 *, ОВг =-2i + 0 • j + 4k, OK = -2i + 2j + 2k.
2. Да, будут.
Вар. 3. 1. 1) С (0; 0; 0), В (-5; 0; 0), А (0; -5V3; 0),
D (-5; 0; 5V3).
2> ей J.10.	сй.-10г_«7з;+^з*-
[ 3	3	3)	3	3	3
2. Да, лежат.
Вар. 4. 1. 1) А (О; 0; 0), С (0; 4; О), В (-4-УЗ; 4; О),
О (-4^3; 4; 12).
2) АК	4; 4р АК =+ 4j + 4k.
2. т = -6, п = 2.
Вар. 5. 1. Из точки О опускаем перпендикуляр ОЕ на АС и
точку Е соединяем с точкой D. Тогда Z.DEO = 45°, ОЕ = OD =12,
D (0; 0; 12). В треугольнике DOE опускаем перпендикуляр ОК
на DE. Легко доказать, что ОК 1 ADC; ОК = - (ОЕ + OD), где
2
К — середина ED (ОЕ = OD). Для решения задачи необходимо
найти координаты точки Е. Строим EF 1 ОС, из подобия тре-
угольников OFE и АОС находим EF = — и OF = —. Тогда
5	5
Ответ. 1) А (0; -20; 0), В (-15; 0; 0), С (15; 0; 0), D (0; 0; 12).
2) ОК {4,8; -3,6; 6}, ОК = 4,81- 3,6/ + 6k.
2. При т = 3. В этом случае с = а + b и векторы компланарны.
Bap. 6. 1. 1) AI-j=; -1; 0
D (0; 0; 1).	'
°: °)’
2) Так какОА = -^,аОО= 1,то —=	= -. Тогда OK =
_	_ V3	KD DO2 3
OD + ^OA. Дальнейшее решение очевидно.
, OK = -^—l--j + -k.
7V3	7	7
2. При у = 6. Тогда р = 2т + 2л и векторы компланарны.
Вар. 7. 1. Поместим призму в прямоугольную систему коорди-
нат так, чтобы точка В была началом координат, а оси Ох, Оу и Ог
были сонаправлены с лучами ВА, ВС и ВВХ соответственно.
Пусть боковые ребра призмы и катеты основания равны 1. Тогда
f(1; 0;	Af(|; 0; 1), Е^О; 1) и	о). Необходимо
установить, компланарны ли векторы ЕК, ЕМ и EF. Так как
ЕМ = ВМ-ВЕ, ВМ 0; 1J, BE |о; 1|,тоЁМ - j; ° j .
Аналогично получим, что	-- > и ЕК <0;	- 1 к Если
указанные векторы компланарны, то должны существовать такие х
2
и у, что ЕК = хЕМ + yEF. Тогда получим систему
— х —и = —
6	6	3
Она имеет решение х = -4 и у = 2. Значит, ЕК = -4ЕМ + 2EF. Тем
самым доказывается, что указанные точки лежат в одной плоскости.
2. а = хр + yq + гт, хр {х; -2х; х}, yq {2у; 0; -у), гт {-г; г; 2г},
а {х + 2у - г; -2х + г; х - у + 2г}.
Так как разложение по базису единственное, то
(x + 2j/-z = l
-2х + г = 2
|х - 2у + 2г = -2. Отсюда х = 1, у = 1, г = 0.
Ответ, а = -р + q + 0 • т.
Вар. 8. 1. Задача решается аналогично задаче 1 из вариан-
та 7. Если куб с ребром, равным 1, поместить в прямоугольную
систему координат так, чтобы начало координат было в точке В,
а оси Ох, Оу и Ог были сонаправлены с лучами ВА, ВС и ВВХ
соответственно, то можно получить, что РК = 2PF + 2РМ. Этим
доказываем, что указанные точки лежат в одной плоскости.
2. т =-а + -b +-с. Задача решается аналогично задаче 2 из
5	5	5
варианта 7.
С—2
Вар. 1. 1. V34; V6+2V14.
2. 1) С (3; О; -4); 2) ВС = 3; 3) ВС = Г+ 2j + 2k.
Вар. 2. 1. V42; 2V6-/14.
2. 1) С (-1; О; 1), D (2; 2; О); 2) ВС = 73, AD = i- j + k.
Вар. 3. 1. 9. 2, а {-8; 8; 4}.
Вар. 4. 1. ЛО. 2. т {3; -6; -3}.
Вар. 5. 1. Поместим призму в прямоугольную систему коор-
динат так, чтобы начало координат совпадало с точкой В, а оси
Ох, Оу и Ог были сонаправлены с лучами В А, ВС и ВВХ соответст-
венно. При решении учесть, что Р — точка пересечения медиан
A DCjC и MP = - (MCi + МС + MD). Ответ. —.
3	6
2. AM = kAB, так как точка М лежит на прямой АВ. Пусть ко-
ординаты точки М (х; у; г). Тогда AM (х + 1; у - 2; г - 1}. С другой
стороны, AM {3k;	-2k}, | AM | = J2kI- 2 + k2 + 4k2 = | * I S&- По
_	[x + l = 3A
условию | AM| = ЗЛ4. Тогда k = ± 3. Так как <y-2 = -k то
[z-l = -2A,
1x = 8	[x = -10
у = -1 или jf/ = 5 Ответ. М (8; -1; -5) или М (-10; 5; 7).
I-
2. Р (-16; 7; -3). Решается аналогично задаче из варианта 5.
Вар. 7. 1. Поместим тетраэдр в прямоугольную систему коор-
динат так, чтобы начало координат совпадало с точкой Е. Пусть ось
Ох противоположно направлена лучу ЕВ, ось Оу сонаправлена с лу-
чом ЕС, а ось Ог сонаправлена с лучом BD. Пусть Р (х; у; г). В вы-
бранной системе координат А (0; -2; 0), В (-4; 0; 0), С (0; 2; 0),
D (-4; 0; 4). Так как Р равноудалена от всех вершин тетраэдра, то
J хг+(у+ 2)2 + г2 = J хг +(у-2)2 + г2 =
= V(x + 4)’+p2 + x2 = V(x + 4),+y,+(z-4)2 ,
77
откуда х = - —» у = v и г =	—; и; & у
2. J(x - I)2 * * + р2 + z2 есть расстояние между точками М (х; у; г)
и А (1; О; О), а Jх2 +(у - I)2 + г2 — между точками М (х; у, г) и
В (О; 1; О). Так как АВ = V2, то МА + МВ > 42, а по условию
МА + МВ = 1. Следовательно, уравнение не имеет решения.
Вар. 8. 1. 3.
2. Решением уравнения служат координаты всех точек отрез-
ка АВ, где А (0; 0; 1) и В (1; 0; 0). Задача решается аналогично
задаче из варианта 7.
С—3
Вар. 1. 1. 1)	2) 0. 2. Острый.
Вар. 2. 1. 1) -а2; 2) 0. 2. Тупой.
Вар. 3. 1. 1) - —; 2) 0. 2. 180° - агссов —.
2	13
Вар. 4. 1. 1)	; 2) 0. 2. агссов^.
Вар. 5. 1. Пусть вектор а {х; у; г} составляет с вектором i
угол а, с вектором j угол р, а с вектором k угол у. Имеем
X	У	2
cos а = —, cos В = —, cos у = —.
|а|	|а|	|а|
„	2	2 о 2 х2+уг+гг
Тогда cos2 а + cos2 Р + cos2 у =-----= 1.
I« Is
По условию а= 120°, у= 135° и, значит,
Отсюда cosр = ± 1. Ответ. 60° или 120°.
2. ~~  Необходимо куб поместить в прямоугольную систему
координат и найти синус одного из углов треугольника.
Вар. 6. 1. 45° или 135°.
2.	. См. указания к задачам из варианта 5.
78
Bap. 7. 1. 2Тб. Необходимо учесть, что вершина М пирамиды
проектируется на биссектрису угла BAD, т. е. на АС. Для решения
задачи необходимо найти синус угла между векторами AM и АС.
2. Рассмотрим векторы a {7sin2 х +0,5; Jcos2 х -0,5; ^0,5}
и b {1; 1; 1). Их скалярное произведение
а  b = Vein2 х+ 0,5 + Vcos2x-0,5 + Joj.
С другой стороны,
а • Ъ = | а | • | Ь | cos <р,
где <р = а Ь, | а | = 7sin 2 х + 0,5 + cos 2 х - 0,5 + 0,5 = ^=» I ? I = 73;
а • Ь = ^ВТЗсовф = -^совф.
72	72
Наибольшее значение скалярного произведения равно -у=.
____________________________________________________72
Таким образом, наибольшее значение выражения 7 sin 2 х + 0,5 +
+ 7cos2 х-0,5 + 70,5 равно 370,5. Оно достигается при х = nk, k е Z.
Вар. 8. 1. 272. Необходимо учесть, что вершина D проектиру-
ется на биссектрису угла ВАС, т. е. на АК. Для решения задачи
необходимо найти синус угла между векторами AD и АК.
2. Рассмотрим векторы а {71 + х; 71-х} и Ъ {1; 1}. Их ска-
лярное произведение а • b = 71 + х + 71- х.
С другой стороны,
а • Ь = | а | • | Ь | cos ф,
где ф = а Ь, |а| = 71 + х + 1-х = 42, |Ь| = 72,
а • Ь = 42 • 72 cos ф = 2 cos ф.
Наибольшее значение скалярного произведения равно 2. Та-
ким образом, наибольшее значение выражения 71 + х + 71-х + 1
равно 3. Оно достигается при х = 0.
С—4
Вар Л. 1. arccos —— == 71°34'; агссов —.
710	714
Вар. 2. 1. arccos —= 79°6'; arccos—^.
277	241
Вар. 3. 1. Необходимо доказать, что Z.ACB = 90°, и тогда
АВ = 5.
АВ  АС + ВС • ВА + СА • СВ = АВ • АС + АВ  СВ + СА • СВ =
= АВ  (АС + СВ) + СА • СВ = АВ2 + СА • СВ = 25 + 0 = 25.
Ответ. 25.
79
2. Пусть С А, СВ и ССХ — базисные векторы. Тогда EF =
= ЁС + СВ + BF = -- СА + СВ + - ОС?;
2	2	1
EF2 = - СА2 + СВ2 + - СС2 -СА СВ--СА СС^ СВ -ССХ =
4	4	2
-—а*+а2 +—a*-a2 f-l]-O + O = 2а2.
4	4 I 2/
EF = aj2, EF -СС,=-СС\ = -а2,
2	2
со8<р = I g I =Ц=5 Ф = arccos^- = 69’18'.
llEFl-ICCi || 2а-а-/2 2-/2	2^2
Ответ. 1) aj2; 2) ~ 69°18'.
Вар. 4. 1. 100.
2. £2^®; 2) arccos= 65°54'. Задача решается аналогично
2	V6
задаче из варианта 3.
Вар. 5. 1. Поместим призму в прямоугольную систему коор-
динат. Пусть точка D — начало координат. Положительное на-
правление оси Ох противоположно лучу DB, положительное на-
правление оси Оу сонаправлено с лучом DC, а положительное
направление оси Ог совпадает с лучом СС,. Обозначим искомый
угол <р. Имеем СВХ {-4; -2; 2}; АВ} {-4; 2; 2}. Тогда
sin, =	= I	_| = 2 ,
IlCBjl-I ABill IV16 + 4+4-V16 + 4+4I 3
Ф = arcsin | ® 4Г49'.
2. Пусть BD = BC = BA = 1 и пусть E — середина DC.
AE = BE - BA = - BD + - ВС - BA.
2	2
AE  BD = (-BD + -BC-Ba] BD =
U 2	)
= -BD2 +-BCBD-BABD = - + 0-- = 0.
2	2	2	2
Отсюда следует, что AE 1 BD. Аналогично можно доказать,
что AE 1 ВС. В таком случае AE 1 DBC и DAC 1DBC.
Вар. 6. 1. arcsin ® 43°59'. Задача решается аналогично за-
даче 1 из варианта 5.
80
2. Пусть ВА, ВС и BBt — базисные векторы.
BDi = ВА + ВС + BBi, A^ci = AC = ВС - ВА,
B^Di • А^С[ = (BA + BC + BBt)  (BC - BA) = BC2 - BA2 =
= l- 4 = -3#0.
Следовательно, BDi — не перпендикуляр к AjCj и BDt — не
перпендикуляр плоскости A^D.
Вар. 7. 1. Опустим из вершины М перпендикуляр МО на
плоскость АВС. По теореме о трех перпендикулярах ОА 1 АС.
Очевидно, что точка О находится вне треугольника АВС. Пусть
/МАО = <р.
/МАО = 180° - СВ МА .
МВ = МА + АС + СВ;
МВ2 = МА2 + АС2 + СВ2 + 2МА  АС + 2МА  СВ + 2 АС  СВ =
= 16 + 9 + 25 +0 + 2- 4 5сое (180° - ф) + 0 = 50 + 40cos (180° - ф).
По условию МВ = 430. Тогда 50 - 40соз ф = 30, cos ф = - и
л/З
Ф = 60°. Высота пирамиды МО = МА • sin 60° = 4----- 2-/3.
2
2. Пусть DA = DB = DC = 1 и пусть /АDC = a, /ADB = р,
/CDB = у.
АС • АВ = (DC - DA) (DB - DA) =
= DC DB-DA DB-DC • DA + DA2 =
= cos у - cos P - cos а + 1, cos P < 0, cos а < 0.
Значит, -cos P > 0 и -cos а > 0, | cos y| < 1, a потому 1 + сое у > 0.
В таком случае AC  АВ > 0 и /АСВ острый. Аналогично доказыва-
ем, что и все остальные углы острые.
Вар. 8. 1.	 Задача решается аналогично задаче 1 из ва-
рианта 7.
2. От вершины М отложим единичные векторы МА, МВ, МС
и MD, сонаправленные с векторами ME, MF, МК я МР. Тогда
ABCD — квадрат и АВ  ВС = 0.
(МВ - МА) (МС-МВ) = 0;
МВ • МС - МА • МС - МВ2 + МА • МВ = 0.
cos а - cos Р - 1 + cos а = 0;
сов Р = 2 cos а - 1 и Р = arccos (2 cos а - 1).
81
С—5
Вар. 1. 1. а) (-100; -200; -1); б) (100; 200; -1).
2. Так как при движении отрезок отображается на равный от-
резок, то каждая сторона треугольника отображается на равный
ей отрезок, и, следовательно, треугольник отображается на тре-
угольник с соответственно равными сторонами, т. е. на равный
треугольник.
Вар. 2. 1. а) (-0,01;-0,02;-1); б) (0,1; 0,1; 0).
2. Задача решается аналогично задаче 2 из варианта 1.
Вар. 3. 1. Указание, а) Вычислите координаты середины
отрезка АВ; б) вычислите координаты середины отрезка ВС.
2. Рассмотрим двугранный угол, образованный полуплоско-
стями а и Р с границей а и линейным углом Ik, где I и k — лучи,
принадлежащие полуплоскостям а и Р соответственно. Пусть при
движении а -» а(, а -» ап Р -* Plt k -* kx, I -* lx. Очевидно, что
прямая at будет общей границей полуплоскостей at и Рр в кото-
рых будут соответственно лежать лучи Z, и Ар Так как при движе-
нии углы сохраняются, то углы Ik и lxkx равны между собой. Сле-
довательно, при движении двугранный угол отображается на
равный ему двугранный угол.
Вар. 4. 1. а) {3; 3; 3}; б) Указание. Найдите середину от-
резка АВ.
2. Пусть прямая АВ пересекает плоскость а в точке А и обра-
зует с ней угол <р. Пусть С — проекция точки В на плоскость а.
Проведем в плоскости а через точку С прямую Ь. Очевидно, что
ВС 1 Ь. Пусть при движении а -» а(, А -► 4р В — Вх, С -» Cj и
b—bv Очевидно, что прямая A,Bj будет пересекать плоскость otp
а прямые АХСХ и Ьх будут лежать в плоскости а,. Так как при дви-
жении углы сохраняются, то ВХСХ 1 Ь. Значит, В1С1 1 АХСХ и
ЛВХАХСХ = /.ВАС. Следовательно, при движении прямая и плос-
кость, составляющие угол ф, отображаются на прямую и плос-
кость, составляющие угол ф.
Вар. 5. 1. Заметим прежде всего, что точка А (10; 20; 0) ле-
жит в плоскости хОу. Пусть при осевой симметрии относительно
прямой а точка А отображается на точку В (х; у; г). Тогда середи-
на отрезка АВ — точка М имеет координаты (k; k; 0), где А # 0,
так как принадлежит прямой а и не совпадает с началом коорди-
нат — точкой О. Значит, МА 1 МО и (10 - А) А + (20 - А) А = 0,
откуда А = 15. Используя формулы координат середины отрезка,
получаем 15 = ^^ + х,15 = -° + У и0 =	,откуда (20; 10; 0).
2	2	2
2. При данном отображении пространства на себя произволь-
ные точки А (Х]{ ух; гх) и В (х2; у2; х2) переходят в точки
А] (2хх; 2ух; 2гх) и В, (2х2; 2у2; 2г2). Пользуясь координатной
формулой для нахождения расстояния между точками, находим.
82
что АВ * AiBp Это значит, что данное отображение движением
не является.
Вар. 6. Задачи решаются аналогично задачам из варианта 5.
Ответ. 1. (О; 10; 20). 2. Да, является.
Вар. 7. 1. Введем прямоугольную систему координат, будем
рассматривать прямые т, и т2 в качестве осей Ох и Оу. При сим-
метрии относительно оси Ох точка А (х; у; г) -» В (х; -у; -г),
а при симметрии относительно оси Оу точка В (х; -у; -г) -►
-» С (-х; -у; г). В таком случае точки А и С симметричны относи-
тельно оси Ог, которая перпендикулярна к Ох и Оу.
2. Да, будет. Такая точка может быть получена композицией
центральной симметрии относительно начала координат и парал-
лельного переноса на вектор р {2; -3; 1}.
Вар. 8. 1. При симметрии относительно А имеем М —»
при симметрии относительно В имеем Мх -» М2, а при симметрии
относительно С имеем М2 -» М3. Образовался пространственный
четырехугольник ММХМ2М3. Точки М и М3 будут симметричны
относительно точки D — середины ММ3. Точки А, В, С и
D — последовательно середины сторон указанного четырехуголь-
ника. Тогда легко доказать, что ABCD — параллелограмм.
2. Да, будет. Такая точка может быть получена композицией
зеркальной симметрии относительно плоскости хОг и параллель-
ного переноса на вектор р {-1; 2; 1}.
С—6
Вар. 1. 1. Рассмотрим прямую а, перпендикулярную к неко-
торой плоскости а, и две пересекающиеся прямые b и с, лежащие
в плоскости а. Очевидно, что а 1 Ь и а 1 с. Пусть при движении
а -* at, b -* Ьр с -» Ср а -* аР Легко доказать, что прямые с, и Ьх
лежат в плоскости а,, а прямая а, пересекает плоскость аР Так
как при движении углы сохраняются, то 1 и a, 1 сР Значит,
al 1 eq, т. e. при движении прямая, перпендикулярная к плоско-
сти, отображается на прямую, перпендикулярную к плоскости.
2. Очевидно, что если одна из двух параллельных прямых пе-
ресекает плоскость а, то и другая пересекает ее. Пусть данные
прямые а и b пересекают данную плоскость а в точках А и В соот-
ветственно. Значит, при параллельном переносе на вектор АВ
имеем а — Ь, а -» аР Тогда по доказанному в пункте а) прямая b
будет перпендикулярна к плоскости а.
Вар. 2. Указание. Задачи решаются аналогично задачам из
варианта 1.
Вар. 3. 1. Пусть дана правильная четырехугольная пирамида
EABCD с высотой ЕО. При симметрии относительно прямой ЕО
Е -» Е, А -» С, С -* А, В — D, D В. Значит, квадрат ABCD ото-
бражается на себя. Следовательно, ЕО — ось симметрии пирамиды.
83
2. Пусть Н — произвольная точка пирамиды. Рассмотрим
сечение пирамиды плоскостью ЕОН. Очевидно, оно является тре-
угольником. По показанному в пункте 1) при симметрии относи-
тельно прямой ЕО точка Н отображается на точку Нх, принадле-
жащую пирамиде. Но очевидно также, что точка Н, принадлежит
плоскости ЕОН, т. е. принадлежит сечению. Это означает, что
треугольник, полученный в сечении, отображается на себя при
симметрии относительно прямой ЕО, проходящей через одну из
его вершин. Значит, этот треугольник равнобедренный.
Вар. 4. Указание. Задачи решаются аналогично задачам из
варианта 3.
Вар. 5. 1, Указание. Задача решается аналогично зада-
че 1 из варианта 3.
2. Проведем плоскость а через прямую с, содержащую середины
противоположных ребер правильного тетраэдра. Пусть точка М при-
надлежит сечению тетраэдра плоскостью а. Тогда по доказанному
в задаче 1 при симметрии относительно прямой с точка М отобра-
жается на точку Mi, принадлежащую одновременно плоскости а и
тетраэдру. Значит, сечение при симметрии относительно прямой
отобразится на себя. Возьмем теперь произвольную точку Н, при-
надлежащую одной из двух частей, на которые плоскость а делит
тетраэдр. По доказанному в пункте 1) при симметрии относительно
прямой с точка Н отображается на точку Я,, принадлежащую тетра-
эдру. По определению симметричных точек отрезок HHt пересекает
прямую с, а значит, и плоскость а. Следовательно, точки Н и
принадлежат разным частям тетраэдра. Значит, эти части отобража-
ются друг на друга при симметрии относительно прямой с. Отсюда
следует, что плоскость а делит тетраэдр на две равные части.
Вар. 6. Указание. Задачи решаются аналогично задачам из
варианта 5.
Вар. 7. 1. Пусть р || q (рис. 9, а). Композицией осевых сим-
метрий последовательно относительно осей р и q является парал-
84
Рис. 10
Рис. 11
лельный перенос на вектор 2АВ, который отображает точку X на
точку Х2. Композиция же симметрий последовательно относи-
тельно осей q и р есть параллельный перенос на вектор 2ВА, кото-
рый отображает точку Х2 на точку X. Исходя из равенства
2АВ = 2ВА, имеем АВ = 0, что противоречит условию. Пусть те-
перь р и q — скрещивающиеся прямые (рис. 9, б). В таком случае
S4 ° Sp отображает общий перпендикуляр прямых р и q на себя,
причем это отображение прямой т есть перенос с * О, но тогда
Sp ° S, S, о Sp, что снова противоречит условию. Отсюда следу-
ет, что р и q — пересекающиеся прямые.
2. Через точку А и прямую I (рис. 10) проводим плоскость 0,
которая пересекает плоскость а по прямой р. В плоскости 0 стро-
им прямую т, параллельную /. Пусть эта прямая пересекает р в
точке L. Через середину О отрезка ML и точку А проводим пря-
мую до пересечения с Z в точке А,. Легко доказать, что Ах — ис-
комая точка.
Вар. 8. 1. На рисунке 11 угол POR — линейный угол дву-
гранного угла ап0 и I — его биссектриса. Выберем в грани а про-
извольную точку А и докажем, что при осевой симметрии относи-
тельно оси I она отображается на точку, принадлежащую грани 0.
Для этого через точку А проведем плоскость, параллельную ребру
а и перпендикулярную I. Эта плоскость пересекает грани а и 0 по
параллельным прямым т и л, а плоскость линейного угла у по
прямой СВ. СВ пересекает I в точке М. Через точки А и М прово-
дим прямую до пересечения с гранью 0 в точке АР Тогда легко до-
казать, что I ± АА, и A]Af = МА. Этим доказываем, что точки А
и А, симметричны относительно оси I. Аналогично можно дока-
зать, что каждая точка грани а имеет симметричную себе точку в
85
грани [i и наоборот. Значит, при
симметрии относительно оси I
двугранный угол аа0 отобража-
ется на себя. Следовательно, / —
ось симметрии двугранного угла.
2. На рисунке 12 DB + DAX +
+ DC[ = DA + DC + DA + DDX +
+ DC + DDt = 2DA + 2DC + 2DD> =
= 2 (DA + DC + DDi) = 2DBX. Это
значит, что точка Вх есть середи-
на диагонали построенного на
отрезках DB, DAX и DCX парал-
лелепипеда, т. е. центр его сим-
метрии.
Вар. 1. 1.	2. 8л.
Вар. 2. 1. 2Q. 2. 64л.
Вар. 3. 1. arctg (л tg <р).
2. 12лл/3.
Вар. 4. 1. arctg
2. 8л.	Iя)
Вар. 5. 1. 2°*з^3.
2. ла2. Указание. Боковая
поверхность состоит из трех час-
тей, которые вместе составляют
половину площади боковой по-
верхности цилиндра с высотой,
равной а, и радиусом основа-
ний а (рис. 13, вид сверху).
Вар. 6. 1. 42.
2.	. Указание. Боко-
2
вая поверхность состоит из трех
частей, которые вместе составля-
ют половину площади боковой
поверхности цилиндра с высотой,
равной а, и радиусом основа-
ний | (рис. 14, вид сверху).
86
Bap. 7. 1. Поместим цилиндр в прямоугольную систему коор-
динат, как это показано на рисунке 15. Пусть R — радиус основа-
ния, а Л — высота цилиндра. Имеем A (R; О; О), С (-R; О; Л),
М^Я; О; (О; Я; О). AC {-2R-, О; Л), ML {-Я; Я; J. Так
как АС 1 ML, то АС • ML = О, т. е. 2Я2 - — = О. Кроме то-
2
го, 2ЯЛ = 4 и Л = —. Тогда 2Я2-— = О, Я=1, Л = 2;
Я	Я2
S = 4л + 2я • 1 = 6я. Ответ. 6п.
2. На рисунке 16 EFKL — осевое сечение цилиндра. По усло-
вию KL = EL = 2Я, LP = --R, — = tg<p = 2,	= 2. Отсюда
2 LP	--R
2
R = ~, 5вок = 2лЯ-2Я = 4лЯ2=4я—= —. Ответ. —.
4	16	4	4
Вар. 8. 1. Поместим цилиндр в прямоугольную систему
координат, как это показано на рисунке 15. Пусть Я — ра-
диус основания, а Л — высота цилиндра, тогда N (у;	;
М^;	и MN = Я2 + Исходя из условия, имеем
{«’♦Т = 17 и
|гял = 16
Я2 +-Ц- = 17, т. е. Я4 - 17Я2 + 16 = 0, откуда
Я2
Я! = 1, Я2 = 4. Значит, h, = 8, h2 = 2. Тогда Sj = 16л + 2л • 1 =
= 18л, S2 = 16л + 2л • 16 = 48л. Ответ. 18л или 48л.
87
Рис. 17
Радиус основания цилиндра г =
S^ = 2nrh=2n^-H-
2-УЗ
Ответ. ^(aj2-h).
4з
2. Как показано на рисун-
ке 17, окружности оснований ци-
линдра вписаны в правильные
треугольники EFK и EjFj/Cp
Это вытекает из того, что пло-
скости оснований цилиндра па-
раллельны плоскости диагональ-
ного сечения BMD, а само
диагональное сечение, исходя из
условия, правильный треуголь-
ник; АС =а42-, АР -	;
2
EK = 2АР = aj2-h.
EK aj2-h
2V3	2V3
• Й = ^(а72-Л).
V3
С—8
Bap.l. 1. ла2. 2. 64л.
Вар. 2. 1. пт2^. 2. 2 и 14.
Вар. 3. 1. 842. 2. лЬ2 sin а tg а.
Вар. 4. 1. 150,. 2.
sincp
Вар. 5. 1. Если наибольший угол между образующими конуса
тупой, то наибольшую площадь имеет сечение с взаимно перпен-
дикулярными образующими, а если острый или прямой, то осевое
сечение. Если а — центральный угол развертки, то а =	• 360
и тогда — = -. Пусть ф — наибольший угол между образующими и
L 4
sin — = - > —. Отсюда 45° < — < 90°, т. е. 90° < ф < 180°. Следова-
2	4	2	2
тельно, наибольшую площадь имеет сечение с взаимно перпендику-
лярными образующими. Если Р — искомый угол, то sin Р = —, где
_____________________________________________________ h
Н — высота конуса, h — высота сечения. Н = ^L2	;
Л =	. Тогда sin Р = ^51 и р = arcsin . Ответ, arcsin .
2	4 Н	2	2
2.	60°.
88
Bap. 6. 1. 90°. Указание. Задача решается аналогично за-
даче 1 из варианта 5, но в данном случае наибольшую площадь
имеет осевое сечение.
2.	60°.
Вар. 7. 1. Основание конуса лежит в плоскости г = -2. Пусть
М (х; у; -2) — центр окружности основания, МА = МВ = МС.
у1(х-1)2 +(у-2)2 = V(x-4)2+(1/-2)2 = V(x-3)2+(y-4)2 .
5
2
__	f-2x -	4у + 5 = -8х - 4u + 20	5
Отсюда следует,	что	< „	/ _	„	о п,	откуда х	= -,
(-2х -	4у + 5 = -6х -8у + 25,	2
-2. Координаты вершины конуса	1 )• Радиус
. Образующая L =	+ 9 =	
основания R =
^бок
= хМ = я.Л0.Лб = я^П5.
2	2	2
Сечение делит высоту конуса в отношении 1 : 3.
2.	Пусть ABCD — осевое сечение конуса и АС 1 BD, ВК — вы-
сота конуса. Легко доказать, что ВК = KD, KD = R + г, где R и
г — радиусы оснований. Пусть L — образующая конуса и <р — угол
между ней и плоскостью основания. Отсюда ВК = KD = L • sin ф.
В таком случае R + г = L • sin ф и конус» = nL2  sin ф. Площадь
боковой поверхности второго конуса равна
л • ВК  BD = nL • sin ф • LV2 вшф = nL2 У2 sin2 ф.
„	nL2 зшф V6 л	УЗ
По условию------—------= —. Отсюда sin ф = — и ф = 60°.
я£2 42 sin2 ф 3	2
Ответ: 60°.
Вар. 8. 1. .Указание. Необходимо учесть, что треуголь-
4
ник АВС прямоугольный и радиус основания конуса равен —.
2.	60°.
С-9
Вар. 1. 1.	2.
Вар. 2. 1. 16л. 2.
па2 42
12
2ла2 УЗ
9
89
Вар. 3.
Вар. 4.
Рис. 20
1. ла2 (3 + V2). 2. -—------
4cos|cos(3
па2 cos2atg2 -
1. 96л. 2. ---------------.
СО8ф
Вар 5. 1. Обозначим через Sa площадь
поверхности, которая образуется при вра-
щении отрезка а вокруг оси. Тогда
ST. .р.щ, = * • АС • (АОХ + СО2) +
+ па  АОХ + ла • СО2 =
= я (АО, + СО2) • (АС + а) (рис. 18);
ZBAC = ZBCA = 30°;
Z.BAE = ЛОХВА = 15°; ЛО2ВС = 45°;
АС = аЛ; АОХ = a sin 15°; СО2 =
115’ +^1(73 + 1).
sin 15° + — |(УЗ + 1).
' п
m2ctg<p cos —
2. S =---------------—.
l + ctg2<p-cos2
Тогда S = па ‘
Bap. 6. 1. ST. чжщ. = nBC  BOX + я • АВ х
х(АС + ВО,) + лАВ(АС + ВО2) + лВСВО2.
Так как АВ = CD и ВС = AD (рис. 19), то
S = п • ВС • ВОХ + п  АВ • (АС + ВО,) +
+ я • ВС • (АС + DO2) + я • АВ- DO2 =
= л • ВС • (ВО, + DO2 + АС) +
+ л•АВ• (ВО, + DO2 + АС) =
= я (АВ + ВС) • (ВО, + DO2 + АС);
АВ + ВС = £, ВОХ + DO2 = АС.
Тогда S = я — • 2 • АС = nPd.
2
Ответ. nPd.
L2ctg<p - cos —
2. -----------5_.
ctg2<p +COS2
Вар. 7. 1. Можно доказать, что площадь поверхности, образо-
ванной при вращении ломаной линии вокруг оси I (рис. 20), равна
площади поверхности, которая образуется при вращении отрезка
МР вокруг той же оси.
90
St
= п • PO  PM = я • 8a • 8a sin - =
So
MP = 8a; ZPMO = -; PO = 8a sin —.
2	2
основания
>2V3
Ответ. S =
—+ 2Л |
tg<₽ )
= 64яа2 sin —.
2
Ответ. 64яа2 sin —.
2
2. На рисунке 21 изображено осевое се-
чение конуса; ОС = -; ВС — высота пра-
2
вильного треугольника, лежащего в осно-
вании призмы; ВС -	• Радиус
В = ^ + ———ctg<p. Высота конуса Н = ^(l + V3ctg<p)-tg<p.
= RH = ^(1 + V3ctg<p)2 • tg<p = tg<p
3
Bap. 8. 1. Збяа2 42.
2. S = ^-ftgq> + -i- + 2V3]; SHMM. = <p = 60°.
3 V tg<p )	3
Задача решается аналогично задачам из варианта 7.
С—10
Bap.l. 1. а) (х-3)2 + р2 + г2= 16; б) да; нет. 2. 13.
Вар. 2. 1. а) х2 + у2 + (г - 4)2 = 9; б) нет; да. 2. 13.
Вар. 3. 1. (х - I)2 + у2 + (г - 43)2 = 4 или
(х - I)2 + у2 + (« + V3)2 = 4. 2. а72с°а2а.
Вар. 4. 1. х2 + у2 + г2 = 9 или х2 + у2 + (г - 2)2 = 9. 2. oVcosct.
2 cos —
2
91
Bap. 5. 1. Очевидно, что z = О. Пусть М (х; у; г) — искомая
точка пересечения. Она лежит на прямой АВ. Это значит, что
AM = kAB.
AM{x-j2; у-42‘, г}; АВ = {-2у[2; 72; 72};
|х-72 = -2*72	[х =-2*72+ 72
j/-72 = *72	*, = *72 + 72
х = *72,	[г = *72.
С другой стороны, эта точка лежит на сфере. Тогда
(72(1-2*))2+(Т2(* + I))2+(*Т2)2 = 4.
Отсюда 6*2 - 2* = 0; *! = 0, *2 = 3.
Следовательно, х1 = -б72, х2 = 72,
1/1=472,	*/2 = 72,
21 = 372,	z2 = 0.
Ответ. (-572; 472; 372) и (72; 72; 0).
2. Отметим, что центр сферы	( 0; 0; i ) и ее радиус равен .
12
Опустим из начала координат перпендикуляр ОК на АВ, ОК = —.
Соединим точки С и К. В треугольнике СОК опустим перпендику-
ляр ОМ на СК, СК = J— + 1 = —, ОМ = — (ОМ — расстояние
I 25	5	13
от точки О до плоскости АВС). Проведем ОХМХ1 СК (ОХМХ —
расстояние от центра сферы Ох до плоскости АВС),
О,М, = -ОМ = — <—. Следовательно, пересечением сферы и
2	13 13	_________
1~49	36" 713
плоскости является окружность радиуса Г = у Igg ~ Yog =	
т-	„	2x713
Длина этой окружности С =------.
13	2 n V13
Ответ. Да, пересекает; длина линии пересечения равна ———.
ВОр.6. I. (2; 1; 1); (о; 3;
о
2. Если Я > —, то сфера и плоскость пересекаются по окружно-
7
сти. Если Я = —, то сфера и плоскость имеют только одну общую
7
2
точку. Если Я < —, то сфера и плоскость общих точек не имеют.
7
Указание. Задачи решаются аналогично задачам из варианта 5.
92
Bap. 7. 1. Перепишем уравнения данных сфер в канониче-
ском виде:
(х - I)2 + у2 + (г + I)2 = 4 и (х + I)2 + (у - I)2 + (г - I)2 = 9.
Первая сфера имеет центр в точке (1; О; -1), а вторая — в
точке О2 (-1; 1; 1). Радиусы сфер Rx = 2, R2 = 3. Расстояние меж-
ду центрами OtO2 = V4+1+ 4 = 3; R2 - Ri < ОХО2 < Я, + Я2. Следо-
вательно, сферы пересекаются. Пусть А — общая точка этих
сфер. Тогда высота Л треугольника ОХАО2 есть радиус линии пере-
сечения этих сфер, ОХО2 = 3, OtA = 2, ОгА = 3, SOlAO2 =2-/2,
Л J'S
Л =----. Тогда длина окружности С =-------. Ответ. -------.
3	3	3
2. М (х; у; 2) принадлежит искомому множеству.
МА = J(x-2)2+y2 + 22 ; МВ = V(x + 4)2+р2 + z2 ; 2МА = МВ;
2V(x-2)2+j/2 + z2 = V(x + 4)2+1/2 + z2 ;
4 (х - 2)2 + 4р2 + 4г2 = (х + 4)2 + у2 + г2.
Отсюда (х - 4)2 + у2 + г2 = 16.
Ответ. Искомое множество — сфера (х - 4)2 + у2 + г2 = 16.
Bap.S. 1. (х - 2)2 + (р - 4)2 + (z - 2)2 = 22.
2. х2 + |р - - | + г2 = — .Указание. Задача решается ана-
логично задаче из варианта 7.
С—11
Вар. 1. 1. 400л. 2. 6л.
Вар. 2. 1. 676л. 2. 4л.
Вар.З. 1. 676л. 2. 4V2.
Вар. 4. 1. 676л. 2. 36л, 36л.
Вар. 5. 1. 8V2.
2. Пусть искомое расстояние равно х. Тогда радиус большей
окружности кольца равен J R2 - х2 , радиус меньшей окружности
Я - х. Последнее следует из того, что осевое сечение — равнобед-
ренный прямоугольный треугольник. SK = n (R2 - х2 - (Я - х)2) =
= 2л (-х2 + Ях). Легко доказать, что наибольшее значение этой
функции достигается при х = —. Ответ. —.
Вар. 6. 1. 4 и 5.
2. Пусть искомое расстояние равно х. Тогда радиус основания
цилиндра равен R2 - х2 . Площадь боковой поверхности цилиндра
S = 2kx^R2-x2 = 2л7Я2х2 -х4 .
93
Рассмотрим функцию р (х) = Т^х2 - х4, где О < х < R. Эта
функция, а значит, и площадь боковой поверхности цилиндра,
достигает наибольшего значения при х = -4L. Ответ. .
V2	42
Вар. 7. 1. Концы хорд МА, МВ и МС лежат на поверхности
шара и являются вершинами правильного треугольника АВС. Об-
разовалась правильная пирамида МАВС. Пусть МОХ — высота этой
пирамиды. Тогда центр О шара лежит в точке пересечения середин-
ного перпендикуляра КО к ребру МА (К — середина AM). Легко
дм2
доказать, что LKOM ~ ДЛ/OjA. Отсюда Я,„ = МО = ——. Пусть
2а sin
длина хорды равна а. Тогда АС = 2аsin— и АО, =---——
2	4з
МОХ
4а2 sin2 -
__________2
3
= -T=j8-4sin2 J,
V3 V	2
а
R =
a2 43
2a^3 - 4 sin 2 £
2Я /з-4вш2 - 
Отсюда a-----------2 =
Ответ.
4з
2.	я (а2 + b2 + с2). Указание. Диаметром сфер служит диаго-
наль параллелепипеда, построенного на этих хордах.
Вар. 8. 1. Центры этих шаров являются вершинами правиль-
ного тетраэдра, длина ребра которого равна 2R. Центр искомой
сферы совпадает с центром названного тетраэдра. Ее радиус равен
разности радиуса сферы, которой принадлежит вершина тетраэд-
ра, и радиуса шара. Радиус сферы можно найти, например, спосо-
бом, который показан в задаче 1 из варианта 7. Ее радиус равен
• Тогда радиус искомой сферы равен
Л^_д=Я(УЗ-У2> = я
42	42	2
Ответ. — (V6-2).
2
2. Суммы длин скрещивающихся ребер тетраэдра равны меж-
ду собой. Указание. Необходимо воспользоваться тем, что от-
резки касательных, проведенных из одной точки к сфере, равны
между собой.
94
С—12
Bap.l. 1. 2. 2.
л
Вар. 2. 1. — .2. 16л.
3
Вар.З. 1. 1-. У к а з а н и е. Центр описанного шара лежит ни-
же плоскости основания. Для нахождения радиуса описанного
L2
шара можно, например, воспользоваться тем, что Яш =------, где
L — длина бокового ребра пирамиды, а Н — ее высота.
2. .геч(л||).
Вар. 4. 1. — .2. 676л.
2	/I
Вар. 5. 1. На рисунке 22 изобра-	----
жена пирамида MABCD, ABCD —	' '' Г/
квадрат, МС 1 АВС. Центр описан-	О? ~~ - г
ного шара лежит на середине О реб- A	D
pa AM (в точке пересечения пер- Рис 22
пендикуляра к плоскости основания,
проведенного через центр Ох квадрата, и серединного перпендику-
ляра ОК к ребру МС). Пусть сторона квадрата а. Тогда АС = а42.
С другой стороны, АС = 2R cos 30° = r43, а 42 = R 43. Отсюда
а = ^Д, MC = aV2 tg30°=^, MD = /а2 + ^ = ^.
42	4з V з V3
= МС • CD + MD • AD =	= ^=<V5 + 42) =
=	+ 42) = ^(4~Ь + 42).
243	2
Ответ. (45+42).
2
2. -(а + ft)2 43. Указание. Апофема рассматриваемой пира-
4
миды равна сумме апофем ее оснований.
Вар. 6. 1. Пусть МАВС — правильная треугольная пирами-
да. МОХ 1 АВС. Опустим из точки Ох перпендикуляр ОХК на реб-
ро АС и соединим точки М и К; /.МКОХ — линейный угол дву-
гранного угла, который образуется боковой гранью с плоскостью
основания. Центр шара лежит в точке О пересечения биссектри-
сы КО этого линейного угла с высотой пирамиды МОХ. Исходя
ОО, 1
из условия ---= -. Из свойств биссектрисы угла треугольника
95
рис 23	ВаР- 7. 1. Легко доказать, что дан-
ная пирамида является правильной.
Линия пересечения состоит из четырех равных дуг окружностей,
которые получаются при пересечении сферы с гранями пирамиды
(рис. 23). Для нахождения радиуса этих окружностей необходимо
определить расстояние от центра шара до граней пирамиды. На
рисунке
РК 1 DMC и OOj 1 DMC, ОО, = -РК, РК =
2______________________________ ME
МЕ = ^-,РЕ = ±, МР =	= “2^,
2	2 V 4	4	2
РК = а^? =^,00^.
2-2aV3 2V3	4V3
Радиус окружности
MOt = JMO2-OO2 =	.
v	1 V 16	16 3 243
Градусная мера каждой из дуг линии пересечения равна 120°.
Тогда I = --	120 =	. В таком случае длина линии пе-
2V3 180 3V3
4па 4na-j3
ресечения равна —— = —-—,
Ответ. 1^.
9
2. На рисунке 24 изображено диа-
гональное сечение BB^D куба
ABCDAlBlCiDl вместе с большими кру-
гами вписанных шаров; ^OtLD ~ LOKD.
Пусть радиус малого шара равен х. Тогда
— = °* R = ~. Отсюда ОК = xV2; из
R aj2 2
2
A OKD имеем OD = ^2х2 + х2 = xV3;
96
.М
B,D = aV3,0, D = x + R + x43, —— = x + - + xV3. В таком случае
2	2
x = “.2^zA = £(2-V3). Ответ. ^(2-V3).
2 V3 + 1 2	2
Bap. 8. 1. arctg . Указание. Задача решается анало-
гично задаче 1 из варианта 7. Плоский угол при вершине пирами-
ды равен 2 arctg радиан.
2. На рисунке 25, а показан вид сверху правильной пирами-
ды DABC с изображениями вписанных в нее шаров. На рисун-
ке 25, б изображен треугольник DOM, где DO — высота пирами-
ды, DM — ее апофема. Окружность с центром в точке Р —
изображение сечения шара плоскостью DAM. Пусть радиус ра-
вен х. Тогда ОХМ = х ctg 30° = хУЗ, ОМ = а . Треугольник
2V3
О1О2Оз — правильный со стороной, равной 2х.
ОО! = ^, ОМ = О'М + ООХ, -£= = х73 + Д^.
V3	2V3 V3
Отсюда х = —.Ответ. —.
10	10
Вар. 1. 1. 24.	2. 144V3.
Вар. 2. 1. 32.	2. 54V3.
Вар.З. 1. 1'^., 2. 24V3.
Вар. 4. 1. а3 42. 2. 40.
4 Зив, II кл.
97
Bap. 5. 1. Пусть диагонали основания пересекаются в точ-
ке О. В плоскости DBBt проводим через точку О прямую, парал-
лельную DBX, до пересечения с ребром BBt в точке Е. Эту точку
соединим с вершинами А и С. Сечение АЕС искомое. Из точ-
ки В опускаем перпендикуляр ВК на АС и точку К соединя-
ем с точкой Е; Z.EKB = 45°, ВЕ = ВК = —, ВВХ = 2ВЕ = —,
дя	5*5
У=6-8 —= 460,8. Ответ. 460,8.
5_____
2. -—^2сов2а указаниеф ц3 вершины С необходимо опус-
4 sin а
тить перпендикуляр СК на АВ. Легко доказать, что СК 1 ААХВХ.
В таком случае ХСВхК = а. Дальнейшее решение очевидно.
Вар. 6. 1. -—•/З 2. * ct&a .Указание. Задачи реша-
2	2со82р
ются аналогично задачам из варианта 5.
Вар. 7. 1. На рисунке 26 показано сечение параллелепипеда
указанной плоскостью. ВК 1 ЕК, ЛВХКВ - 45°. Так как R и
Т — середины сторон AD и CD, то легко получить BE = 9,
BF = 12. В таком случае EF = 15 и ВК = BE BF =^,BBt = —,
як	EF &	&
V = 6-8 — = 345,6. Ответ. 345,6.
5
2. Достроим треугольную призму ABCAlBlCl до прямоуголь-
ного параллелепипеда ADBCAlDlBxCl (рис. 27)- В таком случае
угол между АСХ и ВХС равен углу DXACX. По условию
ZDjACj = arccos . Пусть АС = х, тогда АСХ = Jx2 +9,
DC = АВ = Jx2 + 16 и ADX = 5. По теореме косинусов имеем:
х2 + 16 = 25 + х2 + 9- 2- 5- V9 + x2 —;
10
98
Рис. 28
16 = 34 - зУг-Уэ + х2;
3J2-V9 + X2 =18;
У9 + х2 = ЗУ2; 9 + х2 = 18;
х2 = 9; х = 3.
«осн = | • 3 • 4 = 6
И У=6 • 3 = 18.
Ответ. 18.
Вар. 8. 1. Сечение показано
на рисунке 28. Линия пересече-
ния EF с плоскостью основания
параллельна диагонали основания АС, ВК 1 EF, ЛВКВХ = 60°,
ЕВ = 10, BF = 24. Тогда EF = 26,
пv - BE BF _ 120 дп _ 120УЗ „ _ , . „ 120УЗ _ 7200УЗ
EF 13	13	13	13
7200УЗ
Ответ. ---------.
13
2.	Поместим призму в прямоугольную систему координат с на-
чалом в вершине С. Пусть С А принадлежит оси Ох, СВ — оси Оу и
ССХ — оси Ог. Тогда А (3; 0; 0), В (0; 6; 0), Р (0; 3; г) (г > 0). Точка
М (1; 2; 0) — точка пересечения медиан; МР {-1; 1; г}. Если ф —
угол между МР и плоскостью хОг (грань ААХСХС принадлежит
этой плоскости), то
sin ф =	i - , где j {0; 1; 0); МР • j = 1;
||AfP|-|7||
I мр | = У1 + 1 + г2 = Уг + z2;	1	= -L;
427^.1 Уз
Уз = Уг + 22 ; г2 = 1; z = 1 (г > 0).
Тогда ССХ = 2. F = 1 • 3 • 6 • 2 = 18. Ответ. 18.
2
С—14
Вар. 1. 1. 768УЗ. 2. ЗлЯ2.
Вар. 2. 1. 125.	2. 3468л.
Вар.З. 1. ^6УЗ. 2. “000*.
5	729
Вар. 4. 1. 36.	2. 1024л.
27
99
441-7143
Bap. 5. 1. ------. Указание. Необходимо доказать, что
треугольник BtFE прямоугольный с прямым углом B}FE.
л 4л — З-ТЗ	«	х
2.	— =----— .Указание. Объем меньшей отсеченной ча-
У2 8л + ЗТЗ
сти равен | от разности объемов цилиндра и правильной тре-
угольной призмы, вписанной в этот цилиндр.
Вар. 6. 1.	2.
_ 2л-ЗУЗ
V2 Юл + ЗЛ’
Рис. 30
Вар. 7. 1. На рисунке 29 показан
вид сверху на куб и описанную около
него призму. Пусть х — длина ребра
куба, АС — средняя линия трапеции,
АС = х42. Высота трапеции BD = xV2,
STpan = * V2 • х42 - 2х2 . Высота призмы
равна х.
Упр = 2х2•х = 2Х8.
Очевидно, что
2x42 = а + Ь, х = ^±
242
V = 2 (a + b)t ж +
2. На рисунке 30 заштрихована та
часть жидкости, которая останется по-
сле поворота корыта на 30°. Пусть ра-
диус основания цилиндра Я, а его высо-
та Н. Тогда объем оставшейся части
жидкости равен
Я2Н(4л-ЗЛ)
12
Этот результат был получен при решении задачи 1 из вариан-
та 5. Объем вылившейся жидкости
AV лЯ2Я Я2Н(4л-373) Я2Н,
ДИ --------------------------(2Л + 3V3).
2	12	12
ДУ = Я2Н(2л-ЗУЗ) = 2л + ЗУЗ = 1 + V8 я0 61
V 12--лЯ2Я 6я 3 2п
2
Ответ. ~ 61%.
100
Bap. 8. 1. Очевидно, что плоскость се-
чения пересечет грань, которая проходит
через сторону основания AF (рис. 31).
Пусть KF = х и сторона основания а. Не-
обходимо учесть, что объемы призм с оди-
наковой высотой относятся друг к другу
как площади их оснований. Плоскость се-
чения делит призму на две призмы. Объем
призмы с основанием KDEF составляет -
от объема всей призмы:
ТогдааЬ!3+1х.«Л =
4	2	4	2
Отсюда находим, что
х = 2 и KD = J—+ 3а2 = —.
4	V 16	4
Sc,4 = KD • Л, где Л — высота призмы;
8^ = ^-^-. По условию ah = Q. В таком
4
случае	= — Q. Ответ. — Q.
4	4
2. На рисунке 32 показан вид сверху
на два данных цилиндра. Пусть диаметр
С
Рис. 31
Рис. 32
В
D
основания и высота вписанного цилиндра
равны х и пусть радиус основания большого цилиндра R. Очевид-
но, что высота этого цилиндра равна х. Тогда его объем У, = пВ?х.
Но х = RJ2. Тогда = itR3 V2 и V2 = nR ',2 . В таком случае
2
С—15
Bap.l. 12. 600.
Вар. 2. 1. 120V3. 2. 600.
Вар.З. 1. a2b^. 2. 12042.
Вар. 4. 1. аЬс^ . 2. 250V3.
101
Вар. 5. 1. Пусть в наклонной треугольной призме АВСАХВХСХ
основанием служит правильный треугольник АВС и пусть
ZAXAC = ZAjAB = 45°. Тогда легко доказать, что грань ССХВХВ —
квадрат. Обозначим длину каждого ребра через х. Тогда
~ АЛ 1«1 В	g ♦ “ ^СС\В\В ~ •
По условию хг + 2—— = 4(1 + 72). Отсюда х = 2. Зная длину ре-
2	г~
бер призмы, легко найти ее высоту, которая равна —;	= V3.
7з
В таком случае Vn
'З
2. Расстояние от бокового ребра до диагонали противополож-
ной грани равно расстоянию от бокового ребра до этой грани. По-
строим перпендикулярное сечение призмы. Пусть d — расстояние
от бокового ребра до противолежащей боковой грани, т — сторо-
на перпендикулярного сечения, противолежащая этому боковому
ребру, и Z — боковое ребро призмы.
^ = So.pn,c.4Z = |dmZ = |dQ,
где Q — площадь боковой грани. Тогда V = i • 5 • 40 = 100.
Ответ. 100.
Вар. 6. 1. Пусть в наклонной треугольной призме АВСАХВХСХ
основанием служит прямоугольный треугольник АВС (ЛС = 90°)
и пусть плоскость грани ААХСХС перпендикулярна к плоскости
основания. В таком случае можно доказать, что ССХВХВ — квад-
рат и высота призмы АХО проектируется на сторону осно-
вания АС. Обозначим равные ребра призмы через х. Тогда
АХО =	. Опустим из точки О перпендикуляр ОК на АВ и со-
2
единим точки К и Ах. В таком случае АХК 1 АВ, АО = —,
ОК =
272
8	272 '
S.
272 ’
2
2
По условию —---— + —--— + х 2 = 2(ТТ + 73 + 2). Отсюда х = 2.
2	2
2	2
Так как х = 2, то V = 273.
Ответ. 273.
102
2. 30-/2.Указание. Задача решает-
ся аналогично задаче 2 из варианта 5.
Вар. 7. 1. На рисунке 33 МРК —
перпендикулярное сечение призмы.
У„,__ = &мрк  AAt. Для нахождения
площади перпендикулярного сечения
необходимо найти угол РМК, т. е.
угол между скрещивающимися прямыми
ЕВ и FC, где ЕВ 1 AAt и FC 1 AAlt
ЕА = ЕВ = ^И., FC = —, FA = -.Если
2	2	2
<р — искомый угол, то
Рис. 33
ЕВ = ЕА + АВ, FC = FA + АС, ЕВ • FC = (ЕА + АВ) (FA + АС) =
= ЕА • FA + АВ • FA + ЕА • АС + АВ • АС =
Отметим, что FA^AB = 135° и ЁХ'АС = 120°;
r _q,ftV2
От.„. гЖ
4
2. По условию BBXDXD — прямоугольник. Из этого следует,
что BD 1 DDX, а так как AAt || DDlt то BD 1 ААХ, a BD 1 АС по
условию. Отсюда плоскость АВС перпендикулярна плоскости
диагонального сечения АА^С. Поэтому высота АгО призмы ле-
жит в плоскости этого сечения.
А,О= 8лл'с1с =30 =6.
АС 5
Soe. = | • 4 • 5 = 10; V = Sx„ • AtO = 60.
Ответ. 60.
103
Bap.S. 1. Пусть A,O — высота призмы. Опустим из точки О
перпендикуляры ОЕ и OF соответственно на АС и АВ. Тогда
АХЕ 1 АС и AjF 1 АВ. По условию АХЕ = 7 и = 20. Продолжим
FO до пересечения с АС в точке К. Получим прямоугольный тре-
угольник AFK, где Z.FKA = 30°. Из треугольника ААХЕ имеем, что
АЕ = 24, а из треугольника AAXF получим, что AF = 15. Тогда из
прямоугольного треугольника AFK получим, что АК = 30 и ЕК = 6.
Из треугольника ОЕК имеем ОЕ = ЕК • tg 30° =	= 2 Л. Теперь
можно найти АХО‘.
Soc. = -’40-50—= 50073; V = 500Л • Л7 = 500ЛТ1.
2	2
Ответ. 500ЛТ1.
2. Диагональное сечение BBXDXD разбивает параллелепипед
на две равные призмы. Исходя из условия можно доказать, что
BBXDXD — квадрат. Пусть диагонали квадрата пересекаются в
точке О. Опустим из точки О перпендикуляр ОК на ААХ и точ-
ку К соединим с точками В и О. Легко доказать, что BKD —
перпендикулярное сечение призмы ABDAXBXDX, BD = aJ2.
Z	О	Zoo
Тогда V = а . Ответ. а .
3	3
Вар. 1.
Вар. 2.
Вар. 3.
Вар. 4.
Вар. 5.
1 2ft3V3tga 2 a3sin2a tgP
1. 2.
24	6	2 Р
й 8 V3 sin 2 -
1. -------------2. 72 Л.
2 cos a + 1
1 d3(l + sin2a)
3 sin 2 р • cos p • sin 2a
2. Пусть DABC — правильная треугольная пирамида и DO —
ее высота. Построим высоту BE основания и из точки Е опустим
104
перпендикуляр EF на ребро DB. Точку F соединим с точками А
и С; ZAFC = а — линейный угол двугранного угла, образованного
двумя смежными боковыми гранями. Из подобия треугольни-
ков DOB и EFB следует, что	. Отсюда DO = EF 'ов
W VD	17D
EF = --ctg — , ОВ = -2=.
2	2 V3
Из треугольника EFB следует, что

actg|
Тогда DO =- ,
„«л “««I °‘сЧ
3	4 V3 j3-ctg2 |	12^3-ctg2 |
Bap. 6. 1. -----—---------.	2.
3 sin 2 P cos P sin a
Задача решается аналогично задаче
a3 -/2cos —
_________2
6V-cosa
Указание.
2 из варианта 5.
Вар. 7. 1. Если боковые грани имеют равные площади, то вы-
соты этих граней равны и вершина М равноудалена от прямых,
на которых лежат стороны оснований. Так как в основании лежит
правильный треугольник, то возможны три различных варианта,
которые показаны на рисунке 34.
105
а) Точка О — центр вписанной окружности:
б) Точка О — центр вневписанной окружности. Радиус этой
с	...	2S
окружности может быть вычислен по формуле г =----------,
а + Ь-с
S — площадь треугольника, а, b и с — его стороны. Тогда
=	- У? = Тб
V2+V2-V2 V2 2 ’
АО = АК + КО = — + — = V6 > AM.
2	2
Следовательно, этот вариант не реализуется.
42
в) Точка О — центр вневписанной окружности: АК = —,
г = —, АО = J- + - = 42 = AM. Следовательно, и этот вариант не
реализуется.
Ответ. —.
3
2. Покажем, что точки М, Р и С лежат на одной прямой
(рис. 35).
МР = АР - AM = A AF-1 АВ = 1 • 1 (АВ + АС) - А АВ =
2	3	2 2	3
= А ДВ + ^АС--АВ= i АС-—АВ.	(1)
4	4	3	4	12
PC = АС - АР = АС--АВ--АС--АС--АВ.	(2)
4	4	4	4
Исходя из (1) и (2), имеем, что
PC = ЗМР. Это и значит, что ука-
занные три точки лежат на одной
прямой. Аналогично и точки М, К
и D лежат на одной прямой. В таком
случае речь идет о плоскости MDC,
которая делит пирамиду на две час-
ти, объемы которых относятся как
1 : 2.
Ответ. 1:2.
Вар. 8. 1. ЛУ* ; _; З'/П .Указание. Задача решается ана-
4	4	4
логично задаче 1 из варианта 7, но в этом случае реализуются все
три различные возможности.
106
Рис. 36
2.	Рассмотрим пирамиду, изображенную на рисунке 36. В пира-
миде МАХВХСХ площадь основания S. = — МС, • МВ.  sin а. Высота
2
пирамиды hx = МАХ - sin <р.
у = 1.1. МСХ  МВХ sin а МАХ sin <р =
* 3 2	1	’	1
= - МСХ - МВХ  МАХ • sin а • sin <р.
Аналогично для пирамиды МАВС
V = - • МС • МВ • МА • sin a -sin <р.
m Vx МАХ-МВХ-МСХ
Тогда — =-----------
V МА-МВ-МС
Ответ. 1 : 19.
. В нашем случае —
1-3-2
20
С—17
Bap.l.	1.	256Лл/8.	2.
9	4
Вар. 2.	1.	36л.	2.
Вар.З.	1.	|kV2.	2.	100л.
Вар.4.	1.	2.	18лЛ*.
3	5
ла3 sin3 2Р cosp sin2 —
Вар. 5. 1. --------------------
12sin2 (Р + |)
2. 60°. Указание. Необходимо доказать, что большее осно-
вание трапеции является диаметром основания конуса.
107
Bap. 6. 1.
2. 45°. Указание. Необходимо учесть, что суммы противо-
положных сторон трапеции должны быть равны. Если меньшую
из боковых сторон принять за х, то Jхг + 4 + х = 6. Отсюда х = | и
д
радиус основания конуса равен -. Остальное решение очевидно.
Вар. 1. 1. По условию сечение наибольшей площади не совпада-
ет с осевым сечением. Значит, угол между образующими в этом сече-
нии прямой. Пусть сечением является треугольник АМВ, где
М — вершина конуса. Опустим из центра основания О перпендику-
ляр ОК на АВ и точки К и М соединим, Z.MKO - агссоз . Тре-
Л
£</2
угольник АМВ равнобедренный и прямоугольный, МК =	- ,
М О = М К • sin [ arccos	• J1-- =	~ = -^=. Радиус
I Л) 2_____________у_ 3	2 Л Л
основания конуса R = ВО = JL2 -	; ОК =	=
V з Л 2 л
= cos ЛКОВ = — = -. Следовательно, ZAOB = 120° и АВ —
2-Л	ОВ 2
сторона правильного треугольника. В таком случае треуголь-
ник АМВ есть грань правильной треугольной пирамиды, вписанной
в этот конус, причем боковые ребра этой пирамиды взаимно пер-
L3
пендикулярны. Объем пирамиды равен ----. Объем конуса равен
6
1яЯ2Я = ±я • —
3	3	3
Объем отсеченной части
Рис. 37
— 1 =-^-(4л Л-9).
6 J 162
Ответ. -^-(4яЛ-9).
162
2. На рисунке 37 FM, FO и МО
соответственно образующая, высо-
та и радиус основания конуса. Зная
длины сторон треугольника СМВ,
можно найти радиус описанной
около него окружности: МО =	.
Из треугольника АМЕ, где
AM =10, МЕ = 9> и АЕ = бЛ,
108
находим косинус угла АМЕ: 108 = 100 + 64 - 2 - 80 cos ЛАМЕ,
cos ЛАМЕ = —. Тогда
20
tg ЛАМЕ = ^^-, FO = МО -tg ЛАМЕ =25.3^39 =75V39
7	4	7	28
V = 1 п 625 75V39 = 15625лУ39
3Л 16	28	448
Ответ 15625 71 ^39
448
Вар. 8. 1. —(8 л+ 3^3). 2. l562^15. указание. Задачи
18	1344
решаются аналогично задачам из варианта 7.
С—18
Вар. 1. 1. 456.	2. 26*^.
Вар. 2. 1. 168-УЗ.	2.
(а3-53)-У2
Вар.З. 1. ----------. 2. 576л.
12
Вар. 4. 1.	.	2. 8064л.
6
Вар. 5. 1. Достроим усеченную пирамиду до полной пирами-
ды, частью которой является данная усеченная. Можно найти,
что объем такой пирамиды равен 108-УЗ. Плоскость верхнего осно-
вания усеченной пирамиды делит объем полной пирамиды в отно-
шении 1 : 27 (стороны основания относятся как 1 : 3). В таком
случае объем усеченной пирамиды V = —-108-73 = 104-УЗ.
Ответ. 104-УЗ.	27
2. 54Л-УЗ.
Вар.6. 1. 268,8. Указание.
Задача решается аналогично зада-
че 1 из варианта 5. Объем полной пи-
1536	-
рамиды равен & • а °б'ьем усечен-
ной пирамиды V = I -= 268,8.
2 32000 л-УЗ
3
Вар. 7. 1. На рисунке 38 плос-
кости EAtP и FBtL перпендику-
лярны к плоскости основания.
Многогранник AAXDBBXC разбил-
ся этими плоскостями на прямую
109
призму EAyPFBiL и две равные пирамиды AXAEPD и BlBCLF.
Пусть высота усеченной пирамиды равна Л. Тогда объем призмы
V'= — ahb, а объем пирамиды V" =	h = —а(а - b)h . Объем
2	3	2	2
многогранника AApDBBjC
Vt = V’ + 2V" = ^L + a(a-b)h = 4 a(fe + 2a).
2	3	6
Объем усеченной пирамиды
V = ^-(a2+ab + b2).
Объем второго многогранника, который дополняет рассмотрен-
ный многогранник до усеченной пирамиды
V2 = —(а2 + ab + b2) - —a(b + 2a) = - b(a + 2Ь).
3	6	6
Рис. 39
Vi a(5 + 2a)	a(b + 2a)
— =--------.Ответ. --------.
V2 b(a + 2b)	b(a + 2b)
2. ” —. Указание. Объем тела
6
вращения может быть получен, если из
объема усеченного конуса, полученного
вращением трапеции ОВСОг вокруг оси I,
вычесть объемы конусов, полученных вра-
щением треугольников ОВА и ОХСА во-
круг той же оси (рис. 39).
Вар.8. 1. —.Указание. Задача ре-
45
шается аналогично задаче 1 из варианта 7.
2. 2™ .Указание. Объем тела вра-
щения может быть получен, если из объ-
ема цилиндра, полученного вращением
прямоугольника AEFC вокруг оси I, вы-
честь объемы двух усеченных конусов, по-
лученных вращением трапеций АЕОВ
и CFOB вокруг той же оси (рис. 40).
Следует отметить, что ХАОС = 60°.
С—19
Bap.l. 1.	2. -.
3	9
Bap. 2. 1. 12л.	2. у.
110
Вар.З. 1. —
2. 36л.
2 62500я
81
Вар. 5. 1. На рисунке 41 изоб-
ражено осевое сечение рассматрива-
емой фигуры.
SOiko2 = 126; КО = 12;
ОО, = 5; ОО2 = 16.
Высота первого сегмента Л1 = 13-5 = 8. Тогда его объем
Р1 = 64л(13-^) = 1984л
Вар. 4. 1.
//2
DJ О2
Высота второго сегмента Л2 = 20 - 16 = 4. Тогда его объем
У2 = 16л(20-^) = ?^.
Отсюда объем двояковыпуклого стекла
у = 1984л + 896л = 960я
3	3
Ответ. 960л.
2. Пусть R — радиус вписанного шара, ф — величина угла
между образующей конуса и плоскостью основания. Радиус осно-
ф	Ф
вания конуса r = Rctg —. Высота конуса Н = Rctg-  tg<p.
= 1 c.g’ ? ««tg?. «ф =	-------.
3	2	2	.,ф	ф ( оф!
3tg’| 3tg. ?
4
— nR . Исходя из условия, имеем
2лЯ3
-nR3.
ф
Пусть tg2 — = а > 0. Тогда получаем уравнение
9а2 - 9а + 2 = 0,
корни которого а j = ^, а2 = |,
ф 1	Ф	ч/б	ч/б
tg - = — и Ф = 60° или tg - = — и Ф = 2 arctg —.
2	4/3	2	3	3
или 2 arctg-----.
111
Bap. 6. 1. ——— . Указание. Необходимо учесть, что цент-
ры шаров лежат по одну сторону от плоскости окружности, по ко-
торой пересекаются их поверхности.
2. л-4 arctg - или л - 4 arctg —. Указание. Задача реша-
2	2
ется аналогично задаче 2 из варианта 5.
Вар. 7. 1. Данная пирами-
да изображена на рисунке 42.
В любой тетраэдр можно впи-
сать шар. Радиус этого шара R
может быть вычислен по фор-
муле R =	, где V — объем
тетраэдра, aS — площадь его
поверхности. Из точки К опус-
тим перпендикуляр на сторо-
ну ВС и продолжим сторо-
ны АС и АВ. Тогда по теоре-
ме о трех перпендикулярах
МЫ АВ и MP 1 AC; KD =
можно доказать, что MD1 АВ,
= 2-^ + —=.2- —, tfA = 2- —= 2- —, КР=-КА=
3	6	6	3	3 3 2
= 1 -	. Из треугольника М KD MD =	+	+	.
Из A МKL ML = MP =	+	—+ -) = —.
¥УЗ I 3	9)	3
УЗ s _ 2УЗ t 7 УЗ t Уз _ зУз
3 ’	3	12	4	2
$ MAC — S MAB
г.».Л.Л.Л.Л. я- ЫН*
з 4 113 12 113 4-4УЗ-ЗУЗ
Ответ.
2л
9-УЗ
5ш.р.=4я-2-1.3'« =
2. Объем полого шара V
зл(й
2л
9 УЗ
г8).
Так как толщина стенок 3 см, то г = 6 см. Тогда
V = | л (729 - 216) = 684л см8.
112
Вес шара Р равен Утрш£, где рш — плотность материала. Погру-
женная в воду часть шара есть шаровой сегмент, объем которого
Ус = л 144(9-^)= 720х см3.
Выталкивающая сила
F = V<-P,£ = 72(htp,g (1 г/см* — плотность воды).
По закону Архимеда Р = F, т. е. 684прш£ = 720np,g. Отсюда
рш == 1,05 г/см*.
Вар.8. 1. Указание.
27	М
Задача решается аналогично за-	SgL
даче 1 из варианта 7. Необходи-	  Лп
мо учесть, что KE = КР = KF	/ /П1\
(рис. 43). Тогда высоты боковых	/	I П \\
граней пирамиды равны между _________ /// 1\
собой и S | Рдвс • МР.	; - д-
2. Вес полого шара
Р = | п (Я* - г*) рш#, выталкива-
ющая сила F = | • KR*p,^. Так рис. 43
как Р = F, то
|х(Я*-г* )рш g = |яЯ3р.<;
2,RI-Р"2(*-(1)’ Иг'*-
Тогда толщина стенок шара
дс
Вар. 1. 1. 2х - Зу + г - 10 = 0. 2. arccos
Вар. 2. 1. т = ~- 2* arcsin^.
113
Bap. 3. 1. Можно доказать, что расстояние от точки
А (хо'« Vo'» *о) Д° плоскости ах + by + сг + d = О может быть вычис-
. |ах0 +by0 + сг0 + d|
лено по формуле d =------ —----------.
Ja2 + b2 +сг
1-2-3 + 4-11 о
В нашем случае d =----—	— = - < R (R = 1).
V4+1+4	3
Радиус сечения г = JR2 -d2 = —; S = — .Ответ. —.
3	9	9
2. Общий вид уравнения плоскости, которая параллельна оси
Oz: ах + by + d = О. Так как точки А (1; О; -2) и В (О; 3; 1) при-
„	fa + d = O	, d
надлежит этой плоскости, то •!	Отсюда a=—d, b =-----.
(Зо + d = О.	3
Тогда имеем -dx -	+ d = 0, и так как d * О, то Зх + у - 3 = 0.
Ответ. Зх + у - 3 = 0.
Вар. 4. 1. Указание. Необходимо доказать, что расстояние
от центра шара М (3; 2; -4) до указанной плоскости равно 6.
2. у - г - 2 = 0. Указание. Задача решается аналогично за-
даче 2 из варианта 3.
Вар. 5. 1. Пусть Ai (х; у; г) — искомая точка и пусть отрезок
AAi пересекает указанную плоскость в точке Р. Вектор, перпенди-
кулярный плоскости, п {1; 1; -1}. Так как ААХ 1 а, то AAt - k • п,
ААХ {k; k; -k}. С другой стороны, ААХ {х - 1; у - 1; г - 1}. Тогда
имеем
Точка Р является серединой отрезка ААХ и
(ь + 2 k + 2 2 — k\
----; ----; ---J. Так как точка Р принадлежит плоскости а.
то*±2 + *±2_2^_2 = 0Л>ГО1одаЛ = 2их = 5	5 г=1
222	33	33
2. Указанная прямая пересекает ось Ох в точке А (-1; 0; 0) и
ось Оу в точке В (0; 1; 0). Точки А, В и М определяют плоскость
ах + by + сг + d = 0. Так как указанные точки принадлежат плос-
кости, то
1-а + d = 0
b + d =0
a + b-2c + d =0.
114
Отсюда следует, что
b = -d
2‘
В таком случае уравнение плоскости имеет вид
2х - 2у + г + 2 = О.
Ответ. 2х - 2у + г + 2 = О.
Вар. 6. 1. Пусть Р (х; у; г}. Так как точка Р лежит на прямой
EF, то ЁР = * • ЁР, EF {1; 1; 2}, ЁР {х - 1; у + 2; г - 1}. Отсюда
[х-1 = * [х = * + 1
{/ + 2 = *	{/ = *-2
[*-1 = 2*, [г = 2* + 1.
С другой стороны, точка Р лежит на плоскости, а потому
* + 1- 2 (*-2)+ 2*+1-3 = 0 и * = -3.
[х = -2
В таком случае < у = -5
[* = -5.
Ответ. Р(-2;-5;-5).
2. Пусть искомая плоскость имеет вид ах + by + сг + d = 0.
Так как плоскость х-2у+ 2-1=0 и искомая перпендикуляр-
ны, то векторы, перпендикулярные этим плоскостям, пх {а; Ь; с}
и л2 {1; -2; 1), тоже перпендикулярны между собой. Тогда
а - 2Ь + с = 0. Кроме того, координаты данных точек Е и F удов-
летворяют уравнению плоскости, т. е.
a-b+c+d=0 и 2a + b- c + d = 0.
Решив полученную систему уравнений, получаем уравнение
искомой плоскости 2х + Зу + 4* - 3 = 0.
Вар. 7. 1. Пусть МО — высота пирамиды. Поместим пирами-
ду в прямоугольную систему координат; О — начало координат,
ось Ох сонаправлена с лучом ВА, ось Оу — с лучом AD, а ось
02 — с лучом ОМ. Напишем уравнение плоскости DMC-.
D (1; 1; 0); С (-1; 1; 0); М (0; 0; 1).
Координаты этих точек удовлетворяют уравнению
ах + by + сг + d = 0.
Ia + ft + d =0
-а + b + d =0
c + d = 0.
Отсюда можно получить, что уравнение плоскости имеет вид
{/ + 2-1=0.
115
Вектор, перпендикулярный этой плоскости: л (О; 1; 1}. Если
<р — искомый угол, то
8in<p = | п I; AM {-I; 1; 1); sin<p = I	L| = —;
||AAf|.|n||	IV3-V2I 3
. Ve Л . Ve
Ф = arcsin—, Ответ, arcsin —.
3	3
2. Так как искомая плоскость должна быть параллельна на-
правлению вектора т, то в плоскости должна быть прямая, па-
раллельная этому направлению. Для этого найдем третью точку С
искомой плоскости как образ точки А (1; -1; 1) при параллель-
ном переносе на вектор т {3; 1; -1): С (4; 0; 0). Тогда мы имеем
три точки А, В и С, определяющие искомую плоскость. Теперь
достаточно просто написать уравнение этой плоскости.
Ответ, х - Бу - 2г - 4 = 0.
Вар. 8. 1. 60°. Указание. Необходимо поместить пирамиду
в прямоугольную систему координат и найти уравнение плоско-
стей AMD и DMC. Тогда если nt и п2 — векторы, перпендикуляр-
г	I «1•п2 |
ные ЭТИМ ПЛОСКОСТЯМ И ф — искомый угол, ТО COS ф =----.
hil’hil
2. Найдем две точки А и В, принадлежащие линии пересече-
ния плоскостей.
1)	Пусть х = 0. Тогда
(у “	~~ С* — U.
Отсюда у = -4, г = -3 и А (0; -4; -3).
2)	Пусть 2 = 0. Тогда У
[х+у-2 = 0.
Отсюда х = 1, у = 1 и В (1; 1; 0). Плоскость, проходящая через
точку М, должна быть перпендикулярна вектору АВ {1; 5; 3}.
Тогда уравнение плоскости имеет вид
1 (х - 1) + 5 (у - 1) + 3 (z - 1) = 0,
т. е. х + Бу + Зг - 9 = 0. Ответ, х + Бу + Зг - 9 = 0.
Работы на повторение
п—1
Вар. 1. 1. 1) Скрещивающиеся; 2) скрещивающиеся; 3) скре-
щивающиеся. 2. Прямоугольник; . 3. 1) 60°; 2) arctg
9	3
4.	arcsin Возможен ответ: 90° - arctg .
116
5.	Для нахождения угла между АВ и DC проведем прямую
11| АВ (рис. 44). Угол между DC и I является искомым. Из точ-
ки В опустим перпендикуляр BE на I и точку Е соединим с точ-
кой D. Легко доказать, что DE 1 СЕ.
DE = Ja2 +	(ВЕ = СЕ =
V 4	2	(	2 )	2
Тогда tg ^DCE =	= 41 и Z.DCE = arctg 77. Ответ, arctg41.
6.	Плоскость CDE || АВ. Расстояние между прямыми АВ и DC
равно расстоянию от прямой АВ до плоскости CDE. Можно дока-
зать, что оно равно высоте ВК треугольника DBE (см. рис. 44).
ВК = BEDB = а-^ Д-2 _ а 721
DE 2а-41	1
Ответ.
7
Вар. 2. 1. 1) Скрещивающиеся; 2) скрещивающиеся;
3)	пересекающиеся.
2.	Прямоугольная трапеция; За .
3.	1) arctg 2; 2) 90°.
4.	30°. 5. 60°. 6. —Указание. Задачи 5 и 6 решаются
аналогично задачам 5 и 6 из варианта 1.
Вар. 3. 1. 1) Скрещивающиеся; 2) скрещивающиеся;
3) параллельные. 2. Равнобедренная трапеция; ———.
16
3. 1) arctg 2) arctg 4. 45°.
5. Все необходимые построения показаны на рисунке 45.
ОК = МО = —; МАГ =	+	RD = а42
4	2	V 4	16	4	4
117
tg MDK = — = a^'4 = 715; Z.MDK = arctg 715.
KD 4-aj2
Ответ. arctg 715.
6. Расстояние между ВС и MD равно высоте BN треугольни-
ка АМВ. Необходимо учесть, что ВС || AMD, a BN есть расстоя-
ние между ВС и плоскостью AMD, т. е. расстояние между указан-
ными скрещивающимися прямыми.
Ответ.
2
Вар. 4. 1. 1) Скрещивающиеся; 2) скрещивающиеся; 3) скре-
щивающиеся.
2. Равнобедренный треугольник; °- 	.
16
D	3. 1) arctg 2; 2) 2 arctg —.
_	_/11\в	5. 1) 90°; 2) arcsin —. Указа-
' РЛ\	ние. См. построения, данные на ри-
сун:^.
Рис. 46	4
П—2
Вар. 1. 1) — = —; 2) 8(13 + 734). Указание. Целесообраз-
но построить перпендикулярное сечение призмы и находить пло-
щадь боковой поверхности как произведение периметра перпен-
дикулярного сечения на боковое ребро; 3) arcsin .
Вар. 2. 1) ^- = |; 2) 8(Тз + Т7); 3) 2 arctg
Вар.З. 1) 24(76 + 715). Указание. Площадь боковой по-
верхности целесообразно находить суммированием площадей бо-
ковых граней, учитывая, что грань ССХВХВ является прямоуголь-
у .	1275
ником; 2)	—.Указание. Искомым расстоянием
является длина высоты треугольника, полученного при построе-
нии сечения, указанного в предыдущем пункте.
118
У. 5
Вар. 4. 1) '^_ = уу- Указание. Плоскость сечения пересе-
кает плоскость основания по биссектрисе AF (О е AF), которая
делит сторону основания в отношении 5 : 6. В таком случае
SAFb = —Sabc; 2) 128; 3) arcsin 32
в 11 АВС'	205
П—3
Вар. 1.
Вар. 2.
4) 128л.
Вар. 3.
1)32лТЗ; 2) 180°ТЗ = 31Г46'; 3)^- = А; 4) 256л.
У2 27
1) 64л; 2) 2 arctg -« 35°19'; 3) да, можно; = -;
П	Уцмл 3
1) 100л; 2) 1625”^; 3) 180°, 15 и 5; 4) пусть
ABCD — осевое сечение усеченного конуса, AD = 15, ВС = 5,
АВ = CD = 10. Радиус описанного шара равен радиусу описанной
около треугольника ABD окружности.
BD = ^100 + 225-2 10 15-| = 5^7; 5^7 = 2ЯШ • sin60°.
с. _ р 5^7 „ с л-25~7	700л ~ _ 700л
Отсюда Яшам = ——- и S = 4л---=----.Ответ. -----.
V3	3	3	3
Вар. 4. 1) 36л Л; 2) 36. Указание. Наибольшую площадь
у ,
имеет осевое сечение; 3) ^|С<” = —; 4) пусть треугольник AM В —
осевое сечение конуса. Тогда радиус вписанной окружности явля-
ется радиусом вписанного в конус шара. Центр шара О делит высо-
ту конуса в отношении 1 : 42, считая от основания (используется
свойство биссектрисы угла треугольника). Отсюда следует, что
Яш.р.=^^ = 6(72-1), Ушара = |лЯ3 = 288л(Т2 - I)3.
Ответ. 288л(Т2-1)3.
Bap.l. 1. 1) arccos — .
6
2. Очевидно, что Ct (3; -2; 5), Bt (-1; -1; 5) и Е (2; 0; 5);
АЕ (1; -2; 3), CBt {-4; 1; 3}. По условию плоскость перпендику-
лярна СВ,. В таком случае ф — искомый угол, тогда
| АЕ-СВ^|
sin ф =--;-- г ,
|AB|-|CB,|
119
а1пФ = —1
. 3-/91
Ф = arcsin-------.
182
Ответ, arcsin
182
Bap. 2. 1. 2) Пусть E — середина AC, a F — середина MB.
EF = j (AM + CB); EF2 = ± (AM2 + CB2 + 2 • AM  CB).
В пункте 1) было доказано, что AM 1 СВ. Поэтому
ЁГ, = 1(4а2+а,+0) = ^-.
Отсюда EF =	.
2
Ответ.
2
2. Основание пирамиды ABCD лежит в плоскости г = 2. Тог-
да, исходя из условия, следует, что высота пирамиды Н = 3.
АС {-2; 4; 0), BD {5; 0; 0}, | АС | = 2/5, | BD | = 5, АС  BD = -10.
Если ф — угол между диагоналями оснований, то
|AC-BD| 1
cos ф =--------=---.
|АС|-|В£>| V5
So™ = | • АС • BD sin ф;
sin ф = J1 - - = -у= •
У 5 /б
S = --2/5-5-^= 10.
2	/5
v = А.103 = 10.
з
Ответ. 10.
/2	/2
Вар.З. 1. 1) arccos —; 2) arcsin — .Указание. Необходи-
8	3
мо куб поместить в прямоугольную систему координат и учесть,
что диагональ АСХ перпендикулярна^сплоскости AXDB. Тогда ес-
| АС • EF I
ЛИ ф — искомый угол, ТО sin Ф =	1--—.
IACJ-IEFI
Вар. 4. 1. 1) Разложим вектор ЕМ по базисным векторам
АС, АВ я AD-.
120
EM = AM - АЕ = - (AB + AC + AD) - - AD =
3	2
= 1aB + -AC--AD=-(AB + AC-- AD);
3	3	6	3	2
EM2 = - (AB2 + AC2 + - AD2 + 2AB AC - AB  AD - AC  AD) =
9	4
Ответ. —.
2
2. arccos^yyL Указание. Пусть МО — высота пирамиды.
Тогда целесообразно точку О принять за начало координат, ось Ох
направить по лучу, сонаправленному с лучом ОА, ось Оу напра-
вить по лучу, сонаправленному с лучами ВС и AD, а ось Ог — по
лучу ОМ.
Контрольные работы
к—1
Bap.l. I. 60°. 2. 1) 90°; 2) —.
3. Пусть А (0; у; 0) и пусть <р — искомый угол.
sin <р = | cos (АВ J) |; АВ {1; -у; 1}; j (0; 1; 0};
вшф = I -I =-; -^ = 1.
IV2 + J/2 -1| 2	2 + У2 4
Отсюда у = Ответ. ((J; о) или ^0;	0 j.
4*. Пусть а {6*; 8А; -7,5*}._
/збА2 + 64А2 + ^*2 =	*|.
}	4	2
По условию — I *1 = 50. Отсюда | * | = 4. Угол между вектором а
2
и вектором У {0; 1; 0} тупой. Это значит, что а]<0. Имеем
0 + 8* - 0 < 0. Отсюда А < 0 и А = -4.
Ответ, а {-24; -32; 30}.
Вар. 2. 1. 1) 180° - arccos -Д=; 2) 72.
710
2. Рассмотрим базисные векторы СА, СВ и ССР Пусть
АС = СВ = BBt = а.
121
— -± — —► — —►	I АВ СВ, I
АВ = СВ - СА; СВХ = СВ + ССХ. созф = 4—-—Ц-;
IABI-ICBJ
АВ • СВХ = (СВ - СА) (CB + CC^) = a,-a2f-|^ + 0-0 = ^-.
|AB|=aV3; |CB^|=aV2. coscp =--^—= = —.
2aV3aV2 4
л	Ve
Ответ, arccos —.
4
3. Пусть A (x; x; О) и пусть <p — искомый угол.
sin ф = |cos (AB Г)|; Z{1; 0; 0}; AB {x - 1; x - 1; -1};
|x-l|	1	(x-1)2	1
sin ф =	= —; --------= -;
V2(x-1)2 + 1 2 2(x-1)2 + 1 4
4 (x-1)2 = 2 (x-1)2+1; 2(x-l)2 = l; x-l = ± —;
x = l + ^ или x = l-^.
O„„.	+ l + £, oj или	1-^: о).
4*. Пусть ОМ {x; у; г}. Из условия следует, что 7х = 0 и
Зг = 0. Следовательно искомое множество есть пересечение плос-
костей уОг и хОу, т. е. ось Оу. Ответ. Ось Оу.
Вар. 3. 1. 24b.
2.	1) arccos 2) ^-3. А(0; 0; 2^6) или А(0; 0; -2V6).
* (8	10 13 I
4*. b < -; - —; — |. Задача решается аналогично задаче из
варианта 1.
Вар. 4. 1. 1) arccos 2) V5. 2. arccos^-.
3.	Af(V2 + l; 0; V2 + 1) или М(\-42; 0; 1- 42). 4*. Ось Ох.
К-2
Вар. 1. 1. 4л(Т2 + 4).
d2
2. 1) 4ЯВ2 sin2 ф • cos ф; 2) Указание. Так как угол
ф = 30°, то наибольший угол между образующими тупой, а потому
наибольшую площадь имеет сечение со взаимно перпендикуляр-
г2
ными образующими. Площадь такого сечения равна —.
122
3*. Точки А.ВиС имеют координаты A (V3; О; О), В (О; V3; О),
С (О; О; 3). Из точки О опустим перпендикуляр ОК на АВ и точку К
соединим с точкой С. Z.CKO = <р искомый.
V3-V2 Тб . m ОС 3-2	/д
ОК =------= —; tg <р =--= —— = vo.
2	2 OK	V6
Ответ. <р = arctg-Уб.
Вар. 2. 1. 48я</2. 2. 1) 18Я2 V3; 2) пЯ43.
3*. Уравнение сферы имеет вид (х - I)2 + (у - 2)2 + г2 = 32.
Центр сферы О (1; 2; 0). Пусть Т — точка касания. Тогда треуголь-
ник ОТМ прямоугольный (Z.OTM = 90°). ОМ = V64 + 1+ 16 = 9,
МТ = V81-32 = 7.
Вар.З. 1. 4ла273. 2. 1)	; 2) 30°.
3ain2 2а
3*. Находим координаты точек А я В: А (0; -2; 0); точка В,
принадлежащая сфере, имеет координаты (1; 1; г). Исходя из
уравнения сферы, имеем О + 1 + г2 = 5; г = ± 2.
Длина перпендикуляра, опущенного из точки В на плоскость
хОг, равна 2. Если ф — искомый угол, то
3*. Данная плоскость пересекает плоскость хОу по прямой,
проходящей через точку К (4; 2; 0), и пересекает ось Ох в точке А,
а ось Оу в точке В. Исходя из условия, треугольник АОВ равнобед-
ренный прямоугольный, причем О А = ОВ = 6. Высота этого тре-
угольника ОР равна 342. Это и есть расстояние от центра шара до
данной плоскости; d = 342 < R. Тогда радиус линии пересечения
Отсюда длина искомой окружности
равна 2п41.
.зованного плоскостью боковой грани и	Д/
плоскостью основания. ЕОХ — биссект-	С
риса этого угла. О, — центр вписанного Рис. 47
123
шара, OjO = ОХК (OtK 1 DE) — радиусы этого шара. МК — радиус
окружности, по которой поверхность шара касается боковой по-
верхности пирамиды. ЛМОХК = Z.DEO = 60°; MOt
стояние от центра шара до плоскости сечения.
«ш.р. = ОЕ tg 30° = ^.
h -п мп	2V3 _2^
4-ЗрУЗ 2Уз]_4лУз
9 I 3	9 )	27
±ОХК — рас-
Вар. 2. 1. 1024. 2. СО8а ~	.
3
3*. Диагональ призмы является диаметром описанного около
нее шара и равна 8-/б. Так как плоскость, перпендикулярная к
диагоналям, делит ее в отношении 1 : 3, то высота меньшего сег-
мента, отсеченного этой плоскостью от шара, равна 2V5. Радиус
шара равен 4-75.
„	„ 1 2048 „ 2ят^совф
Вар. 3. 1. --. 2. --------.
9	з Ф
СО83 —
2
3*. .Указание. Задача решается аналогично задаче 3*
из варианта 1.
- л 1 16^6 , nh3ctg3(p
Вар. !• -------. Z. ---------.
3 Зсов2 -
2
3*. Центр описанного шара лежит на середине высоты приз-
мы, проведенной через центр описанной вокруг основания окруж-
ности. В таком случае Яшара = j ь Я2 , где Н — высота приз-
мы, а Я — радиус описанной вокруг основания окружности;
Н = 242, R = Яшара = /г + — = —. Расстояние от центра
3	V 9	3
шара до боковой грани равно радиусу вписанной в основание
2^2	5*^2 2V2
окружности, т. е. ——. В таком случае hC9rM = —-----— = 42.
124
Bap. 1. 1. 48. 2. 1241. 3.
„„__3 л , 625 n
arccos-. 4. 36. a. ----,
6*. На рисунке 48 изображена правильная четырехугольная
пирамида MABCD. Плоскость EMF (ME и MF — апофемы пира-
миды) перпендикулярна к плоскости основания; ЕК 1 MF. Мож-
но доказать, что ЕК 1 DMC. Через АВ и ЕК проведена плоскость,
которая пересекает плоскость DMC по прямой I, параллель-
ной АВ. В этой плоскости BP || ЕК. Тогда BP ± DMC и
Z.BDP = ф — угол между BD и плоскостью DMC. Следует учесть,
что BP = ЕК, MF = 4, МО = 41, ЕК • MF = МО • EF. Отсюда
_ MO-EF _ 41 -6 _ 341
ЕК-----~--------'-----2~'
MF
,1пф = ВР = _3^_ = Л<
BD 2-6-42	8
Вар. 2. 1. 6/39. 2. 12 43. 3. arccos-. 4. -12.
. /14
ф = arcsin ——.
5. Ц±(4ТЗ-2)3.
6*. На рисунке 49 изображена правильная треугольная пира-
мида МАВС; МК — апофема пирамиды. В плоскости AM К про-
водим АЕ 1 МК. Можно доказать, что АЕ 1 ВМС, МК = /13,
АО = 4, МО = 3.
АК МО = АЕ • МК; АЕ = А*-МО = 6^3 = 18/13
МК /13
ЛАСЕ = ф — угол между АС и плоскостью ВМС.
. m АЕ 18/13	3/39. m 3/39
sin ф = =------— =  ф = arcsin .
АС 13-4/3	26	26
Вар.З. 1. 32/7. 2. 12^.
13
125
3. 2 arctg 4. 48. 5. 2048
6	27
6*. На рисунке 50 изображена правильная четырехугольная
пирамида MABCD; ЕК 1 DMC. Плоскость, проходящая через АВ
и ЕК, пересекает плоскость DMC по прямой I || АВ. В этой плос-
кости строим АР || ЕК. Тогда АР 1 DMC и Z.AMP = Ф — угол
между AM и плоскостью DMC,
ОС = 4, МО = 4УЗ, АС = 8, EF = CD = 472, FC = 2^2,
MF = 764^8 = 2714; ЕК • MF = МО  EF. Отсюда
ЕК.,мо Ег,47з 472 ,873. АР = ЕК.
MF 2714	/s’
АР 721
sin ф =---=---
AM 7
<p = arcsin----.
Вар. 4. 1. бТЗ. 2. 3. 3. arctg 4, -3. 5.
6*. На рисунке 51 изображена правильная треугольная пира-
мида МАВС; ВТ 1 АМС. Через середину ВС, точку Е, строим
прямую, параллельную АС. Она пересекает ВК в точке F. В плос-
кости КМВ строим FD || ВТ. Тогда FD 1 АМС. Плоскость, прохо-
дящая через FE и FD, пересекает плоскость АМС по прямой
I || EF. В этой плоскости строим ЕР || FD. Тогда ЕР 1 АМС, при-
чем ЕР = FD. Z.PME = ф — угол между ME и плоскостью АМС,
МО =43,ВК = 3, ME = МК = 2, ВТ КМ = МО • КВ,
вт _ мо кв _ 7з -з _ 27з pD зТз
КМ 2	2 ’	4 ’
а так как ЕР = FD, то
го зТз	. m РЕ зТз т_ии,о! зТз
ЕР =-----; sin ф =-=----, ф = arcsin-.
4	ME 8	8
126
	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОТ	
	ПО ПУНКТАМ И ГЛАВАМ УЧЕБНИКА |~	
		
Работа	Тема	Пункт учебника
С—1 С—2 С-3 С—4 С—5 С—6 С—7 С—8 С—9 С—10 С—11 С—12 С—13 С—14 С—15 С—16 С—17 С—18 С—19 ДС П —1 П-2 П—3 П—4 мд-1 МД-2 МД-3 К—1 К—2 К—3 К—4	Прямоугольная система координат в пространстве. Координаты вектора Связь между координатами векторов и координатами точек. Простейшие задачи в координатах Угол между векторами. Скалярное произведение векторов Вычисление углов между прямыми и плоскостями Движения Применение движений пространства к решению задач Цилиндр. Комбинации цилиндра с многогранниками Конус, усеченный конус Площадь поверхности тела вращения. Комбинации конуса с многогранниками Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости Сфера Комбинации сферы с другими геометрическими телами Объем прямоугольного параллелепипеда Объем прямой призмы и цилиндра Объем наклонной призмы Объем пирамиды Объем конуса Объем усеченной пирамиды и усеченного конуса Объем шара и его частей. Площадь сферы Уравнение плоскости Взаимное расположение прямых и плоскостей. Перпендикулярность прямых и плоскостей Многогранники Тела вращения Координаты и векторы Координаты и векторы Цилиндр, конус, шар Объемы тел Координаты и векторы Цилиндр, конус, шар Объемы тел Итоговое повторение	46, 47 48, 49 50, 51 52 54—58 54—58 59, 60 61—63 62. 63 64—66 64—68 70, 71 75 76, 77 79 80 81 80, 81 82—84 53 гл. I, II гл. III гл. VI гл. IV, V гл. V гл. VI гл. VII гл. V гл. VI гл. VII
127
--=| СОДЕРЖАНИЕ j=---
Предисловие ........................................... 3
Самостоятельные работы................................. 5
Работы на повторение.................................. 53
Математические диктанты............................... 58
Контрольные работы.................................... 63
Ответы и указания..................................... 75
Самостоятельные работы.............................. —
Работы на повторение...............................116
Контрольные работы.................................121
Распределение работ по пунктам и главам учебника......127
Учебное издание
Зив Борис Германович
ГЕОМЕТРИЯ
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
ДЛЯ 11 КЛАССА
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Л. В. Кузнецова
Младший редактор С. В. Дубова
Художники О. В. Корытов, О. П. Богомолова
Художественный редактор О. П. Богомолова
Техническое редактирование и компьютерная верстка Н. В. Лукиной
Корректоры А. К. Райхчин, Л. С. Александрова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—
953000. Изд. лиц. Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с ори-
гинал-макета 24.04.07. Формат вОхЭО'/и- Бумага офсетная. Гарнитура Школь-
ная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 5,77. Тираж 15 000 экз. Заказ № 19537.
Открытое акционерное общество «Издательство «Просвещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфкомбинат».
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59. www.sarpk.ru

ПРОФИЛЬНЫЙ