в.м.клопский
З.А.СКОПЕЦ
м.и.ягодовский
ГЕОМЕТРИЯ
910
mathedu.ru
с;/'Пс =М;
В. М. КЛОПСКИЙ,
3. А. СКОПЕЦ, м. И. ягодовский
ГЕОМЕТРИЯ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ для 9 и 10 классов средней школы
ПОД РЕДАКЦИЕЙ 3. А. СКОПЕЦА
Утвррждено Министерством просвещения СССР
Издание 4-о
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1978
MATHEDU.RU
513(075)
К50
В настоящем издании объединены учебные пособия по геометрии для IX и X классов. Основной материал предыдущих изданий не изменился. Единственное исключение — раздел «Задачи на повторение по курсу IX класса», в котором в связи с удалением нескольких задач незначительно изменилась нумерация. Некоторые сокращения проведены в разделах «Приложения».
Для удобства читателя в этой книге сохранена нумерация параграфов и рисунков, приведенная в пособиях для IX и X классов предыдущих изданий.
60601-163
103 (02)-78 "”*• ПИСЬМ0
(g) Издательство «Просвещение», 1977 г.
|fc|
mathedu.ru
IX
класс
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
Курс геометрии включает планиметрию и стереометрию. На уроках геометрии в VI—VIII классах вы занимались преимущественно планиметрией. Объектами изучения в планиметрии являются фигуры, лежащие в одной и той же плоскости, например угол, треугольник, параллелограмм, окружность. Все точки каждой из этих фигур принадлежат плоскости. Поэтому такие фигуры называются плоскими.
В стереометрии изучаются фигуры, расположенные в пространстве. Они могут быть неплоскими (примерами таких фигур служат призма, пирамида, цилиндр, сфера) или плоскими. Поэтому сведения из планиметрии применяются и в стереометрии.
Изучая стереометрию, мы продолжим начатое в восьмилетней школе знакомство с аксиоматическим методом построения геометрии, с отображениями фигур, с операциями над векторами и применением векторов при доказательстве теорем и решении задач.
§ 1.	О ЛОГИЧЕСКОМ СТРОЕНИИ КУРСА СТЕРЕОМЕТРИИ.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ
Систематический курс стереометрии строится по той же схеме, что и курс планиметрии:
1.	Перечисляются основные понятия, которым не дают определений.
2.	Формулируются аксиомы, в которых выражены свойства основных понятий.
3.	С помощью основных понятий формулируются определения других геометрических понятий.
4.	На основе определений и аксиом доказываются теоремы.
Школьный курс стереометрии не полностью следует такой схеме. Чтобы упростить изложение, доказательства некоторых теорем опускаются. В других случаях теоремы формулируются в виде задач.
Основных понятий в стереометрии четыре: точка, прямая, плоскость и расстояние. Понятие «множество» также является основным (неопределяемым), причем не только в геометрии, но и во всех других разделах математики. Всякое множество точек
MATHEDU.RU
Рис. 1
Рис. 2
в геометрии называют фигурой. Примерами фигур служат прямая и плоскость.
На рисунках плоскость будем изображать в виде параллелограмма или какой-нибудь другой плоской фигуры (рис. 1). Плоскости обозначают обычно буквами греческого алфавита а, 0, у и т. п. Для точек и прямых сохраним обозначения, принятые в планиметрии: точки Л, В, С, ... ; прямые а, Ь, с9 . . . , а также (ЛВ), (ЛС) и т. п.
Если точка Л принадлежит плоскости а (Л С а, рис. 2), то говорят: «Плоскость а проходит (или проведена) через точку Л». Такие же термины применяются и по отношению к прямой а, которой принадлежит точка Л.
Множество U всех рассматриваемых в стереометрии точек называют пространством. Любая фигура Ф является подмножеством пространства: Ф с I/.
Задачи
Г1. Перечислите основные понятия курса планиметрии.
2°. Укажите, какие из приведенных ниже математических предложений являются аксиомами, теоремами или определениями курса планиметрии:
1)	к данной прямой через данную точку можно провести только один перпендикуляр;
2)	расстояние от Л до В равно расстоянию от В до Л;
3)	длина ломаной больше расстояния между ее концами;
4)	пересечение двух фигур есть фигура, состоящая из всех точек, которые принадлежат каждой из данных фигур;
5)	перемещение — это отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния;
6)	через любую точку можно провести прямую, параллельную данной прямой;
7)	параллельный перенос есть перемещение;
8)	через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести одну и только одну окружность;
9)	конгруэнтные многоугольники имеют равные площади;
10)	поворот на 180° вокруг центра О есть центральная симметрия с центром О.
1 Знак «°» над номером задачи означает, что она рекомендуется устного решения.
4
MATHEDU.RU
§ 2. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
В аксиомах стереометрии выражены основные свойства неопределяемых понятий: точки, прямой, плоскости и расстояния. В отвлеченной форме аксиомы стереометрии отражают свойства реального пространства. Именно это лежит в основе примене-
ния стереометрии к практике.
Первые пять аксиом связаны с понятием принадлежности.
Аксиома 1. Существует хотя бы одна прямая и хотя бы одна плоскость. Каждая прямая и каждая плоскость есть не совпадающее с пространством непустое множество точек.
Из аксиомы 1 следует, что для любой плоскости а существует не принадлежащая ей точка А (рис. 3). В этом случае говорят, что точка А взята вне плоскости а, и записывают: А £ а.
Точно так же верно утверждение, что для любой прямой существует точка, не принадлежащая этой прямой.
Аксиома 2. Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая.
Согласно аксиоме 2 прямые а и Ь, имеющие две различные общие точки, совпадают: а = Ь.
Аксиома 3. Прямая, проходящая через две различные точки плоскости, лежит в этой плоскости.
Аксиома 3 позволяет объяснить смысл практического способа
проверки того, является ли поверхность какого-либо предмета плоской. К поверхности в различных ее точках прикладывают ребро хорошо выверенной линейки и смотрят, нет ли просветов между линейкой и поверхностью.
Слова «прямая а лежит в плоскости а» (рис. 4) означают на языке теории множеств, что прямая а является подмножеством плоскости а, то есть а с а. Иначе говорят: «Прямая а содержится в плоскости а», а также «Плоскость а проходит (или проведена) через прямую а».
Прямая и плоскость могут иметь единственную общую точку. Докажем это.
Пусть дана плоскость а (рис. 5). По аксиоме 1 существуют точка А, принадлежащая плоскости а, и точка В, не принадлежащая этой плоскости. Через А и В проведем прямую а (аксиома 2). Предположим, что прямая а имеет с плоскостью а еще одну общую точку, отличную от А. Тогда, согласно аксиоме 3, acza и точка В также принадлежит плоскости а.
MATHEDU.RU
f--------Но это противоречит выбору точки В. Сле-
Лд	*7 довательно, наше предположение неверно,
/ и а Л а = А.
И	Если пересечением прямой и плоскости
/у	||тк	служит точка, то говорят, что прямая
С	11 В)	пересекает плоскость в этой точке.
______Аксиома 4. Через три точки, не принадлежащие одной прямой, проходит
Рис. 6	одна и только одна плоскость.
Эту аксиому можно иллюстрировать с S помощью модели, состоящей из концов трех заостренных стержней и листка картона (рис. 6).
Плоскость, проходящую через точки Л, В, С, не принадлежащие одной прямой, будем обозначать символом (ЛВС).
Рис* 7	Аксиома 4 позволяет утверждать, что
плоскости а и ₽ совпадают (а = £), если они имеют три общие точки, не принадлежащие одной прямой.
Аксиома 5. Если две различные плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая.
Две плоскости, пересечением которых является прямая (а П Р = рис. 7), называются пересекающимися плоскостями.
Моделью, иллюстрирующей аксиому 5, может служить пересечение поверхностей двух смежных стен классной комнаты.
В следующих трех аксиомах выражены свойства основного понятия «расстояние».
Аксиома 6. Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина, называемая расстоянием от А до В. Расстояние \АВ | равно нулю в том и только в том случае, если точки А и В совпадают.
Аксиома 7. Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А:
I АВ\ = \ВА\.
Аксиома от А до С не В до С:
8. Для любых трех точек А, В, С расстояние больше суммы расстояний от А до В и от
|АС| IАВ\ + \ВС\.
Прежде чем сформулировать последнюю аксиому, напомним, что в планиметрии, помимо аксиом принадлежности и расстояния, были приняты аксиомы еще трех групп: порядка, подвижности плоскости и параллельных прямых1.
1 См. «Приложения», с. 193, 194.
6
MATHEDU.RU
Аксиома 9. Для каждой плоскости выполняются известные из планиметрии аксиомы порядка, подвижности плоскости и параллельных прямых.
Из принятых выше аксиом вытекает, что в каждой плоскости можно применять теоремы планиметрии. Например, в каждой плоскости выполняется теорема Пифагора: сумма углов любого треугольника равна 180°.
Задачи
3.	Прочитайте записи и сделайте схематические рисунки:
1)	А € а, В i а, С £ (АВ)\
2)	А € а, а с а, А £ а\
3)	а П а = А, b П а = Л;
4)	a f| b = А, a qt а, b а а;
5)	а П Р = а, Ь П а = Л, b cz Р;
6)	{Л, В, С} cz а, С £ (ЛВ), {Л, Q с₽, р ^а.
4.	Запишите символически: 1) точка Л принадлежит плоскости а, но не принадлежит плоскости Р; 2) прямая а проходит через точку Л4, не принадлежащую плоскости а, причем а не лежит в плоскости а; 3) прямые а и b проходят через точку Л4, принадлежащую плоскости а, причем а лежит в плоскости а, b не лежит в этой плоскости; 4) прямая а и плоскость а пересекаются в точке М9 плоскость а пересекается с плоскостью р по прямой Ь, причем b не проходит через точку М.
5°. Вместо многоточия поставьте «необходимо», или «достаточно», или «необходимо и достаточно»1:
1)	Для совпадения двух прямых ...» чтобы они имели общую точку.
2)	Для совпадения двух плоскостей . . ., чтобы они имели три общие точки, не принадлежащие прямой.
3)	Для того чтобы плоскости аир пересекались, ...» чтобы они имели общую точку.
4)	Для того чтобы плоскость а содержала прямую а, . . ., чтобы а и а имели две различные общие точки.
6°. 1) Верно ли утверждение, что через данную точку и любую точку данной прямой можно провести единственную прямую?
2)	В треугольнике АВС построена точка пересечения высот. Верно ли утверждение, что через эту точку и точку А можно провести единственную прямую?
7°. Даны плоскость а и прямоугольник A BCD. Может ли плоскости а принадлежать: 1) только одна вершина прямоугольника; 2) только две его вершины; 3) только три вершины?
8°. Две вершины треугольника принадлежат плоскости. Принадлежит ли ей третья вершина, если известно, что данной
1 О необходимом, достаточном, необходимом и достаточном условиях см. «Приложения», с. 196.
7
mathedu.ru
плоскости принадлежит: 1) центр вписанной в треугольник окружности; 2) центр описанной около него окружности?
9°. Объясните, почему любой стол, имеющий три ножки, обязательно устойчив, а по отношению к столу с четырьмя ножками этого утверждать нельзя.
10°. Каждая ли точка дуги окружности принадлежит плоскости, если известно, что этой плоскости принадлежат: 1) две различные точки дуги; 2) три различные точки дуги?
11°. Как можно проверить качество изготовления линейки, имея хорошо обработанную плоскую плиту? На каком теоретическом положении основана эта проверка?
12°. Могут ли две различные плоскости иметь две различные общие прямые?
13*. Дано: аП6 = С, b П с = А, с Г) а = В, А =/= В, Аг € а, Bi € 6, Сх € Доказать: Сх € (АВС).
14. Д а н о: а (] р = ди, a cz а, b cz р, а П Ь = А. Доказать: А € т.
15. Даны точки Л, В, С, причем А £ (ВС). Докажите, что |ЛВ| + |ВС|> |ДС|.
§ 3. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
1. Следствие 1. Через прямую и не принадлежащую ей точку можно провести одну и только одну плоскость.
Доказательство. Пусть даны прямая а и не принадлежащая ей точка М (рис. 8, а). На данной прямой выберем две различные точки В и С. Согласно аксиоме 4, через точки 7И, В и С проходит плоскость а, причем прямая а лежит в этой плоскости (аксиома 3). Итак, доказано существование плоскости, проходящей через а и М. Единственность такой плоскости следует из аксиомы 4. Действительно, любая плоскость, содержащая прямую а и точку М, проходит через точки В, С, М. Но через эти точки нельзя провести две различные плоскости. Q1
Две прямые называют пересекающимися, если они имеют единственную общую точку (а П b = О; рис. 8, б).
1 Знак  заменяет слова «доказательство закончено».
8
MATHEDU.RU
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость, (Докажите самостоятельно.)
Определение параллельных прямых, известное из планиметрии, сохраняется и в стереометрии: две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки или совпадают (рис. 9, а и б).
Следствие 3. Через две различные параллельные прямые можно провести только одну плоскость.
Существование одной такой плоскости следует из определения параллельных прямых, поэтому оно особо не оговаривается в формулировке следствия. Докажите, что не существует другой плоскости, проходящей через обе данные прямые.
2. Пусть дана плоскость а. Рассмотрим множество всех точек пространства, не принадлежащих а. Плоскость а разбивает это множество на два непустых подмножества, которые называются открытыми полупространствами с границей а. Принимаем без доказательства следующие свойства открытых полупространств (рис. 10, а, б):
1. Отрезок, соединяющий любые две точки одного открытого полупространства, не пересекает его границы.
2. Отрезок, соединяющий любые две точки различных открытых полупространств с общей границей а, пересекает эту границу.
Если точки А и В принадлежат одному открытому полупространству с границей а, то говорят, что А и В расположены по одну сторону от плоскости а (рис. 10, а). Если же Л и В при-
MATHEDU.RU
надлежат различным открытым полупространствам с общей границей а, то А и В расположены по разные стороны от а (рис. 10, б).
Объединение открытого полупространства и его границы называют замкнутым полупространством (или просто полупространством).
Полупространство является выпуклой фигурой1.
Задачи
16°. Сколько различных плоскостей можно провести:
1) через одну точку; 2) через две различные точки; 3) через три различные точки; 4) через четыре точки, никакие три из которых не принадлежат одной прямой?
17. Д а н о: a f| b = Л, a cz а. Верно ли утверждение, что: 1) А € а; 2) Ь с: а?
18°. 1) Даны четыре точки, не принадлежащие одной плоскости. Докажите, что никакие три из них не принадлежат одной прямой.
2)	Верно ли обратное утверждение?
19°. Из четырех точек никакие три не принадлежат окружности. Принадлежат ли все четыре точки одной плоскости?
20.	Даны две несовпадающие параллельные прямые. Докажите, что все прямые, пересекающие обе данные прямые, лежат в одной плоскости.
21°. Даны две пересекающиеся прямые. Верно ли утверждение, что любая прямая, пересекающая обе данные прямые, лежит с ними в одной плоскости?
22°. Может ли пересечение сторон угла с плоскостью быть одной точкой, двумя различными точками, тремя различными точками?
23.	Дано множество лучей, имеющих общее начало. Никакие три из них не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести так, чтобы в каждой плоскости лежало по два из данных лучей, если всего лучей: 1) три, 2) четыре, 3) и?
24.	Три различные плоскости имеют общую точку. Верно ли утверждение, что эти плоскости имеют общую прямую? Сколько различных прямых может получиться при попарном пересечении этих плоскостей?
25.	1) Даны отрезки АВ, ВС, CD, DА, причем (AC) f| (BD) = М. Докажите, что данные отрезки лежат в одной плоскости.
2°) Столяр с помощью двух нитей проверяет, будет ли устойчиво стоять на полу изготовленный стол, имеющий четыре ножки. Как нужно натянуть нити?
1	Определение выпуклой фигуры, известное из планиметрии, распространяется и на пространственные фигуры: фигура называется выпуклой, если она содержит отрезок, соединяющий любые две ее точки.
ю
mathedu.ru
26°. 1) Рг и Р2 — различные полупространства с общей границей а. Найдите: а) П Рц\ б) Pt U Р&
2	) Охарактеризуйте взаимное расположение полупространств Р и Q и их границ аир, если: а) Р П Q = б) Р U Q = Р П Q-
§ 4. ПРОВЕДЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ ПРЯМОЙ,
ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ДАННОЙ ПРЯМОЙ
Геометрические построения на плоскости выполняют при помощи чертежных инструментов — циркуля, линейки, угольника.
Мы не располагаем инструментами для проведения в пространстве прямой или плоскости. Поэтому в стереометрии термин «провести плоскость (прямую)» употребляют в смысле «доказать существование плоскости (прямой)», удовлетворяющей поставленным условиям. Например, в предыдущем параграфе (следствие 1)
говорится о проведении плоскости через прямую и точку вне ее. Это означает, что существует плоскость, проходящая через данные прямую и точку.
Доказательство теорем и решение многих задач сопровождается схематическими рисунками фигур, причем их выполнение не проводится по строго сформулированным правилам: достаточно, чтобы чертеж вызывал желаемое представление об изображаемой фигуре. Иной подход к выполнению чертежей в стереометрии будет рассмотрен в § 5, 12 и 13.
Задача. Через данную точку М провести прямую, параллельную данной прямой а.
Решение. Возможны два случая.
а)	Пусть М $ а (рис. 11, а). Согласно определению параллельных прямых, данная и искомая прямые должны лежать в одной плоскости.
1.	Проведем плоскость а через точку М и прямую а (§ 3, следствие 1).
2.	В плоскости а проведем через М прямую Ь, параллельную а (это выполнимо на основании аксиомы 9); b — искомая прямая.
Задача имеет единственное решение. Докажем это.
Искомая прямая b должна лежать в той единственной плоскости а, которая проходит через прямую а и точку М. В плоскости а существует единственная прямая, параллельная а и проходящая через М (это известно из планиметрии).
б)	Пусть М € а (рис. 11,6). В этом случае единственной прямой, проходящей через М и параллельной а, служит данная
прямая а.	Рис. 11
11
mathedu.ru
Мы доказали, что через данную точку можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной прямой.
Задачи
27.	Даны прямая а и точка М. Через данную точку проведите прямую, пересекающую данную прямую под прямым углом. Сколько решений имеет задача, если: 1) М £ а\ 2) М € а?
28.	Д а н о: a f| а = М, N £ а. Проведите линию пересечения плоскости а с плоскостью, проходящей через а и N.
29.	В плоскости а даны прямая а и точка М. Через точку N i а проведите плоскость 0 так, чтобы линия пересечения плоскостей а и 0 проходила через М и была перпендикулярна к а.
§ 5. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКА1
Простейшим многогранником служит треугольная пирамида (рис. 12). Она имеет всего четыре грани. Поэтому мы будем ее кратко именовать тетраэдром (четырехгранником). Если пересечением многогранника и плоскости является многоугольник, то этот многоугольник называют сечением многогранника данной плоскостью.
Задача. На ребрах АВ, AD, CD тетраэдра ABCD выбраны соответственно точки М, N, Р так, что прямые NP и АС не параллельны (рис. 13). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через данные точки.
Решение. Плоскость, проходящую через точки М, N, Р, обозначим а. Плоскость а имеет с плоскостью DAC общие точки N и Р, поэтому пересечение плоскостей DAC и а есть прямая NP (аксиома 5). Отрезок NP — пересечение грани DAC и плоскости а. Аналогично построим отрезок NM.
Точка М принадлежит плоскости а и плоскости АВС\ для построения линии пересечения этих плоскостей достаточно найти еще одну их общую точку. Такой точкой является точка К пе-
1 Понятия «многогранник», «пирамида», «параллелепипед» и т. п. будут определены в X классе. Сейчас мы основываемся на сведениях из восьми-
летней школы.
12
MATHEDU.RU
ресечения прямых NP и АС (К € а и К € (ЛВС)). Построив прямую /ПК, получим точку Q на ребре ВС. Отрезки MQ и QP — остальные стороны искомого сечения.
Символическая запись построения:
1) а = (MNP)' 2) [AZP] = а fl ДАОС, [NM] = а П АЛОВ;
3) (NP) П (АС) = /<; 4) (КМ) f] [ВС] = Q; 5) [A4Q]=af] А Л ВС, [QP] = а П ABDC.
Четырехугольник MNPQ — искомое сечение.
Замечание. Чертеж к этой задаче имеет существенные отличия от иллюстративных чертежей, применявшихся в предыдущем параграфе. Именно: на рисунке 13 точки К и D, отрезки MQ, QP и другие выбирались не произвольно, а занимали вполне определенное положение на изображении тетраэдра. Кроме того, построения теперь выполнялись чертежными инструментами. Рассмотренные построения являются примером так называемых построений на проекционном чертеже. Подробнее о таких построениях вы узнаете позднее, при изучении § 12, 13.
Задачи
30°. Каждое из ребер тетраэдра ABCD (рис. 12) равно а. Найдите: 1) сумму длин всех его ребер; 2) сумму площадей всех его граней.
31.	Даны тетраэдр ABCD и точки М и N, М С [DC], N б [ЛВ]. Постройте линию пересечения плоскостей АВМ и DCN,
32.	1) Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через вершину В и середины ребер AD и CD.
2) Найдите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра равно а.
33.	1) Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через ребро DC и точку пересечения медиан грани Л СВ.
2)	Найдите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра равно а.
34.	Плоскость а задана тремя различными точками, принадлежащими соответственно ребрам РЛ, DB, DC тетраэдра ABCD. Постройте точку пересечения плоскости а с прямой, проведенной через вершину D и точку пересечения медиан грани ЛВС.
35.	Дан тетраэдр ABCD. Постройте его сечение плоскостью, проходящей через медиану DDX грани DBC и точку М, которая принадлежит грани ADC, но не принадлежит ни одному из ребер тетраэдра.
§ 6. СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ.
ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ
Мы уже знаем, что две прямые а и b в пространстве могут быть пересекающимися или параллельными (в частном случае совпадающими). Оказывается, возможен еще один характерный
13
I ц|Ц^| ,
mathedu.ru
лЛ/	для стереометрии случай взаимного
b	расположения двух прямых в про-
/	г странстве.
/ Определение. Две прямые /*****^а	]	/ называются скрещивающимися, если
/	“/ они не пересекаются и не параллельны.
Докажем существование скрещи-Рис- 14	вающихся прямых.
В плоскости а проведем прямую а и выберем в этой плоскости точку М, не принадлежащую а (рис. 14). Через точку М и произвольную точку 7V, взятую вне плоскости а, проведем прямую Ь. Докажем, что прямые а и b скрещиваются. Применим способ рассуждения «от противного». Предположим, что прямые а и b пересекаются или параллельны. Тогда обе они лежат в некоторой плоскости 0 (рис. 14). Плоскости р и а совпадают (обе они проходят через прямую а и точку М вне ее). Но 0 проходит и через точку N, не принадлежащую а, поэтому 0 не может совпасть с а. Получено противоречие, т. е. наше предположение неверно. Следовательно, прямые а и b скрещиваются. Н
Доказан признак скрещивающихся прямых.
1. Теорема. Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые скрещиваются.
Для обозначения скрещивающихся прямых а и b будем применять запись а — Ь. Обратите внимание: через скрещивающиеся прямые нельзя провести плоскость.
Задачи
36°. 1) Укажите на модели куба несколько пар его ребер, лежащих на скрещивающихся прямых.
2)	Укажите модели скрещивающихся прямых, пользуясь предметами классной обстановки.
37.	Через данную точку проведите прямую, скрещивающуюся с данной прямой.
38.	Верны ли высказывания: Г) «Если две прямые в пространстве не имеют общей точки, то они параллельны»?
2)	(а - b, b - с) => (а - с)?
39°. Известно, что А € а, В € 0, а f| 0 = m. Возможны ли какие-либо случаи взаимного расположения прямых АВ и /и, кроме случая, изображенного на рисунке 15?
40°. Назовите два ребра тетраэдра ABCD (рис. 12), лежащие на скрещивающихся прямых. Сколько таких пар ребер имеет тетраэдр?
41°. Даны прямая tn и две принадлежащие ей точки А и В. Через точки А и В проведены соответственно прямые а и Ь, пер-_
н
mathedu.ru
Рис. 16
пендикулярные прямой tn. Каким может быть взаимное расположение прямых а и Ь?
42. Д а н о: а — Ь, {Лъ Л2} с а, {В19 В2] cz b. Доказать: (Л^) — (Л2В2), (Л^) — (A2Bt).
43. Прямые а, Ь, с пересекают плоскость а в точках Л, В, С, причем Л $ (ВС) (рис. 16). Могут ли данные прямые быть попарно пересекающимися?
§ 7. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ. ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Нам уже известны два случая взаимного расположения прямой и плоскости: 1) прямая лежит в плоскости, если две различные точки этой прямой принадлежат плоскости (§ 2, аксиома 3); 2) прямая и плоскость пересекаются, если они имеют единственную общую точку (§ 2).
Докажем, что возможен и третий случай: прямая а и плоскость а не имеют общей точки (a П а = 0).
Пусть даны плоскость а и не принадлежащая ей точка М (рис. 17). Проведем в плоскости а произвольную прямую Ь. Через точку М проведем прямую а, параллельную Ь.
Предположим, что а и а имеют общую точку N (рис. 18). Прямые а и b параллельны и различны, поэтому прямая Ь не может проходить через точку Af, принадлежащую а. Тогда по признаку скрещивающихся прямых (§ 6) прямые а и Ь скрещиваются.
Пришли к противоречию: прямые а и b одновременно скрещиваются и параллельны. Следовательно, прямая а и плоскость а не имеют общей точки.
Рис. 17	Рис. 18
MATHEDU.RU
2.
3.
Итак, возможны только три случая: 1) a cz а; 2) а р а = 4; 3) а р а = 0. Объединим первый и третий случаи в один, как это было сделано при рассмотрении взаимного расположения двух прямых.
Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общей точки или прямая лежит в плоскости.
Обозначение параллельности пря-
мой и плоскости: а || а или а || а.
Имеет место следующий признак параллельности прямой и
плоскости.
Теорема. Если прямая параллельна какой-либо прямой, лежащей в плоскости, то данные прямая и плоскость параллельны.
При доказательстве следует рассмотреть два случая: 1) прямая а не лежит в плоскости а; 2) прямая а лежит в этой плоскости.
Истинность теоремы для первого случая доказывают рассуждения, проведенные выше.
Если аса, то а || а согласно определению параллельности прямой и плоскости. Q
Теорема (обратная). Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
Дано: а || а, а с 0, 0 П а = Ь. Д о к а з а т ь: b || а.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда a cfi а (рис. 19). Во-первых, прямые b и а лежат в плоскости 0; во-вторых, прямая а не может пересекать прямую Ь, так как иначе а пересекла бы плоскость а. Следовательно, b || а. Истинность теоремы для случая аса очевидна.
Задачи
44°. Является ли сформулированное в теореме 2 условие параллельности прямой и плоскости только достаточным или также и необходимым?
45°. Прямая а параллельна линии пересечения плоскостей
а и 0. Каково взаимное расположение а и а, а и 0?
46°. Сторона А В треугольника АВС лежит в плоскости а.
Как расположена относительно этой плоскости прямая MN, проходящая через середины сторон АС и ВС?
47°. Через сторону А В правильного шестиугольника ABCDEF проведена плоскость а. Как расположена по отношению к этой плоскости прямая: 1) CF, 2) CD, 3) DF, 4) DE?
16
[ ।
mathedu.ru
48°. Известно, что прямая параллельна плоскости. 1) Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости? 2) Может ли она пересечь хотя бы одну из таких прямых?
49.	1) Через данную точку проведите плоскость, параллельную данной прямой.
2) Через данную точку проведите прямую, параллельную данной плоскости.
50.	Прямые а и b параллельны. Через прямую а проведите плоскость, параллельную прямой Ь.
51.	Точки А и В принадлежат соот-
А
Рис. 20
ветственно пересекающимся плоскостям а и р, но не принадлежат их линии пересечения с. Проведите через А и В плоскость, па-
раллельную с.
52°. Дано: а р а = Л4, b || а. Каким может быть взаимное расположение прямых а и Ь?
53.	Точки М и N — внутренние точки ребер AD и АВ тетраэдра ABCD. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через данные точки и параллельной прямой АС.
Решение. Анализ. Предположим, что сечение построено (рис. 20). Пересечение плоскости сечения с гранью ADB получим, соединив точки М и N. По условию прямая АС параллельна плоскости сечения, поэтому пересечениями граней АСВ и ACD с плоскостью сечения служат отрезки NP и MQ, параллельные прямой АС (§ 7, теорема 3).
Построение. 1) [2VP] || (АС), Р С [ВС]; 2) [MQ] || (ЛС); Q С [ОС]. Четырехугольник NMQP — искомое сечение.
Доказательство. Плоскость NMQ параллельна прямой АС, так как (MQ) || (ДС) (§ 7, теорема 2).
Исследование. Задача имеет единственное решение. Действительно, ребро ВС пересекает плоскость сечения в единственной точке Р, а по аксиоме 4 через точки М, Af, Р проходит единственная плоскость.
Примечание. Примененная в этой задаче схема решения (анализ, построение, доказательство, исследование) является общей схемой решения задач на построение как в стереометрии, так и в планиметрии. Анализ в задаче на построение — это составление плана построения. Затем выполняется построение, после чего доказывается, что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям условия задачи. Наконец, при исследовании выясняется, сколько различных решений имеет задача.
Впрочем, выделение всех четырех этапов при решении каждой задачи не является обязательным: иногда удается сразу начать с построения, иногда доказательство проводится вместе с построением. Нередко исследование опускается. Если в задаче требуется провести исследование, то об этом говорится в условии.
17
|	1«Л|
mathedu.ru
54.	1) Постройте сечение тетраэдра A BCD плоскостью, содержащей медиану СМ грани АВС и параллельной прямой AD.
2) Найдите площадь сечения, если каждое ребро тетраэдра имеет длину а.
55.	Дан тетраэдр A BCD. Постройте линию пересечения плоскости АВС и плоскости, проходящей через (AD) и параллельной (ВС).
56.	Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середины ребер AD и CD и внутреннюю точку Р ребра ВС.
§ 8. ТРАНЗИТИВНОСТЬ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ. СВЯЗКА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
4. Теорема. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются, то их линия пересечения параллельна каждой из данных прямых.
Доказательство. Пусть прямая а параллельна прямой b (рис. 21). Через а проведена плоскость а, через b — плоскость 0, причем пересечением плоскостей а и 0 служит прямая с. Докажем, что с || а. По признаку параллельности прямой и плоскости заключаем, что прямая а параллельна плоскости 0, но тогда с || а (§ 7, теорема 3). Аналогично доказывается, что с || Ь.  5. Теорема. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
Доказательство. Пусть а || с и b || с, причем а, b и с не лежат в одной плоскости (рис. 22). Возьмем на прямой а произвольную точку М. Через с и М, b и М проведем соответственно плоскости а и 0; по теореме 4 линия MN пересечения этих плоскостей параллельна прямой Ь и прямой с. Через точку М нельзя провести две различные прямые, параллельные прямой с (§ 4, задача), поэтому прямые MN и а совпадают. Но так как (MN) || Ь, то и а || Ь.
Случай, когда а, Ь, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в планиметрии. 
Из теоремы 5 следует, что параллельность прямых в пространстве (как и на плоскости) обладает свойством транзитивности: если а || b и b || с, то а II с.
Рассмотрим множество всех прямых пространства, параллельных одной и той же прямой т (рис. 23). Это множе-
mathedu.ru
ство называют связкой параллельных прямых. Любые две прямые а и b связки (рис. 23) параллельны между собой (теорема 5). Связку параллельных прямых можно задать с помощью любой прямой, принадлежащей этой связке.
Задачи
57°. На рисунке 24 изображен куб ABCDAiB^Di. Каково взаимное расположение следующих прямых: 1) АВ и DiCi, 2) ВВХ и СхЛ; 3) DCi и D^; 4) и BCi, 5) DC и ВхСх; 6) А& и CCf, 7) AiB и DC; 8) и AjC; 9) AtC и BDi, 10) DxB и BDx?
58.	Может ли прямая быть параллельна: 1) только одному ребру куба1; 2) только четырем его ребрам; 3) пяти его ребрам; 4) только одной из диагоналей граней куба?
59.	Д а н о: а — Ь, с || а. Д о к а з а т ь: с^Ь.
60	. Даны две скрещивающиеся прямые а и Ь. Известно, что прямая с пересекает прямую а. Как может располагаться прямая с по отношению к прямой Ь?
61.	Параллелограммы ABCD и A^CD (рис. 25) лежат в различных плоскостях. Докажите, что |Д14| =
62.	В планиметрии теорема о транзитивности параллельности прямых дока-
Рис. 25
зывалась методом от противного с приме-
нением аксиомы параллельных прямых. Можно ли заменить доказательство теоремы 5 аналогичным рассуждением?
63°. Сколько различных связок параллельных прямых задают всевозможные прямые, каждая из которых содержит: 1) одно
ребро куба; 2) одну сторону правильного восьмиугольника;
3) одно ребро тетраэдра?
64°. Известно, что плоскость а параллельна одной из прямых связки параллельных. Докажите, что любая прямая этой связки
параллельна плоскости а.
65. Известно, что одна из прямых связки параллельных прямых пересекает плоскость. Докажите, что каждая прямая этой связки
пересекает данную плоскость.
1 Для краткости речи вместо «прямая а параллельна прямой Ь, содержащей отрезок МУ» будем говорить «прямая а параллельна отрезку M.V».
19
mathedu.ru
66°. Найдите объединение всех прямых данной связки параллельных прямых, каждая из которых пересекает данную прямую а.
67. Трапеция A BCD и треугольник МВС лежат в различных плоскостях аир (рис. 26). Через прямую AD и середину К стороны ВМ проведена плоскость у. Найдите длину
отрезка линии пересечения плоскостей Р и у, заключенного между сторонами треугольника, если |ВС| = 5 см.
68. Дана трапеция ABCD, где (АВ) || (CD), и точка М, не принадлежащая плоскости трапеции. Постройте линию пересечения плоскостей, проходящих: 1) через М и (CD), М и (АВ)\ 2) через М и (AD), М и (ВС).
§ Р. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
В плоскости а построим параллелограмм ABCD (рис. 27). Через все его вершины проведем параллельные прямые, не лежащие в плоскости а. На прямых по одну сторону от а отложим отрезки AAlt BBlt CClt DDr равной длины.
Концы этих четырех отрезков служат вершинами многогранника, все шесть граней которого — параллелограммы. Такой многогранник называется параллелепипедом.
Частным видом параллелепипеда является хорошо известный вам прямоугольный параллелепипед (рис. 28). Все его грани — прямоугольники.
Задача. В параллелепипеде ABCDA^CyPi (рис. 29) точки М, N, Р принадлежат соответственно ребрам DDt, ВВЪ СС}, причем (MP)	(DC),	(MN) -4К (DB).
Построить	линию пересечения
плоскостей MNP и АВС.
Решение. Анализ. Для нахождения искомой прямой достаточно построить две костей MNP таких точек общую точку прямых, одна лежит (MNP), а другая — (АВС).
Построение. В плоскости грани CCtDiD построим точку F пересечения прямых МР и DC (рис. 29); в плоскости, проходящей через параллельные прямые Z>DX и ВВи построим точку Е пересечения прямых MN и DB. Точки F, Е принадлежат и плоскости MNP .—И_
Рис. 28
общие точки плос-и АВС. Каждую из можно искать как двух пересекающихся из которых принад-
20
mathedu.ru
плоскости АВС (аксиома 3), поэтому (FE) — искомая прямая.
Исследование. Задача имеет единственное решение. Точки М, N и Р определяют единственную плоскость (§ 2, аксиома 4). Общая прямая FE плоскостей NMP и АВС существует, так как они имеют общую точку F. Эта прямая единственна (аксиома 5).
Задачи
Е
Рис. 29
69°. Дан параллелепипед ABCDA^^Di (рис. 27); | ВС\ = а, ДВ| = b, |ВВХ| = с. Найдите сумму длин всех ребер параллелепипеда.
70°. Дан параллелепипед ABCDA1BiCiDl (рис. 27). Плоскостям каких его граней параллельны прямые: 1) АВ\ 2) DDX; 3) ВХСХ; 4) прямая, соединяющая середины ребер АВ и СО?
71.	Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через концы трех ребер, выходящих из одной вершины. Найдите периметр и площадь сечения, если ребро куба имеет длину а.
72.	Дан параллелепипед ДВСОД1В1С1О1; М и N — середины ребер DC и ДХВХ. 1) Постройте точки пересечения прямых AM и AN с плоскостью грани ВВ^С', 2) постройте линию пересечения плоскостей AMN и ВВХСХ.
73.	Постройте сечение параллелепипеда ДВСОДХВХСХОХ плоскостью, проходящей через (ВСХ) и середину М ребра DDX.
74.	В параллелепипеде ДВС£>ДХВХСХОХ точка М — середина [ВХСХ]. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через: 1) (DC) и М; 2) (ДО) и М.
75.	Дан прямоугольный параллелепипед ДВСОДХВХСХОХ. Постройте его сечение плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, ДДХ и CD. Вычислите периметр сечения, принимая |ДВ| = 8 см, |ВС| = 7 см, |ДДХ| = 6 см.
76.	Дан параллелепипед ДВСОДХВХСХОХ. Постройте точку пересечения прямой ДХС с плоскостью, проходящей через ребра АВ и CXDX.
§ 10. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ.
ПРИЗНАК ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ
Два случая взаимного расположения двух плоскостей нам уже известны. Две плоскости: 1) совпадают, если они имеют три общие точки, не принадлежащие прямой (аксиома 4); 2) пересекаются, если они различны и имеют общую точку (аксиома 5).
Докажем, что возможен третий случай взаимного расположения двух плоскостей: две плоскости не имеют общей точки.
MATHEDU,RU
В плоскости а проведем две пересекающиеся прямые а и b (рис. 30). Через точку В19 не принадлежащую а, проведем прямые аг || а и bi II Ь; через аг и Ьх проведем плоскость р (§ 3, следствие 2).
Рис. 30
Докажем (от противного), что а и р не имеют общей точки. Предположим, что М — общая точка плоскостей а и р. Из аксиомы 5 следует, что их пересечением служит некоторая прямая с. Но плоскость а проходит через а, плоскость р — через а19 причем а || av Тогда с || а (§ 8, теорема 4).
Таким же образом доказываем, что с |] Ь. Получили противоречие с аксиомой параллельных: в плоскости а через точку В проходят две пересекающиеся прямые а и Ь9 параллельные прямой с. Следовательно, плоскости а и р не имеют ни одной общей точки, в
Итак, для двух плоскостей аир возможны только три случая: 1) а = Р; 2) а f] р = а; 3) а f| Р = 0.
Первый и третий случаи мы снова объединим.
Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общей точки или совпадают.
Обозначение параллельности плоскостей а и р: а || р.
Теорема (признак параллельности двух плоскостей).Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости
параллельны.
Истинность признака для случая, когда данные плоскости различны, следует из рассуждения, проведенного выше. Запишем символически это доказательство (рис. 30).
Дано: й с а, b са, а П b = В; GiCzP, ср; q || а, Ьг ||Ь.
Доказать: а || р.
Доказательство (от противного).
Пусть а П Р = с. Имеем:
(а || аъ а с а, aY cz Р) || а (теорема 4).
II ь.
Мы получили противоречие с аксиомой параллельных прямых. Следовательно, а || р.
Плоскости а и Р, удовлетво-I ряющие условию теоремы, могут совпадать (рис. 31). И в этом случае признак остается верным, так как совпадающие плоскости параллельны. 
MATHEDU.RU
Задачи.
77°. Каким может быть взаимное расположение плоскостей а и 0, если известно, что: 1) некоторая прямая а, лежащая в плоскости а, не лежит в плоскости р; 2) ни одна из прямых, лежащих
Рис. 32
в плоскости а, не лежит в плоскости р.
78°. Верно ли утверждение, что плоскости параллельны, если: 1) прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой другой плоскости; 2) две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым другой плоскости?
79°. Укажите модели параллельных плоскостей на предметах классной обстановки.
80°. Докажите параллельность плоскостей, в которых расположены противолежащие грани параллелепипеда (рис. 27).
81.	Диагональ и сторона многоугольника параллельны плоскости а. Верно ли утверждение, что плоскость многоугольника параллельна плоскости а, если многоугольник имеет: 1) четыре стороны; 2) пять сторон; 3) п сторон (п > 5)?
82.	Дан тетраэдр ABCD\ точки М, N, Р являются серединами ребер DA, DB, DC. Докажите, что (MNP) || (АВС).
83.	Прямые а, Ь, с, не лежащие в одной плоскости, имеют общую точку О. На каждой из этих прямых взяты по разные стороны от точки О соответственно пары точек: At и Л2, В] и В2, Ci и С2. Докажите, что плоскости ASjCi и А2В2С2 параллельны, если |ОЛх| = |ОЛ2|, |OBil = |ОВ2|, |ОСХ| = |ОС21.
84.	1) Докажите, что если каждая из двух пересекающихся прямых плоскости а параллельна плоскости 0, то эти плоскости
параллельны.
2°) Для проверки горизонтальности установки лимба угломерных инструментов пользуются двумя уровнями, расположенными на одной плоскости (рис. 32). Почему уровни располагают на пересекающихся прямых?
§ 11. ТЕОРЕМЫ 0 ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКОСТЯХ
7. Теорема. Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.
Дано: а || 0, у f] а = а, у Q 0 = Ь.
Доказать: а ||\ Ь.
Доказательство проведите самостоятельно (рис. 33). Рассмотрите только тот случай, когда плоскости а и 0 различны.
8. Т е о р ем а. Через данную точку можно провести одну и только одну плоскость, параллельную данной плоскости.
MATHEDU.RU
Рис. 34
Рис. 33
Доказательство. Пусть Д а (рис. 34). Существование плоскости (3, проходящей через точку А и параллельной плоскости а, уже было доказано (§ 10). Докажем единственность такой плоскости.
Предположим, что через А проходит плоскость рь параллельная а и не совпадающая с 0. Тогда по аксиоме 5 плоскости Р и Pi пересекаются по некоторой прямой т (рис. 34). Проведем в плоскости а прямую Z, скрещивающуюся с т; через / и Д проведем плоскость у. Эта плоскость пересечет плоскости 0 и 0Х соответственно по прямым Ь и Согласно теореме 7 имеем: b |] I и Ьх || Z, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, предположение о существовании плоскости рх неверно.
Истинность теоремы для случая, когда точка В принадлежит плоскости а, не требует подробных пояснений. В этом случае единственной плоскостью, проходящей через В и параллельной а, служит эта же плоскость а. Ц
Следствие. Если каждая из двух данных плоскостей параллельна третьей
плоскости, то данные две плоскости параллельны между собой. Доказательство проведите самостоятельно, например, способом от противного (рис. 35).
Задача. Через каждую из двух скрещивающихся прямых провести плоскость так, чтобы эти плоскости были параллельны.
Решение. Через произвольную точку М прямой а проведем прямую аи параллельную прямой b (рис. 36); через прямые а и аг проведем плоскость а. Аналогично проводим плоскость 0.
MATHEDU.RU
Плоскости аир параллельны согласно признаку параллельности плоскостей.
Задача имеет единственное решение.
Задачи
85. Каким может быть взаимное расположение прямых а и Ь, каждая из которых лежит в одной из двух различных параллельных плоскостей?
86.	Могут ли быть параллельны прямые, полученные при пересечении двух пересекающихся плоскостей третьей плоскостью?
87.	Докажите, что если плоскость пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
88.	Докажите, что если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
89.	1) Закончите формулировку теоремы: «Два параллельных отрезка, концы которых принадлежат параллельным плоскостям (рис. 37), имеют...». Докажите эту теорему.
2°) Могут ли иметь равные длины два непараллельных отрезка, концы которых принадлежат параллельным плоскостям?
90.	Через данную прямую проведите плоскость, параллельную данной плоскости. Исследуйте решение.
91. Дан о: а || аь р ||	а (] Р = с,
«1 fl Р1 = С1-
Доказать: с ||
92. Построить сечение параллелепипеда ABCDA^CyDy плоскостью а, проходящей через вершины А, Си точку М ребра Л^ (рис. 38).
Решение. Пересечение плоскости а с двумя гранями получим, проведя отрезки АС и AM. Линия пересечения плоскости а с гранью Л1В1С1Р1 параллельна (АС) (§ 11, теорема 7), поэтому построим
[ТИМ] || [ЛС]. Наконец, строим отрезок NC. Трапеция AMNC — искомое сечение. Если M=Blt то искомое сечение есть треугольник ЛВХС, а если М = Ль то сечение — параллелограмм АА^С. Решение единственное (аксиома 4).
93.	Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью, проходящей через внутреннюю точку М ребра АВ и параллельной грани DBC.
MATHEDU.RU
94.	Через вершину тетраэдра проведена плоскость, параллельная противолежащей грани. Постройте линии пересечения этой плоскости с плоскостями остальных граней тетраэдра.
95.	На ребрах AD и BxCj параллелепипеда ABCDA1B1C1Dl даны внутренние точки М и /V. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки М9 N и параллельной ребру АВ.
96.	Постройте сечение куба АВСОА^С^! плоскостью, проходящей через вершину В и середины ребер ССХ и ALDt.
§ 12.	ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ФИГУРЫ. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ
В вила, которыми пользуются
этом и следующем параграфах будут сформулированы пра-в стереометрии при изображении фигур. Прежде всего введем несколько новых понятий.
Рис. 41
Пусть дана плоскость а и прямая /, пересекающая а (рис. 39). Возьмем произвольную точку Дх; через нее проведем прямую /х, параллельную прямой I. Прямая /х пересечет а в некоторой точке А (рис. 39). Полученную таким способом точку А назовем проекцией точки Дх на плоскость а при проектировании параллельно прямой I (короче, точка А — параллельная проекция точки Дх). Параллельной проекцией фигуры Фх назовем множество Ф параллельных проекций всех точек данной фигуры.
Представление о параллельной проекции фигуры получим, рассматривая тень, которую отбрасывает на стену в солнечный день картонная или проволочная модель этой фигуры (рис. 40 и 41). Солнечные лучи можно приближенно считать параллельными вследствие большой удаленности Солнца от Земли.
Модель правильного шестиугольника AxB^D^^y (рис. 41) отбрасывает на стену тень в виде многоугольника ABCDEF. Рассматривая эту тень (при различ-.
'i До|
26
MATHEDU.RU
ных положениях плоскости шестиугольника относительно плоскости стены), можно высказать несколько гипотез о свойствах параллельного проектирования. Формулируя эти свойства, будем полагать, что проектирование производится параллельно прямой /, не параллельной проектируемым прямым или отрезкам.
Свойство 1. Проекция прямой есть прямая.
Свойство 2. Проекции параллельных прямых параллельны. Свойство 3. Отношение длин проекций двух параллельных отрезков равно отношению длин проектируемых отрезков.
Доказательства этих свойств опускаем.
Задачи
97.	Даны три различные точки. Сколько точек может получиться на плоскости проекций при проектировании данных точек?
98°. Какой фигурой является проекция проектирующей прямой?
99°. Какой фигурой может быть проекция: 1) плоскости; 2) полуплоскости; 3) угла, отличного от развернутого?
100	. В каком случае: 1) проекция точки совпадает с этой точкой; 2) проекция прямой совпадает с этой прямой?
101°. В каком случае неверно утверждение: «Проекции параллельных прямых параллельны»?
102.	Известно, что отрезок и его проекция имеют равные длины. Как может быть расположен данный отрезок по отношению к плоскости проекций?
103.	1) Какие фигуры можно получить, проектируя на плоскость объединение двух пересекающихся прямых?
2) Какие фигуры можно получить, проектируя на плоскость объединение двух скрещивающихся прямых?
104.	Г) Если проекции двух прямых параллельны, то верно ли утверждение, что параллельны и проектируемые прямые?
2)	Даны скрещивающиеся прямые а, Ь и плоскость проекций а. Проведите прямую I так, чтобы при проектировании параллельно I проекции прямых а и Ь были параллельны.
105.	Из одной точки выходят три луча, не лежащие в одной плоскости. Какой фигурой может быть проекция объединения этих лучей?
106.	Отрезок АВ пересекает плоскость проекций в точке М. Его проекцией служит отрезок А^. Известно: |ЛВ| = ш, : |MSJ = р : q. Найдите |Л7И| и |Л4В|.
§ 13.	ИЗОБРАЖЕНИЕ ФИГУР В СТЕРЕОМЕТРИИ
В стереометрии изображением фигуры (оригинала) будем называть любую фигуру, подобную параллельной проекции данной фигуры на некоторую плоскость. Для данной фигуры форма ее изображения зависит от положения оригинала относительно
27
MATHEDU.RU
Рис. 42
Рис. 43
плоскости проекций, а также от выбора прямой /, параллельно которой выполняется проектирование.
Задача построения изображения фигуры считается решенной, если получено любое изображение фигуры, достаточно наглядное и удобное для проведения на нем дополнительных линий. Способы построения изображений, которыми мы будем пользоваться, основаны на свойствах параллельного проектирования.
1.	Треугольник. Наблюдая тень модели треугольника (рис. 42), естественно предположить, что проекция данного треугольника может быть треугольником любой формы. Верно утверждение: произвольный треугольник, лежащий в плоскости проекций. можно считать изображением данного треугольника.
В частности, равносторонний треугольник можно изображать в виде любого разностороннего треугольника. Приходим к выводу: при параллельном проектировании величина угла и отношение длин непараллельных отрезков, вообще говоря, не сохраняются.
Свойство 3 параллельной проекции позволяет, в частности, заключить, что медиана треугольника изображается медианой изображения этого треугольника (рис. 43).
2.	Параллелограмм. Так как параллельность прямых при параллельном проектировании сохраняется, то изображением параллелограмма (в частности, прямоугольника, ромба, квадрата) служит параллелограмм (рис. 44). Длины сторон и величины углов этого параллелограмма (изображения) можно выбрать произвольно.
Для обоснования последнего утверждения достаточно применить правило изображения треугольника (пункт 1) к треуголь-
Рис. 44
23
MATHEDU.RU
нику, полученному после проведения диагонали параллелограмма-оригинала (рис. 44).
3.	Трапеция. Свойства параллельной проекции позволяют заключить, что трапеция А^СРх изобразится в виде трапеции A BCD (рис. 45), у которой отношение |ДВ| : |СО| оснований равно отношению HxBJ : 1^0x1 оснований оригинала.
Равнобедренная трапеция имеет ось симметрии. Пользуясь этим, построим (рис. 46) изображение высоты [DE] этой трапеции: |ВЛГ| = \NA |, |СЛ4| = |Л1О|, (DE) || (MN).
4.	Правильный шестиугольник. Рассмотрим правильный шестиугольник А^СРр]!7! (рис. 47, а). Проведем в нем диагонали A1D1 и С^. Получим ромбы А^РРх и симметричные относительно точки Ох.
Ромб АхВ^СуРх изображаем согласно пункту 2 в виде произвольного параллелограмма АВСО (рис. 47, б). Затем изображаем параллелограмм ODEF. симметричный параллелограмму АВСО относительно точки О (§ 12, свойство 3). Соединив точки С и D, А и В, получим искомое изображение ABCDEF.
5.	Тетраэдр. Рассмотрим тень каркасной модели тетраэдра (рис. 48).
Можно предположить, что изображениями ребер данного тетраэдра могут служить стороны и диагонали произвольного (выпуклого или невыпуклого) четырехугольника ABCD (рис. 49 и 50). Доказательство этого факта, которым будем в дальнейшем пользоваться, опускаем.

MATHEDU.RU
Рис. 50
Рис. 53
Рис. 52
6.	Параллелепипед. Пусть дан параллелепипед ABCDAiBtC^Di (оригинал). Выберем три его ребра АВ, AD, AAi (рис. 51), выходящие из одной вершины. Рассмотрим тетраэдр AjABD. Пользуясь правилом изображения тетраэдра, приходим к выводу, что ребра АВ, AD, AAt можно изобразить в виде трех произвольных отрезков, выходящих из одной точки (рис. 52, а). На этом «произвол» при изображении параллелепипеда заканчивается. Остальные его ребра придется изображать (согласно свойствам 1—3 из § 12) вполне определенными отрезками (рис. 52, б): каждый из них параллелен одному из построенных отрезков и равен ему по длине.
Верно выполненное изображение параллелепипеда (как, впрочем, и других фигур) может иногда выглядеть несколько необычным. Например, на рисунке 53 показаны изображения куба, которые можно получить при надлежащем выборе проектирования. Ясно, что мы предпочтем привычное изображение куба (рис. 24).
Способы изображения многих других фигур будут рассмотрены в курсе X класса.
Задачи
107°. Треугольник АВС является проекцией треугольника В треугольнике А^В^ проведены из вершины биссектриса, медиана и высота. Будут ли проекции этих отрезков
30
|Щ|о1
MATHEDU.RU
являться биссектрисой, медианой и высотой треугольника ЛВС?
108. Дано изображение равнобедренного треугольника в виде разностороннего треугольника. На этом изображении постройте: 1) изображение биссектрисы угла при вершине, 2) изображение перпендикуляра к основанию, проведенного через середину боковой стороны.
109. Дано изображение треугольника и двух его высот. Постройте изображение центра круга, описанного около треугольника-оригинала.
ПО*. 1) Треугольник АВС служит изображением треугольника Л^Сх, у которого ^xBJ : |BxCJ = 2:3. Постройте изображение биссектрисы угла Вг.
2) Треугольник АВС — изображение прямоугольного треугольника ЛхВхСх, длины катетов А& и ВХС1 которого относятся как 3 : 4. Постройте изображение центра круга, вписанного в треугольник ЛхВхСх.
111°. Может ли: 1) изображением заданного четырехугольника служить произвольный четырехугольник; 2) изображением трапеции служить параллелограмм; 3) изображением ромба — квадрат?
112°. 1) Какие из свойств ромба останутся верными для изображения этого ромба? Какие могут не сохраниться?
2) Какие свойства прямоугольника остаются верными для его проекции?
113.	Трапеция ABCD является проекцией трапеции ABC1Dl на плоскость, проходящую через (АВ). Равны ли длины средних линий этих трапеций, если: 1) (АВ) || (СО); 2) (ВС) || (Л£>)?
114.	На изображении равнобедренного прямоугольного треугольника постройте изображение квадрата, лежащего в плоскости треугольника, если стороной квадрата служит: 1) катет данного треугольника; 2) его гипотенуза.
115.	На изображении правильного шестиугольника постройте изображение: 1) апофемы шестиугольника; 2) биссектрисы одного из его внешних углов; 3) перпендикуляра, проведенного через центр к одной из меньших диагоналей.
116.	Постройте на изображении ромба изображение его высоты, если угол ромба равен 45°.
1171.	Все ребра тетраэдра ABCD имеют равные длины, К — середина ребра BD. 1) Постройте две прямые КМ и KN, перпендикулярные соответственно (AD) и (DC) и пересекающие их в точках М и N. 2) Постройте точку пересечения плоскости KMN с прямой, соединяющей вершину D и точку пересечения медиан противолежащей грани. 3) Найдите площадь треугольника KMN, приняв длину каждого ребра тетраэдра равной а. * I
1 В этой и некоторых других задачах мы опускаем слово «изображение».--
31
I
mathedu.ru
118. Точка М принадлежит ребру ААг куба ABCDA1B1C1D1, причем \АМ | :	= 2. 1) Постройте сечение, проходящее
через точку М и делящее пополам [BBJ и [ССХ]. 2) Найдите наибольшую сторону сечения, если ребро куба равно а.
119*. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1BlC1D1 длины ребер Л В, ВС, ВВГ пропорциональны числам 3, 2, 1. Постройте две прямые, проходящие через точку Вх и соответственно перпендикулярные (BCJ и (ВЛХ).
120.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 длины ребер ЛВ, ВС, ВВХ пропорциональны числам 3, 2, 1. Постройте точку пересечения: 1) ребра АВ с биссектрисой угла ВВ1Л1; 2) прямой СС\ с биссектрисой угла ВВ1С1.
Задачи на повторение к главе I
121.	Даны п точек (п 4), никакие четыре из которых не принадлежат одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести так, чтобы каждая из них проходила через три данные точки?
122.	Даны точки Л, В, С, D, не принадлежащие одной плоскости. Докажите, что середины отрезков Л В, ВС, CD, DA принадлежат одной плоскости. Вершинами какой фигуры служат эти точки?
123°. Может ли прямая лежать в плоскости грани параллелепипеда, если известно, что эта прямая имеет общие точки: 1) только с одним ребром параллелепипеда; 2) только с двумя ребрами; 3) только с тремя ребрами; 4) только с четырьмя ребрами; 5) с шестью ребрами?
124*. В параграфе 6 сформулировано достаточное условие того, чтобы прямые а и b были скрещивающимися. Является ли это условие также необходимым?
125.	Дано: а — b, М £ а, М £ Ь. Через точку М проведите прямую с так, чтобы она скрещивалась с каждой из данных
прямых.
126*. Даны две скрещивающиеся прямые тип. Через точку В,
не принадлежащую
ни одной из них, проведите прямую, пересекающую обе данные прямые (рис. 54).
127. Дано: ар|0=/п, аса, тГ|а=Л, 0 Г|Ь=В (Л #= В). Каково взаимное расположение прямых а и Ь?
128°. Прямая а пересекает плоскость а. Можно ли провести в плоскости а прямую, параллельную а?
129°. Как могут быть расположены прямая а и плоскость а, если данная прямая и некоторая прямая, лежащая в плоскости а, скрещиваются?
MATHEDU.RU
130.	Прямая а параллельна плоскости а. Докажите, что прямая, проведенная через точку М, принадлежащую данной плоскости, параллельно данной прямой, лежит в плоскости а.
131.	Дано: т || а, т cz р, т cz у; р П а=л, у П Доказать: а || Ь.
132.	Постройте сечение тетраэдра A BCD плоскостью, проходящей через внутреннюю точку М грани АВС и параллельной прямым АВ и DC.
133.	Даны тетраэдр ABCD и точки Л4, Л\ Р, принадлежащие соответственно граням ABC, ABD и ACD (но не принадлежащие ребрам). Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.
Решение. Анализ. Пусть (MNP) = а. Выясним, как построить пересечение плоскости а с гранью АВС (рис. 55). Точка М является общей для а и (АВС). Если (NP) (АВС) (рис. 55, а), то второй общей точкой плоскостей АВС и а может служить точка пересечения прямых NP и ад, где (NJ\) = (ABC)ft(NPD). Если же (NP) || (АВС) (рис. 55, 6), то линия пересечения плоскостей а и (АВС) параллельна (NP) (§ 7, теорема 3).
Построение.
1)	(Л\Л) = (NPD) л (ЛВС);
2)	К = (ВД) Л (UP) (для случая (UP) 'И- (АВС), рис. 55, а);
3)	(КМ) = а П (АВС), [FE] = а П ДЛВС.
Если же (NP) || (АВС), то [FE] || [ЯР] (рис. 55, б);
4)	(EN) = а П (ABD), [ЕЯ] = а Л ДЛВО;
5)	(FP) = а П (ACD), [FG] = а Л ДЛСЕ.
Сечение EFGH удовлетворяет условию задачи.
2 Заказ 210.
MATHEDU.RU
Исследование. Задача имеет единственное решение (аксиома 4). Сечение может быть четырехугольником (рис. 55, а, б) или треугольником (рис. 55, в).
134*. Постройте сечение тетраэдра ABCD плоскостью MNP, где М £ A.ADC, N С А ВВС, Р € [ЛВ].
135.	1) Дано: а || р. Верно ли утверждение, что в плоскости а можно провести две прямые, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым плоскости Р?
2°) Используя результат пункта 1 этой задачи, сформулируйте достаточное и необходимое условие параллельности двух плоскостей.
136.	Как могут быть расположены плоскости аир, если: 1) некоторая прямая а, пересекающая а, параллельна р; 2) любая прямая, лежащая в плоскости а, параллельна Р?
137°. Дано: а с а, а || р. Верно ли утверждение, что а || р?
138.	Д а н о: а || р, а || а. Д о к а з а т ь: а || р.
139.	Дано: а || р (а =/= Р),	{А, С] cz а,	{В, D} <= р,
[ЛВ]П[CD] = М. Доказать: (АС) || (ВО).
140.	Верны ли утверждения: 1) (а || р, ос а) => а || Р; 2) (а cz а, b cz Р, а П b = 0) =Ф а || Р?
141.	Дан параллелепипед АВСЬЛ^С^!. Докажите, что (A.DB) || (OiCBJ.
142.	Даны параллельные плоскости аир. Через точку М, не принадлежащую ни одной из них, проведены прямые а и Ь, которые пересекают а соответственно в точках Ai и Вь а плоскость р — в точках А г и В2. Известно: | Л4Хг| = 8 см, |^4i^4el = = 12 см, |ЛгВг| = 25 см. Найдите HxBJ.
143.	Дано: а||р, -у П = гга, у Г1 <х = а, 6 П Р = Ь, т\\а. Доказать: т || Ь.
144.	Найдите объединение всех прямых, которые проходят через данную точку и параллельны данной плоскости.
145*. Постройте сечение параллелепипеда ЛВСОЛхВ^Вх плоскостью MNP, если точки М, N, Р принадлежат соответственно: 1) ребру АВ, граням AAjDlD и ВВ&С', 2) граням ABCD, ААХВ1В, ВВ&С.
mathedu.ru
146. В тетраэдре ABCD вершина D соединена отрезком с точкой М пересечения медиан грани АВС. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку /V € [DA4] и параллельной грани BCD.
147*. На трех попарно скрещивающихся ребрах параллелепипеда взяты три точки. Постройте сечение, проходящее через эти точки.
148.	Может ли сечением куба являться: 1) правильный треугольник; 2) квадрат: 3) правильный пятиугольник; 4) правильный шестиугольник; 5) восьмиугольник?
149.	Дан перечень фигур: 1) точка; 2) прямая; 3) отрезок; 4) луч; 5) угол; 6) плоскость. Какие фигуры могут получиться при проектировании каждой из данных фигур? При выборе ответов пользуйтесь этим же перечнем.
150°. Даны точки Al9 Bt и их проекции А, В на плоскость а (рис. 56, а). Как построить точку пересечения прямой AtBt с плоскостью а?
151°. Даны точки Alf Bl9 Clt не принадлежащие прямой, и их проекции А, В, С на плоскость а (рис. 56, б). Как построить линию пересечения плоскостей A^Ct и а?
152. Постройте точку пересечения плоскости, проходящей через ребро AD тетраэдра ABCD и точку Л1 € [ВС], с прямой PQ, где Р € [ЛВ] и Q С [CD].
MATHEDU.RU
ГЛАВА II
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА. ВЕКТОРЫ
$ 14. ОТОБРАЖЕНИЕ ФИГУРЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВА
В стереометрии важную роль играет понятие отображения одной фигуры на другую. Смысл этого понятия такой же, как и в планиметрии.
В качестве примера отображения рассмотрим проектирование треугольника АВС на плоскость а параллельно прямой I (рис. 67). Этим отображением каждой точке М треугольника АВС ставится в соответствие единственная точка Aflt принадлежащая плоскости а.
Если каждой точке М фигуры Ф ставится в соответствие единственная точка Мг фигуры F, то такое соответствие называют отображением фигуры Ф в фигуру F. Точку при этом называют образом точки М.
В приведенном примере Ф = ДДВС, F = а. Проекцией треугольника АВС служит треугольник	лежащий в пло-
скости а (предполагаем, что плоскость АВС не параллельна прямой /).
Множество Фх образов всех точек фигуры Ф называется образом фигуры Ф. Из определения отображения следует, что Фх cz F. Если же Фх = F, то говорят: фигура Ф отображается на фигуру Фх (вместо предлога «в» употребляют предлог «на»). Например, при проектировании на плоскость а параллельно прямой I образом тетраэдра ABCD служит четырехугольник AtBlC1Dl (рис. 58).
Рис. 57
36
MATHEDU.RU
Поэтому говорят также, что тетраэдр ABCD отображается на четырехугольник AXBXCXDX.
Рассмотренные два примера отображе-	7
ний существенно отличаются друг от дру-га. В первом из них образы любых двух различных точек треугольника АВС различны. Для второго отображения харак-	Рис‘ 59
терно то, что существуют различные точки
М и М‘ тетраэдра ABCD, которые имеют один и тот же образ Мг (рис. 58).
Приведем еще один пример.
Точки М и М1 называются симметричными относительно центра О, если точка О является серединой отрезка ММГ (рис. 59). Центр О считается симметричным самому себе.
Каждой точке М пространства поставим в соответствие симметричную ей точку Мг относительно данного центра О. Получим отображение пространства на себя, называемое центральной симметрией. Каждые две различные точки центральная симметрия отображает на различные точки.
Определение. Отображение пространства на себя, при котором любые две различные точки имеют различные образы, называется преобразованием пространства.
Центральная симметрия является одним из видов преобразований пространства. Центральную симметрию с центром О будем обозначать символом Zo.
Некоторые другие виды преобразований пространства будут рассмотрены в дальнейшем.
Произвольное преобразование пространства обозначим буквой f. Если f отображает точку М на точку Мг, то пишут: f (М) = Мр Запись / (Ф) = Oj означает, что/отображаетфигуру Ф на фигуру Фг
Преобразование / можно рассматривать как множество всех упорядоченных пар точек (М, MJ, где = f (Л4). Множество всех упорядоченных пар точек (/Wj, М) определяет другое преобразование, отображающее Л12 на М. Такое преобразование называется обратным преобразованием к / и обозначается f"1. Если / (М) = М19 то /-1 (MJ = М,
В результате последовательного выполнения преобразований /х и /2 появляется новое преобразование: / (М) = /2 (/i (М)). Если/i (М) = Mj и /2 (MJ = М2, то / (М) = М2. Преобразование/ называют композицией преобразований и /2.
Обозначение композиции / преобразований fr и /2:
/2э/х =/.
Преобразование пространства, отображающее каждую точку на себя, называется тождественным преобразованием. Его обозна
MATHEDU.RU
чают буквой £. Согласно определению, для любой точки М пространства имеем: Е (М) = М. Преобразование Е можно рассматривать как множество всех пар совпадающих точек.
Задачи
153°. Какая фигура может служить при параллельном проектировании образом: 1) треугольника; 2) трапеции; 3) тетраэдра; 4) параллелепипеда?
154°. Все точки пространства проектируются на плоскость. Можно ли сказать, что это отображение является преобразованием пространства?
155°. Постройте образы вершин тетраэдра ABCD при симметрии с центром А.
156°. Существуют ли точки, прямые и плоскости, которые центральной симметрией отображаются на себя?
157°. 1) Какое преобразование является обратным для центральной симметрии?
2) Каким преобразованием является композиция двух центральных симметрий, имеющих один и тот же центр?
158°. Найдите композиции: 1) Е о /; 2) /”х о f.
§ 15. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА. КОНГРУЭНТНОСТЬ ФИГУР
Из множества всех преобразований выделим множество преобразований, при которых расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами. О таких преобразованиях говорят, что они сохраняют расстояния. Примером преобразования, сохраняющего расстояния, является центральная симметрия. Докажем это.
Пусть центральная симметрия Zo отображает две произвольные точки М и W пространства соответственно на точки Мг и (рис. 60). Точки О, М, N, Mkt Ni принадлежат одной плоскости. Обозначим ее через а. При симметрии Zo плоскость а отображается на себя, причем это отображение можно рассматривать как центральную симметрию плоскости а относительно центра О.
Но центральная симметрия плоско-
сти сохраняет расстояния, поэтому = | A4AZ|.
Определение 1. Преобразование пространства, сохраняющее расстояния, называется перемещением.
Из определения перемещения вытекает:
а)	тождественное преобразование есть перемещение;
б)	преобразование, обратное перемещению , есть перемещение;
MATHEDU.RU
в)	композиция двух перемещений есть перемещение.
В дальнейшем будем пользоваться и другими свойствами перемещений: любое перемещение отображает прямую на прямую, плоскость — на плоскость.
Можно доказать также, что перемещение F отображает отрезок АВ на отрезок F (Д) F (В); полуплоскость с границей р — на полуплоскость с границей F (р); полупространство с границей а — на полупространство с границей F (а); тетраэдр ABCD — на тетраэдр F (Д) F (В) F (С) F (D) и т. д.
Наконец, одним из важных свойств перемещений является сохранение величины угла при перемещениях.
Определение 2. Фигура Фх называется конгруэнтной фигуре Ф, если существует перемещение, отображающее Ф на ФР
Обозначение:	Ф.
Из свойств а) — в) перемещений следует, что конгруэнтность фигур обладает свойствами рефлексивности (Ф = Ф), симметричности (если Фх Ф, то Ф cbj, транзитивности (если Фх Ф и Ф2 Фх, то Ф2 Ф).
Задачи
159°. Верно ли утверждение, что всякое отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния, является преобразованием пространства?
160. Дана плоскость а и прямая /, пересекающая а. Каждой точке М а ставится в соответствие такая точка М19 что (MMj) ||/ и а делит отрезок ММГ пополам (рис. 61). Любой точке плоскости а ставится в соответствие эта же точка. Является ли задан-
ное отображение пространства на себя: 1) преобразованием пространства; 2) перемещением?
161. Сохраняет ли перемещение: 1) параллельность двух прямых; 2) параллельность прямой и плоскости; 3) параллельность двух плоскостей?
162. Докажите, что центральная симметрия отображает: 1) прямую на параллельную ей прямую; 2) плоскость на параллельную ей плоскость.
163. Точка О называется центром симметрии фигуры, если при симметрии относительно О эта фигура отображается на себя.
Сколько центров симметрии имеют следующие фигуры: 1) отрезок; 2) прямая; 3) плоскость; 4) объединение двух параллельных плоскостей; 5) объединение двух пересекающихся плоскостей; 6) объединение пересекающихся прямой и плоскости; 7) объединение параллельных прямой и плоскости?
MATHEDU.RU
$ 16. НАПРАВЛЕНИЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Словом «направление» часто пользуются в обыденной речи. Например, говорят о направлении полета воздушного лайнера или направлении движения межпланетной станции. В курсе восьмилетней школы вы ознакомились
Рис. 63
с понятием направления на плоскости. Выясним смысл этого понятия для пространства.
1. Пусть лучи hx = [O^i) и Л2 = [О2^4 г) лежат на различных параллельных прямых. Тогда эти прямые лежат в некоторой плоскости а (§ 3). Рассмотрим две ее полуплоскости и а2 с границей (OiO2)- Если оба данных луча лежат в одной из этих полуплоскостей (рис. 62, а), то такие лучи называются сонаправ-ленными; если же hx и й2 лежат в различных полуплоскостях (рис. 62, б), то эти лучи называются противоположно направленными.
2. Пусть лучи hx и Л2 лежат на одной прямой. Эти лучи называются сонаправленными, если их пересечением служит луч (рис. 63, а), и противоположно направленными, если h± f] h2 не является лучом (рис. 63, б, в, г).
Сонаправленность лучей и h2 обозначим так: hr ff h2. Если лучи hr и h2 противоположно направлены, то будем писать: hr || h2. Пусть заданы луч АВ и точка М (рис. 64). Через точку М проведем прямую /и, параллельную (АВ) (§ 4, задача). Такая прямая единственна. Рассмотрим на прямой tn лучи т1 и т2 с общим началом М. Один из них (/nx на рис. 64) сонаправлен с лучом АВ. Другой луч и [ЛВ) противоположно направлены.
Итак, каждая точка пространства служит началом только одного луча, сонаправленного с данным лучом, и единственного
MATHEDU.RU
луча, противоположно направленного 	i
с ним.	I	ihf
Заметим, что центральная симмет- lh3	I
рия отображает каждый луч на проти- I i	1
воположно направленный луч. Чтобы в	JL-—*------------
этом убедиться, достаточно через луч и />А______
центр симметрии провести плоскость и I л. i	1
воспользоваться аксиомой 9.	\	I s' /
В пространстве, как и на плоскости, X, сонаправленность лучей обладает свой-ствами рефлексивности: h ft h, симмет-	рис< 55
ричности: если hr || й2, то h2 ft hi9 и транзитивности: если h± Ц h2 и h2 |f h3, то hr ft h3 (рис. 65).
Множество всех лучей, каждый из которых сонаправлен с одним и тем же лучом, называется направлением в пространстве.
Любой луч вполне определяет все множество сонаправленных с ним лучей. Поэтому в дальнейшем направление в пространстве будем задавать с помощью одного луча.
Задачи
164°. Дан тетраэдр ABCD. Имеются ли среди лучей АВ, АС, AD, CD: 1) сонаправленные; 2) противоположно направленные?
165°. Дан параллелепипед ABCDA^^D^ Назовите среди лучей АВ, AD, AAlt ВС, СТЬ, ВВ19 СгС, АгЬг: 1) сонаправленные; 2) противоположно направленные.
166. Г) Обладает ли противоположная направленность лучей свойством транзитивности?
2) Докажите, что два луча сонаправлены, если они противоположно направлены с третьим лучом.
167. Дано: [ЛВ) ft [MN), [CD) [W Каково взаимное расположение лучей АВ и CZ)?
§ 17. ВЕКТОР
Понятие вектора в стереометрии вводится так же, как и в
планиметрии.
Рассмотрим упорядоченную пару (Л, В) несовпадающих точек. Она определяет направленный отрезок с началом Л и концом В (рис. 66). С помощью пары (Л, В) зададим преобразование пространства. Каждой точке М поставим в соответствие точку MY, которая получится в результате следующего построения.
Приняв точку М за начало, проводим луч т, сонаправленный с лучом АВ (рис. 67). На луче т имеется единственная точка 2Ult удаленная от М на расстояние | АВ\. Это построение задает преобразование пространства, отображающее точку М на точку Мъ
Й1
MATHEDU.RU
в Определение. Вектором (па-раллельным переносом), определяемым парой (Л, В) несовпадающих точек, на-зывается преобразование пространства, при котором каждая точка М отобра-А	жается на такую точку М,, что луч
Рис. 66	сонаправлен с лучом АВ и расстояние
[ М7И1| равно расстоянию |ЛВ|.
Вектор, заданный парой (А, В) не-совпадающих точек, обозначается сим-волом АВ. Направление, определяемое лучом АВ, называется направлением вектора АВ, а расстояние |ЛВ|— ®	длиной вектора АВ.
Условимся, что любая пара совпа-А дающих точек задает тождественное Рис. 67	преобразование, которое мы будем
называть теперь нулевым вектором. Длина нулевого вектора равна нулю, понятие направления для него не вводится. Нулевой вектор, ►
заданный парой (Д, Д), обозначают символом А А.
Применяются и иные обозначения: а, Ь, с...—векторы; |а| или а — длина вектора а; 0 — нулевой вектор.
Каждый вектор, отличный от нулевого, вполне характеризуется своим направлением и длиной. Поэтому, если ненулевые векторы а и Ь сонаправлены и имеют равные длины, то эти векторы равны (совпадают): а = Ь.
Пусть даны вектор а и точка Д. Можно построить единственную точку В такую, что АВ = а (рис. 68). Это построение называют откладыванием вектора а от точки Д.
Если вектор а отображает точку М на точку Мх, то записывают: а (М) — Mi или а = ММХ.
Вектор пространства обладает следующими свойствами:
1.	Вектор есть перемещение.
2.	Вектор отображает луч на сона-правленный с ним луч. прямую — на параллельную ей прямую.
3.	Вектор отображает плоскость на параллельную ей плоскость.
Первые два из этих свойств доказываются так же, как и в планиметрии. Поэтому остановимся на доказательстве только третьего свойства. Пусть
42
MATHEDU.RU
даны вектор а и плоскость а (рис. 69). Вектор а является перемещением (свойство 1), поэтому он отображает плоскость а на некоторую плоскость (§ 15). Докажем, что ах || а.
На плоскости а проведем две пересекающиеся прямые b и с. Пусть а (Ь) = Ьх и а (с) = сг. Тогда bi || b и Ci || с (свойство 2). Согласно признаку параллельности плоскостей, || а. П
Рис. 69
Задачи
168.	Сколько векторов задают всевозможные упорядоченные пары точек, составленные из вершин: 1) треугольника; 2) параллелограмма; 3) тетраэдра; 4) параллелепипеда?
169°. На рисунке 70 изображены равнобедренная трапеция ABCD и правильный треугольник АВМ. Из точек Л, В, С9 D, М составьте две различные упорядоченные пары, задающие: 1) векторы равной длины; 2) сонаправленные векторы; 3) противоположно направленные векторы. Есть ли среди всех этих векторов равные?
170.	Дан тетраэдр ABCD. 1) От точки А отложите вектор СВ;
——>
2)	от точки В отложите вектор АС; 3) от точки D отложите —►
вектор АВ.
171.	Дан параллелепипед ABCDAxB^CjD^. 1) От точки В от-— » -----------------------------------------------►
ложите вектор CD; 2) от точки Аг отложите вектор АС; 3) от — ►
точки В отложите вектор ССг.
172.	Даны треугольник АВС и точки М, N. Постройте образ треугольника при перемещении MN.
173.	Постройте образ тетраэдра ABCD при перемещении АС.
174°. Каким известным вам перемещением можно отобразить один из двух данных лучей на другой, если эти лучи: 1) сона-
правлены; 2) противоположно направлены?
175°. Существует ли вектор, отображающий одну из двух данных плоскостей на другую, если эти плоскости: 1) параллельны; 2) пересекаются?
176.	Докажите, что противолежащие грани параллелепипеда конгруэнт ны.
MATHEDU.RU
177.	Докажите, что треугольник и его проекция на плоскость конгруэнтны, если плоскость треугольника параллельна плоскости проекций.
178.	Дан параллелепипед АВСОА^В^С^Р^ Докажите, что следующие пары углов конгруэнтны: 1) Z^BCP и Z^ADrD\ 2) Z_CBDt и /.ЛЖ 3) ЛАОС и LA^.
§ 18. СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Начнем с рассмотрения теоремы, на основе которой вводится
понятие суммы двух векторов.
9- Теорема. Композиция двух векторов есть вектор.
Доказательство. Пусть даны два вектора а и Ь. Докажем, что их композиция есть некоторый вектор. Рассмотрим две произвольные различные точки М и AL Имеем: а (М) = М19 a (Af)=A\, b (MJ = М2, b (А\) = Af2 (рис. 71).
в)
Рис. 72
Тогда композиция boa отображает точки М и N соответственно на точки М2 и /V2. Для доказательства теоремы достаточно убедиться, что ММ2 = NNz- Вектор является перемещением (§ 17, свойство 1). Поэтому | A12V| = = |М^| и IM^I = |M2/V2|. Отсюда |	= | M2AZ2| (1). Вектор
отображает каждый луч на сона-правленный с ним луч (§ 17, свойство 2), тогда [Al/V) ff	и
[Mi/Vi) ff [M2N2). Отсюда следует (§ 16), что [MW) ff [M2/V2).	(2)
Если лучи MN и M2N2 не лежат на прямой, то из (2) и (1) вытекает, что MNN2M.2 — парал-—►	—►
лелограмм. Тогда MM2=NN2. Это равенство верно и в случае, когда [/ИА/) и [М2Л/2) лежат на прямой.Ц
Композицию векторов а и b принято называть суммой векторов а и Ь. При этом вместо записи boa = с пишут: а+Ь = с.
Рассмотрим произвольные точки 4, В, С (рис. 72, а). Из тео
ремы о композиции двух векторов вытекает равенство:
АВ + ВС = АС. 4=(3)
MATHEDU.RU
Действительно, вектор АВ отоб-ражает А на В, вектор ВС отображает В на С, тогда композиция этих векторов есть вектор, отображающий Л на С (теорема 9).
—► •' ► Следовательно, АВ + ВС = АС.
Равенство (3) называют пра-	рис 73
вилом треугольника. Оно приме-	ис’
нимо и в том случае, когда точки А, В9 С принадлежат одной прямой (рис. 72, б, в), причем две из данных точек или даже все три
могут совпадать.
Нахождение суммы с векторов а и Ь основано на правиле треугольника (рис. 73). Выбираем произвольную точку Л, откладываем от нее вектор АВ = а, затем от В откладываем ВС = Ь. — ►	—►
Вектор АС является искомой суммой с. Действительно,
а + Ь = АВ + ВС = АС = с.
Сложение векторов обладает следующими свойствами:
1.	а + 0 = а (закон поглощения нулевого вектора);
2.	а 4-й = й + а (переместительный закон);
3.	(а + Ь) + с = а + (р + с) (сочетательный закон).
Эти свойства доказываются так же, как и в планиметрии.
Введем понятие суммы трех и большего числа векторов. Согласно сочетательному закону сложения векторов суммы (а + Ь) + с и а + (Ь + с) равны. Любую из этих сумм называют суммой трех векторов а9 Ь9 с и записывают без скобок: а + b + с. Сумма четырех (и более) векторов определяется аналогично: a + b + c + d== (a+ b +с)+ d.
Переместительный и сочетательный законы сложения векторов позволяют как угодно переставлять и группировать слага-
емые, при этом сумма векторов не изменяется. Сумму трех или более векторов можно
найти, пользуясь правилом многоугольника. Пусть надо найти сумму s = аг + а2 + + а3 + я4. Выбрав произвольно точку А (рис. 74), откладываем последовательно векторы AAi = а19 ДХД2 = а2, Л2Д3 = а3, - —► >
Л3Д4 = а4. Вектор АА4 равен искомой сумме s. Убедитесь в этом самостоятельно, применяя последовательно правило треугольника (рис. 74).
mathedu.ru
Задачи
179°. Может ли длина суммы двух векторов быть меньше длины каждого из слагаемых?
180. В трапеции ABCD основания [XD] и [ВС] имеют соответственно длины а и b (а > Ь). Постройте направленный отрезок, задающий вектор: 1) AD + ВС; 2) AD 4* СВ; 3) АВ 4- CD. Вычислите длину каждого из этих векторов.
181. В треугольнике АВС проведена медиана AM. Докажите, что AM + AM = АВ + АС.
182°. Докажите, что А В 4- DA = DB.
183°. Найдите сумму АВ + ВС + С А.
184.	Дан тетраэдр ABCD. Найдите сумму векторов:
1)	ЛВ + BD + DC-, 2) AD + СВ + DC-, 3) АВ + CD + ВС4-ОД.
185.	Дан параллелепипед ЛВСОД1В1С1О1. Найдите сумму векторов: 1) ДВ + ВВ, + В£х\ 2) СВ + В^ + AD^, 3) АС\ + 4- D?A + BDi, 4) D\C + AAt 4- СВ 4- C^C.
§ 19. ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ВЕКТОРЫ. ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
1. Применяя АВ кВА-.
правило треугольника, найдем сумму векторов
АВ 4- ВА = АА = б.
Два вектора называются противоположными, если их сумма равна нулевому вектору. Вектор, противоположный вектору а, обозначают через —а. По определению имеем:
а + (— а) = 0.	(1)
Ненулевые противоположные векторы (рис. 75), очевидно, имеют равные длины и противоположные направления. Отметим — ► 1 ► также, что В А = —АВ.
2.	Докажем, что если с = а + (—Ь), то с + b = а.
Действительно,
с + b == (а + (—£)) + b = а + ((—Ь) + Ь) = а + б = а.
(Какие законы сложения векторов здесь применялись?) 46
MATHEDU.RU
Вектор с называется разностью векто-	а
ров а и Ь, если
с + b — а.
-♦	-+ -*	—— -S’
Обозначение разности с векторов а и Ь:	' -—
а — Ь = с. Из рассуждения, приведенного в начале пункта 2, вытекает:	ис’ 5
а — Ь = а + (—Ь).	(2)
Таким образом, вычитание векторов сведено к сложению: чтобы найти разность
*	7 _	v	Л
векторов а и Ь, достаточно наити сумму вектора а и вектора, противоположного вектору Ь.
3.	Для любых трех точек А, В, О	°
пространства имеет место следующая важ-	рис 7е
ная формула вычитания векторов:
OB — ОА = АВ.	(3)
Действительно, по правилу треугольника (рис. 76) ОА 4-4- АВ = ОВ, отсюда по определению разности векторов АВ = = ОВ— ОА.
Для точек Л4, Р, Q по формуле (3) (не пользуясь чертежом) можно, например, записать:
PQ = MQ _ мр, PQ _ рм = MQ.
Задачи
186. Дан тетраэдр ABCD. От точки А отложите вектор, противоположный вектору: 1) DB; 2) CD; 3) ВС.
187. Докажите, что если точки О, А, В не принадлежат одной прямой и ОС = ОА — ОВ, то четырехугольник ОВАС —
параллелограмм.
188.	Вне плоскости треугольника АВС взята точка О. Отложите от О векторы: 1) О А — ОВ; 2) —О А — ОС; 3) О А + ОВ—ОС.
189.	Докажите, что если в треугольнике АВС угол АСВ пря-— • ---------►   > ——>•
мой, то | С А + СВ| = | С А — СВ\. Верно ли обратное утверждение?
190.	Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что ОА + ОС —
= ОВ + OD, где О — произвольная точка пространства.
191.	1) ABCD — тетраэдр. Докажите, что AD+BC = BD+AC.
2) Верно ли это утверждение для четырех произвольных точек?-
|>47
mathedu.ru
§ 20.	КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ. УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
1.	Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если их направления совпадают или противоположны. Если среди двух векторов имеется хотя бы один нулевой вектор, то такие векторы также будем считать коллинеарными.
Иногда бывает удобно данные векторы отложить от одной и той же точки. На рисунке 77 изображены векторы а, Ь9 с9 отложенные от точки О:
а = ОА, b = ОВ9 с = ОС.
Если векторы а9 Ь9 с коллинеарны (рис. 78), то точки О, Д, В9 С принадлежат одной прямой.
2.	Определение. Произведением ненулевого вектора а на число х называется вектор, имеющий направление вектора а, если х положительно, и противоположное направление, если х отрицательно. Длина этого вектора равна произведению длины вектора а на модуль числа х.
Произведение вектора а на число х обозначается через ха. -*	-* -* з
На рисунке 79 изображены векторы а и За, b и--Ь.
В приведенном выше определении не рассмотрены случаи, когда а = 0 или х = 0. Для этих случаев примем дополнительные определения:
jrO = 0 для любого х;
0а = 0 для любого а.
Заметим, что при любых х и а векторы ха и а коллинеарны и |ха| = |х| • |а|.
mathedu.ru
Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:
1. х (уа)= (ху) а (сочетательный закон);
Ja
2. ха + ya = (х -5- у) а (пер-
Рис. 79
вый распределительный закон);
3.	ха 4“ xb = х (а + &) (второй распределительный закон). Доказательства этих свойств известны из планиметрии.
Условие коллинеарности двух векторов можно выразить с помощью векторного равенства.
10. Теорема (признак коллинеарности). Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора а и вектора Ь является существование такого числа х, которое удовлетворяет равенству b =ха.
Доказательство. 1) Достаточность. Пусть при некотором х выполняется равенство: b = ха. Тогда векторы Ь и а коллинеарны согласно определению умножения вектора на число.
2) Необходимость. Пусть векторы а и b коллинеарны, причем Ь =/= 0. Найдем такое число х, что выполняется равенство b = ха (1). Для этого рассмотрим отношение |&| : |а| = k. Отсюда |b| = k |а|. Если b ff а, то (1) выполняется при х = k. В случае b f| а нужно взять х = —k.
Если же b = 0, то х = 0. Н
Задачи  >
192. Дан ненулевой вектор О А. Отложите от точки О векторы:
1) уОЛ; 2) —2ОА-, 3) — |оЛ; 4) ]А2 ОА-, 5) — /3 ОА.
193°. При каких значениях k длина вектора ka (а =/= 0): 1) равна длине вектора а\ 2) больше |а|; 3) меньше |а|?
194°. О —точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Найдите х, если: 1) АВ = xCD; 2) АС = хАО; 3) OB = xBD-, 4) ОС = xCD.
195. На какое число нужно умножить ненулевой вектор а, чтобы получить вектор т, удовлетворяющий следующим условиям: 1) tn ft а и |m| = 1; 2) т || а и |т| = 5; 3) т а и |т| = Ь; 4) m = б?
196°. В треугольнике АВС медианы AAlt BBlt ССг Пересе- ►* -------------------------------------------------►
каются в точке М. Найдите множитель k, если: 1) ЛХС = kBC^

mathedu.ru
2) CtB = kCYA; 3) AM = kMAi, 4) ССг = k^M; 5) Л4ВХ =
6) MA = kAA,.
197. Дано: а и b коллинеарны, |a| > |Ь|. Какое направление имеет вектор а + b? Найдите длину этого вектора.
$ 21. КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ
Для сложения двух неколлинеарных векторов иногда бывает удобно пользоваться правилом параллелограмма, известным из планиметрии. Напомним это правило.
Пусть надо найти сумму неколлинеарных векторов а и Ь. Отложим от произвольной точки О векторы ОА = а и OB = b
(рис. 80). Построим параллелограмм АОВС. Вектор ОС, где [ОС] — диагональ параллелограмма, является искомой суммой. Действительно, по правилу треугольника
ОА +ОВ — ОА + АС = О& Определение. Три ненуле
вых вектора называются компланар-
Рис. 82
ными, если лучи, задающие их направления, лежат на прямых, параллельных некоторой плоскости (рис. 81).
Если среди трех векторов имеется хотя бы один нулевой, то такие векторы также будем считать компланарными.
В случае компланарности векторов ОА, ОВ, ОС (рис. 82) точки О, А, В, С принадлежат одной плоскости.
Теорема. Если векторы а и b не коллинеарны, то любой вектор с, компланарный с векторами а и Ь, можно представить единственным образом в виде: c=xa-\-yb.
Доказательство. Пусть векторы а, Ь, с компланарны^ ! | 'Л-’рмц
mathedu.ru
причем а и b не коллинеарны. Найдем числа х и у, удовлетворяющие равенству с = ха + yb. От точки О отложим векторы ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с. Из условия теоремы следует, что точки О, А, В, С принадлежат
некоторой плоскости а. Рассмот-
рим случай, когда С $ (ОА) и С $ (ОВ) (рис. 83). В плоскости а через точку С проведем прямые, параллельные прямым ОА и ОВ. Получим параллелограмм MONC. По правилу параллелограмма можно записать: ОС — ОМ + ON. Но ОМ — хОА и ON = уОВ (§ 20), тогда ОС - хОА + уОВ, или с = ха + yb.
Если же С € (ОА) или С € (ОВ), то в последнем равенстве соответственно у — 0 или х — 0.
Можно доказать, что числа х и у определяются однозначно,
т. е. если с = ха 4- yb и с = х2а 4- ytb, то х = xt и у = у^И Если даны неколлинеарные векторы а и Ь, то представление
вектора с, компланарного с а и Ь, в виде суммы ха 4* yb называется разложением вектора с по векторам а и Ь.
Задачи
198. К одной точке тела приложены силы Ft и F2 (рис. 84). Найдите величину равнодействующей силы, если угол между
данными силами равен <р.
199.	От центра О правильного шестиугольника Д1ДгД3Д4Д6Дв отложите векторы: 1) ОДг 4- 0А3; 2) ОДа 4- ОД4 4- ОД6; 3) ОДХ 4-4- ОДа 4- ОД8 4- ОД4 4- ОД6 4- ОА6.
200.	Докажите, что если О — точка пересечения медиан треугольника АВС, то О А 4* ОВ 4- ОС = 0.
201.	Даны неколлинеарные векторы ОА и ОВ. От точки О отложите векторы: 1) 20А 4- ОВ\ 2) О А —	3)	'
202.	Из вершин тетраэдра ABCD составьте: 1) две упорядоченные пары точек, задающие коллинеарные векторы; 2) три
упорядоченные пары, задающие компланарные векторы; 3) три упорядоченные пары, задающие некомплаиарные векторы.
203. Дан параллелепипед ABCDAtBiCiD!. Какие из следующих троек векторов компланарны:
mathedu.ru
1)_ЛЛХ, CCX, В^В; 2) АВ, AD, AAf, 3) BJB, AC, DD^; 4) AD’ А^ВЪ CCX?
204. Дан параллелограмм ABCD. Разложите по векторам р = АВ и q = AD векторы: 1) АВ; 2) AD; 3) АС; 4) АО, где О = (АС) П (BD); 5) AM, где М — середина отрезка ВС.
205. Дан треугольник АВС. Разложите по векторам а = С А и b = СВ векторы: 1) CBlt где Вх — середина [ЛС]; 2) ССХ, где Сх — середина [ЛВ]; 3) СО, где О — точка пересечения медиан треугольника; 4) СК, где К € [ЛВ] и | AKI : | КВ\ = 3 : 10.
§ 22. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Задача 1. Доказать, что если М— середина отрезка ЛВ и О — произвольная точка пространства, то выполняется равенство:
ОМ = 1 (ОА + ОВ).
" ► ----►
Решение. Согласно условию задачи имеем: AM = МВ (рис. 85). Но AM = ОМ — ОА и МВ = ОВ — ОМ (§ 19). Тогда дм — ОЛ = дв — дм, отсюда О/И = 1 (ОЛ + ОВ) 
Задача 2. Доказать, что если М — точка пересечения медиан треугольника АВС и О — произвольная точка пространства, то выполняется равенство:
дм = - (дл + дв + дс).
3
Решение. Пусть [CCJ—медиана треугольника АВС —►	। —►
(рис. 86). По свойству медиан треугольника МСХ = —ССХ. При-3
меняя к векторам МСХ и ССХ формулу вычитания векторов (§ 19), получим: ОСХ — ОМ = — (ОСХ — ОС), отсюда ОМ = — ОС + 3	3
mathedu.ru
+ — OCi. Но ОСг = — (О Л + ОВ) (задача 1), тогда
3	2
ОМ = -ОС + -  - (бв + ОА) = - (ОА + дв + ОС).Ш 3	3	2	3
Задачи
206.	Точки Afx и М2 — середины отрезков и А2В2 со-ответственно. Докажите, что М±М2 = — (Др42 + ВХВ2).
207.	Докажите, что середины оснований трапеции и точка пересечения продолжений ее боковых сторон принадлежат одной прямой.
208.	1) Мх и ТИ2 — точки пересечения медиан треугольников Л1В1С1И Л2В2С2. Докажите, что МгМ2 = у (4р42 + В1В2 + СХС2).
2) В треугольнике АВС точки Alr В19 Сх являются серединами сторон ВС, АС, АВ. Докажите, что при любом выборе точки О выполняется равенство:
ОАх + ОВг + ОС1 = ОА + ОВ + ОС.
209.	В тетраэдре ABCD точки Мг и М2 являются соответственно точками пересечения медиан граней ADB и BDC. Докажите, что векторы Л41М2 и АС коллинеарны. Найдите отношение длин этих векторов.
210.	Треугольник АВС является параллельной проекцией треугольника ДХВХСХ на плоскость. Известно: | ЛЛХ| = а, | ВВХ| = Ь, | ССХ| = с. Найдите расстояние между точками пересечения медиан этих треугольников.
§ 23. ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ТРЕМ НЕКОМПЛАНАРНЫМ ВЕКТОРАМ
1.	Для сложения трех некомпланарных векторов иногда бывает удобно пользоваться правилом параллелепипеда. Пусть надо найти сумму некомпланарных векторов а, Ь, с (рис. 87). Отложим от произвольной точки О векторы ОА = а, ОВ = Ь, — — ► ->
ОС = с. Построим параллелепипед так, чтобы отрезки ОА, ОВ, ОС были его ребрами. Вектор OS, где [OS] — диагональ параллелепипеда, является искомой суммой.
Действительно, дЛ+0В + 0С = 0Л+ЛО + О5 = 05(§ 18).
2.	Пусть даны некомпланарные векторы а, Ь, с. Выясним, можно ли произвольный вектор d представить в виде:
d = ха + yb + zc.
(D-^53 | -1«Л|
mathedu.ru
От точки О отложим векторы: ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с, OD = d (рис. 88). Плоскости АОВ, ВОС, СОА различны. Рассмотрим случай, когда точка D не принадлежит ни одной из указанных плоскостей. Через D проведем плоскости, соответственно параллельные плоскостям АОВ, ВОС* СОА. В полученном параллелепипеде отрезок 0D — диагональ. Концы ребер, выходящих из вершины О, обозначим Alt Blt Cv По правилу парал-
—►	►   ►   ► *• ►
лелепипеда 0D = ОАХ + ОВг + ОСХ. Но векторы ОАХ и ОА коллинеарны, поэтому OAi = x ОА. Аналогично, OBj = уОВ, ОС^ = = г ОС. Следовательно, OD — х О А 4- у ОВ + z ОС, или
d = ха + yb + zc.
— —>
Если точка D принадлежит плоскости АОВ, то векторы ОА, ОВ, 0D компланарны и, следовательно, d=xa + yb (§21). Тогда в равенстве (1) полагаем 2 = 0. Аналогично рассматриваются случаи, когда точка D принадлежит (ВОС) или (СОА).
Если заданы некомпланарные векторы а, Ь, с, то представление вектора d в виде суммы ха + yb + zc называется разложением вектора d по векторам а, Ь, с.
Можно доказать, что полученное разложение является единственным, т. е. из равенств d = ха + yb + zc nd = х±а + y^b + zxc следует: х = у = ух, z = z19 
Итак, имеет место следующая теорема:
12. Теорема. Для каждого вектора пространства существует единственное разложение по трем данным некомпланарным векторам.
Задачи
211.	Дан параллелепипед ABCDA^ByC^^. Разложите по векторам р = АВ, q = AD, г = AAt векторы: 1) AB±; 2) AClI 54
MATHEDU.RU
3)	AM, где M — середина [DDJ; 4) AM, где N — середина [CCJ; 5) АР, где Р — середина [BCi]; 6) AQ, где Q С [DiCJ и IDiQI : IDiCJ = 5:11.
212.	Треугольник АВС является параллельной проекцией треугольника Д1В1С1 на непересекающую его плоскость (рис. 89). Известно: | ЛЛх! = а, |	= b, М — середина Разло-
жить вектор ЛЛ1 по векторам AAi = = р, АВ = q, АС = г.
Решение. Имеем: А М = -i- (АС + ABt) = (г + ABJ (§ 22, за-
дача 1). По правилу треугольника ABt = АВ 4- BBt = q + BBt. Нэ BBL = хр, так как ВВ^р, отсюда | BBL | = х | р |, или b — ха, х —Тогда ЛМ = ^(г + ? + -р)	4-1(7 + -^г.
а	2 \	а / 2а 2	2
213.	Медианы грани АВС тетраэдра ОАВС пересекаются в точке М. Разложите вектор О А по векторам ОВ, ОС, ОМ.
214.	Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. Разложите по векторам а = ОА, Ь = ОВ, с = ОС векторы: 1) ОМ, где М = (AC) f| (BD); 2) OD; 3) ОК, где К — середина [Л£>].
215.	В тетраэдре ABCD медиана ЛЛХ грани АВС делится точ-----------------------------------------------------------►
кой М в отношении |AM| : |AMJ = 3:7. Разложите вектор DM  >*  '•► - ►
по векторам DA, DBt DC.
216.	Рассматривается треугольник, вершинами которого являются концы трех ребер параллелепипеда, выходящих из одной его вершины. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника принадлежит диагонали параллелепипеда, выходящей из той же вершины, и делит эту диагональ в отношении 1 : 2.
§ 24. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ВЕКТОРАМИ
Предварительно введем понятие угла между двумя направлениями в пространстве.
13.	Теорема. Если стороны двух выпуклых углов1 соответственно сонаправлены, то эти углы конгруэнтны.
Доказательство. Пусть стороны углов АОВ и Д^Вх сонаправлены: [0хДх) || [ОД), [ОхВх) || [ОВ) (рис. 90). Докажем,  >
что Z1A1O1B1 /СЛОВ. Вектор ООХ отображает луч ОА на сона-
1 Выпуклый угол — угол, удовлетворяющий определению выпуклой фигуры (см. с. 10).
^,551
mathedu.ru
Рис. 90
правленный с ним луч (§ 17, свойство 2). Но по условию [OHi) [СМ), причем из точки Ох выходит единственный луч, со-направленный с лучом ОА. Следовательно, образ луча ОА совпадает с лучом OiAx. Аналогично доказывается, что луч ОВ отображается этим же вектором на луч
Вектор OOj есть перемещение. А вся-
кое перемещение сохраняет величину угла (§ 15). Следовательно, вектор ООХ отображает выпуклый угол АОВ на выпуклый угол А1О1В1, т. е. /_А1О1В1 о^ЛАОВ. 
Пусть два направления заданы лучами /х и /2. Из каждой точки О выходит единственный луч первого направления (§ 16) и единственный луч т2 второго направления (рис. 91). Величина угла между лучами и т2 не зависит от выбора точки О. Действительно, любые два выпуклых угла, стороны которых соответственно сонаправлены с /х и /2, конгруэнтны (теорема 13) и, следо-
вательно, имеют равные величины.
Углом между двумя направлениями называют величину угла между любыми двумя лучами этих направлений, имеющими общее начало.
Обозначение угла между двумя направлениями, определяемыми лучами /х и /2: (119 /2) = <р, где ср € [0°, 180°].
Определение. Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов.
Обозначение угла между векторами а и Ь: (а, Ь) = ср (рис. 92).
Если угол между векторами равен 90°, то векторы называют перпендикулярными и записывают: а ± Ь.
Выделим еще два частных случая:
1) если a ff b, то (а, Ь) = 0°; 2) если a f| b, то (а, Ь) = 180°.
Углом между двумя пересекающимися прямыми называют величину меньшего из углов, определяемых этими прямыми.
Углом между двумя скрещивающимися прямыми называют угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно
Рис. 91
56
MATHEDU.RU
параллельными данным скрещивающимся прямым (рис. 93).
Если две прямые параллельны, то угол между ними считается равным 0°.
Обозначение угла между прямыми р и q:
Рис. 93
(Р. <7) = Ф.
где 0° <р 90°.
Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. В этом случае записывают: р J. q.
Задачи
217. Лучи, задающие направления ненулевых векторов р и q, лежат соответственно на прямых а и b. 1) Верно ли утвержде-ние: (a, b) = (р, q)? 2) При каком условии выполняется равенство: (а,%) = 180° — (р,Лд)?
218. Дан куб ЛВСРЛ1В1С|£>1. Найдите угол между векторами и угол между прямыми, определяемыми теми же парами точек, что и векторы: 1) DX4X и ССХ; 2) CJ3 и DD^, 3) DCX и ЛХВ; 4) АС и DCi, 5) DAt и О-
§ 25. СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
Для вычисления величины механической работы пользуются
-.Л-»
формулой А = F • S • cos а, где а = (F, S) (рис. 94). Работа — скалярная величина, хотя и является результатом некоторой one-рации над векторными величинами: силой F и механическим перемещением S. Определим эту операцию для произвольных векторов а и Ь.
Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение числовых значений длин этих
векторов на косинус угла между векторами.
Если из двух векторов хотя бы один вектор нулевой, то ска-
лярное произведение этих векторов принимается равным нулю.
Обозначение скалярного произ-
ведения векторов а и Ь: а • Ь.
Согласно определению а • b = -л- -
= ab cos<p, где <р= (а, Ь), а =£ 0, b =/= 0.
Докажем простейшие свойства скалярного произведения двух векторов.
MATHEDU.RU
1) Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярного произведения.
Достаточность. Пусть а • b = 0, отсюда ab cos <р = 0. Но по условию а =/= 0, b =/= 0, поэтому cos <р = 0, <р = 90°, т. е. а ± Ь.
Необходимость. Если а ± b, то <р = 90° и по определению а • b — ab cos 90° = 0.
2) Скалярное произведение вектора на этот же вектор равно квадрату числового значения его длины.
Действительно, по определению имеем: а • а = аа cos 0° = а8.
Произведение а • а будем записывать а2 и называть скалярным квадратом вектора а. Тогда свойство 2 можно сформулировать по-иному: скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т. е. а2 = а2. Отсюда следует, что а =	а2.
Задачи
219°. 1) Какой знак имеет скалярное произведение ненулевых векторов а и Ь, если угол <р между ними находится в промежутке: а) 0° <р < 90°; б) 90° < <р 180°?
2) В каком промежутке находится угол <р между векторами а и Ь, если: а) а • b > 0; б) а • b < 0?
220°. Найдите скалярное произведение векторов:
1)	а и —а; 2) Ь и kb.
Л	Л
221.	Треугольник АВС, у которого А = 45°, В — 60°, вписан в единичную окружность с центром в точке О. Вычислите скалярные произведения: 1) ОВ • ОС; 2) ОС  ОА; 3) О А • ОВ.
222.	ABCDEF — правильный шестиугольник с центром О и стороной а. Вычислите скалярные произведения: 1) АВ • ED; 2) AD • СВ; 3) ОА • ОВ; 4) ОА • ОС; 5) ОА • ЪЬ; 6) АВ • AD; 7) АВ • АС.
223.	Длина гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС равна с. Вычислите сумму:
АВ • АС + ВС • BA + СА • СВ.
224.	Дан треугольник АВС: | ВС| = а, |СЛ| = Ь, | АВ\ = с. Выразите через а, Ь, с скалярные произведения: 1) АВ • АС; 2) ВС • ВА.
225.	ОА и ОВ — неколлинеарные единичные векторы. Найдите скалярное произведение (ОА + ОВ) • (ОА — ОВ),
mathedu.ru
226.	Длина каждого из ребер тетраэдра ABCD равна а, точки М9 N, Р являются серединами ребер АВ, AD, DC. Вычислите скалярные произведения: 1) АС • ДВ; 2) AD • DB\ 3) ~PN • ДС; 4) MN • ВС- 5) NP - ВА-, 6) РМ • РВ.
§ 26.	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО УМНОЖЕНИЯ ВЕКТОРОВ
Скалярное умножение векторов обладает свойствами, аналогичными законам операций над числами:
1)	а • b = Ь • а (переместительный закон);
2)	(ka) • b = k (а • Ь) (сочетательный закон);
3)	а • (b с) == а • Ь + а • с (распределительный закон).
Переместительный и сочетательный законы доказываются на основе определения скалярного произведения.
Доказательство распределительного закона основано на равенстве:
(a +b)2 = а2 + 2а- b + ~b2.	(1)
Докажем равенство (1). Рассмотрим случай, когда векторы а иЬ неколлинеарны. Отложим АВ = а, ВС == Ь, тогда АС = а Ч Ь (рис. 95). Рассмотрим треугольник АВС. По теореме косинусов: Uci2 = IДВ|2 + |ВС|2 —2 |ДВ| • |BC|cos (180° — <р) =
= | ДВ|2 + | ВС|2 + 2 | АВ\ • | ВС| cos <р. где <р = (а~Ь).
Но | ACI2 = (а + Ь)2, | ДВ|2 = а2, | ВС|2 = Ь2, | АВ\ • | ВС| cos <р = а • Ь.
Тогда (а + Т>)2 = а2 + 2а • b + Ь2.
Из только что полученной формулы и сочетательного закона следует:
(а — Ь)2 = (а + (—Ь))2 = а2-2а- b + Ь2.	(Г)
Равенства (1) и (Г) верны и в том случае, когда векторы а и Ь коллинеарны.
Из формул (1) и (!') легко получается следствие:
(а + ь)2 = 2а2 + 2Ь2 — (а -Л)2. (2)
Докажем распределительный закон скалярного умножения векторов.
Преобразуем выражение (а + b + с)2.
Сначала сгруппируем слагаемые так, чтобы можно было выделить скалярное
mathedu.ru
произведение а • (b + с). Имеем:
(а + b + с)2 = (а + (Ь + с))2 = а2 + 2а • (Ь + с) + (Ь + с)2= = а2 + Ь2 + ? + 2а • (Ь + с) + 2Ь • с.	(3)
Теперь преобразуем (а + Ь + с)2, используя равенство (2):
+	+с)2—
с + 2Ь  с. (4) выполнив не-
(а +~Ь + с)2 =((- + Й + (- + cYf = 2(- + b]2 \\2	/	\2	)/	\2	)
— (Ь — с)2 = а2 + Ь2 + с2 + 2а • b + 2а •
Приравняв правые части равенств (3) и (4) и сложные преобразования, получим:
fl • (b + с) = а • b + а • с. &
Доказывая распределительный закон, мы попутно вывели формулу скалярного квадрата суммы трех векторов:
(а + Ь + с)2 = а2 + Ь2 + с2 + 2а • Ь + 2а • с + 2Ь • с. Этой формулой мы будем неоднократно пользоваться.
Приведем пример применения распределительного закона. Пусть надо произвести умножение: (а + Ь) • (с + d). Обозначим через т сумму а + Ь. Тогда т • (с + d) = т • с + т • d = (а + b) • с + + (а + Ь) • d = а • с + Ь • с + а • d + b • d.
Замечаем, что этот результат можно получить, преобразуя произведение (fl + &)- (с + d) по аналогии с известным из алгебры способом преобразования произведения двух многочленов. Поэтому в дальнейшем промежуточные записи будем опускать.
§ 27.	ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Векторные операции имеют вполне определенный геометрический смысл, поэтому они находят применение в геометрии. Многие векторные величины (скорость, ускорение, сила и др.) изучаются в физике. Это открывает возможность широкого применения векторов при изучении законов природы.
Скалярное произведение применяется при решении задач на вычисление длин отрезков и величин углов.
Задача 1. В равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найти угол между боковыми сторонами этого треугольника.
Решение. Пусть в треугольнике АВС | А В | = | АС|. Медианы BBL и СС\ по условию перпендикулярны (рис. 96), поэтому
BBL • ССх -= 0.	41) _
V--
MATHEDU.RU
Разложим векторы ВВ, и СС, по векторам р = АВ и q = АС. Имеем:
ВВг - ABt — АВ =	— р,
CCi=AC1—AC=^p — 'q.
Рис. 96
Из равенства (1) следует:
(у ?-'?) = °.
7<? • Р —7?2 — 7Р2 + Р • <7 = О»
4	Z
5 - -	1	1 *<, А
7Р-9-?«г-?Р-=0-
Обозначив |р| = |<?| = т и (р, о) —'Ь воспользуемся определением скалярного произведения. Тогда получим:
— т2 cos ф — tn2 = О, 4
отсюда cos ф = 0,8; ф ~ 37°.
Рис. С7
Задача 2. В параллелепипеде ABCDAiBiCiPi (рис. 97) грань A BCD — квадрат со стороной а; ребро Л Л, также равно а и образует с ребрами АВ и AD углы, равные а. Найти длину диагонали BDl и угол между прямыми ВО, и АС.
Решение. Найдем длину диагонали BDX. Разложим вектор BDi п0 векторам р = АВ, q = AD, г = AAit
Имеем: ВО, = ЛО, — АВ = (г + q) — р = г -f- q — р. Тогда
| BDi\* = ВО2
(r + q— р)2 = г2 +q2 + p2+ 2r-q — 2r-p — 2q-p =
= а2 + а2 + а2 + 2а2 cos а — 2а2 cos а — 2а2 cos 90° = За2; отсюда
| BOJ = а/3.
Угол <р между прямыми ВО, и АС найдем, пользуясь опре-
делением скалярного произведения двух векторов:
| ви.  АС |
COS ф = -----5-----
I BD1\- ИС1
Знак модуля в числителе поставлен потому, что ф 90° (§ 24), и, следовательно, cos ф 0. Находим:
BDi^ АС = (г + Ч~ Р)  (Р + Р) = г  р + q • р — р2 + + г • q + q2 — р • q — 2а2 cos а.
гр	12а2 cos а I 1/^2.	.
Тогда	СЮф = _____|/_ local.
mathedu.ru
Задачи
227.	Докажите, что длина медианы треугольника выражается через длины его сторон формулой:
та = у /262 + 2с3 - а3.
228.	На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС взята точка D, удовлетворяющая условию | BD | : | DA | = 3:1. Выразите длину отрезка CD через длины катетов | СВ | = а и | СА | = &.
229.	В треугольнике АВС длины сторон связаны соотношением а2 + Ь2 = 5с2. Докажите, что медианы, проведенные к сторонам АС и ВС, взаимно перпендикулярны.
230*. Найдите косинус угла между биссектрисой угла треугольника и противолежащей стороной, если отношение длин двух других сторон треугольника равно 3, а угол между этими сторонами равен а.
231.	Дано: | а| = 2, | b| = 1, (а, Ь) = 60°. Найдите косинус угла между векторами: 1) а и а + Ь\ 2) b и а — Ь\ 3) а + b и а — Ь.
232.	ABCD—тетраэдр, в котором | ЛВ| = | АС\ = а и DAB = = DAC — <р. Докажите, что (AD) ± (ВС).
233.	1) Три силы, приложенные к одной точке, образуют попарно углы, равные ф. Найдите величину равнодействующей, если величина каждой из данных сил равна F.
2) Найдите равнодействующую трех сил по 10 Н каждая, если силы приложены к одной точке и углы между силами 90°, 60°, 60° (рис. 98).
234.	Груз равномерно перемещают по горизонтальной плоскости с помощью двух канатов, один из которых образует угол 15°, а другой — 20° с направлением движения (рис. 99). Сила натяжения каждого каната равна 50 кН. Какую работу нужно затратить для перемещения груза на 100 м? (Трением пренебрегаем.)
Рис. 99
MATHEDU.RU
235.	Докажите, что квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
236.	Найдите углы между диагональю куба и диагоналями какой-либо его грани.
237.	Все грани тетраэдра — равносторонние треугольники со стороной а. 1) Найдите длину отрезка, соединяющего вершину тетраэдра с точкой пересечения медиан противолежащей грани. 2) Найдите расстояние между серединами противолежащих ребер тетраэдра. 3) Докажите, что прямая, проходящая через середины противолежащих ребер тетраэдра, перпендикулярна каждому из этих ребер.
238.	Докажите, что если два пересекающихся ребра тетраэдра соответственно перпендикулярны противолежащим им ребрам, то остальные два противолежащих ребра также перпендикулярны.
239.	Через точку, взятую на прямой, проведены три прямые, каждая из которых перпендикулярна данной прямой. Докажите, что проведенные прямые лежат в одной плоскости.
Задачи на повторение к главе II
240.	Докажите: ||а| — \Ь\\ < \а + Ь\ < |а\ + [Ь|.
При каком условии выполняется равенство?
241.	Докажите, что если О А + ОС = ОВ + О£>, то отрезки АВ и CD симметричны относительно некоторой точки.
242.	Неколлинеарные векторы а и b имеют равные длины.
Докажите, что векторы а + b и а — b взаимно перпендикулярны.
243.	1) Сумма трех попарно неколлинеарных сил, приложенных к одной точке, равна нулю. Докажите, что точка приложения является точкой пересечения медиан треугольника с вершинами в концах направленных отрезков, изображающих
данные силы.
2) Может ли равнодействующая сил Лебедя, Рака и Щуки (из басни И. А. Крылова) быть равной нулю?
244. У правильного пятиугольника А1А2А3А^А5 сторона равна а. Обозначив буквой О центр этого пятиугольника, найдите длины векторов:
1)	ОХ + ОА2; 2) OAt + ОА3.
245.	Прямые р и рг пересекаются в точке О (рис. 100). На прямой р даны точки Л, В, С и для них построены на прямой рг точки А1Э Вь Ci так, что (ABJ || || (АгВ), (BCi) || (ВХС). Доказать, что (AQ || (АХС).
Решение. Из условия задачи и теоремы о пропорциональных
MATHEDU.RU
отрезках, известной из планиметрии, следует:
ОВ = kOA, = kOBu ОС = СОВ, ОВХ = 1ОС\.
Исключим векторы ОВ и ОВХ: ОС= I (kOA) = lkOA,OAl = k (ЮС^— =klO(\. Отсюда (ОС — ОА]. = kl (ОА — ОС^х^аСс = klC^A^ =Ф ((Л£) || (С^)). 
246.	Докажите, что три вектора компланарны, если два из них коллинеарны.
247.	Точка А—общая вершина параллелограммов ABCD и -----------------------------------------------► — ► ----► AB^iDi. Докажите компланарность векторов ВВ19 СС19 DDV
248.	Точки пересечения медиан треугольников АВС и ДхВ^ -  ►	—►	—►
совпадают. Докажите, что векторы ААЪ BBlt CCi компланарны.
249.	Точки Д2, А3 делят отрезок Л0Л4 на четыре отрезка равной длины. Выбрав точку О вне прямой Д0Л4, разложите по векторам р = OAt и q = ОД4 векторы: 1) ОЛ0; 2) ОД2; 3) ОЛ3.
250.	Для точек А, В9 С9 не принадлежащих прямой, выполняются равенства: ОА — ОВ = ОС19 ОВ — ОС = ОДЬ ОС — ОА = = ОВГ. Докажите, что медианы треугольника А^В^ пересекаются в точке О.
251.	Даны два параллелограмма ABCD и AJS^D^ у которых О и Ох — точки пересечения диагоналей. Докажите равенство:
001 = - ЙА + ВВ1 + СС1 4- OD1).
4
252*. Для данной неплоской замкнутой ломаной, состоящей из шести звеньев, построены два треугольника, вершинами каждого из которых служат середины несмежных звеньев. Дока-
жите, что точки пересечения медиан этих треугольников совпадают.
253*. Дана замкнутая неплоская ломаная с шестью звеньями. Доказать, что если противолежащие звенья ломаной попарно параллельны, то длины их попарно
F	равны.
Д	Решение. Дано: [ДВ] || [DE],
/ V	[ВС] || [ЕВ], [СО] || [ЕД] (рис. 101).
/ '----------jD Д о к а з а т ь: | АВ\ =\DE\9\BC\ =
/	/	= \EF\9\CD\ = \FA\.
/	/	Доказательство. Согласно
X—____________ / условию задачи имеем:
А	в\/ DE = kAB, EF = IBC, FA = mCD.
• По правилу сложения векторов
Рис. 101	АВ + BC + CD + DE + EF+ FA
64	щ
mathedu.ru
Отсюда получаем:
ДВ + ВС + СО4-ЛДВ + /ВС + /пСО=б, или
(k + 1) АВ + (I + 1) вс + (т + 1) CD = 0. ~ >   > ——►
Векторы АВ, ВС, CD не компланарны (иначе данная ломаная была бы плоской), следовательно, коэффициенты в разложении —►  ► — ►
нулевого вектора по векторам АВ, ВС, CD равны нулю:
k = —1, I = — 1, т = —1.
——>	 >  >•  ► — ► - ►
Отсюда DE = —АВ, EF = —ВС, FA - —CD и, следовательно,
254*.
Еенство
|ОЕ| = |ДВ|, |EF| = |ВС|, \FA | = |CD|. И
Доказать, что при произвольном выборе точки О ра-
ОС = k ОА + (1 — k) ОВ
(1)
является необходимым и достаточным условием принадлежности различных точек А, В, С одной прямой.
Решение. 1) Достаточность. Пусть выполняется равенство (1). Из него находим, что ОС — ОВ = k (ОА — ОВ), отсюда " > ---------------------------------------►
по формуле вычитания векторов ВС = kBA. Следовательно, ----------► — ►
векторы ВС и В А коллинеарны, а точки А, В, С принадлежат одной прямой.
2) Необходимость. Если точки А, В, С принадлежат прямой, то ВС и В А коллинеарны, поэтому ВС — kBA. Применим формулу вычитания векторов: ОС — ОВ — k (ОД — ОВ), или ОС = kOA+ (1 — k) ОВ. а
255. В параллелограмме ОАВС точки М и N — середины сто-
рон ОС и СВ (рис. 102). Найти отношение: 1) х = |ОР| : |ОМ|, где P=[ON]Г)[ДМ]; 2)у = |АР\ : |ДМ|.
—»	-*
Решение. 1) Пусть ОА = р и - >	—►	►
ОС = q. По условию задачи ОР = = xON = х аЧ—р]. Для точек Р, М, А \	2 )
применим условие принадлежности трех точек одной прямой (задача 254). Тогда получим: OP = kOM + (1 — k) О А = = ^q + (1 — k)p. Следовательно,
3 Заказ Xs 210.
Д
mathedu.ru
* (<7 + ур) =	+ 0 — k)p, или
xq + ^Р = -|<?4-(1— kfp.
Пользуясь однозначностью разложения вектора по двум не-k х
коллинеарным векторам, можно записать: х = — и — = 1 — k. От-
2	2
2 сюда х = —<
5
256.	На сторонах треугольника заданы точки, которые делят стороны в одном и том же отношении (в каком-либо одном направлении его обхода). Докажите, что точки пересечения медиан данного треугольника и треугольника, имеющего вершинами точки деления, совпадают.
257.	Стороны параллелограмма разделены по его обходу в равных отношениях. Докажите, что точки деления служат вершинами параллелограмма, а центры симметрии этих параллелограммов совпадают.
258.	Квадраты О А ВС и ОЛ^С^ лежат в одной плоскости и имеют противоположные направления обхода. Докажите, что длина отрезка ССХ равна удвоенной длине медианы треугольника OAAi, проведенной из вершины О.
259.	Дана неплоская замкнутая ломаная ABCDA, у которой —► л —>
|AD\ = а, |ВС| = b, (AD, ВС) = (р. Найдите расстояние: 1) между серединами звеньев АВ и CD\ 2) между серединами отрезков АС и BD.
260.	Из точки О, не принадлежащей прямой а, проведен к а перпендикуляр [ОЛ]; М € а. Докажите, что скалярное произве-'' >	 >
дение ОА • ОМ не зависит от положения точки М на прямой а.
261.	Даны скрещивающиеся прямые а и Ь. На прямой а взяты точки Аъ Ла, Л3, из этих точек проведены перпендикуляры
[Л1В1], [Л2Ва], [Л3В3] к прямой Ь. Докажите, что
если прямые а и b не перпендикулярны.
PAI 1ВАГ
Э ,Gi
mathedu.ru
ГЛАВА III
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
В ПРОСТРАНСТВЕ. ДВУГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
6 28. ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Перпендикулярность прямых в пространстве была рассмотрена в предыдущей главе (§ 24).
Определение. Прямая и плоскость называются взаимно перпендикулярными, если прямая перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости.
Обозначение перпендикулярности прямой а и плоскости а: а ± а или а ± а (рис. 103).
Из определения вытекает, что перпендикулярные прямая и плоскость пересекаются.
14. Т е о р е м а (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости, то прямая и плоскость взаимно перпендикулярны.
Д а н о: а 1 b, ale, b Г) с = О, Ьсза, с са (рис. 103).
Доказать: а ± а.
Доказательство. Убедимся, что прямая а перпендикулярна к любой прямой d, лежащей в плоскости а. На прямых b и с выберем соответственно точки В и С, отличные от точки О; на прямых and выберем пары несовпадающих точек А и Аъ - ►
D и £>i- Разложим вектор DD] по неколлинеарным векторам ОВ и ОС (§ 21):
DDi = хОВ + уОС.	(1)
—1 ►
Обе части равенства (1) умножим скалярно на вектор ЛЛР Согласно распределительному закону скалярного умножения (§ 26), получим:
DDX • AAt = хОВ  AAi + уОС • AAV
Но ОВ • AAY = ОС • AAi = 0, так как AAi ± ОВ и AAi -L ОС. Тогда • ЛЛХ= ►	-  ►
= 0, откуда AAi -L ODi и а ± d. По определению перпендикулярности прямой и плоскости а ± а. 
3*
mathedu.ru
Рис. 104
Следствие. Перемещение пространства сохраняет перпендикулярность прямой и плоскости.
Доказательство. Пусть а X a, F (а) = alt F (а) — alt где F — любое перемещение (рис. 104). Докажем, что a^Xo^. Про-
ведем в плоскости а пересекающиеся прямые b и с; их образами служат пересекающиеся прямые Ьх и q. Согласно определению перпендикулярности прямой и плоскости, а X b, а X с. Перемещение F сохраняет угол между прямыми (§ 15), поэтому ах X и aY X q. Следовательно, ai X «1- 
Задачи
262.	Сторона АВ правильного треугольника АВС лежит в плоскости а. Может ли быть перпендикулярной к этой плоскости: 1) прямая ВС; 2) прямая CD, где D—середина [Л В]?
263°. 1) На практике вертикальность установки столба проверяют, глядя на столб поочередно с двух направлений. Как обосновать правильность такой проверки?
2)	При ремонте сверлильного станка (рис. 105) слесарь должен с помощью угольника выверить перпендикулярность оси сверла к плоскости стола, на котором крепится деталь. Как это сделать?
264°. На рисунке 106 изображен прямоугольный параллелепипед ABCDAjBiC^Di. Укажите, плоскостям каких граней перпендикулярны прямые: 1) AAf, 2) АВ; 3) BjCj.
265.	1) Ребро куба равно а. Найдите расстояния от точки пересечения диагоналей одной из граней до вершин противоле-
жащей ей грани.
2) Известно, что диагональ BDj прямоугольного параллелепипеда ABCDA^CtD! равна а, диагональ ADX грани равна Ь. Вычислите |ЛВ|. Можно ли вычислить |ВС|?
mathedu.ru
266.	Прямые а, 6, с лежат в плоскости а. Прямая т перпендикулярна а и Ь9 но не перпендикулярна с. Каково взаимное расположение прямых а и Ь?
267.	Д а н о: а 1 fc, а Л. с, b (J сс а. Верно ли утверждение, что а ± а?
268.	Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна лежащим в этой плоскости: 1) двум сторонам треугольника; 2) двум сторонам трапеции; 3) двум диаметрам круга; 4) двум диагоналям правильного шестиугольника?
269.	Является ли условие перпендикулярности прямой и плоскости, указанное в теореме 14, только достаточным или также необходимым?
270.	Дано: a |j а, b ± а. Верно ли утверждение, что b ± а?
§ 29. ПРОВЕДЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА К ПЛОСКОСТИ
Задача 1. Через данную точку провести плоскость, перпендикулярную данной прямой.
Решение. 1) Данная точка М не принадлежит данной прямой а (рис. 107).
Через данную прямую а проведем две различные плоскости: плоскость р, проходящую через данную точку М, и произвольную плоскость у. В плоскости Р через точку М проводим прямую Ь, перпендикулярную а. Пусть b р а = О. В плоскости у через точку О проводим с ± а. Через прямые b и с проведем плоскость а. Эта плоскость перпендикулярна прямой а согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
2)	Пусть данная точка принадлежит прямой а (точка О на рисунке 107). В этом случае обе различные вспомогательные плоскости Р и у проводим произвольно через прямую а. Дальнейшее решение выполняется так же, как и в пункте 1.
В обоих случаях задача имеет единственное решение (доказательство можно провести методом от противного).
Задача 2. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной плоскости.
Решение. Пусть даны точка М и плоскость а (рис. 1С8). Искомую прямую нужно провести так, чтобы она была перпендикуляр-
на двум пересекающимся прямым данной плоскости.
1)	Проведем на плоскости а произвольную прямую Ь,
2)	Через точку М проведем плоскость р, перпендикулярную прямой b (задача 1). Пусть a f] р = с.
3)	Через точку М в плоскости Р проведем прямую а, перпендикулярную прямой с.
Рис. 107
MATHEDU.RU
Прямая а искомая. Действительно, так как b ± р, то b ± а\ кроме того, а ± с. Следовательно, а ± а (§ 28, признак).
Докажем единственность решения задачи. Допустим, что через точку М проведены две различные прямые ах и о2, перпендикулярные плоскости а (рис. 109). Через аг и а2 проведем плоскость р, она пересекает а по прямой Ь. Тогда в плоскости р проведены две различные прямые аг и п2, перпендикулярные прямой Ь. Получено противоречие с теоремой, известной из планиметрии. Значит, наше допущение неверно.
Итак, через данную точку можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную данной плоскости.
Прямую, перпендикулярную плоскости, будем кратко называть перпендикуляром к этой плоскости. Прямую, пересекающую плоскость, но не перпендикулярную к ней, называют наклонной к плоскости.
Задачи
271.	На ребре АВ прямоугольного параллелепипеда ABCDAiB&xDi дана точка М. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через М и перпендикулярной прямой АВ.
272.	Даны куб ABCDAXB1C1D1 и точка 74, принадлежащая отрезку АС, причем |Л7И| : |7ИС| = 2:1. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через М и перпендикулярной прямой АС.
273.	Все ребра тетраэдра ABCD имеют равные длины. 1) Постройте сечение, содержащее данную точку М ребра AD и перпендикулярное этому ребру. 2) Вычислите площадь сечения, если длины ребер равны а и |Л7И| : |7И£>| = 3:1.
274.	Три параллельные прямые а, Ь, с не лежат в одной плоскости. Через точку М, принадлежащую прямой а, проведены перпендикуляры к прямым b и с, пересекающие их соответственно в точках Р и Q. Докажите, что прямая PQ перпендикулярна прямым b и с.
275.	Из точки О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведен отрезок ОМ так, что |7ИЛ|=|7ИС| и |7ИВ|=|7И£)|.
Докажите, что прямая ОМ перпендикулярна плоскости параллелограмма.
70	ff”
|Ж|,
mathedu.ru
Рис. ПО
276.	Дан куб ABCDA.B.C.D., Докажите, что прямая АС перпендикулярна плоскости сечения BDD.B., 277. Доказать, что плоскость, проходящая через концы трех ребер куба, имеющих общую точку, перпендикулярна диагонали куба, выходящей из этой точки.
Решение. Рассмотрим в кубе ABCDA.B.C.D. диагональ А.С и сечение AB.D. (рис. ПО). Требуется доказать, что (ЛХС) ± (ЛВ^). Для этого достаточно установить, что (ЛХС) 1 (АВ.), (А.С) AJADJ.
Разложим векторы А.С и АВ. по векторам А.А = а, А.В. = Ь, A^D. =с:_	,	~
А .С ~ о -I- b -J- с; АВ. — А.В. — А.А = b — а.
Тогда А.С • АВ. — (а + b + с) • (b — а) = Ь2 — а2 + Ь с—а-с.
Так как b 1с и ale, то b • с — а • с = О, поэтому А£ • АВ. = Ь2 — а2 = ИАР — МИР = 0.
Отсюда (А.С) ± (АВ.). Аналогично доказывается, что (ЛХС) ± (AD.).
Следовательно, (ЛХС) ± (AB.D.), 
278. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA.B.C.D., у которого |ЛВ| = 2 |ВС|, | A Aх1 = |ВС|. 1) Докажите, что прямая BD. не перпендикулярна плоскости A.C.D. 2) Вычислите углы между прямой BD. и прямыми Л^, C.D, DA..
279. Найти множество всех точек, каждая из которых одина-
ково удалена от двух данных несовпадающих точек А и В.
Решение. В планиметрии искомым множеством служит серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Поэтому естественно предположить, что для пространства искомое множество есть плоскость а, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину О (рис. 111). Докажем это.
1) Произвольную точку М, принадлежащую плоскости а, соединим с точками А, В, О. Прямоугольные треугольники АОМ и ВОМ, лежащие в одной плоскости (ЛВЛ4) = 0, конгруэнтны (по двум катетам), отсюда \МА | = |МВ|.
MATHEDU.RU
2) Теперь убедимся, что любая точка ЛГ, не принадлежащая плоскости а, неодинаково удалена от точек А и В. Через (АВ) и W проведем плоскость у. Пусть (NB) ("| а = D. Так как точка N лежит вне перпендикуляра (OD) к отрезку АВ, то \NA | =# |ЛЛВ] (известно из планиметрии).
Итак, множество всех точек, каждая из которых одинаково удалена от двух данных различных точек А и В, есть плоскость, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину.
280. Найдите объединение всех прямых, каждая из которых перпендикулярна данной прямой и проходит через заданную на ней точку.
§ 30. ДВА ПЕРПЕНДИКУЛЯРА К ПЛОСКОСТИ. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ НА ПЛОСКОСТЬ
1. Рассмотрим две теоремы.
Теорема. Два перпендикуляра к плоскости параллельны.
Дано: (ДД^ ± a, (BBJ ± а.
Доказать: (ДД^ || (BBJ.
Доказательство. Проведем в плоскости а через точку Дх две взаимно перпендикулярные прямые AtC и ArD (рис. 112).
— 1	—>
Вектор обозначим через b и разложим его по некомпланарным векторам ДХД = a, AtC = с, AXD = d (§ 23):
b = ха + ус + zd.	(1)
Докажем коллинеарность векторов а и Ь. Умножим скалярно обе части равенства (1) на вектор с. Учитывая, что вектор с перпендикулярен векторам b, a, d, получим:
(0 = ус2) => (у = 0).
После умножения обеих частей равенства (1) на d получим:
(0 = zd?) => (z = 0).
Итак, b = ха. Следовательно, векторы b и а коллинеарны (§ 20), а прямые BBi и АА± параллельны. 
Теорема (обратная). Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости.
72
MATHEDU.RU
Дано: а || Ь, а ± а.
Доказать: b 1а (рис. 113). Доказательство.
Пусть а Г] а = Л4, b f] а = АГ. Век->
тор MN отображает прямую а на прямую b и плоскость а — на себя (§ 17). Перемещение MN сохраняет перпендикулярность прямой и плоскости (§ 28, следствие), поэтому Ь ± а. 
2. Пусть даны плоскость а и прямая /, перпендикулярная а. При проектировании на плоскость а параллельно прямой I любая проектирующая прямая перпендикулярна плоскости проекций (теорема 16). Такое проектирование называется ортогональным (прямоугольным) проектированием на плоскость.
В дальнейшем, говоря о проекции какой-либо фигуры на плоскость, мы будем иметь в виду ортогональную проекцию.
Ортогональной проекцией широко пользуются в техническом черчении. За основу выполнения технических чертежей берется способ ортогонального проектирования фигуры на две плоскости: горизонтальную Н и вертикальную V (рис. 114). Чертежи некоторых деталей машин вы выполняли на уроках черчения. Рисунок 115 представляет собой чертеж втулки.
Рис. 115
Задачи
281°. Могут ли быть перпендикулярны к одной плоскости две стороны: I) треугольника; 2) трапеции; 3) правильного шестиугольника?
282. Два электрических провода нужно протянуть от столба, на котором они будут укреплены на высоте 7,0 м, к дому, где они крепятся на высоте 4,0 м. Сколько потребуется провода, если расстояние от дома до столба равно 15 м и на провисание и крепление нужно добавить 5% найденной длины?
283°. Какой фигурой является проекция прямой, если прямая служит: 1) наклонной к плоскости проекций; 2) перпендикуляром к этой плоскости?
73
I ,
mathedu.ru
Рис. 116
284. Отрезок МЛ1 длиной 12 см является проекцией отрезка МА на плоскость а. Известно, что |ЛАх| = 9 см, В € [МЛ], | ЛВ|: \ВМ| = 2:3. Найдите длины отрезка АВ и его проекции на плоскость а.
285. Точки Л и В расположены по разные стороны от плоскости а и не лежат на перпендикуляре к этой пло-
скости; точки Лг и Bj — их проекции на плоскость а. 1) Докажите, что прямые АВ и Л^ пересекаются. 2) Найдите расстояния от точки их пересечения до точек Л и Blt если [ЛЛх! = a, |BBJ = b, | Л В | = с.
286. Дано: {Л, В} с= а, [ЛЛ^ 1 а, [BBJ 1 а.
1) Найдите ВВ1Л1, если АА& = <р.
2) Найдите	если |ААГ\ = 10 см, IBBJ — 18 см,
|ЛХВ| = 15 см.
287. Дан прямоугольный треугольник ЛВС, катеты которого АС и ВС соответственно равны 20 см и 15 см. Через вершину Л проведена плоскость, параллельная прямой ВС (рис. 116). Длина проекции одного из катетов на эту плоскость равна 12 см. Найдите
длину проекции гипотенузы.
288. Длина стороны ромба с углом в 60° равна а. Через одну из сторон проведена плоскость; длина проекции другой стороны на эту плоскость равна Ь. Найдите длины проекций диагоналей.
§ 31. ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ ПРОСТРАНСТВА
Точки М и Mi называются симметричными относительно прямой I (рис. 117), если отрезок MMt перпендикулярен I и делится этой прямой пополам.
Любая точка прямой I считается симметричной самой себе.
Определение. Преобразование пространства, при котором каждая точка отображается на симметричную ей точку относительно данной прямой, называется осевой симметрией.
Данную прямую называют осью симметрии.
Рис. 117
74
mathedu.ru
Если при осевой симметрии с осью I точка является образом точки М, то записывают: St (М) = Запись St (Ф) = Фх означает, что при симметрии с осью I фигура Ф отображается на фигуру Фх.
17. Теорема. Осевая симметрия есть перемещение.
Доказательство. Пусть S, (М) = Mlt St (N) — Ni (рис. 118). Докажем, что lAf-WI = |AfiA\|. Введем векторы m, п, р, как показано на рисунке 118. Согласно определению осевой симметрии имеем:
m • р = п • р = 0.
По правилу многоугольника (§ 18) получим:
MN = —m + р + п; MjNt = m + р — п.
Тогда | /И/V |2 = шг + р2 4- п2 — 2m • п,
|	|2 — tn2 + р2 + пг — 2m  п.
Следовательно, |Л1Л7|2 — |Afx^|2 и |7HJV| =
Из теоремы 17 вытекает, что при осевой симметрии любая фигура отображается на конгруэнтную ей фигуру.
Примечание. Пользуясь признаком перпендикулярности прямой и плоскости, а также свойствами осевой симметрии, можно доказать признаки конгруэнтности треугольников, произвольно расположенных в пространстве. Формулировки признаков такие же, как и в планиметрии. (См. «Приложения», с. 221.)
Задачи
289.	1) Какие точки при осевой симметрии отображаются на себя?
2)	Какие прямые при осевой симметрии отображаются на себя?
290.	Каково взаимное расположение оси симметрии I и образа «х данной плоскости а, если: 1) / с а; 2) I ± а; 3) I — наклонная к а?
291°. Каким может быть при осевой симметрии взаимное расположение: 1) прямой и ее образа; 2) плоскости и ее образа?
292.	Даны две различные точки А и В. Укажите оси симметрий, отображающих А на В. Какой фигурой является объединение всех таких осей?
293°. Если при симметрии относительно прямой фигура отображается на себя, то эту прямую называют осью симметрии фигуры. Укажите оси симметрии следующих фигур: 1) отрезка; 2) луча; 3) прямой; 4) плоскости; 5) параллелограмма; 6) правильного треугольника; 7) квадрата; 8) окружности; 9) объединения двух пересекающихся прямых.
294.	Докажите, что если плоская фигура имеет центр симметрии, то она имеет и ось симметрии.
Джй
MATHEDU.RU
[0/<] к плоскости трапеции.
295.	Через точку Л, не принадлежащую плоскости а, проведены к этой плоскости две наклонные, пересекающие а в точках В и С (рис. 119). Докажите, что для равенства длин отрезков АВ и АС необходимо и достаточно равенство длин их проекций на плоскость а.
296.	Радиомачта удерживается в вертикальном положении с помощью трех оттяжек, укрепленных на высоте 6,0 м, и трех оттяжек — на высоте 15 м (рис. 120). Оттяжки крепятся на земле на расстоянии 10 м от основания мачты. Сколько проволоки нужно взять для изготовления оттяжек? (Расход проволоки на крепление не учитывать.)
297.	1) Из точки О пересечения диагоналей прямоугольника ABCD проведен перпендикуляр1 [О/Q к его плоскости. Найдите расстояния от точки К до вершин прямоугольника, если |ДВ|=а, |SC|=B, \OK\=d.
2)	Основания равнобедренной трапеции равны 4 см и 6 см, ее диагональ 10 см. Из точки О пересечения диагоналей проведен перпендикуляр Найдите расстояния от точки К до
вершин трапеции, если | О/С| = 8 см.
298. Найдите множество всех точек, каждая из которых одинаково удалена от трех различных точек А, В, С: 1) не принадлежащих одной прямой; 2) принадлежащих прямой.
§ 32. СИММЕТРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТИ
Точки М и называются симметричными относительно плоскости а (рис. 121), если отрезок ММГ перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам. Любая точка плоскости а считается симметричной самой себе.
Определение. Преобразование пространства, при котором каждая точка отображается на симметричную ей точку относительно данной плоскости, называется симметрией относительно этой плоскости.
1 Здесь и в некоторых других задачах словом «перпендикуляр» кратко именуем отрезок прямой, перпендикулярной плоскости, а не всю прямую.
76
MATHEDU.RU
Симметрию относительно плоскости а обозначают Sa. Если симметрия Sa точку М (фигуру Ф) отображает на точку (фигуру Фх), то записывают:
Sa (М) = Mlf sa (Ф) = ФР
18. Теорема. Симметрия относительно плоскости есть переме-
fl
N
м;
Рис. 121
щение.
Доказательство. Пусть Sa(M)=Mlf Sa(N)=N19 где М£а,
N а (рис. 121). Докажем, что |A4AZ| =	Прямые
и NN19 перпендикулярные к а, параллельны (§ 30, теорема 16), поэтому они принадлежат некоторой плоскости 0. Обозначим а П 0 = I. Симметрия относительно прямой I отобразит отрезок MN на отрезок причем согласно теореме 17 (§ 31) | MN | = = |ЛШ|. Это равенство сохранится и в тех случаях, когда одна или обе точки М и N принадлежат плоскости а.Н
Из теоремы следует, что если Sa (Ф) = Фх, то Фх Ф (рис. 122).
Фигуры, симметричные относительно плоскости, можно продемонстрировать с помощью плоского зеркала.
Отметим любопытную особенность неплоских фигур, симметричных относительно плоскости. Пусть дан тетраэдр ABCD, не имеющий конгруэнтных плоских углов при какой-либо из вершин. Рассмотрим тетраэдр A^B^CJ)^ симметричный данному относительно плоскости а, тогда A^^D^ = ABCD (рис. 122).
Опыт показывает, что одну из моделей двух плоских конгруэнтных фигур можно путем непрерывного движения в пространстве переместить так, что она займет точно такое же положение, какое занимала вторая модель. Иначе говоря, две плоские конгруэнтные фигуры можно совместить. Но попробуйте осуществить такое совмещение для тетраэдров ABCD и A^B^C^D^ (см. рис. 122). Ваши попытки окажутся безуспешными. Другой на-
Рис. 122
MATHEDU.RU
глядный пример несовмещающихся конгруэнтных фигур — кисти правой и левой рук. Несовмещающиеся конгруэнтные фигуры можно получить и с помощью центральной симметрии.
Задачи
299°. 1) Найдите множество всех точек, каждая из которых при симметрии относительно плоскости а отображается на себя.
2) Какие прямые при симметрии относительно плоскости отображаются на себя?
300°. Каким может быть при симметрии относительно плоскости взаимное расположение: 1) прямой и ее образа; 2) плоскости и ее образа?
ЗОГ. Если при симметрии относительно плоскости фигура отображается на себя, то эту плоскость называют плоскостью симметрии данной фигуры. Укажите плоскости симметрии следующих фигур: 1) отрезка; 2) прямой; 3) луча.
302°. Имеются ли в природе и технике предметы, которые можно считать моделями пространственных фигур, имеющих плоскость симметрии? Приведите примеры.
303*. Докажите, что если фигура имеет единственные центр симметрии и плоскость симметрии, то центр симметрии принадлежит плоскости симметрии.
304*. Существует ли тетраэдр, имеющий только одну плоскость симметрии?
§ 33. ДВЕ ПЛОСКОСТИ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМОЙ
19. Теорема. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой.
Доказательство. Пусть а("|а = Л1,аГ|Р = Л/ (рис. 123).
Вектор MN отображает прямую а на себя, а плоскость а — на плоскость Р (§ 17). Перпендикулярность прямой и плоскости при перемещении сохраняется (§ 28), следовательно, а ± p.Q
Верна и обратная теорема: две плоскости, пе рпендикуляр-ные прямой, параллельны. Докажите это самостоятельно
mathedu.ru
Задачи
305.	Докажите, что наклонная к одной из двух параллельных плоскостей является наклонной и к другой.
306.	1) Каково взаимное расположение двух плоскостей, если известно, что только одна из них перпендикулярна данной прямой?
2)	Д а н о: а П 0 = т, а I а. Могут ли быть перпендикулярными прямая а и плоскость 0?
307.	Дано: а || 0, [ЛВ] 1 a, [CD] 1 0, {Л, С) с: а, {В, D} с: 0. Д о к а з а т ь: |ЛВ| = |CD|.
308.	Дано: а || 0, {Л, D} с а, [МЛ] 1 а, [МЛ] П 0 = В, [MD] П 0 = С, |ЛВ| = 5 см, |МВ| = 12 см, |МС| = 13 см. Найдите |ВС| и |ЛР|.
309.	Ребра ВС, AC, AD, BD тетраэдра ABCD имеют равные длины. 1) Постройте сечения тетраэдра плоскостями, проведенными через середины ребер ВС и AD перпендикулярно прямой CD. 2) Докажите конгруэнтность сечений.
§ 34. РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ
Распространим на пространство известное из планиметрии понятие расстояния между двумя фигурами.
Если среди расстояний между точками, одна из которых принадлежит фигуре Фн а другая — фигуре Ф2, существует наименьшее, то его называют расстоянием между фигурами Ф1 и Ф2 (рис. 125).
20.	Теорема. Расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от этой точки до ее ортогональной проекции на данную плоскость.
Доказательство. Пусть точка Л взята вне плоскости а (рис. 126). Построим точку В — проекцию точки Л на эту плоскость. Выберем в плоскости а любую точку М, отличную от В, и проведем прямую МВ. Тогда [ЛВ] ± (МВ). Применив известную из планиметрии теорему о расстоянии от точки до прямой, получим: |ЛВ|< |ЛМ|. Следовательно, |ЛВ| — расстояние от точки Л до плоскости а.
mathedu.ru
Если точка А принадлежит а, то ее проекцией служит сама точка А. Теорема верна и в этом случае, так как расстояние от Л до а равно нулю и |ЛЛ| = 0. g
Задачи
310°. Прямая а лежит в плоскости а, точка М не принадлежит этой плоскости. Сравните расстояние от М до а с расстоянием от М до а. В каком случае эти расстояния равны?
311.	Найдите расстояние от вершины куба до плоскости противолежащей грани, если известно, что: 1) диагональ грани куба равна т\ 2) диагональ куба равна d.
312.	Докажите, что расстояние от середины отрезка до плоскости равно: 1) полусумме расстояний от концов отрезка до плоскости, если отрезок не пересекает плоскость; 2) модулю полуразности этих расстояний, если отрезок пересекает плоскость.
313.	Сторона правильного треугольника равна 6 см, точка М отстоит от всех его вершин на 4 см. Найти расстояние от 7И до плоскости треугольника.
Решение. Пусть даны правильный треугольник АВС и точка М, причем \МА | = |Л4В| = |МС| (рис. 127). Проекцию К точки М на плоскость АВС соединим с вершинами данного треугольника. Прямоугольные треугольники МКА, МКВ, МКС попарно конгруэнтны (по гипотенузе и катету). Поэтому \КА | = = |/СВ| = |/СС|. Итак, К — центр окружности, описанной около треугольника АВС, |/<Л| — радиус этой окружности. Требуется вычислить |Л4/С|.
Пользуясь формулой a3=R У~3, находим: | К А | =	= 21/3 см.
В прямоугольном треугольнике АКМ имеем |Л4Д| = 4 см, тогда
\МК\ = /|МД|2 —|/С4|2 = 2 см.
314.	1) Катеты прямоугольного треугольника равны а и &• Точка М находится на расстоянии h от плоскости треугольника и на одинаковом расстоянии от всех его вершин. Найдите это расстояние.
2) Точка М находится на расстоянии I от всех вершин треугольника АВС. Найдите расстояние от точки М до плоскости треугольника, если |ВС\=
= а и ВАС = а.
315.	Найдите множество всех точек, каждая из которых одинаково удалена от всех вершин: 1) прямоугольника; 2) равнобедренной трапеции; 3) ромба, не являющегося квадратом.
MATHEDU.RU
316.	1) Докажите, что расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью равно расстоянию от произвольной точки прямой до данной плоскости.
2°) Чему равно расстояние между пересекающимися прямой и плоскостью?
317.	Отрезок АВ длиной а параллелен плоскости а и удален от нее на расстояние Ь. Наклонные [ЛС] и [ВО], где {С, D} с а, перпендикулярны [ЛВ]. Найдите |CD |, если |ЛС| = |ВО| = с.
318.	1) Докажите, что расстояние между двумя параллельными плоскостями равно расстоянию от произвольной точки одной плоскости до другой плоскости.
2°) Чему равно расстояние между двумя пересекающимися плоскостями?
319°. Найдите множество всех точек, удаленных от данной плоскости а на расстояние /.
320°. Найдите множество всех точек, каждая из которых удалена от данной плоскости на расстояние: 1) меньшее, чем /; 2) большее /.
321.	Найдите множество всех точек, одинаково удаленных от двух данных различных параллельных плоскостей.
322.	Даны две различные параллельные плоскости а и 0. Укажите оси симметрий, отображающих а на 0. Какой фигурой является объединение всех таких осей?
323.	Отрезки АВ и CDt концы которых принадлежат различным параллельным плоскостям, проектируются на одну из них. Найдите расстояние между плоскостями, если известно, что: 1) |ЛВ| : \ CD\ = 10 : 17 и длины проекций этих отрезков соответственно равны 12 см и 3 дм\ 2) | АВ\ = a, \CD\ = b и длины их проекций относятся как т : п; 3) | АВ\ = at \CD\ = b и сумма длин их проекций равна с.
§ 35. ОБЩИЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ
Задача. Даны скрещивающиеся прямые а и Ь. Провести прямую, пересекающую обе данные прямые и перпендикулярную каждой из них.
Решение. Проведем через а и b (рис. 128) параллельные плоскости а и 0 (§ 11, задача).
Проектируя ортогонально прямую b на плоскость а, получим прямую Ь19 параллельную прямой b (§ 11, теорема 7). Точку пересечения прямых а и Ьг обозначим через М. Эта точка является проекцией некоторой точки W, принадлежащей прямой ft; (MN) — искомая прямая. Действительно, так как (MN) ± а, то (MN) ± 0 (§ 33, теорема 19), а тогда (MN) ± а и (MN) ± ft.
Отрезок, имеющий концы на двух скрещивающихся прямых и перпендикулярный к ним, называется общим перпендикуляром скрещивающихся прямых. Докажем, что длина | MN | общего fl 1 81 I •
mathedu.ru
перпендикуляра скрещивающихся прямых а и b (рис. 128) является расстоянием между этими прямыми. Достаточно доказать, что |ЛПУ|< < | CD I, где [CD] — любой другой отрезок, имеющий концы на данных прямых.
Рассмотрим проекцию Dx точки D на плоскость а. Согласно теореме 20 |DDX| есть расстояние от D до а, поэтому |DDX| < | CD|. Но |DDX| = = |A47V| (почему?), следовательно,
|MN\ < |CD|.
Заметим, что расстояние между двумя скрещивающимися прямыми
равно расстоянию между параллельными плоскостями, содержащими данные прямые (рис. 128).
Задачи
324.	На изображении прямоугольного параллелепипеда ABCDAxBiC^Pi (рис. 129) укажите общий перпендикуляр прямых: 1) AxDt и BBi, 2) DC и ВХСХ; 3) ССХ и АВ.
325.	Одна из двух скрещивающихся прямых лежит в плоскости а, другая — перпендикулярна а. Как расположен общий перпендикуляр данных прямых?
326.	1) На изображении куба ABCDAjB^Di постройте общий перпендикуляр прямых ЛЛХ и BD. 2) Найдите расстояние между этими прямыми, если ребро куба равно а.
327.	1) Дан куб ЛВС£)ЛХВХСХОХ, постройте общий перпендикуляр прямых ЛХО и BCt. 2°) Найдите расстояние между этими прямыми, если площадь грани куба равна 2 см2.
328.	Каждое ребро тетраэдра ABCD равно а. Найдите расстояние между (Л В) и (CD).
329.	Через середину общего перпендикуляра [M2V] двух скрещивающихся прямых проведена плоскость у, перпендикулярная (MN). Докажите, что у делит пополам любой отрезок, соединяющий точку одной прямой с точкой другой прямой.
Рис. 129
mathedu.ru
330*. Даны скрещивающиеся прямые а и 6, угол между которыми равен q>; длина их общего перпендикуляра [MAf] равна d (рис. 130). На данных прямых взяты соответственно точки А и В так, что | МА | = т, \NB\ = п. Найти |ДВ|.
Решение. Введем векторы /и, и, d, как указано на рисунке 130. По правилу многоугольника имеем:
АВ = т + d + и.
Возведем в квадрат:
АВ2 = т2 + d2 +	+ 2т • d + 2m-n + 2d • п. (1)
Так как вектор d перпендикулярен векторам т и и, то т • d = d • п = 0.
Возможны два случая:
1) (/и, п) = ф (рис. 130, а); 2) (т, п) = 180° — ф (рис. 130, б).
В первом случае т-п=тп cos ф, а во втором т-п=—тп cos ф. Подставив эти значения в (1) и извлекая корень, получим:
| АВ| = Vtn2 + п2 + d2 ± 2тп cos ф.
§ 36. ТЕОРЕМА 0 ТРЕХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ
21. Теорема. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной.
Доказательство. Рассмотрим прямые: (ДС) — перпендикуляр к плоскости а, (АВ) — наклонная и (СВ) — ее проекция на плоскость а (рис. 131).
Достаточность. Пусть прямая т, лежащая в плоскости а, перпендикулярна (СВ). Из определения перпендикуляра к плоскости следует, что (АС) ± т. Итак, прямая т перпендикулярна прямым СВ и АС, лежащим в плоскости АВС.
Тогда т ± (АВС) (§ 28, теорема 14), откуда т ± (ДВ).
Необходимость. Пусть т cz а и т ± (АВ). Так'как, кроме того, (ДС) ± т, то т ± (АВС), откуда т ± (СВ). Q
Задачи
331. Верны ли утверждения: 1) если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то эта прямая перпендикулярна самой наклонной; 2) если прямая перпендикулярна наклонной и ее проекции, то эта прямая лежит в плоскости проекций?
A
N
332°. Получится ли истинное высказывание, если в формулировке теоремы о трех перпендикулярах заменить слова «лежащая в плоскости» словами «параллельная плоскости проекций»?
333. Докажите теорему о трех перпендикулярах, пользуясь скалярным произведением векторов (рис. 132).
334. Прямая а пересекает плоскость а. В плоскости а через данную точку проведите прямую, перпендикулярную прямой а.
335°. Из вершины А прямоугольника ABCD (рис. 133) проведен перпендикуляр к его плоскости. Точка М этого перпендикуляра соединена с точками В, С, D. 1) Докажите, что треугольники МВС и MDC прямоугольные. 2) Среди отрезков МА, MB, МС, MD укажите отрезки с наибольшей и наименьшей длиной.
336.	Треугольник АВС — изображение правильного треугольника; отрезок MN изображает перпендикуляр, проведенный из точки N к плоскости треугольника (рис. 134). Постройте прямые, проходящие через точки М, N и перпендикулярные к сторонам треугольника.
337.	1) Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника с катетами а и b проведен перпендикуляр к плоскости треугольника. Длина перпендикуляра равна h. Найдите расстояние от его конца, не лежащего в плоскости треугольника, до гипотенузы.
2) Стороны треугольника равны 20 см, 65 см и 75 см. Из вершины большего угла треугольника проведен к его плоскости перпендикуляр длиной 60 см. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до большей стороны треугольника.
338.	1) На плоскости а проведены две параллельные прямые, расстояние между которыми равно т. Точка S находится на расстоянии h от плоскости а и на одинаковом расстоянии от обеих прямых. Найдите это расстояние.
2)	На плоскости а проведены параллельные прямые а и Ь, расстояние между ними равно 44 см. Прямая с, параллельная данным прямым, удалена от плоскости а на 15 см, а от прямой а — на 39 см. Найдите расстояние между прямыми b и с.
339.	Точка М равноудалена от всех вершин правильного треугольника со стороной а и удалена от плоскости треугольника на
MATHEDU.RU
расстояние b. Найдите расстояния от точки М до прямых, содержащих стороны треугольника.
340°. Точка, лежащая вне плоскости ромба, равноудалена от всех прямых, содержащих его стороны. Одинаково ли эта точка удалена от вершин ромба?
341°. 1) Для какого треугольника точка пространства, равноудаленная от его вершин, равноудалена и от прямых, содержащих его стороны?
2) Решите аналогичную задачу для четырехугольника.
§ 37. УГОЛ МЕЖДУ НАКЛОННОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ
Поставим задачу: сравнить угол между наклонной а и ее проекцией аг на плоскость а (рис. 135) с углом между этой наклонной и произвольной прямой Ь, лежащей в плоскости а.
Заметим сразу же, что если прямая b параллельна прямой А	А
то (а, Ь) = (а, а±) (§ 24). Остается рассмотреть случай, когда b и аг не параллельны.
Пусть М — точка пересечения наклонной а и плоскости а (рис. 135). Спроектируем отрезок MNr наклонной на эту плоскость, получим отрезок MN. Проведем (МС) || Ь. Обозначим:
NjMN = ср, NMC = р, N±MC = у. Каждый из этих углов не больше 90°, причем угол N±MN не может быть прямым (почему?). Формулу, связывающую величины ср, р, у, выведем с помощью векторов.
[AWJ ± [МС], поэтому NNt • МС = 0. Так как NNt = MN± — — MN, то из последнего равенства получим:
(MNi — MN) • МС = 0.
Тогда MNt • МС = MN • МС или
| МЛ\| • | МС| • cos у = ] MN\ • | МС| • cos р.
Отсюда cos v = -L——L- cos P. Ho -'	 = cos <p. Следовательно,
r | MNt | r I MNi |
cos у — cos <p • cos p.
Эта формула позволяет сравнить величины q> и у.
Действительно, так как 0 < < cos р < 1, то cos у < cos <р, откуда <р < у. Приходим к выводу: угол между наклонной и ее проекцией на плоскость есть наименьший из углов, образованных наклонной со всеми прямыми, лежащими в этой плоскости.
mathedu.ru
Рис. 137
Определение. Углом между наклонной и плоскостью называется угол между наклонной и ее проекцией на плоскость.
Обозначение угла между наклонной а и плоскостью а: (а, а) — <р (рис. 136).
Понятие угла между наклонной и плоскостью часто применяют при выполнении измерительных работ на местности. Для измерения угла наклона прямой к плоскости горизонта можно пользоваться эклиметром (рис. 137) или более совершенным прибором — теодолитом (рис. 138).
Задачи
342. 1) Докажите, что две параллельные наклонные к скости образуют с ней равные углы.
2) Верно ли обратное утверждение?
343.	В прямоугольном параллелепипеде ABCDA^CxDi диагонали к плоскостям граней, имеющих общую вершину В. Вычислите эти углы, если | АВ\ = | BBj\ = а, | ВС| = 2а.
344.	Докажите, что стороны угла одинаково наклонены к плоскости, проходящей через биссектрису этого угла и не совпадающей с плоскостью данного угла.
345.	На базе поисковой группы принята радиограмма, что вертолет находится над разыскиваемым объектом на высоте 600 м. Вертолет виден с базы под углом 8°30' над плоскостью горизонта. Вычислите расстояние от базы до объекта (рис. 139).
346.	Найти высоту |ЛВ| предмета, если точки А и В недоступны (рис. 140).
Решение. Провешиваем отрезок CxDt так, чтобы прямая CiDt проходила через точку В. Измеряем длину отрезка CjDi. Пусть ICjDjI = b. Измеряем эклиметром
пло-
ука-
жите углы наклона
Рис. 136
mathedu.ru
Рис. 139
углы АСМ и ADM, получим: АСМ = a, ADM = р. Высоту | СС^ эклиметра обозначим через h.
Из треугольника ACD по теореме синусов найдем |AD|:
| Л£>| = 1 СО | sina sin cad'
Но |CD| = b, CAD = p — а, тогда | AD\- —fcs’na-.
sin (p — a)
Из прямоугольного треугольника ADM:
| АЛ4| = | ADI sin p.
Следовательно, |AB| =	sin+ h.
Выполнив измерения на местности, найдите числовой результат.
347.	1) Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние h, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы, равные <р, а между собой — прямой угол. Найдите расстояние между точками пересечения наклонных с плоскостью.
2) Прямая АС наклонена к плоскости а под углом <р, прямая АВ — под углом 2ср. Меньший из отрезков АС и АВ, где {С, В} с а, равен а. Найдите |ВС|, если известно, что проекции наклонных взаимно перпендикулярны.
348.	Сторона правильного треугольника равна 12 см. Точка М выбрана так, что отрезки, соединяющие М со всеми вершинами треугольника, образуют с его плоскостью углы по 45°. Найдите расстояние от точки М до вершин и сторон треугольника.
349.	Через сторону квадрата проведена плоскость под углом 30° к диагонали квадрата. Найдите углы, под которыми наклонены к плоскости две стороны квадрата.
350.	Дан ромб со стороной а и острым углом <р. Через одну из его сторон проведена плоскость под уг-
mathedu.ru
лом Р к другой стороне ромба. Найдите площадь проекции ромба на эту плоскость.
351.	1) Сквозь гору между точками А и В нужно проложить горизонтальный туннель (рис. 141). Из точки С, расположенной на высоте h над туннелем, отрезок АВ виден под углом <р, а из точек А и В точка С видна под углами аир над горизонтальной плоскостью. Найдите длину туннеля.
2)	Горизонтальный участок АВ горной дороги имеет длину I (рис. 142). Из точек А и В вершина С горы видна под углами С АВ = а, СВ А = р. Какой из углов, изображенных на рисунке, достаточно знать, чтобы вычислить высоту х горы над дорогой? Обозначив этот угол через <р, найдите х.
§ 38. ДВУГРАННЫЙ УГОЛ. ИЗМЕРЕНИЕ ДВУГРАННЫХ УГЛОВ
1.	Пусть даны две непараллельные плоскости аир (рис. 143). Плоскость а служит общей границей двух замкнутых полупространств Pi и Р2, а плоскость Р — полупространств и Qt. Выберем по одному полупространству из каждой пары, например Pi и Q2 (рис. 143), рассмотрим их пересечение Pj f| Qi-
On р е де л е н и е 1. Пересечение двух полупространств, границами которых служат непараллельные плоскости, называется двугранным углом.
Двугранный угол (рис. 144) является выпуклой фигурой. Каждый двугранный угол ограничен двумя полуплоскостями,
Рис. 144
88
mathedu.ru
называемыми его гранями. Прямая, являющаяся общей границей граней, называется ребром двугранного угла. Все точки двугранного угла, не принадлежащие граням, образуют его внутреннюю область.
Двугранный угол обозначается с помощью значка Z. и букв, указывающих его грани и ребро. При этом буква, обозначающая ребро, ставится между буквами, обозначающими грани. Например, угол, изображенный на рисунке 144, обозначается Z_aap. Применяется и краткое обозначение двугранного угла по его ребру, напримерАа, Z_AB.
2.	Пусть имеем двугранный угол aap. Через произвольную точку О ребра а проведем плоскость у, перпендикулярную а (рис. 145). Получим угол АОВ:
у П Z_aaP = Z-AOB.
Величина этого угла не зависит от выбора точки О на ребре двугранного угла. Чтобы убедиться в этом, проведем через любую другую точку Oi ребра а плоскость уь перпендикулярную а. Величина получившегося угла А^О^Вх равна величине угла АОВ, что следует из теоремы об углах с сонаправленными сторонами (§ 24).
Определение 2. Пересечение двугранного угла и плоскости, перпендикулярной к его ребру, называется линейным углом1 двугранного угла.
Стороны линейного угла перпендикулярны ребру двугранного угла (§ 28, определение).
Можно доказать, что необходимым и достаточным условием конгруэнтности двух двугранных углов является равенство величин их линейных углов.
Определение 3. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.
Линейный угол двугранного угла (рис. 145) меньше 180°. Поэтому величина двугранного угла заключена в промежутке ]0°; 180°[. Величину двугранного угла пример: aa0 = 60°.
Двугранный угол называют прямым, острым или тупым в зависимости от того, будет ли линейный угол этого двугранного угла прямым, острым или тупым.
Две пересекающиеся плоскости
определяют в пространстве четыре	/Д_______\/g \ \ /
двугранных угла. Из рассмотрения	V \ у
их линейных углов (рис. 146) еле-	\ у
дует, что величины этих дву-	уу
1 Величину линейного угла для крат-
кости также называют линейным углом.	Рис. 146
89
aaP обозначают aap, на-
mathedu.ru
гранных углов попарно равны и сумма величин двух углов, имеющих общую грань, равна 180°.
Величину меньшего из двугранных углов, определяемых двумя пересекающимися плоскостями, назовем углом между этими плоскостями.
Если две плоскости параллельны, то угол между ними считается равным 0°.
Обозначение угла между плоскостями аир:
(а, Р) = <р, где 0° ф 90°.
Две плоскости называют взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90°. В этом случае употребляют запись: а ± р.
Задачи
352°. Укажите модели двугранных углов на предметах окружающей обстановки.
353. Дан куб ABCDA^B^Di. Рассмотрите двугранный угол
с ребром АВ и гранями, проходящими через точки Dx и D
(рис. 147). Вычислите DADi и bBDv Какой из этих углов служит линейным углом данного двугранного угла?
354°. 1) Можно ли считать линейным углом двугранного угла угол, стороны которого — два луча, проведенные в гранях двугранного угла из одной точки ребра?
2) Равен ли линейному углу двугранного угла угол между двумя лучами, перпендикулярными его ребру и лежащими в его гранях?
355°. Сторона ВС прямоугольника ABCD служит стороной треугольника BCF (рис. 148), причем вершина F проектируется на (DC). Назовите линейный угол двугранного угла ВС.
356.	Дано изображение равнобедренной трапеции ABCD и треугольника АВМ (рис. 149). Отрезок МС изображает перпендикуляр, проведенный из точки М к плоскости АВС. Постройте линейный угол двугранного угла АВ так, чтобы одна из его сторон проходила через точку М.
357.	Найдите множество всех точек: 1) принадлежащих одной грани двугран-
Рис. 149	ного угла и удаленных от плоскости
MATHEDU.RU
другой грани на расстояние /; 2) принадлежащих двугранному углу и удаленных от плоскости каждой грани на расстояние /.
358.	1) Вычислите угол заострения стамески по размерам, указанным на рисунке 150.
2) Из заготовки толщиной 2,0 мм нужно изготовить стамеску с углом заострения в 12°. На каком расстоянии от края заготовки должна начинаться сточенная часть?
359.	1) На грани двугранного угла величиной 45° дана точка, удаленная от ребра на расстояние а. Найти расстояние от этой точки до другой грани.
Решение. Пусть amp = 45°, Р (рис. 151). Проведем [СВ] ± аи[С£>]±/п, где В С а, D € т. По теореме о трех перпендикулярах отрезок BD перпен
дикулярен ребру т. Тогда Z-BDC — линейный угол данного двугранного угла.
Имеем: |CD| = a, BDC — 45°; требуется найти | ВС\. Из прямоугольного треугольника BCD получим:
| ВС| = | CD| • sin BDC = a sin 45° =
2) Найдите величину двугранного угла, если расстояние от точки, взятой на одной грани, до ребра в три раза больше расстояния от данной точки до плоскости второй грани.
360.	Внутри двугранного угла величиной 120° дана точка М, удаленная от каждой грани на расстояние а. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.
361.	1) Грани одного двугранного угла соответственно параллельны граням другого. Какова зависимость между величинами этих углов?
2) На изображении параллелепипеда ABCDAiBiCiDi (рис. 152) укажите несколько пар равных по величине двугранных углов.
362.	Эскалатор (движущаяся лестница) одной из станций Московского метрополитена в наклонной части имеет 170 ступенек. Ширина ступеньки 40 см, а высота 20 см. Вычислите: 1) глубину подземной станции; 2) длину спуска; 3) угол наклона лестницы к горизонтальной плоскости пола станции.
0,
Рис. 152
91
-Wl
mathedu.ru
Рис. 153
363.	Вычислите толщину т каменноугольного пласта, наклоненного под углом ф = 34°40' к плоскости горизонта, если при вертикальном бурении установлено, что глубина пласта Ь = 4,4 м (рис. 153).
364.	1) Через катет АС прямоугольного треугольника АВС л
(С = 90°) проведена плоскость а, образующая с плоскостью треугольника угол ф. Найдите расстояние от вершины В до плоскости а, если |АВ\ = с, |ЛС| = Ь.
2) Катет равнобедренного прямоугольного треугольника наклонен к плоскости а, проходящей через гипотенузу, под углом 30°. Докажите, что угол между плоскостью а и плоскостью треугольника равен 45°.
365.	Через основание ВС равнобедренного треугольника АВС проведена плоскость а; расстояние от вершины А др этой плоскости равно 4 см. Найдите угол между плоскостью а и плоскостью треугольника, если |ВС| = 12 см, | АВ\ = |ЛС| = 10 см.
366.	Дан треугольник АВС, в котором \ВС\ = 36 дм, \АВ\ = = 29 дм, | ЛС| = 25 дм. Через сторону ВС проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол ф. Найдите расстояние от вершины Л до плоскости и углы наклона сторон АС и АВ к этой плоскости.
367.	1) Концы отрезка АВ принадлежат граням двугранного угла, равного ф. Расстояния | ЛЛХ| и |BBil от точек Л и В до ребра соответственно равны а и Ь, (Л^^с. Найти |ЛВ| (рис. 154).
Решение. Обозначим ЛХЛ = а, ВгВ = Ь, А^ = с. По правилу многоугольника имеем: АВ = —а + с + Ь. Возведя в квадрат, получим:
АВ2 = (—а)2 + ? + Ь2 — 2а * с — 2а • b + 2Ь • с.
Так как отрезки ЛХЛ и ВХВ перпендикулярны отрезку АгВи то
а • с = 0, Ь • с = 0 и
| АВ\2 = а2 + Ь2 + с? — 2а • Ъ. (1)
Векторы а и Ь сонаправлены сторонам линейного угла, поэтому
А
(а, Ь) = ф.
Из равенства (1) следует:
| АВ\ = Уа2 + Ь2 + с2 — 2ab cos ф. —;
1Ш|Й|
V—
MATHEDU.RU
2) Концы отрезка АВ, равного 10 см, принадлежат граням двугранного угла. Расстояния |Лу4х| и от концов данного отрезка до ребра двугранного угла равны соответственно 5 см и 6 см\ |	= 8 см. Найдите величину двугранного угла.
368. 1) В тетраэдре ABCD известны длины ребер:
| ЛВ| = 14 см, |DC| = 8 см, | АС\ = |ВС| = | AD| =|№| = 9 см. Найдите величину двугранного угла при ребре АВ.
2) В тетраэдре ABCD грань ACD — правильный треугольник со стороной а, грань АВС — равнобедренный прямоугольный треугольник (АСВ = 90°), длина ребра BD равна Ь. Найдите величину двугранного угла при ребре АС.
§ 39. ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ
22. Теорема (признак перпендикулярности плоскостей). Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Дано: а ± 0, аса.
Доказать: а ± 0.
Доказательство. Пусть а ("| 0= М, а ("| 0=с (рис. 155).
Через точку М в плоскости 0 проведем прямую Ь, перпендику-л
лярную с; (а, Ь) — линейный угол двугранного угла ас0. Изусло-А
вия а ± 0 следует, что а ± Ь, тогда (а, Ь) = 90 , т. е. а ± 0.Д Доказанная теорема выражает достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей. Необходимость этого условия вытекает из следующей теоремы.
23.	Теорем а. Если две плоскости взаимно перпендикулярны,
то прямая, проведенная в одной плоскости перпендикулярно линии пересечения плоскостей, перпендикулярна другой плос-
кости.
Дано: а ± 0, а с. а, a JL с, где с = а Г) 0 (рис. 155).
Доказать: а ± 0.
Доказательство. Пусть a f| с = М. В плоскости 0 через точку М проведем прямую Ь, перпендикулярную прямой с\
(а, Ь) — линейный угол двугранного угла ас0. Из условия а ± 0
следует, что (а, Ь) = 90°, т. е. а ± Ь. Итак, а ± с и а ± Ь, вследствие чего а ± 0. 
Задачи
369. Докажите перпендикулярность плоскостей двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда.
mathedu.ru
370.	Проведите плоскость, перпендикулярную данной плоскости и проходящую через данную: 1) точку; 2) прямую.
371.	Верно ли утверждение: если две плоскости взаимно перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в одной плоскости, перпендикулярна любой прямой другой плоскости?
372.	Докажите, что плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой.
373.	Постройте сечение прямоугольного параллелепипеда ABCDAjBtC^Di плоскостью, проходящей через середины ребер ВС и CD и перпендикулярной плоскости ABCD.
374.	Дан куб АВсЬА^С^Рх. Из вершины At проведите перпендикуляр [ЛХО] к плоскости сечения ABCiDl. Найдите длину этого перпендикуляра, если ребро куба равно а.
375.	Два равнобедренных треугольника АВС и АВМ, имеющие общее основание АВ, расположены в различных плоскостях. Докажите, что перпендикуляр, проведенный через точку М к плоскости АВС, пересекает прямую CD, содержащую высоту треугольника АВС.
376.	Параллельные прямые а и b лежат в плоскости а; через
каждую из этих прямых проведена плоскость, перпендикулярная а. Каково взаимное расположение полученных плоскостей?
377°. Два прямоугольных равнобедренных треугольника имеют общую гипотенузу АВ, равную 9 см; плоскости треугольников взаимно перпендикулярны (рис. 156). Найдите расстояние между вершинами прямых углов.
378.	Точка М принадлежит одной из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, точка N — другой из них. Расстояния от данных точек до линии пересечения плоскостей: | AfAft[ = 14 см, (A/Wil = 7 см. Найдите | Л1Х^|, если |ММ| = 21 см.
379.	Макет прямоугольника ABCD со сторонами а и b перегнут по диагонали BD так, что плоскости треугольников BAD и BCD стали взаимно перпендикулярны. Найдите |ЛС|.
380.	Две прямоугольные трапеции с углами 60° лежат в перпендикулярных плоскостях и имеют общее большее основание. Большие боковые стороны трапеций равны 4 см и 8 см. Найдите расстояние между вершинами прямых и между вершинами тупых углов трапеций, если известно, что вершины С	их острых углов совпадают.
А.	381. Даны две различные параллельные
/уч	прямые а и Ь. Укажите оси симметрий,
/	\\.	отображающих а на Ь. Какой фигурой
/	\	является объединение всех таких осей?
• У._____\ X р 382. Укажите плоскости симметрии сле-
1 дующих фигур: 1) плоскости; 2) полупло-/ скости; 3) угла; 4) объединения двух пе-ресекающихся прямых; 5) объединения ° двух параллельных прямых; 6) объедине-Рис. 156	ния двух параллельных плоскостей.
и	щ
I'—-—г
mathedu.ru
$ 40. МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ. ТРЕХГРАННЫЙ УГОЛ
Пусть даны многоугольник Ф = АВС. . . и точка S, не принадлежащая его плоскости (рис. 157, а). Объединение всех лучей, имеющих общее начало S и пересекающих данный многоугольник Ф (рис. 157, б), называется многогранным углом.
Рис. 157
Точка S называется вершиной многогранного угла, лучи S4, SB, ... — его ребрами. Углы ASB, BSC, ... называются гранями многогранного угла или его плоскими углами. Величина каждого из них принадлежит промежутку ]0°, ISO^C
В зависимости от числа граней различают трехгранные, четырехгранные, пятигранные и т. д. углы. Многогранный угол обозначают с помощью букв, отмечая ими вершину и точку на каждом из ребер, причем на первом месте ставится буква, обозначающая вершину. Например, пятигранный угол, изображенный на рисунке 157, б, обозначают SABCDE.
Каждые две грани многогранного угла, имеющие общее ребро, определяют двугранный угол, например Z_SA> Z.SB (рис. 157, б).
Множество всех точек многогранного угла, не принадлежащих граням, называют его внутренней областью. Если внутренняя область многогранного угла расположена по одну сторону от плоскости каждой из его граней, то такой многогранный угол является выпуклой фигурой. Невыпуклый многогранный угол изображен на рисунке 158.
Мы будем рассматривать только выпуклые многогранные углы, причем более подробно будем изучать трехгранные углы.
fcl
S
MATHEDU.RU
Трехгранный угол является пересечением трех полупространств (рис. 159). Каждое из них определяется плоскостью грани трехгранного угла и ребром, не лежащим в этой грани.
Задачи
383. Многогранный угол имеет п граней. Сколько у него ребер, двугранных углов?
384°. Укажите модели трехгранных углов на предметах окружающей обста-
385°. Сколько трехгранных углов имеет: 1) тетраэдр; 2) параллелепипед?
386. Из точки выходят п лучей, из которых никакие три не лежат в одной плоскости. Выведите формулу, выражающую число
различных трехгранных углов, определяемых этими лучами.
387.	1) Через ребро трехгранного угла проведите плоскость, к которой два других ребра одинаково наклонены.
2*) Через вершину трехгранного угла проведите плоскость, к которой все три ребра одинаково наклонены.
388.	1) Существует ли четырехгранный угол, имеющий ось симметрии? 2) Может ли такой угол не иметь плоскости симметрии?
389.	Докажите, что если биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла взаимно перпендикулярны, то биссектриса третьего плоского угла перпендикулярна каждой из первых двух биссектрис.
390.	Практическая работа.
Из плотной бумаги или картона вырежьте макеты углов 30°, 60°, 90°, 120°, 140°, 150°. Попытайтесь изготовить макет трехгранного угла с плоскими углами: 1) 120°, 60°, 90°; 2) 140°, 120°, 90°; 3) 150°, 90°, 60°;4) 120°, 60°, 30°; 5) 150°, 120°, 90°; 6) 150°, 140°, 120°. В каких случаях три плоских угла не могут быть гранями трехгранного угла?
$ 41. СВОЙСТВА ПЛОСКИХ УГЛОВ ТРЕХГРАННОГО И МНОГОГРАННОГО УГЛОВ
24. Теорем а. Величина каждого плоского угла трехгранного угла меньше суммы величин двух других его плоских углов.
Доказательство. Величины плоских углов трехгран-
ного угла SABC обозначим а, 0, у (рис. 160). Пусть у — наибольший из этих углов. Достаточно доказать, что у < а + 0.
96
MATHEDU.RU
Внутри угла ASB проведем луч SM9 образующий с лучом угол величиной 0. Проведем отрезок АВ, он пересечет луч SM в некоторой точке N. Отложим на луче SC отрезок SD, конгруэнтный отрезку SN. Треугольники ASD и ASN конгруэнтны (по двум сторонам и углу, заключенному между ними). Из A ABD имеем:
|ЛР| + \DB\> |ДВ|.
Но
\АВ\ = \AN\ + \NB\ и |AD\ = |ДЛГ|,
поэтому из последнего неравенства следует, что |DB| > |ЛЛВ|.
Применив к треугольникам BSD и BSN теорему косинусов, из неравенства |DB|2> | NB |2 получим, что cos а < cos NSB, откуда NSB < а. Тогда
ASN + NSB < а + 0, или у < а + 0. 
Следствие. Величина каждого плоского угла трехгранного угла больше разности величин двух других его плоских углов.
Действительно, из неравенства у < а + 0 следует: а>у— 0. 25. Теорема. В трехгранном угле сумма величин всех его плоских углов меньше 360°.
Доказательство. Рассмотрим трехгранный угол SABC с плоскими углами а, 0, у (рис. 161). Проведем луч S.4lt дополняющий луч 5Д до прямой. Величины плоских углов трехгранного угла SAtBC равны: а, 180° — 0, 180° — у. Применив к этому трехгранному углу теорему 24, получим: а < (180° — 0) + (180°—у), или а + 0 + у < 360°. 9
Каждое из неравенств |0 — у|< а < 0+у и а+0+у < 360° выражает необходимое условие существования трехгранного угла с плоскими углами а, 0, у. Оказывается, выполнение обоих этих
Рис. 160
Рис. 161
4 Заказ 210.
MATHEDU.RU
неравенств является и достаточным условием существования такого трехгранного угла. (См. «Приложения», с. 224.)
Свойства плоских углов выпуклого многогранного угла аналогичны свойствам трехгранного угла:
1.	Величина каждого плоского угла многогранного угла меньше суммы величин остальных его плоских углов.
2.	В выпуклом многогранном угле сумма величин плоских углов меньше 360°.
Эти свойства доказаны в «Приложениях», с. 225.
Задачи
391.	Можно ли изготовить макет трехгранного угла с плоскими углами: 1) 100°, 120°, 10°; 2) 80°, 50°, 30°; 3) 125°, 120°, 115°?
392.	1) Два плоских угла трехгранного угла равны 70° и 80°.
В каких границах находится третий плоский угол?
2) Тот же вопрос для углов 100° и 90°.
393.	Все плоские углы трехгранного угла прямые. Найдите величины двугранных углов этого трехгранного угла.
394.	Докажите, что если сумма величин плоских углов трехгранного угла равна 180°, то все они острые.
395*. Треугольники АВС и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что
АСВ + CBD + BDA + DAC < 360°.
396.	В трехгранном угле два плоских угла равны по 45°; двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол.
397.	Все плоские углы трехгранного угла равны по 60°. На одном из ребер взята точка на расстоянии а от вершины угла. Найдите расстояние от этой точки до плоскости противолежащей грани.
398.	В трехгранном угле два плоских угла равны по 60°, третий равен 90°. Найдите угол наклона ребра, противолежащего прямому плоскому углу, к плоскости этого угла.
399*. Найдите множество всех точек трехгранного угла, каждая из которых одинаково удалена от всех его ребер.
400*. Докажите, что для любого трехгранного угла с плоскими углами а, р и у выполняется неравенство:
cos а + cos Р + cos у
3^
2’
401*. Докажите, что биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла и биссектриса угла, смежного с третьим плоским углом, лежат в одной плоскости.
402.	Существует ли многогранный угол, имеющий плоские углы: 1) 80°, 130°, 70°, 100°? 2) 10°, 20°, 40°, 80°, 160°?
98
mathedu.ru
403.	В четырехгранном угле SABCD все плоские углы, а также угол ASC равны по 60°. Найдите величины его двугранных углов.
404.	Докажите, что любой выпуклый четырехгранный угол можно пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился параллелограмм.
Задачи на повторение к главе 111
405.	Дан прямоугольный ^параллелепипед ABCDA^B^D^: | АВ\ = | AAJ = а, | ВС| =а]ЛЗ. Постройте его сечение плоскостью, проходящей через точку пересечения прямых BD и АС и перпендикулярной к прямой АС. Вычислите площадь этого сечения.
406.	Точка D равноудалена от вершин правильного треугольника и не принадлежит его плоскости. Докажите, что прямая, проведенная через точку D и центр треугольника, перпендикулярна его плоскости.
407.	Дано: а || а, b ± а. Доказать: alb.
408.	Все вершины параллелограмма ABCD расположены по одну сторону от плоскости а. Расстояния от вершин до плоскости соответственно равны a, b9 с, d. Докажите, что а + с = b + d.
409.	Сторона правильного шестиугольника ABCDEF равна 3 см9 перпендикуляр [ЛЛ1] к его плоскости равен 1 см. Найдите расстояния от М до каждой из вершин шестиугольника.
410.	Стороны параллелограмма образуют угол ф, их длины равны а и Ь. Из точки О пересечения диагоналей проведен к плоскости параллелограмма перпендикуляр [ОЛ1] длиной d. Найдите расстояния от М до вершин параллелограмма.
411.	Найдите множество всех точек, каждая из которых удалена от пересекающихся плоскостей аир соответственно на расстояния а и b (а 0, b #= 0).
412.	Постройте общий перпендикуляр диагонали куба и ребра, не пересекающего эту диагональ.
413.	Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны а и Ь. Найдите расстояние между диагональю параллелепипеда и не пересекающим ее боковым ребром.
414*. Постройте сечение куба плоскостью, перпендикулярной к его диагонали и проходящей через середину диагонали.
415.	Через вершину А острого угла тупоугольного треугольника АВС проведен перпендикуляр [ЛЛ] к его плоскости. Точка соединена с вершинами В и С. Докажите, что треугольник ВСК также тупоугольный.
416.	В равнобедренной трапеции большее основание равно а, острый угол 60°, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Из точки О пересечения диагоналей проведен перпендикуляр [О7И] к плоскости трапеции, имеющий длину Л. Найдите расстояния от точки М до сторон трапеции.
4»	,ll( 99
—
MATHEDU.RU
417.	Из точек А и В, одинаково удаленных от плоскости а, проведены к ней конгруэнтные наклонные [ЛЛХ] и [BBJ (Лх и Вх принадлежат а). Докажите, что эти наклонные образуют равные углы с плоскостью а.
418.	Достаточным, необходимым или необходимым и достаточным условием параллельности плоскостей аир является существование: 1) такой прямой а, что (а, а) = = (а, Р); 2) такой плоскости у, что (у, а) = (у, ₽)?
шдлежащей ребру двугранного угла
аар, проведен в грани а луч MN, не перпендикулярный ребру.
В грани Р проведите луч ML так, чтобы NML = 90°.
420*. Дан прямоугольник ABCD. Через сторону AD проведена плоскость а так, что диагональ BD составляет с этой плоскостью угол 30°. Найдите угол ср между плоскостью прямоугольника и плоскостью а, если |ЛВ| = а, |AD| = Ь. При каком соотношении между а и b задача имеет решение?
421. 1) Через вершину квадрата проведена плоскость, параллельная противолежащей диагонали. Проекции диагоналей квадрата на эту плоскость относятся как 1 : 2. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью квадрата.
2) Через вершину С ромба ABCD проведена плоскость а, параллельная диагонали BD. Докажите, что угол между плоскостью ромба и плоскостью а равен углу наклона диагонали АС к плоскости а.
422. Полуплоскость, делящая двугранный угол на два равных по величине двугранных угла, называется его биссектором. Доказать, что множество всех точек двугранного угла, каждая из которых одинаково удалена от его граней, есть биссектор этого двугранного угла.
Решение. Пусть полуплоскость у — биссектор двугранного угла сиф (рис. 162).
а)	Возьмем произвольную точку М биссектора у (М $ а), проведем [ЛШП ± а и [ММ2] ± р (рис. 162). Через прямые ММ! и ММ2 проведем плоскость 6. Эта плоскость перпендикулярна ребру а (так как (Л4Л11) ± а и (Л4Л42) ± а), поэтому углы МХОМ и М20М — линейные углы двугранных углов уаа и уар. Но эти двугранные углы равны по величине, поэтому Мг0М = М20М, т. е. [ОМ) — биссектриса угла MflM^ По свойству биссектрисы угла lAfMJ = |Л4Л42|.
mathedu.ru
б)	Возьмем точку W вне плоскости у, но внутри угла ая|3.
Проведем [AWJ ± а, [WW2] -L р, через (NN)) и (NN2) проведем плоскость бх. Пересечения этой плоскости с полуплоскостями а, р, у являются сторонами линейного угла NiAN2 и его биссектрисой [£Л). Так как точка N лежит вне этой биссектрисы, то| МЛ\| #= ¥= |AW2|.
423°. 1) Докажите, что плоскость, содержащая биссектор двугранного угла, является плоскостью симметрии этого двугранного угла.
2)	Докажите, что двугранный угол имеет бесконечное множество плоскостей симметрии.
424°. Найдите множество всех точек, каждая из которых одинаково удалена от двух пересекающихся плоскостей.
425. 1) Какие плоскости симметрии имеет объединение двух пересекающихся плоскостей? 2) Какие оси симметрии имеет эта фигура?
426*. Через биссектрису I линейного угла двугранного угла проведена плоскость, пересекающая грани двугранного угла по лучам ОА и ОВ. Докажите, что луч I есть биссектриса угла АОВ.
427.	Грани DAB и САВ тетраэдра ABCD взаимно перпендикулярны, высоты DD± и CCi этих граней равны по 2 м> ребро DC равно 3 м. Найдите IDjCJ.
428.	Даны смежные двугранные углы (рис. 163). Докажите, что их биссекторы взаимно перпендикулярны.
429.	В трехгранном угле два острых плоских угла конгруэнтны. Докажите, что проекция их общего ребра на плоскость третьего плоского угла является его биссектрисой.
430.	Докажите, что биссекторы двугранных углов трехгранного угла пересекаются по одной прямой.
Задачи на повторение по курсу IX класса
431.	Проведите прямую, пересекающую две данные скрещивающиеся прямые и параллельную третьей данной прямой.
432.	Даны плоскость, прямая и точка. Через данную точку проведите прямую, которая параллельна данной плоскости и пересекает данную прямую.
433*. Найдите объединение всех прямых, пересекающих две скрещивающиеся прямые.
434°. Даны плоскость а и прямая /и, пересекающая а. Найдите объединение всех прямых, каждая из которых пересекает т и параллельна а.
435.	Г) Найдите множество всех точек плоскости, удаленных от другой плоскости на расстояние I.
2) Даны плоскость а и отрезок АВ. Найдите множество всех точек плоскости а, каждая из которых одинаково удалена от А и В.
101
mathedu.ru
436.	Дано множество плоскостей, проходящих через одну прямую, и точка, не принадлежащая этой прямой. Найдите множество точек, являющихся основаниями перпендикуляров, проведенных из данной точки ко всем данным плоскостям.
437.	Самолет летит горизонтально и прямолинейно со скоростью 400 км/ч. Наблюдатель, над которым он пролетел, измерил, что самолет в некоторый момент времени был виден под углом 65° к плоскости горизонта, а через 30 секунд — под углом 39° к этой плоскости. На какой высоте летит самолет?
438.	Через данную точку проведите прямую, образующую с двумя данными плоскостями углы, равные по величине.
439.	Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами а и р. Найдите угол между этими диаго-
палями.
440.	Дана трапеция ABCD, в которой BAD — 60°. Через большее основание AD проведена плоскость под углом 45° к боковой стороне АВ. Найдите отношение площади данной трапеции к площади ее проекции на проведенную плоскость.
441.	Одна из сторон проектируемого угла лежит в плоскости проекций. Докажите: 1) проекция (ортогональная) прямого угла есть прямой угол; 2) проекция острого угла есть угол, величина которого меньше величины проектируемого угла; 3) проекция тупого угла есть угол, величина которого больше величины проектируемого угла.
442.	Найдите множество всех точек, каждая из которых одинаково удалена от прямых, определяемых сторонами: 1) треугольника; 2) правильного л-угольника (п > 3); 3) параллелограмма, не являющегося ромбом.
443.	Прямая пересекает грани двугранного угла в точках А и В. Докажите, что она одинаково наклонена к плоскостям граней тогда и только тогда, когда точки А и В одинаково удалены от ребра данного угла.
444.	Из точки, принадлежащей грани острого двугранного угла, проведены к ребру перпендикуляр и наклонная. Докажите, что угол, который образует перпендикуляр с плоскостью второй грани, больше, чем угол, образованный наклонной с этой плоскостью.
102
®1
MATHEDU.RU
445.	1) Дерево высотой 10 м растет на склоне холма. Из точки, отстоящей от дерева на 100 м (по склону холма), вершина дерева видна под углом 28° к плоскости горизонта (рис. 164). Вычислите угол ската холма.
2) Угол ската горы равен 30°. Под каким углом ф к подошве горы нужно проложить прямолинейную дорогу, чтобы угол ее уклона к плоскости горизонта был равен 15°?
Примечание. Иногда угол, являющийся линейным углом двугранного угла, называют углом ската или же углом наибольшего уклона.
446.	Бочку с бензином массой 200 кг погружают на автомашину с помощью наклонной доски. Чему равна величина скатывающей силы, если угол ската равен 45°?
447.	В тетраэдре ABCD ребро DC перпендикулярно плоскости АВС, ребро BD составляет с плоскостью АВС угол в 60°. Известно, что грань АВС — правильный треугольник со стороной а. Найдите площадь грани ABD и величину двугранного угла АВ.
448.	Найдите множество всех точек, каждая из которых одинаково удалена от трех данных параллельных прямых, не лежащих в одной плоскости.
449.	Докажите, что если плоская фигура имеет ось симметрии, лежащую в плоскости фигуры, то она имеет плоскость симметрии, отличную от плоскости фигуры.
450.	Вне плоскости а даны точки А и В. Укажите в плоскости а точку М так, чтобы сумма |АМ\ + |Л4В| имела наименьшее значение.
451.	Доказать, что композиция двух осевых симметрий с параллельными осями есть перенос.
Решение. Имеем а || b (рис. 165). Выберем произвольно точку М пространства, пусть Sa (М) = Л4Ь Sb (A1J = Л12. Тогда композиция Sb°Sa отобразит точку М на точку М2. Рассмотрим два случая.
MATHEDU.RU
1) Пусть точка М лежит вне плоскости а, проходящей через а и b (рис. 165, а).
По правилу треугольника
ММ2 = MMt + М^Мг.
Обозначим середины отрезков ММ± и Л41Л42 соответственно через Ot и О2, тогда
ММ2 - 2 (d^Mt + М/)2), или ММ2 = 2(\О2.
Так как (MMJ ± а и ± а (ведь (MiM2) ± Ь, а || Ь) то ось а перпендикулярна и отрезку ОгО2 (почему?); кроме того, Oj € а, О2 С Ь.
— > --------------------->•
Отсюда вытекает, что OiO2, а следовательно, и ММ2 не зависит от выбора точки М.
2) Если точка М принадлежит плоскости а, то получим случай, рассмотренный в планиметрии (рис. 165, б). И в этом слу-
чае ММ2 = 2О1О2.
Итак, SbcSa = 2OiO2.
452*. Докажите, что композиция двух симметрий относительно параллельных плоскостей есть перенос.
453. Лучи а, b, с, d имеют общее начало. Докажите неравенство: cos (a, b) + cos (a, c) + cos (a, d) + cos (b, c) + cos (b, d) + + cos (c, d) —2.
454. Плоские углы трехгранного угла равны 60°, 60° и 90°. Докажите, что плоскость, отсекающая от ребер три равных отрезка, перпендикулярна плоскости прямого угла.
455*. В трехгранном угле с вершиной S все плоские углы прямые, произвольная плоскость пересекает его ребра в точках Л, В, С. Докажите, что перпендикуляр, проведенный из точки S к плоскости сечения, проходит через точку пересечения высот треугольника АВС,
456. 1) Докажите, что пересечение плоскостей, каждая из которых проходит через ребро трехгранного угла и биссектрису противолежащей грани, есть прямая.
2) В плоскости каждой из граней трехгранного угла проведена прямая, перпендикулярная ребру, противолежащему этой грани. Докажите, что все три прямые параллельны некоторой плоскости.
457. Дан тетраэдр, противоположные ребра которого попарно перпендикулярны. Докажите, что плоские углы каждого трехгранного угла тетраэдра одноименны: все три либо острые, либо тупые, либо прямые.
MATHEDU.RU
ГЛАВА IV
КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ
класс
§ 42. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА. ПРАВИЛА ДЕЙСТВИЙ НАД ВЕКТОРАМИ, ЗАДАННЫМИ СВОИМИ КООРДИНАТАМИ
1. Пусть задана тройка (Z; /; k) попарно перпендикулярных единичных векторов (рис. 1). Такую тройку векторов будем называть прямоугольным базисом. Известно, что каждый вектор пространства можно разложить по векторам /, /, k (§23). Это означает, что для любого вектора а существует, и притом только одна, тройка чисел (х\ у; г) такая, что
a = xi + yj+zk.	(1)
Справедливо и обратное утверждение: в заданном прямоугольном базисе (г; /; k) каждая тройка чисел (х; у; г) определяет единственный вектор. Числа х, у, z называют координатами вектора а в базисе (г, /; Л).
Если все координаты вектора а отличны от нуля, то а можно изобразить с помощью диагонали прямоугольного параллелепипеда, числовые значения длин ребер которого равны |х|, |у|, |z| (рис. 2).
При изложении материала этой главы равенство (1) будем записывать, указывая только координаты вектора:
а = (*; у; г).
2. Рассмотрим правила действий над векторами, заданными своими координатами.
mathedu.ru
Пусть в базисе (/; /; k) заданы векторы
я = (*ь ь; zx) и Ь = (х2; у2; z2).
{.Каждая координата суммы двух (или более) векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых:
а4-& = (х1+лг2; yt+y2; ^+^2).
2.	Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов:
a-b = (xt- х2; у{ - у2; z, -z2).
3.	Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число:
ра=(рх^; pyv; рг{).
4.	Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:
а& = х1х2 + у1у2 + г1г2.
Доказательство. 1) Применяя законы сложения векторов и распределительный закон умножения вектора на число (§ 18, 20), получим:
а + b = (xj + ух/ + z^k) 4- (х2Г + yj + z2k) = = (Xi 4- х2) 1+ (yt 4- у2) 7 4- (?! + z2)k = (хх+х2; ух+у2; ?x+?2). S3
Правила 2 и 3 доказываются аналогично.
4) При доказательстве четвертого правила, кроме законов сложения векторов и умножения вектора на число, используются законы скалярного умножения векторов (§ 26):
а • b = (х,7 4- yj 4- ?Л)- (x2i 4- у2/ 4^г2£) = = xlx2i2 4- yiX2j-i 4- z^Jt-i 4- x^i- / 4-
4- У1У2? 4- zty27-7 4- xtz2i-k 4- y^j-k 4- z&k2.
По определению прямоугольного базиса и свойствам скалярного произведения (§ 25) получим:
= 7- k = о, ? = ? = k2 = 1.
Следовательно, a-b — ххха 4- У1У2 4* гЛ. g
mathedu.ru
Задачи
1.	Назовите координаты векторов: 1) I + 2/ — ЗА; 2) 8i+ k\ 3) 0,5/"— V2k\ 4) 7/; 5) 7; 6) 0; 7) 8А + i.
2.	По координатам векторов а = (—2; 3; 0), b = (1; —1; 5), с = (7; 0; 4) найдите координаты вектора: 1) а + Ь\ 2) а — с; 3) а — Ь + с.
3.	Даны векторы: а=(—3; —1; 2),Ь = (4; 0;6), с= (5; —2; 7).
-*	7 ->	-+	->
Найдите координаты векторов: 1) 2а; 2)--------Ь\ 3) —а + 3 с.
4.	Пользуясь условием коллинеарности
двух векторов (§ 20),
выясните, коллинеарны ли векторы: 1)
5. При каких значениях х и у векторы а = (х; —2; 5) и b = = (1; у; —3) коллинеарны?
6.	Найдите скалярное произведение векторов: 1) а = (—2; 3; 1) t* /Е *7	Л\ "* I 1	3	5 \ "Т /	2	5	1\
и Ь = (5; 7; —4); 2) с = —; —;----и d  --------; —;-----.
7	\2	5	6/	\	3	6	5/
7.	Перпендикулярны ли векторы: 1) а = (—2; 1; 3) и b = = (6; —5; 7); 2) с = (6; 0; 12) и 2 = (—8; 13; 4)?
§ 43. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИНЫ ВЕКТОРА И УГЛА МЕЖДУ ДВУМЯ ВЕКТОРАМИ ПО ИХ КООРДИНАТАМ
Задача 1. Найти длину вектора а = (х; у; г) (рис. 3).
Решение. Применив координатную формулу скалярного произведения (§ 42), получим: а • а — хх + уу + гг или ал = = хг + у8 + г2, отсюда |а| = jAx2 + у2 + z2.
Итак, длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат.
Задача 2. Найти угол <р между ненулевыми векторами а = (хх; ух; гг) и b = (х2; у2; z2) (рис. 4).
Решение. Из определения скалярного произведения двух
векторов следует, что cos <р = ——— . Но а • b = ххх2 + уху2 + ?хга Й-Й ______________________________________________
(§ 42); | а | = V х? 4- у? 4- z'i, | b | = V xl + yl + ti (задача 1). Итак,
х1*» + У| уа +
mathedu.ru
Задачи
8.	Вычислите длины векторов: 1) а = i — j + k\ 2) b = 2i + + /—ЗА; 3) с = / — k; 4) d = —2j.
9.	Длина вектора равна 3. Вычислите координаты вектора, если известно, что все они равны.
10.	Вычислите длину вектора а + Ь, если: 1) а = (1; 2; —1), b = (3; 0; —2); 2) а = (1; —1; 3), 1 = (—1; 1; —3).
11.	Вычислите длину вектора 2а + ЗЬ, если: 1) а = (1; 1; —1), b = (2; 0; 0); 2) а = (3; 1; 0), b = (0; 1; —1).
12.	Найдите угол между векторами а = (—1; 2; —2) и b = = (6; 3; —6).
13.	Найдите косинус угла между векторами а — b и а + Ь, если а = (1; 2; 1) и b = (2; —1; 0).
14.	Вектор а = (р; q\ г) образует с базисными векторами i, j, k углы а, 0, у соответственно (рис. 5).
1)	Докажите, что единичный вектор, сонаправленный с вектором а, имеет координаты (cos a; cos 0; cos у).
2)	Докажите равенство: cos2 а + cos2 0 + cos2 у = 1.
3)	Вычислите у, если а = 0 = 60°.
15. Найдите косинусы углов, которые образует с базисными векторами вектор: 1) а = i + j 4- k\ 2) b — —3j—k‘, 3) c — —5t; 4) d = (0; 3; 4).
§ 44. ПРЯМОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ
Пусть в пространстве задана точка О. Каждой точке М поставим в соответствие вектор ОМ\ при этом различным точкам соответствуют неравные векторы. Кроме точки О, зададим прямоуголь-108
J
mathedu.ru
ный базис (г, /; k) (рис. 6). Каждый вектор имеет в этом базисе координаты:
ОМ = (х; у; г).
Если заданы прямоугольный базис (i; /; k) и точка О, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве. Точку О называют началом координат, а векторы /, k — координатными векторами. Координатами точки М
в прямоугольной системе координат называются координаты вектора ОМ в базисе (i; /; k). —►
Если ОМ = (х; у; z), то координаты точки М записывают: М (х; у; z). Число х называют абсциссой, у—ординатой, z — аппликатой точки М.
Введем еще несколько часто употребляемых терминов. Оси,   ► —► “ ► —► ► -
определяемые векторами ОА = i, ОВ = j, ОС = k, назовем координатными осями (рис. 7); плоскости, проходящие через каждые две координатные оси, — координатными плоскостями; пространство, в котором задана система координат, называют координатным пространством.
Задача 1. Дана прямоугольная система координат (рис. 8). Построить точку М по ее координатам (х; у; z).
Решение. Согласно определению координат точки задача сводится к построению направленного отрезка ОМ (рис. 8), изображающего вектор ОМ = xi + у/ + zk. Отложим последовательно векторы ОА = xi, АВ = yj и ВМ = zk. Точка М — искомая. Дей- ►	— ►	— ►	— ►
ствительно, по правилу многоугольника ОМ = ОА 4- АВ + ВМ = = xi + yj + zk.
Задача 2. По координатам точек A (xf, yi, zj и В (х2; у2; z2)  ► найти координаты вектора АВ.
10$
mathedu.ru
Рис. 9
Решение. По формуле вычитания векторов (§19) АВ — ОВ—ОА (рис. 9). Согласно определению координат точки, --► -------------►
О В = (х2; у2; ОД = (х1; yt; zj. Применяя правило вычитания векторов, заданных своими координатами (§ 42), получим:
4В = (х2 — у2 — У1; z2 — zj. (1)
Задача 3. Найти расстояние между точками A (xf, yf, zj и В (х2; у2; z2).
Решение. Достаточно найти длину —►
вектора АВ (рис. 9). Его координаты вы-
числяются по формуле (1). Применяя формулу для вычисления длины вектора (§ 43, задача 1), получим:
IЛ ВI = У (х2 — xt)2 + (уа — П)2 + (г2 — гУ.
Задачи
16. Постройте точки по их координатам: 1) А (2; 3; 1);
2) В (1; —1; 2); 3)	3 ;-Ь —1); 4) Е(0; 2; —3); 5)б(0; 0; —	.
——►
17.	Найдите координаты вектора PQ по координатам точек р и Q: 1) Р(2; -3; 0), Q(-1; 2; -3); 2) Р (1; -±; А), 0; -1 \	5	3/
18.	Точка В является ортогональной проекцией точки
— >
А (2; —3; 1) на координатную плоскость Oyz. Вычислите | ОВ\.
19.	Вычислите координаты точки, принадлежащей координатной оси Оу и одинаково удаленной от точек А (2; —1; 1) и В (0; 1; 3).
20.	Треугольник задан координатами своих вершин: А (3;—2; 1), В (3; 1; 5), С (4; 0; 3). Вычислите: 1) длины медиан и BBf, 2) расстояние от начала координат до точки пересечения медиан треугольника АВС; 3) величины углов этого треугольника.
21.	Вычислите длины диагоналей параллелограмма ABCD, если известны координаты точек: А (1; —3; 0), В (—2; 4; 1), С (—3; 1; 1).
22*. Докажите, что точки А (2; 4; —4), В (1; 1; —3), С (—2; 0; 5), D (—1; 3; 4) являются вершинами параллелограмма, и вычислите величину угла между его диагоналями.
§ 45. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Введение прямоугольной системы координат в пространстве позволяет решать геометрические задачи методами, известными из курса алгебры. Рассмотрим уравнение с тремя переменными:
Р (х, у, z) = 0.
ПО
MATHEDU.RU
Предположим, что множество его решений не пусто. Каждое решение есть тройка чисел (х; у; г). В координатном пространстве этой тройке чисел соответствует точка М (х; у; г).
Множество всех точек пространства, координаты которых являются решениями уравнения Р (х, у, z) = 0, есть некоторая фигура Ф. Говорят, что это уравнение задает фигуру Ф, или что оно является уравнением фигуры Ф.
1. Задача. Составить уравнение пло-
скости а, которая проходит через точку
Л4Х (хх; ух; zx) и перпендикулярна1 ненулевому вектору п=(а\ Ь\ с).
Решение. Для любой точки М (х; у; г) плоскости а (М #= Л1х) вектор MLM перпендикулярен вектору п (рис. 10). Поэтому
п •	= 0.
Рис. 10
(1)
Это равенство выполняется и в том случае, если М = Л4Х. Учитывая, что MjM = (х — хх; у — ух; z — zx) (§ 44, задача 2) и п = = (а; Ь; с), из равенства (1) получим (§ 42):
а (х — Xt) 4- Ъ (у — уд + с (г — zx) = 0.	(2)
Координаты любой точки N, не принадлежащей а, уравнению -*• ---------------------------►
(2) не удовлетворяют, так как п • MXN =/= 0.
Итак, каждую плоскость можно задать линейным уравнением с тремя переменными, имеющим по крайней мере один ненулевой коэффициент при переменных2.
2. Убедимся теперь, что всякое уравнение первой степени с тремя переменными задает в координатном пространстве некоторую плоскость.
Рассмотрим произвольное уравнение первой степени:
ах + by + cz + d = 0.	(3)
Такое уравнение имеет бесконечное множество решений. Пусть (хх; ух; zx) — какое-нибудь его решение, тогда выполняется равенство:
ахх + byi + cZl + d = 0.	(4)
1 Будем говорить, что вектор AAi перпендикулярен плоскости а, если прямая AAt перпендикулярна этой плоскости.
2 Такое уравнение будем называть в дальнейшем уравнением первой степени.	~
И V
I mJ
MATHEDU.RU
Вычитая из уравнения (3) равенство (4), получим уравнение, равносильное (3):
а (х — *1) + b (у — ух) + с (z — zj = 0.	(5)
Но уравнение (5) есть уравнение плоскости, проходящей через точку (jq; ух; zj и перпендикулярной вектору п = (а\ Ь\ с). Такая плоскость единственна (§ 29). Я
Итак, имеет место следующая теорема:
26. Т еорема. Всякое уравнение первой степени ах-\-Ьу-\-+cz +d= 0 задает в координатном пространстве единственную плоскость, которая перпендикулярна вектору с координатами (а; Ь; с).
Зная координаты вектора п = (а; Ь; с), можно решить вопрос о расположении плоскости ах + by + cz 4- d = 0 относительно координатных осей. Например, если с #= 0, а = & = 0, то и = (0; 0; с), т. е. п = ck. Следовательно, уравнение cz + d = 0 задает плоскость, перпендикулярную оси аппликат.
Задачи
23.	Даны точки А (3; 2; 5), В (—1; —2; 2), С (7; 0; —9),
(3	5	\
—; —; 6 . Укажите, какие из них принадлежат плоскости
4	6/
2х — Зу + z — 5 = 0.
24.	Постройте линии пересечения координатных плоскостей с плоскостью: 1) 2х + Зу — z — 6 = 0; 2) Зх — 4у + 2z — 12 = 0.
25.	Составьте уравнение плоскости, если известно, что точка /V (3; 5; 2) является основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.
26.	Составьте уравнение плоскости, если известно, что она проходит через начало координат и перпендикулярна вектору п = (—6; 3; 6).
27.	Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку А (2; 3; —1) и перпендикулярной прямой, которой принадлежат точки: 1) В (1; 0; —1) и С (—3; Г, —2); 2) D (—1; 0; 0) и £ (0; 1; —3).
z Гм	к 7	?	у / i Рис. 11 112	28. Вычислить расстояние от точки Л(1;2; —7) до плоскости, заданной уравнением 12х + 4у + 3z — 4 = 0. Решение. Пусть | АВ\ — расстояние от точки А до данной плоскости а (рис. И). >	—► Тогда вектор АВ коллинеарен вектору п= = (12; 4; 3), поэтому при некоторомр имеем:  > —► АВ — рп. Обозначим через (х,;	ко- ординаты точки В, тогда АВ=ОВ—ОА = 3| т—
MATHEDU.RU
= (Xj — 1; у) — 2; zr + 7). Из равенства АВ = рп получим: х±—1 = = 12р, у! — 2 = 4р, zx + 7 = Зр.
По формуле расстояния между двумя точками
I АВ | = /(12р)2 + (4р)2 + (Зр)2 = 131 р |.
Так как координаты точки В (х/, ух; zx) удовлетворяют данному уравнению, то 12 (12р + 1) 4- 4 (4р + 2) + 3 (Зр — 7) —4 = 0. Отсюда р = -|- и |ЛВ| = 13|р| = Д 169	1о
29.	Вычислите расстояние от начала координат до плоскости: 1) 2х — 2у + z — 6 = 0; 2) 2х + Зу — 6z + 14 = 0.
30.	Составьте уравнение плоскости, если она:
1)	проходит через точку М (0; 2; 0) и перпендикулярна оси ординат; 2) проходит через точку N (0; 0; —4) и параллельна плоскости Оху; 3) проходит через точки А (3; 0; 0) и В (0; 3; 0) и параллельна оси аппликат; 4) проходит через точки С (—]/3; 0; 0), D (0; 0; —1) и перпендикулярна плоскости Оху.
31.	Параллельны ли плоскости: 1) х + 2у + 3z + 5=0 и 2х+4у+ + 6z + 11 = 0; 2) х — 7у + 5z — 1 = 0 и 2х + у — 3z + 4 = 0?
32.	Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М (1; 3; —1) параллельно плоскости: 1) Зх + у — z + 5 = 0; 2) х — у + 5z — 4 = 0.
33.	Перпендикулярны ли плоскости: 1) 2х — 5у + z + 4 = 0 и Зх + 2у + 4z — 1 = 0; 2) 7х — у + 9 = 0 и у + 2z — 3 = 0?
§ 46. КООРДИНАТНЫЕ ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ. ГОМОТЕТИЯ
1.	Пусть заданы прямоугольная система координат и преобразование f пространства. Можно поставить задачу: вывести формулы, которые позволили бы по координатам произвольной точки М вычислить координаты ее образа f (А4). Такие формулы называют координатными формулами преобразования f.
Задача 1. Найти координатные формулы параллельного переноса (вектора) р = (а; Ь\ с).
Решение. Рассмотрим произвольную точку М (х; у; z) и ее образ Мг (х^, ух; zt) (рис. 12). Из условия р (М) = выте-------------►	—►
кает, что ММ± = р. Переходя в этом равенстве к координатам (§ 44, задача 2), получим: хх — х = а, ух — y=b, zt — z = с. Отсюда
Хх = а + х, yi = b + у, zt = с + z.
2.	Гомотетия пространства определяется так же, как и гомотетия плоскости.
Определение. Гомотетией с центром О и коэффициентом Л =/= 0 называется преобразование пространства, при котором образом произвольной точки М является такая точка что ОМХ == kOM.
из
MATHEDU.RU
Рис. 12
Задача 2. Найти координатные формулы гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом k.
Решение. Рассмотрим произвольную точку М (х; у; z) и ее образ (хх; ух; гг) при гомотетии Hk0 (рис. 13). По опреде-—►	—►
лению гомотетии ОМг = kOM. Переходя в этом равенстве к координатам, получим:
Xi = kxt ух = kyt z± = kz.
Все свойства гомотетии, изученные в планиметрии, распространяются на пространство (доказательства аналогичны). Поэтому ограничимся рассмотрением только одного нового свойства.
27.	Теорема. При гомотетии плоскость отображается на параллельную ей плоскость.
Доказательство. Рассмотрим гомотетию Н* и плоскость а. Прямоугольную систему координат выберем так, чтобы ее начало совпадало с центром гомотетии (рис. 14). Плоскость а имеет уравнение
ах + by + cz + d = 0.	(1)
Чтобы найти уравнение образа плоскости а, воспользуемся координатными формулами гомотетии (задача 2). Имеем: хх = kx9 У1 = ky, zr = kz. Выразив из этих формул х, у, z и подставив их значения в уравнение (1), получим уравнение:
iXi+Tyi+‘ih+d=o-
/Г	Переходя к привычным для нас обо-
1/	значениям переменных, получим оконча-
0	тельно:
У~	ах + by + cz + kd = 0.	(2)
4 1
Итак, уравнением образа плоскости а Рис. 14 является уравнение первой степени.
114
[Ж1.
mathedu.ru
Следовательно, образом плоскости а при гомотетии Но является плоскость с уравнением (2).
Плоскости а и параллельны, так как каждая из них перпендикулярна вектору п = (а\ b\ с). S
Задачи
34.	Составьте уравнение образа плоскости Зх — у + 8г — 17 = 0:
3
1)	при переносе р = (—1; 5; 3); 2) при гомотетии Но 2.
35.	Найдите координатные формулы: 1) центральной симметрии с центром О (0; 0; 0); 2) симметрии относительно плоскости z = 0; 3) симметрии относительно оси аппликат.
36*. Пользуясь решением предыдущей задачи, составьте уравнение образа плоскости 7х — 2у — 5г — 1 = 0: 1) при симметрии Zo\ 2) при симметрии относительно плоскости г = 0; 3) при симметрии относительно оси аппликат.
37.	1) Какие точки, прямые и плоскости при гомотетии отображаются на себя? 2) Какие гомотетии являются перемещениями?
38.	Дано изображение тетраэдра и точки О. Постройте образ этого тетраэдра при гомотетии Но, если: 1) k = —2; 2) k = 0,5. В обоих случаях найдите отношение площадей поверхностей данного и построенного тетраэдров.
39.	1) Принимая за центр гомотетии Hk0 одну из вершин параллелепипеда, постройте его образ при k = —. 2) Найдите отношение площадей поверхностей параллелепипеда и его образа.
Задачи на повторение к главе IV
40.	Вычислите координаты единичного вектора а, если известно, что он перпендикулярен векторам b = (1; 1; 0) и ~с = (0; 1; 1).
41.	Прямая задана точками А (6; 0; 2) и В (1; —3; 4). Найдите значения х и у, при которых точка Л1 (х; у; 8) принадлежит (АВ).
42.	Найдите координаты точки пересечения плоскости 2х — у + + z — 3 = 0 и прямой, проходящей через данные точки А (—1; 0; 2) и В (3; 1; 2).
43*	. Найдите угол между плоскостями: 1) 2х + 3у + 6г — 5 = 0 и 4х + 4у + 2г — 7 = 0;
MATHEDU.RU
2)	2х — у + 2z — 7 = 0 и 4х— Зу + 5 = 0; 3) х + 5у — 4z + l = = 0 и х + у — z — 10 = 0.
Решение: 1) Рассмотрим векторы пг = (2; 3; 6) и п2 = = (4; 4; 2), перпендикулярные к данным плоскостям ах и а2 (рис. 15). Угол между векторами и п2 равен углу между плоскостями «J и а2 или дополняет его до 180° (рис. 15). Следовательно, задача сводится к нахождению угла ср между векторами пх и п2.
Применяя определение скалярного произведения, получим:
п.-п,	2-4 + 3-4 4*6-2	16
С08<р =  1—-— =------------•------------- = —.
| п, | • | п, |	/2г+32+62 • /42+42+22	21
Тогда cos (an а2) = |cos <р |, ср » 40°22'.
44.	1) Найдите косинусы углов между плоскостью 2х — бу + + Зз — 5 = 0 и координатными плоскостями.
2) Вычислите углы между координатными осями и плоскостью х + 8у + 4z — 2 = 0.
45.	Прямая задана точками А (1; —1; 1) и В (—3; 2; 1). Найдите угол между прямой АВ и плоскостью:
1) 6х + 2у — 3z — 7 = 0; 2) 5х — у + 8z = 0.
46*. Найти множество всех точек Р пространства, для которых |Л412 + |РС|2 = |РВ|2 + |Р£>|2, где А, В, С, D—данные точки, причем |АВ\ =/= |DC|.
Решение. Обозначим координаты данных точек: А (хх; ух; zj, В (х2; у2; z2), С (х3; у3; z3), D (х4; у4; z4); координаты произвольной точки искомого множества обозначим (х; у; z). Имеем:
(х — xj2 + (у — У1)2 + (Z — zj2 + (х — х3)2 + (у — у з)2 + (Z — Z3)2 = = (X — х2)г + (у — у 2)2 + (Z — г2)2 + (х — х4)2 + (у — у4)2 + (z — г4)2.
Выполнив упрощения, получим:
2 (х2 — хг + х4 — х3)х + 2(у 2 — Ух + у4 — у з)у + 2(г2 — гх + z4—z3)z+ + (xl-xl + xl-xl) + (у?-у22+у2з-у1) + (z?-z^-zI)=0. (1)
Замечаем, что в уравнении (1) коэффициенты при переменных яв-► —► ——► — ’ ►	 -► ►
ляются координатами вектора ОВ — ОА + OD — ОС = АВ — DC.
По условию задачи АВ — DC =И= 0, поэтому хотя бы один из коэффициентов при переменных в уравнении (1) отличен от нуля. Следовательно, уравнение (1) есть уравнение плоскости, перпен-—>	—- >
дикулярной к вектору АВ —DC.
47. Докажите, что при гомотетии каждый угол отображается на конгруэнтный ему угол.
48. Найдите координатные формулы гомотетии с центром S (а\ Ь\ с) и коэффициентом k.	----
^|Й|
MATHEDU.RU
ГЛАВА V
МНОГОГРАННИКИ
§ 47. МНОГОГРАННАЯ ПОВЕРХНОСТЬ. МНОГОГРАННИК
Из курса VIII класса известны примеры неплоских фигур, являющихся объединением нескольких многоугольников. К таким фигурам относятся боковая поверхность прямой призмы (рис. 16), поверхность пирамиды (рис. 17). Эти фигуры — примеры простых многогранных поверхностей.
Простой многогранной поверхностью называется объединение конечного числа многоугольников, удовлетворяющее следующим условиям:
1) для любых двух вершин этих многоугольников существует ломаная, составленная из их сторон, для которой взятые вершины служат концами',
2) произвольная точка поверхности либо является точкой только одного из данных многоугольников, либо принадлежит общей стороне двух и только двух многоугольников, либо является вершиной только одного многогранного угла, плоскими углами которого служат углы данных многоугольников.
Указанным требованиям удовлетворяют объединения многоугольников, изображенные на рисунках 16 и 17, но не удовлетворяют фигуры, изображенные на рисунке 18 (объясните почему).
В дальнейшем, говоря о простых многогранных поверхностях, мы для краткости будем опускать слоео «простых».
Многоугольники, составляющие многогранную поверхность, называются ее гранями*, стороны многоугольников называются ребрами, а вершины — вершинами многогранной поверхности.
Если каждое ребро многогранной поверхности содержится в двух ее гранях, то эту многогранную поверхность называют
MATHEDU.RU
Рис. 20
U
Рис. 19
замкнутой. Поверхность пирамиды (см. рис. 17) является примером замкнутой многогранной поверхности, боковая поверхность призмы (см. рис. 16) — пример незамкнутой многогранной поверхности.
Замкнутая многогранная поверхность разбивает множество всех не принадлежащих ей точек пространства на два подмножества. Для одного из них существуют прямые, содержащиеся в этом подмножестве; для другого — таких прямых не существует. Первое из указанных подмножеств называют внешней областью замкнутой многогранной поверхности, а второе — ее внутренней областью.
Определение. Объединение замкнутой многогранной поверхности и ее внутренней области называется многогранником.
При этом многогранную поверхность и ее внутреннюю область называют соответственно поверхностью и внутренней областью многогранника. Грани, ребра, вершины по
верхности многогранника называют соответственно гранями, ребрами и вершинами многогранника.
Отрезок, который соединяет две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называют диагональю многогранника. На рисунке 19 изображен шестигранник ABCDEF и его диагональ BF.
Как и многоугольники, многогранники могут быть выпуклыми (рис. 19) и невыпуклыми (рис. 20). Мы будем изучать только выпуклые многогранники.
118
MATHEDU.RU
Рис. 22
Если модель поверхности многогранника изготовлена из гибкого нерастяжимого материала (бумаги, тонкого картона и т. п.), то эту модель можно разрезать по нескольким ребрам и развернуть так, что она превратится в модель некоторого многоугольника. Этот многоугольник называют разверткой поверхности многогранника.
На рисунке 21 показаны развертки поверхности многогранника, изображенного на рисунке 19. Полученные развертки не конгруэнтны, но состоят из попарно конгруэнтных многоугольников. Для изготовления модели многогранника удобно сначала изготовить развертку его поверхности.
Задачи
49°. Назовите многогранник, имеющий наименьшее число граней. Сколько у него ребер, вершин, диагоналей?
50.	Может ли гранью пятигранника служить: 1) четырехугольник; 2) пятиугольник?
51.	Одна из граней многогранника — шестиугольник. Какое наименьшее число ребер может иметь этот многогранник?
52.	Начертите многогранник, имеющий: 1) 8 ребер; 2) 9 ребер.
53.	Верны ли утверждения: 1) если пересечение двух выпуклых многогранников есть многогранник, то этот многогранник — выпуклый; 2) если объединение двух выпуклых многогранников есть многогранник, то он — выпуклый?
54.	У многогранника ABCDFE (рис. 22) грань ABCD — квадрат со стороной а\ грань ABEF — трапеция, у которой |ВЕ| — = | EF\ = | FA | = (АВЕ) ± (АВС). Найдите: 1) угол наклона ребра AF к плоскости АВС; 2) угол между плоскостями АВС и CDF; 3) площадь развертки.
§ 48.	ПРИЗМА
Определение. Многогранник, две грани которого — п-угольники, лежашие в параллельных плоскостях, а остальные п граней — параллелограммы, называется n-угольной призмой.
Докажем существование призмы. Пусть дан многоугольник Фх и параллельная ему плоскость а, причем Фг cf. а (рис. 23). Рассмотрим проектирование (не обязательно ортогональное!) многоугольника Фх
MATHEDU.RU
на плоскость а. Каждая из сторон данного многоугольника и ее проекция являются противолежащими сторонами параллелограмма. Объединение всех этих параллелограммов, многоугольника Фх и его проекции Ф есть замкнутая многогранная поверхность. Многогранник, который задается этой поверхностью, является призмой.
Многоугольники Фх и Ф называют основаниями призмы. Основания призмы конгруэнтны, так как
существует перемещение, отображающее одно из них на другое: AAt (Ф) = Фх (см. рис. 23). Остальные грани призмы называют ее боковыми гранями, а их объединение — боковой поверхностью призмы.
Изображение призмы удобно начинать с изображения одного из ее оснований (§ 13). Затем изображают боковые ребра (ребра призмы, не лежащие в ее основаниях) в виде параллельных и конгруэнтных отрезков и соединяют последовательно их свободные концы.
Различают прямые и наклонные призмы. Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой призмой (рис. 24). Если боковые ребра призмы не перпендикулярны плоскостям оснований, то ее называют наклонной призмой.
Перпендикуляр к плоскостям оснований призмы, концы которого принадлежат этим плоскостям, называют высотой призмы. На рисунке 25 изображена наклонная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1 и ее высота MN.
Прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник, называется правильной призмой. изображена правильная шестиугольная призма поверхности.
На рисунке 26 и развертка ее
Задачи
иметь призма?
55.	Какое минимальное число граней может Сколько вершин, ребер, боковых ребер у такой призмы?
MATHEDU.RU
56.	1) Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 25 см, а диагональ ее боковой грани 20 см. Найдите высоту призмы.
2) Диагональ основания правильной четырехугольной призмы равна а, диагональ боковой грани равна Ь. Найдите диагональ призмы.
57.	Каждое из ребер правильной шестиугольной призмы равно а. Найдите диагонали призмы.
58.	Найдите диагонали прямой призмы, основание которой — ромб со стороной а и острым углом <р, а большая диагональ этой призмы наклонена к плоскости основания под углом 0.
59.	Сечение призмы плоскостью, проходящей через два боковые ребра, не лежащие в одной грани, называется диагональным сечением призмы (рис. 27). Докажите, что если диагональные сечения призмы пересекаются, то их общий отрезок параллелен боковому ребру.
60.	1) Найдите отношение площади диагонального сечения правильной четырехугольной призмы к площади ее боковой грани.
2) Площадь боковой грани правильной шестиугольной призмы равна Q. Найдите площади ее диагональных сечений.
61.	Построить сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через точки М, N, Р, принадлежащие ее различным боковым ребрам (рис. 28).
Решение. Отрезки MN и NP являются сторонами искомого сечения. Найдем вершину сечения, принадлежащую четвертому ребру DDX (или его продолжению). Для этого построим диагональные сечения	и BByDfi призмы, затем соединим
точки М и Р. Общий отрезок ЕЕг диагональных сечений пересекает [ТИР] в точке F, которая принадлежит искомому сечению. Продолжив [7VF] до пересечения с (DDJ, получим точку Q. Четырехугольник MNPQ — искомое сечение. Если точка Q окажется на продолжении ребра DD19 то сечение — пятиугольник (рис. 29).
MATHEDU.RU
Рис. 29
62.	Постройте сечение четырехугольной призмы ABCDA^CyDy плоскостью, проходящей: 1) через точки At, А, Р, принадлежащие ребрам BBl9 CCj, AD\ 2) через ребро В^ и вершину А.
63.	Постройте сечение треугольной призмы ABCAjB^ плоскостью, проходящей: 1) через вершину At и точки М и N, принадлежащие ребрам АВ и S1Q; 2) через точки М9 N, Р, где Р С [Tljdj, а М и N — внутренние точки граней АВВ^А! и BCCiB1 соответственно.
64.	Через сторону основания правильной треугольной призмы про-
ведена плоскость, пересекающая противолежащее боковое ребро. Найдите площадь сечения, если секущая плоскость образует с плоскостью основания угол у, а сторона основания равна а. Вычислите площадь этого сечения, если а = 18 дм, у = 24°.
§ 49. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
1. Определение. Параллелепипедом называется призма, основанием которой служит параллелограмм.
Из определения следует, что все шесть граней параллелепипеда (рис. 30) — параллелограммы.
Некоторые свойства параллелепипеда аналогичны известным свойствам параллелограмма.
28. Т е о р е м а. Середина диагонали параллелепипеда является его центром симметрии.
Доказательство. Пусть О — середина диагонали BDt параллелепипеда ABCDA^CJ^ (рис. 31). Рассмотрим центральную симметрию с центром О. Так как |OS| = | ODt |, то Zo (В) =Dt.
Рис. 31
MATHEDU.RU
Центральная симметрия отображает луч на противоположно направленный луч (§ 16), поэтому Zo ([ВЛ)) = а так как \ ВА | = \D1C11 (почему?), то Zo (Л) = С\. Аналогично доказывается, что точки С и D отображаются соответственно на точки Аг и Вг. Отсюда следует, что при симметрии Zo поверхность параллелепипеда отображается на себя. На себя отображается и внутренняя область параллелепипеда. Итак, при симметрии с центром О параллелепипед ЛВСРЛ^С^ отображается на себя, т. е. О — центр симметрии данного параллелепипеда. 
Следствие 1. Противолежащие грани параллелепипеда попарно конгруэнтны и параллельны.
Следствие 2. Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам (рис. 32).
2. Если боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны к плоскости его основания (рис. 33), то параллелепипед называется прямым. Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник (рис. 34), называется прямоугольным параллелепипедом. Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоугольники. Длины трех ребер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда. Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом. Есе грани куба — конгруэнтные квадраты.
29. Теорема. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Докажите это самостоятельно (можно воспользоваться координатным методом, рис. 35).
Следствие. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда имеют равные длины.
Рис. зз
Рис. 34
Рис. 35
MATHEDU.RU
Рис. 36
Задачи
пло-
на-пря-
65.	Дан параллелепипед (рис. 32). Докажите конгруэнтность: 1) двугранных углов с ребрами AAL и СС^, 2) трехгранных углов с вершинами А и Сг.
66.	Имеет ли наклонный параллелепипед: 1) ось симметрии; 2) скость симметрии?
67.	1) Может ли основание клонного параллелепипеда быть моугольником?
наклонного параллелепипеда быть
пер-
2) Могут ли две грани пендикулярны плоскости основания? Имеет ли такой наклонный параллелепипед ось и плоскость симметрии?
68*. Докажите, что если все диагонали параллелепипеда конгруэнтны, то он является прямоугольным.
69.	Найдите длины диагоналей прямоугольного параллелепипеда, если известны его измерения: 1) 2 дм, 3 дм, 6 дм-, 2) 3 см, 6 см, 12 см.
70.	1) Стороны основания прямого параллелепипеда V18 см и 7 см, угол между ними равен 135°, боковое ребро равно 12 см. Найдите диагонали параллелепипеда.
2)	Стороны основания прямого параллелепипеда 8 дм и 5 дм, одна из диагоналей основания 3,2 дм, большая диагональ параллелепипеда 13 дм. Найдите его меньшую диагональ.
3)	Дан параллелепипед ABCD AxBrC<J\\ \ВА | = а, |ВС| = Ь, IBBJ = с, АВС = а, АВВХ = 0, ВХВС = у. Найдите IBDJ и | АСг|.
71.	Основанием параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 служит квадрат со стороной а, боковое ребро параллелепипеда равно Ь. Боковое ребро ААГ образует с пересекающими его сторонами основания острые углы, равные ср (рис. 36). Найти площади диагональных сечений АА^С и BB^D параллелепипеда.
Решение. Оба сечения — параллелограммы, причем | ЛС| = *= IBDI = а ]/2, | AAt | = |ВВГ | =Ь. Вычислим углы этих параллелограммов. Пусть АВ = т, AD = п, ЛЛХ = р, АХАС = = (ЛЛЬ ЛС)= х, BDDl = (DB, ЛЛХ) = у. По определению скалярного произведения векторов
ДА. • AC	AA. DB
cosx = ----------; cosy =------1-----.
I АА. |.[ АС Г 7	\AA1\-\DB\
Преобразуем выражения, стоящие в числителях:
AAj, • АС = р • (m + n) = p- m + p- n = 2ab cos <р;
ЛЛХ • DB = р • (tn — п) =5 ab cos ф — ab cos ф = 0.
124
MATHEDU.RU
Отсюда
2ab cos <p п	.
cos x = ----=?- = V 2 cos w;	(1)
ab V 2 r T	V 1
cos у = 0.	(2)
Итак, 5дСс,д, = | AC | • | AAt | sin х = ]Л2 ab ]/1 — cos2 х =
= j/2 ab У I — 2cos2 ф = ab —2 cos 2<p.	(3)
Равенство (2) означает, что у = 90°, т. е. BBrDJ) — прямоугольник. Поэтому Sbbxdxd = \DB\ •	= ab]f2.
Рассматривая формулу (3), замечаем, что она имеет смысл лишь при 90° < 2ср < 180°, откуда 45° < ф < 90°.
§ 50. ПЛОЩАДЬ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ МНОГОУГОЛЬНИКА
Предварительно рассмотрим ортогональное проектирование прямых и отрезков, лежащих в плоскости 0, на плоскость а.
А
Пусть 0 А а = а, (0, а) = <р, 0° < ср < 90° (рис. 37). Рассмотрим в плоскости 0 прямую параллельную а. Параллельное проектирование сохраняет параллельность прямых, поэтому прямые а и 4 отображаются на параллельные прямые а и /, отсюда 1г || I (§ 8). Отрезок А^Ву прямой^ и его образ [ЛВ]— противолежащие стороны параллелограмма, так как проектирующие прямые параллельны (см. рис. 37). Следовательно, |АВ\ = |Л^Д.
Рассмотрим теперь прямую т1 плоскости 0, перпендикулярную а. Проекция т прямой т1 также перпендикулярна а (теорема о трех перпендикулярах), поэтому (m, /nJ = ср. Отсюда вытекает, что для отрезка С^Р^ перпендикулярного а, и его образа [СО] выполняется равенство |CD| = |C1D11 cos ф.
30. Теорема. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями многоугольника и его проекции.
Доказательство. Рассмотрим треугольник	ле-
жащий в плоскости 0, и его ортогональную проекцию (APQ/?) на плоскость а (рис. 38). Пусть 0 Q а=а, (0, а)=ф, где 0°< ф<90°.
\	е._£!_Хг\ Уа	m / Рис. 37	Ji	X \ Mil / Рис. 38 $129
MATHEDU.RU
Если через точки Pit Qlt Rr провести прямые, параллельные а, то одна из них имеет общую точку с противолежащей стороной треугольника. Будем считать, что такой прямой является прямая llt проходящая через точку Rt: \ П = УИр
Пусть | PtKi | и ] Q1.Z-11 — расстояния от точек и Qi до прямой lt. Построив проекции М, К, L точек Мъ Llt выразим площадь треугольника PQR через площадь треугольника PiQiRi- Очевидно,
S&PQR = ± | RM | • | РК | + 11RM | • | QL |.
Согласно выводам, полученным в начале этого параграфа, имеем: |РК| = IPiKilcosq), \QL\ =\Q1Ll\cos q>.
Тогда
S^pqr = (у | RtMx | • | P^i | +11 RlM1 | • |	|) cosq>=SApt(?1«1cosq>.
Итак,
S&PQR =	COS ф.	(1)
Если p || а, то треугольник и его проекция конгруэнтны. Формула (1) верна и в этом случае.
Всякий многоугольник можно разбить на треугольники, по-втолу теорема верна и для многоугольника. Q
Задачи
72.	Стороны основания прямого параллелепипеда равны 4 дм я 5 дм9 угол между ними 30°. Найдите площадь сечения парал-Л' лепипеда плоскостью, если известно, что она пересекает все его боковые ребра и образует с плоскостью основания угол в 45°.
73.	Боковое ребро прямой призмы равно 6 см. Ее основание — прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 2 см. Найдите площади сечений призмы плоскостями, проходящими через каждый из данных катетов и образующими углы 60° с плоскостью основания.
74.	Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4 см. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины двух сторон основания и образующей угол 45° с его кает: ребра.
75.	Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через сторону основания, если угол между этой плоскостью и плоскостью основания равен: 1) 30°; 2) ср.
76.	Через середины двух смежных сторон основания правильной четырехугольной призмы проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол ср и пересекающая три боковых ребра призмы. Найдите сторону основания, если площадь сечения равна Q.
126
плоскостью, если известно, что плоскость сечения пересе-1) только одно боковое ребро призмы; 2) два ее боковых
®1
MATHEDU.RU
§ 51. ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ПРИЗМЫ
Площадью поверхности многогранника называется сумма площадей всех его граней.
Найдем площадь поверхности призмы (рис. 39). Так как основания призмы — конгруэнтные многоугольники, то их площади равны. Поэтому
•^пр 2S0CH *^бок»
где S6oK — площадь боковой поверхности призмы. Выведем правило для вычисления Х6ок.
Пусть дана произвольная призма (рис. 39). Через точку A2t принадлежащую одному из ее боковых ребер, проведем плоскость а, перпендикулярную этому ребру. Если плоскость а пересекает все боковые ребра призмы, то полученный многоугольник A2B2C2D2E2 называется перпендикулярным сечением призмы (если такого многоугольника не существует (рис. 40), то за перпендикулярное сечение призмы принимают многоугольник с вершинами в точках пересечения плоскости а с прямыми, на которых лежат боковые ребра).
Примем за основания параллелограммов, являющихся боковыми гранями призмы, ее боковые ребра. Высоты этих парал-
лелограммов — стороны перпендикулярного сечения. Сложив площади всех боковых граней, приходим к выводу, что площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро. В частности, площадь боковой поверхности прямой призмы равна периметру основания, умноженному на высоту призмы.
Задачи
77.	Высота правильной и-угольной призмы равна Н, сторона основания а. Найдите площадь поверхности этой призмы, если п равно: 1) 4; 2) 3; 3) 6.
78.	Площадь поверхности куба 54 см2. Найдите его диагональ.
79.	На рисунке 41 изображено поперечное сечение канала. Дно и стенки канала забетонированы. Какую площадь нужно покрыть бетоном на каждый километр канала?
80.	Сколько кусков обоев потребуется для оклейки комнаты размером
Рис. 39
Рис 40
MATHEDU.RU
. _______25м_______ 6л х 5 м х 3 м, если размеры одного
“J куска 0,5 м х 7 м и на обрезки до-статочно иметь запас, равный пло-з щади окон и двери?
81.	Площадь боковой поверх-
>- -I	ности правильной шестиугольной
Рис. 41	призмы 648 сти2, диагональ боковой
грани 15 см. Найдите сторону основания и высоту призмы.
82.	Двугранный угол при одном из боковых ребер наклонной треугольной призмы равен 120°; расстояния от этого ребра до других боковых ребер призмы 16 см и 14 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если ее боковое ребро 20 см.
83.	Каждое ребро наклонной треугольной призмы равно п, одно из боковых ребер составляет со смежными сторонами основания углы в 60°. Найдите площадь полной поверхности.
84.	Основание наклонного параллелепипеда — квадрат со стороной а, одна из вершин другого основания проектируется в центр этого квадрата. Высота параллелепипеда равна Н. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда и угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Какова зависимость между а и Н, если этот угол равен 45°?
85.	Основание прямого параллелепипеда — ромб с острым углом <р и большей диагональю d; меньшая диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 0. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.
§ 52. ПИРАМИДА
Определение. Многогранник, одна из граней которого — произвольный многоугольник, а остальные грани —треугольники, имеющие общую вершину, называется пирамидой.
Пирамиду можно получить как пересечение многогранного угла SABCDE (рис. 42) и полупространства U, если: 1) S € U\ 2) граница а полупространства U пересекает все ребра данного многогранного угла в различных точках.
В курсе VIII класса вы пользовались терминами: основание, вершина, боковая грань, боковое ребро и высота пирамиды. Вспомните смысл этих терминов, пользуясь рисунком 43.
Построение изображения пирамиды можно начать с изображения ее основания. Затем изображают вершину пирамиды и ее боковые ребра.
Если основание пирамиды — правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр этого многоугольника, то пирамида называется правильной (рис. 44).
Все боковые ребра правильной пирамиды конгруэнтны; все ее боковые грани — конгруэнтные равнобедренные треугольники^-^=г
128
MATHEDU.RU
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой этой пирамиды. [S7W] — апофема (рис. 44).
Для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды имеется удобная формула:
"^бок ~ ~2	‘ ^бок>
где Р — периметр основания, h6oK — апофема правильной пирамиды. Эта формула читается так: площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему пирамиды.
Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:
"-*пир = "->бок ”Ь ‘->оснф
Задача. Площадь основания пирамиды равна Q, двугранные углы при всех сторонах основания равны Ф. Доказать, что
<? ___ Q
° бок
COS ф
Решение. Проведем высоту SO пирамиды SABCDE (рис. 45) и рассмотрим линейные углы SKO, SLO, SNO. ... По условию SKO = SLO=: — SNO = .. . — <р. Проекции боковых граней пирамиды на плоскость ее основания—треугольники АОВ, ВОС.... Точка О принадлежит внутренней области многоугольника ABCDE, так как она является центром вписанного в него круга (треугольники SOK, SOL, ... конгруэнтны, откуда |О/С| =|OL| = ...). Поэтому объединение треугольников АОВ, ВОС, ... есть многоугольник ABCDE.
По теореме о площади ортогональной проекции многоугольника имеем:
S&ABO = Saabs • cos ф; Sabco = S&bcs • cos ф;
5 Заказ Кг 210
Рис. 43
mathedu.ru
Сложив почленно, получим:
Q = 5б0К • cos (р, откуда
с ____ Q
^бох-------•
COS ф
Отметим, что полученная формула верна для любой правильной пирамиды.
Задачи
86°. 1) Всякий ли параллелограмм может быть основанием правильной пирамиды? 2) Может ли правильный мно-
гоугольник быть основанием неправильной пирамиды?
87.	1) Имеет ли ось симметрии правильная пирамида, если число сторон ее основания равно: а) 3; б) 4; в) и?
2)	Сколько плоскостей симметрии имеет правильная пирамида, если число сторон ее основания равно: а) 3; б) 4?
88.	Докажите, что пепересекающиеся ребра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны.
89.	Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не лежащих в одной грани, называется диагональным сечением пирамиды.
1)	Найдите площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол ф.
2)	Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а, высота пирамиды Н. Найдите площади диагональных сечений.
90.	Постройте сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через три точки, принадлежащие ее боковым ребрам.
91.	Сторона основания правильной пирамиды равна а, высота пирамиды Н. Найдите площадь боковой поверхности, если число сторон основания равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6; 4) п.
92.	1) Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 2 см, двугранный угол при основании 60°. Найдите площадь боковой поверхности. 2) Площадь боковой поверхности правильной пирамиды втрое больше площади основания. Найдите двугранный угол при стороне основания.
93.	Крыша имеет форму пирамиды с квадратным основанием 4,5 тих4,5 м и углом наклона грани к основанию в 45°. Сколько листов железа размером 70 см х 140 см нужно для покрытия крыши, если на отходы нужно добавить 10% площади крыши?
94.	Основание пирамиды — равнобедренный треугольник, боковые стороны которого имеют длину а и образуют угол а, двугранные углы при всех сторонах основания равны 0. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
MATHEDU.RU
95.	Основание пирамиды — ромб со стороной 6 см и углом 45е, все двугранные углы при сторонах основания пирамиды равны 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
96.	Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами а и Ь, высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания и равна Н. Найдите площадь полной поверхности.
97.	Основание пирамиды — параллелограмм, ее высота проходит через точку пересечения диагоналей основания. Докажите, что любая плоскость, проходящая через высоту пирамиды, делит полную поверхность пирамиды на две равновеликие части.
98*. Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной о; одна из боковых граней — равнобедренный прямоугольный треугольник, плоскость которого перпендикулярна плоскости основания. Найдите площадь боковой поверхности.
плоскости ABCD
0^
§ БЗ. УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА
Рассмотрим предварительно следующую теорему.
31. Теорема. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной ее основанию, можно отобразить на основание гомотетией с центром в вершине пирамиды.
Доказательство. Пусть A^CjPi — сечение пирамиды SABCD плоскостью, которая параллельна (рис. 46). Рассмотрим гомотетию с цент-е	хх	. IS4I ~
ром о и коэффициентом k = ----L. Эта
I &4i | гомотетия отображает точку т?! на точку А, а плоскость сечения пирамиды — на параллельную ей плоскость (§ 46, теорема 27). Но через точку А проходит единственная плоскость, параллельная плоскости сечения; следовательно, сечение 41B1C1D1 пирамиды отображается на ее основание ABCD. 
Рассмотрим многогранник (рис. 47) ЛВСР£'Л1В1С1Р1Е1, вершинами которого служат вершины основания пирамиды и вершины ее сечения плоскостью, параллельной основанию. Такой многогранник называют усеченной пирамидой.
Усеченная пирамида имеет два основания (ABCDE и AJ^ClDyEy на рисунке 47), являющиеся гомотетичными многоугольниками.
Перпендикуляр к плоскостям оснований, концы которого принадлежат этим плоскостям, называется высотой усеченной пирамиды. Боковые грани усеченной пирамиды — трапеции. 5*
А В
Рис. 46
5
D
В	С
Рис. 47
||$ га
MATHEDU.RU
Рис. 48
Усеченная пирамида называется правильной, если она является частью правильной пирамиды. Боковые грани пра -вильной усеченной пирамиды — конгруэнтные равнобедренные трапеции (см. рис. 47). Высота каждой из этих трапеций называется апофемой правильной усеченной пирамиды ([MMJ на рисунке 47).
Умножив площадь одной из боковых граней правильной усеченной пирамиды на число этих граней, приходим к формуле
•^бок = ~ "И ?1)  ^бок*
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна полусумме периметров оснований, умноженной на апофему.
Задачи
99.	Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды 16 см, а стороны оснований 24 см и 40 см. Найдите диагональ усеченной пирамиды и площадь диагонального сечения.
100.	1) Постройте сечение правильной усеченной четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через конец диагонали меньшего основания и перпендикулярной к этой диагонали.
2) Вычислите площадь сечения, если стороны оснований а и b (а > Ь), а боковое ребро с.
101.	По высоте Н и сторонам оснований а и b (а > Ь) найдите площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) и-угольной.
102.	На рисунке 48 изображен бункер, поверхность основной части которого представляет боковую поверхность правильной четырехугольной усеченной пирамиды. По размерам, указанным на рисунке (в сантиметрах), вычислите, сколько квадратных дециметров листового железа нужно для изготовления бункера (не считая рукавов А и В).
103.	Основания усеченной пирамиды — равнобедренные треугольники; равные их стороны а и b (а > Ь)9 углы при вершинах треугольников равны по 120°. Ребро, проходящее через вершины данных углов, перпендикулярно плоскостям оснований и равно с. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.
104.	Основания усеченной пирамиды — квадраты со сторонами 8 см и 4 см\ одна из боковых граней, являющаяся равнобедренной трапецией, перпендикулярна к плоскостям оснований, а противолежащая ей грань образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.
132
I	,
mathedu.ru
§ 54. ПОНЯТИЕ О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ
Определение. Многогранник называется правильным, если все его грани — конгруэнтные правильные многоугольники и все его многогранные углы имеют одинаковое число граней.
Из определения следует, что все ребра правильного многогранника конгруэнтны, а также конгруэнтны все его плоские углы. Примеры правильных многогранников вам уже известны: это куб (рис. 49), правильный тетраэдр (рис. 50). Можно доказать, что существует еще три вида правильных многогранников. Это правильный восьмигранник (или правильный октаэдр, рис. 51), правильный двадцатигранник (икосаэдр, рис. 52), правильный
Рис. 51
Рис. 53
MATHEDU.RU
Рис. 55
Рис. 56
двенадцатигранник (додекаэдр, рис. 53). Никаких других видов правильных многогранников (выпуклых), кроме пяти перечисленных, не существует (это открытие приписывается древнегреческому философу Платону).
Развертки поверхностей правильных многогранников всех видов изображены на рисунке 54.
Задачи
105°. 1) Является ли правильная пирамида (призма) правильным многогранником?
2) Существует ли пирамида (призма), являющаяся правильным многогранником?
106°. Шестигранник является объединением двух правильных тетраэдров, имеющих общее основание (рис. 55). Является ли он
правильным многогранником?
107. 1) Из одной вершины куба проведены три диагонали граней, их концы соединены отрезками. Докажите, что пирамида, ребрами которой служат построенные шесть отрезков, есть правильный тетраэдр.
2*) Докажите, что центры граней куба служат вершинами пра-
вильного октаэдра (рис. 56).
108. Найдите величину двугранного угла: 1) правильного тетраэдра; 2) правильного октаэдра.
109. 1) Длина ребра правильного октаэдра равна а. Найдите
площадь поверхности.
2)	Площадь поверхности правильного тетраэдра равна Q. Найдите длину ребра.
ПО. Постройте сечение правильного тетраэдра SABC плоскостью, которая проходит через середину [5Л], перпендикулярна грани SBC и параллельна (ВС).
§ 55. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОБЪЕМОВ МНОГОГРАННИКОВ.
ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Задача измерения объемов была поставлена в курсе геометрии VIII класса. Сформулируем ее применительно к многогранникам* 1 по аналогии с задачей измерения площадей многоугольников.
Каждому многограннику Ф требуется поставить в соответствие определенную положительную величину V, называемую объемом, так, чтобы выполнялись следующие свойства:
1)	единицей измерения объемов является объем куба, длина ребра которого принята за единицу измерения длин;
1 Рассматриваются как выпуклые, так и невыпуклые многогранники.-
134	llfcl
Iх--—
mathedu.ru
2)	конгруэнтные многогранники имеют равные объемы;
3)	если многогранник является объединением нескольких многогранников, любые два из которых не имеют общих внутренних точек, то объем данного многогранника равен сумме объемов всех таких многогранников.
Из свойства 3 вытекает следствие:
если многогранник с объемом Vx содержится в многограннике с объемом V2 и не совпадает с ним, то Vx < V2.
Примем без доказательства, что при заданной единице длины поставленная задача имеет единственное решение, т. е. каждый многогранник имеет определенный объем.
32. Теорема. Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений.
Доказательство этой теоремы для случая, когда числовые значения измерений являются рациональными числами, рассмотрено в учебнике для VIII класса. Теорема верна и в том случае, когда среди числовых значений измерений а, Ь, с хотя бы одно — число иррациональное.
Доказательство. Так как среди измерений есть иррациональное число, то никакая доля единичного отрезка не уложится в соответствующем отрезке целое число раз. Обозначим а~, Ь~, ^приближенные значения чисел а, Ь, с по недостатку с точностью до и а+	— по избытку с той
же точностью. Наряду с данным параллелепипедом рассмотрим параллелепипеды с измерениями Ь~ с~ и а+,	(рис. 57).
Согласно следствию из свойств объемов можно записать:
И7 < v < v+
Приближенные значения иррациональных чисел есть числа рациональ-ные, поэтому V~ = а~ Ь~ с~ и V+ = а+ б+ с+. Тогда
^Ь-с~< V<a+b+c+	(1)
По определению произведения действительных чисел имеем:
anb7c7<abc<atbtct	(2)
Неравенства (1) и (2) показывают, что приближенные значения чисел V и abc, взятые с любой одинаковой точностью, равны. Следовательно, равны и эти числа: V = аЬс.ф
Задачи
111.	Многогранники (Dj и Ф2 имеют объемы \\ и V2. 1) В каком случае объем фигуры Фх U Ф2 равен 2) Найдите объем фигуры Фх U Ф2> если объем фигуры Ф! Q Ф2 равен 0,5 V 2.
112.	Строительный кирпич имеет размеры 25 см X 12 см х 6 см. Найдите объем стены, выложенной из 10 000 кирпичей. Учтите, что раствор увеличивает объем на 15%.
113.	Единичный куб пересечен плоскостью, проходящей через его центр симметрии. Чему равен объем каждой части куба?
114.	Правильная четырехугольная пирамида объема V пересечена плоскостью, проходящей через высоту пирамиды. Найдите объемы полученных частей пирамиды.
115.	Найдите объем пирамиды, основание которой — грань куба, имеющего объем V, а вершина — точка пересечения диагоналей этого куба.
116.	Диагональ куба равна d. Найдите объем куба.
117.	Площади граней прямоугольного параллелепипеда равны Qn Q2, Qs- Докажите, что его объем равен КСгСгСз-
118.	Стороны основания прямоугольного параллелепипеда а и Ь. Его диагональ составляет с плоскостью основания угол а. Найдите объем параллелепипеда.
119.	Диагональ основания прямоугольного параллелепипеда равна /, величина угла между диагоналями основания равна а, диагональ меньшей боковой грани1 составляет с плоскостью основания угол р. Найдите объем и площадь боковой поверхности.
120.	Сторона основания прямоугольного параллелепипеда равна а и образует с диагональю основания угол а. Через данную сторону и противолежащую ей сторону другого основания проведено сечение, плоскость которого составляет с плоскостью основания угол ср. Найдите объем параллелепипеда.
121.	На изготовление закрытого ящика с квадратным основанием расходуется S м2 фанеры. Найдите линейные размеры ящика, при которых его объем имеет наибольшее значение.
122.	У квадратного листа жести со стороной а вырезаны по углам квадраты (рис. 58) и загнуты края. Найдите длину стороны вырезанного квадрата, если известно, что получилась коробка наибольшей возможной вместимости.
§ 56. ОБЪЕМ ПРЯМОЙ ПРИЗМЫ
33. Теорема. Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.
Доказательство. Рассмотрим два случая.
1)	Основание призмы — треугольник АВС (рис. 59). Предположим, что [Л В] — его большая сторона. Проведем высоту CD треугольника АВС. Рассмотрим прямоугольник ABMN, у которого | ВМ | = | CD | (рис. 60), и прямоугольный параллелепипед ABMNA^B^M^N^ Грани АССХАХ и ВСС1В1 данной треугольной призмы, а также плоскость, проходящая через ребро ССГ и высоту CD основания, разбивают этот прямоугольный паралле-
1 Речь идет о боковой грани, имеющей наименьшую площадь.
136
I?——р
MATHEDU.RU
лепипед на четыре прямые треугольные призмы, среди которых имеются две пары конгруэнтных призм. Действительно, призмы ACDA1C1D1 и ACNA1C1N1 конгруэнтны, так как они центрально-симметричны относительно точки О пересечения диагоналей прямоугольника АСС1А1 (см. рис. 60). Аналогично убеждаемся в том, что призмы BCDB1C1D1 и BCMB^Mi конгруэнтны. Согласно свойствам 2 и 3 объемов многогранников (§ 55) объем данной треугольной призмы составляет половину объема прямоугольного параллелепипеда, т. е.
V = y Sabmn • Н = S&ABC • Н.
2)	Рассмотрим прямую и-угольную призму при п > 3 (рис. 61). Через какое-либо ее боковое ребро проведем диагональные сечения, получим п — 2 прямые треугольные призмы. Площади их оснований обозначим Qi> Q2, • • • > Q/z-2- Объем данной n-угольной призмы равен сумме объемов полученных треугольных призм (§ 55, свойство 3). Итак,
V = Qrff + Q2 • Я+. . ,+Qn^H= = (Qi + Q2+...+Q^2)-^ = Q- н, где Q — площадь основания данной призмы и Н — ее высота.И
Задачи
123. Площади боковых поверхностей двух прямых параллелепипедов равны. Равны ли объемы этих параллелепипедов, если их основания: 1) конгруэнтны; 2) имеют равные площади?
124. Длина железнодорожной шпалы равна 275 см, ее поперечное сечение показано на рисунке 62
Рис. 60
MATHEDU.RU
Рис. 64
(размеры в сантиметрах). На платформу погружено 600 шпал. Вычислите массу груза. (Плотность дерева принять за 0,8 г/см3.)
125.	Из деревянной прямой треугольной призмы с равными ребрами вырезана правильная четырехугольная призма наибольшего объема. Найдите процент отходов, если боковые ребра призм параллельны.
126.	Вращающийся барабан для никелирования мелких имеет форму правильной угольной призмы (рис. 63, размеры в сантиметрах). При барабан заполняется на—h. Найдите объем загруженной части барабана.
127.	Скирда сена имеет форму прямой призмы с пятиугольным (в метрах) указаны на рисунке 64.
деталей шести-
работе
основанием, размеры скирды
Вычислите массу сена в скирде, приняв массу 1 м3 сена за 70 кг.
128. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с площадью S и острым углом а. Площадь большей боковой грани равна Q. Найдите объем.
129. Диагональ основания прямого параллелепипеда имеет длину d и составляет со сторонами основания углы аир. Найдите объем параллелепипеда, если площадь его боковой поверхности равна S.
§ 57. ОБЪЕМ НАКЛОННОЙ ПРИЗМЫ
34 Т еорема. Объем наклонной призмы равен произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро.
Доказательство. Пусть дана наклонная призма1 АСг (рис. 65). На продолжении ребра АгА возьмем точку Л2, рассмотрим перпендикулярное сечение A2B2C2D2 призмы. Примем это сечение за основание прямой призмы Л2С3, боковые ребра которой равны по длине боковым ребрам наклонной призмы АСг. Докажем равенство объемов призм Л2С3 и АСг. Многогранники (не обязательно призмы!) А2Сг и А 3С конгруэнтны, так как вто-
—► рой из них является образом первого при переносе AjA. По второму свойству объемов (§ 55) Уаяся = Va3c‘, по третьему свой-
1 При доказательстве этой теоремы многогранник обозначаем, указав его диагональ.
138
MATHEDU.RU
Рис. 65
Рис. 66
ству VAtCl = Улс,+ Va,c и Va3c =Va,c1 + Va,c- Тогда У/с.+ Ул/?^ = Va,c, + Va,c, отсюда Vac3 — Ул,с,. Применим формулу объема прямой призмы: УАзс,= •$л,вгс,о,-|Л8Л3|. Тогда и VACt = Sa,bjcj>,X X | А2Аз1 = SAtB£,D, ’ М1Л|.Н
Следствие. Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту.
Доказательство. Для данной призмы АВСА^В^С^ (рис. 66) введем обозначения: |Л1Д|=/, |z4T0| = Н — высота, Q—площадь основания, S — площадь перпендикулярного сечения. Согласно доказанной теореме V = S • I. Перпендикулярное сечение данной призмы есть ортогональная проекция ее основания, поэтому (§ 50) S = Q cos ф, где <р — угол между плоскостями основания и сечения (рис. 66). Угол между прямыми ЛгО и ЛЛХ, перпендикулярными к этим плоскостям, также равен <р (докажите!). Поэтому I = ———, тогда
COS ф
y = S-/ = Qcos<p-— = QH. 
COS ф
Задачи
130.	Основание призмы — трапеция, параллельные стороны которой 44 см и 28 см, а непараллельные — по 17 см. Одно из диагональных сечений призмы перпендикулярно основанию и является ромбом с углом в 45°. Найдите объем призмы.
131.	1) Постройте сечение треугольной призмы плоскостью, проходящей через боковое ребро и разбивающей призму на две части, имеющие равные объемы.
2) Постройте сечение наклонного параллелепипеда плоскостью, которая проходит через данную точку стороны основания и делит параллелепипед на две призмы равных объемов.
132.	Все девять ребер наклонной треугольной призмы имеют длину а, объем призмы равен V. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.
13-
I — ЦЬЛ| ,
MATHEDU.RU
133.	Все грани призмы — ромбы со стороной а и острым углом а. Найдите площадь полной поверхности и объем призмы при а 60°.
134.	Основание призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник. Боковая грань, проходящая через один из катетов этого треугольника, является квадратом со стороной а и образует с плоскостью основания угол а. Найдите объем призмы.
135.	Постройте сечение треугольной призмы плоскостью, проходящей через точку пересечения медиан основания и параллельной одной из боковых граней. Найдите отношение объемов многогранников, полученных при пересечении призмы этой плоскостью.
§ 68. ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ
35.	Теорема. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Доказательство. Пусть дана пирамида, высота которой Н, а площадь основания Q. Найдем ее объем V. Пересечем пирамиду плоскостью, параллельной основанию (рис. 67). Расстояние от вершины пирамиды до секущей плоскости обозначим через х. Площадь S (х) сечения и объем V (х) отсеченной пирамиды являются функциями аргумента х. Если принять, что S (0) = 0 и V (0) = 0, то функции S (х) и V (х) определены на отрезке [0; Я]. Дадим х приращение Дх > 0 (х + Дх Н), тогда объем V (х) также получит приращение ДУ. Здесь ДУ — объем усеченной пирамиды, основания которой лежат в секущих плоскостях. На каждом из двух сечений построим призму с высотой Дх (рис. 67). Согласно свойствам объемов (§ 55) имеем:
S (х)Дх < ДУ < S (х + Дх)Дх; отсюда
S (х) <	< S (х + Дх).	(1)
Найдем функцию S (х). Рассматриваемое сечение и основание пирамиды — гомотетичные многоугольники (§ 53, теорема 31), причем коэффициент гомотетии равен —. Из свойств гомотетии
140
следует, что —= —, откуда
S (%) х2
S(x) = —х2. ' ’ нг
Замечаем, что функция S (х) непрерывна на отрезке [0; Я], поэтому lim S (х + Дх) = S (х). Из двойного не-Дх-»0
/14	1- ДУ
равенства (1) вытекает, что lim —=
дх-»о Дх
= S(x). Следовательно, У'(х)=5 (х), т. е. функция У (х) есть первообразная для функции S (х) на [0; Я]. Объем данной
' Д|5|.
mathedu.ru
пирамиды равен значению функции V (х) при х = Н: V = V (Н). Так как V (0) = 0, то можно записать: V = V (Н) — V (0). По определению интеграла
н
V = J S (х) dx.
о
Выполнив интегрирование, получим:
Итак, объем пирамиды вычисляется по формуле:
V = !<?«.
Задачи
136.	Одно из самых грандиозных сооружений древности — пирамида Хеопса — имеет форму правильной четырехугольной пирамиды с высотой «150 м и боковым ребром «220 м. Найдите объем и площадь боковой поверхности этой пирамиды.
137.	В правильной шестиугольной пирамиде большее диагональное сечение — равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с. Найдите объем пирамиды.
138.	1) Площадь поверхности правильного тетраэдра равна S. Найдите его объем.
2)	Один из алмазов, добытых в Якутии, весит 42 карата и имеет форму правильного октаэдра. Найдите ребро этого октаэдра. (Плотность алмаза 3,5 г/см\ 1 карат = 0,2 г.)
139.	Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, один из острых углов которого а; каждое боковое ребро пирамиды равно b и составляет с плоскостью основания угол р. Найдите объем пирамиды.
140.	Одно из диагональных сечений правильной шестиугольной пирамиды делит ее на две неконгруэнтные части. Найдите отношение объемов этих частей.
141.	Основанием пирамиды служит правильный треугольник со стороной а, одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания, две другие боковые грани составляют с основанием углы а. Найдите объем пирамиды и площадь большей боковой грани.
142.	Г) Плоские углы при вершине треугольной пирамиды прямые, боковые ребра пирамиды равны 5 см. 6 смтл! см. Найдите объем.
2)	Боковые ребра треугольной пирамиды попарно перпендикулярны, площади боковых граней равны S2, S3. Докажите, что объем пирамиды равен 2S1S2S3.
о
mathedu.ru
143.	Основание пирамиды — равнобедренная трапеция, параллельные стороны которой а и b (а > Ь). Все двугранные углы при сторонах основания равны ср. Найдите объем.
144.	Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды а и b (а> Ь), двугранный угол при стороне большего основания а. Найдите объем.
145.	Бункер, изображенный на рисунке 48, наполнен зерном. Вычислите массу зерна, если масса одного кубического метра зерна равна 800 кг.
146.	Найдите объем правильной шестиугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой относятся как 1 : 2, а боковое ребро длиной b составляет с плоскостью основания угол 60°.
147.	Для перекрытия русла реки при строительстве гидроэлектростанции изготовляют из бетона правильные треугольные усеченные пирамиды массой по 10 т. Высота и стороны оснований такой пирамиды пропорциональны числам 5, 2, 6. Рассчитайте линейные размеры этой пирамиды. (Плотность бетона 2,2 г[см3.)
Задачи на повторение к главе V
148.	Призма АВСА1В1С1 задана координатами четырех своих вершин: А (1; 1; —1), В (0; 0; 3), С (1; 4; 1), В1 (1; —1; 1). Вычис-
лите: 1) 14/71; 2) cos ACtC.
149.	1) Две боковые грани треугольной призмы взаимно перпендикулярны. Докажите, что сумма квадратов площадей этих граней равна квадрату площади третьей боковой грани призмы.
2) Верно ли обратное предложение?
150.	Основание призмы — равносторонний треугольник, одна из вершин верхнего основания проектируется в центр нижнего основания. Докажите, что одна из граней призмы — прямоугольник.
151.	Все ребра прямой треугольной призмы АВСА^В^С^ имеют равные длины. Найдите величины углов: 1) между (BCj) и (ДС); 2) между (BCj) и (ДХС).
152.	1) Сколько осей и плоскостей симметрии имеет правильная n-угольная призма, если п равно: а) 3; б) 4?
2) Имеет ли каждая из этих призм центр симметрии?
153.	Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, высота призмы равна Н. Найдите площадь сечения, проведенного через середины двух смежных сторон основания и центр симметрии призмы.
154.	Угол между диагональю боковой грани правильной треугольной призмы и другой боковой гранью 30°, боковое ребро призмы Н. Найдите площадь полной поверхности.
155.	1) Расстояния между соседними боковыми ребрами наклонной четырехугольной призмы равны, боковое ребро 4 дм,
142	Ш|Й|
Iх-—
mathedu.ru
площадь перпендикулярного сечения 18 дм2, а площадь боковой поверхности 96 дм2. Вычислите величины двугранных углов при боковых ребрах.
2)	Расстояния между боковыми ребрами треугольной призмы пропорциональны числам 26, 25, 3; площадь перпендикулярного сечения 144 м2, площадь боковой поверхности 540 м2. Найдите боковое ребро.
156*. Из вершины параллелепипеда проведены три диагонали его граней. На этих отрезках как на ребрах построен параллелепипед. Докажите, что противолежащая вершина данного параллелепипеда служит центром симметрии построенного параллелепипеда.
157.	Сколько осей и плоскостей симметрии имеет: 1) прямой параллелепипед, не являющийся прямоугольным; 2) прямоугольный параллелепипед, не являющийся кубом; 3) куб?
158.	Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, площади диагональных сечений параллелепипеда равны и Q2. Найдите площадь боковой поверхности.
159.	Площади диагональных сечений прямого параллелепипеда равны 112 см2 и 144 см2-, стороны основания 8 см и 14 см. Найдите площадь полной поверхности.
160.	1) Через основание высоты правильной треугольной пирамиды проведите сечение, параллельное двум скрещивающимся ребрам. Докажите, что это сечение — прямоугольник.
2) Найдите площадь сечения, если сторона основания равна а, а боковое ребро Ь.
161.	Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды 8 см, двугранный угол при боковом ребре равен 120°. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.
162.	Основание пирамиды — треугольник со сторонами 5 см, 5 см и 6 см, высота пирамиды проходит через центр круга, вписанного в этот треугольник, и равна 2 см. Найдите площадь боковой поверхности.
163.	Основание пирамиды — квадрат со стороной а, высота пирамиды длиной Н проходит через вершину основания. Найдите площадь полной поверхности.
164.	Докажите, что центры граней правильного тетраэдра служат вершинами другого правильного тетраэдра. Найдите отношение длин ребер этих тетраэдров.
165.	Практическая работа. Изготовьте с помощью разверток модели: 1) наклонной треугольной призмы; 2) наклонного параллелепипеда; 3) правильной шестиугольной пирамиды; 4) правильной четырехугольной усеченной пирамиды. На моделях этих многогранников выполните необходимые измерения и вычислите площади их поверхностей.
166.	Основание пирамиды — ромб со стороной а. Одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания; боковые грани, содержащие это ребро, образуют тупой двугранный угол.
143
I
MATHEDU.RU
величиной ₽. Одна из остальных боковых граней наклонена к плоскости основания под углом <р. Найти площадь боковой поверхности пирамиды. Вычислить при а = 11,08 м, ф = 69°16', р = 106°50'.
Решение. Пусть SABCD — данная пирамида (рис. 68). Ее основание ABCD — ромб с тупым углом АВС, ребро SB перпендикулярно плоскости АВС. Поэтому Z АВС — линейный угол двугранного угла с ребром SB.
Рассмотрим двугранный угол AD. Из точки В проведем перпендикуляр [В/<] к прямой AD, точку К соединим с S. Согласно теореме о трех перпендикулярах (S/C) J_ (AD). Значит, угол SKB — линейный угол двугранного угла с ребром AD.
Прямоугольные треугольники SBA и SBC конгруэнтны (по двум катетам), поэтому | Л5| — |SC| и Д SAD Д SDC (по трем сторонам). Имеем: | АВ\ = | AD| = а, АВС — р, SRB = ф; требуется найти £6ок
*^бок = 2$дзлв +	= | ЛВ| • |SB|+ |ЛО| • |SK|,
S60K = a(|SB| + |SK|).	(1)
Так как АВК, = р — 90°, | В/<| = a cos (Р—90°)=я sin р. Рассматривая прямоугольный треугольник SKB, получим:
I.SBI = I В/Cl tg ф = a sin Р tg ф,	(2)
| 5^ | _ 1б/<1 _ Д sin Р COS ф COS ф
(3)
Подставим выражения (2) и (3) в равенство (1):
S
a2 sin Р
/	. а, , а sin В \ а2 sin В (1 + sin <р)
6ок = а а sin Р tg ф 4-----— ] =------=
\	COS ф /	COS ф
/ ф \
. . ЛО	2 cos2| 45° —J
. +«”<»> -ф|=a. sin 0--------------------I—11—
stalSO--»)
\	2 /	\	2
= a2 sin p ctg ^45° —	.
S60K = 11,082 sin 73°10' ctg 10°22'.
Выполнив вычисления, получим:
S6oK « 642 м2.
167.	Основание прямой призмы ЛСХ — ромб со стороной а. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если известно, что BAJ) = р, BAD = Ф (ф > 90°).
144

mathedu.ru
168.	В основании прямоугольного параллелепипеда угол между диагональю, имеющей длину d9 и одной из сторон равен ср. Угол между этой стороной и диагональю параллелепипеда равен 0. Найдите площадь боковой поверхности.
169.	Основание пирамиды — равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой с; все боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом <р. Найдите площадь полной поверхности.
170.	Расстояние от центра основания правильной треугольной пирамиды до ее боковой грани равно d, двугранный угол при основании равен <р. Найдите площадь боковой поверхности. Вычислите при d = 7,8 м и ф = 46°27'.
171.	Боковое ребро длиной b правильной треугольной усеченной пирамиды образует со стороной большего основания угол 0, площади оснований относятся как 4:1. Найдите площадь полной
поверхности.
172.	Высота прямого параллелепипеда Н9 стороны основания а и Ъ. Каким должен быть двугранный угол ф при боковом ребре, чтобы объем параллелепипеда был наибольшим?
173.	На двух скрещивающихся ребрах параллелепипеда даны точки Р и Q. Разделите параллелепипед плоскостью, проходящей через Р и Q, на две части с равными объемами.
174.	Прямоугольная площадка длиной 80 м и шириной 25 м
наклонена так, что одна из меньших сторон находится выше противоположной стороны на 1,2 м. Сколько кубических метров грунта нужно насыпать, чтобы сделать площадку горизонтальной? Сколько кубических метров грунта нужно срезать на площадке, чтобы, пересыпав этот грунт, выровнять площадку (рис. 69)?
175.	Железнодорожная насыпь высотой 2,8 м имеет ширину в верхней части 10,1 м9 углы откоса 34°. Найдите объем насыпи на прямолинейном участке длиной 1 км.
176.	Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с гипотенузой с и большим острым углом а. Диагонали двух больших боковых граней, проведенные из одной вершины нижнего основания, образуют угол 0. Найдите объем призмы.
177.	Двугранный угол при боковом ребре наклонного параллелепипеда равен а, расстояния от этого ребра до двух соседних ребер равны а и Ь9 боковое ребро с. Найдите объем.
178.	Основание призмы — равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом а\ боковое ребро, противолежащее гипотенузе, образует с катетами острые углы а и 0. Найдите объем призмы, если длина бокового ребра Ь.
179. Докажите, что любая плоскость, проходящая через середины двух противолежащих ребер правильного тетраэдра, делит его на части, имеющие равные объемы.
MATHEDU.RU
180.	Правильная n-угольная пирамида пересечена плоскостью, проходящей через ее высоту. Равны ли объемы полученных пирамид?
181.	Все ребра треугольной пирамиды, кроме ребра АВ, имеют длину а; величина плоского угла, лежащего против ребра АВ, равна а. Найдите объем.
182.	Сечение, параллельное основанию пирамиды, делит ее на две части, имеющие равные объемы. Найдите отношение площадей частей, на которые разделена боковая поверхность.
183.	Через середины каждых трех ребер куба, выходящих из одной вершины, проведены сечения. Найдите объем и площадь поверхности полученного многогранника, если ребро куба равно а.
184.	Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды SABCD составляет с плоскостью основания угол а. Через вершину В проведена плоскость, перпендикулярная ребру SD. Какую часть объема данной пирамиды составляет объем четырехугольной пирамиды, отделяемой сечением?
185.	Высота правильной четырехугольной пирамиды равна h и составляет с боковой гранью угол а. Через сторону основания пирамиды проведена плоскость, перпендикулярная противолежащей грани. Найдите объем пирамиды, отсекаемой этой плоскостью от данной пирамиды.
186.	Найдите объем правильной треугольной пирамиды, сторона основания которой имеет длину а и образует с боковой гранью угол а.
187.	Основание пирамиды — прямоугольная трапеция, у которой большая из непараллельных сторон 12 см, а меньший угол 30°. Все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, площадь боковой поверхности 90 си2. Найдите объем.
188.	Основание пирамиды SABC — треугольник; С = 90°, А=а, | ЛВ| =с. Боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания, угол между гранью SBC и плоскостью основания 0. Найдите объем. Вычислите при с = 18 см, а = 60°, ₽ = 45°.
189*. Основанием пирамиды служит равнобедренная трапеция, параллельные стороны которой а и b (а> Ь), а угол между конгруэнтными отрезками диагоналей а. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания, двугранные углы, прилежащие к параллельным сторонам основания, относятся как 1 : 2. Найдите объем пирамиды.
mathedu.ru
ГЛАВА VI
ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ
§ 59.	ИЗОБРАЖЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ. ЭЛЛИПС
Для того чтобы изображать фигуры, которые изучаются в этой главе (например, цилиндр, конус), нужно научиться изображать окружность.
Параллельная проекция окружности (отличная от отрезка!) называется эллипсом (рис. 70). Вычерчивание эллипса удобно выполнять с помощью шаблона (рис. 71). Заметим, что окружность также является эллипсом: если плоскость проекций параллельна плоскости окружности, то проекция окружности на эту плоскость есть окружность, конгруэнтная данной.
Свойства эллипса применяются при изучении многих явлений. Так, уже давно известно, что траекториями движения планет вокруг Солнца являются эллипсы. Искусственные спутники Земли также движутся по эллиптическим орбитам.
Из свойств параллельного проектирования (§ 12) вытекает, что проекция центра окружности есть центр симметрии эллипса.
Сокращенно его называют центром эллипса (точка О, рис. 72). Отрезок, соединяющий две точки эллипса, называется хордой^ а
Рис. 70
MATHEDU.RU
Рис. 74
хорда, проходящая через центр, — диаметром эллипса. Эллипс, отличный от окружности, имеет только две оси симметрии, причем они взаимно перпендикулярны (рис. 73).
Задача. Пользуясь изображением окружности, построить изображения двух ее взаимно перпендикулярных диаметров*.
Решение. Рассмотрим два взаимно перпендикулярных диаметра А1В1 и C1D1 окружности (рис. 74, а). Построим хорду [KxLJ || [Л^]. Параллельное проектирование сохраняет параллельность прямых и отношение отрезков одной прямой. Отсюда вытекает свойство искомых диаметров эллипса: каждый из этих диаметров делит пополам хорды, параллельные другому диаметру. Пользуясь этим свойством, выполним построение.
Построим произвольный диаметр АВ эллипса (рис. 74, б) и параллельную [ЛВ] хорду KL. Затем строим середину М этой хорды и проводим через М и О диаметр CD. [ЛВ] и [CD] — диаметры эллипса, изображающие перпендикулярные диаметры окружности. Такие диаметры эллипса называются сопряженными.
Задачи
190.	Постройте касательную к эллипсу1 2: 1) параллельную данной его хорде; 2) проходящую через данную его точку.
191.	Дано изображение окружности. Построить изображение правильного треугольника: 1) вписанного в данную окружность; 2) описанного около нее.
Решение. 1) Предварительно заметим: сторона ЛХВХ правильного вписанного в окружность треугольника (рис. 75, а) делит пополам радиус 0гО19 перпендикулярный этой стороне. Действительно, рассматривая прямоугольный треугольник OxAVh, получим:
cmX = 30°, ЮД| = у|0А1 = у|0А1.
1 Для упрощения построений центр данного эллипса считаем заданным.
2 Проекцию касательной к окружности называем касательной к эллипсу,—
148
MATHEDU.RU
Рис. 75
Построим сопряженные диаметры CD и EF (рис. 75, б). Затем через середину М отрезка OD проведем хорду АВ, параллельную диаметру EF. Треугольник АВС — искомый.
2) Изображение правильного описанного треугольника MNP (рис. 76) можно получить, пользуясь изображением правильного вписанного треугольника АВС. Стороны этих треугольников соответственно параллельны.
192.	Постройте изображения квадрата, вписанного в окружность, и квадрата, описанного около нее.
193.	Постройте изображения вписанных в окружность: 1) прямоугольного треугольника; 2) прямоугольника; 3) трапеции; 4) правильного восьмиугольника.
194.	Постройте изображения описанных около окружности: 1) прямоугольного треугольника; 2) равнобедренного треугольника; 3) ромба; 4) равнобедренной трапеции.
§ 60.	ФИГУРА ВРАЩЕНИЯ. ЦИЛИНДР
1.	Пусть дана прямая I, М — произвольная точка, не принадлежащая I.
Через М проведем плоскость а, перпендикулярную I (рис. 77). В этой плоскости рассмотрим окружность с центром О=а fl I и радиусом \ ОМ |.
/	I
MATHEDU.RU
Рис. 80
Условимся говорить, что эта окружность получена при вращении точки М вокруг оси Z.
В плоскости, проходящей через прямую Z, зададим фигуру F, например треугольник АВС (рис. 78, а). Фигуре F поставим в соответствие объединение Ф всех точек фигуры F, принадлежащих Z, и окружностей, полученных при вращении всех точек данной фигуры, не принадлежащих I (рис. 78, б). Говорят, что фигура Ф получена при вращении фигуры F вокруг оси Z.
Если фигура Ф получена при вращении некоторой фигуры вокруг оси, то Ф называют фигурой вращения.
С моделями фигур вращения мы часто имеем дело на практике. Это детали, выточенные на токарном станке (рис. 79), многие виды посуды и т. п.
Сечением фигуры вращения будем называть непустое пересечение данной фигуры и плоскости. Иногда вместо изображения фигуры вращения пользуются изображением ее осевого сечения, т. е. сечения, плоскость которого проходит через ось вращения. На рисунке 80 показано осевое сечение фигуры вращения, изображенной на рисунке 78.
2.	Определение. Фигура, полученная при вращении прямоугольника вокруг оси, содержащей его сторону, называется цилиндром (рис. 81).
15Э
Рис. 81
MATHEDU.RU
При вращении вокруг той же оси ломаной, составленной из сторон прямоугольника, не лежащих на оси вращения, получим фигуру, которая называется поверхностью цилиндра.
Из курса VIII класса вам известны термины: основание цилиндра, боковая поверхность, высота, образующая (см. рис. 81).
Напомним также, что за площади боковой и полной поверхностей цилиндра принимаются площади соответствующих разверток (рис. 82). Итак, приходим к формулам:
5бок = 2л/?//,
*5ЦН1 = 2nRH 4* 2л/?2.
Задачи
195°. 1) Имеет ли цилиндр центр симметрии? 2) Сколько осей и плоскостей симметрии имеет цилиндр?
196.	Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью: 1) проходящей через ось; 2) параллельной основанию; 3) парал* лельной оси; 4) пересекающей все образующие?
197.	Площадь осевого сечения цилиндра 8 м2, площадь основания 12 м2. Вычислите площадь сечения, параллельного оси и отстоящего от нее на 1 м.
198.	Радиус цилиндра R, высота И, площадь сечения, параллельного оси, равна S. На каком расстоянии от оси находится плоскость сечения?
199.	Точки А, В, С принадлежат различным образующим цилиндра. Постройте точку пересечения плоскости АВС с какой-либо образующей (или с ее продолжением), не содержащей ни одной из данных точек.
200.	Площадь осевого сечения цилиндра равна Q. Найдите площадь боковой поверхности.
201.	Хорда длиной а стягивает в основании цилиндра дугу ф. Высота цилиндра Н. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
202.	Цилиндрический паровой котел имеет диаметр 1,0 м, длина котла равна 3,8 м, давление пара 10 атм. Найдите силу давления пара на поверхность котла.
203.	Сколько квадратных метров жести израсходовано на изготовление 1 млн. консервных банок диаметром 10 см и высотой 5,0 см (на швы и отходы добавить 10%материала)?
204.	Диагональ развертки боковой поверхности цилиндра образует угол а с основанием развертки, длина диагонали равна d. 1) Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 2) Вычислите угол а, при котором полная поверхность цилиндра имеет наибольшее значение.
205.	Два цилиндра, высоты которых а и Ь, имеют конгруэнтные развертки боковых поверхностей. Найдите отношение —, ь при котором площадь полной поверхности одного цилиндра вдвое больше площади поверхности другого.
151
I .
MATHEDU.RU
5
Рис. 86
Рис. 84
§ 61. КОНУС. УСЕЧЕННЫЙ КОНУС
s
Рис. 87
1. Определение. Фигура, полученная при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, содержащей его катет, называется конусом (рис. 83).
При вращении вокруг той же оси ломаной, составленной из гипотенузы и катета, не лежащего на оси вращения, получим фигуру, которая называется поверхностью конуса.
Пользуясь рисунком 83, вспомните смысл таких понятий, как основание, боковая поверхность, высота и образующая конуса.
Как известно, развертка боковой поверхности конуса является круговым сектором (рис. 84). Площадь этой развертки принимается за площадь боковой поверхности конуса, она равна nRL, т. е.
Soon — JiRLf
где L — длина образующей конуса.
Площадь развертки полной поверхности конуса (рис. 85) принимается за площадь поверхности конуса:
5кон = л/?Л + л/?2.
2. На рисунке 86 изображен усечен-ный конус. Это часть конуса, ограниченная его основанием и сечением, плоскость которого параллельна плоскости основания. Основания усеченного конуса — гомотетичные круги; центр гомотетии — вершина S полного
|Щ|й|
Iх--—
152
mathedu.ru
Рис. 88
конуса (рис. 87). Образующая и высота усеченного конуса ([ЛхД] и [ОхО] на рисунках 86 и 87) являются соответственно частями образующей и высоты полного конуса.
Усеченный конус можно получить при вращении равнобедренной трапеции вокруг ее оси симметрии (рис. 86). При вращении границы этой трапеции получим поверхность усеченного конуса.
На рисунке 88 изображена развертка поверхности усеченного конуса. За пло
щади боковой и полной поверхностей усеченного конуса принимаются площади разверток этих поверхностей.
Задачи
206.	Какой фигурой является: 1) осевое сечение конуса; 2) сечение конуса плоскостью, параллельной основанию; 3) сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса?
207°. 1) Имеет ли конус центр симметрии? 2) Сколько осей и плоскостей симметрии имеет конус?
208.	1) Образующая конуса равна /, угол при вершине осевого сечения ср. Найдите площадь основания.
2) Площадь основания конуса Q, образующая /. Найдите площадь осевого сечения.
209.	Радиус основания конуса /?, угол наклона образующей к плоскости основания а. Плоскость проходит через вершину конуса и пересекает основание под углом <р. Найдите площадь сечения.
210.	Коническая крыша силосной башни имеет диаметр 6 м и высоту 2 м. Сколько листов кровельного железа потребуется для этой крыши, если размер листа 0,7 м X 1,4 nt, а на швы и обрезки тратится 10% от площади крыши?
211.	1) Прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим ему углом в 30° вращается вокруг гипотенузы. Найдите площадь фигуры, полученной при вращении ломаной, составленной из катетов этого треугольника.
2) Равнобедренный треугольник, длина основания которого Ь, а угол при вершине ср, вращается вокруг основания. Найдите площадь фигуры, полученной при вращении ломаной, состоящей из боковых сторон данного треугольника.
212.	Через две образующие конуса, угол между которыми равен а, проведена плоскость. Площадь получившегося сечения S, площадь основания конуса Q. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Вычислите при а = 28°42', S = 12,56 см2, Q = 15,31 см2.
153
MATHEDU.RU
213.	1) Высота усеченного конуса 6 см, радиусы оснований 10 см и 2 см. Найдите площади его боковой и полной поверхностей.
2) Высота усеченного конуса равна Л, радиусы оснований относятся как 1 : 3, угол между образующей и плоскостью основания равен 45°. Найдите площадь поверхности усеченного конуса.
214.	Прямоугольная трапеция вращается вокруг меньшей из непараллельных сторон. Найдите площадь поверхности полученной фигуры вращения, если меньшее основание трапеции равно 2 см, а боковая сторона длиной 12 см образует с основанием угол 60°.
215.	1) Радиусы оснований усеченного конуса 5 см и 2 см, высота 4 см. Найдите размеры (радиусы и величины дуг) развертки боковой поверхности (рис. 88).
2)	Какие размеры имеет развертка боковой поверхности ведра, если диаметры его оснований 28 см и 20 см, а высота 24 см? Сколько квадратных дециметров материала нужно затратить на изготовление этого ведра (без учета расхода на швы)?
§ 62.	СФЕРА И ШАР
1.	Определение 1. Множество всех точек пространства, находящихся на положительном расстоянии R от данной точки, называется сферой.
Данная точка О (рис. 89) — центр сферы. Отрезок ОМ (М — произвольная точка сферы) называется радиусом сферы (|ОЛ41=/?).
Отрезок, соединяющий любые две точки сферы, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр О, называется диаметром сферы. Длина диаметра равна удвоенной длине радиуса (рис. 89).
Определение 2. Множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки не больше положительного расстояния R, называется шаром.
Шар можно получить при вращении полукруга вокруг оси, которая содержит диаметр полукруга (рис. 90). Фигура, полученная при вращении полуокружности, есть сфера — поверхность
MATHEDU.RU
этого шара. Центр, радиус и хорды этой сферы называют соответственно центром, радиусом и хордами шара. Все точки шара, не принадлежащие его поверхности, называют внутренними точками шара.
2.	Пусть задана прямоугольная система координат. Составим уравнение сферы с центром S (а; Ь\ с) и радиусом R (рис. 91). Для каждой точки М (х; у; z), принадлежащей сфере, и только для таких точек, выполняется равенство | SM | = R. Отсюда, пользуясь формулой расстояния между двумя точками (§ 44), получим:
(х-а)2 + (y-b)2 + (z — c)2 = R2.
Рис. 91
Полагая а = b = с = 0, получим уравнение сферы с центром в начале координат-
х2 + у2 + z2 = R2.
Задачи
216.	Г) Докажите, что центр сферы является ее центром симметрии. 2°) Сколько осей и плоскостей симметрии имеет сфера?
217°. Какой фигурой является пересечение сферы и плоскости, проходящей через центр этой сферы?
218.	Даны точки А (1; —2; 3), В (3; —3; 1), С(1;1;)/2), D (0; —3;	7). Какие из этих точек принадлежат сфере с цент-
ром S (1; —2; 0) и радиусом 3?
219.	Найдите координаты точек пересечения сферы х2 + у24-+ z2 = R2 с осями координат.
220.	Даны сфера х2 + у2 + г2 = 200 и точка 5 (3; 4; 5). Найдите координаты точки пересечения этой сферы с прямой SO (О — начало координат).
221.	Найдите расстояние от точки А (Зр; —2р; 6р) до сферы х2 + у2 + г2 = р2 (р > 0).
222*. Составьте уравнение сферы с центром S и радиусом R, если: 1) S (2; —1; 3), R = 4; 2) S (—5; 0; 7), R = /З.
§ 63.	СЕЧЕНИЕ СФЕРЫ. ИЗОБРАЖЕНИЕ СФЕРЫ
1.	Пусть даны плоскость а и сфера <о радиуса R, центр S которой удален от а на расстояние d. Выясним, какой фигурой может быть пересечение а и <о.
Если d > R (рис. 92), то, очевидно, сфера и плоскость не имеют общей точки: а (] ю = 0.
155
MATHEDU.RU
Рис. 93
Для исследования случая d R применим координатный метод. Через центр S сферы со проведем к плоскости а перпендикуляр, О — его основание (рис. 93). Зададим прямоугольную систему координат: за начало координат примем точку О (рис. 93), оси Ох и Оу расположим в плоскости а, для оси Oz выберем такое направление, чтобы аппликата центра S сферы была неотрицательна. Тогда точка S имеет координаты (0; 0; d). Фигура a f| со есть множество всех точек, координаты которых удовлетворяют системе уравнений
[г = 0,	(1)
[x2 + y2 + (z — d)2 = R2.	(2)
Подставив в уравнение (2) z = 0, получим:
х2 + у2 + d2 = R2, или х2 + у2 = R2 — d2.	(3)
В координатной плоскости а (г = 0) при R> d (рис. 93, а) уравнение (3) задает окружность с центром О и радиусом г = ]Л/?2 — d2 (см. учебник для VIII класса); если же R = d (рис. 93, б), то х2 + у2 = 0. Этому уравнению удовлетворяют координаты только одной точки О, являющейся пересечением а и о. |
36. Теорема. Сечением сферы является:
1) окружность, если расстояние от центра сферы до плоскости сечения меньше радиуса сферы; 2) точка, если это расстояние равно радиусу.
Сечение сферы плоскостью, проходящей через центр сферы, называется большой окружностью сферы (или шара). Круг, ограниченный большой окружностью, называется большим кругом шара. Очевидно, что радиус большого круга равен радиусу шара.
2. Шар (сферу) принято изображать в ортогональной проекции (рис. 94); при таком проектировании изображением шара служит круг (рис. 95). Окружность этого круга изображает
156
mathedu.ru
большую окружность сферы, ограничивающей шар. На рисунке 95, кроме контурной окружности, изображены два параллельных сечения сферы.
Задачи
223.	1) Докажите, что сечения сферы, одинаково удаленные от ее центра, имеют равные радиусы.
2) Докажите, что из двух сечений сферы больший радиус имеет то сечение, плоскость которого ближе к центру сферы.
224.	Сфера х2 4~ У2 4- z2 = 4 пересечена плоскостью. Найдите координаты центра и радиус г сечения, если известно уравнение этой плоскости: 1) z = 0; 2) у = 1; 3*) х + у + z = 2.
225.	Какая фигура является пересечением сферы х24~У24-
4- z2 = 4 и плоскости: 1) х = 2; 2) х + у = 4; 3) у — г = 2; 4) 11x4-4- 19у — 7z = 0; 5) х 4- у — z 4~ 9 = 0?
226*. Пользуясь координатным методом, докажите, что непустое пересечение двух различных сфер является окружностью, плоскость которой перпендикулярна линии центров, или точкой, принадлежащей линии центров.
227. Г) Какая из географических параллелей является большой окружностью земного шара?
2) Найдите длину полярного круга Земли (радиус Земли принять за 6400 км).
3) Вычислите путь, который проходит за сутки в результате вращения Земли вокруг оси населенный пункт, в котором вы живете.
228. Из точки М, взятой на сфере радиуса 30 см, проведены две взаимно перпендикулярные хорды МА и МВ длиной 24 см и 10 см.
1) Проходит ли плоскость AM В через центр сферы? 2) На каком расстоянии от центра сферы находится хорда ЛВ?
157
^Ц!Л| ,
mathedu.ru
§ 64. ПЛОСКОСТЬ, КАСАТЕЛЬНАЯ К СФЕРЕ
Определение. Касательной плоскостью к сфере (шару) называется плоскость, имеющая со сферой единственную общую точку.
Эту точку (точку А на рисунке 96) называют точкой касания сферы и плоскости. Докажем теорему, аналогичную признаку касания окружности и прямой.
37. Теорема. Для того чтобы плоскость была касательной к сфере, необходимо и достаточно, чтобы эта плоскость была перпендикулярна к диаметру сферы и проходила через его конец.
Доказательство. Достаточность. Пусть [Л В] —диаметр данной сферы (рис. 96), А € а, [ЛВ] ± а. Тогда расстояние от центра О сферы до плоскости а равно радиусу. Согласно теореме 36 точка Л — единственная общая точка сферы и плоскости, т. е. а — касательная плоскость.
Необходимость. Пусть Л — точка касания сферы и плоскости а (рис. 96). Докажем, что [ОЛ] ± а. Предположим, что [ОЛ] — наклонная к а. Тогда расстояние от О до а должно быть меньше |ОЛ|, т. е. меньше радиуса сферы. Согласно теореме 36 плоскость а в таком случае не является касательной. Получили противоречие с условием; следовательно, [ЛВ] ± а. Н
В касательной плоскости через точку касания проведем прямую (рис. 96). Очевидно, что эта прямая имеет только одну общую точку со сферой. Такую прямую называют касательной к сфере (шару).
Задачи
229°. Сколько касательных плоскостей к сфере можно провести через точку, взятую: 1) на сфере; 2) вне сферы?
230°. Сколько касательных прямых можно провести к сфере через точку, взятую: 1) на этой сфере; 2) вне этой сферы?
231°. Найдите множество всех точек, которые являются центрами сфер: 1) касающихся данной плоскости в данной точке О; 2) имеющих данный радиус и касающихся данной плоскости.
232. 1) Сфера радиуса R касается граней двугранного угла величиной ср. Найдите расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла.
L2*) Составьте уравнение сферы радиу-са Я, касающейся всех координатных пло-
( уА \ скостей, если известно, что координаты I	I / центра этой сферы положительны.
1 /О /	233. К шару радиуса R проведена ка-
\	сательная плоскость. Найдите площадь
сечения шара плоскостью, которая про-ходит через точку касания и образует с Рис. 96	касательной плоскостью угол ср.
158	(^1^1 .
MATHEDU.RU
234.	Составьте уравнение плоскости, касающейся сферы х2_+ + у2 + z2 = 9 в точке с координатами: 1) (0; 3; 0); 2) (0; 2; —V5)1 3) (2; —2; —1).
235.	Докажите, что уравнение плоскости, касающейся сферы x2+y2+z2=/?a в точке А (т; р; q)9 имеет вид: тх + py+qz = R2.
§ 65. ОБОБЩЕНИЕ ЗАДАЧИ ИЗМЕРЕНИЯ ОБЪЕМОВ.
ОБЪЕМ ЦИЛИНДРА
1.	Свойства объемов многогранников нам известны (§ 55). Оказывается, не только многогранникам, но и многим другим фигурам (например, цилиндру, конусу, шару) можно поставить в соответствие положительные величины (объемы этих фигур), обладающие следующими свойствами:
а)	конгруэнтные фигуры имеют равные объемы;
б)	если фигура Фх содержится в фигуре Ф2, то объем фигуры Фх не больше объема фигуры Ф2.
2.	Пользуясь этими свойствами, выведем формулу объема цилиндра.
38. Теорема. Объем цилиндра равен произведению площади его основания на высоту.
Доказательство. Пусть дан цилиндр, радиус основания которого R и высота Н (рис. 97, а). Рассмотрим правильную четырехугольную призму, вписанную в цилиндр (основания призмы вписаны в основания цилиндра). Путем удвоения числа сторон оснований призмы получим восьмиугольную призму, вписанную в цилиндр; так же можем получить шестнадцатиугольную призму и т. д. Объемы этих призм образуют числовую последовательность: V29. . . , Vn, . . . (1). Объем n-й призмы Vn = 8Л • //, где Sn — площадь основания призмы, а Н — ее высота.
При неограниченном удвоении числа сторон правильных вписанных в окружность многоугольников последовательность их площадей имеет конечный предел, равный л/?2.
MATHEDU.RU
Действительно, Sn = уРЛ£я, где Рп — периметр n-го правильного многоугольника, kn — длина его апофемы (рис. 97, б). Из курса алгебры известно, что lim Рп = С = 2л/? — длина окружности радиуса R. Рассматривая тре-«-►00
угольник ЛОМ, получим: 0 < R —kn<—cin. Очевидно, lim ап = 0, и из 2	«-►ОО
этого неравенства следует, что lim kn = R. Тогда
П-*ОО
lim Sn = lim Pn • kn ] = —- lim Pn • lim kn = — • 2л/? • R = л/?2. n-*oo «->oo \ 2	/2 n-*oo «->oo	2
Заметим, что такой же предел имеет последовательность площадей правильных описанных многоугольников (рис. 97, 6). Действительно, площадь 1
n-го многоугольника равна —	• /?, где — его периметр. Тогда
lim М; Qn • /?^ = ~ lim Qn • R =	• 2л/? • R = л/?2,
«-►оо \ 2	/	2 п-+оо	2
Величину lim S„ = nR2 по определению принимают за площадь «-►ОО
круга радиуса R.
Найдем теперь предел последовательности (1):
lim Vn = lim (S„ • H) = H • lim S„ = nR2H. «-►CO	n-*oo	«->oo
Составив последовательность Wn объемов правильных призм, описанных около цилиндра, аналогично докажем, что lim Wn = nR2H. «-►00
Следовательно, lim V„ = lim Wn = nR2H. П-t-CD	«-*OO
Согласно свойствам объемов фигур (пункт 1) Vn V Wn, отсюда V = nR2H.U
Итак, объем цилиндра вычисляется по формуле:
V = л/?2//.
Примечание. При решении задач мы часто будем пользоваться следующим свойством фигур, имеющих объемы: если фигура Ф является объединением фигур Фх и Ф2, не имеющих общих внутренних точек1, то объем фигуры Ф равен сумме объемов фигур и Ф2.
Задачи
236.	Стальная болванка имеет форму правильной четырехугольной призмы со стороной основания 0,40 м и высотой 1,00 м. Сколько метров проволоки диаметром 5,00 мм можно изготовить из этой болванки вытягиванием?
237.	Кабель диаметром 42 мм заключается в свинцовую оболочку толщиной 2,0 мм. На изготовление оболочки израсходована 1 г свинца. Какова длина кабеля? (Плотность свинца 11,4 г/см3.)
1 Определение внутренней точки приведено в «Приложениях», с. 227.
160
MATHEDU.RU
238.	Стальной вал, имеющий 97 см в длину и 8,4 см в диаметре, обтачивается так, что его диаметр уменьшается на 0,20 см. На сколько уменьшится масса вала в результате обточки? (Плотность стали 7,4 г/см3.)
239.	Диагональ прямоугольника составляет с одной из сторон угол а. Найдите отношение объемов цилиндров, полученных при вращении прямоугольника вокруг осей, содержащих его смежные стороны.
240.	В цилиндр вписана правильная треугольная призма, объем которой равен V, а отношение стороны основания к боковому ребру равно 1/3. Найдите объем цилиндра.
241.	Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отстоящее от оси на расстояние d и отсекающее от окружности основания дугу в а радиан. Площадь сечения равна S. Найдите объем цилиндра.
§ 8В. ОБЪЕМ ФИГУРЫ, ПОЛУЧЕННОЙ ПРИ ВРАЩЕНИИ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ
«61.51
В прямоугольной системе координат на плоскости рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную графиком непрерывной неотрицательной функции f (х), осью абсцисс и прямыми х = а, х = b (а < Ь) (рис. 98). При вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс получим фигуру вращения Ф (рис. 99). Любое сечение фигуры Ф плоскостью, перпендикулярной оси абсцисс, есть круг (или точка). Рассмотрим сечение, проведенное через точку с абсциссой х (х С [а; Ь]). Его площадь S (х) равна л/2 (х). Объем части фигуры Ф, ограниченной плоскостями сечений, проведенными через точки а и х, обозначим через V (х). Функции S (х) и V (х) рассматриваются на отрезке [а; Ь].
Предполагая, что функция f (х) является на [а; Ь] возрастающей (или убывающей), докажем, что объем фигуры Ф может быть найден с помощью такой формулы:
ь
У = J S (х) dx. а
Воспользуемся тем же способом, который был применен при доказательстве теоремы об объеме пирамиды (§ 58).
6 Заказ № 210.
MATHEDU.RU
Рис. 100
Дадим х приращение Дх > 0 (х + Дх д); тогда объем V (х) получит приращение ДУ (рис. 100). Рассмотрим два цилиндра с общей высотой Дх: основанием первого из них является круг с площадью S (х), а основанием второго — круг с площадью S (х + Дх) (рис. 100). Согласно свойствам объемов фигур (§ 65), имеем:
S (х)Дх Д1/ S (х + Дх)Дх, отсюда
S(x)
— < S (х + Дх)
(1)
(если функция f (х) убывает, то вместо неравенства (1) получим неравенство противоположного смысла).
Мы условились, что функция f (х) непрерывна на [а; 6], поэтому непрерывна и функция S (х) = л/2 (х). Следовательно,
lim S (х + Дх) = S (х). Дх-*0
Но тогда из двойного неравенства (1) вытекает: lim — — S (х), д*-о Дх
т. е. V' (х) = S (х). Таким образом, объем V (х) есть первообразная функции S (х) на [а; Ь]. Объем фигуры Ф получим при х = b: V = V (Ь). Заметив, что V (а) — 0, находим:
V = V (6) — V (а), или ь	ь
V = J S (х) dx = л
а	а
J f2 (х) dx. 
Итак, объем фигуры, полученной при вращении криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, вычисляется по формуле'.
V = л
Рис. 101
162
dx.

Примечание. Формулу (2) можно применять и в том случае, когда непрерывная функция f (х) не является возрастающей или убывающей на всем промежутке [а; Ь] (рис. 101).
j
MATHEDU.RU
Задачи
242. Найдите объем фигуры, полученной при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, граница которой задана уравнениями:
1)	у = 2х + 1, х = 1, х = 4, у = 0;
2)	у = х2, х = 1, у — 0;
3)	у — 2х — х2, у — 0;
4)	у — ]/ах, у = 0, х = а (а > 0);
5)	у — х3, х = 2, у = 0;
6)	у — 1 — х3, х = 2, у = 0.
§ 67. ОБЪЕМ КОНУСА
39.	Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту.
Доказательство. Пусть конус получен при вращении прямоугольного треугольника ОАВ (Д = 90°) вокруг прямой ОА (рис. 102). В плоскости ОАВ введем прямоугольную систему координат с началом О и осью абсцисс ОА. Уравнение прямой ОВ имеет вид: у = kx, где k = tg <р = '	Треугольник ОАВ
является частным видом криволинейной трапеции (она ограни-р
чека осью абсцисс, графиком функции у = — х и прямой х = Н). н
Поэтому объем конуса можно	найти	с	помощью формулы из § 66:
я D	.
V = л [ (—	х)	dx =	-л/?2//.И
Й \н	'	3
Итак, объем конуса вычисляется по формуле:
V — — nR^H.
3
Задач»
243. 1) Коническая куча зерна имеет высоту 2,4 ле, а окружность основания 20 м. Сколько тонн зерна в куче, если масса 1 ж3 зерна равна 750 кг?
2) Щебень укладывается в кучу, имеющую форму конуса с углом откоса 33°. Какой высоты должна быть куча, чтобы ее объем был равен 10 л<3?
244. В основании конуса хорда длины а стягивает дугу 2а; угол между образующей конуса и плоскостью основания равен <р. Найдите объем конуса.
245. Прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим углом р вращается вокруг оси, содержащей гипотенузу. Найдите объем фигуры вращения.
6*
Рис. 102
MATHEDU.RU
246.	Круговой сектор с радиусом 7? и центральным углом, равным а радиан, является разверткой боковой поверхности конуса. Найдите объем этого конуса.
247.	Для изготовления конической воронки из жести вырезают круговой сектор радиуса 7?. Найдите центральный угол сектора, при котором получается воронка наибольшей вместимости.
248.	1) Радиусы оснований усеченного конуса равны 1 дм и 9 дм, образующая равна 1 м. Найдите объем.
2) Радиусы оснований усеченного конуса R и г (R > г). Найдите отношение объема
усеченного конуса к объему конуса, частью которого является данный усеченный конус.
249.	Диаметры концов бревна 32 см и 26 см, его длина 5,3 м. Из бревна изготовлен прямоугольный брус с наибольшим квадратным сечением. Сколько процентов от объема бревна составит объем бруса?
250.	Размеры бидона указаны на рисунке 103 (в миллиметрах). Найдите емкость бидона (в литрах).
251.	Ромб со стороной а и острым углом а вращается вокруг оси, проведенной через вершину острого угла и перпендикулярной к стороне ромба. Найдите объем фигуры вращения.
§ 68. ОБЪЕМ ШАРА
40.	Теорема. Объем шара радиуса R вычисляется по формуле:
V = -л/?3.
3
Доказательство. Пусть дан полукруг с центром О и диаметром |ЛВ| = 27?. В плоскости полукруга введем прямоугольную систему координат с началом О и осью абсцисс ОА (рис. 104). Полукруг является частным видом криволинейной трапеции. Он ограничен осью абсцисс и графиком функции у = )//?2 — х2.
При вращении данного полукруга вокруг оси абсцисс получим шар. Найдем его объем, пользуясь формулой объема фигуры
У	вращения (§ 66):
MATHEDU.RU
Задачи
252.	Докажите, что объемы двух шаров относятся как кубы их радиусов (диаметров).
253.	1) Во сколько раз объем Земли больше объема Луны? (Диаметр Земли принять за 13 тыс. км, диаметр Луны — за 3,5 тыс. км.)
2)	Во сколько раз нужно увеличить диаметр шара, чтобы его объем увеличился в два раза?
254.	Объем шара можно вычислять по приближенной формуле V —— (Р. С недостатком или избытком получим результат?
Найдите относительную погрешность вычисления по этой формуле.
255.	Масса железного шара равна 4,00 кг. Каков его диаметр?
256.	Какова масса пробкового шара диаметром 2 л? (Плотность пробки 0,25 г/см3.)
257.	Найдите объем фигуры, которая задается в координатном пространстве неравенством х2 + у2 + z8 R2.
258.	Найдите объем образа шара, ограниченного сферой х2 + уа + z2 = R2, при гомотетии Но-
259.	Все вершины куба принадлежат сфере. Найдите объем шара, ограниченного этой сферой, если ребро куба имеет длину а.
§ 69. ПЛОЩАДЬ СФЕРЫ
Площади поверхности цилиндра и конуса были определены с помощью их разверток. Для сферы такой способ не пригоден, так как «развернуть» сферу на плоскость нельзя.
Чтобы получить наглядное представление о способе, который будет применен для определения площади сферы, рассмотрим пример из практики. Предварительно заметим, что площадь основания
mathedu.ru
призмы может быть найдена делением объема
призмы на ее высоту. По аналогии с этим за приближенное значение площади куполообразной крыши здания цирка (рис. 105) можно принять отношение объема краски, затраченной на окраску крыши, к толщине слоя краски. Это приближение будет тем лучше, чем меньше толщина слоя.
Перейдем к решению интересующей нас проблемы. Пусть дан полукруг с центром О и диаметром |ЛВ| = 2R (рис. 106). При вращении этого полукруга вокруг оси АВ получится шар радиуса R. Дадим радиусу R приращение Л/?, тогда объем шара получит приращение AV, где AV — объем фигуры,
та полученной при вращении кругового полукольца АА^В (рис. 106).
За площадь сферы принимается предел отношения приращения объема шара, ограниченного этой сферой, к приращению радиуса, когда приращение радиуса стремится к нулю'.
S = Пт — . дя-о А/?
(1)
41. Т е о р е м а. Площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле:
S = 4л/?2.
Доказательство. Согласно определению (1) площадь сферы равна производной от функции V (R), выражающей объем шара, ограниченного этой сферой, по радиусу. Пользуясь формулой объема шара, находим:
S =	= 4лЯ2. 
Задачи
260.	Докажите, что площади двух сфер относятся как квадраты их радиусов (диаметров).
261.	Во сколько раз площадь земной суши больше площади поверхности Луны, если известно, что земная суша составляет 29% площади земной поверхности? (См. задачу 253.)
262.	Объемы двух шаров относятся как т : п. Найдите отношение площадей их поверхностей.
263.	Найдите отношение площади сферы х2 + у2 + z2 = R2 к площади образа этой сферы при гомотетии Н^.
264.	Длина образующей конуса равна диаметру основания. Докажите, что площадь поверхности конуса равна площади сферы, диаметр которой равен высоте конуса.
ice
I'-
mathedu.ru
265.	Докажите, что площадь сферы радиуса /? равна площади поверхности цилиндра, высота и радиус которого равны /?.
266.	Шар касается всех граней куба. Найдите отношение площадей поверхностей этих фигур.
267.	Основания цилиндра являются сечениями шара. Найдите отношение площадей поверхностей этих фигур, если диаметр основания цилиндра и его высота имеют равные длины.
Задачи на повторение к главе VI
268.	Точки Л, В, С принадлежат данному эллипсу. Постройте: 1) точку М так, чтобы дуги АВ и СМ эллипса изображали конгруэнтные дуги окружности; 2) точку N так, чтобы дуги АВ и AN эллипса изображали конгруэнтные дуги окружности.
269.	Высота цилиндра й, диаметр основания d (h < d). На каком расстоянии от оси нужно провести плоскость, чтобы сечением цилиндра являлся квадрат?
270.	1) Угол при вершине осевого сечения конуса острый. Докажите, что любое сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, имеет площадь, не большую площади осевого сечения.
2)	Образующая конуса равна /. Какой должна быть величина угла наклона образующей к плоскости основания, чтобы осевое сечение конуса имело наибольшую площадь?
271.	1) Найдите отношение площадей фигур, полученных при вращении границы ромба с углом 45° вокруг прямых, содержащих диагонали ромба.
2)	Найдите площадь фигуры, полученной при вращении границы прямоугольного треугольника с гипотенузой с и углом 30° вокруг прямой, проходящей через вершину данного угла и параллельной противолежащему катету.
272.	Выведите формулы для вычисления площадей боковой и полной поверхностей конуса, если известны площадь основания Q и угол ср между образующей и плоскостью основания.
273.	На каком расстоянии от вершины конуса нужно провести
сечение, параллельное основанию, чтобы оно разделило боковую поверхность конуса на две части, имеющие равные площади? (Высота конуса равна Н.)
274. Жестяная воронка имеет размеры (в миллиметрах), указанные на рисунке 107. Сколько жести затрачено на изготовление воронки (на швы уходит 10% площади поверхности воронки)?
275. Практическая работа. Произведите необходимые измерения и вычислите площадь поверхности модели: 1) цилиндра; 2) конуса; 3) усеченного конуса.
MATHEDU.RU
276.	Докажите, что через две точки сферы, не являющиеся концами диаметра, проходит единственная большая окружность.
277.	Ленинград и Магадан находятся на 60° северной широты, разность их долгот равна 120°. 1) Найдите расстояние между этими городами по параллели. 2) Найдите расстояние между этими городами по дуге большой окружности.
278.	1) Найдите радиус общей окружности сфер, если их диаметры 78 см и 50 см, а расстояние между центрами сфер 56 см.
2*) Каково взаимное расположение двух сфер, у которых заданы координаты центров и радиусы: a) Sx (1; 1; —2), 7?i — 4 и S2 (0; 0; 1), Я2 = 1; б) Sj(0; 2; 0), /?1=2 и S2(l; —3; 1), /?2=3?
279.	Найдите координаты общих точек плоскостей x-j-2y—5=0, Зу — z=l и сферы х2 + у2 + z2 = 26.
280°. Найдите множество центров всех сфер: 1) проходящих через три точки, не принадлежащие одной прямой; 2) касающихся двух различных параллельных плоскостей.
281.	1) Докажите, что концы диаметра сферы и любая другая ее точка являются вершинами прямоугольного треугольника.
2°) Найдите множество всех вершин прямоугольных треугольников с заданной общей гипотенузой.
282*. Сфера пересечена двумя плоскостями, одинаково удаленными от ее центра; угол между плоскостями равен 60°. Общая хорда окружностей, получившихся в сечении, равна а и стягивает в одной из окружностей дугу 90°. Найдите радиус сферы.
283.	Шар называют вписанным в цилиндр, если основания и все образующие цилиндра касаются шара. Во всякий ли цилиндр можно вписать шар? При каком условии это возможно?
284.	Дан шар радиуса /?. Найдите радиус основания и образующую вписанного цилиндра, имеющего наибольшую площадь боковой поверхности.
285*. Конус называется вписанным в шар, если основанием конуса служит сечение шара, а вершина конуса принадлежит поверхности шара.
В данный шар вписан конус, имеющий наибольшую площадь боковой поверхности. Найдите угол при вершине осевого сечения этого конуса.
286.	В шар вписан конус с высотой Н. Объем конуса равен ’/4 объема шара. Найти объем шара.
Решение. Пусть SAB — данный конус, [SO] — его высота (рис. 108, а). Около осевого сечения	конуса опишем круг
(рис. 108, б). Центр Oi круга принадлежит высоте SO равнобедренного треугольника (или лежит на продолжении этой высоты). При вращении прямоугольного треугольника SOB вместе с полукругом SBD вокруг прямой SD получим конус SAB, который вписан в шар с центром (рис. 108, а). Введем обозначения: х — радиус шара, г — радиус основания конуса. По условию
— пггН = — • —лх3, откуда г2// = х3.	(1)
mathedu.ru
s
Выразим г через Них. Заметим, что (ВО) J- (SD), (SB) ± (BD). Поэтому | ВО|2= | SO|-| OD |, или г2=Н (2х—Н). Равенство (1) примет вид: Н2 (2х—Н)=х?, или х3—2/72х+//3=0. Полученное уравнение решим путем разложения левой части на множители:
(х3 — Н2х) — (Н2х — Н3) = 0;
х (х2 — Н2) — Н2 (х — Н) = 0;
(х — Н) (х2 + Их — Н2) = 0.
Отсюда Xj = Н; х2(3 = —	* 5~•
Так как х > 0, задача имеет два решения:
Vi =— пНя и V2 = - л (/5 — 1)3//3.
3	6
287.	В конус, высота которого равна радиусу основания, вписан шар. Найдите отношение объема шара к объему конуса.
288*. В конус вписан шар. Плоскость, параллельная основа
нию конуса, касается шара и делит конус на две части, имеющие
равные объемы. Найдите угол между образующей и плоскостью основания.
289. В конус с углом ср между образующей и плоскостью основания вписан шар. Найдите отношение объема конуса к объему шара.
290*. Сфера с центром в вершине конуса касается его основания и делит поверхность конуса на две части, имеющие равные площади. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.
291. В конус с радиусом основания 7? и высотой /7 вписан цилиндр (рис. 109). Найдите линейные размеры цилиндра, при которых его объем наибольший.
MATHEDU.RU
292. 1) В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед. Диагональ параллелепипеда образует с большей боковой гранью угол 0, а с плоскостью основания угол а. Найдите объем цилиндра, если большая сторона основания параллелепипеда равна а,
2) В прямой параллелепипед вписан цилиндр, объем которого в tn раз меньше объема параллелепипеда. Найдите двугранные углы при боковых ребрах параллелепипеда.
293. Конус называется вписанным в пирамиду, если вершина у них общая, а основание конуса вписано в основание пирамиды.
Конус вписан в пирамиду, основанием которой служит прямоугольный треугольник с острым углом а (рис. 110). Радиус основания конуса г, угол между образующей и плоскостью основания 0. Найдите объем пирамиды.
294. Площадь поверхности шара, вписанного в конус, равна площади основания конуса. Найдите угол между образующей
конуса и плоскостью его основания.
295*. Сфера вписана в усеченный конус, радиусы оснований которого равны R и г. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности усеченного конуса.
MATHEDU.RU
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Основные понятия, определения, аксиомы, теоремы
1.	Какие основные (неопределяемые) понятия применяются в курсе стереометрии?
2.	Объясните различие между аксиомой и теоремой.
3.	Приведите примеры: 1) аксиом принадлежности; 2) аксиом расстояния.
4.	Сформулируйте аксиому параллельных прямых.
5.	Обозначив условие и заключение исходной теоремы соответственно через Р и Q, запишите с помощью знака => теоремы: 1) исходную (прямую); 2) обратную; 3) противоположную; 4) обратную противоположной.
6.	1) Приведите примеры, когда исходная теорема истинна, а обратная ей теорема ложна.
2)	Истинна ли противоположная теорема, если обратная теорема: а) истинна; б) ложна?
7.	В каком случае условие Р называется: 1) достаточным для заключения Q; 2) необходимым для Q; 3) необходимым и достаточным для этого заключения?
8.	1) Обязательно ли достаточное условие является необходимым? 2) Может ли необходимое условие не являться достаточным?
Преобразования. Векторы и координаты
9.	В чем состоит различие между понятиями отображения фигуры в фигуру и отображения фигуры на фигуру?
10.	Что называется преобразованием пространства?
11.	Какое преобразование называется: 1) обратным данному;
2)	композицией двух преобразований?
12.	Какое преобразование пространства называется перемещением?
13.	Сформулируйте определение конгруэнтных фигур. Приведите примеры.
14.	Какие лучи называют: 1) сонаправленными; 2) противоположно направленными?
15.	Что называется направлением в пространстве?
16.	Сформулируйте определение вектора.
17.	В каком случае высказывание «векторы а и b равны»: 1) истинно; 2) ложно?
MATHEDU.RU
18.	Что называется: 1) суммой двух векторов; 2) разностью двух векторов?
19.	1) Для точек Л, В, С запишите правило треугольника.
2)	Для точек Alf А2, . . . , Ап запишите правило многоугольника.
20.	Запишите формулу вычитания векторов.
21.	Какие векторы называются коллинеарными?
22.	Сформулируйте определение произведения вектора на число.
23.	Запишите символически признак коллинеарности двух векторов.
24.	Какие векторы называются компланарными?
25.	Каким правилом можно пользоваться при сложении: 1) двух неколлинеарных векторов; 2) трех некомпланарных векторов?
26.	При каком условии можно разложить вектор: 1) по двум неколлинеарным векторам; 2) по трем некомпланарным векторам?
27.	Запишите (символически) законы: 1) сложения векторов; 2) умножения вектора на число.
28.	Сформулируйте определение скалярного произведения двух векторов.
29.	Сформулируйте необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов.
30.	Запишите (символически) законы скалярного умножения векторов.
31.	Какие из известных вам преобразований пространства имеют только одну: 1) точку, которая отображается на себя; 2) прямую, каждая точка которой отображается на себя?
32.	Приведите пример преобразования пространства, которое имеет только одну плоскость, каждая точка которой отображается на себя.
33.	Назовите не менее двух преобразований пространства, которые отображают всякую прямую на параллельную ей прямую.
34.	Какие из известных вам преобразований пространства отображают каждую плоскость на параллельную ей плоскость?
35.	Запишите формулы, выражающие в координатах: 1) сумму двух векторов; 2) разность двух векторов; 3) произведение вектора на число; 4) скалярное произведение двух векторов; 5) длину вектора; 6) косинус угла между двумя векторами.
36.	Каким уравнением задается в координатном пространстве: а) плоскость; б) сфера?
Прямые и плоскости в пространстве
37.	Перечислите все возможные случаи взаимного расположения двух прямых в пространстве.
38.	Сформулируйте определение: 1) пересекающихся прямых;
2)	параллельных прямых; 3) скрещивающихся прямых.
172
I'—
MATHEDU.RU
39.	Докажите признак скрещивающихся прямых.
40.	Перечислите все возможные случаи взаимного расположения: 1) прямой и плоскости; 2) двух плоскостей.
41.	Сформулируйте определение: 1) параллельных прямой и плоскости; 2) параллельных плоскостей.
42.	Докажите признак параллельности: 1) прямой и плоскости; 2) двух плоскостей.
43.	1) Сформулируйте определение перпендикулярных прямой и плоскости; 2) докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости.
44.	1) Какие плоскости называются взаимно перпендикулярными? 2) Докажите признак перпендикулярности плоскостей.
45.	Даны плоскость а и точка А. Сколько можно провести через точку А: 1) прямых, параллельных а; 2) прямых, перпендикулярных а; 3) плоскостей, параллельных а; 4) плоскостей, перпендикулярных а?
46.	Через всякие ли две скрещивающиеся прямые можно провести: 1) параллельные плоскости; 2) перпендикулярные плоскости?
47.	Какая фигура называется полупространством? Какой фигурой может быть пересечение двух полупространств?
48.	Какой фигурой является в пространстве множество всех точек, каждая из которых равноудалена от концов отрезка?
49.	Какой фигурой является множество всех точек двугранного угла, каждая из которых равноудалена от его граней?
Изображение фигур в стереометрии
50.	Что называется параллельной проекцией на плоскость: 1) точки; 2) фигуры?
51.	Сформулируйте основные свойства параллельного проектирования.
52.	В каком случае проектирование называется ортогональным?
53.	Как изображается в стереометрии: 1) треугольник; 2) параллелограмм; 3) окружность?
54.	Какая фигура служит изображением: 1) тетраэдра; 2) сферы (шара)?
Многогранные углы, многогранники
55.	Какая фигура называется многогранным углом?
56.	Сформулируйте свойства плоских углов трехгранного угла.
57.	Сформулируйте свойства выпуклого многогранного угла.
58.	Какая фигура называется простой многогранной поверхностью: замкнутой и незамкнутой?
59.	Сформулируйте определение многогранника. Приведите примеры выпуклых и невыпуклых многогранников.
60.	Докажите существование: 1) призмы; 2) пирамиды.
| 173
mathedu.ru
61.	Сформулируйте свойства: 1) параллелепипеда; 2) прямоугольного параллелепипеда.
62.	Сформулируйте определение правильного многогранника. Сколько существует видов правильных многогранников?
Фигуры вращения
63.	Какая фигура называется фигурой вращения? Приведите примеры.
64.	Сформулируйте определения: 1) цилиндра; 2) конуса.
65.	Какая фигура называется: 1) поверхностью цилиндра; 2) поверхностью конуса?
66.	Какая фигура называется: 1) усеченным конусом; 2) поверхностью усеченного конуса?
67.	Сформулируйте определение: 1) сферы; 2) шара.
68.	При вращении какой фигуры можно получить: 1) сферу;
2)	шар?
69.	Всякая ли фигура вращения имеет: 1) ось симметрии;
2)	плоскость симметрии; 3) центр симметрии?
70.	Какой фигурой может быть пересечение: 1) сферы и плоскости;
2)	двух сфер?
71.	Сформулируйте определение касательной плоскости к сфере.
72.	Сформулируйте необходимое и достаточное условие касания плоскости и сферы.
Измерение геометрических величин
73.	Что принимается за расстояние между двумя фигурами?
74.	Как найти расстояние: 1) от точки до прямой; 2) от точки до плоскости; 3) между двумя прямыми; 4) между прямой и плоскостью; 5) между двумя плоскостями?
75.	Какая величина называется углом между двумя: 1) направлениями; 2) векторами; 3) прямыми; 4) плоскостями? Что называется углом между прямой и плоскостью?
76.	Что называется площадью поверхности многогранника?
77.	По какой формуле вычисляется площадь боковой поверхности: 1) призмы; 2) правильной пирамиды?
78.	По какой формуле вычисляется площадь боковой поверхности: 1) цилиндра; 2) конуса?
79.	Как формулируется задача об измерении объемов многогранников?
80.	По какой формуле вычисляется объем: 1) прямоугольного параллелепипеда; 2) прямой призмы; 3) наклонной призмы; 4) пирамиды?
81.	Какие свойства объемов фигур применяются при выводе формулы объема: 1) цилиндра; 2) фигуры, полученной при вращении криволинейной трапеции?	*=
MATHEDU.RU
82.	По какой формуле вычисляется объем: 1) цилиндра; 2) фигуры, полученной при вращении криволинейной трапеции; 3) конуса; 4) шара?
83.	1) Какая величина принимается за площадь сферы?
2) По какой формуле вычисляется площадь сферы?
Задачи на повторение по курсу X класса1
296.	Составьте уравнение образа плоскости ax+by+cz+d=0 при: 1) переносе /п=(р; q\ г); 2) симметрии относительно начала координат; 3) симметрии относительно оси ординат; 4) симметрии относительно плоскости Оху.
297.	Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки: 1) Мх (0; 2; 3), Л42 (—1; 3; 1), Л13 (2; 1; 1); 2) М, (1; 1; —1), М2 (2; 0; —3), Л43 (2; —1; 4).
298.	1) Найдите расстояние от точки А (—1; 3; 0) до плоскости х—Зу—2?+5 = 0. 2) Найдите расстояние между плоскостями Зх + 2у + 4z + 11 =0 и 9х + бу + 12? — 5 = 0.
299.	Пользуясь формулой косинуса угла между двумя векторами, заданными своими координатами, докажите неравенство:
(%1Х2 + угуг + ZjZjs)2 < (%2 + у2 + Zj) • (х| + yl + z^).
300.	Постройте сечение четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки, принадлежащие трем ее боковым граням, но не принадлежащие ребрам призмы.
301.	Постройте сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через меньшую диагональ нижнего основания и наиболее удаленную от нее вершину верхнего основания. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы и ее боковое ребро соответственно равны а и Ь.
302.	Основание параллелепипеда — ромб; одно из диагональных сечений — прямоугольник. Докажите, что плоскость другого диагонального сечения перпендикулярна плоскости основания.
303.	Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна I и составляет углы а и Р с двумя смежными боковыми гранями. Найдите объем параллелепипеда.
304*. Угол между плоскостями диагональных сечений прямого параллелепипеда равен а; площади сечений Qx и Q2. 1) Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда. 2) Достаточно ли данных для нахождения его объема?
305*. 1) Три ребра прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую точку, «видны» из точки пересечения его диагоналей под углами а, р, у. Докажите, что cos а + cos р + cos у = 1.
2)	Из точки пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда диагонали граней, выходящие из одной вершины,
1 При повторении материала, кроме этих задач, используйте задачи из повторительного раздела учебного пособия для IX класса (с. 101—104).
175
MATHEDU.RU
«видны» под углами а, р, у. Докажите, что
cos а + cos р + cos у = —1.
306. 1) Требуется изготовить закрытый ящик, площадь основания которого 1 м2. Сумма длин всех ребер должна быть равна 20 м. Найдите размеры ящика, при которых площадь его поверхности наибольшая.
2) Требуется изготовить коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда. Площадь дна коробки должна быть равна 2 дм2. а площадь боковой поверхности \&дм2. При каких размерах коробки сумма длин всех ребер будет наименьшей?
307. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна а, высота Н. Найдите расстояние между прямыми S4 и BD.
308*. Один из плоских углов при вершине треугольной пирамиды прямой, высота пирамиды проходит через точку пересечения высот основания. Найдите остальные плоские углы при вершине пирамиды.
309. Плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды равен <р. Найдите: 1) угол между плоскостями основания и боковой грани; 2) угол между плоскостями противолежащих боковых граней; 3) угол между боковым ребром и плоскостью основания.
310*. Докажите, что биссектор двугранного угла тетраэдра делит противолежащее ребро в отношении, равном отношению площадей граней, образующих этот двугранный угол.
311*. Разделите куб на три попарно конгруэнтные четырехугольные пирамиды.
312. Постройте сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, параллельной одной из ее боковых граней и проходящей через данную внутреннюю точку отрезка, соединяющего вершину пирамиды с точкой пересечения диагоналей основания.
313. Основанием пирамиды SABCD служит квадрат. Ребро S4 перпендикулярно основанию; площадь основания в т раз меньше площади боковой поверхности. Найдите углы наклона граней SCD и SBC к плоскости основания.
314*. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с точками пересечения медиан противолежащих граней, пересекаются в одной точке и эта точка делит каждый из отрезков в отношении 3:1, считая от вершины.
315. 1) Постройте сечение правильной треугольной пирамиды, плоскость которого проходит через середину бокового ребра, параллельна противолежащему ребру и перпендикулярна плоскости основания.
2) Найдите объем отсеченной пирамиды, если объем данной пирамиды равен V.
316. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с площадью Q и острым углом а. Боковая грань, которая проходит через катет, прилежащий к данному углу, перпендикулярна 176	l|fc|
Iх-—
mathedu.ru
плоскости основания, две другие грани образуют с основанием углы, равные 0. Найдите объем пирамиды.
317*. 1) Докажите, что середины ребер правильного тетраэдра служат вершинами правильного октаэдра.
2) Найдите объем этого октаэдра, если объем тетраэдра равен V.
318.	Доказать, что при гомотетии отношение объема об
Рис. 111
раза выпуклого многогранника
к объему этого многогранника равно модулю куба коэффициента
гомотетии.
Решение. 1) Рассмотрим сначала частный случай: данный многогранник является пирамидой.
Пусть при гомотетии Hko пирамида SABCD отображается на пирамиду	(рис. 111). Так как гомотетия сохраняет
величину угла, Hk0 отображает высоту SM первой пирамиды на высоту SxAli второй пирамиды. Найдем отношение объемов этих
— Qx - |	|	s
—;---------=	, -> W Q и Qj—площади
1	и • I SM
-Q-\SM\	4 ’	1
О
пирамид:
оснований этих пирамид. Нэ I| = | k I - | SAI I, Qx = A2Q. гг~ Л V,	I fe I • I SM |	....
Поэтому — = ———!—1--------— = R P.
V	Q|SM|	11
2)	Пусть дан многогранник Ф. Разобьем его на пирамиды Фх, • • • , Фп» общей вершиной которых служит внутренняя точка многогранника, а основаниями — его грани. Гомотетия Но отображает многогранник Ф на многогранник Ф', причем Ф' ~ = Ф\ U Ф'г U • • • U Ф« . гДе Ф< = И* (Ф/)- Таким образом, многогранники Ф и Ф' состоят из попарно гомотетичных пирамид, объемы которых обозначим соответственно Vx, V2........Vn и Wlt
W2, . . . , Wn. Имеем: Wr = |Л|®КХ, W2 = |6|3Гг....1Г„=|Л|3Г„.
Сложив эти равенства, получим, что V (Ф') = | /г|3Г(Ф).
319.	Дан прямоугольный параллелепипед. Докажите, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки пространства до концов любой его диагонали не зависит от выбора диагонали.
320.	Постройте общий перпендикуляр оси цилиндра и диагонали его сечения, проведенного через две образующие.
321.	1) На данном изображении цилиндра постройте изображение правильной вписанной в него: а) четырехугольной призмы; б) треугольной призмы.
2)	Найдите отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади боковой поверхности каждой из этих призм.
177
Мм1»’с <. .Л11
322. Площадь осевого сечения конуса равна S, а площадь сечения, проведенного через середину высоты параллельно основанию конуса, равна Q. Найдите угол между образующей и плоскостью основания конуса.
323. 1) На данном изображении конуса постройте изображение правильной треугольной пирамиды, вписанной в конус.
2)	Вычислите отношение площадей боковых поверхностей пирамиды и конуса, если высота конуса 20 см, а диаметр его основания 40 см.
324*. В конус вписана пирамида SABC. Ее основание — равнобедренный треугольник (|АВ| = |ЛС|), |ВС| = а, САВ = а, а боковая грань SCB наклонена к плоскости основания под углом 0. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
325.	Расстояние от центра основания до боковой грани правильной четырехугольной пирамиды равно Ь, угол между высотой пирамиды и боковой гранью равен а. Найдите площадь полной поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду. Вычислите при b = 34,5 дм, а = 34°16'.
326.	Найдите объем фигуры, полученной при вращении прямоугольника со сторонами а и b вокруг оси, которая лежит в плоскости этого прямоугольника, перпендикулярна его диагонали и проходит через ее конец.
327*. Радиусы оснований усеченного конуса R и г, образующая составляет с плоскостью основания угол ф. Найдите отношение площадей боковых поверхностей усеченного конуса и правильной усеченной четырехугольной пирамиды, вписанной в него. Укажите лишние данные условия задачи.
328.	1) Найдите множество всех точек, удаленных от точки А на расстояние а и от точки В на расстояние Ь.
2)	Дана плоскость а и на ней точка А. Найдите множество всех точек, удаленных от А на расстояние а и от а на расстояние Ь.
3)	Дана прямая I и на ней точка А. Найдите множество всех точек, удаленных от I на расстояние h и от точки А на расстояние р.
329*. Найдите множество всех точек пространства, разность квадратов расстояний от которых до двух данных точек равна k2.
330*. Найдите множество всех точек пространства, сумма квадратов расстояний от которых до двух данных точек равна k2.
331*. Составьте уравнение образа сферы (х + I)2 + (у — 2)2 + + (z — 5)2 = 9: 1) при симметрии относительно оси аппликат; 2) при симметрии относительно плоскости z = 0.
332. Какая фигура является пересечением сферы x2+y2+z2=l и плоскости: 1) x+y+z=l; 2) Зх—4у—z=6; 3) Зх+4у=5?
333*. Докажите, что уравнение плоскости, касающейся сферы (х — а)2 + (у — Ь)2 + (z — с)2 = R2 в точке А (пт, р; q), имеет вид: (a —m) (х —tn) + (Ь — р) (у — р) + (с — q) (z — q) = 0.
178 и------------------------------------------------------------
MATHEDU.RU
334*. Выясните, пересекаются ли сферы, заданные уравнениями:
1) *2 + (У — 2)2 + (z - З)2 = 1 и
(х — I)2 + у2 + z2 = 4;
2) х2 + у2 + z2 — 2х = 0 и х2 + у2 + za — 4х — 6z + 4 = 0.
335.	1) Ребро двугранного угла, равного а, проходит через центр сферы радиуса /?. Найдите площадь части сферы, содержащейся в двугранном угле.
2) Найдите площадь части поверхности земного шара, заключенной между Гринвичским и Пулковским меридианами.
336.	В цилиндр, вписанный в шар, вписан шар. Найдите отношение площадей поверхностей и объемов этих шаров.
337.	В конус, вписанный в сферу, вписана сфера. Найдите отношение площадей этих сфер, если угол между образующей и основанием конуса равен ф.
338.	Площадь боковой поверхности усеченного конуса в т раз больше площади вписанной в него сферы. Найдите угол между образующей и плоскостью основания усеченного конуса.
339.	Многогранник называется вписанным в сферу (в шар), если все вершины многогранника принадлежат сфере.
В сферу вписана правильная четырехугольная пирамида, у которой двугранный угол при основании равен а. Зная, что площадь сферы равна X, найти площадь основания пирамиды.
Решение. Пусть SABCD — данная пирамида, вписанная в сферу (рис. 112). Плоскость основания пирамиды пересекает сферу по окружности, описанной около квадрата ABCD (основание высоты пирамиды является центром этой окружности).
Из теоремы о сечении сферы следует, что перпендикуляр (SM) к плоскости АВС проходит через центр О сферы.
Рассмотрим А ХДС. Введем вспомогательный (пока неизвест-
ный) угол SAM = ф. По доказанному О принадлежит плоскости ХДС, тогда АХДС можно считать вписанным в большую окружность сферы; диаметром этой окружности служит отрезок XAZ.
Из прямоугольных треугольников SAN и ХЛ4Д имеем: SNA = ф, |ХД | = | X2V| • sinXAM = 27? sin ф; | AM| = |ДХ| • cos ХДМ = = 2R sin ф cos ф = R sin 2ф. Тогда Хосн = у | ДС | • | BD | =2/?28Ш22ф.
По условию 4л/?2 = X, отсюда R2 = — и Хосн = — sin2 2ф.
4л	2л
Остается выразить sin 2<р через функции угла а. Из прямоугольных треугольников SMC и выразим их общую сторону |SM|. Из A SMC имеем: |SM|=|MC| tg ф. Из A SMK: |SM|=|MK|tg а. Тогда)MCI tg <p=lAf/<|tg а. Но|МС|=|МК |j/2^
179
|	-1«Л|
mathedu.ru
Рис. ИЗ
поэтому ]/2 tg <p=tg a, tg <р
_tgq
V2'
.	2 tg <p
муле sin 2<p = i получим:
sin 2(р =
2/2 tg а 2+tg2a
По фор-
Следовательно, S0CH =-----------.
n(2 + tg2a)2
340.	Правильная четырехугольная пирамида вписана в сферу. Найдите объем пирамиды, если радиус сферы равен 12 см,
а радиус окружности, описанной около основания пирамиды,
равен 6 см.
341.	Правильная треугольная пирамида вписана в сферу. Найдите объем пирамиды, если ее боковое ребро составляет с пло-
скостью основания угол а, а расстояние от центра сферы до основания пирамиды равно d (d =/= 0, a < 45°).
342.	Прямая призма, основание которой — прямоугольный треугольник с катетами а и Ь, вписана в сферу. Найдите высоту призмы, если радиус сферы равен R.
343.	Прямая четырехугольная призма, основание которой — трапеция ABCD, вписана в шар. Известно, что высота призмы
равна Н, \АВ\ = \ВС\ = a, BAD = а. Найдите объем шара.
344*. Пирамида, основание которой — прямоугольник со сторонами 6 дм и 7 дм, вписана в сферу. Высота пирамиды проходит через вершину основания и равна 6 дм. Найдите радиус сферы (рис. 113).
345*. Пирамида, основанием которой служит правильный треугольник со стороной а, вписана в шар. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны плоскости основания, третья грань образует с основанием двугранный угол ф. Найдите объем шара.
MATHEDU.RU
346. Сфера называется вписанной в многогранник, если все грани многогранника касаются сферы.
1) Основание пирамиды — ромб со стороной а и острым углом а, каждый из двугранных углов при основании равен 0. Найти объем шара, вписанного в пирамиду.
Решение. Пусть SABCD—данная пирамида (рис. 114), ABCD — ромб, DAB < 90°. Проведем [SO] ± (АВС), через точку О проведем высоты [МД] и [NL] ромба. [5Д] -L МВ] (теорема о трех перпендикулярах), Z_ SKO — линейный угол двугранного угла с ребром АВ. Аналогично получим линейные углы при остальных сторонах основания пирамиды. Согласно условию задачи SKO = SLO - SM0 = SNO.
Прямоугольные треугольники SKO, SLO, SMO, SNO конгруэнтны, так как они имеют общий катет SO и равные углы, противолежащие этому катету. Отсюда |ОД| = IOL | = |ОМ| = |ОД| и О — центр окружности, вписанной в ромб ABCD, т. е. О — точка пересечения диагоналей АС и BD.
По условию в данную пирамиду вписан шар. Докажем, что его центр принадлежит высоте SO пирамиды.
Впишем в треугольник SOK полукруг OKiQ, центр Ot которого принадлежит [SO], а дуга касается [5Д] и [ОД]. При вращении полукруга OKiQ вокруг оси SO получим шар, вписанный в пирамиду. Точки касания сферы и боковых граней будут принадлежать высотам этих граней, проведенным из точки S. Этот шар касается и основания пирамиды в точке О. Итак, центр шара, вписанного в пирамиду SABCD, принадлежит высоте пирамиды.
Имеем: |АВ| = |AD| = a, DAB = a, SKO - ₽.
Найдем объем вписанного шара. V = у л | OLO |8. Проведем [DF] ±[ЛВ], тогда [DB]||[Л1Д] и |DF| = |МД|. Из A ADF получим: | DF | = a sin а, тогда | ОД | = — I МД j = — a, sin а. Из 2	2
Р =_1 2 ₽\8 1 « — 1 = — Я 2/	6
1	. р
= —asinatg—.
2	2
Д ОХОД, где ОДО =	имеем: | Ofi | = | ОД | tg
г	I/ 2 4	11
Следовательно, V = — л — a sin а 3	\2
2) Докажите, что во всякую пирамиду, у которой двугранные углы при основании равны, можно вписать сферу.
347. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно а, двугранный угол при основании равен а. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
348*. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник с углом а при вершине, все боковые грани пирамиды наклонены к основанию под углом ф (рис. 115). Объем шара, вписанного в пирамиду, равен V. Найдите объем пирамиды.	rt--
181
MATHEDU.RU
349. 1) Докажите, что объем треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади ее полной поверхности на радиус вписанной сферы.
2) Верно ли это свойство для других выпуклых многогранников, в которые вписаны сферы?
350.	1) В правильную треугольную пирамиду, вписанную в шар, вписан шар. Докажите, что эта пирамида является правильным тетраэдром, если центры шаров совпадают.
2*) В правильную четырехугольную пирамиду, вписанную в шар, вписан шар. Найдите угол между плоскостями боковой
грани основания пирамиды, если известно, что центры шаров
совпадают.
351.	Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим острым углом а. Найдите объем шара, вписанного в призму.
352.	В правильную треугольную призму, вписанную в сферу, вписана сфера. Найдите отношение площадей этих сфер.
353*. 1) Докажите, что если сфера касается всех ребер параллелепипеда, то параллелепипед является кубом.
2)	Докажите, что если сфера касается всех ребер тетраэдра, то суммы длин его противолежащих ребер равны.
354. Шар вписан в прямую призму, основанием которой является равнобедренный треугольник с площадью S и углом а при вершине. Найдите площадь поверхности шара.
355. 1) На изготовление открытой цилиндрической консервной банки расходуется S см2 жести. Каковы должны быть линейные размеры банки, чтобы ее объем был наибольшим?
2) Цилиндрическая бочка для горючего вмещает 400 л. При каких линейных размерах бочки на ее изготовление будет затрачено наименьшее количество материала?
356*. Известно, что площадь полной поверхности конуса в т раз больше площади поверхности вписанного в него шара. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью его основания.
357*. В конус вписан шар. Отношение объемов конуса и шара равно 2. Найдите отношение площадей полных поверхностей конуса и шара.
358. Шар радиуса R вписан в конус. Из центра шара образующая конуса видна под углом а. Найдите объем конуса.
359*. Плоскость, перпендикулярная к высоте конуса, проходит через центр описанного шара и делит конус на две части, имеющие равные объемы. Найдите угол между образующей и плоскостью
основания конуса.
182
MATHEDU.RU
360.	В усеченный конус вписан шар радиуса г. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом а. Найдите объем усеченного конуса.
361.	Около шара описан усеченный конус, площадь осевого сечения которого S, острый угол сечения а. Найдите объем шара. Вычислите при S = 52 дм2, а = 81°.
362.	Докажите, что отношение объемов шара и описанного около него усеченного конуса равно отношению площадей поверхностей этих фигур.
363.	В правильную четырехугольную пирамиду вписан конус. Найдите площадь поверхности конуса, если сторона основания пирамиды равна Ь, а угол между высотой пирамиды и плоскостью боковой грани ф.
364.	Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен а. В пирамиду вписан цилиндр так, что одно его основание лежит в основании пирамиды, а окружность другого основания имеет единственную общую точку с каждой из боковых граней. Найдите объем цилиндра, зная, что его высота и радиус основания равны.
365.	Усеченный конус вписан в четырехугольную усеченную пирамиду, основанием которой служит равнобедренная трапеция с острым углом ф, боковые стороны оснований равны а и b (а >Ь). Боковое ребро пирамиды образует с большей из параллельных сторон основания угол а. Найдите объем усеченного конуса.
366.	Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник; боковые грани, проходящие через катеты, составляют с основанием углы 30° и 60°. Найдите объем и площадь боковой поверхности конуса, описанного около пирамиды, если высота пирамиды равна h.
367.	В прямую призму, основанием которой служит прямоугольный треугольник с углом а и гипотенузой с, вписана сфера. Найдите объем призмы.
368.	Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, плоский угол при вершине а. Найдите площадь поверхности сферы, вписанной в пирамиду. Вычислите при а = 10,75 дм, а = 41°44'.
369.	Около шара радиуса R описана n-угольная правильная усеченная пирамида с двугранным углом а при основании. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды. Достаточно ли данных для вычисления ее объема?
370.	В куб с ребром а вписана сфера. Найдите радиус другой сферы, касающейся трех граней куба и первой сферы.
371*. Правильный тетраэдр содержится в шаре радиуса /?, так что три его вершины принадлежат сфере, а центр сферы принадлежит тетраэдру и находится на расстоянии d от его четвертой вершины. Найдите ребро тетраэдра.	----
183
MATHEDU.RU
372.	Через сторону основания правильной треугольной пирамиды и центр вписанного в пирамиду шара проведена плоскость. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды, если ее боковое ребро в 3,5 раза больше стороны основания?
373.	В правильную четырехугольную пирамиду, сторона основания которой равна а, плоский угол при вершине а, вписана полусфера, основание которой лежит в основании пирамиды. Найдите объем многогранника, четыре вершины которого являются точками касания сферы с боковыми гранями пирамиды, а пятая вершина — центром сферы.
374.	Многогранник является объединением двух правильных четырехугольных пирамид, симметричных относительно плоскости их общего основания. В этот многогранник вписана сфера. Найдите ее радиус, если сторона основания пирамиды равна а, а плоский угол при вершине а.
375.	В правильную четырехугольную пирамиду SABCD, у ко-торой | АВ | = 1 дм, | S4 | = дм, вписан шар. Через точку касания шара с гранью SAB и точку шара, ближайшую к вершине 5, проведена плоскость, параллельная стороне АВ. Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.
376.	Сфера вписана в прямую призму, основанием которой служит прямоугольная трапеция с параллельными сторонами длиной а и Ь. Найдите объем призмы.
377*. Основание пирамиды SABC — прямоугольный треугольник, катеты СА и СВ которого равны а, боковое ребро SC перпендикулярно основанию и также равно а. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.
378*. Основанием пирамиды служит квадрат со стороной а, два двугранных угла при ребрах основания — прямые, а два других равны ф. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.
379*. Докажите, что если все грани параллелепипеда равновелики, то в него можно вписать сферу. Убедитесь в том, что диагональные сечения такого параллелепипеда, не имеющие общей диагонали, взаимно перпендикулярны.
MATHEDU.RU
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
Геометрия, как и другие науки, возникла из практических потребностей людей. При изготовлении орудий труда, строительстве жилищ у человека возникла необходимость определять форму и размеры предметов.
Дошедшие до нас памятники материальной культуры и многочисленные письменные документы древности свидетельствуют о том, что уже около 4000 лет тому назад жители Древнего Египта и Вавилона обладали значительным запасом геометрических сведений. Например, египетские пирамиды (гробницы фараонов) отличаются удивительной правильностью формы. Ясно, что руководить их строительством могли лишь люди, располагавшие геометрическими знаниями. В древнеегипетских папирусах, относящихся к 2000—1700 гг. до н. э., содержится решение ряда геометрических задач, причем некоторые из них решены безукоризненно.
Заслуги в деле дальнейшего накопления и систематизации геометрических сведений принадлежат ученым Древней Греции.
Первые доказательства геометрических фактов связывают с именем Фалеса Милетского (639—548 гг. до н. э.). Какие способы рассуждений применял Фалес, мы можем только догадываться. Например, вдумываясь в формулировки теорем Фалеса: «диаметр делит круг пополам», «вертикальные углы равны», «углы при основании равнобедренного треугольника равны», можно предположить, что истинность этих свойств обнаруживалась путем совмещения одной фигуры с другой. Фалесу приписывается также доказательство признаков конгруэнтности треугольников, доказательство теоремы о конгруэнтных отрезках, отсекаемых на двух прямых параллельными прямыми, и др.
Автором доказательств многих теорем называют Пифагора (564—473 гг. до н. э.). Впрочем, знаменитая «теорема Пифагора» была известна задолго до него. Остается неустановленным, кто впервые доказал эту теорему и какое доказательство было дано самим Пифагором.
Доказательства истинности геометрических фактов, общие методы рассуждений в науке привлекли внимание выдающихся философов древности: Демокрита, Платона, Аристотеля. В У—и
I 185
MATHEDU.RU
Архимед
IV вв. до н. э. были предприняты попытки последовательного изложения геометрического материала в виде ряда утверждений, подкрепленных доказательствами.
Первые работы по систематизации геометрии до нас не дошли: все они были забыты после появления знаменитых «Начал» Евклида (около 300 г. до н. э.). Последовательность и строгость изложения сделали это произведение источником геометрических знаний во многих странах мира в течение более двух тысячелетий. До недавнего времени почти все школьные учебники геометрии были во многом сходны с «Началами».
Величайший математик древности Архимед (287—212 гг. до н. э.) углубил и дополнил теоретические положения Евклида. Среди открытий Архимеда отметим глубокую разработку вопросов, связанных с измерением длины окружности и площади круга, с вычислением объемов фигур, в том числе цилиндра и шара. Архимед погиб как патриот, защищая родной город Сиракузы от нападения римских захватчиков. Он завещал на надгробном камне изобразить шар, вписанный в цилиндр. Доказательство того, что объем этого шара составляет 2/3 объема цилиндра, явилось одним из научных достижений Архимеда.
Современник Архимеда, Аполлоний Пергский, написал обстоятельный трактат о конических сечениях: эллипсах, гиперболах и параболах. Несколько позже, во II в. до н. э., Гиппарх составил первую (не дошедшую до нас) таблицу хорд, она заменяла применяющиеся сейчас таблицы синусов.
Ряд работ, посвященных правилам вычислений в геометрии, появляется в I и II вв. н. э. Так, в книге Герона из Александрии «Метрика» даны правила вычисления площадей и объемов,
например правило нахождения площади треугольника, у которого заданы длины трех сторон (впрочем, это правило было известно еще Архимеду). Таблица хорд, составленная Птолемеем, содержала длины хорд для углов от 0° до 180° через каждые 0,5°.
После гибели рабовладельческих государств древности, в средние века, центр передовой науки перемещается в страны Востока — в Среднюю Азию, арабские страны, Индию.
Расцвет математики в Индии относится к V—XII вв. Индийцы уделяли большое внимание вычислительной геометрии: вычислению площадей поверхностей и объемов фигур, тригонометрическим вычислениям. В тригонометрии они пользовались не хордой, а полухордой; наряду с синусом они ввели функцию, называемую
теперь косинусом.
186
MATHEDU.RU
В трудах индийских ученых подробные обоснования нередко отсутствовали: иногда чертеж и слово «смотри!» подле него составляли все изложение теоремы.
Завоевания арабов в VII в. привели к возникновению на территории от Индии до Испании обширных государств, росту городов, оживлению хозяйственной и культурной жизни. В области математики арабы использовали достижения ученых Индии, Китая и труды античных авторов. К концу IX в. на арабский язык были переведены творения Евклида, Архимеда, Аполлония и их многочисленных комментаторов. На арабском языке были написаны математические сочинения ученых, живших в IX—XI вв. на территории, занимаемой ныне среднеазиатскими республиками Советского Союза.
Особенно широкое развитие получают в то время разделы математики, важные для решения практических вопросов астрономии, оптики, техники. В связи с этим алгебра и тригонометрия, отдельные задачи которых решались еще в древности, формируются в самостоятельные математические дисциплины; значительно совершенствуются методы геометрических построений и графические методы решения задач. Но не забываются и теоретические проблемы, волновавшие античных ученых. Крупнейшие ученые Востока, такие, как знаменитый математик и поэт Омар Хайям (XI в.), работавший в Средней Азии и Иране, и Насир-ад-Дин-ат-Туси (XIII в., Иран и Азербайджан), создают оригинальные теории параллельных прямых и геометрическую теорию пропорций.
В XII в., в связи с крестовыми походами, в Европе возникает интерес к математической культуре арабов. С арабского языка на латинский (бывший тогда официальным языком ученых всех стран Европы) переводятся «Начала» Евклида. В эпоху раннего Возрождения (XIV—XV вв.) математические знания распространялись среди все более широкого круга ученых. Накануне великих географических открытий (XV в.) особый интерес возник к астрономии и вследствие этого к тригонометрии.
Влияние арабских ученых заметно в первом изданном в Европе пособии по тригонометрии «Пять книг о треугольниках всякого рода» (1461 г.). Автором этого пособия был Иоганн Мюллер, известный в науке под латинизированным именем Региомонтана. Вслед за арабскими учеными Региомонтан употребляет тригонометрические функции, которые мы называем тангенсом и котангенсом, применяет алгебру при решении геометрических задач.
Бурное развитие техники, начавшееся в странах Западной Европы в XVI—XVII вв., привело к не менее значительным результатам в области математики.
Рене Декарт, французский философ и математик первой половины XVII в., в своей «Геометрии» впервые ввел в математику переменные величины. Декарт рассматривал линии на плоскости как графики функций, выражающих зависимость одной перемен-
I 187
mathedu.ru
Н. И. Лобачевский
ной величины от другой. Тем самым он заложил основы аналитической геометрии плоскости.
Вскоре переменные величины окончательно укоренились в математике благодаря работам Исаака Ньютона (1643—1727, Англия) и Готфрида Вильгельма Лейбница (1646—1716, Германия), завершивших создание основ дифференциального и интегрального исчисления. Математические открытия Декарта, Ньютона и Лейбница были подлинной революцией в математике. С помощью новых разделов математики было легко найдено решение многих геометрических задач: о проведении касательной к произвольной кривой, о вычислении площадей и объемов различных фи
гур.
С XVII в. трудами французских ученых Дезарга и Паскаля
положено начало новому направлению в геометрии, получившему в дальнейшем наименование проективной геометрии. Полутора столетиями позднее их соотечественник Гаспар Монж разработал метод изображения фигур с помощью ортогонального проектирования на две плоскости. Работы Монжа послужили основой технического черчения и начертательной геометрии.
С XVIII в. в России начинают печататься учебники и научные труды по геометрии. Разделы, посвященные геометрии, имелись в первом русском учебнике математики — «Арифметике» Л. Ф. Магницкого, вышедшем в 1703 г. Леонард Эйлер (1707—1783), многие годы живший и работавший в России, обнаружил ряд замечательных свойств поверхностей и пространственных кривых. Благодаря исследованиям Эйлера и Монжа в XVIII в. возникает метод изучения свойств геометрических фигур, основанный на применении производной, — дифференциальная геометрия.
В XIX в. в связи с задачами геометрии, механики и физики возникает векторное исчисление. Термин «вектор» предложил английский ученый У. Р. Гамильтон; изложение векторного исчисления, близкое к современному, принадлежит физику Дж. В. Гиббсу (1839—1903, США).
Немалый вклад в разработку теории и приложений векторов внес русский математик А. П. Котельников.
К середине XIX в. русские ученые не только поднялись до уровня, достигнутого передовыми математиками Западной Европы, но и сделали ряд открытий первостепенной важности. Особое место здесь принадлежит великому русскому ученому Н. И. Лобачевскому (1792—1856), создавшему неевклидову геометрию.------
MATHEDU.RU
Чтобы лучше уяснить значение научного подвига Н. И. Лобачевского, рассмотрим некоторые особенности «Начал» Евклида.
Евклид начинает с определений геометрических понятий: точки, линии, прямой, поверхности, плоскости, тела, угла и т. п. Так, первое определение гласит: точка есть то, что не имеет частей. Определение прямой таково: прямая — это линия, одинаково расположенная относительно всех своих точек. Приведенные
определения можно рассматривать лишь как наглядные описания понятий точки и прямой, причем эти описания не вполне удачны. Например, «определению» прямой, по-видимому, удовлетворяет и окружность и сфера. Разумеется, опираться на такие определения при построении математической теории нельзя — Евклид и не
пытается этого делать.
Затем Евклид формулирует десять аксиом, первые пять из которых он называет постулатами1. Например, первый из этих постулатов утверждает: «От каждой точки до каждой другой
точки можно провести одну прямую линию», а первая аксиома такова: «Равные одному и тому же равны между собой». На
основе постулатов и аксиом доказываются остальные предложения (теоремы) «Начал».
Геометры древности считали, что постулаты и аксиомы не требуют доказательства ввиду своей очевидности. Такое мнение господствовало в науке вплоть до XX в., когда оно было заменено иной, известной нам точкой зрения на аксиомы.
Во все времена особое внимание математиков привлекал пятый постулат Евклида: если две прямые образуют с третьей по одну
ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с этой стороны (рис. 116).
Если остальные постулаты и аксиомы казались вполне оче-
видными, то очевидность пятого постулата вызывала сомнения. Отличался он от других постулатов и сложностью формулировки. Поэтому были предприняты многочисленные попытки доказать этот постулат, основываясь на первых четырех постулатах и пяти аксиомах «Начал». На протяжении двух тысячелетий многие крупнейшие математики пытались это сделать, но безуспешно. Удавалось лишь заменить пятый постулат эквивалентными предложениями, которые нередко формулировались проще и обладали большей наглядностью, но
тем не менее оставались недоказанными.
Безрезультатность попыток доказательства пятого постулата привела нескольких выдающихся ученых к предположению
1 Евклид не указывает, в чем состоит принципиальное различие между постулатами и аксиомами. В настоящее время применяется только термин «аксиома».
MATHEDU.RU
^^===аС_е===== о возможности существования геометри-ческой системы, в которой вместо пятого £	Я постулата Евклида взято противоречащее
ему высказывание. При этом вначале во-g прос ставился чисто логически: наглядное истолкование и практические применения Рис- И7	новой системы были отодвинуты на второй
план.
Впервые такую геометрию с большой полнотой и основательностью создал Николай Иванович Лобачевский. В 1826 г. он делает устное сообщение о своем открытии, а в дальнейшем публикует ряд трудов по неевклидовой геометрии1.
Н. И. Лобачевский заменяет пятый постулат следующей аксиомой: через точку С, не принадлежащую прямой АВ, в плоскости АВС проходит бесконечное множество прямых, не пересекающихся с (АВ) (рис. 117). Все остальные постулаты и аксиомы Евклида Н. И. Лобачевский принимает за истинные. Если бы пятый постулат вытекал из этих предложений, то, приняв противоречащее ему предложение, Н. И. Лобачевский должен был получить противоречие при дальнейших рассуждениях. Но никакого противоречия с остальными девятью аксиомами не получилось в многочисленных теоремах и формулах, доказанных Лобачевским на основе его аксиомы. Более того, предложения, доказанные Н. И. Лобачевским, составили стройную систему, не уступавшую «Началам» Евклида ни в полноте охвата свойств геометрических фигур, ни в логичности изложения этих свойств.
Аксиома Н. И. Лобачевского, теоремы, основанные на ней, поразили своей необычностью современников великого ученого, привыкших к геометрии Евклида. Так, например, в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника оказалась меньше 180° и уменьшалась с увеличением его площади; в новой геометрии не существовало прямоугольников и подобных (но не конгруэнтных) фигур.
Ученые того времени не сумели оценить глубины и важности открытия, сделанного Н. И. Лобачевским. Однако вскоре после смерти «Коперника геометрии» его идеи получили всеобщее признание. Этому в особенности способствовало предложенное итальянским математиком Бельтрами доказательство выполнимости всех аксиом планиметрии Лобачевского на некоторых поверхностях вращения, существующих в «евклидовом» прост-
1 Примерно в то же время независимо от Н. И. Лобачевского к открытию неевклидовой геометрии пришли замечательный венгерский математик Янош Бойяи и знаменитый Карл Фридрих Гаусс. Бойяи опубликовал свои результаты в 1832 г. Гаусс долгое время не решался публично выступить с изложением своих работ по неевклидовой геометрии, а после выхода в свет работ Лобачевского и Бойяи счел, по-видимому, такую публикацию не-
нужной.
190
MATHEDU.RU
ранстве. Одна из таких поверхностей изображена на jGi рисунке 118.	/
В настоящее время геометрия Лобачевского входит в математическую науку на равных правах с геомет-рией Евклида.	ff
Значение открытия Н. И. Лобачевского состоит не
только в том, что он положил конец попыткам дока- рИс. 118 зательства пятого постулата.
Создание неевклидовой геометрии показало, что геометрия Евклида не есть единственно возможное представление о пространстве, представление, которое, по мнению философов-идеалистов, является у человека врожденным, доопытным.
Появление второй логически возможной схемы пространства
поставило перед учеными вопрос: какая из этих схем точнее отражает свойства реального, физического пространства в его малых участках (например, в пределах земной поверхности) и в грандиозных глубинах космоса?
Лобачевский и Гаусс предлагали решить такие вопросы, опираясь на геодезические и астрономические измерения. Но эти измерения не могли дать оснований для какого-либо определенного вывода. Например, можно рассчитать, что сумма углов равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом, равным диаметру земной орбиты, согласно формулам Лобачевского должна быть меньше 180° примерно на 0,000003 угловой секунды. А такой «дефект» пока неуловим даже для наиболее совершенной измерительной аппаратуры нашего времени.
Исследования Н. И. Лобачевского привлекли внимание ученых мира к вопросам оснований геометрии, т. е. поставили проблему создания такой системы основных понятий и аксиом, которая была бы логически безупречной. Еще Н. И. Лобачевский указал, что математическая наука не должна начинаться с таких «темных» понятий, какими у Евклида являются определения точки, прямой и т. п. В середине XIX в. были отмечены также недостатки аксиоматики Евклида. Была, например, замечена неполнота его системы аксиом: многие построения и доказательства в «Началах» основываются на допущениях, не сформулированных Евклидом.
В самом конце XIX в. немецкий ученый Д. Гильберт предложил систему основных понятий и аксиом, свободную от логических недостатков. К основным (неопределяемым) понятиям Гильберт отнес понятия точки, прямой и плоскости. Между основными понятиями установлены основные отношения: принадлежность, между и быть конгруэнтными. Основные отношения также даются у Гильберта без определений. Далее следует 20 аксиом, разделенных на пять групп. Некоторые из этих аксиом вам хорошо известны (например, аксиомы принадлежности, аксиома параллельных прямых).
Система аксиом Гильберта обладает свойствами полноты, нс-протисоречиеости и независимости. Это означает, во-первых, что
I 191
mathedu.ru
с помощью этой системы можно доказать истинность или ложность любого высказывания евклидовой геометрии; во-вторых, что никакие два предложения, выведенные из данных аксиом, не могут оказаться утверждением и отрицанием одного и того же математического факта; наконец, многие аксиомы этой системы независимы, т. е. они не могут быть выведены из остальных аксиом.
Многие из учебников, излагавших евклидову геометрию, были построены на базе этой системы основных понятий и аксиом, хотя при начальном изложении геометрии (например, в школьных учебниках) не все аксиомы Гильберта были сформулированы.
За основу построения курса евклидовой геометрии может быть принята и иная система основных понятий и аксиом. Например, в 1918 г. немецкий математик Г. Вейль предложил в качестве неопределяемых понятий рассматривать вектор и точку, а аксиомами считать некоторые из свойств векторов и операций над ними. Если избрать аксиоматику Вейля, то понятия прямой и плоскости определяются, а аксиомы Гильберта становятся теоремами.
Учебники, по которым вы изучали геометрию в VI—VIII классах, а также учебники для IX—X классов основываются на системе неопределяемых понятий и аксиом, предложенной академиком А. Н. Колмогоровым. Полный список таких аксиом, относящихся к курсу планиметрии, приведен на страницах 193, 194; аксиомы стереометрии сформулированы выше (с. 5—7).
В XX в. ученые многих стран мира продолжают разработку различных разделов геометрии и открывают новые направления в геометрических исследованиях. Фундаментальное значение здесь имеют работы советских математиков.
В области дифференциальной геометрии успешно работали В. Ф. Каган, С. П. Фиников и другие. Большой вклад в создание и развитие новой геометрической дисциплины — топологии — внесли П. С. Александров, А. Н. Колмогоров и Л. С. Понтрягин. Уже в послевоенные годы усилиями А. Д. Александрова, Н. В. Ефимова, А. В. Погорелова и других получены выдающиеся результаты в разделе геометрии, получившем название «Геометрия в целом».
MATHEDU.RU
КРАТКАЯ СВОДКА СВЕДЕНИЙ ПО КУРСУ ПЛАНИМЕТРИИ
А. Аксиомы планиметрии
Основными (неопределяемыми) понятиями планиметрии являются: точка, прямая, расстояние.
Аксиомы — это предложения, принимаемые без доказательства. В аксиомах выражены свойства основных понятий.
I.	Аксиомы принадлежности
Аксиома 1Х. Каждая прямая есть множество точек.
Аксиома 12. Для любых двух отличных друг от друга точек существует одна и только одна содержащая их прямая.
Аксиома 13. Существует хотя бы одна прямая, и каждой прямой принадлежит хотя бы одна точка.
II.	Аксиомы расстояния
Аксиома Пх. Для любых двух точек А и В имеется неотрицательная величина \АВ |, называемая расстоянием от А до В. Расстояние равно нулю в том и только в том случае, если точки А и В совпадают.
Аксиома П2. Расстояние от точки А до точки В равно расстоянию от точки В до точки А:
\ЛВ\ = \ВЛ\.
Аксиома П3. Для любых трех точек Л, В, С расстояние от Л до С не больше суммы расстояний от Л до В и от В до С:
I АС | < |ЛВ|+ |ВС|.
III.	Аксиомы порядка
Аксиома II1Х. Любая точка О прямой р разбивает множество всех отличных от О точек прямой р на два непустых множества так, что: а) для любых двух точек Л и В, принадлежащих разным множествам, точка О лежит между Л и В; б) если точки Л и В принадлежат одному и тому же множеству, то одна из них лежит между другой точкой и точкой О.
7 Заказ № 210.	>1193
MATHEDU.RU
Аксиома III,. Для любого расстояния а на заданном луче с началом О существует одна и только одна точка А, расстояние от которой до точки О равно а: | О А | = а.
Аксиома III3. Если точка С лежит между точками Л и В, то точки А, В, С принадлежат одной прямой р.
Аксиома II14. Любая прямая р разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости на два непустых множества так, что: а) любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены прямой р; б) любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены прямой р.
Аксиома III! позволяет ввести понятие луча, а аксиома П14 — понятие полуплоскости (см. с. 197, 198).
IV.	Аксиома подвижности плоскости
Если расстояние |АВ| положительно и равно расстоянию IAjZJj|, то существуют два и только два перемещения, каждое из которых отображает точку А на точку Аъ а точку В на точку ВР
Если а — полуплоскость, ограниченная прямой АВ, то она этими двумя перемещениями отображается на две различные полуплоскости и plt ограниченные прямой AxBi.
V.	Аксиома параллельных
Через точку проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой.
Б. Определения и теоремы
1.	Для всех понятий планиметрии (кроме основных!) формулируются определения. Определение раскрывает смысл нового понятия, сводя его к другим уже известным понятиям.
В качестве примера рассмотрим определение ромба: ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны. Понятие «ромб» сведено к более широкому понятию «параллелограмм», причем указан признак — все стороны равны, — выделяющий множество ромбов из множества всех параллелограммов.
2.	Свойства геометрических фигур, свойства поворота, симметрии, переноса, отношения конгруэнтности и т. п. формулируются в виде теорем (за исключением тех свойств, которые содержатся в аксиомах). Теоремой называется предложение, истинность которого доказывается.
Рассмотрим виды теорем и напомним основные сведения о необходимых и достаточных условиях.
Всякая теорема состоит из условия и заключения. Обозначим условие и заключение теоремы соответственно буквами Р и Q, тогда эту теорему символически можно записать: P=>Q (1) (читается: «Если есть Р, то есть и Q» или «Из Р следует Q»). Назовем 194	Й|е|
Iх-—
mathedu.ru
теорему (1) исходной теоремой (употребляется также термин «прямая теорема»).
Поменяв местами условие и заключение исходной теоремы, получим обратную ей теорему: Q=>P (2). Теоремы (1) и (2) можно назвать взаимно обратными. Это значит, что любая из них может быть принята за исходную («прямую»), тогда другая будет ей обратной.
Предположим, что истинность теоремы (1) доказана. Обратная ей теорема (2) может оказаться либо истинной, либо ложной. Вспомним, например, теорему Пифагора, которую мы для удобства рас-суждений сформулируем так: «Если в треугольнике АВС, длины сторон которого равны а, b н с, угол С прямой, то выполняется равенство с2 = а2 + Ь2». Сформулируем обратную теорему: «Если в треугольнике АВС для сторон а, Ь, с выполняется равенство с2 = а2 + Ь2, то угол С прямой». Эта теорема также истинна (докажите это, пользуясь теоремой косинусов).
Но для теоремы о конгруэнтности вертикальных углов обратная теорема ложна, так как утверждение «два любых конгруэнтных угла являются вертикальными» неверно.
Помимо исходной и обратной теорем, в математике рассматривают теоремы, противоположные им. Теорема, противоположная теореме Пифагора, может быть сформулирована так: «Если в треугольнике АВС угол С не является прямым, то для сторон а, Ь, с равенство с2 = а2 + Ь2 не выполняется».
Теорему, противоположную теореме (1), символически запишем: Р =>Q (3). Здесь Р обозначает отрицание условия Р, Q — отрицание заключения Q. Читаем: «Если нет Р, то нет и Q» или «Из отрицания Р следует отрицание Q».
Наконец, возможна теорема, противоположная обратной теореме: Q=> Р (4) (прочитайте словами). В случае теоремы Пифагора теорема (4) читается так: «Если в треугольнике АВС для сторон а, Ь, с не выполнено равенство с2 = а2 + Ь2, то угол С не является прямым».
Для теоремы Пифагора истинность теорем (3) и (4) может быть также доказана с помощью теоремы косинусов. Но такое доказательство излишне. Оказывается, что вообще теорема (4), противоположная обратной, истинна тогда и только тогда, когда истинна исходная теорема. Иными словами, теоремы (1) и (4) равносильны: (Р=5> Q)<=>(Q^=>P) (5). Этот факт служит основой метода доказательства от противного: доказательство теоремы заменяют доказательством теоремы, противоположной обратной. Метод «от противного» неоднократно применялся в курсе планиметрии. Вспомните, например, доказательство теоремы «Центрально-симметричные прямые параллельны». Теоремы обратная и противоположная также равносильны. В самом деле, запись (Q => Р) <=>(Р =» Q) отличается от (5) лишь иным обозначением условия и заключения.	,<—;—
7*	|| 195
mathedu.ru
3.	В формулировках теорем нередко употребляются термины «достаточно», «необходимо», «необходимо и достаточно». Напомним смысл этих терминов.
1. Условие Р называется достаточным для заключения Q, если из Р следует Q (т. е. теорема Р =} Q является истинной).
Например, достаточным условием конгруэнтности двух углов является их вертикальность.
2. Условие Р называется необходимым для заключения Q, если из Q следует Р (т. е. истинна теорема Q Р).
Выше мы отмечали равносильность теорем: (Q=> Р)<=> (Р => Q). Поэтому понятие необходимого условия можно определить так: «Условие Р называется необходимым для заключения Q, если из отрицания Р следует отрицание Q».
Достаточное условие не обязательно является необходимым, а необходимое условие не во всех случаях служит и достаточным. Вернемся к рассмотренным выше взаимно обратным теоремам о вертикальных углах. Можно утверждать, что вертикальность двух углов—достаточное, но не необходимое условие их конгруэнтности (обратная теорема не верна!). Вместе с тем конгруэнтность углов для их вертикальности является необходимым условием, но отнюдь не достаточным.
Однако возможны случаи, когда условие является и достаточным, и необходимым. Применительно к теоремам это означает истинность обеих взаимно обратных теорем: исходной и обратной ей. Например, теорему Пифагора и ей обратную можно заменить одним предложением: «Для того чтобы квадрат стороны треугольника был равен сумме квадратов двух других сторон, необходимо и достаточно, чтобы угол, противолежащий первой стороне, был прямым».
При употреблении терминов «достаточно», «необходимо», «необходимо и достаточно» вместо слова «условие» нередко говорят «признак». Слова «достаточно и необходимо» иногда заменяют оборотами: «тогда и только тогда», «те и только те» и т. п.
Простейшие фигуры
1.	О1. Геометрической фигурой называется любое множество точек.
2.	О. Фигура называется выпуклой, если она содержит отрезок, соединяющий любые две ее точки.
Например, четырехугольник ABCD (рис. 119, а) — выпуклая фигура, а четырехугольник MNPQ (рис. 119, б) — невыпуклая фигура.
3.	О. Пересечением двух или нескольких данных фигур называется фигура, состоящая из всех тех и только тех точек, которые принадлежат каждой из данных фигур.
1 В дальнейшем определения будем обозначать буквой О, теоремы — буквой Т.
196
.Эда]
MATHEDU.RU
Q
N
4.	О. Объединением двух или нескольких данных фигур называется фигура, состоящая из всех тех и только тех точек, которые принадлежат хотя бы одной из данных фигур.
Например, пересечением треугольников АВС и DEF (рис. 120) служит четырехугольник MENB, а объединением — невыпуклый шестиугольник ACNFDM.
5.	О. Точка X лежит между точками А и В, если эти три
точки различны и |ЛВ| = |ЛХ| + | ХВ\ (рис. 121).
6.	О. Множество, состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком.
7.	О. Ломаной называется объединение отрезков ЛОЛХ, AiA2t ... , ЛЛ-1ЛЛ, таких, что конец каждого отрезка (кроме последнего) является началом следующего и смежные отрезки не лежат на одной прямой (рис. 122).
8,	а). О. Каждое из множеств, на которые точка О, принадлежащая прямой а (рис. 123), разбивает эту прямую, называется открытым лучом с началом О.
X
Рис. 121
Л;
Рис. 122
MATHEDU.RU
Рис. 123
Рис. 124
8,	б). О. Объединение открытого луча и его начала — точки О — называется лучом с началом О.
9,	а). О. Каждое из множеств, на которые прямая а разбивает множество не принадлежащих ей точек плоскости (рис. 124), называется открытой полуплоскостью с границей а.
9,	б). О. Объединение открытой полуплоскости и ее границы а называется полуплоскостью с границей а.
10.	О. Фигура, состоящая из двух различных лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости, называется углом.
Конгруэнтность фигур и перемещения
1.	Отображения. Если каждой точке М фигуры Ф ставится в соответствие единственная точка фигуры F, то такое соответствие называется отображением фигуры Ф в фигуру F. Точку Afx при этом называют образом точки М. Примеры отображений приведены на рисунке 125.
Множество Фг образов всех точек фигуры Ф при заданном отображении называется образом фигуры Ф. При этом говорят, что фигура Ф отображается на фигуру Фх.
2.	Конгруэнтные фигуры. О. Если фигуру Ф можно отобразить на фигуру Ф! так, что расстояние между любыми двумя точками фигуры Ф равно расстоянию между соответствующими им точками фигуры Фх, то говорят, что фигура Фх конгруэнтна фигуре Ф.
Т. Отношение конгруэнтности фигур:
а)	рефлексивно: Ф Ф;
Рис. 125
MATHEDU.RU
б)	симметрично: (Фх Ф)=> (Ф Ф>);
в)	транзитивно: (Фх Ф, Ф2 = Фх)=^ (Ф2 = Ф).
Примеры конгруэнтных фигур:
1)	Два отрезка конгруэнтны в том и только в том случае, когда их длины равны: ([ДВ]	[СО]) <=> (| АВ\ = |СО|).
2)	Любые два луча конгруэнтны.
3)	Любые две прямые конгруэнтны.
4)	Два угла конгруэнтны в том и только в том случае, когда они имеют одну и ту же величину:
(Z_ АОВ Z. Д10А) «=> (АОВ = ДхОА).
3.	Перемещения. О. Отображение плоскости на себя, сохраняющее расстояния, называется перемещением.
Примечание. Говорят, что отображение фигуры Ф сохраняет расстояния, если расстояние |ДхВх [между образами любых точек А и В фигуры Ф равно расстоянию | ДВ|.
В курсе планиметрии изучаются три основных вида перемещений плоскости: поворот, осевая симметрия, параллельный перенос (вектор).
1.	О. Поворотом вокруг центра О называется такое перемещение плоскости, при котором:
1)	точка О отображается на себя;
2)	угол между любым лучом ОХ и соответствующим ему лучом ОХх — постоянная величина а.
Величина а берется в промежутке 0° а 180° и называется углом поворота.
Поворот задается центром, углом и направлением поворота.
2.	О. Центральная симметрия есть частный вид поворота — это поворот на 180°.
Центральная симметрия задается указанием центра симметрии.
О. Если фигура Ф отображается на себя при симметрии с центром О, то говорят, что фигура Ф центрально-симметрична (или имеет центр симметрии).
3.	О. Осевой симметрией с осью I называется такое перемещение, при котором:
1) точки прямой I остаются на месте;
2) полуплоскости с границей I отображаются одна на другую.
Осевая симметрия задается указанием оси симметрии или пары соответственных (различных) точек.
Способ построения точек, симметричных относительно оси, обосновывается следующими теоремами:
Т. Прямая, перпендикулярная оси, при осевой симметрии отображается на себя.
Т. Через любую точку плоскости можно провести одну и только одну прямую, перпендикулярную данной прямой.
О. Если фигура Ф отображается при осевой симметрии с осью I на себя, то прямая I называется осью симметрии фигуры Ф. Фигура Ф при этом называется симметричной относительно оси I.
199
MATHEDU.RU
Параллельность и параллельный перенос
1.	Параллельные прямые. О. Прямые а и Ь, лежащие в одной плоскости, называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают.
Существование параллельных прямых обосновывается следую* щей теоремой:
Т. Центрально-симметричные прямые параллельны (рис. 126).
Аксиома параллельных приведена на странице 194 (аксиома V). Из аксиомы параллельных вытекает теорема: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой:
(а П с, b || с) => (а || Ь).
Отношение параллельности прямых: а) рефлексивно: а || а\ б) симметрично: (а || Ь)=> (Ь || а); в) транзитивно: (а\\Ь, Ь\\с) =>(а||с).
2.	Направление. О. а) Два лу-
а)
ча, лежащие на одной прямой, называются сонаправленными, если один из них содержится в другом (рис. 127, а), и противоположно направленными, если ни один из них не содержится в другом (рис. 127, б).
б) Пусть лучи ОгМ и O2N параллельны, но не лежат на одной прямой. Если оба луча лежат в одной полуплоскости с границей (OiO2), то такие лучи называются сонаправленными (рис. 128, а)\
N Di о2 м О)||[я) [»|| [о2м)
если же они лежат в разных полуплоскостях (рис. 128, б), то лучи называют противоположно направленными.
О. Множество всех попарно со-направленных лучей плоскости называют направлением.
О. Углом между двумя направ-
200
лениями называют угол между любыми двумя лучами этих направлений, имеющими общее начало. Угол между направлениями принадлежит промежутку [0°; 180°].
3.	Признаки параллельности прямых. 1) Т. Если две прямые центрально-симметричны, то они параллельны.
^|о|
MATHEDU.RU
Рис. 129	Рис. 130
2)	Т. Если две прямые перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
3)	Т. Если какие-либо два соответственных угла при пересечении двух прямых третьей конгруэнтны, то эти две прямые параллельны (рис. 129).
4.	Параллельный перенос. О. Параллельным переносом называется отображение плоскости на себя, при котором все точки плоскости смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.
Т. Параллельный перенос является перемещением.
Для задания переноса достаточно указать пару соответственных точек или направленный отрезок.
5.	Теорема Фалеса. Если на одной прямой отложить несколько конгруэнтных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой отрезки, конгруэнтные между собой (рис. 130).
([ЛВ] ~ [CD], (AAJ || (ВВх) || (ССХ) || (DDX)) ([ЛХВХ] ~ [C.DJ).
Пользуясь теоремой Фалеса, можно разделить данный отрезок на п конгруэнтных отрезков (см. с. 213).
О. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Т.	Средняя линия треугольника параллельна его стороне, а длина ее равна половине длины этой стороны (рис. 131).
(|ЛМ| = |МС|, |B^| = |jVC|)=»((AliV)||(4B),|Aiy| =1|ЛВ|).
Рис. 131
Рис. 132
MATHEDU.RU
Многоугольники
1.	Определение многоугольника. Объединение простой замкнутой ломаной и ее внутренней области называется многоугольником. Сама ломаная называется границей многоугольника, а ее внутренняя область — внутренней областью многоугольника.
Внутренняя область многоугольника АВС . . . (рис. 132) выделена штриховкой. Для любых двух точек внутренней области многоугольника существует ломаная с концами М и /V, содержащаяся в этой области.
2.	Признаки конгруэнтности треугольников (рис. 133).
1)	Т. Если три стороны одного треугольника соответственно конгруэнтны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.
([ЛХВХ] ~ [ЛВ], [ВХСХ] - [ВС], [Л А] ~ [ЛС]) =>
=? (Д А1В}С1 ~ Д ЛВС).
2)	Т. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно конгруэнтны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.
([ЛХВХ] ~ [ЛВ], Z. Лх Z. Л, Z_ Вх ~ Z_ В) =5> (Д ЛХВХСХ ~ Д ЛВС).
3)	Т. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно конгруэнтны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.
([ЛХВХ] ~ [ЛВ], [ВХСХ1 ~ [ВС], Z_B^Z.B)^ =$> (Д ЛХВХСХ А ЛВС).
3.	Соотношения между элементами треугольника.
Т. Против большей стороны в треугольнике лежит больший угол; обратно, против большего угла в треугольнике лежит большая сторона:
(| ВС| > | ЛВ|) <=> (Д > С) (рис. 134).
Т. Против равных сторон в треугольнике лежат равные углы; обратно, против равных углов в треугольнике лежат равные стороны.
4.	Параллелограммы. О. Четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны, называется параллелограммом.
MATHEDU.RU
Рис. 134
Рис. 135
Т. Середина диагонали параллелограмма является его центром симметрии (рис. 135).
Отсюда следует конгруэнтность противоположных сторон параллелограмма, конгруэнтность его противоположных углов. Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.
Сформулируем признаки параллелограмма:
1) Т. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно конгруэнтны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
2) Т. Если в четырехугольнике две противоположные стороны конгруэнтны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
5. Виды параллелограммов. 1) О. Параллелограмм, у которого углы прямые, называется прямоугольником.
Т. Серединный перпендикуляр к стороне прямоугольника является его осью симметрии.
Отсюда следует конгруэнтность диагоналей прямоугольника.
2) О. Параллелограмм, все стороны которого равны, называется ромбом.
Т. Прямая, содержащая диагональ ромба, является его осью
симметрии.
Отсюда следует, что диагонали ромба лярны и делят его углы пополам.
3) О. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.
Квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба.
Виды параллелограммов изображены на рисунке 136.
6. Трапеция. О. Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны, называется трапецией.
О. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции (рис. 137), называется ее средней линией.
Т. Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а длина ее равна полусумме длин оснований.
7. Площади многоугольников. О. Каждому многоугольнику может быть постав-
взаимно перпендик)-
MATHEDU.RU
лена в соответствие положительная величина, называемая его площадью, так, что выполняются следующие условия:
1)	единицей измерения площадей многоугольников является площадь квадрата, длина стороны которого принята за единицу измерения длин;
2)	конгруэнтные многоугольники имеют равные площади;
3)	если многоугольник составлен из непересекающихся многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.
Формулы для вычисления площадей многоугольников смотрите на странице 217.
Окружность и круг
1.	О. Множество всех точек плоскости, находящихся на данном положительном расстоянии от данной точки, принадлежащей этой плоскости, называется окружностью.
2.	О. Множество всех точек плоскости, расстояние от каждой из которых до данной точки этой плоскости не больше данного, называется кругом.
3.	Т. Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести одну и только одну окружность.
4.	О. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к этой окружности.
5.	Т. Для того чтобы прямая была касательной к окружности, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна к диаметру окружности и проходила через его конец.
Способ построения касательной к окружности смотрите на странице 215.
6.	Т. Чтобы две дуги окружности были конгруэнтны, необходимо и достаточно, чтобы они соответствовали конгруэнтным центральным углам:
(Z. АОВ ~ Z. COD) АВ ~ CD) (рис. 138).
7.	Т. Если две хорды окружности конгруэнтны, то конгруэнтны и стягиваемые ими дуги.
8.	Т. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.
MATHEDU.RU
Отсюда следует (рис. 139): 1) дуги, заключенные между параллельными хордами, конгруэнтны; 2) диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее и стягиваемые ею дуги пополам; 3) диаметр, который делит пополам хорду, не проходящую через центр, перпендикулярен к этой хорде.
9.	Т. В окружности хорды равной длины равноудалены от центра; обратно: хорды, равноудаленные от центра окружности, имеют равные длины.
10.	Т. Из двух неконгруэнтных хорд окружности хорда большей длины расположена ближе к центру; обратно: из двух неконгруэнтных хорд большую длину имеет та, которая ближе к центру.
И. Т. Если расстояние между центрами двух окружностей меньше суммы радиусов, но больше модуля их разности, то окружности пересекаются в двух и только в двух точках (рис. 140).
ki — r*\< ЮА1 < 'i + гъ*
12.	Т. Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме или разности радиусов, то окружности имеют только одну общую точку, принадлежащую прямой, проходящей через центры окружностей:
IOAI = /1 + г2	(рис. 141, а),
ЮА1 = К — г21 (рис. 141, б).
Вписанные и описанные многоугольники
1.	О. Угол, вершина которого принадлежит окружности, а стороны угла пересекают ее, называется вписанным в эту окружность.
2.	Т. Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается.
Отсюда следует, что вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
205 I
MATHEDU.RU
3.	О. Многоугольник, все вершины которого принадлежат окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого многоугольника.
4.	О. Многоугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот многоугольник.
5.	Т. Около всякого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Центром этой окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
6.	Т. Во всякий треугольник можно вписать окружность, и притом только одну. Центром этой окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника.
7.	Т. Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма противолежащих углов этого четырехугольника была равна 2d.
8.	Т. Для того чтобы в четырехугольник можно было вписать окружность, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин противолежащих сторон этого четырехугольника были равны.
9.	О. Многоугольник, у которого все стороны конгруэнтны и все углы конгруэнтны, называется правильным.
Правильный n-угольник имеет ровно п осей симметрии (рис. 142).
10.	Т. Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность. Во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность.
11.	О. Длиной окружности называется предел последовательности периметров правильных вписанных многоугольников при неограниченном удвоении числа сторон.
Гомотетия плоскости и подобие фигур. Пропорциональные отрезки
1. Подобные фигуры. О. Если фигуру Ф можно отобразить на фигуру Ф( так, что для любых точек X и Y первой фигуры отношение расстояния |Х1К1| между их образами к расстоянию |ХУ|
206
mathedu.ru
Рис. 143
Рис. 144
между самими точками X и Y равно одному и тому же числу k> О, то говорят, что фигура Фх подобна фигуре Ф с коэффициентом подобия k.
Определение подобия фигур включает в себя определение конгруэнтности фигур как частный случай. Конгруэнтные фигуры — это подобные фигуры с коэффициентом подобия, равным единице.
Т. Отношение подобия фигур: ।
1) рефлексивно: Ф Ф;
(1 \ fe ) ф <х> Фх/; л, л,	М*
3) транзитивно: (Фх °° Ф, Ф2 ФО => (Ф2 С2 Ф).
2. Гомотетия. О. Гомотетией с центром О и коэффициентом k =/= 0 называется отображение плоскости на себя, при котором образом произвольной точки X является такая точка Xj, что ОХх = kOX1.
Тождественное отображение плоскости на себя и центральная симметрия являются частными видами гомотетии:
//•, = £, я-> = г0.
Отображение, обратное гомотетии, также является гомотетией:
если Нко (X) = Хъ то /7* (XJ = X.
Сформулируем основные свойства гомотетии.
Т. Центр гомотетии отображается на себя.
Т. Если k > 0, то точки X и Xt = Н (X) лежат на прямой ОХ по одну сторону от центра гомотетии (рис. 143, 144).
Если k < 0, то точки X и Хг = Н (X) лежат на прямой ОХ по разные стороны от центра гомотетии (рис. 145).
Т. Если при гомотетии с коэффициентом k точки X и Y ото- ► — * ►
бражаются на точки Хх и то XiW = kXY (рис. 143—145).
1 Определение и свойства векторов плоскости аналогичны определению и свойствам векторов пространства (см. с. 41).
1г]
mathedu.ru
При гомотетии с коэффициентом k все расстояния между точками умножаются на |Л|, т. е. | ХхУх | = |&| • | ХГ|.
Отсюда вытекает, что гомотетичные фигуры подобны.
Т. При гомотетии с положительным коэффициентом каждый луч отображается на сонаправленный с ним луч. При гомотетии с отрицательным коэффициентом каждый луч отображается на противоположно направленный с ним луч.
Т. Гомотетия отображает каждую прямую на параллельную ей прямую.
Т. Гомотетичные углы конгруэнтны.
3. Пропорциональные отрезки. О. Отрезки АВ, CD, Л1В1, C.D. называются пропорциональными, если пропорциональны их длины:
MAI: |ЛВ| = 1СЛ1 : |СО|.
1. Т. Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на них пропорциональные отрезки:
((ЛА) II (АВ), (ЛЛХ) П (ВВ.) = О) =* (| ОЛ х I: | ОА | = | ОВ.\ : | ОВ\).
2. Т. Если отрезки ОАГ и ОВ. пропорциональны отрезкам ОА и ОВ и лежат соответственно на лучах ОА и ОВ, то прямые А.В. и АВ параллельны (рис. 146).
4. Преобразование подобия. О. Отображение плоскости на себя, при котором все расстояния между точками изменяются в одном и том же отношении k > 0, называется преобразованием подобия.
1. Т. Каждое преобразование подобия есть композиция гомотетии и перемещения.
2. Т. Если две фигуры подобны, то существует фигура, гомотетичная первой и конгруэнтная второй.
Отсюда следует, что соответственные углы подобных фигур конгруэнтны.
5. Подобные многоугольники. 1. Т. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны (рис. 147):
/ИА1 =	= 1ЛС1Ц=>(А Д^С^д АВС).
|АВ| ISC| |АС| /	'	111	’
208
||САа|о|
mathedu.ru
2.	Т. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны:
/MAL = JВА1. в = в\=>(А ~ Д АВС).
\ |ЛВ| |ВС| 1	/ v 1 1 1	’
3.	Т. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны:
(Л = A, Bi = В) =>(Д AxBiCx д АВС).
О. Отрезок х называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) между отрезками тип, если выполняется равенство:
т : х = х : п.
4.	Т. 1) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу. 2) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу.
5.	Т. Т еорема Пифагора. Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.
6.	Т. Если стороны одного многоугольника соответственно пропорциональны сторонам другого многоугольника и соответственные углы этих многоугольников равны, то такие многоугольники подобны.
7.	Т. Отношение периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия:
к
™ F) =»(Рх : Р = k).
8.	Т. Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия:
(Л ~ F) =>(3, : S = Л2).
В. Геометрические построения
1.	Серединный перпендикуляр к отрезку. Построить прямую, перпендикулярную к данному отрезку АВ и проходящую через его середину (рис. 148).
Построение. 1),2) Построим окружности радиуса г с центрами Л и В (r>j |АВ|).
3) Отмечаем точки С и Ci пересечения окружностей.
4) Построим прямую р = (CCi), отмечаем точку М = р f| [АВ]. р — искомая прямая, М — середина [АВ].
Примечание. Серединный перпендикуляр к отрезку есть множество всех точек плоскости, каждая из которых равноудалена от концов отрезка.
209
mathedu.ru
Рис. 148	Рис. 149
2.	Угол, конгруэнтный данному. Построить угол, конгруэнтный данному углу М (рис. 149).
Построение. 1) Построим окружность произвольного радиуса г с центром М.
2)	Отмечаем точки А и В пересечения этой окружности со сторонами угла М.
3)	Построим произвольный луч Afi/C
4)	Построим окружность радиуса г с центром Мг.
5)	Отмечаем точку ее пересечения с лучом
6)	Построим окружность радиуса |ЛВ| с центром At.
7)	Отмечаем точку ее пересечения с окружностью (Afx; г).
8)	Построим луч MiBi.
Угол AjMlB! — искомый.
3.	Биссектриса угла. Построить биссектрису угла АОВ, меньшего 180° (рис. 150).
Построение. 1) Построим окружность произвольного радиуса с центром О.
2)	Отмечаем точки М и N ее пересечения со сторонами угла АОВ.
3), 4) Построим окружности радиуса г с центрами М и N (г>
5)	Отмечаем одну из точек Р пересечения окружностей (М; г) и (N', г).
6)	Построим луч ОР.
Луч ОР — искомая биссектриса.
mathedu.ru
Примечание. Биссектриса угла, меньшего развернутого, есть множество всех точек угла, каждая из которых равноудалена от его сторон.
4.	Перпендикуляр к прямой. Построить перпендикуляр к данной прямой Z, проходящий через данную точку М (рис. 151).
Построение. 1) Построим окружность с центром М и радиусом, большим расстояния от М до Z.
2) Отмечаем точки А и В пересечения этой окружности и прямой Z.
3), 4) Построим окружности радиуса г ('> |).
5) Отмечаем одну из точек N пересечения и (В; г).
с центрами А и В
окружностей (4; г)
6) Построим прямую р = (MN).
Прямая р — искомая.
5. Прямоугольный треугольник (по гипотенузе и катету). Построить треугольник АВС, в котором АС В = 90°, |4В| = с, |ВС| = а, с >а (рис. 152).
Построение. 1) Построим отрезок ВС длиной а.
2)	Построим перпендикуляр р к прямой ВС, проходящий через точку С (построение 4).
3)	Построим окружность с центром В радиуса с.
4)	Отмечаем одну из точек А пересечения прямой р и этой
окружности.
А АВС — искомый.
6.	Образ фигуры при повороте. Построить образ треугольника АВС при повороте вокруг данной точки О на данный угол а в данном направлении (рис. 153).
mathedu.ru
Рис. 155
Рис. 156
Построение. 1) Построим образ Аг точки А при данном повороте:
а)	построим луч ОА;
б)	построим угол AOAlt имеющий величину а (построение 2), так, чтобы поворот точки А выполнялся в заданном направлении.
Лх = Ra0 (Л).
2), 3) Построим аналогично Вх =	(В), Сх = Bg(C).
Д AiBjCi — искомый.
7.	Образ фигуры при центральной симметрии. Построить образ треугольника АВС при симметрии с центром О (рис. 154).
Построение. 1) Построим образ Лх точки Л при симметрии Zo:
а)	построим прямую АО;
б)	на прямой АО по другую сторону от этой точки откладываем отрезок 0Лх длиной |0Л|, тогда Лх = Zo (Л).
2), 3) Построим аналогично Вх = Zo (В), Сх = Zo (С).
Д AiB^! — искомый.
8.	Образ фигуры при осевой симметрии. Построить образ треугольника АВС при симметрии с осью I (рис. 155).
Построение. 1) Построим образ Лх точки Л при симметрии Sz:
а)	построим перпендикуляр а к прямой I, проходящий через точку Л (построение 4);
б)	отмечаем точку М = а (] I;
в)	на прямой а от точки М откладываем по другую сторону оси I отрезок Л4ЛХ длиной \ МА |, тогда Лх = Sz (Л).
2), 3) Построим аналогично Вх = Sz (В), Сх — St (С).
Д ЛХВХСХ — искомый.
9.	Прямая, параллельная данной. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой I (см. рис. 126).
Построение. Пусть М I.
1)	Отмечаем на прямой I две точки Л и В.
mathedu.ru
Рис. 157
Рис. 158
2)	Построим отрезок AM.
3)	Построим середину О отрезка AM (построение 1).
4)	Построим точку Af, симметричную точке В относительно центра О (построение 7).
5)	Построим прямую р = (MN).
Прямая р — искомая.
Если М € /, то р = /.
Примечание. Построение 9 можно выполнить на основе других признаков параллельности прямых (см. с. 200, пункт 3).
10.	Образ фигуры при переносе. Построить образ треугольника АВС при переносе MN (рис. 156).
Построение. 1) Построим образ At точки А при данном переносе:
а)	построим луч Л/С, сонаправленный с лучом A4Af (см. построение 9);
б)	на этом луче от точки А откладываем отрезок ЛЛХ длиной
|MN|, тогда А± = MN (Л).
2), 3) Построим аналогично Вг = MN (В), Сх = MN (С).
А ЛхВ/?! — искомый.
11.	Деление отрезка на конгруэнтные отрезки. Данный отрезок АВ разделить на п конгруэнтных отрезков (рис. 157).
Построение. 1) Построим луч Л/С (/С $ (ЛВ)).
2)	На луче Л/С отложим последовательно п конгруэнтных отрезков АМ19 MLM2t . . . , Mn_iMn (на рисунке п = 5).
3)	Построим прямую МпВ.
4)	Построим прямые, проходящие через точки М19 M2t . . .
. . . , Мп^ и параллельные (МпВ) (построение 9).
5)	Отмечаем точки Х19 Х2, . . . , Хп^ пересечения этих прямых с отрезком ЛВ.
Отрезки АХ19 ХгХ29 ... , Хп-1 В — искомые.
12.	Образ фигуры при гомотетии. Построить образ треугольника ЛВС при гомотетии, заданной центром О и парой соответственных точек М и Мх (рис. 158).
213
I СМ|О|
mathedu.ru
a___
ь
Построение. 1) Построим образ Лх точки А при данной гомотетии Но (| Л| = | OMJ : 10Л4|).
а)	построим прямую ОА;
б)	построим прямую МА;
в)	построим прямую I, проходящую через Mi и параллельную (Л4Л) (построение 9);
г)	отмечаем точку At пересечения прямых ОА и I, Лх = Но(А).
2) Построим Вх = Но (В);
а)	построим прямую ОВ;
б)	построим прямую р, проходящую через Лх и параллельную (АВ);
в)	отмечаем точку Вх = р f| (ОВ), Вг = Но (В).
8. Построим = Но (С) аналогично пункту 2).
А Л^б?! — искомый.
13.	Четвертый пропорциональный отрезок. Даны отрезки, длины которых а, Ь, с. Построить отрезок длины х, чтобы была верна пропорция а : b = с : х (рис. 159).
Построение. 1) Построим угол MON (MON < 180°).
2)	На луче ОМ откладываем отрезки ОА и ОВ, длины которых соответственно равны а и Ь.
3)	На луче ON откладываем отрезок ОС длины с.
4)	Построим прямую АС.
5)	Построим прямую р, проходящую через точку В и параллельную (Л С) (построение 9).
6)	Отмечаем точку D пересечения прямой р и луча ON.
Отрезок OD — искомый.
14.	Средний пропорциональный отрезок. Построить отрезок, средний пропорциональный между отрезками, длины которых равны а и b (рис. 160).
Построение. 1)На произвольной прямой р от точки М € р последовательно откладываем отрезки MN и NK, длины которых соответственно равны а и Ь.
mathedu.ru
Рис. 161
2)	Построим середину О отрезка Л4К (построение 1).
3)	Построим полуокружность с диаметром МК.
4)	Построим перпендикуляр q к прямой МК, проходящий через точку N (построение 4).
5)	Отмечаем точку С пересечения полуокружности и прямой q.
Отрезок NC — искомый.
Примечание. Построение 14 можно выполнить на основе другой теоремы (см. с. 209, пункт 4, 1).
15.	Касательная к окружности, а) Построить касательную к данной окружности (О; г), проходящую через данную точку С, которая принадлежит этой окружности (рис. 161, а).
Построение. 1) Построим прямую ОС.
2) Построим перпендикуляр р к прямой ОС, проходящий через точку С (построение 4).
Прямая р — искомая касательная.
б) Построить касательную к данной окружности (О; г), проходящую через данную точку С, при условии |ОС\ > т (рис. 161, б).
Построение. 1) Построим середину S отрезка ОС (построение 1).
2) Построим окружность (S; |SO|).
mathedu.ru
3) Отмечаем точки М и N пересечения данной и построенной окружностей.
4), 5) Построим прямые р = (CM), q = (CN).
Прямые р и q — искомые касательные.
16. Окружность, описанная около треугольника. Около данного треугольника АВС описать окружность (рис. 162).
Построение. 1), 2) Построим серединные перпендикуляры р и q к отрезкам АВ и АС (построение 1).
3) Отмечаем, точку S = р (] q.
4) Построим окружность (S; |5Л |). Эта окружность — искомая. Примечание. {S) — множество всех точек, равноудаленных от вершин данного треугольника.
17.	Окружность, вписанная в треугольник. В данный треугольник АВС вписать окружность (рис. 163).
Построение. 1), 2) Построим биссектрисы р и q углов ВАС и АВС (построение 3).
3)	Отмечаем точку S = р П ?•
4)	Построим перпендикуляр I к прямой АВ, проходящий через точку S (построение 4).
5)	Отмечаем точку М = I f) [Л В].
6)	Построим окружность (S; |SM|). Эта окружность — искомая.
Примечание. {S} — множество всех точек треугольника, одинаково удаленных от его сторон.
mathedu.ru
ФОРМУЛЫ ГЕОМЕТРИИ
Треугольники
Сумма внутренних углов: А + В + С = 180°.
Теорема Пифагора (для прямоугольного треугольника
АВС, С = 90°):
с2 = а2 + Ь2.
Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника АВС (С = 90°):
а — с sin А, Ъ = с cos А, с= —а = b tg А. sin А
Теорема косинусов: а2 = Ь2 + с2 — 2bc cos А.
Теорема синусов: —= —Ь— = —= 2R. sin A sin В sin С
Площадь: S = —, S = — fee sin Д, 2	2
S — Ур{р — а) (р — Ь)(р — с), где р = - — —— (формула Герона).
Многоугольники
Сумма внутренних углов п-угольника: 2d (п — 2).
Средняя линия трапеции: т = (а ч b — основания).
Площадь параллелограмма: S — ah, S = ab sin а (а и b — стороны, а — угол параллелограмма, h — высота).
Площадь трапеции: S = h, S — tnh (h — высота трапеции).
Сторона вписанного правильного п-угольника:
180°
a„ = 2/?sin---- (7? — радиус описанной окружности).
п
Сторона вписанного правильного шестиугольника: aQ — R.
Сторона вписанного квадрата: о4 =
Сторона вписанного правильного треугольника: а3 —
п
217
MATHEDU.RU
Площадь правильного многоугольника:
S==yPr (Р — периметр, г — апофема).
Окружность и круг
Длина окружности: С = 2л/?.
п	о » nRn
Длина дуги в п : I =
Площадь круга: S = л/?2, S = 4
Площадь кругового сектора: S = (а — величина дуги в градусах).
Векторы и координаты
Правило треугольника: АВ 4- ВС = АС.
Правило многоугольника: А А, + ЛХЛ2 + . . . 4- Лп_гЛп = АА„. - >	—" >	►
Формула вычитания векторов: ОВ — О А = АВ.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам а и b на плоскости: с — ха 4- yb.
Разложение вектора по трем некомпланарным векторам а, Ь, с: d = ха + yb + гс.
Скалярное произведение ненулевых векторов:
а • Ь = |а| • |b| cos (а, Ь).
Сложение и вычитание векторов в координатах:
а ± b = (х, + х2; у, + у2; гх ± г2).
Умножение вектора на число в координатах:
ра = (рх; ру, рг).
Скалярное произведение в координатах:
а • b = ххх2 4- уху2 4- ztzt.
Длина вектора: |а| = V^a2 = jAx2 4- у2 4- г2-
Расстояние между двумя точками Л (xi, yi, zt) и В (х2: у2; г2): I АВ | = V (х8—х1)24-(ув—У1)24-(г2—гх)«.
Уравнение плоскости, проходящей через точку Л (Xi; yi, zt) и перпендикулярной вектору п = (а; Ь\ с):
а (к — хх) 4- Ъ (у — уО 4* с (г — г,) = 0.
218
mathedu.ru
Уравнение сферы с центром О (0; 0; 0) и радиусом R: х2 4- у2 + z2 = /?2.
Многогранники
Площадь боковой поверхности призмы: 5бо:< = Р • I.
(Р — периметр перпендикулярного сечения, I — боковое ребро).
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды:
5б<ж = у Р • Лзо« (Р — периметр основания, Лзок — апофема),
5б<ж = -0— (Q — площадь основания, а — угол между боковой cos а
гранью и плоскостью основания).
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды:
*^бок = ~ (Р 4~ Р1) • /'бок
(Р и Pi — периметры оснований, ftj0K — апофема).
Площадь ортогональной проекции многоугольника: Sx = S cos <p
(ф — угол между плоскостями многоугольника и его проекции).
Объем прямоугольного параллелепипеда: V = abc (а, Ь, с — измерения).
Объем призмы: V = QH (Q — площадь основания, Н — высота).
Объем пирамиды: V — у QH (Q — площадь основания, И — высота).
Фигуры вращения
Площадь боковой поверхности цилиндра: $бок = 2nRH.
Площадь боковой поверхности конуса: £б<ж = nRL(L — образующая).
Объем цилиндра: V = nR*H.
Объем фигуры, полученной при вращении криволинейной трапеции:
ь
V = л J Р (х) dx. а
Объем конуса: V = у л /?2 Н.
Объем шара: V = у л7?8.
Площадь сферы: S = 4л7?а.
mathedu.ru
ПРИЛОЖЕНИЯ
ТЕОРЕМЫ О КОНГРУЭНТНОСТИ ФИГУР (к § 31)
Теорема 1. Любые два луча конгруэнтны. Доказательство. Рассмотрим два случая.
1) Данные лучи h и имеют общее начало О (рис. 164). Проведем прямую Z, содержащую биссектрису угла (/i, ftj1. Симметрия St
Рис. 166
220
отображает луч h на луч
2) Пусть лучи h и имеют разные начальные точки О и О1 (рис. 165). Рассмотрим симметрию относительно произвольного серединного перпендикуляра отрезка ООХ: S/t (О) = Ох, S/t(/i) = h'. Если h' = h19 то теорема доказана. Предположим, что h' =/= ht. Симметрия относительно прямой 12, содержащей биссектрису угла (h', h^, отображает луч h' на луч hv. Итак,
(S/2 ° SZ1) (Л) = /ix.  Замечание. Если лучи h и лежат в одной плоскости 0, ю можно указать перемещение F, которое отображает h на h19 а плоскость 0 на себя. Для этого достаточно выбрать тот серединный перпендикуляр 119 который содержится в 0 (см. доказательство теоремы 1).
Теорема 2.Если на границах двух полуплоскостей а и заданы соответственно лучи h и hi, то существует перемещение, отображающее h на hi и а на ах.
Доказательство. 1) Рассмотрим сначала тот случай, который встречается в планиметрии: данные полуплоскости лежат в одной плоскости 0 (рис. 166). Согласно теореме 1 суще-
1 Угол, стороны которого лучи h и hl9 здесь обозначается (h, Лх).
।
MATHEDU.RU
ствует такое перемещение F, что F (Л)= h19 при этом F(a)=a'. Можно считать, что а' с р (см. замечание к теореме 1). Если az = ап то теорема доказана. Предположим, что а'У= «х* В последнем случае полуплоскости а' и аг симметричны относительно прямой /, содержащей луч Тогда композиция S, о F отображает й на и а на аР
2) Пусть данные полуплоскости не лежат в одной плоскости. Луч, дополняющий луч до прямой, обозначим через hz. Существует такое перемещение Fl9 что Fi (h) = h' (теорема 1). Пусть Fi (а) = az (рис. 167). Из начальной точки Ог луча h' в полуплоскостях а' и проведем соответственно лучи Г и 4, перпендикулярные лучу h'. Затем проведем прямую /, со-
Рис. 168
держащую биссектрису угла
(Г, 4). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости луч h' перпендикулярен плоскости угла (Г, 4), отсюда h' ± /. Имеем: (/iz) = hlf Sz (/') = llt тогда Sz (a') = at. Следовательно, композиция Si о Fi отображает h на hx и a на »i.||
Теорема 3. Если длины трех сторон одного треугольника соответственно равны длинам трех сторон другого треугольника, то такие треугольники конгруэнтны.
Доказательство. Пусть у треугольников АВС и длины сторон соответственно равны: |ЛВ| = 1/4x241, |ЛС| = lACxI, | ВС| = |B^i| (рис. 168). Прямая АВ — общая граница двух полуплоскостей. Обозначим через а ту из них, которая содержит точку С. Аналогично, прямая ЛхВх — общая граница двух полуплоскостей. Пусть ах — та из них, которая содержит точку Q. Существует перемещение F, отображающее полуплоскость а на полуплоскость ах так, что образом луча АВ является луч AiBi (теорема 2). По условию |АВ\ = |ArBi|, отсюда F (В) = В±. Пусть F (С) = Cz. Возникает вопрос: различны точки Cz и С± или совпадают? Предположим, что эти точки различны. Рассмотрим точку С", симметричную Cz относительно прямой ЛхВх» тогда Д AiCMBi симметричен треугольнику ЛхС'Вх относительно (АХВ^. Всякое перемещение сохраняет расстояния, поэтому |ЛхС*| = = lAjCJ и |ВхС"| = |BiCx|, т. е. каждая из точек Лг и
221
mathedu.ru
s
8, Рис. 169
Рис. 170
равноудалена от концов отрезка С^С. Отсюда (ДА) есть серединный перпендикуляр отрезка 0,0'. Другими словами, точки и С симметричны относительно прямой Д1В1. Получили, что для точки С существуют две различные симметричные точки С' и относительно (А^). Это невозможно. Следовательно, С' = Clt F(А ДВС)= A AiB^ и А ДхВхС, А АВС. 
Остальные признаки конгруэнтности треугольников, известные из планиметрии, можно доказать, пользуясь теоремой 2.
В планиметрии была принята аксиома подвижности плоскости. Для пространства верно аналогичное предложение: если |ДВ| = = |Д1В1|, |ДС| = |Д1Сх|, |ВС| = |BxCjl и точки Д, В, С не принадлежат одной прямой, то существуют два и только два перемещения, каждое из которых отображает точки Д, В, С соответственно на точки Д1( Blt Ci-
Существе ванне одного такого перемещения F вытекает из признака конгруэнтности треугольников по трем сторонам (теорема 3). Вторым перемещением является композиция Sa, о F, где а1 = (ДхВхСх).
ПРОЕКЦИЯ ВЕКТОРА НА ОСЬ1 (к § 20)
Пусть даны ось I, направление которой определяется единичным вектором е, и вектор АВ (рис. 169). Точки At и Вг являются соответственно проекциями точек Д и В на прямую I: [ДДх] ± I и [ВВх] ± I. Докажем, что
где
Д1ВХ = |ДВ| cos ф -е.
Ф = (ДВ, е).
В самом деле, векторы ДхВх и е коллинеарны, поэтому сущест- >	—►
вует такое число х, что AtBt = хе. Найдем это число. По
1 В этом случае осью мы называем прямую, на которой с помощью единичного вектора задано направление.
222
MATHEDU.RU
правилу многоугольника хе = ЛХЛ + АВ + ВБХ. Умножив обе части этого равенства на е, получим:
х = АВ • е, или х = |ЛВ| cos <р.
Тогда
 > ► -► Л1В1 = |ЛВ| cos <р • е.
Величина |ЛВ | cos <р называется проекцией вектора АВ на ось I.
ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ ДЛЯ ТРЕХГРАННОГО УГЛА (к § 40)
Теорема. Косинус плоского угла трехгранного угла равен произведению косинусов двух остальных плоских углов, сложенному с произведением синусов тех же углов и косинуса двугранного угла, определяемого этими плоскими углами:
cos а = cos р cos у + sin Р sin у cos А.
Эта теорема носит название «теорема косинусов для трехгран* ного угла».
Доказательство. На ребрах данного трехгранного угла SABC (рис. 170) отложим единичные векторы:
5Л = elt SB = е21 SC = е3.
Проведем отрезки ВМ и CN перпендикулярно прямой 5Л,
тогда (MB, NC) — А.
Для углов из промежутка ]0°, 180°[ имеем:
|АГС| = sin Р, \МВ\ = sin у.
Кроме того, по свойству проекции вектора на ось  > -*•  ►	-►
SN = cos Р elt SM = cos у ех.
По правилу сложения векторов:
е3 = SW + NC = ех cos р + NC, е2 = SM + МВ = ех cos у + МВ.
Перемножим скалярно эти два равенства, учитывая, что
NC ± ех и МВ ± ех. Получим: ->	—►	-»	——► — >
е3 • ea — cos р cos у ехл + NC  МВ. Итак,
cos а = cos р cos у + sin Р sin у cos Л. 
Приведем примеры применения теоремы косинусов.
mathedu.ru
Задачи
1.	С помощью теоремы косинусов для трехгранного угла доказать теорему 24 и следствие из этой теоремы (§ 41).
Решение. Рассмотрим трехгранный угол SABC (рис. 170). Докажем, что Р + у > а > |р —у|. Воспользуемся теоремой косинусов:
— cos а — cos р cos у COS А = ----;——---------.
sin р sin у
Так как 0° < А < 180°, то —-1 < cos Л < 1, или
cos а — cos Р cos у — 1 < ------Г-ТГТ------- < 1.
Sin Р siny
Произведение sinР sin у положительно, поэтому из предыдущего неравенства следует:
—sin Р sin у < cos а — cosp cos у < sinP sin у.
Отсюда cosP cos у — sinР sin у < cos а < cosP cos у + sinP sin у, т. e.
cos (P + у) < cos а < cos (P — у).	(1)
Косинус — четная функция. Поэтому cos (Р — у) — cos |Р — у|. В промежутке [0°, 180°] косинус монотонно убывает, поэтому при условии Р + у 180° из (1) следует неравенство Р + у > а > |Р — у|. Если жеР + у > 180°, то последнее неравенство и подавно выполняется.
2.	1) Величины плоских углов трехгранного угла равны 60°, 90Q, 120°. Найдите величины его двугранных углов.
2)	Два плоских угла трехгранного угла равны 30° и 90°, двугранный угол между ними прямой. Найдите остальные двугранные углы.
Ответ. 1) = 54°44', ~ 109°28',	125°16/; 2) zs 26а34', = 98°35'.
3.	У трехгранного угла величины двух плоских углов равны. Докажите, что величины противолежащих им двугранных углов равны.
4.	Трехгранный угол имеет два конгруэнтных плоских угла, третий плоский угол — прямой. Докажите, что двугранный угол, противолежащий прямому плоскому углу, не может быть острым.
НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ТРЕХГРАННОГО УГЛА (к § 41)
Теорем а.Необходимым и достаточным условием существования трехгранного угла с данными плоскими углами а, 0, у, принадлежащими промежутку ]0°, 180° [, является выполнение неравенств:
|₽-Y|<a<₽ + Y (О и « + 0 + у<36О°.	(2)
Доказательство. 1) Необходимость. Если существует трехгранный угол с плоскими углами а, 0, у, то согласно теоремам § 41 неравенства (1) и (2) имеют место.
2) Достаточность. Пусть плоские углы а, 0, у удовлетворяют неравенствам (1) и (2). Нужно доказать существование трехгранного угла с плоскими углами а, 0, у.
Рассмотрим два случая.
а)	0 + У С 180°. В промежутке [0°, 180°] косинус монотонно убывает, поэтому из неравенства (1) следует неравенство cos (0 + у) <cos a < cos |0 — у|. Пользуясь четностью косинуса,
224
mathedu.ru
опустим знак модуля, затем применим формулы тригонометрии: cos р cos у—sin р siny< < cos а < cos р cos у + sin р sin у. Так как sin р sin у > 0, из последнего неравенства следует:
। cos а — cos р cos 7 < sin Р sin у
Это неравенство показывает, что сущест-
вует двугранный угол (0° < А < 180°), такой, что
cos а — cos Р cos 7
cos А =------т-Q—.------W
sin р sin 7
Рис. 171
Построим трехгранный угол по двугранному углу и заключающим его плоским углам Р и у (рис. 171). Третий плоский угол этого трехгранного угла обозначим ах. По теореме косинусов
cos = cos р cos у + sin р sin у cos А.	(4)
С другой стороны, из равенства (3) имеем:
л
cos а = cos р cos у + sin р sin у cos А.	(5)
Из (4) и (5): cos = cos а, отсюда = а. Итак, построенный трехгранный угол имеет плоские углы а, Р, у.
б)	Р + У > 180°. Из неравенства (1) |Р — у| < а, а из неравенства (2) а< 360°—(Р+у), тогда |Р—у| < а < 360°—(Р+у) (6). Заметим, что 360°—(Р+у)< 180°. Пользуясь монотонностью косинуса в промежутке [0°, 180°], из неравенства (6) получим: cos |Р — у | > cos а > cos (360° — (Р+а)), или cos (Р—у) > cos а> > cos (Р + у). Дальнейшие рассуждения проводятся, как и в случае а). 
СВОЙСТВА ПЛОСКИХ УГЛОВ МНОГОГРАННОГО УГЛА (к § 41)
Теорема. Величина каждого плоского угла многогранного угла меньше суммы величин остальных его плоских углов.
Доказательство проведем методом математической индукции. Для трехгранного угла теорема верна (§41, теорема 25). Предположим, что она верна для n-гранного угла, и докажем ее истинность для (л + 1)-гранного угла (рис. 172). Пусть ая+1 — наибольший плоский угол этого многогранного угла. Требуется доказать, что ая+1 <	+ а2 + ... + ая.
Обозначим A^SA^ = Р; по предположению для л-гранного угла SAxA2 . . . А^А^ имеем:
8 Заказ № 210.
“л+1 < «1 + «2 + . . . + а„_2 + р.
0)
225-
I ’ ЦТ^1
mathedu.ru
Но в трехгранном угле •^4 л_ ХЛ пА я+1:
Р < ап-1 4*	(2)
Из неравенств (1) и (2) следует:
ал+1 < ai+a2+. . . + ая_2+ + «л-г + ал. Н
Теорема. В многогранном угле сумма величин плоских углов меньше 36(Р.
Доказательство, как и выше, проведем методом математической индукции.
Для трехгранного угла теорема верна (§ 41). Предположив, что теорема верна для n-гранного угла, докажем ее для (п + 1)-гранного угла.
Пусть дан (п + 1 Игранный угол 5ЛХЛ 2 . . . Ля+Х с плоскими углами ап а2, . . . ... ,ая, ая+1 (рис. 173). Плоскости углов ах и ая имеют общую точку S, поэтому они
пересекаются по прямой а, проходящей через S. Точка S разбивает прямую а на два луча. Один из этих лучей и данный многогранный угол лежат по разные стороны плоскости угла ая+1. Этот луч обозначим £Л. Рассмотрим выпуклый n-гранный угол ХЛЛ2 . . . Ля. Величины плоских углов
таковы: (Л5ЛХ+ ах), а2, аз, • • • > ая_х, (ал+ Ля+х5Л). По предположению для этого n-гранного угла теорема верна, т. е. (Л£Лх+ах)+ 4-а24-аз4-. • • 4‘(ал4_Лл+х5Л) <360°, или ах + аа 4- . . • +	+
+ (Л5ЛХ+ Ля+15Л) < 360°. Но по предыдущей теореме для трехгранного угла 5ЛЛхЛя+х имеем: Л5ЛХ + Лл+15Л >а2+х, тогда и подавно ах + а2 + • • • +	< 360°. И
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ТЕЛО (к гл. V и VI)
Многогранники и некоторые фигуры вращения можно рассматривать как частные виды геометрических тел. Понятия геометрического тела и его поверхности можно ввести следующим образом.
226
MATHEDU.RU
Рис. 174
Рис. 175
Рассмотрим в пространстве фигуру Ф (на рисунке 174 для простоты изображено лишь ее пересечение с некоторой плоскостью). Точка А, принадлежащая фигуре Ф, называется ее внутренней точкой относительно пространства, если существует такая положительная величина г, что все точки пространства, расстояния которых до точки А меньше г, принадлежат Ф. Не следует думать, что каждая фигура имеет внутренние точки относительно пространства. Например, отрезок или треугольник не имеют ни одной такой точки.
Фигуру Ф называют открытой пространственной областью, если каждая ее точка является внутренней и любые две ее точки можно соединить ломаной, содержащейся в Ф (рис. 174). Примером открытой пространственной области может служить пространство, открытое полупространство (§ 4) или внутренняя область многогранного угла (§ 40). Точка В (рис. 174) называется граничной точкой открытой области Ф, если для любого г> 0 среди точек, находящихся от В на расстоянии, меньшем г, существуют точки, принадлежащие этой области, и точки, не принадлежащие ей. Множество Р (рис. 174) всех граничных точек открытой области называется границей области. Например, границей открытого полупространства является плоскость (§ 4), границей внутренней области трехгранного угла (§ 40) служит объединение всех его граней.
Объединение открытой пространственной области Ф и ее границы Р (рис. 174) называется замкнутой пространственной областью. Примерами замкнутых областей могут служить замкнутое полупространство, двугранный или трехгранный угол.
Фигура называется ограниченной, если существует такая величина /?, что расстояние между любыми двумя точками данной фигуры меньше R. Примером ограниченной плоской фигуры является треугольник, примером неограниченной неплоской фигуры служит трехгранный угол.
Определение. Ограниченная замкнутая пространственная область называется телом.
Множество всех внутренних точек тела называют внутренней областью тела, а границу этой области — поверхностью тела.
Примерами геометрических тел могут служить призма, пирамида, конус, шар и т. д. Трехгранный угол телом не является, так как для него не выполнено требование ограниченности. Су--^ 8*	П 227
mathedu.ru
Рис. 176
ществуют тела, которые нельзя отнести ни к многогранникам, ни к фигурам вращения (рис. 175).
ОБЪЕМ УСЕЧЕННОГО КОНУСА, ШАРОВОГО СЕГМЕНТА И ШАРОВОГО СЕКТОРА (к гл. VI)
1. Задача 1. Найти объем усеченного конуса, зная радиусы его оснований и
высоту.
Решение. Пусть усеченный конус получен при вращении прямоугольной трапеции ОАВС (О = А = 90°) вокруг стороны ОА (рис. 176). Введем обозначения: |ОА | = Н, |АВ| = R, |ОС| — г. В плоскости трапеции зададим прямоугольную систему координат с началом О и осью абсцисс ОА. Уравнение прямой СВ имеет вид у = kx + b, где b = г, k = tg ср = ----- (рис. 176), т. е.
н
р__г
у =-----х + г. По формуле объема фигуры вращения (§ 66) имеем:
V = л С (——- х + rV dx.
J \ Н	1
и '	'
Выполнив интегрирование, получим формулу объема усеченного конуса:
V = -nH(R2 + Rr + r2). 3
2. Рассмотрим круговой сегмент АСВ и диаметр CD, перпендикулярный хорде АВ (рис. 177, а).
Фигура, полученная при вращении кругового сегмента вокруг диаметра, перпендикулярного его хорде, называется шаровым сегментом (рис. 177, б). При этом вращении дуга кругового сегмента и его хорда образуют фигуры, которые называются соответственно сегментной поверхностью и основанием шарового сегмента. Отрезок КС диаметра (/< = [ЛВ] (] [CD]), вокруг кото-
mathedu.ru
xi)dx = —nH2 (3R-H).
3
рого производится вращение, называется высотой шарового сегмента, а также сегментной поверхности.
Задача 2. Найти объем шарового сегмента, зная его высоту и радиус шара.
Решение. Рассмотрим полукруг с центром А и диаметром |0В| = 2R. В плоскости полукруга введем прямоугольную систему координат с началом О и осью абсцисс ОА (рис. 178). Пусть 7V — проекция точки М полуокружности на прямую ОА. При вращении данного полукруга вокруг оси абсцисс получим шар, а криволинейной трапеции OMN — шаровой сегмент, высота Н которого равна | ON\. Уравнение окружности (Д; /?) имеет вид:
(х — R)2 + у2 = R2, или у2 = 2Rx — х2.	(1)
Пользуясь уравнением (1) и интегральной формулой объема фигуры вращения (§ 66), находим объем шарового сегмента:
н	н
V = л J y2dx = л J и	и
Итак,
У = улЯ2(37? — Н).
3.	Шаровым сектором называют фигуру, полученную при вращении кругового сектора вокруг оси, содержащей один из его граничных радиусов (рис. 179, а, б). Дуга кругового сектора образует при этом вращении сегментную поверхность.
Задача 3. Найти объем шарового сектора, зная радиус шара и высоту сегментной поверхности.
Решение. Пусть шаровой сектор получен при вращении кругового сектора АОС вокруг диаметра CD (рис. 179, а). Введем обозначения: |С7<| = /7, |/<Л| = г, |ОД| = R. Объем шарового сектора, содержащегося в полушаре, равен сумме объемов конуса и шарового сегмента (рис. 179, б):
v = VK0H + V£erM = 1 лг2 (R - Я) +1 лЯ2 (3R - Н).
О	о
Рассматривая треугольник ACD, получим г2 = Н (2R — Н), по
этому
V = - лЯ (2R — Я) (Я—Я) + 3
+ -лЯ2(ЗЯ —Я).
3
После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим формулу объема шарового сектора:
V = - лЯ2Я.
3
mathedu.ru
Эта формула верна и для шарового сектора, содержащего полушар. Докажите это самостоятельно, рассмотрев разность объемов шара и шарового сектора, дополняющего данный шаровой сектор до шара (рис. 179).
Задачи
1.	Объем усеченного конуса вычислили, умножив площадь среднего сечения на высоту. С недостатком или избытком получили приближенное значение? Какова относительная погрешность, если R : г = 2 : 1?
Ответ: с недостатком, 3,57%.
2.	В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, образующая равна I и составляет с плоскостью основания угол а. Найдите объем.
Ответ: — л/3 sin а (2 — cos 2а).
3.	Дана четырехугольная пирамида, в которую можно вписать конус. Докажите, что суммы противоположных плоских углов при вершине пирамиды равны.
4.	Найдите объем шарового сегмента, в осевом сечении которого хорда длиной а стягивает дугу а. Вычислите при а = 6 см, а = 120Q.
а /	а \
ла'3 tg — 2 4- cos —
4 \	2 /
Ответ: --------t-----------~ 27,2 слР
24 ^1 + cos -yj
5.	Круговой сегмент с хордой а вращается вокруг диаметра, параллельного этой хорде. Докажите, что объем фигуры вращения не зависит от радиуса дуги сегмента.
6.	Сфера с центром в вершине конуса касается его основания и делит конус на две части, имеющие равные объемы. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.
Ответ: 2 arccos	100° 20'.
8
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА, КОНУСА И ШАРОВОГО СЕГМЕНТА (к гл. VI)
При введении понятий площади боковой поверхности цилиндра, площади боковой поверхности конуса и площади сегментной поверхности можно применить такой же способ, который использовался для площади сферы (§ 69).
1.	Пусть цилиндр получен при вращении прямоугольника ABCD вокруг прямой CD (рис. 180). Тогда его радиус R и высота Н соответственно равны | С А | и |СО|. Дадим радиусу R приращение Д/?, оставив высоту Н без изменения. При этом объем V цилиндра получит приращение ДУ (ДУ — объем фигуры, полученной при вращении прямоугольника ВВ^А, стороны которого имеют длины Д/? и И).
За площадь боковой поверхности цилиндра принимается предел отношения приращения объема цилиндра к приращению радиуса, когда приращение радиуса стремится к нулю'.
S = lim	(1)
дя-.!) ДЯ	'
230
I'-
mathedu.ru
Из формулы (1) вытекает, что для нахождения площади боковой поверхности цилиндра достаточно найти производную от его объема по радиусу. Формула объема цилиндра имеет вид: V — лR2 Н. В рассматриваемом случае Н постоянная, поэтому
S = V' = (лГУНУ = 2л/?//.
Итак, площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле
-$бок = ZnRH.
Площадь полной поверхности цилиндра получим, прибавив к площади его боковой поверхности удвоенную площадь основания:
5ЦИЛ = 2л/?В + 2л/?2 = 2л/? (Н + /?).
2.	Пусть конус получен при вращении прямоугольного треугольника А ВО (АОВ = = 90°) вокруг прямой АО (рис. 181). Тогда его радиус /? и образующая L соответственно равны |ОВ| и |ДВ|. Проведем [ВС] ± [ДВ], где С С (АО). Ниже будет показано, что объем фигуры, полученной при вращении треугольника АВС вокруг прямой АС, можно выразить через величину <р угла А ВО и длину р наибольшего из отрезков, перпендикулярных [ДВ],
с концами на [ДВ] и (АС) (таким отрезком является [ВС]).
Дадим р приращение Др, оставив величину <р без изменения. При этом объем V^abc получит приращение ДУ, где ДУ — объем фигуры, полученной при вращении прямоугольника ДД1В1В, стороны которого имеют длины Др и L (рис. 181).
За площадь боковой поверхности конуса принимается предел отношения приращения объема V^abc к приращению наибольшей нормали образующей конуса, когда приращение этой нормали стремится к нулю:
S = lim —.	(2)
Др-»9 Др
Из (2) вытекает, что для нахождения S достаточно найти производную УдЛВС по наибольшей нормали р.
Выразим УдЛВС через р и <р:
Уд АВС = V^OBA + Ид овс~ ОВ\2. |ОЛ| + -л|0В|2 • |ОС| = 3	3
=4«|0В|*.|ЛС|. о
mathedu.ru
Рис. 182
Из треугольников АВС и ВОС находим:
| АС | = ——, | ОВ | = р sin ф. costp
Тогда УдЛВС = 1 л р8 sin ф tg ф.
О
В рассматриваемом случае ф — постоянная, поэтому согласно определению
SMB] = V\abc = (7пР3 sin ЧР tg =
= лр2 sin ф tg ф.
Но р sin ф = R и р tg ф = L. Тогда 5(ЛВ] = = tiRL.
Итак, площадь боковой поверхности конуса выражается формулой:
*^бок ~ %lRL.
Площадь полной поверхности конуса получим, прибавив к площади его боковой поверхности площадь основания:
SK0H = nRL + л/?2 = nR (L + R).
3.	Пусть дан полукруг с центром О и диаметром |ЛВ| = 2R (рис. 182). На его полуокружности возьмем произвольную точку Л4, соединим ее с центром О и проведем [7H7V]± [ЛВ]. Рассмотрим вращение данного полукруга вокруг оси АВ. Круговой сектор МОА образует при этом шаровой сектор, а его дуга — сегментную поверхность, высота которой |AN| = Н. Дадим радиусу R приращение Д/?, тогда объем шарового сектора получит приращение ДУ, где ДУ — объем фигуры, полученной при вращении части кругового кольца АА^М^М.
За площадь сегментной поверхности принимается предел отношения приращения объема шарового сектора, соответствующего этой сегментной поверхности, к приращению радиуса, когда приращение радиуса стремится к нулю:
S - lim
А/?
Из определения следует, что для нахождения площади сегментной поверхности достаточно найти производную от объема шарового сектора по радиусу.
2
В формулу объема шарового сектора V = —nR2H входят переменные R и Н. Чтобы получить функцию одной переменной R, введем угол ф = МОА, который сохраняет свою величину при изменении радиуса. Имеем: Н — \ОА | — \ 0N\ = R — R cos ф = 2
= R (1 —cos ф), тогда V= —л/?3 (1 — cos ф). Пользуясь этой фор-3
232
mathedu.ru
мулой, находим:
S = V' = 2л/?2 (1 — cos <р) = 2лRH.
Итак, площадь сегментной поверхности вычисляется по формуле:
S = 2л/?//.
Задачи
1.	Вычислите площадь части земной поверхности, которую может видеть космонавт при выходе из космического корабля на высоте 300 км над поверхностью Земли.
Ответ: ss 11,5 млн. км2.
2.	Докажите, что площадь сегментной поверхности выражается формулой S = л (г2 + Я2), где г — радиус основания поверхности, Н — ее высота.
3.	Плоскость рассекает поверхность шара на части, отношение площадей которых равно т : п. Найдите отношение объемов получившихся частей шара.
4.	Найдите объем шарового сектора, у которого площадь сферической поверхности равна S, а конической поверхности Q.
Vs (4^ + S2)
Ответ: -----------.
6
СИСТЕМА АКСИОМ ГЕОМЕТРИИ, ПРЕДЛОЖЕННАЯ Г. ВЕЙЛЕМ
Курс геометрии может быть построен на основании аксиоматики, отличной от той, которая принята в нашем пособии. Одна из таких систем аксиом основана на неопределяемых понятиях «вектор», «точка», соответствии «пара точек — вектор», а также на действиях сложения векторов, умножения вектора на действительное число и скалярного умножения векторов. Векторы, точки и действия над ними удовлетворяют следующим группам аксиом.
I группа. Аксиомы сложения векторов
Каждым двум векторам а9 b однозначно сопоставляется вектор, называемый их суммой и обозначаемый через а + Ь.
11в (а 4- Ь) + с = а + (Ь + с) — для любых трех векторов.
12.	а b = Ь + а — для любых двух векторов.
13.	Существует такой вектор 0 (нулевой вектор), что а + 0 = а для любого вектора а.
14.	Для любого вектора а существует такой вектор Ь, что а + Ь= 0 (b — вектор, противоположный а9 его обозначают — а)*
233
ll^lol
mathedu.ru
II группа. Аксиомы умножения вектора на число
Каждому вектору а и каждому действительному числу k однозначно сопоставляется вектор, называемый произведением век-тора а на число k и обозначаемые через ka.
Пр 1 • а = а — для любого вектора а.
П2. k (la) = (kl) а — для любого вектора а и любых действительных чисел k и /.
П3. (k + /) а = ka + la — для любого вектора а и любых действительных чисел k и I.
П4. k (а + b) = ka + kb — для любых векторов а и b и любого действительного числа k.
Ill	группа. Аксиомы скалярного умножения
Каждым двум векторам а9 b однозначно сопоставляется некоторое действительное число, называемое их скалярным произведением и обозначаемое а • Ь.
ПЦ. а • b = b • а— для любых векторов а и Ь.
1П2. (а + Ь)-с=а • с 4- Ь- с — для любых трех векторов п, b и с.
Ш3. (ka) • b = k (а • Ь) — для любых двух векторов а и b и любого действительного числа k.
Ш4. а • а > 0 — для любого вектора а =# 0.
IV	группа. Аксиомы размерности
IVP Существуют три вектора а9 Ь9 с9 таких, что равенство ka+lb+mc=0 выполняется только тогда, когда k=l=m=0.
IV2. Для любых четырех векторов а9 b9 с9 d выполняется равенство ka + lb + тс + nd = 0 при неравных одновременно нулю k9 19 т9 п.
V	группа. Аксиомы откладывания векторов
Задано непустое множество (пространство), элементы которого называются точками. Каждой паре точек (А, В) однозначно сопостав- ►
ляется некоторый вектор, обозначаемый через АВ.
VP Для любой точки А и любого вектора а найдется такая точка В9 что АВ = а.
V2. АВ + ВС = АС для любых точек А, В и С. "	-*
V3. Если АВ = 0, то точки А и В совпадают.
234
mathedu.ru
Перечисленные 17 аксиом, разбитых на пять групп, составляют систему аксиом, предложенную Г. Вейлем. Можно доказать, что предложенные А. Н. Колмогоровым 14 аксиом, также разбитых на пять групп и лежащих в основе нашего курса геометрии, могут быть доказаны как теоремы на основе аксиоматики Вейля. С другой стороны, все аксиомы Вейля представляют собой теоремы в геометрии, построенной на аксиоматике А. Н. Колмогорова. В курсе VII и IX классов большинство вейлевских аксиом сообщалось как свойства векторов, установленные соответствующими доказательствами. Таким образом, указанные системы аксиом эквивалентны.

MATHEDU.RU
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
2. 2) и 9) — аксиомы; 1), 3), 6), 7), 8) — теоремы; 4), 5), 10) — определения.
5. 1) Необходимо; 2) необходимо и достаточно; 3) необходимо; 4) необходимо и достаточно. 6. 1) Нет; 2) нет. 7. 1) Да; 2) да; 3) нет. 8. 1) Да; 2) не обязательно. 10. 1) Не обязательно; 2) да. 12. Нет. 16. 1) и 2) Бесконечное множество; 3) одну или бесконечное множество; 4) одну или ни одной. 17. 1) Да;
2) нет. 18. 2) Нет. 19. Да. 21. Нет. 22. Да; да; нет. 23. 1) 3; 2) 6;
3)	----I 24. Нет; одна или три. 26. 1) а) а, б) U\ 2) б) Р = Q, а = 0.
27. 1) Одно; 2) бесконечное множество. 30. 1) 6а; 2) а2]ЛЗ. 32. 2) --
33. 2)
д2 т/’о
_—L_z_. 38. 1) Нет; 2) нет. 39. Прямые могут скрещиваться, пересе
каться, совпадать. 40. Три. 41. Если А =/= В, то а || b или а — Ь\ если А = В, то прямые а и b пересекаются или совпадают. 43. Нет. У казаки е. Проведите доказательство от противного. 44. Необходимым и достаточным. 45. а || а (в частном случае а с а). 46. (MN) II а. 47. 1) (CF) || а; 2), 3) (CD) и (DF) пересекают а, если шестиугольник не лежит в плоскости а; 4) (DE) || а. 48. 1) Нет;
2) да. 52. Прямые а и b скрещиваются или пересекаются. 54. 2)	58.
1) Нет; 2) да; 3) нет; 4) нет. 60. Прямые с и b пересекаются, с _L.b или с || b (с =/= Ь). 62. Нет. 63. 1) Три; 2) четыре;3) шесть. 66. Плоскость или 0. 67.2,5 см. 69. 4 (а + b +с). 70. 4) ADDXAV А^С^)» ВСС^, ABCD. 71. Га /2, fl8 VA. 75. 24 см. 76. У к а з а н и е. Через (AjA) и (СХС) проведите вспомогательную плоскость. 77. 1) а и 0 пересекаются или а || 0(а =/=0); 2) а II 0(ау= ^=0). 78. 1) Нет; 2) нет. 81. 1) Да; 2) нет; 3) нет. 85. а • b или а || b (а #= Ь). 86. Да. 89. 1) . . . равные длины; 2) да. 97. Три, две или одна. 98. Точкой. 99. 1) Плоскостью или прямой; 2) полуплоскостью, прямой или лучом; 3) углом, прямой или лучом. 101. Если эти прямые являются проектирующими. 103. 1) Пересекающиеся прямые, прямую; 2) пересекающиеся или параллельные прямые, прямую и точку, не принадлежащую ей. 104. 1) Нет. 105. Объеди-
тр тд
нениетрех или двух различных лучей, имеющих общее начало. 106.-, ---.
p+qp+q 107. Это утверждение верно только для медианы. ПО. У к а з а н и е. Воспользуйтесь свойством биссектрисы угла треугольника: биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. 111. 1) Нет; 2) нет; 3) да. 117. 3) ?2	119. У к а з а-
64
н и е. Предварительно докажите, что основание искомого перпендикуляра делит [BCJ в отношении (С^!2 : IBZJjJ2. 120. 1) Указание. Пусть М. — искомая точка, тогда |ВЛ4| = [BBJ = — |ВА|. 121/^---------—. 122. Вер-
3	с
236

6
MATHEDU.RU
шинами параллелограмма. 123.1) Нет; 2) да; 3) да; 4) да; 5) да. 124. Да. 127. Прямые могут пересекаться, a _l b или а || Ь. 128. Нет. 129. Пересекаются или параллельны (a d «)• 135. 1) Да. 136. 1) Плоскости а и₽ пересекаются; 2) а || р. 137. Нет. 140. 1) Да; 2) нет. 142. 50 см или 10 см. 144. Плоскость, параллельная данной плоскости. 148. 1) Да; 2) да; 3) нет; 4) да; 5) нет. 149. 1) 1; 2) 1,2; 3) 1,3; 4) 1,4; 5) 2, 4, 5; 6) 2, 6.
ГЛАВА II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА. ВЕКТОРЫ
153. 1) Треугольник или отрезок; 2) трапеция или отрезок; 3) четырехугольник или треугольник; 4) шестиугольник, противолежащие стороны которого соответственно параллельны, или параллелограмм. 154. Нельзя. 156. На себя отображаются центр симметрии, а также прямые и плоскости, проходящие через центр симметрии. 157. 1) Эта же центральная симметрия; 2) тождественным преобразованием. 158. 1) /; 2) Е. 159. Да. Из того, что расстояния сохраняются, следует, что образы двух любых различных точек различны. 160. 1) Да; 2) в общем случае нет. 161. 1) — 3) Сохраняет. 162. Указание. 1) Рассмотрите плоскость, проходящую через данную прямую и центр симметрии; 2) возьмите на данной плоскости две пересекающиеся прямые и примените признак параллельности двух плоскостей. 163. 1) Один; 2), 3), 4), 5) бесконечное множество; 6) один; 7) ни одного, если a ct Щ бесконечное множество, если a CZ а. 164. 1) Нет; 2) нет. 166. 1) Нет. 167. [АВ) fj [CD). 168. 1) 7; 2) 9; 3) 13; 4) 27. 174. 1) Вектором; 2) центральной симметрией.
175. 1) Да; 2) нет. 179. Да. 180. 1) а 4- Ь; 2) а — д; 3) а — д. 183. 0.
184. 1) ЛС; 2) ЛВ; 3) 0. 185. 1) ЛСХ; 2) CDX; 3) BCf, 4) DrB. 190. Указа-1 ►  • ►
н и е. Воспользуйтесь равенством Л В = DC и формулой вычитания векторов.  ►  ► " ►   ►
191. У к а з а н и е. Воспользуйтесь равенством ЛD 4- DB 4- ВС 4" С А = 0. 193. 1) k =± 1; 2) \k\ > 1; 3) \k] < 1. 194. 1) —1; 2) 2; 3) —0,5; 4) х не существует. 195. 1) —; 2)——3)—; 4)0. 196. 1) 0,5; 2)—1;
1	2
3) 2; 4) —3; 5) —у, 6) —у. 197. (а + b) ff а. Если а || Ъ, то |а + д| = = |а| 4- р|; если af|d, то |а + д| = |а| — |д|. 198.	+ 2FxFj cosip.
203.	1) Компланарны; 2) некомпланарны; 3) компланарны; 4) некомпланарны.
204.	1) 1 • р + 0 •?; 2) 0 •	1-^ 3) 1-р+1	4) 0,5р + 0,5^5) 1-р+0,5^
->	->	->	1 ->	1 ->	10->	3	-
205.	1) 0,5а + 0 • Ь\ 2) 0,5а+ 0,5 Ь; 3) —а 4-Ь\ 4)—а +~Ь. Указание.
3	3	13	13
К обеим частям равенства АК = 0,ЗКВ примените формулу вычитания векто-> 1 ——►	~ ►
ров. 206. У казани е. Воспользуйтесь равенствами ОЛ11 = —(ОА^ OBJ и
ОМ2 = у(ОЛ2 4" ОВ2), где О— произвольная точка пространства. 207. Указание. Рассмотрите векторы, отложенные от точки пересечения продолжений боковых сторон трапеции. 209. MiM2= —АС. 210. Если точки Лх, Blt Ct о
лежат по одну сторону плоскости проекций, то — (а4~ b 4" с); если же плоскость 3
проекций отделяет точку Сх от точек Л! иВь тоу 1 а 4- Ь — с| и т. п. 211. 1) 1 • р+О-7+Ьп 2) Ь р4-1^4-1т7 3) 0«р4-1‘Й-0,5п 4) 1-р+1 ^4-0,5^
237
I Ч«Л|
MATHEDU.RU
5	_	_>	_> __>	___>.	_	.»
6)—р+1 <7+1 •г. 213. ОА = —ОВ—ОС+ЗОЛ4. 214. 1) 0,5а+0-6+0,5с;
2) Ь?+(—1)6+1.?; 3) 1 -а—0,56+0,5? 215. DM = ^DA + ^-DB + —DC.
—>	3—>
Указание. К обеим частям равенства AM =—MAlt которое вытекает из условия задачи, примените формулу вычитания векторов. 216. Указание. Примените формулу для точки пересечения медиан треугольника и правило параллелепипеда. 217. 1) Нет; 2) (р? q) €[90Q, 180°]. 218. 1) 90° и 90°; 2) 135° и 45°. 219. 1) а) Плюс; б) минус. 220. 1) —а2; 2) kb2. 221. 1) 0; 2) — у; 3) —222. 1) аг; 2) —2а8; 3) ±а2; 4) — уа2; 5) —а2; 6) а2; 7) у а2.
223. с2. 224. 1) -i-(b2 + с2 — а2). 225. Указание. Докажите, что
1 1 1 1 1
(ОЛ 4- ОВ) 1 (ОА — ОВ). 226. 1) —а2-, 2) — уй2; 3) — —а2\ 4) ~а2\ 5) — у а2;
1	9	------
6) —а2. 227. У казаки е. Векторы АВ и АС примите за основные.
228. ~ у^962+ а2. У к а з а н и е. К обеим частям равенства ~BD=3DA приме-4
ните формулу вычитания векторов. 230. cos ф = 1/ —j~ osa . Указание, г 5 —3 cos а	е рлу-
Воспользуйтесь свойством биссектрисы угла треугольника. 231. 1)
14
2)0; 3) j/y. 233. 1) rjz3 (1+ 2 cos ф); 2) = 22,4H. 234. =9600 кДж. 236. cos x = У2; 90°. 237. I) a 2)	240. Указание.
Примените правило треугольника. 242. Указание. Данные векторы отложите от одной точки. 244. 1) а : tg 36°; 2)---. 246. Указание. Рас-
2 cos 18°
смотрите лучи, задающие направления данных векторов. 247. Указание.  >  >  >
Достаточно доказать, что CC1=BB1+DDl, а затем применить правило треугольника. 248. Указание. К каждому из данных треугольников примените формулу для точки пересечения медиан. Это позволит получить равенство  ►	—► —-*	— ►
ЛЛ1+/>31+СС1=0, из которого следует компланарность векторов AAlt - -► —►
BBlt Сс\ (по правилу треугольника). 250. Указание. К треугольнику 4
Л1В1С1 примените формулу для точки пересечения медиан. 255. 2) у = —.
5 256. Указание. Воспользуйтесь задачей 254. 257. Указание. Примените условие принадлежности трех точек одной прямой (задача 254).
259. 1) — У а2 4~ Ь2 4- *lab cos ф; 2) — У а2 4~ Ь2 — 2ab cos ф .
2	2
ГЛАВА III. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДВУГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
262. 1) Не может; 2) может. 265. 1)	У 6; 2) У а2 — Ь2, нет. 266.
267. Нет. 268. 1) Да; 2) нет; 3) да; 4) нет. 269. Необходимым и достаточным.
238	Их.
а II Ь.
MATHEDU.RU
270. Нет. 273. 2)	278. 2) =56°48', ss56°48', 90°. 280. Плоскость,
перпендикулярная данной прямой. 281. 1) Нет; 2) да; 3) да. 282. —32 м. 283. 1) Прямой; 2) точкой. 284. 6 см\ 4,8 см. 285. 2) ——-, —— Ус2 — (а+ Ь)2.
a-}-b а + b
286. 1) 180° — или <р; 2) ^13,7 см или ^30,1 см. 287. =sl9,2 см. 288. b и ]/2а2+ Ь2. 289. 1) Только точки, принадлежащие оси. 2) Прямые, пересекающие ось под прямым углом, а также сама ось симметрии. 290. 1) I cz аи 2) I ± ах; 3) I — наклонная к ах. 292. Любая прямая, перпендикулярная отрезку АВ и проходящая через его середину. Плоскость, перпендикулярная [АВ] и проходящая через его середину. 294. У к а з а и и е. Рассмотрите перпендикуляр к плоскости фигуры, проведенный через центр симметрии. 296. ~ 89 м. 297. 1) Расстояния равны 0,5 У а2 + b2 + 4d2; 2) 10 си и — 8,9 см. 298. 1) Перпендикуляр к (ЛВС), проведенный через центр окружности, проходящей через данные точки; 2) 0. 299. 1) Плоскость а; 2) прямые, лежащие в плоскости а, а также прямые, перпендикулярные а. 301. 1) Любая плоскость, содержащая отрезок, а также плоскость, проведенная через середину отрезка перпендикулярно к нему; 2) любая плоскость, содержащая прямую, а также любая плоскость, перпендикулярная прямой; 3) любая плоскость, содержащая луч. 303. Указание. Предположите, что А^ а, и докажите, что в таком случае точка At = Sa (А) является вторым центром симметрии. 304. Да. У Казани е. Рассмотрите отличный от правильной пирамиды тетраэдр ABCD: |АВ| = |ВС|, |AD| = |£)С|, |АВ| =# |AD|.
306. 1) Пересекаются; 2) нет. 308. 5 см и zx7,1 см. 310. Расстояния равны, если прямая а проходит через проекцию точки М на плоскость а. В остальных случаях расстояние до прямой больше. 311. 1)	2)
1) 0,5 J/ro24-^24-4/i2; 2) j/12 — —а . 315. 1), 2) Перпендикуляр к плоскости фигуры, проведенный через центр описанной окружности; 3)0. 316.2) Нулю. 317. а или ^а24-4(са—Ь2). 318.2) Нулю. 319. Две параллельные плоскости, удаленные от а на I. 321. Плоскость, параллельная а ир и делящая пополам отрезок, перпендикулярный обеим плоскостям и имеющий концы на этих плоскостях. 322. Любая прямая, содержащаяся в плоскости у, одинаково удаленной от аир (смотрите предыдущую задачу); плоскость у. 323. 1) 16 ent; 2) j/ 2	__________________
3)— Ур (Р— а) (р—Ь) (р— с), где р=
с	2
Рассмотрите треугольник со сторонами а, Ь, с; длина его высоты, проведенной а к стороне длиной с, равна искомому расстоянию. 326. 2) —.
а
228.	331. 1) Нет; 2) нет. 332. Да. 333. Указание.
венства АВ = АС + СВ
а2+ b2
_ n2fl2 т2 — п2 а + b 4~ с
-------Указание (к пункту 3).
337.
скалярно умножьте на MN
2) 16 см и ^62,1 см. 338. 1)
327. 2) К2 см.
Обе части ра-
(рис. 132)
/4/»» + т2-,
2) 17 см или —81,4 см.
Ь2 + — . 340. Нет, если ромб не квадрат.
342.2) Нет. 343. tg фх = tg <р2 = tg Фз= 344. Указание Рассмотри 5
рите симметрию относительно прямой, содержащей биссектрису данного угла.,
23£
mathedu.ru
845. =4,1 км. 347. 1)ЛУ2 2) a /cos22q> + sin22<р: tg2<p . 348. =9,80 см _________	sin ф и 2 /15 см — 7,75 см. 349.	45°.	350.
351. 1)-----— Ysin2 а + sin2 Р — 2 sin а • sinp cos ф;
cosa-sinP	it
/ sin a sin ф
* =	• 353. 45°, ^35°16'; угол DAD., 354.
sin (a + P)
2) да. 357. 1), 2) Прямая, параллельная ребру. 358. 1) —12‘ 359. 2) =19’30' или =160’30'. 360. 2“ 180°. 365.
о2 Ysin2 <р — sin2 р
2) если С ВО = ф, го
1) Вообще говоря, нет; ;9,4 мм.
361. 1) Равны или сумма их равна
362. 1) ^34 я; 2) ^76 м; 3) ^27°. 363. —3,6 м. 364. 1)	sin ф.
4	20
309. 366. |ЛЛх|=20 sin <р дм, sin АСА^-у sin ф,вт ABA±= — sin ф.
5	29
9д2__Б2	а
2) —65°23'. 368. 1) 90°; 2) cos ф =----—. 371. Нет. 374.
а2 /3 ________
376. Параллельны. 377. 4,5/2 cjw. 378. 14 см. 379.
8 см. 385. 1) 4; 2) 8. 386. ~\ 387. 1) Указание. См. задачу 6
№ 344. 2) У к а з а н и е. Три плоскости получим, воспользовавшись предыдущим указанием; еще одну плоскость проведите через вершину параллельно плоскости, отсекающей на трех ребрах отрезки равной длины. 388. 1) Указание. Сначала постройте параллелограмм, найдите его центр симметрии и т. д. 2) Да. 389. Указание. От вершины угла на ребрах отложите единичные векторы е2, е3, затем рассмотрите векторы (et + ^г),	+ ^з)> (е2 + ез)» 391. 1) Нельзя; 2) нельзя; 3)
392. 1) 10° < х < 150°; 2) 10° < х < 170°. 393. 90°. 394. Указ Примените способ рассуждения от противного. 395. Указание.
ните теорему 24 к трехгранным углам ABCD и BACD. 396. 60Q. 397.
398. 45Q. 399. Луч с началом в вершине трехгранного угла. 400. Указание. На ребрах отложите единичные векторы et, е2, е3 и воспользуйтесь очевидным неравенством + е2 + е3)2 > 0. 401. Указание. От вершины данного угла отложите на ребрах единичные векторы е19 е2, е3. Рассмотрите векторы + е2,	+ е3, е3 + (—е2) и докажите, что эти векторы
компланарны. 402. 1) Нет; 2) нет. 403. —70°32 и —141°04'. 404. У Казани е. Рассмотрите линии пересечения плоскостей противолежащих граней.
405.	406. Указание. Вектор DO, а также векторы АВ и ВС
выразите через DA, DB, DC, затем найдите DO» АВ и DO» ВС. 408. У Казани е. Воспользуйтесь свойством средней линии трапеции. 409. —3,16 см\ ^6,08 си; ~5,29 см. 410. ± /4424-д2-|-Ь2±2аЬ cos ф. 411. Четыре прямые, ab параллельные прямой а (] р. 413. F ~1
правильный шестиугольник. 416. у ^2	,
димым. 420. sin ф = ~ /а2 + b2, b С a Y 3. 421. 1) 60°. 424. Объединение
367.
______	/2 • 380. 2 /Тб см.
нельзя, а н и е. Приме-fl /б
3 ‘
414. Указание. Сечение —
я2
. 418. 1), 2) Необхо-
249
« J
mathedu.ru
пересекающихся плоскостей, содержащих биссекторы двугранных углов, образованных данными плоскостями. 426. Указание. Рассмотрите симметрию относительно прямой, содержащей /, и воспользуйтесь задачей № 425 (2). 427. 1 м. 431. У Казани е. Решение аналогично построению, проведенному в параграфе 35. 433. Указание. См. № 126. 434. Пространство. 435. 1) Указание. Рассмотрите все возможные случаи взаимного расположения данных плоскостей. 2) Пересечение данной плоскости и плоскости, перпендикулярной [АВ] и проведенной через его середину. 437. =54,3 км или ~ 2 км. 439. cos х = sin a-sinp. 440. ^3:1. 442. 1) Четыре прямые, перпендикулярные плоскости треугольника и проходящие через центр вписанного круга или через центры кругов, касающихся каждой из сторон треугольника и продолжений двух__других сторон; 3) 0. 445. 1) —23°; 2) =32°.
446.	=sl400 Н. 447.	tg х = 2. 448. Прямая, параллельная данным
4
прямым. 450. Указание. Рассмотрите симметрию относительно плоскости а. 452. Указание. Решение аналогично решению задачи 451. 453. Указание. Смотрите указание к задаче № 400. 455. Указание. Рассматривая ребра как наклонные к плоскости сечения, воспользуйтесь теоремой о трех перпендикулярах. 456. 1) Указание. Отложите на ребрах от вершины S равные отрезки SA, SB, SC; проведите медианы треугольника АВС. 2) Через точку, принадлежащую ребру, проведите в плоскостях двух граней прямые, соответственно перпендикулярные противолежащим ребрам. Докажите, что плоскость а, проходящая через эти прямые, пересекает плоскость третьей грани по прямой, перпендикулярной третьему ребру (см. задачу № 238). Остается доказать, что a — искомая плоскость.
ГЛАВА IV. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ
1.	1) (1; 2; — 3);	2) (8; 0; 1);	3)	(0;	0,5; —/2);	4)	(0; 7; 0);
5)	(1; 0; 0); 6) (0; 0; 0); 7) (1; 0; 8). 2. 1) (—1; 2; 5); 2) (—9; 3; —4); /14	\
3)(4;4; —1). 3. 1) (—6; —2; 4); 2)	0; —7 ; 3) (18; —5; 19).
-3-	-	4-	3 5	6	1
4. 1) Да: a = —6; 2) да: с =—— d. 5. х = — —, у =—. в. 1) 7; 2) -. 2	о	о □	3
7. 1) Нет; 2) да. 8. 1) / 3; 2) /14j_ 3) /~2; 4) 2. 9. _(/3; / 3; /3) или (—/ 3; —/3; —/3). 10. 1) /29; 2)0. И. 1)6/2; 2) /70. 12. cos<p = = |; <р = 63°37'. 13. рр 14. 3) 45° или 135°. 15. 1)	у=-. у=-,
2> 31-1 * 3’0-°; » “ ? {• > <-’ ь~31’
(114	1 \	_ _________________________________
— —; у; — —18. /10. 19. (0; 1; 0). 20. 1) [ЛЛ^ =/15,5;
1	14	63
2) 4- /182; 3) cos ВАС = —. 21. | BD | = /105. 22. cos <р =	23. Л,
3	15	\ 6441
С, D. 25. 3x+5y+2z—38=0. 26. —2x+y+2z=0. 27. 1) 4х—у+г—4=0. 29. 1) 2; 2) 2. 30. 1) у—2=0; 2) z+4=0; 3) х+у—3=0; 4) у=0. 31. 1) Да; 2) нет. 32. 1) Зх+у—z—7=0; 2) х —у+5z+7= 0. 33. 1) Да; 2) нет. 34. 1) У к а з а н и е. Примените координатные формулы переноса: хх=—1+х, ух=5+у, zx=3+z. Выразив отсюда х, у, г и подставив их значения в данное уравнение, получите искомое уравнение: Зхх—У1+8гх—33=0. Переменные в уравнении плоскости принято обозначать через х, у, z, поэтому последнее уравнение можно записать в виде: Зх—y+8z—33=0; 2) 6х—2y+16z+ +51=0. 35. 1) хх=—х, У1=— у, гх= — г; 2) хх=х, ух=у, гх=—z; 3) хх=—х, ух=— у, zx=z. 36. 1) 7х—2у—5z+l=0; 2) 7х—2у+5г—1=0; 3) 7х—2у+5г+1=0. 37. 1) Центр гомотетии, любая прямая и плоскость,
241
MATHEDU.RU
проходящие через центр гомотетии; 2) тождественное преобразование (&= 1)
и центральная симметрия (k = —1)	38. 1) —;	2) 4. 39. 2) 9.
4
40. I —— —z---; —)	или I — — _—-=т-;	— —-z— ).	41. х = у = —9.
\/з /з /з /	\ уз	уз Уз )
/53\	10	362
42. -; —; 2 . 43. 3) созф = —7=-, <р =27°. 44. 1) -, —. —; 2) =6С23', \7 7	)	т 3/14	' 7 7	7	'
=62’44', =26°23'. 45. 2) = 30’57'. 48. x. = kx Fa (1— k), y1=ky+b (l—k), zL=kz~[~c (1— k).
ГЛАВА V. МНОГОГРАННИКИ
50. 1) Да; 2) нет. 51. 12. 53. 1) Да; 2) нет. 54. 1) 60°; 2) =23°25'; 3) ^2,64а2.
<р 	2а cos —
56. 1) =13,2 см; 2)	— + b2.	57. 2а, а У 5.	58.  ---— •
г 2	cos р
2а 1/яп2!£-4-cos22-tg20. 60. 1) /2:1;	2) Q Уз, 2Q. 64
г 2	2	4 cos у
— 154 дм2. 66. 1), 2) Вообще говоря, нет. 67. 1) Да; 2) могут; имеет, если основание такого параллелепипеда — прямоугольник. 69. 1) 7 дм; 2) — 13,7 ель 70. 1) =;15,9 см; 13 см; 2) ~3,4 дм; 3) |BDi|2 = a2+b2+c2+2ab cos а + + 2ас cosf + 2bc cos у, | A CJ2 = а2 + Ь2 + с2 — 2ab cos а — 2ас cos0 + + 2bc cos у. 72. 10/2 см2. 73. 6 см2. 74. 1) /б см2;
г—	2а2 а2	а2
2) 3/6 см2. 75. 1) -т=; 2) ----- (если 0°<ф<45°), ---- (если 45° < <р <
/3 COS ф	5Шф
<90°). 76. 2/140со8ф .	77. ]) 2а (а 4-2/7); 2) а (а /3+ 6/7);
3) За (а/3 4*2/7). 78. 3/3 = 5,2 см. 79. =5 28 000 м2. 80. 19. 81. 12см, 9 см или 9 см, 12 см. 82. 1120 см2. 83. а2 (1,5 /34-1). 84. 2а/47724 а2, tg х =
_ 2d2tg^tgp
=	; х — 45°, если а = Н У 2 . 85.----------- . 86. 1) Только квадрат,
а	<р
cos —
2
2) да. 87. 1) а) Вообще говоря, нет; б) да; в) не имеет, если п — нечетное и п 3; имеет, если п — четное. 2) а) В общем случае три; б) четыре.
89-1) ~ a2 tg ф; 2) а/7, —а/За2 4* 12/72.	91. 1) — а /36/72 4- За2;
2	4	4
2) а / 4Н2 4- а2; 3)	а / 4/72 4- За2; 4) па / 4Я2 4- а2 ctg2 Ц21 .92.1) Зсм2;
6
а2 sin а cos2 —
2	1
2) и70'32'. 93. 33. 94.--------. 95. »54,9с.и2. 96. — (аН 4- ЬН 4- ab 4-
cosp	2
4- /а2/72 4-Ь2/724-а262). 98. — а2 (/7 -|- 1) или — а2 (4 4- /7 )	99. 48 см,
4	4
га 724 см2. 100.2) |-(а — Ь) У^с2 — (а — Ь)2.101. 1) — (а 4-6) 1/4/724-^£^^; Z	4	w	о
2) (а 4- Ь) /4Я24- (а—б)2;	3) — п (а 4- Ь) 1/4Н2 4- (а —b)2 ctg2!^.
4	V	п
102. и 1700 дм2. 103. (а 4-6) (с4-—/12с2 4-3(а—Z>)2\ 104. « 176 см2. \	4	/	.
242
mathedu.ru
105. 2) Только правильный тетраэдр (и куб).
2) я 109°28'. 109. 1) 2аг /3; 2)	. 111.
4/з
112. я 21 Л|3. 113. 0,5. 114 0.5V. 115. -V. 116.
6
119. —- /3 sin a sin ~ tg 0, 2/2 У2 sin ~ tg 0 cos ^45° —
121. Ящик кубической формы с ребром 1/ —. 122. —. 123. г 6	6
10G. Нет. 108. 1) » 70°32';
1)	2) V, + 0,5Vs.
118. o&r^+^tga. О у о
120. а3 tg2 atg ф.
1) Да; 2) не
обязательно. 124. « 60 т. 125. » 50%. 126. a 267 сл3. 127. « 56,5 т.
л__ 1	--— SdsinasinP
128. — Q/Ssin2a. 129. —-------------130. « 14,9 дм3. 132. sinx =
2 _	2 (sin a -р sin P) _________
= -Y... J ?_. 133. 6a2 sin a и 2a3 sin — 1/^sin —sin — .	134. — a3 sin a.
3a3	2 Г	2	2	2
135. 5 : 4. 136. «2,6 млн. м\ «85 тыс. м2. 137. — с3 /3 . 138. 1) —
16	36
2) « 1,7 см. 139. ~~b3 cosP sin 2a sin 2p. 140. 1 :5. 141. —a3 tg a и fl2-*
6	16	8 cos a
142. 1) 35 cm3. 143. ^-ab (a+b) tg q>. 144. — (a3—b3) tg a. 145. я 6,7 т. 12	24
21	__
146. — b3. 147. « 2,5 м, « 1,0 л, « 3,0 л. 148. 1) /33; 2) « 100°32'. Ука-
зание. Найдите координаты вектора BBi, затем примените формулы из
пункта 1, § 46. 149. 2) Да. 151. 1) « 69°18'; 2) « 75°31'. 152. 1) а) Три оси
симметрии, четыре плоскости симметрии; б) в общем случае пять осей сим-метрии и пять плоскостей симметрии. 2) а) Нет; б) да. 153.	&.
4
Я2 —	—
154. —(6/2+ /3)я 2,55№. 155. 1) 30’, 150°; 2) 5 м. 157. 1) Одну ось
4
симметрии, одну плоскость симметрии. Если основание — ромб, то три оси
и три плоскости симметрии. 2) Три оси и три плоскости симметрии. Если основание — квадрат, то пять осей и пять плоскостей симметрии. 3) Девять осей симметрии и девять плоскостей симметрии. 158. 2^ Q? +Q|.
2	r-
159 « 567 см3. 160. 2) — ab. 161. 64/2 « 90,5 см2. 162. 20 см3.
163. a (a + Н + /а2 + Я2). 164.	167.	1/sin Ф-±_Р sin <Lzl* .
о	w Р г	Z	Z
sin — ____________________ 2
168. cos <45° ~ sin (Р + Ф) sin<P ~ Ф> 169. - (1 + tg <р + /2 tg2 q> + 1). cos р	4
170. 6сР -, я 873 ж2.	171.	5&2(0,9sin2P+/3cos2P). 172. 90°.
sin ф sin 2ф	____________________
174. я 1200 ж® и я 390 ж®. 175. я 40 000 м3. 176- - sln 2а ^cos (а + P)_gg(? ~ Р^
4 sin 0
0° < а + ₽ < 90°. 177. abc sin а. 178. -- a2b /—cos (а + 0) cos (а — 0),
90° < а+0 < 180°.
180. Да, если п четно; вообще говоря, нет, если п нечетно.
243
I 7ц|Ц^1 I
mathedu.ru
181, у a® sin j/ cos /“ + 30°\ cos (“ _ 30°). 182. 1 : (3/4 - 1) «1,7.
5	\	*	'
183. — a® « 0,833a®, a® (3 + /3) « 4,73a®.	184. cos® 2a ; sin® a.
О
185. Д» sin 4a tg a. 186. —7===^^======, 0° < a < 60°. 187. 72cл». 3	24/cos (a-j-30°) cos (a—30°)
188. — c® cos a sin 2a tg 0 ss 105 сл®. 189. (a + fc)2 /a» —2aft ctg® -y, a > 2ft.
ГЛАВА VI. ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ
195. 1) Да; 2) бесконечное множество. 196. 3) Прямоугольник или отрезок; 4) часть плоскости, ограниченная эллипсом. 197. « 6,87 жа. 198. 1/ т _ V \2Я ] *
200. jiQ. 201.----(a + 2/7 sinI • 202. « 1,4- 107/7. 203. ss35 000 к2.
<р \	2 /
2sin2—-'	7
_ d2 sin 2a tPco^a	т/п2 4- 9 n
204. 1) ------4-------; 2) tg2a=2n, a «40°30'. 205. ЛЯ-+.Т.7~Я «0,15.
2	2Л	2
206.3) Равнобедренным треугольником, отрезком или точкой. 207.1)Нет;2)одну ось симметрии и бесконечное множество плоскостей симметрии. 208. 1)n/2sin2~;
2) Т/"—(/2— -SL\ 209.	- - У sin (<р + a) sin (ф — а) • 210. 40 листов,
г л \ л ) cos а 5Ш2ф
лЬ1 ctg ~	------
211. 1) —л^(3 + /3); 2) ----------.	212. Т/ - 2я95 . « 50,2 сл».
2	л . ф	г sin а
2sin — 2
213.	1) «377 сл», « 704 сл»; 2) лЛ» (2,5 + 2/2). 214. 188 л сл».
215. 1) 3—сл, 8— сл, 216°; 2) « 85 см, и 61 сл, я 57°, « 21 дм2. 216. 2) Бес-3	3
конечное множество осей симметрии и бесконечное множество плоскостей симметрии. 217. Окружностью. 218. А и D. 219. (±7?; 0; 0); (0; ±7?; 0); (0; 0; ±7?). 220. (—6; —8; -10), (6; 8; 10). 221. 6 р. 222. 1) (х—2)2+ (у+1)2+ + (г_3)2=16; 2) (Х + 5)2 + у2 4. (2 _ 7)2=3 224. 1) Oi (0; 0; 0), г = 2;
г_ / 2	2	2 \	Л"я
2) 0,(0; 1;0), г = /3;3)ОЦ— -; -J, г= ]/ |. 225. 1) Точка; 2) 0;
3) окружность; 4) окружность; 5) 0. 226. Указание. Выберите прямоугольную систему координат так, чтобы начало координат совпадало с центром одной из сфер, а ось ординат проходила через центр другой сферы. В таком случае уравнения данных сфер имеют вид:
х» + у® + г® = R\,	(0
х® + (У - О)2 + г® = /?|.	(2)
Здесь d — расстояние между центрами сфер. Система, составленная из уравнений (1) и (2), задает пересечение данных сфер. Вычитая из уравнения (1) уравнение (2), получим:
2dy = R, — Rl + d2.	(3)
Уравнения (3) и (1) образуют систему, равносильную системе, составленной из уравнений (1) и (2). Поэтому полученная и данная системы уравнений 244
MATHEDU.RU
задают одно и то же пересечение. По условию задачи это пересечение не пусто. Согласно теореме 36 пересечение плоскости (3) и сферы (1) есть окружность или точка. Плоскость (3) перпендикулярна оси ординат, т. е. она перпендикулярна прямой, проходящей через центры данных сфер. 227. 1) Экватор;2) ~ 15 000 км. 228. 1) Нет; 2) «j 27,0с;и. 229. 1) Одну; 2) бесконечное множество. 230. 1) Бесконечное множество; 2) бесконечное множество или ни одной. 231. 1) Прямая, перпендикулярная данной плоскости и проходящая через данную точку (без этой точки); 2) объединение двух плоскостей, параллельных данной.
232. 1)——; 2) (х — R)2 — (у — /?)2+(z — R)2 = R2. 233. nR2 sin2 <р.
234. 1) у — 3 = 0; 2) 2у — z/5— 9=0; 3) 2х—2у—z—9=0. 236. « 8,2 км.
237. я 320 м. 238. я 1,9 «г. 239. cos а : sin а. 240.	. 241.
9	sin а
л	16л	1	128л	163л
242. 1) 117л; 2) —; 3) —4) — ла3; 5) ——; 6) ——. 243. 1) а 19 т;
5	15	2	7	14
л tg (р / а \3	1	л	а2 г__________
2) « 1,6 м. 244.----(---) . 245. —ла3 sin р tg р. 246. ---- R3 р4л2— а2
’	24 \sina/ __	3	24л2 г
(а — в радианах). 247. 2л	5,13 (радиан). 248. 1) 182л дм3\ 2) (R3—r3):R3.
249. «;50%. 250. «2 л. 251. 2ла3 sin a cos3 ~. 253. 1) «г в 64 раза; 2) у 2.
4	4
254. С недостатком; «4,5%. 255. ~ 9,9см. 256. т. 257. — л/?3. 258. —л | kR |3.
о	о
259.	261. я в 4,0 раза. 262. ^т2 : ^г?. 263. 1 : k2. 266.
267. 3 : 4. 269. у /d2 — А2 270. 2) 45°. 271. 1) /2—1 я 0,414; 2) я 7,8с3.
Q
272.
. 273. У2.. Н. 274. «1,1 дм2. 277. 1) я 6700 км-, .2
278. 1) 15 см\ 2) а) пересекаются; б) не имеют общей точки.
плоско-
•^бок — costp
2) «5700 км. Г“
279. (5; 0; —1),
сти, проходящей через данные точки; 2) плоскость, параллельная данным плоскостям. 281. 2) Сфера, для которой данная гипотенуза служит диаметром.
i 32\
; — 1. 280. 1) Прямая, перпендикулярная
13 32
7’
п / 7
282. а у —. 283. Нет. Диаметр должен быть
285. агссозУ 287. 4 (/2 — 1)3 я 0,28. 288.
О
равен высоте. 284. D = Н =R^2.
1 Ф
« 83°24'. 289. — ctg3 у tg ф.
2	1	ла3 sin 2a cos a
290. 60°. 291. г = —R, h = ~H. 292. 1) ----------------------—;
3	3	d
8 (cos (a + P) cos (a — P)) 2
4	4	1	/	a \ a
2) arcsin — и л—arcsin-. 293. —• r3 tg 45° + — ) ctg—tg p.	294. «j 53°8 .
лт	лт	3	\	2/2
4/?r
295. у 296. 1) ax+by+cz+(d—ap—bq—cr)=§\ 2) ax+by+cz—d = 0;
3) ax—by-[-cz—d=0; 4) ax + by —cz+ d—0.	297. 1) 4x+ 6y+z—15 = 0;
2) 9x + 7y + z - 15 = 0. 298. 1)	2) -Д=-. 301 5a/3 (9g + 4fe2)
303. I3 sin a sin 0 /cos (a + 0) cos (a — 0). 304. 1) Q'f + Q| — 2QlQ2 cos a +
245
-1^1 ,
mathedu.ru
+ К Q‘i + <$ + 2Q,Q, cos а; 2) нет. 305. 1) Указание. Пусть О —точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда ABCDA^Bfij)^. Обозначим: О А = а, О В = Ь, ОС = с, |ОЛ | =|ОВ| — |ОС| = /. Тогда cos «+
. о , а • b Ь • с b • ОВ, !-►->-* —►
+ cos р + cos у=—— + —— Ч---------— = — 6- (л+с +OBJ. Остается доказать,
р	р	р	р
что а-НЧ-О#! = Ь. 306. 1) 2>иХ0,5л<х2,5 м\ 2) 2 djwX 1 дмхЗ дм. 307.
аН у2Н2 + а2 '
308. Оба угла прямые. 309 1) arccos^ tg—j; 2)	2 arcsin tg — j;
(	<P \
V 2 sin — I. 313. 90° — 2 arctg m. 314. Указание. Пусть G1 — точка пересечения медиан грани А ВС тетраэдра ABCD, тогда для произвольной точки О имеем: OG1 = (OA-VOB+OC) (§22). Выразите через ОА, ОВ, 3
ОС и OD вектор ОЛ1Р где делит [DGJ в отношении 3 : 1, считая от D. Убедитесь, что такой же результат получим и для точек М2, М3, М4, деля-
щих в отношении 3 ! 1 остальные отрезки, указанные в условии. 315. 2) —- V.
313. ^-Q/2Qtgatg (450— -^-k>p. S17	2) 0,5V. 321. 2) a) n ^2-;
3	\	2 /	4
2)6)	322. arctg— 323. 2) 3У3- а 0,654. 324. ™2 /с0&2 а + с^2Р.
9	4Q	8л	4 sin2 а ctg 0
лЬ2	г_____	г________
325.--------« 152 м* 328. лдбр^а2 Ь2 . 327. л : 2 У1 + sin2 q>.
2 sin а sin2145° — — 1
328. 1) Окружность, точка или 0; 2) объединение двух окружностей, две точки или 0; 3) объединение двух окружностей, окружность или 0 . 329. Указание. Пусть А и В — данные точки, |ЛВ| = а. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпадало с точкой А, а ось ординат проходила через В и имела направление луча АВ. Ответ: плоскость, перпендикулярная д2 ^2
прямой АВ, ее уравнение у = —---. 330. Сфера. Указание. Если нача-
лом координат является середина отрезка, соединяющего данные точки А и В, и ось ординат проходит через эти точки, то уравнение сферы имеет вид 2&а_______________а2	—
х2 + у2 _|_ Z2 = —_-где а = | АВ | (а < k /2 ). 331. 1) (х — 1)2+ (у+ 2)2+
+ (г—5)2=9; 2) (х+1)2+(у — 2)2+(г + 5)2 = 9. 332. 1) Окружность; 2) 0; 3) точка. 334. Указание. Сравните расстояние между центрами с суммой и разностью радиусов. 335. 1)	» 2) «85 млн. км2* 836. 1 : 2 и 1 : 2)^2.
(sin 2<р \2	1
----— \ . 338 arcsin —/—-.	340.	« 537 см3 или «38,6 см3. ctgfj
341. Yl- d» tg3 2а tg а. 342. /4/?3-в3— fc3. 343. -уЛ.// —2—\2
\ vos Т J /
344. 5,5 дм. 345.
246
ЦЕ23_(Г91„3<р-|-16)з. 347.
432
2а2 sin 2а ctg3 —.
2 —' jfelol
mathedu.ru
п) f а \з
Vctg’—И + sin —j tg<P
348.----------------------
2л sin а
. 349. 2) Да. 350. 2) arccos (£2 — 1) я 65с33'.
351.
Л /2 3
a cos
352.	1 : 5	354.
355. 1)
D = H
2л > sin а
/ а \2 . (l + sinT)
« 80 см. 356. При m = 2 x = 2 arctg HA qs
2 arctg 0,7071 и 70°32', при т > 2
357. 2.
361.
358. — — лЯ31/ а tg 2а. 359.
3
— (И$“^п^)3~193 дч3.
6
Х1,2 = 2 ЯГЛо 3/4 arcsin L— . 360.
2
I Г 4 2т 2лг3 /4
363.
3 \sin2 а лЬ2
т;;—- О + sin<p)-
4 sin ф
364.
366.
ф
л(а3 — Ь3) sin2 ф cos — . 365.-------------------
8(1 +ctg а)3	12 cos а
10 „	1 г—	с3 sin 2а cos а
—л/l3, — л/12/13Л 367. -------------
9	3	/ а \
na3
368. ла2 tg U5° — у j.
.	180°
4пД2 tg-----
п	а ,	г—.
------------. 370. — (2 — /3). 371. d sin2 а------2
а з а н и е. Найдите отношение, в котором сечение делит одно из боковых а г__________________________________
a3 cos2 а sin у У cos а ребер пирамиды. 373. ---------------------. 374.
369.
У к
Я2— ±_. 372. 4: 1.
У к
при
377.
a^C0SC(.. 375.
12 cos6—	2cos—
2	2
а з а н и е. Предварительно докажите, что двугранные
сторонах основания пирамиды	равны 60°.	376.	.
а + о
— а(3— /3). 378. --------.
6	, ф
1 +ctg-2-
дм3.
32
углы 2aW
mathedu.ru
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсцисса 109
Аксиома 5, 193
Апофема правильной пирамиды 129
----усеченной пирамиды 132
Аппликата 109
Биссектор двугранного угла 100
Боковая грань пирамиды 128
----призмы 120
----усеченной пирамиды 131
Большая окружность сферы 156
Большой круг шара 156
Вектор 42
Вершина многогранного угла 95
Внутренняя область двугранного угла 89
---- многогранника 118
—	— многогранного угла 96
---- многоугольника 202
—	— тела 227
Вписанный многоугольник 206
—	угол 205
Вращение вокруг оси 150
Выпуклая фигура 10, 196
Вычитание векторов 46
Гомотетия плоскости 207
—	пространства 113
Грань двугранного угла 89
—	многогранника 118
—	многогранного угла 95
Двугранный угол 88
Диагональ многогранника 118
Диаметр сферы (шара) 154
—	эллипса 148
Длина вектора 42
—	окружности 206
Достаточное условие 196
Замкнутая многогранная поверхность 118
Измерения прямоугольного параллелепипеда 123
Изображение фигуры 27
248
Касательная прямая к окружности 204
—	— к сфере 158
—	плоскость к сфере 158
Квадрат 203
Коллинеарность векторов 48
Компланарность векторов 50
Композиция преобразований 37
Конгруэнтность фигур 39, 198
Конус 152
Координатные векторы 109
—	оси 109
—	плоскости 109
—	формулы преобразований 113
Координаты вектора 105
—	точки 109
Коэффициент гомотетии 113, 207
Круг 204
Куб 123
Лежать между 197
Линейный угол двугранного угла 89
Ломаная 197
Луч 198
—	открытый 197
Многогранная поверхность 117
Многогранник 118
—	выпуклый 118
—	невыпуклый 118
—	правильный 133
Многогранный угол 95
Многоугольник 202
Наклонная к плоскости 70
Направление в пространстве 41
—	вектора 42
Начало координат 109
Необходимое условие 196
Нулевой вектор 42
Образ точки 36, 198
—	фигуры 36, 198
Образующая конуса 152
—	усеченного конуса 153
—	цилиндра 151
|| А®
1Ч—
mathedu.ru
Обратное преобразование 37
Общий перпендикуляр скрещиваю-
щихся прямых 81
Объединение фигур 197
Объем многогранника 134
— фигуры вращения 159
Окружность 204
Октаэдр правильный 133
Описанный многоугольник 206
Определение 194
Ордината 109
Ортогональная проекция 73
Осевая симметрия плоскости 199
— — пространства 74
Основные понятия 3, 193
Ось вращения 150
Откладывание вектора 42
Отображение фигуры 36, 198
Отрезок 197
Параллелепипед 20, 122
—	наклонный 124
—	прямой 123
—	прямоугольный 20, 123
Параллелограмм 202
Параллельная проекция точки 26
—	— фигуры 26
Параллельность плоскостей 22
—	прямых 9, 200
—	прямой и плоскости 16
Параллельный перенос 20
Переместительность скалярного умножения 59
—	сложения векторов 45
Перемещение плоскости 199
—	пространства 38
Пересекающиеся плоскости 6
—	прямые 8
Пересечение фигур 196
Перпендикулярное сечение призмы 127
Перпендикулярность векторов 56
—	плоскостей 90
—	прямой и плоскости 67
—	прямых 57
Пирамида 128
—	правильная 128
Плоскость 3
Площадь круга 160
—	многоугольника 204
—	поверхности конуса 127
—	— многогранника 127
--- цилиндра 151
—	сферы 166
Поверхность конуса 152
—	цилиндра 151
Подобие фигур 207
Полуплоскость 198
—	открытая 198
Полупространство 9
Полупространство открытое 9
Построение биссектрисы угла 210
—	касательной к окружности 215
—	конгруэнтных частей отрезка 213
—	образа фигуры при гомотетии 213
----------осевой симметрии	212
—	—-----переносе 213
—	повороте 211
—	%-----центральной симметрии
—	окружности, вписанной в треугольник 216
—	—, описанной около треугольника 216
—	параллельных прямых 212
—	перпендикуляра к прямой 211
—	серединного перпендикуляра к отрезку 209
—	треугольника по гипотенузе и катету 211
—	угла, конгруэнтного данному 210
—	четвертого пропорционального отрезка 214
Правило многоугольника 45
—	параллелепипеда 53
—	параллелограмма 50
—	треугольника 45
Преобразование подобия плоскости 208
—	пространства 37
Призма 119
—	наклонная 120
—	правильная 120
—	прямая 120
Признаки конгруэнтности треугольников 202, 221
— параллелограмма 203
— параллельности прямых 200, 201
— подобия треугольников 208, 209
Признак коллинеарности векторов 49
— параллельности прямой и плоскости 16
—	перпендикулярности векторов 59
—	— плоскостей 93
—	— прямой и плоскости 67
—	скрещивающихся прямых 14
Принадлежность 5
Произведение вектора на число 48
Пропорциональные отрезки 208
Пространство 4
Противоположно направленные лучи 40
Противоположные векторы 46
Прямая 3
Прямоугольник 203
Прямоугольные координаты 109
Прямоугольный базис 105
Равенство векторов 42
Радиус сферы (шара) 154
249
MATHEDU.RU
Развертка поверхности конуса 152
---многогранника 119
— — усеченного конуса 153
--- цилиндра 151
Разложение вектора 51, 54
Разность векторов 46
Распределительность скалярного умножения 59
—	умножения вектора на число 49
Расстояние между точками 3
—	— фигурами 79
Ребро двугранного угла 8Э
—	многогранника 118
—	многогранного угла 95
Ромб 203
Связка параллельных прямых 19
Сегментная поверхность 228
Симметричная фигура относительно оси 199
—	— — плоскости 78
—	— — центра 199
Симметрия относительно плоскости 76
Скалярное произведение векторов 57
Скрещивающиеся прямые 14
Сложение векторов 44
Сонаправленные лучи 40
Сопряженные диаметры эллипса 143
Сочетательность скалярного произведения 59
—	сложения векторов 45
—	умножения вектора на число 49
Средний пропорциональный отрезок 209, 214
Средняя линия трапеции 203
— — треугольника 201
Сумма векторов 44
Сфера 154
Тело 227
Теорема 194
— косинусов для треугольника 217
Теорема косинусов для трехгранного угла 223
—	Пифагора 209
—	синусов 217
—	Фалеса 201
Тетраэдр 12
— правильный 133
Тождественное преобразование 37
Точка 3
Трапеция 203
Трехгранный угол 96
Угол 198
—	между векторами 56
—	— направлениями 56, 200
—	— прямой и плоскостью 86
—	— пересекающимися прямыми 56
—	— плоскостями 90
—	— скрещивающимися прямыми 56
У	множение вектора на число 48
Уравнение плоскости 111
—	сферы 155
Усеченная пирамида 131
Усеченный конус 152
Фигура 4, 196
—	вращения 150
Формула вычитания векторов 47
—	Герона 217
Хорда сферы 154
—	эллипса 113
Центральная симметрия 37, 199
Центр гомотетии 113, 207
—	сферы (шара) 154
—	эллипса 147
Цилиндр 150
Шар 154
Шаровой сегмент 228
—	сектор 229
Эллипс 147
MATHEDU.RU
УКАЗАТЕЛЬ ПРИМЕНЯЕМЫХ СИМВОЛОВ
Л£Ф	— точка А принадлежит фигуре Ф;
А£Ф	— точка А не принадлежит фигуре Ф;
Ф1 с= Ф2 (Ф1 qf Ф,)	— фигура Ф| является (не является) подмножеством
	фигуры Ф2;
Ф1 = Ф2 (ф,	ф2|	— фигуры Ф! и Ф2 совпадают (различны);
Ф1 и ф2	— объединение фигур Фг и Ф2;
Ф1 П Фа	— пересечение фигур Ф1 и Ф2;
0	— пустое множество;
{Л. В}	— множество, состоящее из элементов А и В;
(Л, В)	— упорядоченная пара точек А и В;
(АВ)	— прямая АВ;
[Лй]	— отрезок А В;
[Л В)	— луч АВ;
1 ЛВ1	— расстояние от точки А до точки В (длина отрезка АВ]
(0, R)	— окружность с центром 0 и радиусом R;
(АВС)	— плоскость, проходящая через точки А, В, С;
Ф1 — Ф2	— фигуры Ф£ и Ф2 конгруэнтны;
Ф1 OJ Ф2	— фигуры Ф1 и Ф2 подобны;
Е	— тождественное преобразование;
f-1	— преобразование, обратное преобразованию f;
ft 0 fi	— композиция преобразований fY и /2;
	— одинаково (противоположно) направленные;
zo	— симметрия с центром 0;
s.	— симметрия с осью 1;
«a	— симметрия относительно плоскости а;
	— гомотетия с центром 0 и коэффициентом k;
8 (Ц-)	— параллельны (не параллельны);
—	— скрещивающиеся (прямые);
±	— перпендикулярны;
z	— угол, двугранный угол, трехгранный угол;
A	— величина угла;
(<O)	— угол между прямыми;
	। -

mathedu.ru
(«С a)	— угол между прямой и плоскостью;
(a, b)	— угол между векторами;
(«Г₽) (7 7 k) a AB 0, AA	-	- угол между плоскостями; —	прямоугольный базис; —	вектор; —	нулевой вектор;
»а|=а, | AB| = | AB| — длина вектора;
а • Ь, АВ • CD а = (х; у; г) М (х; у; г) V	—	скалярное произведение векторов; —	вектор с координатами х, у, г; —	точка М с координатами х, у, г\ —	объем; —	следует; —	равносильны.
mathedu.ru
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1.	О логическом строении курса стереометрии. Основные понятия стереометрии ........................................... 3
§	2.	Аксиомы стереометрии	.............................. 5
§	3.	Следствия из аксиом	............................... 8
§ 4.	Проведение в пространстве прямой, параллельной данной прямой ...................................................... 11
§	5.	Решение задачи на построение	сечения	многогранника	.	.	12
§	6.	Скрещивающиеся прямые.	Признак скрещивающихся	прямых	13
§ 7.	Взаимное расположение прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости ............................. 15
§ 8.	Транзитивность параллельности прямых. Связка параллельных прямых .................................................. 18
§	9.	Параллелепипед ................................... 20
§ 10.	Взаимное расположение двух плоскостей. Признак гарал-лельности плоскостей ........................................ 21
§	11.	Теоремы о параллельных плоскостях ................ 23
§ 12.	Параллельная проекция фигуры. Свойства параллельной проекции .................................................... 26
§ 13.	Изображение фигур в стереометрии......................... 27
Задачи на повторение к главе I............................... 32
Глава II. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА. ВЕКТОРЫ
§ 14.	Отображение фигуры. Преобразование пространства	. . .
§ 15.	Перемещения пространства. Конгруэнтность фигур	. . .
§ 16.	Направление в пространстве ..........................
§ 17.	Вектор ..............................................
§ 18.	Сложение векторов ...................................
§ 19.	Противоположные векторы. Вычитание векторов..........
§ 20.	Коллинеарные векторы. Умножение вектора на число . . .
§ 21.	Компланарные векторы ................................
§ 22.	Применение векторов к решению задач .................
§ 23.	Правило параллелепипеда. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам ...................................
§ 24.	Угол между двумя векторами ..........................
§ 25.	Скалярное умножение двух векторов ...................
§ 26.	Основные свойства скалярного умножения векторов . . .
§ 27.	Применение векторов к решению задач .................
Задачи на повторение к главе II ...........................
36
38
40
41
44
46
48
50
52
53
55
57
59
60
63
1
253 | -
MATHEDU.RU
Глава III. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДВУГРАННЫЕ И МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
§ 28.	Признак перпендикулярности прямой и плоскости ....	67
§ 29.	Проведение перпендикуляра к плоскости ................ 69
§ 30.	Два перпендикуляра к плоскости. Ортогональное проектирование на плоскость .....................................	.	72
§ 31.	Осевая симметрия пространства ........................ 74
§ 32.	Симметрия относительно плоскости...................... 76
§ 33.	Две плоскости, перпендикулярные прямой ............... 78
§ 34.	Расстояние от точки до плоскости ..................... 79
§ 35.	Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых ....	81
§ 36.	Теорема о трех перпендикулярах ....................... 83
§ 37.	Угол между наклонной и плоскостью .................... 85
§ 38.	Двугранный угол. Измерение двугранных углов .......... 88
§ 39.	Признак перпендикулярности плоскостей............. .	93
§ 40.	Многогранный угол. Трехгранный угол................... 95
§ 41.	Свойства плоских углов трехгранного и многогранного углов ...................................................... 96
Задачи на повторение к главе III............................. 99
Задачи на повторение по курсу IX класса .................... 101
Глава IV. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 42.	Координаты вектора. Правила действий над векторами, заданными своими координатами ................................ 105
§ 43.	Вычисление длины вектора и угла между двумя векторами по их координатам ...........................................107
§ 44.	Прямоугольная система координат. Координаты точки . . 108
§ 45.	Уравнение плоскости ....................................ПО
§ 46.	Координатные формулы преобразований. Гомотетия ... 113
Задачи на повторение к главе IV...............................115
Г л а в а V. МНОГОГРАННИКИ
§ 47.	Многогранная поверхность.	Многогранник ..............117
§ 48.	Призма ..............................................119
§ 49.	Свойства параллелепипеда ............................122
§ 50.	Площадь ортогональной проекции многоугольника . . . 125
§ 51.	Площадь поверхности	призмы ............................127
§ 52.	Пирамида ..............................................128
§ 53.	Усеченная пирамида ...................................131
§ 54.	Понятие о правильных многогранниках ..................133
§ 55.	Общие свойства объемов многогранников. Объем прямоугольного параллелепипеда ................................. 134
§ 56.	Объем	прямой призмы ..................................136
§ 57.	Объем	наклонной призмы ...............................138
§ 58.	Объем	пирамиды .......................................140
Задачи на повторение к главе V ..............................142
Г л а в а VI. ФИГУРЫ ВРАЩЕНИЯ
§ 59.	Изображение окружности. Эллипс .....................147
§ 60.	Фигура вращения. Цилиндр ............................149
§ 61.	Конус. Усеченный конус ............... ..............152
§ 62.	Сфера и шар .........................................154
§ 63.	Сечение сферы. Изображение сферы ....................155
§ 64.	Плоскость, касательная к сфере ......................158
§ 65.	Обобщение задачи измерения объемов. Объем цилиндра . . L59
254 [ 1
MATHEDU
§ 66.	Объем фигуры, полученной при вращении криволинейной трапеции ...............................................  .	.
§ 67	Объем конуса .........................................
§ 68.	Объем шара ..........................................
§ 69.	Площадь сферы .......................................
Задачи на повторение к главе VI ...........................
Вопросы для повторения ....................................
Задачи на повторение по курсу X класса ....................
Исторический очерк ........................................
Краткая сводка сведений по курсу планиметрии ..............
Формулы геометрии .........................................
161
163
164
165
167
171
175
185
193
217
Приложения
Теоремы о конгруэнтности фигур (к § 31)	.............220
Проекция вектора на ось (к § 26)..................... 222
Теорема косинусов для трехгранного угла (к § 40)	.... 223
Необходимое и достаточное условие существования трехгранного угла (к § 41)	...............................224
Свойства плоских углов многогранного угла (к § 41)	... 225
Геометрическое тело (к гл. V и VI) ...................226
Обьем усеченного конуса, шарового сегмента и шарового сектора (к гл. VI) ......................................228
Площадь поверхности цилиндра, конуса и шарового сегмента (к гл. VI) . .	 230
Система аксиом геометрии, предложенная	Г.	Вейлем......233
Ответы и указания .......................................236
Предметный указатель	......................248
Указатель применяемых	символов .................251

MATHEDU.RU
ИБ № 1598
Владимир Михайлович Клопский Залман Алтерович Скопец Михаил Ильич Ягодовский
ГЕОМЕТРИЯ
Учебное пособие для 9 и 10 классов
Редакторы А. М. Абрамов, С. В. Пазельский Художественный редактор Е. И. Карасик
Технический редактор Л. Я. Медведев
Корректоры К. А Иванова и Г. С. Попкова
Сдано в набор 26/XI 1976 г. Подписано к печати 11/11 1977 г. 60Х901 lie- Бумага типогр. № 1. Леч. л. 16. Уч.-изд. л. 15,46-Нюрз. 0,34. Тираж 2800 тыс. экз.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Росглавполиграфпро-ма Государственного комитета Совета Министров РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, г. Саратов, ул Чернышевского, 59. Заказ 210.
Цена 30 коп.
MATHEDU.RU
mathedu.ru
mathedu.ru
СОВЕТСКИЕ УЧЕБНИКИ БОЛЬШОЙ СКЛАД НА САЙТЕ «СОЕТСКОЕ ВРЕМЯ» SOVIETIME.RU