МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
РСФСР
НОВОСИБИРСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. ЛЕНИНСКОГО КОМСОМОЛА
А. И. ШИРШОВ,
А. А. НИКИТИН
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ
ПРОЕКТИВНЫХ
ПЛОСКОСТЕЙ
Учебное пособие
4{'оς- t$t.
«& 1/И*4А+я-ь*\
НОВОСИБИРСК
1987

Уда 512.56+514.146
БЕК В 151.55
А.И.Ширшов, А.А.Никитин. Алгебраическая теория проективных
плоокостей. Сер. "Библиотека кафедры алгебры и математической
логики Новосибирского университета"; Вып. 21. Новосибирск,
1987. 84 о.
Учебное пособие содержит результаты, ставшие классическими,
а также результаты, полученные сравнительно недавно.
Основой изложения является подход, предложенный
А.И.Ширшовым,- рассматривать плоскости с точки зрения алгебраических
систем. Этот подход позволяет по-новому взглянуть на известные
проблемы и поставить новые задачи.
Пособие предназначено для студентов и аспирантов механико-
математического факультета.
Отзывы и замечания направляйте по адресу:
630090, Новосибирск, 90, Институт математики,
Никитину Александру Александровичу
НГУ
кафедра
алгебры
и

математической
логики
С) Новосибирский государственный
университет, 1987

Предисловие
Это издание - дань памяти моему учителю -
члену-корреспонденту АН СССР Анатолию Илларионовичу Ширшову.
Пособие включает записи лекций по теории проективных плоо-
костей, прочитанных А.И.Ширшовым в 1976/77 и А.А.Никитиным -
в 1981/82 учебных годах.
В изложении материала можно выделить два аспекта: включение
в изложение ставших классическими связей с геометрией и
комбинаторикой, теорией чисел и алгеброй, другой аспект -
осуществление на практике общеалгебраического подхода к теории
проективных плоскостей: изучение овободных и близких к ним объектов,
гомоморфизмов и подплоскостей, постановка и решение ряда
алгоритмических задач. Иногда эти аспекты перемежаются.
Учебное пособие состоит из двух частей. Первая (с. 4 - 34)
написана непосредственно А.И.Ширшовым, вторая (с. 34 - 73)
подготовлена А.А.Никитиным на основе различных публикаций.
В этой части продолжено изложение и приведены ответы на ряд
вопросов, интересовавших обоих авторов.
Сравнительно малый объем пособия не позволил включить
многие интересные результаты; часть из них помещена без
доказательства либо названа упражнениями.
Библиографический список, не претендуя на полноту,
составлен так, чтобы можно было получить более широкое представление
о теории проективных плоскостей и связях этой теории с другими
областями математики.
Выражаю искреннюю признательность Н.М.Чаговец за возможность
изучить архив А.И.Ширшова по теории проективных плоскостей.
Благодарю также А.С.Марковичева за предоставленный конспект
лекций и записки доклада "Проективные плоскости", сделанного
А.И.Ширшовым на Х1У Всесоюзной алгебраической конференции в
1977 г.
Выражаю благодарность за поддержку при подготовке издания
чл.-кор. АН СССР Ю.Л.Ершову, профессорам З.И.БоревичуД.А.Скор-
някову, Д.М.Смирнову и И.П.Шестакову. Заслуживают
признательности также зарубежные математики, приславшие ответы на ряд
вопросов: L.Batten, A.Bruen, F.Buekenhout, A.Evans, D.Hughes,
O.Iden, V.Jha, H.Johnaon, M.Kallaher, O.Kegel, G.Mason, T.Ost-
rom, S.Paine, G.Pickert, F.Piper, H.Salzmann И Другие.
Август 1987 г. А.А.Никитин

§ I. ОПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРИМЕРЫ
Всвду в тексте знак Π означает, что доказательство либо
окончено, либо отсутствует.
Изложение начнем с традиционного определения проективной
плоскости.
Определение Ι.Ι. Множество бЦз^] элементов
и некоторая система его подмножеств V= {гр} называются
проективной плоскостью < S, V> , если
(A.I) для любых двух различных элементов V,5я 6 6
существует одно и только одно такое подмножество vf е V > чт0
(Α. 2) пересечение любых двух различных подмножеств iru,
VneV состоит из 'одного элемента s^ е 5 : νΛη v^ = [бЛ;
(А.З) существуют по крайней мере два подмножества νΛ, TgtSf
оостоящие не менее чем из трех элементов каждое.
Предложение I.I. Множеотва б и V состоят
каждое не менее чем из 7 элементов. Каждое подмножество v^eV
содержит не менее трех элементов из 6 , а каждый элемент
δ,* 6 δ принадлежит не менее чем трем подмножествам из V .
Доказательство. Из (А.З) следует, что в <5.V>
оуществуют такие г, и ιξε V, что Г^^А-Ь^{5.'54.55.··.'},
а по (А.2) все St , ι = I,2,...,5, различны. (A.I) влечет
существование подмножеств v3={slrs4,... }, V4'{s3, ss,..)tv'^[bv
5ίν·.}>,iH5J.s44-nycTb 15б} = ППГ4, (57} = i£ni£.Тогда существует
и множество ν7= [ъ6,Ь7,...\. Легко видеть, что s£ и irt c =
= 1,2,...,7, различны. Последнее утверждение предложения
очевидно. □
Примеры. I. Доказывая предложение I.I, мы построили
пример минимальной проективной плоокости. В самом деле, если
для простоты вместо з^ будем писать только i , то множество
5„ = [1,2,3,4,5,6,7} с системой подмножеств ^ = {{i,2.J},(l,4,5},
{2ЛбЬ{э.5,бЬ{2,5.7},{з,4,Г},{^.7}}удааиетворяет системе аксиом (A.I) -
(А.З), т.е. является проективной плоскостью. Обозначим ее
через <60)V0>.
Замечание I.I. Значение (А.З) состоит в том,
чтобы исключить, например, следующий случай, не представлявший
интереса: 5= {s0 ,sf, s4,... ,s„,...,} , V-fts,, Sa,...,Sn...},{5o,s}v
4

..., { S„ , 3„ \,... Ι . Если бы не это обстоятельство,
ставящее элемент s0 в исклшитвльное положение, то ничто не мешало
бы рассматривать и такую проективную плоскость: 5= {5о3д.5э};
2. Пусть В - некоторый шар и δ - множеотво всех его
диаметров. Каждый большой круг шара будем рассматривать как
совокупность лежащих на нем диаметров и в этом смысле обозначим
совокупность всех больших кругов через Уе-{Ъс}, ν*. -
большие круги. Легко видеть, что пара < 5е, Vеу удовлетворяет
определению I, т.е. образует проективную плоскость.
3. Пусть Τ - произвольное псле и Т3 - трехмерное линейное
пространство над F . Далее, пусть 5F - совокупность всех
одномерных, a. VF - совокупность всех двумерных подпространств
пространства F 3.
Так как хорошо известно, что любые два различных двумерных
подпространства в F3 пересекаются по одномерному, то легко
понять, что и в этом доотаточно общем из-за возможности выбора
поля F случае система <SF проявляется проективной плоокостью.
Как и вообще для различных математических структур, для
проективных плоскостей имеет смысл понятие изоморфизма.
Определение 1.2. Проективные плоокости < 5,, Vf _>
и < 52 ,V>> называются изоморфными, если между элементами
множеств 5(и S2 существует такое взаимно однозначное
соответствие if , которое индуцирует взаимно однозначное соответствие
между элементами множеств Vf и V2 .
Бели в примере I множество -50 = (i,2,3,4,5,6,71 заменить
множеством St = <a,,e,c,d,e,{,y\, произведя соответствующую
замену £ в элементах множества v„ , то плоскости<50,Х > и
<&о ι V„ > будут изоморфны. Легко проверить, что этим
плоскостям будет изоморфна и плоскость <3F,VF > примера 3, если
поле F соотоит из двух элементов.
Покажем еще, что плоскость примера 2 будет изоморфна
плоскости <6F, VF> в случае, когда F - поле К действительных
чисел. Для установления соответствующего изоморфизма ψ
введем в J?3 метрику, т.е. зададим скалярное произведение, и
через В обозначим шар B={a^TR3, /а/-Л.
В качестве (р можно принять простое соответствие между
диаметрами и одномерными подпространствами - точки каждого
диаметра лежат в одном одномерном подпространстве.
5

Естественно, что изучать проективные плоскости
целесообразно лишь о точностью до изоморфизма. Однако достаточно важными
для изучения объектами являются нетривиальные изоморфизмы
плоскости с ней самой, так называемые автоморфизмы .
Определение 1.3. Взаимно однозначное отображение
φ множества δ на себя называется автоморфизмом плоскости
< 5, V > ι если оно индуцирует взаимно однозначное отображение
множеотва V на себя.
Нетрудно проверить, что подстановки if= ('/^^/2 ) и
φ-^( 1гЛ5 74 ζ ) являются автоморфизмами плоскости <50У0у
Любое самосовмещение (на самом деле, вращение около некоторой
оси) шара В из примера 2 может быть истолковано как
автоморфизм ооответотвующей плоскости.
Последовательное выполнение (произведение) двух
автоморфизмов является автоморфизмом. Относительно этого произведения
автоморфизмы плоскости Ρ образуют группу Αυί 2». Строение
группы Aid v может быть веоьма сложным и тесно связано со
структурой шюскооти ν . Несложно проверить, что приведенные
выше автоморфизмы f и φ плоскости <S0,VV> имеют в группе
Avi<&o,\> порядки соответственно 3 и 7, причем автоморфизм
ψ оставляет неподвижными элемент 4 и множество [1,3,6] ,
тогда как у автоморфизма φ неподвижных элементов нет. Если
JR - поле действительных чисел, то в группе Aui(.SK,\y
имеются автоморфизмы любого конечного порядка и бесконечного
порядка. Тривиальное замечание о том, что из изоморфизма
плоскостей £ и ψζ следует изоморфизм групп Auif1 и АгАфг,
сводит предыдущее утверждение к свойствам группы автоморфизмов
плоскости примера 2.
По историческим причинам принято элементы множеств S, V и
Ανί<&,~4> плоскости <5,V> называть соответственно точками,
прямыми и коллинеациями. Эта терминология оправдана тем, что
"картинками" можно иногда иллюстрировать изложение. Например,
плоскость <S0, V„ > изображается следующим образом (рис. I -
латинскими буквами обозначены "прямые", т.е. элементы
множества V , а "точки" обозначены цифрами).
"Картинки", как и в геометрии, доказательной силы не имеют;
они лишь иллюстрируют и оживляют доказательство. Если
изобразить на картинке проективную плоскость из 91 точки и 91 прямой,
6

то это скорее окончательно запутает
читателя, чем что-либо прояснит. Тем не менее
хотя сущеотвуют и другие, часто более
удобные, споообы иллюстрации, иногда будут
использоваться и "картинки".
Упражнение I.I. Построить
проективную плоскость с четырьмя точками на
каждой прямой (в ней будет 13 точек, 13
прямых и через каждую точку будет "про-
Рис. I ходить" 4 прямых).
§ 2. ВТОРОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Вернемся к примеру 2 § I. Изучаемый объект нисколько не
обеднеет, если вместо больших кругов ограничиться лишь
рассмотрением окружностей этих кругов. По-прежнему два диаметра
определяют единственную окружность, проходящую через их концы; по-
прежнему две различные окружности определяют единственный
диаметр, соединяющий две точки их пересечения.
Вроде бы ничего не случилось и вое осталось на месте. На
самом же деле рухнула одна из исходных концепций: "элементы
из V являются подмножествами элементов из δ ". Если круг
(тоже с некоторой натяжкой) можно считать как бы сложенным из
диаметров, то относительно окружности никакая натяжка не
поможет.
В данном случае 6 и У - различные множества, никак не
связанные отношением включения, но тем не менее позволяющие
с их помощью изучать строение <S,V>.
Еще одно соображение в оправдание последующих "спекуляций".
В определении I.I элементы множества δ занимают
неравноправное положение по отношению к элементам множества V .
Каждый элемент г/^е У как бы подчиняет себе несколько
элементов из а , а иногда и бесконечно много. Они принадлежат ему,
входят в него.
В действительности же, и в этом одна из заслуг проективной
геометрии перед математикой в целом, множества 5 и V -
равноправные партнеры. Все различные "двойственности", "теоремы
двойственности", которых в современной математике обнаружено
7

достаточно много, имеют единого идейного предка -
двойственность проективной геометрии. С намерением подчеркнуть эту
двойственность дается следущее определение.
Рассмотрим два непересекапцихся множества Х"жсХ и их
объединение X=XeVX. Элементы множества будем обозначать
латинскими буквами с индексами или без них (например, <ьр,*со, ου )
в зависимости от того, принадлежит ли данный элемент
соответственно множествам Xе, "X или X (если нам безразлична его
принадлежность). Пусть далее на множестве X определена
частичная бинарная коммутативная алгебраическая операция
(произведение), заданная лишь для всех пар различных элементов,
принадлежащих к одному и тому же из множеств Х° , "X со значениями
в другом множестве: а*а/е*Х·, Λα/*ρωεΧ0. Выражения вида
а?» Λ» и а,*си лишены смысла; выражения вида а£=с
означают либо <Л iP~"c и а^Ф 4Р , либо лсо*Ч =· сг ъ*а+%.
В дальнейшем, если зто не вызывает недоразумений, символ
частичной операции будем иногда опускать.
Определение 2.1. Алгебраическая система <Х,(Х°
"X),* >, где (Х° °Х) - разбиение множества X , * -
частичная бинарная операция с указанными выше свойствами,
называется проективной плоскостью, если:
(Б.1) для любых элементов а., ё и с из X , для которых
определены произведения аб, ас, (а.6)(а,с) , выполняются
равенства ο/£«£α., (а6)(ас)=сь;
(Б.2) существуют такие элементы <ь, €,ctd,e,f,Q,h, что
определены и попарно различны произведения o£,ic,cd,dcu,ef,^,ah,he,
и выполняются равенства а£=е, £c=f, cd=o, Ja-h,ef*S,fb=c,Qh=<j,he=a.
В дальнейшем запись с = \a,f,cu,,...,a,„], где π > г ,
означает, что существуют такие элементы S1t 6&,.. ,ёп,с, что с=а>,ё=
~а/&£г=...= &„€„. Иногда элемент с будем также обозначать
через Га>..д«... .а.,1-
Предложение 2.1. Если ai = ёс и сь*с, то аё=ас.\3
Определение 2.1 ставит множества Х'я°Х совершенно в
равное положение. Нашей ближайшей задачей является доказательство
эквивалентности определений I.I и 2.1.
Предложение 2.2. Если а£ = cd и а* с , то
aS = ac.
Доказательство. Пусть ai> а-с. Тогда Ά=φ£χαε)=
= (cd)(сьс)-с. Противоречие. □
8

Предложение 2.3. Бели аЛ= е, то существует
такой элемент f , что ef= £.
Доказательство . Из (Б.2) следует, что
существует такой элементе, что сь^с , β Φ с, определено произведение 1«
и выполняется неравенство «·**&; , поэтому из (Б.1) получаем
(ai)(it)=t и ef=£. π
Предложение 2.4. Если определено произведение
((аё)х.)ё, то «а£)х,)ё = а4.
Доказательство. Пусть С - такой элемент,
выбранный в силу (Б.2), что с А 6 , определено £с и ai^ic .
Тогда из (Б.1) и определения произведения (Ха£ух)ё получим,
что έβΦ χ и (&аё)я.)ё=((аА)х.)((аё)(6с)) = аё.и
Предложение 2.5. Каждое из множеств Х° "X
содержит не менее чем по 7 различных элементов; для каждого
элемента -х- существует по крайней мере три таких различных
элемента и/, гг, иг, что гсгг=и,иг=я..
Доказательство. Из аксиом (Б.1) и (Б.2)
следует, что множества Л° "X содержат соответственно
подмножества {<*, В, c,d,(ai)(cd), Cqc)(U), (cu])Cic)\t {e, f.f.hfcf)($/,),(e^)Cfh),(eh)Cff^■
Легко проверять, что каждое из этих множеств удовлетворяет
первой части условия предложения. Приведем неоколько из
соответствующие шаблонных проверок. Пусть (aJ)(cd)=c, тогда из
аксиомы (Б.1) и предложений 2.3 и 2.4 следует, что ac=[(ai>(cd)]cL=
~ai=6c , т.е. e = f · Противоречие.
Пусть (ef)iyh)=Ceg)Cfh).Умножив на ^ , имеем fh =&f и,
как в предыдущем рассуждении, приходим к е = А . Остальные
аналогичные рассуждения оотавляем читателю.
Одно из выписанных множеств (безразлично какое) лежит в
X" , а другое - в °Х . В каждом из них легко указать такие
три различных элемента к, е, i , что κι - κί и хкф кб.
Тогда МОЖНО ПОЛОЖИТЬ W = Λ.Κ, V" Λ.6 , UT= яЖ. Π
Предложение 2.6. Существует минимальная
проективная плоскость, в которой каждое из множеств JC? °Х
состоит из 7 элементов и для каждого элемента д> существует ровно
3 таких элемента w, ττ,τιτ, для которых гогГ=иит= ос.
Доказательство. Пусть Х°= [ί.,2.,3,4,5, б, 7l;
°X=[a,e,c,J,e,{, §г|. Зададим операцию на X=X°U'X
следующими таблицами умножения:
9

2
3
4
5
6
7
I
Χ
a,
tv
б
e
с
с
2
α
Χ
о,
d
9
ά
9
3
си
а,
f
i
i
f
4
e
d
f
e
d
f
5
e
9
6
e
i
9
6
с
d
6
d
ё
X
с
7
С
у
f
f
9
с
)<
a>
ё
с
d
е
f
9
а
У
3
I
2
I
3
2
£
3
X
6
6
5
.3
5
С
I
6
X
6
I
7
7
d
2
6
6
4
4
2
е
I
5
I
4
4
5
/
3
3
7
4
4
7
Ϊ
2
5
7
2
5
7
После всего сказанного ясно, что если имеется проективная
плоскость < 5,V> в смысле определения I.I, то, полагая δ=Χ°
V=X &ι&^ = ιΓκ , где хгк - единственный элемент, содержащий
как ^ и Sj , так и 0^=3*, где {sKy=vinVj ,
получим проективную плоскость в смысле определения62.Г. Проверки
заслуживает, быть может, лишь (Б.1). Однако (sfsAxsiSj)=sf»
поскольку (различные) множества ις и гг , где ^=sfsi,vj,"S16r
оба содержащие 5f , в пересечении дают {s'f};(ij ^)(ις»};= г^,
так как (различные) элементы ζς гг irf ir3 из 5 оба лежат
в V, .
Докажем теперь, что для любой системы <jf, CX°, 'Х),*>
удовлетворяющей определению 2.1, можно указать такие множества б
и V , что плоскость < 6,V > будет удовлетворять определению
Ι.Ι, а раосматриваемая с точки зрения определения 2.1 плоскость
<6,V> будет изоморфна оистеме <Х,(Х','Х),*>.
Итак, пусть задана система <χ,(χ°τ °Λ),*>. Положим А0-5.
Каждому элементу 'а/€.'Х поставим в соответствие
подмножество Τ 'си всех таких элементов cui из X" ,для каждого из
которых существует элемент а,·, что а>£ си j - "а,. Очевидно при этом,
что в подмножество Τ °а, попадает и элемент о-, . Через Υ
обозначим множество {TuJ.
Соответствие <р .· α?έ А· <&°; "ад Д· Т°а^ является
изоморфизмом. В самом деле, из α£α£ =βαν следует, что а>"еТЬ^,
cvjeT'a^ff , но Γβα^ - единственное из наших подмножеств,
содержащее элементы о^." и а?· . Кроме того, из V'a^-a-",
10

а,' С "a-j °ase.) = '^i и β>ϊ" С<ьк "α*;) - "(Ьк следует, что
о£е Г"ал π Τ°сик, а различные множества Т"«, пересекаются в
точности по одному элементу, т.е. T'o/γ ЛТЪ^Я/ЛП
Вернемся к нашим таблицам умножения. Если натуральные
числа считать точками, а латинские буквы - прямыми, то мы можем
изобразить эту шюокость "картинкой", которая соответствует
уже приведенной. Если же, наоборот, точками считать латинские
буквы, а прямыми - натуральные числа, то получим другу»
"картинку" (см. рис. 2).
У нас не было никаких оснований
предполагать, что новая "картинка" не будет
отличаться от прежней. Если бы она
оказалась другой, то тем не менее она
"изображала" бы ту же самую проективную
плоскость. Заметим, что переход от рис. I к
рис. 2 осуществляется при помощи ПОДСТа-
новки <* = [a,ectalfi61Sm)> *>»?■*
Рис. 2 с точки зрения общей теории
алгебраических систем несомненно задает автоморфизм,
однако в наших специфических условиях это нечто особое.
Подстановкой <*- осуществляется такое взаимно однозначное
отображение множества X на оебя, при котором элементам из X"
соответствуют элементы из "X и наоборот.
За автоморфизмами плоскости, о которых шла речь в
определении 1.2, сохраним термин коллинеация ;
автоморфизмы частичной алгебраической системы IX", °Х), аналогичные
автоморфизму ос (меняющие X' и "X ), по традиции будем
называть корреляциями.
Заметим, что корреляция <*- имеет порядок 2: ос*"= &
тождественное отображение. Так бывает не всегда.
Упражнение 2.1. Симметрично относительно оси 5
отобразите рис. 2 на себя. Образуйте естественную (графически)
корреляцию с помощью рис. I на полученный рисунок. Определите
порядок этой корреляции.
Исследуем, однако, более внимательно рассмотренный случай.
Совпадение "картинок" (рис. I и 2) говорит об изоморфизме двух
различных интерпретаций проективной плоскости.
А это означает, что любое предложение, справедливое для
II

"точек" и "прямых" плоскости <6„,Ve> будет справедливым, если
в нем слово "прямая" заменить словом "точка" и наоборот.
Вернемся к классической ситуации примера 2 § I. Между
диаметрами и большими кругами шара 3 существует взаимно
однозначное соответствие ортогональности. Из элементарно
геометрических соображений сразу же следует, что зто соответствие
является корреляцией. К сожалению, "картинки" здесь нарисовать
не удастся, но не так уж трудно показать, что,будь они
нарисованными, их нельзя было бы отличить. Таким образом, для
рассматриваемой проективной плоскости <6В, V*>,которая, как уже
известно, изоморфна проективной плоскости < &д,У^У, где Μ
поле действительных чисел, справедлива теорема двойственности.
Какое отношение зто имеет к обычной геометрии, постараемся вы-
яонить в следующем параграфе.
§ 3. ТЕОРЕМА БАЛЛА
Пусть некоторый шар В расположен на некоторой (обычной)
плоокости ОС . Тогда, принимая центр шара В за центр
проекции, можно сопоотавить каждой точке плоскости ot и каждой ·
ее прямой соответственно диаметр и большой круг шара В . И
обратно, кроме неприятного обстоятельства, когда зтот круг
параллелен плоскости 01 , можно проделать соответствующую
процедуру. Очевидно, что между плоскостями ОС и < 5й, V*>
почти установлено взаимно однозначное соответствие.
Однако слово почти в математике требует либо точного
определения, либо доопределения основного понятия, где ато
"почти" уже не требуется. В нашем случае понятно, что любой точке
окружности диаметра большого круга, параллельного плоскости
01 , соответствует лишь общее "направление" параллельных
прямых. Это и приводит к необходимости дополнять обычную
(аффинную, как ее называют) плоокость некоторой "бесконечно
удаленной" прямой и ее "точками". Это можно сделать.
В обычной геометрии встречаются ситуации, вроде описанных
на рис. 3, 4 и 5. Эти оитуации соответствуют трем различным
теоремам действительной (аффинной) плоскости.
Предложение 3.1. Если точки Aj, А2> A3 лежат на
одной прямой, а точки Bj, B2, В3 - на другой, то
12

Рис. 3 Рис. 4 Рис. 5
а) если Ср Cg, Cg - точки пересечения соответственно пар
прямых А2Вз и А3В2 AjBg и AgBj, А1Б2 и А2В1" т0 точки срс2·
С3 лежат на одной прямой;
в) если C-j- и Cg - точки пересечения соответственно пар
прямых AgBg и АдВг,, A-j-Вз и A3Bj
и прямые A-j-Bg, A2Bj параллельны, то параллельны и прямые AjBg,
С1С2;
с) если прямые kjB^ и A3Bj, так же как и прямые AgBj и ^3^2'
параллельны, то параллельны и прямые AjRj, A2Bj.D
Однако для действительной проективной плоскости мы имеем
лишь одну теорему.
Теорема Паппа. Если в плоскости < &г, Ут>,где
F - поле, для элементов а/,ё,с,т,л, ρ определены
произведения (ал^ёт), (<%р)(ст),(£р)(сп)Л при ЭТОМ fg,, ё, с~\ , [яг, п, р~) ,
ТО [ (ап)(6т), (ар)(ст), (6р)(сп)].Π
Приведенная теорема охватывает не только случаи "а", "в",
"с" предложения 3.1, но и двойственные к ним случаи, которые
при желании можно изобразить соответствущими "картинками".
Не будем сейчас доказывать теорему Паппа, так как'это
будет сделано позднее и в полном объеме. Предыдущие и
непосредственно следущие рассуждения носят лишь вводный характер.
Если в ситуации начала этого параграфа плоскость ОЬ
дополнить окружностью большого круга шара В , который (круг)
параллелен плоскости ОЬ , и диаметрами этого большого круга, то
пополненную таким образом "бесконечно удаленной прямой" и
"бесконечно удаленными точками" плоскость 01* можно поотавить. в
изоморфное соответствие с плоскостью 4δΒ, VB>, так что каждый
из диаметров дополнительного большого круга будет
соответствовать самому себе.
13

Можно считать, что любые две параллельные прямые плоскости
оь переоекаются по одной бесконечно удаленной точке, а именно
по единственному диаметру из ot*, параллельному каждой из
указанных прямых. Легко проверить, что расширенная плоскость оь*
удовлетворяет определению 1,1, и в смысле определения 1.2 она
изоморфна плоскости < &в, VB>. Любое вращение шара В задает
автоморфизм плоскости < δ3,\β}, а следовательно, индуцирует
автоморфизм плоскости Ot* . Но с помощью вращения можно диаметр
(бесконечно удаленную точку) перевести в любой диаметр. После
приведенных раосуждений становится ясно, что утверждения "в"
и "с" можно считать частными случаями утверждения "а".
Может возникнуть недоумение в связи с формулировкой теоремы
Паппа.
Теорема П°. Если в проективной плоскости ζχ ,(х'°Х)**>.
для элементов со° 6° с°,т' п' р" определены произведения
C^0n')C6'm'),(a,'p')(c'm0),(g''p')(ciffX при этом [а?Л°,с°},\т° η", ρ»J , то
Г(а/°п^( 6"М), (cu'fuc'nf), (l°p°)( c-Vfll-
Теорема °П. Если в проективной плоскости<х,(х°0Х),>
для элементов °ev,'(>,°c,'rn,°n,°p определены произведения (Ь,°"К°^Ц,
(.b°?K°c«m),$°ii)Cc°n) и при этом [°α/,°6.·&1,Γ^,°η,°Ρ3 , то
ГСа.'пН'б'т), С<ь°Р)(°с°тпЬ Сё'Р)(Ъ°п)Ь
Конечно же, не очевидно, что эти утверждения эквивалентны.
На самом же деле справедливо следующее утверждение
двойственности.
Теорема 3.1. Из справедливости теоремы П° следует
справедливость теоремы °П, и обратно.
Доказательство. Пусть в < X, СХ° °Х ),*>
справедлива теорема П°. Пусть, далее, 'use^'afc^a?; 'т°п~°т',р=тп'>;
°а,'р= n,°c°Ti = e0i "m'c^C, °ё°р = р'. Так как
аи"6° = afc° =°Ci τπ°η°= τη°ρ°= "ρ , ТО [(а,'л°)(ё°т°)][(а.°р°)(;с°т°)] =
=-[(а0л°Я#Ы0)][(£0р0Хс,>77,>/|· После замены имеем (?а,'щс6°т)=
= (&°л;{[(°с°л;(^р)][(<>/77°схЬ0р;]1.Умножив обе части на СсоУ)С^1°с),
получим [Сл0/»)(огв771)Д^(^>(»от'>С)]=[С^»р)(°с0л^[(о;рЯ'с<'гп)],
что и требовалось.U
Назовем теорему инверсной , если из ее
справедливости в какой-либо проективной плоскости следует справедливость
в этой плоскости двойственной теоремы, т.е. такой, когда роли
множеств Х°ж°Х меняются местами. Выше доказана инверсность
14

теоремы Паппа. Если ограничиться плоскостями, обладающими
корреляциями, то всякая теорема (для этих плоскостей) будет
инверсна.
Заметим, что теорему Паяла нельзя доказать с помощью
аксиом определения I.I (а следовательно, и 2.1). Другими словами,
существуют проективные плоскости, в которых теорема Паппа
справедлива (папповы), и плоскости, в которых она несправедлива.
В заключение этого параграфа докажем следующую теорему.
Теорема 3.2. Проективная плоскооть <&F,VF> , где
Г - поле, паппова.
Доказательство. Очевидно, что достаточно
доказать одну из двойственных теорем.
Пусть о/, 6, с,т,п,р - различные одномерные
подпространства в к3 ; си, 6, с лежат в двумерном подпространстве V ,
а от,л, ρ - в двумерном подпространстве КГ ; гг■£ W. Если
χ, φ - векторы из подпространства Ε , то через<;х, ΰ>
обозначим подпространство, порожденное элементами ли у .
Пусть далее O^eeirnW; Otdicu; О*- Ъет - такие
фиксированные ненулевые векторы соответствующих подпространств,
отличные от рассматривавшихся, что <(ё}>+<(с?}>=1Г;<(ё}>+<{3}> = КГ
и при некоторых фиксированных <=ci? ргек ъ= i z ъ
тл = <{2 + р15}>; 77 = <{е *j94S}>; р=<[е +^5}>; о£,оС^оС3 * О;
Р<Р*Рз*°'> <*i*<*Ji pi^-Pj ПРИ itj.
Простой подочет показывает, что
% = Сёр)(пс) = <{Сссяргллрл;ё+осЛφ,-Ρζ^+Ρ*Д (αί^«*>sJ>i
%=(ap)(mc) = <{(ctili1-*3pi)e+*j<*1(fir/!>3)3^/9J/i>l(cc1-cC3)S}>j
q} = (a.n)C6m)= <(ofiyeA-0ctyef )e f сс<0сг Cpz-/9f) d +/Э, fiJ^-cC^)S}>
и что <^1p1% <-°^^г9г + ойлв3о, =0. Другими словами,
подпространства <j,f,9i' ^з лвнат в одном двумерном подпространстве,
т.е. |~<^, д,д , д,^]. Аналогично рассматриваются оотавшиеся
случаи. Π
§ 4. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ПРОЕКТИВНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Простая теорема объясняет, что совпадение числа элементов
в множествах γ и δ рассматривавшихся проективных плоокостей
не случайно.
Теорема 4.1. Пусть <Т, (jc' "X)*> - некоторая проектив-
15

ная плоскость и каждому ее элементу со поставлено в
соответствие множество Т& : Т^» {ёе.Х 13с, ёс-аЛ , тогда
1) все множества Та, равномощны;
2) равномощны и множества Х'я °X .
Доказательство . Легко видеть, что если сье'Х,
то Ta,sJf", если же а>е X" , то Τα,^'Χ .
Поэтому утверждение I) будет доказано, если доказать
наличие взаимно однозначного соответствия между любыми множествами
То^ и Tgp ,лсье°Х; S^eX" , причем можно ограничиться
случаем, когда °Ь>^ Tgp (это автоматически означает, что
Отображение ψ определим следующим образом: (с)(р=с(ыа,),
если се.Тдр ж (d)<p°*d6P , если deT*a, ■ Определение
корректно, так как отображение ψ инволюгивно. В самом деле,
(c<f)<f=[c(b,)]eE'((f'cbXcrci)=c. Оно, разумеется, взаимно однозначно,
так как, например, из равенства ci(fciif=cfCb)=ci('ia^)
следует, что cf = ci. Первое утверждение доказано, т.е. все
множества Т^ равномощны.
Для доказательства второго утверждения зафиксируем такие
четыре различных элемента со", ёсеХ", "а,"ёе°Х , что
Га," ё'ЪГё!,atfVЬ; а-'Р* '6 и ГЪ,,фе.а,'бП. Ь/ё*а?, ЪЯ*ё'
Определим отображение ψ элементов множества X'U'X сле-
дуицим образом. Положим ίοφ- [(а>'с)°а.][(6'с)'в] , если сеХ°\Т ,
я (с)Ч>=[(оас)а/][(0ёс)ё°'] , если ое°Х\Т.^^.
Заметим при атом, что равенство а?с= "а- невозможно, так
как из него следовало бы, что Ca°c)'S = 'a/S, а?с =(°а/'£)С,
ььТа/Ч' · Из равенства же, например, (а,°с)°а,=(ё'с)°ё
следовало бы а>"с= S'c и снова ceT^g·· Поэтому отображение ψ
пока не определено лишь для элементов множества Та,°ва υ т°а?£'
Однако по первой доказанной чаоти теоремы множества Τα,'β* и
Τ-φββ равномощны, поэтому можно расширить отображение ψ
таким произвольным взаимно однозначным соответствием между
множествами T^g, и ТЯа/В£ , при котором ω"ψ = %; βΌφ=%.
Расширенное отображение и будет взаимно однозначным
соответствием между X" и "X . Проверка инволютивности и
однозначности тривиальна. Например, если \(с&с)0а,у[(ёос)Ч>\(а?а)'а,][<$о4Щ,
то после умножения на "В получим {ίΧ)°ί, = ^β°ά)°% = 60Σ1
Следотвие 4.1. Если положить, что в каждом из мно-
16

жеста Та, конечной проективной плоскости <Х,сА'*'Л),*>
содержится ты-1 элемент, то каждое из множеств X", 'X содержит по
777= лг *■ л + £ элементов.
Доказательство . Зафиксируем некоторый элемент
о>β X и рассмотрим множество $"- { Tg l<teTgl. Любые два
различных элемента из Ψ имеют общим элементом только as. В
самом деле, пусть (veTg,cveTc, JeTg, deTc. Тогда
существуют такие элементы s , Ъ, ρ, <γ , что o-s= dp =6; cd=Jfy = c,
и поэтому €с= со = d . Кроме того, любой элемент оеТЛС,Тс^
если произведение ас имеет смысл. Остальное очевидно.Π
Упражнение 4.1. Доказать, что множества вида 7^,
образуют проективную плоскость, изоморфную исходной, если
положить Та Те - Тс, где [с\ = Г^л Ί>.
Для конечного случая нельзя не отметить одно весьма
любопытное обстоятельство.
Начнем несколько издалека.
Задача 4.1. В ящиках разложены шары ν различных
цветов. В каждом ящике содержится ровно к шаров, цвета
которых различны, а в любых двух различных ящиках имеется ровно
по я шаров совпадающих цветов, ν~> к> ? *>■ о. Доказать, что
шары любого фиксированного цвета содержатся ровно в к ящиках,
а для любых двух фиксированных цветов имеется ровно я ящиков,
содержащих шары того и другого цвета. Кроме того, к-л = кг-ггА.
Решение. Перенумеруем ящики и цвета. Составим тгх гг-
матрицу А , полагая а^у=ι , если в ящике с номером ь есть
map цвета j , и а^у = о - в противоположном случае. Ясно, что
в каждой строке матрицы А имеется к единиц, ν- к нулей и
скалярное произведение любых двух различных строк равно λ .
Нам нужно доказать, что в каждом столбце матрицы А ровно к
единиц и скалярное произведение любых двух различных отолбцов
равно λ . Очевидно, что ААТ^ SiK л-(,к-а)£г + ли^, где
Ат- матрица, транспонированная к А , Σν- единичная матрица,
а гь - матрица, все элементы которой суть единицы. Доказать
же нам нужно, что АТА =JOKt λ , т.е. перестановочность
матриц А и Ат. Пусть Si-Σ Qui ■ Тогда
Σ ou.-Si = Σ Σ a/iia,x..=Mir~i) + K~t.
Пусть J'1 J J WW '·> "J
17

ν ν* ι
ν
столбцы матрицы в . Если учесть, что 2? <&т = кгг и зто
число равно числу единиц в матрице А , то очевидно, что
s16i + $zi&+~. + sir6ir=i>ejri_i,a поэтому /в| = 0.
Так как /Г
4L
ΒΒΓ=Ι Ι c0«+i,^+i
•у ν ...rs / где г - к *■ кН~1 г s=
= lT^KlVib~i , TO ИЗ ТОГО, ЧТО IBB'\ = S\ £DXl.i-Tib-i7Ti+i-rfi\*
- s(K-;if Γ"ί; [κ-Λ+Bt-я+ί - νζ s~ι) ], следует равенство
κ- λ *■ тг(л *■ ί- r^s'1) = ο , которое равносильно равенству
к- Я = к2 - νλ.
Пусть τί= - λ и c=f [ZZZI ^ VТогда ССт=(к-л)Е1Г1_1 ,
\тг...г -к /
поэтому ССТ= СГС. Из последнего следует, что и ААГ=АГА.П
математическая суть не изменится, если нематематические
понятия, используемые в условии задачи (ящики, шары, цвета),
заменить математическими.
В частном случае, когда к= η + ι, λ= ι , доказана
Теорема 4.2. Если из множества V , содержащего гт
злементов, выбраны такие ν подмножеств по ты-1 элементу в
каждом, что люзые два подмножества имеют в точности один
общий элемент, то Ι) ν= πζ + η +■ i ; 2) любые два элемента
одновременно входят лишь в одно подмножество; 3) любой элемент
принадлежит ровно ти-i из выделенных подмножеств.D
Ранее было доказано, что IX"1=1 "XI. В конечном случае, как
показывает теорема 4.2, если заранее считать, что ΙΧΊ= ΓΧΙ,
то в определении проективной плоскости можно ограничиться
лишь половиной условий. Традиционно число п>, рассматриваемое
в теореме 4.2, называют порядком проективной плоскости
Замечание 4.1. При решении задачи было
использовано лишь то, что у матрицы А совпадают скалярные квадраты
строк, окалярные произведения любых двух различных отрок и
суммы элементов строк. Поэтому доказательство годится для
любой матрицы А с этими условиями, а не только для матрицы,
элементы которой суть нули или единицы.
18

§ 5.ПРОЕКТИВНЫЕ И АФФИННЫЕ ПЛОСКОСТИ
Проективная плоскость <SR, У|?>,гдв К - поле
действительных чисел, получена в § 2 дополнением множества прямых одной
прямой и каждой прямой одной точкой, лежащей на атой
(бесконечно удаленной) прямой. Возможен и обратный процесс. Бели из
действительной проективной плоскости удалить единственную прямую
и все точки атой прямой, то получится обычная действительная
плоскость (двумерное действительное пространство).
Попробуем рассмотреть зту операцию в общей ситуации. В
проективной плоскости <.Х,(Х° °Х),*> множества X"и °Х равноправны.
Удалим один элемент из одного из них и некоторое подмножество
из другого. Очевидно, что после этого равноправие нарушится.
Это можно увидеть из следующих операций о плоокостью <S, Д>
примера I из § I (рис. 6).
Рис. 6,а Рис. 6,6 Рис. 6,в
Рис. 6,6 получился из рис. 6,а удалением элементов ё,з,5,б;.
а рис. 6,в - удалением элементов з, о>, 6, f ■
В результате получились хотя и двойственные, но не
изоморфные "картинки". На первой - 4 точки и 6 прямых, на второй -
6 точек и 4 прямых.
Как отмечалось выше, слова "прямая", "точка" не несут
смысловой нагрузки, и поэтому для наших целей одинаково хороши
как рис. 6,6, так и рис. 6,в; однако, не желая дальше
утяжелять изложение, будем говорить, когда это будет удобно, что
удаляем прямую.
Итак, из проективной плоскости <Х,(Х"Г °Х)#>удаляем элемент
а? е Xе и все элементы множества 1^„а ° X. Посмотрим, что
19

можно оказать об оставшейся алгебраической сшствив <Х,(Х°"%),£>,
где Х'=Х°\{а>0}, °Х='Х \ТЙ/. и X=X°U'X ,
относительно имевшейся в системе <Х,(Х°°Х),*> частичной
алгебраической операции:
(B.I) для любых различных элементов °ё, Ъе°х существует
а>'= 'ё'с;
(8.2) для некоторых элементов 6", с"е X" выражение б'с"
не имеет смысла (если в плоскости <Х,СХ°Х),»> выполняется
включение ё'с"е. Та," ). В этом случае будем говорить, что
S" и с" параллельны;
(8.3) для любых элементов £"и "с& Tg* существует
единственный элемент d" е Τ ^ , параллельный £" ;
(8.4) совпадает с (Б.1) из § 2 при условии выполнимости
всех операций;
(8.5) существует по крайней мере в одном из множеств Х'г
"X подмножество из 4 таких различных элементов си-,, а,2, ab,ai7
что отношение [д>/,со- , сук] не выполняется ни для какой
тройки различных элементов этого множества {ai,l*'Z,a,i, сьЛ .
Определение 5.1. Алгебраическая система <χ°ΰ'5ί,
(Χ",'Χ),ά/> с коммутативной частичной операцией со на
множестве Χ°υ°χ, удовлетворяющей условиям (В.1)-(В.5), называется
аффинной плоскостью.
Элементы множеотв X" и "X называются соответственно
прямыми и точками. „_
Примеры аффинных плоскостей. I. X"=[a-,o,d,e,f,^J,
°Х= [i-,z,4,7} (см. рис. 6,6). Таблицу "умножения" составить
легко. Параллельные прямые: aif ; си<1;еиу,
2. Пуоть Кг-^ двумерное линейное пространство над
произвольным полем К ; Х°- множество (одномерных) линейных
многообразий, "X - множеотво векторов пространства Кг. Относительно
операции пересечения линейных многообразий (прямых) и
проведения линейного многообразия через два вектора (точки) множество
Kz является аффинной плоскостью.
Проверка условий (Β.Ι) - (В.5) очевидна. Π
Позднее будут приведены другие примеры.
Значение аффинных плоскостей для теории проективных
плоскостей выявляет, в первую очередь, _ ^
Теорема 5.1. Всякую аффинную плоскость <xl(X'6(),i>
можно так дополнить до алгебраической системы < х,(Х°, °Х),*>,
20

присоединив единственный элемент а,' к множеотву X' и
некоторое множество элементов Та. к множеству "X , и так
доопределить операцию на множестве Хои'Х,тдвХ°=Х'и{а?^"Х=''ХиТа°,
что <XXXе,°Х),*> будет проективной плоокостью. Это-пополне-
ние (с точностью до изоморфизма) единственно.
Доказательство . Если положить, что а!" || си\
то легко видеть, что отношение параллельности является
отношением эквивалентности, т.е. всё множество Х° разбивается на
непересекахщиеся классы прямых, параллельных между собой.
Зафиксируем произвольный элемент °а/е°Х и каждому
элементу i'tT.^ поставим в соответствие символ г,ёеТа,° , где по
определению а>° - добавляемый к X" элемент и *ё* ^i=a>".
Тогда построенное множество Т^·, присоединенное к множеству °Х ,
образовано в соответствии с определением множеств Тл.
Нам необходимо доопределить нашу операцию для случаев:
Ι) αΛ^*, <ьЧ[&/, 2) 1а/*П , 3) сийо/.
Положим по определению: I) при <ь11& , φ1* 6j=*c f где ск -
прямая, параллельная а} (или ё-> ) и принадлежащая Т·^;
2) ια/*ΐβ = с/Д где dк- элемент множества Τι f параллельный
элементу %3 е Т·^ ;
3)α<ι»αΛ» "6, где 4* - элемент из Ί0(1/ , параллельный а? .
Пусть X' = X0U{a,"l'X=Xu^.Проверка аксиом (Б.1) и (Б.2)
выполняется тривиально.
Единственность следует из того, что в любом расширении
аффинной плоскости до проективной вое множества параллельных
прямых пересекаются каждое в своей одной точке, а все эти
точки должны лежать в одном множестве Г „ , соответствующем
единственному элементу а? , который можно присоединить к
множеству Х° .□
Замечание 5.1. Разумеется, расширить аффинную
плоскость до проективной можно разными способами. Например,
действительную аффинную плоскость можно расширить сначала до
комплексной аффинной плоскости, а последнюю - до проективной.
Полученное расширение, конечно же, будет отличаться от
построенного при доказательстве теоремы (оно будет включать
последнее). Доказанная теорема утверждает лишь единственность м и-
нимального расширения.
21

§ 6. ЛАТИНПКИВ КВАДРАТЫ И ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОСКОСТИ
Определение 6.1. "*п-матрица А = (&ij)
называется латинским квадратом, если каждая
строка и каждый столбец ее является перестановкой одного и
того же множества символов {с,,...,с \.
Число τν обычно называют порядком латинского квадрата.
Чаще всего за ct принимают натуральные числа i = i,z,...,n
или ν = ο, ί,2,..., η-1 , что,конечно, не обязательно.
Определение 6.2. Две матрицы А ж В порядка η
называются ортогональными , если все πζ
двумерных векторов (a>ij, Sij ) различны.
Предложение 6.1. Матрица А с элементами из
множества [ ί, Ζ, 3 ,..., πJ будет латинским квадратом тогда и
только тогда, когда пары матриц А и В , А я С , где
/1 1 1 ... / \ // 2 З...П \
В= [ 22Z... 2 1, С- (1 2 3 ...η λ
\п"л"л'.'.'.'т1 / \Ί г s ■■ '· л / » ортогональны.
Отношение ортогональности симметрично.□
Предложение 6.2. Не существует более чем n- i
попарно ортогональных латинских квадрата порядка гь.
Доказательство . Пусть имеется m попарно
ортогональных латинских квадрата Аи Аг ,·■■ ,АК, ... , Ат с
элементами а,™ е {ί, 2,...,η], i,j=i,2,....,n} к-Ί,Ζ,...,πι.
Заметим, что любая подстановка символов [ί, 2,, ...7 π},
выполненная над элементами любой матрицы Ак, не нарушает
отношения ортогональности. Поэтому, не нарушая общности, можно
w
считать, что a/ij=j, κ=1,ζ,...,τπ.
Пусть то > п. Тогда среди т чисел ωκΖι , принимающих
значения из множества [ 2, 3,4,..., л], встретятся два равных.
Пусть а%ша$ъ,ъ*Ъ. Тогда ia%\*%)-(pPtcufy(.wh
что противоречит условию.D
Зафиксируем такие точки α,,-χ-, у конечной проективной
плоскости <ХЩ(Х? °Х),*порядка η , что ал^оу. Удалим прямую оси
и точки множества ТХу . Пусть T^~Tatt\ {л},та^= Ία^\{^},
Τ' =ΤΛ \{ж, уу Занумеруем элементы этих множеств. Ί„χ= [<ц~а,,
«аЛ.-Х}·'Т^-{«го,г4,«„..■,Sn}X9-[r1,ri,...^.i).C каждой из
точек гке Τ' , κ=ι,ζ,...,η-ί сопоставим лх77-матрицу
22

AW = I ttp II , где \ψ - {[(алиЩх.)]тк}{а,*.ь ti/K,eT^..
Предложение 6.3. Элементы каждой матрицы А(">
образует латинский квадрат.
Доказательство . Покажем, что элементы любого
столбца матрицы Αίκ) различны. Пусть i £ -1>^9, ь^ ь . Тогда
■<1х$гк .Поэтому 10ьмк^х)]гк = β«#Χ$Λ>]*ν- &j Л » если
(чуЩх)*С<ну)(6jOi)- Но тогда С^уЯ^аУ-бо^уЯ^лу-у,
если cui^¥-asij. Поэтому ί=5 . Аналогично доказывается,что
и ity* № при л^б. о
Предложение 6.4. Если /г?*<^ , то латинские
квадраты Aw и А&) ортогональны.
Доказательство . Достаточно доказать, что
если Ь^ -i% , то btyfi'V., ifia, jt v. Пусть {[С^уК^ф*?--
что невозможно при к* у. Поэтому если i(&ifl(ej&)]r^[(a-ay)(fec%rf
*1(α/ί$Χ^χ)]Γα=[(θ'$Κ&νχ)]ζ,το а^чц,, &i^iv. Из равенства
l(a>ijf)(ej*)]r,r[(aiy)(6jx)]*·? следует гк=г^.а
Замечание 6.1. Отметим, что в нашей ситуации
т.е. все первые столбцы матриц Α<·κ> будут одинаковы и на i-u
месте у них будет элемент (а^.· ухл^ .rj.
Пусть система квадратов полная.т.е.ооотоит шзп-ί попарно
ортогональных латинских квадрата QC^QU)?..., Qc"~iJ, элементы
которых принадлежат множеотву [i, г, ъ, ... ,л|. множество
двумерных векторов ( i, j), i, j-ί,,ζ,..., τυ , обозначим через'Χ.
Затем с каждой парой чисел (и,, /# го={,г,..-,л', κΊ,ζ,...,π-l
свяжем множество 3„к~{С1,№),Ш%}),.шш,(п,№)1, полагая
^ 1к) = и>; пусть 6= {б„κ}. Положим далее т£ «f (',*),(<£>,■..,(*.*о},
Тогда I) при фиксированном к любые два множества δυ κ и
5» *> αι ** va Ηθ ШЙвт! общих элементов 1г£ттк=0, ύ^κ, и
2) каждый элемент из δ пересекается в точности по одному
элементу с каждым элементом из ν и ИГ, a ^^=(t,jj;ij=/,2,...,ff;
3) при к, * л"г множеотва S^ и i5„v переоекаются в
точности по одному элементу, так как из условия ортогональности
следует существование и единственность такой пары t, s, что
23

4) если элемент (i.j) не принадлежит множеству х,°чХ°,
то существует такой единственный элемент 6UK,Vb или «^,
который содержит элемент сг, j) и не пересекается с Ъик.Это
утверждение тривиально, если x'elfuW ; если же х°е δ и
•*=6ii,f к > то очевидно, что множество 5(,°- USUiK содержит
все пг элементов из "X , и поэтому найдется (единственный)
элемент SVK, содержащий (i,j);
5) любые два элемента (.i,,j,), (t,7j2^ лежат в одном и только
в одном множестве из X" . Это следует из того, что в каждом
из множеств гг, «г, 6е** κ=ί,ζ,...7π-ΐ ровно по /ν различных
элементов, а следовательно, каждый элемент лежит ровно ъ тъ л-1
подмножестве из 1° , каждое же подмножество содержит ровно π
элементов.
Таких образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 6.1. Если существует конечная аффинная
плоскость порядка ть , то сущеотвует полная система из τι-1
попарно ортогональных латинских квадратов порядка η/ , и
обратно, σ
Замечание 6.2. Так как отношение ортогональности
сохраняется при подстановках элементов в той или иной матрице
Qw , то, не нарушая общности, будем считать, что у*} = Ь для
любого κ=.ί,ζ,...,π-ι. Пополним нашу аффинную плоскость до
проективной И ПОЛОЖИМ еи=СЦ~61-С1,1),сь1=а,1),^^(1^);Л,и И г^
- общие несоботвенные элементы множеств, соответственно иг, тг
5с,к)к=1,2,..., п-1. Вычислив теперь элемент ^-([(^Х&лф^Солд,
получим *ь/)=С^сЛ),1)=сг'^]· . другими словами,
возвратимся к исходной системе латинских квадратов.
Замечание 6.3. Если полные системы латинских
ортогональных квадратов эквивалентны (т.е. одна система в
другую переводится конечным числом операций вида: подстановка
элементов в одной матрице,или одновременная перестановка строк
(или столбцов) всех матриц, или изменение порядка, в котором
расположены матрицы), то они определяют одну и ту же плоскость
Однако аффинные плоскости, получаемые из проективной
удалением разных прямых, будут изоморфны (а соответствующие наборы
латинских квадратов эквивалентны) тогда и только тогда, когда
существует' коллинеация проективной плоскости, переводящая
одну из указанных прямых в другую.
24

В качестве примера приведен полную ортогональную систему
латинских квадратов порядка 5:
0 3 12 4
14 2 3 0
2 0 3 4 1
3 14 0 2
4 2 0 13
0 12 4 3
12 3 0 4
2 3 4 10
3 4 0 2 1
4 0 13 2
0 2 4 3 1
13 0 4 2
2 4 10 3
3 0 2 14
4 13 2 0
0 4 3 12
10 4 2 3
2 10 3 4
3 2 14 0
4 3 2 0 1
Упражнение 6.1. Построить проективную плоокость
5-го порядка.
§ 7. НЕОБХОДИМОЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕ
В дальнейшем предполагается извеотным, что такое группа,
теорема Лагранжа о подгруппах, теорема об индексе
нормализатора и классах сопряженных элементов, что такое поле, его
простое алгебраичеокое расширение и единственность поля разложения
произвольного многочлена над полем.
Конечные поля. Если некоторое поле Ρ конечно,
то существует такое простое число ρ , называемое
характеристикой поля Ρ , что ра/= 0 для любого сьер . Кратные I, т.е.
множество [0,1,2,3,...,Ρ-i),образуют минимальное подполе Рс ,
являющееся простым, а поле ρ может рассматриваться как
линейное пространство над Рс . Пусть размерность этого пространства
равна к , тогда очевидно, что в Ρ ровно рк элементов. Ясно
поэтому, что не может существовать, например, полей, состоящих
из 10, 12 или 15 элементов.
Предложение 7.1. Для любых элементов со, /еР
и любого натурального числа β справедливо равенство (сы-ё)Р =
= a,Ps ЛК
Доказательство . Так как Ср к? о, кф ρ
кратно ρ , то (а-* 6)^= рьр + βρ. Далее по индукции: (.а>+6)*~=
Мультипликативная группа Р*поля Ρ содержит р*-1
элементов, поэтому для любого а,* о , а>еР7 а?*~*-=1. Любой элемент
этой группы, следовательно, является корнем многочлена я? ~L-i,
а следовательно, любой элемент поля - корнем многочлена -fcx)=·
=л? -jc. Многочлен f(x) не имеет кратных корней. Поэтому все
его корни (элементы поля Ρ ) лежат в поле разложения. Но если
25

иг, и vrz - его корни, то (игл ±игл)р-10;1"±иггр*=1е;± u^'Cururf*
=иг<игг, ЩиГ-^Р'-Щ υτ£-1 при *£/0- ' г
Поэтому само поле Ρ является полем разложения многочлена
ffjej над полем Р„ . Таким образом, для любых простого ρ и
натурального числа к существует, с точностью до изоморфизма,
только одно поле, состоящее из рк элементов. Других конечных
полей нет.
Конечные поля называют обычно полями Галуа.и
общепринято обозначение P = GT(vK)·
Покажем, что группа Р* циклична.
Пусть ν*~ι-ί·*$η£. · · <j^7 - разложение левой части
на различные простые сомножители.
Предложение 7.2. В группе Р., существует для
любого ь элемент a/it имеющий порядок η,^- 3*_f
Доказательство . Рассмотрим множество [Si Ъ .j»
где Sj пробегает все элементы группы Р*. По крайней мере один
элемент этого множества ртличен от единицы, так как в
противном случае многочлен χ ~^!~- { имел бы ρ*'1- ± корней.
Если 6. Vi =ί ι то положим а- = в vf* · Очевидно,
что а-г*» *■ t , но си?1 = I , Поэтому порядок <&£ требуемый.
Предложение 7.3. Если з и is - порядки элементов
абелевой группы соответственно а-л i a CS,-fc)=i , то si -
порядок элемента а4 .
Доказательство . Так как (аё) =1гто порядок
элемента а,& должен быть делителем числа si и иметь вид зф1
где 5f - делитель j , а ί, - делитель ί . Допустим для
определенности, что s1 < s . Тогда (a£)St =а?1 =ί. Пусть ssz+tt^l.
Тогда о,-**89*»***-»***; (cos<b)**={= (α,**"·)*1* а?\ а это
противоречит тому, что порядком элемента «/является ь . Из
доказанных предложений следует, что группа Р* циклична. D
Пусть а,- циклический образующий группы Р*. Ясно, что он
является корнем некоторого неприводимого над Ρ„ многочлена.
Очевидно, что степень этого многочлена в точности равна к ,
так как расширение поля Р„ присоединением а-дает все поле Ρ .
Подведем итоги.
Теорема 7.1. Для любых простого числа ρ и
натурального числа к существует единственное, с точностью до
изоморфизма, поле GF(p*) из р* элементов, являющееся простым алгеб-
26

раическим расширением простого поля из ρ элементов.
Мультипликативная группа поля GFCv") циклична. Других конечных полей
не существует.D
Конечные тела. Нам потребуются здесь некоторые
простые сведения о корнях иэ единицы. Напомним их.
Корень θ многочлена лГ-L называется
первообразным корнем из единицы степени п/,
если он не является корнем никакого многочлена jo"~L при т<т/.
Первообразные корни из единицы любой степени п/ существуют;
в качестве примера можно взять θ = cos Mi 4· Огл-Д— Если с/ -
^ * 77 77
произвольный делитель числа т , то среди корней многочлена
x"-L найдутся и первообразные степени J , так как любой
корень многочлена я.ы - L является в то же время и корнем п-&
степени из единицы. Назовем η-и многочленом деления круга
многочлен Φ (χ)= Π(λ-Θ), где Ot пробегает все первообразные
корни степени л/.'Каждый корень л-й степени является
первообразным какой-то степени с/ь ( dj, - делитель л- ), поэтому
Λ.-ί=Φ£ί(6χ).Φβ(2(Λ)·...·Φ(ί^,ΓΛθ di - делители числа п, d^l,...,J^
= π. Нетрудно показать также, что степень многочлена Ф„ (х)
равна ψίτι) - числу взаимно простых спи меньших л чисел.
Очевидно также, что старшие коэффициенты у всех Φ*(χ) - целые
числа. По индукции легко доказывается, что и все коэффициенты
у любого Фп(.л) целые. В самом деле, Φ1(Λ)=α:-ί. Многочлен
#."-1 делится на многочлен Wd1<^i^d^x)...9dl(_fx) « старший
коэффициент которого равен единице, а остальные коэффициенты -
целые по предположению индукции. Поэтому и частное Φη ίχ)
имеет целыми все коэффициенты. Известно, хотя это в дальнейшем и
не потребуется, что все Фт(я:) неприводимы над полем
рациональных чисел и что модули всех коэффициентов многочленов Фк(х),
к = 1,2,3,... ,104, равны либо нулю, либо единице. Для Ф^Ы)
это уже не так.
После длинного предисловия приступим к изучению конечных
тел (не предполагается коммутативность). Конечное тело Τ
имеет порядок рт, его центр Б является полем, следовательно,
имеет порядок у=рп, п^ тл7л- делитель m , а Г является
линейным пространством над Ζ . Размерность Τ над ζ равна к=
=777.-77. Элементы, коммутирующие о каждым фиксированным
элементом ае Τ , очевидно, сами образуют тело. Поэтому порядки
27

нормализаторов элементов мультипликативной группы т* тела τ
будут иметь вид 9*l-i. Если учесть, что порядок центра
группы Τ* равен ц,- ι , то, разложив элементы группы Т*на классы
сопряженных элементов и подсчитав их порядки, получим равенство
О — 4
cf-l =у-1+Σ ^Ki_t > /Г. < /Г. (Я
Предложение 7.4. Если при натуральных 5,Ь,и
число bs-l целое, то U/ является делителем числа δ .
Доказательство. Пусть s= s^ + wf, O^U/f<u,.
Тогда i*-i " *«-i ~* -Р^Г+ ь*-1 '
и поэтому Щ = 0. Ώ κ
Предложение 7.5. Целое число -~р-.— делится
ж Of г-1
на целое число ФКС^)-
Доказательство . Многочлен ж к - £ делится как
на многочлен л '- 1 , так и на Φ ^(ccj, следовательно, многочлен
x<f~f делится на Φχ(χ) (использована взаимная простота
μπολ:*»-i j- /<··
гочленов (Р* (.х-) и л ι- ί ). Очевидно, что частное ^ for; будет
многочленом с целыми коэффициентами. Итак, -1 =ф (x)q fori.
Требуемое утверждение получится после подстановки л = ц,. D
Предложение 7.6. Ф* (9) > ί - ί при /с^а.
Доказательство . Φ^ηί^η+ί > 9 -1- При к>г
все корни многочлена Φκ(α:,ι - попарно сопряженные
комплексные числа, по модулю равные единице. Поэтому Фк(х>=П С·»-
- ZcosBiXt-i), ты.Далее,
i=/
777 ^ 2/71
Фк(9)= Л С^ <-ίψα}5β1)>Π (q2+l-2q,)=(cj,-i) .
Остальное очевидно.D
Теорема 7.2. Всякое конечное тело является полем.
Доказательство. Перепишем (Ό в виде ФКЦ)Щ)=
=(η-ΐ)*·Φκ(φ) &(<$). Из последнего предложения следует, что
к - ι , а значит, Τ = Ζ.Ώ
Одна стандартная процедура. Пусть
имеется некоторая алгебра Л (над полемf) с инволюцией, т.е0
на множестве JL определено отображение ω-*-α^ .которое
удовлетворяет условиям: (сЬ) = со7 (ц-ё~~а.+Т, aJ=S^,cCa = oca, (где а,веЛ<
<*eF ), кроме того, все элементы cueJt t для которых а, = си ,
будем считать лежащими в центре. Если размерность алгебры Л
28

равна к , то можно некоторым стандартный образом построить
алгебру 4Ь, размерность которой будет равна 2, к . в качестве
$> возьмем множество упорядоченных пар элементов алгебры <& ,
естественным образом определив на этом множестве операции
сложения и умножения на элементы основного поля и положив
Дистрибутивность и удвоение размерности очевидны.
Простой подсчет показывает, что из системы равенств
2,2г-Щ-иГ^Ц
(.2 В. + ЩИГ. )Z,-2ttC+ ТГиГ
следует, что '
Ц2^агй^)и^=^гг- лиг,
если алгебра Л ассоциативна. Это означает, что если при %,ш,у
* (СО) элемент центра z^z + лглйг^ О и обратим, то элемент
(вг,игг) однозначно определяется значениями произведения и
левого сомножителя.
Непосредственной проверкой легко убедиться, что отображение
(2,ar)-v<Ж^йГ)=(г-го)является инволищей (при характеристике ?Й).
Тогда если ε & каждое уравнение вида а*с= S решается
однозначно (при λ¥Ό) , то использование инволюции
непосредственно приведет к тому, что и каждое уравнение вида уа, = ё (a-^S)
решается однозначно.
Рассмотрим классическую ситуацию: алгебра at - поле К
действительных чисел. Тогда ясно, что ^ - поле С комплексных
чисел, если *«#,*=». Для поля комплексных чисел переход от а-
к а> означает переход к сопряженному в обычном смысле числу.
Идем далее. Пусть теперь с/Ь - поле φ комплексных чисел.
Тогда ^ - четырехмерная алгебра с базиоом G,o),(i,o),(o.i),(o,{).
Относительно поля комплексных чисел (2-мерной алгебры над
полем действительных чисел) и естественной инволюции все ранее
оговоренные условия выполняются. Элемент (1,0) играет роль
единицы. Обозначим базис: 1,1,¥,К. Тогда легко просчитать, что
Потеряна коммутативность, но сохранена ассоциативность, что
довольно просто проверить на базисных элементах. Отображение
ycb + ei-i-cf* dK— α,+el *■ C$+dK= a,-el-cf-dK
является инволщией, причем <ffi=ty^= af'+e*'*- cz+ d?
Полученное тело (алгебра с однозначным делением)
называется телом кватернионов, которое обозначим через Н·
29

Пусть, по определению, \у\ = сщ) ι -норма кватерни-
она ψ. . 2
Предложение 7.7. 1^^ I - 1^1 I'M ·
Доказательство Лщ/'^яЛЛ'Я^^Г^^/а
Докажем знаменитое тождество Лагранжа.
Теорема 7.3. В любом коммутативном кольце
произведение двух сумм четырех квадратов может быть записано в виде
суммы четырех квадратов. Точнее,
+ ta£f + ёсь, + oJ,-dcf )ζ*- (αο,-βά^οα-,+άβ^ + (ad1+Sct-cS1-i-da1).
Доказательство . Достаточна простая проверка,
однако интересно, как к этому тождеству можно прийти логически.
Пусть <^=cu*-el*-c3+dK, fy-a^Sli- cj*■ d4K. Тогда
7Yf-faa.,- £it- cc^-dd^+CaS^oa·, t-cd1-dct)l*(cu:1-Sd^cctz+de^*
+ Cad1^6c1-ce1 t-da-,)K. Затем нужно перейти к нормам и
использовать предложение 7.7.Π
Интересно заметить, что Лагранж нашел зто тождество до
открытия кватернионов.
Упражнение 7.1. Доказать, что в любом
ассоциативно-коммутативном кольце произведение сумм двух квадратов пред-
отавимо в виде суммы двух квадратов.
Если, полагая Ж=Н, вновь проведем нашу стандартную
процедуру , то получим алгебру 0~ ранга 8 над полем действительных
чисел, которая снова будет алгеброй с однозначным делением.
Как и для кватернионов, отображение a-+a = (<iji) = (q,-t) будет
инволюцией и норма |α| = (βά)^ =(|qr/2t. \ι\ζ)ϊ Однако, как
показывают простые вычисления,
1(ο,τκο,3)](ο,Κ)"-(κ,ο){ο,Κ)=-(ο,ί);(ο,1)[ίο,ϋ)(ο,κ)]=-(ο,ΐκτ,ο)-(ο,ί).
Таким образом, алгебра 5 неассоциативна. Однако, в силу
равенства ^^[(Я^Н^АМ^М^АША)'
-(«Ю«-ЮА-б*»*%АЪ, Cth*fy*ti+<f,*-\t<\*t),
заключаем , что в алгебре ©- всегда ( аб )6 =a(g g) Докажем,
что в Ό- справедливо всегда и равенство (6S)o. =6(6a).
В самом деле, (6&)a = (M)a - α СбЪ) = (ϋβ) β = 6(βα).
В вычислении использовано, что элемент ψ,+q,
принадлежит центру тела кватернионов.
30

Определение 7.1. Кольцо, в котором выполнятся
тождественно равенства (&U)y = яул и x,(xy) = <K?d, называется
альтернативным.
Нами построена альтернативная алгебра с делением
(альтернативное тело) размерности 8 над полем IR . Элементы алгебры &
обычно называют числами Коли, а сама алгебра О-
принадлежит к классу так называемых алгебр Кели - Диксона.
Упражнение 7.2. Найти тождество, показывающее,
что произведение сумм 8 квадратов элементов любого
ассоциативно-коммутативного кольца снова является оуммой 8 квадратов
элементов зтого кольца.
§ 8. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ. ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА
Докажем вначале несколько лемм.
Лемма 8.1. Пусть п>г- произвольное целое число и
р = лк* δ - простое число, причем к δ < η и (п,р) = ι
Тогда целое число ^Сл) Φν(ψ\ταβΛ0, ус - целые числа и (х„,
у.,-!, не делится на ρ J° ' „^ §1
Доказательство. Так как jc - ί = χ, - jc *■
^-'-i-^-V-iKC*5"1-/), το (лр-,-У,л"-0-С*-*,*''14-
= jc'-i, где Ь~Сл,д-1).
Поэтому существуют такие целочисленные многочлены и(зс)жГ(х),
что и(х.)(а.р~*-ΐ)\-νίχ.)(α?-ΐ)= af-1. Из равенства U(x) ■χΡ~ -f+
η, ·Κ*-1
*■ ν(Λ) л'+ -ί л отсутствия кратных корней по modp у многочле-
на ■x;'~L следует, что последний многочлен не имеет линейных
множителей в разложении на неприводимые множители по modp.
Следовательно, нет их и у его делителя Фп Сх). Поэтому ρ не
является делителем числа Фп(°)-
Рассмотрим теперь полином Т(л,у)~ъ Ф„(ъ), и пусть
■Яс-, Уо - такие любые целые числа, что (Яс^о) = ί. Если у„=
=0(modp), то очевидно, что Т(Яо, ус) ΦΟ(πιοάρ) . Если же
Ч0& O(modp)?o существует такое целое число 20 , что .*r0s
=zBpmodPi Тогда Tl*.fy)*jP('ii§i,Q!MOO*odp)· D
Лемма 8.2. Если f(x) - целочисленный многочлен степени
п> о , то простые делители чисел fСю, к - целое, образуют
бесконечное множество.
Доказательство. Будем считать, не нарушая об-
31

щности, что наибольший общий делитель коэффициентов f(X)
равен I, а свободный член Φ 0. Предположим, что только конечное
множество U = [р,,Ри~,Ры} простых чисел могут делить числа fc/fj.
Пусть θ«Γ1ρέ. Вели f (х) = а>0я.\... + ου„, то правый множитель
f(ρυ„ 0) - <ь„ [сь0cu^'lQ "+...+ ου„.ι Θ «- ί ] имеет простые
делители, не лежащие в ί/.Π
Лемма 8.3. Бели г? = <^ - простое число, то Ф„(к)
делится на η при некоторых к , но ни при каких к не делится на
Доказательство . Очевидно, что Фу(а)=о?+αϊ+...
... + cn-i делится на φ при всех w^icmod^).Докажем вторую
часть леммы. Так как foC-x)=(x-i)e^~i(Tr'od^),TO достаточно
доказать ее для любого α-э 1(тпос/ср).
Пусть α = «Λ* + 1 тогда Φ-»)- **~ L = &%m+L) ~L =
= (f от + ij -t „ tj, Ш1Г f я, гда jf _ некоторое целое число.
Остальное очевидно.П
Лемма 8.4. Каждое простое число ρ вида р=.кп*-1
является делителем некоторого числа Φ η (а)-, &- целое число.
Доказательство . Так как ■х-р~*-1=(зсп-1)д(я),
то многочлен jz"-i имеет ровно η корней по mod ρ , а
следовательно, его делитель Φπ(χ) имеет if (л) (различных) корней
по mod ρ О
Из доказанного вытекает следующая
Теорема 8.1. Простые делители каждого из чисел вида
уЧ>С") φ ζ л* \ ^ гда ( л<> ^ у.) - ί, принадлежат множеству,
состоящему из простых делителей числа η и простых чисел вида ρ=ηκ+ί.
Для каждого простого числа ρ = ηκ*-ι найдется такое целое
число со , что Φ „(а.) делится на pD
Следствие 8.1. Простых чисел вида пк +i
бесконечно много.α
Следствие 8.2. Каждый простой делитель числа -x^-vf,
(•ro,^0j = i принадлежит множеству {S.,4xi <- ij , v = i, г,3,...
Каждое простое число р = 4к + 1 является делителем некоторого
числа а- +1.
Доказательство . §+{х) = xz+i..\l
Лемма 8.5. Если для простого числа ρ существует такое
целое число m <- ρ , что■ тр = л£+я, +лг+ ли+...+ оь,„ ,+х.
32

(/г = ι;г) для некоторых целых чиоел л:,· , то для некоторых целых
чисел у£ ρ- y?> j(* *... ♦ Угк~( * У^ ■
Доказательство . Пусть ^е - минимальное из
положительных чисел, при которых т0р допускает указанное
представление: т0р = yf+yz «-...+·угк^ +- угк . Тогда wt -
нечетное число.
В самом деле, в противном случае мы могли бы считать пары
(Ни У*)· (У> ·У* h -' tyzK-i? Уне) шлеицими одинаковую
четность, и тогда равенство т» п- ($t + ll*.\ ("лУА^ <-
И г.?*-/a? )*(^ η —J противоречило бы минимальности ет„.
При τη-ί утверждение очевидно.
Итак, т0>з . Tiycib yi<=eim0*ui , /^/< J?i.. Заметим,
что 2Γιφ>Ό, Συ*<τπϊ, Σν*-ττ,,τη0, Ζ где
Я7,>™„ Итак, tf *& + ...*&_! tfa-W, «Ϊ+*Ζ + ·..*
В силу тождеств iyf , £ , ^ frtf. ^ „J , ^
-f Ул <- у^л*-у3у, + у4 v4f*(y<Vt-y*vf-i-y}i/4 +у4щ)г+
'(■У^з+ ¥»*< + У* »* <■ Уг. Щ f* (у, ν* -9*4+ У* у}- у3 У г >&=
·*?**! +*i + *i и (tf+rfHv,***;)-
-(%*<*■ fa"*.)2* (у<«г.- yzV^-Zf + Zl
очевидно, что каждое из чисел £1ггг,23, я4 делится на то ,
И ПОЭТОМУ 2? + 2г + · · · + 2*κ-ί + ^ίκ ' т1 Р > ЧТ0 ПР01™0?8-
чит минимальности числа тпв . Поэтому m0 = i и
Ρ = Vf * У г + - + νί<-ί + У/к ·□
Теорема 8.2 (Ферма). Каждое простое число ρ=4κ+ί
предетавимо в виде суммы двух квадратов.
Доказательство. По следствию для некоторого
со число о-г + ί делится на ρ . Число со не делится на Р,
поэтому а.= кр*6, \i\< | . Ясно, что £2+ί делится на Р, и
в равенстве тр=ёгч-1 число т<р. Доказательство
оканчивается с помощью леммы 8.5.П
Теорема 8.3. Натуральное число η тогда и только
тогда можно представить в виде суммы двух квадратов целых чисел,
когда в его каноническое разложение ни одно из простых чисел
вида q, =4κ-ι не входит в нечетной степени. Π
Лемма 8.6. Для любого простого числа ρ существует
такое натуральное число т<р, что тр = jc/ +■ л| <-ί.
33

Доказательство . При ρ = г доказательство
очевидно. Рассмотрим далее два множества A=[of if 2,,..., (^) I
2. Ζ 2· f P-I\^\
и 8 = (-i-0,-f- l,-l-8.,...7-L-(J-g-) J. Любые два элемента из
множества А так же, как и любые два элемента из множества В ,
несравнимы по modp , но общее число элементов равно ρ + L ,
поэтому найдется элемент аеА , сравнимый по modp с
некоторым элементом ее В.
Если ou = jc1 , ν = -I - &L , то ^cf + л:а + i = тр, но
Теорема 8.4 (Лагранж). Любое натуральное число пред-
ставимо в виде суммы четырех квадратов целых чисел. Π
Теорема 8.5. Бели для некоторых целых чисел л, х1}
ΧΖ'$<· У г- справедливо соотношение π (jef * jc*) = yf"+ y% > ο,
то число ть представимо в виде суммы квадратов целых чисел.
Доказательство следует из рассмотрения канонического
разложения, α
§ 9. ТЕРНАР ПРОЕКТИВНОЙ ПЛОСКОСТИ
/ι С Ό г (<fb
Пусть ϋ -{%./}' κ-ί,2,...,π; v,j= o,i ,.,.,η/ -полная
система ортогональных латинских квадратов, причем, не нарушая
общности, можно считать, что φ„; = i, я}!? - к q,^ = ί
Определив дополнительно 4/VJ' = j , на множестве [о, ι,..., пХ
зададим тернарную операцию (к, ь, j ) = 9/£p■
Выясним ее алгебраические свойства. Непосредственно из
определения следуют
Предложение 9.1. Для любых элементов i,J, к, 6
из множества [о, f,...,nj выполняются свойства:
1. а) (о,*, j) =j , б) (.ь,1,о)-ь,
в) (i,o,j ) =j ; г) (</, к, о) =к.
2. Уравнение (£,j,.*)«/( имеет единственное решение.
3. Уравнение (i,<c,j)= (к, ас, ί) имеет единственное решение,
если ь ιί к. , .
4. Система уравнений J ' '* имеет единственное ре-
шение, если i ^ j.
5. Каждое уравнение (a:,i,j)=K7(b,t/,j)*KiMBBT единственное
решение, если ίτ^Ο.α
34

Предложение 9.2. Пусть на множестве {о, ι π]
задана тернарная операция (.к, *< j) со свойствами (I) - (5).
Тогда, полагая <^. *с/с, t,j) при к= ί,ζ,.,.,π, получим полную
систему QίΚ) = С^у"') ортогональных латиноких квадратов
порядка (п +1) * (п *■ ι), α
Замечание 9.1. Свойство (5) предложения 9.1
является следствием свойств (I), (о) и (4).α
Определение 9.1. Алгебраическую систему,
определенную на произвольном множестве Τ с выделенными элементами
О и I и заданной на нем тернарной операцией (а, ё, с) со
свойствами (I) - (4), назовем тернаром.
Пусть теперь ψ - невырожденная проективная плоскость.
Тогда в ψ найдутся такие 4 однотипных элемента о, е, «*,у, что
определены и попарно различны произведения Ое,ол, оа,ел:,еу,ям
Положим ое =ё, яу=Е, оу=у, оа:=Зс.
Нетрудно проверить, что для любого элемента т из множества
Тё определены произведения лгя:, (тпх.)(еу), [[Cmx)(ep]o}z
и (тл)у-
Для любого элемента m из множества Tg через тп' и
^обозначим соответственно элементы {[(mxjce.pjoj'z и (τηα:)ΰ-
Предложение 9.3. Соответствие γ ·. m-~ m'
определяет взаимно однозначное отображение множества Т- на
множество Tjj.
Доказательство . Пусть ш^т^Т^л [[Сщ-х)(еу)}о}з·
={l£mzx)(eyj]o}2. Из определения элементов о, е, л и у
следует, что o&Tji. Поэтому, умножив обе части последнего
равенства на элемент о , в силу предложения 2.3 получим [(щх)&1рр*
■*[(π±ΛΚεφι]ο. Учитывая, чтоеуегг,, и χ 4 Ты, аналогичными
рассуждениями доказываем,что тп^ = тгх.Предположим, что тп,*тг.
Тогда отсюда и в силу выбора элементов m1t m^ из аксиомы (Б.I)
получим mfx « mix. = m1mz = ое» ё. Поэтому из определения
множества Т^ следует, что справедливо включение ^eTg .Но это
противоречит выбору элементов о, е, ж. л Ч . Следовательно,
Зафиксируем теперь произвольно элемент ζ из множества Tj.
Тогда из определения элементов о, е, х. и у аксиомы (Б.I)
следует, что определены произведения
OZ,(oz)(ey), [(0£)(еу)]Л, {[(огКе#]л}ё.
35

Заметим, что элемент {[(oz)Cey)]xle. принадлежит множеству
Тё и отображение <р переводит этот элемент в ζ . Ώ
Аналогично доказывается следущее
Предложение 9.4. Соответствие φ.т -~ τη"
определяет взаимно однозначное отображение множества Tg на
множество Тг. Π
Из определения элементов 3 и ч следует, что справедливо
Замечание 9.2. Если для элементов m и η из
множества Tg выполняется равенство т'= л", то ш'= л"= a D
Имеет место также
Замечание 9.3. Для элемента m из множества Tg-
следующие условия эквивалентны: I) гп'" у, 2) ^'"^ 3)m^ezB
Обозначим теперь через Г множество Т^\ {ё.г}. α
Лемма 9.1. Для любых элементов сь.ё, тп из Г
выполняются следующие соотношения: I) тп'φ S* 2) тп'&%аа,
3) (m't')(ay)t χ , 4) 1{т'6")Сар]х*ё..
Доказательство. Утверждение п.1 следует
непосредственно из определения множества Г и замечаний 9.2 и 9.3
В случае равенства т'6"= а и из условия леммы, замечаний
9.2 и 9 3 и аксиомы (Б.1) т'б^ау=6"у'[Сбл)(оу)]у=оу= f
и тл'£"=ау-т'2=<{[(1пх)(ед)]о1(х1[)>у=а:о=£.Ео это противоречит
выбору элементов 0,е,х,и из ψ . Таким образом, доказано
соотношение п. 2.
Если выполнено равенство (т'6")(оу) = л, то из предложения
2.3 следует, что ху=]_(т%я)(ау)\ц =-ау , ■ т.е. а-еТ^.
Пересечение Tj Л Τ пусто, поэтому выполняется соотношение п.З.
Если выполнено равенотво i(m'£'')(ау)]л = ё, то ме Ts. Но
это противоречит выбору элементов о, е, jc и У- Π
Определение 9.2. Для любых элементов ас, m, S из
множества Τ определим тернарную операцию с α, τη,β), положив,
по определению, (ос,т,ё)={[(ауКт'ё")]х)ё. Полученную
алгебраическую систему <: Г, (а, тя, £)> назовем тернаром
проективной плоскости ψ-
Из предложений 9.3 и 9.4, замечаний 9.2 и 9.3 и леммы 9.1
следует, что определение операции в тернаре проективной
плоскости корректно.
Справедлива следующая
Лемма 9.2. Для любых элементов т,т1,тг,с,с^сг,а,а1,ог,ё
36

из Τ , таких,что τη,*τηζ, a>r * α.^, выполняются следующие
соотношения: (ау)^сл, (сх.)(ду)*тп', (QCx.)(ay))Tn'~y,((.(cx)«ry))m')y&cl
(a(at)(ay))m')if)a:*a, m\fy т&,Ы$)(упЦ1)¥ у,
((с, л) (а, уШъяХОъу)) * у, «с, *)«*, у»(((*л)(а,гу))у * *,
1&С1я:Ка>1фК(.Сг.л)(аъу))у)л* ё. D
Имеет место
Теорема 9.1. Для элементов тернара Т~<% (а, т, ё)>
проективной плоскооти φ выполняются следующие свойства:
1) для любых элементов αυ,τπ, S из Г выполняются равенотва
а) (0,т,в)=ё, б) (<*>, е, 0)=си,
в) С«, о, 6) - ё, г) (е,т,0) = т;
2) для любых элементов си,т,с из Г существует
единственный элемент в , такой, что (αυ,τη, ё) = С;
3) для любых элементов тч, mi,S1, ёг, из Τ существует
единственный элемент а, из Τ , такой, что из неравенства
от, 9* 777,2. следует равенство (&, т,,ё1) = (а., 7Г7г,6г};
4) для любых элементов ^,α-^,ε,,ο^ из Τ существует
единственная пара элементов т, S из Τ , таких, что из
неравенства u>f ^ а.А следуют равенства (a,f,7n,S)=cf и fa-j, т, S)=C,.
Доказательство . Утверждение п.1 следует
непосредственно из определения проективной плоскости,
определения тернарной операции и предложения 2.3.
Для доказательства утверждений пп.2, 3 и 4 достаточно взять
ё- (.Шсх)(а}))т') у)Х)ё L а^С(.т\е;){т'Л))у)ё. ,
Я7= ((Ш<£,*)(ачу))(.(Ья)((ьу)))2)0)(еу))я)ё, ё- (((ЦС^МЬфН^Хчффср.
Каждый из этих элементов определен в плоскости ρ в силу
леммы 9.2. D
Нетрудно убедиться в том, что тернар проективной плоскости
является тернаром в смысле определения 9.1.
Упражнение 9.1. Пуоть А - произвольная
альтернативная алгебра с делением. Определим на множестве всех
элементов из А тернарную операцию (а.,£,с) = а.ё + с, где умножение и
Я7

сложение, записанные в правой части, являются соответственно
умножением и сложением в А . Доказать, что в результате
получается тернар в смысле определения 9.1.
Упражнение 9.2. Проективная плоскость
удовлетворяет аксиоме Паппа тогда и только тогда, когда хотя бы один
из ее тернаров является полем.
Упражнение 9.3. Если проективная плоскость паппо-
ва, то всякий ее тернар является полем.
Рассмотрим еще один вид алгебраических систем, тесно
связанных с проективными плоскостями.
Пусть оС~ < Т,(а,,6,с)>- тернар проективной плоскости.
Определим на элементах Τ две операции <&·£«(«>, 6, О), α,+ξ =(a.,i,Sj.
Эти операции называют натуральными , а полученную
алгебраическую сиотему < Т, ♦, · > обычно называют
натуральным телом проективной плоскости (или просто
натуральным телом).
Предложение 9.5. Для любых элементов соЛ, с из
натурального тела < Г,+ , · > выполняются следующие свойства:
1) си· I = 1- си^сь ; 2) α + Ο = О + <ь; 3) w-0 = Oco= О;
4) существует единственное решение уравнения -х- + си=с;
5) если i jt о , то уравнение &.·{, = с имеет единственное
решение;
6) если со* О , то уравнение сил^с имеет единственное
решение.D
Формализуем некоторые рассмотрения, проделанные в § 6 и 9.
Пусть даны тернар Ш = < М, (а>,6,С),о,1> и некоторый символ
°о , не содержащийся в множестве Μ . Через П°,°П1,П2°Пг,П°0П
обозначим соответственно множества {(а-,6>\а,4е Ш,[[а,,ё]\а,,ёеМ\,
{(а,)\а,еМ),{№\соеМ}, Π,°ϋ Л2° , 77,(Г/7г -
На элементах множества П=П'иТ1 определим симметричное
бинарное отношение J(инцидентность) следующим образом:
D (Со-,с), [т/7, i])el -*=*· С=0, τη, 6);
2) ((а,,С), [6])е I <*=» аи = ё,
3) ((*"), [л,0)« I *-=* гп=п-
4) (( m), [""])€ I <=> для всех тл из Μ ;
5) (( °° ), ["!])€ I ·£=*· для всех m из м ;
6) ((«·), С-])е I.
Кроме того, определим на элементах Π частичную бинарную
38

коммутативную операцию * так, что произведение ρ * ψ
различных элементов ρ и ^ определено и равно некоторому элементу
х> тогда и только тогда, когда одновременно plr и η Ir.
Справедливо
Предложение 9.6. Система р-=<Л,(Л" °Я),1»
является проективной плоскостью, если в качестве элементов
0,е,х,у взять соответственно элементы (о,о),(iti),(°o) и (0),
то тернар плоскости ψ изоморфен тернару ffl,=<M,(a,,i,o,ojyn
Из определения тернара- плоокости следуют
Замечание 9.4. Если существует элемент а, из
плоскости ψ , одновременно инцидентный элементам (g,o,(d,ej
и (О) , то выполняется равенство 6=с1.П
Замечание 9.5. Если существует элемент а- из
плоскости f , одновременно инцидентный элементам (6,c),(d,e) и
(оо ) , то выполняется равенство с = е. Π
Эти два замечания позволяют устанавливать связи между
свойствами операций в тернаре проективной плоскости и
конфигурационными предложениями.
§ 10. КОНФИГУРАЦИОННЫЕ ПРЕДШЖЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ
Рассмотрим непустое множество А и разбиение (А', "А) этого
множества на два подмножества. Элементы а> и β из А будем
называть однотипными относительно разбиения (А" °А),
если а, и 6 одновременно содержатся в одном из подмножеств
этого разбиения. В противном случае элементы а. я ё из А
будем называть неоднотипными относительно этого
разбиения.
Пусть на множестве А задано такое симметричное отношение
I , что элементами I являются пары неоднотипных элементов,
для которых из включения (а.,С), (S,C),(a/>d)y(e,c/)eI следует,
что либо а = ё , либо с - с/ .в этом случае будем называть
I отношением инцидентности , связанным
с разбиением ( А", °А). Полученную алгебраическую систему
<А, ( А°, /*),!> называют частичной плоскостью.
Далее, пусть на элементах из А задана такая бинарная
коммутативная операция * , для которой относительно разбиения
(А°, "А) и отношения I выполняются следующие условия:
(Г.I). Если си и £ - различные однотипные элементы в су-
39

шествует такой элемент с , что (a-, c)XS,e)e Г, то определено
произведение <v * ё и выполняется равенство а> * & = с.
(Г.2). Если для элементов а,,ё, с из А определены
произведения cu*L (L * с и при этом а>*ё* <ь*с , то определено
произведение (а>г6)<-(сь* с) и выполняется равенство
(а>*ё) » (сь*с) = си.
(Г.З.). Бели для элементов а,, ё л с выполняется равенство
а-гё* с , то а, 1с, ё 1с.
В этом случав будем говорить, что операция *
согласована с отношением Г.
Алгебраическую систему вида <А,(А°, Ά ;,!,*>, где
операция * удовлетворяет условиям (Γ.Ι) - (Г.З) и отношение
инцидентности связано с разбиением ( А ° °А ), будем называть в
дальнейшем конфигурацией.
Конфигурацию £& = 4 ВХВ'Ί}),1Β, *в > будем называть
расширением конфигурации ОС- <Α,(Α'Ά), 1л, *л >; если
В'з А', "Вг Ά и 1вз1л.
Замечание 10.1. Непосредственно из согласованности
соответствующих операций и отношений в конфигурациях следует,
что если £& является расширением ОС , то для элементов а- и S
из Ot из определенности произведения а>*-Аё следует, что
определено произведение co*g£ и выполняется равенство
а>*Аё= си* вё.
Если & - расширение конфигурации (ft , то будем также
говорить, что OL· является подконфигурацией з£г , и записывать это
в виде ОС £ г&- иди <& = Ot.
Будем говорить, что конфигурация сСреализуется
в плоскости f> , если X изоморфна некоторой подконфигурации
из ψ.
Подконфигурацию «/= <: ·5,(δ° °S), Is ί #s\ конфигурации dC
назовем системой порождающих для <£ , если существует такая
последовательность расширений У= <С0ЯаС е ,..с X„s ...,
что .U aCt· =<£ г и для любого натурального числа i и любого
элемента с из оГл aCi_l найдутся два таких элемента ее л ё
из «^с_,,что с = а>*1&, где *i - операция в σΤ· .
В этом случае будем также говорить, что элементы а, а £
являются предшествующими элементу с при
построении <£ из У Конфигурацию <£ назовем
конечно-порожденной, если ее система порождающих конечна.
40

Если Ул - подконфигурация конфигурации У , являпцаяся сио-
темой порождающих для подконфигурапии оС, конфигурации оС, то
будем в этом случае говорить, что ^ порождает οζ в оГ , и
обозначать <^ через < У1 >„£- -
Определение 10.1.
Конфигурационным предложением (или
конфигурационной теоремой) будем называть утверждение о
том, что из реализуемости в данной плоскости Ρ некоторой
данной конфигурации X со всеми инциденциями, кроме, быть может,
одной, вытекает реализуемость конфигурации of со всеми ее
инциденциями.
Иногда для краткости будем говорить о выполнении
конфигурации с соответствующими свойствами.
Говорят, что конфигурация X выполняется в плоскости φ
проективно , если образующие элементы конфигурации
могут быть выбраны в плоскости произвольно.
В § I и 3 были приведены конфигурация Фано и конфигурация
Паппа. Рассмотрим другие примеры конфигураций.
Пусть ψ - проективная плоскость, ttf1 β1,с,, α,ζ ,6& , сг-
такие однотипные элементы, что определены произведения <ъ<аг,
4,6i,ctc*,CO'A)(e'Ji),(.a>ftKa'zc*)* (£,с()&сг) и при этом
справедлива импликация
Это конфигурационное предложение обычно называют
теоремой Дезарга. Иллюстрация этой теоремы приведена на
рис. 7.
Элементы [(.a-t^,StSz, с,сд)1
называют соответственно
центром
перспективы и осью
перспективы.
Замечание 10.2.
Теорема Дезарга двойственна сама
44\ibtiz) {a^CfKOiCg,) «^Л)(а-гёг) "себе, при этом ось перспективы
и центр перспективы меняются
р^„ 7 местами. Поэтому их будем
41

иногда называть элементами перспективы.D
Расомотрим несколько частных случаев теоремы Дэзарга.
Предположим, что дополнительно на конфигурацию Дэзарга
наложены соответственно следующие ограничения:
I) faJrJil; 2) 1>„ 6* , С,,], (аьА.сЪ 3) fac.^.o.·].
Гд-л ι 6ι,Сг.~[, Гаь,6& ,С,]. Полученные конфигурации обозначают
обычно через £)в, S)9 и 3)ю.
Рассмотрим также следующее конфигурационное предложение:
элементы а>,, ё,, сл и &ζ ,£& ,0& удовлетворяют теореме
Дэзарга, причем центр перспективы инцидентен оси перспективы. Эту
конфигурацию называют малой теоремой
Деза ρ г а .
Замечание 10.3. Конфигурация малой теоремы
Дэзарга является двойственной себе.D
Если в конфигурации малой теоремы Дэзарга за центр
перспективы взять элемент (ч, и рассмотреть элементы 6i, 63 , о.^ и a>s,
• (Li*),<ь* = 1&1 &i^г^г'Ъзйз'], т0 получим формулировку теоремы
SDio-
Поэтому справедливо
Замечание 10.4. Конфигурация малой теоремы Дэзарга
изоморфна конфигурации теоремы <©i0. D
Условимся в дальнейшем скобки, обозначающие правый порядок
применения операции * , как правило, опускать, если это не
вызывает затруднений. Так, например, запись aec(<Je.f)
означает l(ai)C][(de)f].
Рассмотрим еще несколько конфигурационных предложений,
полезных для дальнейшего.
Пусть я.(,а.г,а,,<г4, а. ^-"точки" плоскости f . Утверждение
о том, что справедлива импликация
называется первой малой теоремой Паппа.
Конфигурация, двойственная к первой малой теореме Паппа,
обычно называется второй малой теоремой Паппа.
Различие между первой и второй малыми теоремами Паппа может
оказаться существенным в случае, когда, например, выбираются
фиксированные однотипные элементы для построения тернара
плоскости.
42

Справедлива
Теорема IO.I. В проективной плоскости φ тогда и
только тогда проективно выполняется первая малая теорема Паппа,
когда всякое ее натуральное тело Τ образует абелеву группу
по сложению.
Доказательство . Пусть в плоскости φ
выполняется первая малая теорема Паппа. В качестве образующих этой
конфигурации элементы (0,6),(ё,ё),(0),(а,а,), (ο,α.), тдеа.,ё-
произвольные, отличные от нуля, элементы из тернара Г . В
результате получим, что элементы («>), (а,ё + а,) я(ё,а,+6)
инцидентны одному и тому же элементу из ψ . Отсюда и из замечания
9.5 следует, что ё*ои = со¥ё. В случае когда либо оь= о , либо
β=ο , равенство α/+ί>=βκι, следует из предложения 9.5.
Таким образом, доказана коммутативность сложения в натуральном
теле < Τ,+ ,·,ο, ΐ>. Если взять в качестве порождающих
конфигурации элементы (о,(ы-ё),(.а/,аи-ё),(0),(с,с+6),(о,с+ё), то получим,
что элементы (-*>), (с,с +(сы-ё>) и (си,а>*-сс+(>)) инцидентны
одному и тому же элементу из плоскооти ψ . Отсюда и из замечания
9.5 и коммутативности сложения следует ассоциативность
сложения в натуральном теле.
Обратное утверждение будет получено,если сделать
Упражнение 10.1. Показать, что если всякое
натуральное тело плоскости ψ образует абелеву группу по сложению,
то в плоскости ν проективно выполняется первая малая теорема
Паппа.D
Замечание 10.5. Для доказательства групповых
свойств сложения в натуральном теле использовалось лишь такое
расположение первой малой теоремы Паппа, когда элементы а5,
а'1аъОЬа'5)аэ(а,лаь), α^α,^α,^a>s) инцидентны элементу[оо].α
§ II. ВББЛЕН-ВЕДДБРЕАРНОВЫ ПЛОСКОСТИ И ТЕЛА
Пусть р - плоскость, £ - прямая из р . Предположим, что
замыкающая инциденты соответствующей конфигурации аС
существует тогда, когда не менее двух точек конфигурации
принадлежат прямой С . В этом случае будем говорить, что *С
выполняется ъ ψ аффинно, а прямую I назовем
специальной прямой.
43

3 a u e ч а н и e II.I. Одно и то же конфигурационное
предложение может иметь различные аффинные формы. При этом
одна форма не всегда влечет другую. D
Определение II. I. Плоскость, в которой аффинно
выполняется малая теорема Дэзарга и при этом ось перспективы
совпадает оо специальной прямой, называется в е б л е н -
веддербарновой.
Справедлива
Лемма II.I. Пусть ψ - веблен-веддербарнова плоскость,
для которой элемент [<·»] является специальной прямой. Тогда
в V аффинно выполняется первая малая теорема Паша, при этом
[о»] является специальной прямой для этой теоремы, и если
а,л,а,г,а,3,ауЛ ,α-^-такие образуюше этой конфигурации, что два
элемента из [o'3,(.a<iQ'e)ia4a'sh a/i<*-i(a'4a,s)a,3(a,ia,4)}
инцидентны элементу [ °° ] , то и третий элемент инцидентен [«»]. D
Из теоремы 10.1, замечания 10.6 получаем, что имеет место
Теорема II.I. Всякое натуральное тело веблен-веддер-
барновой плоскости, при построении которого "точки" (о) и (<*>)
выбраны на специальной прямой [ °° J , обладает следупцими
свойствами:
Ι) (α., 777, ё) = а.т + ё;
2) натуральное тело Г относительно операции сложения
образует абелеву группу;
3) а/ О = О а>=0; a,- i = i · си^-си,
4) при &¥■ О каждое из уравнений сие. = ё, усь = g имеет
единственное решение;
5) при α/Φί) уравнение ла. = лё^с имеет единственное
решение;
6) (Λ+ e)C=CLC 4-fo. D
Натуральное тело со свойствами пп. 2 - 6 называется
веблен-веддербарновым телом.
Имеет место
Лемма II.2. Пусть ψ - проективная плоскость, К - ее
веблен-веддербарново тело, а и Ь - фиксированные элементы
из К , а % - преобразование плоскости Ρ , удовлетворяющее
условиям:
Ъ((™,ю)-(т*з, n+t), <f0([m,Ti]) = (m,ii-sm *-t),
44

Тогда φ0 является коллинеацией, оставляющей на месте элементы,
инцидентные С «~ ] , и сам элемент [°°]·
Доказательство . Пусть (а/,с)Г[от,^.Тогда
с = а.тп*-ё и (Λ + β)τη + {_6-Sin + b)=amtsm*-6-3rrn-t*:(ann-e)+t= ct-tr
т.е. ( a-* s , с+Ь) I[m, ё-Snn-tJ .
Если (o-,c)ICoJ , то (a.+ a, С<-4)Г[а- + б].
Инцидентность (m)I[m,6] влечет инцидентность(m)l(mj-smti),
инцидентность (о») I[c^] влечет инцидентность (°=)1(«ы-5).
Элементы (.гл),( <*>), инцидентные [«>], остаются неподвижными
вместе с [°» ].D
Замечание II.2. Если плоскость ψ ζ ев тернар К
удовлетворяют условию леммы II.2, то любой элемент,
неоднотипный с элементом [°°] , и в то же время неинцидентный С ~] ,
при помощи подходящей коллинеадии вида ψΒ можно перевести в
элемент (ο,ο). Ώ
Покажем теперь, что имеет место
Теорема II.2. Пусть в веблен-веддербарновом теле К
равенством (а>, т, ё)= am + ё определена тернарная операция.
Тогда тело К является тернаром проективной плоскости
относительно этой операции и плоскость, построенная над этим телом,
будет веблен-веддербарновой со специальной прямой 0~].
Доказательство. Тернарная операция (a/, m,{>)=
= σm 1-6, определенная в теле, очевидно, удовлетворяет условиям
пп. 1-4 теоремы 9.1, поэтому докажем вторую часть теоремы.
Рассмотрим тройки однотипных элементов сь,,сьг , си3 и 6,,£г,
Sj , у которых центр перспективы с и два элемента С», * од*
*(^»^г.)>(аг*аа;*-С^г*^°ЛновРвмвнно инцидентны элементу [<»]»
т.е. [c,(a,/f*.a&)*(^1»Sz),(aiita^)*(6i*6jj\=[<*>J . Обозначим эти
элементы соответственно через (т),(п), (р).
Учитывая лемму II.2, можно, не ограничивая общности,
предполагать, что ei = (o,o). в результате получаем:
<ь, * 6 = [т] , <vt*Cb. ш [р, -сир +ат} ,
*1 * ft- [ "] , i>i * ь5 - [ г, -It * ёп] ,
&< * ^5 = [р] , аа,»£г = [ тп,-6т + £и],
^ϊ * *** [п,-ал + лт], а>3 * ^s =■["!, -с/л <-с/>] .
Пусть а*ь= (9,А). Тогда h-yn-cm + ат=от-ёт i-ёл
и, следовательно, (а-а -£)т = (j-a-g)n. Отсюда, если тпу^и,
45

следует, что у-сь-6 = о ът у~ α, + i. Поэтому Ь=ёп +а.т.
Таким образом, о^-(<& + £, 6η +ат).
Аналогичные рассуадения показывают, что си3 = (сс*-с,ср t-am).
Далее, а/л * (г)= [г.-СО'+бут-ётг+а.т].
Расомотрим теперь такой элемент вида (а+с, d), где α, + c -
первая координата элемента си3 , что (a.t-c,cl)I(a,i* (г» , т.е.
(a.*-C,d)I[x>, ёп + ат-((ы-ё)т].
Тогда ( а, +с)х> + 6п <- QTT}-(a,t-e)r^J ниш J=crtern-am-ir>.
Из инцидентности элементов 63 и €г*63 следует, что ср=сг-
-6т + 6п. Поэтому W-om+c/». в таком олучае <У является
второй координатой элемента аь3 . Следовательно, элемент cus
инцидентен элементу а>г*(г). Таким образом, ось перспективы
для двух троек однотипных элементов (ν,,α.^, α.3 и Su (>1,6}
совпадает с прямой [«>] . Отсюда следует, что плоскость η
веблен-веддербарнова.□
Рассмотрим проективные плоскости, в которых существуют кол-
линеации определенного вида.
Плоскость φ называется ( р,^-транзитивной, если для
любых точек р( и pi,таких, что ГР» Р< >Рг1 > н0 Ηθ инцидентных
прямой Ζ , существует коллинеация, которая переводит pi в р£
и оставляет на месте каждый элемент, инцидентный либо ρ ,
либо I .
Плоскость ψ называется (С,С)-транзитивной, если она (/>,£;-
транзитивна для любого элемента ρ , инцидентного t .
Предложение II.I. Плоскость φ являетоя it,l)-
транзитивной тогда и только тогда, когда она
веблен-веддербарнова и 6 - ее специальная прямая.
Доказательство . Если в коллинеации % ,
рассматривавшейся в лемме II.2, положить s=o , то <f„ является
fan), [ooj) -коллинеацией для любого элемента ( m), инцидентного
элементу [<*»]·
Обратное утверждение будет получено, если выполнить
Упражнение II.I. Пусть α-,, а.л,а3,£„{!г,ё3 -
такие точки (/.ф-транзитивной плоскости в , что си4= Ια,^,α^
Показать, что элемент &4 инцидентен С .О
46

Следующее упражнение показывает, что наличие определенного
вида транзитивности влечет проективное выполнение
конфигурационной теоремы.
Упражнение II.2. Если плоскость ρ является (6,6)-
транзитивной и .(^/^-транзитивной для двух различных прямых
С и k , то в φ проективно выполняется малая теорема Дезарга.
§ 12. МУФАНГОВЫ ПЛОСКОСТИ
Проективная плоскость называется муфанговой ,
если в ней проективно выполняется малая теорема Дезарга.
Лемма 12.1. Пусть f - муфангова плоскость, α,,α^,α-.,,
оьц , ccs - такие элементы из Ρ , что определены произведения
α^-^α^Καβα^), ^'(0.^^(0,^4),а^ч'^а*)^^), а^гСа^а^у
■faf^s), α-η-ία,^οΧα,,^) и при этом а>4 = (ага^^(^а.10).
Тогда [α,ίΊω7,α,^.
Доказательство . Применим к элементам cv6, сью,
сьд и a.s,a,6,a,f1 теорему S)(o · Тогда в силу замечания 10.4
и муфанговости плоскости р получим, что \ous«ίι 7 сьйcuf, a,,a,^\.
Из рассмотрения троек <νγ,α,5, сии и au4yct,6^<vg получим
утверждение леммы. □
Л е м м а 12.2. Пусть ψ - плоскость, построенная над
альтернативным телом К . Тогда каждое из следующих
преобразований </>,, (/>_,, ifb является коллинеацией плоскости ρ :
а) ψ1({α,,θ) = {α7^ώια), если ъ*о, φ,Χίτπ,6])=ίί,π>},
<Р,((0,о; =(с), <ifV С С «-J J - β*7* если а* °·
¥,((-;)-С~Ь f, ([-])-[0 ];
б) уг((в, с J) = (С, »j , </>& ([m,(]).[/n'^, если mMO,
fc((*»))-(Ό,если 777*0, fk([o.«J)-[*l·
<Μ(~» = «υ, f*([-])-c-];
¥,«-»-(->, ?»([-])=[-]·
Доказательство проводится аналогично доказательству леммы
II.I с использованием равенств (a.S)S~- сел 6(i~la,)=a,t
имещих место во всяком альтернативном теле. Π
47

Замечание 12.1. Пусть ψ удовлетворяет условию
леммы 12.2. Тогда коллинеация φ, переводит [°°] в элемент [о],
коллинеация <&, переводит элемент [о J в элемент [о, оЗ,
коллинеация (f} переводит [о, о] в [л. о], коллинеация if,
леммы II.2 при з=о переводит [л,о] в [n,t] . Таким образом,
элемент [«] может быть при помощи этих четырех коллинеаций
переведен в любой, однотипный с ним, элемент |>,t]
плоскости ρ .
Покажем теперь, что имее.т место
Теорема 12.1. Проективная плоскость ψ является му-
фанговой тогда и только тогда, когда ее натуральное тело
является альтернативным телом.
Доказательство . Из замечания 12.1 и леммы 12.2
следует, что если натуральное тело плоскости является
альтернативным телом, то в плоскости ψ малая теорема Дезарга
выполняется проективно, поэтому Ъ - муфангова плоскость.
Докажем обратное утверждение.
Пусть ψ - муфангова плоскость и Τ - ее натуральное тело.
Поскольку муфангова плоскость является и веблен-веддербар-
новой, то из теоремы II.I следует, что необходимо и
достаточно доказать, что для элементов натурального тела и операций
в нем выполняются следующие свойства:
сь(ё+е) = аЛ +ас, (D
α,ίαΑ) =(а,г)ё , (2)
(αί)β =а/(6Ч. О)
Для доказательства свойства (I) выберем элементы а^-(0),
!,= (»), <Ъ7=Со,0), Sz = (i,c), α·3 = (α<, α& * ах). Тогда
(6га,7)(030,4.)-6зшСа'.<*а). Отсюда <ье=(0,а£).
Далее, 4a^=C00Ji а,л=св)п<ъ^(о,с). Поэтому
(аг а,г) инцидентен соъ , поэтому си{.6 +с) = αί> +■ ох .
Положим теперь сил = {0), α·ζ=(°°), сь3= (ο,ο), a,s=(a',CL(ae)),
α^'(ΐ,α-). Тогда (а,ча,5)(а,3а,4) = α.Γ= (α,,αΛ),
{cuza,a Xa-iO-s) = си1о= (а,,аё), (α,^α,^^ο^.) - сь8 = (i, αέ),
(α.Λα,δ){α,3cu9) = α^-(ν, а-(аё)), где tfe = а,(аё), (огсцХа^ае)**
Отсюда и из леммы 12.1 следует, что элементы <гА, #? 7 а.„
имеют общий для них инцидентный элемент, поэтому из замечания
48

II.I получаем равенотво и= си& , т.е. а^б- α,ίαβ).
Доказательство свойства (3) проводится аналогично, если
положить α^-Οο,ο), а.г=с<~ьаэ = Со), а^-и,ё),а,^(еь,а,(6)£).
Таким образом, всякое натуральное тело муфанговой плоскости
альтернативно.□
Плоскость называется дезарговой (папповой), если в ней прс-
ективно выполняется теорема Дезарга (соответственно теорема
Паппа).
Сформулируем теперь ряд упражнений.
Упражнение 12.1. Все натуральные тела плоскости,
построенной над ассоциативным телом, изоморфны.
Упражнение 12.2. Муфангова плоскость тогда и
только тогда является дезарговой, когда хотя бы одно из ее
натуральных тел является ассоциативным телом.
Упражнение 12.3. Натуральное тело дезарговой
плоскости является ассоциативным телом.
Упражнение 12.4. В плоскости, построенной над
ассоциативным телом, проективно выполняется теорема Дезарга.
Упражнение 12.5. Если плоскость ρ являетоя (£</-
транзитивной и (р,О-транзитивной, где /» - точка,не
инцидентная прямой 6 , то ψ - дезаргова плоскость.
Упражнение 12.6. Натуральное тело папповой
плоскости является полем.
Упражнение 12.7. Плоскость, построенная над
полем, является папповой.
Для дальнейшего нам понадобится следующее
Предложение 12.1. Теорема Паппа выполняется
проективно в плоскости тогда и только тогда, когда умножение в
каждом ее натуральном теле коммутативно.
Доказательство. Положим af=(o), α-9=^),α^ = (ο,ο),
а,г= (α,,α,), α,6~(β,6), ω5=(.ί,(ί). Тогда a,s=(i,&),
af = (α,,αέ), as *■ α>4°Ία.] , af - [6 J , (t6 = С 6, £&) -
Отсюда и из того, что \а.7 , а,я, д,д],следует равенство а6=6а,.п
В § 7 было показано, что всякое конечное ассоциативное тело
является полем. Таким образом, имеет место
Теорема 12.2. Всякая конечная дезаргова плоскость
является папповой.□
Упражнение 12.8. Всякое конечное альтернативное
тело является полем.
49

Справедлива следупцая
Теорема 12.3. Всякая альтернативная алгебра с
делением либо ассоциативна, либо является алгеброй Кэли-Диксона
над бесконечным полем.Π
Используя эту теорему, нетрудно выполнить
Упражнение 12.9. Всякая конечная муфангова
плоскость является папповой.
§ 13. КОНЕЧНЫЕ ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОСКОСТИ
Если 2>- конечная плоскооть, то каждому элементу
инцидентен т * ι элемент. Число ην назовем порядком плоскости х> .
В упражнении 12.9 было отмечено, что всякая конечная
муфангова плоскость является папповой. Тернар папповой плоскости
является полем, но все конечные поля - это поля Галуа, их
порядок р" , где ρ - простое число, п, - натуральное число.
Таким образом, порядок муфанговых (дезарговых или папповых)
плоокостей равен р" и каждая такая плоскость имеет явное
описание.
Неизвеотно, существует ли проективные плоскости, имепцие
своим порядком степень составного числа. Однако у нас есть
все необходимое, чтобы показать, что имеет место
Теорема 13.1. Пусть 77 = 4* +i или л~4к * г , где
к=о,1,2,,... и л/ нельзя представить в виде оуммы квадратов
двух целых чисел. Тогда не существует плоскостей порядка т .
Доказательство . Пусть ψ - плоскость
порядка η и J/-77z+77+ 1. Тогда для матрицы инцидентности А
плоскости ψ выполнены соотношения ААТ=АТА =лЕ + и, где
Ат - транспонированная к А матрица, Σ - единичная матрица
и U - матрица, состоящая из единиц (см. § 5).
Соотношение ААТ- л£ + и, можно интерпретировать в терминах
линейных форм. Сопоставим каждой прямой "сь- линейную форму
Li = 2a-ii^ir /=i,...,/V, где си£- - элементы матрицы А .Тогда
ϊ=ί «ζ * г. г. 2. 2. (7)
Это соотношение является тождеством, поскольку в сумме L■
каждая переменная л^ встречается π +1 раз с коэффициентом i
(каждый элемент в плоскости порядка п· имеет в точности τν+ι
элементов, ему инцидентных). Каждое слагаемое вида &я-1лск ,
50

Ιέ к, встречается в левой части равенства (I) только один
раз в силу определения частичной операции в проективных
плоскостях.
Предположим, что n = 4x+L или η=4κ*2, где ке {о, ι, г,...}.
Тогда Л/= пг *■ л+1 - 4s +з, где se { о, ί,2,...}.
Равенство (I) можно переписать в виде
поскольку Af-i-n(n*l).
Сделаем теперь замену: у^л^.. .^, у^лг^' , ..-φ=ΜΜ«. £ί.
Заметим, что матрица перехода невырожденная и ее элементы
рациональны. Таким образом,
г* т2 т2 & ,г &
L, +LZ +...+LM -Я+nfr+...+ nfr.
Из теоремы 8.4 для любого натурального числа ть следует
существование таких целых чисел zuz&,z5 , г4 , что
π = ζ* * ζ* *■ ζ* + ζ/.
Из тождества Лагранжа I (см. § 8) следует, что
, t г г _г ζ г г г , ±г 1г ±2. ,г
Отсюда и из того, что JV=4s + 3 для некоторого 6 из {o,l,2,...J,
получаем
A ^V-^\^<^-<-^^li< )■ (2)
Заметим, что каждое из выражений £,,.·., 1>ы являлось
линейной комбинацией с целыми коэффициентами, поэтому элементы
bj,..., Ln являются линейными комбинациями от переменных ν ι
и соответственно ti с рациональными коэффициентами.
Равенство (I) является тождеством относительно переменных
.жс , поэтому является тождеством относительно переменных ti
и равенство (2). Но тогда это соотношение будет выполняться,
если некоторые переменные специализировать. Пусть _Ь =S1t1 *·...+
*^м^м- Если έ1 j* ί , то положим X, = tt ; если £f =/ , το
положим L =-^.
При такой специализации tf можно представить в виде
линейной комбинации элементов #а,...,^. Тогда Lz =Ьг и
Продолжая этот процесс, получим последовательно, что
51

где Ьы.1,Ъы.гг линейные формы с рациональными коэффициентами.
Пусть -к - общий знаменатель коэффициентов обеих форм 1>ы_1
и 1ц.
В ^результате получим, что [ϊ*_£ ♦ 1*J- Л[(ЦMH)*(MMf],
где 1; = в!г , »- N-L,U.
Но формы £дг_, и ί^ имеют только целые коэффициенты,
поэтому если в качестве in-1 и iN взять любые целые числа,
то получим, что целое число η есть отношение двух целых
чисел, каждое из которых является оуммой квадратов целых чисел.
Отсюда и из теоремы 8.5 следует, что п> является суммой двух
квадратов целых чисел, что противоречит выбору τν.Ώ
В настоящее время имеется ряд результатов, показывающих,
что при определенных условиях конечная проективная плоскость
будет папповой. Отметим некоторые из них.
Плоскостью Фано назовем плоскость, в которой для любых
различных четырех однотипных элементов си,,а.г,а,3,а,4, таких,
что различны элементы cuf φζ,а&а3,а^ац,а/4а/< , выполняется
равенство [^ai^^a^jJfCc^aajfa^a^J-f^^Kaja^jJpa-^jCaai^)].
Упражнение 13.1. Показать, что плоскость Фано
является дезарговой и имеет порядок, равный 2Г .
Говорят, что группа G дейотвует дважды транзитивно на
множестве Μ , если для любых двух упорядоченных пар (си, в) л(с,с1)
элементов из Μ существует такой элемент а из группы G ,
который элемент си переводит в С , а элемент ё переводит в J.
Упражнение 13.2. Пусть р - конечная проективная
плоскость и группа G коллинеаций действует дважды транзитивно
на точках из φ. Тогда ψ - паппова плоскость.α
Коллинеацию if проективной плоскости ψ назовем з л а -
ц и е й (соответственно гомологией ), если
существуют такие два неоднотипных элемента ρ и 6 из ? , что ρ
инцидентен t (соответственно ρ не инцидентен t ) и φ
оставляет неподвижным каждый элемент, инцидентный либо ρ , либо I.
Упражнение 13.3. Пусть ψ - конечная проективная
плоскость, в которой для любой пары инцидентных' элементов
группа элаций нетривиальна. Тогда ρ - паппова плоскость.о
Коллинеацию, имеющую порядок, равный 2, назовем инволюцией.
Упражнение 13.4. Пусть ос - инволюция проективной
52

плоскости порядка ть . Тогда либо п= т& для целого числа т,
либо τν нечетно и в этом случае ао - гомология, либо п, четно
и в этом случае ы - алация.D
Представляют интерес также
Упражнение 13.5. Пусть ψ - проективная
плоскость порядка η , ас - коллннеация простого порядка ρ > г ,
оставляющая неподвижными N точек из ψ , где <Уэ о (modг).
Тогда уравнение лг= ттц*"*-(г1) * ргг имеет ненулевое решение
в целых числах относительно ·*, у, л. Π
Упражнение 13.6. Пусть ψ - проективная
плоскость порядка ть , где п= ζ [mod 4). Тогда всякая коллинеация
плоскости Ρ имеет нечетный порядок. Π
Упражнение 13.7. Показать, что если существует
проективная плоскость порядка 10, то ее группа коллинеаций не
содержит инволюций.
Для описания конечных проективных плоскостей важную роль
играют почти-поля.
Веблен-веддербарново тело, в котором умножение
ассоциативно, называется почти-полем.
Пусть <f- рй, где ρ - простое число, А - натуральное
число, и пусть V - целое число, такое, что все его простые
делители делят число φ - i , при этом V~£ 0(mod4), если у=
=. 5(mod4). Рассмотрим число r = hv и для числа η - ρ1"
построим почти-поле мощности рг.
Через К обозначим множество всех элементов поля Галуа
GTCvr).
Пусть операция сложения будет та же, что и в поле GF(vr)■
Если 2 - фиксированный примитивный элемент поля GT(pr)
(т.е. элемент ζ порождает группу всех ненулевых элементов из
GF(pr)) и u.-3Kir*J7 то из сравнения у1* ι t-j(q,-i)(modvXq-l))
однозначно определяется натуральное число i no modtr.
Определим теперь на множестве К операцию · следующим
образом: ипц, = и, · иг^7 где · - операция умножения в поле
GTipr).
Теорема 13.2. Алгебраическая система <ί /С, * ,. >
является почти-полем.Π
Упражнение 13.8. Построить конечную проективную
плоскость, любое натуральное тело которой не является веблен-
веддербарновым.
53

§ 14. СВОБОДНЫЕ ПЛОСКОСТИ
Будем говорить, что расширение о& конфигурации ^является
свободным одно-шаговым, если для любого
элемента а> из ё&\ ОС существуют два и только два элемента
(, и с из Ос , такие, что си=1*с.
В случае когда для плоскости ρ ζ ев подконфигурации X
существует последовательность конфигураций °С= <£„,<£,,-^"(уи··
такая ι что для любого натурального числа ν расширение оС^^С (
является свободным одношаговым и ρ - (7 Xi , говорят, что
плоокость ^свободно пор о~ж д е н а
конфигурацией аС .
В этом случае будем также говорить, что элемента из оС„\^(
имеют ступень η относительно X .
Если алгебраическая система удовлетворяет аксиоме (Б.1) и
не удовлетворяет (Б.2), или если система удовлетворяет
аксиомам (А.1),(А.2) и не удовлетворяет (А.З), то соответствующая
система называется вырожденной проективной
плоскостью.
Упражнение 14.1. Показать, что всякая вырожденная
проективная плоскость может быть иллюстрирована одной из
"картинок" следующего вида:
Рис. 8,а Рис. 8,6 Рис. 8,в Рис. 8,г Рис. 8,д
Упражнение 14.2. Показать, что любая вырожденная
плоскость Ос свободно порождена подходящей конфигурацией и при
этом каждый элемент из ос имеет относительно любой ее
порождающей подконфигурации ступень не более чем 2.
Лемма 14.1. Пусть ОС- произвольная плоскость, α^,α.^,4
- такие элемента, что ^,α,^Οί,έ,,^εΟΟ и при этом элементы
а-и 6iti=i,2,, инцидентны, и пусть для i=i,z плоскость и
54

свободно порождена плоскостью ОС- и элементом &v Тогда
плоскости f>f и ψΛ изоморфны.
Доказательство . Если плоскость
^„вырожденная, то утверждение леммы проверяется непосредственно.
Пусть теперь 00 - невырожденная плоскость. Тогда в ОС
найдется элемент с, , не инцидентный £, , но однотипный с л, ■
Присоединим к конфигурации, состоящей из ОС и Оу, элемент
а-, * с, и выбросим я/, . При этом элементу а-, инцидентны два
различных элемента с, и #< . Поэтому плоскости, свободно
порожденные соответственно конфигурацией, состоящей из
плоскости OV и элемента cuit и конфигурацией, состоящей из плоскости
00 и элемента с, *- 6, , изоморфны. При этом безразлично,
какому именно элементу из ОС был инцидентен элемент ου, . α
Лемма 14.2. Пусть ψ,, ψί,ψ3 , ψ - проективные
плоскости, удовлетворяпцие следующим условиям:
1) jPf свободно порождена плоскостью ψ и элементом а/ , не
инцидентным ни одному из элементов из ψ ;
2) ψζ свободно порождена плоскостью ψ и двумя элементами,
не содержащимися в ψ , каждый из которых инцидентен
подходящему элементу из ρ ;
3) рз свободно порождена плоскостью ψ и такими двумя
элементами а/ и ос/2, не содержащимися в плоскости ψ , что а-,
одновременно инцидентен элементу я^ и подходящему элементу из
ψ . Тогда плоскости ψ, , р^ъ ψ3 изоморфны.
Доказательство . Пусть #, и ίΛ - различные
однотипные элементы из плоскости ρ . Тогда нетрудно проверить,
что ν изоморфна плоскости & , свободно порожденной
плоскостью ψ и элементами се,*$^,оь* 4..Отсюда и из леммы 14.1
получаем изоморфизм плоскостей jPf, ^ и ψ3. π
Пусть ОС ж об-- две конечные конфигурации, и пусть
существует конечная последовательность о£,, o£j ,..., £„
конфигураций, удовлетворяющих следующим свойствам: ОС" оС1,а6-=<£,я
для любого натурального числа i-, i - 1,2, n-j , либо сС£
является свободным одношаговым расширением <£it_i , либо <£i+i
является свободным одношаговым расширением <£.. В этом случае
будем называть конфигурации ^я ^свободно
эквивалентными.
Предложение 14.1. Пусть ОС и &- свободно
эквивалентные поцконфигурации свободной плоскости ψ . Тогда под-
55

плоскости < OL>~ и<ic#>r,, порожденные в ψ соответственно Ot
и <& , изоморфны.
Назовем стандартной и обозначим через с^.
конфигурацию вида
где множество {сьл} имеет мощность <с .
Эту конфигурацию иллюстрирует "картинка"(рис. 9).
Проективную плоскость ρ будем
называть свободной, если ψ либо
овободно порождена стандартной
конфигурацией, либо является вырожденной
плоскостью.
Рис. 9 Справедливо
Предложение 14.2. Всякая
конечная подконфигурация в невырожденной свободной проективной
плоскости свободно эквивалентна подходящей стандартной
конфигурации. D
Справедлива следующая
Теорема 14.1. Всякая поддлоскость ρ свободной
плоскости ·£ свободна.
Доказательство, достаточно доказать теорему
для случая,когда "ё и ψ невырожденные. Пусть плоскость ψ
свободно порождена стандартной конфигурацией У. Элементы из
У обозначим через Х0. Если определена конфигурация Хгк ,то
соответственно через ^гки-ι обозначим расширение
конфигурации сСгк , содержащее все элементы из $f , однотипные
(соответственно неоднотипные) с элементом с и каждый из которых
может быть получен при помощи двух элементов из оСгк и
соответственно из сСгк+ι и операции * из $ .
Через ψκ , κ= ο, ι,г,... обозначим подплоскость плоскости ψ ,
порожденную теми элементами из ψ , которые содержатся в <£к.
Подплоскости ψ ооставляют, очевидно, возрастающую
последовательность плоскостей, объединение которых совпадает с ψ.
Подплоскость гр0 , очевидно, свободна. Пусть з&о -
подконфигурация из <£0 , порождающая f0 .
Подплоскость ψκ , κ>ί ,порождается конфигурацией, которая
состоит из плоскости φ κ-L и множества &к всех тех
элементов, .которые содержатся в (£к \ (Гкч)\ ψΙ(-ί . Покажем, что
56

плоскость νκ свободно порождена конфигурацией fK_1 UaS-K
(при этом некоторые элементы из &к могут быть инцидентны
некоторым элементам из ψ к-{ , но не содержатся в φκ~ι ).
Для зтого выберем некоторый определенный способ построения
плоскости фк из конфигурации фк_1и &к. Это значит, что
существует такая последовательность одношаговых расширений
Ъш*к<1*к* м1.~.,<*„,-.что φκ= иооьъ.
Пусть αχζ рк\ с -nKt 0 з&-к ). Элемент α,γφβ , и,
следовательно, сир JCC. поэтому при построении плоскости ίκβ /0
для элемента со существуют в точности два предшествующих
элемента &ι и eg., таких, что си = S1 * &ζ.
Предположим, что найдется элемент £} , отличный от 4i и &,
который предшествует элементу си при построении ψκ . Ввиду
того что £ - свободная плоскость и а,= ei* £a, получаем,
что &3 при построении ξ не предшествует α- , поэтому
существует такой элемент £«. , что Ss= со* £q, где а> и &«
предшествуют элементу $3 .
Если оказывается, что $3$&кОфк^,чо, применяя к элементу
6ц рассуждения, аналогичные рассуждениям, приведенным для &3 ,
получим существование такого элемента is, что £»=£,*£*-, где
&} и £s предшествуют 4+ при построении плоскости ψκ ,но при
построении ■$ элемент eg- имеет более высокую ступень в £f ,
чем S4 .
Если &з е ^«--i, то существует натуральное число I ,. такое,
что is «= ψι \ ψί-i' Если ё3&&1, то аналогично предыдущим
рассмотрениям получим существование элемента 64 .
предшествующего в плоскости р. элементу 63 , но имеющего более высокую
ступень в ·£ .
Продолжая построение, получим последовательность элементов
63, £4, is*—* ^ί,...,ступени которых в ff возрастают, хотя
всякий элемент этой последовательности предшествует предыдущему
при построении некоторой плоскости ψίπι , im > im+l- Эта
последовательность не может быть бесконечной, т.е. некоторый
элемент а>т<> должен содержаться в одном из множеств об: , где
θέί&к. Отсюда следует, что ступень элемента ч/та не превосходит
к , в то же время она больше ступени элемента а/ . Полученное
противоречие показывает, что предположение о существовании
элемента Sj , отличного от S1 и £& , неверно. Отсюда и из то-
57

го, что элементу со в плоскости φκ должны предшествовать по
крайней нерв два элемента, следует, что такими элементами
являются элемента Si и £& , предшествующие си- при построении τβ.
Таким образом, при построении плоскости ψκ каждому
элементу из рк \ ( fK_t и 5&к) предшествует в точности два элемента.
Но это означает, что плоскость fK свободно порождена
плоскостью рк_{ и конфигурацией ^к , некоторые элементы которой,
возможно, инцидентны некоторым из элементов из fK.{. Отсюда
и из лемм 14.I и 14.2 следует, что для плоскости ψ может
быть построена такая стандартная подконфигурация -fa , что ρ
свободно порождается У% . Но это и означает, что ψ -
свободная плоскость, α
Упражнение 14.3. Пусть £п - невырожденная
свободная проективная шгоокость, порожденная стандартной
конфигурацией из η + 3 элементов. Тогда порядок любой конечной
подгруппы ее группы автоморфизмов не превышает числа тп , где
"4!, если 77 = 4,
5!, если 77 = 5,
2·(«~Ι)! во всех остальных-случаях.
Упражнение 14.4. Пусть G3 - свободная группа с
тремя порождающими а,, ё л с , и пусть Η - ее нормальная
подгруппа, порожденная элементами а? б4, с* (аё)* а,(елаёгс)?(6гс)л.
Тогда факторгруппа Gs/н изоморфна группе автоморфизмов ΑιΑ%4
свободной проективной плоскости £4 , порожденной стандартной
конфигурацией из 5 элементов.
§ 15. СВОБОДНЫЕ РАСШИРЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ
Расширение ζ&-<ί8,Ιρ,-> конфигурации ОС будем называть
полным одношаговым, если для любых двух
различных однотипных элементов о. и S из 00 существует такой
элемент с из об- , что со- £ =- с.
Конфигурацию будем называть замкнутой , если ее
полное одношаговое расширение совпадает с ней самой. В
противном случае конфигурацию будем называть незамкнутой.
Пусть ОС - замкнутая конфигурация, & - подконфигурация
в ОЬ . Через « & ^обозначим пересечение всех тех замкнутых
поцконфигураций из <%, которые в качестве подконфигурации
содержат & .
58

Для подконфигурации об- из замкнутой конфигурации ос положим
по определению α&·ίο:ι - с&. Если теперь для натурального числа
ν определена конфигурация со**-t-1-',то через S&-сlJ обозначим
полное оцношаговое расширение конфигурации -^ 1 ~ * - в Ос.
Имеет место следующее ^
Предложение 15.1. Конфигурация t' ^-i-I,J
замкнута, и справедливо равенство < 3&->(К= Л &Сь2 = « з6-У>м. о
Конфигурацию ОЪ~^ Ал (Α' Ά), ι'°> будем называть
конфигурацией без инциденций, если 1=0.
Проективная плоскость ρ называется вполне
свободной , если ρ свободно порождена некоторой
конфигурацией 01 = <Л, А', °А , 01 ' > без инциденций. В этом случае
будем также говорить, что ρ свободно порождена множеством А.
Если ΰί-<. А, С А','А, Г,->- конечная конфигурация, то число
г(ОС) -=2|/4|-Щ,где Ml, in суть мощности множеств
соответственно А и г , будем называть рангом конфигурации·
Если для плоскости ψ существует такая конечная
конфигурация ОЬ , что ОЬ свободно порождает плоскость ρ , то рангом
плоскости ρ будем называть ранг конфигурации ОС .
Корректность этого определения показывает следующее
Предложение 15.2. Если конфигурации ot и г&
свобоцно эквивалентны, то их ранги совпадают, о
Упражнение 15.1. Пусть ψ - вполне свободная
плоскость, тогда существует такая стандартная конфигурация У
что У свободно порождает ψ .
Конечная конфигурация ot называется закрытой ,
если для любого элемента си из ОС существует по крайней мере
три элемента из ОС , инцидентных элементу о· .
Конфигурацию, не содержащую закрытых подконфигурации,
будем называть открытой.
Упражнение 15.2. Если проективная плоскость ψ
свободно порождена конфигурацией ОС и конфигурация S&-
свободно эквивалентна конфигурации ОС , то зб- свободно порождает
плоскость ψ .
Пусть ОС - конечная конфигурация. Объединение всех
закрытых подконфигурации из 01 назовем остовом
конфигурации Ot и обозначим через К (ОС).
Приведем без доказательства два утверждения.
59

Теорема 15.1. Если проективная плоскость ψ
свободно порождена конечной конфигурацией OL ранга r(Ot), остов
которой К(Ot) пуот, то ψ - свободная плоскость конечного
ранга т(01). о
Теорема 15.2. Если проективная плоскость ν
свободно порождена конечной конфигурацией Ot , остов которой К. Cot)
не пуст, то ранги конфигураций Ot и K(fft) совпадают и
плоскость ψ свободно порождена остовом К(Οι) конфигурации (К. □
Упражнение 15.3. Свободные проективные плоскости
различных рангов неизоморфны между собой.
Пусть теперь С - фиксированное четырехэлементное
множество, элементы которого будем считать однотипными. Рассмотрим
проективную плоскость <££ (С), свободно порожденную
множеством С . Очевидно, что <£$ (С) является свободной плоскостью
ранга 8.
Справедлива
Теорема 15.3. Плоскость JC& (С) содержит в качестве
подплоскости свободную плоскость очетного ранга.
Доказательство. Через ί,, Сл, С}, С4 , £$-, i6
обозначим соответственно слова
Далее положим
Ъ-СЬочКЬа-з)' 95*&αί)(ίιθ$Κ ^•(■t€^jX^a*)·
Непосредственно из построения элементов ^, ί=1,ζ,...,6,
следует, что подплоокость, порожденная в °С£СС) этими
элементами, имеет ранг, равный 12.
Возьмем теперь элементы §(,, уг , fr, y4 и подставим их
вместо элементов а,,о-г, а3, Q-4 в слова $1,$*.'$з'$4>9*>9б-
Полученные слова обозначим через yiA ,cfiz ,^υ-ϊ·?*·* ·ψι-£·* 9ιе ■
Пусть теперь для натурального числа I построены слова
9i.t <Эг.г ^i.3^i.4^i.5,Ul0Tm через 1"1-*'9ыя'1ыл$и±л.
а. п. .обозначим слова, которые получаются, если в слова
£*£· ft"*· is'9* подставить элементы ^. £1л,}1лфл.
Рассмотрим теперь счетное множество элементов &= [о а

Нетрудно проверить, что каждое из рассматриваемых слов
является правильным относительно множества С словом. Заметим также,
что если рассмотреть правильное слово относительно множества
G , то оно будет правильным и относительно множества С .
Отсюда следует, что подплоскооть, порожденная в <£%СС)
множеством G , имеет бесконечный ранг. Отсюда и из теоремы 15.I
получаем утверждение теоремы.
Справедлива также
Теорема 15.4. Пусть <£%(.<&) - произвольная
проективная плоокость, свободно порожденная невырожденной незамкнутой
конфигурацией ОС . Тогда в oCg(Ot) существует подплоскооть,
которая является свободной проективной плоскостью счетного
ранга.
Доказательство . В оилу предыдущей теоремы
достаточно показать, что <£g(Ol) содержит в качестве подплоско-
сти невырожденную свободную проективную плоскооть ранга 8.
Из невырожденности и неэамкнутости конфигурации ОЬ следует,
что в 00 найдутся два таких однотипных элемента pt и ρζ ,
что произведение Pi ■ Ρζ не оодержится в OV . Из
невырожденности плоскости сС-£(ОС) следует, что ъЛ%(ОС) найдутся еще
два элемента рэ и р*, однотипных с элементами />, и р2 , что
элементы pi, Ρί, ρ 3, j>4, ρ, ρ,,ад, ρ,ρ4, ρ4 ρ, удовлетворяют
аксиоме (Б.2). Для завершения доказательства теоремы необходимо
выполнить
Упражнение 15.4. Подплоскооть, порожденная
элементами Рп Рг'Рз*?4 в плоскости oCg(oc), является овободной
проективной плоскостью ранга 8. □
Упражнение 15.5. Пересечение двух вложений
невырожденной свободной плоскости Ю4 ранга 8 в любую свободную
плоскость либо изоморфно ξ ^ , либо является вырожденной'плоскоотью.
§ 16. АЛГОЙИЖЧЕСМЕ ПРОБЛЕМЫ
Пусть γ - проективная плоскость, порожденная
конфигурацией 00 ~<А", Ά, Ι,·>. Через WCA) обозначим множество всех
неассоциативных слов, образованных от элементов из А . Как
обычно, длиной слова иг из W(A) назовем число Jejcar) всех
вхождений элементов из А в запись иг . Значения слов из 41(A)
61

определим по индукции: если иг - слово длины I, то оно
совпадает оо своим значением; если определены значения для всех
слов, длина каждого из которых не превосходит натурального
числа ь , то, в случае когда иг= иг - слово длины i *-ί ,
полагаем йг= И* Ψ, где ΰ и Ψ - значения слов со и г , а
* - частичная операция,, определенная в плоскости f .
Слово кг из W(A) назовем ψ -допустимым, если иг имеет
значение в плоскости γ .
(ПД). Проблемой допустимости назовем вопрос о
рекурсивности множества W~(A) всех допустимых слов из W(A).
(ПК).Проблемой конструируемости назовем
вопрос о существовании алгоритма, позволяющего для любых двух
слов «rf и ωτ из1*Ш) выяснить, допустимы эти слова или нет,
и если допустимы, то инцидентны их значения или нет в
плоскости ψ .
Определим на множестве ~Wo(A) бинарное отношение =
таким образом, что а.» £ тогда и только тогда, когда значения
слов аи и 6 совпадают. Эквивалентность = можно
естественным образом доопределить до эквивалентности на множестве и/(А),
положив, что все элементы из W(A)\Wj>(A) содержатся в одном
дополнительном клаосе.
(ПН). Первой постановкой проблемы равенства для
плоскости назовем вопроо о рекурсивности множества всех ν -
допустимых слов из W(A), принадлежащих каждому из классов
эквивалентности, в множестве У?„(А) всех з> -допустимых слов
от Л .
(ПР2). Второй постановкой проблемы равенства для плоскости
назовем вопрос о рекурсивности множества всех γ -допустимых
слов из W Г И),принадлежащих каждому из классов эквивалентности
в множестве WCA) всех слов от А .
(ПИ1). Первой постановкой проблемы инцидентно с-
т и для плоскости будем называть вопрос о рекурсивности
отношения I инцидентности плоскости ψ , при условии, что
рекурсивны множества П' и 77 всех точек и прямых из φ.
(ПИ2). Второй постановкой проблемы инцидентности для
плоскости будем называть вопрос о существовании алгоритма, который
для любых р-допустимых слов иг, и ъгг из Wp(А) позволяет
выяснить, будут или нет инцидентны элементы щ и щ плоскости,
62

являпциеся значениями слов иг, и м£.
Предложение 16.1. Пусть ψ - проективная
плоскость, порожденная невырожденной рекурсивной конфигурацией ОС ,
и для ψ алгоритмически разрешима проблема ρ -допустимости.
Тогда для ρ алгоритмически разрешимы проблема равенства в
каждой из двух постановок (ПН) и (ПР2), проблема
инцидентности в каждой из двух постановок и проблема конструируемооти.П
Предложение 16.2. Для проективной плоскости ψ
из алгоритмической разрешимости в каждой из постановок (ΠΡΙ)
и (ПР2) в отдельности следует алгоритмическая разрешимость
проблемы ρ-допустимости. □
Предложение 16.3. Для проективной плоскости р
из алгоритмической разрешимости в каждой из двух постановок
(ПИ1) и (ПИ2) в отдельности следует алгоритмическая
разрешимость проблемы ^-допустимости.Π
Таким образом, можно говорить о проблеме равенства и
проблеме инцидентности, подразумевая при этом любую из постановок
этих задач.
Будем говорить, что две алгоритмические проблемы /7, и Пг
эквивалентны, если проблема /7f алгоритмически разрешима
тогда и только тогда, когда алгоритмически разрешима проблема /7,.
Теорема 16.1. Для любой проективной шюокооти ψ
проблема равенства, проблема инцидентности, проблема
допустимости и проблема конструируемости эквивалентны.Π
Вернемся теперь к рассмотрению элементов из множества W64).
Весом слова иг из множества WCA) будем называть число л,*2л,7
где τν1, лг - соответственно числа вхождений в запись слова кг
элементов из множеств А" и °А .
Предположим, что элементы множества А вполне упорядочены.
На множестве W(A) определим упорядоченность > таким
образом, что для двух различных слов trf и гг выполняется
соотношение ν~Λ > χΓζ тогда и только тогда, когда либо ^(^)>^((>1),
либо Wy(v()= w<j(ir&) и d^) >dgcvi), либо WgW^WyCvD^ctty-
= о<%(Уг.)~ 1, и индекс слова щ больше индекса слова «£ в А ,
либо ^(^)=νν^(νζ), dQCty-JyiV^i, ъ-а^ъ-щш υ,>υ5,
либо Mf^(i^) - М$(тГг), </^(ν;)^^)>ί, »,= ** и аг> и4-
Элементы из /С и 74 будем называть правильными словами
соответственно первого и второго типов длины I. Предположим, что
63

определены все правильные слова, длины которых не превосходят
натурального числа i . Слово иг из множества ~W(A) длины i+i
назовем правильным словом первого (второго) типа, если для иг
выполняется одно иэ следупцих условий:
1) иг- vr[vri, где иг и Μζ,являются правильными словами
второго типа (соответственно первого типа) и и^> и£>
2) если иГ=- υτ,ΐί/ι,το пары (щ щ) и (»г «ζ;не оодержатся
в множестве <& , где ^ - отношение инцидентности,
определенное в конфигурации 00 ;
3) если гг=г^и£гй^=иг'а£то пары(«f', и£; и (ας" Щ) не
содержатся в множестве об ;
4) вслияг-«5и£ , ^«ζ'β^,το пары («£', «^ и (иг/', ας; не
содержатся в множестве <*- ;
5) если «^(«^и^кй^-и^;, то пересечение {^,^Π^,β^·
множеотв [иг3,иг4} и {«/>,«£} пусто;
6) если либо ^-[0«5и£^и^]и£, либо иГ«[и£(и£и£)]и£,
то слово νΓζ не является элементом множества \иг3,пг4}.
Ыножеотво всех правильных слов первого (второго) типа,
содержащихся в множестве ~W(A), обозначим через
^'(соответственно через % ).
Если для слов иг, и м£ из TffCA) одно из слов ис life и WI Щ
является правильным, то это правильное слово будем обозначать
через иг. игг.
На множестве Jt=*A0U% определим частичную бинарную
коммутативную операцию * следущим образом: пусть Щ и Щ -
различные однотипные правильные слова и Щ > «ζ,тогда
1) если для элементов ИГ ъ W~z из „Ж определено произведение
кг,- и/1 в Л^ то полагаем и^*и£ = Щ-иг^;
2) если одно иэ слов ■иг1и/^1иглиг:является правильным
словом, то полагаем zg^* »£ - »fa£;
3) если απ=. ur^w", »ζ= и£ иг,* и существует элемент ας
содержащийся в переоечении [иг/, ur" in г и^, o^*j. множеств
{иг/, a^j и {ιίζ,', «гг"^? то полагаем иг* и^ = иг ___^^__
4) если существуют такие слова иг/ и аТ"", что и^=(й{"а£;аГ^
то полагаем иГл* иг, ~ иг,'иГг ;
5) если иг;- иг/иг» и пара (иг4, г^'; содержится в
множестве а. , то полагаем «ζ* и£ «=. г«г';
6) во всех остальных случаях будем считать, что операция *
на элементах множества &£- не определена.
64

Построенную таким образом алгебраическую систему <Jb, (.&°°Д) *)
обозначим через XgCOL).
Теорема 16.2. Пусть О0~ < Α, (Α'Ά),οί,·> -
произвольная невырожденная незамкнутая конфигурация. Тогда
алгебраическая система oCg(Ot) является проективной плоскоотью,
свободно порожденной конфигурацией 00 .
Доказательство . Непосредственные вычисления,
опирающиеся на определение правильных слов, частичной операции
в oCjgCfft) и невырожденность конфигурации ОС показывают, что
для XgitH.) выполняются аксиомы (БД) и (Б.2).
Чтобы показать, что *&S(Ot) свободно порождена, расомотрим
в ней последовательность конфигураций Oo^Ot,^Ocl1^...,OtCl^... .
Из определения конфигураций ОЬ1о\ Оьш,...,ОЬ1ъ1.. каждый
элемент иг из (Л111 является произведением правильных слов Щ
и νΓζ из ^""^.нозто может быть,в силу определения частичной
операции, лишь в случае когда иг^ит,* и£ и один иэ элементов
и£и^, Щ urz - правильное слово. Но в таком случае слово
W однозначно записывается только через два элемента из й5ь-й
(с точностью до коммутативности операции * ). □
Следствие 16.1. Если 01> - рекурсивная
конфигурация, то для свободно порожденной ею плоскости oCg(Ot)
алгоритмически разрешимы проблемы равенства, инцидентности,
допустимости и конструируемости.
Рассмотрим еще две алгоритмические проблемы, естественным
образом формулируемые для проективной плоскооти.
(ΩΒ). Проблемой вхождения для проективной
плоскости ψ будем называть задачу о нахождении алгоритма,
позволяющего для любого элемента кг плоскости φ и любой ее конечно-
порожденной подшюскости выяснить, содержится элемент иг в
этой подшюскости или нет.
(ПП). Проблемой пересечения для проективной
плоскости ψ будем называть задачу нахождения порождающей
конфигурации для пересечения двух конечно-порожденных подшюскос-
тей из ρ .
Пусть ОЬ - конечная невырожденная незамкнутая
конфигурация, cCg(OL) - проективная плоскость, свободно порожденная
конфигурацией 00 . Зафиксируем произвольно непустую конечную
подконфигурацию з&- из плоскости <£€(Ol). Через <yf>^ обс-
65

значим подплоскость, порожденную в ->С£cot) конфигурацией <=£-
Через i обозначим число, равное Т77'"* D^^iA)-*]·
Из определения №1Ь] следует, что выполняется включение
£■* 0сш. (I)
Через сСд υ= о,ι,г....обозначим пересечение d^-1-1,3 л О0!-^'\
ν0,1,2.,..., при этом будем предполагать, что инцидентность
на элементах конфигурации <£', v = о,ι,2,.индуцируется из
£<$(ΰν) естественным образом.
Справедлива следующая
Лемма 16.1. Пусть для некоторого натурального числа s
выполняется равенство <£s= oCs*1 _Тогда для любого натурального
числа j выполняется равенство o£"s= <Ca*J.
Доказательство . Предположим, что оС %* σΓ51"1.
И пусть иге<£s*z\aC5+i .Тогда из определения конфигураций
^-Cs+2] и оС5+г следует, что в <&£*>¥Чнайдутся такие
элементы го и гг , что w*v = иг. Если и, ггебй^^то to, Vz<Zs*l=
« jrs и, следовательно, vrecCs+i 7 вопреки выбору элемента
иг из аС 54"г . Поэтому без ограничения общности можно
предполагать, что «г= ги«г где и, veaS- С S+JJ и и^< 0& '■*■'.
Но тогда достаточно рассмотреть следуицие случаи:
I) существует правильное слово йГйг для некоторого
элемента Щ из Mqfioi);
Ζ) и>= иГФл для некоторого элемента и,, из gqfW-
В результате получим включение «/е 0гД*3. Аналогично
доказывается, что гГе ОЬи\ Поэтому, как отмечалось выше, иге <CS¥i,
вопреки предположению о том, что wreoT5*2 \ oCs+1 Отсюда
следует, что «£"5+2 = оГ5.
Сделав индуктивное предположение, что X =аС и проводя
индуктивный переход от «Γ5*1, κ οΓ5*""1,аналогично переходу
от cCs+i к oCs*zf получим утверждение леммы. □
Замечание 16.1. Из того, что конфигурация OL
конечна, следует, что 0&С*Э- конечная конфигурация. Поэтому
если 777 - мощность множества всех элементов, входящих в №Ь^\
то среди множеств оГ/<£",..., аС™ оСт*~1 найдутся две такие
конфигурации oTsh оС5+/, что оГ5 = оС6+/.
Индукцией по длине относительно множества сС доказывается
Лемма 16.3. Пусть ό - такое натуральное число, что
c£s = oCs*'i. Тогда всякое правильное слово относительно <*fs
является правильным относительно 00 словом.П
66

Заметим теперь, что если конечно-порожденная подшюскость
проективной плоскости вырождена, то разрешимость проблемы
вхождения в эту подшюскость следует из разрешимости проблемы
равенства. Поэтому из лемм 16.I - 16.3 и замечания 16.I
получим следующий результат.
Теорема 16.3. Для любой проективной плоскости,
свободно порожденной конечной невырожденной незамкнутой
конфигурацией, алгоритмически разрешима проблема вхождения. □
Пусть теперь <£rt и <з5^ - две конечные подконфигурации в
плоскости <££ (Щ,туць Об - конечная невырожденная
незамкнутая конфигурация, t=„mcuc . Ша £)-il,m - мощность множества
всех элементов, содержащихся в конфигурации oc>LVJ 7JC^=0C п)Л^\
i = ι,2·7 j= o,i,.... Через f>^ и Pz обозначим подплоскости,
порожденные соответственно подконфигурапиями <# и &ι ·
Лемма 16.4. f1nPz=<oClmn £?>^ξ Ώ
Непосредственно из этой леммы следует
Теорема 16.4. Для любой конечно-порожденной свободно
порожденной проективной плоскости алгоритмически разрешима
проблема пересечения.D
Рассмотрим теперь связи между проблемой равенства для
проективной плоскости и проблемой равенства для тернара этой
плоскости.
Имеют место
Предложение 16.4. Тернар проективной плоскости
конечно-порожден тогда и только тогда, когда конечно-порождена
проективная плоскость, построенная по этому тернару.□
Предложение 16.5. Пусть Ж0=<М, Сои, 6,с),о, 1>
- тернар, множество Μ элементов которого рекурсивно, и пусть
тернарная операция является рекурсивной функцией. Тогда
операции нахождения решений уравнений и систем уравнений 2) - 4)
(в определении тернара) являются либо рекурсивными функциями,
либо доопределяются до рекурсивных функций; для тернара ЖО
алгоритмически разрешима проблема равенства; проективная
плоскость, построенная для тернара, имеет рекурсивное отношение
инцидентности. □
Предложение 16.6. Пусть ψ - проективная
плоскость, для которой алгоритмически разрешима проблема
инцидентности. Тогда любой тернар этой плоскости является рекурсивным
67

множеством и соответствующая тернарная операция в каждом из
тернаров является рекурсивной функцией.
Упражнение 16.1. Для конечно-порожденных полей
разрешима проблема равенства.
Упражнение 16.2. Существует конечно-порожденное
ассоциативное тело с неразрешимой проблемой равенства.
Используя эти упражнения и предложения 16.4 - 16.6,
нетрудно выполнить
Упражнение 16.3. Для конечно-порожденных папповых
проективных плоскостей алгоритмически разрешима проблема
инцидентности.
Упражнение 16.4. Существует конечно-порожденная
дезаргова проективная плоскость, для которой проблема
инцидентности алгоритмически неразрешима.
Рассмотрим еще один общеалгебраический аспект теории
проективных плоскостей. Всякую проективную плоскость можно
рассматривать как модель, ив этой связи представляет интерес
изучение различных теорий этого класса моделей.
Используя описание конечных подконфигураций в свободных
плоскостях, можно выполнить следующее
Упражнение 16.5. 3 -теория любой свободной
плоскости разрешима.
Неизвестно, верно ли аналогичное утверждение для
элементарных теорий свободных плоскостей, будут ли свободные плоскости
различных рангов элементарно эквивалентны.
§ 17. ГОМОМОРФИЗМЫ
Отображение f плоскости ψ на плоскость f& будем
называть гомоморфизмом, если из инцидентности элементов си и i>
в плоскости f>{ следует инцидентность элементов (fia) и <р(6)
в плоскости ν
Ранее рассматривались некоторые гомоморфизмы проективных
плоскостей: изоморфизмы, автоморфизмы, коллинеации,
корреляции и др.
Рассмотрим теперь гомоморфизмы, которые не всегда являются
взаимно однозначными.
Лемма 17.1. Пусть 00 и &■ - конфигурации, ψ„ -
гомоморфизм конфигурации 01 на конфигурацию з§- , ψ - плоскость,
66

порожденная конфигурацией &, £g(ot) - плоскость, свободно
порожденная конфигурацией OV . Тогда существует гомоморфизм ψ
плоскости <£ξ(θΐ) на плоскость ψ , продолжающий гомоморфизму
Доказательство . Расомотрим последовательности
00M-00,ObCll...,l»lil... A-™-*,**}...,*%} Будем
последовательно строить гомоморфизмы чл, 1-^,2,..., конфигурации оь^ь1
на конфигурацию d-it:i. Основанием для индукции служит
гомоморфизм ψΒ . Предположим, что для натурального числа ί построен
гомоморфизм c/λ . Тогда для любого элемента а/е0&Си-13\0г,Ш
существуют два и только два элемента 6 и с из ОЬ ,что а=
= 6с. Если (piCS)* 4>i (с),то полагаем φί(&)-ψί(ί) <PiCC). Если
Ψ; (S) - Ψί Сс), то полагаем φίία) = φί(β)Ζ, где ζ -
произвольный отличный от ψ. сё) , но однотипный с ψι сё) элемент из
Имеет место следующая
Лемма 17.2. Пусть <£giV) - вполне свободная
проективная плоскость, свободно порожденная множеством V
однотипных элементов, и пусть ОС1,ОСг,..., ОС„,..- такая
последовательность подконфигураций в °Qf(V), что одновременно
выполняются следующие условия:
1) ОЬ = «У, <t)7 · , 0>;
2) для любого натурального числа ν конфигурация
«Заявляется свободным одношаговым расширением конфигурации Obi ;
3) ОЬ■- U ОС-АоСЖСУ).
Тогда
а) для любого натурального числа η/ , если элемент гь~ъ.ОЬпи
и игр? ОЪтг, найдутся такие элементы и и ν из Otm , что
б) проективная плоскость aCjf(V) свободно порождена
конфигурацией 00 в.
Доказательство . а) В случае когда п=1, это
утверждение очевидно. Таким образом, есть основание для
индукции.
Сделаем индуктивное предположение.
Пусть для всех натуральных чисел к< л из того, что wb0CK+l,
w£ObK , следует, что существуют такие элементы υ ж ν
из 00*, что иГ= wir-
Выберем теперь произвольно такой элемент иг аз ОС„+ί ,что
69

urtf 00π, и пусть ν, ν - такие элемента из ^„.что иг=и*гг.
Если иг> V/ и иг > ν, то из определения упорядоченности для
элементов из <£М CV) следует, что иг не может быть полсловом
ни в слове w , ни в слове гг . Поэтому из определения
операции в плоскости <£ξ (V) следует равенотво ντ= ΰν~.
Если vr< ν,, то слово vr входит в запись либо слова и> ,
либо слова v.
Без ограничения общности можно предполагать, что «- = vru·',
поэтому wfiOL^.
Отоюда и из условия 2) леммы следует, что существует такое
наименьшее натуральное число б , что i< sin, a.eC£s и
u<pOl>s_i. Поэтому из предположения индукции, из определения
правильных слов и из w-wtt' следует, что иг,и>'еОб£.л . Но это
противоречит выбору элемента W . Следовательно, иг=.шг.
Индуктивный переход завершен. Пункт "а" леммы доказан.
б) Покажем, что для любого натурального числа η полное
одношаговое расширение №Сп^=> да*·""1! является свободным одно-
шаговым расширением.
Пусть л - i . Выберем произвольно такой элемент иг из Οί1·1}
что viff Otf0-1 = ОЬ0. Тогда в 00о найдутся такие элементы w и
0" , что W=w*v. Из определения конфигурации ОЬ0 следует,
что существует такое Наименьшее натуральное число δ , что
we ОЬь. Если w > иг, то из определения умножения в
плоскости <£% CV) следует, что иГе0Ъ5с0Ьо . Это противоречит выбору
элемента ш . Следовательно, и< иг. Аналогично можно
показать, что и zr< иг. Отсюда и из определения умножения в
плоскости afg(V) следует, что ur=ic ν, т.е. для иг существуют
два и только два таких элемента ю и ν из ОС0 , что ur~ u*ir.
Поэтому расширение ^0Ш=> О0в является полным свободным одно-
шаговым расширением. Таким образом, есть основание для
индукции.
Сделаем следующее индуктивное предположение.
Пусть для всякого натурального числа к< л- расширение
Л, = О^о является полным свободным одношаговым
расширением и при этом для любого элемента иг из 0to^Kl такого, что
иг&0со^к~^, в ΟΙ^κ'1^ содержатся элемента и, и тг, для
которых иг = тПг.
Выберем теперь произвольно такой элемент «г из <% что
70

и/у0£,Еп-1]. Тогда дай этого элемента в от-/""1! найдутся такие
элементы w и ν , что vr= и- it. Отсюда и из предположения
индукции , и определения операции * в плоскости JC&CV)
следует, что иг> и, и иг> v. Поэтому иг- wtr и расширение
Оо}71' => 0&£п_11 является полным свободным одношаговым
расширением. Индуктивный переход завершен. Следовательно, п."б"
леммы также имеет место.D
Упражнение 17.1. Используя лемму 17.2, показать,
что имеет место
Теорема 17.1. Пусть С - четырехэлементное
множество однотипных элементов, <С£(С) - проективная плоскость,
свободно порожденная множеством С . Тогда для любой конечной
или очетной плоскости ψ существует гомоморфизм <££&) на
ψ . D
Пуоть теперь 0О1 - произвольная невырожденная незамкнутая
конфигурация, OVz - четырехэлементное множество однотипных
элементов, JgQOt,,) и <££ίθΐζ) соответственно шюскооти,
свободно порожденные конфигурациями ОС, и Oti . Тогда в <£g(Ot<)
и сС£(0Ьл) найдутся такие конфигурации об-, и г6-& , что ОС ι
свободно эквивалентна o6-i и e6-z является гомоморфным образом
конфигурации <^ . Отсвда и из леммы 15.4, замечания 13.I и
теоремы 15.2 следует
Теорема 17.2. Всякая плоскость, свободно порожденная
незамкнутой невырожденной конфигурацией, может быть отображена
гомоморфно на любую конечную или счетную проективную
плоскость. Π
Справедлива также
Теорема 17.3. Пусть cCg(Ol) - плоскость, свободно
порожденная невырожденной незамкнутой конфигурацией OV , if, -
собственный гомоморфизм (т.е. не изоморфизм) конфигурации ОЬ
на некоторую подконфигурацию произвольной плоскости ψ . Тогда
существует гомоморфизм ifz плоскости <££{Щ на плоскость ψ ,
продолжающий гомоморфизм if, . Q
Будем говорить, что плоскость ρ л-аппроксимируется
плоскоотями из класоа J& , если для любого элемента ρ из ρ
и любых попарно различных элементов р,,рг ■>■■·, Ρ η ?
инцидентных элементу ρ , существует такая плоскооть ψ, из клаоса с/£
и такой гомоморфизм if плоскости φ на плоскость ώ , что
71

образы <Г(Р,),Ч(рг),...,у(р„) элементов р1?Рг,...,р„ попарно
различны в ρ .
В случае когда π= ζ, будем говорить, что плоскость г>
аппроксимируется плоскостями из класса όΚ/. Будем говорить, что
плоскость γ финитно аппроксимируема,
если ■$/ - класс конечных плоскостей.
Упражнение 17.2. Пусть ψ1 - произвольная конечно-
порожденная проективная плоскость, порядок которой не меньше
натурального числа rvav > 2), 00 - невырожденная незамкнутая
конфигурация. Тогда плоскость £<tf(Ot) , свободно порожденная
конфигурацией 00, (/^+1)-аппроксимируется плоскостью ρ .Q
Пусть ж,- тернар, » - элемент,не содержащийся в 7TV.
Предположим, что операция тернара не распространяется на элемент « .
Отображение тернара ИМ на множество #^{«>}называется Т-г о -
моморфизмом, если выполнены следупцие условия:
(Д. I) Если if (α.), ψ (6), (?(с)*°о, то tf(a,,6,C)-(.<?(a),(p(6),(pcc)).
(Д.2) Если 4>(а,) = <~>,у(в)*-™,(?(а,,т,ё)*. °о , то <f(m)~o.
(Д.З) Если tf(m) = ~=,(f(g)3t~>, (p(as,m,g)?i ~ , ТО Ч(<*) -0.
(Д.4) ЕСЛИ у(й)-°о, У(а-,777,^«>,Т0 ИЛИ ^(а)=-">о ИЛИ <f(/rj)=.·**.
(Д.5) Если с= (а,,т, 6)-(а, л,О), <f(cu)= ψ(ο - «,ψ(8)Α—,τη<?(τη)=φ(η>.
(Д.6) Если ip(m)=<f(6)=<*>,o(to,m,6),tp(c)A-°,o-(<i,m,e) ,ΤΟ <p(a) = ef(d).
(Д.7) Если (p(a.)-(p(m)=(p(g)=q>(c) = <~ , где C=(a,,n,o)=(a,m,£),o=(d,m,g),
TO ИЛИ </Y/0 = °o ИЛИ tf(d)=°o.
Справедлива
Теорема 17.4. Пусть т, и fflz- тернары, γ^ и fm
- проективные плоскости, соответственно построенные для т<
и 7П>г.. Тогда: I) если существует Т-гомоморфизм тернара дП1
на тернар ffi^, то существует гомоморфизм плоскости φ^ на
плоскость уш ·
2) если существует гомоморфизм плоскости 2> на плоскость
£?~» и четверка элементов, определяющая тернар, не вырсждает-
ся при этом гомоморфизме, то существует Т-гомоморфизм тернара
jrt1 на тернар 711 &. Π
В заключение отметим, что имеет место
Теорема 17.5. Пусть if - гомоморфизм плоскости φ1
на плоскость ψ . Тогда либо ψ - изоморфизм, либо для любого
элемента си из ψζ полный прообраз этого элемента [о.}»в ψ
является бесконечным множеством.D 1
72

Непосредственно из атой теоремы получаем
Следствие 17.1. Всякий гомоморфизм конечной
проективной плоскости является изоморфизмом.а
Упражнение 17.3. Невырожденный гомоморфный образ
дезарговой (соответственно папповой) проективной плоскости
является дезарговой (соответственно папповой) плоскостью, α
73

Библиографический список
1. Аргунов Б. И. Конфигурационные постулата и их
алгебраические эквиваленты // Мат. сб. 1950. Т.26, * 3. С.425-456.
2. Аргунов Б.И., Емельченков Е.П. Инцидентностные структуры
и тернарные алгебры // Успехи мат. наук. 1982. Т. 37, XI.
С.3-37.
3. Артин Э. Геометрическая алгебра. М.: Наука, 1969.
4. Белоусов В.Д. О структуре дистрибутивных квазигрупп
// Мат. сб. I960. Т. 50, * 3. С. 267-298.
5. Ван дер Верден Б. Алгебра. М.: Наука, 1976.
6. Вдовин В.В. О гомоморфизмах свободно порожденных
проективных плоскостей / Ред. "Сиб. мат. журн." СО АН СССР.
Новосибирск, 1986. 18 с. Деп. в ВИНИТИ.
7. Гварамия А.А. Квазимногообразия многосортных алгебр
// Тез. сообщ. Междунар. мат. конгресса. Секция 2: Алгебра.
Варшава, 1983. С. 20.
8. Гильберт Д. Основания геометрии. М.: Гостехиздат, 1948.
492 с.
9. Зотов А.К., Рыжков В.В. К понятию изотопии а--арных
отношений и алгебраических операций // Комбинаторика и
квазигруппы. Кишинев: Штиинца, 1976. С. 120-128.
10. Картеси Ф. Введение в конечные геометрии. М.: Наука,
1980.
11. Кольца, близкие к ассоциативным / К.А.Жевлаков, А.М.Сли-
нько, И.П.Шестаков, А.И.Шириов. М.: Наука, 1978.
12. Кокстер Х.С.М. Действительная проективная плоскость.
Μ., Ι959.
13. Комбинаторный анализ / Под ред. К.А.Рыбникова. М.:
Наука, 1982.
14. Копейкина Л.И. (Головина). Свободные разложения
проективных плоскостей // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1945. Т. 9,* I.
С. 495-523.
15. Курош А.Г. Лекции по общей алгебре. М.: Наука, 1962.
16. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.: Наука,
1965. 392 с.
17. Мальцев А.И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.
392 с.
74

18. Мальцев А.И. Классическая алгебра. Т. I. // Избранные
труда. М.: Наука, 1976.
19. Мальцев А.И. Математическая логика и общая теория
алгебраических систем. Т. 2. // Избранные труды. М.: Наука, 1976.
20. Никитин А.А. О гомоморфизмах свободно порожденных
проективных плоскостей // Алгебра и логика. 1981. Т. 20, * 4.
С. 419-426.
21. Никитин А.А. О свободно порожденных проективных
плоскостях // Там же. 1983. Т. 22, * I. С. 61-78.
22. Никитин А.А. О некоторых алгоритмических проблемах для
проективных плоскостей // Там же. 1984. Т. 23, * 5. С.512-529.
23. Райзер Г. Комбинаторная математика. М.: Мир, 1966.
24. Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной
математики // Там же. 1982.
25. Скорняков Л.А. Натуральные тела веблен-веддербарновой
проективной плоскости // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1949. Т. 13,
* 5. С.447-472.
26. Скорняков Л.А. Альтернативные тела // Укр. мат. журн.
1950. Т. 2, * I. С.70-85.
27. Скорняков Л.А. Альтернативные тела характеристики 2 и 3
// Там же. 1950. Т. 2, * 3. С. 94-99.
28. Скорняков Л.А. Проективные плоскости // Успехи мат.
наук. 1951. Т. 6, * 6. C.II2-I54.
29. Скорняков Л.А. Т-гомоморфизмы колец // Мат. сб. 1957.
Т. 42, * 4. С. 425-440.
30. Скорняков Л.А. Гомоморфизмы проективных плоскостей и
Т-гомоморфизмы тернаров // Там же. 1957. Т. 43, * 3. С.285-294.
31. Хартсхорн Р. Основы теории проективных плоскостей. М.:
Мир, 1970.
32. Холл М. Теория групп. М.: Иностр. лит., 1962.
33. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.
34. Ширшов А.И., Никитин А.А. К теории проективных
плоскостей // Алгебра и логика. 1981. Т. 20, J* 3. С. 330-356.
35. Ширшов А.И. О тернаре проективной плоскости // Там
же. 1985. Т. 24, * 3. С. 365-370.
36. Abbiw-Jackson D. Polarities in free planes // Proc.
London Msth. Soc. Ser. 3. 1965. Vol. 15, N 1. P. 26-38.
75

37. Albert A. On nonassooiative division algebras // Trsns.
Amer. Math. Soc. 1952. Vol. 52. P. 296-309.
38. Albert A., Sandier B. An introduction to finite
projective planes. N.Y.: Holt, Binehsrt & Winston, 1968.
39· Altop W. Free planes and collineations // Csn. J. Math.
1968. Vol. 20, Μ 6. P. 1397-1411.
40. Babai L. On the collineation groups of infinite
projective end affine planes // J. Geom. 1977. Vol. 10, N 1-2.
P. 138-145.
41. Bechmann 0. Embedding and collineation groups of
projective planes // Arch. Math. 1977. Vol. 29, N 2. P.129-135.
42. Baer B. Homogeneity of projective planes // Amer. J.
Math. 1942. Vol. 64. P. 137-152.
43. Barlotti A. Bepresentation and construction of
projective plsnes snd other geometric structures from projective
spaces // Jahresber. Dtsch. Math. Ver. 1975. Vol. 77, Μ 1.
P. 28-38.
44. Benz W. Ebene Geometrie ifber einem Binge // Math.Nachr.
1974. Vol. 59- P. 163-193.
45. Billiotti M. Piani proettive con collineazioni centrali
eesegnate // Boll. Unione mat. ital. 1978. Vol. 15, S 1.
P. 241-252.
46. Bose B.C., Bruck B.H. Linear representations of
projective planes in projective spaces // J. Algebra. 1966.
Vol. 4. P. 117-172.
47· Brian M. A geometric proof of a theorem of Hughes on
homomorphisms of projective planes // Bull. London Math. Soc.
1975. Vol. 7, S 3. P. 267-268.
48. Bruck B., Kleinfeld E. The structure of alternative
division rings // Proc. Amer. Math. Soc. 1951. Vol. 2. P.878-
890.
49. Bruck B., Hyser H. The nonexiatence of certain finite
projective planes // Can. J. Math. 1949. Vol. 1. P. 88-93.
50. Вигд В. Lecture notes on projective planes / St.John's
College, Madras state, India, 1968.
51. Cohn P. The word problem for free fields // J. Symb.
Logic. 1973. Vol. 38, N 2. P. 309-314.
52. Cohn P. The word problem for free fields: a correction
and an sddendum // Ibid. 1975. Vol. 40, N 1. P. 69-74.
76

53· Czerwinski T. Collineal;ion groups of finite projective
planes whose sylow 2-subgroups contain at most three
involutions // Math. Z. 1974. Vol. 138, N 2. P. 161-170.
54. Davia E. Inzidence systems accociated with non-planor
near-fields // Can. J. Math. 1970. Vol. 22. P. 939-952.
55· Dembowski P. Finite geometries. Berlin: Sptinger, 1968.
56. Dembowski P. Freie und offene projective Bbenen // Math.
Z. 1960. Vol. 72. P. 410-438.
57. Denes J., Keedwell A. Letin squares and their
applications. New York; London: Academic Press, 1974.
58. Foldes S., Singhi N. A non-constructive projective
plane // Geom. dedic. 1980. Vol. 9, N 4. P. 497-499.
59. Garner C. Conica in finite projective planes // J.Geom.
1979. Vol. 12, N 12. P. 132-138.
60. Givagnolly A. Sulla rappresentszione di un piano libero
mediante una classe di simboli // fiend, mat. e spplic. 1966т
1967. Vol. 25, N 3-4. P. 427-432.
61. Gleason A. Finite Fano Planes // Amer. J. Math. 1956.
Vol. 78. P. 797-807.
62. Grose V. Configuration theorems on certain incidence
structures // Stud. Univ. Babes-Bolyai. 1977. Vol. 22. P.17-21.
63. Hall M. Projective planes // Trans. Amer. Math. Soc.
1943. Vol. 54. P. 229-277. (Correction // Ibid. 1949. Vol. 65.
P. 473-474.)
64. Hall M., Smift J., Killgrow fi. On projective planes of
order nine // Msth. Сотр. 1959. Vol. 13. P. 233-246.
65. Havel V. Binbettungssatz fur die Homomorphismen von
Moufang Bbenen // Czechosl. Mat. J. 1970. Vol. 20, N 2. P.340-
347.
66. Hering Ch., Wslker M. Perspectivities in irreducible
collineation groupa of projective planes. I.// Math. Z. 1977·
Vol. 155, N 2. P. 95-102.
67. Heasenberg G. Beweis des Desarguesschen Satzes sus dem
Paacslschen // Math. Ann. 1905. Vol. 61. P. 161-172.
68. Hughes D., Piper F. Projective Planes . Ν.Ϊ.: Springer-
Verlag, 1982.
69. Higman D. Systems of configurations // Math. Centre
Tracts. 1979. N 100. P. 205-212.
77

70. Iden 0. Free plsnes, 4 // Math. Z. 1971. Vol. 119, N 2.
P. 111-114.
71. Janko Z., Trung T. On projective planes of order twelve
and twenty // Math. Z. 1980. Vol. 173, N 2. P.199-201.
72. Johnson N. Homomorphisms of free planes // Math. Z.
1972. Vol. 125, N 3. P. 255-263.
73. Johnson N., Kallsher M., Long C. Finite geometries
// Lecture notes in pure and applied mathemsties. Vol. 82.
New York; Basel, 1983.
74. Kallaher M. Affine planes with transitive collineation
groups. North Holland, 1982.
75. Kallaher M., Ostrom T. Pullman, Wash. State Univ. Press,
1973.
76. Kegel 0., Schleiermacher. Amalgama and embeddings of
projective planes // Geom. dedicate. 1973. Vol. 2, N 3.
P. 379-395.
77· Kelly G. Generalization of a theorem due to Kopeikina
// Geom. dedicats. 1978. Vol. 7, N 4. P. 507-508.
78. Kim Κ., fioush F. A universal algebra approach to free
projective planes // Aequat. Math. 1979. Vol. 19, N 1. P.48-52.
79· Kirkman T. On a problem in combinations // Math. J.
1847. Vol. 2. P. 191-204.
80. Kleinfeld E. Eight alternative rings // Proc. Amer.
Math. Soc. 1953. Vol. 4. P. 939-944.
81. Knuth D. Finite semifields and projective plsnes // J.
algebra. 1965. Vol. 2. P. 182-217.
82. Liebler R. Finite sffine plsnes of rsnk three sre
transition planes // Math. Z. 1970. Vol. 116. P. 89-93.
83. Lippi M. Sugli elementi uniti nelle collineagioni dei
piani liberi e dei piani aperti, 1 // Atti Accad. Naz. Lincei
fiend. CI. Sci. Fis. Mat. Natur. 1966. Vol. 40. P. 233-237.
84. Lipshitz L. The undecidability of the word problem for
projective geometries and modular lattices // Trans. Amer.
Math. Soc. 1974. Vol. 193, N 1. P. 171-180.
85. Lombardo-Radice L. Constuzioni di piani non argeziani
a partire da piani di Galois // Conf. semin. mat. Univ. Bari.
1966. N 107". 20 p.
86. Lorimer J., Buchholz M. Homomorphisms of affine and
78

projective planes // Math. Z. 1982. Vol. 55, N 4. P. 195-204.
87· Lyndon H. fielation algebras ana projective geometries
// Michigan Math. J. 1961. Vol 8, N 1. P. 21-28.
88. Machala F. Koordinatization projective Ebenen mit
Homomorphismus // Czechosl. Math. J. 1977. Vol. 27, N 4.
P. 573-590.
89. Macintyre A. The word problem for division ringa // J.
Symb. Logic. 1973. Vol. 38, Μ 3· P. 428-436.
90. Macintyre A. Combinatorial problems for skew fields,1.
Anslogue of Britton's lemma and results of Adjan-fiabin type
// Proc. London Math. Soc. 1979- Vol. 39, N 2. P. 211-236.
91. Magari B. Su una classe di simboli atta a rappresentare
gli elementi di un piano grafico e sum theorema di ridizione
a forma normsle // Atti. naz. Lincei. fiend. CI. Sci. bis. mat.
e natur. 1962. Vol. 33, N 1-2. P. 37-44.
92. Martin G. Projective planes and isogenic ternary rings
// Mathematiche. 1968. Vol. 23, N 1. P. 185-196.
93. Mathiak K. Eine geometrische Konnzeichnung von Homomor-
phismen desarguesscher projektiver Ebenen // Math. Z. 1967.
Vol. 98, N 4. P. 259-267.
94. Moufang fi. Zur Structur von Alternstivkorper // Math.
Ann. 1935. Vol. 110. P. 416-430.
95. Ostrom T. Finite Trsnalation Planes // Lecture Motes
in Math. Vol. 158. Springer-Verlag, 1970.
96. Ott U. Endliche zyklische Ebenen // Math. Z. 1975·
Vol. 144, N 3. P. 195-216.
97. Payne S., Thas J. Generalized quadrangles with symmetry
// Simon Stevin. 1975/76. Vol. 49, N 1-2. P. 3-32.
98. Pickert G. Projective Ebenen. Berlin; Heidelberg; New
York: Springer-Verlsg, 1975· 372 p.
99. Plaumann P., Strambach K. Geometry - von Staudt's point
of view. Dodrecht-Boston: D.fieidel Publ. Co., 1981.
100. How D. Homomorphisms of sharply transitive projective
planes // Bull. Austral Msth. Soc. 1971. Vol. 4, N 3. P.361-
366.
101. Sslzmann H. Topological plsnes // Advances in Math.
1967. Vol. 2. P. 1-60.
102. Sandler H. On finite collineation groups of Fg // Can.
79

J. Math. 1969. Vol. 21, N 1. P. 217-221.
103· Schmidt A. Die Zulassigkeit der Behandlung mehrsortiger
Theorian mittels der ublichen einsortigen Pradiksten logic
// Math. Ann. 1951. Vol 123. P. 187-200.
104. Simmons H. The solution of a decision problem for
several classes of rings // Pacif. J. Math. 1970. Vol. 34, N 2.
P. 5*7-557.
105. Singer J. A theorem in finite projective geometry and
some applications to number theory// Trans. Amer. Msth. Soc.
1938. Vol. 43. P. 377-385.
106. Spencer J. On the Lenz-Barlotti clsssification of
projective planes // Quart. Z. Math. 1960. Vol. 11. P. 241-257.
107. Stevenson F. Weakly isotopic plsnar ternary rings
// Can. J. Math. 1975. Vol. 27. P. 32-36.
108. Tarski A. A decision method for elementary algebra
end geometry. Berkeley; Los Angeles, 1951.
109. Veblen 0., Wedderburn J. Nondesarynasian and non-pasce-
lien geometriea // Trans. Amer. Math. Soc. 1907. Vol. 8.
P. 379-388.
110. Wsgner A. On finite affine line transitive planes
// Math. Z. 1965. Vol. 87. P. 1-11.
111. Zorn M. Theorie der elternstiven Hinge // Abh. Math.
Humburgischen Univ.1930. Vol. 8. P. 123-147.
80

Предметный указатель
Автоморфизм 6
Алгебра
- Кели-диксона 31
- с инволюцией 28
Аппроксимируемость
-л-аппроксимируемость 71
- финитная 72
Выполнение теоремы
- аффинное 43
- проективное 41
Гомология 52
Гомоморфизм 68
- Т-гомоморфизм 72
Изоморфизм 5
Инволюция проективной
плоскости 52
Инцидентнооть 38
- связанная с разбиением 39
Квадраты латинские 22
- ортогональные 22
Коллинеация 6, II
Конфигурация 40
- закрытая 59
- замкнутая 58
- конечно-порожденная 40
- незамкнутая 58
- открытая 59
- свободно эквивалентная 55
- стандартная 56
Корень из единицы 27
- первообразный 27
Корреляция II
Операция
- натуральная 38
- согласованная с
инцидентностью 40
- частичная в плоскости 8
Остов 59
Ось перспективы 41
Плоскооть
- аффинная 12
- веблен-ведцербарнова 44
- вполне свободная 59
- вырожденная 54
- дезаргова 49
- муфангова 47
- паппова 15, 49
- проективная 4
- свободная 56
- свободно порожденная 54
- частичная 39
Поле Галуа 26
Почти-поле 53
Порядок
- проективной плоскости 18
- латинского квадрата 22
Проблема
- вхождения в подплоскость 65
- допустимости 62
- инцидентности 62
- конструируемое™ 62
- пересечения подшюскостей 65
- равенства 62
Прямая специальная 43
Ранг
- конфигурации 59
- плоскости свободно
порожденной 59
Расширение
- минимальное 21
- одношаговое полное 58
- одношаговое свободное 54
3£

Система ортогональных
латинских квадратов полная
Слова правильные 63, 64
Тело
- альтернативное 31
- веблен-веддербарново 44
- натуральное 38
Теорема
- инверсная 14
- конфигурационная 41
- Дз.Дэ.Дю 42
- Дезарга 41
- Дезарга малая 42
- Паппа 12, 13
- Паппа малая первая 42
- Паппа малая вторая 42
- Фано 41
Тернар 35
23 Тождество Лагранжа 30
Центр перспективы 41
Числа Кали 31
Эквивалентность
- алгоритмических проблем 63
- свободная 55
Элация 52
Элементы
- неоднотипные 39
- однотипные 39
- предшествующие 40

Оглавление
Предисловие 3
§ I. Определения. Примеры 4
§ 2. Второе определение. Двойственность 7
§3. Теорема Паппа 12
§ 4. Общие свойства проективных плоскостей 15
§ 5. Проективные и аффинные плоскости 19
§ 6. Латинские квадраты и проективные плоскости 22
§ 7. Необходимое алгебраическое отступление 25
§ 8. Некоторые сведения из теории чисел.
Теорема Лагранка 31
§ 9. Тернар проективной плоскости 34
§ 10. Конфигурационные предложения и теоремы 39
§ II. Веблен-веддербарновы плоскости и тела 43
§ 12. Муфанговы плоскости 47
§ 13. Конечные проективные плоскости 50
§ 14. Свободные плоскости 54
§ 15. Свободные расширения и теоремы вложения 58
§ 16. Алгоритмические проблемы 61
§ 17. Гомоморфизмы 68
Библиографический список 74
Предметный указатель 81

Анатолий Илларионович Ширшов
Александр Александрович Никитин
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ПРОЕКТИВНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ
Учебное пособие
Дополнительный план 1987 г., поз. 96
Ответственный редактор А.С.Марковичев
Редактор М.Н.Рашевская
Младший редактор Г.А.Родина
Корректор А.Г.Крюгер
Обложка художника С.В.Богданова
Подписано в печать 14.12.87 Формат 60x84 I/I6.
Офсетная печать. Бумага писчая.Усл.печ.л.5,25. Уч.-изд.л.5.
Тираж 600 экз. Заказ * 1423 Цена 20 к.
Редакционно-издательский отдел Новосибирского университета;
участок оперативной полиграфии НГУ; 630090, Новосибирск-90,
ул. Пирогова, 2.

БИБЛИОТЕКА
кафедры алгебры и математической логики
Η овосибирского университета
Вып. 1. А.И.Кокорин, Упорядочиваемые группы, Новосибирск, 1966.
Вып. 2. Ю.И.Мерзляков, Рациональные группы, 1 (алгебраические
группы матриц), Новосибирск, 1967.
Вып. 3. М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков, В.Н.Ремесленников, Основы
теории групп, 1, Новосибирск, 1968.
Вып. 4. М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков, Основы теории групп, 2.
Новосибирск, 1968.
Вып. 5. Ю.Л.Ершов, Теория нумераций, 1 (общая теория нумераций),
Новосибирск, 1969.
Вып. 6. М.А.Тайцлин, Теория моделей, Новосибирск, 1970.
Вып. 7. И.А.Лавров, Логика и алгоритмы, Новосибирск, 1970.
Вып. 8. И.А.Лавров, Л.Л.Максимова, Задачи по логике, Новосибирск,
1970.
Вып. 9. Ю.И.Мерзляков, Рациональные группы, 2 (абстрактные
алгебраические группы), Новосибирск, 1970.
Вып.10. Д.А.Захаров, Рекурсивные функции, Новосибирск, 1970.
Вып.11. Ю.Л.Ершов, Теория нумераций, 2 (вычислимые нумерации
морфизмов), Новосибирск, 197 3.
Вып.12. Ю.Л.Ершов, Е.А.Палютин, М.А.Тайцлин, Математическая
логика, Новосибирск, 197 3.
Вьш.13. Ю.Л.Ершов, Теория нумераций, 3 (конструктивные модели),
Новосибирск, 1974.
Вып.14. Ю.И.Мерзляков, Рациональные группы, 3 (линейные группы),
Новосибирск, 1975.
Вып.15. К.А.Жевлаков, А.М.Слинько, И.П.Шестаков, А.И.Ширшов,
Иордановы алгебры, Новосибирск, 1976.
Вып.16. А.И.Мальцев, Итеративные алгебры Поста, Новосибирск, 1976.
Вып.17. К.А.Жевлаков, А.М.Слинько, И.П.Шестаков, А.И.Ширшов,
Альтернативные алгебры, 1, Новосибирск, 1976.
Вып.18. Л.А.Бокуть, Ассоциативные кольца, 1 (кольцевые инструкции),
Новосибирск, 1977.
Вып. 19. А.Н.Дегтев, Д.А.Захаров, Перечислимые множества,
Новосибирск, 1979.
Вып.20. Л.А.Бокуть, Ассоциативные кольца, 2 (категории модулей,
вложения в тела), Новосибирск, НГУ, 1981.
Вып.21. А.И.Ширшов, А.А.Никитин, Алгебраическая теория проективных
плоскостей, Новосибирск, 1987.

А. И. Ширшов
А. А. Никитин
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ
ТЕОРИЯ
ПРОЕКТИВНЫХ
ПЛОСКОСТЕЙ
L Μ Ο Ν