Author: Билалова 3. X. Хафизова Ф.М.
Tags: геометрия татар телендә математика дәреслеге татар китап нәшрияты просвещение китап
Year: 1982
Text
ГЕОМЕТРиЯДӘН МӘСЬӘЛӘЛӘР ҖЫЕНТЫГЫ
Математика укытучысы китапханәсе
ГЕОМЕТРИЯДӘН
МӘСЬӘЛӘЛӘР ҖЫЕНТЫГЫ
-8 нче КЛАССЛАР ӨЧЕН
Русчадан
3. X. Билалова һәм Ф. М. Хафизова
тәрҗемәсе
КАЗАН ТАТАРСТАН КИТАП НӘШРИЯТЫ 1982
ББК 74.262.7.
Γ39
Гусев В. А., Маслова Г. Г., Скопец 3. А., Черкасов Р. С.
Сборник задач по геометрии для 6—8 классов
Изд. 2-е. М., „Просвещение11, 1979.
СССР Мәгариф министрлыгының мәктәпләр
баш идарәсе тарафыннан тәкъдим ителә
Геометриядән мәсьәләләр җыентыгы. 6—8 класслар өчен.
Г 39 Русча 2 нче басмадан 3. X. Билалова һәм Ф. М. Хафи¬
зова тәрҗемәсе. Казан. Тат. кит. нәшр., 1982.
224 б. (Математика укытучысы китапханәсе).
60 501 — 289
Г БЗ—48-58— 81 3508010232 ББК. 74.262.7.
М 132 (03) — 82
© Издательство „Просвещение", 1975.
© татарчага тәрҗемә, Татарстан китап нәшрияты, 1982.
СҮЗ БАШЫ
VI — VIII класслар өчен геометриядән мәсьәләләр җыентыгы
сигезьеллык мәктәпнең геометрия дәреслегенә өстәмә материал
булып тора.
Җыентык ике кисәктән гыйбарәт. Беренче кисәк яңа мате¬
риалны аңлату, ныгыту, кабатлау һәм аны тагын да тирәнтен¬
рәк үзләштерү өчен файдаланырга мөмкин булган мәсьәлә һәм
сорауларны эченә ала.
Ярдәмлектә исәпләүгә, төзүгә, исбатлауга мәсьәләләр бирел¬
де. Укучыларның логик фикерләүләрен үстерә торган, аларга
чын (дөрес) һәм ялган әйтелмәләр, туры һәм кире теоремалар,
кирәкле һәм җитәрлек шарт, үзлек һәм билге кебек төшенчә¬
ләрне үзләштерергә ярдәм итәрдәй биремнәр аеруча зур игъти¬
бар белән сайланды. Укучыларда пространство күзаллауларын
үстерү максаты белән бирелгән мәсьәләләр, күнегүләр һәм со¬
раулар да күп. Шулай ук практик эчтәлекле мәсьәләләр дә
кертелде.
Ярдәмлектә геометрик мәсьәләләрне чишүдә барлык төр
геометрик үзгәртүләрне (күчү һәм охшашлыкны), аларның ком¬
позицияләрен куллануга авырлык дәрәҗәсе төрлечә булган
мәсьәләләр, шулай ук векторлар алгебрасы аппаратын куллануга
мәсьәләләр урнаштырылды.
Җыентыкның икенче кисәге авыррак мәсьәләләрне һәм шулай
ук чишкәндә стандарт булмаган алымнар таләп итүче мәсьәлә¬
ләрне үз эченә ала. Бу кисәктәге материал класстан тыш эшләр,
факультатив занятиеләр, математика белән кызыксынучы уку¬
чыларга индивидуаль эшләр өчен файдаланырга тәкъдим ителә.
Ярдәмлектә кулланылган терминология һәм тамгаланышлар
сигезьеллык мәктәптә кабул ителгән төшенчәләр һәм символика
системасы белән тулысынча туры килә. Шулай да аерым оч¬
ракларда „конгруэнт кисемтәләр" һәм „конгруэнт почмаклар"
димичә, „тигез кисемтәләр", „тигез почмаклар" дип әйтелгән
урыннар бар. Ләкин сөйләмдәге мондый „иреклелек" аңлашыл¬
маучылыкка китерергә тиеш түгел, чөнки „тигез" сүзеннән без
кисемтә озынлыкларының һәм почмак зурлыкларының тигезле¬
ген аңлыйбыз, ә бу, үз чиратында, аларның конгруэнтлыгын
китереп чыгара. Әгәр дә инде „өчпочмакның ягы" термины кул¬
ланыла икән, өчпочмакның ягы яки озынлыгы турында сүз бар¬
ганлыгы мәсьәләнең эчтәлегеннән (контексттан) аңлайшла. Мәсьә¬
ләләрдә ике, өч нокта һәм аннан да күбрәк нокталар бирелгән
3
булса, ул вакытта нокталар төрле дип карала, һәм мәсьәлә чи¬
шүгә күрсәтмәләрнең күбесендә шушы гомуми очрак күз ал¬
дында тотыла да. Шулай да укытучы мәсьәләгә тикшерү харак¬
терын бирергә теләгәндә, укучылардан мөмкин булган аерым
очракларның барысын да карауларын таләп итә ала.
Китап ахырында җаваплар, мәсьәләне чишүгә күрсәтмәләр,
ә кайбер очракларда мәсьәләнең тулысыңча чишелеше ките¬
релгән.
Мәсьәләләр җыентыгын, бигрәк тә аның икенче кисәген,
югары классларда да планиметрия курсын кабатлаганда, түгә¬
рәк һәм факультатив занятиеләрендә файдаланырга мөмкин.
IV һәм V бүлекләргә мәсьәләләр, аларга җавап һәм күрсәт¬
мәләр И. С. Герасимова тарафыннан хәзерләнде.
Авторлар әлеге җыентыкның рецензентлары: Ю. П. Дудни-
цин, Б. М. Ивлев һәм Г. Б. Кузнецовага файдалы ки¬
ңәшләре һәм тәкъдимнәре өчен үзләренең рәхмәтләрен белде¬
рәләр.
Авторлар.
1 б ү л е к ГЕОМЕТРИЯДӘН БАШЛАНГЫЧ ТӨШЕНЧӘЛӘР
§ 1. КЕРЕШ
Ераклыклар
1. Түбәндәге таләпләр үтәлерлек итеп, өч нокта: X, Ү, Ζ
нокталары төзергә мөмкинме:
а) |ХГ| +∣yz∣ = ∣ΥZ∣, ∣ XZ | - | ХҮ ∣ > ∣ YZ |;
б) ∣Υz∣-∣xr∣ = ∣rz∣, ∣XY∣ + ∣YZ∖>∖XZ∖∙,
в) ∣XY∣ + ∣YZ∣>∣XZ∣, ∖XY∖-∖XZ∖ = ∖YZ∖f
Төзергә мөмкин булган очраклар өчен рәсемен ясагыз.
2. А пунктыннан В пунктына кадәр ераклык 20 км, ә В
пунктыннан С пунктына кадәр 12 км.
а) А пунктыннан С пунктына кадәр ераклыкның күпме бу¬
луы мөмкин?
б) Бу ераклык мөмкин булган кыйммәтләренең иң зурысын
яки иң кечкенәсен алган очрак өчен, 1 км ераклыкны 1 см дип
алып, рәсемен ясагыз.
3. Күчмә өч радиостанция, бер-берсеннән ераклыклары 10 км
дан артмаганда, үзара элемтә тота алалар. Бу радиостанцияләр¬
нең икесе А һәм В пунктларында урнашкан. Аларның арасы
9 км. 1 км ны 1 см дип алып, рәсемдә А һәм В нокталарын бил¬
геләгез һәм шул рәсемдә өченче радиостанция:
а) әлеге радиостанцияләрнең һәркайсы белән элемтә тотар¬
лык булган;
б) әлеге радиостанцияләрнең берсе белән генә булса да элем¬
тә тотарлык булган нокталарны билгеләгез.
4. Тау кичкәндә, ераклык кайвакыт бер пункттан Икенче
пунктка бару өчен сарыф ителгән вакыт белән үлчәнә. Мондый
„ераклыклар“ өчен ераклыкның барлык үзлекләре дә үтәлерме?
5. r1 > r2 булган (O1, r1) һәм (O2, r2) әйләнәләре бирелгән.
Бу әйләнәләрнең
а) уртак ноктасы булганда;
б) ике уртак ноктасы булганда;
в) уртак нокталары булмаганда, (O1O2) ераклыгының күпмегә
тигез булуы мөмкин?
Геометрик фигуралар
6. АВ кисемтәсе бирелгән. Бу кисемтәнең
а) |ΑΎ|<|Α£|; 6)|ΑΎ| = |5Ύ|; Β)|ΑΎ|<-^-; г) ∣AΥ∣≠
5
≠Ιj5Λ"∣ шарты үтәлгән барлык X нокталары күплеге нинди
фигура төзи?
7. (О, г) әйләнәсе бирелгән. Яссылыкның:
a) ∖OX∖<r, б) ∖OX∖>r∙, в) ∖OX∖>r-, г) 0<∣OΥ∣<r шар¬
ты үтәлгән барлык X нокталары күплеге нинди фигура төзи?
8. а турысы (О, г) әйләнәсен А һәм В нокталарында кисеп
үтә. Бу турының
a) |OJV|-=r; б) ∣OX∣≤r,∙ в) ∖OX∖<r, г) ∖OX∖>r,
д) I ОХ\ > г, е) ∣OAΓ∣≠r шарты үтәлгән барлык X ноктала¬
ры күплеге нинди фигура төзи?
9. (O1, r1) һәм (O2, r2) әйләнәләре А һәм В нокталарында
кисешәләр (r1 ≠ г2). Рәсемдә яссылыкның
а) әйл. (O1, r1) (J әйл. (О2, г2);
б) әйл. (O1, r1) ∩ әйл. (О2, г2);
в) түг. (O1, r1) ∪ түг. (О2, г2);
г) түг. (O1, r1) ∩ түг. (О2, г2);
д) түг. (Oυ r1) (J әйл. (O2, r2)
булган нокталары күплеген күрсәтегез.
10. (O1, r1) һәм (O2, r2) әйләнәләренең ике уртак ноктасы
бар. Алар Р һәм Т нокталары (r1 ≠ г2). Рәсемдә яссылыкның:
a) ∣O1Ar∣<r1, ∣O2Υ∣<γ2j б) ∖O1X∖>rl, ∣O2X∣>r2∙,
в) I O1X∣ + I O2Aγ∣ > ∣O1O21 шарты үтәлгән барлык X нокта¬
лары күплеген күрсәтегез.
11. Ике нокта1 * *: А һәм В бирелгән. Рәсемдә яссылыкның:
а) ∣BX∣ - I AX∣ = | АВ |; в) ∣ AX∣ + ∣ BX∣ < ∣ AB |
б) ∣AA∣-,BX∣ = ∣ А5|;
шарты үтәлгән барлык X нокталары күплеген күрсәтегез.
12. а) Почмак һәм ярымъяссылыкның; б) ике почмакның;
в) ике өчпочмакның; г) өчпочмак һәм кабарынкы дүртпочмак¬
ның уртак кисәге нинди /г-почмакларны китереп чыгарырга
мөмкин?
13. (O1, r1) һәм (O2, r2) түгәрәкләре бирелгән, анда ∣O1O2∣ <
< rl ÷ r2. Бу түгәрәкләрнең уртак кисәге кабарынкы фигура
икәнен исбатлагыз.
14. Fl һәм F2 кабарынкы фигуралары бирелгән, ∕71∩F2 фигу¬
расының кабарынкы икәнен исбатлагыз.
15. а) Туры һәм әйләнә; б) өч туры; в) почмак һәм әйләнә;
г) өч әйләнә яссылыкны үзләренең чикләреннән үзгә уртак нок¬
талары булмаган иң күбе төрле ничә кисәккә бүлә ала?
1 Монда һәм алга таба да „ике нокта', „өч нокта' („өч туры' һ. б.) ту¬
рында сүз барганда, бу нокталарны (турыларны һ. б.) төрле нокталар дип
уйларбыз.
6
§ 2. ФИГУРАЛАРНЫҢ КОНГРУЭНТЛЫГЫ ҺӘМ КҮЧҮЛӘР
Фигураларны чагылдыру
1. Ике пар нокта: {Л; В} һәм {С; D} бирелгән булсын. Әлеге
нокталар парының берсен икенчесенә чагылдырыгыз. Бер пар¬
ның икенчесенә ничә төрле чагылдыруын төзеп була? Килеп
чыккан чагылдырулар кайтмамы?
2. Нинди дә булса ысул белән чагылдырыгыз: a) АВ кисем¬
тәсен CD кисемтәсенә (1 нче рәсем); б) әйләнәне үзенә концен¬
трик әйләнәгә; в) хорданы шул хорда белән тартылып торган
әйләнә дугасына (2 нче рәсем); г) нурны үзенә параллель нурга
(нурларның үзара урнашуының төрле очракларын карагыз);
д) турыны үзенә параллель турыга; е) турыпочмаклы өчпочмак¬
ның катетын гипотенузасына. Килеп чыккан чагылдырулар кайт¬
мамы?
3. Ике ноктадан торган күплекне бер ноктадан торган күп¬
леккә ничә ысул белән чагылдырып була? Бу чагылдыру кайт¬
мамы? Фигураларның кайтма булмаган чагылдыруларына мисал¬
лар китерегез.
4. ABC өчпочмагы һәм AKDMB сынык сызыгы бирелгән,
өстәвенә [ΑΛΓ] I [Аб] һәм [ВМ] I [Аб] (3 нче рәсем). ABC өч¬
почмагын KD һәм DM кисемтәләренең берләшмәсенә чагылды¬
рып буламы? Килеп чыккан чагылдыру кайтмамы? Шул ук ысул
белән ABC өчпочмагын AKDMB сынык сызыгына чагылдырып
буламы?
5. Өч элементтан торган күплекне 1, 2, 3 элементтан торган
күплеккә ничә төрле ысул белән чагылдырырга мөмкин? Бу
күплекне дүрт элементтан торган күплеккә чагылдырып буламы?
Күчүләр
6. а) Нокта; б) нокталар пары; в) кисемтә; г) нур; д) туры;
е) әйләнә; ж) түгәрәк; з) почмак күчкәндә, нинди фигурага
чагыла?
7. Күчү ул яссылыкның кайтма чагылдыруы икәнен һәм аңа
кире чагылдыруның шулай ук күчү булуын исбатлагыз.
7
8. Фигураларның тиңдәшле нокталары арасындагы ераклык¬
лар сакланган чагылдыруга мисаллар китерегез. Бу чагылдыру¬
ларны күчү дип исәпләргә ярыймы?
Бору1
9. 1) Борганда яссылыкның нинди нокталары үзенә чагыла?
2) Теләсә нинди боруда үзенә чагыла торган фигураларны
атагыз.
10. а) Туры; б) нур; в) кисемтә; г) әйләнә; д) өчпочмак;
е) дүртпочмак үзенә чагылдырыла торган бору почмакларын
күрсәтегез.
St- 11. Борганда АВ кисемтәсе √41β1 кисемтәсенә чагылдырылган
булса, бору почмагының АВ һәм Λ1Bl турылары арасындагы
почмакка тигез икәнен исбатлагыз.
12. Кисешүче турылар парын нинди бору белән үзенә чагылды¬
рып була?
13. Өч туры, үзара 60° лы алты почмак төзеп, бер ноктада
кисешәләр. Бирелгән турыларны нинди борулар белән үзләренә
чагылдырырга мөмкин?
14. Ике конгруэнт әйләнә бирелгән. Нинди бору белән алар-
ның берсен икенчесенә чагылдырып була?
15. Төзек бишпочмаклы йолдызны нинди бору белән үзенә
чагылдырып була?
16. Ике әйләнә бирелгән. 45° ка борганда бу әйләнәләрнең
берсе икенчесенә чагыла. Бору үзәген төзегез.
17. Конгруэнт АВ һәм AlBi кисемтәләре бирелгән. А нокта¬
сын -A1 ноктасына, В ноктасын Bl ноктасына чагылдыра торган
бору үзәге М ны төзегез. Мондый бору үзәген һәрвакытта да
табып буламы?
18. а турысы өстендә — А ноктасы, b турысы өстендә В нок¬
тасы бирелгән. А ноктасы В ноктасына туры килерлек итеп,
бору юлы белән, а турысын b турысына чагылдырыгыз.
19. Ике конгруэнт әйләнәнең үзәкләре — O1 һәм О2 ноктала¬
ры. Бу әйләнәләр өстендә тиңдәшле рәвештә Λ1 һәм А2 нокта¬
лары бирелгән. Нинди бору белән бер әйләнәне икенчесенә Λ1
ноктасы А2 ноктасына туры килерлек итеп чагылдырып була?
Үзәкле симметрия
20. Түбәндәге фигураларның симметрия үзәген төзегез;
а) нокталар парының: б) ике конгруэнт почмакның (нинди оч¬
ракларда бу мәсьәләнең чишелеше булуы мөмкин?); в) ике кон¬
груэнт әйләнәнең (мөмкин булган барлык очракларны тикшере-
∙J∏ VI класс геометрия дәреслегендә 0° тан 180° лы почмакка ике юнәлеш¬
тә бору карала: сәгать йөреше уңаена һәм сәгать йөрешенә каршы. Фикер
йөртергә җиңелрәк булсын өчен, түбәндә китерелгән мәсьәләләрне бер очрак
өчен—сәгать йөреше уңаена бору очрагы өчен генә чишегез.
8
гез); г) ике конгруэнт өчпочмакның (нинди очракларда аларның
үзәк симметрияле булуы мөмкин?).
21. Туры өстендә конгруэнт АВ һәм AxBx кисемтәләре би¬
релгән. Ф — [A8j J [A^il булган Ф фигурасының симметрия
үзәген төзегез.
22. Теләсә нинди ике кисемтәне үзәк симметрияле дип исәп¬
ләргә мөмкинме?
23. Түгәрәк эчендә яткан нокта аша, әлеге нокта белән ур¬
талай бүленерлек итеп, хорда үткәрегез.
24. Үзәк симметрияле алтыпочмак төзегез.
25. Түбәләре сызымда урнашып бетмәгән параллелограмм
бирелгән. Шул параллелограммның симметрия үзәген төзегез, j
Күчәрлеусимметрия
26. Күчәрле симметриягә билгеләмә бирегез. Күчәрле симмет¬
риядә яссылыкның нинди нокталары үзенә чагыла?
27. Күчәрле симметриядә нинди фигуралар үзенә чагыла?
28. Нинди очракта өчпочмакның симметрия күчәре була?
Өчпочмакның бердән артык симметрия күчәре булуы мөмкинме?
29. Өчпочмакның ике симметрия күчәре булса, аның өченче
күчәре дә барлыгын исбат итегез.
30. Дүртпочмакның ничә симметрия күчәре булуы мөмкин?
31. Рус алфавитының кайсы хәрефләре симметрия күчәрлә¬
ренә ия?
32*. Түбәсе сызымда урнашмаган почмак бирелгән. Зурлыгын
шул почмактан ике тапкыр зуррак итеп почмак төзегез.
33*. D түбәсе сызымда урнашмаган почмак һәм ирекле М
ноктасы (Λί сызым эчендә) бирелгән. D түбәсе аша үтәрлек
итеп, ТИ ноктасыннан туры үткәрегез.
34. Түбәләре янына килеп булмаган ике почмакның шул тү¬
бәләре арасын, күчәрле симметриядән файдаланып, ничек үл¬
чәргә?
35. а белән b турысы һәм I күчәренә карата шул турыларга
симметрияле булган a1 белән bi турысы арасындагы почмаклар¬
ның зурлыклары тигез икәнен исбатлагыз.
36. р турысы һәм шул турыдан төрле якта А һәм В нокта¬
лары бирелгән, р турысы өстендә А һәм В нокталарыннан ерак-
лыкларының аермасы иң зур булган М ноктасын табыгыз.
37. Конгруэнт АВ һәм CD кисемтәләре бирелгән. Эзлекле
рәвештә үтәлгән күчәрле нинди ике симметрия АВ кисемтәсен
CD кисемтәсенә чагылдыра?
38. Үзара перпендикуляр т, п турылары һәм Λf1 = S,n (ТИ),
ТИ2 — Sn (ТИ) нокталары бирелгән. TH1 һәм Λf2 нокталарының үзәк
симметрияле икәнен исбатлагыз.
39. Күчәрле симметрия тиңдәшле нокталарның ничә пары
белән билгеләнә?
40. Күчәрле симметрия тиңдәшле турыларның ничә пары
белән бирелә?
9
41. а) Бер симметрия күчәре булган; б)* ике симметрия кү¬
чәре булган бишпочмак төзегез.
42. Кисешүче ике туры бирелгән. Нинди күчәр симметриясе
белән аларның берсе икенчесенә чагылдырыла? Нинди күчәр
симметриясендә ике параллель турының берсе икенчесенә ча¬
гыла?
43. Күчәрле ике симметриянең тиңдәшле нокталарының уртак
парлары булуы мөмкинме?
44. Бирелгән ике турыны бер үк зурлыктагы почмаклар ясап
кисәрлек итеп, бирелгән нокта аша туры үткәрегез.
45. Ягы, калган ике ягының аермасы һәм беренче як белән
калган ике ягының зуррагы арасындагы почмагы буенча өчпоч¬
мак төзегез.
46. Ике ягы һәм шул якларга каршы ятучы почмакларының
аермасы буенча өчпочмак төзегез.
47. Кысынкы почмак эчендә М ноктасы бирелгән. А һәм В
түбәләре әлеге почмакның яклары өстендә яткан иң кечкенә
периметрлы ΛL4β өчпочмагы төзегез.
48. Конгруэнт булмаган ике кисемтәнең берләшмәсе булган
һәм ике симметрия күчәрле фигура төзегез.
49. Уртак нокталары булмаган ике конгруэнт кисемтәнең
берләшмәсе булган һәм ике симметрия күчәрле фигура төзегез.
50. а) һәркайсы икенчесенең үзәге аша үтүче ике әйләнәнең
берләшмәсе булган; б) (О, г) түгәрәге белән үзәге (О, г) әйләнә¬
се өстендә яткан әйләнәнең берләшмәсе булган фигураның ничә
симметрия күчәре бар?
51* Бер генә симметрия күчәрле һәм ул күчәр BD турысы
булган кабарынкы ABCD дүртпочмагы төзегез.
52. BD күчәренә симметрияле итеп, кабарынкы булмаган
ABCD дүртпочмагы төзегез.
53. Фигура әйләнә белән турының берләшмәсеннән гыйбарәт.
Бу фигурада ничә симметрия күчәре булуы мөмкин?
54* А һәм В нокталары бирелгән.
1) |ДАГ| <∖BX∖∖ 3) IВХI < IA XI; 5) ∣ АХ ∣ ≠ | ВХ |
2) I AX∣ < |ВХ|; 4) ∣5A∣ ≤ | ДА71;
шарты үтәлгән барлы^ нокталар күплеге X нинди фигура төзи?
55* Симметрия күчәре / һәм (О, г) әйләнәсе бирелгән, монда
0^1. Әйл. (O1, г) =Sι (әйл. (O1, г)) булырлык итеп, циркуль
ярдәмендә (O1, г) әйләнәсе төзегез.
56* Симметрия күчәре I, А ноктасы һәм Д ≠ 5 булган В —
= Si (Д) ноктасы бирелгән. Яссылыкта C∈∕ ноктасы билгеләгез
һәм линейка ярдәмендә D = Si (С) ноктасы төзегез.
57. Симметрия күчәре I һәм Д =-= Si (Д), A∈Z, Ү = S∕ {X),
Р£[ДУ), Z = Sι(P) нокталары бирелгән. [РК), [ДР], [AZ), [ДА'],
[ZX], [РГ] фигураларының кайсылары / чикле бер үк ярымъяссы-
лыкта ята?
58* а) Дүрт конгруэнт әйләнәнең берләшмәсе булган һәм
дүрт симметрия күчәрле;
10
б) өч әйләнәнең берләшмәсе булган һәм чиксез күп симмет¬
рия күчәрле;
в) * өч әйләнәнең берләшмәсе булган һәм ике һәм бары тик
ике генә симметрия күчәренә ия булган фигура төзегез.
59*. Үзара кисешүче дүрт түгәрәкнең уртак кисәгеннән торган
һәм дүрт симметрия күчәренә ия булган фигура төзегез.
60. Уртак нигезле төрле яклы дүрт өчпочмакның берләшмәсе
булган һәм ике симметрия күчәрле фигура төзегез. Бу өчпоч¬
макларның уртак кисәге нинди күппочмак була һәм аның ничә
симметрия күчәре бар?
6L Диагонале симметрия күчәре өстендә яткан кабарынкы
бишпочмак төзергә мөмкинме? Җавапны нигезләргә.
62. Түбәләр саны так булган кабарынкы күппочмак симмет¬
рия күчәренә ия булса, аның бер генә диагонале дә симметрия
күчәре белән тәңгәл килмәвен исбатлагыз.
§ 3 ПАРАЛЛЕЛЬЛЕКЧӘМ ПАРАЛЛЕЛЬ
КҮЧЕРҮ
Параллельлек һәм үзәкле симметрия
1. АВ турысы һәм аннан читтә М ноктасы бирелгән. М нок¬
тасына карата үзәкле симметриядә АВ турысының образын тө¬
зегез. Ике параллель туры төрле ничә симметрия үзәгенә ия?
2. Турыларның параллельлеге түбәндәге үзлекләргә ия икәнен
исбатлагыз; 1) а\\а; 2) әгәр a∖∖b булса, ул вакытта Ь\\а; 3) әгәр
α||Ζ>; ⅛∣∣c булса, ул вакытта a || с.
3. Циркуль һәм линейка ярдәмендә туры почмакны өч кон-
груэнт почмакка бүлегез.
4. Бер-берсеннән d ераклыкта ике параллель туры бирелгән.
Яссылыкның:
а) бу турыларга кадәр ераклыклар суммасы даими с зурлы¬
гына тигез булган;
б) бу турыларга кадәр ераклыклар аермасы даими с зурлы¬
гына тигез булган барлык нокталары күплеген табыгыз.
5. Яссылыкта кисешүче ике туры: а һәм b бирелгән, а һәм
b турыларына кадәр ераклыклары аермасы бирелгән р зурлыгы¬
на тигез булган нокталар күплеге нәрсәдән гыйбарәт?
6. Өч ягы: а, Ь, с һәм дүртенче як янындагы ике почмагы
буенча дүртпочмак төзегез.
7. ABCD сынык сызыгында АВ, ВС, CD буыннарының
озынлыклары тигез һәм ABC = BCD, ВС һәм AD турыларының
параллель икәнен исбатлагыз.
11
Юнәлешләр. Өчпочмакның почмаклары
суммасы. Турыларның параллельлек
билгеләре
8. Яссылыкта төрле ничә юнәлеш бар?
9. а) Ике нокта; б) өч нокта; в) дүрт нокта яссылыкта төр¬
ле ничә юнәлешне бирә? Бу нокталар үзара урнашырга мөмкин
булган барлык очракларны тикшерегез.
10. Яктылык нурының яссы көзге АВ дан кайтарылу почма¬
гы BNP аның көзгегә төшү почмагы MNA га тигез (4 нче рә¬
сем). Әгәр яссылыкта үзара перпендикуляр итеп ике көзге ку¬
елган булса, бу көзгеләр белән төзелгән туры почмак эченә
юнәлтелгән (почмак түбәсе аша үтмәүче) теләсә нинди нур,
көзгеләрнең һәркайсыннан бер тапкыр кайтарылганнан соң,
үзенең юнәлешен капма-каршыга үзгәртә. Шуны исбатлагыз.
11*. Теләсә нинди ABC өчпочмагында:
a) А почмагының биссектрисасы шул ук түбәдән үткәрелгән
биеклек белән β~c зурлыгындагы почмак төзегәнлеген;
б) В һәм С почмакларының биссектрисалары ~ + 90° зурлы¬
гындагы почмак төзегәнлеген;
үзара
в) В һәм С тышкы почмакларының биссектрисалары — зур¬
лыгындагы почмак төзегәнлеген исбатлагыз.
12. α һәм β — өчпочмакның ике почмагы. Бу почмакларның
биссектрисалары арасындагы почмакны исәпләп чыгарыгыз.
13. Өчпочмакның ике почмагының биссектрисалары
перпендикуляр булуы мөмкинме?
14. Турыпочмаклы өчпочмакның кысынкы почмагы
гипотенузасы 32 см. Туры почмак түбәсеннән үткәрелгән
лек гипотенузаны ике кисемтәгә бүлә. Шул кисемтәләрнең
лыкларын исәпләп чыгарыгыз.
15. Турыпочмаклы өчпочмакның гипотенузасы аның бер ка¬
тетыннан ике тапкырга озынрак. |Бу өчпочмакның кысынкы поч¬
макларының зурлыклары
30°, ә
биек-
озын-
күпмегә тигез?
16. Бирелгән ABC өчпочмагында
А ноктасыннан ВС ягына AD һәм
АЕ турылары үткәрелгән (5 нче рә¬
сем). Аларның берсе [А5] белән — С
почмагына конгруэнт почмак, икен¬
чесе [АС] белән В почмагына кон¬
груэнт почмак төзи. ADE өчпочма¬
гының тигезьянлы икәнен исбатлагыз.
17; Периметры р, бер почмагы α
һәм биеклеге һ буенча өчпочмак тө¬
зегез.
18. Тигезьянлы өчпочмакның түбәсе аша нигезенә параллель
итеп үткәрелгән туры аның шул түбә янындагы тышкы почма¬
гының биссектрисасы икәнен исбатлагыз.
19. ABC өчпочмагы бирелгән (6 нчы рәсем). В һәм С поч¬
маклары биссектрисаларының кисешү ноктасы аша [5С] нә
параллель, ә [Дб] һәм [ДС] ләрен тиңдәшле рәвештә М һәм N
нокталарында кисеп үтәрлек итеп, ΛW турысы үткәрелгән.
∣½hV∣ = I BM∖ + I C7V∣ икәнен исбатлагыз.
Параллель күчерү. Фалес теоремасы.
Өчпочмакның урта сызыгы.
20. Параллель күчерүнең күчү икәнен исбатлагыз. Параллель
күчерү турыны нинди фигурага чагылдыра?
21. а) Ике нокта; б) өч нокта; в) дүрт нокта ничә төрле
параллель күчерүне бирә?
22. Нинди параллель күчерү әйләнәне үзенә конгруэнт әйлә¬
нәгә чагылдыра? Нинди очракта параллель күчерү ярдәмендә
кисемтәне кисемтәгә чагылдырып була?
23. Нинди фигураларны параллель күчерү юлы белән үзенә
чагылдырырга мөмкин?
24. Түбәсен турыдан-туры үлчәргә мөмкин булмаган почмак¬
ның зурлыгын табыгыз.
25. ABCD дүртпочмагында (ВС)||(ДЛ)) һәм ∣ AC ∣ = ∣ BD |.
I AB I == I CD I икәнен исбатлагыз.
26. р һәм <7 параллель турылары өченче туры s белән кисте-
релгән. Түбәләре р, q һәм s турылары өстендә ятарлык итеп,
ягы бирелгән озынлыкта булган тигезьяклы өчпочмак төзегез.
27. Ике ягы һәм шул якларга каршы яткан почмакларының
аермасы буенча өчпочмак төзегез.
28. ABC тигезьянлы өчпочмагында ∣ AB∖ = | ДС|, ә түбә янын¬
дагы почмагы 30°. ВС ягы өстендәге нинди дә булса ноктадан
өчпочмакның калган ике ягына кадәрге ераклыклар суммасын
табыгыз.
29. Кабарынкы дүртпочмакта капма-каршы якларының урта¬
ларын тоташтыручы кисемтә калган ике ягының ярымсуммасына
тигез булса, дүртпочмакның капма-каршы ятучы бу яклары па¬
раллель икәнен исбатлагыз.
13
30. Сызымда өчпочмак якларының урталары булган өч нок¬
та сакланып калган. Бу өчпочмакны яңадан ничек төзергә?
31. Өчпочмакның яклары а һәм b га тигез. Өченче ягының
уртасы аша бирелгән якларга параллель турылар үткәрелгән.
Килеп чыккан дүртпочмакның периметрын табыгыз.
32. Λ1 ноктасы А ноктасына ноктасына карата симметрик,
ә А2 ноктасы Al ноктасына С ноктасына карата симметрик.
| ДЛ21 = 21 ΛfC∣ һәм [.4Λ2] || [уИС] икәнен исбатлагыз.
33. Тигезьянлы өчпочмакта нигезенең теләсә кайсы нокта¬
сыннан аның ян якларына кадәр ераклыклар суммасы өчпочмак
түбәләренең берсеннән аның ян ягына кадәр ераклыкка тигез
икәнен исбатлагыз.
34. Ике параллель күчерүне эзлекле рәвештә үтәү нинди
очракта бердәй чагылдыру була?
35*. √W1, √W2, Җ, нокталары — ABC өчпочмагында АВ, ВС,
CD якларының урталарына карата үзәкле симметриядә М нок¬
тасының образлары. ABC һәм √W1√W2Λf3 өчпочмакларының кон¬
груэнт икәнен исбатлагыз.
36*. ABC һәм A∖BγCx өчпочмаклары О ноктасына карата
симметрияле. Бу өчпочмак медианаларының кисешү нокталары
М һәм Ml О ноктасына карата симметрияле икәнен исбатла¬
гыз.
II бүлек
КҮППОЧМАКЛАР
\ § 1. КҮППОЧМАК БИЛГЕЛӘМӘСЕ
\ Гади йомык сынык сызык. Күппочмак
1. D белән К нокталары һәм Е белән Т нокталары күппоч¬
макның бер үк (эчке яки тышкы) өлкәсенә керәләрме (7 нче
рәсем)?
2. ABCDEE йомык сынык сызыгы төзегез (8 нче рәсем). Ан¬
нары очлары М һәм Р нокталарында яткан һәм ABCDEF сынык
сызыгын кисмәүче нинди дә булса сынык сызык үткәрегез.
3. 1) а) Дүртпочмакның; б) бишпочмакның; в) алтыпочмак¬
ның; г) /г-почмакның бер түбәсеннән ничә диагональ үткәрергә
мөмкин?
⅛∣* 2) Кабарынкы а) дүртпочмакның; б) бишпочмакның; в) алты¬
почмакның; г) /г-почмакның ничә диагонале бар?
4. Түбәндәге фигураларның кайсылары кабарынкы: а) поч¬
мак; б) туры; в) нур; г) кисемтә; д) ярымъяссылык; е) яссылык;
ж) өчпочмак; з) дүртпочмак?
5. а) 9 нчы рәсемдә ничә өчпочмак сурәтләнгән?
б) 10 нчы рәсемдә сурәтләнгән берничә күппочмакның исемен
әйтегез.
6; Кайсы фигура: 1) ABC һәм ACD өчпочмакларының;
б) AED һәм ACD өчпочмакларының; в) ABCDE бишпочмагы
белән ABC өчпочмагының; г) ABCD һәм ACDE дүртпочмакла¬
рының берләшмәсе була (11 нче рәсем)?
2) Кайсы фигура: a) ABC һәм ADC өчпочмакларының;
б) ABC һәм ADE өчпочмакларының; в) ABCDE бишпочмагы
белән ACD өчпочмагының; г) ABCD һәм ACDE дүртпочмакла¬
рының; д) ABC өчпочмагы белән CD кисемтәсенең кисешмәсе
була (11 нче рәсем)?
1 5
7. а) Бер түбәсеннән үткәрелгән диагональләр белән каба¬
рынкы бишпочмак ничә өчпочмакка бүленә?
б) Бер түбәсеннән үткәрелгән диагональләр белән кабарынкы
л-почмак ничә өчпочмакка бүленә?
8. Күппочмакның бер түбәсе янында төзелгән тышкы поч¬
маклары конгруэнт икәнен исбатлагыз.
^Күппочмакның почмаклары суммасы
9i а) Кабарынкы булмаган дүртпочмакның; б) кабарынкы
булмаган бишпочмакның барлык эчке почмаклары1 суммасын
исәпләп чыгарыгыз.
10i a) ABCDE күппочмагы С түбәсе аша үтүче I турысына
A A
карата симметрияле (12 нче рәсем), A = 70°, С = 140o. В поч¬
магының зурлыгын исәпләп чыгарыгыз. |
б) KLMNPQ күппочмагы KN турысына карата симметрияле.
ΛfΛ,P = 60o, LKQ = L = 120° булганда, аның эчке почмаклары
М, Р һәм Q ның зурлыкларын исәпләп чыгарыгыз (13 нче рә¬
сем).
11* Күппочмакның барлык эчке почмаклары белән бер тыш¬
кы почмагының суммасы 2250° ка тигез. Бу күппочмак ничә
яклы?
1 Монда һәм алга таба да күппочмакның эчке почмаклары дип аның
жочмагының зурлыгы, ә ягы дип ягының озынлыгы аталыр.
16
12. Кабарынкы күппочмакның барлык эчке почмаклары үзара
тигез һәм тышкы почмаклары белән бер эчке почмагының сум¬
масы 468° ка тигез булса, аның яклары санын исәпләп чыга¬
рыгыз.
13. 1) а) Ике эчке почмагының биссектрисалары; б) ике тү¬
бәсеннән үткәрелгән биеклекләре үзара перпендикуляр булган
өчпочмак бармы?
2) а) Ике биссектрисасы үзара перпендикуляр; б) ике биек¬
леге үзара перпендикуляр булган өчпочмак сызыгыз.
14. Кабарынкы күппочмакта иң күбе ничә кысынкы почмак
булуы мөмкин?
Күрсәтмә. Кабарынкы күппочмакның тышкы почмаклары¬
ның суммасы үзлеген файдаланыгыз.
15. Кабарынкы дүртпочмакның бер үк ягы янындагы ике
почмагының биссектрисалары арасындагы почмак әлеге дүртпоч¬
макның калган ике почмагы ярымсуммасына тигез. Шуны исбат¬
лагыз.
16; Кабарынкы дүртпочмакта кара-каршы ятучы почмак¬
ларның биссектрисалары төзегән почмакларының берсе белән
әлеге дүртпочмакның калган ике почмагының ярымаермасы сум¬
масы 180° ка тигез була. Шуны исбатлагыз.
Күрсәтмә. Дүртпочмакның эчке почмаклары суммасы үз¬
леген файдаланыгыз.
17. [А5] II [CZ)] һәм [βC]∣∣[AZ)], А = 26° булганда, ABCD
дүртпочмагының почмаклары зурлыкларын исәпләп чыгарыгыз.
2 У-52
17
§ 2. ӨЧПОЧМАКЛАР
Өчпочмак төзү
I* Түбәндәге бирелгәннәр буенча ABC өчпочмагы төзегез:
а) « = 4 cm, b = 5 см, с = 6 см;
б) a = 5 см, β = 45°, γ = 60°;
в) а = 4 см, b = 5 см, γ = 60°;
г) а = 5 см, β = 60°, а = 45°;
д) а = 60°, β = 45o, γ = 75°. /
Өчпочмакның яклары белән почмаклары
арасындагы бәйләнешләр
2. a) α=15 см, b ■— 15 см, с = 7 см;
б) a = 10 см, 6 = 8 см, с = 8 см;
г) α=15 см, 6 = 3 см, с = 4 см
булганда, АВС өчпочмагының иң зур почмагын күрсәтегез.
3i а) 4 = 45°, 5 = 67°; 6)4 = 57°, 5 = 74°; b)4 = 80°, В =
= 68° булганда, ABC өчпочмагының иң зур ягын күрсәтегез.
4. a) 4 = 10°, С = 78°; б) C=178°, 4 = 1° булганда, ABC
өчпочмагының якларын озынлыклары кими бару тәртибендә
языгыз.
5. В = 67°, С = 78° булганда, ABC өчпочмагының якларын
озынлыклары үсә бару тәртибендә языгыз.
6. Почмакларының 14 нче рәсемдә бирелгән кыйммәтләре
буенча, өчпочмакның: а) кайсы ягы зуррак (45 яки АС) икәнен
ачыклагыз; б) почмакларын зурлыклары арта бару тәртибендә
язып чыгыгыз.
7. ABC өчпочмагы бирелгән (15 нче рәсем). АС ягының ур¬
тасы 44 аша аңа MN перпендикуляры үткәрелгән, √V∈[45],
C4∕V=40o, NCB = 30°. a) ∣ AB ∣ = a, | ВС | = с булганда, BCN
өчпочмагының периметрын исәпләп чыгарыгыз, б) ABC өчпоч¬
магының төрен билгеләгез.
§ 3. ДҮРТПОЧМАКЛАР
Параллелограмм билгеләмәсе
L Өчпочмак белән шушы өчпочмакның кайсы да булса бер
ягының уртасына карата әлеге өчпочмакка симметрияле икенче
өчпочмакның берләшмәсе параллелограмм төзегәнлеген исбатла¬
гыз.
2; Симметрия үзәге булган һәр дүртпочмакның параллело¬
грамм икәнен исбатлагыз.
18
с
15 нче рәсем
3; Дүртпочмакта чиктәш ике якның һәркайсы янында яткан
ике почмакның суммасы 180° ка тигез булса, мондый теләсә
нинди дүртпочмакның параллелограмм икәнен исбатлагыз.
4. а) Параллелограмм якларының урталары аша аларга пер¬
пендикуляр турылар үткәрелгән. Бу турылар белән төзелгән
дүртпочмакның төрен билгеләгез.
б) ABCD параллелограммы бирелгән, монда Λf∈[5C], 7V∈
∈[CZ)], О — параллелограммның симметрия үзәге (16 нчы рә¬
сем). AD һәм АВ турыларын тиңдәшле рәвештә Р һәм Q нок¬
таларында кисеп үтүче ΛΊΟ һәм NO турылары үткәрелгән. Μ, N,
Р һәм Q — параллелограмм түбәләре икәнен исбатлагыз.
5. 1) Өч параллель туры өч параллель туры белән кистерел-
гән. Монда ничә параллелограмм килеп чыккан?
2) Дүрт параллель турыны дүрт параллель туры белән кис¬
тергәндә, ничә параллелограмм барлыкка килә?
3. п параллель турыны п параллель туры белән кистергәндә
ничә параллелограмм барлыкка килә?
Параллелограммның үзлекләре
6. Параллелограммның периметры 30 см, ә параллелограмм¬
нан аның диагонале белән кистереп алынган өчпочмакның пери¬
метры 25 см. Бу диагональнең озынлыгын исәпләп чыгарыгыз.
7. Параллелограммның ягын аның периметры р һәм икенче
ягы а аша күрсәтегез.
8. Параллелограммның чиктәш ике ягының суммасы 40 см, ә
бер ягы 10 см. Параллелограммның икенче ягының озынлыгын
һәм периметрын исәпләп чыгарыгыз.
9. Параллелограммның чиктәш ике ягының аермасы 10 см.
Бу якларның берсе а) 6 см; б) 13 см булганда, параллелограмм¬
ның икенче ягының озынлыгын һәм периметрын исәпләп чыга¬
рыгыз.
10. Параллелограммның ике почмагының суммасы 100° ка
тигез. Параллелограммның почмакларын исәпләп чыгарыгыз.
11* Параллелограммның ике почмагының аермасы 10° ка ти¬
гез. Параллелограммның почмакларын исәпләп чыгарыгыз.
12* Параллелограммның бер почмагының биссектрисасы аның
якларының берсен а һәм b озынлыгындагы кисемтәләргә бүлә.
Параллелограммның периметрын а һәм b аша күрсәтегез.
19
13. ABCD параллелограммының AC һәм BD диагональләре
О ноктасында кисешәләр. ABO өчпочмагы COD өчпочмагына
чагылдырыла торган күчүне күрсәтегез.
14. a) ABCD дүртпочмагында ∣ AD ∣ = ∣ BC∖, ∣ AB ∣ = ∣ DC |.
MN кисемтәсе (Λi∈pC∣, 7V∈[Λ5]) АС кисемтәсен урталай бү¬
лә, [AC] ∩ [ДСИ] == К. ∣ Λ4∕C∣ = ∣ Λ7V∣ икәнен исбатлагыз.
б) Алдагы мәсьәлә шартында бирелгән A, В, С һәм D нок¬
таларының бер яссылыкта ятмавы мөмкинме? Шуны тикшере¬
гез.
15. Параллелограммның бер почмагы 45° ка тигез. Параллело¬
граммның җәенке почмак түбәсеннән үткәрелгән биеклеге 4 см
га тигез һәм ул параллелограммның ягын конгруэнт ике кисем¬
тәгә бүлә, а) Бу якның озынлыгын; б) параллелограммның шул
ук түбәсеннән үткәрелгән диагонале белән яклары арасында
төзелгән почмакларын табыгыз.
16; Параллелограмм диагонале белән тигезьянлы турыпоч¬
маклы ике өчпочмакка бүленә; параллелограммның зуррак ягы
а га тигез. Параллелограммның шул якка үткәрелгән биеклеген
а аша күрсәтегез.
17. Параллелограммның бер үк түбәсеннән үткәрелгән биек¬
лекләре үзара а) 25° лы; б) 125° лы почмак төзесәләр, аның
почмакларын исәпләгез.
18. 3 һәм 5 см га тигез булган ике ягы һәм 2 см лы биек¬
леге буенча параллелограмм төзегез. (Ике чишелеш.)
19. 3 һәм 5 см га тигез булган ике ягы һәм 4 см лы би¬
еклеге буенча параллелограмм төзегез.
20. 3 һәм 5 см га тигез булган ике ягы һәм 6 см лы биек¬
леге буенча параллелограмм төзегез.
Параллелограмм билгеләре
21. Дүртпочмакның диагональләре кисешү ноктасында урта¬
лай бүленсәләр, бу дүртпочмакның параллелограмм икәнен ис¬
батлагыз.
22*. Кара-карщы яклары конгруэнт һәм параллель булган
алтыпочмак бирелгән. Әлеге алтыпочмакның „кара-каршы тү¬
бәләрен" тоташтыручы диагональләре бер ноктада кисешәләр һәм
шул нокта белән урталай бүленәләр. Шуны исбатлагыз.
17 нче рәсем
20
23. ABCD параллелограммының яклары өстендә, 17 нче рә¬
семдә күрсәтелгәнчә, конгруэнт AM, DN, CP, BQ кисемтәләре
салынган. Μ, N, Р һәм Q нокталарының параллелограмм түбә¬
ләре икәнен исбатлагыз.
24. Теләсә нинди дүртпочмакта аның кара-каршы яклары¬
ның урталарын тоташтырган кисемтәләр кисешү ноктасында
урталай бүленгәнлеген исбатлагыз.
25. ABC почмагының (ABC < 180°) эчке ноктасы1 аша, поч¬
макның яклары арасында урнашкан кисемтәсе шул нокта белән
урталай бүленерлек итеп, туры үткәрегез.
Төрле мәсьәләләр
26. Параллелограмм эчендә яткан теләсә нинди ноктадан
аның яклары яткан турыларга кадәр ераклыклар суммасы бирел¬
гән параллелограмм өчен даими зурлык
27. а) Ике параллелограмм бирел¬
гән. Аларның берсенең һәр ягында
икенчесенең бер түбәсе ята. Бу па¬
раллелограммнарның уртак симмет¬
рия үзәге барлыгын исбатлагыз.
б) ABCD һәм DKBL параллело¬
граммнарының уртак симметрия үзәге
барлыгын исбатлагыз (18 нче рәсем).
икәнен исбатлагыз.
28. 19 нчы рәсемдә ABCD — па¬
раллелограмм, KL — аның А түбәле
тышкы почмакларының биссектриса¬
сы, KQ(BC), Lζ(CD). KCL өчпочма¬
гы тигезьяклы һәм аның ян яклары¬
ның суммасы ABCD параллелограм¬
мының периметрына тигез икәнен
исбатлагыз.
29. Параллелограммның якларына
аның кара-каршы якларын яки алар¬
ның дәвамнарын К, L, М һәм N
нокталарында кисеп үтүче урта пер¬
пендикулярлар үткәрелгән (20 нче
рәсем), a) KLMN дүртпочмагының
параллелограмм икәнен; б) ABCD һәм
KLMN параллелограммнарының сим¬
метрия үзәкләре тәңгәл килгәнен ис¬
батлагыз.
х ' 30. Өчпочмакның тигез булмаган
яклары арасындагы медианасы бу
якларның кечерәге белән зуррак поч¬
мак төзелгәнлеген исбатлагыз.
18 нче рәсем
19 нчы рәсем
1 Почмакнын эчке ноктасы дип аның яклары өстендә ятмаган ноктасы
атала.
21
Кирәкле һәм җитәрлек шартлар
31. Билгеле булганча, ABCD параллелограммында: а) А +
+ 5 = 180°; б)5 + С=180°; в)С + Ь=180°; г) A + D = 180°.
ABCD дүртпочмагының параллелограмм булуы өчен боларның
кайсылары җитәрлек шарт булып тора?
32. а) Диагонале ягына конгруэнт; б) диагональләре конгру-
энт; в) диагональләре үзара перпендикуляр; г) диагонале ягын¬
нан кыскарак; д) барлык яклары конгруэнт; е) ике ягы үзара
перпендикуляр; ж) ике ягы конгруэнт һәм үзара перпендикуляр
булган параллелограмм бармы?
33. а) Ике почмакның вертикаль булуы;
б) ике почмакның чиктәш булуы;
в) ике турының параллель булуы;
г) дүртпочмакның параллелограмм булуы;
д) санның 4 кә бүленүе;
е) санның 5 кә һәм 6 га бүленүе;
ж) санның 5 кә һәм 15 кә бүленүе өчен җитәрлек шартлар¬
ны әйтеп бирегез.
34. а) Ике почмакның вертикаль булуы;
б) ике почмакның чиктәш булуы;
в) ике турының параллель булуы;
г) дүртпочмакның параллелограмм булуы;
д) санның 4 кә бүленүе;
е) санның 5 кә һәм 6 га бүленүе;
ж) санның 5 кә һәм 15 кә бүленүе өчен кирәкле шартларны
әйтеп бирегез.
35. а) Ике почмакның вертикаль булуы;
б) ике почмакның чиктәш булуы;
в) ике турының параллель булуы;
г) дүртпочмакның параллелограмм булуы;
д) санның 4 кә бүленүе;
е) санның 5 кә һәм 6 га бүленүе;
ж) санның 5 кә һәм 15 кә бүленүе өчен кирәкле һәм җитәр¬
лек шартларны әйтеп бирегез.
Турыпочмаклык
36. ABCD турыпочмаклыгы сызыгыз. Аның диагональләренең
кисешү ноктасын О дип тамгалагыз һәм, P∈[AC], | АР | = 31PC|
булырлык итеп, Р ноктасы билгеләгез. Турыпочмаклыкның сим¬
метрия күчәрләре I һәм т ны үткәрегез (m∣∣[A5]).
1) а) / турысына карата күчәрле симметриядә;
б) т турысына карата күчәрле симметриядә;
в) О ноктасына карата үзәкле симметриядә А, В, С, D, О
һәм Р нокталары нинди нокталарга чагылдырыла?
2) ВОС өчпочмагының образын табыгыз;
а) I турысына карата симметриядә;
22
б) т турысына карата симметриядә;
в) О ноктасына карата симметриядә.
37. Түбәндәге әйтелмәләрнең дөреслеген кире кагучы мисал¬
лар китерегез:
а) дүртпочмакның диагональләре конгруэнт булса, ул дүрт¬
почмак параллелограмм була;
б) дүртпочмакның диагональләре конгруэнт һәм аның парал¬
лель ике ягы белән тиңдәшле рәвештә конгруэнт почмаклар
төзесәләр, андый дүртпочмак параллелограмм була.
38. ABCD турыпочмаклыгы һәм аның симметрия күчәрләре
т һәм п бирелгән (тп||[ДВ], ∕z∣∣[βC], m{∖n = О).
Нинди фигурага чагылдырыла:
а) т турысына карата симметриядә АВ кисемтәсе;
б) т турысына карата симметриядә түбәләре ABCD туры¬
почмаклыгының яклары өстендә яткан һәм АО — диагонале
булган турыпочмаклык (О түбәсеннән кала);
в) п турысына карата симметриядә BD диагонале;
г) η турысына карата симметриядә т турысы;
д) т турысына карата симметриядә п турысы;
е) О ноктасына карата үзәкле симметриядә т турысы?
39. Кабарынкы дүртпочмакның диагональләре үзара перпен¬
дикуляр. Кара-каршы якларының урталарын тоташтыручы ки¬
семтәләрнең конгруэнт икәнен исбатлагыз.
40. АВ кисемтәсе бирелгән (21 нче рәсем). М — АВ кисемтә¬
сендә ирекле рәвештә алынган нокта. AM һәм MB кисемтәлә¬
рен гипотенуза итеп алып, АВ турысыннан бер якта тигезьянлы
турыпочмаклы ACM һәм MDB өчпочмаклары төзелгән.
а) Бу өчпочмакларның С һәм D тү¬
бәләре күплеген күрсәтегез, б) (ΛC)∩
∩(jBZ)) = N булсын; MN турысы CD с
кисемтәсен конгруэнт кисәкләргә бүл- √κ ,< X.
гәнен исбатлагыз, в) АМС өчпочмагын / '∖y х
камаучы әйләнәләрнең барлык үзәкләре А м $
күплеген табыгыз. 21 нче рәсем
Ромб
4L ABCD ромбы бирелгән. О — аның диагональләренең
кисешү ноктасы.
1) Ромбның түбәләре нинди нокталарга чагылдырыла:
а) АС турысына карата симметриядә;
б) BD турысына карата симметриядә;
в) О ноктасына карата симметриядә?
2) АВО өчпочмагының образын табыгыз:
а) АС турысына карата симметриядә;
б) BD турысына карата симметриядә;
в) О ноктасына карата симметриядә?
42. Түбәндәге әйтелмәләрнең дөреслеген кире кагучы мисал¬
лар китерегез:
23
а) дүртпочмакның диагональләре үзара перпендикуляр бул¬
салар, андый дүртпочмак ромб була;
б) дүртпочмакның диагональләре үзара перпендикуляр һәм
конгруэнт булсалар, андый дүртпочмак ромб була.
43. Дүртпочмак ромб булсын өчен, 42 нче а) мәсьәләсенең
шартына нинди шарт өстәлергә тиеш?
44. Дүртпочмак ромб булсын өчен, 42 нче б) мәсьәләсенең
шартына нинди шарт өстәлергә тиеш?
45. Бирелгән өч нокта аша, аларның икесе өченчесеннән бер¬
тигез ераклыкта булырлык итеп, параллель турылар үткәрегез.
Мәсьәләнең чишелеше булсын өчен, бу нокталар ничек урнаш¬
кан булырга тиеш? Мәсьәләнең төрле ничә чишелеше булуы
мөмкин?
46. ABCD параллелограммында ∣ AD | > | АВ |, А һәм В поч¬
макларының биссектрисалары параллелограммның ВС һәм AD
якларын тиңдәшле рәвештә К һәм L нокталарында кисеп үтә.
ABKL дүртпочмагының ромб икәнен исбатлагыз.
47. Ромб диагональләренең кисешү ноктасы аша аның якла¬
рына перпендикулярлар үткәрелгән. Бу перпендикулярларның
ромб яклары белән кисешү нокталары турыпочмаклык түбәләре
икәнен исбатлагыз.
48. Ромбның яклары белән аның диагональләре арасында тө¬
зелгән почмаклар 4:5 кә чагыштырмасында. Ромбның почмак¬
ларын исәпләп чыгарыгыз.
49. Ромбның җәенке почмак түбәсеннән үткәрелгән биеклеге
каршы якны конгруэнт кисемтәләргә бүлә. Ромбның почмакла¬
рын исәпләп чыгарыгыз.
50*. Ромбның периметры 16 см, биеклеге 2 см. Ромбның поч¬
макларын исәпләп чыгарыгыз.
51. Ромб ягының уртасы аша бу якка үткәрелгән перпенди¬
кулярлар бер ноктада кисешәләр яки ромб төзиләр. Шуны ис¬
батлагыз. Бу ромбларның симметрия күчәрләре үзара ничек
урнашкан?
Квадрат
52. Ягы 2 см булган квадратның диагонале икенче квадрат¬
ның ягы булып хезмәт итә. Икенче квадратның диагонален
исәпләп чыгарыгыз.
53. Квадратның түбәләре аша аның диагональләренә параль-
лель турылар үткәрелгән. Бу турылар белән төзелгән дүртпоч¬
макның төрен билгеләгез.
54. ABCD дүртпочмагы ягының урталары KLMA∣ дүртпочма¬
гының түбәләре булып хезмәт итә. KLMN дүртпочмагының па¬
раллелограмм икәнен исбатлагыз.
Нинди очракта KLMN дүртпочмагы а) турыпочмаклык;
б) ромб; в) квадрат була?
55. а) Нинди күчүләр ABCD квадратының АВ ягын ВС ягы¬
на чагылдыра (22 нче рәсем)?
24
б) Әгәр ABCD — квадрат булса, нин¬
ди күчүләр 1 өчпочмагын 2 өчпочма¬
гына чагылдыра (22 нче рәсем)?
56. ABCD квадраты бирелгән (23
нче рәсем). (ДС)∩(BD) = О, a{∖b = O,
a _L Ь.
а) а турысына карата симметриядә;
б) b турысына карата симметриядә;
в) О ноктасына карата симметриядә
ABC өчпочмагының образын күрсәтегез.
57. 1) Бер бит кәгазь, 24 нче рәсем¬
дә күрсәтелгәнчә дүрткә бөкләнеп, АВ
сызыгы буенча киселгән. Кәгазь битен
җәйми генә, нинди фигура кисеп алын¬
ганын билгеләгез. Кәгазь битеннән
квадрат кисеп алу өчен, кисү сызыгы
ничек үтәргә тиеш?
2) Бер бит кәгазь 25 нче рәсемдә
күрсәтелгәнчә бөкләнгән һәм АВ сызы¬
гы буенча киселгән. Кәгазь битеннән
нинди фигура кисеп алынган? Бу фигу¬
раның: а) тигезьянлы өчпочмак; б) ти¬
гезьяклы өчпочмак булуы мөмкинме?
3) Кәгазь бите 26 нчы рәсемдә күр¬
сәтелгәнчә бөкләнгән очракта, алдагы
мәсьәләнең сорауларына җавап бирегез.
58. ABCD квадраты бирелгән. K∈
∈μβ], |ДК| = ∣K5∣. D, К һәм С нок¬
талары — тигезьянлы өчпочмакның тү¬
бәләре икәнен исбатлагыз.
59. a) ABCD квадраты бирелгән. К,
L, М һәм 7V—-тиңдәшле рәвештә аның
АВ, ВС, CD, AD якларының урталары.
KLM = MNK= 90° икәнен исбатлагыз.
б) ABCD квадраты бирелгән. К һәм
М нокталары аның АВ һәм CD якла¬
рын ∣A∕C∣z∣∕Cβ∣ = ∣CΛf |:|MD| чагыш¬
тырмасында бүлә. DKC — ВМА икәнен
исбатлагыз.
60. ABCD квадратының симметрия
үзәге аша, АВ ягын кисеп үтәрлек
итеп, I турысы үткәрелгән. A(£l, BQI.
В һәм С түбәләренең турыдан ерак¬
лыклары суммасы А һәм D түбәләре¬
нең бу турыдан ераклыклары суммасы¬
на тигез икәнен исбатлагыз.
26 нчы рәсем
61. Квадратның яклары өстендә,
аның тышкы ягында, квадратлар төзел-
25
гән. Бу квадратларның симметрия үзәкләре квадрат түбәләре
икәнен исбатлагыз.
62. ABCD турыпочмаклыгын камаучы шундый KLMN дүрт¬
почмагы төзелгән: бу дүртпочмакның яклары турыпочмаклык¬
ның А, В, С һәм D түбәләре аша үтә, ә К, L, М һәм N түбә¬
ләре турыпочмаклыкның симметрия күчәрләрендә яталар. KLMN
дүртпочмагының ромб икәнен исбатлагыз.
Нинди очракта KLMN дүртпочмагы квадрат була?
63. ABCD һәм LBFK квадратларының В түбәсе уртак (27 нче
рәсем). ABL өчпочмагының ВМ медианасы CF кисемтәсенә
перпендикуляр икәнен исбатлагыз.
64. ABCD квадраты эчендә, MAD = MDA = 15° булырлык
итеп, М ноктасы алынган. ВСМ өчпочмагының тигезьяклы икә¬
нен исбатлагыз.
65.28 нче рәсемдә ABCD — квадрат, P∈[CZ)], [PP1]∣∣[Cβ],
p1∈μpι, [p1p2]∈μc], p2∈μcj, o=μc]∩[BD]. p3p = 90o
икәнен исбат итегез.
66. Яклары 4 см һәм 9 см га тигез булган турыпочмаклыкны,
килеп чыккан күппочмаклардан квадрат төзеп булырлык итеп,
ике конгруэнт күппочмакка кисегез.
Трапеция
67. 1) Трапециянең эзлекле тәртиптә алынган почмаклары¬
ның зурлыклары чагыштырмасы: а) 6, 3, 4, 2; б) 8, 7, 13, 12
саннарының чагыштырмасына тигез булуы мөмкинме?
2) Трапециянең бер нигезе янындагы почмаклары 68° һәм 74°.
Трапециянең калган почмакларын исәпләп чыгарыгыз.
68. ABCD трапециясенең BD диагонале АВ ягына перпенди¬
куляр; BAD = 40°. Трапециянең кечерәк нигезе икенче ян ягына
конгруэнт булса, аның калган почмакларын исәпләп чыгарыгыз.
69. ABCD трапециясенең кечерәк нигезе ВС 4 см га тигез.
В түбәсе аша CD ягына параллель туры үткәрелгән. Килеп чык¬
кан өчпочмакның периметры 12 см. Трапециянең периметрын
исәпләп чыгарыгыз.
26
70. Тигезьянлы трапециянең бер почмагы 60°, ян ягы 24 см,
ә нигезләренең суммасы 44 см. Трапециянең нигезләре озынлы¬
гын исәпләп чыгарыгыз.
71. Тигезьянлы трапециянең бер почмагы 60°, нигезләре 15
һәм 49 см га тигез. Трапециянең периметрын исәпләп чыгары¬
гыз.
72. Диагональләре конгруэнт булган трапециянең тигезьянлы
икәнен исбатлагыз.
73. Трапециянең ян яклары кечерәк нигезенә тигез, диагона¬
ле нигез белән 30° лы почмак төзи. Трапециянең почмакларын
исәпләп чыгарыгыз.
74. Турыдан бер якта урнашкан кисемтәнең очлары бу туры¬
дан 8 һәм 15 см ераклыкта. Бу кисемтәнең уртасы турыдан
нинди ераклыкта?
75. Тигезьянлы трапециянең диагонале аның кысынкы поч¬
магын урталай бүлә. Трапециянең периметры 132 см, ә нигезлә¬
ре 2:5 чагыштырмасында. Трапециянең урта сызыгының озын¬
лыгын исәпләп чыгарыгыз.
76. Турыпочмаклы трапециянең бер почмагы 135°, урта сы¬
зыгы 18 см, ә нигезләре 1:8 чагыштырмасында. Трапециянең
кечерәк ян ягын исәпләп чыгарыгыз.
77. Трапециянең нигезләре а һәм b га тигез, ә а нигезе
янындагы почмакларының суммасы 90°. Трапеция нигезләренең
урталарын тоташтыручы кисемтәнең озынлыгын исәпләп чыга¬
рыгыз.
78. ABCD трапециясе бирелгән (29 нчы рәсем). [А£>] || [CZ)],
/С—трапециянең А һәм D тышкы почмаклары биссектрисалары¬
ның кисешү ноктасы, L ноктасы — В һәм С тышкы почмаклары
биссектрисаларының кисешү ноктасы. ∣ KL | = 25 см булса, ABCD
трапециясенең периметрын исәпләп чыгарыгыз.
79. Трапециянең бер нигезе янындагы почмакларының бис¬
сектрисалары аның икенче нигезендә кисешсәләр, икенче нигез¬
нең озынлыгы трапециянең ян яклары озынлыкларының сумма¬
сына тигез икәнен исбатлагыз.
80. Трапеция диагональләренең урталарын тоташтыручы ки¬
семтә аның нигез озынлыкларының ярымаермасына тигез икәнен
исбатлагыз.
81. а озынлыктагы АВ кисемтәсеннән бер якта Λf∈[Aθ]
булган AMNP һәм MBKL квадратлары төзелгән (30 нчы рәсем).
AMNP һәм MBKL квадратларының үзәкләрен тоташтыручы
барлык кисемтәләрнең урталары күплеге (£) ноктасы) нинди
фигура була?
Төрле мәсьәләләр
82. Әйтелмә чынмы яки ялганмы:
а) турыпочмаклык — трапеция ул;
б) квадрат — параллелограмм ул;
в) ромб — квадрат ул;
27
г) турыпочмаклык — квадрат ул;
д) квадрат — турыпочмаклык ул;
е) квадрат — ромб ул;
ж) ромбның диагональләре кисешү ноктасында урталай бү¬
ленәләр;
з) турыпочмаклыкның диагональләре үзара перпендикуляр;
и) ABC өчпочмагында |ДС| = |ДС|, К, L, М — тиңдәшле рә¬
вештә АВ, ВС, СА якларының урталары, шулай булгач, KLCM
дүртпочмагы — ромб.
83. П — турыпочмаклыклар күплеге, Р — ромблар күплеге,
Т — трапецияләр күплеге, К~ квадратлар күплеге, Е—дүрт¬
почмаклар күплеге.
Түбәндәге әйтелмәләрнең кайсылары чын:
а) TczlT, б) K=Π[}P', в) ΠczP[↑T∙, г) KczP∖ д) 7,⊂β
84. Бердәнбер а) параллелограмм; б) ромб; в) турыпочмак¬
лык; г) квадрат төзү өчен нинди бирелмәләр җитә?
һәр биремгә 2 мисал китерегез.
85. Кабарынкы күппочмакның: а) симметрия үзәге булганда;
б) симметрия күчәре булганда;
в) барлык почмаклары туры;
г) барлык почмаклары җәенке;
д) барлык почмаклары кысынкы;
е) барлык эчке почмакларының суммасы тышкы почмаклары¬
ның суммасыннан ике тапкыр кечерәк булганда, аның яклар
саны /г нинди шартны канәгатьләндерә?
86. Өч нокта: А, В һәм С бирелгән. Дүрт нокта белән тө¬
зелгән фигураның а) симметрия үзәге; б) симметрия күчәре бу¬
лырлык итеп, дүртенче D ноктасы төзегез.
87. Килеп чыккан кисәкләрдән турыпочмаклык төзерлек
итеп, ирекле рәвештә алынган өчпочмакны өч кисәккә бүлегез.
88. Бирелгән дүртпочмак эчендә бу дүртпочмакның барлык
түбәләреннән ераклыклары суммасы иң кечкенә булган ноктаны
табыгыз.
§ 4. КҮППОЧМАКЛАРНЫҢ МӘЙДАННАРЫ
Турыпочмаклыкның мәйданы
1. Ике ягы: а) 30 һәм 2,9 см; б) 34 см һәм 0,6 дм; в) 4 м
һәм 1 м 4 дм га тигез булган турыпочмаклыкның мәйданын
исәпләп чыгарыгыз.
28
2. Турыпочмаклыкның мәйданы һәм бер ягы тиңдәшле рә¬
вештә: а) 270 см2 һәм 15 см; б) 142 м2 һәм 35 м 50 см; в) 16 км2
һәм 4000 м; г) 0,096 км2 һәм 300 м булса, аның билгесез ягын
исәпләп чыгарыгыз.
3. 1) Җир участогының мәйданы 250 а. Бу участокның мәй¬
данын а) квадрат метрларда; б) квадрат километрларда; в) гек¬
тарларда күрсәтегез.
2) Җир участогының мәйданы 24 га. Бу участокның мәйда¬
нын а) квадрат километрларда; б) квадрат метрларда; в) арлар¬
да күрсәтегез.
3) Җир участогының мәйданы 350 000 м2 га тигез. Бу мәй¬
данны: а) квадрат километрларда; б) арларда; в) гектарларда
күрсәтегез.
4. Турыпочмаклык формасындагы участокның мәйданы 400 га.
а) Участокның буе 10 км га тигез;
б) участок квадрат формасында булса, периметрын исәпләп
чыгарыгыз.
5. Турыпочмаклыкның
а) биеклеген үзгәрешсез калдырып, нигезен өч тапкырга
зурайтканда;
б) нигезен үзгәрешсез калдырып, биеклеген ике тапкырга
кечерәйткәндә;
в) биеклеген һәм нигезен дүрт тапкырга зурайтканда;
г) нигезен дүрт тапкырга зурайтып, биеклеген өч тапкырга
кечерәйткәндә;
д) нигезен өч тапкырга, биеклеген ике тапкырга зурайтканда,
аның мәйданы күпмегә үзгәрер?
6. а) Турыпочмаклыкның мәйданы 36 м2, яклары 4:9 чагыш¬
тырмасында булса, шул якларны исәпләп чыгарыгыз.
б) Турыпочмаклыкның мәйданы 144 см2, чиктәш якларының
чагыштырмасы 1:2 гә кебек булса, периметрын исәпләп чыга¬
рыгыз.
7. а) Турыпочмаклыкның һәр ягын 10% ка арттырсак, аның
мәйданы ничә процентка зураер?
б) Турыпочмаклыкның һәр ягын 10% ка киметсәк, аның
мәйданы ничә процентка кечерәер?
8. Турыпочмаклыкның мәйданы 48 см2, бер ягы 8 см. Туры¬
почмаклыкның бер ягына параллель туры аны ике конгруэнт
турыпочмаклыкка бүлә. Килеп чыккан турыпочмаклыкларның
периметрларын исәпләп чыгарыгыз.
9. Бер турыпочмаклыкның нигезе һәм __
биеклеге тиңдәшле рәвештә 20 һәм 60 I |
см га тигез. Икенче турыпочмаклыкның j I
мәйданы беренче турыпочмаклык мәй- j
данының яртысына тигез, ә бер ягы — 1 ∣——∣
50 см. Икенче турыпочмаклыкның пе- _____ |
риметрын исәпләп чыгарыгыз. c∣
10. 31 нче рәсемдә бирелгән фигу- fll 0'
раларны турыпочмаклыкларга бүлгәлә- 31 нче рәсем
29
32 нче рәсем
гез Һәм, кирәкле элементларын үлчәп, мәйданнарын исәпләп чы¬
гарыгыз. (Фигураларның барлык почмаклары да 90° яки 270°.)
11. а, Ь, с һәм d билгеле булганда, 32 нче рәсемдә бирелгән
фигураларның мәйданнарын исәпләү өчен формулалар языгыз.
(Фигураларның барлык почмаклары да 90° яки 270°.)
12. 33 нче рәсемдә бирелгән фигураларның (үлчәнешләре
миллиметрларда бирелгән) мәйданнары: а) 550 мм2; б) 1300 мм2.
Фигураларның барлык почмаклары да 90° яки 270° булса, х ны
исәпләп чыгарыгыз.
Квадратның мәйданы
13. 34 нче рәсемдә бирелгән квадратларның, якларының
озынлыгын үлчәп, мәйданнарын исәпләп чыгарыгыз.
14. 1) Яклары а) 2,5 см; б) 0,21 м булган квадратның мәй¬
данын исәпләп чыгарыгыз.
2) Мәйданы а) 256 см2; б) 76,8 м2; в) 14,6 мм2 булган квад¬
ратның ягын исәпләп чыгарыгыз.
3) Мәйданы 2,5 м2 булган квадратның периметрын исәпләп
чыгарыгыз.
15. а) Яклары 1 әр м булган ике квадрат һәркайсының тү¬
бәсе икенчесенең үзәгендә ятарлык итеп урнашкан. Бу квад¬
ратларның кисешмәсе булган фигураның мәйданын исәпләп чы¬
гарыгыз.
δ)
34 нче рәсем
33 нче рәсем
30
б) Яклары 1 әр м булган ике квадратның берсе — түбәсе
икенчесенең үзәгендә ятарлык итеп урнашкан. Бу квадратлар¬
ның кисешмәсе булган фигураның мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
Параллелограммның мәйданы
16. 35 нче рәсемдә тигез зурлыктагы параллелограммнарны
күрсәтегез.
17. а) Параллелограммның яклары 4 һәм 6 см, ә бу яклар
арасындагы почмагы 30°. Параллелограммның мәйданын исәпләп
чыгарыгыз.
б) Ромбның ягы 10 см, бер почмагы 150°. Ромбның мәйданын
исәпләп чыгарыгыз.
18. а) Параллелограмм (турыпочмаклык булмаган) һәм туры¬
почмаклыкның тиңдәшле яклары конгруэнт. Параллелограммның
мәйданы турыпочмаклык мәйданының яртысына тигез булса,
аның кысынкы почмагын исәпләп чыгарыгыз.
б) Тиңдәшле яклары конгруэнт булган турыпочмаклык һәм
параллелограмм (турыпочмаклык булмаган) сызыгыз. Бу фигу¬
раларның кайсысының мәйданы зуррак?
19. Яклары ∣Λfi∣ = 5 см һәм | ВС|-^ 3 см булган ABCD ту¬
рыпочмаклыгы һәм аңа тигез зурлыкта итеп, ягы ∣ BE∖-= 5 см
булган ABEF параллелограммы төзегез.
20. а) Параллелограммның мәйданы 24 см2. Параллелограмм¬
ның 6 см лы яклары арасындагы ераклыкны исәпләп чыгарыгыз.
б) Параллелограммның мәйданы 41 см2, яклары 5 һәм 10 см.
Параллелограммның биеклеген исәпләп чыгарыгыз.
в) Киңлекләре 4 һәм 1 см булган ике полоса, кисешеп, 6 см2
мәйданлы параллелограмм төзиләр. Бу параллелограммның як¬
ларын исәпләп чыгарыгыз.
21. а) Параллелограммның яклары 6 һәм 4 см. Биеклекләре-
нең берсе 5 см. Икенче биеклеген табыгыз. Мәсьәләнең ничә
чишелеше бар?
б) Параллелограммның яклары 6 һәм 8 см. Биеклекләренең
берсе 5 см. Икенче биеклеген табыгыз. Мәсьәләнең ничә чише¬
леше бар?
35 нче рәсем
31
37 нче рәсем
22. Мәйданы 10 см2, ә яклары
5 һәм 3 см булган параллелограмм
төзегез.
23. ABCD параллелограммы би¬
релгән. ∣AB ∣=12 см, ∣ΛC∣ = 16
см. D түбәсе АС диагоналеннән
4 см ераклыкта ята. D ноктасын¬
нан АВ турысына кадәрге ерак¬
лыкны исәпләп чыгарыгыз.
Өчпочмакның мәйданы
24. 36 нчы рәсемдә тигез зур¬
лыктагы өчпочмакларны күрсәте¬
гез.
25. Өчпочмакның ике ягы 5 һәм
6 см. Аның мәйданы: а) 10 см2 га;
б) 15 см2 га; в) 20 см2 га тигез
булуы мөмкинме? ·
26. Турыпочмаклы өчпочмак¬
ның катетлары: а) 4 һәм 7 см;
б) 1,2 һәм 35 дм булса, аның мәй¬
данын исәпләп чыгарыгыз.
27. ABC өчпочмагы бирелгән
(37 нче рәсем). A = 90o, [AD1 _|_
J_ [CZ9]. Табыгыз:
а) ABC өчпочмагының мәйда¬
нын;
б) ABD һәм ACD өчпочмакла¬
рының мәйданнары чагыштырма¬
сын;
в) AD кисемтәсенең озынлы¬
гын.
28. Өчпочмакның мәйданы 48
см2. Өчпочмакның 32 см лы ягына
үткәрелгән биеклеген исәпләп чы¬
гарыгыз.
29. ABC өчпочмагы бирелгән.
I AB I — 3 I АС |. В һәм С түбәлә¬
реннән үткәрелгән биеклекләрнең чагыштырмасын табыгыз.
30. а) Турыпочмаклы өчпочмакның катетлары 6 һәм 8 см,
гипотенузасы 10 см. Гипотенузага үткәрелгән биеклеген исәп¬
ләп чыгарыгыз.
б) Бер өчпочмакның нигезе 10 см, биеклеге 4 см. Икенче
өчпочмакның нигезе 20 см. Өчпочмаклар тигез зурлыкта булсын
өчен, икенче өчпочмакның нигезенә үткәрелгән биеклек күпмегә
тигез булырга тиеш?
32
в) Турыпочмаклыкның яклары 5 һәм 6 см. Турыпочмаклыкка
тигез зурлыкта итеп, нигезе 7,5 см булган өчпочмак төзегез.
Мәсьәләнең ничә чишелеше бар?
31. Өчпочмакның а һәм b якларына үткәрелгән биеклекләре
һа һәм hb га тигез.
а) a∙.b = hb∙.ha икәнен исбатлагыз.
б) Өчпочмакның a < b булса, hb < һа икәнен исбатлагыз.
32. 1) Теләсә нинди өчпочмакта биеклекләр чагыштырмасы
шул биеклекләр төшерелгән яклар чагыштырмасына кире про¬
порциональ икәнен исбатлагыз.
2) Биеклекләре а) 5 см, 4 см, 3 см; б) 1 см, 1 см, 3 см;
в) 5, 10, 12 булган өчпочмак бармы?
33. 1) 38 нче рәсемдә сурәтләнгән фигураларның мәйданна¬
рын исәпләп чыгарыгыз.
2) 39 нчы рәсемдә сурәтләнгән фигураларның мәйданнарын
исәпләү өчен формулалар языгыз.
3) 40 нчы рәсемдә сурәтләнгән фигураның мәйданы 805 мм2.
Билгесез х үлчәнешен исәпләп чыгарыгыз.
34*. Турыпочмаклыкның периметры 14 см. Бер түбәсе бу
түбә аша үтмәгән диагоналеннән 2,4 см ераклыкта ятса, туры¬
почмаклыкның диагонален һәм мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
35. ABCD трапециясе бирелгән. [Λ5] || [CZ)]. О — диагональ¬
ләренең кисешү ноктасы. Тигез зурлыктагы өчпочмакларның
барлык парларын күрсәтегез.
39 нчы рәсем
40 нчы рәсем
3 У-52
33
42 иче рәсем
36. ABCD параллелограммында А
түбәсе кисемтәләр ярдәмендә ВС һәм
CD якларының урталары белән һәм
С түбәсе белән тоташтырылган
(41 нче рәсем). 1, 2, 3, 4 өчпочмаклары
тигез зурлыкта икәнен исбатлагыз.
37. ABCD параллелограмында A'∈
∈ [5С], L ∈ [βC], I BK∖ - I KL I = I LC |.
Мәйданнары чагыштырмасын табы¬
гыз:
а) DLK һәм DLC өчпочмаклары¬
ның;
б) DAC һәм DCK өчпочмаклары¬
ның;
в) DAC өчпочмагы белән ADLB
дүртпочмагының;
г) DCL өчпочмагы белән ADKB
дүртпочмагының;
д) ABKD һәм ABLD дүртпочмак¬
ларының.
38. Өчпочмакның түбәсе аша, аны:
а) тигез зурлыктагы ике өчпочмакка;
б) мәйданнары 2:3 чагыштырмасында
булган ике өчпочмакка бүләрлек
итеп, туры үткәрегез.
39. Өчпочмакның түбәсе аша, аны
тигез зурлыктагы өч өчпочмакка бү¬
ләрлек итеп, ике туры үткәрегез.
40. Яссылыктагы ниндидер О нок¬
тасы ABCD параллелограммының тү¬
бәләре белән тоташтырылган, а) О
ноктасы параллелограмм эчендә ятса,
АВО һәм CDO өчпочмакларының мәйданнары суммасы ВСО һәм
DAO өчпочмакларының мәйданнары суммасына тигез икәнен
исбатлагыз, б) О ноктасы параллелограммның ягы өстендә ятса,
бу тигезлек сакланырмы? в) О ноктасы параллелограммның тү¬
бәсендә ятса, бу тигезлек сакланырмы?
41. А, В, С һәм D нокталары |Л£>|= ∣BC∣, ∣| = |ДС| бу¬
лырлык итеп бирелгән. ABCD — кабарынкы күппочмак.
a) <∕BAD= <∕ABC∖ б) Sacd'~ SBnc икәнен исбатлагыз.
42. Төзелгән өчпочмакның нигезе бирелгән өчпочмакның бер
ягына тигез булырлык итеп, бирелгән өчпочмакка тигез зурлык¬
та булган тигезьянлы өчпочмак төзегез.
43. Төзелгән өчпочмакның нигезе бирелгән өчпочмакның бер
ягы белән тәңгәл килерлек, ә нигез янындагы бер почмагын
45° ка тигез итеп, бирелгән өчпочмакка тигез зурлыкта булган
өчпочмак төзегез.
44. 42 нче рәсемдә сурәтләнгән фигураларның мәйданнарын
исәпләүнең иң рациональ юлын күрсәтегез.
34
45. Ягы а булган ABCD квад¬
ратының симметрия үзәге аша
ЛВ ягын кисүче I турысы үткә¬
релгән. A∈∕, BQI. Квадрат тү-
(юләреннән I турысына кадәрге
ераклыклар суммасын һәм / ту¬
рысының квадрат эчендә урнаш¬
кан b кисемтәсенең озынлыгын
а аша күрсәтегез.
Трапециянең мәйданы
46. 43 нче рәсемдә бирелгән
үлчәнешләре буенча трапеция¬
ләр төзегез һәм, кирәкле эле¬
ментларын үлчәп, мәйданнарын
табыгыз.
47. 44 нче рәсемдә күрсәтел¬
гән үлчәнешләре буенча трапе¬
цияләрнең мәйданнарын исәплә¬
гез.
48. Күппочмакларның мәй¬
даннары: а) 12110 мм2; б) 3375
мм2 га тигез (45 нче рәсем), х
ны табыгыз.
49. Трапеция нигезләренең
урталары кисемтә белән тоташ¬
тырылган. Килеп чыккан ике
трапециянең тигез зурлыкта икә¬
нен исбатлагыз.
50. ABCD трапециясе бирел¬
гән. [АЯ] II [С£>], М ∈ [АЯ], I AM | =
--∖MB∖, P∈[44Ω], [ΩP] = [P7W],
Q ∈ [ТИС], [CQ] = [Λ4Q]. APD һәм
BQC өчпочмакларының тигез
зурлыкта икәнен исбатлагыз.
44 нче рәсем
3*
35
51. ABC өчпочмагы бирелгән. ∣ AB∖ = | ЛС| = ∣5C∣ ¼5 — a.
ABC өчпочмагының мәйданын a аша күрсәтегез.
52. Ике медианасы үзара перпендикуляр һәм ma, mb га тигез
булган өчпочмакның мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
53. Тигезьянлы ABC (∣ AB ∣ = | ВС |) өчпочмагы эчендә М нок¬
тасы бирелгән. АМВ һәм ВМС өчпочмакларының мәйданнары
тигез булырлык М нокталары күплеген табыгыз.
54. Ромбның диагональләре 4:3 кә чагыштырмасында. Мәй¬
даны 600 см2 га тигез булса, ромбның биеклеген табыгыз.
55. Өчпочмак сызыгыз һәм аның, түбәләренең координатала-
ры билгеле булганда, мәйданын исәпләп чыгарыгыз:
а) Д(—1; 2), В(2; -3); С(6; - 3); ⅛
б) £>(8; 2), Е(3; 4), F (3; 6);
в) М(2; 4), £(6; 4), Л7(3; 10);
г) N (-3; -2), Р(-3; -6), Q (—5; -10).
56. [CO]∣∣[EF], F = 45°, |Д£| = 21 CD | = 51 CF | = 5 см булса,
CDEF трапециясенең мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
57. Трапециянең мәйданы 1 гә тигез. Бу трапециянең зуррак
диагоналенең озынлыгы кимендә күпмегә тигез?
58. Трапециянең бер нигезе 1 см, зуррак нигезе белән 30° лы
почмак төзүче ян ягы 3 см, ә зуррак нигез янындагы икенче
почмагы 45° булса, трапециянең мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
59. Тигезьянлы ABCD трапециясенең АС диагонале ВС ян
ягына перпендикуляр, |ДС| = 4а, ∖AD∖ = 3a. Трапециянең мәй¬
данын а аша аңлатыгыз.
Төрле мәсьәләләр
60. Ирекле рәвештә алынган кабарынкы дүртпочмакның ур¬
талары эзлекле рәвештә тоташтырылган. Килеп чыккан дүрт¬
почмакның мәйданы бирелгән дүртпочмак мәйданының яртысы¬
на тигез икәнен исбатлагыз.
61. Кабарынкы дүртпочмакның кара-каршы якларын тоташ¬
тыручы кисемтәләр 3 һәм 4 см га, бер диагонале 5 см га тигез.
Бу дүртпочмакның мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
62. Ирекле рәвештә алынган дүртпочмакның һәр түбәсеннән,
аның бу түбәсе аша үтмәүче диагоналенә параллель итеп, туры¬
лар үткәрелгән. Килеп чыккан дүртпочмакның мәйданы бирел¬
гән дүртпочмак мәйданыннан ике тапкыр зуррак икәнен исбат¬
лагыз.
63. ABCD дүртпочмагының диагональләре үзара перпендику¬
ляр һәм 4,5 см, 6,5 см га тигез. Дүртпочмакның мәйданын та¬
быгыз.
64. KLMN дүртпочмагында КМ диагонале NL диагонален
ике конгруэнт кисемтәгә бүлә. Sklm — Sknm икәнен исбатлагыз.
65. 1) Диагональләре дүртпочмакны дүрт өчпочмакка бүлә.
Диагональләрнең кисешү ноктасы — аларның уртак түбәсе. Бу
36
өчпочмакларның өчесенең мәйданы 1 см2, 2 см2, 3 см2 га тигез.
Дүртенче өчпочмакның мәйданын табыгыз.
2) Мәйданы 45 бер2 кә тигез булган дүртпочмакның диаго¬
нальләре кисешү ноктасы белән 2:3 һәм 4:5 чагыштырмасында
бүленә. Бирелгән дүртпочмакта диагональләре белән бүленүдән
килеп чыккан дүрт өчпочмакның һәркайсының мәйданын табы¬
гыз.
66. MN турысы Ох күчәренә перпендикуляр булса, штрих¬
ланган күппочмакның мәйданын ОХ кисемтәсенең озынлыгы х
аша аңлатыгыз (46 нчы рәсем).
67*. ABCDEF алтыпочмагының барлык эчке почмаклары
конгруэнт. I AB I == ∣ CD ∣ = ∣ EF∖ = 4α, 1AC∣ = ∣ DE∖ = ∣ FA | = За.
Алтыпочмакның мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
68*. ∣Aβ∣ = ∣5C∣ = ∣CΩ∣ = ∣ZλS∣ = ∣r∕7∣ = ∣∕7O∣=l һәм АВС=
= ACD = ADE- AEF = AFG = 90° булган ABCDEFQ күппоч¬
магының мәйданын исәпләп чыгарыгыз. Бу күппочмакның AC, AD,
АЕ, AF диагональләренең һәм AG ягының озынлыгын исәплә¬
гәндә, сез нинди закончалык күрдегез?
69*. АВ кисемтәсе С һәм D нокталары белән өч конгруэнт
кисемтәгә бүленгән: ∣ AC ∣ = ∣ CD ∣ = ∣ DB |. Бу кисемтәләрне як¬
лар итеп алып, АВ кисемтәсеннән бер якта, тигезьяклы АСЕ
өчпочмагы, CDGF квадраты һәм, ∣β∕∕∣ = 0,5 ∣Z)∙β∣ булырлык
итеп, турыпочмаклы DBH өчпочмагы (В = 90°) төзелгән. Е һәм F,
37
в
G һәм Н нокталары кисемтәләр белән тоташтырылган. ∣ AB | =
= 36 булса, AEFGHB күппочмагының мәйданын исәпләп чыга¬
рыгыз.
70. ABCD трапециясе бирелгән. [Д£)]||[С5]. DC ягының ур¬
тасы — К ноктасы — аша KL кисемтәсе үткәрелгән ([KL∖ || [Аб],
Z,∈[AZ)]). Sbldc = Sabl == 0,5 Sabcd икәнен исбатлагыз.
71. ABCD квадратының ягы а га тигез. AKBLCMDN йолды¬
зының барлык яклары конгруэнт, ә К, L, Μ, N нокталары АВ,
ВС, CD һәм AD якларыннан тиңдәшле рәвештә бер үк b ерак¬
лыгында яталар (47 нче рәсем). Йолдызның мәйданын исәпләп
чыгарыгыз.
72*. Өчпочмакның һәр ягы өч конгруэнт кисемтәгә бүленгән
һәм бүлү нокталары 48 нче рәсемдә күрсәтелгәнчә тоташтырыл¬
ган. Бирелгән өчпочмак белән штрихланган өчпочмакның мәй¬
даннары чагыштырмасын табыгыз.
73. ABCD дүртпочмагында ВС һәм AD якларының урталары
(ТИ һәм N нокталары), 49 нчы рәсемдә күрсәтелгәнчә, дүртпоч¬
макның түбәләре белән тоташтырылган. Samd = Sabn ÷ Sncd икә¬
нен исбатлагыз.
74. Өчпочмакның ягы өстендә алынган нокта аша өчпочмак¬
ны тигез зурлыктагы ике фигурага бүлүче туры үткәрегез.
75. Мәйданы 5 ка тигез булган кабарынкы дүртпочмак эчен¬
дә А ноктасы бирелгән. Бирелгән дүртпочмак якларының урта¬
ларына карата А ноктасына симметрияле нокталар — түбәләре
булып хезмәт иткән дүртпочмакның төрен билгеләгез һәм мәй¬
данын исәпләп чыгарыгыз.
76. Берничә кабарынкы дүртпочмакның якларының урталары
уртак (50 нче рәсем). Бу дүртпочмакларның тигез зурлыкта
икәнен исбатлагыз.
N
49 нчы рәсем
50 нче рәсем
38
77. Диагональләре үзара перпендикуляр булган трапециядә
нигезләренең урталарын тоташтыручы кисемтә трапециянең ур¬
та сызыгына тигез икәнен исбатлагыз.
78. Күппочмак түбәләренең координаталары:
а) К (0; 0), L (4; 4), Λί (6; 0) билгеле булса, KLM өчпочма¬
гының;
б) А (0; 0), β(3; 4) булса, ABCD квадратының;
в) Q (0; 0), 7? (4; 3) булса, PQRT квадратының;
г) А (0; 4), В (4; 4), С (6; 0), £)(0; 0) булса, ABCD дүртпоч¬
магының;
д) Д(0; 5), Д(3; 6), С(5; 5), D(5; 2), £(3; 0) булса, ABCDE
бишпочмагының мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
Күрсәтмә. Башта һәр фигураны төзегез.
Ill бүлек
ӘЙЛӘНӘ ҺӘМ ТҮГӘРӘК
Әйләнә, хорда, орынма
1. а) Л(0; 0), 5(2; 4), С(-3; 6); б) УИ(5; 5), √V(-2; 2),
5(1; 2) нокталары аша әйләнә үткәрегез.
2. a) А (0; 0) һәм В (5; 5); б) М. (2; 5) һәм 7V(—3; 2) нокта¬
лары аша 4 см радиуслы әйләнә үткәрегез.
3. А (2; 3) һәм 5(6; —2) нокталары аша туры үткәрегез һәм,
бу турыга орындырып, үзәге О (0; 0) ноктасында булган әйләнә
төзегез.
4. Бирелгән М ноктасы аша үтүче а радиуслы барлык әйлә¬
нәләрнең үзәкләре күплеге нинди фигура төзи?
5. Квадрат бирелгән. Бу квадратның яклары — хордалары
булырлык итеп, әйләнә төзегез.
6. Туры бирелгән. Турыга бирелгән ноктада орынучы барлык
әйләнәләрнең үзәкләре күплеге нинди фигура төзи?
7. Бирелгән турыга орынучы а радиуслы барлык әйләнәләр¬
нең үзәкләре күплеге нинди фигура төзи?
8. Әйләнәгә орынма үткәрелгән. Әйләнәнең теләсә кайсы
диаметрының очларыннан бу орынмага кадәр ераклыклар суммасы
әлеге әйләнәнең диаметрына тигез икәнен исбатлагыз.
9. Туры һәм туры өстендә нокта бирелгән. Турыга шул нок¬
тада орындырып һәм радиусы бирелгән озынлыкта булган әйлә¬
нә төзегез.
10. Бирелгән почмакның бер ягы өстендәге нокта аша һәм
шул почмак якларына орынучы әйләнә үткәрегез.
11. Туры һәм аннан читтә нокта бирелгән. Шул нокта аша,
турыга орындырып, радиусы бирелгән озынлыкта булган әйләнә
төзегез.
12. Турыпочмаклы өчпочмак эченә камалган түгәрәкнең диа¬
метры бу өчпочмакның катетлары суммасы белән гипотенуза
аермасына тигез икәнен исбатлагыз.
13. Үзәге О ноктасында булган 4 см радиуслы әйләнәгә А
ноктасыннан орынма үткәрелгән. 5 — орыну ноктасы, ∣ AB | =
= 8 см булса, АВО өчпочмагының мәйданын табыгыз.
14. Турыпочмаклы өчпочмакның якларын диаметр итеп алып,
аның тышкы ягында ярымәйләнәләр төзелгән. Бу ярымәйләнә-
ләргә, турыпочмаклы өчпочмакның катетларына параллель һәм
фигураны кисеп үтмәслек ht⅛π, орынмалар үткәрелгән. Яклары
40
шул орынмаларда яткан дүртпочмакның квадрат икәнен исбат¬
лагыз.
15. Билгеле бер озынлыкта кисемтә бирелгән. Аның очлары
бирелгән туры почмакның яклары буйлап шуганда, бу кисемтә¬
нең урталары күплеге нинди фигура төзи?
16. Әйләнәнең А ноктасыннан, аның үзәгеннән 4 см ераклык¬
та итеп, үзара перпендикуляр һәм конгруэнт ике хорда үткә¬
релгән. һәр хорданың озынлыгын исәпләп чыгарыгыз.
17. Бирелгән туры өстендә шундый нокта табыгыз, бу нок¬
тадан бирелгән әйләнәгә үткәрелгән орынма кисемтәләре бирел¬
гән озынлыкта булсын.
Үзәк почмаклар һәм дугалар
18. а) Башы бирелгән әйләнәнең үзәге белән тәңгәл килгән
ике нур; б) әйләнәнең үзәге аша үтүче ике туры бу әйләнәнең
ничә дугасын билгели?
19. Бирелгән ноктаны үзәк итеп алыгыз да, бирелгән әйләнә¬
не ике ярымәйләнәгә бүләрлек итеп, икенче бер әйләнә төзегез.
20. Хордага параллель орынма, хорда тартып торган дуганы,
орыну ноктасында ике конгруэнт дугага бүлә. Шуны исбатла¬
гыз.
21. Әйләнәнең диаметры очларыннан үткәрелгән параллель
хордаларның конгруэнт икәнен исбатлагыз.
22. Почмакның ягы өстендә бирелгән ноктаны үзәк итеп
алыгыз да, аның икенче ягыннан билгеле бер озынлыктагы хор¬
да кисеп алырлык итеп, шул почмакны камаучы әйләнә үткә¬
регез.
23. Әйләнәдә конгруэнт АВ һәм CD хордалары үткәрелгән.
ВС = AD яисә BD=AC икәнен исбатлагыз.
24. О үзәкле әйләнәнең АВ хордасы С һәм D нокталары белән
өч конгруэнт кисемтәгә бүленгән һәм А, В, С, D нокталары О
ноктасы белән тоташтырылган. ОС һәм OD нурлары белән АОВ
почмагының конгруэнт почмакларга бүленмәгәнен исбатлагыз.
25. (О; г) әйләнәсе бирелгән. | ОА | < г булган А ноктасы
аша, әлеге нокта белән бүленүдән килеп чыккан кисемтәләре¬
нең аермасы бирелгән d кисемтәсенә тигез булырлык итеп, хор¬
да үткәрегез.
26. Радиуслары тиңдәшле рәвештә а һәм sla га тигез булган
ике концентрик әйләнә: с һәм ci бирелгән. О ноктасы аларның
үзәге. Р ноктасы бу әйләнәләр арасында ята. Р ноктасын үзәк
итеп алып, cl әйләнәсен М ноктасында кисеп үтүче ОР радиус¬
лы әйләнә үткәрелгән. Р ноктасыннан ОМ турысына үткәрел¬
гән перпендикуляр с әйләнәсенә орынма икәнен исбатлагыз.
27. Түгәрәккә тиңдәшле яклары параллель булган ике трапе¬
ция камалган. Бу трапецияләрнең диагональләре конгруэнт
икәнен исбатлагыз.
41
28. һәркайсы бирелгән почмакның якларыннан конгруэнт
кисемтәләр кисеп алган барлык әйләнәләрнең үзәкләре күплеге
нинди фигура төзи?
Үзәктән хордага кадәр ераклык
29. 8 см лы хорда әйләнәдән 90° лы дуга кисеп ала. Әйләнә
үзәгеннән хордага кадәр ераклыкны табыгыз.
30. Әйләнәдә ике параллель хорда үткәрелгән. Бу хордалар
әйләнәдән 90° лы дугалар кисеп ала. Бер хорданың озынлыгы
12 см булса, хордалар арасындагы ераклыкны исәпләп чыгары¬
гыз.
31. Бер үк әйләнәдә бер хорда икенчесенә перпендикуляр
булып, аның уртасы аша үтсә, ул бу әйләнәнең диаметры була.
Шуны исбатлагыз.
32. Әйләнә бирелгән. Радиусының уртасы аша, аңа перпен¬
дикуляр итеп, хорда үткәрелгән. Әйләнә үзәгеннән бу хорданың
120° лы почмак астында күренгәнен исбатлагыз.
IV бүлек
ВЕКТОРЛАР
Векторларны кушу һәм алу. Векторны
санга тапкырлау
►·
1. ABCD һәм AlBCDx параллелограммнары бирелгән. AAt —
«= ClC икәнен исбатлагыз.
2. /И ноктасы — АВ кисемтәсенең уртасы. ОМ -^ · (ОА ÷
~ ►
+ ОВ) икәнен исбатлагыз, монда О — яссылыкның теләсә нинди
ноктасы.
—>
3. AAl медианалары уртак булган ABC һәм ABlCl өчпочмак-
>- ►·
лары бирелгән. CBl --= CxB икәнен исбатлагыз.
4. ABCD параллелограммы бирелгән. М ноктасы — паралле¬
лограммның симметрия үзәге. MA + MB ÷ МС + MD — 0 икә¬
нен исбатлагыз.
5. ABC өчпочмагы һәм М ноктасы бирелгән. М — медиана¬
ларның кисешү ноктасы булса, MA + MB 4- МС = 0 икәнен
исбатлагыз.
6. ABC өчпочмагында AAl, BB1 һәм CCl медианалары үткә-
—⅛∙ ·——>■
релгән. AAl + BB1 + CC1 = 0 икәнен исбатлагыз.
7. ABC өчпочмагы бирелгән. Ирекле рәвештә алынган О нок-
> ·— > ► ►·
тасыннан башлап, BC-=OAl, CA-=OB1 һәм AB = OC1 булырлык
>■ >· ►-
итеп, OAl, OB1, OCi векторлары салынган. О ноктасы A151Cl
өчпочмагы медианаларының кисешү ноктасы белән тәңгәл килгә¬
нен исбатлагыз.
8. ABC өчпочмагы бирелгән. G — аның медианаларының кисе¬
шү ноктасы. Теләсә нинди М ноктасы өчен МС/-==-^ (МА +
+ MB + МС) бәйләнешенең барлыгын исбатлагыз.
9. AB = 2BC булырлык итеп, өч нокта: А, В һәм С бирелгән.
Теләсә нинди О ноктасы өчен ОВ = — О А + —ОС тигезлегенең
3 3
—►- ■ ► ·— ►
дөреслеген исбатлагыз. ОА векторын ОВ һәм ОС векторлары
—► —
аша, ОС векторын ОА һәм ОВ векторлары аша күрсәтегез.
10. S үзәкле симметрия А ноктасын В ноктасына чагылдыра.
—÷∙
О — яссылыкта ирекле рәвештә алынган нокта булганда, ОВ —
≈ 2OS — ОА икәнен исбатлагыз.
43
11. М һәм Ml-ABC һәм AlBxC1 өчпочмаклары медианала- 1
рының кисешү нокталары. ΛLW1 = -2-( A41 + BBl + CC1) икәнен
исбатлагыз.
12. Дүрт нокта: А, В, С һәм D бирелгән. АВ һәм CD, АС
һәм BD, AD һәм ВС пар кисемтәләренең урталарын тоташты¬
ручы кисемтәләрнең бер ноктада урталай бүленгәнен исбат
итегез.
13. О үзәкле әйләнә бирелгән. Үзара перпендикуляр АВ һәм
CD хордалары үткәрелгән. Хордалар яки аларның дәвамнары М
ноктасында кисешәләр. ОМ = — (ОД + ОВ + ОС + OD) икәнен
исбатлагыз.
14. ABCD параллелограммы бирелгән. О ноктасы — аның
үзәге. PA + РВ + PC + PD = 4РО икәнен исбатлагыз, монда
Р — яссылыктагы теләсә нинди нокта.
W >■
15. AC = λCB булырлык итеп, өч нокта: А, В һәм С бирел-
■ ► 1 >
гән. Теләсә нинди О ноктасы өчен ӨС = 0А +k°β тигезлегенең
1 + λ
дөреслеген исбатлагыз.
16. Туры өстендә төрле өч нокта: А, В һәм С бирелгән.
О — яссылыкта ирекле рәвештә алынган нокта булганда, ОС =
—>■ —►·
= ⅛OΛ + (1- k)OB үтәлерлек k кыйммәтенең барлыгын исбат¬
лагыз.
Киресенең дөреслеген исбатлагыз: төрле өч нокта өчен юга¬
рыдагы тигезлек үтәлсә, А, В һәм С нокталары бер туры өстен¬
дә яталар.
17. ABC өчпочмагының яклары: ВС, СА һәм АВ өстендә,
ACl = kAB, BAl = kBC, CBl == kCA булырлык итеп, тиңдәшле
~ > —■ >
рәвештә A1, Bt һәм Cl нокталары бирелгән. AAl, BBl һәм CCl
векторларының суммасын исәпләп чыгарыгыз.
18. ABC өчпочмагында CC1 медианасының уртасы — М нокта¬
сы аша AM турысы үткәрелгән. Бу туры ВС ягын Р ноктасын-
► ■" ►
да кисеп үтә. ∣ CP |: | РВ | = 1:2 икәнен исбатлагыз.
19. рх турысы өстендә — өч нокта: Λ1, Вх һәм C1, pi турысы
—
өстендә өч нокта: Д2, Bi һәм С2 бирелгән, өстәвенә Λlβ1 =
— ► ■ ► ' ■ ► — ► · ■ > ►
-=mBxCx, A2B2 = mB2C2. AxA2,'rBxB2 һәм C1C2 кисемтәләре До, Во
һәм Со нокталары белән тигез чагыштырмада бүленгән. Бу
нокталарның бер туры өстендә ятканлыгын яки тәңгәл килгәнле¬
ген исбатлагыз.
44
Векторларның, коллинеарлыгы
20. О үзәкле әйләнә бирелгән. М ноктасында кисешүче кон-
—>■ —⅛∙ —► —“>·
груэнт АВ һәм CD хордалары үткәрелгән. ОА, ОВ, ОС һәм OD
—►·
векторларының суммасы ОМ векторына коллинеар икәнен ис¬
батлагыз.
21. Коллинеар булмаган а һәм b векторлары бирелгән. Век¬
торлар тигезлеге ka + lb — pa + qb дан k — p, I = q тигезлеклә-
ренең килеп чыкканын исбатлагыз.
22. Пар-пар коллинеар булмаган ОА, ОВ һәм ОС векторлары
О ноктасыннан башлап салынган. ОС векторы ОА + ОВ векто-
—►· > —>· —►
рына һәм ОВ векторы ОС + ОА векторына коллинеар булса, ОА
векторы ОВ + ОС векторына коллинеар икәнен исбатлагыз.
23. Пар-пар коллинеар булмаган ОА, ОВ, ОС һәм OD век-
► ►
торлары О ноктасыннан башлап салынган. ОА векторы ОВ +
” ► ——>· —>■ ■■· >■ — ►
+ ОС + OD векторына, ОВ векторы OD + ОА + ОС векторына,
ОС векторы OD + ОА + ОВ векторына коллинеар булса, OD
—► —⅜*
векторының ОА + ОВ + ОС векторына коллинеар икәнен исбат¬
лагыз.
24. ABCD трапециясе бирелгән. Трапециянең АВ һәм CD ни¬
гезләренә параллель туры аның ян яклары AD һәм ВС ны тиң¬
дәшле рәвештә М һәм N нокталарында кисеп үтә. {AN) || {CM)
булса, {DN) И {BM) икәнен исбатлагыз.
25. ABCD трапециясе бирелгән, монда АВ һәм CD —- трапе¬
циянең нигезләре, ә М һәм N нокталары — AD һәм ВС ян як¬
ларының урталары. {AN) -%. {CM) икәнен исбатлагыз.
Векторның озынлыгы. Ике векторның
юнәлешләре арасындагы почмак
26. Озынлыклары тигез һәм нуль булмаган ике вектор: а һәм
b бирелгән, a + b һәм a — b векторларының юнәлешләре үзара
перпендикуляр икәнен исбатлагыз.
27. О үзәкле әйләнә бирелгән. М ноктасында кисешүче үзара
перпендикуляр АВ һәм CD хордалары үткәрелгән. АС һәм BD
хордаларының урталары, М ноктасы һәм бирелгән әйләнәнең
үзәге О — параллелограмм түбәләре икәнен исбатлагыз.
28. О үзәкле әйләнәдә ОА, ОВ, ОС һәм OD радиуслары
үткәрелгән. Әгәр ОА + ОВ + ОС + OD = 0 булса, ABCD ның
турыпочмаклык икәнен исбатлагыз.
29. ABC өчпочмагында CC1 медианасы үткәрелгән. ∣ CCi | <
< -i (IСАI + I СВ I) икәнен исбатлагыз.
45
30. ABC өчпочмагы бирелгән. | ОМ ∣ < — (∣ О A ∣ + ∣ OB ∣ ÷ ∣ ОС ∣ )
3
икәнен исбатлагыз, монда М — өчпочмак медианаларының кисе¬
шү ноктасы, О — яссылыкта ирекле рәвештә алынган нокта.
31. Үзара , перпендикуляр а һәм b векторлары бирелгән.
I a + b I = I a — b | икәнен исбатлагыз.
Моңа кире теореманы әйтегез һәм исбатлагыз.
32. Коллинеар булмаган а һәм b векторлары бирелгән.
I 2a + b∖ = I a + 2b | булса, ∣ a ∣ = ∣ b | икәнен исбатлагыз.
33. Коллинеар булмаган а һәм b векторлары бирелгән.
I a + kb I = I b + ka | тигезлегеннән ∣ a ∣ = ∣ b | икәнлеге чыгамы?
34*. ABCD һәм ABlCiDι параллелограммнарының А түбәсе —
уртак. I CCl I < I BBl ∣ + ∣ DDl | икәнен исбатлагыз.
35*. ABCD трапециясендә ([Λ5]∣∣[CD]) АС һәм BD диаго¬
нальләренең кисешү ноктасы О аша, нигезләренә параллель
итеп, AD һәм ВС ян якларын М һәм N нокталарында кисүче
туры үткәрелгән. MN = икәнен исбатлагыз, монда
a + Ь
a^∣AB∣, b-≈∖CD∖.
36*. ABC өчпочмагында CCl биссектрисасы үткәрелгән. CCl =
аСА +ЬСВ
- а + ь икәнен исбатлагыз, монда a = | СВ ∣, b = | СА |.
37*. Үзара перпендикуляр ОА һәм ОВ векторлары бирелгән.
О ноктасынннн АВ кисемтәсенә ОС перпендикуляры үткәрелгән.
ОС = a 0g + fe икәнен исбатлагыз, монда a = | ОА ∣, b = I ОВ |.
aι + b'2
—►
38*. О үзәкле әйләнәгә ABC өчпочмагы камалган. ОН —
■ ¼ >- >-
= I ОА I + I ОВ I + I ОС I икәнен исбатлагыз, Н — өчпочмак биеклек-
ләренең кисешү ноктасы.
39. О үзәкле әйләнә өстендә А һәм В нокталары бирелгән.
Әйләнәгә шул нокталарда үткәрелгән орынмалар С ноктасында
кисешәләр. 1) АОВ =-= 60°; 2) АОВ = 90°; 3) АОВ ----- 120° булган·
' ¼ > >
да, ОС векторын ОА һәм ОВ векторлары аша күрсәтегез.
40. О үзәкле әйләнә бирелгән. А һәм В — әйләнә нокталары.
АОВ почмагының биссектрисасы әйләнәне С ноктасында ки¬
сеп үтә.
1) ΛO⅛ = 60°! 2) ДС5 = 90°; 3) ΛCβ=120o
булганда, ОС векторын ОА һәм ОВ векторлары аша күрсәтегез.
Төрле мәсьәләләр
41. АВ кисемтәсе һәм АВ турысы өстендә ятмаган О нокта¬
сы бирелгән. ОМ -= лОА + $ОВ, α + β = 1, α > 0, β > О шарты
үтәлгән М нокталары күплеген табыгыз.
— >. —*■
42. OM = OA+ka (монда О һәм Д — бирелгән нокталар,
а — нуль булмаган бирелгән вектор), шул ук вакытта:
1) k > 0; 2) ⅛ > 0; 3) — 1 < ⅛ ∙≤ 1; 4)—∞<⅛<+∞
шартлары үтәлгән М нокталары күплеген табыгыз.
43. О ноктасында кисешүче ОА һәм ОВ турылары бирелгән.
► ► >■
ОМ — а ОА + $ОВ, αβ > 0 шартлары үтәлгән М нокталары күп¬
леген табыгыз.
>■ —♦- ► ► ►
44. ОМ = kOA + ЮВ (монда ОА һәм ОВ — бирелгән колли-
неар булмаган векторлар, О — бирелгән нокта), шул ук вакытта
l)∕0≤>fe≤l 2) ∖k~>0 3) Z >0;
10 < / < 1; (/ > 0; 4) — ∞<⅛<+∞
шартлары үтәлгән М нокталары күплеген табыгыз.
—> —♦· “*
45. ОМ = kOA + la (монда О һәм А — бирелгән нокталар,
а— бирелгән вектор), шул ук вакытта — 1≤⅛≤1, — ∞ < I < + оо
—* —►
шартлары үтәлгән М нокталары күплеген табыгыз, (а һәм ОА
векторлары коллинеар түгел.)
46. ABC өчпочмагы һәм ниндидер О ноктасы бирелгән.
ОМ = аОА + $ОВ Ь үОС, α + β 4- γ = 1
шартлары үтәлгән барлык М нокталары күплеген табыгыз.
47. АВ кисемтәсе һәм АВ турысыныкы булмаган О ноктасы
бирелгән. ОМ — l[kOA + (1 — k) ОВ\, шул ук вакытта 0≤⅛<l,
1 ≤ I < 2 шартлары үтәлгән М нокталары күплеген табыгыз.
48. А ноктасы һәм ВС кисемтәсе бирелгән, өстәвенә А^(ВС).
—^÷^ ►
ОМ = ОА + ОО шарты үтәлгән М нокталары күплеген табыгыз,
монда О — бирелгән нокта, D — исә ВС кисемтәсенең теләсә
нинди ноктасы.
49. АВ һәм CD кисемтәләре һәм О ноктасы бирелгән.
►- >■
ОМ = OP ÷ OQ шарты үтәлгән барлык М нокталары күплеген
табыгыз, монда P∈[ΛB], Q∈[CD].
50*. ABCD һәм AxBλCxDl параллелограммнары бирелгән. Го¬
муми очракта AAx, BBl, CCl, DDl кисемтәләренең урталары
√l0β0C,0Z)n параллелограммының түбәләре икәнен исбатлагыз.
До, Bo, Co, Z)o нокталары тәңгәл килерлек яки бер туры өстендә
ятарлык итеп, шундый ике параллелограмм төзегез.
51*. ABCD параллелограммы бирелгән. Р, Q, R һәм S нокта¬
лары АВ, ВС, CD һәм DA якларын тигез чагыштырмада бүлә¬
ләр. PQRS — параллелограмм икәнен исбатлагыз.
47
52*. ABC һәм AxBxCl өчпочмаклары бирелгән. Беренче өч¬
почмакның медианалары икенчесенең якларына параллель булса¬
лар, икенче өчпочмакның медианалары беренчесенең якларына
параллель икәнен исбатлагыз. '
53. ABCD параллелограммында АВ ягының уртасы М аша
АС диагонален 7V ноктасында кисеп үтүче DM турысы үткәрел¬
гән. ∣√L7V∣: ∣∕VC∣ чагыштырмасын исәпләп чыгарыгыз.
54*. ABCD параллелограммының ВС һәм CD яклары өстен¬
дә тиңдәшле рәвештә бу якларның урталары Р һәм Q бирелгән.
DP һәм AQ турылары S ноктасында кисешәләр. ∣ ZλS∣: ∣ SP | һәм
I AS I: ISQ | чагыштырмаларын исәпләп чыгарыгыз.
55*. О үзәкле әйләнә бирелгән. А, В, С, D, Е нокталары
—>- —— ► —►
әйләнәне биш конгруэнт кисәккә бүлә. О A + OB + ОС + OD +
—> —►
+ OZΓ=0 икәнен исбатлагыз.
56. ABC өчпочмагы һәм АВ ягы өстендә М ноктасы бирел¬
гән. М ноктасы аша CC1 медианасына параллель итеп үткәрел¬
гән туры (СА) ны Р ноктасында, (СВ) ны Q ноктасында кисеп
үтә. PM + QM = 2CCx икәнен исбатлагыз.
57. ABC өчпочмагының АВ һәм ВС яклары өстендә, AM =
— АВ, CN = —i-γ СВ булырлык итеп, тиңдәшле рәвештә М
һәм N нокталары бирелгән. MN турысы АС турысын D нокта¬
сында кисеп үтә. AD = пАС икәнен исбатлагыз.
58. Үзәкле симметрияне һәм күчерүне эзлекне үтәү үзәкле
симметрия икәнен исбатлагыз.
59. Д, В һәм С нокталары — үзәкләре булган үзәкле өч сим¬
метрияне эзлекле рәвештә үтәү яңадан үзәкле симметрия икә¬
нен исбатлагыз. Бу симметриянең үзәген төзегез.
60. AxBxCx өчпочмагы 5 үзәгенә карата ABC өчпочмагына
симметрик. ABCx һәм AxBxC өчпочмакларының медианалары да
*S ноктасына карата симметрик икәнен исбатлагыз.
V бүлек
ОХШАШЛЫК
§ 1. ГОМОТЕТИЯ
Гомотетиянең төп үзлекләре
1. Бер туры өстендә ятмаган ике параллель кисемтә: АВ һәм?
AiBl бирелгән. Нинди шарт үтәлгәндә, А ноктасын — Al нокта¬
сына, В ноктасын Bl ноктасына чагылдыручы гомотетия бар?
2. Параллель, ләкин конгруэнт булмаган АВ һәм AlB1 ки¬
семтәләре бирелгән. (Aβ) ≠ (A1β1) шарты үтәлгәндә беренче
кисемтә икенчесенә чагылдырыла торган гомотетиянең үзәклә¬
рен төзегез.
3. Нинди очракларда гомотетия күчү була?
4. Квадрат үзәген гомотетия үзәге итеп алып, квадратка го¬
мотетии фигура төзегез. Гомотетия үзәкләрен төрлечә алганда
бер үк квадрат килеп чыгуы мөмкинме?
5. AlBiCl өчпочмагы ABC өчпочмагына гомотетии. A1β1C1 өч¬
почмагының медианалары, биссектрисалары һәм биеклекләре ABC
өчпочмагының тиңдәшле медианалары, биссектрисалары һәм биек¬
лекләренә гомотетик икәнен исбатлагыз.
6. ABC өчпочмагы медианаларының кисешү ноктасы G аша,,
аның бер ягына параллель итеп, туры үткәрегез. Килеп чыккан
өчпочмак мәйданы бирелгән өчпочмак мәйданының нинди өле¬
шен тәшкил итә?
Ике һәм аннан да күбрәк гомотетияләр
1
7. Коэффициентлары k һәм τ^ булган төрле үзәкле ике гомо¬
тетия бирелгән. Бу гомотетияләрне эзлекле рәвештә үтәү нин¬
ди чагылдыру була?
8. Коэффициентлары k Һәм —— булган ике гомотетияне эзлек-
k
ле рәвештә үтәү нинди чагылдыру була?
9. Параллель күчерү һәм гомотетияне эзлекле рәвештә үтәү
шул ук коэффициентлы гомотетия икәнен исбатлагыз. Бу гомо¬
тетиянең үзәген төзегез.
10. Төрле үзәкле ике гомотетия бирелгән. Бу гомотетияләр¬
не эзлекле рәвештә үтәгәндә, нинди турылар үзенә чагыла?
11. Ике гомотетия бирелгән. Бу ике гомотетиянең уртак нок¬
талары парын төзегез.
У-52 49
12. а һәм b параллель турылары бирелгән. k — З коэффици¬
енты белән а турысын Ь турысына чагылдыра торган гомотетия-
.ләрнең үзәкләре күплеген табыгыз.
13. Яклары тиңдәшле рәвештә бердәй юнәлешле нурлар бул¬
ган ике почмак бирелгән. Бер почмакны икенчесенә чагылдыра
торган гомотетияләрнең үзәкләре күплеген табыгыз (почмаклар
җәелгән почмаклар түгел).
14. ABC өчпочмагының АВ ягы өстендә яткан М ноктасы
аша (ДС) һәм (βC) га параллель турылар үткәрелгән. Килеп
чыккан өчпочмаклар бирелгән өчпочмакка гомотетик. Гомоте¬
тия коэффициентларының суммасын исәпләп чыгарыгыз.
15. Өчпочмакның эчке ноктасы М аша аның якларына па¬
раллель кисүчеләр үткәрелгән, һәр ике кисүче һәм бер як бе¬
лән бирелгән өчпочмакка гомотетик өчпочмак билгеләнә. Килеп
чыккан өч гомотетиянең коэффициентлары суммасын табыгыз.
Әйләнәләр гомотетиясе
16. Ике әйләнәнең ничә гомотетия үзәге бар? Ике әйләнәнең
гомотетия үзәге булмавы мөмкинме? Берсе икенчесенең эчен¬
дә урнашкан ике әйләнәнең гомотетия үзәген төзегез.
17. Әйләнә үзәген — гомотетия үзәге итеп, ә гомотетия коэф¬
фициентын: 1) ⅛=-; 2) k = 3) k = —1;
4) k == 2 дип алып, бирелгән әйләнәгә гомотетик фигура төзегез.
18. Әйләнә ноктасын гомотетия үзәге итеп алып, F әйләнә¬
сенә гомотетик Fγ фигурасы төзегез.
F1 фигурасы ул F әйләнәсенә гомотетия үзәгендә орынучы
әйләнә икәнен исбатлагыз. Гомотетия коэффициенты уңай һәм
тискәре сан булган очракларны тикшерегез.
19. АВ һәм CD — нигезләре, М — АС һәм BD диагональлә¬
ренең кисешү ноктасы булган ABCD трапециясе бирелгән. АВМ
һәм CDM өчпочмакларын камаучы әйләнәләрнең М ноктасында
орынуын исбатлагыз.
20. ABC өчпочмагында MN урта сызыгы үткәрелгән (ТИ —
[ДС] нең уртасы, TV—[5С] нең уртасы). ABC һәм MNC өчпоч¬
макларын камаучы әйләнәләрнең С ноктасында орынуын исбат¬
лагыз. Бу әйләнәләрнең радиуслары чагыштырмасын табыгыз.
21. Әйләнә бирелгән. Бу әйләнәдә бер очлары уртак булган
барлык хордалар үткәрелгән. Шул хордаларны уртак очларын¬
нан исәпләгәндә тигез чагыштырмада бүлә торган нокталар күп¬
леген табыгыз.
22. Түгәрәкнең бер ноктасы аша барлык хордалары үткәрел¬
гән. Хорда кисемтәләре шул уртак ноктадан башлап тигез ча¬
гыштырмада бүленгән. Бүлү нокталары күплеген табыгыз.
23. Бирелгән өчпочмакның урта сызыклары камаучы әйләнә
үткәрелгән икенче бер өчпочмакны билгели. Бу әйләнәнең ра¬
диусы бирелгән өчпочмакны камаучы әйләнә радиусыннан ике
тапкыр кечерәк икәнен исбатлагыз.
50
Гомотетияне геометрик мәсьәләләр чишүдә куллану
24. Трапеция нигезләренең урталары, диагональләренең кисе¬
шү ноктасы һәм ян яклары дәвамнарының кисешү ноктасы бер
туры өстендә ятканлыгын гомотетия кулланып исбатлагыз.
25. ABCD параллелограммының АС диагонале өстендә ят¬
кан М ноктасы аша аның якларына параллель итеп ике туры
үткәрелгән. Бу вакытта бирелгән параллелограммга гомотетик
ике параллелограмм барлыкка килгәнлеген, өстәвенә K∙51 +
+ ]fS2 = VS икәнен исбатлагыз, монда S1, S2 һәм S — барлыкка
килгән һәм бирелгән параллелограмм мәйданнары.
26. ABCD трапециясендә АС һәм BD диагональләре үткәрел¬
гән. Алар М ноктасында кисешәләр ([АА] һәм [CZ)] — трапеция¬
нең нигезләре). АВМ һәм CDM өчпочмакларының тиңдәшле рә¬
вештә S,1 һәм S2 гә тигез булган мәйданнары һәм трапеция мәй¬
даны 5 үзара У Sl + У S2 = yS бәйләнешендә икәнен исбатлагыз.
27. ABC өчпочмагының эчке ноктасы М аша аның якларына
параллель турылар үткәрелгән. Бирелгән өчпочмактан бу турылар
белән кисеп алынган өчпочмакларның мәйданнары 51, S2, Sa һәм
бирелгән өчпочмак мәйданы S үзара У Sl + У S2+ У S3 ■-= 2У S
бәйләнешендә икәнен исбатлагыз.
28. ABC өчпочмагы медианаларының кисешү ноктасы G аша,
АС һәм ВС якларына параллель итеп, АВ ягын A1 һәм Bγ нок¬
таларында кисеп үтүче ике нур үткәрелгән. AxBiG өчпочмагы-
1
ның мәйданы бирелгән өчпочмак мәйданының ~ ен тәшкил ит¬
кәнлеген исбатлагыз.
29. Нигезләре уртак булган өчпочмакларның түбәләре нин¬
дидер туры өстендә яталар. Бу өчпочмакларның медианалары¬
ның кисешү нокталары күплеге М ны табыгыз.
30. С почмагының яклары өстендә алынган А һәм В нокталары
аша шул якларга перпендикулярлар торгызылган. Бу перпенди¬
кулярлар Р ноктасында кисешәләр. Почмакның якларына пер¬
пендикулярлар [AZ?] нә параллель кисемтәнең очлары аша үткә¬
релгәндә, Р нокталары күплеге М ны табыгыз.
31. ABC өчпочмагының АВ ягы өстендә, түбәләреннән баш¬
лап, конгруэнт кисемтәләр салынган һәм шул кисемтәләрнең
очлары аша ВС һәм АС якларына параллель турылар үткәрел¬
гән. Бу турылар өчпочмакның CM медианасы яткан туры өстен¬
дә кисешкәнлеген исбатлагыз.
Пропорциональ кисемтәләр
32. Өчпочмакның медианасы — очлары өчпочмакның ике ягы
өстендә яткан һәм медиана үткәрелгән өченче якка параллель
кисемтәләрнең урталары күплеге икәнен исбатлагыз.
4*
51
33. Кисешүче а һәм b турыларын тиңдәшле рәвештә -<41 һәм
Bi, А2 Һәм В2, Д3 Һәм В3 нокталарында өч параллель туры кисеп
үтә. AlBi, A2B2, A3B3 кисемтәләренең урталары бер туры өстен¬
дә ятканлыгын исбатлагыз.
34. ABCD трапециясендә АС һәм BD диагональләренең ки¬
сешү ноктасы S аша трапециянең нигезләренә параллель
туры үткәрелгән. Бу туры аның ян яклары ВС һәм AD ны
тиңдәшле рәвештә М һәм N нокталарында кисеп үтә. ∣ ∕V51 = ∣ SM |
икәнен исбатлагыз.
35. Әгәр ABCD дүртпочмагында капма-каршы АВ һәм CD
якларының урталары М һәм N, ВС һәм AD якларының кисешү
ноктасы 5 бер туры өстендә ятсалар, бу дүртпочмакның трапе¬
ция икәнен исбатлагыз.
3β. ABCD трапециясенең АВ һәм CD нигезләренә параллель
туры аны гомотетик булган ABMN һәм MNDC трапецияләренә
бүлә. ∖AB∖ = a, I CD ∣ = b булса, ∣ MN I ны исәпләп чыгарыгыз.
37. ABCD трапециясенең АВ һәм CD нигезләре а һәм b га
тигез. (АВ) га параллель I турысы ВС һәм DA якларын тиң¬
дәшле рәвештә М һәм N нокталарында кисеп үтә.
1) I ΛΛr∣: I Λ7)∣ = k чагыштырмасы бирелгән. NM кисемтәсе¬
нең озынлыгы d ны исәпләп чыгарыгыз.
2) MN кисемтәсенең озынлыгы d бирелгән. | ДтУ|: ∣ ΛZD∣ ча¬
гыштырмасын исәпләп чыгарыгыз.
38. ABCD трапециясендә АС һәм BD диагональләре үткәрел¬
гән. АВ нигезенә параллель I турысы [ДЬ] һәм [ДС] ләрен — М
һәм N нокталарында, ә [SC] һәм [В£>] ләрен Р һәм Q нокталарында
кисеп үтә. ∣Λi∕V∣ = ∣PQ∣ икәнен исбатлагыз.
39. ABCD параллелограммында АС һәм BD диагональләре
үткәрелгән. АВ ягына параллель туры AD, АС, ВС һәм BD кисем¬
тәләрен тиңдәшле рәвештә Р, Q, R һәм S нокталарында кисеп
үтә. IPQ I = I RS I икәнен исбатлагыз.
40. Әгәр дүртпочмакта капма-каршы якларының урталары
аша үтүче туры аның диагональләренең кисешү ноктасы аша үт¬
сә, бу дүртпочмак трапеция яки параллелограмм була. Шуны
исбатлагыз.
41. ABCD дүртпочмагы диагональләренең кисешү ноктасы
О аша аның бер ягына параллель туры үткәрелгән. Әгәр бу туры¬
ның дүртпочмак белән кисешмәсе О ноктасында урталай бүленүче
кисемтә булса, ABCD ның трапеция икәнен исбатлагыз.
42. ABC өчпочмагында CCγ медианасы үткәрелгән. Әгәр I ту¬
рысы Z∩μc] = p, Z∩[CC1] = Q, Z∩[BC]=fl, ∣PQ∣ = ∣Qfl∣ булса,
I II (АВ) икәнен исбатлагыз.
43. ABC өчпочмагының ВС ягы өстендә яткан М ноктасы аша
АВ һәм АС якларына параллель, ә [ДС] һәм [АВ] ен тиңдәшле
рәвештә Р һәм Q нокталарында кисеп үтүче турылар үткәрел¬
гән.
∣ΛP∣1 IΛQI
|'ЛС|; I АВ\
= 1 икәнен исбатлагыз.
52
44. ABCD параллелограммы бирелгән. [AZ)] нең уртасы — М,
∣CD] нең уртасы — TV. AN кисемтәсе CM кисемтәсен — Р нокта¬
сында, ВМ кисемтәсе АС кисемтәсен Q ноктасында кисеп үтә.
1) [≠3Q1 II [А£>]; 2) ∣PQ∣ = -^∙∣AZ)∣ икәнен исбатлагыз.
45. Бирелгән ABCD дүртпочмагына, P∈[A5], Q∈[BC],
Rζ[CD], S∈[Z)A] булырлык һәм якларын бирелгән дүртпочмак¬
ның диагональләренә параллель итеп, PQRS параллелограммын
камагыз.
46. ABCD трапециясендә АС һәм BD диагональләре үткәрел¬
гән. Трапециянеке булган кисемтәсе аның диагональләре белән
өч конгруэнт кисәккә бүленерлек итеп, трапециянең нигезенә
параллель туры төзегез.
47. ABCD параллелограммында АС һәм BD диагональләре
үткәрелгән. Параллелограммныкы булган кисемтәсе, аның диа¬
гональләре белән озынлыклары 1, 2, 1 саннарына пропорцио¬
наль кисәкләргә бүленерлек итеп, АВ ягына паралель туры төзегез.
48. ABC һәм AiBlCl өчпочмакларының тиңдәшле түбәләре
аша үтүче AA1, BBl, CCi турылары параллельләр. Бирелгән өч¬
почмакларның медианаларының кисешү нокталары аша үтүче ту¬
ры AA1 турысына параллель икәнен исбатлагыз.
49. ABC өчпочмагында медианаларының кисешү ноктасы G
аша А, В түбәләре турының бер ягында, С түбәсе икенче ягын¬
да ятарлык итеп р турысы үткәрегез. А һәм В түбәләреннән р
турысына кадәр ераклыклар суммасы С түбәсеннән р турысына
кадәр ераклыкка тигез икәнен исбатлагыз.
50. ABCD параллелограммында BD диагонале үткәрелгән.
AD ягы өстендә Р ноктасы бирелгән. Бу нокта аша АВ га
параллель итеп BD кисемтәсен — R ноктасында, ВС кисемтәсен
Q ноктасында кисүче I турысы үткәрелгән. ∣ AP∖ : ∣ PD∖ = k бул¬
са, ∖J ны исәпләп чыгарыгыз.
51. а турысы өстендә өч нокта: Р, Q, R, ә al турысы өстен¬
дә өч нокта: P1, Q1, Rl бирелгән, өстәвенә |PQ|:|Q/?| =
= I PlQx I : I Q1fl1 |. Р, Q һәм R нокталары аша р, q һәм г парал¬
лель турылары, ә P1, Q1 һәм Rx нокталары аша pl, qx һәм r1
(Pι'ff'P) параллель турылары үткәрелгән. Po =pf]Pι, Qo = √∩√ι,
Ro r∩rι нокталарының бер туры өстендә ятканлыгын исбатлагыз.
52. ABC өчпочмагы һәм A1∈[BC], 51∈[CA], C1∈[Afi] нокта¬
лары бирелгән, өстәвенә BAl=kAlC, CBl = kBlA, ACl-÷kClB.
AlBxCx өчпочмагының медианалары бирелгән өчпочмак медиана¬
ларының кисешү ноктасы аша үткәнен исбатлагыз.
§ 2. ОХШАШЛЫК
Охшаш өчпочмаклар
1. Өчпочмакның ике медианасы кисешү ноктасы белән 2:1
чагыштырмасында бүленүен өчпочмакларның охшашлык билге¬
ләрен файдаланып исбатлагыз.
53
2. ABC өчпочмагы бирелгән. Нинди шарт үтәлгәндә, С түбә¬
се аша, ACCl һәм BCCx өчпочмаклары охшаш булырлык итеп, АВ
турысын C1 ноктасында кисүче р турысы үткәреп була?
3. Бирелгән тигезьянлы өчпочмакның нигез янындагы почма¬
гының биссектрисасы үзенә охшаш өчпочмак кисеп алса, өчпоч¬
макның почмакларын табыгыз.
4. Конгруэнт булмаган ике охшаш өчпочмак бирелгән. Алар-
ның берсенең ике ягы икенчесенең ике ягына параллель. Өчпоч¬
маклар гомотетик булырмы? Шуны ачыклагыз.
5. Кисеп алынган өчпочмак баштагысына охшаш булырлык
итеп, бирелгән өчпочмакның ике ягын өченче ягына параллель
булмаган туры белән кистереп буламы?
6. Өчпочмакның медианасы аны конгруэнт булмаган ике ох¬
шаш өчпочмакка бүлүе мөмкинме?
7. ∣Aβ∣ = ∣5C∣ булган ABC тигезьянлы өчпочмагы бирелгән.
Тигез булмаган AM һәм BN биеклекләре үткәрелгән. АМС һәм
ABN өчпочмаклары охшашмы?
8. ABC өчпочмагы бирелгән. AA1 һәм BB1 биеклекләре үткә¬
релгән. A↑BλC өчпочмагы ABC өчпочмагына охшаш икәнен ис¬
батлагыз.
9. Әйләнә бирелгән. АВ һәм CD хордалары М ноктасында
кисешәләр. I AM ∣∙ ∣ MB ∣ = ∣ CM ∣∙∣ΛiD | икәнен исбатлагыз.
10. Бер өчпочмакның яклары икенче өчпочмакның якларына
тиңдәшле рәвештә перпендикуляр булсалар, мондый өчпочмак¬
ларның охшаш икәнен исбатлагыз.
11. Кысынкыпочмаклы ABC өчпочмагы бирелгән. AA1 һәм
BBx биеклекләре үткәрелгән. Бу вакытта бер-берсенә охшаш ни¬
чә өчпочмак барлыкка килгәнен санагыз.
12. ABC өчпочмагы бирелгән. Н ноктасында кисешүче AA1
һәм BBx биеклекләре үткәрелгән.
∣A1∕7∣∙∣A1A∣ = pA1∣∙∣CA1∣,
∣51H∣.∣515∣--=∣C51∣∙∣A51∣
икәнен исбатлагыз.
Охшаш күппочмаклар
13. Трапецияләрнең тиңдәшле яклары пропорциональ булса¬
лар, аларның охшаш икәнен исбатлагыз.
14. Якларының озынлыгы а һәм b га тигез булган турыпоч¬
маклык бирелгән. Килеп чыккан турыпочмаклыкларның берсе би¬
релгәнгә охшаш булырлык итеп, турыпочмаклыкны кисүче туры
үткәрегез.
15. Якларының озынлыклары а һәм b га тигез булган туры¬
почмаклык бирелгән. Килеп чыккан ике турыпочмаклык охшаш
булырлык итеп, турыпочмаклыкны кисүче туры үткәрегез.
16. Яклары а һәм b га тигез булган турыпочмаклык бирел¬
гән. Турыпочмаклыкның урта сызыгы бирелгәнгә охшаш турыпоч¬
маклык кисеп алса, а һәм b үзара нинди бәйләнештә булыр?
54
17. Трапециянең диагонале аны ике охшаш өчпочмакка бүлә.
Бу диагональнең озынлыгы d белән трапеция нигезләренең озын¬
лыклары а һәм Ь арасындагы бәйләнешне табыгыз.
18. ABCD параллелограммында АС диагонале АВ һәм AD як¬
лары белән нинди почмак төзесә, AxBxCxDx параллелограммында
A1C1 диагонале AxBx һәм AxDx яклары белән шундый ук поч¬
мак төзи. Бу параллелограммнарның охшаш икәнен исбатлагыз.
19. Ике әйләнәнең кисешү ноктасы аша, беренче әйләнәне —
Ax,Bx,Cl һәм Dx нокталарында, икенче әйләнәне A2, B2, C2,О2 нок¬
таларында кисүче дүрт туры үткәрелгән. A1, Bx, Cx, Dx һәм A2, В2,
C2, D2 нокталары охшаш дүртпочмак түбәләре икәнен исбатлагыз.
20*. Ике охшаш ромб: ABCD һәм AxBxCxDx бирелгән (A =A1).
AC |· I AxCx I + IBD [-∣ BxDx | = 41 AB ∣∙ ∣ AxBx | икәнен исбатлагыз.
Төзүгә мәсьәләләр чишүдә охшашлык методы
21. Ягы һәм икенче ягының диагональгә чагыштырмасы буен¬
ча турыпочмаклык төзегез.
22. Үзара параллель төрле өч туры: а, Ь, с һәм үзара парал¬
лель тагын ике туры: α1, bx бирелгән, а, Ь, с турыларыннан тө¬
зелгән фигура q,x, bx, c1 турыларыннан төзелгән фигурага
охшаш булырлык итеп, ах турысына параллель сх турысы төзегез.
23. Үзара параллель төрле өч туры: а, Ь, с һәм A0β0C0 өч¬
почмагы бирелгән. Aζa, Bζb, C∈c булырлык итеп, A0∕40C0 өч¬
почмагына охшаш ABC өчпочмагы төзегез.
24. Туры өстендә ике пар нокта: 44, N һәм Р, Q бирелгән.
Параллель турыларның ике пары кисешкәндә квадрат барлыкка
килерлек итеп, 44 һәм N нокталары аша параллель ике туры,
Р һәм Q нокталары аша да параллель ике туры үткәрегез.
25. Өч биеклеге буенча өчпочмак төзегез.
26. Бирелгән биеклеге, түбә янындагы почмагы һәм нигезе¬
нең биеклек белән бүленүдән килеп чыккан кисемтәләренең ча¬
гыштырмасы буенча өчпочмак төзегез.
27. Дүртпочмакның капма-каршы почмакларының суммасы
180° ка тигез булса, дүрт ягы буенча шул дүртпочмакны төзе¬
гез.
28. ABC өчпочмагына әйләнә камалган. АВ ягына параллель
итеп әйләнәгә үткәрелгән орынма АС һәм ВС кисемтәләрен тиң¬
дәшле рәвештә 44 һәм N нокталарында кисеп үтә. 44/V кисем¬
тәсенең озынлыгын бирелгән өчпочмакның a, Ь һәм с яклары
озынлыгы аша күрсәтегез.
29. ABC өчпочмагында AAx һәм BBl биссектрисаларының ки¬
сешү ноктасы К аша (АД) га параллель итеп туры үткәрелгән.
Бу туры (АС) һәм (ДС) ны тиңдәшле рәвештә D һәм Е нокта-
с(а + Ь)
ларында кисеп үтә. |£>£| = g 1 √+~c икәнен исоатлагыз, монда
а, Ь, с — өчпочмак якларының озынлыклары.
55
30*. ABC өчпочмагында ДД1 биссектрисасы CC1 биссектриса¬
сын К ноктасында кисеп үтә. К ноктасы CC1 биссектрисасын
∣C∕C∣ι∣AΓC1∣ чагыштырмасы (а + Ь): с чагыштырмасына тигез бу¬
лырлык итеп бүлгәнен исбатлагыз, монда а, Ь, с — өчпочмак
якларының озынлыклары.
31. ABC өчпочмагында AAi һәм BBl биссектрисалары кисе¬
шү ноктасы белән тигез чагыштырмада бүленәләр (өчпочмак¬
ның түбәсеннән исәпләгәндә). ABC өчпочмагының тигезьянлы
икәнен исбатлагыз.
32. ABC өчпочмагында CCl биссектрисасының C1 нигезе аша,
(ДС) га параллель итеп, ВС ны D ноктасында кисеп үтүче туры
үткәрелгән. CD кисемтәсенең озынлыгын өчпочмакның а, Ь, с
якларының озынлыклары аша күрсәтегез.
33. ABC өчпочмагына PQRS квадраты камалган, монда
P∈[ΛB], [Q∈[AB], fl∈[BC], 5С[СД]. I АВ\ = с һәм ∖CCl∖ = ħc,
[CC1] — өчпочмакның биеклеге булганда, квадрат ягының озын¬
лыгын исәпләп чыгарыгыз.
34. 5 = 90° + Д булган ABC өчпочмагы бирелгән. Бу өчпоч¬
мак якларының озынлыклары: а, Ь, һәм с арасындагы бәйләнеш¬
не табыгыз.
Л л
35. В~2А булган ABC өчпочмагы бирелгән. Бу өчпочмак
якларының озынлыклары: a, Ь һәм с арасындагы бәйләнешне
табыгыз.
36. Тигезьянлы ABC өчпочмагында С = 36°, |СД ∣ = ∣CS∣. Бу
өчпочмакта ян ягының озынлыгы а белән нигезенең озынлыгы
с арасындагы бәйләнешне табыгыз.
37. R радиуслы әйләнәнең Д ноктасыннан аның ВС хорда-
сына кадәр ераклык а — l формуласы буенча исәпләп чы-
2/?
гарылганын исбатлагыз.
38. Әйләнәнең Д һәм В нокталарына орынмалары 5 нокта¬
сында кисешәләр. Әйләнәнең теләсә кайсы ноктасыннан ι АВ
турысына кадәр ераклык шул ноктаның Д5 һәм BS турыларына
кадәр ераклыкларына урта пропорциональ икәнен исбатлагыз.
39. Әйләнә өстендә дүрт нокта: Д, В, С, D бирелгән. Әйләнә¬
нең теләсә нинди ноктасы М нан АС һәм BD, ВС һәм AD, CD
һәм АВ турылары парына кадәр ераклыкларның тапкырчыгыш¬
лары тигез икәнен исбатлагыз.
40. R∖ һәм /?2 радиуслы ике әйләнә Д һәм В нокталарында
кисешәләр. Д ноктасы аша үткәрелгән туры әйләнәләрне икен¬
че тапкыр тиңдәшле рәвештә М һәм N нокталарында кисеп үтә.
∣SΛ4∣: ∖BN∖ = Rl: R2 икәнен исбатлагыз.
41. Әйләнәгә а һәм Ъ параллель орынмалары үткәрелгән.
Өченче орынма а һәм Ь ны тиңдәшле рәвештә Д һәм В нокта¬
ларында кисеп үтеп, әйләнәгә С ноктасында орына. |ДС| = тп,
I ВС I п булса, а һәм Ь арасындагы ераклыкны исәпләп чыга¬
рыгыз.
5б
42. Ике охшаш турыпочмаклы өчпочмак: ABC һәм Λ1θ1Cι
Л л
бирелгән (С = C1 = 90°). а, Ь, с — тиңдәшле рәвештә беренче өч¬
почмакның гипотенузасы һәм катетлары, ә al, bl, cl — икенче өч¬
почмакныкы булса, aal + bbx = cel икәнен исбатлагыз.
43. ABC өчпочмагын камаучы әйләнә төзелгән һәм А нокта¬
сында аңа орынма үткәрелгән. В түбәсеннән, орынмага парал¬
лель итеп, АС кисемтәсен D ноктасында кисүче туры үткәрел¬
гән. ABD һәм ABC өчпочмакларының охшаш һәм |Л^|2 = | AD∖ ·
• I ЛС| икәнен исбатлагыз.
VI бүлек
БОРУЛАР ҺӘМ ТРИГОНОМЕТРИК
ФУНКЦИЯЛӘР
Борулар
1. О ноктасы тирәсендә: а) —342°; б) 650°; в) —780°; г) 1200°;
д) —2000° ка борганда, X ноктасының образын төзегез.
Җавапны Xi = ∕⅞(Af), монда — 180o < α < 180°, тамгаланышын
кулланып языгыз.
2. Берәмлек әйләнә нокталарының координаталары нинди
кыйммәтләр алуы мөмкин?
3. a) a 00; 90°]; в) a ∈ [90°; 180°];
б) a∈[-90°; 0°]; г) <χ∈[-90°; 180o]
булган Pa ноктасының координаталары нинди кыйммәтләр алуы
мөмкин?
Синус һәм косинус
4. Берәмлек әйләнәдә:
а) si∏a=-; б) cosa=-—; в) cosa==-J=
2 ' 2 ’ КЗ
булган a үзәк почмакларын төзегез.
5. Берәмлек әйләнәдә: а) Р2(|О; б) Р_75О; в) Р100О; г) Λ165>
нокталарын билгеләгез. Кирәкле зурлыкларны үлчәп, бирелгән
почмакларның синусы һәм косинусы кыйммәтләрен күрсәтегез.
(Зур төгәллеккә ирешү өчен зуррак масштаб алыгыз.)
6. Түбәндәге тригонометрик функцияләр нинди күплекләрдә
билгеләнгән: а) sin а; б) cos а; в) tg a?
7. а) 0o < a < 90°; б) -90°<a<0°; в) 360o < a < 450°;
г) 1000o < a ≤ 1050° чикләрендә урнашканда, a почмагының сину¬
сы, косинусы һәм тангенсы нинди тамгаларга ия?
8. Аңлатма кыйммәтләренең тамгасын билгеләгез: а) sin 100°;
б) cos200°; в) sin 1090°; г) cos 10o∙sin210°; д) cos(-3000°);
е) sin 20o∙ sin 173°; ж) tg!OO°; з) tg200°; и) tg3000°?
9. Түбәндәге тигезлекләр үтәлгән барлык бору почмаклары¬
ның кыйммәтләрен язып чыгыгыз:
а) sina^=0; б) sina ∙=lj в) cos≈ = -1;
г) cos a = 0; д) sina=-1; е) cosa=l.
10. Теләсә нинди бору почмагы өчен ∣ sin a ∣ + ∣ cos a ∣ ≥ 1
тигезсезлегенең дөрес икәнен исбатлагыз.
58
11. Турыпочмаклы ABC өчпочмагы бирелгән, ∣Λθ∣ = l.
С түбәсеннән АВ гипотенузасына CD перпендикуляры торгы-
аылган (D — перпендикулярның нигезе), a) СА, СВ, DA, DB,
CD кисемтәләренең озынлыкларың α га тигез булган САВ поч¬
магының синус һәм косинус тригонометрик функцияләре кыйм¬
мәтләре аша күрсәтегез, б) ∣ AC |2 = ∣ AD∖ ∙∣ AB |, | СВ |2 =
I BDI ∙ I AB I, I CD ∣2 = ∣ AD ∣ ∙ ∣ DB | икәнен исбатлагыз.
12. (О, әйләнәсенең А һәм В нокталары аша С ноктасында
кисешүче орынмалар үткәрелгән. АСВ = 60° булса, ∣ AB | ны
исәпләп чыгарыгыз.
13. Гадиләштерегез:
a) cos45°∙tg45°j
в) 1 — sin 18o∙ cos 72°;
б) sin85o∙tg5o!
, 2 cos 2°
Г' sin92o — cos 182°
14. tg 50 ∙ tg 250 ∙ tg 450 ∙ tg 650 ∙ tg 85o тапкырчыгышын исәпләп
чыгарыгыз.
VII бүлек ӨЧПОЧМАКТА МЕТРИК БӘЙЛӘНЕШЛӘР
Косинуслар теоремасы
1. ABC өчпочмагында a) ∣AC∣ = 3 см, |ВС| = 4 см, С =60°;
б) ∣AC∣ = 2 cm, ∣fiC∣ = 4 см, С = 150° булганда, АВ ягының
озынлыгын исәпләп чыгарыгыз.
2. Өчпочмакның бер почмагы α га, ә бу почмакны үз эченә
алган яклары а һәм Ь га тигез, a) a = 45°; б) a = 60°; в) a = 90°
булса, өчпочмакның өченче ягын а һәм Ь аша күрсәтегез.
3. Параллелограммның 45° ны эченә алган яклары 2 һәм
3 см га тигез. Бу почмакка каршы яткан диагональнең озынлы¬
гын табыгыз.
4. ABC өчпочмагында | АВ | = с, |5С| = й, | АС | = Ь. Өчпоч¬
мак почмакларының косинусын а, Ь, с аша күрсәтегез.
5. ABC өчпочмагында ∣AB∣ = 3cm, ∣5C∣ = 4cm, ∣AC∣=6cm.
а) А почмагының зурлыгын; б) С почмагының зурлыгын исәпләп
чыгарыгыз.
6. ABCD параллелограммында ∣ АВ ∣ = a, ∣BC∣ = ∕>, А = 30°.
Бу параллелограммның диагональләре озынлыгын а һәм Ь аша
күрсәтегез.
7. Якларының озынлыклары тиңдәшле рәвештә 1, J∕r2, ¼5 кә
тигез булган өчпочмакта иң зур почмагының зурлыгын исәпләп
чыгарыгыз.
8. Өч конгруэнт квадрат 51 нче рәсемдә күрсәтелгәнчә урнаш¬
тырылган. ВСА почмагының зурлыгын исәпләп чыгарыгыз.
9. ABCD параллелограммы бирелгән: BAD == 45o, ∣AS∣ = a,
I ВС I = b. I АС |2 ∙ IBD ∣2 = a4 + ό4 икәнен исбатлагыз.
10*. О үзәкле әйләнә, аның CD диаметры һәм CD диаметры¬
на параллель АВ хордасы бирелгән. Диаметры яки аның дәвамы
М ноктасы алынган. Λ1 ноктасының
бирелгән торышы өчен ∣ AM ∣2 +
+ ]BM∖2 суммасы хорданың торы¬
шына бәйле түгеллеген исбатлагыз.
11*. Кабарынкы ABCD дүрт¬
почмагында ABC почмагының
биссектрисасы AD ягын М нокта¬
сында кисеп үтә, I AM | = 21MD |,
ә А түбәсеннән ВС ягына үткәрелгән
өстендә ирекле рәвештә
51 нче рәсем
60
перпендикуляр бу якны N ноктасында кисеп ^үтә, ∣j9Λz∣ =JM7∣.
Әгәр дүртпочмакның периметры р = 5 + ¼3, BAD = 90o, ABC =
60° булса, аның якларын исәпләп чыгарыгыз.
12. Параллелограмм диагональләренең квадратлары суммасы
аның барлык якларының квадратлары суммасына тигез икәнен
исбатлагыз.
Өчпочмак мәйданнарын исәпләү формулалары
13. а) |ЛВ| = 2 см, ∣5C∣ = 4cm, В = 30°;
б) |ЛД| = 2 см, ∣BC∣ = 4 см, В = 150° булса, ABC өч¬
почмагының мәйданын исәпләгез.
14. Параллелограммның диагональләре 6 һәм 8 см, ә бу яклар
арасындагы почмагы 45° ка тигез булса, аның мәйданын исәпләп
чыгарыгыз.
15. Турыпочмаклыкның диагонале 4 см, ә диагональләр ара¬
сындагы почмагы 30° булса, аның мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
16. Дүртпочмакның диагональләре 8 һәм 12 см га тигез һәм
кисешү ноктасы белән урталай бүленәләр. Диагональләр ара¬
сындагы почмагы 30° булса, дүртпочмакның мәйданын исәпләп
чыгарыгыз.
17. ABCD дүртпочмагында |ЛС| = 12 см, |ДО| = 9 см,
μC]∩[BO] = 0, АОВ = 45°. |ЛО|:|ОС| = 1:2, ∣BO |: | ОО | =1:2
кебек булса, бу дүртпочмакның мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
18. Берсенең почмагы а, икенчесенең почмагы β һәм α+β = 180o
булган ике өчпочмак бирелгән. Бу өчпочмакларның мәйданнары
чагыштырмасы әлеге почмакларны чикләүче якларының тапкыр¬
чыгышлары чагыштырмасына тигез икәнен исбатлагыз.
19. Турыпочмаклы өчпочмакның бер почмагы 15°. Бу өчпоч¬
макның мәйданын аның гипотенузасы с аша аңлатыгыз.
20. ABC өчпочмагында | АС | = 5 см, | ВС | = 8 см, С = 60°.
С почмагының биссектрисасы CCl нең озынлыгын исәпләп чы¬
гарыгыз.
21. ABC өчпочмагының AD биссектрисасы
be sin A
(& + с) sin —
гә тигез икәнен исбатлагыз, монда b һәм с — өчпочмакның
Л почмагын эченә алган яклары.
22. ABCDEF алтыпочмагы бирелгән. AD, BE, CF диагональ¬
ләре О ноктасында кисешәләр. АОВ, COD, EOF өчпочмаклары
белән ВОС, DOE, FOA өчпочмакларының мәйданнары тапкыр¬
чыгышы тигез икәнен исбатлагыз.
61
23*. ABC өчпочмагында A түбәсе аша AD турысы үткәрелгән,
,Z>∈ [ВС], өстәвенә
I ДО I
I вс\
= а (а
1). D ноктасы аша, АВ ягына
параллель итеп, АС ягын Е ноктасында кисүче туры үткәрелгән.
ABD һәм ECD өчпочмакларының мәйданнары чагыштырмасын
исәпләгез.
Синуслар теоремасы
24. ABC өчпочмагында:
а) |ДС| = 10см, B = 30o, Д = 45°;
б) | ДВ | = 20 см, C = 135o, Д = 30°
булса, ВС ягының озынлыгын исәпләгез.
25. ABC өчпочмагында:
а) |ЛС| = 5см, A = 45°, В = 30°;
б) |ДС| = 1см, Д = 100°, С = 50°
булса, АВ һәм ВС якларының озынлыкларын исәпләгез.
26. ABC өчпочмагында:
а) I АВ I = 20 см, | ВС [ = 40 см, Д = 30°;
б) ∣AB∣ = 30cm, ∣BC∣ = 40cm, Д = 45°
булса, В һәм С почмакларының зурлыкларын исәпләгез.
27. Параллелограммның диагонале d аның бер почмагын α һәм
3 почмакларына бүлә. Параллелограммның якларын d, α, β аша
күрсәтегез.
28. ABC өчпочмагында | ВС | = а, В = β, С = ү. AZ)(Z)∈ [ВС])
биссектрисасының озынлыгын a, β һәм ү аша күрсәтегез.
29. Өчпочмакның ягы а һәм бу як янындагы почмаклары
β һәм ү бирелгән. Өчпочмакның калган якларын һәм мәйданын
a, β һәм ү аша күрсәтегез.
30. Өчпочмакның эчке почмагының биссектрисасы каршы
яткан якны бу як янындагы почмакларның синусларына кире
пропорциональ булган кисемтәләргә бүлә. Шуны исбатлагыз.
31*. Трапециянең нигезләре а һәм с га, а нигезе янындагы
почмаклары a Һәм β га тигез. Трапециянең мәйданын табыгыз.
32. Кабарынкы ABCD дүртпочмагының диагональләре яклары
белән a1, a2, a3, a4, a5, a0, a7, a8 почмаклары төзиләр. Җөп
индекслы почмак синуслары тапкырчыгышының так индекслы
почмак синуслары тапкырчыгышына чагыштырмасын табыгыз.
33*. ABC өчпочмагы бирелгән. L ноктасы — ВС ягының урта¬
сы, К ноктасы — BL кисемтәсенең уртасы. АК һәм AL нурлары
өстендә, ДВС өчпочмагының тышында, LD һәм KF кисемтәләре
салынган (∣LD∣ = ∣AL∣, ∣KF∣ = ⅛∣AK∣). ABC өчпочмагы мәй¬
данының KLDF дүртпочмагы мәйданына чагыштырмасын исәп¬
ләп чыгарыгыз.
62
VIII бүлек
КАМАУЛЫ ҺӘМ КАМАУЧЫ КҮППОЧМАКЛАР*
§ 1. КАМАУЛЫ ҺӘМ КАМАУЧЫ ӨЧПОЧМАКЛАР
Камаулы почмак
1. Хорда әйләнәне озынлыклары 4:5 чагыштырмасында бул¬
ган ике дугага бүлә. Әйләнә нокталарыннан бу хорда нинди
почмак белән күренә (һәр ике дуга нокталары өчен дә тикше¬
регез)?
2. Әйләнә өч нокта белән дугаларга бүленгән. Аларнын.
озынлыклары 2, 3 һәм 4 саннары кебек чагыштырылалар. Бүлү
нокталары кисемтәләр белән тоташтырылган. Килеп чыккан
өчпочмакның почмакларын исәпләгез.
3. Әйләнәгә камалган тигезьянлы өчпочмакның ян ягы
24o51' лы дуганы тартып тора. Өчпочмакның почмакларын исәп¬
ләп чыгарыгыз.
4. Бирелгән хорда әйләнәнең билгеле бер ноктасыннан
41015' лы почмак ясап күренә. Хорда әйләнәне ике дугага бүлә.
Бу дугаларның почмакча зурлыкларын исәпләп чыгарыгыз.
5. А, В, С, D — эзлекле рәвештә алынган әйләнә нокталары.
ΛD=≈68o, BC=140o, DC = 50o. a) АВ\ б) BDC һәм ВАС·,
в) ABD·, г) АВС·, д) ВСА ны исәпләгез.
6. а) „Әгәр..., ул вакытта...“ рәвешендәге сүз әйләнмәләрен
кулланып, 62 нче теореманы әйтеп бирегез.
б) „Әгәр камаулы почмак диаметрга таянса, ул вакытта бу
почмак туры почмак була“ әйтелмәсен „Әгәр..., ул вакытта..."
сүз әйләнмәсен кулланмыйча әйтеп бирегез.
7. Әйләнә өстендә ABCD квадратының түбәләре булган А, В,
С, D нокталары һәм AD дугасының кечерәге өстендә яткан
√Vf ноктасы бирелгән. AMD почмагының МС һәм MB нурлары
белән өч конгруэнт почмакка бүленгәнен исбатлагыз.
52 нче рәсем
53 нче рәсем
63
54 нче рәсем
8. а) Төзек бишпочмаклы йолдыз¬
да CAD почмагының зурлыгын исәп¬
ләп чыгарыгыз (52 нче рәсем).
б) Ирекле рәвештә алынган камау-
лы бишпочмакның түбәләре бер түбә
аша тоташтырылган (53 нче рәсем).
Килеп чыккан бишпочмаклы йолдыз¬
ның кысынкы эчке почмаклары
суммасын исәпләп чыгарыгыз.
9. Диаметры AD булган О үзәкле
ярымәйләнәгә ABCD сынык сызыгы
камалган, ∣AB∣ = ∣BC∣ = a, [CO∣ = ⅛
(54 нче рәсем). [05] || [CO] икәнен
исбатлагыз.
10*. Ниндидер туры О үзәкле
әйләнәне бер диаметр өстендә ятмаган
А һәм В нокталарында кисеп үтә,
өстәвенә В ноктасы сызымда урнаш¬
маган (55 нче рәсем). Бу нокта аша
үтүче диаметр кисемтәсен төзегез.
11. АВ дугасының уртасы МА орын¬
масы белән MB кисүчесеннән тигез
ераклыкта түгеллеген исбатлагыз,
АВ < 180° (56 нчы рәсем).
12. 57 нче рәсемдә КА һәм КВ
нурлары әйләнәгә тиңдәшле рәвештә
А һәм В нокталарында орыналар.
Килеп чыккан дугаларның озынлык¬
лары чагыштырмасы 1: 4 кебек. АКВ
өчпочмагының почмакларын исәп¬
ләгез.
13. ABC өчпочмагына әйләнә ка¬
малган. Ул аның якларына К, L һәм
М нокталарында орынып үтә. KLM өч¬
почмагының кысынкы почмаклы икәнен
исбатлагыз.
14. Бер түбәдән чыккан медианасы,
биссектрисасы һәм биеклеге буенча
өчпочмак төзегез.
15. Нигезе а, түбә янындагы поч¬
магы α булган тигезьянлы өчпочмак¬
ның а ягына үткәрелгән медианасы
өчпочмакның барлык медианалары
арасында: a) α < 90° булганда иң
зурысы; б) α > 90° булганда иң кеч¬
кенәсе икәнен исбатлагыз.
16. Өчпочмакның ике ягын диа¬
метрлары итеп төзелгән ике әйләнәнең
•64
•чснче як өстендә яки дәвамында ки¬
сеш кәнлеген исбатлагыз (58 нче рәсем).
17. [ДС] һәм [ΒΏ] — әйләнәнең кисе¬
шүче һәм үзара перпендикуляр хорда¬
лары. А һәм В нокталарыннан DC ту¬
рысына AM һәм ВК перпендикулярлары
үткәрелгән (Λf∈(βO) һәм К ∈(ΛC)).
АМКВ дүртпочмагының ромб икәнен
исбатлагыз.
Камаулы һәм камаучы өчпочмаклар
18. а) Яклары 5 см, 6 см, 7 см булган
өчпочмак төзегез һәм аны камаучы әй¬
ләнә үткәрегез. Бу әйләнәнең радиусын
үлчәгез.
б) I AB I = 8 см, I ВС I = 6 см, ABC =
= 40° булса, ABC өчпочмагын төзегез.
Бу өчпочмакны камаучы әйләнә үткәре¬
гез һәм аның радиусын үлчәгез.
в) I AB I = 6 см, А = 45°, В = 60° бул¬
са, ABC өчпочмагын төзегез. Бу өчпоч¬
макны камаучы әйләнә үткәрегез һәм
радиусын үлчәгез.
19. Турыпочмаклы өчпочмакның катетлары: а) 20 һәм 21 см;
б) 40 һәм 30 см булса, аны камаучы һәм аңа камаулы әйләнә¬
ләрнең радиусларын исәпләп чыгарыгыз.
20. Әйләнәгә камаулы турыпочмаклыкның яклары 15 һәм
20 см. Әйләнәнең радиусын исәпләп чыгарыгыз.
21. Кысынкыпочмаклы ABC өчпочмагы бирелгән; О — бу
өчпочмакны камаучы әйләнәнең радиусы; [4Dl±[βCj. BAD =
= О АС икәнен исбатлагыз.
22. Өчпочмакның бер почмагы түбәсеннән үткәрелгән биек¬
леге, биссектрисасы һәм медианасы бу почмакны дүрт конгруэнт
почмакка бүлә. Өчпочмакның почмакларын исәпләгез.
23. Турыпочмаклы өчпочмакның туры почмак түбәсеннән
үткәрелгән медианасы белән биссектрисасы 10° лы почмак
төзиләр. Өчпочмакның почмакларын исәпләп чыгарыгыз.
24. Өчпочмакның туры почмагы түбәсеннән камаулы һәм
камаучы әйләнәләрнең үзәге аша нурлар үткәрелгән. Бу нурлар
үзара 7° лы почмак төзи. Өчпочмакның кысынкы почмакларын
исәпләгез.
5 У -52
65
§ 2. КАМАУЛЫ ҺӘМ КАМАУЧЫ ДҮРТПОЧМАКЛАР
Камаулы дүртпочмаклар
1. Камаулы дүртпочмакның өч почмагы 2, 3 һәм 4 саннары
кебек чагыштырыла. Аның почмакларын исәпләп чыгарыгыз.
2. 1) Камаулы ABCD дүртпочмагының А эчке почмагы С
түбәле тышкы почмагына тигез икәнен исбатлагыз.
2) Камаулы ABCD дүртпочмагында А эчке почмагының
биссектрисасы С түбәле тышкы почмагы биссектрисасы беләи
бу дүртпочмакка камаулы әйләнә өстендә кисешәләр. Шуны
исбатлагыз.
3. a) A = 78°, С=102°; б) А = 70°, В = 102° булса, нин¬
ди очракта кабарынкы ABCD дүртпочмагын камаучы әйләнә
үткәреп була?
4. Өч ягы конгруэнт булган трапеция төзегез һәм аны ка¬
маучы әйләнә үткәрегез.
5. Дүртпочмак почмакларының биссектрисалары гомуми
очракта әйләнә камарга мөмкин булган дүртпочмак төзиләр.
Шуны исбатлагыз.
6. Әйләнәдә АВ дугасының уртасы аша, бу әйләнәне F һәм
С нокталарында, ә АВ хордасын тиңдәшле рәвештә D һәм Е
нокталарында кисүче ирекле рәвештә алынган ике туры үтә.
F, С, D һәм Е нокталарының бер әйләнә өстендә ятканын ис¬
батлагыз.1
7. Теләсә нинди өчпочмакта аның якларына карата биеклек-
ләренең кисешү ноктасына симметрияле нокталар бу өчпочмакны
камаучы әйләнә өстендә ятканын исбатлагыз.
8. Кысынкыпочмаклы ABC өчпочмагында К ноктасында ки¬
сешүче BBx һәм CCλ биеклекләре үткәрелгән (59 нчы рәсем).
A, Bl, К һәм C1 нокталарының бер әйләнә өстендә ятканлыгын
исбатлагыз.
9. Әгәр дүртпочмакта аның якларының урталарыннан үткә¬
релгән урта перпендикулярлары белән тәңгәл килүче симметрия
күчәрләре булса, бу дүртпочмакны камаучы әйләнә үткәрергә
мөмкин. Шуны исбатлагыз.
59 нчы рәсем
Камаучы дүртпочмаклар
10. Әйләнәне камаучы дүртпочмак¬
ның билгеле бер тәртиптә алынган
почмаклары 1, 2, 3 һәм 2 саннары ча¬
гыштырмасында. Бу дүртпочмакка ка¬
маулы әйләнә үзәгеннән аның һәр ягы
ниндидер почмак астында күренә. Шул
почмакларны исәпләгез.
1 Бу мәсьәләне түбәсе түгәрәк эчендә ят¬
кан почмакны үлчәү турындагы теореманы
үткәннән соң чишәргә тәкъдим ителә.
66
11. Трапециягә камаулы әйләнәнең
■радиусы г. Орыну ноктасы трапеция¬
нең ян ягын а һәм b озынлыгындагы
кисемтәләргә бүлә, r2 = ab икәнен
исбатлагыз.
12. О үзәкле әйләнәне камаучы
трапециянең ян ягы О ноктасыннан
90° лы почмак ясап күренгәнен ис¬
батлагыз.
13. Әйләнә камарга мөмкин булган
турыпочмаклы трапециянең мәйданы
нигезләре тапкырчыгышына тигез
икәнен исбатлагыз.
14. Яклары тәртип буенча алганда
дүртпочмак г радиуслы әйләнәне камап
мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
60 нчы рәсем
а, Ь, с га тигез булган
тора. Бу дүртпочмакның
Төрле мәсьәләләр
15. В түбәсе аша үтүче симметрия күчәре булган ABCDE
бишпочмагы О үзәкле әйләнәгә камалган. Аның АВ һәм DE
яклары әйләнә үзәгеннән 50° лы почмак астында күренә. А£ягы
әйләнә үзәгеннән нинди почмак астында күренә?
16. Түгәрәкне камаучы тигезьянлы трапеция биеклегенең
квадраты аның нигезләренең тапкырчыгышына тигез икәнен ис¬
батлагыз.
17. Турыпочмаклы өчпочмакның кысынкы почмак түбәләре
туры почмакның яклары буйлап шуа (60 нчы рәсем). Бу өчпоч¬
макның туры почмак түбәсе сызган сызыкны төзегез.
5 3. ТӨЗЕК КҮППОЧМАКЛАР
Төзек күппочмаклар
1. Түгәрәкне барлык яклары конгруэнт булган күппочмак
■камап тора. Бу күппочмак төзекме?
2. Түгәрәкне барлык почмаклары конгруэнт булган күппочмак
камап тора. Бу күппочмак төзекме?
3. Төзек ABCDE бишпочмагы бирелгән. Бу бишпочмакны
О үзәгенә карата сәгать йөреше уңаена 72° ка борганда,
а) С түбәсе; б) А түбәсе; в) АС диагонале; г) АСО өчпочмагы;
д) ABC өчпочмагының нинди фигураларга чагылганын күрсәтегез.
4. Төзек өчпочмакны камаучы әйләнәнең радиусы бу өчпоч¬
макка камаулы әйләнәнең диаметрына тигез икәнен исбатлагыз.
5. Ягы а га тигез булган төзек бишпочмакның диагональләрен
исәпләп чыгарыгыз.
6. Төзек алтыпочмакта: а) өч пар параллель диагональ һәм
аларга перпендикуляр өч диагональ барлыгын; б) төзек өчпоч¬
макның яклары булып хезмәт иткән диагональләрнең ике өчлеге
■барлыгын исбатлагыз.
5*
67
7. Төзек бишпочмакның диагональләре үзара кисешкәндә!
төзек бишпочмак төзиләр. Шуны исбатлагыз.
8. О үзәкле әйләнәнең В ноктасыннан ВА һәм ВС хордалары
үткәрелгән. — камаулы төзек өчпочмакның ягы, — ка-
маулы квадратның ягы. ABC почмагының зурлыгын исәпләгез
9. Әйләнәнең А ноктасыннан АВ һәм АС хордалары үткә¬
релгән. ∣Λ5] — камаулы төзек алтыпочмакның ягы, [ЛС] —ка¬
маулы квадратның ягы. ВАС почмагының зурлыгын исәпләгез.
62 нче рәсем
63 нче рәсем
10. а) Төзек өчпочмакның яклары
61 нче рәсемдә күрсәтелгәнчә дәвам
ителгән. I AA11 = ∣ββ11 = ∣CC11. Λ1,
Bx, C1 — төзек өчпочмакның түбәләре
икәнен исбатлагыз.
б) Төзек алтыпочмакның яклары,
62 нче рәсемдә күрсәтелгәнчә, бер үк
ераклыкка дәвам ителгән, j41 , Bl, C1,
Dλ, Bl, F1 — төзек алтыпочмакның,
түбәләре икәнен исбатлагыз.
11. а) Квадрат һәм алтыпочмак;
б) алтыпочмак, квадрат һәм өч¬
почмак;
в) алтыпочмак һәм өчпочмак;
г) сигезпочмак һәм квадрат;
д) уникепочмак һәм өчпочмаклар
белән яссылыкны, ачыклык калдыр¬
мый һәм бер-берсенә каплатмый
тулысынча ябу өчен, бу төзек
күппочмакларның яклары нинди ча¬
гыштырмада булырга тиеш?
һәр биремгә карата нинди дә
булса бер вариантны тикшереп,
тиешле сызымын сызыгыз.
12. а яклы квадратның һәр түбә¬
сеннән башлап аның яклары өстендә
диагоналенең яртысына тигез булган
кисемтәләр салынган. Килеп чыккан
сигез нокта эзлекле рәвештә тоташ¬
тырылган (63 нче рәсем). Килеп чык¬
кан сигезпочмакның төрен билгеләгез
һәм мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
13. Периметрлары тигез булган
төзек өчпочмакның, квадратның һәм
төзек алтыпочмакның мәйданнары
чагыштырмасын исәпләп чыгарыгыз.
•68
Төзек күппочмакның мәйданы
14. а) Төзек өчпочмакның ягы а белән биеклеге һ ның суммасы
k га тигез. Бу өчпочмакның мәйданын k аша күрсәтегез.
б) Төзек өчпочмакның ягы белән биеклегенең аермасы т га
тигез. Бу өчпочмакның мәйданын т аша күрсәтегез.
15. О (0; 0) үзәкле әйләнә (12; —5) координаталы нокта аша
үтә. Бу әйләнәгә камаулы а) төзек өчпочмакның; б) квадратның;
в) төзек бишпочмакның мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
Төрле мәсьәләләр
16. а) Бердәй киңлектәге ике кәгазь тасмадан, 64 нче рәсемдә
күрсәтелгәнчә, төзек алтыпочмак китереп чыгарырга мөмкин.
Бу алтыпочмакның төзек икәнен исбатлагыз.
б) Бердәй киңлектәге кәгазь тасма, 65 нче рәсемдә күрсә¬
телгәнчә, гади төен итеп бәйләнгән. Бу төеннең төзек бишпоч¬
мак формасында икәнен исбатлагыз.
17. 66 нчы рәсемдә кысынкы почмагы 60° булган йолдызсымаи
төзек бишпочмак сурәтләнгән, а) Мондый фигура килеп чыксын
өчен бер бит кәгазьне ничек бөкләргә һәм кисү сызыгы ничек
урнашкан булырга тиеш? б) Кисеп алынган бишпочмак төзек
булсын өчен, кисү сызыгы ничек үтәргә тиеш?
18. Ниндидер әйләнәнең ОА радиусының уртасы В аша әй¬
ләнәне К ноктасында кисүче перпендикуляр үткәрелгән. ВК
кисемтәсен якынча шул әйләнәгә камаулы төзек җидепочмакның
ягы дип алырга мөмкин. Бу вакытта җибәрергә мөмкин булган
хатаны табыгыз.
69
19. Төзек сигезпочмакның
капма-каршы ике ягы һәм аларга
перпендикуляр диагональләре
турыпочмаклык төзиләр. Туры¬
почмаклыкның мәйданын сигез¬
почмакның ягы а аша күрсәтегез.
20. Барлык яклары һәм эзлекле
килгән өч почмагы конгруэнт
булсалар, андый сигезпочмакның
төзек икәнен исбатлагыз.
21. а) Төзек ABCDEF алты¬
почмагының яклары өстендә,
аның тышында, квадратлар тө¬
зелгән. BBxB2 нең төзек өчпочмак
икәнен исбатлагыз.
б) Төзек алтыпочмакның һәр
ягы өстендә, аның тышында,
квадратлар төзелгән һәм аның түбәләре, 68 нче рәсемдә күрсә¬
телгәнчә, турылар белән тоташтырылган. A1A2BλB2... FiF2 унике-
почмагының төзек икәнен исбатлагыз.
22. АВ — түгәрәккә камаулы квадратның ягы. ∣Λ,β∣ = ∣βλΙ,
О — түгәрәк үзәге. КМ кисемтәсе бу түгәрәккә камаулы төзек
унпочмак ягының икеләтелгәненә тигез икәнен исбатлагыз
(69 нчы рәсем).
23. Бирелгән квадратка, бер түбәсе квадратның ягы өстендә
ятарлык итеп, тигезьяклы өчпочмак камагыз.
24. Ягы а га тигез булган ABCDEF төзек алтыпочмагында
EF һәм CD якларының дәвамнары N ноктасында кисешәләр
(70 нче рәсем). Бу алтыпочмакны камаучы әйләнәнең үзәге — О.
BN турысы ED, OD һәм ОС кисемтәләрен тиңдәшле рәвештә
L, /Сһәм М нокталарында кисеп үтә. EL, ОМ, О К кисемтәләренең
озынлыгын һәм штрихланган өчпочмак мәйданын а аша күрсә¬
тегез.
§4. ӘЙЛӘНӘ ОЗЫНЛЫГЫ ҺӘМ ТҮГӘРӘК МӘЙДАНЫ
Әйләнә озынлыгы
1. Әйләнәнең а) 30° лы дугасының озынлыгы 5 см; б) 60° лы
дугасының озынлыгы 10 см; в) 300° лы дугасының озынлыгы
50 см булса, әйләнә озынлыгын исәпләп чыгарыгыз.
2. 0(0; 0) ноктасы үзәге булган әйләнә (3; —4) ноктасы аша
үтә. Бу әйләнәнең озынлыгын исәпләп чыгарыгыз.
3. a) α = 60°; б) a = 90°; в) a = 120°; г) a = 240°; д) a = 300o
булганда, почмакча зурлыгы a га тигез булган дуга озынлыгының
шул дуганы тартып торган хорда озынлыгына чагыштырмасын
исәпләп чыгарыгыз.
4. R радиуслы әйләнә озынлыгын әйләнә диаметрының өчләтел¬
гәне һәм шул әйләнәгә камаулы квадрат ягының 0,2 се суммасына
70
якынча тигез булган кисемтә озын¬
лыгы белән алмаштырырга мөмкин.
Бу алмаштыруның хатасын һәм
чагыштырма хатасын табыгыз.
5. Туры почмакка 5 см радиуслы
әйләнә камалган. Бу почмакның якла¬
ры һәм әйләнәнең почмак якларына
орыну ноктасы белән чикләнгән ду¬
гасы арасында урнашкан фигураның
периметрын исәпләп чыгарыгыз.
6*. /? радиуслы түгәрәккә, һәркайсы
калган ике түгәрәккә орынырлык итеп,
бер үк диаметрлы өч түгәрәк камалган.
Штрихланган фигураның периметрын
исәпләп чыгарыгыз (71 нче рәсем).
7. Үзәге О булган R радиуслы
әйләнәдә AAl диаметрының А очы
аша бу әйләнәгә орынма үткәрелгән
(72 нче рәсем). АВ — әйләнәгә камзу¬
лы төзек алтыпочмакның ягы, ОС —
АВ хордасының уртасы аша үтүче
нур. С ноктасы орынма өстендә ята.
CD кисемтәсенең озынлыгы әйләнә
радиусының өчләтелгәненә тигез.
AlD кисемтәсенең озынлыгы якынча
R радиуслы ярымәйләнәнең озынлы¬
гына тигез икәнен күрсәтегез.
Түгәрәк мәйданы
8. О (0; 0) үзәкле әйләнә коорди-
наталары (3; —4) булган нокта аша
үтә. Бу әйләнә белән чикләнгән
түгәрәкнең мәйданын исәпләп чыга¬
рыгыз.
9. а) Ягы 10 см га тигез булган
тигезьяклы өчпочмакны камаучы тү¬
гәрәкнең;
б) ягы 10 см га тигез булган
төзек алтыпочмакны камаучы түгә¬
рәкнең;
в) ягы 10 см га тигез булган төзек
сигезпочмакны камаучы түгәрәкнең
мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
10. а) Ягы 10 см булган төзек
алтыпочмакка камаулы түгәрәкнең
мәйданын;
71
73 нче рәсем
В
74 нче рәсем
б) ягы 10 см булган төзек сигезпочмакка камаулы түгәрәкнең
мәйданын табыгыз.
11. Ике концентрик әйләнә белән төзелгән боҗра мәйданы
диаметры зур әйләнәнең кечерәк әйләнәгә орынган хордасына
тигез булган түгәрәк мәйданына тигез. Шуны исбатлагыз.
12. Туры почмакка 5 см радиуслы әйләнә камалган. Бу поч¬
макның яклары һәм әйләнәнең почмак якларына орыну нокталары
белән чикләнгән дугасы арасында урнашкан фигураның мәйданын
исәпләп чыгарыгыз.
13. Тигезьянлы турыпочмаклы ABC өчпочмагының (В = 90°)
∣ΛB∣ = 2α булган АВ катетын диаметр итеп алып, 73 нче рәсем¬
дә күрсәтелгәнчә, ярымәйләнә төзелгән һәм, А ноктасын үзәк
итеп алып, АС гипотенузасын Е ноктасында кисүче 2α радиуслы
әйләнә дугасы үткәрелгән. S1, S2, S3 һәм S4 фигураларының
мәйданнарын исәпләп чыгарыгыз.
14. a) АВ диаметры 4 конгруэнт кисемтәгә бүленгән һәм бу
кисемтәләр өстендә, 74 нче рәсемдә күрсәтелгәнчә, ярымәйләнәләр
төзелгән. I AB∖== d булса, штрихланган һәр фигураның мәйданын
исәпләп чыгарыгыз.
б) Шул ук мәсьәләне АВ кисемтәсе п. конгруэнт кисемтәгә
бүленгән очрак өчен эшләгез.
15. R радиуслы әйләнә икенче әйләнәнең үзәге аша үтә. Бу
әйләнәләрнең кисешү нокталары беренче әйләнәнең диаметры
өстендә ята. Штрихланган кисәкнең мәйданын R аша күрсәтегез
(75 нче рәсем).
75 нче рәсем
76 нчы рәсем
72.
77 нче рәсем
16. Тигезьяклы өчпочмакның һәр түбәсеннән аның ягына
тигез булган радиус белән дуга үткәрелгән. Өчпочмакның калган
ике түбәсе бу дуганың очлары булып хезмәт итә. Штрихланган
фигураның мәйданын исәпләп чыгарыгыз (76 нчы рәсем).
17. г радиуслы өч конгруэнт түгәрәк үзара пар-пар орыналар.
Штрихланган фигураның мәйданын исәпләп чыгарыгыз (71 нче
рәсем).
18. Фигураның периметрын һәм мәйданын (77 нче рәсем, а, в)
яки аның штрихланган кисәгенең мәйданын табыгыз (77 нче
рәсем, б, г, д).
һәр фигураның ничә симметрия күчәре бар?
Кайсы фигураларның симметрия үзәге бар?
һәр фигураны үзенә чагылдыра алган күчүләрне әйтеп чыгы¬
гыз.
IX бүлек СТЕРЕОМЕТРИЯДӘН БАШЛАНГЫЧ
МӘГЪЛҮМАТЛАР
§ 1. ПРОСТРАНСТВОДА НОКТАЛАРНЫҢ, ТУРЫЛАРНЫҢ
ҺӘМ ЯССЫЛЫКЛАРНЫҢ ҮЗАРА ТОРЫШЫ
Туры һәм яссылыкларның төп үзлекләре
1. Куб түбәләренең барлык парлары белән төрле ничә туры
билгеләнә?
2. Кубның барлык түбәләрен өчәр-өчәр итеп группаласак,
алар белән төрле ничә яссылык билгеләнә?
3. Бирелгән алты ноктаны парлап алганда, бу парлар белән
төрле ничә туры билгеләнә?
4. Бирелгән биш ноктаны өчәрләп алганда, алар белән төрле
ничә яссылык билгеләнә?
5. Төрле ике яссылыкның ике һәм бары тик ике генә уртак
ноктасы була алмавын исбатлагыз.
6. Турыпочмаклы ABCDAlBlClDl параллелепипеды бирелгән
(78 нче рәсем). Параллелепипедның ике түбәсе аша үтүче ничә
туры:"
a) АВ кабыргасы белән кисешә; б) АВ кабыргасына параллель?
7. Турыпочмаклы ABCDAlBlClDi параллелепипеды бирелгән
(78 нче рәсем). Бу параллелепипедның кайсы кабыргалары:
a) AD турысы белән чалышма булган; б) AD һәм DDx турылары
белән чалышма булган турылар өстендә яталар?
8. KLMNKxLxMxNx кубында KMi диагонале үткәрелгән
(79 нчы рәсем). Кубның түбәләре парлап алынганда бу түбәләр
аша Λ7W1 турысына чалышма булган ничә туры үтә?
9. Кубның түбәләрен өчәрләп алганда, бу түбәләр белән
төрле ничә пар параллель яссылык билгеләнә?
10. һәр яссылык кубның кимендә өч түбәсен үз эченә алса,
аның бер түбәсе аша үзара кисешүче төрле ничә яссылык үтә?
78 нче рәсем
79 нчы рәсем
11. Ике чалышма туры: a, b һәм бу турылар өстендә ятмаган
Л ноктасы бирелгән. А ноктасы аша үтеп, бирелгән ике туры¬
ны да кисүче турының бердән күп булмавын исбатлагыз.
12. α яссылыгы һәм бу яссылыкны кисүче а турысы бирелгән,
α яссылыгында яткан b турысының а турысына параллель түгел¬
леген исбатлагыз.
13. Бирелгән α яссылыгында ятмаган М ноктасы аша бу
яссылыкка параллель чиксез күп туры үткәнлеген исбатлагыз.
14. ABCDAxBxCxDx кубы бирелгән (80 нче рәсем). Бу кубның
кайсы да булса ике түбәсе аша үтүче ничә туры: a) √lββ1J41 кы¬
рына параллель; б) ABBxAx кырын кисеп үтә?
Туры белән яссылыкның үзара торышы.
Яссылыкка перпендикуляр
15. α яссылыгыннан а ераклыктагы М ноктасыннан бу яссы¬
лыкка перпендикуляр үткәрелгән.
1) М ноктасыннан α яссылыгында яткан турыларга кадәр
ераклык: а) а га тигез; б) а дан зуррак булганда, бу турылар
әлеге перпендикулярга карата ничек урнашканнар?
2) α яссылыгында М ноктасыннан ераклыгы а дан кечерәк
булган туры бармы?
16. ABCDAxBxCxDx кубы бирелгән (81 нче рәсем), Т һәм К
нокталары — CD һәм AD кабыргаларының урталары. D нокта¬
сыннан: a) ABBxAx кыры яссылыгына кадәр; б) СТ кисемтәсенә
кадәр; в) КТ кисемтәсенә кадәр; г) АВ кабыргасына кадәр;
д) ВС кабыргасына кадәр; e)* ACx турысына кадәр; ж*) Λ1C1 ту¬
рысына кадәр ераклыкны күрсәтегез.
17. Кисешүче ике яссылык: α∩β = (5C) һәм a, b (a⊂a,
6⊂β) турылары бирелгән, а) а һәм b турыларының параллель
булуы; б) а һәм b турыларының кисешүе; в) а һәм b ның чалыш¬
ма турылар булуы мөмкинме? һәр җавапның рәсемен сызыгыз.
Параллель яссылыклар
18. Ике параллель яссылык: a∣∣β һәм ике туры: а һәм ⅛aca,
⅛⊂β) бирелгән, а) а һәм b турыларының параллель булуы;
б) а һәм b ның чалышма турылар булуы; в) а һәм b турылары¬
ның кисешүе мөмкинме?
80 нче рәсем 81 нче рәсем
75
19.. Бер үк турыга перпендикуляр яссылыкларның үзара
параллель икәнен исбатлагыз.
20. Бер үк яссылыкка перпендикуляр ике турының кисешмә¬
вен исбатлагыз.
21. Үзара параллель α һәм β яссылыклары арасындагы ерак¬
лык т га тигез, α яссылыгында М ноктасы бирелгән.
а) β яссылыгында М ноктасыннан ераклыгы т. га тигез булган
ничә туры ята?
б) β яссылыгында М ноктасыннан ераклыгы n(n>nι) га тигез
булган ничә туры ята?
һәр жавапның рәсемен ясагыз.
22. α яссылыгы һәм бу яссылыкка параллель булган а турысы
бирелгән, а турысыннан a яссылыгына кадәр ераклык т га тигез.
а) a яссылыгында а турысыннан ераклыгы т га тигез булган
ничә туры ята?
б) a яссылыгында а турысыннан ераклыгы n(∕z>∕n) га тигез
булган ничә туры ята?
Ортогональ проекцияләү
23. Тигезьянлы ABC өчпочмагының АС нигезе аша a яссылыгы
үткәрелгән. ABC өчпочмагының бу яссылыкка проекциясе:
а) кисемтә; б) тигезьянлы өчпочмак; в) төрле яклы өчпочмак
булуы мөмкинме?
24. Нинди очракта а турысы һәм бу турының бирелгән a
яссылыгына проекциясе параллель булалар?
25. Трапециянең яссылыкка проекциясе: а) кисемтә; б) тра¬
пеция; в) өчпочмак булуы мөмкинме?
26. Параллелограммның бер ягы аша үтүче яссылыкка әлеге
параллелограммның проекциясе: а) кисемтә; б) параллелограмм
булуы мөмкинме?
27. А һәм В нокталары a яссылыгына тиңдәшле рәвештә
Ai һәм Bl нокталарына проекцияләнә. Бу вакытта а) ∣ AB | >
> I AxB∖ I; б) ∣Λβ∣<∣Λ151h в) ∣ΛS∣ = ∣Λ1B1∣ очракларының
булуы мөмкинме?
28. Нинди очракта әйләнәнең бирелгән яссылыкка проекциясе
әйләнә була?
§ 2. ӨСЛЕКЛӘРНЕҢ МӘЙДАННАРЫ ҺӘМ КАЙБЕР
ҖИСЕМНӘРНЕҢ КҮЛӘМНӘРЕ
Туры призма
1. Өчпочмаклы төзек призманың нигез ягы а һәм биеклеге һ".
а) a = 5 см, һ = 8 см; б) а = 0,25 м, һ = 0,9 м булганда, аның
күләмен, ян өслеге мәйданын һәм өслек мәйданын исәпләп
чыгарыгыз.
76
2. Нигезендә параллелограмм яткан туры параллелепипед
бирелгән, а һәм b — параллелограммның яклары, α — шул яклар
арасындагы почмагы, һ — параллелепипедның биеклеге. Бу
параллелепипедның күләмен һәм өслек мәйданын a, b, һ, α аша
күрсәтегез һәм, α = 4 м, ⅛ = 6 м, h = 8 m, α = 40o булганда,
параллелепипед күләме һәм өслек мәйданының кыйммәтләрен
исәпләп чыгарыгыз.
3. Өчпочмаклы, дүртпочмаклы һәм алтыпочмаклы төзек приз¬
маларның нигез периметрлары тигез. Әгәр бу призмаларның
биеклекләре тигез булса, кайсының күләме зуррак, кайсының
күләме кечкенәрәк була?
4. Нигезендә г радиуслы әйләнәне камаучы дүртпочмак яткан
туры призма бирелгән. Р ~ призманың нигез периметры, һ — биек¬
леге. Бу призманың өслек мәйданын һәм күләмен г, һ, Р аша
күрсәтегез һәм, г = 5 дм, һ = 8 дм, Р = 40 дм булганда, өслек
мәйданының һәм күләменең кыйммәтләрен исәпләп чыгарыгыз.
5. Нигезенә г радиуслы әйләнә камалган төзек л-почмаклы
призма бирелгән. Призманың биеклеге 2г га тигез, а) п = 3,
б) п = 4; в) п = 6 булганда, призманың өслек мәйданын һәм
күләмен г аша күрсәтегез. 1) г = 6 м; 2) г = 2 м булса, призманың
өслек мәйданын һәм күләмен исәпләп чыгарыгыз.
6. Траншеяның аркылы кисеме — нигезләре а һәм Ь, биеклеге
һ булган тигезьянлы трапеция. Траншеяның озынлыгы I. Тран¬
шеяның күләмен а, Ь, һ һәм I аша күрсәтегез һәм, a = 4 м,
Ь — 3 м, h=i2 м, Z = 20 м булса, траншеяның күләмен исәпләп
чыгарыгыз.
Күләмнәрнең гомуми үзлекләре
7. 1) Күпкырлыкның һәр күпкырлыкка билгеле бер санны —
күпкырлыкның күләмен — тиңдәш итәргә мөмкинлек бирүче төп
үзлекләрен санап чыгыгыз.
2) а) Кисемтәләрнең озынлыкларын; б) мәйданнарны үлчә¬
гәндә кабул ителгән шушыңа аналогик үзлекләрне күрсәтегез.
8. а) Үлчәнешләренең һәркайсы озынлык үлчәү берәмлеге I ның
бөтен сан кыйммәтенә ия булмаса, турыпочмаклы параллелепи¬
педның күләме үлчәү берәмлеге /3 ның бөтен сан кыйммәте
белән аңлатылуы мөмкинме? (Җавапны мисал белән аңлатыгыз).
б) Озынлык үлчәү берәмлеге /, күләм үлчәү берәмлеге /3 бул¬
ганда, кубның күләме һәм өслек мәйданы бер үк санча кыйм¬
мәткә ия булуы мөмкинме?
Пирамидалар
9. Өчпочмаклы туры призманы иң азы ничә өчпочмаклы
пирамидага кисеп була?
10. а) Кубны; б) дүртпочмаклы туры призманы иң азы ничә
дүртпочмаклы пирамидага кисеп була?
77
82 нче рәсем
84 нче рәсем
11. п нинди кыйммәтләргә ия булганда, «-почмаклы төзек
пирамидада нигезенең ягы:
а) шул пирамиданың ян кабыргасына;
б) шул пирамиданың ян кыры апофемасына тигез булуы
мөмкин?
12. Нигезе г радиуслы әйләнәгә камалган, ә биеклеге һ ка
тигез булган «-почмаклы төзек пирамида бирелгән. Пирами¬
даның күләмен һәм ян өслеге мәйданын г, « һәм һ аша күрсә¬
тегез.
Цилиндр
13. Цилиндр бирелгән. Аның нигезендә ягы а га тигез булган
төзек «-почмакка камаулы түгәрәк ята, биеклеге түгәрәк диа¬
метрына тигез. Цилиндрның күләмен һәм^өслек мәйданын а, п
аша күрсәтегез.
14. Яклары а һәм b булган турыпочмаклык бирелгән. I турысы
турыпочмаклык яссылыгында ята һәм аның бер ягына параллель,
ә икенче ягыннан t ераклыгында тора (82 нче рәсем). Бу туры¬
почмаклыкны / күчәре тирәсендә әйләндерүдән килеп чыккан
фигураның күләмен a, b һәм t аша күрсәтегез, а = 1,5 дм,
6 = 20 дм, t = 4 дм булганда, бу күләмне исәпләп чыгарыгыз.
15. Цилиндрдан яссылык белән цилиндрик тояк дип аталган
кисәге кистереп алынган (83 нче рәсем). Рәсемдә күрсәтелгән
үлчәнешләре1буенча шул тоякның күләмен исәпләп чыгарыгыз.
Конус
16. Конусның нигезендә ягы а га тигез булган төзек
л-почмакка камаулы түгәрәк ята. а) Мондый конусның төзүчесе
нинди кыйммәтләр алуы мөмкин? б) Нинди очракта конусның
төзүчесе а га тигез?
17. Конус бирелгән. Аны конусның түбәсе һәм нигез диаметры
аша үтүче яссылык белән кистергәндә, кисемдә ягы а булган
тигезьяклы өчпочмак килеп чыга. Бу конусның күләмен һәм
өслек мәйданын а аша күрсәтегез.
78
1$.
85 нче рәсем
Нигез яклары а һәм b, биеклеге һ булган турыпочмаклы
трапеция, 84 нче рәсемдә күрсәтелгәнчә, нигезенә перпендикуляр
күчәр тирәсендә әйләнә. Әйләнү вакытында килеп чыккан
фигураның^күләмен табыгыз, j
Шар
19. Яссылыкта г радиуслы п шарның һәркайсы калган ике
шарга орынып торырлык итеп урнашкан. Килеп чыккан тишем
аша үтәрлек итеп, шушы яссылыкта урнаштырырга мөмкин
булган иң зур шарның радиусын табыгыз.
20. 1) Нигез радиусы һәм биеклеге а га тигез булган цилиндр,
биеклеге шундый ук булган һәм шул ук нигез өстендә төзелгән
конус һәм зур түгәрәге цилиндр нигезе белән тәңгәл килүче
ярымшар бирелгән. Фигуралар 85 нче рәсемдә күрсәтелгәнчә
урнашканнар. Шул ук рәсемдә әлеге фигураларның цилиндр
нигезләренә параллель яссылык белән кистерүдән килеп чыккан
кисемнәре күрсәтелгән. Ярымшар белән кисешүдән барлыкка
килгән түгәрәк мәйданының цилиндр һәм конус белән кисешүдән
килеп чыккан әйләнәләр белән чикләнгән боҗра мәйданына
тигез икәнен исбатлагыз.
2) Архимед (безнең эраның III гасырында) алдагы мәсьәләдә
күрсәтелгәнчә төзелгән ярымшарның күләме цилиндр һәм конус
күләмнәренең аермасына тигез икәнен исбатлаган (85 нче рәсем).
Исәпләүләр юлы белән бу теореманың дөреслеген тикшерегез.
21. Гюльден (XVIII гасыр) яссы фигураны аны кисмәүче һәм
үзе белән бер яссылыкта яткан күчәр тирәсендә әйләндергәндә
килеп чыккан җисем күләме бу фигураның мәйданын әлеге
фигураның авырлык үзәге сызган әйләнә озынлыгына тапкырла¬
ганга тигез икәнен исбатлаган. Шушы теоремадан файдаланып,
г радиуслы түгәрәкне түгәрәк белән бер яссылыкта яткан һәм
аның үзәгеннән I ераклыктагы күчәр тирәсендә әйләндерүдән
килеп чыккан торның күләмен табыгыз.
КЛАССТАН ТЫШ ҺӘМ ИНДИВИДУАЛЬ
ЭШЛӘР ӨЧЕН МӘСЬӘЛӘЛӘР
§ 1. КҮЧӘРЛЕ СИММЕТРИЯ. КҮЧӘРЛЕ
СИММЕТРИЯЛӘРНЕҢ КОМПОЗИЦИЯСЕ
1. Бирелгән кисешүче ике турының симметрия күчәрләрен
төзегез1.
2. р турысы һәм кисешүче a, b турылары бирелгән, а һәм b
турылары өстендә тиңдәшле рәвештә р турысына карата сим¬
метрияле А һәм В нокталары төзегез.
3. р турысы һәм бу туры өстендә ятмаган А, В нокталары
бирелгән. A∈α, Bζb булырлык итеп, р га карата симметрияле
а һәм b турылары төзегез.
4. Бер почмагы, янәшә ятучы ягы һәм калган ике ягының
аермасы буенча өчпочмак төзегез.
5. Ике почмагының аермасы һәм бу почмакларга каршы ят¬
кан якларының озынлыклары буенча өчпочмак төзегез.
6. Концентрик ике әйләнә бирелгән. 1) Ике түбәсе бер әйлә¬
нә өстендә, калган ике түбәсе икенче әйләнә өстендә ятарлык
итеп; 2) өч түбәсе бер әйләнә өстендә, бер түбәсе икенче әй¬
ләнә өстендә ятарлык итеп, квадрат булмаган ромб төзегез.
7. Кабарынкы бишпочмакның ике симметрия күчәре булса,
ул вакытта аның биш симметрия күчәре булуын исбатлагыз.
8. Алтыпочмакның өч симметрия күчәре бар. Моннан алты¬
почмакның төзек икәнлеге килеп чыгамы?
Ике очракны тикшерегез: 1) симметрия күчәрләре капма-кар¬
шы якларының урталары аша үтә; 2) симметрия күчәрләре кап¬
ма-каршы түбәләре аша үтә.
9. Күчәрләре уртак ноктага ия (параллель) булган өч сим¬
метриянең композициясе күчәре шушы нокта аша (бирелгән
күчәрләргә параллель) үтүче симметрия икәнен исбатлагыз.
10. Күчәрләре өчпочмакны билгели торган өч симметриянең
композициясе күчәрле симметрия түгеллеген исбатлагыз.
11. ABC өчпочмагында /д, ∕β, lc турыларында ятучы өч бис¬
сектриса үткәрелгән, slc ° sib ° sia композициясе күчәре өчпоч¬
макка камаулы әйләнәнең үзәге аша АС ягына перпендикуляр
үтүче симметрия икәнен исбатлагыз.
1 Төзүгә бирелгән барлык мәсьәләләрдә дә,, мәсьәләнең шартында башка
инструментлар кирәклеге әйтелмәгәндә, циркуль һәм линейкадан файдалану
күздә тотыла.
80
12. ABC өчпочмагында ВС, СА һәм АВ якларына т, п, р
урта перпендикулярлары үткәрелгән. Өч күчәр симметриясенең
композициясе Sp° Sn° Sm- күчәре ОВ булган симметрия икәнен
исбатлагыз, монда О — әлеге өчпочмакны камаучы әйләнә үзәге..
13. Тигезьяклы ABC өчпочмагы бирелгән. (ВС) = р, (CA) = q,
(АВ) = г булсын. Sr о Stj о Sp композициясе ABC өчпочмагының
(Дф га параллель урта сызыгын үз эченә алган турыны үзенә
чагылдырганлыгын исбатлагыз.
14. ABC өчпочмагы бирелгән. Ax, Bl, Сх нокталары — аның би-
еклекләренең нигезләре. (ВС), (СА) һәм (АВ) күчәрле сим¬
метрияләренең композициясе A1C1 турысын үзенә чагылдырыл-
ганлыгын исбатлагыз.
15. Якларының бирелгән урта перпендикулярлары р, q, г
буенча ABC өчпочмагын төзегез.
16. Бирелгән әйләнәгә якларын бирелгән өч турыга параллель
итеп өчпочмак камагыз.
17. ABC өчпочмагы биеклекләренең кисешү ноктасы аша
үткәрелгән туры (ВС), (СА), (АВ) күчәрле симметрияләрдә бер
ноктада кисешүче өч турыга чагыЛдырылганын исбатлагыз.
18. Ярымтүгәрәкнең АВ диаметрында Р ноктасы, ә аның
ярымәйләнәсе өстендә MPA = MxPB, 1∖PA = NxPB булырлык итеп
ТИ, ТИ( һәм TV, Nx нокталары бирелгән. MNx һәм MxN хордала¬
рының кисешү ноктасы Q ның АВ диаметрына Р ноктасы аша
үткәрелгән перпендикуляр өстендә ятуын исбатлагыз.
19. ABC өчпочмагын камаучы әйләнә үткәрелгән. Бу әйләнә
С почмагының /с биссектрисасын ТИ ноктасында кисеп үтә.
Өчпочмакның ортоүзәге ТУ тан D ∈∕c булырлык итеп биссектриса¬
га HD перпендикуляры үткәрелгән. ∣ CD |:| CM | = ∣ cos С| икәнен
исбатлагыз.
л л л л
20. ABCD дүртпочмагы бирелгән. Әгәр А — В, С = D булса,
дүртпочмакның симметрия күчәре барлыгын исбатлагыз.
21. О үзәкле әйләнәгә ABCD дүртпочмагы камалган. ОМ,
OTV, OP, OQ нурлары төзелгән, монда ТИ, TV, Р, Q нокталары—
АВ, ВС, CD, DA хордаларының урталары.
THOTV+ POQ = 180°, яки MON= POQ икәнен исбатлагыз.
22. О үзәкле әйләнәне камаучы ABCD дүртпочмагы төзел¬
гән. A OB + COD = 180° икәнен исбатлагыз.
23*. ABC өчпочмагы яссылыгында (АВ), (ВС), (СА) турылары
өстендә ятмаган Р ноктасы бирелгән. PA, РВ, PC турылары
өчпочмакның тиңдәшле почмакларының биссектрисаларын эченә
алган күчәрләргә карата симметрик итеп чагылдырылалар. Килеп
чыккан турыларның я бер ноктада кисешкәнен, я параллель
икәнен исбатлагыз.
24*. ABC өчпочмагы бирелгән. Алты күчәр симметриясе: Sa,
Sb, Sc, Sa, Sb, Sc ның композициясе, бердәй үзгәртүдән аермалы
буларак, параллель күчерү икәнен исбатлагыз, монда a = (ВС),
b = (СА), с = (АВ).
6 У .52
81
25. Бирелгән әйләнәгә, якларын бирелгән биш турыга парал-
.лель итеп, бишпочмак камагыз.
26. Турыпочмаклык формасындагы биллиард өстәлендә шар
ята. Шар, барлык бортлардан да кайтарылып, үзенең башлан¬
гыч торышы аша үтсен өчен, шарга нинди юнәлештә бәрергә
җирәк?
§ 2. ПАРАЛЛЕЛЬ КҮЧЕРҮ ҺӘМ ҮЗӘКЛЕ СИММЕТРИЯ. БОРУ
1. Кисешүче а һәм b турылары бирелгән. A-a[∖c, B=b{∖c
•булган АВ кисемтәсен бирелгән озынлыкта итеп, бирелгән өчен¬
че d кисемтәсенә параллель с кисемтәсе төзегез.
2. Төрле дүрт нокта: A, В, С һәм D бирелгән. Бу нокталар
аша, (а, Ь) чикле полоса киңлеге (с, d) чикле полоса киңлегенә
тигез булырлык итеп, тиңдәшле рәвештә а, Ь, с һәм d парал¬
лель турыларын үткәрегез.
3. Диагональләре, алар арасындагы почмагы һәм бер ягы бу¬
енча трапеция төзегез.
4. Трапеция нигезләренең урталары аша үтүче туры аның ян
якларын эченә алган турылар белән конгруэнт почмаклар төзе¬
сә, трапеция тигезьянлы була. Шуны исбатлагыз.
5. Ике конгруэнт әйләнә тышкы яктан К ноктасында оры¬
налар. Үзәкләр сызыгына параллель кисүче әйләнәләрне эзлекле
рәвештә А, В, С, D нокталарында кисеп үтә. АКС почмагының
зурлыгы кисүчене ничек алуга бәйле түгеллеген исбатлагыз.
6. Барлык яклары да билгеле булган трапециянең мәйданын
табыгыз.
7. О үзәкле әйләнәдә А, В һәм С нокталары АОВ — ВОС
= 60° булырлык итеп бирелгән. В ноктасыннан әйләнәнең ирек¬
ле рәвештә алынган диаметрына кадәр ераклык А һәм С нок¬
таларыннан шул диаметрга кадәр ераклыклар суммасына я ерак¬
лыклар аермасының абсолют кыйммәтенә тигез икәнен исбат¬
лагыз.
8. ω1 әйләнәсеннән читтә яткан ТИ ноктасы аша ω ны, |ДВ| =
= ∖BM∖ булырлык итеп, А һәм В нокталарында кисеп үтүче т
турысы үткәрегез.
9. Бишпочмак (җидепочмак) якларының урталары бирелгән.
Шул бишпочмакны (җидепочмакны) төзегез.
10. Дүрт конгруэнт әйләнә: ω1, ω2, ω3, ω4 М ноктасы аша
үтеп, икенче мәртәбә алты ноктада кисешәләр:
Λ12-=ω1∩ω2, Λ23'-=ω2∩ω3. ···» ^43 = ω4∩ω∙
Д12Д43, ^23Λ14, ∙^i3^24 кисемтәләренең уртак урталары барлыгын
исбатлагыз.
1 Кайвакыт әйләнәне ω хәрефе белан тамгаларбыз.
11. 7H∈(½β), √V∈(BC), ∣OΛi∣ ≠ I ON∖ икәнлеге билгеле бул¬
ганда, үзәге О һәм ТИ, N нокталары буенча ABCD квадратын
төзегез.
12. Бер түбәсе бирелгән О ноктасы белән тәңгәл килерлек,
ә калган икесе бирелгән ике әйләнә өстендә ятарлык итеп,
тигезьяклы өчпочмак төзегез.
13. Түгәрәк эчендә бирелгән нокта аша, бирелгән озынлыкта,
итеп, хорда үткәрегез.
14. Тигезьяклы ABC өчпочмагының ВС, СА һәм АВ яклары
өстендә тиңдәшле рәвештә Μ, N һәм Р нокталары бирелгән.
|ВЖ|:|ЖС| = |С7Ү|:|ЛД| = | AP∖∙.∖PB∖ = k
икәне билгеле.
1) MNP ның тигезьяклы өчпочмак икәнен исбатлагыз.
2) ∖BC∖ = a, k------2 булса, ∣√W7V∣ ны исәпләп чыгарыгыз.
15. ABCD квадратының BCf CD, DA һәм АВ яклары өстендә
тиңдәшле рәвештә Р, Q, R һәм S нокталары бирелгән. ∣ BP |:
: I PC I = ICQ I: ∣ QD ∣ = ∣ DR ∣: ∣ RA ∣ = ∣ AS ∣: ∣ SB ∣ = k икәне билгеле.
1) PQRS ның квадрат икәнен исбатлагыз.
2) ∣AB∣ = a, k = 3 булса, ∣ PQ | ны исәпләп чыгарыгыз.
16. Тигезьяклы ABC өчпочмагы һәм аның үзәге О бирелгән..
О үзәге тирәсендә α почмагына борганда, ABC өчпочмагы
AlBlCl өчпочмагына чагыла.
1) (Λ5)∩(Λ151) = C2, (fiC)∩(β1C1) = Λ һәм (CΛ)∩(C1Λ1) = jβ2
нокталары тигезьяклы өчпочмак түбәләре икәнен исбатлагыз.
2) ∖AB∖ = m булса, ∣ A2B21 не исәпләп чыгарыгыз.
17. М ноктасында кисешүче ике туры өстендә бер үк озын¬
лыктагы АВ һәм AiBl кисемтәләре бирелгән. ЛДтИ һәм BBγM
әйләнәләренең А ны √41 гә, В ны Bl гә чагылдыра торган бору
үзәгендә кисешкәнлеген исбатлагыз.
18. Үзәкле симметрия булмаган боруда һәр турыга шушы
борудагы тиңдәшле нокталарның бер генә пары туры килгәнле¬
ген исбатлагыз.
Үзәкле симметрия очрагында эшнең ничек торганын ачык¬
лагыз.
19. Бирелгән боруда XX' турылары: 1) бирелгән S ноктасы
аша үтәрлек итеп, 2) бирелгән / турысына параллель булырлык
итеп, X' нокталарына чагылдырыла торган X нокталары күпле¬
ге М ны табыгыз.
20. Бердәй ориентирланган1 тигезьяклы конгруэнт ABC һәм
√41β1C1 өчпочмаклары бирелгән. Тиңдәшле рәвештә А, В, С ны—
1 АВ нурын АС нурына чагылдыра торган бору белән AlBi нурын AiCi
нурына чагылдыра торган бору бердәй юнәлгән: икесе дә сәгать йөреше
уңаена якн сәгать йөрешенә каршы юнәлгән булсалар, ABC һәм AlBiCi өч¬
почмаклары бердәй ориентирланган дип атала. Шулай булмаганда, өчпочмак¬
ларны капма-каршы ориентирланган диләр.
Теләсә нинди ике күппочмакның бердәй һәм капма-каршы ориентациясе
турында төшенчә шушыңа аналогик рәвештә бирелә.
83
J41, B1, Cl гэ; А, В, С ны—β1, C1, A1 гэ, А, В, С ны C1, Л,, Д
:гә чагылдыра торган өч боруның үзәкләре бер туры өстендә
:ятканын исбатлагыз.
21. A≠β, 0o<α<360°, 0o≤β≤360o булганда, R"a Һәм R>b
•боруларының композициясе ул /?л+₽ боруы (яки a + β ≠ 360°
булса, Д£+₽-36° боруы, яки a ψ β = 360° булса, күчерү) икәнен
исбатлагыз.
22. ABC өчпочмагының АВ һәм ВС якларын нигез итеп алып,
•бердәй ориентирланган ABMN һәм BCQP квадратлары төзелгән.
Аларның үзәкләрен—Ох һәм О2 дип, АС ягының уртасын—К,
МР кисемтәсенең уртасын L дип тамгалыйк. OxLO2K дүртпоч¬
магының квадрат икәнен исбатлагыз.
23. ABC өчпочмагының АС һәм ВС яклары өстендә, аның
тышында, тигезьяклы ACBx һәм BCAx өчпочмаклары төзелгән.
М—АВ ягының уртасы, О—ACBx өчпочмагының үзәге булса,
ΛiAxO өчпочмагының почмакларын табыгыз.
24. Диагональләре үзара перпендикуляр һәм конгруэнт бул¬
ган ABCD дүртпочмагы бирелгән. М ноктасы—А ны В га һәм
С ны D га чагылдыра торган бору үзәге, ә N ноктасы А ны D
га һәм С ны В га чагылдыра торган бору үзәге булсын.
√WΛ∕r кисемтәсенең уртасы ул ABCD дүртпочмагы урта сы¬
зыкларының кисешү ноктасы икәнен исбатлагыз.
25*. ABCD трапециясенең ян яклары ВС һәм AD үзләренең
урталары тирәсендә + 90° ка борылган, шуннан соң алар ДД
һәм AxDx торышларын алган.
1) I O1C11 = I A1β11 икәнен исбатлагыз.
2) C1D1 кисемтәсенең озынлыгын трапеция нигезләренең
озынлыклары аша күрсәтегез.
§ 3. ВЕКТОРЛАР
1. ABC һәм AxBxCx өчпочмакларының медианалары уртак
► ► ' ►'
ноктада кисешәләр. CCx = AxB ÷ BxA икәнен исбатлагыз.
2. ABCD дүртпочмагы һәм М, Al (Λ4∈[Aβ], ∕V∈[CD]) нокта-
►
лары бирелгән. YxY2 векторының М һәм N нокталарын ничек
алуга бәйле түгеллеген исбатлагыз, монда Үх һәм Y2 AMND
һәм CBMN дүртпочмаклары урта сызыкларының кисешү нокта¬
лары.
3. ABCD дүртпочмагы һәм М ноктасы бирелгән. Дүртпоч¬
мак якларының урталарына карата, М ноктасына симметрияле
—>■ —>■ —ь
итеп, A11, M2, √W3, Λf4 нокталары төзелгән. Λ4√H1 + √W√W3 = MM2 +
+ ΛfΛi4 икәнен исбатлагыз.
4. ABCD дүртпочмагы бирелгән. BCD, CDA, DAB, ABC өч¬
почмаклары медианаларының кисешү нокталары—түбәләре бул¬
ган икенче бер дүртпочмак төзелгән. Ике дүртпочмакның да
урта сызыклары бер ноктада кисешкәнен исбатлагыз.
84
5. ABC өчпочмагының ВС, СА һәм АВ яклары өстендә тиң¬
дәшле рәвештә ½1 һәм A2, Bl һәм B2, Ci һәм С2 нокталары
бирелгән, өстәвенә, ∣2M1∣ = ∣ Д2С|, ICBx ∣ = ∣B2A ∣, ∣√4C1∣ = ∣C2β∣.
ΛxBxCx һәм A2B2C2 өчпочмаклары медианаларының кисешү нок¬
талары бирелгән өчпочмак медианаларының кисешү ноктасына
карата симметрияле икәнен исбатлагыз.
6. ABC өчпочмагының А, В һәм С түбәләре аша, 5 векторы
юнәлешенә параллель итеп, (ВС), (СА) һәм (АВ) ны тиңдәшле
рәвештә Д,, β1, C1 нокталарында кисеп үтүче турылар үткәрел¬
гән. S = αC,C1 = ∖>BBx = yAAl булса, ≈+β+γ=O икәнен исбат¬
лагыз. ,.
7. ABC өчпочмагының ВС, СА һәм АВ яклары өстендә, ACl =
►· ► ► ► ►·
= kAB, BAl = kBC, CBl = kCA булырлык итеп, тиңдәшле рәвеш¬
тә Д„ Bl һәм Cl нокталары бирелгән. AxBlCl өчпочмагы медиа¬
наларының кисешү ноктасы бирелгән өчпочмак медианаларының
кисешү ноктасы белән тәңгәл килгәнлеген исбатлагыз.
8. ABCD дүртпочмагының АВ һәм CD яклары өстендә, АМ=
■· ► >-
kAB, DN=kDC булырлык итек, тиңдәшле рәвештә М һәм N
нокталары бирелгән. ВС, MN һәм AD кисемтәләренең урталары
бер туры өстендә ятканын исбатлагыз.
9. ABC өчпочмагын төзүче ВС, СА һәм АВ турылары өстен-
—► —>■ —>· —► ——►
дә, ACx== a-CxB, BAl = fiAlC, CBl÷= ^{BlA булырлык итеп, тиңдәш¬
ле рәвештә Др Bl һәм C1 нокталары бирелгән. Д,, Bl, Cl нок¬
талары бер туры өстендә ятсалар, <χβγ == — 1 икәнен исбатлагыз.
Кире җөмләнең дөреслеген тикшерегез.
10. ABCD параллелограммы бирелгән. АВ турысы өстендә,
►
AM-=kAB булырлык итеп, М ноктасы алынган. DM турысы
—
(ДС) ны, AN — 1АС булырлык итеп, N ноктасында кисеп үтә.
I ны исәпләп чыгарыгыз.
11. ABCD параллелограммының С түбәсе аша АВ һәм AD
турыларын тиңдәшле рәвештә М һәм N нокталарында кисеп
үтүче I турысы үткәрелгән. DC = kAM, ВС = LAN булса, k + I —
=1 икәнен исбатлагыз.
12. ABC өчпочмагында
сына параллель g турысы
дәшле рәвештә Со, До, Во
суммасы g турысын ничек сайлап алуга бәйле түгеллеген ис¬
батлагыз.
13. Яссылыкта шундый дүрт туры бирелгән: бу турыларның
һәр өчесе бер нокта аша үтми, һәр икесе үзара параллель тү¬
гелләр. Әгәр дүрт турының берсе калган өч туры белән билге¬
ләнгән өчпочмакның медианасына параллель булса, калган өч
турының һәркайсы аналогик үзлеккә ия икәнен исбатлагыз.
CCx медианасы үткәрелгән. CCl туры-
(АВ), (ВС) һәм (СД) турыларын тиң-
нокталарында кисеп үтә. A0B0 + Д0С0
85
14. ABC өчпочмагының A, В һәм С түбәләре аша, 3 нокта¬
сында кисешерлек итеп, тиңдәшле рәвештә Z, т һәм п турыла¬
ры үткәрелгән. ВС, СА һәм АВ якларының урталары: Ао, Во һәм
Со нокталары аша тиңдәшле рәвештә I, т һәм п га параллель
итеп үткәрелгән ∕1, тх һәм пх турыларының шулай ук бер нок¬
тада кисешкәнен исбатлагыз.
15. ABC өчпочмагы һәм М ноктасы бирелгән; Ax, Вх һәм Сь
нокталары — ВС, СА һәм АВ якларының урталары. А, В һәм С
түбәләре аша тиңдәшле рәвештә MAx, MBx һәм MCx турылары¬
на параллель турылар үткәрелгән. Бу турыларның бер ноктада
кисешкәнлеген исбатлагыз.
16. ABC өчпочмагында CCx медианасы үткәрелгән, р турысы.
АС, ВС һәм CCx кисемтәләрен тиңдәшле рәвештә Р, Q һәм М
1 t∖~AP∖ , I BQ I
нокталарында кисеп үтә. — -⊂τj∙ + 4—
2∖PC∣ ∣QC∣
лагыз.
IC1Λf∣ ,
- , икәнен исбат-
\МС\
17. О үзәкле әйләнәгә ABCD дүртпочмагы камалган, аның,
диагональләре үзара перпендикуляр һәм М ноктасында кисешә-
—► —►· —►·
ләр. ОМ векторын ОА, ОВ, ОС һәм OD векторлары аша күр¬
сәтегез.
п
18. О үзәкле төзек A1A2...An «-почмагы бирелгән. ^pOAi=
→ /=1
= 0 икәнен исбатлагыз.
19. О үзәкле төзек AxA2...An «-почмагы һәм М ноктасы
п
бирелгән. = п-МО икәнен исбатлагыз.
/=1
20. O1 һәм О2 үзәкләре булган, ирекле рәвештә урнашкан
п
төзек я-почмаклар: AxA2...An һәм BxB2...Bn бирелгән. ∑Λ⅞--=
/=1
►·
= nOxO2 икәнен исбатлагыз.
21*. О үзәкле төзек бишпочмак A1A2A3A4As бирелгән. OA3,
ОА4 һәм OA5 векторларын OAx һәм OA2 векторлары аша күр¬
сәтегез.
22. ABCD дүртпочмагының урта сызыгы MN ның озынлыгы
АВ һәм CD яклары озынлыгының ярымсуммасына тигез булса
(7W∈[βC], Λr∈[Z)A]), ул вакытта ABCD ның трапеция яки па¬
раллелограмм булганын исбатлагыз.
23. ОАВС һәм OAxBxCx параллелограммнары бирелгән. Өч
кисемтә: AA1, BBx, CCx нең һәркайсы калган ике кисемтәнең
суммасыннан зур түгеллеген исбатлагыз.
24*. ABC өчпочмагының яклары өстендә, аның тышында, ти¬
гезьяклы ABCx, BCAx, CABx өчпочмаклары төзелгән. AAx +
—>- —>■ →
+ BBi + CCx ■= 0 икәнен исбатлагыз.
86
25*. ABC өчпочмагының яклары өстендә, аның тышында,
үзәкләре тиңдәшле рәвештә Al, Bl һәм Cl нокталарында булган
квадратлар төзелгән. AAi + BBx + CCx ·— 0 икәнен исбатлагыз.
26*. ABC өчпочмагының яклары өстендә, аның тышында, тө¬
зек ABCl, BCAl, CABl өчпочмаклары төзелгән. ABC һәм AxBxCl
өчпочмаклары медианаларының кисешү нокталары тәңгәл кил¬
гәнлеген исбатлагыз.
27*. ABC өчпочмагының AAl һәм BBl биеклекләре дәвамын¬
да, А һәм В түбәләреннән башлап, AA2 һәм BB2 кисемтәләре
салынган, анда ∣ AA21 = IВС | һәм ∣ββ2∣ = ∣ AC∣. ∣ CA21 = ∣ CB21,
fCA2] I [Cfi2] икәнен исбатлагыз.
28*. ABC өчпочмагының СА һәм СВ яклары өстендә, аның
тышында, CAAiCl һәм CBBxC∖ квадратлары төзелгән. CCxC∖ өч¬
почмагының С түбәсеннән үткәрелгән медианасы АВ ягына
перпендикуляр һәм аның яртысына тигез икәнен исбатлагыз.
29*. ABCD дүртпочмагының яклары өстендә, аның тышында,
үзәкләре тиңдәшле рәвештә Р, Q, R, S нокталарында булган
ABBxAl, BCClBι, CDΓ)γC∖ һәм DAAxD∖ квадратлары төзелгән.
PR һәм QS кисемтәләренең тигез һәм үзара перпендикуляр икә¬
нен исбатлагыз.
30*. ABC өчпочмагы һәм аңа камаулы әйләнәнең үзәге О би-
—һ —► —>
релгән. аОА + ЬОВ + сОС --= 0 икәнен исбатлагыз, монда а =
= ∣BC∣, ⅛ = ∣CA∣, <?=■=IАВ\.
§ 4.2ГОМОТЕТИЯ
1. Чикләре параллель булган һәм конгруэнт булмаган (а, Ь)
һәм (α1, ⅛1) полосалары бирелгән. Беренче полосаны икенчесенә
чагылдыручы барлык гомотетияләр күплеген табыгыз.
2. Ике гомотетиянең композициясе я гомотетия, я күчү, я
бердәй үзгәртү икәнен исбатлагыз.
3. Нинди шарт үтәлгәндә, төрле ике гомотетиянең тиңдәшле
уртак пар нокталары була? Әгәр андый нокталар булса, шул
нокталар парын төзегез.
4. Теләсә нинди үзәкле һәм теләсә нинди коэффициентлы
гомотетия әйләнәне әйләнәгә чагылдырганлыгын исбатлагыз.
5. Ике әйләнәнең уртак ноктасы әйләнәләрнең берсен икен¬
чесенә чагылдыра торган гомотетия үзәге булып хезмәт итсә,
ул нокта әйләнәләрнең орыну ноктасы икәнлеген исбатлагыз.
6. ω1 һәм ω2 әйләнәләре А һәм В нокталарында кисешәләр.
А ноктасы аша шундый р турысы үткәрегез: р турысыннан
әйләнәләр белән киселеп алынган MxA һәм MiA хордаларының
чагыштырмасы k санына тигез (| MxA |:| Λf2A ∣ = k) булсын.
7. Ачык түгәрәкнең М ноктасы аша, бу нокта белән бирел¬
гән чагыштырмада бүленерлек итеп, АВ хордасы үткәрегез.
8. Конгруэнт булмаган ике әйләнәнең берсен ике гомотетия
ярдәмендә икенчесенә чагылдырырга мөмкин икәнен исбатлагыз.
17
9. I турысы өстендә ике пар нокта: А, В һәм Al, Bl бирелм
гән, өстәвенә, ∣ AB∖=≠= A1Bl. А ны √11 гә һәм В ны Bl гә чагыл·*
дыра торган гомотетия үзәген төзегез.
10. Почмак һәм шул почмакныкы булган нокта бирелгән.
Почмакның якларына орындырып, бирелгән нокта аша үтүче
әйләнә төзегез. ,
11. Почмак һәм аның эчке ноктасы М бирелгән. М ноктасы
аша, почмакның якларын А һәм В нокталарында кисеп үтүче
һәм АВ кисемтәсе М ноктасында бирелгән чагыштырмада бү¬
ленерлек итеп, туры үткәрегез.
12*. ABC өчпочмагына әйләнә камалган. Ул әйләнә АВ ту¬
рысына М ноктасында орына. √W1-камаулы әйләнәнең М нок¬
тасына диаметраль капма-каршы нокта булсын. CΛf1 турысы АВ
турысын I ЛС| + I ACx ∣ = ∣BC∖ + ∖BCx | булырлык C1 ноктасында
кисеп үткәнлеген исбатлагыз.
13. Төрле радиуслы ω1 һәм ω2 әйләнәләре М ноктасында оры¬
налар. Ирекле рәвештә үзара перпендикуляр √H√11, √41∈ω1 Һәм
Λ1A2, A2∈ω2 хордалары төзелгән. AlA2 турылары күплегенең
үзәк турылар бәйләменә кергәнлеген исбатлагыз.
14. Тышкы яктан пар-пар орынган өч әйләнә бирелгән. Ли¬
нейкадан гына файдаланып, бу әйләнәләрнең үзәкләрен төзегез
(әйләнәләрнең орыну нокталары бирелгән).
15. Бирелгән сегмент эченә, ике түбәсе—сегмент дугасында,
калган икесе—нигезендә ятарлык итеп, квадрат камагыз.
16. ABC өчпочмагы бирелгән. Ике түбәсе—АВ турысында,
калган икесе тиңдәшле рәвештә АС һәм ВС турыларында ятар¬
лык итеп, квадрат төзегез.
17. Бирелгән сектор эченә, ике түбәсе дуга өстендә, калган
икесе—радиуслары өстендә ятарлык итещ квадрат камагыз.
18. Бирелгән сектор эченә, бер түбәсе—дуга өстендә, икен¬
че түбәсе—радиус өстендә, калган ике түбәсе икенче радиус
өстендә ятарлык итеп, квадрат камагыз.
19. Әйләнәдә ике радиус үткәрелгән. Шушы радиуслар белән
өч конгруэнт кисемтәгә бүленерлек итеп, әйләнәгә хорда үткә¬
регез.
20*. Тигезьяклы өчпочмакның ВС, СА, АВ яклары А, В, С
нокталары белән бер үк k чагыштырмасында бүленгән:
1⅛, = ∣⅞∣ = ι⅞ = А
I в^с I I җв I I си I
√l1fiιC1 өчпочмагының BlCi, ClAl, AlBl яклары A2, B2, С2 нок¬
талары белән бер үк у чагыштырмасында бүленгән:
I ΛlB2 I __ I C,A2 I I BlC2 I 1
∣zξc1∣ ∣½Λ∣ ∣C∏1∣ k
A2B2C2 өчпочмагының ABC өчпочмагына гомотетик икәнен их>
батлагыз. Гомотетия коэффициентын исәпләп чыгарыгыз.
88
§ 5. ОХШАШЛЫК
1. Төрле А һәм В нокталары һәм төрле Λ1 һәм Вх ноктала¬
ры бирелгән. А ны Ах гә һәм В ны Вх гә чагылдыручы ике һәм
бары тик ике генә охшашлык барлыгын исбатлагыз.
2. Нокталар пары (Д, Ах) һәм (В, B1) бирелгән, өстәвенә, ∣ AB∖ ≠
/ ∣½lS1∣. А ны Д, гә, В ны Вх гә чагылдыра торган ике ох¬
шашлыкның кузгалмас 1 нокталарын төзегез.
3. Бер үк d киңлегендәге өч полоса: (a, αl), (⅛, 61), (с, cl)
бирелгән, а, Ь, с турылары—ABC өчпочмагын, ә α1, bx, сх ту¬
рылары беренче өчпочмак эченә урнашкан AxBxCx өчпочмагын
төзиләр.
Беренче өчпочмакның мәйданы 5, периметры 2р билгеле бул¬
ганда, икенче өчпочмакның мәйданы S1 не һәм периметры 2px
не исәпләп чыгарыгыз.
4. ABCD дүртпочмагы бирелгән. Якларын һәм диагональлә¬
рен ABCD дүртпочмагының якларына һәм диагональләренә па¬
раллель итеп, икенче PQPS дүртпочмагы төзегез.
5. Әгәр ABG өчпочмагы (О—ABC өчпочмагы медианалары¬
ның кисешү ноктасы) якларының озынлыклары бирелгән өчпоч¬
макның медианалары озынлыгындагы өчпочмакка охшаш булса,
ABC өчпочмагында а, Ь, с якларының озынлыклары арасындагы
бәйләнешне табыгыз.
6. Р ноктасы аша Q ноктасында кисешүче ике турыга РД һәм
РВ перпендикулярлары үткәрелгән. Н ноктасы QAB өчпочмагы¬
ның ортоүзәге булсын. Р ны Н ка чагылдыруның охшашлык
икәнен исбатлагыз һәм охшашлык коэффициентын табыгыз (ту¬
рылар арасындагы φ почмагы—туры почмак түгел).
7. ABCD дүртпочмагы бирелгән. Д( һәм C1 нокталары—Д
һәм С түбәләренең BD диагоналенә ортогональ проекцияләре,
ә Вх һәм Dx нокталары—Р һәм D ның АС диагоналенә ортого¬
наль проекцияләре. AxBxCxDx дүртпочмагының бирелгән дүрт¬
почмакка охшаш икәнен исбатлагыз һәм охшашлык коэффи¬
циентын исәпләп чыгарыгыз. (АС һәм BD диагональләре үзара
перпендикуляр түгелләр.)
8. О үзәкле әйләнәгә ABC өчпочмагы камалган. О үзәге ти¬
рәсендә 180° ка тигез булмаган α почмагына бору ABC өчпоч¬
магын AxBxCx өчпочмагына чагылдыра: Д—>ДИ B-→Bx, C→Cx.
Бу борудагы тиңдәшле ВС һәм BxCx, СА һәм C^1, АВ һәм AxBx
турылары До, В„, Со нокталарында кисешәләр. A0B0C0 өчпочма¬
гының ABC өчпочмагына охшаш икәнен исбатлагыз. Охшашлык
коэффициентын табыгыз.
9. Ягы а га тигез булган квадрат үзенең үзәге тирәсендә α
почмагына борылган, өстәвенә, Д—«-Д,, B→Bx, C-→Cx, D→Dx.
АВ һәм AxBx, ВС һәм BxCx, CD һәм CxDx, DA һәм DxAx туры-
1 Охшаш фигураларны төзегәндә үзенә чагылдырыла торган нокта ох¬
шашлыкның кузгалмас ноктасы дип атала. Бу ноктаны шулай ук охшашлык
үзәге дип тә атыйлар.
89
ларының кисешү нокталары квадрат түбәләре икәнен исбатла-!
гыз. Аның ягын а һәм α аша күрсәтегез.
10. Үзенең үзәге тирәсендә борганда ABCD квадраты
AxBxCxDx квадратына чагыла. AAl, BBx, CCx һәм DDx турылары
квадратның түбәләре булган нокталарда кисешкәнлеген исбат¬
лагыз. Бору почмагы α га, бирелгән квадратның ягы а га тигез
булганда, бу квадратның ягын (α1 не) исәпләп чыгарыгыз.
11. Ян яклары тигез булмаган трапециянең якларына үткә¬
релгән урта перпендикулярлар бирелгән трапециягә охшаш тра¬
пецияне билгеләгәнлеген исбатлагыз. Охшашлык коэффициен¬
тын исәпләп чыгарыгыз.
12. ABC өчпочмагы бирелгән. ВС, СА, АВ турылары өстен¬
дә, √41β1C1 өчпочмагы ABC өчпочмагына охшаш һәм аның белән
бердәй ориентирланган булырлык итеп, тиңдәшле рәвештә A1,
Вх һәм C1 нокталарын табыгыз.
13. Охшаш һәм бердәй ориентирланган ABC һәм AxBxCx өчпоч¬
маклары бирелгән. Әгәр О—ирекле рәвештә алынган нокта һәм
AAxOA0, BBxOB0, CCxOC0 дүртпочмаклары—параллелограммнар-
булса, A0B0C0 өчпочмагы бирелгән өчпочмакларга охшаш һәм.
алар белән бердәй ориентирланган була. Шуны исбатлагыз.
14. Бер түбәсе бирелгән нокта белән тәңгәл килерлек, ә
калган икесе: 1) бирелгән ике әйләнә өстендә ятарлык; 2) би¬
релгән ике туры өстендә ятарлык итеп, бирелгән өчпочмакка
охшаш һәм аның белән бердәй ориентирланган өчпочмак төзе¬
гез.
15. Ике концентрик әйләнә бирелгән. А һәм В түбәләре—бер
әйләнә өстендә, ә С һәм D түбәләре икенче әйләнә өстендә
ятарлык итеп, ABCD квадраты төзегез.
,§ 6. КООРДИНАТАЛАР
1. Турыпочмаклы координаталар ярдәмендә А(а, ⅛) нокта¬
сын A1(α1, bx) ноктасына чагылдыра торган параллель күчерү
формуласын языгыз.
2. Турыпочмаклы ике координаталар системасының башлан¬
гычлары Ох—уртак, өстәвенә, (Ox, Ox') = φ. Координаталар
системасы Оху та М ноктасының координаталары (х, у), ә Ох’у'
системасында—(У, yz). х һәм у буенча х' һәм yz ны исәпләргә·
мөмкинлек бирүче формулалар төзегез.
3. Турыпочмаклы координаталарны кулланып, координата¬
лар башлангычы тирәсендә яссылыкны φ почмагына бору форму¬
ласын языгыз.
4. Турыпочмаклы координаталарны кулланып, у = kx + b кү¬
чәренә карата яссылыкның күчәр симметриясе формуласын
языгыз.
5. Бердәй озынлыктагы АВ һәм AxBx кисемтәләре бирелгән.
Бу кисемтә очларының турыпочмаклы координаталары түбән-
90
дәгечә: А (0; 0), jB(5; 0), 51(3j 4), Λl(0j 0). Яссылыкны А ны
½1 гә, В ны Bl гә чагылдыра торган бору тигезләмәләрен язы¬
гыз.
6. Гомотетия үзәге S ның координаталары x0, у0 гә, гомоте¬
тия коэффициенты k га тигез. Бирелгән гомотетиядә М нокта¬
сының координаталары х, у буенча аның образы булган М'
ноктасының координаталарын х' һәм у' ны исәпләргә мөмкин¬
лек бирүче формулалар төзегез.
7. Күчәрләре бердәй юнәлешле: Ox↑↑O'x', Oy↑↑O'y' булган
ике координаталар системасы бирелгән. Беренче координаталар
системасында М. ноктасының координаталары х, у, ә икенче¬
сендә— x,, у'. Оху системасында 0’ ноктасының координатала¬
ры а һәм b га тигез булса, х, у координаталары буенча х', у'
ны исәпләргә мөмкинлек бирүче формулаларны табыгыз.
8. Ике гомотетиянең композициясе гомотетия яки, аерым
очракта, параллель күчерү яки бердәй чагылдыру икәнен коор¬
динаталар методы белән исбатлагыз.
9. А (3; —1) ноктасы аша у = 2х — 5 турысына параллель
итеп үткәрелгән туры тигезләмәсен языгыз.
10. у = kx + b *гурысы бирелгән. Бу турының теләсә нинди
ике ноктасы: A (x1, y1) һәм В (x2, y2), xl ≠ x2 өчен y*^~y'∙ = k
тигезлеге үтәлгәнлеген исбатлагыз.
11. Λ(α1, α2) һәм B(bx, b2) нокталары бирелгән. ∣ MA |2 +
+ I MB ∣2 = ⅛2 тигезлеге үтәлә торган М (х, у) нокталары күпле¬
ге өчен тигезләмә төзегез. Килеп чыккан тигезләмәгә геометрик
аңлатма бирегез.
12. A(al, α2) һәм B(bl, b2) нокталары бирелгән. ∣ MA |2 —
— ∣Λifi∣2 = A2 тигезлеге үтәлә торган М(х, у) нокталары күплеге
өчен тигезләмә төзегез. Килеп чыккан тигезләмәгә геометрик
аңлатма бирегез.
13. Λ(x1, У1), B(x2, y2), C(x3, Уз) нокталарының бер туры
өстендә яту шартын языгыз.
14. Өчпочмак медианаларының бер ноктада кисешкәнен һәм
өчпочмакның түбәсеннән башлап исәпләгәндә шул нокта белән
2:1 чагыштырмасында бүленгәнен координаталар ярдәмендә
исбатлагыз.
15. у = kix 4- bl, у = k2x + b2 турыларының перпендикулярлык
шартын языгыз.
16. АВ һәм CD кисемтәләре очларының координаталары бе¬
лән бирелгән: A (α1, α2), B(bl, b2), C(c1, c2), D(dl, d2). Бу ки¬
семтәләрнең перпендикулярлык шартын языгыз.
17. M(x0, у0) ноктасыннан у = kx + b турысына кадәр ерак¬
лыкны исәпләп чыгарыгыз.
18. Квадратның барлык түбәләреннән аның үзәге аша үтүче
турыга кадәр ераклыкларның квадратлары суммасы бу турыны
ничек алуга бәйле түгеллеген исбатлагыз.
91
19. Түбәләренең бирелгән турыпочмаклы координаталарыз
Л(1; 2), S(2; 4), С(—2; 5) буенча ABC өчпочмагының мәйданын
исәпләп чыгарыгыз.
20. Түбәләренең координаталары: Л(— 1; —2), В (5; —2),
С(2; 3) буенча (сызымын сызмыйча гына) өчпочмакның төрен
билгеләгез.
21. Квадратка R радиуслы әйләнә камалган. Әйләнәнең телә¬
сә нинди ноктасыннан квадратның якларына кадәрге ераклык¬
ларның квадратлары суммасы даими сан һәм 67?2 ка тигез икән¬
леген исбатлагыз.
22. ABCD параллелограммы һәм М ноктасы бирелгән^
IМА |2 — I MB ∣2 + IМС ∣2 — IMD ∣2 аңлатмасының зурлыгы М нок¬
тасының торышына бәйле түгеллеген исбатлагыз.
23. Турыпочмаклык бирелгән. Яссылыкта шундый нокталар
күплеген табыгыз: ул нокталарның һәркайсыннан турыпочмак¬
лыкның бер диагоналенең очларына кадәрге ераклыкларның
квадратлары суммасы аның икенче диагоналенең очларына ка¬
дәрге ераклыкларның квадратлары суммасына тигез булсын.
24. Ике әйләнә бирелгән: x1 + y2 — 1 = 0, x2 + у2 — х = 0. Бу
әйләнәләрнең охшашлык үзәге координаталарын табыгыз.
25. х2 + y2 = R2 әйләнәсенә M(x0, у0) ноктасындагы орынма
тигезләмәсен төзегез.
26. cos (α — β) = cos a cos β + sin a sin β икәнен исбатлагыз.
27. у = x2 параболасын үзәкле симметрия белән у = — х2+
+ тх + п. параболасына чагылдырырга мөмкин икәнен исбатла¬
гыз.
28. y = x2, у -= px2 + qx + r, pψ∖, параболаларының гомоте¬
тии икәнен исбатлагыз.
29. Ике парабола бирелгән: y = x2, y = 2x2 + x- 1. Бу пара¬
болаларның гомотетия үзәге координаталарын табыгыз.
30. y = x2 параболасы өстендә дүрт нокта: A, В, С, D би¬
релгән. Әгәр АВ һәм CD турылары Ох күчәренә бер үк почмак
белән авышкан булсалар, АС һәм BD, AD һәм ВС турыларының
да Ох күчәренә шундый ук почмак белән авышканлыгын исбат¬
лагыз (бирелгән нокталар белән билгеләнә торган хордалар
арасында үзара параллельләре юк дип исәпләнә).
31. y = x2 параболасына Λi(x0, j⅛) ноктасындагы орынма ти¬
гезләмәсен языгыз.
32. y = x2 параболасына үткәрелгән ике орынма М(а, Ь)
ноктасында кисешәләр. Орыну нокталары аша үтүче туры ти¬
гезләмәсен төзегез.
33. Алты нокта: А, В, С, D, Е, Е —парабола нокталары. АВ
һәм DE хордалары һәм шулай ук ВС һәм ЕЕ хордалары үзара
параллель булсалар, CD һәм ЕА хордаларының да үзара парал¬
лель икәнен исбатлагыз.
Бу нәтиҗәнең ху — р гиперболасы өчен дөреслеген тикше¬
регез.
92
34. ху = 1 гиперболасы өстендә өч нокта бирелгән: A
—Ү b(x2, — ∖ cix3, —\ ABC өчпочмагы биеклекләренең ки-
сешү ноктасы Н гипербола ноктасы да икәнен исбатлагыз.
35. ABC өчпочмагының А, В һәм С түбәләре аша өч пар
туры: α1 һәм a2, bi һәм b.2, cl һәм с2 үткәрелгән, өстәвенә,.
α1 ∣Pι∣∣cι, a~ II b2 II с2. Барлыкка килгән ВС, СА һәм АВ диагональ¬
ле параллелограммнарның икенче диагональләрен эченә алган
турыларның бер генә уртак ноктасы бар яки алар параллельләр.
Шуны исбатлагыз.
§ 7. КООРДИНАТАЛЫ ВЕКТОР МЕТОДЫ
1. а векторының координаталары (5; —4). 1) 2а; 2) —а;
→ 1 →
3) — 4а; 4) — а векторларының координаталарын исәпләп чыга-
5
рыгыз.
2. A (xt, y1) һәм B(x2, у2) нокталары бирелгән. АВ векторы¬
ның координаталарын табыгыз.
3. 1) Д(1; 3), В (2; 5); 2) А (2; -1), 5(0; 4); 3) Л (1; - 1),.
В(— 1; 1) булганда, АВ кисемтәсенең уртаСы—М ноктасының
координаталарын табыгыз.
4. 1) Д(—1; 3), 5(2; 1); 2) А (2; -3), 5(0; 2) булганда, АВ
кисемтәсен 1:2 чагыштырмасында бүлүче С ноктасының коор¬
динаталарын табыгыз.
—► —►
5. АВ һәм CD векторлары үзләренең координаталары белән
бирелгән: АВ (2; —1), С£)(3; 1). 1) АВ + CD; 2) АВ — CD;
3) BA + DC векторларының координаталарын исәпләп чыгары¬
гыз.
— ⅛ ■ ►
6. АВ һәм CD векторлары үзләренең координаталары белән
бирелгән: А5(3; 4), CD(-2; 1). 1) 2AB — CD; 2) AB — 2CD;
>- ¼- ⅛ — ►
3) — AB + 4DC; 4) 3AB-↑-2DC векторларының координатала¬
рын исәпләп чыгарыгыз.
7. a, b һәм с векторлары үзләренең координаталары белән
бирелгән: а (2; 3), b (— 1; — 1), с (0; 2). 1) a + b + с; 2) a + b —
— с; 3) a + 2b — с; 4) За — b — 2с векторларының координата¬
ларын исәпләп чыгарыгыз.
8. Өч нокта бирелгән: А (2; 1), 5(3; —2), С(0; A), k ның
кыйммәте нинди булганда, бирелгән нокталар бер туры өстендә
яталар?
9. ABC өчпочмагы бирелгән: Д(1; 2), 5 (—2; 3), С(2; 4).
√W, N, Р нокталары—ВС, СА һәм АВ якларының урталары. ΜΝ»
NP, РМ векторларының координаталарын исәпләп чыгары-1
тыз.
10. ABC өчпочмагы түбәләренең координаталары бирелгән:
А(2; 3), 5(-1; 4), С(1; 1). 1) ABCD; 2) ACBD; 3) CABD па¬
раллелограммнарында D түбәсенең координаталарын исәпләп
чыгарыгыз.
11. ABC өчпочмагы бирелгән: Д(0; —1), В (3; 1); С(1; —2);
I√4√41], [551] һәм [CC1]-аның медианалары. AA1, BBl Һәм CCi
векторларының координаталарын исәпләп чыгарыгыз.
12. A (1; 3), В (2; -1), С(0; 4), D(2∖ -4) булган АВ һәм CD
кисемтәләренең параллель икәнен исбатлагыз.
13. Д(1; —2), 5(5; 4), С(2; —1), D(0; —4) булган АВ һәм
- ►
CD векторларының капма-каршы юнәлешле икәнен исбатлагыз.
14. Д(1; 0), 5(3; 4), С(2; —1), £>(2; 5) булганда, А, 5, С
һәм D нокталарының параллелограмм түбәләре икәненә ышаны¬
гыз. Бу параллелограммны әйтеп бирегез.
15. Дүрт нокта бирелгән: А(1; 1), 5(2; —1), С(4; 0), Z)(8;
— 3). Бу нокталарның трапеция түбәләре икәненә ышаныгыз.
Ул трапецияне атагыз.
16. Нуль-вектор булмаган ике вектор бирелгән: а(т; ri),
b(p; q). Бу векторларның коллинеар булуы өчен кирәкле һәм
җитәрлек шартны языгыз.
17. А ноктасы аша р векторына параллель үтүче туры ти¬
гезләмәсен төзегез: 1) А (2; —1), р(4; 1); 2) A (1: 1), /?(—1; 3),
.3) А (3; 2), р(2; 0).
18. Туры үзенең гомуми тигезләмәсе белән бирелгән: Ах +
+ 5y + C = 0. Турының p(-B∖ А) векторына параллель икәнен
*исбатлагыз.
19. т ның кыйммәте нинди булганда, 2x + ту — 1=0, тх +
+ 8у + 2 = 0 турылары параллель була?
20. Нуль-вектор булмаган ике вектор үзенең координата-
.лары белән бирелгән: a (т, п), b (р, q). тр + nq = 0 тигезлеге а
һәм Ь векторларының перпендикуляр булуы өчен җитәрлек һәм
^кирәкле шарт икәнен исбатлагыз.
21. а һәм Ь векторлары бирелгән, өстәвенә ∣α∣== | 6 |, (а, Ь) =
— + 90°. а векторының координаталары Дх0; y0) гә тигез. Ь век¬
торының координаталары нәрсәгә тигез?
22. ABC өчпочмагы үз түбәсенең координаталары белән би¬
релгән: А(1; 1), 5(2; — 1), С(—1; 4). Координаталар башлангычы
тирәсендә + 90° ка борганда, бирелгән өчпочмак A151Cj өчпоч¬
'94
магына чагылдырыла. 41, Bl, C1 түбәләренең координаталарын
исәпләп чыгарыгыз.
23. А(2; —3) ноктасы аша үтүче /г(—4; 1) векторына пер¬
пендикуляр туры тигезләмәсен төзегез.
24. ABCD квадратында А һәм В түбәләренең координаталары
билгеле: 4(1; —2), 5(4; —1). С һәм 7) түбәләренең координа¬
таларын исәпләп чыгарыгыз.
25. ABCD квадраты бирелгән: Аның А һәм С түбәләренең
координаталары билгеле: 4(2; —4), С(—1; 3). В һәм D түбә¬
ләренең һәм бирелгән квадрат үзәгенең—М ноктасының коор¬
динаталарын исәпләп чыгарыгыз.
26. Зх — у + 4 = 0, х + Зу — 1 = 0 турыларының үзара пер¬
пендикуляр икәнлегенә ышаныгыз.
27. Туры үзенең тигезләмәсе белән бирелгән: 5x + Зу — 1 =
= 0. Бу турыга параллель булган берәмлек векторның коорди¬
наталарын табыгыз.
28. 4(1; 3), 5(2; —1), С(4; ⅛) булган ABC өчпочмагы k ның
кыйммәте нинди булганда тигезьянлы (∣C4∣ = ∣C5∣) булыр?
§ 8. МӘЙДАННАР
1. Р, Q, R һәм S—кабарынкы ABCD дүртпочмагы якларының
урталары булса, мәйд. (ABCD) = 2 мәйд. (PRQS) икәнен исбат¬
лагыз.
2. Дүртпочмакның урта сызыгы аны тигез зурлыктагы ике
кисәккә бүлсә, ул дүртпочмакның трапеция икәнен исбатлагыз.
3. Дүртпочмакның урта сызыклары аны дүрт дүртпочмакка
бүләләр. Янәшә ятмаган ике дүртпочмакның мәйданнары сумма¬
сы дүртпочмак мәйданының яртысына тигезлеген исбатлагыз.
4. ABC өчпочмагының АС һәм ВС яклары өстендә, аның
тышында, ирекле рәвештә ACMN һәм BCPQ параллелограммна¬
ры төзелгән. Бу параллелограммнарның MN һәм PQ яклары 5
ноктасында кисешәләр, [5i√]∣∣[SC] һәм ∣5i√∣ = ∣5C∣ булган ABUN
параллелограммының мәйданы ACMN һәм BCPQ параллело¬
граммнарының мәйданнары суммасына тигезлеген исбатлагыз.
5. Ачык почмакның бер ноктасы аша, бу почмакның яклары
белән бергә иң кечкенә мәйданга ия булган өчпочмакны чикләп
торырлык итеп, туры үткәрегез.
6. Кабарынкы ABCD дүртпочмагының 45 һәм CD яклары
өстендә, I AM |:| MB ∣ = ∣ CΛφ∣ ND | булырлык итеп, М һәм N
нокталары бирелгән. AN һәм DM кисемтәләре—5 ноктасында,
ә CM һәм BN кисемтәләре Q ноктасында кисешсеннәр ди. MQNP'
дүртпочмагының мәйданы APD һәм BCQ өчпочмакларының мәй¬
даннары суммасына тигезлеген исбатлагыз.
7. Өчпочмакның ягы өстендә бирелгән нокта аша үтүче ту¬
ры белән бу өчпочмакны тигез зурлыктагы ике кисәккә бүлегез.
95·
8. Өчпочмакта медианаларының кисешү ноктасы аша турь
•үткәрелгән. Төзелгән өчпочмак белән калган кисәкнең мәйдан
4
нары чагыштырмасы — тән кечерәк түгеллеген исбатлагыз.
5
9. Түбәндәге үзлекләргә ия булган ABCD кабарынкы дүрт¬
почмагы бирелгән: С ноктасы аша (AD) га параллель итеп үт¬
кәрелгән туры белән D ноктасы аша (5С) га параллель итеп
үткәрелгән туры АВ ягы өстендәге М ноктасында кисешәләр.
Scmd = V^ Samd · В ВМС
икәнен исбатлагыз.
10. ABC өчпочмагы өстендә яткан М ноктасы аша аның як¬
ларына параллель турылар үткәрелгән. Бу турыларның һәр ике¬
се белән өмпочмакның бер ягы яңа өчпочмак төзи. Бу өчпоч¬
макларның мәйданнары S1, S2, S3 кә, бирелгән өчпочмакның
мәйданы 5 ка тигез булса, ¼ 5 = ¼S1 + ]ΛS,2 + ]AS3 икәнен ис¬
батлагыз.
11. М ноктасы ABCD дүртпочмагыныкы. АМВ, BMC, CMD,
DMA өчпочмаклары тигез зурлыкта булсалар, бу дүртпочмак
параллелограмм булырмы?
12. ABCD кабарынкы дүртпочмагы бирелгән. М һәм N нок¬
талары АВ ягын—өч конгруэнт кисемтәгә, М һәм N нокталары
каршы яткан DC ягын шулай ук өч конгруэнт кисемтәгә бүлә¬
ләр.
MNNlMl кабарынкы дүртпочмагының мәйданы бирелгән дүрт¬
почмак мәйданының — ен тәшкил иткәнен исбатлагыз.
3
13*. ABCD дүртпочмагы бирелгән. Аның һәр ягы өч конгру¬
энт кисемтәгә бүленгән һәм капма-каршы якларда урнашкан
бүлү нокталары кисемтәләр белән тоташтырылган. Әлеге кисем¬
тәләр белән бирелгән дүртпочмак 9 кабарынкы дүртпочмакка
бүленә. Аларның шулар арасыннан бирелгән дүртпочмакның
яклары белән уртак ноктасы булмаганының мәйданы бирелгән
дүртпочмак мәйданының — ен тәшкил иткәнлеген исбатлагыз.
14. ABC өчпочмагының ВС, АС һәм АВ яклары өстендә A1,
►" >■ ► ►
Bx, C1 нокталары бирелгән, өстәвенә, BAx∙.AxC -= CBx∙.BxA =
► ►
= ACx∙.CxB = 2. AAx, BBx, CCx турылары пар-пар Μ, N, Рнокта-
ларында кисешәләр: М = (BBx) ∩ (CC1), N=(CCx) ∩ (AA1), P(AAx) ∩
∩(ββ1).
MNP өчпочмагының мәйданы бирелгән өчпочмак мәйданы¬
ның — ен тәшкил иткәнлеген исбатлагыз.
15. ABCD параллелограммы бирелгән, Μ, N, Р, Q ноктала¬
ры— АВ, ВС, CD, DA якларының урталары. АР, CM, DN һәм
BQ турылары үзара кисешеп, дүртпочмак төзиләр. Бу дүртпоч-
•96
макның параллелограмм икәнен һәм мәйданы бирелгән паралле¬
лограмм мәйданының — ен тәшкил иткәнлеген исбатлагыз.
5
16. ABCD параллелограммында М һәм N нокталары—АВ һәм
ΛD якларының урталары. DM һәм BN турылары Р ноктасында
кисешәләр. AMPN дүртпочмагының мәйданы параллелограмм
мәйданының нинди өлешен тәшкил итә?
17. ABCD параллелограммы бирелгән. АВ һәм AD яклары
өстендә тиңдәшле рәвештә М һәм N нокталары алынган, өстә¬
венә, I AM∣∙.∣ MB I = k, I Λ2V∣.∙∣ NK∖ = I. BN һәм DM турылары Р
ноктасында кисешәләр. AMPN дүртпочмагының мәйданы парал¬
лелограмм мәйданының нинди өлешен тәшкил итә?
18. Параллелограммның һәр ягының уртасы капма-каршы
якның түбәләре белән тоташтырылган. Төзелгән сигезпочмакның
мәйданы параллелограмм мәйданының — ен тәшкил иткәнлеген
6
исбатлагыз.
19*. ABC өчпочмагына Λ1S1C1 өчпочмагы камалган һәм шул
ук өчпочмакны камаучы A2B2Ci өчпочмагы төзелгән, өстәвенә,
төзелгән өчпочмакларның тиңдәшле яклары параллельләр.
Sabc = Sa1b1c1 ∙ Sa2b1C2
икәнен исбатлагыз.
20*. ABCDEF кабарынкы алтыпочмагының капма-каршы як¬
лары пар-пар параллельләр. АСЕ һәм BDF өчпочмакларының
тигез зурлыкта икәнен исбатлагыз.
21*. Бишпочмак бирелгән, анда бишпочмакның түбәләрен
каршы яткан якның урталары белән тоташтыручы биш кисемтә
үткәрелгән. Бу кисемтәләрнең дүртесе бер уртак ноктага ия
булса, ул ноктаның бишенче кисемтә өстендә дә ятканлыгын
исбатлагыз.
22. ABCD трапециясенең ян ягы CD ның озынлыгы а га
тигез, ә [ДВ] ның уртасыннан (CD) га кадәр ераклык b га ти¬
гез. Трапециянең мәйданын табыгыз.
23. Кабарынкы дүртпочмакта диагональләренең озынлыклары
тигез булса, аның мәйданы дүртпочмакның урта сызыклары
озынлыкларының тапкырчыгышына тигез икәнен исбатлагыз.
24. Дүртпочмакның диагональләренең озынлыклары а га, ә
урта сызыкларының озынлыклары суммасы b га тигез. Дүрт¬
почмакның мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
25. Ягы а га тигез булган квадрат эченә, һәр ягы өстендә
бер түбәсе ятарлык итеп, турыпочмаклык камалган. Мәйданы
S ка тигез булса, турыпочмаклыкның (квадрат булмаганда)
диагональләрен исәпләп чыгарыгыз.
26. Өчпочмакның биеклеге нигезеннән аның калган ике ягына
перпендикуляр торгызылган. Әгәр бу перпендикулярларның нигез¬
ләре шушы өчпочмакны камаучы әйләнә үзәге белән бер туры
өстендә ятсалар, бу туры өчпочмакны тигез зурлыктагы кисәк¬
ләргә бүлгәнен исбатлагыз.
7 У-52
97
§ 9. МЕТРИК БӘЙЛӘНЕШЛӘР
1. 2hc-∖AB∖, A = 75° булганда, С почмагының зурлыгын τaι
быгыз.
2. I AC I = I ВС I, С = 80° булган тигезьянлы ABC өчпочмагы-i
ның А һәм В түбәләре аша, өчпочмак эчендәге О ноктасында
кисешерлек итеп, турылар үткәрелгән. OAB≈∖Q°, ABO = 2Kr
булса, АСО почмагын табыгыз.
3. A-B = C = E, Z) = 60o, ∣fA∣ = ∣ΛB∣ = ∣βC∣ = α булгар
ABCDE бишпочмагы бирелгән. ∣ CD ∣, ∣DE∣ ны һәм бу бишпочН
макның мәйданын исәпләп чыгарыгыз.
4. д = в = D = 90°, С = Е, ∖BC∖ = m, ∖CD∖ = n, ∣ DE∖ =
булган ABCDE бишпочмагы бирелгән. ∣ АВ |, | АЕ\ ны исәпләп
чыгарыгыз.
5. ABC өчпочмагының ортоүзәге һәм центроиды аша үтүче
туры АВ ягына параллель булса, tgA∙tgβ = 3 икәнен исбатла¬
гыз.
6. ABC өчпочмагында А һәм В почмакларының аермасы 90°
ка тигез булса, аның якларының озынлыклары үзара нинди бәй¬
ләнештә булыр?
7. Ягы а га тигез булган ABCD квадратының В, С, D түбә¬
ләре / турысының бер ягында, А түбәсе икенче ягында урнаш¬
кан. Квадратның капма-каршы түбәләреннән / турысына кадәр
ераклыкларның тапкырчыгышлары үзара тигез булса, квадрат¬
ның үзәгеннән I турысына кадәр ераклыкны табыгыз.
8. ABC өчпочмагының С түбәсе һәм АС, ВС якларының ур¬
талары аша үткәрелгән әйләнә өчпочмак медианаларының кисе¬
шү ноктасы аша үтсә, өчпочмакта a, b һәм с якларының озын¬
лыклары арасындагы бәйләнешне табыгыз.
9. cos В =—— булганда, ABC өчпочмагы якларының озын¬
лыклары арасындагы бәйләнешне табыгыз.
10. ABC өчпочмагының AAi медианасы, BBl биеклеге һәм
CCl биссектрисасы бер ноктада кисешсәләр, аның якларының
озынлыклары арасындагы бәйләнешне табыгыз.
11. ABC өчпочмагының АВ ягы өстендә, ACΛf = φ, ВСМ =
= ψ булырлык итеп, Л4 ноктасы бирелгән. Өстәвенә NCM = 90°
итеп, Miz(AB') ноктасы төзелгән. |A/V|:|/V£| чагыштырмасын
исәпләп чыгарыгыз.
12. ABC өчпочмагының a, b яклары белән һа һәм hb биек¬
лекләре үзара a + ha = b 4- hb бәйләнешендә булсалар, өчпочмак¬
ның төрен ачыклагыз.
13. Тигезьянлы ABCD трапециясенең ([Д2?| || [СЛ]) диаго¬
нальләре О ноктасында 60° лы почмак ясап кисешәләр (А05 =
= 60°). AO, OD һәм ВС кисемтәләренең урталары тигезьяклы
өчпочмакның түбәләре икәнен исбатлагыз.
98
14. Әгәр Hx һәм H2-ABC өчпочмагының А һәм В түбәлә¬
реннән төшерелгән биеклекләрнең нигезләре булса, ул вакытта
∖iIxH2 I = I AB I ∙ I cos СI икәнен исбатлагыз.
15. ABCD кабарынкы дүртпочмагы бирелгән. АВ һәм CD
якларының дәвамнары—ТИ ноктасында, ә ВС һәм DA яклары¬
ның дәвамнары N ноктасында кисешәләр. М һәм N почмакла¬
рының биссектрисалары үзара перпендикуляр булсалар, ABCD
дүртпочмагын камаучы әйләнә үткәрергә мөмкин икәнен исбат¬
лагыз.
16. Әйләнәгә ABCD дүртпочмагы камалган. |Д5|-|С£)| +
+ ∣∙SC∣ ∙ I AD I = I AC I ∙ ∖BD | икәнен исбатлагыз.
17. Әйләнәгә ABC өчпочмагы камалган. Шул әйләнәгә А һәм
В нокталарында үткәрелгән орынмалар D ноктасында кисешә¬
ләр. CD турысы (АВ) ны М ноктасында кисеп үтсен ди. |Д7И|:
= ∣√Wfi∣ = I ДС|2:|5С|2 икәнен исбатлагыз.
18. Тигезьянлы ABC өчпочмагының АВ нигезе өстендә ирек¬
ле рәвештә D ноктасы алынган. ∣ CD ∣2 = ∣ AC ∣2 — ∣ AD∖ ∙ ∣ DB |
икәнен исбатлагыз.
19. Әгәр өчпочмакны камаучы k радиуслы әйләнә һәм аңа ка-
маулы г радиуслы әйләнә үткәрелеп, әйләнәләрнең үзәкләре ара¬
сындагы ераклык d га тигез булса, d'~≈R2-i2Rr (Эйлер фор¬
муласы) икәнен исбатлагыз.
20. Әгәр CC1 — ABC өчпочмагында С почмагының биссек¬
трисасы булса, I CCl |2 = IСА ∣∙∣ СВ | — ∣ ACl ∣ ∙ ∣ BCγ | икәнен исбат¬
лагыз.
21. ABC өчпочмагына ике конгруэнт әйләнә камалган: алар
үзара орыналар, өстәвенә бер әйләнә өчпочмакның АВ һәм АС
якларына, ә икенчесе АВ һәм ВС якларына орына. — = — + —
per
икәнен исбатлагыз, монда c = ∣4S∣, г—өчпочмакка камаулы
әйләнә радиусы, р—һәр конгруэнт әйләнә радиусы.
22. ABCD параллелограммы бирелгән. ABC һәм ABD өчпоч¬
макларын камаучы (O1, Ri), (О2, /?2) әйләнәләре төзелгән
I OlD |2 + IO2C |2 = R2i + R⅛ бәйләнешенең дөреслеген исбатлагыз.
23. Параллелограмм якларының озынлыклары а һәм b га,
диагональләренең озынлыклары е һәм f ка тигез, e2∕2 = tz4 + bi
бәйләнешенең үтәлүе параллелограммның почмагы 45° ка тигез
булсын өчен кирәкле һәм җитәрлек шарт булып торганын ис¬
батлагыз.
24. ABC өчпочмагының С түбәсеннән АВ ягы өстендә яткан
C1 ноктасына кадәр ераклык d- — pdλ + qb- — pqc- формуласы
белән аңлатылганын исбатлагыз, монда р = ∣ ACl |:| АВ ∣, q —
= I BCx I: I АВ I, a = | ВС ∣, b = | СА |, с = | АВ | (Стюарт форму¬
ласы).
25. ABC өчпочмагында А почмагы биссектрисасының озын¬
лыгы I өчпочмак якларының озынлыгы аша /д = —Кbcp (р —а)
формуласы белән аңлатылганын исбатлагыз.
7*
99
26. Өчпочмакны камаучы әйләнә үзәге О дан аның биеклек,
ләренең кисешү ноктасы Н ка кадәр ераклык өчпочмакның як!
лары һәм камаучы әйләнәнең радиусы аша түбәндәге формулу
белән күрсәтелгәнен исбатлагыз: ∣ OH ∣2 = 9/?2 — (a2 + b2 + с2).
27. Өчпочмакның почмаклары өчен түбәндәге формулаларны^
дөреслеген тикшерегез:
Λ ЛА Л
. 9 A 1 — cos A , A 1 + cos A
Sl∏2 — = , COS2 — = .
2 2 2 2
28. ABC өчпочмагы өчен аның элементларының зурлыкларьЦ
арасындагы түбәндәге бәйләнешләр урынлы булыр. Шуны ис*
батлагыз:
Λ A
siny = -K(∕2~'⅛)(jP-C)> COS у = У p(p- a) :У be
(р — өчпочмакның ярым периметры).
29. Өчпочмак өчен түбәндәге бәйләнешләрнең дөреслеген
исбатлагыз:
Λ Λ
a cos В + b cos A — c,
Λ Λ
b cos C + c cos В = a,
c cos A + αcosC = b.
Бу бәйләнешләрдән косинуслар теоремасын чыгарыгыз:
c2 = a2 + b2 — 2 be cos С.
30. Өчпочмак почмакларының косинуслары түбәндәге бәйлә¬
нешкә ия икәнен исбатлагыз:
cos2 Λ + cos2 В + cos2 С + 2 cos A ∙cos,β∙cos С = 1.
31. АВС өчпочмагының почмаклары өчен түбәндәге тигез-
А В ВС С
лекнең дөрес икәнен исбатлагыз: tg — ∙tg—l· tg —∙tg-+ tgy×
×tgl=l.
32. ABC өчпочмагының почмаклары өчен түбәндәге тигезлек
дөрес икәнен исбатлагыз:
сtg A ∙ etg В + сtg В ∙ etg С + etg С ∙ etg А = 1.
33. АВС өчпочмагының почмаклары үзара түбәндәге бәйлә¬
нештә икәнен исбатлагыз:
1) sin С = sin A ■ cos В + sin В ∙ cos А;
100
С . А В , А . В
2) cos — = sin — ∙cos—■ + cos — ∙sin —;
2 2.2 2 2
3) sin 2C = — sin 2A ∙ cos 2B — sin 2B ∙ cos 2A.
34. ABC өчпочмагының почмаклары үзара түбәндәге бәйлә¬
нештә икәнен исбатлагыз:
1) sin2 — + sin2 — + sin2^- + 2sin ^-∙ sin η- ∙ sin = 1;
2 2 2 2 2 2
2) cos2 2A + cos2 25 + cos2 2C — 2 cos 2A ∙cos 25∙ cos 2C = 1.
35. Λ4 — ABCD турыпочмаклыгы ноктасы. AMC· = икә-
sbmd tgBMD
нен исбатлагыз.
36. ABC өчпочмагының почмаклары tgA∙tg5==2 бәйләне¬
шендә. Өчпочмак биеклекләренең кисешү ноктасы АВ ягына
төшерелгән биеклекне урталай бүлгәнен исбатлагыз.
§ 10. НОКТАЛАРНЫҢ КҮПЛЕКЛӘРЕ
1. АВ ягы уртак булган һәм бирелгән әйләнәгә камалган бар¬
лык өчпочмак медианаларының кисешү нокталары күплеге М ны
табыгыз.
2. ABC өчпочмагында АРВ һәм ВРС өчпочмакларының мәй¬
даннары суммасы СРА өчпочмагының мәйданына тигез булган
барлык Р нокталары күплеге М ны табыгыз.
3. ABC өчпочмагында АРВ, ВРС, СРА өчпочмакларыннан
теләсә кайсы икесенең мәйданнары суммасы өченчесенең мәй¬
даныннан зуррак булган барлык Р нокталары күплеге М ны
табыгыз.
4. Параллель булмаган АВ һәм CD кисемтәләре бирелгән.
РАВ һәм PCD өчпочмакларының мәйданнары тигез булган бар¬
лык Р нокталары күплеге М ны табыгыз.
5. Бирелгән АВ кисемтәсе кысынкы (җәенке) почмак белән
күренә торган барлык нокталар күплеге М ны характерлап би¬
регез.
6. ABCD квадраты бирелгән. АВ һәм CD турыларыннан
ераклыкларының квадратлары суммасы ВС һәм AD турыларын¬
нан ераклыкларының квадратлары суммасына тигез булган бар¬
лык Р нокталары күплеге М ны табыгыз.
7. I PA I һәм IРВI — бирелгән үзара перпендикуляр ике туры¬
дан Р ноктасының ераклыклары. [PA | + | РВ | = с (монда с —
даими зурлык) булган Р нокталары күплеге М ны атап күрсә¬
тегез.
8. ∣CA∣ = ∣C5∣ булган тигезьянлы ABC өчпочмагы бирелгән.
АС һәм ВС яклары өстендә, | АР ∣ = ∣ CQ | булырлык итеп, тиң¬
101
дәшле рәвештә ниндидер Р һәм Q нокталары алынган. Барлык
PQ кисемтәләренең урталары күплеге М ны табыгыз.
9. Бирелгән әйләнәгә камалган барлык өчпочмак биеклеклә-
ренең кисешү нокталары күплеге М ны табыгыз.
10. АОВ почмагы бирелгән. CζAOB ноктасының ОА һәм ОВ
турыларына проекцияләре Р һәм Q төзелгән. ∣ PQ ∣ = d (rf > 0 —
даими зурлык) булган барлык С нокталары күплеге М ны та¬
быгыз.
11. ω1 һәм ω2 әйләнәләре А һәм В нокталарында кисешәләр.
А ноктасы аша ω1 не С ноктасында, ә ω2 не D ноктасында ки¬
сеп үтүче а турысы үткәрелгән. Р ноктасы CD кисемтәсен
—
CP∙.PD = k чагыштырмасында бүлсен ди. а турысы А үзәкле
барлык турылар бәйләмен сурәтләгәндә, Р нокталары күплеге
УИ ны табыгыз.
12. Яссылыкның I PA ∣ = k тигезлеге үтәлгән барлык Р
нокталары күплеге әйләнә төзегәнлеген исбат итегез (монда Д
һәм В—бирелгән төрле ике нокта, k—берәмлеккә тигез булма¬
ган уңай сан).
13. Әйләнә өстендә А һәм В нокталары бирелгән. Бирелгән
әйләнәнең конгруэнт хордалары: AN һәм ВР парларының бар¬
лык кисешү нокталары күплеге М ны атап күрсәтегез.
14. Тигезьяклы ABC өчпочмагы бирелгән. ∣ PA ∣ + | РВ | =
== I PC I тигезлеге үтәлгән барлык Р нокталары күплеге М ны
табыгыз.
15. Квадратның шундый нокталары күплеге М ны табыгыз,
ул нокталарның һәркайсыннан якларның ераклыклары квадрат¬
лары суммасы даими булсын.
16. Бер яклары уртак булган һәм бирелгән әйләнәгә камалган
өчпочмаклар эченә камаулы барлык әйләнәләрнең үзәкләре күп¬
леге М ны табыгыз.
17. Даими а озынлыгындагы кисемтәнең очлары почмакның
яклары буенча шуа. Кисемтәнең очларыннан почмакның якла¬
рына үткәрелгән перпендикулярларның кисешү нокталары күп¬
леге М ның әйләнә дугасы төзегәнлеген исбатлагыз.
18. ABC өчпочмагы бирелгән. АВ турысы өстендә бирелгән
К ноктасы аша (АС) һәм (ВС) ны тиңдәшле рәвештә N һәм Р
нокталарында кисүче туры үткәрелгән. AKN һәм ВКР өчпоч¬
макларын камаучы әйләнәләр Q ноктасында кисешәләр. Q нок¬
талары күплеге М ABC өчпочмагын камаучы әйләнә төзегәнле¬
ген исбатлагыз.
19. Туры R радиуслы әйләнәне А һәм В нокталарында ки¬
сеп үтә. Бу турының ирекле Р ноктасы аша, бирелгән әйлә¬
нәгә А һәм В нокталарында орындырып, ике әйләнә үткәрел¬
гән. 1) Бу әйләнәләрнең радиуслары арасындагы бәйләнешне;
2) аларның икенче кисешү нокталары күплеге М ны табыгыз.
20. а, Ь, с турылары О ноктасында кисешәләр. А, В һәм С
нокталары Р ноктасының бирелгән турыларга проекцияләре бу¬
лып торалар. ABC өчпочмагының мәйданы даими һәм S ка тигез
булган барлык Р нокталары күплеге М ны табыгыз.
102
21. АС һәм ВС кисемтәләре бирелгән. АСР һәм ВСР әйлә¬
нәләре бирелгән зурлыктагы почмак ясап кисешә торган Р нок¬
талары күплеге М ны табыгыз.
22*. Әйләнәдә бирелгән хорданы кисеп үтүче шул ук әйләнә
хордаларының урталары күплеге М ны табыгыз.
23. ABC өчпочмагында АВ һәм ВС турыларыннан ераклык-
ларының суммасы СА турысыннан ераклыгына тигез булган
барлык Р нокталары күплеге М ны табыгыз.
24. Әйләнә өстендә А һәм В нокталары бирелгән, һәр Р
ноктасы өчен ∣ PA ∣ ∙ | РВ | тапкырчыгышы бирелгән әйләнәгә шул
ноктадан үткәрелгән орынманың РТ кисемтәсе озынлыгы квад¬
ратына тигез булган Р нокталары күплеге М ны табыгыз (Т—
орыну ноктасы).
§ 11. ТИГЕЗСЕЗЛЕКЛӘР
1. Теләсә нинди өчпочмакта медиана почмакны зуррагы ке¬
черәк як янында яткан кисәкләргә бүлгәнен исбатлагыз.
2. Теләсә нинди ABC өчпочмагында CM медианасының
озынлыгы CL биссектрисасы озынлыгыннан кыска түгеллеген
исбатлагыз.
3. Әйләнәнең кисешүче (кисешмәүче) үзара перпендикуляр
хордалары озынлыкларының квадратлары суммасы аның диа¬
метры квадратыннан зуррак (кечерәк) икәнен исбатяагыз.
4. АОВ почмагының I биссектрисасы өстендә Р ноктасы
бирелгән. Шул нокта аша очлары почмакның яклары өстендә
яткан CD һәм MN кисемтәләре үткәрелгән. CD кисемтәсе поч¬
макның биссектрисасына перпендикуляр булса, ∣ CD ∣ < ∣ MN |
икәнен исбатлагыз. __
5. 0° ≤ α < 90° булса, sin α + cos a < ]∕^ 2 икәнен исбатлагыз.
6. АОВ почмагыныкы булган М ноктасы аша, OCQ өчпоч¬
магының мәйданы иң кечкенә кыйммәткә ия булырлык итеп,
почмакның якларын S һәм Q нокталарында кисеп үтүче р туры¬
сы үткәрегез.
7. ma һәм tnb — турыпочмаклы өчпочмакның катетларына үт-
, 1 . mπ . n
кәрелгән медианаларының озынлыклары булса, — < — < 2 икә-
2 mb
нен исбатлагыз.
8. Теләсә нинди ABC өчпочмагы өчен ⅛ + ∕β + ⅛ < Р2 тигез¬
сезлеге урынлы икәнен исбатлагыз, монда 1а — өчпочмакның А
почмагының биссектрисасы, р — ярымпериметр.
9. Теләсә нинди өчпочмак өчен p2 > 27r2, S ≤ —тигезсез-
3 Кз
лекләре урынлы икәнен исбатлагыз, монда р — ярымпериметр,
г — камаулы әйләнәнең радиусы, S — өчпочмак мәйданы.
10. Теләсә нинди ABC өчпочмагы өчен Һа < Үр (р — а) икә¬
нен исбатлагыз, Һа — монда А түбәсеннән үткәрелгән биеклек
озынлыгы, р — ярымпериметр.
103
11. ABC өчпочмагында A почмагының биссектрисасы /д бе^
лән аның якларының озынлыклары өчен 1а < Үр (р — а) тигез-ч
сезлеге урынлы икәнен исбатлагыз.
12. ABC өчпочмагында a > b булса, a + ha ^> b + hb икәнен
исбатлагыз, ha, hb — монда ВС һәм АС якларына үткәрелгән!
биеклекләр.
I с2
13. Теләсә нинди ABC өчпочмагы өчен S < ——— тигезсез-
4
леге урынлы икәнен исбатлагыз, монда 5 — мәйдан, b һәм с —
өчпочмак якларының озынлыклары.
14. ABC өчпочмагының почмаклары өчен tgΛ∙tgB>l тигез¬
сезлеге үтәлсә — өчпочмак кысынкыпочмаклы, ә O<tgA∙tgB<
< 1 тигезсезлеге үтәлсә, җәенкепочмаклы икәнен исбатлагыз.
15. Өчпочмак өчен o≥2A∙tgy тигезсезлеге урынлы икәнен
исбатлагыз.
16. Турыпочмаклы өчпочмак өчен R + r>Y2S тигезсезлеге
урынлы икәнен исбатлагыз, монда R һәм г — камаучы һәм ка-
маулы әйләнәләрнең радиуслары, 5 — өчпочмак мәйданы.
17. Теләсә нинди ABC өчпочмагы өчен
. A
sin —
2
a
2 УТс
. A . В . С ∖
sin — sin —-sin— ≤ —
2 2 2 8
тигезсезлекләре урынлы икәнен исбатлагыз.
18. ABC өчпочмагының почмаклары өчен түбәндәге тигез¬
сезлекләрнең дөреслеген исбатлагыз:
. \ . η A . . 9 В . 9 С 3
1) sιn2 —F sιn2 F sιn2 — ≥ —;
' 2 2 2 4
n∖ a , в , с зКз
2) cos —F cos —F cos — < —-—.
’ 2 2 2 2
19. Ирекле рәвештә алынган ABC өчпочмагы өчен
sin (450
• sin ί 45°
Λ
β∖ .
— ∙ sin
4/
45°
C ∖ < 2
4/^8
тигезсезлеге урынлы икәнен исбатлагыз.
20. Теләсә нинди ABC өчпочмагы өчен түбәндәге тигезсез¬
лекләр урынлы икәнен исбатлагыз:
л л л ί
1) cos A ∙cos B∙cos C ≤ —;
’ 8
Λ A Λ Q
2) cos2 A + cos2 В + cos2 C > —.
4
104
Λ Λ Λ 9
21. sin2 A + sin2 В + sin2 С ≥ — тигезсезлегенең дөреслеген
4
исбатлагыз, монда А, В, С — өчпочмакның почмаклары.
22. Өчпочмак почмакларының зурлыклары
cos 2А + cos 2B + cos 2C ≥ — -∣-
тигезсезлеген канәгатьләндергәнен исбатлагыз.
23. R радиуслы әйләнәдә 90° лы дуганы тартып торучы хор¬
да үткәрелгән. А һәм В нокталары аша АС һәм BD параллель
хордалары үткәрелгән. ∣ AC ∣ ∙ ∣ BD ∣ ≤ ∣ AB |2 икәнен исбатлагыз.
24. Теләсә нинди өчпочмак өчен S ≤ -a + 6-J^-- тигезсезлеге
4/3
үтәлгәнлеген исбатлагыз, монда S — өчпочмак мәйданы, а, Ь,
с — якларының озынлыклары.
25. Яссылык өстендә дүрт нокта: A, В, С, D бирелгән.
I AB I · I CD I + I AC ∣ ∙ ∣ BD ∣ ≥ ∣ AD ∣ ∙ | ВС |
икәнен исбатлагыз.
ҖАВАПЛАР ҺӘМ КҮРСӘТМӘЛӘР
I бүлек. ГЕОМЕТРИЯНЕҢ БАШЛАНГЫЧ
ТӨШЕНЧӘЛӘРЕ
§ 1. КЕРЕШ
1. а) Икенче шарт беренчесенә каршы килгәнлектән, андый
нокталарны төзеп булмый.
б) Төзергә мөмкин. X, Ү һәм Z нокталары бер туры өстен¬
дә яталар, өстәвенә, Ү ноктасы X һәм Z нокталары арасында
ята.
в) Төзергә мөмкин. X, Ү һәм Z нокталары бер туры өстен¬
дә яталар, өстәвенә, Z ноктасы X һәм Ү нокталары арасында
ята.
2. а) Ераклыкларның үзлекләре буенча:
∣Aβ∣ + ∣5C∣ > I АС|; ∣ AB∣ - ∣ BC∖ ≤ | АС|.
Шулай булгач, | АС | < 20 км + 12 км; | АС | < 32 км;
I АС |> 20 км — 12 км; ∣ AC ∣ ≥ 8 км.
б) I AC I ның мөмкин булган кыйммәтләренең иң зурысы —
32 км (В пункты А һәм С пунктлары арасында урнашкан).
I AC I ның мөмкин булган кыйммәтләренең иң кечкенәсе — 8 км
(С пункты А һәм В пунктлары арасында урнашкан).
3. Күрсәтмә. Бер-берсеннән 9 см ераклыкта урнашкан
А һәм В нокталарын үзәк итеп алып, 10 см радиуслы әйләнә¬
ләр төзегез. Төзелгән түгәрәкләрнең уртак кисәге беренче таләп¬
кә җавап бирә. Төзелгән түгәрәкләрнең берсенә генә булса да
туры килгән барлык нокталар икенче таләпкә җавап бирәләр.
4. Андый „ераклыклар" өчен ∣ AB| = ∣BA ∣, ∣AB∣ + ∣BC∣>
>∣AC∣ кебек үзлекләрнең үтәлмәве мөмкин.
5. а) г, — r2 < I OlO21 ≤ r1 + r2.
б) ri — r2 < IO1O21 < r1 + r2.
в) IO1O21 < r1 — r2; IO1O21 > r1 + r2.
6. a) АВ кисемтәсенең В ноктасыннан башка барлык нокта¬
лары күплеге.
б) АВ кисемтәсенең уртасы булган нокта.
в) АС кисемтәсе, монда С — АВ кисемтәсенең уртасы.
г) АВ кисемтәсенең уртасыннан башка барлык нокталары.
7. а) Ачык түгәрәк, ягъни (О, г) түгәрәге, ләкин моңа (О, г)
әйләнәсе нокталары керми.
б) Яссылыкның (О, г) түгәрәгенеке булмаган барлык нокта¬
лары.
106
н) Яссылыкның ачык (О, г) түгәрәгенеке булмаган барлык
нокталары.
г) (О, г) түгәрәге үзенең үзәгеннән башка.
8. а) А һәм В нокталары, б) АВ кисемтәсе.
в) АВ кисемтәсенең эчке нокталары күплеге.
г) АВ кисемтәсендә яткан, башлары А һәм В нокталарында
булган һәм (О, г) әйләнәсенә карата аның тышкы өлкәсендә ур¬
нашкан нурлар.
д) Алдагы очрактагы ук нурлар, ләкин А һәм В нокталарын¬
нан башка (ачык нурлар).
е) АВ турысы, ләкин А һәм В нокталарыннан башка*
10. a) (∂1, r1) һәм (Ог, г2) ачык түгәрәкләренең берләшмәсе.
б) Яссылыкның (O1, r1) һәм (O2, r2) түгәрәкләренең берләш¬
мәсеннән башка барлык нокталары.
в) Яссылыкның O1O2 кисемтәсе нокталарыннан башка барлык
нокталары.
11. a) ВА нурында АВ кисемтәсенең эчке нокталарыннан һәм
В ноктасыннан башка барлык нокталар.
б) ВА нурында АВ кисемтәсенең эчке нокталарыннан һәм
А ноктасыннан башка барлык нокталар.
в) АВ кисемтәсенең нокталары күплеге.
12. а) Өчпочмак, б) Өчпочмак, дүртпочмак.
в) Өчпочмак, дүртпочмак, бишпочмак һәм алтыпочмак.
г) Өчпочмак, дүртпочмак, бишпочмак, алтыпочмак, җиде¬
почмак.
13. X һәм Ү нокталары бирелгән түгәрәкләрнең уртак кисә¬
генеке — F фигурасыныкы булсын. ХҮ кисемтәсенең барлык нок¬
талары беренче түгәрәкнеке дә, икенче түгәрәкнеке дә. Шулай
булгач, [AT]⊂F. Моннан F фигурасының кабарынкы икәнлеге
килеп чыга.
14. Чишелешнең кыскача язылышын бирик. Fl{∖F2 = F һәм
AT∈F, r∈77.
Ул вакытта
*∈r1, r∈F1
X∈Λ> κ∈F2
[ΥK]⊂F1
→[XY∖c∑F.
Fγ{∖Fi = F — кабарынкы фигура.
15. а) Төрле дүрт кисәк.
б) Төрле җиде кисәк.
в) Төрле алты кисәк.
г) Төрле сигез кисәк.
§ 2 ФИГУРАЛАРНЫҢ КОНГРУЭНТЛЫГЫ ҺӘМ КҮЧҮЛӘР
1. А һәм В нокталары түбәндәге ысуллар белән С һәм £)
нокталарына чагылдырыла ала: А—>С; B→D яки A->D; В—>С.
Шулай итеп, төрле ике чагылдыру булуы мөмкин. Бу чагылды¬
107
руларның һәркайсы кайтма, чөнки беренче парның ике ноктасы¬
на икенче парның төрле ике ноктасы туры килә.
2. Бу мәсьәләләргә җаваплар 87 — 92 нче рәсемнәрдә күрсә¬
телгән.
3. А, В нокталары парын бер С ноктасыннан торган күплек¬
кә бер юл белән чагылдырырга мөмкин: A-→C, B→C.
Бу чагылдыру кайтма түгел, чөнки беренче күплекнең төрле
ике ноктасына икенче күплекнең бер ноктасы туры килә. Фигу¬
раларның кайтма булмаган чагылдыруларына башка мисаллар
93 нче рәсемдә күрсәтелгән.
4. ABC өчпочмагының KD һәм DM кисемтәләренә 94 нче
рәсемдә күрсәтелгән чагылдыруы кайтма түгел. ABC өчпочма¬
гының нокталарын AKDMB сынык сызыгы нокталарына чагыл¬
дырып булмый, чөнки А һәм В нокталарының образы сыйфатын¬
да нинди нокталарны алырга кирәклеге билгеле түгел.
5. Өч элементтан торган күплекне бер элементтан торган
күплеккә — бер юл белән (95 нче рәсем, а), ике элементтан
торган күплеккә — алты юл белән (95 нче рәсем, б), өч элемент¬
тан торган күплеккә алты юл белән (95 нче рәсем, в) чагылды¬
рырга мөмкин.
Өч элементтан торган күплекне дүрт элементтан торган күп¬
леккә чагылдырып булмый, чөнки һәр очракта беренче күплек
элементларының образлары булмаган элементлар калачак.
6. а) Нокта ноктага чагыла.
б) Нокталар пары ераклыклары бирелгән парныкы кебек үк
булган нокталар парына чагыла.
в) Кисемтәнең очлары бер-берсеннән ераклыклары бирелгән
кисемтә озынлыгында булган нокталар парына чагыла. Бирелгән
кисемтәнеке булган теләсә нинди нокта бирелгән кисемтә очла¬
рының образлары арасында яткан нокталарга чагыла (күчүнең
билгеләмәсе буенча). Бу — кисемтәнең образы кисемтә була ди¬
гән сүз.
г) Нурның башы — О ноктасы ниндидер O1 ноктасына чагы¬
лыр.
Нурның теләсә нинди ноктасы X, ∣ OX ∣ = ∣ O1 Xl | булырлык
итеп, Xl ноктасына чагылыр. OlXi нурының нокталары бирелгән
нурның калган барлык нокталарының образы була.
д) Туры күчкәндә турыга чагыла. Турының ирекле рәвештә
алынган X, Ү, Т нокталары ∣ X↑Y↑ ∣ + ∣ YlTi ∣ = ∣ XlTl | булырлык
итеп чагылалар, ә бу Yl ноктасы Xl һәм 7\ нокталары арасын¬
да ята дигән сүз. Ә без нокта ике нокта арасында ятса, алар
барысы да бер туры өстендә ятканлыгын беләбез.
е) Беренче әйләнәнең үзәге образыннан аның радиусы ерак¬
лыгында яткан нокталар күплеге О үзәкле беренче әйләнә нок¬
талары күплегенең образы була, ә бу — әйләнә билгеләмәсенә
туры килә.
ж) Түгәрәк түгәрәккә чагыла.
з) Мәсьәләне чишү өчен почмакны ике ярымъяссылыкның
кисешмәсе дип карау уңайлы. Бу очракта исбатлау түбәндә әй-
108
89 нчы рәсем
93 иче рәсем
телгән фикерләрне исбатлауга кайтып ка¬
ла: күчү ярымъяссылыкны ярымъяссылыкка
чагылдыра һәм күчү ике күплекнең кисеш¬
мәсен аларның образларының кисешмәсенә
чагылдыра.
9. 2) Теләсә нинди боруда яссылык
үзенә чагыла.
10. Бу мәсьәләләрне чишкәндә бору
үзәге торышының төрле очракларын ка¬
рарга кирәк. Әгәр бору почмагы 0’ булган
очракны карасак, бору үзәге ирекле рә¬
вештә алына, чөнки бу вакытта без яссы-
94 нче рәсем
лыкның бердәй чагылдыруы белән эш итәбез.
Бору почмагы нульгә тигез булмаган очракта безне барын¬
нан да элек бору үзәгенең торышы, ә аннары гына бору поч¬
магының мөмкин саналган зурлыклары кызыксындырыр.
95 нче рәсем
110
а) 180°. б) 0°.
в) Кисемтә — уртасы тирәсендә 180° ка борганда.
г) Әйләнә — үзәге тирәсендә теләсә нинди почмакка борганда.
д) | Өчпочмак — тигезьяклы булган очракта, аны медианала¬
рының кисешү ноктасы тирәсендә 120° ка борганда.
е) Дүртпочмак — квадрат булган очракта, аны диагональлә¬
ренең (Кисешү ноктасы тирәсендә ±90“ ка һәм 180° ка борган¬
да; дүртпочмак — параллелограмм булган очракта, аны диагональ¬
ләренең кисешү ноктасы тирәсендә 180° ка борганда.
12. Әгәр турылар перпендикуляр булсалар, кисешү ноктасы¬
на карата 180° яки 90“ ка борганда.
13. 0°, 60°, 120° һәм 180° ка бору белән.
14. Бирелгән әйләнәләрнең үзәкләрен тоташтыручы кисемтә¬
гә урта перпендикулярның теләсә нинди ноктасы бору үзәге
булырга мөмкин.
1ә. 0°, 72°, 144° ка бору белән.
16. Бирелгән әйләнәләрнең үзәкләрен тоташтыручы кисемтә¬
гә урта перпендикуляр өстендә шундый нокталар төзегез, ул
нокталардан бирелгән кисемтә 45° лы почмак белән күренсен.
17. AAl һәм BBl кисемтәләренә урта перпендикулярларның
кисешү ноктасы. [A√4l] || [ββ1] һәм (ΛΛ1) ≠ (BBi) булганда, бору
үзәкләре юк. (AAl) = (BBi) булып, ә √1A1 һәм BBi кисемтәләре¬
нең үзәкләре тәңгәл килмәсә, шулай ук бору була алмый.
18. а һәм b турылары белән АВ кисемтәсенә урта перпен¬
дикуляр арасында төзелгән почмакларның биссектрисаларының
кисешү нокталары бору үзәкләре була. АВ кисемтәсенә урта
перпендикуляр биссектрисаларның берсе белән тәңгәл килсә,
үзәкләрнең берсе А һәм В нокталары аша үтүче а һәм b туры¬
ларына перпендикулярларның кисешү ноктасы буларак табыла.
19. 17 нче мәсьәләне карагыз.
20. б) Яклары капма-каршы юнәлгән нурлар булсалар, ике
конгруэнт почмак үзәк симметрияле була (96 нчы рәсем).
в) Барлык очракта да бу әйләнәләрнең үзәкләрен тоташты¬
ручы кисемтәнең уртасы симметрия үзәге була (97 нче рәсем).
г) Әгәр бу өчпочмакларның яклары тиңдәшле рәвештә парал¬
лель булсалар (98 нче рәсем) һәм беренчесен икенчесенә күче¬
рә торган параллель күчерү булмаса, ике конгруэнт өчпочмак
үзәк симметрияле була.
21. 99 нчы рәсемне карагыз.
22. Үзәккә карата симметрияле кисемтәләрнең озынлыклары
тигез һәм параллель булырга тиешләр.
23. Бирелгән әйләнә белән бирелгән ноктага карата аңа сим¬
метрияле әйләнәнең уртак хордасы эзләнелгән хорда була.
25. Параллелограмм диагональләренең кисешү ноктасы аның
симметрия үзәге була. Бу ноктаны төзү өчен, ул нокта аша үтә
торган турыларның параллелограмм якларына параллель булу
һәм аның биеклеген конгруэнт кисемтәләргә бүлү үзлегеннән
файдаланырга мөмкин.
Ш
96 нчы рәсем
97 нче рәсем
27. Барыннан да элек, бу — симметрия күчәре һәм шулай ук
симметрия күчәренә перпендикуляр турылар.
29. Күчәр симметриясе билгеләмәсен файдаланып, өчпочмак
якларының конгруэнт икәнен исбат итегез.
30. Дельтоид, тигезьянлы трапеция — бер, турыпочмаклык,
ромб — ике, квадрат — дүрт.
32. Бирелгән почмакның бер ягы өстендә А һәм В нокта¬
лары алабыз да, икенче ягына карата күчәр симметриясен кул¬
ланып, шул нокталарның образларын төзибез. Бу At һәм Bl нок¬
талары булыр. BlSB — эзләнелгән почмак (100 нче рәсем).
33. М ноктасы аша почмакның якларын кисә торган I туры¬
сы үткәрәбез. Z)1 = S2(Z)) булсын. Ул вакытта (7HD1) — I туры¬
сына карата симметриядә эзләнелгән турының образы (101 нче
рәсем).
34. Теләсә нинди турыга карата бирелгән почмакларның об¬
разларын төзибез дә шул почмак түбәләренең образлары ара¬
сындагы ераклыкны табабыз.
99 нчы рәсем 100 нче рәсем
.112
35. 102 нче рәсемдә күрсәтел¬
гәнчә, сызым сызабыз. Почмаклар
конгруэнт, чөнки күчәрле симмет¬
рия — күчү ул.
36. р турысына карата күчәр
симметриясендә А ноктасының об¬
разы Д, не төзибез (103 нче рәсем).
Ai һәм В нокталары аша р ны Л4
ноктасында кисеп үтүче туры үт¬
кәрәбез. Туры өстендә икенче бер
С ноктасы алып, аны Al һәм В
нокталары белән тоташтырабыз.
BAiC өчпочмагы килеп чыга.
|ДС| - ∣BC∣ = ∣ Λ1C∣-∣βCK∣ Λ1β∣.
Әгәр Дп В һәм С нокталары бер
туры өстендә, ягъни (AlC) өстендә
ятсалар, эзләнелгән аерма макси¬
маль кыйммәтенә ия була.
∣B51∣≠μ1c1ι
шарты үтәлгәндә, аерма бар һәм ул
иң зур кыйммәте була, ә ∣ BBl | =
I AiCl I булса, аерма булмый.
37. АС кисемтәсенә урта пер¬
пендикуляр төзибез. Бу симметрия¬
нең беренче күчәре була да инде.
BxCD почмагының биссектрисасы—
икенче симметрия күчәре (104 нче
рәсем).
38. ∣OΛ411 = ∣O√W2∣. ∣√Wl√M2∣-
кисемтә (105 нче рәсем).
39. Бер пар белән.
41. а) Бер түбәсен күчәр өстен¬
дә алырга, калган икесен күчәрдән
читтә алып, аларга симметрияле
нокталар төзергә, б) Ике симмет¬
рия күчәре булса, төзек бишпочмак
була.
101 нче рәсем
105 нче рәсем
104 нче рәсем
8 V-58
113
l2
а)
42. Ике кисешүче туры арасындагы
почмак биссектрисасына карата сим¬
метриядә. Ике параллель турыдан тигез
ераклыктагы турыга карата симметриядә.
43. Бары тик ике симметрия күчәре¬
нең кисешү ноктасы гына ике сим¬
метриянеке дә булган кабатлы пар була.
44. Бер турыны икенчесенә чагыл¬
дыра торган күчәрле симметриядән фай¬
даланыгыз.
45. Бирелгән якка каршы яткан поч¬
мак биссектрисасына карата кечерәк як¬
ны чагылдырыгыз.
46. Өченче якка үткәрелгән урта пер¬
пендикулярга карата симметрияне кул¬
ланганнан соң мәсьәлә ике ягы һәм алар
арасындагы почмагы буенча өчпочмак
төзүгә кайтарып калдырыла.
47. Почмакның якларына карата М
ноктасына симметрияле итеп, √W1 һәм √W2
нокталары төзегез. √W1Λ12 турысы поч¬
макның якларын А һәм В нокталарын¬
да кисеп үтә.
48. Күрсәтмә. Карала торган ки¬
семтәләр бер туры өстендә яталар һәм
уртак ноктага ия яки перпендикулярлар
һәм кисешү ноктасы белән урталай бү¬
ленәләр.
49. Күрсәтмә. Мөмкин булган оч¬
раклар 106 нчы рәсемдә күрсәтелгән.
50. а) Ике симметрия күчәре, б) Бер
симметрия күчәре.
51. 107 нче рәсемне карагыз.
52. 108 нче рәсемне карагыз.
53. Туры әйләнә үзәге аша үтсә, ике
симметрия күчәре. Калган очракларда —
бер симметрия күчәре.
55. К ү р с ә т м ә. Төзү O1 --= Sι (О) нок¬
тасын табуга кайтарып калдырыла.
56. 109 нчы рәсемне карагыз.
57. [IX) ярымъяссылыгында [AZ), [ЛX], [ZX[ фигуралары ята.
58. Күрсәтмәләр, а) Эзләнелә торган әйләнәләрнең үзәк¬
ләре үзара перпендикуляр турылар белән төзелгән туры почмак¬
ларның биссектрисалары өстендә, турыларның кисешү ноктасын¬
нан тигез ераклыкта яталар.
б) Фигура өч концентрик әйләнәнең берләшмәсеннән гыйбарәт.
в) Өч әйләнәнең үзәге — бер туры өстендә. Бу әйләнәләрнең
кимендә икесе конгруэнт һәм аларның үзәкләре урта әйләнәнең
үзәгеннән тигез ераклыкта урнашкан.
114
59; Чишелеше алдагы мәсьәләнеке
кебек үк, ләкин турыларның кисешү
ноктасыннан әйләнәләрнең үзәкләре
ераклыгын әйләнә радиусыннан кече¬
рәк итеп алырга.
60. Төзелгән өчпочмакларның ур¬
так кисәге ике симметрия күчәрле
дүртпочмак (110 нчы рәсем) яки квад¬
рат килеп чыкса, дүрт симметрия кү¬
чәрле дүртпочмак була.
61. Каршы кую юлы белән исбат¬
ларга мөмкин. Әгәр бишпочмакның
диагонале яткан / турысы аның сим¬
метрия күчәре булса, бу күчәр өстен¬
дә күппочмакның ике һәм бары тик
ике генә түбәсе ята (чөнки бишпоч¬
мак кабарынкы). Калган өч түбәсе /
чикле һәр ярымъяссылыкта тигез сан¬
да бүленеп урнашырга тиеш. Ләкин
өч түбә өчен моны эшләү мөмкин
түгел. Димәк, андый бишпочмак юк.
§ 3. Параллельлек һәм параллель
күчерү
4. а) Әгәр с <,d булса, буш күп¬
лек; әгәр с = d булса, бирелгән ту¬
рылар арасындагы барлык полоса;
әгәр с > d булса, параллель турылар
пары.
6; ABCD — эзләнелә торган дүрт¬
почмак булсын. В ноктасы аша, (CD)
га параллель итеп, (AD) белән М нок¬
тасында кисешкәнчегә кадәр туры
үткәрегез. ВМ кисемтәсендә В түбә¬
сеннән башлап ∖BK∖ = c салыгыз. Хәзер дүртпочмакның^өченче
түбәсен табуы җиңел.
7. [ДС] нә урта перпендикуляр — сынык сызыкның^симметрия
күчәре.
8. Яссылыкта чиксез күп юнәлешләр бар.
9. а) Яссылыкта ике нокта ике юнәлеш бирә, б) Өч'нокта
гомуми очракта алты юнәлеш бирә, әмма бу нокталар бер туры
өстендә ятсалар, алар ике юнәлешне генә ачыклыйлар, в) Дүрт
нокта өчен гомуми очракта 12 юнәлеш барлыкка килә. Шулай
да түбәндәге очраклар булуы мөмкин: 1) нокталар — трапеция
түбәләре — 10 юнәлеш; 2) нокталар — параллелограмм түбәләре—
8 юнәлеш; 3) өч нокта бер туры өстендә һәм берсе аннан чит¬
тә урнашкан — 8 юнәлеш; 4) барлык нокталар бер туры өстен¬
дә урнашканнар — ике генә юнәлеш.
8*
115
10. 4 нче рәсемнән MNP + NPQ = (180 <2BNP) + (180o —
— c2,BPN) = 360° — 2 (BNP + BPN) = 180° икәне күренә; димәк,
[ΛM4] II [PQ].
11*. Барлык очракларны караган вакытта өчпочмакның поч¬
маклары суммасы турындагы теоремадан һәм өчпочмакның тыш¬
кы почмагы үзлегеннән файдаланабыз. Мәсәлән, а) очрагында
эзләнелә торган почмак α = 90°ләкин
Λ Λ о A
a = 90 — C — a — 90 + B, ягъни a = .
2
Δ=a + (90°-β).
12. a) 90° + -, 90° + һәм 180° -
2 2 2
13. Юк. 14. 8 һәм 24 см. 15. 30°, 60°.
17. Әгәр [DB] ≡≤ [А5] һәм [CZΓ]≤i[AC] булса, ABD һәм АСЕ
өчпочмаклары тигезьянлы (111 нче рәсем).
Төзү. Туры өстендә ∣ DE∖ = р салабыз. Әлеге турыдан һ
ераклыгында аңа параллель / турысы үткәрәбез. Түбәсе D нок¬
тасында булган AuE = ^ почмагы төзибез·, аның ягы I турысын
А ноктасында — эзләнелә торган өчпочмак түбәсендә кисеп үтәр.
В һәм С нокталары — AD һәм АЕ кисемтәләренең урталарыннан
үткәрелгән перпендикулярларның DE турысы белән кисешү нок¬
талары. ABC — эзләнелә торган өчпочмак.
18. Юнәлешләр арасындагы поч¬
маклар булганга, </_DAEsi^B, ә па¬
раллель турыларны өченче туры бе¬
лән кистергәндә барлыкка килгән
почмаклар булганга күрә, <∕DAC^½
≈ /_С. Тигезьяклы өчпочмакның ни¬
гезе янындагы почмаклары буларак
В һәм С почмаклары конгруэнт, шуңа
күрә DAE= DAC (112 нче рәсем).
21. а) 2. б) 6 яки 4. в) Түбәндәге
очраклар булуы мөмкин: 1) 12; 2) 8;
3) 10; 4) 6.
22. Әйләнә үзенә конгруэнт әйләнә¬
гә шул әйләнәләрнең үзәкләре белән
бирелгән параллель күчерү ярдәмендә
чагылдырыла. Кисемтәләр параллель
һәм бер үк озынлыкта булган очракта
гына кисемтәне кисемтәгә параллель
күчерү ярдәмендә чагылдырып була.
23. Монда ике очракны аерырга
кирәк: 1) теләсә нинди параллель кү-
черүдә; 2) нинди булса да конкрет
D ^"параллель күчерүдә. 1) очрагында
113 нче рәсем яссылык кына. 2) очрагында күбрәк
116
мисал китерергә мөмкин: туры, әгәр күчерүнең юнәлеше бирел¬
гән турыга параллель булса; ярымъяссылык, әгәр күчерүнең юнә¬
леше аның чигенә параллель булса; полоса, шул ук шартларда.
24. Почмакның эчендә алынган теләсә нинди нокта аша аның
якларына параллель турылар үткәрәбез. Бу турылар арасындагы
почмак бирелгән почмакка конгруэнт.
25. j∕~BDA ≡½ <∕CAD булуын исбат итегез, ул вакытта ABD
һәм ACD өчпочмакларының конгруэнтлыгыннан ∣ AB∖ = ∣ CD∖ ти¬
гезлеге килеп чыга (113 нче рәсем).
26. q турысының ирекле Al ноктасыннан бирелгән кисемтә
озынлыгындагы радиус белән р турысында C1 не тамгалыйбыз;
тигезьяклы AλBλCλ өчпочмагы төзибез (114 нче рәсем). jS1 нок¬
тасы аша һәм р, q турыларына параллель итеп s турысы белән В
ноктасында кисешүче туры үткәрәбез. ∙A1P1C1 өчпочмагын BγB
нуры юнәлешендә ∣PB1∣ ераклыгына күчерәбез.
28. М — ВС ягы өстендәге теләсә нинди нокта булсын (115 нче
рәсем). [ΛC]-L[∙∕WV] һәм [ΛPV] ∣j [В£], [./ИР] үткәрәбез.
I MN I — I ЕР I, PMB=ACB, ACB=CBA икәнен табабыз.
РМВ өчпочмагы MFB өчпочмагына гипотенузасы һәм кысынкы
почмагы буенча конгруэнт, димәк, |РР| = |7ИР|.
Шулай итеп, ∣ ΛPV∣ + ∣ MF ∣ = ∣ BE∖ = ht,, ләкин hb = у | АВ\ =
29. 116 нчы рәсемне карагыз. 31. a + b.
32. Өчпочмакның урта сызыгы үзлегеннән файдаланырга кирәк.
33. PF кисемтәсен АС турысына карата чагылдырыгыз
(117 нче рәсем). ∣PP∣=∣FP∣ һәм [£Р] белән [ΡΏ] бер туры
өстендә яталар. Моннан тыш, симметрия нигезендә AFP ≈= АЕР=
= 90°. Моннан мәсьәләнең алга таба чишелеше килеп чыга.
34. Күчерүләрнең юнәлеше капма-каршы һәм тиңдәш нокта¬
лар арасындагы ераклыклар бертөрле булганда.
35*. Р, Q, Р нокталары — ABC өчпочмагы якларының урта¬
лары булсын (118 нче рәсем). [PQ] — ABC һәм MΛl2Λi3 өчпоч¬
макларының урта сызыгы. [PQ] — ABC һәм AlAliΛ12 өчпочмак¬
ларының урта сызыгы. [РР] — ABC һәм √M√W1√W3 өчпочмаклары¬
ның урта сызыгы.
Моннан чыгып ABC һәм MlΛ12M3 өчпочмаклары якларының
конгруэнтлыгы җиңел исбат ителә.
117
в
116 нчы рәсем 117 нче рәсем
А
118 нче рәсем
С,
С
119 нчы рәсем
36*. АВС Һәм AiBlCl өчпочмаклары симметрик булгач, бу
өчпочмаклар конгруэнт (119 нчы рәсем). Аларның тиңдәш медиа¬
налары АЕ һәм AiEl шулай ук симметрик һәм конгруэнтлар,
шуңа күрә AMxAxM дүртпочмагы параллелограмм була, монда
[AA1] һәм [Λl1Λlj — диагональләр, димәк, О ноктасы аларны
урталай бүлә. Моннан √W1 һәм М нокталарының^/) үзәгенә ка¬
рата үзәк симметрияле икәне килеп чыга.
118
II бүлек. КҮППОЧМАКЛАР
§ 1. КҮППОЧМАК БИЛГЕЛӘМӘСЕ
I. D һәм К нокталары б) һәм в) очракларында бер өлкәнеке;
Е һәм Т нокталары а) очрагында бер өлкәнеке.
3. 1) а) 1; б) 2; в) 3; г) п - 3.
2) а) 2; б) 5; в) 9; г)(" ~ 3>n .
4. Почмак һәм дүртпочмак кабарынкы һәм кабарынкы булмаган
фигура да булырга мөмкин (120 нче рәсем); нур, кисемтә, ярымъ-
яссылык, яссылык, өчпочмак — һәрвакыт кабарынкы фигуралар.
5. а) 11 өчпочмак: a, с, d, е f,af, fe, ed, de, be, fed.
б) АВК һәм KLM — тигезьянлы өчпочмаклар, ABLM—квадрат,
ABCD һәм LCDM — турыпочмаклыклар, BCDMK һәм ADCLK —
бишпочмаклар, ABCDMK Һәм BADCLK — алтыпочмаклар һ. б.
6. 1) a) ABCD дүртпочмагы; б) ACDE дүртпочмагы; в, г)
ABCDE бишпочмагы. 2) а) АС кисемтәсе; б) А ноктасы; в, г)
ACD өчпочмагы; д) С ноктасы.
7. а) 3; б) п-2.
9. Күрсәтмә. Бирелгән күппочмакны өчпочмакларга бүл¬
гәләгез (121 нче рәсем): a) Ad яки 360°; б) 6αf яки 540°.
10. а) 130°; б) УИ=Р = 30°, Q = 120°.
II. Күрсәтмә. Башта бу тышкы почмакның 90° ка тигез
икәнлеген исбатлагыз.
по ч таклар дүртпочмаклар
кабарынкы Кабарынкы
120 нче рәсем
121 нче рәсем
119
Чишү. Тигезләмә төзибез. 180° (п — 2) = 2250° — х, монда
х~ бирелгән тышкы почмакның зурлыгы. Моннан 18« = 261° —
— 0, lx, x = 90o һәм /г=14.
12. 5.
13. 1) а) Юк, алай булмаганда бу өчпочмакның ике эчке поч¬
магының суммасы 180° ка тигез булыр иде, бу мөмкин түгел;
б) әйе, турыпочмаклы өчпочмакта аның ике биеклеге үзара
перпендикуляр. 2) 1) мәсьәләсенең җавабын карагыз.
14. Кабарынкы күппочмакның тышкы почмаклары суммасы
4d га тигез. Әгәр күппочмакның эчке почмагы кысынкы булса,
аңа тиңдәш тышкы почмагы җәенке була. Димәк, күппочмак¬
ның өчтән артык кысынкы почмагы була алмый.
17. B = D = 154°, C = 26o.
§ 2. ӨЧПОЧМАКЛАР
2. a) z≤∏ һәм <∕,B∙, б) ЛА, в) андый өчпочмак булмый.
3. а) с\ б) Ь\ в) а.
4. a) Z>, с, а·, б) иң зур ягы с, а = Ь.
5. а, Ь, с.
6. a) I АВ\> |ДС|; б) /_А, Z.B, ^С.
7. a) а + с; б) АСВ = ABC = 70°, димәк, ABC өчпочмагы
тигезьянлы.
§ 3. ДҮРТПОЧМАКЛАР
1 һәм 2. Күрсәтмә. Үзәк симметрияле кисемтәләрнең үз¬
леген файдаланыгыз.
3. Күрсәтмә. Бу дүртпочмакның капма-каршы якларыпар-
пар параллель икәнен исбат итегез.
4. а) Почмаклары бирелгән параллелограммның почмаклары¬
на конгруэнт булган параллелограммнар (аерым очракта, бирел¬
гән параллелограмм турыпочмаклык булганда, төзелгән парал¬
лелограмм ноктага әверелгәндә).
б) Күрсәтмә. Үзәк симметрияле кисемтәләрнең үзлеген яки
2 нче мәсьәләнең нәтиҗәсен файдаланыгыз.
6. 10 см. 7. —- 8. 30 см; 80 см.
2
9. а) 16 см; 44 см; б) ике чишелеше бар: 3 см; 32 см яки
23 см; 72 см.
10. 50° һәм 130°. 11. 85° һәм 95°.
12. 2 (2α + Ь) яки 2 (2b + а).
13. О ноктасына карата үзәкле симметрия (О ноктасына ка¬
рата 180° ка бору).
14. а) Күрсәтмә. ABCD дүртпочмагының параллелограмм
булуын һәм К ноктасы аның симметрия үзәге икәнен исбатлагыз.
15. а) 8 см; б) 45° һәм 90°. 16. 0,5 а.
17. а) 25°, 155°; б) 55°, 125°.
22*. Күрсәтмә. Капма-каршы ике пар түбәсенең паралле¬
лограмм түбәләре булуын исбат итегез.
120
122 нче рәсем
23. Параллелограммның берәр бил¬
гесен файдаланыгыз,
24. Башта теләсә нинди дүртпоч¬
макта якларының урталары паралле¬
лограмм түбәләре булуын исбат ите¬
гез.
25. Бирелгән ABC почмагының В
түбәсе һәм бирелгән М ноктасы аша
нур үткәрәбез һәм аның өстендә М ноктасыннан башлап МК
кисемтәсе салабыз. ∣ √W<∣ = | ВМ |. К ноктасы аша почмакның
якларына параллель итеп турылар үткәрәбез. P∈[5A), Q∈[5C).
PQ эзләнелгән кисемтә була (122 нче рәсем).
26. Күрсәтелгән ераклыкларның суммасы параллелограммның
биеклекләре суммасына тигез.
Λ Λ Λ Λ
28. Күрсәтмә. 1=2=3=4 икәнен исбат итегез (123 нче
рәсем).
31. а) һәм б); б) һәм в); в) һәм г); а) һәм г).
32. а) Әйе; б), е) әйе, чөнки турыпочмаклык — параллело¬
граммның аерым бер төре ул; в), д) әйе, чөнки ромб — паралле¬
лограммның аерым бер төре ул; г) әйе; ж) әйе, чөнки квадрат — па¬
раллелограммның аерым бер төре ул.
38. a) DC кисемтәсенә; б) түбәләре бирелгән турыпочмак¬
лыкның яклары өстендә һәм диагонале OD булган, турыпочмак¬
лыкка (0 түбәсеннән тыш); в) АС диагоналенә; г), д), е). үзенә.
39. Күрсәтмә. Диагональләре үзара перпендикуляр булган
дүртпочмак якларының урталары турыпочмаклыкның түбәләре
икәнен күрсәтегез.
40. a) С түбәләре күплеге — А һәм Q нокталарыннан башка
AQ кисемтәсе ул, QAB = 45°, ∣ AQ | = *D түбәләре күп¬
леге— В һәм N нокталарыннан тыш BN кисемтәсе ул, DBA —
= 45°; ∖BN∖ = ^~^- (124 нче рәсем).
б) AQ һәм BN кисемтәләренең Q һәм N нокталары тәңгәл ки¬
ләләр. Бу уртак ноктаны Р аша тамгалыйк.
121
125 нче рәсем
126 нчы рәсем
С, Р, D һәм М нокталары — турыпочмаклыкның түбәләре, ә
турыпочмаклыкның диагональләре кисешү ноктасында урталай
бүленәләр, шуңа күрә МР кисемтәсе CD кисемтәсен урталай
бүлә.
в) AL кисемтәсе, монда L — АВ кисемтәсенең уртасы. (Әгәр
Л ноктасын нуль радиуслы әйләнә дип исәпләсәк.)
42. а) 125 нче рәсемне карагыз; б) 126 нчы рәсемне карагыз.
45. Әгәр бирелгән нокталар бер туры өстендә ятмасалар,
мәсьәләнең өч чишелеше була (127 нче рәсем).
Әгәр бирелгән А, В һәм С нокталары бер туры өстендә ятса¬
лар, бу нокталарның берсе, мәсәлән, В ∈[ΛC] ноктасы АС ки¬
семтәсен урталай бүлгән очракта, мәсьәләнең чишелеше була.
Калган очракларда мәсьәләнең чишелеше юк.
48. 80“ һәм 100°. 49. 60° һәм 120°. 50. 30° һәм 150°.
51. Бу ромбларның симметрия күчәрләре тәңгәл киләләр.
52. 4 см. 53. Квадрат.
54. Бирелгән дүртпочмакның диагональләре а) үзара перпен¬
дикуляр; б) конгруэнт; в) үзара перпендикуляр һәм конгруэнт
булырга тиешләр.
55. a) BD турысына карата симметрия яки квадратның сим¬
метрия үзәге тирәсендә сәгать йөреше уңаена 90° ка бору.
б) АС турысына карата симметрия, квадратның симметрия
үзәге тирәсендә сәгать йөреше уңаена 90° ка бору.
56. Өчпочмак: a) BAD', б) DCB∙, в) CDA.
57. 1) Ромб; АВ кисемтәсе бөкләү сызыклары белән 45° лы
почмаклар төзергә тиеш. 2) a) [Л5]±[ΛZ] (128 нче рәсем);
127 нче рәсем
122
'P
128 нче рәсем 129 нчы рәсем 130 нчы рәсем
б) I OB I = IО A I, [√423] _!_ [C>Z,] шарты
үтәлергә тиеш (129 нчы рәсем).
63. ABL өчпочмагын сәгать йөре¬
шенә каршы В ноктасына карата 90э
ка борабыз. ABC = LBLx = 90°, шуңа
күрә LxF туры кисемтәсе була (130 нчы
рәсем). CFLx өчпочмагында ∣ CMx | =
= ∣√H1Z,1∣ һәм I LλB∖ = |Z?F|; шулай
булгач, [Λl1β∣-аның урта сызыгы
һәм [MlB] у [С77], моннан [jSΛ1]jJCF].
64. AD ягы өстендә тигезьяклы
ADK өчпочмагы төзибез (131 нче
рәсем), МК кисемтәсе үткәрәбез һәм
АМК өчпочмагын карыйбыз — ул ти¬
гезьянлы, чөнки КАМ --= КМА — 75°
(М һәм К нокталары төзелгән фигу¬
раның симметрия күчәрендә ятуына
игътибар итәбез). Моннан ∣ AB |= | АК\
булган АВМК дүртпочмагының па¬
раллелограмм икәнлеге килеп чыга.
Димәк, IΒΑΊI -= I AB ∣ = | ВСI = ∣ CM |,
шуны исбатларга кирәк иде дә.
65. Күрсәтмә. POD почмагы¬
ның зурлыгын α дип тамгалыйк, ул
вакытта PxOA=P2OC = a- (132 нче
рәсем).
Әлеге мәсьәлә тагы да гомумирәк
мәсьәләнең аерым очрагы булып тора:
„Яссылык өстендә координаталар
башлангычы — О ноктасында һәм Р—
яссылыкның ниндидер ноктасы бул¬
ган Декарт координаталар системасы
бирелсен. P1 = Sy (Р), Р2 ■■= 5v=λ (Р)
булсын ди. P2OP = 90° икәнлеген ис-
батлагыз".
66. 133 нче рәсемне карагыз.
131 нче рәсем
123
А В 0 с
* · · ·
d » 2 · ·
Д Д 05 £
136 нчы рәсем
Д В , С
° I ·
• · I · ·
ς 4 ∙∣∙ ·
137 нче рәсем
67. 1) а) Юк; б) әйе. 2) 112° һәЦ
106°.
68. 40°, 140°, 80°, 100°.
69. 20 см. 70. 10 һәм 34 см.
71. 132 см. 73. 60°, 120°.
74. 11,5 см. 75. 42 см.
76. 28 см.
77. -—Эзләнелә торган ки4
семтәнең озынлыгы KCD турыпоч¬
маклы өчпочмагының медианасы
озынлыгына тигез, ACD = 90° (134
нче рәсем).
78. 50 см.
82. Чын әйтелмәләр: б), д), е),
ж), и); ялган әйтелмәләр: а), в),
г), з).
83. Чын әйтелмәләр: б), г), д).
85. a) п = 2⅛, монда ∕e∈Λ' һәм
k > 1; в) η = 4; г) η > 4; д), е) ∕z=3.
86. 1) Бирелгән А, В, С нокта¬
лары бер туры өстендә ятмыйлар.
Ул вакытта, симметрия үзәге бул¬
ган фигура төзү өчен, дүртенче
нокта параллелограммның дүртен¬
че түбәсе булырга тиеш. Мәсьәлә¬
нең өч чишелеше бар (135 нче
рәсем). Симметрия күчәре булган
фигураны бирелгән өч нокта буен¬
ча төзергә мөмкин (дельтоид).
2) Бирелгән А, В һәм С нокта¬
лары бер туры өстендә яталар
(136 һәм 137 нче рәсемнәр).
§ 4. КҮППОЧМАКЛАРНЫҢ МӘЙДАНЫ
1. а) 87 см2; б) 204 см2; в) 5,6 м2.
2. а) 18 см; б) 4 м; в) 4 км; г) 320 м.
3. 1) а) 25000 м2; б) 0,025 км2; в) 2,5 га.
2) а) 0,24 км2; б) 240000 м2; в) 2400а.
3) а) 0,35 км2; б) 3500а; в) 35 га.
4. а) 20,8 км; б) 8 км. 6. а) 4 м һәм 9 м; б) ≈ 50,9 см.
7. а) 21 %; б) 19%. 8. 20 см, 22 см. 9. 124 см.
11. a) ab — (a — 2√) (Ь — 2с);
б) ab — (a — с) (b — d);
в) ab — (a — 2c)d.
12. а) 40 мм; б) 10 мм.
14. 1) а) 6,25 см2; б) 0,0441 м2.
2) б) ≈ 8,76 м; в) ≈ 3,82 мм. 3) ≈ 6,32 м.
124
138 иче рәсем
15. а) 0,25 a^ (138 нче рәсем),
б) ON һәм ОР турыларының ABCD
квадратын (139 нчы рәсем) 4 конг-
руэнт дүртпочмакка бүлгәнен күрсәтү
кыен түгел (О ноктасы — квадратның
симметрия үзәге булуын файдаланы-/
гыз). Димәк, Sondp = 0,25 d1.
16. 1) а), д), ж). 2) б), в), е), и).
17. а) 12 см2; б) 50 см2.
18. а) 30°. б) Турыпочмаклык,
чөнки аның биеклеге параллелограмм
биеклегенә караганда зуррак (бер үк
нигез булганда).
20. а) 4 см. б) 8,2 см һәм 4,1 см.
21. a) ≈ 3,33 см яки 7,5 см. б) 3,75 см
яки ≈ 6,67 см.
23. Чишү: Sabcd = ' $adc ~
= ∣ΛC∣∙∣mi∣ = 64 см2 (140 нчы рә¬
сем), Sabcd = I AB I ∙ I DK∖ булганга
күрә, I DK∖ ■=— ≈ 5,33 см.
24. 1) а), г), д). 2) б), з).
25. а), б), в) әйе.
26. а) 14 см2; б) 210 дм2.
27. а) 6 бер2; б) «1,78; в) 2,4 бер.
28. 3 см.
29. 3:1.
30. а) 4,8 см. б) 2 см. в) Мәсьә¬
ләнең чиксез күп чишелеше бар,
чөнки бирелгән нигез һәм биеклек
буенча теләсә никадәр өчпочмак тө¬
зергә мөмкин.
32. 2) а), б) әйе; в) юк.
125
144 нче рәсем
33. 1) a) 2080 мм2; 6) 1190 мм2. 3) 26 мм.
34. 5 см, 12 см2. Турыпочмаклыкның якларын а һәм b, ә диа¬
гонален d дип тамгалап, өч билгесезле өч тигезләмә система¬
сын табабыз:
' a + b = 7,
a2 + b2 = d2,
ab = 2,4 d.
35. ADC һәм BDC∙, ABD һәм ABC', ADO һәм ОСВ — теләсә
нинди трапециядә.
36. 1 белән 2 һәм 3 белән 4 өчпочмаклары тигез зурлыкта,
ә Si+2 = ⅜+4 булганга, 51 = S2 = S3 = S4.
37. а) 1Л; б) 3:2; в) 3:5; г) 1 ? 4; д) 4:5.
Күрсәтмә. Sdlc = Sdlk = -∣ Sabcd булу фактын файдала¬
ныгыз.
40. a) Sλbo+Scdo=0,5∣A5∣.∣0^+0,5∣CΩ∣∙ ∣OL∣=0,5∣Λθ∣×
× I I = θ,5 Sabcd (141 нче рәсем). Димәк, Здво + $соо =
~ $всо + ⅛ao була.
41. a) ABC һәм BAD өчпочмаклары конгруэнтлар (142 нче
рәсем), чөнки тиңдәшле рәвештә конгруэнт булган өчәр яклары
бар, ә конгруэнт өчпочмакларда тиңдәш конгруэнт якларга кар¬
шы конгруэнт почмаклар ятканга күрә, ^d,BAD = ABC була.
б) Күрсәтмә. Башта ACD һәм BDC өчпочмакларының кон¬
груэнтлыгын исбатлагыз.
45. Эзләнелә торган сумманы S аша тамгалыйк, ул вакытта
фигураның (143 нче рәсем) үзәк симметрияле булу үзлегеннән:
s = 2 (fιl + һ2); Saob = 0,25 а2.
saob = 0,5 I MO I- (Λl + Λ2) = 0,25 b (∕z1 + ∕z2).
Моннан 0,25 а2 = 0,25 b (hi + А2) һәм s = — .
b
47. а) 976,5 мм2; б) 1100 мм2.
48. а) 126 мм; б) 75 мм.
50. Башта ADM белән МСВ өчпочмагының (144 нче рәсем)
тигез зурлыкта икәнен, аннары АРМ белән MQB һәм ADP бе¬
лән BCQ өчпочмакларының тигез зурлыкта икәнен исбат итегез.
126
51. — 19- ≈ 0,22a2.
20
52. [AZ,] һәм |АЛ'| ABC өчпочмагының
медианалары булсын (145 нче рәсем).
[ΑΔ] I [βj<]. KL кисемтәсен үткәрәбез.
Аннары Sklc - 0,25 Sabc, ягъни Sklba =
= θ>75 sABC һәм sklba = булуын күр¬
сәтүе кыен түгел, моннан
o 4 ma∙r∏h 2
5.nr —≤ = — nιa ∙ тһ.
ABC 3 2 3 b
53. ∣Afi∣ = ∣βC∣ булганлыктан, М нок¬
тасы АВ һәм ВС якларыннан тигез ерак¬
лыкта. ABC өчпочмагының BD биссектри¬
сасы В ноктасыннан башка шундый нок¬
таларның геометрик урыны була.
а) 10 бер2; б) 5 бер2; в) 12 бер2; г) 4 бер2.
55.
56. 1,875 V2≈ 2,64 см2.
58. ≈ 4,6 см.
59. 7,68 а2.
61. 12 см2. Башта, бирелгән дүртпочмак якларының уртала¬
ры—мәйданы бу дүртпочмакның мәйданыннан ике тапкыр кечерәк
булган параллелограммның түбәләре булуын исбат итегез.
63. ≈ 14,6 см2.
64. Күрсәтмә. KOL белән KON һәм LOM белән N0M өч¬
почмакларының пар-пар тигез зурлыкта булуын исбат итегез,
о = [/CM] ∩ [ΔΛ7].
65. 1) а) 6 см2 (146 нчы рәсем); б) 1,5 см2; в) -∣- см2.
2) 10 бер2, 15 бер2, 12 бер2, 8 бер2.
66. а) у; б) 4,5 + 3 (х — 3) = Зх — 4,5;
в) 16-0,5 (8'-х)2; г) 24 - 0,5 (10 - х)2.
67. 18,25<Γ¼3 ≈ 31,6 α2.
127
68. 0,5 (1 + /2 + УЗ + ¼4 + /5) бер2.
69. +
70. ABCKL бишпочмагын ABML параллелограммына туты¬
рыгыз (147 нче рәсем), КСМ һәм KDL өчпочмакларының кон-
груэнт икәнен исбатлагыз.
71. α2 — t2,ab = a (a — 2⅛), ⅛'<0,5⅛.
75. 25. Яңа дүртпочмак — мәйданы бирелгән дүртпочмакның
мәйданыннан ике тапкыр зуррак булган параллелограмм.
76. һәр дүртпочмакның мәйданы шул дүртпочмак якларының
урталары түбәләре булып хезмәт иткән параллелограммның ике-
ләтелгән мәйданына тигез (148 нче рәсем).
77. Күрсәтмә. Түбәләре — бирелгән трапеция якларының
урталары булган дүртпочмакның турыпочмаклык икәнен исбат
ИТе78!'а) 12 бер2; б) 25 бер2; в) 25 бер2; г) 20 бер2, ABCD дүрт¬
почмагы — трапеция; д) 18 бер2.
III бүлек. ӘЙЛӘНӘ ҺӘМ ТҮГӘРӘК
4. Шундый әйләнәнең үзәгеннән М ноктасына кадәр ераклык
а га тигез. Димәк, әйләнә билгеләмәсе буенча, бирелгән М нок¬
тасы аша үтүче а радиуслы барлык әйләнәләрнең үзәкләре күп¬
леге үзәге М ноктасында булган а радиуслы әйләнә була.
5. Квадрат диагональләренең кисешү ноктасы аның түбәлә¬
реннән тигез ераклыкта. Шуңа күрә эзләнелә торган әйләнәнең
үзәге квадрат диагональләренең кисешү ноктасында ята.
6. Бирелгән MN турысына бирелгән А ноктасында орынучы
барлык әйләнәләрнең үзәкләре күплеге MN турысына А ноктасы
аша үткәрелгән перпендикуляр була, А ноктасы бу күплеккә
керми (без монда ноктаны „нульгә әверелгән әйләнә" — нуль ра¬
диуслы әйләнә дип карамыйбыз).
7. Бирелгән турыга параллель һәм аннан а7ераклыгында ур¬
нашкан ике туры.
8. а турысы (О, г) әйләнәсенә М ноктасында орынсын ди,
[ДД] — диаметр, [ДС] һәм [5Ώ] — диаметрның очлары аша орын¬
мага үткәрелгән перпендикулярларның кисемтәләре. Ул вакытта
[OA1∣ — ABDC трапециясенең урта сызыгы.
128
9. Әйләнәнең үзәге бирелгән турыга бирелгән нокта аша үт¬
кәрелгән перпендикуляр өстендә ята, һәм бирелгән ноктадан
бирелгән радиуска тигез ераклыкта урнашкан. Мәсьәләнең ике
чишелеше бар — бирелгән турыга карата бер-берсенә симметрия¬
ле ике әйләнә.
10. Бирелгән почмак биссектрисасы белән әлеге почмакның
ягы өстендә бирелгән нокта аша шул якка үткәрелгән перпенди¬
кулярның кисешү ноктасы эзләнелә торган әйләнәнең үзәге була.
11. а турысы һәм М ноктасы (Λ4(£α) бирелсен ди. а турысы¬
на параллель, М ноктасы кебек үк а чикле ярымъяссылыкта
яткан һәм а турысыннан г ераклыгында урнашкан b турысының
(М, г) әйләнәсе белән кисешү ноктасы эзләнелә торган әйләнә¬
нең үзәге була. Мәсьәләнең ике, бер чишелеше булырга яки бер
чишелеше дә булмаска мөмкин.
12. ∖LB∖-∖MB∖ = x, ∣CL∣ = ∣C∕C∣ = r, ∣ AK∖ = ∖AM | = у
(149 нчы рәсем) булсын. Катетлар суммасы белән гипотенузаның
аермасын исәплик.
х + г + г + у — х — у = 2г,
шуны исбат итәргә кирәк иде дә«
13* 16 см2.
14* KLMN дүртпочмагы — турыпочмаклык (ни өчен?). Шулай
итеп, чишү өчен ∣ KL ∣ = ∣ KN∖ булуын исбат итәргә кирәк (150 иче
рәсем). Бирелгән турыпочмаклы өчпочмакның катетларын һәм
гипотенузасын тиңдәшле рәвештә a, b һәм с дип тамгалыйк.
Ул вакытта
∣KI∣ = f+ ∣ + f = 0,5(α-M + c),
∣∕<W∣==∣7WV∣ = 4 + ⅜ + ⅜ = O,5(α+ft + c),
X X лл
ягъни ,ΛX∣ = ∣Λ7V∣ һәм KLMN дүртпочмагы — квадрат.
15. АОВ — туры почмак, а —бирелгән кисемтәнең озынлыгы
булсын. Ул вакытта (О; -~j әйләнәсенең бирелгән почмакка ка¬
раган дугасы, ягъни чирек әйләнә эзләнелә торган фигура була.
149 нчы рәсем
150 нче рәсем
9 У-52
129
16. 8 см. Күрсәтмә. Бирелгән хордаларны АВ һәм АС дия
тамгалыйк. Ул вакытта 41 нче теорема буенча ВС кисемтәсе
бирелгән әйләнәнең диаметры булыр. Әйләнәнең үзәге аша АВ
хордасына үткәрелгән перпендикуляр кисемтәсе ABC өчпочма¬
гының урта сызыгы булыр.
17. Орынма кисемтәсенең бирелгән озынлыгын а дип, әйлә¬
нәнең радиусын г дип тамгалагыз, а һәм г катетлары буенча
турыпочмаклы өчпочмак төзегез. Аның гипотенузасы с булсын.
Эзләнелә торган нокта X бирелгән әйләнәнең үзәгеннән с ерак¬
лыгында урнашкан һәм бирелгән туры өстендә ята. Мәсьәләнең
ике, бер чишелеше булырга яки бер чишелеше дә булмаска
мөмкин.
18. а) Ике; б) унике.
19. (О, г) әйләнәсе һәм А ноктасы, A≠0 бирелсен. ОА ту¬
рысын һәм ОА турысына перпендикуляр MN диаметрын төзегез.
(A, I ΑΛΙ I) — эзләнелә торган әйләнә.
20. (О, г) әйләнәсе, АВ хордасы һәм АВ хордасына парал¬
лель МК орынмасы бирелсен ди. Орыну ноктасын С аша там¬
галагыз. ОС турысына карата күчәрле симметрияне тикшерегез.
21. Күрсәтмә. Күчәрле симметриядән файдаланыгыз.
22. Күрсәтмә. Бирелгән нокта аша почмакның икенче ягы¬
на перпендикуляр үткәрегез һәм перпендикулярның нигезеннән
башлап почмакның шул ягы өстендә һәркайсының озынлыгы би¬
релгән озынлыкның яртысына тигез булган кисемтәләр салыгыз.
Әгәр бирелгән почмак кысынкы булса, мәсьәләнең я бер чи¬
шелеше була, я бер чишелеше дә булмый; әгәр почмак туры
яки җәенке булса, мәсьәләнең чишелеше булмый.
24. Күрсәтмә. Гомуми очракта өчпочмакның медианасы
аның биссектрисасы була алмый.
25. с — (О, г) әйләнәсе, ә cl — (О, | ОА |) әйләнәсе булсын.
АВ турысын ∖AB∖ = d булырлык итеп үткәрәбез (151 нче рәсем).
АВ турысы белән с әйләнәсенең кисешү нокталары М һәм N эз¬
ләнелә торган хорданы күрсәтәләр.
26. 152 нче рәсемне карагыз.
27. Күрсәтмә. Бу диагональләрнең конгруэнт·. дугаларны
тартып торучы әйләнә хордалары булуын күрсәтегез.
130
28. Бу почмакның биссектрисасы, башлангыч ноктасыннан
башка.
29. 4 см.
30. 12 см.
IV б ү л е к. ВЕКТОРЛАР
1. [β£>] — параллелограммнарның уртак диагонале, димәк,
аларның уртак үзәкләре бар. Шулай булгач,
(ΛfA1= -<1→≡1-≡=≡-⅛→Λ41 = ςC,
[MA = -MC (153 нче рәсем).
2. Мәсьәләнең шартыннан AM —MB икәнлеге килеп чыга.
Ләкин AM = ОМ — ΟА һәм MB == OB — ОМ. Ул вакытта ОМ —
— О А = ОВ — ОМ, моннан ОМ = (О А + ОВ).
3. [AAJ — АВС өчпочмагының медианасы булганга күрә,
AAl = — (AB + АС). Шуңа аналогик рәвештә, [AA1] — ABlCi өч-
почмагының медианасы, димәк, AAl = — (ABl + ACl) (154 нче
рәсем). Моннан AB + AC = ABl + ACl^AB-ACi = ABl-
-AC=½Cβ = CBl÷
4. MA + МС = 0, MB + MD ≈ 0=≠ ΛM + MB + МС + 7ЙЬ=6.
6. АА. = AB + - ВС, BBi = BC + -СА, CC,=CA + -АВ.
1 2 2 1 2
Моннан AAl + BBl + CCl = ^(AB + BC + CA) = 0.
7. ВС + СА + АВ = 0, ә BC = OAl, СА = OBl, AB = OCl бул¬
ганга күрә, OAl + OBl + OCl = 0 (155 нче рәсем). OA1 + OBl +
—► “♦ —► —>■ —►
+ OC1 = 0 тигезлегеннән OAl + OBl = — OCl икәнлеге килеп чы-
—► —►· *■ 1 >
га. Ләкин OAl + OB1 = 2OC2, монда C2-[A1B1] нең уртасы.
8.
Ул чагында 2OC2 = — 0C1, димәк, О ноктасы ClC2 медианасы¬
ныкы була. Шул рәвешле О ноктасы AiBlCl өчпочмагының AlA2
һәм BlB2 медианаларыныкы булуын да күрсәтергә мөмкин, шу¬
лай булгач, О ноктасы медианаларның кисешү ноктасы белән
тәңгәл килә.
MG = MA + AG,
MG≈MB + BO,→
MG≈MC + CG
→3Λ4O = (MA + МВ + МС) + (AgTbG + CG)=>
=≠3MG = MA + MB + МС.
9. Бирелгән А, В, С нокталары өчен AB — 2ВС тигезлеге үтә¬
лә. Ул вакытта яссылыкның теләсә нинди О ноктасы өчен яза¬
быз:
OB-δA = 2(OC-OB), ⅛=-OA + -iOC.
3 31
Аналогик рәвештә, OA∣=∣3Qβ — 2OC*[OC = OB — i ОА.
10. S үзәкле симметриянең үзлеге буенча SB — ~ SA дип
язабыз. Ул вакытта яссылыкның теләсә нинди О ноктасы өчен
OB — OS — OS — ОА, моннан OB = 2OS — ОА.
11. О — яссылыкның ирекле ноктасы булсын ди. 8 нче мәсь¬
әләнең нәтиҗәсе буенча
OMl = ± (OA1 + QB, + OC1),
3
—► 1 —► V>—► —►
ОМ = - (ОА + ОВ + ОС).
3
Беренче векторлы тигезлектән икенчесен алабыз:
ом 1 -0M=-(δAl-δA + δBl-δB + 0cl- δc),
3
MMl = 1 (AA1 + ¾ + CCl).
3
132
(ОС + OD), OP=^(OA + ОС),
OS = ⅛(OB + OC).
157 нче рәсем
CD хордаларына
12. Μ, N, Р, Q, R һәм 5 — тиңдәшле рәвештә АВ, CD, AC,
BD, AD һәм ВС кисемтәләренең урталары булсын (156 нчы рә¬
сем). Әгәр О — яссылыкның ирекле ноктасы булса, ул вакытта
ОМ = 1 (ОА + ОВ), ON = -i
OQ = ⅛ (OB + OD), OR=^(OA + OD),
Моннан O(√1 векторы (биредә Qx — MN
кисемтәсенең уртасы) (ОА + ОВ + ОС+
► ►
+ OD) енә тигез. Аналогик рәвештә OGi
►
һәм OGa векторлары да (монда О2 һәм
Ga ~ PQ һәм RS кисемтәләренең урталары)
— (ОА + ОВ + ОС + OD) енә тигез. Димәк,
4 *
PQ, MN һәм RS кисемтәләренең G = Gx~
— Qi = Ga кә тигез уртак урталары бар.
13. Әйләнәнең тиңдәшле рәвештә АВ һәм
перпендикуляр булган dλ һәм d2 диаметрларын үткәрегез (157 нче
рәсем).
d1∩[AB] = A, <∕2∩[CΩ] = Υ.
OKMN дүртпочмагы — турыпочмаклык һәм [ОМ] — бу турыпоч¬
маклыкның диагонале, моннан ОМ = OK + ON.
Ләкин ОК = -■ (ОА + ОВ), ә ON--= к (ОС + OD), шуңа күрә
ОМ ± (OA + δB + δC + OD).
14. Шарт буенча О ноктасы ABCD параллелограммының үзә¬
ге була, шуңа күрә 2РО = PA + PC һәм ΊΡΟ = РВ + PD, димәк,
6>О + рв + pc + PD.
15. AC = ксв => бс - ОА = ЮВ - ЮС·, ОС = 0А +-λ-0β.
1 + λ
16. А, В һәм С нокталары бер туры өстендә ятсыннар, ул
►· >■ - ►
вакытта ВС һәм ВА векторлары коллинеар һәм ВС = kBA.
Ләкин ВС = ОС — ОВ, В А = О A — OB.
Моннан
ОС - OB = k(OA -OB)→6c = /гбл + (1 - k) бв.
■ ► ► ■ ■ ►
Киресе. ОС = kθA + (1 — k) OB тигезлеге үтәлсен ди, димәк,
ОС — ОВ = k(OA — ОВ) яки BC — kBA, ягъни ВС һәм ДА век¬
торлары коллинеар, ә А, В, С нокталары бер туры өстендә ята¬
лар.
133
17. ΛΛ∣ = AB + BAi = AB + kBC,
BBl = BC + CBi≈ ВС + kCA,
CCl = CA + ACl = CA + kAB,
ул вакытта AAl + BBi + CCl = (1 + k) (AB + ВС + СА).
AB + ВС + С A = 0 икәнен исәпкә алып, AAl + BBl + CC1= О
ны табабыз.
18. Р ноктасы ВС кисемтәсенеке, димәк, СР = а-СВ. Икенче
яктан, СР — СА + βΛΛf, шуңа күрә α СВ = СА + βΛM
Ләкин ΛM = CM - СА = ∣ CC1 - CΛ = i-(CΛ + СЯ) - СД =
^-CB--CA.
4 4
Моннан
аСВ = СА + S i-CB --сдҮ
\4 4 )
(a-l)C⅛ = (l-∣β)CΛ.
* ► —
СА һәм СВ векторлары коллинеар түгел, шуңа күрә
ία——=0 a=i,
4 ’ 4 ’ 1
=> =≠ a = —
1 - -β. = 0, β = - , 3
4 r r 3
булса, тигезлек үтәлә.
Шулай итеп, СР = — СВ =⅛∙ ∣ CP |: | РВ | = 1:2.
3
19. Яссылыкның ирекле О ноктасы өчен язабыз:
0 i∕∣ OA1 + <2OA2 0в OB↑ + о-ОВ? Q(2 OCι + &ОС2
0 1 + a ’ 0 l+≈ ’ ; 0 l+≈
Моннан
л *О Aj⅛ι 4~ a-^2^2 D *A 4" ^B2C2
∙λodo — : ; > zjobo —■ , ;
Шарт буенча AiBl = mBlCi, A2B2 = tnB2C2, шуңа күрә Λ0B0=
-mB0C0∙, шулай булгач, До, Bo, Со нокталары бер туры өстендә
яталар (158 нче рәсем).
20. [ОМ) — AOD һәм СОВ почмакларының биссектрисасы
икәнен исбатлагыз. Ул вакытта О A + OD һәм ОС + ОВ вектор¬
лары ОМ векторына коллинеар (159 нчы рәсем).
134
21. ka + Lb = pa + qb тигезлегеннән (⅛ — p) a = (q — I) b килеп
чыга. Шарт буенча а һәм b векторлары коллинеар түгел, димәк,
⅛~p = 0 һәм q —1 — 0 икән, векторлы тигезлек мөмкин була.
22. Шарт буенча ОА + OB — ХОС һәм ОС + О A = [ЮВ.
Беренче векторлы тигезлектән икенчесен алабыз:
ob-oc = юс - \>.ов.
21 нче мәсьәләнең нәтиҗәсе буенча λ = — 1, ∣χ= — 1. Ул вакыт¬
та ОА + ОВ = — ОС => ОВ + ОС = — ОА; димәк, ОА векторы
—►· — ⅜-
О В + ОС векторына коллинеар.
23. Мәсьәләнең шарты буенча
ХОД = ОВ + ОС + OD, ЮС = OD + OA + ОВ.
v-6b ≈oc + δb + ОА.
Векторлы тигезлекләрнең теләсә кайсы парын сайлап алабыз
һәм, мәсәлән, беренче векторлы тигезлектән өченчесен алабыз.
Ул вакытта
ход -vδc = δc-δΛ=≠λ = v = -1,
димәк, — ОА = О В + ОС + OD => — OD = О A + OB ⅛ ОС.
—и —>∙ , ► —*∙
Шулай булгач, OD векторы О A + OB+OC векторына коллинеар.
135
24. (DA) ∩ (СВ) = О булсын (160 нчы рәсем). Ул вакытта
OD — a-OA, OC = aOB.
Шарт буенча (AN) ∣∣ (CAI), моннан ОМ ='φOA, ОС = $ON.
Димәк, OD = -OM, ON = —ОВ, шулай булгач, (DN) ∣∣ (MS).
26. О ноктасыннан башлап а һәм Ь векторларын салабыз. Ул
вакытта a + Ь векторы а һәм Ь векторларын О ноктасыннан чы¬
гучы яклары итеп алып төзелгән параллелограммның диагонале
була, а — Ь векторы шул ук параллелограммның икенче диаго¬
нале була.
Шарт буенча ∣ a ∣ = ∣ b |, димәк, а һәм Ь векторлары өстендә
төзелгән параллелограмм ромб була. Ромбның диагональләре
үзара перпендикуляр, моннан a + b I а — Ь. Әгәр а һәм Ь век¬
торлары коллинеар булсалар, a + Ь яки a — Ь векторларының
берсе нуль-вектор була. Ә нуль-вектор теләсә нинди векторга
перпендикуляр.
27. К ноктасы — АС хордасының уртасы, шуңа күрә ОК =
-—^(ОА + ОС) (161 нче рәсем). L — BD хордасының уртасы.
Шуңа күрә OL = ^(OB + OD). ОМ = ^(OA + OB+ ОС + OD)
(13 нче мәсьәләне кара). Моннан LM — ОМ — OL = (ОА + ОС).
Шулай итеп, OK= LM, димәк, OKML дүртпочмагы — паралле¬
лограмм.
28. ОА + ОВ = — (ОС + OD) дип язып була. ОС + OD = ОЕ
—⅜∙ —► —►
векторы ОА + OB= OF векторына капма-каршы, шуңа күрә | О£| =
= I OF |. Моннан тыш, бу векторларның Һәркайсы тигез озынлыкта¬
гы (I ОА I = I OB I = I ОС I = I OD | булган) векторлар өстендә төзел¬
гән ромбларның диагонале була. Шулай булгач, төзелгән OAFB
һәм OCED ромблары конгруэнт. Ромбның диагонале аның сим¬
метрия күчәре икәне билгеле, димәк, (EF) — ике конгруэнт ромб¬
ның уртак түбәсе О аша үтүче симметрия күчәре. Моннан
АОС = BOD = 180°, АС һәм BD — ике диаметр. Димәк, ABCD
дүртпочмагы — турыпочмаклык.
29. CCl — ABC өчпочмагының медианасы булсын, ул вакытта
CC1= 1 (СА + СВ); I CC1∣ = 11 СА + СВ |.
136
СА һәм СВ коллинеар түгел, шуңа күрә
∣CA + C⅛∣<∣CA∣ + ∣CB∣.
Моннан I CCl ∣ < ~ (| СА ∣ + | СВ |).
30. MA + MB + МС = 0 икәне билгеле, моннан ОМ =-^ (ОА +
+ ОВ + ОС), О — яссылыкның теләсә нинди ноктасы. ОА, ОВ,
~ >■
ОС векторлары коллинеар булмаганлыктан,
∣OΛ4∣ < 1 (I ОА I + I ОВ I + | ОС|) →∣ ОМ I < 1 (|ОА ] +
+ ∣OB∣ + ∣OC∣).
31. а һәм b векторларын бер үк О ноктасыннан башлап са¬
лабыз. Ул вакытта а һәм b векторлары өстендә төзелгән парал¬
лелограмм турыпочмаклык була, a + b һәм а — b векторлары —
бу турыпочмаклыкның диагональләре. Ләкин турыпочмаклыкның
диагональләре тигезләр, шуңа күрә
I α + ά I = I a — b∖.
Кире теорема. Әгәр а һәм b векторлары өчен ∣ a + b | =
= I a — b I тигезлеге үтәлсә, a I b була.
Исбатлау, а һәм b — бирелгән ике вектор булсын. Аларны
бер үк О ноктасыннан башлап салабыз. Шарт буенча ∣α÷∕>∣ =
= I a — b I, димәк, а һәм b векторлары өстендә төзелгән парал¬
лелограммның диагональләре тигез озынлыкта. Андый паралле¬
лограмм турыпочмаклык була, шуңа күрә a I Ь.
34. Шарт буенча ABCD һәм A151C1Z)1 — параллелограммнар,
шуңа күрә ACi = ABi + AOl һәм AC = AB + AZ)(162 нче рәсем).
137
Беренче векторлы тигезлектән икенчесен алабыз:
ь_
а
→MO = -AB.
a + b a + b
а
а
DC.
a + b
ACl — AC = ABl — AB + ADi- AD^>CCl --= BBl + DDl =>
=≠∣CC1∣<∣BB1∣ + ∣OO1∣.
35. ∆ ABOλ3∆CDO→^- = -L^-
I OB I IOAI
Δ ADB ∞ Δ MDO → = L∞L = -±
I AB I I OB I
Аналогик рәвештә
Δ DB C ∞ Δ OB N =≠ = 1^-1 =
I DC I I OB I a + b
——► —►·
MN = MO + NO булганлыктан,
i, ab + aD<^
a + b
36. Өчпочмак почмагының биссектрисасы үзлеге буенча
I BC11 = I СВ| _ За
I ClA I I CA I “ b '
Моннан
∣BC1∣ a
I ВЛ I a + b
Ләкин BC1 = CCl — CB, BA = CA — CB, шуңа күрә
(CC1- CB) = (CA - СВ),
a + b
CC. = -2-CA + -^-CB.
a + b a + b
37. О A A-OB һәм [ОС] J_ [AB] булсын. О AC һәм В AO туры¬
почмаклы өчпочмакларының охшашлыгыннан a2 = ∣ AC ∣ ∙ ∣ AB ∣ ны
Аналогик рәвештә A ОСВ лэ Λ АОВ => b2 = | ВС ∣ ∙ ∣ BA ∣.
Моннан *AC' = —, димәк. C ноктасы кисемтәне — чагыш-
I св I b2 b2
—► а2 —*·
тырмасында бүлә. Ул вакытта AC = i АВ.
Ләкин АС = ОС — О А, АВ = OB — О А, шуңа күрә
ОС-ОА^-^2(ОВ-ОА)^ОС==^В+^А .
a2+b2 a2 + b2
38. [АВ] һәм [ВС] ләренә тиңдәшле рәвештә перпендикуляр
булган (ОМ) һәм (ON) үткәрегез (163 нче рәсем).
138
АНС һәм NOM өчпочмаклары охшаш,
i4£L = 2, димәк, CH = 20M^0H -
∣Λ1JV∣
--^OC-2 ·- (ОА + ОВ)=$ОН = ОА +
+ θB + δc.
39. 1) (CAI) II (ОВ) һәм (CN) ∣∣ (О A)
ны төзегез, OMCN дүртпочмагы — ромб
(164 нче рәсем). MCA өчпочмагында
∣ΛfA∣ = -∣ΛfC∣=HΛiA∣ = -∣ΛIO∣, ягъ-
2 2
ни CM = -OA.
3
—*■ 2 —►
ON = — ОВ икәне үзеннән-үзе аңлашыла. Ләкин
3
ОС = ОМ + ON→ ОС = - (ОА + ОВ).
3
2) ОС = 2 (ОА + ОВ).
40. 1) ОС = (ОА + ОВ), 2) ОС = (ОА + ОВ)„
3 2
3) 0C = 0Λ + 05.
42. ⅛≥0 булганда, башы А ноктасындагы а на параллель
нур; k > 0 булганда, ачык нур; —1 < k < 1 булганда, 21 a | озын¬
лыгындагы кисемтә; — ∞ < k < + ∞ булганда, а векторына па¬
раллель һәм А ноктасы аша үтүче туры.
43. АОВ почмагы һәм аның белән вертикаль почмак М нокта¬
ларының күплеге булып тора, өстәвенә ОА һәм ОВ турылары
бу күплеккә кермиләр.
■ ► ►
44. 1, 0<Z<l булганда, ОА һәм ОВ векторлары өс¬
тендә төзелгән параллелограмм М нокталарының күплеге булып
тора; ⅛ > 0, I 0 булганда, АОВ почмагы; Z > 0 булганда, ОВ
нуры; — ∞ < k < ∞ булганда, ОА турысы.
45. Бирелгән а векторы юнәлешенә параллель һәм О нокта¬
сына карата симметрик булган ике туры чикләре булып хезмәт
иткән полоса М нокталарының күплеге булып тора.
47. [AS] II [Avβ1] һәм I AB ∣: ∣ A1S11 = 1: 2 булган AAlBlB тра¬
пециясе М нокталарының күплеге булып тора.
48. ВС кисемтәсен ОА векторына параллель күчерү нәтиҗә¬
сендә килеп чыккан B1Cl кисемтәсе М нокталарының күплеге
булып тора.
139
165 нче рәсем
49. ОС һәм 0D күчерүләрендә
A һәм В нокталарының образлары
түбәләре булып хезмәт иткән па¬
раллелограммның нокталары күп¬
леге М нокталарының күплеге
була.
50. Ло, Bo, Co, Do тиңдәшле рә¬
вештә AAx, BBt, CCl, DDx кисем¬
тәләренең урталары булсын (165 нче
рәсем). Ул вакытта яссылыкның
теләсә нинди О ноктасы өчен
ОЛ0 = |(ОЛ + QA1),
OB0 = l(OB + ¾),
δc0-=∣(δc + oc1),
oA=~(δb + δbl).
Моннан
Λ¾ = OBq - OA0 = ±(OB - ОА +
+ OBx- OAx) = ±(AB+ A⅛x),
D0C0 = OC0 — ODq —
= ^(oc-6d + ocx- od∖) =
= 1(dc + z‰
Шарт буенча ABCD һәм
AxBxCxDx — параллелограммнар,
—►· —►· -1 ►
шуңа күрә AB = DC һәм AxBx =
= DxCx, шулай булгач, А0Вй = DaC0
һәм A0B0C0D0 дүртпочмагы — па¬
раллелограмм.
51 'ΛP∣ ∣BQ∣ IС/? 1 ∣PS∣. .⅛
∣PB∣ ∣QC∣ I RD I ∣ SA|
.булсын. О — яссылыкта ирекле рәвештә алынган нокта.
= k → qp-°λ = k =÷ OP=oλ+-≡
РВ OB —OP 1+k
140
Аналогик рәвештә,
q+ = OB + kOC Q⅛ = ОС + ЮР = ОР + kOA
" 1 + k 1 + k ’ 1 + ⅛
PQ = SR икәнен аңлау кыен түгел.
Чыннан да,
PQ = OQ-δP=-l-(OB-OA) + -½-(δC-OB) =
1 Н- k 1 -f- к
— АВ+ —^—ВС.
1+k ⅛+l
SR = OR - OS = —— (ОС - OD) + -ί— (OD - OA) =
1 ÷ k k + 1
= —— DC + —— AD.
⅛+l ⅛+l
Ләкин AB = DC һәм ВС — AD, шуңа күрә PQ = SR=½PQRS-
параллелограмм.
⅛52. ABC һәм AlBlCi өчпочмакларының медианалары кисешү
нокталарын тиңдәшле рәвештә G һәм G1 аша тамгалыйк. (AO) ||
II (B1C1), (BG) II (A1C1) һәм (CO) || (AiBl) булсын. Ул вакытта
шарт буенча GA = λ(GlBi — GlCl), OB = μ(G1C1— G1A1), GC =
= v(GlA1- GlBl). ι ( (
Бу тигезлекләрне буынлап кушып, табабыз: GA + GB + GC =
= O∖AiQ — μ) + GjBl (λ — ν) + G1C1 (μ. — λ).
Ләкин GA + GB + GC = 6,
шуңа күрә G1A1 (v — и) + GlBl (λ — GlCi (μ — λ) = 0.
Икенче яктан, G1A1 + GiBl + G1C1=0.
Моннан λ===v = μ икәнен табабыз.
Шулай итеп, — (GA — GB) = G1A1 + GlBl — 2G1C1 = 3(GiAl +
λ
+ G1B1)-3G1C1, ягъни — В A = — 3G1C1 =½(BA) ∣∣ (G1C1).
A
53. AC — ABCD параллелограммының диагонале, шуңа күрә
AC = AB + AD, ә ул вакытта AN = a. (AB + AD).
Икенче яктан, AN = AD + β ~ AD j ∙
Моннан
aAB + aAD = ∣ AB + (1 - β) AD, ζα - = (1 - β - α) AD.
141
Векторлар коллинеар түгел, шуңа күрә тигезлек
a —1=0, 1 — a —β = 0=40 = -, a = l
2 r r 3 3
очрагында гына мөмкин.
Шулай итеп, AN = 1 ДС=> ∣ A∕V∣: ∣ M7∣ = 1 :2.
О
54. AS = a(Ab+ — DC] == a,AD + — АВ.
k 2 ) 2
Икенче яктан, AS= AD + ⅛DP. Ләкин DP = AB- — AD,
→ 2
шуңа күрә AS — $АВ + —∣∙j AD.
Моннан а-AD + — АВ = $АВ + il AD.
AD һәм АВ векторлары коллинеар түгел, шуңа күрә тигез¬
лек
= 0 һәм 1 — — — <х = 0 =>
2 2
очрагында гына мөмкин.
Шулай итеп, ∣ AS ∣: ∣ SQ | = 4:1, ∣ DS ∣: ∣ SP | = 2 :3.
55. Μ, N, Р, Q, R — тиңдәшле рәвештә АВ, ВС, CD, DE,
ЕА якларының урталары булсын, ул вакытта
О A + OB = 2OM, OB + ОС = 2ON,
ОС + δb = 2OP, OD + OE= 2OQ,
OE+δA = 2OR.
166 нчы рәсем
Моннан О A+OB + OC+OD+OE=2(OM+ON+OP+OQ + OR).
Икенче яктан, ОМ + ON = kOB,
ON+OP = kOC,
op + oq = kδb,
OQ + δR = kOE,
OR + OM = kOA,
димәк, ' 2 (ОМ + ON + OP +_OQ +
OR) k(OA + δB + ОС A- OD Λ-
+ OE).
142
Шулай булгач, (1 — k) (0Д’+ ОВ + ОС + 0D + ОЕ) = 0.
Ләкин 1 — k ≠ 0, шуңа күрә О A + OB + ОС + OD + OEi= 0.
56. АВС өчпочмагының C түбәсе аша (АВ) на параллель итеп
(CN) үткәрәбез, (CN) ∩ (PQ) = N (166 нчы рәсем).
Λ ACCi ∞ Δ CPN һәм Δ BCCx ∞ Δ CQN икәнен күрү кыен
түгел.
Моннан
I CC11 I CCi I
I INP I ’
шуңа күрә I QΛ∏ = ∣7VP∣=≠2CC1 = PM + QM.
57. AM = — АВ һәм CN = —-—СВ булсын, ул вакытта MN—
η п + 1
= AN —AM - AC + —Ц-СВ - - AB = AC + —— (AB - AC)—
n+1 n «+1
_ X AB = AC i AB.
n n + 1 n (n + 1)
Бер яктан, AD — aAC, икенче яктан, AD = AM + $MN =
n-+ 1 -~μ AB + AC.
n'(n + 1) n + 1
Шулай итеп, a-AC = n + ∖—-AB Ң AC.
j (n +1) n n +1
=> α — tι => AD = tιAC.
58. A үзәкле симметрия X ноктасын Ү ноктасына чагылдыр-
—► —► —
сын ди, ул вакытта ОҮ = — ОХ + 2 ОА, монда О — теләсә нин¬
ди нокта. Аннары ОВ күчерүе Ү ноктасын Z ноктасына чагыл¬
дыра, ул вакытта OZ = ОҮ + ОВ.
Моннан OZ — — ОХ + 20 А + ОВ,
0z = -δ⅛ + 2(δA + j-OB^)-
Шулай итеп, үзәкле симметрияне һәм параллель күчерүне
эзлекле үтәү — үзәкле симметрия ул.
59. Үзәкле симметриянең векторлы тигезләмәсен файдалана¬
быз. А үзәкле симметриядә пространствоның ирекле X ноктасы
Ь — ">
Ү ноктасына чагылдырылсын ди, ул вакытта ОҮ = — ОХ + 20А.
—ь ~ ь —и
В үзәкле симметрия Ү ноктасын OZ = — ОҮ + 2ОВ тигезләмәсе
белән билгеләнә торган Z ноктасына чагылдыра. Өченче сим-
■ ►
метрия Z ноктасын W ноктасына чагылдыра, ул вакытта О W —
= — OZ + 2OC. Үзәкләре А, В, С булган өч симметрия X нок¬
тасын W ноктасына чагылдыра.
OW = ОҮ - ЮВ + 2ОС = - ОХ + 2ОД - 2ОВ + 2ОС.
Шулай итеп, үзәкле өч симметрияне эзлекле үтәү нәтиҗә¬
сендә
OW--= - ОХ+ 2(ОА -ОВ + ОС)
—
тигезләмәсе белән бирелгән үзгәртү табарбыз. Бу үзәге ОА —
— OB + ОС векторы белән билгеләнгән ноктадагы үзәкле сим¬
метрия була (ягъни бу нокта ABCD параллелограммының дүр¬
тенче ноктасы була). j
60. М һәм N тиңдәшле рәвештә ABCx һәм AiBlCl өчпочмак¬
лары медианаларының кисешү нокталары булсын. Ул вакытта
SΛf = -(SA + SB + SCl) һәм ΛV = l(S41 + ¾+SC).
3 3
Шарт буенча 5А = — SA1, SB = — SBl, SCl = — SC. Моннан
SM = — SN. Димәк, ABCl һәм A1C1C өчпочмаклары медиа¬
наларының кисешү нокталары S ка карата симметрияле.
Үбүлек. ОХШАШЛЫК
§ 1. ГОМОТЕТИЯ
1. AA1≠ BBl.
2. AA1 һәм BBl һәм ABi һәм AxB турыларының кисешү нокта¬
сын төзегез.
3. k--= 1, ⅛ = - 1.
4. Гомотетия коэффициентлары капма-каршы саннар булса,
мөмкин.
5. Гомотетиянеп үзлекләреннән файдаланыгыз: гомотетиядә
параллель туры кисемтәләренең озынлыклары чагыщтырмасы бу
кисемтәләрнең образлары озынлыкларының чагыштырмасына
тигез; гомотетиядә почмак аңа конгруэнт почмакка чагылдырыла.
6. -.
9
7. Әгәр ике гомотетиянең коэффициентлары тапкырчыгышы
берәмлектән үзгә сан булса, гомотетия табабыз. Киресе булган
очракта я күчерү, я бердәй чагылдыру була. Бирелгән гомоте-
тияләрнең үзәкләре төрле булганлыктан, күчерү табарбыз.
8. Үзәкле симметрия.
9. Күчерү һәм гомотетия һәр турыны аңа параллель турыга
чагылдыралар. Кисемтәнең озынлыгы ∣ k | на тапкырлана, монда
k — бирелгән гомотетиянең коэффициенты. Ә бу — нәтиҗәдә го¬
мотетия табылуын аңлата да инде.
144
Эзләнелә торган гомотетиянең үзәген төзү өчен ирекле рә¬
вештә А һәм В нокталары алыгыз да аларның күчерүдәге образ¬
ларын — Λι һәм Bl не, аннары гомотетиядәге образлары А2 һәм
В2 не төзегез. AA2 һәм BB2 турылары эзләнелә торган ноктада
кисешәләр.
10. Әгәр гомотетия булса, бу гомотетиянең үзәге аша үтүче
теләсә нинди туры; әгәр параллель күчерү булса, күчерү юнә¬
лешенә параллель теләсә нинди туры.
11. //*>(.¥) = Ү һәм Hk^X) = Ү булсын. Күренгәнчә, //*’(/)=
= X, шуңа күрә HkQιHkjι(X) = X. Ләкин әгәр ⅛1 ≠ k2 булса,
гомотетия була, өстәвенә X ноктасы — бу гомотетиянең үзәге.
Шулай итеп, kl = k2 булганда, X, Ү гомотетияләренең икесенең
дә бердәнбер уртак пар нокталары бар. Әгәр Λ1 = k2 булса, уртак,
пар нокталары юк.
12. а һәм b турыларына параллель һәм а дан ераклыгы а һәм
b арасындагы ераклыкның яртысына тигез булган туры.
13. Әгәр O1 һәм О2 — почмакларның түбәләре булса, O1O2 τY^
рысының O1O2 кисемтәсе нокталарын эченә алмаган барлык
нокталары эзләнелә торган нокталар күплеге була.
14. kl = ~k2 = kx + k2 = 1.
1 |ЛВ|" 2 Iлв| 1 2
15. kx k2 = 1.
16. Әгәр әйләнәләр конгруэнт икән, әйләнәләрнең берсе»
икенчесенә чагылдыра торган бер гомотетия бар (k≈- 1).
Әгәр әйләнәләр концентрик булса, барлык гомотетияләрнең.
уртак үзәге — әйләнәләр үзәге бар.
Калган барлык башка очракларда гомотетиянең ике үзәге бар.
Теләсә нинди ике әйләнәнең гомотетия үзәге бар. Әгәр (O1, Rl)>
һәм (O2, Яг) — бирелгән әйләнәләр һәм [O2Λ2], [O2Ag] икенче әй¬
ләнәдә беренче әйләнәнең O1-<41 радиусына параллель булган ра¬
диуслар икән, AiA2 һәм Λ1√l2 турыларының үзәкләр сызыгы (O1O2)
белән кисешү нокталары гомотетия үзәкләре була.
18. F әйләнәсенең үзәге — О. Ol — бирелгән гомотетиядә О нок¬
тасының образы. Fl — Ol ноктасыннан kR ераклыгындагы нок¬
талар күплеге (/г — гомотетия коэффициенты), ягъни үзәге Ol
ноктасындагы kR радиуслы әйләнә.
Гомотетиянең үзәге үзенә чагылдырылганга күрә, ул Fx әйлә¬
нәсенеке дә була. Әгәр Fl һәм F2 нең тагын бер уртак ноктасы
бар дип уйласак, бу икенче нокта шул ук гомотетиядә шулай
ук үзенә гомотетик, ягъни гомотетия үзәге була, ә бу мөмкин түгел.
19. Өчпочмаклар М үзәкле гомотетиядә гомотетик, шулай
булгач, бу өчпочмакларны камаучы әйләнәләр дә гомотетик һәм
гомотетия үзәге әйләнәләр өстендә ята, ягъни аларның орыну
ноктасы була.
20. 19 нчы мәсьәләне карагыз.
145
Ю у-й
21. Нокталар хордаларны т:п ча¬
гыштырмасында бүлсеннәр ди. Хорда¬
лар өчен уртак нокта үзәге булган
k = —-— коэффициентлы гомотетиядә
т + п
бирелгән әйләнәнең образы, ягъни би¬
релгән әйләнәгә хордалар өчен уртак
ноктада эчке яктан орынган r = ~—R.
т + п
радиуслы әйләнә (монда R— бирелгән
әйләнәнең радиусы) эзләнелгән нокта¬
лар күплеге була.
22. 21 нче мәсьәләне карагыз.
23. Бирелгән өчпочмакның урта сы-
зыклары белән төзелгән өчпочмакны камаучы әйләнә
өчпочмакны камаучы әйләнәгә k = —ί коэффициенты
бирелгән
белән го-
мотетик. Димәк, аның радиусы бирелгән өчпочмакны камаучы
әйләнәнең ярты радиусына тигез.
24. ABCD — нигезләре АВ һәм CD булган трапеция, М—АС
һәм BD диагональләренең кисешү ноктасы, N — AD һәм ВС ту¬
рыларының кисешү ноктасы (167 нче рәсем).
М үзәкле гомотетия CD кисемтәсен АВ кисемтәсенә чагыл¬
дыра, димәк, CD кисемтәсенең уртасы Ао не АВ кисемтәсенең
169 нчы рәсем
уртасы Во гә чагылдыра; шулай булгач,
гомотетия үзәге MA0B0 турысыныкы.
N ноктасының да A0B0 турысыныкы
икәнлеге шулай ук исбатлана.
25. ⅛1 + k2 = 1; k∖ = ⅛-5 ⅛. = -¾
1 S v~s
26. N — АВ турысы белән С нокта¬
сы аша DB га параллель үтүче туры¬
ның кисешү ноктасы (168 нче рәсем).
ACN өчпочмагының мәйданы бирелгән
трапециянең мәйданы 5 ка тигез.
(BF) II (AC). BFN өчпочмагының мәйда¬
ны DMC өчпочмагының мәйданы Sl гә
тигез.
АМВ һәм BFN өчпочмаклары ACN
өчпочмагына kl һәм k2 коэффициентла¬
ры белән гомотетик, өстәвенә ki + k2 =
= 1 (25 нче мәсьәләне кара).
Ләкин kx = -^⅛∙, k2 = ; шулай
Vs Vs
булгач, ^VS^ι + У"S2 =VS.
146
27. Киселеп алынган өчпочмаклар бирелгән өчпочмакка
, I PQI V Sx . . _ IΛSI V~s2 . b ∖FB∖ V~S3
IА ВI ↑Γs I АВ I ys I АВ I ^S^
коэффициентлары белән гомотетик.
Ләкин kl + k2 + k3 = LA^∣ + ∣⅞∣ + ∣AF∣ + ∣FS∣ + 1FS∣ + ∣SB∣ _ 2>
I AB I
ДИМӘК,
170 нче рәсем
(∕7∈(ΛB), S∈(AB), p∈(ac), Q∈(CB)).
28. AlBlG өчпочмагы — коэффициенты белән ABC өчпочма-
3
τ∕' ∙S 1
гына гомотетик. Ләкин k = -—димәк 51 = k~S, Sλ = — S, мон-
Ks- 9
да S1 — AxBxG өчпочмагының мәйданы.
29. a) Ү — Сх түбәсе а турысында яткан ACxB өчпочмагы
медианаларының кисешү ноктасы булсын (169 нчы рәсем).
СҮ--CC1. Ү — коэффициенты -∣∙ булган С үзәкле гомотетиядә»·
3 3
C1 ноктасының образы, b — шул ук го-
мотетиядә а турысының образы.
б) Әгәр X ноктасы b турысыныкы
булса, үзәге С һәм коэффициенты 3 кә
тигез булган гомотетиядә X ноктасы
а турысыныкы булган Хх ноктасына
чагылдырыла. AXxB өчпочмагында X —
медианаларның кисешү ноктасы.
Эзләнелгән күплек үзәге АВ кисем¬
тәсенең уртасында һәм коэффициенты
k = — булган гомотетиядә а турысы
нокталарына гомотетик булган b туры¬
сының нокталарыннан тора.
30. a) X ноктасы мондый үзлеккә ия
булсын. X — АВ кисемтәсен аңа парал¬
лель булган DB кисемтәсенә чагылдыра
торган С үзәкле гомотетиядә Р нокта¬
сының образы. Ул вакытта X ноктасы
СР нуры өстендә ята (170 нче рәсем).
б) Ү — СР нурының ирекле ноктасы.
(KQ)±(AC), димәк, (/Q) || (АР) һәм
Фалес теоремасы буенча ∣ AC ∣: ∣ QC | =
= ∣PC∣: | КС|.
Аналогик рәвештә | ВС ∣: ∣ NC | =
= |РС|:| ҮС\, ягъни |AC|:|QC| =
= |РС|: JΛ7C∣, димәк, (QN)∖∖(AB).
171 нче рәсем
10*
147
173 нче рәсем
Эзләнелгән нокталар күплеге — ачык СР нуры.
31. CCl кисемтәсен аңа параллель PAi кисемтәсенә чагыл¬
дыра торган гомотетиянең CClPC2 параллелограммын PAiQBl
параллелограммына чагылдыруын исбатлагыз (171 нче рәсем).
Ул вакытта С, Р һәм Р, Q нокталары гомотетиядә тиңдәшле
нокталар булганлыктан, бер туры өстендә ятарга тиешләр.
[PQ] — параллелограммның диагонале, шуңа күрә ∣ AlM ∣ = ∣ MBl |.
[ЛД,| һәм ∣551∣ ераклыклары тигезлегеннән ∣ AM | һәм ∣MB∣
ераклыкларының тигезлеге килеп чыга.
32. ABC өчпочмагында CCl медианасының R ноктасы аша
(АВ) на параллель һәм (АС) һәм (ВС) ларын тиңдәшле рәвештә
Р һәм Q нокталарында кисүче туры үткәрегез. Тигез чагыштыр¬
маларны языгыз:
|ЛС,| ∣CC1∣ |С,В I
|РЯ| |СЯ| ∣ΛQ∣'
Мәсьәләнең шарты буенча ∣ AC, ∣ = I C,B I, шулай булгач,
∣∕2P∣ = ∣W
33. C1, C2, С3 — тиңдәшле рәвештә AlBl, A2B2, A3B3 кисем¬
тәләренең урталары булсын (172 нче рәсем). Коэффициенты
kl = (яки — kl) булган O-=a(]b үзәкле гомотетия C2 нок¬
тасын C1 ноктасына чагылдыра, ә үзәге шул ук, ләкин коэффи¬
циенты = (яки — k2) булган гомотетия C3 ноктасын Cl
ноктасына чагылдыра. Бу — О, C1, С2 нокталары кебек үк О, C1,
С3 нокталары да бер үк турыныкы дигән сүз. Димәк, бу туры¬
лар тәңгәл киләләр, шулай булгач, C1, C2, С3 нокталары О нок¬
тасы аша үтүче турыныкы булалар.
34. Тигез чагыштырмаларны языгыз:
I ЛВ| = I ВР\ = | ЛС| = I ЛВ|
I NS I I SO I I SC I I SM I ’
моннан I MS∣ = I SΛ1∣.
35. Дүртпочмак трапеция булмасын ди (Λ5)Ι∣√Z)C). S үзәкле
һәм k = ■—D - коэффициентлы гомотетия В ноктасын — Bl нок-
I 5Л I
тасына, ә М ноктасын Ml ноктасына чагылдыра. CDBx өчпоч¬
магының NMl урта сызыгы нигезенә параллель түгел, моның
булуы мөмкин түгел.
148
174 нче рәсем
36.
a Λ4V∣
= - икәнлеге
∣ Λi2V∣ ь
килеп
37.
Трапецияләрнең охшашлыгыннан
чыга, моннан ∖MN∖ = γab.
N ноктасы аша (СВ) на параллель һәм (АВ) ын Q нок¬
тасында кисүче туры, ә D ноктасы аша (ВС) на параллель һәм
(MN) һәм (АВ) ларын тиңдәшле рәвештә Р һәм Р нокталарын¬
да кисүче туры үткәрегез (173 нче рәсем). Тигез чагыштырма¬
ларны языгыз:
z, ∣ΛV∣ ∣AQ∣ ∣AQ∣ a-d
∖ND∖ IQRI ∣Λ7>∣
.τ, j a + kb
Җавап, d = — —.
1 + k
38. АВ һәм CD нигезләренең урталары /Сһәм/ны диагональ¬
ләренең кисешү ноктасы S аша үтүче һәм [Л1Р] ен Р ноктасын¬
да кисүче кисемтә белән тоташтырыгыз (174 нче рәсем). Р—[ТИР]
нең уртасы һәм Р шулай ук ]√VQJ нең дә уртасы булуын искә¬
регез, димәк, ∣7WV∣ = ∣0P∣ (33 нче мәсьәләне кара).
39. 38 нче мәсьәләне карагыз.
∣f⅛ 40. Каршы кую методы белән исбатлагыз.
DC ягы [.4,β] нә параллель булмасын ди, шуның белән бергә
АВ һәм CD якларының урталары һәм дүртпочмак диагональлә¬
ренең кисешү ноктасы S бер туры өстендә яталар (175 нче рә¬
сем). (АВ) ∣ι (DCγ) үткәрәбез, C1∈(AC). MN турысы [Z)C1] ен
аның уртасы Р да кисеп үтә (35 нче мәсьәлә). Ләкин ул вакыт¬
та [NP∖ — DCCx өчпочмагының урта сызыгы һәм [7VP] || [CC1 ],
ә бу 5 ноктасының NP турысыныкы булуына каршы килә.
41. О ноктасы аша үтүче туры [PC] ен М ноктасында, [А£>] ен
]М ноктасында кисеп үтсен ди.
IАВI IBDI I AC I IАВI
J '■ = ! , l — j пропорцияләрен
I NO I I OD I I ОС I I ОМ I
^-≡→CWi(∞).
42. Исбатлаганда каршы кую методын
(40£нчы мәсьәләне кара.)
. |АР|=|ВЛН 1ЛО1==1^иһикәненискә
JΛC∣ IBC Г 1ЛВ| IСВ|
d — b
языгыз.
файдаланыгыз.
алыгыз.
149
44. ADC өчпочмагының медианалары үзлекләрен файдаланып,
I Λ4P∣: ∣PC∣ = 1 :2 икәненә һәм, АВСМ трапециясен тикшереп,
IAQI: I QC (=1:2 булуына ышаныгыз.
45. Р ноктасы аша (ДС) на параллель һәм (5С) ын Q нок¬
тасында кисүче туры үткәрегез, Q аша — (BD) на параллель һәм
(CD) ын R ноктасында кисүче туры, R аша (АС) на параллель
һәм (AD) ын S ноктасында кисүче туры үткәрегез. (PS) || (QR)
икәнен исбатлагыз. Мәсьәләнең чиксез күп чишелеше бар.
46. Мәсьәләнең ике чишелеше бар. Мәсәлән, АВ нигезенең
уртасы М ны D түбәсе белән тоташтырыгыз. Әгәр [ДС] ∩ [ZλzW] =
— Р булса, Р ноктасы аша үтүче туры [Д2?] нә параллель —
шул эзләнелгән туры була да инде.
47. АВ ягын Р ноктасы белән 2:1 чагыштырмасында бүлегез.
(PZ))∩(PC) ноктасы аша АВ турысына параллель туры үткәре¬
гез. Мәсьәләнең ике чишелеше бар.
48. М һәм M1 — ВС һәм BγCx якларының урталары булсын
(176 нчы рәсем). Λ1√W1 турысы (ДД,) на параллель. Медианалар¬
ның кисешү нокталары G һәм G1 AM һәм AlMl кисемтәләренең
һәркайсын 2:1 чагыштырмасында бүләләр, шулай булгач,
(OG1) !| (AAl).
49. Ди Bl, Cl — өчпочмак түбәләренең р турысына проекция¬
ләре булсын (177 нче рәсем). АВ ягының уртасы М ның р га проек¬
циясен Ml дип тамгалагыз. ∣Λ!Λfl∣ = i-∣ CC11 икәнен искәрегез.
∣√WΛil∣ = |(| ДД,| + ∣BPl∣). Димәк, ( CCl I = IAA1 I + I BBγ |.
50. ∣PP∣^PQ∣ = Π⅛(⅛≠0).
51. P0Q0 турысын төзегез. (P0Q0) ∩r = R1o, (PoQo)∩rι = RS бУл’
сын. -L≤θ≤θl = 1Δ2»! икәненә ышаныгыз, моннан Rl0 -R⅛ = R =
∖Q0Rx0∖ ∖QiR"∖
==r∩rι∙
52. CM һәм BlN медианаларын үткәрегез (178 нче рәсем).
Бу медианаларның кисешү ноктасы аларның һәркайсын 2:1
чагыштырмасында бүлгәнен исбатлагыз. Аның өчен A1 ноктасы
аша (АС) на параллель һәм (АВ) ын Р ноктасында кисүче туры
үткәрегез. ∣AC1∣ = ∣PP∣, шуңа күрә М ноктасы — ClP кисемтә¬
сенең уртасы, димәк, ∣Λf∕V∣ ∣j (AlP) һәм ∣ΛW∣ = ~ ∣51C∣ икәнен
искәрегез. Ләкин j A1P∣ = ∣∙B1C(=>[M∕V] || [BtC], ∣ MN (= BiC [.
150
179 нчы рәсем
Димәк, I C5∣: 157H∣ = ∣51S∣: I S7V∣ = 2 :1. Шулай итеп, S — ике
өчпочмакның да медианаларының уртак кисешү ноктасы.
§ 2. ОХШАШЛЫК
1. АМС һәм A0MC0 охшаш өчпочмакларын карагыз (179 нчы
рәсем).
2. 1) ABC өчпочмагы — нигезе АВ булган тигезьянлы өч¬
почмак.
2) ABC өчпочмагы — С почмагы туры булган турыпочмаклы
өчпочмак.
3. 36°, 72°, 72°.
4. Тиңдәш яклары параллель булсалар, өчпочмаклар гомоте-
тик була.
5. Өчпочмак тигезьяклы булмаса, мөмкин.
6. Кисә алмый.
7. Ике почмагы буенча.
8. AAlC һәм BBxC турыпочмаклы өчпочмакларының охшаш¬
лыгыннан Ldι2L = I g'c∣. пропорциясе килеп чыга. Моннан тыш,
I AC∖ IBCI ' « Ί
AlBlC һәм ABC өчпочмакларында С почмагы уртак.
9. AMD һәм ВМС өчпочмаклары охшаш, шулай булгач,
I AM I: I MC∣ = I DM ∣: ∣ MB ∣, димәк, ∣ AM ∣ ∙∣ MB ∣ = ∣ CM ∣ ∙ ∣ MD ∣.
10. Бер өчпочмакны 90o κa борыгыз. Бер өчпочмакның поч¬
маклары икенче өчпочмакның почмакларына конгруэнт.
11 4.
12. BHAγ һәм CAAi, HABl һәм BCBx охшаш өчпочмакларын
тикшерегез.
13. Бер пар почмакның, мәсәлән, Д һәм Λl нең конгруэнт¬
лыгын исбатлау җитә (180 нче рәсем): — = — = — = — .
iZj Ь\ Cj rf∣
180 нче рәсем
151
(СВ) һәм (C1θ1) ларына тиңдәшле рәвештә параллель DM
һәм DxMx турыларын төзегез. ADM һәм AxDxMγ өчпочмаклар
рында -≤ = = -~cί— = —, шуңа күрә — -- -i-1- һәм a~^- 1
rf1 bx ax-cx ( α1 c1 С c1 с
■а,— cx а— с с b d ∖ ^ л
= , = — = — = — , димәк, алар охшашлар, A = А,
с, ax~c1 ci bl dx)
14. Әгәр a — турыпочмаклыкның кечерәк ягының озынлыгь·
булса, кисүче турыпочмаклыкның кечерәк ягына параллель һәи|
аннан — ераклыгында тора.
ь
15. 1) Симметрия күчәрләренең һәркайсы турыпочмаклыкны
ике конгруэнт һәм, димәк, охшаш турыпочмаклыкка бүлә.
2) Әгәр a — кечерәк ягының озынлыгы булса, а га параллель^
, b ± K⅛2-4α2
Һәм аннан ———- ераклыгындагы туры турыпочмаклыкньЦ
ике охшаш турыпочмаклыкка бүлә.
Әгәр b < 2α булса, туры юк,
әгәр Ь = 2а булса, туры бердәнбер була,
әгәр Ь > 2а булса, ике туры бар.
16. b2 = 2а2, монда a — кечерәк ягының озынлыгы.
17. d--=V~ab.
18. Бу параллелограммнарның тиңдәш почмакларының кон¬
груэнт булуын һәм якларының пропорциональлеген исбатлагыз.
19. Әйләнәгә камаулы почмакларның үзлекләрен һәм охшаш
күппочмакларның билгеләмәсен файдаланыгыз.
20. Охшаш булган турыпочмаклы өчпочмакларның охшаш
яклары пропорциональлегеннән файдаланыгыз.
21. Катетның гипотенузага билгеле чагыштырмасы буенча
турыпочмаклы өчпочмак төзегез, аннары, турыпочмаклыкның
билгеле ягын файдаланып, әлеге турыпочмаклы өчпочмакка го-
мотетик булганын төзегез.
22. а, Ь, с турыларын кисүче теләсә нинди туры төзегез һәм
бу төзүдә килеп чыккан кисемтәләр чагыштырмасын файдала¬
ныгыз.
23. а, Ь, с турыларыннан торган фигурага охшаш фигура
төзерлек итеп, A0B0C0 өчпочмагының түбәләре аша өч параллель
туры: a0, b0, с0 не үткәрегез (22 нче мәсьәләне кара). Аннары,
а, Ь, с фигурасына конгруэнт итеп, o1, bx, сх турыларыннан
торган фигура төзегез, өстәвенә a || а0. Түбәләре берәрләп ах,
∂υ с\ турыларында яткан Λ A050C0∞ A AxBxCx не, аннары,
A ABC ⅛ AxBxCx булырлык итеп, A ABC ны төзисе кала.
24. М һәм N нокталары аша үтүче турылар MN турысына
α почмагы ясап авышканнар, монда tg a = j, Р һәм Q нокта¬
лары аша үтүче турылар аларга перпендикуляр (181 нче рәсем).
25. а:Ь:с= —. Башта a1, bx, сх яклары буенча эз-
ha hb һс
152
182 нче рәсем
ләнелгәнгә охшаш A151C1 өчпочмагы төзегез, монда αl — ирек¬
ле рәвештә алынган кисемтә,
a _ alha _ alha
l/l в С 1 .
Aft һс
л
26. hc, С почмагы һәм ∣ AD ∣: | DB | = т : п чагыштырмасы би¬
релгән, монда D —· биеклек һс ның нигезе.
Төзү. 1) I турысы һәм аның өстендә, ∖ AλD∖ = т, ∣ DBx | =
= п булырлык һәм D ноктасы A∣ һәм В, нокталары арасында
ятарлык итеп, D, A1 һәм Bi нокталарын төзегез.
2) С почмагын эченә алган һәм AlBl хордасы белән тарты¬
лып торган сегмент төзегез.
3) D ноктасы аша (A1B1) на перпендикуляр төзегез. Аның
сегмент дугасы белән кисешмәсе Cl ноктасы була.
4) k = hc: I C1Ω11 коэффициенты белән A1β1C1 өчпочмагына
охшаш өчпочмак эзләнелгән өчпочмак була.
27. АВЕ һәм CDE охшаш өчпочмакларын тикшерегез (182 нче
рәсем), димәк, a : с = (d + у): х = (Ь + х): у,
c(bc + ad) ._a(ab + cd) ∏ιv∏aft vκ∙ тябя-
моннан X = -д2 “2" > x ÷ b ~ ~~д2_с2 · У ны шУлай Ук τaoa
быз. EC һәм ED кисемтәләрен циркуль һәм линейка ярдәмендә
төзергә мөмкин.
28. ∣ΛLV∣= (д + г,~с)с.
а 4” Ь + с
Чишү. MCN һәм АСВ өчпочмакларының охшашлыгыннан
чыгып язабыз:
.λiλLL = Ас~2-, яки ∣ΛfΛ,∣ = — ~~)c, монда г — камаулы әйлә¬
нәнең радиусы.
Ләкин pr = -c∙hc, ул вакытта — = —, р = - .
29. I DK∖ = I DA I = х, ∣ EK∖ = | ЕВ | = у дип тамгалыйк.
х у х + у х + у b — x х c(b-x)
Аналогик рәвештә, у (α + Ь + с) = ас.
153
183 нче рәсем
30. Түбәндәге факттан ике тапкыр файдаланыгыз: өчпочмаи
почмагының биссектрисасы капма-каршы якны өчпочмакның
янәшә якларына пропорциональ кисәкләргә бүлә.
31. Әгәр Ү — биссектрисаларның кисешү ноктасы булса,
I ЛГ| = b + c I ВГI = д + с
I YAl I ~ д ’ | ГВ I Ь ’
а, Ь, с — өчпочмакның яклары (29 нчы ;мәсьәләне кара), ул
вакытта a +--∙ — b + c∙, (й — b) (й '⅛- Ь + с) = 0, димәк, a = Ь.
b a
32.
a + Ь
33.
с + һс
34. (b2 — й2)2 = c2 (a2 + Ь2).
ЛВС һәм BDC өчпочмакларының охшашлыгыннан (183 нче
рәсем):
а
CD
— == ——. ∣CD∣= — , ∣BD∣ = -, ∣ΛΩ∣ = h±=^
д IBDI b 1 b Ь
Ләкин I AD∖2 = ∖BD∖2 + ∖AB∖2 яки (⅛2 - ω2)2 = c2 (α2 + й2).
35. [BD∣ — ABC почмагының биссектрисасы (184 нче рәсем).
CBD һәм ABC өчпочмакларының охшашлыгыннан:
—— = —— = ∖CD∖--=-, ∖BD∖ = -.
I CD I IBDI д ⅛ 1 Ь
ABD өчпочмагында нигез ^янындагы почмаклар конгруэнт,
шулай булгач, ∣ BD ∣ = ∣ AD ∣ = Ь — | С£>|, ул вакытта b2-a2=ac.
36. a2 — с2 — ас (35 нче мәсьәләне кара).
38. I MN I, IMDI һәм | МС | — тиңдәшле рәвештә М ноктасыннан
AB, SA һәм BS турыларына кадәр ераклыклар (185 нче рәсем).
MAD һәм MBN, MNA һәм МСВ өчпочмаклары охшашлар,
димәк,
I Λί£> I = ∣MA∣ = I AD I | Л4Л ∣ = ∖MN∖ = | УЛ |
∣j∏y∣ ∖MB∖ >∖BN∖l ∣jBΛi∣ \мс\ ~ \св\’
моннан
∖MD∖ ∣Λfy∣
∣ΛiΛΓ∣ “ ∣ΛiC∣'
154
185 нче рәсем
186 нчы рәсем
39. Әйләнәгә А, В, С һәм D нокталарында орынмалар үткә¬
регез һәм 38 нче мәсьәләнең нәтиҗәсен файдаланыгыз.
40. В — әйләнәләрнең берсен икенчесенә чагылдырган охшаш¬
лык үзәге, М һәм 7V — охшашлыктагы тиңдәшле нокталар пары.
41. 2]∕rтп.
42. Өчпочмаклар охшаш, димәк, a-kal, b = kbl, c = kcχt
a2 + b2 = c2, яки аа + bb = сс. а, Ь, с урынына аларның al, bi,
cλ аша күрсәтелгән кыйммәтләрен куеп, acιx + bbx = ccl не та¬
бабыз.
43. ABC һәм ABD өчпочмакларында (186 нчы рәсем) ВАС поч¬
магы уртак, ABD почмагы АСВ почмагына конгруэнт, чөнки
аларның зурлыклары АВ дугасының почмакча зурлыгына тигез.
Өчпочмакларның охшашлыгыннан | AB∣2 = ∣ AD∖ ∙ | АС | икәнлеге
килеп чыга.
VI бүлек. БОРУЛАР
ҺӘМ ТРИГОНОМЕТРИК ФУНКЦИЯЛӘР
1. a) X1 = fl∏X)j б) X1 = ∕e0-^W. в) Xl = R^0°(X)-,
г) X1 = ∕⅜2°°(X)j д) Xl = RW°(X).
2. —1∙≤λ<1, — l<y≤l.
3. a)0≤x<l, 0<у<1; 6)0<x<l, - 1<у<0;
в) — l<x<0, 0 < у < 1; г) — l<x<l, — l≤y<l.
5. a) sin 20° ≈ 0,34, cos 20o ≈ 0,94;
б) sin (-75°) = - sin 75o ≈ - 0,97, cos (-75°) = cos 750 ≈ 0,26;
в) sin 100° = cos 10° ≈ 0,98, cos 100° = - sin 10° ≈ - 0,17;
r) sin (—165°) = — sin 165° = — sin 15° ≈ —0,26, cos (—165°) =
= cos 165° = — cos 15° ≈ —0,97.
6. a), 6) — ∞<α< + ∞j в) cosα≠0 булган барлык a почмак¬
лары өчен tga функциясе билгеләнгән.
7. а), в) sin a > 0, cosa>0, tga>0;
б) Sin a < 0, COS a ≥ 0, tga<0;
г) Sin a < 0, COS a > 0, tga<O.
8. а), в), e), з) уңай, б), г), д), ж), и) тискәре.
9. а) 360°-/г һәм 180° + 360°·«, n∈Z (мөмкин булган язылыш:
180°·«);
155
6) 90o + 360o∙n, ηζΖ; в) 180° + 360°-я, n∈Zj
г) 90o + 360o·п һәм — 90° + 360o·η, nζZ (мөмкин булгаИ
язылыш: 90° + 180°·«);
д) -90° + 360° ∙n, nζZ-, е) 360° ∙n, n(zZ.
11. IС AI = cos α, I СВ I = sin а, ∣Z)A∣ = cos2α,
IDBI = sin2 a, I CD I = sin a ∙ cos а.
12. /?/3. 13. а) б) sin 5°; в) cos2 18°; г) 1.
14 sin 5° . sin 25° . J cos 25° cos 5°
cos 5° cos 25° sin 25° sin 5°
VII бүлек. ӨЧПОЧМАКТА МЕТРИК
БӘЙЛӘНЕШЛӘР
1 ._а) I AB I = / 32 + 42 - 12∙4∙cos60° см = /9 +16-12 см =
— /13 см ≈ 3,61 см.
б) IAB∣ = /4 + 16-2∙8∙cos150'jcm-∕20 + 8cm=∕28cm≈
≈ 5,86 см.
2. ½ a2 + b2 - ↑^2ab∙, V a2 + b2 - ab; Va2 + b2.
3. d = /4 + 9 — 2-6∙cos 45° см = р/4 + 9см ■=
= V13 —6∕2cm ≈/13-6∙1,414 см ≈/13-8,484см =
= 4,516 см ≈ 2,12 см.
4. a2 = 62+ c2 — 2bc ∙ cosA; cos A = b + c ~fl2; cos5 =
2bc
a2 + c2-b2 A a2 + b2-c2
; cos C = —— .
2ac 2ab
5. a) A ≈ 36° 21'; 6) C≈26o23'.
6. I AC I = ∕α2 + b2 — 2ab cos 150° = ∕α2 + b2 + 2cιb cos 30° =
~Va2A-b2 + ab /3. ∣ BD ∣ = ∕α2 + b2 — 2ab cos 30° =
= Уa2 + b2 - aby⅛~.
Ί. Косинуслар теоремасы буенча:
5 = 1 + 2 — 2/2 cos a; COS л = ———; α = 135°.
/2
8. cos x = 0,9899, λ≈ 809'.
9. Параллелограммның яклары а һәм b га, ә диагональләре
с һәм d га тигез булсын (с > d).
Косинуслар теоремасы буенча табабыз:
c2 = a2 + b2 + 2 ab cos 45° = a2 + b2 + ab /2,
d2 = a2 + b2 — 2 ab cos 45° = a2 + b2 — ab /2,
156
187 нче рәсем
моннан
(cd)2 = (a2 + b2)i - (ab ∕2)2 = al + bi.
10*. I ЛУИ ∣2 + ∖BM∖2 = 2(R2 + ∣OΛ4∣2) (187 нче рәсем).
а), б) Косинуслар теоремасы буенча BOM өчпочмагыннан’
һәм АОМ өчпочмагыннан табабыз:
IВМ |2 = R2 + I ОМ |2 - 2RI ОМ ∣ cos BOM,
I AM ∣2 = R2 + I ОМ ∣2 + 2R ∣ ОМ ∣ cos BOM.
Бу тигезлекләрне" буынлап кушып, табабыз!
I ВМ I2 + I AM ∣2 = 2 (R2 +fl ОМ |2).
11*. I AB I = х дип тамгалыйбыз (188 нче рәсем) һәм ABC өч¬
почмагының тигезьяклы икәнен исбатлыйбыз.
Jtk3
АВМ өчпочмагыннан табабыз: AM = —-—, шулай булгач,
α = 30°.
Косинуслар теоремасы буенча ACD өчпочмагыннан ∣ CD |:
: I CD ∣2 = I AС ∣2 + ∣ AD ∣2 — 21 AC ∣ ∙ ∣ AD ∣ ∙ cos α ны табабыз. Мон¬
нан I CD I = —.
2
Шарт буенча P 5 + /3, ягъни x=2.
Шулай итеп, ∣ AB ∣ = ∣ ВС ∣ = 2,
∣ΛD∣ = ∕3, ∣CZ>∣ = 1.
12. Күрсәтмә. Косинуслар теоре¬
масын файдаланып, диагональләрнең
квадратларын параллелограммның як¬
лары аша күрсәтегез.
13. а), б)_ 2 см2.
14. 12/2 см2 ≈ 17,0 см2. 15. 4 см2.
16. 24 см2. 17. 27/2 см2 ≈ 38,2 γcm2∙
18. S1 һәм S2 — бирелгән өчпочмак¬
ларның мәйданнары булсын. Өчпочмак¬
ның мәйданын исәпләү формуласыннан
файдаланып табабыз: S1 = ^ab si∏α,
157
189 нчы рәсем
S2 = ⅛albl Sin β = -∣- «А Sin (180o — α) =
= -a,b. sin a,
2 1 1
51 a∙b
моннан — = .
52 a1 ∙ h1
19. — c2sin 15°∙cos 15o.
2
40 1ZT
20. ICC11 = -ζ - cm ≈ 5,3 см. Күрсәтмә. Sδ4bc =
= *^δλcc, + k^δbcci тигезлеген файдаланыгыз.
21. ∣ΛD∣ = x дип тамгалыйбыз (189 нчы рәсем). ABC өчпоч¬
магының мәйданы ABD һәм ACD өчпочмакларының мәйданнары
1 A
суммасына, ягъни — x(6 + c)sin- гә тигез.
^∆ABC ~ ^∆ABD + 2^ДДСО’ 2$дАВС ~
Л л
2∙^δasd = ex ∙ sin —; 2Sδλcd = bx ∙ sin —,
„ be sin A
моннан x = .
д
(b +C) sin —
22. Күрсәтмә. S^abc = у ab ∙ sin C формуласын файдаланып,
күрсәтелгән өчпочмакларның мәйданнарын язып куегыз һәм бу
өчпочмакларның мәсьәлә шартында бирелгән мәйданнары сум¬
маларын чагыштырыгыз.
2з* ΔΑΒΡ I AB I I BD I
■ sδko~∣∞∣'∣dc∣'
ABC һәм EDC өчпочмакларының охшашлыгыннан табабыз:
I 4В I _ I ВСI |ЛС|
∖DE∖ I DC I I EC I ’
∣BC∣ ∣BP∣+∣PC∣ , , ∣BZ>∣ ∖BD∖
" ~ ■ “ 1 “τ~ · ЛОКИ Η
∣PC∣ ∣PC∣ I PC I
I BP I a ∣BC∣ 1
= a, моннан j l= ∙j !-= .
I PC I 1—a I PC I 1—а
S
Шулай итеп, -~Abd = —-— .
S (1 — a)2
ΔECD V ,
24. a), 6) 10j∕2 cm ≈ 14,1 cm.
25. a) I AB∖ = 10∙sin 105ocm ≈ 9,66cm,
I ВС I — 5]∕r2 cm ≈ 7,07 cm.
6) I AB I = 2∙ sin50o cm ≈ 1,53 cm;
∣BC∣ = 2 sin 100o CM ≈ 1,53 cm.
Л58
I BCI
a,
∣BP∣
I BP∣ + I DC∖
190 нчы рәсем
■ϋ
192 нче рәсем
к α f
191 нче рәсем
a) С ≈ 14029', В ≈ 135° 31'; б) С
d sin 3 . d sin α
— Һәм .
sin (≈+β) sin (a÷β)
28. AC ягын a, β һәм γ аша күрсәтәбез.
a = I AC I . - . ^ I _ a sin β
sin (β +γ) sin β ’ sin (β+γ) ’
∕∖ADC дан φ = 90o + -∣ дип карап, табабыз:
26.
27.
32°2'; В ≈ 102o 58'.
I Л£> I
sin γ
|ЛС| моппап I 4Z?I - ∣γic∣sin^
, Munιidπ J Z12,√ J
Sin φ Sin φ
ЛС| урынына a, β һәм γ аша аның аңлатмасын куеп, табабыз:
I Д ∩ I = д sin γ sin 3
/ β Ύ λ "
sin (β + γ) cos — -j
2θ a sin β . flsinγ д2 sin β∙sin γ
’ sin (β+γ)’ sin(β + γ), 2sin(β + γ)
30. BCD өчпочмагыннан (190 нчы рәсем) синуслар теорема¬
сы буенча —Ц:ны, ә ACD өчпочмагыннан —— = ны
sina sin В sin≈ sin3
табабыз.
Моннан — =
Ч sin В
31* (fl2 — C2) sin ct∙ sin β
2 sin (α + β)
A DE ([ DE∣) II [θC]) өчпочмагыннан синуслар теоремасы буен¬
ча табабыз (191 нче рәсем):
I DE∣ = |ВД I . . _ (д —с) sin β .
sin β sin (α + β) ’ sin (α + β)
Δ BCK([CK]) ± [Л5]) дан: si∏α = *-⅛^-,
I св I
I Z>7√-∣ (β — C)sinβ∙sinα
моннан CλΙ .
sin (α + β)
g д + с (д — c)sin≈∙sinβ (д2— c2) sin β∙sin я
2 sin (α + β) 2 sin (a + β)
159
32. О AD, О АВ, ОВС, OCD өчпочмакларын карыйбыз (192 нче
рәсем). Синуслар теоремасы буенча:
I О A I _ sin α8 . I OB I sin <χ2. ∣ CO ∣ ∣ sin a4 .
∣OD∣ sin<χ1 ’ ∣OA∣ sin≈3 ’ , ∖OB ∣ sin¾ ’
I OZ>I1 = Sin α6 . I OB I ∣OC∣ ∣QO∣ ∣OA∣ ,
I OC∣ sin√ ∣OΛ∣ ’ ∣osΓ ∣ocΓ∣oo∣*
Sin a2 sin α4 flsin a8 sin a8 _ .
sin α1 sin ≈3 sin a6 sin a7 j, 'i
33*. Тамгаланышлар кертәбез: ∣A∕C∣-a, ул вакытта
∣ΛF∣=⅜, |A£|--=|£D| = 6, ∣CΔ∣ = c, ≡ = ι, ∕CU = x.
О ≡4
Синуслар теоремасы буенча АЛ7. өчпочмагыннан табабыз:
KLDF дүртпочмагының мәйданы AFD һәм AKL өчпочмаклары¬
ның мәйданнары аермасына тигез. S^abc = 2S^alb икәнен искә
алып, мәйданнарның эзләнелгән чагыштырмасын табабыз:
^δλbc _ 12⅛c∙sin a '*"t' 12 24
s∆KLDF 5fcc,sina ~ 5 ^
VIII бүлек. КАМАУЛЫ ҺӘМ КАМАУЧЫ КҮППОЧМАКЛАР
§ 1. КАМАУЛЫ ҺӘМ КАМАУЧЫ ӨЧПОЧМАКЛАР
1. 80° яки 100°.
2. 40°, 60’, 80°.
3. 12°25'30", 12o25'30", 15509'.
4. 82o30', 277o30'.
5. 1) а) 102°; б) 70°; в) 34°; г) 59°; д) 51°.
7.43 нче теорема нигезендә AB = DC = СВ = AD, шулай
<5улгач, почмакча зурлыклары тигез дугаларга таянган камаулы
почмаклар буларак, 1, 2 һәм 3 почмак¬
лары да конгруэнт була (193 нче рә¬
сем).
8. а) 36°. б) 180°.
9. [AB]⅛[BC] булганлыктан, АВ =ВС
(43 нче теорема нигезендә). АВ дуга¬
сының почмакча зурлыгын a аша там-
А
галыйк, ул вакытта l=a (194 нче рә¬
сем), чөнки 1 — почмакча зурлыгы a
га тигез булган дугага таянган үзәк
почмак. 2 = а, чөнки ^2 — почмакча
160
зурлыгы 2α га тигез булган дугага таян¬
ган камаулы почмак һәм [ОВ] || [CDJ.
10*. А ноктасы аша бирелгән туры¬
га перпендикуляр үткәрәбез. Ул әйлә¬
нәне К ноктасында кисеп үтсен ди
(195 нче рәсем). Эзләнелгән диаметр
кисемтәсе КО нуры өстендә ята.
12. 36°, 36°, 108°.
13. Күрсәтмә. KLM өчпочмагы¬
ның һәр почмагы ABC өчпочмагының
ике почмагы ярымсуммасына тигез.
14. Бирелгән өчпочмакны камаучы
әйләнәне карагыз.
17. [ΛC]∩[5D] = P булсын. AB^D =
= ACD бер үк дугага таянган камаулы
почмаклар буларак, ләкин яклары үзара
перпендикуляр булган кысынкы почмак¬
лар буларак <∕.ACD≈½zLKBD, ягъни
ABD=KBb.
∕∖BPK= /\ВРА, чөнки РВ катеты
уртак, ABD һәм KBD кысынкы почмак¬
лары конгруэнт һәм ∣Aβ∣ = ∣Kβ∣ бул¬
ган турыпочмаклы өчпочмаклар (196 нчы
рәсем). Яклары үзара перпендикуляр
булган почмаклар буларак Z-AMP ≈
≈ ^ACD, шулай булгач, АМР = КВР,
ягъни [AM] II [23A"].
APB һәм АРМ өчпочмакларының
конгруэнтлыгыннан [AM] ≤≤ икән¬
леге килеп чыга, ләкин ∣Λ5∣ = ∣5K∣,
шуңа күрә I AM | = | ВК]. Димәк, АМВК
дүртпочмагы — параллелограмм, ләкин
I AB I = I Д/С], шуңа күрә АВКМ дүрт¬
почмагы — ромб.
19. а) 14,5 һәм 6 см; б) 25 һәм 10 см.
20. 12,5 см.
22. Күрсәтмә. Бу өчпочмакны ка¬
маучы әйләнә үткәрегез һәм биссектри¬
саны әйләнә белән кисешкәнче дәвам
итегез.
24. 38°, 52°.
§ 2. КАМАУЛЫ ҺӘМ КАМАУЧЫ
ДҮРТПОЧМАКЛАР
2. Күрсәтмә. 1^+ 3 = 180° һәм 3 +
÷2 = 180o (197 нче рәсем).
11 У-52
161
В 3. а) һәрвакытта да; б) әгәр
£ = 110°» Ь = 78° булса.
А ∖ ∖∕∕∕∕∕∕∖ Z≥> c 5. Λ + 5 + C + Z> = 360o. KNML
""""х дүртпочмагында (198 нче рәсем)
∖M / л л л л
I / L = 180° - 0,5 (В + C),N≈ 180° —
- 0,5 (A + D), L+N= 180°, шулай
В булгач (65 нче теорема), KNML
198 нче рәсем дүртпочмагын камаучы әйләнә үт¬
кәрергә мөмкин.
8. ABλKCx дүртпочмагында C1 = Д == 90°, чөнки [B-SJ һәм
[CC1] шарт буенча өчпочмакның биеклекләре, димәк, [551]Jl[ΛCJ
һәм [CC1]jJΛ,β]. Шулай итеп, Λ + K=180o. Шулай булгач
(65 нче теорема), ACxKBγ дүртпочмагын камаучы әйләнә үткә¬
рергә мөмкин.
10. Д = 45°, B = D~ 90°, C=135o булган ABCD дүртпочмагы
мәсьәләне канәгатьләндерсен ди. Мәсьәләдә АОВ, ВОС, COD,
DOA почмакларын исәпләү сорала, биредә О — ABCD дүртпоч¬
магына камаулы әйләнәнең үзәге. Камаулы әйләнәнең үзәге поч¬
макларның биссектрисалары кисешү ноктасында ятканлыктан,
АО В = AOD = 112o30', ВОС = COD = 67o30'.
12. О ноктасы ян як янындагы почмакларның биссектриса¬
лары кисешү ноктасында ята, бу почмакларның суммасы 180° ка
тигез, шулай булгач, О ноктасыннан ян як 90° лы почмак белән
күренә.
15. 105°.
16. Нигезләре а һәм b (α > ⅛) булган тигезьянлы трапеция
R радиуслы әйләнәне камап торсын ди. ∣ AB | = —, | ВК\ = һ,
I AK∖ ~~2f, булган турыпочмаклы АВК өчпочмагыннан ∣ BKf==
= ∣Λβ∣2-∣ΛM∣2,
• 2 (fl + b)2 (а — by ,2 a
һ = -—~l — - , моннан һ = ab.
4 4
§ 3. ТӨЗЕК КҮППОЧМАКЛАР
1. Әйе. 8. 15° яки 75°. 9. 15° яки 105°.
12. Табылган күппочмак төзек дигән гипотеза барлыкка килә.
Лның барлык почмаклары конгруэнт һәм һәркайсының зурлыгы
135° ка тигез. Якларының конгруэнтмы икәнен тикшерик. Моның
ечен ике чиктәш ягының озынлыклары тигезлеген тикшерү җитә:
ID7I a^2 Λ К2\
∖BL = a = a 1 — -— ,
2 ∖ 2 /
162
I LMI = a - 2a (1 - = а (У2 - 1),
IKLI = I BL I ∙ /2 = a (/2 - 1).
Шулай итеп, табылган күппочмак төзек күппочмак була.
15. Күрсәтмә. Башта әйләнәнең радиусын исәпләгез.
18. a1 = 2R sin — ≈ 2/?sin 25o43' ≈2R∙Q,4340 = 0,868/?.
14
= 0,866 R.
Хата якынча 0,002 R га тигез, чагыштырма хата ≈0,23 % тәш¬
кил итә. _
19. α2(l + ∕2)≈2,41ii2.
§ 4. ӘЙЛӘНӘ ОЗЫНЛЫГЫ ҺӘМ ТҮГӘРӘК МӘЙДАНЫ
6. r2i Г 3 — ∣J, монда г = /?/3(2 — /3). 8. 25π бер2.
9. a) ≈ 105 см2; б) ≈ 314 см2.
12. 25 (1 — 0,25-) см2 ≈ 5,4 см2 яки 25 (1 + 0,75π) см2 ≈ 41,1 см2.
13. 5l≈l,28fl2, S2 = 53 ≈ 0,28 α2, S4 = 0,43∏2.
5, — радиусы а булган ярымтүгәрәк мәйданы белән АВ диа¬
гональле квадрат мәйданының яртысы аермасы.
14. a) Ξ≤. б) —. 15. ≈2,14iR2.
16 4п
18. a) — а, — (19 — 12/3); б) 2πα, 0,5α2(π-2); в) 0,5(πα÷
6 48
⅛ r.b + 4 /а2 + b2)∙, 0,25 (πα2 + πb2 + 4а6); г) 2πα (1 + /2;) 2a2.
IX бүлек. СТЕРЕОМЕТРИЯДӘН БАШЛАНГЫЧ
МӘГЪЛҮМАТЛАР
§ Ц ПРОСТРАНСТВОДА НОКТАЛАРНЫҢ, ТУРЫЛАРНЫҢ
ҺӘМ ЯССЫЛЫКЛАРНЫҢ ҮЗАРА ТОРЫШЫ
1.28. К ү рс ә т м ә. Кубның сигез түбәсеннән нокталарның төрле
8-7
парын төзергә мөмкин.
2. 20 яссылык. Күрсәтмә. Кубның сигез түбәсен өчәрләп
56 төрле группаларга мөмкин. Ләкин бу саннан төрле яссылык¬
ларны билгеләгән өчлекләрне генә алырга кирәк.
3. Бер, алты, сигез, тугыз, ун, унбер, унөч, унбиш туры.
4. Бер, биш, җиде, ун яссылык.
5. Күрсәтмә. Карала торган яссылыкларның һәркайсында
яткан ике нокта аша үтүче туры тулысынча бу яссылыкларның
һәркайсында да ятар (яссылык һәм туры аксиомасы буенча).
11*
163
Димәк, төрле ике яссылыкның ике уртак ноктасы булса, алар-
ның бу нокталар аша үтүче уртак турысы да бар.
6. а) 12 туры, б) 4 туры (АВ турысын кертеп).
7. a) AxBl, DxCl, BBl, CCl кабыргалары, б) AxBl кабыргасы.
8. 12 туры: LM, KxNx, MN, K1Ll, LlNl, LN, LKx, LiM, ΛLV1,
NKi, NNx, LLl.
9. 9 пар төрле параллель яссылыклар (шуларның 3 пары куб¬
ның ян кырлары яткан яссылыкларны бирәләр).
10. 9 яссылык.
11. А ноктасы аша а һәм b турыларын кисүче ике туры уза
дип уйлыйк. Ул вакытта А ноктасында кисешүче бу ике туры
бердәнбер α яссылыгын билгелиләр. Безнең уйлавыбыз буенча,
бирелгән а һәм b турыларының һәр үткәрелгән туры белән
уртак нокталары бар, һәм бу нокталар төрле. Моннан а туры¬
сы кебек үк b турысының да a яссылыгында ятуы килеп чыга.
Ләкин шарт буенча бу турылар — чалышма турылар. Каршылык¬
ка очрадык. Димәк, А ноктасы аша бирелгән а һәм b турыла¬
рын кисүче ике туры уза алмый.
12. Күрсәтмә. 1) Әгәр b турысы а турысы белән a яссы¬
лыгының кисешү ноктасы Л1 аша үтсә, a=j=b була.
2) b{∖a = 0 булсын, a II b дип уйлыйк. Ул вакытта а һәм b
турылары a яссылыгы белән уртак ноктасы (ТИ) булган бер үк
β яссылыгында яталар. Ләкин b турысы белән М ноктасы бер¬
дәнбер a яссылыгын билгелиләр. Шулай булгач, a Һәм β яссы¬
лыклары тәңгәл киләләр. Ләкин а турысының a яссылыгында
ятуы мөмкин түгел, чөнки шарт буенча турының ул яссылык
белән бер генә уртак ноктасы бар. Каршылыкка очрадык. Шу¬
лай булгач,
13. 1) a яссылыгында ниндидер а турысы үткәрәбез, а туры¬
сы белән М ноктасы бердәнбер β яссылыгын билгелиләр.
2) β яссылыгында М. ноктасы аша a || b турысы үткәрәбез.
3) a GZ a; b II а. Димәк, b || а.
4) Төзүдән шул килеп чыга: М ноктасы аша үтүче һәм a яс¬
сылыгында яткан нинди дә булса турыга параллель булган телә¬
сә нинди туры a яссылыгына да параллель була.
14. а) 10 туры, б) 16 туры.
15. 1) а) Перпендикулярның нигезе Т аша узалар, б) Т нок¬
тасы аша үтмиләр.
2) a яссылыгында андый туры юк.
16. а) ∣Zλ4∣. б) ∣Γ7,∣. в) | £7И| (УИ = [£D] ∩ [Λ7,]- г) ∣DA |.
д) ∣jDC∣. е) ∣ΓO∣(JΓO]jJΛCl],O∈ΛC1). ж) ∣ΓO1 ∣(O1 = ∣B1Γ>1] ∏
∩ [Л 1C1I).
17. Өч очракта да мөмкин (199 нчы рәсем).
18. а) б) очраклары мөмкин, в) очрагы мөмкин түгел.
19. Күрсәтмә. Бер үк I турысына перпендикуляр булган a
һәм β яссылыкларының уртак нокталары Т булса, ул ноктадан
I турысына ике перпендикуляр үткәреп була, ә бу мөмкин түгел.
164
а)
l'>9 нчы рәсем
20. Күрсәтмә. Әгәр бирелгән турылар ниндидер М нокта¬
сында кисешсәләр, ул вакытта әлеге ноктадан яссылыкка ике
перпендикуляр үткәрелгән була, ә бу мөмкин түгел.
21. а) Чиксез күп турылар күплеге, ул турыларның һәркайсы
М ноктасы аша β яссылыгына үткәрелгән перпендикулярның
нигезе аша үтә.
б) Чиксез күп турылар күплеге, ул турыларның һәркайсы М
ноктасы аша β яссылыгына үткәрелгән перпендикулярның ниге¬
зе — үзәге булган бер үк әйләнәгә орыналар.
22. а) Берсе генә а турысына параллель булган чиксез күп
турылар күплеге. (Ул туры а турысының нокталары аша α яс¬
сылыгына үткәрелгән перпендикулярларның нигезләре аша үтә.)
б) а турысына параллель булган ике туры.
23. а) һәм б) очраклары мөмкин, в) очрагы мөмкин түгел.
24. Әгәр a II a булса.
25. а) һәм б) очраклары мөмкин, в) очрагы мөмкин түгел.
26. Күрсәтмә, а) Параллелограммның бер ягы капма-каршы
ягы яткан турыга проекцияләнсә, проекция кисемтә була, б)Ис¬
батлау ике өлештән тора.
1. BCCxBγ дүртпочмагы — турыпочмаклык. Шулай булгач,
|| [Z21C1], [SC] ~ [-β1C1] (200 нче рәсем).
2. 4B1C1D дүртпочмагы — парал¬
лелограмм, чөнки [.AZ)] 1| [5iC1] һәм
μpj-p1c1].
27. а) һәм Ь) очраклары мөмкин.
б) очрагы мөмкин түгел.
28. Әйләнә яткан яссылык про¬
екция яссылыгына параллель бул¬
ган очракта.
§ 2. КАЙБЕР ҖИСЕМНӘРНЕҢ ӨСЛЕК МӘЙДАНЫ ҺӘМ
КҮЛӘМЕ
1. 1. V=a2fl^-. а) ≈ 87 см3; б) ≈ 0,024 м3.
2. SHH = 3a/z. 1) 120 см2; 2) ≈ 0,68 м2.
3. + 1) ≈143 см2; 2) ≈0,73 м2.
2. V=a⅛Asi∏aj ≈ 123 м3. S -— 2h(a+b) + 2ab sin a; ≈191 м2.
165
3. Күрсәтмә. Куелган шарт буенча нигезенең мәйданы
зуррак булган төзек призманың күләме зуррак булыр. Бирелгән
периметрны Р аша тамгалыйк. Ул вакытта
Р . Р Р
d∙i — , iZ4 — , CLc — ·
3 3 4 4 6 6
Тиңдәшле рәвештә нигез мәйданнары
1 / Р \2 / р \2 1 / р 2
— sin 60°; —); 6∙-(-) sin 60°
2 ∖ 3 / ∖4 ) 2∖ 6 /
κa тигез. Хәзер мәйданнарны чагыштыру
чагыштыруга кайтып кала.
ИЗ 1 ИЗ с / е / с
; — ; -— ; о, < ә4 < әя; моннан
36 16 24 3 4 6
түбәндәге саннарны
У3 < У < У6-
4. Күрсәтмә. Призманың нигезендә
га
камаучы дүртпочмак
ятуын истә тотарга кирәк. Призма нигезенең мәйданы Рг
тигез.
1) γ = ^Prh∖ 400 дм3.
2) S = P(h + г); 520 дм2.
_ ∖ lr 3r8¼3 з οι з е 9∕∙2∏3 2
5. a) V— ; « 561 м , «21 м 5=—-— ≈280 м ;
' 2 2
«31 м2.
б) И = 4г3; « 864 м3; «32 м3; 5 = 4r2 (1 + 2 У2); «550 м2,
« 61 м2.
в) V=3r3∕3, «1121 м3, «42 м3; 5 = 3γ2(4 +/3) ≈ 619 м2,
«69 м2.
6. y=(^ + b)M. 140 мз.
8. а) Әйе, мөмкин.
б) Күрсәтмә. Андый куб кабыргасының озынлыгы x3 = 6x2
тигезләмәсеннән табыла.
201 нче рәсем
9. Өч өчпочмаклы пирамидага.
10. Өч дүртпочмаклы пирамидага.
11. Күрсәтмә. SAB — биеклеге SO
һәм нигез ягы АВ булган /г-почмаклы
пирамиданың ян кыры булсын, | АВ | = а„
(201 нче рәсем).
a) BOD өчпочмагыннан табабыз:
. z-id∣ ап . 180°
05 =r = —; sin
' 2 п
SOB өчпочмагыннан табабыз: Z = απ>r,
ап . 180° . . . 180° . 1
ягъни — sin — >1, моннан sin > —.
an η п 2
2
166
Тигезсезлек η 3 кә, 4 кә, 5 кә ти¬
гез булганда үтәлә.
б) BOD өчпочмагыннан табабыз:
∣OD∣ = ——.
1 180°
2‘g —
Л
SOD өчпочмагыннан күренгәнчә,
ISDI >∣OΩ∣.
Әгәр I SD I = ап булса,
CLn loU
Ttg-Γ
2 П
, 180o . 1
яки tg— > -
п 2
Тигезсезлек п 3 кә, 4 кә, 5 кә, 6 га
тигез булганда үтәлә.
,z nrιh . 360o c 180°
— ; o = wrsιn
п
202 нче рәсем
т r 'i' ∙L
12. V = —— sin
η
3πα2
„ , 180o
2tg2
η
; 5
13. v =
Мәсьәләне чишү
кайтып кала.
r2 cos2
180'
п
ике ци-
πa3
180°
4tg3
п
14. V=πα6(α + 2∕). Күрсәтмә,
линдрның күләмнәре аермасын табуга
15. ——. Күрсәтмә. Нигезе һәм биеклеге шул ук булган
цилиндр килеп чыгарлык итеп, ике цилиндрик тоякның берсен
икенчесе өстенә салырга мөмкин.
16. Күрсәтмә. I төзүчесенең нигез яссылыгына проекциясе
г дан зуррак.
а) I > - .
’ „ 180°
2,g-
б) I ның андый кыйммәтләре я 3 кә, 4 кә, 5 кә, 6 га тигез
булганда мөмкин.
17. V = - πα3 /3; S = — πα2.
24 4
18. Күрсәтмә. Күләм — әйләндерү нәтиҗәсендә килеп чык¬
кан цилиндр һәм конусның күләмнәре аермасы буларак табыла:
V = πa2h-^^--b^-.
' з
19. Күрсәтмә. Чишү түгәрәкләр өчен аналогик мәсьәлә
чишүгә кайтарып калдырыла. Андый шарның радиусы кыйммәте
х (г +л) sin-^- — г тигезләмәсеннән табыла (202 нче рәсем).
21. V≈2⅛r4.
167
КЛАССТАН ТЫШ ҺӘМ ИНДИВИДУАЛЬ
ЭШЛӘР ӨЧЕН МӘСЬӘЛӘЛӘР
§ 1. КҮЧӘРЛЕ СИММЕТРИЯ. КҮЧӘРЛЕ СИММЕТРИЯЛӘРНЕҢ
КОМПОЗИЦИЯСЕ
1. а һәм b турылары О ноктасында кисешсеннәр ди. О үзәк¬
ле концентрик ике әйләнә төзегез. Бирелгән турылар белән бил¬
геләнгән почмакларның берсенең ягы өстендә әйләнәләр белән
кисешүдән дүрт нокта: A1 һәм A2, Bl һәм В2 не табабыз. A1β2
һәм A251 кисемтәләре ниндидер М ноктасында кисешәләр. ОМ
турысы — симметрия күчәре. Шул ук әйләнәләр ярдәмендә икен¬
че күчәр төзелә.
2. р га карата а га симметрияле а' турысын төзегез,
a! ∩ b = В. 3. A' = Sp (A); (A'B) = b ны төзегез.
4. Ике билгеле ягы һәм алар арасындагы почмагы буенча яр¬
дәмче өчпочмак төзегез, аннары өченче якка үткәрелгән урта
перпендикулярга карата симметрияне кулланыгыз. Бирелгән
почмак яки аңа чиктәш почмак алына.
5. 4 нче мәсьәләгә күрсәтмәне карагыз.
6. 1) Бер әйләнәнең теләсә нинди диаметрын һәм икенче әй¬
ләнәнең аңа перпендикуляр диаметрын төзегез.
2) Кечерәк әйләнәнең АВ диаметрын зуррак әйләнә белән
кисешкәнче дәвам итегез. АС һәм ВС кисемтәләренең симмет¬
рия күчәрләрен төзегез.
7. Бишпочмакның симметрия күчәре түбә һәм аңа каршы яткан
якның уртасы аша үтә.
Әгәр ABCDE бишпочмагының симметрия күчәре А түбәсен
эченә алса, ул вакытта ∣AB∣ = ∣Afj, ∣BC∣ = ∣DE∖, В = Е, С=Ь.
Тагын бер күчәр алыгыз һәм тиңдәшле тигезлекләрне языгыз.
Бишпочмакның төзек икәнен исбатлагыз.
8. Юк. 1) Тигезпочмаклы (203 нче рәсем); 2) тигезьяклы.
9. α1, α2, α3 (al ∩ a2 ∩ a3 = О) күчәрләре булган симметрияләр
бирелсен ди. Теләсә нинди А ноктасы өчен: Sα,(A)=A1, ¾(A1)=A2,
Sαj(Λ2) = А3, өстәвенә | ОА ∣ = ∣ OAx ∣ = ∣ OA21 = ∣ OA31, чөнки Sa,j °
° Sa∙l ° Sa, (О) = 0.
Күчәрле өч симметриянең композициясе O→O, A→A3 күчә
торган икенче төр күчү була. Күчүләр турындагы аксиома буен¬
ча тиңдәшле нокталарның ике пары белән икенче төр1 күчү бер-
кыйммәтле билгеләнә. О — кузгалмас нокта, шуңа күрә бу — О
ноктасы аша үтүче AA3 кисемтәсенең урта перпендикулярына
карата күчәрле симметрия була.
10. a,b,c- бирелгән симметрияләрнең күчәрләре булсын (204 нче
рәсем). Al = 5α(A) ноктасын төзибез. Симметрияләрнең ком¬
позициясе δ=Sc ° Sb о Sa A1 ноктасын А ноктасына чагылдыра. Әгәр
1 Ориентациясен үзгәртми торган күчү беренче төр күчү дип атала; әгәр
ул ориентациясен үзгәртсә, икенче төр күчү дип атала.
168
δ — күчәрле симметрия булса, аның кү-
чере а турысы белән тәңгәл килә,
димәк, а турысының нокталары δ ның
кузгалмас нокталары, атап әйткәндә,
δ (В) = В. Ләкин Sc ° Sb° Sa (В) =
= Sc° Sb (В) ≠ В, чөнки Sc о Sb боруы
В ноктасы белән тәңгәл килмәгән А
ноктасын гына үзенә чагылдыра. Шу¬
лай итеп, δ — күчәрле симметрия тү¬
гел.
U.S1coS1boS1a(A)=S1coS1b(A)=
= Stc (Д') == А" ны карагыз, өстәвенә
A'∈(jSC), A"ζ(AC). Аннан соң 9 нчы
мәсьәләне карагыз.
12. SpoSnoSm(B) = Sp'>Sn(C)--=
= Sp(A) = В, 9 нчы мәсьәләне кара¬
гыз.
13. ABC өчпочмагының (ВС), (СА),
(АВ) на параллель булган урта сы¬
зыкларын эченә алган турыларны
тиңдәшле рәвештә px, qx, r1 аша там¬
галыйк, ул вакытта
srθ s4° sp (?1) ^-=sro sq (г1) =
= 5r(p1) = ^1.
14. CxAxA = AAxBx,
исбатлагыз.
AxBxB = BBxCx, BxCxC = CCxAx икәнен
15. Күчәрле симметрияләрнең композициясе Sr° Sq° Sp t кү¬
чәрле симметрия була һәм Sr ° Sq ° Sp (A) = A=>St (A) --= А, ягъни
A ∈ t. (р, q) = (/, г) икәнен исәпкә алып, t турысы төзегез, t ту¬
рысының теләсә нинди ноктасы А түбәсе булып хезмәт итә ала.
16. Әйләнәнең үзәге аша, бирелгән турыларга перпендикуляр
итеп, өч туры үткәрегез. 15 нче мәсьәләнең нәтиҗәсеннән фай¬
даланыгыз.
17. ABC өчпочмагында биеклекләренең кисешү ноктасы Н аша
р турысы үткәрәбез (205 нче рәсем). ∕7∩(AB) = Co, p[}(BC) = Ао»
p∩(CA) = ∙S0 булсын. ABC өчпочмагының якларына карата Н
ноктасына симметрик булган C1, Bx, A1 нокталарының өчпоч¬
макны камаучы әйләнәнеке икәнен исбатлагыз. Димәк, Sa сим¬
метриясе р ны (AιA0) ≡a чагылдыра, Sb симметриясе р ны (BxB<^
на һәм Д. симметриясе р ны (C1C0) на чагылдыра.
(C0C1)∩(5051) = N булсын.
NCxB = BHA0 = BbHBx = B0BxH => NCxB = B0BxB икәнен искә¬
рәбез. Шулай ук ∕∖lClB һәм BbBxB почмакларының суммасы 180°
ка тигез булуы мөмкин. Димәк, BBxCxN дүртпочмагын камаучы
әйләнә үткәреп була, ягъни C1C0 һәм BxBq турылары ABC өч¬
почмагын камаучы әйләнә өстендә кисешәләр.
169
205 нче рәсем
A1A0 һәм BlB0 турыларының
әйләнә өстендә кисешүләрен ана¬
логик рәвештә исбат итәргә мөм¬
кин, димәк, AιΛ0> BlB0 һәм C1C0
турылары бер ноктада кисешәләр.
18. (АВ) на карата М һәм 7V
нокталарына тиңдәшле рәвештә
симметрик булган К һәм L нокта¬
лары төзегез (206 нчы рәсем),
К, Р, Ml, шулай ук L, Р, Nγ нокта¬
лары турылар өстендә яталар.
PQNlMl дүртпочмагын камаучы әй¬
ләнә үткәрергә мөмкин, димәк,
QPNl = NlMlQ, я аларның суммасы
180° ка тигез. Аннары шул ук үз¬
леккә ия булган PQNM дүртпоч¬
магын карагыз: NPQ = NMQ. NMQ
һәм NlMlQ почмакларының кон¬
груэнтлыгыннан NPQ = NxPQ һәм
[PQ] I [АВ] икәнлеге килеп чыга.
19. (DH) ∩ (CO) - Н' (207 нче
рәсем), ә С С га диаметраль капма-
каршы булсын. СН һәм CO нурла¬
ры (СМ) на карата симметрик,
димәк,
I CD I: I CM I = ∣ CH'∖: ∣ CC' ∣ = ∣ CH |:
: I CC' I = 2/?| cos C∣: 2R = ∣ cos ∂∣.
20. Дүртпочмак — тигезьянлы
трапеция. AB һәм CD нигезләренең
уртасы аша үтүче туры симметрия
күчәре була.
21. Әгәр (ОМ) = р, (ON) = q,
(OP) = r, (OQ) = t булса, a = St°
о Sr ° Sq о Sp бердәй күчү була,
чөнки σ (О) = O, о (A) = А. Димәк,
Sq о S = Sp о Sp яки (∕C⅛) = (Cr)∙
22. δ = St ° Sr ° Sq ° Sp (монда р,
q, r, t — дүртпочмакның почмакла¬
ры биссектрисаларын эченә алган
турылар) композициясен карагыз.
l(AD) = (AD), δ (О)= О булганлык¬
тан, δ — бердәй үзгәртү һәм Sg °
° Sp = Sr° Sp, димәк, (р, q) = (t^r.)
Шулай булгач, COD + АОВ = 180°
(208 нче рәсем).
170
23. х, у, z турылары бер тезмәнеке, димәк, Sy ° Sz ° Sx -∖St
(209 нчы рәсем). Пар почмакларның тигезлеген исәпкә алып,
язабыз:
$b ° $х~ ° ⅛ ° Sy~ $Уг ° $а ° ~ $z °
=½Sx = Sb о Sx, о Sc, Sy --= Sc о Sy, о Sa, Sz= Sa° Sz, о Sb.
Sy°Sz<>Sx = Sc° Sy, °Sa°Sa° Sz, о Sb о Sb ° Sλ, о Sa =
= Si о Sc о Sy, о Sz, о Sλ∙1 о Sc = Si=½ Sy, ° Sz, о Sx, = Sc о St о Sc = Sp.
24. Әгәр күчүнең кузгалмас нокталары булмаса, аның квад¬
ратының да кузгалмас нокталары юклыгына ышанабыз.
f күчүенең кузгалмас нокталары булмасын ди. Шулай да
/ о f (Λf) = Λf. Ләкин мондый очракта табабыз: ∕~1(7H) =
= / (ТИ) = N. Шулай итеп, f (ТИ) = N; f (TV) = ТИ, димәк, MN ки¬
семтәсенең уртасы — кузгалмас нокта, ә моның булуы мөмкин
түгел.
ВС, СА һәм АВ турыларын тиңдәшле рәвештә а, йһәм с дип
тамгалыйк, δ = Sc ° Sb ° Sa ° Sc ° Sb ° Sa композициясен карыйбыз.
Күчәрләре өчпочмак биргән күчәрле өч симметриянең компо¬
зициясе Sc ° Sb° Sa ның кузгалмас нокталары юк, шулай булгач,
δ — күчерү.
25. 9 нчы мәсьәләнең нәтиҗәсеннән файдаланыгыз.
26. Турыпочмаклыкның теләсә кайсы диагоналенә параллель.
§ 2. ПАРАЛЛЕЛЬ КҮЧЕРҮ ҺӘМ ҮЗӘКЛЕ СИММЕТРИЯ. БОРУ
1. а (яки Ь) турысының d турысына параллель юнәлештә би¬
релгән ераклыкка күчергәндәге образын карагыз.
2. T∙^(B) = B', Е—АВ' кисемтәсенең уртасы булсын. A, В,
С, D нокталары аша (BE) на парачлель турылар үткәрегез.
3. (ВС) II (AD) булсын. AD күчерүендә АС диагоналенең об¬
разын карагыз.
4. (ВС) II (AD) булсын. ВМ һәм CM күчерүләрендә АВ һәм
CD кисемтәләренең образларын карагыз. Килеп чыккан өчпоч¬
макның биссектрисасы бер үк вакытта медиана да булуын ис¬
батлагыз (210 нчы рәсем).
1Л
210 нчы рәсем
212 иче рәсем
213 нче рәсем
172
1 · <
5. АС күчерүен карагыз. К нокта¬
сы өчен тиңдәшле L ноктасын төзеп,
[ДК] II [CZ,] ны табабыз. ΛOZ, = 90o,
шулай булгач, АКС = 90°.
6. Трапециянең ян ягын аның
нигезе белән билгеләнгән юнәлеш¬
кә һәм ераклыкка күчергәч, өчпоч¬
мак табарсыз. Шул өчпочмакның
биеклеген исәпләгез.
7. ОАВС параллелограммының
капма-каршы түбәләреннән теләсә
нинди турыга кадәр ераклыклары-
ның суммасы яки аермасы тигез,
чөнки алар диагональләр кисешкән
ноктадан турыга кадәр ераклык¬
ның икеләтелгәненә тигез, шуны
искә алыгыз.
8. Бирелгән әйләнәгә конгруэнт
булган ярдәмче әйләнә төзегез. Ул
әйләнә бирелгән әйләнәгә орынсын
һәм М ноктасы аша үтсен (211 нче
рәсем). 100' I = 2/?, ∣ MO' ∣ = R икә¬
нен искә алыгыз. В — орыну нок¬
тасы.
9. Үзәкле симметрияләрнең ком¬
позициясен карагыз: Zr ° Zq ° Zp °
°Zn°Zm = *, 8(Λ) = Λ, 8 = Za
(212 нче рәсем). Zp ° Zn ° Zjλ = Zs
булсын, ул вакытта Zr° Zq° Zs =
= Za,. MNPS һәм SQRA паралле¬
лограммнарын төзегез.
10. Ике әйләнәнең үзәкләрен
тоташтыручы кисемтә өченче әй¬
ләнәнең беренче ике әйләнә белән
кисешү нокталарын тоташтыручы
кисемтәгә тигез икәненә һәм па¬
раллель булуына ышаныгыз.
(213 нче рәсем).
11.0 тирәсендә 90° лы почмак¬
ка борганда М ноктасына тиңдәш¬
ле М ноктасын төзегез. Квадрат¬
ның ягы Μ! N турысында ята. О нок¬
тасыннан (Λ1W) на кадәр ераклык
квадрат ягы озынлыгының ярты¬
сына тигез.
12. Үзәге О ноктасы булган 60°
ка боруда әйләнәләрнең берсенең
образын төзегез. Бирелгән әйләнә¬
ләрнең икенчесе һәм төзелгән әй¬
ләнәнең кисешү ноктасы өчпоч¬
макның икенче түбәсе була.
13. Әйләнәнең бирелгән озын¬
лыктагы хордасын һәм, бирелгән
әйләнәгә концентрик итеп, бирел¬
гән нокта аша үтүче әйләнә төзе¬
гез. Әйләнәләрнең үзәге тирәсен¬
дәге боруны карагыз. Бу боруда
бирелгән ноктага үзебез төзегән
хорда белән әйләнәнең кисешү
ноктасы тиңдәш була.
14. Өчпочмакны үзәге тирәсен¬
дә 120° лы почмакка бору М ны
N га, N ны Р га, Р ны М га ча¬
гылдыра; I ΛLV∣ = .
О
15. Квадратны үзәге тирәсендә
90° лы почмакка бору Р ны Q га,
•Q ны R га, R ны 5 ка, S ны Р га
, nrι. a ]∕'10
чагылдыра; | PQ | = .
16. О үзәкле 120° лы почмакка
боруны карагыз (214 нче рәсем):
Я“°°((А2?))-=(ВС), ^≡((A1β1)) =
= (βlCl) => С2 ► А2.
Аналогик рәвештә /?θ°°(Α2)=52,
димәк, A2B2C2 — тигезьяклы өчпоч¬
мак.
,∣a2b2∣ = -—.
α
2 cos —
17. АВ һәм Aiβl нурлары ара¬
сындагы почмакның бору почмагы
φ гә тигез булуын истә тотыгыз.
Шулай ук AOAl = φ, монда О —
бору үзәге. Моннан бору үзәге MAAl әйләнәсенеке икәнлеге
чыга. Аналогик рәвештә BOBx = φ һәм О ноктасы MBBx әйлә¬
нәсенеке.
18. Теләсә нинди Z турысы алабыз (216 нчы рәсем). Бирел¬
гән боруда Z2-→Z һәм Z-→Z1 (Z∩∕1 = Ll, Z∩Z2 = L2) булсын. Z,2∈Z2,
шуца күрә аңа тиңдәш L2 ноктасы Z ныкы була; аналогик рә¬
вештә Z2∈Z=>L'<1ζlx, ягъни ∕,2=Z,1.
Әгәр бу борудагы тиндәш нокталарның тагын бер нары Z ту-
рысыныкы булса, Z турысы үзенә чагылдырылыр иде.
173
о
217 иче рәсем
Үзәкле симметрия очрагында җавап башкача. Әгәр туры сим¬
метрия үзәге аша үтсә, бу турының һәр ноктасы шул ук туры¬
ның ноктасында чагылдырыла. Үзәк аша үтмәүче туры өстендә
бер пар да юк.
19. һәр турыда тиңдәшле нокталар пары бар (18 нче мәсьәлә):
а) P→Р'= S≈^[PX∖-→[P'Х'\ һәм РХР' = φ булсын, ягъни
РР' кисемтәсе X ноктасыннан даими φ почмагы белән күрен¬
сен ди (217 нче рәсем, а). Димәк, М күплеге — бору үзәге О,
S ноктасы аша һәм S ноктасына чагылдырыла торган Р ноктасы
аша үтүче әйләнә була.
б) т турысы: O∈ot, (от, /) = 90° + -у (217 нче рәсем, б).
20. Боруларның һәркайсында ABC өчпочмагының О үзәге
A1B1C1 өчпочмагының O1 үзәгенә чагылдырыла, димәк, һәр бо¬
руның үзәге OO1 кисемтәсенә урта перпендикуляр өстендә ята.
Әгәр О = O1 булса, бору үзәкләре О белән тәңгәл киләләр.
21. Күчәрләре бору үзәге аша үтеп, үзара бору почмагының
яртысына тигез почмак төзегән күчәрле ике симметриянең ком¬
позициясе буларак, боруны тикшерәбез (218 нче рәсем).
= w о и, Pb = v о w ны язабыз, ул вакытта Р®в ° R1a =
■== WWrWll — VII.
α + β < 360° булганда, ABC өчпочмагының почмаклары:
CAB = —, СВА = — һәм өчпочмак тис-
2 2
кәре ориентирланган, әгәр a + β >360°
булса, САВ= 180° - р CBA=180°-
— у һәм ABC өчпочмагы уңай ориен¬
тирланган булуына ышаныгыз.
174
219 нчы рәсем
220 нче рәсем
221 нче рәсем
™ 22. Бирелгән квадратларның өч¬
почмакка карата тышкы өлкәдә ур¬
нашу очрагын карагыз. ° ∕¾0°
композициясенең А ны С га чагыл¬
дыруын, шуңа күрә о ∕iθι0° = Rlβ0°
икәнен искәрегез. Моннан OiO2K-
тигезьянлы турыпочмаклы өчпочмак
(К= 90°).
Аналогик рәвештә R9°° ° R9q"=R^0°,
шуңа күрә OiO2L — шулай ук тигезь-
Л
янлы турыпочмаклы өчпочмак (Z. =
= 90o). Димәк, OiLO2K-квадрат
(219 нчы рәсем, а).
Квадратлар (АВ) һәм (ВС) ларына
карата икенче якта төзелгән очрак
өчен мәсьәлә аналогик рәвештә чи¬
шелә (219 нчы рәсем, б).
23. R™° (A) = С, Я™0 (С) = В икәне
ачык. Ләкин R1%i,° (A) — В. Димәк,
° ¾2°° = моннан AfOA1=60°,
MAlO = 30° (21 нче мәсьәләне һәм
220 нче рәсемне карагыз).
24. Бору үзәкләре һәм ABCD дүрт¬
почмагы диагональләренең уртала¬
ры — квадратның түбәләре икәнен
исбат итегез (221 нче рәсем).
175
§ 3. ВЕКТОРЛАР
1. Шарт буенча ОА + ОВ + ОС ■-= OAx + OBγ+ OCx, монда О —
ирекле рәвештә алынган нокта. Бу тигезлекне болай язып була:
OCl - ОС = (ОВ - OA1) + (ОД - OB1), моннан CO, = Aβ +
+ B⅛.
2. К, L, Р, Q, R, S, Т нокталары тиңдәшле рәвештә AM,
MB, ВС, CN, ND, DA, MN кисемтәләренең урталары булсын.
Башта Gl ноктасы AMND дүртпочмагы урта сызыкларының
уртак уртасы булуын исбат итик. Ирекле рәвештә О ноктасы
сайлап алабыз.
OK= 1 (ОД + ОМ), OR--= I (ОО + ON).
δs = -ί (од + δb), от = 1 (ом + on).
Әгәр G'l һәм О" нокталары KR һәм ST кисемтәләренең уртала¬
ры булса, OG,1 = OG'!i = (ОA + О7И ⅛ OD + ON)·, бу G'i=G'{ =Gi
икәнен исбат итә.
Шулай булгач, OGl = ү (ОД + ОМ + ON + OD).
Аналогик рәвештә OG2 = — (ОМ + ОВ + ОС + ON).
4
GlG2 — ~ —- О A + ОС — OD), ягъни G1G2 векторы М һәм
N нокталарын ничек сайлап алуга бәйле түгел. Күргәнебезчә,
O¾ = - (ДВ + CD).
3. М ноктасын барлык векторларның башы итеп алабыз:
MMl = MA + MB, MM3 = MC + MD,
MM2 = MB + 7ЙС, MMi = MA + MD.
Моннан MMl + MM3 = MM2 + MM4 була.
4. До Bl, Cl, Dl нокталары тиңдәшле рәвештә BCD, CDA,
DAB, ABC өчпочмаклары медианаларының кисешү нокталары
булсын:
OA1= -(OB + OC+δb), OBγ=-(ОС + оЬ + ОА),
3 3
δc1 = -(∂d + од + ов), δo1 = - (од + ов + δc). (i>
3 3
Әгәр М һәм Λfl нокталары тиңдәшле рәвештә ABCD һәм
AlBlClDl дүртпочмаклары урта сызыкларының кисешү ноктала¬
ры булса, ул вакытта
СШ=-(0Д + 0В + ОС + OD), OMl = -(OA1+ 0Bt + δc1 + δo1)
4 4
76
(2 нче мәсьәләнең чишелешен кара).
(1) тигезлеген исәпкә алып, 0Mx =
— — (QA + ОВ + ОС + 0D) ны табабыз,
ә ул √W1 = М икәнен исбат итә.
5. ABC өчпочмагы медианаларының
кисешү ноктасы Q ны полюс1 дип ала¬
быз. Ул вакытта
GAx-=GB + BAx, QAi = GC+ CA2,
GBx = GC + CBx, GB2 = GA + AB2,
GCx = GA + ACl, GC2 = QB + BC2,
222 нче рәсем
Әгәр Gx Һәм С2 нокталары тиңдәшле рәвештә AxBxCx һәм A2B2Cz
өчпочмаклары медианаларының кисешү нокталары булса,
GG1 = 1(O½1+ GBx + GCx), GG2 = ±(GA2 + GB2 + GC2).
з з
GA + GB + GC=0 һәм ZM1 = — CA2, CBx = - AB2, ACx = -BC<i
—► —►- -*·
икәнен исәпкә алып, GGx + GG2 = 0 не табабыз, моннан Gx һәм
G2 нокталарының G га карата симметрияле булулары килеп
чыга.
6. С ноктасы полюс булсын (222 нче рәсем), s векторының.
ΛΛ1, BBx, CCx векторлары белән коллинеарлыгы нәтиҗәсендә·
табабыз: s = αCCl, s = fy(CBx — СВ), s = γ(CΛ1- СА). Моннан
тыш, CAx = lCB, CBx = nCA, CCx = тСА + (1 — tri)CB. Барлык
бу тигезлекләрне исәпкә алып, болай язып була:
α (т СА + (1 -т) СВ) = ? (пСА - CB),,^ (п СА - СВ) =γ (I CB-CA)r
моннан αm = β∕ι, a(l— m) = -β, βη= — γ, γΖ = — β. γ ны
_ * 1 β β . 1. „ а/И β + a
В аша күрсәтәбез: т — 1 = —, /п = —Һ 1» л = “ = ;
a a р р
a һәм
Т =
= βrt = — β — а. Димәк, a + β + γ = 0.
7. ABC өчпочмагының медианалары кисешү ноктасы G ны
полюс дип алабыз. Ул вакытта GAx = GB + BAx — GB + kBCr
GBx= GC+CBx-=GC+ kCA, GCx = GA + ACx = GA + kAB,
GAx + GBx + GCx = 0, чөнки GB + GC + GA = 0, ВС + СА +
+ ДС = 0.
Димәк, G — AxBxCl өчпочмагы медианаларының кисешү нок¬
тасы.
1 Мәсьәләдә карала торган векторларны кайсы ноктадан сала башласалар,
шул ноктаны кайвакытта полюс дип атыйлар.
12 У-о2
177
8. О — полюс, К, Е, F — AD, ВС, MN кисемтәләренең урта¬
лары булсын.
OM = OA + AM = δA + kAB = δA + k(δβ-OA) ÷=
= kOB+ (1 -k)0A,
δh = kδc + (↑-k)δb, oe= ±(ob + oc), δκ=⅛(δA+δb),
OF = j (k (OB + OC) + (1 - k) (OA + OD)),
j<E=δE-δk=-^(δB + δc-δA-δb), λf = oλ-oλ'=
= ^k(δB + OC-OA- OD).
KE И EF, шуңа күрә К, E, F нокталары бер турыныкы булалар.
9. ОА1 = -0∙--+ ''0С , OB.i 0С + 7°Л, ОС, = ~А +—В.
l l+β 1 1+γ 1 1+а
—
Cl не полюс дип алабыз (Cl = О), ул вакытта ClA = -aCiB.
C1∈(Λιfi1) булганлыктан, C1Λ1 = μC1β1. Бу тигезлеккә OAl һәм
OBl нең кыйммәтләрен куябыз:
ОВ + ЮС = δc + -↑OA ОВ + ЮС = OC + γ (-■»OZ?) Кр ∩F
l + β il+γ ’ l÷μ μ 1+γ ’ Ъ ’
Таркатуның бердәнберлегеннән табабыз:
1 aγμ
1 + β 1 + γ ’ 8(1 + γ)
моннан [х = — — , oφγ = — 1.
β μ 1 + i⅛
1 + β 1 + γ’
Киредән, Λ1 = , Bl = i≥Ll± , c = .
1 + Ρ 1 + γ 1 +≈
αβγ ■= — 1, γ = — , Cl — полюс.
≈β
→ _ C-αγB _ + βC) = g<1+-g>- Al.
1+γ αμ—lv r ’ αβ —1 1
Димәк, C151 II ClAl, ягъни Cl∈(Λ151).
178
10. = m дип ^тамгалыйк. Ул вакытта AN = ∙ + mAD
ND 1+m
яки AV == kAB + mAD ■ Икенче яктан, AN = L(AB + AD). AN нье
1 + m
¼- ►·
коллинеар булмаган AB һәм AD векторлары буенча таркатуның.
бердәнберлеге нигезендә, табабыз: = I, = I, моннан:
r 1 + т 1 + т
1 +k
11. ——tn булсын. Ул вакытта AC = AAI +
CN 1 + m
Икенче яктан, AC = AB + AD, ягъни AC = kAM + LAN.
Димәк, —-— = k, —— = Z, шуның нигезендә k + I = 1.
1+т 1+т
—>- ——►· —>
12. Gl — полюс булсын. Ул вакытта ClA = ClB, ClC0-=aClBr
■ ' ► ► ► ►
A0C0 = kClC, чөнки g У (CC1). Икенче яктан, A0C0 = C1C0 — CiA0 =
> ►· ' ►
= a,ClB — (mCxB + (1 -∕n)C1C)(A0, В, С нокталарының бер ту-
►
рыныкы икәнен исәпкә алганда). kCxC = (α — т) CxB-(1 — tn) CxC
булганлыктан, k = m-l, a-m = 0, ягъни т = α, ⅛ = α- R
Шулай итеп, A0C0 = (a — 1) CxC.
—> ·—¼
Аналогик рәвештә B0C0 векторын CxC аша аңлатыйк.
B0C0 = LClC-, B0C0 = ClC0 — CxB0 = aC1θ - (nCxA + (1 - п) CxC) =
= (a + п) С\В - (1 - п) С£,
—+■
моннан п — 1 — I, a + п = 0, ягъни η = — a, Z = — a — 1. B0C0=
= — (a + 1) C1C0.
Шулай итеп, A0C0 + B0C0 = (a — 1) C1C — (a + 1) CxC = —2C1C,
— ► ~∙ ►
ягъни A0C0 + B0C0 векторларының суммасы a га, ягъни (CC1) на
параллель булган g турысын ничек сайлап алуга бәйле түгел.
13. R— [ML] нең уртасы булсын һәм d ∣∣ (OR) дип бирелсен
ди (223 нче рәсем). Бу очракта, мәсәлән, с || (ОЕ) икәнен исбат
итик, монда Е — [2VP] нең уртасы. Табабыз: OP = mOL, ON‘=
= пОМ, NP II OR, ягъни ОР — ON = k (OM+ OL). Соңгы тигез-
~ ■■■ ⅛
леккә ОР һәм ON ның кыйммәтләрен куябыз:
mOL — пОМ = kOM + kOL, ягъни (т — k) OL = (k + п) ОМ.
12» 179
223 нче рәсем 224 нче рәсем
■ ► —►
■OL һәм ОМ векторлары коллинеар түгел, шуңа күрә т — k = 0,
k + ∏ = Q, ягъни m = k, п= — k. Ул вакытта OP=kOL, ON =
= -kOM. ОЕ векторына коллинеар булган (ON + ОР) векто¬
рын карыйбыз.
ON + ОР = - kOM + kOL =k (OL — ОМ) = kML.
Шулай булгач, (ОЕ) || (ML). Күрсәтелгән үзлекне башка ту¬
рылар өчен дә аналогик рәвештә исбат итәргә мөмкин.
14. ml{]ll = K булсын (224 нче рәсем). (KC0) || п икәнен исбат
итик.
κc0 = sc0-sk-, SC0= ^SA+^SB;
-SK= SA0 + Λ⅛o + β√C= — SB + - SC + - SA - - SB + mSB =
2 2 2 2
= mSB + -∣ S4 + I SC.
Икенче яктан,
-∙SK=SB0 + B^A0 + AΛ=y55 + ySC+ ^SB- yS⅛ + nS⅛ =
= nSA + I SB + y SC.
■Ул вакытта
mSB+ ^-SA + ^SC = nSA+ -SB+ -SC яки mSB + -SA =
2 2 2 2 2
= nSA + SB, моннан tn — n — —. Шуңа күрә
2 2 2
SK = y(S^ + SB + SC).
Ул вакытта ^C0≈=ySA + ∣Sβ--ι(S^ + Sβ + SC) = -lsC,
шуның нәтиҗәсендә (KC0) || (SC), ягъни ∕i1 турысы ∕1 һэ.м tn ι
турыларының кисешү ноктасы аша үтә.
.180
1
—— (СА + СВ). Μ, Р һәм
2(i+γ)v
15. 14 нче мәсьәләнең чишелешен карагыз.
16. АР = а.РС, BQ = βQC, С[м = үТЙС булсын, α + β = 2γ икә¬
нен исбат итәргә кирәк. С ноктасын полюс дип алабыз. Ул
вакытта СР — СА =—a-CP, CQ— СВ = —βCQ, CM — CCl-
==. — у CM, өстәвенә CCl = (СА + СВ). Моның нәтиҗәсендә
GP = — СА, CQ = —СВ, CM =
1 +<X 1 + β
Q нокталарының бер турыныкы булуларын искә алып, язабыз:
CM = тСР + (1 — m)CQ яки - (СА+СВ) = —— СА +
v 2 (1 + γ) 1 + α
+ 1 ~ св, моннан - = m , =7—Табылган
1 + β 2 (1 + γ) 1 + α 2 (1 + γ) 1 + β
тигезләмәләрдән т ны чыгарып ташлап, α + β = 2γ булуын ачык¬
лыйбыз.
17. АС һәм BD диагональләренең урталарын тиңдәшле рә¬
вештә Е һәм F аша тамгалыйк. Ул вакытта OM = OE+OF =
≈^(oa + oc)+ ^(0B + δb) = ^(δA + δB + δc + δb).
1
2
360° W^l
18. (∕z≥3) га борганда, V OAl векторы үзенә күчә, чөнки
1=1
бу боруда OAl векторы OA2 векторына, OA2 OA3 кә..., OAn 0Al
векторына күчә. Мондый үзлеккә нуль-вектор гына ия була ала.
h μ п ,
19. MAl = MO + OAi, ә '∑OA, = 0 икәнен исәпкә алырга.
ι=ι
20. AiBl = Aιθγ + Oi(?2 ^b O2B^ һәм 2 AjO∣ = 0, "∑O2Bι = 0
икәнен исәпкә алырга.
21. OA3 = — OAx + 2 sin 72o OA2.
22. Башта теләсә нинди дүртпочмакта MN = у (CD + В A)
икәнен исбатлыйбыз, монда М һәм N— тиңдәшле рәвештә [СВ]
һәм [Zλ4] ләренең урталары. MN = МС + CD ÷ DN, MN = MB-∖-
+ BA + AN. Бу тигезлекләрне кушып һәм МС + MB = 0, DN-∖-
4-AτV = 0 икәнен исәпкә алып, MN = у (CD + ВА) ны табабыз.
Әгәр CD һәм ВА векторлары коллинеар булмасалар, ∣ √WV∣ <
< -^∙ (I CD I + IВ A I), моны өчпочмакның яклары үзлеген кулла-
—>
нып исбатлавы кыен түгел. Димәк, CD || ВА, ягъни бирелгән
ABCD дүртпочмагы — трапеция яки параллелограмм.
181
225 нче рәсем
23. О ноктасын полюс дип ала-
—► —►
быз. Ул вакытта OB = О A + ОС.
OBx = OAx + OCx, AAx = OAx-OA,
BBx = OBx-OB = OAx + OCx-
— ОА — ОС; CCl = δcι-OC. ЛА,—
► — ► —
— BBx + CCx = 0 икәнен күрергә була.
Бу AAx, BBx һәм CCx кисемтәләрен¬
нән өчпочмак төзеп булуын исбатлый.
Шуңа күрә ул кисемтәләрнең һәркай-
сы калган икесенең суммасыннан зур
түгел.
24. AAx = CAx-CA, BBx = АВХ—
— АВ, CCx = BCx~BC (225 нче рәсем).
АА, + BBx + CCx = (CAx + ABx + BCx) — (СА + АВ + ВС). СА +
+ АВ + ВС = 0. CAx, ABx һәм BCx векторлары тиңдәшле рәвештә
►
СВ, АС һәм ВА векторларын 60° ка борганда килеп чыгарга
>- ►-
мөмкин. Бу боруда СВ + АС + ВА векторларының суммасы
■ ► һ — ►
CAx+ABx + BCx векторларының суммасына күчә.
Ләкин СВ + АС + ВА = 0, шуңа күрә дә CAx + ABx + BCx = 0.
25. АА, = BAx - ВА, BBx = CBx- СВ, CCx = ACx- АС.
AAx + BBx + CCx = (ДА, + CBx + ACx) - (ВА + СВ + АС).
ВА + СВ + АС = 0.
BAx, CBx, АС^векторлары тиңдәшле рәвештә
И2-
векторларын 45° ка бору һәм —— гә тапкырлау
ВС, СА һәм АВ
юлы белән та¬
былырга мөмкин. Шуңа күрә BAx + CBx +1ΑC1 векторларының
pr2^ → —► -→
суммасы да —- (ВС + СА + АВ) векторын 45°- ка бору белән та-
4 I
былырга мөмкин. ВС + СА + АВ == 0, шуңа күрә дә BAx + CBx +
+ ACx = 0.
Шулай итеп, АЛ, + BBx + CCx =0.
26. АЛ, + BBx + CCx = 0 (24 нче мәсьәләне кара). Шуңа күрә
ОА, - ОА + OBx - OB + OCx - ОС = 0.
Әгәр О — ABC өчпочмагының медианалары кисешү ноктасы
булса, О A + OB + ОС = 0, шулай булгач, OAx + OBx + OCx =0.
Моннан О ноктасы AxBxCx өчпочмагы медианаларының кисешү
ноктасы икәнлеге килеп чыга.
182
27. CA2 = CA + AA2 = - AC —
— A^A. 90° ка борганда, A2A→CB,
AC-→ BB2, ягъни CA2 -→ СВ ÷ BB2=
—► —*■
= CB2, моннан CA2 I CB2 һәм
►· ►
j CA21 = ICB21 икәнлеге килеп чыга.
28. D— [C1CJ нең уртасы булсын.
(226 нчы рәсем). CD =^(CCl + CC'l).
90° ка борганда, CCl һәм СС[ век¬
торлары тиңдәшле рәвештә СА
>-
һәм —СВ векторларына күчәрләр.
■■ ■ ►
Димәк, бу боруда (CC1 + CC'1) век-
—>■ —>
торларының суммасы (СА — СВ)
векторына, ягъни ВА векторына
г
күчәр. Шуңа күрә (CC1 + CC1) _L
_1_Д4, I CCl + CC[ I = ∣BA |, моннан
мәсьәләнең раславы килеп чыга да
инде.
>■ ·—>■
29. PR векторы SQ.векторын 90°
ка бору юлы белән килеп чыкка¬
нын исбат итик (227 нче рәсем).
SQ = SL + LK + KQ яки
SQ = SL + i (DC + AB) + KQ.
Соңгы тигезлекнең уң кисәгендәге һәр векторны 90° ка борабыз.
Ул вакытта SL -→ LD = — AD, -DC-→MR, -AB-→PN, ∕<Q→
2 2 2
-→-BC.
2
Ул вакытта SQ + 7W⅞ + P∕V+ ⅛C) =PN + (ΑΏ+
+ ВС) + MR = PN + NM + MR = PR. Димәк,/3/? векторы SQ
нан 90° ка борып табыла. Шулай булгач, PR ∣ SQ, ∣ PR ∣ = ∣ SQ | .
30. ABC өчпочмагында С почмагы биссектрисасының C1 ни¬
гезе АВ ягын λ1 = —, AC1 = λ1C151 чагыштырмасында бүлә, ә
a
камаулы әйләнәнең О үзәге CCl биссектрисасын λ2 = —,
с
CO = λ2OCl чагыштырмасында бүлә. Шуңа күрә OC1 = -а0А + ЬОВ ;
a + Ь
183
икенче яктан,0Cx = —ОС. Табылган тигезлекләрнең уңки-
а + Ь
сәкләрен тигезләсәк, шуның белән мәсьәлә исбатлана.
§ 4. ГОМОТЕТИЯ
1. Гомотетияләрнең үзәкләре бирелгән полосаларның кырый¬
ларына параллель булган ике туры өстендә яталар. Гомотетия
коэффициенты + — гә тигез, монда d — (a, Ь) полосасының киң-
d
леге, dx- (α1, bx) полосасының киңлеге.
2. Үзәкләре ∂1 һәм О2 булган һәм гомотетияләрен
карагыз. ∕∕1ft√Λ1) = Λ2, H^(A2) = A3, H*>(Bx) = B2, H^(B2) = B3
булсын, монда √41 һәм Вх — ирекле рәвештә алынган төрле нок¬
талар. ∕∕2ι һәм ∕∕j, композициясенең Л, не Л3 кә, Вх не B3 кә
чагылдыруына, өстәвенә [Л xBx] || [Л353], ∣ A3B31 = kxk21 AxBx | икә¬
ненә ышаныгыз. Әгәр kxk2 ≠ 1 булса, композиция kxk2 коэффи¬
циентлы гомотетия була; әгәр ⅛1⅛2 = 1, ләкин O1 ≠ О2 булса,
—►
композиция Л,Л3 күчерүе була; әгәр ^ι⅛2 = l, O1 = О2 булса,
бердәй үзгәртү табабыз.
3. һәм ∕∕22- үзәкләре O1 һәм О2 булган бирелгән гомо-
тетияләр булсын. Әгәр kx ≠ k2 булса, ике гомотетиянең дә тиң¬
дәшле нокталарының уртак пары була. Чыннан да, әгәр
(∕∕2,)~1 ° Н*' композициясе — гомотетия, әЛ1 ноктасы аның үзәге
булса, (∕∕2ft5)-* ° Н[' (А) = Л,.
Моннан табабыз:
/7?·(Λ1) = Л2, (//‘Г1 (Л2) = Л„ H^Ax) = Л2.
(Лп Л2) — тиңдәш нокталарның уртак пары булып тора. Әгәр
kx = k2 булса, бирелгән гомотетияләрнең уртак парлары булмый.
4. Гомотетия вакытында бирелгән әйләнәнең үзәге әлеге әй¬
ләнәгә гомотетик әйләнәнең үзәге булырга тиешле ноктага ча-
гылдырылуына игътибар итегез.
5. Ике әйләнәнең уртак ноктасында аларның берсенә орын¬
ма төзегез. Гомотетия вакытында ул үзенә чагылдырыла һәм,
моннан тыш, икенче әйләнәгә дә орынма булып кала.
6. Үзәге Л һәм коэффициенты — k булган гомотетиядә ω2
әйләнәсен гә чагылдырыгыз, ω2 әйләнәсе ω1 әйләнәсен эзлә-
нелә торган М ноктасында кисеп үтә.
7. М ноктасын — гомотетия үзәге, ә бирелгән чагыштырманы
(капма-каршы тамгасы белән) гомотетия коэффициенты итеп
алып, бирелгән әйләнәгә гомотетик булган әйләнә төзегез.
Бу әйләнә бирелгән әйләнәне ике ноктада кисеп үтә. Ул ике
нокта — эзләнелә торган ике хорданың очлары булып тора. Әгәр
әйләнәләр кисешмәсәләр, мәсьәләнең чишелеше булмый, әйләнә¬
ләр орынсалар — бер чишелеше була.
8. Әгәр әйләнәләр концентрик булмасаләр, гомотетияләрнең
үзәкләре әйләнәләрнең үзәкләрен тоташтыручы кисемтәне эчтән
184
229 нчы рәсем
Һәм тыштан R2'.Rx чагыштырмасында бүләләр. Әгәр әйләнәләр
концентрик булсалар, гомотетиянең ике үзәге дә әйләнәләр¬
нең уртак үзәге белән тәңгәл киләләр.
9. (ДС) II (ΛtC1) һәм (ВС) И (BlCx) булырлык итеп, ABC һәм
Λ1β1C1 өчпочмаклары төзегез. CC1 турысы АВ турысын эзләнел-
гән ноктада кисеп үтә.
10. Почмакның якларына орынучы нинди дә булса әйләнә
төзегез. Почмакның түбәсе һәм бирелгән нокта аша үтүче нур
әйләнәне ике ноктада кисеп үтә. Ул нокталарның һәркайсын
бирелгән ноктага чагылдыручы һәм үзәге почмакның түбәсендә
булган ике гомотетияне карагыз.
11. Почмакның берәр ягына гомотетик нур төзегез. Ул нур¬
ның гомотетия үзәге М ноктасында һәм коэффициенты бирел¬
гән чагыштырмага тигез булсын. Төзелгән нур белән почмакның
икенче ягының кисешү ноктасын туры ярдәмендә М ноктасы
белән тоташтырыгыз.
12*. [ДС] сен Bi ноктасында һәм [5С] сен Д, ноктасында
кисәрлек итеп, әйләнәгә Λl1 ноктасында орынма төзегез (228 нче
рәсем). I CAx I + ∣ AlΛ1l ∣ = ∣ CBx ∣ + ∣ BxMx | икәненә ышаныгыз һәм
ABC, AxBxCx өчпочмакларының гомотетик булуыннан файдала-
ланыгыз.
13. Әгәр Οι — ω1 әйләнәсенең үзә¬
ге булса, Sθι симметриясе Al нокта¬
сын Д| ноктасына чагылдыра, ә М
үзәкле һәм коэффициенты — — бул-
ган гомотетия A'1 ноктасын Д2 нок¬
тасына чагылдыра (229 нчы рәсем).
Ләкин үзәкле симметрия белән гомо¬
тетиянең композициясе гомотетия
була. Шулай булгач, Al-→A2 чагыл¬
дыруы гомотетия була. Бу гомоте¬
тиянең үзәге бирелгән әйләнәләр го-
мотетиясенең икенче үзәге белән тәң¬
гәл килә.
14. Үзәкләре орыну нокталарында
, жл. В2 В3
Һәм коэффициентлары - ,
R2 230 нчы рәсем
185
булган өч гомотетиянең компо-
°3
зициясен карагыз (230 нчы рәсем). Бу
композиция күрсәтелгән коэффициент¬
ларның тапкырчыгышына, ягъни k = —1
231 нче рәсем гә тигез коэффициентлы гомотетия була.
Килеп чыккан үзәкле симметрия берен¬
че әйләнәне үзенә һәм аның һәр ноктасын диаметраль капма-
каршы ноктага чагылдыра. √41 ноктасы өчен — Др ә Bl ноктасы
өчен B'r ноктасын төзибез. Λ1Λ( һәм BlB'1 диаметрлары беренче
әйләнәнең үзәгендә кисешәләр.
15. Сегмент нигезенең уртасы аша нигезе белән tgα = 2 бу¬
лырлык а почмагы төзүче нур үткәрегез (231 нче рәсем). Бу нур
сегмент дугасын эзләнелә торган квадрат түбәләренең берсендә
кисеп үтә.
19. Радиусларның очлары А һәм В аша туры үткәрегез, ул
туры өстендә [Д73] нә конгруэнт булган АС һәм BD кисемтә¬
ләре төзегез. Үзәге әйләнә үзәгендә булган гомотетия CD ки¬
семтәсен эзләнелә торган C1Z)1 хордасына чагылдыра (232 нче
рәсем).
20.* Бору белән гомотетиянең композициясе ABC өчпочма¬
гын — AλBλCx өчпочмагына, ә икенче бер гомотетия белән бору¬
ның композициясе AγBxCλ өчпочмагын A2B2C2 өчпочмагына ча-
233 нче рәсем
гылдыра (233 нче рәсем). Бу
вакытта гомотетияләрнең үзәк¬
ләре һәм бору үзәкләре бирел¬
гән өчпочмакның үзәге О белән
тәңгәл киләләр. Гомотетияләр¬
нең коэффициентлары тигез, ә
бору почмаклары тамгалары бе¬
лән аерылалар. Гомотетияләр¬
нең коэффициентлары тапкырчы-
⅛2 ⅛ _1_ J
гышы гә, ә бору поч-
(⅛ + I)2 1
макларының суммасы 0° ка ти¬
гез. Шулай итеп, A2B2C2 өчпоч¬
магы
⅛2 — ⅛ + 1
(k + 1)2
коэффициенты бе¬
лән ABC өчпочмагына гомоте¬
тии.
§ 5. ОХШАШЛЫК 1
1. A->Al, B→Bi охшашлык
булуга ышаныгыз. Бу охшашлык
гомотетия һәм күчүнең компо¬
зициясе була. Ике охшашлык-
1 219 нчы биттәге III кушымтаны карагыз.
186
ның һәркайсы бирелгән АВ чикле ярымъяссылыкны тиңдәшле
рәвештә AlBl чикле төрле ярымъяссылыкларга чагылдыра.
2. Беренче төр охшашлыкның1 үзәге (АВМ) һәм"(A1β1M) әй¬
ләнәләренең кисешү ноктасы була, монда (AA1) ∩ (BBl) = М.
Икенче төр охшашлык үзәге —ДҖ һәм BBx кисемтәләрен
эчтән һәм тыштан охшашлык коэффициентына тигез чагыштыр¬
мада бүлү нокталары аша үтүче турыларның кисешү ноктасы
ул.
3. Ике өчпочмакның гомотетик булуын һәм өстәвенә гомоте¬
тия үзәге өчпочмакларга камаулы әйләнәләрнең уртак үзәге белән
„ «. r — d
тәңгәл килгәнен искә алыгыз. Гомотетия коэффициенты к = ,
монда г — ABC өчпочмагына камаулы әйләнәнең радиусы.
4. Шуңа игътибар итегез: әгәр дүртпочмакның тиңдәшле як¬
лары параллель, ләкин шуның белән бергә тиңдәш булмаган
диагональләре параллель булсалар, дүртпочмаклар гомотетик
булмыйлар. Гадәти очракта гомотетик булган ике өчпочмакны
карау җитә.
5. a2 + b2 = 5с2.
6. Q ноктасы — икенче төр охшашлык үзәге, бирелгән туры¬
ларның симметрия күчәрләре — охшашлыкның икеле турылары,
охшашлык коэффициенты ∣cosφ∣ гә тигез.
7. Өчпочмакның ике биеклегенең нигезләре аша үтүче туры
шул өчпочмактан бирелгәнгә охшаш һәм аңа капма-каршы ори-
ентирланган өчпочмак кисеп ала дигән үзлектән файдаланыгыз.
Охшашлык коэффициенты ∣ cos φ | гә тигез, монда φ — диа¬
гональләр арасындагы почмак, килеп чыккан охшашлык икенче
төр охшашлык була.
8. Үзәге бирелгән әйләнәнең үзәгендә, охшашлык коэффи¬
циенты
cos у һәм бору почмагы булган беренче төр ох¬
2
шашлык A'B'C' өчпочмагын (A', В', С — ВС, СА һәм АВ якла¬
рының урталары) A0B0C0 өчпочмагына чагылдыра. Шуңа күрә
AaB0C0 өчпочмагы охшашлык коэффициенты
өчпочмагына охшаш.
α
c°s-
белән ABC
2
9. Алдагы мәсьәләнең чишелешен карагыз.
11· Трапециянең якларына үткәрелгән урта перпендикулярлар
белән билгеләнгән дүртпочмак шундый үзлеккә ия: аның диаго¬
нальләре бирелгән трапециянең тиңдәш диагональләренә пер¬
пендикуляр була. Моның шулай икәненә ышаныгыз. Шуңа күрә
килеп чыккан дүртпочмакны теләсә нинди үзәк тирәсендә 90° ка
1 Ориентациясен үзгәртмәүче охшашлык беренче төр охшашлык дип ата¬
ла; әгәр ориентациясен үзгәртсә, икенче төр охшашлык була.
187
бору аны бирелгән дүртпочмакка гомотетик булган дүртпоч¬
макка чагылдыра. Охшашлык коэффициенты трапеция урта
сызыгының нигезгә авышлык почмагы котангенсына тигез.
12. A1 ноктасын ирекле рәвештә сайлап алыгыз. Шул нок¬
таны үзәк итеп алып, охшашлык коэффициенты һәм бору поч¬
магы ABC өчпочмагыннан чыгып билгеләнгән охшашлык белән
АС турысын (АВ) ны эзләнелгән C1 ноктасында кисүче турыга,
чагылдырыгыз.
13. Әгәр I AB I = с булса, ∣ AxBx ∣ = cl = kc. ∣A0B0∣ = c0 =
= сУ ∖ + ki — 2k cos φ икәнен исбат итегез, монда φ — АВ һәм
AxBx векторлары арасындагы почмак, Ao = ]∕ 1 + k2- 2k cos φ —
ABC өчпочмагын A0BaC0 өчпочмагына чагылдыручы охшашлык
коэффициенты.
14. Әйләнәләрнең берсен үзәге бирелгән ноктада булган бе¬
ренче төр охшашлык белән әйләнәгә чагылдырыгыз. Охшашлык
коэффициенты бирелгән өчпочмакның ике ягының чагыштырма¬
сына, ә бору почмагы бу яклар арасындагы почмакка тигез.
Төзелгән әйләнәнең бирелгән икенче әйләнә белән кисешү нок¬
талары — эзләнелгән түбәләр.
15. Ирекле AxBxCxDx квадраты өчен аның диагонален эчено
алмаган симметрия күчәре / ны төзегез. Бу күчәр өстендә шун¬
дый нокталар табыгыз: ул нокталардан квадратның күчәрдән
бер якта урнашкан ике түбәсенә кадәр ераклыклар чагыштыр¬
масы бирелгән әйләнәләрнең радиуслары чагыштырмасына тигез
булсын. Аннан соң охшаш үзгәртүдән файдаланыгыз.
§ 6. КООРДИНАТАЛАР1
1. Яссылыкның күрсәтелгән параллель күчерүендә ирекле
М(х, у) ноктасы √W1 (xl, y1) ноктасына чагылдырылсын ди. Ул
> · ►
вакытта Λ4Λf1 = AA1, моннан xx-x = a1-a, y1— у = bx — Ь,
яки хх = х + ax — a, y1 = у + Ьх — Ь.
2. i', j' — Ox'y' координаталар системасының базис вектор¬
лары булсын. Оху системасында аларның координаталары;
У (COS φ, Si∏φ), j' (COS (φ + 90o), Si∏ (φ + 90o)) ЯКИ j' (—Sin φ, COS φ).
OM = xi-[-yj, икенче яктан, ОМ = x'i! + y'j' = χ! (cos φz +
+ Sin φy) + y' (— sin φz ÷ COS φy) = (У COS φ — y' sin φ) i + (x' Sin φ +
+ y' cos φ) j. ОМ векторын i,j базисы буенча таркатуның бер¬
дәнберлеге нигезендә, табабыз: х = х' cos φ—y' sin φ, у = x' sinφ+
+ y'cosφ, моннан эзләнелгән формулаларны табабыз:
χ'i= X COS φ + у Si∏'φ, у' = —X Sin φ + у COS φ.
3. Күрсәтелгән боруда М (х, у) ноктасы М' (x', у') ноктасына
чагылдырылсын ди. Күргәнебезчә, бу боруда Д(1, 0) ноктасы —
1 Π, III кушымтаны карагыз, 218 , 219 нчы битләр.
188
Ej (cos φ, sinφ) гә, ә E2(0, 1) исә E'2 (cos (90o + φ), sin (90o + φ)‰
ягъни E'2(-sin φ, cos φ) ноктасына чагылдырыла. ОМ һәм OM'1,-
MEl һәм M'E', ME2 Һәм M,E'2 кисемтәләренең конгруэнтлык
шартларын координаталар аша язабыз: x2 + y2 = xzi + у'2,.
(Х — I)2 + y2 = (x' — COS φ)2 + (y' — sin φ)2, X2 + (у — I)2 = (X, +
+ sin φ)2 + .(y' — cos φ)2. Бу тигезлекләрдән табабыз:
х = х! cos φ + у' sin φ, у = — x' sin φ + у' cos φ,
моннан
x' = X COS φ — у sin φ, у' = X Sin φ + у COS φ.
4. у = kx + b турысына карата күчәрле симметриядә М (х, у)·
ноктасы M1 (x1, y1) ноктасына чагылдырыла. MM1 кисемтәсенея
уртасы бирелгән турыныкы, ягъни
2 2
ММ' турысы симметрия күчәренә перпендикуляр, шуңа күрә
5^y.⅛ = -ι.
X, —X
Бу тигезләмәләрдән табабыз:
■ x' = × - tyx + b - у), у' = у + γγy2 (kx + b - у).
5. 3 нче мәсьәләгә нигезләнеп, координаталар башлангычы ти¬
рәсендә φ почмагына борганда табабыз: x, = xcos φ — у sin φ,,
у' = х sin φ + у cos φ. A (0; 0)→Λ1 (0; 0), В (5; 4)-→Bl (3; 4), шуңа,
күрә 3 = 5COSφ, 4 = 5sinφ.
,τ,. ’ 3 4 , 4 , 3
Җавап, х = — χ у, у = — х-∖—у.
5 5 5 5
“ >
6. SM'= kSM, шуңа күрә x, — x0= k (х — x0), y'-y0 = k (у—y0),-
моннан x' — kx + (1 — A) x0, y' — ky + (1 — ⅛) y0.
— > ► - >
7. ОМ = OO, +O'M, шуңа күрә x = a + х', У = b + у , моннан
х' — х — а, у' = у — b.
8. Үзәге S1 (x1, y1) һәм коэффициенты kx булган гомотетия
М (х, у) ноктасын M'(χ', у') ноктасына чагылдырсын, ә үзәге·
*S2 (∙*2> У2) Һәм коэффициенты k2 булган гомотетия М' ноктасын
М"(х", у") ноктасына чагылдырсын. 6 нчы мәсьәлә буенча та¬
бабыз:
х! = k∖x + (1 — ⅛1) x1ζ x!, = k2x + (1 — /г2) ⅞∙
x!' = k2kγx + k2 (1 — ⅛1)x1 + (1 -k2)x2∙, (*У
у" = k2kly + k2 (1 — Λ1) y1 + (1 — ⅛2) У2·
Әгәр
х" = ⅛0x + (1 — ⅛0)x0, ∣y" = ¼>y + (1 — #о)Уо булса, ягъни:
kxk2 = k0, ⅛2(1 — ⅛i)xj + (1 — k2)x2 = (1 ~kik2)x0∙, k2(1 — kl)yl +
+ (1—Λ2) У2 = (1 — ^,ι^2) Уо шартлары үтәлгәндә, М ның М" ra∣
18S-
чагылдыруы коэффициенты k0 һәм үзәге So (x0, у0) булган гомоте¬
тия булыр. Әгәр klk2 ≠ 1 булса, М ның М" га чагылдыруы
∙⅛0 = ⅛1⅛2 коэффициентлы гомотетия була, S0(x0, у0) ноктасы
гомотетия үзәге була:
x0 = 1 -1. - (⅛2 (1 — ^ι) ∙*ι + (1 — 'k2) х2),
1 — tZγR∙2
У о = 1 1.. (Ml ~ ⅛1) У1 + (1 ~M y2)∙
1 — κ^K2
Әгәр klk2 = 1 булса, (*) тигезлекләре түбәндәге рәвешне ала:
х" = х + (1 — k2) (x2 — xl)∙, у" = у + (1 — ⅛2) (y2 — y1).
Бу очракта k2 = 1 булганда (димәк, һәм kl --= 1) табабыз: x,,=x,
У" = У — бердәй чагылдыру.
~*· —
k2 ≠ 1(A1⅛2 = 1) булганда табылган формулалар a = (1— ⅛2) SlS2
параллель күчерүен билгелиләр. 51 ≠ S2 дип уйланыла.
9. Эзләнелә торган I турысының тигезләмәсен у = kx + b рә¬
вешендә язабыз, монда ⅛ һәм b ны табарга кирәк. Z турысы
у = 2х— 5 турысына параллель булганлыктан, k = 2. Нокта
√4∈∕, шуңа күрә —1=2∙3÷6, моннан b == — 7.
Җавап, у = 2х — 7.
10. y1 = kx, + b, y2 = kx2 + b, y2 — yl = k (x2-x.), k = y*~y*-*
x2-Х1
11. Әгәр Λf(x, у) ноктасының координаталары
(х — α1)2 + (у — α2)2 + (х — 61)2 + (у — b2)2 = k2
тигезләмәсен яки аңа тамырдаш булган
(r <>2 + b2∖2 ,⅛2 (al-bt)2 + (a2-b2)2
Г 2 J + Р ~) - Т 4
тигезләмәсен канәгатьләндерсәләр, бу нокта шул күплекнеке
- k2 (α1 — h1)2 4- (α2 — ⅛2)2
«ула. — 1—y-i — > 0 булганда, бу тигезләмә радиусы
, ∕^ ⅛2 (al — *1)2 + (a2 — b2)2 . n
1/ — — — — га тигез, үзәге АВ кисемтәсенең урта¬
сы булган әйләнәне билгели. ^-1∙~~2--2^- = 0 булган¬
да, тигезләмә бердәнбер ноктаны — [AS] нең уртасын билгели.
k2 (α1-b1)2 + (α2-b2)2 , e,
— —-—i — < 0 булганда, эзләнелгән күплек буш
күплек була.
12. (х — <z1)2 + (у — а2)2 — (х — 61)2 — (у — b2)2 = k2 яки
(⅛1 — α1) х + (b2 -a2)y=-^ (k2 ~a2l~a2 + b21 + b2).
Табылган тигезләмә (AS) на перпендикуляр турыны билгели.
190
13. Л, В һәм С нокталары ординаталар күчәренә параллель-
булмаган бер туры өстендә ятсын өчен, АВ һәм АС турылары¬
ның почмакча коэффициентлары тигез, ягъни
Уг —У1 Уз —У1
х2 — Xχ x3 — χi
булуы кирәк һәм шул җитә дә. Әгәр бу нокталар ординаталар·
күчәренә параллель булган туры өстендә ятсалар, ул вакытта
x1 = х2 = х3.
14. Өчпочмак түбәләренең координаталары А (0; 0), В(1; 0)»
С (а; Ь) булырлык итеп, координаталар системасы сайлап ала¬
быз. Ул вакытта ВС ягының уртасы Ах нең координаталары
1 гә, ә AAl медианасын 2:1 чагыштырмасында бүлүче
\ 2 2 /
G ноктасының координаталары + 1, —кә тигез булыр, чөнки
\ 3 3 /
—► 2 —k
AG = уЛДр һәм медианаларын шул ук чагыштырмада
бүлүче нокталарның координатадарын шул ук юл белән исәп¬
ләп, бу нокталарның G белән тәңгәл килүенә ышанабыз.
15. ⅛1 = tgα, k2 = tg(a + 90o) = —, kx∙ki ==-1.
tg ≈
16. АВ һәм CD турыларының почмакча коэффициентлары
'■ 1 Ь<у ~~~ CL∖ ^9 ^2 л τ"4‰
тиңдәшле рәвештә ⅛1 = — l гә, ә к2 = гә тигез. Ad
bi— al d1 — ci :■*
һәм CD кисемтәләренең перпендикулярлык шарты 15 нче мәсьә¬
лә нигезендә түбәндәгечә була:
b1 ~a2 d2-c2 _ _ I яки _ β∙2) (i∕2 _ c2) + (bχ-a1) (dl-cl) = 0.
bl— aχ dχ — c1
17. 1 нче юл. М (x0, у0) ноктасы аша I турысына MAr
A (х, kx + Ь) перпендикулярын үткәрәбез.
I AM ∣2 = (х — x0)2 + (kx + b — y0)2. (1>
В (0, &) — / ның Оу күчәре белән кисешү ноктасы. Пифагор тео¬
ремасы буенча МАВ турыпочмаклы өчпочмагы өчен табабыз:
I В A ∣2 + I AM ∣2 = IBM ∣2, яки координаталар аша
x2 + k2x2 + (х — x0)2 + (kx + b — y0)2 = x2 + (6 — y0)2,
моннан х = x° ^ζ kb 'x ның табылган кыйммәтен (1) фор¬
муласына куеп, язабыз:
I λλ1∣ = ⅛ + ⅜~ Уо1..
rr+^
2 нче юл. А ноктасы у = kx + Ь турысыныкы булсын. Би¬
релгән М (x0, у0) ноктасыннан A (х, kx + Ь) ноктасына кадәр
ераклыкны
р2 = (х — x0)2 + (kx + Ь — Уо)2
191
яки
ρ* = (1 + ⅛2) x2 + 2 (bk — ∣⅞y0 — x0) х + (xθ + yθ + ⅛2 — 2⅛y0) (2)
«формуласы буенча исәплибез. М ноктасыннан турыга кадәр
-ераклык бу өчбуынның иң кечкенә кыйммәтенә тигез.
18. Координаталар системасын аның башлангычы квадратның
үзәге белән тәңгәл килерлек, ә күчәрләре квадратның капма-
.каршы түбәләре аша үтәрлек итеп сайлыйбыз. Квадрат түбәлә¬
ренең координаталары: А (а, 0), В (О, а), С (—а, 0), D(0, —а),
.квадратның үзәге аша үтүче турының тигезләмәсе у = kx. 17 иче
мәсьәләдә табылган формула буенча квадрат түбәләреннән
у = kx турысына кадәр булган ераклыкларның квадратлары
■суммасын исәплибез:
_L_ (⅛2α2 + α2 + yfe2fl2 + 2) = 2(l + ⅛2)< = 2а2#
l+⅛2 V Г Г l+⅛2
Табылган сумма k га бәйле түгел.
19. I AB ∣2 = 5, ∣AC∣2 = 18, ∣BC∣2 = 17. Косинуслар теоремасы
•буенча cos A = —ул вакытта sin A= ——, Sδ = — ·]/ 18 ∙ V5×
По Кю 2
χ 3 : 9.
НО 2’
20. Якларының озынлыклары квадратларын исәпләгез һәм
.косинуслар теоремасын файдаланыгыз.
Җавап. Тигезьянлы, кысынкыпочмаклы.
21. Координаталар системасын аның башлангычы — квадрат¬
ның үзәге белән, ә күчәрләре квадратның яклары белән параллель
-булырлык итеп сайлагыз.
22. Координаталар системасын параллелограмм түбәләренең
координаталары А(0, 0), В(а, 0), D(b, с), C(a + b, с) булырлык
итеп сайлагыз.
23. Координаталар системасын турыпочмаклык түбәләренең
координаталары (0, 0), (а, 0), (a, Ь), (0, Ь) булырлык итеп сай¬
лагыз.
Җавап. Яссылык тулысынча.
24. Бирелгән әйләнәләрнең тигезләмәләрен язабыз: x2 + y2=l,
/х - -⅞-Λ + y2 = 1 димәк, r1 = 1, Ol (0, 0); r2 ==-^, O2 = Μ-, θ').
\ о / 4 2∖Z∕
.Гомотетиянең эзләнелә торган S1 һәм S2 үзәкләре [O1O2] сен
эчтән һәм тыштан rl∙.r2 = 2'.l чагыштырмасында бүләләр.
Λ (|. о), 52(1, 0).
25. М (x0, у0) ноктасы бирелгән әйләнәнеке, димәк, х2+у2=/?2.
у = kx + Ь орынмасы М ноктасы аша үтә, шуңа күрә y0 = kx0-∖-b,
моннан b — y0 — kx0. Орынма (ОМ) на перпендикуляр, шуңа
күрә аның почмакча коэффициенты k мондый:
192
k = — = — —. Ул вакытта b = y0 Н—-, 6 = — .
k0u * y° *
k һәм b ның табылган кыйммәтләрен у = kx + b тигезләмәсенә
куеп, орынма тигезләмәсен табабыз:
x0x + УоУ = Я2·
26. Координаталар башлангычы тирәсендә —β почмагына
борганда, ⅛'(cosa, sin а) ноктасы Е" (х, у) ноктасына чагылды-
рыла, ул вакытта 3 нче мәсьәләнең формулалары буенча
х = cos a ■ cos (—b) — sin a ∙ sin (— β),
ягъни,
X = cos α ∙ COS β + sin a ∙ sin β.
Икенче яктан, E" ноктасының координаталары cos (a — β),
sin(a-β), шуңа күрә
COS (a — β) = COS a ∙ cos β + sin a ∙ sin β.
27. Әгәр M(x, у) һәм Μ! (√, у') нокталары Λ (a, b) үзәгенә
x+x' у + у' >
карата симметрик булсалар, —-— = a, ' = b, моннан х =
= 2<z-xz, y = 2⅛-у' булуы килеп чыга. Табылган аңлатмала-
ны парабола формуласына куябыз: у = x2 : 2b — у' = (2a — xz)2
яки у' = — x'2 + 4ax' + 2b — 4a2. Әгәр 4a = т, 2b — 4a2 = п,
т , mi + 4л (tn
ягъни а= —, 0=—-— дип алсак, мәсьәләнең шартын I— ,
m2 _1_ 4/1 \
—ι— ноктасына карата симметрия канәгатьләндерә.
8 /
28. 6 нчы мәсьәлә буенча үзәге S(x0, Уо) һәм коэффициенты
k булган гомотетиядә х' = kx + (1 — k) x0, у' = ky + (1 — k) y0,
моннан х - 4- (xr — (1 — k) x0), у = 4~ (у' — (1 — k) y0).
β к
Бу аңлатмаларны тигезләмәгә куябыз:
у = х2: 4 (y' - (1 - k) y0) = A (xf - (1 - ⅛) x0)2.
k h2
Рәвешүзгәртүләрдән соң
1 2 il k~∖ χ
у' = ⅛x'2 - ( 7 0 χ! + —-—-0 + (1 - k) у0.
k к к
Әгәр — = р дип
К
алсак, эзләнелә торган гомотетия ачыклана:
2(*~1)Λ" = q, (1~*)2*°- + (1 - k) y0 = г, моннан
к k
k= — , Xo =
Р
Уо
q2 — Apr
~ 4(l-jp)*
я
2(1-/.)
13 У-52
193
/ 1 9 ∖
29. ί — —; — — J (28 нче мәсьәләне кара).
30. Параболаның тигезләмәсе у = λ2 булырлык координата-
лар системасы сайлыйбыз. Параболаның бирелгән нокталары¬
ның координаталары A (a, a2), B(b, b2), C(c, c2), D(d, d2) бул¬
сын. АВ турысының почмакча коэффициенты kAB = -b-* ~g2 =
= a + b. Аналогик рәвештә kCD = c + d, kAC = a + c, kBD =b+d,
kAD = a ÷ d, kBC — b + c∙ Әгәр a — (AB) ның абсцисса күчәренә
авышу почмагы булса, (CD) ның абсцисса күчәренә авышу поч¬
магы (180o-а) була. Ләкин tga = — tg(180o — a), шуңа, күрә
⅛ab = -⅛cd яки a + Ь = — с— d. Соңгы тигезләмәдән a + с =
— — b — d, a-∖-d=-b — с булуы килеп чыга һәм шуның белән
мәсьәлә исбатлана.
31. Параболага орынма ниндидер кисүчегә параллель һәм
аның парабола белән тик бер генә уртак ноктасы бар. A1(x1, л~),
A2(x2, х%) — параболаның ике ноктасы булсын. A1A2 кисүчесенең
тигезләмәсен төзибез: у = kx + b. (A1A2) ның почмакча коэффи¬
циенты k = xl + λ2 (30 нчы мәсьәләне кара), Ь ның кыйммәтен
A1 (x1, xj) ноктасының бу турыныкы булу шартыннан табабыз:
a⅞ = x1 + x2) xi + Ь, моннан b = — λ1λ2. Кисүченең тигезләмәсе
түбәндәгечә була:
У = (-*ι + x2)x — χιχ2∙
Әгәр λ1 = jc2 = λ0 дип алсак, параболага ΛΙ(x0,xfy ноктасындагы
орынма тигезләмәсен табабыз: у = 2λ0λ — х%.
32. A1(a1, a21), A2(a2, а^) — орыну нокталары булсын. Орын¬
маларның тигезләмәләре (31 нче мәсьәләне кара):
у = 2aix — a21, y=[2a2x — аЦ
М (а, Ь) ноктасы бу орынмалар өстендә ята. Шуңа күрә Ь =
= 2a1a — a2v b — 2a2a — cf. Димәк, a1 һәм a2 t2 — 2at + 6 = 0 квад¬
рат тигезләмәсенең тамырлары булалар, ул вакытта a1+a2 = 2a,
a1∙a2 = Ь була. A1A2 кисүчесенең тигезләмәсе: y=(β1+<z2)Λ-ala2,
ягъни у = 2ax — Ь була.
33. Бирелгән нокталарның координаталары: А (а, а2), В (b, bi),
С (с, ci), D(d, d2), E(e, e2), F (/, f2) булсын. АВ турысының
почмакча коэффициенты kAB = (a + Ь). Шул рәвешле калган ту¬
рыларның да почмакча коэффициентларын язарга мөмкин, Па¬
раллельлек шартыннан
[А5] II ∖DE↑→a + b≈d + e
[βC]∣∣[^]→6 + c = ^ + ∕ + / +
икәнлеге килеп чыга, моның нәтиҗәсендә || [∕7A] була^
194
Әгәр бу нокталар ху = р2 гиперболасы өстендә ятсалар,
аларның координаталарын болай язарга мөмкин: A (a, ,
β(b, ... , АВ хордасының почмакча коэффициенты
k -1
ab Ь — а ~ ab'
[ЛВ] II [£>£·]≈^ab = de
∖BC∖∖∖[EF↑=>bc = ef ^ca ja'
моның нәтиҗәсендә [CZΣ>] || [ЛД].
34. (АВ) на перпендикуляр CC1 турысының тигезләмәсен тө¬
зибез:
1 1
у = kx + b, k.β = — — = —, k = x1x2.
χ1- χi χiχ2
Cζ(CCi), шуңа күрә — = x1x2x3 + ⅛, моннан Ь = — xxx2xi.
Λ3 х$
CCγ турысының тигезләмәсе у — xxx2x Ч xlx2x3 икән. Шуңа
X3
аналогик рәвештә (ВС) на перпендикуляр AAl турысының ти¬
гезләмәсе y = x2x3xd— x1x2x3 була. Табылган тигезләмә-
•^1
ләр системасын чишеп, Н ноктасының координаталарын табабыз:
( -—, — x,x2x3\ Моннан Нноктасының ху =1 гиперболасын-
\ хлхз /
да ятканлыгы ачык.
§ 7. КООРДИНАТА ЛЫ-ВЕКТОРЛЫ МЕТОД 1
1. 1) (10; -8), 2) (-5; 4), 3) (-20; 16), 4) ((1;
2. (x2-x1, y2-y1).
5. 1) (5; 0), 2) (-1; -2), 3) (-5; 0).
6. 1) (8; 7), 2) (7; 2), 3) (5; -8), 4) (13; 10).
7. 1) (1; 4), 2) (1; 0), 3) (0; -1), 4) (7; 6).
8. k = l.
1 II, III кушымталарны карагыз, 218 нче бит.
13*
195
10. 1) AB = DC, D(x, y),∣Γ^142S1 ~x' x = 4, у = 0.
I z*, θ — * у,
2) (0; 6), 3) (-2; 2).
11. AA1fe -Y BBx(--∖ --Y СС,(~; 2Ϊ
\ 2/ 1 \ 2 2/ ∖2 J
12. CD------2АВ.
13. АВ (4; 6), CD(-2∙, -3), АВ = — 2CD.
14. AC=DB, C⅛(AB), ACBD.
15. BD = 2AC, C⅛(AB), ACDB.
16. — = — яки mq — пр = 0.
Р Я →
17. М(х, у) ноктасы бирелгән туры өстендә ятсын өчен, AM
һәм р векторларының коллинеар булуы кирәк һәм шул җитә.
1) = х — 4у~ 6- 0; 2) Зх + у - 4 = 0;
3) у - 2 = 0.
18. Λf1 (x1, y1), M2(x2, у 2) — бирелгән турының ике ноктасы
булсын: A xl + βy1 + С = 0, Ax2 + By2 + С = 0, моннан
= C~Ax1 = C-Ax2 β , θ У2 —У1 = (,C-AxA-{C- Ax^} = A
1 В ’ 2 В ’ ’ x2 — xi В (x2 — xi) ~B
—>- -¼
Димәк, MlM2 II р. Әгәр В = 0 булса, исбатлау үзеннән-үзе
аңлашыла.
19. mx = 4, т2 — — 4.
20. m = ∣o∣cosσ, n = ∣a∣sina, р = ∣b ∣ cos (a + 90o), q —
= I b I sin (a + 90o), p = ~ ∣∕>∣sina, <7 = ∣6∣cosa, mp + nq —
= — I a 11 b I cos a sin a + ∣ a ∣ ∙ ∣ b ∣ ∙ sin a cos a- = 0. Кирәклелек исбат¬
ла нды.
21.
22.
ганда,
булса, x, =
(z, a) = a, I a I COS α = χ0, ∣ a ∣ Sin a = y0,
—*· “* ^*
b (jc, y), x = I b I COS (a + 90o) = — ∣ a ∣ sin a = — y0,
у = I b I sin (a + 90o) --= I a ∣ cos a = x0, b (—y0, x0).
Координаталар башлангычы тирәсендә φ почмагына бор-
X, — X COS φ — ySl∏φ, у' = Х Sin φ + у COS φ. Әгәр φ = 90°
- -y, y, = x.
A(-l; 1), jS1(1! 2), C1(-4i -1).
23. Туры п векторына перпендикуляр булган р векторына па¬
раллель. 21 нче мәсьәлә буенча р(—1; —4). Турының тигезләмәсе:
*~2 = y яки 4х — у — 11 = 0 (17 нче мәсьәләне кара).
196
24. D(x, у), AB(3-, 1), AD(x-l, у + 2), АВ A. AD. 20 нче
мәсьәлә буенча 3 (х — 1) + (у + 2) = 0. ∣ АВ ∣2 = ∣ AD |2, шуңа күрә
Ю = (х — 1)2 + (у + 2)2. Табылган тигезләмәләр системасының
ике чишелеше бар: (2; —5) һәм (0; 1). С(х, у) ноктасының коор-
динаталарын табу өчен, АС һәм BD кисемтәләренең урталары
тәңгәл килүен исәпкә алабыз, шуның нәтиҗәсендә
l)∫l+χ = 4 + 2, 2) I 1 + х = 4 + 0,
∣-2 + y = -l-5, [-2 + y = -l + l,
моннан C1 (5; —4), С2(3; 2).
Җавап. Мәсьәләнең ике чишелеше бар: C1 (5; —4), Dl (2;
-5); С2(3; 2), £>2(0; 1).
25. Җ
булса, М ноктасы [5Ό] нең уртасы икәнен искә алганда, D ның
координаталары (1—х, —1—у) булыр.
AB(x-2, у + 4), AD(-x- 1, 3-у). AS±a5=>
→ (х - 2) (—х—1) + (у + 4) (3 - у) = 0; ∣ AB ∣2 = ∣ AD ∣2 →
—; — —1 Әгәр В ноктасының координаталары (х, у)
2 2 /
Килеп чыккан тигезләмәләр системасының ике чишелеше бар:
(4; 1) һәм (—3; —2). В түбәсенең координаталары буенча D ның
координаталарын исәплибез:
әгәр 5(4; 1) икән, £>(—3; —2) була;
әгәр В(—3; —2) икән, Ώ(4; 1) була.
26. 18 нче мәсьәлә буенча беренче туры p1(lι 3) векторына
параллель, икенче туры р2(—3; 1) векторына параллель. 20 нче
мәсьәлә буенча турылар перпендикулярлар, чөнки 1-(—3) +
+ 3-1 = 0.
27. Турыр(—3; 5) векторына параллель, |р| = ]/34;
^* / 3 5 \
V И34 ’ И 34 /
28. k = 1-.
8
§ 8. МӘЙДАННАР
1. Өчпочмакның урта сызыгы аннан мәйданы бирелгән дүрт¬
почмак мәйданының у е кадәр булган өчпочмак кисеп алуын
исбат итегез.
2. Нигезләре тигез булган тигеззурлыктагы өчпочмакларның
биеклекләре тигез; димәк, дүртпочмакның ике чиктәш түбәсе
каршы ятучы яктан тигез ераклашканнар. Урта сызык трапеция
нигезләренең урталары аша үтә.
197
3. ABCD дүртпочмагының урта сызыклары PQRS параллело¬
граммының диагональләре б^лып торалар һәм аны тигез зур¬
лыктагы дүрт кисәккә бүләләр. BPQ, DSR һәм ASP, CQR өч¬
почмакларының мәйданнары суммасы тигез, чөнки һәрберсе
бирелгән дүртпочмак мәйданының -i∙ енә тигез.
4. Wr=(SC)∩(W), D = (SC)∩(AB)ι
$ADWV = ^ACV, $ACMN = ^ASC ’ ЛӘКИН $ACV = $ASC
(ASCV — параллелограмм), шуңа күрә Sagmn= Sadwv. Аналогик
рәвештә Sdbuw = SgcpQ.
5. Эзләнелә торган турының MAN почмагы белән чикләнгән
MN кисемтәсе Р ноктасы белән урталай бүленә, шуны исбат
итегез. Моның өчен Р ноктасы аша теләсә нинди башка M'N'
турысы үткәрү (IPN' ∣ > ∣ PM' | булсын) һәм Spλiλi, < Spnn, икәнен
исбат итү җитә. Әгәр нокта аша (AN) на параллель туры үт¬
кәрсәк, соңгы тигезсезлекнең дөреслеге үзеннән-үзе ачыклана.
Соңгы туры M'N' кисемтәсенең дәвамын кисеп үтә.
6. ∣AΛf∣ = - ∣AB∣, ∣C7V∣=-∣CZ)∣ булсын, ул вакытта
п п
q Λ 1 <? о 1 С
0BDM ~ ^ABD' ^DBN n °BCD
П — 1
$BDM + $DBN $MBND
n ,~,ABCD'
Аналогик рәвештә
с — — <?
oMCNA ~ n oABCD,
ДИМӘК,
$MBND + Sj¼CNA = ^ABCD
ЯКИ Sabcd $MQNP + $BCQ ^Ι~ $DPA = ^ABCD'
моннан Smqnp = Sbcq + Sdpa.
7. Бирелгән К ноктасы ABC өчпочмагының ВС ягында ят¬
сын (234 нче рәсем). Әгәр К ноктасы [ВС] нең уртасы икән,
(АК) — эзләнелгән туры була. Әгәр ∣ BK∖ < | ВМ | икән (монда
М — [ВС] кисемтәсенең уртасы), [√V4Ar] || [АК] ны төзеп, эзләнел¬
гән KN турысын табабыз. Чыннан да, Samn-= S[<MN булганга
күрә, Skcn = Sacλi = — SABC.
8. Әгәр медианаларның кисешү ноктасы аша үткәрелгән туры
өчпочмакның ягына параллель булса (235 нче рәсем), мәсьәлә
4
шартында күрсәтелгән мәйданнар чагыштырмасы у кә тигез,
калган очракларда ул зуррак була (5 нче мәсьәләне кара).
19β
234 нче рәсем
CBM = DM A =4>
∖MC∖ = ∖CM∖∖
IMCI I AD Iλ
9. BCM = CMD = MDA (236 нчы рәсем) һәм
→ ∕∖BCM∞ ∕∖MDA =
IMD I I AD I I MD I
ς
∙χ, I MD I BCM _ MDC
∖md' smdc~samd'
10. Яңа өчпочмаклар бирелгән өчпочмакка охшашлар; димәк,
аларның мәйданнары чагыштырмасы охшаш якларының квадрат¬
лары чагыштырмасына тигез.
11. Юк. BD диагонале АС диагонален урталай бүлә торган
кабарынкы дүртпочмакны карау җитә. [ЯО] нең уртасын М дип
алырга.
I2· ⅞Λ4Λf1 = ^ӘМ ^MNlN ~ SβN,N^ ^DMBι∖,1 =
икәненә ышаныгыз.
DB диагонален төзегез,
^ADMl~ ^ADB ҺӘМ [5CBJVi = у Scbd
икәнен искәрегез.
13. һәр кисемтәнең башка кисешү нокталары белән өч тигез
кисәккә бүленүен исбат итегез.
14. Sabc = 1 дип алабыз (237 нче рәсем).
SCNAi = ^a1na2 $a2nb = z икәнен искәрәбез, монда А2 нокта¬
сы—M15] нең уртасы; Sc nb = — 3z, ләкин Sanc
О 1
sAAlB = sANC1 + sCClB - sCNAi > ШУ«а КҮРӘ 4 = 2 (4 ~ 32) + 4~Z’
1
моннан z = —.
21
- 2^C1Wδ∙
∖ . 1
3
' 236 нчы рәсем
199
$mnp ~ 1
15. Параллелограмм, чөнки капма-каршы яклары параллель
турылар өстендә яталар (238 нче рәсем). Төзелгән турылар па¬
раллелограммнан өчпочмаклар кисеп ала, ул өчпочмакларның
һәркайсының мәйданы бирелгән параллелограмм мәйданының
— енә тигез. ∕∖MBK= ^PDE≈+Smkqa- Sdea=½Smkpa = Sofed
икәнен күрәбез, чөнки AFQ өчпочмагы аларның уртак өлеше
булып тора. Шулай булгач, Sapq = Smbk, ләкин Smbk = -Ksωf5
димәк, Smbk = — Sabcd, ә Sfkrs = — Sabcd.
$ADM = $ANB = ^$ABCD^SpND ~ $МРВ' ЛӘКИН
$PND ^ANP ^ӘМ $МРВ $АМР ^AMPN ~
2. ς =⅛, ς 2_ς
— 3 c,AMD^ '3AMPN~ 6 oΛBCD,
17 kl(k +1 + 2)
2(⅛ + ∕)(∕ + l)(⅛ + ∕+l)'
18. Мәйданы ABCD параллелограммы мәйданының — енә
4
тигез булган MOQD параллелограммын карагыз (239 нчы рәсем);
' J_ C 1 Q
lMOQ ^r 12 ΛtOQ 3 oΛi0Q g ,jMOQD'
^FORE ~ $1-ОК ÷ SpFE 4
240 нчы рәсем
20. АСЕ һәм BDF өчпочмакла¬
рының мәйданнарын бирелгән алты¬
почмакның мәйданы һәм өчпочмак
мәйданы белән чагыштырыгыз. Бу
өчпочмакның яклары — алтыпоч¬
макның капма-каршы якларының
аермасына тигез булган кисемтә¬
ләр (240 нчы рәсем).
21. Түбәндәге үзлектән файда¬
ланыгыз. Әгәр ABC өчпочмагының
200
AM медианасы өстендә нинди дә булса О ноктасын алсак,
κjABO ~ σACO'
ABCDE бишпочмагы бирелгән. Д, В, D һәм Е түбәләре аша
үтүче кисемтәләр О ноктасында кисешсеннәр. О ноктасының
бишенче кисемтә өстендә ятканын раслау өчен, Seoc = Saoc
икәнлеген исбатлау җитә.
Болай яза алабыз:
с — с ς — с е е
°EOC ~~ °EOB' 'jEOB ' °DOB' °DOB - °DOA'
$DOA = ^АОС^ $ЕОС = ^AOC,
димәк, (CO) турысы [ДЛ] сен аның уртасыннан кисеп үтә.
22. АВ ягының уртасы К аша (СО) ягына параллель туры
үткәрегез, М һәм N — аның (ВС) һәм (ДО) белән кисешү нок¬
талары булсын. КВМ һәм KNA өчпочмаклары тигез зурлыкта,
шуңа күрә ABCD трапециясенең мәйданы MNE)C параллелограм¬
мының мәйданына, ягъни ab га тигез.
23. Дүртпочмак якларының урталары ромбның түбәләре була,
ә ромбның диагональләре — дүртпочмакның урта сызыклары.
Ромбның мәйданы дүртпочмак мәйданының яртысына тигез.
24. 5 = b±zE- .
2!
25. Камаулы турыпочмаклыкның яклары квадратның диаго¬
нальләренә параллель, шуны исбат итегез.
Җавап. V 2(a2-S).
26. ABC өчпочмагының СН биеклеген төзибез. [∕751] — АС
ягына үткәрелгән перпендикуляр, ә [НА 1] I [7?С] булсын. Ул
вакытта HBxCAx дүртпочмагын камаучы | СН\ = һ диаметрлы
әйләнә үткәрергә мөмкин. Синуслар теоремасы буенча ∣A151∣=
= AsinC. Аннан соң ВСН = АСО цкәнен исбат итегез (монда
О — ABC өчпочмагын камаучы әйләнәнең үзәге). Ул вакытта
[co]±μ1β1] һәм scλbi = 11 co ∣.μ1β1∣,
5СЛ β = — /?· һ sin С = — h∙ sin С = — · —,
-СА'В' 2 2 2sinC 2 2
ягъни
ς — -L <?
oCΛ,B1 2 ABC-
§ 9. МЕТРИК БӘЙЛӘНЕШЛӘР
1. IАВ\ = с, ∣βC∣ =α, c>α булсын. Ул вакытта С > 75°, В < 30°.
Өчпочмакның биеклеге IСС, I = һ. ны төзегез. һ„ < — < —, ягъни
I 1 I с 2 2
2hc < с икәнен искәрәбез, ә бу мәсьәләнең шартына каршы килә.
с < а бәйләнешенең мөмкин түгеллеген ачыклагыз, с = а һәм
Λ
С = 75° булып кала. ■
201
2. М ноктасы (ВС) на карата О га симметрияле. ОМВ өч¬
почмагы тигезьяклы; АОВ = 150o, BOM = 60o =⅛-АОМ = 150°,
|Д7И I = I АВ I, һәм АМВ өчпочмагы тигезьянлы, АМВ = 80°. М
һәм С нокталарыннан АВ кисемтәсе тигез почмаклар белән кү¬
ренә; димәк, АВМС дүртпочмагын камаучы әйләнә үткәреп була.
МАВ = 20°, шуңа күрә дә МСВ = 20°, ә симметрия нигезендә
ВСО = 20°, димәк, АСО = 60°.
3. АВСЕ дүртпочмагы — тигезьянлы трапеция, димәк, CED
өчпочмагы тигезьяклы:
I C£l = 2<Z, $ABCDE = ^ΛBCE + $CED’
e 3a2 ]∕r3 2∙∕o^ о 7 2∣Λo"
SABCDE 4 ∣^ a ABCDE ~^ β ∣' ^∙
6. c2 (a2 + b2) = (a2 — b2)2.
7. —.
2
8. Ml ноктасы — CD медианасының уртасы булсын (241 нче
рәсем), ул вакытта ∣β1Λ411 ≈= ∣ MlAl ∣ = -^∙, ∣ CΛ111 = ∣Λf1G∣ =
= —, монда mc = ∖CD∖. Ләкин ∣ BlMl ∣ ∙ ∣Λ41√411 = ∣ GMl ∣ ∙∣ MlC |.
6
2 m2 J j
Димәк, ∙^ = ^^∙ Ләкин m2 = -(a2 + b2)-~c2, шуңа күрә
3 2 a2 + b2 c2 , 2 a2 + b2
— с һәм С —■ "
4 2 4 2
10 ∙ (a2 + b2 — c2) (a + b) = 2ab2.
11 I ЛЛГ| _ I СЛ I ∙ I COS φ I
|МзГ I СВ I ∙ ∣cosψ∣
12. 1) Тигезьянлы (a = b). 2) Турыпочмаклы (C = 90°).
13. Μ, N, Р, Q нокталары тиңдәшле рәвештә AO, BO, DO,
ВС кисемтәләренең урталары булсын. ∕∖M1∖!QZ ∕∖M0P икәнен
исбатлагыз. MQP өчпочмагы тигезьянлы, һәм түбә янындагы
202
почмагы 60°. (Икенче чишелеше:
∣PQ∣ = ∣MQ∣ = ∣∣βC∣,∣7MP∣ =
= 1∣AD∣=≠∣PQ∣ =
= ∣Λ4Q∣ = ∣Λ1P∣.)
15. Ике өчпочмакта да поч¬
макларының биссектрисалары
биеклекләре була, өчпочмаклар
тигезьянлы һәм нигез янындагы
почмаклары конгруэнт.
16. BDC почмагына конгруэнт
булган ADM почмагы төзегез.
7I4∈[AC] (242 нче рәсем).
243 нче рәсем
ΔAMD ∞ ∆fiCZ) => LdΔLL = Ld21ι I AM I == 1-£.?!.·|ΛΖ)|,
I ВС I IDBI 1 IDBI
∕∖MDC∞ ∆ADB=½ LΔ1≤LL = U2iLL ∣ ∣ =1
I AB I IDBI 1 IDB∣
икәнен күрәбез. Ләкин ∣ AM ∣ + ∣ MC ∣ = ∣ AC ∣=≠∣ AC∣ ∙∖BD ∣ =
= ∣βC ∣∙∣ AD∣ + ∣½β∣∙∣ΩC∣.
18. I AC I = I СВ I = a, ∣ CD ∣ = d, ∣ AD ∣ = tn, J DB ∣ = n дип там¬
галыйк. [С//] I [AB] ны (∕∕∈[AB]) төзик. Ул вакытта
∖HB∖ = ∖AH∖≈^-^, ∖DH∖ = ^~^,
Турыпочмаклы АСН һәм DCH өчпочмакларыннан язабыз:
∣Ctf∣2 = α2-pψ^,
∖CH∖2≈d2- (—
\ 2 )
=½d2 = а2 — тп.
19. О — ABC өчпочмагын камаучы әйләнәнең үзәге, ә К— аңа
камаулы әйләнәнең үзәге булсын, [CM] — С почмагының биссек¬
триса кисемтәсе, монда М ноктасы камаучы әйләнә өстендә
ята (243 нче рәсем).
/\МОС өчен d2 = 7?2 — ∣C∕C∣∙∣ Λ√W∣ (18 нче мәсьәлә буенча).
∆MB да MKB = MBK== -∣ + -∣-→ I MK∖ = ∖MB∖, ләкин
I MB I = 2R sin -∣.
I C∕C∣ = —булганлыктан, d2 = R2 — 2Rr.
sin С
2
20. АВС өчпочмагын камаучы әйләнә үткәрәбез. (CC1) әйлә
нәне D ноктасында кисеп үтсен ди. Ул вакытта
203
с
∆ΛCC1 ∞ ∕∖DCB =÷ L≤≤ιl = яки
1 ICBI I CD I
I CC, I _ AC
I CB I ∣CCl∣ + ∣ClD∣ ’
∣CC112 + I CC11 .∣ C1D∣ = ∖CB ∣.∣ ΛC∣.
Ләкин ICC11 ∙ IC1DI = ∣ A Cl ∣ ∙ ∣ ClB ∣ → ∣ CCl ∣2 = ∣ CB ∣ ∙ ∣ AC ∣ -
-∣ΛC1∣.∣C1β∣.
21. (244 нче рәсем)
A
cos —
+ 2p + P
A
sin —
В A
cos — cos —
—— һәм c = r
в
sin
2
A
sin —
2
В
cos —
2
— 2p + р
В
Si" у
A
cos —
2
ләкин
A
sin —
2
A
27. A = a почмаклы
В
cos —
2 c
ре
В r
sin —
2
тигезьянлы
почмагын карагыз (245 нче рәсем),
В ноктасы аша (ДС) на перпендикулярлар төзегез.
∣5Z)∣ = ∣Z)C∣ = sin —, I AE∖ = cos (180o — α) = — cos a, ә
I CD I ∙ I СВ I = ICAI ∙ ∣ CE∣, шуңа күрә 2 sin -∣∙ ∙ sin ∣- == 1 ∙ (1 — cos a);
ДВС(|Л5| = |ДС| = 1) өч-
А ноктасы аша [ВС] нә, ә
1 — cos a
2
a
sin — =
2
үзгәрә.)
28. Косинуслар теоремасыннан һәм 27 нче мәсьәләнең чише¬
лешеннән файдаланыгыз.
30. 29 нчы мәсьәләдәге үзара бәйләнешләрне файдаланыгыз.
31. S = pr, г = (р — α)tgy бәйләнешләрен, өчпочмак мәйда¬
нын исәпләү өчен Герон формуласын файдаланыгыз (р — ярым-
периметр, г — өчпочмакка камаулы түгәрәк радиусы).
90° өчен нәтиҗәнең рәвеше бераз
с = р
2
2
2
204
с
246 нчы рәсем
33. 1. 29 нчы мәсьәләнең 1) бәйләнешен файдаланыгыз.
с = 2/? sin C, a = 2RsinA, b = 2RsinB дип алыштырыгыз.
2. 33 нче мәсьәләнең 1) бәйләнешен бирелгән өчпочмакка
камаулы әйләнәнең орыну нокталары түбәләре булып хезмәт
иткән өчпочмак өчен кулланыгыз (246 нчы рәсем, а).
3. 33 нче мәсьәләнең 1) бәйләнешен бирелгән өчпочмак биек-
лекләренең нигезләре түбәләре булып хезмәт иткән өчпочмак
өчен кулланыгыз (246 нчы рәсем, б).
36. tgΛ∙tgB = 2 тигезлегеннән А һәм В почмакларының кы¬
сынкы икәнлеге килеп чыга. Н — биеклекләрнең кисешү ноктасы,
ә C1 - АВ ягына үткәрелгән биеклекнең нигезе булсын. Ул
вакытта
∣HC1∣ = ∣ΛC1∣ctgβ = ∣ΛC∣cosΛ⅞4 = ∣∣ΛC∣sinΛ = l^.
XX £
§ 10ЛНОКТАЛАРНЫҢ КҮПЛЕКЛӘРЕ
Түбәндә китерелгән кыскача чишелешләрдә кире раслама¬
ның исбатлавы күп кенә очракларда төшереп калдырыла.
1. Үзәге АВ кисемтәсенең уртасында һәм коэффициенты
у булган
бирелгән гомотетиядә табылган әйләнә, ике нокта¬
сыннан башка.
2. ABC өчпочмагының АС ягына параллель MN урта сызы¬
гы, очларыннан башка.
3. ABC өчпочмагының урта сызыклары белән билгеләнгән
өчпочмак (чигеннән башка).
4. АВ һәм CD турыларының кисешү ноктасы1 аша үтүче ике
туры, кисешү ноктасыннан башка.
5. [ДВ] сен диаметр итеп алып төзелгән ачык түгәрәкнеке
булмаган (булган) яссылык нокталары; АВ турысы нокталары
бу күплеккә керми.
6. ABCD квадраты түбәләренең координаталары (а, а), (а,
—а), (—а, —а), (—а, а) булган турыпочмаклы координаталар
205
системасы кертәбез. Р(х, у) ноктасыннан АВ һәм CD турыла¬
рына кадәрге ераклыкларның квадратлары суммасы (х — α)2 +
+ (х + α)2 = 2(x2 + α2) ка тигез, ә (£С)'5һәм (AD) ларына кадәр
ераклыкларның квадратлары суммасы (у—<z)2÷(y + α)2 = 2(y2÷α2)
ка тигез. Табабыз: 2 (y2 + α2) = 2 (x2 + α2), моннан х4 —у2 —0,
яки (х — у) (х + у) = 0. АС һәм BD турыларының пары эзләнел-
гән М күплеге була.
7. Түбәләре бирелгән турылар өстендә яткан һәм ягының
озынлыгы с Ϋ 2 булган квадрат.
8. ABC өчпочмагының АВ нигезенә параллель булган Λ1Ν
урта сызыгы (аның очларыннан башка).
9. Бирелгән әйләнәнең үзәген О аша, радиусын /?, ә камау-
лы ABC өчпочмагының биеклекләре кисешү ноктасын Н аша
тамгалыйк. ABC өчпочмагының АВ ягы билгеләнгән булсын.
АНВ = 180° — АСВ икәнен табабыз, шуңа күрә С түбәсе үзгә¬
решле булганда Н ноктасы АВ га карата бирелгән әйләнәгә
симметрик булган әйләнә сыза. Бирелгән әйләнәне кисүче R
радиуслы барлык шундый әйләнәләр радиусы 37? һәм үзәге О
булган түгәрәк эчендә яталар.
10. OPCQ дүртпочмагын камаучы R радиуслы әйләнә үткә¬
рәбез. Синуслар теоремасы [буенча 2R = - -const, өстә-
sin (АОВ)
венә ∙ I ОС I = 2R. Эзләнелгән М күплеге Ю үзәкле һәм
sin (АО В)
радиуслы әйләнә белән АОВ почмагының уртак кисәге була.
11. Әгәр C1Z)1 — икенче бер кисүче булып, P1 ноктасы
[C1Z)l] сен бирелгән k чагыштырмасында бүлсә, BCD һәм BCxDx
өчпочмакларының охшашлыгыннан һәм ]CP∣: ∣PZ>∣ = ∣C1Pl |:
: I PlDi I тигезлегеннән бу өчпочмаклар белән билгеләнгән ох¬
шашлыкта P→Pl икәне килеп чыга, шуңа күрә СРВ = CxPxB.
Моннан Р нокталарының М күплеге А һәм В нокталары аша
үтүче, радиусы k га бәйле булган әйләнә икәнлеге килеп чыга.
12. PC — APB почмагының биссектрисасы, C∈[Λfi] булсын
(247 нче рәсем), ∣ BP ∣ = a, | АР ∣ = ka, ∣ PC | — /, РСВ = α, | СВ | =с
дип тамгалыйк. Ул вакытта ∖AC∖ = kc, ә косинуслар теоремасы
буенча АРВ өчпочмагыннан:
247 нче рәсем
^ (k + l)2c2 + a2- ⅛2a2
2 (⅛ + 1) ас
= (⅛+ 1) с2—(⅛-l)a2
2а с
ны табабыз. Шул ук теорема
буенча &РВС дан: ∕2 = α2+c2-
— 2ac cos В = k (с? — с2). Ләкин
206
∖ c2 + l2-a2 I Ike
cosα , моннан ,
∖ 2/c cos α k — 1
∖ kc
ягъни\ I = i2R cos α, монда R = ,
∖ k-∖
k > 1. Димәк, P ноктасы радиусы R
булган, узәге О АВ турысында яткан
һәм С нотасы аша үтүче әйләнә өстен¬
дә ята.
13. АВ хордасының, аңа перпенди¬
куляр диаметрның һәм әйләнәнең АОВ
дугасы берләшмәсе, монда О — бирел¬
гән әйләнәнең үзәге (248 нче рәсем).
14. Мәсьәләнең шартыннан түбәндәге
тигезлек килеп чыга:
∣PΛ∣.∣BC∣ + |Р5|-|ДС| = |РС|-|ЛВ|.
Птолемей теоремасына кире теорема буенча ВСАР — диагональ¬
ләре АВ һәм PC булган камаулы дүртпочмак (§ 9 дан 16 нчы
мәсьәләне кара). Шуңа күрә ABC өчпочмагын камаучы әйләнә¬
нең АВ дугасы эзләнелә торган нокталар күплеге була.
15. Квадрат түбәләренең координаталары (а, а), (—а, а),
(а, —а), (—а, —а) булган турыпочмаклы координаталар систе¬
масын кертәбез. Ул вакытта (х, у) ноктасыннан квадратның як¬
ларына кадәр ераклыкларның квадратлары суммасы:
(a + x)2 + (a — x)2 + (α + y)2 + (a — y)2 = c2 = const.
Моннан х2 + у2 = — 2α2 = R2, димәк, М — квадрат белән c>2α
шарты үтәлгәндә, үзәге квадрат үзәгендә булган R радиуслы
әйләнәнең кисешмәсе була.
16. Әгәр О — /\АВС га камаулы әйләнәнең үзәге булса,
ДОТ? = 90o + . Шуңа күрә М күплеге ике әйләнәнең ике дуга¬
сыннан тора.
17. 10 нчы мәсьәләне карагыз.
18. В ноктасын А ноктасына ча¬
гылдыручы, үзәге Q булган охшаш¬
лыкны карагыз (249 нчы рәсем). Бу
охшашлык Р ноктасын N ноктасына
чагылдыра. Әлеге охшашлыкның бору
почмагы φ BQA почмагына тигез.
Ләкин ВР һәм AN арасындагы поч¬
мак шулай ук φ гә тигез. Димәк, Q
ноктасы ABC әйләнәсендә ята.
19. Бирелгән әйләнәгә А һәм В
нокталарындагы орынмаларны (КА)
һәм (Ζ,β) аша тамгалыйк (250 нче рә¬
сем). Ә (АК) һәм (LB) на тиңдәшле
207
рәвештә А һәм В нокталарында орынучы һәм Р ноктасы аша
үтүче r1 һәм r2 радиуслы әйләнәләрнең икенче кисешү ноктасын
∕Vaιua тамгалыйк. Ул вакытта PNA = РАК, ә РКВ = PBL = РАК.
Шулай булгач, ANB = 2 ABL, ягъни М әйләнә була. Бу вакыт¬
та 2rl = ■, 2ri^=—', моннан — = ■ . (Әйләнәдән
sin ANP sin PNB r* ∣РВ1
өч ноктаны чыгарып ташларга кирәк.)
20. О, А, В, С, Р нокталары [ОР] диаметрлы әйләнә өстен¬
дә яталар (251 нче рәсем). Моннан BCA = (a, b), ABC = (а, с),
ВАС = (b, с). ∕∖ABC ның билгеләнгән почмаклары һәм бирелгән
мәйданы булганлыктан, ул билгеләнгән өчпочмакка конгруэнт.
Шуңа күрә аны камаучы әйләнәнең билгеләнгән d диаметры
була, өстәвенә ∖OP∖-=d. Шулай итеп, М— үзәге О ноктасында
булган d радиуслы әйләнә.
21. АСР әйләнәсен ω1, ВСР ны ω2 аша тамгалыйк (252 нче
рәсем). (КР) — ω1 әйләнәсенә орынма, ә (LP) — ω2 әйләнәсенә
орынма һәм KPL почмагы даими булсын. Ул вакытта ACP=APK,
ВСР = BPL, шуңа күрә APB = АРК ÷ KPL + LPB = АСР ÷
+ РСВ + KPL — АСВ + KPL = const, ягъни М, А һәм В ноктала¬
ры булмаган әйләнә була.
22. АВ хордасы бирелгән. Параллель АС һәм BD хордалары
алыйк. Р һәм Q аларның урталары булсын (253 нче рәсем). Ул
вакытта [АС] нә параллель һәм
[АВ] сен кисеп үтүче барлык хор¬
даларның урталары күплеге әйләнә
үзәге О аша үтүче PQ кисемтәсе
була. Әгәр АС турылары бәйләм
төзиләр ' икән, PQ турылары да
төзиләр, шул ук вакытта АРО һәм
OQB почмаклары һәрвакыт туры.
Димәк, Л4 күплеге — бирелгән тү¬
гәрәкләрдән үзәкләре А һәм В,
коэффициентлары булган гомо-
тетияләр белән табылган түгәрәк¬
ләр күплеге була (бу түгәрәкләрнең кисешү нокталары бу күп¬
леккә керми).
23. ВС һәм АВ турыларыннан тигез ераклыкта — P∈(АС) нок¬
тасы, АС һәм АВ турыларыннан тигез ераклыкта Q ноктасы ала¬
быз. Ул вакытта (PQ) — эзләнелгән туры. Чыннан да, 5∈(PQ),
∣PS∣ = Λ һәм S ноктасыннан (АС), (ВС) һәм (АВ) ларына кадәр
ераклыклар тиңдәшле рәвештә A1, h2, һ3 кә тигез, ә Р һәм Q
нокталарыннан (АВ) на кадәр ераклыклар һ0 һәм Но гә тигез
булсын. Ул вакытта A1 = Asinφ1, h2 = (∣ PQ | — һ) sin φ2, Λ3 = A0+
+ һ sin φ3, монда φ1 = QPC, <p2 = PQC, φ3 = ((PQ), (АВ)). Таба¬
быз: Λ1 + һ2 — һ3 = һ (sin φ1 — sin φ2 — sin φ3) + I PQ I sin φ2 — h0,
h = h0 һәм A = ∣PQ∣ булганда табабыз: A1 + h2 + h3 = 0, моннан
sin φ1 — sin φ2 — sin φ3 = 0 һәм ∣ PQ ∣ sin φ2 — h0 = 0. Шуңа күрә
S ∈ I PQ I булганда A1 ÷ h2 — h3 = 0.
24. C ноктасы (AB) ның әйләнә белән икенче кисешү нокта¬
сы булсын (254 нче рәсем). ∣PΓ∣2 = ∣PA ∣∙∣PC∣ булганга, ∣PB∣=
= I PC |, шуңа күрә РСВ = СВР һәм, димәк, APB = 2АСВ — π =
= const. Шулай итеп, {М} — бирелгән әйләнәнең тышында ур¬
нашкан АВ хордасына таянган әйләнә дугасы белән башлары
АВ турысының А һәм В нокталарында булган, бирелгән әйлә¬
нәнең тышында урнашкан ике нурның берләшмәсе була.
§ 11. ТИГЕЗСЕЗЛЕКЛӘР
1. Өчпочмакны параллелограммга тутырыгыз.
2. ӘгәрА=В булса, ∣CΛf∣ = ∣CZ,∣.
Λ Λ Λ Λ Λ
A < В → 2g⅜-- > λ + b + c = 90o
2 2
булсын, ләкин MLC = В + у- ■=> MLC > 90o һәм ∣ CM ∣ > ∣ CL ∣.
3. (CD0) I (CD) һәм DDq — диаметр булсын. Ул вакытта
I CD ∣2 + ICD012 — I DDq ∣2. Әгәр M = (AB) ∩ (CD) әйләнәнең
14 y-B2 209
255 нче рәсем
тышында ятса, ∣ AB ∣ <∣ CD0|, әгәр эчен¬
дә ятса, I AB I > ICD0|. Югарыда языл¬
ган тигезлекне искә алып, / таләп
ителгән нәтиҗәне табабыз. /
4. MN кисемтәсенең CD турысы¬
на проекциясе озынлыгы [√W1∕V1] нең
CD кисемтәсе озынлыгыннан зуррак
булуын күрсәтергә.
5. (α÷∕>)2≤2(α2 + ⅛2), ⅛-⅛<2
a2 + b2
икәнен искәрәбез. Турыпочмаклы ABC өчпочмагының катетлары
озынлыгын а һәм b дип, гипотенуза озынлыгын с дип тамгалыйк,
b л
А = а, ул вакытта — = cosα, — = si∏α, шулай булгач, si∏α-h
+ COS a = < У 2.
С
6. I AM I = b0, I ASI = a, ∣ MBa ∣, — a0, ∣ QB ∣ = b дип тамгалыйк,
монда (AM) II (OQ), (MB) ∣∣ (OS), A ∈[O5), β∈[OQ) (255 нче рә¬
сем). ∕∖ASM(X) ∕∖MBQ, шуңа күрә — = —, яки ab = a0b0 була.
b0 b
Аннан соң Sosq = Soamb + (ab + a0b) sin a. Ләкин ab0 + a0b >
> У2aba0b0 = 2a0b0, шуның белән бергә ab0 = a0b булганда гына
тигезлеккә ирешелә. Беренче тигезлек белән чагыштырып карап,
a = a0 пе табабыз. Шулай итеп, ∖OA | = ∣AS∣ булганда, ∆OSQ
ның мәйданы минималь була, ягъни М — SQ кисемтәсенең ур¬
тасы.
7. m2 (±)2 + i,^^ + b2 m2 fL)2 + a2^a2 + -,
a∖2] 4 b ∖2j 4
m2 ^f~ b2
a 4 1 I4a2 +16∕>2∖ ma . 1
— = = — I 1 > —, яки — > —.
rrii b2 4 ∖ 4a2 + b2 J 4 Шһ 2
b a2 + - b
4
Аналогик рәвештә — > —.
8. ABC һәм BCCx өчпочмакларыннан косинуслар теоремасы
буенча табабыз (монда [CC1] — С почмагының биссектрисасы):
cos ABC
a2 + c2- b2
2ас
моннан l2c -■= I CCl |2 = ү— ((a + b)2 — с2). Аналогия буенча
ξ — ((ά + c)2 _ a2) р + c)2 _ fc2).
a (⅛ + c)2 u ’ b (a + c)2 u , '
210
Кунфбыз:
\ η , /? , η Пл c ∖ 2ab , ∕1 b ∖ 2ac ,
∖l2n + ιh+∏ = Ρ 1 Η1 ь
b Ц a + bja + b ∖ a + с) a + с
, Л ∖ a ∖ 2bc ∖ a + b + с 2ab . a + b 2bc . Һ + с
∖ b∙A-cJb + cl 2 а + Ь 2 Ь + с 2
2ас а + с , e,
≤ икәнлеген искә алып, табабыз:
a + с 2
∕2 + ξ + l2c> ((a + Ь — с) + (а + с — b) + (b ÷ с + а)) = р2.
9. Табабыз: S = гр, монда S— өчпочмакның мәйданы. Герои
формуласы буенча S2 = р (р — а) (р — Ь) (р — с). Моннан
r2= (p-a)(p-b)(p-c) дәкин өч санның арифметик уртасы
р
үзлеге буенча (р — a) (p—b) (р—с) < —2L±_L^__*L±_L^—Ξλj3 =
Р3 2 P2 P ГТ о P2
= —. Моннан г < —, яки г <—-—. Димәк, S = гр .
.27 27 3 ∕3^ 3/3
Ю. Герон формуласы буенча S2 р (р — a) (р — b)(p — с) =
= fl^a2 - Аннан соң a2 > a2 — (b — c)2 = (а+с — b)∙(a + b-c)=
= 4(p — b)(p — с). Моннан ҺА = 4p^p—βlLp-Jllp—£1 ≤
<Vp(p-a).
11. 8 нче мәсьәлә буенча табабыз: l2a = — — ((b + с)2 — а)2 =
= J⅛L..lL+Ξ±Jg)-.⅛c~a> =_^р(р_а). ләкин 4bc<,
(Ь+с)2 2 2 (һ+с)2'
< (b + с)2. Шуңа күрә l2 <р(р — а).
л Ь л
12. Синуслар теоремасы буенча табабыз: slnθ = —sinΛ.
а
л cb λ a
Аннан соң ha = с sin В = — sin A, A⅛ = cslnA, моннан a + ha —
а
A A d fj Λ
— b — hb = a -∖ sin A — b — c sin A = (a — c sin A) =
a a
— i⅛ (β _ flb) Qt чөнки a > b, a> hb.
a
13. 5= ⅛∣1-n g. ≤ fe-t монда р. — ABC өчпочмагының [АД] һәм
[AC] яклары арасындагы почмак һәм ∣ AB | = с, | АС| = Ь. Ләк ин
, ^b2 +С2 ... c . b2+c2
be ≤ —. Шуңа күрә S< —-— .
Λ А
14. А һәм В почмаклары кысынкы. Әгәр А = 90 — В булса,
А А А Л
tgA — ctgβ. Әгәр А > 90 — В, ягъни ABC өчпочмагы кысынкы-
14*
211
в
256 нчы рәсем
АЛ л
почмаклы булса, tgA>ctgB, яки tgA ×
×tgβ>l. Әгәр инде A < 90° — В, ягъни
ABC өчпочмагы җәенкепочмаклы булса,
ЛА АЛ
tgA<ctg5, яки tgA-tgZ? < 1 була.
15. ∆Afi1C1 тигезьянлы (256 нчы рәсем)
һәм β1AC1 = A, B1, C1∈(5C) булсын. Ти¬
гезьянлы ∆ACC2 төзибез. Ул вакытта
[Aβ1] — Л ABC2 дә биссектриса. BBxA > 90°
булганлыктан, 2 нче мәсьәлә буенча
I BBl I > I BlC21, моннан a = ∣ BC∖ > ∣ BlCl |
була. Ләкин ∣BlCl∣ = 2∕ιatg-γ, шуңа күрә
Л АЛ Т
α> 2Λatg-. Әгәр инде Cl = C икән, a = 2haig- була.
16. I AB I = с, I AC I = b, ∖BC∖ = a дип тамгалыйк. /\АВС ның
мәйданы S = — = (a + ⅛ + с) . r ra τιιre3j Моннан г= ——.
2 2 a + Ь + с
Аннан тыш, = А R + r = -+ Δ = g2 =
2 a + b + с 2 2(α + ⅛ + c)
_ 2⅛α + be + ас + a2 + b2 (a + ⅛)2 + с (a + Ь) a + b γ∕ZS
A
2
2 (a + b + с) 2 (и + b + с) 2
17. А почмагының биссектрисасы [AA1] булган ∆AA1C дан
табабыз:
I AC I = b, ∣ A1C∣ = , I AA11 = la = KH(⅛ + O2-a2)
Ь + с b + с
(8 нче мәсьәләне кара). “Монда a = ∣BC∣, c = ∣Aβ∣. Синуслар
- la 1 AlC I
теоремасы буенча —3-^ = —.
sin С sin A
. A sinC∙∣ A1CI ab sin C 2S
sin — = ;—i == — = —,
2 (,b + c) la ∣∕rbc ((fr+ c)2 — a2)
монда S — ∕∖ABC ның [мәйданы. Герон формуласын кулланып,
, - . A l1∕a2 — (Ь — c)2 a . , A .
табабыз: sin — = — I/ 2 -≤ . Аннан соң 6 sin—<
2 2 V be 2Wc 2
д& Д « ^
< I CA, I = , яки sin — ≤ . Аналогия буенча sin — ≤
1 b + c 2 b + c j 2
A AAA
h ■ C . C .. s A , В . C
< , sin — < . Моннан sin — sin—sin—≤
a + c 2 a + b 2 2 2
212
abc abc <,
(a+b) (b+c) (c+a) c (a2 + b2) + b (α2⅛c2) + a (b2 + c2)+2abc "'
abc _1_
''' c (2ab) + b (2ac) + a (2bc) + 2abc 8
18. a>b>c дип фараз итик, монда α = ∣BC∣, b = ∣AC∣,
c = ∣A∕3∣. 17 иче мәсьәлә формулаларын файдаланып, табабыз:
. 22Λ . . 2 В . . 2 с 3
sin2— + sin2-+ sin ---
£ £ 4, t
a2-(b- c)2 + ⅛2- (д — c)2 +
4bc 4ac
, c2-(a-b)2 3 a (a2— (b—c)2)+b(⅛2- (c—a)2)+c(c2- (a—b)2)-3abc
-∣
4cb 4 4abc
a3 + b3 + c3 + 3abc — a (b2 + c2) — b (д2 + c2) — с (д2 + b2)
4abc
(a —b)2 (a + b — c) + c (a — C) (b — c) > θ
4abc
. I O∖ c* — a-ι — ⅛2 n
cos (α + β) = — ≥ 0.
2ab
Тригонометриянең төп бердәйлегеннән табабыз:
cos2—+ cos2—÷cos2-< . Ләкин s(cos2- + cos2 — + cos2-''j >
2 2 24 ∖ 2 2 2/
(Λ Λ Λ ∖2
A , В , С \
cos Η cos Η cos — .
2 2 2 /
Λ Λ Λ r-
.. Α , в , с’ зКз
Моннан cos Η cos F cos — ≤ —-—.
2 2 2 2
Λ Λ
19. 45o — — = α, 45o — — = β, 45° —— = γ дип тамгалыйк.
4 4 ⅛4
a + β + ϊ — θθ°» Τ = 90° — (α + β) булуы билгеле. Λ1 -= a, β1 == β,
∣½1β1∣- с, I β1C11 = a, I ClAl ∣ = b булган ∕∖AγBxCx ын карыйк
(257 нче рәсем). Әгәр S~∕∖AxBxCx ның мәйданы булса,
25 2S
si∏a = -, sinβ = —. Аннан тыш, косинуслар теоремасы буенча
Ьс ас
, . с2 — а2—b2 , n
COS (a + β) = — ≥ 0.
2ab
Герон формуласын файдаланып, та¬
бабыз: Sin a Sin β sin γ =
= — — sin a sin β Sin (90° — (a + β)) =
= -— sin a sin β cos (a + β) = — —
8 8
257 нче рәсем
213
4S2 (с2 —д2—⅜2)
2fl¾2c2
fl2⅛2C2 — (c2 - fl2 — ⅛2) ((a + ⅛)2 — c2) (c2 — (fl — ⅜)2)
8α2⅛2c2
(c2 _ a2 - bi) ((a + b)2 - c2) ≤ ^2-a2-⅛2 + (a + ⅛)2-c2 у = a2b2
булганлыктан, табабыз:
fl⅜2c2 — (c2 — а2 — ⅛2) ((a + b)2 — ci,) (c2 — (a2 — ⅜)2) >
8abc
> a2b2c2 — fl2⅛2 (c2 — (fl — ⅛)2) _ (a — b)2 > θ
-" 8a2b2c2 ~ 8c2 "^
20. Косинуслар теоремасы буенча i∖ABC нан табабыз: cos Ά=
b2 + c2-a2 ^ a2 + c2-b2 A a2 + b2-c2 .
— , cos В = , cos C = , монда a, b, c
2bc 2ca 2ab
∆ABC ның яклары озынлыгы, с < b < a дип уйлыйк. Табабыз:
1 л о A a2b2c2-(b2 + c2-a2)(a2 + с2 — ⅛2)(a2 + b2 — c2)
cos A cos В cos С = ———-—— ——— ———
8 8a2b2c2
(а2 — ⅛2) (fl2 + b2- c2) + c2 (а2 — c2) (⅛2 — с2)
8λ2⅛⅜2
0.
(a2 — ά2)2 (a2 + b2 — c2) + c2 (а2 — c2) (62 — с2) > 0 тигезсезлеген:
c2 (a2 + b2 — c2) + b2 (a2 + c2 — b2)2 + a2 (c2 + b2 — a2)2 > 3a2b2c2 рә¬
вешендә язарга мөмкин, моннан
259 нчы рәсем
(fl2+⅛2-с2)2 (я2 + c2 — b2y l (c2+⅛2-fl2)2 =
4a2b2 4a2c2 4b2c2 ~~
-- cos2Λ + cos2 В + cos2 С > —
4
21. Әгәр тригонометриянең төп бер¬
дәйлеген исәпкә алсаң, тигезсезлек
20 нче мәсьәләнең соңгы тигезсезлеген¬
нән килеп чыга.
22. CAB' = А һәм B, (ВС) булган
∆AB'C ын төзибез (258 нче рәсем).
[ДС] — BAB, почмагының биссектриса¬
сы, a = I ВС |, b = I AC ∣, c = ∖AB∖,
a, = I В'С |, c' = I AB' | булсын. ∕∖ABB, ның
биссектрисасы үзлеге буенча табабыз:
— = —, яки a + a = Аннан соң b2=
с' с с + с' с
мәсьәләне кара). Моннан c' = -a ,
214
a' ~ . h a . Табабыз: cos 2 A =
C2—a2
c2 +c'2— (a + a,)2 £ S' b2 + c2 — a2 ∖
2cc, ∖ 2⅛c )
—-l=2cos A —1. Аналогия буенча
cos 2B = 2 cos2 В — 1, cos 2C =
= 2cos2C-1. Ләкин cos2A + cos2B +
о ^ 3 λ λ
+ cos С моннан cos 2A÷cos 2B +
4
I о A ~ θ о з
+ cos 2C≥ 3 = .
4 2
23. ∣OA∣ = α, ∣OD∣ = 6, ∣ ОС ∣ = с,
∖OB∖ = d, ∖BD∖ = e, ∖ AC ∖ = f, ∖ AB ∖ =
= h дип тамгалыйк (259 нчы рәсем).
Монда О — AD һәм ВС турылары¬
ның кисешү ноктасы. ∆AOC∞∕∖,BOD
л с
булганга күрә, —. Кисүчеләр үзлеге буенча ab = cd. Моннан
a = с, b = d. <∕BOD — туры почмак, шуңа күрә Пифагор теоре¬
масы буенча е2 = 2d2. Аналогик рәвештә f2 = 2а2. Шулай итеп,
e2 + ∕2 = 2 (α2 + d2) = 2/г2 яки h2 = ^+^->ef, ягъни ∣ AB |2 >
>∖AC∖-∖BD∖.
∩2
2Д. 9 нчы мәсьәлә буенча табабыз: 5 <монда р =
3/3
д + ⅛ + с Дэкин (α + Ь + с)2 < 3 (α2 + b2 + с2). Моннан S<
гд2 + b2 + с2
4/3
25. А, В, С нокталары аша әйләнә үткәрәбез һәм аның (AD),
(BD) һәм (CD) турылары белән кисешү нокталарын A1, Bl, Ct
аша тамгалыйбыз (260 нчы рәсем). Охшаш өчпочмаклар килеп
чыга: ∆ABD<x> ∆AlBlD, ∕∖BCDс\эB,C,D, Δ,ACD(X> ∆A∣ClZλ Бу
өчпочмакларның охшашлыгыннан табабыз:
∣Λ1β1ι
MS∣
∣B,D∣
∖DC∖ l
M1β1 1
r∣ AB ∣∙∣ DC∖
∣B1O∣
MD∣ ’
∣B1C1∣
IBCl’
1 B,c, 1
MB>I∙∣BC∣
M1C1∣ _
МС|
1 DC, 1
-∣BZ>∣
M1C11
_ MC∣∙∣BO∣
∣OC1∣
М£>| ’
1 B1C11
IBCl’
1B1C11
MΛ∣.∣BC∣
IΛ1B11 + 1A1C11
MB∣∙∣CD∣ + MC∣∙∣BD∣
1 B1C11
∣B1C1∣
MO∣∙∣BC
1
∣B1C1∣
Бирелгән нокталарны башкача урнаштырганда чишелешнең
рәвеше үзгәрә.
КУШЫМТА
1. ВЕКТОРНЫҢ КООРДИНАТАЛАРЫ
1. Яссылыкта коллинеар булмаган el һәм е2 векторларын
сайлап алыйк. Бу векторларның икесе дә нуль-вектор түгел.
>- -*■
Аларны ниндидер О ноктасыннан башлап салабыз: OEx = ех,
>- —► →
OE2 — e2. a — ирекле вектор булсын. Аны О ноктасыннан үлчәп
>■
салгач, А ноктасын табабыз: О A = a. А ноктасы аша, OEx һәм
OE2 турыларына параллель итеп, (OE2) һәм (OA1) не A2, Ax нок¬
таларында кисүче турылар үткәрик (261 нче рәсем). Векторларны
һ ►·
кушу кагыйдәсеннән: OA = OAx + OA2 тигезлеге килеп чыга.
>■ —*■
Ләкин OAx векторы ех векторына коллинеар. Шуңа күрә
■——* >- —►
OAx = aex. Аналогик рәвештә OA2 = βe2 дип язарга мөмкин.
Шулай итеп,
→ Γ~, -* ■' ’ —*
a = αe1 + βe2 (1)
тигезлеге дөрес була.
rιji→
а векторын коллинеар булмаган ех һәм е2 векторларының
a Һәм β саннарына тапкырчыгышлары суммасы рәвешендә күр¬
сәтүне а векторын шул векторлар буенча таркату дип атыйлар.
Бирелгән ех һәм е2 векторларын базис векторлар яки координата
векторлары, ә a Һәм β саннарын а векторының (ex; e2) бази¬
сындагы координаталары дип атыйлар.
Шулай итеп, яссылыкның һәр векторы бирелгән базиста
таркатыла, ә бу таркату векторның координаталарын бирә.
Мондый таркатуның бердзнбер булуын, ягъни a = a'^1 + β'^2
тигезлегеннән (1) шарты үтәлгәндә a' = a, β' = β килеп чыгуын
исбат итик.
Чыннан да, әгәр a = a'ex + φ'e2 = ae1 + βe2 булса, векторлар
өстендә гамәлләрнең төп үзлекләреннән файдаланып, (a' — a)e1 +
+ (β' — β) e2 = 0 дип язарга мөмкин. Әгәр табылган тигезләмәдәге
коэффициентларның берсе генә нульгә тигез булмаса да, ех һәм
216
e2 векторларының берсе икенчесеннән тапкырлаучысы белән
аерылып торачак, мәсәлән е2 =
β'-√
β' — β ≠ 0. Ләкин
мондый очракта е2 векторы е{ векторына коллинеар була, ә бу
векторларны сайлауга каршы килә. Димәк, β' — β ≠ 0 каршылык¬
ка китерә. Шул рәвешле α' — α ≠ 0 шарты да каршылыкка ки¬
терә. a' = a, β' = β очрагы гына кала, шуның белән таркатуның
бердәнберлеге исбатлана да.
(1) тигезлеге буенча a Һәм β
саннарының һәр пары (el; е2)
базисларына карата векторларны
беркыйммәтле бирүен, ягъни пар
санның бирелгән базиска карата
билгеле бер векторның коорди-
наталары булып хезмәт итүен
искәртеп китәргә кирәк. (1) уры¬
нына кыскарак: a~= (a; β) язы- 261 нче рәсем
лышын, яки, әгәр барлык век¬
торлар беркыйммәтле базис белән каралсалар, тагын да кыска¬
рак a = (a; β) язылышын кулланырбыз.
2. Координаталарда векторларны кушу һәм векторны санга
тапкырлау операцияләрен карап үтик.
pa + qb векторының координаталарын а һәм b векторларының
координаталары һәм бирелгән р һәм q саннары аша исәплик.
a = (xl; y1), b = (x2∖y2) булсын. Ул вакытта pa = p(x1e1 +
+ У^г). Qb = q (x2e1 + y2e2), pa + qb = (∕υc1 + 7x2) el+(pyl + qy2) e2.
Шулай итеп,
pa + qb = (pxl + qx2 ; pyi + qy2). (2)
Әгәр p= 1, q == ± 1 булса, (2) тигезлегеннән
a ± b = (x1 ± x2, y1 + y2)
килеп чыга.
Ике вектор суммасының (аермасының) координаталары
бирелгән векторларның бер исемдәге координаталары сумма¬
сына (аермасына) тигез була.
Инде әгәр 7 = 0 булса, (2) дән pa = (pxλ; qyl) килеп чыга.
Векторның санга тапкырчыгышы координаталары бу век¬
торның бер исемдәге координаталарының бирелгән санга
тапкырчыгышына тигез була.
217
Искәрмә. Тагы да гомумирәк формуланың дөреслеген
күрсәтергә мөмкин:
Α«ι + A<⅞ + - + Pnan = (p1x1 + p2x2 + ... + ρnxn∙,
Plyl + Р2У2 + - + Pnyn), (3)
монда σ1 = (x1; y1), a2 = (х2; y2), , а„ = (х„ ; yπ), pl,
Р2 > ··· > Рп — ирекле саннар.
II. НОКТАНЫҢ КООРДИНАТАЛАРЫ
1. Яссылыкта ниндидер О ноктасын сайлап алыйк һәм шул
ноктадан башлап коллинеар булмаган el һәм е2 векторларын
салыйк. Әгәр А — яссылыкта ирекле рәвештә алынган нокта
булса, О A = xel + ye2, монда х һәм у — О А векторының (ei; e2)
базисындагы координаталары.
Шулай итеп, без А ноктасына ике координата —х абсциссасын
—>·
һәм у ординатын язабыз, алар ОА векторының мәңгелеккә
билгеләнгән О ноктасына карата беренче һәм икенче координа¬
талары белән туры киләләр. Бу ноктаны координаталар баш¬
лангычы, ә OEl һәм OE2 юнәлешле турыларын координата
■—>■ → —>- —►
күчәрләре дип атыйлар, монда OEγ = e1, OE2 = е2.
О ноктасы белән базис векторлары ех һәм е2 яссылыкта
нокталар өчен гомуми Декартча координаталар системасын
бирәләр.
Аерым очракта, ∣tf1∣ = ∣e2∣ = l, (e6 e2) = 90° булганда, коор¬
динаталар системасы Декартча турыпочмаклы координаталар
системасы дип атала.
Әгәр А ноктасының координаталары х һәм у булса, болай
язалар: А (х; у).
2. Өч ноктаның бер туры өстендә яту шартын табу һәм
нокталарның берсе очлары башка ике ноктада яткан кисемтәне
бүлү чагыштырмасын исәпләү өчен, нокталарның координатала-
рын файдаланыйк.
Бер туры өстендә яткан өч нокта: A (x1∙, y1), В (х2; у2),
С(х3; Уз) ны карап үтик. Табабыз:
AC = OC-OA = (x3-x1∙, y3-y1),
СВ = ОВ — ОС = (x2 — х3; у2 —Уз)·
Ләкин AC = kCB. Шуңа күрә
(x3 - xl = k (x2 - x3),
1Уз-У1 = ^(У2-Уз)
системасын табабыз.
218
Бу системаның k га карата бергәлеге өч ноктаның бер туры
өстендә ятуы өчен кирәкле һәм җитәрлек шарт була.
(4) системасы урынына кайчагында, x2 — x3 ≠ 0 һәм y2 — y3 ≠ 0
дип шарт куеп, пропорция язалар:
*3 —*1 = Уз —У1 ¢5)
*2 — хз Уз —Уз
AC = kCB тигезлегеннән
ОС-ОА = k(OB-δC)
килеп чыга.
Моннан, А һәм В нокталарын һәм k санын белгәндә, ОС
векторын исәпләп була:
ос = Qλ±-*-Q⅞ (6)
1 -⅛∙ k
яки координаталары аша язганда:
xi + ⅛‰ у, + ky2 ,7.
x^~Γ^Γ' Уз Γ∏Γ, 10
Аерым очракта, k — 1 булганда С ноктасы АВ кисемтәсенең
уртасы белән тәңгәл килә. Шуңа күрә АВ кисемтәсе уртасының
координаталары x0, у0
v _ xi + Уз _ У1 + Уз
Х°~~ —’ Уо-^—
формулалары буенча исәпләнәләр.
III. ЯССЫЛЫКЛАР ОХШАШЛЫГЫ
Охшаш үзгәртү төшенчәсен искә төшерик.
Теләсә нинди А һәм В нокталары һәм аларның образлары
A1 һәм Bl өчен ∣A1β1∣ = ⅛∣Aβ∣ тигезлеге үтәлерлек итеп,
яссылыкның үзенә чагылдырылуы, монда k — уңай сан, яссы¬
лыкны охшашлык коэффициенты k белән охшаш үзгәртү дип
атала.
Әгәр k = 1 булса, охшашлык күчешкә әверелә.
Алга таба, охшашлык турында сөйләгәндә, күчүдән аермалы
булган охшашлыкны күз алдында тотарбыз.
Һәртөрле охшашлыкны гомотетия белән (үзәге ирекле
рәвештә алынган һәм коэффициенты охшашлык коэффициентына
тигез булган) күчүнең композициясе дип күз алдына ките¬
реп була. Гомотетия һәм күчүнең беренче төр композициясе
беренче төр охшашлык була. Гомотетия һәм күчүнең икенче
төр композициясе икенче төр охшашлык була. Беренче төр
охшашлык яссылыкның ориентациясен саклап кала (үзгәрешсез
калдыра), икенче төр охшашлык аны капма-каршыга үзгәртә.
219
Охшашлыкны гомотетия һәм күчүнең композициясе рәвешендә
беркыйммәтле биреп булмый, һәртөрле беренче төр охшашлык¬
ның я гомотетия, я уртак үзәкле гомотетия һәм боруның
композициясе икәнен күрсәтергә мөмкин. Бу уртак үзәк — ох¬
шашлыкның кузгалмас ноктасы һәм ул беренче төр охшашлык
үзәге дип атала. Беренче төр охшашлыкны уртак үзәкле гомо-
тетиянең һәм боруның композициясе рәвешендә бирү бердәнбер,
һәм бу ике үзгәртүне теләсә нинди тәртиптә эшләргә була.
Беренче төр охшашлыкның шундый үзлеге бар: нур юнәлеше
белән аның образы арасындагы почмак бирелгән охшашлык
өчен даими була. Шуңа күрә беренче төр охшашлык үзенең
үзәге, коэффициенты һәм бору почмагы яки үзәге һәм тиңдәш
пар ноктасы белән беркыйммәтле бирелә.
Һәртөрле икенче төр охшашлыкны гомотетиянең һәм
күчәре гомотетия үзәге аша үтүче симметриянең композициясе
рәвешендә беркыйммәтле бирергә мөмкин. Икенче төр охшаш¬
лыкны болай бирү бердәнбер. Композициядә компонентларның
урыннарын алыштырып куюдан охшашлык үзгәрми. Бу очракта
гомотетия үзәге охшашлыкның кузгалмас ноктасы була.
Икенче төр охшашлык — үзәге һәм охшашлык үзәгеннән
башланган нур өстендә ятучы тиңдәшле нокталар пары белән
беркыйммәтле бирелә.
ЭЧТӘЛЕК
Сүз башы 3
I бүлек
Геометриядән башлангыч төшенчәләр
§ 1. Кереш 5
Ераклыклар 5
Геометрик фигуралар 5
§2. Фигураларның конгруэнтлыгы һәм күчүләр. . 7
Фигураларны чагылдыру 7
Күчүләр 7
Бору 8
Үзәкле симметрия 8
Күчәрле симметрия 9
§ 3. Параллельлек һәм параллель күчерү 11
Параллельлек һәм үзәкле симметрия 11
Юнәлешләр. Өчпочмакның почмаклары суммасы. Турыларның па¬
раллельлек билгеләре 12
Параллель күчерү. Фалес теоремасы. Өчпочмакның урта сызыгы . . 13
II бүлек
Күппочмаклар
§ 1. Күппочмак билгеләмәсе 15
Гади йомык сынык сызык. Күппочмак 15
Күппочмакның почмаклары суммасы 16
§ 2. Өчпочмаклар . . . · 18
Өчпочмак төзү 18
Өчпочмакның яклары белән почмаклары арасындагы бәйләнешләр 18
§ 3. Дүртпочмаклар 18
Параллелограмм билгеләмәсе 18
Параллелограммның үзлекләре 19
Параллелограммның билгеләре 20
Төрле мәсьәләләр 21
Кирәкле һәм җитәрлек шартлар 22
Турыпочмаклык 22
Ромб 23
Квадрат 24
Трапеция 26
Төрле мәсьәләләр «... 27
§ 4. Күппочмакларның мәйданнары 28
Турыпочмаклыкның мәйданы 28
Квадратның мәйданы 30
Параллелограммның мәйданы . 31
Өчпочмакның мәйданы 32
Трапециянең мәйданы 35
Төрле мәсьәләләр 36
221
Ill бүлек
Әйләнә һәм түгәрәк
Әйләнә, хорда, орынма 40
Үзәк почмаклар һәм дугалар 41
Үзәктән хордага кадәр ераклык 42
IV бүлек
Векторлар
Векторларны кушу һәм алу. Векторны санга тапкырлау 43
Векторларның коллинеарлыгы 45
Векторның озынлыгы. Ике векторның юнәлешләре арасындагы
почмак 45
Төрле мәсьәләләр 47
V бүлек
Охшашлык
§ 1. Гомотетия . . . . ' 49
Гомотетияпең төп үзлекләре 49
Ике һәм аннан да күбрәк гомотетияләр 49
Әйләнәләр гомотетиясе 50
Гомотетияне геометрик мәсьәләләр чишүдә куллану 51
Пропорциональ кисемтәләр 51
§ 2. Охшашлык 53
Охшаш өчпочмаклар 53
Охшаш күппочмаклар 54
Төзүгә мәсьәләләр чишүдә охшашлык методы 55
VI бүлек
Борулар һәм тригонометрик функцияләр
Борулар 58
Синус һәм косинус · 58
VII б ү л е к
Өчпочмакта метрик бәйләнешләр
Косинуслар теоремасы 60
Өчпочмак мәйданнарын исәпләү формулалары 61
Синуслар теоремасы · 62
VIII бүлек
Камаулы һәм камаучы күппочмаклар
§ 1. Камаулы һәм камаучы өчпочмаклар 63
Камаулы почмак 63
Камаулы һәм камаучы өчпочмаклар 65
§ 2. Камаулы һәм камаучы дүртпочмаклар 66
Камаулы дүртпочмаклар . 66
Камаучы дүртпочмаклар 66
Төрле мәсьәләләр 67
§ 3. Төзек күппочмаклар 67
Төзек күппочмаклар 67
Төзек күппочмакның мәйданы . ; 69
Төрле мәсьәләләр . 69
222
§ 4. Әйләнә озынлыгы һәм түгәрәк мәйданы · 70
Әйләнә озынлыгы 70
Түгәрәк мәйданы 71
IX бүлек
Стереометриядән башлангыч мәгълүматлар
§ 1. Пространствода нокталарның, турыларның һәм яссылыкларның
үзара торышы 74
Туры һәм яссылыкларның төп үзлекләре 74
Туры белән яссылыкның үзара торышы. Яссылыкка перпендикуляр 75
Параллель яссылыклар · 75
Ортогональ проекцияләү 76
§ 2. Өслекләрнең мәйданнары һәм кайбер җисемнәрнең күләмнәре . . 76
Туры призма 76
Күләмнәрнең гомуми үзлекләре 77
Пирамидалар 77
Цилиндр 78
Конус 78
Шар 79
Класстан тыш һәм индивидуаль эшләр вчен мәсьәләләр
§ 1. Күчәрле симметрия. Күчәрле симметрияләрнең композициясе . . 80
§ 2. Параллель күчерү һәм үзәкле симметрия. Бору · . 82
§ 3. Векторлар · 84
§ 4. Гомотетия 87
§ 5. Охшашлык 89 z
§ 6. Координаталар 90
§ 7. Координаталы-векторлы метод 93
§ 8. Мәйданнар 95
§ 9. Метрик бәйләнешләр 98
§ 10. Нокталарның күплекләре 101
§ 11. Тигезсезлекләр 103
Җаваплар һәм күрсәтмәләр
I бүлек. Геометриядән башлангыч төшенчәләр 106
II бүлек. Күппочмаклар 119
III бүлек. Әйләнә һәм түгәрәк 128
IV бүлек. Векторлар 131
V бүлек. Охшашлык 144
VI бүлек. Борулар һәм тригонометрик функцияләр 155
VII бүлек. Өчпочмакта метрик бәйләнешләр 156
VIII бүлек. Камаулы һәм камаучы күппочмаклар . . . 160
IX бүлек. Стереометриядән башлангыч төшенчәләр 163
Класстан тыш һәм индивидуаль эшләр өчен мәсьәләләр 168
Кушымта 216
223
Валерий Александрович Гусев, Галина Герасимовна Маслова,
Захар Александрович Скопец, Ростислав Семенович Черкасов
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 6—8 КЛАССОВ
(Перевод с русского на татарский язык)
Рецензенты 3. Г. Мортазин
Редакторлары Ф. Λf. Хафизова, 3. X. Билалова
Художество редакторы Э. Е. Сподикова
Техник редакторы В. Н. Галкина
Корректорлары Ф. К. Эхмэтҗанова, Ш. Т. Җиһангирова
И Б № 2737
Наборга бирелде 28/1-1982 ел. Басарга кул куелды 7/XI1-1982 ел. Формат 60×93 ,∕ll. Гарнитура
литературная. Печать высокая. Типография кәгазе № 1. Учетн.-изд. таб. 12,5. Басма табак 14,0.
Усл. кр. отт. 14,3. Тираж 5700. Заказ У-52. Бәясе 50 тиен.
Татарстан китап нәшрияты. Казан, Бауман yp., 19.
Татарское книжное издательство, Казань, ул. Баумана, 19.
Татарстан АССР Нәшрият, полиграфия, китап сәүдәсе эшләре дәүләт комитетының
Камил Якуб исемендәге полиграфия комбинаты. Казан, Бауман ур., 19 йорт.
50 тиен