ПАРАШЮТНЫЕ
СИСТЕМЫ

р)
ьз

МОСКВА

НАУКА- ФИЗМАТЛИТ
ББК 22.251+22,253

П18

УДК 533.6.01

Издание книги финансировал
Научно-исследовательский
институт парашютостроения

Авторы:

О.В.РЫСЕВ, А.Т.ПОНОМАРЕВ, М.И.ВАСИЛЬЕВ,
А.А.ВИШНЯК, И.В.ДНЕПРОВ, Ю.В.МОСЕЕВ

Парашютные системы / О. В. Рысев, А. Т. Пономарев, М. И, Ва-
сильев, А. А. Вишняк, И. В. Д н е п р о в, Ю. В. М о с е е в.—М.: Наука.
Физматлит, 1996.—288 С.-18ВИ 5-02-015160-2.

Излагаются теоретические и экспериментальные методы, а также результаты
исследований формообразования, аэродинамики, аэроупругости и прочности
парашютов. Большое внимание уделено использованию новой научной технологии
для создания и применения математических моделей на этапах проектирования и
сопровождения летных испытаний парашютных систем, ориентированной на
современные численные методы механики сплошной среды и ЭВМ.

Для научных работников в области авиакосмической техники, разработчиков
парашютов и воздухоопорных конструкций, а также аспирантов и студентов.

Ил. 180. Библиогр. 103 назв.

„1603040000-012^

П 053(02)-96 Бе3 объявл-

18ВК 5-02-015160-2

© О.В. Рысев, А.Т. Пономарев,
М.И. Васильев, А.А. Вишняк,
И.В. Днепров, Ю.В. Мосеев,
1996
ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие..................................................... 7

Раздел первый. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПАРАШЮ-

ТАХ И ПАРАШЮТНЫХ СИСТЕМАХ

Глава I. Парашют как объект исследований........................ 9

§1.1.	Парашюты и парашютные системы. Их конструкции.......... 9

§ 1.2.	Задачи, решаемые парашютными системами................ 15

§1.3.	Парашют как сложный аэроупругий объект................ 16

Глава 2. Общая методология исследований и проектирования парашютных
систем.......................................................... 18

§ 2.1.	Дисциплины, используемые при исследованиях и проектировании па-
рашютных систем........ ......,..........	................ 18

§ 2.2.	Роль аналитических методов, вычислительного и физического.экспе-
риментов .................................................... 20

Глава 3. Области применения парашютных систем.................. 22

§ 3.1.	Парашютные системы для спасения членов экипажа летательного ап-
парата ...................................................... 22

§ 3.2.	Парашютные системы десантника......................... 26

§ 3.3.	Спортивные парашютные системы.......................   28

§3.4-	Парашютные системы для десантирования грузов.......... 29

§ 3.5.	Парашютные системы для космических аппаратов.......... 32

§ 3.6.	Тормозные посадочные парашютные системы............... 34

Глава 4. Парашютные материалы.................................. 35

§4.1.	Нити и их свойства.................................... 35

§ 4.2.	Ленты и шнуры......................................... 36

§ 4.3.	Физико-механические характеристики тканей............. 37

§ 4.4.	Воздухопроницаемые свойства парашютных тканей......... 41

Раздел второй. АЭРОДИНАМИКА ПАРАШЮТА

Глава 5. Дозвуковые скорости. Метод дискретных вихрей.......... 44

§5.1.	Математическая формулировка задачи.................... 44

§ 5.2.	Отрывное нестационарное обтекание парашюта............ 49

5.2.1.	Осесимметричное обтекание (50). 5.2.2. Пространственное обте-
кание (54)

§ 5.3.	Учет проницаемости ткани купола....................... 55

§ 5.4.	Влияние проницаемости ткани на коэффициент сопротивления
изолированного осесимметричного парашюта..................... 58

§ 5.5.	Аэродинамические характеристики парашюта в следе за объектом.	59
Глава 6. Большие дозвуковые и сверхзвуковые скорости. Метод крупных
частиц........................................................... 62

§6.1.	Постановка задачи. Исходные уравнения..................... 62

§ 6.2.	Алгоритм метода крупных частиц для произвольной расчетной сетки...	64

§ 6.3.	Учет проницаемости ткани купола........................... 67

§ 6.4.	Практические рекомендации по использованию метода крупных час-
тиц в задачах аэродинамики парашютов............................ 68

§ 6.5.	Аэродинамические характеристики парашютов-крыльев при дозвуко-
вых скоростях................................................... 69

§ 6.6.	Аэродинамические характеристики осесимметричного парашюта. Об-
текание системы «объект—парашют»................................ 74

§ 6.7.	Обтекание осесимметричного парашюта при интенсивном торможении 79

§6.8.	Обтекание крестообразного парашюта и баллюта.............  81

Глава 7. Определение коэффициентов сопротивления парашютов
аналитическими методами.......................................... 85

§ 7-1.	Методика расчета коэффициентов сопротивления непроницаемого
парашюта. Сверхзвуковое обтекание............................... 85

§ 7.2.	Сверхзвуковой парашют с конструктивной проницаемостью..... 91

§ 7.3.	Сверхзвуковой парашют в «открытом следе» головного тела и в невоз-
мущенном потоке................................................. 94

§ 7.4.	Крестообразные и квадратные парашюты и баллюты Сверхзвуковое
обтекание....................................................... 96

§ 7.5.	Двухоболочковый парашют-крыло в дозвуковом потоке......... 99

Раздел третий. ФОРМЫ И НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИ-
РОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ ПАРАШЮТОВ

Глава 8. Одномерные модели формообразования парашютов............. 103

§8.1.	Основные допущения....................................... 103

§ 8.2.	Уравнения движения формообразующих лент каркаса.......... 104

§ 8.3.	Силы, действующие со стороны ткани на формообразующую ленту в
одномерных моделях............................................. 107

8.3.1.	Осесимметричный парашют (111). 8.3.2. Парашют с куполом
крестообразной формы (113). 8.3.3. Однооболочковый парашют-кры-
ло (115). 8.3.4. Двухоболочковый парашют-крыло (115). 8.3.5. Пара-
шют с куполом прямоугольной формы (116)

§ 8.4.	Равновесные формы парашютов и их коэффициенты сопротивления
при известном перепаде давлений................................ 116

Глава 9. Упругие модели парашютов на основе общей теории мягких оболо-
чек............................................................. 121

§9.1.	Классификация задач теории мягких оболочек............. 121

§9.2.	Геометрические характеристики оболочек................... 122

§ 9.3.	Удлинения и деформации поверхности....................... 127

§ 9.4.	Закон состояния материала................................ 142

§ 9.5.	У равнения движения мягкой оболочки...................... 146

§ 9.6.	Напряженно-деформированное состояние участка поверхности купо-
ла осесимметричного парашюта.................................. 152

§ 9.7.	Напряженно-деформированное состояние крестообразного парашюта.	156
Глава 10. Упругие модели парашютов на основе конечно-элементного
представления.................................................. 160

§ 10.1.	Дискретная модель парашютов на основе симплексных конечных эле-
ментов...............................   ........................ 160

10.1.1.	Двухмерная конечно-элементнай модель (160). 10.1.2. Одно-
мерная конечно-элементная модель (163)

§ 10.2.	Использование конечных элементов высших порядков........ 168

§ 10.3.	Решение тестовых задач на основе конечных элементов высших
порядков........................................................ 173

§ 10.4.	Расчет напряженно-деформированного состояния осесимметричного
парашюта на основе конечных элементов высших порядков........... 176

§ 10.5.	Экспериментальные исследования. Сопоставление с данными расчета	177

Раздел четвертый. АЭРОУПРУГОСТЬ ПАРАШЮТОВ

Глава 11. Задачи статической и динамической аэроупругости парашютов....	179

§11.1.	Статическая аэроупругость парашютов..................   179

§ 11.2.	Математическая модель динамической аэроупругости. Осесимме-
тричный парашют................................................. 183

§ 11.3.	Движение системы объект—парашют с учетом следа от объекта и де-
формации парашюта............................................... 188

§11.4.	Раскрытие парашюта...................................... 190

§11.5.	Влияние деформационных свойств материалов на аэроупругие харак-
теристики раскрывающегося парашюта.............................. 195

§ 11.6.	Влияние поддерживающего парашюта на динамику раскрытия основ-
ного парашюта.................................................   198

§11.7.	Раскрытие и снижение системы объект—рифленый парашют.....	201

§11.8.	Раскрытие проницаемого парашюта........................ 203

§ 11.9.	Уточненное определение напряженно-деформированного состояния
осесимметричных парашютов......................................  /04

Раздел пятый. ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ОБЪЕКТ—ПА -
РАШЮТ

Глава 12. Динамика ввода парашюта в поток......................... 209

§ 12.1.	Физика процесса вытягивания парашюта................... 209

§ 12.2.	Физическая модель процесса вытягивания.................. 211

§ 12.3.	Уравнения движения точечной модели вытягивания......... 212

§ 12.4.	Физическая модель вытягивания парашюта под углом к потоку с уче-
том пространственного движения объекта......................... 213

§ 12.5.	Уравнения вытягивания парашюта при пространственном движении
объекта........................................................ 214

Глава 13. Математическое моделирование динамики системы объект—
парашют........................................................ 219

§ 13.1.	Математические модели динамики безынерционного парашюта и же-
сткой системы объект—парашют................•.................. 219

§ 13.2.	Модель динамики системы шарнирно подвешенный объект—пара-
шют ..........................................................  223

§ 13.3.	Модель динамики движения системы объект—упругий парашют.	228
Раздел шестой. ФИЗИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ В П А-
РАШЮТОСТРОЕНИИ

Глава 14. Исследования парашютов в аэродинамических трубах.......... 232

§ 14.1.	Методы исследований в аэродинамических трубах............ 232

§ 14.2.	Зависимость аэродинамических характеристик осесимметричных па-
рашютов от углов атаки........................................... 234

§ 14.3.	Аэродинамические характеристики парашютов-крыльев........ 238

§14.4.	Аэродинамические характеристики сверхзвуковых парашютов..	241

Глава 15. Исследования парашютов на буксировочном стенде и в летном
эксперименте.................................................... 243

§ 15.1.	Методика идентификации аэродинамических характеристик пара-
шютов-крыльев по результатам экспериментов на буксировочном
стенде........................................................... 243

§ 15.2.	Результаты идентификации................................. 246

§ 15.3.	Летные исследования парашютов............................ 246

Глава 16. Исследование парашютов на аэробаллистических стендах......	248

§ 16.1.	К организации исследований на аэробаллистических стендах.	248

§ 16.2.	Параметры, регистрируемые в аэробаллистическом эксперименте....	254

§ 16.3.	Физическая картина обтекания системы двух тел............ 258

§ 16.4.	Раскрытие парашюта в следе головного тела. Явление нераскрытия...	262

§ 16.5.	Сопротивление системы головное тело—парашют.............. 266

Глава 17. Тела канонических форм без иглы и с иглой в сверхзвуковом
потоке.......................................................... 270

§ 17.1.	Физическая картина обтекания тел канонических форм....... 270

§ 17.2-	Коэффициенты сопротивления тел канонических форм......... 274

§ 17.3.	К обтеканию тела с иглой сверхзвуковым потоком. Общие замечания. 277

§ 17.4.	Сверхзвуковое обтекание тела с иглой..................... 278

Список литературы................................................... 283
ПРЕДИСЛОВИЕ

Более четверти века прошло с момента выхода в свет книги
Н.А. Лобанова «Основы расчета и конструирования парашютов» —
первой монографии, в которой был изложен комплексный подход к
задачам исследований, проектирования и испытаний парашютных си-
стем различного назначения и конструктивного исполнения. В ней
обобщены и систематизированы эмпирические и полуэмпирические
методы расчета парашютных систем, созданные в 50-60-х годах в
результате осмысления и обобщения данных физического экспери-
мента*) .

За прошедшие годы выполнены фундаментальные теоретические
и экспериментальные исследования по аэродинамике, формообразо-
ванию, прочности, аэроупругости парашютных систем. Возникла и
стала широко применяться новая концепция исследований и проекти-
рования парашютов, основанная на создании и последующем исполь-
зовании математических моделей, описывающих различные этапы
функционирования парашютной системы, с проведением широкого
вычислительного эксперимента на базе современных численных ме-
тодов и ЭВМ.

Книги, появившиеся за последнее время [4, 16, 89], освещают ту
или иную часть общих вопросов теории парашюта. В настоящей же
монографии авторы стремились к максимально полному представ-
лению современного состояния и уровня знаний в области парашю-
тостроения. Книга подводит итоги работы авторов, их учеников и
сотрудников по развитию комплексного подхода к вопросам исследо-
ваний, проектирования и испытаний парашютных систем.

Монография состоит из шести разделов.

В первом разделе (главы 1-4) приводятся основные сведения о
парашютах и парашютных системах, показывается, что парашют яв-
ляется сложным аэроупругим объектом, для исследования которого
необходимо привлекать знания из различных научных дисциплин,
обсуждается роль аналитических методов, вычислительного и фи-
зического экспериментов в парашютостроении. В этом же разделе
представлены сведения о парашютных материалах, их физико-ме-
ханических характеристиках и воздухопроницаемых свойствах.

Второй раздел (главы 5-7) посвящен аэродинамике парашютов. В
нем приводятся математические модели обтекания парашюта в рам-
ках моделей несжимаемой и сжимаемой жидкости и газа, основанные
на методе дискретных вихрей, методе крупных частиц и на аналити-
ческих методах расчета аэродинамических характеристик парашюта
в до- и сверхзвуковом потоках

♦) Изд-во «Машиностроение», 1965.
Третий раздел (главы 8-10) посвящен прочности и формо-
образованию парашютов. В этом разделе описываются одномерные
математические модели формообразования парашютов различных
раскройных форм (конструкций), основанные на предположении об
одноосном напряженно-деформированном состоянии ткани купола, а
также математические модели, построенные на основе общей теории
мягких оболочек и на основе модифицированного для задач пара-
шютной техники метода конечных элементов. Последние модели ис-
пользуются для детального анализа напряженно-деформированного
состояния парашюта.

В четвертом разделе (глава 11) рассматриваются задачи стати-
ческой и динамической аэроупругости парашютов. Приводятся
алгоритмы совместного решения уравнений аэродинамики и формо-
образования, позволяющие установить взаимосогласованные форму
парашюта и параметры обтекающего потока.

Пятый раздел (главы 12, 13) посвящен вопросам динамики сис-
темы объект—парашют. Представлены математические модели раз-
личного уровня сложности, описывающие как динамику ввода
парашютной системы в поток, так и динамику полета системы
объект—парашют.

В шестом разделе (главы 14-17) излагаются методы эксперимен-
тального исследования парашютов В нем приведен обширный мате-
риал по физической картине обтекания свободно летящей со сверх-
звуковой скоростью системы «головное тело (объект)-парашют».

При изложении материала авторы стремились обеспечить при-
кладную направленность книги. Для каждой математической модели,
представленной в том или ином разделе, рассматривается ее область
применения и разрешающие возможности, приводятся результаты
вычислительного эксперимента, даются его анализ и обобщение,
сравнение с данными физических исследований. Большое число тео-
ретических результатов представлено в виде конечных формул или
графических зависимостей искомой величины от конструктивных
параметров парашюта и условий его применения, что позволяет непо-
средственно использовать их в практике проектирования.

Книга рассчитана на научных работников и инженеров, занима-
ющихся вопросами до- и сверхзвуковой аэродинамики плохообтекае-
мых тел, задачами проектирования и расчета мягких оболочковых
конструкций, динамикой полета связанных тел и, конечно же, вопро-
сами исследований, проектирования, испытаний и эксплуатации па-
рашютной техники различного назначения.

Авторы приносят глубокую благодарность А.И. Аничкину,
В.П. Барышеву, А.Г. Васильченко, С.В. Гувернюку, М.А. Курашо-
вой, О.Л. Лемко, С.А. Логвиненко, М.П. Ложкину, Ю.В. Муравьеву,
Н.В. Паршуковой, И.М. Помозову, А.В. Радченко, Г.С. Ульянову,
М.П. Фалунину, Т.В. Шуховой за представление расчетных и экс-
периментальных материалов, использованных при написании книги

Авторы признательны Ю.А. Винокуру, сделавшему замечания по
рукописи, позволившие ее улучшить.
Раздел первый

ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ О ПАРАШЮТАХ
И ПАРАШЮТНЫХ СИСТЕМАХ

Глава 1

ПАРАШЮТ КАК ОБЪЕКТ ИССЛЕДОВАНИЙ

§ 1.1. Парашюты и парашютные системы. Их конструкции

Парашют представляет собой устройство для торможения и пе-
ремещения спускаемого объекта, движущегося в сопротивляющейся
среде. Изготавливается он из эластичных текстильных материалов,
не воспринимающих сжимающие и изгибающие усилия. Все элемен-
ты конструкции парашюта работают только на растяжение.

Различают раскройную форму парашюта и форму, которую он
принимает в потоке. Раскройная форма определяется конструкцией
парашюта и чертежной документацией. Форма, которую парашют
принимает в потоке, заранее неизвестна. Она формируется и суще-
ствует в условиях действующего на купол парашюта избыточного
давления, при этом между формой, режимом полета, характером и
уровнем нагружения парашюта имеется сильная связь.

На рис. 1.1 приведены парашюты, имеющие плоскую форму купо-
ла в виде круга (а), правильного многоугольника (б), квадрата (в),
креста (г) и многоугольника (д), обладающего одной плоскостью зер-
кальной симметрии. На рис. 1.2 приведены парашюты, для которых
раскройная форма купола не является плоской фигурой: конусный
парашют (а), конусный парашют с цилиндрической вставкой (б) и
двухоболочковый парашют-крыло (в).

Если раскройная форма купола парашюта обладает осевой сим-
метрией вращения, то и рабочая форма, которую парашют принимает
в потоке, также обладает осевой симметрией вращения. Так напри-
мер, парашют с раскройной формой купола в виде круга (рис. 1.1а),
правильного многоугольника (рис. 1.16) или конуса (рис. 1.2а, б) об-
ладает в потоке осевой симметрией п-го порядка (п — число строп
парашюта). Парашюты с раскройной формой купола в виде квадрата
(рис. 1.1 в), креста (рис. 1.1г) обладают в потоке осевой симметрией
4-го или 2-го порядка (рис. 1.3). Парашюты, у которых раскройная
форма купола обладает плоскостью зеркальной симметрии, и в потоке
имеют форму, обладающую зеркальной симметрией.

Раскройная форма купола в виде круга (правильного многоуголь-
ника), показанная на рис. 1.1а, б, образуется следующим образом.
Вначале по шаблонам из ткани вырезаются клинья, которые сшива-
ются в полотнища (секторы). Затем полотнища соединяются между
собой, образуя основу купола парашюта, к которой крепятся ленты
радиального и кольцевого каркасов. У нижней кромки купола к лен-
там радиального каркаса крепятся стропы, их свободные концы со-
4

Рис. 1.1. Раскройная форма парашютов с плоской формой купола: а — осесим-
метричный парашют с куполом в форме круга, б — осесимметричный парашют с
куполом в виде правильного многоугольника (/ — стропа; 2,3 — ленты соответственно
радиального и кольцевого каркасов; 4 — ткань); в — парашют с куполом квадратной
формы; г — парашют с куполом крестообразной формы (1,3 и 2,4 — лопасти парашюта,
5 — ленты продольного каркаса, переходящие в стропы б); д — однооболочковый
парашют-крыло с куполом в виде многоугольника, обладающего плоскостью зеркальной
симметрии

Рис. 1.2. Раскройная форма парашютов с неплоской формой купола: а — конусный
парашют; б — конусный парашют с цилиндрической вставкой; в — двухоболочковый
парашют-крыло
Рис. 1.3. Форма раскрытых парашютов в потоке; а — осесимметричный парашют;
б — парашют с куполом квадратной формы, в — парашют с куполом крестообразной
формы

бираются в один или несколько узлов (коушей) или переходят в
соединительное звено и коуш для крепления к грузу.

На рис. 1.1в представлена раскройная форма парашюта с куполом
квадратной формы. Основа купола такого парашюта состоит из па-
раллельно соединенных между собой полотнищ, ширина которых
обычно равна ширине ткани. Для квадратных парашютов малой пло-
щади размеры основы купола выбираются таким образом, чтобы обес-
печить безотходный крой, исходя из стандартной ширины ткани. На
основу купола нашиваются радиальный и кольцевой каркасы. Стропы
присоединяются к нижней кромке купола и являются продолжением
лент радиального каркаса. Итак, парашют с куполом квадратной
формы позволяет применять безотходную технологию раскроя ткани;
как правило, он проще в изготовлении и дешевле осесимметричного
парашюта аналогичного класса.

На рис. 1.1г представлен парашют с куполом крестообразной
формы. Он так же, как и квадратный, позволяет использовать без-
отходную технологию раскроя ткани и прост в изготовлении. Для
упрочнения купола вдоль лопастей располагаются ленты продольного
каркаса 5, которые переходят в стропы 6.

Парашюты с неплоской раскройной формой купола изготавлива-
ются следующим образом. К плоскому основанию купола 1 крепится
коническая поверхность 2 (см. рис. 1.2а) или цилиндрическая 2 и
коническая 4 поверхности (см. рис. 1.26), усиленные лентами кольце-
вого и радиального каркасов, переходящими в стропы 3. Такие пара-
шюты обладают хорошей устойчивостью формы в потоке.

Отметим, что представленные на рисунках 1.1 и 1.2 типы па-
рашютов проектируются, исходя из условия обеспечения макси-
мального аэродинамического сопротивления при минимальной массе
конструкции.

В настоящее время в нашей стране и за рубежом в авиакосмичес-
кой технике широко используются развертывающиеся в полете гиб-
кие системы типа парашютов-крыльев (см. рис. 1.1 д и 1.2в). В отличие
Рис. 1.4. Форма парашютов, обладающих в потоке зеркальной симметрией: а —
однооболочковый парашют-крыло; б — двухоболочковый парашют-крыло

от традиционных парашютов парашюты-крылья проектируются по
самолетному принципу: получение определенного аэродинамичес-
кого качества. Это обеспечивает дополнительную возможность ма-
неврирования и управления при движении объекта на траектории
спуска. На рис. 1.4а представлен наполненный однооболочковый па-
рашют-крыло. Возможны различные конструкции таких парашютов.
Они могут быть использованы в широком диапазоне чисел Маха
(О < М < 3). Аэродинамическое качество однооболочкового пара-
шюта-крыла достигает 1,5-2. Внешние и внутренние стропы левой и
правой половин купола такого парашюта могут быть сведены в раз-
личные коуши.

Верхняя 1 и нижняя 2 оболочки купола двухоболочкового пара-
шюта-крыла (см. рис. 1.2 в) представляют собой в раскрое прямо-
угольники, которые сшиваются друг с другом по задней кромке по
отношению к вектору скорости набегающего потока. Нервюры 3 име-
ют некоторый аэродинамический профиль. При этом геометрические
размеры верхнего и нижнего обводов нервюр увязаны с геометри-
ческими размерами прямоугольных в плане верхней и нижней оболо-
чек. Нервюры располагаются между верхней и нижней оболочками
купола с равным шагом. Как на верхней, так и на нижней оболочках
купола имеются усилительные ленты продольного и поперечного кар-
касов. Стропы парашюта крепятся непосредственно или с помощью
тканевых косынок 4 или усилительных лент к нервюрам. Свободные
концы строп присоединяются к двум свободным концам подвесной
системы. Полость между полотнищами разделена перегородками на
секторы, заполняемые в полете воздухом. К боковым нервюрам купо-
ла могут дополнительно крепиться так называемые стабилизирую-
щие поверхности.

Купола парашютов, обладающих в потоке осевой симметрией,
изготавливаются, как правило, из воздухопроницаемой ткани; одно-
оболочковый планирующий парашют и верхнее полотнище двух-
оболочкового парашюта — из непроницаемой ткани, а нижнее
полотнище двухоболочкового парашюта — из умеренно проницаемой
ткани.
Рис. 1.5. Схема тормозного устройст-

3

(На рис. 1.5 представлено мягкое тормозное устройство, называ-
емое баллютом. Баллют состоит из замкнутой оболочки вращения
(баллона) 1 и соединительного звена (стропной системы) 2, осуще-
ствляющего связь баллюта с объектом (головным телом). Форма бал-
люта в потоке поддерживается за счет высокого давления в баллоне.
Для этого на его боковой поверхности устанавливаются небольшие
воздухозаборники 3 в виде труб или карманов. Воздухозаборник снаб-
жен обратным клапаном 4, что препятствует возможным пульсациям
баллона в потоке. За миделевым сечением баллона имеется надувное
кольцо 5, стабилизирующее отрыв потока при до- и сверхкритических
числах Рейнольдса и повышающее устойчивость баллюта в следе
объекта.

За счет большой площади боковой наветренной поверхности бал-
люта он обладает высокой устойчивостью формы и движения в пото-
ке. Кроме того, из-за регулируемого процесса наполнения баллюта
воздухом коэффициент динамичности баллюта при раскрытии и
пульсациях близок к единице, что выгодно отличает его от пара-
шютов традиционных форм. При сверхзвуковых скоростях потока
аэродинамический нагрев баллюта гораздо менее интенсивен, чем у
парашюта, поскольку отсутствуют участки с очень малыми радиу-
сами кривизны (кромки купола и тонкие стропы).

Меньшая распространенность баллюта по сравнению с парашю-
том объясняется большими затратами материала, несколько большей
массой, меньшей технологичностью, необходимостью применения
специальных воздухонепроницаемых тканей.

На рисунках 1.1, 1.2 и 1.5 приведены типичные формы и кон-
струкции современных парашютов и баллютов. Однако этим далеко
не исчерпывается все возможное разнообразие форм и конструкций
мягких тормозных систем. Комплекс, состоящий из одного или не-
скольких парашютов (вытяжного, тормозного основного) и комплек-
та устройств, необходимых для его функционирования (чехла, ранца,
звеньев и т. д.), образует парашютную систему.

Различают одноступенчатые, двухступенчатые и т. д. парашют-
ные системы. Для одноступенчатой парашютной системы режимы по
скорости и высоте в момент введения ее в действие таковы, что воз-
никающие нагрузки не превышают допустимые как для объекта, так и
для парашюта. Такие системы с прямым вводом в действие основного
парашюта, на котором происходит приземление объекта или пара-
шютиста, являются наиболее простыми по схеме действия. Однако в
большинстве случаев, используя одноступенчатую парашютную сис-
тему, не удается выполнить требования технического задания по
массе системы, ее объему в уложенном состоянии, значениям допус-
тимых нагрузок, действующих на объект, и т. д. Приходится про-
ектировать двух- и трехступенчатые системы. В этом случае каждая
предыдущая ступень должна затормозить и (или) стабилизировать
объект (парашютиста), т. е. обеспечить условия, приемлемые для
вступления в работу следующей ступени.

Рис. 1.6. Схема работы парашютной системы космического корабля «Союз»: 1 —
отстрел крышки парашютного контейнера спускаемого аппарата корабля «Союз» и ввод
в действие вытяжных парашютов; 2 — ввод в действие тормозного парашюта; 3 —
отделение тормозного парашюта и ввод в действие основного парашюта; 4 — частичное
раскрытие основного парашюта; 5 — снятие связей и полное раскрытие основного
парашюта; 6 — перецепка спускаемого аппарата на симметричную подвеску; 7 —
снижение спускаемого аппарата на полностью раскрытом основном парашюте; 8 —
отцепление половины строп основного парашюта
Процесс введения в действие парашютной системы любой ступени
является существенно нестационарным. Он может осуществляться с
помощью вытяжного звена, отстреливаемой крышки, парашюта пре-
дыдущей ступени и т. д. При этом может быть реализована как удар-
ная, так и безударная схема ввода. Принимается, что первый этап
процесса введения парашюта в действие заканчивается вытягиванием
его на полную длину. Далее следует этап раскрытия парашюта. Он
может быть непрерывным. Но зачастую для уменьшения аэродина-
мических нагрузок, действующих на парашют в процессе раскрытия,
с помощью тех или иных конструктивных решений (например, риф-
ления) осуществляют искусственное прерывание процесса раскры-
тия, чем создается удерживаемая некоторое время промежуточная
форма купола, т. е. зарифленное состояние парашюта.

В общем случае процесс раскрытия можно последовательно пре-
рывать несколько раз.

В зарифленном состоянии парашют может находиться различные
промежутки времени. После достижения допустимой из условий
прочности парашюта и объекта скорости снижения осуществляется
разрифление, происходит последующее раскрытие парашюта и пол-
ное его наполнение до устойчивой формы. После завершения процес-
са раскрытия объект тормозится до выхода на требуемую скорость.

На рис. 1.6 в качестве примера приведена схема работы парашют-
ной системы космического корабля «Союз». Это трехступенчатая па-
рашютная система, содержащая вытяжной, тормозной и основной
парашюты. С помощью их последовательной работы удается погасить
скорость спускаемого аппарата с 240 до 6 м/с, обеспечивая нагрузки
торможения в пределах значений, переносимых человеком.

$ 1.2. Задачи, решаемые парашютными системами

Если объект движется без парашюта, то изменения скорости дви-
жения его центра масс и угловой скорости вращения вокруг центра
масс определяются интегрированием соответствующей системы урав-
нений при заданных начальных условиях и заданных главном векторе
и главном моменте действующих на объект внешних сил относитель-
но выбранного начала отсчета.

В большинстве случаев изменение кинематических параметров
объекта — значения их в характерные моменты времени, его траекто-
рия движения — не удовлетворяют проектанта. Парашютные систе-
мы применяются для того, чтобы исправить это положение и с их
помощью реализовать определенное движение объекта в простран-
стве, другими словами, обеспечить требуемую траекторию снижения
и необходимые кинематические параметры объекта в характерные
моменты времени.

Следует отметить, что в ряде случаев на первое место может вы-
двигаться требование обеспечения определенного кинематического
параметра, характеризующего движение системы объект-парашют.
Например, в одном случае в качестве определяющего может быть
требование обеспечения заданной скорости движения центра масс
объекта в момент встречи с поверхностью земли или в момент перехо-
да на парашют следующей ступени каскада. В другом случае требует-
ся определенным образом сориентировать объект в пространстве или
обеспечить ему такое движение, чтобы угловая скорость вращения
вокруг центра масс не превышала заданного значения. Однако чаще
всего на кинематические параметры движения объекта накладывают-
ся комплексные требования, и парашютная система проектируется
таким образом, чтобы эти требования были выполнены.

В общем случае парашютная система может вводиться в действие
в нескольких замкнутых областях (Я, или (Я,	, принадле-

жащих соответствующей координатной плоскости. Здесь Я — высота;
Я — скорость; д — скоростной напор. Если г # 1, то парашютная
система является многорежимной. Это наиболее сложные по кон-
струкции и схеме действия многоступенчатые системы. Окончание , %
работы парашютной системы происходит в областях (Я, Я)2 или
(Я, ^)2« Области (Я, Я)^ задаются техническим заданием и опреде-
ляются различными вариантами динамики движения объекта без
парашюта Область (Я, Я)2 также задается техническим заданием и
служит для выбора конструктивных параметров парашюта последней
ступени в многоступенчатой системе.

Функционирование парашютной системы и перевод с ее помощью
объекта из точки А области (Я, Я)‘ в точку В области (Я, Я)2 должны
происходить таким образом, чтобы выполнялись определенные огра-
ничения по перегрузкам, действующим на объект, потере высоты от
момента ввода в действие парашютной системы до момента выхода на
установившуюся скорость снижения, величине скорости установив-
шегося снижения и т. д. Кроме этого, парашютная система должна
удовлетворять определенным требованиям по надежности, массе,
объему в уложенном состоянии и т. д.

Как отмечалось выше, различают парашюты, обладающие в пото-
ке осевой симметрией, и парашюты-крылья, обладающие в потоке
плоскостью симметрии.

С использованием парашютов, обладающих в потоке осевой
симметрией, решают задачи торможения объекта в пространстве и
стабилизации его движения на траектории спуска. Существенно воз-
действовать на саму траекторию спуска с помощью таких парашютов
не удается. С помощью же парашютов-крыльев решают как задачи
торможения и стабилизации движения объекта, так и задачи, свя-
занные с формированием требуемой траектории движения системы
объект—парашют.

§ 1.3. Парашют как сложный аэроупругий объект

Парашют представляет собой незамкнутую, мягкую (тканевую),
растяжимую, воздухопроницаемую конструкцию, усиленную карка-
сом и снабженную стропами и соединительными звеньями для связи с
объектом. Стропы, соединительные звенья и усилительный каркас
выполняются из текстильных лент и шнуров

16

к
Технические ткани, идущие на изготовление парашютов, образо-
ваны переплетением нитей двух взаимно перпендикулярных направ-
лений (нитей основы и утка). Сами нити состоят из определенного
числа отдельных волокон. В результате парашютные ткани имеют
дискретную структуру. Характерный диаметр нити (1* (толщина
ткани) пренебрежимо мал по сравнению с характерным линейным
размером парашюта Ь « 1). Аналогично линейный размер
характеризующий поперечное сечение ленты (шнура), много меньше
к (\/Ь« 1).

Дискретная структура тканей (лент, шнуров), их малая относи-
тельная толщина при реальных значениях модуля упругости нитей
приводит к тому, что элементы конструкции парашюта не могут
воспринимать сжимающих и изгибающих усилий. Все элементы кон-
струкции парашюта при его применении работают только на растя-
жение.

В связи с изложенным механической (физической) моделью па-
рашюта является мягкая безмоментная оболочка, подкрепленная и
связанная с объектом гибкими нитями (стропами). Уравнения дви-
жения (равновесия) такой оболочки содержат член с распределенной
аэродинамической нагрузкой (перепадом давлений). В зависимости
от значения перепада давлений и его изменения по поверхности обо-
лочки и во времени реализуется та или иная форма мягкой оболочки
(парашюта). В каждый момент времени форма парашюта и параме-
тры обтекающего его потока взаимосвязаны и взаимозависимы. Поэ-
тому парашют в теоретическом плане представляет собой сложный,
существенно нелинейный аэроупругий объект. Для решения задачи
функционирования парашюта в потоке необходимо использовать три
группы нелинейных уравнений из разных областей механики — аэро-
динамики, теории мягких оболочек и динамики полета — и ин-
тегрировать их совместно. Аналитическому решению такие задачи
аэроупругости поддаются только при существенных упрощениях.
Натурные и полунатурные эксперименты позволяют получать значи-
тельный объем информации, но требуют больших материальных и
временных затрат В решении данной проблемы, как уже показывает
практика, большую роль должны сыграть методы математического
моделирования на ЭВМ.
Глава 2

ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ ИССЛЕДОВАНИЙ
И ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПАРАШЮТНЫХ СИСТЕМ

8 2.1. Дисциплины, используемые при исследованиях
и проектировании парашютных систем

Как уже отмечалось, парашютные системы применяются для того,
чтобы с их помощью реализовать определенное движение объекта в
пространстве.

Механическая (физическая) модель системы объект—парашют
включает в себя модели объекта, парашюта и связи парашюта с объек-
том.

Объект представляется в виде твердого тела, обладающего опре-
деленными геометрическими, упругомассовыми, аэродинамическими
и пр. характеристиками.

Наиболее общей механической (физической) моделью парашюта
является мягкая безмоментная оболочка, подкрепленная и связанная
с объектом гибкими нитями (лентами и стропами).

Для моделирования связи парашюта с объектом используются мо-
дели жесткого либо шарнирного креплений.

При решении ряда частных задач динамики системы объект—па-
рашют форма парашюта предполагается неизменной.

В связи с тем, что в общем случае в каждый момент времени
форма парашюта, параметры потока, скорость движения центра масс
системы объект—парашют взаимосвязаны и взаимозависимы, в про-
цессе исследований и проектирования парашютных систем взаимо-
действуют ряд дисциплин, другими словами, используются знания из
различных областей науки.

Общая схема взаимодействия научных дисциплин в процессе соз-
дания парашютной техники представлена на рис. 2.1.

Для описания формы парашюта в потоке и его напряженно-де-
формированного состояния используются несколько типов математи-
ческих моделей: модели, построенные на основе общей теории мягких
оболочек [32, 81]; модели, построенные на основе предположения об
одноосном напряженном состоянии ткани купола (одномерные мо-
дели) [85, 88] и модели, построенные на основе конечноэлементного
представления конструкции [29, 70, 72, 41]. Каждая из перечислен-
ных моделей имеет свои разрешающие возможности и свою область
применения.

Аэродинамические характеристики парашюта, обтекание систе-
мы объект—парашют изучаются с помощью математических моде-
Рис. 2.1. Схема взаимодействия научных дисциплин в процессе создания парашют-
ной техники

лей, построенных на основе метода дискретных вихрей МД В [12, 13,
14], метода крупных частиц МКЧ [62, 64], а также с помощью упро-
щенных моделей [71, 73] и физического эксперимента [51, 75, 76].

От того, какая механическая (физическая) модель используется
для описания парашюта в системе объект—парашют, зависит слож-
ность соответствующей математической модели. Условно можно вы-
делить пять групп математических моделей для описания динамики
системы объект—парашют [89] и три группы математических моде-
лей, описывающих динамику ввода парашютной системы в поток.

В математических моделях, описывающих форму парашюта,
содержатся коэффициенты, характеризующие упругие свойства ма-
териалов, из которых выполнена конструкция. В моделях аэродина-
мики используются коэффициенты, характеризующие проницаемые
свойства технических тканей.

Для нахождения этих и других коэффициентов проводятся соот-
ветствующие материаловедческие исследования [16].

Задача о функционировании системы объект—парашют в потоке в
полном объеме является чрезвычайно сложной задачей аэроупруго-
сти; ее решение сводится к совместному интегрированию уравнений
аэродинамики, теории мягких оболочек и динамики системы объект—
парашют.

Следует заметить, что чаще всего создание парашютной техники
ведется в условиях жестких ограничений по срокам и объемам
финансирования. При этом к парашютной системе предъявляются
высокие требования по надежности. Нижняя граница вероятности
безотказной работы, соответствующая доверительному уровню 0,95,
Для большинства парашютных систем должна быть не ниже 0,99.
§ 2.2. Роль аналитических методов, вычислительного
и физического экспериментов

В процессе создания и исследований парашютной техники раз-
работчики (проектанты, исследователи) используют аналитические
методы, вычислительный и физический эксперименты.

Аналитические методы позволяют получать замкнутые зависи-
мости искомой величины от конструктивных параметров парашюта и
условий его применения. Они обладают хорошей «обзорностью» и да-
ют возможность в кратчайшие сроки проводить широкие параметри-
ческие исследования. К недостаткам аналитических методов следует
отнести то, что они часто требуют чрезмерного упрощения задачи, а
замкнутые зависимости, как правило, содержат поправочные коэф-
фициенты, которые устанавливаются в результате анализа и обоб-
щения данных физического эксперимента.

Физический эксперимент в парашютостроении играет важную
роль. Он осуществляется в аэродинамических трубах, на аэробал-
диетических трассах и ракетных дорожках (треках), а также в летных
испытаниях. В качестве объекта исследования могут выступать как
натурные парашюты, так и их модели. В зависимости от возможно-
стей экспериментальной установки, конкретных целей эксперимента
в процессе проведения опыта могут изучаться как функционирование
парашютной системы по полной схеме, начиная с этапа введения ее в
действие и кончая исследованием поведения полностью раскрытого
основного парашюта, так и отдельные этапы работы, например раск-
рытие парашюта после разрифления.

Физический эксперимент проводится в целях установления фак-
тических закономерностей взаимодействия парашюта с газообразной
и жидкой средами, выяснения влияния его конструктивных параме-
тров и условий применения на физическую картину обтекания и
напряженно-деформированное состояние, получения аэродинамиче-
ских характеристик и т. д. В результате обработки данных физичес-
кого эксперимента устанавливают закономерности, необходимые для
решения конкретных прикладных задач. Понимание сути физическо-
го явления, происходящего на том или ином этапе функционирования
парашюта, позволяет грамотно строить математические модели яв-
ления и применять для его исследования численный эксперимент.
Наконец, опытные данные являются тем реальным объективным
материалом, с которым сравниваются результаты вычислительного
эксперимента на ЭВМ и по которому оценивается достоверность той
или иной математической модели.

Значения аэродинамических коэффициентов и характеристики
напряженно-деформированного состояния парашюта, полученные в
конкретных экспериментах, используют для других условий, приме-
няя для их пересчета методы теорий размерностей и подобия.

Следует подчеркнуть, что определенную информацию о пара-
шютной системе проще и надежнее получать, используя физический
эксперимент. Например, определять усилия выхода строп парашюта
из сот камеры, усилия разрыва различных контровочных элементов
ит. д.
Таким образом, можно сказать, что физическому эксперименту
принадлежит важная роль в изучении аэродинамических и аэроуп-
ругих характеристик парашюта и установки общих закономерностей
взаимодействия мягкой проницаемой (непроницаемой) растяжимой
оболочки с потоком газа (жидкости).

Вместе с тем, надо отметить, что создание парашютной техно-
логии ведется в условиях жестких ограничений по срокам и объемам
финансирования. Число физических экспериментов с парашютной
системой в каждом конкретном случае выбирается с учетом этих огра-
ничений и возможности получения информации с помощью универ-
сальной методологии научных исследований [90], основанной на
широком использовании математического моделирования и вычисли-
тельного эксперимента на ЭВМ.

Современный этап развития теории в парашютостроении тесно
связан с этой методологией.
Глава 3

ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ПАРАШЮТНЫХ СИСТЕМ

Широкое применение парашютных систем в авиакосмической
технике объясняется их способностью создавать необходимые аэро-«
динамические силы при незначительной массе конструкции и неболь-
шом объеме в уложенном состоянии. Площади куполов современных
парашютов колеблются от сотых и десятых долей до тысяч квадрат-
ных метров. Они работают в широком диапазоне скоростей: от малых
(5-10 м/с) до сверх- и гиперзвуковых скоростей.

§ 3.1.	Парашютные системы для спасения членов экипажа
летательного аппарата

Спасательные парашютные системы, предназначенные для спа-
сения летного состава, подразделяются на спасательные системы на
летательном аппарате (ЛА) без катапультных кресел и аппарате с
катапультными креслами. К таким системам предъявляются доста-
точно жесткие требования. Размещение их на человеке или на ка-
тапультном кресле не должно усложнять экипажу выполнение его
штатных задач. Функционирование спасательной парашютной систе-
мы должно протекать таким образом, чтобы, с одной стороны, обес-
печить минимальную потерю высоты с момента ввода системы в поток
до момента полного раскрытия основного парашюта, а с другой —
обеспечить безопасную для человека перегрузку. Спасательные па-
рашютные системы должны быть работоспособны в широких диапазо-
нах высот и скоростей, характерных для полета современных ЛА,
иметь минимальную массу и обладать высокой надежностью.

На рис. 3.1 приведена схема работы спасательной парашютной
системы С-5И сер. 2, предназначенной для свободного покидания ЛА
пилотом. В качестве вытяжного используется парашют площадью
~	м2’ в качестве основного — парашют площадью = 60 м2.

Основной парашют — плоский круг в раскрое. Для уменьшения
динамических нагрузок при раскрытии основной парашют имеет
восемь радиальных щелей. Минимальная высота применения та-
кой парашютной системы Ят.п = 80 м при скорости полета ЛА
У = 180 км/ч; максимальная высота применения Н	= 12000 м при

г	шах	г

Утах 600 км/ч. Парашютная система обеспечивает приземление
парашютиста массой т = 100 кг со скоростью У = 6 м/с. Масса пара-
шютной системы составляет т = 12 кг.

п.с
Рис. 3.1. Схема работы спасательной парашютной системы С-5И сер. 2.1 — вытяж-
ной парашют; 2 — соединительное звено; 3 — чехол; 4 — звено ручного раскрытия; 5
— основной парашют; 6 — система подвески; 7 — ранец; 8 — плот; 9 — радиомаяк; 10
— носимый аварийный запас
2

Рис. 3.2. Схема работы спасательной парашютной системы ПСУ-36 сер. 2:1 —
стабилизирующие парашюты; 2 — заголовник кресла с парашютной системой; 3 —
основной парашют; 4 — плот; 5 — радиомаяк; б — носимый аварийный запас

На рис. 3.2 приведена схема работы спасательной парашютной
системы ПСУ-36 сер. 2, применяющейся в составе катапультного
кресла типа К-36. После катапультирования кресло стабилизируется
двумя телескопическими штангами, на концах которых располагают-
ся вращающиеся парашюты площадью Р^ = 0,06 м2 каждый. По кон-
струкции основной парашют парашютной системы ПСУ-36 сер. 2
аналогичен основному парашюту парашютной системы С-5И сер. 2.
Совместно с креслом типа К-36 парашютная система ПСУ-36 сер. 2
Рис. 3.3. Схема работы спасательной парашютной системы дельтапланериста
СПС-Д: 1 — ранец; 2 — парашют

обеспечивает спасение пилота при аварии ЛА как в полете, так и на
взлете, посадке и стоянке. В зависимости от высоты катапультиро-
вания парашютная система работает с той или иной временной задер-
жкой и высотной блокировкой. Масса системы составляет 11 кг.

На рис. 3.3 изображена схема работы спасательной парашютной
системы дельтапланериста СПС-Д. Система обеспечивает спасение
. пилота вместе с дельтапланом. Основной парашют конструкции —
1 плоский круг в раскрое — имеет площадь Р^ = 59 м2. Парашютная
I система СПС-Д работоспособна в диапазоне высот Н - 80—1500 м
при скорости полета дельтаплана до 140 км/ч. Приземление пилота с
(дельтапланом происходит со скоростью примерно 6,5 м/с. Масса си-
стемы — около 3,5 кг.
§ 3.2.	Парашютные системы десантника

Парашютные системы десантника должны обеспечивать высадку
из самолета большой группы людей на ограниченную площадку при-
земления за короткий промежуток времени. В связи с этим все па-
рашютные системы, предназначенные для десантирования личного
состава, имеют принудительный ввод в действие после отделения де-
сантника от самолета. Перегрузки при функционировании парашют-
ной системы десантника не должны превышать 10 единиц. По этой
причине, в зависимости от заданных требований к скорости полета
ЛА в момент десантирования, парашютная система может содержать
или не содержать в своем составе стабилизирующий (тормозной) па-
рашют.

При аварийной ситуации наряду с основной системой применяет-
ся запасная парашютная система. На рис. 3.4 приведена схема работы

Рис. 3.4. Схема работы запасной десантной системы ДЗ-5:1 — вытяжное кольцо,
2 — карманы, 3 — основной парашют, 4 — промежуточная подвесная система, 5 —
ранец
Рис. 3.5. Схема работы десантной парашютной системы Д-5 сер. 2: У — стабили-
зирующий парашют, 2 — камера, 3 — основной парашют, 4 — ранец
десантной запасной системы ДЗ-5. Эта система работоспособна в ди-
апазонах высот Н = 100—1000 м и скоростей до 350 км/ч. Основной
парашют конструкции — плоский круг в раскрое — имеет площадь
Р == 50 м2 и обеспечивает приземление со скоростью 7,5 м/с при по-
летной массе 120 кг.

В качестве примера основной парашютной системы десантника на
рис. 3.5 представлена схема работы десантной парашютной системы
Д-5 сер. 2. Эта система позволяет проводить десантирование в диапа-
зонах высот Н = 150-8000 м и скоростей I/ = 140-400 км/ч полета
ЛА. Система содержит в своем составе стабилизирующий парашют
площадью Г = 1,5 м2. Время стабилизации 2-3 с. Основной па-
рашют конструкции — плоский круг в раскрое — имеет площадь
Р = 83 м2. Парашютная система Д-5 сер. 2 обеспечивает скорость
приземления V = 5 м/с при полетной массе 120 кг. Масса системы
составляет 13,8 кг.

8 3.3. Спортивные парашютные системы

Парашютный спорт сегодня имеет три самостоятельных направ-
ления: классический парашютизм, купольная акробатика и группо-
вая акробатика.

В классическом парашютизме существуют две самостоятельные
группы упражнений: выполнение прыжков на точность приземления
и индивидуальная акробатика.

В купольной акробатике группа спортсменов на полностью рас-
крытых парашютах выстраивает в воздухе серию фигур.

В групповой акробатике группа спортсменов в свободном полете
выполняет серию упражнений. После завершения выполнения фигур
вводится в действие парашютная система.

Таким образом, требования, предъявляемые к парашютным си-
стемам для различных направлений парашютного спорта, различны.

Основной парашют парашютной системы для классического пара-
шютизма должен обладать хорошей устойчивостью формы и дви-
жения, быть мало инерционным, иметь аэродинамическое качество
К = 2,5-3, обеспечивать при работе стропами управления в момент
подхода к цели вертикальную составляющую скорости не более
1,5-2,5 м/с и горизонтальную составляющую, близкую к нулю. Кро-
ме того, в уложенном состоянии парашютная система должна иметь
малый объем. Надетая на спортсмена, она должна плотно прилегать к
телу и не препятствовать ему выполнять различные группировки.

Основной парашют парашютной системы для купольной акроба-
тики должен хорошо держать форму при различных внешних воз-
действиях (механическом воздействии одного из спортсменов на
купол парашюта другого, работу в аэродинамическом следе и т. д.),
обладать хорошей управляемостью, иметь аэродинамическое каче-
ство К = 2,5—3.
Рис. 3.6. Типичная схема работы спортивной парашютной системы: 1 — вытяжной
парашют, 2 — слайдер, 3 — основной парашют

Требования к уложенной парашютной системе для групповой
акробатики аналогичны требованиям к парашютной системе для
классического парашютизма. С целью эффективного приземления в
последнее время наметилась тенденция повышения аэродинамичес-
кого качества основного парашюта до значений К > 3.

В связи с тем. что все спортивные парашюты должны обладать
аэродинамическим качеством, используются двухоболочковые пара-
шюты-крылья. Введение в действие спортивной парашютной системы
осуществляется звеном ручного раскрытия. При этом в поток вво-
дится вытяжной парашют, снабженный специальным пружинным
механизмом. Под действием тяги вытяжного парашюта происходит
вытягивание из ранца чехла с уложенным в него основным пара-
шютом. Основной парашют оборудован специальным устройством
рифления, которое в процессе раскрытия парашюта опускается по
стропам вниз к подвесной системе, так что перегрузка при раскрытии
не превышает 8-10 единиц. Типичная схема функционирования
спортивной парашютной системы помещена на рис 3.6.

8 3.4. Парашютные системы для десантирования грузов

Десантирование различных грузов из военно-транспортных само-
летов с помощью парашютных систем находит сегодня широкое при-
менение. Для этих систем разработчик решает задачи, во-первых,
извлечения объекта из самолета и, во-вторых, приземления его с за-
данной вертикальной скоростью. При низковысотном десантировании
(рис. 3.7) решается только задача извлечения объекта из самолета с
последующим уменьшением горизонтальной составляющей скорости
до нуля.

Извлечение объекта из самолета осуществляется вытяжными па-
рашютными системами (ВПС). Для того чтобы не произошло уве-
личения скорости движения центра масс объекта с момента выхода
^7/77///777/777/7/ '////77/77//////- 77/////777777

7/////Л7/

Рис. 3.7. Низковысотное десантирование объекта из самолета: 1 — упаковка пара-
шюта, 2 — парашют, 3 — упаковка звена, 4 — звено, 5 — десантируемый груз

его из самолета до момента раскрытия основных парашютов (ОП), в
состав парашютной системы десантирования, как правило, включа-
ются специальные тормозные парашюты (ТП). Основная парашют-
ная система в большинстве случаев является многокупольной. При
этом в зависимости от массы десантируемого груза она может содер-
жать от 1 до 20 парашютов.

На рис. 3.8 приведена схема функционирования парашютной
системы МКС-350-5, предназначенной для десантирования из само-
лета Ан-32 объектов массой от 1 до 5 тонн. В зависимости от массы
объекта в составе системы могут применяться от 1 до 5 основных
парашютов и от 1 до 3 дополнительных вытяжных парашютов (ДВП)
Десантирование с использованием системы МКС-350-5 может осуще-
ствляться на высотах Н = 250-6000 м при скорости полета самолета
V = 210—250 км/ч. Вытяжной парашют (ВП) этой системы имеет
площадь купола Р^ - 4,5 м2. Конструкции ТП и ДВП одинаковы.
Это парашют, имеющий плоский круг в раскрое, с площадью купола
Рц = 8 м2. Купол основного парашюта (плоский круг с цилиндричес-
кой вставкой) площадью Р = 350 м2. Стропы этого парашюта выпол-
нены в три яруса и имеют общую длину 41м.
Рис. 3.8. Схема работы парашютной системы МКС-350-5:1 — вытяжной парашют; 2 — камера дополнительного вытяжного парашюта;
дополнительный вытяжной парашют; 4 — тормозные парашюты; 5 — камера основного парашюта; 6 — основной парашют
§ 3.5. Парашютные системы для космических аппаратов

Парашютные системы для космических спускаемых аппаратов
(СА) предназначены для уменьшения скорости движения СА от
сверхзвуковой (или большой дозвуковой) до малой дозвуковой, при
4 которой происходит его призем-

ление. Указанные системы могут
иметь одну или несколько обла-
стей по скорости и высоте (I/, Н)у в
которых может происходить вве-
дение парашютной системы в
действие. Так, например, пара
шютная система для космического
корабля «Союз» должна обеспе-
чивать его приземление без пов-
реждений при штатном спуске с
орбиты, аварии ракеты-носителя
на участке выведения и на старто-
вой позиции. В каждом из этих
случаев скорости и высоты, при ко-
торых происходит введение пара-
шютной системы в действие, а
также дополнительные требова-
ния, предъявляемые к ней (напри-
мер, по минимально безопасной
высоте), существенно различны
Парашютная система должна
проектироваться таким образом,
чтобы удовлетворять всей сово-
купности требований.

На рис. 3.9 показан состав
основной парашютной системы
(ОСП) космического корабля
«Союз». Система содержит два
расположенных один за другим
вытяжных парашюта, представля-
ющих в раскрое плоские круги и
соединенные между собой тариро-
вочным элементом. Площадь пер-
вого парашюта 4,2 м2, второго —
0,62 м2. Первый парашют имеет
специальную центральную стро-

Рис 3.9. Состав основной парашют-
ной системы космического корабля «Со-
юз*: 1 — крышка парашютного контейне-
ра, 2 — вытяжные парашюты, 3 — тор
мозной парашют, 4 — вертлюг, 5 — каме -
ра основного парашюта, 6 — поддержива
ющий парашют, 7 — основной парашют
1

Рис. 3.10. Схема движения в атмосфере планеты Венера космического корабля
«Вега», спускаемого аппарата и аэростатного зонда: 1 — парашют увода верхней
полусферической оболочки, 2 — вытяжной парашют, 3 — основной парашют, 4 —
аэростатный зонд, 5 — балласт, 6 — тормозной парашют, 7 — спускаемый аппарат

пу В зависимости от режимов введения в действия ОСП работает
либо первый, либо второй ВП. Тормозной и основной парашюты этой
системы, представляющие в раскрое плоские круги, имеют площадь
24 и 1000 м2 соответственно. Масса ОСП около 110 кг. Схема действия
основной парашютной системы приведена на рис. 1.6.

1 На рис. 3.10 представлена схема движения в атмосфере планеты
Венера космического корабля «Вега», спускаемого аппарата и аэро-
статного зонда. Как видно, в указанном проекте с помощью парашют-
ных систем решаются задачи торможения корабля, увода его верхней
и сброса нижней полусферических оболочек, торможения СА и ввода

2

О.В.Рысев в ду

33
аэростатного зонда. При этом используются парашюты, имеющие
плоский круг в раскрое, площадью = 1,5; 6; 24 м2, а также пара-
шют с куполом крестообразной формы площадью 35 м2, снабженный
дополнительными конструктивными элементами, обеспечивающими
высокую устойчивость его формы в следе головного тела (объекта)

§ 3.6. Тормозные посадочные парашютные системы

Для уменьшения длины пробега самолета при посадке выгодно
использовать тормозные посадочные парашютные системы (ТППС).
Их применение позволяет примерно в 1,5-1,7 раза сократить длину
пробега самолета и в 1,5-2 раза увеличить срок службы покрышек его
колес.

Рис. 3.11. Схема работы тормозной посадочной парашютной системы: 1 — вытяж-
ной парашют, 2 — основной парашют

ТППС работают как по ударной, так и по безударной схемам
ввода в поток. Ввод осуществляется по команде летчика. При этом
открываются створки люка парашютного контейнера и вступает в
работу вытяжной парашют, снабженный специальным пружинным
механизмом, либо отстреливается колпак, закрывающий люк пара-
шютного контейнера, связанный с вершиной вытяжного парашюта.

ТППС должна надежно вступать в работу и реализовывать невы-
сокие динамические и аэродинамические нагрузки при вытягивании
системы и раскрытии основного парашюта. По этой причине в каче-
стве основного парашюта в ТППС используется парашют с куполом
крестообразной формы. Для обеспечения требуемой устойчивости
формы в следе самолета в ряде случаев купол имеет конструктивную
проницаемость. Основная парашютная система в ТППС может вы-
полняться как в однокупольном, так и в многокупольном вариантах,
При этом в качестве базовых используются парашюты площадью от
13 до 35 м2 Типичная схема работы ТППС показана на рис. 3.11.
Глава 4

ПАРАШЮТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

§ 4.1.	Нити и их свойства

До 40-х годов для изготовления парашютов, как правило, при-
менялись текстильные материалы, выработанные из натурального
шелка. С расширением областей применения парашютов для их изго-
товления стали использоваться текстильные материалы из хлопка,
льна, вискозы, а позже — из полиамидных комплексных нитей (ка-
прон, нейлон), которые в настоящее время являются основными в
парашютостроении. В производство эти материалы поступают в виде
| текстильных тканей, лент, шнуров, ниток. Материалы, изготовлен-
ные из таких нитей, обладают высокой прочностью, эластичностью,
г способностью противостоять воздействию светопогоды, различным
[, эксплуатационным факторам, микробиологическому разрушению и
т.п.

Важнейшими показателями физико-механических свойств нитей
являются удельная прочность и жесткость. Под удельной прочностью

Ру понимают отношение разрывной нагрузки нити Рр к ее погонному
весу у (Ру = Г?/ у). Жесткость выражает способность нити сопроти-

вляться деформации (растяжению): чем выше жесткость нити, тем
меньше ее удлинение при разрыве. В табл. 1 даны значения удельной
прочности нитей, выработанных из различных материалов.

Таблица 1

Исходное сырье	з  Удельная прочность волокна, 10 м
Капрон		15.8-17.4
Нейлон	14.8-15.9
Натуральный шелк	10.4-14.8
Хлопок	5.0-9.2
Искусственный шелк		4.2-5.5

Видно, что наименее прочными материалами являются хлопок и
Искусственный шелк, а наиболее прочными — капрон и нейлон.

Кроме указанных выше важными характеристиками являются
также величины, описывающие изменения прочностных свойств
итей. связанных с выносливостью, долговечностью и циклическим
рагружением. В парашютостроении они характеризуются коэффи-
циентами прочности а, которые определяются из эксперимента.
Остаточная прочность нити на разрыв Р после воздействия на нее
каких-либо факторов находится из соотношения Р^ — аР^

Следует также отметить, что применительно к нитям целесо-
образно рассматривать прочностные зависимости в терминах «на-
грузка-деформация». Это объясняется тем, что экспериментально
оценить напряжения, возникающие в нитях, трудно, так как имеются
существенные отличия от нахождения аналогичных характеристик в
механике твердого тела. Например, для нитей трудно сохранить пос-
тоянство напряжений во время испытаний, так как в них при растя-
жении развиваются упругая, вязкая и пластическая деформации.

§ 4.2.	Ленты и шнуры

Из лент и шнуров изготавливаются основные силовые элементы
парашютов: стропы, звенья, каркас купола.

Важнейшими характеристиками применяемых в парашютостро-
ении лент и шнуров, являются высокая прочность (разрушающая на-
грузка может достигать нескольких тонн), малая масса (масса одного
метра ленты, как правило, находится в пределах от 10 до 100 г в
зависимости от типа ленты), стойкость к различным эксплуатацион-
ным факторам (температуре, влажности, ожигаемости и т. д.).

При конструировании парашютов предпочтение отдается мате-
риалам, обладающим не только высокими прочностными свойствами,
но и повышенной растяжимостью. Это объясняется тем, что такие
материалы лучше работают при динамическом нагружении и обес-
печивают более равномерное распределение натяжений (растяги-
вающих усилий) в элементах конструкции. По этому показателю
материалы из полиамидных волокон существенно превосходят все
другие. Так, деформация лент при разрыве гр составляет для капроно-
вых материалов 20-40%; для лент из натурального шелка 10-20%;
для хлопчатобумажных лент 5-25 %; для лент из искусственного шел-
ка 15-20%.

На рис. 4.1а представлена типичная диаграмма нагрузка-дефор-
мация для капроновых материалов. В отличие от подобных диаграмм
для металлов зависимость Р* = /(с) (Р* == Р/Рр, Р — растягивающая
нагрузка) для капроновых материалов не имеет ярко выраженного
линейного начального участка. Это объясняется тем, что в первые
моменты времени при приложении нагрузки к текстильному образцу
в нем происходит упорядочение взаимного расположения нитей
основы и утка, сглаживание неоднородностей, обусловленных как не-
однородностью у работок нитей основы, так и разбросом упругих ха-
рактеристик отдельных нитей. Кроме этого, природа полиамидных
материалов такова, что элементы структуры (молекулы и фибриды в
волокнах, волокна в нитях) слабо ориентированы вдоль продольной
оси нити. В начале деформации происходит ориентация внутренней
структуры материала нити, затем этот процесс стабилизируется; на
диаграмме нагрузка-деформация появляется прямолинейный уча-
сток.
Рис. 4.1. Диаграммы деформирования Р*(г) при растяжении (а) и циклическом
нагружении (б) капроновых материалов

Характер зависимости Р* = /(с) не меняется при изменении ско-
рости деформации. Однако диаграммы нагружения и разгрузки
капроновых материалов сильно различаются между собой, что объяс-
няется так называемым явлением гистерезиса (рис. 4.16). Видно, что
после первого цикла нагружения (нагрузка-разгрузка, петля /) оста-
ются значительные остаточные деформации. Последующие петли 2,
3, 4 на диаграмме более узкие и крутые, чем предыдущие, т. е. в
процессе нагружения материал становится более жестким.

В заключение отметим несколько общих закономерностей, отра-
жающих влияние эксплуатационных факторов на прочностные ха-
рактеристики парашютных материалов.

1.	Под действием светопогоды прочностные свойства шелковых
материалов ухудшаются в большей степени, чем свойства хлопчато-
бумажных и капроновых.

2.	При прочих равных условиях капроновые материалы ожигают-
ся сильнее, чем хлопчатобумажные и шелковые.

3.	Капроновые материалы обладают сравнительно невысокой
стойкостью к действию повышенных температур. Уменьшение раз-
рывной нагрузки наблюдается уже при температуре 45-50 °С. При
температуре, превышающей 120 °С, в материале наблюдаются необ-
ратимые деструктивные процессы, приводящие к потере прочности
тем большей, чем больше время выдержки материала в условиях по-
вышенной температуры.

4.	Хлопчатобумажные и шелковые материалы при температуре
выше 100-120 °С обладают большей термостойкостью, чем капроно-

вые.

§	4.3. Физико-механические характеристики тканей

Основными показателями прочности ткани являются разрывная
нагрузка Рр, абсолютное удлинение А/ и относительная деформация
Рис. 4.2. Кривые деформирования Р*(с) технической ткани арт. 56307П при раз-
личных значениях К (а) и их аппроксимация линейными элементами Максвелла (6) :
сплошные линии — эксперимент, • — расчет по модели Максвелла; Д — датчики

е = А// / (/ — длина образца) стандартной полоски ткани шириной
0,05 м и длиной 0,2 м. Показатели прочности ткани определяются
отдельно по основе и утку. Механические испытания технических
тканей ведутся при одноосном нагружении. Полоски вырезаются
вдоль основы и утка; по этим же направлениям осуществляется и
нагружение образцов.

Типичная диаграмма деформирования образца из технической
ткани арт. 56307П при растяжении вдоль основы показана на рис. 4.2а
(К = оо, к = Р^/Ру Р^ и Р2 — растягивающие усилия соответственно
вдоль основы и утка). На этой диаграмме можно условно выделить два
участка. Для первого участка (0 < Р* < 0,8; Р* = Р/Рр) характерным
является проявление с самого начала процесса нагружения упругих и
вязких свойств материала тканей; в диапазоне 0,8 < Р* < 1 домини-
рует пластическая деформация.

В парашютостроении применяются ткани с различными массовы-
ми и прочностными характеристиками, с различной воздухопрони-
цаемостью. Наиболее легкие из широко используемых капроновых
тканей имеют удельную массу до 35 г/м2, наиболее тяжелые — до
200 г/ м2. Разрывная нагрузка стандартного образца меняется в пре-
делах 350-2000 Н.

На практике наибольшее распространение получила модель тка-
ни, основанная на эксперименте по одноосному нагружению. Ткань
представляется набором идеально упругих независимых нитей (осно-
вы и утка). Нити основы характеризуются модулем упругости Е{, а
утка — Е2. Задание модулей Е{ и Е2 происходит по диаграммам
нагрузка—деформация, полученным в экспериментах. Если нужно
исследовать область больших деформаций, где существенно сказы-
ваются эффекты вязкости и пластичности, то диаграмма Р* — /(е)
представляется в виде кусочно-линейной функции, отдельные уча-
стки которой характеризуются несколькими модулями упругости.

Однако во многих расчетах точность указанной модели дефор-
мирования ткани недостаточна. В этих случаях необходимо исполь-
зовать модель двухосного напряженно-деформированного состояния.
Отметим, что имеются работы, где деформационные свойства мате-
риалов (в основном пленочных) изучаются на основе двухосного на-
гружения крестообразных образцов [59, 101]. В них вязкоупругие
свойства материала исследуются с учетом взаимного влияния натя-
жений по основе и утку.

На рис. 4.2а представлена серия экспериментальных кривых
Р* = /(е*) (г* = с/гр, где — деформация разрыва), полученных на
крестообразных образцах из ткани арт. 56307П при разных соот-
ношениях растягивающих усилий вдоль основы Р, и утка Р2. Видно,
что характер деформирования тканевого образца в значительной сте-
пени определяется уровнем действующих в образце вдоль основы и
утка растягивающих усилий.

Принимая во внимание данные рис. 4.2а, а также то, что кон-
струкции из тканых и резинотканых материалов работают в основном
в условиях двухосного напряженного состояния, можно сказать, что
математическую модель их поведения при внешнем воздействии не-
обходимо формировать с учетом особенностей деформирования ма-
териала при сложном нагружении. На это обстоятельство впервые
было обращено внимание в работе [26].

Учитывая тот факт, что реальные конструкции из тканых ма-
териалов работают при нагрузках порядка 0,2-4),5 Рр, будем считать,
что деформация ткани содержит упругую и вязкую составляющие.
Деформацию самой ткани будем аппроксимировать линейными эле-
ментами Максвелла [17], располагая их вдоль нитей основы и утка и
по диагонали (см. рис. 4.26). Соотношения, описывающие данную
модель, имеют вид

б&з	б7г1 р10 4- гЛ 1 (1е2 /х20 + е2

(11 ~ (11 I Х_ 4- е I (11 I х 4- е

' Ом О'	' Ом

(4.1)

(1е.	1 сОУ. Л.

1	1 1 . 1.

Ш = -Ё.~аГ + ^’

1 = 1,3,

где г., № — соответственно деформация и натяжение элементов в 1-м
направлении 0=1 — вдоль основы, 2 — вдоль утка, 3 — по диаго-
нал и); х.ц — относительные начальные линейные размеры элементов;
К, г}. — соответственно модуль упругости и коэффициент ползучести
в 1-м направлении. Система уравнений (4,1) сформирована на основе
предположения о сохранении прямого угла при вершине В (см. рис.
4.26) в процессе нагружения модели. Поэтому

(Хю +	+ (л20 4- е2) = (*30 + с3) .	(4 2)

Далее примем, что деформационные характеристики материала ткани
слабо зависят от скорости нагружения (до = 10 с'1) » т. е.

Т]^ = сопз!

(4.3) %

Параметры модели Максвелла 2? и т]. определяются из условия мини-
мума функционала

——- = 0
ЭК ду.

(4.4)

который строится по данным испытаний тканевых образцов на одно-
осное растяжение (отдельно по основе и утку) в виде уравнения:

«	2

/=1

(4.5)

В (4.5) уДл\) — экспериментальные данные (текущие значения) одно-
осного растяжения образцов; — параметры удлинения и укоро-
чения соответствующих линейных элементов модели Максвелла.

Уравнения (4.4) в развернутом виде можно записать так:

ч
дЕ.
г
у,

= 0;

V

1 '/•

е _ л/ ,	_

а ч\е. 2у.

Ли. = 0;

Ч]

(4.6)

1 ь

V

где I. — текущее время; I = 1,3, / = 1, п.

Алгоритм нахождения параметров Е. и т]. строится следующим
образом. Примем, что прикладываемое к образцу растягивающее уси-
лие нарастает за конечный ингервал времени по закону: Р = р1. По
значениям величин Р^., и Р^., е^., полученным при испытаниях
образцов на одноосное растяжение по направлениям соответственно
вдоль основы и утка, используя (4.6), вычисляем Е^ и Е? т]2.
Далее, полагая в схеме рис. 4.2б длины элементов *10 = *20 = 1
= •/2), по (4.2) находим деформацию диагонального элемента

Еа..

3/

Затем составляются уравнения равновесия для шарнирно опертой
фермы ЛВС, нагруженной растягивающими усилиями Р® и Р®. Усилия
в стержнях АВ и ВС находятся через параметры Е^ Е? Остальные
реакции опор, усилие в диагональном элементе и нагрузка Р°}
ищутся из решения уравнений равновесия фермы АВС при Р® = 0. По
известным и из уравнений (4.6) определяются параметры
диагонального элемента После этого сравниваются значения
усилий и с экспериментальными значениями усилий Р^.

В случае их различия осуществляется корректировка усилий и
/V? при сохранении значений деформаций е и е и повторяется про-
гу	1/	2/

цедура нахождения параметров Е., у. до выполнения условия

I л^т+1> - № I < д0, I = 1, 2; / = М,

где <$0 — наперед заданная погрешность, т — номер итерации.

Возможности построенной таким образом расчетной модели де-
формирования ткани иллюстрируются данными обработки резуль-
татов испытаний технической ткани арт. 56307П при двухосном
растяжении (рис. 4.2а). Видно хорошее отслеживание моделью Макс-
велла результатов опытов до # = 0,8Рр. Отклонение расчетных точек
от экспериментальных кривых не превышает 4-6%.

В последнее время в парашютостроении начали применяться пле-
ночные материалы. В основном это полиэтиленовые пленки. Купол
парашюта изготавливается из пленки, каркасированной лентами. Та-
ким образом, силовой каркас выполняется по-прежнему из лент, а
купол, воспринимающий распределенную аэродинамическую нагруз-
ку, из пленки Основным достоинством таких парашютов является их
низкая стоимость.

§ 4.4. Воздухопроницаемые свойства парашютных тканей

Одним из наиболее важных свойств технических тканей, которое
оказывает существенное влияние на процесс раскрытия парашюта,
Величину действующей на него при раскрытии максимальной аэро-
динамической нагрузки и его напряженно-деформированное состо-
нне, является воздухопроницаемость.

Рассматривая общие закономерности протекания газообразной
।(жидкой) среды через технические ткани, можно установить [83, 84],
что изменение давления р при приближении к ткани происходит по
направлению нормали к ее поверхности, при этом для нормальной
компоненты скорости протекания газообразной среды V и касатель-
ной IIимеют место соотношения

I/ =17 -А _"_0_

Т п д	Ор

(4.7)

где (1^ — характерный поперечный размер нити основы; <5 — ширина
областей протекающего через ткань потока до нее и за ней, в которых
силы инерции и силы вязкости имеют одинаковый порядок; р — плот-
ность среды; р — динамическая вязкость; (1^/д « 1.

Записывая законы сохранения массы и импульса для произволь-
ных сечений трубки тока до ткани и за ней, можно показать [84], что
сила воздействия потока на единицу площади тканевой поверх-
ности равна перепаду давлений Др, если замеры давлений до ткани и
за ней проводятся за пределами «5-областей.

Связь между перепадом давлений, действующих на ткань, и
скоростью протекания газообразной среды I/ устанавливается в ре-
зультате обработки экспериментальных данных, полученных на спе-
циальных приборах. При этом замеры давлений до ткани и за ней
проводятся за пределами «5-областей. Установлено [84], что величины
Др и II связаны соотношением

Рис. 4.3. Зависимость величины с,,1сГ1, от числа Рейнольдса Ке

“о	*
	С^~ рУ2п	<4 8)

где — безразмерный коэффициент сопротивления ткани

На рис. 4.3 представлены аппроксимационная кривая с^1 сц/ —
о

== 1 + 1/Ке* (Ре* = Упрц(1*/р) и экспериментальные точки с^/с^ и

Ре , каждая из которых является результатом осреднения опытных
значений не менее чем для 20 образцов. Видно, что эксперименталь-
ные точки хорошо ложатся на аппроксимационную кривую.

Зависимость (4.9) можно трактовать как записанный в форме
характеристик сопротивления закон протекания газообразной (жид-
кой) среды через ткань. При этом каждая ткань характеризуется
двумя параметрами: безразмерным коэффициентом сопротивления
ткани си,, являющимся характеристикой сопротивления ткани при
о

числе Рейнольдса	и параметром имеющим размерность

длины, который можно рассматривать как эффективный диаметр ни-
ти, использованной для выработки ткани. Значения параметров	и

о

для различных тканей помещены в табл. 2.

Таблица 2

Номер ткани	ч		Номер ткани	ч	
	161	0,0200	6	57	0,0126
		  2	81	0,0173	7	264	0,0366
3	349	0,0087	8	710	0,0206
4	87	0,0340	9	1411	0,0403
5	102	0,0155	10	69	0,0139
Раздел второй

АЭРОДИНАМИКА ПАРАШЮТА

Глава 5

ДОЗВУКОВЫЕ СКОРОСТИ. МЕТОД ДИСКРЕТНЫХ
ВИХРЕЙ

§ 5.1. Математическая формулировка задачи

Схематизация отрывных нестационарных течений, имеющих
место при обтекании системы объект—парашют несжимаемой иде-
альной средой, осуществляется в соответствии с общим подходом,
изложенным в работе (10]. При этом нелинейные задачи аэродина-
мики решаются численно на ЭВМ методом дискретных вихрей.

Рассмотрим осесимметричное отрывное нестационарное обтека-
ние бесконечно тонкой, проницаемой, деформируемой поверхности,
движущейся в идеальной несжимаемой среде (рис. 5.1).

Пусть в момент времени I = 0 профиль X начинает поступатель-
ное движение со скоростью 11(1). При этом с его острых кромок сходят
вихревые пелены иа2.

Введем инерциальную систему координат Оху? и жестко связан-
ную с профилем систему координат О^у^. Оси Ох и	перпенди-

кулярны плоскости чертежа. Поверхности тангенциального разрыва
скорости, эквивалентные вихревым поверхностям, опишем уравне-
ниями а.(х, у, г, I) = 0 , где / (г = 1, 2,...) — номер поверхности.

Рис. 5.1. Стандартная система координат
Предположим, что вне обтекаемого тела и следа за ним течение
является безвихревым. Тогда для потенциала возмущенных скоро-
стей Ф(х, у, 2, I) вне 2 и а. справедливо уравнение Лапласа:

АФ = 0,	(5.1)

д2	д2	д2	„

где А = —т + —т + —о — оператор Лапласа.

дх2 ду2	дг2

Граничное условие протекания жидкости через профиль будет
иметь вид

(УФ - Vе)п = 1Гпу	(5.2)

где V =	1 +	4- к — оператор Гамильтона; Vе — переносная

। скорость движения жидкости; Ц* — скорость проницания жидкости
через поверхность 2; п — орт нормали к поверхности 2.

При переходе через поверхности вихревого следа должны выпол-
няться условия непрерывности давления и нормальной составляющей
абсолютной скорости движения жидкости:

р_ = р+; (УФ п)_ = (УФ л)+; (х, у, г) е а..	(5.3)

Здесь р — давление, индексы «+» и «-» относятся к разным сторонам
вихревых пелен а.

[ На острых кромках Ь (/ - 1, 2) профиля 2, с которых сходят
вихревые следы а., выполняется гипотеза Чаплыгина-Жуковского о
конечности скоростей:

р_ = р+; (УФ л)_ = (УФ л)+; (х, у, г) Е Ь.; Ь. Е 2 О а... (5.4)

Кроме того, принимается, что на бесконечном удалении от 2 и а.
жидкость находится в покое:

11т УФ = О,	(5.5)

1де К -	(х2 + у2 + х2).

Уравнение (5.1) с граничными условиями (5.2)-(5.5) должно вы-
 подняться в течение всего времени движения профиля. Задача явля-
ется нелинейной и нестационарной. Искомый потенциал Ф(х, у, г, /)
| может быть определен, если известны скорости Vе, Ц* и положение
вихревого следа.

Отметим, что переносная скорость движения жидкости Vе обусло-
| клена поступательным движением обтекаемой поверхности как жест-
I кон целого (например, относительно центра масс) со скоростью V и
В. Се деформацией со скоростью Ц^. Таким образом, Vе = У + Ц^.
Для решения сформулированной задачи заменим поверхности 2 и
о. непрерывными вихревыми слоями с напряженностями уу и Уо соот-
ветственно. Поле скоростей, вызванное этими слоями, удовлетворяет
уравнению Лапласа (5.1) и граничному условию (5.5).

Представим след за телом в виде свободной вихревой поверхности.
В этом случае по теореме Жуковского «в малом» [9] на ней будет
отсутствовать перепад давлений и, следовательно, выполнится усло-
вие (5.3).

Таким образом, для определения у^ и у^ достаточно удовлетворить
граничному условию (5.2), постулату Чаплыгина-Жуковского (5.4),
начальным условиям, а также теореме Томпсона о неизменности во
времени циркуляции по жидкому контуру.

Для выполнения перечисленных условий необходимо знать ско-
рости I/, и Ц*, а также форму вихревого следа. Об определении
скоростей 17, и [/* будет сказано ниже. Положение следа опреде-
ляется следующим образом. Если в момент времени I = 0 известно
положение поверхностей <7., то в произвольный момент времени I ее
координаты будут:

I

х(1) = х(0) + / ц°ха(;

о

I

ХО = ХО) + / ц°уац	(5 6)

О

I

хо = ХО) 4 / Ц°Л,
о

где 6^,	— компоненты относительной скорости частицы жид-

кости. Важнейшей аэродинамической характеристикой купола пара-
шюта является распределение нагрузки по его поверхности. Для его
нахождения воспользуемся интегралом Коши-Лагранжа в форме [52]

2	2

+	+ р =	(5'7)

где д/д1 — частная производная по времени в подвижных осях; 17® —
вектор относительной скорости движения жидкости; р — плотность
среды; Р(1) — произвольная функция времени.

Полагая, что на большом удалении от тела

дФ

— = 0; </а = 0; р = рк,	(5.8)

где Уа = V0 + Vе — абсолютная скорость среды, получаем
= р«/р-

С учетом соотношения (5.9) выражение (5.7) примет вид

р -	г/*2 - (А оф

р ~	2 дГ

(5 9)

(5.10)

Для вычисления перепада давлений Ар применим уравнение
(5.10) к обеим сторонам поверхности X:

△р = р+ -р_ =р

ГО? - О?

2



(5.11)

Преобразуем (5.11). Примем положительное направление осей п
и г, как показано на рис. 5.1. Связь между предельными значениями
относительных скоростей на разных сторонах поверхности 2 и интен-
сивностью вихревого слоя имеет вид [9]

= ц°. - I/0 ,
'2. т+ т-’

(5.12)

где [Р — касательная составляющая Используем также соотно-
шение

(5.13)

где цР — касательная составляющая относительной скорости в точке,
принадлежащей вихревому слою. Принимая во внимание соотноше-
ния (5.12) и (5.13), будем иметь

2	2	2	2	2	2

2	2	2	2	2	2

= (^+ - ^_) + « - ^_) = 2^ + (С -	(5.14)

Здесь — нормальная составляющая относительной скорости в точ-
ке, принадлежащей вихревому слою. Если считать, что не терпит
[ п
разрыва	»то (5.14) упростится

2	2

^-^=21?^.	(5.15)

Рассмотрим циркуляцию скорости по замкнутому контуру Ь
(см. рис. 5.1), пересекающему вихревую систему только водной
точке:
г, = Г и <18 = Г = ф - ф±
к	к

(5.16)

Подставляя (5.15), (5.16) в (5.11), получаем

Др=-р ^у .	(5.17)

I Т 2.	1

Или, учитывая, что- = I) - 17* -	, преобразуем выражение

(5.17)	к следующему виду:

	ЭГ '

(5.18Р

Таким образом, решая уравнения (5.2) и (5.18) с учетом (5.4),
определяем характеристики вихревого следа за телом и действующие
на него нагрузки. Прежде чем переходить к решению уравнений (5.2)
и (5.18), сделаем некоторые преобразования.

Введем безразмерные параметры

х. = х/7?0; уф = у/Л0; х. = г//?0; I/. = VIV; И^=ЦЛ/и-,

^а. = иа/У\ г = гусшу; у = у^; ? = ф/((/я0);	(5.19)

7	1г

Г1 = Г^/СПЯд); До. = 2Др/(рП2); т = ± / V <11,

О

где 7?0 — характерный линейный размер.

Введем безразмерную функцию

ш = 4лЛ0</а/Г2.	(5.20)

дГ

С учетом (5.19) частную производную можно записать в виде

ЭГ- /аГ. д1Л

-1Г=[-дГи + г1-^]и-	<521>

Подставляя соотношения (5.19) и (5.21) в (5.18) и опуская у без-
размерных величин звездочки, имеем для безразмерного перепада
давлений выражение

Г/ л	дТ\ Г’дЦ

Ьр=-2 (Ц -в ~	- -Гу-^г

\ а* т т/г	дт	II дт

(5.22)

Для нахождения II спроецируем составляющие II на касательную:
ат	а

^ат = Уах 8‘П	+ ^ау 8*П (п’	+ Уаг 8'П	2)’	(5 23)

где п — нормаль к поверхности.
Граничное условие (5 2) примет вид

(У<р - V -	= Ц* п.	(5.24)

Если считать, что жидкость протекает через поверхность по нормали
к ней, то Ц* • п — Ц* и выражение (5.24) преобразуется к виду

17 - 17 -	= ц*.	(5.25)

лп. п п

Здесь индекс п означает проекцию на нормаль, например

11 = 11 соз (л, х) + 11 соз (л, у) + 11 соз (л, г. ).	(5.26)

ап ах '	' ау 4 ' ' ах х '

Таким образом, ь безразмерном виде вихревые структуры описы-
ваются уравнением (5.25), а распределенные аэродинамические на-
грузки вычисляются по (5.22).

Скорости 11 удобно вычислять через безразмерные функции су,
определяющие скорости, вызванные различными вихревыми систе-
мами: вихревым шнуром, кольцевым вихрем, вихревым отрезком,
вихревой рамкой. Связь скоростей 11 и а> выражается соотношением
а

(5.20), которое можно преобразовать к виду

Г

(/ =7-<у
а 4л

(5.27)

В данной монографии рассматриваются плоские, осесимметрич-
ные и пространственные течения жидкости. Для их математического
моделирования используются вихри бесконечного размаха, кольце-
вые вихри, вихревые отрезки и образованные из вихревых отрезков
вихревые рамки Основные соотношения для указанных вихревых
структур приведены в работах [10,52].

8 5.2. Отрывное нестационарное обтекание парашюта

Суть метода дискретных вихрей заключается в переходе от непре-
рывных распределений характеристик течения к дискретным. Вихре-
вой слой заменяется системой дискретных вихрей. В случае плоского
течения —это вихревые шнуры. Осесимметричное течение модели-
руется кольцевыми вихрями. При пространственном обтекании ис-
пользуются вихревые рамки различной конфигурации, состоящие из
вихревых отрезков.

Граничные условия удовлетворяются в расчетные моменты вре-
мени в определенных контрольных точках профиля Аэродина-
мические нагрузки и положение вихревого следа также меняются
скачкообразно, оставаясь постоянными в течение интервала времени
между двумя шагами.

При решении задач аэродинамики парашютов наиболее часто ис-
пользуются осесимметричные и пространственные течения. Рассмо-
трим основные соотношения метода дискретных вихрей на примере
(Этих течений.
5.2Л. Осесимметричное обтекание. Поверхность вращения X
моделируется системой п суммарных кольцевых дискретных вихрей
напряженностью Г , расположенных на линиях р (1 < р < п) (рис.
5.2а). Сход с поверхности 2 свободных вихрей образует вихревую
пелену а., которая моделируется свободными вихрями напряженно-
стью д5. ($ = 1,р, где р — расчетный момент времени). Граничное
условие (5.25) выполняется в контрольных точках, расположенных
на линиях V (1 < р < и + т, где т — число острых кромок тела, с
которых сходят вихревые пелены).

Выбор положения контрольных точек и суммарных кольцевых*
вихрей производится следующим образом. Образующая тела делится
на п участков равной длины. Контрольные линии располагаются на
границах этих участков, а суммарные кольцевые вихри — посередине
между контрольными линиями.

Ближайшие к кромкам тела свободные вихри располагаются на
конусах, касательных к кромке тела, симметрично ближайшему сум-

Рис. 5.2. Вихревая схема системы объект-парашют

I
мирному вихрю Такое расположение вихрей и контрольных точек
обеспечивает выполнение гипотезы Чаплыгина-Жуковского, так как

последняя точка, где удовлетворяется граничное условие о конеч-
ности скоростей, находится на кромке поверхности, и при п -* °° воз-
мущенные скорости на ней будут конечны.

Безразмерный шаг по времени Ат можно определить из гипотезы
Чаплыгина-Жуковского (5.4). Однако методические расчеты показы-
вают, что при численной реализации можно использовать постоян-
ный шаг по времени

Ат = 1/и,

(5.28)

что существенно упрощает решение задачи, так как позволяет избе-
жать длительного итерационного процесса.

Выразим скорость в точке с координатами у(х, у) через цирку-
ляции суммарных и свободных вихрей для р момента времени. Систе-
ма суммарных вихрей индуцирует в точке г(х, у) скорость

1	п

Е 4л /Л ду
д=1

(5.29)

Скорости в точке р(х, у), вызванные г-й вихревой пеленой, будут

1 Р

МР)= ’ V <5%. .

2	4л I ип>
5=1

(5.30)

Здесь ш	— безразмерные скорости, вызванные кольцевыми дис-

кретными вихрями, которые вычисляются по известным формулам
[10]. Соотношения (5.29), (5.30) справедливы и для проекций ско-
рости на оси х и у, поэтому в этих выражениях индексы х и у опущены.
Подставляя уравнения (5.29), (5.30) в (5.25) и проецируя ско
рости на нормаль к поверхности, получаем систему уравнений от-
носительно циркуляций. Эта система дополняется уравнениями о
Постоянстве циркуляций по замкнутому контуру (теорема Томпсо-
на). Следует учесть, что если поверхность вращения имеет только
одну острую кромку, то теорема Томпсона выполняется автомати-

чески.

Опуская промежуточные выкладки, приведем для момента
времени р уравнения, по которым определяются циркуляции при осе-
симметричном отрывном обтекании поверхности. Считая в аэро-
динамическом плане парашют поверхностью вращения, используем
приведенные выкладки для расчета осесимметричного отрывного об-
текания круглого парашюта.

Рассмотрим два случая: 1) осесимметричное отрывное обтекание
жесткого непроницаемого парашюта, движущегося с постоянной ско-
ростью; 2) осесимметричное отрывное обтекание деформируемого
непроницаемого парашюта с грузом, движущегося с переменной ско-
ростью
1.	Осесимметричное отрывное обтекание жесткого непроница-
емого парашюта, движущегося с постоянной скоростью. Пусть па-
рашют имеет две острые кромки, с которых сходят вихревые пелены
(нижняя кромка и полюсное отверстие (см. рис. 5.2а). В этом случае
система уравнений для определения циркуляций Г будет иметь вид

л	2	2 Р-1

V Г^а + У др.с№ = — 4л соз (л, х) - У У <5*а^;
и ил>	ку	' 'V	к V

/4=1	Л=1	Л=1 5=1

(5.31)

п	2	р=1 2 

р=1	*=1	5=1 Л=1

Индекс к в уравнениях (5.31) указывает номер вихревой пелены; ко-
эффициенты и а1* вычисляются по формулам

а = со соз (л, х) + со соз (л, у) ;

(5.32)
соз (и, х\ + сот (л, у\.

На каждом временном шаге система (5.31) содержит (п + 2) неизвест-
ных, для их определения имеем (п 4- 2) уравнений.

Положение свободных вихрей в момент времени т + Ат находим
из уравнений (5.6). Вычисляя интеграл (5.6) по формуле Эйлера,
получаем

х(т + Ат) = х(т) + Ат р + ^(т
У(Т + Ат) = у(т) + АтС^(т).

(5.33)

Смысл величин	ясен из уравнений (5.6); определяются они

с помощью формул (5.29) и (5.30).

Запишем дискретный аналог формулы (5.22) для определения пе-
репада давлений в точке р = е:

п

Др^ = 2п	- <??) •

(5.34)

Интегрируя перепад давления Ар по куполу и проецируя полу-
ченный результат на ось Ох, определяем коэффициент сопротивле-
ния парашюта сп

п ри2р ’

Г п

(5.35)

где — суммарная нормальная сила; ?п — площадь поверхности
парашюта.
Аналогично вычисляем коэффициент сопротивления с<

I с*

где 5 — площадь миделя парашюта.

Суммарная нормальная сила находится по формуле

к
о

= 2л / Др сох (л, х)ус11,

0

(5.36)

(5.37)

где 7?0 — раскройный радиус парашюта; I — образующая купола.

2.	Осесимметричное отрывное обтекание деформируемого не-
проницаемого парашюта с грузом, движущегося с переменной
скоростью. Пусть 2\(х, у,1) = 0 — уравнения поверхности купола
(/ = 1) и груза (/=2). Вихревые поверхности опишем уравнениями
сг.(х, у, I) = 0, где индекс I обозначает номер вихревой пелены, сходя-
щей с / -го тела (см. рис. 5.26).

В этом случае уравнения (5.31) для нахождения циркуляций сум-
марных вихрей, моделирующих груз и купол, в общем случае будут
иметь вид

к	п.	т

У	У Г(р)а(р) + У	=

Х-г	р иг 2-г у ги

г ,= 11^=1	«	у=1 /Л

к т. р-1

2	<5.38)

С	1	1 Л 1=1 /=1 5=1	1

п[	т{	р-1 т

у г(₽) + у $(р)р = _ у у улк

р	У	Х-4 у ’

Р=1	1	/=1	5=1 /=1

г. = 1, 2,..., пэ + т:, р=1,2,...; /=1,т.; /,/=!,&.
III	I

Здесь — проекция скорости деформационного движения купола на
Вюрмапь; т. — число вихревых пелен, сходящих с /-го тела. Второе

Уравнение (5.38) следует записывать только в том случае, если

Следует учесть, что коэффициенты и с^р.Т^5 в (5.38), вычи-
сляемые по формулам, аналогичным (5.32), меняются во времени и
ребуют определения на каждом временном шаге.
Поясним индексацию в (5.38). Верхний индекс в скобках обозна-
чает момент времени, в который определяются те или иные харак-
теристики; Г — циркуляция суммарного вихря, расположенного в
точке/л. (на /-Й поверхности); <5^5 — циркуляция свободного вихря,
сошедшего в момент времени 5 с у-й поверхности; — коэффи-
циент, определяемый по (5.32) и относящийся к точке поверхности
и вихрю, сошедшему в момент времени 5 с /-го тела с у-й кромки..

Система (5.38) в общем случае содержит (и1 + п2 4-... +	+

+ т2 + ...) уравнений и столько же неизвестных. Из уравнений (5.387
могут быть получены различные частные случаи.

При нахождении характеристик течения на (р + 1)-м временном
слое необходимо производить пересчет циркуляций свободных вих-
рей, так как если скорость движения системы V переменная, то без-
размерные значения циркуляций свободных вихрей будут меняться.
Формулы пересчета циркуляций имеют вид

<5(/>+1)* = №

Ч Ч ц(Р+1У

(5.39)

5.2.2. Пространственное обтекание. При пространственном об
текании гидродинамическая замкнутость вихревой системы обес-
печивается применением замкнутых вихревых рамок, каждая из
которых моделирует отдельный охватываемый ею элемент вихревых
поверхностей X и а.

Пусть и — общее число таких рамок на поверхностях X и о
соответственно. Тогда вектор скорости V определяется суммирова-
нием скоростей от всех этих рамок по формулам (5.29), (5.30).

Введем матрицы скоростей

----	----- (5.40)

1}о=^шпа1^ '=1.^;/=!.^

Тогда уравнения типа (5.31) запишутся в виде

= В -	<5.42)
Равенство (5.42) рассматривается как система линейных алгебра-
ических уравнений для определения циркуляций	на

поверхности 2.

Условие Чаплыгина-Жуковского на заданных участках Ь выпол-
няется следующим образом. В случае, если вихревая пелена а сходит
с поверхности 2, соответствующая циркуляция Г полагается равной
разности циркуляций соответствующих вихревых рамок, примыка-
ющих к линии схода:

Г = Гу -Гу ,	(5.43)

°и
*	*2

которые берутся с предыдущего расчетного шага. При сходе вихревой
пелены о с кромки поверхности 5 циркуляции Г присваивается зна

чение соответствующей примыкающей к ней циркуляции Гу , получа-
емой на предыдущем расчетном шаге.

§ 5.3. Учет проницаемости ткани купола

Из практики парашютостроения хорошо известно, что проницае-
мость ткани оказывает существенное влияние на работу парашютной
системы. Так, например, парашют, изготовленный из проницаемой
ткани, испытывает меньшие нагрузки и более устойчив в потоке, в то
время как парашют с большой воздухопроницаемостью ткани может
в юбще не раскрыться.

Воздухопроницаемость технических тканей будем характеризо-
вать соотношением (4.8). Если обозначить через 1/0 некоторую харак-
терную скорость потока, то зависимость (4.8) в безразмерной форме
можно записать в виде

Др = си и2
где й= I/ /Ц.
I	п О



(5.44)

Отрывное нестационарное обтекание проницаемых поверхностей
исследуется с использованием модели равномерно проницаемой по-
верхности, учитывающей завихренноегь потока после его протекания
Через поверхность. Эта равномерно проницаемая поверхность облада-
ет в потоке следующими свойствами. Эффекты вязкости везде вне
поверхности малы и ими можно пренебречь. На самой поверхности
скорость протекания Ц связана с перепадом давлений Др соотноше-

нием (5.44). Жидкий контур после прохождения через поверхность
Изменяет свою циркуляцию. При этом изменение циркуляции вы-
зывает соответствующее изменение значения разрыва касательной к
Поверхности составляющей скорости потока.

При отрывном обтекании проницаемого парашюта делается допу-
щение о том, что аэродинамический след от него можно представить в
Рис. 5.3. Схема отрывного
обтекания проницаемой повер-
хности

виде конечного числа вихревых пелен. При протекании потока через
поверхность 2 образуются еще вихревых слоев о*. В этом случае
постановка задачи будет аналогична описанной в § 5.1, но кроме вих-
ревых поверхностей 2 и свободных вихревых поверхностей о. добав-

ляются свободные вихревые поверхности сг* [86, 87].

При численной реализации предложенной схемы дополнительно
к отрывной нестационарной модели обтекания поверхности введем
систему свободных вихрей <5^ (и — 1, л), моделирующую завихрен-
ность потока после прохождения жидкостью поверхности 2 (рис. 5.3).

Система свободных вихрей строго говоря, должна строигься по
линиям тока. Однако, для удобства расчета, заменим ее двумя вихре
выми системами: системами др , сходящими по нормали к поверх-

ности, и системами др , движущимися вдоль поверхности.

Величину просачивающихся через поверхность вихрей др опреде-
ляют их условия сохранения циркуляции

р<Р“1) = рОО 4. $р

(5А5)

Положим^ = <5^ + <5^ . Тогда уравнение (5.45) можно записать в

виде

г(р-1) = г(р) + (5Р +(5р

(5АЬ)

А

V ГЩ Т/4

Пусть, кроме того, величины и др^ будут пропорциональны
соответствующим составляющим относительных скоростей движения
жидкости:
Рис. 5.4. Вихревая схема осесимметричного обтекания жесткой проницаемой
поверхности

др Ц° = др ц° .	(5.47)

Пр Т/4	Т/4 Пр

Дополняя систему уравнений для нахождения циркуляций урав-
нениями (5.46), (5.47), получаем систему уравнений для проницае-
мой поверхности

В качестве примера приведем систему уравнений для определения
циркуляций в случае отрывного обтекания жесткой проницаемой осе-
симметричной поверхности с полюсным отверстием (рис. 5.4):

п	2

У Мр>а + г>р ап +	а*1) + У дракр = -4л соз (п, х) -

\ р рг пр рг ФР*}	К *	\ ’ 7У

д=1	к=1

п р-1	р-1	2

-2 2 ^<"-2 2%

р—2 5=1	5=1	к=1

1<р) + др +<5₽=Г(р-1) (и = 2, и - 1);	(5.48)

р пр *р р	7

Г<р) + дрп1 + <5Р =

гЧр) + <5₽ +<5р +йр = Г(₽~1);

др ц° - др ц° = 0 (и = Гл).

пр тр тр пр	’ 7

Здесь коэффициенты а* имеют тот же смысл, что и в (5.32).

Разрешающая система уравнений (5.48) аналогична записанной
Для непроницаемой поверхности (5.31), но, как видим, в (5.31)
Имеется (п + 2) неизвестных, а в системе (5.48) в общем случае
(Зи + 1) неизвестных.

Однако существуют расчетные схемы [16]. где вследствие различ-
ных допущений порядок системы (5.48) понижен и ее решение упро-
щается.
§ 5.4.	Влияние проницаемости ткани на коэффициент
сопротивления изолированного осесимметричного
парашюта

Будем моделировать купол проницаемого осесимметричного па-
рашюта системой суммарных дискретных кольцевых вихрей, а
я

завихренность следа за ним — системой просочившихся <5^ и схо-
дящих с острых кромок <5^ (и = 0, п) свободных дискретных кольце-
вых вихрей, движущихся вместе с потоком по траекториям жидких
частиц (см. рис. 5.4). Видно, что наряду со сходяшими с острых кро-
мок поверхности свободными вихрями <5^, как и в обычной расчетное
схеме, здесь в каждый расчетный момент времени дополнительно об-
разуется система просачивающихся через поверхность свободных ви-
хрей <5^, которая сносится на некоторое расстояние А от обтекаемой
поверхности, где Л — мера дискретности схемы (см. рис. 5.3). Снос
этих вихрей на ту или иную орбиту (на внешнюю или внутреннюю)
определяется направлением перепада давлений.

На рис. 5.5 приведены развитые структуры следа за парашютом и
эпюры распределения гп репада давлений на них для момента вре
менит = 5,5. Как видим, наличие завихренной зоны вблизи проница-
емого тела несколько отодвигает от него свободные вихри, сошедшие с
острой кромки, по сравнению со случаем обтекания непроницаемой
тела. Перепад давлений в случае проницаемого купола распределен
более равномерно, что соответствует данным, полученным из физи-
ческого эксперимента и согласуется с картиной вихревого обтекания
купола. Свободные вихри, сошедшие с острых кромок парашюта (рис.
5.5, точки), дают основной вклад в Ар, так как обладают интенсивно-
стью, на порядок большей интенсивности свободных вихрей <5₽. Рас-

Рис. 5.5. Структуры следа за проницаемой и непроницаемой осесимметричными
поверхностями (точки) и эпюры распределения перепада давлений на них
Рис. 5.6. Изменение перепада давлений в полюсе купола парашюта в зависимости
от коэффициента с.17 для наиболее употребимых технических тканей: сплошная линия
о

— расчет; ♦ — эксперимент

полагаются они в случае проницаемого купола дальше от поверхности
и, следовательно, вызывают более равномерное распределение пере-
пада давлений.

На рис. 5.6 показано изменение перепада давлений Ар в полюсе
купола парашюта в зависимости от коэффициента для наиболее
о
употребимых технических тканей. Видно хорошее совпадение теоре-
тических и экспериментальных значений [87]

§ 5.5.	Аэродинамические характеристики парашюта в следе за
объектом

Система объект—парашют представлялась двумя жесткими полу-
сферами разных размеров: радиусами /?] (купол) и К2 (груз) (рис.
5.7а). Расстояние (1 между куполом и грузом выражалось через радиус
груза /?2 и в вычислениях варьировалось. Расчеты были выполнены
Для соотношения 2? / Л = 2 при числах суммарных вихрей =20,
п2 = 10-

На рисунках 5.7, 5.8 приведены вихревые структуры и эпюры
распределения безразмерного перепада давлений Ар при обтекании
системы объект—парашют для с1 = 4,851?2, 1}^ = сопзТ в различные
моменты времени.

В начале движения (т < 10, см. рис. 5.7а) поток обтекает купол
парашюта и груз как два отдельных тела: их вихревые структуры
[Взаимодействуют друг с другом слабо. С течением времени след от
гРуза начинает приближаться к куполу и вихревые системы парашю-
та и груза начинают сильно взаимодействовать друг с другом. Не-
сущие свойства системы при этом ухудшаются. Особенно большое
эродинамическое влияние на сопротивление купола груз оказывает в
У

Рис. 5.7. Вихревые структуры и эпюры безразмерного перепада давления системы
объект-парашют

момент времени т = 13 (см. рис. 5.76), когда оторвавшийся с кромки
купола поток начинает идти под купол. В этом случае перепад дав
лений по всему куполу может стать отрицательным. В последующие
моменты времени оторвавшийся с кромки парашюта поток опять идет
наружу. Вихревой след от груза начинает огибать купол, а перепад
давлений — расти (рис. 5.8). Между грузом и куполом образуется
зона, в которой циркулируют свободные вихри.

На рис. 5.9 показано влияние расстояния (1 на коэффициент
сопротивления парашюта сп в момент времени т = 10. Минимум

Рис. 5.8. Эпюры безразмерного перепада давлений на объекте и парашюте
Рис. 5.10. Вихревые структуры системы объект^парашют с полюсным отверстием
при т = 10

функции сп(т) имеет место при (1 = 1В.2 (наихудший вариант систе-
мы). Для сравнения на рисунке нанесены также экспериментальные
данные. Как видим, наблюдается удовлетворительное согласование
расчетных и экспериментальных результатов.

В рассмотренных примерах размеры груза были довольно боль-
шими; диаметр его миделевого сечения равнялся половине диаметра
миделевого сечения купола. При уменьшении радиуса груза К2 в слу-
чае = сопз! влияние груза на аэродинамические характеристики
системы в целом снижается.

Рассмотрим взаимное влияние груза и полюсного отверстия на
обтекание и аэродинамические характеристики системы в целом. В
этом случае с полюсного отверстия парашюта сходит третья вихревая
пелена. На рисунке 5.10 изображен вихревой след системы в момент
времени т = 10. Вследствие больших скоростей в отверстии внутреняя
пелена быстро разрушается, образуя дорожку, которая перемещается
с большой поступательной скоростью. При этом она подсасывает в
полюсное отверстие свободные вихри из дальней зоны следа за грузом.
Глава 6

БОЛЬШИЕ ДОЗВУКОВЫЕ И СВЕРХЗВУКОВЫЕ
СКОРОСТИ. МЕТОД КРУПНЫХ ЧАСТИЦ

§ 6.1.	Постановка задачи. Исходные уравнения

Одной из областей прикладной аэродинамики, где с успехом ис-
пользуется метод крупных частиц (МКЧ) [11, 15. 33-381, является
аэродинамика парашютов. В настоящее время МКЧ широко приме-
няется для определения стационарных и нестационарных аэроди-
намических характеристик высокоскоростных парашютных систем,
когда необходимо учитывать сжимаемость среды.

Метод крупных частиц может быть применен при решении задач
аэродинамики парашютов в различной постановке (плоской, осесим-
метричной и трехмерной) во всем диапазоне скоростей, представля-
ющих практический интерес (от дозвуковых до гиперзвуковых). Он
позволяет правильно отразить в качественном и количественном от
ношениях основные режимы и закономерности обтекания парашю
тов. Сравнительно небольшие затраты машинного времени на ЭВМ
среднего класса указывают на целесообразность применения МКЧ
для массовых (серийных) численных исследований аэродинамики па-
рашютов.

Среди других подходов, учитывающих сжимаемость среды, изве
стны решения задач аэродинамики парашюта в осесимметричной пос-
тановке на основе метода Лагранжа-Эйлера [27] и метода распада
разрыва (С.К.Годунова, см. [7]).

При проведении вычислительного эксперимента на основе МКЧ
необходимо учитывать специфичность задач аэродинамики парашю-
тов, которая в отличие от традиционных задач аэродинамики обус-
ловлена следующими факторами:

—	высокой податливостью оболочки купола в потоке, что вызвано
ее малой массой и безмоментностью;

—	малой относительной толщиной оболочки (до 10“5 — 10“3 ча-
сти от характерных размеров купола парашюта), что позволяет счи-
тать купол бесконечно тонким;

—	тканевой и конструктивной проницаемостями оболочки, кото-
рая является эффективным средством управления аэродинамически-
ми характеристиками парашюта.

Еще одна важная особенность состоит в том, что в большинстве
случаев парашют предназначается для обеспечения максимального
аэродинамического сопротивления и потому конструируется таким
образом, что в потоке приобретает плохообтекаемую форму. Поэтому
 обтекание купола парашюта сопровождается отрывом потока с его
г острых кромок и с гладкой поверхности. В результате срывного обте-
| кания парашюта действующие на него аэродинамические нагрузки
> носят зачастую нестационарный характер и в общем случае требуют
решения нестационарных задач аэродинамики.

При решении задач аэродинамики и аэроупругости открытых тон-
кооболочковых тел с учетом их значительной формоизменяемости,
малой толщины и возможной проницаемости, а также сложности не-
которых форм оболочек в пространстве целесообразно использовать
адаптированные сетки. Для уменьшения аппроксимационной вязко-
сти и последующего явного моделирования турбулентного массообме-
на (например, в задачах об отрывных течениях) в слое смешения
также возникла необходимость в построении адаптированных под
реализующееся течение расчетных сеток.

Поэтому в алгоритм МКЧ [11, 15] были внесены некоторые изме-
‘ дения для его обобщения на случаи:

—	криволинейных подвижных расчетных сеток;

—	бесконечно тонких оболочек с конструктивной и тканевой про-
ицасмостями;

—	трехмерной, наряду с двухмерной плоской и осесимметричной,
постановки задачи в адаптированных сетках;

	— учета турбулентных обменных процессов в узких слоях сме-
шения и введения моделей турбулентности для повышения точности
решения задач об обтекании парашюта в следе головного тела (ГТ).

Решение задачи аэродинамики парашюта в следе ГТ представляет
большие трудности. Многими авторами до настоящего времени при
исследовании аэродинамики парашютных систем (ПС) рассматри-
ваются обтекания изолированных тел и оболочек, моделирующих
парашют. Однако на современном уровне развития ПС этого недоста-
точно, так как в реальных условиях ПС находится в следе ГТ. Особен-
но сильно влияние ГТ и его следа проявляется на аэродинамических
характеристиках сверхзвуковых парашютов.

Уравнения движения идеального сжимаемого газа для любой об-
кат г и объема Г, ограниченной поверхностью 5 с внешней нормалью
я, имеют при отсутствии внешних источников сил и массы известный
Ьтегральный консервативный вид

| V 5

ршу + /рип(1/ - и5)аз + /	= о,

К 1 V	5	5

I	рЕ(1У + /рЕп(У - 11^(18 + /р11п<18 = О,

V	5	5

(6.1)

(6.2)

(6.3)

гДс г,р,ЩЕ—давление, плотность, скорость и удельная энергия газа;
И» — скорость движения поверхности 5. Законы сохранения массы
(6.1), импульса (6.2) и энергии (6.3) необходимо дополнить урав-
нением состояния идеального газа с показателем адиабаты у

р=р(у- 1)

(6.4)

Тогда система уравнений (6.1) — (6.4) станет замкнутой. На внешних
границах расчетной области, достаточно удаленных от обтекаемого
тела, так что возмущения потока на них незначительны, могут быть
поставлены условия невозмущенного течения

или условия свободного вытекания (экстраполяция потока во внеш-
нюю область). На плоскости или оси симметрии потока, если таковые
имеются, ставятся условия симметрии потока — условия непроте
кания (совпадающие с условиями скольжения для непроницаемой по-
верхности).

На поверхности непроницаемой оболочки в соответствии с усло-
виями скольжения выполняется соотношение ((7 — V$)п = 0, где У $
— скорость оболочки. Конструктивная проницаемость оболочки зада-
ется отверстиями соответствующих размеров, при этом не требуется
наложения специальных граничных условий. В случае проницае-
мости газа через материал оболочки (например, для тканевых ма
териалов) при предположении, что протекание газа через оболочку
происходит в нормальном к ней направлении, должно выполняться
условие (У — У8)п =	где 1)* ,1)~ — скорости протекания газа по

обе стороны оболочки, которые характеризуют свойства проницае-
мости материала и могут быть легко определены из эксперимента.
Расчет протекания газа через ткань оболочки купола осуществляется
в соответствии с материалами § 6.3.

Стационарные и квазистационарные задачи аэродинамики целе-
сообразно решать путем установления, взяв во всей расчетной об-
ласти в качестве начальных условий параметры невозмущенного
потока.

§ 6.2. Алгоритм метода крупных частиц для произвольной
расчетной сетки

Разобьем всю расчетную область произвольно на отдельные эле-
менты — ячейки. Рассмотрим отдельно взятую ячейку {У, 5} расчет-
ной области. Предположим, что в двухмерном случае ее стороны
прямолинейны, а в трехмерном — ее грани плоские. При этом ингег-
ралы на поверхности в уравнениях (6.1)~(6.3) можно заменить соот-
ветствующими суммами по граням, если параметры газа в пределах
ячейки считать постоянными величинами в каждый момент времени.
На первом этапе решения конвективные члены (вторые) в урав-
нениях (6.1)-(6.3) опускаются. Тогда газ в ячейке не изменяет свою
плотность со временем и не перетекает через границу 5, т. е. является
«замороженным». Вследствие действия сил давления изменяются им-
пульс и энергия крупной частицы (газа в ячейке). Новые значения
скорости и энергии будут следующими:

V = Ч +	Урл.5.;

рУ ] / /’

(')

(6.5)

Е = Е +—^ Ур.й.п.8.

рУ 2^*/ / / /

(?)

Суммирование» уравнениях (6.5) ведется по всем граням ячейки,
площади которых 8., а внешние нормали — п.. Средние значения
давления и скорости на каждой грани 8^ определяются соотношени-
ями р\ = 0,5(р + р.), II. = 0,5(1/ + II.), где р, II — параметры в рас-
сматриваемой ячейке, а р., II. — параметры в ячейке, сопряженной с
ней через грань 8^. Система (6.5) реализуется для всей расчетной
области. На плоскостях симметрии и границах оболочки для прилега-
ющих к ним ячеек принималось ~р.— р, II. п. = II„п..

]	)1 ъ ]

На втором этапе решения в уравнениях (6.1)-(6.3) рассматрива-
ются только конвективные члены и, таким образом, реализуется учет
перетекания газа через грани ячейки. Если предположить, что рас-
четная сетка неподвижна (II= 0), то новые значения плотности,
скорости и энергии определяются соотношениями

' О) '

= УрУ+Му^Цу.Е.

Р 1 (/)

(б.б)

= Е'рУ+М^^Г

Р Ь (/) -1

Здесь Р = II п. 8. и подразумевается, что объем ячейки сохраняет
свое прежнее значение V' = V; (о)*, (р1Г)*, (рЕ)* — оператор А*,

А при Г. > 0,

Л. при < 0,

3

О.В.Рысев и др.

65
т. е. при Р. > 0 берутся параметры газа (р), (рЦ), (рЕ) рассматриваемой
ячейки, а при Р.. < 0 — параметры газа сопряженной с ней ячейки
(р)., (р1Р)., (рЕ).через грань

На плоскости или оси симметрии, а также на поверхности тела
Р = 0. По завершении второго этапа во всей расчетной области пара-
метры потока равны:

На этом шаг по времени можно считать завершенным в случае не-
подвижной непроницаемой оболочки. Конструктивную проницае-
мость оболочки можно легко учесть, задав в определенных местах ее
поверхности отверстия соответствующих размеров. Третий этап необ-
ходим для расчета перетекания газа через границы ячейки при по-
движной расчетной сетке. Он осуществляется по тем же формулам
(6.6), где

Р.= - Г 1Еп.(18.,

1	’	511	1

о
/

а Г — новый объем ячейки, причем скорость сетки 1/$ по площади
грани 8. в обшем случае является не постоянной а линейной функцией
координат прямоугольной декартовой системы Охуг, в которой про-
исходит движение газа. Движение сетки задается таким образом, что-
бы грани ячеек сохраняли свою плоскую форму. При этом следует
избегать появления областей с пересекающимися расчетными сет-
ками.

Расчет протекания газа через проницаемый материал оболочки
выполняется на дополнительном, четвертом этапе решения задачи в
соответствии с законами сохранения массы, импульса и энергии
(6.1)—(6.5) и уравнением (6.11).

Решение задачи аэродинамики может рассматриваться не только
в трехмерной, но, как частный случай, и в двухмерной постановке
между двумя непроницаемыми плоскостями, расстояние между кото-
рыми соответствует размерам одной ячейки. В плоском случае эти
плоскости параллельны, а в осесимметричном пересекаются по оси
симметрии под малым углом.

Таким образом, получается явная консервативная разностная
схема первого порядка аппроксимации. Явность схемы порождает не-
обходимость наложения довольно «жесткого» условия, ограничиваю-
щего допустимый шаг по времени:

66

Л/< к

(| </| )А/

(1Г)2 + а2’

(6.7)

]
где я, V — соответственно местные скорости звука и движения газа;
д/ — характерный размер рассматриваемой ячейки; к — коэффи-
циент, отражающий тип задачи (плоская, осесимметричная или трех-
мерная) и неравномерность расчетной сетки; 0 < к < 1.

Из разностной схемы видно, что расчетные ячейки могут иметь
форму любого многогранника и в общем случае произвольное число
граней. Это позволяет набирать из них расчетную сетку произвольной
конфигурации и адаптировать ее к особенностям течения и геометрии
обтекаемого тела. Поверхность монолитного тела предлагается мо-
делировать непроницаемой оболочкой.

§ 6.3.	Учет проницаемости ткани купола

Расчет протекания газа через проницаемый материал оболочки
выполняется в соответствии с законами сохранения массы, импульса
и энергии, а также уравнением, характеризующим воздухопроницае-
мость ткани (природу и структуру материала).

Если параметрам течения по обе стороны оболочки присвоить ин-
дексы «1» и «2», то на проницаемой поверхности должны выполняться
законы сохранения массы, импульса и энергии

-	<72р2)я = 0,	(6.8)

-	У2) = (р2 - рх)п + Я,	(6.9)

1 (17 2 - 17 2) +	] = е,	(6.10)

2'1	2' У-ЦР, Р2)

где К — сила действия потока на оболочку; е — энергетические потери
при протекании (далее полагается е = 0). Размерность коэффициента
е соответствует квадрату скорости. В зависимости от структуры и при-
роды материала оболочки задается закон проницаемости, например, в
виде

К 7/п1 = 171Я=/(р1>р2,р1,...),	(6.11)

где 1/п{ — скорость протекания газа через оболочку из первой области.
Конкретный вид зависимости (6.11) для парашютных тканей при-
водится в гл. 4.

Чтобы составить алгоритм расчета проницаемой оболочки, пред-
ставим механизм протекания газа через ткань следующим образом. В
приграничных ячейках с номерами «1» и «2» (д1 > р2), расположен-
ных по обе стороны оболочки, которая их разделяет, условно вводятся
невесомые непроницаемые перегородки. Перегородка в ячейке «1»
выделяет газ с параметрами р^ р{, I/ = п^Лр который перетекает за
время Д/ в ячейку «2», где он находится под давлением рг Из решения
(системы уравнений (6.8)-(6.10) по заданным р, р2, /Эр находим
>•
а также плотность р2, которая в общем случае не совпадает с
плотностью газа в ячейке «2» из-за наличия перегородки, по обе сто-
роны которой совпадают лишь давления:

где

Рг	= \ =	₽2)

При малых скоростях и слабой проницаемости В «А2, Тогда

Поскольку (^)2 « У ~ = Лр приближенно получается, что

т . Рч * Рэ	Р] * 7

^2=^'	Л = (₽1-₽2)[1-^^1)2 •

Лишь при отсутствии проницаемости (Кп = 0) окажется, что
= р1 — р2 (т. е. реакция на оболочке будет равна перепаду давле-
ний) . Однако и при небольших скоростях (М < 0,5) (или при малой
проницаемости < 0,02)) с достаточно высокой точностью указан-
ное равенство выполняется.

Теперь, зная р1, р2, р1, р*,	, ^2, легко найти изменения р, р,

ЕуУъ ячейках, прилегающих к проницаемой поверхности

§ 6.4.	Практические рекомендации по использованию метода
крупных частиц в задачах аэродинамики парашютов

Тестовая отработка предложенного варианта МКЧ велась на ка-
нонических телах (ступенях; уступах; торцах цилиндров; проницае-
мых дисках и прямоугольных пластинах бесконечного размаха под
углом атаки; сфере; цилиндре) и парашютоподобных телах (незамк-
нутых оболочках), для которых имелись экспериментальные данные
или результаты, полученные другими методами (методами дискрет-
ных вихрей и т. д.). Даже для сравнительно «грубых» сеток (40*20,
60*40 в двухмерном случае и 32*15*8 в трехмерном) численные
результаты согласовывались с экспериментальными с погрешностью
3-7% в дозвуковом (М = 0,1-0,7) и сверхзвуковом (М = 1,2-6,0)
диапазонах и с погрешностью 5-12% в трансзвуковом (М = 0,7-1,2).
«Размазывание» ударных волн не превышало 2-3 ячеек.
В процессе тестирования были выработаны некоторые рекомен-
дации по практическому использованию метода крупных частиц для
I указанного класса задач. Так, при выборе размеров расчетной обла-
сти при характерном размере парашюта Л целесообразно:

—	входную (переднюю) границу отодвинуть на 2-3 ячейки от
предполагаемого положения ударной волны (при > 1,2) или на
7—ЮЛ от парашюта при < 1,2;

—	верхнюю (нижнюю) границу устанавливать на расстояниях
2,0—2,5Л при Мм > 1 и 5—6Л при Мк < 1 от ближайших точек па-
рашюта:

—	выходную (заднюю) границу устанавливать на расстояниях
2,0-2,5Л при > 1 и 3-4Л при < 1 от парашюта, причем
донная область возвратно-циркуляционного течения должна быть
полностью охвачена расчетной областью;

—	расчетную сетку (общий вид, размеры ячеек) выбирать по воз-
можности (локально) близкой к прямоугольной. Не рекомендуется
использовать сильно деформированные ячейки (т. е., например, для
четырехугольной ячейки — с углами, более чем на 45° отличающи-
мися от прямых углов). Соседние ячейки не должны различаться по
площадям (объемам) и линейным размерам более чем на 30%. В уда-
ленных от парашюта областях целесообразно применять равномерно
расширяющиеся сетки (например, по закону геометрической прог-
рессии) ;

— внутренние области оболочек, характеризуемые застойностью
течения и постоянством давления, оградить от внешнего потока
условными непроницаемыми перегородками. Это избавит от ос-
циллятивности решения без потери точности результата при расчете
распределения давления по оболочке парашюта, а также позволит
одновременно значительно увеличить шаг по времени. Внутреннее
давление в застойной зоне определяется по внешнему давлению на
перегородку.

Отступление от этих рекомендаций ведет либо к повышенным
погрешностям в счете, либо к чрезмерным затратам машинного вре-
мени при несущественном повышении точности результатов.

Рассмотрим теперь несколько примеров применения метода круп-
ных частиц для решения задач аэродинамики парашютов при раз-
личных режимах их обтекания.

§ 6.5.	Аэродинамические характеристики парашютов-крыльев
при дозвуковых скоростях

Среди парашютов, обладающих аэродинамическим качеством и
позволяющих осуществлять управляемый спуск и приземление
объекта в заданный район, особое место занимают двухоболочковые
Планирующие парашюты (ДПП). Особенности конструкции обеспе-
чивают такому парашюту в потоке довольно совершенную аэроди-
намическую форму, напоминающую самолетное крыло с большим
[утолщением (12—16%). Заметим, что крыловые профили с такими (а
также и с другими) относительными толщинами впервые были рас-
считаны в широком диапазоне дозвуковых скоростей, включая транс-
звуковые, методом крупных частиц. Подробная информация о таких
течениях, полученная в результате прецизионных систематических
расчетов, содержится в монографии [37]. Результаты расчетов на
трансзвуковых скоростях получены методом крупных частиц с высо-
кой точностью, при этом на данных весьма сложных для моделирова-
ния режимах выполняется закон подобия для околозвуковых течений
[36] и т. п.

Благодаря близости конфигурации ДПП к профилю самолетного
крыла коэффициент аэродинамического качества ДПП сравнительно
высок. Форма мягкой оболочки ДПП поддерживается внутренним да-
влением р0 = сопМ, создаваемым газом, втекающим в купол через
отверстие Ав в его передней части (рис. 6.1), которое превосходит
давления с внешней стороны на нижнюю рн( 5 ) и верхнюю рв( 7 )
оболочки купола. Здесь? = 8/Ь — безразмерная координата, отсчиты-
ваемая вдоль хорды купола (0 < $ < 1, Ь —- характерный линейный
размер, например, хорда ДПП).

Несмотря на сложность формы купола ДПП в потоке, задачу его
аэродинамики при нулевых углах скольжения можно решать в пло-
ской постановке для профиля купола. Это обусловлено достаточно
большим размахом купола и подтверждается экспериментами, вы-
полненными в аэродинамических трубах на натурных ДПП. Рассчи-
танные аэродинамические характеристики профиля парашюта можно
легко пересчитать на аэродинамические характеристики купола па-
рашюта, применяя элементы теории крыла конечного размаха.

На рис. 6.1 показан центральный фрагмент профиля ДПП, рас-
четная сетка и поле скоростей для М* = 0,5, у = 1,4 и угла атаки
а = 15°. Сетка 60*40 выбрана расширяющейся на 10-20% по мере
удаления от профиля с каждым шагом от ячейки к ячейке.
1 II	' '			ос ~5°
ч! Л .// х /1	А  \ \  \ \		
11 1  1  1	\\  \\ \\  \\	/А	
			^5
		СР*	
			7  1  1
		сРо	

и  |\			а ^5°
1 \  \ \ \ \ \ \ \ \			
\ \  \ >  X 'м.			%
			/ !
			

у			а=30°
			/ /
		0г5	т  / / / / / / // у/
	СР^--  X ^х^		5
/У			

/ТШ1 \ \д\\	1 -0,5  №	1,5	а ^15°
’ Т	\ \  * Л	\ V***  /• /С  / /ч/\ \	Г 0,9		
/	/ л А			
		0,5	1 /
			М^О,1-0,3
		0,9	

6	г

Рис. 6.2. Распределение коэффициента давления по поверхности профиля двухобо-
лочкового планирующего парашюта: сплошная линия — расчет МКЧ; штриховая —
Эксперимент [6]; штрихпунктирная — расчет МДВ [48]

На рис. 6.2о-в показаны распределения коэффициентов давления
по профилю купола для трех основных режимов его обтекания: безот-
рывного обтекания при малых углах атаки а = 5° (рис.6.2а), отрыва
потока с гладкой поверхности верхней образующей профиля при уме-
ренных углах атаки а = 15° (рис. 6.26) и отрыва потока с передней
кромки купола при больших углах атаки а = 30° (рис. 6.2в). Резуль-
таты расчетов методом крупных частиц хорошо согласуются с экс-
периментальными данными [5, 6] и результатами, полученными
методом дискретных вихрей [48].

Расчеты, проведенные при различных М^, показали, что в диа-
пазоне чисел Маха 0 < Мк < 0,5 вычисления следует вести для
чт0 обеспечит минимальные затраты машинного времени.

С изменением числа Маха в диапазоне 0 < М < 0,5 функции

00 %

с ($) и С ($) незначительно меняются при 0° < а < 15° (рис. 6.2г),

что объясняется слабым проявлением сжимаемости газа в этом
случае. Это отмечается также в изменениях интегральных аэроди-

намических характеристик профиля (рис. 6.3) — коэффициентов со-
противления с , подъемной силы с и момента т относительно точки
X	у	2

А (см. рис. 6.1), а также положения центра давления х^. На этом же

рисунке для сравнения штриховой линией нанесены результаты рас-
чета по МДВ [48].

Поле скоростей (см. рис. 6.1) дает представление об отрывном
характере обтекания профиля. Однако возможности определения ме-
стоположений пузыря и точки отрыва потока с гладкой поверхности и
т. д. в столь грубой сетке оказываются ограниченными. В целом же
рассчитанные методом крупных частиц поля скоростей соответствуют
полям скоростей, полученным методом дискретных вихрей, а также
экспериментальным данным [5, 6, 48]\

Рис. 6.3. Влияние числа Маха на интегральные характеристики профиля дйухобо-
лочкового планирующего парашюта
Рис. 6.4. Влияние угла атаки на интегральные характеристики профиля двухобо-
лочкового планирующего парашюта: сплошная линия — расчет МКЧ, штриховая —
эксперимент

Изменения интегральных аэродинамических характеристик при
различных а в вычислительном и физическом экспериментах в основ-
ном согласуются (рис. 6.4). Вместе с тем отметим завышенные расчет-
ные значения су при 15° < а < 30°. Расхождение уменьшается при
измельчении сетки вблизи профиля, что, по-видимому, можно объяс-
нить более точным отражением отрывного течения в передней части
верхней образующей профиля. В отмеченном диапазоне а результат
с^(а) можно значительно улучшить и при неизменной сетке за счет
I введения искусственного интерцептора (дефлектора малых размеров
и с малым наклоном к образующей верхнего профиля) для прину-
 дительного формирования отрыва потока в том месте, где это реально
наблюдается (на рис. 6.4а показано треугольниками).

Таким образом, метод крупных частиц позволяет отразить
Основные закономерности обтекания профиля двухоболочкового пла-
Ижирующего парашюта при различных режимах обтекания, пред-
ставляющих практический интерес. Преимущества метода крупных
К частиц по сравнению с методом дискретных вихрей здесь видятся в
Ечительно меньших (в несколько раз) затратах машинного вре-
и, возможности учета сжимаемости среды и проведения расчетов
_ любого из трех режимов обтекания профиля с помощью одной и
Г же программы.

Более подробно с особенностями и результатами расчета двухобо-
|рочковых планирующих парашютов на основе метода крупных час-
тиц можно ознакомиться в работах [61,64, 71]
§ 6.6.	Аэродинамические характеристики осесимметричного
парашюта. Обтекание системы «объект—парашют»

Купол парашюта, имеющий осесимметричную форму раскроя при
достаточно частом радиальном каркасе и большом числе строп, при-
нимает в потоке форму, близкую к осесимметричной в аэродинами
ческом отношении, т. е. отклонения от «осесимметричности» много
меньше характерных размеров купола. Следовательно, задачу аэро
динамики такого парашюта при нулевом угле атаки можно решать в
осесимметричной постановке.

На рис. 6.5 показан типичный контур осесимметричного пара
шюта (заимствованный из работы [69]) и центральный фрагмент
использованной для расчетов сетки. На рис. 6.6 приведено поле скоро-
стей и мгновенные линии тока для купола осесимметричного парашю-

Рис. 6.6. Поле скоростей около осесимметричного парашюта (М = 2): УВ — поло
жение ударной волны, 1 — профиль парашюта
Рис. 6.7. Мгновенные
динии тока около осесимме-
тричного парашюта с коль-
цевыми щелями и полюсным
отверстием (М^ = 2): УВ —
положение ударной волны,
1 — профиль, 2 — концен-
трические щели, 3 — полюс-
ное отверстие

Рис. 6.8. Распределение
коэффициентов с*, с~ и пе-
репада Сдр давлений по по-
верхности осесимметрично-
го парашюта при сверхзву-
ковой скорости (М^ = 2):
сплошные линии — расчет,
& — эксперимент [102]

та (М^ = 2; у = 1,4) при отсутствии проницаемости, а на рис. 6.7 — с
|конструктивной проницаемостью в виде концентрических шелей

= 0,3, Кп = Г /лК& где Г — площадь концентрических про-
ницаемых щелей, 7?0 — раскройный радиус купола осесимметричного
парашюта). Под куполом образуется застойная зона со скоростью газа
порядка 0,01-0, (II — скорость набегающего потока) и с прак-
тически постоянным давлением (рис. 6.8). Создание большой прони-
цаемости ведет к «сдуванию» донного циркуляционного течения, что
наблюдается и в трубных экспериментах. Перепад давлений на боль-
шей части купола близок к постоянному.

На рис. 6.9 показано распределение коэффициентов внутреннего
с* и внешнего с~ давлений и перепада давлений = с? — с~ вдоль
образующей осесимметричного парашюта (М^ = 0,3—0,5, у = 1,4).
Результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными
[102]. Зависимость коэффициента сопротивления жесткой модели от
изображена на рис. 6.10 и сравнивается с материалами трубных
Рис. 6-9. Распределение коэффи-
циентов с+, с~ и перепада с. давле-
р р	цр

ний по поверхности осесимметрично-
го парашюта при дозвуковой скорости
(М^ = 0,5; расчет МКЧ)

Рис. 6.10. Влияние числа Маха на ко
эффициент сопротивления осесимметрично-
го купола парашюта с* при различных зна-
чениях коэффициента конструктивной про-
ницаемости Кп; сплошная линия — расчет
МКЧ, △ — эксперимент [50]

испытаний [50]. При < 0,5 безразмерные решения почти совпа-
дают во всем диапазоне чисел Маха из-за слабого проявления сжима-
емости газа, поэтому при малых дозвуковых скоростях целесообразно
пользоваться решением для = 0,5, требующим согласно уравне-
нию (6 7) минимальных затрат машинного времени.

Величина с* линейно зависит от Так, например, при = 2 и
Хп < 0,12 имеем сх = с®(1 — 2,6Хп), что совпадает с эксперименталь-
ными результатами [50] (здесь с* соответствует непроницаемому ку-
полу) .

На рис. 6.11 показаны поля скоростей для различных режимов
обтекания купола конического парашюта с полюсным отверстием в
следе продолговатого цилиндрического головного тела (ГТ), для ко-
торого на уровне донного сечения поток считался невозмущенным
(М^ = 2; у = 1,4). Отношение диаметров миделя купола и ГТ состав-
ляло!) = 2,2, проницаемость купола = 0,1. Удаленность купола от
ГТ в калибрах последнего Ь (Ь = Ь/Рр где !>1 —- диаметр ГТ) ука-
зана на рисунке.

С увеличением Ь от 3 до 5 происходит перестройка течения, со-
провождающаяся резким (в экспериментах — скачкообразным) изме-
нением сх и появлением ударной волны (УВ) перед куполом Течение
около купола приобретает типичную форму отрывного конуса, харак-
терную для режима обтекания, близкого к перестройке. Для случая
I = 5 в месте перестройки течения нанесена эпюра распределения
76
Рис. 6.11. Влияние головного тела и его удаленности от купола парашюта на ха-
рактер обтекания системы головное тело-парашют: 1 - головное тело, 2 - купол, 3 -
полюсное отверстие

скоростей Ц Ц} = 11/1}^, где 17 ж — скорость невозмущенного потока).
Для сравнения на рис. 6.11 показано обтекание изолированного купо-
ла (Ь-* оо). Критическое значение С = 4,5, определенное по макси-
дс

мальному значению —•=, хорошо согласуется с экспериментальным
дЬ
Рис. 6.12. Влияние удаленности го-
ловного тела на коэффициент сопротив-
ления с осесимметричного купола па-
рашюта при сверхзвуковой скорости
(М^ = 2, Кп — 0): точки — эксперимент
(△ - при Р = 2,38; • — при И =_1,85),
сплошная линия — расчеты при Р = 2:
1 - в неадаптивных сетках 40*20; 2 — в
неадаптивных сетках 30*20; 3 - в адап-
тивных сетках 30*20 при/3 = 0 (без учета
турбуленгного обмена в слое смешения);
4 - в адаптивных сетках 30*20 при
/3= 1,5

Полученная зависимость сх(Ь) близка к экспериментальной [50]
при Л > Ь* и существенно расходится для Ь < Л* (рис. 6.12). Послед-
нее, как оказалось, объясняется повышенной аппроксимационной
вязкостьюра в слое смешения, поперек которого тангенциальная ком-
понента скорости претерпевает резкие изменения. В рассматривае-
мом случае значения ра превышают — турбулентную вязкость.
Уменьшить почти на порядок удается в адаптивных сетках, вы-
строенных вдоль линий тока слоя смешения (рис. 6.12). При этом,
если не учитывать значения сх для Ь< Ь окажутся заниженными.

Учет проведен в соответствии с работами [8, 62] введением
турбулентных сдвиговых напряжений в слое смешения малой тол-
щины <5. В остальной расчетной области газ по-прежнему считался
невязким.

Для определения используем полуэмпирические гипотезы
Прандтля [56]. Согласно первой гипотезе

^т=Р(0,09<5)2-^,

а в соответствии со второй гипотезой

р = 0,015р<5(<7	- V . ).

г т	г 4 шах пип-

Здесь <5 — толщина слоя смешения (<5 = 0,089%с); р — местная
плотность; 1}^ — скорость потока вдоль слоя смешения; хс и ус —
координаты вдоль и поперек опорной линии слоя смешения; I/ и
шах
^ш1п — скорости потока по обе стороны слоя на его границах. По этим
гипотезам турбулентные сдвиговые усилия находятся по формуле
дУ

т = р. ~^Р,

т 'т

где Р — близкий к 1 поправочный коэффициент, оптимальные зна-
чения которого определяются по наилучшему согласованию результа-
тов расчетов с экспериментальными данными.

При численном решении турбулентное сдвиговое усилие гт
I трактуется как тангенциальная компонента поверхностных сил р
(р = р^п + тт<‘, I — единичный вектор, касательный к слою). Обе
гипотезы дают близкие результаты, совпадающие с эксперименталь-
ными.

§ 6.7.	Обтекание осесимметричного парашюта
при интенсивном торможении

В целом ряде практически важных случаев парашютная система
работает в условиях столь интенсивного торможения, что это ведет к
различным нежелательным и даже в некотором смысле неожиданным
явлениям: купол парашюта после раскрытия и начала торможения
может претерпевать очень сильные формоизменения, наблюдаются
промятая оболочки, «провисание» строп парашюта, иногда реализу-
ется резкое уменьшение и даже исчезновение силы сопротивления
ПС; ПС в ряде случаев может опережать ГТ.

Теоретически причины этих явлений были впервые исследованы и
объяснены с помощью метода крупных частиц. В данном разделе оста-
( новимся только на аэродинамическом аспекте этого явления, которое
в наиболее полном виде следует рассматривать в аэроупругой поста-
новке, учитывая сильные формоизменения купола.

Поскольку радиус кривизны траектории ПС при интенсивном
I торможении обычно много больше характерных размеров купола,
можно по-прежнему считать обтекание парашюта осесимметричным.
I Специфической особенностью данной задачи, проявившейся в ее по-
' становке, будет переменная скорость купола в потоке. Если неде-
формируемый купол находится в неизменной расчетной сетке, то
граничные условия должны отражать переменность скорости и удель-
ной энергии потока (обезразмеренных по отношению к начальным
условиям Ц I Л, Е I Л) на внешних границах. На каждом шаге
по времени сетка временно считается равномерно движущейся в
> пространстве, затем происходит пересчет во всем расчетном поле

</' = у — Д|7 и Е’ == Е — АВ с учетом изменения скорости движения
сетки ЛГУ. Очевидно, при этом должны сохраниться инвариантные
величины р и р в каждой расчетной ячейке, т. е. изменение АВ обес-
печивается только изменением кинетической энергии газа в каждой
ячейке.

В качестве иллюстрирующего примера рассмотрим решение за-
дачи об обтекании жесткого профиля, моделирующего раскрытый ку-
пол конического парашюта при его заданном законе изменения У
(баллистические характеристики не рассчитывались, а для простоты
взяты непосредственно из эксперимента). На рис. 6.13 показано изме-'
нение скорости и парашютной системы (ПС) по времени, близким к

одному из летных экспериментов. На первом этапе = сот: в те-
чение некоторого времени, достаточного для установления режима
стационарного обтекания парашюта. Далее происходит замедление
скорости движения ПС с постоянным ускорением и повторный выход
ее на установившееся движение. Интенсивность торможения соответ-
ствует парашюту, работающему с малыми удельными нагрузками, и
была принята равной ~~« — 14 м/с2.

Расчет велся на сетке 80*40. В процессе вычислений контролиро-
вались местные скорости в ячейках и выбирался оптимальный шаг △/.
Поскольку скорость Ц* уменьшалась со временем, шаг Л/ также
уменьшался практически пропорционально Цж. Это приводило к

Рис. 6.14. Эпюра распределения
коэффициента перепада давлений
по поверхности осесимметричного па-
рашюта при интенсивном торможе-
нии на дозвуковых скоростях
Рис. 6.15. Изменение во времени
коэффициента сопротивления жесткого
осесимметричного парашюта с* при ин-
тенсивном торможении на дозвуковых
скоростях; штриховая линия — стацио-
нарное значение

большим затратам машинного времени на заключительном этапе тор-
можения, когда достигались малые дозвуковые скорости 1/^.

На рис. 6.14 показаны эпюры перепада давлений Др на профиле
парашюта в различные моменты времени. Интенсивное торможение
приводит к тому, что близкое к равномерному стационарное распре-
деление давления Др сильно изменяется, причем вначале в полюсной
части, а затем в периферийной и миделевой областях жесткого купола
отмечаются отрицательные значения Др. Это связано с тем, что при
резком торможении происходит «натекание» массы газа, вовлеченной
в донное вихревое движение, сзади на купол В результате отмечается
падение коэффициента сопротивления купола (рис. 6.15) до значе-
ний, существенно меньших стационарных (вплоть до отрицатель-
ных), что наблюдалось также и в модельных экспериментах в
гидродинамической трубе.

В реальных условиях для мягкого купола при появлении отрица-
тельных перепадов давлений на нем появляются вмятины, складки,
стропы при этом могут ослабевать. Снижение внешних нагрузок на
купол приведет к высвобождению потенциальной энергии напряжен-
ного состояния строп и оболочки и возможному сближению парашюта
^ГТ, а в экспериментальной ситуации — к «забросу« (опережению
ГТ парашютом), что и наблюдается в некоторых натурных испыта-
ниях.

У 6.8. Обтекание крестообразного парашюта и баллюта

качестве примера использования метода крупных частиц для
ранственных задач рассматривается обтекание изолированного
сого купола крестообразной формы со стабилизирующим коль-
ум (рис. 6.16). Форма купола соответствовала модели, использован-
** в трубных экспериментах [50, 63]. Расчет велся для = 2,
У 1,4 на сетке 32x15*7 с цилиндрической системой координатных
рний, соответствующей приведенной на рис. 6.5 для осесимметрич-
парашюта. Зависимость с (I) быстро выходила на асимптоту, со-
Вветствующую значению с*, близкому к экспериментальному [63].
Рис. 6.16. Зависимость коэффициента сопротивления с* купола крестообразног
парашюта со стабилизирующим кольцом (М^ = 2) от времени: сплошная линия —
расчет методом установления, штриховая — эксперимент [63]

Рис. 6.17. Форма ударной волны и профиль плотности газа перед куполом кресте
образного парашюта со стабилизирующим кольцом (М = 2): сплошная линия — расчет

МКЧ, штриховая — эксперимент [50], 1 - профиль парашюта

На рис. 6.17 изображены изменение плотности газа р на оси сим
метрии и положение ударной волны (УВ). Видно, что положение
ударной волны, рассчитанное по МКЧ, близко к эксперименталь
ному.
Рис. 6.18. Распределение коэффи-
циента перепада давлений по различным
меридиональным сечениям поверхности
купола крестообразною парашюта со
Стабилизирующим кольцом при сверх-
звуковой скорости (М^ = 2): штрихпун-
ктирная линия — в направлении 1 (рас-
чет методом крупных частиц); штрихо-
вая — в направлении 2 (расчет методом
крупных частиц); сплошная — в направ-
лениях 3,4 (расчет методом крупных ча-
стиц); пунктирная — в любом направ-
лении (расчет по материалам гл. 6)

На рис. 6.18 показано распределение коэффициента давления ср
по поверхности изолированного крестообразного купола парашюта в
невозмущенном сверхзвуковом потоке. Результаты достаточно хоро-
шо согласуются с результатами, полученными методами, предложен-
ными в гл. 7.

Высокоскоростные мягкооболочковые тормозные устройства мо-
жно условно разделить на два основных класса. К первому классу
относятся собственно традиционные парашюты — каркасированные
мягкие оболочки открытого типа с различными формами купола, со-
держащие стропы. Второй включает гораздо менее распространенные
мягкооболочковые тормозные устройства, представляющие собой
«замкнутые» оболочки (баллоны), форма которых поддерживается
высоким внутренним давлением, создаваемым путем принудительно-
го наддува за счет давления торможения внешнего потока, проходя-
щего через специальные трубы (или отверстия) малых размеров.

I Сочетание свойств баллона и парашюта дало основание называть
такие тормозные мягкооболочковые устройства «баллютами». Вопро-
сам проектирования и расчетов баллютов посвящено большое число
работ (см. [95, 99, 103]). В этих работах отмечается, что за счет
большой площади боковой наветренной поверхности баллюта он об-
ладает высокой устойчивостью в полете. Кроме того, благодаря ре-
гулируему процессу наполнения баллюта воздухом коэффициент
Динамичности баллюта при наполнении и пульсации близок к еди-
нице, что выгодно отличает его от парашютов традиционных форм.
При сверхзвуковых скоростях потока аэродинамический нагрев бал-
люта гораздо менее интенсивен, чем у парашюта, поскольку отсутст-
вУют участки с очень малыми радиусами кривизны (кромки купола и
тонкие стропы). Меньшая распространенность баллюта по сравнению
с парашютом объясняется большей площадью поверхности матери-
ала. несколько большей массой, меньшей технологичностью, необ-
ходимостью применения герметизированных текстильных материа-
лов.

Конструкция баллюта описана в § 1.1 (см. также рис. 1.5). Для
определения внутреннего давления в баллюте при сверхзвуковых ско-
ростях полета и распределения внешнего давления по поверхности его
оболочки используется метод крупных частиц.

На рис. 6.19 показан центральный фрагмент выбранной расчетной
сетки 60*40 (в расчетах линейные размеры ячейки были вдвое
меньше).

Рис. 6.19. Фрагмент расчетной сетки обте-

кания баллюта	Рис. $ 20. Влияние числа Маха на

коэффициент сопротивления баллюта
с : — - расчет; о - эксперимент [9$,
103]

На рис. 6.20 сравнивается полученный расчетный коэффициент
сопротивления с* (отнесенный к площади миделя баллюта) с экс-
периментальным при различной длине соединительного звена.

На рис. 6.21 сопоставляются расчетные и экспериментальные
результаты по распределению внешнего давления при малой дозвуко-
вой скорости (М^ = 0,1) для баллюта с учетом формы стабилизирую-

щего кольца.

Рис. 6.21. Распределение коэф
фициента давления по внешней по-
верхности баллюта на дозвуковых ско-
ростях

Как видно, во всех примерах согласование расчетных и экспери-
ментальных результатов удовлетворительное.
Глава 7

ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ СОПРОТИВЛЕНИЯ

ПАРАШЮТОВ АНАЛИТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ

§ 7.1. Методика расчета коэффициентов сопротивления
непроницаемого парашюта. Сверхзвуковое обтекание

Анализ результатов многочисленных вычислительных экспери-
ментов, проведенных методом крупных частиц, по определению
коэффициентов сопротивления парашютов сп в высокоскоростном
сжимаемом потоке газа [62] и свойств отрывных течений позволил
сделать некоторые обобщения и предложить достаточно простой
метод инженерного расчета сп для системы головное тело-парашют и
для изолированного парашюта.

Для упрощения изложения допустим вначале, что головное тело и
парашют осесимметричны, их обтекание соосно и стационарно. По-
следнее не всегда соответствует действительности, и поэтому под ста-
ционарным будем подразумевать усредненное по времени течение.
При числе Маха > 1 наблюдается два основных режима течения:
так называемые «открытый след» (рис. 7.1а) и «закрытый след» (рис.
7.16,в). Рассмотрим вначале «закрытый след».

Перед головным телом 1 (ГТ) формируется ударная волна (УВ1),
за ГТ наблюдается срывная донная зона возвратно-циркуляционного
! течения, замыкаемая хвостовым скачком (УВ2). Далее вниз по пото-
ку расположена зона дальнего следа (обычно имеющего турбулент-
ный характер). Перед куполом образуется головная ударная волна
(УВЗ), а за ней — отрывная зона с малыми скоростями газа. В силу
[Застойности давление в этой зоне примерно постоянно, а следователь-
но, вне следа ГТ ее граница должна иметь форму докритической ко-
мической поверхности. Только в этом случае течение вблизи зоны
|автомодельно и давление постоянно. Вне следа УВЗ должна имеет
•конический участок, что хорошо подтверждается в экспериментах
(здесь и далее имеются в виду как численные, так и физические экс-
перименты) . На оси следа ГТ в отсутствие соединительного звена УВЗ
не может иметь конического заострения и для осевой струи газа
Является прямым скачком. При наличии соединительного звена УВЗ
может быть всюду конической.

Безразмерные параметры газа на оси перед УВЗ обозначим симво-
лами с индексом «О»: 1?0 = Р^Р^Р^ % = Если по~
85
Рис. 7.1. Основные схемы обте-
кания сверхзвукового парашюта в
следе головного тела: 1 — головное
тело, 2 — купол парашюта

верхность ГТ адиабатична (отсутствует теплообмен с газом), то из
условия сохранения полной энтальпии следует

"о

1+Ч2 м«<1 -

(7.1)

Легко показать, что

Мо = мЛ-

(7.2)

Будем для простоты полагать, что газ в осевой струе, пройдя УВЗ,
полностью затормаживается перед отрывной зоной. Коэффициент
давления торможения, как известно, определяется равенствами

(7 +1)	2

4/- 2(у - 1)М“2]	уМ2

при Мо > 1;

(7.3)
при Мо < 1.



у + 1

У

2

2 о

- 1
Случай Мо < 1 соответствует изоэнтропическому торможению.
При этом след ГТ — частично дозвуковой и УВЗ незамкнутая и
коническая (рис. 7.1в). Если удаленность парашюта от ГТ невелика,
то УВ2 и УВЗ сливаются в единую ударную волну УВ23. Продолжение
прямолинейного (конического) участка УВЗ до пересечения с осью
укажет на начало эффективного конического отрывного течения.

Полагаем, что коэффициент давления в коническом отрыве опре-
деляется следующим образом:

ср„ = С₽Л + СР(1 "

(7.4)

Если присутствие первого члена в соотношении (7.4) очевидно, то
второй член вводится для определения приращения давления в отрыв-
ной зоне в случае 170 -> 0 , д$ -♦ 0, т. е. когда почти сразу после
замыкания донного течения за ГТ начинается отрыв потока перед
парашютом. В этом случае, несмотря на отсутствие скоростного на-
пора на оси (д^ ~ 0), приращение давления, соответствующее с*, не-
обходимо для отклонения струй газа в следе, находящихся вне оси.
Поскольку профиль скоростей в этой области по виду близок к со-
ответствующему турбулентному профилю в пограничном слое, зна-
чение с* принимается равным коэффициенту давления «плато» в
отрывной зоне. Согласно работам [28, 93] имеет место следующая
теоретическая зависимость:

с;= 0,43

Ке'|
10*7

9 *

[1 + 0,45(у - 1)Му -°775(М2„ - О’0,25- (7.5)

Многочисленные экспериментальные данные подтверждают зави-
симость (7.5). В работе [100] показано, что с* в плоском и осесимме-
тричном случаях при достаточно больших числах Ее (турбулентных)
примерно равны. Число Ее в зависимости (7 5) отнесено к длине об-
ласти развития пограничного слоя до места отрыва. Для следа ГТ
число Ее можно отнести к ширине следа или к диаметру ГТ. При
.показателе степени -0,1 в (7.5) даже ошибка в числе Ее в 1000 раз
^изменит с* лишь в два раза. Поскольку к тому же ср » с*, точное
определение числа Ее несущественно. По этой же причине выраже-
ние (7.4) для с может быть принято в простейшем виде, линейном

Р*.о

Относительно д&

С учетом соотношения (7.4) согласно работам [53, 54] определя-
ются угол конического отрыва <рк о и число Маха М* на этом конусе в
невязкой части потока (т. е. вне слоя смешения):
^к.о

с

Рко

0,588

0,0016 + 0,002 М’2

00

(7.6)

в градусах при у = 1,4. Зависимость М* = М^М^, у, о) имеет слож-
ный вид и приведена в [53]. Давление в отрывной зоне обычно
постоянно всюду, за исключением областей начала отрыва и его присо-
единения. Обычно давление в точке торможения слоя смешения на
границе конического отрыва в раз больше рк о [74] и принимается
равным подкупольному давлению. Тогда коэффициент внутреннего
подкупольного давления с* будет равен

2(Л, - 1)

(7.7)

где

Л1 ~

1+|(г-1)М2
1+|(У-1)м2(1-Г2)

у-

(7.8)

причем на разделяющей линии тока слоя смешения У* » 0,6 как в

ламинарном, так и в турбулентном случаях. Физически выражения
(7.7), (7.8) означают, что несмотря на сравнительную застойность
области отрыва ( 11/1 «1), максимальная скорость газа, затекающе-
го под купол в узком слое смешения, достаточно велика У* ~ 0,6. От

кромки до миделевого сечения парашюта эта часть газа изоэнтро-

пически затормаживается до малых скоростей, что возможно при по-

вышении коэффициента давления от с до с+

Р< о Р

(значения на участке

от миделя до полюса купола парашюта).

Коэффициент внешнего давления сГ на куполе парашюта при
> 1,5 зависит от угла наклона поверхности купола к оси сим

метрии:

2Л2

-----у	при ф < -30°,

2Л_ (р \

—у отМ	при —30° < <р < 0°,

},М2 ^30 )	р

10,0016 +	при? >0°.

\	М2 / п п

(7.9)
Здесь учтено, что при <р < —30° донное течение близко к застойному
( | I/1 « 1) с постоянным давлением. Случай А? = 1 соответствует
вакууму. Значение Л2 лежит в диапазоне от 0,5 для хорошообтекае-
мых тел до 0,75-0,90 для плохообтекаемых тормозных устройств (см.,
например, работу [92]).

Участок —30° < у>п < 0° — переходный и довольно короткий, и на
нем предполагается линейная относительно <рп зависимость с~, так
что в миделевом сечении (^>п = 0) с“ = 0 . На внешней наветренной
поверхности купола (у?п > 0) удобно пользоваться формулой (7.6),
предполагая, что местное давление определяется местным углом <рп.
Такой подход аналогичен ньютоновской теории торможения [53, 92],
справедливой лишь при больших числах Мм. Использование урав-
нения (7.6) в (7.9) оправданно для >: 1,5.

При < 1 можно полагать коэффициент донного давления
с~ =г —0,4, а при 1 <	<1,5 использовать линейную интерполя-

цию, учитывая выражение (7.9). Значение / для непроницаемого
парашюта легко оценить, полагая для простоты перепад давлений
всюду на куполе постоянным и равным околополюсному (при
у?п = -90°) перепаду давлений. Тогда

I ^Р-с?'	<7Л0>

п

где — площадь входного отверстия; Р — раскройная площадь
купола парашюта. Обычно площадь Р^ известна, но может быть в
общем случае уточнена из аэроупругого решения задачи или из экс-
перимента. У пульсирующих парашютов в потоке среднее значение
Рц уменьшается. Из уравнений (7.1)-(7.10) с® определяется как фун-
кция Г/о. Остается неясной его связь с удаленностью парашюта от ГТ
х = х/Б (Г>1 —диаметр ГТ). Очевидно, х складывается из (размера
донного течения ГТ), х2 (размера отрывного течения перед куполом)
и х3 (размера области развития следа ГТ от «горла» до точки отрыва
перед парашютом):

х = х{ + х2 + х3.	(7.11)

Согласно работе [28]

х{ ~ 1,5.	(7.12)
Очевидно также, что

х3 = 0,5Ов С(Е (1РК 0),	<7 13)

где	— диаметр входного отверстия купола. Для осевой

струи с радиальной координатой г и осевой х из законов сохранения
массы и импульса следует, что

= °> 4 (Ро^') = ^0

или

<’•»>
г0 0 дх 0 г дг

В качестве модели турбулентной вязкости принимается простей-
шая модель типа «приращение скорости» в виде, использованном в
работе [28]:

^0 = Д^о(^ *“ Ц))*	(7.15)

Здесь А — радиус следа в переменных преобразования Дородницына
(^); к = гс/(А-Рет), — полуширина следа, определяемая по поло-
вине изменения скорости в следе, Кет — число Рейнольдса-Таунсенда
— определяется в работе [96] и в осесимметричном случае для сжима-
емого газа находится в виде

Ке = — Ш - I/ ) г р .

Т и '	ос7 с' °с

00

После преобразования Дородницына

(гс1г) = Д2?^; 7 6 [0,1]
• со

и определения профиля скорости из условий

Г(0) = 77О, 17(0) = 0, 77(1) = 1, Г'(0 = ^*(1) = 0

получаем

где /(у) = [ - бу2 + 8?;3 - З?;4 Теперь выражение (7.14) с учетом
(7.15) примет вид

<Ш0_24р0*(1-50)2

ах д770
Радиус потери импульса 6 связан с А следующим соотношением

[92]:

1 _ _ _ _

= 2/ 17(1 -	~ 0,2(1 - 1/0) - 0,1(1 - У')2.

о

(7.17)

Из закона сохранения импульса при изобарическом развитии сле-
да за ГТ, имеющим коэффициент сопротивления имеем



2

2

д — лО2 • 2д

*С0	^00

или, полагая 0 = 0/г/,

(7.18)

Теперь уравнение (7.16) легко решается с использованием соотно-
шений (7.1), (7.17), (7.18), причем в «горле» следа (хэ = 0) полагается
____________________ **

Ц = 0. Решение х (17 ) можно представить в виде

V	I* О

*2(Ц>) «	Г1 + 0,32(у - 1)МЧ.	(7.19)

ол I-	-I

Здесь функция # зависит только от 17^. Значение к зависит от
параметров профиля и находится из формулы к = гс/(А- Кет). Следу-
ет учитывать, что, в отличие от хорошообтекаемых тел, применитель-
но к которым известные профили скоростей/^) (Гаусса, Шлихтинга)
и приведенного выше профиля дают практически одинаковые зна-
чения к, для плохообтекаемых тел (дисков, коротких цилиндров) на-
блюдается существенно иной, более наполненный профиль Райхарда
7(д) = 1 — Зд4 + 2дв или близкий к нему более простой по виду про-
филь /(д) = 1 - д2. В результате для плохообтекаемых тел значение к
оказывается в несколько раз меньше.

Таким образом, методика расчета с° теперь сводится к следующе-
му. Задавая последовательно ряд значений 17из уравнений (7.1)-
(7 10) находим <^(Г0), а из уравнений (7.11)—(7.13), (7.19) — ~х(17^)
Из этих параметрических связей определяется с^(170), в частности, и
Для того значения х, которое задается в конструкции.

§ 7.2. Сверхзвуковой парашют с конструктивной
проницаемостью

Высокоскоростные парашюты обычно работают при больших ско-
ростных напорах и потому изготавливаются из столь плотных матери-
алов, что их воздухопроницаемостью можно пренебречь Поэтому для
Рис. 7.2. Схема обтекания
сверхзвукового парашюта с кон-
структивной воздухопроницаемо
стью

улучшения аэродинамических характеристик используют конструк-
тивную воздухопроницаемость в виде отверстий в куполе. Численный
эксперимент показал, что газ втекает под купол через кольцевую
щель, образующуюся между кромкой купола 1 и конической отрыв-
ной зоной 2 (рис. 7.2). Далее газ движется вдоль поверхности купола,
вытекая через конструктивные отверстия с общей площадью /^7^.

Варьируя уравнение (7.10), при параметре Кп < 1 получаем

Где = (с+ - с~)дГ + Где* — Гдс~.
п р 4 р р' в в р в р

Если площадь Р& конструктивных отверстий, находящихся напро-
тив входного отверстия, равна Кп , то дР* =	^Р^. Отдельные

струи, бьющие из конструктивных отверстий, несущественно иска-
жают донное течение, и поэтому полагают дс~ = 0. Приращение дс?
объясняется разностью импульсов <57* втекающей массы газа <5 т и
вытекающей из отверстий с критическими параметрами р*, Ц*. Сле-
довательно, дт = р*Ц*КпР^ и Р^с* =	&?х - ^т(^кх ~~ ^)>

где II = соз <рк о — проекция вектора скорости вблизи разделя-
ющей линии тока на ось симметрии Ох; В характеризует среднюю
скорость втекающего под купол газа, причем В* ~ 0,6 при К 0 и
7?к ~ 1 при -* 1; — проекция на Ох вектора скорости газа, исте-
кающего из отверстия. Обозначим пх = Ц*х /1гх, тогда п* = 1 для по-
люсной части купола с отверстием и пх = 0 для отверстий в районе
миделя.

Окончательно получаем

2р*Ц*К Р (В I/ соз — Ц* п )

~______П ПУ К К ГК.О__________X7

Ср	р Ц2 Р

'ос оо в

Если параметры газа в почти застойной области под куполом обоз-
начить индексом «1», то легко определить// и Ц* (1,65]:
(7.20)

где а1 — скорость звука. Тогда

'К

2К Р
л п

У 2
' 2 \у-1^1а1

/ + /

(в м	°к\1 V + 1

В М соз <р —V —
к к гк.о 2



Численный эксперимент показал, что а* » а^. Далее

п	/М2 уМ2

— = 1 + с+ —у— ~ —у- (с+ - с \ при М >2.

Р 2	2 \ Р р) н »

00

р»а«
/

В итоге имеем

<5с+ » К (с* - с”) -тг у Г 2 1) Г ~ 1 [в М	1--- соз <р - п ) ,

Р п\р д//71у+11 1кк	2 гк.о хг

(7.21)

Видно, что с линейно зависит от К . Это также хорошо подтверж-
дается экспериментально. Кроме того, для отверстий в районе миделя
(\т в = пх = 0) с Увеличением растет сп, т. е. наличие отверстий
лишь повышает с .
п

Угол о не зависит от К Тогда согласно рис. 7.2

х3 = х3^.	(7.22)

В

Закон сохранения массы дает связь

р У В ? (О2 - В2)=Р*Ц*К Р .	(7.23)

ГК к К 4 4 В в ' г пп
Из уравнений (7.22), (7.23) следует соотношение

(7 24)

Воспользовавшись уравнениями (7.20) и (7.7), получим

, * х	2Г~1

(р = / 2 \ 2(у~1) 1 ^1а1^

1р V ) I у + 11 М 1р а ) ’

ук к/ V /	к Ук к/

, х	2

У’Л) Рка2к г

В результате из соотношения (7.24) имеем

V?А. / 2 у2у-1
1-К -ЕГ1ГТГ —ГТИГ-1).	<7.25)

о о	г. г в М У + 1

в к к \*	/

В случае К * 0 в (7.11) вместо х, следует использовать х
Пи	и

§ 7.3. Сверхзвуковой парашют в «открытом следе» головного
тела и в невозмущенном потоке

Парашют в «открытом следе» (см. рис. 7.1а) рассматривается как
частный случай, когда угол конического отрыва <р* о определяется

геометрически по местоположению начала отрыва на ГТ и его окон-
чанию у входной кромки купола, т. е. <р* о заранее известно.

Для продолговатых ГТ, например, цилиндрических форм, угол
отрыва потока с гладкой поверхности тела может быть в турбулент-
ном случае определен из уравнений (7.5), (7.6), поскольку при этом

с

Рк.о

По мере уменьшения х положение начала отрыва переме-

щается к передней кромке ГТ, а угол 0 и сп остаются неизменными.
Следовательно, должен иметься участок сп(х) = соп§1 с протяженно-
стью, равной длине цилиндрической части головного тела, что под-
тверждается трубным экспериментом.

Парашют в невозмущенном потоке является частным случаем си-
стемы ГТ-парашют при бесконечно удаленном ГТ и отсутствии зате-
няющего действия строп и соединительного звена = д® = 1). Его
коэффициент сопротивления с°° существенно больше коэффициента
сопротивления сп системы ГТ-парашют в открытом следе ГТ. Ко-
эффициент с” и определяет предельно возможное значение коэф-
фициента сопротивления парашюта вне следа ГТ.
| Для представляющих большой интерес диапазонов параметров

<1, /)>3их>7 отрывное течение перед куполом выражено
настолько слабо, что удовлетворительное совпадение расчетных зна-
чений коэффициента сп с экспериментальными получается в предпо-
чтении невозмугценности потока.

Перестройка обтекания системы ГТ-парашют может трактовать-
ся как предельный случай	= 0, т. е. условие перестройки

можно записать с учетом уравнений (7.11)-(7.13), (7.19), (7.25) для
у = 1,4 в виде

/л х 0,059

Г «1,5 + 0,935

в

1 951
1,56 + ^ М
м2)

X

Р А, I0’5

1	. (7.26)

п Р в м

В К КЛ

Последнее соотношение хорошо согласуется с результатами экс-
периментальных работ [50, 91, 92]. Вычисляя с^(Ц) и х(17ц), легко
убедиться, что при />в > 3—4 и > 2 вблизи значения х « х* может
|озникнуть неоднозначность функции сп(х), т. е. одному значению х
могут соответствовать два значения сп. Фактически это означает воз-
можность проявления гистерезисных явлений в перестройке, что и
отмечается во многих экспериментах. Уравнение (7.26) в данном
случае отражает так называемую «прямую» перестройку, наблюдаю-
щуюся при увеличении х. У словие_ «обратной» перестройки можно
формально записать в виде | дсп/дх| -* <», причем найденное зна-
чение х = х** всегда не больше х*

Результаты расчетов условий перестройки следа за ГТ сравнива-
лись более чем с 1000 отечественных и зарубежных эксперименталь-
ных данрых и во всех случаях наблюдалось их удовлетворительное
согласование.

| Здесь в качестве примера приведем лишь сравнение результатов
расчетов по предложенному инженерному методу с данными вычи-
слительных и трубных экспериментов работы [50], полученными для
модели парашюта в следе ГТ цилиндрической формы с коническим
насадком.

На рис. 7.3 показана зависимость сп(х) для случая = 2;

= 0, у = 1,4; В = 2,14, с. = 0,67, Ре = 3,5 • 106 (сплошная линия
Н предложенный инженерный метод, △ — эксперимент, штриховая
Линия — расчет методом крупных частиц [62]). Значения сп отнесены
1 Площади миделя, т. е. к Р = лГ>^/4, причем Л — 2,38. На рис. 7.4
Рис. 7.3. Влияние удаленности голо-
вного тела на коэффициент сопротивле-
ния сп осесимметричного купола пара-
шюта в следе от него при сверхзвуковой
скорости

Рис. 7.4. Влияние конструктивной %
воздухопроницаемости Кп на коэффици-
ент сопротивления сп осесимметричного
купола парашюта в следе ГТ при сверхз-
вуковой скорости

Рис. 7.5. Влияние числа Маха на ко
эффициент сопротивления сп осесимме
тричного купола парашюта при отсут
ствии ГТ

представлена зависимость сп(Кп) в случае Р = 3,45, 2>в = 0,92),
х = 12 при тех же условиях. На рис. 7.5 приведена функция сп(Мх)
для такого же изолированного купола (х -* <»).

§ 7.4. Крестообразные и квадратные парашюты и баллюты.
Сверхзвуковое обтекание

Расчет сп для крестообразных или квадратных парашютов можно
приближенно проводить на основе приближенных зависимостей для
осесимметричных парашютов (см. § 7.3), на куполе которых задаются
конструктивные отверстия соответствующих конфигураций. После
определения величин К , К , п для нахождения с используется
П П В X	п

формула (7.21). Практика показала приемлемость такого подхода, в
частности, для парашюта с куполом крестообразной формы и некото-
рых его модификаций, об этом свидетельствует хорошее согласование
результатов расчетов и экспериментов (рис. 7.6).
Для баллюта при сверхзвуковых скоростях достаточно хорошее
приближение можно получить, используя аналитические выражения
для наветренной зоны оболочки (аналог формул аэродинамического
Сопротивления Ньютона) и донной области (аналог формулы для ко-
Иифициента давления в вакуумной области). Воспользуемся резуль-
татами §7.1, где предложены такие выражения.

На наветренной поверхности (конусной части) баллюта в предпо-
ложении достаточной удаленности от головного тела и при слабо вы-
раценном переднем отрыве и при /> О поверхностное давление с
рк
будет

с = (о,ОО16 +

₽к I м2)

где/— угол (в градусах) между вектором набегающего потока и каса-
тельной к поверхности оболочки

В донной области баллюта (/ < -30°) поверхностное давление

с =

рд м2’

*деЛ = 0,75 для М > 1,1.

В промежуточной (переходной) зоне, когда -30° </<0°, предпо-
лагается линейная зависимость коэффициента давления от угла/.

При решении задачи о напряженно-деформированном состоянии
оболочки баллюта необходимо знание внутреннего давления, кото-
рое, как оказалось, существенно отличается от давления торможения
35 прямым скачком (что было характерно для затупленных изоли-
рованных тормозных устройств). Решение задачи о нахождении дав-
ления внутри баллюта при наличии выхлопных (воздухозаборных
ТР> б) на боковой поверхности баллюта удалось также получить в ана-
^тической форме на основе анализа течения за коническим скачком
боковой поверхности баллюта и последующего торможения потока в
Прямом скачке перед выхлопной трубой. Может быть легко получено
Радующее соотношение для внутреннего коэффициента давления:
Рис. 7.7. Влияние числа Маха на ко-
эффициент давления с* внутри баллюта:
сплошная линия — расчет-, о — экспери-
мент

где Мк — число Маха на конической боковой поверхности в невязкой
части потока, а 5 — определяется по зависимости

/+1 у+ 1	2

у 4У-2ОД	уМ*

Простейший анализ показывает, что при любых числах Маха
внутреннее давление в любой точке баллюта превосходит внешнее, и
это объясняет высокую стабильность формы его баллона в потоке. При
больших числах Маха положительный перепад давлений настолько
велик, что форма оболочки баллюта практически не претерпевает
изменений при вариациях скоростного напора и числа Маха.

Этот фактор наряду с малыми возможностями массообмена вну-
тренней области с внешним течением практически исключает пульса-
ции баллюта и способствует сохранению постоянства формы баллона.
Поэтому облегчается проведение экспериментов в аэродинамических
трубах, так как достаточно использовать малые жесткие модели тор-
мозного устройства.

Приведенное выше соотношение для с* хорошо согласуется с
экспериментальными результатами во всем диапазоне чисел Маха
(1 < М < 6) (рис. 7.7). В случае дозвукового обтекания баллюта ко-
эффициент давления торможения близок к единице, что подтвержда-
ется трубными испытаниями.
§ 7.5. Двухоболочковый парашют-крыло в дозвуковом потоке

При проектировании двухоболочковых парашютов-крыльев од-
ной из важнейших задач является достижение достаточно совер-
шенной аэродинамической формы купола в потоке. Форма купола в
потоке может весьма существенно отличаться от раскройной в зави-
симости от числа нервюр, их формы, организации стропно-косыноч-
ной системы парашюта.

Для получения ожидаемой формы купола на стадии проекти-
рования целесообразно использовать математическое моделирование
[72], решая в общем случае аэроупругую задачу. Однако оказалось,
что аэродинамическая часть аэроупругой задачи требует в десятки
раз больших затрат машинного времени, чем упругая. Между тем в
работе [72] было показано, что знание точного распределения ко-
эффициента давления ср по поверхности оболочки парашюта нео-
бязательно для анализа формы купола. Поэтому были предприняты
попытки задавать ср приближенно на основе аналитических формул.
При этом форму купола парашюта возможно получить в десятки раз
быстрее.

(Для приближенного определения ср профиль парашюта представ-
ляется в виде двух расходящихся по направлению к его носовой части
прямолинейных отрезков, моделирующих верхнюю и нижнюю обо-
лочки купола, которые сопрягаются между собой через вписанный
эллипс (рис. 7.8), моделируюший носовую часть купола. Далее пред-
полагается, что данная компоновка (две плоские пластины и со-
пряженный с ними эллиптический цилиндр) обтекаются безотрывно.
Анализ экспериментальных данных показывает, что последнее пред-
положение при обтекании профилей парашютов на малых углах ата-
ки соблюдается не всегда, но отрыв с гладкой поверхности верхней
оболочки является стелящимся вдоль нее, и распределение ср оказы-
I вается весьма близким к получающемуся в случае безотрывного обте-
1 кания.

Воспользуемся зависимостями для сопряженной комплексной
I скорости вдоль поверхности эллипса и пластины [65] и получим:

для эллипса с полуосями А, В и фокусным расстоянием С
I (С2 = Л2-В2)

Рис. 7.8. К выбору геометрии профиля парашюта для опенки распределения ко-
эффициента давления
11=11 77-—^ А - В
0° (Л — В)

- , ^-"Т-.СО5Л + 1\В — А

51П а

для пластины длиной С

17 = V

СО

2
соз а - I .  _  - 51п а
уГ?-<?

где а — угол атаки (см. рис. 7.8).

Значение ср определяется из условия безотрывности обтекания
профиля:

с = 1 -
Р

I а\г/и2.
1	1	00

Для сопряжения ср по верхней образующей по результатам расче-
та ср для пластины и эллипса имеются две возможности (рис. 7.9).
Если кривая срп($) ($ — координата вдоль образующей) для пластины
пересекает срэ для эллипса в точках и з2 (рис. 7.9а), то

С/'?) =

Срэ^

Ср№

при 5 <

при < 5 < з2;

При 5 > 52.

При отсутствии пересечения упомянутых кривых осуществляется
сопряжение по касательной (рис. 7.96).

На рис. 7.10 сравниваются перепады давлений сА (сА = с о —
Др Др рО
— ср) для профиля, полученные в результате расчета по предложен-
ным зависимостям и экспериментально. Давление внутри купола при

Рис. 7.9. Сопряжение функций коэффициентов давления эллиптического цилин-
дра и пластины для оценки распределения давления по поверхности двухоболочкового
парашюта
Рис. 7.10. Распределение коэффициента перепада давлений по поверхности про-
филя двухоболочкового планирующего парашюта: расчет коэффициента перепада
Давлений на верхней оболочке (штриховая линия) и на нижней оболочке (сплошная
линия), х — эксперимент [5, 6]
Рис. 7.11. Расчетная форма купола двухоболочкового планирующего парашюта

малых углах атаки полагается равным давлению торможения с = 1.
ро

Согласование результатов достаточно хорошее для дальнейшего ис-
пользования формы купола в потоке. Расчетная форма двухоболоч-
кового парашюта-крыла ПО-9 серии 2, полученная по материалам
гл. 10, показана на рис. 7.11; она оказалась весьма близкой к рабочей
форме натурного парашюта.

Полученные законы распределения ср(8) (см. рис. 7.10) могут так-
же применяться для оценки интегральных аэродинамических харак-
теристик профиля и купола двухоболочкового парашюта в целом. Для
купола следует использовать характеристики профиля и известные
зависимости для крыла конечного размаха. При этом естественной
круткой и арочностью купола, а также некоторой бочкообразноегью
формы его секций можно пренебречь. Однако обязательно следует
учесть сопротивление стропно-косыночной системы, на долю которой
приходится до 20-30% лобового сопротивления подобной парашют-
ной системы.
Раздел третий

ФОРМЫ И НАПРЯЖЕННО ДЕФОРМИРОВАН-
НЫЕ СОСТОЯНИЯ ПАРАШЮТОВ

Глава 8

ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ
ПАРАШЮТОВ

§8.1	. Основные допущения

Всем конструкциям натурных парашютов в потоке присущ ряд
общих признаков. Прежде чем говорить о них, дадим несколько пояс-
нений.

Основными конструктивными элементами парашюта являются
купол и стропная система. На куполе парашюта — незамкнутой, рас-
тяжимой, проницаемой тканевой оболочке, снабженной каркасом из
текстильных лент или шнуров, — формируется распределенная аэро-
динамическая нагру зка (перепад давлений) и реализуется некоторый
вектор аэродинамических сил К. Стропная система предназначена
для соединения купола парашюта с объектом и передачи на объект
усилия со стороны купола.

Каркас на куполе парашюта может быть двух типов: формообра-
зующий и подкрепляющий. На формообразующие элементы каркаса
(ленты, шнуры) передаются усилия со стороны ткани. Формообра-
зующие элементы каркаса замыкаются на соответствующие стропы
стропной системы и именно через них передаются усилия со стороны
купола на объект. Подкрепляющие элементы каркаса служат для ло-
кализации возможных порывов ткани купола. Усилия в подкрепля-
ющих элементах каркаса близки к усилиям в прилегающих к ним
участках ткани (в полосках ткани) соответствующей ширины.

Форма парашюта в потоке будет определена, если удастся опре-
делить в некоторой системе координат, связанной с парашютом,
положение каждого формообразующего элемента каркаса и форму
тканевой оболочки между двумя соседними формообразующими эле-
ментами.

Перечислим теперь допущения, общие для всех конструкций па-
рашютов, при их функционировании в воздушном потоке.

Прежде всего, отметим что для произвольной точки тканевой обо-
лочки, расположенной между двумя формообразующими элементами
каркаса, всегда существуют два взаимно перпендикулярных направ-
ления таких, что кривизна тканевой оболочки в одном направлении
Много больше ее кривизны в другом направлении. При этом для одно-
оболочковых парашютов меньшая кривизна является величиной,
близкой к некоторой средней кривизне поверхности купола, а боль-
шая кривизна характеризует местную, локальную кривизну поверх-
ности купола. Так как кривизны указанной тканевой оболочки в двух
главных направлениях различаются в десятки раз, а усилия в ткани
по этим направлениям обычно одного порядка, то основное влияние
на формообразование парашюта оказывают усилия, действующие
вдоль направления с меньшим радиусом кривизны (экваториаль
ного). Это позволяет пренебречь усилиями в другом направлении
(радиальном), считая напряженное состояние тканевой оболочки
одноосным. Это первое допущение.

Кроме этого, анализ фотографий натурных парашютов показыва-
ет, что формообразующие элементы каркаса и соответствующие им
стропы стропной системы с точностью до малых высшего порядка
образуют плоскую фигуру. Другими словами, с большой точностью
можно считать, что формообразующий элемент каркаса располагает-
ся в плоскости своих строп. Это второе допущение.

К двум названным допущениям добавляется еще одно. Предпола-
гается, что элементарная полоска ткани, вырезанная из тканевой обо-
лочки вдоль главного направления с меньшим радиусом кривизны, в
процессе формообразования парашюта располагается в плоскости
нормалей к соответствующим точкам двух соседних формообра-
зующих лент каркаса, а перепад давлений, действующий на нее,
принимается постоянным. Отсюда следует, что кривизна указанной
элементарной полоски ткани постоянна, т. е. она является дугой
окружности.

Сформулированные допущения позволяют полностью определить
механизм передачи усилий со стороны ткани на формообразующий
элемент каркаса. При этом элемент считается гибкой растяжимой
нитью. Масса элемента (нити) включает в себя массу прилегающих к
нему участков ткани.

Математические модели, полученные на основе изложенных до-
пущений и содержащие уравнения движения (равновесия) гибкой
растяжимой нити (формообразующего элемента каркаса), называют-
ся одномерными моделями парашюта [85, 88].

В заключение заметим, что для парашютов с куполами в форме
плоского круга или квадрата в раскрое, конусных парашютов раз-
личных конструкций, ленточных и щелевых парашютов формо-
образующими элементами являются ленты радиального каркаса,
переходящие в стропы; для парашюта с куполом крестообразной
формы — ленты продольного каркаса; для однооболочкового парашю-
та-крыла — ленты поперечного каркаса купола. Основными фор-
мообразующими элементами двухоболочкового парашюта-крыла
являются ленты каркаса, совпадающие с верхней и нижней образу-
ющими нервюр.

§	8.2. Уравнения движения формообразующих лент каркаса

Рассмотрим малый элемент формообразующей ленты каркаса ку-
пола парашюта. Лагранжевы координаты начала и конца элемента
обозначим через 5 и $ + а натяжения (растягивающие усилия)
на соответствующих концах — через ТУ и X + М, В общем случае
ТУ == ТУ($, /), где I — время; в любой фиксированный момент времени
аы = ^аи.

(8.1)

В соответствии с законом сохранения массы имеем

(1т = М(к = Мс&	(8.2)

где (1т — масса элемента, состоящего из массы ленты и прилегающих
к ней участков ткани купола; б/Г — длина элемента в растянутом
«нагруженном) состоянии; М и М—массы элемента единичной длины
в ненагруженном и нагруженном состояниях.

Пусть на элемент действует сила а также сила Г, обусловлен-
ная передачей на ленту натяжений со стороны прилегающих к ней
участков ткани. В соответствии со вторым законом Ньютона для про-
извольного момента времени можем записать

айт = Г*(1т + Рек + с1Я,

(8.3)

где а — вектор ускорения центра масс элемента.

Введем некоторую прямоугольную систему координат и обозна-
чим через г($, I) радиус-вектор, выходящий из начала координат в
точку ленты с лагранжевой координатой 5. Принимая во внимание
уравнения (8.1), (8.2) и совершая предельный переход при б&-»0,
вместо выражения (8.3) получаем

М^ = МГ ) (1+Л)Г + ^,

(8.4)

где Л — относительное удлинение элемента, определяемое формулой

Нт

б/Г— б/«
б/$

дг

д$

(8.5)

Имеем элементарное соотношение

# = № = 7/— /

дг

д$

(8.6)

где т — единичный вектор касательной к ленте.
Отсюда следует

дЯ

д$

дЯ	КТдд

= — т + дг— п
д$ д$

(8.7)

где п — единичный вектор нормали к ленте; ад — угол между двумя
соседними касательными в точках с лагранжевыми координатами 5 и
5 + б?$.

Натяжение /V в ленте является функцией относительного удли-
нения Л. Вид зависимости

№/(Л)

(8.8)
определяется из эксперимента. В ряде случаев допустимо полагать
№ = ЕЛ, где Е — приведенный модуль жесткости, учитывающий жес-
ткость ленты и прилегающих к ней участков ткани.

В любой системе объект-парашют масса парашюта всегда намного
меньше массы объекта. Поэтому на любом этапе функционирования
парашюта массовые силы, действующие на единицу площади поверх
ности купола, всегда много меньше соответствующих аэродинами-
ческих сил. В связи с этим первый член в правой части уравнения
(8.4) всегда много меньше второго и им можно пренебречь. Таким
образом, для натурных парашютов уравнение движения произволь-
ной формообразующей ленты каркаса будет

7

М-Ц = (1+Л)Г + ^р	(8.9)

В уравнении (8.9) функция М(з) известна. Вид этой функции лег-
ко устанавливается для любой конструкции парашюта. Зависимости
функций Л и # от радиуса-вектора г($,1) определяются формулами
(8.5), (8.6) и (8'8).

Для равновесных (стационарных) состояний парашюта левая
часть уравнения (8.9) равна нулю. В этом случае с учетом (8.7) урав-
нение (8.9) в скалярной форме предстанет в виде

^+<1+Л>/п = 0’ ^ + (1+^ = 0,	<810)

или для нерастяжимой ленты

ЛГ^ + /' =0, ^ + Рт = 0'	(811)

08 П	08 т

Уравнения (8.9)—(8.11) должны быть дополнены начальными и
граничными условиями.

Начальные условия для уравнения (8.9) зависят от характера рас-
сматриваемой задачи (раскрытие парашюта, раскрытие после раз-
рифления, пульсации парашюта и т. д.) и в общем случае могут быть
записаны в виде

г(5» 0 I г=о = го^; а? ,=0 =

т. е. в начальный момент времени задаются форма парашюта г^(8) и
скорость движения формообразующей ленты каркаса 1/0($).

У нижней кромки купола парашюта, где формообразующая лента
переходит в стропы, и в точке, где стропы сходятся и переходят в
соединительное звено, на решения уравнения (8.9) должны быть на-
ложены условия совместности деформаций и динамического равно-
весия.
Кроме этого, решения уравнения (8.9) должны отражать тот факт,
что любая формообразующая лента каркаса и примыкающие к ней
стропы образуют плоскую замкнутую фигуру.

Для стационарных состояний парашюта, описываемых уравне-
ниями (8.10) или (8.11), в зависимости от конструкции парашюта
граничные условия задаются или в вершине купола или в точке, в
которой плоскость зеркальной симметрии парашюта пересекает пло-
скость, содержащую формообразующую ленту. В этих точках изве-
стен радиус-вектор г и направление касательной т к ленте каркаса

ф)|5=о = г(О); т(5)|$=о = г(О).

Кроме этого, радиус-вектор г нижней кромки купола, направле-
ние касательной т к ленте у нижней кромки и длина примыкающей
К стропы Ь связаны между собой, т. е. имеет место соотношение

Р(г, т, Ь) = 0 при 5 = $0,

где Р— известная функция; $0 — лагранжева координата формообра-
I зующей ленты у нижней кромки купола.

§ 8.3. Силы, действующие со стороны ткани на
формообразующую ленту в одномерных моделях

Сформулированные выше допущения (см. § 8.1) позволяют уста-
новить связь между направлением внешней силы, действующей на
'формообразующую ленту каркаса, и направлением ленты (нити, из
которой моделируется лента). В качестве внешних сил фигурируют
натяжения в ткани. При этом на /-ю формообразующую ленту пере-
даются натяжения от ткани, расположенной между (/ — 1)-й и 1-й, а
также между г-й и (/ + 1)-й лентами каркаса.

Для единичных векторов касательной т., нормали п. и бинормали
Ь. к 1-й ленте каркаса справедливы соотношения

дг. дг. дт. дО.

Т. = -г-^/—Л	Л. = Гл.ХТ.1.

I д8. д8.	I д8. д8.	I Ь I ч

II	II	и и

(8.12)

При этом, если в любой фиксированный момент времени векторы
т. и п. являются функциями лагранжевой координаты 8., то вектор Ь.
от 8. не зависит, так как ленты каркаса образуют плоские кривые.

Выделим элементарную полоску ткани вдоль главного направ-
ления с меньшим радиусом кривизны. В соответствии со сделанным
[Допущением натяжением в ткани в другом главном направлении мо-
жно пренебречь. Пусть указанная полоска опирается на 1-ю формооб-
разующую ленту в точке с лагранжевой координатой а на (/ + 1)-ю
ленту — в точке с лагранжевой координатой $ Обозначим через
Ар. перепад давлений, действующий на элементарную полоску. При
Рис. 8.1. Элементарная полоска ткани длиной
I, расположенной между /-й и (/ + 1)-й формообра
зуюгцими лентами каркаса

этом она расположится по дуге окружности некоторого радиуса 7?^., а
величина натяжения Ы.. в ней будет определяться формулой

♦I	XI

(8.13)

Для любой конструкции парашюта по известной раскройной гео-
метрии купола всегда можно определить длину I элементарной по-
лоски в ненагруженном состоянии. Обозначая через 2^. центральный
угол, на который опирается дуга окружности, можно записать следу-
ющие соотношения (рис. 8.1):

2К .^. = /.(1+А .), 2К .8ш^.= |г
XV I V	XI Т1 1 I

(8.14)

где — относительное удлинение элементарной полоски ткани под
действием натяжения Я*.. Вид зависимости

Я .=/(А .)

(8.15)

определяется из эксперимента.

Формулы (8.13)—(8.15) при известном значении перепада дав-
лений Др* устанавливают зависимость функций IV*., А*., тр. от
радиус-векторов г.($., /) и	/)• Натяжение /V*. направлено по

касательной к дуге окружности, по которой располагается элементар-
ная полоска ткани. Направление действия натяжения Я*. в интересу-
ющих нас точках определяется формулами

ЛГ . = // т # .... =Л т

♦М */ ♦!,<	♦/,/+!	*1 

(8.16)

где т*. и т*.—единичные векторы касательной к дуге окружности
в точках, в которых она опирается на 1-ю и (/ + 1)-ю формообразующие
ленты каркаса (рис. 8.2). Найдем связь между вектором т*. .и векто-
рами Тр п., Ь., определяемыми формулами (8.12).

В соответствии с принятым допущением рассматриваемая элемен-
тарная полоска ткани располагается в плоскости нормалей к /-й и
(/ + 1)-й формообразующим лентам каркаса. В указанной плоскости
разложим единичный вектор т*.. на направления п. и = г/+1 - г
Имеем (рис. 8.2)

81ПУ>.	51П гр. Аг.

п +---------1— -—1—.	(8.17)

’ «П (^ + V,)	81П (<р(. + ^,) | Д*}|
Рис. 8.2. Натяжения в элементарной полоске ткани купола парашюта

Формула (8.17) содержит новую искомую функцию — угол 1р.,
Как будет показано ниже, для любой конструкции парашюта можно
определить угол 1р. через известные конструктивные параметры, не-
зависимые переменные и уже введенные искомые функции.

Дг.

Разложим единичный вектор-------— по осям натурального трех-

I ^г.1

гранника. Можно записать

Дг. ( Дг. \	/ Дг. \	/ Дг \

т-т—Ц- = соз I -Л -*-1 , Л. л. + СОЗ I-г-7-Г, Т. Т. + СОЗ -т-7-Г, Ь. Ь..

I Дг. I I Дг. I 1)1	| Дг. | ’ 1)1 I Дг. I 9 <

(8.18)

С учетом формул (8.17) и (8.18) вместо первой зависимости в
(8.16) получаем



81П 1р.	ЗШ 1р.

----------+-----------------1— С08

81П (V». + V-;)	81П (V. +

зшу». Г	/ Дг.	\	/ Дг.

+-----------С08 _------------1_ т т + СО8 ------------

ып (у>. + V’,.) I	Ч Дг/1	>	Ч Дг,-1

(8.19)

Выражение (8.19) определяет направление действия натяжения в
элементарной полоске ткани для полотнища, расположенного между
ьй и (/ + 1)-й лентами каркаса, в точке, в которой эта полоска опи-
рается на 1-ю формообразующую ленту.

Аналогичным образом для векторов тф. ,,

Дг.

I Дг11 ’

Ы,1Л+\ бУДеМ

иметь (см. рис. 8.2)
зш гр	зш гр. Дг.

т*м+1	8т(^. + гр^ П1+1 з'т(гр. 4- гр.) | Аг. | ’

(8.20)

*Г1

I Д', I

= СОЗ

+ СОЗ

Дг.
Гд^Т

Дг.

I Д') I

Ъ+1 + со8

51П гр.

зш гр.

Дг.

I Д'-1 ’ ь‘

( Лг.

(8.21)

-----------тг— —	х;— СОЗ
8«П(^. +---81П(у>. + 1р.)

Д^Т’"41

= 1^.

*1

» Л

п

п

51П гр. Г / Дг. \	/ Дг. \	11

—~т;—Агт соз -у-.- '> , т., , т.,, + соз г- *т-,6.х1 к
8Ш(^. + У,р[ \ | &г. |	г+1) «+1	| Дг. |	*+1у *+1_|)

(8.22)

На /-ю формообразующую ленту каркаса в точке з. опираются две
элементарные полоски ткани. Одна из них принадлежит полотнищу,
расположенному между (/ — 1)-й и /-й лентами, вторая — полотнищу
расположенному между /-й и (/ + 1)-й лентами. В связи с этим, при-
нимая во внимание формулы (8.19)-(8.22), получаем следующие
выражения проекций на оси натурального трехгранника сил, действу-
ющих со стороны ткани на формообразующую ленту:

♦1

зшу».

зш гр.

---------—— 4-	------------ С05
51П(^. + 1р.)	81П(^. + V,)

Дг. 1
I
------п.
|ДГ.| ‘1

зш гр



СОЗ

Аг. '
1-1
-------, п.

1Ч-.1 '

(/• ) = .

' ГТ.	*1

зшу». / Дг.

----- СОЗ I------1-

ЙП(^. + 1р.)

~ К п 1Л --------

5Ш(У>

&1пгр

соз

Аг

т. , (8.23)
I Дг.-11 '



+ 7У



з1пгр. / Дг. \

(Л)а = X •-----------1— СО5 -------Ь. | -

‘	81П(1р. + ^.)	\ | Дг. |

З1пгр	/ Аг. \

- ы ,ч----------------------СО5 ------, Ь. =0.

ио
Последнее равенство в формулах (8.23) учитывает, что формо-
I Образующие ленты являются плоскими кривыми.

Формулы (8.23) записаны в общем виде. Для конкретных конст-
Грукций парашютов правые части этих формул значительно упроща-
1ЮГТСЯ.

8.3.1.	Осесимметричный парашют. Пусть парашют обладает в
[ потоке осевой симметрией п-го порядка, где п — число формообразу-
ющих лент радиального каркаса, переходящих в стропы. Ясно, что
двугранный угол, образованный двумя полуплоскостями, выходящи-
ми из оси симметрии парашюта и содержащими 1-ю и (1 + 1)-ю формо-
робразующие ленты, измеряется линейным углом 2^, где

= л!п.

В силу указанной симметрии

*1	'I Г1-1 Г1 *1~1

Легко показать (рис. 8.3), что

гр. + 1р. = л/2 +	5Ш^. — СОЗ д. • ЗШ

(8.24)

(8.25)

(8.26)

I где д. — угол между касательной к формообразующей ленте и осью
симметрии парашюта.

В соответствии со сделанным допущением единичные векторы
ДгУ | Дг. | и Дг.^7 | А/**-! | лежат в плоскостях, содержащих нор-
маль л.. Кроме того, эти векторы лежат в плоскости, перпендику-
| лярной оси симметрии парашюта, т. е. в плоскости, содержащей
бинормаль Ь.. Ясно, что (рис. 8.3)

то с учетом формул (8.27) можно записать

. 2	2

81П %. + СОЗ

/ Дг

И I

2

+ СОЗ <р = 1.
Рис. 8.3. Элемент осесимметричного парашюта, расположенный между /-й и
((+ 1)-й формообразующими лентами каркаса

Воспользовавшись вторым соотношением в (8.26), получим

СО52

Аналогичное соотношение имеет место и для соз2

Откуда следует, что

4-1	’

Т4ТГЛ

/ Аг \

со$ (Да/ | ’=	’ 81п$Г

со8 |Д Аг 1 I *= 81П

(8.28'
С учетом соотношений (8.25)-(8.28) вместо формул (8.23) имеем
2ЛГ»-

~ «п Х1  «®	- X,));

2ЛГ*' • ,	,, ч • ,	(8.29)

= " соГ/.8,п ’ С08	•-	’ 81П 9Г

(Г.). = 0.

Легко убедиться, что для осей координат, изображенных на рис. 8.3,
дг.	д$.

—1 = соз^.; -т-2 = зш^..	(8.30)

д$. I д8. I

I	I

Заметим, что для осесимметричного парашюта в силу особенно-
стей его симметрии индекс / у зависимых и независимых переменных
следует опустить.

Если число строп парашюта велико, то в формуле (8.24) </?«!.
Тогда, пренебрегая малыми величинами, вместо выражений (8.29)
можно записать

Р =	= 0;/\ = 0.

п ♦ т ’ ь

(8.31)

8.3.2.	Парашют с куполом крестообразной формы Рассмотрим
две полуплоскости, в которых расположены (/ — 1)-я и /-я формообра-
зующие ленты продольного каркаса. Двугранный угол, образованный
пересечением этих полуплоскостей, измеряется линейным углом 2/3 {
(рис. 8.4), при этом имеем элементарные соотношения

Рис. 8.4. Элемент парашюта с куполом крестообразной формы, расположенной
между (/ — 1)-й и 1-й формообразующими лентами каркаса
+ V,- = л/2 +/.;	+ У»._1 = л/2 +/.-Р	<8.32)

8Ш/. = 8и1@. • 8ШЙ.; йп/(._1 =	• япО. р (8.33)

Легко показать, что

/ Дг. \	/ Дг._.	\

!дд7Г п>) = п,2+*ё ^2,1’л<) =п/2

( ^г-	\	/ Дг._.	\

(т^Г*Г’*-: Пд^Т’^=х<-*:	(8-34)

С учетом соотношений (8.32)“(8.34) вместо формул (8.23) будем
иметь

(Г) =	.

4 ГП, *1

"5Ш

*^СО5%.

со8(^,-Х,)
-----------81ПУ. +

СОЗ/.

♦0-1) СОЗУ

саКЧ’^-Х,^)

соз/



««(К». ~ X.)	ССв(У> 1 “ X,-.)

(Г) =М --------------Я	-----—----—;

4 1^1	*1 СОЗ/. ♦0“1) СОЗ#.^

= ^,СО5(^- -%/) - (,-1) “8(^-1 -х,-1) = о

Для натурных парашютов с куполом крестообразной формы углы
р., %. и /8 , / являются малыми величинами. Учитывая это и пре
небрегая в предыдущих выражениях малыми величинами, получаем

(г?п/=лг*<!!1пу'/+лг*(<-1)81п*'<-1:

= °:	“8	СО8	(8-35

Заметим следующее. При определении правых частей в формулах
(8.23) для различных конструкций парашютов широко используется
допущение о малости угла, образованного полуплоскостями, содер-
жащими две соседние формообразующие ленты каркаса. Предельный
переход р. -* 0 (%. -* 0), по существу, равносилен допущению о том,
что плоскости, содержащие (/ — 1)-ю и /-ю формообразующие ленты
каркаса, не пересекаются, т. е. параллельны между собой. При на-
личии этого допущения соотношения (8.35) выполняются для всех
конструкций парашютов, для которых элементарная полоска ткани,
опирающаяся на (/ — 1)-ю формообразующую ленту в точке с лагран-
жевой координатой /, опирается на $ _]-ю ленту в точке с лагранже-

вой координатой 8. = $	. Если принять дополнительное допущение о

том, чтоЛ^.-^

= Я „то вместо (8.35) можем записать
*Г

(*)„ = 2ЛГ« «п = (<•)* = °-

(8.36)

Как и следовало ожидать, формулы (8.36) совпали с формулами
(8.31) для осесимметричного парашюта с большим (п. » 1; <р « 1), а в
пределе с бесконечным -* 0, п -* <») числом строп.

Заметим также, что для любой конструкции парашюта можно
ввести местную прямоугольную систему координат О. г.распола-
гая ее в плоскости /-й формообразующей ленты. При этом угол д.
между касательной к ленте т. и одной из координатных осей будет
связан с производными дгУд^., д|Уд$. соотношениями типа (8.30)
(см. рис. 8.4).

8.3.3.	Однооболочковый парашют-крыло. Рассмотрим соседние
полуплоскости, в которых располагаются (/ — 1)-я и /-я формообразу-
ющие ленты поперечного каркаса. Двугранный угол, образованный
пересечением этих полуплоскостей, измеряется линейным углом
8^?.. Если сделать естественное предположение, что @.« 1, то, как
рыло показано выше, для парашюта такой конструкции имеют место
соотношения (8.35), а при дополнительном предположении, что
рт . = /У ..	— соотношения (8.36).

*о-1)

8.3.4.	Двухоболочковый парашют-крыло. Правые части формул
(8.23) для рассматриваемой конструкции парашютов установим в
редположении, что угол между двумя полуплоскостями, содержа-
щими 1-ю и (/ + 1)-ю нервюры, является малой величиной, которой
можно пренебречь. Это равносильно допущению о том, что плоскости,
содержащие 1-ю и (/ + 1)-ю нервюры, параллельны между собой. Ес-
тественно, что в этом случае как для верхней, так и для нижней
Ьболочек купола выполняются соотношения (8.35). При написании
уравнений (8.9)—(8.11) необходимо учитывать, что сила Г. является
суммой натяжений в ткани верхней (нижней) оболочки по обе сторо-
ны от /-Й формообразующей ленты, усилий в /-х нервюре и косынке
(рис. 8.5).

Рис. 8.5. Силы, действующие со сто-
роны ткани купола двухоболочкового па-
рашюта-крыла на формообразующие
Ленты каркаса
8.3.5.	Парашют с куполом прямоугольной формы. Для пара-
шюта указанной конструкции элементарная полоска ткани, опираю-
щаяся на 1-ю формообразующую ленту каркаса в точке с лагранжевой
координатой опирается также на (/ + 1)-ю формообразующую

соз

ленту в точке с лагранжевой координатой $«+1 = СО5^	где

<р. = (I — 1)л/4Л; 8Л — число строп парашюта [85].

В связи с тем, что # 5>+1, даже для парашюта с большим числом
строп (к» 1) формулы (8 23) существенно не упрощаются. Поэтому
при проведении численных расчетов используют либо непосредствен-
но эти формулы, либо их аналоги [88].

§ 8.4. Равновесные формы парашютов и их коэффициенты
сопротивления при известном перепаде давлений

Приведем результаты численных исследований равновесных
форм полностью раскрытых парашютов и их коэффициенты со-
противления при известном распределении по поверхности купола
перепада давлений Др. Будем использовать одномерные модели фор-
мообразования, т. е. проводить численный эксперимент с уравнения-
ми (8.10) или (8.11), дополненными соответствующими граничными
условиями. Функции Ги /^, входящие в эти уравнения, содержат в
общем случае неизвестный перепад давлений. В соответствии с име-
ющимися экспериментальными данными примем, что перепад дав-
лений постоянен на поверхности купола и, следовательно, в формуле
(8.13) необходимо положить Др*. = сопМ. В этом случае выражения

конструкциям парашютов, будут содержать только искомые функции
и независимые переменные задачи формообразования (см. формулы
(8.23), (8.29), (8.31), (8.36)).

На рис. 8.6 показан расчетный контур (штриховая линия) ленты
радиального каркаса осесимметричного парашюта с безразмерной
длиной стропы Ь = 2. Там же нанесен контур ленты, полученный по

для функций (Г )

(Г.) , записанные применительно к конкретным

Рис. 8.6. Расчетный и экспериментальный контуры ленты радиального каркаса
для безразмерной длины стропы к, = 2
Рис. 8.7. Схема купола парашюта с конструктивной проницаемостью

результатам обработки экспериментальных данных (сплошная ли-
ния) . Видно, что расчетный контур близок к экспериментальному.

Рассмотрим теперь, как влияет относительная конструктивная
проницаемость и расположение отверстий по куполу на коэффициент
сопротивления парашюта.

Будем считать, что купол парашюта образован концентрическими
полотнищами, между которыми расположены отверстия конструк-
тивной проницаемости в виде концентрических щелей (рис. 8.7).

Степень перфорации купола характеризуется коэффициентом
конструктивной проницаемости показывающим, какую долю от
Площади купола составляет площадь отверстий. В случае задания
конструктивной проницаемости в виде концентрических щелей
имеем

^ = Х(5Л-5(2/-1)2)>(502 = °)-
1=1

где 5— относительные величины.
/1 а

По результатам расчетов для каждого параметра Хп в диапазоне
1*0,4 были получены зависимости вида

[с /с (к = 0)].	= ЫК ) = 1 - К .

1 П 1Г П 71Г=СОП51	•'2' ег	п

Эта зависимость (сплошная линия) и зависимости, полученные по
Результатам испытаний в аэродинамических трубах для ленточных
(кривая 1) и круглых (кривая 2) парашютов с конструктивной про-
ницаемостью, представлены на рис. 8.8.

Относительное отклонение расчетной зависимости от экспери-
(ентальной не превышает 5,5% для ленточных парашютов и 1,5%
ля круглых. Анализ проведенных расчетов для парашютов с цен-
ральной стропой, а также для парашютов с центральной стропой,
Волюсным отверстием и дополнительными внутренними стропами по-
казывает, что для парашюта с центральной стропой оптимальная без-
мерная длина последней практически равна безразмерной длине
Рис. 8.8. Зависимость относи-
тельного коэффициента сопротивле-
ния парашюта от относительной кон-
структивной проницаемости купола:
1 - расчет; —-эксперимент: 2-лен-
точный парашют; 3 - круглый пара-
шют

внешних строп Ь (1,6 < Ь < 2,4). При этом в зависимости от зна-
чения Ь коэффициент сопротивления парашюта с центральной стро-
пой больше коэффициента сопротивления обычного парашюта на
16-19%.

Для парашюта с центральной стропой, полюсным отверстием и
дополнительными внутренними стропами оптимальная безразмерная
длина центральной стропы также практически равна длине внешних
строп. Оптимальные радиус полюсного отверстия и длина допол-
нительных внутренних строп составляют соответственно 8,2-9,7% и
9,3-12% от радиуса купола в раскрое. Коэффициент сопротивления
такого парашюта на 19-23% больше коэффициента сопротивления
обычного осесимметричного парашюта. Полученные результаты хо-
рошо согласуются с опытными данными.

Приведем результаты численных экспериментов для парашюта с
куполом крестообразной формы. На рис. 8.9 представлена расчетная
зависимость относительного коэффициента сопротивления от безраз-
мерной длины стропы парашюта (сплошная линия) в долях расстоя-
ния между нижними кромками противоположных лопастей в раскрое

</) _ 1,3251

сп(Е= 1) 0,325 -1

и нанесены экспериментальные точки. Отклонение эксперименталь-
ных точек от расчетной кривой не превышает 5%.

Рис. 8.9. Зависимость относительного коэффициента сопро тивления крестообраз-
ного парашюта от относительной длины строп
Рис. 8.10. Зависимость относительного коэффициента сопротивления парашюта с
куполом квадратной формы от безразмерной длины стропы

Рис. 8.11. Расчетная форма раскрытого однооболочкового парашюта-крыла

По математической модели парашюта с куполом прямоугольной
формы получены расчетные форма купола и зависимость относитель-
ного коэффициента сопротивления от безразмерной длины стропы

с(Ь)	- -э

с =—--------= 0,377+ 0,5^-0Д281Л

п сп(Л=1,5)
Эта зависимость (сплошная линия) представлена на рис. 8.10. Там же
нанесены экспериментальные точки для парашютов различных ли-
нейных размеров. Отклонение экспериментальных точек от расчетной
кривой не превышает 4,5%.

Расчетная форма раскрытого однооболочкового парашюта-крыла
показана на рис. 8.11. Она хорошо согласуется с формами такого пара-
шюта, полученными в результате обработки данных летного и труб-
ного экспериментов.
Глава 9

УПРУГИЕ МОДЕЛИ ПАРАШЮТОВ НА ОСНОВЕ ОБЩЕЙ
ТЕОРИИ МЯГКИХ ОБОЛОЧЕК

§ 9.1.	Классификация задач теории мягких оболочек

Отличительной чертой мягких тормозных и несущих конструк-
ций является то, что они формируются и существуют в условиях дей-
ствующего на них избыточного давления, причем имеется сильная
I связь между их конечной формой и уровнем нагружения. Кроме того,
тканые материалы, из которых изготавливается большинство таких
 систем, обладают малой относительной толщиной (А/1 ~ 10“5-10-7;
12 — характерный линейный размер), низким значением модулей уп-
I ругости в сравнении с металлическими конструктивными материа-
1 лами (Е » 10—102 кН), большой деформируемостью (с ~ 0,1-0,3), а
| также дискретностью микроструктуры ткани.

Мягкие конструкции способны сильно изменять свою форму при
 нагружении. В связи с этим следует различать раскройную, началь-
| ную и конечную (деформированную) формы таких конструкций.

Раскройная форма парашюта определяется его конструкцией и
чертежной документацией. Под начальной и конечной формами па-
рашюта понимают его формы соответственно в начале и конце изуча-
 ем ого процесса.

В общей теории оболочек мягкие системы составляют класс без-
иоментных оболочек (в уравнениях равновесия отсутствуют изги-
 бающие, а также перерезывающие усилия), которые вследствие
вбс< лютяой гибкости не могут воспринимать сжимающие усилия От-
йетим одну из специфических черт мягких оболочек, отличающую их
I от оболочек из традиционных конструктивных материалов (условно
взываемых «жесткими»): они могут находиться либо в двухосном
Напряженном состоянии, либо в одноосном, когда одно из главных
Напряжений положительно, а другое равно нулю.

К настоящему времени в теории мягких оболочек сложилось три
Iтипа задач [2].

К первому типу относятся задачи, когда по известной равновесной
форме отыскивается ненагруженная форма оболочки (начальная или
раскройная).

Определение равновесной формы по заданной начальной форме,
нагрузкам и условиям закрепления относится к задачам второго типа.

Изучение напряженно-деформированного состояния (НДС) пред-
I ^зрительно напряженных мягких оболочек под действием дополни-
 тельных нагрузок составляет задачи третьего типа. Здесь могут быть
случаи, когда дополнительная нагрузка вызывает незначительное из-
менение формы. Тогда приходится иметь дело с линеаризированными
уравнениями, которые сравнительно легко интегрируются. В случае
сильного изменения формы появляются трудности того же порядка,
что и при решении задач второго типа.

Существуют задачи об одноосном напряженном состоянии мягких
оболочек, способы решения которых менее всего разработаны. При
значительных деформациях сжатия либо растяжения в мягкой обо-
лочке могут образовываться сжатые зоны — складки. Обычно в прак-
тических расчетах эта зона моделируется гладкой поверхностью. При
этом оболочка представляется в виде системы несвязанных между
собой абсолютно гибких нитей.

Самостоятельную группу мягких оболочек составляют конструк-
ции, выполненные из технических тканей, силовой основой которых
служат две системы взаимно пересекающихся абсолютно гибких
нитей.

Принято НДС мягких систем описывать в терминах мембранных
усилий и относительных удлинений; при этом связь между мембран-
ными усилиями и степенями удлинений считается известной.

§ 9.2.	Геометрические характеристики оболочек

Мягкая оболочка представляет собой тело, два размера которого
(длина и ширина) значительно превосходят его третий размер (тол-
щину). Введем лагранжеву систему отсчетам* (/ — 1, 3). Считаем, что
одна из поверхностей а3 = 0 совпадает со срединной поверхностью
оболочки (рис. 9.1). Положение гладкой поверхности в пространстве
трех измерений будем описывать вектор-функцией вида [25]

/г = Л(а1,а2,Г),	(9.1)

1	2

где К — радиус-вектор поверхности; а и а — параметры, харак-
теризующие положение любой точки на поверхности; I — время.
Примем, что вектор-функция К множество раз непрерывно диффе-
ренцируема. Если каждой точке А^(а1) поверхности 2 соответствуют
только одна пара значений параметров а1, а2, то они называются ее
криволинейными координатами.

Пусть поверхность 5 топологически отображается на плоскую
область; точке А^ поверхности 2 соответствует точка А на плоскости с
прямоугольными координатами

х^х^а'.а2) (/=1,2).	(9.2)

Вектор-радиус /? в декартовой системе координат запишется в виде

3

Я = х1/. + х2!* + х3Г = У дЛ,	(9.3)

к	л/	О ЛшяЛ у

/=1
Рис. 9.1. Система координат

где / <2, < — орты, образующие правую тройку единичных векторов.
Отметим, что систему криволинейных координат целесообразно на-
правлять по линиям главных кривизн, тогда она будет ортогональной.

Зададим на поверхности 2 две сколь угодно близкие точки Л^ и
Л* с криволинейными координатами (а1, а2) и (а1 + с1а\ а2 + Да2).
Производные от К по а1 и а2 образуют локальный базис, касательный
к линиям а1 в каждой точке поверхности X (рис. 9.16):

Л 0=1,2).	(9.4)

'да'

Приращение вектор-радиуса К при переходе от точки Л^ к точке
Л* совпадает с отрезком, соединяющим точки Л _ и Л*:
2.	2* 2л

(1К =	(9 5)

В выражении (9.5) и далее повторяющийся индекс будет означать
суммирование от 1 до 2; знак суммы при этом будем опускать.

Квадрат длины приращения вектор-радиуса (IX будет

(ая)2 = <11? = <1К<1Я = еЛаЧа1,	(9.6)

где величины & = Л.-Ау (#12 = #21) ковариантные компоненты
метрического тензора срединной поверхности.
Правую часть соотношения (9.6) называют первой квадратичной
формой; обозначим ее через = К. К.. Параметр характеризует
внутреннюю геометрию поверхности 2, так как размеры поверхности
(длина дуг, углы, площади), определяемые с помощью коэффигц
ентов первой квадратичной формы являются инвариантными по
отношению к изгибу. Угол / между параметрическими линиями а1 и
а2, проходящими через точку находим по формулам

СО5/ = ^12/^ц^22’	= ^^11^22’

где

= -^11^22 ~	2'

(9.7)

(9.8)

Геометрию поверхности удобно описывать, используя единичные
векторы

е. = Я.Л^ 0 =1»2)-

(9.9)

Введем единичный вектор нормали к поверхности еп. Он ортого
нален векторам е. и связан с ними соотношением (рис. 9.16)

еп

е1Хе2

= |с1х«2|'

(9.10)

При переходе от точки Ат к Л* приращение вектора е будет
2*	2*	П

де

Не = —” На1 = е Да1.
п да1 т

(9.11)

Единичные векторы е., еп образуют нормальную систему коор-
динат поверхности 2; они связаны между собой следующим образом

ее =1, е.-е =0, е . е = 0.
п п ’ I п ’	Ш п

(9.12)

Скалярное произведение Не • НК принято называть второй квад
ратичной формой

у>Т1 = Не -НК — Ь.На'&Д,
гп п I] ’

(9.13)

где Ь.. = Ь.. = -е -К. — компоненты второго метрического тензора
V Л т ]

срединной поверхности.

Эта квадратичная форма характеризует только данную форму по-
верхности и неинвариантна по отношению к ее изгибанию.
Коэффициенты и Ъ.. в соотношениях (9.6), (9.13) нельзя зада-
вать произвольно; они должны удовлетворять уравнениям Кодацци

(1=1’2) (9И)

да	оа

и уравнению Гаусса

,	_ . 2 Э ^12	1 3 ^11	1	#22 

1, 22	12~да1да2 да2да2

+	~	<5. «,/» = 1. 2). (9.15)

В уравнениях (9.14) и (9.15) величины сЛ — символы Кристофеля
второго рода, которые связаны с символами Кристофеля первого рода
формулами

(9.16)

В (9.16) суммирование ведется по индексу а. Контравариантные
коэффициенты связаны с ковариантными соотношениями

= 822?8, ?2 = 521 = ~ В12/& в22 =

| Коэффициенты „ находим по зависимости

(9.17)

(9.18)

[ратичных форм

13) соответственно для первой и второй
э с условиями интегрируемости (9.14),

(9.15) однозначно определяют поверхность с точностью до ее поло-
жения в пространстве. При этом дискриминант первой квадратичной
। формы # и коэффициент дополнительно должны удовлетворять

овию:

8 ^11^22 5?2>^’ ^11 > О*

(9.19)

Введем понятие кривизны (рис. 9.2). Пусть кривая Ь, лежащая на
поверхности Е, задана векторным уравнением К = ЩЪ), где Ь — дли-
на дуги кривой. Каждую точку кривой будем характеризовать тремя
Ортогональными направлениями: касательным, нормальным и бинор-
 Мальным, образованными пересечением касательной, нормальной и
Соприкасающейся плоскостями Свяжем с этими направлениями со-
| Яровождающий триэдр единичных векторов: т, л, Ъ. Их положитель-
ные направления: т — в сторону роста параметра кривой; л — в
Рис. 9.2. Схема определения кри
визны поверхности

сторону ее вогнутости; Л = тхл. Форма кривой в каждой точке мо-
жет быть охарактеризована кривизной к и кручением к . Величина
г = 1 /к называется радиусом кривизны кривой. Параметры к* и к свя-
заны формулами Френе:

п _	с/т	_ т	+ 5	_ с/л,	_ л _ с/Л

г	(IV г к* (IV к* ~ (IV

(9.20)

Полная кривизна определяется выражением

1

V

*

=±+±
г2 к2

(9.21)

Первую формулу Френе с учетом (9.4) перепишем в виде

л _ с/т _ с/а^ с/о/ (12д1
г~ (1Ь~ ц (1Ь ЛЬ < ^2’

(9.22)

где IV — вторая производная.

Дополнительно введем единичный вектор нормали л* к поверх-
ности 2 и обозначим угол между лил* через в. Умножая скалярно
(9.22) на л*, находим:

соз 0
г

— —(1а (1а! = —.

(9.23)
Ввиду того, что главная нормаль к нормальному сечению совпада-
ет с нормалью к поверхности л*, угол 6 принимает значения 0 или л,
окончательно имеем

г Л

(9 24)

Нормальные кривизны к.. (I, / = 1,2) вдоль линии а1 (г = 1, 2)
можно получить, полагая в (9.23) а1 = сопз! или а2 = соп§1.

Практически во многих случаях координатные линии на поверх-
ности удается расположить по линиям главных кривизн (главных
Направлений), для которых к = л/2; Ъ.. = 0 при I * Координатные
линии, расположенные по главным направлениям, называются ли-
ниями главной кривизны. Они сопряжены и ортогональны; для них
^12*^21 = Главные радиусы кривизны г1 и г2 нормальных сечений
вдоль линий кривизн определяются соотношениями

, _ 1	^11. ,	1	^22

1 Г1	V 2	Г2 «22

Средняя кривизна поверхности

Н = I (*1 + *2>’
гауссова кривизна

К = к.к,.

1 Ал

(9.25)

(9.26)

(9.27)

Укажем на одно замечательное свойство гауссовой кривизны К:
она остается неизменной при изгибании поверхности несмотря на то,
нто линии главной кривизны и к2 меняются, и является также
характеристикой внутренней геометрии поверхности.

8 9.3. Удлинения и деформации поверхности

Пусть поверхность 2 в момент времени 1^ имеет площадь 5. Под
[Влиянием внешних воздействий она деформируется и в момент вре-
Мсни I занимает новое положение, имея при этом площадь 5*. В про-
странстве, где располагается нецеформируемая поверхность^, введем
Мекартову х1 (/ = 1, 2, 3) и криволинейную о/ (/=1,2) системы ко-
ординат (рис. 9.3). Точка Ау. поверхности 2 до деформации будет
Иметь координаты а1 и вектор-радиус Выделим в ближайшей

окрестности точки точку Вектор А^В^ = (1В, как известно
**ожно представить в виде (9.5), а его квадрат в виде (9.6).
Рис. 9.3. Схема определения де
формации поверхности

Будем характеризовать положение точки Л* после деформаци..
поверхности вектор-радиусом /Г:

I) = К(а',	+ и(а1,1),	(9.28)

где и(а\ I) — вектор перемещения.

Базисные векторы К* точки Л* запишутся в виде

К* = -~'=Я+—.	<9 29)

' да‘ 1 да‘

По аналогии с (9 6) квадрат элемента дуги Л^в*

(с1Ь*)2 = <1Я*-аК* =в*0а‘<1а!.	(9 30;

Здесь #* = Я* • /?* — ковариантные компоненты метрического тензора
деформированной срединной поверхности.

В качестве меры деформации примем разность

(<Н?)2 - (аь)2 = 2еЛа‘<1а',	(9.31

где

е = -1 (г* — к ).	(9

Величины называются ковариантными составляющими тензо^
ров деформаций; они могут быть отнесены к деформированному ил*4
недеформированному состоянию поверхности.
Перепишем (9.31; в виде

2с = Я* Я*-Я Л =
V I / I /

= I л* I • I я* I С08*’- - I Я. I • | Л. | с08%./( (9.33)

где Ху — Угол между базисными векторами Л. и К.; Ху — угол
между Я? и Л*.

Обозначим относительное изменение длины вектора ал =

на единицу длины через I и назовем эту величину относительным
удлинением:

~ I I “1^1 _

1	|^я|	~ аь 

Отсюда находим длину вектора а Л*:

| ал* | = (1 + Г) | б//г |.

(9.34)

(9 35)

Направим ал* по базису Л*, тогда длины базисных векторов Л* яри
этом будут

I Я* | = (1 + Г)Я.,	(9.36)

где I. — относительные удлинения в направлении линий а1.
Из определения метрических тензоров

(9.37)

Принимая во внимание равенства (9.37), можно формуле (9.36)
придать следующий вид:

1+/7=7^".	(9.38)

учетом (9.36), (9.38) соотношение (9.33) примет форму

2Г. = А.А. соз г* - соз у..,	(9.39)

сце А. = (1 + /.) — степень удлинения;	— безразмер-

ный параметр При I = / в уравнении (9.39) углы/* — Ху = 0, и будем
иметь

2ё.. = (1+ Т. )2 - 1 = А? - 1.	(9.40)

Величина А( определяется по формуле

А. = 71 +2ё1.	(9 41)

I	и

О.В.Рыссв и др.

129
При /.« 1 и/ = л72 (в.. = 1) из соотношения (9.40) следует

Г.. « Г.	(9.42)

Как видим, величины Г. при / = / характеризуют относительны^
удлинения элементов дуг вдоль базисных векторов К..

В случае I * / угол сдвига Д%„ =	- %*. определяется выражением

△Х12 = Х12 ~ аГСС08 [/2Г12 + С05 ^12>/А1Аг] •	(9‘43)

При начальной прямоугольной системе координат — и
условиях I.« 1 и Д/..« 1 из (9.39) получаем

Ду,.»2Г...	(9.44)

Из (9.44) следует, что величина при / # / определяет половину
угла сдвига между координатными линиями а1.

Теперь соотношение (9.32) с учетом (9.29) перепишем в виде

1 Г(п ди\ (п ди\ п п

Е.. = тг Я. +----: • Я.+---: ~ К. К. =

" 2 1Л ' да’/ I 1 да1) ‘ ']

1 + + (9.45)

\ 1 да! 1 да1 да1 да!)

Производные ди/ да1 находятся по формулам вида

——. = ^.ия),	<9.46)

да‘ 11

где — взаимный базисный вектор начального состояния; У.и. —
ковариантная производная от илю координатам начального состояния
с метрическим тензором

Подставляя соотношение (9.46) в (9.45) и учитывая, что

/Г • К; = (У (<У — символ Кронекера), а К1 • К/’ =	имеем

е.. = |/Ул. +	+	<9.47)

V 2 \ / I Г } I ] к)

Тензор деформаций (9.47) является симметричным: г.. = е„. Пос
ледний член в (9.47) учитывает нелинейные составляющие тензора
деформации.

Пусть наряду со старой криволинейной системой координат
(/ = 1, 2) на поверхности существует новая — а1 (/ = 1, 2) с углом
Рис. 9.4. Схема определения связи между косо-
угольными лагранжевыми системами координат

Г 2'	х

между линиями а и а , равным <5, при этом она повернута по отно-
шению к старой системе на угол к (рис. 9.4) и связана с ней соотно-
шениями

а1 = а1 (а1, а2),	(9.48)

Условие обратимости преобразования (9 48) в каждой точке по-
верхности X

а‘ = а1(а1',а2')	(9.49)

определяется требованием

Л = де1|Лр *0,	(9.50)

где | АI* | — определитель матрицы Якоби

Л'’ = -Ц- (/,/=1,2).	(9.51)

' дет

Существует В'.„ обратная к матрице А'., так что

В\Л = д(.	(9.52)

/ / / / ] /

Матрица В1., является матрицей Якоби преобразования (9.49).
Формулы преобразования ковариантных и контравариантных базис-
ных векторов при переходе от старой а1 к новой системе координат а1
и наоборот будут

В, =	& = ЛГЯ7; В. = В1 = В'Х	(9.53)

/	* /	/ I I !	/

Величины д.. и д^ преобразуются по законам

= вВ^А /Г = Л'аг$.	(9.54)
По аналогичным законам преобразуются компоненты тензора де-
формаций

Остановимся на выводе скалярных формул для нахождения сос-
тавляющих тензора деформаций во взаимосвязанных системах ко-
ординат а1 и а1 Введем единичные векторы (локальные реперы) для
обеих систем координат

е1 =	е.’ =

(9.55)

Они взаимно преобразуются по формулам

е1 = еА'

е1' =

(9.56) ’

Подставляя соотношение (9.55) в (9.56) и сравнивая с (9.53), имеем

(9.57)

Раскладывая е по направлениям е.. (рис. 9.4), получаем следу-
ющие зависимости для коэффициентов А1.:

_ 5*п 0 +*). 22' - 8*ПАС-

1 ~ мп <5	*	1 — зшд’

2г _ _ 8Ш(6	22' =	~

2	МП д	2	51П (5

(9.58)

С учетом (9.52> формулы для нахождения коэффициентов В1. бу-
дут

22'	22’

д1 _ 2 _	_1 _81ПЛ\

г А 8ШК ’ Г л 81П%’

(9.59)

д|_____Л2 _ 81П(<3 +к-%). д2 = Л = 81П (д + К)

2’ А	мп/ ’	2' А 8ШХ *

где

А = де! | А1. | = 8Ш%/8Ш д.	(9.60

Следует указать на то, что при описании поверхности с помощью
лагранжевой системы координат коэффициенты Л*, В', в выделена
точке остаются неизменными при произвольных деформациях повер-
хности; в то же время они меняются при переходе от одной точки
другой. Вместе с тем, судя по формулам (9.57) и рис. 9.4, величин^
А1. и В!, являются переменными, так как при деформации изменяются
углы между базисными векторами е. и

С учетом формул (9.57) выражения для взаимного преобразова-
ния компонент тензоров деформации е.,., и е..примут форму
| = = <9 61)

Подставляя (9.59) в первое соотношение (9.61). получаем

Г., З1п2% = Г. зт2(х - л:) 4- 2Г _ зт (/ - к) зт к +	зт2*:;

11	11	IX	XX

ГГ2, зт2х = - Гп зт (х - к) зт (б + к~х) 4-

+ е. э[соз (<5 + 2к - %) - зт% соз <5] 4- е! зт к зт (5 4- к); (9.62)
1X	XX

ё2.2, 5ш2х = Гп 5ш2(<5 + к - /) -

— 2ё"12 51П (6 + к - %) 81п (<5 + к) + ё22 з1п2(<5 + к).

Используя зависимости (9.61) и (9.58), можно составить обратные
соотношения для

При допущениях (9 42) и (9.43) формулы (9.62) преобразуются к
виду

зт2х = зт2(х - к) 4- Дх12 зт (х - /с) зт к + /2 зт2*:;

ДХГ2, зт2/ = - зт (х - к) зт (3 + к - х) +

4- Д/12 [соз (<5 4- 2л: — /) - зтх соз 3] 4- /2 зт к зт (<5 4- /с); (9.63)

/2, зт2х = зт2(<5 4- к ~х) -

- Дх12 зт (д 4- к - х) зт (<5 4- /с) + /э зт2(<5 + к).

Пусть известны компоненты тензора деформаций относительно
основной системы координат а1. В случае ортогональной новой систе-
мы координат а1 (д = л/2) из (9.62) будем иметь

зт2х = Гп зт2(х - к) 4- 2?12 зт (х - к) зт к 4- е22 зт2к;

с зт х = - у Г зт (2х - 2к) 4-

1 2	2 11	1	(9.64)

4- Г12 зт (х - 2к) 4- е22 зт 2к;

е2>2, зт2х = 1 соз2(х - к) - 2Г12 соз (х - к) соз х +	СО82/С-
Складывая первое и третье соотношения (9.64), получаем первый
линейный инвариант тензора деформаций:

Л = Г + ®2'2’ =	1 - 2®12 СМ * + ^22^5*П^-	(9-65)

Полагая по-прежнему д = л/2 и преобразуя выражения для Г„, имеем

е11 = а0 + *(У

Гц = а0 соз х + Ъц соз % + ?0 зш %;	(9.66)

г22 = а0 + *0СО8^ + с081П^’
где

а0 2^Г1' + е2'2'^

= I " ^'9') С05 2/с “	5Й12/С;	(9.67)

V 2	1 1 XX	IX

С0 = | (ГГГ - Г2'2') 81п 2* “ ®1'2' С0$ гк-

Из соотношений (9.66) найдем а0, Ьо, с0:

2а0 мп2/ = Гц - 2Г12соз/ + Г22;

2/> З1п2% = -Г соз 2% + 2Г соз х - Г9;	<9 68)

V	II	IX	XX

2с0 мп2/ = -Гп зш2/ + 2Г12 мп/.

Из равенств (9.67) с учетом (9.68) будем иметь

^1'Г = ао + С08 2* + со 8*п

ГГ2г = ~^0 51п 2/с + с0 соз 2к\	(9.69)

= ап - соз 2/с - сп зш 2к.

X X V V	(I

Таким образом, с помощью формул (9.68) и (9.69) можно найти
деформацию поверхности оболочки в ортогональных координатах а1
(<5 = л/2) через ее деформацию в косоугольных координатах а1.

Второй линейный инвариант тензора деформаций Г^. имеет вид

^2 = еГГе2'2' ~ еГ2' = (е11е22 ”	(9.70)
Считая направления а4 главными (^»2' = ^)> из (9.69) получаем

еГ1’”е2'2'	. э	э

----х-----= К сох 2к + сп хш 2к;

2	0	0	(9.71)

О = -#0 хш 2л: + с0 сох 2/с.

Возводя в квадрат каждое из равенств (9.71) и складывая почлен-
но имеем

/Г — Г \ 2

В	121.„2-2^ =^ + с2	(9.72)

Обозначим главные деформации через	и е2>. Учитывая первую

формулу (9.66), найдем их по зависимостям

	^’Г2' = в0±г/^’	<9-73>

или в развернутом виде

Г1'-Г2' = 1<?11 + Г22> " Г12СО5* ±

+ IV(Гп - Г^)1 + 4 р22 + ГиГ22со52х - е12(Гп + ?22) а*/] |/8т2Х.

(9.74)

Ориентацию главных направлений по отношению к недеформи-
I рованному базису К. будем характеризовать углами к и/ (рис. 9.5а),
которые найдем исходя соответственно из второй и первой формул
К соотношений (9.71) и (9.68):

2Г1281п^~Гп 8*п2*	я

1е2к=~ ё'п сов 2х - 2е12 сов/ + ?22’ х~2+ К'

(9.75)

У гол к* между первым главным направлением Я*, и деформированным
базисом Я* определим с помощью рис. 9.5:

Рис. 9.5. Схема
определения главных
направлений
(1Ь*	(1 4-/ Лб/Ь.. Л.

соз к = —— =-----------~------= 1— соз к;

аь\ (1 + лг

(9.76)

аь*	(1 ч- к,)аьэ, л9

* _ — =-----------= -1 §1П к

аь\	(1+/^	V

где Л{ и Л2 - степени удлинений по главным направлениям.

С учетом (9.41) и (9.43) зависимости степеней удлинений Ар, А2
по неортогональным базисам К., и угла между ними <5 от базиса %
определим по формулам

А], = ^А2 З1п2(х - к) + 2соз% зт (х - к) зт к + А2 зт2к] /2/зщ/;

А2, = [А2 зт2(д 4- к-%) - 2 А^2 соз/ зт (<5 + к -/) зт (<5 + к) +

+ А2 зт2((3 + /с)1 /2/зт/;	(9.77)

соз д - 1 -А2 зт (х - к) зт (д + к - %) 4- А2 зт к зт (б 4- к) 4-
11	X

4- А^2 созх 1соз (<3 + 2к - х) - соз х соз <5]}/(Ар А2, зт2х).

В случае степеней удлинений по главным направлениям А. имеем

2 Л2 =
Г А2

|(Л2 + Л2) - Л(л2 соз (х - &Х) соз % ±	+ л^)2 +

У2

+ Х2А2 соз (2х - Дх) -	+ сох (X - Дх) «оз х

/8Ш2Х>

(9.78)

2 |Л А со$ (X “ ДХ) - Л? соз/| 81П/

= —-----у----?------------------2----=------.	(9.79)

(Л; - Л2) + рА соз (х - Дх) - СОЗ х] соз х

Согласно (9.76) ориентацию первого главного направления на де
формированной поверхности можно найти по формуле

* Л2

Пусть оболочка, находящаяся в равновесии, нагружена поверхно -
стными (внешнее давление) и объемными (силы тяжести и инерции)
силами. Рассечем поверхность оболочки на две части и рассмотрим
равновесие одной из них, заменив действие отброшенной части на
оставшуюся вектором внутренних сил, направленных по нормали к
сечению и определяемых следующим образом:

= 11т ; —

М-0

(9 80)

где АЬ — длина контура сечения; АС? — главный вектор действующих
внутренних сил на контуре. Этот предел назовем мембранным погон-
ным усилием.

Напряженное состояние в произвольной точке деформированной
поверхности оболочки по отношению к базисным векторам Я. кри-

волинейной системы координат а1 определяется симметричным тен-
зором мембранных погонных усилий:

^ = ^^^'кя.
I /

(981)

Векторы погонных усилий	действующие по нормали к площад-

кам вдоль линий а1 деформируемой поверхности, задаются в виде



(9.82)

Окончательная формула для нахождения вектора ЛГ имеет вид
131]

(9.83)

где е. =	— единичные векторы вдоль косоугольных коорди-

натных линий а1; о.. =	— физические компоненты тензора

погонных усилий. Отсюда видно, что зависимость (9.83) отражает
разложение вектора по единичным базовым векторам е.. Отметим

еще, что физические компоненты сг„ вектора на площадке с задан-
ной нормалью располагаются по отношению к ней произвольным обра-
зом.

Формулы для пересчета составляющих тензора погонных усилий
№ из одной системы координат в другую по аналогии с (9.54) будут

Л*7’ -

(9.84)


Используя (9.7), (9.59), для величин а.,., будем иметь

• а 2 Л Л

а.,., У а.ХХ.	(9.85)

и 81П% V I 1

Коэффициенты в (9.85) определяются по формуле (9.59).

Выражение (9.85) в скалярной форме имеет вид

(7 , 8Ш% 81пд = <7П 51П2(д + к) +

4- 2(?12 5Ш (д 4- к) 81П (<5 4- к - х) 4- ^2 8^2(^ + к ~ X)?

СТ	8Ш X	= -СТ. 1 51П (<5 4- к) 8Ш к 4- ст [СО8 (<5 4- 2к - х) - (9.86)

1 X	11	1 х

— 81П/ соз <51 4- а22 8Ш (д 4- к -х) 81п (х — /с);

ст	8Шх зш<5 = а 8Ш2к - 2а. 8Ш к зш (х - к) 4- а 8Ш2(х - л).

ь	11	IX	хх

Аналогичные соотношения можно получить, рассматривая равно-
весие соответствующим образом выделенных элементов поверхности
оболочки. На рис. 9.6а изображен треугольный элемент АВС поверх-
ности оболочки, ограниченный двумя косоугольными координатными
линиями а1 = 0 иа2 = АВ и линией а1 = 0. На рис. 9.6б помещен
треугольный элемент поверхности оболочки ВВС, образованный пе-
ресечением линий а1 = 0, а2 = 0 и а2 = СИ. Физические компонен-
ты усилий а , а , а и а , а , а (рис. 9.6) определены на

II IX XX II IX XX

I I9
площадках, ориентированных по координатным линиям а и а , и

Рис. 9.6. Схема для вывода формул пересчета составляющих тензора погонных
усилий из одной системы координат в другую
направлены вдоль тех же координатных линий. Положим длины
сторон АС и СР треугольника АВС и 1)РС равными единице; длины
других сторон получим на основе теоремы синусов. Проецируя усилия
а и о.,., на направления а1, составляя уравнения равновесия треу-
гольников АВС и ПРО и разрешая их относительно а12> с
учетом равенства = а21, имеем

а11 8шх 5Ш<5 = сгрг зш2(х - к) -

- 2аГ2, 81П (х - к) 81П (д + к - х) + сг2,2, 81п2(д + к - /);

а12 8Ш% 8шд = агг зт (х - к) 8Ш% 4-

4- а1,2, [со8 (д + 2к - х) 4- соз д соз х! ~	(9.87)

- а ,э, 81П (д 4- к ~х) 51п (д 4- /с);

(722 8Ш <5 = Прр 81П2К + 2(7^, 8Ш ((5 + К) 8Ш К +

+ а2,2,8Ш2(д 4- /с).

Обратные зависимости можно получить, проецируя усилия сг„ и

о.,., на направления а1 и разрешая уравнения равновесия относитель-
ноа.7, (аГ2=а2,^.

В итоге получены формулы для пересчета усилий при переходе от
одной косоугольной системы координат а1 к другой а1 и наоборот.

В случае ортогональной системы координатных линий (<5 = л/2),
из (9.86) имеем

9	О

о’1 ,г зт х = о’11 соз к 4- 2а12 со8 (х - к) соз к + а22 соз (х — к);

а{,2, 8Ш% = соз к зт к 4- а12 8И1 (% - 2/с) +

(9.88)
+ сг22 СО8 (х - к) 8Ш (х - к);

0^, 8Ш/ = 0., 8Ш2К - 2о 8Ш /С 8Ш (х - к) + СГ79 8Ш2(х ~ К),
Преобразуем (9.88) к виду

8Ш% = а 4- Ъ соз 2к + с 8Ш 2л:;

аГ2, 81п% = -Ь 8Ш 2к 4- с соз 2л:;	(9.89)

а 8Ш % = д со8 2л: - с зт 2л:,
X X
где

в = |(СТ11+а22) + а12СО5^

Ь = | <°Н ~ °22> + (а12 + °22 С05^) С08X’	<9 90)

с = а12 зш% + <?22 созX 81пХ-

Из (9.89) можно получить соответственно инварианты первого и
второго рода тензора усилий:

П1 = а1'1' + а2'Г =	1 + ^12 С°8* + а22^ЛХ'	91>

П2 = аУУаТ2' ~ <СТ1'2')2 = (а11°22 " СТ122)/8Й1*-

На основе соотношений (9.89) можно получить выражения для
нахождения главных усилий сг[ и а2. Для этого примем, что оси а1
являются главными (<5 = л/2;	= 0), и из (9.89) составим равен-

ства

а1'1'~а2'2

2

зш х = Ъ соз Ъс 4- с зш 2/с;

0 = -д зш 2к + с соз 2/с;

(9.92)

аГГ+оГ2'2'

2

зш % = а.

Возводя обе части первых двух уравнений системы (9.92) в квад
рат и складывая их почленно, получаем

Ку	— о \ 2

I 1 Г А  2'2'| мп2/ = Ь2 + с2.	(9.93)

I	X	I

Извлекая корень и учитывая третье равенство зависимостей (9.92),
сформируем формулы для вычисления главных усилий и <?2
(а.	= ^^3 через известные усилия а в системе коорди-

I 1 1 лл X X	2/

нат а1:

а1,2 8'П* = а± *2 + с2 = |(°П + °22^ + °12 С08* ±



|<а11 " а22)2 + ^2 + а11СТ22 с08^ + а12(а11 + Ст22> 008 *

. (9.94)

Угол к между базисами и можно определить на основе
второго равенства соотношений (9.92).
В теории мягких оболочек вопрос об определении главных усилий
является одним из центральных. Это связано с тем, что определение
возможных форм поверхности оболочки осуществляется с помощью
требований

а1 + а2 > О’ а1°2 “

(9.95)

Итак, чтобы мягкая оболочка находилась в двухосном напряжен-
ном состоянии необходимо, чтобы первый и второй инварианты тензо-
ра усилий (9.91) удовлетворяли условиям

+ а2 = (<7П + 2а12 соз/ + а22)/зшх > О,

(9.96)

П2 = °1СТ2 = <а11а22 " °?2)/81П* г С‘

Необходимо отметить, что большинство тканевых материалов
слабо сопротивляются сдвигу. Так, например, анализ эксперимен-

тальных данных по механическим характеристикам технических тка-
ней показал, что их жесткость на сдвиг составляет 2% максимальной
жесткости на растяжение. В связи с этим можно предположить, что в
недеформированном раскройном состоянии полотно ткани состоит из
расположенных ортогонально нитей, называемых основой и утком, и
моделировать его регулярной сетчатой структурой, ячейки которой
образуются пересечением нитей основы и утка. Тогда напряженно-
деформированное состояние ткани в произвольном направлении мож-

но определять через усилия в нитях по основе и утку.

Пусть напряженный участок тканевой поверхности описывается
произвольной системой криволинейных координат а1. Систему новых
параметрических линии а направим вдоль нитеи основы и утка.
Растягивающие усилия вдоль основы и утка будут а.,., (г = 1,2): по
основе — сгГ1, = ао; по утку — а2,2, = а сдвигающие — аГ2, = 0.

В скалярной форме формулы пересчета усилий в системе ко-
ординат а1 через усилия &о и имеют вид

а11 зш / 5Ш<3 = ао 51п2(я - к) + сту зш2(д +*-%);

а12 зш % зш(5 == зт к зш - к) -

(9.97)

- зт (д + к) зт (<5 + к - /);

О	э

<7__ зт х 81п<5 = сг зт к + а зт (д + к).
22 Л	о	У

Степени удлинений ткани Ло иАу по направлениям вдоль основы и
утка и углы <5 и к будут определяться следующим образом:
Ло

+ Л2) + (*1 ~ ^2) СО8 2* + СО8 я 8*п 2*

1/2

Л =
у

п1/2

1 + ^2) ”5 (*1 ~ ^1)	сох % хт 2л:	;

(9.98)

д = агссох

хш 2к 4- А{Х2 сох х СО8 2л: /0о^у) р

к* = агссох Г(Л1 сох к + Л2 сох х зш к)/Ло

1 г

где к — угол смещения между координатными линиями а на при
недеформированном раскройном состоянии поверхности. Другие при-
ближенные приемы моделирования поверхности мягких оболочек
имеются в [68].

§ 9.4.	Закон состояния материала

Для определения напряженно-деформированного состояния мяг-
кой оболочки зависимости § 9.3 должны быть дополнены физи-
ческими соотношениями, связывающими усилия и деформации. Для
материалов, из которых изготавливаются мягкие оболочки, эта связь
нелинейна.

Будем считать, что материал имеет обратимую деформацию. В
аналитической форме зависимости между усилиями и деформациями
можно условно записать в виде

<9-99)

Связи типа (9.99) определяются для каждого материала опытным пу-
тем. Существует большое многообразие этих зависимостей. Рассмо
трим здесь лишь некоторые из них.

Если предположить, что материал мягкой оболочки является ли-
нейно-упругим и анизотропным и находится в плоском напряженном
состоянии, и осреднить его упругие свойства по толщине, то соотно-
шение между е.. и а.. в ортогональной системе координат представля-
ется в виде

е7=а..а7 (М = Т73; /,/=1,2),	(9 100)

где е.. и — соответственно компоненты трехмерного вектора мем-
бранных деформаций и усилий; — матрица коэффициентов:
- 1	- _ ^21	- 21м.

аП Я ’ *12 Я ’ Й13	6 ’

11	XX	1X

^12	1 .	_ ^12,2.	,о 1П1.

Й21 Е.“22 Е' 23 С ’	(9.101)

1X	XX	IX

_’?1,12	_ ^2,12	____1_

Й31 “ Е., ’ й32 “ Е.. ’ а33 С •
11	XX	1X

1	2

В (9.101) Е ., Е — модули упругости по направлениям а и а ,
С12 — модуль сдвига в плоскости Оа1а2; д12, д21 — коэффициенты
Пуассона; 712 р ?;12 2 — коэффициенты влияния первого рода; 12,
т]2 12 — коэффициенты влияния второго рода.

Для изотропного материала введем следующие обозначения:

1

ак1 Е

а (1 —р
(1с/
-Р 7 ь

(9.102)

С учетом (9.102) равенства (9.100) примут вид

еп

е22

а (1 —р

(1с	/

~Р 7 ь

а12

°22

(9.103)

Коэффициенты а, к, с, (1, /, р образуют тензор упругих постоянных,
которые при угловом преобразовании координат меняются, как ком-
поненты тензора 4-го ранга. В случае двух взаимосвязанных прямоу-
гольных систем координат а1 и а1 (9.103) преобразуются к виду

еГГ
еГ2'
е2'2'

а' (!' -р'

2' г 7

-Р9 г ь1

аГ2'

(9.104)

Упругие постоянные а',	с*, б/', д' в новой системе координат

определяются по формулам, приведенным в работе [68].

Указанный путь получения связей типа (9.99) справедлив при
любых значениях угла к. Для изотропного тела можно выбрать про-
извольное значение этого угла. Так, например, при к = 0 формулы
(9.88) будут иметь вид
аГ1, зт/ = ап + 2а12соях + а22соз2х;

а, ,2. з1п х = ст12 51П х + а22 соз х «п X!

(9.105)

а2,2, мпх = а228Ш2х,

а из (9.66) имеем

®11 =е1'Г;

®12 = ®1’Г С08^ + ®1'2’ 8‘П*’	(9.106)

®22 = ®1'Г СО5^ + ^1'2' 5‘П 2* + ®2'2' 5,п2*-

Для изотропного тела зависимости типа (9.100) запишутся в виде

®1Т = Г^СТ1'1' ~/*а2'2'^' е2'2' ~ ~Ё (а2'2' ~	(9.107)

С учетом (9.105) и (9.107) искомые соотношения вида (9.99) приму!
форму

Г Гр1, мп х = оГ1 + 2аГ2, соз х + ^2,2,( соз2х - ц зш2х);

Еёгг. зшх = оггг созх+ 2аГ2,(1 + Д зш2х) +

+ о2,2, созхИ + (1 + ц) 8ш2х1; (9.108)

Её2,2, 81П х = оГ1,(соз2х -ц 81П2х) +

+ 2аГ2, созх [1 + (1 + ц) 81п2х1 + о2,2,[1 + 2(1 + ц) зт2х соз2х].

Фактически выше изложены принципы представления механи-
ческих характеристик пленочных материалов на основе квадратич-
ного упругого потенциала. В парашютах в основном применяются
тканые материалы полотняного переплетения (нити основы и утка
располагаются регулярно и в недеформированном состоянии пересе-
каются под прямыми углами). Соотношения для них чаще выражают
через степени удлинений и усилия по главным направлениям:

Л1=Л1(а1>а2>Дх>С1,С2>...>Сп);

Л2 = л2(а1-ст2>Д^С1-С2.....Сп);	(9.100)

^ = ^1,^2.Дх>с'1,с2.....Сп)
либо по направлениям основы и утка:

о = (А ,Л , Ду, В,,	...» В );

о о' о’ у’ Л’ Г 2’	* и7’

|	у = ^0Лу,^В.,Вг...,ВпУ,	(9.110)

| ^ = стА'Ау’Д^'В1’В2’-’Вп)-

В зависимостях (9.109), (9.110), С., В. (1= 1,п) — физические
постоянные; Д/ — угол сдвига между осями; ст, — усилие сдвига.
Таким образом, используя формулы преобразования компонент
тензора усилий и деформаций, можно рассчитать напряженно-дефор-
мированное состояние мягкой оболочки по любым направлениям.

Обычно физические соотношения для тканей, связывающие уси-
лия и деформации, представляются в виде серии опытных кривых,
называемых нормальными = /(ст^) и е2 = /(сту)) и касательными
(Д/ = /(<^с)) характеристиками. Нормальные характеристики строят-
ся на основе двухосного растяжения тканевого образца без сдвига
вдоль основы и утка. Ввиду того, что касательные характеристики в
эксперименте получить трудно, зачастую для упрощения задачи
пользуются сетчатой моделью ткани, представляемой в виде ортого-
нального пересечения набора нитей основы и утка, и для описания
характеризующих ее физических соотношений используют первые
два уравнения системы (9.110). Физические соотношения представ-
ляются в форме простых аппроксимационных выражений. Приведем
здесь некоторые из них, которые нашли широкое применение в прак-
тике проектирования конструкций из тканевых материалов.

Для аппроксимации физических характеристик ткани по главным
направлениям предлагается использовать нелинейно-ортотропную
модель

(9.111)

&2 = 'Б2<Л2-1) + ^(л2-1)2+^1-

Используются также аналитические зависимости следующего
вила:

по схеме линейно-упругого ортотропного материала

1х XI

Р2=1-/12^2,	(9Л12)

^>21=^12=
по изотропной схеме

СТ22 = Гр2-1)+Д(Л1-1)'

а12 = 2(1 + //) Дх’

(9.113)

§ 9.5. Уравнения движения мягкой оболочки

Пусть мягкая оболочка подвергается действию распределен-
ных поверхностных (аэродинамических) сил Др интенсивности р

Др *

(р = пт —где Д5 — элемент площади деформируемой поверх-
Д5

ности оболочки) и массовых сил (сил тяжести или инерции) напря-
ди

женности д (д = Пт где Д(7 — массовая сила, действующая на

выделенный деформируемый элемент поверхности площадью Д5 и
массой Дгп). Под действием внешних сил р и д в оболочке появятся
уравновешивающие их внутренние погонные усилия. Выделим малый
элемент оболочки в произвольной лагранжевой системе криволиней-

>•	1112	2	2

ных координат а двумя парами сечений а , а + (1а на уа + (1а и
рассмотрим его равновесие (рис. 9.7). На него действуют внешние
нагрузки

Др = р<7$* = р V#* (1аХ (1а2\ Д(7 = удс18 = уд^8 (1аХс1а2у (9.114)

Дт
гдеу= Пт —.
Д5->0

Рис. 9.7. Равновесие элемента обо-
лочки
К граням си! и аЬ элемента соответственно приложены векторы
внутренних погонных усилий и Ы2, а к граням Ьс и (1с —

/ ЭХ,	\	( дЫ	\

X. +—и И, +—7** •
\	1 да1	)	\	2 да2	)

Приравнивая к нулю главный вектор всех приложенных к элемен-
ту внешних и внутренних сил, будем иметь

ах	ах

—Г (1а1 + —у (1а2 + Др + ДО = 0.
да1	да2

(9115)

С учетом (9.83) уравнение равновесия (9.115) примет форму
[(°Пе1 + а12е2^ ^22] + ^2 [(СТ21е1 + а22е1) ^11] +

+ Р + ТВ^~В = 0.	(9.116)

В (9.116) а12 = а21 в силу симметричности тензора мембранных
усилий а., (I, 1—1, 2).

Векторное уравнение движения элемента поверхности мягкой
Оболочки получим, дополнив соотношение (9.116) инерционными и
диссипативными силами, полагая последние пропорциональными
скорости перемещения:

а2к а г	.

(II2 да11СТ|,в1 + а12е2> #22] '

+ + + Р + <9Л 17>

осх	•*

где — ускорение свободного падения; е* — коэффициент конст-
рукционного демпфирования.

В случае, когда координатные линии совпадают с направлениями
главных усилий (ст = ст; = а • а = # = 0), из (9.117) будем
11	1	4 1 &	1 ь

иметь

г-а К д , гт~ \

а
да2

(а2 вг) "

- е* + р у^^22 +	<9,118>

При равенстве нулю одного из главных усилий (например, = 0,
а >0), дополнительно полагая в (9.117) &12 =	= ^> а ^22 = ^22’

приходим к уравнению движения одноосной оболочки
У '^П$22 л2

= Ь	" 6’	+ Р ^^22 +	^^22- <9Л 19>

Уравнение (9.119) описывает динамику абсолютно гибкой нити.
Ввиду одноосности напряженного состояния мягкую оболочку в этом
случае можно рассматривать как систему не контактирующих между
собой гибких нитей, расположенных либо в меридиональном, либо в
экваториальном направлении в зависимости от того, какое из главных
растягивающих усилий равно нулю. Если использовать общеприня
тые обозначения: Ь = а1 — лагранжева координата, IVь =	—

усилие в нити, уь	— плотность нити, = р'Ц^ — поверхно-

стные силы, действующие на нить, т — единичный вектор касатель-
ной, = V#*! — степень удлинения нити (#и = 1), то соотношение
(9 119) можно записать в виде

д	<1К.

Л2 ~	Л +	+ гье ’	(9-120)

где	0 — вектор-радиус, определяющий положение нити в

пространстве, — коэффициент конструкционного демпфирования
нити.

Как правило, купола современных парашютов подкрепляются
ленточными каркасами самого разнообразного типа (см. рис. 1.3-
1.5). Подкрепление обычно выполняется в виде регулярной дискрет-
ной структуры, пришитых к оболочке абсолютно гибких лент повы-
шенной прочности. Обычно в процессе деформации ленты каркаса
становятся линиями излома поверхности оболочки; при этом поворот
нормали к поверхности при переходе через места излома происходит
скачкообразно.

Изложим модель подкрепления, следуя работе [81]. Будем, как
прежде, рассматривать раскройную поверхность оболочки в лагран-

Рис. 9.8. Схема подкрепления оболочки
*евой системе координат а1. Пусть лента, положение которой в
[пространстве описывается уравнением	, а )), при де-

формации оболочки делит подкрепленный участок Е на две гладкие
поверхности (рис. 9.8). Примем, что положительное направление об-
хода части поверхности, разделенной кривой 7?(А), соответствует на-
правлению, при котором рассматриваемая поверхность остается слева
по ходу движения. Единичные базисные векторы по различным сто-
ронам линии излома обозначим через е2, п и е',	п'. Допол-

нительно введем орт касательной т к кривой К(Ь).

Рассечем участок оболочки, содержащий линию излома, плоско-
стью Г, содержащей нормаль к точке А. В итоге в секущей плоскости
будем иметь две кривые, касательные к которым образуют угол изло-
ма Д*. Считаем, что угол р* положительный в том случае, если при
взгляде с конца вектора т кратчайший поворот от вектора Ь к вектору
Ь' происходит против часовой стрелки. Отсюда следует, что векторы
Ъ X Ь' и т совпадают по направлению и между ними существует связь

т = (Ш')Мф.	(9.121)

Формулы для определения единичных векторов л, л', Л, т через
единичные базисные векторы ер е2, ер е'2 и углы между ними/ и/' в
точке А будут

п = е. х еэ/8ш%; п' = х е'/зш/';
1	Ал	1	Ал

Ь = тхп; Ь' = -т х п ;	(9 122)

г =

(1КТ 1 (1КГ
А	Х-/

где (1Ь — элемент недеформированной подкрепляющей ленты. Оче-
видно, что векторы Ь и Ъ' являются нормалями к кривой в точке
Л, лежащими в соответствующих касательных плоскостях к обеим
частям поверхности в точке А по разные стороны от линии излома.

Далее найдем угол/К С учетом (9.122) из (9.121) имеем

Т 5Н1 р* = (т х п ) х (л' х т ) =

= п'; (т х л)т| - т|_(т х л)л'^. (9.123)

В (9.123) первое смешанное произведение обращается в нуль. Поменяв
порядок векторов во втором смешанном произведении, получим

81П /3* = п'(т X Л ).

(9.124)
Косинус угла излома /3* запишется в виде

соз /3* = Ь • Ъ' = (т X п) • (п' х т) =

=(т • п')(п' • г) - (л • п')(т • г) = -л • л\ (9.125)

Составим уравнение равновесия элемента подкрепляющей ленты.
Пусть элемент ленты длиной (1Ь нагружен растягивающим усилием
Ы - М}/1, мембранными усилиями .М и ТУ' со стороны оболочки и
некоторой внешней погонной нагрузкой Арр Ар^. Полный вектор
внешних нагрузок р^ действующих на подкрепляющую ленту, опре-
деляется равенством

р = Ы + № + Др + Ар'

(9.126)

Векторное уравнение движения подкрепляющей ленты можно по-
лучить путем подстановки равенства (9.126) в уравнение (9.120).

В итоге решение задачи о напряженно-деформированном состо-
янии подкрепленной (каркасированной) мягкой оболочки сводится к
совместному интегрированию уравнений (9.117) и (9.120) при извест-
ных зависимостях (9.110) и соответствующих граничных и началь-
ных условиях.

Пусть положение поверхности оболочки в декартовом простран-
стве х. описывается параметрическими уравнениями (9.2). Вектор-
радиус К любой точки поверхности оболочки представляется в форме
(9.3), а локальные базисы (9.4) с учетом (9.3) в виде

3 дх,
к = У —Ъ..
1 & да' к

Перепишем выражение (9.127) в другой форме:

Д.= У Ли’

/ Х-Г ]к к
к=\

(9.127)

(9.128)

дхк

где К . = —т — проекция у-го базисного вектора на Л-ю ось.

да!

С учетом (9.128) компоненты метрического тензора (9.6) опреде-
ляются следующим образом:

дп ж Д „ „

да' да5 'к 5к

(/,5= 1,2).

(9 129)

Положение базисных векторов К., в (9.129) в пространстве будем
А

находить с помощью направляющих косинусов а между единичны-
ми векторами е., определяемыми уравнением (9.9), и ортами (см.
рис 9.1):

а., = соз(е., г) 0 = 1, 2; к = 1, 2, 3)	(9.130)

]К	] к

По аналогии с (9.129) можно записать

3

е. = У а.Л..	(9.131)

1	Х-Г /Л к
к=Л

Подставляя (9.128) в (9.9) и сравнивая с (9.131), имеем

а.. =	(9.132)

А ]к

| Единичный вектор нормали к поверхности определим по формуле

I = (е) х е2)7^2/л/7•	(9.133)

Направляющие косинусы а., единичных векторов е. (/ = 1, 3) по

отношению к ортам (к = 1,3) основной декартовой системы ко-
ординат образуют квадратную матрицу

Я=||«д11,	(9 134)

[элементы а , и а , которой находятся по формуле (9.132), а а , — по

1К л/К	оК

формулам вида

а31 = (а12а23 “ а13а22^^11^22	’

I а32 = ^13*21 “ а11й23^^11^22	(9.135)

а33 = (а11а22 “ Й12а21)^11^22/Г^_’

Найденные направляющие косинусы локальных базисных векто-
ров должны удовлетворять условиям

е1 ’ е2 = а11а21 + а12а22 + а13а23 = СО8Я = ^12^ ^11^22’

’ ез = */1а31 + а/2а32 + °7зазз 0 О’ = 2);	(9.136)

ек ‘ ек = а11 + а22 + а33 = 1ф

Раскладывая вектор интенсивности поверхностной нагрузки р по
направлениям локального базиса е., а вектор напряженности массо-
вых сил д по ортам вводя диссипативные силы и учитывая вы-
ражения (9.3), (9.131), (9.135), переведем векторное соотношение
(9.117) в три скалярных уравнения относительно декартовой системы
координат:

(12х

(Н2 ~ да*1<Х11 +а1*2а21^^] +

а г	г;--,	<1Х1

+ ТТ2ГСГ12а11 +а22а2\^8П I “е1 (11 +

+ (Р1«и + р2а2х)У^ + Рп(«21а23 ~ а 13^22^^11^22 ’

_а х2 а г	/~т“1

+ сг12Л22)У	+

а г	/ '21 -I (1хгч

+ Т~2 [(°12а12 + СТ22а22)У^Г] “ ®2 ~аГ +	<9.137)

(?и	-*

+ (Рха12 + Р2а2т)У^ + Рп^а\За2\ ~ а11а23^^11^22 ’

г~ & хз а г.	г*~\

б//2 =а?Ь 1,6X13 + а12а23^^22 | +

+ ^2 [(СТ12в13 + а22а2з)'^1Г] “ е3 ~сй + ^Р1а13 + Р2а23^^ +

+ ₽И(а11Л22 " а12а21>^п4” +

Как видим, переход от лагранжевой системы координат к декарто-

вой сказывается в явном виде лишь на уравнениях (9.117), (9.132),
(9.137), связанных с нахождением вектор-радиуса К. Что касается

соотношений для определения величин а..,	характери-

зующих напряженно-дсформированное состояние оболочки, то они
остаются без изменений.

8 9.6. Напряженно-деформированное состояние участка
поверхности купола осесимметричного парашюта

Рассмотрим динамическую задачу определения НДС участка по-
верхности купола парашюта, находящегося под действием заданного
перепада давлений. Расчеты проводились при помощи моделей, опи-
санных выше. Основу этих моделей составляют уравнения мягких
оболочек в усилиях [2, 32], дополненные диссипативными силами,
пропорциональными скорости деформации поверхности, и интегри
руемые по пространственным координатам и времени методом конеч-
ных разностей по явной схеме.

Наиболее сложным и ответственным этапом функционирования
парашюта является процесс раскрытия, когда на парашют действуют
максимальные аэродинамические и инерционные нагрузки, по кото-
рым ведется расчет на прочность конструкции парашюта в целом и
отдельных его элементов. Коэффициент динамичности при раскры-
тии круглого парашюта К = 1,7 — 2 (К = где (2р и 2^ — дей-
ствующие на купол вдоль оси максимальные силы соответственно при
раскрытии парашюта и в случае его установившегося движения).

Исследуем НДС отдельного участка (ячейки) поверхности купо-
ла, образованного пересечением подкрепляющих тент кольцевого и
радиального каркасов, при раскрытии парашюта (заштрихованная
область на рис. 9.9а). На левой части рис. 9.9а нанесена эпюра распре-
деления перепада давлений Др по куполу парашюта при раскрытии,
которую обычно находят экспериментально, либо на основе различ-
ных математических моделей. Выделенная тканевая ячейка с разме-

Рис. 9.9. Схема расчета напряженно-деформированного состояния участка ло-
жности купола
рами и а2 показана на рис. 9.96. Здесь же нанесено расположение
декартовой х1 и лагранжевой а1 (г = 1, 2) систем координат.

Примем, что в момент нагружения парашюта его ячейка является
плоской прямоугольной, а вся аэродинамическая нагрузка приклады-
вается к ней мгновенно. Будем считать ткань идеально упругий и
моделировать купол сеточной конструкцией (отсутствуют сдвигаю-
щие натяжения по направлениям, совпадающим с направлением ни-
тей основы и утка (рис. 9.96)).

Что касается граничных условий, то предположим, что ткань
ячейки прочно пришита к окаймляющим ее контур лентам и не сме-
щается вдоль них.

Упругая модель ячейки строится на основе уравнений (9.117),
решение которых осуществлялось методом конечных разностей по
явной схеме. Остановимся на анализе некоторых численных данных,
представленных на рис. 9.10—9.12.

На рисунке 9.10 приведены графики характеризующие
изменение амплитуды натяжений вдоль основы и утка во вре-
мени I в точке В ячейки (см. рис. 9.96). Сплошные кривые 1 и 3
отражают изменение функций ^о(0 и # (0 в центральной части
ячейки из ткани БК806 при динамическом нагружении, а штриховые
линии 2-4 — уровни статических натяжений того же участка по-
верхности купола соответственно вдоль основы и утка; декремент за-
тухания д* — 0,3. Существенное различие в значениях натяжений

Рис. 9.10. Изменение натяжения во времени поверхности купола в направлениях
основы и утка ткани
Рис. 9.11. Влияние кроя ткани на максимальные натяжения в ячейке в направ-
лениях основы и утка: сплошная линия — точка А; штриховая — точка В; 7, 2 -
максимальные натяжения М? по основе и утку соответственно; 3,4- максимальные
динамические и статические натяжения соответственно; ткань арт. 56023крП

и .Уу вызвано сильной анизотропией свойств материала БК806:
^0/^у = 2. Судя по кривым 1 и 3, разница между амплитудами натя-
жений АУ = Уо - Уу особенно заметна для переходного процесса; по

сравнению со случаем статического нагружения она выше примерно в
два раза. На этом же рисунке нанесены функции для ячейки из
материала арт. 56023крП (кривая 5 — 34(1) при <5* = 0,38; 6 — У(7)
при <3* = 0,13; 7 — статические натяжения). Для этого материала
Уу = IVЕ0/Еу = 1. Сопоставление кривых 5 и б показывает, что рост
декремента затухания несколько уменьшает максимальную амплиту-
ду натяжений переходного процесса (примерно на 8%) и приводит к
существенному сокращению времени перехода на стационарный ре-
жим нагружения (в три раза). Анализ численных данных показывает,
что рост коэффициента динамичности К (отношения максимальных
натяжений при переходном режиме к установившемуся) находится в
пределах 1,4-2,2.

Функция У(Д) рис. 9.11 характеризует влияние кроя ткани (угла
Д) на напряженное состояние в различных точках поверхности ячей-
ки (точки А и В на рис. 9.96) при динамическом нагружении (кривые

/ — и 2 — Утах в точке А; 3 и 4 — соответственно максимальные

°	У	2

Динамические и статические натяжения в точке В\ Ар = 4000 Н/м .
Видно, что в случае прямого кроя (Д' = 0) в точке А натяжение по
основе У (кривая 7) значительно превышает натяжение по утку Уу
(2); при р = 45° 34° = Уу, а для Д' = 90° Уу > 33°. Из рис. 9.11 следует,
Рис. 9.12. Влияние коэффициента податливости контура / на напряженное со-
стояние тканевой ячейки при прямом крое: 1 — в точках А и В\ 2 — в точке В; 3 — в
точке Л; ткань арт. 56023крП

что в случае прямого кроя в точке А нити натянуты лишь вдоль осно-
вы. При косом крое (и = 45°) характерным для точки Р является рав-
ное натяжение нитей по обоим направлениям (основе и утку).

Что касается распределения натяжений в точке В в зависимости
от кроя ткани, то в случае^ = 45° в ней наблюдается снижение общего
уровня напряженного состояния по сравнению с предельными случа-
ями /7=0; 90°.

Если принять уровень натяжений в точке А для/7 = 0 за единицу,
то для /7 = 45° он понизится при статическом нагружении на 12%, а
при динамическом — на 25%.

Характер изменений уровней натяжений в различных точках
участка поверхности при статическом нагружении в зависимости от
коэффициента податливости опорного контура / иллюстрирует рис.
9.12. Видно, что с ростом / натяжения в точках Л, В в направлении
основы повышаются; по утку в точке А — падают, а в В — остаются
постоянными.

Таким образом, увеличение податливости опорного контура (раз-
рыв строчки) ячейки вызывает рост натяжений в нитях ткани па-
раллельных ослабленным границам, и снижает уровень натяжений в
нитях по направлению обычных границ.

8 9.7. Напряженно-деформированное состояние
крестообразного парашюта

Приведем некоторые результаты вычислительных экспериментов
для крестообразных парашютов.

В качестве примера рассмотрим купол, одна восьмая часть которо-
го изображена на рис. 9.13. На ней имеются три продольные и пять
поперечных лент; от точки Р до В может располагаться щель. Счита-
ется, что купол закреплен в коуше.

Зависимости, показанные на рис. 9.14, отражают влияние щели
лопасти на динамику наполнения купола. Так, если фазы нели-
нейных колебаний парашюта слабо зависят от его конструкции, то
амплитуды функций К (натяжения в коуше), Р (площадь миделя,
м
Рис. 9.13. Расчетная схема крестообразного парашюта

(отнесенная к раскройной площади купола) и 2^ (координаты вер-
шины купола) для купола с разрезом значительно меньше, чем
для купола без разреза: по т. и К — на 7,5%, по Р — на 11%
Л	м

{п = 103т/Ат).

При этом, если с течением времени разница в гА и Р для этих
парашютов существенно уменьшается, то Р^ у купола без щели оста-
ется на 7,8% больше. Иными словами, большому значению макси-
мальной перегрузки соответствует больший мидель.

Формы купола без щели и со щелью для некоторого момента вре-
мени изображены на рис. 9.15. Пульсации купола, характеризуемые

Рис. 9.14. Влияние щели лопасти на динамику наполнения купола: штриховая
линия — без щели; сплошная — со щелью
Рис. 9.15. Форма крестообразного купола: а - без щели; б- со щелью

функциями 2. и Г (см. рис. 9.14), не приводят к серьезным изме-
л м

нениям его формы в обоих случаях. Однако щель под действием пере-
пада давлений раскрывается, уменьшая тем самым площадь миделя и
сопротивление купола.

Наличие двух свободных контуров у купола со щелью обусловли-
вает возможность подворачивания купола (рис. 9.156). Это подтверж-
дается и эпюрами натяжений вдоль основы и утка, построенными на
Рис. 9.16 Эпюры натяжений на раскройной плоскости парашюта: с - вдоль основы;
б - вдоль утка

раскройной плоскости купола (рис. 9.16). Концентрация усилий на-
блюдается в зонах каркасирования. Натяжения ткани в поперечном

направлении к лопасти (М?) несколько меньше продольных
Глава 10

УПРУГИЕ МОДЕЛИ ПАРАШЮТОВ НА ОСНОВЕ
КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

§ 10.1.	Дискретная модель парашютов на основе симплексных
конечных элементов

Одним из весьма эффективных методов решения задач прочности
конструкций из мягких оболочек (МО) является метод конечных эле-
ментов (МКЭ) (см., например, [29, 30, 49, 771). МКЭ по сравнению с
другими методами обладает рядом важных преимуществ, одним из
которых является сводимость задачи к задаче линейной алгебры. Од-
нако применительно к задачам прочности парашютных систем клас-
сический подход МКЭ далеко не всегда удается использовать из-за:

—	физической и геометрической нелинейностей материалов па-
рашютных систем (ПС);

—	мягкости (гибкости) конструкции в потоке;

—	больших изменений формы ПС в потоке (из-за сильных разли-
чий раскройной, начальной и текущих форм в процессе функциони-
рования ПС);

—	необходимости решения динамических задач прочности при
нелинейном поверхностном воздействии на оболочку ПС аэродина
мических сил, зависящих не только от положения ее в пространств^
по отношению к вектору скорости потока, но и от изменения формы
оболочки.

Кроме того, нелинейность задачи прочности парашюта и необ-
ходимость ее рассмотрения в динамической постановке приводят к
организации итеративного (многократного) решения задачи при
классическом использовании МКЭ в рамках линейных соотношений
теории упругости. К тому же при больших произвольных переме-
щениях оболочки нет гарантии сходимости итеративного процесса
[77]. Итеративный процесс даже при существовании сходимости
требует зачастую очень больших затрат машинного времени из-за
необходимости многократного решения задач линейной алгебры в ма-
тричной постановке. Здесь будут описаны упругие дискретные модели
МО на основе модифицированного МКЭ, позволяющего обойти ука-
занные выше трудности.

10.1.1. Двухмерная конечно-элементная модель. Для мягкой
каркасированной оболочки целесообразно выбрать симплексные ко-
нечные элементы (КЭ) [29, 77] (треугольные для оболочки и отрезки
прямых для каркаса (рис. 10.1)). Уравнения движения получим 3
явном нематричном виде для каждого узла системы КЭ, поскольку Б
Рис. 10.1. Фрагмент симплексной ко-
нечно-элементной модели каркасированной
мягкой оболочки: 1 — одномерный симплек-
сный КЭ; 2 — двухмерный симплексный КЭ

2

нелинейном случае их традиционное матричное представление при-
водит к чрезмерно большим затратам машинного времени.

Введем обозначения: Л2 и А — главные относительные удли-
нения соответственно оболочки и элемента каркаса; ^2 и —
соответствующие им главные усилия; 5^ и I® — начальные площадь
треугольного элемента и длина одномерного элемента в недеформиро-
ванном состоянии; 8? — текущая площадь е-го элемента; пе — нор-
маль к е-му элементу; ре — перепад давлений на КЭ; и К2 — числа
одномерных и двухмерных КЭ, сопряженных через узел А; тк — мас-
са А-го узла.

Совокупности одномерных и двухмерных КЭ имеют каждая свою
^-нумерацию элементов. Для оболочки и элемента каркаса вариации
потенциальной энергии составят соответственно

2

= /	(10.1)

5° 1=1	/°

е	е'

Внешние поверхностные силы Р действуют только на КЭ оболоч-
ки, Р = Репе, а массовыми силами, за исключением инерционных сил
и веса, можно пренебречь. Если задать ненулевую вариацию поло-
жения только &-го узла дг^ то вариации работы поверхностных и
массовых сит дИ^, <5И^„ а также потенциальных энергий <5 Г/,, д1/е,
будут ненулевыми только для тех КЭ, которые имеют А-й узел в каче-
стве одной из вершин

<5РК = ~5 р п дг. - т .г.дг
е 3 е*е е к ек к к'

(10.2)

<5 РИ , = -т ^г.дг.,
е е’к к к'

где тек — часть массы е-го КЭ, отнесенная к к-му узлу.

Положение точки х, лежащей внутри симплексного КЭ, задается
в виде линейной функции лагранжевых координат х = (х1, х2). Узло-
вые перемещения е-го элемента аппроксимируются функцией

= Хе(х )де,	(10.3)

* О.В.Рысев и др.	161
где Ые — линейная матрица 3*9;^ — гипервектор перемещений всех
узлов КЭ, содержащий в себе гк перемещений всех узлов е-го КЭ.

Если бгк # 0, то

би = IV .бг,,	(10 4)

е ек к'

где IVек (часть матрицы IV— матрица 3*3, отвечающая положению
в гипервекторе

Поскольку

Л. =	(г =1,2),

I дх. 4	7

I	-1Л

то из (10.3) в силу линейности матрицы Ы следует постоянство удли-
нений во всем симплексном КЭ:

Л. = соп51 (/=1,2); Л = соп81.	(10.6)

Исходя из уравнений (10.4), (10.5), можно условно записать

дЛ. = Г ,6г., <5Л = Г ,,бг.,	(10.7)

I ек1 к’	е к к

оде Гек. и Г— некоторые вектор-функции, зависящие от геометрии
КЭ и его текущего положения в пространстве.

Из (10.1) с учетом уравнений (10.6), (10.7) следует

/ 2	\

ди =5° Улм\. <5г.,

е е I I екп к’

'|=1	7	(10.8)

ди, = 1°ыг ,,дг..
е е е к к

Подставляя (10.2) и (10.8) в вариационное уравнение

\	К2

2 («51И, - дие.) + 2 (<5и; - ди) = о

е' = 1	е=1

и учитывая произвольность бгк, получаем уравнение движения любого
Л-го узла системы КЭ:

К

- У /?лгг
е е к

е'=1

(10.9)

которое решается по трехточечной разностной схеме второго порядка-
Материал мягкой оболочки и гибкого каркаса считается ортотроп-
ным, линейно-упругим с модулями Е и для него принимаются
упрощенные физические зависимости

^=^+^^>0,

^2 = Е2&2 +^21ЛР “ °’	(Ю.Ю)

# =	>0,

причем = Е2^2\*

Начальные условия для любого Л-го узла будут = г^, что соот-
ветствует раскройной форме парашюта, и = 0. Граничные условия
на свободной кромке оболочки обеспечиваются автоматически. Для
границы, перемещаемой заданным образом, вариация уже не про-
извольна, и вместо (10.9) для граничных узлов задается	В

остальных случаях вдоль границ строится фиктивный слой КЭ, в ко-
торый переносятся граничные условия.

Нематричные явные (т. е. разрешенные относительно урав-
нения (10.9) существенно проще в реализации на ЭВМ, поскольку
требуют значительно меньших затрат машинного времени и опера-
тивной памяти, по сравнению с традиционным подходом МКЭ. Ста-
ционарные решения ищутся методом установления при введении в
правую часть уравнения (10.9) вязких сил	где р —

вязкость. В пределе при I -* оо определяется равновесное положение
оболочки, причем обычно бывает достаточно сделать 1000-1500 шагов
повремени [29].

10.1.2. Одномерная конечно-элементная модель. Как отмеча-
лось в гл. 8, в мягкооболочковых каркасированных конструкциях
ткань обычно выполняет роль элемента, воспринимающего поверхно-
стные нагрузки (перепад давлений) с целью передачи этих нагрузок
на формообразующие элементы каркаса. Несущая способность ткани
без каркасирующих элементов на конструкциях, предназначенных
для полетов, обычно недостаточна. Поэтому местная кривизна эле-
ментов ткани (ячеек ткани между лентами каркаса) на порядок боль-
ше кривизны каркасирующих гибких лент. Внешне выглядит так, что
формообразующими элементами конструкции можно считать каркас.

Напряжения в оболочке в направлениях главных кривизн (боль-
шой и малой) оказываются величинами одного порядка в реальных
изделиях. Однако согласно формуле Лапласа	=

где А^, Ы2 — усилия; /?2 — радиусы главных кривизн, Др —
перепад давлений на оболочке, определяюшее влияние на формо-
образование оболочки имеет лишь то усилие, которое действует в
направлении меньшего радиуса кривизны.

В конструкции можно выделить элементы каркаса, наиболее от-
ветственные за формообразование конструкции в целом (радиальные
Рис. 10.2. Обозначения к выводу уравнений движения конечно-элементной модели
парашюта: а) КЭ расположен в плоскости нормалей к стропам; б) силовой каркас — не
плоская кривая

ленты-стропы у парашютов, тепловых аэростатов с вертикальной
ориентацией конструкции и т. д.). Если исследователя интересует в
основном форма конструкции, а не ее напряженное состояние, то
достаточно пользоваться одномерными конечно-элементными моде-
лями.

Одномерные конечно-элементные модели оказываются более про-
стыми и быстрыми в реализации при той же точности результатов в
сравнении с двухмерными конечно-элементными моделями при
расчете формы оболочковой конструкции. Кроме того, в работе [70]
показано, что и напряженное состояние может быть рассчитано с по-
мощью этих моделей достаточно точно.

Основные положения для одномерного конечно-элементного мо-
делирования изложим, следуя материалам гл. 8 и работам [57, 72].

Одномерный комплексный КЭ изображен на рис. 10.2 и пред-
ставляет собой совокупность ранее описанного одномерного симплек-
сного элемента (отрезка прямой й, моделирующего часть элемента
каркаса) и полоски ткани — участка цилиндрической поверхности
(й; I + I, / + 1). Вдоль полоски ткани перепад давлений считается по-
стоянным.

Полоска располагается в плоскости нормалей к стропам, причем
каждая из нормалей лежит в своей плоскости симметрии (рис. 10.2).

Следуя работе [57], рассмотрим вначале случай симметричной
конструкции, у которой имеется 2п степеней симметрии (каждая из
п строп лежит в своей вертикальной плоскости симметрии). В этом
случае достаточно рассмотреть движение (равновесие) только одной
стропы. Разбиение стропы с прилегающей тканью на одномерные КЭ
приводит к разностному уравнению движения стропы в плоскости
симметрии

V/ = ЛГг. -	)А-	<Ю И)

где т. — масса, сосредоточенная в г-м узле, соединяющем /-й и
(/ — 1)-й КЭ, учитывающая массу как строп, так и ткани; и. — вектор
перемещений узла; т. и п. — касательная и нормаль к КЭ; А?
недеформированная длина КЭ; /V и IV* — погонные усилия, дей-
ствующие со стороны ткани на стропу в нормальном и касательном
направлениях; IV. — усилие в элементе стропы. Согласно работе [57],
выразим IVп и через кольцевые усилия в ткани:

ЗШ <р — СОЗ(р - Хр) СОЗ X ЗШ —

ЛГ = 2ДГ,------------------------------

П 2	СОЗ Хр

(10.12)

\ = ™2

соз(^> - Хр) ЗШ % ЗШ —

СОЗ Хр

где хр — пол у угол, образуемый нормалями к соседним стропам, % —
угол, образуемый касательной к стропе и вертикальной осью.

Значение находим из уравнения (индекс «/» опущен)

= Дрц(1 + I)

. л
зш —
___л
зш^’

(10.13)

где Др — перепад давлений на куполе (оболочке); I — относительное
удлинение стропы. Угол определяется итерационным путем из нели-
нейного уравнения

Дры(1 + /)

Е2

. л
зш---

п

. л
и зш —
п

л

5 —
П

<р + зш <р = 0,

(10.14)

где Е2 — модуль упругости ткани в кольцевом направлении, з —
лагранжева координата, отсчитываемая от полюса купола парашюта.
При нелинейной зависимости ^(/2) уравнения (10.13) и (10.14) реша-
ются совместно.

При образовании складок ткани на куполе угол <р достигает ве-
личины хр + л/2, которую превысить не может. Тогда из уравнения
(10.12) следует: IV = 2#2 и = 0, т. е. натяжения в ткани нормаль-
ны к стропе. При этом

.л , .

и зш — + А зш хр

Ы. = Др----——------, Л =

2 г СОЗ хр

Л8	. Л

— соз хр + и зш —
п т п

Л8 Лр Л

туг»

соз хр + зш хр

Л5 Др

П Е2.

где А — глубина складки
При большом числе строп, когда хр <л/п« 1,

Задав начальные условия (положение и скорости узлов КЭ) и
распределение перепада давлений вдоль стропы, можно решать урав-
нение движения (10.11) по традиционной разностной схеме «крест».
При этом, как и для двухмерной модели, следует шаг по времени
ограничить условием Куранта.

Отметим, что уравнение движения типа (10.11) можно получить
из уравнений движения для двухмерной модели, если усилия со сто-
роны ткани прилагать к одномерным симплексным элементам как
внешнюю нагрузку В этом случае уравнение движения получится
матричным с трехдиагональной матрицей массы в правой части
уравнения. Если предположить, что масса системы распределена из-
вестным образом по ее узловым точкам, то матрица массы станет
однодиагональной, а уравнение движения — векторным, совпадаю-
щим с (10.11). Поскольку в задачах статики мягких оболочек точное
распределение массы по КЭ особой роли не играет, то ее можно рас-
средоточить по узлам КЭ равномерно.

В несимметричном случае вследствие нагружения или конструк-
тивного оформления парашюта каждая формообразующая лента кар-
каса может являться не плоской линией, а пространственной. При
этом, в отличие от симметричного случая, возникает вопрос об ори-
ентации полоски ткани в комплексном КЭ. Чтобы назначить плос-
кость, в которой будет ориентирована выделенная полоска, обратимся
к рис. 10.26.

Ленты каркаса обозначим индексом «/», а узлы (и КЭ) вдоль каж-
дой ленты — индексом «/». Векторы т „ и т. | являются касательными
к соответствующим узлам соседних строп, а векторсоединяет одно-
именные узлы соседних строп. Если среднюю нормаль определить как
нормализованный вектор

л..= [7т..+ т. ,,Л Х/..1 ,
V [\ V <./+!/ У|н’

то можно ввести гипотезу о расположении полоски в плоскости векто-
ров п.. иЕсли полоска представляет собой дугу окружности с полу-
углом раствора то углы, определяющие направления действия сил

со стороны ткани на каркас, можно записать в виде

*1# = (9нС08*’.у + (пЛ

Ч.. = ~(^)нСО8'р'/+(пЛ81п’р</

Здесь индекс «н» означает нормализацию (/)н = / / | /1 .Для нахож-

дения угла у? „ запишем очевидную систему уравнений:
2^ = /0(1 + /2)
I / I = 2/? 5Ш <р
Е^2 = КДр(1 + 9

(длина дуги полоски),

(длина вектора),

(усилие в полоске, одномерное
уравнение Лапласа),

(средняя продольная деформация полоски).

В результате получим трансцендентное уравнение относительно угла
решить которое можно итерационным путем.

Уравнение движения ленты запишется в виде, аналогичном

(10.11):

тЛ=^(тЛ?+«1Л+х2/.Д-1’

или в разностном виде

V I/ 1+1,/ /+1,/ V // \А1у 2у	2/Л1/к *+!,/

Усилие в ленте каркаса и ее удлинение определяются так:

^.(5) = Е.Ц1),

а касательный вектор к ленте

ди

г.= т1 

1	д8.

н

Кольцевые усилия согласно уравнению Лапласа в предположении
сравнительной малости кривизны вдоль стропы запишутся в виде

1/1	( Л. + А

ыт = э •	1 + 1

2/	2 зш <р	2

Очевидно также соотношение

/. = и... - и..

] /+1 /

Получающуюся систему уравнений движения (число уравнений
равно числу узлов КЭ-системы) можно решать по разностной схеме
«крест» с наложением условия Куранта на шаг по времени.

В месте расположения отверстий в ткани усилия в полоске при-
нудительно обнуляются.
§ 10.2. Использование конечных элементов высших порядков

Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии па-
рашюта в двухмерной постановке будем осуществлять в два этапа. На
первом этапе по заданным раскройной форме, нагрузкам, условиям
закрепления, используя, например, одномерные модели, определя-
ем начальную форму его конструкции. Расчеты этого этапа требуют
небольших временных затрат и позволяют получать достаточно хоро-
шие приближения для формы парашюта [88].

Суть второго этапа состоит в детальном анализе напряженно-де-
формированного состояния парашюта при статическом нагружении
на базе более полных математических моделей, методология фор-
мирования и алгоритм решения которых будут описаны ниже.

Для этого воспользуемся инкрементальной теорией дефор-
мирования с учетом геометрической и физической нелинейностей
соответственно между деформациями и перемещениями и усилиями
и деформациями [18]. Пусть путь деформирования оболочки пред-
ставляется в виде последовательности равновесных состояний

□О),...,	о^1),..., 0^. Здесь — начальное деформирован-

ное состояние; — конечное, а — произвольное промежу-
точное. Считается, что все переменные, характеризующие начальное
состояние СУ0) и все промежуточные вплоть до состояния 0^ изве-
стны.

Задача состоит в том, чтобы определить переменное состояние
□(ЛН4) в предположении, что оно бесконечно близко к 0^. В этом
случае все определяющие уравнения можно линеаризировать отно-
сительно приращения переменных состояния.

Для описания деформированного состояния оболочки используем
тензор деформаций Грина-Лагранжа и тензор напряжений Пиолы-
Кирхгофа. Обозначим через

и™ е™ и	(I, ] = ГЗ) (Ю.15)

перемещения, деформации и напряжения в элементе оболочки в со-
стояниях и соответственно. Тензор деформаций Грина-
Лагранжа в этом случае можно записать в виде

Лт) = 0,5 (и^ + и(т) +	(« = К, ^+1; к = ТГЗ). (10.16)

V	\ Ц] },1	К,1 К,/ )

Здесь использовано общепринятое правило суммирования по немым
индексам, запятой обозначено дифференцирование. Выражая состо-
яние через с учетом обозначений (10.15) получаем
и^+1^и^ + Лие

е^+1) =	+ Де/у,	(10.17)

где Ди., Де„, До. — приращения величин и? е.., о.^ при переходе
оболочки из состояния в состояние

Вычитая из е^+1) согласно (10.16) и (10.17), находим тензор
приращения деформаций Дг. (верхние индексы у перемещений, де-

формаций и напряжений опускаем, принимая й =	;

Деу = 0,5(Д«у + Д«Л). + ик Ли^ + Ди^ + Ьи^Ди^). (10.18)

Тензор Дг. является квадратичной функцией градиентов переме-
щений. Выделим в (10.18) линейную Де. и нелинейную Дт;. части:

д^ = де/. + д^.,

Де</ = °'5<д“у + д“л<+ ик,.Лик,/+ Д“*А?>	(1ол9)

А’(7 = °’5А“*,,Д“*/

Для связи между приращениями тензоров напряжений Дет и
деформаций Дс. используем зависимость

Л<7// ~ С1/к1ЛеИ ’	(10.20)

где С — тензор состояния, который может учитывать предысторию
нагружения.

Запишем принцип виртуальной работы в состоянии пола-
гая, что параметры, характеризующие состояние известны:

/// (а + ДаЛ5(е + Де )<1\№ - // Р^ДиЛА^ = 0,	(10 21)

/»	л(0)

где Р^аР^+1) — компоненты вектора внешних нагрузок, прило-
женных к оболочке;	— объем и площадь поверхности оболо-

чки в состоянии

Учитывая уравнения (10.15)—(10.17), (10.19), (10.20), после не-
сложных преобразований получаем из (10.21) уравнение, описы-
вающее в общем случае нелинейное деформирование оболочки при
статическом нагружении и произвольном законе связи между напря-
жениями и деформациями
Г Г Г С..,, Л	+

Л Л Л цк1 к1 I]	у ’ц

>/о)	рХ°>

+ ///а..дДе..сМ0) - // Р.дДиДА^ = 0.	(10.22)

“	11	Ат '

Уравнение (10.22) можно упростить за счет сохранения в произ
ведении Де^<5Де„ только линейных членов

Деыдде/у = (Де^ + Д>7И)<5(Д*7 +	« Д^Чу

Тогда (10.22) окончательно примет вид

Л/^^Ме ^0) + ЛР/Ч/^ +

"»/// сг^.дДе..	— // РдДиДА^ = 0.

|Х0> ''	4	А(0)

(10.23)

Уравнение (10.23) будем решать методом конечных элементов.
Для моделирования процесса деформирования мягкой облочки, опи-
сываемой в глобальной системе координат х1 (/= 1,3) (рис. 10.3),

Рис. 10.3. Системы координат и типовые конечные элементы
используем изопараметрические конечные элементы с квадратичным
законом аппроксимации перемещений: мембранный восьмиузловой
конечный элемент в форме криволинейного четырехугольника (обо-
лочка), криволинейный трехузловой ленточный конечный элемент
(каркас оболочки). Наряду с глобальной системой х введем местную,
связанную с конечным элементом, лагранжеву систему координат х&
(а = 1, 2) и расположим ее следующим образом. Начало поместим в
узел 1 мембранного конечного элемента; ось Ох^ направим от узла 7 к
узлу 3. Направления нормали к поверхности (ось Ох$) и оси Ох2
определяются соответственно через произведения векторов, ориенти-
рованных от узла 1 к узлу 3 и от узла 7 к узлу 5, и ортов осей Ох]
и Оху

Опишем поверхность оболочки в глобальной системе координат
уравнением

= Х'<Л1> Х2>П

где п 1 — единичные базисные векторы глобальной системы координат.
Координаты &-го узла соответственно в глобальной и местной системах
координат будут = (х1^ х?, х$)иг к = (х*, х*). Связь между глобаль-
ной и местной системами координат задается в виде

г* = («р«2)т(Лд-Х1),

где индекс «т» означает транспонирование, Пр п2 — единичные ба-
зисные векторы осей Ох., Охо, определяемые по формулам

Я-Я.	п.Хп	п.Х(К.-К.)

Л 1	1	1 Э 1

~ ||я3-я, |Г ”2 ” ||л,хл |Г " " ||Л1х(д5 - яр ||’

Перемещения и координаты конечных элементов представим в
форме интерполяционного многочлена в терминах локальной криво-
линейной системы координат (а1, а2) (см. рис. 10.3):

я	я	___

и1 = Ё а\ку Х1 = Ё	= 11 3)1 (10'24)

*=1	*=1

где х^ — перемещения и координаты узла к в положении О;
— число узлов конечного элемента; вк(^уа2) — функция формы,
соответствующая узлу к и определяемая для мембранного конечного
элемента по формулам
(2к = 0,25(1 + а‘а*)(1 + а2а2)(а'<4 + а2а2к - 1) (Л = 1, 3, 5, 7),

= 0,5(1 - а’а’Х! + а2а2) (к = 2, 6),

(}к = 0,5(1 - а2а2)(1 + а'а') (Л = 4, 8).

Для удобства будем рассматривать напряженное состояние обо-
лочки при действии нормальных р и касательных Л^12 усилий,
приходящихся на единицу длины сечения. Преобразуя (10.23) с уче-
том (10.24) и переходя от интегрирования по объему к интегри-
рованию по поверхности оболочки ((Г*^ = А — толщина
оболочки), получаем матричное уравнение для нахождения вектора
приращений узловых перемещений Ди = ||А«^ ||т в виде

(*0 + К)Дц = Я-Г,

где

1

К = Г Г Вт.СВп де» /да'да2,
О ** I) V

1

К = Г Г ВТ.ЫВ. де! /с!а'<1а2,	(10.25)

— 1

1

Г = // де! Ма'&х2,

-1

1

В = // Р.(2 де! Ма1&х2,

-1

Здесь В Вь — соответственно линейная и нелинейная части матрицы
связи приращений деформаций и перемещений; С — матрица состо-
яния материала; Я — тензор и вектор мембранных усилий; О —
матрица функций формы; У — матрица, определяющая связь между
местной декартовой , %2) и локальной (а1, а2^ системами координат.

При расчете напряженно-деформированного состояния мягких
оболочек для связи между усилиями и деформациями часто исполь-
зуют закон Гука. Однако в реальности эта связь нелинейная, кроме
того, ткань обладает ярко выраженными вязкоупругими свойствами.
В расчетах были использованы дифференциальные соотношения,
полученные путем испытаний ткани на двухосное растяжение (см.
гл. 4).
Таким образом, для определения напряженно-деформированного
состояния мягкой оболочки необходимо решить уравнение (10.25) с
учетом неравенств, ограничивающих знаки усилий в оболочке

^и+^22г°:

(10.26)

и в подкрепляющих линейных элементах

>0.

(10.27)

Решение матричного уравнения (10.25) проводится методом Ныо-
тона-Рафсона. Процедура решения построена следующим образом.
На каждом итерационном шаге происходит поэлементная проверка
неравенств (10.26) и (10.27) дискретного аналога оболочки. Если в
каком-либо элементе одно из главных усилий окажется отрицатель-
ным, то оно обнуляется, и тензор мембранных усилий перестраива-
ется. Такой подход позволяет определять зоны складкообразования
оболочек с учетом их эволюции в процессе нагружения.

§ 10.3.	Решение тестовых задач на основе конечных элементов
высших порядков

1.	Цилиндр. Цилиндр, равномерно нагруженный внутренним
давлением р, имеет следующие параметры: начальный радиус основа-
ния цилиндра	= 1 м; модуль упругости материала ЕН = 56 300 Н/м;

коэффициент Пуассона д = 0,1; р = 8 000 Па; образующая цилиндра
= 5 м (рис. 10.4). В силу симметрии задачи расчеты проводятся для
1/4 части цилиндра, при этом по дуге и вдоль образующей цилиндра
берется по 4 мембранных КЭ.

График зависимостей деформаций в направлении по дуге от
параметра нагрузки к = рК^! (ЕН) для такого цилиндра представлен
решение, полученное по линейной теории для бесконечного цилиндра
[78]. Как видим, при малых деформациях наблюдается хорошее соот-
ветствие между результатами по обоим решениям. Однако при дефор-
мациях ~ 3% и выше следует учитывать нелинейные эффекты.

2.	Мембрана. Исследовалось напряженно-деформированное
состояние мягкой квадратной мембраны с защемленными краями,
находящейся под действием равномерной поверхностной нагрузки р
(рис. 10.5). Расчеты проводились при следующих параметрах: ли-
нейный размер мембраны 2а = 1,52 м; толщина Л= 1,46-10”5м;
Е = 1,03-1011 Па; коэффициент Пуассона // = 0,1; р = 241 Па,
предварительное растягивающее усилие Я = 1750 Н/м. Здесь также,
учитывая симметрию, рассматривалась 1/4 часть мембраны, которая
разбивалась на 16 мембранных конечных элементов.

Рис. 10.5. Мягкая мембрана с за-
щемленными краями под действием
равномерной поверхностной нагруз-
ки: • — МКЭ; сплошная линия — ана-
литическое решение [98]

На рис. 10.5 показано изменение мембранных усилий
Л^2 = ^22^^ вдоль сечения А—А мембраны, найденное расчетным
путем (сплошная линия) и аналитически. Из анализа графиков сле-
дует, что расчетные данные хорошо согласуются с аналитическим
решением задачи [98].

3.	Сферическая оболочка. Исследовалось напряженно-де-
формированное состояние мягкой сферической оболочки, находящей-
ся под действием внутреннего избыточного давления р (рис. 10.6).
Материал оболочки полагался изотропным и линейно-упругим. Рас-
сматривалась 1/8 часть оболочки, моделируемая 27 мембранными ко-
нечными элементами, при следующих параметрах: Ек — 1,9-10 Н/м;
р = 0,1;	= 3,66 м; р = 2077 Па.

На рис. 10.6 представлены зависимости безразмерных усилий
Н* = ДГ(1 - р)/(Ек) и радиуса оболочки Я* = /?/1?0 от безразмерного
параметра нагрузки к = р!?0(1 - р)/(2Е). Из графиков следует, что в
174
Рис. 10.6. Мягкая сферическая
оболочка под действием внутренне-
го избыточного давления: • — МКЭ;
сплошная линия — аналитическое
решение [78]

области нагрузок 0 < к < 0,2 погрешности по форме оболочки и уси-
лиям в ней не превышают соответственно 2 и 5%.

4.	Полусфера с отверстием. Изучалось напряженно-де-
формированное состояние мягкой оболочки начальной полусферичес-
кой формы с отверстием радиусом г (рис. 10.7). Предполагалось, что
внутренний контур отверстия свободный, а внешний — жестко за-
креплен. Оболочка нагружалась внутренним избыточным давлением
р (значения параметров принимались такими же, как и в предыдущем
примере).

В расчетах рассматривалась 1/4 часть оболочки, которая разбива-
лась на 102 мембранных конечных элемента. Параметр безразмерной
нагрузки ас = Р^о(1 — р)/(2ЕЕ) составил 0,18.

На рис. 10.7 дается сравнение распределения окружных натяже-
ний ДГ =	- р)/(2Ек) вдоль меридиана для оболочек без отвер-

стия (г = 0) и с отверстием - 0,25; 0,35; 0,40). Из анализа
полученных зависимостей следует, что наличие отверстия существен-
ным образом влияет на напряженно-деформированное состояние обо-
лочки вблизи отверстия. При увеличении отношения г/с 0 до 0,35

Рис. 10.7. Мягкая оболочка на-
чальной полусферической формы с
полюсным отверстием
натяжения ЛГ возрастают примерно в 1,6 раза. Дальнейшее увели-
чение радиуса отверстия практически не влияет на рост ЛГ.

Таким образом, апробация разработанного конечно-элементного
упругого аналога мягкой оболочки на решении тестовых задач го-
ворит о его больших возможностях в плане практических приложений
(см. рис. 10.4—10.7).

§ 10.4.	Расчет напряженно-деформированного состояния
осесимметричного парашюта на основе конечных
элементов высших порядков

Проиллюстрируем возможности предлагаемой методологии на
примере расчета напряженно-деформированного состояния купола
круглого парашюта площадью 90 м2. Сектор купола, заключенный
между двумя соседними лентами радиального каркаса, изображен на
рис. 10.8. Клинья 1 и 2 изготовлены из разных тканей. Окружной и
радиальный каркасы выполнены из лент, имеющих прочность соот-
ветственно 3000 Н, и 4500 Н, купол нагружен избыточным давлением
р = 2450 Па. Свойства материала будем считать вязкоупругими [19].
Необходимость учета нелинейных свойств материала вызвана тем,
что при заданном избыточном давлении в ткани возникают большие
деформации (15%), близкие к разрушающим.

Рис. 10.8. Сектор купола осе-
симметричного парашюта, заклю-
ченный между двумя соседними
лентами радиального каркаса
Рис. 10.9. Распределение де-
формаций вдоль раскройного ра-
диуса осесимметричного парашюта:
сплошная и штриховая линии —
МКЭ; •, ® — эксперимент; двойная
линия — разрушающая деформация
ткани (одноосное растяжение); зона
разрушения купола заштрихована

Результаты вычислительного эксперимента представлены на рис.
10.9. Здесь приведены деформации ткани купола соответственно в
радиальном (ер и экваториальном (е2) направлениях в различных
точках купола (А = 0 — вершина купола). Расчеты проводились при
использовании 102 мембранных и 232 ленточных конечных элемен-
тов. Наиболее опасной с точки зрения разрушения конструкции ока-
залась зона, отстоящая от вершины купола примерно на 2 м. Уровень
деформации ткани в экваториальном направлении в этой зоне близок
к разрушающему. Судя по деформациям в радиальном направлении и
по деформациям и^в ткани клина 1, купол имеет достаточные
запасы прочности.

§ 10.5.	Экспериментальные исследования. Сопоставление с
данными расчета

Экспериментальное исследование напряженно-деформированно-
го состояния проводилось с парашютом, описанном в § 10.4. Опыты
выполнялись на специальном стенде, предназначенном для нагру-
жения куполов парашютов избыточным давлением. Деформации,
возникающие в оболочке, определялись с помощью датчика дефор-
маций «Омега». Как показали контрольные исследования на образцах
из ткани, разброс амплитудных характеристик датчиков «Омега» в
зависимости от величины начальной установочной базы не превыша-
ет 5%. Следует отметить, что в подобных экспериментальных иссле-
дованиях помимо датчиков деформаций «Омега» для определения
напряженного состояния парашюта применялись датчики усилий
«Омега» [97].

Результаты экспериментальных исследований показаны на рис.
10.9 точками. Из анализа зависимостей следует, что полученные тео-
ретические и экспериментальные данные находятся в хорошем соот-
ветствии. В нижней части рисунка показана зона разрушения сектора
купола. Как видно, она совпадает с данными проведенных вычис-
лений: порыв ткани имел место на расстоянии около 2 м от вершины
купола вследствие действия больших окружных усилий, затем он рас-
пространился вниз по направлению к кромке.

В заключение необходимо отметить следующее. Сформированная
упругая модель мягкой оболочки на базе общих уравнений нелиней-
ной механики в приращениях, разработанный на ее основе дискрет-
ный конечно-элементный аналог второго порядка и созданный пакет
прикладных программ для ЭВМ, прошедший тестовую апробацию,
обладает большими возможностями для решения широкого класса
практически важных задач парашютостроения. При этом могут быть
учтены геометрическая и физическая нелинейности, анизотропия
свойств материала, конструктивная неоднородность, разнообразие
граничных условий, эволюция зон напряженно-деформированного
состояния (переход двухосных зон в одноосные и наоборот) в процессе
нагружения конструкции.
Раздел четвертый

АЭРОУПРУГОСТЬ ПАРАШЮТОВ

Глава 11

ЗАДАЧИ СТАТИЧЕСКОЙ И ДИНАМИЧЕСКОЙ
АЭРОУПРУГОСТИ ПАРАШЮТОВ

§11.1	. Статическая аэроупругость парашютов

Математическая модель статической аэроупругости парашютов
формируется на основе синтеза данных от различных частей задачи,
получаемых путем совместного интегрирования соответствующими
численными методами уравнений аэродинамики (случай стационар-
ного обтекания парашюта) и уравнений равновесия мягкой оболочки.
В общем случае для этой цели применяются рассмотренные в первом
и втором разделах уравнения, описывающие стационарное простран-
ственное обтекание и равновесные формы парашютов. В тех случаях,
когда не требуется точных знаний о НДС конструкции, могут быть
использованы упругие модели более низкого уровня. Например, при
рассмотрении осесимметричного стационарного обтекания круглого
парашюта могут быть применены одномерные модели формообразо-
вания.

При решении задач статической аэроупругости парашюта тре-
буется найти его равновесное деформированное состояние, соответ-
ствующее аэродинамическим нагрузкам, полученным при обтекании
парашюта.

Алгоритм решения задач статической аэроупругости парашютов
состоит в следующем [14]. Задаются некоторая начальная форма па-
рашюта х° и аэродинамическая нагрузка р°, действующая на купол.
Начальную форму х° удобно задавать с помощью одномерной модели.
Под действием нагрузки р° парашют переходит в новое деформиро-
ванное состояние х1, которому будет соответствовать новая нагрузка
р1. Этот итерационный процесс — взаимное уточнение аэродинами-
ческой нагрузки, формы парашюта и его положения в пространстве —
продолжается до обеспечения необходимой сходимости по увязанным
между собой параметрам нагружения и деформирования парашюта.

Рассмотрим задачу статической аэроупругости однооболочкового
парашюта-крыла (ОПК).

В общем случае ОПК представляет собой плохообтекаемую, мяг-
кую, незамкнутую, анизотропную оболочку, форма которой в полете
полностью определяется раскройной геометрией и действующей на
нее аэродинамической нагрузкой. Его математическую модель стати-
ческой аэроупругости будем формировать на основе синтеза данных,
получаемых путем совместного интегрирования уравнений нелиней-
ной аэродинамики и геометрически и физически нелинейных соотно-
шений теории мягких оболочек Пространственное обтекание будем
строить в рамках модели идеальной несжимаемой жидкости и метода
дискретных вихрей. Влияние строп на аэродинамические харак-
теристики не учитывается. При описании упругой части задачи по-
верхность купола ОПК представляется в виде анизотропной мягкой
оболочки, подкрепленной ленточным каркасом, переходящим в стро-
пы, сведенные в коуш, и реализуется с помощью МКЭ. Начальная
равновесная форма ОПК при заданной нагрузке формируется с по-
мощью одномерной упругой модели. Ткань купола считается непро-
ницаемой и также, как материал лент каркаса и строп, обладающей
вязкоупругими свойствами (см. гл. 4).

Предположим, что закрепленный неподвижно в коуше (рис. 11.1)
наполненный ОПК обтекается потоком идеальной несжимаемой жид-
кости, движущейся с постоянной скоростью 1/ц под углом атаки а®.
Примем, что на его передней кромке реализуется безотрывное обте-
кание, а с боковых и задней кромок сходят вихревые пелены. В каче-
стве характерных параметров выберем корневую хорду (линейный
1 2
размер парашюта вдоль плоскости зеркальной симметрии Ох х ) и
площадь купола в раскрое. Ткань купола считается непроницаемой, а
ее упругие характеристики подчиняются закону (4.1).

Расчетная вихревая схема для аэродинамики строится с примене-
нием вихревых рамок для купола и вихревых отрезков для сходящей

Рис. 11.1. Расчетная схема однооболочкового парашюта-крыла
Др

2,0
1,0

0
Др
2,0

1,0

О
Др
1,0

О

Рис. 11.2. Эпюры распределения безразмерного перепада давлений по поперечным
сечениям однооболочкового парашюта-крыла: сплошная линия — расчет’ • — экспе-
римент

пелены (рис. 11.1, левая половина), а упругая — исходя из 41 мемб-
ранного и 102 ленточных КЭ; при этом учитывается направление кроя
ткани (рис. 11.1, правая половина).

Обратимся к анализу некоторых числовых данных, представлен-
ных на рис. 11.2-11.4.

На рис. 11.2 показаны эпюры распределения безразмерного пере-
пада давлений Др по поперечным сечениям ОПК /. (/ = 1, 3) вдоль
безразмерной координаты х3. Как видим, наблюдается удовлетвори-
тельное соответствие между теоретическими результатами и экспери-
ментом. Рассогласование расчетных и опытных данных наблюдается
вблизи передней кромки парашюта; данная область составляет
5-10% общей площади поверхности купола. По-видимому, это можно
объяснить сложной (неустойчивой) картиной обтекания носка ОПК
при больших углах атаки.

На рис. 11.3 показаны эпюры распределения натяжений (сплош-
ные линии) вдоль основы и утка ткани купола. Видно, что наиболее
нагруженной по основе и утку является область купола ОПК вблизи
носка, вдоль ленты, расположенной в плоскости зеркальной симме-
трии парашюта. Имеются также области «сморщивания» ткани (одно
из главных натяжений равно 0) и смятия ткани (оба главных натя-
жения равны 0). Из рис. 11.3 следует также, что косой крой (штрихо-
вые линии) существенно влияет на НДС ткани купола ОПК. С одной
Рис. 11.3. Эпюры распределения натяжений в ткани вдоль основы (справа) и утка
(слева): сплошная линия — прямой крой, штриховая — косой

Рис. 11.4. Расчетная и экспериментальная формы заполненного однооболочковогс
парашюта-крыла

стороны, он выравнивает натяжения в ткани по поверхности купола,
а с другой — уменьшает уровни максимальных натяжений примерно
на 20%.

На рисунке 11.4 для сравнения изображены формы наполненного
купола ОПК в потоке, полученные соответственно расчетным путем
(слева) и в эксперименте (справа). Анализ данных показывает, что
созданная математическая модель аэроупругости качественно отра
жает реальную форму ОПК в потоке; она также позволяет определять
зоны складкообразования на поверхности купола.
§11.2	. Математическая модель динамической аэроупругости.
Осесимметричный парашют

Вопросы взаимодействия системы объект-осесимметричный пара-
шют с отрывным потоком изучаются на основе аппарата нелинейной
аэродинамики (см. гл. 5-7), упругих соотношений (см. главы 8-10) и
уравнений баллистики или динамики полета системы объект-пара-
шют (см. гл. 13) [12-14, 39-45].

Примем, что система объект-парашют при некоторой заданной
начальной форме начинает движение в момент времени I — 0 со
скоростью 17под углом а к горизонту (рис. 11.5) в невозмущенной
среде. Пусть масса груза М намного больше массы парашюта Мп
(Мг » Мп), линия действия сил, приложенных к объекту с парашю-
том, проходит через центр масс системы, а сами силы лежат в одной
плоскости. Таким образом, задача движения системы объект-пара-
шют сводится к изучению движения груза, на который действуют
сила тяжести Мг#, сила аэродинамического сопротивления груза 01 и
результирующая сила натяжения строп Для этого случая движе-
ния системы объект-парашют уравнения баллистики в абсолютной
системе координат Оху будут иметь вид #

= -^8!па - (01 +

(11.1)

да р

а7=гсо8Л

где а — траекторный угол; силы и определяются из решения
аэроупругой задачи.

Будем считать, что при раскрытии парашюта и в случае его дви-
жения в наполненном состоянии осуществляется осесимметричное

$2

Рис. 11.5. Система координат для уравнений движения системы объект-парашют
обтекание системы с отрывом потока с кромок купола и груза; аэро-
динамическое влияние строп не учитывается.

Строго говоря, выбранная модель обтекания соответствует сниже-
нию системы по вертикальной траектории, т. е. в уравнениях (11.1)
надо положить а = - л/2. Вместе с тем, как показывает анализ экс-
периментальных и числовых данных, при а, лежащем в диапазоне
—0,4л < а 0,5л, обтекание можно считать осесимметричным: ото-
шедшие на расстояние около 57?О от тела свободные вихри практи-
чески не оказывают влияния на перепад давлений на нем.

Рассмотрим аэродинамическую часть задачи (см. рис. 5.1). Согла-
сно методу дискретных вихрей будем иметь систему алгебраических
уравнений для нахождения безразмерных циркуляций на дефор-
мируемом куполе парашюта и грузе с учетом их взаимного влияния
(см. рис. 5.2)

2 д-1	________

“22	(г. = 1, п. + 1). (11.2)

/=1 $=1

Система (11.2) является упрощенным вариантом соотношений (5.38).
Здесь индекс / = 1,2 указывает номер тела; р обозначает текущий
момент времени; р — номер суммарного вихря; V — номер контрольной
точки; п. — число дискретных кольцевых вихрей, заменяющих по-
верхности (/ = 1,2);	— скорость перемещения деформируемой

поверхности вдоль нормали; п — орт нормали к поверхности. Не-
стационарная распределенная аэродинамическая нагрузка Ар и ко-
эффициент нормальной силы с вычисляются по формулам (5.18),
(5.35).

Обратимся к упругой части задачи. Предположим, что материал
стропы и ленты радиального каркаса подчиняется закону Гука

<// - б//0
5/



(11.3)

где # — силы натяжения в ленте; Е — модуль упругости ленты; (11 и
(11ц — элемент длины дуги соответственно в деформированном и неде-
формированном состояниях.

Обозначим отношение ~ через Л. Тогда из закона Гука (11.3)

получим

А - 1 +

(11.4)
Так как масса ленты при растяжении не меняется
то можно записать

то

(11.5)

где т и дп0 — погонная масса стропы или лент радиального каркаса с
прилегающей к ней тканью вместе с кольцевым каркасом соответст-
венно в деформированном и недеформированном состояниях.

С учетом соотношений (11.4) и (11.5) и диссипативных сил урав-
нения (8.9), (8.23) для рассматриваемого парашюта примут вид

Л а Ы алЛ
т° д? " «о И

дх ду л
-ел--2дР^-у-<5,
О с

"’о

а2у	а ['л'

аг2	д1о И а/о)

, ду _д дх л _

-еЛа? + 2д₽аЕуГ<5’
О с

(11.6)

2

ду

2

=Д

где д = 1 для ленты радиального каркаса, <5 = 0 для стропы, пс — число
строп.

Введем безразмерные параметры

/п I

Г = —• Г = — • х* = —: V* =

0 Ло с V Ло Ло

т1К	тШ

5 0	5 0

(11.7)

.	тг	* 2Ар

г = ——; С(/ ) = —; Ар = —у,
"’А	0 тз ри20

где /с — длина стропы; т& — погонная масса стропы; (7(2О) — безраз-
мерная функция; т — погонная масса ленты радиального каркаса с
[прилегающей к ней тканью и лентами кольцевого каркаса (в дальней-
шем звездочку у безразмерных параметров будем опускать).
С учетом (11.7) система уравнений (11.6) будет иметь следующий
вид:

д Лу йлЛ
0 дг2 ~ дф д10)

, дх .. ду .

-^--АЛру^й,

Г ^У-±-
0 ат2" <”0

-еЛ^ + ЛДру^<5

(11.8)

Л

ГМ
ы

= й2; А =

Р К&

т п
8 с

Граничные и начальные условия в безразмерной форме запишут-
ся в виде

х(0, 9 = х0(/0), у(0, /0) = у0(/0),



(11.9)

х(т,0) = 0, у(т,0) = 0, у(т, 1 +/.) = О, ^(т,1+7с) = 0.

При движении системы объект^парашют с переменной скоростью

V безразмерное время будет определяться по формуле

1 г

т = -^-Г17^.	(11.10)

м

Используя соотношения (11.10) и (11.7), преобразуем уравнение
(11.1) к виду

5ша , КТ ч Л)
я =-----р7~ - (2) +	------э

»"г	1	1 М1Г

г

да _ соз а

дт ~ Рг 1

(11.11)

II = ^ехр

где Ег = Ц2/^^ — число Фруда; а - — — — безразмерное ускорение.
Таким образом, решение задачи о движении системы объект-осесим
метричный деформируемый парашют в потоке сводится к решению
уравнений (11.2), (11.8) и (11.11) и синтезированию данных от
различных частей задачи — аэродинамической, упругой и баллисти-
ческой — на каждом временном слое. Для численного решения урав'
нений (11.2), (11.8)и(11.11) требуются существенно разные шаги по
времени. Как правило, шаг времени для упругой части задачи Д^у
| значительно меньше шагов для аэродинамической Ат (Ат « Ат ) и
а у а

I баллистической Дг. (Ат « Аг., Ат. < Ат ) частей. Они подбираются
б ' у о о а'

I кратными (целочисленными) между собой с использованием вычи-
I слительного эксперимента для каждой из задач.

Аэродинамический шаг по времени Ат выбирается следующим
а

I образом:

Ат = —
а п,

| где п — число суммарных вихрей вдоль образующей купола. Безраз-
В мерный шаг Ату находится из условия Куранта

л Л^°

Ат = к----,

у с

I где с — скорость распространения упругой волны в материале; А/о —
 размер сетки вдоль лагранжевой координаты; константа к подбирается
I при помощи численного эксперимента.

Связь между временными шагами выражается соотношениями

Ат = га.Ат ; Ат = тпАт.,
а 1 у’ а 2 6’

I где и т2 — целые числа. В процессе расчетов установлено, что
I значение параметра т2 находится в интервале 1 < т2 < 5; значение
 параметра можно приближенно определить по формуле

VI к' -1

т. =----77-----

1	к У п

(11.12)

где к' — число узлов разностной сетки вдоль лагранжевой коорди-
наты; при совпадении контрольных точек и узлов разностной сетки
(к' — 1 = п) соотношение (11.12) принимает вид

т. ~------77.

1	к V

I Величина округляется до целого числа.

Укажем на то, что строгое определение коэффициента демпфи-
I рования е в (11.8) представляет самостоятельную нелинейную задачу
идентификации. Это связано прежде всего с тем, что мягкая оболочка
I реально существует лишь в потоке и материал парашюта имеет нели-
нейные характеристики. Параметр е можно вычислить приближенно
как интегральную характеристику, сочетая данные натурного и вы-
числительного экспериментов. Значение коэффициента с, при кото-
ром на основе предварительных вычислений достигается соответствие
между амплитудами перемещения кромки входного отверстия купола
парашюта, найденными на основе опытов и расчетным путем, прини-
Iмается в дальнейшем расчете за характеристику данного парашюта.
При соединении аэродинамической и упругой частей задачи име-
ются трудности, которые связаны с проведением дополнительной
итеративной процедуры на каждом аэродинамическом временном ин-
тервале, заключающейся в следующем. Пусть в момент времени р по
известному перепаду давлений Др р, действующему на купол пара-
шюта, определены форма купола (х₽, ур) и нормальная скорость пе-
ремещения точек поверхности Ц^. По найденным функциям х р, у р и
^вычисляют аэродинамическую нагрузку Др Р*1 для (р + 1)-го вре-
менного слоя. Интегрирование уравнений (11.8) в интервале времени
тр < т < т*+1 осуществляют, полагая, что функция Др(т) внутри этого
интервала меняется по линейному закону. Новую форму купола для
(р + 1)-го временного слоя определяют итеративным путем при по-
мощи соотношений

_ -Р+1 (т) -X (р>+1 (т) _ 2^+1 И-1)),

(г = х, у, т = 0, 1, 2,...), (11.13)

где т — номер итерации; хр+1 = дЛ у р+1	= у р; значения функ-

ций находятся из уравнений (11.8). Коэффициент релакса-
ции в (11.13) определяется вычислительным экспериментом, его
значение находится в пределах 0 <	< 1. Процесс приближения

заключается во взаимном уточнении аэродинамических и упругих
характеристик для (р + 1)-го временного слоя при неизменных аэро-
упругих параметрах и замороженном спутном следе на р-м временном
слое; он прекращается при условии, когда разность между харак
теристиками на р-м и (р + 1)-м временных слоях будет отличаться на
малую наперед заданную величину. При появлении в системе обла-
стей с отрицательными силами натяжения (Ы < 0) интегрирование
соотношений (11.8) продолжается при Я = 0, Аг = 1.

После окончания этой процедуры осуществляется дальнейшее ин-
тегрирование уравнений (11.11) при входных параметрах, получен-
ных из решения уравнений (11.2), (11.8).

Подобный итеративный процесс применяется при синтезе данных
аэродинамической и баллистической частей задачи по скорости II

5 11.3. Движение системы объект—парашют с учетом следа от
объекта и деформации парашюта

Возможности математического моделирования и алгоритма, опи-
санного в § 11.2, проиллюстрируем на примере движения системы
объект-парашют с учетом влияния деформации парашюта и следа от
объекта. Решение подобной задачи с точки зрения затрат машинного
времени является наиболее трудоемким процессом. Это вызвано тем,
что, в отличие от изолированного парашюта, здесь обтекание системы
строится с учетом влияния следа от находящегося впереди тела. В
связи с этим выход системы на режим установившегося обтекания
значительно затягивается по времени Так, например, если при рас-
чете отрывного обтекания тела квазистационарный режим обтекания
формируется за промежуток времени т « 15, го в случае отрывного
обтекания двух тел с учетом реального расстояния между ними за
отрезок времени т ~ 10 пелена от груза лишь подходит к куполу. С
этого момента времени практически начинается взаимное влияние
двух пелен от купола и груза, и процесс обтекания становится суще-
ственно нестационарным. Аналогичная задача для жесткой системы
объект-парашют описана в § 5.6.

Пусть объект на раскрытом парашюте, начиная с момента вре-
мени т = 0, совершает снижение в идеальной несжимаемой среде с
постоянной скоростью 1/ц. Будем считать стропы парашюта невесо-
мыми и нерастяжимыми.

Система объект^-парашют представлена на рис. 11.6. Параме-
тры парашютной системы следующие: 7?0 = 1 м; т$ = 0,012 кг/м;
тт = 0,1 кг/м2; Е = 1800 Н; пс = 60; 17= 10 м/с; е = 0,125. Безраз-
мерная функция (7(/0) имеет вид С = 1+0,87/0. Груз моделируется
частью сферы; при этом принимается, что К2 = 0,237?0.

На рис. 11.6 показаны картины обтекания системы объект—пара-
шют в моменты времени т = 2; 5; 10. Судя по картинам обтекания,

г-2

Рис. 11.6. Развитие вихревого следа во времени т при отрывном обтекании системы
объект-наполненный парашют
вихревой след от груза начинает оказывать влияние на структуру
обтекания купола начиная с т > 5; след от груза (крестики) подходят
к куполу.

Рис. 11.7. Изменение коэффициента аэродинамической силы сп во времени т при
отрывном обтекании системы объект—наполненный парашют: сплошная линия — с
учетом груза; штриховая — без учета груза

На рис. 11.7 приведено изменение коэффициента сопротивления
сп(т) для системы объект-парашют. Как видим, о моменте подхода
пелены от груза к куполу можно судить по поведению функций сп(т).
Так, влияние следа от груза в рассмотренном здесь примере начи-
нает проявляться начиная с т - 5 и сопровождается снижением сп
системы.

§ 11.4.	Раскрытие парашюта

Раскрытие парашюта является важнейшим этапом функциони
рования парашютной системы. В процессе раскрытия на систему и на
спасаемый объект в течение короткого промежутка времени действу-
ют максимальные аэродинамические и инерционные нагрузки, по
которым ведется расчет конструкции на прочность и оценивается пе-
регрузка объекта. Раскрытие парашюта условно подразделяется на
два этапа [60]. Первый этап начинается с момента полного вытя-
гивания парашюта и заканчивается формированием у купола некото-
рой выполненной части в районе полюса. Затем начинается второй
этап, который заканчивается полным наполнением парашюта. Собст-
венно математическая модель аэроупругости §11.2 позволяет описать
именно второй этап процесса раскрытия парашюта.

Пусть в момент времени т = 0 парашют начинает раскрываться от
некоторой исходной формы, представляемой следующим образом.
Невыполненная часть купола аппроксимируется усеченным конусом,
образующая которого является продолжением строп, а выполненная
— частью сопряженной с этим конусом сферы (рис. 11.8а). Такое
представление начальной фазы второго этапа раскрытия осесимме-
тричного парашюта хорошо согласуется с экспериментальными дан-
ными [94]. Таким образом, начальная форма может быть полностью
описана, например, радиусом входного отверстия парашюта 7?в (см.
рис. 11.8а); /?в « (0,1 -0,2)1?0 [60].

Построение алгоритма решения задачи в целом на основе метода
дискретных вихрей и конечных разностей по явной схеме и способ его
реализации на ЭВМ осуществляется по методике § 11.2. При этом не
учитываются аэродинамическое влияние груза и проницаемость тка-
ни купола.

Для удобства анализа числовых данных коэффициент сопротив-
ления сп представим в виде

с = с* + Де ,	(11.14)

п п п

Рис. 11.8. Изменение коэффициента аэродинамического сопротивления круглого
парашюта (а) и его составляющих (б) и (в) при раскрытии
где с*, Ас — квазистационарная и нестационарная составляющие
коэффициента сопротивления, соответствующие первому и второму
членам в квадратных скобках выражения (5.35).

Введем также коэффициент суммарной силы ср2; он определяется
суммой проекций сил натяжения всех строп на ось Ох и включает как
аэродинамическую силу, так и инерционные усилия, действующие на
узел крепления парашюта к грузу.

Для примера рассмотрим раскрытие осесимметричного пара-
шюта при следующих параметрах: = 0,75 м; (7$ = 15 м/с; /с = 2;
Е = 1800 Н; т =0,012 кг/м; т = 0,1 кг/м2; п = 60; р = 1, 2кг/м°,
5	Т	С	г

(7=1 + 0,87/о;	= О,151?о. По-прежнему для упрощения примем,

что стропа является жесткой и невесомой, и будем учитывать только
деформацию купола.

На рис. 11 .8а изображена исходная форма парашюта (т = 0) и
показано направление набегающего потока 1}^ а также изменение
по безразмерному времени т коэффициента суммарной силы сп2 в
процессе раскрытия парашюта. Штриховой линией нанесено экспе-
риментальное значение с^ при установившемся режиме обтекания
наполненного парашюта

За изменением во времени т коэффициента сопротивления сп и
его составляющих с* и Ас можно проследить соответственно на
рисунках 11.86 и 11.8в.

Видно, что раскрытие парашюта, начиная с т = 1,25, характе-
ризуется интенсивным ростом аэродинамической нагрузки, причем
функции сп(т) и ^п2(т) имеют различные по величине первые пиковые
значения, что объясняется демпфирующими свойствами инерцион-
ных сил на этом этапе. Максимальная нагрузка на парашют действует
в конце его наполнения (т « 2): с™ах = 4,12; с^х = 3,26. Затем в про-
межутке времени 2,25 < т < 7,5 происходит снижение уровня нагру-
женное™ конструкции с образованием пиковых нагрузок меньшей
интенсивности. При раскрытии данного парашюта характерным яв-
ляется наличие вторых пиков сп и с^ при т = 4,2, но меньших ам-
плитуд по сравнению с первыми пиками. Инерционные силы здесь
несколько увеличивают нагрузки на парашют (рис. 11.8а,б). Таким
образом, анализ данных рис. 11.8а,б показывает, что значение инер-
ционных сил в общем балансе сил, действующих на систему объект*
парашют, различно: в одних случаях они играют демпфирующую
роль, а в других — приводят к возрастанию нагруженности парашюта
В дальнейшем парашют выходит на режим установившегося обте-
кания.

На рис. 11.8в показано, как меняются во времени чисто неста-
ционарная Асп и квазистационарная с* составляющие коэффициента
192
сопротивления сп. Видно, что влияние нестационарной составляющей
Асп в коэффициенте сп при раскрытии парашюта значительно: Асп
вносит основной вклад в перегрузку. При переходе парашюта на ре-
жим установившегося обтекания (т > 7,5) ее вклад в коэффициент
сопротивления сп резко падает.

На рис. 11.9 показаны изменения безразмерной нормальной ско-
рости Vп точки, принадлежащей кромке входного отверстия купола
парашюта и безразмерного радиуса входного отверстия 7?в во вре-
мени т. Сопоставляя данные рисунков 11.86 и 11.9, видим, что пико-
вые значения функций сп(т), П^т) и 7?в(т) несколько сдвинуты по
фазе. Отметим, что, начиная с т > 3, изменение параметров и К*
носит затухающий характер

На рис. 11.10 изображены формы купола при раскрытии (на ри-
сунках 11.86 и 11.9 эти моменты времени отмечены цифрами), а так-
же ближние вихревые следы за парашютом и эпюры действующих на
его купол аэродинамических нагрузок Ар. Положению 1 соответству-
ет исходная форма. Для этого момента времени (т = 0,5; сп = 0,04)
характерным является плавное нарастание параметров 11 п и К* (точка
I на рис. 11.10), при этом поток отрывается с входной кромки наружу
и Движется по направлению вектора скорости IIприжимаясь к купо-
ну. Циркуляции свободных вихрей, сходящих с кромки, составляют в
среднем Г ^0,01-0,03
п

О.В.Рысев и др	193
Рис. 11.10. Форма купола, ви-
хревой след и аэродинамическая
нагрузка при раскрытии круглого
парашюта: 1 - т = 0,5; сп = 0,04;
2 - т = 1,5; сп = 0,81; 3 - т = 2,00;
сп = 1,16; 4-т = 2,2; сп = 4,12;
5-т = 2,55; с =1,38; 6-т = 4,2;
п

с = 1,75.

п

Второе промежуточное положение раскрывающегося парашюта
(т = 1,5; сп = 0,81) характеризуется интенсивным ростом значений
функций сп(т), Г/^(т) и /?в(т) (точки 2 на рисунках 11.86 и 11.10).
Наблюдается существенное изменение формы купола. Отрыв потока
происходит под купол, циркуляции свободных вихрей принимают от-
рицательные значения ~ — (0,01 —0,03) и в отличие от положения 1
имеет место резкое изменение эпюры аэродинамической нагрузки.
Такое обтекание продолжает сохраняться и для последующего поло-
жения (точки 3 на рис. 11.86 и 11.10; т = 2,0; сп = 1,16). Несмотря на
незначительные значения сп и в районе миделя купола действует
очень большой перепад давлений Др = 9,35, местные силы натяжения
в ткани купола достигают критических значений, и с точки зрения
прочности парашюта именно этот вариант может оказаться самым
опасным.

Момент времени т = 2,2 (положение 4 на рис. 11.10) при продол-
жающемся росте /?в и падении I/ (точки 4 на рис. 11.9) сопровождает-
ся резким возрастанием сп (сп = 4,12; точка 4 на рис. 11.86). Здесь, в
отличие от предыдущих моментов времени, вихревой след начинает
выбрасываться из-под оболочки с образованием мощных вихрей; их
интенсивность Г^ = 0,1—0,2. Именно интенсивное разрежение на
внешней стороне оболочки, связанное с перестройкой отрывного обте-
кания, служит причиной быстрого роста аэродинамических нагрузок
при раскрытии парашюта.

Затем в положении 5 (т = 2,55; сп = 1,38), хотя радиус входного
отверстия купола /?в продолжает увеличиваться, происходит умень-
шение с .
п

Для положения 6 на рис. 11.10 (т = 4,2; сп = 1,75) имеет место
некоторый рост сп при уменьшении Ц и 7?в. К этому моменту времени
завершается процесс раскрытия парашюта. Вихревой след, сошедший
в первые моменты, уносится потоком на достаточно большое расстоя-
ние, и около купола начинает формироваться новый вихревой комок.
Затем эти вихри снова отрываются от купола (рис. 11.11; т = 5,05) ,
и сп резко уменьшается (сп = 0,18). Зарождение новых вихрей
Рис. 11.11. Форма купола, вих-
ревой след и аэродинамическая на-
грузка при квазиустановившемся ре-
жиме обтекания

6

(рис. 11.11; т = 7,0) опять увеличивает с (с =1,1). Этот периоди-
ческий процесс повторяется и в последующие моменты времени и
носит затухающий характер (рис. 11.11; т = 9,6, с - 0,77).

Обратим внимание еще на один факт. Из анализа эпюр давления
(рис. 11.10) для различных моментов времени раскрытия парашюта
следует, что пики максимального коэффициента сопротивления сп
(точки 4 на рисунках 11.86 и 11.10; т = 2,2) и максимальных местных
нагрузок Ар (положение 2 на рис. 11.10; т = 1,5) по времени не совпа-
дают. Поэтому наряду с расчетом на прочность парашюта в целом по
максимальной перегрузке необходимо проверить прочность его от-
дельных элементов по максимальным местным нагрузкам.

§ 11.5.	Влияние деформационных свойств материалов на
аэроупругие характеристики раскрывающегося
парашюта

Растяжимость технических тканей, из которых изготавливаются
парашюты, может достигать 30% и оказывать существенное влияние
на их аэроупругие характеристики. На рис. 11.12 приведена типовая
диаграмма растяжения ленты в координатах Р, е (нагрузка — дефор-
мация), характерная для большинства капроновых лент (сплошная
линия). Отсюда видно, что эти материалы обладают, с одной стороны,
большой растяжимостью, а с другой — существенной нелинейностью.

В качестве примера рассмотрим раскрытие парашюта при дви-
жении с постоянной скоростью Парашют имеет следующие основ-
ные параметры: 7?0 = 0,75 м, 7?в = 157?0, = 2, 170 = 150 м/с.
Рис. 11.12. Типовая диаграмма рас
тяжения капроновой ленты

Диаграмма растяжения ленты аппроксимируется двумя прямы-
ми отрезками (штриховая линия на рис. 11.12). Модули упругости
для этих участков Е} и Е2 составили: Е^— 5 000 Н (е < 0,1) и
Е2 = 20 000 Н (е > 0,1).

Для сопоставления результатов был рассмотрен также случай
раскрытия парашюта с идеально упругой лентой малой растяжи-
мости (Е = 80 000 Н). Численные результаты представлены на рисун-
ках 11.13,11.14.

На рис. 11.13 для различных моментов времени т показаны формы
парашюта, перепады давлений Др, действующие на купол, и вихре-
вые следы за парашютом для случаев малых (сверху) и больших (сни-
зу) деформаций материала лент (при малых деформациях дальний
вихревой след не показан). Для удобства сравнения форм при рас-
крытии парашютов, изготовленных из материалов разной растяжи-
мости, они совмещены на рис. 11.13 снизу (штриховая линия —
форма парашюта из лент малой растяжимости). Деформационные
свойства материала оказывают существенное влияние на форму па-
рашюта. Особенно отчетливо это прослеживается на рис. 11.13 для
т = 2,85; деформация лент в отдельных точках купола составила око-
ло 35%.

Графики изменения коэффициентов сп и во времени т при
раскрытии парашютов с малой и большой деформируемостью мате-
риала представлены на рис. 11.14. Видно, что большая деформируе-
мость парашюта (сплошные линии) несколько сдвигает по времени
появление в системе действующей максимальной аэродинамической
нагрузки по сравнению со случаем малой деформируемости Вместе с
тем следует особо подчеркнуть, что уровень нагруженности парашЮ'
та из лент с большой и малой деформируемостями остается примерно
196
Рис. 11.13. Формы растяжимого купола, вихревые следы и аэродинамические
нагрузки при раскрытии круглого парашюта в случаях малых (сверху) и больших
(снизу) деформаций материала лент

т « 2,85

Рис. 11.14. Изменения коэффи-
циентов сопротивления сп при рас-
крытии круглого парашюта: штрихо-
вая линия — малая растяжимость
материала (~1%); сплошная линия
— большая растяжимость материала
<~30%)
одинаковым несмотря на то, что повышенная растяжимость лент су-
щественно увеличивает площадь поперечного сечения купола.

§ 11.6.	Влияние поддерживающего парашюта на динамику
раскрытия основного парашюта

В парашютной технике для уменьшения нагрузок при раскрытии
парашюта наряду с рифлением используют дополнительные под-
держивающие парашюты [60], принцип работы которых состоит в
следующем. Поддерживающий парашют (2) (см. рис. 11.15а), имею-
щий значительно меньшую площадь купола Г , чем площадь купола
основного парашюта Р (1), крепится в полюсной части последнего.
Поддерживающий парашют находится в наполненном состоянии (он
раскрывается раньше основного) и, действуя на основной парашют с
некоторой силой (2, препятствует его раскрытию. Процесс раскрытия
основного парашюта замедляется, а это приводит, как правило, к
уменьшению сил натяжения в его конструктивных элементах. После
наполнения основного парашюта за ним развивается мощный вихре-
вой след, под действием которого поддерживающий парашют переста-
ет функционировать.

Обычно характеристики поддерживающего парашюта подбира-
ются опытным путем. Покажем, что, используя математическое
моделирование (см. § 11.2), эту задачу можно решить с помощью вы-
числительного эксперимента на ЭВМ.

Ввиду того, что поддерживающий парашют вводится в действие
значительно раньше основного и находится на большом расстоянии от
него, будем считать его обтекание вплоть до конца раскрытия основ-
ного парашюта стационарным. Тогда воздействие поддерживающего
парашюта на основной можно заменить силой (?, которую будем на-
ходить по формуле

Рис. 11.15. К расчету процесса раскрытия основного парашюта с помощью под
держивающего парашюта: 1 - основной парашют; 2 - поддерживающий парашют
где я — скоростной напор; с"п — коэффициент сопротивления под-
держивающего парашюта. Стационарное значение коэффициента
с™ может быть взято из физического эксперимента или получено
численно [12].

Представим силу (2 (11.15) в форме

(2 = Ар* АГ,

где Ар* и АГ — соответственно перепад давлений и участок площади
(рис. 11.156), на который действует этот перепад, в полюсной части
купола основного парашюта.

Таким образом, меняя площадь купола поддерживающего пара-
шюта /’пп в (11.15), можно моделировать действие различных под-
держивающих парашютов на основной.

Математическая модель и методика построения алгоритма реше-
ния данной задачи сохраняются согласно § 11.2. Отличие состоит в
том, что вместо функции Ар в последнем члене первого уравнения
системы (11.8) надо поставить Ар + Ар* (Ар* = 0 при см. рис.
11.15).

В качестве примера рассмотрим раскрытие основного парашюта
при наличии дополнительного поддерживающего; параметры основ-
ного парашюта оставим такими же, как и в примерах § 11.3, 11.4;

= 70 м/с.

Рассмотрим три случая: 1 — раскрытие основного парашюта без
поддерживающего; 2 и 3 — раскрытие основного парашюта при на-
личии поддерживающего парашюта с раскройным радиусом соответ-
ственно равным Я™ = 0,3 и 0,66 м. Обратимся к анализу данных,
представленных на рис. 11.16-11.18.

Рис. 11.16. Влияние
поддерживающего пара-
шюта на изменение ко-
эффициента сопротив-
ления сп во временит при
раскрытии основного па-
рашюта
На рис. 11.16 представлено изменение коэффициента сопро-
тивления сп по времени т при раскрытии основного парашюта.
Для случая 1 максимальное значение коэффициента сопротивления
сшах _ 4,9$ При т _ 2 1; для случая 2 —	=2,49 при т = 1,9; для

случая 3 — с“ах = 0,48 при т = 1,8. Таким образом можно сделать
вывод о том, что использование поддерживающего парашюта при рас-
крытии основного парашюта приводит к резкому снижению уровня
действующих на него аэродинамических нагрузок.

Формы купола и перепады давлений на нем в моменты действия
максимальных аэродинамических нагрузок для всех трех рассмо-
тренных случаев представлены на рис. 11.17. Для случая 3 приведена
наибольшая фаза раскрытия купола (положение 1). В дальнейшем
купол начинает медленно складываться (положения 2 и 3). Об этом
факте можно судить и по рис. 11.16.

Закон изменения суммарного коэффициента сопротивления
действующего в коуше парашюта, во времени т приведен на рис.
11.18 (кривая 1 — случай 1; 2 — случай 2; 3 — случай 3). Анализ
графиков показывает, что, несмотря на то, что общий уровень мак-
симальных аэродинамических нагрузок на систему при раскрытии
снижается при увеличении площади купола поддерживающего пара-
шюта, максимальные усилия в коуше (или стропах) в некоторых слу-

сп = 4,96; г = 2,1

Сп =2,49; Т = 1,9

<^ = 0,48; Т =1,8

Рис. 11.17. Формы купола и вихревые следы в момент действия максимальных
аэродинамических нагрузок при раскрытии основного парашюта

Сп=0,10;г=4,9
Рис. 11.18. Влияние поддерживающего парашюта на изменение суммарного ко-
эффициента сопротивления во времени т при раскрытии основного парашюта

чаях могут возрасти. Так, например, для случая 2 с“ах = 3,88, а для
случая 1 с®ах = 3,44. Достаточно большими оказались силы натя-
жения в стропах и в случае 3 — с™ах = 2,11.

Для приведенных примеров применение поддерживающего пара-
шюта оказалось нецелесообразным, так как в случае 2 возросли мак-
симальные нагрузки на элементы конструкции парашюта, а в случае
3 парашют не раскрылся. Оптимальной, с точки зрения раскрытия,
для выбранных параметров основного парашюта является поддержи-
вающий парашют с раскройным радиусом купола Я™ = 0.2 м, при
этом сгаах = 3,0.
п

§ 11.7.	Раскрытие и снижение системы объект—рифленый
парашют

В парашютной технике для снижения нагрузок при раскрытии
куполов широко используется рифление парашютов. В настоящее
время экспериментальным путем практически невозможно опреде-
лить перепад давлений, действующий на купол в процессе разриф-
ления. Трудности измерения Др вызваны быстротечностью процесса
рифления и сильной формоизменяемостью купола при этом. В то же
время знание аэродинамических характеристик при разрифлении па-
рашюта необходимо для проведения прочностных и баллистических
расчетов системы объект-парашют.

Математическое описание процесса раскрытия рифленого пара-
шюта осуществляется таким же образом, как и обычного парашюта
(см. § 11.2). Отличие состоит лишь в том, что он раскрывается не
полностью, а до некоторой промежуточной формы, фиксируемой с
Рис. 11.19. Изменение коэффициента сопротивления сп во времени т при рас-
крытии рифленого парашюта (сплошная линия) и нерифленого парашюта (штриховая)

помощью шнура рифления. Для этого случая справедливы уравнения
(11.2), (11.8) и (11.11).

Приведем данные математического моделирования на ЭВМ про-
цесса снижения системы объект-парашют с раскрытием и разрифле-

нием купола.

Пусть рифленый парашют заданной начальной формы
(7?в = О,157?о) с грузом массой М? начинает движение с некоторой
скоростью 170 под углом а к горизонту. Происходит раскрытие пара-

шюта до рифленой фазы. Затем система продолжает снижаться на
зарифованном парашюте с переходом на квазистационарный режим.
После этого происходит разрифление. Параметр рифления Ф опреде-

ляется по формуле Ф = /р/(2д7?0), где /р — длина шнура рифления.

Основные исходные параметры для расчета составили: = 80°;

10 м/с; = 0,75 м; М = 70 кг; Ф = 0,15; I —2.
0	’ 0	г	с

Рис. 11.20. Формы купола
при раскрытии рифленого пара-
шюта: а - в начале раскрытия; б
- в момент действия максималь-
ной аэродинамической нагрузки
при раскрытии до рифленой фа-
зы; в - перед разрифлением; г ~ в
момент действия максимальной
аэродинамической нагрузки при
разрифлении
Зависимость сп(т) приведена на рис. 11.19. Хорошо видны мак-
симальные нагрузки, соответствующие раскрытию парашюта сначала
до рифленой фазы (т1 = 2, сп = 1,96), затем после разрифления
(т2 = 22,	= 1,1). На этом же графике приведены данные расчета

сп(т) для аналогичной системы без рифления. Из рис. 11.19 следует,
что рифление значительно снижает уровень максимальной нагрузки,
действующей на парашют при раскрытии.

На рис. 11.20 изображены формы купола в начале раскрытия, в
момент действия максимальной аэродинамической нагрузки при рас-
крытии до рифленой фазы, перед разрифлением и в момент действия
максимальной нагрузки при разрифлении.

Установившаяся скорость снижения в приведенном примере со-
ставила » 30 м/с.

§11.8.	Раскрытие проницаемого парашюта

Вопросы взаимодействия раскрывающегося осесимметричного
проницаемого парашюта с отрывным потоком будем изучать на осно-
ве модели динамической аэроупругости парашютов, изложенной в
§ 11.2. Отличительной особенностью данной модели является то, что в
аэродинамической части задачи используются более сложные соотно-
шения, описанные в § 5.3. В частности, вместо уравнений (11.8) при-
меняются уравнения (5.44), (5.48). Время счета на ЭВМ такой задачи
существенно возрастает по сравнению со временем счета задачи раск-
рытия непроницаемого парашюта.

Рассмотрим раскрытие проницаемого парашюта с полюсным от-
верстием (безразмерный радиус полюсного отверстия =0,11, где

Рис. 11.21. Изменение коэффициента сопротивления сц во времени т при раскрытии
парашюта: штрихпунктирная линия — непроницаемый купол; сплошная — проницае-
мый купол
Рис. П.22. Формы купола, вихревые следы и аэродинамические нагрузки для
непроницаемого (вверху) купола и проницаемого (внизу) купола: а - т = 1; б -
г = 3,86

имеющего основные параметры, аналогичные парамет -
рам парашюта, рассмотренного в § 11.4. Характеристики проницае-
мости ткани купола: с — 161, Не = 50
"о	♦

Зависимости коэффициента сопротивления сп от времени т
для проницаемого и непроницаемого парашютов представлены на
рис. 11.21. Видно, что проницаемый парашют раскрывается значи-
тельно медленнее и с меньшими нагрузками. Так, время раскрытия
непроницаемого парашюта т - 2, а у проницаемого т ~ 4. У непро-
ницаемого парашюта максимальное значение коэффициента сопро-
тивления с®ах « 4,1, а у проницаемого с“ах = 2,8.

Этот же вывод подтверждается данными, представленными на
рис. 11.22.

§ 11.9.	Уточненное определение

напряженно-деформированного состояния
осесимметричных парашютов

Проблема функционирования парашюта в потоке с математичес-
кой точки зрения является исключительно трудной, так как необ-
ходимо совместно интегрировать три группы нелинейных уравнений,
а именно: уравнения нестационарной аэродинамики, теории мягких
оболочек и баллистики. Успехи теоретических исследований в об-
ласти парашютной техники будут определяться развитием вычисли-
тельных средств, численных методов аэрогидромеханики и теории
упругости, использованием математического моделирования и вычи-
слительного эксперимента на ЭВМ.

Следует подчеркнуть, что решение подобной задачи аэроупру-
гости в полном объеме с помощью современных ЭВМ невозможно.
Наиболее перспективным является рациональное использование
аэроупругих моделей различного уровня, ориентированных на ЭВМ
средней мощности.

Примером такого подхода может служить применение одномер-
ных упругих моделей, описанных в гл. 8.

Как показала многолетняя практика, одномерные упругие модели
с достаточной точностью отражают форму круглых парашютов в по-
токе и позволяют определить действующие на них нагрузки. Между
тем с помощью одномерных упругих схем нельзя детально проанали-
зировать НДС парашюта, так как его купол находится в условиях
двухосного напряженного состояния и имеет конструктивные особен-
ности (подкрепляющий каркас, различные вырезы). Уточненный
анализ НДС особенно важен для исследования процесса раскрытия
парашюта потому, что в этот промежуток времени на парашют дей-
ствуют максимальные нагрузки, по которым ведется расчет кон-
струкции на прочность. Для проведения анализа можно применить
следующий прием. Сначала решаем задачу аэроупругости парашюта
на основе одномерной упругой модели. Находим меняющиеся во вре-
мени распределенные аэродинамические и инерционные нагрузки и
форму парашюта. Затем для интересующего нас интервала времени,
например в период действия на парашют максимальной нагрузки,
проводим подробный анализ НДС парашюта с привлечением упругих
моделей более высокого уровня (см. гл. 9, 10). При этом такие исход-
ные данные, как форма парашюта и скорость ее изменения в началь-
ный момент рассматриваемого интервала времени, распределение
перепада давлений по куполу в течение всего процесса раскрытия
парашюта, берем из решения задачи аэроупругости на основе одно-
мерной упругой модели.

Рассмотрим НДС раскрывающегося круглого непроницаемого па-
рашюта с параметрами = 0,75 м; 7^ = 0,04 м (7?1 — радиус полюс-
ного отверстия); €70 = 50 м/с; пс = 24. Материал купола (ткани и лент
радиального каркаса) и строп примем линейно-упругим.

Исходная форма парашюта (прит = 0) и направление набегающе-
го потока 1}^ показаны на рис. 11.23 слева вверху. Определялись меня-
ющиеся в безразмерном времени т коэффициент аэродинамического
сопротивления сп(т), распределение перепада давлений в меридио-
нальных направлениях Ар(/0, т), форма радиального сечения пара-
шюта.

На рис. 11.23 выделен интересующий нас с точки зрения проч-
ности парашюта участок [т°, т*]. На этом интервале осуществлялся
детальный анализ НДС парашюта на основе уравнений гл. 9. В каче-
стве начальных условий использовались параметры состояния пара-
шюта в момент времени т°.
Сп

1,5

Рис. 11.23. Изменение во времени коэффициента сопротивления круглого парашю-
та са при раскрытии; показана начальная форма парашюта перед раскрытием (т = 0) и
система координат, а также форма парашюта в момент времени т = т°

Проанализируем степень соответствия в отражении процессов
формообразования парашютов при раскрытии по обеим моделям с
помощью данных, приведенных на рис. 11.24. Сопоставление форм
парашюта при т = 1,30 и т = 2,55, вычисленных по обеим моделям,
показывает, что они практически совпадают. Об уровне согласования
между моделями при описании процесса формообразования раскры-
вающегося парашюта можно также судить по изменению радиуса
входного отверстия парашюта 7?в во времени т на участке [г°, т*].
Таким образом, можно сделать вывод о том, что обе модели при одних
и тех же входных параметрах отражают процесс формообразования
при раскрытии парашюта практически одинаково.

Рис. 11.24. Изменение во времени т радиуса входного отверстия 7?в при раскрытии
парашюта. Формы купола парашюта, эпюры распределения перепада давления и ви-
хревые структуры для т = 1,30 и т = 2,55: сплошная линия - модель 1; штриховая -
модель 2
Рис. 11.25. Распределение макси-
мальных радиальных ЛГ(| и эквато-
риальных /^22 сил натяжения в ткани
купола, радиальном каркасе и стро-
пах ТУ
с

У

На рисунках 11.25 — 11.27 представлены результаты расчета НДС
парашюта в момент действия на него максимальной нагрузки. Рису-
нок 11.25 иллюстрирует распределение максимальных натяжений в
ткани купола ЛГ.. (/ = 1, 2) и в лентах радиального каркаса IVвклю-
чая стропу ^с, Из анализа этого рисунка следует, что уровень ради-
альных сил натяжений , которыми в одномерной упругой схеме
пренебрегают, в районе полюса купола становится сравнимым с уров-
нем экваториальных сил натяжения IV22. Функции	^22^

(рис. 11.26) характеризуют распределение сил натяжения в ткани
вдоль образующей купола соответственно в радиальном и экватори-
альном направлениях. Как видим, при раскрытии парашюта наиболее
напряженным является участок поверхности купола, расположенный
у его нижней кромки, причем на этом участке уровни экваториаль-
ных IV22 и меридиональных IV п усилий примерно одинаковы. Что

Рис. 11.26. Распределение ради-
альных и экваториальных У22
сил натяжения ткани вдоль образу-
ющей купола К в момент действия
на парашют максимальной нагрузки
(т = 2,50) при раскрытии (сплошная
линия) и при нагрузке, действующей
на наполненный парашют (штрихо-
вая)
Рис. 11.27. Распределение сил натяжения вдоль образующей купола К по основе
IVо и утку в ткани и в радиальном каркасе IVсплошная линия — прямой крой,
штриховая — косой крой

касается усилий 1 и IV22 наполненного парашюта, то они по своим
величинам значительно ниже и распределяются более равномерно
вдоль образующей купола.

Представленные на рис. 11.27 зависимости Л^СК),
отражают влияние кроя ткани на величину и распределение усилий
вдоль образующей купола Л по направлениям нитей основы и утка
ткани соответственно, а также в ленте радиального каркаса для мо-
мента времени, когда на купол парашюта действует максимальный
перепад давлений. Анализ численных результатов по расчету НДС
парашюта на временном интервале [т°, т*] с учетом кроя ткани пока-
зал, что это влияние неоднозначно: в одних местах косой крой по
сравнению с прямым снижает уровни усилий, а в других, наоборот,
повышает. На наиболее нагруженном участке поверхности, у нижней
кромки купола, косой крой приводит к выравниванию усилий в нитях
основы и утка ткани повышается на 13%, а понижается на
16%) и за счет этого — к снижению их в радиальном каркасе на
этом участке поверхности на 30%.
Раздел пятый

ДИНАМИКА СИСТЕМЫ ОБЪЕКТ—ПАРАШЮТ

Глава 12

ДИНАМИКА ВВОДА ПАРАШЮТА В ПОТОК

§ 12.1. Физика процесса вытягивания парашюта

Динамика ввода парашюта в поток охватывает широкий круг воп-
росов, связанных с анализом взаимодействия элементов системы
объект—парашют на этапе введения парашюта в действие, называе-
мом этапом вытягивания парашюта.

Следует отметить, что вытягивание парашюта — процесс весьма
скоротечный и поэтому плохо поддающийся визуальной оценке. Это
обстоятельство объясняет трудности, которые связаны с выявлением
возможных нарушений на этапе вытягивания парашюта при экспе-
риментальной отработке.

В связи с этим существенное значение имеют исследования дина-
мики вытягивания на ЭВМ с помощью математических моделей (ММ)
различного уровня сложности.

В общем случае вытягивание парашюта осуществляется вытяж-
ным устройством, в качестве которого могут использоваться крышка
парашютного контейнера, вытяжной парашют, специально отстре-
ливаемая пуля и т. д. (рис. 12.1).

Вытягивание с помощью парашюта осуществляется в направле-
нии набегающего потока без начальной относительной скорости за
счет действия аэродинамической силы.

Другие вытяжные устройства (крышки, пули) осуществляют вы-
тягивание за счет начальной кинетической энергии относительного
движения. При этом введение парашюта в действие может осуществ-
ляться под углом к набегающему потоку, и процесс вытягивания бу-
дет зависеть не только от аэродинамической силы, действующей на
вытяжное устройство, но и от начальной энергии его относительного
движения и аэродинамического воздействия на вытянутую часть вы-
тягиваемого парашюта.

В зависимости от последовательности вытягивания элементов сис-
темы различают ударную, безударную и комбинированную схемы
вытягивания (рис. 12.2).

В ударной схеме из упаковки, расположенной на объекте, сначала
извлекается купол парашюта, затем — стропы и звенья. При этом в
момент окончания процесса вытягивания скорости вытяжного устрой-
ства и движения объекта не совпадают, и вытягиваемый парашют
соударяется с объектом. Кроме того, необходимо отметить, что в
данной схеме процесс вытягивания парашюта может совмещаться с
процессом его наполнения. Это может приводить к существенному
увеличению скорости вытягивания, а следовательно, и динамических
Рис. 12.1. Этапы работы парашютной
системы: а — вытягивание парашюта от-
стреливаемым элементом; б — вытягивание
парашюта парашютом предыдущего каска-
да; 1 —отстреливаемый элемент; 2 — звено,
3 — камера; 4 — вытягиваемой парашют;
5 — вытяжное устройство (парашют); 6 —
вытягиваемый парашют

нагрузок при соударении за счет сложения аэродинамических сил
вытяжного устройства и наполняющегося вытягиваемого парашюта,
что, конечно, является недостатком данной схемы. К ее достоинствам
следует отнести конструктивную простоту.

Рис. 12.2. Схемы вытягивания: а) удар-
ная; б) безударная; 1 — вытяжное устройст-
во; 2 — звено вытяжного устройства; 3 —
купол вытягиваемого парашюта; 4 — каме-
ра или упаковка вытягиваемого парашюта;
5 — стропы вытягиваемого парашюта; 6 —
звено вытягиваемого парашюта; 7 — объект
В безударной схеме камера вытягиваемого парашюта связана с
вытяжным устройством и порядок выхода элементов вытягиваемого
парашюта обратный. Здесь к моменту окончания процесса вытя-
гивания скорости вытягиваемого парашюта и движения объекта сов-
падают, и соударение парашюта с объектом не происходит. Однако
динамические нагрузки на вытягиваемый парашют и узел крепления

венно меньше, чем в ударной схеме. Природа динамических нагрузок
при вытягивании по любой схеме объясняется тем, что при выходе из
камеры очередной части вытягиваемого парашюта ее скорость скач-
ком меняется на величину скорости вытягивания, в результате чего
возникает реактивная сила, определяющая силу натяжения вытяну-
той части парашюта.

В комбинированной схеме вытягивания часть парашюта вводится
в действие по ударной, а часть по безударной схеме.

Следует сказать, что если в состав вытягиваемого парашюта вхо-
дят дополнительные сосредоточенные массы, например вертлюги, от-
цепки, двигатели мягкой посадки и т. д., то их выход сопровождается
дополнительными динамическими нагрузками, обусловленными их
соударением с объектом по безударной или с вытяжным устройством
по ударной схемам вытягивания

Математические модели процесса вытягивания различаются по
степени его детализации, по областям применения, по точности и т. д.
В последующих главах приведены основные ММ процесса введения
парашютной системы в действие, начиная от наиболее простых точеч-
ных моделей и заканчивая пространственной моделью вытягивания
под углом к потоку.

8 12.2. Физическая модель процесса вытягивания

В основу точечных математических моделей процесса вытягива-
ния положены уравнения движения материальной точки переменной
массы и инженерные методы теории колебаний для оценки динами-
ческих нагрузок, возникающих при вытягивании.

В точечных математических моделях процесса вытягивания слож-
ная динамическая система, какой является объект с вытягиваемым
парашютом и вытяжным устройством, заменяется системой двух
материальных точек переменной массы соответственно и М* ?
(рис. 12.3).

В зависимости от схемы вытягивания масса вытягиваемого пара-
шюта распределяется между точками М? и у следующим образом:
при безударной схеме вытягивания

М = т + т , М = т + т — т
г г в.ч в.у ВЛ? п с.ч

где — масса объекта (груза), ч — масса вытянутой части пара-

— масса вытяжного устройства;

шюта; т
в.у
Рис. 12.3. Точечная модель процесса вытя
гивания

при ударной схеме вытягивания

М — т + т — т , М — т + т .

г г п в.ч’ в.у в.у в.ч

Масса вытянутой части парашюта т* ч определяется по формуле

У

твч = / 1у(у) +
о

где у и тс — погонные массы вытягиваемых парашюта и строп соответ-
ственно.

При разработке этой модели принимаются следующие допуще-
ния: колебания объекта и вытяжного устройства на процесс вытя-
гивания не влияют; рассматривается плоскопараллельное движение
объекта; вытяжное устройство движется по касательной к траектории
движения объекта в сторону, противоположную его движения; на-
грузка в элементах системы от деформации зависит линейно; процесс
вытягивания происходит в спокойной атмосфере.

При написании уравнений движения вводится скоростная система
координат с началом в центре масс объекта. Направление оси Ох
определяется траекторным углом 0, Относительное движение вытяж-
ного устройства рассматривается по оси Оу, направленной противопо-
ложно оси Ох с началом в центре масс объекта (рис. 12.3).

§ 12.3.	Уравнения движения точечной модели вытягивания

Движение объекта (точки М) и вытяжного устройства (точки

Мв у) описывается следующей системой уравнений:

(1Х И	и.  4У ,г	Р

„	1 |е+7? + ^], (12.1)

а1 11^	(11 г ’ г Ме	ъ »>

"в.у = ЛГ у - р -(1 -	- "3-
Здесь | — логический коэффициент:

1 при безударной схеме вытягивания,

О при ударной схеме вытягивания;

I/? — абсолютная скорость центра масс объекта; пв у — перегрузки,
действующие соответственно на объект и вытяжное устройство; V —
относительная скорость объекта и вытяжного устройства (скорость
вытягивания); <2, РУ К, Р — соответственно аэродинамическая сила,
сила сопротивления вытягиванию, реактивная и приведенная силы.

Система уравнений решается при начальных условиях (I = 0):

х = хг =	=	=	=

Иногда вместо четвертого уравнения (12.1) используют уравне-
ние

= Л	(12.2)

ау М

Интегрирование уравнений (12.1) позволяет определить основные
характеристики процесса вытягивания:

параметры движения объекта в процессе вытягивания (например,
потерю высоты и изменение скорости движения объекта);

кинематические характеристики процесса вытягивания, а имен-
но: время вытягивания, скорость вытягивания и т. д.

Динамическая нагрузка в точечных моделях определяется как
ударная нагрузка при соударении двух масс М и М , имеющих
г в.у
относительную скорость I/ и соединенных упругим звеном с жестко-
стью

Р = И'/мк ,	(12.3)

тах	♦ ’

пР

где К = —— эквивалентная жесткость звена, п — коэффициент
* ер'о

перегрузки, Рр и ер — разрывная нагрузка и деформация звена, /0 —
длина звена.

§ 12.4.	Физическая модель вытягивания парашюта
под углом к потоку

с учетом пространственного движения объекта

При расчетах процесса вытягивания парашюта часто возникают
задачи исследования относительного движения объекта и вытяжного
устройства, отстреливаемого под углом к потоку с учетом простран-
ственного движения объекта, расчета динамических нагрузок, обус-
ловленных относительными движениями дополнительных элементов
системы, таких как вертлюги, отцепки и т. д.

В случае вытягивания под углом к потоку, например с помощью
отстреливаемой крышки парашютного отсека, характерным является
изменение формы вытянутой части парашюта под воздействием аэро-
динамических сил.

В общем случае система объект-вытягиваемый парашют-вытяж-
ное устройство состоит из следующих основных элементов (см. рис.
12.2): вытяжного устройства; звена вытяжного устройства; камеры
вытягиваемого парашюта (для безударной схемы); вышедшей из упа-
ковки части вытягиваемого парашюта; объекта; дополнительных эле-
ментов системы (вертлюгов, отцепок и т. д.).

Физическая модель, закладываемая в описание данной системы,
включает в себя объект как твердое тело постоянной массы, вытяжное
устройство как материальную точку постоянной массы, камеру вы-
тягиваемого парашюта как материальную точку переменной массы, а
также систему материальных точек, моделирующих звено вытяжного
парашюта и вышедшую из упаковки часть вытягиваемого парашюта и
связанных между собой невесомыми упругими звеньями, работаю-
щими только на растяжение. Считается, что силы внутреннего трения
в звеньях пропорциональны скорости деформации. Кроме того, в сос-
тав физической модели могут входить дополнительные элементы
системы (вертлюги, отцепки и т. д.).

При этом принимается, что

—	аэродинамические силы действуют на вытяжное устройство и
камеру вытягиваемого парашюта в направлении набегающего потока;

—	аэродинамическая сила, действующая на материальную точку
звена вытяжного устройства или вытянутой части парашюта, пропор-
циональна длине участка, масса которого сосредоточена в соответст-
вующей точке, и зависит от угла атаки этого участка, считающегося
прямолинейным;

—	процесс вытягивания рассматривается в спокойной атмосфере.

§ 12.5. Уравнения вытягивания парашюта при
пространственном движении объекта

С учетом вышеописанных элементов парашютной системы (ПС)
ее математическая модель должна включать в себя уравнения дви-
жения объекта как твердого тела, уравнения вытяжного устройства
как материальной точки постоянной массы, уравнения камеры как
материальной точки переменной массы, уравнения системы мате-
риальных точек, моделирующих звено и вышедшую часть парашюта,
и уравнения сосредоточенных масс. Замыкают указанную систему
уравнений соотношения совместности деформаций в упругих связях.

Уравнения движения объекта, записанные в связанной системе
координат с началом в его центре масс, имеют вид
тй^ + тг(%.Д -	= -тгвн12 -	5 +

р1/2

тА2 + "’гК^г, - ШгД) = ~тг8Р22 + Суг~Г 5 + Тгу’
рц1

т й + т (со Ц — ш I/ \ = —т ур™ + с 5 + Т ,
г гз г\ Г1 г2 г2 г1/	Г-7 ^32 гг 2	ге

4 А, + 712"г2 + <3“^ + в'г2(/13С,г, + <3% + 733Шг3) “
рб/2	_

” ШГз (^2%, + 722Шг2 + 732"гз) & тхг ~Т	+ Чх’ (12 4)

/Г а) + 7^0? 4- 7~ со + со /7,.си ++ /,-со	—

12 Г| 22 г2 23	г3\ 11 г( 12 г2 13 г3/

— со	\ = т —тг~ + МГ,

Г| \ 13 Г! 23 г2 33 г3/ уг 2	ГУ

/13‘"г1 + Г2^г2 + 73з"гз + "г, (712Шг, + Г'12Шг2 + ^Гз) “

Р^2

— ш (}\.а> +/\ло + }\.ш \ = т —^~+ Мг
г2\ П г( 12 г2 13 г3/ гг 2	Г2

В приведенных уравнениях приняты следующие обозначения: тг
— масса объекта; 7^., /,/ = 1.3 — компоненты тензора инерции
объекта; 5, Ь — характерные площадь и размер объекта; с^, с2г,
— коэффициенты аэродинамических сил и моментов
объекта в связанных осях; Ц,, о>г (/=1,3) — компоненты скорости и
угловой скорости объекта; /г „	матрица преобразования связанной

системы координат объекта в земную;	М^х, М1^, М^, —

проекции силы и момента, действующих со стороны вытягиваемого
парашюта на объект, на связанные оси объекта.

Выражения для	имеют тот или иной вид в зависимости

от того, по ударной или безударной схеме работает парашют.

Кинематические уравнения объекта, описывающие его простран-
ственную ориентацию, при вычислительном эксперименте на ЭВМ
удобнее представлять в форме параметров Родрига-Гамильтона [89]:
~Л2~Я3

~^3 ^2

Л1 %

х

Г о

О)
г.

О)

*2

О)
гз

(12.5)

В отличие от любых кинематических уравнений для совокупности
трех обобщенных координат, здесь нет критических случаев, в кото-
рых эти уравнения имели бы особенности. Уравнения (12.5) легко
3

численно интегрируются. Уравнение связи параметров Л? = 1 при
/=0

этом может служить для корректировки погрешностей округления по
формуле работы [89]:

/ 3
Г=л. Ул2
I И 5

' 5=0	'

- 1/2	____

, / = 0,3.

(12.6)

Матрица преобразованиячерез параметры Родрига-Гамильто-
на записывается в виде

А2+Л2_Л2^Л2
2(-АЛ+АЛ)
2(АЛ + АзМ

2^+Л/2)	2(-у2+А1^3)

Л0 + Л2 ~ Л3 ~	+ ^/з^

2(~^1 + А2 + Л3 ” А1 ~ Л2

(12 7)

Сравнивая матрицы направляющих косинусов, выраженные че-
рез параметры Родрига-Гамильтона (12.7) и через самолетные углы
[66], можно получить соотношения для углов рыскания тангажа у
и крена г>:

18^ =

22 . >2 _ ^2 _ ,2

Л0 т Л1 А2 Л3

18 У =

2(1^! Л^з)

2 2 4. 12 __ 12 _ 12

Л0 + Л2 Л1 Л3

(128)

5Ш д = 2(1^ + Л^).
К уравнениям (12.4)-(12.8) необходимо добавить кинематические
уравнения поступательного движения объекта

3	___

х .= У , /= 1,3,	(12 9)

1

где х^. — координаты центра масс объекта в земной системе координат.
Уравнения движения вытяжного устройства в проекциях на оси
полу скоростной системы координат имеют вид [58]

р172

т 17 = —са —V5- 5 + Л\ — т ё ЯП в ;

в в ха 2 в 1ха в° в

т I/ в = Л". — т #соз0 ;	(12.10)

в в в 1уа в° в’

—т I] соз 0 Ж =	,

в в втв 1га

где 17в, 0в,	— соответственно скорость, траекторный угол и угол

курса вытяжного устройства; с*а — коэффициент лобового сопротив-
ления ВУ;	— проекции силы натяжения в звене ВУ на

участке длиной /1 на оси скоростной системы координат.

Координаты вытяжного устройства в земной системе координат
определяются уравнениями:

х — V соз гр • соз 0 ;
в	в	Т в	в

у I/ 8Ш0 ;	(12.11)

-'в	в	в’

2 = — V зт гр • соз 0 .
в в в в

Уравнения движения камеры вытягиваемого парашюта для слу-
чая безударной схемы могут быть получены добавлением к правым
частям уравнений (12.10), (12.11) членов, учитывающих силу сопро-
тивления вытягиванию из камеры Р:

К

тЛ = ~Сха ~Т 5к -	1 ха + Рха ~	8,П ве

т II 0 = —тУ ,	4- Р - т # соз 0 ,

к к к г+1уа уа к° к’

(12.12)

-т{/ соз 0 гр = —	+ Р ,

К КГК	у+1 20	20

х = V соз гр -соз 0 ; у = V зт 0 , г = -I/ зт гр -соз 0 .
к к гк к’ к к к ’ к к к к
Масса камеры вытягиваемого парашюта есть величина пере-
менная, определяемая соотношением
/
в

тк = тк0 + тп~ /
О

где лик0 — собственно масса камеры; — масса вытягиваемого пара-
шюта; у(/) — погонная масса вытягиваемого парашюта; / — длина
вытянутой части парашюта.

Уравнения движения материальных точек, моделирующих звено
вытяжного устройства и вышедшую из упаковки часть вытягиваемого
парашюта, имеют вид

+	+ ^+1,х ~

+	- т^™ее

-т.и.созбф =	,	(12.13)

II	I	12	1+1,21

X. = V. СОЗ <Р.'СО5 0.,

I I Г1	Г

у = и. зш о.,

' I Г

г. = — V. зшуусоз 0., I — 1, V + г + 1,

где V — число участков звена вытяжного устройства; г — число участ-
ков вытянутой части парашюта: ЬГ*, IV.IV— проекции силы натя-
жения на 1-м участке на полускоростные оси; X., У. — продольная и
поперечная составляющие аэродинамической силы, действующей на

Г-м участке.

Замыкают систему уравнений (12.4)-(12.13) уравнения совмест-
ности деформаций:

л.=

ХЛ1. + АГ, при АГ > О,
О,	при АГ < О,

(12.14)

где IV. — сила натяжения на /-м участке; К., у. — коэффициенты
жесткости и внутреннего трения; АГ, АГ — удлинение и скорость
деформации, вычисляемые по формулам:

АГ = Г - К.,
I I ОГ

/. =	- х.)2 + 0-	- у.)2 + (Г~ - 2.)2,	(12.15)

I к | + 1	Г ^+1 •'Г у 1+1 Г

Ч = т[Ц+1-Х<)^+1-^ +

+ (>,+1 -	- у) + (г/+1 -	- *,)] •
Глава 13

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ

СИСТЕМЫ ОБЪЕКТ—ПАРАШЮТ

§ 13.1. Математические модели динамики безынерционного
парашюта и жесткой системы объект—парашют

Предметом динамики системы объект—парашют (СОП) является
изучение устойчивости ее движения, определение пространственного
положения элементов системы, рассмотрение вопросов демпфирова-
ния и стабилизации объекта с помощью парашюта, оценка силового
взаимодействия элементов системы. В зависимости от целей и задач
исследования применяются те или иные математические модели,
позволяющие получить требуемую информацию с необходимой точ-
ностью при минимальных трудозатратах. Наиболее полно существу-
ющая иерархия математических моделей описана в работах [4,89].

Существующие модели динамики системы объект—парашют мо-
гут быть представлены тремя большими классами:

модели с безынерционным парашютом и модели жесткой, гео-
метрически неизменяемой системы объект—парашют;

модели с шарнирно подвешенным объектом, учитывающие вза-
имные колебания объекта и парашюта;

модели, учитывающие упругость и формоизменяемость парашют-
ной системы.

В моделях безынерционного парашюта использовано свойство
относительно небольших парашютов мгновенно устанавливаться по
вектору скорости набегающего потока. В этом случае отпадает необ-
ходимость рассмотрения собственных колебаний парашюта. Пара-
шют заменяется его аэродинамической силой, приложенной в точке
крепления к объекту. Направление аэродинамической силы пара-
шюта с нулевой балансировкой противоположно направлению воз-
душной скорости центра масс объекта в одних моделях или точки
крепления парашюта к объекту в других.

В моделях жесткой системы объект—парашют предполагается,
что вся система совершает колебания как одно геометрически неиз-
меняемое жесткое тело. Такие колебания принято называть маят-
никовыми. Подобного рода колебания характерны для больших
парашютов, так называемых парашютов основного класса. Кроме то-
го, данные модели могут использоваться для любых парашютов, если
собственные колебания объекта не представляют интереса в конкрет-
ной задаче.
Основным критерием, определяющим класс парашюта, а следова
тельно и соответствующую математическую модель, является число
Фруда:

Если выбрать в качестве характерной скорость установившегося
движения, то число Фруда можно представить в виде

т

Ег =----(13.1)

^0 пСп

В зависимости от числа Фруда, определяемого соотношением
(13.1) в работе [3] предложена следующая классификация парашю-
тов:

Ег < 1 — парашюты основные;

Ег > 25 — тормозные и стабилизирующие парашюты;

1 < Ег < 25 — парашюты промежуточного класса.

Уточненные границы областей применимости моделей динами-
ки безынерционного парашюта и жесткой СОП для наиболее рас-
пространенных парашютов с аэродинамической характеристикой
с“(а = 0°) > 0 получены в работе [89] и представлены на рис. 13.1.
Как видно из рис. 13.1, применимость той или иной модели динамики
помимо числа Фруда определяется еще и инерционной характерис-
тикой парашюта

Как уже отмечалось, в математической модели безынерционного
парашюта сам парашют заменяется его аэродинамической силой,
приложенной в точке крепления к объекту.Таким образом, уравнения
движения СОП будут включать в себя уравнения движения объекта с
добавлением в правые части вектора аэродинамической силы пара-
шюта

Рис. 13.1. Области возможных дви
жений СОП: 1 — область возможных ма
ятниковых колебаний; 2 — область без
инерционного парашюта
Практически для описания модели безынерционного парашюта
могут быть использованы уравнения (12.4)-(12.9). в которых выра-
жения для Тгх,..., Л/гг имеют следующий вид:

Т —~О соз а -соз 6 ;

гх п хар ^хар

Т = ~О зш а ;
гу	хар

Т = О соз а -зшб ;	(13.2)

гг	хар *хар

М =р Т -р Т ;

ГХ	Г2	гу»

М = рТ -р Т ;

О'	гх гх гх’

Л/ =р Т -рТ ,
Г2 г X Гу гу ГХ

Ц2
где йп=Р-^еЛ

— аэродинамическая сила сопротивления па-

рашюта площадью Гп и коэффициентом сопротивления сп; рх> ру,
р^ — координаты точки крепления парашюта к объекту;

-Г	17

а = агс1я • ^ха~, в = агсзш ~/т	— углы атаки и скольжения

хар ° [/ 'хар	[/

ххар	хар

для характерной точки объекта; 17	, 17	, 17	— компоненты

г	ххар’ у хар’ ххар

скорости характерной точки объекта.

Если в качестве характерной точки объекта выбирается его центр
масс, то в последние три уравнения системы (12.4) добавляют еще
члены, учитывающие демпфирование объекта за счет парашюта.
Коэффициенты демпфирующих моментов в этом случае обычно опре-
деляются экспериментально для конкретной системы объект—пара-

шют.

Если в качестве характерной точки выбирается точка крепления
парашюта к объекту, демпфирующие свойства парашюта учитывают-
ся включением в уравнения (12.4) угловых скоростей объекта, вхо-
дящих в компоненты скорости характерной точки:

17	= 17 + р ш — р ш ;

ххар ГХ Гу X у

17	= V + р а> — р со ;

у хар гу '2 X ГХ X

(13.3)

17	= 17 +рш -рш ;

2 хар Г2 гх у гу X

и	+ ц2 + ц2 .

хар	х хар	у хар	2 хар

Уравнения движения геометрически неизменяемой, имеющей
плоскость симметрии СОП с точечным объектом в осях, связанных с
куполом Охуг (показаны на рис. 13.2). в спокойной атмосфере будут:
(М + Л1 1)^01 + ^12^02 (Мук ”* Л16^3 +	+ ^33^2^03

— (М + ^22^3^02 ~ Л 2^ 3^01 + (Мук + ^зд^^г ”
2	2

~ (М\	^35^2 (М*к + ^2б)Ш3 - М&1\2 Схп 2 ^п*

(М + ^22^02 + Л 2^01 + №хк + ^26^3 + № + Л 1^3^01 ~

- (М + ^зз^^оз + 12^3^02 + ^Хк “ ^35^1^2 ~

р[/2

- <-М\ + Л34>? - <^к - Л16>3 = -М^22 + суп V Рп'

(М + л33)^03 + (Л/ук + л34)<ь1 - (ЛЛ - Л35)62 +

+ (Л/ + ^22^1^02 ~ № + ^ц)а'2^01 + ^12^1^01 ~	+

р!/2

+ "^(Мх* + Л26) + а>2ш3(Мук - А16) = -Л7^32 + Р,

(/?! + Л4>, + (4 + Л45)й2 + (Мук + А34)й03 +	(13.4)

^"33 + Л66 ~ ^22 ~ ^55^2^3 ” ^21 + Л45^1Ш3

+ (МУК + Л34)ш\^02 ~	~ ^16^2^01 + ^26 + ^35^°2^02 ~

ру2

~ ^26 + ^ЗЗ^З^ОЗ ~ -Л/®'к1“з2 + тхп 2 ^п^к’

(^12 + ^45^“*1 + (^22 + ^55^2 " ^Хк ~ Л35^03 +

4- (/^2 + Л45)со2а>3 + (У^( + Л44 - /^3 - Л66)си1со3 -

_ (Мхк + ^26^°1^02 + (Мхк ~ ^35^°2^О1 + ^34 + ^б^З^ОЗ "
р!/2
- <Л16 + Л34>1 ''О. = М^32 + туп ~2~ РпЛк'

(•^33 + ^66^°3 ~	~ Л 16-^01 +	+ ^26^02 +

+ (У^2 + Л45)(ш2 - ш2) + (У%2 + Л55 - 7^! - Л44)а>10)2 +

+ (мх + л26>3г/01 - (мхк - ^хут - (мУк + л34>2</03 +
р!/2

+ (Мук - ^16)о-зг/02 = -^^22 - \?12) + тхп ~Т Р^-

В полученных уравнениях употребляются обозначения, принятые
в гл. 12; хк, ук — координаты центра масс системы в системе коорди-
222
Рис. 13.2. Геометрически неизменяе-
мая СОП

нат Охуг, Л.. — компоненты тензора присоединенных масс парашюта,
учитывающего нестационарную часть аэродинамического воздей-
ствия потока на парашют [89] в системе координат Оху г, У?. — компо-
ненты тензора инерции СОП в точке О; М — суммарная масса
системы.

К приведенным уравнениям необходимо присоединить кинемати-
ческие зависимости в форме (12.5) и (12.6).

§ 13.2.	Модель динамики системы шарнирно подвешенный
объект—парашют

При выводе уравнений движения СОП с учетом колебаний объек-
та относительно точки подвески к парашюту принимается следующая
физическая модель. Объект и парашют представляются твердыми
телами с заданными массовыми, центровочными, инерционными и
аэродинамическими характеристиками, связанными в точке крепле-
ния объекта к парашюту цилиндрическим или сферическим шар-
нирами соответственно для плоского и пространственного движений
системы. Иногда в указанную систему включают третье твердое тело,
моделирующее соединительное звено [89].

Для вывода уравнений движения часто используют уравнения
Эйлера-Лагранжа для квазикоординат [66].
Рис. 13.3. Система объект-пара
шют с учетом взаимных колебаний

Векторные уравнения движения системы двух твердых тел, свя-
занных сферическим шарниром в точке О, имеют вид (рис. 13.3)

+<ойх/°па + т р х(1Л+шхг/_) = т°,
А	пгп 4 0	О7 п

М(Г/ + а)Х17Л + шхт р + шх(юхт р ) +

4 О	О7	4 г'С7	ЦЗ 5)

+ йхт р + (ш . + О)хт р + Йх(Йхт р ) — Гу
пгп 4 А 7 пгп	4 п'п7

тгРсХ(^о +	+	+ шХ^Г(У + тп ~ /л°’

где М, т , т — соответственно массы системы, объекта и парашюта;
{7$, ш — скорость и угловая скорость системы координат Охух; □ —
угловая скорость парашюта; а>А — угловая скорость промежуточного
базиса осей, получаемого поворотом связанной с парашютом системы
координат вокруг оси симметрии на угол <р.

Уравнения движения объекта с осесимметричным парашютом в
проекциях на связанную систему координат Охух с началом в шар'
нире О приведены в работах [4, 89].

Следует сказать, что уравнения (13.5) могут быть использованы
не только для шарнирного соединения объекта и парашюта, но также
в том случае, когда вращение объекта вызывает закручивание строп
парашюта. Так как данный случай сравнительно мало освещен в ли-
тературе, рассмотрим его более подробно.

При движении объектов в атмосфере как до, так и после введения
парашюта в действие, возможно появление вращения объекта относи-
тельно продольной оси. Причиной этого может быть несимметричное
обтекание объекта, смещение центровки, отказ системы угловой ста-
билизации и т. д. При отсутствии вертлюга начинают закручиваться
стропы парашюта. Закручивание строп ведет к сокращению их эф-
фективной длины, уменьшению диаметра миделевого сечения и ко-
эффициента сопротивления парашюта, а иногда даже к складыванию
купола. В то же время известно, что в некоторых случаях парашюты
могут отслеживать вращение объекта относительно продольной оси,
тормозить и даже останавливать подобное вращение. Это относится к
системам с многоточечным креплением парашюта к объекту, которые
обладают существенно большим моментом сопротивления строп за-
кручиванию, чем при одноточечном креплении, что и дает возмож-
ность парашюту отслеживать вращение объекта и тормозить его.

При выводе уравнений движения парашюта с закрученными стро-
пами необходимо учесть, что при повороте парашюта относительно
оси симметрии в точке соединения парашюта с объектом возникает
момент сопротивления строп закручиванию, который необходимо
учитывать в правых частях уравнений (13.5). Кроме того, как из-
вестно, форма купола и коэффициент сопротивления парашюта в
значительной мере зависят от эффективной длины стропы, которая
может существенно изменяться в процессе закручивания строп.

Для парашюта с достаточно большим числом строп при предполо-
жении постоянства перепада давлений форма стропы, проходящей по
куполу и определяющей форму парашюта, описывается уравнениями
[79]

где — параметрический угол; а —	— параметр формы

купола (Я — усилие в ленте); К* — радиус купола в раскрое;
Р(Р^ л/4) — эллиптический интеграл 1-го рода.

Введем обозначение 7. = 1.1 Л . Выражая I'	из уравнений

Эф Эф К	Эф

(13 6) и дифференцируя полученное равенство, имеем
(11. = -VI
эф

___________ып1о(1 + СО84/30)_______________
р,8541 + Р(Р0, л/4)] 7(1 - соя4/30)3

7(1 - С084^0) 71 -(1/2)ып2^0 р.8541 + Г(в0,л/4)]

Рассмотрим процесс закручивания строп с другой стороны. При
закручивании каждая стропа в жгуте идет по винтовой линии, причем
диаметр цилиндра, на котором лежит эта линия, может меняться от
нуля до с?с (рис. 13.4). Если условно считать, что все стропы навива-
ются на цилиндр диаметром (1 = кгде 0 < /с1 <1, то изменение
эффективной длины стропы при закручивании ее на малый угол (1<р
будет определяться выражением

Рис. 13.4. К закручиванию строп парашюта
-	—К(1

(11 , = -5—:---- - - (1<р.

эф 2 51П у 7? г
' к

Приравнивая правые части последних двух уравнений, получаем:

^0 =

а>р 2^2 8Ш у 7?к

________ып1о(1 + СО54^0)______
[1,8541 + Г(0о,л/4)]У(Г- СО84/?0)3

см^о

________ ______________ 2

У(1 - С084/30) /Г- (1/2) 5Ш2^о [1,8541 + Р(Р0,л/4Д

-] — 1

.(13.7)

Решение уравнения (13.7) при <р = л равно

Дифференциальное уравнение (13.7) совместно с приведенными
дополнительными условиями описывает движение формы купола па-
рашюта в процессе закручивания строп.

Выражение для момента сопротивления строп закручиванию по-
лучается из допущения о том, что силы натяжения и углы наклона
всех строп к продольной оси парашюта одинаковы. Тогда проекцию
силы натяжения на плоскость сечения жгута закрученных строп мож-
но представить в виде касательных напряжений

Крутящий момент, создаваемый напряжениями т относительно оси
Ох (см. рис. 13.4), запишется в виде

р

После подстановки т в последнее уравнение и интегрирования его
будем иметь

М = /с 2 (1 1&у,	(13.8)

с 2^п с '

гдел?2 — коэффициент, учитывающий число закручиваемых звеньев;

(2 — аэродинамическая сила сопротивления парашюта.
Коэффициент сопротивления парашюта с закрученными стропа-
ми можно записать в виде

с =соЛ<У.
п п Л(ф ’

7 - 0,389
где М1эф) = —~
0,135 + 0,87/,
эф

; с^, /Д) — характеристики парашюта с

незакрученными стропами.

Таким образом, математическая модель динамики простран-
ственного движения СОП с учетом закручивания строп парашюта
включает в себя уравнение, описывающее изменение формы парашю-
та в процессе закручивания строп (13.7), и уравнения движения СОП
(13.5), в правые части которых входит момент сопротивления строп
закручиванию (13.8).

§ 13.3.	Модель динамики движения системы объект—упругий
парашют

Наиболее общей механической моделью динамики движения си-
стемы объект—парашют является модель, в которой к твердому телу
(объекту) крепится парашют, описываемый моделью формообразо-
вания. При этом в задачах динамики СОП удобно осуществлять дис-
кретизацию парашюта линейными конечными элементами [89]

Итак, система объект—парашют заменяется дискретной физичес-
кой моделью, представляющей собой систему, состоящую из твердого
тела — объекта и IV материальных точек, моделирующих упругий
деформируемый парашют, положение которых относительно системы
координат Охуг, связанной с объектом, задается конечным числом
п = 37У обобщенных координат. Положение СОП в пространстве бу-
дет определяться (п + 6)-ю обобщенными координатами.

Уравнения движения рассматриваемой СОП получены в работе
[89] и выглядят следующим образом:

тг + шх 1/0 + <у хрг 4-<ух(шхрг)^ +
[♦ ** *

+шхи. + шхр + шх(шхр )+р + 2шхр =Л;

0	0 гп \

♦	(13

Ли + шХ/°ш + /п р Х(17Л + сухГЛ) +/° су + сух/0 су +

г	г ггг 4 0	(Ил	п

Л

+ 2 т{Р[Х
/-1

р. + 2(а>хр.) I = Л/°,

+ тпРпх(ио + а>хи()

где <70, су — векторы скорости выбранной точки и угловой скорости
объекта; рг, рп — радиусы-векторы соответственно центров масс
объекта и парашюта относительно системы координат Охуг\ р. — век-
тор-радиус /-й точки парашюта относительно системы координат
Охух; * — локальная производная в связанной системе координат.

Уравнения (13.9) необходимо интегрировать совместно с урав-
нениями относительного движения материальных точек, моделирую-
щих парашют:

[♦ ♦♦

+ <охр; + сих((ухр.) + р. + 2

I = "Су. <13.10)

Уравнения (13.9), (13.10) описывают в общем виде динамику
произвольной системы объект—парашют с учетом изменения формы
парашюта в потоке. Для того чтобы установить конкретные выраже-
ния, стоящие в правых частях этих уравнений, необходимо опреде-
лить силы, действующие на объект и парашют. В рамках одномерных
моделей формообразования парашютов установлен механизм пере-
дачи усилий со стороны ткани купола на формообразующую ленту
каркаса и, следовательно, определены силы, действующие на элемент
ленты или на его дискретный аналог — невесомый упругий элемент с
массой, сосредоточенной в точке, если известно распределение пере-
пада давлений по куполу. Перепад давлений находится из решения
задачи обтекания полученной формы парашюта набегающим пото-
ком.

Таким образом, в общем случае необходимо совместно решать
уравнения (13.9), (13.10) и уравнения аэродинамики при заданном
механизме передачи усилий со стороны ткани на ленты каркаса и при
известных физико-механических характеристиках материала кон-
струкции парашюта. Обычно для решения подобных задач использу-
ется метод временных слоев [16,89]. В связи с чрезвычайно жесткими
требованиями, предъявляемыми аэроупругими задачами к вычисли-
тельной технике, широкое распространение получили менее сложные
модели динамики СОП с учетом упругости подвесной системы.

В моделях динамики СОП с учетом упругости подвесной систе-
мы принимается физическая модель, в которой реальная система
объект—парашют заменяется материальной системой, состоящей из
двух твердых тел — объекта и парашюта, связанных одной или не-
сколькими упругими связями, не работающими на сжатие, но в
которых действуют силы внутреннего трения, пропорциональные
скорости деформации [89, 20, 21, 22, 47].

Модель аэродинамического воздействия потока на парашют в ука-
занных моделях состоит из двух частей: квазистационарной части,
выражаемой с помощью коэффициентов аэродинамических сил и мо-
ментов парашюта, и нестационарной части, выражаемой через присо-
единенные массы парашюта [89].

Учет турбулентности атмосферы в случае необходимости произ-
водится через зависимости аэродинамических сил и моментов (как
квазистационарных, так и нестационарных) от вектора воздушной
скорости, получаемого по формуле

1/г=г/0-ж.

Здесь 1К — вектор скорости ветра с составляющими в земной системе
координат

IV. = (Ж + Ж) соз гр 4- XV зш

I 4 ср г7 г п г

>К> = ™п>
2 П

Ж. = —(Ж + XV ) зш гр + XV соз у>,
□	ср X'	п

где Жср — средняя скорость ветра на высоте парашюта; Ж,, Ж^ —
составляющие турбулентной скорости ветра, направленные соответст-
венно вдоль вектора средней скорости ветра и перпендикулярно ему;
гр — угол между плоскостью сброса СОП и вектором средней скорости
ветра.

Математическая модель, соответствующая принятой физической
модели, включает в себя уравнения движения объекта (12.4) и урав-
нения движения парашюта:

(тп + ЛП)УО1 + Я121/02 - (тА -	+ (тп +	-

-	+Л22)“’зС/02 -Л12Шзг/0. + ("А +*34>1Ш2 "

— (т х —	— (т х + Лэ,)оС =

' п к 357 2	' п к 267 3

2	3	3

= 2^1/2 ^№]к + У/	“ ^11 “^33^2^3* +

/=1 Л=1	к=\

рЦ2^

+ си3 [(Лп - А22)?72Л - 2А12?71	- с%1 -у

(тп + ^22^02 + ^12^01 + (тп*к +^26^3 +	+ ^11^3^01 ”

"	+ А33>1^03 + Л12<У3:/02 + (тпХк ~ А35>1"2 “

-	+ ЛзХ ” ("\Л - Л16>3 =

3 3

= 2 ^12^^к^1к + Л ^{^22 “ ^33^1^3* " ^12^2^3)1 +

/=1 к=1	/=1

рц2

+ [0ц -Л22^1* +	~ ти^22 + Су1 ~2Г Рп + Туп'

+ ;зз)^03 + (тА + Л34>'Ь1 - («Л - ^35^2 +
+ (тп + >22^1^02 (ЛЛп + ^11^2^01 + ^1^01	^2^02^12 +

+ ("Л +Я26>1Ш3 +	- А16>2Ш3 =

= ^33 2 ^к^Зк + 2	[^22 ” ^33^2Л + ^12^и]^1 ~

к=1	к=1	-*

рЦ*

~ [^11 ” ^33^ 1к + ^12^2^2/ "" тп^32 + С21 2 ^п + Тт>
<^1 + А44>"1 + (61?2 + А45^2 + <тЛ + А34^03 +

+ (033 + Л66 - 022 - Л55)ш2ш3 - (021 + Л45)ш1со3 + (т^ + Л34)х

ХШ1^02 ~ (тЛ ” ^16^2^01 + ^26 + ^35^2^02 ~ ^26 “ ^35^Х
3 3

ХШ3^03 ~ ^34 2 ^к^Зк + 2 ^{^34^1^2*: + Г^34 + Л6^1Л +
Л=1	Л=1

+ Л26^2к] Ш2 "	~ т А’32 + тх1 ~Г РЛ + Ме

^12 + А45^“1 + @22 + А55^2 "	~ А35^03 + ^12 + А45^Х

ХШ2Ш3 + <б?1 + Л44 " б33 - А6б)“'1Ш3 ~ (тЛ + Л2^Ш1и02 +
+	“ А35^<а2^01 + (А34 + А16^С°31703 “ ^А16 + А34-*Ш 1 ^01 =

~ А35 2 ^^Зк + 2 И/*)~ [(А35 + А26^2* + А16^ 1 “*! +
*=1	к=1

1	Рц2. Т

+ Л3^1к + Л34ШзЪк1 + тп^ХЛ2 + ту1 ~Г Рп°К + Му ’

(033 + А6>3 - ("’Л - А1б)^01 + ("Л + А2б)^02 + ^2 + А45>Х

х(ш1 ш2) + (^22 + А55 6и Л44^Ш1Ш2 + ^гА + А26^3^01

- ("’Л ~ А35>14/03 ~ (тЛ + А34>21/03 + (тЛ - А16>3^02 =
2	3	3

= X А16 2 ^к^1к + 2 И* [(А26 + А35^Ш1'?ЗЛ “ Ш2^Л 16 + А34^3* +
1=1	к=\	*=1	1-

1	РЦ1г Т

+ ^2к ~ ^^з] ~ т^22 ~ ^12> + тг1 ~2~	+ Ч ’

В систему уравнений входят также кинематические уравнения
объекта и парашюта, например, в форме (12.5), (12.9) и уравнения
совместности деформаций в форме (12.14), (12.15).
Раздел шестой

ФИЗИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

В ПАРАШЮТОСТРОЕНИИ

Глава 14

ИССЛЕДОВАНИЯ ПАРАШЮТОВ

В АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ТРУБАХ

8 14.1. Методы исследований в аэродинамических трубах

В аэродинамических трубах (АТ) исследуют характер и основные
закономерности обтекания жестких моделей и натурных мягких про-
ницаемых парашютов потоком газа, напряженно-деформированное
состояние рифленых и полностью наполненных парашютов различ-
ных конструкций как изолированных, так и в следе за объектом.

Информация, получаемая в аэродинамических трубах, обуслов-
ливается их возможностями и целями, которые ставятся при прове-
дении исследования. Общим для всех экспериментов в АТ является
то, что парашют крепится к неподвижному относительно трубы телу
(стойка или специальное устройство), а движется среда с постоянной
скоростью набегающего потока. Так как при натурном применении
парашютов происходит изменение скорости центра масс системы
объект—парашют, в АТ могут моделироваться лишь отдельные этапы
работы парашютной системы, например введение в действие вытяж-
ного парашюта, раскрытие и последующее функционирование тор-
мозного парашюта и т. д. При этом эксперименты для каждого этапа
проводятся при скорости потока, соответствующей скорости натурно-
го режима.

Основными параметрами АТ являются максимально достижимая
скорость потока и размер рабочей части трубы. По первому параметру
трубы делятся на дозвуковые и сверхзвуковые. Аэродинамические
трубы дозвуковых скоростей, как правило, имеют открытую рабочую
часть. Размер рабочей части некоторых дозвуковых АТ может по-
зволять проводить исследования натурных парашютов площадью до
100 м2

Сверхзвуковые АТ позволяют проводить исследования моделей
парашютов от трансзвуковых скоростей до сверхзвуковых (при чи-
слах Маха М = 1—6). Площади Гп исследуемых моделей парашютов
могут достигать 0,1 —0,5 м2. При необходимости могут варьироваться
плотность и температура набегающего потока

Перечислим некоторые основные параметры, которые регистри-
руются в процессе проведения испытаний. Большой интерес представ-
ляют данные о векторе силы К(1) воздействия парашюта на объект
(груз, головное тело) на различных этапах его функционирования.
Часто одновременно с измерением вектора силы регистрируются
соответствующие изменения формы парашюта и проводится визу-
ализация его обтекания. Такие параметры, как перепад давлений на
поверхности купола в различные моменты времени и силы натяжения
в элементах конструкции парашюта: в ткани, стропах, лентах карка-
са, соединительных звеньях, элементах рифления, важны не только
для практического применения, но и для теоретического изучения
взаимодействия парашюта с потоком газа.

Эксперименты в АТ позволяют оперативно получать большой
объем информации с высокой степенью точности. Для замера усилий
в элементах конструкции парашюта используют тензометрические
датчики. Для замера перепада давлений на поверхности купола пара-
шюта применяют специальные индукционные датчики. Помимо это-
го, для изучения распределений давления по внешней и внутренней
поверхностям купола, а также для измерения перепада давлений на
поверхности купола могут быть установлены приемники давления,
соединенные с батарейным манометром.

Для визуализации потока при обтекании наполненного парашюта
используются различные общепринятые методы, например метод
шелковинок. Процесс функционирования парашюта может фикси-
роваться на кинопленку или с помощью видеомагнитофона.

Большой объем экспериментов в АТ проводится с целью опреде-
ления аэродинамических характеристик различных типов парашютов
в зависимости от времени или фазы наполнения, углов атаки, чисел
Маха, удаления от объекта и управляющих воздействий для управля-
емых парашютов-крыльев.

Испытания парашютов в следе за объектом могут проводиться с
использованием специальных парашютных стендов. В этом случае
макет объекта с помощью шарового или цилиндрического шарнирного
соединения крепится к стенду. Шарнир позволяет макету совершать
плоские или пространственные колебания относительно точки креп-
ления макета к стенду. При этом шарнир может быть оборудован
датчиками, фиксирующими углы отклонения объекта относительно
вектора скорости набегающего потока. Сам макет также может быть
оборудован датчиками, измеряющими вектор силы воздействия пара-
шюта на макет. Данные подобных экспериментов используются для
идентификации ММ динамики движения системы объект—парашют
для определения динамических коэффициентов сил и моментов пара-
шюта.

При исследовании зависимости статических аэродинамических
характеристик парашютов от углов атаки применяют специальные
устройства [76], позволяющие изменять и фиксировать угол наклона
парашюта к потоку.

Устройство состоит из продольной балки, устанавливаемой на
верхнем строении аэродинамических весов. На переднем конце балки
имеются проушины для крепления коуша (коушей) строп парашюта.
К полюсной части купола крепится металлический фланец с отвер-
стием. Купол парашюта с фланцем насаживается на балку и может
скользить вдоль нее. Угол между вектором скорости и осью симметрии
парашюта (балкой) создается поворотом балки в вертикальной или
горизонтальной плоскости. Силы и моменты регистрируются аэро-
динамическими весами трубы.

§ 14.2.	Зависимость аэродинамических характеристик
осесимметричных парашютов от углов атаки

Типичные зависимости коэффициентов силы сопротивления с*,
подъемной силы су и момента тангажа т? от угла атаки а для круг-
лых парашютов с нулевой конструктивной воздухопроницаемостью
Кп купола представлены на рис. 14.1 [76].

Основной характеристикой устойчивости парашюта является за-
висимость тг(а). Рассмотрим ее подробней.

Функция	мала по абсолютному значению во всем диапазоне

изменения угла атаки и равна 0 при а = 0 и а = Коэффициенты
аэродинамических производных т“(0) > 0, а < 0.

О круглых парашютах, не имеющих конструктивной проницае-
мости, можно сказать следующее.

При а = 0 парашюты неустойчивы. Угол атаки а = является
устойчивым балансировочным углом. Это связано с тем, что малая
несимметрия купола вследствие технологических допусков линейных
размеров приводит к периодическому несимметричному сходу вихрей
с нижней кромки.

Увеличение проницаемости купола существенно изменяет вид
функций т^а) и (у(а), характеризующих устойчивость парашюта.

Рис. 14.1. Зависимости аэродинамических коэффициентов от угла атаки для круг-
лого парашюта: а — Г - 6 м2, К = 0, Л = 2; б — Р = 63 м2, К = 0, Ь = 1,6
с	п	п	п
Рис. 14.2. Влияние конструктивной проницаемости на аэродинамические ха-
рактеристики: а — круглый парашют (Г = 10 м2, Ь = 2); б — ленточный парашют
(^ = 16 м2, Ь = 2); в — щелевой парашют (/^ = 24 м2, Ь = 2); сплошная линия —
Кп = 0,06; штриховая — Кп = 0,1; штрихпунктирная — Кп = 0,15

На рис. 14.2д представлены зависимости сх(а), су(а) и т^а) для круг-
лого парашюта с различными значениями Характер зависимости
сх(а) не изменяется при увеличении от 0,06 до 0,15. Абсолютные
значения с* убывают при увеличении К^.

Увеличение приводит к качественному изменению вида фун-
кции тг(а). Если для = 0,06 функция т2(а) обращается в нуль при
а = 0 и а = с?0, т. е. ее график пересекает ось абсцисс в трех точках, то
для Хп > 0,1 имеется лишь одна точка пересечения с осью абсцисс,
соответствующая углу сх = 0. При этом коэффициент аэродинамичес-
кой производной лп"(0) меняет знак на отрицательный.

Таким образом, с увеличением проницаемости купола устойчи-
вость парашюта увеличивается. Угол атаки а = 0 становится устой-
чивым балансировочным углом.

Аналогичные тенденции наблюдаются также для ленточных и ще-
левых парашютов, зависимости сДа), су(а) и т^сх) для которых пред-
ставлены на рис. 14.26 и 14.2в.

Зависимости от угла атаки коэффициентов аэродинамических сил
сх(а), с^(а) и момента т'^а) и координаты центра давления хд для
235
Рис. 14.3. Зависимости аэродинамических коэффициентов от угла атаки:
а — конусный парашют (7^ = 6 м2,	= О, Ь = 2,0); б — крестообразный парашют

(/=• = 5,5 м2,	= 0, Ь = 2,4); в — квадратный парашют (7^ - 8,3 м2,	= 0, 7. = 1,4)

конусного парашюта представлены на рис. 14.3а. Функция сх(а) для
этого парашюта имеет четко выраженный минимум при а = 0. Функ-
ции су(а) и т’2 (т? = • 2/) линейны в интервале -10° < а < 10° и
проходят через начало координат Производные	гп^(а) < 0.

Таким образом, конусный парашют имеет одну устойчивую ба-
лансировочную точку при а = 0

На рис. 14.36 представлены зависимости с*(а), су(а) и тг(а) для
парашюта с крестообразным куполом. Функция сх(а) имеет три
экстремума: минимум при а = 0 и максимумы при а = ±10°. Фун-
кции су(а) и т2(а) аналогичны функциям с^(а) и т2(а) конусного
парашюта. Парашют статически устойчив при а = 0.

Зависимости с*(Л су(а) и т2(а) для парашюта с квадратным ку-
полом, представленные на рис. 14.Зе, во многом аналогичны соот-
ветствующим зависимостям для круглого парашюта с = 0.1 и для
парашюта со стабилизирующим кольцом. В интервале углов атаки
-7° < а < Т функция и ее производная близки к нулю, т. е.
парашюты практически нейтральны.

Приведенные аэродинамические характеристики получены для
парашютов, стропы которых сведены в одну точку, в которой на-
ходится коуш. Между тем в практике проектирования применяются
парашюты, имеющие несколько коушей (рис. 14.4).
р,<0; ал<ояс

^«01 ап=ак

осп><%к

Рис. 14.4. Система объект—парашют при многоточечном креплении парашюта к
объекту

Для подобных конструкций характерно сушественное изменение
формы парашюта при взаимных колебаниях объекта и парашюта.
При этом для одного и того же угла атаки парашюта «п угол атаки
купола а* может принимать разные значения, как это показано на
рис. 14.4. Таким образом, аэродинамические характеристики пара-
шюта будут зависеть не только от его положения в потоке, т. е. от угла

Рис 14.5. Зависимости аэродина-
мических коэффициентов от угла атаки
парашюта при многоточечном крепле-
нии: а — конусный парашют с цилин-
дрической вставкой (Г = 2,4 м2) в свя-
занной системе координат; б — конус-
ный парашют с цилиндрической встав-
кой (/* = 2,4 м2) в скоростной системе
координат; в — конусный парашют
(Гп « 2 м2) в связанной системе коорди-
нат, г —конусный парашют (Гп = 2 м2)
в скоростной системе координат; сплош-
ная линия — /л = 0; штриховая —
/4 = 20°
атаки а, но и от взаимного расположения объекта и парашюта, т. е. от
угла//.

На рис. 14.5 представлены зависимости коэффициентов аэроди-
намических сил и моментов соответственно конусного парашюта с
цилиндрической вставкой (слева) и без нее (справа) от углов атаки
при различных фиксированных значениях угла //. Видно, что при
// = О конусный парашют без цилиндрической вставки устойчиво
балансируется на нулевом угле атаки. Для углов О происходит
смещение точки устойчивой балансировки.

§ 14.3.	Аэродинамические характеристики парашютов-крыльев

Аэродинамические характеристики парашюта-крыла существен-
но зависят от аэродинамических характеристик его профиля. В связи
с этим приведем экспериментальные данные по аэродинамическим
характеристикам жестких профилей, моделирующих форму профиля
натурного парашюта-крыла.

На рис. 14.6 представлены зависимости су(а), т2(а) и К(а)
(К = су/сх — аэродинамическое качество) для профилей, образован-
ных сопряжением дуги окружности и отрезка прямой [51].

Профили различаются относительной вогнутостью / = /тах/В и
координатой максимальной вогнутости х, = х, /В, где /	— ма-

Лпах Лпах	Шах

ксимальное значение вогнутости; х. — координата максимальной

•'тах

вогнутости, отсчитываемая от носка профиля; В — хорда профиля.

Рис. 14.6. Зависимость аэродинамических коэффициентов от угла атаки и отно-
сительной вогнутости профиля
Рис. 14.7. Зависимости аэроди-
намических коэффициентов от угла
атаки для жестких замкнутого кры-
лового профиля 1 и разрывного про-
филя 2

Как видно из приведенных графиков, величины /их, заметно

Лпах

влияют на аэродинамические характеристики профиля. Наиболее вы-
сокие значения максимального аэродинамического качества К имеют
профили с параметрами / = 0,05; х, = 0,2 и /= 0,08; х, = 0,2.

Лпах	Лпах

Наибольшими значениями коэффициента максимальной подъемной
силы с	обладают профили с / = 0,12.

ушах	'

Приведенные зависимости позволяют выбирать форму профиля
однооболочкового парашюта-крыла с определенным сочетанием
аэродинамических характеристик.

На рис. 14.7 представлены зависимости основных аэродинамичес-
ких коэффициентов от угла атаки для замкнутого крылового профиля
1 и разрывного профиля 2, моделирующего профиль двухоболочко-
вого парашюта-крыла [75]. Видно, что наличие воздухозаборника
у парашютного профиля приводит к уменьшению максимальной
подъемной силы и критического угла атаки. При этом производная с"
остается практически неизменной. Зависимости т^а) для обоих про-
филей близки между собой. Во всем исследованном диапазоне углов
атаки коэффициент сопротивления профиля парашюта больше ко-
эффициента сопротивления профиля крыла.

Введение проницаемости на нижней оболочке профиля парашюта
приводит к увеличению подъемной силы. Одновременно возрастает и
сила сопротивления профиля.

Зависимости аэродинамических коэффициентов сх(а), с^(а) и
К(а) для тканевой модели двухоболочкового парашюта-крыла, имею-
щей жесткие нервюры, приведены на рис. 14.8. При нахождение этих
зависимостей угол а определялся как угол между нижней образую-
щей поверхности купола и вектором скорости набегающего потока.
Рис. 14.8. Зависимости аэродинамических коэффициентов от угла атаки для тка-
невой модели двухоболочкового парашюта-крыла, имеющей жесткие нервюры

Максимальное аэродинамическое качество= 3,2 реализуется на
углах атаки а - 4-8°.

Испытания натурного парашюта аналогичной конструкции по-
казали, что он балансируется на углах атаки а ~ 4-8°, при этом
значения аэродинамических коэффициентов составляют сх = 0,284;
с = 0,645; К - 2,26. Как видно, зависимости основных аэродина-

Рис. 14.9. Зависимости аэродинамических коэффициентов от угла атаки для одно-
оболочкового парашюта-крыла площадью 5,5 м2
мических коэффициентов полужесткой модели двухоболочкового
парашюта-крыла отличаются от соответствующих зависимостей для
жесткого профиля Это объясняется наличием стропно-косыночной
системы и воланов на куполе, что ведет к увеличению общего со-
противления парашюта. В свою очередь, натурный парашют имеет
меньшее значение максимального аэродинамического качества, чем
полужесткая модель, так как нервюры в наполненном натурном пара-
шюте деформируются и форма профиля искажается.

На рис. 14.9 представлены зависимости с*(а), с^(сг), т^а) для
однооболочкового парашюта-крыла. Для этих зависимостей угол ата-
ки а определялся как угол между вектором скорости и прямой, прохо-
дящей через точки крепления передней и задней центральных строп к
куполу.

§ 14.4.	Аэродинамические характеристики сверхзвуковых
парашютов

Характеристики парашютов при сверхзвуковых скоростях суще-
ственно зависят от режимов работы (чисел Маха и Рейнольдса
Ре), формы парашюта и его конструктивных параметров, геометри-
ческих характеристик СОП (соотношения диаметров I) купола и
объекта и относительного расстояния между ними Ь), характеристик
объекта с и т.п.

х

Рис. 14.10. Зависимость коэффициента сопротивления ср конусного парашюта с
цилиндрической вставкой от относительного удаления от головного тела при И = 3.
К =0
Рис. 14.11. Зависимость коэффициента сопротивления сп конусного парашюта с
цилиндрической вставкой от числа Маха при Ь = 14, П = 3, Кп = О

В качестве примера на рис. 14.10, 14.11 приведены зависимости
коэффициента сопротивления сп от различных параметров, получен-
ные для моделей парашютов площадью 0,017-0,039 м2.

Анализ приведенных типичных зависимостей показывает, что
кривые имеют две основные ветви, соответствующие открытой и за-
крытой схемам обтекания СОП, а также переходный участок интен-
сивного роста с , соответствующий перестройке течения от открытой
схемы к закрытой, реализующейся при увеличении относительного
расстояния Ь.
Глава 15

ИССЛЕДОВАНИЯ ПАРАШЮТОВ НА БУКСИРОВОЧНОМ
СТЕНДЕ И В ЛЕТНОМ ЭКСПЕРИМЕНТЕ

8 15.1. Методика идентификации аэродинамических
характеристик парашютов-крыльев по результатам
экспериментов на буксировочном стенде

Буксировочный стенд (БС) представляет собой грузовой авто-
мобиль со смонтированной на нем площадкой для установки испы-
туемого парашюта и системы измерений (рис. 15.1). При движении
автомобиля на парашют действует воздушный поток, скорость кото-
рого I/ = 10—15 м/с вполне достаточна для наполнения планирующе-
го парашюта-крыла. Данные для идентификации аэродинамических
характеристик парашюта-крыла можно получить как реакцию систе-
мы в форме измеренных усилий в соединительных звеньях и углов их
отклонений относительно стенда в процессе движения автомобиля
путем воздействия на стропы управления либо изменения скорости
перемещения автомобиля по определенному закону.

Весьма эффективным методом идентификации нелинейных
непрерывных динамических систем является метод дискретно-непре-
рывной идентификации, основанный на принципе максимума прав-
доподобия [55]. В указанном методе корректность решения задачи
идентификации достигается полным учетом априорной информации о
математической модели парашюта, действующих возмущений и по-
грешностей датчиков.

Уравнения движения парашюта относительно стенда, получен-
ные в работе [24], выглядят следующим образом:

/	+ Мр'х(У' + ш'х!/7) + Мр'х [Охр' - $п ] +

ПС	сев

+ 2Мр^х [йх(1/'хо>'х//)] + ш'хЛа' + Сх/пО =

(15.1)

М[1Г + ш’хУ + й'Хр'^ + ш'х(ш'хр^)] + М[ОХр^ +

+ Ох(йхр') -	] + 2М[Ох(^'Хш'Хр')] = КА +

сх В	с

где Л/,	— соответственно масса, тензор инерции и вектор-радиус

Центра инерции парашюта относительно точки крепления к стенду;
Рис. 15.1. Схема эксперимента на бук-
сировочном стенде при различных законах
управления

лв — вектор перегрузки в точке крепления парашюта к стенду; КА,
т*А, — соответственно главные векторы и главные моменты
аэродинамических сил и усилий в соединительных звеньях; □ — угло-
вая скорость стенда.

Для учета возмущений, возникающих вследствие атмосферной
турбулентности, модель (15.1) дополняется уравнениями для про-
дольной и поперечной составляющих вектора скорости турбулент-
ности. имеющих следующий вид в случае модели Драйдена [46]:

(15.2)

Ч =	+

"1=М2’

Ц	Ца

где	Ь, — масштаб продольной турбулентности;

т	п

Ьп — масштаб поперечной турбулентности;	— белые нор-

мальные шумы с нулевым средним и интенсивностями 8п = 3/*^ и
8т = °пиох — среднеквадратичные отклонения продольной и
поперечной компонент турбулентности.

При идентификации модели (15.1), (15.2) зависимости, харак-
теризующие движение БСП (пв, О) и ход строп управления, предпо-
лагались известными.

Погрешности измерения усилий в соединительных звеньях и
углов наклона звеньев относительно стенда моделировались следую-
щим образом: // = #точн 4- тЛ, ц = ^точн + где — независи-
мая последовательность нормально распределенных чисел с нулевым
средним и дисперсией гЛ и 1^. Регистрация показаний датчиков
осуществлялась с частотой 10 Гц.
Ошибки оценивания, %	Ошибки оценивания,%	Ошибки оценивания

Рис. 15.2. Результаты идентификации
§ 15.2. Результаты идентификации

Разработанный на основе дискретно-непрерывного метода [55]
алгоритм идентификации был протестирован с помощью вычисли-
тельного эксперимента на ЭВМ, в котором моделировалось движение
парашюта площадью 21 м2 и массой 5 кг. Флуктуационные по-
грешности имели следующие значения тензодатчика деформаций
= 4 Н, датчика угла —	= 0,5.

Результаты идентификации параметров с^, с“, с“, в виде
погрешностей оценивания в процентах от истинных значений для
различных законов управления приведены на рис. 15.2 [23].

Анализ приведенных зависимостей показывает, что алгоритм
идентификации работает достаточно эффективно. Даже в стационар-
ном режиме при постоянной скорости потока погрешности оценива-
ния параметров уменьшаются от 70-80% до 20-30%, а погрешности
параметров и с* не превышают 5 %.

о

При нестационарном режиме погрешности уменьшаются до 10-
15%, а для параметров а^ис^до 1%. При этом чем интенсивнее
изменяется скорость потока, тем меньше погрешности оценивания.

8 15.3. Летные исследования парашютов

Летные исследования парашютных систем — это отдельное само-
стоятельное направление в цикле разработки ПС, требующее специ-
ального рассмотрения. Из-за ограниченного объема настоящей книги
основные сведения по данным вопросам приводятся лишь конспек-
тивно.

Летные испытания парашютных систем проводятся путем десан-
тирования объекта с исследуемой парашютной системой с авиаци-
онного или ракетного носителя. Как правило, летные испытания
являются завершающим этапом испытаний и проводятся для подтвер-
ждения заданной надежности парашютной системы.

В летных испытаниях парашютная система работает или в натур-
ных (максимально приближенных к натурным) условиях или в ус-
ловиях, ужесточенных по определенным параметрам по сравнению со
штатными. Ужесточенные испытания проводятся с целью сокраще-
ния общего объема экспериментов при испытаниях системы.

При проведении летных испытаний в качестве объекта могут быть
использованы массовые, габаритно-массовые или натурные макеты
Массовый макет моделирует только массу натурного объекта. Геоме-
трические обводы, а следовательно, моментные и аэродинамические
характеристики массового макета отличаются от соответствующих
характеристик натурного объекта. Габаритно-массовый макет пред-
ставляет собой, по существу, натурный объект упрощенной кон-
струкции. Он имеет одинаковые с ним массовые, моментные и
аэродинамические характеристики.
Чаще всего в летных испытаниях парашютная система функцио-
нирует по полной штатной схеме. Однако если по каким-либо причи-
нам полное подобие для всех этапов функционирования парашютной
системы осуществить не представляется возможным, то циклограмма
и схема функционирования парашютной системы могут изменяться
таким образом, чтобы подобие имело место для отдельных этапов ее
работы.

При летных испытаниях проводят внешнетраекторные и бортовые
измерения. Для этого на объект устанавливают измерительную и
записывающую аппаратуру, а также блок питания.

С помощью внешнетраекторных измерений определяют параме-
тры движения центра масс системы объект—парашют. Обработка
данной информации с помощью методов идентификации позволяет
получать коэффициент сопротивления парашюта.

С помощью бортовых измерений могут регистрироваться нагрузки
на парашют и деформации в элементах системы, перепад давлений на
куполе парашюта, угловые скорости и перегрузки объекта.
Глава 16

ИССЛЕДОВАНИЕ ПАРАШЮТОВ

НА АЭРОБАЛЛИСТИЧЕСКИХ СТЕНДАХ

§ 16.1. К организации исследований
на аэробаллистических стендах

Аэродинамические исследования на аэробаллистических стендах
базируются на решении общей задачи механики — определении сил и
моментов, действующих на тело, по его известному движению.

В аэробаллистическом эксперименте эта общая задача подразде-
ляется на три:

задачу придания телу (объекту) требуемой начальной скорости
движения;

задачу регистрации траектории движения тела;

задачу математической обработки результатов регистрации.

Таким образом, в отличие от эксперимента в аэродинамической
трубе, в котором непосредственно измеряются действующие на тело
силы, в аэробаллистическом эксперименте регистрируется движение
свободно летящего тела, и на основе анализа зарегистрированных ха-
рактеристик движения определяются аэродинамические силы и мо-
менты.

Такие исследования проводятся на специально оборудованных
баллистических трассах (стендах).

Свое начало аэробаллистический метод исследования берет от ра-
бот артиллеристов. Первая в России баллистическая трасса для иссле-
дования воздушного сопротивления снарядов была создана в 1845 г,
К.И.Константинэвым.

Метод, получивший применение и развитие для определения
аэродинамических характеристик тел неизменяемой в полете геомет-
рии, оказался весьма эффективным для исследования аэродинамики
тел переменной в полете геометрии и, в первую очередь, парашютов

Ясно, что в силу своих особенностей аэробаллистический метод
не позволяет проводить исследования изолированного парашюта.
Объектом исследований может являться лишь система головное
тело—парашют (система ГТП). Лобовое сопротивление системы ГТП
складывается из сопротивлений головного тела и парашюта, а также
дополнительного сопротивления, обусловленного их взаимным влия-
нием. В большинстве случаев основная доля в общем сопротивлении
системы ГТП приходится на парашют. Для того чтобы определить эту
долю, проводят аэробаллистический эксперимент как с системами
ГТП, так и с ГТ без парашюта.
Рис. 16.1. Схемы заряжания пуш-
ки: а — раздельное заряжание; б — за-
ряжание без применения поддона;
1 — ствол; 2 — головное тело; 3 — под-
дон; 4 — парашют; 5 — диафрагма;
6 — гильза; 7 — пороховой заряд;
8 — войлочные пыжи

Начальная скорость движения систе лы ГТП в аэробаллистичес-
ких исследованиях создается выстреливанием ее из гладкоствольной
пушки (газовой или пороховой). При этом модель и пороховой заряд
заряжаются раздельно (рис. 16.1а).

Для обтюрации и защиты парашюта от действия горячих порохо-
вых газов в процессе движения в канале ствола пушки применяются
специальные поддоны. Конструкция и материал поддонов выбирают-
ся в зависимости от формы ГТ и скорости выстреливания: при транс-
звуковых и малых сверхзвуковых скоростях пластмассовые поддоны,
при больших сверхзвуковых — металлические. Поддоны изготавли-
ваются разрезными, чтобы после выхода из канала ствола пушки они
отделялись от испытуемого объекта и сходили с траектории его по-
лета

В отдельных случаях выстреливание может проводиться без при-
менения под донов (рис. 16.16).

Разрезные поддоны используются в основном при исследованиях
на открытых стендах с параметрами окружающей среды. На стендах с
изменяемыми параметрами среды они непригодны.

Для работы на таких стендах используются поддоны-снаряды, ко-
торые обеспечивают ввод парашюта в заданной точке траектории.

Ввод парашюта в поток осуществляется с помощью пиротехничес-
кого устройства, срабатывание которого происходит при пробивании
снарядом токопроводящих плоскостей-мишеней, на которые подается
электропитание 5-10 киловольт.

Для того чтобы результаты экспериментальных исследований
парашютов на открытых аэробаллистических стендах могли быть
использованы на практике, необходимо при постановке эксперимента
обеспечить соблюдение условий динамического подобия (полного или
частичного).

В частности, при определении аэродинамических сил требуется
равенство чисел Маха М и Рейнольдса Ре для натурного и модельного
экспериментов:

М, = М • Ее, = Не,; М = -; Не = —,

1	2’	1	2	а	V
где V — скорость движения центра масс объекта; а — скорость звука;
I—характерный линейный размер; V — коэффициент кинематической
вязкости. Индексы 1,2 обозначают соответственно натурный парашют
и его модель.

Из последних равенств следует, что масштаб моделирования
Л = определяется формулой

а\ у2

Л = ——.

а2У1

Таким образом, масштаб модели парашюта, необходимый для
осуществления одновременного подобия по числам М и Ре, является
функцией высоты, на которой применяется натурная система ГТП
Чем больше высота, тем меньше будет модель.

Полностью геометрически подобную модель парашюта для аэро-
баллистических исследований не всегда удается выполнить. В част-
ности, геометрическое подобие соблюдается только по основным
(внешним) параметрам: диаметру купола, его конструктивной про-
ницаемости, относительным длинам строп и соединительного звена.

Подобие по конструктивной проницаемости купола требует вы-
полнения равенства

Р

(К ), = (К ),; К =

4 П'1	4 п'25 П р 1

п

где — коэффициент конструктивной проницаемости купола; Р^
— суммарная площадь отверстий в куполе; Р — площадь купола
парашюта в раскрое.

Подобие по жесткости конструкции и толщине строп соблюдается
лишь для натурных парашютов с площадью купола Рп < 1,5 м2. Для
парашютов с большей площадью купола эту задачу решить чрезвы-
чайно сложно. Следует отметить, что несоблюдение подобия по жест-
кости конструкции и толщине строп сказывается на процессах ввода и
раскрытия парашюта. При полностью раскрытом парашюте этим вли-
янием можно пренебречь.

В аэробаллистическом эксперименте ввод парашюта производит-
ся в основном по потоку в область начального участка донного следа
головного тела.

Поскольку мидель крышки парашютного люка меньше миделя
головного тела, то в начальный момент при небольших расстояниях
между крышкой и головным телом аэродинамические силы, действу-
ющие на крышку, малы. Крышка движется со скоростью, близкой к
скорости в момент отделения. В то же время скорость головного тела,
испытывающего сопротивление среды, падает. Расстояние между го-
ловным телом и крышкой будет уменьшаться и она может догнать
головное тело и соединиться с ним (см. рис. 16.2 справа налево).
Рис. 16.2. Модель головного тела в свободном полете

Из рис. 16.2 хорошо видно, что крышка отделилась, переверну-
лась и догнала головное тело.

Для надежного отделения крышки необходимо либо выдержать
требуемые соотношения между массами и аэродинамическими сила-
ми, действующими на разделяющиеся тела, либо придать крышке
относительную начальную скорость, достаточную для выхода ее из
зоны начального участка донного следа.

Первое условие описывается неравенством

% т

— > —

Сх т2

х2 *

где с , с	— текущие значения коэффициентов сопротивле-

Ху *	*•

ний и масс соответственно отделяющейся крышки и головного тела.

Требуемая начальная скорость отделения крышки определяется
при следующих допущениях:

ускорение (замедление) объекта в процессе отставания крышки
может быть принято постоянным, при этом пренебрегается измене-
нием донного давления рдон при движении крышки;

минимальное расстояние, которое должна преодолеть крышка за
счет приложенного импульса, определяется протяженностью началь-
ного участка донного следа.

Движение крышки относительно объекта описывается уравне-
нием

=	.	(16.1)

(И	кр

Скорость крышки представим равенством:

где 6^ — скорость объекта в момент отставания крышки, Уотс — на-
чальная (относительная) скорость отставания крышки.

С учетом равенства (16.2) уравнение (16.1) примет вид

= V “ +	<16‘3)

а1 . О отс
В уравнении (16.3) разность V — 17® на основании первого допу-
ения может быть представлена равенством

и-и0 = п^.	(16.4)

Подставляя (16.4) в (16.3), получаем

^^=1/ — п я1.	(16.5)

(11 отс

Проинтегрировав уравнение (16.5) и решив его относительно V’ ,
будем иметь

и = -7е +	(16.6)

отс I 2

С учетом второго допущения соотношение (16 6) перепишем в
виде

Ц

0ТСпйп

(16.7)

Как видно из равенства (16.7), скорость отставания 11 зависит
^тш

от действующей на объект перегрузки п* и величины начального уча-
стка донного следа х*р1 которая зависит от числа М набегающего по-
тока.

При экспериментальных исследованиях процесса отделения
крышки кроме подобия по числам М и Не важно еще соблюсти
подобие по скорости отделения крышки.

Это условие может быть получено из соотношения (16.7), которое
удобно записать так:

и I
отс

р

(16.7)

где Л — калибр (диаметр) объекта.

Потребуем, чтобы для натуры и модели выполнялись следующие
условия:

скорости отставания крышки у натуры и модели равны, т. е.

(У )	) ;	(16.8)

4 ОТС7Н 4 ОТС' м’

пути (в калибрах), проходимые крышкой за время I и I , равны,
т. е.



I л /«•

(16.9)
Из уравнения (16.9) с учетом равенства (16.8) имеем

О

I = — I
м р н
н

(16.10)

Следовательно, время протекания процесса отставания крышки у мо-
П

дели обратно пропорционально масштабу моделирования Л =

м

Выведем условие моделирования перегрузок. Если

I/ Л
ОТС [
° к

то

?	2

О + 20 ) I О + 20 I ‘

/ м \	/ к

(16.11)

Так как модель и натура геометрически подобны и соблюдено
подобие по М и Ре, то подобна и картина обтекания зоны донного
течения.

Следовательно,

(16.12)

С учетом (16.12) равенство (16.11) примет вид

О О '
м	н

(16 13)

Подставляя (16.10) в (16.13) и решая относительно	получаем

хм

= —Ап

( о к

п



В частности, для земных условий будем иметь и = Ап .
ХМ XII

Переходя в последнем равенстве от перегрузок к весам, имеем

р а2

С =— -уЛ~3а ,
м Рна2

н

гдер — плотность среды, а — скорость звука, С* — вес модели объекта.
§ 16.2. Параметры, регистрируемые в аэробаллистическом
эксперименте

Одной из основных задач аэробаллистического эксперимента яв-
ляется определение линейных координат центра масс летящей систе-
мы ГТП (объекта исследований). Оно производится по фотоснимкам
ее мгновенных положений в стендовой системе координат. Поэтому
каждый баллистический стенд имеет рабочий участок, оснащенный
аппаратурой для фотографирования. Аппаратура объединена в фото-
блоки, располагаемые вдоль оси участка регистрации. Шаг установки
фотоблоков определяется частотой исследуемого процесса и обычно
принимается равномерным.

Различают три основные оптические схемы фоторегистрации: си-
луэтную, силуэтно-теневую и теневую (рис. 16.3). Оптические схемы
фоторегистрации включают импульсные источники света, фотоаппа-
раты, устройства синхронизации, светоотражающие экраны.

Импульсные источники света служат для мгновенной засветки
летящего объекта, фотоаппараты — для фиксации его изображения
на фоне отражающих экранов, устройства синхронизации — для
синхронизации момента срабатывания источника света с пролетом
объекта перед объективом фотоаппарата.

Рис. 16.3. Оптические схемы фотореги-
страции свободно летящего объекта: а — си-
луэтная съемка; б — силуэтно-теневая съемка;
в — теневое фотографирование; 1 - импульс-
ный источник света; 2 — фотоаппарат; 3 - све-
тоотражающий экран; 4 - кассета с фотоплен-
кой
Аэробаллистические стенды с силуэтно-теневым фотографиро-
ванием предназначены в основном для исследования аэродинамики
объектов с изменяемой в полете геометрией, в том числе и пара-
шютов. Фоторегистрирующая аппаратура стенда устанавливается в
затемненном помещении. Источники света и фотоаппараты закре-
пляются в специальных узлах, допускающих регулировку по трем
осям.

В момент пролета испытуемой системой ГТП плоскостей, в кото-
рых расположены устройства синхронизации (блокирующие устрой-
ства) , вырабатывается электрический сигнал, поступающий в агрегат
запуска импульсных источников света. В момент срабатывания ис-
точника света подается сигнал счетчику времени. Первое устройство
синхронизации находится в начале участка регистрации, следующие
— на заданных расстояниях. Расстояния между ними соответствуют
шагу установки источников света. Управление аппаратурой участка
регистрации — дистанционное, с пульта управления.

При силуэтно-теневом фотографировании на одном кадре фик-
сируются тень и силуэт летящего тела. По их положениям на фото-
негативе вычисляются координаты х., у., г. некоторой характерной
точки тела в фиксируемые моменты времени. При этом используются
формулы

+	= У7 _ Я5

Х1 х01 Н + ,х — х ’ Н + у — у ’ 2« Н + у — у ’
‘ТС	лт лс	лт лс

где х^ — расстояние 1-го фотоаппарата от выбранной точки отсчета (от
начала координат прямоугольной системы Охуг); х^ ус, х^ ут — ко-
ординаты характерных точек силуэта и тени в системе координат эк-
рана; Н — расстояние между источником света и фотоаппаратом по
вертикали; 5 — расстояние от источника света до экрана по горизон-
тали.

Стенд с изменяемыми на участке регистрации параметрами среды
(давлением, плотностью, составом и т. д.) предназначен для исследо-
вания аэродинамики объекта в некотором диапазоне высот полета. Он
представляет собой герметично закрытую трубу и включает форкаме-
ру, участок регистрации и приемник для улавливания моделей.

Форкамера служит для «очистки» исследуемого объекта от присо-
единенной массы газа, увлекаемого при полете от среза ствола пушки
до форкамеры, а пулеприемник — для улавливания объекта в конце
участка регистрации.

Регистрация положения летящего объекта, как правило, выпол-
няется по силуэтной схеме. Для реализации указанной схемы на
трубе в двух взаимно перпендикулярных плоскостях закреплены
стальные патрубки, размеры которых выбраны из условия обеспе-
чения требуемых расстояний между фотоаппаратом и экраном. В тор-
цевой части патрубков имеются иллюминаторы и узлы крепления
фотоаппаратов и источников света.
При принятой схеме фотографирования на негативах фиксиру-
ется силуэт объекта в двух взаимно перпендикулярных плоскостях
По фотоснимкам определяются координаты х., у., 2. его центра масс
или другой характерной точки. При этом используются формулы

Ь — 2

X

г Р
X

Ь — у

X = х ——-----= X

I	р л,

У

У^У

ЬР -Ьг
. У__У—

Р Р -уг'
X у Л

ЬР -Ь\'
у X Г
г1~ 2 Р Р -уг'
г У У

где Ь , Ь
У X

— расстояния от фотоаппарата до осевой линии участка

регистрации в горизонтальной и вертикальной плоскостях соответст-
венно; у, 2 — координаты характерной точки объекта в системе ко-
ординат экрана; Р, Р? — фокусные расстояния фотоаппаратов; х^ х2
— координаты характерной точки объекта в системе координат стенда

для горизонтального и вертикального экранов соответственно.

Самым распространенным способом получения физической кар
тины обтекания тела набегающим потоком является прямое теневое
фотографирование. Оно широко применяется при исследованиях на
аэробаллистических стендах. С этой целью каждый аэробаллисти-
ческий стенд на участке регистрации оснащен фотоблоком теневого
фотографирования (см.рис. 16.Зе). Он включает точечный источник
света, кассету с фотопленкой, устройство синхронизации момента
срабатывания источника света с пролетом моделью зоны фотогра-
фирования. В качестве источника света служат специальные ис-
кровые разрядники с диаметром светящейся точки г/= (1 — 1,5) мм и
длительностью свечения I ~ 0,5-10~6 с.

Фотографирование производится непосредственно на фотопленку
форматом не менее 500x600 мм. При этом изображение мгновенного
положения летящего тела на фотопленке получается увеличенным
примерно в 1,3-1,5 раза.

На рис. 16.4 приведены физические картины обтекания изоли-
рованных тел различных форм, полученные на аэробаллистическом
стенде методом прямого теневого фотографирования.

Наряду с теневым фотографированием для визуализации поля
течения в следе за телом находит применение и фронтальное фотог-
рафирование. В его основе лежит изменение оптической плотности и
поглощающей способности следа за счет ввода в него паров и частиц
•минерального масла. Перед экспериментом поверхность модели по-
крывается тонким слоем минерального масла. В полете под воз-
действием воздушного потока пары и частицы масла сносятся с
поверхности модели и, попадая в след, увеличивают его оптическую
плотность и поглощающую способность. При импульсном освеще-
Рис. 16.4. Теневые картины обтекания тел различных форм
Рис. 16.5. Физическая картина обтекания свободно летящего конуса

нии на светлом фоне (на фоне экранов) на негативе получается изо-
бражение следа с четко видимыми границами (рис. 16.5). Для полу-
чения геометрических параметров видимой границы следа (а этот
способ фотографирования позволяет определять только геометрию
следа) фотографирование производят стереопарой, составленной из
двух обычных фотокамер с базой между объективами 100-300 мм.

$ 16.3. Физическая картина обтекания системы двух тел

Экспериментально установлено, что при сверхзвуковом осесим-
метричном обтекании системы двух тел в зависимости от расстояния
между ними реализуются различные виды течения. Существует
определенное критическое расстояние между телами такое, что при
1< I* имеет место «открытый» вид течения — течение с зоной отрыва
между телами, при 1> I* реализуется «закрытый» вид, т. е. течение с
замыкающим скачком уплотнения за передним телом и головной
ударной волной перед задним телом. Критическое расстояние 7* за-
висит от того, какой процесс происходит: сближение или удаление
тел. При сближении тел / оказывается меньше, чем при удалении
одного тела от другого.

На практике в основном приходится иметь дело с удалением одно-
го тела от другого. По данным аэробаллистического эксперимента для
системы двух тел, имеющей переднее тело с миделем большим, чем у
заднего тела, возможны следующие режимы обтекания. У задней
Рис. 16.6. Схемы обтекания системы двух тел: а — заднее тело целиком находится
в зоне отрыва переднего тела; б — течение с «открытым» следом; в — течение с «закры-
тым» следом

кромки переднего тела развивается свободный пограничный слой,
давление и температура торможения поперек которого почти посто-
янны. При небольшом расстоянии между телами, когда заднее тело
целиком находится внутри зоны отрыва, возникающей за головным
телом (рис. 16.6а), отсос газа по внутренней границе свободного пог-
раничного слоя за задним телом восполняется как в обычном донном
течении — из области присоединения, а перед ним — за счет перете-
кания через зазор между поверхностью заднего тела и зоной сме-
шения (под действием разности давлений).

Находясь внутри зоны отрыва за передним телом, где скорости
потока пренебрежимо малы по сравнению со скоростью полета,
заднее тело практически не испытывает действия аэродинамических
сил и перемещается с постоянной скоростью. В то же время головное
тело, испытывая лобовое сопротивление, движется с замедлением.
При больших расстояниях между телами, когда обводы заднего тела
выступают за границы следа, качественная картина течения иная.
Свободный пограничный слой, сходящий с переднего тела, ориенти-
руется на переднюю кромку заднего тела линией, близкой к разделя-
ющей линии тока. За задним телом устанавливается обычное донное
течение. Между телами реализуется «открытый» вид течения (рис.
16.66). Сила, действующая на заднее тело, возрастает за счет изме-
нения количества движения газа в части пограничного слоя, поступа-
Рис. 16.7 а, б. Система головное тело—парашют в свободном полете: а, б — течение
с «закрытым» следом
ющего внутрь зоны отрыва. При дальнейшем увеличении расстояния
между телами, когда расход в возвратном течении становится мень-
шим, чем это нужно для поддержания баланса в зоне отрыва, за пе-
редним телом устанавливается обычное донное течение. Заднее тело
обтекается неравномерным сверхзвуковым потоком. Перед ним фор-
мируется головная ударная волна (рис. 16.6в). Для системы двух тел,
в которой переднее тело имеет мидель, равный миделю заднего тела
или меньше его, возможно существование течений только с «откры-
тым» или «закрытым» следом.

Применительно к системе головное тело (объект) —парашют зад-
ним телом является купол парашюта. На рис. 16.7 приведены кар-
тины обтекания системы объект—парашют с «закрытым» (рис. 16.7а,
б, в) и «открытым» (рис. 16.7г) следами.

г

в

Рис. 16.7 в, г. Система головное тело—парашют в свободном полете: в — течение с
«закрытым» следом; г — течение с «открытым» следом
Присутствие соединительного звена и конуса строп в следе объек-
та вносит некоторые особенности в режим течения с «закрытым» сле-
дом по сравнению с его аналогом для случая двух несвязанных тел.
Во-первых, замыкающий скачок уплотнения за головным телом ока-
зывается разомкнутым, и, во-вторых, в следе объекта появляется про-
тяженная область дозвуковых скоростей. Поэтому в зависимости от
длины строп парашюта головная ударная волна перед куполом может
быть либо замкнутой (рис. 16.7а), либо разомкнутой (рис. 16.7(5, в).
Причем в обоих случаях форма ударной волны вне следа объекта
близка к конической.

Анализ теневых фотографий обтекания системы объект—пара-
шют показывает, что для режима течения с «закрытым» следом под
куполом парашюта и перед ним формируется отрывная область с по-
ложительным и практически постоянным коэффициентом давления.
В то же время за головным телом существует область возвратно-цир-
куляционного течения с практически постоянным отрицательным
коэффициентом давления. При уменьшении длины соединительного
звена и строп парашюта, т. е. при сближении парашюта с головным
телом, в некоторый момент времени происходит контакт этих двух
областей. Поскольку по обе стороны от зоны контакта коэффициенты
давления имеют разные знаки, то такая конфигурация является не-
устойчивой. Происходит перестройка от режима течения с «закры-
тым» следом к режиму течения с «открытым» следом (рис. 16.7г).
Расчетные формулы для вычисления критического рассгояния, хара-
ктеризующего перестройку течения, приведены в гл. 7. При их выводе
использовались экспериментальные материалы настоящей главы.

§ 16.4.	Раскрытие парашюта в следе головного тела. Явление
нераскрытия

Аэробаллистические исследования, результаты которых изложе-
ны ниже, проводились с системой объект—парашют (головное тело—
парашют), имеющей следующие параметры:

головное тело — цилиндр (сфера) диаметром (1 = (0,05-0,08) м и
высотой к = 2б7;

парашют с куполом — плоский круг в раскрое диаметром 7>п =
= (0,2-0,4) м и длиной строп Ь = (1 -2)1>п, конструктивной проница-
В

емостью = (0-0,5), параметром рифления Ф =	= (0,1-0,4).

п

Было установлено, что для каждой испытуемой системы голов-
ное тело—парашют существует некоторый диапазон чисел Маха
М* < М < М**, когда парашют может как раскрыться, так и не раск-
рыться. При этом, если М < М , парашют стабильно раскрывается,
если М > М**, парашют стабильно не раскрывается. Числа М* и
будем называть соответственно первым и вторым критическим чи-
слом Маха. На рис. 16.8 в координатах (М,Хп) показаны области
262
Рис. 16.8. Области раскрытия и нера-
скрытая парашютов с различными кон-
структивными параметрами; 1 — область
стабильного раскрытия парашютов с кон-
структивными параметрами \	Ь<, 2,0,

0 <	< 0,5; 2 — область, где возможно

как раскрытие, так и нераскрытые пара-
шютов с Ь = 2, 0 $ X < 0,5; 3 — область
Л

стабильного раскрытия парашютов с па-
раметрами Ь = 1, 0$К $0,5 и нерас-

крытая парашютов с параметрами Ь = 2,
О 5 Хп < 0,5; 4 — область, где возможно
как раскрытие, так и неракрытие парашю-
тов с! = 1,0 5 К <0.5
п

раскрытия и нераскрытия парашютов с безразмерными длинами
строп Ь = 1 и Ь = 2.

В области, обозначенной цифрой 1, стабильно раскрываются оба
типа парашютов. В области, обозначенной цифрой 2, возможно как
раскрытие, так и нераскрытие парашюта с безразмерной длиной
стропы Ь = 2. Аналогичная область для парашюта с Ь = 1 обозначена
цифрой 4. В области, обозначенной цифрой 3, парашюты с Ь = 2 не
раскрываются, а парашюты с Ь = 1 стабильно раскрываются.

Отметим следующие характерные особенности функционирова-
ния испытуемых парашютов. Процессы вытягивания и раскрытия для
них идут последовательно. Другими словами, начало интенсивного
раскрытия парашютов практически совпадает с моментом заверше-
ния процесса вытягивания. При этом имеет место режим течения с
«закрытым» следом. Лишь на завершающих этапах раскрытия, если
это согласуется с геометрическими параметрами системы объект—
парашют и числом М полета, происходит перестройка течения и
реализуется режим с «открытым» следом. Изменение по времени
безразмерного диаметра миделя купола парашюта, т. е. текущего диа-
метра миделя, отнесенного к диаметру миделя купола полностью на-
полненного парашюта, происходит по закону, близкому к линейному
(рис. 16.9).

Для парашютов с фиксированной конструктивной проницае-
мостью купола (Кп в СОП81, схема расположения конструктивных от-
верстий неизменна) время раскрытия увеличивается с увеличением
числа М полета системы объект—парашют. Иначе говоря, если в пло-
скости координат (М, Кп) (см. рис. 16.8) провести линии А?п в сопз! и
двигаться вдоль этих линий в сторону возрастания числа М, то из-
менение величины тр будет происходить таким образом, как это по-
казано на рис. 16.10, гдет =1// — величина, обратная времени
р р

раскрытия парашюта ^р.
Рис. 16.9. Зависимость от времени безразмерного диаметра миделя купола в процес-
се раскрытия парашютов с различной конструктивной проницаемостью: 1 — Хп = 0,2,
конструктивные отверстия распределены равномерно, М = 1,6; 2 — К^ = 0,5, конст-
руктивные отверстия распределены равномерно, М = 1,15; 3—Хп = 0,5, купол с полюс-
ным отверстием, М = 1,25

В интервале М* < М < Мфф функция тр(М) является неопределен-
ной, так как для этого интервала изменения числа М парашют может
либо раскрыться, либо не раскрыться.

Если в плоскости координат (М, К^) (см. рис. 16.8) провести ли-
нии М « сопат, то эти линии могут как пересекать, так и не пересекать
область, обозначенную цифрой 2 (цифрой 4). Пусть линия М = сопз!
целиком расположена в области 1, т. е. в области стабильного рас-
крытия парашюта. В этом случае с увеличением конструктивной про-
ницаемости купола время раскрытия парашюта увеличивается. При
этом играет роль не только величина Хп, нои схема размещения
конструктивных отверстий. Наиболее эффективно увеличивает вре-
мя раскрытия и уменьшает скорость изменения диаметра миделя
купола при раскрытии конструктивная проницаемость, сосредоточен-
ная в полюсе (см. рис. 16.9).

Если линия М - сопз! пересекает область, обозначенную цифрой
2, то величина тр(Хп) будет изменяться так, как показано на рис.
16.11. При этом в зависимости от значения числа М появится некото-

Рис. 16.11. Изменение т в зависимо-
р

сти от Хп при М - сопМ

Рис. 16.10. Изменение величины т в
р
зависимости от числа М при - соп$1
Рис. 16.12. Схема обтекания нераскрытого парашюта в следе головного тела

рый интервал изменения Кп, где функция тр(Кп) будет неопределен-
ной.

Анализ экспериментальных материалов показывает, что обте-
кание нераскрытых испытуемых парашютов происходит следующим
образом. За головным телом (объектом) формируется разомкнутый
замыкающий скачок уплотнения. Соединительное звено и стропы па-
рашюта порождают в следе объекта протяженную область дозвуковых
скоростей, которая смыкается с отрывной областью перед куполом.
Слой смешения, отделяющий внешний невязкий поток от отрывной
области, ориентирован своей разделяющей линией тока на нижнюю
кромку купола. Головная ударная волна перед куполом является ра-
зомкнутой и начинается вблизи конуса строп. У нижней кромки купо-
ла формируется дополнительный скачок уплотнения, который в ее
малой окрестности можно считать прямым (рис. 16.12).

Так как парашют образовал устойчивую нераскрытую форму, то
это означает, что на участок купола, примыкающий к нижней кром-
ке, действует практически нулевой перепад давлений Ар. Для того
чтобы величина Ар стала положительной, надо или увеличить вну-
треннее давление (оно практически постоянно на большей части по-
верхности купола), или уменьшить внешнее давление. Внутреннее
давление может быть увеличено за счет укорочения строп и тем са-
мым уменьшения потерь скоростного напора в следе. Для испытуемых
парашютов укорочение строп в два раза (с Ь = 2 до Г = 1) привело к
увеличению числа Маха с М* « 1,6 до М* ~ 2,8 (Л?п = 0,25). Как
видно, длина строп оказывает сильное влияние на критические числа
Маха.

При увеличении конструктивной проницаемости купола проис-
ходит незначительное увеличение чисел М* и М*ф (см. рис. 16.8). Это
можно объяснить тем, что при увеличении Кп разделяющая линия
тока попадает под купол, что приводит к увеличению внутреннего
давления на участке купола вблизи нижней кромки. Как видим, кон-
структивная проницаемость оказывает слабое влияние на критичес-
кие числа Маха.
§ 16.5.	Сопротивление системы головное тело—парашют

В общем случае лобовое сопротивление системы ГТП зависит от
числа М полета, конструкции парашюта (осесимметричный, крес-
тообразный и т. д.), конструктивных параметров парашюта (длина
строп, конструктивная проницаемость купола и т. д.) и взаимных раз-
меров головного тела и парашюта.

В представленных ниже экспериментальных материалах фигу-
рируют только безразмерные длины. Диаметр купола парашюта в
раскрое И отнесен к диаметру миделя <1 головного тела (1>п = В^/сГ).
Длина строп Ь и длина соединительного звена I измеряются по отно-
шению к диаметру купола в раскрое В^ (Ъ = Ь/#п, I =

На рис. 16.13 приведена зависимость коэффициента сопротивле-
ния сп системы ГТП от числа М полета, полученная по результатам
аэробаллистических исследований с двумя конструкциями осесим-
метричного (круглого) парашюта. Параметры первого парашюта:
Рп = 0,2 м, Ь = 2, Г>п = 4,	= 0,5; параметры второго парашюта:

1>п = 0,14, Ь = 2, 2>п = 2, Хп = 0,3. При вычислении коэффициента
сопротивления сп системы ГТП в качестве характерной площади ис-
пользовалась площадь купола в раскрое.

Анализ зависимости сп = /(М) показывает, что с увеличением чи-
сла М коэффициент сопротивления сп уменьшается. Объясняется это
тем, что с увеличением числа М уменьшается диаметр (площадь)
миделя раскрытого парашюта (рис. 16.14).

Влияние конструктивной проницаемости купола на коэффициент
сопротивления парашюта характеризуют зависимости сп = Л^п),
приведенные на рис. 16.15. Как видим, с увеличением проницаемости
коэффициент сопротивления уменьшается. Так, для парашютов с
50%-ной конструктивной проницаемостью купола сп почти вдвое

Рис. 16.13. Зависимость коэффициента сопротивления сп системы головное тело—
парашют от числа М: 1 — парашют с параметрами = 0,2 м, Ь = 2,	= 0,5, Рп = 4;

2 — парашют с параметрами = 0,14 м, Л = 2, Ко = 0,3, Л, = 2
Рис. 16.14. Отношение диаметра ми-
деля Л* купола раскрытого парашюта к
диаметру купола в раскрое 2>п в зависи-
мости от числа М

Рис. 16.15. Зависимость коэффици-
ента сопротивления са парашюта от кон-
структивной проницаемости его купола

купола. Сопротивление парашюта примерно пропорционально «жи-
вой» площади купола.

По результатам аэробаллистических исследований установле-
но, что для раскрытых зарифованных парашютов возможно суще-
ствование двух устойчивых равновесных форм. При параметрах
рифления Ф < 0,18 купол раскрытого парашюта принимает фор-
му, близкую к комбинации усеченного конуса с полусферой. При
Ф < 0,25 купол раскрытого парашюта по форме близок к сплющенно-
му эллипсоиду вращения (рис. 16.16). Здесь Ф = 1^/лВ^ где /0 —
длина шнура рифления.

Для первой равновесной формы характерно то, что перепад дав-
ления Ар близок к нулевому на части поверхности купола, модели-
руемой усеченным конусом, и Ар > 0 на части поверхности купола,
представляемой полусферой. Для второй равновесной формы Ар > 0
по всей поверхности купола. Указанное распределение перепада дав-
ления объясняется следующим. Известно, что в первом приближении

Рис. 16.16. Форма раскры-
того зарифованного парашюта:
1 _ ф = о,18;2 — Ф = 0,25
Рис. 16.17. Зависимое гь безразмерно-
го диаметра миделя купола наполненного
зарифованного парашюта от параметра
рифления

Рис. 16.18. Зависимость коэффи-
циента сопротивления с системы голов-
ное тело-зарифованный парашют от
числа М

давление под куполом рвн прямо пропорционально усредненному ско-
ростному напору части аэродинамического следа от головного тела с
диаметром, равным диаметру входного отверстия купола, и обрат-
но пропорционально загромождению входного отверстия стропной
системой. При увеличении параметра рифления увеличивается
соответствующий усредненный скоростной напор и уменьшается за-
громождение входного отверстия конусом строп. Это приводит к
увеличению рвн, перепад давления Ар становится положительным по
всей поверхности купола.

Для испытуемых моделей диаметр миделя раскрытого зарифо-
ванного парашюта в диапазоне скоростей, соответствующих числам
М = 0,3ч-1,5, практически не зависит от числа М и существенно за-
висит от параметра рифления (рис. 16.17).

Отметим, что рифление способствует повышению продольной ус-
тойчивости парашюта, а также системы головное тело—парашют.

Для зарифованных парашютов на сверхзвуковых скоростях су-
ществуют условия, при которых они не раскрываются. Установлено,
что факт раскрытия или нераскрытия связан с отношением диаметра
входного отверстия парашюта к диаметру головного тела. Так, на-
пример, при ФВп < 1 парашют не раскрывается, а при ФРп >1,25
раскрывается. Лобовое сопротивление системы ГТП с зарифованным
парашютом характеризует приведенная на рис. 16.18 зависимость
с*(М). Кривая сх = ДМ) обобщает значения сх для всех рассмотрен-
ных параметров рифления

Рис. 16.19. Зависимость относительного коэффициента
сопротивления парашюта сп от безразмерной длины строп Ь
в долях миделя головного тела
_ Рис. 16.20. Влияние длины соединительного зве-
на / на коэффициент сопротивления парашюта со с
безразмерной длиной строп Ь = 6; ЦI—в долях миде-
ля головного тела

При вычислении величины с* сила сопротивления зарифованного
парашюта относилась к площади миделя. При этом оказалось, что
величина с* не зависит от параметра рифления, а зависит лишь от
числа М полета. Влияние длины строп (удаление нижней кромки ку-
пола от головного тела) для парашютов без соединительного звена на
значение относительного коэффициента сопротивления характеризу-
ет зависимость сп = /(Ь) (рис. 16.19). Здесь Ь — безразмерная длина
строп в долях миделя головного тела.

Зависимость сп = /(Ь) — универсальная. Значения сп парашюта с
длиной строп Ь < 7 отнесены к с парашюта с длиной строп Ь = 7. При
этом отношение	= 7) оказалось не зависящим от чи-

сла М (0,5 < М < 1,5).

Влияние длины I соединительного звена на коэффициент со-
противления парашюта сп с постоянной длиной строп Ь показано на
рис. 16.20. Коэффициент сопротивления сп практически не зависит от
длины соединительного звена. Это объясняется тем, что у парашютов
с соединительным звеном в месте схода строп формируется косой
скачок уплотнения, и картина обтекания парашюта, по существу,
не зависит от длины соединительного звена, если его длина больше
3-5 калибров головного тела.
Глава 17

ТЕЛА КАНОНИЧЕСКИХ ФОРМ БЕЗ ИГЛЫ И С ИГЛОЙ
В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ

§ 17.1.	Физическая картина обтекания тел канонических форм

Физическая картина обтекания свободно летящей системы объект
(головное тело) — парашют при прочих равных условиях существен-
но зависит от характера обтекания головного тела. По этой причине в
парашютостроении проводят аэробаллистические исследования как с
системой объект—парашют, так и с изолированным объектом, в каче-
стве которого часто используются тела канонических форм (конус,
цилиндр, шар и т. д.).

Приведем некоторые результаты, касающиеся параметров аэро-
динамического следа за телами канонических форм.

Аэродинамическим следом тела принято называть часть потока
(газа), прошедшего через пограничный слой на поверхности тела и
попавшего в область за ним.

Обычно в следе рассматривают два участка: начальный, где по-
граничный слой не успевает еще распространиться до оси потока, и
основной, где формирование потока закончено и изменение всех па-
раметров его приобретает монотонный характер (рис. 17.1).

Расчет параметров потока в любом сечении основного участка
следа возможен, если известны закон развития видимой границы сле-

Рис. 17.2. Геометрические параметры следа за телом: г/0 — диаметр минимального
сечения следа. (I. — диаметр следа /-го сечения следа, х0 — расстояние до минимального
сечения следа, — расстояние до /-го сечения следа, хк₽ — расстояние до сечения следа,
где скорость на его оси достигает скорости звука

Рис. 17.1. Аэродинамический след за свободно летящим телом, М = 2,5

Рис. 17.3. Зависимость коэффициентов а, Ь и параметров б/0, х0 минимального
сечения следа от числа М
да и параметры в некотором исходном сечении [1]. В качестве такого
сечения удобно принимать сечение, где скорость потока на оси следа
равна скорости звука (звуковое сечение, рис. 17.2).

В результате обработки экспериментальных данных для тел раз-
личных канонических форм была установлена зависимость диаметра
видимой границы основного участка донного следа от расстояния ме-
жду рассматриваемым сечением и задней кромкой (задним торцом)
тела, она имеет вид

^ = </0 + й(х-х0)°.

Здесь безразмерные величины (1, ^0, х, х0 измеряются по отношению
к диаметру миделя тепа /), при этом (1 — значение диаметра следа в
рассматриваемом сечении, х — расстояние между рассматриваемым
сечением и задней кромкой тела, —диаметр минимального сечения
следа, х0 — расстояние от задней кромки тела до минимального се-
чения следа. Коэффициенты а и Ь, а также параметр являются
функцией числа М и для рассматриваемых тел практически не зависят
от их формы, а параметр х0 зависит как от числа М, так и от формы
тела (рис. 17.3).

Положение звукового сечения определяется по теневым снимкам
свободно летящего тела. С этой целью в центре донной части тела
устанавливают жесткий стержень минимально допустимого диаметра

Рис. 17.4. Общий вид модели со стержнем. Теневая картина обтекания модели в
свободном полете
Рис. 17.5. Зависимость координаты звукового сечения следа х. и безразмерного
расстояния А отхода головной ударной волны для затупленных тел от числа М

(исходя из условий прочности). На стержне выполняют ряд преград в
виде кольцевых шайб — возбудителей скачков уплотнения. Этот факт
имеет место лишь тогда, когда скорость в следе достигает скорости
звука. По наличию скачка уплотнения перед преградой с известными
координатами и определяется положение звукового сечения следа
(рис. 17.4).

Было установлено, что положение звукового сечения следа от-
носительно задней кромки тела существенно зависит от числа М. Для
чисел М < 2,5 при увеличении числа М звуковое сечение приближа-
ется к телу. Для чисел М > 2,5 с увеличением числа М звуковое сече-
ние удаляется от гела (рис. 17.5). Минимальное расстояние между
телом и звуковым сечением равно —1,75 диаметра миделя тела.

Полученная экспериментальная зависимость может быть исполь-
зована для оценки точности различных численных методов [33, 34],
применяемых для расчета положения звукового сечения в следе тела.

По теневым фотографиям обтекания затупленных тел было опре-
делено безразмерное расстояние отхода А головной ударной волны
вблизи критической точки (рис. 17.5). Для исследованных тел ве-
личина А зависит только от числа М и не зависит от формы тела.
Экспериментальные точки хорошо аппроксимируются выражением
(коэффициент вариации г = 5%)

Т _ А _ Л лэо 0,388

А - р - 0,029 + м _ 0 9()2.

Известно, что отход головной ударной волны вблизи критической
точки может быть рассчитан различными численными методами [33].
При этом полученная экспериментальная зависимость полезна для
оценки их точности.

§ 17.2«	Коэффициенты сопротивления тел канонических форм

Основной вид информации, используемый для определения ко-
эффициента сопротивления сх — это зависимость 1(х), получаемая в
виде ряда значений времени полета I для соответствующих значений
расстояния х вдоль траектории полета тела.

Коэффициент сх вычисляется по формуле

с

2т -г—

Ах
р5У

полученной в результате преобразования дифференциальных урав-
нений, описывающих горизонтальный полет тела:

т<ш _ рц1 ах _ ..
т~а[--сх^Г8' Ц

Входящие в формулу для вычисления с параметры А(/, Ах снима-
ются с графика 1/(х), полученного дифференцированием первичной
экспериментальной зависимости 1(х).

В настоящее время накоплен большой объем экспериментальных
данных по коэффициенту сопротивления тел различных форм (кону-
са с углами при вершине от 10 до 120°, конуса с затупленной головной
частью, цилиндра, шара и т. д.).
Рис. 17.6. Зависимости коэффициента сопротивления с* конусов с различными
углами раствора от числа Маха: 1 — /? = 10°; 2 — /? = 20°; 3 — /? = 30°; 4 — /3 = 40°;
5 — 0 = 50°; 6— 0 = 60°

Многообразие зависимостей с*(М) усложняет процесс выбора го-
ловного тела (объекта) для модельных испытаний системы объект—
парашют. Поэтому представляется целесообразным провести анализ
и систематизацию имеющегося экспериментального материала с
целью получения некоторых обобщенных зависимостей изменения
коэффициента сопротивления от числа М для определенных групп
головных тел.

Оказывается, что все головные тела канонических форм удобно
разделить на две группы: тела, у которых зависимость с*(М) имеет
четко выраженный максимум, и тела, у которых зависимость с*(М) не
имеет четко выраженного максимума. К первой группе относятся тела
с конической и оживальной головными частями, в том числе конусы с
углами при вершине /3 = 10—50° (рис. 17.6, точками отмечены по-
ложения с и соответствующие им числа Маха М ). Ко второй

^шах	хщах

группе — тела, у которых головная часть — конус с углом при вер-
шине р > 60°, цилиндр, шар.

Если теперь текущие значения с*(М) для тел первой группы от-
нести кс , а соответствующие текущие значения чисел М отнести к
•^тяу

М , соответствующему с , то для всех конических тел с углами при
*	*тал

вершине 10-50° будем иметь обобщенную зависимость (рис. 17.7)

с(М)/с =/(М/М).

Л	Атах
Рис. 17.7. Зависимость относительного коэффициента сопротивления конусов с
различными углами раствора от относительного числа Маха: 0 — 0 = 10е; * — @ - 20°;
△ —/3 = 30°; О —/3 = 40е; 0—0 = 50е;*—/3 = 60°

Для второй группы тел используется другой подход: берутся отно-
шения текущих значений сх к значению сх при М = 0,4- В результате
для второй группы (плохообтекаемых) тел имеем одну обобщенную
зависимость сх(М)/сх | м=0 4 от числа М (рис, 17.8).

Для входа в обобщенные зависимости (рисунки 17.7 и 17.8) ис-
пользуются вспомогательные графики (рис. 17.9). Рисунок 17.9а —
для остроконечных тел ($ = 10-50°), рис. 17.96 — для плохообтекае-
мых тел.

Полученные обобщенные зависимости (рисунки 17.7, 17.8) удоб-
ны не только для выбора головного тела при организации модельных

Рис. 17.8. Зависимость относительного коэффициента сопротивления с различным
углом раствора от относительного числа Маха: 0 — @ = 90е; ♦ —0=1 20°; О — 0 = 150°;
• — 0 = 180е
Рис. 17.9. Зависимости с , М (а) и с для М = 0,4 (б) от угла раствора конуса
хтах *	х

аэробаллистических исследований системы объект—парашют, но и
представляют самостоятельный интерес. В частности, они могут ока-
зать определенную помощь на этапах проектирования и испытаний
летательных аппаратов с различным оформлением головной части.

§ 17.3.	К обтеканию тела с иглой сверхзвуковым потоком.

Общие замечания

Обтекание системы объект (головное тело)—парашют сверхзву-
ковым потоком характеризуется наличием систем ударных волн и
отрывных (срывных) зон. При этом отрыв потока может реализовы-
ваться как с нижней кромки купола, так и со строп и соединительных
звеньев стропной системы. Для понимания общих закономерностей
нестационарного отрывного обтекания системы объект—парашют
привлекаются данные аэробаллистического эксперимента по сверх-
звуковому обтеканию тел с иглой в головной части.

Приведены некоторые экспериментальные материалы по перед-
ним отрывным зонам, полученные на аэробаллистическом стенде в
диапазоне чисел 1,6 < М < 2,5. Эксперименты выполнены с телами
вращения, имеющими головную часть в виде плоского торца. Иглы
различались длиной и толщиной. Длина изменялась от 0,3 до 1 ка-
либра (диаметра миделя) тела, толщина — от 0,03 до 0,05 калибра.
Как правило, конец иглы конструктивно выполнялся в виде конуса.
Рис. 17.10. Геометрическиепараметры кругового конуса и зависимость предельного
угла у>0 и безразмерной высоты Ь конуса от числа М для газа с у = 1,4

Картина обтекания свободно летящих тел регистрировалась методом
теневого фотографирования.

Прежде чем переходить к анализу обтекания тела с иглой сверхз-
вуковым потоком, заметим следующее. При сверхзвуковом симме-
тричном обтекании кругового конуса могут реализовываться два вида
течения: автомодельное течение с присоединенной и с отошедшей
ударными волнами. При этом для любого числа М > 1 набегающего
потока существует предельный угол раствора конуса <^0, при котором
ударная волна еще может быть присоединенной. Зависимость ^0(М)
(рис. 17.10) устанавливается с помощью несложных расчетов [52].
Для кругового конуса имеет место соотношение

7 = Л = 1	1

2 О 2 |Р0(М)‘

18 2

(17.1)

Зависимость Ь2 = Г2(М) также приведена на рис. 17.10. Она будет
использована ниже при анализе обтекания тела с иглой сверхзвуковым
потоком. Кроме этого, будет привлечена зависимость, характеризую-
щая изменение величины безразмерного отхода А головной ударной
волны от числа М полета для затупленных тел (рис. 17.5).

Различные режимы обтекания тела с иглой реализуются в зави-
симости от того, как для данного числа М полета тела безразмерная
длина иглы Ь (в диаметрах миделя) соотносится с величинами Ь2 и А.

§ 17.4. Сверхзвуковое обтекание тела с иглой

Анализ результатов экспериментов позволяет выделить несколь-
ко режимов сверхзвукового обтекания тела (цилиндра) с иглой в за-
висимости от относительной длины иглы Ь и числа М полета тела.
Первый режим обтекания (Ь < А) реализуется для иглы достаточ-
но малой длины, меньшей, чем отход головной ударной волны от
торца цилиндра. В этом случае форма ударной волны, по существу,
соответствует форме головной волны для торца без иглы, а коэф-
фициент сопротивления с* не зависит от длины иглы.

Второй режим обтекания (А < Ь < Г2) реализуется, если длина
иглы больше отхода головной ударной волны от торца цилиндра, но
меньше Ь2 — высоты жидкого конуса (конической отрывной зоны),
который обтекается с присоединенной головной ударной волной. Так
как Ь > А, то игла проходит сквозь ударную волну, при этом в месте
контакта иглы с ударной волной возникает большой градиент дав-
ления, что вызывает отрыв пограничного слоя. Начинает формиро-
ваться отрывная зона, ударная волна движется к кончику (вершине)
иглы. Однако в силу того, что угол конического отрыва при отрыве
потока с кончика иглы больше критического, ударная волна стано-
вится отошедшей, затупленной. Давление за ней резко возрастает
(как за прямым скачком), одновременно увеличивается и площадь
расходного сечения между цилиндром и ударной волной. Все это
приводит к выбросу вихревого ядра (отрывной зоны) вниз по потоку.
Головная ударная волна начинает вновь перемещаться к торцу
цилиндра. Второй режим обтекания имеет сильно выраженный неста-
ционарный периодический характер с большой амплитудой переме-
щения ударной волны.

Третий режим обтекания (Ь > Л2) реализуется и существует в ди-
апазоне Ь2 < Ь < Ьу Если длина иглы больше Ь2, то отрыв потока
происходит с кончика иглы. В этом случае угол конического отрыва
становится меньше критического, и ударная волна является присо-
единенной. Для этого режима обтекания имеет место определенная
нестационарность формы ударной волны, однако амплитуда колеба-
ний невелика. Чем больше Ь, тем меньше угол конического отрыва и
меньше сопротивление цилиндра с иглой.

При дальнейшем увеличении длины иглы (Ь > отрыв потока
происходит не с вершины иглы, а с ее боковой поверхности. При этом,
хотя длина иглы Ь > длина конической зоны отрыва (рис.

17.11) меньше, чем Это четвертый режим обтекания цилиндра с
иглой. Оторвавшийся пограничный слой (слой смешения) ориентиру-
ется на кромку цилиндра. В образовавшейся отрывной зоне скорости
малы (за исключением слоя смешения), а давление практически
постоянно. Граница отрывной зоны имеет форму докритической ко-
нической поверхности с присоединенной головной ударной волной
конической формы. Течение между головной ударной волной и от-
рывной зоной автомодельно.
Рис. 17.11. Зависимость без-
размерных величин, определяющих
режимы обтекания тела с иглой, от
числа М для газа су =1,4

Отметим, что в экспериментах на аэробаллистическом стенде
имеет место турбулентный режим отрыва, что объясняется большими
числами Рейнольдса (Ре > 106), а также наличием факторов, тур-
булизирующих течение.

Угол конического отрыва и длина отрывной зоны опреде-
ляются величиной требуемого для отрыва пограничного слоя прира-
щения давления и зависят от того, ламинарный или турбулентный
пограничный слой перед отрывом, от числа М, числа Ре, адиабатиче-
ской константы у. Для случая турбулентного пограничного слоя ко-
эффициент поверхностного давления ср в отрывной зоне может быть
рассчитан по формуле [54]

= 0,43рЦ

\106,

с
р

-0.1

(М2 - О-0’25!! + 0,45(у - 1)М2]-0’275. (17.2)

Кроме этого, существует приближенная зависимость [53, 54]
между величиной ср и углом <р конического отрыва, измеряемого в
градусах:

ср = (0,0016 + 0,002М-2)У’7.

(17.3)

Приравнивая формулы (17.2) и (17.3), определяем Подставляя
его значение в (17.1), окончательно имеем

Рис. 17.13. Нестационар-
ный периодический процесс,
соответствующий второму ре-
жиму_обтекания тела с иглой
(А < 1 < Ь2)

ПП	/	1 о^\°’588 /г. \ 0,0588

Ь, » — = 0,8М°’58811 +	|-^|

4	м2У ио6/

Рис. 17.12. Теневая картина обтекания тела без
иглы и тела с короткой иглой (Ь < А)

Четвертый режим обтекания характеризуется высокой устойчи-
востью формы головной волны и коэффициента сопротивления тела.
Рис. 17.14. Вихревые структуры, обусловленные взаимодействием ударной вол-
ны с пограничным слоем иглы

На рис. 17.11 представлены зависимости А(М), /^(М), Ь4(М) для
у = 1,4 и числа Ре = 106. Указанные зависимости могут использо-
ваться для определения режимов обтекания тела с иглой.

На рисунках 17.12—17.14 приведены теневые картины обтекания
цилиндрических тел. На рис. 17.12 помещены теневые картины обте-
кания тела без иглы и тела с короткой иглой {Ь < А), когда реализует-
ся первый режим обтекания. Видно, что картины обтекания в этих
двух случаях, по существу, идентичны.

Нестационарный периодический процесс, соответствующий вто-
рому режиму обтекания (А < Ь < Ь ), показан на рис. 17.13.

На рис. 17.14 приведены картины обтекания для случая, когда
игла начинает контактировать с головной ударной волной. Взаимо-
действие ударной волны с пограничным слоем на игле инициирует
зарождение и отрыв вихреобразований различных конфигураций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	Аб рам о вич Г.Н. Прикладная газовая динамика.—М.: Наука. 1969. —824 с.

2.	Алексеев С. А. Основы общей теории мягких оболочек // Расчет пространствен-
ных конструкций.—М.: Изд-во литературы по строительству, 1967.—Вып. XI.—
С. 31-52.

3.	Антоненко А.И. Уравнения движения объекта с безынерционным парашютом
// Науч. тр. МАИ/Изд-е МАИ.—1977.—Вып.424.— С. 63—68.

4.	Антоненко А.И., Рысев О.В., Фатыхов Ф.Ф, и др. Динамика движения
парашютных систем.—М.: Машиностроение, 1982.—152 с.

5.	Архиповский А.С., Ложкин М.И., ПахненкоВ.Л. Экспериментальное
исследование распределенных характеристик профиля планирующего парашюта
ПО-9 серии 2// Повышение эффективности и надежности летательных аппаратов
и авиационных двигателей: Науч, метод. материалы.-Киев: Изд. КВВАИУ, 1985.
—С. 3-6.

6.	Архиповский А.С., Ложкин М.И., ПахненкоВЛ. Экспериментальное
исследование влияния геометрических параметров профиля парашютного крыла
на его аэродинамические характеристики // XXVI науч. конф. КВВАИУ.—Киев:
Изд. КВВАИУ, 1985.—Ч. 1.—С. 51-55.

7.	Бакшеев С.П. Нестационарная аэроупругая модель наполнения проницаемого
осесимметричного парашюта в потоке идеального сжимаемого газа // Моделирова-
ние полета и аэродинамические исследования.—Киев: Книга, 1988.—С. 130-139-

8.	Белов И.А., Исаев С.А., Коновалов В.Н., МитинА.Ю. Применение кон-
цепции идеальной жидкости для расчета отрывного обтекания затупленных тел с
учетом турбулентного сдвигаемого слоя на границе области отрыва // Письма в
ЖТФ.—1984.—Т.10, вып.20.—С. 12-21.

9.	Белоцерковский О.М., Белоцерковский С.М., Давыдов Ю.М.,
Н и ш т М.И. Моделирование отрывных течений на ЭВМ / Научн. совет по комп-
лексной проблеме «Кибернетика» АН СССР.—М.: Наука, 1984.—123 с.

10.	Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой
динамике. Вычислительный эксперимент.—М.: Наука, 1982.—392 с.

11.	Белоцерковский С.М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке га-
за.—М.: Наука, 1965.—244 с.

12.	Бе лоцерковский С.М., Днепров И.В., Пономарев А.Т., Рысев О.В.
Динамика мягких тормозных систем // Изв. АН СССР, МТТ.—1983.—№ 1. С.
47-54

13.	Белоцерковский С.М., Днепров И.В., Пономарев А.Т., Рысев О.В.
Динамика раскрытия парашюта // Изв. АН СССР, МТТ.—1984. № 3. С. 174-
179.

14.	Бе лоцерковский С.М., Днепров И.В., Пономарев А.Т., Рысев О.В.
Моделирование на ЭВМ процессов раскрытия и движения парашютов и парашю-
тов-крыльев // Сб. Вопросы кибернетики. Численный эксперимент в прикладной
аэрогидромеханике.—М.: Научн. совет по комплексной проблеме «Кибернетика»
АН СССР, 1986.—С. 95—114.

15.	Белоцерковский С.М., Н и ш т М.И. Отрывное и безотрывное обтекание тон-
ких крыльев идеальной жидкостью.—М.: Наука, 1978.—351 с.

16.	БелоцерковскийС.М.,НиштМ.И.,ПономаревА.Т.,Р ысев О.В. Иссле-
дование парашютов и дельтапланов на ЭВМ.—М.: Машиностроение, 1987. 239 с.

17.	Бленд Д. Теория линейной вязкоупругости / Пер. с англ.—М.: Мир, 1965.—
199 с.
18.	Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности.—М.:
Мир, 1987.—542 с.

19.	Васильченко А.Г., ПомозовИ.М., Пономарев А.Т. Изучение напряжен-
но-деформированного состояния мембран с учетом вязкоупругих свойств ткани //
Проблемы прочности.—1988.—№ 1.—С. 42-46.

20.	В и ш н я к А. А. Моделирование пространственного движения объекта на плани-
рующем парашюте в неспокойной атмосфере // Научн. метод, материалы по уп-
равлению, оцениванию и идентификации самолета и его оборудования. —М.: Изд.
ВВИА, 1983.—С. 153-169.

21.	Вишняк А.А. Расчет динамических нагрузок в процессе перецепки осесимме-
тричного парашюта // Динамические системы.—Киев: Вища, 1987.—Вып. 6.—
С. 35-38.

22.	Вишняк А. А., Ку лифе ев Ю.Б., Ку рашоваМ.А. Идентификация аэродина-
мических характеристик планирующего парашюта в продольном движении //
Электрификация летательных аппаратов.—М.. Изд. ВВИА, 1988.— С. 268-277.

23.	В и ш н я к А. А., Кура шо в а М.А. Математическая модель динамики планирую-
щего парашюта относительно буксировочного стенда // Электрификация ле-
тательных аппаратов.—М.: Изд. ВВИА, 1988.—С. 278-288.

24.	Вишняк А. А., Пономарев А.Т., Рысев О.В. Исследование продольного дви-
жения системы груз—однооболочковый парашют-крыло // Исследование аэроди-
намики, аэроупругости и динамики полета дельтапланов и парашютов-крыльев.
—М.:Изд. ВВИА, 1985.—С. 181-190.

25.	В о л ь м и р А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа (задачи аэроупругости).—М.:
Наука, 1979.—320 с.

26.	Г а а с Р.» Д и т ц и у с А. Растяжение материи и деформация оболочек мягких воз-
душных кораблей / Пер. с нем.—Л.: 1931.—130 с.

27.	Гильманов А.Н., Сахабутдинов Ж.М. Произвольный лагранжево-эйлеров
метод в нелинейных задачах взаимодействия упругого тела с потоком газа // Взаи-
модействие оболочек с жидкостью / Тр. КФТИ. Казань.— 1981.—Вып. XIV.—
С. 127-145.

28.	Гогиш Л.В., Степанов Г.Ю. Турбулентные отрывные течения.—М.: Наука,
1979.—368 с.

29.	Горский Н.Л., Днепров И.В., Мосеев Ю.В. и др. Напряженно-деформи-
рованное состояние раскрывающегося парашюта // Статика и динамика гибких
систем.—М.: Наука, 1987.—С. 194-201.

30.	Го р с к и й Н.Л., Ладыгин В.И., Мосеев Ю.В. Исследование напряженно-де-
формированного состояния парашютов тормозного класса // Динамические систе-
мы.—Киев: 1986.—Вып.4.—С. 32-36.

31.	Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика
сплошной среды.—М.: Мир, 1965,—455 с.

32.	Гулин Б.В., Ридель В.В. Динамика парашюта // Гидроупругость оболочек /
Тр. КФТИ. Казань.—1983.—Вып.ХУГ—С. 116-132.

33.	Давыдов Ю.М. Расчет обтекания тел произвольной формы методом крупных
частиц // ЖВММФ.—1971.—Т. 11, № 4.—С. 1056-1062.

34.	Д а в ы до в Ю.М. Метод «крупных частиц» (расщепление по физическим процес-
сам) //Численные методы решения задач переноса: Материалы международной
школы-семинара / ИТМО АН БССР. Минск, 1979.—Ч. 1.—С. 57 -85.

35.	Давыдов Ю.М. Крупных частиц метод // Математическая энциклопедия.—М.:
Сов. энциклопедия, 1982.—Т. 3.—С. 125-129

36.	Д а в ы д о в Ю.М. Крупных частиц метод // Математический энциклопедический
словарь.—М.: Сов. энциклопедия, 1988.—С. 303-304.

37.	Давыдов Ю.М. О выполнении закона подобия для околозвуковых течений в
численных расчетах // Математические методы управления и обработки инфор-
мации.—М.: Изд. МФТИ, 1982.—С. 8-10.

38.	Давыдов Ю.М. Таблицы расчета внешних околозвуковых течений газа.—М.:
Изд ВЦ АН СССР, 1983.—362с.
39.	Д н е п р о в И.В., Пономарев А.Т. Влияние поддерживающего купола на дина-
мику раскрытия парашюта // Динамические системы.—Киев: Выща школа, 1987.
—Вып. 6.—С. 23-26.

40.	Д н е п р о в И.В., Пономарев А.Т. Математическое моделирование динамики
раскрытия осесимметричного парашюта // Прикладная механика, 1986.—
Т. XXII, № 9.—С. 108-113.

41.	Днепров И.В., Пономарев А.Т., Радченко А.В., Рысев О.В. Напряжен-
но-деформированное состояние мягкой тормозной системы // Механика компо-
зитных материалов.—1987.—№ 5.—С. 839-845.

42.	Днепров И.В., Пономарев А.Т., Радченко А.В., Рысев О.В. К опреде-
лению напряженно-деформированного состояния мягкой несущей системы // Изв.
АН СССР. МТТ.—1991.—№2.—С. 140-148.

43.	Днепров И.В., Поном а ре в А.Т., Рысев О.В. Мягкие оболочки при отрывном
обтекании // Сб. трудов XIII Всес. конф, по теории пластин и оболочек.—Таллинн,
1983.—Ч.П.—С. 65-71.

44.	Д н е п р о в И.В., Пономарев А.Т., Р ы с е в О.В., Судаков А.Г. Плохообтекае-
мые незамкнутые мягкие оболочки в дозвуковом потоке.// Шестой Всес. съезд по
теоретической и прикладной механике: Аннотации докладов.—Ташкент, 1986.—
С. 254.

45.	Д н е п р о в И.В., Худайбердиев Р.Д. Влияние деформации материала пара-
шюта на его аэроупругие характеристики при раскрытии. // Докл. АН УзССР.—
1984.—№7.—С. 16-19.

46.	Доброленский Ю.П. Динамика полета в неспокойной атмосфере.—М.: Ма-
шиностроение, 1969.—254 с.

47.	ДовженкоВ.А., Вишняк А. А. О выборе модели для синтеза системы управ-
ления планирующим парашютом // Электрификация летательных аппаратов.—
М.: Изд. ВВИА, 1989.—С. 258-267-

48.	Д р и б н о й В.И., Н и ш т М.И., Судаков А.Г. Моделирование на ЭВМ обтекания
профилей двухоболочковых планирующих парашютов // Применение ЭВМ для
исследования аэродинамических характеристик летательных аппаратов: Тр.
ВВИА.—М.: Изд. ВВИА, 1986 —Вып. 1313.—С. 193-199.

49.	3 е н к е в и ч О.К. Метод конечных элементов в технике.—М.: Мир, 1975.—541 с.

50.	Исследование обтекания проницаемых тел и парашютов при различных фазах
наполнения / В.П.Барышев, С.В.Гувернюк, А.П.Звонов, Я.К.Лоханский, Г.С.Уль-
янов, М.П.Фалунин. Институт механики МГУ.—М.: Изд-во МГУ, 1984.— 59 с.

51.	К а р а с к А. А., Ситдиков С.М. Аэродинамические характеристики дужек про-
филей // Исследования аэродинамики, аэроупругости и динамики дельтапланов и
парашютов-крыльев.—М.: Изд. ВВИА, 1985.—С. 55-65.

52.	Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика.—М.:
Физматгиз. 1963.—Ч. 1, 2.

53.	Крас но в Н.Ф. Аэродинамика отрывных течений.—М.: Высшая школа, 1988 —
352 с.

54.	Краснов Н.Ф. Аэродинамика тел вращения.—М.: Машиностроение, 1964.—
572 с.

55.	Кулифеев Ю.Б. Дискретно-непрерывный метод идентификации непрерывных
систем // Изв. АН СССР, МТТ.—1981.—№ 5.—С. 47-55.

56.	Л а п и н Ю.В. Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковом потоке.—М : На-
ука, 1981.—312с.

57.	Л аре в А.В., Мосеев Ю.В. Расчет характеристик напряженно-деформиро-
ванного состояния мягких каркасированных оболочек на основе метода конечных
элементов // Динамические системы.—Киев: Наукова думка, 1980.—Вып.1.

С. 37-43.

58.	Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета.—М.: Машинострое-
ние, 1973.—613 с.

59.	Л ебе де в А.А., Кова л ьчу к Б.И., Ги ги ня к Ф-Ф., Л а м ашевский В.П. Ме-
ханические свойства конструкционных материалов при сложном напряженном
состоянии: Справочник.—Киев: Наукова думка, 1983.
60.	Лобанов Н.А. Основы расчета и конструирования парашютов.—М.: Машиност-
роение, 1965.—363 с.

61.	Логвиненко С.А., Мосеев Ю.В., Паршукова Н.В. и др. Решение задач
стационарной аэроупругости мягкой каркасированной оболочки на основе методов
конечных элементов и крупных частиц // Восьмая дальневосточная конф, по мяг-
ким оболочкам: Тез. докл.—Владивосток: Изд. ДВВИМУ, 1987.—С. 86-88.

62.	Логвиненко С.А., Мосеев Ю.В., Метод крупных частиц в произвольных сет-
ках и его приложение к решению задач аэроупругости парашюта // Динамические
системы.—Киев: Нау кова думка, 1987.—Вып. 6.—С. 16-22.

63.	Логвиненко С.А., Мосеев Ю.В., Паршукова Н.В., Шухова Т.В. Метод
крупных частиц в аэродинамике парашютов //«Метод крупных частиц: теория и
приложения»: Тр. 3-й Всесоюзной конф. М., 1989.—Ч. 1.—С. 105-128. Деп. в
ВИМИ 22.02.89, № 07723.

64.	Логвиненко С.А., Мосеев Ю.В., Шухова Т.В. Аэроупругость крестообраз-
ного купола парашюта в невозмущенном сверхзвуковом потоке // Сб. докл. VI
Всес. симп.: Колебания упругих конструкций с жидкостью. —Новосибирск,
СИБНИА, 1990.—С. 142-1*6.

65.	Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа.—М.: Наука, 1978.—736 с.

66.	Л у р ь е А.И. Аналитическая механика.—М.: Физматгиз, 1961.—824 с.

67.	Ма гула В.Э. Особенности связи между упругим потенциалом, напряжениями и
деформациями изотропных тел// Сообщения лаборатории мягких оболочек.—М.:
Изд. ДВВИМУ, 1971.—Вып. 14.—С. 3-19.

68.	Магу л а В.Э. Судовые эластичные конструкции.—Л.: Судостроение, 1978.—
264 с.

69.	М о с е е в Ю.В. Инженерный метод расчета коэффициента сопротивления высоко-
скоростного парашюта // Нестационарные задачи механики: Тр. КФТИ.—Вып.
XXII —Казань: Изд. КФТИ, 1989.—С. 13-27.

70.	Мосеев Ю.В., Осокин А.Е. Численное решение задач аэроупругости мягкой
термовязкоупругой оболочки в потоке идеального сжимаемого газа // Тр. 7-й
конф. МФТИ.—М.: Изд. МФТИ, 1982.—С. 155-165.

71.	М о с е е в Ю.В., Паршукова Н.В. Модифицированный метод крупных частиц и
его применение для расчета обтекания профиля двухоболочкового планирующего
парашюта // Взаимодействие оболочек со средой: Тр. КФТИ.—Казань: Изд.
КФТИ, 1987.—Вып.20.—С. 41-50.

72.	Мосеев Ю.В., Рысев О.В. Математическое моделирование напряженно-де-
формированного состояния парашютов // Парашюты и проницаемые тела.—М.:
Изд-во МГУ, 1986.—С. 44-57.

73.	Мосеев Ю.В., Рысев О.В., Федоров В.В. Математическая модель формооб-
разования двухоболочкового планирующего парашюта // Взаимодействие оболо-
чек со средой: Тр. КФТИ —Казань: Изд. КФТИ, 1987.—Вып.20.—С. 31-40.

74.	Нейланд В.Я., Таганов Г.И. О конфигурации передних зон при симметрич-
ном обтекании тел сверхзвуковым потоком газа // Инж. журн.—1963.—Т. 3.—
Вып.2.—С. 207-214.

75.	Н и ш т М.И., Судаков А.Г., Якимов Е.Ю. Экспериментальные исследования
аэродинамических характеристик профилей парашютных крыльев // Аэродина-
мика летательных аппаратов.—М.: Изд. ВВИА, 1987.—С. 374-385.

76.	Носарев И.М. Аэродинамические исследования парашютов при различных уг-
лах атаки // Тр. ЦАГИ.—1976.—Вып. 735.—40 с.

77.	Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред: Пер. с
англ.—М.: Мир, 1976.—464 с.

78.	Отто Ф., Трос тель Р. Пневматические строительные конструкции.—М.:
Стройиздат, 1967.—320 с.

79.	Рахматул ин Х.А. Теория осесимметричного парашюта. Науч. тр. Ин-та ме-
ханики МГУ.—М.: Изд-во МГУ, 1975.—Ч. 1.—№ 35.—С. 3-35.

80.	Рахматулин Х.А. Теория осесимметричного парашюта // Парашюты и про-
ницаемые тела / Институт механики МГУ.—М.: Изд-во МГУ, 1980.—Ч. II.—
С. 125-131.
81.	Ридель В.В., Гулин Б.В. Динамика мягких оболочек.—М.: Наука, 1990.—
206 с.

82.	Рысев О.В. Влияние конструктивной проницаемости купола на коэффициент
сопротивления парашюта // Обтекание парашютов и проницаемых тел потоком
газа / Науч. тр. Ин-та механики МГУ.—М.: Изд-во МГУ, 1975.—№ 35.—С. 52-59.

83.	Рысев О.В. Аэродинамические свойства технических тканей // Изв. вузов. Тех-
нология текстильной промышленности.—1983.—№ 3.—С. 19-22.

84.	Рысев О.В. Аэродинамическое сопротивление технических тканей // Изв. вузов.
Технология текстильной промышленности.—1981.—№ 1.—С. 11-14.

85.	Рысев О.В. Вопросы формообразования неосесимметричных парашютов // Ги-
дроупругость оболочек: Тр. семинара.—Вып. XVI.—Казань: Изд. КФТИ, 1983.—
С. 146-154.

86.	Р ы с е в О.В. Нестационарное отрывное обтекание проницаемого парашюта //
Динамические системы.—Киев: Наукова думка, 1987.—Вып. 6.—С. 10-16.

87.	Рысев О.В. Модели формообразования парашютов на основе теории местных
радиусов кривизны // Парашюты и проницаемые тела.—М.: Изд-во МГУ, 1986.—
С. 25-36.

88.	Рысев О.В. Учет проницаемости ткани в аэродинамике парашюта // Научно-ме-
тодические материалы по аэродинамике летательных аппаратов.—М.: Изд. ВВИА,
1984.—С. 60-73.

89.	РысевО.В., Вишняк А.А., Чур к инВ.М., ЮрцевЮ.Н. Динамика связанных
тел в задачах движения парашютных систем.—М.: Машиностроение, 1991.

90.	Самарский А. А. Введение в численные методы.—М.: Наука, 1982.—272 с.

91.	Хлебников В.С. Перестройка течения между парой тел, одно из которых на-
ходится в следе другого, при сверхзвуковом обтекании // Уч. зап. ЦАГИ.—1976.—
Т.7.—№3.—С. 133-136.

92.	Чж ен П. Отрывные течения: Пер. с англ.—М.: Мир, 1972-73.—Т. 1-3.

93.	Ш в е ц А.И., Швец И.Т. Газодинамика ближнего следа.—Киев: Наукова думка,
1976.—382 с.

94.	Ве гп (И К.З. ЕхрепшегПа! Ое!епшпа1юп оГ Рагаше1ег® Гог Ше Са1си1айоп оГ Рага-
сЬи1е НШод Типе® //ЗаИгЬисЪ 1965 дегЛУОЬР, ВгаиппзсЬуеф- 1965.- Р. 299-316.

95.	В г и п п е г ТЛУ., К е г е т В.М. 1пШа1 КезиВ® оп ТЪеогебса! Ргедюбоп о! Отав Гог а
ТгаШпв Оесе1ег
Научное издание

РЫСЕВ Олег Владимирович
ПОНОМАРЕВ Анатолий Тимофеевич
ВАСИЛЬЕВ Михаил Иванович
ВИШНЯК Андрей Андреевич
ДНЕПРОВ Игорь Васильевич
МОСЕЕВ Юрий Васильевич

ПАРАШЮТНЫЕ СИСТЕМЫ

Редактор Д. А. Миртова

Художник В. Я. Батищев

Компьютерный набор

ИБ№ 41763

ЛР№ 020297 от 27.11.91

Подписано в печать с оригинал-макета 17.11.95. Формат 60x90/16.

Бумага книжн.-журн. Печать офсетная. Усл. печ. л. 18. Усл. кр.-отт.18.

Уч.-изд. л. 19.6. Тираж 1000 экз. Заказ тип. № 4039	. С-012

Издательская фирма «Физико-математическая литература* РАН

117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

Отпечатано в Московской типографии № 2 РАН

121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6