Курс лекций
О Б Епишева
СПЕЦИАЛЬНАЯ МЕТОДИКА
ОБУЧЕНИЯ АРИФМЕТИКЕ, АЛГЕБРЕ И
НАЧАЛАМ АНАЛИЗА В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ
Курс
Рекомендовано
Учебио-Метолическим Объединением высших учебных мведениП
Российской Федерации по педагогическому образованию ia базе МПГУ
в качестве учебного пособия для студентов педвузов
Им ТП1И нм. Д Н Менделеева
Тобольск 2000
Б БК 74.262
М 54
Печатается по решению Учебно-Методического Объединения высши;
учебных заведений Российской Федерации по педагогическому образовании
на базе МПГУ (протокол № 7 от 14 ноября 2000 г.)
Епишева О Б. Специальная методика .обучения арифметике
алгебре н началам анализа в средней школе; Курс лекций Учеб, пособи!
для студентов физ.-мат. спец. пед. Вузов. - Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менде
леева, 2000 - 126 с
В пособии иа основе деятельностного подхода к обучений
раскрываются общие методические закономерности и особенности изучен»
материала содержательно-методических арифметики, алгебры и начал анализа, компоненте Государственного стандарта образовательной области «Математика».	линий школьного курс выделенных в федерально* для средней школы п
Рееяеюеаты:
док тор педагогических наук, профессор В А Гусев (МПГУ);
доктор педагогических наук, академик В М. Монахов (МГОПУ)
©ОБ. Епишева,2000
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие является втирай частью авторского курса лекций по
mi линке преподавания математики в средней школе для студентов педвуза.
(Хинне методические закономерности обучения математике в средней школе
(мн смотренные в первой части [I] здесь специализируются по содержательно-
мгголнчсским линиям школьного курса арифметики, алгебры и начал анализа,
вы icaejilibiM в федеральном компоненте Государственного стандарта для средней
ui> ’.ты по образовательной области Математика” и проходящим через весь
Ш» ыьный курс математики Отсюда название курса - специальная .метооика
обучения. а общепринятый термин "частная методика" мы относим к методике
и чепия конкретных тем она получается приложением специальных закономер
•ни 1сй обучения к теме урока н рассматривался на семинарских занятиях
Важное значение мы придаем первой лекции. в которой выделено все общее в
метлике изучения материала данного курса и обращение к которой обязательно
Н|1Н рассмотрении всех последующих вопросов, это помогает научить студентов
•млеть и использовать общие закономерности обучения в конкретных случаях.
»1ому способствует, на наш взгляд, н единый план рассмотрения методики
и о чепня каждой содержатся >но-методичсской линии Кроме того в тексте зекинй
г и. указания па самостоятельную работу студентов с литературой, дополняющей
или иллюстрирующей материал лекции и также помогающей конкретнзирова1ь
(инне теоретические положения при подготовке к семинарским занятиям н иг
। i.noi H'iecKoR практике
В первой части каждой лекции по методике изучения содержателыю-
м< iII <ической линнн мы обращаем внимание на компактную .характсрнсгнкх его
«тематического содержания н основных математических идей и методов, т.к. без
• nt о рассмотрен нс методических особенностей оказывается лишенным
«.нематического фундаменте При этом в помощь студешу рекомендуется
aipauiciiHc к вузовским учебникам мзтем.зтнкп. пособиям для уЧ1ггсля математики
н донтуриеитов Вторая часть лекции - традиционная для такого Kvpca здесь мы
нрнплекаем студентов к использованию материалов периодической печати
(Устальная часть лекиин отражает авторскую позицию автора - необходимо
у чин. ciyxeiirou конкретизации и .iii<|i<|k'|K*iiiiii.iiuiii ученных целей и iioimuxikkiti
нроекп|ронания разливающих и шкитнл тельных целей обучения математике;
выделять не только основные типы математических задач, ко и приоритетные
обобщенные приемы их решения (формирование которых является одной из
особенностей нреддатасмой методики и может служить, на наш взгляд одной из
выделенных новой Концепцией [2| метолологических линий}; показывать примеря
специатьных учебных зал'тч в данной линии
Рассмотрение основных методов обучении в конкретной содержагслытс
методической линии складывается из трех частей - I) самостоятельное обращений
ету lemon к закономерностям использования обнтснсдагогнческпх методов, форм н
средств обучения применительно к данному материалу в книге [I]; 2) общие
методические замечания н рекомендации ио использованию специальных
(зависящих от математического содержания материала) методов и приемов
обучения: 3) их представление в вилс методико-технологических цепочек
Примерный объем лекции - 4 часа Возможное распределение материала лекций но
еместрам. в зависимости-от учебного плана вуза н учетом сокращения по рекомендации
МО РФ нечетного семестра и удлинения четного, может быть следующим если кур
обшей методик» читается в 5-м и 6-м семестрах, в 6-м семестре может быть прочитан
екция I в 7-м - материал остальных лекций. относящийся к основной тко.те и нерва
половине 9-го - материал, относящийся к старшей шкоде (аналогично Суде
распределяться курс методики геометрии - планиметрия - К й семестр, стереометрии
вторая половина 9-го).
Автор выражает благодарность рецензентам - доктору педагогических науч
профессору В.А. Гусеву ц доктору педагогических наук академику В.М Монахову
Замечания и предложения по содержанию пособия будут с благодарностей
приняты но адресу 626150. Тюменская область, г Тобольск, ул. С Ремезова
д. 116 кв 38. Домашний телефон (34511) - 5 - 89 -56.
Епишева О Б
я
ЛЕКЦИЯ I
Общие вопросы теории и методики обучения арифмИ11^1' *
алгебре и началам аиал/па в средней школе
План:
I I Общие задачи курсов арифметики, алгебры и начал авалий средней
Лшеобразоватсльиой школе.
I ? Содержательно-методические линии и структура программы 1*,ко/,ьного
•у,ч« арифметики, алгебры и начал анализа.
1.3 Основные учебники и учебные пособия для учащихся.
I 4 Общие психолого-педагогические закономерности изучения с0-',сР'*'а
тельно-методической линии школьного курса математики.
. с	>т?.1и‘<еской
I s Общая схема логико-мстоднчсского анализа содержат ел ьно-мсг‘
и ни школьного курса математики
1.1 Общие задачи курсов арифметики, алгебры и начал а1,я',,,,лЯ
в средней общеобразовательной школе
з человек
«обшей
наука.
греческого
LL1. Арифметика, как показывает само слово, происходящее or 1
..	„	Вопросы
«рнтмос - число, есть наука о числах и действиях над шоп*
•I нфметики были первыми математическими вопросами, с которым1
ж цнггнлея уже на ранних ступенях своего развития. Однако изуч«н
тт >рни арифметических операций отошло к алгебре, а арифметика *С'1К
й/аЯ весьма
именуемая в настоящее время теорией чисел, представляет соо°
r r г	.-/оринескн
I unci пленный н богатый содержанием раздел математики. НС г
ь лившийся в связи с исследованиями по теории делимости целых чисе^’
..	,	, способов
ементаркая алгебра зародилась в древности при поисках обид1*
С	.	о	„ развитие
I" •чшя задач, более сильных, чем арифметические. Возникновение 11 г
• мен гарной алгебры связано 1)с расширением понятия о числе; 2)< «#вс-3’с
г «пенной символики, которая приводит к изучению тождественных гр/’х>Р'азоиа
,,	.ТонЯГПЯ О
кип 1)с учением о решении уравнений и их систем; 4) с развитием 1
«-ременной и функции. Слово "алгебра" впервые встречается в книге “A,bJAC Р
* 1ьчукабала". иаписаиной около 820 гнэ Магометом ибн Мусой аль ХОР*Г,М11
S
посвященной составлению и решению уравнений первой и второй стене ihJ
Термином 'альджебр'. псрсдсяанном в дальнейшем и а.иебру“ и уио1рсб.'<ясмыы|
для обозначения науки об уравнениях, в ней обозначхяось действие ficpciicccniun
отрицательных членов уравнения а другую его часть.
Развиваясь дальше как учение об уравнениях, алгебра по необходимости'
должна была рассматривать различные обобщения понятия числа, а стремление!
сделать более короткой, наглядной и обозримой запись необходимых для решения
>равнений выкладок привело к созданию буквенной символики (Ф Вист, конец
XVI в ). Общие исследования, проводившиеся в начале в связи с задачами решения!
уравнений, привели в дальнейшем к созданию дсорнй групп, колей, полей,
зннейной алгебры теории Галуа, теории алгебраических чисел и др., которые
составляют основное содержание современной алгебры как науки.
Название математический аналчГ является общим для целого ряда
математических дисциплин, основанных на понятии функции и предельного,
перехода. Сюда относят дифференциальное и >нпс1ральное исчисления, теорию
рядов, теорию дифференциальных уравнений, теорию аналитических фуикннИ
теорию интегральных уравнений, вариационное исчисление, фуикционв-<1Ы1ы1|
анализ. В более узком смысле этим термином обозначают три первых из названньч
разделов математики. Для изучения функций в этих разделах используется и!
только собственно аппарат математического анализа, но и аппарат арифметики I
-алгебры ("элементарные средства").
1,1,2, Школьный курс арифметики, алгебры и начал анализа получен нуте!
отбора материала соотвсгсгвуюших научных курсов и его дидактической
обработки Государственный образовательный стандарт полной средней школя
определяет следующие основные задачи данного курса.
-	развитие представлений о числе и роли вычислений в человеческой
практике; формирование практических навыков вычислений и вычислительно!
культуры
-	формирование формально-оперативных алгебраических умений и и:
применение к решению математических  виемстсмагичсских ылач ;
-	изучение элементарных функций н использование фуикциональис
графических представлений для описания н анализа реальных зависимостей.
6
< милком лсние с элементами днф/срснинального и интегрального
<ичи trim* кик аппаратом исследования функций и решения прикладных задач;
'|и>рмнрс1па>1ие представлений об изучаемых понятиях и методах как
Мангяишх средствах математического моделирования реальных процессов и
«• пип. о математике иак элсмстпс человеческой культуры, о се применении в
и научном познании (осознание универсалы зстм .математических
ПВМЯ1НН норий, методов, иллюстрация их применения в различных областях
ф-икечегкой деятельности;
piruiuiiic интеллектуальных и речевых умений — умения логически
«опивать суждения, проводить анализ, обобщение, систематизацию
фиволнть примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики
(С "MHtciiMil. символический, графический) )6. с.З; 5. с. 7).
1.2. Содержательно-методические липин н структура программы
школьного курса арифметики, алгебры и начал анализа
1 2.1. Говоря в курсе общей методики преподавания математики о реформе
«•1гмап|ческого образования, мы отмечали, что во время любых изменений
। опгржпния школьных программ в них должен оставаться некоторый "костяк или
алро (термин А Н Маркушевнча) из таких тем. без изучения которых учащиеся
»• «тучат представления о математике и ее методах (I. лк.4. с. 57). Они коинсти-
рн хин п себе математические знания, которыми должен обладать каждый человек
• ‘крененном обществе, необходимые, прежде всего, в повседневной жизни лзя
Р> ‘«гния возникаюших в практике задач, а также для решения внутриматематнчес-
• i« проблем и задач прикладного характера Совокупность таких тем получила
‘•iniiuuc содержательно-методических линий" школьного курса математики.
Н курсе арифметики, алгебры и начал анализа Стандартом выделяются
• ivhuumc линии "Числа и вычисления'. выражения и их преоьраювания
Ь/чмнгния". -функции". Это отражает длительный опыт обучения математике и в
н«, luviiicc время практически полностью соответствует мировой практике.
И. а |«<>чснис составляет так называемая стохастическая линия, связанная с
я» «рпей вероятностей н математической статистикой и ставшая чрезвычайно
••Iзальной и изменившихся и динамично меняющихся условиях современного
7
общества. Она широко представлена в мировой системе образования, апробирует»
в экспериментальных учебниках и в ближайшей перспективе должна бьг
включена в курс математики нашей школы [6 , с. 3].
В содержании школьных программ в той или иной степени находг
отражение новая концепция математического образования. Известны программ
по математике для средних общеобразовательных учреждений различи
профилей, для школ (классов) с углубленным изучением математики, для V-X
классов с недостаточной математической подготовкой [5]. Один из руководится»
работы по созданию новых школьных программ и учебников по математике про
Г.В. Дорофеев считает, что существенным новым
является гуманитарный характер новых целей
дифференциации. В программу
аспектом этой
н развитие
гуманитарного непрерывного курса
новые для российской школы
разработанного
математики в основной школе
под его
внесены
линии.
содержательно-методические
вероятностно-статистическая и “Математический язык и логика”, “Математика
окружающий мир”, и, по выражению Г.В. Дорофеева, “ довольно большой объе»
формально говоря, нематематического содержания.”
В рамках межгосударственного поискового эксперимента'по отработке ново
модели школы под руководством проф. Л.В. Тарасова создана модель “Экология
диалектика”, суть которой - связь образования с внешним миром, с et
закономерностями. Концепция математического образования в этой модел
состоит в следующем. Математика - гуманитарный предмет, который позволяв
человеку правильно ориентироваться в окружающей действительности и “ум
порядок приводит". В математике реальные процессы описываются на особо
Поэтом
математическом языке и в виде математических моделей.
"математический язык” и "математическая модель” - ключевые
слова
постепенном развертывании курса, его идейный стержень, при наличии
математика предстает перед учащимися не как набор разрозненных фактов, а кг
цельная развивающаяся и в то же время развивающая дисциплина.
Проф. А.Г. Мордкович считает, что прн конструировании программы додже
быть выбран содержательно-методический приоритет, в качестве которого
предлагаемой им программе школьного курса алгебры выступает функциональн<
которо!
8
«рафическая линия.
II проекте Концепции математического образования для 12-летней школы
шнипыуется представление содержания математического образования в виде
(*•**> ilkhx крупных блоков - арифметика, алгебра, функции, геометрия, анализ
В последнем “выделяются три взаимосвязанных направления, каждое из
•пормх а гой или иной степени проявляется на всех ступенях школы: подготовка в
in комбинаторики с целью создания аппарата для решения вероятностных
Швач и логического развития учащихся, формирование важного вида практически
ирнгшированной математической деятельности; формирование умений, связанных
а набором, представлением, анализом и интерпретацией данных; формирование
(фглепшлений о вероятности случайных событий и умении решать вероятностные
Млячи ’’[2, с. 16]. Наряду с этими блоками Концепция выделяет ‘'методологические
Мн-ии. в которых содержание прослеживается с точки зрения развития общих
«и «дологических понятий и идей: математические методы и приемы
р*> суждений, математический язык, математика и внешний мир, история
1смптики.”[2, с. 15]. В этом видно усиление внимания к развивающей и
•т тнательной функциям обучения математике в школе.
1^2, Сохраняя терминологию Стандарта в основе обозначения
♦аалгржательно-методических линий школьного курса математики, в нашем курсе
•гкций мы рассматриваем методические закономерности изучения линий курса
•(‘нфметикн. алгебры и начал анализа: “Числа и вычисления", “Выражения и их
1<|нч1(|разования”. “Уравнения н неравенства", “Функции и начала математического
•ил ui м’’.
Как правило, содержание выделенных линий курса невозможно изучить в
мним месте, в пределах какой-либо одной темы программы. Это объясняется, с
о 1ИПЙ стороны, закономерностями истории развития математического знания.
•» ночающей его возникновение, углубление, расширение, обобщение с течением
И'1 мечи, а школьное обучение, в некоторой степени повторяет исторический путь
ж юпсческих открытий в целом; в этом состоит исторический подход к обучению
iK 8. с. ПО]. С другой стороны, это’ объясняется психологическими
tn "Ценностями понимания и усвоения математического материала процессе
’'учения, в котором обязательно имеют место три этапа: 1) фрагментарное
9
понимание и усвоение. 2) логически исобобшен1юс понимание и усвоент
Алогически обобщенное понимание и усвоение [1. лк.1, с. 13J. Поэтому
программе, как правило, заложены три этапа изучения каждой линии
1) пропедевтический, 2) изучение основного содержания, 3) дополнени,
углубление, обобщение и систематизация изученного. При изучении каждой лини
эти этапы реализуются в разных темах и классах.
1.3. Основные учебники и учебные пособия для учащихся
1.3,1, Перечень имеющихся в настоящее время учебников и других пособи
по математике приведен в журнале “Математика в школе” № 3. 1997. Это
учебники математики для 5-6 классов (называю по первой фамилии авторов ил
редактора) Э.Р. Нурка, Н.Я. Виленкина. Л.Н. Шеврина, Г.В. Дорофеев,
С.М. Никольского; алгебры С.А. Теляковского, Ш.А. Алимова, А.Г. Мордкович!
алгебры и начал анализа А.Н. Колмогорова, М.И. Башмакова (дополнительно Ml
№ 5. 1996), Ш.А. Алимова. Журнал перепечатывает тематическое планирование
ним из сборника МО РФ “Программы общеобразовательных учреждени
Математика” (1996), справедливо считая, что оно одновременно рассказывает и с
особенностях самих учебников.
В настоящее время работа по созданию школьных учебников ново!
поколения не прекращается. Авторы реализуют а учебниках свою концепци
программы соответствующего курса математики и придают им соответствуют!
характер (гуманитарный, прикладной, развивающего или углубленного изучен!
математики). Так. перед авторами учебников математики нового поколения для
6-х классов в первую очередь стояла задача реализации идей развнвающе!
обучения, что дополнительно диктовалось необходимостью обеспечить обучен!
тех учащихся, которые обучались в начальной школе по системе Л.В. Зайкова ш
Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова.
1,3.2. В новом варианте известного учебника Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова
др. авторы решают следующие задачи: а) сохранить теоретические и методическ!
подходы, оправдавшие себя а практике преподавания в предшествующие год!
б) предусмотреть возможность компенсации типичных для начального обучен!
Ю
*. । ion n подготовке школьников и недостатков в их математическом развитии,
рншни внимания и памяти; в) обеспечить возможность для школы работать но
vhcoiium планам, использовать учебник в "классах выравнивания", а также
•м >• пбленной подготовки, предоставить необходимую базу для проведения
^массных занятий по предмету; г) сделать учебник более "технологичным", т.е.
чюбы он обеспечивал учебным материалом все основные этапы урока (в
и. учебник дополнен новым разделом "Итоговое повторение”), был
ТяаАмым в работе и для учителя, и для детей (учебник заново оформлен с
Мяып». 1<>1<пнием некоторой системы опор для работы с учебной книгой).
Учебник коллектива авторов Г.В. Дорофеева и др. (в комплекте с рабочими
дидактическими материалами с разноуровневыми упражнениями.
Ф»*ч<ми на смекалку и книгой для учителя) уделяет внимание формированию
лигельной культуры, делает акцент на обучение приемам прикидки и оценки
О»»||ьгпгов действий и логическим приемам решения текстовых задач. Включеи
» «мН для российской школы материал - элементы математической статистики,
обинаторики и теории вероятностей. Каждый раздел завершается рассмотрением
•*н>н>в решения задач из этого раздела и двухуровневой системой упражнений. В
•  ••иг каждой главы в пункте “Для тех. кому интересно" предлагается
•оба ытельный материал, углубляющий или расширяющий знания учащихся.
Основные принципы учебного комплекта "Математика, 5-6 классы” (учебник-
ямПгкедннк и рабочие тетради не только с тренировочными упражнениями, по и с
«м1гма1ическимн играми и занимательными задачами) коллектива авторов
ЛИ II (сирина И др. - учет особенностей возрастной психологии, опора на
 ниЛ-нные ситуации, организация внутри учебника диалога с читателем,
«а н-кательность изложения. Через всю книгу' проходит линия уроков под
мшанием “Учимся рассуждать при решении задач” и другие разнообразные
1Ч»смы развивающего обучения. Учебник построен в занимательной, игровой
форме, представляет собой путешествие пытливого ученика Смекалкина по стране
Мшсмагике.
Учебник “Математика" 5-го класса Н.Б. Истоминой (не представленный в
• \риале) является продолжением работы, которая осуществлялась в начальной
окопе по ее программе и учебникам. Учебник содержит четыре главы
и
(1. Натуральные числа. 2. Обыкновенные дроби. 3. Десятичные дроб»
4. Практическая геометрия.), логика построения которых, с одной сторонь
учитывает математическую подготовку в начальной школе, с другой - обогаша!
ее новыми
понятиями
и способами действий, терминами.
формами
записи.
правилами и определениями. Каждая тема представлена системой заданий, в текс
которых используются “диалоги Маши и Миши": этот прием позволил авто)
отказаться от объяснений на примерах и включать учащихся в деятельно!
активизировать их внимание и мышление, подвести к необходимому обобщению.
Математика для 5-го класса в концепции "Экология и диалектик,
представлена двумя курсами “Число и окружающий мир" и “Геометр»
окружающего мира’’, которые в той или иной степени реализуют основную идя
этой концепции.
В учебниках алгебры для 9-летней школы П.М. Эрдниева реализована систем
УДЕ, в которой ключевым упражнением
является составление и
решение
ооратпых
задач с использованием всех кодовых систем человеческой психики - слов]
предмета (опыта), рисунка (чертежа), символа (знака) и числа.
Учебники математики (Арифметика. Алгебра. Анализ данных) для 9-летнс
школы под ред. Г.В. Дорофеева являются продолжением учебников математик
для 5-6 классов. Преемственные связи между курсами обеспечиваются как
содержательном плане, так и сточки зрения методических решений. Получаю
дальнейшее развитие арифметическая линия (овладение различными приемам)
вычислений), аналитическая линия и линия анализа данных (овладени
простейшими приемами обработки информации, в том числе с использование!
статистических методов). При изложении традиционной по содержаниг
алгебраической линии используются методические приемы, облегчаюши
овладение аппаратом тождественных преобразований, различные средств.
математического языка — символика, таблицы, графики, геометрические
интерпретации. Сохраняются основные методические особенности курс..:
интеллектуальное развитие учащихся средствами предмета, акцентирование на
практическую значимость изучаемого материала, использование возможностей для
дифференцированного обучения, поддержание интереса к предмету с помощью
разнообразных по содержанию и форме заданий. Сохраняется рубрика “Для тех.
12
tfan инн pcciio”.
II учебниках алгебры Л.Г. Мордковича реализована описанная выше
построения содержания обучения по программе единого курса
|М*мн1нки 1-9. предусмотренного учебными планами Ассоциации “Экология и
Это принципиально отличает их практически от всех других
но концепции, структуре, стилю п методике изложения материала.
teftHoa идея курса - функция, изучение всех функций имеет единообразную
^Bntypy. изложение всех вопросов алгоритмично. с выделением основных этапов
^о*|снин и решения типовых задач, а также фиксацией на них внимания
В*)агт от решение практически всех текстовых задач оформлено в виде трех
Ьм м.иематического моделирования: каждая глава заканчивается параграфом
^buouiii.ic результаты". Основными методическими особенностями учебников
Мики проблемное изложение материала и диалектический подход к введению
математических понятий, повествовательный и занимательный стиль.
^к>1»|>сн11<1я по степени нарастания сложности и трудности система упражнении.
Мг><> шческое пособие для учителя содержит поурочное планирование.
11ИЧГСКИС рекомендации, тестовые задания.
( грим учебных книг "‘Математика, психология, интеллект" (МПИ}.
Ь^аА'идшая авторским коллективом под руководством Э.Г. Гельфман на основе
mi ической теории интеллекта М.А. Холодной (интеллект как форма
нинмции ментального (умственного) опыта). реализует идею
। н-юуального воспитания. Тексты учебников построены с учетом реальных
клнчсских механизмов интеллектуального развития учащихся, с учетом
»•- >nn.> и строения его ментального опыта.
Новым для нашей школы является создание не только учебников.
- «ivioniHx современную концепцию школьного образования, но и комплектов
м.т матике, в которые, кроме учебника (центральной книги), входят рабочие
• in I пособия с печатной основой), дидактические материалы (дополнительный
чиражнений для самостоятельной работы по уровням), задачи на смекалку
Г» । м.пилированный набор нестандартных задач для внеклассной работы). Их
«•I- <»н-ристика для V-VI классов дана в ж. “Математика в школе". № 4. 1997. с. 27
‘ч | [лряду с расширением тематики известной серии книг в дополнение к
13
учебникам "Занимательная математика", появились серии "За страница*
учебника ...". "Домашняя математака” и другие, цель которых - помочь учащим)
понять и полюбить математику.
1.4. Общие психолого-педагогические закономерности изучения
содержательно-методической линии школьного курса математики
1.4.1. Общие психологические закономерности деятельности ученика г
усвоению любого материала рассмотрены нами в курсе общей методики [I, лк. 1,1
12-13]. В первую очередь - это необходимость осуществления учеником полно;
цикла учебно-познавательной деятельности (УПД): восприятия, осмыслени
запоминания, применения, обобщения и систематазации новой информации. П|
этом постепенно повышается уровень усвоения учащимися знаний и способ»
деятельности - от 1-го (понял, запомнил, воспроизвел) ко П-му (примен!
усвоенное в стандартной ситуации), затем к III-му (применил знания
нестандандартной ситуации) и IV-му, творческому.
Пеоагогические закономерности деятельности учителя по управлению эт<
деятельностью учащихся заключаются в том, что она должна содержать пк
этапов: 1) мотивационный, обеспечивающий включение учащихся в проц©
учения: 2) ориентационный, связанный с принятием учащимися целей учебн
познавательной деятельности и ее планированием; 3) содержательно-операцио
ный. связанный с усвоением учащимися системы знаний и способов деятельност
4) ценностно-волевой; 5) оценочный. Этапам деятельности учащихся и учителя i
практике соответствуют этапы учебного процесса: 1) подготовка к изучени
нового материала; 2) изучение нового материала; 3) закрепление знаний и способ,
деятельности; 4) применение знаний и способов деятельности; 5) контрол
коррекция и оценка усвоенного.
Задача формирования в процессе обучения математике обобщенных npi
учебной деятельности учащихся и психолого-педагогические закономерности
процесса (см. [10]) диктуют необходимость следующих этапов деятель
учителя (технологическая цепочка):
•диагностика сформированное™ необходимых приемов уч.
деятельности - анализ существующего положения, готовности учащихся
14
•м-	। пню необходимой для усвоения нового материала учебной деятельности;
•	ши гаиовка целей учебной деятельности и принятие их учащимися -
юй ее стороны, которая направлена на овладение необходимыми
^^*мамн мой деятельности, возбуждение интереса к ней;
•	апглеиие приема (нескольких приемов) - инструктаж о способах учебной
Жр» * пости, направленный на усвоение учащимися состава приема; для этого он
^Ь«<г>| быть сформулирован и представлен в качестве предмета специального
* ••—«ни.
•	<ti работка введенного приема, в процессе которой на основе его осознания
Жв»*рус1ся умение;
»	оперативный Контроль и коррекция процесса формирования приема
^Жушкй контроль) - выявление пробелов и организация необходимой помощи
я и их устранении, уточнение задач учебной деятельности и средств их
	ОНИ
•	применение нового приема (в типичных, стандартных) ситуациях, отчего
МГмиг i ыновится все более автоматизированным, т.е. превращается в навык;
•	обобщение и перенос усвоенного приема, к которому учащиеся, по
bwxins. постепенно подводятся на предыдущих этапах; действительно,
- тропка каждого приема учебной деятельности есть обобщение (первичное)
решения нескольких конкретных учебных задач в результате анализа
Ъ*1я*ия1оших действий; дальнейший анализ самих приемов позволяет выделить
г । одержание деятельности по решению учебных задач и сформулировать
МйП|||гпный прием;
•	i.i крепление обобщенного приема; этот этап сливается с повседневной
л й деятельностью учащихся;
•	обучение нахождению новых приемов учебной деятельности на основе
•ьмгпппго. необходимых для использования обобщенного приема в новых
)> hi 1м>мых, нестандартных) ситуациях.
Нылсленные здесь этапы формирования приемов учебной деятельности в
г» • П.ПЧМ учебном процессе не отделены четко друг от друга и взаимодействуют ие
тьпло к указанной последовательности, они переплетаются в самых различных
. к i линях. Так, этап "применение приема” имеет место и при "отработке приема”.
и при “оперативном контроле” и др. С другой стороны, например, при закреплен«
одних приемов может происходить обобщение других и т.п., что образуеЯ
диалектическую связь всех рассмотренных этапов.
1.4,2. В методике обучения математике выделяются наиболее подходящие длЛ
каждого этапа учебного процесса общие .методы и средства обучения, как этш
рассмотрено в курсе общей методики 11. лк. 12. и. 2 с. 173-176. и подробно в лк. ?•!
10]; там же отмечаются и другие общие условия выбора общепедагогическиЛ
методов и средств обучения математике. Во-первых, это зафиксированный 11
программе по математике возраст учащихся: 5-6-е классы - наглядно-1
интуитивные, индуктивные, словесные, практические игровые; 7-9-е классы J
сочетание наглядных, индуктивных и практических методов с теоретическими!
обобщениями и дедуктивными выводами; 10-11-е классы - при сохранении
интуиции и наглядности на первом этапе изучения, выделение роли теории I
проверки сделанных выводов - методы логики, методы обобщения *1
систематизации, прикладная направленность н профильная дифференциация
обучения; в старшей школе усиливается внимание к повторению как условию!
реализации преемственности при восприятии нового и устранения пробелов И
знаниях. самостоятельной учебной деятельности. перерастающей
самообразование в связи с выбором будущей профессии, к развит и
мировоззрения средствами математики в связи с изучением элементов философа
становится более глубокой уровневая дифференциация обучения, систематизаш
знаний и умений при заключительном повторении, используются элемент
лекционно-семинарской системы обучения, вузовских и технических фор
контроля и оценки усвоения.
Вторым критерием выбора методов и средств обучения являются этап
усвоения знаний и способов деятельности учащимися и соответствующий им тп
или этап урока [см. 1. лк. 12. п. 2 с. 173-176]. Третий критерий - уровень учебно
деятельности учащихся, определяющий уровневую дифференциацию не тольк
содержания, но и методов обучения. На наш взгляд, здесь прослеживается та и
закономерность их выбора, что и в связи с возрастом учащихся. Четверты
критерий - достижение развивающих и воспитательных целей обучени
математике; в психолого-педагогической литературе выделяются следуют!
16
лучения, направленные на развитие и воспитание учащихся средствами
и» предмета: использование истории развития математики, решение
1Ы1ЫХ математических и учебных задач занимательного, игрового,
«он», практического и прикладного (в частности, регионального характера)
•м случае, на материале арифметики, алгебры н начал математического
I составление задач учащимися, формирование ориентировочной основы
«ных действий по решению таких задач и психологические тренинги;
»вристические, проблемные методы обучения, дифференциация и учет
имей мышления левополушарных и правополушарных учащихся. Пятый
4< папы формирования обобщенных приемов учебной деятельности
«о отмеченные выше. Шестой - содержание изучаемого материала, о
ы мы будем говорить в построении методики изучения каждой
ntc'и,но-методической линии отдельно. Общими в этом случае являются
j ни ики. математики и информатики (совокупность методических приемов
|нч111иия математических понятий,- изучения теорем и обучения решению
I |1, лк. 10-11], постоянное повторение, обобщение и систематизация
tiiioio с помощью специальных таблиц и схем [см. 13].
Применение каждого метода обучения целесообразно представить в виде так
ыи-мой методико-технологической цепочки, в основе построения которой
। психолого-педагогические закономерности обучения. Например,
'кпичсская цепочка проблемного обучения имеет вид: создание проблемной
•инн или организация условий для ее возникновения, определение проблемы и
формулировка. организация поиска путей решения проблемы и выделение
цы» проблем, помошь и руководство выдвижением гипотез и их проверки,
•.ине проблемы н при необходимости коррекция, закрепление полученных
«ни 11ри реализации методики поэтапного формирования умел венных действий
И 1 .ги.церина необходима следующая цепочка: материальное действие с
••МИ.1МИ предметами, действие в громкой речи с образами (без предметов),
« । нис во внешней речи про себя”, действие “во внутренней речи без слов”.
Iс\иологическая цепочка введения нового приема учебной деятельности:
решение учебной задачи "по соображению” - на основании изученной теории,
• и.июгии с известными ранее приемами, на основании обобщения и переноса
17
известного приема, интуитивно и т.п.; 2) осознание учащимися составляют!
действий по решению учебной задачи, как правило, с помощью ответов на вопра
учителя: "Выделите и перечислите по порядку, какие действия вы делаете ,л
решения данной задачи”; формулировка и оформление состава приема в вил
перечня действий - в тетради, на карточке и т.п.; 3) показ образцов применен!
нового приема — решение учебных задач, сопровождаемое устными указаниями I
советами по его использованию.
Другие методико-технологические цепочки основаны на отмеченных вьця
психолого-математических закономерностях обучения; например, три ступем
понимания математического материала, используются в управлении усвоений
»
учащимися математических понятий, теорем и их доказательств и называние
условно подготовительным (пропедевтическим), основным и этапом закреплении
обучении математике [I, лк. 10. с. 125- 147]. Если какие-то звенья этих цепоче!
практике работы учителя выпадают, лежащие в их основе закономерной
обучения нарушаются, тем самым степень гарантированности достижем
поставленных целей уменьшается.
1.4.3. Каждый метод обучения реализуется с помощью учебных зо<>!
которые получаются в результате перевода целей учебной деятельности в задан!
для учащихся тестового типа и служат для достижения этих целей в пронес!
обучения. При этом учебные (или обучающие) цели, как поставленные I
конкретном материале, легче представить в виде учебных задач (или образц!
деятельности), это частично сделано в стандартах математического образования и
каждой содержательно-методической линии (мы о них будем говорить
соответствующих лекциях). При этом можно выделить обобщенные типы учебны
задач, обеспечивающих достижение обучающих (учебных) целей в любе
содержательно-методической линии школьного курса математики:
На формирование знания теоретического материала:
I.	Вставить пропущенные слова в формулировке определения, свойства, нравв.
действий, алгоритма или приема, доказательства и т.д. так. чтобы оно было верным.
2.	Среди данных предложений (формул, ответов и т.п.) выбрать правильную.
3.	Определить, верно ли данное утверждение (выражение, формула, схема и т.п.).
4.	Сформулировать основные определения, правила, алгоритмы илн приемы по теме.
5.	Найти в тексте ключевые слова (слова-ориентиры).
6.	Разбить текст на смысловые части и дать заголовок каждой из них.
7.	Найти в тексте незнакомые слова и выяснить (выписать) их значение (возможно. I
18
* Н>л>н n <ексте незнакомые словосочетания и выяснить их значение.
IHim >ии. ка вопросы по текст)', связанные с содержанием: “Что это ...". “Из чего
р*- -» Частью чего является ...". “Какими признаками обладает..."
1к|чл казать устно воспринятую информацию, выделить главное.
II Промигать текст по учебнику и воспроизвести содержание его основных
ИНН
В) I IK ыпигь “родословную" данного понятия (теоремы, правила, приема).
Il Определить. какие понятия используются в доказательстве изучаемой теоремы
лап. им различные (равносильные) определения, сформулировать следствия.
Нмяссги как можно больше следствий из данного определения (формулы, теоремы,
свойства конкретного понятия в данном примере).
• ’ 1Ь« ыяить вопросы по тексту с возможными вариантами ответов.
4 11лН1и в тексте указания на решение основных задач по теме.
I • IUAiii в тесте указания на возможные ошибки в усвоении и применении материала.
Най1и дополнительный материал по теме в популярной литературе, энциклопедии.
Ручнике
14 I nftpari. гекст (или его варианты) из отдельных частей, проверить правильность.
4> Ими ыновить несохранившиеся отрывки текста.
|| < (к мнить собственный текст по теме, проверить его правильность.
На формирование понимания изучаемого материала:
I 11ривес ги примеры и контрпримеры к понятию, теореме, свойству, правилу.
I 11|«1комментировать самостоятельное письменное выполнение какого-либо задания.
I Прочитать словами данную символическую информацию (рисунок, чертеж, график.
{|ма1и'1сское выражение, формулу, схему).
• Перекодировать известную словесную информацию (определение понятия, теорему.
Р» »ж> правило) в виде схемы, рисунка, чертежа, графика, символической записи, блок-
|ыы шаграммы. таблицы, опорного сигнала или конспекта, наглядного пособия.
»>• нрои вольной иллюстрации.
1 Полите ги данный объект под понятие или свойство в различных формах их задания.
• Ik твить вместо выделенных в данном предложении слов (выражений, рисунков и
I |>р>||иноположное по смыслу.
I Ус гановить соответствие между двумя системами объектов по изученной теме.
I ( 1ч извить план доказательства теоремы (свойства).
• Пронести доказательство теоремы (свойства) в новых условиях (чертеж,
^•мячения. частные случаи).
Hi I iiiucarb основную идею (метод, прием) доказательства теоремы (свойства).
II |1няснить характер связей в изученном материале: а) непосредственных и
ь>1> ,|иц.1Н||ых, б) причинно-следственных и генетических, в) пространственных и
HMI.IX. г) последовательных и параллельных, д) прямых и обратных.
I.’ Усыновить какие-либо связи нового с ранее изученным (сравнить, обобщить.
•• нфицировать. систематизировать их).
11< |>счислить теоремы (свойства), которые доказывались тем же методом (приемом).
« Пморать среди предложенных задачи, для решения которых можно использовать
к । 11 орему (свойство, правило).
I' I оставить задачу иа применение данной теоремы (свойства, правила).
• в (Цветить иа вопросы, отражающие причинно-следственные связи: “Зачем ... “,
19
На формирование умении и навыков:
1.	Выполнить практическую работу тренировочного характера.
2.	Выполнить действия по данному образцу, алгоритму, приему, правилу, схеме.
3.	Из данного набора действий составить алгоритм (прием) решения данно
.математической задачи или цикла задач.
4.	Решить типовую задачу, используя известный прием.
5.	По условию данной математической задачи определить, какие определени
теоремы, правила, приемы необходимо использовать для ее решения.
6.	Расчленить данную задачу на подзадачи.
7.	Найти задачи, аналогичные, противоположные данной и сравнить их.
8.	На основе определения (свойства, теоремы, правила) составить прием решен»
данной задачи и применить его.
9.	Найти ошибку в решении данной задачи, выявить ее сущность.
10.	Найти ошибку в применении приема к решению задачи, выявить ее сущность.
11.	Исправить ошибки, допущенные в решении задали.
12.	Изменить условие или требование задачи и. соответственно, известный прие
решения так, чтобы его можно было применить к данной задаче.
13.	Сделать проверку и дать оценку результатам решения задачи.
14.	Выделить для себя из процесса решения задачи полезные новые знания.
15.	Ответить на вопросы, связанные с действием и способом его осуществления: “Ка
каким образом ...”
16.	Ответить на вопросы, связанные с условиями выполнения действий.
Развивающие и воспитательные цели, имеющие более глубокий и личностны
характер, являются более общими и долговременными, они не могуг бьп
представлены как кратковременные результаты и достигнуты при изучении како|
иибудь одной темы или даже линии. Поэтому, если учебные задачи дз
достижения учебных целей ставятся с ориентировкой на требования к учащимся
программе и стандартах образования, то, используя общие категории развивающ»
и воспитательных целей обучения математике [1, ч. I, лк. 2 и 3, с. 21-49], а таки
возможности их достижения на материале конкретной содержатель»
методической линии, необходимо выделять общеучебные задачи развития вс<
познавательных процессов (восприятия, мышления, представления.
мыслительных операций), речи, умения учиться; воспитания интереса к
обшей культуры, эстетического воспитания и Др.
Обобщенные типы учебных задач, обеспечивающих достижение
развивающих целей учебной деятельности
На развитие внимания:
I.	Продолжить (формулировку математического предложения, устный ответ товариц
решение задачи и т.п.).
2.	Задать вопросы (по домашнему заданию, по объяснению учителя, по решен»
задачи, при взаимоконтроле в групповой работе и т.п.).
3.	Дан перечень (может быть, в виде таблицы. схемы, произвольн.
20
нм ж-довательности. в письменной или в устной форме) некоторых математических
бьсктов (чисел, символов, выражений, уравнений, формул, фигур, математических
iprлложений); как можно быстрее расположить их в определенном (заданном или
айлеииом самостоятельно) порядке.
4	Найти ошибку (в формулировке определения или теоремы, в написании формулы
|ли выражения, в решении задачи или доказательстве теоремы, в изображении фигуры, в
>c|>ir«c по условию задачи или теоремы, в упражнении с “ловушками", запланированным
нверным ходом решения или неверным ответом).
< На развитие восприятия:
I Определить, сколько раз встречаются данные математические объекты (числа.
1ы(м*ения, формулы, фигуры, символы и т.п.) в дайной таблице (записи, матрице).
1	Обнаружить (опознать, отличить) указанные объекты при слуховом или зрительном
В данном тексте) восприятии информации.
I Выслушать и записать с использованием символики (изобразить, зарисовать,
«•чертить и т.п.) математический диктант.
4	Посмотреть в заданное время иа лист с опорным конспектом по теме, как можно
ютнсс воспроизвести его.
5	Определить приближенно какую-либо величину (размер предмета, данные или
плыат решения задачи и т.п.).
6	( равнить количественно данные величины (числа, выражения, длины отрезков.
1вь«или фигур и т.п.).
1 Рассмотреть данные объекты и выделить их существенные и несущественные
ившие различные) свойства.
I Выделить существенные и несущественные свойства объектов в процессе их
 ам |кння. построения, моделирования.
На развитие памяти:
I Ьписать по памяти как можно больше изученных по теме формул (терминов,
вчВОПОВ и т.п.).
’ I Ьзвать термины данной теории (темы, раздела, курса), начинающиеся иа одну и ту
• । млаииую) букву.
•	Установить соответствие между данными терминами и символами (обозначениями),
геми и их свойствами или наоборот.
•	Для данного термина написать символ (условное обозначение) или наоборот.
' Посмотреть минуту на данные объекты, затем по памяти их назвать (записать,
н, окать) в определенном (данном, выбранном самостоятельно) порядке.
в < >пределить, с какими теоретическими знаниями связана данная задача.
На развитие представления и воображения:
•	Исключить лишнее (число, термин, символ, фигуру, выражение, формулу,
Н—’нгиис. предложение и т.д.).
’ Дополнить недостающим (числом, термином, символом, фигурой, деталями фигур,
^магнием, формулой, уравнением, предложением и т.д.).
< шределить. можно ли из данной развертки склеить заданную фигуру.
« i оставить изображение некоторого объекта из данного набора фигур.
' I! юбразить некоторый объект по его словесному описанию (по условию задачи или
* Определить, что произойдет с данным объектом (увеличится, уменьшится и т.п.),
и 1мс11нть заданным способом его отдельные параметры.
I 11|меиить структуру данного объекта так. чтобы получился новый объект с
«••иными свойствами.
21
На развитие мышления и речи:
I.	Сформулировать основные определения, свойства, правила по данной теме.
2.	Заполнить пропуски в данном предложении так. чтобы оно было верным.
3	Записать данные определения (свойства, правила) символически, прочнта
запись.
4.	Раскрыть приемы формулировки определения, свойства (теорем разных видо!
правила.
5.	Сравнить между собой по содержанию, структуре и логическим связ>
существенных признаков основные определения (свойства, теоремы, правила) в дани<
теме.
6.	Сформулировать прием классификации тех или иных объектов.
7.	Воспроизвести изученную (или построить) классификацию основных понят
темы, изобразить ее схематически, установить отношения между ними.
8.	Исключить лишнее (понятие, свойство) среди данных.
9.	Дополнить данные (понятия, свойства) недостающими.
10.	Найти закономерность и продолжить ряд (чисел, фигур, терминов, форму
выражений, предложений и т.д.).
11.	Найти, что объединяет между собой данные понятия (свойства, форму]
чертежи, уравнения и т.п.) и сделать индуктивный вывод.
12.	Назвать признак, по которому данные объекты разделены на группы.
13.	Распределить данные объекты по группам на основании какого-либо признак
дать название каждой группе.
14.	Вывести следствия из данных определений, теорем, правил.
15.	Сформулировать другое, равносильное определение данного понятия.
16.	Назвать объект, про который можно сказать “”.	।
17.	Определить, являются ли сформулированные в изучаемой теме свой с
а) необходимыми, б) достаточными, в) необходимыми и достаточными признак!
данных понятий?
18.	Для данного свойства сформулировать а) обратное, б) противоположи
а) противоположное обратному. Истинны ли полученные предложения?
19.	В каждом из сформулированных предложений выделить его составные части.
20.	Указать (если существуют) понятия (свойства), аналогичные (противоположи
данным.
21.	Сформулировать какое-либо свойство, аналогичное (противоположное) данно
для понятия другой темы (раздела, предмета).
22.	Воспроизвести изученное доказательство теоремы.
23.	Сформулировать основную идею (метод, прием) доказательс
рассматриваемых свойств понятий.	I
24.	Составить схему доказательства теоремы (формулы, правила).	,
25.	Самостоятельно построить доказательство по данной схеме.
26.	Найти ошибку (в определении, формулировке или доказательстве теоре,
формулы, решении, в сравнении, аналогии и т.п.), указать ее сущность и причину.
27.	Составить классификацию основных типов задач в дайной теме.
28.	Выявить структуру данной задачи, установить зависимость, непротиворечиво
условия, полноту (достаточность, недостаточность, избыточность) данных задачи.
29.	Перевести заданную ситуацию иа язык математических отношений
зависимостей или наоборот, представить элементы задачи в новых отношениях.
30.	Проанализировать результат решения задачи с вариативным (неединственн ь
ответом, с неоднозначной трактовкой терминов и т.п
31.	Дать рецензию на ответ или решение задачи товарищем, ответить на
вопросы,, задать ему вопросы
• ‘ Выполнить обобщение материала темы с использованием а) одномерной
	(нфикации. б) двухмерной классификации (таблицы), в) матрицы связей.
»> < трткгурпо-логическон схемы.
На развитие творчества:
I Придумать и сделать иллюстрацию (модель) какого-либо понятия (свойства,
f р> мы. правила).
Выполнить практическую работу исследовательского характера.
I |ридумать математическое стихотворение (сказку, сочинение).
4 Вычислить значение данного выражения, используя приемы устного счета.
I И 1менить элементы изучаемого объекта и описать, что тогда получится.
* Выполнить задание на поиск, угадывание, узнавание и т.п.
> I IiiIith другой способ (прием) доказательства теоремы (решения задачи).
I Решить типовую задачу в измененной (нестандартной) ситуации.
• Решить нестандартную задачу.
10 Поставить вопрос к некоторым данным так, чтобы получилась задача
*>> 1СЛСНИОГО вида.
11 Решить задачу с недостающими (лишними, противоречивыми) данными, с
ЮЫ*ы-»юй фабулой или постановкой вопроса, с нестандартной формой представления
(Вча н.ных данных (рисунок, фотография, план, схема, рекуррентным способом введения
реальных данных) и т.п..
11 Решить задачу путем использования различных способов выбора, перебора,
мь* ленного эксперимента, практической демонстрации и т.п.
11 11редставнть ответ задачи в нестандартной форме (варианты ответа, отсутствие
мин в виде рисунка, графика и т.д.).
14 ( оставить задачу по некоторым данным (тексту учебника, формуле, алгоритму,
решения, ответу).
I' Составить сообщение па семинар, конференцию с использованием учебной
•»»» ри туры или дополнительных источников информации.
• в 11рииять участие в математической олимпиаде, конкурсе.
На развитие мировоззрения:
I Привести примеры объектов, явлений, процессов реальной действительности.
1«ям>1 ываемых данным математическим понятием (свойством).
Решить задачу прикладного (профессионального) характера по данной теме.
Составить содержательную прикладную задачу на применение изученного
I ив1гматического аппарата.
На развитие умения учиться :
I I (оставить цель своей домашней работы по математике.
' Определить, что является главным в данной теме? Как это запомнить (вспомнить)?
( формулировать, что нужно делать, если забылось нужное (формула, определение.
ВФигм решения задачи и т.п.)?
I 4 ( оставить индивидуальный план домашней работы по математике.
I Изучить (повторить) материал по учебнику самостоятельно, отвечая на вопросы,
кгиподя примеры и т.д.
ii Составить схему (план) текста учебника и ответа по данному вопросу темы.
1 ((остроить сообщение по данному материалу (составленному плану) и выступить с
Lau на уроке (семинаре, “круглом столе”).
I и (. формулировать вопросы по теме учителю (партнеру по группе).
ч Дать рецензию на ответ (решение задачи) другого ученика па уроке
К) Поставить свои цели изучения данной темы (раздела и т.п.) на неделю (на четверть
я । н . на будущее).
23
11.	Выделить основные типы математических задач по данной теме.
12.	Сформулировать обобщенные приемы решения основных типов задач темы а) в
стандартной ситуации, б) в новой ситуации.
13.	Найти, в каких других задачах (в других темах) используются похожие прием*
решения? Обобщить их.
14.	Сформулировать задачу, аналогичную (обратную, противоположную, частичш
измененную) данной типовой задаче. Как ее можно решить, йспользуя прием решенш
дайной задачи? Если нужно, перестроить прием.
15.	Сформулировать правила оформления письменного решения задач данного тига
проверить их выполнение в тетради (своей, партнера по группе).
16.	Выполнить анализ информации из одного или нескольких источников и выступит*
с ним иа уроке.
17.	Сформулировать основные приемы контроля усвоения и использовать их.
Обобщенные типы учебных задач, обеспечивающих достижение
воспитательных целей учебной деятельности
На воспитание интереса:
1.	Решить математический кроссворд, чайнворд, анаграмму.
2.	Отгадать математическую загадку.
3.	Найти выход из математического лабиринта.
4.	Решить занимательную задачу по теме.
5.	Решить прикладную задачу (в том числе, регионального содержания).
6.	Объяснить математическую или логическую сущность софизма, парадок
математического фокуса.
7.	Все задания на развитие творчества.
На воспитание патриотизма и социализацию личности:	1
1. Решить математическую задачу с историческим (экологическим, экопомическт
профессиональным) содержанием регионального характера.	.
2. Составить сообщение (историческую, биографическую справку) о людях
достижениях русской науки, своего региона.
3. Составить математическую задачу иа материале истории (экологии, экономы*
профессии) своего региона.
На воспитание культуры:
1. Решить задачу с гуманитарным содержанием (иа материале истории, географ*
литературы, музыки, архитектуры, живописи, этнографии, валеологии и т.д., в том чис
своего региона).
2. Составить сообщение (иллюстрации) о применении математики в гуманитарн
областях знаний и искусстве.
4. Составить математическую задачу с гуманитарным содержанием.
На воспитание культуры общения:
1. Обсудить с партнером по группе организацию работы по выполнению задания.
2. Объяснить партнеру по группе задание (теоретический материал, ход реше*
задачи и т.п.).
3. Распределить в группе групповое задание
4. Ответить на вопросы партнера по группе, учителя.
5. Проверить у партнера по группе выполнение задания, помочь его выполнить.
6. Выполнить порученную функцию в дидактической игре на соревнование, перед;
эстафеты, преодоление препятствий.
7. Выполнить порученную ролевую функцию в дидактической игре на иммитап
24
>нх 1и(н> действий.
 Ai < истировать учителю в организации учебной деятельности учащихся.
» V•ыстновать в обсуждении проблем учебной деятельности.
1.5. Общая схема логико-методического анализа
содержательно-методической линии школьного курса математики
1аким образом, для построения специальной методики изучения каждой
 *> |>*л1слыю-методической линии школьного курса арифметики, алгебры и
•ч« | анализа мы будем придерживаться следующей схемы:
I) 11остроение методики обучения невозможно без логико-математического
В»"* м изучаемого материала дайной линии - анализа его математического
И'*«»»я, математический идей, методов и логической организации, истории
М*««>ия В помощь самостоятельной работе студентов по этому вопросу .можно
ьювать вузовские учебники и лекции по алгебре, теории чисел,
цаяыатичсскому анализу, а также методические пособия для учителя математики
) «Лщуриентов. Этот материал нужно соотносить с разделом "‘Содержание
В^чгння" программы [5, с. 17-21] и разделом “Обязательный минимум содержания
^•ииыния” и Государственным образовательным стандартом (6, с. 4].
’) Место данного математического содержания в школьной программе и
Мониках (по классам и темам) в лекциях приводится иа примере первого
тематического планирования по программе [5, с. 22]; другие варианты, а
тематическое планирование, примерное поурочное планирование и
вм||н>|ц.ные работы по рассмотренным выше учебникам, следуег рассмотреть
Вяин тягельно там же в программе и в журнале “Математика в школе”: № 5. 1996.
’	14 и 53 - 64; № 3, 1997, с. 5 - 64; для V-VI классов с недостаточной
нематической подготовкой - в № 4, 1997, с. 3 - 10, поурочное планирование с
»•<> 1ыованием комплектов - там же, с. 29 - 34; для классов с углубленным
н^чгикем математики - № 5, 1997. с. 3 - 54; № 5. 2000, с. 17-30; тематическое
Ьмоирование курса алгебры VII-IX классов общеобразовательной школы
* I Мордкович) - № 4, 2000, с. 36 - 47 и X-XI классов - № 6, 2000. с. 22 - 51, 58 -
и п 1азете “Математика” за 2000 г.: №№ 22 - 36 (в частности, для классов
«•рргкционно - развивающего обучения), а также [8; 9].
') Учебные цели изучения каждой содержательно-методической линии
25
сформулированы на двух уровнях (обязательном н уровне возможностей
программе [5. с. 9-17] и в Государезвенном образовательном стандарте |6. с. 5-
как "Требования к математической подготовке учащихся”; при этом в Сгаида
для обязательного уровня приводятся примеры основных типов задач. В то
время, согласно закономерностям деятельностного подхода к обучению. отмеч<
них в п.1.4.1 . необходимо, как минимум, рассматривать три уровня учебн
деятельности учащихся, а способ проектирования целей обучения, котор
предлагает педагогическая технология, состоит в том. что они формулирую
через результаты обучения, выраженные в действиях учащихся (причем тая
которые можно надежно опознать). Такая, дифференциация учебных и«
приводится в лекциях с учетом их официальной дифференциации по уров<
обучения в программных документах (1 - минимальный. П - обязательный. II
уровень возможностей). Наконец, традиционная триединая дидактическая зад.
объединяющая обучающую, развивающую и воспитывающую функции обуче!
наиболее логично, определяет и три категории общих целен образована
обучающие или учебные, подразумевающие цели усвоения учащимися содержа!
предмета, развивающие и воспитательные цели.
Заметим, что в методической литературе нет четкого определения i
обучающих, так и учебных целей, а также определенного размежевания мел
ними. Это вполне объяснимо, так как ученик в начале учебной деятельности
может самостоятельно определить ее цели, и учитель должен их задавать извне
этот момент их можно назвать целями учителя или обучающими. Но. i
отмечалось ранее [1, ч.1, лк. 1], для успешной учебной деятельности необходи
сближение целей учителя и целей ученика; нужно, чтобы ученик прин
задаваемые извне цели. Этот результат достигается при правильном обучении
течением времени и возрастанием уровня обученности ученика - цели, заданн
учителем, становятся целями его собственной учебной деятельности, учебны!
целями; поэтому мы сохраняем двойное название этих целей.
Конкретизация общих целей математического образования, соглас:
технологическому подходу, проводится в два этапа: на первом выделяются не
курса, иа втором - цели повседневной учебной деятельности с помощью обще
приема - использования в их описании глаголов, указывающих на действие
26
> 11'нпым результатом; второй этап, учитывающий особенности изучаемого
•	। i.i и различные его детали, можно назвать содержательной конкретизацией.
Iniiiite цели с этих позиций являются локальными, их легче объективировать
к i л пить в виде образцов деятельности, как это уже частично сделано в
|ч.1х математического образования (6]; как более конкретные и
временные они могут быть достигнуты в ходе урока или серии уроков,
ипин.тющие и воспитательные, как имеющие более глубокий, личностный
П». являются более общими и долговременными (глобальными), ие могут
ргдегавлены как краткосрочные результаты (см. [1, лк. 2 и 3, 25-40, 42-49]. И
 научно-методической и учебной литературе можно найти примеры
ргшшацни постановки обучающих (учебных) целей, то для развивающих и
aicm.iibix целей такая их постановка практически отсутствует, так
Ш.1ЯСЯ система обучения еще недостаточно ориентирована иа развитие
м и средствами учебного предмета. В то же время признается, что хотя и
обучение ведет к развитию, но оно носит развивающий характер только в
о час, когда специально направлено на цели развития личиости,
пропало на потенциальные возможности учащегося в реализации своего
MN
। В каждой содержательно-методической линии необходимо выделить
►аиис типы математических задач и приоритетные обобщенные приемы их
<ин Обобщенные приемы решения основных математических задач в каждой
Щ> «.нсльно-методической линии являются частными по отношению к общему
решения математических задач любого типа, представленного графической
<н и.। рисунке I.
• пн обобщенный прием должен в итоге осознаваться учащимися, т.к. создает
►> ориентировочную основу деятельности ученика по решению любых задач
«V" необходимости, конкретизируется и детализируется для отдельных классов
। »< ионные типы учебных задач являются общими для всех содержательио-
*»|<о1сских линий и показаны в п. 1.4.3. данной лекции; студенту необходимо
। кни ц самостоятельно конструировать их примеры на конкретном содержании;
ры специальных учебных задач приводятся в лекции.
27
5) В последнем пункте рассматриваются специальные методы и при,
обучения, методико-технологические цепочки, о которых говорилось выше;
этом в первую часть этого пункта иногда включаются такие цепочки, кото
можио использовать для изучения отдельных тем или разделов, во вторую -
протяжении всей содержательно-методической линии. Приводится анг
типичных ошибок учащихся.
28
ЛЕКЦИЯ II
Числи и вычисления
2.1. Логико-математический анализ числовой линии
1 1, Число - одно из первых и основных понятий математики как с
^прической, так и логической точки зрения, неотъемлемый инструмент
ненией цивилизации и поэтому - основное понятие образовательной области
ИЬкм.иика” в школе. Зародившись в глубокой древности, оно постепенно,
ыря долгой и упорной психологически трудной работе человека, в течение
|пий развивалось-и обобщалось, и развитие понятия числа в сознании
Мнимся в некоторой степени повторяет этот путь. Поэтому нам важно знать
В**" 11 трудности этого исторического развития; основные из них можно
1лиигь следующим образом.
I 1)11ереход (еще в эпоху палеолита) от частных представлений о количестве
к»  iob к представлениям общего характера, для чего нужно было подметить
признаки отдельных предметов, увидеть их группы. Тогда, по-видимому, в
н и человека возникли представления “один” и "много”.
1 > Постепенное создание в процессе наблюдений понятия о первых числах
п.иого ряда: при этом понятию о числе отвлеченном всегда предшествовало
ItaeiJ id с ним совпадало понятие о числе каких-нибудь определенных предметов,
выражалось в соответствующих числовых терминах (названия "луна”, "я” для
* «« один”, “глаза”, "уши” для числа “два” и т.д.).
') Долгий и трудный переход, связанный с развитием ремесел и торговли, от
^•1ич о числе определенных предметов к числу отвлеченному, постепенное, с
и. оканием пальцев рук и затем ног, удлинение счета.
) Возникновение из операции счета и идеи порядка в сознании людей
пиления о натуральном ряде чисел, продолженном достаточно далеко; это
(Htiiu отражение в трудах античных ученых.
’) 1 (остепенное рождение в течение столетий и под влиянием человеческой
мн- iliiocth идеи о действиях над натуральными числами.
М Постепенное приобретение навыков счета и создание практических правил,
29
которые с течением времени распространялись па все большие числа И
становились псе более точными.
7)	Систематизация знаний о числе н создание одной из древнейших науЛ
арифметики, с развитием которой развивается и само понятие числа.	)
8)	В 111 в. до н. э. греческий математик Евклид определил число Л
множество, составленное из единиц. Следуя Евклиду, так же определял чиЛ
создатель первого учебника арифметики в России Л.Ф. Магницкий (1703 г.). И
еще до XV111 в. применение этого определения встретилось с рядом трудносв
так. из него следовало, что 0 и 1 не являются числами, затем с ним не мирилЛ
определение дроби как числа, которое появилось еще в Древней Греции в еле Л
расширенным натуральным рядом, не говоря уже об отрицательных и иррагЛ
нальных числах. Открытие пифагорейцами существования несоизмерим
отрезков, лишенных числового образа, привело их к такой растерянности, что И
их союз распался. Поэтому вводятся в употребление новые определения - отр>Я
тельных чисел (XVII в., французский ученый Р. Декарт), иррациональных чисел И
9)	Во второй половине XVIII в. завоевывает место более общее определеЯ
числа, данное английским ученым И. Ньютоном: число есть отношение одЯ
величины к другой того же рода, принятой за единицу, которое лег
равноправными натуральные, целые, дробные и иррациональные числа. Изуче
понятия непрерывности привело к уточнению понятия иррационального чц
(немецкие ученые Р.Ю.В. Дедекинд, Г. Кантор, К. Вейерштрасс), развитие тео|
алгебраических уравнений привело к введению понятия комплексного числа.
10)	В середине XIX в. в связи с развитием аксиоматического метод
математике и разработкой основ математического анализа немецким мате.мати
Г. Кантором было дано обоснование понятия натурального числа на основа»
понятия множеств и их равномощности. Другое понятие натурального числа б»
дано итальянским математиком Д. Пеано на основании сформулированных
аксиом.
11)	Таким образом, первое числовое множество - множество N нагуралы
чисел -может быть построено чисто дедуктивным путем на основе системы ако
Д. Пеано. Дальнейшее обобщение понятия числа и развертывание учения о чи
основана иа принадлежащей Г. Кантору интуитивной теории множеств и состо
30
• « н uni.цельном расширении множества натуральных чисел N. которое служит
Ь^м*«м< и |ом построения всех других числовых множеств, по следующей схеме:
1[>сКсК. где Z - множество целых чисел, Q - рациональных, R -
* ль пых, К - комплексных, причем на этом современное учение о числе не
инея. Следует заметить, что эта схема отличается от исторической (в
июле натуральных числе возникли положительные дроби, а уж потом -
1Ч1ыс числа) и называется иногда "научной” или "логической” схемой
him (развития) понятия числа.
расширение удовлетворяет следующим условиям: если множество А
m до множества В, то I) А есть подмножество В; 2) все операции и отношения
и i 4 определены .так же и для элементов В, причем их смысл для элементов из
ipiiH.ieMbrx уже как элементы расширенного множества В. должен совпадать с
। они имели в множестве А до расширения; 3) в В выполнима операция, которая
ими или не всегда выполнима в А (в этом условии - основная цель расширения
л шнрение Б должно быть минимальным среди всех расширений А.
раннцих условиям 1-3. Конструкция расширения числового множества может
un-с тлена различными путями. Одна из идей, лежащих в основе этих
нН получила названия теории пар.
iM образом, каждый вид чисел определяется как элемент
пчкнпего числового множества, а его свойства следуют из свойств этого
u Н ттой спязи существенным являются свойства этих множеств по
но к >аким понятиях», как замкнутость (множество целых чисел является
। каждое из остальных - полем), упорядоченность, дискретность,
и юпюсть, непрерывность. Кроме того, отдельными самостоятельными
к i горни чисел являются: теория делимости, теория сравнений,
кч кие и трансцендентные числа, числовые функции (см. учебники или
► \pi.iM “Числовые системы”, “Теория чисел”).
11араллельно с развитием понятия числа, под воздействием
< и и практической деятельности людей и самой математики, развивалась
исполнения операций нал числами (“счета”), направленная на
и । и । ню вычислений и выработку культуры вычислений. Это —
и ।шшание и систематизация правил, приемов и видов вычислений,
l»iii.iiiiie средс-тв вычислений.
31
Правила вычислений являются следствием определений этих операций и
свойств, а из них. в свою очередь, следуют приемы
вычислений.
которые
име
свои отличительные особенности для каждого вида вычислений. Основны
видами вычислений являются: письменные вычисления, устные вычисле!
(“устный счет’ ), вычисления с помошыо различных вспомогательных сред
Письменные вычисления предполагают выполнение строго определенных npai
запись данных н постепенную запись получаемых результатов (
промежуточных, так и окончательных). Устные вычисления ведутся без каких-.".1
записей, для них в истории развития арифметики накоплено много оригиналы
приемов, дающих большой простор для наблюдательности и изобретательно
Средства вычислений, постепенно изобретаемые человеком для их механиза:
это - таблицы, графики, разнообразные приборы и машины (счеты, пал<
Непера, счетные линейки, арифмометр и другие механические 'вычислителе
машины", наконец, ЭВТ). Основной критерий возможности применения сре
вычислений (в настоящее время и в применении ЭВМ в любой человечен
деятельности) — формулировка алгоритма этой деятельности.
Таким образом, с вычислениями тесно связано понятие алгоритма — точ
предписания о выполнении в определенном порядке некоторой системы опера
позволяющих решать совокупность задач определенного класса. Слово "ajiropi
(алгорифм) возникло в результате искажения имени великого узбеке,
математика IX в. аль-Хорезми. Простейшими алгоритмами служат npai
выполнения арифметических действий, знаменитый алгоритм Евклида, вычисл,
определителей и ранга матриц и т.д., алгоритмы широко используются и в др
областях математики, методы которой носят алгоритмический характер. Важн
нахождения различных алгоритмов, доказательства их отсутствия для ряда за2
создание обшей теории алгоритмов повысилась в связи с бурным развн
программирования, в основе которого лежит понятие алгоритма, информагг
машинной математики.
Необходимой частью каждого вычисления является вопрос о тонн
полученного результата. В связи с этим, а также с тем. что на практике чело
большинстве случаев имеет дело с приближенным характером большинства ч
сложились понятия точных и приближенных вычислений, а затем и п
32
• •.itin.ix кычиелеинн (связанная с именами российских математикой
|ic. m.i и Л.II. Крылова). Основными понятиями этой теории являются:
рЬинва и опюситсльная погрешность приближения, точность приближения,
topiiiuii пил приближенного значения числа, верные и значащие цифры
^миннио значения числа. Основные правила приближенных вычислений
to' < округлением чисел, прикидкой результата действий и оценкой
in вычислений [см. 3, гл. XIII, § 4, 5 и учебники информатики - теорию
to* моя]
M.I J II самом общем виде арифметическая,задача — это всякий вопрос, для
0 «*• KiiiiipuH нужно по двум или нескольким числам найти новое число. На
toiiiiiii всей истории-развития арифметики важное место в ней занимают так
bki.ii чисто арифметические задачи" (задачи, решаемые с помощью
арифметических действий без применения алгебры). Существует
классификаций таких задач - по типам, по числу действий, по
ынию и другие, для которых еше с древности было придумано множество
)»• решения. Несколько упрощая это множество, можно рассмотреть
Ручную классификацию.
I II l.i/ычи-примеры, в записи условий которых используются только
0м*1 нческие символы (цифры, знаки действий, скобки), а словесный текст, как
» nicy гствует. Метод их решения - выполнение арифметических действий с
>•  правила об их порядке.
Л 11л.1чи-расчеты - задачи межпредметного и прикладного характера, иногда
В*'*»!-" формулой расчета. После составления числового выражения приводятся
м । I-н примеру и решаются тем же методом. Например, задача-расчет
*>и  п.пого содержания: “Среди зарегистрированных в 1997 г. в г. Тобольске
|0*|"|< |агрязняющих атмосферу, на твердые вещества приходится 1 878 тыс.
। иообразные и жидкие вещества составили на 4 307 тонн больше. Сколько
• । hi.ibpocoB зарегистрировано?"
1)	I с кетовые сюжетные задачи более сложного математического характера,
*м1,ч.|1- в большинстве случаев легко решаются алгебраически, но, если не
И*"»ы|ься уравнениями, представляющие собой некоторые трудности и
И"'<чние для решения определенной сообразительности. Например, типичная
шлача такого вида: "Имеется 80 одинаковых по виду монет, среди которых
одного веса и одна немного более легкая. Как ее выделить, применяя не бо
четырех взвешиваний?”
Наиболее распространенные методы решения сюжетных задач: 1) ме
"отношений и пропорций” (для задач, в которых величины находятся в прям
обратно пропорциональной зависимости); 2) метод "введения условной единиц
(для задач на нахождение двух или более чисел по данной их сумме и отношени
этим же методом решаются задачи “иа совместную работу”, "на бассейны” и т
3) метод решения задач "на проценты” - нахождение процентов данного чис
числа по его проценту и процентного отношения чисел; 4) метод средне
арифметического (для задач отыскания среднего значения двух или несколы
величин, задач “на смешение”); 5) метод разностного сравнения (для нахожде
чисел по их сумме и разности); 6) метод уравнивая данных (для задач, в кото)
можно исключить одно искомое уравниванием данных); 7) метод проб (испытан
и другие.
2.2. Место чисел и вычислений в программе
Говоря о распределении этого материала в школьной программе, след
отметить многолетнюю дискуссию о том. какой схемы развития понятия чи
следует при этом придерживаться. Долгое время в школе сохранялась историчес
схема, которая обосновывалась педагогическими соображениями (с точки зре,
исторического подхода к обучению понятие положительной дроби более доступ
пониманию учащихся, чем понятие отрицательного числа, ее легче представь
наглядно). В рамках реформы математического образования, в частное
теоретико-множественного подхода к изучению математики, программа 1967
уч. г. заменила эту схему на логическую (как отмечалось в программе, тем сам:
сделана попытка привести в соответствие схему развития понятия числа
школьном курсе с развитием этого понятия в современной математике и сделз
предметом изучения не числа, а числовые множества). Однако в ходе дальней ц
реформы (1, лк. 4, с. 61] был полнее учтен действительный уровень разви-
логического мышления учащихся через отказ от обязательного единого теорети|
34
• • гвснного подхода к построению курса и чрезмерной строгости в изложении
•«риала. В отношении учения о числе это выразилось в некотором компромиссе
I •vwtbhhh исторической и логической схем развития понятия числа в школьном
Р математики. В табл. 1 представлено содержание учения о числе в школьном
арифметики и алгебры, в табл. 2 - его планирование в программе.
Таблица 1
Таблица!
Этап	Класс	Темы программы
11|»> евтический (•чальная школа)	1-4	Счет, натуральный ряд, число 0. Запись и чтение чисел, четыре арифметических действия, сравнение чисел; доли и их запись с помощью дробей. Величины, их измерение, зависимости между ними, числовое значение величин, числовые выражения. Правила и алгоритмы устных и письменных вычислений, приемы решения текстовых арифметических задач
Основной (курс арифметики 5-6 классов)	5	1. Натуральные числа. Сложение и вычитание натуральных чисел. Решение текстовых задач. 2. Умножение и деление натуральных чисел. Решение задач арифметическим способом. 4. Дробные числа. Сложение и вычитание десятичных дробей. Решение текстовых задач. 5. Умножение и деление десятичных дробей. Здесь же - Проценты. Нахождение процентов. Начальные сведения о вычислениях на калькуляторе. Решение текстовых задач.
	6	1. Делимость натуральных чисел. 2. Общие свойства обыкновенных дробей. Сложение и вычитание.
35
Этап	Класс	Темы программы
		3. Преобразование дробей. Умножение обыкновенны дробей. 4. Деление обыкновенных дробей. Пропорцю Проценты. Решение задач на проценты и пропорци! 5. Положительные и отрицательные числа. Здесь ж? понятие о рациональном числе. 6. Действия рациональными числами. Законы действий.
Завершающий (курс алгебры и начал анализа 7-11 классов)	7	3. Степень с натуральным показателем. Здесь же Абсолютная и относительная погрешности иршбжжа кого значения.
	8	2. Квадратные корни. Здесь же - Понятие  иррациональном " числе, общие сведения действительных числах. Приближенное значен квадратного корня. В теме 4. Неравенства - Числов неравенства и их свойства. Почленное сложение умножение числовых неравенств. 5. Степень с целы показателем. Здесь же - Стандартный вид числ Действия над приближенными значениями, их запись.
	И	В теме 2. Показательная, логарифмическая и степени функции. Корень n-й степени, степень с рациональш показателем. Понятие о степени с иррациональш показателем. Логарифм числа.
Завершением, обобщением и углублением учения о числе может служ
изучение комплексных чисел на факультативных занятиях.
23. Цели изучения чисел и вычислений в школе **
2.3.1, Изучение материала числовой линии имеет общей учебной цел
формирование у учащихся знаний о числах и действиях с ними, вычислительн
умений и их использование для решения практических задач, вычислительно!
алгоритмической культуры. В настоящее время это предполагает также знакомо
учащихся с элементами финансовой математики, самообразовательные уменю
работе с различными, в том числе, электронными средствами вычислений.
Достаточно высокий уровень вычислительной культуры учащихся моз
быть, по мнению ЮМ. Калягина [3. с. 78], охарактеризован следуюи
совокупностью признаков: 1) прочные и осознанные знания свойств и алгоритм
операций над числами; 2) умение по условию поставленной задачи определт
являются ли исходные данные точными или приближенными числами, проч>
знание правил приближенных вычислений и навыки их выполнения; 3) ума
36
(мни u.no сочетать устные, письменные вычисления и вычисления с применением
»м«м1 нагельных средств; 4) устойчивое применение рациональных приемов
Мчи- пений; 5) автоматизм навыков безошибочного выполнения операций;
it ••ixp.iiпая и экономная запись расчетов; 7) применение рациональных приемов
^|м1ля вычислений; 8) умение на определенном теоретическом уровне
Ви и 411гь правила и приемы, применяемые в процессе вычислений»
11 настоящее время одной из первоочередных задач школы признается
*•• гние школьниками информационной культурой. Ведущая роль в решении
 ыдачи принадлежит информатике, но использовать нужно и возможности
предметов, в первую очередь, математики. Основное требование к
формационной культуре — осознание идеи применения ЭВМ в различных
*• • । их человеческой деятельности: машина может заменить человека только там,
 м жно четко и однозначно сформулировать алгоритм деятельности. Уровень
аритмической культуры характеризуется следующими знаниями и умениями:
II1ЫНЯ1МС алгоритма и его свойства; 2) типы алгоритмов; 3) формы представления
►«•р» imob; 4) элементы алгоритмического языка; 5) умение использовать знания
В • и «ритмах для решения учебных задач, в том числе, на ЭВМ.
В табл. 3 (с. 38) показана дифференциация этих целей по уровням обучения.
2 .Ji Содержание курса арифметики в школе позволяет проектировать цели
у учащихся познавательных процессов - внимания, восприятия, памяти,
тления, воображения, мышления (особенно такие мыслительные операции,
>•  равнение и первичное обобщение, первичный анализ и синтез, классификация
I • пкретизация; формулировка математических суждений (правил, алгоритмов),
И пивные умозаключения), а также речи и умения учиться. Характерными
Н»  ними мыслительной деятельности в данном случае являются: ее
1*<<ч>и1мический стиль, обобщение и поиск закономерностей, что развивает
..ии чегвующие качества ума, вычислительную и алгоритмическую культуру,
творческой деятельности. Близкая связь арифметического материала с
•. о пой человеческой практикой и внутренними потребностями математики
►•виляет ставить цели развития элементов научного мировоззрения; на примере
вши । ня учения о числе можно показать, как математика развивает и
ршенствует свой аппарат под влиянием потребностей практики.
37
Таблица 3
38
Курс арифметики обладает большим гуманитарным потенциалом; это -
► 1<ц1и« арифметики, исторические и занимательные задачи, текстовые
ахфмстичсские задачи самого разного содержания (например, краеведческого,
«химического, валеологического, литературного и т.д.), что дает возможность
н «мпь цели воспитания и развития интереса к математике и учебной деятельности
 юм, общей культуры (гуманитарной, экологической и тщ.), культуры общения,
к>«лаа прекрасного, профессиональную ориентацию (в частности, на профессии
•««она).
2.4. Основные типы математических и примеры учебных задач

2.4.1, Основные типы арифметических задач, выделенные в стандартах
М^аювяния и представленные в учебниках, можно обобщить и свести к
вааующим: “Выполнить действия”, “Вычислить значение числового выражения”
ы*чн - примеры), “Решить текстовую задачу” (задачи-расчеты и текстовые
Мачм с сюжетом). Целесообразно выделить основные задачи приближенных
явлений - прямую и обратную. Прямая-. “Вычислить значение некоторой
Минины, заданной формулой, и найти погрешность результата”, обратная-.
•ычиспить значение некоторых величин с заданной точностью. Определить, с
(•»* точностью должны быть взяты значения аргументов, чтобы точность
к  > штата была не ниже заданной”. Приоритетные обобщенные приемы решения
»*-шных типов задач приведены ниже.
Прием решения задачи-примера
"Выполнить действия"("Вычислить значение числового выражения ');
I) выясните характер данных чисел (точные, приближенные);
2) подумайте, как быстрее выполнить действия - устно, письменно или с помощью
петельных средств (таблиц, микрокалькулятора, графика);
I) подумайте, нельзя ли использовать для упрощения и рационализации вычислений
а* «ни действий, искусственные приемы вычислений, тождественные преобразования
ы,-«ений);
4)	выберите наиболее рациональный способ выполнения действий или их сочетание;
5)	установите порядок действий, используя правило;
6)	выполните действия в установленном порядке, используя алгоритмы, частные
- - мы или правила вычислений (устных или письменных, точных или приближенных, с
к цью вспомогательных средств вычислений);
/) проверьте вычисления каким-либо способом;
8) если нужно, запишите вычисления и результат, используя приемы записи.
39
Прием решения задачи - расчета
("Найти числовое значение выражения наиболее рациональным способом "):
1)	изучите содержание задачи;
2)	составьте (если нет готового) числовое выражение по условию задачи;
3)	изучите особенности полученного (или данного) выражения н характер число!
данных;
4)	установите, можно ли упростить выражение а) до подстановки числа
значений букв, б) после подстановки числовых значений букв;
5)	если можно, упростите выражение, используя соответствующий прием, подста
числовые значения букв в случаях а) или б);
6)	выполните вычисления, соблюдая порядок действий и испол!
соответствующие приемы вычислений;
7)	запишите ответ.
Прием поиска решения текстовой арифметической задачи (с сюжетом):
1)	изучите содержание задачи;
2)	определите, исходя из заданной ситуации, тип задачи: а) на прямое выло л не
какого либо действия, б) “на движение", в) “на пропорции", г) “на проценты”, д)
кратное отношение искомых величин”, е) “на совместную работу”, ж) “на срех
арифметическое”, з) “на смеси”, и) “на натуральные числа” и вспомните известный пр
ее решения;
3)	если п. 2 не дал результата, проведите общий (нисходящий или восходят
анализ, приводящий к плану решения;
4)	если п. 3 не дал результата, вспомните задачу, аналогичную данной, пр
решения которой известен, сравните их и на этой основе составьте план решения;
5)	если п. 4 не дал результата, временно измените условие или требование зад
так, чтобы можно было сравнить полученную задачу с данной; затем использо!
отмеченный в п. 4 прием аналогии;
Прием решения текстовой арифметической задачи:
1)	изучите содержание задачи, используя приемы (краткую запись, схему, табла
геометрическую иллюстрацию);
2)	проведите анализ - поиск решения, используя прием поиска;
3)	на основе анализа или известного приема решения составьте план решения даю
задачи;
4)	решите задачу по составленному плану;
5)	запишите решение с использованием соответствующей символики;
6)	если нужно, проверьте или исследуйте решение;
7)	рассмотрите другие возможные способы решения, выберите наибе
рациональный;
8)	запишите решение и ответ, используя приемы записи.
Примеры частных приемов и алгоритмов
Чтобы сложить два числа с одинаковыми знаками, нужно 1) поставить по
знака равенства их общий знак; 2) сложить модули этих чисел; 3) записать результат.
Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно 1) поставить после зв
равенства знак числа с большим модулем; 2) из большего модуля вычесть меньш
3) записать результат.
Чтобы умножить смешанное число на целое, нужно 1) умножить на это чи
целую часть; 2) умножить на это число дробную часть; 3) если нужно, во втором слу
40
♦ »»• «и и, целую часть; 4) сложить полученные результаты (отдельно целую и дробную
') шпнеать ответ.
’ll ofил перемножить два смешанных числа, нужно 1) обратить их в
правильные дроби; 2) записать произведение числителей в числитель, а знаменателей -
мп i ель; 3) выполнить, если можно, сокращение полученной дроби; 4) записать
f нс
• 4.2. В качестве примеров специальных учебных задач, цель которых -
учащимися понятия числа, свойств действий над числами, алгоритмов
И^Жлсний и т.д., приводим некоторые задачи из учебника Истоминой Н.Б.
В^вмпшка-5”, помещенные на с.З под заголовком “Проверь себя! Чему ты
Ь w • и начальной школе?”.
1	3	2
I I Даны числа: 8,43, 384,50 898, -, 83 054, -, 0, —, 907 840.
») Выпиши те числа, которые используются для счета (натуральные числа).
t>) I [рочитай натуральные числа и запиши их сумму. Можно ли утверждать, что
-г суммы — число натуральное?
») 1апнши разность шестизначного и трехзначного числа. Можно ли утверждать,
В **-ir пт разности — число натуральное?
।) Запиши произведение трехзначного и двузначного числа. Можно ли
ши., что значение произведения - число натуральное?
л) 1апиши частное шестизначного и однозначного числа. Можно ли утверждать,
р>чнше частного - число натуральное?
г) Выпиши цифры, которые использованы для записи натуральных чисел. Какие
'и с,цс знаешь?
•	) 11очему 0 не является натуральным числом?
Даны числа: 308 403 и 380 304.
	) В чем сходство и различие данных чисел?
<	>) I !очему эти числа можно назвать натуральными?
в) Запиши еще пять натуральных шестизначных чисел, используя эти же цифры.
।) Какое наименьшее четырехзначное число можно записать, используя цифры
F'4 ’
1 • 11с|юпиши числа в порядке возрастания:
К)9 196,294 307,249 308, 507 432,508 939,204 703, 3 190 161, 305 073.
4 Га <гадай правило, по которому записан каждый ряд чисел, и запиши еще по пять
Ь». > ряду: а) 30 124, 30 224, 30 324,30 424,.... б) 3,9,27,81,... в) 7 682,7 662,7 642,...
Чем похожи все пары выражений ? Найди их значения:
89 + 47	57 + 29	76 + 57
90 + 47	57 + 30	76 + 60
< равни равенства в каждой паре н сделай вывод.
< Кик изменится значение суммы, если:
	) первое слагаемое увеличить на 9, а второе - на 7;
<	>) первое слагаемое увеличить на 8, а второе —на 20;
«	) первое слагаемое уменьшить на 19, в второе - на 6;
	) первое слагаемое увеличить на 8, а второе уменьшить на 6 ?
ипиши сумму любого четырехзначного и трехзначного числа и проверь свои
tjiyiHe примеры:
41
; д) lo
7.	Какое из равенств можно назвать пропорцией: а) 17 : 12 = 7 : 5; б) 5 :20 = — :
58
8.	Вычислите, пользуясь определением: а)
;б)—; в) 4*;
е) login 1; ж) logr 0,5; з) 1g 0,001.
1	7	11	3	6	3	2	21	8
9.	Проведите классификацию данных дробей
5	о	5	о	5	5	5	о	©3
двум признакам - правильная дробь н дробь со знаменателем 5.
10.	Проверьте правильность классификации: целые числа делятся на про
составные.
11.	Установите связи между понятиями и составьте на этой основе родослов
знаменатель.
12.	Составьте алгоритм решения данной вычислительной задачи, представьте
виде блок-схемы.
Примеры общих учебных задач, цель которых — общее развитие учащих
материале данной линии:
1.	Найдите общее свойство в последовательностях чисел (фигур на рис. 2), доп
(дорисуйте) в каждой из них по два числа (фигуры): а) 1,4, 9, 16, 25,36,б) 82, 97,
133,...
Рис.2
2	. Исключите лишнее а) букву из числа данных: А, Е, И, Ю, Г, Я, Ы; б) число:
612,549,426,343.
3.	Вставьте пропущенное слово: “ дробь, (?), знаменатель”.
4.	Из пяти предложенных терминов выберите два, которые наиболее и
определяют данное математическое понятие: а) сумма (слагаемое, равенство, п.
делитель, множитель); б) дробь (делимое, делитель, частное, знаменатель, произведи
в) степень (корень, показатель, решение, основание, переменная).
5.	В приведенном определении выделите название определяемого объекта (терм
родовое понятие, видовые признаки и характер связи между ними: а) числа, кото
можно записать в виде обыкновенных дробей, называются рациональными; б)
6.	Из данных понятий образуйте пары по признаку “род - вид”: число, др
неправильная дробь, десятичная дробь, обыкновенная дробь.
7.	Укажите ближайшие родовые понятия для понятий: а) степень с натуралы
показателем; б) простое число; в) квадратный корень.
8.	Для данных понятий укажите родовое понятие: четное число, НОК, НОД.
9.	Поставьте данное понятие в разные возможные отношения с другими: дро!
число, целое число, правильная дробь.
10.	Даны три понятия, между первыми двумя существует определенная связь, ме
третьим и одним из четырех предложенных существует аналогичная связь; н.чй!
четвертое слово: а) слагаемое - сумма = множители - (?) (разность, произвело!
делитель, умножение).
11.	Заполните пропуски в данном предложении так, чтобы получилось вся
определение понятия, например: “противоположными называются числа, имеюа
_________ абсолютную величину, но ________________знаки” или “противоположим
называются числа, имеющие одинаковую, ио противоположные 1
42
^•пмвоположными называются числа, имеющие _______________" или “числа,
 - одинаковую абсолютную величину, но противоположные знаки, называются
*»
I. Выведите следствия из определения понятий: а) правильная дробь, б) десятичная
к в) из определения пропорции; на этой основе ответьте на вопросы: а) из каких
май можно составить пропорцию : 10:2; 1 : 5; 1,5 : 0,3 ? Какие еще производные
фшж можно составить ?
I)	Найдите ошибку в определении понятия: а) десятичная дробь - это дробь с
между какими-нибудь ее цифрами; б) отношением называется сравнение двух
) Посредством деления; в) иррациональное число - это 1) неизвлекаемый корень,
•>щечная десятичная дробь.
2.5. Специальные методы и приемы обучения
XJ J. Кроме отмеченных выше (в лекции 1, п. 1.4.) закономерностей выбора
и л1 готических методов обучения, свойства изучаемых числовых множеств и
вычислений определяют некоторые методические особенности изучения
гч материала и его места в программе. Среди них: индуктивный характер
BUM материала; сокращение числа формулировок для заучивания учащимися;
и не к наглядности с помощью рисунков (например, рис 3) н отрезков
и1й прямой; постоянное возвращение в теоретических вопросах и задачах к
щученному материалу с целью создания опоры для нового, сравнения,
гки, обобщения и углубления; усиленное внимание к выработке
тельных умений и навыков, обобщению приемов вычислений н их
•— НИЮ.
(а + в) + с - а + (в + с)
Рис. 3
Обучение алгоритмам вычислений может осуществляться двумя путями:
• ••Лщение готовых алгоритмов и обучение учащихся их применению;
Лучение самостоятельному составлению алгоритмов. Очевидно, что
йЬяодимо их сочетание - на первом этапе и для наиболее трудных алгоритмов
-  । юватъ преимущественно первый путь, азатем постепенно обучать учащихся
43
использовать второй. При этом формирование каждого алгоритма до.
проходить три этапа - подготовительный, на которой выявляются необход
действия по решению поставленной задачи и их последовательность; основно
которой оформляется алгоритм с использованием тех или иных форм
представления; этап закрепления, на котором полученный алгоритм примен
для решения вычислительных задач, в том числе, прикладных и с использова
ЭВМ. Такие же три этапа должны присутствовать при формировании са
понятия алгоритма; на подготовительном этапе, при анализе уже извес
алгоритмов, выявляются их общие характеристические признаки; на оспа
формулируется определение и обобщаются способы представления алгоритме
третьем - учащиеся сами составляют на основе определения необхех
алгоритмы.
При решении задач-примеров и задач-расчетов очень важно учить учаи
целесообразно выбирать не только алгоритмы, но и виды вычислений. Осн
преимущество устных вычислений состоит в большой экономии затрачивав
времени, в организации напряженной мыслительной деятельности учащи)
сосредоточенности их внимания. Поэтому нужно использовать ка
подходящий случай для формирования приемов устных вычислений, не доп
их угасания в старших классах, создавать ситуации их применения. Например
[Г
вычислении значения выражения Iq2 + l + 3lqu~ применение законов сложа
свойств логарифма позволяет легко и быстро выполнить вычисления j
Устные вычисления могут проводиться: 1) по таблицам; 2) с записью исхо
данных, сообщаемых учителем; 3) с восприятием учеником исходных данш
слух; 4) как часть решения задачи на всех этапах урока (для повтор
подготовки к решению задачи или доказательству теоремы, закрепления
специально организованном этапе “устного счета” и в качестве домашнего зад:
Полезно научить учащихся выполнять устно следующие действия:
1)	складывать и умножать однозначные числа;
2)	прибавлять к двузначному числу однозначное;
3)	вычитать из однозначного или двузначного (меньше 20) 
однозначное;
44
• i ।» 1плывать несколько однозначных чисел;
*l i вкладывать и вычитать двузначные числа;
• > «слить однозначное н двузначное число на однозначное (нацело или с
члжтком);
b »> производить действия с простейшими дробями;
• ml пользовать специальные приемы устного счета.
При обучении письменным вычислениям полезно ориентировать учащихся на
Иминный прием решения задачи на вычисление и образцы рационального
^••«iiior о выполнения действий (в учебнике, в тетради с печатной основой, на
и т.п.). Следует придерживаться следующих правил записи письменных
^Магний:
I I) (нчстливо и аккуратно писать математические символы;
k I) цифры, знаки действий и препинания располагать строго в соответствии с
коми действий;
* > 1>сзультаты вычислений считать правильными только после проверки.
Несмотря на быстрое развитие ЭВТ, во многих областях вычислительной
М«мжи не потеряли своего значения такие вспомогательные средства
•гний, как математические таблицы, графики, счеты, счетные линейки,
к» «их <ация вычислений способствует совершенствованию обучения математике
•ь-н-шс времени сохраняется для работы над развитием учащихся; даже само
^мнение со средствами вычислений (в частности и особенно графиков)
^«приятно сказывается на формировании функционального мышления,
вменение русских счетов содействует более глубокому усвоению свойств
ь«1Н‘Н1ой системы счисления, графические вычисления имеют большую область
|В»<’«сний в практической деятельности людей.
1иничные ошибки учащихся в вычислениях связаны, главным образом, с
* шгчием этих правил, плохим знанием алгоритмов и приемов, их смешением на
1»>|и- неверных аналогий (например, умножения и деления дробей и других). В
мощь учащимся правила, алгоритмы и приемы вычислений представляют в
»(.менном виде (так называемые памятки) и наглядно — в виде рисунков, схем,
*и<ц (например, табл. 4).
45
Таблиц
Действия с обыкновенными дробями
умножение дробей
Умножение дробей	Сокращение дробей
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно:
1) найти произведение числителей;
2) найти произведение знаменателей;
3) сократить полученную дробь, если это возможно.
Замечание. Для того, чтобы выполнить умножение смешанных чисел, нужно:
1) записать нх в виде неправильных дробей;
Использование ЭВМ, в частности, микрокалькулятора, должно подчинятьс
только цели, отмеченной в п. 2.3. — применять ЭВМ только тогда, когда мси
четко и однозначно сформулировать алгоритм решения поставленной задачи, i
цели обучения выбору наиболее рационального способа вычислений. О’
интересным методическим приемом в этом отношении является “соревноваш
микрокалькулятором” в вычислении таких, например, выражений,
^-^(72-1) или VV2-1V3+2V2 . В первом случае рациональнее использое
46
vtatinc устных и табличных вычислений, во втором - предварительное
• •« шейное преобразование выражения (в результате которого получится 1, и
I* «««ст никогда ие получится с помощью микрокалькулятора).
Ant «ритмическая (и, тем самым, информационная) направленность обучения
рмагтся не только в обучении непосредственно алгоритмам вычислений, но и в
•юнании при этом алгоритмов их смежных дисциплин, а также
лразных “бытовых” алгоритмов (например, алгоритм посадки растений,
копления какого-либо блюда, облицовки стены плитками и тд.). Необходимо
’(кивать алгоритмический характер методов математики в целом, приводить
||>ы других, невычислительных алгоритмов, в курсе математики, таких, как
|м1мы решения простейших уравнений, выполнения элементарных
>< । пенных преобразований и основных геометрических построений н других,
мия правила решения таких задач и представляя их в виде блок-схем или с
аьюванием алгоритмического языка.
Место “чисто арифметических задач” в обучении арифметике в школе в
мае второй половины XX в. значительно уменьшилось, т.к. в связи с
«гнием в курс арифметики элементов алгебры они все чаще решаются
>*А|.аическим методом. Однако в условиях новой парадигмы образования в
-»«и и практике обучения математике можно все чаще увидеть обращение к
>«м задачам. Овладение учащимися методами их решения позволяет
««••• нить не только пропедевтику обучения методам и приемам решения
снующих типов текстовых задач алгебраическим методом, но и
в«*к.твуст созданию ситуаций для уровневой дифференциации обучения и
••ллсктуальному развитию учащихся средствами арифметики.
I радиционно в обучении арифметике, начиная с начальной школы,
►лмуется составление задач учащимися, особенно на близком учащимся
вноиалыюм) материала, позволяющее достигать многих целей обучения
жма1ике. Задачи можно составлять а) по картинке, рисунку, чертежу, на которых
Вмми цены, вес и т.п. некоторых предметов; б) по числовым таблицам (цен, скоростей,
 вымени, расстояний и т.п.); в) по схеме-условию и вопросу или схеме решения; г) по
•«•ой табличной записи; д) по числовым данным (подбор вопроса к числовым данным);
•и । просу и одному из числовых данных (подбор недостающих данных); ж) по
•«« у (подбор данных к вопросу); з) по аналогии с ранее решенной задачей (подбором
числовых данных, другого сюжета, других величин, варьированием условия или
47
требования задачи); и) по выражению или формуле, например, х = -у—~
4 + 5
Дополняя обучение иа уроке, такие задачи включаются в содержание раб
математических кружков, вечеров, конкурсов, викторин и олимпиад.
Особенности содержания материала числовой линии, историчек
подход к его изучению позволяют построить следующие метод
технологические цепочки.	- I
Технологическая цепочка изучения числовых множеств:
Для изучения каждого числового множества учителю совместно с учащий
необходимо, на наш взгляд, выполнить следующие действия, определяемы»
только психологическими, но и математическими закономерностями, а таД
историей развития математики:
1)	на специально подобранных задачах установить недостаточи
известного на данном этапе числового множества для их решения и сделать в1
о необходимости расширения множества путем введения новых чисел;
2)	показать, что невозможность решения этих задач связана
невыполнимостью какого-либо арифметического действия в известном чис J
множестве и сделать вывод: расширение числового множества путем введ|
новых чисел должно быть таким, чтобы в расширенном множестве выполнялся
действие, которое раньше было невыполнимо или не всегда выполнимо;
3)	ввести новые числа, дать им название и определение;
4)	объединить известное раньше числовое множество и множество н
чисел в одно, дать ему название и определение, проиллюстрировать на числ
прямой;
5)	показать, что предыдущее множество является подмножеством но
решая соответствующие учебные задачи;
6)	определить операцию сравнения и арифметические действия над чис.
как элементами нового множества и вывести из них правила действий; при
установить, что для известных ранее чисел, как для элементов нового множе
они имеют тот же смысл, что ь в прежнем множестве; проиллюстрироваз
числовой прямой;
7)	организовать решение упражнений на все действия над числами; в
48
выделить и явном виде алгоритмы и приемы вычислений, их частые
iiiHTii и отношения с предшествующими алгоритмами и приемами: о)
чго действие, ради которого производилось расширение числового
Им с гало всегда выполнимым; в) подтвердить выполнимость в новом
множестве известных законов действий; полезно рассматривать
мин и другую наглядную иллюстрацию основных законов действий в
•ни ловом множестве (см. рис. 2); при этом необходимо подчеркивать, что
| iHip.itное действие, а из прямых - возведение в степень не подчиняется
»|слыюму закону.
|-нш1ь поставленные на первом этапе задачи и организовать решение
ш арифметических задач, используя известные приемы их решения;
выявить алгебраическую и порядковую структуру числового множества;
I авизовать решение задач олимпиадного типа.
.«<• ишие последние два этапа дополнительно для учащихся высокого
нЬной деятельности.
и-ччагическая цепочка формирования алгоритмов и приемов вычислений'
Таблица 5
Линия
Алгоритмы и приемы вычислений
\/ч11ьные числа.
гические
юние в
«t>| I 1Ы1ЫМ
|сние
«‘Иные
действия,
степень с
показат елем,
делимости,
НОД и НОК.
типы
1.	Алгоритмы выполнения арифметических
действий.
2.	Приемы использования таблиц.
3.	Приемы использования для рационализации :
вычислений законов и свойств действий.;
тождественных преобразований заданных :
числовых выражений.
 мс!ических1адач
4.	Приемы устных вычислений.
5.	Использование легко запоминаемых i
результатов.
6.	Приемы решения задач “на движение”, "на •
1/ггыг числа.
М iv ль числа, четная н
♦ •и тая	степень
гшыгельногсиисла._________
идюиольные числа.
риннсниедробей. Основное
< подроби и следствия из
гн> Сокращение дробей и
натуральные числа”. ______________________;
7.	Алгоритмы выполнения всех действий с J
числами разных знаков.	I
8.	Приемы вычислений со знаком модуля.
--------------——— —-------—=.—...----------
9.	Приемы	записи вычислений	с !
рациональными числами.
10.	Алгоритмы	выполнения действий	с
рациональными числами в частных случаях.
д»| ведение
к общему! 11. Приемы совместных вычислен ий о
49
i наменате.чю Представление । быкновенной дроби в виде 1 ссятичной Возв едение в ! теченье целым показ ателем. i ропорцшПр оценты.	обыкновенными н десятичными дробями. 12. Приемы решения задач на отношения проценты, "на совместную работу". " смеси", “на среднее арифметическое”.
4 Действительные числа. Свойства числовых равенств еравенств Числовые ; ромежутки.	Основное ! войство корня. Извлечение ! i орня действия с корнями, j отведение в степень с i ровным	показателем 1 огарифмирование	и | отенцирование.	13.	Алгоритмы основных преобразован арифметических корней. 14.	Алгоритмы основных действий степенями с рациональным показателем. 15.	Приемы	логарифмирования потенцирования. 16.	Обобщение и систематизация прием вычислений. 17.	Обобщенные приемы решения задач вычисление и текстовых задач.
so
ЛЕКЦИЯ П1
Выражения и их преобразования
3.1. Логико-математический анализ линии
тождественных преобразований выражений
1
ILL История развития алгебры свидетельствует о том, что введение
мой символики - трудный и длительный процесс. Если первые шаги в этом
*ы. по-видимому, в III в. н. э. (Диофант из Александрии), то существенные
•  ния относятся ко второй половине XVI в. (Ф. Виет) и к первой половине
(Г Декарт); т.е. потребовалось около тринадцати столетий, чтобы проблема
i« удовлетворительное решение. Вначале буквы использовали для
•синя неизвестных чисел, которые необходимо найти при заданных
• «. это сравнительно нетрудно. Более трудным шагом стало то, что под
| можно подразумевать любое число из некоторого множества чисел; это
••алло более высокой ступени абстракции, и поэтому произошло только во
«кчювине XVI в.
!«»»явственные преобразования выражений с переменными — одна из
их задач элементарной алгебры, результаты решения которой служат
ин решения уравнений и неравенств, рационализации вычислений и других,
ими понятиями данной содержательно-методической линии являются
• “выражение”, “тождественно равные выражения”, “тождество” и
। i пенное преобразование выражения”. Выражением в математике называют
состоящую из чисел, букв (обозначающих постоянные или переменные
»и), знаков математических действий. В числовых множествах имеют дело
ними выражениями (не содержащими переменных). В табл. 6 (с. 52)
мл пассификация основных выражений с переменными.
Ди каждого вида выражения существуют подвиды и простейшее или
Гпис стандартного вида. Значения переменных, при которых выражение
• мысл, называются допустимыми значениями переменных и образуют
»•. тределения выражения. Два выражения называются тождественно
чи, если они принимают одинаковые числовые значения при подстановке
 н IBCHHO равных числовых значений входящих в них букв из обшей области
51
определения. Тождеством называется равенство двух тождественно равна
выражений. Тождественным преобразованием выражения называется заме)
одного выражения другим, тождественно ему равным выражением (как правил
более простым вплоть до выражения стандартного вида). Эта замена производив
с помощью действий над выражениями, во многом аналогичных действиям hi
соответствующими видами чисел. При этом результат действия должен бы
выражением того же вида, поэтому некоторые действия не выполнимы или ।
всегда выполнимы в множестве выражений данного вида (например, сложение
вычитание одночленов, деление многочленов). В табл. 7	(с. 5
систематизированы тождественные преобразования выражений, изучаемые
школьном курсе алгебры и начал анализа.
Таблш
52
Всжмвпт ы ьвм t и дополнительные 	преобразования		Приведение подобных сла- гаемых, раскрытие скобок. Умножение и деление по формулам сокращенного умножения, деление на основе разложения на множители. Возведение в степень двучлена по формуле бинома Ньютона. Выделение	полного квадрата в квадратном трехчлене.	Приведение дробей к об- щему знаменателю, со- кращение дробей.
,	Ограничения и дополнительные условия	Для деления: а) показатель степени переменной дели- мого не меньше показателя степени той же перемен- ной делителя; б) делитель не содержит переменных, которых нет в делимом.	Для деления: степень де- лимого не меньше степени делителя; деление без ос- татка или с остатком.	Область	определения дробного выражения с пе- ременной.
। Основания хтя преобразований	Определение од- ночлена, понятие и свойства сте- пени	Определение многочлена, рас- пределительный закон умножения относительно сложения, деле- ние суммы на число, понятие степени.	Определение дробного выра- жения, основное свойство дроби, правила действий с числовыми дро- бями,
Основные j преобразования	Умножение, воз- ведение в сте- пень, деление од- ночленов.	Сложение, вычи-| тание, умноже- ние, деление, воз- ведение в сте- пень, разложение на множители многочленов.	Сложение, вычи- тание, умноже- ние, деление, воз- ведение в степень дробных выраже- ний.
| Вид выражения	Одночлен	Многочлен	Дробное выражение
Л'»		г4	СП
53
Вспомогательные и дополнительные преобразования	Сокращение показателей корня и подкоренного вы- ражения, вынесение и вне- сение рационального мно-		жителя под знак радикала,	ь с н с 3 rt 5 с* □ a h э с ? 3 Н	или числители дроби.	Логарифмирование и по- тенцирование.				Преобразования тригоно- метрических выражений по формулам тригономет- рии.			
Ограничения и дополнительные условия	Определение арифметиче- ского корня, область опре- деления иррационального выражения.					Область определения ло- гарифмического выраже- ния.				Область определения три- гонометрических функций			
Основания для преобразований	Определение корня, основное	теоремы о преоб-	разованиях кор- ней.			Определение ло- гарифма, основ- ное логарифмиче-	ское тождество,	теоремы о лога-	рифмировании	Правила тождест- венных преобра- lAPQUutt	паттпл-	нальных и ирра-	Я а а 5 э §	ражений.
Основные преобразования	Умножение, де- ление, возведение в степень корней; извлечение корня		из произведения, дроби, степени, vnnua			Нахождение ло- гарифма выраже- ния, нахождение	выражение по его	логарифму.		Алгебраические преобразования рациональных и иррациональных		э D S & S о в э S	ких выражений.
Вид выражения 1		Иррациональные выражения					Логарифмические выражения				Тригонометрические выражения			
ЛЬ						ЧП				V©			
54
3.1.2. Тождественные преобразования иррациональных выражений,
ряжений, содержащих степени с произвольными показателями и логарифмы, и
и «.неметрических выражений (а также так называемых трансцендентных -
иржащих эти выражения одновременно) имеют ряд особенностей. Первая
папа с тем, что каждое из названных выше выражений может быть целым и
Лиым, тригонометрические выражения - еще и иррациональным. Поэтому для
V ждественных преобразований используются не только основные свойства
тейших видов этих выражений и соответствующие формулы (назовем их
тиольными тождественными преобразованиями), но и тождественные
«.«бразования целых и дробных выражений (назовем их в данном случае
•ими).
Вторая особенность следует из первой и относится к области определения
г.жения. Целые алгебраические выражения (одночлен и многочлен) определены
» гм множестве действительных чисел, но уже область определения дробного
гСраического выражения получается исключением из множества
ь 1 пительных чисел тех значений переменной, которые обращают знаменатель в
1ь Каждый из названных выше видов выражений имеет свою область
- деления, связанную с областью определения соответствующей функции. Если
। пыражение целое, то этого условия достаточно, но если дробное - необходимо
пинать область определения дробного выражения и рассматривать условия
ржмССТНО. 3-2. Место выражений и их преобразовании в программе Распределение этого материала в школьной программе показано в табл. 8. Таблица 8		
Этап	Класс	Темы программы
П|* педевтический («•мильная школа и 1 •>[« математики 5-6 > «ссов основной школы)	1-4 5 6	Буквенная символика для записи законов действий и обозначения неизвестных компонентов действий. В темах 1,2. Натуральные числа. Буквенное выражение и его числовое значение. Буквенная запись законов действий. Составление буквенных выражений по условию задач. В теме 3. Угол. Треугольник. Прямоугольник - Вычисления по формулам. В теме 6. Простейшие преобразования выражений:
55
		раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых.
Основной (курс алгебры 7-9 классов основной школы)	7 8 9	1. Выражения и их преобразования. В теме 3. Степей с натуральным показателем - Одночле» 4. Многочлены. 5. Формулы сокращенного умножение Понятие целого выражения. 1. Рациональные дроби. Преобразования рациональны выражений. В теме 2. Квадратные корни Преобразования выражений, содержащих квадрата* корни. 5. Степень с целым показателем. 4. Тригонометрические выражения.
Завершающий (курс алгебры и начал анализа 10-11 классов старшей школы)	10 11	В теме 1. Тригонометрические функции - тождестве* ные преобразования тригонометрических выражений. В теме 2. Показательная, логарифмическая и степенна функции. - Тождественные преобразовани выражений, содержащих степени с произвольны показателем и логарифмы
3-3. Цели изучения тождественных преобразований выражений в школе
3.3.1,	Изучение материала линии тождественных преобразований вираже
имеет основной учебной целью осознание учащимися буквенного исчисления
формально-оперативного аппарата математики, формирование техники и культ
тождественных преобразований и умения ее использовать для решения др}
основных задач алгебры и ее приложений в арифметике, алгебре и начг
математического анализа. Культура выполнения тождественных преобразова
понимается так же как культура вычислений: 1) прочные знания свойств опер
над выражениями и алгоритмов их выполнения; 2) умение правильно обоснс
преобразования; 3) умение найти кратчайший путь перехода от исход
выражения к выражению, наиболее соответствующему цели преобразоы
4) умение проследить за изменением области определения выражений в цепоч>
тождественных преобразований; 5) быстрота и безошибочность выполи,
преобразований.
В табл. 9 (с. 57) показана дифференциация этой цели по уровням обучения
56
Примеры обобщенных типов целей
57
Примеры обобщенных типов целей	1 III уровень	решает типовые н прикладные задачи в нестандартных ситуа- циях, самостоятельно используя	обобщенные и искусственные приемы тождественных преобра- зований, преобразовывает, доказы- вает и выводит новые формулы, самостоятельно их использует.
	II уровень	Ученик Выражает в основных фор- мулах одни переменные через другие, решает типовые н	прикладные задачи в стандар- тных ситуациях, самостоя- тельно используя формулы, алгоритмы, частные н спе- циальные приемы тождествен- ных преобразований и их контроля.
	I уровень	Выполняет	простейшие тождественные преобразо- вания выражений, осушест-	вляет числовые подстановки и выполняет соответствующие вычисления по данным формулам, алгоритмам, част- ным приемам, по образцу или с помощью извне.
Общие категории целей		Умения н навыки Выполнение действий,	составляющих прием учебной деятельности, под активным контролем внимания или автоматизировано
%			
58
r
3.3.2.	Содержание этого материала также позволяет продолжить развитие у
Г'ящихся отмеченных в числовой линии познавательных процессов, речи и умения
читься, логического, алгоритмического и обобщенного алгебраического
мышления, элементов творческой деятельности, воспитание интереса к
в «тематическим обобщениям м закономерностям, сообразительности, инициативы,
ж, культуры общения. ,
3.4. Основные типы математических н примеры учебных задач
3.4.1.	Основными типами математических задач в этой линии являются:
^Упростить выражение”, “Найти числовое значение выражения наиболее
рациональным способом”, “Разложить выражение на множители”, “Доказать
► • зество (неравенство)”. Ниже приведены приоритетные обобщенные приемы их
ршения.
Прием решения задачи "Упростить выражение
I)	изучите особенности данного выражения;
2)	установите, какие из следующих тождественных преобразований нужно
Заполнить, чтобы привести данное выражение к простейшему (стандартному) виду: а)
|*шие алгебраические преобразования: раскрытие скобок, приведение подобных,
*1*>жение на множители, сокращение дробей и действия с дробями, б) специальные
•«образования: правила действий со степенями, корнями, логарифмами, использование
«фонометрических тождеств,
3)	выполните выбранные преобразования, используя соответствующие частные
«жыы;
4)	запишите ответ, если нужно, упростив его.
Прием решения задачи "Найти числовое значение выражения
наиболее рациональным способом
I) изучите особенности данного выражения и характер числовых данных;
2) установите, можно ли упростить выражение а) до подстановки числовых
»»чгций букв, б) после подстановки числовых значений букв;
1) если можно, упростите выражение, используя соответствующий прием, подставив
w- ловые значения букв в случаях а) или б);
4) выполните вычисления, соблюдая порядок действий и используя
• • «чествующие приемы вычислений;
5) запишите ответ.
Прием решения задачи "Разложить выражение на множители":
I) изучите особенности данного выражения;
2) если есть общий множитель у всех слагаемых, вынесите его за скобки;
1) рассмотрите выражение, освобожденное от общего множителя; установите,
►’«1 ли использовать: а) формулы сокращенного умножения, б) правила действий со
59
степенями, в) правила действий с корнями, г) потенцирование, д) формул»
преобразования суммы тригонометрических функций в произведение к следствия из ина,
4) если п. 3 ие имеет места, установите, нельзя ли применить способ группировок
ориентируясь на а) знаки слагаемых, б) их коэффициенты, в) их степени и разложение 
степеням какого-либо множителя, г) тригонометрические тождества, д) преобразования я
3 к какой-либо группе слагаемых;
5) выполните выбранные преобразования, используя соответствующие приемы; I
6) запишите ответ.
Прием решения задачи “Доказать тождество (неравенство)
1)	изучите особенности выражений в каждой части равенства (неравенства),
2)	установите, какое из следующих общих алгебраических преобразований удоб»
использовать для доказательства тождества (неравенства): а) упростить одну его часть то
чтобы получить вторую, б) упростить обе части так, чтобы получить верное равеисщ
(неравенство), в) разложить одну или обе части иа множители, г) сократить драй
д) подобрать верное равенство (неравенство) или известное тождество (тождествен »в
неравенство), каким-либо образом связанное с данным, и преобразовать его так, чтоф
получить данное, е) доказать, что разность частей равна нулю (больше или меньше нуля),
3)	установите, какие из следующих специальных преобразований моя»
использовать: а) разделить числитель и знаменатель дробного выражения на одно и то *
выражение. 6) возвести обе частя равенства (неравенства) в степень, в) извлечь из ебяа
частей корень, г) прожж4»ф| ву ожкгь или пропотенцировать обе част, д) заменяв
равенство более простьы с аоваоямю алгебраических или тригонометрических тождеств,
4)	выполните выбранные преобразования, используя соответствующие приемы;
5)	сделайте вывод.
Примеры частных приемов и алгоритмов
Чтобы разделить многочлен на многочлен (“под углом”), нужно 1) рас поло «яЬ
делимое н делитель по степеням какой-нибудь переменной; 2) разделить старший чф
делимого иа старший член делителя; полученный одночлен записать первым члея»
частного, 3) первый член частного умножить ва делитель, результат записать *
делимым в соответствии со степенями слагаемых и произвести вычитание; получен*
разность является первым остатком; 4) для отыскания второго члена частного выполют
первым остатком тс же действия, что к с делимым в п.п. 2 и 3; 5) продолжать действия п. •
до тех пор, пока не получится остаток, равный нулю, или остаток, степень которого ни»
степени делителя. В первом случае говорят, что деление многочлена на многоч»
выполнимо в множестве целых выражений.
Чтобы разложить многочлен на множители вынесением общего множипЛ
за скобки, нужно 1) найти общий множитель всех членов многочлена (коэффициент -О
правилу отыскания НОД чисел, для каждого буквенного множителя — степень с дайн*
основанием и наименьшим натуральным показателем); 2) записать найденный обп*
множитель перед скобкой; 3) в скобках записать сумму частных от деления всех член»
многочлена иа общий множитель).
Чтобы перемножить корни с разными показателями, нужно 1) привести К*
общему показателю; 2) перемножить их подкоренные выражения; 3) из результата извзеч
корень степени с общем показателем.
3,4.2, Примеры учебных задач:
I. Данные понятия пронумеруйте в отношении последовательности их подчинения в
родо-видовому признаку: одночлен, алгебраическое выражение, целое выражен»
многочлен.
2. Является ли одночленом стандартного вида выражение а) 3,4 г?у; б) а ( - 8); в) «•
60
. i)tr. д) 0.5 m2 n; e) - hca; ж)а-Ь'. з)е10; и) 0.6; к)-О,Зху2; л)2(х+у)2?
• I kiioBHTe старший член многочлена a) - 5x + O.OOlx* + 300x6 + 1; 6) O.Sv2 - j'1'1 + I.
I I кионнте степень многочлена: a) x*y2 + у*-2х6-3ху: f>) 8a2в + Зав2 + в2.
' Исключите лишнее выражение нз числа данных: Зх", -4х, Зх + 8у - 7, Лу, 18х
< Напишите не менее 10-ти выражений, равных единице при любых допустимых
I
нычениях переменных. Например, —-и=	= I и т.н.
1 Увеличится или уменьшится правильная дробь —, если к числителю и знаменателю
, «
прибавить одно и то же натуральное число?
X Сколько раз следует взять слагаемым число а, чтобы получить «"?
9 Докажите теорему: чтобы возвести  квадрат смешанное число, дробная часть
I
 корого есть ~. достаточно целую его часть умножить иа следующее натуральное число
1
 ь произведению приписать —.
10 Может ли логарифм числа быть равен этому числу?
11 Найдите ошибку в приведенном решении: а) В каждом нз двух доказательств
_	1 1 ОГ
»г|>.1венства “3>4 : “возьмем верное неравенство ~	J >	;
1) логарифмируем обе части полученного неравенства по основанию —:
— > 4loq, — => 3* 1 > 4* 1 => 3 > 4.” 2) “логарифмируем то же неравенство по
1 1
(нонанию 10: 31д~ > 4lq~ => 3 > 4.’’ 6) В выполненном преобразовании:
3.5. Специальные методы и приемы обучения
3.5.1, Методический инструментарий учителя в данной содержательно-
му одической линии направлен, в первую очередь, на реализацию основной цели
имения этого материала - овладение учащимися аппаратом тождественных
И|н образований для решения основных задач алгебры. Основное назначение
шждественных преобразований состоит в приведении их к соответствующему
« ындартному виду. Но недопустимо упрощение сложных выражений только ради
ирг дставления их в более простом виде, мотивировка должна быть более глубокой,
чем просто тренировка и заучивание тождественных преобразований учащимися.
11.»ло приучать учащихся руководствоваться требованием: если данное выражение
>« является удобным для решения поставленной задачи, то нужно искать такие
 иособы его преобразования, которые обеспечивают наиболее рациональное
|И1пение задачи.
61
В то же время необходимо создавать у учащихся на том или ином уровне
представление о логической основе правил тождественных преобразований
выражений. Здесь существенную роль играет суть буквенной символики в алгебре
- под буквой подразумевается некоторое множество чисел, поэтому на всей
протяжении изучения тождественных преобразований нужно опираться lit
изученное в курсе арифметики и требования к его применению (см. п. 2.5.1.). Tat
вывод правил тождественных преобразований выражений начинается, с одно!
стороны, с рассмотрения примеров преобразования как числовых, так и буквенным
выражений, которые позволили бы заметить их общий характер и сделан
индуктивные выводы, с другой - повторением аналогичных правил выполнени|
действий над числами и законов этих действий. Первые простейшие правил!
тождественных преобразований непосредственно следуют из этих законе!
выраженных в буквенном виде. Например, правило раскрытия скобок следует «
распределительного закона умножения относительно сложения а (в + с) = ав + et
В дальнейшем правила и формулы тождественных преобразований выражений
должны формулироваться как теоремы (например, теоремы о просгейин®
преобразованиях степеней, корней, логарифмов, все формулы сокращеннее
умножения, тригонометрические тождества) и дедуктивно доказываться. Очец
полезло при этом совместное изучение прямых и обратных преобразовали»
(например, умножение многочленов и разложение их на множители).
Серьезной проблемой при изучении этого материала является помоЛ
учащимися не только в понимании, но и в запоминании основных тождеств »
формул. Кроме, как правило, имеющихся в классе постоянных обобщающе
таблиц, с этой целью используют специальные методические приемы. Первый
такой прием - чтение алгебраических выражений различными способам!
например, выражение а3 +в3 есть 1) а куб плюс в куб”, 2) "‘сумма кубов чисел «I
в", 3) "сумма третьих степеней букв а и в”. Для этого используется как чтенй
учащимися, так и учителем на всех уроках, в частности, математический диктант..
Второй прием — геометрическая иллюстрация преобразований н форму!
примеры которой показаны на рисунках 4-6. Для иллюстрации формул, в которИ
входят выражения третьей степени, необходимо использовать стереометричес«
образы (например, существует модель формулы куба суммы двух чисел в вит
62
u'uckoio футляра, в который вкладываются куб с ребром а, куб с ребром е. 1ри
I । । 1с.'1сиипсда с основанием а~ н высотой в. г.е. объемом ач, и ipn
4>.> । ie.ieiniiie.4a с основанием «" и высотой a. i.e. объемом ав~. Ребро футляра
р>НО 14 т а).
Рис. 5
Рис 6
63
Для запоминания простейших свойств 
соотношений между ipni оиометрнчсскимя
функциями хорошо помогает их геометрически!
изображение с помощью единичной окружносв
(например, рис. 7 а помогает вспомнить пик»
функций "по стрелкам" - ось ОУ со стрелкой •
синус положителен, без стрелки - отрицателен!
Рис. 7 а
Гретин - мнемонические приемы запоминания формул, если они существую»
например, известный прием запоминания формул приведения (рис. 7 б).
Рис. 7 (б)
64
Мнемонические приемы помогают не только для запоминания, но и для
применения формул тождественных преобразований. Так, например, известно, что
учащиеся затрудняются в подстановке в формулы выражений вместо букв; в этом
« пчае может помочь использование некоторых "рамок’’ для этих выражений
(рис 8).
(д±п)2 =А2±2Да+П2
(а ± b)2 - а ± 2аЬ+Ь2
Рис. 8
На рисунке 9 показано выполнение с помощью «рамки» а) упражнения
Преобразовать в многочлен квадрат суммы двух выражений (х у -г Зху3)2 .
> (	± I 3r/| ) =	± 2 /х\ [ Зжу31 + | Зху3 [ -х*уг ±бх’/ +9х>‘
Рис. 9
Четвертый прием (для учащихся основной школы) — использование учебных
>лдач занимательного характера. Например, поставить вместо знака "?” нужное
выражение: (? + 2а3) = ? + 6 а6 в2 + ?. Особенно такие задачи уместны в форме
in (актической игры.
Пятый прием (особенно, для учащихся старшей школы) - логически
•к мысленное запоминание и припоминание - расположение формул группами
(блоками), выделение смысловых опорных пунктов, запоминание одной
(ключевой) формулы и самостоятельный вывод из нее остальных, словесные
формулировки формул (причем, как слева направо, так и справа налево) и правил.
Наконец, непосредственно после изучения каждого правила, алгоритма,
формулы или приема тождественного преобразования выражений нужно
выполнять упражнения на их применение для решения различных задач -
вычислительных, решения уравнений н неравенств и т.д.
Отметим некоторые типичные ошибки учащихся при выполнении
65
гождсствеиних преобразован и й:
I)	Смешивают правила умножения степеней с правилом возведения в степень
(5r’3xJ= 15 х“).
2)	Распространяют по неверной аналогии правила умножения степеней С
одним основанием на случай умножения степеней с разными основаниями (25 * 7
= 14*).
3)	Складывают показатели степеней при сложении степеней - смешивают в
правилом умножения степеней (23 + 24 = 27).
4)	Неправильно применяют формулы (например, смешивают по неверной»
аналогии с распределительным законом формулу квадрата суммы (а + в)2 = а2 + в )
нли lq (а + b) = lq а + lq b) или sin(a + /?) = sina + sin fl.
5)	Сокращают в алгебраической дроби по неверной аналогии не множи тели, я
(а2в+ас oe + c")
слагаемые -------=------ .
< а+с 1+cJ
6)	Изменяют знак не у всех членов вычитаемого, когда вычитается многочле|1
(раскрытие скобок, перед которыми стоит минус) и, особенно, дробь (забывают,
что дробная черта заменяет скобки).
7)	Не учитывают знак подкоренного выражения при использовании основного
свойства арифметического корня во многих преобразованиях с корнями и
получают под корнем отрицательное число.
8)	Не учитывают, что свойства арифметических корней справедливы и дл!
корня нечетной степени из отрицательного числа.
Для предупреждения этих и других ошибок на первых этапах обучения
тождественным преобразованиям, кроме использования наглядных опор, нужно
выполнять и записывать действия подробнее с разъяснением смысла допущенных
ошибок.
3.5.2. Овладение всякой деятельностью, как мы уже не раз отмечали, наиболее
успешно достигается на основе формирования обобщенных приемов этой
деятельности. Поэтому предлагаемая нами система формирования аппарате
тождественных преобразований аналогична системе формирования
вычислительных умений на основе формирования алгоритмов и приемов (табл. 10)
66
Технологическая цепочка формирования алгоритмов и приемов
тождественных преобразований выражений
Таблица 10
	Линия	Алгоритмы н приемы преобразований
	Целые выражения. Виды целых выражений (одно- член, многочлен), их степень, стандартный вид, частные случаи, формулы сокращенного умножения. Действия с целыми выраже- ниями: разложение много- члена на множители; выделение полного квадра- та в трехчлене.	1.	Алгоритмы	выполнения	основных действий с целыми выражениями. 2.	Приемы разложения многочлена на множители. 3.	Специальный прием выделения полного квадрата в трехчлене. 4.	Обобощенный прием упрощения целого выражения. 5.	Приемы доказательства тождества.
	Рациональные выражения. Основное свойство дробно- го выражения и следствия из него. Сокращение Дробных выражений. Дейст- вия с рациональными выра- жениями.	6.	Приемы	записи	преобразований рациональных выражений. 7.	Приемы использования аналогии с действиями над рациональными числами в общих н частных случаях. 8.	Обобщение приемов 4 и 5.
	Иррациональные выраже- ния. Основное свойство корня, простейшие преобра- зования корней. Действия с корнями,	возведение выражений в степень с дробным показателем.	9.	Специальные	приемы	основных преобразований арифметических корней. 10.	Приемы преобразования выражений со степенями с рациональным показателем. 11.	Прием доказательства неравенств. 12.	Обобщение приемов 2, 4, 5 и 11.
	Тригонометрические выражения. Основные тригонометри- ческие тождества и следствия из них, теорема сложения и следствия из нее.	13.	Специальные приемы доказательства тригонометрических тождеств с помощью единичной окружности. 14.	Специальные приемы преобразований тригонометрических выражений с помощью формул. 15.	Приемы вычислений с использованием тригонометрических тождеств. 16.	Обобщение приемов 2.4. 5 и 11.
	Выражения с логарифмами. Основное логарифмическое тождество. Теоремы о логарифмировании	и потенцировании.	17. Приемы преобразования выражений с логарифмами. 18. Обобщенные приемы решения основных задач	тождественных преобразований выражений.
67
Технологическая цепочка формирования обобщенных приемов
решения основных задач тождественных преобразований выражений
Покажем ггу цепочку на примере формирования приема решения задачи
“Упростить выражение" по мере изучения все новых видов выражений,
постепенного расширения “фонда" их преобразований и соответствующих частных
приемов:
I)	изучение алгоритмов (частных приемов) выполнения действий “раскрыть
скобки’ и “привести подобные слагаемые" в пропедевтическом курсе алгебры;
2)	обобщение действий, связанных с постановкой задачи “упростить
выражение” в начале систематического курса алгебры и формулировка приема
решения этой задачи в виде: а) изучить особенности данного выражения, б)
установить, какие из следующих тождественных преобразований и в каком
порядке нужно выполнить, чтобы привести данное выражение к простейшему виду
- приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, в) выполнить выбранные
преобразования, соблюдая порядок действий, г) записать ответ;
3)	обобщение действий после изучения каждого нового вида выражений и их
преобразований; например, после изучения темы “Многочлены” прием решение
задачи "Упростить выражение” принимает вид: а) изучить особенности данного
выражения, б) установить, какие из следующих тождественных преобразований и е
каком порядке нужно выполнить, чтобы привести данное выражение 
простейшему виду - умножение одночленов, умножение многочлена на одночлен,
умножение многочлена на многочлен, использование формул сокращенного
умножения, приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, в) выполнил
выбранные преобразования, соблюдая порядок действий, г) записать ответ;
4)	продолжение процесса обобщения приема в соответствии с развитием вес»
линии тождественных преобразований выражений в курсе до тех пор, пока н»
получится обобщенный прием, сформулированный в предыдущей главе.
Более подробно зта цепочка проиллюстрирована в статье “Формирование
приемов учебной деятельности” [Епишева О.Б. И Математика в школе, № 6, 1995
с. 26 - 29].
68
ЛЕКЦИЯ IV
Уравнения и неравенства
4.1.	Логико-математический анализ линии уравнений и неравенств
4,1,1.	Главное отличие алгебры от арифметики состоит в том, что для решения
задачи вводится неизвестное; выполняя над ним и данными в условии задачи
определенные действия, тоже предусмотренные условием, получают выражение,
которое можно приравнять к другому выражению; полученное уравнение
позволяет найти неизвестное. Такой метод зародился еще в древности; так, в
древнеегипетских папирусах есть задачи, при решении которых искомому давалось
название “куча” и оно обозначалось соответствующим иероглифом. Древние
вавилоняне уже за 2 000 лет до н. э. умели решать задачи сведением к системе
линейных уравнений со многими неизвестными, к квадратным уравнениям и даже
к частному случаю кубического уравнения; они разработали словесные правила
решения уравнений. В древней Греции в III в. до и. э. алгебраические предложения
и задачи обосновывали и решали геометрическими средствами (“геометрическая
алгебра”). Диофант Александрийский (III в. до н. э.) в трактате “Арифметика”
решал уравнения 1-й и 2-й степени, неопределенные уравнения. Он ввел краткие
с вмволические обозначения для неизвестных, их долей и степеней. В средние века
математические знания древннх унаследовали: IX-XV в в. - народы Средней Азии
(уже упоминавшийся Мухаммед аль Хорезми и название “алджебр”), XVI в. -
итальянцы решают уравнения 3-й и 4-й степени, француз Ф. Виет ввел буквенную
символику для обозначения неизвестных величин, а Р. Декарт ее упорядочил.
Основными понятиями данной содержательно-методической линии и всего
курса алгебры являются понятия; уравнение, неравенство с переменной, корень
сравнения, решение неравенства с переменной, система и совокупность уравнений
и неравенств. За длительное время развития алгебры менялся подход к
определению этих понятий, что отражалось естественным образом в школьном
курсе и что можно проследить на примере понятия уравнения. Уравнение (с одной
переменной) - это
-	равенство двух выражений, в котором некоторые буквы считаются
69
неизвестными, а остальные - известными;
равенство, справедливое при некоторых значениях неизвестной
(переменной) х;
-	равенство значений двух функций f (х) = q (х);
-	вопросительное предложение: существуют ли такие значения переменной х.
при которых функции f (х) и q (х) имеют равные числовые значения?;
-	высказывание (предложение) с переменной в виде равенства функций/(х) ~
q (х), относительно которого поставлена задача: найти такие значения переменной
х. при которых это высказывание (предложение) истинно.
Если принять последнее определение (функциональный подход), то с ним
необходимо связаны следующие понятия. Область определения уравнения (или
область его допустимых значений — ОДЗ) — это множество значений переменной,
для которых функции / (х) и q (х) определены. Корнем уравнения называете®
каждое значение переменной х из области определения уравнения, при которых
высказывание / (х) = q (х) истинно. Решить уравнение - значит найти множество
всех его корней. Два уравнения, множества корней которых совпадают,
называются равносильными. Для неравенства с переменной, общий вид которого»
(х) < q (х) или f(x)>q (х), определения аналогичны.
В зависимости от вида функций /(х) и q (х) различаются и виды уравнений и
неравенств с переменной. Мы разделяем точку зрения проф. А.Г. Мордковнча,
реализованную им в программе и учебниках школьного курса алгебры (лекция I
п.п. 1.2.1. и 1.3.1.). Поэтому классификация уравнений и неравенств с переменной
(табл. 11 на с. 71) показана в связи с классификацией выражений (табл. 6) и
классификацией функций (табл. 17).
Для каждого вида уравнений и неравенств в этой классификации можно
составить уравнение или неравенство “с модулем” и “с параметром”. Простейшие
уравнения и неравенства с модулем имеют вид: /(Ы) < q(x) и |/(х)| < q(x); они
решаются на основании определения модуля сведением к совокупности систем или
заменой переменной 1x1 = t. Уравнения и неравенства с параметром (меняющимся
коэффициентом). Чаще всего встречаются две постановки задач с параметрами
1)для каждого значения параметра найти все решения данного уравнения
(неравенства); 2) найти все значения параметра, при которых решения уравнения
70
। неравенства) удовлетворяют заданным условиям
Таблица 11
В табл. 12 (с. 72) показаны источники возникновения и основные области
приложений уравнений н неравенств.
Существует два основных метода решения уравнений и неравенств с
переменной - алгебраический и графический.
Алгебраический метод основан на теоремах о равносильности уравнений и
гравенств (о сложении и умножении обеих частей уравнения илн неравенства на
 ню и тоже, имеющее смысл в области определения, выражение) и иногда
.ыывается методом равносильных преобразований, которые являются
и-дствиями из этих теорем. Равносильным преобразованием (или равносильным
переходом) уравнения (неравенства с переменной) называется замена уравнения
•«•равенства с переменной) равносильным ему уравнением (неравенством с
«•ременной), как правило, более простым (в конце концов, простейшим или
71
уравнением стандартного вида). Для каждого вида уравнения (неравенспы
переменной) выделены простейшие уравнения (неравенства), корни (решек»
которых находятся с помощью формул или алгоритмов.
Таким образом, суть алгебраического метода решения уравнений (неравенс
с переменной) заключается в следующем: 1) последовательный переход с помов»
тождественных (преобразований, выполняемых в одной части - раскрытие скоба
приведение подобных слагаемых, разложение выражения на множители и т.н |
равносильных преобразований отданного уравнения (неравенства с переменной
более простым до тех пор, пока не получится одно или несколько простейна
данного вида; 2) решение простейших уравнений (неравенств с переменной) i
формуле или алгоритму.
Таблица 1
Равносильные преобразования уравнений и неравенств к простейшим mi
разделить на две группы: 1) общие для всех видов уравнений и неравенс
следствия из теорем о равносильности и 2) специальные, основанные на свой)
72
шин j (х) и q (х). К нерпой группе относятся 1) перенос слагаемых из одной
 и н другую; 2) сокращение всех членов уравнения (неравенства) на одно и то
число; 3) приведение уравнения (неравенства) к целому виду; 4) смена знака
» 'Шенов уравнения (неравенства); 5) замена уравнения вида/ (х) q (х) = 0 на
►•►мшость уравнений /(х) = 0 и q (х) = 0 (аналогично для соответствующего
  неравенства); 6) замена переменой. Примерами специальных преобразований
|»ю1ся: возведение обеих частей в степень с натуральным показателем или
речение из обеих частей корня, логарифмирование и потенцирование,
ко it. ювание основных тригонометрических тождеств и т.д.
Суть графического метода
решения уравнений (неравенств
с переменной) заключается в
отыскании значений перемен-
ной х. соответствующей равным
значений функций /(х) и q (х)
'	"	(ПрОмеЖуТК0В для КОТОрЫХ у
@	хв	х
н q (х)) с помощью точки
рис ю	пересечения графиков функций
/(X) н g (х) (рнс. 10).
Частным случаем графического метода является метод интервалов, который
lai . я от графического метода, если убрать ось ОУ и графики функций, а
> .uni ь то, что получилось на-оси ОХ, т.к. этот результат можно получить н путем
। компактных рассуждений. На рисунках 11 и 12 показана иллюстрация
►«•ния уравнений и неравенств ах + в> 0,ах2 + вх + с> 0 графическим методом и
ЮМ интервалов.
'ггггггггггггггггггл
Рнс. 1 1
73
Х<А1 и Х>Х1
Рис. 12
Эти же методы используются для решения систем и совокупности
уравнений и неравенств. Если ставится задача найти множество общих решение
двух или нескольких уравнений (неравенств), то говорят, что нужно решив
систему уравнений (неравенств). Если ставится задача найти множество все>
значений переменных, каждое из которых является решением хотя бы одного и
данных уравнений (неравенств), то говорят, что нужно решить совокупное» 1
уравнений (неравенств). Отсюда следует, что множество решений системы ее*
пересечение множеств решений входящих в нее уравнений или неравенств, • I
совокупности - объединение этих множеств. Определения понятий “рещени(
’равносильность’' для систем и совокупностей аналогичны определениям эт»
понятий для одного уравнения или неравенства; теоремы о равносильно* I
отражаюг общее понятие равносильности и специфику понятий системы •
 I
совокупности.
Из теорем о равносильности систем уравнений с несколькими переменны»
следуют основные общие алгебраические методы их решения: метод подстанов*
метод алгебраического сложения, введение вспомогательной переменной •
некоторые искусственные приемы. Решение системы неравенств с од*
переменной состоит в том, что решается каждое неравенство отдельно (причем 
записи решения можно сохранять знак системы), а затем на основе определеив
выбирается общее решения. В первой части, как правило, используеш
алгебраический метод, во второй - метод интервалов. Решение совокупное*
уравнений и неравенств - аналогично. “Переход к совокупности” используется д»
решения не только тех видов уравнений и неравенств, которые отмечены выше, »
и содержащих такие уравнения или неравенства систем.
Графическое решение системы уравнений (с двумя переменными) есь
74
<ii мекание координат хи и у„ общих точек i-рафиков уравнений системы
(/(х,у) = О.
= О
(рис. 13 а). Графическое решение системы неравенств (с двумя переменными) есть
пересечение частей плоскости, координаты точек которых удовлетворяю! каждому
hi неравенств системы. На рисунке 13 б показано графическое решение системы
I > -г V > 0.
b-'v<0.
Система неравенств с одной переменной решается методом интервалов.
Уравнения, неравенства, нх системы и совокупности являются мощным
ipr.icTBOM решения разнообразных (так называемых, текстовых) задач. Решение
Мдач таким (алгебраическим) методом является конкретным примером метода
««тематического моделирования [1, лк. 11, с. 148 - 150, 158] и содержит все три его
»ипа. Математической моделью такой задачи служит уравнение (неравенство, их
шлема или совокупность), решив которое "переводят” полученный результат на
•-I.IK данной задачи.
4.1.2.	В связи с особенностями тождественных преобразований
•^рациональных выражений, выражений, содержащих степени с произвольными
«жазателями и логарифмы, и тригонометрических выражений, а также
•рвпецендентных (отмеченных в п. З.1.2.), появляются и особенности решения
«•опетствующнх уравнений н неравенств. Назовем их в том же порядке: первая -
• пользование для преобразования уравнения или неравенства к простейшему
-чих и специальных тождественных преобразований; вторая относится к области
щгеделения уравнения или неравенства (ОДЗ), которая определяется из тех же
Поражений, что и область определения соответствующих выражений.
75
1регья особенность следует из второй, но связана уже с равносильными
преобразованиями уравнений и неравенств. В определении равносильности ничего
не говорится об ОДЗ уравнения (неравенства). Можно убедиться иа примерах, чтп
равносильные уравнения н неравенства могут иметь различные области
определения:
1)	уравнения x=lcz>Vx = l, но ОДЗ первого - множество R., а второго I
множество неотрицательных чисел [0;+°о);
2)	уравнения х (х-1) =: 0 и х (х-1) (х-2) = 0 не равносильны, т.к. х = 2 являет а
корнем второго и не является корнем первого, а их ОДЗ совпадают (Л);
3)	неравенства х ж 1 о Vx >1, а неравенства х -1 > 0 и х-1 > 0 и)
равносильны, т.к. х —2 является решением второго, но не является решение^
первого.
Поэтому для решения таких уравнений и неравенств часто пользуют
понятием равносильности на множестве, два уравнения (неравенства) называют»
равносильными на множестве А, если совпадают множества всех их корне»
(решений), принадлежащие А. Кроме того, используется понятие следствия и
уравнения (неравенства): если для данной пары уравнений (неравенств) любо»
корень (решение) первого является корнем (решением) второго, то втор»
называется следствием первого. Если заменить уравнение (неравенство) ап
следствием, то множество решений следствия будет содержать множество решен»»
исходного и, помимо него, еше некоторые числа, называемые посторонни^
корнями (решениями) исходного уравнения (неравенства). Поэтому в пронес»
решения от уравнений (неравенств) переходят к следствию, нужно обуславливав
изменение ОДЗ (чаще всего ее расширение), а в конце решения делать проверку!
убирать посторонние корни (решения).
На свойствах функций, входящих в уравнение (неравенство), основаны •
некоторые специальные .методы решения. Например, решение систем линейны»
уравнений с помощью определителей по формулам Крамера и методом Гаусса
алгебраических уравнений высших степеней - на основе теоремы Виета и •
основе теоремы Безу; показательных и логарифмических уравнений и неравенств
на основе свойства, обратного свойству монотонности функций - уравнивание»
оснований степеней и логарифмов; логарифмических - на основе использовани»
76
иределення логарифма и формул перехода от одной системы логарифмов к
•рУ'ой; простейших тригонометрических уравнений и неравенств - с помощью
«липичной окружности.
Трансцендентные уравнения и неравенства (например, простейшие уравнения
х = lq х, 2' - lq х = arc cos x, 3х = sin x + cos x) не имеют общего приема
• асбраического решения, кроме приближенного;'совсем простые можно решить
«рафичсски.
4.2.	Место уравнений н неравенств в программе
Распределение этого материала в школьной программе показано в таблице 13.
Таблица 13
Этап	Класс	Темы программы
Пропедевтический	1-4	Обозначение неизвестных компонентов действий через
(начальная школа и курс математики 5-6 классов основной школы)	5	переменную и отыскание их на основе свойств действий. В теме 1. Натуральные числа. Сложение и вычитание натуральных чисел. - Решение линейных уравнений на 1 основе зависимости между компонентами действий I (сложение и вычитание). . В теме 2. Умножение и деление натуральных чисел. - Решение линейных уравнений на основе зависимостей между компонентами (умножения и деления).
		
		
	6	В теме 6. Действия с рациональными числами. - Общие приемы решения линейных уравнений с помощью простейших преобразований выражений. Составление уравнения для решения текстовых задач.
Основной (курс алгебры 1 Г 9 классов основной школы)	7	1. Уравнения. Основные понятия, линейное уравнение с одним неизвестным. Решение задач методом уравнений. 6. Системы линейных уравнений. Решение задач методом составления систем уравнений.
	8	3. Квадратные уравнения. Решение рациональных уравнений. Решение задач, приводящих к квадратным и рациональным уравнениям. В теме 4. Неравенства - Линейное неравенство с одной переменной. Система линейных неравенств с одной переменной.
		
		
		
	9	В теме 1. Квадратичная функция - Решение неравенств второй степени с одной переменной Решение рациональных неравенств методом интервалов. 2. Уравнения и системы уравнений. Целое уравнение и его корни. Решение уравнений 3-й и 4-н степени с одним неизвестным с помощью разложения на множители и введения вспомогательной переменной. Уравнение с двумя переменными и его график.
77
Этап	Класс	Темы программы
		Решение систем уравнений 2-й степени с двумя 1 переменными. Решение текстовых задач методом 1 составления систем
।	ъ	7	 завершающий : (курс алгебры и начал анализа 10-11 классов старшей школы)	10 11	2. Тригонометрические	уравнения.	Решения 1 простейших тригонометрических неравенств. В теме 2. Показательная, логарифмическая, степенная 1 функции. - Решение показательных, логарифмических, 1 и иррациональных уравнений, неравенств и их систем. J
Завершением, обобщением и углублением учения об уравнениях 
неравенствах может служить изучение элементов линейного программирования и»
факультативных занятиях.
4.3.	Цели изучения уравнений и неравенств в школе
4.3,1,	Изучение материала линии уравнений и неравенств имеет основной
учебной целью овладение учащимися на том или ином уровне приемами реиим
(алгебраического и графического) уравнений и неравенств как математические»
аппарата решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний •
практики.
В табл. 14 (с. 79) показана дифференциация этой цели по уровням обучения.
4.3,2.	Содержание этого материала также позволяет продолжить развитие
учащихся отмеченных в первых двух линиях познавательных процессов, речи •
умения учиться, алгоритмического и обобщенного мышления, элемент*
творческой деятельности при решении всех основных типов задач алгебраичеся
методом и развитие пространственного воображения при их решении графический
методом.
Гуманитарный потенциал этой линии, как и числовой, связан с истории
развития алгебры и содержанием текстовых задач: исторических, занимательны*
краеведческого, экологического, валеологического, литературного и Т i
содержания, что дает возможность ставить цели воспитания и развития интереся i
математике и учебной деятельности в целом, общей культуры (гуманитарий
экологической и т.д.), культуры общения, чувства прекрасного. Решение залг
жизненного (в частности, регионального) содержания является одним из сред*
связи математики с жизнью и подготовки учащихся к выбору будущей профессии
78
	Примеры обобщенных типов целей	
Общие категории целей_	1 уровень____j	Пуровень	!	IIIуровень
____ Зияние	Ученик зияет
4.4.	Основные типы математических и примеры учебных задач
4.4,1,	Основными типами математических задач в этой линии являются
“Решить уравнение (неравенство, систему, совокупность)”, ‘‘Решить текстовую
задачу алгебраическим методом". Приоритетные обобщенные приемы их решения
приведены ниже.
Прием решения уравнения (неравенства, системы,
совокупности) алгебраическим методом
1)	определите, является ли данное уравнение (неравенство, система, совокупность!
простейшим какого-либо вида; если “да”, то выполнять п. 5, если “нет” - п. 2;
2)	определите, если необходимо. ОДЗ уравнения (неравенства, системы, совокупности)
3)	установите, какие и в каком порядке необходимо выполнить тождественные (обил*
- раскрытие скобок, приведение подобных, разложение на множители, приведение «
общему знаменателю - и специальные для данного вида) и равносильные (общие -
перенесение слагаемых из одной части в другую, умножение или деление обеих частей м
одно и то же число, замена переменной - и специальные для данного вид»)
преобразования, чтобы привести данное уравнение (неравенство, систему, совокупность)
к простейшим данного вида;
4)	выполните выбранные преобразования, используя соответствующие приемы;
5)	решите известным способом (по формуле, алгоритму) полученные простейшМ
уравнения (неравенства, системы, совокупности);
6)	если нужно, сделайте проверку, исследование, выполните дополнительна^
требования к задаче,
7)	запишите ответ, используя приемы записи решения (для уравнений - в в«»
равенств, для неравенств - промежутков, для систем - как пересечение, ДМ
совокупностей - как объединение решений составляющих нх уравнений и неравенств).
Прием графического решения уравнений и неравенств:
1)	если нужно, преобразуйте уравнение (неравенство) к виду f (х) = g (х) (f(x) > g tx
выбрав f (х) и g (х) наиболее простого вида;
2)	постройте графики функций у -f(x) ну = g (х) в одной и той же системе координаг
3)	найдите абсциссы точек пересечения графиков х0; каждая из них есть коре»
уравнения;
4)	найдите промежутки оси абсцисс, для которых график функции у- f(x) расположМ
выше графика функции у - g (х)', эти промежутки связаны с корнями уравнения хП.
5)	запишите ответ.
Прием решения неравенств с переменной методом интервалов:
1)	приведите, если необходимо, неравенство к виду/fr) > 0 (f(x) < 0);
2)	найдите корни функции у= f(х) в области ее непрерывности и точки разрыва (ее»
они существуют), - критические точки функции;
3)	отметьте полученные значения х на числовой оси (полезно корни функции отмечай
заштрихованным кругом, а точки разрыва - окружностью);
4)	определите знак функцииy-f(x) в каждом из полученных интервалов числовой о«•
(подстановкой наиболее удобных значений х из каждого интервала или испольто
свойство непрерывной функции о перемене знака);
5)	выберите нужные по условию интервалы и запишите ответ.
so
Прием решения уравнения (неравенства) с параметром
I)	разбейте область изменения параметра на такие промежутки, что при изменении
параметра в каждом из них получающиеся уравнения (неравенства) можно решить одним
и тем же методом;
2)	отдельно для каждого промежутка найдите корни (решения) уравнения
(неравенства), выраженные через значение параметра, используя методы решения
уравнений и неравенств с постоянными коэффициентами;
3)	запишите ответ как перечисление промежутков изменения параметра с указанием
для каждого нз них всех корней (решений) уравнения (неравенства).
Прием решения текстовых задач алгебраическим методом
I)	изучите содержание задачи, т.е. выявите а) названия содержащихся в ней величин,
о) связи и отношения между ними, в) количество различных ситуаций в задаче и
преобладающую нз них (сравните с типами арифметических задач); г) известные и
неизвестные величины н связи между ними (иногда удобно полученные таким образом
чанные записать в таблицу);
2)	в зависимости от данных, полученных в п.1, выберите величину (или две, три и
гд), которую естественно и удобно (наиболее выгодно для решения) принять на
неизвестное, обозначьте ее с использованием принятых обозначений в различных
ситуациях;
3)	на основе п. I выразите все величины в задаче через неизвестные и данные;
4)	используя найденные зависимости и связи между величинами, установите
равенство или неравенство одноименных величин и составьте на этой основе уравнение
(неравенство, систему);
5)	решите полученное уравнение (неравенство, систему);
6)	вычислите значения искомых величии;.
7)	сделайте, если нужно, проверку (исследование) решения по условию задачи;
8)	запишите ответ в терминах данной задачи.
Специальный прием решения уравнений и неравенств
первой степени с одной переменной
1.	Определить, является ли данное уравнение (неравенство) линейным, т.е. вида ах
г в ; если “да”, то п. 4, если “нет” - п. 2.
2.	Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить общие для всех уравнений
и неравенств тождественные и равносильные преобразования (см. общий прием), чтобы
привести уравнение (неравенство) к линейному.
З.	С помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) к
m кейиому.
4.	Решить полученное линейное уравнение (неравенство), используя
ютветствующие алгоритмы.
5.	Если нужно, сделать проверку, исследование, выполнить дополнительные
цхбования к задаче.
6.	Записать ответ, используя приемы записи решения н, если нужно, его
и ображение на числовой осн.
Замечание. Специальный прием решения уравнений н неравенств второй
. (спени с одной переменной формулируется аналогично.
Специальный прием решения рационального (дробного)
уравнения и неравенства
I. Определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т.е. вида
81
Р(Х)
------ > 0; если "да”, то п. 4. если ‘"нет” - п. 2.
C2U)
2. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить общие для всех уравнений
и неравенств тождественные и равносильные преобразования (см. общий прием), чтобы
привести уравнение (неравенство) к простейшему.
З.	С помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенст во) к виду
-2а>о
ею
4.	Заменить данное уравнение (неравенство) равносильной ему системой
(совокупностью систем);
Р(х)>0, Мх)^0,
сы > o."ie(x) < о.
Лх) = 0,
С(х)*0.
ИЛИ
система содержит а) целое уравнение, полученное из данного умножением на общий
знаменатель Q (х), б) неравенство, характеризующее область определения дроби
(совокупность систем получена из условия положительности дроби).
5.	Решить полученные системы, используя соответствующие приемы.
б.Если нужно, сделать проверку, исследование, выполнить дополнительные
требования к задаче.
7. Записать ответ, используя приемы записи решения.
Специальный прием решения иррациональных уравнений и неравенств
1. Определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т.е. вид»
\]f(x) > ^g(x) ; если “да”, то п. 4, если “нет” - п. 2.
2. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и
равносильные преобразования, чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшим!
общие для всех уравнений и неравенств преобразования (см. общий прием) и
специальные, основанные иа свойствах корней.
3. С помошью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) »
простейшему.
4. Заменить данное уравнение (неравенство) равносильной ему системой:
VTw 47м
f(x) > 0,
У(х) <?(х), для и = 2к или уравнением (неравенством)
?(х) > 0.
47м * 47м
f(x) > g (х) для п = 2к + Г, система (или совокупность таких систем)
содержит а) рацнонатьиое уравнение (неравенство), полученное нз данного возведением •
степень л, б) неравенства, характеризующие область определения корня четной степени.
5. Решить полученные системы уравнений и неравенств, используя соответствующие
приемы.
б.Если нужно, сделать проверку, исследование, выполнить дополнительны»
требования к задаче.
7. Записать ответ, используя приемы записи решения.
Специальный прием решения показательных уравнений и неравенств
1.	Определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т.е. вил»
<Л' > а*”1 ; если "да”, то п. 4, если “нет” - п. 2.
2.	Установить, какие к в каком порядке нужно выполнить тождественные я
82
uuiociuii.iibic преобразования. чтобы привес<и уравнение (неравенство) к прос1ейшнм:
«чине для всех уравнений и неравенств преобразования (см. общий прием) и
пениальные, основанные на свойствах показательной функции и степеней, уравнивание
- новаций степеней, действия со степенями, логарифмирование, переход от сравнения
Lieiieiieii к сравнению их показателей на основе свойства монотонности показательной
М'НКЦИП
З.	С помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) к
июстейшему.
4.	Заменить данное уравнение (неравенство) равносильным ему алгебраическим
кмипенпем f(x)=g(x) (для неравенства f(x)>g(x) при «>1 и/(х)<у(х) при 0 <«< I
5.	Решить полученное уравнение (неравенство), используя соответствующий прием.
6.	Если нужно, сделать проверку, исследование, выполнить дополнительные
кебовання к задаче.
7.	Записать ответ. используя приемы записи решения.
Специальный прием решения логарифмических уравнений и неравенств
1.	Определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т.е. вида
k>„f М > loyu g (х) : если "да”1 то п. 4, если “нет” - п. 2.
2.	Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и
«•«носильные преобразования, чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшим:
Г' пне для всех уравнений и неравенств преобразования (см. общий прием) и
кциальные. основанные на определении логарифма и свойствах логарифмической
кнкцип: действия со степенями, логарифмирование, переход от сравнения логарифмов к
(ывнению выражений, стоящих под знаком логарифма, на основе свойства монотонности
фифмнческой функции.
3.	С помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) к
кк теншему.
4.	Заменить данное уравнение (неравенство) равносильной ему системой:
'(з)>9(х),	/(х)<0,
/( г) > 0, при а > 1 н /(х) > 0, при 0 < а < I, которая содержит а) алгебраическое
I ») > 0,	q(x) > 0.
»ишение (неравенство), полученное из данного на основании определения логарифма,
Н'ств логарифмической функции или потенцированием, б) неравенства, выражающие
) i 1 уравнения (неравенства).
5.	Решить полученную систему уравнений и неравенств, используя
>-чветствующий прием.
6.	(’ели нужно, сделать проверку, исследование, выполнить дополнительные
упования к задаче.
7.	Записать ответ, используя приемы записи решения.
Специальный прием решения тригонометрических уравнений и неравенств
11. Определить, является ли данное уравнение (неравенство) простейшим, т.е. вида
н > a, cos х > a. tgx > а,\ если “да”, то п. 4, если “нет” - п. 2.
2.	Установить, какие н в каком порядке нужно выполнить тождественные и
Ьм1осильные преобразования, чтобы привести уравнение (неравенство) к простейшим:
Lune для всех уравнений и неравенств (см. общнй прием) и специальные, основанные на
k'i онометрических тождествах н свойствах тригонометрических функций.
83
э.	С помощью выбранных преобразований привести уравнение (неравенство) 
одному или нескольким простейшим.
4.	Решит). полученные простейшие уравнения (неравенства). используя
соответствующие формулы.
5.	Если нужно, сделать проверку, исследование, выполнит), дополнительны
требования к задаче.
6.	Записать ответ, используя приемы записи решения.
Прием поиска решения уравнения (неравенства, системы, совокупности):
1)	определите, но виду уравнения (неравенства, системы, совокупности) и прикидки!
каким методом решения можно воспользоваться -алгебраическим, графическим, мегов»
интервалов:
2)	вспомните известный (специальный или общий) прием использования этого метода•
соотнесите его с данным уравнением (неравенством, системой, совокупностью);
3)	определите возможные затруднения при использовании одного метода решения;
4> определите необходимость и возможность комбинации различных методов решения
5> разделите предполагаемый ход решения иа части, соответствующие применешн
каждого метода, составьте план решения каждой из них;
6)	составьте общий план решения в целом.
4,4.2. Примеры учебных задач:
! По какому основанию имеет смысл сравнивать следующие пары матемазическ»
понятий: а) линейное н квадратное уравнение; б) линейное уравнение и линей»-
неравенство; в) линейное уравнение и тригонометрическое уравнение; г) линей»
уравнение и прямоугольник; д) равенство и уравнение.
2.	Из пяти предложенных терминов выберите два, которые наиболее точно определяя
понятие уравнение - корень, равенство, сумма, неизвестная, произведение.
3.	В приведенных ниже определениях выделите название определяемого обьс»-
(термин), родовое понятие, видовые признаки и характер связи между этими признака*
а) уравнение вида ах = Ь. где х - переменная, а и b - числа, называется линейны
уравнением с одной переменной; б) значение переменной, которое обращает уравиенит 
верное равенство, называется корнем уравнения; в) квадратное уравнение, приведенная |
нормальному виду, называется неполным, если хотя бы одни их его коэффициент»
(кроме первого) равен нулю.
4.	Из данных понятий образуйте пары по признаку "род - вид”: равенство, неравенств
уравнение, тождество.
5.	Укажите ближайшие родовые понятия для понятий: уравнение, неравенств-
равенство, линейное уравнение, неполное квадратное уравнение.
6.	Является ли каждое из данных уравнений квадратным : х?+ х -2 = 0, у1 - 7у - 144
Г - г = 0. 5х-2х* = О,Зх +2 = 0,х2-Зх* + 4 = 0,х?+3/х + 4 = 0, 3 + 2х-х? = 0, 4х - 0?
7.	Можно ли назвать иррациональным уравнение у) -J2 + х = 5; б) т/х + 2 •
в) x-х ‘ - 5 = 0.5 х ?
1 3
8. Являются ли числа - 2. - -, —
решениями неравенства |х| < 2 ?
9.	Являются ли корнями уравнения х2 - у + 2 = 0 числа х = 1, у - 3 ?
10.	Являются ли данные числа корнями данного квадратного уравнения (табл. 15) ?
Таблищ J1
х2 + 4х-77 = 0	Зх2 + 7х -6 = 0	6х2-7х+2 = 0	4х2-5х = 0
7; - П	- 3; 2/3	1/2;2/3	0; 5/4 J
11. Даны иррациональное уравнение и корни, полученные при его решении. Какие •
этих корней являются посторонними: а) х - -Jx + 1 =11. Х|= 15, xj= 8; б) v’3 + х = 3
84
12.	Уравнение имеет вид Р (х) / О lx) = 0, где /’ (х) и {) (х) - многочлены. При каком
vc.iobmk число Хо. являющееся корнем уравнения Р I х ) = 0. будет корнем данного
уравнения?
13.	Равносильны ли уравнения а) х - 2 = 0 и (х - 2 ХЛ 2 ) = 4 (х -г- 2 ): б) Зх - 2 - х и
11 ,
>х - 2 + -- =х+ ----- ; в) (х + 2)(л - I) = 4 (х - I) н г»2 = 4; г)х = 3 н х" = 9: д)х‘ - 4х
х- 1 х+ 1
'4=16 и х-2 = 4 ; е)(х- 4) (х - I) ( х + 1) = 0 и (х - 4)(х- 1 )2 = 0 ?
14.	Равносильны ли неравенства а) 4х - 5 < 0 и 4х < 5; б) - 2х + 5 > 0 и 2х - 5 < 0;
в) - Зх2 + 5х - 7 > 0 н Зх2 - 5х + 7 < 0; г) а > Ь и а2 > Ь2 при а > О, b > 0; д) х + I > 0
и (4х2 + 12х + 9) (х + 1) > 0; е) - 3 (а + Ь)2 ( 2х+ 5) > 0 и 2х + 5<09
15.	Напишите три дробных решения неравенства рг | > 7. Приведите примеры чисел, не
являющихся решениями данного неравенства.
16.	Покажите на координатной прямой множество решений неравенства или уравнения:
1»| = 7. |х| < 7, рг| < 7, |х| > 7, (х| > 7, |х| = - 7. Приведите примеры промежутков, не
являющихся решением данных уравнений и неравенств.
4.5.	Специальные методы и приемы обучения
4.5.1.	Основная идея методики изучения уравнений и неравенств в
пропедевтическом курсе начальной школы исходит из задач арифметики и
1аключается в отыскании неизвестных компонентов арифметических действий на
основании определений, правил выполнения действий и их свойств. В 5-6-х
классах хотя и вводится на основе наглядно-интуитивных и практических методов
подготовки к его восприятию определение уравнения, способы решения уравнений
по-прежнему ограничиваются в основном использованием взаимосвязи между
компонентами и результатами действий, но шагом вперед является использование
при этом изученных простейших тождественных преобразований выражений -
раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. При этом целесообразно
(остаточно быстро идти к алгоритму решения уравнений первой степени,
используя для его обоснования наглядные, практические, игровые, индуктивные
методы обучения. Аналогично для простейших линейных неравенств с
переменной.
Возможность изучения и использования основных методов решения уравнений и
неравенств появляется в основном курсе алгебры в связи с изучением общего
понятия равносильности и примеров равносильных преобразований, а также
простейших элементарных функций и их графиков. Для усвоения основных
понятий и идей теории решения уравнений и неравенств большую роль играет
85
графическое их решение, которое создаст их наглядные образы и должно на первых
папах обучения предварять алгебраическое решение. Полезно познакомим,
хчащихся с геометрической интерпретаций равносильности уравнений. Например
графическое решение уравнения 2х т / = х - 2 состоит в построении прямых у = 2я
- I и у = х - 2 и нахождения абсциссы точки пересечения прямых. В данном случи
тго будет точка (-3: -5). а исходное уравнение равносильно уравнению х = - 3. Если
посгроить прямые по формуламу = хиу = -3, то они пересекутся в точке(-3;-3)с
гоп же абсциссой.
Графическое решение уравнений, неравенств и их систем создает на том или
ином уровне представления о методах аналитической геометрии, а решение задач
из различных разделов математики с помошью уравнений и неравенств как им
математической модели должно формировать представления учащихся о методе
математического моделирования и о единой математике. Здесь содержите»
достаточно обширный материал для реализации уровиевой дифференциации
обучения.
Алгоритмический подход при алгебраическом решении сохраняет свое
значение только для решения простейших уравнений и неравенств; здесь полезно
.использовать представление алгоритмов в виде блок-схем и программ их решения
на ЭВМ. Однако учащиеся могут очень быстро убедиться в том, что выбор
тождественных и равносильных преобразований для приведения данного
уравнения или неравенства к простейшим представляет собой трудную задачу
поиска решения и содержит достаточно элементов эвристики. Поэтому, наряду с
изучением алгоритмов и формул решения простейших уравнений и неравенств
необходимо формирование приемов решения произвольного уравнения или
неравенства, не являющегося простейшим, так как именно в них содержатс»
необходимые элементы эвристического поиска решения. В частности, полезно
выделить отдельно прием поиска решения уравнения и неравенства (п.4.4.).
Очень важной является забота учителя и учащихся по предупреждении»
ошибок, приводящих к нарушению равносильности в процессе алгебраического
решения уравнений и неравенств. Наиболее распространенные из них:
1)	Ошибки в тождественных преобразованиях выражений в одной из частей.
2)	Неодинаковость или неправомерность действий, выполняемых в левой и

86
[мной частях. Например, от уравнения Vx- 1 = Vx + 1 переходят к уравнению 1х-
(х»I) ; от Зх = - + ли к х - — + Злп.
3)	Упрощение левой и правой частей в отдельности, в результате чего может
щениться ОДЗ.
4)	Деление обеих частей на одно и то же выражение, вместо того, чтобы
ipcнести все в одну сторону и вынести общий множитель за скобки.
5)	Умножение обеих частей на одно и то же выражение, вместо того, чтобы
грспестн все в одну сторону и привести к общему знаменателю.
6)	Извлечение квадратного корня из обеих частей с неумением поставить
Joie этого правильный знак (плюс или минус); лучше также перенести все в одну
>орону и разложить полученную разность на множители.
7)	Возведение в квадрат обеих частей, что может привести к расширению
1'13; нельзя возводить в квадрат при тех значениях неизвестных, при которых хотя
р одна из частей отрицательна.
8)	При замене переменной не определяется ОДЗ новой переменной; если это
(слать, можно сразу отбросить те значения новой переменной, при которых
щиое уравнение (неравенство) не имеет решения. Например, если в
рк нательном уравнении или неравенстве ввели замену у = 2', то сразу нужно
|мс гить, что у > 0; тогда, если получились отрицательные значения у, их дальше
Усматривать не нужно.
В некоторых случаях следить за правильностью выполнения преобразований
kin.icT очень трудно, поэтому нужно приучать учащихся использовать все приемы
Ьоиерки. в частности, наблюдение за ОДЗ уравнений и неравенств. В старшей
Ь ,>ie, где изучаются в основном более трудные для усвоения по сравнению с
кос гейшимн алгебраическими трансцендентные уравнения и неравенства, этот
Lipoc приобретает особенно важное значение не только "внутреннее’*, для
качения их решению, но и "внешнее”, для подготовки к поступлению в вуз, где
Уис задания являются основными.
Часто затруднения учащихся вызывают незначительные изменения в
мновке задачи решения уравнений или неравенств. Например, ‘‘Найти средину
кпервала, который является решением данного неравенства .... ”, ‘‘Найти все
87
корни данного тригонометрического уравнения ... , принадлежащие данном
промежутку ... ” и т.п. На такие задания учащиеся и абитуриенты часто реагируй
репликой: “Мы таких задач не решали”. Поэтому обобщение и усложнен»
приемов решения уравнений, неравенств и их систем должно доводиться здесь *
такого уровня, чтобы ученик мог на его основе самостоятельно составить пр|в»
решения произвольного уравнения, неравенства или их системы в любой (в не
числе, нестандартной) ситуации. Стоит подчеркивать и выделять как общее •
процессе решения алгебраических уравнений и неравенств в основной школе, за» >
новое, специальное, связанное с особенностями решения зрансценденцм»
уравнений и неравенств в старшей школе.
В старшей школе большой простор для организации дифференцировать
обучения дает решение трансцендентных уравнений и неравенств, использован*
специальных и нестандартных методов решения, в том числе, графически» *
приближенных, решение сложных уравнений и неравенств из пособий *
абитуриентов и олимпиадных.
Обучение школьников с методом решения текстовых задач с помои»*
составления уравнений (и неравенств) начинается по действующей программе ь
в начальной школе. Для облегчения самого трудного этапа - анализа содержав
задачи - применяют графическую запись условия задачи, иногд»
иллюстративную, как при решении арифметических задач, в частности, с помо1*>
весов, затем схематическую и табличную (см. 12. частности, Епишева О.Б., Кру*
В.И.. гл. И, § 3)
4.5.2,
Технологическая цепочка формирования алгоритмов и приемов
решения уравнений и неравенств
Таблиц»
№	Линия	Приемы решения уравнении и неравенств
1	Линейные уравнения	с одной переменной. Системы линейных уравнений	с двумя	1.	Приемы решения простейших линейных уравнен»* одной переменной иа основе свойств компонек . действий. 2.	Приемы решения простейших линейных уравнен* одной переменной на основе выполнения тождествен» преобразований - раскрытия скобок и приведя» подобных. 3.	Прием решения задач с помощью составлю»
88
№	Линия	Приемы решения уравнений и неравенств
	переменными. Линейные неравенства	с одной переменной и их системы.	линейного уравнения. 4.	Алгоритм решения простейшего линейного уравнения. 5.	Обобщенный прием решения уравнения 1-й степени с одной переменной на основе приведения к простейшему (обобщение приемов 1-2). 6.	Прием графического решения уравнения 1-й степени. 7.	Приемы решения систем линейных уравнений способом подстановки и сложения. 8.	Прием графического решения систем линейных уравнений с двумя переменными. 9.	Прием решения задач с помощью составления системы уравнений. 10.	Прием решения линейного неравенства с одной переменной. 11.	Прием решения системы линейных неравенств с одной переменной. 12.	Обобщенный прием решения уравнений и неравенств 1-й степени с одной переменной (алгебраическим способом) - обобщение приемов 4 и 9). 13.	Прием решения простейших уравнений и неравенств 1-й степени с параметрами. 14.	Прием решения простейших уравнений и неравенств 1-й степени, содержащих переменную под знаком модуля.
2	Квадратные уравнения. Системы уравнений второй степени с двумя переменными. Квадратные неравенства.	15.	Алгоритмы решения неполных квадратных уравнений. 16.	Алгоритм решения полного квадратного уравнения стандартного вида по формуле н его частные случаи. 17.	Прием решения приведенного и неприведенного полного квадратного уравнения по теореме Виета. 18.	Обобщенный прием решения уравнения 2-й степени 19.	Прием графического решения уравнения 2-й степени. 20.	Приемы решения систем уравнений 2-й степени способом подстановки и сложения, искусственные приемы. 21.	Прием графического решения систем уравнений 2-й степени с двумя переменными. 22.	Приемы решения квадратного неравенства - графически и методом интервалов. 23.	Прием решения системы неравенств второй степени с одним переменным. 24.	Прием решения дробно-рациональных уравнений. 25.	Прием решения дробно-рациональных неравенств методом интервалов. 26.	Прием решения простейших уравнений и неравенств 2-й степени с параметрами. 27.	Прием решения простейших уравнений и неравенств 2-й степени, содержащих переменную под знаком модуля. 28.	Обобщение приемов 5 и 18; 6 и 19; 7 и 20; 8 и 21 ;11 и 23; 13 и 26; 14 и 27.
89
№	Линия	Приемы решения уравнений и неравенств
I		29. Обобщенный прием решения задач с помощь» составления уравнений 1 -и и 2-й степени и их систем.
3	Алгебраические уравнения высших степеней Алгебраические неравенства высших степеней Иррационал ъные уравнения неравенства	30.	Приемы решения алгебраических уравнений степени выше 2-й разложением левой части на множители в подстановкой. 31.	Приемы решения алгебраических неравенств выше 1 й степени методом интервалов. 32.	Прием решения иррациональных уравнений 33.	Прием решения иррациональных неравенств. 34.	Обобщение приемов 5, 18, 24, 30. 35.	Обобщение приемов 10, 22, 25, 33.
< 4	Показател ъные уравнения и неравенства Логарифм ические уравнения и неравенства Тригонометричес- кие уравнения неравенства Трансцендентные уравнения	и неравенства	36.	Алгоритмы решения простейших показательные, уравнений н неравенств. 37.	Приемы приведения показательных уравнении я неравенств к простейшим. 38.	Обобщенный прием решения показательны» равнений! неравенств. 39.	Алгоритмы решения простейших логарифмически уравнений и неравенств. 40.	Приемы приведения логарифмических уравнений  неравенств к простейшим. 41.	Обобщенный прием решения логарифмически» уравнений и неравенств. 42.	Алгоритмы	решения	простейши, тригонометрических уравнений по формулам. 43.	Приемы графического и геометрического решеии» простейших тригонометрических неравенств. 44.	Приемы приведения тригонометрических уравнений • неравенств к простейшим. 45.	Обобщенный прием решения тригонометрически» уравнений и неравенств. 46.	Обобщенные приемы решения систем уравнений . неравенств. 47.	Частные приемы приближенного решеии» трансцендентных уравнений и неравенств. 48.	Обобщение и систематизация всех приемов решеии» уравнений, неравенств, их систем и совокупностей.
Технологическая цепочка обучения решению уравнений
Основными задачами обучения в данном случае являются: а) усвоение
учащимися понятия уравнения и отдельных его видов и б) формирование
обобщенного приема решения. В процессе решения уравнений с одной переменно»
алгебраическим способом (как и других видов уравнений и неравенств с
90
i-ременной) мы выделили выше две части. Вторая часть (решение простейших
равнений или неравенств по известным формулам или алгоритмам) является
спорит мической. а первая (преобразование данного уравнения илн неравенства к
идиому или нескольким простейшим данного вида) - в значительной степени (и
|см большей, чем сложнее уравнение) -- эвристической, представляющей
наибольшую трудность для учащихся. Учитывая закономерности введения нового
математического понятия и обобщения знаний и приемов деятельности, связанные
постепенным накоплением видов уравнений и "фонда’’ их тождественных и
равносильных преобразований, данная технологическая цепочка должна иметь
тедующий вид:
I)	мотивация введения нового вида уравнения (как правило, с помощью
интересной текстовой задачи, которую пытаются решить с помощью составления
'равнения, а полученное уравнение и способ его решения не известны;
2)	подведение к понятию нового вида уравнения и введение его определения;
3)	классификация понятия нового вида уравнения, выделение частных случаев
и простейших уравнений (уравнений стандартного вида), ее наглядное
||1едставлеиие;
4)	решение простейших уравнений данного вида (по аналогии с изученными
шее. "по соображению’’ и т.п.);
5)	анализ действий, необходимых для их решения;
6)	вывод алгоритма (формулы, правила) решения, его наглядное
рсдставление и отработка;
7)	решение несложных уравнений данного вида, не являющихся
ростейшими;
8)	анализ действий, необходимых для их решения с применением алгоритма
формулы, правила);
9)	формулировка частного приема решения, его наглядное представление;
10)	применение полученного частного приема по образцу, в сходных
пгуациях. в.четко осознаваемых вариациях образна;
11)	решение текстовых задач, приводящих к решению уравнений с помощью
гплученного частного приема;
12)	работа по описанным этапам 4-11 для следующих по программе видов
91
уравнений;
13)	сравнение полученных частных приемов решения, выделение общих
действий в их составе и формулировка обобщенного приема решения уравнены
двух грех видов;
141	применение обобщенного приема решения уравнений и текстовых задач •
различных ситуациях;
15)	перенос и создание на его основе новых частных приемов для решениа
других видов уравнений и его использование для решения текстовых задач.
Аналогичная цепочка может быть построена для обучения решениа
неравенств с переменной, с дополнительным использованием при этом сравнения 
уравнениями.
Иллюстрацию к этой цепочке можно посмотреть в статье “Формирован»»
приемов учебной деятельности учащихся при обучении математике” [Епишева О h
Математика в школе, № 1, 1989, с. 31 - 37].
92
ЛЕКЦИЯ V
Функции и начала аналича
5.1. Логико-математический анализ функциональной линии
5.1.1. Основным понятием функциональной линии и всего курса начал анализа
является понятие функции - одно из фундаментальных математических понятий,
непосредственно связанных с реальной действительностью. В нем ярко воплощены
и 1менчнвосгь и динамичность реального мира, взаимная обусловленность
реальных объектов и явлений. Ф. Клейн считал .понятие функции центральным
понятием всей математики. Понятие функции развивалось в процессе развития
математики. Долгое время функция отождествлялась с формулой; так. Л. Эйлер в
«средине XVIII в. под функцией переменного понимал всякое аналитическое
пыражение. составленное из этого переменного и постоянных С развитием науки
шкое определение стало не только искусственно ограничивать объем понятия
1||\цкции (отождествляя ее только с одним из способов ее задания), но и приводить
к противоречиям. Например, на основе этого определения не имели права на
. \ шествование функции, заданные кусочно, таблицей, трафиком.
Со времен Н И. Лобачевского и Л. Дирихле в математике укрепилось новое
представление о функции как о зависимости одной переменной величины от
|ругой, при чем совершенно не важно, каким способом она установлена. Но и оно
казалось несвободным от недостатков, т.к. определялось через никак не
р.11ъясняемые понятия величины, изменения и зависимости. В современной
математике (математике XX в.) существует несколько вариантов определения
понятия функции: 1) функция - первичное (неопределяемое) понятие
математического анализа; 2) функция - отображение одного X числового
множества на другое У (где понятие отображения первичное): 3) функция как
косое отношение, установленное между элементами множеств Хм У; 4) функция
как некоторое соответствие между элементами множеств X и У. Наиболее
распространенное обозначение: f X—t У, где f обозначает функцию (закон
 пответсгвия), множество X называется областью определения D (/), а множество У
областью значений (или областью изменения) Е (/) функции/
Обратим внимание на то. что в этом определении, подчеркивающем
93
cooimu типе между элементами любой природы, исключен не только термин
не тнчлии”. ио и термин "переменная'', не упоминаеюя о взаимной изменяемое in
двух величин, находящихся н функциональной зависимое!и. которая фигурируй
но всех определениях функции от возникновения этого понятия до начала XX и
CooiBeiriBMc дано как бы в иловом, застывшем виде, н это статически,
определение не случайно. Его цель исключить из формулировки неявки
присутствующее в динамических определениях (творящих о переменны*
величинах и их изменяемости) понятие времени, привнесенное в математику hi
механики. В то же время это самое общее определение функции в математически*
анализе почти не находит применения, т.к. весь классический анализ был иострми
без него Таким образом, для первоначально изучения в нем нет необходимое«н
тем более, что оно трудно для понимания учащихся. Проф. А.Я. Хинчин счин»
полезным сохранить идею переменной величины в определении функции даже дм
первого курса физико-математических факультетов.
Чаще всего рассматриваются функции, область значений которых - числош»
множество (числовые функции); в противном случае это обычно отмечается I
названии (вектор-функция, или функция, принимающая матричные значения •
т.н ). Для нечисловых функций употребляют термины оператор, функционал и i
Функция может быть задана одним или несколькими аналитическим*
выражениями, словесным определением (вербально), таблицей, трафиком, графо*
(стрелочное задание функции) и т.д., лишь бы был задан закон однозначной
соответствия: х—>у = f (х). Если функция f ставит в соответствие элементу 1
элемент у, а функция q - элементу у элемент z, то говорят, что функция z = h (t
есть сложная функция (функция от функции), составленная из функций q и f я
пишут h (л)- q (f(x) ).
С понятием функции связана система функциональных понятий (см., напримс)
[6, .с.8]. вузовские и школьные учебники математического анализа, г.»
представлена также в том или ином виде общая схема исследования функций!
используемых для изучения (исследования) различных свойств функций. В общем
случае примерная схема исследования функций (изучения ее свойсп)
предусматривает решение следующих задач:
I)	выявление в явном виде области определения и области значений функции
94
которые, как правило, заданы неявно тем или иным способом задания функции;
2)	построение, если нужно, графика функции (или другого наглядного вида);
3)	исследование функции на четность или нечетность (сравнением f(-х) с f (х))\
4)	исследование функции на периодичность (сравнением f(x) с f (х+l), где / * 0);
5)	отыскание нулей (корней) функции (решением уравнения f(x) = 0);
6)	отыскание промежутков знакопостоянства функции (решением неравенств
:)>0 и/(х)<0);
7)	исследование функции на дифференцируемость (отыскание производной f (х),
гели она существует);
8)	исследование функции на монотонность (определением знака разности f(x2) -
Их,) при х2 > X] (х2— Х| > 0);
9)	исследование функции на экстремумы (с помощью производной) и
i»i раниченность (доказательством неравенств |/(х)| <, М и |/(x)j > т);
10)	исследование функции на непрерывность на основе определения и свойств
непрерывных функций;
11)	исследование функции на интегрируемость (отыскание первообразной, если
ина существует;
12)	установление существования обратной функции х = f(y).
Существует два основных метода исследования свойств функций:
I) элементарными средствами (а) с помощью графика или другого графического
ини наглядного способа задания; б) с помощью аналитической формулы на основе
и ределения) и 2) средствами дифференциального исчисления (с помощью
производной на основе связи ее свойств с некоторыми свойствами функции,
«.раженных соответствующими теоремами), (см. учебники математического
шализа). Например, для линейной функции у = кх + b можно по графику
иределить, что при к>0 она возрастает, а при к<0 убывает на всей области
шределения. т.к. 1а) если двигать точку по ее графику слева направо, то эта точка
>[>и к>0 поднимается вверх, а при к<0 движется вниз; 16) пусть х2 > xl (х2- xt > 0),
оставим разность f(x2) -f(xt) = кх2 + b - (kxt Ь) = к (х2- х,) и это произведение
юложительно при к>0, что означает возрастание функции при любых х, и х2 из
Хтасти определения, а при к<0 - убывание; 2) при f(x) = к > 0 функция
•о растает, при / (х) = к < 0 - убывает. Эта же функция - непериодическая, т.к.
95
а) на ее графике нет одинаковых ординат (никакие отрезки графика »»
повторяются); б)/(x+l) — kx + b + l = kx+b =f(x) только при / = 0.
Уже к XVII в. были достаточно хорошо изучены так называемые элементарны^
функции - класс функций, включающий в себя многочлены и рациональны»
(алгебраические) функции, показательные, логарифмические, тригонометрически»
и обратные тригономе!рические (трансцендентные) функции, а также функции
получаемые из перечисленных с помощью четырех арифметических действий •
процедуры образования сложной функции, примененных конечное число раз.
Классификация элементарных функций (таблица 17)
Таблица I
5.1.2. Как уже отмечалось [1, лк. 4, п. 2, с. 58], в процессе реформ.
математического образования появилось ряд npoipaMM, включающих элемеж»
математического анализа, к которым относят понятия: предел и непрерывно»
функции, производная функции и интеграл от функции; методы исследован»
функций, основанные на этих понятиях: метод пределов, методы дифференциал,
ного и интегрального исчисления, а также их простейшие приложения и понятие
дифференциальном уравнении, последовательностях и рядах.
96
Понятия предел и непрерывность называют фундаментом всего здания
математического анализа, а метод пределов является основным методом, которым
оперирует математический анализ. Его составляют: последовательность как
функция натурального элемента и ее предел, предел функции в точке н на
(я-сконечности, бесконечно м.алые и бесконечно большие, теоремы о пределах и
правила отыскания пределов, замечательные пределы. На понятии предела
основаны: определения понятий непрерывности функции в точке и точек разрыва,
метод исследования функций на непрерывность, отыскание асимптот графика
функции, исследование поведения функции вблизи точек разрыва и на
1К-СКОНСЧНОСТИ.
Понятие производной функции (определяемое через понятие предела функции)
важнейшее понятие математического анализа, основное в дифференциальном
исчислении и исходная база построения интегрального исчисления, модель многих
процессов и явлений (мгновенная скорость прямолинейного движения, угловая
скорость вращающегося тела, скорость химической реакции в данный момент
иремени, линейная плотность неоднородного стержня, мгновенная величина тока,
тс ыоемкость тела при нагревании, производительность труда в данный момент
ремени и т.п. Составляющие аппарата дифференциального исчисления
(основоположниками которого считаются И. Ньютон и Г. Лейбниц): 1) понятия
производной и дифференциала, их свойства, формулы и правила
дифференцирования (операции, получившей название от задачи отыскания
II фференциала функции), производные основных элементарных функций;
?) теоремы о связи свойств производной со свойствами функций и их (рафиков;
') применение производной к исследованию функций (на монотонность,
жстремумы, наибольшие и наименьшие значения функции) н решению
фикладных задач.
Задача, обратная дифференцированию функции, приводит к понятию
аркообразной, имеющей бесконечное множество значений F(x) + С. Это
множество первообразных получило название неопределенного интеграла, а
ыдача, обратная дифференцированию -- интегрирования (т.е. отыскания
«.•определенного интеграла); с ее помощью решаются все ее задачи, в которых
|ужно восстановить функцию по ее производной (найти закон движения по
97
известному закону изменения его скорости, найти уравнение кривой по угловом»
коэффициенту касательной к ней в некоторой точке и др.).
Особую роль в развитии дифференциального и интегрального исчислен**
играет классическая задача об отыскании площади S (х) криволинейной трапеции
образованной графиком функции у = /(х) S 0, непрерывной на отрезке [а. Ь|. в
ординатами точек а и Ь. Эта задача возникла еще в древности (когда нужно быв»
вычислить площадь земельного участка, ограниченного с трех сторон межевымв
линиями, а с четвертой - рекой); одно из первых ее решений принадлежи
Архимеду, который использовал для этого "метод исчерпывания’’. Эта залам
может быть решена приведением к уравнению S1 (х) = f (х). т.е. к отысканию одниб
из первообразных данной функции - неопределенного интеграла.'Приращение эп4
первообразной на отрезке [о, 6] равно площади криволинейной трапеции «
основанием [о, ft], Другое решение приводит к вычислению предела специальном
вида интегральных сумм, который называется определенным интегралом •
численно равен площади криволинейной трапеции. Связь между неопределенным
и определенным интегралом выражена формулой Ньютона-Лейбница I
использованием понятия интеграла с переменным верхним пределом (зны
интеграла введен Г. Лейбницем в 1678 г.; со второй половины XIX в. поняла
интеграла подвергалось ряду обобщений и привело к таким понятиям, »
несобственный интеграл, криволинейный интеграл, поверхностный интеграл
интеграл Римана, интеграл Лебега, интеграл Стилтьеса и др.). Другой подход
определенный интеграл от функции f (х) в пределах от а до b есть приращение •
первообразной F(e) - F(a).
Составляющие аппарата интегрального исчисления: 1) понятия неопределе»
ного и определенного (а затем и других видов) интеграла, их свойства, формулы в
методы интегрирования (основные - непосредственное интегрирования, мстм-
подстановки, метод интегрирования по частям, приближенное вычисление
интегралы от основных элементарных функций; 2) применение интеграла к вывол>
формул вычисления различных неоднородных величин в геометрии (плошал»
фигуры и поверхности, объема тела, длины дуги) механике (длины пут»
неравномерного движения, массы неоднородного стержня, работы переменно*
силы), гидравлике (давления жидкости) и т.д. и к решению прикладных задач •
98
>гнх дисциплинах (см. вузовскйе Учеб||ики или лекции).
5.2. Мест<1 Ф.'икций в программе
Распределение этого магериаЛа в школьной программе показано в табл. 18.
Таблица 18
Этап	Класс	Темы программы
Пропедевтический (начальная школа и курс математики 5-6 классов основной школы)	1 -4 ' 5 6	ррймеры зависимостей величин и результатов действий от изменений компонентов. Таблицы. теме 1. Натуральные числа. Сложение и вычитание натуральных чисел. - Изображение натуральных чисел ()а прямой, числовой луч. В теме 3. Угол. Треугольник. Прямоугольник. - Формулы. Вычисления по формулам. д теме 4. Деление обыкновенных дробей. Пропорция - Понятие о прямой и обратной пропорциональности рСЛЙЧИН. Формулы длины окружности и плошали круГа Круговая диаграмма. В теме 5. Положительные и отрицательные числа. Прямоугольная система крординат. Координаты точки. Примеры графиков.
Основной - изучение понятия функции и функций элементарными средствами (курс алгебры 7-9 классов основной школы)	7 8 9	Функция. Понятие функции, способы задания , ункции, график функции. Функция у = кх + в и ее ^афик. Функция у = far и ее график. В теме 3. Степень с натуральным показателем - Функции у = х~ и у = х3, х графики. В теме 6. Системы линейных уравнений — и- ^афик уравнения ах -г by = с. g теме 1. Рациональные дроби - Функция у = к/х и ее график. В теме 2. Квадратные корни - Функция = Jx, ее свойства и график, взаимосвязь с функцией у’=Г’ g теме 1. Квадратичная функция - Возрастание и Лываине функции. Четные н нечетные функции, функция у - ах' -г ex + с, ее свойства и график, простейшие преобразования графиков. В теме 2. уравнения и системы уравнений - Уравнение дружности. В теме 3. Прогрессии - понятие о деловой	последовательности.	В	теме 4. тригонометрические выражения. Синус, косинус, Тд|Нгеис и котангенс произвольного угла.
Завершающий - исследование функций с помощью производной (курс алгебры и начал анализа 10-11 классов	10	।	Тригонометрические функции (числового гумента). Периодические функции. Свойства и ‘рфики	тригонометрических	функций, ^схематизация сведений о функциях и графиках, ^рдение новых понятий, связанных с исследованием , дикций (экстремумы, периодичность), и общая схема исследования функций. 3. Производная функции, ! явила. Производная степенной функции с целым
99
1
§
о
3
Е
да
X
о
о
W
W
©
□
о
о
i
во
8
Я
3
аз
я
я
ft
О
е
ft
5
СП
s
о>
ь
о
СП
§
5
я
о
3
§
2
да
Е
!я
ft
X
X
Е
ft
о
8
S
И
X
о
I
я
Е
Хс
2
аз
я
о
34
S
И
я
Яс
Е
я
2
X
2
3
о
ё
2
я
х
S
X
g
е
я
Е
ft
5
о
о
X
8
X
Е
X
g
о
я
g
да
я
3
о
яз
я
го
i
я
я
3
о
2
35
й
2
а>
-i
х
ъ
я
2
я
О
о
в
о
ft
я
S

я
о
S
аз
3
03
о
w
2
о
*
я
я
ft
о
п>
§
аз
ь>
Я
X
х
аз
во
я
о
я
2
Я
3
2
ft

2
§
За
ft
Яс
о
X
и
я
Яс
2
х
а:
Е
я
X
Е
а
5
)□
я
g
ft
25
Я
X
аз
я
g
ft
5
я
ft
о
X
о
о
з
CD
Я
S

Ь5
а»
Е
г
2
е
ё
я
я
х
*
St
3
я
я
о
о
да
я
аз
ft
ь
X
л
я
S
2
я
о
Л!
я
о
да
^4
g
О
№ 1. 2.	_ Общие категории целей 		Знание Запоминание и воспроизведение изученного материала Понимание	~ ттГ	, Т~					Таблица 19 	——--			 Примеры обобщенмы y мним 9/лялЯ		
		I уровень Функциональную терминоло- гию, формулы и графики основных элементарных функ- ций, приемы их исследования с помощью графика функции, интуитивное понятие про- изводной и интеграла функ- ции, существование таблиц для их отыскания.		
			J.	II уровень	 Ученик знает определения функциональных понятий н нх свойств, частные приемы исследования н спосо- бы записи свойств функций, свойства элементарных функ- ций, формулы и правила дифференцирования и инте- грирования, основные области их приложений и частные приемы решения прикладных задач.				1	III уровень доказательство свойств функций, дополнительные приемы исследо- вания графика функции, обобщен- ные приемы исследования свойств функций, правила и приемы дифференцирования и интегриро- вания, дополнительные методы, различные области их приложе- ний, методы и обобщенные приемы решения прикладных задач, приемы их перенося.
	Готовность к преобразованию Изученного из одной формы в другую, к его интерпретации	правильно воспроизводит тер- мины, формулировки формул, правил и алгоритмов решения простейших функциональных задач, приводит примеры, объясняет смысл свойств функций и нх графическую интерпретацию, геометричес- кий и механический смысл производной, первообразной и интеграла.	Ученик интерпретирует свойства фун- кций и методы их исследова- ния при любом способе задания и при их сравнении, приводит контрпримеры, об- ращает таблицы производных н первообразных, подводит заданную под прием решения, выделяет главное в частных н специальных приемах их решения и проверки.	имеет представление о функции как важнейшей математической модели, переходит от одного языка описания функции к другому, обосновывает эквива- лентность формулировок на разных языках, выделяет идеи обобщенных методов и приемов нх нсследовання и связи между ними, выводит следствия, перест- раивает известные и находит новые приемы решения функ-
3.	Умения и навыки Выполнение действий, 	____L	Ученик определяет значение функции 1 Определяет значение функции Г значению аргумента по | по значению апгумеитя u		циикальных и прикладных задач. доказывает свойства функций,
				исследует расположение графиков
102
5.4. Основные типы математических и примеры учебных задач
5.4,1. Основными типами сложных математических задач в этой линии
являются: “Исследовать функцию”, “Построить график функции на основе
исследования” и множество составляющих их более простых задач на
исследование огдельных свойств функций и овладение математическим аппаратом
их решения.
Общий прием (общая схема) исследования функций рассмотрена в п. 5.1.1. и
приводится в том или ином варианте во всех школьных учебниках алгебры и начал
анализа. Значительно меньше уделяется внимания приемам выполнения действий,
входящих в состав этого сложного общего приема. Приводим некоторые из них в
качестве обобщенных приемов решения задач, входящих в схему исследования
функций.
Прием отыскания области определения функции,
заданной аналитически
I) исследуйте выражение, задающее функцию; если функция / задана
а) алгебраической суммой или произведением элементарных функций fh fj. .... f„. область
определения которых известна, то D f = Dp Q De ... Q Df„; б) дробным выражением, то
Df ие принадлежат те значения х, которые обращают знаменатель в ноль; в)
иррациональным выражением, то в Dr входят только те значения х, при которых
подкоренное выражение неотрицательно; г) выражением, содержащим функции loq^x, iqx,
ciqx. arcsinx. arccosx. arctqx, то DfMe принадлежат те значения х, при которых эти функции
не определены.
2) На основании проведенного исследования составьте и решите систему уравнений
и неравенств.
Прием построения графика функции:
В зависимости от того, что известно о функции, постройте ее график одним из
следующих способов:
А) По точкам (на основании определения графика):
1)	задайте таблицу возможно большого количества пар соответствующих значений
аргумента и функции, удобных для вычислений (или используйте микрокалькулятор);
2)	постройте в выбранной системе координат точки с координатами, соответственно
равными значениям аргумента и функции;
3)	соедините полученные точки плавной линией.
Б) По характеристическим точкам (если они существуют н общий вид графика
известен, например, у прямой или параболы):
1)	найдите (вычислите координаты) и постройте в выбранной системе координат
характеристические точки графика дайной функции;
2)	зная общий вид графика, соедините точки известной линией.
В) Путем сдвига и деформации графика известной функции у = f(x), связанной с данной
некоторыми соотношениями, по правилам:
1)у ~fM + b - параллельный перенос графика у = f(x) на вектор г(0; в);
103
2)y ~f(x*u) - параллельный перенос графика у - f'(x) на вектор г {-а: О);
3)	у = kf(x) - умножение ординаты графика у = Цх) на к (при к > 1 - растяжение и
при 0 < к < I - сжатие к оси абсцисс;
4)	у ~ частный случай предыдущего прн к = - I - симметрия графика у = f(M
относительно оси абсцисс;
5)	у =f(kx) - лечение ординаты графика у -f(x) на к (при к > 1 - сжатие н при 0 < к
1 - растяжение к осн ординат);
6)	у =f(-x), частный случай предыдущего прн к = - 1 - симметрия графика функции
у = f(xj относительно оси ординат;
7)	у = |/(х)| - симметрия относительно осн абсцисс тех участков графика функции
= f(x). которые расположены ниже ее;
8)	У = /(Ы) — симметрия относительно оси ординат графика у = f(x). построенного
на положительной полуоси абсцисс;
9)	х - f (у) - симметрия относительно биссектрисы первого и третьего координатныя
углов.
Г) На основе общего исследования свойств функции и ее графика с помощь»
производной (установления точек экстремума, промежутков монотонности, вогнутости и
выпуклости кривой и точек ее перегиба).
Чтобы определить промежутки монотонности функции, заданной графиком
нужно 1 )мысленно поставить острие карандаша на линию графика функции и двигать» •
по нему вправо; 2) выделить промежутки значений аргумента, для которых движение и
графику происходит вверх и для которых - вниз; 3) сделать вывод: в первом случае м
отмеченных промежутках функция возрастает, во втором - убывает.
Чтобы исследовать функцию на четность или нечетность, нужн-
1) проверить область определения функции - симметрична ли она относительно нуля
2) заменить в выражении у = f(x) х на -х; 3) упростить выражение для f(-x) и сравнить ег •
cf(x)\ 4) сделать вывод на основании определения.
Чтобы исследовать функцию на монотонность с помощью производной
нужно 1) найти производную функции; 2) найти критические точки (в которы»
производная обращается в нуль или не существует), которые разбивают область
определения функции на промежутки знакопостоянства производной; 3) составить
специального вида таблицу с записью этих промежутков; 4) определить знак производно»
в каждом промежутке, отметив его в таблице; 5) сделать вывод о монотонности функции •
каждом промежутке на основании соответствующих теорем, отметив его в таблице I
помощью стрелки.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезю
(непрерывной на нем), нужно 1) найти критические точки функции, принадлежат!*
данному отрезку; 2) найти значения функции в критических точках и на концах отрезка,
сравнить полученные значения, выбрать из иих наименьшее н наибольшее; 4) записи >
ответ.
Прием решения текстовой задачи "на экстремум ”
1)	выбрать одну нз величин, о которых говорится в задаче (часто - искомую) М
переменную, обозначить ее (например, через х);
2)	выбрать другую величину и выразить ее как функцию у = f(x) н определить п>
условию задачи отрезок, на котором она определена (математическая модель данно!
задачи);
3)	найти наименьшее или наибольшее значение функции у = f(x) (нли значеии*
аргумента, в которых функция их достигает) на отрезке;
4)	полученное решение “перевести” на язык дайной задачи н записать ответ
104
Прием решения задачи "Найти площадь фигуры с помощью интеграла ”
I)	сделать чертеж по условию задачи;
2)	установить, является ли полученная фигура криволинейной трапецией; если “да” —
применять формулу вычисления площади криволинейной трапеции, если “нет”, то п. 3;
3)	представить полученную фигуру в виде суммы или разности криволинейных
трапеций:
4)	определить для каждой криволинейной трапеции начало и конец отрезка иа оси
ОХ (которые служат пределами интегрирования и записать соответствующий интеграл;
5)	если удобно, составить общую формулу для вычисления площади фигуры
(ориентируясь на таблицу 20);
6)	вычислить интегралы н записать ответ.
5.4,2. Примеры учебных задач'
1)	Назовите несколько видовых понятий для понятия “функция”, приведите примеры
названных понятий.
2)	Данные понятия пронумеруйте в отношении последовательности их подчинения по
родо-видовому признаку: функция, квадратный трехчлен, соответствие, функция у = х1.
3)	Заполните пропуски так, чтобы было верным следующее предложение: “Среди
графиков функций на рисунке 14 симметричными относительно начала координат
являются графики, обозначенные буквой; симметричными относительно оси OY
являются графики, обозначенные буквой
Рис. 14
4)	Выберите правильный ответ из числа предложенных: Если область определения
функции f(x) симметрична относительно нуля и 1) f(-x) = f(x), 2) f(-x) = - f(x), то f(x)
является а) четной, б) нечетной функцией; в) функцией общего вида.
5)	Является ли линейной функция, заданная формулой: а) у = 2х - 3 ; б) у = 7 - 9х ;
ч „	3	10х-7	,
в)у = 8х; г)у = д)у=---------— ; е)у = х -3 ; ж)у = 4 (х-3 ) + (х + 2) ?
6)	Какая из линий на рисунке 15 не является графиком функции от аргументах ?
105
Рис. 15
7)	Установите соответствие между функциями и названиями нх видов, поставив знак
в нужной клетке данной таблица (табл. 20):
Таблица 20
'к Функция Вид Функции^	1	у = х4	у = Х}-9	у =3?	у = -4х
Четная					
Нечетная					
Общего вида					
8)	Известно, что существует такое х е М, что -х е М и f(x) - f( -х). Можно ли
утверждать, что это - определение четной функции? Если нет, то измените условие так
чтобы получить определение четной на множестве Мфункции.
9)	Можно ли утверждать, что функция f четна на М, если для любого хеМ f(x) = /(-xf1
Если нет, измените условие так, чтобы получить определение четной на множестве Л/
функции.
10)	Докажите на основании определения, что функция F (х) - первообразная для f (х) иа
R: a) F (х) = х5 + 1 ; f (х) = 5х4 ; б) F (х) = Зх - cos х; f (х) = 3 + sin х. Приведите примеры
пар функций F(x) и/(х) таких, что Ffr) не является первообразной для fix).
5.5. Специальные методы и приемы обучения
5.	5,1, Изучение функций в школе состоит из основных трех частей
1) изучение понятия функции и способов ее задания; 2) исследование функций
элементарными средствами; 3) изучение начал математического анализа их
применение к исследованию функций средствами дифференциального исчисления
Этим трем частям соответствуют традиционные три этапа изучения
математического материала в школе (табл. 15).
1)	Основные направления функциональной пропедевтики в курсе арифметики
начальной школы н 5-6 классов (отмеченные в объяснительной записке к
106
программе) - что создание первых представлений о зависимости величии и спосо-
бах ее выражения в связи с решением задач и без использования функциональной
терминологии: I) рассмотрение зависимостей между компонентами действий, в
частности, при изучении и использовании различных таблиц; 2) составление
числовых выражений для отыскания искомых в задачах величин и вычисление их
значений; 3) знакомство с примерами некоторых зависимостей, заданных форму-
лой - s = vt. прямой и обратной пропорциональности (при решении задач на
доставление пропорций); 4) знакомство с примерами графиков функций
(температуры, равномерного движения) и систематически проводимые построения
диаграмм.
Этот фактический материал систематизируется и обобщается в начале курса
алгебры 7-го класса на основе определения понятия функции и классификации
способов ее задания (формулой, таблицей, графиком). Приемлемое для школы
определение функции подчеркивает понятие соответствия и сохраняет понятие
переменной величины. Изучение графиков простейших запланированных
। рограммой основной школы элементарных функций функции занимает в ней
основное место: учащиеся знакомятся со структурой графиков, строят графики по
таблицам значений аргумента и функции и решают обратную задачу отыскания
этих значений по графику, читают по графикам простейшие свойства функций.
Основной метод изучения функций и их (рафиков - неполная индукция; от
примеров к обобщениям (см. п.5.5.2.), а также наглядность (координатная или
магнитная доска, таблицы, игровые задания в системе координат).
2)	Свойства функций в основной школе устанавливаются по графику, иа осно-
ве наглядных соображений и соответствующих приемов. Перечень свойств, подле-
жащих рассмотрению, увеличивается постепенно по мере овладения соответст-
вующим теоретическим материалом; в 9-м классе формулируются и записываются
шалитически определения свойств четности и нечетности, монотонности, которые
применяются к исследованию функций на конкретных примерах. Таким образом, в
курсе алгебры основной школы уровень требований к объему и глубине знаний
кчащихся о функциях постепенно повышается, они постепенно учатся исследовать
свойства функции иа трех “языках” - графическом, словесном и символическом.
В 10-м классе повторяются и обобщаются общие сведения о функциях.
107
основным попятим числовой функции и способам сс задания, даются бол*,
очные определения п обозначения. Уточняются определения всех основные
свойств функции и приемов их выявления элементарными средствами пр
сохранении их графической интерпретации. Появляется задача построения графи,
функции на основе ее исследования, которая решается на достаточно сложи*
примерах (к этому времени изучается аппарат математического анализа). Друзам м
менее сложная задача - применение изученных свойств функций при решена •
различных задач, в частности, уравнений и неравенств данного вида, текстон*-
задач "на экстремум" и на другие свойства функции. я
Отметим некоторые методические особенности изучения копире ты
функций, связанные е их свойствами и возможностью использовать вариативный
дополнительный материал для дифференциации обучения. В качестве обшей Д>«
изучения всех функций особенности можно отметить использование разпы
методов исследования функций для учащихся разного уровня обученности. I••
для учащихся низкого уровня можно ограничиваться обоснованием ceohi
функций с помощью графика и работой с материалом исторического характер*
среднего - на основе определения и решение прикладных задач, высоко! ч
средствами математического анализа и решение конкурсных и олимпиадных у» м
на свойства функций. В старшей школе возможно исследование изучаем,
функций по полной схеме (см. ниже 5.5.2.).
При изучении линейной функции следует уделить внимание рассмотрению 
частных случаев при различных значениях параметр 
(к > О.к < 0,Ь >0,Ь <0.к = 0,Ь = 0) н их сочетаниях, что хорошо оформи
соответствующей таблицей графиков функции. Доказательство того факта, Ч»
графиком линейной функции является прямая, позволяет сразу посмотреть на нс
"с другой стороны’' - уравнением прямой линии является линейное уравнена
двумя переменными ах + ву + с = 0, что полезно ие только для понимания
[рафнческого решения линейных уравнений и их систем, но и для установлен,
связей с курсом геометрии.
Аналогично при изучении квадратного трехчлена - таблица графи*
функции при <з>0, а<0, D>0, D<0, D=0; полезны ее варианты для 6*0, с>0 и С'
6>0 и 6<0 при с=0; Ь=с=0 и “взгляд с другой стороны" на уравнение параболы к •
108
объекта геометрии. Здесь уместно вспомнить гиперболу и ее уравнение, уравнение
окружности из курса геометрии и можно дать тем, кто интересуется математикой,
понятие о кривых второго порядка, которые будут использоваться при
графическом решении систем уравнений и неравенств второй степени. Кроме того,
при изучении метода построения графика квадратного трехчлена путем сдвига и
деформации основного графика (хорошо это делать с использованием шаблона -
лекала параболы), целесообразно сделать обобщение и перенос этого метода на
другие, изученные ранее функции и рассмотреть такие примеры. Уместна здесь и
постановка вопроса о существовании обратной функции, ее сравнение в этом
отношении с линейной.
Понятие о числовой последовательности дается в связи с завершением
изучения прогрессий и их обобщением; в то же время, рассматривая
последовательность как функцию натурального аргумента, этот материал можно
использовать для углубления и расширения понятия функции. До сих пор при
изучении функций (хотя и неявно) подразумевалось непрерывное изменение
переменных (их последовательное прохождение через все возможные
промежуточные значения). Но если переменная при своем изменении принимаег
'скачками” ряд отдельных значений, то говорят, что она изменяется прерывисто
(дискретно); например, счет отдельных предметов, масса тел, энергия,
экономические расчеты, свойства химических элементов в зависимости от нх
атомного веса (согласно периодическому закону), сумма внутренних углов п -
угольника и т.д. Такое изменение переменных описывает числовая
последовательность.
Очень интересно проследить, как трансформируются в связи с особенностью
этой функции способы ее задания: аналитический - в формулу общ^гЬ члена
последовательности х„; табличный - в последовательную запись ^ членов
последовательности хь х2, .... х„, ...; графический - в изображение членов
последовательности точками оси ординат, расположенной в данном случае
горизонтально; появляется специальный способ задания последовательности — с
помощью рекуррентной формулы (возвратные последовательности), широко
используется задание последовательности описанием ее членов. Наряду с
возрастающими и убывающими последовательностями (определения тоже
109
специализируются). рассматриваются колеблющиеся, а также конечные и
бесконечные, ограниченные и неограниченные, наконец, имеющие или нс
имеющие предела при п -»оо (об этом ниже). Наряду с прогрессиями, здесь
имеется богатый материал для дифференцированных заданий - примеры
последовательностей из курса геометрии (например, классические
последовательности. образующиеся при вписывании или правильных
многоугольников в одну и ту же окружность), числа Фибоначчи, текстовые задачи
связанные с процессами роста (подготавливающие понятие показательно!!
функции) и другие.
В соответствии с историей развития математики, сначала знакомство
учащихся с тригонометрическими Функциями происходит в курсе геометрии как с
функциями угла и они используются для решения треугольников; на этой основе
выводятся основные тригонометрические тождества и следствия из них, которые
используются для вычислений и тождественных преобразований простейших
тригонометрических выражений, дают замечательный вычислительный аппарат
для решения разнообразных задач планиметрии и стереометрии. Все это, с оди-«
стороны, составляет хорошую пропедевтику к изучению тригонометрически»
функций числового аргумента и позволяет использовать для наглядности
геометрическую интерпретацию при изучении всех свойств функций и вопросов
связанных с решением тригонометрических уравнений и неравенств, с другой
создает определенные психологические трудности для усвоения, связанные |
изучением дополнительной меры угла - радианной, т.к. тригонометрически
функции в этом отношении не похожи на остальные элементарные функции
числового аргумента.
Отсюда непосредственно следует, что при изучении тригонометрических
функций для создания н развития интереса на уроке и во внеклассной рабо I
можно использовать интересную историю развития тригонометрии и ег
приложений (см , например, Глейзер Г. И. История математики в школе: IX-X кл
Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1983. - 351 с.).
Тригонометрические функции отличаются от всех других тем, что они
периодические, и учащиеся часто на вопрос “что такое периодические функции'’’
отвечают •'тригонометрические”. Чтобы избежать этой ошибки можно еще 
по
основной школе исследовать функции на периодичность но графику и на основе
определения (см., например, исследование на периодичность линейной функции в
и. 5.1.1.) Задача доказательства этого свойства для основных тригонометрических
функций дополняется задачей отыскания периода в конкретных примерах. Решить
эту задачу, зная период основной функции, разные учащиеся могут двумя
способами: 1)с помощью тождественных преобразований выражения, задающего
.	с «	.	1.Х
функцию: например, чтобы наити наименьший период функции у = ~sin-, зная:
2	4
что наименьший период функции у = sin х Т = 2 я. выполняем следующие
тождественные преобразования выражения, задающего данную функцию:
I х 1 (х	1 1 .
-sin— = ~sin) — + 2я1 = — sin—(эс + 8zr); отсюда следует, что наименьший период
242 x4	/24
данной функции Т[ = 8я; 2) на основе теоремы: "если функция у=Л*) -
периодическая с периодом Т, то функция у = A f (кх + Ь) также периодическая и ее
Т	„	2я-4
период Т, = щ находим: Т, = —j— = 8я.
Интересен и другой математический аппарат изучения тригонометрических
функций. Формулы производной тригонометрических функций выводятся не
только на основе определения производной и формул тождественных
преобразований тригонометрических выражений, но и первого замечательного
предела. Программой предусмотрено изучение достаточно интересных
приложений тригонометрических функций: кроме классическою решения
треугольников в геометрических задачах, это - такое же классическое
исследование гармонических колебаний, приводящее к дифференциальным
сравнениям, решением которых служат тригонометрические функции.
Понятие об обратных тригонометрических функциях и некоторые вычисления
ними рассматриваются программой школьного курса только в связи с решением
ригонометрических уравнений и неравенств. На наш взгляд, изучение обратных
ригонометрических функций ‘по полной программе”, тождественных
феобразований выражений с аркфункциями и решение соответствующих
.равнений и неравенств составляет интереснейший материал для углубления
серии тригонометрических функции н учения об элементарных функциях в целом.
Поэтому полезно рассматривать вопрос о существовании каждой аркфункции при
111
изучении свойств прямой тригонометрической функции, а заданный материал
использовать для дифференциации обучения.
Следует отметить также, что изучение тригонометрических функций, на наш
взгляд, можно сделать менее растянутом, чем это рекомендуется учебниками,
более компактным в соответствии с приведенной ниже общей мегодико
технологической цепочкой изучения функций в 10-11 классах.
В методике изучения показательной и логариФмичекой функций следуй
отметить неудачное, на наш взгляд, предлагаемое учебниками расположеииг
материала, включающего понятие степени ал с произвольным действительным
показателем, их свойства и действия с такими степенями, так же как и поняти<
логарифма, их свойства и действия с логарифмами непосредственно пере ,
изучением соответствующих функций. Многие учащиеся относят этот материя
числовой линии к свойствам функций, что непозволительно. По-видимому, иуж»
найти для него более подходящее место, которое позволило бы и более тщательи-
поговорить о логарифмировании как второй обратной операции возведению •
степень из-за ее некоммутативности (на наш вопрос "‘почему показатель степе»-
назвали еще и логарифмом?” не отвечает ни одни старшеклассник), выполнен» •
вычислений и тождественных преобразований выражений со степенями 
логарифмами, а также истории возникновения и использования логарифмов.
Эти функции взаимно обратные, что проявляется в определении, спосо' •••
задания, свойствах и формулах; поэтому свойства логарифмической фуики-
можно обосновывать, опираясь на свойства показательной функции на оси-»
соответствующих теорем. Для этих функций необходимо выделить значим,-
частные случаи: у = /О', у = ех - экспоненциальная функция и ее графи»
экспоненту, у = lq х, у = In х и понятия десятичного и натурального логарифм»
также понятие "экспоненциальный закон”. Для показательной функции сл<-«»
отметить а) использование второго замечательного предела для вывода форм» •
производной функции; б) приложение - классические задачи показательного р,
и убывания, приводящие к дифференциальным уравнениям, решением kotoj-v
служит показательная функция.
Изучение степенной функции в силу ее большой разветвленности невозмв»
в каком-то одном месте. На протяжении всего курса алгебры и начал анали м •
112
связи с расширением понятия степени изучаются частные случаи степенной
।
функции у = х, у = х‘, у - х3. у = х~', у = х2 и другие. В 11 классе, наряду с их
обобщением до "понятия степенной функции с произвольным действительным
показателем, необходимо выполнить сравнение, обобщение, классификацию
частных случаев по показателям - нх принадлежности к числовому множеству,
четности и нечетности, что хорошо оформляется наглядно соответствующими
обобщающими таблицами с графиками функций.
3)	Основной особенностью методики изучения начал .математического
анализа, создающей дополнительные (к трудности самого материала) трудности
его усвоения учащимися, является, на наш взгляд, отсутствие в программе
пропедевтического этапа, весь достаточно большой по объему материал изучается
в течение двух лет в 10-11-х классах. Восполнить этот пробел и тем самым
полностью все необходимые этапы изучения математического материала (см. лк.1,
п. 1.4.1. и [I, лк. 10]) реализовать следует усилением внимания к формированию
готовности учащихся к его восприятию, рассматривая перед введением основных
понятий и теорем “подводящие” задачи, “запас” знаний о конкретных примерах
функций и их 1рафиках, наглядную иллюстрацию с целью создания мотивации их
изучения и содержательно-интуитивных представлений о вводимых понятиях и их
свойствах, следуя при этом логике изложения этих вопросов в классическом
математическом анализе. Это можно делать как непосредственно перед изучением
основного материала в данном месте программы, так и, если это возможно, в
предыдущих классах. После на том или ином уровне (как уже отмечалось, для
разных учащихся он может быть разным) введения определения понятия или
изучения ею свойства — обязательно рассматривать примеры их приложений.
Так, подготовку к восприятию понятия предела функции (точное определение
которого даже не предусмотрено программой) можно начать в 9-м классе при
пучении темы “Последовательности, прогрессии”. Рассматривая примеры
последовательностей и их геометрическую иллюстрацию, выделим вопрос об их
поведении” при п -><». Например, две из них а) х„=— и б) х„ = 2" ,
п
। еомегрическая иллюстрация которых - на рисунке 16.
из
4 3 2
Рис. 16
Точки, соответствующие членам последовательности а), при п -к»
сгущаются’ около точки “0”, не заходя за нее, членам последовательности б) -
при п -♦ оо все с большим интервалом удаляются бесконечно далеко. Говорят, что
последовательность а) имеет предел при п -> ® равный нулю, а
последовательность б) при п ->оо не имеет предела (наглядно-интуитивное
определение). Чтобы перевести определение предела на математический язык,
подберем уточняющие синонимы к слову “сгущаются” - "располагаются все ближе
к точке 0 , стремятся к точке 0 , “расстояние между точками, соответствующими
членам последовательности все с большим номером, и точкой 0 становится все
меньше . Понятие расстояния и его уменьшение уже можно выразить
математически, в данном случае как |о-х,| -» 0. Таким образом, можно сказать, что
это расстояние с возрастанием номера члена последовательности может сделаться
меньше любого заданного сколь угодно малого положительного числа; отсюда
следует известное определение предела последовательности. Его можно лучше
понять при выполнении так называемого численного эксперимента — вычисляя
значения х„ на микрокалькуляторе или компьютере, заполняя соответствующие
таблицы и сравнивая полученные значения; в эти упражнения можно включить
экспериментальный вывод теорем о пределах последовательностей. Наконец,
нужно рассмотреть классические последовательности некоторых геометрических
величин, служащие для определения длины окружности, площади круга и т.д.
Затем нужно выделить частный случай предела функции при х->». Это
можно сделать в начале 10-го класса при повторении и систематизации свойств
функций, изученных в основной школе, в частности, функции у = — (обратить
внимание на свойство графика этой функции при х-ю> можно и раньше), и
сформулировать определение предела функции при х-юо по аналогии с
определением предела последовательности. Наконец, перед введением понятия
производной рассмотреть с помощью графической иллюстрации понятие предела
114
функции в точке (желающим учащимся после такой подготовки будет интересно и
точное определение, и соответствующие задачи).
Введение понятия непрерывности функции в точке можно начать с
рассмотрения графиков функций на рисунке 17 и выполнения задания - сравнить
эти графики и высказать суждейие о поведении «рафиков в точке хп.
Рис. 17
Затем полезно построить графики функций 1) - 6), сравнить их с графиками
функций на рисунке 17 н попробовать сделать общие для двух случаев выводы об
их свойствах.
1)у = х+1;2) у = ~-, 3)у =
х-1
Х2-1
—Г’**1’ 4)> =
3,х = 1;
х-1 ’
x + 2,xi 1;
1	|х2-1
2)>=ТЛ; 6)>=|7Т’х*1’
12,х = 1.
Дальнейшее обобщение позволяет .сформулировать следующие
определения”: если график функции “не разрывается” в точке хд, то говорят, что
функция в этой точке непрерывна, а если “разрывается” — не является непрерывной
наглядно-интуитивное определение). Среди наших графиков первому случаю
оответствуют графики функций 1) и 6). Чтобы перевести это определение на
математический язык, ответим на вопрос: “Что характерно для таких функций?’
Зо-первых, функция определена в точке хд, во-вторых, при х-»х« стремится к
конкретному числу (пределу), в-третьих, этот предел равен значению функции f
ха). Именно эти свойства и составляют определение непрерывности функции в
точке; во всех остальных случаях (проверьте на рисунках!) какое-либо из них
115
отсутствует. н поэтому функция не является непрерывной в точке. В качестве
упражнения, найдите среди построенных графиков функции, непрерывные в токах
х/= 0, Xi— 1; непрерывные в каждой точке числовой прямой; не являющиеся
непрерывными в некоторой точке (в какой именно). Для учащихся более высокого
уровня возможен дальнейший “перевод” определения непрерывности функции в
школе на язык приращений, классификация точек разрыва и исследование функции
на непрерывность на основе этих определений.
Из методической литературы (например, [3, гл. XVII, §5], [4, гл. 9, §29] и др )
и опыта преподавания математического анализа известно, что нет лучшего способ
введения понятия производной, чем решение классических подводящих задач — о
нахождении мгновенной скорости прямолинейного движения, о проведении
касательной к графику функции, о линейной плотности в точке, о мгновенной
величине тока, о теплоемкости тела, о скорости химической реакции т.п. Правда,
не всегда отмечается, что необходима аналогичная предварительная работа и с иг
менее трудными для усвоения понятиями приращения аргумента, прнращеиия
функции и их отношения. Геометрический смысл этих понятий будет понятий при
повторении понятий секущей н касательной из курса геометрии, а для учащихся
более высокого уровня - представление о возможности представить в достаточна
малой окрестности любую функцию как линейную. В различных областях знаний
для характеристики многих процессов и явлений используется отношена»
приращения величии (функции и аргумента); например, из курса физики известии
понятия средней скорости неравномерного движения vcp- , средней линеин
Дти
плотности неоднородного стержня ст.р =	, средней величины переменного том»
в цепи /ср = — н другие, которые используются в “подводящих” задачах. Ввюн
обилия задач, приводящих к вычислению предела отношения приращения функции
к приращению аргумента, когда это приращение стремится к нулю, которы»
главным образом, заключаются в отыскании скорости изменения соответствующей
функции, оказалось необходимым и возможным решить эти задачи с помошьх
одной н той же математической модели — произ щной функции. Особенно важно
рассмотрение закономерностей исследования это i модели на задаче о касательной.
типы упражнений к которой хорошо известны. Дальнейшее развертывание
изучения производной и ее приложений в школе традиционно.
Особенности изучения понятия интеграла в школе связаны еще и с тем, что
здесь не используется понятие неопределенного интеграла, что создает, на наш
взгляд, ненужное противоречие с логикой построения соответствующих понятий в
науке (см. п. 5.1.2.) и искусственные трудности в их изучении, которых можно
избежать. С этих позиций, а также с точки зрения общих подходов к изучению
элементов математического анализа, отмеченных выше, возможна приводимая
ниже технологическая цепочка изучения этого раздела.
5-	?-2. Технологическая цепочка изучения темы “Первообразная и интеграл "
1)	Рассмотрение задач, подводящих к понятию первообразной, которые мож-
но сформулировать как задачи, обратные к подводящим к понятию производной;
они приводят к постановке общей математической задачи восстановления функции
по ее производной, т.е. к задаче, обратной дифференцированию функций.
2)	Формулировка определения первообразной функции с использованием
обозначений F1 (x)-f (х).
3)	Отыскание первообразных функций, использованных в подводящих
задачах и некоторых других, по таблице Производных, которую нужно
использовать для этой цели в обратном порядке. Вывод из этих упражнений о
неоднозначности решения поставленной задачи и введение обозначения для
множества первообразных данной функции у = f (х): Ф(х) = Г(х) + С = [f(x)dx.
которое называется неопределенным интегралом. Этот термин как раз и связан с
неоднозначностью решения поставленной задачи; неопределенность его снимается,
если по некоторым дополнительным условиям найти значение произвольной
постоянной С. Поэтому действие, обратное дифференцированию функции
(отыскание ее первообразной) называется интегрированием.
4)	Составление таблицы первообразных (лучше - неопределенных
интегралов) для возможных простых случаев путем обращения таблицы
производных.
5)	Решение подводящих задач и другие упражнения на отыскание табличных
интегралов (первообразных по терминологии школьных учебников).
6)	Изучение определенных программой свойств неопределенного интеграла
пб
117
(первообразной), которые служат основой методов интегрирования (нахождения
первообразной); для учащихся высокого уровня - с доказательством на основе
определения первообразной, для других - с проверкой на примерах.
7)	Выделение методов интегрирования в явном виде - непосредственное
интегрирование на основе свойств неопределенного интеграла (первообразной),
подстановка как обобщение свойства j/(ax + b)dx = ~~F(ax + b)-l С и для учащихся
высокого уровня - дополнительно метод интегрирования по частям.
8)	Упражнения в интс|рировании.
9)	Задача о площади криволинейной трапеции и ее решение двумя способами.
10)	Определение определенного интеграла (интеграла по терминологии
школьных учебников), его геометрический смысл.
11)	Формула Ньютона-Лейбница.
12)	Упражнения в вычислении определенных интегралов.
13)	Вычисление с помощью интеграла площадей плоских фигур, которые
Л
можно составить из криволинейных трапеций по формуле S = j/(x)dx. Полезна
таблица (вида табл. 21, с. 119) и прием решения таких задач (п. 5.4.1.).
14)	Вычисление с помощью интеграла объемов тел специального вида по
*	*
формуле V = |$(х)А и работы по формуле А = J/(x)dx.
d	и
15)	Понятие о дифференциальном уравнении (которое полезно сравнить с уже
известными) и его решении с помощью интеграла.
Технологическая цепочка изучения свойств функций
Общая схема исследования функций выстраивается в школьном курсе
постепенно.
7 - 8 классы
I)	мотивация введения новой функции (с помощью примеров и текстовых
задач, решение которых приводит к рассмотрению функции одного вида);
2)	подведение к понятию нового вида функции и введение ее определения в
форме у =f (х), определение границ значений параметров вида функции при нх
значимых частных значениях, приведение других примеров функции;
118
Табл»**1321
y=f(*)
y~fa)
y~f(*)
о
= JI/WIA
= f/(x)«fr+ Jl/M*
a c
y=q>(x)
i
j y~<P(x) }
0 i с Ъ
b	b
s==
a	a
b
= jC/fr) -p(x))*
a
y-f(*)
a
b
y=fa)
y=fW
S=f(/(x)-(-«M))A =
a
b
= J(/W +g(x))A
=f(y)
y=g(x)
\у=ч>(х)
b
s = j/(x)A
a
y~fc)
0
0
a c
b
c
0
У
b
a
0
0
c
Площадь вычислить
нельзя
b
a
b
b
- JpW*
119
3)	выяснение ее области определения и области значений;
4)	построение графика функции по точкам в общем виде и в частных случаях
(при различных значениях параметров); построение графика по
характеристическим точкам;
5)	в упражнениях решение с помощью графика задач: отыскание значений
функции по данному значению аргумента и обратная задача, отыскание
промежутков возрастания и убывания, знакопостоянства, нулей функции, свойства
непрерывности (интуитивно);
6)	графическое решение соответствующего вида уравнений, неравенств с
переменной и их систем;
7)	вычислительные задачи, связанные с вычислением значений функции;
9 класс
8)	отыскание промежутков монотонности функции на основе определения;
9)	решение простейших неравенств с переменной на основе свойства
монотонности функции или ему обратного;
10)	исследование на четность и нечетность по виду графика и на основе
определения;
11)	отыскание наибольшего и наименьшего значения функции (если они есть)
по графику, вычислением, составлением н доказательством соответствующих
неравенств;
10-11 классы
12)	исследование функции на периодичность на основе определения;
13)	отыскание нулей (корней) функции (решением уравнения f(x) = 0);
14)	отыскание промежутков знакопостоянства функции (решением неравенств
/(х)>0 н#х)<0);
15)	исследование функции на дифференцируемость (отыскание производной
f(x), если она существует);
16)	исследование функции на монотонность (определением знака разности
f(x2) -f(xt) при х2 > Х| (х2- Х| > 0) и с помощью производной;
17)	исследование функции на экстремумы (с помощью производной) и
отыскание ее наименьших и наибольших значений;
18)	исследование функции на непрерывность на основе определения и свойств
120
непрерывных функций;
19)	исследование функции на интегрируемость (отыскание первообразной.
если она существует;
20)	установление существования обратной функции х —ffy):
21)	обобщение н систематизация специальных тождественных
преобразований выражений, содержащих функцию, и приемов их использования
при решении уравнений и неравенств с переменной данного вида.
Технологическая цепочка формирования
алгоритмов и приемов исследования функций
Таблица 22 -
№	Линия	Приемы исследований функций
1	Понятие функции и способы ее задания - формулой, таблицей, графиком.	1.	Прием вычисления значения функции по аданному значению аргумента с помощью ормулы 2.	Прием задания функции таблицей на основе ормулы 3.	Приемы отыскания значений функции по заданному значению аргумента и обратно по таблице. 4.	Прием построения графика функции на основе таблицы значений аргумента и функции (“по точкам”). 5.	Приемы отыскания значений функции по заданному значению аргумента и обратно по графику.
2	Линейная функция и ее частный случай У ~ кх - прямая пропорциональная зависимость	6.	Приемы выявления области определения и области значений функции по формуле и по графику. 7.	Прием построения графика линейной функции по характеристическим точкам. 8.	Приемы отыскания промежутков монотонности, знакопостоянства и нулей функции по графику.
3	Примеры степенной функции: у — х2 и У-=х, У- — (обратно пропорциональная зависимость), у = Vx	9.	Приемы исследования функций на четность и нечетность с помощью графика и на основе определения. 10.	Приемы установления ограниченности или неограниченности функции по графику. 11.	Приемы установления непрерывности функции по графику. 12.	Приемы выявления некоторых свойств функции, обратной известной по формуле и графику.
4	Квадратичная функция у = ах2 + вх + с	13.	Прием построения графика квадратного трехчлена по характеристическим точкам. 14.	Обобщение приемов 7 и 13. 15.	Прием построения графика квадратного
121
№	Линия	Приемы исследований функций
		трехчлена путем сдвига и деформации графика функции у = X". 16. Обобщение приемов 4, 7, 13, 15. 17. Приемы исследования функции на возрастание и убывание иа основе определения.
5	Числовая последовательность	18. Специальные приемы аналитического и графического задания числовой последовательности. 19. Приемы определения свойств монотонности, ограниченности и существования предела числовой последовательности по ее графическому изображению.
6	Тригонометрические функции	20.	Специальные приемы исследования свойств монотонности, четности и нечетности, периодич- ности с помощью единичной окружности. 21.	Прием	исследования	функции	на периодичность на основе определения. 22.	Приемы отыскания нулей функции и промежутков знакопосгояноства на основе решения уравнений н неравенств. 23.	Обобщение приемов 9, 17,20,21.
7	Производная и ее Приложения к исследованию функций	24.	Алгоритм нахождения приращения функции по заданному приращению ее аргумента. 25.	Алгоритм отыскания производной функции на основе определения. 26.	Приемы отыскания производной функции по формулам и правилам дифференцирования. 27.	Приемы	исследования	функций	на монотонность с помощью производной. 28.	Приемы исследования функций на экстремум с помощью производной. 29.	Обобщение приемов 23, 27, 28. 30.	Приемы исследования “поведения” функции на бесконечности и в точке с помощью предела. 31.	Приемы исследования свойств графика функции с помощью второй производной. 32.	Обобщенный прием исследования функции и построения ее графика. 33.	Алгоритм нахождения наибольшего н наименьшего значения функции на отрезке. 34.	Прием решения прикладной задачи “на экстремум".
8	Интеграл	35. Простейшие приемы интегрирования функций. 36. Прием отыскания площади фигуры, ограни- ченной графиками данных функций, с помощью интеграла.
9	Показательная, логарифмическая и степенная функции	37. Приемы исследования свойств функции на основе свойств обратной функции. 38. Обобщение и систематизация всех приемов исследования функций.
122
Рекомендуемая литература
Основная
I.	Епишева О.Б. Общая методика преподавания математики в средней школе: Курс
лекций: Учеб, пособие для студентов физ.-мат. спец. лед. ин-тов. - Тобольск: ТГПИ им.
Д.И. Менделеева. 1997. - 191 с.
2.	Концепция структуры и содержания общего среднего образования (в 12-летией
школе). Проект. Концепция математического образования (в 12-летней школе). Проект. И
Математика в школе, 2000. №2. - С. 6 - 18.
3.	Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. и др. Методика преподавания математики в средней
школе: Частные методики: Учеб, пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ии-тов. - М.:
Просвещение, 1977. - 480 с.
4.	Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб,
пособие для студентов пед. ии-тов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В.
Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.
5.	Программы для общеобразовательных учреждений: Математика / Сост.
Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк - М.: Просвещение, 1998. - 207 с.
6.	Федеральный компонент Государственного образовательного стандарта
начального общего, основного общего и среднего (полного) образования по
образовательной области “Математика”. Проект. // Математика. Еженедельное учебно-
методическое приложение к газете “Первое сентября”, 1996. № 42. - С. 2 - 11.
7.	Учебники, учебные пособия и учебные комплекты по математике, алгебре н
началам анализа для средней школы.
Дополнительная
8.	Программно-методические материалы: Математика. 5-11 кл. Тематическое
планирование / Сост. Г.М. Кузнецова. - 3-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2000, -192 с.
9.	Оценка качества подготовки выпускников основной школы по математике / Г.В.
Дорофеев, Л.В. Кузнецова, Г.М. Кузнецова и др. - М.: Дрофа, 2000. - 80 с.
10.	Учебники по алгебре и теории чисел, математическому анализу для педвузов.
11.	Статьи по вопросам методики преподавания арифметики, алгебры и начал
анализа в школе в периодической печати (ж. “Математика в школе”, газета
“Математика”- Еженедельное приложение к газете “Первое сентября”, газета “Сто друзей
(методическая кухня) - приложение к “Учительской газете”).
12.	Пособия для учителей математики (в частности, из серии “Библиотека учителя
математики”, Преподавание алгебры в 6-8 классах / Сост. IO.H. Макарычев и Н.Г.
123
Миндюк. - М.: Просвещение, 1980. - 270 с.; Вопросы преподавания алгебры и начал
анализа в средней школе: Сб. статей / Сост. Е.Г. Глаголева, О.С. Ивашев-Мусатов. - М.;
Просвещение. 1980. - 256 с.; В.А. Далингер, Методика обучения учащихся элементам
математического анализа: Учеб пособие. - Омск: ОмГПУ, 1997. - 149 с.; О.Б. Епишева,
В.И. Крупич. Учить школьников .учиться математике: Формирование приемов учебной
деятельности: Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990. -128 с. и другие).
13.	Пособия для учащихся и абитуриентов (например, Крамор В С. Повторяем и
систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. - М.: Просвещение, 1990. -
416 с.; Епишева О.Б., Волкова Е.Е. Повторим математику: Учеб, пособие для
поступающих в вузы. - Тобольск: ТГПИ им. Д.И. Менделеева, 1995. - 462 с.;
В.А. Далингер. Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по
математике: Вып. 1 -6: Учеб, пособие. - Омск: ОмПГУ, 1995 - 1996 г.г.; Алгебра в
таблицах. 7-11 кл.: Справочное пособие / Авт.-сост. Д.И. Звавич, А.Р. Рязановский. - М.:
Дрофа, 1997. - 96 с.; Брагии В.Г., Грабовский А.И. Все предметы школьной программы в
схемах и таблицах. Алгебра. Геометрия. - М.: Олимп, ООО “Изд-во АСТ-ЛТД”, 1998. -
240 с. и другие).
124
СОДЕРЖАНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ	3
ЛЕКЦИЯ 1.	5
Общие вопросы теории н методики обучения арифметике, алгебре и
началам анализа в средней	школе	5
1.1.	Общие задачи	курсов	арифметики,	алгебры	и начал анализа в 5
средней общеобразовательной школе
1.2.	Содержательно-методические линии и структура программы 7
школьного курса арифметики, алгебры и начал анализа
1.3.	Основные учебники н учебные пособия для учащихся	10
1.4.	Обшие психолого-педагогические закономерности	изучения 14
содержательно-методической линии школьного курса математики
1.5.	Общая схема логико-методического анализа содержательно- 25
методической линии школьного курса математики
ЛЕКЦИЯ II. Числа и вычисления	29
2.1.	Логико-математический анализ числовой линии	29
2.2.	Место чисел и вычислений в программе	34
2.3.	Цели изучения чисел и вычислений в школе	36
2.4.	Основные типы математических и учебных задач	39
1.5.	Специальные методы и приемы обучения	43
ЛЕКЦИЯ III. Выражения и их преобразовангия	51
3.1.	Логико-математический анализ линии тождественных 51
преобразований выражений
3.2.	Место выражений и их преобразований в программе	55
3.3.	Цели изучения тождественных преобразований в школе	56
3.4.	Основные типы математических и примеры учебных задач	59
3.5.	Специальные методы и приемы обучения	61
ЛЕКЦИЯ IV. Уравнения и неравенства	69
4.1.	Логико-математический анализ линии уравнений и неравенств 69
125
4.2.	Место уравнений и неравенств в программе	77
4.3.	Цели изучения уравнений и неравенств в школе	78
4.4.	Основные типы математических и примеры учебных задач	80
4.5.	Специальные методы и приемы обучения	85
ЛЕКЦИЯ V. Функции и начала анализа	93
5.1.	Логико-математический анализ функциональной линии	93
5.2.	Место функций в программе	99
5.3.	Цели изучения функций в школе	100
5.4.	Основные типы математических и примеры учебных задач	103
5.5.	Специальные методы и приемы обучения	106
Рекомендуемая литература	123
d

126
Епишева Ольга Борисовна
Специальная методика обучения
арифметике, алгебре и началам анализа
в средней школе
Курс лекций
Издано в авторской редакции
Рисунки Е В. Клименко
Подписано в печать 15. 12. 2000
Формат 42x60/16. Печать офсетная. Бумага офсетная.
Усл. печ. л. 7,9. Уч. изд. л. 8
Тираж 1 000. Заказ № 231
Издательство Т1 ПИ им. Д.И. Менделеева
ЛР № 040287 от 25.06. 1997.
626150, г. Тобольск, ул. Знаменского, 58
От печатано с готовых диапозитивов в типографии
ТНХК-филиала ОАО «Сибур-Тюмень»
г. Тобольск