ВЫХОДИТ РАЗ В ДВЕ НЕДЕЛИ
Рекомендуемая розничная цена: 279 руб.
Розничная цена: 49,90 грн, 990 тенге
занмманеельнше
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOSTINI
30
Винтовой узел
neAAOCTIMI
«ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ»
Издание выходит раз в две недели
Выпуск №30,2013
РОССИЯ
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D3AGOSTIN[
В этом выпуске:
ИЗДАТЕЛЬ УЧРЕДИТЕЛЬ РЕДАКЦИЯ;
ОСО -Де Агостини-. Россия
ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС 10S 066, г. Москве,
ул. Александра Лукьянова, д 3, crpJ
Письма читателей поданному адресу не принимаются
ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Николаос Скилакис
ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР: Анастасия Жаркова
ФИНАНСОВЫЙ ДИРЕКТОР: Наталия Василенко
КОММЕРЧЕСКИЙ ДИРЕКТОР: Александр Якутов
МЕНЕДЖЕР ПО МАРКЕТИНГУ: Михаил Ткачук
МЛАДШИЙ МЕНЕДЖЕР ПО ПРОДУКТУ:
Любовь Мартынова
Свидетельство о регистрации средства массовой
Информации в Федеральной службе по надзору в
сфере свяли, информационных технологий и массовых
коммуникаций (Роскомнадзор) ПИ ДОФС77-433Ю
□т 28.12.2010 г.
Для заказа пропущенных номеров
и по всем вопросам, касающимся информации
о коллекции, заходите на сайт
www.deagostini.ru
По остальным вопросам обращайтесь по телефону
бесплатной «горячей линии» в России:
С 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии-для читателей Москвы:
С 8-495-660-02-02
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ:
Россия, 1701ЕЮГ г, Тверь, попамт, а в 245,
Де Агосгинич Занимательные головоломки«
РАСПРОСТРАНЕНИЕ:
000 Бурда Дистрибьюшен Ссрвисиз
УКРАИНА
ИЗДАТЕЛЬ И УЧРЕДИТЕЛЬ:
ООО чДе Агостини Паблишингь, Украина
ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 01032,Украина,
г. Киев, ул. Саксаганскпго, д. 119
ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Екатерина Клименко
Свидетельство о государственной регистрации
печатного СМИ Министерства юстиции Украины
КВ № 17502-6252Р от 01.012011
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ1
Украина, CTC33, г. Киев, a/я *«Де Агостини-,
«Занимательные головоломки *
Укра1на С1033, м. КИ1В, а/с ^Де Агостшр
Для заказа пропущенных номеров
и по всем вопросам, касающимся информации
о коллекции, заходите на сайт
www.deagostini.ua
По остальным вопросам обращайтесь по телефону
бесплатной кг оря чей линии'' в Украине:
С 0-800-500-8-40
БЕЛАРУСЬ
ИМПОРТЕР И ДИСТРИБЬЮТОР В РБ: ООО -Росчерк»,
220037. г. Минск, ул. Авангардная, д. 48а, литер 8/к,
тел./факс: +375 17 2-999-260.
Телефон горячей яинмиг в Беларуси?
£ +375 17279 87-87 (пн пт. 9.00—21.001
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ: Республика
Беларусь, 220040, г. Минск, а/я 224, ОСС «Росчерку
«Де Агостини^ ^Занимательные головоломки;
КАЗАХСТАН
РАСПРОСТРАНЕНИЕ: ТОО-КГП 'Бурда Алатау Пресс-
РЕКОМЕНДУЕМАЯ РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА: 279 руб.
РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА: 49.90 Грн, 990 тенге
ОТПЕЧАТАНО 8 ТИПОГРАФИИ: G. Canale & С. 5.рА.
Sos. Cernica 47r Bucuresli, Pantelimon - llfov, Romania.
ТИРАЖ: 68 000 JKi.
Издатель оставляет за собой право изменять
последовательность номеров и их содержание,
Издателыхтааляет за собой право увеяичить
рекомендуемую цену выпусков
Неотъемлемой частью каждого выпуска
является приложение.
ООО ^Де Агостини*. 2013
О RBa Cclecucnables, 2011
ISSN 2225 1782
ДАТА ВЫХОДА В РОССИИ: 26.03 2013
М .ггематическая «селенная
Математические при ^раки Вы думаете, как-то раз некий матема-
тик сел за стол и сказал: «Создам-ка я комплексные числа»? Совсем
нет. Они появлялись сами по себе - как призраки - при решении не-
которых уравнений Но все же прошло много времени, прежде чем
комплексные числа стали использоваться в расчетах наравне с ве-
щественными Теперь комплексным числам непременно посвяще-
на глава в любом учебнике как одному из фундаментальных пеня пш
математики
блистательные умн
О чаронание вдох новения Cpi t н иваса Рамануджан стал бы легенде >й,
если бы его история и его работы не были столь тщательно отобра-
жены в различных источниках. Не имея ни образования, ни доста-
точных средств, он стал одним из важнейших ученых своего времени
и первым математиком в истории Индии. Несмотря на го что Рама-
нуджан не по \\ чнл должного образования, он практически в одиноч-
ку переработал теорию чисел и дал новый толчок этому разделу мате-
матики, открыв множество оригинальных теорем и формул.
Математика на каждый дань
Вызол здраиот смыслу Термин «парадокс» имеет несколько значе-
ний в зависимости от контекста, но вее они близки к исходному, ко-
торое диктует этимология этого слова. Например, парадоксом счита-
ется j тверждение, которое является истинным, но кажется ложным,
либо, напротив, последовательность корректных лог нчсских рассуж
депий, ведущий к противоречию, или же утверж щние, истинность
пли ложность которого невозможно определить.
Математические задачки
Лучшее от С’лма fniiiia Сегодня в скачках участвуют гиппопотам,
носорог и жираф К.’о придет первым? На кого из них поставите
вы? Выиграли? Отлично! Теперь можно отдохнуть, разгадывая го-
ловоломку об американском бильярде, сыграть в кубики на ярмарке
или обдумать, настолько успешна система лорда Росслнна при игре
в рулетку.
Головоломки
Винтовш узел Задача этой игры — собрать из частей изображенную
на рисунке фигуру. Однако также интересно определит!,, какую часть
головоломки нужно сдвинуть первой, чтобы разобрать узел. Особая
красота собранной фигуры состоит н том, что вырезы на ее элемен-
тах скрыты внутри, из-за чего нельзя определить, как именно сцепле-
ны части головоломки.
«КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА — ЭТО ПРЕКРАСНОЕ И ЧУДЕСНОЕ УБЕЖИЩЕ БОЖЕСТВЕННОГО ДУХА,
ПОЧТИ ЧТО АМФИБИЯ БЬГГИЯ С НЕБЫТИЕМ».
Гслфрид Вилы ельм Лейбниц
Комплексные числа
Математические призраки
DiRftrAtt В о я belli da Bologna
Diuila in tie Libri.
Qm iaijuJeciejiumdaftpotra •vrmn mperfetta
apiilwBtidli исгка eLlfjinnutua.
Con vni Ta»oU copiofa dclk maw/ibchc
i letAli cotltcngono.
rtgu litre ir hat i imf »	thuuffiji
&»a prtfip'we.
151
IN EOL0GNA,
Ра Gii мьи В~*т MDLXX
См Iwa v it' Af язве,,


Вы думаете, как-то раз не-
кий математик сел за стол
и сказал: «А придумаю-ка
я комплексные числа» ? Совсем
нет. Они появились сами по себе,
подобно призракам, при решении
некоторых уравнений. И подоб-
но призракам много веков возникали то тут, то
там, всякий раз причиняя множество неудобств.
Большинство математиков избегали их, и прошло
много времени, прежде чем комплексные числа
стали использоваться в вычислениях наравне с ве-
щественными. Они стали считаться полноценны-
ми решениями уравнений, и теперь комплексным
числам как одному iil фундаментальных понятий
математики непременно посвящена одна из глав
любого учебника.
Несмотря на это, все еще находятся тс, кто
считает комплексные числа всего лишь очеред-
ным изобретением математиков, существую-
щим в идеальном мире, далеком от реальности.
Это заблуждение. Комплексные числа — эго
столп, на котором стоит современная физика.
Они имеют и практическое применение, напри-
мер в электротехнике, где для измерения сопро-
тивления используются вещественные числа,
а для измерения индуктивности и электрической
емкости — комплексные.
Корни из отрицательных чисел
В вадрах ный корень числа а, обозначаемый \ г —
это такое число Ь, которое при возведении в ква-
драт дзет л, то есть \/а = b означает, что Ь~ — а.
Например,
= 2, так как 21 = 4,
V 9 =3, так как З1 = 9.

С другой стороны, существуют правила знаков
для умножения и деления: «плюс на плюс даст
плюс», «минус на плюс (или плюс на минус) да-
ст минус» и «минус на минус даст плюс», что
в символьном виде записывается так;

Эго можно проиллюстрировать на примере:
A Кап видно НА Примере
еими Lalgefoa (ояублипое 1н-
чои 6 Бейонне в 1579 году),
Бомое ин уже в XVI веке
истлкшыл таи. назы< гемыс
мнимые чис. ы и работал
г ними точно тан же, как
с вещптеенными. Входе
работ по решениюурав-
нений третвен и четвер-
тин imi пеней он дона «ы,
что	\-121 4
+ V2~^12~1.
HomOCLIU ШГЮЛЬЧМЫА
числи \ - / 21, что б cvepe-
меанон нотации мши ым-
етсяклк Hi.
5-2-10,
(-5)-2 =-10,
(-5)-(-5) =25.
Согласно этим правилам, ни одно число
при умножении само на себя никогда не даст
отрицательный результат: если исходное чис-
ло положи 1сльное. то «плюс на плюс даст плюс»,
если исходное число отрицательное, то «минус
на минус даст плюс». В обоих случаях результат
умножения будет положительным числом.
По этой причине из отрицательного числа
в принципе нельзя извлечь квадратный корень.
Например, \ —г нс может равняться 2. так как
2 • 2 = 4, и также нс может равняться -2, так как
(-2)-(-2) = 4.
Число/
1з всего вышесказанного с гановитея понятно,
что VT = 1, я V-1 чс сущеет вуст. Он нс суще-
ствует как вещественное число, но ничто не ме-
шает определить его как новое число, которое мы
обозначим за/.
I0±VK)O-I60	10 ± АЛбб
2
2
-15.
Эта задача встречается в книге Arris Magnae
(«Великое искусство») Джероламо Кярдано
(1501-15^6), опубликованной в 1545 году. Кар-
дано изучил два найденных им решения этой за-
дачи, 5 + \ -15 и 5 - V-15. которые (>ыли слож-
ными, «комплексными» числами, и стметил, что,
несмел ря на всю их сложность, нд сумма равна 10,
произведение равно -4(1, следовал >ьно, они яв-
ляются решениями предложенной задачи. Ком-
плексные корни часто встречались при решении
множества задач (напомним, что корнями урав-
нения называются сто решения). Они причиня-
ли неудобства математикам, которые никогда не
рассматривали их как числа. Сам Декарт говорил
о них так: «И истинные, и ложные корни не всег-
да являются вещественными, иногда они вообра-
Посмотрим, что произойдет с нашим новым
числом, если возвести сто врашыс степе ни:
VTT=/,
= )2= -1,
I =1  / = (-1)
i* = 1 • / =	(-г) = -/= -(-1) = 1.
Далее эта последовательность будет повто-
ряться :
А АрЫПЛГОДОГ YWr.Lf можно
представить графи чески
в виде точек п tei кпети.
В то же Pjpr.u.v .w числа, ко-
торые являются решен и v,u«
уравнений н реау маната мн
райоты алгоритмов. /Миогие
н.ю&рлженмя фрактальных
множеств на комп сексной
шоскосши вырядят удиви-
те. thuokр> [снов.
и так далее.
Комплексные числа
Изначально необходимость извлечения корней
из отрицательных чисел возникла при решении
некоторых уравнений второй степени. 1 Ивестно.
что уравнение вида .z.v2 + Ьх + с имеет два реше-
ния, которые можно найти при помощи формулы
—b ± \ Ьг — 4,гг
Решим следующую задачу разделить 10 на
две части, произведение которых будет равно-И)
Обозначим эти час ги за.е и у. По условию,
л + »= 1П,
.у у = -гО,
откуда у — 10 - .у. Подставив это выра-
жение во второе уравнение, получим
.с  (10 - л) — 10.x — № = 40. Перенеся все члены
этою уравнения в одну часть, получим квадрат-
ное у равнение л~ - Юл' + чО = 0, рг тениями ко-
торого яр ляются
► В своей книге гЬ-гй
iMagnae ("Великое искус-
ство /545) > {ясерасамо
Кардано анализирует ре-
шены ч уравнения второй
степени х2 — /ftv + 40 = 0,
равные 5 + V -^5
w 5 - - /5, и под-
тверждает, что их
сумлы составляет i(),
а проилведеные — 40. Я
Ab.ww сексные vui ia
стали применяться
л определенных контекста v
лшаь * начала
гт
жаемые», придуман тем самым один из терминов
для таких корней уравнений: их стали называть
воображаемыми, пли мнимыми. Мнимыми ста-
ли назывл гься и числа, соответствующие таким
корням уравнения. Начиная с первых упомина-
ний мнимых чисел в работах Кардано и до начала
XVIII века, математики старались избегать встреч
с числами, сам факт существования которых вы-
зывал серьезные сомнения. 11х с переменным
успехом пытались изучать такие математики, как
f/.?.
B,Vr 5 J
л-'1'.
Эцхер, Валлис и ДА^амбср Комплексном числа
ока 1ались полезными в определенны < кон секстах,
особенно на промежуточных этанах некоторых
доказательств. Значимость комплексных чисел
серьезно возросла, когда Гаусс использовал их
в 1799 году для доказательства основной теоре-
мы алгебры. Комплексные числа окончательно
стали полноправной частью математики в сере-
дине XIX века с появлением комплексных функ-
ций — функций/{л'), в которых переменная л' яв-
ляется комплексным числом.
Арифметика комплексных чисел
Мнимое число, например \ -4, также можно за-
пнедгь в виде
4-\CT = 2-VZT-
Так как мы уже обозначили за 7 квадратный ко-
рень из -1, то V -+ = 2г. Следовательно, любое
комплексное числи можно записат ь в виде я + hi.
Это так называемая алгебраическая форма записи
комплексного числа, где л называется веществен-
ной частью, b — мнимой частью. Например, чис-
ло 2 +\ -9 можно записать в виде 2 + 3/. где 2 —
вещественная часть, а 3 — мнимая часть. Если
комплексное число не имеет вещее твемиой ча-
сти, например 27, оно называется чисто мнимым.
Сложение и вычитание комплексных чисел очень
просты и выполняются по следующему правилу:
«сумма двух комплексных чисел является ком-
плексным числом, вещественная часть которого
равна сумме вещественных частей двух исходных
чисел, мнимая часть — сумме мнимых частей двух
исходных чисел. Например-
(1 + 57) + (2 - 37) = 3 + 27.
4 Сложение и вычииышее
кам» /ексных чиа i иаяню
вчиаснито но прмнеу
пара иеамраина. каторее
.акАючаетсч в с геЛми(< и.-
нужно шпыраитн пиран се-
.ч.'ра им u.t ашреамх, полу-
ченных при геометриче! ком
нрайппы-сеиии стих чиа с
I'eoytomamy суммирования
tiytie»! coomtemiтаиватв
сУиллонллу этого пара с te iu-
.’p.iuu.i При вы»» тении вы-
чнгпанп)) нужно учитылстн,
что ряэнсЯ те i я В Укишие-
ленткл сумме-4 и -В.
Л I[< no.th'y.'i нрргрлмму
д.е.ч графического димйнв
Peisistmu <J I Bio» Кцуспсегг.
.ibiwr.waraft*. Мерс СанМерг
Шийращ' нгумитаымые
трех черны, чиры. На рисун-
ке выше я юорлжены сферы
Ршилна I, вверх хеми секс ней
нлшсюынс.
Вычитание выполняется по аналогичному
правилу. Умножение выполняется следующим
образом, точно так же, как и д-хя любых других
чисел:
(I + 57)  (2 - 37) = 2 - 3 i + Юг- 15 Г- =
= 2 + 77 - 15 F.
Как мы уже упомина ли Г = -1, поэтому ре-
зультат будет равен:
(1 + 57) - (2 - 37) = 17 + 77.
Деление сложных- чисел требует дополни-
тельных операций. Сначала рассмотрим дей-
ствия с мнимым числом вида 1/7. Так как дробь
не изменится, если умножить ее числитель и зна-
менатель на одно и го же число, то мы можем
умножить числитель и знаменатель этого числа
на -7:
1	-7-1	-7	-7	-7
---=--------=-----=--------=-----= —7.
7	-7-7	-F	-(-I)	1
Мы исключили число 7 из знаменателя —
именно это нужно сделать, если мы хотим разде-
лить одно комплексное число на другие. Это мож-
но сделать очень простым способом. Допустим,
что мы хотим найти частное:
2 + 37
5 + 27
Нужно умножить числитель и знаменатель на
5 — 2», то есть на то же число, что и в знаменателе,
но сменив знак мнимой части:
2 + 3/ 5-27	16+117
5+27 5 - 27	29
Комплексные числа ЕЗ
Для любого комплексного числа л + bi суще-
ствует так называемое сопряженное к нему: ком-
плексное число с той же вещественной частью
и мнимой частью, имеющей противоположный
знак. Таким образом, сопряженным к числу л + bi
будет число a — bi.Q учетом этого определения
правило деления комп ьженых чисел будет следую-
щим: для деления комплексных чисел достаточно
умножить числитель и знаменатель дроби на чис-
ло, сопряженное к знаменателю. Результатом ум-
ножения любого комплексного числа на сопря
жсннос к нему всегда будет вещественное число:
▼ Геометрическое представ-
ление было предложено Лрга-
но » в /806 году о книге
гиг ине машгге de representer
les tjuanrifcj imtigimures
(<* Эае о чепюде представ-
ления мннчых величин^ )г
обложка которой приведена
на ил люстрации. ОднлИо
он не был яерсы-v. кто вы-
ступц г г этой гипотезой:
еще е /797году лту иодело
Это не более чем обобщение и формальное
представление правил основных операций над
комплексными числами, о которых мы говорили
выше На основе этих определений можно дока-
зать (мы не приводим здесь это доказательс гво),
что базовые операции над комплексными чис-
лами обладают привычными свойствами ассо-
циативности, дистрибутивности и коммутатив-
ности. С помощью этой формы представления
комплексных чисел удалось не только определить
их на основе вещественных чисел, но и и «бавить
ся от «неудобного» выражения V-K
(л + ib)  (а - ib} = л1 + Ь1.
независы w от него сформу-
шрвоал /Сатлр
Представление комплексных чисел
Этот факт долгое время не давал покоя матема-
тикам: с помощью простейшей операции можно
было легко избавиться от всех проблем, вызывае-
Геометрическое представление комплексных чи-
сел имеет длинную историю. Многие математи-
ки. средн которых выделяются Эйлер, де Муавр
мых комплексными числами. Например, в задаче
и Вандермонд, говорили о возможности пред-
Кардано, о которой мы рассказывали вы-
ше. результатом перемножения решений
5 + \- 15 и 5 - V-15 является веществен-
ное число, и это означает, что существует
способ свести «странные» мнимые чис-
ла к обычным, вещественным
Упорядоченная пара
ESSAI
SlIR UNE MANlEHE
DE ДЕГЯБЗЕХТЕ.В.
LES QU ANT1TES IMAGINAIRES
ставления комплексного числа v + yi
как точки на плоскости с координатами
(х.т). Однако оирсдсзснис геометриче-
ской природы комплексных чисел в том
виде в котором оно известно нам се-
годня, принадлежи г Жану Роберу Арга-
ну (1768- 1882), математику любителю,
единственным вкладом которот о в науку
Хотя мы можем определить основные
операции на комплексных числах, так
как мы определили пару вещественных
чисел а и Ь, образующих комплексное
число, эти числа не могу г считаться чис-
лами в буквальном смысле этого слова.
Проблема заключена в знаке +, который
используется в выражении л + bi. Пр
ландски» математик сэр Уильям Роуэн
Гамильтон (1805-1865) первым обнару-
жил, что речь не идет о сумме в традици-
онном понимании, так как нет никакого
смысла, например, в сложении 2 и Зт в вы-
ражении 2 + Зт. Это выражение сформи-
ровалось в результате длительного исто-
DANS LES СОКJTRUCTIOHJ
G ЁОМЛТВIQUK3.
A FARIS
M.DCCC.V1
стала короткая статья о геометрическом
представлении комплексных чисел, а так-
же Карлу Фридриху Гауссу (1777-1855)
Обозначим на плоскости две перпен-
дикулярные оси координат. Назовем ось
ОХ вещественной осью и будем откла-
дывать на ней вещественную часть ком-
плексного числа (л). Положительные
числа будут располагаться справа от ну-
ля, отрицательные — слева. Вертикаль-
ную ось OY назовем мнимой осью и бу-
дем откладывать на ней мнимую часть
комплексного числа (Ь). Положительные
числа на этой оси будут располагаться вы-
ше нуля, отрицательные — ниже.
рпчсского процесса, но тем не менее было
лишено строгого математического значения Га-
мильтон определил комплексные числа более
строгим образом, введя понятие упорядоченной
пары в статье Algebra as the Science of Pure Time
( «Алгебра как наука чистого времени »), опубли-
кованной в 183ч году. Он определил комплексное
число л + bi как упорядоченную пару вещее гвен-
ных чисел (я, Ь). Далее он определил основные
операции для произвольных упорядоченных пар
(л, Ь) и (г, d) следующим образом.
(л, b) ± (с, d) = 1л ± г, b + d),
(л, Ь) (<, d) = (ас — bd, ad + be),
(a, b)	f ас + bd	be — ad
(c, d J r1 + d1	e + d1
Математические призраки
Так. чтобы представить комплексное число
а + ib, отложим а единиц справа от нуля на осп
ОХ и Ъ единиц выше нуля на оси OY Расстоя-
ние ОР можно вычислить по теореме Пифаго-
ра. ОР = а2 + Ь2 — г. Эта величина получила назва-
ние модуля комплексного числа и обозначается
|z|. Угол 6 между ОР и осью ОХ называется аргу-
ментом комплексного числа а + ib.
Очевндно, что если нам известен модуль г и ар-
гумент 6 комплексного числа, то это число опре-
деляется однозначно и его можно записать в три-
гонометрической форме. С другой стороны,
Тождество Эйлера
Гениальный швейцарский математик Леонард Эйлер с помощью бесконеч-
ных рядов доказал, что при 6, выраженном в радианах,
е® = cos 0 + isin 0.
Поэтому для любого комплексного числа
z - а + ib - |z, (cos 0 + Bin 0) = kje®.
Эту форму записи комплексных чисел через z и 0 г редпо-ипают ис-
пользовать физики, так как она позволяет легко описывать колебания
и электромагнитные явления.
Благодаря тождеству Эйлера произведение z, и/2 можно очень просто
представить графически:
У
А Великин члтечатик
гконард Эйлер создал форму
затаи комплексных чисел,
которая используется
в физике для списания
электромагнитных явлений
и колебаний.
z, z^lzj-е*1'-|z3| ew = |z,|-|z}|-ев,'-ев1'= |z-1 |z,| е1е’*в1\
Возведение в степень также выполняется очень просто:
z" = (|z| е’Т = |z|* е'* = lz|" (cos п0 + isin п0).
Комплексное число z, возведенное в степень л, — это комплексное
число с модулем zn и ар< /ментом, в л раз большим, чем у числа z. При
графическом представлении различных степеней а + ib образуется краси-
вая спираль. Тождество Эйлера 1акже позволяет сравнительно простым
способом возводить числа в комплексную степень.
sin 6 = b/г, b—r- sin 6;
cos 6 = а/г-, а = Г' cos 0;
а + ib = г • cos 6 + ir • sin 6 — r (cos 6 + /sin 6).
Эта формула, известная как формула Муавра,
позволяет переходить от алгебраической формы
записи комплексного числа к тригонометриче-
ской и обратно.
«Папа, тэбе удалось
перемножить триплеты?»
Математики четко понимали, что выражение
а + ib и его представление на плоскости Арга-
на — Гаусса соответствуют вектору с координата-
ми {а, Ь). Их можно складывать, вычитать и ум-
ножать на число. С помощью комплексных чисел
можно представить силы, действующие на тело,
и путем простых алгебраических операций май
ти их равнодействующую. Проблема заключа-
лась в том. что при переходе к трем измерениям
эта стройная система рушилась и геометрическое
представление комплексных чисел теряло смысл.
Гамильтон, которому удалось четко описать ком-
плексные числа как упорядоченные пары, занял-
ся поисками способа представления их аналогич-
ным образом в трехмерном пространстве. Однако
для троек (триплетов^ чисел нс соблюдались ба-
зовые свойства операций сложения и умноже-
ния, в частности ассоциативность и дистрибутив-
ность. На поиски решения Гамильтон потратил
больше десяти лет. Когда по утрам он встречался
с дочерью Хелен, она не без доли ехидства спра-
шивала его: «Папа, тебе удалось перемножить
грипле гы.'»
Однажды, гуляя с женой рядом с мостом Бру г-
ман. что н пригороде Дублина, Гамильтон вне-
запно остановился, словно его ударило гоком.
По его словам, «...замкнулась гальваническая
цепь моих рассуждений и посыпались искры —
то были фундаментальные соотношения между
i,j, b...». Это произошло 16 октября 1843 года.
Гамильтон понял: ч гобы описать комплексные
числа в пространстве, нужно не три, а четыре
числа. Так появились кватернионы, или гипер-
комплексные числа Гамильтона. Гамильтон, не
теряя ни минуты, достал из кармана небольшой
блокнот, который всегда носил с собой, и записал
право ха умножения этих новых чисел. Некото-
рые биографы указывают, что в тот раз у Гамиль-
тона не было с собой блокнота и что на камнях
моста Бругман можно увидеть нацарапанные ма-
тематиком числа.
Гиперкомплексные числа
Подобно тому как комплексные числа являются
расширением вещественных чисел путем добавле-
ния к ним мнимой единицы /’, гиперкомплексные
числа, пли кватернионы, являются расширением
Комплексные чипа ЕД
ЭТО ИИЖО10
Дажг в середине XX века нередко встречались
учебники, особенно по тригонометрии, авторы
которых стремились любой ценой избежать
комплексных чисел, даже когда лх использова-
ние сущ, ственно упростило бы вычисления.
Гаусс, который ввел символ / для обозначения
V-1, считал, что 1, -1, V-1 следует называть
не положительной отрицательной и мнимой
единицами, а прямой, обратной и боковой. Это
способствовало бы более быстрому принятию
мнимых чисел и избавило бы их от налета за-
гадочности. По этой же причине Гаусс ввел для
обозначения мнимых чисел термин комплекс-
ное число».
Кватернионы—это альтернативная форма
представления вращения объектов в про-
странстве. В некоторых случаях с ними
работать проще, чем с матрицами, поэтому
их используют в компьютерных программах
для описания движения в трех измерениях.
По этой причине в программе управления
полетом Space Shuttle также используются
вещественных чисел с помощью трех мнимых
единиц i,j, к таких, ч то i- =j- - к- = i -j - к = -1.
Правила умножении этих единиц приводятся
в таблице ниже.
Гиперкомп ле КСИ Ос число — это число вида
Q — а + bi + cj + dk, где л, b, cud — веществен-
ные числа. Кватернион называется чисто мни-
мым при rf = 0, Умножение этих чисел нс облада-
ет свойством коммутативности, что дало толчок
к созданию новых разделов алгебры, отличающих-
ся от класс ическпх. Гамильтон работал над этими
числами в течение 22 лет. Итоги его трудов бы-
ли опубликованы в 1866 .иду в посмертном из
дании The Elements of Quaternions. Кватернио-
ны, вопреки предположениям Гамильтона, нс
нашли непосредственного применения в физике,
но оказались неожиданно полезными в чистой
мдтсматнке.
▲ Кватернионы, которые
можно ft целом ахярлхгмеря-
ioejmb КАК сумму СКАЛЯрА
и вектора tt трехмерном
npoi шранстве, по июалют
ояш ывать перемещение
объектов. Они ui HCLiitsyfomcjt
главным оОрлюм dis обо-
значения вращения, что
особенно важно яри яра-
грт мириваннн вирялуальгюй
pt'A-iftMotMu tt ееоОМКтик.
Рамануджан стал бы легендой, если бы его история и его работы не были столь тщательно
ОТОБРАЖЕНЫ В РАЗЛИЧНЫХ ИСТОЧНИКАХ. НЕ ИМЕЯ НИ ОБРАЗОВАНИЯ, НИ ДОСТАТОЧНЫХ СРЕДСТВ,
ОН СТАЛ ОДНИМ ИЗ ВАЖНЕЙШИХ МАТЕМАТИКОВ СВОЕГО ВРЕМЕНИ И ПЕРВЫМ МАТЕМАТИКОМ В ИСТОРИИ ИНДИИ.
4 Н ’< мотрч на те что
(.'риннема Рамануджан не
получил I’otxhHoeu образов г-
ни,ч оп нряктччеени в оди-
ночку переработку теорию
Ч1чг1 и Аы копий толчок
зти му pa Фе ц мнте.матикн,
открыв множество ориги-
нальных теорем и формул.
( охрачнлась единствен-
НЛ1 фотография Рамануджа-
на (фото в импорте/, на о,-
ниве которой ч был наткан
ттт nopmpi т.
Очарование вдохновения
Сриниваса Рамануджан
Српнпваса Рамануджан родился 22 де-
кабря годе в Эрод1 — неболь-
шом селе в 400 километрах от Ма-
драса в очень небогатой семьб. Благодаря
полученной стипендии в семь лет он пошел
в школу К/мбаконам. Уже в раннем возрас-
те он с легкостью решал арифметические
задачи и запоминал удивительно Оольшис
числа. Рамануджан moi воспроизвести ио
памяти сотни десятичны.* знаков числа тг
Иди квадратного корня из двух. В 15 лет он про
чел первую книгу ио математике — «С .борник
элементарных результатов чистой и прикладной
математики» Г. С. Карра. Изложение было очень
сжатым и почти не содержало доказат слыл а. Ра-
мануджан опирался лишь паевою бея лтую ши ун-
цию и удивительную проницательность, поз тому
чтение книги напоминало подлинное млтсмати
мсндагельнос* письмо любителю математики Д1 1-
вану Бехаду р1 Рямачандре Рао. который жи\бли i
Мадраса. Тотсразс понял, что спосиНности Рама-
нуджана во многом превосходят его собственные,
и попытался найти для него новую стипендию но
неудачно. Рамануджан, который не принимал под-
ношений ни в какой форме, в конце концов согла-
сился на предложение занять должность бухгалте-
ра в порту Мадраса. Хотя он был ответственным
человеком и добросовестно выполнял работу,
вес сто мысли были посвящены одному: зарабо-
тать достаточно, чтобы обеспечить себя и семью,
и полностью посвятить себя математике.
tND/A
Л Рлмануждан был наззноч-
гцим гением, которому ян
обязаны, помимо прочего,
очень зффективны. я ал-
горитмом вычиезенич ~,
( помощью которого .мол -
но рлеечитать мил тоны
его таков.
Харди
Рамануджан написал многим европейским мате-
матикам, перечислив полученные нм ре-
зультаты и выразив желание расширить
свои знания. Лишь один из адресатов, вид-
ный английский математик Г. X. Харди
(Д?77-л)947). понял ценность письма, по-
павшего к нему в руки. Рамануджан отпра-
вил ему около 120 теорем, содержавших
множество формул. Харди так отзывал-
ся о них: «...я никогда не видел ничего по-
добного. Достаточно бросить на них один
взгляд, чтобы убедиться в том, что они мог-
ли быть написаны только математиком са-
мого высшего класса. Они должны быть
верными, так как если бы они были неверны, нн
у кого не хватило бы воображения их изобрести ».
Кембридж
В конце концов Рамануджан смог переехать
в Кембри дж благодаря полученной стипендии.
Харди, который стал наставником Рамануджа-
на, столкнулся с трудной задачей: как обучить
ческос исследование.
В 16 лет он получил стипендию, дававшую
лрав<' поступления и Кум6яко1гамский колледж,
Рамануджан всецело посвятил себя математике,
забыв об остальных предметах, что стоило ему
стипендии. Он нс сдал ни единого экзамена по
днецип хинам, не имевшим отношения к мате-
матике. Последняя попытка датируется 1906 го-
дом, когда он провалил «Первый экзамен по
искусству». В 1909 году оп женился и занялся
поисками работы, которая позволила бы содер-
жать семью. С помощью друга он передал рс-ко-
4 Г. X. Харди пл Кембрид-
жа, ечнтенпшейея наиболее
..сметным британски м
.мани матико м того вре-
мени. По лучив НЦП.МО Ра-
мануАкана, Харди вместе
с.1. И Jam тупом в туже
ночк проверил 120форму .
и теорем, приведенных
в письме. и понял..что н.-ред
ни и — работа гения.
!>. ылнуджвн (13№Г -1920)
57
Числа Рамануджана-Харди
С числом 1729, называемым числом Рамануджана — Харди, связана инте-
ресная история. Харди навещал Рамануджана и как-то пожаловался, что
приехал на такси со скучным, непримечательным номером 1729. «Нет, —
ответил Рамануджан, — это очень интересное число. Это наименьшее
натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными
способами». И действительно, 1729 = I1 + 12’ = 93 + 10э. Подобные числа
получили название чисел Рамануджана — Харди. Они определяются
следующим образом: л-е число Рамануджана — Харди — наименьшее
натуральное число, которое можно представить в виде суммы кубов
п различными способами В настоящее время известны следующие числа,
обладающие этим свойством:
)Т0 ИИШО10
Т(1} = 2,
Т (2} =1729,
Т (3) = 87 539 319,
Т (4) = 6 963 472 309 248,
Т (5) = 48 988 659 276 962 496.
Шестое число этой последовательности до сих пор неизвестно.
В истории
Рамануджанз
важную роль играет
богиня Намзгири,
Именно к ней
обращалась мгтъ
Рамануджана, долгое
время страдавшая
от бесплодия,
с просьбой даровать
ей сына. Намагири
«разрешила» матери
Рамануджана отпустить сына в Кембридж Сам
Рамануджан утверждал, что богиня внушала
ему формулы во сне.
4 P.I•иднуджан, родившигн ч
нл №м Июни вгечьеври.\
мвнов 1ёнг&ш, »vvh№,i
темЛ MaxteuiuHy (тш
М.глмпшяг кюоражен hi
риеунке в верлне и правом
углу smoii тгрлницы), провел
пггть егт « К.чёршЬкекам
уннвергятегт, w /Л гиховлв
ш »яи вречч 21 , >п.чпьюг
5 иг ник — в еомторгпи».
ео г вой м покривите п
и покмнрикан, .иавинпии
w.ime» гтикач Г Х.Х iptiu.
I Любопытно, то Рамануджан, который строго
придерживался вегетарианской диеты, всегда
готовил себе еду сам. При этом он обязательно
надевал пижаму.
 Харди составил «шкалу чистого таланта»,
присвоив различным математикам баллы от
нуля до ста. Себе Харди поставил 25 баллов,
Литлвуду — 30, Гильберту — 80. Рамануджан
получил наивысший балл —100
Раману ужаиасовременной математике? «Огра-
ниченность его знаний был» столь же удивитель-
ной, как и их глубина». — жаловался Харди.
Вдобавок к этому Рамануджан до этого занимал
ся множеством самых разнообразных гем, пол}-
ровье несколько у и чши хось. Это совпало с дол-
гожданным принятием в ряды Trinity Fellowship,
что нрнда хо Рамануджану сил вернуться к рабо-
те. Этот период в его жизни стал одним нз самых
продуктивных. В начале 1919 года он вернулся
в 1 !пдию, 1дс умер спустя год.
БольшинС) ио его работ Извест-
но из инеем и трех записных кни-
жек. одна нз которых была утеря-
чив как новые результаты, так и те. что уже были
доказаны до пего. Рамануджана следовало мно- г*
тому обучить заново, но Харди всегда старался
не навредить ему излишним форм  мимом и не
разрушить то, что он называл «очарованием его
вдохновения».
Рамануджан прожил в Кембридже пять лет. За
это время он опубликовал 21 статно, в гом чис-
ле пять — в соавторстве с Харди, который заме-
тил: «Я научился у него много большему, чем
он — у меня».
Весной 1917 года у Рамануджана обнаружи-
лись первые симптомы туберкулеза, который
пи |днее и стах причиной его смерз и. Летом то-
го же года Рамануджан лечится в санатории Кем-
бриджа Большую часть последних лет жизни он
не вставал с постели. Осенью 1918 года его здо-
на и пай де на только в 19'6 году.
Полное собрание его работ до
сих пор нс подготовлено; хотя
Р^манхджан прожил всего 33 го-
да, он оставил потомкам свыше
чООО теорем.
*1 Бо ttiinuHi ссо работ
дошлы до нас н	мнеем
и заметок. На рш унк? изо-
бражена страница яз мнш -
нои книжки Рамануджана
На ней	iHta модумные
уравнении третьего wo-
рядка е антечеобазяане-
нни, придуманной ымям
Р.ШЛНуджаНОН.
Парадоксы, часто упоминающиеся в научно-популярных кнцгах по математике,
в то же время могут стимулировать проведение исследований, результатом которых
БУДЕТ ПОЯВЛЕНИЕ НОВЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ КОНЦЕПЦИЙ.
МАТЕМАТИКА
Парадоксы
Вызов здравому смыслу
4 !ншогра(рпч « Водо-
пад нпданнач tt 19ft I году
гениальным голландски. ,ы
художником AL А. .-Эшером,
нредлтлваяет юной ти-
пичным при мер парадокса;
и морожение на картине
очевидно нротимргчит
।дравому с мысау.
Допустим, что некто, желая проверить нашу
внимательность, говорит вам такую фразу:
«Это пред юженш состоит из а ин слов».
Это утверждение очевидно уожно так как в,vert-
Классификация парадоксов
Существуют парадоксы, подобные тому, что мы
только что рассмотрели. Они не являются парадок-
сами в строгохМ смысле этого слова, так как всего
лишь вызывают некоторое удивление. Напротив,
другие парадоксы, которые мы рассмотрим позд-
нее, имеют большое значение в определенных на-
учных контекстах н в некоторых случаях могут да-
же пошатнуть устои целон научной чнециплпны.
Парадоксы можно классифицировать
по самым разным критериям, но обыч-
но они группируются н зависимости от
области, к которой принадлежат. К при-
меру, существуют математические, логи-
ческие, физические, философские, психо-
логические и другие парадоксы, 11х также
можно группировать в зависимости от их
достоверности: в этом случае их подраз-
деляют на собственно парадоксы, мнимые
парадоксы и антиномии, К первой груп-
пе этой классификации относятся утверждения,
кажущиеся абсурдными, но истинность которых
можно доказать. Таково большинство математиче-
ских парадоксов, вк лючля парадокс о бесконечной
гостинице, о котором мы расскажем чуть позже.
А Старейшая лншинамия
принадлежит меру Святого
//ан f.i fr w. ршунок), коти
рыи в "Г/от гании к Титум
/здгая !. 12- /_?7 говорит.
V / i додея герой онеры ^Пп-
чти он рада и ч 29 tfwvpaa м.
ствителыккти предложение состоит из шести слов.
Протпв1>по\ожное ему утверждение звучит так:
«Это пред ючеенне не состоит из семи слов».
Оно вновь будет ложным, так как в действи-
тельности это предложение состоит из семи
слов. Это типичный пример логического пара-
докса. в котором ложными являются и исходное
у [вержденне. и обратное ему. Вообще говоря,
парадокс — это некое утверждение, которое про-
тиворечит здравому смыслу или имеет совершен-
но неожиданный результат.
В настоящее время термин «парадокс» имеет
несколько значений в зависимости от контекста,
но все они близки к исходному, которое дикту-
ет этимология этого слова. Например, парадок-
сом считается утверждение, которое является
истинным, но кажется ложным, либо, напротив,
последовательность корректных логических рас-
суждений, ведущих к противоречию, или же ут-
верждение. истинность или ложность которого
невозможно определить.
чти г крнт.чне — сжец м.
нрннод.ч в ычеешве д»каы-
адгчле те 1 taudeme гьство
Крит чинна — Эннменида.
рлты Пен ыша* (tw.uw'
i шрацию) дпсшнс 21 ллЪ. от-
праиЪюнав всего пчть дшй
рождении, Причина вшам.
нпзтвчу, как ды нарадт аль-
ни мио ни туча ta, его день
рождения отжчаетсч всего
один раз в четыре года.
93
Мнимые парадоксы — это парадоксы, которые
помимо ложного или противоречивою результа-
та содержат ошибку в рассуждениях. Например,
допус ты, что <i = Ь. Тогда
1)	. i' = а-Ь,
2)	л' - bl -a-b- b~,
3)	(a-b).(a + b) = b- (a -b).
ч)	л + b- b,
5)	b + b—b.
6)	lb - b,
7)2 = 1.
Ошибка кроется в переходе от утверждения
3) к утверждению 4), Лак как л — следователь-
но, мы делим обе части уравнения на ноль» что
невозможно.
I 1, наконец» антиномии — это рассуждения,
которые приводят к ложному результату, мсс&ю-
► В 4ДОЯГ £/ чрглгмчгШЯ#
Al rratw ow м.гтс химики
книги - Хитроумный нАмь-
zfl Jew Л nww . J«£v4*¥mfW **
»«<	Л/ялч * Л*
Серванта a
д/WC UiMJfCUi, HpSflfWaflHfK v
nсред Санчо Нансом, налу-
чиншнм чин гу&рнапюра,
омучыяают та тнитую
iiMiuuHOMwtr, Схожим зннзод
упоминается л Sopbismara
французского югмка
и <рн uk&tp,t Жана Бурмина
(i2*J6- /358), когд i Сократ
подходит кмопну, йхраняе-
«лиг Г/ ыммм я проем т
разрешения пройти.
4 Зна пенимый парадокс
брадобрея. пред тлен-
ный Бертранам Расселом
(1872-1970), одни v мэ мш-
tw.w выдающимч чатсма-
ifiHKflfl и югмков всех времен,
trtyvum так. Брадобрей
мреет /мнш> тех. кто не
йрг rm v г ли, я нс бреет тех,
кто бреется сам. Сразу же
ки тикагш вопрос: бреет аи
Можно выделить подгруппу антиномий, об-
разованную парадоксами, которые основаны на
двусмысленности определения какого-либо по-
нятия. Парадоксом такого типа является, напри-
мер, так называемый парадокс кучи, который iey-
чит так.
Пусть перед нами ку ча песка. Будем отнимать
иг нес но одной песчинке- В какой момент куча
песка перестанет быть кучей? Здравый смысл под
сказывает, что любая куча песка обладает следую
щими свойствами:
тря на правильность всех этапов рассуждения
Примером антиномии является па-
радокс Грсллпига — Нельсона, кото-
рый звучит так: «Является ли слово
„гсгсрологнчнып“. означающее „не-
применимый к самому себе", гетеро-
логичным словом?» Подобные пара
доксы наиболее «вредны», так как
демонстрируют пробелы в аксиома-
тике той и ли иной теории. Наибо-
лее важным в этом смысле является
парадокс Расселл, формулируемый
следующим образом.
Пусть А — множество всех
множеств, которые нс содержат
себя В качестве своею элемента.
Следовательно, А является эле-
ментом А тогда и только тогда,
когда А нс является элементом
А. что абсурдно.
Этот парадокс показыва-
ет, что теория множеств, соз-
данная Кантором и Фреге,
противоречива.

V’*"

4д*, 0.
брадобрей сям себя?



- две песчинки — это нс ку ча:
- миллион песчинок — это м ча:
~ если н песчинок не куча, то (я + 1) песчинок
также не будет кучен;
- если п песчинок — куча, то
(и - I) песчинок также будет кучей.
Парадокс «юлючается в том. что
эти свойства являются несовмест-
ными: применив первое и третье
свойство, мы придем К выводу, что
миллион песчинок нс образую! кучу.
11ч первого п четвертого свойств, на-
против. следует, что две песчинки об-
разуют кучу.
Ч Б тн lu т
сивей книги
(irumlgrxtzr бее
.‘Irilinuelik (а Ос но-
вы арифметики „ ),
написанной в 1903
гиду. ненецкий
ч <МГ.«ЫЖЛС Гош.юб Фреге
(1WS-I925) пишет, чти во
время печати ему .тахо из-
вестно а работах Бертрана
Рапе.и, которые зводят его
работу на нет (яшм абзац
выдесен крагныч цветом).
94
I ЮНЫМ .Mt мерлжнт,
а катером еёпь.чм mmmiwj
£ А jrWAJ, KiVCO^HMCM
яюнницл, ведущая к коргине
r thttolMH. UH, m MfitfilM ма *?£>« y-
щгник (длншжиш омти-
инагшчнц wj, что гнямиаше
я&л.чюнм. ч ралуммы wh суще-
cm&tMit и готовы почог.лшь
ученым. Емм бы это было не
ma/Ct ке было бы мн экснери-
мешна, мн ьарлднг ин.
Сила парадигмы
Существует известный эксперимент, в котором
пять обезьян сажают в одну клетку В центре клет-
ки ставят лестницу, ведущую к корзине с бакена-
ми. Ко1да одна из обезьян взбирается но лест-
нице, чтобы полакомиться бананами, остальных
четырех обезьян обливают холодной водой. По-
сле того как 11 о повторится несколько раз, н 1 обе-
зьяну, которая -ахонст забраться по лестнице бу-
дут нападать остальные. Затем вместо одной из
обезьян в клетку сажают другую, которая до это-
го никогда не была в этой клетке. Она сразу же
попытается забраться по лестнице, чтобы сьссть
банан, по полу нит взбу тку от остальных и вскоре
Перес гансг иы гагь^я сделать это снова. По про-
шествии определенного времени заменяют вто-
рую обезьяну, и все повторяется сначала, несмо-
тря на то что на этот раз обезьян уже нс поливают
холодной водой. Болес того, если заменить всех
обе гьян по очереди, они будут знать, что по лест-
нице забираться нельзя, иначе остальные рассер-
дятся. Если бы обезьяны могли говорить и мы
► Hi мной фрагментекар-
тины Рчфазчся -Лфинсклч
«иные, находящейся в li.i
тиканском деорие, изобра
жен Пифагор. который ре-
шает геометртесе кую л|Дз v
в окружении учеников, [1шр.ь
горойцы юзЛии парадигму,
еишывающуы Фи юю/р^ую
Связь чежду штур,ельны ня
числами и геометрическими
фигуряет. Кризис этой
парадигмын.ит.нил, когда
было обнаруж, но. что диа-
гональ квадрата с единичной
стороной, равную с!2, нельзя
точно измерить никаки ч
инструаентом. сколь бы
точный он ни был.
могли бы спросить ил почему' они так поступа-
ют, скорее всего, мы бы услышали: «Потому что
так было всегда».
Эти неоспоримые правила, которым подчи-
няется соцп 1м,ная группа, образуют так назы-
ваемую пара хит,,rv. Пример с обезьянами очень
прост. Он был выбран специи лыю. чтобы объ-
яснить это понятие. Разумеется, научная пара-
дигма охватывает больше уровней сложности.
Слово «парадигма» происходит от греческого
TrapaSriyua — модель, образец. Например, гео-
метрия Евклида — это парадигма, в рамках ко-
торой произошло развитие всей математической
 сирин. Появление нссвклидоиой геометрии,
в которой аксиома о параллельности прямых бы-
ла поставлена под сомнение, Открыло новые гори-
зонты для новых геометрически х парадигм.
Парадокс — черный ход
к пар?дигме
Смена парадигмы не происходит тихо и незамет-
но. Как правп хо, этот процесс сопровождается за-
метными потрясениями. В древнегреческой мате-
матике, в частности в пифагорейской школе, была
создана парадигма, содержавшая философское
понятие из гуралмгых чисел в их связь с геометри-
ческими фигурами, с помощью которых можно
было объяснить устройство мира Охнако было
обнарх жено, что диаг ональ квадрата с единичной
стороной нельзя точно измерить, сколь бы точны-
ми пи были средства измерения. Это стало при-
чиной кризиса такого масштаба, что пифагорей-
цам было запрещено разглашать этот секрет под
страхом смерти. Согласно Прокху, Гпппас из Ме-
тапоита пт пб при кораблскру шепни в наказание
за разглашение >той тайны.
Этот пара доке подобно бомбе с часовым меха-
низмом должен был рани или поздно разрл шить
Пйрлдиксы
95
Гостиница Гильберта
Гостиница Гильберта — это воображаемая гостиница с бесконечным чис-
лом номеров. Владелец гостиницы заявляет, что никогда не отказывал ни
одному постояльцу. Однажды, когда все номера гостиницы были заняты,
неожиданно появился новый клиент. Администратор сообщил владельцу
гостиницы, что для этого клиента не найдется места. Владелец гостиницы
предложил та кое решение: нужно попросить всех постояльцев переехать
в следующий номер. Иными словами, постоялец из № 1 должен переехать
в № 2, из № 2 — в № 3 и так далее. Таким образом, освободится № 1, куда
можно будет поселить нового клиента
ЭТО H4JKP4C4I0
Парадокс с исчезновением клетки несложен
и не ведет к смене научной парадигмы. Это
всего лишь занимательная задача, которую
можно предложить друзьям. Для этого вам
понадобится лист бумаги и ножницы. В зале
для торжественных дипломатических приемов
нужно положить треугольный ковер, изобра-
женные на рисунке. К сожалению, на ковре
есть черное пятно. В химчистке сказали, что
на выведение пятна уйдет несколько дней
«Это невозможно! Торжественный
прием состоится уже сегодня
вечером! —«Ничего
страшного, мы уладим
вопрос по-
другому».
Сотрудник химчистки берет ножницы,
разрезает ковер вдоль пунктир-
ных линий и откладывает
запачканный квадрат
в сторону:
Затем он соединяет час. гм ковра так, как пока-
зано на рисунке:
цы. В этот раз в его голосе звучали нотки отчаяния. В гостинице хочет оста-
новиться бесконечное число математиков, приехавших на конференцию.
«Их невозможно расселить!» — пожаловался администратор. Немного по-
размыслив, владелец предложил решение: нужно попросить гостей, чтобы
каждый переехал в комнату, номер которой в два раза больше номера той,
где он сейчас живет. Постоялец из № 4 должен переехать в № 8, из № 23 —
в номер 46, из № 352 — в № 704 и так далее. Все комнаты с нечетными
номерами окажутся свободными, при этом их будет бесконечно много, так
что места хватит всем участникам конференции.
Получился ковер той же формы и размера ко
уже без пятна, как показано на рисунке ниже.
парадигму пифагорейцев. За каждым кризисом
в истории математики стоит один или несколь-
ко парадоксов. Например, математикам XIX ве-
ка приходилось мириться с тем фактом, что су-
щее гвуст взаимно однозначное соответствие
между бесконечным множеством и его подмно-
жеством («существует столько же натуральных
чисел, сколько четных») и в то же время суще-
ствуют бесконечные множества, между которыми
нельзя установить взаимно однозначное соответ-
ci ^ие (например, между множеством натуральных
и вещественных чисел). Эти парадоксы стимули-
ровали развитие современной теории множеств
и окончательно перевернули представления о бес-
конечности, существовавшие в то время.
Куда же делся черный квадрат?
(иомиэЛп иэниэ енэнэшо egnjadau cnhoi) из
-инииwowBdu ВЭ1ЭВ1/0В эн еминчиотХэйт оэоннэнЛиои peXhsiouhj ’эинэтэ^
Лучшее от Сэма Лойда
Вероятности и теория игр
ю иг/чяим> |t-
J.i	Игру?
1.	Игра с кубиками на ярмарке
Эта игра с кубиками очень популярна па ярмар-
ках и гуляниях. но два игрока редко сходятся во
мнениях относительно того, какова же здесь ве-
роятность вьпнрыыл Чтобы определить се. до-
с гаточно решить нес ложную задачу ио теории ве-
роятностей. 11а игровой доске нарисованы шесть
квадратов, обгчначенны. числами 1, 2, 3, 1, 5, 6.
I й'роки могу г поставить любую сумму на любое
число. Далее нужно бросить три кч бика. Если вы-
бранное игроком число выпало только нп одном
кубике, игрок забирает ставку плюс получает выи-
грыш. равный сумме ставки. Если выбранное чис-
ло выпало на двух кубиках, игроку возвращается
его станка плюс удвоенная се сумма. Если число
выпало на трех кубиках, игроку возвращается его
ставка плюс утроенная ее сумма Разумеется, если
выбранное число ле выпало ни на одном кубике,
игрок теряет деньги.
Чтобы вы лучше поняли правила игры, рас-
смотрим пример Допустим, вы поставили дол-
лар на число 6. Если на одном г убпке выпало 6,
вам возвращается доллар и вы получаете еще дол-
лар сверлу. Если 6 выпало на двух кубиках, вам
возвращается доллар и вы получаете еще два дол-
лара сверху. Если 6 выпало на трех кубиках, вам
возвращается доллар и вы по лучаете еще три дол-
лара сверху.
Любой игрок может сказать: вероятность то-
го, что мое чиг ло выпадет на одном кубике, равна
1/6, но так как кубиков три, то вероятность рав-
на 3Z6, или 1/2, поэтому игра честная. Ра зумеется,
организатор игры хочет, чтобы вы думали именно
так, но эти рассуждения ошибочны.
Кто же имеет преимущество — игрок иди
ба*1к? k IKOBU преимущество одной на сторон
в каждом еле час ?
2.	Великая головоломка
об американском бильярде
Трос мужчин нача хи игру в американский Ьп-
льяпд с 15 шарами и, по обычаю, условились, ч го
за игру платит проигравший. 11грок NS 1 был мл
стером и согласился сыграть против двух других
игроков, № 2 и 3- Ему нужно Оыло загнать в лу-
зу стоив ко шаров, сколько двум его противни-
кам. вместе взятым. 11грокп уже Попирались на-
чать, когда к ним присос чинился четвертый. Он
был им незнаком, поэтому ему не дали никакой
форы, он должен Пыл играть наравне с остальны-
ми тремя игроками. На рисунке показано, сколь
ко шаров забп л каждый игрок в «той партии. Воз-
ник спор о том, кто же проиграл.
Суть задачи — определить, кто из игроков
должен заплатить за игру согласно условиям, ого-
воренных! выше За дача нс стать проста, как мо-
жет показаться. FL нашлось даже двух игроков,
которые бы сошлись во мнениях. Кто из игроков
должен заплатить и почему?
3.	Скачки в стране головоломок
Чтобы пока гать, что лишь немногим увлеченным
любителям скачек знакома теория вероятностей,
предложим следующую, очень простую задачу.
Если ставки на победу принимаются два к од-
ному против гиппопотама, три к двум против но-
сорога, то каковы будут ставки на победу жирафа
на скачках в С . ранг головоломок?
▼ Коковы cmJtfiKu nMefy
.*Up.Up.lt
57
Приведу еще одну головоломку с теми же
героями.
Если жираф опережает носорога на одну вось-
мую мили в скачках на две мили, а носорог опе-
режает гиппопотама на четверть мили в тех же
скачках, на сколько жираф опередит гиппопота-
ма в скачках на две мг.ли?
4.	Система лорда Росслина
Недавние новости о том, что некто выиграл
777777 франков в казино Монте-Карло, застави-
ли меня вспомнить о системе лорда Росслина, ко-
торая была очень популярна несколько лет назад.
Не вдаваясь в технические аспекты игры в ру-
летку, в которую играют в казино Монте-Карло,
условимся, что система лорда Росслина основа-
на на ставках, кратных числу 7, и попросим чи-
тателя решить следующую задачу. Допустим, что
игрок (который ставит только на красное или
черное, при этом вероятность выигрыша и про-
игрыша одинаков i) ставит один франк семь раз
подряд. Затем, вне зависимости от общего выи-
грыша или проигрыша, он повышает ставку до
7 франков и снова играет 7 раз. Далее он ставит
49 франков 7 раз, затем — 343 франка 7 раз, за-
тем — 2 401 франк 7 раз, после чего 16 807 фран-
ков семь раз, затем 117 649 франков семь раз. Ес-
ли, сыграв 49 раз, он выиграл 777 777 франков,
сколько раз из этих 49 он выиграл? Задача про-
ста, но тем не менее представляет интерес как ма-
тематическое объяснение «успешной системы
Росслина».
Если вам не удастся сразу получить точно
777 777 франков, проведите несколько экспери-
ментов, и вы увидите, что это не столь математи-
ческая задача, как может показаться.
Решения
1.	Из 216 равновероятных исходов,
возможных при броске трех кубиков, вы
выигрываете в 91 случае и проигрываете
в 125. Вероятность выиграть столько,
сколько вы поставили, или более, рапна
91/216 (вероятность выиграть столько,
сколько вы поставили, равна 100/216),
а вероя гность npuni рыша — 125/216. Ес-
ли бы на кубиках всегда выпадали разные
цифры, игра была бы честной.
Допустим, что на каждое число было
поставлено по 1 доллару. При каждом
броске, когда выпадает три разных
числа, банк выигрывает три доллара
и платит победителям еще три. Однако,
если выпадает два одинаковых числа,
чистый выигрыш банка равен 1 доллару,
если выпадает 3 одинаковых числа. банк
выигрывает 2 доллара. В целом, игрок
в среднем теряет 7,87 цента на каждый
поставленный доллар вне зависимости
от сумм ставок и исхода игры. Это дает
банкупреимущество в 7,87 % на каждый
поставленный доллар.
2.	Лучший игрок (№ 1) утверждает, что он
не проиграл, так как он обыграл игро-
ка № 4. Однако № 4, который обыграл
№3, сказал, что он гакж° не проиграл,
а № 3 заявил, что он, играя в команде
с № 2, обыграл № 1, следовательно, по
договоренной и, он не может считаться
проигравшим.
Различные аргументы, приводимые
сторонами, только осложняли дело. Так
как правила не касались игрою № 4 и он
не был связан какими-то договоренно-
стями, то он надел шляпу и плащ и отпра-
вился домой. Тогда игроку N® 1 пришлось
отвечать по своим обязательствам. Так
как он *абиг 5 шаров, а его оппоненты —
6, то за игру пришлось заплатить именно
игроку №1.
Однако существует еще одна точка
зрения, которая меняет решение задачи.
Игроки № 3 и 2 играли против игрока
№ 1 по особым правилам, но так как № 1
обыграл № 4, то он свободен от какой
бы то ни было ответственности. Так как
игроки № 2,3 и 4 играли на равных, без
каких-либо особых договоренностей, то
проиграл игрок № 3.
(Очевидно, сложность задачи за-
ключается в различии формулировок,
поэтому на нее нельзя дать четкий ответ.
Когда в игру вошел четвертый человек,
игрокам следовало прийти к соглашению
относительно того, кто будет считаться
проигравшим. Так как они этого не сдела-
ли, то однозначно определить проиграв-
шего нельзя. В любом случае, задача
Лойда допускает достаточно интересные
решения.)
3.	Если мы представим вероятности в ви-
де дробей, то получим, что вероятность
победы гиппопотама равна 1/3, носоро-
га — 2/5. Так как сумма трех вероятно-
стей должна быть равна 1, вероятность
выигрыша жирафа равна 4/15, то есть
ставки на него будут приниматься в рас-
чете 11 к 4.
Ответ на второй вопрос таков: жираф
опередит гиппопотама на 23/64 мили.
Допустим, что жираф пробегает 2 мили за
1 час. За это же время носорог пробежит
1 и 7/8 мили, то есть на 2 мили носорог
потратит 16/15 часа. За то же время, что
носорог пробежит 2 мили гиппопотам
пробежит | 3/4 мили. Иными словами,
он пробежит 105/64 мили за час. Так как
2 мили—это 128/64 мили, нужно всего
лишь ьычесть из этого числа 105/64,
чтобы пси учить ответ. Разумеется, ответ
будет тем же самым вне зависимости от
выбранной скорости жирафа.
4.	Существую, одно или два различных
решения, но в их основе г.ежгп един и тот
же принцип.
Игрок проигрывает 7 ставок по
1 франку, затем проигрывает 3 ста«ки по
7 франков и выигрывает 4, что уравнива-
ет его выигрыши и проигрыши Затем он
выигрывает 2 раза по 49,5 раз, проигры-
вает эту же сумму, потом выигрывает
7 раз по 343. Далее он 3 раза проигры-
вает 2401 и выигрывает 4 раза, после
чего 2 раза выигрывает по 16 807 и про-
игрывает 5 раз, и, наконец, выигрывает
7 раз последнюю ставку, 117 649 франков.
Итого игрок выиграл 869288 франков
и проиграл 91511 франков. Таким об-
разом, чистый выигрыш составит
777 777 франков.
Задача головоломки «Винтовой узел» — собрать из частей изображенную на рисунке фигуру.
Однако также интересно определить, какую часть нужно сдвинуть первой,
чтобы разобрать головоломку.
Узел из трех частей, которых на само м деле шесть
Винтовой узел
Узел — общее название для головоло-
мок со сцепленными частями. Уз-
лы состоят нз определенного ко-
личества деталей, имеющих вырезы,
благодаря которым элементы сце-
пляются между собой. Особая
красота собранной головолом-
ки заключена в том, что эти
вырезы скрыты внутри, ня
за чего нельзя опрс делить,
как именно сцеплены части.
Узел из особых
сс хтавных частей
Винтовой узел — поистине не-
обычный представитель семейства
головоломок-узлов. Если вниматтль
но изучить головоломку, становится
понятно, что ее автор хотел создать соче-
тайне традиционного узла из шести частей
п простого узла из трех частей. Эта головолом-
ка как будто состоит из трех частей, раскрашсн-
нью в два цвета, В действительности каждая нз
этих трех частей состоит из двух элементов, вы-
полненных из дерева разного цвета. Один из эле-
ментов в каждой паре по форме совпадает с эле-
ментом традиционного узла, другой состоит из
двух более мелких частей. Так как большая часть
«прикрывает» малую, становится понятным ис-
ходное название головоломки — «Покрыты/)
узел» (Coated Burr),
Головоломка для IPP-18
J 1орг фон Кеисль — всемирно известный
автор механических головоломок, участво-
вавший во многих международных фе-
стивалях головоломок (англ. Incernacional
Puzzle Parry — IPP). Участники спсцн
алы to создают для фестиваля новые голо-
воломки и обмениваются ими. 11орг фон
Кснель всегда участвует в фестивалях го-
ловоломок с женой Карин, которая также
занимается созданием головоломок. На
каждом фестивале и 11орг, и Карин пред
стапляют по новой головоломке.
« Винтовой узел*» был создан Йор-
гом фон Кснелем спецна и,но для
18-го Международного фестиваля ГО-
ЛОВОЛОМОК, который Проходил в Токио
в 1998 году.
д П.1 ectiose «Дкчве it., кого
Об авторе
Иорг фон Кснель — математик и специалист
по вычислительной технике. К конструирова-
k/tt-fm./» 'M.miiidae бес-
чш .гинеи инояжтю пре-
красных головуiOMOK-y fAOB,
многие н»w/w.x пред-
ставлены в выпусках этого
мурн.иа. Головоло.мкд нрн-
шглемач к этому выпуску,
иыы воздана Йоргом фон
Кенг ми / 9 РУ году.
нию деревянных головоломок его привели два
хобби — увлечение головоломками и столяр-
нос дело. Интерес к головоломкам в нем пробу-
ди,ла книга Джерри Слокума Puzzles Cid & New
Он увлекся головоломками настолько серьез-
но, что провел одно из самых полных исследова-
ний о возможных формах узлов из шести частей
(« Дьявольскою крссга») и разместил результа-
ты в Интернете.
▼ Lite, mt. ч.чшей .’и лпад-
fAWXH *ВинШ0НОН fJMw,
гиединенные попарно, совпа-
дают т тремя цементами
простого узла. На иллю-
цпрацни изоорлзкены три
пары элементов голове ю.ики.
3te мент сеет юго цвета
каждой нары встав {.четен
в .элемент mt много цвета,
изображенный рядом г wcv.
Решение
1.	Аккуратно расположите элементы головоломки
так, как показано на рисунке, затем положите элемент
D поверх элемента С
2.	Поместите элемент В поверх элементов С и D перпендику-
лярно им, как показано на следующем рисунке.
4
3.	Поместите элемент Р поверх остальных так, чтобы он
оказался перпендикулярен элементу 8 и группе элементов
CD.
4. Расположите элемент А поверх элемента В
6
5. Расположите элемент Г поверх элемента F, закрыв стыки
остальных элементов.
6. Головоломка собрана.
х
ETOGOSTINI ПРЕДСТАВЛЯЕТ
Пропустили выпуск
любимой коллекции?
О Просто закажите его
на сайте
www.deagostini.ru
Для украинских читателей — по телефону горячей линии 0-800-500-8-40
В следующем выпуске через 2 недели
Спрашивайте
в киосках!
Четыре буквы Т
Теория игр
Выигрышные стратегии
Разносторонний гений
Джон фон Нейман
Логика в электрических цепях
Машинный язык
Генри Э. Дьюдени
Три геометрические задачи