ВЫХОДИТ РАЗ В ДВЕ НЕДЕЛИ
Рекомендуемая розничная цена; 279 руб.
Розничная цена. 49,90 грн, 990 тенге
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ TCAGOSTINI
10
Крестовая головоломка
занимательные
«ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ» Издание выходит раз в две недели Выпуск №10,2012 РОССИЯ
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ DAHGCSTINI
В этом выпуске:
ИЗДАТЕЛЬ. У ЧРЕДИТЕЛЬ. РЕДАКЦИЯ: ООО чДе Агосгани", Россия ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 105066. г, Москы, ул. Александра Лукьянова, дЗ. стр.1 Письма читателей поданному адресу не принимаются ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Николаи Скилакис ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР; Анастасия Жаркова ФИНАНСОВЫЙ ДИРЕКТОР Наталия Василенко КОММЕРЧЕСКИЙ ДИРЕКТОР: Александр Якутов МЕНЕДЖЕР ПО МАРКЕТИНГУ: Михаил Ткачук
МЛАДШИЙ МЕНЕДЖЕР ПО ПРОДУКТУ;
Любовь Мартынова
Свидетельство о регистрации средства массовой информации в Федеральной службе ПО надзору в сфере связи, информационных технологий и массовых коммуникаций (Роскомнадзор} ПИ №ФС77-43310 от 28.122010 г.
Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.dea gosti ni.ru по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатной «горячей пинии в России. с 8-800-200-02-01
Телефон горячей пинии» для читателей Москвы:
С 8-495-660-02-02
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ: Россия >70100, г. Тверь. Почтамт, а/я 245. Де Агостини1 Занимательные головоломки»
РАСПРОСТРАНЕНИЕ
ООО < Бурда Диггрибыошен Сервисит
УКРАИНА
ИЗДАТЕЛЬ И УЧРЕДИТЕЛЬ: ОООсДе Агостини Паблншинг. Украина ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 01032, Украина, г. Киев. ул. Сакса ганс кого, д. 119 ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Екатерина Клименко Свидетельство о государственной регистрации печатного СМИ Министерства юстиции Украины КВ № 17502 6252Р от 01.03,2011
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ: Украина, 01033, г. Киев, а/в *Де Агостини^ Занимательные головоломки1
УкраТна, 01033, м Kmib, а/с «Де Агоспн!
Для заказа пропущенных номеров и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции, заходите на сайт www.deagostini.ua по остальным вопросам обращайтесь по телефону бесплатном «горячей пинии?* в Украине.
С 0-800-500-8-40
БЕЛАРУСЬ
ИМПОРТЕР И ДИСТРИБЬЮТОР В РБ: ООО «Росчерк*. 220037, г. Минск, ул. Авангардная, д, 48а, литер 8/х, телефакс +37$ 1? 2 999 260 АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ: Республика
Беларусь, 220040, г. Минск, а/я 224, 000 - Росчерк', «Де Агостини-, ^Занимательные головоломки,
КАЗАХСТАН РАСПРОСТРАНЕНИЕ; ТОО зКГП = Бурда Алатау-Лреесс
РЕКОМЕНДУЕМАЯ РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА: 279 руб. РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА: 49,90 три. 990 тенге
ОТПЕЧАТАНО В ТИПОГРАФИИ: G. Canale & С 5 р А So5-Cemica47. Bucu rest i.Partelimon - llfov, Romania.
ТИРАЖ: 95 000 экз.
Издатель оставляет за собой право изменять последовательность номеров и их содержание.
Издатель оставляет за собой право увеличить рекомендуемую цену выпусков.
Неотъемлемой частью каждого выпуска является приложение.
э ООО -«Де Агостини»; 2012 © RBA Coleccionabl», 2011 ISSN 2225-1782
ДАТА ВЫХОДА В РОССИИ: 19.06 2012
Головоломки
Математическая вселенная
Гехники Проблемам сочетания шарфиков с су мочками и перестановок мебели по комнате посвящена, оказывае г^я, щ гая область математики — комбинаторика. Предмет ее изучения — комбинации — встречается нам повсюду, и в обыденной жизни, и в науке, и даже в искусстве (ведь что такое «Гамлет» Шекспира, как не ряд комбинаций букв и слов?). 11о все же. как бы ни были велики возможности комбинаторики, даже она оказывается порой бессильна. На-
пример, когда речь заходит о квантах.
Блистательные умы
Отец непс .ноты Не совсем понятно, кем Курт Гёдель был в большей степени — философом математики или математиком философии. Отбыта ч (ведь, по мнению Геделя, ehieei тн ничего в математике нельзя) им теорема гласит: «Любая теория является либо неполной, либо противоречивой». Кроме того, ученый занимался изучением
элементарных частиц души и математически доказал возможность пу-гешествип во времени.
Математика и.* какдый день
( и и треугольника# Архитектура и звездное небо существуют в трехмерном пространстве. Именно поэтом}’ тригонометрия появилась в Древней Греции практически сразу после геометрии. Три тонометрия занималась углами и треугольниками — таким образом мудрецам древности удавалось посчитать то, что невозможно было измерить. К примеру, вычислить траектории небесных тел, составить календари и карты местности, научиться ориентироваться на море. 11равда, в своих астрономических расчетах они исходили из того, что Земля плоская, над нею — небесная сфера, а Солнце кружится вокруг Земли.
Математические кадачки
Л чшее от ГенриДьюдени Даже в високосный год жизнь не оста навливается: холостяки женятся на вдовах, а вдовцы — на старье девах. сыновья вновь не могут поделить наследство, а дети продолжаю г проверять своих родителей на сообразительность. Решая хитроумные задачи Генри 3. Дьюдени, попробуем понять, сколько образовалось новых супружеских пар и по какой формуле происходит подсчет результатов выборов.
Kpctmoeaj. головоломка ставит перед нами непростую задачу — вслепую разгадать принцип работы механизма, блокирующего крестовину. О его наличии можно догадаться только по звуку. Однако предоставим небольшую подсказку здесь р (ботает принцип действия центробежной силы — той же, которую мы можем почувствовать на себе, когда катаемся на карусели.
Появление комбинаторики было неизбежно — без нее невозможно понять законы, управляющие СЛУЧАЕМ, В НАСТОЯЩЕЕ ВРЕМЯ КОМБИНАТОРИКА ИСПОЛЬЗУЕТСЯ В БОЛЬШИНСТВЕ ПРИКЛАДНЫХ НАУК И ЯВЛЯЕТСЯ ОДНОЙ ИЗ САМЫХ «ПРАКТИЧЕСКИХ» ОБЛАСТЕЙ МАТЕМАТИКИ.
Шествует вариантов по-разному одеть девочек? Чтобы выяснить это, достаточно провести расчеты на листе бумаги. Но вообразите на минуту, что
XI7 века. .7/W.4, тика изображена в вбрн’е дамы, ибучающен техникам счета
вы — тот самый человек, который ведает простановкой штрихкодов на товарах. Для присвоения кода производителю товара уже точно не удастся обойтись только бу магом и карандашом; необходимо владеть специа сьнон техникой, гарЛнтн-рчощеи использование всех возможных вариан
тов, иными словами, нужна хорошая «техника счета». В математике все эти техники объединя
ются в одну отрасль науки, которая называется комбинаторикой. Кроме всего прочего, комбинаторика — это прслюлия к расчету вероятностей. Любой знает, что для оценки вероятности победы в покере и ли при игре в рулетку надо просчитать, годной стороны, огицес количество вочмож ных ч<ъ\ов, а с другой — сколько и т них приведут к выигрышу. Глупо садиться за карточный с гол. hi владея даже самой простой техникой, позволяющей вычислить, сколько, например стрпт-флг шей можно собрать при колоде н 52 карты. А рассчитать вероятности без комбинаторики практически невозможнее
Комбинаторика
Техники счета
Вопрос порядка
До начала расчетов необходимо навести порядок Конечно же. мы нс имеем в виду порядок на рабочем месте. Нсобхцуимо упорядочить обьекты, число комбинации с которыми мы хотим выяснить. Допустим, у нас есть банки с краской четырех цветов: красной (К), желтой । Ж), зеленом (3) и коричневой (Кор), и нам нужно разложить их по коробкам, по две разные банки в каждой Мы можем сделать это следующим образом:
то есть шестью различными способами, так как если в одной коробке находя 1ся банки с желтой и красной красками, то она полностью идентична той, где лежат банки с красной и желтой. Но если мы хотим парными цветами раскрасить флаги, то сделать это можно будет так:
.мй«и>ыл арш токрлтое. С древних еречен умение i читлту было м, обходимо каждому обрл (ованнезп человеку.
’"и.ЯиЛв
I-~i—
то есть двенадцатью способами, так как красно-желтый флаг не является идентичным желто- краем ому.
Размещения
Когда v нас в наличии есть набор элементов т и необходимо сформировать группу элементов п таким образом, чтобы группы различались между собой не только составляющими, но и порядком, в котором эти элементы строятся, эго называется обрв гованпем размещения элементов т, взятых и у и по п. и обозначается как V,ajl. В с уу-чае с дну хцветными флагами то. что мы делали, — это размещения из четырех элементов, взятых из 2 по 2 Расчет перестановок можно производить прямым счетом, как мы видели ранее на примере с двухцветными флагами Это всего лишь вопрос порядка и терпения.
49
▼	ли «емжг w-
Однако вместе с увеличением количества объ-
сктов может случиться так. что терпения потребуется существенно больше, чем мы рассчитывали. Нарисовать изображенную выше табличку с 24 трехцветии ми флагами из четырех цветов — эю еще похоже на забавное развлечение. 11о вы числение тем же способом, сколько трехцветных флагов можно получить из 28 цветов, больше напоминает божью кару. особенно если нам необхо
с".
Это число трехцветных флагоь, которые можно получить с помощью 28 цветов. Теперь нет необходимости просчитывать асе эти цвета один за другим. 11з чею состоит формула? Это очень
л 7ал <«<?<• 1И 12 апостолов вокруг Хргитл на w Ганной вечере» Леонардо. Ei ги бы охи

димо быстро вывести это число для срочного решения задачи (например, в генетике). К счастью, есть формула, позволяющая произвести расчет быстро и без необходимости построения таблицы со всеми возможными вариантами. 11ам нужно рассчитать V,x,, а дхя этого требуется узнать произведение чисел
28-27-26= 19656
просто: достаточно умножить последовательные числа с 28 до 28 - 3 + 1 - 26.11очему? Потому что сначала, при выборе первого цвета, мы рас полагаем 28 возможностями. Как только мы выбрали цвет, возможностей для выбора второго остается 27. Итого, число возможных пар рав но 28 • 27.
решили повторять ее каждый день, меняясь при мпом местами и оставаясь в той же составе, им предстоя to бы 12! -47V mi 600ужинов, которых бы хватило почти на по тора миллиона лет.
Для третьего цвета количество возможностей уменьшается до 26. таким образом, для трех цветов флага формула следующая: 28 • 27 • 26.
Вернемся к табличке с трехцветными фллами из четырех цветов. Она имеет 2ч элемента. А сейчас мы можем проверить, что скажет на это наша формула. Так как нам надо рассчитать V, ч, то числа, которые надо будет перемножат ь, должны оканчиваться на 4 - 3 + 1 = 2, то есть V , = ч • 3 • 2 = 2ч. Если записать это математическими символами, то
ведите гей скачек можно вычинить посредством истода рллмещешгя. Д гч того необчодиил сосчитать количество ра < иещений, вгятых ui 3 по.? ат общего числ.1 участвующих в габеге юшлдей.
мы получаем такую формулу:
Vm „ = от • (да - 1)  (ст - 2)  от - 3) • (от - и+1)
Перестановки
Особенный случай с размещениями встречается, когда в игру вступают все элементы. Например; сколько трехцвегных флагов можно получить из
трех цветов? 11ли: сколько реестров из пяти чисел можно сформировать с пятью различными числами? Если бы мы взяли туже систему вычисления, которую использовали с перестановками, то нам нужно было бы написать V,, = 3  2 • 1 =6 трехцветных фла1 ов, так как последнее число умножения было бы 3 - 3 + 1 = 1
11 по аналогии:
V = 5 • 4 - 3 - 2 • 1 = 120 реестров
В этом случае мы говорим о перестановках, а нс о размещениях, и записываем это так: Р„,. Значит, перестановки элементов т — это все группы, которые могу г сформироваться таким образом, что


в каждую из них входит от элементов и они различаются только порядком. Формула для расчета перестановок очень проста:
Pm = ni • (ш 1) • (тп 2) - (т 3) •• 3 • 2 • 1 Р, = 8-7-6-5-4-3-2-1=ч0320
Это произведение натуральных чисел имеете математике название факториал и пишется с восклицательным знаком после числа: 8!, а читается как « воссм ь фак гориал ».
На карманных калькуляторах операция, позволяющая рассчитать факториал числа, обычно изображается с помощью символа п!, и чтобы вычислить, например, 10!, необходимо сначала набрать 10, а затем нажат, клавишу п!, после чего на экране появится число 3 628 800. По факториалам можно наблюдать эвол, )цию карманных калькуляторов. Первые из вышедших на рынок нс выдерживали и 120!, а современные калькуляторы считают его за одно мгновение. Можете проверить свой калькуля гор — постепенно увеличивайте число и наблюдайте за его реакцией. Нс рекомендуется проделывать такие опыты с калькулятором на компьютере, так как процессор, начав считать, уже нс сможет остановиться.
Сочетания
Вот в этих комбинациях порядок не важен. Сочетания трех букв (А, В, С), взятых 2 по 2, следующие: АВ, АС и ВС. Разницы между парами АВ и ВЛ мы не видим. Легко заметить, что для одинакового количества элементов чисел при сочетании всегда меньше, чем при размещении:
^.= 6
Cw = 3
Построить таблицу с сочетаниями гора :до легче и быстрее, чем таблицу е ра !мещсниями. Однако численный расчет, наоборот, получастг я слоя нее. Количество комбинаций с элементами т, взятыми из п по я, вычисляется следующим образом:
ml
С«.я=----------
я! (я* — к)!
Таким образом, количество сочетаний, которое мы можем получить с 6 элементами, взятыми из 3 по 3, будет;
б!	6-5-4-3-2-1
Qj =-----------= —-------------= 20
З'(б-З)!	3-2-1(3-2-1)
ml
В математике это выражение ------—
я! \т — я)!
/игХ обычно представляется в таком виде nJ
и называется биноминальный коэффициент. Биноминальные коэффициенты часто появляются в алгебре, и иногда их вычисление может быть несколько затруднительным. Существует треугольный способ расположения биноминальных коэффициентов, облегчающий расчеты. Он известен как треугольник Паскаля и строится следующим образом;
А Так наминаемый треугольник Паскаля не был придуман ни Паскслгм, ни Николо Тарта которому также приптываыт это открытие. Перед нами иллюстрация ю трактата китайского ма тс на тика Чжу Шицее, написанного в 1303 году
1 1
4
5
15
1
1 1 б
1	1
2	1
3	3
б	4
10	10
20	15
1
1
5	1
б 1
Каждое число является суммой двух расположенных над ним чисел. Эти числа полностью соответ ствуют следующему расположению биноминальных коэффициентов:
Чтобы узнать биноминальный коэффициент, нужно лишь найти его эквивалент в первой таблице.
Комо чнаторика
51
TibuU Comlmtitori f* Гхр^ tote СнМм/ёвяв u.
находится на третьем месте в предпоследнем ряду, и в первой таблице ему соответствует число 10. Треугольник Паскаля можно сделать любого размера и использовать его как шпаргз лку. Имея перед глазами обе таблицы, можно быстро решать подобные задачи: мы имеем урну с пронумерованными от 1 до 6 шарами. Выбираем наугад 4 из них Вопрос: сколько возможно ра глич-
ных сочетаний?
сн
Возьмем в качестве примера испанскую лотерею «Ла Примитива». В ней необходимо отгадать 6 номеров из 49. Итак, встает вопрос: сколько групп из 6 разных чисел мы можем создать, имея 49 номеров? Тут не важен порядок, так как билет с номерами (2, 16, 21, 32, 47, 49) такой же выи-грыгиный, как и с номерами (2.47,21,32,16,49). Разговор идет о сочетаниях. А именно, о количестве комбинаций из 49 чисел, взятых из 6 по 6. Нам необходимо рассчитать значение биноминального коэффициента CW6. Мы можем попробовать нарисовать треугольник Паскаля в 49 рядов, но, в любом случае, этот расчет не сложен, так как его можно сильно облегчит! .
/49\ ____49!_____ 49! _
UJ 6! (49-6)! 6! 43!
=-t9-48-4 -45-46-44 =13983816
6-5-4-3-21
Итак, чтобы точно выиграть в ютерее « Ла Прими гива». стоимость билета которой не превышает одного евро, нужно вложить в билеты около 14 млн.
А Якоб Бернулли — один из наиболее известных последователей Паскаля и Ферма в области комбинаторики и теории вероятностей. На иллюстрации изображена страница из его труда «Artis Conjectandi» («Искусство предположений»}, опубликованного в 1703 году.
Конечно, это абсолютно невыгодно, но ведь сам выигрыш при носит огромное удовлетворение.
Разм цония с повторением
Итак, все три техники счета, которые мы рассмотрели на данный момент — размещение, пере* та-новка и сочетание — хоть и являются столпами, на которых держится здание комбинаторики, нс нс создают, тем не менее, «технику для счета» чего угодно. Например, они не помогут решить, сколько денег надо вложить в спортивную лотерею, чтобы с полной уверенностью взять джекпот. Ясно, что во все виденное нами до настоящего момента вмешивается порьдок, и таким образом мы движемся по орбите размещения. Конечно же, есть еще один дополнительный фактор, на который раньше мы не обращали внимания. Этот фактор — возможное повторение элементов. Для начала зададимся вопросом: сколько существует чисел, состоящих из трех цифр? Ответ очень прост: все числа от ООО до 999 включительно, что составляет ровно 1 000. Решим эту задачу другим способом — пересчитаем количество размещений с повторением, которые могут формироваться из 10 элементов, взяп ix изЗ по 3. Отвс г, конечно, остается тем же — 1000, но выразим мы его так; 10 -10 -10, го есть 10J. Вернемся к нашей спортивной лотерее. Сколько прогнозов можно сделать в лотерее на исход только двчх матчей!
11 IX 12 XI XX Х2 21 2Х 22
▼ Лотерея -Аа Примитива» не дает особых шансов на выигрыш Количестве
Можно сделать девять прогнозов, или 3’-
52
Техники счета
Если бы билет спортивной лотереи имел три 1 рафы, го есть гри матча, то вероятность была бы:
ремещения с повторением грех элементов (1 х 2), взятых из 15 по 15:
111	11Х	112	1X1	1ХХ	1X2	121	12Х	122
Х11	XIX	Х12	XXI	XXX	XXI	Х21	Х2Х	Х22
211	21Х	212	2X1	2ХХ	2X2	221	22Х	222
V’,,, = 3" = 14 5ч8 907
Это и есть количество лотерейных билетов, которые нам надо купить. Если каждый билет
То есть всего 27, или 3’ вероятностей.
Количество перемещений с повторением элементов т, взятых из п по п, обычно обозначается следующим образом: VR,fl>„ или V’wu. 1h вышеизложенного следует, что данное число получается путем умножения iu нал. Внутри каждой группы л элементов первое и второе числа могут быть свободно выбраны из доступных w, так что количество возможных упорядоченных пар равняется т раз г», то есть »/. В свою очередь, каждая упорядоченная пара может дать начало такому количеству упорядоченных гроек, сколько элементов т мы можем выбрать. Следовательно, число возможных упорядоченных троек равно т раз т1, то есть т'. 11 процесс умножения нал» продолжается столько раз, сколько необходимо, чтобы покрыть все п в группе. В итоге получается:
V* —
Сейчас мы уже можем ответить на вопрос о стоимости стопроцентного выигрыша в спортивной ло герое.
Так как для выигрыша необходимо покрыть все возможные ходы, то нам надо рассчитать пе-
< Секретный ю.ш'р
четырех цифр, nJ которых мам но еогнывнть AisiKt ямум
1 KffiifoiH.UittH, ЧГНО ео-omeemt »ib t fw р&мнчным w-ремещенимм с яоашорение.ч десяти мементав, вз.чшых /и 7	7-
Гамлет и обезьяна-машинистка
Сообразительная обезьяна садится перед печатной машинкой и начинает с жаром бить по клавишам. Если мы начнем читать то, что она напечатала, то, само собой разумеется, абсолютно ничего не поймем, а только увидим вереницу бессмысленных знаков. Но иногда проскакивают буквы, составленные в знакомые слова знакомого языка, например, английского. Сможет ли обезьяна написать «Гамлета»?
Ведь это произведение состоит из набора символов (букв и знаков препинания), которые доступны нашей
обезьяне-писаке. На клавиатуре есть все необходимое... Предположим, что сочинение Шекспира включает в себя 100000 знаков, а на клавиатуре находится 30 клавишей. Каждый раз, когда обезьяна печатает 100000 знаков, она производит кандидата в «гамлеты». Сколько таких отрывков она сможет набрать? Не сомневаемся, что безумно много. Здесь речь идет о перестановке, так как важен порядок. Но также и о повторении, ведь один и тот же знак может появиться столько раз, сколько мы этого захотим. Итак, обезьяна может написать сколько угодно текстов вида «размещение с повторением» из 30 элементов, взятых из 100000 го 100000, го есть 30 х х 100000. И только один текст из всех будет «Гамлетом». Астрономическая цифра. Больше, чем насчитывается атомов во Вселенной. И нет практически никаких шансов на то, что чудо произойдет. Хотя, по крайней мере теоретически, если бы у обезьяны было достаточно времени, то вероятно, она бы и переписала «Гамлета».
стоит 30 евроценюв, то Вся сумма будет равна 4 304 672,1 евро.
Сочетание с повторением
Сейчас рассмотрим следующую задачу. В цветочном магазине есть ПЯТЬ видов цветов — скажем. розы, гвоздики, георгины, лилии и камелии, а нам необходимо купить букет из десяти цветов. Сколько у нас есть способов составления букета? Конечно, тут не важен порядок, нас интересует только какие цветы выбран, и сколько. Таким образом, речь идет о сочетании. Но в данном слу чае присутствует повторение, ведь никто не мешает составить букет хоть из 10 цветов одного вида, если этот вид нам особенно нравится.
Ком бинаторнка
S3
Основы комбинаторики
Рождение комбинаторики в западноевропейской математике произошло в XVII веке благодаря работам Блеза Паскаля (1623— 1662) и Пьера Ферма (1601—1655), которые заинтересовались математическими аспектами азартных игр. Поэтому неудивительно, что ее развитие шло бок о бок с теорией вероятностей, которая изучает число возможных вариантов, представленных в том или ином случайном процессе. Укрепление комбинаторики как независимой ветви в математике обязано фундаментальным трудам Якоба Бернулли (1654—1705) и Вильгельма Лейбница (1646—1716), которые заложили теоретические основы теории вероятностей, определив для этого основные понятия комоина-
торики. Именно Лейбниц ьвел термин «комбинаторика» в своей работе «Dissertatio de ArteCombtnatoria» («Об искусстве комбинаторики»), В начале XVIII века швейцарский математик Леонард Эйлер (1707—1783) разработал целую школу комбинаторной математики и создал так называемые «производящие функции последовательности», которые послужили основой для последующего развития вычисления комбинаторных конфигураций.
8 предложенном им решении Задачи о семи мостах Кенигсберга уже проступали контуры будущей теории графов — теории, тесно связанной с комбинаторикой и имеющей широкое применение на практике.
Количество С \ |(, этих сочетаний с повторением пяти элементов в.нтых из 10 по 10, решат гея путем перевода задачи к другим сочетаниям без повторений. Однако как нам узнать количество элементов, которое позволило Оы выИрдть эти равнозначные сочетания ют повторения? Для этого надо сложить 5 и 10 и вычесть 1; элементы берутся из 10 по 10:
GsjCi — С 5+I0.1J0 ~ идо = 1001
Итак, для числа C’mn в сочетаниях с повторением »i элементов, взятых из п по »:
(?»+«-])! я! (я-1)!
Перестановки с повторением
А Ушло ДО.ОДМ1ШЫЛ КЛ1-шфнкиций вгонке Фор мум-1 * рмгчнтыемтн'Л
I повторение и.
объектов 11 разделить его на перестановки из 2 элементов, из 3 и из 4;
Р9
РГР,-Р4
9!
21-3I-4!
= 1 260
И последняя 1 оловоломка. V нас имеется ряд из девяти шаров разны . цветов: двух белых, трех синих и четырех красных. Сколько возможных комбинации существует? Речь снова о пере-
Основное выражение таково:
Р
Р - -
Р • Р • Р
становкдх. но О перестановках с повторением. Поскольку при смене места шаров одинакового цвета порядок нс нарушается, то сокращается количество вариантов перестановок. Чтобы узнать число оставшихся воз-можносгсИэ надо сосчитать число пере сгановок для девяти
► Предай тыне, что цы хотим купить nuduoi 4 20 пирожными и у нм ft выпор и < и.чтм tiudt/6 десертов. Чтоны у *N.nHbt tku.ihKu siipiiHHMioti tytqe-imeyrm, необходимо pae-t чит.гть 4Ut_4o tvwmMui i повторение н ш пяти jk* чентов, витых из 20 no 20.
ИМО
Квантовая теория выходит за рамки нашего понимания физического мира. Одно из странных ее свойств заключается в том, что две физические частицы одного вида всегда одинаков1-1, будь то фотоны илл протоны. Кванты абсолютно идентичны, и мы ничего не можем сделать, чтобы их оазличить. Поэтому комбинаторика в квантовой физике ведет себя г юрою парадоксально Так, например, если у нас есть цепь из восьми электронов, то единс гзенное, что мы можем сказать, это что их восемь. Но существует только один способ комбинировать их из 2 по 2, потому что все группы по два идентичны. Таким образом, все возможные перестановки сводятся к одной.
54
В 1952 году Гарвардский университет присудил Курту Геделю почетную докторскую степень В тексте решения он был назван «истинным математиком текущего века».
Отец неполноты
Курт Гёдель ро лился в Брно (Моравия, нынешняя Чехия) 28 аире ся 1906 года. Он бил младшим из двух сыновей Рудольфа и Марианны Гёдель — немецких экспатриантов, работавших в текстильной промышленности После иконча
ния гимназии в Брно Курт покинул родной город и в 1924 году поступил в Венский университет — чет1 |рьмя годами раньше его брат отправился туда изучать медицину. Гё-
Курт Гёдель
4 l/jm. u<>ШПК А“Р»И [г-ЛчЬ, приманный одним из НС №44йших (OcUKOlt всех времен и н.сродов, •ырмне с Бертрмс"ы Pat
се сои внес огрозмый вс. сид в концепцию логических докылте ibcuitt и vnpottep чсений в .ikcuou tmtnecxux
i ист. мах.
дель намеревался изучать
в университете физику, но под влиянием двух своих преподавателей, Филиппа Фуртвенглера п Ханса Хана, остановил выбор на математике. Перенесенные Куртом в то время ревматические лихорадки остави дм на всю жизнь последствия в виде психических проблем — ипохондрии и па-
▼ Тйшшдел печать упоми-наетсч а акте о соъ)аннн Венского университета, вене данного я /365 tmh' ио прн-ка jy кори сч Рудо ttajra Л'
Философ К„рнап и математик Менгер ввели Геделя в математическую логику. В тс времена значительное влияние на В< некий кружок оказы-вали работы Витгенштейна о языке метаязыке). Гёдель успешно применял метаязык в математике, одчако никогда не разделял образа мысли Венского кружка, где npi обладал логический позитивизм; даже наоборот, ученый придерживался противоположенной позиции — ярко выраженного платонизма. Гёдель считал, что истины существуют вне зависимости от того, знаем мы о них или нет. В математике из этого следует, что теоремы не выводят, а открывают. Гёдель неодно-кра1 но признавался, что источником его вдохновения служила платоническая метафизика.
ннчсского страха перед отравлением.
Тепоесла о неполноте
Гёдель получил докторскую степень в 1930 году после защиты под руководством Ханса Хана дне
Венский кружок
В 1926 году Гёдель Ьыл приглашен на семи нар по философии в крлжок Морица Шли ка, 1авссгдатаямп которого Ныли такие философы, физики и математики, как Рудольф Карнап (1891 — 1970), Ханс Хан (1{Г9— 1934), Мориц 1Г1лпк (1882—1936), Фри дрих Вайсман (1896—1959) и Отто 1 |сйрат 1882—1945). Собрания эти и итоге полх <п-лн и.вес гноегь как «Венский кружок4*.
Философ Рудольф Карнап (< ira.ij. нак и нее остальные члены так на гываечагв
Веш кого кружка *» (Хан, /Панк, Ваш чан о Нгйрат), прочное ели-ЯНне. о t тороны j 1юдонга Вн тгенштенна (i л/М№ДJ N «О НргднНТтвГНИНКЛ ЗрН-ema	/9/ОХ
сертании по теме «Полнота аксиом логического
функциональною исчисления». В ней шла речь о логических исчислениях первого порядка — это наирав ленис исследовании было очень тсс
но сня <ан<> с формалистической прО1раммой Давида Гилберта. В начале сентз бря того же года Гёдель посетил конгресс в К енигсберге. посвященный эпистемологии точных наук, на котором присутствовали Карнап, Хейтиг Вон 11ью.ман и Вайсман Там он четко заявил о Своих сомнениях в возможности полной формализации математики и чжазатсльства ее непротиворечивости. к чему призыва л Гилберт, и прежде гави публике некоторые из своих размышлений о неполноте арифметики. Hi много позже, в 1931 году, кот ка Геделю было всего 25 лет, он опубликовал знамения* ю теорему о неполноте способную подорвать самые основы математики. Теорема касалась весьма узкоспециа лизированных вопросов — непротиворечивых систем формальной арифметики, но, тем нс менее, она очень быстро приобрела широчайшую известность, и »то помогло се автору получит! должность преподавателя (приват-доцента' в Венском университете.
Геде г г (7906— IУ JS)
17
Переезд в Принстон
В СтудсНЧожпе годы Гёдель познакомился в одном у весели гельном введении с танцовщицей Аде зью Поркерг, которая была на шесть лс1 с гаршс сю, и долго ia ней ) хаживал. В 1938 году они поженились, нсемшря на сопротивление семьи матсмашка. Уже девять лет прошло с тех пор, ка. Г сдель отказался от чешскою гражданства в полы} австрийскою; финансовые дела ученого шеи совсем неважно. За несколько лет до того он ездил в США п посетил Инсппуг прогрессивных исслсдовани!, в Принстоне, где завязал некоторые контакты — >то обсто-
Болезнь
гхурт 1 с дель на протяжении всей жизни страдал от навязчивой идеи, что его хотят отравить. Без помощи своей жены Адели он, вероятно, нс смог бы сделать гак много. Cynpyi а ученого сама готовила ему пищу и всегда пробовала каждое блюдо перед мужем. Затем у Адели случился сердечный приступ, сделавший ее инвалидом, и Гёдель стал ухаживать за женой. 11осле се смерти Гедель практически перестал питаться и скончался OI иеющення 14 января 1978 1 ода.
ятсльство помогло ему получить ыпы хля эмиграции в Америку В 194(1 году Гёдель вместе с женой начал рискованное путешествие — сначала на поезде по Транссибирской маг ис трали до 11аходки, потом кораблем до Mokoi амы и оггу да по морю до Сан-Франсиско. В 19чб году он получил американское гражданство и еще через семь лет, в 1953 году, был избран на дохжносн. профессора Принстонского университета. В Европ; он никогда более не возвраща м. я. В Принстоне Г< дс хь завес дружеские отношения с Альбертом Эйнштейном и работал над теорией относительности: в числе прочего ему удалось даже доказать возможность путешествий во времени. Его последний труд вышел в свет в 1958 году, а на публике он появился в последний рав в 1972 году, на церемонии врс гения почетной премии о г Рок фелларовского универе итета.
л На.’н.1чгни€ л / 9х ? году мрофа i орел! / шн тут. i ирогрл t /иных исследований I/рн истонского университета полво силе Курту /еделю (слева) наладить контакты с st iu4,iiiniUMii учеными своей тили. например, с Лльбер-шом )йлштейном (справа). С ни и вместе они ювершллп длите еьные прогу.ten по территории института.

В младших классах Гедель получил говорящее прозвище: «Herr Warum», то есть «Мистер Почемучкам. Это характеризует его как человека, с детства отличавшегося любопытством и интересом ко всему на свете.
 В1979 году американский математик Дуглас Р. Хофштадтер опубликовал объемную книгу Гедель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда» (внизу справа). В ней он обращается
Л ► Курт Гедель трагически закончил свои дни в Принстоне. н Институте прогрессивных исследований (справа) после счерти своей t упруги Jde т / Горкерт. На фетв они с женой в одном ил венских кафе (вверху).
к трудам трех упо мянутых в названии исследователей, пытаясь подойти к решению одной из величайших проблем современной науки: как человеческое мышление стремится постичь самое себя. Работа посвящена глубоким вопросам о сознании и искусственном интеллекте. Сюрпризом для всех оказалось то, что
GODEL. ESCHER, BACH:
44	«./14	|/
книга стала бестсел-
лером. Хотя сейчас это и может показаться странным, но в Венском кружке поднимались вопросы парапсихологии, которыми Гедель весьма живо интересовался. Однажды он признался своему близкому другу, что ему непонятно, почему изучаются элементарные частицы физики, но без внимания исследователей остаются элементарные частици души.
Понятие тригонометрии существовало у большинства древних культур. Основы этой науки просты, НО БЕЗ НЕЕ НЕ МОГЛИ БЫ РАЗВИВАТЬСЯ АРХИТЕКТУРА, НАВИГАЦИЯ И АСТРОНОМИЯ.
МАТЕМАТИКА
Тригонометрия
Сила треугольников
Ф.шс Мнмтский — един
Когда мы едем на м шине по шоссе и н пинаем подниматься с побережья в горы, в нашей памяти всплывает дорожный знак, который мы с видели в самом начале иодъ ема. Это предупреждающий знак треугольной формы, на нем изображена наклонная прямая и написано: «10%». Кто-то сразу забудет об этом, а кто-то заду мается о смысле кар гит и. Что та кос эти 10%? Это значит, что каждые 10 километров, которые мы прое зжаем по прямой, мы поднимаемся на одни километр, что очень лыко изобра шть с помощью прямоугольного Tpevroai. ника (иллюстрация в рамке). Если р*с
стояние- АЕ, которое мы проезжаем по горизонтальной плоскости, равно 10 метрам, то в высоту EF мы поднимемся на один метр. Ес ли наоборот, i ортонтальнос расстояние АВ равняется 100 метрам, то ту г в высоту ВС мы иод-
ннмемся на 10 метров. О чем нам этот загадочный
дорожный итак и говорит.
Теорема Фалеса
Продолжая рассматривать тоже примеры, мы видим, что EF/AE = 1/10 = 0,1 (наклон 10%), а при
дслении ВС, АВ = 10/100 = 0,1 у нас снова получается гот же результат. Здесь мы сталкиваемся с одной из важнейшие теорем в математике — она была сформулирована и доказана Фалесом Милетским (624— 548 до и. >.). Сама теорема звучит так:
-а Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллт льныс прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные между собой отрезки». Историческое значение теоремы Фалеса близко к значению теоремы I Ътфагора: она содержит в себе
основу тригонометрии — науки об измерении греуголытиков. Эта теорема позволяет нам установит!., что треугольники АЕЕ и АВС подобны, то есть углы их равны, а стороны одного пропорциональны соответст веющим
сторонам второю.
Л J JW.ffc Hit	-кеечи
мудрец f№ f рец ин *> Игоре и. i, н.ннлннлч его de ut-rm много ученого одним ил ниинерон геометрии
Измерение углов
Двумя наиболее распространенными единицами, используемыми для измерения амплитуды утла, являются градусы и радианы Представим се
Тригоном.етрктческии функции
Сторона прямоуюпьного треугольника, противоположная
прямому углу, называется гипотенузой, а две другие — катетами. С помощью этих элементов можно определив характерные свойства острых углов треугольника, известные как тригонометрические функции. Рассмотрим, например, угол А. Подобие треугольников АВС и AEF отражается в тождестве пропорций EF/AF = ВС/АС. Это позволяет нам привязать к у. лу А определенное значение, которое мы назовем синусом А и обозначим как sin. Таким образом.
— Косинус (cos). Это отношение прилежащего катета к гипотенузе
cos А = АВ/АС
— Тангенс (tg). Это отношение противолежащего катета к прилежащему:
tg А = ВС/АВ
— Котонгенс (cotg). Это отношение прилежащего катета к противолежащему:
cotg А = 1 /tg А = АВ/ВС
— Секанс (sec). Отношение гипотенузы к прилежащему катету:
sec А = 1 /cos А = АС АВ
— Косеканс (cosec). Отношение гипотенузы к противолежащему катету:
cosec А = 1 /sen А = АС, ВСВА
sin А = EF/AF = BC/AC
Иначе говоря, синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе Подобие между данными треугольниками показывает, как построить остальные геометрические функции:	Д
С
Е
В
23
бе две дощечки, рас положенные одна над другой и соединенные с одной стороны петлей. Оставив нижнюю в горизонтальном положении, начнем понемногу приподнимав верхнюю. Угол постепенно будет увеличиваться. В какой-го момент верхняя дощечка окажется на одной линии с нижней — перед н гми плоский угол. 11так, 1 радус — это сто восьмидесятая часть этого угла. То есть плоский угол имеет 180", а прямой угол составляет половину от него — 90°. Если замкнуть круг и вернуться к исход ной точке, то 1 гол полу чптся равным 560". Определение радиана несколько сложнее. Представим себе что надо ваягь радиус окружности п поместить один его конец и точке А вну-
в
Высота пирамиды
Во время путешествия Фалеса Милетского в Египет верховный жрец решил его проверить и в качестве испытания задал вопрос, можно ли определить точнук высоту пирамиды. Фалес воткнул свой посох в песок перед пирамидой и стал ждать, когда длина тени палки со-
впадет с ее высотой. После этого ему оставалось лишь измерить длину тени пирамиды и установить таким образом ее высоту. Фалес, знавший тайну подобия треугольников, мог бы найти ответ на вопрос жреца разными способами, но он выбрал самый простой. В математике простое решение всегда самое верное.
Аналогичный метод использовал Шерлок Холмс, блестящий сыщик из произведений Артура Конана Дойла. В рассказе Обряд домз Месгрейвовд Холмс занят поиском сокровищ, упомянутых в старинном документе семейства Месгрейвов )ений сыска находит
указание на место, где спрятан клад, но речь в нем идет о длине тени вяза, срубленного несколько лет назад. Однако зная высоту дерева (64 фута) и положение солн1 ia в определенное время, Холмс без особых затруднений восстанавливает недостающие данные:
<Я вырезал себе вот этот колышек. к которому привязал длинную веревку, сделав на ней узелки, отмечающие каждый ярд. Затем я связан вместе два удилища, что дало мне шесть футов, и мы отправились обратно к тому месту, где когда-то рос вяз. <.. .> Я воткнул свой шест в землю, отметил направление тени и и 1мерил ее. В ней было девять футов.
Дальнейшие мои вычисления были совсем уж несложны. Если палка высотой в шесть футов отбрасывает тень в девять футов, то дерево высотой в 64 фута отбросит тень в 96 футов». (Пер.Д. Лифшиц)
Элементарно, Ватсон!
три этой окружное ги. Затем сто необходимо согнуть так, чтобы он идеально подошел к форме окружности (это самый Сложный момент в работе). 1 (так, у нас есть дуга, которая начинается в точке А и .заканчивает ся в точке В и длина которой равна ее радиусу. Угол, образованный двумя прямыми, проведенными отточек А и В, вершина которого находит ся напротив центра дуги, равен одному радиану. I (змсренпе углов на бу маге можно производить при помощи любого транспортира, но для точных измерений на природе потребуются теодолит или секстант.
Практические применение тригонометрии на плоскости
В основном тригонометрия служит для определения расстояний и углов, которые мы нс можем измерить. Предположим, например, что нам на до узнать ширину реки, которую нельзя перейти чород. Одч-т из возможных стратегий следующая: мы встаем напротив дерева на противоположной стороне реки и вбиваем в мылю кол. Затем спускаемся по берегу реки какое то количество метров. сколько нам кажется правильным, и в конце пути меряем угол, под которым видим на одинаковом расстоянии и дерево, и кол. Ширина реки будет равна прон ’ведению пройденного расстоя нпя и тангенсу измеренного угла. Если первое будет 100 метров, а угол, например раген 20*, то мы умножаем 100 метров на тангенс 20". что. как показывает наш калькулятор, приблизительно равно 0.36. Соответст венно. полученное нами значение равно 36 метрам.
Сила треугсльнчков
Сферическая тригонометрия
Наша тригонометрия построена в ос
новном на тех значениях, которые были получены на плоскости. Это объясняется тем. что поверхность земли визуально кажется плоской, > большая часть интересующих нас объектов также плоские. Но тем нс менее окружность и сфера с незапамятных времен вызывают у человека интерес. Окружность, например, на протяжении многих в> ков считалась совершен  ной кривой. Кривой, присутствие которой во Вселенной
(например, траектории движения звезд) не требовало объяснения. Сфера была открыта совершенно случайно В ней можно рисовать даже треу
гольники, но это нс те тр( угольники которые мы чертим на бумаге.
ру на две полусферы. Опять возьмем в качестве примера Земной шар: экватор — это большой круг, который делш сферу на две полусферы, иначе называемые Южным и Северным полушариями.
Небесный свод
Когда мы смотрим на небо безоблачной ночью, то все звезды, плане гы и Ау на выглядя г бле-егящими мерцающими точками на фоне черного небесного свода. В древности считалось, что этот свод — гигантская сфера которая вращается в течение дня и в центре которой находит
ся Земля. При простом наблюдении нс было возможно вычие лить расстояние, отд» ляющее нас от звезд, но для практических целей было более чем достаточно у1 сть просто определять
Ортодромия, полюсы и полушария Предположим, что мы делим сферу. Если мы еде лаем горизонтальный разрез через центр этой сферы, у нас получится большой круг. Если рззрез не будет проходить через центр, то мы получим ма уый круг. 11так. большие круги — это окружно сти лежащие на поверхности сферы и имеющие общий с ней центр. Меридианы и параллели, ко-
Л Мгриди.гны (большие круги) и параллели (чалые круги, /а негевючением Экватора^ образуют на уеммой пиоер-КНости
▼ Неоетый г-1игёус да наблюдений за звездным небом — это, как видно на к киострации, нс совсем
в друга и гаключекных во он, гикие кагьгуг (горизонт, меридиан, небесный экватор и т, д.).
и видеть н.стшголпяа'ние
1нбоео пр‘ м ста. На фото: кадр из фильма Чарли Чаплина * Великий диктатор-(19 Ю).
торые мы можем видеть на глобусе и с помощью коюрых описывают долготу к широту географн ческой точки, являются хорошим примером для этих двух окружное гей: меридианы (определяющие долгоз у, как известный (ринвичский Меридиан) — эго большие крл in; и наоборот, параллели, определяющие широту, — эти малые круги (кроме Экватора — единственной параллели, являющейся одновременно большим крутом). А теперь возьмем сферу и на ней любой большой круг. Если мы начернил прямую, перпендикулярную плоскости, образуемой максимальным кругом, гак, чтобы она прош ла через центр сферы, то получим две точки сферы, которые являются гюлюеами большою кру га. На земном шаре соответствующие большому кругу полюса называются Северным и Южным. Аюбой большой крут делит ефс-
плотную сеть, которая помигает нам ориентирыстгыя
1<рср,г, ,< скорее кот трукцпя из колец. тнгмленныл др, г
27
Ipiaodtfwempu ч
Происхождение сф рической гвом< г/рии
В учебниках по математике обычно сначала даются задачи по тригонометрии на плоскости, а затем — по сферической тригонометрии. Но не этот путь тригонометрия выбрала для своего исторического развития. Уже в древности многие развитые культуры задумывались над положением небесных тел и предсказаниями их траектории. Люди понимали, что это позволит измерять ход °ремени по ночам, разрабатывать безопасные
▼ 7кгпу>(»нм« сипп и страница книги ^Альмагест» Г1тс.„емея — классического труда по ас тронеиич и сферичъ кои тригоно метрик., нс т рявсиего актуальны та оплоть до Средневекипья.
методы навигации, рисовать карты или выполнять необходимые вычисления для составления календарей. Все это требовало, среди прочего, превращения астрономии из простой описательной дисциплины в математическую науку. Отцом тригонометрии считается Гиппарх Ни-кейский (190—120 гг. до н +.), но от него сохранился только один труд— «Комментарий к „Феноменам" Евдокса и Арата», трактат о < трупах окружности. О Гиппархе известно в основном из работ Менелая Александрийского (70—130 гг. н.э.), который первым определил сферический треугольник в своем труде «Сферика», где были приведены доказательства огромного количества теорем сфери
ческой геометрии. Но самая известная историческая фигура античности в области тригонометрии — это, без сомнения, Клавдий Птолемей (85—165 гг. н.э.), который оставил монументальный труд в 13 томах — «Альмагест», где, по его собственным словам, предложил «подвести под астрономию нерушимый базис арифметики и геометрии».
На западе тригонометрия не была известна вплоть до X века, а узнали о ней благодаря арабам, среди которых особенно выделяется Ал-Джайяни (989—1079 гг.) — арабский и испанский математик и астроном, перу которого приписывается «Книга о неизвестных дугах сферы». Но еще более важный прорыв на Западе случился в XV веке благодаря Йоганну Мюллеру (1436—1476 гг.), более известному как Региомонтан, — немецкому философу, который перевел книгу Птолемея «Альмагест» и написал трактат «О всех видах треугольников» (1464). В этом труде рассматривались систематические методы решений для различных видов треугольников. Несмотря на то, что сферическая геометрия превратилась в абсолютно независимую самостоятельную ветвь математики с собственной теоретической основой, тем не менее, она никогда не переставала быть чисто практической дисциплиной. Благодаря теоремам появлялись формулы, благодаря формулам решались задачи, касающиеся непосредственно астрономии, предсказаний погоды, межевания или судоходства.
угол звезд и относительное расстояние между ними. Небесную сферу еще в течение очень долгого времени рассматривали как сферу произ-	М
вольного радиуса с центром	3
на Земле, и эта схема успешно	1
использовалась на практике. ’ Очевидно, что небесная сфера не движется, так как речь идет только о видимом движении, являющемся следствием вращения Земли. В этих условиях все совершаемые расчеты углов и расстояний производятся на поверхности сферы, а потому без сферической тригонометрии обойтись невозможно.
Зт.г гравюра конца XIX века кыбрлмяет бес-
НЮТ Н ЛюбвПЫШ&ИбгЪ которые вызывала у люден теория об ограниченном чнре. Что там, пределами небесного свода?
Лучшее от Генри Э. Дьюдени
Арифметические и алгебраические задачи
Вкус /книш 1ак 1юч.1епич в разнмбрлзми.
К Купер. «Рмнгтл»
1.	Дамы високоснс.'о года
В последний високосный юд дамы нс теряли времени и вовсю пом зовались своей привилегией предложить кому-либо руку п сердце. Если цифры, попавшие ко мне из конфиденциального источника, верны, то следующие данные показывают положение цел в пашей стране. 11еуста-новлениос число женщин сделали предложение каждая по одному разу, среди них каждая восьмая была и копой. Срем! мужчин одиннадцатая часть были вдовцами. И предложений, сделанных вдовцам, пятая часть была отвергнута. Все вдовы получили поло, иттсльпые ответы. 3-.5/44 вдов вышли заму ж за холостяков. 1221 старая дева была отвергнута холостяками- Количество старых дев. на которых согласились жениться холостяки, в семь раз превышало количество вдов, на которых женились холостяки. И по все детали которые мне з далось разузнать. Теперь скажите, сколько женщин делали предложение?
2.	Мистер Губбинс в тумэне
Мне гер Г, опинс, добросовестный предприниматель, терпел большие убытки по вине лондонского тумана. Электрический свет нс работал, и господину Губбинсу пришлось обходиться двумя свечами. Секретарь убедил его, что хотя обе свечи долгого горения, но одна из них будет горет ь
Л Сколько женщин предложение f прыи-ю». ном году?
четыре часа, а вторая — пять. Поработав некоторое время, Губбинс погасил свечи, поскольку туман рассеялся, и с удивлением обнаружил, что oi а-рок одной свечи в чет ыре раза больше, чем огарок второй. Вернувшись домой, господин Губбинс, любитель хороших загадок, сказах себе: «Действительно. можно ли вычислить, сколько времени горели сегодня эти две свечи? Попробую». Но вскорости он заблудился в поде четах еще сильнее, чем в гот День в тумане Могли бы вы помочь ему в решении этой задачи? Сколько времени горели обе свечи?
3.	Выборы в Беренхеналс
На последних парламентских выборах в Бсренхс-налс всего было получено 54/3 голосов. Либералы были выбраны большинством, наорав на 18 голосов больше, чем консерваторы, на 1ч6 больше не laBiiciiMiix кандидатов и на >75 больше соци алпстив.
Можете ли вы „формулировать прск гое правило, чтобы рассчитать, сколько голосов пол* чил каждый кандид тт?
4.	Разделенное наследство
Один человек завещал своим троим сыновьям, Альфреду, Бенджамину и Чарльзу, подстить 100 акров земли в пропорции треть, четверть и одна пятая соответ», гвенно. Но Чарльз умер Как еолжны рааделнгь земли Альфред и Бенджамин?
5.	Маленькая потеря Деванасесоса
11рофессор Дятатгаеесос проводил вечер в кру-ту своих старых друзей, супругов Пот г, за игрой в карты [хо1я ой гак и не рассказал мне, какую именно игру они выбрали). Профессор проиграл первую партию и в nroie удвоил ставку, которую сделали су пру i и Поп. Миссис Погг проиграла вторую партию и удвоила ставки, которые сделали се муж и профессор.». Неожиданно мистер Потт npoiii-pa - третью партию и был вынужден удвоить ставки своей жены и профессора. Вскоре выяснилось, что ка кдый из них имеет одинаковую сумму денег, а профессор за время игры потерял пять Ш ИЛЛИ 111 ов.
Теперь профессор спрашивает, сколько денег у него было koi ха он только сади хсЯ играть. Вы сможете Ответить?
б.Качалка
Ну кда — мать изобретательности. Как-то раз я развлекался, наблюдая за ребенком, которому хотелось покататься на качалке на площадке. Не найдя лихого, кто мог бы разделить с ним
17
развлечение, он отыскал несколько кирпичей и сложил их на противоположное сиденье на доске, чтобы имитировать вес второго качающегося. Один конец доски был длиннее другого, и мальчик удерживал равновесие супротив 16 кирпичей, когда клал их на короткий конец качелей. Но когда он водружал их на длинную сторону, ему хватало всего 11. Итак, сколько весил мальчик, если мы знаем, что вес кирпича равен 3/4 веса кирпича плюс 3/4 фунта?
7. Пятно на столе
Ребенок, только что пришедший из школы, захотел продемонстрировать отцу свою находчивость. Он передвинул большой круглый стол в угол комнаты, как показано на рисунке, таким образом, чтобы он касался обеих стен, затем показал на пятно от краски с краю стола.
— У меня есть для тебя маленькая загадка, отец! — сказал молодой человек. — Это пятно находится в восьми дюймах от одной стены и в девяти дюймах от другой. Можешь ли ты на звать диаметр стола, не измеряя его?
11отом слышали, как мальчик говорил своему другу: «Мой отец не смог решить задачу»; но известно, что отец рассказывал какому-то приятелю в Сити, что в уме он назвал цифру почти моментально. Я часто себя спрашиваю: и кто из них говорит правду?
▼ЛА/Жотм мл зьать диаметр стала, не замеряя ело?
Решения
1.	Единственный правильный ответ таков* 11616 дам сделали предложение. Здесь есть все детали, и читатель может сопоставить их с нашей задачей. Из 10164 с гарых дев 8085 вышли замуж за холостяков, 627 — за вдовцов, 1221 были отвергнуты холостяками, а 231 — вдовцами. Из 1452 вдов 1155 вышли замуж за холостяков, а 297 — за вдовцов. Ни одна вдова не была отвергнута. Задачка не сложна, надо только правильно ее сформулировать
2.	Свечи горели в течение трех часов и 45 минут. Одной свече оставалась шестнадцатая часть от ее длины, а другой — 4/16.
3.	Общее количество голосов, набранных, соответственно, либералами, консер-ват! рами, независимыми кандидатами и социалистами, было следующее: 1553, 1535,1407 и 978. Чтобы узнать, сколько голосив заработали либералы, нужно было всего лишь сложить все три разницы
(739) и общее количество голосов (54/3) что дает 6212, и разделить на четыре, что дает 1553. Количество голосов за другие партии можно найти на основании этого числа.
4.	Тзк как доля Чарльза делится на момент его смерти, то нам надо только разделить 100 акров между Альфредом и Бенджамином в пропорции 1/3 к 1/4, то есть в пропорции 4/12 к 3/12, или 4/3. Итак, Альфред забирает 4/7 земли, а Бенджамин —3/7.
5.	Профессор начал играть с 13 шиллингами, мистер Потт — с четырьмя шиллингами, а миссис Потт — с семью
шиллингами.
6 Ребенок весил 39,79 фунтов. Кирпич весил три фунта. Таким образом, 16 кирпичей весили 48 фунтов, а 11 кирпичей — 33 фунта. Чтобы получить вес, надо умножить 48 на 33, а затем вычислить квадратный корень.
7. Студент рассмотрит эту задачу как квадратное уравнение. Удваиваем произ ведение двух расстояний относительно стены. Это дает нам 144, что есть квадрат из 12. Сумма двух расстояний равна 17. Если мы сложим и отнимем эти два числа 12 и 17, то у нас будут два ответа: 29 или 5 соответственно, которые соответствуют радиусу, или половине диаметра стола. Значит, полный диаметр - 58 или
10 дюймов. Но стол размером 10 дюймов (25,4 см1—это абсурд, не соответствующий иллюстрации. Следовательно, стол был 58 дюймов в диаметре. В этом случае пятно было на бортике, ближайшем к углу комнаты, на который и указывал мальчик. Если бы мы допустили другой ответ, тогда. 1ятн > находилось бы на дальнем краю стола, удаленном от угла комнаты.
Есть ВЕЩИ, УСТРОЙСТВО КОТОРЫХ МОЖНО ПОНЯТЬ С ПЕРВОГО ВЗГЛЯДА, А ЕСТЬ ТАКИЕ, В КОТОРЫХ ПРИСУТСТВУЮТ СКРЫТЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ. ЭТА ГОЛОВОЛОМКА ОТНОСИТСЯ КО ВТОРОЙ КАТЕГОРИИ: ОНА НЕ ТО, ЧЕМ КАЖЕТСЯ, И ЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАКЛЮЧАЕТСЯ В ОДНОМ ХИТРОУМНОМ ЭФФЕКТЕ, КОТОРЫЙ ОБЪЯСНЯЕТСЯ ОЧЕНЬ ИЗВЕСТНЫМ ФИЗИЧЕСКИМ ЗАКОНОМ.
Таинственная погремушка
Крестовая головоломка
Хотя и дея этой головоломки восходит к началу XX века, но в нынешнем виде Ноб I locnraxapa представил ее относительно недавно — в 1981 году. Иосигахара — известный изобретатель, коллекционер и популяризатор го юволомок. Им написано огромное количество публикаций по теме и создано несколько различных головоломок, ставших очень популярными в последние годы
▼ Э«м го юволонкл г.г&ггт н.т загадку: хлхай чехи-шач o.texttpyem хрестеоину и не neico.ixem снять деревянную pffMtcpd
А сейчас надо попробовать понять, каким образом эти мобильные части блокируют крестовину Вероятно, мы догадаемся, как можно разобрать эту головоломку.
Небольшая подсказка
Цель игры состоит в том, чтобы открыть деревянную рамку, и эта задача на первый взгляд не кажется простой. Для ускорения процесса перед тем, как начать поиск решения, надо посмотреть, как головоломка сделана внутри. В этом и заключается загадка, ведь легко понять, что нельзя разделить части крестовины, а рамка не будет извлечена. Читателю предлагается попробовать отгадать самостоятельно, каков внутренний механизм. Один совет: приблизьте игрушку к уху и потрясите се. крепко держа рамку. Стук, который вы услышите, выдаст наличие
движущихся частей внл гри крестовины.
Центробежная сила
Самое интересное, что разрешить эту головоломку нам поможет очень известный закон физики,
присутствующий в нашей жизни практически ежедневно. Речь идет о проявлении особой силы, цен
тробежной. Пока одежда крутится в стиральной машине, что-то заставляет ее разметаться по краям
барабана. Это происходит потому что каждый объект, совершающий вращательные движения, меняет направление и дает начало силе, которая заставляет его отдаляться от центра. Сила, провоцирующая такой эффект, называется центробежной. Это та же сама сила, которая заставляет нас заваливаться в бок, когда машина делает крутой вираж на большой скорости Тот же эффект можно наблюдать при кружении на карусели. Когда увеличивается скорость, сиденья начинают отдаляться от центра, а потому они взлетают и принимают почти горизонтальное положение.
▼ Б.ыгеддр.ч движению центрифуги стиральной пашины белье отлетает к стенкам барабана.
31
Внутренний механизм
Чтобы понять, как нам поможет центробежная сила в решении этой задачи, надо изучить устройство нашего объекта. На иллюстрации можно видеть, как устроены два элемента, из которых состоит наша головоломка. Они изначально одинаковы, что позволяет рассмотреть только один из них. Во внутреннем отверстии в форме туннеля находятся две длинные цилиндрические детали, которые свободно передвигаются. Каждый раз, когда головоломку двигают в поисках удачного ее решения, какая-то из этих деталей встает в оте?рстие, предотвращая отделение одной части крестовины от другой.
Позиция 1. Движущиеся детали внутри отверстия
Позиция 2. Одна движущаяся деталь смещается
Как отделить части крестовины друг от друга
Первое решение задачи заключае’ся в том, чтобы немного пошевелить игрушку, дабы высвободить движущиеся детали из отверстий. Когда отверстие свободно, надо поместить кусочки бумаги между частями головоломки, чтобы они помешали деталям снова войти в них. На иллюстрации хорошо видно, как надо поместить кусочки бумаги, чтобы освободить отверстия. Одной или двух бумажек внутри головоломки будет достаточно для того, чтобы высвободить второе отверстие, а с ним и разделить две дощечки, составляющие крестовину, что и требовалось сделать. Без сомнения, центробежная сила позволяет найти более интересное решение. Применением к нашей головоломке вращательных движений в любом направлении будет спровоцирована центробежная сила, которая незамедлительно подействует на мобильные детали и разведет их в разные стороны частей головоломки, освобождая, таким образом, отверстия в частях крестовины. Немного тренировки, и вы легко достигнете мастерства. Как только мобильные детали перестают блокировать сцепление частей головоломки, сразу становится возможным разделить детали и, конечно, снять деревянную рамку.
Благодаря вращению возникает центробежная сила, которая заставляет мобильные детали отодвигаться к задним стенкам, в дальний край отверстия
Внутренний механизм в стартовой позиции- обе детали внутри пазов.
Теперь не составит труда разделить две части голово-ломки и снять рамку
32
В следующем выпуске через 2 недели
Манкала
Вероятности
Наука о неопределенности
Универсальный дух
Пьер-Симон Лаплас
Штрих-код Дактилоскопия торговли
Льюис Кэрролл Запутанный рассказ
Спрашивайте в киосках!