ВЫХОДИТ РАЗ В ДВЕ НЕДЕЛИ
Рекомендуемая розничная цена: 279 руб.
Розничная цена: 49,90 грн, 990 тенге
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D^AGOSTINl
31
Четыре буквы Т
«ЗАНИМАТЕЛЬНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ»
Издание выходит раз в две недели
Выпуск №31,2013
РОССИЯ
занимательные
ГОЛОВОЛОМКИ
КОЛЛЕКЦИЯ ЛОГИЧЕСКИХ ИГР ОТ D4AGOSTINI
ИЗДАТЕЛЬ, УЧРЕДИТЕЛЬ. РЕДАКЦИЯ
ООО Де Агостини-, Россия
ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС: 105 066, г. Москва,
ул Александра Лукьянову. дЗ стр!
Письма читателей по данному адресу не принимаются
ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР; Николаас Скшикис
ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР: Анастасия Жаркова
ВЫПУСКАЮЩИЙ РЕДАКТОР Варвара Степа невская
ФИНАНСОВЫЙ ДИРЕКТОР: Наталия Василенко
КОММЕРЧЕСКИМ ДИРЕКТОР: Александр Якутов
МЕНЕДЖЕР ПО МАРКЕТИНГУ Михаил Тиачук
МЛАДШИЙ МЕНЕДЖЕР ПО ПРОДУКТУ
Любовь Мартынова
В этом выпуске:
Уважаемые читатели!
Для ваше-» удобства рекомендуем приобретать
выпуски в одном и там** киоске и заранее
сообщать продави* о ваше* «елании покупать
следующие выпуски и.1Г“кцнн.
Свидетельства с регистрации средства массовой
информации в Федеральной службе по надзору в
сфере связи, информационных технологии и массовым
коммуникации (Роскомнадзор! ПИ ГГФС?7-43310
от 28.122010 г.
Для заказа пропущенных номеров
и по всем вопросам, касающимся информации о коллекции,
заездите на сайт
www.deag_stini.ru
По остальным вопросам обращайтесь по телефону
бесплатной горячей линии* в России
С 8-800-200-02-01
Телефон "Горячей пинии для читателем Москвы*
С 8-495-660-02-02
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ.
Россия, 170ЮТ, г. Тверь, почтамт л/л 245, Де Агостини ,,
«Занимательные головоломки
РАСПРОСТРАНЕНИЕ
ООО * Бурда Дистрнбыащеи Сервисна»
УКРАИНА
ИЗДАТЕЛЬ И УЧРЕДИТЕЛЬ:
ООО -=Де Агостини Паблншинг, Украина
ЮРИДИЧЕСКИЙ АДРЕС 0ТО32, Украина,
г. Киев. ул. Саксаганского. д. 119
ГЕНЕРАЛЬНЫЙ ДИРЕКТОР: Екатерина Клименко
Свидетельство о государственной регистрации
печатного СМИ Министерства юстиции Украины
КВ № П502-6252Р от 01 03.201|
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕЙ
Украина, 01033, г. Киев, а/й *Дс Агостини
«Занимательные головоломки^
Украла, 01033, м. Khib. л/с Де Агоспн!
Для заказа пропущенных номеров
к по всем Вопросам, касающимся информации о коллекции,
заходите на сайт
www.deagostirn.ua
По остальным вопросам ооращамтесь по телефону
бесплатной -горячей линии-в Украине
С 0-800-500-8-40
БЕЛАРУСЬ
ИМПОРТЕР И ДИСТРИБЬЮТОР В РЬ: ООО Росчерк-,
220037. г Минск, ул Авангардная, Д 48а пит? р В/к,
тел/факс+375 172-999-260
Телефон -горячем линии- в Беларуси
С+37517279-87-87 <пн-пт. 9-00 — 21.001
АДРЕС ДЛЯ ПИСЕМ ЧИТАТЕЛЕМ Республика Беларусь,
220040. г Минск, а.'я 224. 000 *₽осчерк- г Де Агостини .
Занимательные головоломки
КАЗАХСТАН
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ТОО КГП Бурда Алатау Пресс
РЕКОМЕНДУЕМАЯ РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА; 279руб
РОЗНИЧНАЯ ЦЕНА: 49.90 Гри. 990 тенге
ОТПЕЧАТАНО В ТИПОГРАФИИ. G- Canale & С 5 р А
Sos Сегл1са47г ВисшебЬ, Pantel imon - llfnv, Romane.
ТИРАЖ.-68000экз.
Издатель оставляет за собой право изменять
последовательность номеров них содержание
Издатель оставляет за собой право увеличить
рекомендуемую цену выпусков.
Неотъемлемой частью каждого выпуска
является приложение
ООО-До Агостини- 2013
RHAColccciorwble*, 2011
ISSN 2225 1782
ДАТА ВЫХОДА В РОССИИ' 09,04.2013
Математическая вселенная
Вышрышньм стратегии Игры всегда привлекали внимание мате-
матиков. I li pa в теории игр — не только парт ия в покер или шахма-
ты. но п сценарий, в ходе которого два игрока (или более) дохжны
принимать решения, существенно влияющие на исход партии. К этим
сценариям можнм отнести морское сражение, выживание биологиче-
ского вида, банкротство коммерческой фирмы, проведение полити-
ческих выборов и многое другое
Блистательные умы
Разносторонний гений Джон фон Нейман открыл математическую
теорию игр. ,1 затем показал, как можно представить все в виде мате-
матической игры. 1 о гений проявился во множестве научных дпеци
плпн. в каждой из которых он добп хся заметных результатов В част-
ности, фон 11ейман считается одним из создателей компьютеров, так
как именно он придумал архитектуру, которая используется во всех
современных вычисхительных машинах.
Математика на каждый j
Машинный ->ык Язык компьютеров состоит всего из двух слов.
Вся информация в компьютере записывается в двоичном коде по-
среди вом единиц и нулей. Грамматика машинного языка — это ма
тематическая логика, которая материализуется в зхектрических це-
пях Чтобы понять, как эта логика управляет работой компьютера,
сначала нежно познакомиться с логическими операциями
Три ziottcnipimiiraie'задачи Однажды Карл II Предложил Королев-
ском) обществу обсудить вопрос, почему уровень воды в сосуде нс
поднимается, если опустить гу ла живую рыбу. Посреди жарких спо-
ров один из членов Общества незаметно вышел из комнаты и провел
эксперимент, обнаружив, что уровень воды в сосуде в действительно-
сти поднимается. Запомните эту теорию она вам пригодится, ког-
да вы будете решать однх из .задачек знаменитого английского голо-
воломщика Генри 1. Дьюдени.
Головоломки
ЧегюЫре буквы Т В повседневной жизни мы сталкиваемся с мно-
жеством задач, в которых нужно оптимально расположить предме-
ты, выполнив определенные ограничения. Цель сегодняшней голо-
воломки — уложить четыре се одинаковых элемента в форме буквы
Т в каждую из двхх квадратных рамок, находящихся на разных сто-
ронах коробки. 1 Начните с рамки побольше (это простой вариант го-
ловоломки), перейдя затем к меньшей — с этим вариантом справить
ся будет посложнее.
С МОМЕНТА ПОЯВЛЕНИЯ ТЕОРИИ ИГР ЧИСЛО ИССЛЕДОВАНИЙ В ЭТОЙ ОБЛАСТИ И ЧИСЛО СФЕР,
ГДЕ ЭТА ТЕОРИЯ НАХОДИТ ПРИМЕНЕНИЕ, ВОЗРАСТАЕТ ПОЧТИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНО
Теория игр
Выигрышные стратегии
Игры вл-гха привлекали внимание матема
тиков. Теория вероятностей и статисти-
ка возникли в результате систематическо-
го изучения игр — не с цел! ю понять саму суть
игры, а а попыткам предсказать ее исход. Фип
Нейман и позднее Джон Нэш в своих работах
представили новый взгляд на игры. Они рассма
трпва \и игру не как последонаасльносгь собы-
тий, подчиняющихся законам теории вероятно-
стей, а как конфликт интересов. 1 hieiuio по этой
причине теория игр стала применяться чрезвы-
чайно широко. I [гра в теории игр — это нс толь-
ко партия в покер ы хи шахматы, но и сценарий,
в ходе которого два игрока млн более должны
принимать решения, сущеовсино влияющие на
исход партии. Таким сценарием может быгь мор-
ское сражение, выживание био логического вида,
банкротство коммерческой фирмы, проведение
политических выборов и многое лрмое.
V .За огромные дос ши-
женим в гражданской
сфере и Листа tiatoe и плодо-
творное сотр удни чееммю
с армией CU/ -7 Джон фон
Ней чан оы t награде н мс -
Свободы, КЫНорУМ он
получил мз рук нре.исденшл
Д у. in mt i Эй /енх. t уф t.
► 1 ipu мнение теории игр
к реа. гины м * итуация и,
проислодившн ч во времена
холодной воины между Ныв-
ши, и СССР и C7/I.-I, нолу-
чи.ю название вогнной игры.
Скобенносшыо военной игры
является угром применения
ядерного оружия. Эта игра
относится л ш/иы г ненуле-
вой суммой, шак как потери
CCCZ! который в ишт
потерне t поражение, нс рав-
няла ъ выгоде, полученной
СШТ
Что такое игра?
В общих чертах, игра — это процесс, н котором
участвуют дна игрока или Ьолсс, действующие по
определенным правилам. I [гроки могут прини-
мать решения в рамках определенной стратегии,
влияющей на ход игры. Цель игры — получить
некоторую выгоду, поэтому одним из основных
понятий теории игр является понятие платежа.
Платежом может быть некая сумма, нс принад-
лежащая ни одному из игроков и распределяемая
между ними. 1 [латеж также может иметь форму
штрафа, как в случае когда ставка делится меж-
ду двумя игроками, один из которых выигрывает
(сто платеж положителен), а другой проигрывает
(его п латеж отр11 цдтелен).
В зависимости от вида платежа игры делят-
ся на две большие группы: игры с нулевой сум-
мой и игры с ненулевой суммой. К первой группе
относятся игры, в которых игроки соревнуются
за право получить единственный выигрыш, или
платеж. Игры этой труппы подчиняются про-
стому правилу: сумма выигрышей всегда равна
сумме проигрышей. Игры, в которых выигрыш
какого-то игрока нс обязательно означает про-
игрыш другого. называются играми с ненулевой
суммой.
Игры для двух игроков
В теории игр наиболее подробно изучены шры,
в которых принимают участие всего два игро-
ка. Обобщение игры для случая, когда в ней
участвуют более двух игроков, существенно ус-
ложняет рассуждения, так как в этой ситуации
in роки могут объединяться в союзы и образо-
вывать коалиции К ]Ч-т-4 row Джон фон Ней-
ман и Оскар Моргенштерн доказали, что любую
игру для п игроков с ненулевой суммой мож-
но свести к игре с нулевой суммой для (я + 1)
шрока. В теории шр особое внимание уделяется
играм с нулевой суммой для двух игроков пре-
жде всею потому, что такие игры всегда можно
обобщить для (w + 1) игрока.
Платежная матрица
Одно из важнейших средств анализа игр называ-
ется платежной матрицей (англ, pay-off matrix).
Платежная матрица — это таблица, в строках ко-
торой указаны возможные выигрыши игрока А,
а в столбцах — выигрыши игрока Б. Под стра-
тегией понимают полный план действии игро-
ка во время игры. Элементы платежной матрицы
указывают выигрыши или проигрыши каждого
шрока, соответствующие выбранной им страте-
гии. Два числа, разделенные запятой, означают
вьпирыш и проигрыш первого и второго игро-
ка соответственно. Например, следующая пла-
тежная матрица
Игрок Б
1	2
1	10,2	-3,5
2	1,-6	4,8
Д В книге - Георич игр
и экономическое поведение
МАШИ &ШШН (w
г Ot каром Л^.’епштгряаи,
фон Нт и UUM
ет. чм/о пежеденнф рымкин
aочень r.tttJKHfj
г»оде iHpvtt.iTHb, так л. гл аии
п&дчинлпткЛ цнамеемлу
правил личного характтрл.
определ че»иых утыепмикллш
рЫИКЛ.
означает, что если игрок А выберет стратегию
2, игрок Б — стратегию 1, то первый игрок вы-
играет 1, второй потеряет 6. Если же, напротив,
игрок А выберет стратегию 1, игрок Б — стра-
тегию 2, то первый потеряет 3. а второй выигра-
ет 5. Эт) платежную матрицу можно представить
в следующем, более простом виде-
	Б1	Б2
А1	10,2	-3,5
А2	1,-6	4.8
Если речь идет об игре с нулевой суммой,
в каждой ячейке таблицы достаточно запи-
сать всего одно число, так как выш рыш одно-
го игрока всегда будет равен проигрышу друго-
го. 1 IpttMcp;
	Б1	Б2
А1	9	-3
А2	-2	14
Эта платежная матрица означает, что если
игрок А выберет первую стратегию, а игрок Б —
вторую, го первый потеряет 3. а второй выигра-
ет 3.
Рассмотрим платежную матрицу для извест-
ной шры «камень, ножницы, бумага», в кото-
рой ставка в каждой партии равна 1 евро.
▼	я^ы — .шю
игры г wrRawtfn информа-
цией. так клкл1ы Не знаем,
какие карты илход-Чмил ил
руках j других игроков.
Б
камень бумага ножницы
камень 0-11
бумага	1	0	-1
ножницы	-1	1	0
Если, например, игрок Л показывает «бума-
гу», трок Б — «камень», игрок А выигрывает
1 евро, который проигрывает игрок Б. Ничьим,
в которых ни одни из игроков ничего не выи-
грывает и не проигрывает, соответствуют нули
в ячейках матрицы.
Стратегии
Одна из основных задач теории игр — определе-
ние вышрышных стратегий. Для этого необходи-
мо предположить, что выполняются следующие
\ твержденпя:
1. Оба игрока действуют рационально.
2. Оба игрока выбирают стратегии, ру ковод-
ствуясь исключительно собственной выгодой.
Существунгг шры, в которых для одной из
сторон эти утверждения нс выполняются, напри-
мер, если в качестве одной из сторон выступает
сама природа. В этом случае в ход игры вмешива-
ются случайные факторы.
Один из простейших способов определения
выигрышной стратегии — так называемый метод
Выигрышные стратегии
> /Кам w№ та и пре-
подала me j и При nt «ваш кого
уни верен ммодг (шт. вт
Нъю-Ажерсн) Алона Форбса
Нэша. который в / 997 году
был удл тоен Небе teen кои
пре www по экономике со-
вместно с Д vtvuou Харсамыс
и Райнхардвм Зе /теном за
а на ензравном нл в теории
некой, шцн&нных игр. ₽?рл-
новн ta юздате вей фи вьзы
«Игры разума» (A beautiful
miml), имевшего большой
успех в прокате.
минимакса. Он заключается в том, что игрок вы
бираст стратегию, при которой максимально воз-
можный проигрыш минимален. 1 !е имеет иначе*
ния, знает другой игрок, какую стратегию мы
используем, или нет: мы совершаем ходы вне за-
висимости от этого. Рассмотрим, как этот ме-
тод применяется на практике. Допустим, что два
игрока А и Б играют н игру со следующей платеж-
ной матрицей:
	Б1	Б2	БЗ
А1	3	-1	4
А2	3	0	1
АЗ	3	-1	-4
Если игрок А следует стратегии 1, его про-
игрыш максимален, когда игрок Б также следует
стратегии 1. В этом случае игрок А проигрывает
3 — это число выделено красным цветом в соот-
ветствующей строке следующей таблицы. Следуя
этой же системе, запишем максимально возмож-
ные проигрыши для каждой стратегии:
	Б1	Б2	БЗ	
А1	-3	-1	4	-3
А2	3	0	1	0
АЗ	3	-1	-4	-4
	3	0	4	
Минимально		возможный	проигрыш	ittpo-
ка А равен нулю. Он соответствует стратегии 2.
Это значение называется ценой игры. Когда це-
на игры равна 0, как в нашем примере, то гово-
з содей Ви сзини и наложи-
те, гьный игрой Уэсли /внизу)
сра.чсал/шгл га право стать
.«улем /сринцеп ы. Тероям
нужно угадать. в какой из
двух кубков подсыпан яд.
.Этот поединок явлхгшея
прекраг ным при мерам
йена. гь шоанн ч теории
игр. Визги ни. Htpevumpun
£ ампго । еб.ч, выпив, и th яд
и погибает.
рят, что игра является справедливой. Для тро-
ка Б минимально возможный проигрыш также
равен ну \ю. Он соответствует стратегии 2.
В рассказе «Последнее
де.со Хо. м и а » (7 Ъе final
problem) Шерлок Xv вме w его
противник профессор Мори-
арти ера*а юная на краю
Рейхенбалс кого водопада.
Ранка t содержит эпнч^ды,
которые можно i читать
препрм ными примерами
теории игр- напри мер. по-
гоня за поездом. Сэр Артур
Кинан А^й г юн своего
вдохновение создав образ
учшего детектива в миро-
вой tumepamypr и на иного
лет опереди i солдате вей
математи ческой теори и,
которая помогает решить
Hr которые из его загадок.
Равновесие Нэша
Если игрок А предполшает, что игрок Б яс изме-
нит свою стратегию, и, следовательно, также не
меняет стратегию, при ,том игрок Б рассужда
СТ точно так же, то в игре достигается равнове-
сие 11эша. В конкретной игре равновесие Нэша
может быть недостижимо либо точек равновесия
может быть сразу несколько.
Заметим, что стратегии обои. игроков, вы-
текающие из принципа минимакса, в прошлом
примере соответствуют одной ячейке таблицы
(А2-Б2Ч которая одновременно содержит ми-
нимальное значение в строке и максимальное
значение в столбце. Так происходит нс вешда
►	 npHHu<nd-He-
веста» (7'hi Priucets Brule)
Теория игр
171
► Вюоей иска сс очевид-
ного > чатсчлтик Ральф
Boat указыеа t. ^Eciu фон
Hat v.tH говорит, что .w/w
очевидно, значим, это мож-
но дока ыть за мри месяца,
«ttt только еы гении ».
(далее мы рассмотрим такой
пример). Однако в тех случа-
ях. когда эго происходит, стра-
тегии обоих игроков будут со-
впадать. Нетрудно заметить, что
в игре, которую описывает пре-
дыдущая матрица, ни один из
игроков не заинтересован в смене
у<?57)
;fpann
стратегии. Достигается равновесие
Нэша, при котором результат игры
является оптимальным, так как стратегии обоих
игроков, следующих методу минимакса, совпада-
ют. По определению, если элемент матрицы обла-
дает следующими свойствами
1) является минимальным в строке;
2) является максимальным в столбце,
то он называется седловой точкой.
Теорема о минимаксе
В теории игр различают так называемые чистые
и смешанные стратегии. Чистые стратегии пол-
ностью определяют действия игрока во всех
г
возможных ситуациях. Если оба
игрока придерживаются чистых
стратегий, все партии будут оди-
наковыми. В смешанных страте-
гиях, напротив, выбор стратегии
происходит случайным образом,
например броском монеты или
игральных костей. В 1928 году
Джон фон Нейман опублико-
вал статью, в которой матема-
тически доказал, что в любой
игре д.хя двух игроков с ну-
левой суммой, где возмож-
но применение смешанных
стратегий, минимаксы для каждо-
го игрока вешда буду г совпадать в седловой точ-
ке. Это утверждение получило название теоремы
о минимаксе.
▼ Го юсовамие в парламгн-
те шзжно математически
представить как игру г не-
ну teeoii сум моя, jrvw/M v
до ну екает формирование
коалиции, из-за чего нель-
зя найти онти чальную
стратегию, выигрышную
во всех случаях.
Кооперативные игры
Все игры, о которых мы рассказа хи выше, обла-
дают общим свойством- игроки нс могут дого-
вариваться между собой. Такие игры называют
ся некооперативными. Существует класс игр,
в котором игроки могут общаться между собой
и заключать соглашения до начала партии. Такие
игры называются кооперл ивными. Предста-
вим, что трос друзей, А. Б и В, хотят разделить
между собой 1000 евро. Решение принимает-
ся путем голосования и определяется простым
Выигрышные стратегии
большинством голосов. Возможно оОразонание
следующих коалиций: АБ, АВ БВ и АБВ. Одна-
ко дены п можно разделить бесконечном чшлом
способов, например
А = ЗАО, Б = АЗО, В = 340;
А = "00, Б = 300, В = 0;
А = 250, Б = "00, В = 50;
и гак далее. Ни одна in коалиций нс являет-
ся стабильной. Анализ игр такого типа замет-
но отличается от анализа некоипсративнь'х шр
и является намного о&лее сложным. Здесь речь
идет о сом, как можно сформировать стабп льные
коалиции, в которых деньги делятся так, что ин
один из участников не заинтересован в выходе
из коалиции. На практике результатом подоб-
ною анализа является введение стороннего ар-
битра. что делает выполнимым формирование
оптимально!! коалиции. Примером такой ситу а
ци1 .южст служить голосование в Европе иском
парламенте по вопросе разделения средств меж-
ду членами Европейского союза, в котором уча
ствует определенное число представителей от
каждой страны.
Война полов
Так назыьасмая война полов — классический
пример использования теории игр в повседнев-
ной жизни, который позволяет усвоить ее основ-
ные понятия и еде лать выводы о том, как ведут
себя люди. Участники игры —мужчина и женщи-
на, которые решают, как провести воскресный вс
чер. Нужно сделать выбор между двумя варианта-
ми — «пойти на фу гоол» или «пойти в кино».
Предпочтения обеих сторон типичны и оченид
нм. Но к этим вариантам добавляется еще одно
условие: и он, и она хотят воспользоваться ред-
кой возможное гью и провести воскресный вечер
вместе. В этом слу*г 1с предпочтения мужчины бу-
дут вьи.лядеть следующим обра юм (от более же-
лаемых к менее желаемым):
1. Оба идут на футбол.
2. Оба идут в кино.
А Он идет на футбол, она идет в кино.
t. Он идет в кипи, она идет па футбол.
На основе этих предпочтений можно сфор-
мпровагь платежную м.нрицу, где I будет обозна-
чать найм чший вариант. 1 —наихудший:
она, Футбол она, кино
он, футбол	1,2	3,3
ОН, кино	4,4	2,1
Л 7яж на зывммыг игры / wy-
JfTWJf rywntlrt, ACJW/jyj/Jf V.-Нф"
рано At mpfvjmmtji a nt)A(
домин} жи.мн, Htwimt ar/Ai
Шн)рА iy.uethiKitrj рл f.iAVM/jjt'
морги ц tLOMtipouMibit aji,
n.tupit.»rp, а нерггвнорлг
UZAiJy nplMpi Ok/ t.Llitt U {hlfa)-
taoAmt ULiftf n tit vrvt^yno-
jtnifiifit и нохяшнше. ix«w.
Эта платежная матриц* очень проста: если оба
И,м г на фу сбол, то он идет туда, куда хочет, при-
чем вместе с ней (первый по предпочтительности
вариант), однако она идет не туда, куда хочет, но
вместе с ним, поэтому этот вариант является для
нес вторым по пр<д почтительности. Если ОН НДС г
н„ футбол, а она идет в кино, каждый идет туда,
куда хочет, но по о!дс хьности. Этот вариант за-
нимает третье мсс то в сижке предпочгений каж-
дою ив них (3> 3).
Эта игра проходит только один раз, и решение
нельзя принять в зависимости от результата про-
шлых игр. Кроме того, эта in раявляетея некоопе-
ративной. так как мы предполагаем, что стороны
не могут заключать межхт собой договоренности
ин \а «если гы пой дешь со мной в кино, то за ом-
леты плачу я » Мето у минимакса вс дет к следу то-
щей ситуации:
он, футбол
ОН, кино
она. футбол
1,2
4,4
4
сна. кино
3,3
2,1
3
3
4
Максима хьный проигрыш для него равен 3
или 4, следовательно, минимакс равен 3. Макси
мальнын проигрыш для нее равен 3 иди 4. сле-
довательно. минимакс также равен 3. Эти пла-
тежи соответствуют ситу ацпи, когда он идет на
футбол, а она идет в кино. П хатеж 3. 3 являет-
ся оптимальным для каждою из игроков. В этой
ситуации с помощью метода минимакса не до-
спи ас гея равновесие Нэша, так как один на
Теория игр
173
треков может изменить стратегию, чтобы уве-
личить свой выигрыш. Когда он направляет-
ся на стадион, то может изменить свое решение
и пойти в кино, В этом случае его выигрыш воз-
растет, однако может с хучнться так, что оба бу-
дут рассуждать одинаково, изменят свои реше-
ния, и в этом случае проигрыш обеих сторон
будег максимальным.
Если напрячь воображение, можно предста-
вить себе мир, в котором женщины обожают фу т-
бол, а мужчины — кино. В этом слу чае игра будет
ничем нс отличаться от предыдущей. Э го означа-
ет, что игра является симметричной Изменим ус-
ловия игры так. чтобы сделать се несимметрич-
ной. I Вменим порядок предпочтений для него:
1.	Оба идут на футбол.
2.	Он идет на футбол, она идет в кино.
3.	Оба идут в кино.
4.	Он идет в кино, она идет на фх тбол.
11нымн словами, он предпочтет пойти на фут-
бол один, чем пойти в кино вместе. Платежная
матрица будет выглядеть так:
	она, футбол	она, кино
он, футбол	1,2	2.3
он, кино	4,4	3,1
В этом случаи очевидно: вне зависимости ст
того» чю выберет она, он всегда пойдет на фут-
бол, так как в этом случае он всегда будет выигры-
вать. Учитывая эти обстоятельства» для псе будет
предо оч 1 и [сльнес отправиться на фу гбол вместе
с ним, так как он пойдет на футбол в любом слу-
чае. Эта ситуация соответствует седловой точке,
точке равновесия 1 Ьша, так как она соответству-
ет стратегиям, которые всегда будут выбирать оба
игрока.
В этом случае говорят, что для одного из игро-
ков имеется доминирующая стратегия, которую
МИМО
Один из первых примеров применения теории
игр в военном деле — битва в море Бисмарка
в конце 1942 года, в которой американски-
ми войсками командовал генерал Джордж
Кинни, японским флотом — контр-адмирал
Кимура Масатоми. Метод минимакса позволил
американским войскам найти выигрышную
стратегию и позднее лег в основу новой док-
трины разведывательных полетов.
▲ //Alvimww — who w.yu
с по лной мшрормлцней.
Число яо t ножных t шрл
Шегпй НАСТОЛЬКО tie
ww t)o (//v щ>р неизвестно
существует ли общ.гх
стратегия, которая позво-
ляет выиграть и ли свести
к ничьей любую партию.
В поединках человека и
НАЧИНАЯ СЛЛАМЧА
Глррм К.инлровА w Deep B/ut
л /	(млтч заверши t-
С* нонгдин KUfitHLfOHiepd),
ш л в олгдодоын интеллект
трлднц ионно одержи ел rw
шрх. В ллди. миру Крлммнку
(нд и i люстрации) удалы ь
добитый лишь ничьей
а матче против мощней-
шего я мире шахматного
компьютера Deep fh'iz в ок-
тябре 2002года.
В первые годы холодной войны Джон фон
Нейман, проанализировав возможные страте-
гии, предложил нанести серию превентивных
ядерных ударов по Советскому Союзу. Пра-
вительство США вынесло отрицательный
вердикт ввиду катастрофических последствий
этого шага.
этот игрок будет предпочитать всем остальным
возможным стратегиям. Можно привести при-
меры, в которых доминирующая стратегия су-
ществует для каждого игрока.
Парадоксально, что в последнем примере эго-
истичная позиция «я пойду на футбол, с тобой
или без тебя» ведет к использованию стратегии,
оптимальной для обоих игроков.
Джон фон Нейман, один из крупнейших математиков XX зека, открыл математическую теорию
ИГР, А затем показал, как можно представить всё в виде математической игры. Его гений проявился
ВО МНОЖЕСТВЕ НАУЧНЫХ ДИСЦИПЛИН, В КАЖДОЙ ИЗ КОТОРЫХ ОН ДОБИЛСЯ ЗАМЕТНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ.
Джон фон Нейман
родился 28 декабря
1903 го\а в Буда-
пеште. Его отец имел ев-
рейское происхождение
и был банкиром, мать бы-
ла дочерью богатого ком-
мерсанта. Фон Нейман
с юных лет проявил уди-
вительные способности к математике, но его отец
настоял, чтобьп от изучал химию. Одновременно
с изучением химии Джон продолжал заниматься
математикой и, нс посещая занятий, в 1926 году
получил степень доктора, защитив диссертацию
по теории множеств. В 1927 году он переехал
в Гёггинген, где познакомился со своим будущим
учителем Давидом Гпльбсргом. Там же он опубли-
ковал свои важнейшие paboibi по теоретической
физике. В 1931 году фон Нейман получил долж-
ность преподавателя в Принстонском универ
ситсте. I Imchho в то время был создан кистиi ут,
позднее ставший одним из ведущих научно-ис-
следовательских учреждений мира — Институт
Разносторонний гений
Джон фон Нейман
Ч Ал.р.’лт Ноп. яеоекон пре-
мии по фишке Хане Бете
оцепили UHmet,texm по деея-
типллльной Непале. Оценка 8
mo.uy, что
ио.’ понять только OH t.iu
и фон Неймлн, 9— пи му,
что ио. понять только фон
Ней мак (на фоттрлрни I
11> — »«««,. что не йог по-
нять (точна, пока не мог
понять) далее фон Нейман.
► Джон Фон Нен теп
ечитагтея одни и из еозда
те еей компьютеров, так
как именно он приду мал
архитектуру, в которой
see прогр.! чмы хрлн ятея
в отией па мяти. >БМ.
)тл архитектура иеполь
зуе/т.ч ое> лтт еоврсценных
компьютерах.
перспективных исследований (англ. Institute for
Advanced Study). Фон Нейман стал самым моло-
дым сотрудником института и проработал в нем
до конца жизни. Он был дважды женат: оба раза
его женами становились эмигрантки из Венгрии.
У него было двое дочерей, по одной от каждого
брака.
«Проект Манхэттен»
В разгар Второй мировой воины Роберт Оппен-
геймер пригласил фон Неймана в возглавляемый
им «1 [роект Манхэттен». В то время
фон Нейман занимался
Фундаментальный вклад в человеческое знание
ОБРАБОТКА
Фон Нейман занимался чистой математикой и внес важный
вклад в алгебру, топологию и функциональный анализ. Тем
не менее, многие полученные им результаты можно отнести
к прикладной математике. Он заложил основы теории игр, до-
казал фундаментальную теорему о минимаксе и написал в со-
авторстве с Оскаром Моргенштерном книгу «Теория игр и эко-
номическое поведение» (1944), в которой изложил суть этой
новой научной дисциплины. Кроме того, он был выдающимся
физиком-теоретиком, открыл гильбертовы пространства,
с помощью которых был создан строгий формальный аппарат
квантовой механики. Его книга «Математические основы кван-
товой механики» (1932) является одним из основных трудов по
этой дисциплине Фон Нейман был в числе создателей ком-
пьклеров: он придумал архитектуру (см рис выше), в которой
все программы хранятся в общей памяти компьютера. Именно
эта архитектура используется в современных компьютерах. Он
также был первым, кто предложил идею параллельных вычис-
лений. Он применил комбинаторику, математическую логику
и теорию информации в кибернетике, в частности при проекти-
ровании автоматов, заложив основы развития искусственного
интеллекта и создав первые модели самовоспроиэвьдящихся
машин. Кроме того, тысячи экономистов по всему миру еже-
дневно используют теорию игр, руководствуясь его книгой,
написанной совместно с Моргенштерном, о которой мы уже
упоминали. Помимо этого, статья «Модель общего экономи-
ческого равновесия», написанная фон Нейманом в 1937 году,
считается важнейшей работой по математической экономике
из всех когда-либо написанных.
Нейман (1903-1957) КЗ
•< Б.ыгаРлр.чучлеткю Ajkv-
wa Ней.чмы (t иш) в
-* /фотто»*-	•*.
юш.№иг wav РйЛр/яш/
Опнгшен. ие/юм (/ нрмы),
l7».LW (JfiWWJW.V p«*JW« Miff
ыючгвен i.i/livu при ttfifki-
нни л>по UN&ii twsitHfi, л ti НСН-
НВ HUM WSIIU вфЫРШЮМ
Wnff\ ппы.
▼ Мгхр&шг фам /Л/г мала
Wfttf Н,1ШНЛН HOtV iffffhlt if
ааурлпшАи /О^уеллгй.и Виодт»
p& U, ЧЖВ ?MA‘,t tMfhtf mt КЛКМ w
O.y>O UHJU.W iliWinpfimr *W>,«
otf.wffa_t t/roif Неймлн.
Hj ii.tiniiiii^irfiui — очерк p
pun HeuAhiut tFza.<rw< Ibe
Timet Jit nathjfti ью P^Mb^l
Зрт им Плйгрлсл,
баллистикой и был военным сонетннком пра-
вительства США, В 1913 году фон Нейман стал
полноправным участником проекта, в рамках ко-
торого в обстановке строжайшей секретно-
сти в лабораториях Лос-Аламоса
создавалась первая в истории
атомная бомба. Его вклад не
был чисто теоретическим (он
математически определил опти-
мальный способ детонации бом-
бы): он также уделял внимание
стратегии п определению наибо-
лее подходящих целей для испыта-
ния новой бомбы К сожалению, фон
Нейман не обращал особого найма
ния на вредные свойства радиоактив-
ного излучения. Он был чрезвычайно
уверен в себе и проводил многие часы
в лаборатории Лос-Аламоса, посещая
v>w ^7

Л0И41ТЕРК410 .
В университетских кругах говорили:
«Большинство математиков доказывают то, что
могут. Фон Нейман доказывает то, что хочет».
Отличная иллюстрация этому — история,
которую рассказал математик Питер Лакс,
друг фон Неймана. Как-то раз фон Нейман вел
лекцию по математике в университете и понял,
что забыл, как завершается доказательство
одной теоремы. Он повернулся к аудитории
и произнес: «Мне было известно три разных
доказательства. К несчастью, я выбрал
четвертое».
Фон Нейман в течение жизни сменил три
имени, каждое из которых ознаменовало
совершенно новый этап его жизни. Его
первое, венгерское имя звучало как Янош
Маргиггаи Нейман (хотя он сам использовал
уменьшительный вариант Янчи). Буква «и»
в слове «Маргиттаи» означала «де Маргитта» —
титул, который приобрел его отец Макс
Нейман, который в отличие от сына никогда
не использовал его. В период, проведенный
в Германии, этот титул трансформировался	ф
в приставку «фон». Приехав в США, математик	"
сменил имя на Джон (Джонни) и стал называть
себя Джон фон Нейман.

всевозможные испытания. В результате он полу-
чи л большую дозл облучения, что привело к об-
разованию рака кости. Первые симптомы прояви-
лись летом 1955 года. 8 февраля 195~ года Джон
фон Нейман скончался.
Удивительные способности к вычислениям
Фон Нейману как-то задали такую задачу: два поезда, расстояние
между которыми равно 200 км, едут навстречу друг другу со скоро-
стью 50 км/ч. От лобового стекла одного из локомотивов В сторону
другого поезда вылетает муха и начинает летать между поездами
с неизменной скоростью 75 км/ч. Какое расстояние пролетит муха до
момента столкновения поездов?
Эта задача решается просто: каждый поезд проедет 1 ОС киломе-
тров до столкновения, на что потребуется 2 часа. За эти 2 часа муха
пролетит 150 км. Но есть и другой способ решения. Математики, как
правило, решают эту задачу, суммируя ряд расстояний, которые пре-
одолевает муха, летая от поезда к поезду. Этот способ решения также
несложен, но требует объемных вычислений. Фон Нейман дал ответ
через три секунды. «Задача тривиальна. Ответ — 150 километров».
Собеседник, не скрывая огорчения, сказал: «Поздравляю. Почти все пытаются решить эту задачу
через сумму бесконечного ряда». Удивленный фон Нейман спросил: «А что, есть и другой способ?»
Язык КОМПЬЮТЕРОВ СОСТОИТ ВСЕГО ИЗ ДВУХ СЛОВ. Вся ИНФОРМАЦИЯ Б КОМПЬЮТЕРЕ ЗАПИСЫВАЕТСЯ
В ДВОИЧНОМ КОДЕ ПОСРЕДСТВОМ ЕДИНИЦ И НУЛЕЙ. ГРАММАТИКА МАШИННОГО ЯЗЫКА —
ЭТО МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА, КОТОРАЯ МАТЕРИАЛИЗУЕТСЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ.
МАТЕМАТИКА
Логика в электрических цепях
Машинный язык
В наш и дни мы постоянно взаимодейству-
ем с компьютерами: мы просим их выпол-
нить действие и получаем ршультап мы за-
хаем вопросы и получаем ответы. Сейчас мы даем
компьютерам указания с помощью мыши и кла-
виатуры, но очень скоро мы сможем общаться
с ними на человеческом языке. Сознательно или
бессознательно, в нашем языке мы используем
логику. Фразы вида «этим утром» когда я выхо-
дил из дома, шел дождь, но я нс взял с собой зонт
и промок» представляют собой предикаты, ко-
торые можно формализовать по специальным
правилам, Мы, люди, обладаем одним преиму-
ществом (или недостатком?): мы можем в любой
момент отказаться от логики, ио компьютеры ра-
ботают только с логическими языками. В осно-
ве механизма получения, обработки и создания
сообщений в компьютере, как и в основе рабо-
ты нашего мозга, лежит течение электрического
тока, вызванное разностью потенциалов. Чтобы
спроектировать архитектуру компьютера, нужно
обладать знаниями физики и логики, а главное —
знаниями математики, так как, по сути, компью-
тер подчиняется чисто математическим законам.
Л, наконец, рассмотрим таблицу для опера-
ции «л ти*>:
а	b	а или b
Истина	Истина	Истина
Истина	Ложь	Истина
Ложь	Истина	Истина
Ложь	Ложе	Ложь
Обозначив значение «истина» за 1, значение
«ложь» за 0, по сучим таблицы чисел, соозвет-
ству ющие ззим ло> нческнм операциям:
Логика
Чтобы понять, как математика (точнее, матема-
тическая логика) управляет работой компьюте-
ра. сначала нужно познакомиться с логическими
операциями. Рассмотрим три самые важные и л
них. 11срвая — это операция которая всего
лишь меняет входное значение на противопохож
ное. Если исходное значение — «истина», резуль-
татом этой операции будет «ложь», и наоборот.
л ДдартсЪк Zjj- /fr первым
ИЫН).1Ь.Ч)вЛЛ СИМВОЛЫ J.f.W
Ift'HWM.H.V
дог/Ыфш, придав им ту
лт гадгум l труктуру, что
ft обычным алгебраически ч
операциям В ак’ебрс. но-
сящей его и ч ч, 1 iuutsot.utu
Шиллерлоош.tmb но четким
правилам. которые нозво-
ijwih но tучить (огичееки
корректные резу сыеыты.
(Ju онуятколи резцаьташы
своих труда» в трактате
• / Ат iedoeanue законов
иыш п'ни.чл'	и ко-
тором основное внк мание
teuo си мвв шчп кой гогике
и алгебре югики.
а	не а
1	0
0	1
а	ь	а и b
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0
0	ь	a vinvtb
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0
а	не а
Истина	Ложь
Ложь	Истина
Следующая операция — логическое
которому соответствует следующая таблица
значений:
▼ . !ашчлкне цени. троят-
ся с йена ц-ыванием трех
основных аогича ких от ра-
ций:	«»» и ^илн»
Электроника языка
Трех основных логических от рации «нг »,
««*> и «««/» достаточно для выпо тения всех
мыслимых действий в компьютере. Однако пока
что речь идет лишь о схемах и абстракциях, ко-
торые сущссТвуЮт только в нашем воображении.
Попробуем преобразовать эти операции в нечто
осязаемое, а именно в электрические цепи, ко-
торые находятся внутри компьютера, точнее —
в ияичсскпе элементы, которые обозначаются
так, как показано ил рисунке ниже:
а	Ь	а и b
Истина	Истина	Истина
Истина	Ложь	Ложь
Ложь	Истина	Ложь
Ложь	Ложь	Ложь
97
Часто говорят, что язык компьютеров состо-
ит из единиц и нулей, либо, что аналогично, все-
го из двух «слов» — «истина» и «ложь». Это
равноси лыю ис1)ол1лова)шю всего двух разлцч
ных состояний. В основе всех компьютеров ле-
жат электрические цени и два их состояния — на
личие сигнала в цени и его отсутствие. Наличию
сигнала соо)вс1ствуст состояние «истина», его
отсутствию— «ложь».
4 Тик с.ь. тронсттор ри-
батист с той же скоростью,
i которой nepi иещлются
эсектроны, он идеально
подходит д.1 ч тл троеяи ч
соеических злеменныл,
которыми слою очередь,
лежят е основе р„" <ты
НАСОС
ВЫКЛ
ВЫКЛ — ВЫКЛ. Оба насоса отклю-
чены манометр показывает 0.
ВЫК'\ — ВК \. В этом случае вода
течет только по вертикальной трубе, но
клапан не даст ей дойти до манометра.
Следовательно, маноме гр будет покаты-
вать 0.
НАСОС
ВЫКЛ
ВКЛ — ВЫКЛ.
Вода течет по го-
ризонтальнззп тру-
бе, клапан находит-
ся на месте, поэтому
манометр показы-
вает 1,
Это состояние называется битом информа
ции, который, как вы у же заметили может прини-
мать всего два жачсния — 0 млн 1. Г Ipoi тейшес
устройство для передачи информации — обыч-
ный переключатель: если цепь разимкнгта, пи на-
ла нет, если цепь замкнута, еш нал есть. Каждому
положению переключателя соответствует 1 бит
информации Однако штюль зова гь переключате-
ли нс рекомендуется, зак как они раНотают мед-
ленно, а нам ну жны устройства, способные рабо-
тать намного быстрее. Всем нашим требованиям
с избытком соответствует транзистор. Пр ынцпи
работы транзистора проще всего представить на
примере водяного насоса.
ко мньют  роо.
НАСОС
ВКЛ
чдсск
ВКЛ
ВКЛ — ВКЛ. Вода течет по оОепм
требам, клапан перекрывает централь-
ную трубу, п но уа не достигает маноме-
тра, который пока 1ывает ().
I ак р Вютас г это устройство с двл мя
во-.янымп насосами, и точно так же ра-
Нотаст гран шетор.
Водяной насос
Представим две грубы, соединенные между со-
бой в форме буквы Т. На левом конце горизон-
тальной трубы расположен военной насос, ко-
торый может подавать вехе в трубу. На правом
конце этой трубы находится манометр — при
бор, позволяющий определип давление воды
в трупе. Из соображений простоты. грелка ма
нимстра будет показывать О, если вода
в тр;бс отеутствует. и 1 в противном
случае. В вертикальной трубе располо-
жен сше один насос и клапан, удержи-
ваемый пру жннон. Если включить этот
насос, пружина растянется и кланам пе-
рекроет груб), в про шипом случае прх
кина Суде I удерживать клапан на мсс гс.
Два насоса могут находиться в четы
per возможных
состояниях:
НАСОС
ВЫКЛ
НАСОС
ВЫКЛ
► Соврет чню Htsmpif
ча киеiffnn	v не
HYUi r.w	№. rrww и ЯЯ"»трон *
f№4V компонентов (три ft*
Ha тории. конденытороа
н других) к н^чатним н. ta-
me, а г применение w tfromu-
антвграфки. нолеtf t-чннцей
t	am t w нтегрл i ьныс
цепи огромной с южноети
роумером порядке! на кам*
ких микрон.
МАНОМЕТР
Машинный язык
Транзисторы
Заменим трубки с водой проводниками элек-
трического тока, насосы — источниками тока.
Вместо давления веды будем
измерять напряжение. Со-
ответственно, на смену ма-
нометр}' придет вольтметр.
Транзисторы имеют три элек-
трода и обозначаются симво-
лом, изображенным на рисун-
ке справа. Изобразим ту же
л С помощью nipt ключ оте-
лей и проводов любой элек-
трик.может uoimpoumb
любой логический элемент,
поерсо, швом которого мож-
но, напри нер, включазль
и выключать свет в закры-
том помещении из двукрлз-
печных удаленных точек.
Допустим, что источник тока всегда дает ток.
Рассмотрим, чти произойдет, если подать тик
на вход 1 и вход 2. В соответствии с прошлыми
примерами напряжение на выходах транзистора
1 и транзистора 2 будет отсутствовать, следова-
тельно, ток, поступивший на вход транзисторов
3 и 4, нс встретит никаких препятствий, и на вы-
ходе цепи будет присутствовать сигнал.
Таким образом, «истина» и «истина» дают
результат «истина». Рассмотрим, что произой-
дет в следу ющем случае:
(.дему, что и в примере с водя-
ными насосами, но заменим насосы транзистора-
ми. Если ток в горизонтальном проводнике от-
сутствует, стрелка покажет0 вне зависимости от
напряжения в вертикально расположенном про-
воднике. Если по горизонтальному проводнику
течет ток, вольтметр покажет 0 или 1 в зависимо-
сти от того, течет ток по вертикальному прово-
днику или нет. Чтобы построй! ь цепи, соответ-
ствующие лО1 ическим операциям, будем считать,
что присутствие тока в проводнике означает «ис-
тина» (1), отсутствие — «ложь» (0).
Вход 1	Ложь
Вход 2	Истина
Ток, вы годящий изтранзис гора 1. заблокиру-
ет выход из транзистора 3. так как сразу на два
электрода транзистора 3 будет подан ток. Так как
выход транзистора 2 уже заблокирован, сигнал на
выходе схемы будет отсутствовать. Таким обра-
зом, «ложь» и «истина» дают на выходе резуль
таг «ложь».
Вход 1	Истина
Вход 2	Ложь
Транзистор 1 окажется заблокирован. Та-
ким образом, транзистор 3 будет разблокирован,
транзистор 4 — заблокирован, сигнал на выходе
схемы будет отсутствовать. Таким образом, «ис-
тина» и «ложь» дают результат «ложь».
Наконец, рассмотрим, что произойдет в сле-
дующей ситуации:
Вход 1	Ложь
Вход 2	Ложь
Транзисторы 1 и 2 передают сигнал далее,
транзисторы 3 и 4 окажутся сблокированы, сиг-
нал на выходе схемы отсутствует. Таким образом,
«ложь» и «ложь» дают результат «ложь».
Следовательно, этой цепи соответствует сле-
дующая таблица истинности:
Сост авим схему из четырех транзисторов и ис-
точника тока с двумя входами и одним выходом.
а	Ь	анЬ
Истина	Истина	Истина
Истина	Ложг.	Ложь
Ложь	Истина	Ложь
Ложь	Ложь	Ложь
или, что аналогично.
а	ь	алЬ
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0
Мы доказали, что этому расположению тран-
зисторов соответствует логическая функция
«и». 11чыми словами, мы описали схему соот-
ветствующего логического элемента, представ
ленного на рисунке слева.
Логика в ктрнчаких цепях
Мы начади рассказ с самого
сложного логического элемент а.
□сильные два намного про-
ще. Ло1 ИЧСеКОМу ЭЛСМСН-
иаочниктокА
ЛОТОК-НО ж
ту •«или» соответству-
ет следе ющая цепь:	транзистор!
В1970е годы во Франции для создания
компьютеров, нечувствительных к электро-
магнитному излучению, использовались
водяные насосы Эти компьютеры сос гояли из
тысяч тонких пластиковых трубок, в которые
подавалась вода с помощью миниатюрных
насосов.
транзистоо 3
ВЫВОД
операции ««<’> соответч’ву ст еще более простая
цепь
МСГОЧНИКТОКА
Первый программируемый компьютер под
названием «Mark 1» был создан в 1943 году
 Гарвардском университете Он состоял из
множества переключателей, весил 5 тонн,
а при работе издавал невероятный шум
По возможностям он был сравним с совре-
менным карманным калькулятором За ним
последовали первый электронный цифровой
компьютер ENIAC (1945) и первый компьютер
на транзисторах (1958).
транзистор 1
ВЫВОД
V Нл фотографий (cMVU
направо): Джон Бардин.
J омшр Браттейн и 3 л и> ч v
Z/Zoa. ш — трее ученых^
резу tbmamoM совместной
работы которых ся/лло
открытие траниншорл —
основного компонента всей
соврет иной электронные.
Это нетрудно доказать, если р\ ководствовать-
ся соответствующими габ ыщами истинности
и проследить, как течет ток в этих цепях.
На этих логических элементах построена вся
ар.хитекту ра компьютеров Как и с\сдова \о ожи-
дать, реальные цепи намного сложнее: на осно-
ве базовых логических элементов строятся др 
те, более сложные. Есди бы мы захотели столь
же подробно объяснить устройство суммато-
ра — простой логической цепи, с помощью ко-
торой можно складывать два числа, — нам по-
требовалось бы в три или четыре раза больше
времени. Огромным преимуществом архитек-
туры компьютеров, придуманной Джоном фон
Нейманом, является ее универсальность. Беаго-
харя этому для выполнения на компьютере эю-
бых действий не требуется изменять архитектуру,
а достаточно просто изменить программу. С по-
мощью одних и тех же логических цепей можно
выполнить и четыре основные арифметические
операции, и реализовать многофуакцыоняльный
текстовый ре дактор.
пи
Ai (британский физик Уильям Брэдфорд Шок-
ли <1910-1 98у), который совместно с другими
учеными открыл транзистор, работал в иссле-
довательском центре Bell Labs. Он занимался
исследованиями ферромагнетиков, полупро-
водников а также физикой твердого тела.
Результатом его работ о полупроводниках
стало изобретение транзистора в 1948 году.
За это открытие он совместно с коллегами
Джоном Бардином и Уолтером Брагтейном
получил Нобелевскую премию по физике
1956 года.
Генри Э. Дьюдени
Три геометрические задачи
1.	Задача о стене
Четверо бедняков ИСК грин СИ СВОН ХИЖИНЫ во-
пру г небольшого озера Затем четверо богачей
построили своп поместья гак, как показано на
рисунке, п решили прибрать озеро к рукам. Они
попросили архитектора построить стену нап
меньшей длины так, чтобы отгородить бедняков
от озера а самим Оесирепятственно проходить
к нему. Как с лсдуег построит ь стену?
2.	Задача о бумажном змее
Однажды я с моим другом, профессором н од-
ной из областей науки, запускал бумажных зме-
ев на юге С vcccKC а. Тогда же я провел hi которые
вычисления, которые заинтересуют моих чита-
телей. К воздушном г змею была прпвя >ана ве-
ревка. ос т.п ок которой был плотно намотан на
вал так, что полу чн лея идеальный шар. Ттот шар
имел 21 дюйма в диаметре, уиамстр самой верев-
ки равнялся одной сотой дюйма. Какова длина
веревки?
Этот простои и понятный вопрос может сбить
с тс уку многих. Посмотрим, сможете ли вы. нс
углубляясь в вычисления, по лучить приближен-
ный ответ, скажем, с точностью до 100 01)0 дюй-
мов. Будем считать, что свернутая веревка име-
ет форму сплошного шара, и не будем учитывать
толщину вала, на который она намотана. Мне
интересно, сколько чптатс леи смогут вычислить
длину веревки с указанной точностью.
3.	Папина голо юлоыка
Я предлагаю читателям задачу 1Тапиа, жившего
в Александрии в конце III века. Это пятая зада-
ча восьмой книги его «Математического собра-
ния». Я привожу се в том же вп \,. что и много
лет назад когда я предложил ее читателям под на
званием « Папина головоломка», чтобы узнать,
догадаются ли они, что ан горим этой задачи яв-
ляется сам Папп.
Отец взял два картонных прямоугольника
разной ширины и вырезал из одного из них гре-
у сольный фрагмент так, что, если этот кусок кар-
тона подвесить на нити, проходящей через точ-
ку А, его длинная сторона будет расположена
строго горизонтально, как показано на рисунке,
11апа предложил дочери найти точку А д ля дру-
гого куска картона та сую, что, если отрезать от
него треугольную часть аналогичным образом,
его длинная сторона также была бы расположе-
на горизонтально.
Разумеется, положение этой точки нужно рас-
считать. а нс определить экспериментально. Эта
задача имеет одно очень интересное следствие.
Сможете ли вы найти его?
Решения
1.	Ответ, который приводится в старых
книгах, изображен на рис. 1, где показа-
но, как построить криволинейную стену
по условиям задачи. Однако нас интере-
сует самая короткая стена из возможных
Вспомним, что крат-
чайшим расстоянием
между двумя точка-
ми является прямая,
и получим результат,
показанный на рис. 2.
Разумеется, эта стена
короче предыдущей,
однако правильным
ответом будет тот, что
изображен на рис 3.
Если вы измерите
длину этой стены, то
обнаружите, что она
существенно короче
той, что изображена
на рис. 2.
2.	Я обнаружил, что тех, кто пытается
решить эту задачу, можно разделить на
две группы. Первые пытаются найти от-
вет с помощью более или менее сложных
вычислений, в которых используется
число и, вторые используют более про-
стые расчеты, которые, увы, дают резуль-
тат, неимоверно далекий от правильного.
Я представлю сравнительно простой
метод, в котором не используется рас-
чет диаметра окружности. Я назвал его
методом шляпного
мастера.
Представим,
что мы положили
наш шар из верев-
ки (А) в коробку
для шляпы цилин-
дрической формы
(В) так, что шар
идеально вписывается в коробку, каса-
ясь ее боковых граней, а также верхней
и нижней стороны. Согласно правилу,
которое должен знать каждый, в эту
коробку может поместиться еще полови-
на объема сферы. Следовательно, так как
сфера имеет диаметр 24 дюйма, коробка
для шляпы того же диаметра и высо-
той, равной 2/3 ^Имметра сферы (иными
слонами, 16 дюймов), будет точно равна
шару по объему.
Теперь предположим, что эта коробки
для шляпы — металлический цилиндр,
составленный из множества веревочных
цилиндров, скрепленных подобно во-
лоскам кисточки. По условию задачи
свободное пространство между верев-
ками отсутствует. Сколько нужно таких
цилиндров толщиной в одну сотую дюй-
ма, чтобы составить большой цилиндр
шириной в 24 дюйма? Площади окруж-
ностей относятся между собой как ква-
драты их диаметров. (1/100)2 =1/10 000,
242 = 576. Следовательно, большой
цилиндр вместит 5 760 000 маленьких
цилиндров. Но мы уже показали, что
каждый из этих маленьких цилиндров
имеет длину 16 дюймов. Следователь-
но, общая длина веревки составит
16 x 5 760 000 = 92160 000 дюймов. Если
мы переведем эту величину в мили,
получим, что длина веревки, к которой
прикреплен воздушный змей про-
фессора, равна примерно 1 454,5 мили
(2 240 километра). Оставим в стороне
размышления о том, действительно ли
змей может подняться на такую высоту
и не оборвется ли веревка под собствен-
ной тяжестью.
3.	Многие считают, что ниже представлен
верный ответ к задаче. Они утверждают,
что если расстояние будет ВА равно
одной трети ВС, и, как следствие, пло-
щадь прямоугольника АВЕ будет равна
площади оставшегося треугольника, то
при подвешивании длинная сторона
фигуры будет располагаться строго
горизонтально.
Читатели навер лка помнят шутку
Карла II, который предложил Королев-
скому обществу обсудить вопрос, почему
уровень воды в сосуде не поднимается,
если опустить туда живую рыбу. Посреди
жарких споров один из членов Общества
незаметно вышел из комнаты и провел
эксперимент, обнаружив, что уровень
воды в сосуде в действительности подни-
мается. Если читатель проведет экспери-
мент с куском картона, то мгновенно об-
наружит, что вышеприведенные расчеты
неверны. Площадь фигуры — одно дело,
сила притяжения — совершенно другое.
Треугольник будет наклонен в сторону
вершины D. Это нужно скомпенсировать,
увеличив площадь прямоугольника.
В действительности отношение длин
отрезков ВА и АС равно 1Л/3. Это чис-
ло нельзя выразить абсолютно точно,
7з к 1,732. Рассмотрим правильное ре-
шение в общем виде. Его можно получить
многими способами, но приведенный
мной кажется мне наиболее простым.
Нарисуйте равносторонний треу ель-
ник BCF, где BF = CF = ВС. Обозначьте
точку Gтак, чтобы DG равнялось DC.
Проведите линию CG до пересечения
с BF в точке Н. Проведем НА параллельно
BE. Именно вдоль линии, соединяющей
точку А и угол D, и должен пройти разрез,
обозначенный пунктирной линией.
С этой задачей связан любопытный
факт; положение точки А не зависит от
размера стороны CD. Это лучше всего
видно в приведенном мной решении,
чем в остальных. Я предпочел изложить
здесь этот вариант решения именно
по этой причине, хотя задачу можно
решить так, что все линии при по-
строении пройдут внутри картонного
прямоугольника. Если мы начнем умень-
шать ширину прямоугольника и будем
приближать Е к В и D к С, то линия CG,
которая является диагональю квадрата,
всегда будет указывать в неизменном
направлении и будет пересекать BF
в точке Н. Наконец, если мы захотим рас-
считать приближенное значение длины
ВА, нужно всего лишь умножить длину
прямоугольника на 0,366. Так, если длина
прямоугольника равна 7 дюймам, полу-
чим 7 х 0,366 = 2,562, то есть немногим
больше двух с половиной дюймов.
Однако задача любопытна еще и по
другой причине. Вы увидели, что по-
ложение точки А не зависит от ширины
картонного прямоугольника, а только от
его длины. Следовательно, чтобы решить
задачу, девочке нужно положить обре-
занный прямоугольник поверх другого
и обозначить точку А на том же расстоя-
нии от верхнеголевого угла. Поэтому
с задачей Паппа вполне может справить-
ся и ребенок, который не знает ни физи-
ки, ни геометрии.
60
Чтобы собрать эту головоломку под названием «Четыре буквы Т»,
НУ^НО ОЧЕНЬ ТОЧНО РАСПОЛОЖИТЬ ВСЕ ЧЕТЫРЕ ЕЕ ЭЛЕМЕНТА.
Как уместить части головоломки в рамке?
Цель этой головоломки — уложить четы-
ре ее одинаковых элемента в форме бук-
вы Т в каждую из двух квадратных рамок,
находящихся на разных сторонах коробки.
Одна рамка больше (это простой вари-
ант Iоловоломки), другая — меньше
(сложный вариант). Найти одно из
множества возможных решении
простого варианта нетрудно. Од-
но из них показано на рисунке:
Чтобы решить сложный вариант головолом-
ки, се мчала попробуй гс расположить элементы
на с юле гак, чтобы они занимали как можно
меньше места, после чего проверьте, поме-
стятся ли они в квадратную рамку» Как это
нередко бывает, трудности при сборке
этой головоломки мы создаем себе
сами, так как стараемся располо-
жить ее части параллельно сто-
ронам рамки. Подсказкой
может служить одно из
решении простого ва-
рианта головоломки,
в котором ее состав-
ные час ги расположе-
ны иод углом.
Можно попробовать определить, сколько раз-
личных решений имеет этот вариант головолом-
ки. Два решения, приведенные на следующем
рисунке, считаются од штаговыми. так как если
А В гаимнмомкс ** Четыре
вухвы Т» нужно рлсяою-
Я! ишь четыре цемента
в tpoptte буквы Г (oMifotli
ft на манне) ft большой н ua-
inti pa WA\fV, которые HOXO-
Sxmui на p,i зных tmopoHitx
коробки^ Чтобы решишь
присмотреться, то можно увидеть, что они зер-
кально симметричны относительно линии А.
Еще один способ
решения просто-
го варианта голово-
ломки — уложить
части так, чтобы их
стороны нс были
параллельны сторо-
нам большого ква-
драта. Этот способ
показан на рисунке
справа:
голове юм куг Л1 уж но _w.f к i и-
на itiHo лффектшзно fitHoih-
зовнть все доступное чесшо.
Используем доступное месть
максимально эффективно
В ииаседневной жизни мы сталкиваемся с мно-
жеством задач, в ко торы е н ежно оптимально рас-
положить предметы, учитывая определенные
ограничения. Эти задачи можно реши гь совер-
шенно разными способами. Рассмотрим в каче-
ст вс примера геометр! 1ческтю задачу об упаковке
сфер: как поместить в коробку максимально воз-
можное число Теннисных мячей? Задача о ран-
це, классическая задача линейного прзирамми
ровання и оптимизации, заключается в том, что
в рюк sai, нужно уложить как можно больше нуж-
ных вещей разного всса.нс превысив при этом
максимально допустимый вес. Похожую Зада-
чу раньше требовалось решать музыкальным
группам: как записать песни на обеих сторо-
нах кассеты так, чтобы максимально эффектив-
но использовать магнитную ленту. Оптимальное
расположение элементов ь нашей головоломке
мо кно раесчшась м.исм.ннчсски. ни вычисле-
ния несколько объемны.
91
Подсчеты
Как показано на рисх икс справа, сели мы примем
ширину основания буквы Т за единицу, то длина
л будет чуть больше 3. I Три каком значении л- ча-
сти головоломки буду г расположены максималь-
но эффективно? 11ными словами, при каком зна
чении .V соотношение между площадью, занятой
частями головоломки, и общей площадью рамки
бу дет оптимальным? Рассмотрим рисунок. Точки
Р, Qu R должны располаыться на одной хинин.
Треугольники PQS и QRT должны быть по-
добны.
В этом случае их стороны будут пропорцио-
нальны;
► ( 'psitiHitHH ttiff.-Li шмимца
уА*.Го1г)л.'Я J.I_V
i.iuVKhlX t/KHiif>nri petufHUJt
i	ItMNpX
зкачагцнх цифр. IIcmv.vwhhh
.1 h H ttpfikmatiarHN на ри-
сунках emtty гиаб.шцн.
Как следствие.
х(3+л)=1.
Зл + ж2= 1.
л-= + Зл - 1 = о.
Решив это уравнение, получим
-3+ у 13
2
Искомое значение равно 0.3028. При этом
значении доступное место используется более
чем на ЗА. Сторону квадрата можно вычислить,
рассчит ав расстояние между точкой Р и прямой г.
► III Г UttMtHO <ОТ«Л(-
ли»|'. jplMWy. K<»Ut>poil чож-
нс ыкл futmi- и шь,
ж паи, и.» тынки шр.пии,-
ны„ nqicna (<зг. рис .г и Ъ).
Фигуру, и tulip iM t пку>и и./
рис. <. мо жни пени it 1вп.ги>1,
при HapHa.it ,Ы. м Щ С ННН< Ctf-
Замощение плоскости буквами T
Предположим, что х нас есть очень много частей
в форме буквы Т и мы хотим полностью покрыть
ИМИ ПЛОСКОСТЬ.
В одним из возможных вариантов замощения
достаточно составных частей из двух элементов.
Однако в этом случае, чтобы покрыть всю пло-
скость, некоторые части нужно будет повернуть
на 180" (рис. а внп ту). Г ели рассмотреть замоще-
ние плоскости фигурами, состоящими из шести
букв 1 (рис. г/), в этом случае дветаточно только
пара хлетъного переноса. 11о этой причине фигу-
ра, состоящая из шести Г, на тывастся фунд мен-
тальной областью. Заметим, что это замощение
плоскости возможно только в том случае, когда
высота Т точно равна 4 единицам.
rr < здндая	тааыса
VpKit^tMff отображенной.
Фн.'УрОН, It UfHpaJKCHHifii Ha
pHt\ ft AHi.WHO МЛЮСтНША
намнаешь ttpit нанарнв»
wJav. Ht на tbsy к т/ыька
».tp.tttf Н'Мый нерено!
92
х
IKACOSTINI ПРЕДСТАВЛЯЕТ
Пропустили выпуск
любимой коллекции?
© Просто закажите его
на сайт
www.deaeostini.ru
Для украинских читателей — по телефону горячей линии 0-800-500-8-40
В следующем выпуске через 2 недели
Треугольный солитер
Неевклидова геометрия
Постулат о параллельности прямых
Коперник геометрии
Николай Иванович Лобачевский
Геометрические задачи античности
Построение с помощью циркуля и линейки
Спрашивайте
Льюис Кэрролл
Запутанный рассказ