Теория
неравновесных
систем
И.А.КВАСНИКОВ
Издание второе,
существенно переработанное и дополненное
Рекомендовано УМС по физике УМО по клас-
классическому университетскому образованию в ка-
качестве учебного пособия дм студентов высших
учебных заведений, обучающихся по направлению
510400 - Физика и по специальности 010400 -
Физика.
Книга удостоена Ломоносовской премии, присуж-
присужденной Ученым советом МГУ им. М.ВЛомоносова
«за создание уникального курса лекций и учебного
пособия по статистической физике и термоди-
термодинамике».
Москва • 2003
УРСС

ББК 22.317
Рецензенты:
акад. Н. Н. Боголюбов, акад. Л. В. Келдыш,
кафедра физики МПГУ им. В. И. Ленина
Квасников Иридий Александрович
Термодинамика и статистическая фишка. Т.З: Теория неравновесных систем: Учебное
пособие. Изд. 2-е, сущ. перераб. и доп. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 448 с. В 3-х т.
ISBN 5-354-00079-3
Книга представляет собой учебное пособие по второй части курса «Термодинамика
и статистическая физика», читаемого автором с, 1963 года на физическом факультете МГУ для
студентов 4-го курса дневного отделения. Пособие включает материал, соответствующий 2-й
части действующей программы по этому курсу. Этот материал включает в себя теорию флук-
флуктуации, брауновское движение и вопросы теории случайных процессов, термодинамическую
теорию необратимых процессов, кинетические уравнения в статистической механике. Второе
издание отличается' от первого включением ряда дополнительного материала (подробный
анализ явления «спиновое эхо», термодинамическое рассмотрение эффекта температурного
разделения газа в вихревой трубке и др.).
Материал пособия разделен на две части: основную, отражающую главным образом
материал, включаемый в лекционный курс, и дополнительную — задачи и оформленные
в виде задач дополнительные вопросы (не выходящие за рамки тематики, установленной
программой), которая позволяет изучить некоторые вопросы статистической механики более
детально.
Пособие рассчитано на студентов физических специальностей и аспирантов, а также
специалистов, интересующихся проблемами неравновесной статистической механики.
НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА МГУ
Издательство «Едиториал УРСС». 117312, Т. москва, пр-т~ои-лстин
Лицензия ИД Nq 05175 от 25.06.2001 г. Подписано к печати 09.01.2003 г.
Формат 70 х 100/16. Тираж 3000 экз. Печ. л. 28. Зак. № Ч*
Отпечатано в типографии ИПО «Профиздат». 109044, г.Москва, Крутицкий вал, 18.
ISBN 5-354-00076-9 (Полное произведение)
ISBN 5-354-00079-3 (Том 3)
© Едиториал УРСС, 2003
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или передана
в какой бы то ни было форме и какими'бы то ни было средствами, будь то электронные или
механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, если на то иет письменного
разрешения Издательства.

Оглавление
Предисловие ко второму изданию 7
Предисловие к первому изданию '. 9
Введение 13
Глава 1. Теория флуктуации 20
§ 1. Общие замечания 20
§ 2. Использование канонических распределений.
Корреляционные функции и флуктуации плотности 22
§ 3. Квазитермодинамическая теория флуктуации 27
а) Второе начало термодинамики для неквазистатических процессов 27
б) Общая формула для вероятности флуктуационного отклонения
от равновесного состояния 30
в) Зависимость u/д от интенсивности малых флуктуации 33
г) Общая формула для малых термодинамических флуктуации
в неизолированной системе 34
д) Обсуждение 40
Задачи и дополнительные вопросы 43
§ 1. Биномиальное распределение, или распределение Бернулли,
в теории флуктуации 43
§ 2. Канонические распределения в теории флуктуации 48
§ 3. Флуктуации равновесного излучения 55
§4. Флуктуации в классических системах 61
§5. Формула Найквиста. Тепловой шум системы
гармонических осцилляторов 67
§ 6. Квазитермодинамическая теория флуктуации 69
§ 7. Рассеяние света на флуктуациях плотности 78
§ 8. Учет градиентных (потоковых) членов 79
Глава 2. Брауиовское движение 81
§ 1. Характер движения брауновской частицы 83
§ 2. Уравнение Смолуховского 91
§ 3. Уравнение Фоккера—Планка 95
§ 4. Обсуждение 98
Задачи и дополнительные вопросы 100
§ 1. Оценки характерных величин 100
§2. Некоторые свойства свободного движения брауновской частицы ... 101
§3. Уравнение Смолуховского, уравнение кинетического баланса
и уравнение Фоккера—Планка 106
§4. Уравнение Фоккера—Планка. Точные решения.
Некоторые частные вопросы 107

Оглавление
§5. Учет нестабильности брауновских частиц 118
§6. Вращательное брауновское движение 120
§ 7. Стохастическое уравнение движения, корреляционные свойства
отклонений, связь с функциями распределения 124
§8. Брауновское движение частицы в среде с учетом ее последействия .. 131
Глава 3. Некоторые вопросы теории случайных процессов 138
§ 1. Вероятности w и Р 138
§2. Эргодичность случайного процесса 140
§3. Стационарный марковский случайный процесс 144
§4. Гауссовский случайный стационарный марковский процесс 145
а) Распределение вероятностей значений суммы независимых
случайных величин 145
б) Центральная предельная теорема (частный случай) 146
в) Одно свойство гауссова распределения 148
г) Зависимость от времени корреляционной функции случайного
гауссова стационарного марковского процесса 149
§ 5. Спектральные представления для случайной переменной
и корреляционной функции .- 151
§6. Смещение во времени случайной величины и формула Эйнштейна. . 153
§7. Применение к брауновскому трансляционному движению 155
§ 8. Формула Найквиста 157
§ 9. Обсуждение 159
Задачи и дополнительные вопросы 162
§ 1. Сумма независимых воздействий как случайный процесс
и его корреляционные свойства 162
§ 2. Некоторые общие свойства спектральной плотности 166
§ 3. Временные корреляции в равновесном излучении 173
§ 4. Метод спектральных разложений (метод Раиса) в задачах
о трансляционном брауновском движении 175
§5. Тепловой шум в электрической цепи. Формула Найквиста 180
§ 6. Двумерное гауссово распределение и проявление корреляционных
свойств случайного процесса 185
Глава 4. Термодапииш к екая теория необратимых процессов 198
§ 1. Общий формализм 198
§2. Диффузия, теплопроводность, вязкость, термоэлектричество 211
а) Диффузия, термодиффузия, теплопроводность 212
б) Термомеханические явления 215
в) Термоэлектричество 220
§ 3. Обобщенная восприимчивость и спектральные разложения 223
§ 4. Обсуждение 234
Залами и дополните» ¦ и* вопросы . 237
§ 1. Стационарные явления переноса и релаксационные процессы
в квазистатическом приближении 237
§ 2. Общие требования к структуре обобщенной восприимчивости
и модельные примеры систем с памятью 258

Оглавление
§ 3. Частотные характеристики и временное поведение системы с одной
резонансной частотой 270
а) Стационарные колебания системы под действием внешней силы . 270
б) Релаксационный процесс в системе с одной
резонансной частотой 278
в) Некоторые итоги рассмотрения системы типа гармонического
осциллятора с затуханием (задачи 31—40) 282
Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике 283
§ 1. Микроскопическое состояние системы и его эволюция 284
а) Общий случай 284
б) Классическая система N тел 288
§ 2. Общая структура кинетического уравнения для одночастичной
функции распределения 293
§ 3. Кинетическое уравнение с релаксационным членом вместо
интеграла столкновений 295
§ 4. Цепочка уравнений Боголюбова для кинетических
функций распределения 298
§ 5. Кинетическое уравнение Власова 300
а) Приближение самосогласованного поля 300
б) Линеаризованное уравнение Власова и проблема собственных
колебаний системы 303
в) Статическое решение линеаризованного уравнения для системы
в поле точечного заряда 310
§ 6. Кинетическое уравнение Больцмана 311
а) Основные соображения, приводящие к уравнению Больцмана ... 311
б) Вывод уравнения из цепочки Боголюбова 317
в) Лемма Больцмана и некоторые общие ее следствия 320
г) Линеаризованное уравнение Больцмана 325
д) Гидродинамический этап эволюции системы 328
е) Обсуждение 330
§ 7. Лоренцева форма интеграла столкновений 334
а) Кинетическое уравнение для легкой компоненты 334
б) Явления переноса для легкой компоненты 335
в) Явления переноса в электронном газе 338
§ 8. Кинетическое уравнение Паули 349
§ 9. Обсуждение 358
Задачи и дополнительные вопросы 360
§ 1. Общие вопросы описания движения системы
в фазовом пространстве 360
§ 2. Элементарные кинетические представления
и оценки характерных величин 368
§ 3. Стационарное кинетическое уравнение с релаксационным членом
и коэффициенты переноса 378
§ 4. Релаксационный член в уравнении Блоха.
Эволюция двухуровневой системы 386
§ 5. Система уравнений для неравновесных функций распределения .... 399
§6. Линеаризованное кинетическое уравнение в приближении
самосогласованного поля 405

6 Оглавление
§7. Приближение двухчастичных взаимодействий 415
§8. Гидродинамическое приближение •. . 428
§ 9. Легкая компонента и электронный газ 432
§ 10. Уравугение кинетического баланса и принцип детального равновесия 436
Именной указатель ,,..... .... ... - 444
Предметный указатель 446
Для ориентировки в общем плане всего учебного пособия и понимания встречаю-
встречающихся ссылок на материал предыдущих томов, приводим общую схему этих томов
i только названия глав, без конкретизации параграфов).
Том 1. Термодинамика и статистическая физика.
Термодинамика
Пива 1. Аксиоматика макроскопической термодинамики
и некоторые общие вопросы теории
Том 2. Термодинамика и статистическая физика.
Теория равновесных систем. Статистическая физика
Пива 1. Основные положения статистической механики равновесных систем.
Распределения Гиббса
Глава 2. Идеальные системы в статистической механике
Глава 3. Статистическая механика неидеальных равновесных систем
(некоторые вопросы теории)
i Все главы включают разделы задач и дополнительных вопросов.)

Предисловие
ко второму изданию
Предлагаемое вниманию читателей новое трехтомное издание курса по термо-
термодинамике и статистической физике представляет собой переработанный материал
двух книг, вышедших в издательстве МГУ в 1987 и 1991 гг.: И. А. Квасников. «Тер-
«Термодинамика и статистическая физика. Теория неравновесных систем» (М.: Изд-во
МГУ, 1987, 560 с.) и И. А. Квасников. «Термодинамика и статистическая физика.
Теория неравновесных систем» (М.: Изд-во МГУ, 1991, 800 с).
Со дня выхода первого издания части курса, посвященной неравновесной теории
статистических систем, прошло больше 15 лет. За это время выросло новое Поколение
(если не с новыми и оригинальными мыслями, то уж определенно более свобод-
свободное, более требовательное к жизни, откровенно надеющееся найти свое признание
в виртуальном мире «паутины»), и в нашей жизни многое деформировалось и даже
очень существенно. Это время взяло свое и у автора книги, естественным образом
перешедшего в разряд «стариков». Но... (сделаем паузу): ни распределение Бернул-
ли, которому 250 лет, ни распределение Гаусса никаким изменениям не подверглись,
а канонические распределения Гиббса, которым недавно исполнилось 100 лет (и этот
вековой юбилей физическая общественность забыла отметить соответствующим их
значению престижным конгрессом с сопровождающим его обильным банкетом),
за все прошедшее время никто не сумел ни модернизировать, ни опровергнуть.
Естественно поэтому, что общее построение всего пособия (включая предшествую-
предшествующие данному термодинамическую и равновесную его части, при ссылках на содер-
содержащийся в них материал обозначаемых как т. 1 и т. 2) осталось прежним, хотя, хак
говорится в подобных случаях, дополненным и значительно переработанным.
При подготовке второго издания были не только исправлены все замеченные
опечатки и неточности в тексте и рисунках, но и по возможности улучшены неко-
некоторые формулировки, показавшиеся самому автору несколько скуповатыми. Кроме
того, как это всегда бывает при переизданиях, в книгу был внесен ряд новых до-
дополнительных вопросов, тематика которых не требовала расширения теоретической
базы пособия.
После выхода первого издания кинетической части пособия автор получил
только два замечания по поводу его структуры. Первое, исходившее от приверженца
аналитического мышления, касалось претензии к большому количеству в посо-
пособии рисунков и графиков, представляющих «изобразительный материал», лишь
качественно передающий особенности получаемых результатов. Конечно, на свете
существуют учебные пособия по рассматриваемой нами дисциплине совсем или
почти совсем без рисунков. Положим, что это является следствием глубокой убе-
убежденности их авторов и соответствующего состояния души, а не желания избавить
себя от хлопот по преодолению технических трудностей. Однако зачем, удовлетво-
удовлетворяясь лишь записанными в виде формальных соотношений результатами, хромать
на одно левое, «аналитическое» полушарие и пренебрегать дополнительным «эмоци-
«эмоциональным» их восприятием в виде графиков и рисунков? Это все равно, что, погасив
TV-экран, слушать только голос диктора: поступающая информация одна и та же,
но качество ее усвоения, согласитесь, совсем иное (впрочем, кто по какой-либо при-
причине не любит «картинки», может их просто игнорировать). Естественно, «эмоции»,

8 Предисловие ко второму изданию
реализующиеся у нас в виде рисунков и схем, не бывают аналитически точными,
необходимо соблюдать, по возможности, их баланс с «разумом» и, не решая вечного
спора алгебры с геометрией, вспомнить слова Нильса Бора: «противоположности
не исключают, а лишь дополняют друг друга».
Второй упрек — единственное замечание (помимо справедливого указания
на отсутствие предметного указателя) по поводу вышедшей книги, сделанное в ре-
рецензии, опубликованной в реферативном журнале Mathematics Review (Nov. 1988), —
что в ней не изложен метод интегрирования по путям в разделе о брауновском дви-
движении. Это было сделано автором намеренно (а не по забывчивости). Автор помнит
то время, когда идеи этого метода стали приобретать популярность в обсуждениях на
научных семинарах, и некоторые из специалистов в области статистической физики
стали даже высказываться, что как аналитическая наука она умерла, в ней уже ничего
не надо придумывать и изобретать, так как «интегралы по путям» автоматически
раскроют все оставшиеся нерешенные проблемы, над которыми физики годами
ломали головы. И... ничего не произошло, переворот не состоялся.
Автор не отвергает сам метод, в его идее много ценного и откровенно на-
наглядного, и он интуитивно поддерживается детерминистическими представлениями
о случайных блужданиях и процессах в «шумящих» системах. Следует отметить толь-
только, что выигрывая в первоначальной наглядности, метод, выражаясь шахматным
языком, теряет качество: исходя с самого начала из марковского приближения для
любых, включая бесконечно малые, интервалов времени и ограничивая класс допу-
допустимых для описания брауновского движения функций распределения, он неизбежно
сводится к приближению, описываемому в этой грубой шкале времени дифферен-
дифференциальными уравнениями фоккер-планковского типа со всеми привычными для
уравнений параболического типа сопутствующими атрибутами, обеспечивающими
единственность решения рассматриваемой конкретной физической задачи.
Эффективное использование гауссовских конструкций в процедуре контину-
континуального интегрирования смазывает динамический подход к проблеме случайных
процессов, переводя их описание сразу на уровень диффузионной стадии, посылая'
ее как бы исходной и совершенно игнорируя предшествующие ей этапы дина-
динамического развития процесса и условия реализации диффузионного приближения.
Автор помнит слегка ироничное отношение академика Н. Н. Боголюбова к надеждам
на всеобщую универсальность метода континуального интегрирования, который при
этом указывал именно на существенную зависимость его эффективности и получа-
получаемых результатов от выбора гауссовоподобных или иных (с которыми еще вряд ли
что может получиться) конструкций в этой процедуре.
И наконец, включение подобного раздела в учебное пособие для студентов всех
физических специальностей потребовало бы дополнительного включения достаточно
большого специального математического комментария, а в итоге — имели бы умную
переформулировку уже сказанного на привычном для всех языке дифференциальных
уравнений.
Работая со студентами физического факультета с 1954 г. и проводя занятия
на семинарах по квантовой механике, а с 1960 г. по статистической физике и тер-
термодинамике, автор, приступив в 1962 г. к чтению этого курса для всего потока
студентов 4-го курса, полностью переработал его программу, расширил его содержа-
содержание и добился увеличения отводимого на этот курс учебного времени. И в этом деле
он использовал не только поддержку заведующего кафедрой теоретической физики
и научного руководителя академика Н. Н. Боголюбова и своих коллег (тогда еще
вполне молодых), но и реакцию студенческой аудитории: деловые, а подчас и ехид-
ехидные вопросы и замечания в те времена еще весьма заинтересованных в постижении
теоретических наук студентов (о которых автор до сих пор с удовольствием вспоми-

Предисловие ко второму изданию
нает и выражает им искреннюю признательность) в качестве обратной связи также
способствовали формированию общего уровня данного учебного курса в целом.
В 1992 г. Ученый совет Московского государственного университета расширил
тематику присуждаемых Ломоносовских премии, включив в состав претендентов
также и авторов учебных пособий. Первое издание двухтомного курса по термодина-
термодинамике и статистической физике стало первым учебным пособием, удостоенным этой
премии с формулировкой «за создание уникального курса лекций и учебного пособия
по статистической физике и термодинамике». Небольшой по тем временам тираж,
а также постоянный читательский спрос превратили пособие в букинистическую
редкость, что и повлияло на возникновение идеи о его переиздании.
Автор выражает искреннюю благодарность всему коллективу издательства
УРСС, обеспечивавшего в течение одного сезона подготовку к изданию и выход в
свет трехтомного исправленного варианта курса «Термодинамика и статистическая
физика», и особенно руководителю УРСС Доминго Марин Рикой, издательская
деятельность которого приобретает в отношении физико-математических и есте-
естественных наук все больший авторитет.
Предисловие
к первому изданию
Курс «Термодинамика и статистическая физика» является последним из общих
разделов теоретической физики (он следует за разделами «Механика», «Электроди-
«Электродинамика» и «Квантовая механика») и читается на дневном отделении физического
факультета МГУ для студентов четвертого курса всех специальностей в течение двух
семестров. Материал, включаемый в этот раздел теоретической физики, не только
весьма обширен, но еще и в значительной степени неоднороден: за более чем
полуторавековую историю, если ее отсчитывать от известной работы Никола Сади
Карно (N. Carnot, 1824), произошло заметное расслоение некогда единой «теории
теплоты» на разделы, развивающиеся теперь уже как теоретические направления
вполне автономно. Предназначенный для студенческой аудитории курс охватывает
только самые общие, традиционные, ставшие уже классическими разделы статисти-
статистической физики, и среди них нет целого ряда важных разделов современной теории
(относящихся к квантовой статистике, теории конденсированных систем и др.),
которые включаются уже в программы специальных курсов.
Благодаря тому что часть обязательного материала была перенесена на семинар-
семинарские занятия, которые Проводятся на физическом факультете по единым заданиям,
зесь курс спланирован так, что первый семестр посвящен макроскопической термо-
термодинамике и равновесной статистической механике, а второй — целиком вопросам
неравновесной теории. Это позволило сделать вторую половину курса достаточно
полной и охватывающей если не все, то большую часть вопросов неравновесной
-гории и физической кинетики, доступных для изложения в рамках общей теорети-
теоретической дисциплины.
В Издательстве МГУ неоднократно выходили, начиная с 1965 г., ротапринтные
?ыпуски лекций автора по отдельным вопросам курса. Однако область их распро-
распространения ограничивалась в основном библиотекой физического факультета МГУ.
>четим. что именно по вопросам неравновесной статистической физики ощущается
гсобая необходимость в учебном пособии, доступность уровня изложения в котором
• общий объем отвечали бы возможностям студентов-физиков старших курсов.

10 Предисловие ко второму изданию
Конечно, излагаемый материал в какой-то степени опирается на общие идеи
и некоторые результаты первой части курса, посвященной равновесной теории.
Однако по своему содержанию и развиваемым методам книга, по существу, вполне
самостоятельна и не так уж сильно страдает от вполне умеренного числа ссылок
на достаточно общие положения первой части курса, как, впрочем, и от ссылок на не-
некоторые формулы классической механики, электродинамики и квантовой теории.
Каждая из глав пособия разделена на две части: первая, являющаяся основной,
построена главным образом на лекционном материале, а вторая — помимо не-
несложных задач, предлагаемых на Семинарских занятиях, включает дополнительный
материал к обсуждаемой в главе теме, способствующий ее более глубокому понима-
пониманию (часть такого материала автор постоянно включал в лекционный курс, не вынося
его на экзамены) и предназначенный для самостоятельной его проработки. Таким
образом, пособие не ограничено рамками обязательного, в какой-то мере принуди-
принудительного и сковывающего инициативу программного «минимума» (типа развернутой
инструкции, как при минимальных усилиях сдать экзамен), а предоставляет читате-
читателю определенную свободу выбора тех вопросов статистической механики (конечно,
из имеющегося все же довольно ограниченного материала), которые заинтересова-
заинтересовали его или вследствие возникшей у него осознанной необходимости, или в силу
заложенного в нем природного любопытства. Оформление этих дополнительных сю-
сюжетов в форме замкнутых «задач» (или циклов из нескольких задач) представляется
по этим соображениям достаточно удобным. Следует отметить, однако, что, несмотря
на произведенное таким образом расширение тематики, книга все же далеко не эн-
энциклопедия по вопросам неравновесной статистической механики. Специалисты
в этой области не найдут здесь обзора и оценки всех аспектов современной кинети-
кинетической теории, всех используемых в ней методов, и, возможно, будут разочарованы.
Эта книга писалась в основном в расчете на уровень учащихся старших курсов.
Руководств по статистической механике неравновесных систем, включая серьез-
серьезные монографические издания, достаточно много. Они отличаются друг от друга
не только по объему и по тематике, но и по самому подходу к исследованию нерав-
неравновесных статистических систем, в котором нет такого единообразия, как в равно-
равновесной теории, идейно подчиненной авторитету гиббсовской статистики. Научное
мировоззрение автора данного пособия и его понимание не только статистической
механики, но и теоретической физики в целом складывалось под огромным влиянием
идей и личности академика Н. Н. Боголюбова, в группе которого он работает с 1954 г.
Понятно поэтому, что в своем изложении (естественно, в учебном варианте) во-
вопросов неравновесной теории автор стремился придерживаться того разработанного
Н. Н. Боголюбовым динамического подхода, который в наиболее яркой форме выра-
выражен в его известной монографии «Проблемы динамической теории в статистической
физике» (М., 1946); последнее переиздание — Н. Н. Боголюбов «Избранные труды
по статистической физике» (Изд-во МГУ, 1979). Эта монография, небольшая по объ-
объему (немногим более ста страниц) и чрезвычайно емкая по содержанию (и поэтому
весьма трудная для быстрого усвоения), оказала очень большое влияние на развитие
всей кинетической теории в последующие годы: теперь уже ни одно серьезное иссле-
исследование в глубь теории (и в классической, и в квантовой областях) не обходится без
использования цепочки Боголюбова и его принципа построения уравнений для за-
замкнутых приближений с использованием условий ослабления корреляций в качестве
граничных, без введенного Н. Н. Боголюбовым важнейшего понятия об иерархии
релаксационных процессов в статистических системах и возможности введения для
их описания последовательности временных шкал и масштабов. По словам ака-
академика А.А.Логунова, «установленные в этой работе Н.Н.Боголюбова новые для
физики понятия ознаменовали новый этап развития статистической механики, еле-

Предисловие но второму изданию 11
дующий за этапами, восходящими к работам Шббса и Больцмана». Эффективность
именно динамического подхода к вопросам неравновесной статистической механики
была особо подчеркнута академиком Н. Н. Боголюбовым, в его большом обзорном
докладе «Кинетические уравнения и функции Дринд в. статистической механике»
(препринт ИФ АН АзССР, Баку, 1977) и в недавно вышедшей монографии «Введе-
«Введение в квантовую статистическую механику» (M.i 1Я84)> напиранной им совместно
с членом-корреспондентом АН СССР Н. Н. Боголюбовым (мл,). ,
Необходимо сказать несколько слов о литературе по данному разделу курса.
Имеются десятки превосходных по своему качеству руководств (в основном трудных
и монографического плана), но кет такого, который целиком отвечал бы задачам
курса, читаемого на физическом факультете МГУ. Даже такой известней и неод-
неоднократно переиздававшийся цикл учебников по; теоретической физике, основанный
Л.Д.Ландау и Е. М. Лифшицем (к нам непосредственное отношение имеет написан-
написанный ими том V, «Статистическая физика». М.,. 1970),и<завепщенный Е. М. Лифшицем
и Л. П. Питаевским (том X, «Физическая кинетика»-. М.» 1979)( предназначенный
скорее для аспирантов и сложный для схудентрв де теоретиков, „и известная сво-
своим энциклопедическим характером книга Дж.,Гиртфельдрра, Ч. Кертиса и Р. Берда
«Молекулярная теория газов и жидкостей» (Мм', 1961), пугающая своим объемом
(980 страниц) и форматом; и тщательно продуманное элегантное двухтомное ру-
руководство Р. Балеску «Равновесная и, неравновесная статистическая механика» (М.,
1978) не охватывают, несмотря на солидность и многоплановость упомянутых изда-
изданий, части важных вопросов, включенных в университетский журс «Термодинамика
и статистическая физика». , •¦...:...<=.¦¦. ; ...
Не приводя подробного {Списка литературы, по вопросам неравновесной теории,
в котором даже неискушенный читатель может обнаружить, упущения, ограничимся
кратким обзором тех руководств, которые рекомендованы по второй части курса
официальной программой, сохраняя порядок их расположения и не повторяя уже
упомянутых. ,, ,, . ¦ ,
«Статистическая физика» К.Хуанга (М., 1966) имеет учебный характер и содер-
содержит весьма доступное изложение части материала по уравнению Больцмана. «Лекции
по теории газов» самого Л. Больцмана. (М., 1965) т- монография, хотя и изданная
в 1912 г., но в изложении ряда вопросов кинетики до сих пор являющаяся непревзой-
непревзойденной. «Лекции по статистической механике» Дж^Уленбека и Дж. Форда (М., 1965)
содержат изложение основных вопросов кинетической теории нейтральных газов
и метода Боголюбова, включая его развитие на следующие за больцмановским
приближения (в качестве приложения она содержит.статью Н.Н.Боголюбова, по-
посвященную переходу к гидродинамическому приближению, в кинетической теории).
Хорошо известна старшему поколению книга М; А. Леонтовича «Статистическая фи-
физика», переизданная в 1983 г. (брауновское движение и другие вопроси кинетики).
Капитальное руководство С. Де-Гроота и П..Мазура *Неравновесная термодинамика»
(М., 1964), имеющее отношение KWI. IV* несколько,отдуги;в9ет своим большим объ-
объемом (более доступное изложение неравновесной термодинамики Онсагера, но без
спектральной техники, имеется в книге И. П. Базарова «Термодинамика», М., 1983).
По материалу гл. 3, не охваченному упомянутыми-выще.пособиями, в качестве допол-
дополнительной литературы можно порекомендовать, монографию С, Н. Рытова «Введение
в статистическую радиофизику» (М., 1968, 1976s),, а по явлениям переноса в твер-
твердых телах (гл. 5) — солидную, монографию Дж. Займана «Электроны и фононы»
(М., 1962); в более простом, изложении с указанными, вопросам и можно, ознако-
ознакомиться по книге того же автора «Принципы,теории твердого тела» (М>, 1966, гл.7).
В приведенный обзор не вошли многие превосходные и по-настоящему люби-
любимые автором книги по статистической физике. Повседневная практика приучила нас

12 Предисловие ко второму изданию
к большим спискам литературы, и если в диссертации, посвященной, как правило,
специальному вопросу, библиография включает более трехсот наименований, то это
считается чуть ли не нормой (в монографиях бывают и более обширные списки).
Если же к учебному пособию, охватывающему широкий круг вопросов, составить
подобный список, который своей полнотой украсил бы энциклопедию по стати-
статистической физике, то это вряд ли произведет должное впечатление на студента.
И не только потому, что за время обучения на младших курсах он уже успел усвоить,
что многочтение не порождает мудрости. У него просто не хватит времени и терпе-
терпения, чтобы самостоятельно разобраться в различных обозначениях и наименованиях.
Теперь немного о характере изложения. Конечно, стиль его несколько дидак-
дидактический, а слог — далеко не тургеневский. При изложении учебного материала
автору хотелось избежать сухости, свойственной научным публикациям, и построить
пособие так, чтобы оно было понятным без ссылок на солидные математические
руководства и толстые монографии, без фраз типа «как легко показать», неоднократ-
неоднократно осмеянных юмористами, и без понуждаемого некоторыми авторами с помощью
щедро рассыпаемых ими занумерованных ссылок на предшествующие формулы
бесконечного перелистывания книги в обратном направлении. Лекционный курс,
как правило, обходится без этого «перелистывания». Естественно, что при этом
приходится идти на несколько более подробные пояснения, а также напоминания
какого-то материала из квантовой и классической механики и т. п., но такие повто-
повторения (если они, конечно, не буквальные и не нарочитые) свойственны учебному
процессу, и их отражение в учебном пособии, по-видимому, вполне естественно.
Автор отдает себе отчет в том, что предлагаемая книга не безупречна. Речь идет
не о мелких неточностях и опечатках — они, как известно, неистребимы, а о досад-
досадных упущениях и просчетах, а также спорных моментах. Абсолютно совпадающих
точек зрения по научным и методическим вопросам не бывает, особенно это касает-
касается неравновесной статистической механики, идеи которой и используемые методы
еще не достигли «равновесного состояния».
Автор предназначает свою книгу по второй части курса «Термодинамика и ста-
статистическая физика» в основном для студентов. Она может послужить пособием
по изучению предмета (хотелось бы, чтобы не только в дни экзаменационной сес-
сессии), а также позволит наиболее любознательным из них ознакомиться с некоторыми
разделами сверх стандартной программы. Автор надеется также, что книга будет по-
полезной и для аспирантов, желающих вспомнить какой-либо вопрос из этого раздела
курса, а также для преподавателей, пожелавших позаимствовать опыт преподавания
этой дисциплины на физическом факультете МГУ.
Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность академику А. А. Логу-
Логунову за внимание к автору и его работе, академику Н. Н. Боголюбову и академи-
академику Л. В. Келдышу за рецензирование предлагаемого издания, полезные замечания
и общую поддержку. Автор искренне признателен доценту В. Д. Кукину, который
в течение многих лет являлся лектором параллельного потока. Многочисленные
дискуссии с ним способствовали формированию курса «Термодинамика и статисти-
статистическая физика», читаемого на физическом факультете; им был предложен целый
ряд интересных задач, оригинальных способов рассмотрения отдельных проблем,
сделано много методических замечаний.
С особой признательностью автор хочет отметить существенный вклад С. И. Зе-
Зеленского, внимательное и по-настоящему деловое отношение которого к автору и его
рукописи способствовало тому, что ее издание стало реальностью, и Г. Е. Горелика,
замечания которого как редактора способствовали немалому улучшению рукописи
в целом.

Введение
Когда мы начинаем говорить о неравновесных системах, то прежде всего
необходимо отметить, что свойство находиться в неравновесном состоянии присуще
всему окружающему нас миру, для которого в целом состояние равновесия просто
не существует. В природе нет абсолютно неподвижных объектов и не бывает
полностью равновесных систем.
Выделяя (реально или мысленно) из окружающего многообразия отдельные
объекты с целью их исследования (экспериментального или теоретического), мы
в принципе не можем исключить их взаимосвязанности, их взаимодействия с дру-
другими. Это взаимодействие и приводит к постоянному изменению состояний этих
объектов исследования даже в тех случаях, когда для этого, казалось бы, нет вну-
внутренних причин. Характер этих изменений чрезвычайно многообразен, даже если
мы выделим сред них один лишь физические явления.
Эффективное развитие теоретических направлений в физике стало возмож-
возможным лишь после того, как в сознании исследователей утвердилась рациональная
классификация физических явлений по определенным разделам, когда физики
научились выделять для данной группы систем те характерные типы движений, ко-
которые в данном классе явлений доминируют над другими (что позволяет «в нулевом
приближении» этими другими просто пренебречь). Если такой подход удается реали-
реализовать, то проявляется некоторая идеализированная замкнутая теоретическая схема
описания определенного класса физических явлений. Естественно, что результаты
такого теоретического описания по отношению к реальным процессам имеют в не-
некотором смысле характер предельных. Исторически первым примером теории такого
типа явилась теоретическая механика — образец построения логически замкнутой
теории механического движения материи. Так как эта теория в известной мере стала
образцом при построении других физических теорий уже с другой аксиоматикой, то
в определенном смысле могут быть правы и те, кто считает Ньютона родоначальни-
родоначальником не только классической механики, но и теоретической физики вообще.
Упомянутую выше классификацию физических явлений по отдельным разделам
практически можно реализовать, устанавливая каждый раз четкие границы в отно-
отношении выбора объекта исследования. В термодинамике и статистической физике
(особенно в неравновесной теории) этот вопрос весьма актуален, так как из всего
многообразия практически реализуемых явлений, в которых проявляются эффекты,
связанные с молекулярным строением физических объектов, в ведение этой теории
попадает лишь весьма ограниченный их класс. Несмотря на более чем полутораве-
ковую историю термодинамики, окончательное понимание того, что такое стати-
статистическая система, сформировалось лишь в первой четверти двадцатого столетия.
Остановимся на некоторых общих положениях макроскопической термодина-
термодинамики и статистической физики, которые будут использованы непосредственно уже
з следующей главе. Краткое их напоминание будет служить также и цели установле-
.-ия терминологии и обозначений, которые будут использоваться в дальнейшем.
Говоря о том, что мы рассматриваем так называемые термодинамические сис-
системы (или, что то же самое, статистические системы), мы полагаем, что выбирае-
нами объект исследования удовлетворяет целому ряду обязательных условий,

14 Введение
совокупность которых, собственно, и определяет понятия термодинамическая (ста-
(статистическая) система. Напомним основные из этих условий.
1. Это.системы большого числа взаимодействующих друг с другом и внешними
полями частиц. Понятие «большое число частиц» в данном случае не безотноситель-
безотносительно. Это ставшее общеупотребительным выражение означает, что в качестве масштаба
измерения числа частиц N в системе выбирается число Авогадро
No = 6,02... • 10й,
т. е. рассматриваемая система является макроскопической в том смысле, что она
является системой лабораторных размеров, соизмеримой с макроскопическим же
исследователем и его приборами, и что для ее описания используются определяемые
с помощью этих приборов макроскопические параметры, которые характеризуют
не динамические особенности отдельных частиц системы, а величины, относящиеся
к ней в целом.
К таким параметрам относится температура тела 9 — кТ (постоянная Больц-
мана к = 1,38... • 10~16эрг/К, Г — температура по шкале Кельвина), плотность
числа частиц n = N/V (или удельный объем v = V/N), давление р, химический
потенциал /t и т. д.
Отметим сразу, что так как особенности таких систем установлены (прежде
всего экспериментально как обобщение большого числа опытных данных) именно
для них, то число N ограничено не только снизу, N > 1, но и сверху, так как у нас
нет достаточных оснований распространять выводы, полученные в земных условиях
для систем с числом частиц N ~ No, на системы макрокосмических масштабов
(на Вселенную или отдельные ее части).
2. Для каждой термодинамической системы существует состояние термодина-
термодинамического равновесия, которого она при фиксированных внешних условиях с тече-
течением времени самопроизвольно достигает (это положение часто называют «нулевым»
началом термодинамики).
Состояние термодинамического равновесия — это такое состояние, когда макро-
макроскопические (т. е. измеряемые макроскопическими приборами) параметры системы
не изменяются с течением времени и когда в системе отсутствуют потоки любого
типа.
В макроскопической теории нулевое начало термодинамики выступает как обоб-
обобщение большого числа опытов и наблюдений за термодинамическими системами.
С микроскопической точки зрения это утверждение не самоочевидно.
Отметим два важных свойства состояния термодинамического равновесия.
а) В отличие от равновесного состояния в механике, термодинамическое состо-
состояние равновесия является «подвижным», так как предполагает наличие теплового
движения частиц. С микроскопической точки зрения параметры такого состояния
не фиксированы во времени: их мгновенные значения флуктуируют около сред-
средних значений. Ограничение числа N снизу связано главным образом с тем, что
при малых N флуктуации в системе становятся значительными, и мы не мо-
можем за время лабораторного исследования Д< определить параметры, которые
соответствовали бы равновесному состоянию системы, говорить о его самоненару-
шаемости и т.д. (мы покажем в дальнейшем, что в относительных единицах эти
флуктуации оказываются порядка JV~'/2, т.е. пренебрежимо малыми для больших
систем). Отметим здесь, кстати, что ограничение N сверху связано с тем обстоятель-
обстоятельством, что системы макрокосмических масштабов не имеют равновесного состояния
в целом и термодинамическими системами не являются, хотя это обстоятельство

Введение 15
и не исключает термодинамического рассмотрения некоторых частных вопросов,
относящихся к Вселенной. ¦
б) Для термодинамического состояния равновесия характерно специфическое
свойство транзитивности: если равновесная система Л, находясь поочередно в сколь
угодно длительном «тепловом» контакте с равновесными же системами В и С,
не изменяет своего состояния термодинамического равновесия, то аналогичный
контакт систем Б и С не нарушает их равновесных состояний. Это утверждение
можно условно изобразить следующим образом; если А ~ В и А ~ С, то В ~ С.
Это свойство позволяет установить общую для всех находящихся в равновесии
друг с другом систем характеристику, не зависящую от места и способа ее измере-
измерения — температуру (величина же ее может быть определена с помощью измерения
какого-либо неспецифического для термодинамических систем «механического» па-
параметра системы А, которая начинает при этом играть роль термометра, см. более
подробно т. 1, с. 22-24). . ,
Заметим, наконец, что для обсуждаемых вопросов существенно, что силы
взаимодействия составляющих систему частиц либо короткодействующие с само-
самого начала, либо электромагнитные, т.е. экранируемые окружающими частицами
и имеющие поэтому конечный эффективный'радиус действия.
3. По отношению к термодинамическим систем имеет место так называемый
термодинамический принцип аддитивности: всё величины, описывающие термоди-
термодинамические свойства статистических систем, могут принадлежать только к одному
из двух классов (или типов) аддитивности, который определяется по тому, как
величина реагирует на деление равновесной системы на равновесные же Макроско-
Макроскопические части, например, на две части:
Система A + 2) —* Система A) + Система B).
Аддитивные величины при таком разделении также делятся на части
а неаддитивные — сохраняют свое значение
' ' .' . /1+2 =5/1 =/2.' . ' .,.
С микроскопической точки зрения сформулированный принцип после сделанного
выше замечания относительно характера взаимодействия частиц в системе не являет-
является чем-то неожиданным. Действительно, рассмотрим для конкретности трехмерную
равновесную систему с линейными размерами ~ L. Число частиц, «ощущающих»
наличие границы системы, пропорционально величине ее поверхности
и при N > 1 относительно мало, N2/3/N — N~V? < 1. В этих условиях ни форма
«сосуда», в который помещена наша система^ ни свойства его стенок не являют-
являются термодинамическими параметрами равновесной системы. Деление же системы
на макроскопические части можно представить как изменение формы сосуда, за-
заключающееся, например, в бесконечно медленном вдвигании перегородки между
отдельными ее частями. , ,
При таком разделении системы на части ясно, что V\+i = У\ + Vi> и т.д.,
но И|+2 = «1 = vi, 0|+2 = 01 = 02 и. т.д. Поэтому термодинамический принцип
аддитивности будет автоматически выполняться, если величины неаддитивного типа
будут функциями только неаддитивных аргументов

16 Введение
а аддитивные величины — пропорциональны числу частиц в системе, умноженному
на величину неаддитивного типа
Сформулируем теперь очень важную и общую как для макроскопической термодина-
термодинамики, так и для статистической механики процедуру, обеспечивающую формальное
выполнение сформулированного выше принципа: все величины, фигурирующие
в макроскопической и микроскопической теориях, понимаются в предельном ста-
статистическом смысле. Это означает, что:
а) выражения, получаемые в теории, подвергаются формальной предельной про-
процедуре
ЛГ-юо) у
> v = — =
= - = const,
б) удерживается только главная по N асимптотика, вид которой в статистической
теории согласно сказанному выше подчинен жесткой альтернативе:
либо
ПО, V, N) =
»=сопа
, I)
т. е. предельная процедура выделяет термодинамическое значение величины
аддитивного типа (а > 0), либо
YZ Ж V, N) = /(*,!) +о(ЛГ°) = /(',?),
»=const
в результате чего мы получаем термодинамическое значение величины неадди-
неаддитивного типа.
Очевидно, что сформулированная выше предельная статистическая процеду-
процедура рассчитана на выделение только объемных эффектов, относительная величина
граничных же эффектов оказывается порядка N2'3/N = iV/3, который главной
асимптотикой не обеспечивается. При рассмотрении, например, двумерных си-
систем, в частности поверхностей раздела, асимптотическая процедура естественным
образом должна быть переформулирована.
4. По отношению к термодинамическим системам справедливы первое, второе
и третье начала термодинамики, являющиеся основой всего аппарата макроскопи-
макроскопической теории.
Первое и второе начала термодинамики записываются для квазистатических
процессов в виде дифференциального соотношения (см. т. 1, с. 41-47)
6dS = 6Q = d? + pdV + Ada- /idN,
в котором знак дифференциала d^W у какой-либо из фигурирующих выше величин
понимается как макроскопическое «бесконечно малое», т. е. фиксируемое с помощью
макроскопических приборов изменение этой величины .9" при переходе системы
из равновесного состояния 1 в «близлежащее» равновесное состояние 2:
Напомним обозначения: 6Q — количество тепла, поглощенного системой при
переходе 1 —* 2; 6W = pdV + Ada — совершенная системой работа (против сил

Введение 17
давления р при расширении на величину dV = Vi - Vi и иных «сил» А при
изменении соответствующих им «координат» а на величину da), 5 — энтропия,
& — внутренняя энергия, ц — химический потенциал.
Третье начало термодинамики мы приведем в формулировке Планка (более
жесткой по сравнению с формулировкой Нернста), согласно которой
lim 5 = 0.
t-,0
Основная задача макроскопической термодинамики состоит в том, чтобы
на основе макроскопического задания системы, когда:
а) фиксируется способ описания системы или, что то же, выбирается систе-
система термодинамических параметров, описывающих состояние рассматриваемой
системы (например, набор параметров {$, V, a, N}),
б) задаются все термические уравнения состояния
р = р(в, V, a, N) = р(в, v, а); А = А(9, V, a, N),
и калорическое уравнение состояния
Cvarr = NcVaIf@, v, a),
и использования начал термодинамики и следствий из них рассчитать любые
интересующие нас термодинамические же характеристики системы (возможна
и обратная постановка задачи).
В микроскопической теории статистическая система задается следующим обра-
образом:
а) как и в термодинамике, сначала фиксируется набор параметров, с помощью
которых мы собираемся описывать термодинамические состояния системы,
б) сама система задается микроскопически (т.е. как в механике), что чаще всего
реализуется заданием гамильтониана системы Я.
Расчет характеристик системы в равновесной статистической теории осуще-
осуществляется с помощью канонических распределений по микроскопическим состоя-
состояниям этой системы. Напомним основные из них (см. более подробно т. 2, гл. 1,
§3-6).
Микроканоническое распределение: вероятность обнаружить равновесную систему
в микроскопическом состоянии, описываемом собственной функцией if>n оператора
Гамильтона Я,
определяется функцией распределения (параметр а ради краткости мы опускаем)
где статистический вес Г связан с энтропией системы соотношением
ЕС/.1Г V ЛГ\
ГА / |О JT1 / ДГ\ \ ЛО It? ( V, iT I
ii^e — Ejn\±y )) = с
я
(сумма берется по всем различным микроскопическим состояниям системы),
а Д-функция условно может быть представлена в виде
{1, если \i~En\<6?,
О, если \i-En\>6?

18 Введение
(ширина «энергетического слоя» 6ё удовлетворяет условию АЕ„ «С 6S <&d$,
т. е. величина 6S значительно меньше «макроскопического» бесконечно малого
изменения энергии iS, но значительно больше расстояния между энергетическими
уровнями системы АЕ„).
Каноническое распределение Гиббса
wnF, V,N) = — ex
где статистическая сумма Z связана со свободной энергией системы <W = S - OS
соотношением
Большое каноническое распределение Гиббса: вероятность обнаружить систему,
задаваемую параметрами в, V, ц (точное число частиц N не фиксируется), в микро-
микроскопическом состоянии N, n(N), определяемом решением уравнения
H(N) ¦ МЮ = En(N)i>n(N),
задается распределением
где большая статистическая сумма С связана с термодинамическим потенциалом
П = 9Г - \lJZ~, где Jf = N = -дп/др, соотношением
Эти распределения в предельном статистическом случае равноценны, поэтому выбор
какого-либо из них осуществляется из соображений удобства при рассмотрении той
или иной конкретной задачи.
В квазиклассическом приближении выражения для этих распределений, со-
сохраняясь по существу, несколько упрощаются. Учитывая, что в этом случае нет
необходимости решать уравнение Шредингера, так как микроскопические значе-
значения энергии задаются самим гамильтонианом, мы можем написать, например, для
системы с парным центральным взаимодействием частиц друг с другом, когда
каноническое распределение Гиббса по микросостояниям (рь ..., p#; Г|,..., rff) =
(р, q) в виде произведения
Wpq@, V, N) = to(p,, . . . , рдг) ¦ W(r,, . .. , Гдг),
где распределение по импульсам распадается на произведение распределений Макс-
Максвелла
¦ т ' Bт

Введение 19
a N -частичная функция распределения по координатам имеет вид
1 Г 1
= — • ехр < — -
Мы ограничимся во введении только этими краткими сведениями из пре-
предыдущих разделов курса по термодинамике и статистической физике. По мере
необходимости в основном тексте и задачах мы будем давать соответствующие
пояснения.

Глава 1
Теория флуктуации
§ 1. Общие замечания
Исследуя окружающий нас мир и выделяя какое-либо происходящее в нем от-
отдельное явление, мы описываем и характеризуем его с помощью величин, которые
называем параметрами или характеристиками изучаемого нами объекта. Экспери-
Экспериментатор фиксирует эти величины с помощью приборов, теоретик, используя соот-
соответствующую данному случаю формальную модель системы, обозначает их «точные»
значения соответствующими буквами на бумаге. Повторные измерения какой-либо
характеристики системы каждый раз дают несовпадающие результаты, группирую-
группирующиеся, как правило, около некоторого среднего значения, которое и объявляется
окончательным значением данного параметра. Если даже отвлечься от неизбежных
приборных ошибок и пренебречь влиянием процесса самого измерения на объект
исследования, то все равно вопрос о точности значений определяемых параметров в
практическом и теоретическом отношениях достаточно сложен. Прежде всего, раз-
разброс в определении параметров системы зависит от внешних помех, обусловленных
не зависящими от нас обстоятельствами" и процессами, происходящими повсеместно
не только на бытовом, но и на глобальном и космическом уровнях. Если свести эти
помехи к минимуму, то обнаружится, что статистическая система, достигнув состоя-
состояния термодинамического равновесия, «шумит» сама по себе, т.е. ее макроскопичес-
макроскопические параметры, имея фиксированные средние значения, все время от них отклоняют-
отклоняются. Этот собственный, не провоцируемый внешним случайным воздействием «шум»
системы неистребим, его можно прекратить лишь остановив тепловое движение в
этих системах, что, как известно, невозможно, т.к. это противоречило бы следствию
III начала термодинамики о недостижимости абсолютного нуля температуры.
В предлагаемой главе нашего курса мы будем рассматривать только эти, специ-
специфические для статистических систем процессы и будем говорить о статистических
флуктуациях как о случайных, нерегулярных, самопроизвольных, обязанных ми-
микроскопическому движению частиц статистической системы отклонениях значений
макроскопических характеристик системы от их средних значений.
Наивно полагать, что упомянутое выше движение системы будет описывать-
описываться как движение частиц и т.п., как это делается в механике. Микроскопическое
состояние статистической системы мы определили в т. 2, гл. 1, § 2 как смешанное
состояние, в структуру которого входят все возможные возбужденные состояния
системы (т.е. состояния, описываемые всем набором собственных функций {^>п}
оператора Гамильтона, Hif>n = Е„1рп), каждое из которых входит в структуру смешан-
смешанного состояния с весом wn, для равновесных систем определяемым соответствующим
распределением Гиббса. Оставаясь в рамках равновесной теории, мы уже не можем
претендовать на описание динамики флуктуационных процессов: располагая струк-
структурой гиббсовского смешанного состояния, мы можем оценить лишь «амплитудный»
разброс параметров системы около их средних значений. Так как для проведения
этих оценок нам придется пользоваться аппаратом теории вероятностей, напомним
элементарные формулы и обозначения из этой области математики.

§ 1. Общие замечания 21
Пусть F — некоторая динамическая величина, микроскопическое значение
которой (квантовомеханическое среднее) мы обозначим как
(в классическом случае F = F(p, q), где для системы N частиц (р, q) = (рь ...,
))
)
Если структура смешанного состояния, т. е. распределение по микроскопичес-
микроскопическим состояниям, характеризуемым каждой из ф„(х), известна, например, опреде-
определяется гиббсовской функцией распределения wn, то среднее значение величины F
(ее математическое ожидание), которое мы обозначим чертой сверху, запишется как
F = 53 F"w" или F = / F(P> Я) WP4 dP аЯ-
J
= / F(P> Я) WP4
J
Для характеристики отклонения величины Fn от среднего значения F мы будем
использовать дисперсию (среднее квадратичное отклонение величины F от равно-
равновесного значения),
(AFJ = (F-FJ = F2 - (FJ,
и относительную (безразмерную) флуктуацию
6,=
F
Таким образом, для расчета интересующих нас флуктуации необходимо подсчи-
подсчитать указанные средние — проблема, казалось бы, чисто математическая. Гиббсовское
распределение wn при этом использовать в принципе не обязательно. В некоторых
простых задачах можно ограничиться даже использованием биномиального распре-
распределения и его частных случаев (см. задачи 1-5). Опыт предыдущих разделов курса-
по исследованию равновесных статистических систем показывает, что необходимые
средние значения по смешанному состоянию удается рассчитать только в некоторых
редких случаях (например, дисперсию полной энергии системы (АЕJ, полного чи-
числа частиц (ANO и др.). Для проведения необходимых оценок в целом ряде случаев
эффективным оказывается метод корреляционных функций, широко применяемый
при исследовании неидеальных равновесных систем (один такой пример мы рас-
рассмотрим в следующем параграфе), иногда же приходится использовать какой-либо
аппроксимационный прием полуфеноменологического характера.
Однако, несмотря на иногда высокое математическое качество этих расчетов,
необходимо сделать некоторые замечания относительно физической прикладной
ценности получаемых таким образом результатов (даже совершенно точных).
1) Когда мы рассчитываем, например, величины (АЕJ и (ANJ с помощью
канонического распределения, то мы определяем флуктуацию общей величины
энергии Е и общего числа N в статистической системе, помещенной в термостат
(температура, входящая в каноническое и большое каноническое распределение wn,
не флуктуирует). Эти флуктуации для всей системы в целом, конечно, малы (мы по-
получим, см. задачи 8,10, что (АЕJ ~ N; (ANJ ~ N и что бЕ ~ ЛГ'/2, бн ~ N~1'2).
Но, помимо флуктуации общего уровня энергии изотермической системы и обще-
общего числа частиц в ней, в отдельных областях системы могут происходить гораздо
большие по относительной величине отклонения локальных значений плотности
энергии и числа частиц от среднего уровня (эти отклонения не обязательно должны

22 Глава 1. Теория флуктуации
быть изотермическими). Можно, конечно, сохраняя гиббсовскую схему, уменьшать
размер рассматриваемой локальной области, но до какого масштаба это можно
делать, непосредственно из гиббсовского распределения не следует (кроме обяза-
обязательного общего требования, чтобы эта локальная область оставалась хотя и малой,
но обязательно статистической системой).
2) Масштабы этих локальных флуктуации и их «эволюция» должны быть не-
непосредственно связаны с характеристиками релаксационных процессов в системе
и их «движущих» сил, которые, по существу, управляют флуктуационными слу-
случайными отклонениями в системе. Таким образом (конечно, в принципе), для
описания подобных шумов в системе необходимо использовать какие-то кинетиче-
кинетические характеристики системы (которых в гиббсовском распределении нет вообще),
хотя бы в форме задания коэффициентов переноса (диффузии, теплопроводности
и т.п.) и характерных времен релаксации (т.е. уже каких-то усредненных величин,
характеризующих эволюцию неравновесной системы).
В будущем мы неоднократно будем возвращаться к обсуждению этой проблемы,
хотя ее детальная разработка и выходит за рамки нашего курса.
§ 2. Использование канонических распределений.
Корреляционные функции и флуктуации плотности
Расчет дисперсий по указанной в предыдущем параграфе схеме с помощью ка-
канонического или большого канонического распределений представляет в основном
математическую задачу. В связи с этим, отобрав точно решаемые примеры таких
расчетов, мы отнесли весь их цикл в раздел задач (не скрывая сложности некоторых
из них). В этом параграфе мы подробно остановимся на использовании метода рав-
равновесных корреляционных функций Н. Н. Боголюбова и на простейшем примере —
оценке флуктуации плотности числа частиц с помощью парной корреляционной
функции.
Расчет дисперсии плотности числа частиц -г- это не только показательный при-
пример, демонстрирующий возможности теории. Вопрос о дисперсии плотности явля-
является одним из основных в теории флуктуации. Действительно, на основе термодина-
термодинамического задания системы или в результате расчетов по методу Гиббса мы в принци-
принципе располагаем всеми термодинамическими характеристиками изучаемой системы,
как-то: р = р(в,v), е = е(в,v), s = s@,v) и т.д. Поэтому, рассчитав дисперсию
плотности числа частиц с помощью распределения Гиббса (ДпJ = (п - пI, где го-
готическое п — точное число частиц в 1 см3 системы, а латинское п = п — N/V — l/v,
мы будем сразу же знать и изотермические флуктуации всех перечисленных выше
термодинамических величин, например, для давления будем иметь
(для (ДеJ, (Д«J и т.д. — аналогичные формулы).
Напомним некоторые исходные формулы метода корреляционных функций
для классических систем (см. более подробно т. 2, гл. 3, § 1). С помощью рав-
равновесной i\T-частичной функции распределения wn(t\, ... , гдг) вводятся одно-,
двух-, ..., а-частичные функции распределения
*И'|) = V J wNdr2... drN; F2(ru r2) = V2 j wN dr3... dtN; ... ,
(V) (V)

§ 2. Использование канонических распределений
23
которые сохраняют свой вероятностный смысл функций распределения по коор-
координатам частиц. В соответствии с этим вероятностным смыслом многочастичные
функции распределения F, подчинены своеобразному граничному условию — прин-
принципу ослабления корреляций, который в частном случае s = 2 имеет вид
*2A-1, г2) -» Fi(г,) • Fi (г2) при |ri - г2| -» со.
В пространственно однородном и изотропном случае, когда сдвиг всех аргументов г,-
на одинаковую величину не изменяет функций распределений, мы имеем
со.
\F2(R)
-Рг(г1, г2) = F2(rr - г2,0) = F2(r, - г2) = ^flr, - г2|)
и т.д. Обозначая |ri - r2| = R, получим условие ослабления корреляций в виде
«граничного» условия
F2(R) -* 1 при R
В задачи нашего раздела не входит рас-
расчет этих корреляционных функций по схе-
схеме решения цепочки уравнений Боголюбо-
Боголюбова. Это делается в разделах, посвященных
равновесной статистической механике. На-
Напомним только, что функция 2^G2) является
одной из важнейших в теории неидеальных
систем и ряде приложений. Ее вид схема-
схематически представлен на рис. 1. Для систем
низкой плотности в нулевом приближении
эта функция аппроксимируется больцманов-
ской экспонентой F^0)(R) = ехр{-Ф(Д)/0}.
Для функции F2(R) характерно, что на ин-
интервале 0 < R < 2г0 (г0 — радиус сфе-
сферы отталкивания молекул) она равна нулю,
при R > Дкорр эта функция равна единице,
а в области 2го < R < RKOpp она может быть больше или меньше единицы, может
даже осциллировать. Радиус корреляции определяется в зависимости от характера
взаимодействия частиц друг с другом, внешних условий и т. д. Например, для неплот-
неплотных систем нейтральных частиц он оказывается порядка радиуса взаимодействия
частиц друг с другом, RKOpp ~ Двз, для систем с кулоновским взаимодействием — по-
порядка дебаевского радиуса экранирования ДКОрр ~ гд = 1/х = у/вь/Dуке2). Для нас
важно, что эта величина, целиком определяющаяся характером динамического вза-
взаимодействия частиц и значениями неаддитивных параметров системы, совершенно
не зависит от размеров самой системы.
Использование введенных функций распределения эффективно при расчете
средних значений от динамических величин аддитивного, бинарного и т. д. типов.
Действительно, для величины аддитивного динамического типа
Рис. 1. Общий вид зависимости парной кор-
корреляционной функции F2(R) от расстояния
между частицами Л = |г, — г2|
имеем
./¦
wN-
drt... drN
dr.
J
? J A(ri)F1(ri)dri =

24
Глава!. Теория флуктуации
Для величин бинарного динамического типа
«8= ? В(г„г;)
получим выражение для среднего *В в виде
2У2
/ B(r,, r2)F2(r,, г2) dr, dr2 = —г / dr, dr2 В(ти r2)F2(r,, r2)
J 2v J
и т. д. (в окончательных выражениях, мы всюду провели предельную статистическую
процедуру N —» оо, V —> сю, v = 7/JV = const).
Интересуясь в данном парафафе оценкой флуктуации динамических величин
с помощью корреляционных функций F, рассмотрим в качестве простейшего,
но достаточно характерного примера динамическую величину 21 и ее дисперсию
Среднее значение 21 нами уже выписано, а при расчете 2t2 надо учесть, что
величина 2t2 включает в себя и аддитивную и бинарную части
поэтому
r2) dr, dr2.
(V)
1—
1
1
1
1
v,
_
N
t
l
l
I
i
j
Рис. 2. Схема термоди-
намической системы для
расчета флуктуации чи-
еГчаЧстиТ(на1зисуКнкевыИ-
делена пунктиром)
Мы видим таким образом, что для расчета дисперсии ве-
величины аддитивного динамического типа (ДЯJ необходимо
располагать корреляционными функциями F\ и F2.
Аналогично, если бы мы захотели определить диспе-
дисперсию (Д53J, то нам необходимо было бы использовать три
корреляционные функции F2, F3 и F4 и т.д.
Воспользуемся теперь написанными выше формулами
для исследования вопроса о флуктуации плотности числа
частиц в пространственно однородной (для упрощения) ста-
тистической системе. С одной стороны, это одна из начальных
(а следовательно, не очень сложных) задач теории флуктуа-
ций> на примере КОТорой можно выявить некоторые общие
особенности флуктуации в статистических системах, с дру-
го" ~~ она имеет значительный самостоятельный интерес
(напомним, что зависимость от плотности как термодина-
термодинамического параметра характерна для очень многих физических величин, причем
в изотермических условиях, в которых решается эта задача, указанная зависимость
может оказаться и единственной).

§ 2. Использование канонических распределений 25
Рассмотрим систему с заданными параметрами (в, V,N), внутри которой вы-
выделим макроскопический объем Vb (рис. 2). Если мы введем вспомогательную
функцию /(г) такую, что
{1, если точка г внутри Vb,
О, если точка г вне Vb,
то число частиц No (точное число частиц), попадающих в Vb в случае, когда вся
система находится в микроскопическом состоянии (р, q) = (pi pjv; г1(..., rjy),
можно представить в виде величины аддитивного динамического типа (типа 21):
/(г,).
Так как функция /(г), попадая под знак интеграла, вырезает область интегрирования,
равную Vb, и так как /2(г) = /(г), то мы получаем в пространственно однородном
случае, когда 2^(г) = 1 и F2(ru г2) = i^di"! - г2|), что
(V) (Vb)
~Щ=\ J dr+^ JJ F2(|r, - г2|) dr, dr2,
(Ц.) (Vo)
откуда интересующая нас дисперсия числа частиц Щ в области Vb может быть
представлена в следующем виде:
= ~Щ- (NoJ = ^ + ^JJdxx dr2 (F2(|r, - r2|) - 1).
(Vb)
Если Vb — макроскопический объем линейного размера Lq ~ v^, т. е.
Lq ^> Дкорр,
то и заключенная внутри него система (пускай «маленькая») сама является термоди-
термодинамической системой. Так как подынтегральная функция (F2(|ri - г2|) - 1) отлична
от нуля только в относительно небольшой по сравнению с Vb области порядка R\opp,
в которой |ri - г2| < Лкорр, то, произведя замену переменных
0(R,r2)
- г2 = R, г2 = г2;
— 1 у
мы можем в этом случае распространить интегрирование по модулю |R| = R на все
его значения 0 ^ R < оо. Интеграл по переменной г2 по области Vb даст величину
этого объема, и мы получим
00
= ^(l + - f(F2(R)-\)dR)=^(l + - f (f2(R)-\)
о
В этом ответе характерна зависимость дисперсии числа No от среднего числа частиц
системы в области Vb. Так как
00
г -, 4 ,
(F2(R) - ]LirR dR- - хЛкорр * У.
3

26 Глава 1. Теория флуктуации
где (р — конечная величина неаддитивного термодинамического типа, зависящая
от конкретных свойств рассматриваемой системы (от закона взаимодействия частиц
друг с другом и т.д.), то для дисперсии и относительной флуктуации мы получаем
(ДЛГоJ = No A + ^Орр • - J ~ No,
\/(AtfoJ 1 Г 4
= г? = /=-\/ 1 + г
iV0 л/ЛГлУ 3
Такая зависимость дисперсии величины аддитивного типа (которой является число
частиц в подсистеме Vo) и относительной флуктуации от числа частиц в системе
(в данном случае от JVo) или ее размеров является характерной в статистической
теории (обратим еще раз внимание: дисперсия аддитивной величины оказывается
также аддитивной в термодинамическом смысле величиной).
Отметим сразу, что дисперсия и относительная флуктуация величины неадди-
неаддитивного типа No/Vq имеют следующее характерное асимптотическое поведение:
I
VoJ N
Указанные выше зависимости от аддитивного параметра (или Vo = vNo) харак-
характерны для так называемых термодинамических флуктуации в системе.
Мы выявили эту характерную зависимость дисперсии от аддитивного параме-
параметра на частном примере. Кроме того, мы поняли, что эта зависимость появилась
вследствие асимптотической структуры корреляционной функции при раздвижении
ее аргументов (принцип ослабления корреляций) и условия Лкорр < Lq = \/%>
(«термодинамичности» системы, заключенной в области Vo). Так как указанные
причины не исчезают и при исследовании дисперсий динамических величин более
сложной структуры (например, энергии системы, заключенной внутри области Vo),
то подмеченная характерная зависимость (если if ~ N, то (Д.<^"J ~ N; если
/ ~ iV° = 1, то (Д/J ~ N~l) все равно возникает вследствие эффективного обре-
обрезания на корреляционном радиусе областей интегрирования по пространственным
координатам.
Мыслимы, конечно, и иные возможности. Например, пусть при некоторых
условиях Лкорр увеличивается до размеров Lo или даже неограниченно возрастает.
Тогда система, заключенная в Vo, уже термодинамической не является (граничные
эффекты не пренебрежимы по сравнению с объемными). Выясним, как в этом
последнем случае величина (Д^0J зависит от No. Пусть max (F2(R) - 1) = М
(заметим, что М — конечная величина, так как по своему вероятностному смыслу
функция F2(R) всюду конечна). Тогда при No = Vo/v > 1 получим
No A + ^м\* (N0JM ~ (JV0)
6No < у/М ~ (No)° = I.
Это, конечно, максимальная степень роста величины (AN0J по отношению к NQ,
возможны и иные варианты, когда (Д^оJ ~ (No)a, 1 < а < 2. Флуктуации,
соответствующие величине а > 1, называются нетермодинамическими флуктуациями
(рис.3).

§ 3. Квазитермодинамическая теория флуктуации
27
Наконец, расчет флуктуации плотно-
плотности числа частиц n = Nq/Vq, где Vq =
1 см3, в термодинамической системе мо-
может быть осуществлен по формуле
00
(ДпJ = - П + - f(F2(R) - 1) 4хД2 dRj.
Окончательный расчет интеграла возможен
после подстановки в эту формулу выраже-
выражения для парной корреляционной функции
F2(R). Две несложные задачи на эту тему
отнесены в раздел упражнений.
(ДЛГ.)
, Область |
негврмо-1
динамических
флуктуации
1 /
А
/
/
'Область
термодинамических
флуктуации
Рис. 3. Зависимость дисперсии аддитивной
величины — числа частиц iV0 в объеме Vb
от параметра I
§ 3. Квазитермодинамическая теория флуктуации
а) Второе начало термодинамики
для неквазистатических процессов
Напомним некоторые основные исходные моменты макроскопической термо-
термодинамики неравновесных процессов (см. более подробно т. 1, с. 62).
Рассмотрим два равновесных состояния системы 1 и 2, термодинамические
параметры которых отличаются на макроскопические бесконечно малые величины:
S2-Si= dS; ёг - ёх = AS; V2 - Vx = dV и т.д.
Для квазистатического перехода 1 -+ 2, при
котором каждое промежуточнре состояние явля-
является равновесным, мы имели согласно I и II
началам термодинамики
в dS = 6Q = dS + pdV + A da - ц dN.
При неквазистатическом переходе (все соответ-
соответствующие такому переходу величины будем от-
отмечать штрихами), совершаемая системой ра-
работа 6W < 6W = pdV + Ada (при неквази-
неквазистатическом расширении реальное давление га-
газа на поршень р' < р и т.д.), а поглощаемое
ею количество тепла 6Q' < 6Q (при нестати-
нестатическом нагревании система не успевает полно-
полностью «прогреться»). Эти неравенства выражают
так называемые принцип максимальной работы
и принцип максимального поглощения тепла
(максимума величины 6W и 6Q' достигают в случае, когда переход 1 -+ 2 становится
квазистатическим), обобщают огромный экспериментальный материал и являются,
по существу, своеобразной формулировкой второй части второго начала термоди-
термодинамики. По аналогий с выражением для квазистатической работы, связанной с
расширением системы на величину dV, 6WP = pdV мы можем для неквазистатиче-
ского расширения на ту же величину dV условно записать
6W1 = р' dV,
V V+dV
Рис.4. Давление на поршень при ква-
квазистатическом (жирная линия) и неква-
неквазистатическом (тонкая линия) переходах
из состояния 1 в состояние 2

28
Глава!. Теория флуктуации
где величина р' (рис. 4) — некоторое среднее за время расширения давления на пор-
поршень — может значительно (т. е. не дифференциально) отличаться от исходного
давления р, причем это отличие обусловлено самим характером нестатического
расширения V —> V + dV (например, при мгновенном расширении р' = 0). Вводя
аналогичные по смыслу величины А' и р', имеем, согласно второй части второго
начала термодинамики,
6Q = 0dS> 6Q' = de + p' dV + A' da - ц' dN.
Рассмотрим следствия этого неравенства, связанные с установлением при опре-
определенных условиях (мы остановимся только на четырех вариантах этих условий)
экстремальных свойств некоторых термодинамических величин.
S, V, а, N
в, V, а, N
I e,V,atlt I
I
У//////////////Л
e,p,a,N
д
Рис. 5. Условные изображения (а) — адиабатически изолированной системы (двойные стенки),
(р) — системы в термостате (теплопроводящие стенки), G) — системы с нефиксированным числом
частиц (воображаемые стенки), F) — системы, в которой подвижный поршень обеспечивает заданное
значение давления
а) Пусть dS = 0, dV = О, da = 0, dN = 0 (так называемая адиабатически
изолированная система), рис. 5 а, т. е. по каким-либо причинам изменениями пара-
параметров <?, V, а, N можно пренебречь по сраанению с изменениями (или флуктуаци-
ями) других величин. Тогда, согласно второй части второго начала термодинамики,
в правой части общего неравенства будет стоять ноль, и нестатические процес-
процессы будут сопровождаться увеличением энтропии (абсолютная температура в всегда
положительна)
dS>0,
которая будет возрастать до тех пор, пока согласно нулевому началу термодинамики
система при заданных фиксированных значениях {?, V, a, N} не достигнет своего
равновесного состояния. Таким образом,
'-'max r= '-'равновесное == '-'(©, V, в, J»),
откуда следуют условие равновесия и условие устойчивости
= 0.
0,
причем вариации производятся по тем параметрам системы, которые при указанных
фиксированных условиях могут принимать неравновесные значения, например,
величины в, р, п в отдельных частях системы, количества веществ в разных фазах,
химический состав реагирующей смеси и т.д., допустимы также искусственные
построения (перегородки, поршни и т. д.). Таким образом, выбор параметров,
по которым производится варьирование, достаточно произволен и может быть
сделан по-разному в зависимости от поставленной конкретной задачи.
Фигурирующая в этой вариационной задаче энтропия «неравновесного» состо-
состояния понимается в соответствии с общим аддитивным характером этой величины

§ 3. Квазитермодинамическая теория флуктуации 29
как сумма энтропии отдельных квазиравновесных частей системы (или как соответ-
соответствующий интеграл от плотности энтропии по пространственной переменной г)
Л(г)п(г)*,
J
(V)
где e(r) — удельная (в расчете на одну частицу) локальная величина энтропии
в окрестности точки г, п(г) — локальная плотность числа частиц.
/3) Пусть d6 = 0, dV = 0, da = 0, dN — 0 (система с фиксированным числом
частиц в термостате), рис. 5/9, т. е. по каким-либо причинам мы пренебрегаем
изменениями величин в, V, а, N. Тогда
(в dS > dS)tVaN
или, вспоминая, что свободная энергия & связана с внутренней энергией и энтро-
энтропией соотношением & =¦$ - OS, получим
0.
Для равновесного же состояния &~ — SFm\n, т. е.
- 0, (tfV)mjV > 0.
7) Пусть d6 — 0, dV = 0, da = 0, dfi — 0 — система, выделенная воображаемыми
стенками (рис. 5 7). Так как в этом случае химический потенциал фиксирован,
ц = ц', то
» (edS>d?-pdN)eVail,
откуда, вводя термодинамический потенциал A = &" - (iN, получаем
0,
т. е. при достижении равновесного состояния при указанных условиях минимальное
свое значение принимает потенциал П = Птт, поэтому
(SU)evah = 0, F2П)вуп11 > 0.
6) Система «под поршнем» (рис. 5 6): dO = 0, dp = 0, da — 0,dN = 0.
Так как в этом случае давление фиксировано, т. е. р = р', то, вводя потенциал
Гиббса G = $ - OS + pV, получим из основного неравенства
{dQ)9paN < 0,
и равновесное термодинамически устойчивое состояние системы определяется усло-
условиями ? = ?mill,
{6G)ePaN = 0, F2g)epaN > 0.
В приложениях выбор конкретного варианта вариационной задачи произво-
производится в соответствии с целями исследования, а также из соображений удобства.
Заметим, что экстремальные свойства термодинамических потенциалов проявляют-
проявляются только при специальных условиях, фиксирующих как раз те термодинамические
переменные, в которых данная величина при наступлении равновесия является
термодинамическим потенциалом (или характеристической функцией).

30 1лава 1. Теория флуктуации
6) Общая формула для вероятности флуктуационного отклонения
от равновесного состояния
Рассмотрим теперь случай, когда флуктуационное отклонение системы от рав-
равновесного состояния, не являясь в общем случае однородным по системе, может
быть охарактеризовано набором локальных значений термодинамических параме-
параметров. Более конкретно, мы будем предполагать следующее.
1) Флуктуационные отклонения от равновесного в целом состояния систе-
системы являются крупномасштабными, т. е. такими, что каждая из областей системы,
в которой произошли отклонения значений термодинамических параметров от их
равновесных величин, является также термодинамической системой. Предельный
размер этого минимального масштаба установить в рамках нашего рассмотрения,
конечно, невозможно. Перейдя к кинетической теории, мы, покажем, что локаль-
локальные термодинамические состояния устанавливаются в областях, линейные размеры
которых Ах превышают среднюю длину свободного пробега, т. е.
Дж>А~Асв.пр.
2) Рассматриваемые флуктуационные отклонения с микроскопической точки
зрения являются медленными, так что все рассматриваемые интервалы времени
Д*>т'~тсв.пр,
где т' — время микроскопической релаксации, связанной с «образованием» локаль-
локального термодинамического состояния в области Дг. Это ограничение «медленными»
флуктуациями позволит нам воспользоваться не только термодинамическим спосо-
способом описания каждой из областей системы, но и использовать понятие квазиста-
квазистатического процесса (т. е. время t как динамический параметр для описания этих
процессов уже не понадобится).
3) Мы будем полагать флуктуации не только крупномасштабными и квазиста-
квазистатическими, но и происходящими независимо друг от друга, что можно оправдать
в случае, когда эти флуктуационные отклонения малы и происходят достаточно
быстро по сравнению с общим временем релаксации системы.
Пункты 1) и 2) по своему физическому содержанию являются условиями гидро-
гидродинамического приближения: в уравнениях гидродинамики фигурируют локальные
термодинамические переменные, а величины dr и dt удовлетворяют условиям 1) и 2).
Однако в гидродинамике изучаются регулярные процессы (не обязательно обрати-
обратимые), у нас же — случайные флуктуации, тепловой «шум» статистической системы,
т. е. процесс, в принципе нерегулируемый и во всех деталях не воспроизводимый.
Таким образом, мы имеем следующую ситуацию: равновесное состояние систе-
системы характеризуется всюду одинаковыми значениями температуры в и плотности
* = Гг (а следовательно, и одинаковыми значениями давления р = р(в, v), удель-
удельных величин s — з(в, v), e = е(в, v) и т.д.). Отклоненное от равновесия состояние,
агрсвггность существования которого мы собираемся определить, описывается как
vu топографической картой (только уже трехмерной) или трехмерной фотографией
распределений локальных значений температуры 0(г) и плотности п(г) = 1/«(г)
»а следовательно, и определяемыми в соответствии с термодинамическими форму-
.пмх локальными значениями р(г) = р@(г), v(r)), «(г) = а@(г), «(г)) и т.д.).
Пункт 3) позволяет пренебречь потоковыми процессами между отдельными
обогастимм системы, т. е. вкладами, пропорциональными пространственным гра-
шгитэи термодинамических величин, что значительно упрощает все дальнейшее
рассмотрение (простейший вариант их учета произведен в задаче 44). Помимо

§ 3. Квазитермодинамическая теория флуктуации
31
упомянутого выше (хотя это уже «мелочь»), ограничение 3) позволяет еще более
упростить нашу задачу, именно, вместо пространственной «карты» непрерывно рас-
распределенных локальных значений термодинамических параметров оно позволяет
рассматривать простейшие реализации флуктуации — флуктуационные отклонения
в отдельной локальной области, происходящие на фоне в остальном однородной
равновесной системы, а более сложные случаи считать наложением простейших.
Следуя традиции, оправдавшей себя при введении канонических распределений
(см. т. 2, гл. 1), рассмотрим сначала изолированную равновесную статистическую
систему (см. рис.5а), т.е. систему, макроскопическое состояние которой опреде-
определяется заданными параметрами {$, V, a, N). Ради технического удобства параметр о
временно отмечать не будем. Согласно микроканоническому распределению Гибб-
са все микроскопические реализации этого
состояния, сосредоточенные в энергетичес-
энергетическом слое (S, S + 6S), равновероятны, а чи-
число всех этих состояний определяет стати-
статистический вес данного макроскопического
состояния системы Т(?, V, N). Однако рав-
равновесному термодинамическому состоянию
системы, обладающему всеми характерными
для него свойствами (см. т. 1, § 1), которое
мы условно будем называть О-состоянием
(состоянием с нулевым отклонением от рав-
равновесного в любой точке внутри системы),
отвечает только часть этих реализаций, кото-
которая составляет лишь главную асимптотичес-
асимптотическую (в предельном статистическом понима-
понимании) часть от статистического веса Г. Имен-
Именно эта часть статистического веса связана
с равновесным (а значит, в удельном выра-
выражении пространственно однородным) значе-
значением энтропии
Г — ря
¦I as — с
Рис. б. Выделение в изолированной системе
областей с отклоненными от равновесных
значениями термодинамических параметров
в простейшем случае двух значений к
где е = S/N', v = V/N и все удельные величины, характеризующие это состояние,
во всех точках системы имеют одни и те же постоянные значения.
Рассмотрим теперь состояние системы, характеризуемое теми же значениями
общих термодинамических параметров {$, V, N), но локальные характеристики в ко-
котором отличаются от соответствующих равновесных пространственно однородных
значений. Для фиксации этого состояния можно мысленно разделить всю систему
на участки «к» (см. рис. 6), которых может быть сколько угодно, но, как уже указыва-
указывалось ранее, достаточно и двух (нарисованного на рис. 6 «кусочка» и остальной части
системы), и в каждой из этих подсистем задать отклоненные от равновесных значе-
значения энергии ё'к = Sk + Д<4. объема Vfc' = V* + AV* и числа частиц iVj[ = iVj -ь ANk-
Как Д-отклоненные (со штрихами), так и равновесные значения (без штрихов) этих
величин в изолированной системе подчинены общим условиям
к

32
Глава 1. Теория флуктуации
Хотя ни одно из этих отклоненных состояний не входит в множество
Гм(<^, V, N), образующее 0-состояние, они входят в общую совокупность состояний,
характеризуемых параметрами ($, V, N) и полным статистическим весом Т(ё, V, N).
Среди этих не принадлежащих Г„, состояний выберем такие, которые соответствуют
в каждой из А;-областей заданным отклоненным значениям (S].,Vj.,N'k), а среди
них выберем только те, которые образуют локальное термодинамическое состояние
в этих к -подсистемах (условно назовем их Д-состояниями). Главная асимптотика
числа таких состояний для каждой из подсистем связана с термодинамической
энтропией подсистем соотношением
а полное число реализаций данного Д-состояния для всех Jb-подсистем вместе (г*, е.
для всей системы в целом) будет равно
ГД = I*. =
а* = ехр
'}-•'.
где S' =
— отклоненная от значения энтропии 5 равновесного Д-состояния
полная энтропия заданного с помощью набора величин (<??, Vk', N'k) термодина-
термодинамического Д-состояния системы, определяемая естественным образом как сумма
термодинамических энтропии всех составляющих ее подсистем.
Поясним еще раз сказанное выше с помощью схемы, представленной на рис. 7.
Область, заключенная внутри большого круга Е, условно представляет множество
всех микроскопических реализаций макросостояния {?, V, N). Числом элементов
этого множества является статистический вес Г. Заштрихованная область, огра-
ограниченная So, — множество состояний, соответствующих равновесному термоди-
термодинамическому состоянию системы. Число элемен-
элементов в нем равно Го = (Г)„. Множество состоя-
состояний, соответствующих данному набору значений
($'к,Ук',Щ), на схеме ограничено линией S' (чи-
(число элементов Г'), а множество реализаций тер-
термодинамического Д-состояния представлено за-
заштрихованной областью, ограниченной ?0 (число
элементов в нем равно Гд = Г^,).
Чтобы определить вероятность и>д данного
термодинамического Д-состояния, учтем, что все
рассматриваемые нами микроскопические состоя-
состояния (не только те, которые составляют 0- и Д-со-
Д-состояния, но и любые нетермодинамические состо-
состояния из общего числа Г) равновероятны согласно
микроканоническому распределению Гкббса
Рис. 7. Условная схема множеств со-
состояний, соответствующих макроско-
макроскопическому состоянию {&, V, N) изо-
изолированной системы
wn(*,V,N) =
A(i-En(N))
T{i,V,N) '
Чтобы получить искомую вероятность заданного Д-отклонения, просуммируем эту
величину по тем микроскопическим состояниям системы п, которые соответствуют
заданным значениям {?'к, Vk', N'k) во всех Jb-областях системы, удовлетворяющим
дополнительным условиям
= <^> !? К =
t — N (такое суммирование

§3. Квазитермодинамическая теория флуктуации 33
условно обозначим символом п(Д)). Тогда для вероятности данного Д-отклонения
получим
to =
п(Д)
К сожалению, выполнить нормировку этого «распределения» по Д-состояниям
практически невозможно, так как нормировочное условие включает помимо сум-
суммирования по всем возможным Д-состояниям еще и сумму по всем нетермоди-
нетермодинамическим реализациям макроскопического состояния (?, V, N). На практике,
как мы увидим ниже, нормировка достаточно просто выполняется в каждом кон-
конкретном случае. Поэтому, особенно не огорчаясь по поводу потери нормировки,
можно в качестве исходной формулы теории флуктуации использовать не напи-
написанное выше выражение для вероятности to, а ненормированный ее вариант м»д,
в котором вместо статистического веса Т($, V, N) в знаменателе стоит его главная
асимптотика Т^З, V, N):
Эта основная для всего формализма теории термодинамических флуктуации
формула называется формулой Эйнштейна (A. Einstein, 1910). Она выражает есте-
естественное следствие так называемого принципа Больцмана (L. Boltzmann), связыва-
связывающего величину энтропии системы с вероятностью ее макросостояния (в наших
обозначениях — со статистическим весом, 5 = In Г). Справедливости ради следует
заметить, что упомянутый принцип Больцмана был впервые сформулирован План-
ком (М. Planck, 1900) в виде 5 = -к In W (у нас W = 1/Г), где к — им же введенная
константа, которую «по понятным причинам называют постоянной Больцмана»
(слова М. Планка).
Следует заметить также, что мы написали эту формулу не на основе интуи-
интуитивных соображений, как это обычно делалось в прежние времена, а связали ее
непосредственно с микроканоническим распределением Гкббса и в рамках огово-
оговоренных нами условий 1)-3) тем самым свели на нет ее «полуфеноменологический»
характер.
в) Зависимость гид от интенсивности малых флуктуации
Предположим сначала, что отклонение изолированной системы от равновесного
состояния может быть количественно охарактеризовано только одним параметром ?,
таким, что равновесному состоянию соответствует значение ? = 0. Тогда имеем
5 = 5@), '.¦':
Согласно второй части второго начала термодинамики энтропия 5(?) при значении
| = 0 достигает своего максимального значения, поэтому

34
Глава 1. Теория флуктуации
Записывая теперь формулу Эйнштейна в виде нор-
нормированной на единицу вероятности обнаружить
систему «в состоянии (?, ? + d?)», мы приходим,
естественно, к гауссову распределению (рис.8)
с дисперсией
Если отклонение от равновесного состояния
характеризуется несколькими параметрами
Рис. 8. Распределение плотности ве-
вероятности w(?) флуктуационного от-
отклонения величины ? от своего ну-
нулевого среднего значения для слу-
случая А = 1 #
= ') и А =
то в экспоненте функции распределения по ? по-
появится квадратичная форма (коэффициенты при
первых степенях (к равны нулю в силу условий
равновесия)
w(..., (к, ¦¦¦) = const • ехр < --
I
ы
которая в силу условий устойчивости равновесного состояния должна быть положи-
положительно определенной. Квадратичная форма ]Г) Аи&&, вообще говоря, может быть
диагонализована с помощью линейного преобразования {&} —> {%}. В этих новых
переменных вероятность отклонения от равновесного состояния представится как
произведение гауссовых распределений
w( ...,%,
= П у ^ ехр {" 2
а условие термодинамической устойчивости (или максимума энтропии) будет за-
заключаться в требовании положительности всех коэффициентов А* > 0. Каждая
из величин А* в процессе диагонализации выражается через коэффициенты Xki
исходной квадратичной формы, которые в свою очередь представляют частные
производные энтропии по соответствующим параметрам ^ив конечном счете вы-
выражаются через какие-либо физические характеристики системы. Мы остановимся
более подробно на этих условиях при рассмотрении конкретных примеров.
г) Общая формула для малых термодинамических флуктуации
в неизолированной системе
Для получения упомянутой в заглавии формулы воспользуемся приемом, в идей-
идейном отношении аналогичным использованному при переходе от микроканоничес-
микроканонического распределения к каноническому. Выделим в изолированной в целом системе
некоторую макроскопическую часть и предположим, что именно в этой части
произошло локальное флуктуационное отклонение параметров состояния от их рав-
равновесных значений, т. е. разделим исходную систему только на две равновесные
подсистемы, состояние одной из которых нас, собственно, и будет интересовать,
п то время как второй части отводится роль «термостата».

§ 3. Квазитермодинамическая теория флуктуации 35
Сам способ «выделения» рассматриваемой области мы сейчас не конкретизиру-
конкретизируем, он может быть любым из упомянутых в § 3, т. е. состояние выделяемой области
может быть охарактеризовано набором термодинамических переменных {в, V,N},
{в, V, ц}, {в,р, N} или еще каким-либо из не упомянутых в §3.
Так как параметры Д-отклонения в каждой из подсистем не произвольны,
а связаны условием сохранения полных значений энергии, объема и числа частиц,
то (параметры термостата снабжены индексом Т, параметры выделенной системы —
без индекса)
ANT = -AN.
ANT
NT
-
AN
NT
-
AN
N
Разделение изолированной системы на две подсистемы, конечно, достаточно про-
произвольно. Используя этот произвол и интересуясь Д-отклонениями только в выде-
выделенной подсистеме, можно воспользоваться идеей дарвин-фаулеровской предельной
процедуры, сделав термостат неограниченно большим (два частных, но характерных
примера, когда термостат и система соизмеримы, рассмотрены в задачах 38 и 39),
таким, что Nt/N -+ oo при любом конечном N. Этот вспомогательный предельный
переход надо понимать в следующем смысле: для системы величина \AN/N\ мала,
но Конечна (это — заданное отклонение), для термостата же
N
i-O
NT
при любом заданном значении AN/N,
Технический выигрыш от такого выбора модели термостата состоит в том, что
в пределе NT/N —> оо неаддитивные его параметры с точностью до членов O(N/NT)
при любом заданном отклонении AN, AV и AS сохраняют свои равновесные
значения
Рт = Р, От = в, Mr = М-
Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть частный пример, когда интересу-
интересующая нас подсистема отделена от термостата, например, воображаемыми стенками
(см. рис.5 7 или рис.9). Тогда для отклоненной в результате флуктуации AN тер-
термодинамической величины давления в термостате р'т (или какой-нибудь другой
аддитивной величины) будем иметь
, / NT + ANT\ ( ANT\
Рт = Рт[ 0, - = Рт [0, пт + пт-гг- =
V VT ) \ NT /
ANT
Р(в)р
В связи со сказанным выше, для разности энтропии двух бесконечно близких
равновесных состояний термостата согласно второму началу термодинамики имеем
AST = — (Д^г + pTAVT - ht&Nt) = ~{-A# - pAV + pAN),
От О
т. е. индекс Т в выражении для AS вообще исчезает, откуда, согласно форму-
формуле Эйнштейна, вероятность Д-отклонения приобретает вид (с учетом того, что
Д50би1 = Д5Г + Д5)

36 Глава 1. Теория флуктуации
Эта формула, являясь, по существу, промежуточной, уже представляет интерес
хотя бы в том отношении, что она определяет вероятность заданного термодинами-
термодинамического Д-отклонения только через параметры интересующей нас подсистемы. Так
как
dS = в dS - р dV + ц dN,
то, как и следовало ожидать, линейных-по Д-отклонениям членов экспонента (*)
не содержит, так как A\S = в AS - pAV + pAN. Чтобы выделить в ней квадра-
квадратичную форму, проще всего выбрать в качестве независимых термодинамических
параметров тройку величин х = (Х1,х2,х3) = (S, V N) и учесть в AS следующие
за линейными члены по Ах = (AS, AV, AN). Заметим, что фигурирующие в (*)
значения р, ц, в являются равновесными значениями и Д-поправок к ним нет. Тогда
dS/dx = (в, -р, ц) и
AS = S(x + Ax) - S(x) = AtS + A2S + ...=
as l ^ e2s
^ 2^
Учитывая, что линейные части приращений производных от внутренней энергии
определяются соотношением
где указанные изменения температуры, давления и химического потенциала являют-
являются линейными частями изменения этих величин для рассматриваемой подсистемы,
связанного с заданным изменением ее параметров Ах = (AS, AV, AN), получаем,
что с точностью до второго порядка по Д-отклонениям
AS = в AS - pAV + nAN + -(A6AS - ApAV + AfiAN) + ...,
откуда следует (после подстановки AS в формулу (*)) окончательная формула для
вероятности флуктуации в неизолированной системе
ApAV - A0AS - A/xAN \
26 J '
Полученная формула очень удобна при решении целого ряда конкретных задач
(см. задачи 30-39), так как, задавая какой-нибудь конкретный тип отклонения
от равновесного состояния, мы без труда сводим ее к гауссовому распределению
ехр {-|^?2}> рассмотренному в § 3, с готовым выражением для дисперсии ?2 = 1/А.
Заметим, что стоящее в экспоненте формулы для м»д выражение можно, исключив
величины AS и Ац, привести к квадратичной форме относительно Д-изменений
непосредственно измеряемых на практике величин, например, Ав, AV или AN.
Это сделано в задаче 37. Здесь же мы получим этот «улучшенный» вариант тод, как бы
снова начиная с исходных позиций, с тем, чтобы еще раз повторить основные идеи
излагаемой теории флуктуации, а потом уже подвести общие итоги.
Итак, рассмотрим равновесную изолированную систему (заданы параметры
<&бщ, Уобш. -^обш) и среди всех ее микросостояний, распределение по которым пола-
полагается микроканоническим
Wfl = ;

§ 3. Квазитермодинамическая теория флуктуации
37
выберем сначала те, которые соответствуют термодинамиче-
термодинамически равновесному состоянию системы (число этих состояний
ras = Го). Для этих 0-состояний выполняется принцип тер-
термодинамической аддитивности
5обш = ST + S; ST = NTs(e, v); S = Ns(e, v),
где e = Sto6ui/No6ai и v = УобшА^общ. Разделим предста-
представленную на рис. 9 систему (можно мысленно) на две —
термостат и систему, состояния которой нас будут интере-
интересовать, и среди оставшихся Г - Го состояний выберем те,
которые соответствуют измененным значениям параметров
подсистем
Рис. 9. Выделение в изо-
изолированной системе ча-
части, для которой про-
производится расчет веро-
вероятности термодинамичес-
термодинамической флуктуации ее состо-
состояния
N'T = NT- AN, N' = N + AN,
а из них — только те, которые соответствуют термодинамических Д-состояниям
каждой из подсистем (число таких Д-состояний мы обозначали символом Гд), для
которых также имеет место принцип термодинамической аддитивности,
S'T = N'Ts{e'T, v'T), S' = N's(e, v').
Здесь новые значения удельной энергии и удельного объема для выделенной системы
определяются соотношениями
AN
~N~
где
V + AV
AS
AN
AN
и для термостата — сразу с учетом дарвин-фаулеровской предельной процедуры
(в принципе не обязательной)
еТ =
vT =
NT-AN
VT-AV
N
N
-AN Л
Энтропия такого термодинамического Д-состояния равна
U6W = (NT - AN)s(e'T, v'T) + (N + AN)s(e', v') =
(N
( ds ds
AN) ¦ [s + -Ate - -
ds AN ds
- —Al? + ^
ds AN
d2s
dedv

38 Глава!. Теория флуктуации
Приводя подобные члены, сразу замечаем, что нулевые по Д-отклонениям члены
соответствуют значению равновесной энтропии
5общ = (NT + N)s(e, v),
линейные члены взаимно уничтожаются, как это заранее и предполагалось, и вза-
взаимно уничтожаются квадратичные члены типа ANA^s и ANA^v. Поэтому вероят-
вероятность эдд обнаружить систему в термодинамическом Д-состоянии будет равна
«>Д = X] Wn = ~f
п(Д)
где
N
А5
Используя методы макроскопической термодинамики, преобразуем это выражение
для Д5общ так, чтобы в качестве Д-параметров фигурировали бы не Ае и Av,
а величины Ав и Av. Вспоминая, что де(9, v)/d9 = cVN, имеем сразу
= cVNA9 + ( — ) Av.
Учитывая, что
что вдоль е = const
Ав = — ( -- 1 Av
и что для тройки термодинамических параметров
dz
= -—(-)
cVN \dv/(
гтров
(^\ - 1
имеем для коэффициентов полученной выше квадратичной формы
в\ 1
де ) п 02cyN'
d2s /дв\ 1 /де'
_ /др\ _
~\dv)e~
dedv \dvj€ 92cVN
/d2s\ (дфр) \ 1
9h\ =
dv2)e
\dv2je \ dv )t 92c
Поэтому после подстановки в Д50бЩ имеем
N
02cVN

§3. Квазитермодинамическая теория флуктуации
39
откуда после взаимного уничтожения членов с Д0Ди и приведения подобных
членов, пропорциональных (Дг>J, получаем искомую формулу
Нельзя сказать, что эта формула лучше формулы для тод в неизолированной
системе, которую мы получили ранее: они исходят из одних и тех же идей и просто
эквивалентны (см. задачу 37, а также 31 и 32). Несколько долгий, хотя и несложный
способ ее получения был выбран нами для того, чтобы еще раз напомнить об этих
идеях. В качестве параметров ? можно взять ? = Ав, можно ? — Av, можно какую-
либо их комбинацию ? — аАв + bAv в зависимости от характера того отклонения,
вероятность обнаружить которое мы хотим определить. Полученную формулу мы
обсудим более подробно в упомянутых выше задачах, а сейчас отметим только, что
ее вид свидетельствует о независимости Д-отклонений по температуре и удельному
объему (или плотности): распределение адд распалось на два независимых гауссовых
распределения, w(A9, Av) = w(A9) ¦ w(Av), так что корреляций отклонений АО
и Av не происходит, Д0Дг> = Ав ¦ Av = 0.
Прежде чем перейти к общему обсуждению полученных результатов, рассмо-
рассмотрим два простейших, но достаточно характерных примера использования формулы
ДЛЯ №д.
Пусть по каким-либо причинам флуктуациями объема и числа частиц можно
пренебречь. Тогда из полученной выше формулы для адд сразу получаем гауссово
распределение по оставшейся «степени свободы» Ав:
«д
NV
откуда для дисперсии и относительной флуктуации температуры получаем
в2 в2 , 1 1
'VN
Nc
VN
Рис. 10. Условное изображение
системы, в которой число час-
тиц и объем не флуктуируют,
ДЛГ = 0, AV = 0
i j
iffy |
Рис. 11. Условное изображение
системы, в которой температура
и объем не флуктуируют, Ав = 0,
' ' AV = 0
Пусть теперь фиксированными считаются объем V и температура в. Тогда,
записывая изменение удельного объема в виде (Av)v = A(V/N)v = -(V/N2) ¦ AN,
получим гауссово распределение по AN,
откуда следуют выражения для флуктуации числа частиц в системе, выделенной
воображаемыми стенками
1
1
* (-дА '
\ dv)9

40 Глава 1. Теория флуктуации
Если учесть, что
и р-р\в, — ) =p@,v),
вследствие чего
dN)ev \др)e\dN)ev
N2 dv N\ dv),'
¦¦•(?
то полученную формулу для (AN)jv можно свести к той
) «v
которую мы получали ранее (см. также задачу 10) с помощью большого каноничес-
канонического распределения Гиббса без каких-либо аппроксимаций.
д) Обсуждение
Сделаем несколько замечаний относительно предложенного метода оценки
флуктуации термодинамических величин.
1) Любая из форм для м»д, рассмотренная в этом параграфе, в конечном счете
сводилась к гауссову распределению, в котором функция в экспоненте является
величиной, пропорциональной первой степени аддитивного параметра N (или V):
( 1(/-7J1
I 2 (A/J J
«>Д - ехр { -- KJ==- } ~ exp {-AN}.
[ 2 (A/J J
Отсюда следует, что если величина / является термодинамической величиной
аддитивного типа, / = 0", т. е. такой, что & ~ N, тогда
если же величина / является величиной неаддитивной, / = <р, т. е. такой, что
Тр ~ № = 1, то
(A^F~^> «,~J\rI/2.
Флуктуации с указанной асимптотической по N (или по V) зависимостью принято
называть термодинамическими флуктуациями (как мы это уже делали в предыду-
предыдущем § 2).
2) Рассмотренные А-состояния не вызываются какими-либо специальными
внешними силами. Их появление связано с тем, что эти состояния, являясь элемен-
элементами смешанного состояния, входят в число Г всех реализаций данного равновесного
состояния системы и их существование является тем неистребимым «тепловым шу-
шумом», который характерен для любой статистической системы.
3) В квазитермодинамической теории флуктуации полагается, что число этих
Д-состояний асимптотически преобладает над числом микросостояний, имеющих
нетермодинамический характер. Именно это и обеспечивает соответствующую адди-
аддитивную структуру дисперсий (Д."?*"J и (Ду>J. Преобладание нетермодинамических
состояний привело бы к иной зависимости этих величин от аддитивного параметра
(мы проследили эту возможность в §2).

§ 3. Квазитермодинамическая теория флуктуации 41
4) Расчет дисперсии какой-либо величины при выборе дополнительных условий
типа р или 7» соответствующих каноническому или большому каноническому
распределениям Гиббса, выполненный в рамках полуфеноменологической теории
или с помощью канонических распределений для термодинамических флуктуации,
должен приводить к одним и тем же результатам (отличие может быть только
в членах, не составляющих главной асимптотики по N), так как и канонические
распределения Гиббса, и рассмотренная теория флуктуации основываются на одних и
тех же исходных положениях. Заметим, кстати, что по отношению к каноническим
распределениям (в которых в = const и Ав — 0) результат для дисперсии (&0J
является новым, т. к. получить его при выборе вариантов /3 или у невозможно в
силу исходной заданности величины в.
5) Полуфеноменологическая теория флуктуации тесным образом (доходящим
до буквальных повторений) связана с термодинамической теорией устойчивости ста-
статистических систем (см. т. 1, §6). Требование AS = S' - S < 0 для изолированной
системы (или требование устойчивости 0-состояния по отношению к флукгуаци-
онным Д-отклонениям) формально сводилось к требованию положительности всех
Хк > 0 (или положительности соответствующих дисперсий). Это накладывает опре-
определенные физические условия на саму систему. В частности, для пространственно
однородной системы это сразу привело к известным условиям устойчивости
6) Отметим интересное следствие, вытекающее из записанного в промежуточ-
промежуточной форме (*) выражения для вероятности м»д. Если для изолированной системы
(см. рис. 5 а, величины ?, V, а, N не флуктуируют) мы имели (исходная формула
Эйнштейна)
то согласно (*) для системы в термостате, изображенной на рис. 5 /3 (в, V, а, N
фиксированы),
1 1 Г Д^
«р | - ?(Д/- Д(Ю» j = ехр | - — J;
для системы, выделенной воображаемыми стенками (рис.5 j),
ехр | - 1(Д*- A@S) - A(/ii\T))} = ехр | -
для системы «под поршнем» (рис. 5 6)
ехр | - l-(A<?+ A(pV) - Д(Ю))} = ехр | -
Эти же формулы можно получить и не прибегая к промежуточной формуле (*).
Каждая из этих формул может быть взята вместо эйнштейновской (а) в качестве
исходной для получения необходимых рабочих вариантов. Характер этих формул
согласован с экстремальными особенностями термодинамических потенциалов, от-
отмеченных в § 3. Мы воспользуемся вариантом ф) в задаче 39 (термостат конечных
размеров) и в задаче 44, в которой сделана попытка простейшего учета градиентных
членов в отклонении AF.

42 Глава 1. Теория флуктуации
7) Все квазитермодинамическое рассмотрение флуктуации существенно осно-
основывалось на их относительной малости. Поэтому в тех случаях, когда полученные
формулы дают большие или даже бесконечные значения флуктуации (в наших
примерах бе —* оо при в —* О и 6ц —> оо при приближении к критической точке,
в которой (dj>/dv)e = 0), количественная их оценка уже не может быть оправдана,
теория в этих случаях определяет только тенденцию к увеличению флуктуации при
определенных условиях.
При возрастании величин флуктуации нарушаются многие из сделанных нами
физических предположений, флуктуации уже не могут считаться независимыми
друг от друга, аддитивными, квазистатическими и т.д., для их описания помимо
членов типа ?2, даюших гауссово распределение, существенны будут члены более
высоких порядков (пример такой ситуации рассмотрен в задаче 21), а также вклады,
пропорциональные градиентам этих величин, т. е. потокам между отдельными обла-
областями (см. задачу 44), возникают пространственные корреляции флуктуации и т.д.
Мы не будем затрагивать всех этих проблем, существенно выходящих за рамки
общего курса.
Раздел «Задачи и дополнительные вопросы к главе 1» включает 44 задачи,
часть из которых действительно является задачами, использующими предложенный
в основном тексте формализм. Из дополнительных вопросов отметим примеры,
связанные с использованием методов формальной теории вероятностей A-5), в раз-
разделе «Каноническиераспределения и теория флуктуации» — исследование общего
вопроса о гауссовости распределения по энергии и числу частиц в рамках канони-
канонического распределения Гиббса, в разделе «Классические системы» — задачи 24, 25,
а также 44, связанные с использованием величин рь — фурье-компонент плотно-
плотности числа частиц и их связи с парной корреляционной функцией и флуктуациями
плотности, в задачах 28, 29 участвуют системы из гармонических осцилляторов
(резонатор, струна; равновесному электромагнитному излучению посвящен само-
самостоятельный раздел), и, наконец, задача 43 — традиционная проблема рассеяния
света на флуктуациях плотности.

Задачи
и дополнительные вопросы
§ 1. Биномиальное распределение, или распределение
Бернулли, в теории флуктуации
Пусть вероятность свершения какого-либо события при однократном экспери-
эксперименте над системой равна р. Тогда вероятность того, что при N пробах это событие
произойдет п раз и не произойдет (JV - п) раз в случае, когда каждая из проб
независима от других, определяется формулой Бернулли (D. Bernoulli, середина
XVIII в.)
где первый множитель — комбинаторного происхождения (число способов вы-
выбрать п элементов из JV) появляется вследствие того, что мы не фиксируем порядка
выпадения каждого из п событий, так как он у нас любой, второй представляет ве-
вероятность n-кратного свершения события, а третий — вероятность (N- п)-кратного
его несвершения (каждое из этих событий независимо друг от друга).
Легко показать, используя формулу бинома Ньютона, что
If
n=0.
«.-!) +
) = 1, n =
-n = N(N-
(AnJ
ЛГ
n=0
1)p2
= n
N-2
m=0
2 - (ЙJ
JV-1
= Np у tom(JV — 1
m=0
(iV-2) + iVP = JVP(
= JVp(l-p)
i-p) + jvV,
и т.д.
В тех случаях, когда какое-либо из чисел, стоящих под знаком факториала, ве-
велико по сравнению с единицей, можно воспользоваться асимптотической формулой
Стирлинга
'¦(?)'
при ЛГ » 1.
Тогда биномиальное распределение допускает следующие видоизменения.
I) Случай Пуассона (S. Poisson): JV > 1, n — любое, n = JVp не растет с ростом N
(т.е. при N —> оо вероятность р —* 0).
Используя формулу Стирлинга и учитывая, что A - n/JV)jv-4oo —* е~", получим
из закона Бернулли в этом случае распределение

44
Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
(нормировка и значения для п и (AnJ, имеющие, естественно, те же значения, что
и в общем случае, проверяются непосредственно), которое называют распределением
Пуассона.
2) Случай Гаусса (С. Gauss) (или случай Лапласа (P. Laplace): N > 1, п > 1,
В этом случае из распределения Бернулли или распределения Пуассона с помо-
помощью формулы Стирлинга и разложения для логарифма
-х2 + ..., а:<1,
получаем в случае, когда х = Дп/га < 1, распределение Гаусса:
1 Г ("-"П
I 2(ДпJ J
ехр
2(ДпJ J y/2icNp{l-
(*-*Гр)
2Np(l
ГрJ\
-p)j-
Задача 1. В поле зрения микроскопа
наблюдатель через основной окуляр ви-
видит 200 брауновских частиц. Более «точ-
«точный», второй окуляр таков, что его поле
зрения составляет 1/100 часть перво-
первого. Какова вероятность не обнаружить
в этом поле зрения ни одной частицы,
обнаружить одну частицу... и т.д.?
Решение. В данной ситуации для второго экс-
эксперимента реализуется случай Пуассона со
средним числом частиц в поле зрения вто-
второго окуляра п = 200/100 = 2. Поэтому сразу
имеем
Шп.
2" -2
-2
1
-; u),=2uH и т.д.
0 1 2 3 4 5 6*
Рис. 12. Распределение Пуассона wn/wu
в случае п = 2
Рис. 12 показывает, что ошибка в определении плотности числа брауновских частиц
с помощью «точного» прибора может быть значительной. >
Задача 2. Идеальный равновесный пространственно однородный
классический газ из N частиц находится в объеме V (рис. 13).
Найти абсолютную и относительную флуктуации числа частиц
в некоторой части сосуда V\ (Vt < V).
Решение. Введем вспомогательную функцию
если г,- попадает в V,,
если i\ вне V,.
/(г,
-Hi
Рис. 13. Схема сис-
Тогда число частиц, находящихся в объеме V,, можно записать в виде темы, рассматривае-
_^ мой в задаче 2
*.= ? *•

§ 1. Биномиальное распределение в теории флуктуации
45
Так как /,¦ не зависит от номера частиц, то
Для пространственно однородной системы N t = nVj, где
плотность числа частиц n = N/V. Поэтому f^VjV.
Далее учитывая, что _частицы некоррелированы друг
с другом, т.е. Ufj = U ¦ fj при i Ф j, и что /? = /ь
мы получим для 0 ^ V\ ^ V выражения для дисперсии
и относительной флуктуации числа частиц, попадающих
в объем Vj,
Графики этих функций изображены на рис. 14.
Если V, = 1 см3, то для флуктуации плотности
числа частиц п идеального газа при V -+ оо получаем
/ 1 \ |/2
« rf A - -J 3 >/?.
1,0
0,5
1/2
0
0,5
1 V,/V
Рис. 14. Графики зависимостей от-
носительной дисперсии (ANty/N
и флуктуации 6N, • Nl/l числа час-
частиц JV, от размера области V,, в ко-
которую они попадают
Задача 3. В условиях предыдущей задачи определить вероятность обнаружить N\
частиц в объеме Vj и с помощью этой функции распределения, получить результаты
задачи 1. Исследовать выражения для вероятности в предельных случаях Nt < JV
и 1<ЛГ, <ЛГ.
Решение. Так как частицы системы некоррелированы, то вероятность попадания для каждой
из них в область Vu равна р = VJV. Искомое распределение является биномиальным
(n = JV,; р = V\ /V), в частных случаях — распределением Пуассона и Гаусса. В последнем
случае в пределе V —* оо, г» = ЛГ/V = const можно положить 1 —р— 1, и тогда
(jvt-jv,)a
2*Г
(ДЛГ,I = ЛГ, = nV,.
Задача 4. В большом сосуде, содержащем классический идеальный газ с заданной
плотностью n = l/v = N/V выделены две одинаковые сферические области ради-
радиуса R, центры которых расположены на расстоянии г друг от друга (см. рис. 15).
Определить зависимость от г величины корреляции AN1AN2, где N) н N2 — число
частиц в каждой из этих сфер.
Решение. Так как корреляционный эффект связан только с областью пересечения двух
сфер, имеющей объем V(r), то, воспользовавшись решением задачи 2, в котором надо
положить V, = V(r), сразу получаем

46
Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
/1
I
3 v
R
У
Л
¦
\
&
ж).
f
г ——
\ллг
2
1
^2
\
\
I
/
i *-
О
2Д
I
1 /
/
О 1
-1
(AMJ
рн/в
^-
-1
О
1 рн/е
Рис. 15. Зависимость корреляции чи-
чисел частиц, попадающих внутрь сфери-
сферических областей 1 и 2, от расстояния
между их центрами
Рис. 16. Зависимость намагничения М и дис-
дисперсии магнитного момента системы невзаи-
невзаимодействующих спинов от величины внешнего
поля и температуры
где объем сферической линзы, образующейся в результате пересечения сфер, рассчитываемый
с помощью стандартных математических приемов, равен
График зависимости ANj AN2 от г приведен на рис. 15. >
Задача 5. Для систем JV не взаимодействующих друг с другом частиц со спином 'Д.
обладающих магнитным моментом /3 = eh/Bmc) (магнетон Бора), определить рас-
распределение вероятности того, что система имеет намагниченность М = (JV+ — iV_)/3,
где JV+ и JV_ — числа спинов в «прямом» и «обратном» направлениях. Рассчитать
среднее значение, дисперсию и относительную флуктуацию величины М. Рассмотреть
предельный случай JV+ - JV_ < JV.
Решение. Для отдельного магнитного момента, обозначая h = /ЗН/в, где Н — внешнее
магнитное поле, имеем в соответствии с болыдмановским распределением
2ch/i'
2chh
В случае h = 0 (поле выключено) р = 1 -р = '/2.
Так как намагничение системы М = /3BN+ - N) выражается через N+, то распределение
Бернулли и соответствующие средние для N+
ЛГ!
N\
-/.BЛГ+-ЛГ)
Г+! (JV -
N+\(N-N+)\ Bchh)N'
N+=Np, (AN+y=Np([-p),

§ 1. Биномиальное распределение в теории флуктуации 47
пересчитываются с помощью подстановки
N -— —
+ ~Т + 2/Г
В частности, получаем (рис. 16)
М = /ЗЛГBр - 1) = pN th ^-,
О
Предельный случай Пуассона с физической точки зрения соответствует упорядоченному
состоянию системы, на фоне которого имеется некоторое число обратных по отношению
к направлению общего упорядочения спинов. Этот случай реализуется при очень сильных
магнитных полях (h —> оо). В случае слабых полей и не очень низких температур (h <С 1,
реалистический случай), когда р ~ '/г» эта возможность не реализуется вследствие требования
отсутствия роста величины N+ = Np с ростом N.
Случай Лапласа приводит к распределению Гаусса величины М около среднего значе-
значения М:
1 Г (м-мJ
\
(мы учли, что dN+ = dM/BP)).
В случае h = 0 соответствующие результаты имеют вид
1.2 А
в
N (ANJ N M
N, (AN+) jN, M = 0, (AMJ =
M2
2Np2
Задача 6. Оценить флуктуации тока термоэмиссии за время t, если известно его
среднее значение / = ej. Вылеты электронов из катода можно считать независимыми
друг от друга, а вероятность отдельного вылета за время т —> 0'— пропорциональным
этому интервалу времени.
Решение. Разобьем интервал t на большое число N > 1 малых интервалов т = t/N. Обо-
Обозначим вероятность того, что за время г из катода вылетит электрон, буквой р. Если вылеты
отдельных электронов независимы, то вероятность того, что за время t из катода вылетят п
электронов, будет определяться распределением Бернулли wn(N) = wn(t/r).
Записывая среднюю величину плотности тока в виде
ne Npe p

48 Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
мы получаем, что р — jr. Так как у нас N > 1, г» — любое, a n = Np = jt не растет
с ростом JV, то реализуется схема Пуассона:
Для дисперсии и флуктуации плотности тока (в пределе т —> 0, j = const) имеем
61 =
§ 2. Канонические распределения в теории флуктуации
В этом цикле задач для расчета флуктуации мы будем использовать канониче-
канонические распределения Гиббса, некоторые следствия общего формализма равновесной
статистической механики, а также результаты рассмотрения некоторых простых
равновесных систем.
Задача 7. Исходя из канонического распределения Гиббса, показать, что распределение
по полной энергии в равновесной системе, характеризуемой термодинамическими
параметрами 9, V, N, в предельном статистическом случае становится гауссовым.
Решение. Обозначая х = -1/0 и и = х • .<?", где ,<F@, V, JV) = Nf(9, v) — свободная энергия
системы, мы можем записать статистическую сумму в виде
причем асимптотическое поведение функции и в предельном статистическом случае по iV
характеризуется первой степенью роста
и =
Средняя энергия системы равна
Z *-* " дх дх'
n
а средние более высокого порядка рассчитываются по формуле
& = -Т,ЕкпегЕ' = - —
Z ^"^^ <w иХ
п
Непосредственный расчет с помощью этой формулы дисперсии и следующего, третьего
момента дает результаты, тоже пропорциональные N\
дъ In Z
в то время как более высокие моменты уже более сложно зависят от JV (т. е. уже не являются
аддитивными величинами).
Обозначая Д* = (Е - Е)к, мы можем написать, что

§ 2. Канонические распределения в теории флуктуации 49
откуда, дифференцируя эту формулу по х и переставляя получающиеся слагаемые, получаем
рекуррентное соотношение, которое позволяет с помощью последовательного его использо-
использования легко рассчитать любое из Д*, выразив его через А2 и Аз и высшие производные
функции и:
Q
ах
Д„=1, Д,=0, Д2 = ^, Д3 = ^з,
например,
. ди ¦
$ =:4^j + ЮДз • Д2,
Более того, с помощью этого рекуррентного соотношения, зная, что Д2 ~ JV и Д3 ~ N, легко
усмотреть степень максимального асимптотического роста моментов четного и нечетного
порядков:
Дзп = -?-Д2пт| + BП - 1)Д2 • Д2(п-1) ~ N",
ОХ
Й
Дгп-н = тг"Д2п + 2п • Д2 • Д2п-| ~ N", п ^ 1.
ох
Коэффициент при JV" в величине Д2п можно определить, если последовательно подставлять
в левую часть формулы для Д2п рекуррентную формулу для Д2(П_|) и т.д., пока не дойдем
до Д2:
Д2п = —Д2п_, + Bп - 1)Д2—Д2п-з + Bп - 1)Bп -
= ^-Дщ-, + Bп - 1)Д2^-Д2п_з + Bп - 1)Bп - :
ох ох
... + Bп- 1)Bп - 3)... 3 • I • Д?.
Этот коэффициент, таким образом, равен 1 • 3 • 5 •... • Bп - 1).
Перейдем теперь к безразмерной переменной
Е-Ё
Тогда мы получим
а в пределе JV —>• оо
Совокупность всех этих моментов определяет гауссову функцию распределения с единичной
дисперсией
Внешний вид этой функции (рис. 17) всем хорошо знаком.

50
Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
лг,
В иллюстративных целях удобно ввести энергети-
энергетические удельные единицы
Е S Ё
Тогда гауссово распределение по энергии становится
при больших значениях N остро сосредоточенным
около значения е = е распределением с шириной
U)e =
: ехр
Г l(e-gJl
I 2 (деJ /
п т- и стремится к б(е — е) при N —» оо (рис. 17).
U ? € Здесь
Рис. 17. Деформация распределения ] ^ dlnZ
по удельной энергии равновесной
системы с ростом числа частиц в ней
1 2
?~мв
IT
,dS
(AEf = в1— = 92CVN, (Асу = -0lcVN,
где с^лг — удельная (в расчете на одну частицу) теплоемкость системы при фиксированных N
и V. >
Задача 8. Исходя из большого канонического распределения Гиббса показать, что
распределение по числу частиц в системе, выделенной воображаемыми стенками
(переменные в, V, fi), в предельном статистическом случае стремится к гауссовому
распределению.
Решение. Записывая большую статистическую сумму в виде
х = ~Т.
в
в
и проводя расчеты, аналогичные проделанным в задаче 7 (только теперь дифференцирование
проводится по а, а величина х — фиксирована), мы получим и аналогичный же результат
для средних
<
да
е^ зп
да да
и т.д. (в качестве аддитивного параметра естественно использовать объем системы V или
среднее число частиц Jf = nV), а для функции распределения по относительной величине
n = N/V (числу частиц в единице объема) мы придем к асимптотическому распределению
1 Г 1 (п-пJ\
Wn = ' еХр 1 " 9 7X^1 Г'
r(\n\2 I 2 AnJ J
и становится 6-образным при V —» оо. Здесь
1 дп \ дп
которое имеет ширину \/(А«J
Заметим, что полученный вывод о гауссовости предельного распределения по числу частиц
существенно основывался на предположении о том, что величины у (ANJ, ^.(ANK и т.д.

§ 2. Канонические распределения в теории флуктуации 51
конечны, что дисперсия ^(ANJ не обращается в нуль и т. п. О возможных нарушениях этих
условий см. задачи 15, 21. >
Задача 9. Выразить через большую статистическую сумму состояний ? дисперсии
(ANJ, (AEJ и корреляцию отклонений AEAN. Считая распределение по энергии
системы и числу частиц к ней гауссовым, определить условие устойчивости системы,
характеризуемой термодинамическими параметрами (в, V, ц).
Решение. Запишем большую статистическую сумму С, в виде
(=уе'^ = е'; х = --, а=?, v = хп,
„ ев
Nn
где п = п @, V, (л) — термодинамический потенциал П = & - \iJV. Тогда
* .„=?=*. E =
да
здесь ь„ = dv/да, vx = dv/dx. Как легко показать,
Поэтому двумерное нормированное распределение Гаусса будет иметь вид
2 - 2vaxAEAN + vxx(ANJ
, V,ц) = Biry/vxxvaa - vix) exp i -
где AE=:E-i, AN = N — Л'. Условие положительной определенности квадратичной
формы, стоящей в экспоненте (физически — условие устойчивости системы по отношению
к флуктуациям энергии и числа частиц), запишется как строгие неравенства vxxvaa -vlx>0,
vxx>0, vaa > 0. >
Задача 10. Показать, что полученные в предыдущей задаче общие выражения для
дисперсий (АЕJ, (ANJ и корреляции AEAN в системе с фиксированными
параметрами в, V, ц можно рассчитать до явных зависимостей от в, v и ~№, если
заданы уравнения состояния р = р(9, v) и Cvn = ?vn@, v). Определить требования
к этим уравнениям, налагаемые на них полученным выше условием устойчивости
системы.
Решение. Заметим, что так как .Ж = N = Jf(x, а), то
(dJV\ I да\ /л „., / да
¦ — = (ДЛГJ •
V да )х \дх)_л- \ дх
Приравнивая смешанные производные энтропии в выражении второго начала термодинамики
при V = const
мы получим, что (объем V всюду фиксирован и поэтому его обозначение пока опущено)

52
Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
Считая ? = ?F> <Ж), можем написать
Заметим, кстати, что первое слагаемое в полученном выражении — это дисперсия полной
энергии в условиях, когда фиксированы переменные в, V, N,
= Ne2cVN.
Таким образом, получаем:
ЯЛР \ ———
~) -(AN)*,
tv
Внутренняя энергия &(в, V, J/*) = JTt(9t v) может быть определена с точностью до ад-
аддитивной константы ~Л'?ц из системы уравнений
de(e,v)
de{6,v)
Поэтому величина (8$Id~V)w также определяется через заданные уравнения состояния
Наконец, полагая ft = /«(в, v) = /(в, v)+pv, получим
N 1
откуда
Полученное ранее условие устойчивости vxtvaa -^1„>0 запишется с учетом формул (¦)
в виде .
62CVN ¦ (ДЛГJ > О,
откуда в сочетании с условием vaa > 0 получаем известные требования
(условие vxx > 0 удовлетворяется автоматически). >
Задача 11. Показать, что изотермические флуктуации плотноаи энтропии s = з(в, v)
связаны с дисперсией плотности числа чааиц (AnJ соотношением
2

§ 2. Канонические распределения в теории флуктуации 53
Решение. Приведенный результат сразу следует из замечания, сделанного в начале § 2 основ-
основного текста. Если воспользоваться формулой для (ДпJ = ^ (ANJ, полученной в предыдущей
задаче, то мы получим чисто термодинамическое соотношение
в
совпадающее, кстати, с результатом расчета этой дисперсии в рамках полуфеноменологичес-
полуфеноменологической теории (см. §6 Задач). >
Задача 12. С помощью полученного в задаче 10 выражения для дисперсии числа
частиц оценить флуктуации плотности числа электронов в металле при комнатной
температуре.
Решение. Плотность числа электронов в металле можно оценить, позаимствовав из физичес-
физических таблиц величину плотности металла р, а из таблицы Менделеева — его атомный вес М.
Например, для меди
рСи = 9,1 г/см2, MS 63,5; mCu = 63,5 • 1,7- 104 г,
и плотность числа свободных электронов (по одному электрону на атом меди)
„=? = — 38.10" см.
V mCu
Оценка граничной энергии Ферми дает
V v) ~
2m 1"" " ' ^910"'2эРг-6-5'
(мы учли, что h й 1,05-107 эрг -с, постоянная Больцмана к = 1,38-10 16 эрг/К). При в -С
можно считать, что химический потенциал р совпадает с граничной энергией Ферми,
откуда получаем для дисперсии числа электронов оценку:
ev 2 eF
Для комнатных температур Г ~ 300 К имеем в/ер ~ 1/200, поэтому, полагая V = 1 см3,
JV = п, получаем
(AnJ~6-l0M, в„~0,4-102.
Задача 13. Оценить с помощью формулы для (АЕJ\ву (см. формулу (*) в задаче 10)
флуктуации энергии электронов в единице объема металла при комнатной температуре.
Решение. При в С ер главные члены для внутренней энергии ? и теплоемкости Суц имеют
вид
3 я-2 в
S*N CJV
я в
NcF, CVJV=JV-—.
5 2 ?j>
Поэтому, учитывая зависимость энергии Ферми ер от JV и 8S/8N = Ef < получаем
Характерно, что при в •< ер член, пропорциональный (AJVJ, оказывается главным, в то
время как первое слагаемое, равное (AEJ\erN< имеет порядок температурной поправки.
Используя данные, приведенные в предыдущей задаче, получаем
<5в = 0,5 • 102. >

Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
Задача 14. Определить дисперсию и относительную флуктуацию для чисел заполнения
идеальных бозе- (выше температуры бозе-эйнштейновской конденсации) и ферми-
газов, а также больцмановского идеального газа.
Решение. Обозначим
х* = Ъ
где в бозе-случае Np = 0, 1,2,..., а для ферми-газа JV, = 0, 1. Тогда будем иметь (верхний
знак — бозе-, нижний — ферми-случай)
— ! в!1п2,
= N} - nj =
В больцмановском случае, когда ехр {-fi/О} > 1 и пр -С 1, получаем
где для исключения химического потенциала мы воспользовались условием JV = 2 nv и
значили п = N/V, g = 2s + 1. j>
Для читателей, уже знакомых с представлением вторичного квантования, подобные
задачи решаются практически сразу. Напомним некоторые сведения из этой области (в зна-
значительно большем объеме, чем это необходимо для решения данного примера).
В этом формализме квантовой теории используются так называемые операторы рожде-
рождения о? и уничтожения ар, которые соответственно названию изменяют число заполнения JV,,
на единицу (в пределах, допустимых для Np значений) и удовлетворяют следующим переста-
перестановочным соотношениям:
- р'), арар* ^а^ар = а+ар Т <$а+ = О,
где Д(р — р') — кронекеровская Д-функция. С помощью этих операторов можно записать
квантовые операторы любых динамических величин. В нашей частной задаче это только само
число заполнения и его степени:
Np = а+ар, Np = арарарар.
Определяются так называемые «спаривания» операторов как средние по большому
каноническому распределению для идеального бозе- или ферми-газа от написанной пары
операторов:
= Д(р-р) а*ар - Д(р -р')пр,
= ар,а; = Д(р - р')A ± а%ар) = Д(р - р')A ± пр).
= О
iвторая строчка — следствие перестановочных соотношений для операторов ар и ар).
Тогда среднее по большому каноническому распределению для соответствующего иде-
идеального газа от произведения, содержащего к операторов рождения и столько же операторов
уничтожения (в иных случаях это среднее обращается в нуль), равно сумме всех возможных
полных систем спариваний (каждая полная система спариваний состоит из произведения к

§3. Флуктуации равновесного излучения .55
спариваний указанного выше типа, умноженного в ферми-случае на (-1) в степени чи-
числа пересечений линий спариваний). Эта теорема о спариваниях, восходящая к известной
квантово-полевой теореме Вика, была впервые доказана К. Блохом и С. де Доминисисом
(С. Bloch, S. de Dominicis, 1958) и носит их имена. Ее доказательство, в целом несложное,
относится к статистической механике равновесных систем, и мы его приводить здесь не бу-
будем. Пример расстановки линий спариваний (оставлены сразу только ненулевые спаривания,
а индексы у операторов опущены):
а+а а+а+а а =а+аа+а+аа
+ а*аа+а+аа + а+аа+а+аа +а+аа+а+аа + а+а а+а+аа.
Во 2-м, 3-м и 6-м слагаемых имеется по одному пересечению линий спариваний, поэтому
в ферми-случае эти системы спариваний умножаются на (-1).
В нашей задаче
Np = afap = пр,
JV?2 = арар арар + арара^ар = п] + пр(\ ± пр),
поэтому
При небольшом навыке каждая из систем спариваний отдельно не выписывается, а сразу пи-
пишется соответствующая комбинация из средних чисел заполнения пр. Необходимо отметить,
что приведенное выше решение поставленной в условии задачи прямым способом все же
необходимо, так как используемый для доказательства теоремы о спариваниях метод мате-
математической индукции нуждается в исходном (или «отправном») результате, продвигающем
доказательство теоремы на случай все возрастающего числа пар операторов а+ и а. >
§ 3. Флуктуации равновесного излучения
Приведем некоторые общие формулы, встречающиеся в задачах, в которых
в качестве статистической системы рассматривается равновесное электромагнитное
излучение (равновесный газ фотонов). Так как энергия фотона линейно связана
с модулем его импульса, Ер = hui = рс, то формула для числа фотонов (или
«равновесных независимых осцилляторов» электромагнитного поля), приходящегося
на интервал частот (ш,ш + du>), которая позволяет перейти от «суммирования»
по импульсу р к интегралу по частоте, имеет вид
op" duj
7Г2С3 '
Функция f(hw) обычно включает в себя бозе-распределение, поэтому в приложениях
встречаются интегралы, которые, собственно, являются определением ?-функции
Римана:
00
а*-1
dx = Г(к)((к).

56 Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
Выпишем некоторые значения Г-функции и ?-функции, встречающиеся в наших
задачах:
С Q) ^2,612, С (j)^ 1,341,
? 1,202, СE)^ 1,037,
В частном случае к = 2п этот интеграл можно взять, используя технику вычетов
(см. математическое приложение к задачам 11, 12 в гл. 3):
00 ,2n-.
_ BтгJ"Бп
4п '
о
где определяемые этим соотношением числа Бернулли Вп равны
= ±, Б3 = 1 Б4 = 1 Б5 = А и т.д.
Задача 15. Показать, что все моменты (ЛГ - N)k для равновесного излучения, рас-
рассчитанные по приведенным выше формулам, расходятся, начиная с А; = 3, и решить
вопрос о гауссовости распределения по числу фотонов в системе @, V), заполненной
равновесным электромагнитным излучением.
Решение. Среднее число фотонов
Обозначая ANP = Np- пр и замечая, что ANP = 0 и
^ANn = ANPI ¦ ANP2 =0 для р, фр2,
получим
(ANY = 22
ИР1
Далее, с помощью теоремы о спариваниях (см. задачу 14) или непосредственным образом
легко получить, что
JV,3 = а^а^а^пр = 6nj5 + 6п2р + пр,
откуда, вследствие ANP — О,

§ 3. Флуктуации равновесного излучения 57
Последняя формула нам фактически уже не' нужна, так как сразу видно, что величина
(JV — J< K расходится на нижнем пределе («инфракрасная» расходимость) благодаря чле-
члену
V
Ej f P2dp f dp
np~J (^/.-1)з-у j-
Величина четвертого момента
X)^7+3
PIP2PW4 ' J>
расходится еще сильнее, так как в первом слагаемом есть члены
и так далее. Таким образом, с откровенно поверхностной точки зрения функция распределения
по числу фотонов Wn не является гауссовой, так как при к ^ 3 все (AN)k = с», а имеет,
например, вид
1
(N- J/)* + const
(или еще какой-либо в этом же роде), что неправдоподобно.
Положим для удобства V = I? и обратим внимание, что стандартная формула перехода
является предельной в смысле L —> с» и что, обращая главное внимание на множитель ?3, мы
забываем, что интегрирование по р начинается не с нуля, а с определенного минимального
значения pmin ~ h/L. Учет этого обстоятельства сразу превращает «математические» абстракт-
абстрактные бесконечности в реальную асимптотическую при L —> оо зависимость от L, которая,
начиная с к = 3, становится более сильной, чем I? = V.
Действительно, обозначая буквами Ак числовые коэффициенты, имеем, выписывая
наиболее сильные асимптотические члены;
(AN)
'¦<¦(?)'•
и т. д. Если теперь ввести безразмерную величину
N-Jf

58 Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
то, обозначая новые коэффициенты Аь/А%2 — а*, получим
В пределе вЬ/(Нс) —»с» эти средние имеют значения
lim ?2n+i_0) iim <2» _ 1 -з-...- Bп— 1),
/СИ—ос 9L/ihc)->oc
что соответствует нормальному гауссову распределению с единичной дисперсией
1
Таким образом, в предельном смысле 0Z/(ftc) —> оо распределение по числу фотонов равно-
равновесного излучения имеет вид распределения Гаусса
• wN(e, V) = , ' ехр { -
(величины Jf = N и (ДЛГJ нами уже были рассчитаны).
Заметим, что при исследовании вопроса о виде распределения по энергии равновесного
излучения «инфракрасной» трудности не возникает, так как соответствующий интеграл
не расходится на нижнем пределе р = 0, и гауссовость распределения wE устанавливается так
же, как в задаче 7. >
Задача 16. Получить формулу Эйнштейна для дисперсии энергии равновесного излу-
излучения в спектральном интервале частот До>.
Решение. Запишем среднюю энергию ? и дисперсию (АЕJ, обращая внимание на предста-
представление этих величин в виде интегралов по частоте
00 -у °°
/tut} Vw dw V0 Г х dx
С "~ 1 н С ft JT С J с "I
iSftV
Если теперь предположить, что значения частот ограничены небольшим интервалом Аш
(полоса «фильтра» прибора), то, обозначая
^ Е
получим искомую формулу Эйнштейна A909):
ДГ(ш)
Эта формула в свое время довольно широко обсуждалась в связи с проявлением у равно-
равновесного излучения волновых (в смысле электромагнитной классической теории Максвелла)

§ 3. Флуктуации равновесного излучения
59
и корпускулярных флуктуационных свойств. Если не пользоваться архаическими методами
рассмотрения, то этот эффект довольно просто выявить. Действительно, используя методику
задачи 14, запишем
Р\Р2
откуда
Если излучение «классично», т. е. представляет
собой суперпозицию электромагнитных волн
классической максвелловской теории, то вели- j ;5
чины ар — не операторы, а классические ам-
амплитуды электромагнитного поля, т. е. они все-
всегда коммутируют (арар — арар), и нет разницы
между «спариваниями» арар = арар = пр. Это '"
«приближение» дает
т. е. второе слагаемое формулы Эйнштейна
(если вырезать Дш-область интегрирования
по частотам). Исходя из максвелловской те-
теории, этот результат для дисперсии энергии
электромагнитного свободного поля, связан-
связанной с интерференцией волн, получил Х.Ло-
Х.Лоренц (Н. Lorentz) в 1913 г.
Если же к равновесному излучению от-
отнестись как к больцмановскому газу «час-
«частиц» (понятия о квантовых газах и кванто-
квантовой механике в те годы еще не существова-
существовали), для которого Пр = e~Ed9, где (в отличие
от Ер = р2/Bт) для частиц) Ер = рс = Ьш, то
мы получим
0,5
Рис. 18. Расположение областей частот Ре-
лея—Джинса и Вина (по отношению к распреде-
распределению Планка), в которых флуктуации энергии
равновесного излучения имеют характер флук-
флуктуации в системе волн и в системе частиц
Z, = Ере-Е'/вАГ{р) = Пие-*"'АЦы)
(ДЯ/wJ = вг~ЕТи = (ПшJе-"и/0АГ(ш) =
да
что соответствует первому слагаемому в формуле Эйнштейна. Заметим, что выявление от-
отдельно «волновых» и «корпускулярных» свойств электромагнитного излучения сыграло опре-
определенную роль в подходе к идеям квантовой теории в период ее становления, но в настоящее
время представляется совершенно искусственным.
С точки зрения планковского распределения для спектральной плотности равновесно-
равновесного излучения (рис. 18) решение вопроса о преобладании одного из слагаемых в формуле
Эйнштейна над другим связано с выбором интервала Аш в области низких частот (область
Релея—Джинса) ш < 0/й, в которой преобладают «волновые» свойства излучения, или
в области высоких частот (область Вина) ш > в/h, в которой преобладающими оказываются
«корпускулярные» его свойства. >
Задача 17. Оценить относительную флуктуацию давления р равновесного излучения
на стенку полости объема V при температуре в.

60 Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
Решение. Имеем
поэтому
ор = 6Е =
(в, V)'
Задача 18. Используя большое каноническое распределение, найти выражение для
корреляции A.EAN и оценить ее величину для системы типа газа и равновесного
излучения.
решение. Для газа с заданными уравнениями состояния, используя результат задачи 10,
имеем
dv
Для равновесного излучения, вспоминая, что в этом случае р = 0 , а. = р/в = О,
получаем сразу согласно результату задачи 9
Задача 19. Считая электромагнитное излучение в полости объема V равновесным
(с температурой в), определить флуктуации потока числа фотонов и потока выносимой
ими энергии через маленькое отверстие в стенке.
Решение. Число фотонов с частотой ш, падающих на 1 см2 стенки в секунду под углом iJ
Учтем, что число независимых колебаний в диапазоне (ш, ш+dw), распространяющихся
в направлениях внутри телесного угла 2тг sin t? dd, равно
w2 dw
dr(d) Vd@) 0<?< 0<<
что среднее значение и дисперсия числа Nu равны
= nl+nu = — • —пы>
получим для полного среднего потока числа фотонов
v^ 1 1 в3 Г хЧх ев3
ш о
где ГC) • (C) = 2 • 1,202..., и для дисперсии этого потока
-W-; "У 3 Й eW 2тг2с' -VMdSj в--Г
ы 0 0
где последний интеграл равен ГB) • ^B) = я-2/6, откуда

§ 4. Флуктуации в классических системах
61
Для среднего потока энергии (вместо .;„ надо в предыдущих выражениях подставить qu =Ьш -ju)
и дисперсии этого потока получаем
^ _ 1 1 в* 7 x3dx
в* Г Xs dx _ 04 тг4
ft* У е* - 1 " 4тг2с2й3 ' 7J'
2в5
15'
откуда для относительной флуктуации
Безразмерная величина, стоящая под корнем, имеет порядок куба отношения средней длины
волны равновесного излучения (или длины волны, соответствующей максимуму в планков-
ском распределении) к линейному размеру полости. >
§ 4. Флуктуации в классических системах
Задача 20. Определить зависимость от р и z относительной флуктуации числа частиц
в небольшом объеме фазового пространства Др < BжтвK'2 и Дг < V, для
идеального классического газа, находящегося в одно-
однородном силовом поле U = mgz в сосуде высотой h
(рис. 19).
Решение. Введем вспомогательные функции
если точка г внутри Дг,
, если точка г вне Дг;
если р внутри Др,
если р вне Др.
Тогда для каждого микроскопического состояния сис-
системы (р,,..., рц'> г,,.... rN) число частиц, попадающих
в ДрДг, равно
Рис. 19. Система в однородном
поле силм тяжести, в которой ис-
исследуется зависимость интенсив-
интенсивности флуктуации плотности чи-
числа частиц в пространстве (г, р)
от высоты z
Среднее число частиц в области ДрДг и дисперсия
выражаются через средние от функций /(р) и /(г), рас-
рассчитанные с помощью максвелловского и барометрического
распределений:
Л = /(Р) =
Др
«*{-Щ. Л = /(г) =
V I В }
в ( 7 mgh\\

62
Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
Учитывая относительную малость шестимерного объема ЛрАг, получаем оценку искомой
относительной флуктуации
Характерно, что эта величина экспоненциально возрастает с увеличением высоты z и энер-
энергии р2/Bт). > '
Задача 21. Исследовать изотермические флуктуации объема V (а также удельного
объема v = V/N) классического газа в условиях р — const, N = const.
Mg
Решение. Рассмотрим модель, обеспечивающую условия задачи: газ находится в цилиндре
сечения S под поршнем массы М, все вместе — в контакте с термостатом (рис.20).
Рассмотрим поршень как одну из «частиц» равновесной систе-
системы и запишем его энергию в виде
,, t М. 7 г Р1
¦Впоршня = Mgh + —-h = pV + ——,
2 2М
где объем V = Sh выбран в качестве обобщенной координаты,
канонически сопряженный по отношению к величине V импульс
определяется как
р
8V
gs
Рис.20. Схема системы, ЯР = Mg/S —давление на рассматриваемую систему. Гамильтониан
в которой учет тепло- всей системы запишется как
вого движения поршня,
обеспечивающего посто-
янное давление в цилин-
дре, упрощает решение
Я' = Н(х, V) + pV +
——,
где х — (рь ..., р^; Г|,..., iy). Если теперь каноническое распреде-
вопросаоб изотермичес- ление Гиббса wxVpF,p,N) проинтегрировать по всем значениям х
ких флуктуациях объема и Р и учесть, что
находящегося под порш-
поршнем газа
уехр|
dx
!?(9,
где @~{в, V) — свободная энергия системы, находящейся под поршнем, то мы получим
функцию распределения по «координате» V в виде
&{6,V)+pV
в
dV.
Это выражение позволяет продолжить исследование целиком в духе задачи 9. Однако мы
воспользуемся случаем и проведем это исследование иным способом.
Чтобы пользоваться полученным распределением wv, необходимо знать явную его
зависимость от величины V. Пусть V = Т — равновесное значение объема, для которого
имеет место термодинамическое соотношение
дЗГ(в, Г) _
дГ ~Р'
и AV — V — V. Тогда, разлагая в ряд Тейлора по AV/ У, получим в экспоненте
24

§ 4. Флуктуации в классических системах
63
Если (др/дТ)м < О, то мы получаем гауссово распределение
.°Е<у-г)Л /J-L (-*L
>dVK ' f / ]j 2жв \ dT
и дисперсию объема (о = V/N; v = Y/N)
N9
(AVJ = (V -
1 в
(-dp/dv),'
(-dP/dv)e'
В критической точке, когда (dp/d7^$s — 0 мы должны иметь одновременно (условия
устойчивости критического состояния)
( дър \
Поэтому распределение wy уже не имеет вида гауссова распределения:
Wy = I
Учитывая, что Г-функция имеет интегральное представление
ос
I e-xx"'dx = T(x),
о
получаем в этом случае
\
д'р(в, у)'
dv3
(ДоJ а -— • 1,66
dv3
Для газа Ван дер Ваальса, например,
а
8a
27b'
обозначая <р = v/vKp н т = в/вкр, легко получить
= N
Таким образом, в рамках модели, в которой флуктуирующим объектом является макроско-
макроскопическая порция газа при однородных и фиксированных значениях температуры и давления,
чы получили всюду конечную величину флуктуации объема (в следовательно, и плотности),
включая критическую точку. Однако впечатление благополучия обманчиво, так как фор-
формально «конечные» результаты для (ДУJ в критической точке имеют нетермодинамическую
асимптотику по N. Вопрос, как сопоставить величины флуктуации в области dp/dv < О
: критическими, остается нерешенным, так как в предельном статистическом случае вели-
ина ¦k(AV)'1 в критической точке все равно расходится как JVI/2. >

64 Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
Задача 22. Выразить дисперсию плотности числа частиц (AnJ газа малой плотности
с короткодействием через первый неприводимый интеграл Майера f3\{0). Полагая,
что потенциал взаимодействия Ф(й) вне сферы бесконечного отталкивания 2г0 мал
по сравнению со средней кинетической энергией частицы, выразить (AnJ через
постоянные Ван дер Ваальса.
Решение. Используя формулу для (ДпJ из § 2, выражение для парной корреляционной
функции d нулевом приближении по плотности 1/v,
F2(R) & F2@)(i?) = е-ф(я)/<\
и определение интеграла
/3,@) = J (
получаем для дисперсии плотности числа частиц
Заметим, что в том же приближении по 1/» этот результат следует из уравнения состояния
с первой вириальной поправкой
и формулы
Полагая далее Ф(Д) = +оо для 0 < R < 2г0 = d н ЩЩ < в для R > d, получим
-—-г 1 / 2Ь 2о\
(ДпJ = - 1 - - + — ) ,
где постоянные Ван дер Ваальса
ос
= ^ird\ a= [
Задача 23. Получить формулу для флуктуации плотности числа частиц (ДпJ газа,
состоящего из равного числа противоположно заряженных частиц, и рассчитать эту
величину в случае, когда корреляционные функции F++(R) = F (Я) и F+-(R) вне
сферы бесконечного отталкивания учитывают дебаевскую экранировку.
Решение. Используя методику § 2 получения формулы для (ДпJ в случае однокомпонентной
системы, получим для нашего случая
Для парных корреляционных функций заряженных частиц (рис. 21) можно использовать
аппроксимацию (см. т. 2, гл. 3, § 1-д)):
при R < 2г0 = d,
ТБ~е ПРИ д>2г<ь
л

§ 4. Флуктуации в классических системах
65
где х2 = 4ке2/(вь). Поэтому в случае e2/(9d) < 1,
в котором справедлива написанная выше формула для
Fab > получим с точностью до членов, пропорциональных
заряду е в третьей степени:
«3
Этот же результат можно получить из уравнения состо-
состояния системы (в том же приближении),
с помощью формулы, использованной с той же целью
в предыдущей задаче. >
2г0 iyl/х R
Рис. 21. Вид парных корреляцион-
корреляционных функций для противоположно
и одноименно заряженных ионов ко-
конечного радиуса
Задача 24. Выразить через корреляционную функцию
корреляцию отклонений
плотноаей числа чааиц от их средних значений Ap(ri)Ap(T2), где Д/>(г) = />(г) - р,
а «оператор» плотности числа чааиц
Решение. Согласно общим формулам для среднего от квадрата аддитивной динамической
величины в пространственно однородном случае 2"\(г) = 1, l^O1!. Гг) = -^(ki ~ r2l)i получаем
1
1
р(г,) р(г2) = - в(г, - г2) + jjjPjflr, - г2|).
Так как p(r) = 1/v, то искомая корреляция равна
Др(г,)Др(г2) = 1 «(г, - г2) + ^(JFi(|r, - г,|) - 1).
Из этой формулы следует сразу полученная в § 2 формула для дисперсии числа частиц
в некотором объеме Vo, мысленно выделенном внутри рассматриваемой системы: так как
JV0 = У p(r) dt, AN0 = j Др(г) dt,
(Vo) Co)
то
= Jj dr,dr2 Др(г,)Др(г2) =
Задача 25. Выразить через корреляционную функцию F2(R) среднее \ръ\2, где ру. —
фурье-компонента плотноаи числа чааиц р(т). Найти также обратную формулу.
Решение. Имеем
Поэтому отклонение плотности (так как р0 = N)
= Р(«") - Р = Т7
(k?tO)

66 Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
и мы имеем, учитывая, что р? = р_к,
= Jj *, dr2 е-к<г'-Г
(V)
Обратное соотношение представляет собой обратное преобразование Фурье:
Отсюда, в частности, следует (см. предыдущую задачу), что дисперсия числа частиц в обла-
области Vo
где No = Vo/v (заметим, что в этой формуле стоит значение |ркр при к —» 0, а не само
значение р% = N'1). >
Задача 26. Зеркальца гальванометров подвешены на тонких нитях с коэффициентами
крутильной жесткости Dx = 10 эрг и D2 — 0,9 • 10~6 эрг на расстоянии L — 5 м
от шкалы. Оценить амплитуды дрожания (связанного с тепловыми флуктуациями)
световых зайчиков на шкале.
Решение. Средняя потенциальная энергия классического осциллятора, находящегося в рав-
равновесии с термостатом,
Учитывая, что при повороте зеркальца на угол yip1 отраженный луч поворачивается на удво-
удвоенный угол, получим, что при комнатной температуре Т ~ 300 К в зависимости от качества
нитей
Дат, ~ 0,64 • 10~4 см, Ах2 ~ 0,2 см = 2 мм. >
Задача 27. Определить флуктуации потока числа, частиц идеального классического
газа, вылетающих через маленькое отверстие в стенке сосуда в вакуум. Газ в сосуде
считать равновесным.
Решение. Поток, создаваемый одной частицей, падающей на стенку с нормальной составля-
составляющей скорости (vx)i, равен
()'*),• = уЫг-
Полный поток, усредненный по состояниям со скоростями 0 ^ (t^),- < оо и любыми
скоростями (vy)i и {vz)i, оказы'вается равным
1-1 о
о
Дисперсия полного потока частиц
О" •
Произведя усреднение с помощью максвелловского распределения по области vx > 0, получим
окончательно для искомой дисперсии потока

§ S. Формула Найквиста. Тепловой шум 67
Для относительной флуктуации потока имеем
VN Vn'
§ 5. Формула Найквиста. Тепловой шум системы
гармонических осцилляторов
Задача 28. Оценить мощность теплового шума, испускаемого электрическим сопро-
сопротивлением R в находящуюся в состоянии термодинамического равновесия с ним
согласованную длинную линию, и получить формулу Найквиста для среднего квадрата
ЭДС теплового шума этого сопротивления в полосе частот Др.
Решение. Подключим сопротивление R к резонатору, в который оно может «шуметь», испус-
испуская электромагнитные колебания. Так как свойства самого сопротивления не зависят от того,
какие еще термодинамические системы находятся с ним в состоянии термодинамического
равновесия, то распорядимся этим произволом так, чтобы максимально упростить решение
поставленной задачи.
Пусть сопротивление Л подключено (рис. 22) к очень длинной (длины {) двухпроводной
линии без потерь, которая согласована с Л, т.е. электромагнитные волны, падающие из линии
на сопротивление, поглощаются им без отражения (например, R = ly/L/C, где ? и С —
индуктивность и емкость единицы длины линии).
I
Рис. 22. Схема подключения резонатора (двухпровод-
(двухпроводной линии) к сопротивлению Л, являющемуся генера-
генератором случайной ЭДС
Таким образом, мы рассматриваем равновесную термодинамическую систему, состоя-
состоящую из генератора шума Л, являющегося одновременно его же поглотителем, и «резервуара»
(длинной линии), заполненного электромагнитными волнами. Эта система практически пол-
полностью аналогична модели, используемой при рассмотрении термодинамики равновесного
излучения, — полости, заполненной электромагнитным излучением и ограниченной абсолют-
абсолютно черными стенками (роль черной стенки в данном случае играет само сопротивление Л).
Мы используем поэтому те же методы исследования.
Так как собственные частоты линии (при / -+ со образующие непрерывный спектр)
отделены друг от друга на величину Аип = с/B/), то, полагая, что на каждый независимый
осциллятор равновесной системы приходится в релей-джинсовском диапазоне частот средняя
энергия, равная температуре системы,
получим для энергии линии, приходящейся на интервал частот (и, и + Аи)
— Аи 21
" w Aun с"
Предположим теперь, что по необъяснимым причинам сопротивление перестало «шуметь»,
но не перестало поглощать падающие на него волны. Тогда за время t = 21 fc линия станет

68
Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
пустой. Так как сопротивление замолчать в принципе не может, то за это же время оно вновь
«нашумит» в линию энергию в количестве <?д„. Мощность этого шума, таким образом, равна
Учтем теперь, что в нашей модели Лгенер1т)р. = Ятгтжк, а мощность, «теряемая» на нагрузке,
? „ _?1
"> 4R'
Pi _
мят —
(Дрен + Дщгр)
поэтому средний квадрат ЭДС шума сопротивления в полосе Аи равен
или в расчете на единичный интервал круговой частоты ш = 2яч/,
Это и есть известная формула Найквиста (Н. Nyquist. 1928), связывающая дисперсию ЭДС
теплового шума с величиной активного сопротивления R, температурой и частотой (в част-
частном случае, когда величина сопротивления R не зависит от частоты в рассматриваемом
«классическом» ее диапазоне Ьш < в). >
Задача 29. Оценить амплитуду малых поперечных тепловых колебаний тонкой натяну-
натянутой струны длиной I с натяжением Т (рис. 23).
u(x,t)
Рис. 23. Мгновенное положение отклонений от равновесия натянутой струны,
описываемое функцией и(х, t), и действующие на ее элемент Ах силы
Решение. Так как поперечная составляющая силы, действующей на элемент струны Ах,
равна АТХ — Т(д2и/дхг)-Ах, а его перемещение равно du\x = (du/dt)-dt, то потенциальная
энергия всей струны, характеризуемой данным отклонением «(ar, t), равна
где интегрирование по t ведется от условного времени <0. Для которого u(x,t0) = 0. Беря
интеграл в отношении переменной х по частям и учитывая, что du/dt\x=0 = du/dt\x-i = 0,
получаем
t
Если представить теперь отклонение «(ar, t) в виде суперпозиции стоячих волн

§ 6. Квазитермодинамическая теория флуктуации 69
то
Так как струна находится «в термостате», то, как и в задаче 26, для каждого независимого
гармонического колебания
- _ 0 _ 1
откуда
Учитывая, что АП1 • А„2 = Ап, • АП2 = 0 для п, Ф щ, получаем для среднего от квадрата
отклонения струны от положения равновесия
Сумма по п берется точно. Если мы заметим, что
2
то без труда выполняя суммирование по п и последующее интегрирование по t\, мы после
несложной замены переменной интегрирования получим, что
где интегрирование проводится по внутренней стороне единичной окружности на комплекс-
комплексной плоскости и. Делая замену и = е14> и замечая, что мнимая часть
получаем окончательно довольно простой по форме ответ:
в
Совершенно аналогично можно исследовать проблему тепловых продольных колебаний
в упругом стержне или органной трубе. >
§ б. Квазитермодинамическая теория флуктуации
Задача 30. Для системы с фиксированным числом частиц N получить оценки для
дисперсии температуры при V = const и при р = const, а также давления и объема
при в = const.
Решение. Исходя из основной формулы (см. § 3) для вероятности флуктуационного отклоне-
отклонения в неизолированной системе
«"д ~ ехр { ^{ApAV - Д0Д5 - AftAN) j

70 Задачи а дополнительные вопросы к главе 1
и учитывая, что
для каждого случая получаем одномерные распределения Гаусса, характеризуемые диспер-
дисперсиями
1 О1 -. гт, N0
Задача 31. Считая, что флуктуируют V и в, найти корреляции флуктуации ДУД0,
АрАв, ApAV и т.д. при условии N = const.
Решение. Учитывая, что в указанных «переменных» &V и Д0 линейная часть отклонения
давления равна
и что
получаем из общей формулы для W& произведение независимых гауссовых распределений
по Ав и AV:
откуда уже сразу следуют значения для искомых корреляций термодинамических отклонений:
i = AV • "Ав = 0, ' ASA6 = ——'
в
и т. д.
Задача 32. Пользуясь переменными N и в, найти корреляцию флуктуации AN АО
для системы с V = const.
Решение. Учитывая, что
\дв)ук~ в ' \dN)ву~ N \ dv)e' \dNjyg
получим при Д V = О

§6. Квазитермодинамическая теория флуктуации 71
откуда
N9
и т.д.
Задача 33. Найти корреляции флуктуации энергии с флуктуациями температуры и объ-
объема (AEA0)N, (АЕАО)у и (AEAV)N.
Решение. Используя результаты задач 31, 32 (A6AN)V = (Д0ДГ)№ = 0, получим
{AEAV)lf (^ № [ ()(^)
V
Задача 34. Получить формулу для флуктуации свободной энергии в единице объема
системы, считая, что флуктуируют N и в, и оценить относительную флуктуацию
свободной энергии электронов в единице объема металла при комнатной температуре.
Решение. Так как согласно задаче 31
то
(A3r)i = (-SAe + nAN)v = —+ii2e[ — ) .
Для электронного газа при В < eF (см. задачи 12, 13)
2 eF \dnJlv \d€FJt=0 2 eF
откуда, опуская члены порядка температурной поправки,
aJ^• у• ?~ю-20.
Задача 35. Оценить дисперсию химического потенциала идеального ферми-газа в слу-
случаях в <ej? и б > eF.
Решение. В вырожденном случае (см. т. 2, гл. 2, § 2-в))
где
Пренебрегая температурными поправками, для дисперсии числа частиц в системе, выделяемой
воображаемыми стенками (V = const), имеем

72
Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
поэтому в области в < eF
(M2 =
v<
N eF
В невырожденном случае
ц =
BтгйK N
' дBжтв)У2 V'
откуда
9&N
8N N
поэтому для дисперсии химического потенциала
в области в > eF получаем (см. рис. 24)
^ л2 ___^^ л2 а дг -2 / а \ 2
(Д//J =-^(ДЛГJ =-^^в-^—= — (—J. > Рис. 24. Температурная зависимость дис-
^?/"-' Персии химического потенциала идеаль-
ЛГ2'
Задача 36. Получить формулы для флуктуации °
теплоемкости Склг с учетом флуктуации в
и F. Оценить их для электронного газа при комнатных температурах и твердого
тела ниже дебаевской температуры. Оценить значение температуры, при которой
для образцов объемом 1 см3 и 10~6 см3 относительные флуктуации теплоемкости
достигают 1 %.
Решение. Так как согласно задаче 31 (ДЯДК)^ = 0, то
\ 89 J Cvtl
Для вырожденного электронного газа (см. задачу 12)
... т2 в , h'
(8CVN\2 в
\ 8V ) (-8pl8v),
Поэтому, сохраняя главный при в/ер < 1 член, получаем
Определяя температуру Т, при которой 6Суи =0,01,
получаем после подстановки численных данных (см. задачу 12) абсолютно нереализуемые
значения
f~HTMK для F=1cmj;
для F=1(T*cm3.

§ 6. Квазитермодинамическая теория флуктуации 73
Для твердого тела при в < $D (см. т. 2, гл. 2, §4-6)) теплоемкость равна
а внутренняя и свободная энергия определяются выражениями
<f = ^Nbv6* + Neo(v), ST = - ^Nbvtf + Neo(v),
поэтому, пренебрегая членами ~ в7 по сравнению с в3, имеем
Полагая 6Су = 0,01 н подставляя выражение для Ь, получим
j(lB) '10' <= = <Ь.у«~ 1,5-105 см/с,
откуда для V = 1 см3 f ~ 3 • 10 К; для V = 10~6 см3 f ~ 3 • 10~3 К. >
Задача 37. Показать (полагая, например, что флуктуируют величины в, V, N), что
основная формула для вероятности флуктуационного отклонения в неизолированной
системе шд (см. § 3) сводится для систем типа газа к двухмерному гауссову распреде-
распределению по независимым отклонениям температуры Д0 и удельного объема Av.
Решение. Сохраняя в отклонениях AS, Ар н Aft линейные по Д0 , AV и AN члены и
учитывая, что согласно d@~ = SdO-pdV + pdN
получим, что в квадратичной форме -A0AS + ApAV - ApAN исчезнут члены, содержащие
Д«Д и Д^ДЛГ
Учитывая далее, что
\8И)
dN
tv
и что приращение удельного объема До с точностью до линейных членов
получим окончательно
Полагая в этой формуле N = const, мы получим результат задачи 31, а в случае V = const —
результат задачи 32.
Если предположить, что флуктуируют переменные в,р и N, то, поступая аналогичным
образом, мы получим, Используя термодинамические тождества, связанные с формулой

74
Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
dG = -S d0 + V dp + /idN, что в выражении для и»д сохранятся члены с (АОI, (ДрJ
и АвАр (коэффициент при (ANI равен (dfi/dN)$r = О, т. е. величина (ANJ$p может быть
любой в случае, когда не фиксирован размер системы). Приводя эту форму к диагональному
виду, учитывая связь теплоемкостей CvN и Cvn, а также соотношение Др - (dp/d$)t Ав =
(dp/dv)t Av, мы вновь придем к полученному выше результату для и»д. >
Задача 38. В изолированной системе, разделенной на две части неподвижной тепло-
проводящей стенкой, определить термодинамические флуктуации температуры в ка-
каждой из частей, а также флуктуацию разности температур между ними (теплоемкость
перегородки считать равной нулю).
Рис. 25. Схема сис-
системы, рассматрива-
рассматриваемой в задаче 38
о флуктуациях тем-
температуры в соизме-
соизмеримых друг с другом
ее частях ] и 2
Решение. Рассмотрим изолированную систему, разделенную на две ча-
части (рис. 25), каждая из которых представляет равновесную термоди-
термодинамическую подсистему с фиксированными значениями чисел частиц
и объемов. Вместо термодинамических параметров <?J для равновесных
(« = 1,2) и<# = <^+Д$ для неравновесных состояний введем температу-
температуры в соответствии с термодинамическим соотношением dS(S)/dS =]/в.
Тогда из постоянства значения полной энергии
?,(в + Ав,) + &(в + Ав2) = ii@) + <%(в)
следует, что
(С ) Ав + ! 8{Cv)l-
к v)x 'l 2 ав
где (Cvh = д&{(в)/дв — теплоемкость i-й подсистемы. Разлагая в ряд
по Д#1 и Д#2 до второго порядка включительно выражение для S' =
5, (в + A6t) + S2(e + Ав2) и учитывая, что dSi(e)/80 = (Cv)i/e, получаем
после приведения подобных членов, что
AS = S1 - S = -1 1(
±
Так как изменения Ав, и Ав2 не независимы, а связаны (в первом порядке) соотношением
(Сг),Ав, = -(
то для вероятности отклонения температуры, например,
первой подсистемы от равновесного значения будем иметь
в соответствии с формулой Эйнштейна
а для вероятности разности температур Ав
(Cvh
(-)¦}.
" \yv)i + (С-у)г
Дисперсии соответствующих отклонений (рис. 26)
¦= в1 (Cvh + (Cvh
(Cvh (Cvh
Рис. 26. Зависимость дисперсий
температуры в\ системы 1 и раз-
разности между температурами систем
1 и 2 от отношения теплоемкостей
этих подсистем
при увеличении размера системы 2 (т.е. при (Cv)i -* °°)> берущей на себя по отношению
к системе 1 роль «термостата» или «термометра» (см. т. 1, § 1), стремятся к стандартной

§ 6. Квазитермодинамическая теория флуктуации
75
величине 02/(Cv)> (см. задачу 30). Если же систему 2 сделать маленькой, т. е, в случае
(Су)г -+ 0, то возмущение системы 1 таким «термометром» уменьшается, (Д0]J —> 0,
однако для относительной разности температур $ = б] г-02, получаем, обратный эффект,
(Д0J -+ оо за счет увеличения флуктуации температуры самого термометра, так что при
выборе подсистемы в качестве прибора, измеряющего температуру, необходимо остановиться
на каком-либо оптимальном варианте. >
.- ¦ .'**¦' . ¦ ' ¦ ¦ ¦' ¦
Задача 39. Система, помещенная в термостат с температу-
температурой 9, разделена подвижной перегородкой (рис. 27) <ма две
соизмеримые части по N\ и N2 частиц в каждой. Определить
флуктуации объема этих частей и плотностей числа частиц
в них. с ¦¦¦¦ i
Решение. В соответствии с принципом термодинамической адди-г
тивности свободные энергии равновесной и отклоненной от равно- P(ICi jjty. Схема системы,
весного состояния системы запишутся как суммы : рассматриваемой в за-
г! н{) + дг(в Vi N2) ' даче 39 об изотермиче-
Разлагая величину Ф в ряд по отклонению ДГ (в данном слу- стях систеиы
чае это единственная степень свободы, допускающая флуктуации),
получаем, что ''
откуда в соответствии с формулой для вероятности изотермического Д-отклонения (см.
п. 6)) «)д ~ ехр {-Д370} имеем для дисперсии объема
в
L
JL
Обращает на себя внимание точно та же характерная зависимость этого результата от чисел N{
и ЛГ2, что и полученная в предыдущей задаче для дисперсии температуры (Д0|J. Пересчет
этого результата на дисперсию плотности числа частиц в каждой из подсистем элементарен.
Так как плотности n< = Ni/Vi (i = 1, 2), то для их дисперсий Имеем
N2
ЛГ2
Для решения этой задачи можно использовать и иной подход, не связанный с формулой
хпя «)д. Обозначим буквой х отклонение поршня от положения равновесия, обозначенного
на рис.27 сплошной линией1. Тогда AV[ = —AV2 = 5а;, где 5 — площадь этого поршня.
Избыточное давление на него, возникающее в результате отклонения х, равно
откуда для «упругой» силы, действующей на весь поршень, имеем

76
Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
Так как согласно классической теореме о равнораспределении на каждую колебательную
степень свободы приходится в среднем потенциальная энергия
9
2'
х2 =
то х2 = в/k, откуда сразу следует полугенный выше с помощью распределения м»д результат
для (Д7J. . ' >
Задача 40. Определить дисперсии относи-
относительных концентраций фаз х\ = х = Nt/N
и хг — 1 — х = Ni/N в двухфазной системе
при Ар = 0, А0 = 0, а также найти точ-
точку ж**, в которой эти дисперсии максимальны.
Решение. Так как в рассматриваемом случае N =
N[ + N2, то единственной «степенью свободы»,
допускающей отклонения от равновесия, является
ДЛГ| = -AN2. Поэтому
ехр
[26
Учитывая, что вследствие dp — -в dO+v dp в случае
dв = 0 для каждой из фаз
= ~"»тТ о > ' = '> 2,
получаем по отношению к ДЛГ| гауссово распреде-
распределение, из которого следует, что
Рис. 28. Изотерма системы, в которой ре-
реализуется двухфазное состояние, и зави-
зависимость дисперсии относительных концен-
концентраций фаз от положения точки на зтой
изотерме
где производные (dp\/dV\)e и (др2/дь2)е берутся для чистых фаз в точках 1 и 2 (рис.28).
Отсюда
1
Приравняв нулю производную от этого выражения по х, получаем для относительной
концентрации фаз хм, при которой дисперсия (ДхJ имеет максимальное значение,
1
1 + W» \\тт
Задача 41. Оценить оптимальный размер и предел точности показаний газового тер-
термометра (рис. 29), работающего в условиях р = const, с помощью которого измеряется
температура системы с теплоемкостью С = Nc.
Решение. Рабочим телом в газовом термометре является идеальный классический газ pv = в,
поэтому присущие ему флуктуации объема, а следовательно, и показаний прибора 0? (при
р = const, Д Vf = Nt • Авт/р) будут уменьшаться с увеличением размеров самого термометра:
VT вТ

§ 6. Квазитермодинамическая теория флуктуации
77
С другой стороны, находясь в равновесии с системой,
термометр вызывает искажения ее температуры
которые тем больше, чем больше газовый термометр. Оце-
Оценивая обшую точность измерения температуры газовым
термометром, мы можем учесть оба флуктуационных эф-
эффекта как независимые, тогда
Рис. 29. Схема установки с газо-
газовым термометром, рассматривае-
рассматриваемым в задаче 41
Для оптимальных размеров газового термометра и его «лучших» показаний отсюда находим
Задача 42. Оценить реальный характер флуктуации плотности в газах и жидкостях при
комнатных температурах.
Решение. Рассмотрим внутри однокомпонентной системы некоторую область с линейными
размерами L. Время выравнивания давления в этой области (т.е. время существования в ней
флуктуации давления) порядка времени распространения в ней волны плотности, т. е.
где с,, — скорость распространения акустической волны в данной системе.
Выравнивание температуры (в приближении, в котором справедливо уравнение тепло-
теплопроводности, см., например, задачу 17 к гл. 2) происходит в трехмерной системе за время
порядка
тв~
6А"
где К = х/(ср) — коэффициент температуропроводности (х — коэффициент теплопровод-
теплопроводности, р — плотность системы, с — удельная теплоемкость). С точки зрения этих вели-
величин условие изотермичности флуктуации плотности записывается как требование т# <? тг,
а условие их адиабатичности, когда тепловые потоки за время существования флуктуации
практически несущественны, как условие тв > тг. Определяя критический размер области
из условия Tg ~ тг, оценим эту величину для ряда простых систем при комнатных темпера-
температурах (см. таблицу, в которой для перевода в систему СГС коэффициент теплопроводности х
надо умножить на 10*, а теплоемкость с — на 4,18 • 107). Интересуясь в реальных задачах
Воздух
Вода
Керосин
Спирт
кДж
"'м-с-К
2,23 • 10"'
59,00-10"'
59,00-10"'
18,00 • 10"'
кал
С'г-К
0,24
1,00
0,51
0,58
0,0013
1,00
0,95
0,79
ер с
0,22
1,40-Ю
0,75 • Ю
0,94 • 10
см
3,30 • 10*
1,45 • 10'
1,33-10'
1,27 10'
6К
?кр ~ —.см
0,4 • Ю
5,8 • 10"»
3,4-10"»
4,4 • 10"*
флуктуациями плотности в областях, превышающих 10 4 см, мы убеждаемся в их адиабатич-
адиабатичности, т.е. изотермическая аппроксимация для дисперсии плотности (какими бы красивыми

78
Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
формулами она не описывалась) просто не имеет смысла. Таким образом, для дисперсии
плотности в реалистическом случае получаем, учитывая (dp/dv), = -)(др/дь)в,
в в
(An)»-
rs
Это выражение конечно даже в критической точке, когда (др/дь)в — О, однако впечатление,
что мы преодолели трудность с расходимостью критических флуктуации, обманчиво, так как
при приближении к критической области существенно меняются коэффициенты переноса
и условиям алиабатичности флуктуации в этой области удоалетворить не удается. >
§ 7. Рассеяние света на флуктуациях плотности
Задача 43. Считая флуктуации плотности
в системе малыми и некогерентными, оце-
оценить поток рассеянного света на такой си-
системе, если каждая ее область излучает как
колеблющийся с заданной внешней частотой
электрический диполь.
Решение. Так как вектор поляризации связан с
внешним полем ? = Eocos(<W) соотношением
Р = TJrEo cos (w*)> то дипольиый момент fc-й обла-
области системы (рис. 30) равен
Ро
Ч
Г
тг» = VkAVk =
= 7Г0 cosurf,
где Vk — объем этой области. В волновой зоне этот
электрический диполь на расстоянии Rk от него
создает поле
Рис. 30. Схема рассеяния электромагнит-
электромагнитного излучения на отдельном элементе ста-
статистической системы
cos I t —
Так как среднее по времени cos wt = 1/2, то для плотности энергии рассеиваемого fc-й
областью электромагнитного излучения получаем
-
w* sin Ч
где
-—
— средняя плотность энергии падающего излучения. Будем считать, что для всех к расстояние
до прибора Rk > y/V и поэтому Rk 3 R, что Аек = f-jAn» и что флуктуация плотности
числа частиц в области к определяется стандартной изотермической формулой
N
Vk {-др/дь).' V
Тогда, считая флуктуации в отдельных областях системы и создаваемое ими излучение
некогерентными, получим, суммируя по всем рассеивающим Jfc-кусочкам системы, для
среднего потока рассеянной в единицу телесного угла энергии оценку:
6пг(де/дпJ
- T
_
-dp/8v)e •/иDтгJс4Д2 (-9p/dv)t

§ 8. Учет градиентных (потоковых) членов 79
Для газа, близкого к идеальному, когда ¦..,•>•.,•
получим для интенсивности рассеяния монохроматического поляризованного света на ста-
статистической системе более простую формулу с физически понятной зависимостью от угла »?
и характерной зависимостью от частоты падающего излучения (как утверждают, объясняющую
голубой ивет нашего дневного неба) ¦ • • •
§ 8. Учет градиентных (потоковых) членов
Задача 44. Исследовать вопрос о флуктуациях плотности в системе и о связанной
с ними структуре парной корреляционной функции, полагая, что флуктуационные
отклонения термодинамического потенциала обязаны не только отклонениям плотности
числа частиц, но и ее градиентам.
Решение. Для определенности рассмотрим систему с фиксированными значениями в и N.
Тогда согласно § 3, п. 6)
Напомним стандартную задачу об определенииусловий устойчивости системы в этих условиях:
5*"= //(r)/>(r).dr = min, N =1 p(r) dt = const,
(V) (V)
где /(г) — локальное значение свободной энергии в расчете на. частицу системы, р(т) —
плотность числа частиц (см. задачу 24). Условие экстремума вспомогательного функционала
6&' = 6(@~ - /iN) = 0 в пространственно однородном случае определяло однородность
значения химического потенциала pv + / = /<(')'= //, а условие
(V)
приводило к стандартному условию устойчивости
Если теперь, следуя задаче 25, мы представим отклонение в виде «суперпозиции» плоских
волн,
то получим для «отклонения» свободной энергии
где мы учли, что
f

80 Задачи и дополнительные вопросы к главе 1
Таким образом, распределение м»д представится как произведение независимых гауссовых
распределений по амплитудам \рь\2, причем средние от них значения
в
N v2 (-dp/dv)e
от волнового вектора к вообще не зависят. Согласно задаче 25 это среднее определяет
дисперсию числа частиц
IДЛГ) = N • — = N •
N к-о v (~dp/&v)e
как и следовало ожидать, это — стандартная формула.
Если теперь мы предположим, что в разложеиие б1^ входят ие только плотиости (i5p(r)J,
но также и произведение их градиеитов (V<5p(r)J (в случае «слабой» неравновесное™ —
только первого порядка) с такими коэффициентами, которые обеспечивают положительную
определенность новой квадратичной формы для 61&', то, переходя к k-представлению, мы
получим, что
где ах1 = («3/9)(—dp/dv)g. Поэтому теперь будем иметь
N а *2+х2"
Это выражение (как приближение низших градиеитов) справедливо только при малых значе-
значениях волнового вектора к. Согласно задаче 25 полученная величина связана с фурье-образом
корреляционной функции Fi(R) — 1. Располагая выражением для |рк|2 в области малых к, мы
для больших R получаем оценку Ориштейиа и Цериике (K.S.Ornstein. F. Zernike, 1918):
В критической точке, когда х —> 0, корреляционная функция перестает быть «короткодейству-
«короткодействующей», F2(R) - 1 ~ ]/R, радиус корреляции увеличивается до бескоиечиости и флуктуации
плотности перестают быть аддитивными (см. § 2). Заметим, что учет в выражении для Д.9"
градиентных членов, которые в k-представлеиии приводят к появлению слагаемых, про-
пропорциональных к2 и более высоким степеням к, не изменяет стандартного результата для
термодинамических (аддитивных) флуктуации (ANJev, так как эта величина определяется
значением |/jj2 в точке к —» 0. >

Глава 2
Броуновское движение
В этой главе мы рассмотрим физическое явление, основой эволюционного
процесса которого является воздействие на систему случайной силы. Частный, хотя
и достаточно распространенный случай такого процесса — браунопское движение,
экспериментально открытое Робертом Брауном (R. Brown) в 1827 г., — с описатель-
описательной точки зрения достаточно хорошо известен. На основе рассмотрения простейшей
реализации этого физического процесса — трансляционного брауновского движе-
движения — мы не только произведем конкретные количественные оценки, но и постара-
постараемся понять с физической точки зрения многие стороны и особенности процессов
подобного типа, более формальное рассмотрение которых отложим до следующей
главы. Заметим только, что, несмотря на высокий уровень развития теоретической
механики, а во второй половине XIX в. и кинетических представлений, характер
брауновского движения был окончательно понят и количественно описан только
в начале XX в. Эта «задержка» в понимании явления была связана с осознанием
природы и особенностей случайных процессов, одним из которых, причем наиболее
характерным и наглядным, является брауновское движение.
Итак, рассмотрим движение крупных частиц в термически однородной среде
типа газа или жидкости. Термин «крупные частицы» в данном случае означает, что
частицы макроскопически наблюдаемы (например, в микроскоп), т.е. минимальный
размер их порядка R ~ 10~4 см (напомним, что для зеленого света А ~ 5 • 103 А =
0,5 • 10~4 см). Этот размер и с молекулярной точки зрения является большим,
так, например, для воздуха при нормальных условиях среднее расстояние между
частицами (Vo/NoY^ = 3,3 • 10~7 см (что соответствует его плотности рЮЗп ~
1,29- 10~3 г/см3 ), а для среды типа жидкости это расстояние еще на порядок
меньше.
Сами брауновские частицы (например, размельченные в ступке частицы китай-
китайской туши) могут быть самой различной формы, среда, в которой они находятся —
тоже самой разной и даже неоднородной, так что вопрос об определении поведе-
поведения какой-либо определенной частицы в этих условиях представляется довольно
сложным делом.
Задача нашей теории — установить общие закономерности поведения большого
числа брауновских частиц (так сказать, их «облака») в данной среде, не чувствитель-
чувствительные к отдельным их индивидуальным особенностям. Так как, по традиции начиная
с механических представлений об этом движении, мы в конце концов перейдем к ве-
вероятностному их описанию, то это дает нам право отказаться в нашем исследовании
от многих частностей с самого начала. В предстоящем рассмотрении мы используем
следующие (не всегда, впрочем, обязательные) упрощающие положения.
1. Рассматривая «облако» брауновских частиц, мы полагаем, что они образуют
достаточно разреженный «газ» из частиц, всегда разделенных частицами низкомо-
низкомолекулярной среды, так что отдельные брауновские частицы непосредственно друг
с другом не взаимодействуют (фактическая реализация идеальной системы: идеаль-
идеальный классический газ из брауновских частиц в термостате — однородной системе
из более легких частиц).

82 Глава 2. Броуновское движение
2. Так как движение каждой из частиц осуществляется независимо от других,
мы вправе рассматривать особенности движения какой-либо одной из них, а затем,
перейдя к вероятностному описанию этого движения, распространить выявленные
закономерности на всю совокупность брауновских частиц, рассматривая ее как уже
«размазанное» непрерывное «облако» подобных же частиц.
3. Будем считать, что окружающая брауновские частицы среда представляет
собой равновесную пространственно однородную систему с заданной температу-
температурой и всеми другими необходимыми для рассмотрения заданными параметрами
(плотность, вязкость и т.д.).
4. В облаке брауновских частиц не найти даже двух одинаковых по форме.
«Усреднение» по геометрическим параметрам всех этих уродливых многофанников,
плавающих в пространственно однородной и изотропной среде, естественно при-
приводит нас к сферической их форме, характеризуемой только одним параметром —
величиной эффективного радиуса R.
Рис. 31. Выделение из общей равнодействующей F сил взаимодействия
частиц среды с брауновской частицей силы F«, приложенной к центру
инерции О, и вращательного момента сил
5. Рассматриваемая теперь уже в среднем сферическая крупная (R ~ 10~4 см >
/ 10~7 см) частица (см. рис. 31) двигается в среде не в результате столкно-
столкновений с отдельными частицами среды, отскакивая от них наподобие биллиардного
шара (как это представлялось первоначально), а в результате непрекращающегося
взаимодействия сразу с большим числом молекул среды, так что никакого «свобод-
«свободного» пробега у брауновских частиц нет. Под действием возникающей в результате
множественных столкновений с частицами среды общей равнодействующей силы,
флуктуирующей как по величине, так и по направлению и по точке приложения,
брауновская частица вынужденно совершает два типа «случайных блужданий»:
а) флуктуации общей величины и направления равнодействующей силы — к транс-
трансляционному брауновскому движению;
б) флуктуации момента равнодействующей силы — к вращательному брауновскому
движению.
В смысле математического описания эти процессы во многом эквивалентны.
Однако мы ограничимся в основном тексте рассмотрением только первого типа
брауновского движения как наиболее простого в изложении.

§ 1. Характер движения броуновской частицы 83
§ 1. Характер движения брауновской частицы
Рассмотрим равновесную пространственно однородную систему (потенциал
внешней силы U(r) = 0) и в ней — одну брауновскую частицу. Так как в этом случае
направления х, у, z совершенно эквивалентны и движения вдоль них независимы,
то, не уменьшая общности рассмотрения, исследуем брауновское движение только
в направлении оси х (одномерное брауновское движение).
Выделим из силы .<?", действующей на брауновскую частицу, ту ее часть &?,
которая существовала бы в отсутствие флуктуации воздействия среды на частицу.
Эта «регулярная» часть силы & представляет собой не что иное, как силу вязкого
трения, а так как мы считаем, что соответствующими решениями задач гидродина-
гидродинамики о движении частицы заданной формы и массы в заданной вязкой среде мы
располагаем, то эта сила нам просто известна. Фактор формы частицы скажется
лишь в коэффициенте при скорости ее безвихревого движения 7 = "»Г. В частности,
для сферических частиц радиуса R — это известная задача о стоксовском движении
шарика в вязкой среде. Ее решение (G. Stokes, 1851) дает
ф = -jv = -Гр, 7 = бтгД»?, Г = —,
т
где ц — коэффициент вязкости среды, т — масса частицы, v и р — ее скорость
и импульс. В иных случаях (другая форма, размер и пр.) вместо формулы Стокса для 7
будет что-то другое, но для нашего рассмотрения это уже не будет столь важным.
Выделив «регулярную» часть силового воздействия на брауновскую частицу, мы
можем записать «точное», т. е. соответствующее механике Ньютона, уравнение ее
движения в виде
p + Tp = F(t), p@)=p0.
Это уравнение, про правую часть которого пока известно только то, что там сто-
стоит случайная часть силы F(t) = & - &, действующей на брауновскую частицу
(в среднем это случайное воздействие равно нулю), обычно называют уравнением
Ланжевена (P. Langevin, 1908; напомним, кстати, что «Начала» Ньютона вышли
в 1687 году) или «стохастическим» дифференциальным уравнением. Запишем его
формальное решение
о
и рассмотрим структуру зависимости от t функции F(t). Взаимодействие браунов-
ской частицы размером R ~ 10~* см со средой типа жидкости или газа (см. задачу 1)
характеризуется следующими временными интервалами:
— время соударения частицы с частицей среды т ~ 10~12 с,
— время «между» отдельными взаимодействиями т' ~ 10~16-10~17 с,
— время исчезновения информации о начальном состоянии Гц = 1/Г ~ 10~10 с.
При сравнении величин этих масштабных интервалов обращают на себя внима-
внимание характерные соотношения т' < т и т < 1/Г. Функция F(t) условно изображена
на рис. 32 а как сумма «-составляющих от каждого отдельного силового воздействия
на брауновскую частицу (со средним временем столкновения порядка т), на рис. 32 б
представлена сумма этих вкладов, дрожания которой характеризуются временным
масштабом ~ т'.

84
Глава 2. Броуновское движение
а)
б)
М—V
Рис. 32. Представление равнодействующей силы F(t)
в виде суммы сил, действующих на брауновскую частицу
со стороны частиц среды
Введем теперь более грубую
шкалу времени (см. рис. 33) та-
такую, которая «смажет» эту по-
порядка т' структуру «случайной»
функции F(t): усредним все рас-
рассматриваемые нами величины по
некоторому малому интервалу
At <С t, но достаточно большо-
большому по сравнению с временем г,
At > т, т.е. по интервалу, зна-
значительно превышающему тот ин-
интервал времени, на котором зна-
значения F(t) могут считаться ка-
каким-то образом коррелированными друг с другом (например, через взаимодействие
с какой-либо одной частицей среды, длящееся время г). Таким образом, сила F(t),
являющаяся изначально строго детерминированной как всякая механическая ве-
величина, в грубой шкале t приобретает характер случайной величины не только
потому, что ее значение в этой шкале равно нулю, но главным образом вслед-
вследствие обращения в нуль временной корреляции ее
значений F(t)F(t + At), если различие временных
аргументов At таково, оно может быть зафикси-
зафиксировано по этой грубой шкале (т. е. At > т).
Учитывая, что F(tx) = 0, введем отклонение
величины импульса р от его значения по грубой
шкале р как
t
~t
Or'
t
Рис.33. Взаимоотношение характер-
характерных временных масштабов г', г, 1/Г
и границы грубой шкалы времени t
р = рое
~п
Рассмотрим теперь среднее квадратичное отклонение
(АрJ = (р-ру =
J
dt2e
]F(tx)F(t2).
Согласно сказанному выше
поэтому подынтегральная функция отлична от нуля
только в узкой полосе (ширины г вдоль диагонали
ii = *2 (рис. 34)).
Далее, так как в нашей системе моменты времени t\
и t2 ничем не выделены (так называемый стационарный
или однородный во времени случайный процесс), то мы
будем считать, что при \tt -12\ < г среднее F(t\)F(t2)
зависит не отдельно от tx и t2, а только от их разности,
Рис. 34. Область, в которой
подынтегральная функция в
выражении для (АрJ отлична
от нуля
Функция корреляции ip(t\ - t2) силы F(t) нам заранее
не известна. Известно только, что она конечна и со-

§ i. Характер движения броуновской частицы
85
средоточена в области вблизи tx -12 = 0. Аппроксими-
Аппроксимируем ее пока самым грубым образом:
{-<р при \t'\ < т,
2
0 при \t'\ > г,
т. е. заменим некоторую плавную функцию <p(t')
(рис. 35) прямоугольником, ограничивающим над осью
V ту же площадь, что и кривая <p(t').
-г 0 г Г
Рис. 35. Примерный вид кор-
Тогда, введя переменную интегрирования tx -12 = реляционной функции у>@ и
t-ti
ее аппроксимация ступенчатой
функцией
t', получим
откуда, учитывая, что у нас т < 1/Г и еГт 2 1, и беря интеграл по <2. получаем
с точностью до членов порядка т2 и выше
где поправка О(г2) связана не только с аппроксимацией экспоненты ег' единицей,
но и вкладами от треугольных концов заштрихованной на рис. 34 реальной области
интегрирования. Заметим теперь, что «спецификация» функции <р(?) для получения
этого результата для дисперсии (АрJ не так уж важна: в оценку входит некоторая
эффективная величина <р, которая определяется с помощью соотношения
t-t}
j
dt'
+00
= j dt'
т2) 9t
t
Рис. 36. Зависимость от времени диспер-
дисперсии импульса (АрJ и среднего от квадрата
импульса р7 по грубой шкале времени t
Полученная зависимость дисперсии (АрJ
от времени t носит ярко выраженный релак-
релаксационный характер:
ttvr
при t —» оо.
/1
Считая, что при <-»оо брауновская части-
частица приходит в состояние термодинамического
равновесия со средой, отождествим это пре-
предельное значение р2 с тем, которое вычисля-
вычисляется с помощью распределения Максвелла:
Тогда получим окончательную формулу, опре-
определяющую эволюцию величины (ДрJ в гру-
грубой шкале времени t > т (рис. 36):
= pi-p2 = тв(\-е~2П).
Время t ~ гм — 1/BГ) является для брауновской частицы временем установления
максвелловского распределения по скоростям, по прошествии t ~ 1/BГ) начальное

86 Глава 2. Броуновское движение
значение импульса частицы ро уже не определяет ее дальнейшего движения. При
малых временах t «с 1/BГ) (но t > т) мы получаем характерное для брауновского
движения линейное по t поведение дисперсии:
(др7*(р~
Это так называемая формула Эйнштейна для дисперсии импульсов (АрJ. Этот
результат является существенным во всей теории брауновского движения. Он по-
показывает, что уже при выходе на грубую шкалу времени t > т (напомним, что
т ~ 10~12 с) мы получаем результат для {АрJ, непредсказуемый с точки зре-
зрения примитивных представлений о механическом движении брауновской частицы.
Действительно, согласно механике, которая в рассматриваемой нами ситуации «ра-
«работает» и эффективна на интервалах времени t < г', имеем
р = F(t) = F(Q) + F'@)t + ..., p-po= F@)t + l-F'@)t2 + ...,
откуда
2 22 + ...~t2 при t<r',
т. е. зависимости от первой степени t просто неоткуда взяться.
Рассмотрим теперь в тех же приближениях, как ведут себя средние более
высокого порядка. Имеем
Подынтегральная функция может быть отлична от нуля только в том случае, если
все три аргумента (<ь*2)'з) попадают в общую окрестность типа шнура вдоль
главной диагонали куба, представляющего область интегрирования по t\, ti, tj (если
какое-либо из U выйдет за пределы этой области, то мы получим F(t\)F(t2)F(ti) =
F(ti) • F(t2)F(ts) = 0). Поэтому величина (р - рK имеет вид
dt, е-зг<'-''>с3 + O(r3) =
где результат интегрирования по t2 и <з вдоль главной диагонали, который мы
назовем «строением» (от слова «три») и в котором мы явно выделили основную
зависимость от т, сз = т2у>з, есть некоторая пока не известная величина. Но так как
при t -* оо
а этот результат мы сопоставляем со средним р3, рассчитанным по распределению
Максвелла,
то в нашем огрубленном рассмотрении сз = 0, т. е. результат «строения» должен
быть опущен, и

§ 1. Характер движения броуновской частицы 87
Наконец, рассмотрим дисперсию 4-го порядка
< < < < 4
(Р-РУ = j Л, f dt2 J <tt3 J <й4 exp | - Г ?(* - у
0 0 0 0 >=l
Среднее F(t\) F(t2) -Р(<з) F(U) отлично от нуля только в тех случаях, когда четное
число временных аргументов разделены интервалами, не превышающими время
корреляции т. Таким образом, интегрирование по 4-мерному кубику <i, *2, *з» *4
фактически осуществляется только по его «диагоналям». При этом помимо случая,
когда все четыре времени близки друг к другу, возможны случаи распадения на пары
близких времен, когда, например,
F(t,) F(t2) F(t3) F(U) = F(U) F(t2) ¦ F(t3) F(t4)
При I*! - t2\ < T, |<з - t4\ < T, HO |*i - tj\ > T.
Назовем такую ситуацию «спариванием» аргументов t\,t2 и ty,t4. Таким образом,
в области интефирования по t\,t2,t-$ и t4 имеется одно «счетверение» t\t2t$t4,
соответствующее «шнуру» вдоль главной диагонали четырехмерного кубика, про-
проведенной из нуля координат, и три системы «спариваний» t\t2-tjt4, t\ti-t2t4
и t\t4-t2t3, каждое из которых представляет полосу шириной т вдоль диагонали,
соответствующей плоской грани кубика. Интегрирование по такой полосе было уже
нами выполнено: с точностью до членов ~ т и выше оно определяло величину
(р - рJ. Пренебрегая областью, в которой две полосы стыкуются, вклад от которой
имеет порядок г4 и выше, можно считать, что вклад от каждой системы спариваний
равен квадрату дисперсии импульса ((АрJJ. Счетверение тоже дает вклад, который
мы, учитывая, что сечение шнура вдоль главной диагонали четырехмерного куба
имеет порядок г3, запишем в виде
1 <й] • с4 + О(т4) = —^— ip4TJ + О(т4),
где с4 ¦=¦ тг<р4 — некоторая пока не известная величина.
В результате получаем, опуская члены 0(т4),
—гтт2 1 — е~4 ' ¦,
Так как при t -» со мы ожидаем получить результаты, соответствующие термодина-
термодинамически равновесным, то
а с другой стороны, согласно распределению Максвелла
т. е. результат «счетверения» в нашем «грубом» описании брауновского движения
должен быть опущен, с*, — 0. Этот вывод, впрочем, очевиден и с другой точки
зрения: величина с4 = <р4т3 имеет тот же порядок по г, что и опущенные нами

88
Глава 2. Броуновское движение
ранее поправочные члены к дисперсии (АрI, которые
дадут поправку к первому слагаемому в р4 порядка
О(г3).
Аналогичным образом можно рассмотреть и более
высокие степени дисперсий (р - р)*.
Рассмотрим теперь смещение брауновской час-
частицы (по-прежнему в пространственно однородном
случае U(r) = 0). Так как
Рис. 37. Область
ния по t\ и <2 при
смещения брауновской части-
частицы x(t)
1
х = "Р.
х\ыо =
1-е
-"
J J
<tt,
m
Если в последнем слагаемом правой части (рис. 37) изменить порядок интегрирова-
интегрирования и проинтегрировать сначала по <2. то этот член упростится:
О 1| О
Вводя переменную интефирования t' = t -1\ вместо t\, получим
t
откуда для среднего смешения брауновской частицы (по фубой шкале t > т) имеем
1
Г'
«о 1
при
хо +
при < » -.
Характерно, что при t < 1/Г смещение х - х0 = vot как бы остается еще
«механическим», хотя, как мы видели выше, изменение во времени импульса
брауновской частицы уже существенно иное.
Для дисперсии смещения получаем знакомую конструкцию:
(X X) - j ,у 2 р р т2<Р( 1 2)-
о о
Введем, как и раньше, переменную интегрирования V = t\ -<2, проинтефируем
по V, учитывая известные нам свойства функции <p(t') и то, что при \t'\ < т можно
считать €~v< = \,
t-h
2
1 _ e-rt2.
I1 '
1 - e~r'J
1С

§ 1. Характер движения брауновской частицы 89
получим
о
В частных случаях (<1/Ги(> 1/Г этот интеграл берется просто:
^Т = ^Т вслучае г<Т>
r t 26 1
_._=_, вслучае ,»_.
Если же выполнить несложное интегрирование по t2 и подставить значение
<рт — 2Гтв — 2ув, получим окончательно для среднего квадратичного смещения
брауновской частицы:
_
С практической точки зрения интересно знать не дисперсию (АхJ, а сред-
нее квадратичное отклонение брауновской частицы от ее начального положения
(х - х0J. Этот элементарный пересчет
мы сделаем в частных случаях малых и больших t.
Собирая вместе результаты для смешения брауновской частицы и изменения ее
импульса, получаем в случае малых t, когда П<1,
X = Х0 + VOt,
21
т. е. для смещения при t <С 1/Г (но t > г) еще продолжает сохраняться механический
характер движения (в данном случае — равномерного), а величина (АрJ уже
определяется формулой Эйнштейна.
В случае больших t, когда П>1, имеем
т. е. на этих временах р2 определяется равновесным статистическим значением
тв, а квадратичное смещение (х - i0J — 2|t, определяемое известной формулой
Эйнштейна (A. Einstein, 1908), таково, что частица как бы «забывает» о своем
•механическом прошлом», и процесс становится как бы безынерционным. Такой
процесс в следующей главе мы будем называть марковским. Трафики квадратичных
;мешений представлены на рис. 38.
Естественно, что дальнейшая эволюция системы брауновских частиц может
?ыть рассмотрена уже в этой еше более грубой шкале времени, когда все временные

90
Глава 2. Броуновское движение
Рис. 38. Общий вид зависимости сред-
среднего квадратичного смещения координа-
координаты и импульса брауновской частицы
интервалы (включая те, которые обозначают-
обозначаются как dt) значительно превышают величину
1/Г, т. е. t > 1/Г. Такое рассмотрение в рам-
рамках исследования «стохастического» уравнения
уже неудобно. Мы привлечем для этих целей
функцию распределения p(t,x), и на основе
уравнений уже для этой функции будем решать
вопрос о дальнейшей эволюции системы.
Прежде чем это сделать, выясним еще од-
одно важное следствие формул Эйнштейна для
t > 1/Г. Совершенно аналогично тому, как это
делалось нами при исследовании величин (ДрK
и (ДрL, мы получим (теперь мы уже заранее
знаем, что с3 = 0 и С4 = 0)
та •
t, (х- хУ = 0,
= 3[(x-xJ]2~t2
и т.д.
Пересчитаем эти выражения на (ж-ж0)*, одновременно обобщив при этом
задачу на случай, когда на брауновскую частицу действует еще медленно меняющееся
внешнее поле J7(r) (для нас важно, чтобы движение в каждой локальной области
системы происходило как бы в «однородном» поле). Тогда при t 5> 1/Г в нашем
случае движения частицы в вязкой среде
х = х0
где скорость щ установившегося движения
определяется в конечном счете вязкостью среды (переход в «равномерно движущую-
движущуюся» со скоростью — «о систему отсчета вернет нас к «старым» формулам). Учитывая
теперь, что
0 = (х - жK = (х - хоу - 3(х - х0J ¦ щ1 + 3(х - х0)
/2в\2 ,
З(-) t2 = (х- х)* = (х-ХоУ -4(х- хоу -Щ1+ ...
2,2
члены ~C и выше
и т. д., мы получим для «скоростей» изменения отклонений (х - хо)к в грубой шкале
О 1/Г следующие результаты:
х-х0
«-о
= «о (не исключено, что «о = 0),
-*оJ
t ' .
= — — формула Эйнштейна,
7
t-o 7

§ 2. Уравнение Смолуховского
91
(х - х0)
t
t
«-¦о
«-¦о
¦t^Q,
t -*¦ О и т. д.
Таким образом, желая на больших временах перейти к описанию системы с помощью
функции распределения pit, x), мы должны потребовать от нее не только чтобы она
определяла плотность числа брауновских частиц в окрестности точки х в момент
времени t, но и чтобы вычисленные с ее помощью скорости изменения диспе-
дисперсий }(я - a;o)*|f_o удовлетворяли бы выше написанным требованиям. При этом
мы будем, естественно, предполагать, что средние, вычисленные с помощью функ-
функции p(t, x), и рассмотренные нами ранее средние по интервалу At ^ т совпадают.
Обсуждение самой возможности такого совпадения (так называемой эргодической
проблемы для случайных процессов) мы отложим до следующей главы.
§ 2. Уравнение Смолуховского
Рассмотрим (ради упрощения в написании) вновь одномерный случай и вве-
введем функцию распределения p(t0, x0 | t, x) такую, что величина p(to, xo \ t,x)dx
определяет вероятность обнаружить брауновскую частицу в интервале (х, х + dx)
в момент t, если она была в точке х0 в момент <о x(t)k
(рис. 39). Будем считать эту функцию распреде-
распределения нормированной и удовлетворяющей на-
начальному условию, которое соответствует на-
нахождению брауновской частицы в точке х = ж0
в момент t = t0,
x+dx
I
p(t0, xo \t, x) dx — 1 для всех t;
p(t0, x0 I to, x) = 6(x - xo)-
Характерное специфическое немеханичес-
немеханическое качество рассматриваемых нами процессов
в шкале ? > 1/Г — это их «безынерционность»:
мы можем каждое из промежуточных состоя-
состояний брауновской частицы взять за начальное,
и от этого описание дальнейшего хода процес-
процесса не изменится. Несмотря на то, что частица
перемещается из «о в х с некоторыми реаль-
реальными скоростями, в нашей шкале t > 1/Г
(включая dt > ]/Г) в любой момент времени
распределение по скоростям у брауновской частицы является максвелловским. Безы-
Безынерционность процесса означает, что функция p(t0, ж0 11, x) не зависит от событий,
которые произошли с брауновской частицей до момента t0, т. е. совершенно безраз-
безразлично, каким способом частица попала в «о к моменту t0. Функция p{h,xQ \ t,x)
не включает также и никакой информации о том, каким способом, через какие
промежуточные положения частица за время t -to перешла из хо в точку х. Процес-
Процессы, описываемые такими функциями распределения, называют марковскими (более
подробно см. следующую главу).
t,
Рис. 39. Один из путей брауновской час-
частицы, вышедшей из точки х0 и попав-
попавшей через время t — tB в «окошко»
(х, х + dx), определяющих, условную ве-
вероятность р(<о, xo 11, x) dx

92
Глава 2. Броуновское движение
Рис. 40. Одна из возможных траекторий
брауновской частицы, вышедшей в мо-
момент времени t0 из точки х0, прошед-
прошедшей в момент времени t через «окош-
«окошко» (z\ х' + dx') и попавшей ко времени
t + At в интервал (х, х + dx), сово-
совокупность которых определяет вероятность
p(t0> х0 11, х1) dx' ¦ p(t, x'\t + At, x) dx
Рассмотрим теперь два последовательных интервала времени (to, t) и (t, t + At)
и составим произведение
[p(h, х0 11, х) dx ¦ p(t, x'\t + At, x)] dx, to<t<t + At.
Так как вероятности переходов, взятые для последовательных промежутков
времени, у нас независимы друг от друга, то написанное выше произведение
представляет вероятность обнаружить частицу в момент t + At в области (х, x + dx),
если в момент tu она находилась в точке xq, а в момент времени t — в области
(х1, x'+dx1) (рис. 40). Если мы проинтегрируем по всем возможным промежуточным
состояниям х' частицы в момент t, то мы должны получить условную вероятность
p(t0,x0\t A)
p(t0, хо 11 + At, х) = j p(t0, xo 11, x') dx' ¦ p(t, x'\t + At, x).
Это уравнение в физической литературе обычно называют уравнением Смолухов-
ского (М. von Smolan-Smoluchowski, 1906) (более точно: уравнение Чепмена—Кол-
Чепмена—Колмогорова— Смолуховского, работы Чепмена (S. Chapman) и А. Н. Колмогорова —
1928-1931).
В простейших случаях, которые обычно и рассматриваются, никакой из момен-
моментов времени t не выделен по сравнению с остальными, а это значит, что зависимость
функции р от времени однородна:
p(t0, хо 11, х) = р@, xo\t-10, х) = р(хо \t-to, х).
Уравнение для однородного во времени марковского процесса будет иметь вид
р{х0 11 + At, x) = I p{xo 11, x')p(x | At, x)dx, 0<t<t + At.
Уравнение Смолуховского — это нелинейное интегральное уравнение. Теоремы
единственности в том виде, к которому мы привыкли, исследуя задачи, сводимые
к линейным дифференциальным уравнениям различных типов, для этого уравнения
не существует. Наоборот, оно имеет массу решений совершенно нефизического
характера.
Покажем, что физически осмысленное решение для р, относящееся к описанию
брауновского движения и принадлежащее к классу таких функций, что, не считая

§ 2. Уравнение Смолуховского
93
условия нормировки,
(х'-х)
At
(ж* — жJ
At
(ж* — ж)*
At
Д(-»0
Д«-0
Д<->0
f a
[{
J
/(
У
•'-ж
At *
х'-х
At
fff ^т Л»
At
Karl ж
-/К*
-р(х
д<
ж', At) йж'
ж', At) <te'
-•0
Д(-0
At
д<
М2
At
Л
ft
it
-0
Д.-0
¦
Л(ж),
— lO\X) ?
= 0,
fe^3,
содержится в уравнении Смолуховского и при заданных фаничных условиях явля-
является единственным. Как мы выяснили в конце предыдущего параграфа, величина
А(х) = «о = ~~fj может равняться и нулю, в то время как для В(х) = 0/7 это
исключено.
Пусть F(x) — некоторая в достаточной для наших целей степени гладкая
функция, для которой существует среднее значение
j
Напишем производную
даже <ft > 1/Г)
at
= / ^(ж)р(жо | х, t) dx.
по времени (в нашей фубой шкале времени, когда
' п/ /\ Р(*о !«'.< + At) - р(ж01 ж', t)
At
Воспользовавшись уравнением Смолуховского и обозначив промежуточное положе-
положение частицы в момент времени t как х, получим, вынося функцию р(х0 \ x,t),
at
= fdxfdx'P(xo\x,t)F(x')
p{x I x1, At) - p(x | x1,0)
At
Д1-0
«Производная», которая стоит под знаком двой-
двойного интеграла, весьма условна и без интеграла, во-
вообще говоря, не существует (эта ситуация полностью
аналогична случаю, когда под знаком интеграла сто-
стоит А-функция или другая такого же рода сингулярная
«функция»). Именно, р(х | х1, At) при At -> 0 явля-
является остро сосредоточенной функцией около х* = х,
а при At = 0 это просто Д-функция, р(х | х', 0) =
= 6(х~х'). Поэтому вклад в интефал по х' дадут
только те значения F(xl), которые относятся к малой
области значений х1 около точки х (рис. 41). Раз-
Разлагая поэтому функцию F(x') в ряд Тейлора вблизи
значения х1 = х, получим
Рис. 41. Соотношение функций,
образующих подынтегральное вы-
г, t)Jdx' (f(x) + (ж' - ж)*"(ж) + ражение в формуле «""
^(ж|«',Д0-р(ж|ж',0)
Д»->0

94 Глава 2. Броуновское движение
Так как
J р(х | *', ДО dx' = J р(х | х1,О) <**' = 1,
то члены с F(x) взаимно уничтожаются; так как
f(x' - x)kp{x | х', 0) dx' = Г(х' - x)k6(x -x')dx' = 0, k>\,
то исчезают все члены с р(х | ат',0). Оставшиеся члены, содержащие под знаком
интеграла по х' конструкцию (аг* - х)кр{х \ х1, At)/At для к = 1 и к = 2, образуют
величины А(х) и В(х), а для к ^ 3 в том интересующем нас классе функций,
которые имеют отношение к брауновскому движению, — все обращаются в нуль.
Обозначая для краткости р(х0 \x,t) = p, получаем в итоге
J dx F(x) ^ = J dx(pAF' + pBF").
Это — уже линейное уравнение для р, и чтобы снять интеграл по х, возьмем
в правой части интеграл с производной F' по частям, а с F" — дважды по частям.
Учтем граничные условия для функции р:
Тогда безынтегральные члены обратятся в нули, и взятие интеграла по частям
сведется к замене подынтегральных функций
pAF' -» -F^ipA), pBF" - -?~(рВ) - F-jjg
Перенося все члены в одну сторону равенства, получаем, что интеграл
при достаточно произвольной функции F(x) всегда равен нулю. Это может осуще-
осуществиться только в случае, когда фигурная скобка, стоящая под знаком интеграла,
равна нулю (чтобы снять интеграл при сложившихся условиях, достаточно, на-
например, взять вариационную производную от написанного линейного функционала
по 6F(x)), и мы получаем в итоге одномерное уравнение
др <
или, подставляя А(х) и В(х),
dt 7 9х2 у дх \ дх
которое называется уравнением Фоккера—Планка и с математической точки зре-
зрения является линейным дифференциальным уравнением параболического типа,
существование и единственность решения которого обеспечивается при наличии
начального условия р(хо | х, 0) = 6(х - хо) и соответствующих граничных условий
известной теоремой математики. Обобщение рассмотрения на трехмерный случай
не представляет особого труда. Физический смысл этого уравнения мы рассмотрим
в следующем параграфе.

§ 3. Уравнение Фоккера—Планка 95
§ 3. Уравнение Фоккера—Планка
Рассмотрим сразу трехмерную систему (это не вызывает дополнительных ма-
математических осложнений) и обратим внимание на физические процессы, проис-
происходящие в системе. Отказавшись, вследствие нерегулярного характера движения
брауновской частицы, от описания движения какой-либо одной из них (хотя на экс-
эксперименте ее движение с достаточной точностью может быть и зафиксировано),
будем описывать эволюцию частицы (или идеального газа из брауновских частиц)
с помощью функции распределения р, что допустимо согласно § 1 в самой гру-
грубой временной шкале t > 1/Г. Так как распределение по импульсам брауновских
частиц в этой шкале является в любой момент времени максвелловским, то нас
будет интересовать только функция распределения по координатам p(t, г) такая, что
p(t, г) йт определяет вероятность обнаружить брауновскую частицу в объеме (г, r+dr)
в момент времени t, причем
/¦
p(t,r)dr=l.
(V)
Так как наши брауновские частицы стабильны, не исчезают, не рождаются вновь
(нет их источников), то функция p(t, г) должна удовлетворять уравнению непрерыв-
непрерывности
до д до
Введя грубую шкалу времени t » 1/Г (включая dt > 1/Г), мы фактически
лишили себя возможности использовать микроскопические соображения для пре-
превращения этого соотношения в уравнение для одной функции p(t,г). Оставаясь
в рамках полуфеноменологического рассмотрения, представим поток р\ как бы
складывающимся из двух частей:
V = Uo + UMy4.
Первая из них и0 обусловлена внешними силами, действующими на брауновскую
частицу, вторая и^у, — случайными «флуктуирующими» воздействиями на нее
со стороны частиц среды (с аналогичным разделением на «регулярную» и «случай-
«случайную» части мы уже встречались в предыдущем параграфе).
Для регулярной части мы можем использовать представления макроскопической
гидродинамики о движении тела в вязкой среде. Для малых скоростей и сферических
частиц
-Рвнеш = УЩ, 7 = 6жЩ,
поэтому упорядоченный поток частиц можно записать как
1 dU
ри„ = --р—,
где U — потенциал внешнего силового поля. Случайное же блуждание с ма-
макроскопической точки зрения имеет характер диффузионного процесса, поэтому
диффузионный поток частиц мы запишем как (случай малых градиентов)
дР
/"¦случ — Qf.'
где величина D по физическому смыслу является коэффициентом диффузии брау-
брауновских частиц данного размера, массы в среде с данной температурой, вязкостью

96 Глава 2. Броуновское движение
и т.д. Конечно, в каждом данном случае эта величина может быть определе-
определена экспериментально, но заготовить таблицы значений D на все случаи жизни
не представляется целесообразным. В связи с этой трудностью рассмотрим предел
t —» оо, когда система достигает своего состояния термодинамического равнове-
равновесия. Напомним, что такое состояние характеризуется постоянством во времени
всех характеристик системы и отсутствием потоков любого типа. Поэтому помимо
dp/dt = О мы имеем три «уравнения» для компонент потока
рч = - ( -р grad U + D grad р ) = О,
\7 /
которые можно записать в виде
dlnp
- = х,у,г.
дга дта
Решение этого уравнения
p(r) = const • ехр
г т\
i ml
мы могли бы предсказать заранее, так как идеальный газ брауновских частиц
в поле {/(г) характеризуется в равновесном случае больцмановским распределением
p(r) = const • ехр <
Сопоставляя эти выражения, мы получаем, что коэффициент диффузии D довольно
просто связан с температурой, вязкостью среды и размером брауновских частиц
~V
Подставляя это значение в выражение для потока рислг, и собирая все члены
вместе, мы приходим к уже знакомому, полученному в § 2 из уравнения Смо-
луховского, уравнению Фоккера—Планка (A.D.Fokker, M.Planck, 1914-1917) для
функции p(t, г)
Это линейное дифференциальное уравнение параболического типа, дополненное
условием нормировки, начальными и граничными условиями, полностью опреде-
определяет решение для искомой функции p(t, г). Это решение определяет эволюцию
системы на временах t » 1/Г, которая имеет релаксационный характер (к рас-
распределению Больцмана) с некоторым временем релаксации тпол„, зависящим уже
не только от индивидуальных свойств среды и брауновских частиц, но и от формы
сосуда, типа его границ, начального распределения и т.д. Некоторые простейшие
примеры, допускающие точное решение этой задачи математической физики, от-
отнесены в раздел задач. Рассмотрим здесь только одну — ту, которая соответствует
случаю свободного одномерного брауновского движения, и убедимся на этом приме-
примере, что схема уравнение Фоккера—Планка плюс соответствующие дополнительные
условия дает все требуемые для t > 1/Г результаты.
Итак, внешнего поля нет, U = 0, имеется бесконечная одномерная система
с условием отсутствия потоков на бесконечности и начальным условием, соответ-
соответствующим нахождению брауновской частицы в начальный момент в точке х = 0:
др в

§ 3. Уравнение Фоккера—Планка
97
+00
/dx p(t, x) = 1, p\ _^± = 0, —
= 0.
х—±сх>
Переходя к фурье-представлению
получаем в fc-представлении элементарную математическую задачу
в ( в 1
Рк = —к2рк, рк@) = 1, т.е. pk(t) = ехр | - -*2t|,
откуда, переходя к ж-представлению, получаем искомый ответ (см. рис. 42)
/»(*,*) =
: ехр
l 4(в/7)« /
Так как х2п+1 = 0, а для четных степеней
Ж2п = Ы
ТО
= 2 -1 — формула Эйнштейна,
2
*3 = 0,
¦«(?)'
и т.д.,
откуда следует, что {^«-.о = ® ПРИ * ^ ^> Т-е# ФУнкчия p(t, ж) действительно при-
принадлежит требуемому классу функций. Так как в этой модельной системе внешнего
поля нет, а стенки раздвинуты на ± бесконеч-
бесконечность, то предельное при t —> оо распределение
плотности соответствует р = 0.
Значение полученного решения для p(t, x)
не ограничивается только рамками рассмотрен-
рассмотренного примера. Эта функция может служить осно-
основой для получения ряда распределений по другим
характеристикам свободного брауновского дви-
движения (см. задачи 5-7), для построения решения
задач с границами (см. задачи 11-14), для про-
проведения оценок.
Остановимся на одной из них — оценке
времени заполнения брауновскими частицами
сосуда конечных размеров. С математической
точки зрения время такой релаксации бесконеч-
бесконечно (время установления больцмановского рас-
распределения), речь идет о физической оценке эффективного времени релаксации.
Рассмотрим сначала одномерную систему, в которой движение брауновских частиц
p{t,x\
1
¦ '.л ¦
Рис. 42. Вид решений уравнения Фок-
кера—Планка для четырех моментов
U < h < h < U свободного брау-
брауновского движения

98
Глава 2. Броуновское движение
О
Рис. 43. Вид распределений плотно-
плотности числа брауновских частиц по про-
прошествии времени т = L2/BD) после
того момента, когда все они находи-
находились в начале координат, для случа-
случаев свободного движения рСшя(т,х)
и движения р(т,х) в ограниченном
стенками слое (-L < х < L)
ограничено стенками, так что -L < х < +L.
Если бы L —» оо, то эффективный размер обла-
облака брауновских частиц определялся бы формулой
Эйнштейна.
ж1 = 2Dt.
Если бы на расстоянии L = V2Dt от точки ж = О
по обе стороны стояли стенки (рис.43), то внутри
системы за это время t мы получили бы достаточно
равномерное распределение брауновских частиц
(численная оценка оставшейся «неоднородности»
произведена в задаче 17). Поэтому и полагают, что
время полной релаксации в слое -L < х < +L
имеет величину
L2
Т /"V ——
'ПОЛИ «_•
В двумерном случае (брауновские частицы в плоском кювете радиуса R) формула
Эйнштейна имеет вид
и соответствующая оценка приобретает иной коэффициент,
R2
: Тполн~4?>'
Аналогично в трехмерном случае, когда г2 = х2 + у2 + z2 = Зх2,
R2
тполн~—.
Коэффициент диффузии D в этих формулах выражается через параметры браунов-
ской частицы и среды:
"'-г-
7 опат)
Полученная оценка гполн, конечно, достаточно груба, но зато она и достаточно уни-
универсальна, так как не зависит от деталей формы сосуда и начального распределения
брауновских частиц.
§4. Обсуждение
Подведем теперь итог характерным временным процессам в системах, рассма-
рассматриваемых в этой главе. При исследовании движения брауновской частицы мы
установили, что эволюцию системы можно представить как последовательность
характерных ее этапов.
1-м этап, 0 < t < т — механическая шкала времени. Здесь т — время корре-
корреляции случайного воздействия F(t) (ширина функции (p(t)). Описание эволюции
системы — это задача теоретической механики о столкновении нескольких частиц
с конкретными механическими параметрами (массами, скоростями, начальными
положениями) с одной большой частицей. Движение последней полностью детер-
детерминировано.

§4. Обсуждение 99
2-й этап, t > т — первая грубая шкала времени. Детали воздействия среды
на частицу смазаны, в качестве динамических ее параметров выступают усредненные
по At > т величины (At < t). Изменение этих средних с течением t уже не имеет
прямой аналогии с простым механическим движением:
{р2 = Ро + l^Ot — формула Эйнштейна,
(х - хоJ = «о*2 — движение как бы по инерции;
{р2 = тО — распределение по р — максвелловское,
20
(х - жо) — —t — формула Эйнштейна.
Для не очень больших t (см. задачу 31) брауновские частицы границ системы
не достигают, сами граничные условия в ответы не входят, и брауновское движение
имеет характер свободного.
3-й этап, t > 1/Г — вторая грубая шкала времени. В этой шкале случайное
блуждание брауновской частицы приобретает характер диффузионного процесса,
движение частицы как бы безынерционно, частица не имеет памяти (в механичес-
механическом смысле) о своей скорости (распределение по скорости — всегда максвелловское).
Каждое промежуточное состояние частицы в момент t0 фиксируется только коорди-
координатой х(<о), которую можно посчитать за новое начальное положение ж0, из которого
начнется тот же, что и раньше, процесс диффузии (временной аргумент сдвинется
на t0, t' = t - <о) без всякого «воспоминания» о его предыстории. Такие процессы
называются марковскими. Эволюция системы описывается с помощью функции
распределения p(t, г), являющейся решением уравнения Фоккера—Планка и опре-
определяющей окончательный этап релаксации на макроскопическом времени гполн.
Граничные и начальные условия для функции p(t, г) существенно определяют дета-
детали этого процесса.
Ряд примеров, когда уравнение Фоккера—Планка решается точно, включен
в следующий раздел. Это известные задачи математической физики. Из дополни-
дополнительных вопросов отметим несколько задач на вращательное брауновское движение,
а также исследование структуры временных корреляционных функций (включая
случай не только чисто экспоненциальной, но и периодической релаксации), связи
получаемых с помощью стохастического уравнения результатов с фоккер-планков-
ским формализмом и, наконец, несколько задач по учету последействия среды
на брауновскую частицу, влияние которого при достаточной его величине и дли-
длительности может привести также к колебательным релаксационным процессам,
происходящим в системе уже не за счет внешнего поля.

Задачи
и дополнительные вопросы
§ 1. Оценки характерных величин
Задача 1. Для брауновской частица размером R ~ 10~4 см, находящейся в равновесии
со средой типа газа или жидкости при комнатной температуре, оценить среднее время т'
между отдельными взаимодействиями частиц среды с брауновской частицей, среднее
время г взаимодействия частицы среды с брауновской частицей (время соударения),
время установления для брауновской частицы максвелловского распределения по ско-
скоростям где и время существования дейавующей на брауновскую чааицу флуктуации
давления тр.
Решение. Число частиц, падающих на 1 см2 стенки со стороны равновесного классического
газа, равно (см. т. 2, задачи к гл. 1, § 7)
ОС
nv
/I m ( mv\
n4™expV~u
где n = N/V , a 5 = ¦y/80/(jrm) — средний модуль скорости максвелловского газа. Для газа
типа воздуха m ~ B9/ЛГ0) г, п ~ (iV0/B2,4-101)) см, где число Авогадро No ~ 6 • 10",
поэтому для температур порядка $„„„, ~ 300 • 1,38 • 10~" эрг получаем, что v ~ 5 • 104 см/с
и i/i ~ 3 • 10исмс"'. Полагая, что плотность жидкости на два порядка больше плотности
газа, получаем для среднего интервала между соударениями
т' ~ (jr«Ji/i)"' ~ 10"|6-108 с.
Полагая размер частиц среды 2г0 ~ 5 • 10"* см, для времени отдельного соударения получаем
оценку
v
Для оценки времени установления максвелловского распределения необходимо знать ко-
коэффициент внутреннего трения среды rj. Его можно оценить, исходя из грубой кинетиче-
кинетической формулы 7 - 5 nmS^c».nP, где Ac,.np = (V2rln)~l. Полагая для размера частиц газа
2г0 ~ 5 • 10~8см, получим при комнатных температурах для газа типа воздуха т/ — 3 • 10~4.
Если учитывать также и жидкие среды, то мы должны считать, что коэффициент вяз-
вязкости 7 ~ 10~4—10г/(см-с). Поэтому искомое время для брауновской частицы размера
R ~ 10~4 см имеет порядок
_ 1 тБ 2 R2P 10 „
тм = — = -—— = ~ 10 —10 с,
Г 6я-Я»7 9 7
где р — плотность вещества брауновской частицы, тБ — ее масса.
Наконец, время существования термодинамической флуктуации давления в области,
соизмеримой с размером брауновской частицы,
т>~ — ~10-8-10~|0с. >
Задача 2. Оценить средний квадрат случайной силы F2, реально дейавующей на бра-
брауновскую частицу размером R ~ 10~4 см. Сравнить эту величину с дисперсией силы

§ 2. Некоторые свойства свободного движения броуновской частицы ' 101
, возникающей в результате термодинамических флуктуации давления в среде,
и с дисперсией (A-F)^aKCB, при оценке которой предполагается, что удары частиц
среды о брауновскую происходят как удары об абсолютно упругое тело.
Решение. Используя формулы и оценки предыдущей задачи, имеем согласно рис. 35 (см. для
сравнения гл. 3, § 8)
где t»0 = j ""о- Л"" жидкости (ц ~ 10 2) или газа (rj ~ 10~4) мы получаем отсюда оценку F2 ~
1,5 • 10"'—10~8 дин2. Временной масштаб этой силы т ~ 10~12 с мы вычислили в предыдущей
задаче.
Флуктуации давления (возникающие одновременно с флуктуациями плотности) в обла-
области V ~ ;эгЯ3, создают «термодинамическое» случайное воздействие на брауновскую частицу,
оценка которого дает . -
Несмотря на то, что «время действия» этой силы относительно велико, порядка тр ~
10~8—10~10 с, ее величина по отношению к оцененной выше F2 мала:
F2 v
Оценим теперь силу, возникающую вследствие дисперсии энергии частиц окружающей
брауновскую частицу среды, представляющей собой классический максвелловский газ. Так
как
о
то, учитывая, что (Д?^J = jtfJ, получаем
00
Г ~ / m f mvl) . 2 2 —-
I 2mvt • nvtJ~ exp j - — > dvt = *R • - nEr,
где t>s — объем брауновской частицы. Эта величина дисперсии силы относительно велика,
(AJ?JMllia.i ~ F2 • 2 • 104, она реализовалась бы с характерным «периодом» т' ~ 10""-10"" с,
если бы удары частиц среды о брауновскую были бы мгновенными и время взаимодействия
т ~ 10 с не вносило бы в этот процесс естественного сглаживания. >
§ 2. Некоторые свойства свободного движения
брауновской частицы
Задача 3. Считая, что смещения брауновской частицы и степени этих смещений
в последовательные интервалы времени (рис.44) независимы, определить зависимость
от времени средних от степеней этих смещений для пространственно однородной
одномерной системы.
Решение. Пусть x(t) — смещение брауновской частицы за время t. Согласно условию

Ю2
Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
Рис.44. Схема расположения временных интервалов и смещений в задаче 3
Так как у нас направления х не выделены, то
и нам остается исследовать только средние от четных степеней смещения. Для квадрата
смещения имеем
*'(«, + U) = (*(*,) + *&))' = **(«,) + z*(t2).
Решение этого уравнения (которое легко превратить из функционального в дифференциальное
первого порядка) в общем виде представляет линейную по t функцию
Это — формула Эйнштейна (см. § 1). Далее,
Общее решение этого уравнения имеет вид
x\t) = ЪаНг + Ы.
Аналогично можно получить
x6(t) = \5аЧ3 + \5abt2 + d
и т.д. Отметим, что приведенных в условии задачи предположений недостаточно, чтобы
определить ту зависимость x2n(f), п > 1, от времени, которая реализуется в случае браунов-
ского движения. Действительно, если для x2(t) мы получили основную формулу Эйнштейиа,
то для «скоростей» изменения x*(t), x6(?) мы получим константы
t
= Ь,
t
-с и т.д.,
I-.0
обращение которых в нули из условия независимости смещений брауновской частицы в по-
последовательные интервалы времени не следует и должно быть обеспечено дополнительными
предположениями. >
Задача 4. Рассмотрим модель брауновского движения: частица через равные проме-
промежутки времени т делает независимые шаги вправо или влево, равные соответственно
±а. Определить вероятность обнаружить частицу через время t (кратное г) на расстоя-
расстоянии х (кратном а) от первоначального положения, среднее значение этого отклонения
и его дисперсию. Рассмотреть случай N = t/r">n = х/а > 1.
Решение. Пусть частица сделала N = t/т шагов, из них п — вправо и (N — п) — влево.
Смещение частицы запишется как
х =t па - (N - п)а = Bn - N)a.

§ 2. Некоторые свойства свободного движения броуновской частицы
103
Вероятность этого события (ввиду независимости отдельных шагов) определяется распреде-
распределением Бернулли (см. пояснение к задачам 1-3 в гл. 1)
N\
\N-n
"ч ' n\(N-n)\r" r
в котором мы должны положить р = 1/2:
JV!
= Np, (Ап)г = Np(l -р),
Случай Пуассона, когда п = 0,1,2,...; JV > I, a n = Np не растет с ростом N, у нас
не реализуется, так как р = 1/2. В случае же Лапласа п > 1, N > п имеем
Чтобы пересчитать эту вероятность к переменным х, t, учтем, что n = x/Ba)+N/2. Обозначая
условно D = а?/Bт), получаем для вероятности отклонения на величину х за время t
Px(t) =
ехр< -
а для дисперсии смещения
х2 = a:N = — t = 21>t
г
— формулу Эйнштейна. В формальном отношении — это те же результаты, которые бы-
были получены нами в § 2 для свободного брауновского движения при решении уравнения
Фоккера—Планка (см. также задачу 10). Однако в данной схеме мы не знаем, что D —
действительно коэффициент диффузии, равный D = в/у. >
Задача 5. Для свободного одномерного брауновского движения частицы, начинающе-
начинающегося из начала координат, определить вероятность достижения ею точки х к моменту
времени в интервале (t, t + dt).
Решение. Чтобы подчеркнуть, по какой переменной
пишется распределение, а какая является аргументом,
несколько видоизменим обозначения плотностей ве-
вероятности р. Вероятность обнаружить частицу в мо-
момент времени t (фиксированный аргумент) в интер-
интервале (х, х + dx) обозначим px(t) dx, где согласно § 3
плотность распределения по координате х (там она
обозначалась как p(t, x))
1
exp
I"" I"
Требуется найти функцию pt(x) такую, что pt(x)dt
будет вероятностью первого достижения брауновской
частицей точки х за время t из интервала (t, t + dt).
Для наглядности представим себе некоторую ре-
реальную траекторию ?(?) брауновской частицы, исходя-
шей из точки (@) — 0 (рис. 45). Обозначим символом
А(х, t) событие, заключающееся в том, что брауновская
частица первый раз достигла точки х в момент времени г такой, что 0
А (((
X(t)
X
0
Q/f
L Д
1 1 * Л
Рис. 45. Схеиа брауновского движе-
движения частицы, характерные точки тра-
траектории и временные интервалы, фи-
фигурирующие в выводе выражения для
распределения pt(x)
т < t. Условные
р р р < <
вероятности того, что после совершения А частица пойдет направо (((t) ^ х) или налево

104
Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
(?() ^ х), совершенно одинаковы, а их сумма равна единице (частица пойдет либо туда,
либо обратно), поэтому
х), в соот-
соотВероятность совместного события А и того, что частица пойдет направо (?(?)
ветствии с определением условной вероятности
Р(А,
= Р(А) ¦ Р(А |
оказывается поэтому равной половине вероятности собственно интересующего нас события А.
Но событие А уже включено в событие (?(?) ^ х), так как в силу непрерывности реальной
траектории частица в момент t может быть правее точки х только тогда, когда в какой-то
предшествующий момент т ^ t она в ней побывала. Поэтому P(A,((t) ^ х) = P(i(t) ^ х),
вероятность же того, что в момент t частица будет правее точки х, непосредственно
выражается с помощью исходной плотности px(t). Имеем
Р(А(х, 0) = 2P(((t)
откуда искомая плотность распределения
ос
х) = 2 J
riv ' at
или, подставляя явное выражение для px(t) и учитывая, что при t ^ О ввиду г > 0 (ввиду
? > 0) событие А невозможно, имеем (см. рис.46)
х ( х7 1
W СХР 1" Ш )
значений 0 < « < оо,
0.
Рис.46. Вид распределения pt(x)
при трех значениях параметра х
для значений t ¦
Нормировку этого распределения несложно прове-
проверить. Делая замену переменной интегрирования
х2
имеем
00 00
fpt(x)dt = 2±fe-*2du = L
-ж О
Наиболее вероятное время достижения брауновской
частицей точки х равно
Id'
Распределению Pt(x), как и исходному px(t), свойственны некоторые «парадоксы», связанные
с нарушением условий применимости диффузионного приближения к описанию брауновского
движения (напомним, что согласно px(t) оценка средней скорости движения брауновской
частицы Vx2/t = y/D/t, справедливая при t > 1/Г, формально расходится при t -* 0).
Например, согласно pt(x) вероятность того, что частица будет в точке х = 0 в момент t,
сколь угодно близкий к t = 0, равна нулю, так как pt(Q) = 0. Далее, скорость убывания
pt(x) ~ t~3*2 при t —» оо недостаточна для того, чтобы среднее время достижения заданной
точки х было бы конечным, и т.д. >

§ 2. Некоторые свойства свободного движения броуновской частицы
105
Задача 6. Для свободного одномерного брауновского движения частицы, начинающе-
начинающегося из начала координат, определить вероятность максимального смещения частицы
за данный временной интервал @, ?).
Решение. Обозначим искомое максимальное смешение X(t) (см. задачу 5 и рис. 45). За-
Заметим, что событие А(х, t) и событие X(t) ^ х равносильны: если точка х достигается
в момент времени г, где 0 < г < t, то X(t) ^ х; наоборот,
если X(t) ^ х, то точка х достигается где-то в интервале
(О, t) до или в крайнем случае в момент достижения ею
отклонения X. Поэтому
00
= J
Рис. 47. Сравнительные графики
распределения по максимально-
максимальному за время t смещению брау-
новской частицы px(t) и распре-
распределения px(t) по координатам х
в тот же момент времени t
P(X(t) > х) = Jpr(t)dX' = P(A(x,t)) =
откуда искомая плотность вероятности распределения по
максимальному за время @, t) отклонению равна (см.
рис.47)
1 Г Х2\
. ехр < — ——- >
0
для значений
для значений
0 ^ X < оо,
X < 0.
Среднее значение максимального отклонения за время t равно
00 .——
Щ= fxPx(t)dx = J—t117.
J . V ЗГ
о
Интересно сравнить этот результат со средним размером «кляксы» брауновских частиц
Vi! = V2Dt: он оказывается большим среднего максимального отклонения,
ч/Р=ч/-Г *П,25Х. >
Задача 7. В условиях предыдущей задачи опреде-
определить распределение по времени достижения бра-
уновской частицей максимального за время t ее
отклонения X(t).
Решение. Выберем момент времени t' внутри рассматри-
рассматриваемого интервала @, t). Тогда согласно задаче 5 вероят-
вероятность того, что брауновская частица первый раз достигнет
точки х в (?', t'+dt') равна pt(x) dt'. Вероятность того, что
координата частицы в интервале (х, x + dx) за оставшееся
время t — t' останется максимальной, согласно задаче 6
равна
р,@..
0
t
t'
/vD(t -
Вероятность того, что эти события произойдут последо-
последовательно (ввиду их некоррелированности), равна произ-
произведению
Рис.48. График распределения по
времени достижения брауновской
частицей максимального отклоне-
отклонения за время t
-. dx dt1.
откуда, интегрируя по х' в пределах 0 ;
(см. рис.48)
'. х' < оо, получаем искомую плотность распределения

106 Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
Среднее время достижения максимального отклонения на интервале @, t), естественно,
равно t/2,
i
о
Слегка «парадоксальный» вывод из полученной формулы для P((t) заключается в том, что
экстремальные точки траектории частицы более всего вероятно обнаружить в начале и в конце
времени наблюдения за ней (вблизи концов @, t)). >
§ 3. Уравнение Смолуховского,
уравнение кинетического баланса
и уравнение Фоккера—Планка
Задача 8. Предполагая, что условную вероятность р(х' \ х, At) при At -* 0 можно
представить в виде двух слагаемых А 6(х - х') + AtW(x' | х), характеризующих
вероятность частице остаться через At в точке х' и вероятность перейти за At в точку х
(величина W(x' \ х) является скоростью этого перехода), вывести из уравнения
Смолуховского уравнение кинетического баланса и сформулировать принцип детального
равновесия при t -* оо.
Решение. Так как функция р(х' | х, At) подчинена условию нормировки, то, представляя ее
в виде
р(х' | х, At) = A - a At) 6(х' - х) + AtW(x' \ х),
имеем
а= fw(x'\x")dx".
Подставим эту формулу в уравнение Смолуховского (см. гл. 2, § 2)
р(хо | х, t + At) — I p(x0 I x', t) ¦ p(x' | x, At) dx'.
Тогда получим
p(x0 | x, t + At) - p(x0 \x,t) = AtJ (p(x0 | *', t)W(x' | x) - p(x0 | x, t)W(x | *')) dx'.
Физический смысл правой части достаточно очевиден: некоторые частицы, за время t
попавшие в г', за At доходят до положения х (AtW(x' \ х) — вероятность таких переходов),
а некоторые, за время t попавшие в г, за время At расходятся куда угодно (вероятность
такого процесса пропорциональна At ¦ W(x | г')). Разделив обе части равенства на At
и перейдя к пределу At —» 0, получим искомое уравнение кинетического баланса, которое
в иностранной литературе обычно называют master equation:
др(Х°1Х>1) = / {р(Хо | *', t)W(x' | х) - р(х, | х, t)W(x | х')) dx'.
ot J
При f —* со мы требуем, чтобы производная по времени исчезала, а функция р стремилась бы
к равновесному больцмановскому (для идеального газа из брауновских частиц) распределению,
р(хц \x,t)—* const-exp {~U(x)/$}. В этом предельном случае компенсация встречных потоков
произойдет при условии
Это соотношение выражает принцип детального равновесия для системы брауновских частиц,
находящейся в термостате. >

§4. Уравнение Фонкера—Планка. Точные рш/ения 107
Задача 9. В пространственно однородном случае {/(ж) — 0 вывести из уравнения
кинетического баланса (см. задачу 8) уравнение Фоккера—Планка для свободного
брауновского движения.
Решение. В пространственно однородном случае скорости переходов
W(x | »') = W(x' | х) = W(\x-x%. .
ПОЭТОМУ ¦ ,''¦.•;
M = J dx' W(\x - x'\) (p(x0 | x', t)Qpfro l.as,<)) =
т ¦ • ¦ »<¦¦ • ¦ < <¦¦¦ ¦
+oo x
= f dx' W(\x - x'\) 53 t~(*- ±T~ P(*o |-«. «j.
Но средняя скорость смещения в пространственно однородном, случве
+оо ¦ ¦
х~^х~' = |(г - x')W(\x - х'\) dx' = О,
-00
расплывание (а: - а:'J за секунду определяется формулой Эйнштейна,
+00
(х-х1J = Г(х - x'fW(\x - х'\) 6х' = 21?,
—ос
a
(х - г')* = 0 для fcjs3 (см. §1).
Остается стандартное уравнение диффузии
dp(Xg\x,t) d2p(Xg\X,t)
dt 0*'
которое и является уравнением Фоккера—Планка для свободного брауновского движения. >
§ 4. Уравнение Фоккера—Планка. Точные решения.
Некоторые частные вопросы
Задача 10. Исходя из уравнения Фоккера—Планка для одномерного свободного бра-
брауновского движения на бесконечной прямой, соответствующих граничных условий
и начального условия, соответствующего расположению частицы в момент времени
t = 0 в точке х = 0, получить, не решая это уравнение, формулу Эйнштейна для
дисперсии (Да;J.
Решение. Имеем
+эо
/p(t,x)dx=], p{t,x)\^±K=O, />'('. *)L±X=O.

108
Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
Обозначим среднее х1 = /((). Тогда
+00 ¦ ; +»
/(О = ** = f *2р(«. *) «**. /(о) = J *г Ч*) ** = о-
-00 . -00
Составим для функции f(t) дифференциальное уравнение
(мы использовали здесь само уравнение, граничные условия и условие нормировки; начальное
условие было использовано при определении величины /@)). Итак, получаем дифференци-
дифференциальное уравнение первого порядка с начальным условием
^=2D, /@) = 0,
решение которого имеет вид формулы Эйнштейна
Задача 11. Найти решение одномерного уравне-
уравнение Фоккера—Планка иа полубескоиечной прямой
х > 0, считая, что внешнего силового поля нет
и что в точке х = 0 стоит непроницаемая стеика.
Решение. Имеем
p(t,x)dx=\,
Рис.49. Вид плотности вероятности
p(t, х) в случае, когда в точке х = О
помещена непроницаемая для брау-
новских частиц стенка
др
дх
= о,
др
дх
= о
(последнее условие — реализация условия отсутствия потока [D ff + -j p ^]I=0 = 0, в нашем
случае U = 0). Ответ, получаемый методом «изображений» (или еще каким-либо методом),
имеет вид для х > О
/
ехр \-
1 /
~ s/AvDt \
и p(t, х) = 0 для х < 0 (рис. 49). >
Задача 12. Найти решение одномерного уравнение Фоккера—Планка в поле сил
тяжести U = mgx на бесконечной прямой для случая, когда брауновская частица
в момент времени t = 0 находилась в точке х = xq.
Решение. Так как dU/0x = mg, то имеем общую схему:
+0
j
p(t, x)dx=l, p \x_±x = 0,
= 0.

§ 4. Уравнение Факкера—Планка. Точные решения
109
В правой части уравнения член с др/дх можно убрать, если ввести новую переменную
те те
? = х - х0 + — t, х = х0 t + (.
7 7
Тогда, пересчитывая производную по t, приходим к схеме свободного брауновского движения
(как в задаче 8):
at
1
exp
\-4Dtr
Возвращаясь к переменной х, получаем (рис. 50)
[ж-(жо~т0]
P(t,x) =
ехр < --
ADt
Так как ? = 0 и ^г = 2Dt, то
т& .
х = х0 t,
7
7 /
Так как на практике бесконечных по высоте со-
сосудов не бывает, то полученное решение ограничено
по t условием недостижимости облака брауновских
частиц, а также среднего значения х, дна сосуда. Если
начальное положение х0 отсчитывается от дна вер-
вертикального сосуда, то решение задачи имеет смысл
при одновременном выполнении неравенств
t<2? „ t<?
mg ID
(см. более подробно следующую задачу).
Рис. 50. Сползание и расползание об-
облака брауновских частиц в поле силы
тяжести
Задача 13. Брауновская чааица находится в поле силы тяжеаи U = mgx в сосуде,
ограниченном снизу непроницаемой стенкой. Считая, что в начальный момент браунов-
брауновская частица находилась на высоте х0, решить уравнение Фоккера—Планка для этого
случая и исследовать полученное решение.
Решение. Общая схема — уравнение и дополнительные условия — та же, что и в предыдущей
задаче, только в точке х = 0 появляется граничное условие, соответствующее условию
отсутствия потока частиц через непроницаемую стенку:
Сведем сначала уравнение для p(t, х) к простейшему — уравнению свободной диффузии.
Сначала уберем член, содержащий др/дх. Для этого введем новую функцию:

110 Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
пересчитывая производные, получим
/0, mg
Чтобы убрать член, пропорциональный р{, положим
Г ()' mg
(
р,=р2-ехр j--^-i| или р = р2-ехр j-^
Тогда получим уже стандартную задачу математической физики:
дрг 9д2р2
? ?
Введем функцию у типа потока (при х —» +оо он отсутствует)
Тогда
Подставляя это представление для pj(/, г) в уравнение для рг и дополнительные условия,
дифференцируя получившееся уравнение еще раз по х (дифференцирование интефалов
по верхнему пределу даст подынтефальные функции при ( = х) и сокращая на ехр {^},
получим
2-?5?' ^°)=0' У(О,Х) = ^6(х-хо) + ±6(х-хо).
Функция Грина соответствующей задачи
8G в 82G
СС°) 0
представляет нечетную комбинацию решений задачи без условий в точке ( = 0:
G(t, х, $ = G0(t, (-x)- G0(t, ( + x),
где
0
Получаем, таким образом, решение для «потоковой» функции у:
о
= ^ {G0(t, хо-х)- G0(t, х0 +х))+— (G0(t, xo-x)+ G0(t, х0 + х)).
Подставляя эту функцию в интеграл, определяющий pi(t, х) и беря член с д/д( по частям,
получим
х
Pl(t, х) = G0(t, хо-х) + G0(t, х0 + х) - ^ ехр | - ^ | J ехр | ^ J2G0(t, х0
Э0
откуда, вводя новую переменную интегрирования

§4. Уравнение Фоккера—Планка. Точные, решения
1И
получаем ответ для искомой функции
mg(x-
1 Г /--^Л
В случае g = О (поля нет) мы получаем результат задачи 11. В случае малых t, когда
одновременно
mg
—г < хй — центр «облака» далек от дна сосуда,
7 .. . . ¦
2Dt < х\ — размытие «облака» не достигает дна, мы приходим к решению задачи 12.
В случае, когда t > Tog,,,, где общее время релак- i рп х\
сации Гобщ естественно определить как время, начи-
начиная с которого интеграл ошибок фактически полно- r\t
стью включает экспоненту ехр { - эр }, т. е. верхний
предел захватывает основную часть подынтегральной
функции,
mg
Trim ~ (* - «о) 3 \/2От°Ш,
_
Го6ш ~
+ 2-Ч/?(?-
Рис.51. Релаксация первоначального
E-образного распределения к больцма-
новскому в системе, помещенной в по-
поле силы тяжести и ограниченной снизу
полученное решение для p(t, x) переходит в распре- Дном сосуда
деление Больцмана
S f
!»«« ы, = -j- ехр | - у1
Общая схема эволюции функции p(t, x) изображена на рис.51. >
Задача 14. Решить уравнение Фоккера—Планка для брауновской частицы, двигающей-
двигающейся в поле U(x) = ах2 и имеющей начальное положение в точке Xq. Эта одномерная
задача моделирует брауновское движение указателя чувавительного прибора, связан-
связанное с взаимодействием «стрелки» прибора с окружающей его молекулярной средой.
Решение. Исходная схема уравнений имеет вид (мы не будем писать условия на х = ±оо,
которые имеют тот же вид, что в задаче 10):
Исключим член с др/дх, введя вместо х новую переменную
di 2a

112
Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
Обозначая функцию
получим для нее
» t-*00
t
t-0
С помощью замены искомой функции,
I
ах2
исключим член, пропорциональный р,:
8Рг _ 9
Наконец, с помощью замены временной переменной
о х0 х |4а ¦>
Рис. 52. Релаксация первоначального ' I 7 /
распределения к больцнановскому в сие- мы приведем ^a4y к уравнению простейшего типа
теме брауновских частиц, находящихся
др2 в д2Рг . , _ clf _ ,
в поле упругой силы
откуда
Мх 7
1
ехр < --
Переходя к исходным переменным х и t, получаем ответ
1-/2 I a (g-
При t^Toem31 г~ получаем болышановское распределение в поле осциллятора V(x) = ax2,
2а
При < < Товщ — свободное брауновское движение
Характер релаксационного процесса, описываемого полученным решением p(t, x), предста-
влен на рис. S2. >

§4. Уравнение Фоккера—Планка. Точные решения 113
Задача 15. В рамках формализма Фоккера—Планка показать, что в случае неогра-
неограниченной системы для смещения брауновской частицы х за время t, скорости v,
характеризующей диффузионный поток j = pv = -D %?, средней «кинетической»
энергии, связанной с этим движением, имеют место соотношения типа «соотношения
неопределенностей»
4
Решение. Так как
+00 +00
J
+00 +00
хр = х2= Jx1p(t,x)dx, (Evp = v2= ID1- (~|^) dx,
-00
то, используя известное неравенство Шварца
f(x)g(x) dx ^ Jf /»(*) dx ¦ Jf g>(x) dx,
получаем
+00
D
u
+0
У'
откуда
Д»J>Д = -.
7 _
Если определить среднюю «кинетическую» энергию брауновской частицы как \Mv2 = Е
(напомним, что средняя тепловая энергия \Mv^m = 9/2) и вспомнить, что (Да;J = 2Dt, то
получим
Результат для у (ДхJ (Д«J фактически совпадает с результатом, полученным иным способом
в задаче 29 для случая Ol/Г. >
Задача 16. В условиях задачи 11 — облако брауновских частиц вблизи непроницаемой
стенки — оценить эффект силового отталкивания этого облака от ограничивающей
систему стенки.
Решение. Используя идею задачи 15, определим «оператор» условной скорости брауновских
частиц через их поток j = pv, считая его в отсутствии внешних полей чисто диффузионным
_ 1 . _ 1 вр
р рдх'
Средняя величина этой «скорости» равна
00 00 I 2 \
|^ dx = -Dp(t, х)Г°° = Dp(t, 0) = J- exp ( - *"
ADt)'
о о
Тот же результат мы получили бы, если бы рассмотрели среднее положение брауновских
частиц
00
х= / xp(t,x)dx
о

114
Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
и взяли бы от этой величины производную по t. Действительно, используя методику задачи 10,
получаем
Конечно же, стенка как короткодействующий фактор на брауновскую частицу, располо-
расположенную вдали от нее, непосредственно не действует. На брауновскую частицу действует среда,
а это действие в макроскопическом плане выражается через жидкое трение, .Ррашимсрш = -«/$.
Если представить реакцию стенки на облако брауновских частиц как «силу», в среднем урав-
уравновешивающую вязкое воздействие среды на это облако, т. е. ввести представление о среде,
как бы материально транслирующей это воздействие — актуальная тема динамического эфира,
обсуждавшаяся еще во времена Максвелла, Ртшт = -^реакция среды. — т° сразу получим
= 7" = W, 0) =
в
где D = 0/7 (см. рис. 53). Интересно отметить, что максимальной величины эта «сила»
достигает по прошествии времени to = xl/BD), т.е. к тому моменту, когда расплывающееся
облако брауновских частиц достигает стенки (и как бы «сталкивается» с ней),
ГГ в в
•Fnwx = \/ = 0,492—. >
V те Хо хо
-J
Рис. 53. Реакция непроницаемой стен-
стенки на расплывающееся вблизи нее об-
облако брауновских частиц
Рис. 54. Распределение плотности чи-
числа брауновских частиц в слое по про-
прошествии времени т = L2/BD)
Задача 17. Оценить степень относительного выравнивания концентрации брауновских
частиц ^щ в ограниченной одномерной системе -L < х < L за время т = L2/BD),
если в начальный момент р@, х) = 6(х).
Решение. Обозначая
, х)
1
: ехр
{ «*}'
/AirDt
можем записать точное решение уравнения диффузии в рассматриваемом случае в виде ряда
+00
/»(*> х) = YL ?°('' х - lnV> ~Р«A'х) + Ри(*<х + 2L) + РвA> Х-2Ц + ... .

§ 4. Уравнение Фоккера—Планка. Точные решения
115
Для момента времени т получаем
р{т, 0) = ро(т, 0) • A + It'1 + 2е-8 + ...) й ро(т, 0) • 1,27 ...,
р(т, L) = ро(т, 0) • в/2B + 2е + ...) а Л(т, 0) • 1,234....
Откуда для интересующего нас отношения концентраций в центре системы и на ее границе
будем иметь
Р{т,0)
т. е. к моменту времени т = L2/BD) отклонение плотности брауновских частиц от равно-
равновесного значения составит не более 3 %. Вид решения для p(t, х) при t = г представлен
на рис. 54. >
Задача 18. Брауновские частицы краски находятся в поле U(x) = mgx в жидкости,
заполняющей конусообразный сосуд с углом а образующей с осью конуса (рис. 55).
Определить высоту, на которой будет находиться максимальное число брауновских
чааиц, а также среднее значение потенциальной энергии брауновской частицы.
Рис. 55. Система, ограниченная
коническим сосудом и помещен-
помещенная в поле mgx, которая рассма-
рассматривается в задаче 18
0 х0 *
Рис. 56. Плотность распределения по высоте х
числа брауновских частиц в конусе, помещенном
в поле силы тяжести
Решение. В равновесном случае плотность частиц определяется формулой Больцмана
р(х) = С ехр { - ^ }, где постоянная С определяется из условия нормировки
Число частиц, находящихся в слое (х, х + dx), раано
= ^ ¦ I (^) ехР { - ^}хЧх = п(х) 4г.
Плотность п(х) имеет максимум на высоте х0 = 29/(mg) (рис. 56). Средняя потенциальная
энергия брауновской частицы равна
оо
Г/ = 1. [mgxdN(x) = 30.
N J

116
Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
Задача 19. Определить стационарный поток
брауновских чааиц, двигающихся в поле U(x),
если на плоскоаи х = 0 их концентра-
концентрация поддерживается равной рц, на плоскоаи
х = L концентрация pi. Рассмотреть слу-
случай, когда это поле предаавляет прямоуголь-
прямоугольный барьер U(x) = Uq для точек в интервале
а < х < а + Да (см. рис. 57).
Решение. В стационарном случае поток числа частиц
вдоль оси х постоянен, т. е.
8
Ро
0
Рь
о+До
1 8U 9 др
j = — р- ¦—
7 дх 7 Ох
в _
= -- е
7
(ре ' ) = const.
Умножив левую и правую часть этого соотно-
соотношения на еи/$ и проинтегрировав по i в каких-
либо пределах х, ^ х ^ х2, мы получим соотноше-
соотношение, которое Чандрасекар назвал формулой Крамерса
(Н. A. Kramers, 1940)
Рис, 57. Распределение плотности бра-
брауновских частиц по длине сосуда в сис-
системе со стационарным их потоком в слу-
случае, когда частицы преодолевают потен-
потенциальный барьер Uo
Полагая xt = 0 и хг = L, получаем
I L
-pLeU(L)'°) / [еи{х)/в
dx.
Если U(x) — прямоугольный барьер, то
в
з = -
- PL
7 L + До (е°о/»-1)'
Для плотности брауновских частиц получаем в разных интервалах (см. рис. S7)
7J
Р — Ра~х~. О ^ х < о;
а), о < х < а + До;
а + Да < х < L.
Р =
Р-Ро-
в
Задача 20. Разрабатывая вариант диффузионной теории химических реакций у по-
верхноаи реагирующего со средой образца, Крамере рассмотрел проблему выхода
крупных чааиц из поверхноаного слоя в случае, когда потенциальный барьер, опре-
определяющий его динамическую структуру, имеет провал, в зоне которого поддерживается
стационарная плотность брауновских чааиц.
Оценить поток выходящих из слоя брауновских чааиц при следующих упрощающих
предположениях:
а) поверхность образца является плоской, в связи с чем вся задача становится
одномерной;
б) потенциальный барьер U(x) имеет упрощенную прямоугольную структуру, изо-
изображенную на рис. 58;

§ 4. Уравнение Фоккера—Планка. Точные решения
117
в) высота его &U над «провалом» U(x) = Uo велика настолько (АС > {ViN), что
поток проходящих через барьер частиц очень мал, и в зоне провала 0 < а; < а
плотность брауновских частиц р(х) практически постоянна;
г) вышедшие наружу (я > а + Д) частицы назад уже не возвращаются (уходят
«на бесконечность» или вступают в химическую реакцию и исчезают), в связи
с чем можно считать, что их плотность вне слоя практически равна нулю;
д) весь процесс стационарен (т. е. убыль брауновских частиц в яме UQ все время
поддерживается на одинаковом уровне за счет «откалывания» их от образца).
а+Л
О у
Рис. 59. Зависимость удельного по-
потока выходящих в «вакуум» через ба-
барьер AU брауновских частиц от ко-
коэффициента вязкости 7
Рис.58. Прямоугольная аппроксимация по-
потенциального барьера приграничного слоя.
Пунктирной линией обозначена модель U(x)
Крамерса, состоящая из двух сопряженных
в точке х = о встречных парабол
Решение. Полагая в формуле Крамерса (см. задачу 18) «i = 0, х2 = о + Д, р@) = Ро> р(х) й О
при х > а + Д, и вычисляя примитивные интегралы, сразу имеем для плотности потока
брауновских частиц в случае Д{//0 > 1
. в Ра -.9
„-ьи/в
откуда для удельного потока брауновских частиц, выходящих из приповерхностной «ямы»,
получаем
J= L - JLe
Ро 7Д
Если появление экспоненты е~д^* в этой формуле представляется чем-то традици-
традиционным, то зависимость плотности потока от вязкости среды -у является уже характерной
(см. рис. S9). В случае 7 -+ 0 (исчезающе малая вязкость) плотности исходящего потока
грозит расходимость, однако в этом случае движение частиц (или облака из них) уже не опи-
описывается в рамках диффузного приближения: в яме 0 < х < а они начинают двигаться
от стенки до стенки и обратно, почти ие тормозясь средой. В предельном случае 7 = 0
плотность потока пролетающих через барьер Д{/ частиц естественным образом описывается
известной формулой Ричардсона (см. т. 2, задачи к гл. 1, § 7)
1
Л» = -»
1 /80
-дет/»
имеющей ту же экспоненциальную структуру, но уже с не зависящим от 7 и толщины
барьера Д предзкспоненциальным множителем. . >

118
Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
§ 5. Учет нестабильности брауновских частиц
Задача 21. Полагая, что среда, окружающая брауновскую чааицу, ежесекундно раство-
растворяет с единицы ее поверхноаи а чааиц (брауновская чааица полагается сферической,
плотность числа чааиц ее материала п задана), определить, как меняется с течени-
течением времени величина хг. Коэффициент диффузии Do брауновских чааиц в среде
в момент времени t = 0 считается заданным.
Решение. Число частиц, составляющих брауновскую частицу ЛГ = |я\К3п, согласно условию
изменяется по закону ЛГ = -4тгЛ2а, откуда следует, что размер брауновской частицы
уменьшается с течением времени по линейному закону
Так как D = в/у, у = бжЯп ~ R и диффузионный поток, как и раньше, jt — -D(dp/dx), то
исходное уравнение Фоккера—Планка имеет вид для t < Т
p(Q,x)=6(x),
С помощью замены
о т
Рис. 60. Зависимость диспер-
дисперсии смещения х2 в случае не-
нестабильных брауновских час-
частиц от времени
т =Т1п
или
= ГA-е"г/г)
T-t
получаем уравнение простейшего вида
решение которого нам известно (см. гл. 2, § 3),
откуда сразу имеем (рис. 60)
T-t
К Т.
Ускорение роста х1 с течением времени связано с усилением
процесса диффузии по мере уменьшения размеров частиц.
Задача решается и при других вариантах зависимости D
от времени. >
Задача 22. Полагая, что брауновские частицы, описанные в предыдущей задаче,
двигаются в плоской кювете, заполненной прозрачной жидкостью, и считая, что
в момент t = 0 они находились в окрестности начала координат, определить характер
изменения во времени видимого радиуса R облака частиц, если прибор регистрирует
его в случае, когда брауновские частицы экранируют более ^-й части (#>]),
проходящего через наблюдаемый участок кюветы потока света.

§ 5. Учет нестабильности броуновских частиц
119
Решение. Так как каждая частица экранирует площадь ira1, на каждом элементе dS = rdr dip
их будет к моменту времени t в среднем p(t, r) dS штук, где
r=v/Wi/2, p(t,r)=p(t,x)-p(t,y)
(одномерные функции распределения по х и у — это решения предыдущей задачи), а нижний
предел экранировки
<Фиср = ^ dS = />
л
то, обозначая <0 = Kal/DD0), получаем для видимого радиуса R облака как функции
переменной т — Т In (T/(T — <)) выражение
^=4D0r^-2JJ.
Характерные точки — моменты видимого исчезновения облака и максимальной его величины
определяются после решения трансцендентных уравнений
г* = <0 ехр | - -^- \ и тм
В случае а = to/T < 1 имеем
R1.
0
/ /
И
\\
к
t0 *
Случай а = 0 соответствует системе со стабильны- Рис. 61. Зависимость квадрата размера
ми брауновскими частицами. Зависимость площади видимого облака нестабильных браунов-
видимого облака брауновских частиц от времени ских частиц от времени
представлена на рис. 61. >
Задача 23. Предполагая, что частицы, нестабильные в силу своих внутренних причин,
распадаются в соответствии с простейшим законом (^IЖСПШВ1 = -р/т.. где т —
характерное время их жизни, определить зависимость от времени величины х2, если
в момент t = 0 они находились в окрестности начала координат.
Решение. Уравнение баланса числа частиц (вместо уравнения непрерывности в системе
стабильных частиц)
dx
dt
ркпшп
где диффузионный поток по-прежнему равен jx = —D(dp/dx), приводит к уравнению
Фоккера—Планка с условием «нормировки», учитывающим экспоненциальное убывание
общего числа частиц . . . ;
?-»?-?• /
*'*"
"*
р{х,0)=б(х),

120
Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
С помощью замены
это уравнение сводится к простейшему, рассмотренному нами в гл. 2, § 3
РА
откуда
p{x,t):
/4nDt
ехр< -
Рис. 62. Зависимость дисперсии х2
от времени в случае, когда браунов-
ские частицы имеют среднее время
жизни г
+30
График этой функции изображен на рис. 62.
Задача 24. Определить стационарное распределение плотности числа частиц, рассмо-
рассмотренных в предыдущей задаче, и их потока, если на границе х = 0 внешним источником
постоянно поддерживается их плотность р0 (или задан поток частиц jo в точке х = 0).
Решение. Согласно уравнению Фоккера—Планка для рассматриваемой системы (см. зада-
задачу 23) в стационарном случае, когда dp/dt = 0 и р = р(х), имеем
Умножая почленно на др/дх и интегрируя, сразу получаем
2 ! , _
где постоянная интегрирования С = 0 в силу условий при
х = +оо. Так как в соответствии с физическим смыслом
р > 0, др/дх < 0, то, извлекая корень, получаем
1
дх
откуда
f
(рис. 63) и для потока
Jz дх
= Ро.
р'(со) = 0.
Ар(*)
Ро
О
Рис. 63. Стационарное распре-
распределение плотности числа брау-
новских частиц, имеющих сред-
среднее время жизни г, по расстоя-
нию х от их источника
§ б. Вращательное брауновское движение
Задача 25. Сферические брауновские частицы, обладающие дипольным моментом р,
двигаются во внешнем электрическом поле Е = (О, О, Е). Получить методом, предло-
предложенным в § 3, уравнение Фоккера—Планка для вращательного брауновского движения.

§ 6. Вращательное броуновское движение
121
Решение. Трансляционное брауновское движение час-
частиц в данном случае является свободным. Будем счи-
считать, что оно не влияет на вращения частиц.
Рассмотрим одну брауновскую частицу и для опи-
описания ее состояния введем сферические координаты
(г, б, <р), где углы (б, tp) определяют положение векто-
вектора дипольного момента р (рис.64). Так как потенциал
взаимодействия диполя с внешним однородным полем
зависит только от угла б,
U = UF) = -(р • Е) = -рЕ cos б,
то по углу <р реализуется свободное вращательное брау-
новского движение. Интересуясь брауновским движе-
движением по углу б, мы будем характеризовать «состояние»
нашей системы с помощью функции распределения
р = p(t, б) (радиус частицы r = R = const). Чтобы по-
получить результаты для свободного вращательного бра-
уиовского движения, нам достаточно будет выключить
поле Е,
Напомним формулы для grad Ф, div А и ДФ в сферических координатах, оставляя в них
члены, соответствующие случаю Ф = Ф{б), А = @, А(б), 0), Ф =
1 дФ 1 дФ 1 дФ
Рис. 64. Брауновская частица с ди-
польным моментом р во внешней элек-
электромагнитном поле Б и ее угловые ко-
координаты б И <р
0Ф
~дг '
г дб
divA =
1
r2sin0
1
• • — б» = — •
г sin б dip r
дг2Аг д sin 6А«
Зт уи
е#,
[д ( , 5Ф\ д ( 5Ф\ 1 51Ф1
sint? — I г — 1 + -гт (sint? — ) + -г— • —г =
дг \ дг) дб \ дб) sm«> д<р2}
ДФ= , . л
г2 sin 1?
1 д_
~ г2 sin «> дб
В дальнейшем мы положим г = R = 1, введя этот параметр частицы в соответствующий
коэффициент 7вращ = 7' Исходя, как и в § 3 гл. 2, из уравнения непрерывности
мы представим угловую скорость ш как бы состоящей из двух частей, соответствующих
регулярному и случайному вращениям частицы:
Определяя ш0 как угловую скорость вращения шарика в вязкой среде под действием момента
:ил М, когда в случае малых скоростей М = ^ш0 (коэффициент f зависит от R, температуры в
л вязкости t) среды), получим
i 9U 1
Пля второй части в случае «малых градиентов»
дб'
¦ мы получаем искомое уравнение в виде
*? = _L. ± ..
dt sin б д\

122 Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
В предельном случае t —> оо мы считаем, что реализуется больцмановское равновесное
распределение по углам ръ = Ce~uW. Условие отсутствия «потоков» в случае достижения
состояния термодинамического равновесия
-•(??¦'¦*?)-
дает в качестве решения для р@) ту же экспоненту
поэтому D = в If, и мы получаем окончательно
= sintf ( o+
dt sint? дв \f двр -у дв
— уравнение Фоккера—Планка для нашего конкретного случая. >
Задача 26. Найти решение полученного в задаче 25 уравнения Фоккера—Планка
для случая, когда слабое внешнее поле Е = Еце%ш вызывает малые отклонения
функции p(t,ti) от ее рааноаесного значения ро. Рассчитать дополнительную поляри-
поляризацию системы, связанную с наличием в ней брауновских частиц, а также связанные
с вращательным брауновским движением коэффициенты преломления и поглощения.
Решение. Подставляя dU/дб = pEsinti в уравнение Фоккера—Планка, получим
др в (дгр dp cost? dp рЕ „рЕ
В случае Е = 0 при наступлении равновесия р = ра = const, причем в силу условия
нормировки
= Ip(t,x)dx=l,
О -1
мы имеем ро = 1/2. В случае Е Ф 0 естественно искать решение выписанного уравнения
в виде разложения по полиномам Лежандра,
Ограничиваясь только первым членом этого разложения,
и пренебрегая членами «второго» порядка (рЕ/в) ¦ ру, получаем
7 Ьр\ рЕ
+ P = P
Полагая Е = Eoeint и интересуясь стационарным решением этого уравнения pt(t) = (p|)oelfl(,
получаем
а для самой функции p(t, tf), с учетом нормировки
Так как средний дипольный момент брауновской частицы равен
ж
(р) = / Р cos tfp('. *) sin t? d0,

§ 6. Вращательное броуновское движение
123
то дополнительная поляризация системы за счет нахождения в ней дипольных брауновских
частиц равна
= п(р) = п
Е0е™ = п -
¦ Еое'1
где п — число брауновских частиц в 1 см3, a tgy? = uilBB) (колебания Р отстают по фазе
от колебаний внешнего поля на величину <р = arctg (Щ/()))
Для диэлектрической проницаемости е(п), рав-
равной квадрату комплексного коэффициента преломления
электромагнитной волны п(П) = fin — ivn, мы имеем
откуда, считая 4пР/Е < 1, получаем для коэффициента
преломления пп и затухания ип искомые выражения:
пп2
пп = 1 +2»г-
Vu = 27Г-
VQ.
20
У
а
Графики этих функций представлены на рис. 65. >
Рис. 65. Зависимости индуцирован-
индуцированных дипольными брауновскими час-
частицами коэффициента преломления
по и затухания vn от чааоты внеш-
внешнего поля П
Задача 27. Для случая малых по сравнению с временем релаксации системы к равно-
равновесному распределению р0 = 1/2 интервалов времени получить формулу Эйнштейна
для свободного вращательного брауновского движения. Оценить упомянутое время
релаксации.
Решение. Согласно задаче 26 в случае Е = 0 имеем для функции p(t, 0) уравнение Фоккера—
Планка:
др _ в {дгр cost?
+ "
/'
t, 0) sin 0 dt> =
"' sin 0О v "'
Не ограничивая общности рассмотрения, выберем
ось г так, чтобы 0О = к/2 (рис. 66). Тогда, введя пере-
переменную 0i = 0 — ?г/2, получим
-«/2
5ис. 66. Распределение плотности
вероятности по полярному углу для
:зо6одного вращательного браунов-
:<огодвижения частиц при < 4C 7/9
В случае 0^ < (т/2J, когда «граничными» эффектами
можно пренебречь, получим приближенно
др в д2р f

124
Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
откуда следует (см., например, задачу 10), что
Время релаксации можно оценить (см. задачу 17) из условия 0?|(=г = (т/2J, откуда, заменяя
тг2/8 на единицу, получаем, что г ~ f /в. >
§ 7. Стохастическое уравнение движения,
корреляционные свойства отклонений,
связь с функциями распределения
Задача 28. Определить в шкале времени t > т (см. гл. 2, § 1) корреляцию откло-
отклонений импульса брауновской частицы от среднего значения Ap(t)Ap(t + АО (такая
корреляционная функция называется автокорреляционной функцией случайного про-
процесса Ap(t)). Сравнить ее поведение (как функции ДО с временной корреляцией
отклонений Ax(t)Ax(t + At).
Решение. Согласно § 1
( (+Д(
Ap(t)Ap(t + At) = [<Ui f dt
откуда, учитывая свойства функции <p(t, - '2). сосредоточен-
сосредоточенной вдоль линии t, = ti, получаем в случае ДО 0
где
а в случае At = -|Д*| < 0
Ap(t)Ap(t -
Заметим, что корреляционная функция p(t)p(t + At) на-
начинает зависеть от разности временных аргументов только
по прошествии времени t > 1/BГ), когда процесс отклоне-
отклонения импульса р от среднего значения полностью становится
стационарным.
Во-вторых, полученный вид самой зависимости от Д*
Рис. 67. Зависимость корреля-
корреляционной функции «импульс—
импульс» от разности времен-
временных аргументов At в стацио-
стационарном случае
где @~@) = р2 = тв (рис.67), достаточно характерен, он свойственен корреляционным
функциям так называемых гауссовых стационарных случайных процессов (см. гл. 3, §4).
Аналогичный расчет корреляции пространственных отклонений приводит к результатам
совершенно иным (для определенности будем считать At > 0):
Так как процесс смещения частицы в случае свободного брауновского движения никогда
стационарным не становится, то в этой корреляционной функции зависимость от t не исчезает
ни при каких его значениях. Более того, при переходе к шкале Ol/Г, когда для (ДхJ имеет
место формула Эйнштейна, члены, содержащие At, становятся в один ряд с поправочными и
Ax(t)Ax(t + At) 2 (Дх(<)J S — t.

§ 7. Стохастическое уравнение движения
125
Задача 29. Определить в шкале времени ( > г
(см. § 1) корреляцию отклонений импульса и от-
отклонений координаты от своих средних значений
АрАх и оценить это «соотношение неопреде-
неопределенностей» в случае Ь > 1/Г.
Решение. Согласно § 1 гл. 2
АрАх
-/*¦/
dU е-г<'-('>-
тГ
~ h),
t
Рис. 68. Зависимость корреляционной
откуда, интегрируя no t' = tt -12, подставляя значение функции «координата—импульс» от
fT = 2Ттв и беря интеграл no t2, получаем (рис.68) времени
ДрДх =:
откуда
ДрДя; S -
при t« -,
1
при t» -.
Полученное «соотношение неопределенностей» показывает, что «измерения» (если измерен-
измеренным величинам сопоставляются средние значения, обозначаемые чертой сверху) координаты
и импульсы не являются независимыми. Так, измеряя величину, являющуюся функцией
импульса и координаты брауновской частицы, получим
———— 1 О /(р, х) О f\Py х) ——— 1 О f\Pt Xj
t(P, *) = t(P, *0 + - —^—(АрУ + п^п= ДрДх + - Q^2 (АхJ,+ ... .
д?
дрдх
ffx2
В шкале t < 1/Г при формальном t —» 0 (но t > т) величину /(р, х) — /(р, х) = Д/
можно сделать как угодно малой, однако в шкале времени I > 1/Г при формальном t —> О
величина Д/ оказывается конечной. >
Задача 30. Показать, что с точки зрения первой огрубленной шкалы времени t > т
(включая dt > г) корреляция смещения брауновской частицы Дх(?) со случайным
силовым воздействием на нее отсутствует.
Решение. Так как согласно § 1 гл. 2
t
x(t) = x+[dt'
1-е
-ri
mV
-F(t-t')
, I -<fi в случае \t'\ ^ r,
I 0 в случае |t'| > r,
то, учитывая, что t'F < tF С 1, получаем в низшем по г порядке
2 ml 2m '
что в шкале 1>ги означает отсутствие корреляции.

126 Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
Задача 31. Решить уравнения Ланжевена для движения брауновской частицы в поле
постоянной (или «квазипостоянной») силы FBHeui = -dU/dx и определить зависи-
зависимость от времени средних значений и дисперсий импульса и координаты. Определить
ограничение по t сверху такого рассмотрения, связанное с конечными размерами сис-
системы, а также область значений t, для которой брауновское движение можно считать
свободным.
Решение. Стохастическое дифференциальное уравнение (см. гл. 2, § 1)
p + Tp = Fmam + F, р\ы=Ро
определяет решения
1'^ ' l
о о
которые отличаются от рассмотренного в § 1 случая иными значениями средних х и р:
г '
х =
~г7~)-
Формулы же для (АрJ и (АхJ остаются прежними. Обозначая
fix")'
при t > 1/Г имеем
_ _ «нешн _ ^^ ^2 _ тд.
—_ 29
х = Xq + i*o^> (Ах) = — t.
7
Чтобы действие поля U было несущественным (т.е. брауновское движение было бы свобод-
свободным), потребуем, чтобы диффузионное расширение у (АхJ преобладало бы над регулярным
смещением х - х0 = uot (при общем условии t > 1/Г):
1
&U_
дх
(АхJ /29
откуда получаем, что свободное брауновское движение реализуется при
1 ^ ^ 2<ht
Для случая движения брауновской частицы размером Ю см в воде (q ~ 10 г/(см • с)) при '
комнатной температуре величина 2f e/(mgO для случая, когда плотность вещества браунов-
брауновской частицы вдвое превышает плотность воды, оказывается порядка 1СГ3- 1СГ4 с (напомним,
что 1/Г ~ 1СГ|2с). Поэтому визуальное наблюдение свободного брауновского движения воз-
можно в случае, когда плотность материала брауновской частицы близка к плотности среды,
либо в случае движения частиц в плоской горизонтальной (или очень мало наклоненной)
кювете.
Влияние на брауновское движение границ системы не будет сказываться, если одновре-
одновременно
и — < =

§7. Стохастическое уравнение движения 127
где L — линейный размер системы. Таким образом, неучет эффектов, связанных с наличием
границ, можно оправдать при
Формула Эйнштейна для смешения справедлива только в этом интервале значений t.
Задача 32. Исходя из того, что {см. гл. 2, § 1) в шкале времени ( > т
(АрJ = тв{\ - е~т), (Др)*-> = О,
n — 1,2, 3,...,
где Ар = р-р, а среднее значение р в случае движения брауновской частицы
во внешнем поле F = -dU/dx найдено нами в задаче 31, определить функ-
функцию распределения f(t,p), обладающую указанными выше моментами. Определить
эквивалентное этой функции дифференциальное уравнение типа Фоккера—Планка
с начальным условием
/(О, р) = 6(р - р0).
Решение. Совокупность всех моментов функции распределения восстанавливает саму функ-
функцию распределения. В данном случае (см. аналогичную ситуацию в задаче 5) — это гауссово
распределение
f(t,p)=
2 (Ар)
лли, подставляя сюда выражение для р (см. задачу 31),
Р-РJ1
(АРJ /'
Дифференцируя эту функцию по t и производя несложные перестановки членов, получаем
эквивалентное этому решению для f(t,p) дифференциальное уравнение типа Фоккера—
Планка (только не в координатном, а в импульсном пространстве) с tf-образным начальным
условием
Задача 33. Для случая одномерного движения брауновской частицы в поле U = ах2
решить стохастическое уравнение движения в шкале времени t > т (г — время
корреляции случайной силы F(t)). Определить структуру средних (х-х)к и по ним
построить функцию распределения p(t,x). Исследовать случаи колебательного и апе-
апериодического брауновских движений в поле ах2.
:ешение. Линейное дифференциальное уравнение (см. гл. 2, § 1) с начальными условиями
* + ri4"^fa:=mFW> *li-o = *o, *1<=о = |;о
не зависящей от х правой частью решается точно стандартными методами:

128
Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
1 / 2% + Гхп \ Г 1 / I ia\ 1
' =r ( «o + ~7=f=== ) exP i ~ 5 (г~ V г г +
1/ 2vo + rx0 N f 1/ /Z 8o"\ I
+ -(x0 . : 1 exp< -г(Г+уГ2 U>.
Используя развитую в § 1 процедуру, получим после взятия интегралов для дисперсии
1 Г 1
а также в полной аналогии с § 1
(х - хJ»-' = 0, (х-хJ"'= 1-3-5- ,...Bп-1)[(Д*р] .
Соответствующая совокупности этих моментов функция распределения имеет вид
.. . 1 f 1 (х-хJ\
p[t, х) = ———— i ехр < — — '¦ ' - > .
л/2я-(х-хJ I 2 (*-«JJ
2а
7 '
/2ir(i
Если параметры системы таковы, что
то реализуется апериодический процесс. В шкале t » 1/Г получаем
откуда
Этот результат совпадает с решением уравнения Фоккера—Планка для брауновской частицы
в поле U = ах2 с начальным условием р@, х) = <5(х — х0) (см. задачу 14).
Полученное в нашей задаче решение для p(t, x) является более общим: оно получено
в шкале времени Or, поэтому содержит еще v0, оно не ограничено приближением большой
вязкости и может, в частности, описывать эффекты брауновского движения в колебательном
режиме, когда Sa/m > Г2. Рассмотрим этот случай более подробно. Обозначим
тогда
{¦р \ • ^ ¦ -р \
- - t V ¦ [ х0 cos (wt) + ° ° sin (wt) J

§ 7. Стохастическое уравнение движения
129
а также
e~T
т2
1 <2ut _ ? i *
' - »2w Г Г + t2u>
Замечая, что
используя формулы Эйлера и производя несложные преобразования, запишем дисперсию
в виде
где
На рис.69 схематично показа-
показано поведение во времени среднего х
(затухающие осцилляции) и «рас-
ширение» траектории за счет роста
разброса (АхJ. В пределе t —> оо,
(АхJ = х2 = 0/Bа) в полном соот-
соответствии с больцмановским распре-
распределением
р(х) ~ ехр
{-т}-
Рис.69. Зависимость от времени координаты х(<) центра
облака брауновских частиц и ширины этого облака при
брауновском движении в колебательном режиме в поле
упругой силы V - ах1
Изображенные на рис. 69 результа-
результаты допускают некоторые фантазий-
ные построения. Например, предель-
ная ширина распределения позволя-
ет определить параметр потенциаль-
ной ямы а, что в сочетании с из-
измеренной частотой осцилляции ш дает возможность определить величину Г; произведя
в некоторый момент времени t, меньший 2/Г, измерение величины x(t) и (АхJ, мы можем,
выразив время t, прошедшее от начала движения брауновской частицы, через (АхJ, ис-
исключить его из х, x(t, х0, v0) = х((АхJ, х0, v0), получив тем самым связь начальных значений
х0 и vo, которая при задаином х0 определит и начальное значение скорости vQ, и т.д. >
Задача 34. Для брауновского движения в поле U = ах2 (см. предыдущую задачу)
определить временную корреляционную функцию отклонений в случае колебательного
режима 8а/тп > Г2.
Решение. Используя полученный в предыдущей задаче результат для отклонения координаты
от среднего значения
Ах w=dij /ехр {~ 1и}sin (w<i) ¦ Fi* ~ti) *¦ •
о
имеем (см. для сравнения задачу 28) для требуемой корреляционной функции
( (+Д(
Ax(t)Ax(t + Д<) = J dt, f <Иг jj^jj exp | - |(t, + <:)} sin (wt,) • sin (wt2) • <fi(At +1, - t2).

130
Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
Учитывая сосредоточенность функции <р вблизи нулевого значения ее аргумента, можем
согласно § I гл. 2 использовать ее представление
с помощью которого сразу снимается интеграл по t2. Выделяя в оставшемся интеграле
множители, зависящие от At,
sin (<•>(<, + ДО) = cos (wAt) • sin (art,) + sin (uAt) ¦ cos (wtt),
представляем искомую корреляционную функцию в виде
Ax(t)Ax(t + At) = exp { - -
где функция
cos {wAt) • /,(<) + exp
- - At \ sin (u
¦ f2(t),
\(t) = -
уже рассчитана нами в предыдущей задаче, а «коэффициент» при sin wAt несложно получить
аналоги1! ным' образом:
h(t) =
e'Th sin
•cos
4amw т2ш2
~r
В полученном ответе характерным является не структура f, и /2, а зависимость от Д<,
включающая помимо убывающей экспоненты еще и осциллирующие величины sinwAi или
cos шAt. В отличие от случая свободного брауновского движения (см. задачу 28) процесс
блуждания в поле U = -ах2 может стать стационарным. При t » 1/Г
Дар(<,)Дх(< + Д<) = ^- ехр ( - - At \ ( cos (w At) + —У— sin (и At) ) =
2а L 2 J \ 2тш /
•{-И-
где х1 = в/Bа), tg ^ = y/Bmw).
В случае апериодического брауновркого движения, когда 8а/т < Г2, расчет кото-
которого несложен (можно даже в полученных выше формулах просто учесть мнимое значе-
значение ш), в корреляционной функции будут фигурировать только экспоненциально затухающие
по At множители. В рассматриваемом случае t > 1/Г, тогда будем иметь, обозначив
Г' = уТ2 - 8a/m < Г,
с характерным при Д<—»оо экспоненциальным поведением ехр{-(Г-Г')у} (см. рис.70). >
TAf (Г—Г')Д(
2 ^о—5—
Г-Г
Л<
Рис. 70. Характер зависимости автокорреляционной
функции
=
от Д1 в пределе t > 1/Г в случаях апериодического
и колебательного брауновского движений в потенци-
потенциальном поле U = ах

i. Броуновское движение частицы в среде с учетом ее последействия 131
§ 8. Брауновское движение частицы в среде
с учетом ее последействия
В главе 2 и во всех предыдущих задачах регулярная часть силы, действующей
со стороны среды на брауновскую частицу в момент времени t, аппроксимировалась
силой вязкого трения F^t) = -Тр, величина которой определялась значением
импульса частицы p(t) в этот же момент t, а коэффициент Г = const. Для движения
в среде типа разреженного газа это правдоподобно. В более сложных случаях среда
как бы помнит о том, с какими импульсами двигались частицы в предшествую-
предшествующие моменты времени, она в зависимости от этих значений как бы затягивает
частицу или, наоборот, подталкивает ее, проявляя свойства не только вязкости,
но и своеобразной упругости («вязкоупругие» среды).
Простейший вариант этой функциональной зави-
симости Fyp от импульса частицы — линейный, что
соответствует характеру нашего приближения «малых
импульсов»
i
FTp(t) = -rJf(t,t')p(t')dt'.
t-r.
t
t'
Рис. 71. Вид функции памяти
вяэкоупругой среды
Функцию f(t, t') полагают неслучайной, однородной
во времени / = f(t-t'), с конечным интервалом
памяти гл. Ее общий характерный вид представлен
на рис.71.
Задача о движении частицы в такой среде сразу усложняется не только потому,
что функцию памяти можно определить только в общих чертах, но и в постановоч-
постановочной части: в связи с тем, что уравнение движения для p(t) из дифференциального
становится интегральным, для определения его решения (если оно вообще су-
существует) задания начального значения р@) = ро уже недостаточно, надо задать
состояние среды в этот момент, или, что то же, задать р(?) в предшествующем Ь = О
интервале т\.
В этом разделе мы ограничимся рассмотрением лишь простейшей возможности:
в момент t = 0 частица с импульсом ро «появляется» в невозмущенной ее движением
среде (т. е в t = 0 «включается» ее взаимодействие со средой). Для функции памяти
f(t - V) выберем также простейший однопараметрический вариант
где 0(t - t') — единичная ступенчатая функция, равная нулю при t - ? < 0. Тогда
уравнение движения для p(t) для свободного брауновского движения приобретает
вид
+ ГЛ
о
При тл -> 0 (А -+ со) функция памяти f(t -1') -> 6(t -t'),n мы получаем прежнюю
схему — уравнение Ланжевена с начальным условием, — исследованную нами в § 1
гл.2.
Задача 35. Решить уравнение движения для импульса p(t) и определить смещение x(t)
в случае, когда случайное воздействие среды на частицу отсутствует.

132
Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
2Г
Г
Решение. Полагая F(t) = 0, имеем согласно предшествующему
пояснению однородное уравнение для импульса
Умножая обе его части на еЛ( и дифференцируя, получаем
эквивалентное дифференциальное уравнение
р + Хр + ТХр = 0, р@) = р„, р@) = 0.
Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет
корни
"*" - \ I г
X 1,2 - jV /• д *•
Рис. 72. Зависимость деист- которые действительны в случае х < 1/4, когда время после-
вительных корней характери- действия среды гл < гм/4, где гм = 1/Г - время установле-
стического уравнения от эф- ния максвелловского распределения (см. рис.72). В частности,
фективного интервала памяти в случае очень короткой памяти среды, х < 1, имеем
среды гл ГA - х)
fe, = АхA +х + ...) S ГA+х), fej = АA-х + ...) 3 — '.
В случае х > 1/4, или гм < 4гл (среда со значительной «упругостью»)
!= 2А:р1
Общее решение, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид
В отмеченных выше частных случаях оно приобретает следующий вид:
— экспоненциальная релаксация, качественно отличающаяся от е"п (случай п = 0) только
в области 0 < t < гл = 1/А (рис. 73 о);
— новый тип режима — периодическая релаксация (рис. 73 б).
Результаты для смещения частицы, двигающейся в вязкоупругой среде, следуют из по-
полученных выше. В общем случае
В случае х = ГгЛ < 1 смещение релаксирует к максимальному по экспоненциальному закону
(рис. 74 о)
в случае же н > 1/4 около максимального смещения ро/(тГ) возникают затухвюшие колеба-
колебания (рис. 74 б)
X "" Хп ==
sin2X J '
где величина х определяется написанной ранее формулой.

i. Броуновское движение частицы в среде с учетом ее последействия 133
х-х,
х-х*
Рис. 73. Экспоненциальный (а) и колеба-
тельный F) типы релаксации импульса бра-
уновской частицы, двигающейся в вязко-
упругой среде
t
Рис. 74. Экспоненциальный (а) и ко-
колебательный (б) типы релаксации ко-
ординаты брауновской частицы, двига-
ющейся в вязкоупругой среде
Задача 36. Решить основное стохастическое уравнение для p(t)
t
и определить смещение брауновской частицы x(t).
Решение. Введем функцию Грина G(t, t0) = G(t -10), G@) = 1, такую, что
t
JG(t,t')F(t')dt'.
Подставляя это выражение в уравнение для рA) и изменяя порядок интефирования в двойном
интеграле, получим (точкой обозначается дифференцирование по t)
t t t
(«, 0) + ГА J e-A('-'>G(t', O)dt'\=-J dt' F(t')U(t, t) + ГА J e-A('^>G(f", f) df\
о oc
при любом значении ро и произвольной F(t), что возможно лишь в случае, когда выражения,
стоящие в фигурных скобках слева и справа, обращаются в нуль. Это дает уравнение для
самой функции Грина :
;<")<й" = о, G(o) = i

134
Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
(выражение, стоящее в фигурных скобках справа, соответствует значению t -» t - t'). Это
уравнение решено в предыдущей задаче:
G(t)=
u - 1 A( 1
2
(feje fc.e)
Поэтому отклонение импульса частицы от его среднего значения (в смысле § 1 гл. 2) будет
иметь вид
<
Ap(t) = p(t) -W)= f г-Цг (*2
0
где согласно задаче 34
O Л',
Для смещения брауновской частицы после изменения порядка интефирования в двойном
интеграле и взятия одного из них имеем
где
Пбведение средних p(f) и x(t) достаточно подробно исследовано в предыдущей задаче. >
Задача 37. В первой грубой шкале времени t > т определить временное поведение
дисперсии (АрJ.
Решение. Учитывая сосредоточенность функции F(ti)F(t2) = (p(tt - t2) вдоль диагонали
t, = t2, воспользуемся, как и в задаче 34, удобным представлением
Тогда в соответствии с полученным в задаче 35 результатом для Др(?) получаем после взятия
несложных интегралов
Полагая (см. гл.2, § 1), что при t
к максвелловскому, т.е.
= 1/Г распределение по импульсу частицы релаксирует
имеем
(рт
тв
В случае х 4С 1 (rj < тм) релаксация (ДрJ к величине тв схематически представлена
на рис. 75. Она характеризуется тремя временами релаксации:
В случае х > 1/4, когда fc,,2 = A/2=F«w, характер релаксации дисперсии (ДрJ становится
колебательным (рис. 76):
(ДрJ = тв
1 - -== cos But +
4
1-е"

§ 8. Броуновское движение частицы в среде с учетом ее последействия 135
Рис. 75. Релаксация дисперсии импульса Рис. 76. Релаксация дисперсии импульса к рав-
к равновесному значению при апериоди- новесному значению при колебательном харак-
ческом характере брауновского движения тере брауновского движения в среде с памятью
в среде с памятью
где величина х согласно задаче 35 определяется как
X = arctg V4x - 1.
Если результат, полученный в первом случае, является как бы поправочным к результату для
(АрI при Тх = 0 (см. гл. 2, § 1), то второй случай качественно иной: он свидетельствует
о колебаниях ширины распределения по р, связанных с проявлением упругих свойств среды
на временах, меньших времени последействия т>. >
Задача 38. Определить характер изменения во времени дисперсии смещения (АхJ
брауновских частиц в вяэкоупругой среде.
Решение. Используя выражение для Ax(t), полученное в задаче 36, получим, учитывая
свойства tp(ti - t,), несложное, но несколько длинное выражение
''(А*)
20 t_
, У 1+х
О
1/Г
t
Рис. 77. Дисперсия смещений браунов-
брауновских частиц, двигающихся в упруговяз-
кой среде в случае апериодического
процесса
о
2 г,
t
Рис. 78. Дисперсия смещений браунов-
брауновских частиц, двигающихся в среде с по-
последействием в колебательном режиме

136 Задачи и дополнительные вопросы к главе 2
где выражение для ipr необходимо позаимствовать из задачи 37. Зависимость величины (АхJ
от времени изображена на рис. 77. При t —» 0 (но t 3> г)
а при больших t дисперсия (АхJ релаксирует к формуле Эйнштейна
(Sj?a- —ф +...).
При апериодической релаксации, к = Тт\ < 1/4, этот процесс сближения с формулой
Эйнштейна является монотонным (с теми же тремя временами релаксации, характерными
для (АрУ в аналогичном случае).
В случае же х > 1/4 получаем
- i sin x • (sin 3* - e-A(/J sin (ut + 3*)) - ^ (cos 5* - e'M cos Bu>* + 5*))] ,
т. е. ширина «облака» брауновских частиц на фоне его среднего роста осциллирует сначала
(при t < тл) с частотой 2w, затем (при т> < t < 2t>) с частотой ш (рис.78). Напомним,
что это расплыванне накладывается на осциллирующую траекторию x(t), определенную
в задаче 35. >
Задача 39. Считая величины p(t) и (Др(<)J извеаными (см. задачи 35, 37), опре-
определить соответствующую начальному значению р@) = ро и условию ненатянутости
среды в момент t — 0 функцию распределения w(p, t) и соответствующее ей диффе-
дифференциальное уравнение типа Фоккера—Планка.
Решение. Стандартная схема рассмотрения дисперсий высших порядков (гл.2, § I), основы-
основывающаяся на свойствах случайного воздействия F(l) и в случае систем с памятью, приведет
к результату
Совокупность всех этих средних однозначно определяет функцию распределения w{p,t)
гауссова типа
w(p, t) = , ехр I -
в которую мы должны еше подставить уже известные нам выражения для p(t) и (Ap(t)J,
Частные производные этой функции по р и t снова выражаются через w ввиду ее экспонен-
экспоненциальной структуры, однако нам надо построить такое для нее уравнение, в коэффициентах
которого не содержалось бы начального условия. Действуя аналогично решению задачи 32,
получаем уравнение типа Фоккера—Планка с довольно сложными, но известными коэффи-
коэффициентами при функции w и ее производных по р:
dw /1 д(АрJ __01прЛд2и; д\пр д
«¦= U "лГ -{Ар) -*-) W ' ~й~ 9^
К этому уравнению необходимо добавить начальное условие w(p, 0) = 6(р - ро) и условие
ненатянутости среды в момент t - 0 (в данном случае — это только словесная фиксация
характера рассматриваемого процесса). >
Задача 40. Определить временную корреляционную функцию Ap(t)Ap(t + At)
(для определенности At > 0) в случае, когда процесс Ap(t) = p(t) - р стано-
становится стационарным.

§ 8. Броуновское движение частицы в среде с учетом ее последействия 137
Решение. Исходя из известного выражения для Ap(t) (см. задачу 36) и действуя по аналогаи
с решением задачи 28, получаем
тв
fc?/Bfc2)
Ap(t)Ap(t + At) =
откуда для стационарного процесса в случае х < 1 (или
тЛ < тм = 1/Г; условие стационарности ( > 1/Г) имеем
результат, близкий к полученному в задаче 28,
В случае л > 1/4, когда fe|i2 = А/2 т «w, имеем (условие
стационарности t > т» = 1/А)
cos (uAt) ¦== cos
l-
cos3x
Это выражение по математической структуре напомина-
напоминает результат, полученный в задаче 34. Воспользовавшись
определением величины х> после несложных преобра-
преобразований действительно получаем, опуская t (см. рис. 79),
= е-ш/г.
где
р2 = тв и tg у? =
cosy
1-х 1
Рис. 79. Характер зависимости от
разности аргументов At временной
корреляционной функции «импульс-
импульс» для брауновского движения
в колебательном режиме, происходя-
происходящего в среде с памятью

Глава 3
Некоторые вопросы
теории случайных процессов
В этой главе мы остановимся на некоторых имеющих физический интерес
вопросах из указанного в заглавии большого раздела математической теории веро-
вероятностей. С точки зрения математиков, специализирующихся в этой области, наше
рассмотрение будет и недостаточно полным, и недостаточно строгим. В рамках
общего курса, в котором вследствие ограничения общего объема основное внимание
приходится уделять пониманию общих задач теории и ее выходов на прикладные
вопросы, особая строгость вряд ли уместна. Чтобы сделать рассмотрение замкну-
замкнутым (без ссылок на математические руководства, в которых доказывается то или
иное утверждение), мы рассмотрим, конечно, самые доступные и простые примеры,
а при интерпретации общих вопросов теории случайных процессов будем использо-
использовать опыт рассмотрения таких процессов, приобретенный в предыдущей главе.
§ 1. Вероятности w и Р
Пусть величина ?(<) характеризует случайный процесс типа отклонения систе-
системы от равновесного состояния, для которого ? = 0. Для простоты будем считать
(хотя это и малоправдоподобно), что это отклонение характеризуется только одним
параметром (обобщение несложно, и мы его приведем, как только в этом появится
необходимость). Иными словами, будем полагать, что случайное отклонение ?(t) су-
существует при всех значениях t, т. е. ?(<) можно представить во временной развертке
как некоторый график, внешне похожий на электрокардиограмму, но отличающийся
абсолютной нерегулярностью отклонений (рис. 80). Отметим, что речь идет о суще-
существовании этого графика в принципе, а не о возможности его записать с помощью
какого-либо «кардиографа», так как любое измерение ?(<) тут же внесет в этот изна-
изначальный случайный процесс определенный элемент сглаживания (к этому вопросу
мы еще вернемся, но несколько позже).
Уже из сказанного выше ясно, что мы ограничиваемся только весьма частной
реализацией случайного процесса: во-первых, далеко не всякому случайному про-
процессу можно сопоставить непрерывную траек-
траекторию ?(<); во-вторых, даже если это оказалось
возможным, то не для любого типа траекторий
?(<) имеет смысл говорить о среднем значении
величины ?. Мы будем рассматривать случай
? = const = 0, а само «движение» ?(<) считать
финитным.
Зафиксируем на воображаемом графике
((t) (см. рис. 80) определенные моменты време-
Рис. 80. График случайной переменной HVH t п условимся всегда располагать их
?.(!оГ ЗНЭЧеНИЯ ' М0МвНТЫ в п°Радке возрастания нижнего индекса, т.е.
U <t2 < ... <tn.

§ 1. Вероятности w и Р 139
Значения величины ?(t) в эти моменты будем обозначать как ?(,&, ••• .&». т.е.
(
Будем полагать, наконец, что по отношению к случайному процессу ?(t) можно
ввести плотности вероятности »„({,,... ,{„) = ton(fr>*i; ...; ?„,«„), n = 1,2,...
(один из вариантов введения таких функций на примере t»i мы рассмотрим в на-
начале следующего параграфа), имеющие следующий смысл: плотность вероятности
w>i(?i) = wi(?i,<i) такова, что величина W| d?i определяет вероятность обнаружить
величину ? в интервале значений (?г,^ + d^i) в момент времени t = U; плот-
плотность вероятности t»2(?i»&) = t»2(^i»ii; ?2.^2) такова, что о>2<2?»<*?2 представляет
вероятность обнаружить величину ? в интервале (?\, & + d?i) в момент времени ?|
и в интервале (?2, & + <ф) в момент времени <2 и т. д.
Помимо плотностей вероятностей г»„, введем условные вероятности
где Рг d?2 определяет вероятность обнаружить величину ? в интервале
в момент <2, если в момент времени tf величина ? = &; •
определяет вероятность обнаружить ? в (&, & + d&) в момент <3> если в h осуще-
осуществлялось ^ = &. а в <| осуществлялось { = {| ит.д. : .:•¦
Введенные величины не являются совершенно обособленными друг от друга.
Они связаны несложными интегральными соотношениями, возникающими при
свертках функции wn по каким-либо из ее аргументов, например -,
и т. д., а также соотношениями типа ,;
\,i7 \Ь) И Т.Д.,
вытекающими из самого смысла введенных нами вероятностей (эти соотношения
часто используются для определения самих условных вероятностей Рг, Р$ и т.д.).
Мы будем рассматривать главным образом стационарные случайные процессы,
т. е. случаи, когда функции wn и Р„ однородны во времени:
6.h + к; ¦¦¦ ;
В этом случае
вообще не зависит от времени,
зависит от разности t2 - tt и т.д. Аналогично
и т. д. «Теоретически» стационарный случайный процесс реализуется только в рав-
равновесных статистических системах. Если же в этих системах совершаются еще
и временные процессы (по грубой макроскопической шкале), на фоне которых
имеется еще «шум» случайного процесса, то мы будем говорить о квазистацио-
квазистационарном случайном процессе (критерий квазистационарности естественно возникнет
после того, как мы введем соответствующие корреляционные интервалы времени,
характеризующие данный случайный процесс).

140 Глава 3. Некоторые вопросы теории случайных процессов
Помимо случайных величин типа ?(t) у нас будут фигурировать регулярные
функции случайного аргумента /(?(<)). Конечно, это тоже случайная величина. Нас
будут интересовать ее средние значения, дисперсии и т.д. Эти величины будут
сопоставляться с экспериментально наблюдаемыми эффектами.
Упомянутые средние — это средние по «распределению» w(?). Эксперименталь-
Экспериментально наблюдаемые величины — это средние по некоторому конечному времени наблю-
наблюдения (или времени измерения) AT, достаточно большому по сравнению с времена-
временами, характеризующими сам случайный процесс, но малому по сравнению с временем,
определяющим квазистатичность или квазистационарность случайного процесса.
Рассмотрим сопоставление этих средних величин несколько более подробно.
§ 2. Эргодичность случайного процесса
Проблема сопоставления средних по интервалу AT со средним, рассчитывае-
рассчитываемым с помощью функции распределения w((), — в данном случае это не та про-
проблема эргодичности статистической системы, которая относится к разряду «вечных»
и принципиальных вопросов теории, отсутствие полного и безусловного решения
которых никак практически не мешает использованию канонических распределе-
распределений Гиббса (более того, и не подрывает их
авторитета) в равновесной статистической
механике. В данном случае это совершенно
\_ j ~^\7 \Г7 Т конкретный и практически важный вопрос
Л^ V о том, каким требованиям должен удовле-
удовлетворять случайный процесс и измеряющий
Рис. 81. Определение времени, проведенного его характеристики прибор, чтобы для опи-
системой в «состоянии» (?, ? + Д?). Соот- сания этого процесса в рамках той точности,
ветствующие интервалы отмечены на оси t которую обеспечивает этот прибор, можно
жирной чертой было использовать для расчета интересую-
интересующих нас величин функции w и Р.
Рассмотрим сначала самый простой вопрос — проблему введения функции
«>i (?). Введем вспомогательную ступенчатую функцию, вырезающую малый интервал
значений (?, ? ¦
= <
, когда ?
0, когда ?(t) вне интервала
например,
где б(? — ?') — дельта-функция Дирака. Эта Д-функция вырезает из графика ?()
как показано на рис. 81, кусочки, проекция которых на ось t определяет то время,
в течение которого параметр ?(?) попадает в заданный интервал Д?. Если существует
предел
время, проведенное системой в (?, ? +
_

§2. Эргодичность случайного процесса 141
то мы можем интерпретировать полученную величину AW](() как вероятность об-
обнаружить ?(t) в интервале значений (?, ? + Д?) и ввести соответствующую плотность
вероятности г»|(?). Эта функция нормирована:
+оо Т +оо Т
[ ±[
(т.е. сама w>i(?) — интегрируемая функция на интервале -оо < ? < -foo). Если опре-
определить и>|(?). указанным выше способом, то «проблема эргодичности» не возникает:
так как Д? < (, а функция t(() — регулярная функция своего аргумента, то
/@-Д(*-<
и поэтому
+00
7@=//@*1 «К = Е /@*^@ =
по всем Д?
Г +оо
^ #Л1dt
т. е. среднее по распределению сводится к среднему по времени. Аналогичное рас-
рассмотрение можно провести для функции и;2 и т.д., заметим только, что этого
с точки зрения ортодоксальной математической науки примитивного понимания ве-
вероятности (т.е., по существу, ее «частотного» определения) для наших исследований
исключительно физических проблем будет вполне достаточно.
Предложенный способ рассмотрения — это, впрочем, не совсем то, что нам
нужно, так как усреднение по формально бесконечному интервалу времени при прак-
практическом измерении каких-либо параметров системы не реализуется, а по сравнению
с каким интервалом времени т (являющимся характеристикой данного случайно-
случайного процесса) это время Т должно быть ббльшим, из приведенного рассмотрения
не следует.
Прежде чем выяснить этот вопрос, напомним известное в теории вероятностей
неравенство Чебышёва для вероятности Р(\? - ?| ^ е) того, что величина < отклоня-
отклоняется от среднего своего значения ( по модулю на величину, превышающую заданное
значение е
Р(\<-(\>е)= J
Введем под знак интеграла величину (( - Q2/e2 ^ 1, превышающую единицу
в данной области интегрирования, а затем расширим эту область интегрирования
на все значения ?, тогда получим
Р(\<-<\>?)<^ J (C-CJ
откуда и следует необходимое нам неравенство Чебышёва

142 Глава 3. Некоторые вопросы теории случайных процессов
Рассмотрим ради простоты стационарный случайный процесс, когда
C, t) = «/,(?) и w2 =
Пусть величина ? представляет среднее по конечному интервалу времени Т некото-
некоторой регулярной функции /(?) случайной переменной ?(t):
Усредняя эту величину по всем значениям ?(<) с помощью функции распределения
(), получим, учитывая независимость этого распределения от t,
оо Т Т Т
С= f j f fW))dtwt(t(t))m = 7f f dtf(O = fj J dt = f,
0
т. е. величина С представляет собой среднее значение /(?) по распределению
Напишем теперь дисперсию этой величины
/
о о
+оо
О 0 -оо
Т Т +оо
1 /• г г г
О 0 -оо
где мы ввели функцию д{?\,?2; t2 - t\), характеризующую корреляцию значений ?|
и &> «раздвинутых» на интервал времени t2 - tt. Если время корреляции т «слу-
«случайного процесса» ?(t) конечно, т.е. величина &, начиная с некоторого t2 > tt + т,
оказывается не зависящей от выбора значения ?|.
иными словами, процесс ?(t) в масштабе Д< > г
становится действительно случайным (а не толь-
только из-за названия, которое мы ему с самого начала
lhVN просто приписали), го функция g(t2-t\)-\ (рис.82)
отлична от нуля только при \t2 -1\\ < т. В связи
с этим область интегрирования по t\ и t2 из квадрата
со стороной Г превратится в полосу шириной ~ г
0^ г ~*\ вдоль его диагонали (рис. 83). Поэтому, если время
_ „ , усреднения Т ^ г, то
Рис. 82. Зависимость временной
корреляционной функции от интер- (л/-\2 ' at T
и отклонение среднего по времени от среднего по распределению можно сделать
сколь угодно малым (сходимость «по вероятности», полученная на основе исполь-
использования неравенства Чебышёва для Р(|/ - 71 ^ е) при т/Т -* 0.

§2. Эргодичность случайного процесса
143
С реализацией подобной ситуации мы уже встре-
встречались в § 1 предыдущей главы (там же приведены
и характерные для брауновского движений порядки для
времени т).
Таким образом, мы приходим к важному для всего
нашего рассмотрения выводу, что использование аппара-
аппарата функций w(?) в теории случайных процессов может
быть эффективным в том случае, когда используемая для
их описания «экспериментальная* шкала времени t груба
настолько, что время Т, затрачиваемое на «фиксацию*
(или «измерение») какой-либо зависящей от ?(?) характе*
ристики системы, значительно превосходит время корре-
корреляции случайного процесса, Т > т (естественно, что это
время Г значительно меньше отсчитываемых по грубой
шкале времени t интервалов). Получаемые при таком
рассмотрении результаты для интервалов времени t <т
не имеют ни физических, ни формальных оснований.
Рис. 83% Область интегриро-
интегрирования, определяющая зависи-
зависимость от времени усреднения
Т среднего квадратичного от-
отклонения среднего по времени
от среднего по распределению
Остановимся еше на одной часто используемой при рассмотрении случайных
процессов интерпретации процедуры усреднения. Представим^ что Случайный про-
процесс ?(t) как бы записан на ленту (типа бумажной ленты электрокардиографа),
из которой взяты отрезки, соответствующее некоторому интервалу t0. Для упроще-
упрощения будем считать, что все эти отрезки равной длительности- (это не обязательно:
t0 может быть средней длительностью в данном наборе интервалов). Среднее от за-
заданной функции /(?(?)) берется по набору большого числа N таких интервалов
(по своеобразному «ансамблю отрезков» записи ?(?)), т.е. в этом случае «измеряе-
«измеряемая» величина записывается как
С ~ »r
причем
= № = f HOMO*
Если t0 > г, то достаточно рассмотреть, как это делалось ранее, только один
из интервалов, так как учет других уже не прибавляет новой информации. Поэтому
рассмотрим случай t0 < т. Если интервалы непосредственно следуют друг за другом,
т. е. tn+l = tn + t0, то проблема вновь свидится к уже рассмотренной, в которой
Г = Nt0, Однако возможны случаи, когда интервалы Atn = i'n+{ - ?„ раздвинуты
(Atn > t0) или перекрываются (Atn < t0). Для определенности положим, что все Atn
одинаковы, Atn = At (можно, конечно, предположить, что моменты tn расположены
случайно, a At — среднее значение Д?„)- ТЬгда tn = (п - l)At и мы имеем
n=l m=l
nAt
mAt
где

144
Глава 3. Некоторые вопросы теории случайных процессов
«2-*»
Рис. 84. Область интегрирования в п-м
слагаемом суммы (n=l,2,...,JV), оп-
определяющей среднее квадратичное от-
отклонение среднего по «ансамблю» от-
отрезков случайного процесса от среднего
по распределению и>{
Функция F2(t2 - t\) отлична от нуля только
в области t2 - h < т, т. е. она выбирает какое-
либо из значений п, внутри заштрихованной
на рис.84 области.
Таким образом, для каждого п имеется толь-
только 2(<о + r)/At таких значений ш, для которых
h - h < т (так как это отношение не обяза-
обязано быть целым, то получающуюся дробь надо
просто дополнить до целого числа). Поэтому
получаем
и поэтому отождествление среднего по рас-
распределению w\(t) значения / с величиной
C(t tjf), определяемой как среднее по на-
набору N отрезков случайного процесса ?(t) от
временных средних по каждому из них, оказы-
оказывается оправданной в случае
т-Ир
NAt '
С физической точки зрения этот результат экви-
эквивалентен полученному ранее, так как NAt по-
порядка полного времени Г «наблюдения» процесса ?(<), а величина r+t0 (при нашем
предположении t0 < т) порядка времени корреляции т.
§ 3. Стационарный марковский случайный процесс
Пусть последовательность моментов времени U упорядочена условленным нами
способом tt < t2 < ... < <n-i < tn, где n = 3,4 Случайный процесс ?(t)
называется марковским, если условная вероятность
¦РпF>t\\ •••; ?n-\,tn-\ Iin,tn) = Рг{?п-\Лп-\ Iin,tn),
т. е. это такой процесс, когда вероятность обнаружить систему в (?„, ?„ + <Цп)
в момент времени tn, если в момент t = ?„_| она находилась в положении ? = ?„_|,
не зависит от того, в каких положениях она находилась в предшествующие tn-\
моменты времени (в §2 предыдущей главы мы говорили, что не зависит от того,
каким путем и откуда система попала к моменту времени t = tn-\ в «точку» ? = ?„_|).
Для таких процессов
I 6)
(аналогичным образом любые wn выражаются через функцию w\ и произведение
вероятностей Р2 от соответствующих аргументов). Интефируя левую часть равенства
по переменной &, имеем

§4. Гауссовский случайный стационарный марковский процесс 145
откуда получаем, сокращая на ()
J I 6)
I 6) = J
Это есть не что иное, как уравнение Смолуховского (или Чепмена—Колмогорова—
Смолуховского), которое мы рассматривали в § 2 предыдущей главы. Восстанавливая
временные аргументы, имеем
Р2(С. 16; *з -<>) = / Рг(С. 16; h - и)РгЦ21& <з - *2) <*6.
Это нелинейное интегральное уравнение имеет разного типа решения, включая
такие, которые к рассматриваемым нами физическим задачам вообще отношения
не имеют, например, решение
1>
(то, что оно удовлетворяет уравнению Смолуховского, читатель может проверить
самостоятельно).
В предыдущей главе мы показали, что физический интерес представляют реше-
решения, соответствующие конечным скоростям изменения первого и второго моментов
функции Р2 и равным нулю скоростям изменения всех высших моментов этой
функции. В этом случае уравнение Смолуховского сводится к линейному дифферен-
дифференциальному уравнению параболического типа, называемому уравнением Фоккера—
Планка, которое при соответствующих заданных начальных и граничных условиях
имеет единственное решение.
§ 4. Гауссовский случайный стационарный
марковский процесс
Как мы видели в предыдущем параграфе, марковский случайный процесс
может быть описан с помощью функций распределения «;,(?) и Pi, причем для
условной вероятности Pi мы сформулировали процедуру ее расчета, например,
с помощью уравнения Фоккера—Планка. Для функции W|(?) такой процедуры нет,
поэтому вопрос о виде распределения «;,(?) остается одним из основных в теории
случайных процессов. В отличие от статистической механики равновесных систем
у нас нет какого-то общего (или исходного) выражения для w (в равновесной
статистической механике таким распределением является распределение Шббса).
Наиболее распространенный выбор функции «м(?) — это гауссово распределение.
Для такого выбора, как мы убедились на материале гл. 1 и 2, имеются достаточно
убедительные физические основания, но есть и чисто формальные обстоятельства,
связанные с реализацией этого распределения. Рассмотрим этот вопрос на примере
простейшего случая.
а) Распределение вероятностей значений суммы
независимых случайных величин
Имея дело с физическими системами, например, с брауновским движением, мы
встречаемся со случайными величинами типа случайной силы F(t) — равнодейству-
равнодействующей многих сил, которые в используемой грубой шкале времени представляют-
представляются некоррелированными, независимыми друг от друга случайными воздействиями
на систему (см. гл. 2, § 1).

146 Глава 3. Некоторые вопросы теории случайных процессов
Рассмотрим для простоты одномерный случай. Пусть имеется некоторая функ-
функция распределения t»|(?). Ее фурье-представление (называемое часто характеристи-
характеристической функцией распределения) будем обозначать Wt(q):
Щ (О = ^ J dq e-**W, (q), W, (q) = f d? e^v,, (Q = e«.
—00 —00
Представляя е1'** в виде бесконечного степенного ряда, имеем
Таким образом, если известны все средние значения ?*, называемые моментами
функции распределения t»i(?), то мы знаем и функцию W,(q), по которой можно
восстановить интересующее нас распределение W|(?).
Аналогично для функции распределения по ?|, ...,?„ можно записать
wn
Wn(q qn) = exp I ]Г *«6 }¦
Пусть теперь все ?и... ,?„ — независимые случайные величины, характеризуемые
в отдельности одной и той же функцией w{ (?,) (в случае, если ?f,..., ?„ представляют
значения ^(<), взятые в моменты времени t\,...,tn, эта ситуация реализуется
тогда, когда временные аргументы разделены интервалами, превышающими время
корреляции т). Тогда
п п
«»(&. • • •. 6.) = П ад|F). w»(«i «») = П ^ («)•
1=1 i=l
Если в последней формуле мы положим q\ = qi = ... = qn = q,
то получим характеристическую функцию одномерного распределения по сумме
п
3„ = 52 С» независимых величин &. Переходя от этой характеристической функции
к (-представлению
(а.)--/.
2тг У
мы получим функцию распределения по значениям суммы Н„.
б) Центральная предельная теорема (частный случай)
Если независимые случайные переменные ?f,..., („ характеризуются одной
и той же функцией распределения щ(?), имеют нулевые средние значения и конеч-
конечную отличную от нуля дисперсию $ = ?2, то вероятность того, что относительная

§4. Гауссовский случайный стационарный марковский процесс 147
величина суммы ^ &/у п?2 меньше заданного значения (, при п —* оо стремится
1=1
к интегралу ошибок
<
/•¦"¦*
П->00 ""
Обобщение на случай & Ф О несложно, для этого надо заменить ?, -* & -
Итак, пусть имеется некоторое распределение wx(?) такое, что
+00 +00
— конечная величина.
I = / €wi <*С = 0, ?2 = /
-00 -00
/ ¦_
Перейдем к безразмерным величинам ж,- = ?i/y/n?2. Сразу заметим, что это не про-
просто переход к безразмерным переменным, а одновременно и заранее рассчитанное
масштабное преобразование, включающее п'/2. Тогда, если фурье-сопряженной к ?
величиной является q, то для новой переменной х «-» х = у n?2g (реализуется,
известное правило ? • g = х ¦ х). Поэтому
:
Характеристическую функцию распределения по величине суммы новых переменных
71
2 ж, представим в виде n-й степени бесконечного степенного ряда
V 2n T
Чтобы бездумно не возводить многочлен в очень большую n-ю степень, рассмотрим
логарифм этой функции:
- „ / X2 \ X2 . ^Х3
b"r'M-"'"(l-5--)—T-SS
X4
(мы учли, что In A + а) = а - а2/2 + ...). В пределе п -» оо при любом конечном х,
все слагаемые правой части последнего выражения кроме первого обращаются
в нуль, и мы получаем для предельной функции распределения W(x) нормальное
(гауссово) распределение с единичной дисперсией
"пади—7' ^«-оо-e"xV2>
откуда

148 Глава 3. Некоторые вопросы теории случайных процессов
или, переходя к исходным переменным ?,-,
1
т. е. распределение по сумме большего числа случайных величин представляет собой
гауссово распределение, и сформулированная выше предельная теорема является уже
просто следствием такого распределения по величине Е„. В дальнейшем изложении
мы не будем использовать неудобную в написании большую букву S, заменяя ее
более удобной, ?, предполагая, что по отношению к ней выполнены все условия,
оправдывающие гауссовую структуру функции распределения «>(?)•
в) Одно свойство гауссова распределения
Рассмотрим, безотносительно к предыдущему, более общий случай нескольких
случайных величин (?i,..,?n)> характеризуемых гауссовым распределением (эти
величины не обязательно являются частными значениями какого-то одного процес-
процесса ?(<), а могут относиться к различным физическим характеристикам системы)
«п(?ь • • •, U) = С exp I - - ^ Ay&fc | = Сехр | - -
У * ^
и покажем, что ^
j
Если мы введем n-компонентный «вектор» ? = (?i,...,?„). матрицу & =
элементами которой являются корреляционные функции .<^j = ?,?,- = .^j, мат-
матрицу А = ||А,-;-|| и единичную матрицу I = ||бу||, то написанное выше гауссово
распределение и интересующее нас его свойство запишутся так
Пусть имеется линейное преобразование А и обратное ему о,
к к j к
или в матричной записи
которое диагонализует квадратичную форму по ?,
?А? = щАХАщ = щ\т),
где А = ||Ак5,к|| — диагональная матрица. Тогда
w(fl\, ... , Tfn) ¦
причем
= Щ Vi = 0, к Ф г,

§4. Гауссовский случайный стационарный марковский процесс 149
т.е. матрица / = ||/у|| = \\Щ]\\ диагональна,
/у - VWi - Vthj - ~-6'}'
причем в этом диагональном представлении сразу имеем
Перейдем к переменным ?, учтя, что & = AfA:
&\ = (WXI = AfAXAa = AfXa, = Aa = I,
что и требовалось доказать.
г) Зависимость от времени корреляционной функции
случайного гауссова стационарного марковского процесса
Вернемся к исходной схеме:
Если процесс ?(t) марковский, то
т. е. отношение w^/wi не зависит от ?|. Если процесс гауссовый, то это отношение
можно записать в виде
Чтобы эта функция не зависела от ?|, необходимо, чтобы коэффициенты Ли и A]2
были одинаковыми для распределений юг и ttj, а коэффициент Л|3 = 0. Распишем
полученное в предыдущем пункте условие
для случая / = 1, t = 1,2,3:
Вообще говоря, это три «уравнения» для величин Аи, А!2 и A!3. Но «решение» А|3 = 0
задано заранее. Поэтому нетривиальная возможность для Аи и А|2 существует уже
не при всех 5^-. Сокращение общего числа уравнений до двух возможно в случае
совпадения двух последних однородных уравнений. Условие «нетривиальности» их
решения по отношению к Аи и А!2 (обращение их в нуль невозможно в силу
первого уравнения) дает условие, которому должны удовлетворять корреляционные
функции:

150
Глава 3. Некоторые вопросы теории случайных процессов
Для однородного во времени стационарного процесса
поэтому имеем
Решение этого уравнения (оно сводится к дифференциальному, например, при диф-
дифференцировании его по t2, которое можно записать как dlnj^W = const при всех t)
единственно:
Мы выбрали здесь знак в экспоненте так, чтобы при у > 0 решение для (
соответствовало бы физически осмысленному поведению корреляционной функции
случайного процесса, которая должна стремиться к нулю при t -к».
Доказанное выше свойство корреляционной функции ^(t) стационарного
марковского гауссова процесса называют теоремой Дуба (J. L. Doob, 1944), а вариант
ее доказательства принадлежит Марку Кацу (М. Кае).
Сделаем несколько замечаний по поводу вида функции @~(t). Во-первых,
результат, который был получен нами для случая t > 0 (т. е. t2 > tt), естественным
образом распространяется на случай t < 0 (для этого просто надо поменять t{ и t2
местами, тогйа ti < t{). Имеем
t
Рис. 85. График зависимости корреля-
ционной функции &(t) = t(t{)((t2)
от интервала времени t = t2 - tt.
Область —T<t<r преувеличена для
наглядности
= n\t\y
Во-вторых, .<^"(<) как функция, зависящая от мо-
модуля \t\, имеет разрыв производной в точке t = 0.
Однако полученный результат справедлив толь-
только для марковского случайного процесса, а это
свойство процесса возникает во временной шка-
шкале определенной грубости (см. гл.2, § 1). Поэто-
Поэтому полученное в области точки t = 0 поведение
функции &"(t) является интерполяцией зависи-
зависимости, справедливой только начиная с некото-
некоторого t > т, к значению .^"@) (рис.85).
С другой стороны, из самых общих сообра-
женийясно, что в функции ?(t\)?(t2) = @"(t2-t\)
разрыву производной просто неоткуда взяться.
Оценку действительного значения производной
функции !W(t) в точке t = 0 можно произвести,
только войдя внутрь т -области. Полагая * t = 0
и t2 = t, получим, что @~(t) = Z?(t). Но при t < т, т. е. в области, в которой
допустима только исходная механическая шкала времени, при t -* 0 смещение ?
пропорционально скорости ? и временному аргументу этого смещения, поэтому
1 Lo ~> °>
т. е. график §r(t) в точке t = 0 имеет горизонтальную касательную, как это и
изображено на рис. 85.
Заметим, что в § 1 гл. 2 мы, за неимением лучшего, использовали ступенчатую
аппроксимацию для функции корреляции ip(t). Вместо этой ступеньки мы могли бы
теперь использовать полученную выше зависимость ip(t) = ipoe~WT. Естественно,
что это привело бы нас в грубой шкале (>тк тем же самым результатам, что
и полученные с помощью упрощенной модели ip(t).

§ 5. Спектральные представления для случайной переменной 151
§ 5. Спектральные представления для случайной
переменной и корреляционной функции
Пусть случайный процесс ?(t) таков, что ?(t) = 0 (если | Ф 0, то под ?(t) следует
понимать отклонение f-|). Определим так называемое спектральное представление
величины ?(<) следующим образом':
+00 +00
«о =.
?>0,
-00 —00 ?—»0
Введенная здесь е -процедура обеспечивает математическое существование величи-
величины ?„ как преобразования Фурье от функции ?(t), не имеющей необходимого для
этого «убывающего» поведения на t -* ±оо. (Иной, но в конечном счете экви-
эквивалентный способ определения фурье-образа случайной переменной ?(?) приведен
в обсуждении в конце главы, см. §9.) Легко видеть, что если ((t) = ?*(f) т- дей-
действительная случайная величина, то Й = ?_ш (это ограничение действительными
случайными переменными не обязательно).
Корреляционная функция стационарного процесса
+ *) = З
тоже может быть представлена в виде спектрального разложения
+00
= f du>J(w)e-iut,
J
= J ЛаЦш)=е,
,iut-t\t\
e>o,
(е-процедура здесь сохранена на тот, вообще говоря, нефизический случай, когда
корреляционная функция !W(t) не имеет достаточно быстрого убывания при t —> оо,
т. е. когда время корреляции бесконечно). Возможность такого представления есть
основное содержание так называемой теоремы Винера—Хинчина (А. Я. Хинчин,
1934; N.Wiener, 1940-е гг.). Спектральную плотность 1(ш) иногда называют (в задачах
радиотехники) «спектром мощности».
В предложенном варианте спектральных представлений -оо < ш < +оо и
-оо < t < +оо. В таком симметричном варианте физические частоты определяются
значениями \и\, а зависимость от времени при t < 0 определяется как
<г(-0 = <r(t) = щ\Ц),
откуда автоматически следует четность и действительность спектральной плотности:
J(w) = J*(w) = J(-w).
Используем теперь спектральное представление для случайной переменной ? и кор-
корреляционной функции (F(t) для того, чтобы получить условие стационарности
случайного процесса. Имеем
+00
+

152
Глава 3. Некоторые вопросы теории случайных процессов
Сопоставляя выписанные выражения, замечаем, что исчезновение зависимости
от to в первых из них (т. е. условие стационарности процесса ?(t), который предста-
представлен в этой формуле фурье-амплитудами &, и &,-) возможно только в случае, когда
величина ?ЫЛ • е'(ы'"ы^° пропорциональна Д-функ- <
ции б(ш - иг). Тогда экспоненту, зависящую от to,
можно заменить единицей, и условие стационарно- ^(°)
сти приобретает вид
В качестве примера рассчитаем спектральную
плотность гауссового стационарного марковского
процесса. Распространяя полученный нами в пре-
предыдущем параграфе результат для @~{t) на область
t < 0, имеем (рис. 86)
t
Рис. 86. Временная корреляцион-
корреляционная функция гауссова случайного
процесса
Вычислим теперь соответствующую этой зависимости спектральную плотность
+00
2ir
беря интегралы, получим
= J@)
Г2
ш2 + Г2'
где
J@) =
График этой функции достаточно характерен (рис. 87).
Заметим, что при увеличении времени корреля-
корреляции 1/Г, т. е. при Г —» 0, в спектральной плотности
j/q\ J(w) остается только одна «линия» ш = 0:
w
Наоборот, при Г -* с», или 1/Г -* 0 (что физи-
физически соответствует переходу к более грубой шка-
шкале времени, когда t > 1/Г и Д? > ]/Г) спек-
спектральная плотность для конечного интервала частот
Аи = и С Г превращается в константу
Рис. В7. Спектральная плотность
гауссова случайного процесса
(напомним, что J(w) — интегрируемая функция и равняться константе во всем
интервале частот -оо < ш < +оо в принципе не может). Это так называемый
«белый шум». Такое приближение для спектральной плотности J(u>) может быть
использовано только в том случае, когда полоса рабочих частот А^од, вырезаемая
или прибором, или какой-либо функцией, стоящей вместе с J(u) под знаком
интеграла, уже величины Г, А^эфф <С Г. Во временном представлении белому шуму
соответствует так называемый ^-коррелированный случайный процесс
= 2nJ@) 6(t).

§ 6. Смещение во времени случайной величины и формула Эйнштейна 153
§ 6. Смещение во времени случайной величины
и формула Эйнштейна
Рассмотрим процесс ?(<), представляющий случайные отклонения некоторой
величины от своего среднего значения. Имеем поэтому | = 0. Определим случайную
величину, называемую «смещением» ?(t) (или «накоплением» ())
Пусть ?(<) представляет собой стационарный случайный процесс. Запишем для этого
случая смещение во времени (или накопление) среднего квадрата величины ц: .
t t t t
rf(t)ri(t) = \v(t)\2 = J' «tti J dt2 Р(Ш<|) = J dt, J dt2 ?¦(«, -t2).
0 0 0 0
Записывая корреляционную функцию @~{t\ - t2) с помощью спектрального пред-
представления и беря интеграл по t\ и t2,
J-"n ' ' +00
\r](t)\2 = f dw J(w) I dti f dt2 e~iu{il~i2) = [ dw J(w)i-4
1Ш
-oo 0 0
получим
+00
Пусть спектральная плотность 1{ш) имеет вид, определенный в предыдущем пара-
параграфе,
В этом случае величину |т/(?)|2 можно рассчитать до конца. Введем безразмерные
величины а = Tt и х = wt. Тогда
+00
1 Г . 1 - cos х а2
to(t)|2 = 2jrJ(O)*---/ dx . . .
/w ж J x2 x2 + a2
-00
+00
= 2nJ@) t- f dx A - cos x) (X: - , ' .,} = 2nJ(Q) t-(I0- Ia).
ж J \x* xl + a1 J
-00
При взятии интеграла 1а выберем соответствующее лемме Жордаиа замыкание
контура интегрирования на комплексной х-плоскости полуокружностью сверху
(рис. 88). Тогда сразу получим, беря вычет в точке х = ia,
+00 +00
1 Г 1-cosx \ f 1-е" 1 .1-е-" 1 - е~а
1а = - dx —. г- = Re - I dx —7 гт = - • 2jrt —— = .
ж J x2 + а2 п J (x + га)(х - »а) ж 2»а а

154
Глава 3. Некоторые вопросы теории случайных процессов
При а -+ О имеем /„ —» /о = 1, и мы получаем
окончательно
Рис. 88. Контур интегрирова-
интегрирования при расчете интеграла 1а
Учитывая, что
тгJ(O)r =
+ 00
= /"
получим в случае малых t, таких, что Г$ <С 1,
(как бы «механический» результат, являющийся следствием соотношения r)(t) = (-t,
связывающего смещение и скорость при малых <)> а в случае больших t, Tt > 1,
Это — уже формула Эйнштейна (см. гл. 2, § 1). График функции приведен на рис. 89.
w
Рис. 89. Зависимость среднего квадрата
смещения случайной величины от вре-
времени
Рис. 90. Структура подынтегральных вы-
выражений, определяющих величину т;2(()
в случаях П < 1 и П > 1
Эту оценку величины \r)(t)\2 при П < 1 и Tt > 1 можно было сделать и не при-
прибегая к конкретному виду функции J(u) (необходимо только знать величину J@)
и ширину спектральной плотности Г). При Tt < 1, как это видно на рис. 90, область
интегрирования по ш в интеграле для \r)(t)\2 определяется функцией J{u), причем
в этой области 20-с^И) „ &. Поэтому при Tt < 1
+00
j

§ 7. Применение к броуновскому трансляционному движению 155
При больших t, когда Vt > 1 (шкала брауновского движения), область интегриро-
интегрирования по ш определяется функцией ?('~С^И») внутри которой «шум» переменной ?
можно считать «белым», J(u) == J@), и мы сразу получаем формулу Эйнштейна
+00
+
1 f 1 _ СОс х 1Р^
= 2tJ@) t ¦ - I = dx = 2tJ@) t = -±- ¦ t
ж J xl Г
—сю
§ 7. Применение к брауновскому
трансляционному движению
В качестве простейшего приложения метода спектральных разложений, назы-
называемого также методом Раиса (S. Rice, 1940-e гг.), рассмотрим знакомое нам уже
по гл. 2 брауновское одномерное движение. В результате проведенного в главе 2
физического анализа системы мы выявили следующее расположение характерных
временных интервалов: т = 1/Г0 < Тц = 1/Г, где т — время корреляции слу-
случайной силы F(t), тм = 1/Г — время установления стационарного случайного
процесса для импульса p(t). Все рассмотрение задачи методом спектральных раз-
разложений представляется как последовательность частных случаев, соответствующих
все возрастающим интервалам времени t.
1) 1/Г0 < t < 1/Г — случайный процесс F(t) стал стационарным, а случайный
процесс p(t) еще не стал таковым. Для спектральной плотности стационарного
процесса F(t) положим для определенности
В рассматриваемом случае ?(<) = F(t) — случайная стационарная сила, действующая
на частицу, смещение jj(<) = p(t) — ее импульс. Обозначим чисто формально
J@) = ув/ж (т. е. просто введем вместо J@) величину 7), тогда согласно результату,
полученному для |^(<I2 в предыдущем параграфе, получаем формулу Эйнштейна
дляр2:
Конкретная структура спектральной плотности 1(ш) случайного процесса F(t)
на этом результате не сказывается.
2) Выясним теперь, что такое у, т.е. чему равна величина J@). Пусть
О т = 1/Г, где Г — коэффициент «вязкости» в уравнении
p + Tp = F(t).
В указанном промежутке t процесс p(t) является уже стационарным. В «спек-
«спектральной» форме это уравнение имеет вид алгебраического уравнения для фурье-
компонент
-iwpu + Трш = Fu, или ри = v_iu-
Используя теперь условие стационарности случайного процесса, полученное в § 5,
имеем по отношению к процессам F(t) и p(t) одновременно
1

156
Глава 3. Некоторые вопросы теории случайных процессов
Подсчитаем теперь с помощью полученной спектральной плотности Jp(u) величи-
величину р2 (рис. 91):
+оо
r>2 -
*To)(w-*To)
1_
В рассматриваемом нами случае Го > Г (или
Т < тм) вторым слагаемым в скобках можно прене-
пренебречь, а в первом — положить Г2, - Г2 = Г2,. Тогда
величина Го вновь выпадает из рассмотрения, и мы
получаем
Рис. 91. Контур интегрирова- Но так как мы знаем, что р2 = тв в случае устано-
ния на комплексной w-плоско- вления равновесного распределения по импульсам, то
сти при расчете величины р* выходит, что введенный нами «неизвестный» коэффи-
'"^ циент 7 = *яГ = 6згЛ»7 действительно есть та самая
величина, которая обозначалась этой же буквой в гл. 2.
3) t » I/Г. В этой шкале времени p(t) — случайный стационарный процесс,
характеризуемый спектральной плотностью с уже известным ее значением в точке
ш -О:
Полагая теперь
, а смещение ri(t) — mx(t), получим сразу
""77 * 7* 1 _ 2в
т2 ж Г2 ~ 7
— это формула Эйнштейна для смещения брауновской частицы (в грубой шкале
О1/Г).
Сделаем небольшое замечание по по-
поводу продемонстрированной методики. Мы
выбрали в качестве исходного момента гаус-
совую спектральную плотность J{w), харак-
характеризующую случайное воздействие F(t),
и получили сразу, что процесс p(t), став при
t > 1/Г стационарным, гауссовым в стро-
строгом понимании уже не является, так как
ДО)
1
Спасает положение предельное соот-
соотношение Го > Г. Действительно, вне за-
зависимости от конкретной структуры функ-
Рис. 92. Сравнительные графики спектраль-
спектральных плотностей J(u), характеризующей слу-
случайное силовое воздействие на частицу,
и Jp(w), характеризующей изменение ее им-
импульса p(t) в результате этого случайного
воздействия в случае Го > Г

§ 8. Формула Найквиста
157
ции 1(ш) спектральная плотность Jp(w) определяется двумя сомножителями, изобра-
изображенными на рис. 92, из которого ясно, что при Го > Г шум J(w) в представленной
конструкции можно аппроксимировать белым, т. е. положить J(w) = J@), а гауссо-
вость процесса p(t) будет обусловлена не деталями J(w), а множителем 1/(Г2 + ш2),
возникающим как следствие использованного нами уравнения Ланжевена для p(t):
§ 8. Формула Найквиста
Предположим, что с помощью некоторого фильтра в спектральной плотно-
плотности 1{ш) случайного стационарного процесса ?(t) сохранена только полоса частот
(ш, ш + Аш) в том диапазоне @, и>о), где
шо < Г, в котором спектральную плот-
плотность можно аппроксимировать константой
J(u>) =* J@) («белый» шум, рис. 93). Тогда ¦
с помощью обрезанной спектральной ин-
интенсивности
j (т.
если
в иных случаях,
—ео-Дсо —ш 0 (о ш+Дй>
Г а»'
можно определить стационарный «шум» ве-
величины ?2 в данной полосе частот
Рис. 93. Выбор полосы частот (и, ш + Аи)
при выводе формулы Найквиста
+0О
Заметим, что эту величину можно связать с другими характеристиками случайного
процесса $(t), в частности, со средней величиной ?2 во всем диапазоне частот и с ко-
коэффициентом при t в формуле Эйнштейна для дисперсии смещения ^-процесса r)(t).
Полагая процесс ?(t) гауссовым, имеем согласно § 5, б
тгГ 2nt '
откуда получаем сразу два варианта для f2)^:
» Ды ~~
Аш tf2(t) Аш
Г ж t ж
Это и есть формула Найквиста, записанная в несколько абстрактном виде.
Используем ее прежде всего для системы, рассмотренной в предыдущем па-
параграфе. Стохастическое уравнение движения для импульса брауновской частицы
имело простейшую структуру (уравнение первого порядка)
р + рТ — F(t), Г = —.
m
При t > т = 1/Г0 процесс случайного воздействия на частицу F(t) становится
стационарным, а процесс p(t) — стационарным и гауссовым (см. также гл. 2,
задача 28) при t > тм = 1/Г. Из физических соображений мы имеем Г < 1/т.

158
Глава 3. Некоторые вопросы теории случайных процессов
Условие р2/Bт) = 0/2 при t > 1/Г определяло нам значение в точке ш — О
спектральной плотности J(w) процесса ? — F(t):
или коэффициент в формуле Эйнштейна для r)(t) = p(t):
Заметим, что для определения ?2 = F2(t) сведений, включенных в стохастическое
уравнение, недостаточно, необходимо привлечь еще один параметр — ширину
спектральной интенсивности этого процесса Го = 1/т. Имеем
что полностью согласуется с использованным нами в § 1 гл. 2 условием (рт/BТ) =
р2 = тпв (см. также гл. 2, задачу 2).
Согласно формуле Найквиста (после сделанных напоминаний — любому ее
варианту) имеем для оценки теплового шума случайного воздействия на брауновскую
частицу я полосе частот Aw, выбираемой произвольно внутри диапазона @, wo),
величину
f
определяемую значениями только макроскопических параметров (температура, ко-
коэффициент вязкости среды, размер брауновской частицы).
Перейдем теперь от свободного брауновского движения частицы — несколько
формального примера, на котором было удобно представить всю схему рассуждений,
к физически более интересному случаю, для которого формула Найквиста и была
впервые установлена, — к оценке теплового шума ЭДС на концах сопротивления R.
Включим данное сопротивление в электрическую цепь так, чтобы реализовалась
рассмотренная выше схема. Самый простой вариант
такой цепи, эквивалентная схема которого представлена
на рис. 94, — короткозамкнутое сопротивление (вариант
с разомкнутым сопротивлением рассмотрен в задаче 17).
Имеем для тока /
R
Обозначая jp = LI,m = L,T = R/L имеем сразу
оценку шума ЭДС в интервале частот До; (опять -
только через макроскопические величины)
Рис. 94. Эквивалентная элек-
трическая схема короткозам-
кнутого сопротивления с гене-
ратором теплового шума ЭДС ?
Это и есть собственно формула Найквиста (Н. Nyquist, 1928). Ее же можно получить
и при других вариантах выбора электрической цепи (см. задачу 17), в которой
участвует данное сопротивление. Использование спектральной техники — это лишь
удобный прием ее получения, и мы видели (гл. 1, задача 28), что формула для
теплового шума ЭДС сопротивления, находящегося в состоянии равновесия с тер-
термостатом, может быть получена из общих соображений, минуя процедуру частотных
разложений, предположение о гауссовости случайного процесса и т. д.

§9. Обсуждение 159
§ 9. Обсуждение
Еще раз подчеркнем некоторые моменты проведенного в этой главе исследо-
исследования.
1) Не располагая каким-либо общим аппаратом, из которого можно было бы
как в частном случае получить необходимые функции распределения, нам пришлось,
исходя из самых общих соображений, последовательно сужая класс рассматриваемых
процессов и накладывая все большее число дополнительных условий на систему,
прийти к замкнутому формализму, описывающему гауссовый марковский случайный
процесс. Это, конечно, весьма частный случай случайного процесса, но физические
основания принять эти ограничения были — мы их заимствовали из гл. 2. Может
быть, экономнее было бы просто декларировать необходимые конструкции для
функции распределения или уравнения для них, но такой метод построения теории
(который можно оправдать только с практической точки зрения, но никак не с ме-
методической и научной) не выявил бы физических условий применимости аппарата.
2) Изложенная в главах 2 и 3 теория — это теория неравновесных процессов (ко-
(конечно, только для систем определенного типа). Один из моментов ее построения —
это условие, чтобы получаемые с ее помощью средние величины при наступле-
наступлении стационарности случайного процесса (формально при t -* со) переходили бы
в средиHej_pacc4HTaHHbie по методу Гиббса.
3) Во второй половине главы (§ 4-6) мы познакомились с техникой спектраль-
спектральных разложений. Она имеет большое распространение, так как удобна при рас-
рассмотрении конкретных вопросов. Общие идеи этого метода, которые естественным
образом возникли в недрах теории колебаний, оказались весьма универсальными
и используются последние десятилетия (в различных модификациях) во многих раз-
разделах теоретической физики, особенно в квантовой теории, квантовой статистике
и т.д.
4) Остановимся на несколько иной точке зрения на процедуру введения ча-
частотных представлений в теории случайных процессов. В § 5 мы сформулирова-
сформулировали s-процедуру с тем, чтобы обеспечить существование фурье-образа функции ?(?),
не имеющей свойства достаточно быстро убывать при |?| -+ со (эта функция вообще
даже не убывает, она блуждает около значения ? = 0). Эта процедура является
частным случаем более общей, заключающейся в замене исходной функции (?)
на другую:
где g(t) — регулярная функция, обеспечивающая существование фурье-образа
и практически равная единице для конечных t (рис.95).
В § 5 мы сделали простейший выбор:
g(t) = e-f|", e > 0, е - 0.
-т о
Рис. 95. Различные варианты выбора обрезающей на < -¦ ±оо случайный процесс ?(<) функции g(t)

160 Глава 3. Некоторые вопросы теории случайных процессов
Из других возможностей рассмотрим только одну:
Г 1 при \t\ < Т,
\ 0 при |*| > Г,
соответствующую тому случаю, когда из «ленты» значений $(t) вырезается кусок
(или серия одинаковых по длине кусков), для которого —Т <t <Т. Конечно, при
этом выборе функция g(t) уже не гладкая, но зато появляется возможность говорить
о среднем значении по временному интервалу (-Г, Г) вместо того, чтобы говорить
о среднем, вычисляемом с помощью функции w. Этот способ исторически возник
раньше е-процедуры и в явном виде не использует обязательного для нас предпо-
предположения об эргодичности случайного процесса ?(f) (см. § 2). Определим предель-
предельную Т-процедуру (заменяющую в данном случае е-процедуру) следующим образом:
1*1 < Т,
и получим с ее помощью основные формулы § 5. При любом заданном Т введение
фурье-представления теперь проблемы не представляет:
+ 00 +00
+
((t, T) = f иТ)е~Ы &», &(Т) = ~ J 0, Т)еы dt,
Определим временную корреляционную функцию случайного процесса ?(<) как
предел среднего по большому интервалу 2Г:
Т +оо
/*'(«W + 0 ^ = ^ j? / е'(*''ТШ*'+ *'Т)dt> =
/
-Т
h Idt> II ** **С{т) ur> ei{u~^ ¦ e'ia't
+00 +00
h I
-00 -00
Полагая случайный процесс стационарным:
+00
V(t')({f + t) = Щ1) = У da» J{u)
-00
получаем знакомое по § 5 условие стационарности
+ 00
Т-«оо 2Т J
-00
где спектральная плотность случайного процесса ?(<)
+оо +оо +Т
J(w) = — / dt §ra) eiwt = — I dt Mm ~ f f"(t') t(t' +1) eiwt dt1.
2ir J 2к J г-.оо 2Т J s K ' y '
-00 -00 -T

§9. Обсуждение 161
Отметим еще одну точку зрения на понимание среднего в теории случайных
процессов. Можно представить, что «лента» записи процесса ?(t) разрезана для
простоты на равные куски, соответствующие конечному интервалу 2Г, и затем
производится усреднение по большому набору этих отрезков
Х Т+2Тп
га-Д.агй Si / /m)tL
n—ff -T+ТГп
Этот вариант сводится к рассмотренному выше случаю, так как, введя Т = T(\+2N),
получаем, что
±
7@= Hm -L Г f(t(t))dt.
Т—оо ЖГ J
-т
5) И наконец, кратко опишем материал, отнесенный к разделу задач. Задачи 1-3
интересны в том отношении, что, выявляя корреляционные свойства случайного
процесса типа суммы независимых воздействий на систему, мы не делаем никаких
предположений о гауссовости и т.д. (судя по результатам, они и оправдались бы).
В параграфе, посвященном общим свойствам спектральной плотности, исследуется
вопрос о модификации спектральной плотности, связанной с переходом к более
грубой шкале времени (или к использованию для измерения случайного процесса
более грубого прибора) (в задачах 4, 5 никакой гауссовости самостоятельно не воз-
возникает), выяснены условия, которым должна удовлетворять спектральная плотность
^-процесса для того, чтобы ^-процесс (^-смешение ?) мог быть стационарным
G, 10), в задачах 10 и 13 обсужден вопрос о сопоставлении метода спектральных
разложений и развитого в гл. 2 метода стохастических уравнений.
Задачи 11,12 — примеры точного расчета корреляционных свойств на основе од-
одного метода Гиббса (без дополнительных предположений). Такие расчеты проводятся
до конца только для идеальных систем, в которых зависимость от времени опера-
операторов рождения и уничтожения может быть представлена в виде множителей е*1'**'.
Мы остановились на равновесном излучении, так как несложные проблемы, пред-
предложенные в задачах 11 и 12, не требуют привлечения теоретико-полевых методов.
В задачах на метод Раиса следует отметить задачу 14, где проведено исследование
корреляционных функций и спектральных плотностей для систем типа осциллято-
осциллятора в вязкой среде. Такие системы встречаются в целом ряде проблем (у нас —
в задачах 18, 24-26).
Задачи 16-21 о тепловых шумах в электрических цепях достаточно традиционны,
за исключением, пожалуй, только задачи 21 — в ней исследуется вопрос, как
модифицируется формула Найквиста при учете в проводнике токов смещения
(высокие частоты, но эффектов запаздывания еще нет).
Наконец, в последнем параграфе рассмотрены задачи, в которых используется
двумерное гауссово распределение w2F.6) с целью выявления корреляционных
свойств ^-процесса. Наряду с общими вопросами рассмотрены случайные процессы
в системах, включающих нелинейный элемент (у нас — детектор электрической це-
цепи). В обсуждении к задаче 24 рассмотрен вопрос о том, каков должен быть тепловой
шум простейшего нелинейного элемента (детектора), чтобы он не выполнял бы роль
демона Максвелла. Последняя задача — о шуме фазы волны, прошедшей через
систему с флуктуациями. В ней выяснено, как при этом меняется спектральный
состав падающего на систему регулярного сигнала и каковы условия возникновения
комбинационного рассеяния (эффекта Мандельштама—Рамана).

Задачи
и дополнительные вопросы
§ 1. Сумма независимых воздействий как случайный
процесс и его корреляционные свойства
Задача 1. На систему со средней частотой п раз в секунду действуют независимые
импульсы так, что время возникновения каждого из них tt является случайной
величиной. Определить дисперсию и относительную флуктуацию числа импульсов,
действующих на систему в течение заданного интервала времени AT.
Решение. Пусть Т — интервал времени, значительно превышающий AT. Так как величина п
фиксирована, то при Г —» оо полное число импульсов, действующих на систему за это время,
N —» bo. Введем вспомогательную ступенчатую функцию
Г 1, если t попадает в интервал AT,
1 0, если t вне AT,
определяющую число импульсов в заданном интервале AT,
N
N(AT) = ^Г f{ti).
1=1
Так как
AT
то
N(AT) = Nf(t) = 'фАТ = пАТ,
N2(AT) = Nf(t) + N{N - 1)GЩJ = пАТ + (N(AT)J,
откуда
(AN(AT)J = N*(AT) - (N(AT)J = пАТ, ' '
Задача 2. Импульсы одинаковой формы a{F(t - U) независимо действуют на систему
со средней частотой п раз в секунду так, что время возникновения каждого из них ?,-
является случайной величиной, а средний квадрат амплитуды о2 конечен (если распре-
распределение амплитуд симметрично относительно о = 0, то о = 0). Определить временную
корреляционную функцию этого однородного во времени процесса и спектральную его
плотность для случаев ступенчатой и гауссоподобной формы импульсов
a) Vai-F(t) = f(t) = fu при |<|< I; f(t) = 0 при Ю I;
б) V7F(t) f(t) =
Рассмотреть случай т -+ 0, /от = 1 (tf-образные импульсы).

§ 1. Сумма независимых воздействий как случайный процесс 163
Решение. Предлагаемый случайный процесс имеет вид суммы
Выберем достаточно большой интервал времени Г такой, что Г ^ 1/п (формально Т —» оо),
и усредним величину {(t) По интервалу (-Т/2,Г/2), т.е. по пГ импульсам, считая, что их
амплитуды распределены независимо от распределения {,-:
"Г f
Переходя к пределу Г -> оо, имеем
•=' -г/2
+О0
у л* 240-
-00
В среднем
яг
Со) = X) Z) a'eip(*o +« " ti)F(t0 - t,)
i=l ;=l
выделим слагаемые i = j, тогда, переходя к пределу Г -¦ оо, получим
№+t)S(to) = nTtfFito + t-tJFito-ti) + (|J,
откуда для корреляционной функции имеем
+
о) -? = па* fdt'
Обозначим va^F(t) = /(<) и рассмотрим частные случаи,
а) Прямоугольные импульсы (рис. 96):
Г Л, если |1|<г/2,
/(°"\0, если |<|>г/2,
a
for,
О, если |<| > г.
Спектральная плотность случайного процесса из таких ступенек (разной амплитуды и знака,
но одинаковой длительности г) имеет вид
В пределе т -> 0 и /ог = 1, когда /(<) -¦ S{t), получаем
<F(t)-*n6(t), J(«)-»^
т. е. рассматриваемый процесс вырождается в «белый шум».

164
Задачи и дополнительные вопросы к главе 3
/WA
t
Л
От
J(©)
Рис. 96. Корреляционная функция
и ее спектральная плотность J(w) для слу-
случая импульсов f(t) прямоугольной формы
б) Рассмотрим случай, когда
Рис.97. Корреляционная функция ()
и ее спектральная плотность J(w) для
импульсов f(t) колоколообразной формы
¦0F
Подставляя эту функцию в полученные ранее общие формулы, получаем (рис. 97)
а
¦for,
fir l
= n
2тг
ехр< -
В пределе г -¦ 0 и /ог = 1 мы получим те же результаты, что и в первом случае. >
Задача 3. Случайный процесс предаавляет собой сумму независимых друг от дру-
друга импульсов, моменты наступления которых U распределены случайным образом,
а их длительности Д<, — по заданному распределению w(?d). Определить корре-
корреляционную функцию такого процесса и его спектральную интенсивность для случая
прямоугольных импульсов, считая, что средний квадрат их амплитуды равен единице,
о? = а2 = 1, а распределение по длительности имеет вид
w(At) = (-\ е-д'/т или w(At) = 6(&t - т)
(все импульсы одинаковой длительности т).

§ 1. Сумма независимых воздействий как случайный процесс
165
Рис.98. Случайный процесс ((?) (заштрихованный контур), образованный
в результате сложения прямоугольных импульсов (сплошные линии)
Решение. Случайный процесс подобного типа мы рассматривали в § 1 гл. 2, когда исследовали
характер одномерного брауновского движения.
В случае прямоугольных импульсов рассматриваемый случайный процесс имеет вид
контура заштрихованной на рис. 98 многоступенчатой фигуры.
Запишем исследуемый случайный процесс в виде
«¦>-!>'(?*)¦
Среднее значение для каждого из независимых импульсов (при усреднении по Д* мы
обозначили переменную интегрирования At = t')
Г/2
О -Г/2 0 JI(,_r/2)
Если ширина т распределения w(t') конечна и время усреднения Г значительно больше
средней длительности импульсов, Т > F = г, то интеграл по х можно распространить на все
значения г, и мы получим
+00 . +00
— N7 Г
i(t) = 5—J F(x) dx = an
-00 -00
где n = N/T — среднее число импульсов, действующих в секунду на систему. При расчете
корреляции ((to) С Со + 0> как и в предыдущей задаче, выделим слагаемые с t = j и перей-
перейдем к пределу Г —» оо, n = const. Тогда для корреляционной функции рассматриваемого
случайного процесса получим
00 +00
J ( tj dx.
+00
J F(x) dx,
3f{t) = Д{(«„)Д{(«0+*) =
+
t'w(t') dt' J F(x)
Подставим в эту формулу явный вид функции F(x), определяющей форму отдельного
импульса,
( 1, если 0 < х < 1,
F(x) = {
I 0, если х вне @,1),

166 Задачи и дополнительные вопросы к главе 3
распределение w(t') = е~г^Т/т и учтем, что а2 = 1. Тогда получим (см. для сравнения §5)
после расчета интегралов
п т2 п
тг ш2т2 + 1 ж
где т = 1/Г = At — время корреляции случайного процесса ?(<). Появление экспонен-
экспоненциальной зависимости fF(t) ~ е~п, характерной для корреляционной функции гауссовых
процессов, в данном случае связано с выбором распределения w(t').
Для другого варианта w(t') = 6(t' — т) — все импульсы одинакового размера, получаем
выражения '
( п(т - t) при 0 ^ t < г,
Л;
О при t > т,
~~" \ П7 /sin (шт/2)\2
повторяющие результаты задачи №2а (при /02 -а2 - I). >
§ 2. Некоторые общие свойства спектральной плотности
Задача 4. Определить, как изменится спектральная плотность J(w) случайного ста-
стационарного процесса ?(?), если показание прибора, с помощью которого измеряется
величина ?(?), соответствует среднему значению величины ?(<) за время каждого
из измерений At = т.
Решение. Имеем согласно § 5 спектральное представление исходного случайного процесса
Случайный процесс, измеряемый с помощью прибора в более грубой шкале времени, также
может быть представлен в виде разложения по частотам,
(+т/2 +оо
— 1 Г Г —
т J J
«-т/2 -оо
эткуда для его спектральной амплитуды имеем
- _ sin (wr/2)
шт/2
Гак как процесс ?(t), а следовательно, и ?(<) — стационарны,
= J(w) б(и - и'),
Мы видим, что прибор, дающий усредненные по интервалу т показания, фактически
>брезает частоты |w| ^ 2тг/г в спектральной плотности исходного случайного процесса
рис. 99). Если ширина спектральной плотности J(w) исходного пронесся ?(/) намного

§ 2. Некоторые общие свойства спектральной плотности
167
превышает величину 2тг/г, как это изображено на
рис. 99, то в формуле для J(w) можно произве-
произвести замену J{w) -> J@), и структура эффективной
спектральной плотности J(w) определится только
параметрами прибора (от исходного процесса оста-
остается только J@), остальная информация теряется).
Соответствующая J(w) временная корреляционная
функция была получена в задаче 2а и 3:
лт-т
Рис. 99. Изменение спектральной плот-
Мы полагали выше, что прибор производит усред- ности случайного процесса в результате
нение всегда точно по интервалу ((- r/2, t + т/2). огрубления шкалы времени
Те же выводы можно получить и для случая, ко-
когда т — среднее время измерения, а распределение по интервалу измерения t' определяется
некоторой функцией w(t'), например, гауссовым распределением
Тогда
j
?(t) = J w(t-t')Z(t')dt',
—00
и в соответствии с результатом задачи 26
J(u>) = J(O)exp{-^
= exp | -
^
" &}¦
Задача 5. Средняя тепловая скорость брауновской частицы массы m ~ 10~12 г (что со-
соответствует ее размеру R ~ 10~4 см) в среде с температурой Т ~ 300 К и вязкостью
?7 ~ 10~2 г/(см ¦ с) оказывается в 103 раз больше экспериментально наблюдаемой
ее скорости. Учитывая, что визуальное измерение скорости реализуется за конечный
промежуток т ~ 0,1 с, показать, что это расхождение теории с экспериментом является
кажущимся.
Решение. Согласно задаче 4 среднее от квадрата огрубленной по At ~ r амплитуды случай-
случайного процесса ?(<) равно
sin (wr/ 2
Подставляя в этот интеграл простейшее выражение для спектральной плотности (см. § 6,
а также задачу 28 из гл.2), модель ее, как мы увидим, несущественна,
H = J@)
Г2
«2 +Г2'
получим, 'обозначая х = шт и а = Гг ,
*5 2J@)tt 1 Т1- cos x
_ 2J@)tt \_ Г l-cosa; а
~ - ' - / 3.2 ' Т2 ¦
2 л 2J<®*
dx =

168 Задачи и дополнительные вопросы к главе 3
откуда, учитывая, что ?2 = J@) • тгГ, получаем
? Тт \ Тт ) '
Полагая j = mV = 6*r)R и используя данные, приведенные в условии задачи, получаем, что
ГУ ~ 2 • 106, т.е. замену J(w) на J@) в исходной формуле можно сделать сразу. Опуская
второе слагаемое в круглых скобках, получаем
где
/3fcT
= у — ~ 2- 10н см/с.
Задача 6. Показать, что корреляционная функция @"{t) стационарного процесса,
описываемого действительной случайной переменной ?(t), имеет экстремум в точке
t = 0, а спектральная плотность J(w) — в точке ш = 0.
Решение. В стационарном случае для действительных ?({)
0 = *(«о -
откуда сразу же следует аналогичное свойство спектральной плотности
J(w) = J*(w) = J(-w).
Так как в силу четности J(w)
+30 +00
= /" J(w)e""" dw = / J(w) cos (wt) du,
то
+эо
Г
(ш) sin (ut) dui.
+ 30
= - I
Полагая, что спектральная плотность J(w) имеет ширину Г, будем иметь для малых t,
таких, что П < тг/2,
+«
откудагразу следует, что при t = О 3*"@) = 0. Естественно, что этот результат справедлив
только для таких случайных процессов, для которых не только J(w), но и w2J(w) являются
интегрируемыми функциями. Гауссовский процесс этому требованию не удовлетворяет, так
как Jg(w) ~ (w2 + Г2) и при ш -* оо величина w2JG(w) —» cohst (кстати, для гауссова
процесса производная &A) в точке t = 0 вообще не определена).
Исследование спектральной плотности J(u) в области w^O производится аналогичным
образом. Имеем
+ 0О +50

§ 2. Некоторые общие свойства спектральной плотности
169
При малых значениях ш, таких, что ш/Г < тг/2, получаем
+00
откуда и следует (при условии существования написанного интеграла по t), что J'(w)
при w —»0.
Задача 7. Стационарный случайный процесс
имеет временную корреляционную функцию
^¦@)е"г1'1. Найти корреляционную функцию ()
и спектральную плотность 1(ш) для процесса
&
Решение. Так как для стационарного процесса
то
Отсюда следует также и связь спектральных плотиостей
Эти формулы верны, если функция @~(t) всюду диффе-
дифференцируема, а умножение спектральной плотности У(ш)
на ш2 не нарушает ее интегрируемости. Однако предло-
предложенный вариант fF(t) (в области \t\ < г являющийся
формальной интерполяцией действительного поведения
при \t\ > т) производной в точке t = 0 вообще не имеет.
Поэтому представим себе графически поведение реальной
корреляционной функции с учетом свойств !W(t) и J(w),
отмеченных в задаче 6. При г —» 0 реальная функция &"(t)
все ближе подходит к модельной, а центральный пик ff(t)
неограниченно возрастает как Д-функция. Формально же
2 ^@)Г ш2 Г 2 Рис. 100. Графики корреляцион-
1{ш) = ш Цш) = —— ¦ rj+w2 = -Щ0) - Г Цш), ной функции gr(t) _ ptffy ee
производной и корреляционной
т. е. случайный процесс C(t) = (it) содержит в качестве . _.,ч 7Г7777777
компонента белыГшум ГV@)/*. Переходя к <-предста- ФУН|"*ИИ ^ = «*(°)«W с Учетом
влению, получаем их Рольного поведения в негаус-
совои облааи \t\ < г
Щ) = 2Г^@) 6A) - Г2ЗГ(О)е"г|'1,
где А-функцию надо понимать как пик ширины г, ограничивающий над осью t единичную
площадь. Графики функций Sf(t), ее производной и !7(t) представлены на рис. 100. >
Задача 8. Стационарный случайный процесс (,(?) характеризуется временной корре-
корреляционной функцией !W{t) = ^"@)е~г1'1. Определить корреляционную функцию G(t)
и спектральную плотность I(w) для стационарного процесса С@' связанного с ?(t)
дифференциальным соотношением ?(i) + T((t) = ?(t) в случае Г < Г.
Решение. Переходя к спектральному представлению, имеем

170
Задачи и дополнительные вопросы к главе 3
откуда
и мы, учитывая явный вид спектральной плотно-
плотности J(u) гауссова процесса {(t) для спектральной
плотности процесса f (t), получаем
Соответствующая ей временная корреляционная
функция f-процесса имеет вид (см. рис. 101)
Задача 9. Для стационарного процесса, они- рис ш Сте я плотность 1{w)
сываемого действительной случайной перемен- и соответствую;ая ей корреляционная
ной ?@лакои, что среднее от квадрата ее сме- функция GW/ характеризующая случай-
щения ri2(t) на временах, превышающих время ный процесс С@ (см. задачу 8)
( установления стационарности ?(t), ведет себя
в соответствии с формулой Эйнштейна, определить поведение на этих временах средних
и ri(t)€(t) (т. е. корреляцию «координаты» со скоростью щ и ускорением Tfij).
Решение. Согласно § 6 дисперсия смещения величины {(t)
определяется интегралом
+00
= J'*
2A-cos И))
/..2
Используя известное представление для Д -функции
к
*/ \ I- ' f <**л ' sin Кх
б(х) = lim — / е dk =
v к-<х> 2тг J ж х
-к
вьщелим подобную структуру в подынтегральном выражении для tj1. Учитывая, что
6(ш/7) = 2 6(ш) и что sin И/2)/Н/2)|щ=0 = 1, имеем сразу
К-х
sin
— формулу Эйнштейна, полученную в § 6 несколько другим способом. Продифференцировав
исходную формулу для ri2(t) по t,

§ 2. Некоторые общие свойства спектральной плотности
171
получаем в пределе t —» оо требуемую величину
,-«=^>Lo =
Вторая же производная выражается через корреляционную функцию
= 2 У cos (wf)J(w) dw =
откуда
n№(t) = У (cos (wf) - \)i\w) dw = ^(f) - <F@),
Задача 10. Пусть ?(?) — стационарный слу-
случайный процесс со спектральной плотностью
J(w). Выяснить, каким условиям должна удо-
удовлетворять функция J{ui), чтобы процесс сме-,
щения во времени (или накопления в,о времени)
случайной величины ()
dt1
был бы тоже стационарным.
J@)r
1-cos (cot)
„2
0)
Рис. 102. Структура функций, образую-
образующих подынтегральное выражение в фор-
формуле для t]2(t) в случае, когда зта вели-
величина при t —» оо перестает зависеть от t
(сплошные линии)
Решение. Из результатов задачи 9 следует, что про-
процесс r](t) может быть стационарным только в случае
J@) = 0 (рис. 102). Это, конечно, только необходи-
необходимое условие.
Чтобы более подробно выяснить ситуацию при
больших t (формально даже t —* оо) в связи с воз-
возможностью стационарности процесса t](t), заметим, что используемая нами формула для rj(t)
несколько неудобна, она как бы приспособлена для конечных t. Полагая для определен-'
ности <о > 0. напишем выражения для r)(t0) и ri(to + t), сдвинув интервал интегрирования
на величину -t0,
о 1
?(*,)<«,, r)(to+t) =
-lo -к
и обратим внимание, что интегралы по t, и t2 при t0 -» оо требуют доопределения в том же
смысле, что и интегралы, определяющие спектральные амплитуды ?„. Введем, как и в §5,
?-процедуру, заключающуюся в замене ?(t) —> i(t)e€t, е > 0, ? -»0 (при конечных t0
и t это доопределение на результатах никак не сказывается). Тогда, представляя ?*(<i)
и ?(<2) в виде спектральных разложений, используя условие стационарности {-процесса,
С&>' = J(w) &(w ~ w')> и интегрируя по t, и t2, получаем
+0
= [
dw
4

172 Задачи и дополнительные вопросы к главе 3
Если <о и t конечны, то, полагая в -* 0, мы можем получить отсюда все результаты, которые
обсуждались ранее, а также будут рассматриваться в задаче 13 и др. В пределе же t0 -» со
зависимость от t0 исчезает, что характерно для стационарного процесса, и мы имеем
йш
+Х
f dw J,^
J
что полностью соответствует результату, полученному в задаче 7. Условие того, что ^-процесс
может быть стационарным, — это условие существования написанной выше корреляционной
функции, т. е. сходимости интеграла
+я
ч
dui
что возможно, если при и -»0 спектральная плотность J(w) убывает как ш2 или еше быстрее.
Физическая реализация случая, когда и процесс ((<) и ф) могут быть стационарными
(и выполняются все условия для J{u>)), — это брауновское движение в поле, обеспечивающем
фииитность пространственных смешений, например, в поле U = ах1, когда х2 = в/'Bа) —
конечная величина (см. задачу 33 из гл. 2, а также задачу 15).
Может показаться, что полученные выше выводы противоречат процедуре, предложен-
предложенной в 17 для рассмотрения брауновского движения. Рассмотрим этот вопрос несколько
подробнее. В случае, когда стохастическое уравнение имеет вид р + Гр = F(t), схема
реализуется как
о
(т.е. сопоставление F(t) = ?(<), p(t) = ф) справедливо только при П < 1, когда о ста-
стационарности процесса p(t) еше не приходится говорить). Отсюда, как и в § 1 гл. 2, мы
получаем
(
В случае Tt < 1 мы получаем формулу Эйнштейна
но при t —¦ со для данного процесса q(t) никакой стационарности не наступает.
При использовании в §7 метопа Раиса, когда мы писали
р + Гр = F(t) -» -iuPu + Три = Fu, pu = jt-^j,
мы полагали, что случайный процесс р{1) (а не q(t)) уже стал стационарным, иначе пред-
представление стохастического уравнения в виде алгебраического для спектральных амплитуд
не имело бы вообще смысла (поэтому метод Раиса и не давал промежуточных этапов перехода
от t < 1/Г к *> 1/Г, т.е. формулы (ДрI = тпв(\ - е~т)). Это приводило к спектральной
плотности процесса p(t), которая не являлась гауссовой:
Однако, используя физические соображения, мы полагали Гг > Г и сводили тем самым
случайный процесс p(t) также к процессу гауссова типа

§ 3. Временные корреляции в равновесном излучении
173
§ 3. Временные корреляции в равновесном излучении
Предлагаемые примеры интересны в том отношении, что для равновесного
электромагнитного излучения расчеты корреляционных свойств можно произвести
точно, без характерной для теории брауновского движения процедуры перехода
к огрубленной шкале времени.
Задача 11. Для равновесного электромагнитного излучения определить временную
корреляцию отклонений числа фотонов от их среднего значения AN(t)AN =
Решение. Используя результат задачи 14 из гл. 1, имеем
+ЗС +Х
е*""
w
бы.
' -ОС -ОС
Поэтому временная корреляционная функция определится интегралом
+0С
j
+00
= v
.-<** j~ =
где х = hw/в, k = 6t/h. Рассчитывая интеграл (см. приложение к задачам 11 и 12), получаем
ft3cJ
откуда
AN(t)AN =!
2*0
t<\.
О)
Рис. 103. Спектральная плотность кор-
корреляционной функции отклонений числа
фотонов от их равновесного значения
Рис. 104. Временная корреляционная функция
отклонений числа фотонов от их равновесного
значения
Графики временной корреляционной функции .^(<) и соответствующей ей спектральной
плотности приведены на рис. 104 и 103. Заметим, что рассчитанный пример случайного
процесса (точный расчет) ни в каком из приближений (для t или ш) не соответствует
гауссовому случайному стационарному процессу (это было видно из формулы для Jjr(<•>),
а также из поведения временной корреляционной функции ^N(t)). >
Задача 12. Для равновесного электромагнитного излучения рассчитать временную
корреляцию отклонений энергии от ее среднего значения AE(t)AE =

174
Задачи и дополнительные вопросы к главе 3
Решение. Так как (см. задачи 14, 16 из гл. 1, а также предыдущую задачу)
то
= V
2jt2c3 (<*»/» - IJ
• ш =
2тг2с3
в случае hu <? в,
V—— wV**1'* в случае
2i)
г
где Л = W/Л. Расчет этого интеграла приведен в по-
последующем за задачей приложении. Приведем частные
случаи:
в случае к « 1,
/4(fe) *?-**( i-l (
,/»(*) = -B»гL • 2jrfce
irt
в случае к > 1.
Заметим, что величиной Ц(к) определяется также
ш временная корреляция случайной величины ?(<) =
Рис. 105. Спектральная плотность кор- ^«7 (^0 + |>я('))> Ta*0M> что
реляционной функции флуктуации энер-
энергии равновесного излучения /e(u>) = т/2 +»
-Т/1 -эо
где « — средняя плотность энергии равновесного излучения. В этом случае спектральная
плотность корреляционной функции имеет вид (см. рис. 105)
в
4sh2
1$
в случае Ли < 9,
• ш*е~'ш1в в случае hu > в
(а не распределение Планка для спектральной плотности энергии рш(в), которое несимме-
несимметрично относительно ш = 0) с максимумом, расположение которого на оси w удовлетворяет
уравнению th { = {/2, решение которого ( = Нш<>($)/B$) = 1,4 определяет константу в законе
смещения, а сама корреляционная функция определяется формулой
Приложение к задачам 11,12
Встречающийся в этих задачах интеграл имеет вид
-О2
О2
Г хме
У 4sh2(
in^-ikx
¦dx.

§ 4. Метод спектральных разложений (метод Раиса)
175
При к = 0 эти интегралы (с помощью однократного взятия
по частям) сводятся к интегралам, определяющим числа
Бернулли: •
Г X2"
У ^
ах =
4п
поэтому предложенный ниже способ взятия этих интегралов
является одновременно и способом расчета чисел Бернулли. рис jQg расположение полю
Рассмотрим случай п = 1. В области полюсов подынте- сов" ПОДыНтегральной функции
гральной функции (рис. 106), расположенных вдоль мнимой в выражении длЯ j7 tx\ и вы.
полуоси на плоскости х, 6ор пути ИнТеГрирования на ком-
^2 плексной х-плоскости
где m = 1, 2, 3 ... (в точке х = 0 полюса нет), поэтому, подсчитывая вычет в кратном полюсе,
получим
? xV*1 = e-illBx - ifcx2)(-2»ri)| _ 2 = 2
откуда, суммируя по всем т начиная сга=1, получаем
Поступая аналогичным образом, в случае п = 2 (см. задачу 12) получаем
/Х ~4р->кх х /Я3 Я4 \ 1
(взятие производной предоставляем читателям) и т.д. >
§ 4. Метод спектральных разложений (метод Раиса)
в задачах о трансляционном брауновском движении
Задача 13. Выразить корреляцию rj*(t) rj(t + At) смещений во времени случайной
стационарной величины ?(t) через спектральную плотность этого процесса J(u)
и рассчитать эту корреляцию в случае, когда процесс $(t) является марковским
гауссовым процессом.
Решение. Обобщая расчет, выполненный в §6 для одновременного среднего r}'(t)t}(t) на слу-
случай несовпадающих времен, имеем
( И-Д1 +<х>
wt wit + At)
Подставляя в эту формулу спектральную плотность J(w) = /@) •
:, ПОЛУЧИМ
r,'(t)r,(t + At) =
1-е-г^
vt )¦

176 Зодачи и дополнительные вопросы к главе 3
Так как по условию (-процесс является гауссовым, а при получении f]'(t)r](t + At), как и в § б,
использовалось условие его стационарности, то в полученном результате мы должны считать
ft > 1 (ГAt — любое) и опустить все неглавные члены. Как уже отмечалось в задаче 28
гл. 2, в данном случае ^-процесс не является ограниченным (необходимое условие его
стационарности, обсуждаемое в задаче 10, не выполняется), основным членом в корреляции
смешений является 2я-/@)<, а зависимость от At описывается на уровне негарантированных
членов (порядка O(\/(Tt)) по сравнению с единицей).
Представляет интерес сравнить результаты, получаемые методом Раиса, с результатами,
которые следовали из анализа стохастического уравнения движения (см. результаты задач 28
из гл.2 и 13, 29 из гл.2 н 14 и др.) Они разные. Это и понятно: в методе стохастических
уравнений переход от одного этапа эволюции к следующему (от первой грубой шкалы От
к последующей t > 1/Г) был полностью согласован; в методе же Раиса этого согласования нет
(см. обсуждение в задаче 28 из гл. 2). Различие появляется уже при определении корреляци-
корреляционной функции Ap(t)Ap(t + At) (см. задачу 28), которая в методе спектральных разложений
в своем исходном виде уже не зависит от t, Ap(t)Ap(t + At) = тве"гд<, а процесс прибли-
приближения этой функции к стационарной не фиксируется (в отличие от метода стохастических
уравнений).
Если в методе Раиса вместо того, чтобы в силу исходного условия стационарности
(-процесса опускать негарантированные члены, возникающие в процессе прямого расчета,
отодвинуть интервал @, t) в прошлое, превратив его в (-t, 0), как это мы делали в задаче 10,
а результаты, полученные с помощью стохастического уравнения, рассмотреть в частном
случае ft > 1, ?At — любое, т.е. опустить члены е~" и положить 1 + О(\/Т) = 1,
сохраняя члены-»'е~ГД(, то результаты обоих методов полностью совпадут (несмотря на то,
что в формуле для Ax(t)Ax(t + At) эти члены и будут иметь вид негарантированных,
пропорциональных e~™/(Tt)). >
Задача 14. В предложениях § 7 определить величину p(t)x(t) для свободного брау-
новского движения в случае О 1/Г.
Решение. Имеем
0 -оо
Полагая, что процесс ((t) = p(t) стал стационарным (П > 1), в случае Го > Г можем считать
поэтому после взятия интеграла по частоте и> имеем для «соотношения неопределенностей»
в случае t » 1/Г
Этот результат совпадает с полученным в задаче 29 из гл. 2 методом стохастических уравнений
и взятым в том же предельном случае ft > 1. В общем случае он был получен в задаче 9,
в которой надо положить t) = х, ( = р/т и /@) = 0/(vmT). >
Задача 15. Методом спектральных разложений получить корреляционные функции
смещений ?Fx(t) = x(t)x@) и скоростей f%,(t) = v(t)v@) брауновской частицы,
двигающейся в вязкой среде в поле U(x) = тш1х2/2, в случае, когда процесс
блужданий уже стал стационарным.
Решение. Введем обозначения
— _ в
т

§ 4. Метод спектральных разложений (метод Раиса)
177
(так называемая автокорреляционная функция Ф(<) и ее спектральная плотность, или, что то
же, преобразование Фурье До»)). Из спектрального представления стохастического уравнения
движения
x+2A±+u>lx=— F(t),
го
где Л = Г/2 = mf/2, сразу следует
" ro u («о - w1) - »2Au>'
Так как в стационарном случае FZFj = 7p(u>) 6(ш - ш') и x^xj = J«(u>) 6(ш - J), причем,
как мы выяснили в §7,
то, полагая, что ширина спектральной плотности jy(u>)
случайного воздействия на частицу Г> > Г (т. е. шум силы
F(t) «белый»), имеем
1 }h.
ж
Если Л2 < и>о, то, обозначая
cos<p=—,
-П+гЛ
Рис. 107. Расположение особен-
особенностей спектральной плотности
получим, замыкая контур интегрирования по о» в случае
t > 0 снизу (при t < 0 - сверху) и беря вычеты в точках "^Реляционной функции смеще-
о> = ±П - |'Л (рис. 107), результат
ний на комплексной w-плоскоаи
который нам уже знаком по задаче 34 к гл. 2. Полученные результаты имеют характерный
вид, представленный на рис. 108 и 109 (функция 1(ш) — для четырех значений Л).
\ cos, (Qf-y>)
v^ cos^p
О ?
Q
Рис. 108. Автокорреляционная функ-
функция смещений брауновской частицы,
двигающейся в поле упругой силы
U = тш2ох2/2
<о
Рис. 109. Спектральная плотность ав-
автокорреляционной функции смещений
брауновской частицы, двигающейся в
поле упругой силы, при четырех зна-
значениях затухания Л! < Лг < Л3 < Л4

178
Задачи и дополнительные вопросы « главе 3
Расчет корреляционной функции скоростей довольно прост. Так как v(t) = x(t), то
согласно задаче 7
Учитывая, что x2/v2 = 1/w2, получаем практически без труда
2Л
Т
Графики этих функций, представленные на рис. ПО и 111, тоже достаточно характерны.
cos(flt+y>)
cosy>
Рис.110. Автокорреляционная функция ско- Рис.111. Спектральная плотность корре-
ростей частиц совершающих брауновское ляционной функции скоростей частиц, со
р
движение в поле упругой силы
фу р
вершающих брауновское движение в поле
упругой силы при трех значениях затуха-
затухания Л| < Л2 < Лз
Оба графика необходимо зеркально продолжить на области t < 0 иш<0. В пределе
Л —» 0 обе спектральные плотности 1х(ш) и /t(w) перестают быть размытыми, превращаясь
в две линии на резонансных частотах ш — ±w0,
С ростом Л максимум функции 1х(и), расширяясь, сползает к нулю, достигая его при
Л2 = wq/2 (осцилляция 9x(t) при этом еще сохраняется, так как П = у/ш1 -Л2). Максимум
/,(о>) остается на месте, ши = Щ-
В случае Л2 > и>1 все четыре полюса функции 1х(ш) лежат на мнимой оси, и зависимость
Ф(<) от времени будет уже чисто экспоненциальной:
!
Ф„@ =
t - (Л-
Рассмотренная выше схема достаточно абстрактна. Ее реализация — это не обязательно
движение закрепленной на пружинке частицы или стрелки прибора в вязкой среде. Величина
x(t) может описывать процесс типа собственного колебания системы, в электрических цепях
это могут быть электромагнитные колебания и т.д. В этих случаях величины x(t), m, Г (или
Л = Г/2), W2 необходимо соответствующим образом переименовать. >
Задача 16. Определить в диапазоне основной и первых гармоник спектральную
интенсивность теплового шума звуковых колебаний в органной трубе заданной длины

§4. Метод спектральных разложений (метод Раиса) 179
и поперечного сечения, закрытой на верхнем ее конце (нижний конец закрыт всегда),
полагая в этом диапазоне скорость звука постоянной, а затухание колебаний очень
малым. Выяснить также, как изменится этот спектр, если открыть верхний конец
органной трубы.
Решение. Амплитуды стоячих волн вдоль органной трубы и ее резонансные частоты в иде-
идеализированном безрелаксационном варианте определяются как и в случае струны с закреп-
закрепленными концами (см. задачу 29 к гл. 1) соотношениями
«п(х) = Ап J — sin (knx), kn = —п, п = 1,2,3,...; П„ = с*п = —п,
где L — длина трубы, с = ^/^в]т — скорость звука, f = cj,/ct = 7/5.
Заменяя натяжение струны Т в нашем случае на pS, где 5 — сечение трубы, а р — в/v —
давление воздуха, считающегося практически идеальным газом, имеем согласно упомянутой
задаче в случае состояния равновесия с термостатом
- j2 2Lv 1
Учет затухания акустических волн Л„, как бы мало оно ни было, принципиально важен,
так как именно затухание ограничивает максимальное значение формально расходящихся
в случае Л„ = 0 резонансных амплитуд. Согласно задаче 54 к гл. 5 оно определяется
величиной скорости звука и коэффициентами вязкости и теплопроводности, подставлял
значения которых, полученных в задаче 15 к гл. 5, получим в приближении г = const
Л„ = -5тП2„
(в приближении А = const вместо т надо подставлять А • ^(т?) )•
Определяя максимальное значение числа п из условия Л„ = П„, получим, что условие
малого затухания Л„ < Я„ ограничивает число реальных обертонов трубы,
Полагая в пределе исчезающе малых значений вязкости и теплопроводности: колебания
отдельных гармоник независимыми друг от друга, т. е. и„ит = 1Ц • п^ — 0 при п ф т,
в соответствии с предыдущей задачей этой главы имеем для временной корреляционной
функции смещений газа в пределе Л„ < П„
* uj cos (Пп
и для соответствующей ей спектральной плотности Jn(w) —
гле символом 6(и> ? П„) обозначена слегка размытая ^-функция, имеющая «высоту»
t-Omax = 1/BтЛп), и где мы пренебрегли незначительным смещением максимумов частотных
распределений в басовую сторону,
(П»)т„ = VW - 2Л| S Пп.
На рис.112 изображен вид многорезрнансной спектральной плотности J(u>) = 2^»(w)
n
в единицах uj(J|)max, имеющей tf-образную структуру из последовательности уменьшающихся
как 1/п2 максимумов:
7ГС
п=1, П, = —, А, = 2L — основной тон трубы,
n =s 2, П2 = 2П|, Аг = ~ — октава и т. д.

180
Задачи и дополнительные вопросы к главе 3
1/4
1/9
3=i
-1 О
Рис. 112. Спектральная плот-
плотность акустического шума ам-
амплитуды колебаний газа в за-
закрытой ^органной трубе в еди-
единицах «f(/|)max. Крестиками
на оси ш обозначены располо-
расположения максимумов спектраль-
спектральной плотности в случае трубы,
открытой сверху
В случае открытого верхнего конца трубы спектр частоты п„ в соответствии с изменив-
изменившимся граничным условием изменится,
же ( 1 \
n = 7vn + 2,)' п = 0>1>2
и максимумы спектральной плотности сдвинутся в басовую сторону, как это отмечено косыми
крестиками на рис. 112:
же
п = О, По = тт> Ао = 4? — основной тон,
п = 1, П| = ЗПо, А( = ——квинта и т.д. >
§ 5. Тепловой шум в электрической цепи.
Формула Найквиста
Задача 17. Получить формулу Эйнштейна для среднего от квадрата заряда Q(t),
протекающего за счет существования флуктуационных токов I(t) через соединяю-
соединяющий прокладки конденсатора проводник с сопротивлением R за время t, если это
сопротивление находится в термостате с температурой в.
Решение. Напомним самую простую схему стохастического процесса: исследование уравне-
уравнения движения и дополнительного условия
,
в
2'
или в «скоростном» варианте
приводило к формулам Эйнштейна
или
• 20
= —t при
7
при t < -,
Г
Г'
Эту, вообще говоря, абстрактную схему мы рассматривали в связи с исследованием свободного
брауновского движения в вязкой среде (отсюда и обозначения).
Нам требуется написать формулу Эйнштейна для Q7{t). В соответствии с вышеизложен-
вышеизложенным возможны два варианта.

§ 5. Тепловой шум в электрической цепи. Формула Найквиста
181
R,
Рис. 113. Эквивалентные
электрические схемы ко-
роткоэамкнутого (а) и ра-
разомкнутого (б) сопроти-
сопротивлений, помещенных в
термостат
1-й вариант, Q(t) = z(t), соответствует электрической цепи типа R-L («короткозамкну-
тое» сопротивление в термостате, рис. 113а). Имеем для тока 1 = 0 (/(() = v(t))\
LP в
т. е. т =Пту Г = R/L, и мы сразу имеем
•»!¦
2-й вариант соответствует выбору Q(t) = p(t). Модельному стохастическому уравнению
для p(t) соответствует уравнение движения заряда в ДС-иепочке («разомкнутое» сопротивле-
сопротивление в термостате, рис. 1135):
т. е. m = С, Г = 1/(ЛС), и поэтому
Это та же формула. Дополнительные условия на t включают параметры внешней
цепи (L/R — время релаксации в AL-цепочке, a RC — в ЯС-цепочке). Из физических
соображений ясно, что свободные, не зависящие от других элементов цепи, флуктуации тока
в проводнике в первом случае соответствуют случаю L -* 0, а во втором — С -» со. >
Задача 18. Получить формулу Найквиста для теплового шума ЭДС сопротивления R,
используя в качеаве электрической схемы модель разомкнутого проводиика.
Решение. Напомним формальную схему, предложенную в § 8:
1
-R
- 2в
~ R '
'Н\ ^ —
{t)' 2C~
в
2'
Г 7Г t Ж '
где /{(О) — спектральная плотность (-процесса при ш = 0, r)(t) — его смещение.
Полученная в предыдущей задаче формула Эйнштейна для Q2(t) решает задачу авто-
автоматически. Если же «не знать» этой формулы, то, полагая f = Q(t) и учитывая Q* — Св,
Г = 1/(ДС), имеем
V\^=2VRC— = 2R&0^-.
Так как в квазистаиионарной области в пределе «низких» частот ш < \/(RC) (проще
говоря, при стремлении к нулю величины условной емкости С —* 0) для каждой гармоники
?и = Qu/C, то для искомой формулы получаем

182 Задачи и дополнительные вопросы к главе 3
Задача 19. Считая, что тепловой шум __/~\__
ЭДС сопротивления определяется фор- r J \?J I _ ... .
" - ., . -bfo ^"^ л Рис.114. Электрическая схе-
мулои Наиквиста, определить временные я» С^- ,
J . . 1? Т на колебательного контура с
корреляции тепловых флуктуации тока i . ....
и напряжения на конденсаторе в элек- ЦдАЛ источником случаинои ЭДС
трическом колебательном контуре. R
Решение. Согласно стохастическому уравнению движения для контура (рис. 114)
в квазистационарной области спектральные амплитуды тока 1и и ЭДС ?и связаны соотноше-
соотношением
R + iwL -\
iwC
Полагая, что в полосе |w| < R/L шум ЭДС можно считать белым, J?(a>) = Je@),
и учитывая, что согласно формуле Наиквиста (см., например, задачу 18)
Л(о) = ^,
получаем в стационарной области, когда
rjj = Ы") б{ш - ш') и e*e,j ~ jc(w) б(ш - ш'),
для спектральной плотности тока
OR 1
7 , ,
v
Так как J = Q, то согласно задаче 10 (или 7)
jQ(w) = I Mw).
Учитывая, что для каждой гармоники напряжение на конденсаторе Uu = Qu/C, получаем
для спектральной плотности корреляционной функции напряжений на конденсаторе
т i \ Ш ' 1
-
Если обозначить
2_ I _ Г_ R 2_ 2 j
и учесть, что в случае статистического равновесия
LI2 в CU2 Q2 в
~2~ = 2* ~Т~ = 2С = 2'
то для частотных представлений автокорреляционных функций получим стандартные выра-
выражения

§ 5. Тепловой шум в электрической цепи. Формула Найквиста
183
где функции 1х(ш) и 1,{ш) определены в задаче 15. Согласно этой же задаче в (-представлении
Ф/(() = -==-*• = Ф,((), Ф{,(*) = .Li' = 21' = Ф*(().
Графики и формулы для этих функций приведены в задаче 15. >
Задача 20. Полагая, что средняя энергия индуктивности L в колебательном контуре
Ц- = | (или средняя энергия конденсатора С §* = f), получить формулу Найквиста
для теплового шума ЭДС сопротивления R.
Решение. Поступая как в задаче 19 (только считая теперь J,@) неизвестной величиной),
имеем, взяв несложные интегралы по ш (см. задачу 15)
+0О
:*)&> = ! /-ш
du)
R
в
2'
откуда
и
Если за основу взять среднюю энергию конденсатора, то
_ +00 +00
Ы R2+(»L~Zc
R
в
2'
что приводит к тому же ответу для g2!^.
Задача 21. Определить дисперсию ЭДС теплового шума на концах соединенных парал-
параллельно сопротивлений R\ и Ri, если каждое из них поддерживается при температуре
0х и в2.
Решение. Для каждой из спектральных гармоник в ква-
квазистационарном случае имеем согласно приведенной на
рис. 115 эквивалентной электрической схеме для ЭДС ?
на концах сопротивлений
Д,Д2 /g, ?2\
Rl + R2 \R{ + Ri)-
Так как тепловой шум каждого из сопротивлений незави-
независим от другого, то для полосы частот Аи = Аш/Bж)
= 40,JZ, Аи,
= О,
поэтому
Рис.115. Электрическая схема двух
параллельно соединенных сопроти-
сопротивлений, находящихся в термостатах
с разными температурами
При 0| = #2 получается стандартная формула Найквиста, в которой стоит полное сопроти-
сопротивление цепочки двух параллельно соединенных сопротивлений Д| и R2.
Флуктуации в более сложных цепях в квазистационарном приближении, когда можно
пренебречь токами смешения, рассчитываются аналогичным образом с помощью использо-
использования уравнений Кирхгофа для разветвленных цепей и формулы Найквиста. >

184
Задачи и дополнительные вопросы к главе 3
Задача 22. Определить дисперсию ЭДС теплового шума для цилиндрического участка
проводника, имеющего сечение S и длину I, в области частот, для которых нельзя пре-
пренебречь токами смещения по сравнению с током проводимости (но можно пренебречь
перераспределением плотности тока вследствие скин-эффекта и, конечно, явлениями
запаздывания).
Решение. Пусть R — сопротивление рассматриваемого участка
цилиндрического проводника, а С — емкость конденсатора,
образованного его торцами (рис. 116). Тогда проводимость а
и диэлектрическую проницаемость материала проводника е
можно записать через его параметры
тг •-(?)«•
Чтобы учесть токи смешения, мы должны вместо уравнения
Максвелла (мы используем общепринятые обозначения и гаус-
совую систему единиц)
Рис. 116, Участок цилиндри-
цилиндрического проводника, для ко-
которого рассчитывается дис-
дисперсия ЭДС теплового шума
на котором фактически основывалось предьшушее рассмотрение квазистационарных явлений
в проводниках, использовать его полный вариант
Записывая последнее уравнение в спектральном представлении (т.е. для фурье-образов
напряженностей полей) и вводя динамическую диэлектрическую проницаемость ?(ш), такую,
что Du = е(ш)Еи, получим
rot KL, = — e(w)Eu + — <гЕи = — I e(w) + -— ) Еи = — e(w)E«,
С С С \ Ш / С
где с помошью комплексной диэлектрической проницаемости (в нашем случае только про-
продольной ее части) Т(ш) мы записали уравнение Максвелла в виде, формально совпадающем
с уравнением для диэлектрика.
Чтобы учесть в этой схеме тепловые флуктуационные явления, мы должны в правую
часть уравнения Максвелла, написанного для средних значений, добавить член
с j ~ с ' dt'
обязанный «сторонним» флуктуационным токам (или соответствующим случайным по-
полям D(t)). Отдельную фурье-гармонику этого тока (в нашем упрощенном случае только
продольную его составляющую) можно представить в виде
Считая, что толщина скин-слоя для данной частоты значительно превышает.радиус провод-
проводника, т. е.
мы можем определить разность потенциалов, наведенную этим случайным полем Еи, как

§6. Двумерное гауссово распределение
185
где полный ток через рассматриваемый участок Iu = Sju. Среднее от квадрата модуля этого
тока нами было определено в § 8 гл. 2. Используя иайквистовский результат R2I% = WR/ic
и учитывая, что квадрат модуля диэлектрической проницаемости равен
получим для интересующей нас ЭДС формулу
1
20Я
ж
В области частот ш <1С 4ж<т/е результат переходит в полученный нами ранее. С повышением
частоты среднее значение |?J2 уменьшается (хотя шум тока II полагался белым, т. е. не зави-
зависящим от частоты) за счет токов смешения. Вследствие принятого нами определения средне-
среднего ?2j^w по интервалам положительных и отрицательных частот спектральная плотность J(w)
случайной ЭДС €(<) равна J(w) = |?J2/2, откуда для временной корреляции получаем
ЩёЩ-
В частности, полагая < = 0, приходим к естественному результату
СЁ7 0
2 ~ 2'
При переходе к очень большим частотам при оценке величины |?ш|2 мы должны
учитывать неравномерное по сечеиию распределение тока вследствие скин-эффекта, а если
не выполняется неравенство hu/в < 1, то вместо величины в должны поставить среднюю
энергию квантового осциллятора hw/(ehu^e - l) (см. задачу 28 из гл. 1). >
§ 6. Двумерное гауссово распределение и проявление
корреляционных свойств случайного процесса
Рассмотрим стационарный случайный про-
процесс ?(?) отклонения некоторой величины от сво-
своего среднего значения | = 0 (рис. 117). Чтобы вы-
выявить корреляционную структуру этого процесса,
необходимо как минимум рассмотреть двумерное
распределение
wiiZi.tr, &,<2) = w2(?i,6; t2-t]).
Будем считать известными дисперсию
и временную корреляционную функцию с конеч-
кым временем корреляции г
Рис. 117. Случайный процесс ((t) и
выбор моментов tt и f2 B двумерном
распределении по величинам ?| и B
Двумерное нормированное на единицу гауссово распределение имеет обший вид
.,&) =

186 Задачи и дополнительные вопросы к главе 3
где в соответствии с предположением об устойчивости неотклоненного от нуля
состояния а > \Ь\ ^ 0. Преобразование
сводит это распределение к произведению двух одномерных гауссовых распределений
(так берутся нормировочный и некоторые другие интефалы). Удобно записать это
распределение w2 не с помощью параметров о и Ь, а с помощью имеющих
непосредственный физический смысл величин ?2 и Ф(<):
В случае t > т оно превращается в произведение двух одномерных гауссовых
распределений
а в случае t -+ 0, воспользовавшись модификацией
получаем естественный результат
Средние по распределению №2(^1,^2) рассчитываются точно, если берутся соответ-
соответствующие интефалы по щ{ и^. Три из них нам понадобятся в дальнейшем:
{к2?21
~2~Г
ехр {(*, + 6М) = ехр {^2A + Ф)},
В качестве автокорреляционных функций Ф(<) в приложениях используются не-
несколько простых вариантов, три из которых нам уже знакомы.
{1, если \t\ < т,
О, если \t\ > т,
, , ч т sin ьуг
ж шт
Выбор такой формы Ф(?) (рис. 118) позволяет значительно упростить расчеты,
а многие из них произвести точно.

§ 6. Двумерное гауссово распределение
187
4*2@4
-тО г
(ОТ
О г
t
О 1/г
ш
Рис. 118. Модель ступенчатой автокорре-
автокорреляционной функции Ф|(<) и ее спектраль-
спектральная плотность
Эта форма является содержанием тео-
теоремы Дуба (гл. 3, § 4) и соответствует гаус-
совому процессу в полном понимании этого
слова (рис. 119).
— tH")r\ COS lilt "Т* \D)
Рис.119. Модель экспоненциально убыва-
ющей автокорреляционной функции (
и ее спектральная плотность
cos <р
"о \2tJ
Ф3(?) = е
cosy?
Рис. 120. Модель автокорреляционной функ-
1 Ш2 ции Ф3(<) системы, имеющей собственную
/з(о>) = — • 2 • резонансную частоту, и ее спектральная плот-
тт (ш - ш0) + (ш/т) ность
Такая форма автокорреляционной функции (рис. 120) соответствует случаю, ко-
когда в рассматриваемой системе могут существовать собственные колебания (в данном
случае — только одно, см. более подробно в задаче 15).
Задача 23. Рассчитать корреляционную функцию
ST(t) = Af(?(t)) Д/(?@)), Д/@ = /@ - /,
гДе /(О — регулярная функция случайной переменной ?(?), если временная корреля-
корреляция последней определяется ступенчатой функцией Ф|(<).
Решение. Так как Ф|(<) = 1 или Ф|(<) = 0 в зависимости от того, |t| < г или \Ц > т, то
•Ю|«|), |*|<Г,
1*1 > г,
тоэтому искомая корреляционная функция
+00
= JJ
гудет равна
10,
\t\>r
- е. в корреляционном отношении функция ^(t) ничего нового по сравнению с
-е содержит.

188 Задачи и дополнительные вопросы к главе 3
Задача 24. Определить характер зависимости от t корреляционной функции 3T(t),
введенной в предыдущей задаче, для случаев, когда автокорреляционная функция
?-процесса определяется формулами Фг(?) и Фз(О-
Решение. В случае t = О, когда Ф(?) = 1, мы имеем для любого из вариантов
0-(o) = F-GJ = (a7F-
Чтобы определить зависимость корреляционной функции от t при t > О, представим распре-
распределение w2 в виде
деление w2 в виде
и разложим два последних сомножителя в ряд по степеням Ф(<) (при < ~ г Ф(<) мало
и выступает как малый параметр). Тогда для SF{t) получим ряд, зависимость от времени
каждого члена которого определяется соответствующей степенью известной функции Ф:
00
П=|
где первые коэффициенты Ф„ имеют вид
Заметим, что если /(?) — четная функция, то все Ф2„-| = 0 и зависимость @~(t) от вре-
времени определяется только четными степенями Ф(<). Если же /(-?) = -/(?)> то Фгп = О,
и в разложение ^(t) войдут только нечетные степени Ф(<).
В случае, когда Ф = Фг(<)> ^@ имеет «апериодический» характер как сумма стандартных
вкладов, соответствующих долям исходного времени релаксации г (рис. 121),
w) = (Щ У('г) 1 /,_ Р/\2 2/(itt)
W ^2 u;2 + (l/rJ 2V {2 / ^ + B/r
На рис. 121 приведены графики экспонент и их фурье-образов, соответствующих первому
и второму слагаемым в корреляционной функции и ее спектральной плотности J(o>).
Если же Ф принадлежит к типу Фз(<)> то каждый член ряда по степеням Ф добавляет
в '&{?) дополнительную гармонику, кратную резонансной частоте системы:
W Ь е~"т cos BШ+2v>)'
Фз(<) = 4Js3 e-3(/Br) C cos (Ш + <р) + cos (ЗГМ +
</r D cos BШ+2v>)+cos DШ+4?>))
и т. д. Обращает на себя внимание также и то, что во всех четных степенях Фз(О проявляются
«апериодические» члены типа функции Ф2(<). В спектральной плотности J(w) функции 3^(t)
на соответствующем этим апериодическим вкладам общем горбе (напомним, что если h(u)
имеет характер Iv(w) в обозначениях задачи 15, то /з@) = 0, и первоначально никакого «горба»
в точке ш = 0 не было, см. рис. 120) будут располагаться пики, все более расширяющиеся
по мере увеличения кратности соответствующей им резонансной частоты (рис. 122). >

§ 6. Двумерное гауссово распределение
189
УК,
J(o>)k
Рис. 121. Графики временных экспонент
и их фурье-обраэов, определяющих пер-
первые два слагаемых в корреляционной
функции 3T{t) = Д/({(*))Д/({@)) и
спектральной плотности J(u)
О ?2 2Q
Рис 122. Спектральная плотность корре-
корреляционной функции отклонений Д/(()
от равновесных значений в случае, когда
система имеет собственную частоту п
Задача 25. Определить корреляционную функцию флуктуационных токов через вы-
выпрямитель, обладающий идеальной характеристикой и не имеющий собственного шума.
Решение. Будем считать, что выпрямляющий элемент (рис. 123), включенный в цепь внеш-
внешнего сопротивления (вариант Ф = Фг(<)), колебательного контура (Ф = Фз@) У1ЛИ В более
сложную схему, имеет по отношению к подаваемому на него напряжению ( = ?(t) характе-
характеристику (рис. 124), соответствующую бесконечной величине сопротивления обратному току:
- ?, если
если
;>0,
:<o,
и сам не участвует в тепловом движении (т. е. случайное ЭДС E(i) = ? возникает только
на тех участках электрической цепи, которые не содержат нелинейного элемента). Положим
?-процесс гауссовым с заданной величиной
Рис. 123. Схема электрической цепи с выпря-
выпрямителем и генератором теплового шума ЭДС
Рис. 124. Токовая характериаика
идеального выпрямляющего элемента

190
Задачи и дополнительные вопросы к главе 3
Действие выпрямителя (при условии ?{t) = ? = 0 — электрическая цепь замкнута) приводит
к появлению среднего тока
Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, можно, вычислив с помощью w(()
средние, сразу записать it корреляционную функцию токов
где Р = тг(ТJ = ^2/BR2). Характер полученной для @~(t) зависимости от t обсужден
в предыдущей задаче. Этот результат легко получить и не прибегая к ссылке на задачу 24.
Имеем
ЩЩ = ^
В? 2тг
Интефалы все берутся точно, и мы, подставив выражения а и & через ?2 и Ф(<), получаем
что, конечно, повторяет выписанный выше ответ. Отметим, что если ограничиться вы-
выписанными членами и сделать переход t —* О (Ф(<) -¦ 1), то вместо требуемой единицы
получим
Рис. 125. Эквивалент-
Эквивалентная схема включения
детектора в разомкну-
разомкнутую цепь
Рис. 126. Токовая характеристика детек-
детектора, обладающего разными сопротивле-
сопротивлениями при прохождении через него тока
в противоположных направлениях
Поставленная задача формально решена. Отметим теперь, что рассмотренный в ней вы-
выпрямляющий элемент — это, по существу, электрический вариант демона Максвелла. В на-
нарисованной выше электрической цепи ?(t) = 0, но создается постоянный ток I(t) ф О,

§ 6. Двумерное гауссово распределение
191
в «разомкнутом» варианте I(t) = 0 (рис. 125), но смещается рабочая точка ?(t) = Uc Ф 0.
В обоих случаях получается источник тока или постоянной ЭДС, работающий за счет энергии
тепловых флуктуации (т. е. за счет энергии только одного термостата) — вечный двигатель
второго рода, существование которого для термодинамических систем запрещено вторым
началом термодинамики.
Но выключенных из теплового движения (как бы вымороженных до 9 = 0) элементов
термодинамических систем на самом деле не бывает. Поэтому их использование в общем
статистическом рассмотрении требует известной осторожности, так как такие системы в це-
целом термодинамическими уже ие являются и для них могут быть получены такие результаты,
которые с точки зрения традиционного термодинамического рассмотрения выглядят пара-
парадоксальными. Выпрямляющий элемент тоже флуктуирует. Не вдаваясь в микроскопическое
рассмотрение этих флуктуации (это потребовало бы конкретизации его устройства), рассмо-
рассмотрим этот вопрос, исходя из общих требований, которым подчинены все термодинамические
системы, включая и наш детектор.
Рассмотрим замкнутую электрическую цепь, находящуюся в термостате в равновесном
состоянии.
Будем отсчитывать токи I(t) и ЭДС ?(t) от нуля
отдельно в прямом и в обратном направлениях, снаб-
снабжая соответствующие величины индексом -I- или -
(см. рис. 126). По предположению
R- =
R+
(для идеального выпрямителя К —» оо).
Величины Д± могут включать помимо переменно-
переменного внутреннего сопротивления детектора также и внеш-
внешнее сопротивление,
/¦<«) К
Так как в состоянии термодинамического равновесия
з системе должны отсутствовать потоки любого типа,
то мы имеем исходное условие
Рис. 127. Эквивалентные электричес-
электрические схемы для прохождения тока через
цепь, включающую детектор в прямом
И обратном направлениях
Отметим, что благодаря простоте модели детектора для каждого из направлений мы имеем
дело с линейной электрической цепью (см. рис. 127) (без этого обстоятельства мы просто
че смогли бы продолжить наше рассмотрение), для которой в квазистациоиарной области
I±(t) = ?±{t)/R±, и мы получаем
?_ =
?+ — К?+,
ле среднее ?+ берется только по значениям ?{t) > 0, а среднее ?- — только по ?{t) < 0.
Но так как фигурирующие у нас средние по ? > 0 (то же для средних по области { < 0) при
;амом естественном выборе функции распределения t»({)
«ли ё=
мы получаем связь ширин функций распределения по ?+ и по ?_ (см. рис. 128)
Для тока же дисперсия I2 — 6/L не зависит от R вообще, и распределение по 1+ и 1_
-(мметрично, что полиостью согласуется с исходным термодинамическим условием
1+ = I-, /общ = 0.

192
Задачи и дополнительные вопросы к главе 3
Несмотря на то, что для нелинейного стохастиче-
стохастического уравнения спектральную теорию в общем случае
развить невозможно, в нашем частном случае, когда
системы линейны порознь по отношению к /+ и /_,
можно воспользоваться (скорее для качественной иллю-
иллюстрации) некоторыми моментами спектральной теории.
Напомним, что для обычного сопротивления
?2 = 9RT = J(O)jrr,
J@) = —,
— 2RB
?2\. = 2J@)Aw = Да).
7Г
Если воспользоваться этими соотношениями отдельно
для ? + и ?_ н учесть полученные выше масштабные
соотношения нх средних, то сразу получим соотношения
максимумов и ширин соответствующих спектральных
плотностей (см. рис. 129):
J_@) = .K7+@), Г_=.КТ+.
Для формул Найквнста в полосах Да) < Г+ и Да) < Г_
Рис. 128. Плотность распределения получаем
вероятности токов через детектор Дц,
в прямом и обратном направлени- ?+|ДA)=20Д+—, ?-1^ =-^?+|ды-
ях и плотность распределения вели- 7
чины ЭДС теплового шума детектора Таким образом, тепловой шум ЭДС реального детектора,
для случая К - R_/R+ = 2 находящегося в равновесии со средой (и, естественно,
лишенного притока энергии извне), должен характери-
характеризоваться такой интенсивностью J(w), максимум которой для обратной ЭДС в К = R-./R+ раз
выше и полоса ее в К раз шире, чем соответствующие величины, характеризующие тепловой
шум ?+(t) (дисперсия же шума обратного ЭДС в К2 раз превышает ?+). >
Рис. 129. Спектральные плотности
шума ЭДС детектора в прямом
и обратном направлениях в случае
К = R./R+ = 2
а
Задача 26. Получить выражение для корреляционной функции токов
= AI(t)AI@),
проходящих через модельный детектор, заданный с помощью характеристики (рис. 130)
где ? = ?(t), Jo — нулевой ток, -1\ — максимальный обратный ток, если детектор
включен в цепь типа колебательного контура, когда ?(<)?@) = ?2фз@- Выделить
3^(t) чисто апериодическую часть.
Решение. Рабочая часть характеристики выглядит вполне реалистично в полосе у?2, в ко-
которой собственно и работает детектор. Формальное достоинство модели в том, что для нее

§ 6. Двумерное гауссово распределение
193
расчеты временных корреляций производятся точно. С по-
помощью выписанных во вступлении к разделу интегралов
имеем для среднего тока
I = A exp {x?} - В = .
и корреляции
ЩЩ = A2 exp {х2^Ц.+ Ф)} - 2АВ exp | ^x2^ J + В2,
откуда следует ответ i
3f(t) = A2 exp {и2?} (exp {х2^Ф(<)} - 1).
Чтобы выделить апериодическую часть в 3f(t), придется р«-130- т°ковая характеристика
Ьл /Ч Л1 A f4 I. LJ /Ч ^/Ч П А^ГA U ^j> и 4
разложить эту функцию в ряд по степеням Ф(<):
-VF-
ая харг
модельного детектора
*=1
Апериодические члены содержатся только в членах к = 2п. Действительно, обозначая
Ш + f = х, имеем в соответствии с формулой Эйлера и формулой бинома Ньютона
2п
Bn)! <»m -иBи-т)
1 1
2^я ^ ' 22n ^ J Bti
т=о ^
В этой сумме только слагаемое с т = п соответствует
апериодическому члену, так как не содержит х:
,2„ ^ Bft)!
В связи с этим, вспоминая, что в нашем случае
cosy?
полугаем (см. рис. 131)
п=|
(п!)
2"
Этот ряд суммируется (приятное, хотя и случайное обстоя-
обстоятельство):
« 1 /¦ - \ 2п
— модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.
В связи с этим можно записать
Рис. 131. Сравнительные графи- _, „ ^.,,
ки автокорреляционной функции Соответствующая этой части <T(t) спектральная интенсив-
•@. корреляционной функции ность вследствие
@~{t) и выделенной из нее апе- _М/Т f n 1
риодической части е <~> ~ ' ш1 + ^ту

194
Задачи и дополнительные вопросы к главе 3
имеет вид ряда
2n
Она определяет в J(w) тот общий горб, на который належится гребенка максимумов
от оставшихся в iW(t) членов, зависящих от времени по типу Фэ@> Т-е- содержащих
е-»«/Bг). cos (цП1 + у,)), где 1 < fe < n, n = 1, 2,... (рис. 132). >
О Q 2Q
Рис. 132. Графики апериодической части в спектраль-
спектральной плотности и серии резонансных максимумов от пе-
периодических членов в функции 3T(t)
Задача 27. Пусть некоторый регулярный сигнал fo(t) - A0cos(U0t), пройдя че-
через среду, в которой существуют флуктуации, достигает прибора в виде f(t) =
A cos (Clot + tpa + ?(t)), где ((t) — случайный стационарный процесс, для которого
заданы дисперсия ?2 и автокорреляционная функция Ф(<), такие, что у?2 < ж,
т » 2к/по (т.е. случайная часть сдвига фазы ?(<) ~ у^ существенно не из-
изменяет формы проходящего сигнала и время корреляции ^-процесса г значительно
больше периода регулярных колебаний Го = 2ir/il0). Определить среднюю по боль-
большому интервалу 0 < t0 < Т корреляцию /(?(<о + 0) /(?(*<>)) и ее спектральные
свойства.
Решение. Остановимся прежде всего на новой для нас процедуре — усреднение по аргумен-
аргументу <о- Если по <0 функция периодична, то экспериментатор снимает показания и определяет
среднее за период % или за Время, кратное периоду, или за очень большое время Т > То
(тогда вообще не нужно задумываться, каким периодом обладает усредняемая функция F(t0)):
Г/2
-Т/1
Мы сохраним при изложении данной задачи это несколько архаичное определение, хотя
могли бы в духе используемой нами ? -процедуры определить
T=i
]dtt
?-0,t>0
Это позволит несколько по-иному подойти к той спектральной технике, которую мы фор-
формально ввели в § 5 гл. 3. От этой операции усреднения нам понадобится очень немного:
Т = 1, ?^0 = 0, "сот^шГ+V) = 0 и т. д.
Отметим особо, что функция F может зависеть не только от t0, но и от фиксированных
интервалов ti - tt = t, зависимость от которых после усреднения по <о сохраняется. В связи
с этим заметим еще, что во всех ранее рассматриваемых задачах функция двух временных
аргументов F(t\,ti) = F(t0, t0 +1) с течением времени релаксировала к функции, зависящей
только от *2 — *i = t< временной же аргумент t0 характеризовал процесс этой релаксации

§ 6. Двумерное гауссово распределение
195
к стационарному случайному процессу. В предлагаемой задаче t0 — аргумент регулярного
(периодического, задаваемого извне) процесса, а исчезновение зависимости от <0 связано
со способом «измерения» интересующих нас величин.
Рассмотрим теперь временную корреляцию
)
у рр /(&)/(
, 1г), полагая ради упрощения А = 1 и учитывая, что
). Усредняя по распределению
cos a ¦ cos /3 = - Re {e'(<
+ е
'(в+Л
},
получим
= {- Re
Усреднение по t0 = t, обратит в нуль второе слагаемое, и мы получим согласно приведенному
во введении к этому разделу значению оставшегося среднего
1
j Re e^'ie'te-M) = - cos (fioO • e
Выделяя в этой формуле чисто гармоническую зависимость, получаем
3T(t) = 1
cos
<Tr(t),
cos
Второе слагаемое в 3T(t), график которого представлен на рис. 133, имеет ярко выраженный
корреляционный характер: зависимость множителя (e<2*(t) - l) от t нами уже изучена
в предыдущей задаче (в связи с совершенно другой
физической проблемой),'он фактически отличен от нуля
в интервале 0 < Щ < т/2.
Но экспериментатор непосредственно 3f(t) как
функцию времени не измеряет. Зато он может про-
произвести спектральный анализ поступающего сигнала.
Определим в связи с этим фурье-образ функции f(t)
как (см. гл. 3, §9)
Т/2
-Т/2
сохраняя Т большим, но конечным на случай, если
функция f{t) недостаточно быстро убывает при \t\ -+ оо
(мы могли бы, не стараясь сохранить принятый нами не-
несколько «старинный» стиль, ввести ?-процедуру и сразу
положить Т = оо).
Однако экспериментатор фиксирует или измеряет
не амплитуду f(u>), а среднюю по интервалу Т энергию,
связанную с поглощением в «спектрометре» отдельной
гармоники поступающего сигнала, энергия же пропор-
пропорциональна квадрату амплитуды f(u>). Таким образом,
с точностью до коэффициента, зависящего от устрой-
устройства прибора и т.д., измеряемая величина имеет вид
(множитель 2т сохранен для удобства)
Т/2
Рис. 133. Зависимость корреляци-
оиной части корреляции сигналов
/('о + 0 /@ от времени t
m = «m ~\ни>, т)р = I ~ JJ dtt dt2 /ш) /ш^-ч
-Т/2
Стоящее под интегралом среднее после подстановки значений i
во введении, приобретет вид
, приведенных
= \ cos
+\

196
Задачи и дополнительные вопросы к главе 3
операция усреднения по t0 (это интеграл по t, - t0) обратит второе слагаемое в нуль,
первое же слагаемое никак не изменит. Поэтому, переходя к Т —» со, получаем
это в точности то же самое, что в § 5 гл. 3 мы называли спектральной плотностью корреляцион-
корреляционной функции @"(t). Как мы видели, она измеряется (если не считаться с экспериментальными
трудностями) на «спектрометре», и, уже используя полученную функцию J(w) как фурье-
образ, можно построить саму корреляционную функцию &~(t) (именно в таком смысле
и говорят, что корреляционную функцию можно измерить на эксперименте).
Обсудим полученные результаты. Обозначим фурье-образ бинома, содержащего Ф(г.),
1) /М
Выражение для J(w) мы довольно подробно исследовали в задаче 26. Учтем, что
1 / itint — i'n.>f\
сов(По<)= j
и что
Тогда получаем
J(u>) = - е~^{б(ш - По) + J(w - По)} + ^ e~?{6(w + По) + У{ш + По)}.
Ввиду симметрии этой функции относительно ш = 0 нам достаточно рассматривать область
о»>0.
Если Ф(?) = Фг(<) = е"*'Г, т.е. шум системы представляет собой настоящий гауссовый
марковский стационарный процесс, то функция J(u> - По) — это размытое распределение
(см. задачу 26) около точки ш - По с шириной До; = т/г, а в точке ш = По — в-образный
пик, соответствующий прошедшим через систему волнам (рис. 134).
' J(<0)
J((O)
f-i
(О
Рис. 134. Вид спектральной плотноаи
корреляционной функции монохромати-
монохроматической волны после прохождения ее че-
через среду, тепловой шум которой пред-
представляет собой гауссовый процесс
Рис. 135. Вид спектральной плотности
корреляционной функции монохромати-
монохроматического сигнала после его прохождения
через флуктуирующую среду, имеющую
одну собственную частоту ш0
Картина качественно меняется, если система имеет хотя бы одну собственную частоту
(природа собственного колебания нам не так уж важна при общем рассмотрении), когда
Ф(<) = Фз(О имеет структуру «затухающих колебаний». Тогда на фойе размытия, соответству-
соответствующего апериодическим членам J(u> — По) (см. задачу 26), будут располагаться симметрично
относительной) = По ряд максимумов на частотах uv±w0, П0±2о>о, и т.д., соответствующих
сателлитам основного релеевского пика (рис. 135). Чтобы все время не ссылаться на результа-
результаты задачи 26, выпишем слагаемые, соответствующие только двум парам сателлитов и первый

§ 6. Двумерное гауссово распределение 197
вклад апериодического типа. Сначала уточним обозначения фурье-образа функции Фэ(<)
(см. рис. 120):
г .... I
ЯТ (W2 - <
Тогда
I(?Je-Vr . ( + y) (|V e-,,r
cosy 4 cos'y
откуда
| Wq, TI + ~(? I ¦ 5— </Э IW I Л«>о> X I + • • • + " ¦) + •• • •
4 cos у v 2' 4 wJ + (l/r)
В функции J(u> — По) эти первые члены разложения описывают по два пика на частотах
ш = по±шо и ш = по± 2ш0, и «апериодическое» размытие центрального пика, по характеру
эквивалентное гауссовому размытию, когда Ф = Фг@-
Полученный нами характер изменения спектрального состава монохроматического сиг-
сигнала при его прохождении через среду есть не что иное, как комбинационное рассеяние.
Теоретически это явление было предсказано австрийским физиком Адольфом Смекалом
(A. Smekal, 1923), а независимое экспериментальное его открытие A928) связано с именами
Л. И. Мандельштама и Г. С. Ландсберга (опыты на твердых телах) и Рамана и Кришнана
(Ch. Raman, К. Krishnan) (опыты на жидкостях). Этот эффект, хорошо наблюдаемый в про-
прозрачных для электромагнитного излучения средах, в принципе возможен и при прохождении
через систему акустической волны и т.д. (наш упрошенный «скалярный» вариант ближе
именно к этому случаю). При обсуждении результатов мы полагали, что параметр г до-
достаточно мал, г < l/Bw0), т.е. «добротность» собственного колебания системы достаточно
высока и максимумы достаточно узки, чтобы их можно было экспериментально разрешить.
При г > l/Bw0) (апериодическая релаксация) картина в качественном отиошении схожа
со случаем, когда Ф(?) = 92(t). >

Глава 4
Термодинамическая теория
необратимых процессов
Прежде чем перейти к изложению основных исходных представлений полуфе-
номенологичеокой теории явлений переноса и основ ее формализма, отметим, что
в идейном отношении она непосредственно примыкает к квазитермодинамнческой
теории флуктуации (в сочетании с элементами теории случайных процессов). Это
касается в первую очередь способа фиксации неравновесных состояний статисти-
статистической системы, основанного на использовании достаточно грубых шкал как для
времени, так и для тех параметров, которые фиксируют рассматриваемые в теории
отклонения системы от состояния статистического равновесия.
В целом проблема описания неравновесных состояний и происходящих в стати-
статистических системах процессов очень сложна. В предыдущих разделах уже отмечалось,
что не всякие необратимые процессы вообще целесообразно описывать с достаточ-
достаточной степенью детализации хотя бы потому, что многие из них (мы условно называли
их существенно турбулентными) во всех своих деталях не могут быть даже повторены
на эксперименте. Поэтому естественен первый шаг в построении теории — попы-
попытаться описать регулярные необратимые процессы, которые при создании одних
и тех же макроскопических «внешних» условий с заранее условленной точностью
воспроизводятся на опыте. Из всего многообразия таких неравновесных процессов
мы выберем только те, в которых состояния участвующих в них неравновесных
систем уже можно (как и в квазитермодинамической теории флуктуации) описывать
с помощью локальных значений термодинамических параметров. Примерами таких
процессов могут служить достаточно хорошо экспериментально воспроизводимые
и давно изученные процессы диффузии, вязкого перетекания, явлений, связанных
с протеканием электрического тока и других явлений, для количественного описания
которых используются достаточно «обиходные» параметры, характеризующие термо-
термодинамические состояния разных частей системы, такие, как температура, плотность,
давление, разность потенциалов и т. п.
Элементы теории таких неравновесных процессов содержались уже в рабо-
работах Вильяма Томсона (лорда Кельвина) (W.Thomson, 1854, 1882) по исследованию
и теоретическому описанию термоэлектрических явлений. Однако первой вполне
законченной, достаточно универсальной и сохранившей свое значение до настоя-
настоящего времени теорией полуфеноменологического типа явилась теория необратимых
процессов Ларса Онсагера (L. Onsager, 1931), на которой мы остановимся.
§ 1. Общий формализм
Используя идеи полуфеноменологической теории флуктуации, будем рассма-
рассматривать такие состояния статистической системы, когда каждая локальная область
ее может быть охарактеризована определенными значениями термодинамических
параметров, т.е. системы, отдельные неравновесные области которых достаточно

§ 1. Общий формализм 199
обширны в масштабе средней длины свободного пробега частиц, составляющих
рассматриваемую систему
- х Дх» А~ Асв.пр,
а заметные изменения значений термодинамических параметров в них происходят
за время, значительно превосходящее среднее время свободного пробега
At » т' ~ тсв. „р,
(даже если интервал At обозначается как dt).
Для определенности будем считать систему в целом изолированной и в этой
системе рассмотрим состояния, близкие к равновесному (иными словами, рассмо-
рассмотрим слабонеравновесную изолированную статистическую систему). Пусть {?} —
совокупность макроскопических параметров, характеризующих отклонение от рав-
равновесного состояния, для которого все & = 0. Величины ?* являются как бы «обоб-
«обобщенными координатами», характеризующими данное неравновесное состояние. Для
такой системы мы записывали (см. § 3 гл. 1) отклонение энтропии от равновесного
значения, ограничиваясь только квадратичной по ? формой, в виде
ы
где А: = 1,2,3,...; Аи = ~(щщ;H- Определим соответствующие выбранным коор-
координатам {?} «обобщенные силы»
х 9AS
Обратим внимание, что ввиду офаничения в AS квадратичными по ? членами связь
сил Xk с координатами & оказывается линейной. Введем, наконец, соответствующие
выбранным нами обобщенным координатам {?} потоки:
где точкой обозначена «макроскопическая» производная по времени: & — это
скорость изменения величины ?, измеренная по грубой немикроскопической (т.е.
уже не «механической») шкале времени (подобная ситуация нами уже обсужда-
обсуждалась в связи с рассмотрением брауновского движения). Величина этих потоков
определяется не только свойствами данной системы, но и величиной отклонения
состояния от равновесного, т.е. J = J(?, t), причем в соответствии с определением
равновесного состояния статистической системы J@, t) = 0.
Предположим теперь, что для рассматриваемых нами малых отклонений от рав-
равновесного состояния в этих макроскопических потоках можно офаничиться только
линейными по ? членами, или, что то же самое, линейными (в силу линейности
соотношений ? *¦* X) по X членами, т.е. предположим, что
Ji = 2J
или
= - 2 fe

200 Глава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
Это предположение, естественно, ограничивает теорию рассмотрением только ли-
линейных эффектов в неравновесной теории (слабонеравновесные состояния, мед-
медленные процессы и так далее). Конечно, это простейший из возможных случаев,
но вместе с тем хорошо известно, что именно линейные эффекты являются основ-
основными в задачах диффузии, теплопроводности, вязкого течения, в теории прово-
проводимости и т.д., в которых в качестве исходных моментов используются известные
из эксперимента соотношения, выражающие прямую пропорциональность величин
стационарных «потоков» градиентами соответствующих «координат»: законы Фурье
(J.Fourier, 1822) для теплопроводности, Фика (A. Fick, 1855) для диффузии, Ома
(G.Ohm, 1826) для электрической проводимости и т.п.
Относительно коэффициентов Ьц., определяющих интенсивности потоков Jt
в зависимости от величин обобщенных сил Хк, Онсагер предположил, что они
удовлетворяют так называемым соотношениям взаимности
Lki = Lit,
т. е., что эти коэффициенты не независимы друг от друга, а образуют симметричную
матрицу. Это положение, связывающее друг с другом коэффициенты переноса
разной природы, является, по существу, основным в полуфеноменологической
теории, и мы его обсудим несколько позже.
Напишем, наконец, общее выражение для скорости возрастания (скорости
возникновения, «производства», entropy production) энтропии в изолированной системе.
Так как отклонение энтропии от равновесного значения AS зависит от времени
через величины &, то
откуда согласно определению сил Xt и потоков Jit = & имеем
it
Эту же формулу можно записать в виде квадратичной формы относительно сил
или «координат» $
Ik Ik
где
Подведем некоторые итоги и обсудим возможности предложенного выше фор-
формализма.
а) Приступая к исследованию каких-либо явлений или свойств термодинами-
термодинамической системы, мы полагаем, что она в определенной степени задана:
во-первых, задано (если процесс не стационарный, то в определенный момент
времени) макроскопическое состояние неравновесной системы, например, зна-
значения термодинамических параметров в локальных областях системы;
во-вторых, сама система в данной ситуации тоже должна быть задана, т. е.
известны:
1) соответствующие уравнения состояния (как в равновесной термодина-
термодинамике),

§ I. Общий формализм 201
_2Д соответствующие кинетические коэффициенты или их комбинации (они
играют роль «уравнений состояния» в явлениях переноса, определяя ин-
индивидуальную реакцию системы на воздействие «силы» Хк).
Одна из задач сформулированной теории необратимых процессов состоит в уста-
установлении универсальных связей между кинетическими коэффициентами, характери-
характеризующими разные процессы переноса в данной системе. Если индекс к принимает п
значений (п = 1, 2, 3,...), то таких связей будет п(п - 1)/2 (число недиагональных
элементов в матрице Ц-bitll), т. е. независимых коэффициентов переноса будет не п2,
а только п(п + 1)/2.
б) Отправным моментом всего рассмотрения является выбор величин {?},
характеризующих неравновесное состояние системы. Этот выбор неоднозначен.
Его можно приспосабливать к той или иной задаче (или решать одну и ту же
задачу разными способами). При этом, естественно, будет меняться и конкретное
физическое содержание формальных коэффициентов переноса Ьц,.
в) Согласно 2-й части второго начала термодинамики скорость возрастания
энтропии («производство энтропии») должна быть неотрицательной величиной:
Это условие дополняет рассматривавшиеся ранее условия устойчивости термодина-
термодинамических систем, добавляя к ним определенные требования, предъявляемые к ко-
коэффициентам переноса. Действительно, рассмотренное нами в теории флуктуации
условие максимума энтропии в точке ? = 0 (равновесное состояние), или, что то же,
условие положительной определенности квадратичной формы Д5 = - 70 Лы?к& >
приводило к определенным требованиям к уравнениям состояния (например, для
системы типа газа это давало известные неравенства cvn>0, (др/дьH<О). Усло-
Условие 5 > 0 — это требование положительной определенности другой квадратичной
формы, 5 = ? -^ы&?<, которое налагает определенные требования уже на коэффи-
коэффициенты переноса (в простейшем случае это даст нам требования типа положитель-
положительности коэффициентов теплопроводности, х > 0, диффузии D > О, и т.д.).
г) Обратим внимание, что соотношения, связывающие потоки J = ? с параме-
параметрами ?, представляют собой систему временных уравнений для самих отклонений ?:
Эти уравнения, естественно, описывают эволюцию неравновесной системы, но в той
грубой шкале t, когда каждая локальная область системы (каждая из «отклоненных»
от состояния термодинамического равновесия подсистем) остается квазиравновес-
квазиравновесной термодинамической системой. Проведенное нами разделение всей замкнутой
системы на отдельные квазиравновесные пространственно однородные подсистемы
было достаточно условным, оно непосредственно обобщается на случай непрерывно-
непрерывного изменения параметров &> если их понимать как термодинамические параметры,
отнесенные к каждой области йт около точки г* рассматриваемой нами системы.
С физической точки зрения эти релаксационные процессы представляют со-
собой (в нашей грубой шкале t) процессы типа расплывания пространственной
неоднородности. Простейший из них — диффузионное расплывание заданного рас-
распределения плотности п(г, <)|«=о стабильной примеси в изотермически однородной
среде — эквивалент в математическом отношении задачам на брауновское движе-
движение: простейшее выражение для потока частиц примеси и условие их стабильности

202
Глава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
(уравнение непрерывности)
= -Dgradn(r,f),
dn(r,t)
dt
+ divJn =
сразу же приводит к простейшему же уравнению математической физики
дп
at
— D div grad n = DV n,
которое необходимо снабдить начальными и граничными условиями. Однако по-
получение решения п(г, t) даже для этой простейшей задачи оказывается не всегда
аналитически разрешимой проблемой. В более сложных случаях (наличие несколь-
нескольких компонент, неустановившихся потоков, температурных градиентов, химических
реакций и т.д.) мы пришли бы к гораздо более сложной математической пробле-
проблеме, например, к необходимости исследовать уравнения, обобщающие уравнения
гидродинамики вязкой среды.
Мы не ставим себе цель исследовать релаксационные процессы в системе
в целом. Решение этих вопросов — это сложная задача математической физики
(или вычислительной математики). Нельзя не отметить, однако, что с физической
точки зрения в основе этих процессов лежат «элементарные» процессы диффузии,
теплопроводности и т.д., определяющиеся теми же значениями коэффициентов
переноса, которые фигурируют в упомянутой выше «общей» задаче. В связи с этим
становится понятным, почему в задачах неравновесной термодинамики обычно рас-
рассматривают такие реализации неравновесных процессов, для рассмотрения которых
не возникает необходимости в постановке «краевой задачи» математической физики.
a)t<0 6)t>0
Рис.136. Схема реализации процессов переноса стационарного (а) и релаксационного (б) типов
Рассмотрим такую «типовую» сознательно упрощенную схему. Предположим,
что термодинамическая система состоит только из двух равновесных подсистем
(рис. 136): малой системы (заштрихованная область) и большой, выполняющей
по отношению к ней роль термостата Т (аналогичный прием нами уже использо-
использовался в термодинамической теории флуктуации). Пусть ради простоты только один
параметр \ характеризует отклонение термодинамического состояния заштрихован-
заштрихованной системы от равновесного с термостатом Т состояния. Чтобы это ^-состояние
в любой момент времени было бы квазиравновесным, полагаем, что связь за-
заштрихованной системы с термостатом Т осуществляется через капилляр, пористую
перегородку или еще какое-либо устройство, замедляющее наступление состояния
термодинамического равновесия в системе. Для того чтобы создать в заштрихо-
заштрихованной системе ^-состояние, соединим ее с другим термостатом Г', так чтобы
значение ? соответствовало бы равновесному состоянию рассматриваемой заштри-
заштрихованной области с термодинамической системой I" (см. рис. 136 а). Термостат I",

§ I. Общий формализм 203
как и Т, предполагается настолько большим, что за время,исследования системы его
параметры практически измениться не успевают. Наконец, пусть заштрихованная
область и оба термостата образуют замкнутую систему, т.е. такую, по отношению
к которой,сформулирован аппарат неравновесной термодинамики.
В таком «приготовленном» состоянии во всей системе происходит стационар-
стационарный процесс переноса (теплопроводность, или диффузия, или перетекание вещества
и т.д.), интенсивность которого определяется свойствами того устройства, с помо-
помощью которого заштрихованная система соединена с термостатом Т.
Если в момент t = 0 заштрихованную систему отключить от термостата Т'
(при этом образуются две изолированные системы, термостат Т и заштрихован-
заштрихованная система вместе с Т (см. рис. 136 5), то начнется релаксационный процесс,
который закончится с наступлением равновесия заштрихованной системы со своим
термостатом Т. .
Теперь опишем все эти состояния формально. Для отклонения энтропии за-
заштрихованной системы имеем
сила X и поток J определяются выражениями
8AS
X = — = -*?,- J
величины А и L "— заданные характеристики системы и «капилляра»-, в течение
времени t ^ 0 состояние заштрихованной области не меняется:
?(<) = ?@) = const,
Д5 = ~А?2@) = const.
Производство энтропии во всей замкнутой системе связано с происходящим в ней
стационарным (точнее, квазистационарным) процессом переноса:
5Обш = ST+r =JX = ?А2?2(О) = const.
Начиная с момента t = 0, состояние заштрихованной системы изменяется
AS = -1а?2(О)<Г2Ы'.
Характерно, что полученное выше время релаксации т ±= 1/(?А) определяется
через макроскопические характеристики,' включая соответствующий коэффициент
переноса. Скорость возрастания энтропии при t > 0 во всей замкнутой системе
йви = 5 = JX = ЬХ2 = LA2^2(O)
— естественный результат, так как в .данном случае 5 = ^Д5. Для полного
увеличения энтропии с момента t = Q,<b результате релаксации к равновесному
состоянию л.
f
Sdt =

204
Глава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
получаем также естественный результат, который можно было предвидеть заранее,
так как исходный интеграл вычисляется сразу при любой зависимости энтропии от ?
и равен S(oo) - 5@) = -Д5|(_„. Заметим еще, что так как размеры термостатов Т
и Г' с физической точки зрения всегда конечны, то прямая, изображающая пове-
поведение энтропии всей системы при t ^ 0, на самом
деле аппроксимирует отрезок экспоненты с очень
большим по сравнению с т = 1/(?А) временем ре-
релаксации (поэтому мы и называли процесс переноса
при t ^ 0 квазистационарным). Полученные резуль-
результаты представлены на рис. 137.
В случае когда параметров & несколько, к =
1,2, ...,п, то
система
0
1
Sr+Sr
Г+Г'
система
в цепом
и уравнения для &(?) составят систему уравнений,
которую уже не так просто исследовать. Однако,
если представить себе, что квадратичная форма AS
приведена с помощью линейного преобразования
исходных'?* к диагональному виду,
1
0
t
Рис. 137. Характер изменения эн-
энтропии в рассматриваемой системе,
в термостатах и во всей замкнутой
системе
где щ = т)к (?i, ¦. •, ?п) являются линейными функци-
функциями исходных ?*, и определить новые обобщенные
силы
Y-dAS- Т
то система уравнений переноса
Щ = LkYk — —)
распадается на независимые уравнения, откуда следует решение для каждого к:
и спектр времен релаксации т* = 1/(А*?ц), к — 1,..., п.
д) Остановимся теперь на соотношениях взаимности Онсагера Ьц, = Ьы, явля-
являющихся основным постулатом феноменологической теории явлений переноса. Для
их обоснования необходимо было привлечь методы физической кинетики. Однако
чаше для этой цели используют те соображения, которые были использованы нами
в связи с исследованием флуктуации и случайных процессов в статистических систе-
системах, и строят доказательство соотношений взаимности с помощью искусственного
приема. Основная идея этого подхода заключается в том, что процесс релаксации,
имеющейся в системе неоднородности, не зависит от того, было ли это откло-
отклоненное от равновесия состояние ? специально приготовлено (как в предыдущем
пункте при t < 0) или возникло в результате флуктуации. Свойства кинетических
коэффициентов в линейной теории не зависят от самих величин ?*, поэтому для
выяснения каких-либо свойств этих коэффициентов можно (если это, конечно,

§ 1. Общий формализм 205
требуется) распорядиться величинами ? по своему усмотрению, рассмотреть любые
их значения и даже усреднять по всем возможным значениям ?, в частности считая,
что величины ?*(<) описывают случайный стационарный процесс отклонения сис-
системы от состояния термодинамического равновесия. Именно с такими величинами
мы имели дело в теории флуктуации и теории случайных процессов. Мы полагали
(§ 2 гл. 1), что вероятность данного ^-отклонения определяется формулой
позволяющей рассчитывать средние значения по «всем ?». Рассмотрим одно из таких
средних, которое нам непосредственно понадобится для доказательства соотношений
Онсагера:
= J ZkXvWt dt = J b^-CeAS <% = J
В этом n-кратном интеграле обратим внимание на интеграл по переменной
Если к' Ф к, то
J d?ki *"*
если же к' = к, то, беря по частям, имеем
Так как в силу условия нормировки
то мы приходим к выводу, что искомое среднее выражается через кронекеров-
скую tf-функцию следующим образом:
Второй этап доказательства состоит в установлении свойств симметрии времен-
временных корреляционных функций ^-отклонений, взятых в моменты времени t\ и <2
(интервал At — t2~t\ > 0 полагается заданным):
= J
.%(-At) = ?,(t + At)Zk(t) = 6(Д<)С* = J
,6;
Эти корреляционные функции должны совпадать друг с другом, так как
.<?5*(Д?) = 3^k{-At) — четная функция временного аргумента At,
или, что то же,
@ik(At) = $Wkl{At) — четная функция относительно замены / <-> к.
Это осуществится только в том случае, если
или, что то же,
6; ДО = «i«*)ft«* 16; ДО.

206
Бтава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
где Р2(& I ?*; А*) — условная вероятность того, что в момент t + At значение fc-й
переменной будет находиться в интервале значений (?*,?* + <*?*)> если в момент t
1-я переменная была равна ?<. Это соотношение выражает так называемый принцип
детального равновесия. Его физическое содержание обычно интерпретируется следу-
следующим образом: в стационарном случае, когда характеристики системы (измеряемые
в нашем случае достаточно грубым образом) не изменяются с течением времени,
число «переходов» I —» к за время At должно совпадать с числом обратных перехо-
переходов к —»I за то же At. Если бы индексы / и к обозначали бы состояния системы, то
такое истолкование действительно было бы «достаточно ясным». Однако в нашем
случае эти индексы могут быть приписаны разным физическим величинам (напри-
(например. & — температура, & — концентрация и т. п.), так что физическую «ясность»
указанного принципа необходимо устанавливать в каждом конкретном случае заново.
В связи с этим рассмотрим вопрос о четности корреляционной функции ?;&(Д?)
с несколько иной, хотя и качественной точки зрения. Как уже отмечалось при рас-
рассмотрении общих вопросов теории случайных процессов, написанное среднее (в силу
эргодичности случайного процесса) можно представить как среднее &(<)&(' + At)
по всем расположениям данного интервала At вдоль «ленты» значений &(?) и ?k(t)
(рис. 138). Можно например, считать, что &(<)?*(' + At) подсчитывается, когда
заданный интервал At «двигается» вдоль этой линии слева направо. Тогда сред-
нее ?i(-t)?k(-t+At) будет соответствовать процедуре усреднения, когда интервал At
двигается справа налево вдоль той же ленты значений. Эти средние, естественно,
совпадают (утверждение А).
Рис. 138. Графики случайных отклонений
величин & и & от своих средних значений
Рис. 139. Графики обращенного
во времени изменения величин {, и
Далее, в силу микроскопической обратимости (все микроскопические времен-
временные процессы как бы запускаются в обратном направлении, при этом картинка
для &(?) и ?i(t), приведенная на рис. 139, будет уже другая — «зеркальная» по отно-
отношению к исходной) это среднее не изменится (утверждение Б) при одновременном
обращении всех временных аргументов t2 —> -t2, tt -> -t,, т. e. t -» -t, At -* -At
(скорости при таком обращении времени изменятся на обратные, токи — тоже,
магнитное поле как связанное с электрическим током — тоже).
В силу утверждения А, утверждения Б и условия стационарности случайного
процесса, позволяющего одновременно сдвинуть на Д* аргументы & и
что вновь приводит нас к свойству четности корреляционной функции @ik(At) =
m{At) ^(A)

§1. Общий формализм -, 207
Покажем теперь, что прямым следствием этого свойству временной корреля-
корреляционной функции является симметрия коэффициентов переноса. Действительно,
разделив равенство корреляционных функций .
на At и переходя к пределу At —» 0, получаем
Подставляя выражения для потоков через рилы X,
получим
К к1
но те средние, которые стоят под знаками сумм'по fc\ равны соответственно --бц.
и —^**'» и мы получаем искомое свойство симметрии кинетических коэффициентов
Если система помешена во внешнее магнитное поле Я и коэффициенты Lkt
от него зависят, то в силу проведенной при доказательстве соотношений взаимности
инверсии времени (как уже указывалось выше при такой инверсии необходимо
отразить и магнитное поле, Я —» -Я) для этого случая будем иметь
Lk,(H) = Llk(-H). .-
е) Все приведенное выше рассмотрение относилось к случаю изолированной
системы. Если система не изолирована, то изменение энтропии системы можно
представить в виде двух слагаемых:
где dSe = 6Q/9 — изменение энтропии за счет квазистатического процесса, связан-
связанного с обменом энергии с окружающими системами, dSi — изменение энтропии
за счет проходящих в самой системе неравновесных (как говорят еше, «диссипа-
тивных») процессов, таких, как теплопроводность, диффузия, вязкое трение и т. д.
(выбор индексов традиционен: external, internal -r внешний, внутренний). Если ве-
величина dSe может быть любого знака в зависимости от знака 6Qt то ^производство»
энтропии dSi = 5dt (здесь dt 2 At > 0) всегда.положительно. Для незамкнутых
систем рассмотрение неравновесных задач в связи с этим, естественно, усложняется.
В целом ряде случаев, однако, для выяснения характерных особенностей явлений
переноса интересующего нас типа достаточно рассмотреть «дифференциально ма-
малый» (но при всей своей «малости», конечно, являющийся статистической системой)
фрагмент физической системы, мысленно поместить его в условия, максимально
упрощающие исследование, а уже затем на чисто макроскопическом уровне рассма-
рассматривать всю систему как совокупность таких фрагментов.
Наконец, если dS,- = 0, т. е. скорость образования энтропии равна нулю
(с физической точки зрения это обозначает, что величина dS,- пренебрежимо мала
по сравнению с изменением dSe), то мы естественным образом,возвращаемся
к описанию системы, основанному на методах квазистатической термодинамики.

208 Глава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
ж) В заключение этого параграфа сделаем замечание относительно направления
динамической (неквазистатической) реакции термодинамической системы по отно-
отношению к внешнему на нее воздействию (речь идет именно о знаке этой реакции,
о знаке изменения какого-либо макроскопического параметра, а не о величине этого
изменения).
В 1833 г. (т. е. до появления формулировки Клаузиуса второго начала термодина-
термодинамики вместе с его второй частью) член Петербургской академии Э. X. Ленц сформу-
сформулировал эмпирическое правило, определяющее направление ЭДС индукции. В даль-
дальнейшем ряд исследователей, рассматривая характерную реакцию макроскопических
систем, когда какое-нибудь (не обязательно электромагнитное) внешнее воздействие
вызывало в них процессы, которые стремились ослабить результат этого воздействия,
пытались, рассуждая в основном индуктивным методом, представить эти примеры
в форме некоторого обобщенного правила Ленца. Это обобщение получило название
принципа Ле Шателье. Оно связано с работами французского ученого Ле Шателье
(Н. L. Le Chatelier, 1884), по праву считающегося наряду с Тиббсом и Вант Гоффом
основателем химической термодинамики, голландского химика и физика Вант Гоффа
(J. Van't Hoff, 1884) и немецкого физика Брауна (С. F. Braun, 1887) (не следует путать
Карла Фердинанда Брауна A850-1918) с английским ботаником Робертом Брауном
(R. Brown, 1773-1858), давшим имя брауновскому движению). В используемой нами
терминологии принцип Ле Шателье формулируется следующим образом:
Всякая система, находящаяся в состоянии термодинамического равновесия, пре-
претерпевает в результате изменения величины одного из параметров термодинамического
состояния такие смещения других ее параметров, которые, происходя сами по себе,
вызвали бы изменение рассматриваемого параметра в противоположном направлении.
Если бы этот принцип действительно имел бы характер безусловного закона
природы, то мы располагали бы очень удобной формой объяснения «универсальной»
сопротивляемости термодинамических систем внешнему воздействию, обобщенному
свойству их реакции, проявляющейся как своеобразная поляризация возмущаемой
системы не только по отношению к динамическому, но и к тепловому и материаль-
материальному воздействиям. На этом пути, например, мы могли бы вполне «элементарно»
объяснить, почему теплопроводность пенки, образующейся на горячем молоке,
меньше теплопроводности самого молока и т. п. (не исключено, что нам удалось бы
даже истолковать и закон падающего бутерброда).
Однако известно достаточное число примеров невыполнения принципа Ле Ша-
Шателье. Не будем здесь затрагивать такую «коварную» ситуацию, когда с макроскопи-
макроскопической точки зрения термодинамически устойчивые системы проявляют по отноше-
отношению к включению магнитного поля совершенно противоположные реакции (диа-
н парамагнитную см. т. 1, гл. 1, §6-а)), и приведем пример, который не вызовет
дискуссии: из экспериментов известно (и можно подтвердить расчетом), что созда-
создание в первоначально равновесной системе отклонения давления Fр)$„ > 0, где п —
химический состав смеси газов, приводит к таким в ней процессам, которые уже при
фиксированных в н V приводят к уменьшению этого избыточного давления (соот-
(соответствие с принципом Ле Шателье), но для той же системы создание отклонения
объема FV)gn > 0 приводит к реакциям, которые в условиях в = const, p = const
приводят к дальнейшему увеличению объема системы (противоречие с принципом
Ле Шателье).
Попытки на основе квазистатической термодинамики придать принципу Ле Ша-
Шателье совершенно общую форму со всеми заранее предусмотренными оговорками
(если она вообще существует, то она должна быть весьма сложной), предпринятые
в доонсагеровский период даже такими выдающимися физиками, как Эренфест

§ 1. Общий формализм 209
и Планк, не увенчались успехом. Это, впрочем, не удивительно, так как в квази-
квазистатической термодинамике нет понятия направления времени и поэтому не может
быть определено временное направление течения процесса. В связи с этим часто
повторяемые разными авторами утверждения, подобные, например, тому, что не-
неравенство Ср > Су (или, что то же, адиабата на плоскости (р, V) круче изотермы)
выражает принцип Ле Шателье, представляются искусственными.
Ситуация существенно меняется, когда в аппарате термодинамики появляются
величины типа скоростей. На это впервые обратил внимание французский хи-
химик Де Донде (Th. De Donder, 1922). Сформулированный им принцип заключался
в требовании
0dSi = A6? = AtdfZO, или А^О,
где А = А(в, р, 0 (или А =¦ А(в, V, ?)) — так называемое химическое сродство, а ? —
степень полноты реакции, выражающаяся через молярные доли компонент и сте-
хиометрические коэффициенты. На этом пути были естественно (и в соответствии
с принципом Ле Шателье) получены законы смещения химического равновесия
Вант Гоффа, Планка и Лаара при изменении температуры в, давления р и т. д.
Однако и здесь, применяя критерий а? ^ 0 по отношению к каждому из термо-
термодинамических параметров (существенно, что их более одного), можно обнаружить
и случаи его нарушения. Достаточно привести один характерный пример: добавле-
добавление к равновесной смеси азота, водорода и аммиака (N2 + ЗНг <=* 2NH3) небольшой
порции азота приводит к частичному поглощению азота (за счет увеличения доли
аммиака) только в случае, когда первоначальная его доля меньше определенной ве-
величины, в противном же случае реакция на введение азота с принципом Ле Шателье
не согласуется, так как за счет разложения аммиака доля азота еще более возрастает.
Рассмотрим теперь вопрос о принципе Ле Шателье с точки зрения онсагеров-
ской неравновесной термодинамики. Прежде всего, было бы большой смелостью
рассчитывать на то, что принцип, подобный высказанному Ле Шателье, является
каким-то надтермодинамическим принципом, т.е. неким «началом», существующим
помимо-известных нам начал термодинамики. Если же положить, что этот принцип
должен вытекать из основных положений термодинамики, то получить корректную
его формулировку уже особого труда не составляет.
Напомним, что исходным моментом предпринятого в этом параграфе рассмо-
рассмотрения была квадратичная форма для -AS = ^?А? (мы записали ее в условной
матричной форме, когда ? = (?|,... ,?„) и А = ||Ау||). Несмотря на то, что условие
положительной ее определенности приводило к критериям устойчивости равно-
равновесных состояний системы (в частности, то, что Ср > Су и что адиабата круче
изотермы), она не содержит времени t как динамического аргумента. Таким обра-
образом, единственную возможность исследовать в рамках феноменологической термо-
термодинамики вопрос о направлении реакции системы на воздействие предоставляет
вторая часть начала термодинамики в форме, содержащей не только параметры
С = (?i>••• >&>)> характеризующие отклонение системы от состояния равновесия,
но и скорости этих изменений ? = (?|,..., ?„):
Если в исходной квадратичной форме ?А? (а значит, и в квадратичной форме
имеется только одно слагаемое (т. е. для i = 2,..., п все & = 0, что соответствует
случаю, когда все параметры системы, кроме одного, искусственно поддерживаются

210 Глава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
на уровне равновесных значений), то, так как Аи > 0, условие
будет выражать принцип Ле Шателье: при возникновении положительного откло-
отклонения от равновесного значения параметра ?| > 0 (при всех остальных ft = 0)
реакция системы направлена в сторону уменьшения этого отклонения, ?| < 0 или
6?t — ?, dt < 0, и наоборот.
В общем случае исследование условия 5 ^ 0 (в отличие от AS квадратичная
форма для S включает не п, а 2п переменных ft и ft) элементарным уже не ока-
оказывается. Идею рассмотрения этого случая можно позаимствовать из пункта г)
этого параграфа. Предположим, что мы диагонализировали форму для AS, т. е.
представили ее в виде
*
где щ — *lk(i\>•¦• , ft>) — линейные функции исходных параметров отклонений ft.
В соответствии с условием устойчивости равновесного состояния системы все А* > 0.
Так как
L
то условие неотрицательности величины 5
означает, что все коэффициенты Lk > 0. Помимо того, что, как указывалось в пунк-
пункте в), эти неравенства, гарантирующие устойчивость системы по отношению к явле-
явлениям переноса, в переводе на исходные коэффициенты переноса в ^-переменных
налагают на них определенные условия, из них следуют также и неравенства
ЩПк - -\LkVk 4 0
для всех к — 1,...,п.
Таким образом, используя не только условия А* > 0 положительной опреде-
определенности квадратичной формы j?Af (т. е. условия максимума энтропии системы
для термодинамически равновесного ее состояния), но и условия ?* > 0 непо-
неположительности формы ?А? для производной энтропии по времени (т. е. условия
неотрицательности величины скорости ее образования в неравновесных системах),
мы показали, что по отношению к тем переменным щ, относительно которых ис-
исходная квадратичная форма для отклонения энтропии AS является диагональной,
?А? = j/Aj/, принцип Ле Шателье выполняется всегда. Он выражается с помощью
неравенств щщ ^ 0 (или Т}к6щ ^ 0) по отношению ко всем независимым па-
параметрам j/jt (к = 1,...,п), характеризующим отклонение системы от состояния
термодинамического равновесия, и полностью соответствует требованиям устойчи-
устойчивости этого состояния и устойчивости системы по отношению к происходящим
в ней явлениям переноса.
Эта корректная и согласованная со второй частью второго начала термодинами-
термодинамики формулировка принципа Ле Шателье не исключает нарушений этого принципа
в наивном понимании (т. е. что по отношению ко всем исходным переменным

§ 2. Диффузия, теплопроводность, вязкость, термоэлектричество 211
ikik < 0). Чтобы убедиться, в этом, достаточно рассмотреть случай п = 2. Имеем
исходное неравенство относительно ?f и &:
-2AS = ?А? = А„?? + 2A,2?,fc + А22&2 ^ О,
которое обеспечивается условиями Ап > 0 и АМА22-А22 > 0 при любых значениях ^
и ?2, и неравенство относительно четырех переменных
-S = Ам?,{, + А|2?,6 + А12?2?, + А22?2& s? 0
(так как в данном случае мы интересуемся только знаковым результатом, то можно
считать, что величины ?* и ?* определены в масштабах, в которых они безразмерны).
В переменных
А,2
П\ = ?i + т—6, Ъ = Ь
первая квадратичная форма диагональна, а неположительность второй обеспечива-
обеспечивается, как мы показали выше, неравенствами
Из них следует, в частности, что им удовлетворяет не только решение типа ?2 = -?2,
?i = -?i, соответствующие наивной форме принципа Ле Шателье, &?» < 0, к = 1, 2,
но и не соответствующее этой его форме решение ?2 = — ?2, ?i = +?i, существующее
при таком значении коэффициента А]2, когда |^|| < |Ai2/An|-|?2|. Для п = 3 условия
ЧкЩ ^ 0 становятся в выражении через & еще более сложными, так как
_ _ , , А,2, А,3, _ ¦ , А23Ац -
так что возможностей для нарушения неравенств ?*?* < 0 становится еще больше,
и т.д.
§2. Диффузия, теплопроводность, вязкость,
термоэлектричество
В качестве характерных примеров рассмотрим несколько простейших задач,
в которых проявляют себя соотношения взаимности Онсагера — случай, когда чи-
число параметров & равно только двум. Физические реализации такой формальной
возможности могут быть различными. Мы остановимся на наиболее наглядных,
когда в качестве потоков Jk естественно выбрать поток энергии ./^реализующийся
как теплопроводность при наличии перепада температур Ав или по каким-либо
иным причинам, и поток числа частиц JN, поддерживающийся За счет перепада
плотности числа частиц An (диффузия), перепада давления Ар (вязкое течение)
или за счет действующего на частицы внешнего поля (электрическая проводимость).
Оставаясь в рамках формальной возможности к = 1,2, мы вынуждены, жертвуя
рядом интересных перекрестных эффектов, рассмотреть каждую из этих возможно-
возможностей отдельно, мысленно (точнее, теоретически) создавая намеренно упрощенные
реализации указанных выше процессов переноса.

212
Глава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
Рис. 140. Схема простейшей уста-
установки для реализации явлений
диффузии, термодиффузии и тепло-
теплопроводности
а) Диффузия, термодиффузия, теплопроводность
Остановимся на простейшем, «однокомпонентном» варианте процессов пере-
переноса частиц и энергии в термически неоднородной системе (для определенности
эти процессы можно представить как диффузию частиц газа типа водорода через
твердое тело и связанный с движением частиц этого газа перенос энергии) и не-
несколько нарочито подробно остановимся на всех этапах рассмотрения, связанного
с использованием онсагеровской теории.
Вместо того чтобы рассматривать какую-либо
конкретную реализацию этих процессов в лабора-
лабораторной системе в целом, включая все ее геометри-
геометрические особенности, условия на границах и т.д., мы
рассмотрим маленький кусочек этой системы, такой,
чтобы отличие значений локальных термодинами-
термодинамических параметров на его границах можно было бы
считать малыми величинами, а сами процессы пере-
переноса однородными (и направленными вдоль услов-
условной оси х). Для этого представим себе, что этот ку-
кусочек играет роль «капилляра» (или «пористой пере-
перегородки»), о котором говорилось в пункте г) первого
параграфа, и соединяет два наполненных исследу-
исследуемым газом термостата Т и Т' с несовпадающими
температурами 9 и 91 = 9 + Д0 и значениями плотности газа пип' = n + An. В этих
условиях в интересующем нас элементе (заштрихованном на рис. 140) возникают
потоки числа частиц Jn и переносимой частицами газа энергии J?, которые обычно
связываются с экспериментально устанавливаемыми коэффициентами диффузии D,
термодиффузии Dg, теплопроводности к и диффузионного переноса тепла х„:
JN = -DAn - D»A9, Jc - -х„Ап - хАв.
Чтобы эти коэффициенты соответствовали тем стандартным значениям, которые
приводятся в справочниках физических величин, достаточно положить, что сечение
заштрихованной системы составляет 1 см2, длина Дх = 1 см. Тогда An можно
формально заменить на градиент дп/дх, АО — на дв/дх, потоки же Jn и 3t
совпадут с соответствующими плотностями потоков.
В связи с тем что задача термостатов Г и Г' состоит только в том, чтобы
создать на границах заштрихованной системы необходимые значения температуры
и плотности числа частиц, сделаем относительно них несколько упрощающих пред-
предположений, которые никак не повлияют на явления переноса через соединяющую
их систему. Во-первых, вспоминая, что для квазистатических процессов
dS = -d?+?-dV--dN,
положим, что объемы каждого из термостатов фиксированы. Тогда dV — О и в на-
написанном выше соотношении останутся только два слагаемых. Во-вторых, для того
чтобы использовать изложенный в этом параграфе формализм, положим, что оба
термостата и соединяющая их система составляют замкнутую систему. Более того,
будем считать, что процесс переноса через соединяющую систему в рассматривае-
рассматриваемом ограниченном интервале времени стационарен, т. е. она, будучи неравновесной,
не меняет своего состояния, а термостаты в соответствии с пунктом г) меняют свои
состояния квазистатически. Тогда будем иметь для изменения энергии и числа
частиц в термостатах
-ДА ANT = -ANr = -AN.

§2. Диффузия, теплопроводность, вязкость, термоэлектричество 213
В-третьих, положим, что термостат Т значительно больше термостата Т, т.е. будем
считать, что
f-IL _+ о, Nr » О
Эта дополнительная предельная процедура уже использовалась нами неоднократно
и носит в данном случае чисто технический характер.
Обозначая параметры термостата Т без индекса внизу, будем иметь для свя-
связанного с несовпадением значений термодинамических параметров термостатов
отклонения энтропии от равновесного значения во всей изолированной системе
= S(S + AS, N + AN) - S(S, N) + ST(?r - AS, NT - AN) - ST{$r, NT).
Ввиду того что при AS = 0 и AN = 0
dS\ -@Hl\ -1 (dS\ -(8St
di)NV~\M)NV~~e' \Ш)~\д1ъ
линейные члены по отклонениям AS и AN в выражении для ASo6ui компенсиру-
компенсируются, а квадратичные, происходящие от двух последних слагаемых в AS^^ (т. е.
от AS?) в «дарвин-фаулеровском» пределе N/Nt —* 0, не конкурируют с аналогич-
аналогичными членами разложения AS, например,
I \ОФ J Nv
Поэтому в пределе N/Щ -* 0 в разложении Д5ОбШ останутся только три слагаемых:
Полагая теперь ^i = AS, fr = AN, получаем конкретные выражения для соответ-
соответствующих термодинамических сил Хс и Хц (напомним, что мы условились работать
в линейном по ?| и & приближении):
Хе = ? )AS
dS\ /1\ Ав
(в соответствии с общей программой мы cor— tit>» топько линейные члены по Д-от-
Д-отклонениям и учли, что химический потенциал р как термодинамическая величина

214 Глава 4. Термодиномическоя теория необратимых процессов
неадцитивного типа является функцией неаддитивных термодинамических параме-
параметров, в частности, температуры в и плотности числа частиц п). Общие соотношения
теории J,- = ^ LijXj теперь приобретают вполне конкретный вид,
Д0 д
откуда сразу следует связь формальных коэффициентов Lik с имеющими совершенно
конкретный физический смысл коэффициентами D и х,
или, обращая эти соотношения,
Единственное в данном случае соотношение взаимности LtN = Ln? определяет
связь феноменологических коэффициентов переноса:
так что из четырех коэффициентов только три оказываются независимыми: коэф-
коэффициент теплопроводности х и два коэффициента из тройки D, Dg, х„.
В частном случае, когда среду, в которой происходят рассматриваемые процессы
переноса, можно смоделировать идеальным классическим газом, имеем
м_,пГ (™У 1 BЕ\ -i ±(!L\ -J l
в [BжтвK^У \дп)в~п дв\в)п~ 7'в'
откуда
в2 3
х„ = —D, + -9D.
п 2
Это соотношение, как мы покажем в дальнейшем, подтверждается прямыми расче-
расчетами кинетических коэффициентов методами кинетической теории.
Рассмотренный пример является, конечно, достаточно условным: потоки Jn
и 3t связаны с движением частиц только одного газа, в то время как вторая
компонента — решетка из пространственно фиксированных атомов — тоже дает
свой вклад в общий поток энергии, который должен быть определен отдельно
в отсутствие газа (п = 0) и прибавлен к Je (мы неявно полагаем при этом, что
явления, связанные с дрейфом частиц газа, независимы от колебаний решетки
и процесса передачи с их помощью энергии от термостата Г' к Г).

§ 2. Диффузия, теплопроводность, вязкость, термоэлектричество
215
В случае двух газов рассмотрение сразу же усложняется в техническом отно-
отношении: два потока разных частиц и поток энергии, девять коэффициентов ?,-*,
из которых независимыми оказываются только шесть, три универсальные связи
между экспериментально устанавливаемыми коэффициентами переноса и т.д., од-
однако в идейном отношении эта, несомненно, более физическая задача ничего нового
к уже сказанному не прибавляет.
6) Термомеханические явления
Рассмотрим, как и в предыдущем пункте, условную схему (рис. 141): одно-
компонентная изолированная в целом термодинамическая система состоит из двух
равновесных подсистем, соединенных допускающей перетекание жидкости пори-
пористой перегородкой (или просто достаточно узкой трубкой — «капилляром»), через
которую, собственно, и осуществляются процессы
переноса и которая замедляет релаксационный про-
процесс настолько, что в каждый момент времени в под-
подсистемах реализуются равновесные термодинамиче-
термодинамические состояния. Будем считать, что перегородка не-
неподвижна, т.е. Д7| = AV2 = 0, и квазистатическое
изменение энтропии в каждой из подсистем равно
Обозначим pi = р + Др, р2 = р; 0| = 0 -f Д0,
02 = в, а также #,' = $\ + А?, ${ = <% - Д<^;
TVf = N{ + AN, Щ = N2 - AN где величины 4
и TV* — значения внутренней энергии и числа час-
частиц в каждой из подсистем при условии Др = О,
Д0 = 0. Для удобства можно было бы, следуя тради-
традиции, сделать систему 2 очень большой, т. е. типа «термостата», использовавшегося
нами в § 1 (тогда вир были бы равновесными значениями температуры и давления).
Однако для некоторого разнообразия этого можно здесь и не делать. Положим
i :
р+Др!
0+Д0;
1
1
2
V
в
, 1 ,
р+Др
0+Д0
Рис. 141.
новок для
нических
•
2
Р
в
Простейшие схемы уста-
реализации термомеха-
явлений
Квадратичную по & форму для Д5овщ (исходный момент формализма) можно
получить, разлагая в ряд выражение
однако и этого тоже можно не делать. Определим сразу обобщенные термодинами-
термодинамические силы Хк = 4^Д50бщ, сохраняя только первый порядок по Д-отклонениям
(т. е. интересуясь, как всегда, только дифференциальными эффектами)
as1 as.
дА?
8S'
dAN ~ dN,
as.
(92
в + Д0 6
$ в2

216
Глава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
Эти формулы новыми для нас не являются. Во второй из них выразим Ац через
измеряемые величины: так как в первом порядке Ац = —зАО + vAp, то
09АО - OvAp + иАО h v
где величина Л = fi + Оз представляет собой удельную (в расчете на частицу системы)
энтальпию. Обшие уравнения переноса с учетом симметрии L\2 = L2\
Je = AS = LttXt + LcNXN,
= AN = LeNXe + LNNXN
запишутся теперь в виде
т _ ^fAfft ~ Lee ,
Je — ^ '
1
в
2
в
" о 1~жу' "л ~" о2 "" о ^'
Чтобы понять конкретный физический смысл коэффи-
коэффициентов, стоящих в этих формулах при АО и Др, скомпо-
скомпонованных из трех формальных величин Lee, b?jv и ?лглг,
рассмотрим простейшие частные случаи.
а) Случай Ав = 0: изотермическое вязкое течение
жидкости через капилляр (рис. 142). Поток вещества JN
пропорционален перепаду давления Др:
Рис. 142. Схема изотерми-
изотермического перетекания
Jn =
и
= -К Ар,
причем коэффициент К измеряется экспериментально.
Решая гидродинамическую задачу о течении вязкой жид-
жидкости через трубку, можно связать этот коэффициент с коэффициентом внутреннего
трения и геометрическими параметрами капилляра; например, в случае несжимае-
несжимаемой жидкости имеет место формула Пуазейля (J. Poiseuille, 1840)
_. тгД4
где I — длина, R — радиус капилляра, v = \/п — удельный объем жидкости. Поток
энергии Je в случае Д0 = 0 также пропорционален Др, поэтому мы приходим к так
называемому термомеханическому закону
Je —
= U
где U* — энергия, переносимая в среднем одной частицей из подсистемы 1 в 2.
Эта величина может быть измерена экспериментально, а также может быть оценена
и теоретически (см. задачу 6).
Таким образом, уже один только частный случай АО = 0 позволяет осмыслить
с физической точки зрения два (из независимых трех) формальных коэффициента
Онсагера:
— -К,
v
LeN = -KU*.
v
/3) Случай Др = 0: приготовили систему с заданным значением 0\ - 02 = АО,
включили капилляр, начались процессы переноса энергии и частиц, а перепад
давления Др еще не успел возникнуть (рис. 143). Поток энергии
в2
-АО = -крАв

§ 2. Диффузия, теплопроводность, вязкость, термоэлектричество
217
непосредственно связан е коэффициентом теплопроводности хр в отсутствие пере-
перепада давления, т. е. для случая Др = 0. Поток частиц
1
в+Ав
—*•
2
в
определяется величиной коэффициента термодиффузии
De, который можно сразу же связать с рассмотреннь&ш
в п. а-) коэффициентами К и U*:
D.=K
h-U*
Наконец, связь потоков
Рис. 143. Схема реализации
термомеханического эффекта
_ U*h-LjLNN _
е ~ ЛМ7* N ~ p N
1
р+Др
2
в
Р
Рис. 144. Схема реализации
механокалорического эффекта
определяет термомеханический коэффициент Up = -xp/Dg для случая Др = 0.
7) Случай JN = 0, АО / 0, Др / 0 (рис. 144):
перенос частиц, начавшийся в условиях предыдущего
случая, прекратился с образованием соответствующего
перепада давления Др ф 0. Из условия Jy = 0 имеем
сразу
Др _ Ltrtrh - LeN _ h - U* _
АО OLfr/fV v9
где коэффициент М характеризует величину механока-
лорического эффекта.
Возникновение перепада давления в капилляре, со-
соединяющем системы с разными температурами, обычно
иллюстрируется на примере эффекта фонтанирования. Предположим (рис. 145), что
стеклянная трубочка не на всю свою длину вертикаль-
вертикально опущена в прозрачную жидкость. На зачерненный
нижний конец трубки (или на вставленную в нижний
конец непрозрачную пористую пробку) падает пучок
света, который в данном случае служит нагревателем.
Возникшее в капилляре отклонение температуры в + Ав
приводит к появлению Др, так что уровень жидкости
в капилляре поднимается на соответствующую высоту.
Если же конец капилляра расположен ниже этого уров-
^> j$? ня, то жидкость начнет вытекать, образуя своеобразный
«фонтан». Естественно, что наша формула определяет
величину гидростатического эффекта для Др, коли-
количественная же оценка параметров «фонтана» является
задачей динамической теории.
в,Р
Рис. 145. Схема установки
с эффектом фонтанирования
Поток энергии через капилляр
LeffU*-Le
в2
¦Ав = -xNA6
определяет коэффициент теплопроводности Хц при условии Jy = 0.

218 Глава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
Сравнивая полученные здесь выражения для коэффициентов М и кц с ко-
коэффициентами, характеризующими процессы, рассмотренные ранее, получаем ряд
соотношений между ними:
D, = KM, h,=hn- U*KM = клг - U*De.
Таким образом, шесть макроскопически наблюдаемых явлений переноса (пункты а),
Р)> 7)) удалось описать с помощью трех коэффициентов переноса, в качестве
которых (вместо формальных величин Lee, LeN и LNN) можно взять коэффициент
вязкости г] (или К), U* (или М) и Хр (или Клг).
Рассмотрим дополнительно еще два частных случая перетекания, которые до-
довольно часто реализуются на практике.
6) Изоэнтальпическое перетекание — эф-
эффект Джоуля—Томсона (J. Joule, W. Thomson,
1853-1854) (правильнее: Джуля—Томсона, так
как фонетическая транскрипция Joule = [d3u:l]).
Рассмотрим стационарный процесс перетекания
Рис. 146. Схема реализации эффекта газа (тк жидкости) через пористую перегород-
Джоуля—Томсона *У (или отдельный капилляр), установленную
в трубке с адиабатически изолированными стен-
стенками (рис. 146). Выделяя мысленно некоторую порцию газа слева от перегородки,
занимающую объем Nvt, мы замечаем, что работа, которую необходимо произвести
для того, чтобы протиснуть этот газ через перегородку, равна P[Nvt. Та же порция
газа, появляясь справа, уже сама производит работу p2Nv2. Изменение внутренней
энергии за время такого перетекания равно Nfa -?i). Согласно первому нача-
началу термодинамики и условию адиабатической изолированности трубки имеем для
рассматриваемой порции газа
AQ = Д<? + Д W = N(e2 + p2v2 - е, - р\v{) = NДЛ = О,
т. е. рассматриваемый процесс оказывается изоэнтальпическим. Записывая это усло-
условие в виде
,м), \др
причем согласно общим свойствам энтропии (см. т. I, гл. 1, §5)
'dh
и'учитывая, что в соответствии с известным выражением dfi — -sd6 + v dp
,Bk\ {Ods + vdp} /ЛЛ
оответствии с известным выражением dp — -sde +
(дш\ /М
\др)„ \дв);
получаем для изменения температуры газа при изоэнтальпическом его протекании
д» „. '(S).- '(Sb(S).
Д? * Ср
Знак коэффициента Wh может быть разным в зависимости от уравнения состояния
газа и значений р и в. Условие Wh = 0 определяет кривую инверсии р = р(в),
которая на (pt в)-плоскости разделяет термодинамические состояния (р, в) с по-
положительным эффектом Wh > 0 (охлаждение газа в результате дросселирования)

§ 2. Диффузия, теплопроводность, вязкость, термоэлектричество
219
от состояний с Wh < 0. Характерно, что этот коэффициент определяется только
уравнениями состояния газа и совершенно не зависит от коэффициентов переноса,
характеризующих газ и те капилляры, из которых состоит пористая перегородка.
Подставляя Ав = WhAp в выражения для потоков Jt и Jn, получаем для
энергии, в среднем переносимой частицей слева направо через перегородку,
- KU*Ap
JN
KM АО - К Ар
и*
К
M=Wkbp l ~ MWh
К
(последнее соотношение справедливо при достаточно малом значении
е) Изоэнтропическое перетекание. Если
вместо перегородки в устройстве, описанном
в предыдущем случае, поставить устройство ти-
типа турбины Капицы (рис. 147) так, чтобы газ,
проходящий через это устройство, мог бы совер-
совершать работу за счет изменения своей внутренней
энергии (т.е. реализовался бы идеальный про-
процесс без подвода к газу тепла, 6Q — в dS — 0),
то мы бы имели в расчете на частицу газа
Рис. 147. Схема установки
с иэоэнтропическим перетеканием
откуда температурный эффект процесса получается равным
Ар сД,
Так как в подавляющем числе случаев (dv/dO)p > 0 (тепловое расширение), то
Ws > 0. Сравнивая эффект с предыдущим случаем, получаем
ws = wh + - > wh,
т. е. в качестве основы для «холодильной»
машины этот процесс эффективнее процесса
дросселирования (Джоуля—Томсона).
Величина энергии, переносимой в сред-
среднем каждой частицей газа, проходящей через
турбину,
к
= U,=
l-MW,
Заметим еще, что, в отличие от всех рас-
рассмотренных ранее частных случаев, процесс
прохождения газа через турбину не является
(в идеальном варианте турбины) диссипатив-
ным: запустив ее в обратную сторону (т. е.
превратив турбину в насос), мы обратим изо-
энтропический процесс, превратив его в адиабатический процесс сжатия газа под
действием внешнего устройства, совершающего над ним работу.
Рис. 148. Зависимость энергии U, в сред-
среднем переносимой каждой частицей, от ве-
величины термомеханического коэффициен-
коэффициента W = Д0/Др

220
Глава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
Относительные значения энергии U = Jc/Jn и термомеханического коэф-
коэффициента W = АО/Ар для процессов рассмотренных типов можно изобразить
на схематическом графике (рис. 148).
Подсчитаем, наконец, скорость образования энтропии S в случаях, рассмо-
рассмотренных в этом разделе. Умножая потоки Л,
Л = -хрА6 - KU'Ap = -(kjv - U*KM)A6 - KU*Ap, JN = КМАв - К Ар
соответственно на силы
АО
U*
и складывая, получаем
S =
+ — (Ар - МАвJ > 0.
Условия устойчивости системы по отношению к процессам, рассмотренным выше,
запишутся как естественные требования
aN > 0, К > 0.
В задачах 11 и 12 мы остановимся еще на одном интересном устройстве,
называемом вихревой трубкой, стационарное движение газа через которое так же,
как и в рассмотренных в пунктах 6) и е) случаях, приводит при определенных
условиях к охлаждающему эффекту.
в) Термоэлектричество
В круг этих явлений обычно включают три характерных отдельно наблюдаемых
эффекта: термоЭДС или явление Зеебека (Т. Seebeck, 1821) — возникновение раз-
разности потенциалов на концах разомкнутой электрической цепи, состоящей из по-
последовательно соединенных проводников, изготовленных из разных материалов,
в случае, когда спаи проводников поддерживаются при разных температурах; выде-
выделение тепла при прохождении тока через спай различных проводников, или эффект
Пельтье (J. Peltier, 1834), в изотермичес-
изотермической системе; перенос тепла электричес-
электрическим током вдоль однородного проводни-
проводника при наличии перепада температуры,
или эффектТомсона (W.Thomson, 1856),
а также сочетания этих явлений.
Для рассмотрения всех этих явлений
примем упрошенную (даже условную)
схему системы (рис. 149). Будем считать,
что электрическая цепь составлена из ис-
источника ЭДС AU и двух разных проводников а и Ь, спаи которых помещены
в термостаты 1 и 2 с температурами в\ = в + АО, 02 = в. Явления переноса на обоих
спаях и в области между термостатами, где grad в Ф 0, будем считать, как всегда,
достаточно медленными, т.е. перепад температур незначителен, Д0 <? 0, сопроти-
сопротивление проводов достаточно велико, а разность потенциалов AU достаточно мала.
В качестве источника тока, создающего заданную величину AU, можно взять любую
модель, проще всего — идеальный элемент, можно — достаточно большой конден-
конденсатор и т. п. Так как работа источника тока по перенесению заряда dq по всей цепи
= AU dq, 6W = -
la 1
0+Д0
металл
а
металл
Ь
2
| ' ь:
У \
Рис. 149. Простейшая схема установки для
реализации термоэлектрических явлений

§ 2. Диффузия, теплопроводность, вязкость, термоэлектричество
221
то ввиду общей формулы квазистатической термодинамики
= \d?- \-AU dq
в в ч
для каждой из подсистем имеем
откуда для общего изменения энтропии системы получаем
dS = dS, + dS2 =
dS1 AU
в + Ав в
Учитывая, что в изолированной в целом системе dS\ = -d$i —
стью до линейных по Ав членов
, имеем с точно-
точноОтнося это изменение к единице времени, для скорости образования энтропии при
заданных Д0 и AU получаем
где в качестве потоков Jj. мы выбрали электрический ток и поток энергии
Соответствующие этим потокам силы выражаются как
ДСГ Ав
Л} — -——, лс
в*'
и соотношения переноса Онсагера приобретают вид
Рассмотрим частные случаи и выясним физичес- ;¦•¦
кий смысл коэффициентов Бы- 'fl*
а) Случай 1 = 0, АО Ф 0, эффект Зеебека. [Л.
Условие 1 = 0 определяет величину тер- !
моЭДС, пропорциональную разности температур j
между спаями 1 и 2 (рис. 150):
в
Рис. 150. Схема установки для
реаЛИМЦИИ б
= .hLlM = Z- Ав,
Le
причем коэффициент Z непосредственно измеряется, а если он известен, то полу-
полученное устройство (термопара) может служить прибором для измерения Д0 по по-
показанию вольтметра AU.
Измерение потока энергии
J=-LttL«,~L*M = -xM
<qq

222 Гйава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
определяет коэффициент теплопроводности участка проводов между термостатами I
и 2 при условии отсутствия тока. Так как материалы, из которых изготовлены прово-
провода а и Ь, считаются известными, то известны и табличные значения коэффициентов
удельной теплопроводности «„ и к», поэтому
_ a l
'a k
где Ra, Rb, lay h — радиусы и длины соответствующих участков проводников.
/3) Случай Ав = О, эффект Пелыпье.
Выражение для тока
в
определяет проводимость а в изотермической системе (\/а — сопротивление всей
цепи, которое можно выразить через удельные сопротивления ра и рь и геометри-
геометрические параметры проводников), а отношение потоков
определяет так называемое тепло Пельтье, которое также может быть измерено.
Из четырех коэффициентов, характеризующих явления переноса а) и /3),
независимыми должны быть только три (в соответствии с тремя формальными
коэффициентами Lqq, Lqe и Lee). Мы уже фактически получили связь двух из ко-
коэффициентов — Зеебека и Пельтье:
\ =.h = Jl =-1п.
MJI=O в Lqq e\l)AI)=0 в
Эта связь Z = —П/в называется «вторым» соотношением Томсона.
Заметим, что выделяемое на каком-либо спае тепло Пельтье меняет знак при
обращении тока, т.е. если П = Па&, то
П»,, = -Uab = -П.
7) Эффект Томсона.
в+М '• ! в и г*
I ! Спаи проводников в этом явлении роли не иг-
рают. Эффект возникает в однородном проводнике
(рис. 151) при наличии тока 7/ 0 и градиента
Рис. 151. Схема реализации температуры АО ф 0:
эффекта Томсона
где т — тепло, переносимое током от системы в + Ав к системе в при прохождении
в этом направлении по проводнику единицы заряда электричества (т. е. одного
кулОна).
Так как работа источника тока за секунду ДИ^ = AU ¦ I должна быть учтена
в общем балансе энергии вместе с теплом Томсона на участках проводников с Ав Ф 0
и теплом Пельтье на спаях, то согласно первому началу термодинамики с учетом
Правил знаков Имеем
ть1Ав- Щв + Ав)-1- та1 ¦ Ав + Щв) ¦ I.

§ 3. Обобщенная восприимчивость и спектральные разложения 223
Полагая
П@ + Д0)*П + ^Д0
ов
и сокращая на величину I, приходим к Так называемому «первому» соотношению
Томсона:
Если подставить сюда соотношение из /3) AU = -(П/в) ¦ Ав, то, сократив на Ав,
мы получим связь характеристик эффектов Томсона и Пельтье:
dU U 0 /П
Таким образом, характеристики пяти стационарных явлений переноса выража-
выражаются с помощью трех экспериментально измеряемых величин <т, н и П. Формальные
коэффициенты Онсагера выражаются через них следующим образом:
Lqq = -об, Lee-H- П2сг6, Lqe = -Пств.
Можно, наконец, выписать и скорость возникновения энтропии. Учитывая, что
в терминах о, х, П выражения для потоков приобретают вид
Ав
cr—-,
В
, Д0 Д0
J = UaAU - (н - П2ав) -^ = П • I - н ¦ -~г,
и вводя вместо характеристики источника тока AU,
!-?¦
величину самого тока I, получаем
при а > 0 и к > 0. Оба слагаемых в выражении для S имеют весьма наглядный
физический смысл: первое связано с выделением джоулева тепла за секунду, второе —
с явлением теплопроводности (оно нам знакомо по пунктам а) и б)) этого параграфа.
§ 3. Обобщенная восприимчивость
и спектральные разложения
Остановимся в этом параграфе на некотором обобщении рассмотренной выше
теории явлений переноса, связанном с учетом запаздывания по времени реакции
системы на внешнее воздействие. Временные процессы мы будем считать квазиста-
квазистационарными, процессы типа случайных отклонений будем полагать сглаженными,
т.е. используемая шкала времени предполагается огрубленной настолько, что отсчи-
отсчитываемые по ней интервалы значительно превосходят время корреляции случайных
процессов, At > тслуч, в частности, в случае периодического воздействия на систему
2/

224 Вшва 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
Итак, пусть статистическая система подвержена внешнему воздействию F(t),
которое вызывает отклонение x(t) некоторого параметра, характеризующего си-
систему, от равновесного значения. Это отклонение, вообще говоря, может зависеть
от интенсивности внешнего поля F(t) довольно сложным образом, однако, остава-
оставаясь в рамках линейной теории, мы получаем в случае мгновенной реакции системы
(т. е. в квазистатической шкале времени)
x(t) = Ф(*@) = Ф@) + Ф'@И*) +... = XF(t) + ...,
где коэффициент
,. *(*)
называется обобщенной восприимчивостью системы по отношению к воздей-
воздействию F(t) (терминология заимствована из электродинамики). Она не зависит
от F(t) и является исключительно характеристикой самой статистической системы.
Мы ограничиваемся (для сокращения формальной стороны изложения) случаем,
когда на систему действует как бы только одно обобщенное поле F(t). Если таких
полей несколько, то F = {Fk}, к =.1,2 и соответственно x(t) = {я*(?)}>
обобщенная восприимчивость же описывается матрицей (тензор восприимчивости)
х = 1Ы1.
Представленная выше схема по существу соответствует тому варианту «квази-
«квазистатической» теории, которой мы занимались в § 1, 2. Если же система сохраняет
«память» о предшествующем моменту t воздействии на нее, то выражение для
линейной реакции системы x(t) необходимо обобщить, например (на феноменоло-
феноменологическом уровне теории) естественно представить эту реакцию как
00
- t')F(t') dt' = J X(t")F(t - t") dt"
0
(мы положили здесь V = t - t"). Относительно функции x@ можно делать какие-
либо предположения или рассчитывать ее в рамках микроскопической теории.
В этом параграфе мы будем иметь дело только с самыми ее общими свойствами.
Ввиду того, что постоянная конечная сила Fo вызывает конечную же реак-
реакцию Хо = Хо-^о. мы должны потребовать от обобщенной восприимчивости, чтобы
X(t") dt" = хо < oo.
о
Введем спектральные (частотные) представления: разложим функцию F(t) в ин-
интеграл Фурье и исследуем реакцию х на каждую из гармоник внешнего воздействия:
+оо +00
F(t) = f du> fLe"**, x{t) = / du> хые'м\
-00 -00
для восприимчивости также напишем соответствующее разложение:
+00 +00
X(t) = / dw Xb>e~tut, X« = г- dt x(Oeiw'"'f|'', e-* 0, e > 0.
В связи с последней формулой заметим, что в соответствии с физическим
принципом причинности реакция системы x(t) должна определяться только уже

§ 3. Обобщенная восприимчивость и спектральные разложения
225
состоявшимся (т. е. прошлым) воздействием на нее. Это означает, что функция x(t)
может быть отлична от нуля только для t > О (рис. 152). Поэтому, используя во всех
нвших формулах двустороннее разложение Фурье,
мы должны считать, что
Х@ =
где 0-функция
0@
_fl, <> О,
~ I 0, t < 0.
о
t
Рис. 152. Характер зависимости обоб-
обобщенной восприимчивости от времени
для системы с памятью
Отметим также две специальные предельные
процедуры, использованные в приведенных выше
формулах. Дополнительная е-процедура для нас
новой не является. Как и в § 5 гл. 3, посвящен-
посвященном спектральной теории случайных процессов,
она введена не столько для того, чтобы сделать математически осмысленным те
интегралы по t, в которых подынтефальные функции недостаточно быстро убывают
при t -* оо (это можно было бы сделать с помощью простого обрезания), сколько
для правильного понимания, в какой из полуплоскостей по отношению к дей-
действительной оси и расположены те особенности спектральных функций, которые
в предельном случае е = О оказываются на действительной оси ш (т. е. прямо на пути
интегрирования). Вторая предельная процедура — это доопределение 0-функции
в точке t = 0. Будем исходить из того, что при сокращении интервала «памяти»
функции х(* -1') до нуля мы должны из интегральной формулы для x(t) получить
старую формулу x(t) = x@)F@> т- е. Функция х(* ~ О в Этом пределе должна
обратиться в х(ОH+(< - ?), где
+() ()
г-«0
г>0
в противном случае не ясно было бы, как понимать «симметричную» Д-функцию
в крайних точках интервала t' = t или t" = 0, в которых эта функция и должна иметь
сингулярность). Сместить сингулярность подынтефальной функции из крайней
точки несколько вправо и сохранить в формализме обыч-
обычную дираковскую Д-функцию можно и по-иному: ра-
рациональнее доопределить соответствующим образом в'
функцию в точке t = 0 (рис. 153),
О О,
КО,
тогда, если понадобится дифференцировать,
t
Г 1,
9(t) = lim 9(t -t)-\
т-.о l О,
г>0
Рис.153. Доопределение
в-функции в точке t — О
— III1I 1Г~ "~ 111
г—о at т-»о
Подставляя.фурье-разложения для x(t), x(t") и F(t -1") в уравнение, связыва-
связывающее эти величины, имеем
—— = lim v^ ' = lim 6(t - т).
at ro dt - n
+00 +00 +00 +00
f du xue~M = ff dun dw2 X»,FU2 j dt" е-ЬгНМГ-ь,Г = J

226
Глава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
где мы учли, что
+00
1 Г dt"
2.1Г J
Таким образом, мы приходим к соотношению между фурье-амплитудами рас-
рассматриваемых величин:
где величина х(ш) = 2*Xu> называется динамической обобщенной восприимчивостью.
Отметим некоторые общие аналитические свойства
функции х(ш)- Прежде всего, функция х(ш) действи-
действительного аргумента ш по модулю всегда ограничена,
47
dt 6{1)х{1)е
ы-«
j X(t) dt
= Ixol < оо.
Рис. 154. Расположение полю- ДлЯ аналитического продолжения этой функции в верх-
сов динамической восприим- нюю полуплоскость ш = ш + iT, Г > 0 имеем аналогич-
ГГ^ НЭ К°МПЛеКСН0Й
dtX(t)e'
iut
= |хИ1 < oo,
т. е. ни в одной из точек верхней полуплоскости С = ш + гГ, Г > 0 функ-
функция х(й) не имеет особенностей (рис. 154). Это обстоятельство позволяет утверждать,
что
+00
- = 0 (е > 0, е -» 0).
ш-п + ie
Действительно, используя обратное преобразование Фурье, имеем
+00 +00 +00
,tut
ш-п + ie
= [ dt- e(t)x(t) f ~ dui.
Так как в нашем случае в подынтегральном выра-
выражении всегда t > 0, то интеграл по частоте ш можно
взять, замкну» контур интегрирования в соответствии
с леммой Жордана полуокружностью сверху (рис. 155).
Единственная же особенность подынтефальной функ-
функции — полюс в точке п - ie расположен вне этого
контура (ниже действительной оси ш), поэтому указан-
указанный интеграл и равен нулю. Используя символическое
равенство
1
ш-п + ie ш - п
(u> - п),
Q-ie
Рис. 155. Замыкание контура
интегрирования при выводе
дисперсионных соотношений
для восприимчивости

§ 3. Обобщенная восприимчивость и спектральные разложения 227
где Р означает операцию взятия интеграла в смысле главного значения, получаем,
что
Это соотношение для обобщенной восприимчивости чаще записывают в виде так
называемого дисперсионного соотношения
+00
Выделяя в функции х(ш) действительного аргумента ш действительную и мни-
мнимую части,
Х(ш) = Re хИ + i Im х(ы) = х'И + »У'И,
получаем из дисперсионного соотношения формулы Крамерса—Кронига (Н. Kra-
Kramers, 1927; R. Kronig, 1926):
+ 00
связывающие действительную и мнимую части восприимчивости х(ш) •
Если возмущающее поле F(t) действительно, реакция систем x(t) — тоже, то
Х*@ = х@> откуда сразу следует, что
или
т. е. действительная и мнимая части динамической восприимчивости имеют разную
четность в отношении аргумента ш. Используя эти свойства х'(ш) и x"(w)> можно
записать соотношения Крамерса—Кронига в несколько ином виде:
Необходимо отметить, что полученные выше дисперсионные соотношения
для обобщенной восприимчивости являются прямым следствием сформулирован-
сформулированного нами несколько ранее общефизического принципа причинности (в рассма-
рассматриваемом случае — для восприимчивости х(') и несколько далее — для фор-
формальных коэффициентов переноса L(t)), который в частотном варианте получил
свое спектральное выражение в исходной интегральной форме для динамической
восприимчивости х(П) или в виде формул Крамерса—Кронига, связывающих ее
действительную и мнимую части.
Упомянем еще об используемых в литературе вариантах спектральной плотности
восприимчивости х@ и терминологии:
х(ш) — обобщенная восприимчивость (тензор восприимчивости);
У(ш) = -шх{ш) — обобщенный адмиттанс;
Z{u) = — обобщенный импеданс системы.

228 Глава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
Переходя к обобщению онсагеровской теории, условимся записывать выраже-
выражения для токов и другие соотношения в символическом виде (как будто для случая,
когда имеется только одно значение к = 1)
ki
Соответствующее обобщение этой формулы на случай зависимости коэффициента L
от предыстории системы имеет вид
J +00
J(t) = I L(t- t')X(t') dt' = f 6(t")L(t")X(t -1") dt",
—00 -00
и мы должны, по существу заменяя лишь обозначения х —* J, х ~* L, F —* X,
повторить все рассуждения, приведенные ранее по отношению к восприимчивости.
Связь спектральных плотностей тока и обобщенной силы имеет вид
J(w) = Цш)Х(ш),
где J(u>), Х(и) и Ь(и)/Bж) являются фурье-образами функций J(t), X(t) и 6(t)L(t)
соответственно.
Повторяя аналогичное проведенному выше для восприимчивости х(<*0 иссле-
исследование аналитических свойств функции L(w), приходим к выводу, что особенности
этой функции могут быть расположены только в нижней полуплоскости комплекс-
комплексной частоты w. Так как для реальных физических процессов
L*{t) = Щ, L» = Ь(-ш),
то, представляя функцию Ь(ш) в виде суммы действительной и мнимой частей,
Цш) = L'(w) + И"(ы),
можно представить общее дисперсионное соотношение для коэффициентов пере-
переноса Ь(ш)
+00
в виде
+00
+оо
Щ
W2 -п2
Связь этой величины с обобщенной восприимчивостью устанавливается до-
довольно просто. Действительно, если x(t) — это вызванное внешним полем F(t)
отклонение во временной шкале, сглаживающей случайные флуктуации этой вели-
величины, то в этой же временной шкале производная x(t) является тем током, который
фигурирует в онсагеровской теории (и который вызывается той же обобщенной
силой F(t) = X(t)),

§ 3. Обобщенная восприимчивость и спектральные разложения 229
В терминах фурье-компонент эта связь приобретает вид
J(uf) = -iwxu,
и так как
то величина Цш) оказывается равной обобщенному адмиттансу системы
Цш) = -шх(ш).
При попытке обратить эту формулу, т.е. выразить х(ш) через Цш), мы встре-
встречаемся с трудностью в точке ш = 0. Действительно, учитывая, что ш6(ш) = 0, имеем
при произвольной величине константы А
Цш) = -ш(х(ш).-А8(ш)),
поэтому, поделив на ш, получаем, что х(ш) восстанавливается из Цш) с некоторым
произволом в точке ш = 0
Х(Ы) = {BU + А6(ш) = -^- + (А - *Х@))«(ы).
Ш Ш + 1С
Так как функция Цш) (как и x(w)) не должна иметь особенностей на действи-
действительной оси ш и в верхней полуплоскости ш, то первое слагаемое удовлетворяет
этому условию и при переходе к t-представлению содержит общий множитель 6(t).
Второе же слагаемое в точке ш = 0 сингулярно, а в ^-представлении оно дает
константу Л~*1 , что не согласуется с физическим смыслом величины х(*)- Един-
Единственная возможность сохранить для х{ш) необходимые аналитические свойства —
это выбрать А = тг1г@). Тогда мы получаем
ш
В связи с формулами, связывающими Цш) и х(ш)> заметим, что соотношения
взаимности Онсагера, которые по отношению к матрице L = \\Ьц,\\ можно записать
как
Цш) = L (ш)
(верхний значок означает операцию транспонирования), автоматически переносятся
на обобщенную восприимчивость x(w)
хИ = хтИ.
Запишем теперь в этом варианте теории выражения для отклонения энтро-
энтропии AS и величины скорости ее возрастания 5. Оставаясь в рамках квазистатичес-
квазистатического приближения (т. е. полагая, что с точки зрения термодинамических критериев
изменение состояния системы или ее частей во времени происходит квазистатичес-
ки), мы, как и в полуфеноменологической теории флуктуации, будем полагать, что .
отклонение энтропии от равновесного значения в момент времени t определяется
квадратичной формой относительно параметров ?, взятых в этот же момент времени,
1
Тогда и производство энтропии будет выражаться прежней формулой
А л л 9AS(t)

230
Глава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
Исключая обобщенный поток J(t) = ?(?), получаем
t +00
S= f X(t)L(t - t')X(t') dt' = / X(t)9(t")L(t")X(t - t") dt".
—00 —00
Для того чтобы рассчитать изменение энтропии за конечный интервал времени,
необходимо располагать выражением для ?(t) (напомним, что X(t) = —\?(t)).
Уравнение для ?(t) имеет по сравнению с рассмотренным в § 1, 2 обобщенный вид
Характер решения этого уравнения во многом зависит от функции L(t), которая,
в свою очередь, связана с восприимчивостью х@ рассматриваемой статистической
системы по отношению к конкретному на нее воздействию X(t). Если это решение
получено, то изменение энтропии за время t запишется как
t t
J 5@ <* = I X(t')J(t') dt' = -
т.е.
A|@)
S(t') dt' =
0
S(t)L
|A5@)
0 t
Рис. 156. Эволюция системы после
выключения внешней возмущающей
сияы
В частности, если начальное (в момент t = 0)
состояние системы задано и оно является отклонен-
отклоненным от равновесного (т. е. «приготовлено заранее»),
а в момент / = 0 внешняя сила, поддерживавшая это
состояние, выключается и система начинает сама
по себе эволюционировать (рис. 156) так, что релак-
релаксационный процесс заканчивается при достижении
состояния равновесия
lim
t—»00
= О,
то мы получаем естественный результат для полного
изменения энтропии (ее роста) системы
Другой часто рассматриваемый и представляющий физический интерес слу-
случай — это квазистационарная реакция системы на периодическое во времени
внешнее воздействие. Как и в аналогичных задачах механики и электродинамики,
предполагается, что это возмущение действует достаточно давно, так что все не-
неустановившиеся (или релаксационные) процессы, связанные с включением этого
возмущения, уже затухли, и параметры состояния системы совершают вынужден-
вынужденные колебания с' частотой внешнего поля. При рассмотрении такой задачи мы,

§3. Обобщенная восприимчивость и спектральные разложения 231
естественно, воспользуемся, по существу, специально приготовленными для этого
случая частотными представлениями.
Итак, пусть для простоты внешнее воздействие содержит только одну гармонику:
X(t) = Хо cos (uot) = ^Х0(еш + е-|По'),
или в ^-представлении
+00
Х(ы) = ^ J dt ХA)еш = Х-Хо{б{и> - По) + 6(ш + п0)).
-00
Вызываемое этим полем отклонение системы от равновесия x(t) целиком определя-
определяется характером восприимчивости х@- Эта связь в частотном представлении имеет
вид (мы учитываем, что х(-^о) = Х*(по)):
хш = Х(ш)Х(ш) = -Хо • (х(По)б(ш - по) + X*(«oMw + По)),
или
+0
x(t) = J
+00
—00
Выделяя в динамической восприимчивости действительную и мнимую части
Х(ш) - Х'(ш) +tx"(w)> получаем
x(t) = Хо(х'(По) cos (Qot) + х"(По) sin (UQt)) = Хо|х(По)| cos
где
Для обобщенного потока J, учитывая Хг(-По) = 1>*(по), получаем аналогичные
формулы:
J(u) = Цш)Х(ы) = Х-Хй • (ЦПоЩы - по) + Г(По)*(« + По)),
+00
J(t) = J du- J(u)e-iut = l-X0 ¦ (Ь(По)е"Шо' + L*
Для выяснения вопроса об энтропийных соотношениях обратимся еще раз к пер-
первому и второму началам термодинамики. Мы считаем, что система и внешний
по отношению к ней термостат каждые в отдельности изменяют свои состояния
в термодинамическом смысле квазистатически, поэтому, например, для системы
SQcmct = 0 dSma = d/сист + 6W.
Ограничиваясь динамическим вариантом внешнего воздействия на систему, мы
будем полагать, что система находится в термостате в самом прямом понимании: тем-
температура системы и температура термостата совпадают для любого момента времени,
поэтому, используя величину энтропии 5, отличающуюся от термодинамической 5ТД
множителем в, будем иметь
6Q = в Й5ТД = о^б'тд) - dS.

232 Глава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
Внешняя сила X(t) производит работу над системой 6Wmeui = -6W, которая
по смыслу своему является работой не только по изменению состояния системы,
но и по преодолению сил сопротивления типа трения. Выделяющееся при этом
тепло 6Q (так называемая диссипация энергии внешнего поля) тут же (в нашем
квазистатическом варианте — «мгновенно») передается в термостат (иначе бы воз-
возросла температура системы) 6Qr = -0Qcmrr, энтропия которого вследствие этого
возрастает за промежуток времени @, t) на величину
AQr = ДРГВНеШ -Ь$ = AS,
а скорость возрастания энтропии определяется как баланс энергетической мощности
внешнего возмущения и скорости изменения внутренней энергии системы:
5@ = wtma,(t) - i.
Внутренняя энергия системы & определяется в нашем варианте, как в ква-
квазистатической термодинамике, по уравнениям состояния системы как функция
квазистатически меняющихся параметров х, & — S'(x(t)), причем в этой функции
мы в соответствии с исходным ограничением для энтропии системы квадратичной
формой должны также сохранить члены не выше второй степени:
+ U@)x.
Выражение для работы внешнего поля по традиции записывается как произве-
произведение обобщенной силы X(t) на соответствующее ей смещение:
6WBMU1 = X(t) dx = X(t)x(t) dt = X(t) ¦ J(t) dt.
Таким образом, мы получаем
S(t) = X(t) • J(t) - (S'@) + S"@)x(t)) ¦ J(t),
или, подставляя выражение для X и J,
S(t) = ^Хо- (Х(По)+Х'(По)+^(По)е-'2П1)'+Х*(По)е'2П1)') -Хо-
Если теперь подсчитать среднее производство энтропии за период квазистаци-
квазистационарного процесса Го = 2тг/По, то все периодические слагаемые в этой формуле,
включая слагаемое, содержащее производные от внутренней энергии системы, ис-
исчезнут, и мы получим, воспользовавшись соотношением L{w) — -tu>x(u>),
2т/По
^ J S(t) dt = ±Х0 • (?(По) + Г(По)) • Хо = \хй ¦ ^ (х(По) - х*
о
Обозначая штрихом и двум штрихами соответственно действительную и мнимую
части функций L и х> получаем окончательно
Го
[ l ' l0 ¦ поХ"(^>) ¦ Xo.
Го
^ [ S(t) dt = l-XQ ¦ L'(Uo)Xo = l-X0
J-o J 2 2
Характерно, что эта формула, выражающая среднюю мощность диссипацион-
ных потерь энергии внешнего поля, пропорциональна мнимой части восприимчи-
восприимчивости х"№о)> которая, в свою очередь, пропорциональна синусу фазы, на которую

§ 3. Обобщенная восприимчивость и спектральные разложения 233
отстает квазистационарная реакция системы от внешнего воздействия (напомним,
что в феноменологической оптике мнимая часть диэлектрической восприимчивости
также непосредственно связана с поглощением падающего на систему электромаг-
электромагнитного излучения). Заметим в связи с этим, что в соответствии с тем физическим
смыслом, который мы вкладываем в понятие величины S, возникающей вследствие
происходящих в системе диссипативных процессов (которые в термодинамических
системах в отношении времени t всегда направлены в одну сторону: в замкнутой
системе — в сторону повышения энтропии), возникают дополнительные общие усло-
условия на обобщенную восприимчивость х и обобщенные коэффициенты переноса L:
Re Цш) = Ь'(ш) > О, ш Im \{ш) = <»х"(и) > 0.
выражающие в частном и достаточно условном виде вторую часть II начала термо-
термодинамики.
Второе замечание относится к нашему исходному предположению о зависимости
отклонения AS величины энтропии от равновесного значения от переменных х
(отклонения величин термодинамических характеристик от равновесных х = 0).
Учитывая экстремальные свойства энтропии в точке х = 0, мы ограничились
в аппроксимации функции AS(x) квадратичной формой AS = ~^Хх2; А = О2 > 0.
Для процессов квазистатических в широком понимании (как в термодинамическом,
так и в динамическом) эта аппроксимация возражений общего характера не вызывает.
Если же система участвует (как в последнем рассмотренном нами примере)
в квазистационарном процессе, то ситуация может существенно измениться, если
система, подвергшаяся периодическому внешнему воздействию, начнет проявлять
свои резонансные свойства. Действительно, форма +Аа:2 — это, по существу, потен-
потенциальная энергия обобщенной «пружины», с которой по величине должна конку-
конкурировать соответствующая обобщенная кинетическая энергия j/ix2. Пренебрегать
этой величиной по сравнению с первой нет никаких оснований, если соответствую-
соответствующее данному х обобщенное затухание у собственных колебаний системы достаточно
мало, П2 ~72 > 0, где П2 = А (т. е. если рассматриваемая система действительно про-
проявляет резонансные свойства, как это характерно для многих статистических систем).
Таким образом, выбирая в качестве исходного момента полуфеноменологиче-
полуфеноменологической теории структуру для AS, мы должны полагать, что эта величина зависит
не только от обобщенных «координат» я, но и от соответствующих им токов х = J,
и поэтому в теории слабонеравновесных процессов как минимум надо оставить в раз-
разложении для AS(x, J) квадратичные формы не только по величинам х, но и по J:
Естественно, что, приняв такую форму для AS в качестве исходной, необходи-
необходимо будет переформулировать всю полуфеноменологическую теорию явлений пе-
переноса. Только в случае глубоко апериодических процессов, когда П2 — у1 < 0
(точнее, 72 > П2). соответствующему квазистатическому приближению, токовыми
членами в AS можно пренебречь, и мы приходим к исходной формуле для AS
в рассмотренных нами теории явлений переноса и теории флуктуации.
Третье замечание относится к структуре обобщенной динамической воспри-
восприимчивости x(w) (или обобщенного коэффициента переноса Ь(ш) = -гшх(ш))- Эта
функция вводится в полуфеноменологическую теорию в качестве уравнения состоя-
состояния, определяющего реакцию данной системы на данное внешнее возмущение. Нам
удалось на основе общих соображений сформулировать лишь некоторые требования,

234 Глава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
которым эта функция должна удовлетворять. Никаких методов расчета этой величи-
величины полуфеноменологическая теория не дает: эта функция считается заданной или
«измеренной» с помощью соответствующего физического эксперимента. В простей-
простейших случаях (магнитная и диэлектрическая проницаемости, проводимость и т. п.)
эта величина действительно определяется как отношение измеренной величины
реакции системы к величине регулируемого по частоте возмущающего поля.
Выход из этого замкнутого круга идей полуфеноменологической теории (анало-
(аналогичная ситуация — в квазистатической термодинамике) — в привлечении методов
микроскопической теории необратимых процессов либо на уровне полного исполь-
использования методов кинетической теории с последующей линеаризацией по интенсив-
интенсивности внешнего возмущения и соответствующей реакции системы, либо на уровне
специально разработанной для этой цели микроскопической теории линейной ре-
реакции статистической системы на возмущение в рамках метода двухвременных тем-
температурных функций Грина. Естественно, что для самой микроскопической теории,
охватывающей весьма широкий круг физических и математических проблем, полу-
получение выражений для соответствующих восприимчивостей является лишь частным
вопросом. Так как в задачи данного раздела курса не входит изложение основ кине-
кинетической теории и ее разработки, то мы и ограничиваемся лишь сделанным выше
замечанием (на котором ввиду его важности еше раз остановимся в «обсуждении»).
§4. Обсуждение
Исходные положения полуфеноменологической теории явлений переноса бы-
были изложены в § 1 (квазистатическая теория) и в § 3 (квазистационарная реакция
системы на возмущение, спектральные представления и т. д.), в этих же парагра-
параграфах содержалось и основное обсуждение основных моментов теории. Мы не раз
отмечали, что теория имеет откровенно полуфеноменологический характер, при
этом приставка «полу-» отмечает то обстоятельство, что в нашем рассмотрении
мы используем не только основные положения макроскопической термодинамики,
но и самые общие представления о характере реакции системы, в частности прин-
принцип причинности, запрещающий системе в своей реакции предвосхищать изменение
действующего на нее возмущения.
Изложенный подход имеет по отношению к микроскопической статистической
теории как бы предварительный характер, причем в гораздо большей степени, чем
квазистатическая термодинамика по отношению к статистическому методу Гиббса.
Действительно, основной момент любого рассмотрения проблемы «система и возму-
возмущающее ее воздействие» — это соответствующая данному возмущению конкретная
реакция самой системы. В рассмотренной выше теории, однако, эта реакция в ви-
виде соответствующей восприимчивости х(ш) должна быть просто введена в теорию
в качестве отправного положения. Тогда только можно определить потоки J(t) и со-
соответствующие им коэффициенты переноса L(t), характерные соотношения между
ними и т;д. (возможен, конечно, и обратный вариант постановки общей задачи).
Уж если говорить о взаимоотношении макроскопического и микроскопического
подходов к описанию явлений переноса, то тут скорее всего надо отметить свое-
своеобразное «разделение труда» между ними: от микроскопической теории достаточно
потребовать лишь уравнений состояния (это совсем не мало), включая и соответ-
соответствующие восприимчивости, причем вполне достаточно, чтобы эти уравнения были
отнесены к какой-либо локальной области системы; остальные проблемы, связанные
с деталями конкретной реализации явлений переноса, граничными и начальными
условиями и т. п., — это уже удел макроскопической теории, причем эти задачи

§4. Обсуждение 235
в математическом отношении могут оказаться достаточно сложными и громозд-
громоздкими (требующими привлечения самых серьезиых методов математической физики
и вычислительной математики). Математические методы этих подходов оказываются
совершенно различными.
В микроскопической теории исходным моментом является задание характер-
характерных микроскопических свойств статистической системы (проще говоря, задается
гамильтониан системы в заданном поле), на основе чего уже на теоретическом
уровне (в основном аналитическими методами) делаются выводы о широком классе
ее свойств, включающем также и восприимчивости системы по отношению к кон-
конкретным видам возмущений. Основная математическая проблема в этом подходе —
расчет статистических средних, для реализации чего в том или ином приближении
требуется разработка специальных методов (с некоторыми из них мы уже знакомы
по разделу курса, посвященного неидеальным классическим газам).
В макроскопической теории исходным моментом является задание уравнений
состояния, включая восприимчивости, внешних полей, граничных и начальных
условий, выраженных через значения (локальные) термодинамических параметров,
а основной математической проблемой является решение соответствующей кра-
краевой задачи математической физики для системы линейных дифференциальных
уравнений в частных производных.
В заключение сделаем краткий обзор задач к данной главе. Первая их группа
(задачи 1-17) — это примеры расчетов частных случаев в рамках квазистатической
онсагеровской теории явлений переноса. Помимо упражнений на "материал §1,
рассмотрение этих простых случаев на основе самых общих физических предста-
представлений (а не только формальных соотношений онсагеровской теории) поможет
понять причины роста энтропии и смысл величины S, связывая его с тепловым
эффектом, сопровождающим явления переноса (задачи 4, 5). Несколько задач посвя-
посвящено исследованию частных случаев релаксационных процессов, соответствующих
рассматриваемой теоретической схеме.
Вторая группа задач (задачи 18-30) развивает представления, изложенные
в §3, — квазистационарная реакция системы, релаксационные процессы и т.п.
Идея предложенной последовательности задач состоит в следующем: несмотря на то
что восприимчивость x(t), вообще говоря, не известна, можно, оставаясь на уровне
феноменологического подхода, выбрать структуру функции x(t) (ил*1 ее Фурье-
образа х(и)) на основе общих к ней требований и посмотреть, к каким физиче-
физическим следствиям это приводит. Затем можно с целью улучшения этих следствий
трансформировать исходную простую модель. Определенную роль при этом играют
самые общие идеи теории колебаний. В последних задачах этой группы показано,
что исходное предположение о зависимости отклонения энтропии AS (а следова-
следовательно, и ряда других термодинамических величин) от равновесного ее значения
только от параметров ?, характеризующих это отклонение, на котором основыва-
основывается вся квазистатическая теория § 1, в квазистационарной теории не всегда может
быть согласовано с общими физическими представлениями о характере неравновес-
неравновесных процессов в статистических системах: функция AS должна зависеть также и
от скоростей изменения этих параметров ? = J.
Наконец, в последней группе задач в качестве неравновесной (точнее, откло-
отклоненной от положения равновесия) системы рассматривается отдельный осциллятор
с затуханием. Это не обязательно «маятник на нитке», естественнее представить себе,
что это отдельное собственное колебание (отдельная «мода») рассматриваемой сис-
системы. Если бы такие колебания были бы совершенно независимы друг от друга, то
любое движение системы можно было бы представить как их суперпозицию. Однако

236 Глава 4. Термодинамическая теория необратимых процессов
выделение и последующее рассмотрение отдельной гармоники с физической точки
зрения не всегда оправдано: «сила трения» ух — это проявление взаимодействия
не просто с «трущимся» о систему термостатом, а скорее следствие взаимодействия
с другими колебаниями и другими видами возбуждений в данной системе. Несмотря
на явную условность системы, рассмотрение ее выявляет характерные особенности
всей теории §3, связанной с рассмотрением как квазистационарных явлений, так
и релаксационных процессов, причем это рассмотрение оказывается в физическом
отношении весьма наглядным, а в формальном отношении достаточно простым.
Согласно микроскопической теории динамическая восприимчивость %(w) непо-
непосредственно выражается через так называемую запаздывающую функцию Грина.
Для физических моделей это — выражение, включающее сумму (в статистическом
предельном случае эквивалентную интегрированию) бесконечного числа слагаемых
с простыми полюсами. Все оказывается намного сложнее, чем в условной модели
с одной парой полюсов, однако ряд характерных ее особенностей сохраняется вслед-
вследствие универсального характера общих идей и представлений теории колебаний.

Задачи
и дополнительные вопросы
§ 1. Стационарные явления переноса и релаксационные
процессы в квазистатическом приближении
Задача 1. Термодинамически однородная система с заданной теплоемкостью Судг =
Ncyif и температурой в + Ав соединена с большим термостатом, имеющим посто-
постоянную температуру 9, теплопроводящим элементом (длина Ах, площадь поперечного
сечения Sx = 1 см2) из материала с заданным коэффициентом удельной теплопро-
теплопроводности х. Считая объемы отдельных частей системы фиксированными, определить
скорость возрастания энтропии во всей системе, а также оценить время ее релаксации
к равновесному состоянию.
Решение. Полагая, что основной термостат, имеющий температуру 0, значительно больше
остальных частей системы, т.е. полагая S/St -» 0, учитывая, что Д«*г = -&?, а также
термодинамические соотношения
(S?), = (H)
8*
получим для отклонения энтропии от равновесного состояния,
связанного с наличием перепада температуры Д0 # 0, в случае
отсутствия переноса вещества через заштрихованную систему
(рис. 157)
- St(St) =
Полагая ? = AS, для соответствующего такому выбору ? термо- _ .__ г
динамической силы имеем согласно § 1 рис# 157' ием,а системы'
рассматриваемой в задаче 1
'1'
^ = вд7
Связывая поток энергии Jt = AS с коэффициентом теплопроводности соединяющего две
квазиравновесные системы элемента
X = X •
Ах'
где х — табличное значение коэффициента теплопроводности,
Je = LXt = -5< • Ав,
получим для скорости возрастания энтропии

238
Задачи и дополнительные вопросы к глове 4
Для рассмотрения релаксационного процесса, следуя п. г) § 1, учтем, что для процессов
V = const Д0 = {d6ld?)yN ¦ AS = AS/Cvn, тогда
где время релаксации
_ vN _
x Sx
Мы выделили здесь характерную зависимость этого параметра от размера отклонений от со-
состояния равновесия системы (имеющей температуру в + Д0), толщины Ах и сечения Sx
теплопроводящей перемычки. >
Задача 2. Концы теплопроводящего стержня сечения 1 см2 и длины I постоянно под-
поддерживаются при температурах в\ и #:• При температуре во (при этом в\ < в0 < 9j)
материал стержня претерпевает фазовый переход, так что коэффициент теплопровод-
теплопроводности имеет значение к\ при в < в0 и к2 при в > в0. Определить распределение
температуры вдоль стержня и найти общую скорость возрастания энтропии в системе.
Решение. Ввиду того что поток тепла j через любое сечение стержня в квазистатическом
режиме один и тот же,
. . Ои 00 — 0] 02 — 6$
OX Xq I ~ Xq
откуда точка г0, в которой температура в(х0) = 0О, определяется выражением
1
хо =
х2
- в.
а сам поток j равен
i-i(
*о - *i) + *г(вг -
Распределение температуры вдоль стержня в силу
условия j = const оказывается линейным (рис. 158):
л л
в(х) = 0, + — х,
в(х)=во+
т °-{
I - Xq
0 < х < х0,
хо<х<1.
Рис. 158. Распределение темпера-
температуры вдоль стержня, состоящего
из двух однородных кусков
Согласно предыдущей задаче плотность скорости роста
энтропии в термически неоднородной среде
2
поэтому для общей величины скорости возникновения
энтропии в системе получаем с учетом j = const вели-
величину
\ 99
о о
Подставляя значения величины к, имеем
¦* = }

§ 1. Стационарные явления переноса 239
Если теплопроводность х всюду одинакова, то, полагая в0 — в2, приходим к результату,
полученному в предыдущей задаче
Задача 3. Определить скорость возрастания энтропии, связанную со стационарными
потоками числа частиц газа Jx и переносимой этими частицами энергии J? через
систему, помещенную между термостатами, обеспечивающими на ее концах значения
температур в и в + Ав и плотности газа п и п + An. Определить условия, которым
должны удовлетворять коэффициенты переноса, обеспечивающие устойчивость системы
по отношению к этим явлениям переноса.
Решение. Система была подробно рассмотрена в §2-а). Для расчета скорости возрастания
энтропии S во всей системе (оба термостата и система) воспользуемся соотношением
5 = XitJ,, + XCJC,
где, как мы выяснили в § 2 (обозначим а = /i/0)
„ Ав
- *—*•
а потоки выражаются с помощью коэффициентов диффузии D, термодиффузии De, тепло-
теплоемкости х и диффузионного переноса тепла х„:
JN — -De ¦ Ав - D ¦ Дп, Jc = -х • Ав - х„ • Дп.
Учитывая, что в силу соотношения взаимности Ьце = 1>сц
получаем, исключая х„,
Напомним, что условие положительной определенности квадратичной формы
ах2 + 2Ьху + су2 > О
налагает на коэффициенты а, Ь, с следующие требования:
а > 0, ас - Ь2 > 0.
Отметим, что ввиду известного термодинамического соотношения
dfi = -sd6 + v dp
и условия устойчивости равновесного состояния термодинамической системы для величи-
величины (dft/dn)g имеем
-(?И\ =-—[^Л\ =^(_Г?1) >о.
в\дп)в в \dvje в1 " '
Величину (да/дв)„ можно представить как
~дв"в
где h = ft + в» — удельная энтальпия. Учитывая эти замечания, мы можем записать условия
устойчивости системы по отношению к явлениям переноса числа частиц и энергии в виде
неравенств

240
Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
Задача 4. Через трубку длиной I и радиуса R под действием созданного перепада
давления Ар медленно протекает несжимаемая жидкость с известным коэффициентом
внутреннего трения т) и плотностью числа частиц п. Полагая температуру в системы
всюду одинаковой, определить баланс энергии и энтропии в системе, включающей
насос, поддерживающий постоянное значение Ар.
Решение. Создадим для рассматриваемого капилляра
«внешние атрибуты» в виде термостатов Г и 2", напри-
например, как это изображено на рис. 159. В силу Ав = О
и Ар = const реализуется случай, рассмотренный в
§ 2-6), п. а). Явления переноса связаны с наличием двух
потоков: числа частиц Jn и выносимой ими энергии Je,
JN = -КАр,
je = U'JN = -U'KAp,
где для трубки круглого сечения в соответствии с извест-
известной формулой Пуазейля
К =
Рис. 159. Схема перетекания,
исследуемого в задаче 4
a U* представляет термодинамический коэффициент, равный энергии, выносимой из Г' в Т
в среднем каждой частицей жидкости.
Механическая работа по продавливанию из Г* в Г объема несжимаемой жидкости,
равного объему капилляра, равна
W = AprRH = ApV.
Так как средняя скорость движения жидкости по капилляру
1 \JN\ КАр
U= —• ——г = -?
п tR2 тмгД2
определяет то время, за которое совершается работа W,
I _ nxR2 _ nV
~п~ КАр ~ КАр'
то мощность механической работы по продавливанию жидкости через капилляр оказывается
равной
Эту работу совершает поддерживающий Ар = const насос, возвращающий по другой трубке
жидкость обратно из Г в Г1. В капилляре же эта работа совершается против сил внутреннего
трения, она превращается в тепло, которое (в силу в = const) отводится через стенки
в термостат Т. Получая это тепло как бы от внешнего источника, термостат Г в соответствии
с формулой 6Q = в di увеличивает свою энтропию. Скорость роста энтропии равна
Этот результат является частным (соответствующим Ав = 0) случаем формулы для скорости
роста энтропии в замкнутой системе, связанного с диссипативными процессами в ней,
которую мы получили в §2-6), п. 7) с помощью формального использования онсагероаской
теории.
Согласно физическим соображениям каждая частица, уходящая из Т через капилляр,
уносит в среднем некоторую энергию U*. Разделив эту энергию для частиц, заполняющих
весь капилляр ? = U'N = U*nV на интервал времени t, мы должны получить поток этой
энергии,

§1. Стационарные явления переноса 241
совпадающий, естественно, с выписанным ранее потоком Jc. Отметим, что в рассматриваемом
нами случае Ав = 0; n = const в точности эта же энергия возвращается из Г в Г* потоком
частиц, создаваемым насосом во второй трубке. Если от условия п = const отказаться, т. е.
понимать «несжимаемость» в смысле
но не пренебрегать зависимостью 17* от давления р (связанного с в и п с помощью уравнения
состояния для жидкости), то дисбаланс этой энергии за секунду,
/ яг/* \
- W(p))KAp = ^—JK(ApJ,
взял бы на себя насос, повышающий давление на величину Ар. Для поддержания прежнего
значения Ар мощность насоса пришлось бы несколько увеличить:
Задача 5. Согласно рассмотрению, проведенному в § 2-6) скорость образования энтро-
энтропии, связанного с процессом диффузии в термически однородной (Д0 = 0) системе,
равна S = j(dfi/dnH(AnJ. Получить этот результат исходя из общего термодина-
термодинамического рассмотрения.
Решение. Рассмотрим трубку постоянного сечения irR1, в которую вставлена пробка длины I,
через материал которой газ диффундирует из области с плотностью числа частиц п + An
(и давлением р + Ар, где Ар = (др/дп)в • An) в область с плотностью п (рис. 160).
Трубка находится в термостате, обеспечивающем всюду
одинаковую температуру в. Так как средняя скорость
движения газа слева направо равна
_ \JK\ = РАп
п*Я2 х&п'
то за секунду слева направо перейдет объем, равный
Рис. 160. Схема процесса диффу-
V = irR2u = D— зии< Рассматриваемого в задаче 5
п
Справа же от пробки этот газ вследствие уменьшения его плотности на Дп займет объем,
больший первоначального на величину
AV= A ID— =
(мы ограничиваемся всюду низшим порядком по An). Так как для изотермического квази-
квазистатического процесса
то для скорости увеличения энтропии газа, связанного с его изотермическим расширением
и производимой им работой, получаем
. _ /яр\ Л • _ (дР\ D(AnJ
У~\дв),' \вв),' пг '
Если бы трубка была адиабатически изолирована (двойные стенки), то в результате проса-
просачивания газа из области р + Ар в область с давлением р температура его тоже менялась бы

242
Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
с величины в до О-АО в соответствии с формулой для дифференциального эффекта Джоуля—
Томсона:
Условие Ав = 0 означает, что от заштрихованной системы, через которую диффундирует
газ, в термостат отводится тепло (в расчете на число частиц Jp/ = N = DAn, ежесекундно
проходящих через перегородку)
Это тепло, поступая в термостат («поступая» — чисто условно, так как величина эффекта
Джоуля—Томсона может быть любого знака или даже равняться нулю — на кривой инверсии
или, например, для идеального газа, см. задачу 9), повышает его энтропию на величину
Sj-t = AQ/0. Учитывая, что
получим, что общее изменение энтропии за секунду, связанное с процессом изотермического
расширения газа и отводом тепла от заштрихованной части трубки в термостат, равно
др
Этот результат совпадает с приведенным в условии задачи ввиду известных соотношений
dp = -sd0 + vdp, n = l/v. >
Задача 6. Оценить энергию U*, выносимую в среднем каждой частицей равновесного
классического газа через маленькое отверстие в стенке сосуда в случае, когда этот газ
можно считать идеальным.
Решение. Поток числа частиц через отверстие в стенке (рис. 161) совпадает с выражением для
среднего числа частиц, падающих на участок стенки, по площади равный площади отверстия.
Полагая эту площадь равной 1 см2, имеем для плотности потока числа частиц
JN
¦I
d\nvzw(y) = —,
где tu(v) — нормированное трехмерное распределение
Максвелла, v = ^/%$1(жт) — среднее значение модуля
скорости частиц газа. Плотность потока энергии вылетаю-
вылетающих через отверстие частиц идеального газа равен
¦ »»if*
г f ^mv
Рис. 161. К расчету потоков
числа частиц и энергии
nv
nvxw(\) = 2в—,
откуда для искомой величины U* получаем
Заметим, что эта энергия больше средней энергии идеального классического газа в расчете
на одну частицу, которая равна \ В. >
Задача 7. Оценить величину термомеханического коэффициента М для идеального
одноатомного классического газа.

§ 1. Стационарные явления переноса
243
Решение. Полагая pv = в, сук = 3/2 (одноатомный газ) и воспользовавшись полученным
выше результатом ?/' = 19, имеем для удельной энтальпии
_ 5
2
откуда
Др Л — U' 1 1 р
"Кв~ вь Ъ = 2 в= '
Если к полученному соотношению отнестись как к дифференциальному уравнению
dp _\ d9
Т ~ 2 ' Т'
то мы сразу приходим к так называемому соотношению Кнудсена (М. Knudsen, 1910)
Задача 8. Оценить термомеханический коэффициент М для жидкого гелия ниже
температуры А-перехода @д = 2,19 К), полагая, что при прохождении гелия через
нижний конец капилляра (рис. 162) в установке для наблюдения эффекта фонтани-
фонтанирования (см. §2-6), п. 7)) происходит превращение части сверхтекучей компоненты
в нормальную.
Решение. Двухжидкостная модель Тиссы—Ландау (L.Tisza, 1938;
Л.Д.Ландау, 1941) возникла как удобная и достаточно эффек-
эффективная форма интерпретации ряда совершенно специфических.
для Не-Н (жидкий Не4 при в < вх) явлений. Для наших, це-
целей достаточно воспользоваться лишь отдельными фрагментами
этих представлений. Полагаем, что Не-II представляет собой две
растворенные дуг в друге жидкости — сверхтекучую (я) и нор-
нормальную (п):
Jit = J3 +Jn,
Рис. 162. Схема установ-
установки для наблюдения эф-
эффекта фонтанирования в
жидком гелии-П
первая из которых не несет энтропии
з, =0, 5 = N,s, + Nnsn = Nnsn
и не обладает вязкостью. Капилляр предполагается очень узким
(например, 1(Г3-10~5см) (чем тоньше капилляр, тем «строже»
объяснение и сильней эффект), так что при возникновении в нем
температурного отклонения Ав нормальная компонента в силу ко-
конечной вязкости втиснуться в него практически не может. Сверхте-
Сверхтекучая же компонента при прохождении светопоглощающей пори-
пористой пробки превращается в n-компоненту. Так как потоком J, эн-
энтропия из основного объема жидкости ие выносится, то 52 = const.
В силу постановочных упрошаюших предположений (см. §2-6)) тогда и S\ = const, н мы
получаем (учитывая, что Vt = const; V2 = const) для каждой из подсистем {к = 1,2)
т.е.
чаем
<Wj, = в dSk - р dVk + цк dNk =
Так как у нас всегда Д«?| = -Д«Г2 и &Nt = -AJV2, то получаем, что ц, =
цF + Ав,р + Др) = ц(в,р) — «изо-/;» перетекание, или
A/i = -яД0 + v&p = 0,
откуда для термомеханического коэффициента М" для «двухжидкостиого» Не-И сразу полу-
Др s ,,
— = - = sn = snnn = M ,
Д0 v

244 Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
где мы положили пя = Nn/V, s = (N,s, + Nnsn)/N и учли, что st.¦— О, Практически
эффект фонтанирования Не-П оказывается действительно эффектным: если верхний конец
трубки короче Ар, высота фонтана достигает 14 см. Сравнивая полученный для М" результат
со стандартным
ft-t/' _ s ц -V
М — — — — + —*- ,
$v v fh>
мы видим, что он соответствует случаю, когда формально U' = ц, т. е. энергия, выно-
выносимая из изотермической системы в среднем каждой покидающей ее частицей, совпадает
с химическим потенциалом. >
Задача 9. В переменных 6, р определить в приведенных координатах кривые инверсии
эффекта Джоуля—Томсона для газа Ван дер Ваальса и газа Дитеричи.
Решение. Определяя для газа Ван дер Ваальса (J. Van der Waals, 1873)
в а_
Р ~ v - Ь v2
значения критических параметров с помощью уравнений
получаем
_ _ 8о
«кр-36, 0tp-—,
Уравнение Ван дер Ваальса в приведенных координатах
р v в
т = —. У>= —. Т = —
Ркр «КР *кр
приобретает вид
8т 3
к =
Зу>-
,2"
Подставляя значения производных давления по температуре и объему в уравнение кривой
инверсии (§2-6), п. 6))
получаем, что вдоль этой кривой (уравнение кривой инверсии на (<р, т)-плоскости)
Подставляя это значение ip в приведенное уравнение, получаем кривую инверсии в п—т
переменных
я-= 24v^3r1/2 - 12т - 27.
Для уравнения Дитеричи (С. Dieterici, 1898) (а — параметр, величина которого поряд-
порядка 1,27)
в г а 1
критические значения объема, температуры и давления равны
¦ =1-1 V

§]. Стационарные явления переноса
245
и приведенное уравнение Дитеричи имеет вид
т
¦к =
ехр < 2 -
Вдоль кривой инверсии имеем
откуда после исключения <р из уравнения Дитеричи
следует уравнение кривой инверсии в (*, г)-коорди-
г)-координатах
" ~ ^Т Wa + ') ~ т°1 ехР { -—f ~ ^ I •
10
15
Рис. 163. Кривые инверсии газа
Ван дер Ваальса и газа Дитеричи
Сравнивая экспериментально установленные
точки кривых инверсии (на рис. 163 кружочки —
СО3, звездочки — N2) с полученными нами (сплошные кривые), обнаруживаем, что кри-
кривая инверсии газа Дитеричи довольно хорошо соответствует реальной ситуации. Напомним,
что идеальный газ pv = в не обнаруживает эффекта Джоуля—Томсона вообще, так как
соотношение
соответствующее нулевому эффекту, выполняется для него всюду. >
Задача 10. Показать, что выбор в качестве исходного состояния газа точки, лежа-
лежащей на кривой инверсии, является наивыгоднейшим при использовании на практике
интегрального эффекта Джоуля—Томсона в холодильных установках.
Решение. Эффект Джоуля—Томсона используется на практике для получения низких темпе-
температур (сжижение гвзов и т.д.). При этом, однако, перепад давления Ар = рг~Р\ и изменение
температуры АО = вг — в\ не являются малыми: в этом случае имеет место интегральный
эффект Джоуля—Томсона
"-«.-•¦-/(g)^
Исходная температура холодильной установки 0(
(или ее отдельного каскада) и конечное давление р2 обыч-
обычно задаются (например, pj = 1 ат). Выбор наивыгодней-
наивыгоднейшего значения р\ определяется из условия экстремума
что эквивалентно условию
OpJ
= 0,
Рис. 164. К определению наивы-
наивыгоднейшего режима работы холо-
холодильной установки
т. е. исходное состояние выгоднее всего выбрать так, чтобы оно лежало на верхней ветви
кривой инверсии данного газа (рис. 164). >
К рассмотренным выше функционирующим устройствам со стационарно про-
протекающим через них газом примыкает эффект разделения двигающейся с большой
скоростью газовой струи на две, горячую и холодную, при ее прохождении че-
через адиабатически изолированное устройство, называемое вихревой трубкой. Как

246
Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
мы убедимся на основе материала следующей задачи, исследование этого эффекта
в простейшем варианте не требует привлечения аппарата неравновесной термодина-
термодинамики и совершенно так же, как для эффектов дросселирования и адиабатического
расширения газа, может быть проведено целиком на квазистатическом уровне.
Задача 11. Рассмотреть в идеализированном варианте процессы, происходящие при
прохождении струи газа через вихревую трубку.
Решение. Эффект разделения стационарной высокоскоростной струи газа на горячую и хо-
холодную был обнаружен случайно при экспериментальных разработках конструкций вихревых
форсунок. Воспринимаемый первоначально чуть ли не как опровержение II начала термо-
термодинамики, он после технических доработок нашел свое применение не только в качестве
генератора холодопроизводства (что в практическом плане сблизило его с эффектом дрос-
дросселирования, рассмотренным нами в § 2-6), п. 6) этой главы), но также для выделения
конденсирующихся компонент газовых смесей, для эффективного разделения газов с близки-
близкими физическими характеристиками (как это и должно происходить во вращающейся системе,
см. изотермический вариант этого явления, т. 1, задача 20) и т.д.
Не занимаясь здесь усовершенствованием деталей конструктивного устройства прибо-
прибора И каким-либо вариантом его газодинамического расчета (из всех существующих, вплоть
до экзотических, названий его и производимого им эффекта остановимся на самом простом
варианте — вихревая трубка и вихревой эффект), рассмотрим максимально упрошенную и яв-
явно идеализированную схему происходящих в упомянутой трубке процессов, позволяющую
на элементарном квазистатическом уровне дать качественное объяснение возникновения дан-
данного эффекта. В этом моделировании мы существенно будем опираться на общепризнанную
квазистатическую же модель адиабатической атмосферы (см. т. 1, задача 49), объяснившую
без привлечения строгого газодинамического рассмотрения существование высотного гради-
градиента температуры (а также на известное истолкование, почему после размешивания чаинки
в стакане собираются в центре его донышка).
wo< Ро
Рис. 165. Схема прямой адиабатически изолированной вихревой трубки и возника-
возникающих в ней газовых потоков при поступлении в нее высокоскоростной поперечной
тангенциальной струи газа
Схема самого простого варианта вихревой трубки с адиабатическими стенками предста-
представлена на рис. 165. Газ с параметрами 0О> ро с большой скоростью w0 подается по касательной
перпендикулярно оси трубки в районе х = 0, г = R и выходит через регулируемый дроссель
в ее конце х = L, г = R более горячим и через диафрагму (х ? 0, rSO) охлажденным.
Чтобы избавиться от сопутствующего данному явлению эффекта дросселирования (Джоуля—
Томсона, см. гл. 4, §2-6), п. 6)), будем полагать газ идеальным: pv = const, с„ = const,
с, = с, + 1 н однокомпонентным (чтобы не рассматривать также попутно возникающий
эффект разделения).
Если дроссель закрыт, то трубка превращается в центробежную форсунку, в которой
устанавливается нормальный вихрь с увеличивающейся к центру вследствие выполнения за-
закона сохранения момента количества движения угловой скоростью, и весь газ выбрасывается
веером через околоосевую диафрагму. С открытием дросселя в трубке возникает стационар-
стационарный поток вдоль оси х, и при определенном значении выходящего через дроссель потока
газа «свободный» вихрь преобразуется в «вынужденный», имеющий в каждом поперечном
сечении х характер твердотельного вращения с постоянной вдоль г угловой скоростью w(x).

§ I. Стационарные явления переноса 247
Так как рассматриваемый процесс является стационарным, то естественно предположить,
что статическое давление на уровне г = R постоянно вдоль х, т. е. р(х, К) =' р@, R) t= po
(на самом деле оно вследствие трения газа о стенку трубки несколько епадает,- но это
для дальнейшего рассмотрения не существенно). Поэтому, учитывая, что коэффициент
внутреннего трения (см. гл. 5, задача 17) rj = гпв = тр0, т.е. тоже не зависит от х, мы можем
в соответствии со стоксовскими представлениями о ламинарном течении вязкой среды
считать, что поперечная скорость на уровне г = R уменьшается с ростом х по линейному
закону. Длина трубки делается такой, чтобы эта скорость к ее концу была бы максимально
погашена (даже ставят для этого в конце трубки крестовину), в связи с чем мы будем полагать
(что также для дальнейшего рассмотрения не существенно), что ш(Ь) = 0 при а; = L, т. е.
w(x, R) = ш(х) ¦ R = w0 ( 1 - j J.
Относительно движения газа в трубке примем следующую упрощенную схему.
а) Частицы газа в области г ~ R (не рассматривая пограничных эффектов, будем пре-
пренебрегать трением газа о внутреннюю поверхность трубки) двигаются по раскручивающейся
спирали (см. рис. 165) с убывающей угловой скоростью от о>о = щ/R до нуля и со ста-
стационарной скоростью вдоль оси х в направлении к приоткрытому диффузору. Температура
этих порций газа вследствие постоянного вдоль а; отрицательного по величине градиента
поперечной скорости R du(x)/dx и внутреннего трения между вертикальными слоями газа
монотонно растет от первоначального значения в0 до температуры торможения
о(ь, Н) -00 + —— - »о Н——- - 0тах
(мы приняли в качестве оценки для двухатомного классического газа значения с, = 1/G — 1) =
5/2; с, = 7/G - I) = 7/2, где 7 = с,/ь).
б) Так как в области х ? L газ почти неподвижен, то его параметры, и в частности
давление в направлении к оси трубки, оказываются выравненными, p(L, r) = p(L,R), в то
время как в областях с вращающимся газом (в частности, в начальной части трубки х ~ 0, где
угловая скорость «о = щ/R максимальна) давление^ в области оси трубки г ~ 0 значительно
меньше po = p(x, R), что вызывает обратный поток не вышедшего через дроссель газа вдоль
оси трубки к ее началу с постепенным его переходом в область г ~ R.
Таким образом, весь газ в трубке совершает, грубо говоря, два движения: вращательное
поперечное движение с падающей вдоль оси х угловой скоростью и продольное стационарное
движение в противоположных по х направлениях, замыкающееся в вытянутый вдоль оси х
тор @, R) - (L, R) - (L, 0) -»@,0) - @, R).
в) По отношению к «поперечному» (отг = 0кг = Ди наоборот) движению газа в ка-
каждом из вращающихся с угловой скоростью ш(х) газовых дисков Толщины dx будем исходить
из тех же положений, что и принимаемые при качественном объяснении существования темпе-
температурного градиента атмосферы (см. упомянутую выше задачу 49, т. 1): ввиду малой величины
коэффициента теплопроводности газа изменение его состояния вследствие движения вдоль г
в квазистатическом и гидростатическом приближениях можно считать адиабатическим.
Изложенная выше схема происходящих в вихревой трубке процессов позволяет уже
на элементарном уровне рассмотреть все ее термодинамические характеристики во всех
внутренних ее областях.
В качестве рабочего тела мы принимаем модель идеального классического двухатомного
газа, уравнение состояния которого р = р(в,п), где п = 1/в — Плотность числа частиц,
и уравнение адиабаты в каждой локальной области системы определяется известными выра-
выражениями
р = п9, р = const' rC = const' •0r/<'r~')> 1=—, с„ = -, Cp = cv + l.
С„ 2
Рассмотрим вращающийся с угловой скоростью ш = ш(х) газовый диск толщины dx и ква-
квазистатическое адиабатическое движение среды в нем в поле центробежной силы Fu6 = тш2г
(см. рис. 166). Имеем, обозначая p(r + dr) -p(r) = dp, в квазигидростатическом приближении

248
Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
R
для элемента этого диска, расположенного на расстоянии г от центра
и имеющего «высоту» dr и толщину dx,
F, = rd<p dx dp = Fu6 = тш2тг dip dx dr,
откуда следует дифференциальная связь координаты г с давлением
и температурой
dp = птш г dr =
7-1
разрешая которое с граничным условием 0@, R) =в0 н восстанавливая
аргументы г и х, фиксирующие расположение области внутри трубки,
получаем основной результат для распределения температуры
dip
Рис. 166. К расчету а также распределение статического давления в трубке
поперечного градиен-
градиента температуры вра-
вращающегося газа вих-
вихревой трубки
Р{*,
e(x,R)
7/2
где
${х, R) = б0
и распределение плотности числа частиц
2с,
и р(х, R) =
n(x,r) = (в(х,г)\5'2
n(x,R) \6(x,R)) '
где n@, R) = ро/во = "о. n(x,R) = po/6{x,R) и где мы учли, что 7/G ~ !) = ср = 7/2
н 1/G - 1) = с, = 5/2.
Полученные результаты, которые в силу применяемых модельных представлений, есте-
естественно, мажорируют величины реальных эффектов, изображены в виде поверхностей состо-
состояния на тройном рис. 167.
Согласно этим результатам максимальная температура на выходе из дросселя не может
превышать температуры торможения поступающего через тангенциальные сопла газа (иначе
это привело бы к нарушению уже I начала термодинамики),
а температура выходящего через «диафрагму» охлажденного газа — не ниже минимальной
Так как величину скорости поступающего газа w0 делают возможно более высокой, то разность
температур газов, выходящих с противоположных концов вихревой трубки, может достигать
достаточно больших значений (без какого-либо нарушения II начала термодинамики)
А»
-2
==*
2С, 7
Усовершенствование теоретического рассмотрения процессов, происходящих в простей-
простейшей вихревой трубке, изображенной на рис. 165, связано с отказом от сделанных выше
упрощающих предположений, т. е. это учет пристеночных эффектов, неидеальности посту-
поступающего газа (с появлением дополнительного к вихревому эффекта дросселирования), учет

§ 1. Стационарные явления переноса
249
п(х,г)
"min „
Рис. 167. Распределение внутри вихревой
трубки значений плотности п(х, г), давления
р(х, г) и температуры в(х, г)
неадиабатичности изменения состояния газа при его квазистатическом движении вдоль г
и, наконец, полная гидродинамизация описательной стороны процесса с учетом всех явле-
явлений переноса и оценкой величины выходящего через дроссель потока (и его соотношением
с потоком через диафрагму), иеобходимой для срыва свободного вихревого процесса и его

250 Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
преобразование в твердотельное вращение в каждом поперечном сечении трубки. Все это,
конечно, неимоверно усложнит и запутает рассмотрение в целом любопытного, но все же це-
целиком макроскопического эффекта (аналогично тому, как простая и физически осмысленная
модель адиабатической атмосферы превращается в нерешаемую, но зато более реалистическую
газодинамическую модель). >
Задача 12. Используя полученные в предыдущей задаче результаты, определить ми-
минимальную величину сечения выпускающего холодный газ сопла, необходимую для
возникновения в трубке, изображенной на рис. 165, вихревого эффекта, и оценить
величины потоков выходящих холодного и горячего газов, полагая все данные о посту-
поступающем в трубку газе заданными.
Решение. В качестве основного параметра, характеризующего процесс, используем величину
_ mwl 1 /и;0\2 1 „, _ 1
где с^. = fO/m, Mq = щ/Сп. Согласно решению предыдущей задачи плотности газа на входе
в трубку и на выходе из нее соответственно равны
п(т п\ - Ро -Ро
'
Потоки входящего j0 и выходящих горячего jr и холодного jx газов пропорциональны этим
плотностям, сечениям *о> *г и *х входного и выходного каналов и скоростям проходящим
через этн каналы газов, и;0 — на входе и wr и и;х — на выходе из трубки
Jo = sotuono,
1
jr = srwrn(L, R) - sruv
- ,
jx = sxu»xn@, 0) = *,u;xno(l - r)'^-'1.
Исход}1ыми положениями при рассмотрении постааленной задачи являются закон сохранения
количества газа н закон сохранения энергии
jo = Jr+J'x.
;2
Л = (c,»(L, R) + -y-)jt + [0,6@,0)
где crB — удельная энтальпия h = e +pv = Cjfi покоящегося идеального газа.
Введем относительные величины потоков
jo w0 I +т jo w0
где <rr = «r/so, <*x = Ях/*о. и исключим величины
I I , 1 / 1 \ '/'т~''
It - 1 ~ h, wr = w<, 7r, u\ = to0- ( i ) Л
ffr <Tx\l-T/
из уравнения баланса энтальпии. Получим уравнение для потока 7Х

§ 1. Стационарные явления переноса
251
или
2/A-1)
-,>-¦•
Чтобы не пользоваться довольно неудобными формулами Кардана для выражений решений
этого уравнения третьей степени, запишем его в виде
ж K
2/A-1)
и исследуем его графически с целью получения при-
приближенного решения. На рис. 168 изображена ситуа-
ситуация, когда графики левой и правой частей этого куби-
кубического уравнения имеют точку пересечения в обла-
области 0 < 7Х < 1, а это возможно только в случае, когда
правая часть уравнения обращается в нуль в точке
y/ajb, расположенной правее единицы, \fajb > 1,
что определяет предельное условие на относительный
размер площади сопла,
ay—by
Рис. 168. К графическому исследова-
исследованию решения уравнения для относитель-
относительной величины потока холодного газа
Формальное решение кубического уравнения, выхо-
выходящее из области 0 < 7Х < 1 (или даже комплексное)
лишает физического смысла исходные уравнения,
поэтому в случаях <т„ ^ @4)min вихревой эффект
образоваться не может. Реальное же решение всего
уравнения для 7Х лежит в более узком, чем единич-
единичный, интервале — приблизительно от \-tya до единицы. Если, как это изображено на рис. 168,
этот интервал мал по сравнению с единицей (т.е. величина <гх близка к минимальной), то,
переписав уравнение по отношению к величине 7Г = 1 - 7„ 4С 1,
1а]
1
J \ 2/A-1)
Ш
-7гK = аA-7г)-6A-7гK,
получим в самом грубом приближении (т.е. полагая в правой части 1 - 7Г й 1) оценку
выходящих из вихревой трубки потоков горячего и холодного газов
l
2/(i-D
)\
(в других случаях необходимо уже использовать точное решение кубического уравнения).
Скорости истечения газа через дроссель и сопло выражаются через значения 7Г и 7Х по приве-
приведенным ранее формулам. Следует заметить также, что полученный выше критерий <гх > (<тх)т|„
необходимым, но отнюдь не достаточным условием существования устойчивого вихревого
эффекта, кроме того, он через закон сохранения количества газа jo = jt + 3*. налагает
соответствующие ограничения и на величину arwr. >
Задача 13. Исходя из формальных соотношений для токов
Л = & = - 2^ '**/^*1' ^*( =
исследовать релаксационный процесс для случая А; = 1,2, считая недиагональный
коэффициент /,2 малым по сравнению с!ци l2i.

252 Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
Решение. Полагая, что начальные условия для {-отклонений заданы, fr,\t_a = if , запишем
исходные уравнения
«1 = -1м?> - lad. Ь = -luti ~ »и6.
в виде интегральных
*, = «< V'"' - /12 [ e-^'-%(t') dt',
о о
откуда, исключая &(О из первого уравнения, получаем замкнутое уравнение для
(уравнение для & (<) имеет аналогичный вид)
"Г'"'+& f м> f
— «22 У У
О О
Решая это уравнение методом итераций по 1ц, получаем
т.е. релаксационный процесс имеет в основном экспоненциальный характер с временами
ЖИЗНИ 1//|| И 1/<*22. >
Задача 14. Два сосуда, заполненные одинаковым газом (или жидкостью) и соеди-
соединенные тонкой трубкой заданной длины / и радиуса R, находятся в термостате
с температурой в. Считая размеры сосудов заданными, вязкость т? и уравнение со-
соаояния р = р(в, v) газа известными, определить характер выравнивания давления
в сосудах и оценить время релаксации, используя в качеаве уравнения соаояния газа
формулу pv = в.
Решение. Предполагаемая ситуация соответствует случаю а) из §2-6). Полагая р, =р+ Др,
Рг = р, N[ = iV| + AJV, Щ = JV2 - AJV, получаем с помощью уравнения состояния связь
перепада давления Ар с отклонением числа чвстиц AN от равновесных значений N\ и JVj:
- f) -
С помощью этого соотношения выражение для потока числа частиц
JN = AN= -К Ар
превращается в линейное дифференциальное уравнение относительно AN(t) и Ap(t), реше-
решение которого находится сразу:
AJV = AJV(O) e"'/r", Ар = Арф) еч'Т°,
где время релаксации выражается формулой
Kv{-dp!8v),'
Полагая для упрощения N2 > JV, = N (т. е. считая систему 2 настоящим термостатом),
используя формулу Пуазейля для коэффициента К = 7i\RV(8r?/t>) и вычисляя производную
(—dp/dv)t, исходя из уравнения состояния идеального классического газа, получаем
* ж
Характерна зависимость этого времени релаксации от размера отклоненной от состояния
равновесия системы 1: та ~ N. >

§ 1. Стационарные явления переноса 253
Задача 15. В системе, описанной в предыдущей задаче, все время поддерживается
постоянное давление (т. е. Др = 0). Определить релаксацию заданной в момент t = 0
разности температур Д0 = 0, - 02.
Решение. Ситуация соответствует случаю /3), рассмотренному в § 2-6). Имеем
= к ~ *);U+ъ)AN - ч - Tv)r-N^r
а также выражение для потока через коэффициент термодиффузии
jN = an = d» ¦ а$ = км ¦ &е.
Решение этого дифференциального уравнения имеет вид
Д0 = Д^@) е"'/т", Д N = ДЛГ(О) е"'/т",
где время релаксации равно
NtN2 1
7M ЛГ|+ЛГ2 KMv{d»ldv)f
Заметим, что времена та и тр связаны простым соотношением
', M \d$Jv h-U*
Для идеального одноатомного газа (в качестве грубой оценки) удельная энтальпия и энер-
энергия U', выносимые в среднем каждой частицей из системы 1 в случае а), равны
e + 0= Ь-в, V = 70,
поэтому для времени релаксации Тр получаем
т/s = 2г«
(выражение для та идеального газа приведено в предыдущей задаче). >
Задача 16. В описанной в двух предыдущих задачах системе между подсистемами 1
и 2 все время поддерживается постоянная разность температур Д0. В момент времени
t = 0 перепада давления не было, Др@) = 0. Определить релаксацию Ар к состоянию,
когда прекращается поток числа частиц между подсистемами (случай 7) из §2-6)).
Решение. Используя уравнение состояния р = р($, Vk/Nk), получаем
Считая для удобства (ЛГ, + JV2)/(JV|JVj) = 1/iV, получаем из выражения для потока числа
частиц
J/, = AN = КМ Ад - К Ар
при А0 = const дифференциальное уравнение первого порядка для Ap(t)
которое имеет решение
где
"
Kv(-dp/dv)t' 9v ' %r)lv'
Оценка этой величины для идеального газа pv = 0 приведена в задаче 14.

254^ Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
Задача 17. Считая магнитное поле II = (О, О, Н) перпендикулярным к плоскости
(х, у), рассмотреть термоэлектромагнитные эффекты и явления переноса, происходя-
происходящие в направлениях осей хну: проводимость, теплопроводность, явления термоЭДС
и переноса энергии током, эффекты Холла, Нернста, Эттингсхаузена, Ледюка—Риги
и установить связи между кинетическими коэффициентами термомагнитных явлений.
Решение. Воспользуемся приемом, который оказался эффективным при рассмотрении тер-
термоэлектрических явлений в §2-в), и напишем выражение dS для случая, когда перепады
температур А9Х, А9у, электростатического потенциала AUX, AUy, электрические токи 1Х,
Iv и потоки тепла Jx, Jy (т. е. все компоненты потоков и вызывающих их градиентов)
расположены в плоскости (ж, у), перпендикулярной магнитному полю Н = (О, О, Н):
dS = -l-AUx dqx - l-AUy dqy - 1д«, dSx - 1
l-AUx dqx AUy dqy д«, dSx
Пусть для простоты система представляет собой кубик с ребром 1 см. Тогда Авх и Аву —
это соответствующие компоненты градиента температуры, a -AUX и —AUy - компоненты
вектора напряженности поля Ех и Еу, I-=qnJ — S' — плотности электрического тока
и потока тепла. Для скорости изменения энтропии отсюда имеем
S = ~ ЕХ1Х + I ЕУ1, - 1 J.M. - ±
k=\
Мы указывали в § 1, что конкретный выбор величин Хъ и J^ = (t неоднозначен. Воспользу-
Воспользуемся этим произволом так, чтобы поставленная задача решалась бы наиболее элементарным
образом. Положим для этого
J = (Ex,Ey,Jx,Jy), *=^-/1,-/„_-д01(--д
При таком выборе токов Л и сил Хи система уравнений Л = 53?«^ь определяющих
явления переноса, будет иметь вид ¦
Ех = - LUIX + - LnIy - j2 LnA9x - p LHA6y,
Ey = - L2lIx + {- L22Iy - - L2iA9x - ^ L24 Аву,
- Lnlx + - ?/ LA9
- ?32/, - p
Jy = ? LnI. + - LnI, - j7 LnA6x - p LMA9y.
Изотропия системы в плоскости (х,у), т.е. равнозначность осей х и у, определяет сразу
следующие простые связи:
¦^11 = ?221 -^33 = -^44. -^13 = -^24-
Отметим, что коэффициенты Lij имеют свойства четности или нечетности по отношению
к отражению поля Н. Выписанные выше коэффициенты ?ц(Я), Ь»(Н) и Ьц(Н) являются
четными, a L\2(H), 1щ(Н) и Ьц(Н) — нечетными функциями Н. Обстоятельства, приводя-
приводящие к таким свойствам симметрии, достаточно наглядно представлены на рис. 169 (в качестве
примеров выбраны коэффициенты Ln(H) и Ln{H)).
Далее, свойство коэффициентов выписанной системы уравнений удовлетворять соотно-
соотношениям взаимности Онсагера

§ 1. Стационарные явления переноса
255
'• ?„(-Я)
Рис. 169. Примеры термомагнитных эффектов, необращающихся (проводимость) и обращающихся
(эффект Холла) при переключении магнитного поля Н на обратное. Пунктирной стрелкой обозначена
траектория положительного носителя тока, искривление которой вследствие действия силы Лоренца
(е/с) • [у х Н] компенсируется полем Еу
не меняется при перестановке местами первой пары уравнений со второй и первых двух
столбцов с двумя последними. Вследствие всего этого имеем
Ln{H) = Ln{-H) = -Ln(H), L»(H)= L24(-H)=
?з1(Я)=?,3(-Я)= ?,3(Я), L4i(H)= LM(-H) = -LM{H),
= L2i(-H) = -?23(Я) =?14(Я) = -LH(-H) = -LAl(H).
Мы получили, что 16 коэффициентов ?;,- для изотропной в плоскости (ж, у) системы
подчинены десяти условиям, т. е. независимыми из них являются только шесть (по три
симметричных и антисимметричных по полю Я). Введем для них следующие более удобные
обозначения:
д — '|Ь ~д- — П112, д2 —«13.
где все величины 1,-;- — уже четные функции Я (зависимость их от температуры и других
параметров мы не обозначаем). Тогда система динамических уравнений запишется в виде
Е, = l»It - Н1п1у - /13Д0, - Я1„Д0„
Еу = Я1127,
J. = -eiiA
Jy = 0ЯМ7,
- I* Аву.
Рассмотрим теперь частные (и при этом простейшие) случаи реализации термомагнитных
эффектов в плоскости, перпендикулярной внешнему магнитному полю. Коэффициенты,
характеризующие отдельные термоэлектромагнитные эффекты, будем обозначать, как и в § 2,
греческими буквами.
а) Случай 1х = 1у = 0, Аву = 0.
Имеем сразу
Е, = -1,3Дв„ Еу = Я(мД0„
J, = -1ззДв« Jy = Н1мАВж.

256Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
Это уже определенные физические эффекты:
&UX = -Ex = Z Авх - термоЭДС (Т. Seebeck, 1821), Z = /,з,
Еу = #N Авх - эффект Нернста (W. Nemst, 1886), N = /,4>
Зх = ~кАвх — теплопроводность (J. Fourier, 1822), к = /Зз,
Jy = —н±АОх — «поперечная» теплопроводность, х± = —Я/34.
Р) Случай Авх = Аву = 0, /, = 0.
Имеем еще четыре явления переноса:
Ех = 1иГх, Ey=HlnIx, Jx = -9ll3Ix, Jv = 9Hl^It,
или в более привычных обозначениях
Ех = plx= -1Х — закон Ома (G.Ohm, 1826), Р=~ = 'п.
Еу =ЯХ1Х - эффект Холла (Е. Hall, 1879), X = /12>
J, = ПД — перенос энергии током (J. Peltier, 1834), П = -01\г,
Зу — П.!./» — «поперечный» перенос энергии током, П± = 0Шц.
7) Случай Ix = Iv = 0; Jt = 0 («адиабатический» аналог случая а), когда вместо
«изотермического» условия Аву = 0 взято условие отсутствия теплового потока Jy = 0).
Оставшиеся соотношения оказываются уже более сложными:
Ех - -/13Д0„ - Я/мДв„ Еу - Н11ААвх -
Jx = -1кАвх - Я/34Д6», 0 = Я/мДе, - »
Из четвертого соотношения (Jy — 0) имеем
Аву = ^*Д0* = ЯЛДб,, А= ~.
«зз «зз
Явление возникновения поперечной разности температур (при Jy — 0) называется эффектом
Ледюка—Риги (S. Leduc, A. Righi, 1887). Из первых трех соотношений, исключив Дв„, следует
(Till I \
- 'i3 т^-^ ) Дв* = -TLu&Oz — «адиабатическая» термоЭДС,
_ Н\41М
*-ш — «13 Ч ;; ,
«зз
Еу = (Я/14 р-^ J Дб, = HNKA9X — «адиабатический» эффект Нернста,
'зз
J* = [ - «*зз j— ) Д0Х = -ХмДб* — теплопроводность при условии
^ 33 ' адиабатической изоляции граней кубика,
перпендикулярных оси у,
'зз

§1. Стационарные явления переноса 257
6) Случай А9Х = О, 1у = О, ]х = О («адиабатический» аналог случая /J), вместо усло-
условия А0у = 0 взято условие Jy = 0).
Имеем
Ех = 1и1, - Н114Аву, Еу = Н1п1х -1
Из последнего соотношения получаем
Лву=—^1Х=НЕ1Х, Е=-^.
«зз «зз
Явление возникновения разности температур Д0у в указанных условиях называется эффектом
Эттингсхаузена (A. Ettingshausen, 1886). Исключая Д0„ из первых трех уравнений, получаем
Ех— \1\\ ¦—— IХ = рш1х — «адиабатическая» проводимость,
V 'зз /
ГШ (г„ '" 'зз '
Еу- \ Н1п -—^ IХ = НХШ1Х — «адиабатический» эффект Холла,
\ 'зз /
Хад = 'i2 ~
«33
/
Зх = I - 91п
— поток энергии, вызываемый током,
иш W|3;.
«зз
Можно рассмотреть и другие частные случаи (это предоставляется читателям). Выберем
теперь шесть коэффициентов, через которые выразим все остальные. Это можно сделать
различными способами. Наиболее рациональный из них следующий:
'м =/>=-. 'п=Х, ',3 = Z, '|4 = N, /33 =х, 1з4 = хЛ, •¦¦
т. е. в качестве основных коэффициентов взяты удельное сопротивление (или. проводимость)
и коэффициенты Холла, термоЭДС, Нернста, теплопроводности и Ледюка, Заметим, что
все эти коэффициенты являются функциями термодинамических переменных (температуры,
плотности и т. д.) и четными функциями напряженности магнитного поля Н, которые
(к примеру, для удельного сопротивления) можно представить в виде
(величина /?2 называется магнетосопротивлением). В феноменологической теории все эти
коэффициенты считаются заданными или определеннымн с помощью соответствующих экс-
экспериментов. В рамках кинетической теории эти коэффициенты рассчитываются теоретически
(в главе 5 мы произведем оценки для а, х и Z). Коэффициент Холла Хо можно оценить
и без использования кинетического уравнения: у-компонента силы Лоренца A/с) • [v x Н|
(см. рис. 169) должна быть скомпенсирована {/-компонентой внешнего поля Е. Полагая
и = 1х/(еп), где п — плотность носителей тока, получаем сразу известный результат
X.--L.
епс

258
Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
Для других коэффициентов, характеризующих рассмотренные в случаях а)-6) эффекты,
получаем
E=—,
рш = р - вН'К* = р - H'NE, ХШ=Х ,
— V — 7Л 7 — 7 -4- ТТ^1*й\
пш = п - eff2NA = -ez - eff2NA = -вгш.
Систему динамических уравнений можно представить в матричной записи в виде
ЕХ1 Г р -НХ -Z -HN
Еу НХ р НЫ -Z
Jx ~ -9Z -вНК -х -ЯхЛ Л Авх
Jy J L0#N -9Z ЯхЛ -х .
Для скорости возникновения энтропии получаем такое же выражение, что и в § 2-в):
где I2 = /2 + /2; (V0J = Д02. + Дб2, т.е. рост энтропии, как и ранее, связан с выделением
джоуле па тепла и процессом теплопроводности. >
§ 2. Общие требования к структуре обобщенной
восприимчивости и модельные примеры
систем с памятью
Задача 18. Определить динамическую обобщенную восприимчивоаь х(ш) и проверить
соотношение Крамерса—Кронига для случая простейшей, экспоненциальной (е~'/т)
модели функции памяти, полагая
"* «к (П«),
~v и X2(t)=O(t)
где 1/7 — эффективное время «памяти» среды.
Решение. Заметим сразу, что модели для х@ выбраны так, что в случае ¦у —¦ оо (или
г =1/7-0) _.
^е-7('-*"H^ _ t"j _, g(t _ fly
и поэтому реакция системы x(t) на динамическое воздействие F(t) в этом пределе оказывается
квазистатической: ''
' ¦"¦ ' . *(«) = fx(t-t')F(t')dt'-*XoF(l).
-00
Расчет функции Xi(w) элементарен:
Для получения Xi(u) достаточно вспомнить формулу Эйлера:
I
. cos (wot)= I (
= I («.*•*«

§ 2. Общие требования к структуре обобщенной восприимчивости 259
Тогда получим
Так как полюса этих функций (см. рис. 1S4, с. 226) оказываются в нижней полуплоскости
комплексной частоты ш, то автоматически
ш-И + ге
-ОС
что обеспечивает выполнение соотношений Крамерса— Кронига (см. § 3). >
Задача 19. Исследовать возможность экспоненциального характера релаксационного
процесса в случае L = L(,le~". Определить скорость роста энтропии 5 и ее изменение
за конечный интервал времени.
Решение. В качестве исходных формул имеем
= fL(t-t')X(t')dt'.
Учитывая, что J(t) = ?(?), приходим к линейному инте- v
гральному уравнению
ос
1@ = - f L(t")\t(t-t")dt".
о
Подставив под знак интеграла функцию L(t") = Lal e""",
ищем решение релаксационного типа
Тогда для величины v, удовлетворяющей условию 1>и>0, о
получим квадратное уравнение
2 - Г А/ - О Рис'170' гРаФик зависимости
Из двух решений этого уравнения, существующих, как это
видно из рис. 170, при условии
4LJ. I
афик з
величины и от параметра /
выберем то, которое в пределе / —¦ оо, т. е. в случае, когда
= Lo6(t),
переходит в полученное в § 1, п. г) решение и = ?0А. Оно
имеет вид
Помимо полученного решения для f @ имеем
X(t) = -A4@)e~w, J(t) = -i/$@)e"",
откуда для скорости возрастания энтропии получаем
S = X(t)J(t) = u(
Рис. 171. График изменения
энтропии системы во времени
Увеличение энтропии за конечный интервал времени с учетом величины начального откло-
отклонения ||,_0 = ?@) равно (рис. 171)

260 Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
При t —» оо (t > l/Bi/)) приходим к естественному результату для полного роста энтропии:
00
/¦
Несмотря на разумный характер полученных выше результатов, нельзя не заметить,
что исходная форма для функции L(t) не может быть согласована со всеми требованиями,
предъявляемыми к теории с учетом памяти среды. Действительно, определяя фурье-образ
функции L(t):
+00
+
Цш) = I
J
Ц
ш + г1
-00
и восстанавливая по этой функции динамическую восприимчивость х(ш), соответствующую
воздействию X(t) на систему:
убеждаемся в том, что она не удовлетворяет необходимому требованию
X(<")L=o = Хо < °°<
обеспечивающему конечную реакцию системы на статическое (или квазистатическое) на нее
воздействие, x(t) = XoX(t), что проявляется также и в самой форме для
соответствующей наличию у среды бесконечно долгой «памяти» о действовавшем на нее воз-
возмущении. Для устранения этого недостатка предложенной в условии задачи математической
модели для L(t) нам достаточно в соответствии с доказанной в задаче 21 теоремой о поведении
функции ?(ш) в области ш = 0 исправить ее так, чтобы ?(ш)|ш=0 = 0, положив для этого,
к примеру,
1(ш) = Ь(ш) - ?0. >
Задача 20. Исходя из заданного вида обобщенной восприимчивости
определить характер релаксационных процессов в системе, если начальные значения
отклонений ?@) = (ои Д5о = -j ?о^?о считаются известными.
Решение. Динамическая восприимчивость в соответствии с заданной функцией х(') имеет
вид
+00
—00
поэтому для функции Ь(ш) имеем
Цш) = -шх(ш) = уха ~ Iм)
что во временном представлении соответствует величине
ДО = i

§ 2. Общие требования к структуре обобщенной восприимчивости 261
(напомним, что в нашем случае согласно § 3 S(t) = lim S(t + т)). Уравнение для тока
г-0
= / L(t")X(t - t") dt"
J
о
с учетом соотношений X(t) = -Af(t) и J(t) = ?(t) приведет к линейному интегральному
уравнению для амплитуды отклонения параметра ?(<):
оо
№ = ~1ХоЩ1) + J Х0^е-^Щ1 - t") dt".
о
Предполагая, что форма его решения является экспоненциальной,
получаем для параметра и квадратное уравнение
I/2 -7A +XoA)i/ = O
с дополнительным условием f > i/ > 0. Опуская тривиальное решение и = 0, имеем
" = 7A+ХоА),
откуда следует, что экспоненциальное решение для ((t) может реализоваться (при заданной
форме x(t)) в СИЛУ требования ~/ > 0 только в случае —А < Хо < 0 (так как коэффициент
А > 0 всегда).
Экспоненциальная структура ?(<) автоматически (как и в предыдущей задаче) определяет
релаксационный характер временного поведения всех других величин:
J(t) = -Нее-"', X(t) = -A&e"".
Для производства энтропии и ее прироста получаем
5 = X(t)J(t) = 1/&А6е-ы, у S(t') dt' = i ?оА?о (l - е"ы). >
о
Задача 21. Исходя из аналитических свойств функции x(w)> определить для функ-
функции L(w) величины Lq = L@) и L'@).
Решение. В § 3 гл. 3, используя условие
+0
J
1=0 = Jdt X(t) = X(^)U = Хо < оо,
О
мы получили, что функция \(ш) на комплексной oJ-плоскости не имеет особенностей на
действительной оси шив верхней полуплоскости п. Совершенно аналогично (т. е. заменяя
лишь буквенные обозначения) можно показать, что условие
?Hl=o = io < оо
приводит к аналогичному утверждению по отношению уже к функции Ь(ш). Чтобы доказать,
что Lo = 0, можно под знаком интеграла по времени перейти к w-представлению, взять инте-
интеграл по t и затем использовать аналитические свойства Ь(ш). Однако проще воспользоваться
соотношением
L(w) = -iw

262
Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
положив в нем ш = 0. Продифференцировав это соотношение по ш,
Ь'(ш) - -ix(u) - iux'(<"),
и положив ш = 0, получим
Задача 22. Считая, что обобщенная восприимчивоаь %@ дейавительна, а аналити-
аналитическое продолжение ее фурье-образа х(и>) имеет особенности типа простых полюсов,
определить структуру функций х и L-
X(t)
Рис.172. Графики зависимости от времени обобщенной восприимчивости
и коэффициента переноса L(t)
Решение. В соответствии с установленными в § 3 аналитическими свойствами функции \{ш)
полюса ее могут быть расположены только в нижней полуплоскости ш, как это изображено
на рис. 154. Полагая х (t) — х@> мы имеем х*{и) — х(-ш)*те- каждому полюсу wk = iik-ifk
(у нас П» > 0, 7* > 0) имеется ему парный ш'к = -Пц. - iyk. Объединяя эти пары в одно
слагаемое, имеем для динамической восприимчивости
а также во временном представлении
+00
Для функции L, определяющей токовую реакцию системы, имеем
' cos (Qkt).
+ акЪ
Переходя к ^-представлению, получаем
Щ = Yi {2акЪ 6(t) + 2ак1ке-^ (пк sin (Ukt) - 7* cos (ВД)
или
?@ 52 2{«W mJnll-^ cos
где tpk = arctg(nt/7t). Графики х@ и L(<) схематически приведены на рисунках 172а и 5
(включая функцию S(t) — lim 6(t - г)). >

§ 2. Общие требования к структуре обобщенной восприимчивости 263
Задача 23. Для рассмотренной в предыдущей задаче модели х(ш)> в которой ради
простоты оставлено только одно слагаемое, исследовать предельный случай у -+ со,
соответствующий мгновенной реакции системы на воздействие (или очень медленно
изменяющемуся внешнему воздействию).
Решение. Так как величина 1/7 по физическому смыслу есть время памяти среды о воздей-
воздействии на нее, то в качестве физически осмысленного параметра разложения следует выбрать
величину П/7 < 1 (т. е. характерный период квазистационарного процесса Т = 2?г/П > 1 /7
значительно больше времени памяти). Беря по частям интеграл интересующей нас конструк-
конструкции, имеем
00 00
/G | ?>(<)) = J fe-^(t) dt = -e'7VwQ + / е"V@ * =
~Ну\ А*))
о о
поэтому первые члены разложения по степеням \/j имеют вид
Д7И0) = ?(о) + Х- v'(o) + ^ /(о) +....
Для реакции системы ?(?) на возмущение X(t) и вызываемого им тока J(t) получаем
J(t)=JL(t")X(t-t")dt" = 2alx'(t) + 2 — X(t)--X"(t)-5^X'(t) + -2X
о
В пределе f —» 00 получаем
№ = XoX(t), J(t) = XoX'(t), xo = 2a,
что в терминах функций x(t) и -^@ означает, что
X(t) = XoS(t), L(t) = -XoS'(t).
Последняя формула согласуется с установленным нами в задаче 21 результатом
00
LQ= I L(t) dt = 0.
Задача 24. Определить реакцию системы на периодическое квазистационарное возму-
возмущение, полагая для простоты, что динамическая восприимчивость х(<*>) на комплексной
плоскости п> имеет только одну пару полюсов п = ±п - ij.
Решение. Запишем внешнее воздействие на систему X(t) в виде
X(t) = Хо cos (ПоО-
Тогда в соответствии с формулой Эйлера в w-представлении имеем
X(w) = Хо ¦ ]- (б(ш - По) + б(и + По)) ¦
Согласно условию динамическая восприимчивость x(w) имеет следующую структуру (см. за-
задачу 22):
\ 2а7

264
Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
В этом же представлении реакция системы выражается как
откуда, переходя к t -представлению, сразу получаем
+00
f -*"'
-е1''-
Если ввести обозначения
sin f± =
то ответ для x(t) можно представить в достаточно
наглядной форме:
x(t) = А+ • sin (uot + tp+) + А- • sin
где соответствующие амплитуды равны
7
Рис.173. Зависимость амплитуд ^
и i4_(fi0) и фаз у+(По) и у_(П0) реак-
реакции системы от частоты внешнего гармо-
гармонического возмущения
Меняя частоту внешнего воздействия п0, мы сразу
обнаруживаем, что реакция системы x(t) имеет резо-
резонанс (рис. 173), типичный для классической теории
колебаний, причем параметры этого резонанса непо-
непосредственно связаны с координатами той пары полю-
полюсов, которую мы оставили в динамической воспри-
восприимчивости х(ш): резонансная частота и его ширина
(По)ре, = П, (ДПо)рез = 7-
Рассмотрим два частных случая. Пусть внешнее
возмущение является статическим, т. е. п0 = 0. Тогда
sin (р+ = sin у>_ =
и мы приходим к естественному результату
x(t) = Хо ¦ 2о ¦
= *о • Хо-
Случай, когда в реакции системы на внешнее возмущение нет запаздывания («мгновенная»
реакция), соответствует предельному переходу f —» 00. Это дает
Ха = 2а, sinp± = l, <p± = -,
поэтому для реакции получаем «квазистатический» предел
Чтобы определить токовую реакцию на гармоническое воздействие X(t)
мы могли бы исходить из формулы для Ь(ш),
(«) = 2а7 + а7

§ 2. Общие требования к структуре обобщенной восприимчивости
265
а затем рассчитать ток
+30
J(t)=
J
-со
Проще, однако, воспользоваться уже полу-
полученным нами результатом для x(t). Имеем сразу
J{t) = x(t) = J+ cos (Qot +<p+)+J- cos(Q0t+<p-),
где
«о
J± =
= XB • cry ¦
J+(Q0)
Рис.174. Зависимость амплитуд J+(u0) и
Графики величин J+ и J- представлены на j_(f]0) ТОКов от частоты внешнего гармони-
рис. 174. ческого возмущения
Частный случай статического возмущения
(По = 0) дает
В случае же f —» оо, когда tp+ = tp_ = тг/2, получаем, что
J(t) = -Хо^оПо sin (ПоО = XoX'(t)
в полном соответствии с результатами задачи 23. >
Задача 25. В предположении задачи 24 относительно структуры функции х(ш) опре-
определить, как релаксирует реакция системы к стационарной, если периодическое возму-
возмущение мгновенно включается в момент t = 0.
x(t),,
Рис. 175. Характер реакции системы на мгновенное включение периодического возмущения
Решение. Задачи подобного типа в теории колебаний достаточно традиционны. Согласно
условию
X(t) = 0(t) ¦ 2ate-* cos (fit). X(t) = $(t)X0 cos (Qot).
Поэтому, используя формулу Эйлера и интегрируя по t", получаем для реакции системы
f
= fX(t")X(t-te)dtH =
о

266 Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
Используя принятые в предыдущей задаче обозначения для амплитуд А± и фаз <р±, получаем
x(t) = А+ sin (fiot + V+) + 4-sin (По* +<Р-) - е* (А+sin (Ш + (fi+) - A-sin(Qt-<p.)).
Первые два слагаемых в этой формуле представляют стационарный процесс — колебания
с вынуждающей частотой п0, сдвинутые по фазе по отношению к возмущению X(t).
Вторые два слагаемых представляют возбуждение неадиабатическим включением возмущения
в момент t = 0 (в нашем случае — мгновенном) собственных колебаний системы (на рис. 175
мы положили, что их частота И > По), которые затухают по прошествии времени релаксации
г~1/7. >
Задача 26. Связать среднюю за период квазистационарного гармонического процесса
скорость образования энтропии со сдвигом фазы между возмущением X(t), действу-
действующим на систему, и ее реакцией x(t) на это воздействие.
Решение. Положим, что внешнее возмущение имеет вид
X(t) = Xa cos («oO-
Тогда реакция системы согласно § 3 запишется как
ее
/1 I
X\i )' z -Ло(е + е ) ^ Xq(€ Х\—^о) ~Н^ Хк^^о))'
2 2
о
Выделяя в динамической восприимчивости х(^о) и Х(~^о) = Х*(^о) действительную и мни-
мнимую части
получим
*Щ = Хо ¦ (х'(«о) cos (iht) + х"(П„) sin (Uot)) = Х,\Х(Оо)\ cos (iht - <p),
где
и мы ввели сдвиг фазы <р такой, что
Х"(па)
Для среднего за период То = 2ff/fi0 изменения энтропии согласно формуле, полученной в § 3,
имеем
^ J S(t) dt=l- Х„«а"(«о)*о = I Хо«„|х(«о)|^о • sin V. >
Задача 27. Считая внешнее периодическое воздействие на систему X(t)=X(t+To)
и соответствующую ему восприимчивость х(ш) заданными, определить среднее изме-
изменение энтропии за период в случае, когда реакция системы уже стала стационарной.
Решение. Заданную периодическую функцию X(t) можно представить в виде разложения
в ряд Фурье по гармоникам, кратным п0 = 2ж/Т0,
X(t) = J^ X" cos ("«»' + Vn) = Е \ Х" (е'ПП0Ы*" + е"'"*'"'Л)-
п=1 п=1
Подставляя это выражение в формулу для тока J{t) и беря интегралы по t", получаем
7 х 1
J(t) = / L(t")X(l - t") dt" = X) 2 Xn ^("«oje"'"'""" + ?*СОо)е"По'+1>").

§ 2. Общие требования к структуре обобщенной восприимчивости 267
Перемножая эти величины, мы получим скорость роста энтропии S(t). В получающейся при
этом двойной сумме выделим сразу слагаемые с совпадающими индексами:
п=|
**—' 4
(в#т)
и учтем, что
«О /\,<П-т)(Ы „ А/_ ._ч f Ь П=т"
: Ш.
Тогда, проинтегрировав S(t) по периоду, получим- формулу, обобщающую полученную нами
ранее в § 3,
Тч
1 f • _Al J, _ А 1 2 „
Задача 28. Для системы, рассмотренной в задаче 24 (периодическое возмущение,
динамическая восприимчивость х(ш) имеет два симметрично расположенных полюса
w — ±il-ij), определить среднее изменение энтропии за период квазистациоиариого
процесса.
Решение. В качестве исходных формул имеем
i = Хо cos |
Динамическую восприимчивость х(ш) можно представить в виде, удобном для выделения
действительной и мнимой ее частей:
Если полюса функции x(w) на комплексной плоскости w расположены так, что п2 < у2
(на рис. 176 такой полюс обозначен как Пу - 17), то и>х"(ш) > 0 при всех значениях ш,
а поэтому реакция системы
будет всегда отставать от возмущающего поля, так как <р > 0, а среднее за период Го =
изменение энтропии
будет всегда положительным.
Если же И2 > -у2 (на рис. 176 такой полюс обозначен Пд — iy), то имеется область частот
О < ш < V& ~ 72.
в которой мнимая часть динамической восприимчивости отрицательна, х"(ш) < 0. Мы
вернемся к обсуждению этой ситуации в задаче 30. На рис. 176 представлены зависимости
фазы tp и средней за период скорости изменения энтропии от частоты вынуждающего поля По
при П2<72 и п2 >72- >

268
Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
I(*)A
а)
'Ч/б
-J.
Рис.176. Зависимость от частоты внеш-
внешнего возмущения фазы реакции систе-
системы x(t) и среднего за период произ-
производства энтропии в случаях П2 < f2(V)
и «2 > 72(Д)
Рис. 177. Реакция параметров системы
на мгновенное включение постоянного
по времени возмущения
Задача 29. Определить, как меняется во времени энтропия S(t) системы, рассмотрен-
рассмотренной в задаче 28 (динамическая восприимчивость х(ш) имеет на плоскости п два
полюса в точках ±?1 - ij), если в момент t = 0 мгновенно включить постоянное
возмущение X(t) = O(t)Xo-
Решение. Поведение реакции системы x(t) на мгновенно включаемое постоянное поле можно
определить, не прибегая к полученному ранее (см. задачу 25, случай По = 0) решению более
обшей задачи. Имеем
00 (
x(t) = J X(t")X(t - t") dt" = Jx0
\ (e™" + e""*") dt".
о о
Интегралы берутся элементарно. Обозначая
2a-f2
Xo =
COS If =
sin ip =
получаем
Целесообразно несколько видоизменить эту формулу. Пусть состояние x(t) при t —» со
соответствует равновесному состоянию системы, в то время как состояние x(t) при t < 0 — это
заранее приготовленное (и поддерживаемое полем —Хо, которое выключается в момент t = 0)
отклонение от равновесного состояния. Тогда реакция системы будет характеризоваться
величиной (рис. 177 а)

§ 2. Общие требования к структуре обобщенной восприимчивости 269
Согласно исходным положениям рассматриваемой теории отклонение энтропии от энтропии
конечного (при t —> оо) состояния определяется величиной — \t(t)\?(t). Таким образом,
имеем (см. § 3)
1 1
- ?(t)A?(t) = -
2 2
Для скорости изменения энтропии получаем, дифференцируя полученное выражение
по времени (рис. 1776),
S(t) = ~H(t)i(t) = Ae'bt cos (Ш - if>) cos (Ш - 2<p),
где
2• >
Замечание к задачам 28 и 29
При выборе модели для x(w) мы руководствовались во всем приведенном цикле
задач, по существу, двуми соображениями:
а) полюса х(о>) на комплексной ш-плоскости должны располагаться в нижней
полуплоскости;
б) при у —* оо восприимчивость x(t) должна соответствовать мгновенной реакции
системы на внешнее воздействие.
В последних задачах в модели х(ш) мы ограничились только одной парой
полюсов ш = ±П - ij. Это чисто техническое упрощение, допустимое в линейной
теории реакции системы, в которой всегда можно сделать «суперпозицию» слагаемых
одинаковой структуры.
Использование разработанной в § 1-3 общей схемы применительно к указанной
выше модели привело в задаче 28 к тому, что при П2 > у2 имеется целый диапазон
частот внешнего поля 0 ^ По ^ \/fl2 -J2, для которых в принятой схеме производ-
производство энтропии за период оквзалось отрицательным вследствие Пох"(По) < 0.
В задаче 29 (релаксационный процесс в той же системе) в определенные
интервалы времени (например, тг/2 < ut - ip < тг и т. п.) производство энтропии
S(t) < 0.
С точки зрения общих физических соображений эти результаты неудовлетво-
неудовлетворительны. Причина их возникновения лежит не столько в выборе модели воспри-
восприимчивости х(ш)> сколько в ограниченности той, по существу, квазистатической
теории, которая была предложена в § 1-3: в выражении для AS нет токовых членов,
которые как раз в случве п2 > у2 оказываются существенными. Апериодический
вариант П2 < у2 (или даже просто П = 0) вполне может быть уложен в схему
квазистатической теории, в которой AS = -jA?2 и S = XJ.
Случай П ф 0 (т. е. тот случай, когда система обладает собственными резонанс-
резонансными частотами) интересен в физическом отношении, так как он часто реализуется
на практике, однако для его непротиворечивого рассмотрения необходимо либо
уточнение исходных моментов макроскопической теории, либо вообще отказ от по-
попытки рассмотреть данный случай в рамках полуфеноменологического подхода.
Задача 30. Определить, каков должен быть коэффициент ц в выражении для откло-
отклонения энтропии

270 Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
и какое условие на у (или на П) необходимо наложить в модели восприимчивости
X(t) = 2ajcos(ilt)-e~"'t, ?1 ф 0, чтобы скорость изменения энтропии при релаксаци-
релаксационном процессе, рассмотренном в задаче 29, была бы всегда положительной.
Решение. Согласно полученному нами решению
: е' cos (Ш - ip),
V7'+»'
где
откуда для тока имеем
J(() = {(() = — Хо ¦ 2ауе~^' cos (fit — 2<р).
Для скорости изменения энтропии, предложенной в условии задачи, имеем
.... ~2
Чтобы это выражение было неотрицательно при любых t (напомним, что вследствие требова-
требования термодинамической устойчивости Л > 0 и fi > 0), необходимо, чтобы тригонометрические
функции в качестве сомножителей входили бы в четных степенях. Полагая
^G)=1( т.е. „=
получаем
cos'(« - Ър).
Это выражение положительно при всех значениях частоты П внешнего поля. Таким образом,
для заданной структуры \(t) условие 5 > 0 приводит к следующей зависимости отклонения
энтропии Д5 от амплитуд отклонения ?(t) и соответствующих токов J = f (?):
Мы еще раз вернемся к обсуждению проблемы зависимости AS от величины токов в послед-
последней задаче следующего цикла. >
§ 3. Частотные характеристики и временное поведение
системы с одной резонансной частотой
а) Стационарные колебания системы под действием внешней силы
Задача 31. Полагая, что реакция системы на внешнее динамическое воздействие, меня-
меняющее некоторую ее характеристику х, складывается из трех частей: пропорциональной
самой величине х (член ах — типа упругой возвращающей силы), пропорциональной
ее производной х (член Ьх — типа силы жидкого трения) и пропорциональной второй
производной (член сх — типа силы инерции), определить спектральную плотность *„,
полагая, что процесс изменения величины x(t) под действием гармонического возму-
возмущения Fq cos (uot) стал стационарным.

§ 3. Частотные характеристики системы с одной резонансной частотой 271
Решение. Положим о = mfi2, Ь = 2ту, с = т. Тогда коэффициенты при х, х и х окажутся
в точности такими же, как в задаче механики о колебании маятника с трением. Эта задача
достаточно хорошо известна. Обозначим /о = Fo/m, тогда уравнение для отклонения x(t)
будет иметь стандартный вид
х + 27* + п2х = /о cos (fioO-
Решение его для стационарного процесса под действием силы /ов'' имеет вид
cos (fi =
Беря от него действительную часть, получаем требуемое решение
откуда для спектральной плотности имеем
Задача 32. Показать, что динамическая восприимчивость х(ш) рассмотренной в пре-
предыдущей задаче системы при любых частотах внешнего гармонического воздействия
удовлетворяет условию положительности скорости возникновения энтропии за период
стационарного процесса.
Решение. Учитывая, что внешнее воздействие f(t) = F(t)/m = /0 cos (ОД) имеет спектраль-
спектральную плотность
/- = 2^ / * е<"*/(*) = Л • ^ («(» + «о) + <5(^ - «о)),
которая связана со спектральной плотностью отклонения хи, полученного в предыдущей
задаче, соотношением (см. § 3)
х» = X(v) ¦ Л»
получаем, сокращая на /о/2,
6(ш + П„) + е" 6{ш - По)) = Х(-П„) б(ш + «о) + x(«o) «(» - По).
Отсюда после интегрирования по а>, например, от 0 до +оо имеем
Подставляя значение yj, полученное в предыдущей задаче, получаем для динамической
восприимчивости
Графики функций х'(ш) и x"(w) достаточно характерны (рис. 178). Ввиду нечетности
мнимой части, lm %{ш) = X \ш) = ~х"{~ш)< сразу имеем при любых значениях ш, что
«X» > О,
что и обеспечивает согласно § 3 неотрицательное производство энтропии за период стацио-
стационарного процесса.

272
Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
О)
О)
Рис. 178. Графики действительной и
нниной частей динамической воспри-
восприимчивости х(ш) = х'(ш) + *х"(ш)
(Q2<y2)
Рис. 179. Особенности функции х(ш)
на комплексной плоскости С
Остановимся еще на аналитической структуре полученного выражения для восприимчи-
восприимчивости \(ш). Обозначая
при
при
_(-J Ц.
— ¦у2 \Ш — Ш\ W—W-iJ
/72 - П2)
имеем из полученного выражения для х(ш)> что
Полюса функции х(ш) на комплексной плоскости ш расположены (как это и требова-
требовалось в соответствии с общими установками §3) в нижней полуплоскости (рис. 179). При
уменьшении (мысленном) параметра Л до величины, при которой П2 = -у1, полюса ш\
и ш2 сближаются друг с другом и оказываются на мнимой оси в точке -if. При дальнейшем
уменьшении П (Л2 < у2) полюса ш\ и шг раздвигаются в разные стороны вдоль мнимой оси. >
I, О)
Задача 33. Для предложенной в задаче 30 модели
системы определить характер зависимости восприим-
восприимчивости x(t) от времени в случаях, когда реакция сис-
системы на внешнее воздействие может проявлять свои
резонансные свойства (П2 > у2) и когда она является
чисто апериодической (П2 < у2).
Решение. Ввиду того (см. предыдущую задачу), что в верхней
полуплоскости комплексных значений частоты С восприим-
восприимчивость х{ш) особенностей не имеет (рис. 180) и что в со-
соответствии с леммой Жордана в интеграле, определяющем
временное представление восприимчивости
+00 +00
X{t) =^/*ш е-^Х(и>) = ? f А, е-'"" ' _ (-L- - -1
-00 -X
при t < 0 путь интегрирования по действительной и>-оси должен быть замкнут сверху, имеем
сразу x(t) = 0 при t < 0. В случае О 0 контур замыкается снизу, как это показано на рис. 180.
Полагая П2 > 72 и подсчитывая вычеты в полюсах ш\ и шг, получаем, учитывая, что контур
обходится по часовой стрелке (множитель -2ni),
X(t) = '
Рис. 180. Замыкание контура
интегрирования на комплекс-
комплексной плоскости w в случае t > О

§ 3. Частотные характеристики системы с одной резонансной частотой 273
откуда окончательно для всех t
х@ =
П2 - 72
График этой функции представлен на рис. 181.
kX(t),(Q2>Y2)
Рис. 181. Зависимость от времени обобщен- Рис. 182. Зависимость от времени обобщен-
обобщенной восприимчивости х@ в случае П2 > -у2 ной восприимчивости х@ в случае п2 < •у2
Заметим, что в силу требования (см. § 3) конечности величины
Хо
00
= [x(t)dt = — = Дг
J м ; шхшг П2
параметр П в рассматриваемой нами модели не может быть равным нулю, П Ф 0.
В случае •у2 > П2 имеем (рис. 182)
Интересно отметить, что, в отличие от моделей х@> рассмотренных в предыдущем цикле
задач, предельный переход 7 —' °° не приводит к появлению какой-либо 6(t)-образности
в функции xW> T-e- рассматриваемая нами модель реакции системы не допускает перехода
к варианту мгновенной реакции на внешнее воздействие. >
Задача 34. Полагая, что рассмотренный в предыдущих задачах стационарный процесс
является изотермическим, в = const, определить работу внешней периодической силы
F(t) = то/о cos (Clot) и увеличение энтропии всей системы за период этого процесса
Го = 2ж/П0.
Решение. Работа внешней силы, связанной с изменением величины х, за время dt равна
6Wmau = F(t) dx = F(t)x dt.
Сама сила F(t) связана с величиной x(t) и ее производными соотношением
F(t) = тх
Так как величины
тп х.
xxdt=- d(xJ, xx dt-- dx2
являются полными дифференциалами, то в интеграле по периоду То (т. е. по полному циклу
изменения величины x(t)) сохранится только работа силы трения
Го Го
= 1 / SWW = i- f m ¦ 27(iJ dt.
To J Jo J

274 Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
Подставляя сюда полученное в задаче 31 стационарное решение x(t)=Acos(uot — (p), полу-
получаем, что
о о
Учитывая, что среднее от квадрата синуса за период равно 1/2, и учитывая полученное
в задаче 32 выражение для мнимой части восприимчивости х"(ш) — 'т Х{ш)> можем записать
полученный результат в виде
1 2 2 J
2 TTi (П -
о
Эта величина непосредственно связана с изменением энтропии всей системы. Действительно,
внешняя работа за период, совпадающая с работой по преодолению сил трения, превращается
в тепло Дф, которое в силу условия изотермичности в = const целиком передается термостату
(состояние рассматриваемой системы полностью воспроизводится за цикл Т»), приводя
к увеличению его термодинамической энтропии па величину Д5гд = AQ/в = AWrp/6. В § 3,
рассматривая изотермические стационарные процессы, мы обозначали S = 05тд- Поэтому
-у s(t)dt=-
о о
что полностью соответствует полученному в § 3 результату. >
Задача 35. Приведем одну характерную задачу, непосредственно связывающую изло-
изложенный выше материал с известной задачей классической оптики (теории дисперсии),
в которой коэффициент преломления оптической среды п связывается с динамической
диэлектрической проницаемостью e(w) = 1 + Ажа{ш) соотношением п(ш) = у/е(ш).
Полагая, что атомы среды под действием проходящего через нее электромагнитного из-
излучения поляризуются (т. е. у каждого атома возникает дипольный момент e-x(t)) и что
силу «лучистого трения» можно по традиции аппроксимировать членом, пропорциональ-
пропорциональным первой производной (вмеао третьей) по времени от дипольного момента, получить
выражения для действительной и мнимой частей е(ш) = е'(ш) + ie"(w) и показать, что
мнимая чааь проницаемоаи (или поляризуемоаи а, так как е"(ш) = 4жа"{ш)) пред-
представляет собой отношение потерь на рассеяние света одним кубическим сантиметром
среды за период падающего излучения к плотности энергии этого излучения. Плотность
числа атомов среды N/V — \/v считается заданной, температура — постоянной.
Решение. Уравнение движения для отклонения x(t), приводящего к возникновению диполь-
дипольного момента p(t) = e • x(t) атома под действием внешнего периодического поля с электричес-
электрической компонентой еЕа cos (По<), в классической теории имеет тот же вид, что и рассмотренный
в задаче 31,
тх + 2т-)х + тП2ж = еЕо cos (По')-
Отличие — только в коэффициенте при cos (По*). в связи с чем заметим, что
и что спектральная плотность отклонения хш
х» = ХН • U = хИ — Еш.
тп
Так как поляризация Р = аЕ является дипольным моментом единицы объема среды, то
в частотном представлении для нее имеем
Р* = - еж,, = а(ш) • Еи,

§ 3. Частотные характеристики системы с однай резонансной частотой 275
где а(ш) — динамическая поляризуемость среды, откуда для последней получаем ответ
a(«) = —*H.
Выражение для восприимчивости х(ш) получено
в задаче 31. Для динамической диэлектрической про-
проницаемости отсюда имеем хорошо известные в оптике
формулы
Re е(ш) = е'(ш) = 1 + 4тг —
tnv (п2 - ш2)
Графики их приведены на рис. 183 (максимум
е"(ш) лежит в области ш ~ у/п2 -•у2). Частота пада-
падающего излучения как частота внешнего воздействия
у нас обозначалась По (т. е. ш = По). Учитывая ре-
е\т)
е"(ш)
Q
О)
Q
О)
зультат задачи 34 для диссипативных потерь за период рис. 183. Частотная зависимость дей-
То = 2тг/П0 стационарного процесса, имеем в нашем ствительной и мнимой частей дина-
случае для потерь в единице объема среды (\/v дипо- мической диэлектрической проницае-
лей в 1 см3) за период мости
от-1 fW
откуда и следует известная связь мнимой части динамической диэлектрической проницае-
проницаемости е"(ш) (или восприимчивости а"(ш) = е"(ш)/Dж)) с плотностью диссипативных потерь
энергии
Задача 36. Для рассматриваемой в этом разделе системы (см. задачу 31), полагая,
что установившийся под действием внешней силы колебательный процесс является
изотермическим, определить, как меняются во времени внутренняя энергия системы,
энтропия системы и энтропия термостата.
Решение. С целью упрощения окончательных формул будем отсчитывать время от того
момента, когда x(t) имеет максимальной значение. Тогда
f(t)= /0 cos
= Acos(u0t), x(t) = -
sin
и т.д., где
/о
cqs
cos<p
Работа внешней силы против трения за интервал @, <) равна
t i
ДИгтр(<) = / m • 27(i(<)J dt = т27^2П^ / sin 2(uot) dt.

276
Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
Эта энергия выделяется в виде тепла, которое в силу изотермичности процесса отводится
в термостат. Учитывая выражение для x"(w), полученное в задаче 32, и беря интеграл
по времени, получаем
•('-
cos (Qot+<p)
Для скорости образования энтропии отсюда
имеем величину, положительную при всех t:
5@ = jt AST(t) = l- F0Y'(n0) • По • 2 sin 2(П0«).
Остальная часть работы внешней силы над
системой в изотермическом режиме
= / (тх + тп2х)х dt = —-^- + —-— ^
J L 2 2 _|0 0
в соответствии с общими положениями тер-
термодинамики связана с изменением свободной
энергии системы
откуда, полагая, что параметр П не зависит то
температуры 9 (так же, как и т), и учиты-
учитывая, что в соответствии со сделанным выбором
момента t = 0
?@) = 0, *@) = *0,
сразу имеем для изменения внутренней энер-
энергии системы ?{?) согласно формуле Гиббса—
Тельмгольца
- в
или
89
г _ mx2(t)
2
тх2 тп2х2
i=0
1 +
1=0
i=0
•cosBfi0t
в то время как изменения энтропии системы
в рассматриваемом режиме вынужденных коле-
колебаний не происходит:
8AF
д5 = -° —^Г = °. s = const
69
0
Рис. 184. Эволюция характеристик системы
в термостате, находящейся под воздействием
гармонической силы, в режиме стационарных
колебаний: а) — внешняя сила F(t); б) —
реакция системы x(t); в) — скорость возра-
возрастания энтропии термостата S(t) (пунктирная
линия — средняя за период скорость роста эн-
энтропии); г) — энтропия термостата; д) — вну-
внутренняя энергия системы для случаев П2 > О2,,
п2 = По и п2 < По (графики 1, 2 и 3 соот-
соответственно)
(по поводу этого результата см. также задачу 37).
Графики всех полученных характеристик приведены на рис. 184.

§ 3. Частотные характеристики системы с одной резонансной частотой 277
Задача 37. Определить, как изменится энтропия комнаты,
если привязанный к ее полу воздушный шарик оторвался
и поднялся к потолку (рис. 185). Всю систему считать изо-
изолированной, барометрическим распределением плотности
воздуха пренебречь, объем комнаты считать значительно
большим объема шарика V, плотности воздуха и водорода
заданы (весом оболочки пренебречь), шарик после отрыва
поднимается на высоту ft.
Решение. Подъемная архимедова сила
в данном случае является внешней силой. Так как в конеч-
конечном состоянии 2 шарик также покоится, то работа этой силы,
равная изменению потенциальной энергии шарика при его подъ-
подъеме на высоту Л, целиком уходит на преодоление сил трения,
т. е. превращается в тепло, которое передается газу комнаты, играющему роль термостата
(Коми 3* V; в ? const). Поэтому для изменения энтропии газа комнаты имеем
Рис. 185. Схема условия
задачи 37
AST = 0(ASm)T = AQT =
У газа шарика термодинамические характеристики (температура, объем и т.д.) не меняются,
а так как AQ = О, то не изменяется и его энтропия, AS = 0 или S = const. За счет изменения
потенциальной энергии шарика произойдет в соответствии с первым началом термодинамики
только изменение его внутренней энергии,
$г = S\ - ApgVh.
В идейном отношении эти результаты, разумеется, полностью соответствуют результатам
более сложной предыдущей задачи. >
Задача 38. Считая, в отличие от условия задачи 36, что рассматриваемая в этом разделе
система сама является изолированной, определить, как изменяется ее температура
0(t) = во + A0(t), энтропия и внутренняя энергия, если, как и в задаче 36, считать,
что реакция системы на внешнее термодинамическое возмущение стала стационарной.
Теплоемкость С (при всех фиксированных термодинамических параметрах, кроме х)
считается заданной и в рассматриваемом диапазоне температуры не зависящей от ее
величины.
Решение. Как и в задаче 36, начало отсчета времени t выберем из соображений удобства так,
чтобы
F(t) = Fo cos (ut + <p), x(t) = A cos (По<)-
Обозначая
\ Fo х"(П„)«о = m-yA2V% = w,
имеем для энергии, теряемой на преодоление сил трения за время t и переходящей в те-
тепло AQ(t), которое, в отличие от задачи 36, уже термостату не передается,
Д1М0 = /V 2 sin 2(П0О -dt' = w(t- 5^
о
Так как в случае С = const это тепло AQ(t) - CA0{t),io для изменения температуры системы
имеем
2 sin (По

278
Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
С другой стороны, согласно второму началу термоди-
термодинамики
=bww=J
Дифференцируя по верхнему пределу, получаем для
скорости возрастания термодинамической энтропии
с tt>-2sin2(n0Q
С \
2П0
Интегрируя по времени, получаем отсюда для изме-
изменения самой энтропии
Для внутренней энергии получаем ответ, отличаю-
отличающийся от результата задачи 36 только членом, свя-
связанным с изменением температуры (величины Пит
считаются константами),
mfiV m(xJ
i=0
х=0
Рис. 186. Эволюция изолированной си-
системы, находящейся под воздействием
гармонической силы, в режиме стацио-
стационарных колебаний
' sinBnot)\
2П0 )
1 +
COSI
При сравнении результатов задачи 36 и 38 мы видим (см. рис. 184 и 186), что отказ
от условия в = const требует дополнительных сведений о самой системе, в частности
необходимо задание калорического уравнения состояния С = С{в). Мы выбрали здесь
простейшую возможность С = const для упрощения результатов. Если бы в задаче 36
термостат был конечным по отношению к той системе, на которую действует вынуждающая
сила F(t), то для решения поставленной задачи необходимо было бы задать также и его
калорические характеристики. >
6) Релаксационный процесс в системе
с одной резонансной частотой
Задача 39. Полагая, что в момент t = 0 постоянная внешняя сила F, поддерживавшая
при t < 0 постоянное значение отклонения от нуля величины x(t) = xq, выключается,
определить, как меняется при t > 0 состояние системы, рассматриваемой в данном
цикле задач (см. задачу 31 и далее), и ее термодинамические характеристики в слу-
случае п2 > 72 (колебательный режим). Теплоемкость системы считать не зависящей
от температуры системы.
Решение. Уравнение движения для x(t) при t > 0 в данном случае (см. задачу 31) имеет вид
2х = 0, ж@) = х0, i@) = 0.

§ 3. Частотные характеристики системы с одной резонансной частотой 279
Обозначая
7
имеем известное решение этой частной задачи теории колебаний
x(t) = х0 — е~7' cos (ut — <р), x(t) = -х0 — е~7' sin (ut).
и и
Работа силы трения (диссипация энергии) за время t равна
Г Г /п2х2
ДИУ0 = у m-21x-xdt = - J т«|^_
2х2 (жJ\ mfi2*2. тпп2х2 тпх2
12^S»
о о
Подставляя выражения для x(t) и x(t), имеем окончательно
- е-
Эта энергия целиком превращается в тепло, AJVTp(<) = Д<?(<); а так как система сама
работы не производит, то согласно перюму началу термодинамики эта же величина совпадает
с изменением внутренней энергии
С другой стороны, зная теплоемкость системы (у нас С = const), можно сразу определить
и изменение ее температуры, так как AQ = CA6(t),
Согласно второму началу термодинамики 6Q =в dS-гд, и поэтому
AQ(t) = Г @О + A9(t'))Sn(t') di = fm- 2фJ dt',
о о
откуда, дифференцируя по верхнему пределу, сразу получаем для скорости роста термодина-
термодинамической энтропии системы
Интегрируя по t, получаем (см. аналогичную операцию в задаче 38) для энтропии системы
Д5ТД = С In
Все полученные результаты графически представлены на рис. .187.
Представляет особый интерес частный случай, когда '
Дело не только в том, что в этом случае процесс становится изотермическим, 6(t) — во = const,
и теплоемкость системы С выпадает из рассмотрения, а главным образом в том, что этот
случай соответствует всему нашему подходу, исходящему из «малых» отклонений от состояния

280
Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
равновесия, т.е. основывающемуся на низших членах разложения по степеням x(t). В этом
случае имеем
или, возвращаясь к величинам x(t) и x(t),
AS
тп2х2 т(хJ
Эта формула соответствует разложению отклонения энтропии от равновесного значения
по степеням самого отклонения и его производной
Таким образом, мы в явном виде получили не только член ~ х2, но и токовый член ~ х2
с коэффициентами А = mil2 и ft = m, причем если в квазистатической теории токовый член
*(*),,
(Ot
Рис. 187. Релаксация характеристик системы
после снятия постоянного возмущения в слу-
случае Л2 > 72 (колебательная релаксация)
-*(*),
Рис. 188. Релаксация характеристик систе-
системы после снятия постоянного возмущения
в случае П2 < 72

§ 3. Частотные характеристики системы с одной резонансной частотой 281
отбрасывается, то тут он дает вклад
имеющий тот же порядок, что и первый член тП2ж2/2, так как П2/(П2 — 72) > I-
Отметим, что, несмотря на колебательный характер релаксационного процесса, энтропия
системы S(t) меняется только в сторону возрастания, 5 ^ 0 (т. е. энтропия не имеет «инер-
«инерции», чтобы самой заколебаться). Эта же ситуация наблюдалась и в стационарных задачах.
Интересно в связи с этим вспомнить замечание, сделанное к задаче 30. Если полученную
выше формулу для AS, пользуясь очевидным соотношением ш2 = П2 - f2, записать в виде
mil2
AS= —
то получим в точности то выражение, которое ввели (чисто эвристически) в задаче 30 для
модели восприимчивости х@ = 2a7e'cos(n<), исходя из требования 5 > 0 (в задаче 30
буква Л использована вместо принятой в данном разделе ш). >
Задача 40. Рассмотреть поставленные в условии предыдущей задачи вопросы в пред-
предположении п2 < 72 (ангармонический режим).
Решение. Обозначая и = у/^у2 - П2 (заметим сразу, что v < 7), имеем
-sh(i/OJ. *@ = -хое"" — sh И)-
Поэтому для диссипации энергии за время @, t) получаем
AWlv(t) = J2my(xJdt =
тпгх1 тпгх2 т(хJ
2 2 2~~
mfi2a"
2
Для температуры системы, как и в предыдущей задаче, имеем
Аналогично для скорости образования энтропии и для нее самой получаем
о
и наконец, в приближении
ASm(t) = j Sm(t') df = С In 11 + ^L д Wlv(t) J
как и в предыдущей задаче, имеем
00ASm = AS = AW^t).

282 Задачи и дополнительные вопросы к главе 4
В отличие от задачи 39 (ср. рис. 187 и рис. 188) здесь реакция системы и поведение
ее термодинамических характеристик носит явно ангармонический характер. Если сравнить
вклады в AS(x, А) от традиционного члена — j Аж2 и токового члена — 1-fix2, то в случае
сильной ангармоничности, когда ¦у2 3> п7 (напомним, что п Ф 0), токовый член оказывается
в п2/(у2 — п2) = (Sl/-yJ раз меньшим первого, и им можно пренебречь, перейдя таким
образом к квазистатическому варианту теории. >
в) Некоторые итоги рассмотрения системы типа гармонического
осциллятора с затуханием (задачи 31-40)
1) Несмотря на предположение о существовании у функции х(<*>) только одной
пары полюсов (или, что то же, одной резонансной частоты), исследуемая модельная
система оказалась вполне «физической», и отдельные моменты ее рассмотрения
допускали наглядную интерпретацию.
2) Полученная формула для динамической восприимчивости х(ш) удовле-
удовлетворяет всем общим требованиям, включая принцип причинности, однако она
не обобщается на случай мгновенной (по времени S(t) -образной) реакции системы
на воздействие F(t).
3) Рост энтропии в замкнутой системе связывается с тем теплом, которое вы-
выделяется в системе вследствие имеющегося в системе «трения». Микроскопический
механизм этого процесса в феноменологической теории не вскрывается. Это тепло
может передаваться термостату (тогда 6С„„ = const), может идти на нагревание самой
системы (Д0(<) ф 0).
4) Рассмотренная модель достаточно убедительно показывает, что исходное
выражение (см. §1) для квазистатического отклонения энтропии AS = -|А?2
в случае, когда в системе возможны колебательные процессы, явно недостаточно:
эта величина определяется не только заданием «координат» ?, но и значениями
соответствующих им токов J = ?,
As=-l-\e-l-nj\
причем для величин Аи/i были получены выражения, связывающие их с пара-
параметрами, характеризующими собственную частоту Л и свойство инерции (аналог
массы т) отклонения данного типа.
В рамках феноменологического подхода, однако, не ясно, как обобщить весь
формализм, предложенный в § 1, на случай, когда AS зависит не только от ?,
но также и от J. «Отгадывание» путей такого обобщения на полуфеноменологичес-
полуфеноменологическом уровне вряд ли целесообразно, так как имеется вполне естественный и техничес-
технически разработанный выход, основанный на использовании микроскопической теории,
в частности, метода двухвременных статистических функций Грина, непосредственно
связанных с соответствующими обобщенными восприимчивостями х(ш)-

Глава 5
Кинетические уравнения
в статистической механике
Микроскопическая теория неравновесных статистических систем является од-
одним из самых сложных разделов теоретической и математической физики. Даже если
оставить в стороне прикладные проблемы (как всегда многочисленные и перепол-
переполненные техническими трудностями), все равно в этой теории останется целый ряд
до сих пор не до конца выясненных вопросов теоретического плана и не полностью
доказанных положений.
История кинетической теории началась более ста лет назад, когда Людвиг
Больцман написал свое знаменитое кинетическое уравнение и получил с его по-
помощью некоторые общие следствия, касающиеся эволюции системы в целом. Это
уравнение явилось не только первым кинетическим уравнением, оно и по сей
день остается одним из самых сложных в математическом отношении уравнений
кинетической теории. Свой физический анализ молекулярно-кинетических явлений
и идеи теоретического подхода к их исследованию Больцман обобщил в монографии
«Лекции по теории газов» A896), которая до сих пор не потеряла своей научной
значимости. Эти идеи не были восприняты современниками, даже больше, встрети-
встретили непонимание (поэтому Больцман, сознавая свое «бессилие пред лицом мнения,
разделяемого большинством», и относился к упомянутой монографии, по существу,
как к своему научному завещанию).
Дело даже не в том, что во второй половине прошлого века развитие моле-
молекулярно-кинетических представлений в кругах «официальной физики» считалось
бесплодным и почти ненаучным занятием, просто, как показала история, выска-
высказанные Больцманом идеи кинетической теории значительно опередили свое время.
Напомним, что второй крупнейший шаг в становлении статистической физики как
науки — формулировка всей равновесной статистической механики Джосайей Гибб-
сом — произошел только в начале XX в., т. е. почти 30 лет после основополагающих
работ Больцмана по кинетической теории.
Третьим этапным моментом становления современной статистической механи-
механики, который пришелся уже на середину XX в., явились работы академика Н. Н. Бо-
Боголюбова (в частности, его непревзойденная по емкости работа «Проблемы дина-
динамической теории в статистической физике», 1946), который поднял статистическую
теорию на совсем иной уровень, соединив высокую математическую технику прово-
проводимых исследований с последовательной физической идеологией. Все последующее
развитие статистической механики неравновесных систем основывается на идеях
Боголюбова (в тех или иных модификациях) как в классической области, так и при
исследовании квантовых статистических систем.
В связи со сказанным выше становятся понятными те трудности, которые
встают перед нами в данной главе. И дело здесь даже не только в богатой истории.
С одной стороны, хочется сохранить обязательную для учебного курса логику идей,
с другой — не перегружать изложение математическими «сложностями», за которыми

284 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
могут полностью скрыться те даже не всегда очень сложные физические представле-
представления, которые используются в каком-либо конкретном исследовании. Поэтому мы
отберем только самые доступные (а потому и достаточно распространенные) методы
и задачи кинетической теории, ограничимся рассмотрением только низших при-
приближений и в некоторых (немногих) случаях качественными пояснениями заменим
математические расчеты.
Исходным уровнем принимаемого нами динамического подхода к кинетичес-
кинетической теории является механика с ее законами движения (этому будет посвящен § 1
настоящей главы). Затем, используя идеи Боголюбова об иерархии релаксационных
процессов в системах многих тел, мы перейдем к более грубому описанию системы
в кинетической (а затем и гидродинамической) шкале времени. Идея последователь-
последовательного огрубления шкалы времени нам уже знакома, она оправдала себя при рассмо-
рассмотрении брауновского движения в гл. 2. Однако следует сразу оговориться, что теперь
речь будет идти о совсем других временных и пространственных масштабах: они
будут характеризовать не особенности брауновского движения, а ту «среду», которая
в гл. 2 окружала крупную брауновскую частицу, воздействовала на нее случайным
образом, но сама при этом считалась уже равновесной. При этом для характеристики
молекулярной среды нам нужно было знать о ней до чрезвычайности мало: помимо
ее температуры только коэффициент вязкости т/, т. е. характеристику, возникающую
на последнем, гидродинамическом этапе ее эволюции как самостоятельной системы.
Мы же в этой главе будем рассматривать и более ранние этапы ее эволюции.
Наконец, рассматривая кинетику статистической системы, мы ограничимся
в основном исследованием классического случая. Во-первых, это технически менее
сложно, чем рассмотрение общего квантового случая; во-вторых, все системы типа
жидкости или газа из молекул являются практически невырожденными, и классиче-
классический подход является для них хорошим приближением (исключение в этом смысле
составляют такие физические системы, как жидкий Не-Н, — единственная суще-
существенно квантовая бозе-система из частиц, и электронный газ в металлах, некоторые
проблемы для которого нам все же удастся рассмотреть); и, в-третьих, классические
системы достаточно «наглядны», что тоже немаловажно (особенно если это касается
учебного курса).
§ 1. Микроскопическое состояние системы
и его эволюция
а) Общий случай
Обратимся сначала к общей схеме квантовой механики. Согласно принятым
представлениям микроскопическое состояние к считается заданным, если задана
соответствующая ему волновая функция Ф*(а:, t) Ради наглядности будем полагать,
что в случае системы N тел условный аргумент волновой функции Ф* представляет
собой совокупность координат Г|,...,г# (или импульсов р 1,. - -, Рлг) и спиновых
индексов <Г\ ffy (если частицы, составляющие систему, имеют спин, не равный
нулю). Введем систему iV-частичных базисных функций (VVifa)} и представим
волновую функцию fc-го состояния системы в виде разложения
Совокупность коэффициентов разложения ФА(?) = {Ф*(п, t)} определяет вектор
с компонентами Ф*(п, t) в бесконечном гильбертовом пространстве, характеризую-

§ 1. Микроскопическое состояние системы 285
ший данное fe-e состояние системы. Способ фиксации микроскопического состо-
состояния системы с помощью волновой функции (или, что то же, вектора состояния)
называют заданием состояния как «чистого» квантовомеханического состояния.
Среднее значение какой-либо динамической величины F, которое сопоста-
сопоставляется с наблюдаемым значением величины F в случае, когда система находится
в заданном состоянии к, выражается как квантовомеханическое среднее
(*|F|*> г (Ф1, Ря>к) = ? Ф1(х, t)F*k(x, t) = ? Фк(п, t)9t{n', t)(n'\F\n),
(*) ПП'
где матрица
(n'|F|n> s (fn;Fi>n) = ? i>*n,{x)F1>n{x)
определяет оператор F в п-представлении.
Эволюция системы (т. е. эволюция волновой функции, описывающей состоя-
состояние системы) определяется уравнением Шредингера (Е. Schrodinger, 1926), которое
по отношению к вектору состояния Ф*(<) можно записать вместе с его формальным
решением как
~1 Ft *k{t) = ЯФ*@; Фк{г) = ехр
где Я — оператор Гамильтона системы. Эта запись условна, но для наших целей она
весьма удобна. По отношению к компонентам вектора Ф*(?) это «одно» уравнение
превращается в бесконечную систему линейных уравнений
-? %:*k(n,t)
i 8t ^
Введем теперь для описания того же чистого состояния к системы оператор
определяя его с помощью матричного представления
Каждый элемент этой в общем случае бесконечной квадратной (если «квадрат»
вообще может быть «бесконечным») матрицы можно представить как результат
умножения п-го элемента столбца из компонент Ф*(?) = {Ф*(и'\ t)} на n'-й элемент
строки Ф?(<) = {Ф*к(п", <)}, а сам оператор можно представить в виде своеобразного
«прямого» произведения вектора Ф*@ на эрмитово ему сопряженный ФкA):
Тогда в соответствии с формальным решением уравнения Шредингера для
эволюция оператора pk(t) будет определяться соотношением
откуда сразу (достаточно продифференцировать pk(t) по времени) следует и уравне-
уравнение движения, замкнутое относительно оператора рк:
г a
Во избежание недоразумений сразу отметим, что оно является уравнением движения
для оператора pk(t) в шредингеровском представлении, хотя внешне и напоминает

286 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
(знак не тот) уравнение движения для оператора динамической величины, за-
записанного в представлении Гейзенберга (оператор pt(t) не является оператором
динамической величины, он определяет состояние системы, а в математическом
отношении является проекционным оператором специального типа).
Средние значения сразу определяются с помощью рк и соответствующих свер-
сверток:
(*|F|*> = ^2{n\pk\n'){n'\F\n) = ?>|/>»F|n) = Sp {PkF}
nri n
(операция Sp от конкретного выбора n-представления уже не зависит). Оператор рк
называется оператором матрица плотности для чистого квантовомеханического со-
состояния к. Он был введен фон Нейманом (J.Neumann, 1927). Формализмы, связан-
связанные с использованием волновой функции или оператора рк, в квантовой механике
чистых состояний полностью эквивалентны (мы ввели рк с помощью векторов Фк
и Ф^; читатели могут самостоятельно произвести обратный переход, «восстановив»
по рк вектор Фк с точностью до несущественного фазового множителя).
Однако Нейман развил свои представления дальше, показав, что микроскопи-
микроскопическое состояние квантовой системы можно определить как смешанное состояние.
Его определение реализуется следующим образом:
а) задается набор {Ф*} чистых состояний, в которых может находиться данная
система;
б) задается набор вероятностей {wk}, ? wk = 1, таких, что каждое wk определяет
к
вероятность обнаружить систему в к-м чистом состоянии.
Если микроскопическое состояние задано указанным выше способом, то сред-
среднее значение динамической величины F, которому соответствует ее наблюдаемая
величина, определяется как среднее от квантовомеханических средних:
Если определить по Нейману матрицу плотности р для смешанного состояния
(или статистический оператор р) как
к
то среднее F запишется в виде
{Y} = Sp {РР}.
Эволюция системы в том же шредингеровском представлении определяется (мы счи-
считаем величины wk не зависящими от t) эволюцией каждого из операторов рк:
h д ^ / А д
к N / к
ИЛИ
HpH, p(t) = ехр | - l- Я< jp(O) exp j *-

§1. Микроскопическое состояние системы 287
Это уравнение часто называют квантовым уравнением Лиувилля (хотя сам
Лиувилль, живший за сто лет до появления квантовой механики, к ней прямого
отношения не имел; см. п. б) настоящего параграфа) и записывают в виде
_{Я,Р}КВ = ^.
Приведем один частный, но принципиально важный пример структуры смешан-
смешанного состояния. Имея дело со статистическими системами, мы должны помнить,
что в число обязательных для них признаков входит существование равновесно-
равновесного состояния. В соответствии с нулевым началом термодинамики это состояние
является предельным для эволюционного процесса, в котором участвует стати-
статистическая система. Уравнение Лиувилля справедливо и для нетермодинамических
систем (еще раз напомним, что оно является уравнением механики). Если мы
положим в нем dp/dt = 0 (этому условию удовлетворяют не только равновесное,
но и любые стационарные состояния системы), то получим [Я, р] — 0. Этому «урав-
«уравнению» удовлетворяет любая функция от гамильтониана Н и всех коммутирующих
с ним операторов динамических величин (т. е. любая функция интегралов движения,
характерных для данной системы).
Но нам не надо «гадать», что это за функция: мы знаем наперед, что рав-
равновесному состоянию статистической системы соответствует гиббсовская структура
смешанного состояния. Полагая, что индекс п соответствует энергетическому пред-
представлению, т. е.
Hipn(x) = Е„-ф„(х), {п'\Н\п) = ад;,, %) = ЕпА(п - п'),
имеем
где статистическая сумма
Z =
Так как распределение Гиббса задает распределение по состояниям п, то естественно
в качестве набора {Фь(ж)} выбрать в равновесном случае совокупность собственных
функций оператора Гамильтона {ipn(x)}. Тогда коэффициенты разложения функ-
функций Ф*(ж) (т.е. каждой из ^n«(x)) по базисным {фп{х)} будут равны в силу их
ортонормированности
и мы получим для матричного элемента равновесного статистического оператора ро
в соответствии с общими формулами, что в энергетическом представлении он
является диагональным,
(n|po|n#> = Y1 «„.Ф„.(п)Ф;.(п') = ? «V Д(п - п")А(п' - п") =
п"
= ги„А(п - п') = («
п

288 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
откуда (уже в операторной форме, не зависящей от выбора базиса {фп(х)}) имеем
достаточно компактную формулу
е-8/е
представляющую собой операторную запись канонического распределения Гиббса.
б) Классическая система N тел
С помощью общих формул можно, конечно, с использованием квазиклассиче-
квазиклассического приближения перейти к классическому варианту теории. Но это, во-первых,
довольно сложная процедура, а во-вторых, это долго. Если не интересоваться ква-
квазиклассическими поправками, то проще сразу рассмотреть классическую систему
(как это, естественно, и делалось в доквантовую эпоху).
Чистое механическое состояние системы N тел
(N материальных точек) для наших целей удобно
представить как точку х в бЛУ-мерном пространстве
координат и импульсов
х = (9.Р) = ('1 > • • •.rN; Pi, • • •, Рлг) = (zi x6n),
которое называют фазовым пространством. На рис. 189
оно по «техническим причинам» условно изображено
о' *q как двумерное. Эволюция системы будет отображать-
отображаться двигающейся в фазовом пространстве точкой x(t).
Рис. 189. Фазовое пространство Для опраделения этой траектории (каждая точка ко-
iSSST^ ЭВ°ЛЮЦИИ Т°Р°Й' напомним еще раз, фиксирует координаты
и импульсы всех N частиц в момент времени t) не-
необходимо решить дифференциальные уравнения ньютоновской механики, которые
нам удобнее будет представлять в форме уравнений Гамильтона (W. Hamilton, 1834)
дН дН
4
где Н = H(q,p) — классическая функция Гамильтона системы. Это система 6N
уравнений (каждая координата и импульс в этой условной записи должна нести ин-
индекс частицы г = 1, 2,..., N и индекс компоненты а = (х, у, z)), которая решается
в редких простейших случаях. Для нас сейчас будет важно то, что решение x(t) этих
уравнений существует и что оно при заданном начальном условии x(t0) = Xq един-
единственно. В наглядной интерпретации это означает, что траектории x(t; x0) движения
точек в фазовом пространстве, соответствующие разным начальным условиям Хо,
не пересекаются ни при каких значениях t.
Смешанное состояние в классическом случае задается непрерывной функцией
распределения w(x, t) такой, что величина w(x, t) dx определяет вероятность обна-
обнаружить микроскопическое состояние системы х = (q,p) в бДО-мерном бесконечно
малом кубике (q, q + dq; p,p + dp) (условно обозначаемом как dx = dq dp) в момент
времени t.
Прежде чем исследовать вопрос о характере эволюции плотности вероятности
w(x,t), напомним вспомогательную для нас теорему классической механики —
теорему Лиувилля (J. Liouville, 1838), сформулировав, ее в наиболее рациональной
для наших целей форме: если Vo — объем некоторой фиксированной в момент to = O
области 9J0 фазового пространства (q, p), то с течением времени фазовые точки,

§ 1. Микроскопическое состояние системы
289
образующие ее поверхность (рис. 190), двигаются
в соответствии с эволюцией данной системы так,
что объем, ограниченный этой поверхностью, все
время сохраняет свою величину, т. е.
V = J dx = Vb = f dx0.
Эту известную теорему проще доказать, чем ра-
разыскивать в учебниках по механике. Отметим
сначала, что каждая точка х0 — (до, Ро) из обла-
области 93О к моменту времени t переходит в 93,
xQ -* x(t, x0), причем это соответствие однознач-
однозначно. Это позволяет произвести замену перемен-
переменной интегрирования х —> х0. Определив якобиан
этого преобразования как
V,
0 q
Рис. 190. Движение области 2J в фа-
фазовом пространстве, происходящее в
соответствии с эволюцией рассматри-
рассматриваемой механической системы
= det
dxf I
7@) =
?о> Ро)
(xj, где j = 1,... ,6N, — одна из компонент xQ = (qQ,pQ)), мы можем записать
объем V в виде интеграла по исходным переменным х0:
V =
dxQ.
Для доказательства теоремы достаточно показать, что J(t) = const (тогда
J(t) = J@) = 1 и автоматически V = Vo), или что тоже самое, показать, что
полная его производная по времени j(t) — 0.
Для этого, во-первых, заметим, что якобиан J обладает свойством
дз дхь
7Г- = Oih ' 3.
E
Действительно, так как детерминант является линейной функцией элементов какой-
либо из своих строк, то в случае i = к, дифференцируя его по элементам строки,
умножая на них же и суммируя по всей строке, мы полностью восстановим структуру
якобиана, а в случае i Ф к «восстановленным» окажется детерминант с двумя
одинаковыми строчками (а он всегда равен нулю).
Во-вторых, в силу уравнений движения в форме уравнений Гкмильтона 6JV-мер-
6JV-мерная дивергенция «скорости» х равна нулю.
Ш «... N
Наконец, выпишем 3, взяв производную от сложной функции и учитывая, что
зависимость от х0 входит через зависимость х = x(t, x0) :
у д
Jxf
о) ~2~,
dJ
Е
У* д
dx
f
дхк

290 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
i
Замечая, что сумма по j в тройной сумме дает 6ik ¦ J, получаем
что и требовалось доказать.
Непосредственным следствием теоремы о сохранении фазового объема является
уравнение движения для плотности вероятности w(q,p,t). Чтобы нагляднее сфор-
сформулировать его, договоримся сначала о способе изображения функции w(q, р, t)
в фазовом пространстве. Обычно мы привыкли рисовать графики, вводя кроме
осей, по которым откладывается аргумент функции (в нашем случае х = {q,р)),
еще и ось изображаемой величины w. Но мы уже использовали плоскость чер-
чертежа для изображения 6#-мерного пространства (q, p) как двумерного. Этот хо-
хотя и двумерный «простор» в, фазовом пространстве нам хотелось бы сохранить,
чтобы рисовать траектории движения точек, изображающих состояния системы,
и т. д. Так что для «изображения» функции w(q, p, t) придется использовать дру-
другой (но ничуть не худший) способ: плотность вероятности w(q, p, t) для данного
момента будет фиксироваться в пространстве (q, р) плотностью фиктивных точек
в этом пространстве. Тогда «газ» этих точек (или «w-жидкость») вследствие тео-
теоремы Лиувилля ведет себя в 6^-мерном фазовом пространстве как несжимаемая
жидкость.
Действительно, с течением времени V = Vq, траектории точек х = x(t,xo)
не пересекаются, граничные точки первоначальной области переходят в граничные,
внутренние — во внутренние, поэтому число «точек» (или «количество w -жидкости»)
в области 93 все время остается постоянным. Таким образом, имеем, переходя
во втором интеграле к интегрированию по х0,
I w(x0, t0) dx0 = I w(x, t)dx= j w(x(t, x0), t) • J dx0.
Учитывая, что J — l, имеем для любого t (включая случай t = t0 + dt) и любой
области 9J0 (включая бесконечно малую)
/ [w(x(t, x0), t) - w(xo,tQ)] dxQ =
откуда следует, Что полная-производная по времени от плотности вероятности w(x, t)
равна нулю:
dw dw г—v I dw dw
Выражая производные fj и р, с помощью уравнений Гамильтона, получим замкнутое
относительно функций w линейное дифференциальное уравнение первого порядка
dw J^ /dH dw dw dH\
— = / I — I = {H, w}ic,
dt ~^ \ dx{ dpi dti dpi)
которое и есть собственно уравнение Лиувилля (т. е. настоящее, а уравнение дви-
движения для статистического оператора р называют уравнением Лиувилля уже в силу
аналогии — в его правой части вместо классических скобок Пуассона стоят кванто-
квантовые скобки {Я, р}кв).

§ 1. Микроскопическое состояние системы
291
Сделаем по поводу полученных выше результатов несколько общих замечаний.
а) Полученное уравнение является следствием уравнений движения классиче-
классической механики, и эволюцию системы N тел оно описывает хотя и с помощью
функции распределения w(q,p,t), но тоже в понимании механического движения.
Если бы мы захотели решать его стандартным методом, то сначала необходи-
необходимо было бы решить 6N уравнений для характеристик: коэффициент при 8w/dpi
приравнять -р,, при dw/dr, соответственно -г* (при этом, как нетрудно заме-
заметить, мы вновь вернулись бы к системе уравнений Гамильтона), затем выразить
все 6N констант, возникающих при интегрировании этих уравнений, через q, р и t,
Ci — Ci(q,p,t) и составить произвольную функцию этих комбинаций. Это и будет
решением уравнения Лиувилля:
w(q, p, t) = w(ci(q, p,t),..., C6N(q, p, t)).
Для полного определения функции w необходимо располагать еше дополнительными
сведениями о ней (например, в задаче с начальными условиями эту функцию 6JV ар-
аргументов можно задать в некоторый момент времени ?0, см. задачу 1). Конечно, для
физически интересных случаев это фантастически сложная задача (в разделе задач
мы рассмотрим всю эту процедуру на примере одномерной системы из невзаимодей-
невзаимодействующих друг с другом частиц). Но нам такое обшее решение, включающее сведения
о траекториях (в обычном пространстве) каждой из N частиц системы (напомним,
что N ~ I023), и не требуется — это слишком большая информация о системе, кото-
которую необходимо еще как-то доработать (усреднить, «сгладить» и т. п.), чтобы довести
до уровня, позволяющего сопоставлять теоретические выводы с экспериментом.
б) Помимо технических трудностей выявляется еше и общая проблема, касаю-
касающаяся описания системы с помощью функции w(q,p,t). Мы показали, что вдоль
траектории движения точки в фазовом пространстве w(q, p, t) — О, и плотность
функции распределения является константой,
w(x(t, xQ), t) = w(xq, 0) = const,
и наша «программа» описывать эволюцию статистической системы со всеми ха-
характерными для нее релаксационными процессами с помощью функции w(q, p, t)
как бы повисает в воздухе. И здесь, как и в главах 2 и 3, существенным момен-
моментом вновь оказывается огрубление чисто механического рассмотрения системы. Эту
процедуру можно представить в разных вариантах. Мы остановимся здесь только
на одном примере, в котором это огрубление предстает наиболее наглядно.
0 Aq Я 0 Дд q
Рис. 191. Схема размешивания в фазовом пространстве области 5J0 с течением времени

292 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
Пусть в момент времени t0 = О функция w(q, р, 0) всюду была равна нулю,
кроме области 9}о> в которой она имела постоянное значение wq - \/V (на рис. 191
эта плотность обозначена равномерной штриховкой). Выберем некоторый элемент
фазового пространства Ах — ApAq, для определенности находящийся внутри 9}0
(можно и вне), и будем интересоваться, как меняется вероятность AW(t) обнаружить
систему в данном Ах с течением времени,
AW@ | Да;) = woApAq, AW(t | Ах) = j dqdp w(q,p, t).
<Дх)
С течением времени область 9}0 деформируется, происходит своеобразное размеши-
размешивание области в фазовом пространстве и, несмотря на то, что плотность м-жидкости
в ней все время остается постоянной и равной wq, количество этой «жидкости»
в ApAq меняется (на рис. 191 уменьшается). Этот процесс можно описать с помо-
помощью офубленной функции распределения w (часто не вполне удачно называемой
«крупнозернистой»):
AW(t | Ах) = w(q, p, 11 Ах) ¦ ApAq.
Эта функция будет описывать эволюцию смешанного состояния уже не по меха-
механическим законам (не в «механической шкале»), производная по времени от нее,
указывающая скорость изменения количества и>-жидкости в данном фиксированном
ApAq, в общем случае уже не равна нулю:
w =
ApAq
(ДрД?) (Д*)
= —- / dx{H, w}^,
информация о деталях движения внутри Да; вообще теряется и т.д., но в этом офу-
бленном описании Появляется возможность рассматривать релаксационные процес-
процессы. Например, если движение системы в фазовом пространстве финитно, скажем,
офаничено некоторой областью 2J с объемом V, изображенной на рис. 191 пункти-
пунктиром (это вполне реалистическое предположение, так как изменение всех г< ограни-
ограничено 3-мерным сосудом, в который помещена система, а область р,- офаничена зада-
заданием общей ее энергии ?), и процесс размешивания будет все время продолжаться,
то будет существовать и предельное значение Офубленной плотности вероятности
w(q,p,t | Дя)^-+-=-
(несмотря на то, что плотность первоначальной w-жидкости все время остается
постоянной и равной wo).
Естественно, что от высказанной выше «идеи» до конструктивного подхода еще
очень далеко. Возникает ряд вопросов: всегда ли происходит размешивание и>-жид-
и>-жидкости и распространяется ли оно на всю область 2J или только на ее часть; как
выбрать масштаб офубления Ах, имеются ли какие-либо динамические причи-
причины для этого, заложенные в самой системе, или офубление навязывается извне
с помощью «наблюдателя» с его макроскопическими приборами; как связано это
офубление с переходом к описанию по более грубой шкале времени, с динамическим
принципом ослабления корреляции и т. д. Эти вопросы в какой-то мере остаются
дискуссионными, они далеко выходят за рамки нашего курса, и мы офаничимся
только сделанными выше замечаниями. Небольшая модельная задача (достаточно
примитивная с физической точки зрения), посвященная проблеме размешивания,
приведена с иллюстративной целью в разделе задач (задача 4).

§2. Общая структура кинетического уравнения 293
в) Сделанные выше замечания в идейном отношении не чувствительны к то-
тому, по классическим или квантовым законам совершается механическое движение
системы. Мы проиллюстрировали их применительно к классическим системам, так
как это оказалось достаточно наглядным и не потребовало использования дополни-
дополнительных и не всегда простых математических методов квантовой теории.
§ 2. Общая структура кинетического уравнения
для одночастичной функции распределения
Рассмотрим для простоты однокомпонентную классическую систему частиц
с парным взаимодействием их друг с другом:
С помощью введенной в предьщущем параграфе N -частичной функции распре-
распределения ws(q,p,t) можно, произведя соответствующие свертки, построить частные
распределения по переменным только одной, только двух и т.д. частиц, которые
в системе одинаковых частиц, когда конкретный индекс частицы у оставшегося
аргумента становится уже несущественным, приобретают смысл функций распре-
распределения (корреляционных функций), аналогичных тем равновесным одно-, двух-
и т.д. частичным функциям распределения, которыми мы пользовались в главе 1,
§ 1. В этом параграфе рассмотрим только первую из этих функций, определив ее
так, чтобы она была нормирована не на единицу, а на полное число частиц:
F(t, r\,P\) = N wN dr2... drN dp2... dpN, / F(t, r, p) dr dp = ЛГ.
Тогда величина F(t, r, p) dr dp имеет смысл среднего числа частиц, находящихся
в 6-мерном объемчике (г, г + dr; p, p + dp) в момент времени t (если бы функция
F{t, и, Pi) была нормирована на единицу, то такая же комбинация определяла бы
вероятность обнаружить только одну г-ю частицу в drdp в момент t).
С функцией F(t, г, р) связан целый ряд физических характеристик системы,
прежде всего локальная плотность числа частиц
а также средние типа
n(t,r) = J F(t,r,p)dp,
<p(t, г) = Ф(г,р) = J Ф(г, p)F(t, г, р) dp/J F(t, г, р) dp,
из которых мы отметим локальные величины средней скорости упорядоченного
движения частиц u(t, г), потока энергии q(t, г) и локальную температуру 6(t, г)
определяемые с помощью соотношений
u(t,r)n(t,r)= [ ?-F(t,r,p)dp,
J m
q(*,r)-n(t,r) = J ~^F(t>r,p)dp,
\ 6(t, r) ¦ n(t, г) = у Д ? - u(t, r)) F(t, r, p) dp.

294 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
Интерес к этим величинам не случаен; они входят в уравнения гидродинамики,
которые уже на макроскопическом уровне управляют динамикой системы типа газа.
Таким образом, уже одночастичная функция F(t, г, р) содержит достаточно
важную информацию о системе (позволяет даже перейти к макроскопическому ее
описанию), но, конечно, не всю, которую бы хотелось. Например, для определения
величин типа внутренней энергии (а также полной величины потока q) или ло-
локального значения удельной свободной энергии необходимо знать среднее от части
гамильтониана Н\, а для этого надо иметь в распоряжении уже двухчастичную
неравновесную функцию F2(t, гь pi, г2, Р2)-
Для выяснения структуры уравнения для функции F(t, г, р) воспользуемся
уравнением Лиувилля
dwN А (дН dwN дН dwN\
§ () = {Яо'
и учтем, что
аЯо_Р? дН_дЩ дНх _ 8Щп) уу 0ФAг,- —
Подействуем на каждое слагаемое в уравнении Лиувилля операцией
N I ... dx2... dr^ dp2... dppi
и рассмотрим в его правой части слагаемые г = 2, 3,..., N. Нетрудно заметить, что
все эти слагаемые обращаются в нуль. Действительно, один из 6 ¦ (N - 1) интегралов
второй суммы правой части
7Р\х)
- /
J m
{x) Р\
dr\ ' = '— WN
m
тт dr\ =
+00
= 0
( =—00
-00
обращается в нуль в силу ограниченности нашей системы в координатном простран-
пространстве, а в первой сумме правой части имеется интеграл
+00
dwN
Г
J
= 0,
-00 *
который тоже равен нулю, так как вероятность обнаружить частицу с бесконеч-
бесконечным значением импульса равна нулю. Таким образом, после проведения свертки
по переменным с индексами г = 2,3,... ,N останется только слагаемое с г = 1.
Опустим на время часть гамильтониана Н\, учитывающую взаимодействие
частиц друг с другом (мы восстановим ее полностью в следующих параграфах), тогда
величина
вЩ _ 0{/(г,)
выносится за знак интеграла, и мы получаем
д f
— N I wNdr2... drN dp2... dpN =
г,) д f p, д f
x— / wNdr2... dpN — / wNdr2... dpN,
l #Pi J m дт\ J

§ 3. Кинетическое уравнение с релаксационным членом 295
откуда следует кинетическое уравнение для функции распределения F(t, г,р) газа
частиц без всякого взаимодействия их друг с другом:
dF(t,r,p) _ dF(t,r,p) p dF _dU_ dF _
It ~ di +т'~дг~~дг"др~ '
Нетрудно заметить, что полученное уравнение представляет собой уравнение Лиу-
вилля для системы, состоящей из одной частицы N = 1.
Однако в буквальном смысле идеальных систем в природе не существует. В таких
системах отсутствовал бы механизм, заставляющий их релаксировать к равновесному
состоянию (а это, как мы отмечали во введении к данной книге, — обязательный
признак статистической системы). Таким образом, опущенная в кинетическом урав-
уравнении для функции F часть является принципиально важной. Если ее восстановить
(пока чисто условно), то структура этого уравнения приобретает вид
dF(t, г, р)
at
p dF dU dF _ (9F\
m ~дг ~ ~дг ' ~др ~ \~д1)„'
где (dF/dt)cl — так называемый интеграл столкновений, в общем виде довольно
сложная конструкция (мы получим ее несколько позже), сама собой через одноча-
стичную функцию F(t, г, р) не выражающаяся.
Сделаем несколько общих замечаний.
а) Чтобы написанное уравнение было бы действительно кинетическим урав-
уравнением, замкнутым по отношению к функции F(t, г, р), необходимо выразить
(8F/dt)CT через функцию F любым по сложности способом. Структура интеграла
столкновений определяется главным образом характером взаимодействия частиц
друг с другом и для разных типов взаимодействия, естественно, имеет разный вид.
Таким образом, нет универсального кинетического уравнения для F, для разных
физических систем оно имеет разную математическую структуру.
б) С физической точки зрения величина (8F/dt)CT ¦ drdp представляет собой
скорость изменения числа частиц в 6-мерном объемчике dr dp за счет взаимодействия
частиц друг с другом (т. е. это как бы разность «потоков» — входящего в dr dp
за счет взаимодействия частиц и выходящего из dpdr). Частота и эффективность
этих взаимодействий определяется не только видом Ф(|г< - г,|), но и значениями
макроскопических параметров n(t,r), u(t,г), 6(t,г) и т.д. в той области, где это
взаимодействие происходит (т. е. их локальными значениями).
в) Так как мы интересуемся поведением термодинамических систем, то ин-
интеграл столкновений должен иметь структуру, обеспечивающую релаксационный
характер эволюции системы, направленной в сторону достижения состояния термо-
термодинамического равновесия. Это требование необходимо учитывать при выборе той
или иной упрощенной модели для (8F/dt)C7.
§ 3. Кинетическое уравнение с релаксационным членом
вместо интеграла столкновений
Это уравнение является самым простым и поэтому наиболее часто используе-
используемым в приложениях кинетическим уравнением. Приведем основные соображения,
оправдывающие это уравнение с качественной точки зрения.
1. Пусть Fo — равновесная одночастичная функция распределения. Так как рас-
рассматриваемая система предполагается статистической, то в соответствии с общими

296 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
требованиями
На исходе релаксационного процесса, т. е. при t > т, система представляется
слабонеравновесной, т.е.
Fiji) _ F(t) - Fo ^,
2. Не интересуясь, каким образом система дошла до этого слабонеравновесного
состояния, аппроксимируем оставшийся релаксационный процесс наипростейшим
образом: будем характеризовать его только одним параметром — временем релакса-
релаксации г
«подобрав» этот параметр так, чтобы в области t > т эта экспоненциальная зависи-
зависимость по возможности совпадала бы с действительным поведением F\(t) (рис. 192).
Тогда сразу
*1@)
г г
*F(t)-F и мы получаем, развертывая полную произ-
производную F(t) в соответствии с § 2 в левую часть
кинетического уравнения, замкнутое уравнение
dF p dF dU dF _ F- Fo
~dt+ m "дг~ ~дт ~д~9 ~ т '
формально удовлетворяющее всем требовани-
требованиям, сформулированным в конце предыдущего
параграфа.
_ ». Отметим сразу, что обоснование этого
г t уравнения (т. е., по существу, обоснование
Рис. 192. Характер релаксации функции экспоненциального характера последователь-
F(t) к равновесному распределению Fo ных этапов релаксации, для описания которой
в случае достаточно больших t, естественно,
сохраняется только один, максимальный параметр г, характеризующий самый дли-
длительный из этих релаксационных процессов) с помощью «физических» соображений
провести корректным образом не удается. Ссылки на естественность экспоненци-
экспоненциальной релаксации и ее распространенность в целом ряде физических примеров
в данном случае можно отнести к разряду эмоций. Мы вернемся к обсуждению
этого вопроса в связи с рассмотрением некоторых свойств интеграла столкновений,
предложенного Больцманом.
Сделаем несколько замечаний по поводу написанного выше кинетического
уравнения.
а) Уравнение с релаксационным членом по смыслу своего введения приспосо-
приспособлено к описанию состояний, близких к равновесному. Но даже и для этого случая
без микроскопического обоснования оно остается полуфеноменологическим, и это
его слабое место. Однако математическая простота (оно даже не интегральное) сде-
сделало его чуть ли не самым распространенным кинетическим уравнением, с помощью
которого без особого труда удается производить оценки целого ряда кинетических
характеристик системы.
б) В приложениях написанное уравнение чаше всего используют для расчета
коэффициентов переноса в стационарных процессах, когда функция F не зависит

§ 3. Кинетическое уравнение с релаксационным членом 297
явно от времени (можно говорить также и о квазистационарных явлениях, когда
функция F зависит от t не непосредственно, а через зависимость от времени
плотности п, температуры в и гидродинамической скорости и). Это типичный
слабонеравновесный случай, когда детали временной эволюции функции F уже
отошли на задний план. Имеем
р dF(r,p) dU dF(r,p) = F(r,p)-F0(r,p)
т дг дг dp т
или
Полагая Ft < FQ и решая последнее уравнение методом итераций (т. е. подставляя
нулевое приближение F = Fq в выражение для Ft), получаем ответ
в) Вид функции Fo(r, p), входящей в правую часть кинетического уравнения
и определяющей его решение в стационарном случае, нам фактически известен.
В классическом варианте теории равновесным распределением по импульсам явля-
является распределение Максвелла (в системе отсчета, двигающейся вместе со средой),
поэтому
/2 Г (р-тгш(г)J
С помощью такой функции производятся оценки коэффициентов диффузии, тепло-
теплопроводности, вязкости и т.д. для систем типа газов и жидкостей.
Уравнение с релаксационным членом используется также и по отношению
к электронному газу в металлах для исследования таких явлений, как электро-
электропроводность, теплопроводность, магнетосопротивление и т. д., в случаях, когда
релаксационные процессы в нем связаны не со взаимодействием электронов друг
с другом (в этих процессах существенен учет принципа Паули), а со взаимодействием
электронов с частицами иного сорта (ионами решетки, примесями и т.д.). Функ-
Функция Fq(t, р) тогда конструируется на основе равновесного ферми-распределения:
}
-9+1
где коэффициент 2 учитывает два независимых спиновых состояния электрона,
величина п(г) для простоты опущена, а условие
F0(r, p) dp = п(г)
должно быть использовано для определения локального значения химического
потенциала
г) Полукачественные рассуждения, которые привели нас к уравнению с ре-
релаксационным членом, можно использовать и по отношению к уравнению для

298 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
статистического оператора р. Пусть гамильтониан системы имеет вид Н = Но + Н\,
где «основная» часть #0 распадается на сумму независимых операторов
Тогда в нулевом приближении движение каждой из подсистем к (или каждой
независимой «моды») будет определяться своим уравнением фон Неймана
вРк
Ввиду того, что Я[ Ф О, в правой части этого уравнения должна стоять неко-
некоторая операторная конструкция \dpk/dt)CT, которую мы и аппроксимируем в духе
релаксационного члена. Тогда
dt *¦ *
где Г = 1/т — уже не число, а некоторый оператор. В матричном представлении
это уравнение приобретает вид системы уравнений, в которой каждый элемент
матрицы плотности (п\рк\п') будет характеризоваться своим временем релаксации
(часть из них может совпадать).
д) Величина т (или набор соответствующих величин в квантовом варианте)
определяется в конечном счете как подгоночный параметр при сопоставлении
полученных оценок для коэффициентов переноса друг с другом и с эксперименталь-
экспериментальными данными. При исследовании уравнения Больцмана мы покажем, что в ряде
простейших случаев этот параметр имеет порядок среднего времени свободного
пробега тсв. пр.
Конкретные приложения уравнения с релаксационным членом отнесены к раз-
разделу задач и дополнительных вопросов.
§ 4. Цепочка уравнений Боголюбова
для кинетических функций распределения
Вернемся к общим идеям § 2 построения кинетических уравнений, исходя
из классического уравнения Лиувилля для N -частичной функции распределения
wN(r\,... ,rN; pi,..., рдг, t). Введем не одну функцию распределения F(t, г, р), а,
следуя Боголюбову, последовательность корреляционных функций
(обратим внимание, что функция F(t, г, р), введенная в § 2, отличается от F{
множителем, F{(t, г, р) = vF(t, г, р), и нормировкой). Если мы произведем, как
и в § 2, почленное интефирование уравнение Лиувилля по переменным всех частиц.

§ 4. Цепочка уравнений Боголюбова для кинетических функций распределения 299
кроме первой, и, в отличие от § 2, сохраним второе слагаемое в производной
гамильтониана по Г|:
дН _ SU(n) Л 0Ф(|г, - rj|)
то получим (слагаемые в правой части уравнения Лиувилля с i = 2, 3,..., ЛГ по-
прежнему обратятся в нуль)
9i
го
dti
dqdp У
В правой части этого точного уравнения мы так расположили последовательность
операций, чтобы в конструкции, заключенной в большие скобки, сразу бы угады-
угадывалась двухчастичная функция Fi{t, r\, Tj, P\,Pj). Сумма по j (все N - 1 слагаемых
отличаются друг от друга только обозначением переменных интегрирования) бе-
берется, возникающий при этом множитель (N - \)/V в предельном статистическом
случае равен п = l/v, и мы получаем уравнение
8Fi(t, г, р) р 9F, 8U 8F{ I /"9Ф(|г-г'|) 8F2(t, г, г'.р, р')
dt
m dr dr dp v J 8r dp P'
являющееся первым уравнением цепочки Боголюбова A946) для кинетических
функций распределения. Хотя для наших дальнейших исследований оно и будет
основным, посмотрим, как строятся уравнения для корреляционных функций более
высокого ранга (общий вид цепочки Боголюбова см. в задаче 28).
Для получения уравнения для функции F2 на уравнение Лиувилля необходимо
подействовать интегральной операцией
V2 I ... dr}... drN dp}... dpN,
«в живых» в правой части останутся члены с г — 1 и г = 2, сумма по j ^ 3 снова
возьмется, причем в статистически предельном случае (N - 2)/V = l/v, и мы полу-
получим, не раскрывая дифференциальных операций, предусмотренных классическими
скобками Пуассона,
р2 v\ Л
•2|;> -Г2 f -r
8t [2m 2m j m
- г3|) + Ф(|г2 - г3|)),^з| dr3dp3.
Таким образом, мы получили как следствие уравнения Лиувилля (т. е. уравнений
механики) цепочку зацепляющихся через интегральный член линейных-дифферен-
линейных-дифференциальных в левых своих частях уравнений для послепредельных в статистическом
смысле функций распределения F\, F2, и т.д.,
?,(*•,) = Ф,(*2), L2(F2) = Ф2(^3) и т.д.
Однако не все решения этих уравнений имеют физический смысл. Первой (точнее,
исходной) задачей кинетической теории является построение замкнутого уравнения

300 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
(в отличие от написанных выше — уже приближенного), например, для одночастич-
ной функции Ft,
в котором интеграл столкновений Ф(^|) должен обеспечивать соответствующий ста-
статистической системе релаксационный характер эволюции (см. § 2). При построении
этого уравнения принципиально важную роль играет принцип ослабления корреляций
Боголюбова, накладывающий нелинейные связи на кинетические функции распре-
распределения Ft, F2 и т.д. в случаях, когда расстояние между частицами (или группами
частиц) превышает некоторый корреляционный радиус. Для двухчастичной функции
распределения этот принцип выглядит как
F2(t, г,, r2( Pi, р2)||Г1_Г2Ноо -» Fi(t, г,, p,)F,(«, г2, р2)
и имеет (как и для Fs при в > 2) характер дополнительного условия (типа гранично-
граничного) к уравнениям цепочки. Следует заметить, что эти нелинейные «граничные» усло-
условия, используемые при построении замкнутых кинетических уравнений (т.е. в про-
процедуре динамического расцепления цепочки уравнений L\(F\) = Ф|(^2)
и т.д.), провоцируют и нелинейную относительно Ft структуру функционала
а следовательно, и получаемого в результате этого расцепления кинетического урав-
уравнения для функции распределения Ff.
Использование этого принципа в соединении с идеей Боголюбова об иерархии
релаксационных процессов в статистических системах, приводящих к относительно
быстрой релаксации функции F2 к мультипликативной структуре в системах, еще
далеких от равновесия, позволило Боголюбову не только получить кинетическое
уравнение Больцмана, но и сформулировать процедуру его дальнейшего уточнения.
В системах с кулоновским взаимодействием эти идеи позволили обосновать
приближение самосогласованного поля и указать пути учета на фоне коллективных
явлений также и эффектов, связанных со столкновениями частиц плазмы.
С формальной точки зрения указанные выше две физические программы связа-
связаны с исследованием «крайних случаев»: уравнение Больцмана соответствует прибли-
приближению низкой плотности (или короткодействия), R^/v < 1 (До — радиус корреля-
корреляции, имеющий порядок радиуса взаимодействия в случае низкой плотности); урав-
уравнение Власова (приближение самосогласованного поля) — случаю дальнодействия,
Д^/ю > 1 (До порядка дебаевского радиуса экранирования). Как уже отмечалось
во введении, вопросы, возникающие при выводе и исследовании кинетических урав-
уравнений, очень сложны. Мы остановимся только на самых простых проблемах и начнем
рассмотрение, нарушая традицию, с уравнения для систем с дальнодействием, оста-
оставив уравнение Больцмана, как самое сложное во всем этом разделе, на конец главы.
§ 5. Кинетическое уравнение Власова
а) Приближение самосогласованного поля
Рассмотрим систему частиц с кулоновским взаимодействием их друг с другом:
Система в целом считается электрически нейтральной. Характерная особенность это-
этого взаимодействия — бесконечный радиус его действия До = со, приводит к тому,
что каждая частица постоянно взаимодействует сразу со всеми частицами системы.

§5. Кинетическое уравнение Власова 301
т. е. время t, фигурирующее как динамическая величина в теории, в отличие от слу-
случая нейтральных частиц, значительно меньше времени взаимодействия частиц друг
с другом (времени «столкновения»), t < tn. И наоборот, все частицы действуют
на данную, создавая в точке ее нахождения общее поле, индивидуальные вклады
в которое от частицы 1 и какой-то еще частицы 2 пренебрежимо малы по срав-
сравнению с вкладом от всех (N - 2) частиц. Этот коллективный эффект связывают
с понятием самосогласованного поля (достаточно распространенного в различных
разделах физики), описываемым формулами (или величинами), не чувствительными
к нумерации частиц, причем индивидуальная корреляция частицы 1 с какой-то 2
на фоне ее взаимодействия с этим коллективным полем пренебрежимо мала.
С точки зрения статистических функций распределения, если представить
парную корреляционную функцию Fi в виде
F2(t, г, г', р, р') = Ft(t, г, р) • Fi(t, г', р') + G2(t, г, г', р, р'),
то концепция главенствующего значения самосогласованного поля будет означать,
что вклады в физические характеристики системы, связанные с учетом индивиду-
индивидуальных корреляций <?2, пренебрежимо малы по сравнению с эффектами, обусло-
обусловленными главным членом F2 = F\ • Ft.
Конкретную конструкцию характерного для описанной ситуации малого па-
параметра несложно усмотреть из общих соображений. Электростатическое взаи-
взаимодействие экранируемо в принципе, причем величина радиуса экранировки Гг>
оценивается в рамках равновесной теории (см. т. 2, гл. 3, § 1-д) — мы сделаем неза-
независимый расчет в п. в) настоящего параграфа) и определяется известной формулой
Дебая (P. Debye, 1923)
Так как для реализации самосогласованного поля внутри сферы радиуса гр необходи-
необходимо участие большого числа частиц, то среднее расстояние между ними а = (V/NI/3
должно удовлетворять неравенству
Возводя его в третью степень и учитывая, что о3 = v, получаем
Эта величина как параметр разложения фигурирует в цепочке уравнений Боголюбова,
конкретизированной на случай систем с дальнодействием (см. задачу 30). Возводя же
его во вторую степень, получим
2 а
т. е. средняя кинетическая энергия частиц должна значительно превышать среднюю
энергию кулоновского их взаимодействия, и в этом смысле система оказывается
слабонеидеальной.
Далее, чтобы представление о коллективном самосогласованном поле не разру-
разрушалось сильными индивидуальными корреляциями, возникающими на расстояниях,
соизмеримых с размерами частиц d = 2гц (т.е. при настоящем «столкновении» ио-
ионов), необходимо предположить, что
2гй < а,
т. е. с этой точки зрения плазма должна быть достаточно разреженной.

302 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
Наконец, временной масштаб, характеризующий процесс образования самого
самосогласованного поля. Для того чтобы частица участвовала в его создании, она
должна находиться в сфере радиуса rD достаточное время по сравнению со средним
временем ее свободного пролета г,
rD I 9v кт 1 2
т = ==== л/ г • — ~ —, где ш0 =
|| V 4я-е2 8(9 ш
47ге^ 80 o>o та
— квадрат плазменной частоты или частоты Ленгмюра (I. Langmuir, L.Tonks, 1929),
формулу для которой мы получим в п. б) настоящего параграфа. Таким образом,
соответствующие физическому смыслу приближения самосогласованного поля вре-
временные интервалы должны быть порядка или больше периода ленгмюровских
осцилляции, t > \/ш0.
Итак, ограничимся основным членом в F^ (т. е. нулевым приближением по па-
параметру v/r]j) и подставим его в первое уравнение цепочки Боголюбова (оно сразу
становится замкнутым относительно функции F]). Имеем в правой его части
i(*,r,p) _ dU(t,r) &F,(*,r,p)
~др ~ дт др '
где величина
U(t, r) = lf Ф(|г - r'|)F, (t, г', р') dr1 dp'
имеет совершенно четкий физический смысл: так как
представляет собой плотность числа частиц в окрестности точки г1, то
является потенциалом того самосогласованного поля, которое создается всеми час-
частицами (распределенными в пространстве в соответствии с плотностью n(t, г'))
в точке г в момент времени t. Перенеся этот член в левую часть, получим
p dFt d{U + U(t,r)) dFt ^Q
Q
dt m дт дг dp
Это и есть кинетическое уравнение в приближении самосогласованного поля, по-
полученное и исследованное А.А.Власовым в 1938 г. Сделаем несколько замечаний
по поводу этого важного во всей кинетической теории результата.
1. Уравнение условно. Оно, по существу, представляет лишь идею. На са-
самом деле однокомпонентных электрически нейтральных систем заряженных частиц
не бывает, должно быть как минимум два сорта ионов, а, значит, не одно, а система
уравнений Власова. С этой многокомпонентностью связаны характерные эффекты,
один из которых мы обсудим в задаче 35.
2. Уравнение написано относительно функции распределения F\. Отклонения
ее значений в локальных областях системы от равномерного распределения приводит
к возникновению движущихся объемных зарядов, возникают поля Е и Н, в связи
с чем в кинетическую теорию органически включаются уравнения Максвелла (част-
(частный пример такого рода см. в задаче 32) и резко расширяется круг рассматриваемых
физических задач (магнитогидродинамические эффекты в плазме).

§5. Кинетическое уравнение Власова 303
3. Уравнение Власова в чистом виде не; учитывает эффекты столкновения ионов
друг с другом, поэтому называется иногда уравнением для «бесстолкновительной»
плазмы. Оно обратимо во времени (замена t —¦ — t и р —¦ — р не меняет его),
но подобная ситуация в теоретической физике не является исключением: уравнения
Максвелла тоже обратимы, но не исключают запаздывающих, опережающих и ком-
комбинированных решений. Так и здесь существуют различного типа решения, причем
для выбора физически осмысленного решения удобно будет хотя бы чисто симво-
символически включить бесконечно слабый релаксационный механизм, нарушающий эту
симметрию по времени. Мы сделаем это на примере частной задачи в п. б).
4. Уравнение Власова — это уравнение нулевого приближения. Система урав-
уравнений для F\ и корреляционной части G2, обеспечивающая первый порядок по па-
параметру v/r3D, приведена в задаче 30. Это очень сложные уравнения. И дело
не только в математических трудностях. Всякое улучшение уравнения Власова, свя-
связанное с учетом столкновений ионов, — это в физическом смысле объединение
двух противоположных тенденций, дальнодействия (кулоновское взаимодействие)'
и близкодействия (столкновение твердых сфер), характеризующихся противополож-
противоположными по отношению друг к другу «малыми» параметрами. Даже чистый кулоновскии
потенциал при этих улучшениях не всегда является удобной моделью, и, чтобы при-
придать тем или иным выражениям разумное значение, его приходится модифицировать,
обрезать (см. задачу 44) и т.д.
5. Уравнение Власова и без поправок достаточно сложное нелинейное ин-
интегральное уравнение. Решить его в общем случае не удается. В п. б) и в) мы
рассмотрим две частные задачи, укладывающиеся в схему линеаризованного уравне-
уравнения и выявляющие два характерных для плазмы коллективных эффекта: плазменные
колебания и свойство экранировки.
б) Линеаризованное уравнение Власова
и проблема собственных колебаний системы
Чтобы сохранить однокомпонентную структуру уравнения Власова, использу-
используем следующую модель: положительные ионы (очень тяжелые и малоподвижные
по сравнению с электронами) будем считать не только неподвижными и равномерно
распределенными, но и равномерно размазанными (модель «желе»), и на фоне
этого положительного заряда двигаются электроны, газ которых будет считаться
невырожденным. Одночастичную функцию электронного газа F представим в виде
Fl(t,T,p) = FQ(T,p) + f(t,T,f>),
где F0(t, р) — равновесная функция распределения (по р — максвелловское, по г —
однородное распределение). Плотность положительного заряда фона можно фор-
формально выразить через эту функцию
= -р[) =еп I
Fo dp = en.
Поэтому величина электростатического потенциала поля, создаваемого положитель-
положительным фоном в точке г, будет равна
самосогласованный же потенциал, создаваемый в этой точке другими электронами,
имеет вид
U(t, т) = п

304 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
Вводя напряженность действующего на электрон (заряд gM = -e) электростатичес-
электростатического поля E(t, г) (вектор индукции), можем написать
Сократим на -е, учтем Ft - Fq = /, подействуем слева и справа операцией div,
учтем, что
div grad = V = —г
от1
и что (хорошо знакомая задача о потенциале точечного единичного заряда)
получаем для Е не что иное, как одно из уравнений Максвелла
div E(t, г) = -47геп / f{t, г, р) dp.
Предположим теперь, что система слабонеравновесна и для любого t и г
Fo(r, p)
Тогда, производя линеаризацию уравнения Власова, сохраняя для фадиента сум-
суммарного потенциала введенное выше обозначение (заметим, что Ей/ одинакового
порядка малости) и переходя к переменной v = p/m (мы, как и везде в подобных
случаях, не будем вводить нового обозначения для функций от скоростей, полагая
f(t,r,\) = m?f(t, г, р), ^Fo(y) = "i3Fo(p) и т. д.), получаем систему уравнений для / иЕ
df(t,r,y) df eEdFp
dt дт m д\
div E = -47rne / f(t, г, v) dv
(опущен член второго порядка -(еЕ/т) • (df/&\)), где
т \3/2 Г mv2\ 9F0 m
) )
Напомним еще раз о приближениях, которые привели нас к этому линейному
уравнению:
1) опустили парные корреляции (бесстолкновительное приближение);
2) положили / < FQ (слабонеравновесный случай);
3) офаничились электростатическим приближением (нерелятивистское прибли-
приближение).
Обращает на себя внимание, что если приближения 2) и 3) имеют характер
«технических» упрощений (которые можно изменить или вовсе не делать), то 1) —
это потеря качества (см. п. 3 обсуждения в предыдущем разделе этого парафафа).
Естественно, в этой схеме учитывать столкновения мы не собираемся, но нарушить

§5. Кинетическое уравнение Власова 305
симметрию по отношению к отражению времени (снять «вырождение» на обрати-
обратимость) нам совершенно необходимо, чтобы обеспечить появление правильного типа
решения в задаче, которую мы затем будем решать. Сделаем это следующим самым
простым образом: в правую часть уравнения для / поставим вместо нуля интеграл
столкновений, как в § 3, в аппроксимации релаксационным членом с последующей
операцией его выключения:
В формальном отношении эта «бесконечно малая добавка» (по существу, целая
физическая программа) приведет к автоматически устанавливаемому правилу обхода
полюса, лежащего на действительной оси. (Аналогичные физически осознанные
правила обхода, обеспечивающие появление необходимых типов решения, исполь-
используются в задачах электродинамики, квантовой теории рассеяния и т.д.)
Исследуем теперь с помощью линеаризованного уравнения Власова проблему
собственных колебаний рассматриваемой системы в целом. Считая внешнее поле
отсутствующим, получаем, как* и должно быть в задачах этого типа, линейную
систему однородных уравнений. Можно перейти к трехмерному представлению
Фурье, но проще искать решение этих уравнений не в виде суперпозиции, а в виде
отдельной изолированной волны (уравнения-то линейные, и общность рассмотрения
при этом не теряется) продольного типа (поперечные колебания будут рассмотрены
в задаче 35), распространяющейся, например, вдоль оси х:
f(t, г, v) = fk<j{y)e , Ex(t, г) = Екше , Ey-EZ = Q.
Тогда получим, сокращая на экспоненту, уравнения для амплитуд
- iu>h. + ivxkfku --. — Ek^ -efku |^0>
ikEku = -4тгеп / fku(y) d\.
Выражая fku из первого уравнения,
4 _.(e/m)-(dFQ/dvx)
Jkw — * : ;— ¦ -ukwi
ш + ге - vxk
и подставляя эту амплитуду во второе, получаем
en f dF0/dvx
ikEku = -4тге ¦ i Ека / , . dv.
При постановке проблемы на собственные колебания мы интересуемся всегда усло-
условием существования у исследуемых уравнений нетривиального решения (тривиаль-
(тривиальное решение fku = Екш = 0, соответствующее невозбужденной системе, существует
всегда), когда Еки1 Ф 0. Сокращая левую и правую части последнего уравнения
на Екш, мы получим условие существования такого нетривиального решения, явля-
являющееся, по существу, уравнением для собственной частоты ш = ш(к) как функции
волнового вектора к (это соотношение называют часто дисперсионным уравнением).
Учитывая, что функция Fq является произведением трех одномерных нормирован-
нормированных максвелловских распределений, из которых после интегрирования по vy и vz
остается только одно:
w(vx) =

306
Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
беря производную по vx и обозначая 4пе2п/т = ш%, получим дисперсионное
уравнение для w = w(fc) в виде
Х./2
_ш[ rn/ni_y2 f vx
1 к'в\2тгв) ]^хш-ухк + 1е
ехр< -
Обратим внимание, что особенность подынтегральной функции (полюс в точке
vx = ш/к + ie/k) смещена в верхнюю полуплоскость vx на бесконечно малую вели-
величину (рис. 193), что позволяет сразу использовать для подынтефального выражения
известную символическую формулу
——- = — Т iff 6(Х),
Х±1? X
где Р — операция последующего взятия интефала в смысле главного значения. На-
Напомним, что это такое. Рассмотрим интефал от той же функции по пути, изображен-
изображенному на рис. 194 (он эквивалентен нашему), и разобьем этот путь (и соответственно
интеграл) на два: по действительной оси vx с бесконечно малым перерывом около
точки vx = ш/к (так называемый интеграл в смысле главного значения) и по бес-
бесконечно малой полуокружности, замыкающей этот перерыв. Так как интеграл
по полуокружности, проходимой против часовой стрелки, равен половине вычета
подынтефальной функции в точке vx = ш/к, умноженного как всегда на 2~кг, то
+ОО +00
1 ^ \ )
- (ie/k)
1
0
«г
— + i—
к к
Рис. 193. Расположение полюса по- Рис. 194. Пояснение к процедуре вы-
дынтегральной функции дисперсионно- деления интеграла в смысле главного
го уравнения значения
Подставляя сюда в нашем случае функцию
получаем для дисперсионного уравнения
1 - J(k, ш) + И(к, ш) = О,
где
Шг. ТП I ТП С Vx
)) = —-¦ —. / Л dvx е:
к в у 2тг0 J ш — vxk
2 *ч
_mvx\
•ехр< -

§5. Кинетическое уравнение Власова 307
К сожалению, интеграл J(k, ш) не берется. Поэтому ограничимся рассмотрением
частного (но важного) случая малых к (т. е. длинных волн, так как к = 2тг/А).
Представим подынтегральную функцию (без максвелловской экспоненты) в виде
V* 1 _ Vx vl_ 1 _
Ш
1 — — к
Это не разложение в ряд Тейлора, а точная формула, с помощью которой мы получим
для J(k, ш) лишь первые члены асимптотического разложения по к (целиком инте-
интеграл J(k, ш) в виде бесконечного степенного ряда по к не выражается — довольно
распространенная в задачах статистической физики ситуация). Это «разложение»
надо усреднить по максвелловскому распределению. Имеем
vz = vl = vsx = 0, v2 = —, vx = — -3—,
т mm
и уравнение для ш(к) приобретает вид
,2
.2
30 , т .( v
.,6
вш* V 1 - (fc/«)««
+ il(k, ш) = 0.
В длинноволновом приближении, когда Jfc2 < тш2/в, можно сохранить в круглых
скобках второго слагаемого только первые два (или даже только первое) слагаемые,
опустив поправки порядка fc4 и выше, включая и непредставимые в виде разложения
по степеням к2. Уравнение становится уже приближенным.
Приступая к решению этого трансцендентного уравнения относительно ш(к),
сразу замечаем, что в силу 1(к, ш) ф 0 оно не имеет действительных решений.
Подобная ситуация встречается довольно часто в теории колебаний и в квантовой
механике и послужила основой для введения представления о квазистационарных
уровнях. Полагая ш — П - if (при этом колебания е+""' приобретают характер
уже затухающих, е~'ш~т'), попробуем найти решения для частоты колебаний ?1
и их затухания j в случае 7/^ ^ 1» когда в системе действительно реализуется
колебательный процесс. С формальной точки зрения введение частоты ш — П - iy
означает ее аналитическое продолжение на комплексную плоскость S, но при этом
необходимо сохранить выбранный нами выше способ обхода полюса vx = ш/к снизу,
сохраняя тем самым и выбор типа дисперсионного уравнения.
Откладывая более подробный анализ этого уравнения до задачи 38, найдем его
корень ш = п - iy, соответствующий случаю у С п, положим
1 = ^+i2
ш2 (П - г7J п2 п2 П
и сохраним только главные члены в действительной и мнимой частях уравнения
(при этом 1(к, П - *у) = 1(к, п)):

308
Глава 5. Кинетические уравнения а статистической механике
Приравнивая нулю действительную часть, имеем
откуда, извлекая из обеих частей квадратный корень и произведя итерацию по ре-
решению в нулевом приближении fi|t_0 = о>о, получаем в первом приближении
3 в k2
2-я» ш2
Таким образом, в нулевом приближении по к2 частота собственных колебаний плаз-
плазмы совпадает с ленгмюровской частотой о>о = л/Аже2п/т, к которой с ростом к
прибавляется слабый квадратичный член (А. А. Власов, 1938). Заметим (рис. 195), что
групповая скорость плазменных волн v^, = дп/дк
при к -* 0 обращается в нуль (что-то вроде стоя-
стоячих колебаний), а фазовая v^ = п/к расходится
(»гр • «фаз = 30).
Чтобы рассчитать затухание у в самом грубом
приближении, подставим в мнимую часть дисперси-
дисперсионного уравнения решение для частоты в нулевом
порядке, П = и>0. Тогда
Рис. 195. График зависимостей от
величины волнового вектора к соб-
собственной частоты п/ш0 и затухания
f/шо плазменных колебаний
Учитывая, что тш2/в = я2 = \/r2D, получаем
_ 1 Гк ш0к3 ( к2 \
1 ~ 2 V У к3 СХ^ 1 ~ 2к2 J
Это известная формула Л.Д.Ландау A946) для затухания плазменных колебаний.
Условие 7 С П, обеспечивающее корректность нашего рассмотрения при получении
результатов для п и у, как видно из рис. 195, выполняется только в области
к 4Z. х = 1/гр или для волн, длина которых значительно превышает дебаевский
радиус экранирования, А > rD.
Остановимся на физической интерпретации полученных результатов. Плаз-
Плазменные колебания — это колебания плотности электронного газа — характерный
для плазмы коллективный эффект, в образовании которого в качестве «упругой
силы» фигурирует электростатическое поле Е. Ленгмюровский результат fi = ш0
можно получить и без уравнения Власова. Действительно, выделяя в уравнении
непрерывности (первое уравнение гидродинамики)
р + div />и = 0
первый порядок по отклонению от равновесия, р = ро+Р\, Ро = mn, u = И|, Е = Е|,
учитывая что в соответствии со вторым законом Ньютона (или уравнением Эйлера
в гидродинамике)
рй = рощ = р0 — Е,,
т
продифференцировав по времени уравнение непрерывности, подставив туда Ui
и выражение для divEj = Ажр\е/т, получаем сразу
Р\
771

§ 5. Кинетическое уровненив Власова
309
Возникновение затухания Ландау обычно интерпретируется следующим обра-
образом: волна со скоростью (фазовой), превышающей скорость частицы, ш/к > vx,
подгоняет ее и теряет при этом энергию, если же ш/к < vx, то все наоборот, но в со-
соответствии с максвелловским распределением частиц со скоростями, меньшими
и>о/к, больше, поэтому и получается, что -у > 0. Объяснение не неверно, так как
оно, по существу, пересказывает структуру интегрального члена в дисперсионном
уравнении. Настораживает апелляция к взаимодействию электронов с коллектив-
коллективными колебаниями, такое взаимодействие в принципе существует, но в нашей
модели оно нигде не учтено. Так что причина возникновения затухания Ландау
носит скорее кинематический, более общий характер. Рассмотрим сложившуюся
ситуацию несколько подробнее, так как подобные ей встречаются и в других задачах
статистической механики.
Мы выяснили, что в системе существу-
существуют коллективные возбуждения, энергия кото-
которых ? — Ml зависит от импульса q = hk следу- . /мо„|.
юшим образом (рис. 196):
?(q) = ftu>0 + aq2.
Помимо этой коллективной ветви возбуждений
в системе существует и движение отдельных
частиц, и импульс q, сообщенный системе, мо-
может пойти на возбуждение какой-либо одной
из них (индивидуальное возбуждение):
0
Обпасть
непрерывного
спектра
I
Minimi и in и in Minimi in -
?pq -
(p + qJ p2 _ pq | q2
2ro 2ro ro 2ro
Рис. 1М. Расположение плазменной ве-
ветви e(q) по отношению к области непре-
непрерывного спектра возбуждений отдельных
частиц
Хотя спектр энергий индивидуальных возбуждений для каждого значения q непре-
непрерывен, он может быть ограничен сверху максимальным значением импульса частицы
Ртах = Р0
= ^
Если теперь выбрать некоторое значение q1 (см. рис. 196), то получается следующая
ситуация: ниже уровня (ро/т)^ — непрерывный спектр, а над ним — дискретный
уровень йо>о- По мере увеличения q1 граница непрерывного спектра приближается
к дискретному уровню hw0 и при значении q' = qmm, определяемом как
= — qmax,
т
vl
_*2,2
— '* гстах>
дискретный уровень попадает в область непрерывного спектра и перестает суще-
существовать как таковой. В соответствии с этой квантовомеханической идеологией
возбуждение перестает существовать не в силу каких-либо динамических эффектов,
взаимодействия одних видов движения с другими и т.д., а вследствие чистой кван-
квантовомеханической «кинематики». Так было бы, если бы состояния системы характе-
характеризовались с помощью чистых механических состояний, такая ситуация реализуется
при в = 0, когда граница непрерывного спектра резкая и р0 = pf = й(Зтг2ЛГ/УI/3
(см. т. 2, гл. 2, § 2-в)). Стоит только включить температуру (а у нас вообще вы-
высокие температуры, соответствующие невырожденному случаю), как положение
существенно изменяется: верхней границы непрерывного спектра нет, так как допу-
допустимы любые значения р (вплоть до +оо), изолированный уровень всегда находится

310 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
в области непрерывного спектра, и соответствующее ему возбуждение обязатель-
обязательно разрушится. Но, как указывалось в § 1, состояние статистической системы
характеризуется смешанным состоянием, вероятность каждого чистого состояния
входит в равновесном (в нашем варианте) случае с гиббсовским весом, а так как
вероятность состояния частицы с большим значением импульса пропорциональна
максвелловской экспоненте е~р К2тв\ то вероятность указанного процесса распада
будет пропорциональна той же экспоненте (отсюда и экспонента в формуле Ландау).
Верхняя граница непрерывного спектра в невырожденном случае условна, ее можно
оценить как ро ~ у Р2 = VbmB (значения импульсов, превышающие величину ро,
экспоненциально маловероятны), тогда оценка максимально возможного импульса
плазменной волны (или минимальной ее длины) будет иметь вид
7 тШпТП2 7 1 7 г-
qL, = h2^-T-=h2-H2, А>л/3гд>
ЪтпО 3
что полностью согласуется с полученным ранее результатом.
в) Статическое решение линеаризованного уравнения
для системы в поле точечного заряда
Пусть наша система находится в равновесном состоянии (df/dt = 0) в поле
точечного заряда
Введем эффективный потенциал Ф(г), градиент которого определяет величину век-
вектора Е(г) (напомним, что у нас это вектор индукции),
-— Е= — •—, divE = -V2<?.
тп m дт
Тогда система линеаризованных уравнений Власова будет иметь вид (так как време-
времени t здесь нет, нет надобности и в члене -ef)
Подставив в первое уравнение
dFQ _ д (' m \3/2 ' Г mv2\_ m
~^~&\ъГо) exp\"ir/""v7Fo
и, записывая эти уравнения по отношению к фурье-компонентам Ф* и
имеем
*(v • к)Л - ? F°(v'ik) — ф* = °- *2ф* = 47Г« ~ 47геи
От
или
47ге2и
/ Л dv>
J

§ 6. Кинетическое уравнение Больцмана
311
откуда сразу получаем
4icq
4ice2n 1
в
„2 >
или, беря стандартный интеграл при переходе к координатному представлению,
Этот известный результат, полученный в свое время еще Дебаем, выражает еще один
коллективный эффект, характерный для систем заряженных частиц — свойство
экранировать статические заряды.
Заметим, что с помощью этого результата можно непосредственно получить
некоторые результаты равновесной теории. Проинтегрировав F(r,v) по скоростям,
мы сразу получим плотность вероятности распре-
распределения частиц вокруг заряда q:
Если q — одна из частиц системы, то вероят-
вероятность w(r) обнаружить одну частицу на рассто-
расстоянии г от другой представляет не что иное, как
парную корреляционную функцию
F2(r)=l±-e-
О
2г„
R
Рис. 197. Вид парных корреляцион-
корреляционных функций в равновесной теории
плазмы
В равновесной теории эта формула аппроксими-
аппроксимировала Fi{R) в области R > 2г0, в которой ионы
взаимодействовали по закону Кулона, а на рассто-
расстояниях R < 2го эта функция равнялась нулю вслед-
вследствие непроницаемости ионных остовов (рис. 197).
В нашей модели «желе» F++ = 1; F+_ = 1, и, рассчитывая по стандартным
формулам, например, среднюю энергию взаимодействия частиц друг с другом,
получаем
dR =
2ro
2v J R{\ Re
-хЯ
— e-2
0vx
— известный результат (см. т. 2, гл. 3, § 1-д)) для равновесной нерелятивистской
плазмы, который позволяет далее рассчитывать в приближении / С Fq все равно-
равновесные характеристики системы (для нас все это — лишь попутный результат).
§ б. Кинетическое уравнение Больцмана
а) Основные соображения, приводящие к уравнению Больцмана
Вернемся снова к программе, намеченной нами в конце § 4, и рассмотрим
систему, состоящую из одинаковых нейтральных частиц, в которой основным

312 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
механизмом, определяющим кинетику системы, является соударение частиц друг
с другом. Исходный момент — снова первое уравнение цепочки Боголюбова,
Wi(«,r,p) p 8FX dU 8FX
ФA^
которое на этот раз необходимо замкнуть относительно функции F\ на основе
учета процессов столкновения частиц друг с другом. Представим наше рассмотрение
в виде отдельных этапов, на которых принимаемые допущения (а следовательно,
и офаничения на область применимости последующих результатов) будут выявлены
наиболее отчетливо.
1. Так как наше рассмотрение в целом ограничено рамками аналитических
методов, то учет столкновений частиц мы можем произвести на уровне парных
столкновений — задача двух тел в механике имеет точное решение (задача трех
тел в общем случае в квадратурах уже не решается). Пренебрежение тройными
соударениями с физической точки зрения имеет достаточно широкую область при-
применимости — это системы типа разреженных газов.
Итак, рассмотрим классическую систему частиц со взаимодействием Ф(|г1 - г|)
типа отталкивания (исключается возможность появления связанных состояний),
имеющим конечный радиус действия До, величина которого намного меньше
среднего расстояния между частицами,
V Rl
77 или — <1-
N v
Принятие этой величины в качестве малого параметра по отношению ко временным
масштабам будет означать, что время взаимодействия частиц (время «столкновения»)
тст значительно меньше среднего времени их свободного пробега тсв. пр (см. задачу 7),
До 1 До v тст
До
Г" < Т
v "'CB-np nav v Д3 Д3ЛГ
Вероятность же тройных соударений по отношению к парным оказывается величи-
величиной, пропорциональной тому же малому параметру: оценивая ее, исходя, например,
из распределения Пуассона (или Бернулли, см. задачи к гл. 1) и полагая р ~ R^/V,
имеем
w3 _ (NpK 2! _ 1 _ 1 До
щ * 3! (NpJ ~ 3 Р~з7'
Таким образом, в системе с короткодействием (До «С а) частицы основное время
двигаются как свободные, а эволюция системы (в нашем случае — эволюция
функции F\) будет определяться (помимо потоковых членов) в основном парными
соударениями частиц друг с другом.
Так как средняя плотность газа при нормальных условиях No/Vo ~ 3 • 10"
частиц/см3 (что соответствует величине а ~ 3 • 10~7 см), то время свободного про-
пробега (см. задачу 7) оказывается порядка 10"ю с, а число парных соударений в 1 см3
за 1 с достигает величины 1029. Эта цифра, конечно, впечатляет, но ни о чем
не говорит. Переведя ее на уровень молекулярных масштабов (точнее, межмолеку-
межмолекулярных), получим, что число соударений, происходящих за время гсвпр в объеме
с линейными размерами порядка длины свободного пробега А ~ 10~5 см, будет
равно 104, а за время тст ~ 10~12 с в этой же области произойдет 102 столкновений.
Таким образом, процесс парных соударений с точки зрения молекулярных единиц
времени и длины представляется процессом не единичным, а достаточно массовым.

§ 6. Кинетическое уравнение Больцмана 313
Наконец, апеллируя к точно решаемой задаче двух тел, мы вынуждены (на пер-
первых порах) отказаться от рассмотрения пространственно неоднородных систем, так
как включение поля U(r) превращает задачу о столкновении двух частиц в нере-
шаемую задачу трех тел. Таким образом, если мы и будем писать F\ = F{(t,r,р)
вместо Fj = F\(t, р), то будем это делать скорее в силу психологической инерции,
считая г некоторым параметром, характеризующим, например, плотность числа
частиц в данной макроскопической области системы.
2. Мы уже знаем, что уравнение Лиувилля, а следовательно, и уравнение це-
цепочки Боголюбова удовлетворяются функциями распределения, постоянными вдоль
траекторий механического движения частиц системы. Но мы желаемпостроить ки-
кинетическое уравнение не для функций, описывающих такое движение (они строятся
на основе решения задачи механики и описывают чистое механическое состояние
системы, см. задачи 1 и 31), а для статистических функций распределения (т.е.
функций, характеризующих смешанное состояние всей системы), в частности, для
такой функции F[, которая в комбинации nF\{t, г, р) • dr dp определяет статистиче-
статистическое число частиц в объеме dr dp в момент t и которая является характеристикой
не отдельной частицы, а всей статистической системы в целом.
Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее. На временных интервалах по-
порядка At ~ тст, естественно, задача о движении системы должна решаться на уровне
механики. Нас эта механическая задача сама по себе мало интересует. Однако за это
время характеристики сталкивающихся частиц, входящие в качестве аргументов
в функцию jP2, меняются сильно (в частности, импульсы частиц до и после их
столкновения). Между тем, как видно из структуры уравнения для F\, межмоле-
межмолекулярное взаимодействие непосредственно на функцию Ft не влияет: это влияние
осуществляется через функцию F2, которая вместе с потенциалом взаимодействия
Ф(|г - г7!) находятся в правой части уравнения под знаком интеграла, в связи с чем
влияние резкого изменения функции F2, происходящего в связи со столкновением
частиц, на функцию F\ будет сглаживаться, и сама функция F{ за промежуток
времени At ~ т„ изменится мало.
Исходя из этих физических соображений Боголюбов предположил, что при
переходе от механического (t < тст) к кинетическому этапу эволюции системы
(к кинетической шкале времени t, такой, что измеренные в ней временные интер-
интервалы At > тст), на котором функция F\ является той величиной, которая управляет
временной эволюцией системы, все функции Fs(t, xt,..., xa), я,- = (г,-, р,), s ^ 2 на-
начинают зависеть от времени не непосредственно, а через их зависимость от функции
распределения F\(t,x), в частности
F2 = F2(xi,x2\Fi).
Это положение сразу приводит к выводу о существовании замкнутого относитель-
относительно F\ кинетического уравнения, так как в этом случае
Ф(х | F2) = Ф(х | F2(x, х1 | *•,)) = Ф(х | F,)
(можно построить рассуждение и в обратном порядке: полагая, что по каким-то
причинам кинетическое уравнение для F] существует и существует физически
осмысленное его решение F\ = F\ (t), мысленно выразить входящее в функцию F] (t)
время t как t = t(...\F\)w. подставить его в F2, что приведет к F2(x,x' \FX)).
Этот переход к описанию эволюции системы на кинетической ее стадии является
важнейшим моментом динамического подхода Боголюбова к построению кинетиче-
кинетических уравнений. Каким образом вскрывается эта функциональная зависимость F2
от F\, мы рассмотрим в п. б) этого параграфа. Для нас же сейчас будет важно то

314
Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
обстоятельство, что в соответствии со сказанным выше на кинетической стадии учет
парных столкновений (которые, как показали приведенные нами оценки, происходят
в молекулярных масштабах t и г постоянно и в массовом количестве) можно произ-
производить как бы на уровне стационарного явления (наподобие тому, как рассчитаны
характерные величины, связанные со столкновениями, в задачах 7-9), в котором
величина F(t, х) имеет смысл плотности числа частиц в пространстве х — (г, р).
3. Исходя из п. 1 и 2 уже можно получить конкретный вид интеграла столкно-
столкновений Ф(^Р|). Мы остановимся здесь на качественном выводе, откладывая микро-
микроскопическое рассмотрение до п. б).
Остановимся сначала на нескольких фор-
формальных моментах задачи двух тел. Первое,
пусть р, pi, — импульсы двух частиц до, а р',
p'i — импульсы тех же частиц после столк-
столкновения. В соответствии с решением задачи
механики конечные значения р\ р', являют-
являются функциями начальных р, pi, прицельно-
прицельного расстояния а и угла tp, фиксирующего
плоскость, в которой происходит рассеяние,
а также зависят от потенциала взаимодей-
взаимодействия Ф(Д). Понятия «до» и «после» в этой за-
задаче довольно условны: можно обернуть про-
процесс, считая р', р'| начальными значениями
импульсов, тогда при тех же значениях о и ip
в результате столкновения частицы приобре-
приобретут импульсы р и pi.
Второе, в силу законов сохранения им-
импульса и энергии (ради простоты мы полагаем,
что частицы как бы абсолютно «гладкие», так
что в результате столкновений они не подкручивают друг друга, поэтому в нашем
рассмотрении и не участвует закон сохранения углового момента)
Pi+p = p, +p' = P, Р2\+Р2 = Р?П
имеем (р - Pi) = (р' • Р|), поэтому относительные скорости
z
иг
х г
ill
\> >
Л у у
f
и'
Рис. 198. Схема поворота вектора
относительной скорости на угол рассеяния
и =
Pi -P
U =
т т
совпадают по модулю, |и| = |и'| = и. Угол ф между векторами и и и' (рис. 198)
называют углом рассеяния.
Третье, используя векторы Р и тпи в качестве новых переменных, имеем
Р та
= ~2~~Т'
Pi=2
ти
где L и L\ — линейные формы относительно компонент Р и и с числовыми
коэффициентами. Поэтому совпадают детерминанты
0(P,u) 0(P,u')

§ 6. Кинетическое уравнение Больцмана
315
как состоящие из одних и тех же числовых элементов, поэтому якобиан перехода
от штрихованных к нештрихованным импульсам можно записать как
д(р',Р\)
.u') a(p,u)
P=const
Для расчета оставшегося детерминанта C х 3) выберем систему координат, изобра-
изображенную на рис. 198, такую, что и = (их, иу, и2), и' = (их, иу, -uz), тогда
откуда
1 О О
О 1 О
0 0-1
д(р', р[
— —1.
= 1,
и мы можем при переходе от переменных (р', р'|) к переменным (р, pi), связанным
друг с другом решением задачи двух тел, полагать
dp' dp' = dpdpi.
. Перейдем теперь к получению интегра-
интеграла столкновений. Введем для функции Ft
с различными импульсными аргументами
стандартные обозначения
Ж*, г, р) =
Fl(t,r,pl) =
*, г, р') =
*, г, ?',) =
'co=adad<p
и рассмотрим малую область 6-мерного про-
пространства импульса и координаты dx =
(х, х + dx) = (г,г + dr; p,p + dp). В мо-
момент времени t в этом объеме dx находится
в среднем n/ dx dp частиц (n = \/v = N/V),
из которых мы выберем одну, «остано-
«остановим» ее, т. е. перейдем в систему отсчета,
двигающуюся со скоростью р/т, нарису- Рис 199. к П0ДСЧету числа столкновений
ем вокруг нее сферу с радиусом d0 = 2-Ro при качественном выводе уравнения Больц-
(рис. 199) и выберем ось z вдоль вектора мана
(Pi ~ р)/"* = и = @,0, и). Тогда, обозначив
элемент сечения a da dip = dw, получим, что среднее число частиц с импульсами
(рь Pi + dpi), падающих за секунду на элемент do», будет равно
dw и- n/i dpi,
а среднее число столкновений всех частиц из объема dx с частицами, имеющими
импульс (pi, Pi + dpi), запишется как
(dw unff dpi) • nf dp dr.
Так как в результате каждого такого столкновения ррх —> р'р', из объема dx убывает
частица, то написанное выше выражение представляет скорость убывания числа час-
частиц из dx, происходящего вследствие таких соударений. Если же до столкновения

316 Пгава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
частицы имели импульсы р', р',, то при заданном dw = adadip произойдет «обрат-
«обратный» процесс р'р', —> ppi, который увеличит число частиц в dx на единицу, поэтому
скорость увеличения числа частиц в dx за счет таких соударений выразится как
(do)ttn/!dp'|)n/'dp'dr.
Учитывая, что согласно доказанной выше лемме dp' dp', = dp dpi, интефируя по всем
значениям импульса налетающей частицы pi и по параметрам столкновения dw
и подводя баланс входящих в da; и выходящих из него частиц за секунду, получаем
d(nf) ( Г , , , \
dp dr = I / п (f /, - ff\)u dw dp, I dp dr,
9t
откуда и следует уравнение Больцмана для пространственно однородного случая
~Ы
где, напомним еще раз, щ = |р, - р\/т — относительная скорость сталкивающихся
частиц, dw — a da dip — параметры рассеяния, причем вместо прицельного рас-
расстояния а можно вести сечение cr(u,ip) и угол рассеяния -ф, тогда dw — a{u,ip) ¦
sin ip dip dip; импульсы р' и p',, являющиеся аргументами функций /' и /[, выража-
выражаются с помощью формул механики через р, pi и параметры a vnp (или углы ip и ip).
4. Если система пространственно неоднородна, то такого относительно неслож-
несложного и физически осмысленного выражения для интефала столкновения (df/dt)CT
мы уже. написать не можем. Однако есть специальный и важный с точки зре-
зрения приложений случай, допускающий использование полученной выше формы
для (df/dt)CT в пространственно неоднородной задаче, — это случай, когда про-
пространственная неоднородность системы является крупномасштабной с точки зрения
молекулярной единицы длины, т. е. когда все фигурирующие в уравнении для F]
величины являются плавными функциями г в масштабе средней длины свободного
пробега А, что позволяет ввести фубую шкалу г, такую, что измеряемые по ней
изменения координат Да; > А, где Да; может быть также дифференциалом da;.
Тогда область размера ~ А, в которой происходит столкновение каких-ли-
каких-либо двух частиц, представляет собой пространственно однородную подсистему, для
которой величина г — это параметр, определяющий локальные значения плот-
плотности п(г), поля U(г) и т.д. (если потенциал U зависит от t, то допускается
«квазистатическое» изменение его величины, когда за время t ~ тсв. пр U(r) практи-
практически не меняется). В этом случае интефал столкновений (df/dt)cT сохраняет свою
форму, но входящий в него аргумент г фигурирует как общий параметр, входящий
во все функции F^(t, г, р) с разными р, и мы получаем со сделанными оговорками
относительно области применимости уравнение Больцмана для пространственно
неоднородной системы
df(t, г, р)
dt
Полученное уравнение — сложнейшее нелинейное интефо-дифференциальное урав-
уравнение относительно функции f(t, г, р), в интефальной части которого неизвестная
функция, в частности /' и /|, сложным образом зависит от переменной интегриро-
интегрирования через зависимость р' и р', от р, pi, a, ip и Ф(-й).
Это уравнение было получено Больцманом в 1872 г. Он же рассмотрел некото-
некоторые его интересные следствия (^-теорема и т.д.), но получить решение уравнения
ему не удалось. Серьезное математическое исследование уравнения началось уже

§ 6. Кинетическое уравнение Больцмана 317
в следующую за Больцманом эпоху. Великий Гильберт (D. Hilbert, 1910) был пер-
первым из математиков, кто обратил на это уравнение серьезное внимание и создал
надежную базу для исследования уравнений подобного типа. В частности, ему
принадлежит идея о структуре решения, представляющего максвелловское распре-
распределение, умноженное на полином по степеням скорости, но самого решения он
не получил. Используя идеи Бшьберта, это сделал Чепмен (S. Chapman, 1916-1917)
и независимо от него Энског (D. Enskog, 1917), использовавшие локальное рас-
распределение Максвелла в качестве нулевого приближения (на конструктивной идее
метода Чепмена—Энскога мы остановимся несколько позже). Это же решение урав-
уравнения Больцмана можно "олучить и другим, не столь громоздким методом — так
называемым методом мочкигов Греда (Н.Grad, 1949). Несмотря на то, что идейная
сторона этих методов особых трудностей для понимания не составляет, получаю-
получающееся решение имеет очень громоздкую структуру (процедура его получения — тем
более), поэтому все эти вопросы имеют специальный интерес и в общей литературе
по статистической механике не излагаются.
Другое направление в кинетической теории — выяснение смысла включенных
в уравнение Больцмана интуитивных предположений, было заложено Боголюбовым
в 1946 г. Сформулированная им общая программа рассмотрения эволюции системы
как последовательности все более «укрупняющихся» релаксационных процессов,
на кинетическом ее этапе позволила не только естественным образом получить
в первом приближении известное уже уравнение Больцмана, но и сформулировать
уравнение следующих приближений, учитывающих тройные и т.д. корреляции
частиц. Мы остановимся на этом методе в следующем пункте, по возможности
приспособив его изложение к уровню учебного пособия.
б) Вывод уравнения из цепочки Боголюбова
Возвращаясь к формализму § 4, выпишем полностью первое уравнение цепочки,
правая часть которого пропорциональна малому параметру Щ/v, и второе уравнение
в нулевом порядке по этому параметру (т. е. опуская в нем интегральный член
и превращая его в уравнение Лиувилля для системы двух частиц):
dFi{t,xy)
at
p, ад dU ад 1 ГдФ(\г1-г2\) dF2{t,X\,x2)
— . . = — I . ЙГ2 «P2,
m #Г] dr\ dpi v J dr\ dp\
dF2(t,Xl,x2) p, ад р2 ад2
dt m дт\ m dr2
0Ф(|Г, -Г2|)
адз^.а;,,
dpi
- rj|) + С
х2)
dF2
dpi
дг2
Совместное рассмотрение этой системы уравнений гарантирует по отношению к F\
только первый порядок по B^/v.
В соответствии с программой § 4 будем искать решение этой системы уравнений,
удовлетворяющее принципу ослабления корреляций
*i(*. *i. *2)||Г1-|>н» ~* *Н*'Х|)" *№' х*)' Xi = (•¦'¦ р')'
своеобразного граничного условия нелинейного характера, накладываемого на функ-
функции распределения, отбирающего физически осмысленные решения цепочки. Запи-
Запишем это условие с помощью оператора эволюции 5.

318 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
В соответствии с уравнением Лиувилля для замкнутой системы s частиц функ-
функция распределения Р, сохраняет свою величину вдоль траекторий механического
движения системы, т. е.
F,{t,xu...,x.) =Fs{t,xx{t,x0),...,xs{t,XQ)) =
= Fs(t- T, Xi(t - Т, Xq), ...,Xj(t-T, X0)) =
где оператор S_l(\,... ,s) сдвигает вдоль механических траекторий заданные в мо-
момент t величины х\,... ,х„ в прошлое на величину т (этот оператор на основе
задачи 28 можно даже представить как S'T = e~L>T, но его явный вид нам все
равно не понадобится). Предположим теперь, что величина т столь велика, что
частицы оказываются разведенными на расстояния, превышающие радиус корре-
корреляции (у нас система частиц с отталкиванием, связанные состояния исключены).
Тогда при таком т функция F, распадется в силу принципа ослабления корреляции
на произведение одночастичных функций F\. Это можно записать как
>
Fs(t,xu...,xs) = Y\F](t-T,xi(t-T,x0)) =
s >
= 5i^(l,..., s) Y[P\{t ~ т, Xi) = 5^A,..., s) Y\ Sil)(i)Fi(t, xt)
i=l i=l
(мы учли, что S_lF)(t - т, Х\) = F\(t - r,xi(t - т)) = F\(t,xx) и что si Si/ = 1).
Введем оператор
s
О'A 1, ... ,5) ;=z ИГЛ O_»( 1..... 5) I I S\ (I).
t=l
Тогда принцип ослабления корреляций можно записать как
F,{t, хи..., ха) = о,A,..., s)Fi(t, xt)... Fi(t, x.).
Обратим внимание, что слева и справа здесь стоят одни и те же аргументы
t,x\,... ,xs. Эта формула, по существу, и отвечает на вопрос, каким образом
s-частичная функция распределения зависит функционально от одночастичной,
который мы обсуждали в предыдущем пункте этого параграфа. Заметим, кстати,
что в представленной выше форме условие ослабления корреляции, которое, высту-
выступая в роли граничного условия, выбирает определенный тип решения в общем-то
симметричных по времени уравнений, по идее своей эквивалентно условию, на-
накладываемому в квантовой теории поля на матрицу рассеяния при адиабатическом
выключении взаимодействия Н\ на t = -оо (совпадение обозначений введенно-
введенного Боголюбовым оператора трансляции 5 и 5-матрицы (от слова scattering), еще
не используемой в 1946 г., можно отнести к разряду «необъяснимых»).
Рассмотрим теперь (по тем же причинам, что и в п. а)) пространственно од-
однородную систему. Принятие принципа ослабления корреляций как граничного
условия, приводящего к функциональной зависимости F2(t, X\,x2) = F2(xi,X2 | F\),
проявляется и в том, что с точки зрения функции F\, определяемой с точностью

§6. Кинетическое уравнение Больцмана 319
до первого порядка по R\/v, учет парных соударений может быть произведен
на уровне стационарного явления. Действительно, так как в пространственно одно-
однородном случае dF\/dt = (dFi/dt)^ ~ Щ/v, то первое слагаемое в уравнении для F2
также оказывается величиной первого и выше порядков по
dF2 _ Г ,
~dt~J x
dt
и в уравнении нулевого приближения оно должно быть опущено. Интегрируя
оставшиеся четыре члена (U = 0) по г2 и р2, учитывая, что
. = 0
= -00
и что в пространственно однородном случае функция F2 зависит от Г2 - п = R,
получим из оставшихся трех членов второго уравнения цепочки
J
2 '
дгх ар, 2 ' } m d
С точностью до множителя — это правая часть уравнения для F\(t, r\,p\)
at
Прежде чем подставить в правую часть
F2(xux2 | F,) = <72A, 2)Fi(t, a;,)F,(<, x2),
заметим, что в пространственно однородном случае,, когда Fx от п вообще не зави-
зависит,
т.е.
<1)(i) = l и сг2A2) = ton 5*2
S<1)(i) = l и сг2A,2) = ton 5*2A,2).
Т—'00
Используем вновь цилиндрическую систему координат с осью z вдоль вектора
и = @,0, и) (см. рис. 199), получим после подстановки функции Fi
2»
-и
г=+оо
dp2udw lim S_^(\,2)F[(t,X[)F\(t, x2)
При z = -оо оператор S_r, отодвигая частицы в прошлое, к столкновению их
не приводит, поэтому нижняя подстановка дает -Fx(t, px)Fx(t, p2); при z — +00
оператор 5_г в случае а < Щ приведет частицы (обратным ходом) к столкновению
(Рь Рг) —* (p'i, Рг)> ГДе P'i и Рг ~ импульсы частиц после столкновения, являющиеся
функциями начальных импульсов, а также величин а, у> и взаимодействия Ф(Д), так
что верхняя подстановка дает F\(t, p\)F\(t, p2); а в случае а> Rq столкновения во-
вообще не будет, частицы пролетят мимо друг друга и р', — Pi, р'2 = р2 (так что

320 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
интефал по прицельному расстоянию автоматически офаничивается областью
0 < а < До). В итоге получаем известный уже нам интефал столкновений Больцмана:
F*i (t, г, р'| )jP] (t, г, р') - F\ (t, г, р| )Fi (t, г, р))щ dw dpi.
dt
Мы намеренно так подробно остановились на методе Боголюбова получения кине-
кинетического уравнения для систем, в которых R^/v «С 1, чтобы на этом несложном
примере продемонстрировать автоматизм и замкнутость этой процедуры, кото-
которые сохраняются и при построении высших приближений. Уравнение Больцмана
из уравнения Лиувилля можно было бы получить и проще, как это сделал, на-
например, Кирквуд (J. Kirkwood, 1947), усреднив уравнение Лиувилля по At > тст,
т. е. введя более фубую шкалу времени, в которой dF2/dt = 0, и аппроксимируя
появляющуюся в интефале столкновений разность FJ — F2 комбинацией /'/[ — ff\.
При этом несколько смазывается динамическая природа приближения, соответ-
соответствующего уравнению Больцмана, что и приводило к трудностям при построении
дальнейших приближений.
В методе Боголюбова построение следующего приближения связано с учетом
не только парных (уже в первом приближении), но и тройных корреляций (в нулевом
приближении), удовлетворяющих условию
F3(t, хих7, х3) = F3(*i, х2, х} | Fi) = <73A, 2, 3)J",(*, *|)F,(*, x2)Fl(t, х3).
Интеграл столкновений при этом приобретает структуру
/0Fi\ 1 Г
+ ^ J drjl drj2 drj3 П3(аг, | т;,, rj2, !|j)F,(t, i?,)F|(*. ifc)F,(*, щ)
в которой оператор f^ был уже нами получен:
(l 2) 6( - i,,) 6(p2 - тJ).
Структура Пз конечно, намного сложнее, она включает учет не только различных
по последовательности парных соударений в системе трех тел, но и сами тройные
соударения; и простой наглядной интерпретации, какую имеет первое слагаемое
в этом «разложении» интеграла столкновений (см. п. а) этого параграфа), тройная
часть не имеет.
в) Лемма Больцмана и некоторые общие ее следствия
Рассмотрим интефал, представляющий собой свертку некоторой функции Ф(р)
с интегралом столкновений Больцмана,
I = J Ф(р) (j?
(мы будем фиксировать здесь только импульсные аргументы у функций / и Ф).
Запишем этот же интефал еще в трех видах. Меняя частицы местами, т. е. заменяя
р *-* pi, имеем
J dpdPl.

§ 6. Кинетическое уравнение Больцмана 321
Перейдем в исходном интефале к интефированию по р' и р', (т. е. будем «перебирать»
не состояния р, р, до столкновения, а конечные импульсы р', р,, однозначно
выражаемые через исходные). Так как в п.а) мы показали, что \д(р, Р\)/д(р', р\)\ — 1
и модуль относительной скорости и' = и, то
dp'dp',.
Переобозначая теперь штрихованные импульсы на нештрихованные и наоборот
(задача парного соударения по отношения к такой замене обратима), имеем
I = - J Ф(р')(/(р',)/(р') - /Ы/(р))« da; dp dp,.
Аналогично (заменяя р <-+ р,) имеем и четвертый вариант:
I=- J Ф(р',)(/М/(р') - /(p,)/(p))udu; dp dp,.
Складывая все четыре варианта и возвращаясь к принятой системе обозначений
/(р') = f\ Ф(р') = Ф' и т.д., получаем
/= Нр)(-хт) dP=7 /(* + Ф| - Ф'~ Ф|)(/'/{ -ff\)ududp dpi.
Отметим, что доказательство этой леммы существенно опиралось на свойства меха-
механической системы двух тел.
Первым следствием этой леммы является знаменитая ^-теорема Больцмана
A872). Введем безразмерную функцию распределения
& = BтгЛK • - /,
v
для которой уравнение Больцмана запишется как
d& _ д& р д& dU
at ot тп от от
с помощью нее определим также безразмерную Ж -функцию Больцмана
dpdr
и исследуем знак ее производной по времени. Ввиду того, что
Р
dt
и что
а
f
J
dt B,rftK ~ dil BтгДK " dt
^\n3rdx= [ ±(<rin<r>dx- [?f
dx J dxy ' J dx

322 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
где х — это любая из компонент векторов р или г (мы учли, что &(t, г, р) \х_±да -> 0),
мы будем иметь, что в выражении для скорости изменения функции Ж(Ь) останется
только член, включающий интеграл столкновений,
f
Воспользовавшись леммой Больцмана, получим
JdSF\ dpdr
If /' 8SF\
4 J \ ot )
BжПУ
Так как конструкция, стоящая под знаком интеграла, всегда неотрицательна,
й Г > 0 при а Ф Ь,
6^ = 0 при а = Ь,
то мы приходим к неравенству
которое, собственно, и составляет содержание Pf-теоремы Больцмана.
Таким образом, мы получили, что, в отличие от уравнения Лиувилля, являюще-
являющегося уравнением механики, уравнение Больцмана описывает необратимую во вре-
времени эволюцию системы. Связана ли и в каком смысле величина Ж с термодина-
термодинамической энтропией или нет — это уже частный вопрос, важен сам факт получения
необратимого во времени прямого следствия уравнения Больцмана (согласно реше-
решению задачи 5 аналогичная функции Ж величина, но введенная с помощью функции
распределения, соответствующей чистому механическому состоянию, во времени
вообще не меняется).
Еще раз отметим те моменты, которые привели к появлению этой необрати-
необратимости. Во-первых, мы перешли в функции F\ (t, x) к кинетической шкале времени
(уже не механической), сгладив тем самым процессы в масштабе At ~ тст (это не при-
причина необратимости, а только предпосылка ее появления). Во-вторых, несмотря
на то, что время как динамический параметр благодаря переходу к кинетической
шкале в интеграле столкновений выпало, мы сохранили его направление, точно
зафиксировав понятия «до» и «после» (это и дало комбинацию Щ - F% = /'/{~ //i )•
В математическом аспекте выбор характера необратимости при рассмотрении цепоч-
цепочки Боголюбова произошел вследствие принятия граничного условия, выражающего
принцип ослабления корреляции (см. §5-6)). Если же в операторе а„(\ s)
вместо г —> оо положить г —> -оо (т. е. поменять прошлое и будущее), то мы по-
получим интеграл столкновений с другим знаком, и функция Ж будет уже возрастать
во времени. Подобная ситуация не единственна в теоретической физике, достаточно
вспомнить задачу рассеяния, в которой помимо физически осмысленного решения
существует и решение типа сходящихся волн, которое выбираемому при поста-
постановке задачи граничному условию на бесконечности не удовлетворяет и поэтому
автоматически отбрасывается.
Монотонный характер изменения функции Ж({) еще не означает, что система
участвует в релаксационном процессе. Для этого необходимо; чтобы предельное зна-
значение Ж(оо) — P?S было конечным, как это изображено на рис. 200 (иначе величина

§ 6. Кинетическое уравнение Больцмана 323
ЖЩ при t —> +00 «проваливалась» бы в -оо).
Конечно, мы чисто интуитивно полагаем, что
предельное при t —> +оо решение, следующее
из уравнения Больцмана, соответствует описанию
термодинамически равновесного состояния систе-
системы. В задаче 32 показано, что цепочка уравнений <
для кинетических функций распределения в ста-
стационарном случае dFJdt = 0 содержит в себе
цепочку уравнений для равновесных функций F,, О t
построенных на основе распределения Гиббса, т. е. Рис. 200. Характер эволюции
равновесные функции F, удовлетворяют цепочке ^-функции Больцмана
кинетических уравнений, однако то, что они од-
одновременно являются и предельными при t —> +оо, нам приходится принимать как
«само собой разумеющуюся» аксиому или как своеобразное граничное условие.
Выясним теперь, какая функция <ЗГ соответствует предельному значению функ-
функции Ж{оо) = Жо, когда дЖ/dt = 0. Так как под интегралом, определяющим эту
производную, стоит неотрицательная величина, то интеграл равен нулю только
в случае
In ,,". ' -(&1 &? - &&А = 0.
Обратим сразу внимание, что функция SF, удовлетворяющая этому функциональ-
функциональному уравнению, обращает в нуль и интеграл столкновения Больцмана.
Если записать это уравнение в виде
In <Г(г, р) + In <Г(г, р,) = In <Г(г, р') + In ST(r, p',),
то становится ясным, что In @~ + In @\ представляет собой любую аддитивную
величину, сохраняющуюся в задаче об упругом столкновении двух тел, и любую
их линейную комбинацию. Таких величин по отношению к импульсу известно
только пять: величина, не зависящая от импульса, три компоненты импульса р
(как следствие закона сохранения р + Pi = р' + р',) и квадрат импульса р2 (закон
сохранения энергии р2 + р2 = р'2 + р']). Составляя линейную комбинацию этих
частных решений с произвольными коэффициентами а(г), /3(г) и j(r), получаем, что
In gr = а +/Зр + 7Р2
является решением интересующего нас уравнения. Вместо достаточно безликих ве-
величин а, /3, 7 введем другие пять п(г), ро(г) и 0(г), так чтобы полученное решение
приобрело бы вид локального распределения Максвелла:
^ - пГг) {2ЖК? exp l.b
- п(г) B1гт6,(г))з/2 «Р \ :
где вновь введенные величины п, ро и в не только несложным образрм,выражаются
через а, /3 и у, но и имеют совершенно четкий физический смысл:
/
dp
т> Р) 1—ГТТ ~~ локальная плотность числа частиц;
{lichy
1 * ' — локальная средняя скорость;
т
-Ш
в(т) — - ° — локальная температура.
3 2тп

324 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
Таким образом, мы показали, что локальное распределение Максвелла обращает
в нуль интеграл столкновений Больцмана и определяет предельное значение ^Щ.
Если мы рассмотрим пространственно однородную систему U(r) — 0, в(г) = О,
п(г) — l/v, ро = 0 (или систему, состоящую из ряда пространственно однородных
покоящихся друг относительно друга макроскопических подсистем), то функция
ЯГ — это просто максвелловское распределение и величина
ar apexp ш + P2
(V)
где So — энтропия идеального классического газа, рассчитанная с помощью метода
1кббса (см. т. 2, гл. 1, §6-ж)). В случае «кусочно» пространственно однородной сис-
системы здесь автоматически появится сумма термодинамических энтропии для каждой
из пространственно однородных подсистем, которую можно записать как интеграл
от плотности энтропии ?(г) = n(r)s(r), где s(r) — энтропия в расчете на частицу
системы в локальной области вблизи точки г, по пространству координат,
& ln^dpdr = In(r)«(r)dt,
* (И)
где определяемая с помощью локального распределения Максвелла плотность эн-
энтропии (или удельная локальная энтропия s(r)) равна
п(г)«(г) = f
г, р) In 0" (г, р).
По поводу полученных результатов сделаем несколько замечаний. Во-первых,
полученное значение Sq — это всего лишь энтропия идеального газа. Ничего луч-
лучшего от уравнения Больцмана нельзя было и ожидать, так как для определения
термодинамических характеристик неидеальной системы необходимо располагать
парной корреляционной функцией Fi, а в уравнении Больцмана она в термоди-
термодинамическом смысле утеряна: мы взяли от двухчастичной функции Fi информацию
о столкновении частиц друг с другом, которой оказалось достаточно для определения
кинетики системы на уровне уравнения Больцмана, но не хватило для определения
поправок на неидеальность системы в предельном случае, когда эволюция системы
уже завершилась. Поэтому иногда уравнение Больцмана и называют кинетическим
уравнением идеального газа.
Во-вторых, привязка предельной функции 2% к термодинамической энтропии
системы обычно служит основанием для объявления функции Ж (t) минус энтро-
энтропией неравновесной системы (так сказать, «аналитическое» продолжение из области
t — +оо в область конечных значений t). В том случае, когда эволюция системы
уже привела к образованию локального максвелловского распределения (т. е. уже
сформировались такие локальные характеристики гидродинамического типа, как
п(г, t), po(r, t) и O(r,t), то особых возражений это обобщение понятия энтропии
не вызывает. Если же, например, температура 0(г) еще не сформировалась (а значит,
и никакие другие термодинамические характеристики, включая энтропию, в этой
области еще не возникли), то такое обобщение понятия энтропии приобретает
достаточно условный характер.

§ 6. Кинетическое уравнение Больцмана 325
В-третьих, мы выяснили, что по мере приближения неравновесной функции
распределения F, к локальному максвелловскому распределению роль интеграла
столкновений ослабевает (при F, = FmK интеграл столкновений вообще обращается
в нуль). Образование .Рлок знаменует собой некоторый этап в эволюции системы,
который связан не только с уменьшением роли интеграла столкновений (хотя сами
столкновения в системе не прекращаются), но и с образованием локальных термоди-
термодинамических характеристик (не только n(t, г), ро(?, г) и 6(t, г), но и локальных значе-
значений внутренней энергии, энтропии, химического потенциала и т.д.). Если первый,
механический этап эволюции, завершившийся переходом к кинетической стадии,
был связан с временным масштабом Дт ~ тст, то временной масштаб второго этапа
т' из самых общих соображений должен быть порядка времени свободного пробега,
так как для образования локального термодинамического состояния необходимо
время, за которое частицы успевают достаточное число раз повзаимодействовать
друг с другом. Мы остановимся на оценке т' в следующем пункте.
г) Линеаризованное уравнение Больцмана
Полагая, что за время At порядка времени свободного пробега крупномас-
крупномасштабная неоднородность (см. п. а)) фактически остается неизменной, рассмотрим
сразу пространственно однородный случай, для которого интеграл столкновений
Больцмана собственно и был получен (аргумент г, можно, как и раньше, сохра-
сохранить в качестве общего параметра). Вводя, как в § 2,3, одночастичную функцию,
номированную на число частиц, F(t, г, р) = nf(t, г, р), где n = N/V, имеем
8F / ВF\
~dt=\~di) =
На исходе времени t ~ т' функция F приближается к локальному распределению
F(r, p), поэтому, полагая
можно считать, что на исходе второго этапа эволюции x(t>г> Р) <^ 1 • Подставляя эту
конструкцию для F в кинетическое уравнение и опуская квадратичные по х члены,
получим
F -? = J и du dp, (FP[ - FF{ + FP[(x' + x\) - Щ(Х + Xi))-
Так как FF\ = F'F'{, то линеаризованное уравнение Больцмана приобретает вид
— = / щ dw dp, F,(xi +x'~Xi- X)-
Если положим (как это часто делается в подобных случаях)
то получим безвременное линейное интегральное уравнение
-i/ft = / и dw dp, F, (ft', + ft' - ft, - ft),
в котором величина -v играет роль собственного значения интегрального оператора,
стоящего справа (тривиальное решение Л = 0, означающее F = F, нас не интере-
интересует, а нетривиальное существует, как правило, не при всех значениях v). Покажем

326
Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
прежде всего, что все собственные значения v неотрицательны (т. е. величина %
релаксирует к нулю). По существу это будет передоказательством ^Г-теоремы,
но по отношению к линеаризованному уравнению (см. задачу 45). Умножим обе
части уравнения на -hF и Проинтегрируем по р. Тогда, учитывая^ что в интеграле
столкновений согласно лемме Больцмана можно заменить функцию ft на комбина-
комбинацию |(ft + ft1, - ft' - ft',), получим
v I h2Fdp = - f ft(ft', + ft' - ft, v- h)FFxu dw dp dp, =
k\ + ft' - ft, - hJFF\u dw dp dp, ^ 0,
откуда вследствие ft ^ 0 получаем для собственных значений
Ввиду сходимости интегралов по р и р,, которая обеспечивается максвелловскими
экспонентами F и F\, ясно также, что величина v не может принимать бесконечных
значений, т.е. v < vmax. Собственные функции fto, соответствующие и = 0, нам
фактически уже известны: это пять аддитивных инвариантов задачи двух тел. Их
линейная комбинация имеет вид
fto = <*о + /30Р + ТоР2-
Это решение можно учесть, «перенормировав» с точностью до линейных по fto
членов локальное распределение F:
F =
= exp
= ехр
где а', /3' и У переосмысливаются, как и раньше, в терминах п(г), ро(г) и 0(г),
и тем самым исключить ft0 из дальнейшего рассмотрения. Все же остальные решения
имеют ярко выраженный релаксационный характер:
v2--
причем величины v образуют ограниченный сверху спектр
обратных времен релаксации, из которых максимальное, со-
составляющее для нас основной интерес, есть
т' =
1
umin=~'
о
Рис. 201. Спектр соб-
собственных значений (об-
(обратных времен релакса-
релаксации) линеаризованно-
линеаризованного интеграла столкно-
столкновений
Мы не останавливаемся здесь на доказательстве существова-
существования дискретного спектра величин v. Это специальный вопрос.
Математики нашли частные случаи взаимодействия, когда
проблема собственных значений линеаризованного оператора
столкновений решается точно, и там спектр v действительно
оказывается дискретным, как это показано на рис. 201, но до-
доказать это в общем случае или хотя бы для случая твердых
сфер в полной мере не удается.
Общее решение уравнения для х(<, Р) представляется как
суперпозиция

§ 6. Кинетическое уравнение Больцмана 327
(коэффициенты С„ определяются через начальное значение функции распределе-
распределения), поэтому, каково бы ни было распределение в момент t = 0, по прошествии
времени t ~ т' распределение по импульсам станет локальным максвелловским.
Если в этой сумме мы сохраним только одно наиболее долгоживущее слагаемое
(приближение одного времени релаксации), то для промежутков t, таких, что
l/v\ < t ~ т', кинетическое уравнение приобретает вид феноменологического урав-
уравнения с релаксационным членом (см. § 3)
or ., о ,~ ~ _//,'. X . „л/.' г — с
Обобщая рассмотрение на слабо пространственно неоднородную систему (см. п. а)
этого параграфа), когда неоднородность по г значительно превосходит Асвпр, полу-
получим
dF(t,г,р) р dF dU ftF _ F-F
dt т дг дг dp ~ т'
Относительный успех этого уравнения связан с тем, что его используют в ста-
стационарной области, т.е. в случае t > т', когда локальное распределение F уже
образовалось и детали этого процесса отошли на задний план. В области же t < т'
оно весьма грубо описывает предгидродинамическую кинетику системы.
Определение спектра vn (или хотя бы минимального собственного значения
v\ = 1/т') — это достаточно сложная и, как правило, точно не решаемая задача
математической физики (см. задачу 47). В связи с этим произведем самую грубую,
но зато эффективную оценку времени релаксации т'. Сохраним в правой части
точного уравнения
vxh=—h= I (ft + ft, - ft' -h\)F\udu> dp,
только одно первое слагаемое, пропорциональное Л. Тогда Л сократится вообще,
и мы получаем для оценки порядка величины v\, учитывая, что a da dip = da,
выражение
1 Г ~ f (m \3/2 Г "™n
— ~ I F\U d<rdp\ = I <тп\У\ - v I exp < > ovi = vv,
в точности совпадающее со средним числом соударений частицы, имеющей ско-
скорость v с другими частицами за секунду (см. задачу 8). Усреднив по всем у, мы
приходим к известному результату элементарной кинетической теории (см. задачу 7)
для времени свободного пробега:
1
~ — ТСв. пр —
Таким образом, время релаксации т' к локальному максвелловскому распределению
оказывается порядка среднего времени свободного пробега
т ~ тсв. пр-
Более корректная оценка минимального собственного значения v\ = 1/т', основан-
основанная на вариационной процедуре типа метода Ритца в квантовой механике (см. зада-
задачи 47, 48), приводит практически к такому же результату:
т'*^т *2т
' — о тсв. пр — ^'св.пр.

328 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
Наивно, конечно полагать, что максвелловское распределение возникает за два
столкновения. Напомним (см. п. а)), что за время тсв „Р в объеме порядка А3 проис-
происходит не два, а 104 столкновений частиц друг с другом.
д) Гидродинамический этап эволюции системы
Остановимся вкратце на обзоре ситуации при t > т\ т. е. случае, когда каждой
локальной области системы можно сопоставить локальные термодинамические па-
параметры. Первое, на что следует обратить внимание, это то, что как шкала t, так
и шкала г в этом случае оказываются одинаково огрубленными:
*-" J? 'св. пр> t4J' ** лсв. пр
(даже если вместо символа Д стоит дифференциал d); т. е. левая и правая части
уравнения Больцмана в отношении масштабов оказываются полностью согласован-
согласованными.
Далее, так как t > т', то, как мы показали в предыдущем пункте, в каждой
локальной области произошло образование максвелловского распределения, опре-
определяющего главную часть функции F, т.е. зависимость самой функции от t будет
определяться уже не непосредственно, а главным образом через зависимость от t
локальных величин n(t, r), u(t, г) и 0(t, г):
F{t, г, р) = nf{t, r, p) = F(r, p | п, и, в).
Таким образом, введение гидродинамической шкалы времени — это второй этап
ее огрубления (первый был связан с переходом от механического к кинетическому
этапу эволюции, когда мы полагали At > т" ~ тст).
Зависимость же самих величин п, и и в от времени можно определить с помощью
того же уравнения Больцмана. Действительно, проинтегрируем уравнение
dF(t,г,р) Р_ 2?. dU dF (dF\
dt тп дт dr dp \ dt) ст
по р, тогда, учитывая, что согласно лемме Больцмана /A) = 0 и что интеграл по р
от dF/dp обращается в нуль, получим
dn(t,r)
dt
Это известное уравнение непрерывности для плотности числа частиц n(t, г), в правой
части которого мы специально отметили, что зависимость от времени осуществляется
через зависимость от t локальных величин п, и, в; а функциональная зависимость
от F входит через определения этих локальных параметров (см. § 2). Аналогично,
умножая уравнение Больцмана на ра/(тп) (а = х, у, z) и интегрируя по р, приходим
к трем уравнениям Эйлера:
dua
dtp
= -— / — F dp = - divnu = Ф„(г; n, u, в \ F).
or J m
и наконец, пятое уравнение (уравнение для температуры в):
(более подробно эти уравнения будут выписаны в задаче 49). Обратим внимание,
что в силу 7A) = 1{ра) — 1(р ) = 0 интеграл столкновений непосредственно

§ 6. Кинетическое уравнение Больцмана 329
в эти уравнения не входит (его влияние сказывается только через функциональную
зависимость от F, которая в свою очередь удовлетворяет кинетическому уравнению
с интегралом столкновений в правой части).
Далее, ввиду перехода к шкале t > т' сама функция F в гидродинамическом
приближении мало отличается от локального распределения, т. е.
где <р < 1. Подставляя эту функцию в уравнение Больцмана, получаем в нулевом
приближении известное уже нам соотношение
0
= f (F'Fl-
а в первом — линеаризованное относительно tp уравнение
dF p д? 8U д?
в левой части которого стоят производные по t и г от медленно меняющихся
(в масштабе времени и длины свободного пробега) величин, а справа — линеари-
линеаризованный интеграл столкновений Больцмана. Это уравнение похоже на уравнение
для х(*. г> Р)> рассмотренное в предыдущем пункте, но оно другое по содержанию
(поэтому и изменены обозначения). Это неоднородное интегральное уравнение для
первого приближения функции F, в котором dF/dt необходимо еще выразить
(зависимость F от п, и и в известна) через производные по времени от п, и
и в с помощью выписанных выше уравнений гидродинамики. Причем в правых
частях этих уравнений необходимо также произвести соответствующее разложение
F = F + Ftp, чтобы получить в конце концов согласованную в смысле приближения
систему шести уравнений для шести функций tp, n, u и в. Проведение этой про-
программы и составляет основу так называемого метода Чепмена—Энскога решения
уравнения Больцмана.
Несмотря на ясность и физическую согласованность общей программы метода,
практическая реализация ее приводит к весьма громоздким выкладкам (отметим,
что в нее полностью включается проблема исследования свойств линеаризованного
интеграла столкновений с использованием специальных функций Сонина и т. п.,
см. задачу 48). В упрощенном виде мы проведем эти исследования в разделе
задач (§ 8). А сейчас ограничимся только несколькими замечаниями.
1) Реализация указанной программы дает решение для tp (а следовательно,
выраженные через микроскопические величины коэффициенты вязкости 771 и 772,
диффузии D, теплопроводности х), приводит к уравнениям гидродинамики (в ну-
нулевом приближении — к уравнениям идеальной жидкости Эйлера, в первом —
к уравнениям вязкой жидкости Навье—Стокса), т. е. все, что необходимо для даль-
дальнейшего уже макроскопического описания системы в рамках задач математической
физики с начальными, граничными и т. п. условиями.
2) Решение уравнения Больцмана с точностью выше первого порядка по tp (или,
что то же, в следующем порядке по параметру плотности R\/v) представляет уже
чисто математический интерес. Действительно, итерация интеграла столкновений
в форме Больцмана означает учет четырехчастичной ситуации, в которой две пары
частиц A-2) и C-4) не взаимодействуют между собой, т. е. в этом приближении
не присутствуют равноценные учтенным вклады от взаимодействий частиц A-3)

330 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
и B-4), а также от взаимодействия сразу всех четырех частиц. Тройные же корреля-
корреляции, предшествующие четверным и включающие не только учет различных по после-
последовательности парных соударений, но и сами тройные взаимодействия, в этом «вто-
«втором» приближении не рассматриваются вообще. Таким образом, желая получить ре-
результаты, имеющие физический смысл и гарантированные в исследуемом за первым
порядке по параметру плотности R\/v, необходимо всю предложенную выше про-
процедуру, включающую гидродинамическое приближение, осуществлять не на основе
кинетического уравнения Больцмана, а на основе цепочки уравнений Боголюбова,
включающей корреляционные функции F$ и F+ с граничными условиями, выража-
выражающими принцип ослабления корреляций, и последовательно проводимом разложе-
разложением по степеням параметра Щ/v (при этом, естественно, ограничение первыми
двумя уравнениями автоматически приводит к результатам Чепмена—Энскога).
3) Изложенную в пункте д) общую программу действий можно применить
и к кинетическому уравнению с релаксационным членом вместо интеграла столк-
столкновений, которое при t > т' может оказаться, как мы показали в п. г), вполне
оправданным. Этим и объясняется его неожиданный на первый взгляд успех: все
гораздо проще, так как член «столкновений» не имеет интегральной структуры,
и решение для ip получается элементарно. Мы воспользуемся этой возможностью
в задачах §8. В связи со сказанным в предыдущем замечании следует отметить,
однако, что элементарно осуществляющаяся в процедуре решения уравнения с ре-
релаксационным членом (с возможными его модификациями) вторая итерация по т,
несмотря на ее заманчивость (нелинейные эффекты и т.д.), не имеет физического
смысла, так как само это уравнение генетически связано с уравнением Больцмана
и представляет как бы его частный вариант.
е) Обсуждение
Так как параграф, посвященный уравнению Больцмана, по естественным при-
причинам получился большим, то мы провели необходимые обсуждения в каждом из его
пунктов, так сказать, по горячим следам. Нам остается сделать только два общих
замечания.
1. Проведенное нами в этом параграфе рассмотрение эволюции системы мно-
многих тел с короткодействием в достаточно яркой форме выражает идею Боголюбова
об иерархии временных релаксационных процессов в статистических системах.
Не повторяя всего, что по этому поводу говорилось ранее, представим эту последо-
последовательность временных масштабов в виде схемы (с. 331).
2. Уравнение Больцмана необратимо во времени. Наиболее ярко эта необра-
необратимость выражена в ^Г-теореме. В п. в) мы уже обсудили, почему при переходе
от уравнения Лиувилля к уравнению Больцмана была потеряна инвариантность
по отношению к обращению времени, — это те дополнительные условия типа гра-
граничных при т-юо, которым были подчинены высшие корреляционные функции
в цепочке Боголюбова и которые обеспечивали появление физически осмысленного
решения. В свете работ Боголюбова все это понятно и общепризнано. В конце
XIX века появление этой необратимости (в частности, Ж -теоремы) вызывало рез-
резкие возражения против всего кинетического подхода Больцмана. Идеи основных
возражений можно разделить на две группы.
а) Парадокс возврата, или парадокс Цермело (Е. Zermelo, 1896; Н. Foincare,
1892), основанный на теореме Пуанкаре (см. задачу 3) и заключающийся в том,
что 4госколысу микроскопическое состояние системы воспроизводится с наперед
заданной точностью через какое-то время Т, то ^Г-функция (или энтропия) должна

§ 6. Кинетическое уравнение Больцмана
331
Схема последовательности релаксационных процессов в статистической системе
О-
Механика
Кинетическое
приближение
Гидродинамическое
приближение
т'-
т—
Квазистатическая тер-
термодинамика и равно-
равновесная статистическая
механика
Состояние системы описывается координатами
и импульсами всех частиц системы.
~т" ¦ ,¦•.-.
Состояние системы можно характеризовать с по-
помощью одночастичной функции F(t, x), через
нее же реализуется зависимость от t всех дру-
других функций распределения
F.(t, xu...,x,)= F,(xlt. ..,x,\F),s>2. •¦
—Тсв. пр
Формируется локальное максвелловское распре-
распределение и образуются локальные характеристики
n(t, г), u(t, r), 6(t, г). Непосредственная зависи-
зависимость функции F от t переходит в зависимость
от времени через локальные гидродинамичес-
гидродинамические переменные F(t,x) = F(x \ n, и, в). Через
уравнения гидродинамики в задачу входят гранич-
граничные условия. Решение этих уравнений определяет
время макроскопической релаксации т к состоя-
состоянию статистического равновесия.
Граничные условия и форма сосуда становятся не-
несущественными. Функцией распределения являет-
является распределение Гиббса.
иметь то же свойство, а следовательно, она не может быть монотонной функцией
времени в принципе вопреки утверждению Ж -теоремы. Теперь это возражение
имеет уже чисто исторический интерес. В задаче 3 обсуждается проблема возврата
и выясняется, что теорема Пуанкаре стремлению системы к состоянию равновесия
не препятствует. Огрубление же рассмотрения было выполнено нами явно при пе-
переходе к кинетической шкале времени (согласно задаче 5 точное микроскопическое
значение Ж -функции вообще от времени не зависит).
б) Парадокс обратимости — парадокс Лош-
мидта (J. Loschmidt, 1876). Остановимся на этом
вопросе несколько подробнее, так как этот «па-
«парадокс» не только не потерял своего значения,
но и обогатился физическим содержанием; Ра-
Ради наглядности представим себе какую-нибудь
простую модель процесса. Пусть в сосуде с объ-
объемом V, небольшая его часть Vj выделена стен-
стенками, и плотность частиц в этой области щ
больше, чем в окружающей ее системе (не бу-
будем делать большой сосуд пустым, хотя это и эф-
эффектно). В момент t = 0 стенки убираются, и это
приготовленное заранее состояние (при t < 0 ...
оно было равновесным) становится начальным состоянием неравновесного процес-
процесса. Система начинает эволюционировать «по Больцману», плотность щ начинает
уменьшаться (рис. 202). В момент t = to обратим скорости всех частиц у,- —> -г.,
0
Рис. 202. Схема парадокса Лошмидта
на интервале to < t <;2t0 и его раз-
развитие при t> 2to

332 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
i = 1,..., N. Тогда система начнет эволюционировать обратно, и к моменту t = 2to
частицы сами соберутся опять в коробочку Vj. На интервале to <t < 2t0 Pf-теорема
Болыдмана инверсирована, йЖ/dt > О, это и есть парадокс Лошмидта, на основе
которого делается вывод, что Р^-функция может и убывать и расти в зависимости
от выбора начального распределения, а поэтому кинетическое уравнение, с помощью
которого получена традиционная Р^-теорема йЖ/di < 0, не выдерживает проверки
на элементарном мысленном эксперименте.
Что касается эффекта роста Ж (а у нас — роста плотности n\(t)) на интервале
t0 < t < 2to, то тут нет парадокса. Процедура получения уравнения Больцмана
методом Боголюбова допускает получение и «антикинетического» интеграла столк-
столкновений: для этого надо выбрать условия ослабления корреляций не при г -+ оо,
а при т -¦ -оо. Совершенно так же, как в задаче рассеяния можно искусственно
создать сходящуюся волну и общим принципам квантовой теории это противоречить
не будет, так и здесь можно наблюдать антикинетическую эволюцию, если только
суметь приготовить исходное антикинетическое состояние.
В наши дни, по прошествии более ста лет, ответ Больцмана Лошмидту: «по-
«попробуйте же их повернуть» воспринимается как трагический возглас отчаяния.
Но обратить скорости все же хочется. Так как спонтанного возникновения антики-
антикинетического состояния никто никогда не наблюдал, предположим поэтому, что мы
наняли армию из 1023 демонов Максвелла, которые по команде в один и тот же
миг обращают скорости всех N частиц. Заметим мимоходом, что при этой опера-
операции неизбежно возникнут мелкие ошибки, т.е. будет v, -¦ -v,- + tfv,-, и возникает
вопрос, насколько устойчиво антикинетическое состояние по отношению к этим
неточностям обращения. Это очень сложный и специальный вопрос, но интуитив-
интуитивно чувствуется, что антикинетические состояния очень чувствительны (в отличие
от устойчивых кинетических) к этим неточностям. И здесь опять помогает аналогия
с теорией рассеяния. Действительно, внесение небольшого возмущения в расходя-
расходящуюся волну так и остается возмущением, которое к тому же будет рассеиваться
по всей сфере, и относительная его роль будет падать. В сходящейся же волне
роль неточности, возникшей при обращении расходящейся волны в сходящуюся,
по мере схождения будет возрастать, волна уже не сойдется в точку, и «начальное»
состояние будет далеко до воспроизведения. Совершенно так же и в статистической
системе ошибки в отражении скоростей частиц приведут к весьма приблизительному
воспроизведению начального состояния (пунктирная линия на рис. 202).
Далее, само обращение v,- -¦ -v,- и его момент to должны удовлетворять
довольно жестким условиям. Так как в статистической системе отдельная частица
очень быстро теряет память о своем прошлом состоянии, то вся система обладает
тем же свойством, и для успешного воспроизведения при t = 2t0 начального
состояния надо выбрать *о меньше, чем это время памяти. Последнее же измеряется
в масштабе времени свободного пробега (для газа при нормальных условиях согласно
задаче 7 это 10~10 с). И еще, само переключение не может быть мгновенным, время
этого переключения At должно быть много меньше t0.
Предположим теперь, что все условия выполнены (т. е. t0 < г' и At < t0).
Посмотрим, как будут развиваться события дальше. В момент t = 2t0 система
придет в первоначальное состояние, но с обращенными скоростями. Но состояние
в момент t = 0 было инвариантно по отношению к обращению скоростей частиц
как всякое равновесное состояние, и поэтому дальше события будут развиваться, как
будто бы начиная от нуля. А в целом получаетсячтак называемое «эхо» (см. рис. 202).
Конечно, в системе типа газа этот эффект наблюдать не удается, но в системе
ядерных магнитных моментов (см. § 4 раздела задач к гл. 5) значения времен релакса-
релаксации, в частности спин-решеточного т\, достигающего десятков минут, оказываются

§ б. Кинетическое уравнение Больцмана
333
вполне благоприятными для практической реализации процесса воспроизведения
начального неравновесного состояния системы. Спиновое эхо было впервые экс-
экспериментально воспроизведено американским физиком Ханом (Е. L. Hahn, 1950).
Необходимо заметить, однако, что хотя в результативном плане (практически полное
воспроизведение в момент t = 2tQ первоначальной величины поперечной намаг-
намагниченности) эффекты Хана и Лошмидта полиостью подобны, механизмы рекон-
реконструкции начального состояния в них несколько различны (о явлении спиновое эхо
см. подробнее в задаче 27 к этой главе).
Таким образом, парадокс Лош-
Лошмидта по существу своему парадоксом
не является. Просто ни сам Лошмидт,
ни почитатели его парадокса в пылу
дискуссии не задумывались над тем,
каким условиям необходимо удовле-
удовлетворить, чтобы эффект антикинети-
антикинетического состояния мог бы действи-
действительно реализоваться, как реализует-
реализуется спиновое эхо.
Весьма впечатляющими в свя-
связи с этим представляются результаты
машинных экспериментов, которые
стали возможными с появлением до-
достаточно мощных ЭВМ. Скажем не-
несколько слов об одном из первых та-
таких экспериментов (J. Orban, A. Belle-
mas, 1967), который заключался в рас-
расчете механического движения ста
упругих дисков внутри квадрата с иде-
идеально отражающими стенками. Плот-
Плотность этого двумерного газа составля-
составляла 0,04 от значения, соответствующе-
соответствующего плотной упаковке дисков. В ка-
качестве начального состояния выби-
Рис. 203. Три графика, огибающие полученные в ма-
машинном эксперименте Орбана и Беллемаса точки зна-
значений функции
3T(t) = j jf(r, p, t) In ? • /(г, p, t) drdf.
ралось пространственно упорядочен-
упорядоченное расположение дисков в узлах во-
воображаемой квадратной сетки, а на-
направления их скоростей, при t = 0
одинаковых по абсолютной величине,
выбирались случайно. Оказалось, что
после 150-т200 произошедших в си-
системе столкновений (т.е. по проше-
прошествий времени порядка 2тсв, пр) от это-
этого упорядочения не оставалось и сле-
следа, а распределение по скоростям ста-
становилось максвелловским. После определенного числа соударений (выбирались мо-
моменты to, соответствующие 50 и 100 соударениям) расчет останавливался, зафикси-
зафиксированные в t — to значения скоростей обращали на обратные (т. е. роль демона Макс-
Максвелла брал на себя оператор машины), а затем машину включали вновь. В процедуру
создания антикинетического состояния вводили и небольшие случайные ошиб-
ошибки, в относительном выражении имеющие величину 10~8,10~5 и 10~3. Результаты
для Ж -функции Больцмана полностью совпали с изображенными на рис. 202 с той
При отражении скоростей дисков допускались случай-
случайные ошибки, имеющие относительную величину 10~8,
10~5 и 10~3 соответственно. Моменты отражения
в единицах среднего времени свободного пробега
выбраны соответственно t0 = т/2 (через 50 соуда-
соударений в системе из 100 дисков) и i0 = г (через сто
соударений)

334 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
разницей, что машина выдавала ступенчатую фигуру, отражающую также и флуктуа-
флуктуации этой функции (см. рис. 203). Характерна и зависимость степени воспроизведения
начального состояния от точности обращения скоростей: если при внесении отно-
относительной ошибки, равной 10~8, первоначальное значение 2Г-функции в момент
t = 2<0 воспроизводилось практически полностью (при t0 = rct пр/2 получалось
SrBto)/Sr@) = 1, при t0 = тсв.пр — ЖB1о)/ЗГ@) = 0,9), то при ошибке, равной
10~3 и ?о = тсв, пр, обращение скоростей дисков антикинетического состояния факти-
фактически уже не создавало, и никакого подобия всплеска ,Ж-функции уже не возникало.
§ 7. Лоренцева форма интеграла столкновений
Рассмотрим в этом параграфе одну простую кинетическую схему, исследование
которой удается провести без привлечения громоздких методов типа Чепмена—
Энскога, и т. п. Речь идет о модификации интеграла столкновений Больцмана,
произведенной еще Хендриком Лоренцем (Н. Lorentz, 1905) в связи с развитым им
кинетическим подходом в электронной теории металлов. Это приближение осно-
основывается на тех упрощениях, которые возникают при рассмотрении столкновений
частиц, массы которых сильно отличаются друг от друга (для электронного газа это
обстоятельство выражено особенно ярко, так как те/т, ~ 10~4).
Исходным моментом рассмотрения является система кинетических уравнений
Больцмана для функции распределения f(t, г, р) легких частиц (плотность п = N/V)
и функции распределения f\(t, г, р) частиц сорта 1 — тяжелых частиц (их плотность
П\ = N\/V), из которых мы выпишем только уравнение для f(t, г, р):
df(t,r,p) р д/ ди д/
dt
(уравнение для функции f\ аналогично) и исследуем частный случай, когда т < тх.
а) Кинетическое уравнение для легкой компоненты
Интересуясь кинетикой только легкого газа в среде из тяжелых частиц, образу-
образующих своеобразный фон для легких, опустим интеграл столкновений легких частиц
друг с другом. Такое упрощение с физической точки зрения можно оправдать, если:
— легкие частицы составляют малую примесь в среде тяжелых, т. е. п < щ, или
— взаимодействие легких частиц друг с другом гораздо слабее их взаимодействия
с частицами фона, т. е. а < <i\ (как, например, для нейтронного газа), или,
в более общей форме,
— время релаксации т\ газа легких частиц по отношению к какому-либо задан-
заданному распределению тяжелых частиц гораздо меньше времени релаксации г',
обусловленной взаимодействием их друг с другом, т{ < г'.
С математической точки зрения такая аппроксимация очень заманчива: урав-
уравнение для функции f(t, r, р) сразу становится линейным.
Не интересуясь кинетикой частиц фона (они могут составлять узлы кристалли-
кристаллической решетки, т. е. даже не газ), мы будем полагать функцию распределения f\
не только известной, но и совпадающей с равновесной (или локально-равновесной),
например, максвелловской функцией /i(pi) = w(pi).

§ 7. Лоренцева форма интеграла столкновений
335
Ввиду того что в слабонеравновесном случае
mir
и т\ > m, имеем t^ «С v2 (рис. 204), поэтому
можно положить
и вынести модуль относительной скорости за знак
интеграла по pi. Далее, пренебрегая отдачей при
рассеянии легкой частицы на тяжелой, имеем
интеграл по Pi берется,
Рис. 204. Распределение
по скоростям тяжелых и легких частиц
и функция /| вообще исчезает из интеграла столкновений, остается только плотность
частиц Tii. Полагая
du = a da dip = <r(v, ip) dQ,
где ¦ф — угол рассеяния, du = sinV1 dij> dip, и вводя функцию F(t, г, v) = nf,
нормированную на число легких частиц N, получаем окончательнЬ
dF(t,г,v) 0F_J_ ^ ^
dt дт тп дт dv
Ввиду того, что стоящая в интеграле столкновений неизвестная функция F' —
F(t, г, V) содержит в качестве одного из своих аргументов скорость легкой частицы V
после ее столкновения с тяжелой, которая определяется в результате решения
соответствующей задачи рассеяния, полученное уравнение, несмотря на достигнутую
его линейность и откровенно частный характер, все же остается достаточно сложным.
В следующем пункте мы рассмотрим, как это уравнение решается в стационарном
случае, имеющем достаточно широкое применение при оценке коэффициентов
переноса.
б) Явления переноса для легкой компоненты
Полагая для простоты U = 0, в стационарном случае получаем
dF(r,y)
v"~cF~:
Выберем в качестве оси z направление градиента функции F, т. е. положим
dF/дт = @,0, dF/dz). В сферических координатах с этой полярной осью функ-
функция F ввиду изотропности пространства от угла ip не зависит, F = F(z,v,{&),
где •& — угол между осью z и вектором v.
Так как при описании явлений переноса мы всегда ограничиваемся рассмо-
рассмотрением слабонеравновесных систем, то нулевым приближением для F является
локальное распределение Максвелла

336
Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
Зависимость же от угла 0 может быть представлена в виде разложения по полиномам
Лежандра
PO(cOS0) = l, P,(COS0) =
Ограничиваясь только первой поправкой, положим
Тогда имеем
или
F(z, v, 0) й F(z, v){\ + Ф(г, v) cos0).
v —Z211. cos 0 = ni w / F(z, v)${z, v)(cos ¦d' - cos 0)ff(v, ф) du
dz J
d\n F(z,v)
dz
cos ¦& = ni Ф(г, v) j (cos ¦&' - cos ¦d)<r(v, i/>) du.
По существу, это уже решение для Ф. Чтобы выполнить интегрирование по углам,
введем другую систему координат с полярной осью вдоль вектора v (рис. 205).
На единичной сфере будем иметь тогда
т. = 1 = @,0.1),
v, = — = (sm ф cos y>, sm ф sin y>, cos ф),
V
Ze = (sin 0, 0, COS 0).
Отсюда сразу следует известная формула три-
тригонометрии на сфере
(zg • v'e) = cos 0' = sin 0 sin ф cos ip + cos 0 cos ф.
Интегрирование по углу tp дает
2* 2*
<P
Рис. 205. Пространственное расположе-
расположение единичных векторов Ze,vc и v?
поэтому получаем
j dip = 2n, I cos ip dip = 0,
d\nF
dz
cos0 = П1Ф / (cos V-cos0 - cos t?)a-(t»,
0
Сокращая на cos 0 и вводя эффективное сечение (иногда называемое транспортным)
E(v) = Ък I <r(v, ф) A -
cos V) sin
получаем
dz

§7. Лоренцева форма интеграла столкновений 337
где Л = 1/(гцЕ) эффективная длина свободного пробега (см. задачу 7 в случае,
когда в силу т < т\ приведенная масса fi = m). Таким образом, для получения
окончательного решения стационарного кинетического уравнения
F(z, v, tf) = F(z, v) - A(v) ¦ cos &
oz
остается рассчитать при заданном потенциале взаимодействия частиц Ф(Д) величину
эффективного сечения E(v) (или A(v)). Для случая твердых сфер это сделано
в задаче 55.
Кинетические характеристики теперь рассчитываются непосредственно по фор-
формулам §2. Для потока частиц легкой компоненты имеем, полагая F = n(z)w(v),
in = f vtFdy = j vJn(z)w(v) - Л ^ • j-z(n{z)w{y))\ dv.
Обозначая чертой сверху средние по максвелловскому распределению w(\), учиты-
учитывая, что щ = 0, заменяя под знаком интеграла по v величину t»|/(|v|) на
3
и вынося д/dz за знак интеграла, получаем
откуда для коэффициентов диффузии D и термодиффузии D» имеем
D = -Щ, De = -n — Щ.
Перенос энергии, обусловленный частицами легкой компоненты
mv2 1 д Г "~Х
2\ дп 1 д (k mv2\d0
)AA)
определяется с помощью коэффициентов теплопроводности н и диффузионного
переноса тепла н„:
1 / mv2\ 1 д ( mv2
(Л) 1Л
Обращает на себя внимание совпадение этих результатов с теми, которые были
получены в рамках полуфеноменологической теории с релаксационным членом
вместо интеграла столкновений (см. § 2 гл. 5 и § 3 раздела задач к гл. 5), только здесь
величина эффективного свободного пробега Л(«) появляется из микроскопического
рассмотрения, а не является подгоночным параметром А полуфеноменологической
теории.

338 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
в) Явления переноса в электронном газе
Сделаем несколько замечаний, касающихся истории вопроса. Понятие «элек-
«электронный газ» было введено Друде (P. Drade, 1900) с целью объяснения характерных
особенностей проводников (заметим, что сам электрон был открыт Томсоном всего
за три года до этого). Лоренц в 1904-1905 гг. поднял эту теорию (в классическом
варианте) до уровня кинетической теории, которую мы рассмотрели выше. Для вы-
вырожденного электронного газа соответствующие расчеты были выполнены несколько
позже Зоммерфельдом (A. Sommetfeld, 1928) — через три года после формулировки
по отношению к электронам принципа запрета Паули. Большую роль в развитии
квантовой электронной теории сыграли фундаментальные работы Феликса Блоха
(F. Bloch, 1928-1930), который показал, что движение частицы в периодическом
поле кристалла описывается не плоскими волнами, а так называемыми блоховскими
функциями, которые периодическим полем решетки не рассеиваются, поэтому ме-
механизм возникновения сопротивления и т. п. связан в низкотемпературной области
не с непосредственным рассеянием электронов на ионах решетки, а с рассеяни-
рассеянием на нарушениях ее периодической структуры (посторонние примеси, дефекты
решетки — дислокации и, наконец, тепловые колебания самой решетки).
Мы остановимся на этих интересных вопросах, считая газ вырожденным (тем-
(температура вырождения электронного газа по сравнению с комнатной очень высока,
0о ~ ?f — sJCt2.W/VJ/3 ~ Ш5-106 К), оставляя классический вариант в разделе
дополнительных вопросов и задач. Естественно, что изложенный выше аппарат при
переходе к квантовому случаю требует определенной модификации, которую мы
выполним, по возможности не перегружая изложение квантовомеханическими рас-
расчетами (в связи с этим офаничиваясь иногда только качественными пояснениями).
Прежде всего надо начать с оправдания той лоренцевской кинетической модели,
которую мы изложили в п. а) и б).
1. Электронный газ в металлах — это система с достаточно сильным взаи-
взаимодействием частиц друг с другом. При характерных для металлов его плотностях
(которым соответствует ер ~ Ю5 К) средняя энергия кулоновского взаимодействия
электронов оказывается порядка его средней кинетической энергии
е2
5 1т
Однако для электронов с импульсами, близкими к фанице Ферми, вследствие дей-
действия принципа Паули затухание оказывается исчезающе малым, и вырожденный
электронный газ оказывается практически идеальным во всей области температур-
температурного размытия Ферми. Несложная оценка этого своеобразного квантового эффекта
приведена в задаче 56. .
Далее, кулоновское взаимодействие электрона с ионами короткодействующим,
конечно, считаться не может, но при реальных его плотностях радиус томас-
фермиевской экранировки оказывается (см. оценку в задаче 57) порядка ангстремов,
т. е. размеров самих ионов, и мы можем сохранить разработанную ранее схему
(слабоидеальный газ с короткодействием), модифицировав в ней распределение
электронов по скоростям: как это рекомендовалось в §3, вместо максвелловского
распределения w(v) будем писать распределение Ферми:
F(r, v) = nw(y) =

§ 7. Лоренцеаа форма интеграла столкновений 339
где е = mv2/2, а условие ¦ ¦; .• - Л
ff(r,y)dy = n
является уравнением, определяющим локальное значение химического потенциала
Заметим сразу, что так как фон тяжелых частиц (ионная решетка) простран-
пространственно однороден, а электростатические силы достаточно велики, чтобы обеспечить
электрическую нейтральность каждого из участков системы (на уровне рассмотре-
рассмотрения стационарных явлений колебания плотности типа плазменных уже затухли),
то плотность электронного газа совпадает с плотностью ионов, п = щ = consx,
и зависимость функции F от г входит только через температуру 0(г) и химический
потенциал /*(г) = ц@(т), п).
2. Ввиду того что принцип Паули действует как принцип запрета только по от-
отношению к ферми-частицам одного сорта, то, полагая электронный газ вблизи
границы Ферми по отношению к самому себе идеальным газом и учитывая взаимо-
взаимодействие электронов только с другими частицами (тяжелыми ионами), мы сохраняем
«классическую» структуру кинетического уравнения, рассмотренного в п. а) и б);
Заметим, однако, что при подсчете эффективного сечения Е (точнее, стоящей под
интегралом величины а) принцип Паули сыграет свою роль, так как в определение
квантовомеханической вероятности рассеяния дважды входят состояния электрона:
состояния «до» и «после» столкновения.
Получим теперь решение стационарного кинетического уравнения ддя фи-
физически интересного случая, когда система помещена в электростатическое поле
Е = (О, О, Е). Левая часть стационарного уравнения, рассмотренного в п.б), изме-,
нится за счет восстановления члена (-dU/дт) ¦ (df/dp). Полагая заряд электрона
& = -е, имеем, учитывая структуру функции f,
dF df n df (df _ df\
vz— -* vz— eE — = vcos¦dI — eE —— ) =
dz dz d(mvz) \dz de)
(dp e-fi d$ \
= t;cos0( --?¦ -r- ¦ — -eE)
\ dz $ dz )
и мы сразу приходим, по существу, к воспроизведению решения, полученного
в задаче 19,
и е-и de
8F
3. Явления переноса в электронном газе теперь рассчитываются автоматически
(как в задаче 19). Учитывая, что costf = vz/v, что при интегрировании по У под
знаком интеграла можно заменить v\ на v2/3, переходя от переменной v к е = mv2/2,
получим

340 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
При 9/ц < 1 ферм невские интегралы подсчитаны. Заимствуя их из равновесной
теории (см. т.2, гл.2, §2-в)), напишем
7
7 ( дп(еЛ J г
о
где
Рассчитывая проводимость электронного газа <т (или удельное сопротивление
р = \/(т) при условии дв/dz = 0, имеем сразу, опуская температурную поправку,
p 3Bnhy
где Л = Л(е^) — значение эффективной длины свободного пробега на границе
Ферми. Температурная поправка к этому результату подсчитана в задаче 58.
В случае же д$/дг Ф 0 (а следовательно, и дц/dz Ф 0) имеем, подставляя
фермиевские интегралы в выражения для потоков, сразу же вынося Л(е) за знак
интеграла в точке е = eF,
16жт\ {ди _ 1 2 в д$'
Определяя коэффициент теплопроводности электронного газа при условии отсут-
отсутствия электрического тока, jn = 0, т. е. при значении
получаем
откуда, сравнивая этот результат с формулой для а, получаем известный закон
Видемана—Франца:
^-^-329
ав ~ 3 -3'29--
Этот закон достаточно хорошо оправдывается на эксперименте (см. обсуждение
в задаче 19) в случае, когда рассеяние электронов действительно происходит на тя-
тяжелых центрах: на атомах примеси, на дислокациях (в широком диапазоне темпе-
температур) и на ионах кристаллической решетки при температурах выше дебаевской,

§ 7. Лоренцева форма интеграла столкновений 341
в > во, когда в тепловое движение решетки вовлечены все ионы, и рассеяние
электронов происходит практически на каждом из них независимо. В области же
низких температур (по сравнению с 0D) ситуация меняется: электроны рассеиваются
не на отдельных ионах, а на длинноволновых колебаниях кристаллической решетки.
Расчет этого явления в рамках совместного кинетического подхода к электронному
газу и колебаниям решетки был выполнен Блохом в 1930 г., и за прошедшие годы
этот весьма сложный расчет практически не был ни улучшен, ни модернизирован
(если не считать учета других механизмов взаимодействия электронов с решеткой).
Мы рассмотрим это интересное явление на качественном уровне без привлечения
строгих методов и сложных математических выкладок.
4. Ограничиваясь самым простым случаем, рассмотрим одноатомную кри-
кристаллическую решетку (один атом в каждом узле) и распространяющуюся в ней
продольную волну отклонений узлов от их положений равновесия
где импульс фонона q = ftk, энергия Ьш—cq, скорость распространения с= /
н — константа упругости (сжатие-растяжение), п — плотность узлов, М — масса
атома, находящегося в узле. Чтобы выделить в амплитудном множителе необходимую
нам в дальнейшем зависимость его от величины q, подсчитаем энергию такой волны:
(V) (V)
Первое слагаемое в правой части представляет сумму кинетических энергий всех
частиц, участвующих в данной волне ?к, второе — сумму потенциальных энергий
деформированных упругих связей атомов (Д& = &(х + а) - ?k(z) = а(д?к/дх)).
Подставляя {к, подсчитывая несложный интеграл и приравнивая его энергии фонона
hw, получим
const • Mnw2VA2 = Нш.
Поэтому, выделяя интересующий нас множитель, для волны отклонений можно
написать
Так как волна отклонений связана с волной расстояний между узлами Д?к операцией
градиента, то для продольной волны плотности узлов решетки имеем
Пусть время релаксации электронного газа по отношению к смещениям узлов
решетки ге мало по сравнению с периодом ее колебаний
А 2тг
ге<Г=- = —,
с ск
т. е. при возникновении движения ионов решетки практически не возникает свя-
связанных с этими смещениями объемных зарядов. Тргда в этом «адиабатическом»
приближении, справедливом во всяком случае для длинноволновых фононов (а это
в основном и требуется), волна плотности узлов решетки будет сопровождаться вол-
волной плотности электронного газа. Так как саму плотность числа электронов можно

342 Diaea 5. Кинетические уравнения в статистической механике
представить как
лг
-г,-), j p(t)dt = N,
то волна плотности запишется как фурье-гармоника
ЛГ
•=1
pW^XV".
X
Пусть Л(п) — средняя энергия взаимодействия электрона с решеткой, с которой
он находится в динамическом равновесии. Тогда энергию взаимодействия всего газа
с решеткой можно записать как
Ню = J p{t)h{n{t))dT.
(V)
Полагая, что в системе появился один фонон (одно малое колебание решетки)
п(т) = п + Пк(г), |»ik(r)| < п,
получим для изменения энергии, связанной с таким возбуждением,
Hk=Hm-Nh(n) = h'(n)
(К)
Подставляя разложение р(т) по гармоникам рх и выражение для пк(т), учитывая,
что
(V)
получим
\ Iei(k+x)r *м+сопр-}=
где 7 — некоторая константа, в которую входит е2 и т.п. Учитывая, что р_* = pi,
и суммируя по всем колебаниям решетки, получаем
к к
Если отнестись к электронам как к частицам, появление волны их плотности р?
связано с волной их переходов из состояния в состояние. Чтобы выяснить характер
этих переходов, рассчитаем матричный элемент величины р? по волновой функции
электронной системы
ЛГ

§ 7. Лоренцева форма интеграла столкновений
343
В качестве функции ip выберем антисимметризованные произведения одночастич-
ных функций — плоских волн
>=1
Тогда, опуская для простоты операцию As, получаем сразу
(¦ф*, e'**il>) = Д(к|- - к, - к) JJ A(kj- - к,),
i
что соответствует электронному переходу kj -> k^ + к. Таким образом, волна плот-
плотности электронного газа формируется из совокупности отдельных актов изменения
состояния электронов к -+ к + х. Но эта волна, как мы показали, связана с волной
плотности решетки (фононом), поэтому изобразим операторную часть Н\ в виде
достаточно наглядных диаграмм:
к-х
электронный
переход
к— к-х
с испусканием
фонона х;
электронный
переход
к—к+х
с поглощением
фонона х.
И тут у нас возникает своеобразная трудность — скрывать дальше то, что
мы уже пользуемся представлением вторичного квантования с того момента, как
положили Е =¦ Тш и сказали слово «фонон». Так как мы здесь не собираемся
развивать диаграммную технику, т. е. изображать в виде картинок более сложные
процессы изменения состояний системы, чем те элементарные, которые мы уже
изобразили, введем общепринятые обозначения последних с помощью операторов
рождения электронов пр и фононов Щ и их уничтожения ор и bq. Тогда, переходя
к импульсным обозначениям р = ftk, q = hx, первой картинке сопоставится ком-
комбинация ap-qapbq, второй — соответственно up+qapbq, и оператор взаимодействия
электронов с фононами запишется как
Полученная формула для Н\ стоит того, чтобы на ней несколько остановиться. Она
обычно называется гамильтонианом Фрелиха (Н. Frohlich, 1950), хотя и полностью
соответствует идеям матричного подхода Блоха 1928-1930 гг.
Сама форма Н\ в операторном отношении аналогична той, которая используется
в электродинамике (взаимодействие электронов с фотонами) и квантовой теории
поля, поэтому и воспринимается как что-то вполне само собой разумеющееся.
Полученное выражение для амплитуды электрон-фононного взаимодействия
как мы покажем далее, оправдывает себя в теории проводимости нормальных систем,
а зависимость от массы иона М объясняет известный из экспериментов изотопи-
изотопический эффект, Конечнр, полученная модель достаточно груба, она не учитывает

344 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
всех деталей и различных механизмов электрон-фононного взаимодействия, для
которых Ф(д) может быть и иным. Для нас в дальнейшем будет важно поведение
величины Ф2(д) при малых q (в нашей модели Ф2(д) ~ q).
Нельзя не отметить, наконец, что приведенная модель взаимодействия позво-
позволила Боголюбову в 1958 г. построить микроскопическую теорию сверхпроводимости.
Согласно этой теории элекгрон-фононное взаимодействие индуцирует взаимодей-
взаимодействие электронов (типа притяжения) через поле фононов, и эти корреляции элек-
электронов приводят к качественной перестройке как структуры основного состояния
(пропадает резкая граница Ферми), так и возбуждений (возбуждаются не частицы,
а коррелированные пары электронов), отделенных от основного состояния энерге-
энергетической щелью. Но все это уже из области квантовой статистики, которая в нашу
программу не входит.
5. Продолжим рассмотрение нашей задачи. Теперь, располагая явным видом Н\,
мы можем уже на квантовом уровне определить эффективную длину пробега
Л(р) = (пЕ(р))"', входящую под знак интеграла по р в выражение для прово-
проводимости <7, а для этого вместо классического сечения рассеяния a(v, У>) электрона
на ионе нам нужно оценить вероятность рассеяния электрона с импульсом р
на колебаниях решетки, т. е. вероятность переходов р -* р ± q с испусканием или
поглощением фонона, изображенных выше в виде элементарных диаграмм. Мы
сделаем это с помощью стандартной квантовомеханической формулы временной
теории возмущений
w(n;n') = у |<п|Я,|п'> <п'|Я,|п)| • 6(Еп - Еп<).
Следуя Блоху, будем полагать, что электроны и решетка находятся (в нулевом
приближении, которое используется при подсчете матричных элементов) в общем
состоянии статистического равновесия. Тогда средние, входящие в квадрат матрич-
матричного элемента оператора, будут равны
где ия — средние числа заполнения для фононов (бозе-распределение с равным
нулю химическим потенциалом),
(а+ар) = Д(р - р')пр, {орт,о+Т9> = 1 - прТ9,
где пр — средние числа заполнения идеального ферми-газа.
Тогда вероятность квантовомеханического перехода р -+ р т q с испусканием
или поглощением фонона за секунду будет равна
= y • ^ т2 —
р; р т я) = y • ^ т2
+ пр{\ - np+q)vq б(Ер - Ep+q + cq)} .
Учтем, что с точностью до членов порядка q2
а так как в нашем случае р ~ pf ,а тс/рр ~ Ю~3-10~4, то угол между векторами р nq
практически прямой, # = тг/2. Угол же рассеяния V между векторами р и р' = р ± q

§ 7. Лоренцева форма интеграла столкновений 345
в случае |р| ~ |р'| ~ pF и q < pF мал и достаточно просто выражается через модуль q
(аналогично ситуации в задаче 44):
¦ф
q=2p sin -.
Таким образом, чтобы подсчитать транспортное сечение
cos V) sin -ф dip dtp,
= /
нам нужно подставить вместо а(р, tp) квантовомеханическое сечение рассеяния, т. е.
величину w(p;pTQ). деленную на падающий поток рассеивающихся частиц р/т,
и выразить в нем величину q через угол г/>. Удобнее сделать наоборот, интегрировать
не по углам (два интеграла), а по q (тоже два интеграла ввиду наличия Д-функции).
Этот прием оправдывается в задаче 44. Чтобы не переписывать длинных выражении,
напомним, что нам надо знать Л(р) не всюду, а только на границе Ффми: в силу
конструкции интеграла, определяющего проводимость а, именно в этой точке
в случае 0 < eF величина Л(р) выносится за его знак. Поэтому, учитывая, что
в силу закона сохранения Ep7q = Ер^ cq, имеем в случае Ер — ц = 0 (при этом
1 <)
1 е(Я,-/0/«. e-cq/e ecq/e
- пр-я)A + рч) = е(щ-м$ + ! ' е(в,-м». е-сф + !
1 e(Bt-n)lt . ecq/9
np(l - nP+q)v4 =
. ecq/e + ] ecq/0 _
A + e~«ile) (С*" - 1)
(получается, что в среднем оба процесса рассеяния на границе Ферми вносят
одинаковый вклад). Подставляя
о-ф а2
1 - cos V = 2 sin у = у^
и переходя при интегрировании по q к сферическим координатам
получим для интересующей нас величины Е(р) на границе Ферми
?(р ) / — . — ~г S— . 2 ; *Ц- х
^ ' BvhK J pF ft ' Мпс 1 + е-с«/« ес«/« - 1 2р\
t
х — / 6 ( cos i? - — ) sin i? Л? • 2tq2 dq.
PfQ J \ Pf J

346
Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
Интеграл па<0 ввиду тс/рр < 1 дает единицу, а оставшемуся интегралу по q прида-
придадим характер интерполяционной формулы, положив, как и в теории теплоемкости
Дебая (см. т. 2, гл. 2, § 4-6)), верхний предел равным qmax = Тштах/с = во/с, где во —
дебаевская температура. Тогда получим, объединяя все константы в одну и выделяя
безразмерный температурный параметр в /во,
1
9max
«max
/
q*dq
A + е-*/*) (е
eD/e
x4 dx
A + e~*)(e* - 1)'
Заметим попутно, что если бы мы при оценке величины Е(р) (которая стоит
в знаменателе интегрального выражения для проводимости а) по инерции сначала
усреднили бы ее по электронным состояниям (т. е. проинтегрировали бы по р),
как это обычно делается, а уж потом бы выносили за знак интеграла, то вместо
написанного интеграла получили бы традиционную формулу Блоха (F. Bloch, 1930)
(в литературе ее чаще называют формулой Грюнайзена (Е. Griineisen, 1933), который,
сопоставил формулу Блоха с экспериментом), в которой под интегралом вместо
множителя A + е~х)~1 стоит (ж/2) • A - е~х)~'.
Величина Т,(рр) имеет характерную температурную зависимость:
— iio /4,16 I —
в случае в < во,
«D/в ,
/• 1 , /9\ 1 в
Do • / г ж «to ( — I = Eo • - • — в случае в >
У 2 \"d/ о "d
во
(мы учли, что ГE) = 4!, (E) = 1,0369...), которая целиком переносится на удельное
сопротивление
1
3B7rftK
{'¦
в случае в < 0D,
в случае в > во.
При соответствующем подборе величины во эта температурная зависимость доста-
точйо хорощо оправдывается на эксперименте (рис. 206). Параметры (во)я в фадусах
Кельвина, подобранные из соображений максимального совпадения эксперимента
с теорией, приведены в таблице для некоторых металлов.
Металл
(*о)л
РЬ
86
Аи
175
Na
202
Ag
223
Li
330
Си
333
Al
335
Ni
472
6. Сделаем несколько замечаний по поводу полученного результата.
а) Появление зависимости р ~ 05 при в < во казалось бы, можно было
предвидеть заранее: общее число фононов ~ в3, а так как q < pf, рассеяние
происходит на малые углы и 1 - cos ф дает фактор ~ q2, то это доводит общую

§ 7. Лоренцвва форма интеграла столкновений
347
О
200 400 600
Рис. 206. Удельное сопротивле-
сопротивление металлов при низких темпе-
температурах (закон р ~ в ). Параме-
Параметры во приведены в таблице
Рис. 207. Отклонение сопротивления
некоторых металлов от линейного за-
закона
степень до в5. Однако привлекательность этой интерпретации обманчива, так как
из рассуждения полностью выпадает структура амплитуды взаимодействия Ф(</),
которая, как мы показали выше, существенно влияет на зависимость Е от в.
Наоборот, при в > 0d влияние Ф(д) на образование температурной зависимо-
зависимости Е фактически пропадает, так как появляющаяся зависимость Е ~ в1 связана
с релей-джинсовской аппроксимацией средних чисел заполнения для фононов,
/()
/ fiD, К
б) В области в > во линейный закон р ~ в выполняется для большинства ме-
металлов. Учет поправочных членов по [0о/0)г, так же как и в теории теплоемкости,
объясняет существующее у некоторых металлов (Fe, Cu, Ag) отклонение р кверху
от линейного закона (рис. 207), а поправки по (в/ерJ (см. задачу 58), которые редко
преобладают над первыми, — отклонение графика книзу (Pd, Pt).
в) В области промежуточных температур формула для р является интерполя-
интерполяционной, и ей свойственны все недостатки, характерные для формул такого типа.
Прежде всего параметр @о)д> определяемый с помощью сопоставления теории
с экспериментом по измерению сопротивле-
сопротивления, не совпадает с дебаевской температурой
(#d)c> определяемой из сопоставления с экс-
экспериментом графика для теплоемкости. Рас-
Расхождение составляет проценты (есть случаи,
когда и более 10 %). На рис. 208 приведен слу-
случай, когда заметны не только эти расхожде-
расхождения, но и слабая зависимость этих параметров
от температуры.
г) В области низких температур суще-
существенное влияние на температурную зависи-
зависимость р оказывает зависимость от q амплиту-
400
300
200
100
0
25
50
75 в, К
Рис. 208. Температурная зависимость
параметров (9D)R и @D)c Для лития
ды взаимодействия Ф(д). Формула Блоха для случая Ф2(</) ~ q дает р ~ 05, но этот
закон соблюдается скорее как исключение (в логарифмической шкале это особенно
хорошо заметно). Если записать р ~ б*, то окажется, что для ряда металлов, V,

348
Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
Nb, Та, параметр к лежит в области 3,5 < к < 4, для Pt и W к ~ 4, для Re, Ph,
Ir — 4,5 < к < 5 и т. д. (все в основном переходные металлы). В каждом частном
случае можно найти причины отклонения от закона Блоха, но это уже будут частные
задачи.
д) В области низких температур сопротивление, связанное с рассеянием на ре-
решетке, спадает до нуля, но так как идеальных кристаллических решеток без примесей
и дефектов не бывает, то ранее незаметные эффекты, связанные с рассеянием элек-
электронов на этих неоднородностях, начинают играть главную роль. Именно они
определяют так называемое остаточное сопротивление. Так как процессы рассеяния
на атомах примеси и на фононах практически независимы, то Еобщ = ?фон + ^прим,
и удельное сопротивление приобретает аддитивное строение
Р = Рреш. + Рприм-
Эта особенность р была подмечена еше Матиссеном (A. Matthiessen, 1862). Решет-
Решетчатое сопротивление мы только что рассчитали, а примесное — несколько ранее
(см. п. б) этого параграфа). Характерно, что в отличие от /Ореш.Рприм слабо зави-
зависит от температуры, но пропорционально концентрации рассеивающих центров В).
Обозначим буквой z относительную (по отношению к числу ячеек в решетке) кон-
концентрацию примеси, тогда р ~ z при z < 1. В области z ~ 1 снова возникает
упорядоченная структура, рассеивать начинают незаполненные «примесью» ячейки,
т.е. р ~ A - z) при z ~ 1. Обе эти возможности были объединены Нордхаймом
(L.Nordheim, 1931),
и эта простая формула неплохо описывает зависимость остаточного сопротивления
от концентрации «примеси» (рис. 209). Провалы этого графика в точках, соответ-
соответствующих сплавам СизАи и CuAu при в < в\, связаны с тем, что при температурах
ниже фазового перехода в неупорядоченное состоя-
состояние именно в этих сплавах образуется упорядоченная
кристаллическая структура, на которой электроны
не рассеиваются. При в > в\ этого эффекта, есте-
естественно, нет.
е) Наконец, в области очень низких темпера-
температур (от долей до единиц градусов Кельвина) мно-
многие металлы скачком теряют свое сопротивление.
Этот фазовый переход в сверхпроводящее состоя-
состояние, как мы уже отмечали ранее, нашим рассмо-
рассмотрением совершенно не предусмотрен: мы исходили
из модели идеального ферми-газа, а в формировании
сверхпроводящегосостояния существенные сильные
квантовые корреляции электронов друг с другом
(пары электронов с противоположными импульса-
импульсами и спинами образуют подобие заряженных бо-
зе-частиц, сверхтекучесть которых и соответствует
сверхпроводимости системы электронов в решетке),
и поэтому теоретическое объяснение этого явления
лежит в области квантовой статистической механики
неидеальных систем.
0 0,25 0,50
Си Си,Аи СиАи
1
Аи
Рис. 209. Зависимость остаточно-
остаточного сопротивления от концентрации
золота в сплаве с медью при тем-
температуре выше и ниже температу-
температуры Л-перехода
7. Остановимся теперь вкратце на характере температурной зависимости коэф-
коэффициента теплопроводности электронного газа к, обусловленной взаимодействием

§ 8. Кинетическое уравнение Паули
349
электронов с колебаниями решетки. Если в тем-
температурных областях в < в2, где преобладает
остаточное сопротивление, и в > во, рассея-
рассеяние электронов происходит на примесных цен-
центрах и на отдельных ионах, движение которых
практически некоррелировано, выполняется за-
закон Видемана—Франца, т. е. коэффициент те-
теплопроводности
_ 7Г2 в (в ПРИ в < в2 (р = COnSt),
3 е2р \ const при в > в0 (р ~ в),
то в области в2 < в < во, в которой основным
механизмом рассеяния является рассеяние на фо-
нонах, дело обстоит несколько иначе. Так как
условие отсутствия тока / = 0 (т. е. Е Ф 0), при
котором определяется к, исключает движение
электронного газа как целого, то рассеяние элек-
электронов будет происходить не на малые углы -ф,
а практически изотропно, и член с cos V в транс-
транспортном сечении окажется уже несущественным,
?(Pf) —f ??(рг) = / &(р, "Ф) sin -ф dip dip,
а это сразу приведет к понижению степени q под
знаком интеграла на две единицы, и мы будем
иметь
ЕеЫ = So ( в
-V7
во) J
х2 dx
Е> _ .
п ~ т^
в случае в < в0,
в случае в > 0D,
4 во
откуда следует для коэффициента теплопровод-
теплопроводности
7Г2 1б7ГГ71?> в
3B?rftK nT,e{pF)
о в2
ке2хр/в
0 в,
вп
в
Рис. 210. Характер температурной за-
зависимости удельного сопротивления р,
коэффициента теплопроводности н и
числа Лоренца е2хр/0; 0 < в < в\ —
область сверхпроводимости, 0, <0<02
— область остаточного сопротивления,
в > в0 — область рассеяния на не-
некоррелированно движущихся ионах ре-
решетки
в случае
в случае
в <в0,
в >в0.
Характер зависимости от температуры величин р, к и числа Лоренца е2хр/в (в честь
Людвига Лоренца; L. Lorenz, 1881) представлен на рис. 210.
§ 8. Кинетическое уравнение Паули
В этом параграфе обсудим проблему построения кинетического уравнения
больцмановского типа на основе использования традиционной нерелятивистской

350 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
квантовой механики. Некоторые заимствования из квантовой механики (в частно-
частности, оценка сечения рассеяния на квантовом уровне) уже делались в предыдущем
параграфе, но они носили характер «вставок» в полученные на классическом уровне
основные формулы. Здесь же мы предпримем попытку рассмотреть Проблему кинети-
кинетики системы, начиная непосредственно с квантовомеханического этапа ее описания,
причем сделаем это на достаточно доступном уровне, не затрагивая общей програм-
программы построения кинетических уравнений для квантовых систем на уровне идей § 4-6.
Не повторяя целиком материала § 1, напомним, что в общем случае состояние
статистической системы можно задать как смешанное состояние {Ф*,«>*}, вводя
набор чистых квантовомеханических состояний Ф», в которых может находиться
система, сопоставив каждому из них вероятность wk обнаружить систему в этом
чистом состоянии. Это состояние описывается статистическим оператором р, ко-
который в некотором условном ^-представлении, соответствующем выбору системы
базисных функций {у»{}, в которой Ф* = ? $*(?> OV'j. имеет вид
Отметим, что так как величина
является квантовомеханической вероятностью обнаружить у системы, находящейся
в чистом состоянии к, параметр ?, равный написанному значению, то диагональный
матричный элемент всего оператора
имеет смысл такой же вероятности для системы, находящейся в данном смешанном
состоянии {wk}.
Предположим теперь, что статистическая система определена гамильтонианом
Н + 6Н, таким, что собственные функции оператора Н
известны и могут быть использованы в качестве базисных {¦</>„}¦ Если 6Н — 0, то
набор стационарных состояний г/>„ образует как бы состояния идеальной системы,
между которыми нет переходов, и, следовательно, система никуда не релаксирует.
Это чисто механическое состояние. Положим теперь, что оператор 6Н допускает
любые переходы между состояниями г/>„ и тем самым, выполняя роль планковской
черной «пылинки», о которой говорится в задаче 4, обеспечивает процесс релаксации
к какому-то конечному распределению по состояниям п и, следовательно, статистич-
ность всей системы в целом. Не конкретизируя здесь вид этого оператора (ради упро-
упрощения выкладок мы будем даже заменять его некоторой эффективной величиной),
рассмотрим, как эволюционирует система в результате таких квантовых переходов.
1. Рассмотрим сначала стандартную временную квантовомеханическую теорию
возмущений. Пусть в момент времени t система находилась в некотором состоя-
состоянии i>n(q). Состояние системы в момент t' > t представим в виде разложения

§ 8. Кинетическое уравнение Паули
351
Уравнение Шредингера для компонент этого вектора состояния будет иметь вид
-?¦ wФп(п''п=?<п'|я
"
Если ввести для амплитуд Ф„ представление взаимодействия
то это уравнение и начальное к нему условие запишутся как
5(' °
Интегральный эквивалент этого уравнения
Фп(п', О = Д(п - п') + 1
ехр |1
n"
позволяет сразу, используя метод итераций, выписать последовательность прибли-
приближений для Ф„(п', t'):
У, S) = (п'\6Й\п) 1 у ехр | i
n', <') = Y^{n'\6H\n") (п"\бН\п) A) х
dt",
" / dt'" ехр ( %-{En, - En«)t" + Ue,,» - En)i
J I" ft
t t
и т.д., где мы на случай, если оператор 6Н зависит от времени, ввели эффективное
значение его матричного элемента {п'\6Н\п), которое, не желая усложнять рассмо-
рассмотрение структурными подробностями, вынесли ради простоты за знак интеграла
по t". Интегралы по t", t'" и т.д. берутся элементарно.
Область применимости полученных результатов определяется просто: модуль
первого поправочного члена должен быть значительно меньше единицы,
\(п\6Н\п')\-*-^-<\,-
что определяет ограничение на временной интервал t'-t сверху:
ft
t'-t
|<п|ЯГ|п')Г

352 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
Заметим теперь, что величина |Ф„(п',?')| = |ф„(п', ?')| представляет собой
вероятность обнаружить систему в состоянии п' к моменту времени V, если в мо-
момент t она находилась в состоянии п.
Положим теперь, что в момент времени t система находилась в смешанном
состоянии [{«;„-(<)}, i>n>(q)], т.е. начальные состояния п' определялись с помощью
распределения wni(t). Тогда вероятность обнаружить систему к моменту времени f
в состоянии п будет равна
(для сравнения см. диагональный матричный элемент статистического оператора р).
Рассчитаем эту вероятность с помощью квантовомеханической теории возмущении.
Имеем
п. О = д(п - п')(ф('>'(п, о + •<¦>(«, 0) = о,
Подставляя эти выражения в правую часть формулы для v>n(f), полагая f — t + т
и обозначая фактор с квадратом синуса как
n-Enl>r)
получаем, перенося функцию wn(t) налево и разделив обе части равенства на т,
)|2 • 1(Еп - Еп,, г).
Полученная формула, выражающая вероятность wn(t + т) через начальные значе-
значения {wn>(t)}, хотя уже имеет черты кинетического уравнения, остается все еще
решением квантовомеханической задачи об эволюции системы, заданной с помо-
помощью смешанного состояния, с ограниченной условием т <g.h/\(n\6H\n')\ областью
применимости.
2. Рассмотрим полученный результат применительно к статистической системе.
Прежде всего, в системе N тел интервал между энергетическими уровнями очень
мал, по крайней мере АЕ„ ~ N~1^ (см. более подробно т. 2, гл. 1, §2-в)). Вместе
с тем фиксация макроскопического значения энергии $ (напомним, что $ ~ N)
допускается с точностью до величины 6$, которая может и превосходить АЕ„,
может даже при N —> со расти, но медленнее, чем N1 (в соответствии с кано-
каноническим распределением йббса размытие энергии 6$ ~ Nl/2). Таким образом.

§ 8. Кинетическое уравнение Паули
353
функция гип как функция энергии статистической системы должна быть в масштабе
АЕ„ достаточно размазанной функцией. А в этих условиях величина 1(Еп - Еп>, т)
приобретает характер Д-функции по энергии. Рассмотрим этот важный для пони-
понимания структуры состояния статистической системы вопрос более детально, хотя
при этом нам придется и повторить некоторые азбучные вещи из традиционной
квантовомеханической теории возмущений.
Первый множитель в функции 1{Еп-Еп>,т) традиционно считается допредель-
допредельной Д-функцией (в 6(Еп - Е„>) он обращается при тЕп/BК) -> с»):
п - Еп<)
1
2тг
т/Bй)
J
-т/(Щ
Рис. 211. График допредельной функции 6(Еп — Е„*) и эквивалентной ей
острососредоточенной около нуля своего аргумента функции
Это, конечно, верно, но надо только отдавать себе отчет, что это не остросо-
острососредоточенная в области нуля своего аргумента функция, как мы обычно привыкли
представлять Д-функцию (рис.211), и что замена ее на таковую связана с тем, что
стоящая вместе с ней под знаком интеграла функция в области нуля 0-функции
является функцией, достаточно плавной в масштабе АЕп и даже 2тгЛ/т. Второй
множитель в функции 1(Е„ - Е„<,т) при этом автоматически обращается в единицу,
и мы получаем
1(Еп - Еп,,т)\т>Л/Ея = 6(Еп - Еп,),

354
Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
т.е.: в'правой части полученного выражения для wn(t + т) появляется при т > h/En
закон сохранения энергии.
Таким образом, ограничение на величину т сверху и снизу
JL . h
K<T<\(n\SH\n')\
обеспечивает, с одной стороны, справедливость написанной для Wf,(t + т) формулы,
с другой — дает право говорить об определенном значении энергаи системы, которое
можно использовать в качестве аргумента функции wn как в момент t, так и t + т.
Физический смысл конструкции, возникающей при т > h/En при множителе
(wni - wa), усматривается без труда. Пусть п' / п (слагаемое с n' = n все равно
выпадает). В соответствии со смыслом величины |Ф„(п',*)|2 определим вероятность
перехода системы из состояния п в. п- не за время т, а за секунду
Тогда, используя полученное нами для Фп(я\ t + т) решение и дифференцируя
выписанное ранее выражение для |ф„ (п',?)| , получим, сворачивая комбинацию
с синусом в Д (-функцию,
= -jr\{n\6H\v!)\2 6(En - En,) = u»(n'; n).
Это известная формула теории квантовых переходов.
Рассмотрим теперь полученное в п. 1 урав-
уравнение для wn(t + т) в целом (рис. 212). Ясно,
, что при т < h/En мы не можем сохранить
энергию системы в качестве аргумента функ-
функции wn(t + т). Чтобы это обеспечить, необходи-
необходимо перейти к огрубленной (уже не квантовоме-
ханической) шкале времени, в которой любое
Д< > h/En. Ограничение же на т сверху не по-
позволяет продвинуться во времени за пределы
> линейной зависимости по т, т.е. в этой огру-
огрубленной шкале мы можем определить только
производную функцию щ»п по времени:
Рис. 212. Характер 'зависимости от т
вердятности v>»(t + т)
wn(t + т) - wn{t)
Г-.0
т>Н/Е„
dwn(t)
В итоге приходим к кинетическому уравнению относительно вероятности обнару-
обнаружить систему в состоянии п в момент t:
1
которое было получено Паули (W. Pauli, 1928) и которое, используя свойство сим-
симметрии вероятности перехода w{n; п') = w(n';n), можно записать как уравнение
± = ^ (Wn, ;Щп';; n)-wn- w(n; n')),

§ 8. Кинетическое уравнение Паули 355
интерпретация правой части которого напоминает те качественные рассуждения,
которые в § 6 привели нас к уравнению Больцмана: слагаемое — wn • w(n; n') — это
убыль за секунду вероятности обнаружить систему в состоянии п за счет переходов
во все другие состояния системы п'; слагаемое wn> • w(n';n) — обратный процесс.
Баланс этих процессов и определяет общую скорость изменения функции wn(t).
В связи с этой интерпретацией (используемой иногда просто как способ получения
этого уравнения) кинетическое уравнение Паули называют уравнением кинетичес-
кинетического баланса (в англоязычной литературе используется термин master equation).
3. Рассмотрим теперь изолированную систему, термодинамическое состояние
которой фиксируется параметрами (?, V, a,N). В этом случае 6Н не включает
взаимодействия с внешними телами, и кинетика системы обусловлена только вну-
внутренними причинами. Так как в той грубой шкале времени t, в которой получено
уравнение Паули, энергия сохраняется, то будем иметь
-Bn)f(t),
т.е. при эволюции системы ее состояния не выходят из энергетического слоя,
определяемого функцией А(?' - Е„), в котором было задано исходное ее состояние.
Покажем, используя прием, использованный нами в § 6, п. 2) что кинетическое
уравнение Паули является уравнением релаксационного типа. Полагая
wn(t) = wn ¦ е~м,
приходим к системе линейных алгебраических уравнений
-\wn =
п'
Умножим обе части равенства на wn и просуммируем по п. Тогда, используя
симметрию функций w(n, n'), будем иметь, произведя замену п++п',
-А ^2 w" = 53 ™(п; n')(w«' ~ wn)wB =. - 53 ™(п; n')(w«' ~ wn)wn',
п гт' nn'
откуда, взяв полусумму вариантов правых частей, следует
А = =—j- • У) - w{n; п')(ш„. - wnJ.
Из этой формулы следуют очень важные общие следствия.
а) Так как все слагаемые под знаком двойной суммы неотрицательны, то
в случае dwn/dt = 0 (или А = 0) все ее слагаемые обращаются в нуль. Это означает,
что в рассматриваемом нами случае w(n; n') Ф 0 (отсутствие полностью запрещенных
переходов) все микроскопические состояния системы внутри энергетического слоя
(&- Е„) оказываются равновероятными, т.е.
где нормировочный коэффициент 1 /Т{$), определяемый из условия
представляет собой число микроскопических состояний, с помощью которых
реализуется данное макросостояние (?,V,a,N), т.е. статистический вес этого

356 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
состояния. Таким образом, мы приходим к микроканоническому распределению
Гиббса (J. W. Gibbs, 1902), являющемуся отправным моментом всей равновесной
статистической механики (см. т. 2, гл. 1, §3-5).
б) Так как все А > 0, то зависимость функции распределения wn(S, t) =
Д(<^ - En)fn(t) от времени имеет явно выраженный релаксационный характер
в направлении микроканонического распределения
/»(*) = i + ? а*е~А' ~ ? +const • e"w
А>0
(второй вариант этой формулы для /„(() написан для случая, когда спектр величин А
дискретен, что, конечно, не обязательно, и релаксация может иметь, как видно
на примере, рассмотренном в задаче 45, и не экспоненциальный характер).
Традиционному варианту Р^-теоремы по отношению к кинетическому уравне-
уравнению Паули посвящена задача 60.
4. Обсудим проблему обращения времени t —> -t. На первый взгляд обраще-
обращение времени приводит к появлению раскачивающихся решений типа е+ЛМ, т. е.
к антикинетическому поведению системы. Но этот поверхностный вывод осно-
основан на недоразумении: при переходе к кинетической шкале времени т > h/AEn
знак 6 -функции, обеспечивающей появление закона сохранения энергии в класси-
классическом его выражении, определяется знаком величины т (в п. 2 и 3 у нас было т > 0
и этот знак просто не фиксировался):
sin Mr sinMl
и поэтому «отраженный» во времени вариант кинетического уравнения Паули будет
выглядеть как
^ (п, „') К,@ _ Wn{t))i
тогда все А ^ 0 и никакой «раскачки» при t —» -со в системе не произойдет. Таким
образом, переход к немеханической шкале времени в рамках уравнения Паули
исключает парадокс Лошмидта: при обращении времени эволюция системы все
равно остается кинетической.
5. В заключение покажем, что уравнение Паули содержит в себе в качестве
частного случая кинетическое уравнение Больцмана (и его квантовые обобщения).
Пусть наша система — почти классический и почти идеальный газ. В 6Н отнесем
взаимодействие частиц друг с другом
Символ п в уравнении Паули — это JV-частичное состояние системы без взаимо-
взаимодействия, т. е. состояние идеального газа, которое можно зафиксировать с помощью
набора (рь..., р#), а само состояние "ф„ — с помощью соответствующего произве-
произведения плоских волн.
Введем одночастичную функцию (средние числа заполнения), нормированную
на полное число частиц N:
= n(p|) = N. I
... dpN.

§ 8. Кинетическое уравнение Паули 357
Пренебрегая типом статистики для классической идеальной системы, можем запи-
записать для wn и wni
If . N ,
ш» = П ]v n(p<)' Wn' = П n П(Й)
и для вероятности перехода п>(п; п') (сохраняем только ненулевые слагаемые
— |(п|0#|п')| 6(Еп-Еп.)= Y] -г-|(р.-р,|Фу|ЙЯ,-)| S?(i,j) TT 6(fk-pk),
где введена сокращенная запись для А-функции от энергии
бв(г,}) = 6(EPi + EPi - E?i - Efj).
Умножим обе части уравнения Паули на N и проинтефируем по рз, ¦. ¦, Pn (справа
вместо суммы по п' уже есть интефал по p~i,Рз> • • •,Pn) и выберем в правой части
все (N- 1) слагаемых, содержащих pi. Учитывая, что
JJ ^
- fc) dpk <%k = JJT^- S(pk - pk) dpk dpk =
получим для этих слагаемых
JV(JV - ,) / #, / « « ^Кв^ЦН!1 «1, 2,
Под знаком интефала здесь стоит число переходов (pi, P2) —> (р'|, р2), происходящих
за секунду в результате взаимодействия частиц по закону Ф(|Г| — гг|). Так как этот
процесс рассеяния строго детерминирован, то конечные значения импульсов р| и рг
могут быть не любыми, а определяться решением задачи двух тел. Мы не будем
здесь проводить решения этой задачи (уравнение Больцмана было нами уже ранее
получено и достаточно подробно обсуждено), заметим только, что ввиду строгой
определенности конечных значений импульсов в квадрате матричного элемента
перехода будут содержаться 6(р2 - р'2) ¦ 0(p"i - p'i), где р', и р2 — функции р,,
Р2 параметров столкновения и закона взаимодействия Ф(|Г| - Гг]), а оставшееся
выражение может быть представлено в виде
иа{и, ip, ф) sin ij) dip dip — wo do dip,
где и = (p - p2)/m (суммирование по п' предусматривает сумму по всем возможным
конечным состояниям, т.е. по всем допустимым параметрам столкновения).
Остальные N(N-\)/2-(N-1) слагаемых ввиду доказанного нами в § 6 свойства
dpidpj — dp'tdp'j и симметрии вероятности перехода (pi.Pj) «-» (р(, pj), обращаются
в нуль:
4, Ц |<ИР,|ФЫРЗД2 «2.3) X
и мы получаем, переходя к более привычным обозначениям F(p) = n(p), стандартное
кинетическое уравнение Больцмана для пространственно однородного случая: • • ¦ <
= j dp2 no sin i> # dip {F(p\)F(jb) - F(Vi)F(p2)).

358 Глава 5. Кинетические уравнения в статистической механике
Для случая квантовых газов рассмотрение будет несколько усложнено за счет прове-
проведения операции симметризации (в бозе-случае) или антисимметризации (в ферми-
случае) функций состояний, с помощью которых рассчитываются матричные эле-
элементы (п\6Н\п'}. Если использовать представление вторичного квантования, где эта
операция произведена заблаговременно^ то соответствующий интеграл столкнове-
столкновений получился бы автоматически при расчете средних от произведения операторов
рождения и уничтожения. Однако только ради этого вряд ли целесообразно вводить
это представление, поэтому мы ограничимся только замечаниями качественного
характера.
Для системы электронов принцип Паули накладывает достаточно жесткие не-
нединамические ограничения на начальные и конечные значения импульсов. Расчет
квадрата матричного элемента |^PiP2l^tzlPiP2)| апя процесса (pi, P2) -* (р'^Рг) Дает
множитель n(pi)n(p2) для начальных состояний (они заняты этими взаимодейству-
взаимодействующими, частицами) и A - n(p',))(l - n(ff2)) для конечных (переход на незанятые
места) и наоборот при обратных переходах (р\,р'2) -* (рьРг)- Поэтому интеграл
столкновений в уравнении Больцмана для ферми-газа приобретает несколько более
сложную структуру.
- F)(\ - F,) - FF,A - F')(\ - F,')),
которая в квазиклабсическом предельном случае, когда п(р) < 1, переходит в обыч-
обычное уравнение Больцмана.
§9. Обсуждение ¦
Пятая глава получилась самой большой и самой сложной по излагаемому ма-
материалу; и, конечно, она не осветила всех аспектов (не говоря уже о конкретных
приложениях) кинетической теории. Так как затронутые в главе вопросы были доста-
достаточно разнообразны, то обсуждение изложенного материала проводилось в каждом
параграфе, и подводить итоги итогов вряд ли здесь стоит. Сделаем традиционный
обзор материала, вынесенного в раздел задач и дополнительных вопросов к гл. 5.
В первом параграфе отметим обсуждение проблем, связанных с теоремой воз-
возврата Пуанкаре и общими вопросами эволюции системы, включая вопросы релак-
релаксации к равновесному состоянию. Два следующих параграфа посвящены оценкам
характерных длин и времен свободного пробега, чисел столкновений, а также ко-
коэффициентов переноса с помощью достаточно элементарной теории. Эти оценки
используются и в основном тексте, и в других задачах и определяют те масштабные
величины,, достижение которых знаменует, переход от механического типа эволюции
системы к кинетическому и затем к гидродинамическому ее этапам.
Основой объем § 4 занимает исследование двухуровневой системы как простей-
простейшего примера использования аппарата матрицы плотности. Сама система ядерных
моментов представляет несомненный интерес и с точки зрения лазерной техники,
и с точки зрения понимания существующих в этой системе различных механизмов
релаксации, позволяющих создать в системе квазиравновесное двухтемпературное
состояние. Конец этого параграфа посвящен подробному рассмотрению динамики
реализации явления «спиновое эхо» и сопоставлению этого эффекта с так называе-
называемым парадоксом Лошмидта.
Наиболее важным материалом § 5 является формулировка метода построения
на основе цепочки Боголюбова замкнутых систем уравнений, гарантирующих полу-
получение решений для функции распределения с точностью до второго порядка по R\/v

§9. Обсуждение 359
для систем типа газа и первого порядка по v/fj) ЙЯЯ систем с кулоновским взаимо-
взаимодействием частиц. Решениям линеаризованного уравнения Власова посвящен §6:
продольные и поперечные малые колебания, Плазменный звук в двухкомпонентной
системе и т. д. Несколько задач посвящены критическому обсуждению возможности
использования приближения самосогласованного поля в системе гравитирующих
частиц. В § 7 приведен вывод кинетического уравнения Ландау, но основной объем
параграфа уделен линеаризованному уравнению Больцмана и проблеме вариаци-
вариационной оценки максимального времени релаксации к локальному максвелловскому
распределению, а также вопросу о связи характера релаксации со структурой спектра
собственных значений линеаризованного интеграла столкновений.
В §8 с помощью кинетического уравнения Больцмана введены уравнения
гидродинамики и„ в частности, в качестве первого приближения уравнения Навье—
Стокса. Получены кинетические коэффициенты (теплопроводности и внутреннего
трения), а также проведен расчет затухания акустических колебаний в нейтральной
системе, возникающего в результате диссипативных потерь при прохождении в ней
волны плотности. В § 9 включены несколько задач, посвященных системам типа
легкой компоненты, а также необходимые для общей постановки электронной
теории оценки «идеальности» вырожденного электронного газа в реальных металлах
вблизи поверхности Ферми и способности электронного газа экранировать ионные
заряды. Последний § 10 посвящен обсуждению проблем использования уравнений
кинетического баланса (модельная система с равными вероятностями перехода,
двухуровневая система и т. п.).
Таким образом, материал гл. 5 и дополнений к ней охватывает достаточно
широкий круг вопросов в основном классической кинетической теории.
В заключение хотелось бы остановиться на взаимоотношении кинетической те-
теории с другим большим разделом статистической физики — с равновесной статисти-
статистической механикой. В своем изложении мы апеллировали к результатам равновесной
теории Гиббса, используя их в качестве граничного условия при t -* со и отсчитывая
от равновесных распределений слабонеравновесные состояния и т.д. При этом,
отводя гиббсовской статистике роль краеугольного камня, мы как бы забывали, что
она сама нуждается в обосновании, причем именно со стороны микроскопической
теории неравновесных состояний.
В связи с этим хочется еще раз обратить внимание на общий результат, полу-
полученный в § 8: из кинетического уравнения Паули, полученного для изолированной
системы исключительно на уровне нерелятивистской квантовой механики при пере-
переходе к шкале кинетического времени, в которой энергетический аргумент у функции
распределения приобретает реальный смысл, следовало, что при достижении си-
системой равновесного состояния распределение по микроскопическим реализациям
этого состояния внутри энергетического слоя А(?-Е„) становится равновероятным.
В рамках только равновесной статистической теории утверждение такой структу-
структуры смешанного состояния равновесной изолированной системы являлось исходной
аксиомой. Гиббс назвал это распределение микроканоническим. Исходя из этого рас-
распределения и общих формул традиционной квазистатической термодинамики можно
построить и другие варианты статистической равновесной теории, основанные на ис-
использовании канонического и большого канонического распределений Гиббса для
систем, имеющих заданную температуру, и т. д. (этот материал входит в первую часть
курса «Термодинамика и статистическая физика; равновесная теория»).
Таким образом, общий круг идей статистической механики в целом замыкается
именно на выводах из кинетической теории, построенной в свою очередь на идее
использования динамического подхода: от механики к кинетической теории и далее
к равновесной статистике.

Задачи
и дополнительные вопросы
§ 1. Общие вопросы описания движения системы
в фазовом пространстве
Задача 1. Пусть уравнения механики для системы N частиц решены и известны
все траектории г,- = г;(?, х0), р, = р,(?, х0), г = l,...,N. Определить плот-
плотность вероятности w(q,p,t), удовлетворяющую уравнению Лиувилля с начальным
условием, фиксирующим в момент t = 0 расположение и импульсы всех частиц,
х _ (.О) @) @) @L
Решение. Так как траектория х = x(t, xo) движения точки, изображающей микроскопическое
состояние системы в фазовом пространстве, с начальным условием х = Жо при t = 0
(см. с. 288, рис. 189) задана, то соответствующая этому движению функция распределения
с учетом условия нормировки выражается как
w(x, t) = 6(х - x(t, xo))
или в более подробной записи
лг
ги(гь..., Гдг, р,,..., рдг, <) = П % ~ ri(*> хо)) • %( ~ ft
В обычном 3-мерном пространстве и пространстве импульсов эта функция прочерчивает
траектории всех N частиц системы и соответствует механическому описанию ее эволюции. >
Задача 2. Получить общее решение уравнения Лиувилля для одномерного движения
частицы в случаях: а) свободного ее движения; б) движения в поле упругой силы
F = — кх. Нарисовать траектории фазовых точек, изображающих состояния этих
систем.
Решение. В первом случае Н = рг/Bт) и уравнение Лиувилля имеет вид
dw р dw
Ь — • — = 0.
dt т дх
Соответствующие ему уравнения для характеристик
.__?Я _ . _ 5Я_ р_
дх ~ ' ~ dp ~ m
решаются сразу
р = Си x = -t + C2 = — t + C2,
т т
откуда
С\=р, С2=х ,
т
и общее решение имеет вид произвольной функции от величин С\ и С2:
w(x, p,t) = w [р,х 1 .

§ 1. Общие вопросы механического движения системы
361
Во втором случае (гармонический осциллятор)
и уравнение Лиувилля несколько усложнится:
dw dw р dw
dt ~ X dp m dx
Решить характеристические уравнения
Р
особого труда не составляет:
р = —кх, х =
кх
т
= Сх sin (wt) + С2 cos (wt), — = -C| cos (wt) + C2 sin (wt),
где w = л/к/т, откуда
кх кх
=р sin (wt) cos (wt), Сг = — sin (wt) + p cos (wt),
ш w
и решение уравнения Лиувилля будет иметь вид
(кх кх \
р sin (u/t) cos (wt), — sin (wt) + p cos (wt) I .
Ш Ш /
Траектория точки, изображающей в фазовом пространстве свободное движение, пред-
представляет собой прямую, параллельную оси х (рис.213) и приподнятую над ней на величину
С\ = V2mE, где Е =-р2/Bт) — энергия частицы.
Во втором случае, исключая cos (wt) и sin (wt) из выражений для р и х, получаем
1
Это уравнение эллипса (рис. 214), полуось которого в направлении р имеет величину V2mE,
где Е = р2/Bт) + кх2/2 — энергия осциллятора, сохраняющаяся вдоль всей траектории. >
Н
О *
Рис. 213. Траектория фазовой точки
для свободного движения частицы
Рис.214. Траектория фазовой точки
для гармонического осциллятора
Задача 3. Доказать теорему Пуанкаре о возврате (Н. Poincare, 1890): если движение
точки х, изображающей состояние консервативной (гамильтониан Н не зависит
от времени) системы в фазовом пространстве, финитно (т. е. ограничено некоторой
областью 93, имеющей конечный объем К), то для любой конечной (не нулевой
меры) области 93, включающей начальную точку х0 этой траектории, существует такое
время Т. за которое фазовая точка х возвращается в эту область.

362
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Рис.215. Иллюстрация фазовых
траекторий к теореме Пуанкаре
Решение. Ограничение случаем финитного движения для статистической системы чем-то
неожиданным не представляется: область q = (r,,...,r^) ограничена тем, что все частицы
двигаются внутри трехмерного сосуда конечного размера, область изменения р = (р(,...., p,v)
ограничена фиксацией полной энергии системы Е = Н(р, q). Траектория х = x(t, ж0) будет
располагаться на энергетической поверхности Е, которую на рис. 215 мы условно поместили
внутри пунктирной линии, ограничивающей область 2J, и совместили с плоскостью чертежа.
Теорема Пуанкаре является настолько общей, что
доказывается без каких-либо выкладок с помощью одних
логических построений.
. Предположим, что существуют точки в области 2J,
которые не удовлетворяют теореме Пуанкаре, т. е. никогда
в область 27 не возвращаются. Предположим, что этих
точек так много, что они заполняют некоторую конечную
подобласть 27* области 27. Пусть ? — то время, за которое
все эти точки выйдут из 27 (и, по предположению, никогда
уже обратно не вернутся) и займут область ЗЗ7, в общей 97.
Согласно теореме Лиувилля объемы областей 2J' и 2J', оди-
одинаковы и равны некоторой величине V'. По прошествии
времени 2t' множество этих исключительных точек займет
область 272, причем ее пересечение С 97', будет равняться
нулю. Если же этого не будет, т. е. области ЯТг и 27*, будут
иметь общие точки, то, обращая в момент t' время (уравне-
(уравнения механики обратимы) и вспоминая, что траектории фазовых точек не пересекаются, область
97*1 и предшествующая ей 97* также должны были бы иметь общие точки, что противоречит
исходному предположению, что все точки 27' покидают 97 навсегда. Рассматривая аналогично
последовательность моментов времени 3t', At' Kt', мы получим последовательность непе-
непересекающихся областей 97з, 97i 27#, занимающих в области 97 объем KV'. При К -* оо
этот объем не только превосходит предельный V, но и вообще расходится, что противоречит
исходному предположению о финитности движения (исключение составляет случай V = О,
что нас вполне устраивает), и наше предположение, что существует конечномерная область
точек 27', не подчиняющихся теореме Пуанкаре, оказывается несостоятельным. >
Сделаем несколько замечаний по поводу доказанной теоремы.
а) Согласно теореме Пуанкаре существует конечное время Т, по прошествии
которого микроскопическое состояние системы воспроизводится с заранее огово-
оговоренной точностью. Естественно, что чем меньше область 53, тем это время больше.
Точный расчет времени возврата в начальное состояние возможен при точном же
решении механической задачи о движении системы. Оценка для системы N ~ 1023
тел (порядка моля вещества), произведенная различными авторами, дает огромную
величину Г. Сделаем такую оценку в самых грубых предположениях. Рассмотрим
систему типа равновесного пространственно однородного газа, N = Щ = 6 • Ю23;
Vo j= 22,4 л. По отношению к каждой частице можно сказать, что она проводит
в объеме А3 (А — средняя длина свободного пробега) в среднем время т (время сво-
свободного пробега). Оценка этих величин (см. задачу 7) дает А ~ 10~5 см, г ~ 10~10 с.
Выбирая в качестве масштаба, фиксирующего «воспроизведение» первоначального
положения частицы не ее размер (т.е. область т\, где г0 ~ 10~8см), а значительно
большую область А3, мы можем сказать, что среднее время, через которое, поблуждав
по всей системе, частица вернется в «свой» первоначальный к^бик А3, будет порядка
Vbr/A3 = Т\ ~ 10* с. Полагая, что все No частиц независимы (в «нулевом» прибли-
приближении), мы получим, что вероятность каждой частице вернуться в свой исходный
кубик А3 пропорциональна N-Vi степени вероятности w\ = 1/Гь а среднее время,
которое необходимо ждать, чтобы это событие произошло (т. е. время воспроизве-
воспроизведения только пространственного предложения частиц, да и то с достаточно грубой

§ 1. Общие вопросы механического движения системы ,363
точностью), будет порядка Т ~ (Ti)N ~ (TiI0^. Чтобы оценить громадность этой ве-
величины, напомним что возраст Вселенной, оцениваемый теперь уже десятками мил-
миллиардов лет, составляет по сравнению с Т довольно скромную величину 1О|7-1Ф18 с.
б) Теорема Пуанкаре не утверждает, что. состояние системы периодически вос-
воспроизводится через одно и тоже время Г, она указывает, на факт возвращения
системы в область точки Хо за конечное Т, щ интервалы между последовательными
возвращениями могут составить последовательность случайных величин. Конечно,
если систему можно представить (буквально или в переносном смысле) в виде
совокупности связанных осцилляторов, то, представляя движение системы как су-
суперпозицию ее нормальных колебаний и ограничиваясь в этом «спектральном» ее
представлении конечным (но Любым) числом гармоник, мы лолучйм, что микро-
микроскопическое состояние воспроизводится в 'заданном приближений через период,
кратный периодам этих колебаний, т. е. в целом процесс будет квазйперйодическим.
Идея такого подхода может быть использована при рассмотрении теоремы Пу-
Пуанкаре в квантовом случае, для которого спектральные представления (разложения
по частотам) являются органическим свойсхвом теории. Действительно, записы-
записывая оператор р в энергетическом представлении, будем иметь, что каждый его
матричный элемент представляет периодическую функцию •¦.-..
<п|р(#)|п'> = ехр | - %-(Ен~ 2?п,)<}<пИ0)|п'}.
Если оператору р соответствует конечная матрица, то первоначальное состояние
будет воспроизводиться периодически, если нет, то периодически воспроизводиться
будет заранее выбранная «главная» часть этой матрицы (тем. реже, чем она больше),
и уже будет необходимо говорить о квазипериодическом характере воспроизведения
начального состояния системы.
в) На первый взгляд теорема Пуанкаре противоречит представлениям об эволю-
эволюции статистической системы в направлении достижения ею равновесного состояния.
В частности, на ней строились и «принципиальные» возражения против идей Больц-
мана (см. §6-е) гл.5). ' . . ¦¦.
Приведем достаточно стандартный (и ставший уже «классическим») пример воз-
возникновения «противоречия». Пусть малый сосуд с газом находится внутри пустого
сосуда большего размера, стенки которого обеспечивают адиабатическую изоляцию
системы от окружающих тел. В момент to = О крышка малого сосуда открывается
и газ заполняет всю систему, — это «нормальный» процесс, который только и на-
наблюдается на эксперименте. Но система удовлетворяет условию теоремы Пуанкаре,
и поэтому через какое-то время Г частицы газа вновь соберутся в малом сосуде,
причем совершенно самостоятельно, без помощи поршней, насосов и т.п., что
с макроскопической точки зрения представляется уже противоестественным: таких
гигантских флуктуации никто никогда не наблюдал.
Оставляя в стороне вопрос о том, что необходимые для условия теоремы
идеальные адиабатические стенки не удовлетворяют требованиям, предъявляемым
к статистическим системам и что сами понятия термодинамического равновесия
(полного или локального) и нулевого начала термодинамики являются макроско-
макроскопическими (с механической точки зрения далеко не тривиальными), заметим, что
из указанного выше «парадокса» можно выйти на основе идей, обсуждавшихся в § 1.
Действительно, процессу размешивания (который позволяет переходить к опи-
описанию системы с помощью крупнозернистой функции распределения) теорема
Пуанкаре не мешает. Скорее наоборот, фазовые траектории, начинающиеся в точ-
точках х0 области 9J, с течением времени прочерчивают всю область 9J, образуя

364
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
амебообразную фигуру со все разветвляющимися, удлиняющимися и утончающи-
утончающимися «щупальцами», что только способствует уменьшению «крупнозернистое™»
огрубленного распределения w(q, p, t). (Если область 2J распадается на несколько
подобластей, таких, что фазовые траектории, начинающиеся в какой-либо из них,
все время в них и остаются, то эта «амеба» заполнит только соответствующую вы-
выбору Ю подобласть. Физическая реализация подобного случая возможна в рамках,
конечно, квазиравновесного состояния, например, состояния с двумя температу-
температурами, характеризующими разные типы квазиустановившегося микроскопического
движения системы.) Напомним еще раз, что возврат системы в первоначальное
состояние х0 для системы N взаимодействующих друг с другом частиц в свете
приведенной выше оценки времени возврата и конечности «лабораторного» време-
времени наблюдения за системой представляется событием чрезвычайно маловероятным.
Поэтому переход к огрубленному описанию системы сводит это событие на нет
аналогично тому, как выколотая точка на графике функции не меняет площади
фигуры, определяемой с помощью интеграла.
г) Наконец, условия теоремы Пуанкаре исключают какой-либо контакт сис-
системы с окружающими ее телами. Между тем, абсолютно изолированных систем
многих тел в природе не существует. Те условные стенки, которые выделяют рассма-
рассматриваемую систему и находятся с ней в состоянии термодинамического равновесия,
несмотря на их откровенную модельность, тоже являются статистическими систе-
системами, а эквивалентность выделения системы из окружающего ее мира с помощью
стенок какого-либо типа возникает лишь в предельном статистическом случае,
впрочем, как и само равновесное распределение Гиббса в любом из его вариантов
(см. т. 2, гл. 1, §3-5), являющееся по своему построению послепредельным.
Всегда присутствующее и неистребимое флуктуационное воздействие на рас-
рассматриваемую систему со стороны окружающих ее систем, не нарушая равновесного
ее состояния и всех квазистатических закономерностей, по отношению к реальным
термодинамическим системам сводит на нет актуальность несомненно правильной
в своих жестких условиях теоремы возврата. Относить же эту теорему ко всей Все-
Вселенной хотя и заманчиво, но тоже нет видимых оснований, так как физики до сих
пор еще не договорились, сколь «механичной» она является, и вообще, что она
из себя в целом представляет.
Задача 4. Исследовать характер движения заданной в мо-
момент tQ = О ограниченной области @, Дат; ро> Ро + Др)
в фазовом пространстве для случая одномерного движе-
движения одной частицы (или газа из невзаимодействующих
друг с другом частиц): а) в ограниченном стенками сосуде
О < х < L; б) в поле упругой силы F = -кх.
Решение. На примере этой задачи, элементарной в математиче-
математическом отношении и достаточно примитивной с физической точки
зрения, постараемся обсудить некоторые характерные особенно-
особенности эволюции системы, изображаемой в фазовом пространстве
с помощью функции w.
а) Предположим, что стенки одномерного ящика обеспечи-
обеспечивают адиабатическую изоляцию системы (т. е. являются идеально
отражающими). Энергия частицы Е = р20/Bт) сохраняется. Фазовая траектория имеет вид
(см. рис. 216 и задачу 2) двух отрезков (упругий удар о стенку в точке х — L мгновенно
переводит частицу из состояния (L,p0) в (L, -ро)). Движение частицы является циклическим
с периодом Го = 2Lm/po.
Pi
Ро
0
L х
Рис. 216. Фазовая траек-
траектория частицы, двигающей-
двигающейся в ящике с зеркальными
стенками

§ 1. Общие вопросы механического движения системы
365
Предположим теперь, что начальное состояние системы с одной частицей задано как
смешанное состояние с помощью функции w(x,p,t0) такой, что
( Wo,
и>(*,р, <<,)=<
если 0 < х < Ах; ро < Р < Ро + Др>
во всех других случаях,
где w0 = \/(АхАр) — плотность и>-жидкости. Иными словами, состояние системы задано
не на поверхности энергии Е = pl/Bm), а в энергетическом слое 6S1 = р0Др/т.
Модель идеального газа (т. е. газа из невзаимодействующих друг с другом материальных
точек), часто используемая для интерпретации различных обшнх положений, в данном случае
позволяет представить себе область Ах Ар не равномерно заштрихованной, т. е. как бы
залитой ш-жидкостью, а равномерно покрытую N точками (N частиц газа в момент t — t0),
каждая из которых движется подобно частице, изображенной на рис. 216. Начальное состояние
будет соответствовать нахождению всех N частиц в области 0 <х < Ах; ро <р <Ро + Др-
Форма начальной области при t > О уже не будет прямоугольной (рис. 217) ввиду
несовпадения скоростей частиц. Заштрихованная область будет все более перекашиваться,
а через время
, 2Lm _ т &
частица с импульсом р0 + Др, стартовавшая вместе с частицей ро из точки х = 0, догонит
ее, сделав лишний оборот вокруг прямоугольника (О, L; ро, ~Ро)- При t > <0 первоначальная
область Ар Ах вытянется в ленту, много раз «намотанную» на этот прямоугольник. Предельное
p
Ро
О
-Ро
1
1
1 j
t-tn
Рис. 217. Эволюция области фазового пространства при одномер-
одномерном движении частиц в ящике с идеально отражающими стенками
w{x)
J_
Ах
J
Др
1
2Др
у'
,Чр)
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
хч
ч
ч
ч%
О Ах
-Ро
Рис. 218. Вид начальных (тонкий пунктир) и конечных (толстые линии)
распределений по импульсу и координате для частицы, двигающейся в огра-
ограниченном ящике с зеркальными стенками, и реально возникающее гауссово
распределение wM(p) в ящике с неидеально отражающими стенками

366
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
значение функции- w(x, р) таким образом оказывается равным
где распределения по координатам и импульсам (сплошные линии На рис. 218) соответствуют
равномерному распределению в энергетическом слое 6S:
w(x) = j; u?(p)=J 2 Ар'
L I o.
л*~> если Po<W<Po-
если \р\ < рй или |р| > Ро + Ар
(мы не будем проводить здесь подсчета промежуточных значений w(x, p, t), основанного
на вычислении площадей параллелограммов, — это уже на уровне школьной задачи).
Мы выявили релаксационный процесс, но эта релаксация связана с чисто кинетически-
кинетическими особенностями системы. Сама система все раано не является термодинамической. И дело
здесь не только в том, что система идеальная. Наш газ находится в контакте со стенками, ко-
которые помимо их идеальной «геометрии» по непонятным причинам не участвуют в тепловом
движении (как бы выморожены до нуля температуры). Если отказаться от этой в принципе
не реализуемой идеализации, то характер движения частиц в системе существенно меняется.
Действительно, частица, проходя каждый раз путь L, испытывает случайное воздействие
со стороны стенки, причем за время t > 2Lml yp1 этих случайных воздействий накап-
накапливается много, движение начинает приобретать черты брауновского движения, а «закон
больших чисел» (см. гл. 3, центральная предельная теорема) навязывает нам по прошествии
достаточного промежутка времени гауссово распределение
? I 2 P2J
Чтобы прийти окончательно к максвелловскому_ распределению, остается только «позаим-
«позаимствовать у термостата» (т. е. у стенки) значение р2 = тв.
Приведенные рассуждения в идейном отношении принадлежат Планку, который, раз-
разрабатывая теорию равновесного излучения и желая угодить вкусам современников, сохранил
в полости идеальные зеркальные стенки, но ввел в нее крохотную, вроде бы на первый взгляд
ничего существенно не меняющую черную пылинку, присутствие которой сразу превращало
находящееся в полости электромагнитное излучение в термодинамическую систему, релак-
сирующую к определенному состоянию термодинамического равновесия (с температурой
и всеми необходимыми для его описания атрибутами).
Заметим, что изменение функций стенок лишает
нас права пользоваться теоремой Пуанкаре, говорить
о несжимаемой w-жидкости и т.д. (хотя общее ее ко-
количество сохраняется в силу условия нормировки).
И последнее, в системе взаимодействующих частиц
роль стенок в установлении состояния термодинамиче-
термодинамического равновесия уже не является столь определяющей,
равновесные (квази) состояния в локальных областях
системы могут возникать н вдвли от стенок, но это
уже совсем другой сюжет (см. §6 гл. 5), не связанный
с данной задачей.
б) Решение уравнений движения в поле упругой
силы получено в задаче 2. В отличие от предыдущего слу-
случая кинематических причин для размешивания первона-
первоначального четырехугольника в изображенном на рис.219
слое нет, через период То = 2п/ш заштрихованный четырехугольник снова займет это место.
Если частота ш хоть как-ннбудь зависит от амплитуды колебаний, то с течением времени
первоначальная область вытянется в нить, намотанную на эллипс, аналогично тому как это
произошло в случае а).
Рис.219. Эволюция области фазово-
фазового пространства при движении частиц
в поле упругой силы

§1. Общие вопросы механического движения системы ,367
Если перевести эту задачу на физический язык, то ей соответствует электромагнитов
излучение, заключенное между зеркальными стенками, с полосой частот Да» = сАр/П
около частоты ш0 = cpo/h. Если же стенки «оттают» и начнут выполнять роль планковской
пылинки, то частоты отраженных фотонов начнут меняться, и вся четкая прямоугольная
картинка для w(w) расплывется в соответствуюшее'р'аспределение Планка. >
, • i ¦ * . ¦
Задача 5. Показать, что если функция w(x, t) удовлетворяет уравнению Лиувилля, то
величина
?.= J /MM) dx,
где / — такая функция w, что интеграл &Щ всегда сходится, не зависит от времени
(т. е. является интегралом движения).
Решение. В § 1 мы установили, что вдоль фазовой траектории функция w(x, t) не меняется,
т. е. ¦,...., ...
w(x(t, ж0), t) - »(жо, 0). .:,--.
Переходя в выражении для 3>~ (() к интегрированию по х0 и учитывая, что якобиан перехода
от переменных х к х0 равен единице, получаем требуемое:' '
= J f(w(x(t,xo),i))dxa= J
В квантовом случае (§ 1-а)) теорема тоже является следствием уравнения Лиувилля—
Неймана. Вспомним, что в квантовой механике функция от оператора определяется как
бесконечный ряд по степеням этого оператора:
Учитывая, что
* = «Ф { - I ™}р(») «Ф { J m j • ехр 111 Я«}а>@)ехр | %-
получаем
... х ехр { -l-Ht 1л@) ехр | - Ht 1 = ехр { - *- Ht \{рф))к ехр \ \
I л J (h ) IK) (n
f(p(t)) = ехр { - I Ht}f(p(O)) ехр { i Htj,
откуда, учитывая очевидное свойство Sp{41?} ^Sp{BA}, имеем
i = Sp{/(p(<))} = Sp {ехр { - *- Ht\f(p(&)) ехр { J Я<| | = .
= Sp {/(р@)) ехр { ^Я<| ехр { - %-
Теорема интересна в связи с достаточно традиционным «микроскопическим» определе-
определением понятия энтропии как средней величины от минус логарифма функции распределения.
Полагая , , . , ¦
/(to) = -tulntu или f(p) = -p\ap,
получаем, что так определяемая энтропия вообШе от времени не зависит, ¦ '¦ ¦
5@ = - I w In w dx = 5@) или S(t) i -Sp{pIn p} == '5@).

368 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Понятно поэтому, что такая «микроскопическая» энтропия ко второй части II начала термо-
термодинамики отношения не имеет. Если же для построения энтропии использовать огрубленную
функцию распределения, то положение существенно меняется, так как в огрубленном опи-
описании релаксационные процессы, происходящие в неравно-
неравновесной системе, становятся явными.
Приведем для пояснения этого обстоятельства малень-
маленький пример, не выделяя его в отдельную задачу. Идея его
может быть использована для проведения и более обще-
общего рассмотрения. Пусть достижимая для фазовых траекто-
траекторий область 2} разделена на две равные по объему ча-
части Да; = V/2, которые используем в качестве масшта-
масштаба огрубления («крупнозернистее» просто уже невозможно).
Для удобства выкладок положим Дх = 1 (выбор единицы
измерения). Обозначим количества w-жидкости в каждой
О Ч из областей (рис.220) W\ и Wi и учтем, что в силу условия
Рис. 220. К расчету энтропии нормировки W, + W2 = 1,
при самом простом варианте w - f m(r t\dr-f W - f m(r t\dr-\-P
огрубления рассмотрения J y ' * J
Записывая энтропию системы по аналогии с ее «микроскопическим» определением в круп-
крупнозернистом варианте как
S = -Y
/
1
1
1
1
\ ®
\ \§р
ч
ч
i
^^ 1
1
--L--
ч
ч.
% \
Ш^ !
^Г 1
^ '
Or s
у
получаем для ее изменения в нашем случае t = 1,2, связанном с переходом некоторого
количества и>-жидкости Д{ из одной части системы в другую, что
Так как в случае W{ < Wi (т. е. при 0 ^ { ^ 1/2) процесс размешивания, приводящий
к выравниванию этих количеств, соответствует Д{ ^ 0, а в случае W{ > W2 (т. е. 1/2 ^ ? ^ 1)
Д? ^ 0, то имеем, что с течением времени в обоих случаях
д.?*.,, ^ о.
Этот результат не только радует глаз, напоминая о существовании в макроскопической
теории второй части II начала термодинамики, но и отдает дань «хитрости» логарифмической
конструкции, используемой для определения энтропии. >
§ 2. Элементарные кинетические представления
и оценки характерных величин
Задача 6. Определить среднее значение модуля относительной скорости двух частиц
равновесного идеального классического газа.
Решение. В соответствии с распределением Максвелла вероятность обнаружить скорости двух
частиц в области значений (v,, v2 + dv,; v2, v2 + dv2) равна
Отметим интересное свойство этой формулы. Перейдем к переменным, характеризующим
скорость движения центра инерции двух частиц и их относительную скорость:
V = V

§ 2. Элементарные кинетические представления и оценки
369
Якобиан преобразования (vi,v2) -+ (u,V) равен, как несложно показать, единице,
¦I I
= 1,
-m,
где I — трехмерная единичная матрица. Пересчитывая сумму кинетических энергий
mi»? тгу\ _ MV1 /и?
2 + 2 ~ 2 + ~2~'
где полная и приведенная массы в системе двух частиц
771O712
М = ГП\ +7712, /i =
771! +7712
мы получаем, что распределения по V и и являются не только независимыми, но и чисто
максвелловскими:
3/2
3/2
ехр | -
После сделанного замечания расчет интересующей нас величины элементарен:
Вводя характерную для равновесного классического газа масштабную единицу скорости
V = V =
и учитывая, что в случае одинаковых частиц ц — т/2, получаем
т. е. интересующая нас средняя скорость относительного движения почти в полтора раза
больше средней скорости частиц. >
Задача 7. Оценить среднюю длину Л и среднее время г свободного пробега частиц
классического газа низкой плотности, считая полное сечение рассеяния частиц друг
с другом известным.
Г
-V---/
№
uAt
Решение. Эта задача, решение которой основывается
на подсчете среднего числа частиц, падающих на дру-
другую частицу (или еще какой-либо объект), характерна
для элементарной кинетической теории, основанной
на использовании распределения Максвелла. Величи-
Величины Л и г являются масштабными единицами длины
и времени в системе частиц со взаимодействием, по-
поэтому их оценка даже в упрощенном варианте пред-
представляет несомненный интерес для всей кинетической
теории.
Ограничиваясь парными соударениями частиц,
рассмотрим две из них в системе отсчета, в которой
одна частица неподвижна, а другая по отношению
к ней имеет скорость и. Для простоты оценки будем считать, что частицы представляют
собой сферы радиуса г0. Построим (рис.221) цилиндр с образующей «Д< и площадкой
а = я-Bг0J = 4ятр в основании. Тогда за время At все частицы, имеющие относительную
скорость и, центры которых будут находиться в этом цилиндре, налетят на частицу 1. Среднее
Рис. 221. К выводу выражения для
среднего числа парных соударений клас-
классического газа за секунду

370
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
число таких частиц 2, имеющих относительные скорости в диапазоне (u, u + dv), равно
сг и At • nw(u) dv. Интегрируя по всем значениям модуля относительной скорости 0 ^ к < оо,
деля на At и устремляя At —» 0, получим для среднего числа парных соударений одной
частицы системы за секунду величину
1 Г / tn \ ^ Г ( m«^ 1
и = Нт — I dv ffvAt nw(v) = n<r[ ] / 4тг«3 ехр < — > du — гитп = rurVl v.
Ai-»o At J v ' \4*в/ J I 40 J
о о ¦ ¦ .>
Так как за секунду частица системы пробегает в среднем путь v, то для средней длины
свободного пробега Л и среднего времени г получаем оценки
1
V2
п<т
1
г = — =
V
1
у/2
1
Anff
Условие разреженности системы, которое позволило нам использовать схему, изображенную
на рис.221, можно записать как А > г0. Из приведенной ниже таблицы значений А и г для
ряда газов при нормальных условиях @° С и 1 ат) следует, что г0 составляет от А лишь доли
процента.
Значения средней длины свободного пробега А и среднего времени свободного пробега г для газов
при нормальных условиях (t = 0° С, р = 760 мм рт. ст.)
Газ
н2
Не
N2
о2
Аг
Пар Н2О
СО
СО2
2г0, Ю~8 см
2,3
1,9
3,1
2,9
2,8
2,6
3,2
3,2
V, М/С
1692
1204
454
425
381
566
454
362
А, 10~6 см
¦11,2 , .. .
18,0
6,0
6,5
6,35
4,0
¦ 5,8
4,0
г, Ю-10 с
0,66
1,47
1,32
1,52
1,66
0,71
1,28
1,10
Характерные масштабы полученных величин составляют А ~ 10~3 —10~6 см, г ~ Ю0 с.
Для определения этих характеристик в других условиях достаточно прибегнуть к простым
формулам пересчета:
Для того чтобы длина свободного пробега стала сравнимой с лабораторными размерами,
например А ~ 0,1 см, необходимо понизить плотность газа в 105 раз. Для «космической»
плотности газа п ~ 1 см~3 величина А достигает (в предположении, что газ в межзвездном
пространстве состоит из нейтральных частиц) также космических размеров, А ~ 3 • 1014 см.
Этот путь свет проходит почти за 3 ч. >
Задача 8. Определить среднюю длину свободного пробега частицы в классическом
разреженном газе твердых сфер, имеющей заданную скорость v = |v|.
Решение. Повторяя построение, использованное в предыдущей задаче, имеем для величи-
величины и, в качестве исходного выражения
i/, =
^}|v-vV«.

§ 2. Элементарные кинетические представления и оценки
371
Вводя новую переменную интегрирования и = v1 - v, замечая, что vn = и2 + v2 - 2uwcost?,
и интегрируя по углам '
„ ? Г m«w "I 2я-0 1 / Г mvv "I f m«w  \
2w / exp < —— cos 0 > sin 0 40 = I exp < > - exp < > I ,
получаем после несложных преобразований
_
где интеграл ошибок (табулированная величина)
1
5 <
X - - X' + — X' - . . .
в случае х < 1,
— —г+...1 в случае х^>1.
В случаях малых и больших скоростей v по сравнению со средней тепловой скоростью
среднее число соударений с другими частицами за секунду определяется без таблиц (рис. 222):
fUTV
. 1 29 1
na-v 1 + - —г + -=
mv
в случае —— < 1,
вслучае
Заметим, что значение этой величины при v — 0 (покоящаяся частица или просто большая
и тяжелая частица) равна «поверхности» частицы Е = And2 = 4<т, умноженной на среднее
число частиц газа, падающих в секунду на 1 см2 поверхности, A/4) • nv.
Рис. 222. Зависимость от скорости
частицы среднего числа соударений
с другими частицами за секунду
Рис. 223. Зависимость от скорости
частицы среднего времени и средней
длины свободного пробега

372
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Для среднего времени свободного пробега г, и средней длины свободного пробега Л,
частицы со скоростью v имеем соответственно
I /. I
в случае
в случае
mv
~W
mv1
If
»1
в случае
в случае
mv
mv
If
На рис. 223 эти зависимости представлены вместе с их средними (по максвелловскому
распределению) значениями, рассчитанными в предыдущей задаче. >
Задача 9. Определить среднее число таких парных соударений сферических упругих
частиц разреженного газа, происходящих в 1 см3 за 1с, при которых:
а) проекция скорости относительного движения на линию центров ип в момент
столкновения превышает величину v0 = у/2тео;
а') энергия «перпендикулярного» соударения и\/{2т) лежит в интервале значений
( fe)
б) относительная трансляционная энергия частиц превышает значение е*;
б') энергия относительного движения лежит в интервале значений (е*,е* + de*).
Решение. На сфере действия с радиусом R = i
(ri и rj - радиусы взаимодействующих частиц,
которые мы не считаем обязательно одинаковы-
одинаковыми), представленной на рис. 224, отметим штри-
штриховкой кольцевую площадку d<r = 1*R sin 0 • R dd =
Iff sin0 d0, где <r — kR1 — полное сечение. Вместо
угла 0 можно фиксировать прицельное расстояние
а = Л sin i9.
Среднее число столкновений частиц сорта 1,
одна из которых помешена в начало координат
на рис. 224, с частицами сорта 2 (или частицами то-
того же сорта), модули относительной скорости кото-
которых лежат в интервале (и, u+du), а угол 0 (или при-
прицельное расстояние) — в @,0 + dd), происходящих
в 1 см3 системы за I с, равно
V'2
¦г.+ г,
Рис. 224. К расчету числа соударений
сферических частиц с заданным прицель-
прицельным расстоянием а = R sintf
/ и \3'2 f uu2"| ,
i% = 2ir sin0 dd ¦ и cos0 • nI -^—- 1 exp < - ^—- >47Г« du,
здесь
n =
— одинаковые частицы,
где П| и п2
выражение по углам
П| • г»2 — разные частицы,
плотности числа частиц сорта 1 и сорта 2. Заметим, что, проинтегрировав это
<г/2
sin I? cos 0 еЮ = -,

§ 2. Элементарные кинетические представления и оценки
373
мы получим подынтегральное выражение в определении величины v в задаче 7. Но угол д
у нас теперь ограничен условием
1 3> х = cost? ^ —,
и
в связи с чем интеграл по t? уже не будет равен 1/2,
/¦И И).
«о/»
и для требуемой в п. а) условия задачи величины «/«„>„„ получаем
Для требуемой в п. а') условия величины dv€<j, отсюда сразу имеем
Полученное выражение для ие>Со, определяющее плотность числа столкновений частиц с отно-
относительной энергией выше пороговой за секунду, имеет непосредственное отношение к задачам
элементарной химической кинетики. Кроме того, заметим, что исходное выражение йщЛ,
по своему физическому содержанию и конструкции соответствует второму слагаемому в инте-
интеграле столкновений Больцмана (см. §6), описывающему среднее число столкновений частиц
со скоростями v и v\ с прицельным расстоянием из интервала (а,а + da), происходящих
в 1 см3 пространственно однородной системы в секунду.
Для решения п. б) задачи позаимствуем из задачи 7 выражение для среднего числа
соударяющихся за секунду частиц с модулем относительной скорости из интервала (и, и+du):
2кв 1
паи ехр •
Произведя замену переменной е' = mu2/2, u = у/2е'/т, получаем сразу для величины,
требуемой п. б') задачи,
-/„>?' de'
или е*/в
а)
или е*/в
б)
Рис. 225. Зависимость от пороговых значений е0 или е* среднего числа происходящих
за секунду парных соударений частиц в 1 см3 разреженного газа

374
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Интегрируя это выражение по с' по области е* < е' < со, получим величину, подлежащую
определению согласно п.б), ( •> .
Графики относительных величин vt>cjv н ve>c-/v приведены на рнс. 2?5о, величин
4
) ¦
— на рис.2256. >
Задача 10. Оценить зависимость от температуры эффективного сечения парных со-
соударений а для классического разреженного газа твердых сфер (диаметр молекул d)
со слабым притяжением (глубина потенциальной ямы Щ).
Решение. Одну из частиц, как и в задаче 7,
будем считать неподвижной (рис. 226). Ес-
Если прицельное расстояние меньше диаме-
диаметра молекул, о <d,. то столкновение сфер
произойдет, даже если, не будет их притя-
х жения. При а > До (До; — радиус взаимо-
взаимодействия) частицы пролетают мимо друг
друга. При d < о < До соударение сфер
возможно, так как траектория налетающей
частицы (на рис. 226 она изображена точ-
точкой А) искривляется в сторону точки 0.
При а =¦ отм происходит только касание
сфер в точке С. Написав для положений А
Рис. 226. Траектория, при которой твердые сферы и С законы сохранения момента количе-
лишь касаются друг друга ства движения и энергии двух частиц,
получаем
Усредняя по всем значениям относительной скорости
получаем для эффективного сечения Соударений
Второе слагаемое в этой формуле называют поправкой Сазерленда (Sutherland, 1893). >
Задача 11. Считая вероятности событий, происходящих в последовательные интервалы
времени, в среднем независимыми друг от друга, определить вероятнсаь w(t) частице
газа пролететь без столкновения время t (в том же «среднем» понимании) и вероят-
вероятность wCT@ dt частице, пролетев без столкновений время t, испытать столкновение
в интервале (t,t+ dt).

§ 2. Элементарные кинетические представления и оценки 375
Решение. Поставленная задача нуждается в пояснении. Считается, что все события, обсужда-
обсуждаемые в задаче (свободные пролеты в течение последовательных интервалов времени/Столк-
времени/Столкновение на заданном интервале At и т. д.) происходят независимо друг от друга. Подобные
представления при их возникновении в гл. 2 и 3 требовали достаточно длительного обсужде-
обсуждения (введение достаточно грубой шкалы времени, представление о марковости случайного
стационарного процесса и т.д.). Они же используются и в элементарной теории а-распада
(спонтанный распад не зависит от предыстории системы). Понятно, что мотивировка этих
предположений на уровне теории случайных процессов в данном случае, когда рассматрива-
рассматриваются динамические процессы рассеяния, оказывается весьма приблизительной. Поэтому без
их микроскопического обоснования предлагаемая задача носит явно полуфеноменологичес-
полуфеноменологический характер (хотя те же идеи иногда используются для «вывода» интеграла столкновений
в форме релаксационного члена).
Рассмотрим сначала вероятность w(t) частице пролететь без столкновения интервал t.
По смыслу принятых предположений
w(t + At) = w(t) • w(At).
Такое уравнение мы уже решали. Имеем
w(t) = ш@)е-" = е~"
(мы учли, что вероятность w@) пролететь без столкновений нулевой интервал времени равна
единице), где и — некоторый параметр. Так как полная вероятность того, что время dt
частица пролетит свободно или испытает столкновение, равна единице, то вероятность
частице испытать столкновение на интервале dt выразится как
1 - w(dt) = v dt.
Отсюда для вероятности «>„(<) dt имеем
wa(t) dt = w(t)v dt = i/e~"' dt.
По смыслу этой вероятности величина
00
/
1
= — = г
о
представляет собой среднее время свободного пробега. Поэтому имеем окончательно
/.ч -lit -Чт /,s м. -llT &
К задачам 12-14 на элементарную теорию явлений переноса
Упрощенная теория явлений переноса, не использующая кинетического урав-
уравнения для функции распределения (т. е. докинетическая теория), позволяет произво-
производить оценки на основе максвелловского распределения. Она исходит из следующих
полуэвристических положений (воздержимся от их критики, тем более что частич-
частичное «обоснование» придет само, когда мы будем решать те же задачи в рамках
кинетической теории), которые мы сформулируем для простейшего случая, когда
пространственная неоднородность системы фиксируется с помощью только одной
координаты z:
а) в каждом слое z = const имеется локальное равновесное состояние, характери-
характеризуемое локальными значениями температуры 0(z), плотности n(z) и т.д.;
б) пробежав Путь А в любом направлении, частицы включаются в равновесное
тепловое движение, но уже в новом слое z; длина «свободного пробега» А
является подгоночным параметром;

376
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
в) переходя из слоя в слой, частицы переносят свои средние характеристики
в новый слой (среднюю энергию, средний импульс и т.д.).
Расчеты проводятся по следующей схеме. Так как координата z' слоя (рис. 227),
из которого в слой z приходит частица
z = z - A cos ¦& = z -,
то значение плотности р некоторой средней харак-
характеристики, вносимой в слой z этой частицей,
dp(z) vz
P(z)-P(z) -q^~- —¦
Поэтому полный поток этой величины jp через
1 см2 площадки уровня z (или любого другого, так
как перенос предполагается стационарным) равен
Рис.227. Геометрия процесса
переноса в элементарной теории
+00
3, = JJJ dvx
dvy dvz ¦ vz
Учитывая симметрию максвелловского распределе-
распределения относительно vx, vy, vz, имеем
dz
1-xJ dy^w(y) = -
dp(z) .if , . , dp Xv
n ¦ X ¦ - / vw(v) dv = —,
dz 3 7 w dz Ъ
где v = \y\ = у/Ъв/(тгт). Ниже, останавливаясь на самых простых примерах ис-
использования этой формулы, оценим также и соответствующие потоки в случаях,
когда расстояния между источниками, поддерживающими стационарный процесс
переноса, малы по сравнению с длиной свободного пробега А.
Задача 12. В рамках элементарной теории явлений переноса оценить коэффициент
диффузии D примеси, полагая для упрощения, что массы всех частиц равны, т\ =
77i2 = 771 и сечение рассеяния частиц друг на друге также одинаковы, <Т\ — ег2 = а,
а также оценить скорость роста линейного размера облака примеси в системе.
Решение. Рассматривая перенос числа частиц, полагаем
р(г) — п(г). Соответствующая плотность потока
. _ дп АС _ дп
где коэффициент диффузии.
D = -At.
Величину А можно позаимствовать из задачи 7. Рост капли
примеси в диффузионном приближении (t > г = А/б)
можно оценить по формуле (см. § 3 гл. 2) г1 S 6Dt. РиСф 228f Зависимость скорости
Г; i
Имеем, полагая А ~ l/(V2n<r),
(
роста размера капли примеси от
времени. Пунктиром обозначен ре-
результат, соответствующий диффузи-
диффузионному приближению

§ 2. Элементарные кинетические представления и оценки 377
Для малых t, таких, что t < X/v, эта оценка непригодна
(диффузионный процесс еще не оформился). В этом случае правомочны только кинетические
представления:
[W
V кт
График зависимости скорости роста размера капли примеси от времени приведеи на рис. 228. >
Задача 13. Оценить в предположениях задачи 12 коэффициент теплопроводности,
считая, что плотноаь числа частиц газа постоянна, а также величину потока энергии,
переносимой частицами газа из одного термостата в другой (температуры в\ и 02
и расстояния между ними I заданы).
Решение. Чтобы оценить поток энергии, переносимый частицами газа вдоль оси г, вдоль
которой имеется градиент температуры, положим в общей схеме р(г) = ne(z), где s(z) —
удельная внутренняя энергия е(г) = е(п, в(г)). Тогда
др _ де _ де дв _ дв
где с, — удельная теплоемкость газа, и
дв n\c,v дв
где коэффициент теплопроводности
h ~ дг' 3 ~ дг ' *'
пАс„»
к-—.
Если расстояние между термостатами, поддерживающими постоянный градиент температуры,
I > Л, то поток определяется написанной выше формулой:
02-01 nAc,i;
при I < X в самом газе «равновесных слоев» уже нет. Частицы от пластин в\ и вг переносят
навстречу друг другу энергию за секунду:
откуда
При I —» 0 это выражение конечно. >
Задача 14. Оценить в предположении задачи 12 коэффициент внутреннего трения rj,
считая плотноаь и температуру газа постоянными, а также оценить силу трения между
двумя параллельными пластинами, разделенными слоем газа толщины I и движущимися
относительно друг друга со скоростью и.
Решение. Пусть пластины движутся относительно друг друга в направлении оси х. В стаци-
стационарном случае средняя скорость слоя г газа, находящегося между пластинами, 0 < z < I,
равна их = (и/1) • г. В направлении оси г частица переносит среднее количество движения
тпщ, баланс которого за секунду в расчете иа 1 см2 пластины и определяет силу вязкого тре-
трения в направлении, противоположном скорости их. Таким образом, полагая р(г) = птиг(г),
имеем сразу
дих nmXv дих

378
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
где коэффициент вязкости
п = -nAm».
В случае I > Л таким образом имеем
1 u
О А I
Рис. 229. Характер зависимости
от { относительных величин силы
трения / = Frpiiy/fipiO) и потока
тепла C/cv)-j,(/)/i,@)
В случае же J < А частица, летящая без промежуточных
столкновений от неподвижной стенки на двигающуюся,
при столкновении с ней приобретает в направлении х
средний импульс ти, поэтому, учитывая выражение для
среднего числа частиц и, падающих за секунду на 1 см2
стенки, имеем
nv
= —тии = -ти— = —-
2nV20m
•и.
Это выражение при I -* О конечно. Выражения F^ty/F^O) и C/су) ¦ (jc(l)/jc(O)) предста-
представлены как функции расстояния между пластинами на рис. 229.
Заметим, наконец, что из полученных выше коэффициентов переноса можно соста-
составлять безразмерные комбинации (типа закона Видемана—Франца), например, сравнивая
выражения для коэффициентов х и Т), получаем
лс,
—
urn
1 = const.
Естественно, что в буквальном смысле этот полученный в рамках очень грубой теории
закон не подтверждается. Однако для инертных газов (Не, Ne, Ar) написанное отношение
имеет величину 0,402-0,424, для газов типа Иг, N2, Ог — величину 0,53-0,57, т.е. что-то
похожее на «константу» все же имеется. >
§ 3. Стационарное кинетическое уравнение
с релаксационным членом
и коэффициенты переноса
Задача 15. Рассчитать с помощью решения стационарного кинетического уравнения
с релаксационным членом (см. гл. 5, § 3) коэффициенты переноса, характеризующие
плотности потока числа частиц и потока энергии в приближении постоянного времени
свободного пробега г и постоянной длины свободного пробега А.
Решение. Для неподвижного газа (и ¦¦
случае
: 0) в отсутствие внешнего поля (U = 0) в классическом
iV/2e [™L
Поэтому для одночастичной функции распределения F(r, v) в стациоиарном случае (см. § 3
гл. 5), полагая, что неоднородность системы связана только с одним направлением в системе
(выбираемым за ось г), имеем
дп д . . дв
)— - Tv.n—u/(v) —.
Вычисляя с помощью этой функции плотность потока числа частиц

§3. Стационарное кинетическое уравнение с релаксационным членом 379
(пользуясь свойством симметрии функции t»(v) относительно vx, vy, vt, мы заменили под
знаком интеграла величину v1 на (vl + v% + t>*)/3), где чертой сверху обозначено усреднение
с помощью нормированного максвелловского распределения, и плотность потока энергии
mv2 „ дп( v1 то2\ дв д ( v2 mv2
Fd[ )
„ дп( v
Fdy=-л [Ti ) TznTe Vi
получаем для коэффициента диффузии D (коэффициента при —дп/дг в- выражении для
потока jn) и коэффициента термодиффузии Dg (коэффициента при —дв/дг в выражении
для потока jn)
а также для теплопроводности х (коэффициент при —дв/дг в выражении для потока jc)
и коэффициента диффузионного переноса тепла х„ (коэффициент при —дп/дг в выражении
д f v2 mv2\ _ д ( v2 mw2>
Заметим, что ввиду очевидного соотношения
д / v2 mv2\ д ( v2 mv2\
v2 mv2
коэффициенты D, De и н связаны соотношением
в2 3
хц = — A» + -8D,
п ,2
которое (см. § 2 гл. 4) обеспечивает выполнение соотношения взаимности Онсагера в явлениях
переноса рассматриваемого типа.
Для окончательного расчета этих коэффициентов необходимо знать функцию г = r(w).
С целью лучшего соответствия с экспериментальными данными эту функцию подбирают
различными способами. Мы остановимся только на двух самых простых (но не лучших)
вариантах. Выпишем предварительно табличные значения средних
/ ол / ол \ 3/2 л / д \ 2
v = \ , tr = - — =-(«), «2 = 3—, w4 = 15 — I и т. д.
V 7rm 2\wmJ 2 ' т \mj
Имеем:
а) приближение г = const
D =
б) приближение А = rv =
I/ :
)
т
const, т. е.
-AU D
-Т. д
пг
m
г = X/v,
nXv
9 = "оТ'
5Г02
<п 2 т'
2
«п - Г
50пг
т
, я — nXv
Естественно, что мы получили разные результаты для одних и тех же коэффициентов. Желая
их как-то сопоставить друг с другом, необходимо выразить среднее время свободного пробега г
через среднюю длину свободного пробега А, например, как это предполагалось в задаче 7,
г = A/U. Тогда
(D)T = ^(Dh б! 1,18@)», (D,)r = ^(Х»,Ь 9! 2,Зб(Св)д,
О ' О
Wr * ^ W» - 1.49(хя)х. («)г = у (к)» « 1,9б(м)л.

380
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Это расхождение не будет казаться столь ужасным, если учесть, что несовпадение этих
коэффициентов (при использовании формулы для А или г из задачи 7) с экспериментальными
также составляет десятки процентов.
Наконец, небезынтересно отметить, что полученные выше выражения для коэффи-
коэффициентов, характеризующих процессы переноса в разреженном классическом газе, связаны
соотношением
Dx Г 2 в случае г = const,
—— = const = <
DeXn { з в случае А = const,
с упомянутой уже нами «точностью» совпадающим с экспериментально наблюдаемой вели-
величиной. >
Задача 16. Определить коэффициент теплопроводноаи газа (в частности, идеального
р = пв), давление которого всюду поаоянно, p(z) = р = const.
Решение. Как мы видели в предыдущей задаче, поток jc складывается из двух частей, про-
пропорциональных градиенту плотности и градиенту температуры. Однако между п и в может
существовать связь самого различного характера. Тот коэффициент х, который мы определи-
определили в задаче 15, это коэффициент теплопроводности при дополнительном условии n = const
(т.е. газ, помещенный между термостатами в\ и вг, имеет всюду одинаковую плотность).
Если же внешних силовых полей нет, то в газе реализуется состояние р = const. Считая, что
р-р(в, v), имеем
'dv\ дв
(?1\ -_1
\dzj- v2
дг
Вычисляя производную (dv/d9)p для идеального газа pv = в, получаем, группируя подобные
члены,
... дв ( пд Г1 / v2 mv2\]\ дв
откуда получаем в приближении г = const и А = const соответственно результаты
птв
m
х =
nXv
заметно отличающиеся (в два или три раза) от результатов для х, полученных в предыдущей
задаче. >
Задача 17. В приближении г = const и А = const
определить коэффициент внутреннего трения терми-
термически однородного классического газа.
Решение. Стандартная схема «эксперимента» по определе-
определению вязкости среды изображена на рис. 230: нижняя (г = 0)
пластина покоится, верхняя (г = I) — двигается в напра-
направлении оси х со скоростью и. Имеем:
U = 0, в = const, n = const,
и
их = -г = аг, иу = uz = 0.
Сила вязкого трения рассчитывается на 1 см2 поверхности
верхней пластины. Она создается потоком в направлении г
частиц, переносящих количество движения в направле-
направлении х,
Fw = / «zFmvx dv,
Рис. 230. Схема установки для
определения коэффициента вну-
внутреннего трения

§ 3. Стационарное кинетическое уравнение с релаксационным членом 381
где в нашем случае (см. § 3), выписывая все аргументы,
F = F0(vx - аг, vy, vz) - rvz—FQ(vx - аг, vy, vt) =
= F0(vx - аг, vy, vt) - arvz—(vx - az)F0(vx - аг, vy, vz).
Вводя новую переменную интегрирования vx = vx — аг и учитывая симметрию функции
Fq(vx, vy, vz) по отношению к своим аргументам, получвем
Fw = -a I dv'x dvy dvt r—vlmv^F^, vv, vt) = -at].
Учитывая, что (t>iJ = vj = в/т, получаем для коэффициента внутреннего трения в прибли-
приближении г = const
tf = тпв.
В приближении Л = const (r = X/v) интеграл, определяющий коэффициент tj, элементарно
берется в сферических координатах:
г) = —nXtriv.
Характерное отношение т]СуЦнтп), отмеченное в конце задачи 14, в приближении г =
const для одноатомных газов (су = 3/2) равно 0,3, для двухатомных (су = 5/2) — 0,5,
а в приближении Л = const — 0,4 н 2/3 = 0,67 соответственно, что весьма близко к реальным
значениям этого параметра. >
Задача 18. Считая электронный газ в металле классическим газом, рассчитать: а) про-
проводимость а при условии в = const; б) теплопроводность газа при условии отсутствия
электрического тока (электрически изолированный от термоаатов проводник).
Решение. Ввиду отсутствия объемных зарядов в проводнике в стационарном случае плотность
электронного газа совпадает с плотностью ионов решетки, поэтому в этой и следующей
задаче можно считать n = const. Полагая электростатическое поле Е = @,0, Е), имеем для
стационарной функции распределения согласно § 3
„ „ / dFQ dU I dF0\ „ д , ч 09 теЕ
F = Fo " T'JI - Тг • m ' 1&) = * ~ TV'nTe^y) • Тг ~ —V'nW^
а) Электропроводность. Полагая в = const, получаем для электрического тока / = -е;„
закон Ома:
откуда в приближении т = const и А = const получаем для проводимости соответственно
(см. задачу 15)
а-е — и а-пе —.
б) Теплопроводность при условии jn = 0. Имеем совместно
дв дТт
_ дв д frv2 mv2\ eEnfrv1 mv2\
h = ~TznTe \T' ~) " ~T \T' T) •

382' Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Обозначая фигурирующие здесь средние теми же буквами, что и в задаче 15 (но ни в коем
случае не придавая им смысла каких-либо коэффициентов переноса), получаем для электри-
электрического поля, препятствующего распространению тока,
еЕп _ D, дв
Т ~~5'Тг'
исключая которое из выражения для j,, имеем
дв\ Д»х„1 дв
= —— -х.
dz
Подставляя рассчитанные в задаче 15 в случаях т = const и А = const интегралы, получаем
соответстве нно
5 тпв 2 _
к = - • ¦ и х = -nXv.
2 m 3
Образуя из полученных выражений для <т и х безразмерные отношения, не содержащие
параметра г или А, приходим к закону Видемана—Франца (G. Wiedemann, R. Franz, 1853) для
г = const и А = const соответственно:
*-1- 5 —-2
ев ~ 2 <тв ~
Экспериментальное значение этой константы для электронного газа в металлах близко
к 3 (см. следующую задачу), в полупроводниках с низкой плотностью электронного газа
(невырожденный случай) она близка к 2. >
Задача 19. Решить ту же задачу 18, считая электронный газ в металле вырожденным
(реальный случай).
Решение. Так как температура вырождения электронного газа в металлах составляет 105-106 К,
то необходимо исходить из низкотемпературного приближения. Напомним некоторые фор-
формулы из равновесной статистической механики, относящиеся к этому вопросу. Обозначим
тогда для функции Fo (см. § 3) имеем
2т' ч
Интегралы по v удобно будет представлять как интегралы по энергетической переменной е:
()
О О
Наконец, напомним еще низкотемпературную аппроксимацию для фермиевых интегралов
по в < eF = (to = (Л2/2т) • Cjt2JV/FJ/3 (см. т. 2, гл. 2, § 2-в)):
hi- °-m *—
о
Выражение для функции распределения (см. задачу 18)
oz т аьг /
целесообразно несколько преобразовать. Так как
t/XQ OJCQ ™l* УГО *'" С/*0 C/*IQ С7Х^0 С "~ О OJ/Q
~ЬТ ~ TJ^ "b~z + ~дв"dz' ~fy~~~b7' ~дв~ в~"ЬТ'

§ 3. Стационарное кинетическое уравнение с релаксационным членом 383
кроме того, ввиду е «= m(vl + u2 + v])/2
9Fq &Fo
имеем
2m3
а) Электропроводность. В случае в — const (n = const по условию) исчезают производ-
производные по z, dFo/dz — Q, и мы имеем для электрического тока
о
(в интеграле по v мы сделали замену v\ -* {v\ + v^ +¦ v])/i = t>2/3). Пренебрегая температур-
температурными поправками (читатель при желании может учесть их самостоятельно), т.е. полагая
дп(е) '
получаем, обозначая значение времени пробега и длины пробега электрона на поверхности
Ферми
t(vf) = т(цо) = т, А = vft(vf) = \J-^t>
для проводимости формулу, полученную Зоммерфельдом (A. Sommerfeld, 1928),
е2пт 2е2тА
б) Теплопроводность электронного газа при условии 1 = 0. По сравнению с классичес-
классическим случаем рассмотрение в техническом отношении несколько усложняется. После перехода
к интегрированию по е имеем
. 23/2m3'2 ~
о
=
3c ~
Обратим внимание, что интегралы, содержащие дв/dz, дадут вклад только при учете первой
поправки к фермиевским интегралам:
de = и3'2 — • -
2 ц'
J
в \ де
о

384
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Поэтому, сохраняя низшие по степеням в/ер члены, получим после интегрирования по е
ж2 в I
3m?r2ft3
\+eE+
[dz+eE+ 6
Исключая поле Е (сразу всю комбинацию дц/dz + еЕ), приходим к закону Фурье:
дв
Л—--к
с явным выражением для коэффициента теплопроводности
к = ж
: пвт 2Отп\цо
lm ~ 9ft3
Результаты теории Зоммерфельда дают очень неплохое значение для константы закона
Видемана—Франца:
Константы закона Видемана—Франца для металлов при комнатных температурах
Металл
Си
3,15
Ag
3,19
Аи
3,20
РЬ
3,40
А1
2,8
1г
3,21
Pt
3,45
Sn
3,21
Mo
3,71
W
4,2
Вообще же эта «константа» (часто называемая
числом Лоренца), измеренная на эксперименте, зави-
зависит от температуры, хотя и не сильно (рис. 231). Эту за-
зависимость в нашей грубой теории, основанной на по-
полуфеноменологическом кинетическом уравнении с ре-
релаксационным членом, обнаружить не удается. >
Задача 20. Используя результаты задачи 19,
оценить коэффициенты Z, П и т, характеризу-
характеризующие термоэлектрические явления в металлах.
Be
300
к
Рис. 231. Температурная зависимость
константы закона Видемана—Франца
(число Лоренца) для ряда металлов
Решение. При оценке указанных величин в приня-
принятом в этом параграфе приближении мы почти сразу
(при определении поля Е внутри проводника) обна-
обнаружим, что кинетическая характеристика А (или т)
вообще выпадает из рассмотрения. Прецедент такого рода, впрочем, у нас уже был: коэффи-
коэффициент Wh, определяющий величину эффекта Джоуля—Томсона, тоже не зависел от А.
Ограничимся сразу рассмотрением вырожденного случая, предоставляя читателям само-
самостоятельно проделать аналогичные выкладки для классического электронного газа. Выражения
для потоков jn (I = —ejn) и jc в предыдущей задаче были уже написаны. Остается только со-
сопоставить их с формулами полуфеноменологической теории явлений переноса (см. § 2 в гл. 4).
При этом оказывается, что достаточно рассчитать только один из этих коэффициентов, на-
например Z, определяющий термоЭДС в случае J = 0. Условие 1 = 0 дает для напряженности
поля Е внутри проводника
2 и дг дг'

§ 3. Стационарное кинетическое уравнение с релаксационным членом 385
но
2n
поэтому при условии п — const химический потенциал ц зависит от z через зависимость
от температуры:
??- *L L 21
дг ~ ~ б fa ' дг'
и мы получаем
_| яг2 е_ 0?
е 3 цо дг'
Подсчитаем ЭДС Д?/ в цепи, состоящей из двух проводников а и Ъ, спаи которых поддержи-
поддерживаются при температурах 9\ и 0j (см. с. 221, рис. ISO), и вольтметра. Величина интеграла от Е
по указанному контуру, естественно, не зависит от разрыва, в который включен вольтметр,
поэтому
„ t ( 1 *2 0 8в\ 1 тг2 '/ (в
Edz= / ( ; •s-J«fc=--T /•
J \ e 3 /i dzj t 1 J \ца
Ограничиваясь линейным приближением (в духе всей теории гл. 4), положим 9\ = в, 9г =
О + АО, Ав/в < 1 и, пренебрегая температурными поправками к химическим потенциалам
И Й (Л2/2т)(Зяг2пJ/3, получим
Если плотности электронного газа п„ и п» таковы, что An = щ - па < па, то выражение
для Z можно еще упростить:
1 r^/J LAeaa1 — 2 — —
е 3 \Ца цъ) ~ е 3 3 п цй
Коэффициент Пельтье П определяется с помощью второго соотношения Томсона:
е 3 \ць fiaj е 3 3 п ц0
а тепло Томсона — из первого соотношения Томсона:
_ 1 ж1 2 в
Т~~е"ъ"ъ"^о
(тот же результат, конечно, можно получить, рассматривая для одного проводника' Соответ-
Соответствующие выражения для тока J = -ejn и потока энергии j,).
В «классическом» варианте (см. предыдущую задачу) все проще. Подставляя, выражения
для D» и D в формулу для напряженности электростатического поля Е, обеспечивающего
условие 1 = 0, получаем
и--1 - ^ —- 1 —
~ е п D дг ~ е дг'
где в случае т = const коэффициент а = 1, а в приближении Л = const a = 1/2, откуда
следует dU — \- eE\ di^adzyi Z — а/е, П = -ав/е. >

386
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
§ 4. Релаксационный член в уравнении Блоха.
Эволюция двухуровневой системы
Рассматриваемые в этом параграфе системы — это, по существу, механичес-
механические системы (точнее, системы слабо взаимодействующих друг с другом «частиц»
с внутренними степенями свободы), взаимодействие которых с термостатом (т.е.
с другими «частицами»), подобное своеобразному трению, делает их статистически-
статистическими. Это взаимодействие, как и в § 3 гл. 5, будет аппроксимироваться релаксационным
членом. Физическая значимость предлагаемых задач неоспорима: это ядерный маг-
магнитный резонанс (для простоты — в варианте классической теории), открытый
и описанный Феликсом Блохом и независимо Парселлом (F. Bloch, E. Purcell, 1946)
и другими, и двухуровневая система (для нас — единственный пример исследова-
исследования уравнения для матрицы плотности), рассмотрение которой на аналитическом
уровне (в математическом отношении это самый простой пример — две строки
и два столбца) удается провести лишь в немногих частных случаях. В отличие от § 3
предлагаемый материал обязательным не является.
Задача 21. Оценить ширину линии поглощения, связанную с ядерным магнитным
резонансом (ЯМР), считая магнитные моменты ядер классическими.
Решение. Поясним вкратце физический смысл ЯМР. Пусть ядра
молекул имеют некомпенсированный магнитный момент ц, свя-
связанный с механическим моментом количества движения р соотно-
соотношением ц = 7Р, где 7 — гиромагнитное отношение д, умноженное
на ядерный магнетон Бора eh/Bmpc) = 5,05 • 10~24 эрг/Э. Если
такой момент поместить в постоянное магнитное поле Но, то
классическое уравнение движения его под действием момента сил
ц х Но будет иметь вид
ctt ot ot
откуда следует, что в стационарном случае вектор ц прецессирует
вокруг Но (рис. 232) с угловой скоростью
Рис. 232. Прецессия маг-
магнитного момента /л во-
вокруг вектора Но и схема
включения поля Н(
Пусть теперь перпендикулярно к полю Но включено слабое маг-
магнитное поле Hi, |Н,|< |Но|, вращающееся в том же направлении
р регулируемой угловой скоростью ш'. Тогда при и' ~ ш0 будет
наблюдаться резонанс, ширина и амплитуда которого позволят
оценить на эксперименте параметры, характеризующие релакса-
релаксационные процессы в системах, состоящих из молекул рассматри-
рассматриваемого типа.
На эксперименте поле Н( не вращается, включается просто гармоническое поле
Ях = 2Я, cos (wt) = H+ + H-=Bi e~i<l* + Я, e1<l*,
которое можно представить как сумму двух вращающихся в противоположных направлениях
полей, причем в «резонансе» будет участвовать та часть, которая вращается в направлении
вращения прецессии w,
Н+ = Н\ cos (wt) - %Н\ sin (wt), Hx = Н\ cos (wt), Hy = -Я, sin (wt).
Рассматривая систему таких молекул, будем считать ее плотность п = N/V постоян-
постоянной и исследовать эволюцию не вектора ц, а намагничения М = пц, (т. е. магнитного
момента 1 см3 системы). Релаксационные механизмы (их из общих физических соображений
по крайней мере два: спин-решеточное взаимодействие и спин-спиновое взаимодействие)

§ 4. Релаксационный член в уравнении Блоха 387
будем характеризовать с помощью конструкций типа релаксационного члена в уравнении § 3
с двумя параметрами т, = г\\ и т2 = tj., характеризующими скорость релаксации среднего
намагничения системы М2 к равновесному значению Мо = хНй и скорость релаксации
перпендикулярных составляющих намагничения к нулю:
-М0 /Д
/8МЛ Мг
Как показывают эксперименты по наблюдению ЯМР, время Т\ имеет порядок от долей
секунды A0~4) до нескольких часов, а Тг ~ 10~4 - 10~5 с.
Ввиду того что величины т для разных компонент М предполагаются различными,
запишем уравнение движения для магнитного момента по компонентам. Внешнее поле
Н = Но + Н, положим равным
Но = (О, О, Но), Н, = iff, cos (ut) - jff, sin (ut) = (ff, cos (wt), -#, sin (wt), 0).
Тогда система уравнений (уравнения Блоха) для (Мх, Му, М2) примет вид
^-^= 7(МуН0 - MZH, sin (wt)) - ^,
-^= 7(M,ff, cos (wt) - МгН0) - ^,
H), - ^-^ = _7(л|.вя, sin И) + М"ГЯ, cos (ut)) - elZlk.
^=7(Mx H), - ^-^ = _7(л|.вя, sin И) + М"
at T)
Вместо Afx и Afy введем величины М± = Afx ± tAfy, тогда
(уравнение для М-=М*Л. комплексно сопряжено этому уравнению). Полагая M+(t)=m+-e~iut,
получаем алгебраическое линейное уравнение для амплитуды т+, решив которое, получаем
ш
e
где сдвиг фазы стационарного колебания величин Мх и Му удовлетворяет соотношению
1
T2(w0 - ш)
С помощью полученного выражения можно получить
Мх = Re Af+, My = Im Af+
и рассчитать величину
стоящую в правой части уравнения для М,. После указанной подстановки уравнение для Мг
становится замкнутым лииейным уравнением явно релаксационного типа. На характере этой
релаксации мы остановимся в следующей задаче, сейчас же, интересуясь стационарным
решением, положим dMt/dt = 0, тогда измеряемая в стационарном режиме величина
магнитного момента Mz (т. е. намагничения системы) будет равна
(м\ — щг ("о ~"J*2 + 1
Остается только технически «доработать» полученный результат. Заметим, что в этой форму-
формуле и и ff| — две регулируемые на эксперименте величины, а параметры Т\ и Ti — это то, что
хотелось бы определить.

388
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Введем в соответствие с § 3 гл.4 динамическую восприимчивость x(w):
и выделим в ней действительную и мнимую части, х — Ж1 + *х"<
х' = т~
Л (w0 - wJr22 •
Напомним, как часть x"(w) связана с диссипативными потерями в системе. Напишем первое
начало термодинамики для 1 см3 системы в форме
6Q= dfa-MdH.
Интегрируя обе части равенства по времени, получим для средней за период Т = 2w/w
скорости выделения тепла в 1 см3 системы
7UI 2*/«
(М, dHx + M, dH,) = - ii у Re (Mi dH+).
о о
Учитывая, что
получим
~Y(w) = wHix"-
Полагая
Mo = Xo-ffo. wo = 7^о и Mo =
получаем окончательно для мощности тепловых потерь
Резонансная частота (рис. 233) оказывается относи-
относительно wo несколько сдвинутой:
а ширина резонансного максимума имеет порядок
(о в случае слабого возбуждающего поля Я(, такого, что
^H\T\Ti < 1, ширина Aw непосредственно выража-
выражается через время релаксации т2:
1
Aw г-.
Рис. 233. График зависимости от ча-
частоты внешнего полл мощности тепло-
тепловых потерь при ЯМР '2
Порядок этой величины оказывается равным Aw ~
105 с (т2 ~ 10 с), резонансная же частота имеет по-
порядок w0 ~ уН ~ 10~24 • 104/107 = 107 с, амплитудный множитель в ^V(w) tjw0 ~ 102 > 1,
т.е. максимум поглощения ^(w) очень узкий и высокий.
В случае более сильных полей, таких, что 104 » 72^?'"i^ ^ 1> максимум Л"(ш)
значительно расширяется в зависимости от величины г(,
пг
Aw ~

§ 4. Релаксационный член в уравнении Блоха 389
Так как время т,, связанное с релаксацией среднего намагничения Мг к значению Мо,
является характеристикой взаимодействия «газа» ядерных моментов с термостатом (с тепло-
тепловым движением, например, кристаллической решетки), то значительное отличие Т] от т2
(г, превышает т2 на несколько порядков) указывает на возможность установления в короткий
по сравнению с г, срок равновесия в системе ядерных спинов отдельно (т. е. без устано-
установления их равновесия с решеткой). Получаются как бы две пространственно совмещенные,
но «изолированные» в термодинамическом смысле друг от друга квазиравновесные систе-
системы, характеризуемые разными температурами, и т.д. На возможность введения спиновой
температуры, отличной от температуры решетки, указал в 1948 г. упомянутый нами выше
Э. Парселл, он же в 1951 г. методом накачки энергии в спиновую систему достиг состояний
с отрицательной спиновой температурой. >
Задача 22. Записать уравнение для матрицы плотности двухуровневой системы с релак-
релаксационным членом, включающим только два параметра, характеризующих релаксацию
диагональных и недиагональных элементов матрицы р, в форме уравнения Блоха
и исследовать общий характер эволюции системы.
Решение. Если два уровня связаны со спиновыми состояниями ядер, то эта задача в фи-
физическом отношении эквивалентна предыдущей (только та была классической). Однако мы
не будем на этот раз конкретизировать систему, тем самым придавая задаче более общий
характер (хотя и только «двухуровневый»).
Пусть гамильтониан изолированной системы Яо имеет собственные функции Vi и V
и собственные значения Ех и Ег. Взаимодействие этой системы с другими, приводящее к пе-
переходам 1 <-» 2 с уровня на уровень, будем характеризовать недиагональным оператором Н\.
В матричном представлении (i/>i и У>2 используются как базисные функции) имеем
Я22 = (&', Нх1>г) = (V-2*, Щхрг) = Е2 = Е, + ftfi0,
Я12 = (tf, НЬ) = (tf, Я,*,) = (Ц, Я,*,)* = \h1.
Уравнение с релаксационным членом для матрицы р (см. замечание к § 3) имеет вид
р=^[Н,р].-Т(р-р0), Spp = p,, +Р22 = 1,
где равновесная матрица плотности в случае Ни = О
= 1 - PY
О . I '
арелаксационныйчленсогласноусловиювключаеттолькодвапараметраГ! = 1/г] иГ2 = 1/т2:
Г(р-Ро) =
Перемножая двухрядные матрицы Я и р при вычислении их коммутатора, получаем уравнение
движения для каждой из компонент матрицы р:
Р\\ = р • »(P2i - Рп) ~ Г| (рм - р',"'), рп = j7' »(Pi2 - Рн) ~ Г| (Р22 - Рп),
рп = -7 • »(Р22 - Рп) - (»По + Г2)Р12, h\ = j7 • *(Рп ~ Р22) - (-»^о + Г2)р2,.
Введем новые неизвестные функции
« = Pl2+P2l. f = «(Pl2-p2l). «" = P22-P]]>

390
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
или обратно
= -A
р„ = 1 — р22 =
Тогда система из трех уравнений
и = — fiot> — Гги, «
— Гг1;, w — yv — Ti(w — Wq),
если ввести для фигурирующих здесь величин век-
векторные обозначения М = (u, v,w); Мо = @,0, w0);
w = G,0, По), запишется в виде уравнения
М = и х М - Г(М - Мо),
Г(М - Мо) = (Г,и, 1>, Г, (to -
где
которое по форме полностью совпадает с тем уравне-
уравнением Блоха, которое мы рассматривали в предыдущей
задаче. Появление совершенно «классической» фор-
формы в чисто квантовой задаче воспринимается как
счастливая случайность, которой, естественно, на-
надо юспользоваться (основа этой «случайности» была
заложена в матрице р, имеющей только три незави-
независимых элемента, из которых в конечном счете и был
скомпонован вектор М; для 3-уровневой системы это-
этого бы уже не получилось). Наглядность блоховской
задачи с ее прецессиями вектора М и т. д. позволяет
сразу выяснить общий характер эволюции элементов
матрицы р.
Рассмотрим сначала случай Г = 0. Тогда модуль
вектора М не меняется во времени:
М = шМ sin о = const,
Рис. 234. Траектория конца вектора
М(<) в пространстве (u, t;, w) в случае
Г = 0 (движение по окружности с угло-
угловой скоростью ш) и в случае Г Ф 0
(движение по скручивающейся к точке
М(оо) спирали)
где
sin a = —,
ш
а сам вектор М(<) описывает конус (рис. 234), ось
которого ш лежит в плоскости (w, и), а образующая
касается оси w. Если начальное условие задано,
ю@) Ф 0, »@) = «@) = 0,
то радиус окружности, прочерчиваемой концом вектора M(t), равен
R = tu@) sin a = -u>@).
ш
С помощью геометрических построений, выполненных на рис. 234, сразу получаем
u(t) = R(l - cos («*)).• cosa = ш@)-^A - cos (««)).
v(t) = -Rs\n(ut) =s -tu(O)- sin (art),
ш
ш
w(t) = u>@) - R(\ - cos (art)) • sin a = w(Q) (l - ^y A - cos (ut))j.
Мы не будем выписывать элементы рп> />22 = 1 - рп и рп = р\\ матрицы р, предоставив
•Это читателю, но заметим, что мы, по существу, получили решение известной квантовомеха-
Нической задачи: под действием Я, G Ф 0) периодически меняются квантовомеханические

§4. Релаксационный член в уравнении Блоха 391
вероятности ip\ip\ = ри и iplfa = 1 — /»ц обнаружить систему в состояниях 1 и 2, причем
частота, амплитуда и другие характеристики этих колебаний получены не в результате реше-
решения соответствующего уравнения Шредингера, а с помощью геометрического рассмотрения.
В случае 7 = 0 этого колебательного процесса вообще не будет (вектор ш лежит на оси w),
при По = 0 (двукратно вырожденный уровень) угол а = тг/2, вектор М описывает окружность
в плоскости (v,w), и система целиком переходит из состояния 1 в 2 и обратно.
Если включить Г, то характер движения существенно изменяется, приобретая релакса-
релаксационный характер: траектория конца вектора M(t) (см. рис. 234) будет представлять собой
спираль, скручивающуюся вдоль экспоненциальной «воронки» к предельной точке М(оо).
Координаты этой точки, соответствующей стационарному состоянию, мы рассчитаем в сле-
следующей задаче. К сожалению, уравнение движения для вектора М(<) в случае Г, Ф Г2,
представляющем физический интерес, аналитически не решаются точно. Мы рассмотрим
частный случай такого решения в задаче 24. >
Задача 23. Найти предельное при ( —> оо решение уравнения Блоха для вектора
М = (и, v, w) в приближении двух аремен релаксации.
Решение. Считая, что релаксационные процессы завершились, т.е. О1/Г| и f^l/Гг, по-
положим «i = v = w = 0. Тогда, обозначив компоненты предельного вектора М(оо) = (U, V, W),
имеем
о = -nov - г2и,
о = -7w + пои - г2 v,
0 = 7V-r,(W-teo).
Решение этой системы алгебраических уравнений элементарно,
u= W v = W иг= 0^"ю
В случае 7 = 0 (т- е- ПРИ отсутствии возмущения Ht = 0) это решение соответствует
выписанному в задаче 22 выражению для равновесной матрицы ро- При 7 Ф 0 полученные
выражения для U, V, W соответствуют равновесному состоянию двухуровневой системы,
характеризуемой полным гамильтонианом Яо + Я, (точное решение равновесной задачи).
В случае Г| = Гг = Г решения несколько упростятся:
Заметим еще, что в случае Г —» 0 предельный вектор М(оо) располагается вдоль вектора ш:
7
—» — = sm а. >
Г-.0
ш
Задача 24. Решить релаксационное уравнение Блоха в частном случае Г] = Тг = Г,
считая начальные значения компонент вектора М@) заданными.
Решение. Введем величину М = М - М(оо), характеризующую отклонение вектора М(<)
от своего предельного значения. Так как в рассматриваемом частном случае релаксационный
процесс характеризуется одним параметром Г для всех компонент этого вектора, то, положив
получаем для компонент вектора г согласно уравнению Блоха (см. задачу 22)
х - -Поу, У = ~iz + пох, z = 7У-
Эти уравнения совпадают с уравнениями незатухающей прецессии вектора М(<) (Г] =
Г2 = 0), которые мы рассматривали в задаче 22 с определенными начальными условиями.

392
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Несложно получить и общее их решение
x(t) = -A— sin (wt) + В— cos (wt) + -С,
w w w
y(t) = Acos (wt) + В sin (wt),
z{t) = A-t-sin (wt) - B^ cos (wt) + — C,
www
где w = i/Qo+72. a константы А, В, С определяются с помощью начального условия
М@) = г@) + М(оо) = (u(
), «@)),
которое дает
А = к@) - V,
щ
W
о t
Рис. 235. Релаксация разности засе-
ленностей w(t) в задаче с начальный
условием
W Ш Ш
Полученное решение определяет ту скручивающуюся
спираль, изображенную на рис. 234, по которой дви-
двигается конец вектора M(t). Чтобы сделать полученное
решение более наглядным, положим 7 С По, w ~ По>
W й «>о, U = О, V = О, а начальные условия выберем,
как в задаче 22, u@) = v@) = 0, to@) ^ 0. Тогда
и = <ГГ'^A - cos(wt))(to@) - W) + U,
v = е'" (- - sin (wt) ) (to@) - W) + V,
V w 7V
to = e~n И - ^A - cos (wt)) J (u>@) - W) + W.
На рис. 235 изображен график величины w(t) = р^2 — Ри, характеризующей разность за-
селенностей уровней (графики для u(t) и v(t) аналогичны) с характерными всплесками,
при резком изменении в момент t = 0 приготовленного при t < 0 стационарного состоя-
состояния М@) на предельное М(оо). Возможность приготовить состояние М@) будет обсуждена
в задаче 26. >
Задача 25. Рассмотреть релаксационный процесс происходящий в сиаеме, в которой
соаояния .1 и 2 вырождены по энергии (случай По = 0).
Решение. В случае Г20 = 0 система уравнений для компонент M(t) распадается на независимое
уравнение для u(t) и систему уравнений для t»(t) и to(t):
_
v = -jw - Г2ю,
to = 7t> — Г|(и> — щ).
Исключая v с помощью последнего уравнения, получаем для w(t) стандартное уравнение
теории колебаний
w + (Г, + Г2)«) + G2 + Г,Г2)ю - Г,Г2ю0 = 0.
Общее решение исходной системы уравнений имеет вид
= ехр { -
- -Вj sin
- -с) cos
o(t) = ехр I - Г'^ГгА (В cos (wt) + С sin (wt)) + W,

§ 4. Релаксационный член в уравнении Блоха
393
где
Накладывая начальное условие М@) = (u@), ю@), w@)),
получаем
А = и@), В = to@) - W,
С=1 [«@) -V- ^^(«@) -
На рис. 236 представлено решение, когда компоненты v
и w вектора M(t) осциллируют (компонента и всегда
релаксирует по экспоненте). В зависимости от величин Г,
и Г2 возможна и целиком апериодическая релаксация,
когда 7<1(Г,-Г2)/2|. >
236. Релаксационный процесс
в системе с вырожденным уровнем
энергии
Задача 26. Записать уравнение движения для матрицы плотности двухуровневой систе-
системы, рассмотренной в задаче 22, с учетом иакачки со стороиы виешнего периодического
поля и исследовать характер релаксационных процессов в системе.
Решение. При рассмотрении системы двухуровневых молекул, взаимодействующих с внеш-
внешним периодическим полем (в частности, с лазерным излучением) возникает ряд дополни-
дополнительных проблем: падающее излучение (длина волны порядка 103 Л) возбуждает молекулы
не одновременно, эффекты запаздывания достаточно ощутимы; излучение взаимодействует
с молекулами, двигающимися с определенными скоростями, по которым нужно произвести
усреднение (с помощью, например, максвелловского распределения) и определить допплеров-
ское расширение линий, и т. д. Эти эффекты на эксперименте прослеживаются достаточно
четко, техника их учета разработана, но для нас они все же будут являться побочными
(тем более, что все это требует развития соответствующих приближенных методов), и мы,
как и в предыдущих задачах, будет рассматривать как бы одну неподвижную молекулу
системы.
Представим падающее на двухуровневую молекулу электромагнитное излучение как
?пи = ?о cos (fit - кх) = Ео cos (fit).
Его взаимодействие с дипольным моментом молекулы добавляет в гамильтониан системы
член Я, = -цЕ, недиагональный матричный элемент которого мы обозначим как
Как правило, интенсивность внешнего воздействия настолько велика, что |т1 > Ы, и в при-
присутствии внешнего поля члены, пропорциональные f, оказываются поправочными.
Уравнения, полученные в задаче 22, в связи с появлением Я) получают добавку
(мы выпишем только два основных уравнения)
j )(fti ~ Pa) ~ri0»и " Рп)>
Рп = ij(P22 ~ Р\\) + п(Ргг - Ри) cos (fit) - (ifio + Тг)рп.

394
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Они, конечно, точно не решаются. Чтобы как-то упростить их, постараемся избавиться
от членов с cos (Ш). Для этого преобразуем элемент рп
Pn = Pne-™, Pn = f -~ia -^--'Ш
Тогда
i\ (ft. "
- Г, (р„ -
Р.2 = <|(
e"* + <|(fti " Рн)A + е""™) " («(«о " «) + Ъ)рп-
Если в этом уравнении пренебречь «быстрыми осцилляциями» (т. е. опустить члены ~ е±1П(),
иными словами, перейти к более грубой шкале времени, усреднив по периоду внешнего поля,
то получим (ценой полной потери изначальной 7)
7
Рп = »j (/"и ~ Рп) ~
?г)р~\ъ
где U = Uo - U. Эти уравнения с точностью до обозначений П и 7 полностью совпадают
с уравнениями, которые мы записывали в форме уравнения Блоха и рассматривали в частных
случаях в задачах 22-25. Повторять эти исследования нет необходимости.
Отметим, что включение внешнего поля изменяет предельные значения для компонент
вектора М, для получения которых в формулах, полученных в задаче 23, надо сделать замену
П —* U, 7 —» 7> так ЧТ0 с помощью накачки можно «приготовить» состояние М(оо), которое
будет исходным М@) для свободной системы.
Если частота внешнего поля совпадает с часто-
частотой По = (-^2 - -Ei)/'». П S По. то реализуется случай
U = 0, рассмотренный в задаче 25, и включение нака-
накачивающего поля (на рис. 237 в момент t = t\) приводит
к появлению в решении осциллирующего с частотой
W
W
W
Рис. 237. Реакция системы на мгно-
мгновенное включение (t = tt) и выключе-
выключение (t = t2) внешнего периодического
поля
~7
экспоненциального хвоста, а выключение его (момент
t = t2) — к осцилляциям с частотой, близкой к По-
Рассмотрение случаев, когда 7 соизмеримо с у,
поле включается не мгновенно, параметры Г), Г2
и другие имеют произвольные значения и т.д., ана-
аналитически провести не удается. >
Задача 27. В системе ядерных моментов, рассмотренной в задаче 21, исследовать
динамику реализации явления «спиновое эхо».
Решение. В рассматриваемой нами системе, когда время спин-решеточной релаксации Т\
(оно же — время релаксации продольной составляющей вектора намагничения М, к равно-
равновесному значению Мг = хНг) значительно превышает время спин-спиновой релаксации т2
(время релаксации поперечных составляющих намагничения Мх и Му к нулю), на време-
временах t < п помимо возможности при t > т2 введения «спиновой температуры», которая
может заметно отличаться от температуры решетки (или термостата) и даже принимать отри-
отрицательные значения (см. т.2, задачи к гл.2, §9), наблюдается еще один специфический для
данной системы эффект, который получил название «спиновое эхо».
Смысл этого явления в упрощенной схематической интерпретации можно пояснить
следующим образом. Предположим, что система магнитных моментов помещена в сильное

§ 4. Релаксационный член в уравнении Блоха
395
t
Рис. 238. A-2-3) — процесс релаксации поперечного магнитного момента М± = Му, заданного
при t = 0, к нулевому суммарному значению; C-3) — момент t = t0 — отражение у-ком-
понент всех ядерных магнитных моментов системы; C-2-1) — процесс обратной релаксации
с образованием к моменту t = 2tQ «спинового эха» — первоначальной величины поперечной
намагниченности
постоянное магнитное поле Но = (О, О, Но), направленное по оси z, н что в момент t = О все
эти моменты были направлены вдоль оси у, образуя в сумме поперечное намагничение М±
(каксоздать такое начальное состояние системы, мы расскажем несколько позже). Все эти мо-
моменты принадлежат разным ядрам, расположенным, например, по узлам кристаллической ре-
решетки. На рис. 238-1 начала всех векторов магнитных моментов совмещены в точке 0, а их сум-
сумма изображена жирной стрелкой. В поле Но = (О, О, Но) этот суммарный момент будет прецес-
сировать в плоскости (х, у) с угловой скоростью шо — fHQ (см. задачу 21). Однако вследствие
спин-спинового взаимодействия время жизни этого упорядоченного состояния магнитных
моментов имеет порядок тг. Процесс разрушения этого состояния представлен на рис. 238-2
и 238-3: в результате взаимодействия друг с другом часть ядерных спинов начнет прецессиро-
вать с угловой скоростью, большей ш0, часть — с меньшей шв. В системе координат, вращаю-
вращающейся точно с угловой скоростью ш0, концы векторов первых из этих моментов будут сползать
в нижнюю часть окружности, вторые, отставая, — в верхнюю, так что их геометрическая сумма
будет все время уменьшаться (в положении 238-3 она практически равна нулю, Мх — 0).
Заметим, что так как мы рассматриваем процесс в течение отрезка времени t < Т\,
то релаксация намагничения в z-направлении незначительна, и ей можно пренебречь:
первоначальный вектор Мх с течением времени раскрывается как веер в плоскости (х, у) без
образования z-компонент.
Если в некоторый момент времени t0 (величина t0 < Т\, но по отношению к тг может
быть любой, to ^ Тг) мгновенно отразить у всех ядерных моментов у-компоненты (как это
практически осуществляется, мы укажем несколько позже), то получится картинка 238-3,
зеркальная по отношению к 238-3 (отражение в плоскости у = 0), на которой концы
опережающих ш0 моментов будут расположены по-прежнему в нижней полуокружности,
а отстающих — в верхней. Но теперь они будут двигаться уже навстречу друг другу, зер-
зеркально повторяя все промежуточные состояния 238-2, пока в момент времени 2<0 веер этих
векторов полностью не сложится, образуя первоначальную величину поперечного магнитного
момента Мх (во вращающейся системе он направлен как бы против оси у). Этот магнитный
отклик системы, воспроизводящий (после операции «отражения» в момент to) в первоначаль-
первоначальной своей величине перед тем практически уже исчезнувший магнитный момент системы,
получил название спиновое эхо.
Дальнейшая при t > 2t0 релаксация этого воссоздавшегося импульса упорядочения
происходит (если не делать еще дополнительных переключений) нормальным путем к значе-
значению Мх = 0. Описанное выше явление магнитного отклика было экспериментально открыто
в 1950 году и стало называться эффектом Е. Хана (Е. L. Hahn) или спиновым эхом.
Теперь рассмотрим более подробно, как описанная выше в «теоретическом» плане
ситуация реализуется практически. Так как сам процесс формирования эха распадается на ряд
динамических этапов, связанных с изменением пространственной ориентации магнитных
моментов, то целесообразно представить их в виде соответствующей последовательности
рисунков с пояснениями.

Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
wn
—"* У^
Рис. 239-1. t < 0. Сильное магнитное по-
поле Но = @,0, #о) за время, превышающее Т\,
приводит систему в состояние максимальной
намагниченности: спины всех ядер направле-
направлены вдоль оси z. Их сумма изображена жирной
стрелкой
Рис. 239-2. t = 0. Очень короткий импульс
магнитного поля Нх (пренебрежимо малой
длительности Тх/4 = ж/Bшх) = w/BfHx) < т2)
поворачивает все магнитные моменты ядер
на 90°: создается полностью упорядоченное
состояние поперечного намагничения, соот-
соответствующее исходному 238-1 в нашем предва-
предварительном рассмотрении
Рис. 239-3. 0 < t < t[. Все дальнейшее рассмо-
рассмотрение, как и в схеме, приведенной на рис. 238,
производится во вращающейся с угловой ско-
скоростью ш0 = fH0 системе координат. Попе-
Поперечное намагничение релаксирует в соответ-
соответствии с рис. 238-2 и 238-3. Из веера магнит-
магнитных моментов на рис. 239-3 изображены один
«быстрый» (R), вращающийся с угловой ско-
скоростью шц > ш0, и один «медленный» (S)
со скоростью ш$ < wo
Рис.239-4. t = t, («i ^ rj, но ti < п). Очень
короткий импульс магнитного поля Ну (дли-
(длительностью ж/B-уНу) < т2) поворачивает все
магнитные моменты ядер на 90°: весь веер
векторов оказывается в плоскости (y,z), бы-
быстрые — сверху, медленные — снизу
Рис. 239-5. В момент времени t = t{ включа-
включается до момента t = 3t) постоянное магнит-
магнитное поле Нх (тоже вращающееся вокруг оси г
с угловой скоростью щ), в котором магнит-
магнитные моменты R и S, прецессируя по часовой
стрелке вокруг оси х, начинают сближаться
друг с другом

§ 4. Релаксационный член в уравнении Блоха
397
Рис. 239-6. t = 2t,. Быстрые (R) и медленные
(S) моменты сходятся вместе, их веер скла-
складывается, и возникает промежуточное упоря-
упорядоченное по спинам «дважды» вращающееся
эхо
Рис. 239-7. 2t, < t < 3t,. Векторы R и S снова
расходятся, образуя в дважды вращающейся
плоскости (у, z) раскрывающийся веер
Рис. 239-8. t = 3<i. Очень короткий импульс
магнитного поля —Hv, направленный против
оси у (длительностью жЦ^-уНу) < rj), пово-
поворачивает весь веер моментов на 90°, возвращая
его в плоскость (х, у), но так, что быстрые мо-
моменты (R) оказываются сзади медленных (S)
-Я,
Рис. 239-9. t > 3t,. R- и 5-векторы начинают
сходиться вместе
Рис. 239-10. < = 4<!. Веер магнитных моментов
ядер полностью сложился: образовалось упоря-
упорядоченное состояние спинов, соответствующее
максимальному значению поперечной намаг-
намагниченности и повторяющее начальное состоя-
состояние системы при t = О

398 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Заметим, что совокупность совершенных в интервале tt < t < 3<i этапов 239-4-239-8
эквивалентна переворачиванию на 180° веера моментов на плоскости (ж, у) из положения
239-3 в положение 239-8, что в предварительной схеме соответствует переходу в момент to
из положения системы 238-3 в «зеркальное» состояние 238-3.
Приведенная на рис. 239-1-239-10
. _ схема была экспериментально реализова-
х К - на в качестве одного из возможных вари-
вариантов спинового эха в 1971 г. американ-
американскими физиками У. Римом, А. Пайнсом
и Дж. Вангом (W. Rhim, A. Pines, J.Wang).
Результат измерения магнитного момента
системы приведен на рис.240. Время tt
было выбрано равным tx = 88 мкс (на це-
целый порядок больше времени спин-спи-
0 t новой релаксации ъ). Воспроизведение
Рис. 240. Спиновое эхо, полученное в работе импульса намагничения, произошедшее
Рима—Пайнса—Ванга через 350 мкс = 4tlt оказалось достаточ-
достаточно убедительным (небольшое снижение
пика возникает за счет неучтенных в идеализированной динамической схеме, представленной
на рис. 239, всех частностей релаксационного процесса). Помимо этого «простого» варианта
эха указанные авторы осуществили и более сложные: двугорбые, обращенные, многократ-
многократные и т.д.
Обсудим некоторые интересные особенности эффекта Хана. Прежде всего, обраща-
обращает на себя внимание, что в рассматриваемой системе, когда т, порядка десятков минут,
a Ti ~ 10 с, он реализуется в широком диапазоне значений tt (лишь бы tt <C Т|). Приме-
Примечательно, что даже при tt > ъ (см. рис. 240), когда поперечная намагниченность полностью
срелаксировала до нуля, сама система в целом все еще «помнит» свою историю и сохраняет
информацию о своем начальном неравновесном поперечном состоянии вплоть до времени
полной релаксации Т\. Это сохранение «памяти» является чисто динамическим эффектом,
связанным с тем обстоятельством, что на временах t < Т\ спин-спиновая релаксация проис-
происходит практически без передачи энергии в термостат (используя расхожую терминологию —
«без диссипации»), т. е. без энергетического обмена с ним, вносящего необратимый хаотиза-
ционный фактор в эволюционный процесс статистической системы.
Вопрос об интерпретации явления Хана не совсем прост. Можно отнестись к нему как
к чисто динамическому эффекту типа: если скатывающиеся с горки санки на полпути толкнуть
обратно, поменяв направление их скорости, то они снова вкатятся на первоначальную высоту.
Конечно, система большого числа магнитных моментов — это статистическая система,
а не какие-то «санки», но объяснение спинового эха на основе продемонстрированного
выше динамического подхода полностью уподобило бы его парадоксу Лошмидта (см. гл. 5,
§6-е)). Напомним, что в системе из нейтральных частиц типа газа Лошмидт предложил
в момент t = to мгновенно поменять скорости всех N частиц газа, v,- —> —v,-, i = 1,..., N.
Тогда в соответствии с законами механики к моменту t = 2t0 система возвратится в свое
начальное (при t = 0) состояние, сколь далеким от равновесного оно бы ни было заранее
(при t < 0) приготовлено. Так как реально эту операцию переключения скоростей произвести
невозможно, то для ее хотя бы мысленной реализации необходимо воспользоваться услугами
демона Максвелла. Этот хитрый демон был придуман для того, чтобы путем создания вечного
двигателя второго рода опровергнуть II начало термодинамики: не совершая физической
работы и не потребляя никакой энергии, он способен сортировать частицы равновесного
классического газа по скоростям, пропуская через вбвремя открывающуюся дверцу в от-
отдельный контейнер только быстрые. Таким образом, без энергетических затрат возникает
подсистема с более высокой температурой, которую уже можно было бы использовать как
нагреватель для обычной тепловой машины.
Обратим теперь внимание на то, что обращение динамики системы с электромагнит-
электромагнитным взаимодействием связано не только с обращением скоростей Vj —» —v,-, но и элек-
электрических токов и соответственно магнитных полей (с этим обстоятельством мы уже
сталкивались в гл. 4, § 1). И если теперь в момент времени t = <0 (см. 238-3) заме-

§ 5. Система уравнений для неравновесных функций распределения 399
нить Но = (О, О, HQ) на -Но = (О, О, ~Н0), то прецессия моментов будет происходить
с угловой скоростью ш0 = -уЩ, но уже против часовой стрелки (это чисто теоретическое пе-
переключение не только «мгновенно», но и полностью лишено переходных явлений). В системе
координат, вращающейся с этой скоростью, «быстрые» моменты (шц > Ц>), располагающиеся
по-прежнему в нижней полуокружности 238-3, и «медленные» (ws < ш0), — в верхней,
начнут обратное свое движение, складывая веер моментов и проходя все промежуточные
положения 238-2 (с обращенными направлениями угловых скоростей), пока в момент t = 2t0
не воспроизведется исходное состояние 238-1. Описанный процесс воспроизведения началь-
начального состояния системы после произведенного в момент tQ гипотетического (с помощью
демона Максвелла) «переключения» скоростей представляет собой в чистом виде парадокс
Лошмидта, переведенный на систему магнитных моментов. Как мы только что выяснили,
эффект Хана, внешнее проявление которого (спиновое «эхо») идентично лошмидтовскому
возврату к начальному состоянию, имеет иное физическое содержание, к одной из возможных
интерпретаций которого мы сейчас переходим.
С этой целью удобно воспользоваться квантовомеханическим шредингеровским форма-
формализмом, так как в данном случае он намного компактнее лиувиллиевского. Предположим,
что в полном гамильтониане системы Н выделена часть Н\, описывающая спин-спиновое
взаимодействие и связанная с релаксацией поперечного намагничения системы,
Н = H0 + Hi.
В принятых нами ограничениях на время t < Tt и т2 < т\ эффекты, связанные с некомму-
некоммутативностью Щ и Н], могут быть отнесены к малым поправкам. Тогда эволюция системы
может быть представлена волновой функцией (см. гл. 5, § 1)
= ехр | - -(Щ + Я,)«}ф@) = ехр { - ?
где волновая функция в квантовомеханическом представлении взаимодействия (т. е. та ее
часть, которая в нашем случае характеризует поперечную релаксацию) в сделанных предпо-
предположениях запишется как
Ф,@ = ехр USot\ ехр | - ?яДф@) S ехр | - ?
тогда как оператор эволюции ехр{-?Я0<} в нашей схеме соответствует прецессии вокруг
оси г с угловой скоростью ш0 = -уН0. В соответствии со схемой эффекта Хана, представленной
на рис.238, эта прецессия сохраняется на всем протяжении времени t (от t = О до t = 2tQ
и далее). Процесс же «обратной» релаксации спинов (сворачивание их веера), начавшийся
в момент t0, с точки зрения последней формулы естественно интерпретировать не как измене-
изменение знака времени t (что вообше неюзможно, так как в нашем мире оно всегда течет в одном
направлении), а как изменение в момент t = t0 знака спин-спинового взаимодействия И\.
Придерживаясь «демонической» терминологии, «дух», способный по распоряжению экспе-
экспериментатора мгновенно переключить знак взаимодействия магнитных моментов, был назван
«демоном Лошмидта». Так как рассматриваемое нами взаимодействие пропорционально ли-
либо квадрату магнетона Бора eft/Bmc), либо обменному интегралу, то в любом случае оно
пропорционально квадрату заряда электрона е, и задача демона Лошмидта, состоящая в за-
замене е2 —> -е2 оказывается настолько необычной (замена заряда е на мнимую величину »е),
что даже привыкшему «работать» только в действительном пространстве демону Максвелла
она должна показаться достаточно фантастичной. >
§ 5. Система уравнений для неравновесных
функций распределения
Задача 2В. Для классической системы N частиц с парным взаимодействием написать
цепочку уравнений Боголюбова для функций распределения Fa. Записать первые два
уравнения этой цепочки, выделив корреляционные части в функциях Fi и F3.

400 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Решение. Гамильтониан системы запишем в несколько условном виде как
где
H(i) = ^ + и(т(), Ф(», j) = Ф(;, 0 =
Если ввести операторы
., _ Р.- д ( д д
то уравнение Лиувилля можно записать как
Обозначая ж, = (г(',р,-), запишем определение функции F,:
F.(t, Xi x,) = V I wN dx,+i ...
Умножим уравнение Лиувилля на V' и проинтегрируем по всем х,-, начиная с i = s + 1.
Тогда, учитывая, что члены, в которых дифференцирование и интегрирование производятся
по одной и той же переменной х,- (т. е. для i = s + 1,..., N), обращаются в нуль, получим,
полагая в статистическом предельном случае (N - s)/V = \/v,
Выписывая это уравнение для случаев « = 1,2,3,..., получим цепочку уравнений Боголюбова
(см. § 4 гл. 5).
Выделение корреляционных частей в функции F, связано с идеей ослабления корреляций
между частицами или группами частиц при раздвижении их в координатном пространстве
на достаточно большое расстояние:
F,+k(t, х ,х„ х,+ x,+t) - Fs(t, xu..., xJFtit, x,+ x,+k),
|(г г,) - (г,+ь ..., rJ+t)| -»<»•
Если бы состояние частицы 2 не зависело от состояния частицы 1, то в соответствии
с вероятностным смыслом функций F2 и Ft
F2(t,xt,x2)=Ft(t,xl)Ft(t,x2).
Одиако реально эта независимость имеет место не при всех значениях rt и т2, а только при
\Ti ~ тг\ ^ Дно»! поэтому в общем случае в функциях F2, F} и т.д. можно выделить эти
корреляционные части, существенные в области |г,- - г;| < Лкорр и равные нулю вне ее:
F2{t, х,,х2) = F,{t, x,)F,(t, x2) + G2(t, xi, x2),
Fi(t, xx, х2, х3) = F,(t, x,)F,(t, x2)Ft(t, x3) + F,(t, xt)G2{t, x2, x3) + F,(t, x2)G2(t, x,, x3) +
+ Ft(t, Xi)G2(t, x,,x2) + G3(t, x,,x2, x3)
и т.д., причем
G2(t, X\,x2) —» 0, если |f| - r->| —» oo.
G3(t, xt,X2, x3) —» 0, если любое из |ri - .г|, |fi - Гз|, |гг — Гз| —» оо.

= AA) +1B) +1A, 2))G2(t, z,, x2) +1A, 2)Fx(t, xt)Fx(t, x2) +
§ 5. Система уравнений для неравновесных функций распределения 401
Первые два уравнения цепочки Боголюбова при подстановке в них выписанных выше кон-
конструкций приобретают вид нелинейных относительно Ft, G2 и т. д. интегральных уравнений:
dF^xQ
dt
dG2(t,Xt,x2)
dt
1 f
+ - dxiL(l,3)[Fi(t,xt)G2(t,x2,xi) + Ft(t,xi)G2(t,xl,X2) + Gi(t,x1,X2,xij\ +
» J
I r
+ - / dx3LB,3)[Fl(t,x2)G2(t,xux3) + Fl(t,x3)G2(t,xux2) + G3(t,xux2,x3)]. >
» J
Задача 29. Написать систему уравнений, позволяющую рассчитать одночастичную
функцию распределения F\ с точностью до первой поправки включительно по пара-
параметру низкой плотности.
Решение. Пусть потенциал взаимодействия частиц друг с другом соответствует случаю ней-
нейтральных частиц: на расстояниях R ~ 2г0 — интенсивное отталкивание (типа твердых сфер),
при увеличении R — быстрое спадание взаимодействия до нуля при значении R = До,
называемом радиусом взаимодействия. Низкая плотность (или «короткодействие») — это
условие малости До по сравнению со средним расстоянием между частицами, или
v
Потенциал Ф(Д) входит в оператор L(i, j), который, находясь под знаком интеграла, вырезает
область интегрирования порядка R\, что вместе с множителем l/v, стоящим перед инте-
интегралом, образует этот малый параметр. Поэтому, если мы представим искомую функцию Ft
в виде разложения по этому параметру (т. е. по степеням плотности n— l/v — так называемое
вириальное разложение)
*t — 'I + "•''I +••¦ ,
то в интегральный член правой части первого уравнения цепочки достаточно подставить ну-
нулевое приближение для функции G2, уравнение для которого получится из второго уравнения
цепочки, если опустить в нем интегральные члены:
at
dG2(t,xux2)
i JL(l, 2)[F{(t,Xl)Ft(t, x2) + G2(t,xu x2)] dx2,
= (L(l) + LB) + L(l,2))G2(t, xux2) + 1A, 2)F,(t,
at
Для получения уравнений, гарантирующих и вторую поправку по Ro/v, необходимо привле-
привлекать уже уравнение для корреляционной функции G3 (хотя и в нулевом порядке). >
Задача 30. Выделить малый параметр для системы с кулоновским взаимодействием
и написать систему уравнений, позволяющую рассчитывать одночастичную функцию F\
с точностью до первой поправки по этому параметру.
Решение. Ради упрощения будем, как и в § 5, считать, что классический электронный
газ движется на фоне однородного положительного компенсирующего заряда. Кулоновское
взаимодействие Ф(г) = е2/г имеет бесконечный радиус действия До, однако эффективная
экранировка его на дебаевском радиусе (см. § 5 гл. 5) позволяет ввести безразмерный параметр
«высокой плотности» в виде
1 2 е2
Г2п 0V

402 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Заметим, что кулоновский потенциал в безразмерных переменных 7 = r/rD пропорционален
этому параметру:
0 4зг Гд г '
поэтому, входя через оператор L(i, j) в подынтегральное выражение, этот потенциал нейтра-
нейтрализует обратную величину малого параметра при этом интеграле:
D
з
превращая его в член уравнения, содержащий нулевой порядок и выше. Малый параметр v/rD
сохранится лишь в членах с L(i,j), которые стоят вне интегралов. Полагая, что разложение
функции F] начинается с нулевого порядка, корреляционной к ней поправки G2 — с первого
и т.д., получаем из цепочки, полученной в задаче 28, замкнутую систему уравнений
dt
dG2{t,X],x2)
j^ = L(\)F]{t,x]) + ^ J L(l,2)[F]{t,x])F](t,x2) + G2(t,x],x2)]dx2,
= (L(l) + LB))G2(t, x,,x2) +1A,2)Ft(t, xt)Fi(t, x2) +
dt
Ж3 L(\, 3)[Fi(t, X])G2(t9 Ж2,«з) + F\{t, x$)G2(t, ХиХ2)] -Ь
\ J dx, LB, 3) [F,{t, x2)G2(t, xuxt) + F,(t,
определяющую функцию F\ с точностью до первого порядка по v/r}>. В нулевом порядке пер-
первое из этих уравнений, в котором надо опустить G2, соответствует кинетическому уравнению
Власова. >
Задача 31. Показать, что «частицеподобные» выражения для функций F\ и Fi, по-
полученные на основе удовлетворяющей уравнению Лиувилля микроскопической функ-
функции wN
1=1
(см. задачу 1), удовлетворяют первому уравнению цепочки Боголюбова.
Решение. Так как w^, представленная в условии, удовлетворяет уравнению Лиувилля, если
только г,(<, х0) и р;(?, х0) удовлетворяют уравнениям Гамильтона р,- — -дН/dTi и г, = дН/др{
с начальным условием х@) — х0, функции Ft и F2 получаются из ujw, а уравнения для них —
из уравнения для wN, то утверждение, содержащееся в условии задачи, вполне очевидно.
Сделаем, однако, некоторые уточнения. В гл. 5 мы полагали, что функции F\, F2 и т.д.
имеют физический смысл функций распределения, в частности величина у ¦ Ft (t, г, р) dr dp
определяла число частиц (причем любых из N частиц системы), находящихся в области dr dp
в момент времени t. Полученная хе с помощью микроскопической wN величина
-F{(t,г„р.) = у wN dxt ...е*ж,_, dxi+l ...dxN = <5(г, - г,(<,*0)) • <5(Р( - Р.(<>«о))
представляет плотность вероятности обнаружить не какую-нибудь из JV, а именно i-ю ча-
частицу в окрестности точки ж, = (г;, р,) в момент t. Чтобы вернуть этой функции привычный
смысл, просуммируем по всем i, сохраняя принятую нормировку:
*".(<- г. Р) = j; J2 *(т ~ Г')«<Р - *)Щ*. ru Pi) = ^ J2 6(т ~ "<

§ 5. Система уравнений для неравновесных функций распределения
403
Это и есть «частицеподобное» выражение для F\. Естественно, что как tujv, так и эта функция
имеют чисто академический интерес, так как для их построения необходимо располагать
точным решением механической задачи о движении всех N частиц системы.
На рис. 241 эта конструкция изображена в условном «одномерном» пространстве
х = (г, р) как столбики (с течением времени они двигаются в этом пространстве в со-
соответствии с уравнениями механики), изображающие 6(х — Xi(t,x0)). Пунктирной линией
изображена одночастичная функция, соответствующая
статистической функции распределения. Выражения
— / F(t,x)dx или — F{t, x)Ax,
(Дх)
построенные с помощью этих функций, определяют
число частиц, находящихся в момент t в 6-мерном объ-
объеме Да; (точное, соответствующее числу точек as,-(f, a;0)
в интервале Да;, или среднее статистическое).
Для двухчастичной функции — все аналогично.
Имеем для «частицеподобной» функции
Ах
Рис. 241. Условное изображение «ча-
стицеподобной» функции F,(t,x) в
пространстве х — (г, р)
, г, Р, г', р') =
6(-г -
Проверим с помощью непосредственной подстановки, что эти функции удовлетворяют
первому уравнению цепочки Боголюбова. Имеем, учитывая выражения для г,- и р,- в случае
системы с парным центральным взаимодействием
m
dU dF{ V v^ 0Ф(г - tj
дт
дг
Первые два слагаемых последней строчки нам хорошо знакомы, поэтому остается сопоста-
сопоставить третье слагаемое (сумма, содержащая градиент потенциала Ф(г— г,)) с интегральной
частью Ф(^г) первого уравнения цепочки Боголюбова. Подставляя в Ф(Рг) «микроскопичес-
«микроскопическую» конструкцию из Д-функций для F} и интегрируя по переменным г7 и р':
яг
дг
N(N -1) jri
убеждаемся в полном совпадении этих выражений, и таким образом мы приходим к выводу,
что первое уравнение цепочки (аналогично и следующие) удовлетворяется функциями Fi
и F2, описывающими механическое движение частиц системы.
Относительно Д-функций, служащих строительным материалом для частицеподобных Ft
и F2 (а также и w^), следует сделать одно замечание. С физической точки зрения в нашем
случае — это до чрезвычайности острососредоточенная функция распределения, поэтому
в математическом выражении ее целесообразно представлять как допредельную Д-функцию
(как «столбики» на рис.241). Тогда никаких вопросов по поводу взятия от них производных
б'(х—Xi), перемножения их с одинаковыми аргументами 6(x—tiN(x' — Xi) ит.д. не возникает.
Но если ко взятию производной от настоящей Д-функции все уже привыкли, то ее квадрат
все еще шокирует. И здесь удобно использовать следующие чисто физические соображения,
вытекающие из самого механизма появления у нас Д-функций; каждая 6(х - as,-) — это
не просто математический символ, это траектория частицы; 0(as—as,-H(as'—as,-) — это траектория
двух частиц при t Ф j, а при t = j — это совмещение двух частиц, 6(х—х'N(х—а;,), что должно

404 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
быть исключено, так как частицы — это не математические, а как минимум материальные
точки, совмещение которых невозможно (реальные частицы всегда имеют конечный радиус
г0 Ф 0, и вероятность полного совмещения их центров равна нулю), поэтому произведения
двух и более А-функций с одинаковыми х, = х,(<, х0) мы должны полагать равными нулю.
Чтобы более не возвращаться к «частицеподобным» решениям для функций распреде-
распределения, остановимся еще на одной их особенности: в пределе N —> се, v = V/N = const они
автоматически удовлетворяют принципу «ослабления корреляций». Действительно, учитывая
оговорку, сделанную относительно понимания в нашем контексте 6(х — Xi(t, ж0)), имеем
в пределе N —» оо
' Xl) = N(N- 1) 5 6{Х ~ Xi{U Х°)N{Х' ' Xj{t' Xo)) =
Мы поставили кавычки не случайно, так как приведенное выше мультипликативное соот-
соотношение заложено в мультипликативной структуре используемой функции w^ и, в отличие
от статистического принципа ослабления корреляций, являющегося дополнительным требо-
требованием к выбору типа решения кинетического уравнения, выполняется при всех х, х' и t
и независимости движений частиц не означает: они связаны решениями задачи механики
Xi = a;,'(t,ху\ ...,ж$ ), которые все (i = 1 N) входят в определения частицеподобных
функций F]y F2 и т.д.
Отсюда следует одно очень интересное (с теоретической точки зрения) свойство неко-
некоторых кинетических уравнений. Как мы видели в §5, подстановка JF2 = F] ¦ Ft приводит
первое уравнение цепочки Боголюбова к кинетическому уравнению Власова. На основании
сказанного выше это уравнение содержит не только те представляющие интерес решения,
которые мы обсуждали в § 5 и которым посвящен следующий параграф раздела задач, но и ча-
стицеподобное решение, описывающее движение всех частиц системы в соответствии с их
механическими траекториями (это было замечено самим Власовым в 1950 г.). Если при выводе
какого-либо более сложного уравнения из цепочки уравнений Боголюбова мы используем по-
помимо принципа ослабления корреляций еще и операторы сдвига во времени 5Г (сдвига вдоль
траекторий механического движения системы), который, естественно, не нарушает частице-
частицеподобных конструкций, то полученное таким образом уравнение тоже будет иметь помимо
статистических также и решения, воспроизводящие механическое движение частиц системы.
По отношению к уравнению Больцмана (при выводе которого как раз и используется опера-
оператор ST) эту теорему доказал Боголюбов в 1975 г. (мы не будем вновь отдельно воспроизводить
все детали ее доказательства, ограничившись сделанным выше общим заключением). >
Задача 32. На примере двух первых уравнений цепочки Боголюбова показать, что эти
уравнения при подстановке
**«(*> П. Pi,..., т„ р.) = w(p,)... w(p,)F,(r,,..., г,),
т. е. в предположении, что распределение по импульсам частиц является максвеллов-
ским, а функция F, не зависит от времени, переходят в цепочку уравнений Боголюбова
для равновесных функций распределения
= V J ±
где

§ 6. Линеаризованное кинетическое уравнение в приближении дальнодействия 405
Решение. Выпишем подробно первые два уравнения цепочки:
flfi(f,ri,p,) , р, 0F, dU 3F, 1 /-ЭФ(|г,-г2|) gF2(t,r,,Pi,r2,p2)
р, 0F, dU 3F, 1 /-ЭФ(|г,-
г„РьГ2,р2) f Pi 3F2 p2 3F2 /ЗУ ЭФ(|г,-г2|)\ 3F2 /fl?/ 0Ф(|г,-г2|)\ dF2
1 //
«У V
0р/
9г, 0p, 0г2
Подставим в них
F, = «)(p,)F,(r,), F2 = uj(p,)u>(p2)F2(r,, г2), F3 = и)(р,)и)(р2)«)(рз)#з(гь г2, г3),
и выполним указанные операции дифференцирования, учитывая, что
TPwiP) = -?ewiP)-
Тогда, интефируя по импульсу в интефале столкновений (ш(р) нормировано на единицу)
и сокращая на оставшиеся в каждом слагаемом распределения w(p<), получаем
где
„,г , а?(гьг2) дЦ~ аФ(|г,-г2|)- 1 /-ЭФ(|г,-Гз|)-
U(r,, г2) = —^—- + -F2 + — F2 + - J F3 dr3.
Так как второе соотношение выполняется при любых р, и р2, то отсюда следует, что функция
U(ri, г2) = 0. В полученных уравнениях для Ft и F2 сразу узнаются цепочки Боголюбова для
равновесных функций распределения A946), которые можно получить, если продифферен-
продифференцировать определения F,(r,) и F2(ri,r2), приведенные в условии задачи, по г? (а = x,y,z)
и, учитывая конкретный.вид функции Н\(т\,..., г#), произвести соответствующие интефи-
рования (см. т. 2, гл. 3, § 1-в)).
Таким образом, формализм кинетических функций распределения на том этапе, когда
они перестают зависеть от времени, а распределение по импульсам становится максвел-
ловским, автоматически переходит в формализм равновесных корреляционных функций
F,(rt,..., г,), построенных на основе гиббсовской N -частичной функции распределения для
классической системы
«»(г тк) = ?е-я'/9.
Результаты, полученные в задачах 31, 32, можно подытожить с несколько иной точки
зрения: мы показали, что уравнения цепочки Боголюбова для функций Fa (как и выте-
вытекающие из них кинетические уравнения) содержат решения, которые в каждый момент
времени соответствуют чисто механическому состоянию всех частиц системы, и в то же время
их решениями являются функции распределения F,, соответствующие равновесной стати-
статистической механике Гиббса, описывающей предельное смешанное состояние равновесной
статистической системы. >
§ 6. Линеаризованное кинетическое уравнение
в приближении самосогласованного поля
Темы некоторых из предлагаемых задач этого параграфа связаны с воспомина-
воспоминаниями об организованных профессором А. А. Власовым публичных теоретических
дискуссиях, проходивших, кстати, в острой форме в Большой физической аудитории

406
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
им. П. Н.Лебедева (этой уникальной, можно ска-
сказать исторической аудитории теперь, к сожале-
сожалению, не существует) старого здания Физического
факультета на Моховой 50 лет назад, посвящен-
посвященных вопросам использования приближения са-
самосогласованного поля и идеям Власова в объ-
объяснении целого ряда специфических для систем
многих тел явлений.
Задача 33. Для классического электронного газа,
двигающегося на фоне положительного компен-
компенсирующего заряда, написать полную систему ли-
линеаризованных уравнений для функции f(t, г, v)
совместно с уравнениями Максвелла.
Решение. Так как плотности заряда р и тока j выра-
выражаются через нескомпенсированную плотность числа
частиц как
р = -en / f(t, г, v) dv, j = -en / vf(t, r, v) dv,
то, дополняя поле Е силой Лоренца, имеем
(О
Рис. 242. Расположение компонент
векторов электромагнитного поля при
волновом возмущении, распространя-
распространяющемся вдоль оси х
div E = —4жеп
1 9Е 4тге
_._ = rotH+— n
//(<> г, v) dv,
divH = 0,
1 дН
-.- = -rotE.
Чтобы написать эту систему относительно фурье-амплитуд, положим
* — А /.Л--'"^'1" г- _ I?. „-«Л+ikr и _ и, „-iwMkr
И выберем ось х так, чтобы к = (к, 0,0), тогда (Н^)х = 0; ось г — так, чтобы Нь,, = @,0, Яь,),
тогда (Еь,)г = 0 (рис.242). Учитывая, что при переходе к фурье-представлению операция rot
переходит в векторное произведение, получим в выбранной системе координат следующую
систему уравнений:
-«»/*« + «fcfx/to, + ^ |«>* ЦЯ*Л + ^(Нкш)г\ + vy ((Еки)у - ^(Нкш)Л I • Fo = -efb,;
/to(v) dv, i-(Eku)t = — J vxfku(v) dv,
w 4тгеп f ш
-i-'{Eku)v = -ik(Hkw)t + ——vvfku(v)dv, -1"г(Я»„)г = -ik(Ekw)r >
С ¦ С J С
Задача 34. Получить из уравнений, выписанных в предыдущей задаче, уравнения,
определяющие колебания вектора Ех (продольные колебания электростатического
вектора Б) и определить дисперсионную зависимость ш = ш(к) и затухание малых
колебаний в системе.
Решение. Введем величину
Л«К) = / /*«(v) *;„ dv,.

§ 6. Линеаризованное кинетическое уравнение в приближении дальнодействия 407
Проинтегрировав уравнение Власова по vy и vt и обозначив F0(vx) одномерное нормирован-
нормированное распределение Максвелла, получим
= —4тгеп / fku(vx) dvx,
.а;.„ , 4тгеп /" — „
«-(^*«)х = / vxf(vx)dvx.
с с J
Выразив величину Д, с помощью первого уравнения через (EiJ)x и исключив ее из второго,
получим, сократиа на амплитуду поля (EiJ)x Ф 0, известное нам уравнение (§5-6))
„expi-^U
! = ^2 Г»»" f Х ХР V 20 / л_ „2 _ 4тге2п
в
к ' 'к
(третье уравнение оказывается следствием этого), решение которого в случае и> — п — iy,
7 < П было получено в § 5,
2 2 , * 2 2 4?Ге2П 1 f? Я _KJ/B1fc2)
0 т '"' ° m 2V 2 fc
Задача 35. С помощью уравнений задачи 33 исследовать поперечные колебания
вектора Е и определить частоту и = ш(к) и затухание зтих колебаний.
Решение. Введем величину
7/шМ = I «»/h,(v) dvy dv,.
Умножая уравнение для /b,(v) на vy и интегрируя по vy и vz, получим
е =
т
+00
\жеп Г ~
ш J
5 2 +
к с , . 4;ren f ~
^) / /
Выразив величину fi,u(vx) из первого уравнения и подставив ее во второе, получим уже новое
дисперсионное уравнение:
+оо ехр )
ш-ьхк + is
-00
Рассчитывая интеграл по методу, разработанному в § 5-6), получим чисто формально в случае
малых значений вектора к
Однако формальный подход в данном случае приводит к превышению точности рассмотрения.
Действительно, наша задача существенно нерелятивистская, а последнее слагаемое в правой
части было получено при подстановке в максвелловскую экспоненту величины vx = ш/к,
которая согласно полученному уравнению превышает скорость света с. Поэтому полученную
формально мнимую часть интеграла необходимо просто опустить (в релятивистском варианте

408 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
задачи она даже не возникает). Таким образом, для поперечных колебаний вектора Е в плазме
имеем
Заметим, что в пределе п = 0 (т. е. Шо — 0) мы получим из этой формулы п = кс — закон
дисперсии для поперечной электромагнитной волны в вакууме. >
Задача 36. Написать уравнение для продольных колебаний в электронно-ионной
системе и определить частоту собственных ее колебаний и их затухание.
Решение. Будем считать для простоты, что ионы однозарядны, т. е. qe = -е, д,- = +е
и nt = г»; = п. Общее поле U формируется частицами обоих сортов, поэтому, обозначая их
массы как m и М и буквами Fe и Ft соответствующие максвелловские распределения, имеем
уже в линеаризованном варианте
dfe dft e dFe
dt * дт m ду ~
или по отношению к отдельной фурье-гармонике для случая продольного колебания вектора Е
= -4жеп
/(/??(•.)-/?!
Величина (/'"' - /''')*a, выражается из первых двух уравнений без труда, исключая эту разность
из третьего уравнения и сокращая на Екш, получаем дисперсионное уравнение
2" 74-F«K)<*f* _ 1 4же2п У vxFj(vx) dvx _
J w + ie -vxk к в J w + ie-vxk
1
к в
Рассмотрим случай, когда М > m и
2 _ 4же2п 2 _ 4же2п m 2
Если искать решение уравнения в области частот ш ~ шо> то, обрабатывая каждый из инте-
интегралов по методу, изложенному в § 5, получим
ш Л Зв \ ft vfam3'2 ( тп2 \
гв
Последние лма слагаемых в случае т < М являются поправочными (последнее же вообще
можно опустить), и мы получаем, что частота колебаний П и их затухание у определяются
электронной ленгмюровской частотой и>0 и стандартной формулой Ландау для у,
2

§ 6. Линеаризованное кинетическое уравнение в приближении дальнодействия 409
w
Однако рассматриваемое дисперсионное уравнение имеет решение и в области значений
ш0. Проведем оценки более аккуратно. Пусть
(для усиления этих неравенств помимо условия m < М еще дополнительно иногда предпо-
предполагают, что температура электронного газа ве — тьЦЪ значительно выше ионной температу-
температуры в,). Оценка ионного интеграла остается прежней, а электронный необходимо рассмотреть
заново специально в области ш = 0. Имеем, сохраняя по и> только нулевой член,
в
/
vxFe(vx)dvx
ш + is - vxk
u> fin
V
ГПШ1 
We)'
Так как показатель экспоненты в последнем слагаемом мал по сравнению с единицей,
затухание определяется только стоящим перед ней множителем, и мы получим, опуская
экспоненциально малую мнимую часть ионного интеграла:
О).
Полагая ш = П — ij и приравнивая нулю действитель-
действительно часть уравнения, получим чисто акустическую ветвь
для П(к):
приравнивая нулю мнимую часть
лебаний:
затухание этих ко-
Выявленный нами колебательный процесс в двухком-
ственным является электрическое поле, возникающее «6 я
вследствие движения электронов и ионов, а не стояк- л
новения частиц друг с другом, приводящие к возник-
возникновению локального давления, двигающего волну плотности. Над ионным звуком (рис. 243)
расположена плазменная ветвь с небольшими поправками на т/М, так что однокомпонент-
ная модель «желе», использованная в § 5 для получения основных результатов, оказалась
не такой уж плохой, хотя в ней и нет ионного звука. >
Задача 37. С помощью кинетического уравнения в приближении самосогласованного
поля получить уравнение для массовой плотноаи р = mn(t, г) и гидродинамической
скороаи и(<, г) и рассмотреть с их помощью проблему малых колебаний в сиаеме.
Оценить возможноаь существования таких колебаний в однородной сиаеме гравити-
рующих частиц (критерий Джинса).
Решение. Запишем уравнение Власова в виде
8t
m
Вт
?1
dp
где а = -d(U + п)/дг — величина типа эффективного ускорения, и получим с его помощью
уравнение движения для величин <p(t, r), введенных в §2, представляющих собой свертку

410 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
по импульсам функции F^t, г, р) с некоторой функцией Ф(р). Для этого умножим почленно
уравнение на Ф(р) и проинтегрируем по р. Учитывая, что при взятии по частям
/
•<*--7^*- "-«¦¦*¦>•
получим
Рассмотрим две возможности выбора Ф(р): пт и пра = nmva. Соответствующие средние
будут представлять массовую плотность p(t, г) и величину риа (t,r), где и((, г) — гидродинами-
гидродинамическая скорость, Первому выбору соответствует уравнение непрерывности (первое уравнение
гидродинамики)
дР V^ 9
второму — уравнение
Преобразуем второе слагаемое левой части, введя относительную скорость с = p/m - u(t, г),
и учтем, что величина
^ГП у P°Pt>Fi <*p = nj aaF^ dp.
п Г 2тсх • cxFx dp = п Г &F{ dp = Рх
выражает статическое давление частиц на стенку, перпендикулярную оси х. Будем считать,
что система изотропна, с, = Су = с, = О, РХ = Ру — Рг = Р. Тогда, расписывая первое
слагаемое в виде двух, учитывая уравнение непрерывности для 8p/8t и замечая, что в правой
части стоит плотность объемной силы F, получим после несложных алгебраических действий
du
р— +gradP = F.
at
Это — уравнение Эйлера (второе уравнение гидродинамики). Уравнение баланса энергии
(последнее гидродинамическое уравнение) можно получить, положив Ф(р) =р2/Bт).
Рассмотрим теперь в системе типа плазмы на однородном фоне ро = const малое
возмущение плотности р, = p(t, г) - ро < ро. Так как и0 = 0, то гидродинамическая скорость
u = Ui(t, г) также является возмущением. Выражая градиент давления Р через р\ (считается,
что уравнение состояния Р = Р(р, в) в принципе существует), получим
где с2 — положительная величина,
Bp tn Bn tn\Bv)
в силу условия термодинамической устойчивости системы Bp/Bv < 0 (для системы нейтраль-
нейтральных частиц величина с — стандартное выражение для скорости звука). Сохраняя в уравнениях
гидродинамики только линейные члены по возмущениям, имеем, учитывая электростатичес-
электростатическую природу силы F,
р\ +podivii| = О,
т
= 4ят>,—,
т

§ б. Линеаризованное кинетическое уравнение в приближении дальнодействия 411
Исключая Е| из второго, ut из первого уравнений, получаем
2 7
/5, +4я-/!>о—j/5" =0-
Если искать решение этого уравнения в виде распространяющейся волны р, =
то, положив ро = "»»>, сразу получим дисперсионную формулу
е~ш(+""
m
структура которой нам уже известна, и предпринятое здесь рассмотрение может служить лишь
иллюстрацией к § 5-6).
Рассмотрим теперь систему гравитирующих частиц. Закон Кулона заменяется законом
тяготения Ньютона (всегда только притяжение),
е2 Gm2
|Г,-Г2| |Г]-Г2|"
Всюду однородным по плотности р облако гравитирую-
гравитирующих частиц, конечно, быть не может, но где-то в районе
его центра можно положить р = р<, и самосогласованное
поле (Е)о = 0 и на этом фоне рассмотреть возмуще-
возмущение р] и соответственно ut и Е|. Будет все то же са-
самое, только мы получим другое дисперсионное уравнение
(е2 -> -Gm2; ш\ - -4жврй) (рис.244)
Обозначая
m2i
0
-4nGp0
/
/
Рис. 244. Зависимость квадрата ча-
частоты колебаний от величины вол-
волнового вектора в системе гравити-
гравитирующих частиц Джинса
получим, что при к < к0 колебания плотности неустой-
неустойчивы (чисто мнимая частота ш), при к > к0 — возмож-
возможны устойчивые колебания плотности. Эта неустойчивость
системы гравитирующих частиц по отношению к возникновению возмущений ее плотности
была отмечена уже Джинсом (J. Jeans, 1902, 1929). Определяя максимальную длину волны,
при которой колебания еще устойчивы, как
полагая, что средний молекулярный вес межзвездной среды имеет величину ~ 1,5, вводя
кельвиновскую температуру Т и плотность числа частиц n = N/V, имеем
Xj = 5,206 у — парсек,
A парсек и 3,26 световых года = 3,08 • 1013 км). Подставляя сюда разумную величину для п
(от 0,1 до 10 частиц в 1 см3) и температуру A-Ю3 К), получаем для Xj величину, неожиданно
соответствующую наблюдаемым толщинам дисков галактик AО2-1О3 парсек). Это совпадение
тем более удивительно, что галактики существенно неоднородны, и идеализированная модель
Джинса (да еще в ньютоновском приближении), конечно, никогда не реализуется. В следую-
следующей задаче, приведя анализ дисперсионного уравнения, полученного для частоты колебаний
плотности с помощью кинетического уравнения в приближении самосогласованного поля, мы
увидим, что в случае гравитирующих частиц оно вообще не имеет решений, соответствующих
устойчивым колебаниям плотности. >
Задача 38. Исследовать решения дисперсионного уравнения для частоты колебаний
в однородной системе с взаимодействием частиц, пропорциональным 1/г.

412 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Решение. Основная формальная трудность, с которой мы встретились в § 5-6), — это расчет
интефала, входящего в дисперсионное уравнение. Вообще говоря, этот интефал достаточно
хорошо обсчитан, установлена его связь с другими интефалами, в частности, с интегралом
вероятности, имеются подробные таблицы и диафаммы уровней его реальной и мнимой
частей в толстых справочниках, но такие таблицы — это же не таблицы умножения, которые
выучиваются наизусть, поэтому мы постараемся провести не очень сложное аналитическое
его исследование. Обозначим
х = , а = — • —г,
тогда
где
+2° vx exp < —-— > dvz
J(e) = 1 7_L_ e-V> dx = 1 Т-А- e-V> dx> ца) = Лае'^
1 ' VbH 1 х-а *Л*7х*-а2 >WV2
-00 -00
(вторая форма интефала J(a) получается из первой при умножении числителя и знаменателя
подынтефальной функции на х + а и сохранении ее симметричной по х части). В случае
а > 1 интефал J(a) был уже нами рассчитан в §5 (там рассматривался случай ш ~ о>о,
вк2/(тш0) < 1, и мы несколько позже воспользуемся этим результатом). Для оценки этого же
интефала в случае в< 1 воспользуемся следующим приемом: положим в J(a) (первый
вариант интефала) х — а = и и разложим подынтефальную функцию в ряд по а,
J{a) =4=1 *"*(l + )(lua^ + uW+ua + L
V27T J \ v / \ 22 2 8
-00
Остается только перемножить скобки и учесть, что
A/и) =5 = и3 - 0, и2 = 1 и т. д.
В итоге получаем (с привлечением результата § 5)
{1 - а2 + —а4 - ... при а2 < 1,
24
1/1,
(+3 15
График этой функции, а также 1{а) приведен на рис. 245.
Рассмотрим теперь конкретные случаи.
а) Гравитирующая система, рассмотренная в задаче 37. Обозначая fc2, =
имеем, заменяя в дисперсионном уравнении § 5 величину ш\ на -
Левая часть этого трансцендентного уравнения также изображена на рис. 245. Ситуация
получается довольно сложная ввиду относительно больших значений /(в). Исследуя решение
в области к ~ fco, «2 •С 1, имеем чисто формально
fcn2 - k-
= 1 - J(a) - il(a) й а2 - i J|а.

§ 6. Линеаризованное кинетическое уравнение в приближении дальнодействия 413
Рис. 245. Графики действительной J(a) и инииой /(а) частей дисперсионного интеграла, а также
функции тш2/(вк1а2) (пунктирные линии) для случаев двух точек пересечения с J(a) и одной
точки касания, определяющей ш\^
Полагая ш = П - iy, получаем грубую оценку
к2-к2 мт П2 ,т Пу
откуда
^F /rn ?
1у1"кй'
UZ^s/kT^, yst-ljljlko.
2V 2 V m
Результаты неутешительные; мало того, что у < 0 (т. е. возмущение не затухает, а развивается
как е~7'), еще и
1 «I /Г GET si
fi ~ 2 V 2 V fco2 ~ *2
т. е. никаких (даже «возрастающих») колебаний просто
нет. Это отношение становится меньшим единицы только
при к < к', где
\
i \
Эта область, в которой еще как-то можно надеяться
на существование раскачивающихся колебаний плотно-
плотности, обозначена на рис. 246 сплошной линией.
Вторая точка пересечения (см. рис. 245) находится
в области а2 а а2, = 1,7. Это случай к < к0. Имеем сразу
для частоты
Т
,=*„„,/_
О к* к0 к
Рис. 246. Характер зависимости
«частоты» ш от волнового вектора
для гравитирующей систеиы. Пунк-
Пунктиром обозначены области, в кото-
которых декреиент затухания у> w
но мнимая часть I(a0) S 0,7, а действительная часть J(a) < 1, т.е. и здесь тоже никаких
колебаний не происходит. В области к > fc0 «действительных» решений для ш нет вообще.
Рассмотрим теперь чисто формально случай ш1 < 0. Полюса подынтегральной функ-
функции находятся на мнимой оси, и никакой е-процедуры уже не нужно. Имеем, обозначая
/З2 = -тшг1(вк2) > 0,

414
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Как видно из этого уравнения, в области fc ~ fco величина C < 1. Вспоминая (см. § 5 гл. 3),
что
получаем при малых /3
откуда сразу следует, что
В случае же fc < fco, когда /3 » 1, имеем совсем другое разложение
1.5 1 |
Подставляя сюда fco и средние
,2 — I. ~А _ "J
X — 1 , Ж — J,
-4я<3рс
Рис. 247. Зависимость квадрата часто-
частоты w2 от волнового вектора it, получаю-
получающаяся в результате решения дисперсион-
дисперсионного уравнения для системы гравитиру-
ющих частиц
получаем «власовоподобное» решение
ш2 = -4тг(?ро + 3—fc2,
m
которое в задаче 37 было без всяких к тому осно-
оснований экстраполировано на область к ~ к0 и даже
fc > fc0. Графики зависимости w2 от fc, приведенные
на рис. 247 (на котором изображен также резуль-
результат ш1 > 0, соответствующий рис.246), показывают,
что ничего похожего на зависимость, изображенную
на рис. 244, на самом деле нет.
б) Случай электронной плазмы. Дисперсион-
Дисперсионное уравнение в наших обозначениях имеет вид
трансцендентного уравнения
-¦^4=j(«)
отдельные части которого изображены на рис. 248, из которого ясно, что если опустить член
И(а), то уравнение имеет от нуля до двух решений.
В области w < w0 точка пересечения Аи определяющая корень уравнения ш(к),
соответствует величине а1 ^ а\ — 1,7 (J(ao) = 0), поэтому сразу имеем
однако /(<*о) — 0,69, и эта «акустическая» ветвь возбуждений не реализуется вследствие
огромного декремента затухания.
При ш1 ;> w2 могут существовать два решения: плазменные колебания, соответствующие
случаю 1/а2 < 1 и знакомые нам по § 5 (точка Р на рис. 248)
и сильно затухающий (практически не возбуждаемый) звук (точка А2). График решения дис-
дисперсионного уравнения без мнимой части il(a) приведен на рис. 249, на котором пунктиром
обозначены те частоты гипотетических колебаний, которые не могут возникнуть вследствие
значительно превышающего их частоту затухания. >

§ 7. Приближение двухчастичных взаимодействий
415
0,
(О,
<о(к)
— -- /
/
/
Рис. 248. К решению трансцендентного
уравнения для частоты колебаний плот-
плотности в электронной классической плазме
0 к
Рис. 249. Решение дисперсионного урав-
уравнения без мнимой части. Пунктиром обо-
обозначены не реализующиеся вследствие
большого затухания колебания
§ 7. Приближение двухчастичных взаимодействий
Задача 39. Показать, что принцип ослабления корреляций Боголюбова при использо-
использовании в качестве Ft равновесного иаксвелловского распределения w(p) автоматически
приводит к выражению для нулевого приближения для равновесной парной корреля-
корреляционной функции Fi(\t\ - г2|).
Решение. Так как в пространственно однородном случае sil\i) = 1, то
F2(xu хг | Fi) = lira S®A,2)Fl(t, Xl)Fx(t, x2).
T-*OO
Подставляя сюда равновесное распределение
мы получим, что после действия оператора 5_г, разводящего частицы за пределы их радиуса
действия, в экспоненте будет стоять сумма кинетических энергий разведенных частиц, которая
как равная энергии двух частиц сохраняется и прн меньших расстояниях:
Р\ . Рг
Поэтому мы сразу получаем известный (см. т. 2, гл. 3, § 1-г)) результат нулевого приближения
(Pi, Р2, г„ г2) = tofoMfc) ехр { - Ф(|Г'^"Г2|) } = ш(Р1)ш(р2)^0)(г„ г2).
Для s-частичной функции совершенно аналогично
Для получения первой вириальной поправки для F2 необходимо подставить Fi(t, Xi) « №(pt)
в формулу для F2''*(xi, хг | .Fi), которую в основном тексте мы не получали. >

416 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Задача 40. Показать, что полученное в предыдущей задаче выражение для F2
обращает в нуль правую часть Ф(^) первого уравнения цепочки Боголюбова.
Решение. Так как интеграл по р2 в силу нормированности функции и>(рг) равен единице, то,
взяв производную от w(p]) no pi, получаем
Задача 41. Показать, что локальное распределение Максвелла в случае термически
однородной @(г) = в) покоящейся (ро = 0) системы удовлетворяет стационарному
уравнению Больцмана, и получить координатную часть этого решения.
Решение. При подстановке указанного распределения в уравнение интефал столкновений
обращается в нуль, производная по времени тоже, и мы получаем
m дт п дт \ тв,
откуда сразу следует больцмановское распределение
n(r) = const • e-ffW/* и F(p,r)=const-u;(p)e-c'(r)/'. >
Задача 42. Исходя из кинетического уравнения Больцмана получить уравнение дви-
движения для плотности РГ-функции Больцмана
h(t, г) = / ST(t, г, р) In ST(t, г, р)тт^Тз.
Решение. Умножим уравнение Больцмана
д& р д& dU д& _ f.^ri^ «зпг \u *"d|>l
~dT + m'~dT~~dT"~dp~J( '"' 1' BжПУ
на 1 + In & и учтем, что
где величиной ? может быть t, г или р. При интегрировании по р слагаемое, соответствующее
( = р, обращается в нуль, и мы, вводя плотность потока величины h
получаем, используя для правой части лемму Больцмана,
Ж -теорема, установленная в §5-в), следует отсюда после проведения почленного интегри-
интегрирования по г. >
Задача 43. Показать, что для системы с заданными термодинамическими параметрами
$, V, N (адиабатически изолированная система) функция
= / w(q, p) In w{q, p) dq dp
достигает своего минимального значения в случае, когда распределение w(q,p)
является гиббсовским.

§7. Приближение двухчастичных взаимодействий 417
Решение. Необходимо рассмотреть следующую вариационную задачу:
Ж = / w(q,p) In w(q,p) dq dp = min,
1 = / w(q,p) dq dp, $ = I H(q,p)w(q,p), dq dp,
где H(q,p) — функция Гамильтона. Введем вспомогательный функционал
Ж = I dq dp {w In w - a(l - w) -/}(?-Hw)} = min
и рассмотрим задачу уже на безусловный экстремум по отношению к виду распределения w
и множителям Эйлера а и р. Имеем для первой вариации по 6w
6Ж= (\nw+l+a+pH)Swdqdp = O,
откуда следует, что
Условие дЖ/да = О определяет величину а, и распределение w принимает вид
где обозначено
Z = I е-рнш dq dp = Z(P, V, N).
Наконец, условие дЖ/вр = 0 дает уравнение для расчета величины р = р(?, V, N),
dlnZ
'= [He'1 dqdp / f e'fiBdqdp = -
J I J
To, что полученное решение соответствует минимуму функционала Ж, проверяется сразу:
так как и; > 0, то
62Ж= f -FwJdqdp>0.
Чтобы убедиться, что между величиной -Ж и р существуют те же соотношения, что и между
термодинамической энтропией 5 и обратной температурой,
'dS\
'Or*
подставим полученное решение для w(q,p) в функционал Ж. Тогда, учитывая, что произ-
производная от нормировочного интеграла равна нулю,
дЖ Л dw
вЖ Г dw
откуда
/ Л/ "W\ \ Л/ 'Т&Л / Af
/ Oy—JC) \ Oy—<rt) 1 ОФ
\W)YH = ~др~/ ар = р>
что окончательно убеждает нас в том, что минимизирующее функционал Ж распределение
w(q, p) является распределением Гиббса. >

418 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Задача 44. На основе интеграла столкновений в форме Больцмана учесть в простран-
пространственно однородной системе с кулоновскии взаимодействием рассеяние частиц друг
на друге и получить кинетическое уравнение Ландау.
Решение. Рассмотрим систему частиц с кулоновским взаимодействием (без необходимости
пока не будем его подправлять) в пространственно однородном случае n(t, г) = n = N/V,
когда F\(t,r, p) = F](t, p). Потенциал самосогласованного поля в этом случае равен нулю,
и кинетика функции Fi(t,p) определяется уже не полем Е, а столкновениями частиц друг
с другом. С точки зрения цепочки уравнений Боголюбова нулевой порядок по параметру v/r3D
отсутствует (в § 4 он был основным), и необходимо рассмотреть уже следующее приближение,
т. е. систему уравнений, приведенную в задаче 30. С математической точки зрения это
очень сложная система интегральных уравнений, второе из которых необходимо решить
относительно корреляционной функции Gi, чтобы затем подставить ее в первое и получить
кинетическое уравнение для F\ с учетом взаимодействия ионов друг с другом. Эту программу
удалось провести к настоящему времени только в очень частных случаях.- Таким образом,
построение больцмановского интеграла столкновений в плазме остается одной из сложнейших
проблем кинетической теории.
Между тем с физической точки зрения (т. е. с точки зрения качественного подхода)
ситуация не представляется столь безысходной. Классическая задача двух тел с кулоновским
(или гравитационным) взаимодействием решена давным-давно, а учет столкновений, если
его производить на качественном уровне, предложенном в §5-а), приведет к больцманов-
скому интегралу, в котором в соответствующем месте (т. е. в выражении йш = adadtp =
<r(ip, и) sin ip dij) d<p) подставить в качестве сечения известную формулу Резерфорда:
Однако на самом деле столь скорый на руку качественный подход оборачивается осложнени-
осложнениями, связанными с тем, что мы, по существу, поломали всю идейную программу, заложенную
в интеграле Больцмана: короткодействие, пренебрежение временем взаимодействия по срав-
сравнению с временем свободного пробега и т. д. — ничего этого в нашей системе нет.
В сложившейся ситуации, когда, с одной стороны, просматривается достаточно прямой
путь построения кинетического уравнения, с другой — обнаруживается изначальная вну-
внутренняя противоречивость этого прямого подхода, мы не будем особенно уточнять детали
(введение нескольких сортов ионов, приведенных масс, точных коэффициентов и т. п.),
ограничиваясь чисто качественным (ознакомительным) уровнем рассмотрения.
Ввиду формально бесконечного радиуса взаимодействия кулоновского потенциала в за-
задаче рассеяния существенно возрастает роль больших прицельных расстояний, которые
характерны для основной массы подлетающих с импульсом р, частиц к частице р. Эти
частицы будут рассеиваться на малые углы tp, т. е.
p' = p + q. р\ =Pi-q. lql = 2psin-«|p|~|p,|.
Отдавая себе отчет, что, ограничиваясь случаем малых q, мы тем самым теряем информацию
о реальных вкладах в интеграл столкновений, происходящих от области малых значений
прицельного расстояния, запишем функциональную конструкцию больцмановского интеграла
в виде разложения (индексы а и /3 пробегают значения х, у, г)
Вместо того, чтобы интегрировать по углам гр и <р, выражая через них компоненты qa
и qp, будем интегрировать по q (тройной интеграл) с учетом того, что при малых его
значениях вектор q почти перпендикулярен вектору относительной скорости и, т.е. снимая
один из интегралов с помощью одномерной Д-функции
sin V cty d<p -» — 6(uq) dq = —j- 6(dos 6) dq.

§ 7. Приближение двухчастичных взаимодействий
419
Тогда интеграл от первого слагаемого, пропорционального qa, обратится в нуль, так как
сечение рассеяния зависит от четной степени модуля q (<т ~ д~4), а во втором слагаемом
будем иметь после перехода к сферическим координатам с осью z, направленной вдоль
вектора и = @,0, и) и подстановки в формулу Резерфорда sin (V>/2) S |q|/Bp) ~ q/(mv)
J \
sin
Щ
Мы не будем утруждать себя уточнением величины С,
которая включает в себя е4 и численный коэффи-
коэффициент, который в конце концов все равно окажется
подгоночным. Множитель 6а/3 - иаир/и2, равный, как
в этом можно непосредственно убедиться, интегрируя
по углам 0 и <р (см. рис.250), в случаях (а,/3) = (х,х)
и (у, у) единице и нулю во всех остальных случаях
сочетаний индексов компонент, обеспечивает выполне-
выполнение принятого выше условия приближенной поперечно-
сти u _L q. Оставшийся не взятым интеграл Q расходится
и на нижнем, и на верхнем пределах. Это наследство,
с одной стороны, формулы Резерфорда (рассеяние на го-
голом заряде, а у нас в системе многих тел — поле за-
заряда экранируется плазмой на расстоянии порядка гп),
с другой — ограничение низшим членом разложения
по степеням q. Начинаются полуфеноменологические
включения в теорию, в какой-то мере спасающие си-
ситуацию. Чтобы интеграл не расходился в области q ~ 0, введём обрезание кулоновского
взаимодействия на расстоянии порядка дебаевского радиуса rD = (в/Dпе2п)У^. Ограниче-
Ограничение верхнего предела связано с учетом только малых углов рассеяния. А они действительно
малы, если энергия кулоновского взаимодействия на подлете частицы к рассеивающему
центру будет значительно меньше его кинетической энергии. Принимая этот качественный
критерий в среднем, имеем для оценки минимального прицельного расстояния
_fl-3
rmln ~ 2 "
Таким образом, ограничивая область интегрирования по модулю q значениями l/rj> <
q/h< l/rmin, получаем
qsind
Рис. 250. К расчету интегралов по
углам и определению фактора попе-
речности u J. q
Таким образом, оставшийся после разложения по q член интеграла столкновений
в котором можно опустить член с -d/dpta (так как интегрирование по др\а все равно
обратит его в нуль), становится вполне осмысленным, и кинетическое уравнение приобретает

420 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
достаточно компактную структуру:
Это уравнение было получено Л. Д. Ландау в 1937 г. Оно используется в целом ряде исследо-
исследований плазмы «со столкновениями» для решения задач, в которых принятые при его выводе
ограничения можно считать законными. Величина \п(гв/гт\„), являясь, по существу, под-
подгоночной, варьируется в разных задачах в пределах 6-20. В ряде дальнейших исследований
это уравнение модифицировалось, сохраняя характерную конструкцию из одночастичных
функций распределения, в которой вследствие прямого использования решения задачи двух,
тел в частном случае относительно малых значений импульса передачи q < р ~ р\ (т. е. малых
углов рассеяния ф) уже не содержится импульсных аргументов со штрихами.
Мы намеренно так подробно остановились на обсуждении физической ситуации, так как
она вообще характерна в задачах, связанных с учетом кулоновского взаимодействия частиц.
Мы показали, что те расходимости, которые возникли на определенном этапе рассмотрения,
не являются пороком теории, а были обусловлены теми «упрощениями», к которым мы
прибегли с целью получения несложной структуры для интеграла столкновений. >
Задача 45. В приближении одного времени релаксации г' определить, как меняет-
меняется РГ-функция Больцмана в линеаризованном варианте теории, если в момент t = 0
в системе появился небольшой избыток частиц с импульсами (ро, Ро + Дро), где
|ДРо1 < IPol/ и такой же их недостаток в симметричной области (-р0, -ро - Дро)-
Решение. Введем функцию
Г 1, если р в области (±Ро, ±Ро ± Аро)>
Д(рТРо)=<
^ 0, если р вне этой области.
Тогда начальное распределение запишется как
F@, р) = F(p) A + аД(р - ро) - аД(р + ро)),
где а < 1. Полагая в соответствии с § 6-г) основного текста данной главы (см. с. 325)
F(t,p) = F(p)(l+e-"ft(p)),
имеем
поэтому в соответствии с леммой Больцмана и структурой линеаризованного интеграла
столкновений получаем
дЖ 1/"-2// ,— — -г t f г~
—— = — / е~ (/»' +Л| - Л - Л|) F- Fjudujdodp, dr = -ve~ " I h Fdpdr,
at 4 J J
откуда
Л* = Л? + е"' • i у />2(p)F(p) dp dr.
Так как в нашем случае квадрат относительного возмущения распределения F(p) равен
(аД(р - ро) - аД(р -Ь Ро)J = а2(Д(р - Ро) + Д(р + Ро)),
то, подставляя функцию F(p), получаем
. - -5„ + е"« • ЛГа2Др„ • (-±-)"е^™. >
Задача 46. Выяснить условия экспоненциальной релаксации функции распределения
F(t, p) к максвелловской, полагая, что спектр значений v выше минимального значения
щ = \/т (а) дискретен, (б) непрерывен, (в) непрерывен в узкой полосе.

§ 7. Приближение двухчастичных взаимодействий
421
Решение. Представим решение линеаризованного уравнения Больцмана х(*< р) в виде разло-
разложения его по собственным функциям оператора столкновений:
00 00
X(t, \>) = j e-"C(v)hv(p) dv, x@, p) = j C(u)hv(p) dv « 1.
В случае дискретного спектра
Обозначая С(г>)Л„(р) = h(v), сдвинем переменную интегрирования, положив v = v\ + A.
Тогда
а) Случай дискретного спектра (рис. 251). Имеем сразу
Условие t> l/vt =т обеспечивает x(t) < 1. условие
(v2 - vi) ~ bv
позволяет пренебречь вторым слагаемым в скобках (v2t > utt > 1).
e""fc(v)
О ", V,+A
,+Ao
Рис. 251. Случай дискретного спек- Рис. 252. Непрерывный спектр со ще-
тра собственных значений операто- лью: а — протлженный, 6 — ограничен-
ра столкновений ный узкой полосой (пунктир)
б) Случай непрерывного спектра (рис. 252 а). Разлагая функцию h(v\ + А) в степенной
ряд по А, имеем
Взяв интеграл по А и сократив на п!, получаем
п=0

422 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Логарифмируя обе части равенства, получим
In X(t) = -v,t A + — In =
Таким образом, экспоненциальная релаксация будет наблюдаться в случае
t> — =T, t»— 1П= >— 1П—= ;.
Если же шель в спектре v отсутствует, т.е. V\ = О, то релаксация уже экспоненциальной
не будет:
_ мо) л'(о) _,_
-п — , ~т ,i i • • • -
в) Непрерывный спектр, ограниченный узкой полосой (рис. 252 б). Полагая для простоты
функцию h(v) в полосе i/, < v < vx + Ао константой, имеем
При Ао< ^ 1 этот случай был рассмотрен в п. б). Если же Xot <C 1, то будем иметь чистую
экспоненту
которая реализуется при 1/А0 > t > \jvx = г.
Рассмотрим еше один гипотетический случай, когда полоса непрерывного спектра
примыкает к нулевому значению (у\ = 0), а выше ее границы имеются дискретные уровни
(хотя бы один иг). Тогда
и мы обнаруживаем наличие двух совершенно различных стадий релаксаций: при Ао? <С 1
релаксация является экспоненциальной, а при t >' l/i/2 она переходит в значительно более
медленную, х@ ~ h(O)/t.
Рассматривая эти модельные примеры, мы выяснили, что наличие хотя бы небольшого
участка непрерывного спектра величины и сразу меняет характер экспоненциальной релак-
релаксации: появляются предэкспоненциальные зависящие от t конструкции, а в случае, когда
непрерывный спектр примыкает к нулевому значению, появляется уже совсем другой тип
релаксации — степенной.
Характер спектра v на самом деле, конечно, не задается извне, он появляется «изнутри»
при решении задачи с определенным типом взаимодействия частиц друг с другом. В матема-
математическом отношении исследование этих проблем далеки до завершения. Удалось выяснить,
однако, что если сила взаимодействия между частицами с ростом R спадает как R~s или бы-
быстрее (так называемое «жесткое» взаимодействие), то i>, Ф 0 и экспоненциальная релаксация
в каком-то из вариантов все же присутствует, а.если слабее («мягкое» взаимодействие), то
не исключено V\ = 0. >
Задача 47. Используя метод рассмотрения линеаризованного уравнения Больцмана
в § 6, вывести вариационный принцип для оценки минимального собственного значения
линеаризованного оператора интеграла столкновений.
Решение. Обозначим баланс относительных отклонений от максвелловских распределений
[h] = h + ht-h' ~h\.
Тогда уравнение на собственные значения и линеаризованного интеграла столкновений
примет вид
»пК= I Filh

§ 7. Приближение двухчастичных взаимодействий 423
Определим «скалярное произведение» как
Тогда имеем
(hm,hn) = (hn,hm), (hn,hn)S*0.
Обозначим свертку собственной функции с интегралом столкновений квадратными скобками:
[hm,hn] =
Согласно лемме Больцмана
[hm,K]=X-J FFt \hn\ ¦ [hn\u dw dp dp, = [hn> hm]
и
[К, ft.] > 0.
Умножим теперь «скалярно» линеаризованное уравнение Больцмана на hm слева и справа,
тогда получим
K{hn,K) = [hn,hn],
откуда, во-первых, для всех i/n следует уже полученное в § 6 неравенство
(К, К)
и, во-вторых,
{ym-vn){hm, hn) = 0,
т. е. свойство ортогональности собственных функций
{hm, К) = Д("» - n){hm, hm).
Используем теперь идею квантовомеханического метода Ритца для оценки минимального
собственного значения щ. Пусть h — некоторая «пробная» функция, которую мы можем
представить в виде разложения
Используя свойство ортогональности функций hm, имеем
тп т
[л, h] = J2 стсп[нт, л.] = J2 "mc^(hm, л.).
mn m
Пусть i/] — минимальное из всех ненулевых значений vm. Тогда
ИЛИ
. [h,h]
Это и есть основная формула вариационного принципа для Оценки величины vx, в кото-
котором вариационными параметрами являются коэффициенты разложения пробной функции
по системе функций {hm}.
Таким образом, основная проблема сводится к отысканию удобной системы функций
{ftmb Так как оператор столкновений изотропен в пространстве импульсов, то эти функции

424 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
можно представить как произведение функций, зависящих от модуля импульса (т.е. от р2),
на сферические функции
2
(т. е. уровни i/n по крайней мере 21 +1 кратно вырождены) и исследовать проблему уже по от-
отношению к функциям /»„(р2). В нашем дальнейшем рассмотрении мы вообще пренебрежем
несферичностью функций (т. е. рассмотрим случай I = 0). Но и в этом случае отыскание
системы функций {й„(р2)} оказывается очень непростым делом. Математики обнаружили,
что если сила взаимодействия частиц друг с другом ведем себя как 1/R5 (так называемая
максвелловская модель), то уравнение для /»(р2) имеет точное решение в виде присоединен-
присоединенных полиномов Лягерра полуцелого индекса (в кинетической теории они обычно называются
полиномами Сонина). Несмотря на то что взаимодействие типа 1/Д3 в физических зада-
задачах не встречается, построенную на его основе полную систему функций {/»п(р2)} можно
использовать в вариационной технике для оценок величин в задачах с реалистическим
взаимодействием частиц друг с другом.
Полиномы Лягерра (или Сонина) достаточно хорошо изучены: в математических спра-
справочниках можно найти не только их самих в различных вариантах, но и необходимые для
проведения оценок уже сосчитанные свертки (Sn,Sn) и [Sn,Sm]. Так что с помощью ма-
математического справочника вариационная оценка превращается уже в чисто техническую
операцию по свертке нормировочных коэффициентов и обозначений. >
Задача 48. С помощью вариационного принципа, введенного в предыдущей задаче,
оценить минимальное собственное значение i/\ линеаризованного уравнения Больцма-
на, если частицы взаимодействуют как упругие твердые сферы заданного радиуса.
Решение. Рассмотрим случай / = 0 и /i = h(p2). Введем безразмерные импульсы, такие, что
р2/Bтв) = T}2,dp= BтвK/2 dr). Тогда вместо F(p) у нас будет просто гауссово распределение
Выпишем значения гауссовых интегралов (т.е. средних по максвелловскому распределению),
которые нам будут нужны:
Oi)ii
1, 4 4ч -у ЬЗ-5-7-9 945
-<*.*>-ч« = —гг— -й-
Построим теперь систему ортонормированных полиномов по степеням t]2. Полагая 50 = а,
из условия (So, So) = 1 имеем
S0=l,
полагая далее St — а + btf2, из условий (Su 50) = 0, (Su St) = 1 определим константы а и ft.
Получим с помощью приведенных выше значений гауссовых интегралов, что

§ 7. Приближение двухчастичных взаимодействий 425
Поступая совершенно аналогично, получим
5 2 1 Д „ Лб735 35 2 7 4 1
Для построения пробной функции h, которая в состоянии дать оценку величины i/t (над
Ц) = 0), надо начинать с тех степеней т, которые соответствуют ненулевому решению для v,
т. е. т = 2, 3,... (т = 0 и m = 1 соответствуют функции h = А + Bt]2, собственное значение
которой i/0 = 0). Итак, полагая в низшем приближении (только m = 2)
получаем
1/1
т. е. коэффициент С2 как вариационный параметр вообще сократился. В следующем прибли-
приближении (т = 2, т = 3)
B) 1
1 [У2>52]+2С[У2,У3]+С2[Уз,5з]
где коэффициент С = С3/С2 является уже вариационным параметром. Определяя его из усло-
условия di>i/dC = 0, получим, выделяя в i>\' основную часть, соответствующую первому
приближению (поправка оказывается, как мы покажем, действительно малой),
Остается рассчитать средние, обозначенные квадратными скобками. Введем масштабную
единицу для v (см. задачу 7)
. ГТ
где <т = ird2, d = 2г0. Тогда
1 1 1 Г 1 v^ir
nm'nn4jlmn ' rc,.np 16
где
] Г 2 2 dlj)
\Sm, Sn} == —г /с ' \fi —1]\ WS^ • [Sn] — dff dif ].
Учтем, что
[1] = [п2] = о, [S2
тогда

426
Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Расчет фигурных скобок удобнее выполнить, перейдя, как и в задаче 7, к относительным
координатам в пространстве G7, 771):
_ 1 1
при этом
а также
Этот, по существу, арифметический пересчет дает
- (а1J) =
откуда
= 1 / ехр {-2С2-^
Таким образом, во все три интеграла входит один и тот же интеграл по угловым переменным.
Рассчитаем его для модели столкновения твердых сфер. Сделаем пояснения к рис. 253,
на котором изображен момент столкновения и все векторные величины, фигурирующие
в этой задаче двух тел: С — центр инерции и точка столкновения сфер, d = 2г0 —
радиус взаимодействия, а = d cos (У>/2) — прицель-
J ное расстояние, Ф — азимутальный угол, фик-
сирующий плоскость рассеяния (вращение вокруг
вертикальной оси ?). Имеем
,1 Ф Ф
dw = аёаёФ = —d - sin — cos — dip dФ =
= —d2 sin ib dip с?Ф.
4
При интегрировании по а в пределах 0 < а < d
угол рассеяния уменьшается, тг > ip > 0. Догово-
Договоримся интегрировать по ip от ip = 0 до ip = ir (т. е.
переворачивать интеграл по ip), тогда, опуская знак
минус и обозначая а = icd2, имеем
(Г
dui = — sin ip dip dФ.
4ir
Схема расположения в пространстве векторов
на единичной сфере представлена на рис. 254. Со-
отношение между углами ¦в, ¦в' и ip определяется
одной из основных формул тригонометрии на сфере:
cos ,,< = cos у, cos,, + sin у, sin * cos ф.
(-
\
is
(/\
1 / V
^
А
/1
Ш-
у \2
к,
\
\
\
i
Рис. 253. Схема рассеяния двух одинако-
вых твердых сфер в плоскости рассеяния
(нарисован момент удара)

§ 7. Приближение двухчастичных взаимодействий
427
Она следует из рассмотрения прямоугольных треуголь-
треугольников ОСА и ОВА с углами ip и t? при вершинах О,
треугольника ABC с углом Ф при А и ОВС с углом 0'
при вершине О. Выражая теперь cos 20 - cos 20' че-
через переменные интегрирования 0, у> и Ф, получаем
после взятия элементарных интегралов и собирания
слагаемых, что
/
(cos 2t9 - cos VJ sin OdV d<p— sin ip dip d<b = ,
4тг 45
4тг
45
и мы получаем
ire cl__
__...., 120 45 я-3
00 00
xAirje-^Cddje-f^di.
о о
Учитывая значения стандартных интегралов
Рис. 254. Изображение углов между
векторами ?, ?' и С на единичной
сфере
получаем оценку времени релаксации г' к максвелловскому распределению в системе из твер-
твердых сфер:
y-I>J--r<"--T -1875т
' — i? /.\ — • — - 'св.пр — 1|О/э тса.„р,
практически совпадающей с той, которую мы сделали в § 6 довольно грубым способом.
Чтобы получить следующее вариационное приближение, уже ничего вычислять не надо,
только подставлять и складывать. Имеем
1 4 1 4 !
32*
32» 4»
49
- 1 199
rc..n/ 35 '
что приводит к результату второго приближения
или
т. е. поправки к первому вариационному приближению составляют менее 3 %.

428 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
§ 8. Гидродинамическое приближение
Задача 49. Исходя из уравнения Больцмана получить систему пяти уравнений гидро-
гидродинамики для величин n(t, r), u(t, г) и 6(t, г).
Решение. Исходные моменты рассмотрения: уравнение Больцмана (по дважды встречающе-
встречающемуся индексу — суммирование)
dF(t,r,y)
dt
следствие леммы Больцмана
__ dF_ dU_ \_6F_ /UF\
J 6у{а
^) =0.
Величины, для которых будут составляться уравнения, — плотность числа частиц n(t, г)
(массовая плотность р = т ¦ п)
n(t,r) = jF(t,r,y)dy,
гидродинамическая скорость и(?, г)
ua(t, г) = i j vaF(t, r, v) dv = <uQ>,
локальная температура 0(t, г)
где мы ввели угловые скобки для обозначения среднего по скоростям и положили
«о =Va(t, r)+Wa, (tVa)=0.
В уравнения войдут еще величины: тензор напряжений (или давлений)
плотность потока тепла
/mw2 \
-n\—Wa/'
тензор скорости деформаций
1 /диа 9itp\
Напишем сначала общее уравнение переноса для величины Ф = a(t, г) + C(t, r)v + j(t, r)v2,
д f._ ГдФ_ Г 8F
Подставляя сюда уравнение Больцмана, учитывая лемму и беря по частям интеграл с dF/dva,
получаем
dt
-LsJL [dJLFdy.
m dra J 8va
1. Положим Ф = 1. Из выписанного выше уравнения переноса сразу следует уравнение
непрерывности
— = - — {пиа) или — + div(nu) = 0.

§ 8. Гидродинамическое приближение 429
2. Положим Ф = vp/n. Учитывая, что
дФ _ 1 дФ _ 1 дп дФ _ 1 дп
— --А(а-р), -^"-^"'dF' ~dTa-~tfVl'~dTa
получаем, вводя вектор wa и перестраивая слагаемые, три уравнения Эйлера
дир дия Id 1 dTJ
dt дта mn дта го дгр
3. Положим Ф = j^ivptvp. Подставляя производные этой величины по t, ra и va
в общее уравнение переноса, после несложной перестановки слагаемых с учетом определений
величин qa, Pap и Dap получаем пятое уравнение гидродинамики в виде уравнения для
локальной температуры:
дв дв 2 1 /8qt
Задача 50. Полагая функцию F локальиым распределением Максвелла
3/2
получить уравнения гидродинамики идеальной жидкости — уравнения Эйлера (L Euler,
1755).
mw2 \ 1
° р А( Р)
Решение. Вследствие симметрии распределения F по и>а
1
р<4> = А(а ~ Р)- ^mn(wawa) = Д(а -
Вводя давление идеального газа р = пв, получаем искомую систему уравнений в виде
дп д . . Л
iFWtto) = 0'
ди^ du? _ \_ _д_ _ 1_ -дЦ_
dt + U" дга тп ' дгрР~ т дгр'
Учитывая, что энтропию идеального газа можно выразить через в и г» (см. т. 2, гл. 1, § 6-ж))
последнее уравнение можно записать, привлекая уравнение непрерывности, в виде условия
постоянства энтропии вдоль линий тока
Задача 51. Решить уравнение с релаксационным членом вместо интеграла столкнове-
столкновений «методом Чепмена—Эискога» (см. § б-д) этой главы).
Решение. Полагая F = F • A + <р) в первом порядке по <р, имеем
(д д \ 8U 8 \~ 1 =
\8t "8ra m dra dva) т' у

430 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Конечно, это уже решение, однако в левой части мы должны еше учесть, что зависимость F
от t осуществляется через зависимость F от n, u и в. Учитывая, что
8F _ 1 - 8F _ mwp ~ 8F __ mwa ~ 8F _ fmw2 3 1\ ~
дп ~ п ' ди«~ в ' дюГ ~ в ' дв ~ V 2в2 2 ~9~) '
получнм после несложных алгебраических преобразований ответ для Fip в виде
1 дв fmw1 5\ m / 1
Это решение должно удовлетворять следствию леммы Больцмана, приведенному в задаче 49.
Непосредственная подстановка его в этот интеграл убеждает нас в том, что вследствие
симметрии функции F
}
I Fipd\= I u>aF<p dv= I u>2F<p dv = 0,
и вся схема полученных ранее уравнений гидродинамики остается прежней несмотря на то,
что вместо уравнения Больцмана использовался упрошенный его вариант. >
Задача 52. Рассчитать с помощью полученного решения коэффициенты теплопровод-
теплопроводности и вязкого трения.
Решение. Так как распределение F симметрично по компонентам вектора w, то в выражение
для потока тепла qx войдет только первая часть функции F<p, в которой останется лишь
слагаемое с а = х:
2 2 / т«^ _ 5 \ (jn_\Vi /_^\ Ш__ ^
Учитывая, что
2 / ч 3
w2 = 3—, to4 = 151 — 1 , to6 = 1051—) и т. д.,
го \т/ \го/
получим
_ 5 впт'
Этот результат мы уже получали в задаче 16.
Для тензора натяжений в нулевом порядке (F = F) имеем
=
J w\f dYf = 6а0Пв = 6а0р,
где р = пв — давление идеального газа. Для расчета первого приближения нужна только
вторая часть формулы для Ftp:
O ( 62j • п.
Направим вектор и вдоль оси х, т.е. и = (их,0,0). Тогда
PXJ = —т'тп • —Dxt2whvl • п = —тпв21)хг = -т'пв—- = —п—-,
в дг ' дг
где коэффициент внутреннего трения
г/ = т'пв
(этот результат был получен в задаче 17), а также
_4 дщ
З*7 дх '

§8. Гидродинамическое приближение . 431
В гидродинамике помимо вязкости rj вводят так называемую вторую вязкость («объемную»
вязкость) по формуле
- 2»? ( Dafs - jSa0D^ J -
В нашем случае это дает
дих _ . /4 \дих
откуда следует, что наша грубая модель с релаксационным членом вместо интеграла столкно-
столкновений второй вязкости не имеет. . >
Задача 53. С помощью полученного в задаче 51 решения кинетического уравнения
получить уравнения гидродинамики вязкой жидкости Навье—Стокса (L. Navier, 1822;
S. Poisson, 1829; G. Stokes, 1845).
Решение. В правых частях уравнений для иа и в, полученных в задаче. 49, в членах, содер-
содержащих коэффициенты хит;, удержим только линейные члены по компонентам скорости и.
Для этого в уравнении для на достаточно вынести за знак производной по г„ коэффициент
вязкости tj:
1 д _ 1 д 1 д ( \\(8иа дир\ 1 9
Й-— •— .| V d'U& [ } ? 6 (dUa).
тп дгр тп дгадга 3 тп дгр \дга)'
В правой части уравнения для в по той же причине не будем дифференцировать коэффициент
теплопроводности х, а в члене DapPap сохраним только линейные по иа члены, тогда
з п \дга + Ва*Рае) - з' п " дга дга - з V дта Г
и мы получаем после этого уравнения Навье—Стокса:
дп д
дщ дие _ 1 д п д2ир 1 q д (диа\ 1 dU_
dt " дга тп дг0 тп дга дга 3 тп дгр \ дга) т дгр'
dt г "дга C/2)п 5га9га 3/2\,9га
Заметим, что в случае и„ = 0 из последнего уравнения автоматически следует уравнение
теплопроводности
дв _ х дЧ
~di~ C/2)n ' дга дг
где К — коэффициент температуропроводности газа плотности г» с теплоемкостью
cVJV = 3/2. . >
Задача 54. С помощью уравнений Навье—Стокса рассмотреть малые колебания вязкой
среды и получить формулы для их частоты и затухания.

432 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Решение. Полагая n(t,г) = п + n((f,г); 6(t,r) = в + 0\(t,г) (скорость м^ является с самого
начала величиной первого порядка), напишем линеаризованные уравнения Навье—Стокса:
й0,
"Га
mn dtp m dtp mn дга дга Зтп дга
2х 8гв] 2 диа
' ~ 3^ дга дга ~ 3 дгГ'
Переходя к фурье-представлению
получаем однородную систему уравнений для и, (к?) и tJ:
-ши + т(Ц) = О,
в 2 / 4 ч Л кг _
тп V 3 тп / т
Приравнивая нулю детерминант этой системы и полагая ш = п - »Т, Г <С П, Получим, опустив
член, пропорциональный x»;ifc4,
О = fi' - I. _*' - i
3
3 т" "'"-r""^ „ Т3 тп" 3 птП2/'
откуда для частоты колебаний получаем характерный для акустической волны результат
Заметим, что 5/3 — это для одноатомного газа cp/cv = j — показатель адиабаты. Приравнивая
нулю мнимую часть, получим после замены ifc = П/сзв выражение для затухания звука в вязкой
среде
Ч3 тп 15 п,
или, подставляя полученные ранее выражения для т?, к и сзв,
§ 9. Легкая компонента и электронный газ
Задача 55. Рассчитать коэффициенты диффузии D, термодиффузии D#, теплопро-
теплопроводности к и -диффузионного переноса тепла х„ легкой компоненты, считая, что
столкновения частиц можно аппроксимировать моделью упругих шаров заданного
радиуса.

§ 9. Легкая компонента и электронный газ
433
Решение. Рассчитаем сначала величину транспорт-
транспортного сечения Е для модели упругих шаров (см.
рис. 255). Так как прицельное расстояние о =
R cos (^/2), где Л = До + г0, то
= / A - cos ip)a da dip =
= 2jt/ —(l-c
т. е. эффективное сечение для упругих сфер совпа-
совпадает с традиционным сечением а. Так как в рас-
рассматриваемом случае Е не зависит от v, то, вынося
величину Л = l/(rj|E) за знак среднего, получаем,
по существу, результаты задачи 15 (в приближении
А = const):
D = -\v, D, --
где
Рис. 255. Схема рассеяния
на неподвижной сфере
н = пА€,
Задача 56. Оценить затухание одночастичного возбужденного состояния над запол-
заполненной сферой Ферми, считая, что релаксация происходит за счет взаимодействия
электрона, находящегося первоначально над сферой Ферми, с другими электронами
системы.
Решение. Используя квантовомеханическую концепцию квазистационарных уровней
fc(t) ~ ехр { - %-Ept - Ii
- exp { - -(Е, - iT,
имеющую свое теоретическое оправдание только в случае, когда затухание Гр значительно
меньше энергии возбужденного состояния Ер, Vp/Ef < 1, имеем для квантовомеханической
вероятности Wp(t) = \ipp(t)\2 обнаружить систему в состоянии р в момент t:
{2Г 1 8W
где шр = 2ГР/Й имеет смысл вероятности перейти системе из состояния р в любое другое
в течение секунды. Эту вероятность wr можно оценить, используя известную формулу
временной теории возмущений.
Рассмотрим электрон с импульсом |р| > pf, находящийся непосредственно над сферой
Ферми. Сфера заполнена электронными состояниями, поэтому взаимодействие электрона р
с каким-либо к (|к| < pF) должно привести к выходу последнего из сферы Ферми, т. е.
|k + q\ > pF при сохранении |р - q\ > pF. Квантовомеханическая вероятность такого перехода
равна
й?(р, к; р - q, к + q) = у |(р, к|Ф|р - q, к + q)|2<5(^, + Ek- Ep-q - Ek+q).
Указанные выше дополнительные ограничения на величины к и q можно учесть с помощью
фактора пкA - пк+ч)A - п,-,). Тогда, просуммировав по всем к и q, получим интересующую
нас вероятность wr:
wp =
Р> к; р - q, к + q)nk(l - п
ч).

434 . Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Обратим внимание, что матричный элемент взаимодействия Ф(|г( -г2|), рассчитанный по нор-
нормированным в объеме V плоским волнам, сведется к фурье-образу этого потенциала. Имеем
(р, к|ф|р - q, к + q) =
= JJ dr, dr2 ^7 exp | - ^(pr, + kr2)|ф(|г, - r2|) exp | ^(pr, - qr, + kr2 - qr2) j =
(V)
= ^ JJ dr, dr2 Ф(|г, - r2|) exp I - p(r, - r2)| =
(V)
Если заменить эту величину на некоторую эффективную и вынести ее за знак суммы по q,
то подсчет wp проводится точно. Но ради оценки можно обойтись и без этого. Заметим,
что вследствие принципа Паули электрон р не может «опуститься» ниже уровня ер, т.е.
он останется всегда в шаровом слое 4ярр(р - рг). Поэтому число возможных конечных
состояний для него при переходах р —> р — q будет порядка
V-4*p2F(p-pF)
Это верхняя граница числа слагаемых по q. Так как первоначальная энергия этого электрона
Р2 Pr P+Pf P~Pf
то он может возбудить только такой электрон к из-прд сферы Ферми, который находится
вблизи ее поверхности в слое толщиной ip — pF)- Таким образом, максимальное число
слагаемых по к тоже равно V4pF{p— р^)/B)гйK. Учитывая, что Д-функция имеет размерность
, + Ек-
получим для величины wp оценку (явно завышенную)
1-Ч ~ Е*+Ч \
I,
- _
р
где А = (р — Pf)Ipf "С 1. Точный расчет вместо множителя 1/2 дает 1/8. Таким образом,
мы получили, что затухание одночастичного возбуждения, связанное со взаимодействием
электрона с другими электронами, вблизи сферы Ферми исчезает вообще:
Произведем численную оценку затухания. Пусть р выбрано на границе температурного
размытия сферы Ферми, т. е.
Е 0
PF
Положим
где Ф — среднее эффективное взаимодействие, F — эффективный радиус. Тогда
2,2 I ±(*
2 ' \
Ev в 2-8*'Й6 2 в, \ег

§9. Легкая компонента и электронный газ 435
Учитывая, что для реальных металлов средняя потенциальная энергия кулоновского вза-
взаимодействия электрона порядка его средней кинетической энергии, т. е. Ф/ejr ~ 1, что
m ~ 10~27 г, ft ~ 10"v эрг/с, tr ~ 1(Г" эрг и г ~ 10~8 см (см. оценку в следующей задаче),
получим, что оба выражения в круглых скобках порядка единицы, и
и, л
10~3 - 1(Г4,
что и служит главным оправданием использования модели идеального.ферми-газа для элек-
электронного газа в металлах, так как для фермиевских интегралов только эта область р (внутри
температурного размытия) и существенна. >
Задача 57. Оценить радиус экранировки поля иона электронным газом при в = 0.
Решение. Пусть щ — плотность электронного газа в отсутствие возмущающего поля, п0 =
N/V = l/v. Обозначим eF = h2Cir2n0)il2/Bm). Если в начало координат поместить ион q,
то в возникшем вокруг него поле U(R) = -etp(R) химический потенциал газа станет равным
Условие равновесия газа в статическом поле (см. т. 1, гл. 1, §6-6))
дает вместо классического больцмановского распределения
?jp J
Эффективный потенциал <p(R) можно определить из уравнения Пуассона
V2ip(R) = -4irq6(R) + 4тге(п(Д) - п0),
откуда в линеаризованном варианте e<p(R)/ep < 1 следует
где k\f = 6ire2/(vef). Это уравнение уже нами решалось в § 5-в) гл. 5, но с другим к2. Имеем
где томас-фермиевский (L. Thomas, 1926; Е. Fermi, 1927) радиус экранирования
Подставляя п ~ 6-1022 см, е ~ 4,8- Ю'10 СГСЕ, eF ~ 6-104 К, ifc = 1,38-106 эрг/К, получим
rTF ~ Ю~8 см, т.е. имеет размер, соизмеримый с размером самого иона. >
Задача 58. Считая эффективную длину свободного пробега А(е) непрерывной функ-
функцией в области е ~ ер, определить температурную поправку к величине проводимости.
Решение. Используя разложение для фермиевского интеграла (см. т. 2, гл. 2, § 2-в))
о
и исключая химический потенциал

436 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
получаем (см. § 7, п. 3), а также задачу 19)
__e2lfcrm /? / вп(в)
(
\1 4Лов/1о 6Ло ejij/
где Ло = Л(/10), а G0 — проводимость при в = 0. >
Задача 59. Рассчитать проводимость и теплопроводность невырожденного электрон-
электронного газа, считая Л = const.
Решение. Чтобы не повторять всех выкладок по отношению к невырожденному случаю, пред-
представим с самого начала локальное распределение F в виде, соответствующем классическому
пределу
где е = mv2/2 и
Тогда вместо расчета фермиевских интегралов (см. § 7-в) гл. 5) нам необходимо будет брать
интеграл вида
Jeke-"'de-
Вынося Л за знак интеграла, получим после элементарных выкладок для проводимости
_ 4 е2пА
3 у/2-ктв
и теплопроводности при условии отсутствия тока
_ 8 впА
*~ 9 у/2ятв'
Закон Видемана—Франца для невырожденного случая будет иметь вид
Эти результаты полностью соответствуют полученным нами ранее в задаче 18 в предположении
А = const. >
§ 10. Уравнение кинетического баланса
и принцип детального равновесия
Задача 60. Доказать Ж -теорему Больцмана на основе кинетического уравнения Паули
(уравнения кинетического баланса).
Решение. Введем ^"-функцию, обобщающую на квантовый случай ^f-функцию Больцмана,
Ж = ]Г wn In wn.

§ 10. Уравнение кинетического баланса 437
Тогда на основе уравнения Паули имеем
дОЙ? •г—ч dwn ^—ч dwn ^—ч _ , 8 ^—ч
п п пя* п
Учитывая, что функция wn нормирована (т. е. второе слагаемое равно нулю), и изменяя
порядок суммирования в двойной сумме, имеем
— = 53 «'(n'; ")(«"¦ - «v) In ш„. = - 53 п(п; п')(шп. - ш„) In wn<,
nn' nn'
откуда, взяв полусумму обоих вариантов, получаем
1Г ^
(мы учли, что (а; - у) In (з/у) ^ 0), что и является выражением 5^-теоремы. >
Задача 61. С помощью уравнения кинетического баланса установить принцип деталь-
детального равновесия для случаев: а) адиабатически изолированная система; б) система
в термостате.
Решение. Принципом детального равновесия называется связь между функциями распределе-
распределения ш„ и вероятностями перехода w(n; ri), которая обращает в нуль правую часть кинетиче-
кинетического уравнения. Полагая в уравнении
dwn/dt = 0, получаем в случае состояния равновесия адиабатически изолированной системы,
когда
условие
w(n; n) = ш(п; п),
которое автоматически выполнялось в уравнении Паули, полученного именно для этого
случая.
В случае б) — система в термостате, когда
wn(9,V,N)= ^е-?"/в,
имеем в качестве условия скомпенсированности переходов п -+ п' и п' —» п
е-в«'/*ш(п';п) = е-в"/*й;(п;п'))
что выражает принцип детального равновесия для системы в термостате. >
Задача 62. Написать уравнение кинетического баланса для функции распределения
по импульсу электрона F(t, p) в лоренцевской форме (случай рассеяния электронов
на других частицах) и получить формулу, выражающую принцип детального равновесия
для электронного газа в термостате.
Решение. Переходя от wn(t, р,,..., pjv) к одночастичной функции F(t, p), как это мы делали
в § 8, п. 5) получим, учитывая принцип Паули, уравнение больцмаиовского типа, обобщающее
на случай частиц, подчиненных принципу Паули, форму интеграла столкновений Лоренца:
.Р'H -*(*.Р)) -B(p,p')F(t,p)(l-F(t,p'))}

438 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
(как и в §8, мы вывели из квадрата матричного элемента перехода р —> р' и р' —> р
соответствующие учету принципа Паули множители A —F(t,p)) и A -F(t,p')). В случае
равновесия с термостатом
и принцип детального равновесия, обращающий в нуль правую часть уравнения, дает после
подстановки фермиевских распределений и соответствующих сокращений общих множителей
«;(p';p)e^ = t2;(p;p')eV<,
что полностью соответствует общему условию, сформулированному в предыдущей задаче
по отношению к полной вероятности перехода ?5(п; п'). >
Задача 63. Считая, что функция F(t,p) мало отличается от равновесного распре-
распределения Ферми пр, получить линеаризованное уравнение для отклонения f(t, p) =
F(t, р) - пр и оценить с его помощью время, которое требуется, чтобы появившаяся
в момент t = О в системе частица включилась бы в общее тепловое движение системы.
Решение. Подставим функцию F(t, p) = пр + /(*, р) в кинетическое уравнение, выписанное
в предыдущей задаче, получим, сохраняя линейные относительно /(*, р) члены,
= ? {Ир';p)(i - ",) + й(р; !>,)/(*.р') - Ир; р'H - ^) + ?(р';рЫ/(*. р)}.
Появление частицы с импульсом р<> в равновесной системе означает, что в функции распре-
распределения пр появилось возмущение вида
= Д(р-Ро)/(Ро),
причем уравнение для /(ро) ввиду наличия Д(р - ро) сразу приобретает вид уравнения
с релаксационным членом
V) + Я(Р'; РоЫ7(Ро) + й?(ро;роO(ро) = -^у
Опуская второе слагаемое, имеющее по сравнению с первым порядок 1/JV, получаем
7(«,Ро) = /@,Ро)е-1/гЫ,
где обратное время релаксации системы к равновесному состоянию (или обратное время
жизни возбужденной частицы) с учетом принципа детального равновесия (см. задачу 62)
оказывается равным
V4 /ттг
В невырожденном случае результат для 1/т(ро)
1 V—S _. I.
совершенно естествен — это вероятность частице р0 перейти за секунду в любое другое со-
состояние. В вырожденном случае множитель 1 - »у ограничивает область конечных состояний
с точностью до температурного размытия областью |р'| > pF, появление же множителя (l-nw)
в знаменателе свидетельствует о резком ускорении релаксационного процесса в случае, когда
возмущение частицы происходит в области температурного размытия, когда |ро| ~ pF. >
Задача 64. Показать, что если функция wn удовлетворяет уравнению Паули, в котором
все вероятности перехода w(n; n') равны друг другу (модель Саймона, S. Simon, 1956),
Ж -функция обладает свойством выпуклости Pf ^ 0.

§ 10. Уравнение кинетического баланса
439
Решение. Дифференцируя ^-функцию
по времени и используя уравнение
~0f = й" = Л п(и>п' - v>n),
п'
получаем после несложных выкладок
• _ 1 y** -/ ч wn' ^
пп' п
Обозначая
вторую производную Ж можно представить как сумму двух неотрицательных частей:
»¦
пп'
т. е. стремление функции Ж к предельному значению
Дп),
In
= -1пГ
является не только монотонным, Ж ^ 0, но и с постоянным знаком кривизны (выпуклость
книзу). В общем случае w(n; п') Ф const второе утверждение не имеет места. >
Задача 65. Решить упрощенное уравнение Паули,
в котором w(n; п') = й» = const (модель Саймона) '
с начальным условием .
и определить временное поведение функции Ж
в случае, когда статистический вес Г > 1 (статисти-
(статистическая система) и Г = 2 (двухуровневая система).
Решение. Ввиду того что все вероятности перехода из со- X
стояния fc в любое другое одинаковы, имеем, считая всюду Г
пфк, систему только двух уравнений:
wn = w(wk - wn)
и условие нормировки
i = w(wk - wn),
n'tk
0
Рис.256. Релаксация системы Сай>-
мона к равновесному распределе-
нию прЛоз6уждениУи I HeS B M0.
мент t = 0 только одного уровня fc
Решение этих уравнений, получаемое без особого труда, изображено на рис. 256 и имеет вид
В статистическом случае, когда In Г ~ N > 1, но время релаксации задано,
гиГ = - = const,

440 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
имеем
и
Ж{() = wk In wk + (Г - 1)ш„ In wn = - A - е"'/г) In Г
— простая экспоненциальная релаксация к минус энтропии равновесной системы 5 = In Г.
Для двухуровневой системы
1 I
2 2
и закон изменения функции Ж во времени будет несколько более сложным:
Жй) = - In 2 + \ In (I - e'2t/T) + X-e~tlT In cth ^-. >
2 2 it
Задача 66. С помощью кинетического уравнения Паули исследовать поведение систе-
системы N частиц, каждая из которых имеет два уровня энергии Е\ и Е2 = Et + А, считая,
что система имеет температуру в, и в момент времени t = 0 приведена в контакт
с термостатом, имеющим температуру в. Определить поток энергии из 2-уровневой
системы в термостат и изменение температуры в, с течением времени, исследовав
предельные случаи больших и малых времен t.
Решение. В случае двухуровневой системы кинетическое уравнение Паули для вероятностей
Wi(t) и w2(t) имеет вид системы двух уравнений:
и нормировочного условия
К моменту времени t = 0 состояние системы было заготовлено заранее как равновесное
состояние с обратной температурой Д) = 1/<?о, т. е.
*°2\Щ _ -/5о(Е2-?!|) _ -Д)Д
ю,@) ~
В момент t = 0 эта система соединяется с термостатом (в качестве которого может служить
кристаллическая решетка, в узлах которой находятся двухуровневые спиновые системы, см. § 4
задач и дополнительных вопросов к гл. 5). Решение системы уравнений усматривается сразу:
где
Oi = — =- ~ ~
При t —» оо получаем отсюда, сопоставляя результат с принципом детального равновесия
(см. задачу 61)
где р = 1 /в — обратная температура системы, достигшей состояния равновесия с термостатом.
Таким образом,
ш|2 "
и окончательно,

§ 10. Уравнение кинетического баланса
441
Средний поток энергии из двухуровневой системы в термостат в расчете на одну частицу
системы будет экспоненциально спадать по мере приближения системы к равновесию:
(
где мы ввели обозначение
№ =
Для определения спиновой температуры при t > О имеем
МО = -/ш*_
МО
или
- In
-P.(t) • Д = In [1 -
Рассматривая этот несколько громоздкий ответ для /3,(t)
на исходе релаксации при ft^>l, имеем
0,@)
или
В начале же релаксации, т. е. при ft <C 1, получим после
несложных упрощений, связанных с разложением в ряд
по ft,
«т. *_-.*. М-/СЛ)
/(А>)A - /(Л))
_____ _v_ _ _ _ ' _trs _
или
О
1/у
Рис.257. Релаксации спиновой
температуры в случае 0,@) > 0
График изменения спиновой температуры 0,(t) приведен на рис. 257 для случая, когда ее
значение при t — 0 было выше температуры термостата 0. >
Задача 67. В условиях предыдущей задачи учесть воздеиавие на систему внешнего
поля, вызывающего дополнительные переходы между уровнями с равной вероятно-
вероятностью Р в обе аороны, 1 -» 2 и 2 -» 1, и определить мощность поглощения за счет
этих переходов энергии внешнего поля.
Решение. В исходных уравнениях предыдущей задачи надо сделать замену
UJ|2 -» Wl2 + P, W2l -* Ш21 + Р.
Тогда _ _ _
tii, =
Если ввести новую неизвестную функцию
то
w = -2Pw +
- (t»2i + wn)w.

442 Задачи и дополнительные вопросы к главе 5
Обозначим
1 W2i - Й>12
Т\ = — —, w0 = — =-,
w + w W + W
тогда
Л_ 1\ 1
-w0
\ Ь/ г.
и решение приобретает достаточно простой вид
МО - «>равн + МО) - и>ра.„]е-(/ТэФФ,
где
Поглощаемая мощность внешнего источника в расчете на одну двухуровневую систему будет
равна
^- = РА ¦ !?>,(*) - РА ¦ w2(t) = РА ¦ w(t).
В стационарном случае при t -* оо
РА
t-чх 1
. .1 —^ Д) Рис.258. Эволюция вероятностей t»i(t) и
w (оо) «@ и их разности w = w\ - w2 в двуху-
двухуровневой системе после включения внешнего
поля, вызывающего равновероятные перехо-
переходы Р с уровня на уровень. Удельная мощ-
мощность этого воздействия ? = Pw(E\ — E2)
t пропорциональна w(t)
График величины ? (или w(t)) приведен на рис.258, на котором показано также, как при
t -* оо вероятности wt и w2 сближаются, стремясь к своим новым предельным значениям. >
Задача 68. В условиях предыдущей задачи рассчитать эволюцию вероятностей w\ и wj,
если в момент t — 0 включается внешнее поле, вызывающее некомпенсированные
вынужденные переходы с вероятностями Р12 > Р^. Рассмотреть случай достижения
системой состояния с отрицательной температурой.
Решение. Для получения окончательных результатов достаточно в выкладках задачи 67 сделать
замену wl2+P -* wl2+P + АР, где АР = Р^-Рц > 0 и Р = Р2], a wi2 н w2l — вероятности
спонтанных переходов 1-»2н2-»1. Тогда сразу получаем для функции w(t) = wi(t) — u>2(t)
(а также для wt(t) = A + w(t))/2 и w2(t) = A - w(t))/2) внешне тот же экспоненциальный
закон эволюции
в котором фигурируют уже новые по отношению к результатам предыдущей задачи величины
w2, - w,2 — АР 1 1 1
w0 - — = —> — = wl2 + w-ц + АР, = —+ 2P.
|»2, +1»,2 + АР г, Гэфф г.

§ 10. Уравнение кинетического баланса
443
В условиях накачки, когда выпол-
выполняется естественное с физической точки
зрения условие ДР > w2] - wu, име-
ем i»o < 0 и Юра,,, < 0 (но Тэфф > О
и Т| > 0 при любых значениях ДР). Так
как квазистатическая обратная темпера-
температура /3 = 1/0 в системе двухуровневых
молекул определяется соотношением ки-
кинетического баланса
mi _ .-ЛВ1-В2) _ _0д
— С — С j
w2
то мы имеем
/3@ • Д = In
1 + и>@
1-»(«)'
и температура системы, начиная с мо-
момента
го = Тэфф In ( 1 4- и>@) =
\ г (,Wi2+W
Рис.259. Графики изменения во времени вероятно-
вероятностей W](t) и w2(t) и величины w = wt — w2 в двух-
двухуровневой системе в процессе накачки в нее энергии
внешним полем в условиях возможного достижения
отрицательной при t > t0 спиновой температуры
переходит при t > t0 в область отрица-
отрицательных значений. Переходя к пределу
при t -» со (т. е. к стационарному со-
состоянию возбуждаемой системы) и подставляя в выражение для j5(t) предельное значение
для w(t), получаем для предельной обратной температуры величину
l
которая в условиях ДР > w2i - t»i2 и te0 < 0 принимает предельное отрицательное значение.
Состояния с температурой, близкой к самой высокой предельной минус нулевой 0прш —» -О,
могут быть достигнуты только в случае, когда переходы 2 —» 1 полностью компенсируются
внешним воздействием, когда w2i + Р2\ — t»2i + Р ~* 0, т. е. ш2| —* —-Р, 1/ti —» 2ДР
( )/ДР
)
Характер эволюции двухуровневой системы в условиях внешней накачки представлен
на рис. 259. >

Именной указатель
Авогадро А. 100
Бернуллн Д. 43, 56, 103, 312
Блох Ф. 338, 341, 343, 344, 346, 386
Боголюбов Н.Н. 22, 283, 298-300, 313, 317,
318, 344, 404
Больцман Л. 33, 283, 296, 316, 321, 332, 363
Браун К. 208
Браун Р. 81
Ван дер Ваальс И. 244
Ванг Дж. 398
Вант Гофф Я. 208
Видеман Г. 382, 384, 436
Винер Н. 151
Власов А. А. 300, 302, 308, 404, 405
Гамильтон В. 288
Iiycc К. 44
Шббс Дж. 20, 22, 159, 208, 283, 356, 359
Гильберт В. 317
Гред X. 317
1}>юнайзен Э. 346
ДебайП. 301, 311,346
Де Донде Т. 209
Джине Д. 411
Джоуль Д. 218
Дитернчи К. 244
Друде П. 338
ДубДж. 150
Зеебек Т. 220, 256
Зоммерфельд А. 338, 383
Кирквуд Дж. 320
Кнудсен М. 243
Колмогоров А. Н. 92
Крамере X. 116, 227
Крониг Р. 227
Ландау Л. Д. 243, 308, 420
Ланжевен П. 83
Ландсберг Г. С. 197
Лаплас П. 44
Ле Шателье А. Л. 208
Ледюк С. 256
Ленгмюр И. 302
Ленд Э.Х. 208
Лиувилль Ж. 287, 288
Лоренц Л. 349, 384
Лоренц X. 59, 334, 338
Лошмидт И. 331, 333
Максвелл Дж. 18, 190
Мандельштам С.Л. 197
Марков А. А. 144
Матиссен А. 348
НавьеЛ. 431
Найквист Г. 68, 158
Нейман Дж. 286
Нернст В. 256
Нордхайм Л. 348
Ом Г. 200, 256, 381
ОнсагерЛ. 198, 200
Орнштейн Л. 80
Пайнс А. 398
Парселл Э. 386, 389
Паули В. 349, 354
Пельтье Ж. 220, 222, 256
Планк М. 33, 96, 174, 209, 366
Пуазейль Ж. 216
Пуанкаре А. 330, 358, 361
Пуассон С. 43, 431
Райе С. 155, 176
Раман Ч. 197
Риги А. 256
Рим У. 398
Сазерленд В. 374
Саймон С. 438
Смекал А. 197
Смолуховский М. 92, 106
Стирлинг Дж. 43
Стоке Дж. 83,431
Тисса Л. 243
Томас В. 435

Именной указатель 445
Томсон В. 198, 218, 220, 222, 338 Цермело Е. 330
Тонкс Л. 302 Цернике Ф. 80
Ферми к 338, 382, 435 Чебышёв П. Л. 141
Фик А. 200 Чепмен С. 92, 317, 329, 429
Фоккер А. 96
Франц Р. 382, 384, 436 Шредингер Э. 285, 351
Фрелих Г. 343
.Фурье Ж. 151, 200, 256 Эйлер Л. 129, 193, 429
Эйнштейн А. 33, 35, 41, 58, 89,
Хан Э. 333, 395 154
Хинчин А. Я. 151 Энског Д. 317, 329, 429
Холл Э. 256 Этгингсхаузен А. 257

Предметный указатель
Авогадро число 14
Аддитивности термодинамической прин-
принцип 15
Адмиттанс обобщенный 227
Белый шум 152
Бернулли формула 43
— числа 56, 175
Блоха уравнение с релаксационным членом
387
Блоха—Доминисиса теорема о спариваниях
55
Больцмана ^-теорема 322, 416, 436
— лемма 320, 321, 326
— постоянная 14
Большое каноническое распределение
Гиббсд 18
Ван дер Ваальса постоянные 64
Ван дер Ваальса уравнение состояния 244
Вариационный принцип оценки времени
релаксации 423
Взаимности соотношения Онсагера 200, 204
Видемана—Франца закон 340, 349, 378, 382,
384, 436
Вихревая трубка и вихревой эффект 246
Возврата теорема 361
Восприимчивость динамическая 226
Второе начало термодинамики для неквази-
статических процессов 27, 233
Гаусса распределение 34, 39, 148
Гауссовский случайный стационарный про-
процесс 145
Гиббса канонические распределения 17, 18,
288, 356
Гидродинамики уравнения 428
Гидродинамическое приближение 329
Двухжидкостная модель 243
Дебаевский радиус экранировки 311
Дельта-коррелированный случайный
цесс 152
Детального равновесия принцип 106,
437
Детект ора тепловой шум 192
Джинса критерий неустойчивости 409
Джоуля—Томсона эффект 218, 244
Дисперсионные соотношения 227, 228
Дитеричи уравнение состояния 244
про-
206,
Зеебека эффект (термоЭДС) 221, 256, 385
Зоммерфельда формула для проводимости
383
Импеданс обобщенный 227
Интеграл столкновений 295, 316, 320, 324,
329, 420, 422
Ионный звук в плазме 409
Каноническое распределение Гиббса 18, 288
Кинетического баланса уравнение (master
equation) 106, 355, 437
Кинетическое уравнение Больцмана 316,
357
линеаризованное 325
Власова 302
линеаризованное 304, 406
для легкой компоненты (Лоренца) 334
Ландау 418, 419
Паули 354
для двухуровневой системы 440
Паули—Саймона 438
— — с релаксационным членом 296, 327,
429
— — с релаксационным членом, стацио-
стационарное решение 297
фон Неймана с релаксационным, чле-
членом 298, 389
Кнудсена соотношение 243
Комбинационное рассеяние 197
Корреляции время случайного процесса 143
Корреляционная функция равновесная 22
стационарного марковского гауссова
процесса 150
Крамерса модель приграничного слоя 117
— формула 1N
Крамерса—Кронига формулы 227
Ландау затухание 308
Ланжевена уравнение 83
Ле Шателье принцип 208
Ледюка—Риги эффект 256
Ленгмора частота 308
Лиувилля теорема 288
— уравнение 290
Лоренца число 349, 384
Лошмидта парадокс 331, 398
Максвелла демон 190, 398
— распределение 18
локальное 297, 323, 416

Предметный указатель
447
Максимальной работы принципы 27
Марковский случайный стационарный про-
процесс 144
Матрица плотности оператор 286
Минимального собственного значения ин-
интеграла столкновений оценка 327,
424-427
Навье—Стокса уравнения 431
линеаризованные 432
Найквиста формула 68, 157
Нернста эффект 256
Нулевое начало термодинамики 14, 28
Онсагера соотношения взаимности 200,204
Орбана и Беллемаса машинный экспери-
эксперимент 333
Орнштейна— Цернике оценка парной кор-
корреляционной функции 80
Ослабления корреляций принцип 23, 300,
415
Отрицательная температура 389, 442
Парадокс возврата (Пуанкаре) 330
— обратимости (Лошмидт) 331
Пельтье эффект 222, 256, 385
Первое и второе начала термодинамики для
квазистатических процессов 16
Плазменные колебания поперечные 408
Плазменных колебаний затухание 308, 407
частота 308, 407
Планка формула 59
Предельная статистическая процедура 16
Причинности принцип 224, 227
Пуанкаре теорема 361, 363
Пуассона распределение 44, 312
Размешивания процесс в фазовом про-
пространстве 292
Релаксационных процессов последователь-
последовательность 331
Римана функция 55
Самосогласованного поля понятие 300
Свободного пробега параметры, вариаци-
вариационный метод оценки 422
среднее время 369
средняя длина 369, 370
Смолуховского (Чепмена и Колмогорова)
уравнение 92, 145
Спаривания операторов, процедура расчета
средних 54
Статистический вес 17, 355
— оператор р 286
Стационарное решение кинетического
уравнения и явления переноса 297,
337, 339, 378, 436
Стационарности условие случайного про-
процесса в спектральной форме 152
Стационарный случайный процесс 139
Температура 15
Термодинамическая система 14
Термодинамического равновесия состояние
14
Термомагнитные явления 254
Термомеханические явления 215,
239-244
Термоэлектрические явления 220
Томас-фермиевский радиус экранировки
435
Томсона эффект 222, 385
Транзитивности свойство термодинамичес-
термодинамических равновесных систем 15
Транспортное сечение рассеяния 336, 345,
433
Фазовое пространство 288
Флуктуации термодинамические 26
Фоккера—Планка уравнение 94, 96
Фонтанирования эффект 217, 244
Функция распределения в теории случай-
случайных процессов 141
Хана эффект 333, 395
Холла эффект 256
Центральная предельная теорема 146
Цепочка уравнений для кинетических
функций распределения 29,9, 400
равновесных функций распределе-
распределения 405
Чебышёва неравенство 141
Чепмена—Энскога метод решения кинети-
кинетического уравнения 329, 429
Эйлера уравнения идеальной жидкости 410, |
429
Эйнштейна формула для вероятности флук-
туационного отклонения 33
дисперсии в теории брауновского
движения и случайных процессов 86,
89, 97, 154
флуктуации равновесного излуче-
излучения 58
Электрон-фононное взаимодействие
343
Энтропии скорость возрастания 200
Эргодическое условие для функций распре-
распределения в теории случайных процес-
процессов 143
Эттингсгаузена эффект 257
Эхо спинового явление 333, 395