/
Author: Коростелев А.А.
Tags: электротехника радиолокация радиотехника телекоммуникации радиосистемы учебное пособие для вузов
Year: 1987
Text
АА.Коростелев
ПРОСТРАНСТВЕННО-
ВРЕМЕННАЯ
ТЕОРИЯ
РАДИОСИСТЕМ
Допущено Министерством высшего^
и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия*
для студентов радиотехнических
специальностей вузов
Москва
'Радио и связь»
1987
БЕК, 32.95
К68Г
УДК62ГЗЖ96
Рецензенты: Московский авиационный институт им. С. Орджоникидзе (д-р техн.
наук, проф. П. А. Бакулев), д-р техн. наук, проф. В. Ф. Судаков
Редакция литературы по кибернетике и вычислительной технике
Коростелев А. А.
Пространственно-временная теория радиосистем:
Учеб. пособие для вузов. — М.: Радио и связь, 1987.—
,320 с: ил.
Излагается теория оптимального приема электромагнитной волны измери-
измерительной системой, свойства которой заданы только формой сигнала и аперту-
апертурой антенны. Определяются потенциальные возможности радиосистемы по
дальности действия, разрешающей способности и точности измерения всех
координат наблюдаемого объекта и их производных при заданных харак-
характеристиках помех. Изложение ведется применительно к произвольному из-
измеряемому параметру сигнала на основе обобщенной комплексной огибаю-
огибающей или ее спектра. Описывается структура оптимальной радиосистемы, вклю-
включая антенну и выходные устройства.
Для студентов радиотехнических специальностей вузов. Может быть по-
полезна специалистам в области радиолокации, радионавигации и радиоуправ-
радиоуправления.
2402020000-044 ББК
046@1)-87
© Издательство «Радио и связь», 1987
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящее время в учебниках и учебных пособиях, в которых
излагается теория оптимальных методов радиоприема, сигнал
рассматривается только как функция времени, что в определенной
степени удовлетворяет специалистов в области радиосвязи, pa**-
диотелеметрии и передачи команд. Однако в системах радио*
локации, радионавигации и радиоуправления многие измеряемые
величины являются параметрами волны (поля), т. е. пространст-
пространственно-временного колебания, а не просто электрического сигна-
сигнала. Соответственно само оптимальное приемное устройство и си-
систему в целом необходимо рассматривать как пространственно-
временную структуру.
Развиваемый в книге пространственно-временной подход поз-
позволяет определить потенциальные возможности и оптимальную
структуру радиосистемы, рассмотреть с единых позиций стати-
статистической теории оптимального приема все измеряемые пара-
параметры. Новый подход стал необходим в связи со все более ши-
широким использованием фазированных антенных решеток (ФАР),,
широкополосных и сверхширокополосных сигналов. При описа-
описании работы оптических процессоров, которые широко применяют-
применяются в современных радиосистемах, пространственно-временной под-
подход является также единственно возможным.
Расширенное представление о сигнале и самой системе потре-
потребовало изменения и методики изложения. При большом числе
измеряемых параметров (а их обычно шесть: дальность, ради-
радиальная скорость, два угла и две угловые скорости) нерациональ-
нерационально вести рассмотрение применительно к каждому конкретному
параметру, как это обычно делается. Поэтому в книге сначала
рассматривается произвольный параметр или совокупность лю-
любых параметров волны, для чего вводится понятие обобщенной
комплексной огибающей и ее спектра. Затем простой подстанов-
подстановкой конкретных функций в общие формулы получаются резуль-
результаты для каждого определенного параметра. Та же методика:
используется и при описании структуры оптимальных измерите-
измерителей. Это дает возможность установить общность и обличительные
особенности процессов и устройств при измерении каждого кон-
конкретного параметра.
Развиваемая в книге теория позволяет найти оптимальные тех-
технические характеристики системы, временную (сигнал) и про-
пространственную (апертура антенны), и определить при заданных
технических характеристиках оптимальную структуру приемного
тракта и потенциальные возможности системы (энергетические и
метрические) в присутствии помех с заданными статистическими
.характеристиками. Оперативность извлечения информации и спо-
способы обзора пространства, которые в значительной степени за-
зависят от назначения и конкретного вида системы, не могут быть
охвачены общей теорией и поэтому не рассматриваются.
Изложение ведется на основе скалярной теории поля, учиты-
учитывающей все характеристики волны, кроме поляризационных. По- ,
ляризация практически не влияет на процесс измерения указан-
указанных выше параметров, однако для общности изложения показаны
пути построения теории оптимального приема с учетом поляри-
поляризационных характеристик сигнала.
Практически впервые в учебной литературе излагается опти-
оптимальная фильтрация (линейная и нелинейная) случайных про-
процессов, являющаяся теоретической базой для синтеза следящих
измерителей. Кроме известных фильтров Винера и Калмана рас-
рассматривается фильтр, оптимальный по вероятностному критерию",
жак наиболее" адекватный процессам в следящих измерителях.
Приводится краткое описание общей структуры и элементов сле-
следящих и разомкнутых измерителей.
Изложение материала основано на оригинальных разработках
автора и опыте чтения лекций в ряде вузов страны как самим
автором, так и его последователями. При написании § 6.7, 7.7 и
7.8 были использованы материалы, любезно предоставленные
?. Э. Чернышевым, М. Г. Степановым и Б. Г. Мельниковым.
Излагаемый в книге материал затрагивает самые различные
области радиотехники, оптики, теории автоматического регулиро-
регулирования, различающиеся методикой подхода, терминологией и си-
системой обозначений. Это вызвало серьезные трудности при изло-
изложении материала, которые автор, по-видимому, не смог преодо-
преодолеть до конца. Поэтому все пожелания и предложения по книге
будут приняты с благодарностью.
Глава 1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОБЗОРНО-
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ
1.1. НАЗНАЧЕНИЕ
ОБЗОРНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Обзорно-измерительные системы служат для извлечения ин-'j
формации о положении и движении различных объектов в про-(
странстве, осматриваемом с помощью электромагнитных волн',
различных диапазонов. Эти волны либо излучаются объектами-
самопроизвольно ([пассивный метод) или специальными излуча-
излучателями (беззапросный метод), либо образуются в результате
отражения от объектов (зондирующих колебаний, излучаемых
самой станцией (активный метод) или со стороны (полуактив-
ныи метод), либо, наконец, переизлучаются установленным на
объекте ответчиком с приходом запросных сигналов от станции
{активный ответ). Принимаемая станцией волна содержит опре-
определенную информацию о наличии объектов в зоне обзора, их от-
относительном' положении и скорости, а также о других свойствах
объектов. Эта информация, отображаемая в параметрах прини-
принимаемой волны, и извлекается системой. К обзорно-измерительным
системам относят системы радиолокации, радионавигации, опти-
оптические (лазерные) локаторы, измерительные каналы систем ра-
радиоуправления и т.) д. С помощью этих систем можно обнару-
обнаруживать объекты, измерять их координаты и параметры движе-
движения на огромных расстояниях, благодаря -чему стало возможным
управление этими или другими объектами почти повсеместно,
включая космос в пределах и за пределами Солнечной системы.
Не все среды прозрачны для электромагнитных 'Волн. В жид-
жидких и твердых средах эти волны очень сильно затухают. Поэто-
Поэтому в гидролокации и устройствах дефектоскопии различных из-
изделий или структур для измерительных целей исполызуют ульт-
ультразвуковые волны, законы распространения которых в простран-
пространстве те же, что и для электромагнитных волн. Основное отличие
состоит в том, что объемные звуковые волны имеют продольную
структуру сжатия-разрежения среды (скалярную), а электромаг-
электромагнитные волны имеют вид поперечных колебаний вектора поля,
определенным образом ориентированного в пространстве (поля-
(поляризованные волны). Поляризация волны несет дополнительную
информацию об объекте, отсутствующую у неполяризованных
звуковых волн. Однако эта информация относится в основном?
к тонкой структуре и конфигурации объекта и очень слабо свя-
связана с его положением и движением в пространстве. Поэтому
в обзорно-измерительных радиосистемах ограничиваются, за ред-
редким исключением, скалярным описанием процессов, которое яв-
является исчерпывающим для систем звуколокации.
Первоначально в обзорно-измерительных радиосистемах ис-
использовались электромагнитные волны только радиодиапазона,,
преимущественно метровые и дециметровые. Затем диапазон по-
постепенно расширялся, главным обра(зом в сторону более корот-
коротких волн. Имеется принципиальная возможность использовать
почти весь диапазон электромагнитных волн, включая инфракрас-
инфракрасные, видимые и ультрафиолетовые, а также гамма- и рентгенов-
рентгеновское излучения. Переход в сторону все более коротких волн выз-
вызван тем, что при одинаковых габаритах антенн достигается более
высокая точность измерений и информативность принимаемых
сигналов. При этом, к сожалению, возрастает отрицательное влия-
влияние условий распространения, так как с частотой усиливается
затухание волн в атмосфере.
1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ РАДИОСИСТЕМ
Обзорно-измерительные радиосистемы предназначены в основ-
основном для определения относительных, координат и относительных
скоростей объекта и станции. Поэтому безразлично, где произво-
производят измерения: на борту самого объекта, положение которого^
определяется, или вне его. В первом случае имеем системы са-
самоопределения, во втором — системы иноопределения. Наряду с
этим признаками классификации радиосистем могут быть: диа-
диапазон волн (радиоволны всех диапазонов, инфракрасное, оптиче-
оптическое, гамма- и рентгеновское излучения); назначение системы (уп-
(управление, наблюдение, исследование и т. п.); место установки
(наземные, корабельные, самолетные и т. д.); для наземных си-
систем дополнительно —мобильность (стационарные, подвижные)
и размещение аппаратуры в пространстве (одно- и многопункт-
ные, с совмещенными и разнесенными передатчиком и приемни-
приемником). Наиболее существенными признаками классификации ра-
радиосистем, определяющими их структуру и возможности, являют-
ся источники сигналов и вид измеряемых координат.
При классификации по источникам сигналов необходимо учи-
учитывать, что радиосистемы измерения относительных координат
и скоростей включают разнесенные в пространстве станцию и
объект наблюдения. Как станция, так и объект наблюдения мо-
могут содержать или не содержать генераторы электромагнитных
колебаний носителей информации, специально предназначеннные
для работы системы. Иными словами, станция и объект мо-
могут быть каждый в отдельности активными и пассивными. В соот-
соответствии с этим радиосистемы подразделяют на четыре основ-
6
еые группы: радиолокационные, системы с активным ответом, без-
беззапросные и системы пассивной радиолокации.
В радиолокационных системах используется явление радио-
радиоэха— радиолокационный сигнал образуется в результате отраже-
отражения объектом зондирующих колебаний, излучаемых передатчи-
передатчиком самой радиолокационной станции (активный метод) либо
сторонним облучателем (полуактивный метод). Для того чтобы
объект был обнаружен, отражающие свойства его и окружаю-
окружающей среды должны отличаться, т. е. объект должен обладать
радиолокационным контрастом. Радиолокационные системы об-
обладают наиболее широкими возможностями, они могут рабо-
работать как по известным, так и по неизвестным объектам. Однако
шх применение связано с большими энергетическими затратами,
так как отраженный сигнал составляет незначительную долю из-
излучаемого. Кроме того, обмен информацией между станцией и
объектом весьма ограничен, так как объект может лишь в не-
небольших пределах преднамеренно изменять свои отражающие
свойства.
Системы с активным ответом (запросные) принимают пере-
переизлученные (в ответ на запрос станции) сигналы специального
ответчика, установленного на объекте. Системы этого типа ис-
используют тогда, когда наблюдение ведется только за опреде-
определенными взаимодействующими объектами. Благодаря тому, что
сигнал переизлучается, а не отражается, эти системы с точки
зрения энергетических затрат значительно выгоднее радиолока-
дионных, кроме того, позволяют ino каналам запроса и ответа
дополнительно передавать различного рода информацию.
В обеих системах передатчик, генерирующий зондирующие
или запросные колебания, размещается либо рядом с приемни-
приемником, либо на значительном удалении от него. В соответствии с
этим указанные системы дополнительно подразделяют на сов-
совмещенные и разнесенные. У первых иередатчик и приемник мо-у
гут иметь общую антенну, у .вторых один передатчик может
обслуживать несколько разнесенных приемников.
Системы, у которых на подвижном объекте установлен пере-
передатчик, а сама станция является приемно-измерительным устрой-
устройством без передатчика, называют беззапросными. Они потребляют
мало энергии и позволяют передавать дополнительную инфор-
информацию, но только по каналу объект — станция. К сожалению, в
простейших беззапросных системах не все параметры сигнала
можно эффективно измерить. Для точного измерения скорости
и особенно дальности и станция, и объект должны иметь высо-
высокостабильные эталонные генераторы.
В системах пассивной радиолокации в качестве сигнала может
использоваться самопроизвольное излучение объектов: тепловое в
коротковолновой части радиодиапазона и длинноволновое. К ним
же относят системы радионавигации, использующие радиоизлу-
радиоизлучение небесных светил. Системы пассивной радиолокации содер-
содержат лишь приемно-измерительное устройство и характеризуются
7
минимальными энергетическими затратами и максимальной поме-
помехозащищенностью. Но для выделения чрезвычайно слабых тепло-
вых сигналов на фоне более сильных шумов требуется значитель-
значительное время приема. Поэтому системы теплолокации очень инер-
инерционны, их использование 'при большой скорости взаимного пе-
перемещения станции и объекта затруднительно, а дальность дей-
действия невелика. Кроме того, они обычно не позволяют измерять
дальность и скорость, а также передавать дополнительную ин-
информацию. Длинноволновые системы имеют большую дальность
действия и позволяют, например, обнаруживать большие области
ионизации из любой точки земного шара.
Положение объекта в пространстве можно характеризовать
различными геометрическими величинами: расстоянием до объ-
объекта, направлением на него, разностью и суммой расстояний до
двух 1заданных точек пространства. Поэтому важ>ным признаком
классификации обзорно-измерительных систем является вид изме-
измеряемых геометрических величин (координат) или, что то же са-
самое, форма линий положения на плоскости или поверхностей по-
положения в пространстве. Линией или поверхностью положения
называют геометрическое место точек, в которых измеряемая гео-
геометрическая величина остается неизменной. Так, на плоскости
постоянному углу соответствует радиус относительно станции,
постоянной дальности — окружность, (постоянной разности рас-
расстояний — гипербола, постоянной сумме — эллипс (рис. 1.1); в
пространстве соответственно имеем коническую поверхность, сфе-
сферу, гиперболоид и эллипсоид.
Каждой измеряемой величине соответствует свой измеритель-
измерительный канал станции. По виду измеряемой величины каналы под-
подразделяют на угломерные, дальномерные, разностно-дальномер-
ные и суммарно-дальиомерные. Сами системы классифицируют
по совокупности измерительных каналов, как однородных, на-
например угломерные,, дальномерные, так и разнородных, напри-
например угломерно-дальномерные системы, измеряющие дальность и
два угла. При этом положение объекта О на плоскости опреде-
определяется точкой пересечения двух линий положения (рис. 1.2), в
пространстве — трех поверхностей (положения.
Рис. 1.1 Линии положения на плоскости:
а — круговые (дальномерных систем); б — радиальные (угломерных систем); в — гиперболи-
гиперболические (разностно-дальномерных систем); г—эллиптические (суммарно-дальномерных систем)
Рис. 1.2. Определение положения объекта на плоскости в угломерной (aj,
дальномерной (б), разностно-дальномерной (в), суммарно-дальномерной (г),
смешанной угломерно-дальномернои (д) системах
Расстояние до объекта и направление на него (один угол на
плоскости и два угла в пространстве) можно измерить из одной
точки, разность и сумму расстояний — из двух точек пространст-
пространства. Поэтому вид и число измеряемых геометрических величин
определяют пространственную структуру системы: однопунктная
и многопунктная. Так, однопунктными могут быть только сме-
смешанные системы — угломерно-дальномерные. Измерение всех
трех одинаковых величин (трех дальностей, трех углов) возмож-
возможно только в многапунктных системах.
Измерительные системы, классифицируемые (по виду измеря-
измеряемых величин (координат), существенно различаются ino такти-
тактическим характеристикам, составу и объему аппаратуры и нахо-
находятся в определенной связи с классификацией по наличию ис-
источников излучения. Так, радиолокационные системы и системы
с активным ответом чаще всего являются угломерно-дальномер-
ными или дальномерными, беззапросные системы — угломерными
или разностно-далышмерными, системы пассивной радиолока-
радиолокации — только угломерными.
Угломерно-дальномерные измерительные системы удобны тем,
что положение объекта определяется из одной точки (рис. 1.2,5).
Поэтому системы, работающие по отраженному и ответному сиг-
сигналам, являются преимущественно угломерно-Щальномерными.
Они компактны, удобны при транспортировке и обслуживании,
однако для их работы необходимы большие остронаправленные
антенны, гарантирующие высокую точность угловых измерений.
Для работы дальномерных и разностно-дальномерных станций
не требуются остронаправлешше антенны. Недостатком их яв-
является размещение аппаратуры в нескольких пунктах при опре-
определении всех координат объекта, а также неоднозначность (точ-
(точки О и О7 на рис. 1.2,6,2), для устранения которой необходимы"
специальные меры. Разностно-дальномерные системы удобны для
определения собственного положения объекта относительно на-
наземных маяков с помощью простого ириемоиндикатора. Абсо-
Абсолютные расстояния до этих маяков измерить трудно, а разность
расстояний—сравнительно просто. Суммарно-дальномерные изме-,
рения применяют в разнесенных системах, где сигнал проходит
двойное расстояние передатчик—объект и объект — приемник.
9
If
2§гг
.zsu
a)
Рис. 1.З. Ошибки определения объекта на плоскости при пересечении линий"
положения под прямым (а) и острым (б) углами
Одним из наиболее важных показателей обзорно-измерительной
системы является точность определения местоположения объекта.
Эта точность определяется как линейными погрешностями 81 из-
измерения координаты /, так и взаимной ориентацией пересекаю-
пересекающихся линий положения / = const в районе расположения обь-
екта О (рис. 1.3). Наивысшая точность определения местополо-
местоположения объекта (заштрихованная на рисунке площадь) достига-
достигается, если линии положения пересекаются (под прямым а не
под острым углом (ср. рис. 1.3, а и 1.3,6) при той же точности
измерения каждой из координат. Системы с однородными иаме-
- ряемыми координатами могут обеспечить высокую точность лишь
в ограниченной области пространства, где углы пересечения близ-
близки к прямому. В дальномерно-угломерной системе все линии по-
положения пересекаются под прямым углом, поэтому ее дополни-
дополнительным преимуществом является высокая точность местоопреде-
ления, хотя эта точность снижается с дальностью ввиду возра-
возрастания линейной ошибки при заданной погрешности угловых из-
измерений.
1.3. ПРИНЦИПЫ ИЗМЕРЕНИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ПАРАМЕТРОВ —
КООРДИНАТ И ИХ ПЕРВЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
В основу измерения относительных координат объектов в ра-
радиосистемах положено постоянство вектора скорости электромаг-
электромагнитных волн, распространяющихся в однородной среде т е по-
постоянство скорости сж108 м/с и прямолинейность распростране-
распространения волн.
Измерение дальности R производится из одной точки прост-
пространства (рис. 1.4, а). В беззапросных системах время запазды-
запаздывания сигнала /прямого излучения
X=R/C- A.1)
Для его отсчета необходимо знать момент излучения сигнала объ-
объектом. Ввиду этого в пунктах излучения и приема нужно распола-
располагать высокостабильными эталонами времени — генераторами ко-
10"
Объект
(передатчик)
05ъент
Объект
Станция Лередат- Приемник Станция
(приемник) чин (передатчик и
а) #} приемник) б)
Рис. 1.4. Принцип измерения координат
Станция
(приемники) г)
лебаний, согласованными по частоте и фазе. Любое сколь угодно
малое расхождение частот"этих двух колебаний с течением време-
времени приводит к расхождению их ото фазе (т.е. по .времени), в ре-
результате через достаточно большое время после сверки эталонов
правильный отсчет времени запаздывания сигнала становится не-
невозможным. Таким образом, реализация беззапррсного метода из-
измерения дальности связана с большими трудностями;
В системах с разнесенными передатчиком и приемником (рис.
1.4,6), в которых сигнал проходит суммарный путь передатчик-объ-
передатчик-объект и объект-приемник (суммарно-дальномерных), время запазды-
запаздывания , _
т=(#1+#2)/с A.2);
Для его отсчета в общем случае также необходимы эталоны време-
времени. Однако при известном расстоянии между передатчиком и при-
приемником Ь для отсчета можно использовать сигнал, принимаемый
от передатчика непосредственно, с поправкой на время его запаз-
запаздывания Ь/с, и необходимость в эталонах времени отпадает.
Наиболее удобно измерять дальность R запросным методом,
когда передатчик и приемник совмещены (рис. 1.4,в). Время за-
запаздывания отраженного или переизлученного сигнала (без учета
задержки в ответчике)
%=2R/c. A.3)
При этом запросный сигнал является опорным для отсчета време-
времени запаздывания.
Измерение разности расстояний или угловых координат про-
производится сравнением времени прихода сигналом объекта в раз-
разнесенных точках приема (рис. 1.4,г)
Дт=A?1—Я*)/*. A.4)
Разнос Ъ называют базой. При малых базах (&<С#ь Яг) лучи в
точках приема можно считать параллельными и разностно-дально-
мерная система становится угломерной:
Ri—R2~b cos #=6%, 2,,
и
где их, у = cos Os, у = sin ax, у — направляющие косинусы относитель-
относительно баз, направленных вдоль осей х или у, а # или a — углы, отсчи-
отсчитываемые относительно базы или нормали к базе соответственно.
Разность времен приема сигналов в разнесенных точках угломер-
угломерной системы
пропорциональна направляющему косинусу. Направление на объ-
объект характеризуется двумя направляющими косинусами их и иУг
отсчитываемыми от взаимно перпендикулярных баз.
Таким образом, угломерные системы являются вырожденным:
случаем разностно-дальномерных систем: на больших удалениях
от центра базы гиперболы совпадают с их асимптотами, проходя-
проходящими через центр базы. Разностно-дальномерные системы исполь-
используют большие базы, соизмеримые с расстоянием до объекта, а уг-
угломерные— очень малые. Поэтому первые относятся к многопункт-
ным системам, вторые — к однопунктным.
При отсчете разности времен запаздывания двух принимаемых
сигналов один из них используется в качестве опорного. Поэтому
; в угломерных и разностно-дальномерных системах не имеет зна-
значения, какой сигнал принимается — прямой, отраженный или пере-
переизлученный. Разностно-дальномерные системы удобны для навига-
навигации по сигналам наземных пунктов, поскольку на борту достаточ-
достаточно иметь приемно-измерительное устройство.
В основу измерения производных от координат по времени (со-
(составляющих вектора скорости объекта) положен эффект Допле-
Доплера — дополнительный набег фазы при взаимном перемещении ис-
источника и приемника колебаний, равносильный смещению частоты
принимаемых колебаний относительно излучаемых. Точные фор-
формулы для нахождения доплеровского сдвига частоты могут быть
получены только в рамках теории относительности.
Рассмотрим предварительно две инерциальные системы отсче-
отсчета (в плоскости): неподвижную (X, У) и движущуюся вдоль оси
X со скоростью V(X\ У), внутри которой передается сигнал из точ-
точки О' в точку А' (рис. 1.5,а). В момент излучения сигнала начала
координат О и О' обеих систем совмещены. Через время А^ в не-
неподвижной системе отсчета (или At' в движущейся) сигнал прихо-
приходит в точку А (или Л'), пройдя путь с At или cAt'), так как ско-
скорость света не зависит от системы отсчета. При этом сама движу-
Л
cAty
0 VAf 0
с At1
Рис. 1.5. Эффект Доплера
12
1 X}X[ 0 O1
ю
А,Х'
у а
у а
о1
щаяся система переместится относительно неподвижной на рассто-
расстояние VAI вдоль оси X. Расстояние, проходимое сигналом вдоль ост
У, в обеих системах одинаково и равно с At', поскольку вдоль этой5
оси системы взаимно неподвижны. Из прямоугольного треугольни-
треугольника ОАО' неподвижной системы отсчета находим, что •
cAt'= \U2At2-rV2At2
или
Af=AiVl — V2jc\ A.5)
Таким образом, в движущейся системе отсчета время течет мед-
медленнее, а цена единицы измерения времени (секунды), выше чем в
неподвижной системе..
Рассмотрим теперь радиоканал, в котором передатчик совме-
совмещен с точкой О неподвижной системы, а приемник с точкой А' сис-
системы, движущейся относительно нее со скоростью V вдоль оси X
(рис. 1.5,6). Фаза (состояние) сигнала в точке приема не зависит
от системы отсчета: 2nf(t—R/c) = 2nf'(t'—R'/c). Поскольку в дви-
движущейся системе расстояние R' неизменно и dR//dt' = O, после диф-
дифференцирования последнего равенства получим
f(l-R/c)=f'(dt'/dt)i
где R = dR/dt — радиальная скорость приемника относительно пе-
передатчика. Из формулы A.5) следует, что dtr/dt = Y 1 — V2/c2. По-
Поэтому частота принимаемого сигнала
f (
Vl — V*/c
отличается от частоты излучаемых колебаний на величину допле-
ровского сдвига F = f—/, пропорционального радиальной скорости
объекта.
Если же передатчик и приемник поменять местами (рис. 1.5,в —
излучается /', принимается f), формула A.6) сохраняет свой вид;,
только перед слагаемыми R/c нужно поменять знак на противопо-
противоположный, так как в этом случае векторы R и с направлены в про-
противоположные стороны:
l + R/c
Заметим, что^частота излучаемых и принимаемых колебание
при работе по сигналу прямого излучения неодинакова даже а
том случае, когда R = 0 (объект движется со скоростью V в танген-
тангенциальном направлении). Частота как число периодов в единицу
времени в этом случае неодинакова только потому, что сама еди-
единица времени зависит согласно A.5) от системы отсчета. Возникаю-
Возникающее при этом различие по частоте FxttfV2/2c2 называют релятиви-
релятивистским поперечным доплеровским эффектом.
13*
При работе по отраженному или переизлученному сигналу (за-
(запросные системы) частота принимаемых и переизлучаемых ответ-
ответчиком сигналов определяется формулой A.6), а частота принима-
принимаемых станций ответных сигналов — формулой A.7). Обозначив ча-
частоту запросных сигналов в A.6) как / = /о и подставив f в фор-
:Мулу A.7), получим
1 = ^-^^-. A-8)
l+R/c
В этом случае релятивистский доплеровский эффект отсутству-
отсутствует, так как частоты /0 и f сравниваются в одной и той же (Ъ дан-
лом случае неподвижной) системе отсчета.
У большинства реальных объектов V<Cc, поэтому вместо точ-
точных формул A.6) и A.7) для сигналов прямого излучения часто
пользуются приближенной формулой / = /оA—Rlc), откуда ^нахо-
;дим доплеровский сдвиг частоты
jF~f—f0 = -foR/c = -RK A.9)
"При работе по отраженным или ответным сигналам вместо A.8)
справедлива формула
Ftt—2foR/c=—2R/X. A.10)
При этом допускается погрешность порядка fo(R/cJ. При работе
по отраженному (ответному) сигналу доплеровский сдвиг частоты
A.10) вдвое больше, чем при сигналах прямого излучения A.9),
так как набег фазы сигнала, обусловленный движением объекта,
происходит дважды — при запросе и ответе.
Таким образом, измерение радиальной скорости объекта сво-
сводится к определению доплеровского сдвига частоты принимаемых
сигналов. В этом и состоит принцип измерения радиальной скоро-
скорости. Знак доплеровского сдвига указывает направление движения
объекта: при сближении (?<0) частота увеличивается, при удале-
удалении (?>0) уменьшается.
Разность доплеровских частот сигналов, принимаемых в разне-
разнесенных точках, пропорциональна разности радиальных скоростей
объекта относительно этих точек:
AF = Fl_F2 = _f0^l_^2)/c A.11)
^аналогичное соотношение со знаком плюс справедливы для сум-
суммарной доплеровской частоты в разнесенных системах). При малой
45азе b<^RuR2y как^отмечалось, \R\—R2~bux>y. Следовательно, со-
согласно A.11) разность доплеровских частот пропорциональна про-
производной йх или йу направляющих косинусов относительно соответ-
соответствующих осей (обычно взаимно перпендикулярных):
j Xty. A.12)
Знак этой разности указывает сторону движения объекта: частота
выше в той из двух точек приема, в сторону которой движется
объект.
14
Для измерения радиальной скорости по сигналу прямого' излу-
излучения в пункте приема необходим опорный сигнал, имеющий часто-
частоту излучаемых колебаний. Для этого на передающем и приемном
концах используют высокостабильные эталоны частоты — кварце-
кварцевые вди молекулярные генераторы. Требования к стабильности ча-
частоты этих эталонов значительно ниже, чем для эталонов времениг
небольшое расхождение частот двух эталонов сохраняется в задан-
заданных пределах, в то время как набег фазы эталонов времени, выз-
вызванный этим расхождением, непрерывно нарастает. Поэтому реали-
реализовать беззапросные системы измерения радиальной скорости зна-
значительно проще, чем беззапросные системы измерения дальности^
При работе по отраженному (или ответному) сигналу запросный
сигнал выполняет функции опорного, а требования к стабильности
его частоты существенно снижаются, так как за малое время за-
запаздывания она не успевает заметно измениться. При измерение
угловой скорости по разности доплеровских частот один из прини-
принимаемых сигналов играет роль опорного, поэтому требования к ста-
стабильности частоты колебаний также невысокие.
Итак, принцип измерения относительных координат и их про-
производных радиотехническими методами состоит в том, что анало-
аналогом дальности является время запаздывания, аналогом радиаль-
радиальной скорости — доплеровский сдвиг частоты принимаемого сигна-
сигнала, аналогом направляющего косинуса — разность времен запаз-
запаздывания и аналогом производной направляющих косинусов — раз-
разность доплеровских частот сигналов, принимаемых в разнесенных:
^точках приема:
т~#, Дт~их,у, F~R, AF~ux,y. A.13)
гНикакие другие принципы измерений относительных координат
объектов и их первых производных в измерительных радиосисте-
радиосистемах не используются. Например, измерение дальности по амплиту-
амплитуде принимаемого сигнала неприемлемо ввиду чрезвычайно низкой
точности, так как на амплитуду влияет множество факторов, не
поддающихся строгому учету. Так называемые косвенные методы
не могут рассматриваться как самостоятельные измерения. Напри.-
мер, определение дальности интегрированием радиальной скоро-
скорости, измеренной по доплеровскому сдвилу частоты, или определение
радиальной скорости дифференцированием текущей дальности, из-,
меренной по времени запаздывания, являются операциями вычис-
вычисления, а не измерения. Измеряется только радиальная скорость ш
первом случае и дальность во втором. Вычисления не несут допол-
дополнительной информации, не расширяют наших знаний о положе-
положении и движении объекта, а только видоизменяют их.
1.4. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНЫХ КООРДИНАТ
И СОСТАВЛЯЮЩИХ ВЕКТОРА
СКОРОСТИ ОБЪЕКТА
При измерении производных координат непосредственно реа-
реализуется принцип их определения — фиксируется доплеровский
сдвиг частоты или разность доплеровских частот, а отсчет произ-
производится по набегу фазы или разности фаз за некоторый интервал
времени. Однако принципы измерения самих координат реализу-
реализуется различными методами, так как измеряемые координаты мо-
могут быть закодированы в различных параметрах сигнала.
Известны три основных метода измерения дальности: временной
(или импульсный), фазовый и частотный. В радиосистемах, исполь-
использующих импульсные или другие более сложные сигналы, непосред-
непосредственно реализуется принцип измерения дальности по времени за-
запаздывания сигнала — временной метод: фиксируется интервал т
лмежду принятым и излученным импульсами. Измерение дальности
фазовым методом основано на том, что фаза некоторой гармони-
гармонической составляющей /м принимаемого сигнала относительно излу-
излученного пропорциональна времени запаздывания т, и следователь-
яо^ дальности:
Ф = 2я/мт. A.14)
Ввиду существенной неоднозначности измерение дальности фазо^
вым методом производят не на несущей, а нд сравнительно низ-
низкой частоте модуляции или частоте биений двух высокочастотных
колебаний /м. Частотный метод измерения дальности основан на
использовании непрерывных колебаний, частота которых опреде-
определенным образом изменяется во (времени. Так, при линейном измене-
изменении излучаемые колебания частоты f=fo-\-at и принимаемые коле-
колебания частоты f'=fo + a(t—т) дают биения с частотой
fR = f-f> = ax, A.15)
:которая пропорциональна времени запаздывания и, следовательно,
дальности.
Для измерения разности и суммы расстояний используют те же
методы, что и при измерении дальности, для измерения угловых
координат — фазовый и амплитудный метод. Фазовый метод осно-
основан на пропорциональности между разностями фаз Д<р и времен
запаздывания Ат сигналов A.4), принимаемых в разнесенных точ-
точках:
ux,y/c: A.16)
Разность фаз, пропорциональная направляющему косинусу их или
%, обычно определяется непосредственно на несущей частоте /о,
поскольку разность хода сигналов и времен их запаздывания в раз-
разнесенных точках антенны очень мала, так что неоднозначность ли-
-бо отсутствует, либо легко устраняется. При амплитудном методе
16
измерения угловых координат зависящая от направления прихода
волны разность фаз сигналов, принимаемых отдельными элемента-
элементами антенны, преобразуется в амплитудную зависимость суммарно-
суммарного выходного сигнала антенны от направления приема. Эту зави-
зависимость — пеленгационную характеристику — можно сделать ли-
линейной функцией угла на некотором интервале. Чтобы исключить
влияние неизвестных факторов, измеряют не абсолютное, а относи-
относительное значение амплитуды, сравнивая ее с амплитудой опорно-
ного сигнала, формируемого той же антенной.
Таким образом, определение относительных координат и их
производных в радиосистемах сводится к измерению неэнергетиче-
неэнергетических параметров сигнала: частотного сдвига, времени запаздыва-
запаздывания, разности фаз и относительной амплитуды. Относительная ам-
амплитуда не является энергетическим параметром, так как ее зави-
зависимость от угла появляется как результат расхождения фаз при-
принимаемых элементами антенны сигналов, а не изменения их интен-
интенсивности, влияние которой устраняется при сравнении измеритель-
измерительного и опорного сигналов (нормировке).
Следует отметить, что для независимого измерения координа-
координаты и ее производной нельзя использовать один и тот же параметр
сигнала или антенны. Так, измерения дальности по фазе огибаю-
огибающей высокочастотного сигнала и радиальной скорости по частоте
несущей — независимые. При этом частоты огибающей и несущей
отличаются во много раз. Измерение же дальности и радиальной
скорости соответственно по фазе огибающей и частоте той же оги-
огибающей не дает взаимно независимой информации, так как часто-
частота является производной фазы. Аналогично нельзя считать неза-
независимыми измерения угла по разности фаз и угловой скорости по
разности частот одних и тех же сравниваемых сигналов при одной
и той же базе антенны. Для того чтобы угловая скорость давала
дополнительную информацию, ее нужно измерять по относитель-
относительной базе b/к, значительно превышающей угломерную, т. е. ис-
использовать дополнительную антенную систему с большей базой
или дополнительный сигнал с большей частотой.
В заключение отметим, что ввиду нелинейной зависимости
между измеряемым углом и разностью времен прихода .сигналов в
разнесенных точках приема,
пропорциональной направляю-
направляющему "косинусу, для определения
угловых скоростей и составляю-
составляющих (вектора скорости недоста-
недостаточно измерить толыко производ-
производные направляющих косинусов.
Так, измеренные относительно
осей антенной системы, располо-
расположенных вдоль поверхности зем-
земли в направлениях север-юг рис ы Сшзъ между угловыми к0_
(О1СЬ X) И запад ВОСТОК (ОСЬ у) ординатами и направляющими ко-
(рИС. 1.6), направляющие КОСИ- синусами объекта
17
нусы ux=oos'&xm Uy='cos{}y позволяют определить азимут (и угол
жеста объекта
a = &Tctg(Uy/ux); p = arccos у и2х + и2у. A.17)
Если, кроме того, измерить производные направляющих косинусов
йх и йуу можно определить азимутальную и угломестную составля-
составляющие угловой скорости объекта
ur cos а — щ sin a
о ^х sin ос— Uy cos а
' sinp
(U8>
Для определения составляющих вектора скорости объекта —
радиальной, тангенциальной по азимуту и тангенциальной по углу
места
VR = R; Va = aR; Vp = p# A.19)
(где R — дальность до объекта) с учетом A.18) наряду с производ-
производными его координат необходимо измерить и сами координаты, т. е.
нужно знать положение объекта.
1.5. ОБОБЩЕННАЯ СХЕМА И ОСНОВНЫЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ РАДИОСИСТЕМ
При всем многообразии радиосистем у них существует и мно-
много общего. Поэтому можно ввести обобщенную схему радирсисте-
мы, включающую аппаратуру станции и аппаратуру, установлен-
установленную на объекте (рис. 1.7). В общем случае аппаратура как
станции, так и объекта включает передатчик и приемник вместе с
антеннами и эталоны частоты или времени; кроме того, станция
содержит оконечное устройство (измеритель), предназначенное для
обнаружения сигналов и измерения их параметров. Заметим, что в
системах самоопределения станция размещается на самом объекте^
а под аппаратурой объекта следует понимать аппаратуру вспомо-
вспомогательных опорных объектов (наземных ответчиков или маяков).
В частных, конкретных случаях тот или иной элемент обобщен-
обобщенной схемы может отсутствовать, а работа на передачу и прием обес-
обеспечиваться общей антенной через развязывающее устройство или
антенный коммутатор. Так, в радиолокационных системах обычна
Станция
объект
Эталоны
*
Измери-
Измеритель
Пере-
Передатчик
Прием-
Приемник
Приемник
Пере-
Передатчик
Эталоны
I
I
I
_J 1
Рис. 1.7. Обобщенная структурная схема радиосистем
18
используется общая сканирующая антенна (антенная решетка) г
аппаратура на объекте полностью исключается, работа произво-
производится по отраженному от объекта сигналу. Для отсчета времен-
временного и частотного сдвигов (дальности, радиальной скорости) в ка-
качестве опорного можно использовать сам излучаемый сигнал, вви-
ввиду чего необходимость в эталонах времени и частоты практически
исключается. Измеритель фиксирует факт наличия объекта в зоне
обзора и его координаты; данные выдаются в аналоговой или циф-
цифровой форме.
Системы с активным ответом содержат ответчик, состоящий из
передатчика, приемника и антенной системы (общей или раздель-
раздельной), аппаратура самой станции практически не отличается от пре-
предыдущей. Необходимость в эталонах также отпадает; обычно от-
ответный сигнал когерентно связан с запросным. Чтобы запросный
и ответный сигналы не создавали взаимных помех, их обычно [раз-
[разносят по частоте путем деления (умножения) частоты запросного
сигнала в дробное число раз. Это позволяет исключить связь меж-
между каналами запроса и ответа на гармониках сигнала и обеспе-
обеспечить малый разнос по частоте, а следовательно, использовать
общий для обоих каналов антенно-фвдерный тракт ка>к в станции,
так и в ответчике. В этих системах ответные сигналы могут отли-
отличаться от запросных не только по частоте, но и по форме. Это
позволяет кодировать сигналы и использовать их для передачи
дополнительной информации в обе стороны (например, в целях
опознавания).
В беззапросных системах для измерения дальности и радиаль-
радиальной скорости обязательно наличие эталонов времени и частоты как
на станции, так и на объекте, что существенно усложняет аппара-
аппаратуру. Для измерения угловых координат любыми методами этало-
эталоны не нужны.
Системы пассивной радиолокации отличаются от беззапросных
полным отсутствием специального оборудования на объекте и эта-
эталонов на станции. Сама станция содержит только приемно-измери-
тельный тракт. Ввиду этого исключается возможность измерения
дальности и радиальной скорости объекта.
Таким образом, непременными элементами всякой измеритель-
измерительной радиосистемы являются антенна, приемник и оконечное уст-
устройство '(измеритель) (на рис. 1.7 выделены жирными линиями),
все остальные элементы системы служат лишь для создания носи-
носителя информации — электромагнитного колебания и хранения дан-
данных о его параметрах. Электромагнитное колебание становится
сигналом только после, отражения, излучения или переизлучения
его объектом. Параметры принятого сигнала содержат информа-
информацию о координатах объекта и их производных, для выделения ко-
которой в измерителе производится сравнение этих параметров с те-
текущими или хранящимися параметрами излучаемых колебаний. Иа
сказанного следует, что наиболее существенную роль в радиосис-
радиосистемах играет приемно-измерительный тракт, которому преимуще-
преимущественно и посвящена настоящая книга.
19
Качество измерительной информации зависит от формы сигна-
сигнала и распределения поля в раскрыве антенны, которые являются
материальными носителями этой информации. При заданной фор-
форме сигнала одни параметры передаются хорошо, другие плохо. Так,
короткий радиоимпульс хорошо передает информацию о дальности
и плохо о скорости; колебание типа немодулированной несущей не
позволяет однозначно измерить дальность, но хорошо передает ин-
информацию о радиальной скорости — по сдвигу частоты колебаний.
Выбрав форму сигнала как носителя информации, можно обеспе-
обеспечить наилучшее качество ее в каждом конкретном случае. Очевид-
Очевидно, что системы пассивной радиолокации не дают возможности для
такого выбора, поэтому они далеко не во всех случаях обеспечива-
обеспечивают получение необходимых данных.
Качество получаемой в радиосистемах информации зависит от
помех, которые, накладываясь на сигнал, искажают информацию.
Основной задачей измерительных систем является" выделение по-
полезной информация на фоне помех. Эту задачу и выполняет при-
емно-измерительный тракт — основной элемент всякой обзорно-из-
обзорно-измерительной радиосистемы.
Свойства радиосистем описываются их основными характе-
характеристиками. Выходные (или внешние) характеристики радиосисте-
радиосистемы определяют ее возможности при выполнении поставленной
задачи. Входные (или внутренние) характеристики отвечают на
вопрос, какими техническими средствами обеспечиваются указан-
указанные выше возможности радиосистемы.
Выходные характеристики подразделяют на энер-
энергетические, метрические и эксплуатационные.
Энергетические характеристики: размеры рабочей зоны и каче-
качество обнаружения, которые находятся в прямой связи с энергоза-
энергозатратами. Размеры рабочей зоны обычно характеризуются дально-
дальностью действия системы и секторами обзора по азимуту и углу ме-
места. Качество обнаружения сигналов чаще всего оценивают веро-
вероятностью правильного обнаружения при заданной достаточно низ-
низкой вероятности ложных обнаружений.
Метрические характеристики: число и вид измеряемых парамет-
параметров, точность и однозначность их измерения, разрешающая способ-
способность по каждому из них. Точность измерений обычно характери-
характеризуется максимальной систематической погрешностью и среднеквад»
ратическим значением случайной ошибки. Разрешающая способ-
способность обычно оценивается минимальным разносом сигналов близ-
близко расположенных объектов по данному измеряемому параметру,
при котором еще возможно раздельное наблюдение без взаимных:
помех, если все остальные параметры сигналов одинаковы.
Эксплуатационные характеристики: надежность и помехозащи-
помехозащищенность. Надежность оценивается вероятностью безотказной ра-
работы системы в течение установленного времени, или средним вре-
временем работы между смежными отказами, или частотой отказов.
Помехозащищенность включает помехоустойчивость и скрытность
20
работы системы. Помехоустойчивостью называют способность си-
системы сохранять работоспособность при воздействии помех. Под
скрытностью работы понимают трудность определения противни-
противником параметров системы, знание которых необходимо для поста-
постановки наиболее эффективной помехи.
Временная характеристика — период обзора — среднее время;»
в течение которого производится однократный обзор зоны (интер-
(интервал между засечками положения объекта). Своевременное обнару-
обнаружение и правильное определение траектории объекта обеспечива-
обеспечивается при достаточно малом периоде обзора.
Входные характеристики так же подразделяют на:
энергетические, метрические, структурные и массогабаритные.
Энергетические характеристики: энергия излучения за один об-
обзор (или средняя мощность), эффективная площадь антенны и
уровень шумов, пересчитанных на вход приемного устройства, кото-
который обычно оценивают спектральной плотностью шума.
Метрические характеристики: форма, длительность и несущая
частота (длина волны) сигнала, форма функции раскрыва и отно-
относительные размеры антенны (по отношению к длине волны).
Структурные характеристики определяют аппаратурную
сложность системы, способ обзора рабочей зоны (последователь-
(последовательный одноканальный, параллельный многоканальный или смешан-
смешанный) и степень автоматизации процессов обслуживания и конт-
контроля.
Массогабаритные характеристики: масса и габаритные разме-
размеры станции, потребляемая от внешних источников мощность.
Задание конкретных входных характеристик , системы одно-
однозначно определяет выходные характеристики системы. Это так
называемая прямая задача. Так, энергетические выходные харак-
характеристики (в частности, дальность действия при заданном качестве
обнаружения сигнала) полностью определяются через энергетиче-
энергетические входные характеристики. Метрические же выходные характе-
характеристики (точность, разрешающая способность) определяются и че-
через метрические, и через энергетические входные характеристики.
В случае одноканального последовательного обзора проще ап-
аппаратура, но велик период обзора; при многоканальном одновре-
одновременном обзоре аппаратура существенно сложнее, зато период об-
обзора минимален.
При синтезе (проектировании) радиосистем решается обратная:
задача: по заданным выходным характеристикам определяют не-
необходимые для их обеспечения входные характеристики систе-
системы, Сложность этой задачи состоит в том, что она не имеет одно-
однозначного решения: одни и те же выходные характеристики систе-
системы обеспечиваются при различных сочетаниях входных харак-
характеристик. Например, большую дальность действия можно обеспе-
обеспечить, увеличив либо энергию излучения, либо эффективную пло-
площадь антенны; точность измерения угловых координат можно по-
повысить, увеличив размеры антенны или уменьшив длину волны. Ие~
* 21"
?кусство проектировщика состоит в том, чтобы найти наиболее эко-
экономичное решение.
Развиваемая здесь теория позволяет произвести оптимальный
синтез радиосистем лишь относительно метрических и энергетиче-
энергетических характеристик, входных и выходных. Зависимость же между
^временными выходными и структурными входными характеристи-
характеристиками, как и ряд других, в решающей степени определяется конкрет-
конкретным назначением и видом системы и поэтому не может быть
•охвачена' общей теорией. Все эти вопросы рассматриваются в
специальный курсах, посвященных технической реализации радио-
радиосистем.
1.6. ПРИНЦИПЫ И МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ
АБСОЛЮТНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ
Координаты объекта и их первые производные являются отно-
относительными навигационными параметрами, учитывающими только
жинематику относительного движения двух объектов, один из кото-
которых (безралично какой) принимается в качестве опорного. Между
этими двумя пунктами создается внешнее по отношению к ним
электрическое поле, используемое в качестве носителя информа-
информации. Поэтому такие радиосистемы можно назвать системами внеш-
лшх измерений.
Наряду с относительными существуют абсолютные параметры,
^связанные с динамикой движения объекта и действующими на не-
него силами и полями, например угловые скорость и ускорение объ-
объекта, его линейное ускорение и гравитация. Для их измерения ис-
используют соответственно гирометры (гироскопы); акселерометры и
гравиметры, основанные чаще всего на неинерциальных механи-
механических явлениях. Особенность этих измерителей состоит в том, что
для отсчета абсолютных параметров не требуется второе опорное
тело. Корпус измерителя жестко закрепляется на самом объекте.
Чувствительным элементом механических измерителей является
масса, не имеющая жесткой связи с корпусом измерителя, внутри
которого она располагается.
Возможны радиотехнические аналоги механических измерите-
измерителей. Некоторые уже созданы и успешно соперничают с механиче-
механическими измерителями. В качестве чувствительного элемента радио-
радиотехнических измерителей используется электромагнитное колеба-
колебание, распространяющееся от излучателя к приемнику, но не вне,
:как у радиосйстем внешних измерений, а внутри объекта, пара-
параметры движения которого измеряются. Поэтому такие измерители
можно назвать радиосистемами внутренних измерений. При нали-
наличии экранировки внешнее электромагнитное поле у них отсутствует
и не может быть обнаружено никакими приборами.
В отличие от рассмотренных ранее радиосистем внешних измерений стро-
строгое описание процессов распространения электромагнитных волн в неинерци-
.альных системах отсчета, каковыми являются радиосистемы внутренних изме-
122
рений, возможно только в рамках общей теории относительности, с использо—
ванием тензорного анализа. Однако в некоторых простейших ситуациях необ-
необходимые соотношения можно получить на основе классических представлений^
если процессы, протекающие в неинерциальных системах, рассматривать ш
инерциальной (невращающейся) системе отсчета.
Принцип измерения угловой скорости изолированного объекта с помощью--
электромагнитных волн состоит в следующем. Пусть на объекте закреплен пас-
пассивный интерферометр Саньяка в виде круглого контура радиуса г (LK=2str)>
вращающегося в плоскости контура с угловой скоростью Q (рис. 1.8,а). С по-
помощью полупрозрачного (ПЗ) и непрозрачного (НЗ) зеркал в контур вводятся
и из контура выводятся электромагнитные колебания, разделяющиеся на две*
встречные волны. Ввод и вывод колебаний происходит в одной и той же точке
вращающегося кольца. Однако если процессы рассматривать в инерциальнок:
системе отсчета, то точки излучения (Изл) и приема (Прм) оказываются раз--
несенными на расстояние AL = QrLK/c, которое равно пути, проходимому коль-
кольцом при вращении за время обхода контура волной LK/c (линейная скорость
любой точки кольца составляет Qr).
Поэтому путь от точки излучения до точки приема и время его прохож-
прохождения по контуру для волны, движущейся в сторону вращения контура (по-
(попутной), возрастают (по сравнению с неподвижным контуром):
тп —
LK
с
QrLK
для встречной волны, наоборот, убывают:
LK—AL ^к Q r LK
Отсюда вытекает принцип измерения угловой скорости объекта, состоящий ш>
том, что разность времен обхода контура встречными волнами
с*
с*
где SK=nr2=rLKl2 — площадь контура, пропорциональная его угловой скоро-
скорости Q. Знак этой разности указывает направление вращения, поэтому ее от-
отсчет должен производиться так, чтобы сохранить знак.
Изл
Рис. 1.8. Принципы из-
измерения угловой скоро-
скорости (а), линейного ус-
ускорения (б) и гравита-
гравитации (в)
прм
Изл
\
25J
Принцип измерения линейного ускорения состоит в следующем. Пусть на
-^объекте, подверженном линейному ускорению а, жестко закреплен корпус ак-
акселерометра (К) и связанные с ним излучатель и приемник колебаний, разме-
размещенные в направлении вектора а на расстоянии R друг от друга (рис. 1.8,6).
Рассмотрим процессы в инерциальной системе отсчета, совпадающей с неинер-
.щиальной, ускоренной системой отсчета в момент излучения сигнала, когда ско-
скорость движения^точки излучения в обоих системах одинакова. В неинерциальной
^системе, связанной с корпусом акселерометра и объектом, излучатель и прием-
лик взаимно неподвижны. Однако в инерциальной системе отсчета точка приема
движется относительно точки излучения со скоростью R=ar=aR/c, так как за
время распространения волны между этими двумя точками x=R/c скорость
движения объекта изменилась под действием силы, вызывающей ускорение а.
"Появление относительной скорости между излучателем и приемником вызы-
вызывает согласно формуле A.9) доплеровский сдвиг частоты принимаемых коле-
баний относительно частоты излучения f0.
Отсюда вытекает принцип измерения линейного ускорения изолированного
объекта —• доплеровский сдвиг частоты в акселерометре пропорционален уско-
ускорению объекта:
R /о*
F=—fo—=——ra. A.21)
Ускорение положительно (сдвиг частоты отрицателен), если оно направ*
лено от ^излучателя к приемнику.
Принцип измерения углового ускорения в кольцевом интерферометре Сань-
яка аналогичен: линейная скорость движения точки приема по кольцу отно-
относительно точки излучения, отсчитываемая в системе без углового ускорения (в
ускоренной системе отсчета эти точки взаимно неподвижны), вызывает допле-
доплеровский сдвиг частоты между двумя встречными волнами, пропорциональный
угловому ускорению объекта в плоскости кольца. Знак частотного сдвига про-
противоположен знаку ускорения.
Отметим, что в заданной системе координат угловая скорость7 и ускорение
-имеют три составляющих (вектор), поэтому для их измерения нужно иметь
- три измерителя, размещаемые в трех взаимно перпендикулярных плоскостях.
Несколько подробнее остановимся на принципе измерения гравитации. В
-.наземных условиях все тела имеют вес, который ощущается как реакция
.опоры на данный объект. Опорой является земля, наземные объекты, кораб-
корабли, самолеты в горизонтальном полете и т. д. Реакцию опоры можно рассма-
рассматривать как силу, вызывающую ускорение, равное ускорению земного притя-
_-жения g, но противоположное по знаку. Таким образом, для измерения гра-
гравитации в этом случае можно использовать рассмотренный выше принцип из-
жерения линейных ускорений а=—g.
Согласно закону Всемирного тяготения Ньютона ускорение земного притя-
гжения связано с геоцентрическим расстоянием р соотношением g—yM/p2, где
-у — гравитационная постоянная; М — масса Земли. Следовательно, по измерен-
измеренному ускорению g можно определить расстояние р от объекта до центра
Земли.
Сложнее измерить g или р, когда опора и, следовательно, ее реакция (вес
тела) отсутствуют, например у искусственных спутников Земли (ИСЗ). Здесь
шринцип акселерометра непригоден: результирующие силы и ускорения равны
1:24
нулю. Однако можно воспользоваться особенностью центрального поля тяго-
тяготения Земли — неоднородностью по величине (зависит от р) и направлению.
Эту особенность и можно в принципе использовать для измерений гравита-
гравитации, разместив излучатель и приемник на ИСЗ на расстоянии R друг от друга
в направлении на центр Земли С (рис. 1.8,в).
Для определенности положим, что излучатель совмещен с центром тяже-
тяжести ИСЗ и отстоит от центра Земли на расстоянии р>^. В центре тяжести
ИСЗ центростремительное ускорение земного тяготения ^изл=7^/р2 уравнове-
уравновешено центробежным ускорением движения по орбите аИзл = ^2р, откуда нахо-
находим, что Q2=yM/p3. В точке приема gnvM=yM/(p—RJ уже не равно аПрм=~
*=?22(р—R). Найдем разности:
&g=yM/(p—RJ—yM/p2~2yMRIp3;
Aa=Q2p—Q2(p—R)=Q2R=yMR/p3.
Общее ускорение в точке приема wnvM=Ag+Aa=3yMRIp3. Это ускорение, при-
приобретаемое каждым излучаемым фотоном массы т при движении от точки
излучения (х=0) к точке приема (x=R), линейно нарастает от 0 до доПрмг~
т. е. w (х) = 3yMxfp3. Двигаясь к Земле, падая, излучаемый фотон приобретает
дополнительную энергию
Энергия фотона может возрастать только путем изменения частоты колебаний;.
Если /о — частота излучаемых колебаний, а / — принимаемых, то энергия фо-
фотона в соответствии с формулами Планка и Эйнштейна в точках излучения е.
приема
где h — постоянная Планка. Отсюда находим f=fo(l+AE/mc2) и доплеровский'
сдвиг частоты
Таким образом, принцип измерения гравитации с помощью электромагнит-
электромагнитных волн состоит в том, что доплеровский сдвиг частоты F в разнесенных по
высоте точках приема и излучения является функцией геоцентрического расстоя-
расстояния объекта р или местного значения ускорения земного притяжения g=yM[p2.
Сдвиг частоты положителен, если точка излучения находится выше точка <
приема.
Из всех устройств внутренних измерений в настоящее время нашли при-
применение только гирометры (гироскопы). Акселерометры и особенно гравимет-
гравиметры трудно реализовать, потому что сдвиг частоты в устройствах приемлемых
размеров чрезвычайно мал. Согласно формулам A.21) и A.22) он обратно-
пропоционален квадрату скорости света, а в гравиметрах, кроме того, кубу
геоцентрического расстояния, а это, как известно, очень большие величины.
Однако околоземное и космическое пространство не является строго инер-
циальной системой, поэтому описанные здесь явления проявляются и в обычных
25,
"оеззапросных радиосистемах — в виде дополнительных ошибок (в запросных
системах ошг отсутствуют). При большом различии высот передатчика и прием-
приемника Я=риз л—рпрм частотный сдвиг A.22) может оказаться определяющим,
-особенно в космических беззапросных радиосистемах высокой точности. Анало-
Аналогичные ошибки возникают в беззапросных радиосистемах, движущихся" с боль-
лним ускорением вдоль линии распространения радиоволн. Поэтому в результаты
измерений необходимо вносить поправки.
Принцип- измерения угловой скорости A.20) реализуется двумя методами:
частотным и фазовым. „
Частотный метод используется в лазере с кольцевым резонатором, обра-
гзованным в виде правильного многоугольника с помощью зеркал (лазерный
гироскоп). Такой резонатор эквивалентен кольцевому с радиусом вписанной
окружности гэк = 25к/?к, гДе SK — площадь, a LK — периметр многоугольника.
При вращении гирометра в плоскости резонатора его длина для встречного и
попутного колебаний в инерциальной системе отсчета оказывается различной,
.-в результате и частоты генерируемых колебаний отличаются на разностную
частоту
F=—2f0(r8K/c)Q=DSK/A,oLK)Q, A.23)
"-где fo и Ко — частота и длина волны колебаний в* неподвижном гирометре. Та-
*ким образом, измеряемая частота биений двух колебаний пропорциональна уг-
угловой скорости.
Фазовый метод основан на измерений разности фаз
Аф=2я/0яАт= (8nnSKf0[c2)Q A.24)
.двух встречных колебаний, вводимых от внешнего лазера во вращающийся
л-витковой светодоводный интерферометр, где время прохождения колебаний
,по одному витку Ат определяется соотношением A.20).
Измеряемые разности частот A.23) и фаз A.24) приобретают заметную
величину только на достаточно высоких световых частотах, поэтому рассматри-
рассматриваемые гирометры были созданы только после появления лазеров и свето-
кВОДОВ.
Таким образом, измерение как относительных, так и абсолют-
абсолютных навигационных параметров в радиосистемах сводится к сравне-
сравнению излучаемого и принимаемого сигналов по одному из парамет-
параметров. Измерение параметров сигнала и обнаружение его производит-
производиться в присутствии неизбежных помех (шумов), имеющих случайный
характер. Поэтому при описании процессов в радиосистемах ис-
: пользуется статистическая теория, ориентирующаяся на некоторый
средний результат/Эта теория относится в осношом к обычным
радиосистемам, так как системы внутренних измерений использу-
лот достаточно сильные сигналы, когда влияние шумов пренебре-
пренебрежимо мало и определяющими являются аппаратурные погрешно-
погрешности, полностью зависящие от конкретной технической реализации
измерителя, что выходит за рамки рассматриваемой задачи.
Глава 2. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ СИГНАЛОК
ИЗВЕСТНОЙ ФОРМЫ
2.1. ОЦЕНКА КАЧЕСТВА ПРИЕМА
СИГНАЛОВ
В обзорно-измерительных радиосистемах используют сигналы за-
заранее известной формы, являющиеся переносчиками информа™
ции, содержащейся в параметрах этих сигналов. Исключение со-
составляют сигналы систем пассивной радиолокации, включая уст-
устройства инфракрасного диапазона, которые обычно рассматрива-
рассматривают отдельно.
Прием сигналов происходит в присутствии неизбежных помех„
Помехи, накладываясь на сигнал, искажают его, в том числе и па»
раметры сигнала, несущие информацию о координатах объекта и.
их производных. Поэтому безошибочно определить эти парамет-
параметры невозможно. По входному воздействию x(t, r)=s(ty т) +
+ n(t, r), представляющему собой смесь сигнала с помехой в функ-
функции от времени / и координат точек приема г, можно получить лишь
более или менее достоверное представление об измеряемом пара-
параметре— его статистическую оценку. Статистическая оценка фор-
формируется в результате определенных операций над входной смесью-
сигнала и помехи с учетом их статистических характеристик. По-
Получение статистических оценок — измерение — является основной:
задачей приема сигналов в радиосистемах.
Однако принимаемый сигнал s(t, r) может быть до такой сте-
степени искажен помехами, что не всегда удается правильно устано-
установить сам факт его наличия. Поэтому измерению предшествует или
сопровождает его обнаружение сигнала на фоне помех—дополни-
помех—дополнительная задача приема.
Таким образом, прием сигналов — обнаружение и измерение—-
неизбежно сопровождается ошибками (промахами). Для опти-
оптимального приема, обеспечивающего минимум промахов, необхо-
необходимо ввести критерии качества.
При обнаружении сигналов известной формы возможны два ис-
исходных условия: либо сигнал есть A), т. е. x{t, r) =s(t, r) +n{ti r)r
либо его нет @), т. е. x(t, r) =ti(t, r), и два решения: «сигнал есть»
A*) или «сигнала нет» @*). Оптимальным решением является та-
такое, при котором обеспечивается одновременно максимум вероят-
вероятности правильного обнаружения Рг> = РA*|1) и минимум вероятно-
вероятности ложной тревоги PF = P(l*\0), т. е. ложного обнаружения. Оба.
эти требования можно объединить в единый весовой критерий оп-
оптимального обнаружения, при котором максимизируется взвешен-
взвешенная разность
Pd-AoPf, B.1 >
так как она растет с увеличением PD и с уменьшением PF. Здесь
весовой коэффициент Ло^>1 учитывает относительную цену прира-
дцения PF по сравнению с приращением PD. В реальных системах,
например радиолокационных, допустимая вероятность ложной тре-
тревоги PF очень мала A0~6... 10~8), иначе пропадет доверие к ре-
результатам обнаружения, а требуемая вероятность правильного об-
обнаружения Рв обычно близка к единице. Изменение вероятности
PD на Г% A0~2) практически не играет никакой роли, в то время
как увеличение PF на 1 % недопустимо ^велико. Более того, часто
PF ограничивают строго определенным значением; тогда критери-
критерием оптимального обнаружения вместо B.1) становится требовани-
требованием максимума Рв — широко распространенный критерий Нейма-
Неймана — Пирсона.
Сигнал известной формы (обычно в виде пакета импульсов, чис-
,ло которых постоянно) принимается при равномерном обзоре ра-
рабочей зоны. Существуют также более гибкие системы с неравно-
неравномерной скоростью обзора, зависящей от случайно складывающей-
складывающейся ситуации. Эти системы здесь не рассматриваются, так как сово-
, купный сигнал уже нельзя считать известным (число импульсов в
пакете случаййо).
Критерием эффективности измерения произвольного неэнерге-
-тического параметра сигнала является минимум дисперсии (сред-
(среднего квадрата) погрешности измерений s=v—v этого параметра
—v)*Wi(v, v)dvdv, B.2)
V
-где v и v — истинное и измеренное (оценка) значения параметра;
Wi (v, v) —плотность вероятностей их совместного распределения
^погрешности измерений) при наличии сигнала. Погрешности изме-
измерений обычно подчиняются гауссовскому закону с нулевым сред-
средним (несмещенная оценка); точные измерения производятся при
большом выходном отношении сигнал-шум, когда наложение га-
уссовских шумов на сигнал вызывает гауссовский разброс (по-
(погрешность) измеряемого параметра. Поэтому критерием эффектив-
эффективности измерений и является минимум дисперсии погрешности —
единственного параметра гауссовского закона.
2.2. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМНИК
Установим вид операций" над входной смесью сигнала и шума
jc(t, г) в оптимальном приемнике обнаружения и измерения.
Заменим (по теореме Котельникова) входную реализацию
jc(t, г) отсчетами хи х2,..., хп, которые можно считать проекциями
^вектора х на оси многомерной ортогональной системы координат.
Иными словами, сложный образ x(t, r) заменяем простым много-
многомерным — точкой, соответствующей концу вектора х. 'Совокуп-
'Совокупность всех возможных входных реализаций занимает в многомер-
J28
яом пространстве некоторую область А. Задача приемника обна-
обнаружения состоит в том, чтобы одни реализации х отнести к группе
-«сигнал есть», другие — к группе «сигнала нет», т. е. разбить об-
область А на две: «сигнальную» А\ и «шумовую» Aq.
Введем многомерные плотности вероятностей W\(x) для отсче-
отсчетов функции x(t, r)=s(t, r)+n(t9 r), когда сигнал действительно
есть, и Wo(x) для отсчетов функции x(t, r)=n(t, г), когда сигнала
нет. Тогда по определению
x)dx, . B.3)
где интегрирование ведется по области Аи при попадании в кото-
которую реализации х принимается решение «сигнал есть». Для обос-
обоснованного решения о том, какие же реализации следует отнести к
«сигнальным», т. е. как выбрать 'область Ah воспользуемся опти-
оптимальным весовым критерием B.1)
PD—A0PF= $[W1(x)—AoWo(x)]dx-+max. B.4)
At
Максимум интеграла обеспечивается, если в область А\ включить
такие х, для которых подынтегральная функция неотрицательна,
т.-е. Wi(x)—AqWo(x)~^O. Отсюда, если ввести в рассмотрение от-
отношение правдоподобия A(x) = Wi(x)/Wo(x), условие оптимально-
то обнаружения сигнала примет вид
Л(х) = Wx (x)/W0 (х) ^Ло. B.5)
Таким образом, операция обнаружения сигнала в оптималь-
оптимальном приемнике при поступлении на его вход реализации х сводит-
сводится к формированию отношения правдоподобия и испытанию его на
порог, выбранный по одному из оптимальных критериев. В случае
превышения порога принимается решение «сигнал есть» при непре-
непревышении — «сигнала нет».
Для нахождения структуры оптимального приемника измере-
измерения примем во внимание, что оценка параметра v вырабатывается в
результате определенных операций над принятой реализацией х,
представляющей собой смесь сигнала и помехи, т. е. существует од-
однозначная функциональная зависимость v=v(x). От замены пере-
переменных вероятность не изменится:
Wi (v, v) dvdv = Wi (v, x) dvdx = Wx (x) Wi (v \ x) dvdx,
где Wi (x) — плотность распределения вероятностей входных воз-
воздействий, не зависящая от измеряемого параметра; Wi(v|x) —
апостериорная плотность распределения вероятностей измеряемого
параметра.
Полученная после замены переменных дисперсия погрешности
измерений B.2)
о\ = J W1(x)dx J(v—vJW1{v\x)dv . B.6)
X V
29
минимальна, если минимален зависящий от оценки v внутренний
интеграл-/=J (v—vJWi(v|x)dv, т. е.
dv
Разбив интеграл на два, в первом из которых выносим за знак ин-
интеграла у и полагаем j Wi(v\x)dv=l, получим оптимальную оцен-
v
ку
v= j vWr1(v'|x)dv. B.7)
v
Таким образом, оптимальная оценка параметра находится как
центр тяжести (первый момент) его апостериорного распределения
Wx(v\x).
Согласно известной формуле Байеса
W1 (v, х) = Щу) W, (х | v) = W, (x) Wi (v | х),
откуда находим
где W(v) —априорная плотность распределения вероятностей из-
измеряемого параметра; U7i(x|v) —условная плотность распределе-
распределения вероятностей входных воздействий х при заданном v, которую
как функцию v называют функцией правдоподобия; A(x|v) =
= W}(x\v)/Wo(x) — отношение правдоподобия. Тогда оптималь-
оптимальная оценка B.7) примет вид
y = k Jv\F(v)A(x|v)dv, B.8)
V
где k=Wo (x)/W\ (x) — коэффициент, не зависящий от у и определя-
определяемый из условия нормировки Wi(v|x).
Функция W(v) считается известной до приема сигнала. В про-
процессе приема сигнала оптимальным приемником (измерения) фор-
формируется лишь отношение правдоподобия A(x|v), как и-при обна-
обнаружении сигнала.
Представляет интерес частный случай, когда W(v) =cons{, а от-
отношение правдоподобия унимодально (имеет только один макси-
максимум) и симметрично относительно vM. Тогда оценкой B.8) стано-
становится абсцисса максимума отношения правдоподобия v=vM. Фор-
Формирование оценки таким способом получило название метода мак-
максимума правдоподобия. При указанных выше допущениях оценка
по методу максимума правдоподобия совпадает с оптимальной
байесовской. Эти допущения на практике обычно выполняются при
точных измерениях, когда пик отношения правдоподобия достаточ-
достаточно
но узкий и симметричный (опи-
(описывается нормальным распреде-
распределением), а априорное распреде-
распределение достаточно широкое, чтобы
в пределах узкого пика его мож-
можно было считать равномерным
(рис. 2.1).
Из op о)в еде иного анализа сле-
следует, что оптимальные лриемни-
ки обнаружения и измерения 'вы-
Рис. 2.1. Формирование
оценки по методу мак-
максимума правдоподобия
по'лняют одну и ту же операцию над входной смесью — форми-
формирование отношения правдоподобия, т. е. ib радиосистемах сущест-
существует лишь один оптимальный приемник. Различие заключается
только в использовании выходного (результата приемника: при
обнаружении отношения 'Правдоподобия допытывается на порог, а
при измерении находитсяи то значение параметра, при котором
отношение правдоподобия максимально.
2.3. ЛОГАРИФМ ОТНОШЕНИЯ
ПРАВДОПОДОБИЯ И КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ
ИНТЕГРАЛ ВРЕМЕННБ1Х СИГНАЛОВ
Формирование отношения правдоподобия является единствен-
единственной операцией, производимой оптимальным приемником над вход-
входной смесью сигнала и шума. Испытание полученного отношения на
порог при обнаружении или нахождения абсциссы его максимума
при измерении параметров сигнала по методу максимума правдо-
правдоподобия выполняются выходными устройствами приемника.
Вычислим отношение правдоподобия B|>) сначала для случая
чисто временных процессов x(t), когда помехой является аддитив-
аддитивный белый гауссовский шум n(t), а сигнал s(t; v, ф) кроме интере-
интересующего нас измеряемого параметра v содержит случайный неиз-
меряемый параметр фс заданной плотностью распределения W((p).
Для этого определим сначала многомерную плотность распределе-
ления вероятностей W (п) независимых отсчетов шума n={/Zi,n2,...
,..,/%} на интервале 7, число которых N = 2Fm8iXT. По определению
распределение i-то отсчета шума щ нормальное с нулевым .матема-
.математическим ожиданием и дисперсией а2п:
exp —
а многомерная плотность распределения вероятностей согласно
теореме умножения вероятностей независимых событий
N / | N
Учитывая, что G2n=N0FmdiX, где Л^о — спектральная плотность шу%
ма; Fm&x — максимальная частота в его спектре, для_ перехода от
31
отсчетов tii к непрерывной функции n(t) положим Fmax-^oo. Тогда
интервал между отсчетами А^=1/2/гтах->Лисумма обращается в
интеграл:
откуда находим плотность распределения шума Ч7
При наличии сигнала во входной смеси x(t) шум я(^)=#(?)—
—s(t), при отсутствии n(t)=*x(t). Подставив значения n(t) в по-
последнюю формулу, получим плотность распределения входной сме-
смеси при наличии и отсутствии сигнала соответственно
¦ • B.9)
Г, } ¦
I ^0 0 ' I
Отсюда согласно формуле B.5) находим отношение правдоподобия
как функцию входной смеси, зависимую от измеряемого v и неизме-
ряемого ф параметров:
A[x(t); v, ф] = ехр(-^-^ехр|^|- ]x(t)s(t; v, cp)dt\ , B.11)
где
Э= Js2(t)dt B.12)
— 00
— величина, пропорциональная энергии сигнала (на сопротивлении
1 Ом). Пределы в последних выражениях заменены бесконечными,
что допустимо, так как вне интервала О, Т подынтегральная функ-
функция равна нулю. ,
Возьмем развернутую запись высокочастотного сигналу с несу-
несущей f0 и неизвестной начальной фазой ф0 (неизмеряемый пара-
параметр), имеющий равномерное распределение ЩфО) = 1/2я на ин-
интервале —я, +п: |
где A(t) и ф(/) —функции, определяющие соответственно законы
амплитудной и фазовой модуляции сигнала, медленно изменяющи-
изменяющиеся по сравнению с cos2jtfo^. Чтобы представить отношение прав-
правдоподобия явной функцией параметра ф0, подставим развернутое
выражение для. сигнала в корреляционный интеграл p=$x(t)X
32 [
X§(t)dt формулы B.11) и произведем тригонометрические преоб-
преобразования:
z= _ J* (/) А @ cos[2я f01+ Ф (t) + ф0]dt =
— оо
= f ]х (t) А @ cos [2я /01 + ф (>)] ЛJ cos ф0—
— 1 ]х (t) A (t) sin [2я /0 ^ + ф @1 л| sin ф0 =
—— cos ф0 -^- sin ф0) = Z cos F + ф0),
Z Z J
B.13)
где
Z2=] x{t)A{t)sm[2nht+q{t)]dt
—>оо
ортогональные составляющие корреляционного интеграла;
B.14)
— огибающая (модуль) корреляционного интеграла;
Z Z
— фаза (аргумент) корреляционного интеграла. Подставив z=
=ZcosF+^o) в выражение B.11) и усреднив его по всем фо с уче-
учетом распределения ЩфО) = 1/2л;, получим отношение правдоподо-
правдоподобия для сигнала с неизвестной начальной фазой
A[x(t); v] = exp{—|^}-^ f
где I0BZ/Nq) —модифицированная функция Бесселя нулевого по-
порядка.
Следует отметить, что в качестве выходного сигнала удобно
брать не само отношение правдоподобия, а монотонную функцию
от него — логарифм отношения правдоподобия
B.16)
или огибающую корреляционного интеграла Z. При больших отно-
отношениях сигнал-шум, обеспечивающих высокое качество обнаруже-
обнаружения и измерения, огибающая корреляционного интеграла линейно
2—94 33
связана с ^логарифмом отношения правдоподобия l[x(t)] ж—Э/Ыо +
+ 2Z/N0, так как lnlo(y)&y при у^>1. Удобство использования I
или Z в качестве выходного сигнала приемника состоит в том, что
в случае приема составного сигнала (например, пакета импульсов)
суммарный выходной сигнал образуется как сумма частных выход-
выходных сигналов, а не как произведение частных отношений правдо-
правдоподобия.
Замена отношения> правдоподобия его логарифмом или огиба-
огибающей корреляционного интеграла не изменяет результата измере-
измерений, поскольку их максимум наступает при одном и том же зна-
значении измеряемого параметра. Аналогично не изменятся и резуль-
результаты обнаружения, если логарифм отношения правдоподобия ис-
испытывать (на порог /п = 1пЛп. а огибающую корреляционного инте-
интеграла на aioporZo=i (Э + Щ^) /2,
В дальнейшем в качестве выходного сигнала будем в основном
пользоваться огибающей корреляционного интеграла Z, которую
можно получить (исключив неизвестную начальную фазу ф0), про-
детектировав корреляционный интеграл z — сигнал на выходе ли-
линейной части оптимального приемника.
При описании процессов в радиосистемах широко используется
комплексная огибающая узкополосного радиосигнала. Так, радио-
радиосигнал можно представить как действительную часть произведе-
произведения комплексной огибающей
S (t) = А @ eW>=A (t) cos <p (t) +]A (t) sin <p (t)
и осциллирующего высокочастотного множителя exp[j2jtfof], мо-
модуль которого равен, единице:
s{t) =
В комплексной огибающей заложена вся информация о структуре
сигнала и его параметрах. Высокочастотное заполнение, использу-
используемое лишь как переносчик информации по радиоканалу, исключа-
исключается при детектировании сигнала после приема. Описание процес-
процессов в радиосистемах с помощью комплексных огибающих, а не са-
самих радиосигналов удобнее, поскольку оно не связано с тригоно-
тригонометрическими преобразованиями, а сигнал и его спектр при этом
описываются в общем случае одинаково — комплексными функци-
функциями.
Через комплексную огибающую X(t) выражается узкополосное
входное воздействие приемника
х (I) - Re {X @ еJ **м *} = -L [X (t) eJ2л f*' + X* (t) е-J ^ ^ *\ ^
и корреляционный интеграл Z=Zi + ]Z2, где
34
(X*(t)—комплексно-сопряженная функция). При этом комплекс-
комплексная огибающая корреляционного интеграла
= ]x(t)A(()exp{}2nf0
= J * (*) S (/) exp {j 2я/0 *} Л =
к \
= -±- jX(t)S(/)exp{j2n-UfQt}dt + — ]x*(t)S(t)dt«
«— ]x*(t)S(t)dt, 4
CXJ
так как первый интеграл от быстро осциллирующей знакопере-
знакопеременной функции близок к нулю, поскольку модуль ее \X(t)S(t)\
практически не изменяется за период колебаний частоты 2/0. ч
В общем случае огибающую корреляционного интеграла можно
представить двумя равноценными выражениями
]x*(f>Stf)dt
$X(t)S*(f)dt
B.17)
Комплексная огибающая входного воздействия X(t) =S(t; v) +N(t)
представляет собой сумму комплексных огибающих сигнала и шу-
шума, причем сигнал зависит от измеряемого параметра у. Второй
сомножитель в интегралах B.17) является комплексной ^гибаю-
щей опорной функции приемника S(t; v°), rjjej^L—значение изме-
измеряемого параметра, на которое настроен приемник. Следователь-
Следовательно, огибающая корреляционного интеграла зависит от расстрой-
расстройки v—v°:
Z(v—v°) = |Z(v—v°)|= —
; v°)dt
B.18)
Выходной сигнал оптимального приемника, описываемый комп-
комплексной огибающей Z=Zs + Zn, содержит сигнальную и шумовую
составляющие:
B.19)
B.20)
s(v-v°)=-f f S(t; v)S*(f;
n(v-v°)=^ J N(l)S*(t; v°)dt.
При точной настройке (v° = v) сигнальная составляющая выход-
выходного напряжения, пропорциональная полной энергии сигнала
3=Zs@)=^- J \S(t; v°)|2d*, B.21)
—,00
вещественна и максимальна. По максимуму ее можно безоши-
безошибочно определить истинное значение измеряемого параметра. Од-
2* , 35'
нако неизбежное присутствие случайной шумовой составляющей
Zn смещает максимум огибающей B.18) и оценка ^выдается с по-
погрешностью 6 = V—V.
2.4. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМНИК
ВРЕМЕННЫХ СИГНАЛОВ
Существуют два метода формирования корреляционного интег-
интеграла, т. е. два способа реализации оптимального приемника: кор-
корреляционный и фильтрационный.
Структура оптимального корреляционного приемника (рис.
2.2,а) непосредственно вытекает из формул B.13) и B.14). Наря-
Наряду с входной смесью x(t) на два квадратурных канала подается
опорный сигнал (реплика) s(t), причем в каждом канале произво-
производится перемножение входного и опорного напряжений (на смесите-
смесителях) и интегрирование полученных произведений (с помощью уз-
узкополосных фильтров нижних частот — ФНЧ), а затем видеосиг-
видеосигналы обоих каналов объединяются в г&дратуре. В выходном уст-
устройстве выполняются операции обнаружения (испытание выходно-
выходного сигнала на порог) или измерения (испытание на экстремум).
Использование двух квадратурных каналов обусловлено незна-
незнанием начальной (разы принимаемого сигнала. Если неизвестная
разность фаз между входным и опорным сигналами случайно ока-
окажется равной л/2 при перемножении входного и опорного сигналов
частоты fo, видеосигнал на выходе узкополосного ФНЧ одного из
квадратурных каналов может отсутствовать, зато во втором кана-
канале будет принят полный сигнал. В промежуточном случае в одном
канале выдается видеосигнал Zb пропорциональный косинусу раз-
разности фаз, в другом — сигнал Z2, пропорциональный синусу, а на
выходе квадратурного сумматора получаем полный сигнал — оги-
огибающую корреляционного интеграла Z.
Можно отказаться от второго канала, если на смеситель подать
опорный сигнал на частоте гетеродина /г, отличающийся от часто-
частоты принимаемого сигнала^ на промежуточную частоту/Пр=/г—/о,
а сигнал промежуточной частоты z подать на «линейный» ампли-
амплитудный детектор,, выделяющий огибающую Z корреляционного ин-
интеграла (рис. 2.2,6). В этом случае роль интегратора выполняет уз-
узкополосный резонансный фильтр промежуточной частоты (ФПЧ)'.
x(t)
z(t)
Амплитудный,
детектор
\
щ
4 A(t) cos \2tif01 +cp(tj\ a)
Рис. 2.2. Схемы оптимального корреляционного приемника
36 ~
Особенность корреляционного приемника обоих видов — неин-
неинвариантность к времени прихода сигнала — является серьезным не-
недостатком. Для того чтобы получить корреляционный интеграл, и
принимаемый и опорный сигналы должны совпадать по времени.
Так как время прихода принимаемого сигнала обычно неизвестно,
приходится применять набор большого числа корреляторов, опор-
опорные сигналы которых перекрывают все возможные значения време-
времени прихода сигнала. При этом по номеру коррелятора, в котором
получен максимальный отклик, как раз и определяется время при-
прихода сигнала (дальность до объекта). Ввиду чрезвычайной слож-
сложности многоканальные корреляционные приемники почти не при-
применяют. Обычно используют одноканальные корреляцонные при-
приемники там, где отслеживается во времени единственный прини-
принимаемый сигнал.
В основу построения фильтрационного приемника положена из-
известная зависимость между входным x(t) и выходным y(t) сигна-
сигналами фильтра с заданной импульной характеристикой h(t):
y(t)= ]x(t')h(t—r)df, B.22)
где ?>'— время как переменная интегрирования.
Возьмем фильтр с импульсной характеристикой
h\i)=Ks(to—t), B.23)
которая с точностью хдо постоянного коэффициента передачи К и
постоянного временного сдвига to является зеркальным отражени-
отражением во времени опорного сигнала s(t). Такой Фильтр называют сог-
.ття?ованным. а приемник, включающий согласованный полосовой
фильтр и амплитудный детектор, оптимальным фильтрадионным
приемником (дис 2,3). ~~ ~~~ ~
11одставим выражение B.23) для t"=t—F в B.22). Тогда
h(t—F) = h(t") =Ks(t0—if') =Ks(t0—t + f) и на выходе согласован-
согласованного фильтра получаем функцию корреляции
y(t) = K J x(t')s(to-t+t')dt', B.24)
— оо
которая в момент t = t0 становится корреляционным интегралом
г=у{П)=к] x{l')s{t')dt'. B.25)
—.оо
С выхода амплитудного детектора снимается огибающая функции
корреляции Z(t), максимум которой находится в окрестности точ-
точки t=t0 (в отсутствие шумов в« • , . .
этой точке) и является искомой у ~3( f }
z(t)
Амплитудный,
детектор
огибающей корреляционного ин-
интеграла Z.
Все сказанное относится к H(f)=s*(f)ejZui:fiQ
ВХОДНОМУ сигналу, начало ОТСЧе- Рис 23. Схема оптимального фильт-
та которого г=0. Если же вход- рационного приемника
37
ной сигнал поступает с запаздыванием т, то выходной сигнал
имеет максимум вблизи точки to+% и шо-нрежнему является оги-
огибающей корреляционного интеграла Z. Отсюда следует, что филь-
фильтрационный 'приемник в отличие от корреляционного инвариантен
ко времени прихода сигнала, т. е. о(птимален для сигналов мно-
множества объектов, поступивших в любой момент времени, и, сле-
следовательно, ©сего один. Важно лишь, чтобы пики выходных сиг-
сигналов разделялись по времени (разрешались). В этом огромное
достоинство фильтрационного приемника перед корреляционным,
что и (предопределило его (преимущественное шгсоль'зоваиие.
В случае превышения пиком выходного сигнала, когда бы он
ни появился, заданного порога выдается решение о наличии сиг-
сигнала (обнаружение), а по моменту наступления максимума пика
фиксируется время запаздывания (измерение дальности).
Необходимо отметить важное различие корреляционного и
фильтрационного приемников. Свойства корреляционного приемни-
приемника почти целиком определяются видом опорного сигнала, а струк-
структура его сохраняется одинаковой для сигналов любой формы. На-
Наоборот, у оптимального фильтрационного приемника его свойства
I заложены именно в структуре фильтра и описываются импульсной
характеристикой h(t) или функцией передачи фильтра H(f) (ча-
(частотной характеристикой), которые связаны между собой преобра-
преобразованием Фурье:
"« Js(OeJ2*f*'<tt'=K'S*tf)SJ'l/4 B.26)
— оо
где
00
S(f)= J s(t)e~i2jt^dt — спектр сигнала s(t),
ОО
Таким образом, передаточная функция согласованного фильт-
фильтра комплексно-сопряжена со спектром сигнала. Показатель степе-
степени экспоненциального множителя B.26) учитывает фазовый сдвиг,
вызываемый временным сдвигом /о на частоте /. Модуль функции
передачи \H(f)\ — \S(f)\. Это показывает, что в присутствии бело-
белого шума с равномерным спектром наиболее интенсивные спектраль-
спектральные составляющие сигнала, значительно превышающие уровень
шума, передаются с большим весом, чем спектральные составля-
составляющие, слабые по сравнению с шумами.
Спектр выходного сигнала (без шумов)
Zs(f)=S(f)H(f)=Ke^^\S{f) |* B.27)
является [вещественной величиной, т. е. в момент t0 все спектраль-
спектральные составляющие синфазны и дают максимально возможный пик,
а амплитуда выходного сигнала (функция корреляции B.24)) спа-
спадает в^обе стороны от to. Скорость спадания возрастает, а ширина
38
дика выходного сигнала (интервал корреляции) /Si убывает с воз-
возрастанием ширины спектра Л/, т. е. А^= 1/Ajf. Амплитуда выходно-
выходного сигнала в максимуме, как следует из B.2?), пропорциональна
полной энергии сигнала Э, т. е. в момент максимума вся энергия
входного сигнала сосредоточивается в пике выходного сигнала (ин-
(интегрируется). Энергии сигнала Э противостоит шум, мощность ко-
которого пропорциональна а2п, а энергия на интервале корреляции
At=l/Af равна спектральной плотности N0 = o2n/kf=<y2nAt. На вы-
выходе отношение сигнал-шум по напряжению равно энергетическо-
энергетическому отношению сигнал-шум Э/Ыо. Как следует из B.16), при Э/Ыо^>
>> 1 среднее значение логарифма отношения правдоподобия в мак-
максимуме l=ls=9/N0 как раз и отображает эту величину.
Дисперсия шумовой составляющей логарифма отношения прав-
правдоподобия в, максимуме (т. е. в момент обнаружения и измерения)'
= — \\S*(t)S(t')N(i)N*(f)dtdt' =
B.28)
Здесь произведение интегралов заменено двойным интегралом с
разделяющимися переменными интегрирования и учтено фильтру-
фильтрующее свойство дельта-функции $ S(/'N(^—f)dt/ = S(t)i которой
описывается функция корреляции белого шума N(t)N*(t') =
O?N8(tl')
()
Таким обравом, отношение Э/No характеризует и энергети-
энергетическое отношение сигнал-шум, и отношение сигнал-шум в мак-
максимуме выходного сигнала оптимального [приемника, и дисперсию
, его выходного шума.
Характерной особенностью оптимального фильтрационного
приемника является то, что при прохождении через согласован-
согласованный фильтр сигнал в О1бщем случае не сохраняет свою форму: вы-
выходной сигнал B.24) является корреляционной функцией вход-
входного, а спектр выходного сигнала B.27) пропорционален квад-
квадрату амплитудного спектра входного сигнала. Сохраняют свою
форму лишь такие сигналы (cos\?, sin Nx/N sin xy smxjx и др.)»
двусторонний спектр которых (с учетом отрицательных частот)
равномерный и поэтому остается равномерным при возведении в
квадрат.
Искажение формы сигнала при прохождении через оптималь-
оптимальный приемник не влечет за собой никаких нежелательных послед-
последствий, так как форма сигнала заранее известна и сохранять ее
пет никакой надобности. Задачей приемника сигнала известной
формы, как отмечалось, является наивысшее качество обнаруже-
0
S(
Q
0
i)
A-
"
T
\z(t)
t
t
Рис. 2.4. Процессы в согласованном
фильтре
ния сигнала и измерения его па-
параметров, которое он и обеспе-
обеспечивает.
Отметим еще одну важную
особенность, фильтрационного
оптимального приемника — ус-
условие физической реализуемос-
реализуемости фильтра, которое для прос-
простоты проиллюстрируем «а при-
^ мере видеосигнала (рис. 2.4).
Q ta~T -t0 t^+т t Здесь показан входной сигнал
' ) длительностью Т и дельта-
функция 6(t), поступающие в
момент t = 0y а также импульс-
импульсная характеристика согласованного фильтра h(t)=s(tQ—t) в
виде зеркального отражения сигнала относительно t==i0 (как
реакция фильтра <на указанную дельта-функцию) и выходной
сигнал Z(t) с пиком в момент t=i0. Нетрудно видеть,
что условием физической реализуемости согласованного
фильтра является неравенство to^T, т. е. время памяти фильтра
должно быть не меньше длительности сигнала. В противном слу-
чае' реакция фильтра на дедьта-функцию появляется раньше
входного воздействия, что нереально (на рис. 2.4 штриховой ли-
линией показана нереализуемая импульсная характеристика, у ко*
торой to<.T). Действительно, фильтр должен «помнить» все эле-
элементарные составляющие входного сигнала, от первой до послед-
последней, чтобы в момент максимума выходного сигнала образовать
от них суммарный эффект. Условие физической реализуемости
легко выполнить для коротких сигналов (импульсов) и сложно
для сигналов большой длительности [(пакета импульсов, длитель-
длительность которого составляет несколько периодов повторения). По-
Поэтому реализация элементов памяти фильтра для сигналов боль-
большой длительности представляет сложную техническую задачу.
В заключение заметим, что сигнал s(t), имеющий спектр S(f)
и наблюдаемый на фоне небелого шума с известной спектраль-
спектральной плотностью B(f), можно свести к эквивалентному сигналу
s»k(<?) > наблюдаемому на фоне белого шума. Спектр этого сигна-
сигнала можно найти из условия постоянства спектральной плотности
шума во всем интервале частот: S3K(f)=S(f)/B(f).
Функцию передачи согласованного фильтра для такого сигна-
сигнала находим согласно формуле B.26):
= К
B.29)
Это и есть функция передачи оптимального фильтра при нало-
наложении шумов с неравномерной спектральной плотностью. В этом
случае, чтобы найти импульсную характеристику оптимального-
40
фильтра, умножим соотношение B.29) на В (f) и возьмем от про-
произведения обратное преобразование Фурье:
В (/) eJ 2* П df - J/CS* (/) ei2Л f <• Ы2Jt f * rf/.
Правая часть в соответствии с формулой 'B.26) дает исходную
функцию s\to—t). Произведя замену в левой части
получим
— 00 —.00
Внутренний интеграл как обратное преобразование Фурье от
спектральной плотности дает функций корреляции шума B(t—
—tf). Отсюда получаем интегральное /уравнение для импульсной
характеристики (в неявнсщ виде) оптимального фильтра для сме-
смеси сигнала и шума с заданной функцией корреляции
] h{t')B(t—t')dt' = s{U—t). B.30)
К сожалению, это уравнение имеет аналитическое решение
только для белого шума, у которого B(t—t')=O,SNo6(t—V) и,
следовательно, h(t)=Ks(t0—1)9 так как интеграл от произведе-
произведения какой-либо функции на б(^—f) равен значению этой функ-
функции при t'=t Для небелого шума также можно записать h(t) =
= Ks3K{t0—t).
Таким образом, все соотношения, относящиеся к реальному
сигналу в присутствии белого шума, в общем случае справедли-
справедливы для эквивалентного сигнала 5ЭК(О-
2.5. ПРИМЕРЫ СОГЛАСОВАННЫХ ФИЛЬТРОВ
Для иллюстрации процесса оптимальной фильтрации и общих принципов
построения согласованных фильтров рассмотрим несколько характерных при-
примеров. Общий принцип построения согласованного фильтра состоит в том, что
сначала определяется его импульсная характеристика как зеркальное отраже-
отражение входного сигнала без шумов, а затем по ней конструируется сам фильтр,
реакцией которого на единичный импульс (дельта-функцию) является эта ха-
характеристика. На вход подается сам сигнал, с которым согласован фильтр, и
находится выходной сигнал, имеющий вид функции корреляции входного сиг-
сигнала.
Рассмотрим сначала сигнал в виде пакета п коротких видеоимпульсов оди-
одинаковой амплитуды, следующих с периодом повторения Тп (рис. 2.5,а). Время
памяти фильтра U=Ty где Т=(п—1)ГП — общая длительность сигнала.
Реакцию фильтра вида h(t)=s(t0—t), на единичный импульс d(t) можно
получить с помощью секционированной линии задержки, равноотстоящие отводы
41
гггп
о . т
ГТТТ1
г
0
г
f
1
ч
[
т
' К V V 1
Суммирующая ииина
ГТГТ1
2
3
4 J
5
г
(t-
sCt
тт
ГТ
Т1
Т1
п
s(t-Tn)
~\s(t-2Ta
"Tl
ТТЛ
Гл Т Гп Т Тп ГТ Гп
N N N N Kj
W \2 \3 \4 Л5
A
3s(t-2Tn)
Kt)
Рис. 2.5. Схемы согласованных фильтров для пакета коротких видеоимпульсов
одинаковой (а) и неодинаковой (б) амплитуды
которой (по числу импульсов в пакете) подключены к выходной суммирующей
шине. Если пренебречь затуханием в линии задержки или скомпенсировать era
соответствующим усилением в каждом отводе, на выходе такого фильтра
действительно получим импульсный пакет, повторяющий сигнал s(t) в обратной
последовательности (для пакетов с симметричной огибающей прямая и обрат-
обратная последовательности совпадают). При поступлении на вход фильтра самого
сигнала s(t) с каждого отвода линии задержки на суммирующую шину посту-
поступают сигналы, отличающиеся только временем задержки, и на выходе фильтра
образуется функция корреляции входного сигнала Z(t), имеющая треугольную
огибающую. В момент максимума t0 она равна сумме всех входных импуль-
импульсов — корреляционному интегралу Z.
Более общий случай представляет фильтр, согласованный с пакетом им-
импульсов неодинаковой амплитуды, но, как правило, с симметричной огибающей
(рис. 2.5,6). Поэтому в отличие от предыдущего случая суммирование сигна-
сигналов на выходной шине производится с весами Ки пропорциональными ампли-
амплитуде соответствующего импульса Ai (нумерация весовых коэффициентов в со-
соответствии с зеркальным характером импульсной характеристики фильтра ве-
ведется в обратном порядке). Таким образом, в момент максимума t0, когда сиг-
сигнал полностью вошел в фильтр, амплитуда суммируемых импульсов пропорци-
42
ональна мощности (энергии) сигнала в импульсе KiAi=A2i, а выходной сиг-
сигнал (корреляционный интеграл Z) пропорционален общей энергии сигнала.
Поэтому такие фильтры называют сумматорами (или интеграторами) импуль-
импульсов, а также гребенчатыми фильтрами, так как их-функция передачи H(f) име-
имеет вид бесконечной гребенки, «зубья» которой разнесены на Fn=l/Tu, шири-
ширина их Afn = l/7\ обратная общей длительности сигнала Т=(п—1)ГП, а форма
определяется видом огибающей пакета импульсов (является преобразованием
Фурье от огибающей).
Благодаря весовому суммированию при наличии неизбежных шумов им-
импульсы с большим отношением сигнал-шум в момент максимума /о вносят
больший вклад в выходной сигнал. Тем самым согласованный фильтр обеспе-
обеспечивает наивысшее отношение сигнал-шум на выходе. Заметим, что при весовом
суммировании крайние импульсы пакета выходного сигнала имеют более низ-
низкий уровень, а огибающая пакета вблизи максимума изменяется более плавно,
чем при равновесном суммировании.
Согласованный фильтр для пакета коротких радиоимпульсов отличается от
видеофильтра тем, что он должен учитывать (компенсировать) фазовые соот-
соотношения между радиоимпульсами. Для этого закон изменения фазы от импуль-
импульса к импульсу должен быть известен, т. е. гребенчатый фильтр можно постро-
построить лишь для пакета когерентных радиоимпульсов. Некогерентные радиоим-
радиоимпульсы, фазовые соотношения которых неизвестны, можно суммировать только
после детектирования на видеочастоте, так как на радиочастоте вместо ожида-
ожидаемого суммирования может произойти взаимное подавление сигналов из-за рас-
расхождения их по фазе. '
Таким образом, в отводах согласованного радиофильтра кроме весовых
усилителей необходимо ставить компенсирующие фазовращатели. В комплекс-
комплексной записи амплитуды импульсов 5г=Лг- exp(j фг) и весовые коэффициенты
Кг=5*г=А* ехр(—j(Pi), поэтому в момент максимума t0 слагаемые на ..выход-
..выходной шине KiSi = | Si |2 вещественны, т. е. импульсы суммируются 4 синфазно и
дают на выходе максимально возможный результат. Для пакета синфазных ра-
радиоимпульсов фазовращатели не нужны и весовые коэффициенты вещественны.
При определенных фазовых соотношениях между импульсами входного сигнала
амплитуды радиоимпульсов по обе стороны от максимума огибающей выход-
выходного пакета могут очень быстро спадать, так как компенсации фазовых сдвигов
не происходит. Благодаря этому в согласованном фильтре достигается сжатие
пакета импульсов.
Основной и наиболее технически сложной частью гребенчатого фильтра-
интегратора является элемент памяти, который выше был представлен в виде
секционированной линии задержки. Однако практически линии задержки ис-
используются крайне редко. Дело в том, что период повторения импульсов из-
измеряется миллисекундами и столь большую задержку могут обеспечить только
ультразвуковые линии задержки, которые представляют собой довольно слож-
сложное устройство, включающее кроме самой линии возбудители, модуляторы, уси-
усилители и т. п. При этом таких линий в фильтре может быть несколько десят-
десятков и даже сотен. Поэтому в качестве элементов памяти гребенчатых фильтров
чаще используют магнитные барабаны или ленты, иногда фотопленку, а также
потенциалоскопы, экраны индикаторов и цифровую память ЭВМ.
Гребенчатый фильтр-интегратор на магнитном барабане или ленте подобен
рассмотренным выше интеграторам на линиях задержки, только перемещение
43
Считывание
<
и
<
м
м
Рис. 2.6. Схема интеграторов импульсов
сигнала в фильтре обеспечивается движением дорожки относительно неподвиж-
неподвижных головок, а "не задержкой сигнала в линии (рис. 2.6,а). Благодаря тому,,
что записывающая и считывающие головки размещены на одинаковых расстоя-
расстояниях друг от друга, каждому моменту времени в очередном периоде посылок
(углу поворота барабана между головками) соответствует запись сигнала с
определенной дальности. В каждом периоде посылок производится запись вновь
поступившего импульса и стирание последнего из п импульсов пакета. Так
происходит плавное перемещение входного сигнала относительно весового ок-
окна, образуемого усилителями на входе суммирующей шины. В момент /о> ког-
когда пакет и весовое окно совмещаются, выходной сигнал максимален.
Несколько иначе суммируются сигналы на мишени потенциалоскопа или
экране индикатора радиолокационной станции (рис. 2.6,6). Запись сигналов в
каждом периоде посылок производится построчно, причем удаление от начала
строки пропорционально текущей дальности R, а смещение строк — углу пово-
поворота антенны а. Импульсы от объекта создают заряды на мишени потенциа-
потенциалоскопа или засветы на экране индикатора. При плотной записи благодаря на-
накоплению заряда мишени или энергии возбуждения люминофора экрана заря-
заряды или засветы перекрываются — импульсы суммируются. Однако суммирова-
суммирование импульсов происходит равновесно (т. е. неоптимально), притом интеграто»
рам такого типа свойственно насыщение —¦ эффективно интегрируется лишь ог-
ограниченное число импульсов.
Цифровые гребенчатые фильтры в общем случае выполняют над сигналом
те же операции, что и аналоговые. В каждом периоде посылок входной сиг-
сигнал путем квантования по времени и уровню преобразуется в цифры, которые
заносятся в ячейку памяти, соответствующие одному и тому же времени
(позиция дальности) в п смежных периодах посылок. Эти значения в арифме-
арифметическом устройстве умножаются на * весовые коэффициенты, хранящиеся в
других ячейках памяти, и суммируются. В каждом периоде добавляются новый
отсчет сигнала на данной позиции и отбрасывается последний из п предыду-
предыдущих отсчетов, чем достигается продвижение цифровой записи относительно ве-
весового окна.
Однако часто в цифровых фильтрах эти операции заменяют простейшими*
Например, сигнал квантуют лишь на два уровня 0 и 1, а весовое суммирова-
суммирование заменяют подсчетом числа единиц в п смежных периодах посылок (дво-
(двоичное интегрирование) или фиксируют наличие единиц в к периодах подряд
(метод совпадения). Благодаря этому упрощается устройство цифровой обра*
44
ботки при сравнительно небольших энергетических потерях. Хотя из-за потерь
при квантовании и упрощении процедуры обработки эффективность цифровых
фильтров всегда ниже потенциальных возможностей аналоговых устройств, ре-
реальный прогрыш обычно мал или отсутствует вообще, поскольку действи-
действительные характеристики аналоговых фильтров часто далеко не совершены.
Индикаторы на электронно-лучевых трубках являются наиболее простыми
гребенчатыми фильтрами-интеграторами, у которых съем данных (обнаруже-
(обнаружение цели, отсчет ее координат) производится человеком-оператором. Все осталь-
остальные интеграторы используются в автоматизированных системах.
Значительно проще строятся согласованные фильтры для одиночных
импульсов ввиду малой длительности сигнала и, следовательно, малой емкости
памяти фильтра. Наименее сложны согласованные фильтры для простых им-
импульсов, без внутриимпульспой модуляции, база которых (произведение ширины
спектра на длительность) А/ти=1. Так, для гауссовского радиоимпульса тре-
требуется фильтр, функция передачи (частотная характеристика) которого близка
к гауссовской. Именно такую характеристику имеет многокаскадный усилитель
промежуточной частоты (УПЧ) на обычных резонансных контурах. Время па-
памяти этого фильтра to определяется крутизной его фазочастотной характерис-
характеристики ф(о))=/о(со—(Do) вблизи резонансной частоты со0.
Согласованные фильтры для импульсов сложной формы, модулированных
по частоте или фазе, тем сложнее, чем больше их база N=AfT. При очень
большой базе эти фильтры по сложности и объему приближаются к гребенча-
гребенчатым. В согласованном фильтре импульсы сложной формы сжимаются до дли-
длительности Tc = l/Af, т. е. в N=T/xc раз. Максимальный коэффициент сжатия
N«103... 104, максимальная память W^T, достигаемая в искусственных длин-
длинных линиях задержки, порядка десятка микросекунд, а в линиях задержки на
поверхностных акустических волнах — сотен микросекунд.
Согласованный фильтр для пакета импульсов конечной длительности пред-
представляется в виде последовательно соединенных фильтра для одиночного им-
импульса (обычно — канал УПЧ) и гребенчатого фильтра (выходной интегра-
интегратор). Часто сигналы -(импульсы сложной формы) можно представить в виде
простых, более коротких импульсов, вплотную примыкающих друг к другу и
отличающихся по фазе или частоте. Ввиду этого структура согласованных филь-
фильтров для импульсов сложной формы примерно такая же, что и фильтров для
пакета импульсов конечной длительности.
Рассмотрим два примера импульсов сложной формы. Амплитуда сигнала
в пределах длительности импульса полагается постоянной, что исключает весо-
весовые множители в отводах фильтра. Фильтры имеют вид линии задержки с
отводами, подключенными к суммирующей шине.
Пример 1. Импульс с линейной частотной модуляцией (рис. 2.7,а). Вви-
Ввиду того, что периоды высокочастотного заполнения импульса при частотной мо-
модуляции неодинаковы, синфазное суммирование снимаемых с отводов линии
задержки сигналов в момент t0 обеспечивается, только если отводы располо-
расположены неравномерно. При этом наступает максимум выходного сигнала. Вправо
и влево от точки to фазы суммируемых сигналов расходятся, ввиду чего ам*
плитуда суммарного (выходного) сигнала быстро спадает. Образуются корот-
короткий пик сжатого выходного сигнала и боковые интерференционные лепестки
по обе стороны от него (на рисунке для наглядности число периодов взято
4 45
?ход
Ч+1+Н-1-ЫЯ- Ч-И-Н-Н+Т+Ь
Рис. 2.7. Схемы согласованного фильтра для импульсов сложной формы и
процессы в нем
очень малым; на самом деле в пределах узкого пика выходного сигнала ук-
укладывается несколько периодов высокочастотного заполнения).
Пример 2. Импульс с псевдошумовой фазовой манипуляцией (рис.
2.7,6). Сигнал такого типа представляется в виде набора высокочастотных так-
тактовых импульсов длительностью тс, примыкающих один к другому, фаза кото-
которых скачком изменяется на 180° или не изменяется. Комплексную огибающую
/-го тактового импульса единичной амплитуды можно представить как Si =
= exp(]nli), где g* принимает значения 0 или 1 в псевдослучайной последова-
последовательности: 0 соответствует нуль фазы тактового импульса или-значение +1
комплексной огибающей, а 1 — фаза л или —1 комплексной огибающей. На-
Набор всех нулей и единиц в пределах импульса образует код. На рис. 2.7,6
показано только чередование знака комплексной огибающей, что соответствует
перевороту фазы сигнала на я в тактах 4, 5 и 7 или коду 000110,1 (код
Баркера, N=7).
На примере фазоманипулированного импульса особенно отчетливо просле-
прослеживается принцип определения структуры согласованного фильтра. Поскольку
фазоманипулированный импульс можно рассматривать как пакет прямоугольных
импульсов одинаковой длительности и периода тс, его можно построить в виде
гребенчатого фильтра с эквидистантными отводами через интервал тс, на выхо-
выходе (или входе) которого ставится согласованный фильтр (СФ) для одиночного
тактового импульса длительностью тс. Учитывая, что импульсная характерис-
характеристика фильтра h(t) является зеркальным отражением самого сигнала, перево-
переворот фазы следует произвести в отводах 1, 3 и 4 линии задержки. В результате
46
на выходе гребенчатого фильтра выдается короткий импульс длительностью
tc=T/N с боковыми лепестками минимально возможного уровня (что харак-
характерно для кода Баркера). На выходе второго фильтра прямоугольные импульсы
превращаются в треугольные (на рисунке показана их комплексная огибаю-
огибающая).
2.6. КОГЕРЕНТНЫЙ И НЕКОГЕРЕНТНЫЙ
ОБНАРУЖИТЕЛИ СИГНАЛОВ
ИЗВЕСТНОЙ ФОРМЫ
При непрерывном обзоре, пространства зондирующее колеба-
колебание представляет собой, как правило, последовательность повто-
повторяющихся сигналов известной формы (обычно импульсов). За
время облучения объекта, находящегося на данном направлении,
от него принимается отраженный или переизлученный сигнал в
виде пакета таких импульсов. Огибающая амплитуд импульсов в
пакете определяется диаграммой направленности антенны в пло-
плоскости сканирования. Для расчетов его (можно заменить эквива-
эквивалентным по энергии пакетом с П-образной огибающей, состоящим
из п=Fп^;oбл импульсов одинаковой амплитуды, равной макси-
максимальной амплитуде имшульса реального пжета. Частота повто-
повторения импульсов Fn обычно выбирается из условия однозначного
измерения дальности, а время облучения т06Л=6эк/соа определя-
определяется угловой скоростью сканирования антенного луча фа при за-
заданной ширине бэк эквивалентной П-образной диаграммы на-
направленности
Форма повторяющихся импульсов пакета считается заданной-
с точностью до неизвестного времени запаздывания и неизвестно-
неизвестного доллеровского сдвига частоты несущей. Начальная фаза сиг-
сигнала неизвестна, что и было учтено при нахождении алгоритма
оптимального обнаружения сигнала. Однако закон изменения фа-
фазы сигнала от импульса к импульсу может быть как известным,
так и неизвестным. В соответствии с этим сигналы подразделя-
подразделяются на когерентные и некогерентные (когерентная и некогерен-
некогерентная последовательности). Соответственно строятся и оптималь-
оптимальные приемники обнаружения — когерентный и некогерентный. В
первом случае учитывается известный закон чередования фаз, во
втором приходится мириться с незнанием этого закона, что не-
непременно ведет к энергетическому проигрышу.
Когерентный приемник. Когерентными сигналами, закон изме-
изменения фазы которых от импульса к импульсу известен, являются
сигналы, принимаемые от неподвижных относительно станции
объектов, сигналы объектов, относительно которых сама станция
перемещается с известной скоростью, а также сигналы любых
объектов, если приемник имеет множество каналов приема, рас-
рассчитанных на все возможные значения донлеровского сдвига ча-
частоты. Необходимо отметить, что понятие «когерентный» отно-
относится к отраженным или ответным сигналам даже в том случае,
47
если сами зондирующие колебания некогерентны, т. е. имеют слу-
случайные фазовые соотношения [Между импульсами. Обычно такие ко-
колебания излучаются магнетронными передатчиками. Если станция
имеет когерентный гетеродин, фазируемый в каждом периоде (по-
(посылок импульсами магнетрона, а колебания этого гетеродина под-
подводятся к смесителю приемника, то сигналы промежуточной ча-
частоты при указанных выше условиях сохраняют когерентность.
Иными словами, закон изменения фазы от импульса к импульсу
на промежуточной частоте сохраняется известным, так как при
гетеродинировании исключается случайная фаза импульсов маг-
магнетрона.
Знание закона чередования фазы в пакете от импульса к им-
импульсу позволяет производить интегрирование импульсов на вы-
высокой (промежуточной) частоте, до детектора. Для этого в от-
отводах гребенчатого фильтра включаются фазовращатели, компен-
компенсирующие различие импульсов по фазе в момент to, когда сиг-
сигнал полностью вошел в фильтр. Таким образом, оптимальный
приемник когерентной последовательности импульсов (когерент-,
ный приемник) состоит из последовательно соединенных согласо-
согласованного фильтра (и усилителя) для одиночного импульса, гре-
гребенчатого фильтра-интегратора и детектора (рис. 2.8,а). Чтобы
обеспечить высокое качество обнаружения (максимальное значе-
значение Pd—AoPf), энергетическое отношение сигнал-шум Э/No на
выходе интегратора должно быть больший, поэтому детектор ве-
ведет себя как линейное устройство и энергетические потери прак-
практически отсутствуют.
Предположим, что пакет состоит из п прямоугольных импуль-
импульсов одинаковой амплитуды А и длительности ти, а дисперсия шу-
шума равна о2п. Тогда на входе интегратора отношение сигнал-шум
по напряжению а=А/ап, а по мощности Л2/2сг2п=а2/2 (мощ-
(мощность сигнала пропорциональна половине квадрата амплитуды).
На выходе интегратора амплитуда максимального импульса рав-
равна пА (сумме средних значений), а дисперсия шума— сумме дис-
дисперсий по2п. Поэтому отношение сигнал-шум на выходе интегра-
интегратора по напряжению пА/У^пап=а У п, а по мощности
па2 __ пА* __ пА* ти __ п I Л2 \ пЭ± _ Э
i
Соглясобан-
, нь/й
фильтр
Гребенчатый
фильтр -
интегратор
Детектор
Рис. 2.8. Когерентный прием сигналов:
а _ структурная схема приемника; б — характеристики обнаружения
48
где учтено, что (Т2П=Л^ОЛ/, произведение полосы пропускания оп-
оптимального 'приемника на длительность импульса Д/ти=1, энер-
энергия импульса 9i=AhJ2, а энергия сигнала 9=n9i (на сопро-
сопротивлении 1 Ом).
Заданные значения качества обнаружения PD и PF обеспечи-
обеспечиваются при некотором пороговом отношении сигнал-шум qo —
={(9/No)min на выходе интегратора. Зависимость между тремя
величинами PD, PF и q0 называют характеристикой обнаружения.
Рассчитаем вероятности обнаружения и ложных тревог. Из-
Известно, (что огибающая шума до детектора v (нормированная \по
оп) распределена <по закону Рэлея, и вероятность превышения
ею порога обнаружения v0
P2/
откуда находим сам порог vo = y 2ln(l/PF). При большом отно-
отношении сигнал-шум (а оно должно быть большим, чтобы обеспе-
обеспечить заданное качество обнаружения!) нормированная огибаю-
огибающая максимального сигнала на входе детектора распределена
нормально относительно среднего аУп, найденного выше. Поэто-
Поэтому вероятность превышения порога vo= У 2\n(\IPF) огибающей
сигнала
= Ф (а Уп — v0) = Ф (а Уп— 1/2 In
1
рде Ф (г) — —=Г- Ге—^а/2^— табличный интеграл вероятностей.
1/2я
1
Обозначим у=ф(г), тогда г=Ф~1(у) —обратная функция интег-
интеграла вероятностей (таблицу этого интеграла нужно читать на-
наоборот—по функции у находить аргумент z). Тогда ф-1(Рв) =
= а Уп—y2\n(l/PF). Согласно показанному ранее аУп=
°=У 2(9/\No)min=y2qo, поэтому из последнего равенства полу-
получаем характеристику обнаружения когерентного сигнала
]*. B.31)
Обычно характеристика обнаружения (т. е. зависимость PD, PF
и q0) дается как функция Po(qo) при различных PF=const
^рис. 2.8,6).
Таким образом, качество оптимального обнаружения когерент-
когерентного сигнала известной формы совершенно не зависит от его фор-
формы и определяется только энергетическим отношением сигнал-
шум qo. С вероятностью не меньше заданной PD при фиксирован-
фиксированной вероятности ложных тревог PF обнаруживаются все сигна-
49
лы, у которых Э/iNo^qo. В интеграторе в момент максимума до-
достигается накопление всей энергии (когерентного сигнала.
Часто при заданном качестве обнаружения оценивают чув-
чувствительность приемника через минимальную мощность сигнала
на входе приемника РПРМт1п=^р^ш, которая должна превышать
в Шр раз среднюю мощность шума Рш=в2п, чтобы обеспечить за-
заданные PD и Pf. Величину тр называют коэффициентом различи-
различимости. Согласно введенным выше обозначениям a2/2=q0/n, a
Щ = Рпрмт1п/Рш=п2/2, поэтому из формулы B.31) находим
mp=i(l/2/i) [O-1(PD) + V2\n(l/PF)]2. B.32);
Таким образом, чувствительность когерентного приемника обна-
обнаружения повышается пропорционально числу импульсов в па-
пакете.
Некогерентный приемник. В большинстве случаев радиальная
скорость наблюдаемых объектов и, следовательно, несущая часто-
частота принимаемого сигнала неизвестна, а сам приемник имеет все-
всего один частотный канал настройки. В этих условиях закон изме-
изменения фазы сигнала от импульса к импульсу оказывается неиз-
неизвестным для наблюдателя, т. е. последний имеет дело с некоге-
некогерентным сигналом (последовательностью импульсов). Так как
неизвестные фазовые сдвиги между импульсами невозможно ском-
скомпенсировать, интегрирование на высокой или промежуточной ча-
частоте производить нельзя: вместо суммирования может произой-
произойди взаимное подавление сигналов. Поэтому в оптимальном неко-
некогерентном приемнике детектор включается перед гребенчатым
фильтром-интегратором (рис. 2.9,а).
Включение детектора перед интегратором существенно изме-
изменяет эффективность приема сигнала. Если число интегрируемых
импульсов п достаточно велико, то даже при большом отноше-
отношении сигнал-шум на выходе интегратора, обеспечивающем высо-
высокое качество обнаружения, отношение сигнал-шум в каждом им-
импульсе, т. е. на входе детектора, мало. В этих условиях детектор
ведет себя как квадратичный: отношение сигнал-шум по напря-
напряжению на его выходе равно отношению сигнал-шум по мощности
на входе приемника а2/2. После интегратора (как было ранее по-
показано) это отношение возрастает в У п раз:
а2 у- А*~\/п __ 1 A2 ft _ Э __ д0
2 П~ 2о2п у„ 2о2п No]/n Уп '
Таким образом, энергетическое отношение сигнал-шум на вы-
выходе некогеретного приемника, пересчитанное на его вход, в Уп
раз меньше, чем при когерентном приеме, что эквивалентно умень-
уменьшению энергии сигнала в У п раз. Это уменьшение является
платой за незнание закона чередования фазы импульсов в паке-
пакете (или отказ от многоканального приема по частоте).
Рассчитаем вероятности обнаружения и ложных тревог, по-
полагая число импульсов в пакете большим. Шум на выходе детек-
50
Согласован-
Согласованный
(рильтр
—> Детектор
Гребенчатый}
срильтр -
интегратор
а)
Рис. 2.9. Некогерентный прием сигналов:
а — структурная схема приемника; б — характеристики обнаружения
т©ра, пропорциональный мощности шума на входе, распределен
экспоненциально; среднее значение шума равно его дисперсии или,
в нормированном значении, 1. Шумовое напряжение на выходе
интегратора как сумма большого числа п слагаемых распределе-
распределено по нормальному закону. При этом вероятность превышения по-
порога Vq шумом
откуда находим сам порог vo=l—ф-1(Рр). Распределение сиг-
сигнала относительно вычисленного выше среднего значения
a2yrn/2=qo/~)/rn также нормальное, откуда вероятность превы-
превышения им порога v0
1 ? -0,5 (v^0,ba*V7n* ,
Решая эту зависимость относительно аргумента интеграла веро-
вероятностей, находим характеристику обнаружения некогерентного
сигнала при большом п (рис. 2.9,6):
Vrt[l+O-l(PD)—0>-l(PF)].
B.33)
При малых п характеристика обнаружения имеет промежуточ-
промежуточный характер между когерентной и некогерёнтной, а при п=\
различие между когерентным и некогерентным приемом полно-
полностью исчезает. Таким образом, при некогерентном (Приеме отри-
отрицательно сказывается использование сигнала в виде пакета им-
импульсов, а не одиночного имлульса — дробление энергии сигна-
сигнала между несколькими импульсами. Только в этом и проявляется
влияние вида сигнала при некогерентном обнаружении. Однако в
ряде случаев дро'бление сигнала принципиально необходимо (тре-
(требование непрерывности обзора, определение угловой координаты
объекта при обзоре по огибающей импульсного пакета и т. п.).
Из формулы B.33) легко определить коэффициент различи-
различимости и чувствительность некогерентного приемника. В соответст-
51
вии с принятыми обозначениями тр ]/л/г=а2 V^n/2=qof']/rni от-
откуда согласно B.33) находим
тр= [1+Ф-1 (Рв)—ф-ЦРр)у у п. B.34)
В отличие от когерентного чувствительность некогерентного при-
приемника с увеличением числа импульсов растет пропорционально
V~~n, а не я, т. е. значительно медленее.
Необходимо отметить, что полученный результат для некоге-
некогерентного сигнала является наилучшим, а сам приемник оптималь-
оптимальным. В случае же некогерентного приема когерентного сигнала
имеем прямой проигрыш, так как такой приемник уже не явля-
является оптимальным.
Все сказанное выше относится к минимальному обнаружи-
обнаруживаемому 'пороговому сигналу. При приеме сигналов большой ин-
интенсивности детектор ведет себя как линейное устройство, и по-
поэтому эффективность когерентного и некогерентного приемников
становится одинаковой.
2.7. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
И ДАЛЬНОСТЬ ДЕЙСТВИЯ РАДИОСИСТЕМ
Обнаружение сигнала либо предшествует измерению его пара-
параметров, либо производится одновременно с измерением. Поэто-
Поэтому энергетический потенциал радиосистем обычно определяется
из решения задачи обнаружения.
Энергетический потенциал радиосистемы Q = 9VL3JIAIIVIA харак-
характеризуется двумя энергетическими параметрами: временным —
излучаемой за цикл обзора энергией сигнала Эизл и пространст-
пространственным — эффективной площадью приемной антенны АПрм- Мини-
Минимально необходимый энергетический потенциал существенно раз-
различен в системах, работающих по прямому и отраженному сиг-
сигналам.
В радиосистемах, использующих прямой или переизлученный
сигнал, излучаемая за цикл обзора энергия Эизл "(при равномер-
равномерном рассеянии ее в пределах заданного телесного угла рабочей
зоны системы Qo) создает в точке приема, удаленной на расстоя-
расстояние i?M, соответствующее заданной дальности действия, плотность
потока энергии Эизл/ (?V?2m). Тогда энергия сигнала, воспринима-
воспринимаемая приемной- антенной с эффективной площадью ЛПрм в тече-
течение цикла обзора, равна 3ИзлЛпрм/йс^2м, а энергетическое отно-
отношение сигнал-шум в оптимальном приемнике обнаружения долж-
должно удовлетворять условию
где No — спектральная плотность шумов приемника, пересчитан-
пересчитанная на его вход, a qo= (9/N0)mm — минимальное отношение сиг-
сигнал-шум, при котором обеспечивается заданное качество обна-
обнаружения сигнала в соответствии с формулами B.31) и B.33)\
52
Из этого условия находим минимально необходимый энергетиче-
энергетический потенциал радиосистем, работающих по прямому или пере-
переизлученному сигналам,
С = ЭИзлАпрм=ад2мМо<7о. - B.35)
Заметим, что три работе по переизлученному сигналу энергети-
энергетический потенциал каналов запроса и ответа должен быть одина-
одинаков (условие энергетического баланса системы), иначе допуска-
допускаются неоправданные энергетические затраты в том канале, где
of больше.
В радиосистемах, использующих отраженный сигнал, плот-
плотность потока излучаемой за цикл обзора энергии (мощности) в
точке расположения объекта, удаленного на расстояние 7?м, сос-
составляет П1 = 3изл/(?М?2^)> если она равномерно рассеивается в
пределах телесного угла й20 рабочей зоны. Плотность потока от-
отраженной энергии (мощности) П2 в точке приема, совмещенной с
точкой излучения, находится из определения эффективной пло-
площади рассеяния (ЭПР) объекта (цели)
откуда определяем энергию сигнала, перехватываемую приемной
антенной за цикл обзора,
Отношение сигнал-шум в оптимальном приемнике обнаружения
должно удовлетворять условию
где <7о по-прежнему определяется формулами B.31) или B.33)
в зависимости от того, когерентный или некогерентный сигнал
принимается. Из последнего условия находим минимально необ-
необходимый энергетический потенциал радиосистем, работающих по
отраженному сигналу,
>. B.36)
Таким образом, в общем случае минимально необходимый
энергетический потенциал радиосистемы независимо от способа
обзора определяется заданными размерами рабочей зоны (QoR2m),
спектральной плотностью собственных шумов приемника и ми-
минимальным отношением сигнал-шум, обеспечивающим заданное
качество обнаружения. При работе по отраженному сигналу до-
дополнительно учитывается ЭПР объекта и площадь сферы 4пЯ2м,
в пределах которой рассеяние объекта полагается изотропным.
Фактический энергетический потенциал системы должен ком-
компенсировать потери в приемно-передающем тракте, затухание в
атмосфере и другие энергетические потери.
Как следует из формул B.35) и B.36), энергетический потен-
потенциал при работе по прямому сигналу пропорционален квадрату
дальности действия системы, а при работе по отраженному сиг-
53
налу — четвертой степени. В последнем, случае дальность дейст-
действия с увеличением энергетического потенциала растет очень мед-
медленно: для удвоения дальности действия требуется 16-кратное его
увеличение. При работе по отраженному сигналу энергетический
потенциал соответствует заданной вероятности обнаружения не-
флуктуирующего объекта, учитываемой формулой B.31) или
B.33). Вероятность обнаружения флуктуирующего объекта учи-
учитывается более сложными формулами, в которые входят распреде-
распределения вероятностей флуктуирующего сигнала и шума.
В заключение заметим, что при расчете энергетического по-
потенциала B=ЭИЗлАпри только из условия оптимального обнару-
обнаружения' соотношение между составляющими Эизл и Лпрм может
быть любым. Неоднозначность раскрывается (после выбора часто-
частоты несущей и обеспечения требуемой угловой разрешающей спо-
способности (точности), о которой речь пойдет ниже.
Глава 3. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЕ
ОПИСАНИЕ ПРОЦЕССОВ
ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ ПРИЕМЕ
3.1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА
КАК ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ
СИГНАЛ
В обзорно-измерительных радиосистемах сигналом является не
электрическое колебание в цепях приемника, а электромагнитная
волна, перехватываемая антенной. Именно к ней относятся та-
такие важные измеряемые параметры, как направление прихода,
характеризующее угловые координаты наблюдаемого объекта,
или относительная угловая скорость перемещения объекта. При-
Приходящая от объекта электромагнитная волна $(t, г) является в
общем случае функцией не только времени t, но и координат то-
точек приема г, т. е. является пространственно-временным контини-
умом. Это более емкое понятие, чем электрический сигнал. По-
Поэтому и описание процесса приема волны значительно усложня-
усложняется.
Если высокочастотный электрический сигнал имеет четыре ин-
информативных параметра—амплитуду, частоту, фазу и время при-
прихода, то электромагнитная волна — восемь: добавляются два па-
параметра, характеризующие направление прихода волны, и. два па-
параметра, характеризующие ее поляризационную структуру. Эти
параметры являются носителями информации о положении и ско-
скорости объекта, его конфигурации, ориентации и материале, из
которого он состоит.
54
В обзорно-измерительных радиосистемах всех четырех рас-
рассмотренных ранее видов основной интерес представляют коорди-
координаты объекта и их производные. Геометрические и отражающие
свойства объектов выявляются лишь в собственно радиолокаци-
радиолокационных системах, специально (предназначенных для идентифика-
идентификации (распознавания) объектов 'путем анализа тонкой структуры
отраженной волны, включая поляризационную. Однако такие си-
системы применяются пока ограниченно. Поскольку поляризацион-
поляризационная структура волны практически не влияет на процесс измере-
измерения координат и их производных, в обзорно-измерительных радио-
системах оказалось возможным отказаться от ее учета. Отказ от
учета поляризации в собственно радиолокационных системах про-
проявляется в основном в том, что теряется часть энергии, заклю-
заключенная в ортогональной поляризационной составляющей сигнала,
возникающей при отражении от объекта. Обычно этой составляю-,
щей пренебрегают, поскольку она невелика (за редким исключе-
исключением), а для ее приема и использО)вания приходится существенно
усложнять структуру системы, включая антенну.
Отказ от учета поляризационной структуры волны существен-
существенно упрощает описание как входного сигнала, так и процедуры
его оптимального приема. Наиболее важной причиной этого от-
отказа является то, что к поляризованным отраженным сигналам
неприменимо понятие сигнала известной формы, справедливое без
учета поляризации для всех объектов, размеры которых малы по
сравнению с размерами объема пространства, разрешаемого си-
системой. Поляризационная же структура отраженной волны у объ-
объектов различной конфигурации различна, даже если они малы
по сравнению с разрешаемым объемом. Поэтому нельзя гово-
говорить о едином для всех объектов поляризованном отраженном
сигнале точечной цели (сигнале известной формы) и строить еди-
единый для всех объектов оптимальный приемник таких сигналов.
Поэтому воспользуемся в основном скалярным описанием вол-
волны, игнорирующим ее поляризационную структуру, полагая, что
от объекта (Принимается волна той же поляризации, что у излу-
излучаемой. (Краткое описание особенностей поляризованных волн
дается в § 5.6.) В системах, использующих сигнал прямого излу-
излучения или переизлученный, поляризационная структура принима-
принимаемой волны почти всегда известна (если пренебречь ее искаже-
искажением при распространении). В таких системах без потери общ-
общности можно также ограничиться скалярными представлениями.
В звуколокации, где используются объемные акустические вол-
волны, скалярное описание волны вообще является исчерпывающим.
Для скалярного описания волны, воспринимаемой раскрывом
антенны, необходимо знать две скалярные входные характеристи-
характеристики системы: временную — сигнал и пространственную — аперту-
апертуру антенны. Для определения структуры оптимального приемни-
приемника как пространственно-временного фильтра или коррелятора и
описания выходного сигнала этого приемника дополнительно не-
55
обходимо знать также статистические характеристики шума в рам-
рамках корреляционной теории.
Применительно к сигналу как функции только времени струк-
структура оптимального приемника и его выходной сигнал широко из-
известны и кратко описаны в предыдущей главе. Так как приходя-
приходящая волна в каждой точке раскрыва антенны описывается чисто
временной зависимостью, изложенные ранее положения теории
оптимального приема распространяются и на пространственно-
временной входной сигнал как совокупность обычных, временных
сигналов по всем точкам раскрыва антенны. Ниже приводятся
краткие сведения о пространственной и временной входных ха-
характеристиках радиосистем и пространственно-временное описа-
описание входного и выходного сигналов оптимального приемника. На
этой основе в дальнейшем определяется пространственно-времен-
пространственно-временная структура оптимального приемника и основные выходные ха-
характеристики радиосистем по (максимально достижимой точно-
точности и разрешающей способности.
3.2. СИГНАЛ КАК ВРЕМЕННАЯ ВХОДНАЯ
ХАРАКТЕРИСТИКА РАДИОСИСТЕМЫ
Сигнал известной формы, используемый в радиосистеме, мо-
может быть представлен двумя равноценными функциями: комплек-
комплексной огибающей1 S (t) или комплексным спектром S(f). Эти функ-
функции взаимно однозначно связаны между собой прямым и обрат-
обратным преобразованием Фурье
S(f)= J S{t)e-Wtdt; S{t)=J S(,f)eJ2*/*dif. C.1)
— oo —.00
Здесь и далее, кроме специально оговоренных случаев, имеется в
виду двусторонний спектр, содержащий и положительные, и от-
отрицательные частоты (физический омысл знака (частоты будет
раскрыт в гл. 5). В таком представлении прямое и обратное пре-
преобразования Фурье различаются только знаком в ядре преоб-
преобразования.
" Обратное преобразование Фурье описывает операцию синтеза
комплексной огибающей сигнала S (t) любой формы из гармони-
гармонических колебаний exp(}2nft) частоты f, амплитуда и фаза кото-
которых характеризуется комплексным множителем S(f)df=A(,f)X
Xexp[j<p(.f)]df. Прямое преобразование Фурье отображает опера-
операцию спектрального анализа сигнала S(t) —вычисление корреля-
корреляции между комплексными огибающими этого сигнала и гармони-!
ческого колебания exp (]2nfi) с частотой f и единичной ампли-
амплитудой (знак минус у экспоненты объясняется тем, что <при обра-
образовании корреляционных функций от комплексных сигналов один
изг них беретсяжомллексно-сопряженньш). Так как все спектраль-
спектральные составляющие сигнала, кроме одной, не коррелированы с
гармоническим колебанием данной частоты f, полученный коэф-
56
фициент корреляции пропорционален комплексной амплитуде
S(f)df гармоники этой частоты.
Возможны и другие разложения сигнала по ортогональным
функциям, кроме гармонических. Однако для гармонических
функций характерно, что при прохождении через любую линей-
линейную систему их форма не меняется, изменяется только амплиту-
амплитуда и фаза данной гармоники. Это и определило преимуществен-
преимущественное использование спектрального представления по Фурье. Сле-
Следует отметить, что преобразования Фурье применимы только к
сигналам с конечной энергией. Этому условию удовлетворяют все
реальные сигналы. Однако три математическом описании процес-
процессов иногда исполызуют идеализированные функции, вообще гово-
говоря, не удовлетворяющие этому условию, но тем не менее к ним
также применяется преобразование Фурье: это гармоническое ко-
колебание, бесконечное по времени, и дельта-функция, бесконечная
по спектру. Однако, если сначала взять интервалы конечными,
а потом произвести предельный переход, все становится на свое
место.
Ниже рассматриваются некоторые свойства функций и их
фурье-преобразований на примере временных сигналов. Эти свой-
свойства в дальнейшем используются при описании более общих за-
зависимостей.
Комплексная огибающая сигнала 5 (t) =A (t) exp [j cp (t) ] опи-
описывает амплитудную и фазовую (частотную) модуляцию сигна-
сигнала. При чисто амплитудной модуляции модулирующей функции
v(^) пропорциональна амплитуда сигнала и, следовательно, сама
огибающая S(t)=A(t)=kv(t). Поэтому спектр комплексной оги-
огибающей сохраняет форму спектра модулирующей функции, толь-
только переносится в область высоких частот. В этом смысле ампли-
амплитудную модуляцию можно считать линейной операцией, как и
операции преобразования частоты и «линейного» детектирова-
детектирования. При фазовой модуляции (p{t)=kv(t) комплексная огибаю-
огибающая S(t)=Aexp[]kv(t)] нелинейно связана с модулирующей
функцией v(t). Поэтому спектр комплексной огибающей отлича-
отличается от спектра модулирующей функции — появляются высшие
гармоники модулирующих частот. Еще сложнее обстоит дело при
частотной модуляции, когда модулирующей функции пропорци-
пропорциональна частота f(t)=kv(t) и комплексная огибающая имеет вид
Jj
так как фаза есть интеграл от частоты плюс начальная фаза <р0.
Следовательно, фазовую и частотную модуляцию относят к не-
нелинейным преобразованиям, при которых спектр сигнала отлича-
отличается от спектра модулирующей функции. Однако при малой глу-
57
Рис. З.1. Высокочастотные сигналы, их гармоническая огибающая и спектры
сигналов и огибающих
бине фазовой модуляции exp[j <p(^)] «1+j ф(^) спектральный со-
состав сигнала и модулирующей функции примерно одинаков, а
при частотной модуляции он лишь убывает обратно пропорци-
пропорционально частоте (модуляции (интегрирование функции соответст-
соответствует делению ацектра на j со).
При амплитудной модуляции простейшей является гармоническая огибаю-
огибающая (вещественная функция). Такую огибающую имеет как сигнал частоты
fo, модулированный по амплитуде гармониковой частоты / (рис. 3.1,6), так и
биения двух гармонических сигналов одинаковой амплитуды, разнесенные по
частоте на интервал 2f (рис. 3.1,а). Биения мож-
можно рассматривать ка<к амшлитудню-модулираван-
ное колебание, у которого удалена несущая час-
частота /о (для удобства сравнения «а рис. 3.1
приведен одшсторшгний спектр высокочастотных
колебаний и двусторонний спектр огибающей).
Соответственно комплексную огибающую биений
можно рассматривать как огибающую амилитуд-
но-модулированного сигнала, у которой удалена
постоянная составляющая. Ввиду этого комплекс-
комплексная огибающая биений S(t) ,в отличие от оги-
огибающей амплитуды A(t) через иолупериод ме-
няет знак, чтю соответствует перевюшту фазы иа
р " У бИе™Й "-"««сюлипо за-полнения. ТаКИм
виде суммы четной и не- °'бР1азом> комплексная огибающая даже при чис-
четной функций т0 амплитудной модуляции учитывает не только
58
амплитудные, яо и фазовые -соотношения в сигнале тем, что меняет знак, когда
фаза вышкочастошното заполнения изменяется на зх.
В общем случае комплексная огибающая амплитудно-модулированного сиг-
сигнала является вещественной функцией, характер спектра которой зависит от
симметрии огибающей. У четно-симметричной (четной) вещественной огибающей
5(—t)=S(t) спектр также вещественный и четный:
5 (/) = ]s @ е-* 2п ft dt = ]s (t) [ e-J 2jt f* + e* 2n fi] dt =
S4(f), . C.2)
о
так как сумма только четных вещественных функций (косинусов) с веществен-
вещественными весами 5@ дает четную функцию (здесь интеграл был разбит на два —
отдельно для положительных и отрицательных t). У нечетно-симметричной
функции 5(—1)=—S(t) спектр также нечетно-симметричный, но чисто мнимый:
5(/) = Js(Oe-J2«"#= ]s @ [e-~J2«''~eJ **'«]# =
_оо О
оо
= — J2 $S(t)sin2stftdt=—]Sm(f)t C.3)
о
так как с вещественными весами S(t) суммируются только нечетные вещест-
вещественные функции (синусы). Множитель —/=ехр(—j Jt/2) у спектра огибающей
означает, что высокочастотное заполнение сигнала сдвинуто по фазе на —jt/2
относительно заполнения четной огибающей (—sm2jrfo^ вместо cos2nf0t).
Асимметричная вещественная огибающая всегда может быть представлейа
в виде суммы (рис. 3.2)
s(*)=s,(*)+sH4(O, C-4>
где S4@ =0,5[S@+?(—*)]. 5Нч@ =0,5[S(t)~S(—t)] — четная и нечетная
вещественные функции, определяемые соответственно как полусумма и полу-
полуразность огибающей сигнала 5@ и ее зеркального отражения 5(—t). Соглас-
Согласно доказанному выше спектр такой огибающей комплексный:
C.5)
где S4(f) и SH4(f) — четная и нечетная вещественные функции C.2) и C.3).
От комплексного спектра S(f) легко перейти к амплитудному A(f) и фа-
фазовому cp(f) спектрам:
1ф<», C.6)
где
Ф (/) = arg 5 (/) = arctg [5нч (f) fS4(f) ].
В частности, у четных вещественных функций A(f)=S(f), ф = 0; у нечетных
Таким образом, амплитудный спектр любой вещественной функции всегда
четный, так как даже нечетная функция SH4(—/)=—5Нч(/) дает под корнем
выражения C.6) квадрат 52Нч(—f)=S2H4(f), являющийся четной функцией.
59
где обе составляющие вещественные, то сама функция
S(t)=S4(t)-)SS4(t),
комплексная, ее модуль
Прямое и обратное преобразование Фурье симметричны: все что справед-
справедливо при переходе от функции к спектру, справедливо и при переходе от спе-
спектра к функции. Поэтому четному вещественному спектру соответствует четная
вещественная, функция, нечетному вещественному спектру — нечетная чисто
мнимая функция, симметричный вещественный спектр имеет любая комплекс-
комплексная функция, действительная часть которой четная, а мнимая нечетная. Ука-
Указанные комплексные функции имеют также четную огибающую (модуль ком-
комплексной огибающей). Иными словами, если спектр функции
S, (/)+$«(/), C.7)
C.8)
C.9)
) .,' C.10J
нечетную.
Из сказанного, в частности, следует, что корреляционная функ-
функция любого действительного сигнала как обратное преобразова-
преобразование Фурье от его энергетического спектра 0f5A2(f) = 0,5|S(/) |2
всегда вещественна и четна, так как амплитудный и энергетиче-
энергетический спектры всевда вещественны, а в данном случае и четны.
Комплексные сигналы, обладающие асимметричными амплитуд-
1
имеет четную симметрию, а аргумент
Рис. 3.3. Вещественные функции (а) и их спектры (б)
60
ныод и энергетическим спектрами, имеют комплексную корреля-
корреляционную функцию, но всегда с четной огибающей.
Заметим также, что преобразованиями Фурье связаны не толь-
только сигнал и его спектр, но и импульсная характеристика (вре-
(временная характеристика) и функция передачи (частотная харак-
характеристика) фильтра:
H(t)= ]H(f)e***f'dt, #(/) = ]H(f)e~i**f*dt C.11)
(применительно к «комплексным огибающим, а не к реальным
сигналам, обе приведенные функции в общем случае комплекс-
комплексны).
Для отработки навыков нахождения спектров конкретных
функций и выявления общих закономерностей рассмотрим нес-
несколько частных примеров. При этом ограничимся только четны-
четными вещественньпми функциями (рис. 3.3), что упрощает решение
поставленной задачи.
Пример 1. Прямоугольный импульс П(^/ти) амплитудой А и длитель-
длительностью ти
S(t)=A, -^
Его спектр
S(f)=A
V2
p-j 2Я ft
-и/2 -^
W2
-V2
= Ara
sin (я//A/)
имеет ширину А/=1/ти на уровне 0,63.
Пример 2. Импульс вида полупериода косинусоиды амплитудной А и
длительностью ти на нулевом уровне
Его спектр
2 -V2
Лти Г sin я (//A/—1/2). , sin л (//А/+1/2I
[sin
имеет ширину Af=l/TK на уровне 0,79.
Пример 3. Импульс вида квадрата полупериода косинусоиды амплиту-
амплитудой А и длительностью ти на уровне 0,5 ^ -
61
Его спектр
о /гч А_ ГИГо ~^J 2л U , —j 2Я (f— 1/2ти) t —j 2Я (f—1/2Ти) * 1
4 J
_ЛтиГ sin2n(//Aft s
2 L 2я(//Д/)
sin2jt(//A/— 1/2) sin2я(//А/+1/2) 1
2я(//Д/—1/2) 2я(//Д/+1/2) J
имеет ширину А/=1/ти также на уровне 0,5.
Пример 4. Колоколообразный импульс амплитудой Л и длительностью
ти на уровне ехр (—я/4) « 0,46
5(*)=Лехр(—л
Его. спектр
Я(/) = Л Техр
J , ^ , - - 1 д/3
имеет ширину А/=1/ти также Hat уровне 0,46 (здесь показатель экспоненты был
дополнен до полного квадрата (—я?2/т2и—j 2nft-\-nf2x\)—я/2т2и = —n(t/xm-\-
+jffnJ—зх/2т2и, а интеграл от экспоненты с лервым слагаемым дает Тм).
Общим для всех сигналов является то, что: 1) спектральная
плотность пропорциональна площади импульса (множитель
Лти); 2) уровень боковых лепестков тем меньше, чем более плав-
плавно спадает функция (у спектров приведенных функций макси-
максимальный уровень боковых лепестков составляет соответственно
0,21, 0,08, 0,04 и 0); 3) между длительностью вещественной функ-
функции ти и шириной ее спектра А/ существует обратная зависимость
AfHl/ти, C.121
так что при уменьшении длительности в несколько раз спектр
расширяется во столько же раз. Однако соотношение C.12J
справедливо, если только протяженность функции и ширину
спектра отсчитывать на указанных выше уровнях, различных для
разных функций. Если же взять общепринятый уровень отсчета
0,71, то коэффициент в формуле C.12) будет несколько отличать-
отличаться от единицы — также по-разному у разных функций. Однако
существует интегральная, эффективная протяженность функции и
ее спектра, не зависящая от уровня отсчета (она будет введена
далее), для которой соотношение C.12) справедливо всегда не-
независимо от вида функции.
Вещественный характер спектра приведенных функций ука-
указывает на то, что отдельные спектральные составляющие, сум-
суммируясь в некоторый момент времени ^=0 синфазно, дают в этот
момент максимально возможное значение функции. Так как час-
частота отдельных спектральных составляющих различна, в стороне
от максимума фазы гармонических слагаемых расходятся и функ-
функция спадает тем быстрее, чем шире спектр. Таким образом, ве-
вещественный спектр обеспечивает максимально возможную амп-
62
литуду и минимальную длительность сигнала в соответствии с
формулой C.12).
При комплексном спектре с нелинейной фазочастотной харак-
характеристикой пиж функции убывает по высоте и расширяется, так
как гармонические составляющие ни в один момент времени не
дают синфазного суммирования, а дополнительное расхождение
фаз гармоник в стороне от максимума проявляется слабее.
Для сигналов с комплексным спектром (частотно- и фазомо-
дулированных) справедливо следующее соотношение между их
длительностью и шириной спектра:'
Л/=А7ти, ' C.13)
где 7V=iA!/th — база сигнала. Как уже отмечалось, сигналы с ба-
базой Лг= 1 называются простыми, а при Л/^1 — сложными. Пос-
Последние в согласованном фильтре, корректирующем фазу гармоник,
можно сжать в N раз — до длительности тс=1/Д/> удовлетво-
удовлетворяющей условию C.12).
Рассмотрим в качестве примера сигнала сложной формы колоколообразный
импульс амплитуды Л и длительностью ти на уровне 0,46 с линейной частотной
модуляцией (ЛЧМ) f{t)=—at, где а — крутизна частотной модуляции, что со-
соответствует квадратичному фазовому сдвигу ф(/)'=—nat2:
S{i)=A exp (—пB/х2я—j nat2).
Его спектр
S(f) = A jexp ( j я at* — j 2 я ft dt.
Дополнив показатель экспоненты до полного квадрата, получим
-[¦
= — я | у 1 + J а т„
=• — я
Экспонента со вторым слагаемым в показателе определяет форму спектра (она
выходит из-под знака интеграла), а сам интеграл дает некоторый множитель
/Сти. Таким образом, такой сигнал имеет комплексный спектр вида
C.14)
где
C.15)
63
— ширина спектра на уровне 0,46, a N= |/"Ц-а2т4и — база ЛЧМ сигнала (при
отсутствии частотной модуляции N=1, а при глубокой линейной частотной мо-
модуляции N&ax2n и ширина спектра А/»ати определяется только частотной
модуляцией). Такой импульс можно сжать в N раз до длительности
111
' (ЗЛ6)
Тс~ Д/ -
обратной длительности исходного сигнала.
Комплексный спектр ЛЧМ сигнала C.14) можно представить в виде ам-
амплитудного и фазового спектра
A(f) =ЯЛти ехр (—яР/А/2); <р (f) =—Jiax2Hf2/A/2. C.17)
При глубокой частотной модуляции (А/«ати) амплитудный спектр
«КАхж ехр (—7я/2/ат2и) подобен огибающей ЛЧМ сигнала A(t)=*
=Лехр(—я^2/т2и) и в соответствии с законом частотной модуляции f=at полу-
получается из огибающей простой заменой t=fja. Это свойство ЛЧМ сигналов
появляется при любой форме огибающей, а не только колоколообразной. Его
можно использовать для воспроизведения спектра высокочастотных сигналов
преобразованием частоты с помощью гетеродинного ЛЧМ напряжения и пропу-
пропускания преобразованного сигнала через фазокорректирующий фильтр. После
преобразования частоты сигнал становится линейно-модулированным по частоте,
и его спектр по аналогии с C.17)
5лчм(f)=A(f/a)ехр jq>(//a)
по модулю повторяет огибающую исходного сигнала A(t). После фазокоррек-
тирующего фильтра с фазочастотной характеристикой —<p(f/a) спектр стано-
становится вещественным. Поскольку этот спектр повторяет огибающую исходного
сигнала, то сам выходной сигнал повторяет спектр огибающей этого сигнала,
его можно наблюдать на осциллоскопе.
Устранение фазовых сдвигов между спектральными составляю-
составляющими в фазокорректирующем фильтре создает эффект сжатия
сигнала. Поэтому длительность выходного сигнала фильтра тс>
т. е. ширина спектра исходного сигнала, обратна длительности
этого сигнала ти, что раскрывает физический смысл соотношения
C.16).
3.3. АПЕРТУРА АНТЕННЫ
КАК ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ВХОДНАЯ
ХАРАКТЕРИСТИКА РАДИОСИСТЕМЫ
Рассмотрим вначале линейную антенну с комплексным (в об-
общем случае) распределением поля по раскрыву G(x), причем
| G(x) |max=G@) = 1. На раскрыв шириной d под углом а к нор-
нормали падает плоская гармоническая волна частоты f0 от удален-
удаленного источника (рис. 3.4). Разность хода волны между центром
раскрыва 0 и произвольной точкой х на нем AR=xsina=xuXi где
64
ux=sin a^cos'G'x — направляющий коси-
косинус угла относительно оси х. Разность „
хода вызывает относительный фазовый \
сдвиг сигнала 2nAiR/X=2nxux/'k, где
X=c/fo (фа&у сигнала в центре раскрыв а
принимаем равной нулю).
Таким образом, комплексная ампли-
амплитуда сигнала, воспринимаемого элемен- Рис* 3-4- Прием сигнала вэ-
J 1 ' * - антенну с линейным рает
том ах в точке х раскрыта антенны, про- крывом
порциональна G (х) ехр (j 2пхих/Х) dx, а
полный сигнал, принимаемый раскрывом антенны с направления,
их, с точностью до постоянного коэффициента k описывается диа-
диаграммой направленности
]
в общем случае комплексной.
Множитель х/К при их в показателе экспоненты играет такую
же роль, как частота / при t в обратном преобразовании Фурье
C.1). По аналогии введем относительную (электрическую) коор-
координату раскрыва vx = x/X и назовем ее угловой пространственной
частотой. Кроме того, положим k = lk, а пределы интегрирования
продлим до бесконечности, что не изменит значения интеграла^
так как вне раскрыва функция G(x)=0. При таких условиях па-
лученная формула ничем, кроме обозначений, не отличается or
обратного преобразования Фурье C.1) и функцию G(vx) =G(x/X}
можно назвать угловым пространственным спектром.
Следовательно, как сигнал описывается комплексной огибан>-
щей и ее комплексным спектром, связанными между собой пре.-
образованиями Фурье, так и раскрыв (апертуру) антенны можнш
описать комплексной диаграммой направленности G(ux) и ее уг-
угловым спектром G(vx) — функцией раскрыва, которые также
связаны преобразованиями Фурье. То же самое, справедливо от-
относительно G(uy) и G(Vy), где uy = cos®yy a vy = y/X — угловая
частота линейного раскрыва вдоль оси у. Функции G(ux>y) или
G(x>y) описывают, пространственную характеристику измеритель-
измерительной системы — алертуру линейной антенны. Обобщая полученные
выводы, запишем прямое и обратное преобразования Фурье для
апертуры линейной антенны:
Соотношения C.19) для апертуры антенны подобны соотноше-
соотношениям C.1) для сигнала. Однако сигнал обычно' ограничен по
длительности, и поэтому его спектр теоретически бесконечен, а ан-
антенна всегда имеет ограниченный раскрыв. —,конечную1 ширину
3—94 # б?
углового спектра, и поэтому сама функция — диаграмма нап-
направленности — простирается в теоретически бесконечных преде-
пределах.
При синфазном раскрыве — вещественном угловом спектре
G(vx>y) — обеспечивается наибольшая амплитуда сигнала в нап-
направлении максимума и наиболее узкая диаграмма направленнос-
направленности G(ux>y). Так как связанные по Фурье функции имеют взаимно
обратную протяженность, угловая ширина диаграммы направлен-
направленности АиХ)У определяется шириной углового спектра AvXtV=dXty/K:
, C.20)
сесли отсчет ширины производить на соответствующем уровне.
Здесь полная аналогия с формулой C.1'2).для длительности и
•ширины спектра- сигнала. При этом диаграмма направленности
вещественная и четная, если функция раскрыв а также веществен-
вещественная и четно-сиадметричнйя. Нечетная вещественная функция раск-
рыва дает нечетную, но чисто мнимую диаграмму направленнос-
направленности, что соответствует фазовому сдвигу сигнала на —я/2'. Поэто-
Поэтому антенны с асимметричной вещественной функцией раскрыва
имеют комплексную диаграмму направленности. Амплитудная
диаграмма направленности (модуль комплексной диаграммы) ан-
антенны с любой вещественной функцией раскрыва всегда четная.
Комплексная функция раскрыва G(vXtV) (т. е. несинфазность
пространственного спектра поля по раскрыву антенны) кроме ли-
линейного набега фазы, соответствующего простому сдвигу (поворо-
(повороту) неискаженной диаграммы направленности G(ux,y)y вызывает
ее расширение в N раз:
,y, - C.21)
что полностью соответствует формуле C.13) для сигнала и его
спектра. Коррекцией фазы сигналов по раскрыву — пропускани-
пропусканием совокупного сигнала антенны через фазокорректирующий про-
пространственный фильтр — диаграмма направленности сжимается
до минимально возможной ширины, определяемой формулой
C.20).
Таким образом, между характеристиками сигнала S(\t) и S(f)
и раскрыва антенны G{ux,y) и G(vx%v) существует глубокая ана-
аналогия. Это позволяет все свойства сигналов переносить на аперту-
апертуру антенны. Однако у апертуры ан-
антенны имеются существенные особен-
особенности.
1. Амплитуда сигнала антенны до-
дополнительно зависит от направления
прихода волны О1*, у, так как на рас-
раскрыв, ^воздействует только составляю-
составляющая поля Ех,у = Е sin ф#, у =
Eyi—и2х Уу параллельная линейно-
ЗЪ 3сигна^ВТнапЬравлеПнЛия "У Р^крыву (рис. 3.5). При этом
прихода волны предполагается, что вектор Е лежит
33
ц, плоскости раскрыва; если же он июрпендикуля-рен этой плоскос-
плоскости, ,то сигнал вообще не будет принят — в этом проявляется
влияние поляризации волны. Таким образом, зависимость .ампли-
.амплитуды сигнала антенны от угла определяется произведением
V 1—и2х,уО(их,у).
При фазировании антенны на направление иХо,уо амплитуда
, выходного сигнала
U (их,у) - К V^^y G (иХ9у-*их.,'У.) C.22>
уменьшается, но сама диаграмма направленности антенны толь-
только смещается, сохраняя форму и ширину по направляющим коси-
косинусам их,у. Если же отсчет вести в реальных углах $х,у, то шириг-
на диаграммы направленности остронаправленных антенн
Smi>*o,yo ""*ЛГ"Аи*о,Уо г Xot yQ
возрастает в такой же степени, в какой снижается амплитуда
сигнала C.22) в направлении максимума. При этом основной ле-
лепесток у остронаправленных антенн сохраняет свою форму, а у
слабонаправленных из симметричного становится асимметричным,
расширяясь в сторону малых направляющих углов ®Х)У. Снижение
' амплитуды сигнала C.22) и расширение диаграммы направлен-
направленности при ее смещении C.23) можно трактовать как уменьшение
раскрыва антенны dsm/&Xiy=d]/ 1—и2Х)У, видимого с данного нап-
направления (см. рис. 3.5).
2. В отличие от сигнала и его спектра, которые могут иметь
неограниченную протяженность, диаграмма направленности ан-
антенны G(ux,y) как функция переменной их,у — направляющего ко-
косинуса угла (—\^иХ}У^.1) — имеет конечную протяженность
[Ux,y max—Ux,y min] =2, C.24)
а угловой пространственный спектр G(vx,y) всегда ограничен
раскрывом антенны (AvX!V = dXty/X). Отсюда вытекают важные
следствия.
Первое следствие состоит в том, что диаграмма направленнос-
направленности G{uXiy) (по крайней мере теоретически) бесконечна, тай: как
ПРИ \vx,y\ >d/2X функция раскрыва* G(vx,y)^Q. Она не равна ну-
лю и при |tt*,y|t>l, что соответствует мнимым углам (косинус
мнимого угла — гиперболический косинус — может превышать
единицу). Той части диаграммы направленности, которая принад:
лежит мнимым углам, соответствует реактивная колебательная
мощность. Эта мощность у остронаправленных антенн практичес-
практически отсутствует, так как в область мнимых углов попадают только
дальние боковые лепестки, уровень которых очень мал. У вибра-
вибраторов очень малых размеров (d/X<Cl) большая часть диаграммы
направленности приходится на мнимые углы; их входное сопро-
сопротивление в основном реактивное, что и указывает на наличие пре-
3* - 67
/имущественно колебательной, а не излучаемой или воспринимае-
воспринимаемой ими мощности.
У элементарного диполя, относительный размер которого
&?VXty = d/k<^l очень мал, комплексная диаграмма направленнос-
направленности G(ux,y) как преобразование Фурье от функции раскрыва
G{vx,y) имеет очень большую протяженность в направляющих ко-
косинусах Аих,у= l/Avx^^l и далеко выходит за пределы реальных
углов —1, 1 (рис. 3.6,а). В пределах же реальных углов G(uX;y)^
ч«1, так как сигналы в раскрыве, приходящие с любого реально-
реального направления, практически синфазны ввиду пренебрежимо ма-
малой разности хода. Поэтому реальная зависимость амплитуды
сигнала антенны от угла C.22) описывается только множителем
siw&x,y= ]/il—и2Х}У. Элементарный диполь крайне неэффективно
принимает и излучает колебания: мощность и входное сопротив-
сопротивление диполя почти чисто реактивные — емкостные у электричес-
жого и индуктивные у магнитного диполя. Полуволновой вибра-
вибратор (d = X/2 или kvXjy = d/X=l/2) имеет функцию раскрыва
fG(Vx,y) =cosl2nvXtV, преобразование Фурье которой дает комплекс-
шую диаграмму направленности G(ux,y) шириной АиХуУ = 1/Дг;Х|У =
"¦=2 на уровне 0,79 в пределах реальных углов —1, 1 (рис. 3.6,6).
"Так как в этих пределах сама функция мало -отличается от еди-
единицы, реальные зависимости амплитуды сигнала от направления
^у полуволнового вибратора и элементарного диполя (штриховые-
линии) очень близки. Таким образом, формула C.23) непримени-
неприменима ;для определения ширины реальных диаграмм направленности
?ляйонаправленных антенн. Значительная часть диаграммы
О(их,у) полуволнового вибратора также приходится на мнимые
углы, однако в отличие от элементарного диполя колебания мощ-
мощности имеют резонансный характер: емкостная и индуктивная сос-
составляющие реактивной мощности одинаковы. Поэтому полуволно-
полуволновой вибратор имеет чисто активное входное сопротивление, эф-
эффективно излучает и принимает колебания. Это и определило его
6(VXiy)
«г
1 и
xi!/
-/' О 1
'Рис. 3.6. Распределение поля, его преобразование Фурье и реальная диаграм-
диаграмма направленности элементарного диполя (а) и полуволнового вибратора (б)
широкое использование как самостоятельно, так и в составе ан-
антенных решеток.
Необходимо отметить, что формула C.22), описывающая ре-
- альную диаграмму направленности слабонаправленных антенн
в пределах реальных углов —l^^y^l, у остронаправленных
антенн имеет вид G(uXjV), а функция ]/il—u2XjV = smibXjy в преде-
пределах основного лепестка диаграммы (иХ}УжиХо, Уь) принимает вид
амплитудного множителя ]/ 1—u2Xof Уо, соответствующего направ-
направлению максимума диаграмм направленности иХо>Уо . Поскольку в
обзорно-измерительных системах используют в основном острона-
остронаправленные антенны, далее речь будет идти только о диаграммах
направленности вида G{uXiV).
Здесь были рассмотрены диаграммы направленности только в
плоскости, проходящей через ось вибратора. Фактически диаграм-
диаграмма направленности линейной антенны является объемной,
полученной как результат вращения рассмотренных плоских
диаграмм вокруг оси вибратора, т. е. диаграмма направленности
в плоскости, перпендикулярной оси вибратора, имеет вид окруж-
окружности.
Другим важным следствием, вытекающим из второй особеннос-
особенности апертуры антенны, является то, что непрерывный раскрыв мож-
можно заменить дискретным, взятым через интервалы не более полу-
полуволны, не опасаясь неоднозначности отсчета угла. У временных
функций временной интервал неограничен, и дискретный спектр
частоты обязательно приводит к неоднозначности: даже при очень
малом периоде дискретизации б/ функция повторяется через дос-
достаточно большие интервалы времени 7=l/6f, обратные периоду
дискретизации частоты. У углового спектра G(vXjV) с периодом-
дискретизации 6vX;V = b/'ky где Ь — расстояние между эквидистант-
эквидистантными излучающими элементами антенной решетки, интервал воз-
возможных углов ограничен: [их>утах—их,ут[П]=2. Поэтому повторе-
повторения диаграммы направленности не будет, если пространственный
период l/6vx>y не меньше полного интервала углов, т. е.
± J-t- . C.25)
2
А [их,утахч ux,ymin\ 2
Это и означает, что для однозначного воспроизведения угла рас-
расстояние между вибраторами должно удовлетворять условию 6^С
^Х/2. При этом, если вибраторы решетки имеют чисто активное
входное сопротивление (например, полуволновые), повторяющие-
повторяющиеся пики множителя решетки в области мнимых углов не играют
никакой роли.
Использование фазированных антенных решеток (ФАР) поз-
позволяет управлять амплитудой и фазой сигналов в каждой точке
раскрыва, что невозможно в антеннах со сплошным раскрывом.
3. Большинство реальных антенн имеет плоский, двумерный
раскрыв. Комплексная диаграмма направленности плоской ан-
антенны G(ux, uy) и ее двумерный спектр — функция раскрыва
69
G(vx, vv) связаны между собой двумерными преобразованиями
Фурье, прямым и обратным:
и 4-v и7.)
C.26)
+
G(ux, Uy) =
причем \G(vx, vy) |max=G@, 0) = l. Ширина двумерной диаграм-
диаграммы направленности синфазной плоской антенны А(их, иу) опреде-
определяется шириной двумерного углового спектра A(vXi vy)=SfX2
(S — площадь раскрыв а):
А{их, tiy) = 1/A(vx, vy)=K2/S. . C.27)
Здесь, как и у линейной антенны,, отсчет функций А(их, иу) и
A (vx, vy) ведется на уровне, зависящем от конкретного вида функ-
функций G(ux, uy) и G(vXy vy). При отсчете обеих функций на уровне
Т),71 в формуле C.27) единица заменяется близким к ней коэф-
коэффициентом, также зависящим от вида функций.
При комплексном двумерном угловом спектре G(vx, vy), т. е.
несинфазном плоском раскрыве *, справедливо соотношение
Д(их, tiy) =NxNy/A(vX) vy) C.28)
и диаграмма направленности расширяется в N раз по каждой из
двух координат. Фазированием сигналов ее можно сжать до ми-
минимальной ширины C.27).
Если функции раскрыва по осям х и у независимы, т. е.
G(vx, vy) = G(vx)G(vy) и, следовательно, G(uXy uy) = G (ux)G (uy),.
то S = dxdy, A(vx, vy)=AvxAvy и A(ux, uy) =AuxAuy, где Avx и Aux>
Avy и Auy связаны между собой соотношением C.20). Условие
независимости выполняется только для прямоугольного раскрыва^
стороны которого параллельны осям х и у, а у антенны с круг-
круглым или эллиптическим раскрывом такое разделение невозможно.
Телесный угол, занимаемый диаграммой направленности пнос-
пноской синфазной антенны,
uy) _ A(ux, uy) ^ ' № i C 29)
f<4 V<4
зависит от направления фокусирования остронаправленной ан-
антенны относительно нормали к раскрыву — направляющего коси-
косинуса iiz^Y^l — u2x—u2 — и определяется видимой с этого
u
направления площадью раскрыва 5]Л1 — и2 —и2 . Расширение
смещенной диаграммы направленности по каждой из двух угло-
угловых координат отдельно согласно C.28) определяется множителя-
* Имеется в виду квазислучайный закон распределения фазы ty(vx, vy);,
линейное изменение фазы вызывает лишь смещение диаграммы направленно-
направленности G(ux, uy).
70
ми Y\ — и2х и ]/l — и2 . Таким образом, плоская неподвижная
антенна обеспечивает постоянное разрешение А(мж, иу) по направ-
направляющим косинусам, а не по реальным углам: телесный угол луча
возрастает при отклонении от нормали к раскрыву.
В радиосистемах очень широкое применение получили круглые плоские
апертуры. В этом случае как функция раскрыва, так и диаграмма направлен-
направленности антенны обладают осевой симметрией. Поэтому для вычисления двумер-
двумерных преобразований Фурье C.26) целесообразно перейти от декартовых коор-
координат vx, vy и их, иу к полярным v, 0 и и, б. При; этом
при —<x><vx<oo, vy=vsinv при —с
При 0^^<оо;
ux=u cos б при —оо<Ия<°о, uy=u sin 8 при —оо<«у<оо, «=i/a2x+M2y.
ПрИ 0^W<oo;
d = arctg(Vy/vx) при —я<О^я; 6 = arctg(«j//«x) при —л<б^л;
dvxdvy = vdvdQ; duxduy=udud8;
vxux + vyuv = vu cos 0 cos б + vu sin 0 sin б = vu cos @—6).
Учитывая также, что
— fe-~l27lvucos(e-^dd = J0Bnvu)
— функция Бесселя нулевого порядка, после замены переменных в формулах
<{3.26) получим»
оо JT
G(v, 9)= f f uG(ut б) e-J2nvuoos (Q-6)dud8==
О -.я
"• ОО
=2jt J WG(W> б) JoBnvu)du;
о
оо
??(«, б)=2л J vG(v, Q)J0Bnvu)dv.
о
Очевидно, что функция G(v, 0) и С(м, б) равномерно распределены в преде-
пределах 2к по всем направлениям 0 и б соответственно. Поэтому положим G(u) =
= G(v, 0)/2я; G(u) = G(u, б)/2я и получим прямое и обратное преобразования
Ганкеля для круглой плоской апертуры антенны
оо
Q (v) = J« G (м) /0 Bя ш) du, и > 0;
° C.30)
оо
G (и) = Jo G (о) /0 B л ш) do, о > 0.
о
Здесь v—rl'K — линейное отклонение от центра апертуры (в электрических еди-
единицах), а и — угловое отклонение от направления максимума диаграммы на-
направленности. В отличие от преобразований Фурье прямое и обратное преобра-
71
Рис. 3.7. Распределение
поля в антенне с круг-
круглым плоским раскрывом
(а) и ее диаграмма на-
направленности (б)
зования Ганкеля полностью симметричны, а аргументы v и и только положи*
тельны. Двумерные функции раскрыва и диаграммы направленности круглой
плоской антенны образуются вращением функции G(v) и G(u) вокруг оси ор-
ординат.
Возьмем в качестве примера круглую антенну диаметром d с равномерным
распределением поля по раскрыву шириной Av = d/'k. Подставив G(v) = l при
и G(v)=0 при и>Ау/2 в формулу C.30), получим
А v/2 Av 2Jt (яДш)
Av/2 j
G(u)= \ vJ0 Bn vu) dv= —
2nu
яА vu
где /i(«)—функция Бесселя ,первого порядка (рис. 3.7). Ширина этой диаг-
диаграммы на уровне 0,71 от максимума Au=\fAv = 'kld, а наибольший из боковых
лепестков имеет уровень 0,13 (на рисунке функции G(v) и G(u) симметрично
дополнены штриховой линией, чтобы показать осевое сечение двумерных функ-
функций). Обычно функция раскрыва плавно спадает к его краям, что уменьшает
уровень боковых лепестков и несколько расширяет основной лепесток. Но в
целом уровень боковых лепестков у антенны с осевой симметрией раскрыва
всегда ниже, чем у антенны с прямоугольным раскрывом при одинаковом за-
законе облучения. Ширина диаграммы направленности и уровень боковых лепе-
лепестков круглых антенн одинаковы в любом сечении в отличие от антенн любого
другого вида.
В заключение отметим, что плоская антенная решетка, все элементы ко-
которой размещены в одной плоскости, образует не один, а два луча, симмет-
симметричных относительно плоскости раскрыва. Для получения единственного луча
(исключение неоднозначности) антенна должна иметь конечный продольный
размер (см. гл. 6).
3.4. ПРИНИМАЕМЫЙ СИГНАЛ
КАК ФУНКЦИЯ ВРЕМЕНИ
И ПРОСТРАНСТВА
Рассмотрим взаимодействие пространственной и временной ха-
характеристик системы: комплексную огибающую SE{t)=S(t) вол-
волны, падающей на плоскую антенну (г = 0) с функцией раскрыва
G (х, у) или G(vx, vy). За начало отсчета сигнала примем его се-
середину, а за начало отсчета координат раскрыва — его центр.-
Пусть в начальный момент ^ = 0, когда удаленный точечный объ-
объект излучает (переизлучает, отражает) сигнал в начале его от-
отсчета, расстояние от объекта до центра раскрыва равно R, а нап-
72 ' '
равление на объект относи-
те льне) in лоско сти р аскр ькв а
характеризуется (направляю-
(направляющими косинуса ux = cosi9ix и
i/y=icos bv (рис. 3.8). Тогда
расстояние от объекта до про-
произвольной тачки раскрыва х9 у
можно (представить как
R—AR, где разность хода лу-
лучей как проекция вектора
г = гх + ]у на направление
u = iux + }uy -определяется «век-
«векторным (произведением АЯ =
'R-AR
Растры б антенны
Рис. 3.8. Разность хода сигналов при
падении волны "на раскрыв антенны
Бели объект движется и
ероизводные R, йх, йу на не-
небольших интервалах времени
можно считать постоянными, то к моменту t^O его координатами
станут R + Rt, ux + uxt, uy-\-uyt> а расстояние от объекта до [произ-
[произвольной точки раскрьша х, у
R(x, у; t) =R(ty-4AR(t) =R+Rt—[x{ux + uxt) +
+у(щ, + щГ)] C.31)
становится функцией времени и пространства, а также значений
координат объекта R, иХу иу и их производных i?, йх, йу в момент
излучения t = 0.
Таким образом, напряженность поля падающей на раскрыв ан-
антенны волны в произвольной точке х, у в произвольный момент
времени t описывается функцией
SE[t-R(x, у; t)/c]exp[—j2nfoR(x, у, t)/c],
где аргумент первого сомножителя учитывает запаздывание оги-
огибающей, а показатель экспоненты — фазовый сдвиг несущей /0
за время распространения сигнала от объекта до данной точки
раскрьша.
Направление прихода волны относительно нормали z к раск-
рыву и вектора поля Е относительно плоскости раскрыва харак-
характеризуется направляющим косинусом uz=]^l—и2х—и2у. Раскры-
вом антенны воспринимается составляющая напряженности поля,
пропорциональная этому направляющему косинусу. При наклоне
фронта волны только в плоскости Е это очевидно; в общем слу-
случае нужно учесть наклон и в плоскости Н, что приводит к тому
же результату, поскольку SH(x, у; t)=SE(x, у, t)/p (p — волно-
волновое сопротивление свободного пространства). Необходимо учесть
также степень взаимодействия между полем и раскрывом в каж-
каждой его точке, определяемую функцией р&скрыва G (х, у), в общем
случае комплексной. Обычно эта функция максимальна в цент-
центре раскрыва G@, 0) = 1 и спадает к его краям. Учитывая влияние
наклона волны и функции раскрыва, находим комплексную оги-
73
бающую напряженности поля входного сигнала приемного уст-
устройства радиосистемы, воспринимаемого произвольной точкой
раскрыва в произвольный момент времени:
SE(x, у; 0= У l—u2x—u2yG(x, у)Зе[г—Я{ху у; t)/c]X
Xexp{—]2nf0R(x, у; t)lc\ , C.32)
где R{x, у; t) определяется соотношением C.31).
На входной сигнал C.32) накладывается шум NE(x, у; t), как
внешний, так и внутренний, . пересчитанный на вход приемного
устройства. Внешний шум N"E{x, У\ t) представляет собой слу-
чайное электромагнитное поле, воспринимаемое антенной со всех
направлений. Свойства этого шума описываются пространственно-
временной функцией корреляции или пространственно-временной
спектральной плотностью, которые однозначно связаны между со-
собой многомерными преобразованиями Фурье. Будем считать внеш-
внешнее шумовое поле центрированным процессом, дельта-коррелиро-
дельта-коррелированным во времени и пространстве, т. е. имеющим равномерную
спектральную плотность во всем диапазоне временных и прост-
пространственных частот. Такое предположение, вообще говоря, не сов-
совсем верно, так как радиоизлучение отдельных звезд и галактик
дает пространственно зависимый вклад во внешнее шумовое по-
поле. Однако эти дискретные составляющие при необходимости
можно учесть отдельно. С учетом степени восприятия поля раск-
рывом G{xy у) внешние шумы на входе системы принимают вид
N"e{x, у; t)G(xy у), а средняя мощность внешнего шума и, следо-
следовательно, его спектральная плотность пропорциональны квадрату
функции раскрыва: N"o\G(x, y)\2. Внутренний шум линейной час-
части приемного устройства, отнесенный ко входу системы, можно
представить как временной шум N'{t), равномерно распределен-
распределенный по всей площади раскрыва антенны S= J dxdy, т. е. N/E=
= Nf(t)/Sy а его спектральная плотность N'o не зависит от коор-
координат раскрыва.
Таким образом, входной шум системы как функция времени ж
координат раскрыва принимает вид
NE (*, y;t)= N'E (t)/S + N"E (#, y;t) G (x, у), C.33>
а спектральная плотность выходного шума антенны
\G(x, у)\2 C.34>
оказывается неравномерной по ее раскрыву. Следовательно, вход-
входной шум радиосистем в общем случае коррелирован в простран-
пространстве. Однако в реальных системах, особенно при использовании
ФАР, которые обладают высоким уровнем собственных шумов,,
внешними шумами можно'пренебречь, положив ЛГ'о<А^о и #7о«
»М). Тогда входной шум системы NE(x> у, t)&N'(t)/S, имеющий
спектральную плотность
NE0(x, y,f)&NolS, C.35>
74
оказывается некоррелированным как во времени, так и в прост-
пространстве.
Указанное предположение позволяет распространить на прост-
пространственно-временные входные сигналы развитую только для
временных сигналов теорию оптимальной, согласованной фильт-
фильтрации. В соответствии с известной формой входного сигнала C.32)
определяется пространственно-временная структура оптимального
приемного устройства и выходной сигнал в виде многомерной
пространственно-временной функции корреляции входного сигна-
сигнала. Эта функция позволяет определить потенциальные возмож-
возможности системы в отношении точности и разрешающей способнос-
способности по всей совокупности измеряемых параметров — координат
объекта и их производных. Для этого кроме энергетических па-
параметров достаточно знать только две входные метрические ха-
характеристики системы, временную и пространственную.
3.5. ВЫХОДНОЙ СИГНАЛ
ОПТИМАЛЬНОГО ПРИЕМНИКА
КАК ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ
КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ ИНТЕГРАЛ
В соответствии с выражениями C.31) и C.32) входное воз-
воздействие приемного устройства
Ue(x, у; t) =SE(x, у; t\ v) +NE(x, y; t) C.36)
является функцией времени, координат пространства и шести не-
неизвестных, измеряемых параметров волны v={t, i7; их, иу; йх, йу},
где t=J?/c и F=>—Rfo/c — время запаздывания и доплеровский
сдвиг частоты сигнала в системах прямого излучения (при работе
по отраженному или переизлученному сигналу обе величины уд-
удваиваются). Входной шум NE(x, у; t) согласно C.35) полагаем
€елым (т. е. дельта-коррелированным во времени и пространст-
пространстве), спектральная плотность которого No равномерно распределе-
распределена по раскрыву антенны.
По аналогии с обычным, временным оптимальным приемником
выходной сигнал описывается комплексной огибающей простран-
пространственно-временного корреляционного интеграла
Z(V, v°) = -*-jJjI/*(jt, у, t)S*E(x, у, t; *>)dxdydU C.37)
взятою по всем значениям времени и координат раскрыва антен-
антенны. Опорный сигнал kS*E{x, у, t; v°) является комплексно-сопря-
комплексно-сопряженной функцией входного сигнала C.32), с точностью до посто-
постоянного множителя и постоянного сдвига, и зависит от шести опор-
опорных значений параметров v°={r°, F\ u°x, u°v\ й°х, й°у}, на кото-
которые настроен приемник. В общем случае \°ф\, т. е. выходной
сигнал является функцией расстройки оптимального приемника
ео измеряемым параметрам.
5
Поскольку входное воздействие C.36) есть сумма сигнала и
шума, выходной сигнал оптимального пространственно-временного
приемника также состоит из сигнальной и шумовой составляю-
составляющих:
, Z(v, v°)=Zs(v, v°)+Zn. C.38)
Сигнальная составляющая комплексной огибающей выгодного*
сигнала C.37) в соответствии с формулами Д3.32), C.36)
yb2SE[t-R(x, у, t)/c]x
xS*E[t-R°(x, у; tJ\exp{^-]2nfo[R(x, у; t)h-
—R°(*> У\ t)]/c}dxdydt. C.39)
Здесь R°(x, y\ t) определяется формулой C.31), где измеряемые
параметры заменены их опорными значениями.
Поскольку речь идет об узкополосных сигналах (Д///0<С1), не
все слагаемые JR (x, у; t) и R°(x, у; t) в выражении C.39) играют
одинаковую роль. Так, основной сдвиг огибающей SE(t) по вре-
времени дает член x = Rlb, а остальными можно пренебречь. Этот
член в показателе экспоненты характеризует неизвестную началь-
начальную фазу и дает несущественный множитель, выходящий из-под
знака интеграла, а остальные слагаемые существенно влияют на
результат интегрирования. Необходимо также учесть, что в по-
показателе экспоненты C.39) фигурирует линейная разность дей-
действительных и опорных значений измеряемых параметров, а для
огибающих \SE(t—т) и S*E(t—т°) имеет значение только сдвиг по
времени т—т°. Поэтому интеграл C.39) является функцией раз-
разности действительной и опорной совокупности значений v/==v—
_v«= {т7, F', и'Ху у'у; и'* й'у), где %'=%—т°, F' = F-F° и т. д.
Учитывая вышеизложенное, после замены переменных vx = xj%r
vy = y/K и отбрасывания несущественных множителей получаем
развернутое выражение для сигнальной составляющей простран-
ственнонвременного корреляционного интеграла
uy + u'yt)]}dvxdvydt. C.40)
При нулевом рассогласовании v'=0, как и в чисто временной задаче, ин-
интеграл C.40) дает полную энергию принимаемого сигнала
= AV\-ul—uy ]o,5 \SE(t)\*dt=90V I—ul-u2y. C.41)
—-oo
76
Здесь
А= [°j \G(xi y)\4xdy=№ JJ \G(vx, vy)\*dvxdvv
— oo —oo
— эффективная площадь антенны; 0,5\SE(t)\2 — плотность потока мощностш
(на волновом сопротивлении 1 Ом); 0,5|5я@ l2]^!—и2х—и2у — составляющая
плотности потока мощности в направлении нормали к раскрыву;
0,5|S(^) |2=0,5|Sje@ |2Л]/1—и2х—и2у — мощность принимаемого высока*
частотного сигнала (на сопротивлении 1 Ом);
S(t)=SE (
— комплексная амплитуда суммарного высокочастотного сигнала фазированной,
антенны;
3«=YA J\SEV)\2dt C-44I
— максимальная энергия сигнала, воспринимаемая антенной, когда прием про-
изводится с направления нормали к раскрыву.
Таким образом, при оптимальном приеме отношение сигнал-
шум 9/Nq= (Эо/No) V 1—u2%u2y зависит от направления прихода
волны относительно нормали к плоскости раскрыва антенны. В
антеннах с механической настройкой на направление приема пу-
путем поворота антенны всегда справедливо Э = Э0. Энергию при-
принимаемого сигнала Э находим из уравнений дальности (см. § ЗА}
и при заданных размерах зоны обзора определяется двумя энер-
энергетическими входными параметрами системы, пространственным
и временным.
Временным энергетическим параметром является средняя мощ;~
ность излучения или энергия излучаемого за один период обзо,-
ра сигнала Эизл. Излучение энергии в пределах зоны обзора мо-
может производиться как последовательно, так и одновременно в за-
зависимости от принятого метода обзора. В обоих случаях в зоне
расположения приемной антенны создается плотность потока4-
энергии 0,5 j \SE(t)\2dt9 которая входит в качестве сомножителе
в соотношение C.41).
Пространственным энергетическим параметром системы являг
ется эффективная площадь антенны А. Эффективная площадь ан-
тенны, видимая с направления прихода волны, AVf\—и\—u2w
входит в качестве второго сомножителя в C.41). Эффективная
площадь связана с физической .площадью раскрыва антенны S
известным соотношением
Л=7Сд5, C.45)
где
f ' ^, vy)\*dv*d0y C,46?
п
— коэффициент использования раскрыва антенны (без учета по-
потерь в антенно-фидерном тракте). С учетом энергетических потерь
ДА = 0,4...0,8.
Огибающая корреляционного интеграла . C.37) является функ-
функцией расстройки по всем шести измеряемым параметрам и в мо-
момент максимума Z=|Z(v~v°)| определяется формулой B.14). Ее
получают детектированием сигнала на выходе линейного тракта
приемника. В выходном устройстве производится обнаружение
.объектов путем испытания огибающей корреляционного интегра-
.яа на порог или измерения параметров их движения по методу
максимума правдоподобия, как и в приемнике временных сигна-
сигналов.
При определении вида операций над входным воздействием в оптимальном
пространственно-временном приемнике в первую очередь необходимо учиты-
учитывать наличие пространственной и временной когерентности сигналов. Отсутст-
Отсутствие хотя бы одной из них не позволяет производить полностью когерентную об-
обработку сигналов по высокой частоте, она возможна лишь в пределах интер-
интервала когерентности. Затем сигналы детектируются и дальнейшая их обработка
производится некогерентно суммированием огибающих частных сигналов. О
временной когерентности уже была речь в § 3.4, поэтому остановимся на
пространственной когерентности.
Оптимальная когерентная обработка сигналов при очень больших аперту-
апертурах, когда отдельные элементы антенн разнесены на значительные расстояния,
возможна лишь в том случае, если обеспечивается когерентная связь (извест-
(известны фазовые соотношения) между сигналами разнесенных элементов. В про-
противном случае их фазирование и когерентное суммирование неосуществимо.
Так, при условии когерентности сигналов нескольких станций, далеко отстоя-
отстоящих друг от друга, их антенны в совокупности можно считать раскрывом од-
одной большой пространственной системы, сигналы которой обрабатываются (фа-
(фазируются) по высокой частоте. Если же когерентной связи нет, система пред-
стдвляет собой совокупность отдельных станций, сигналы которых обрабатыва-
обрабатываются порознь когерентно, а результаты обработки затем объединяются неко-
некогерентно. Аналогично сигналы большой длительности можно разбить на участ-
участки, в пределах которых когерентность сохраняется и возможна когерентная
обработка, но результаты обработки частных сигналов можно суммировать
дашп> некогерентно.
Таким образом, наличие пространственной и временной когерентности поз-
позволяет наиболее полно реализовать возможности в системах со сколь угодно
большой протяженностью во времени и пространстве. Если же на всем интерва-
интервале когерентность не обеспечивается, он делится на участки когерентности.
Дробление энергии сигнала между участками когерентности ведет (как уже
отмечалось) к энергетическим потерям в \/п раз (п — число участков), отри-
отрицательно сказывается не только на качестве обнаружения сигналов, но и на
точности измерений параметров движения объектов.
Соотношения, описывающие выходные сигналы пространствен-
пространственно-временного и чисто временного оптимальных приемников, иден-
идентичны, если входные шумы имеют равномерную спектральную
плотность как по временным, так и по пространственным часто-
78
там. Применительно к пространственным частотам это условие
выполняется (как отмечалось) только в том случае, когда внеш-
внешними шумами можно пренебречь. Однако если учитывать и внеш-
внешнюю, и внутреннюю составляющие шума, то спектральная плот-
плотность входного шума согласно формуле C.34) при замене коор-
координат х я у пространственными частотами vx и vy оказывается
неравномерной по раскрыву:
К т \O(pXt vl
C.47)
где Nq = N/o+N//o. Неравномерный шум можно свести к равномер-
равномерному со спектральной плотностью А/о, если вместо действительной
ввести эквивалентную функцию раскрыва
sk(i>*, vv)=NoG{vx, vy)/[N'o+>N"o\G(vx, vy)\*].
C.48)
Аналогично можно учесть и действительную неравномерность
спектральной плотности внешнего шумового поля, вызванную ра~
. диоизлучением звезд и галактик, рассматривая N"o в формуле
C.48) как функцию пространственных частот.
Таким образом, если учитывать не только внутренние шумы
системы, но и внешний шум, необходимо в качестве пространст-
пространственной характеристики системы использовать эквивалентную
функцию раскрыва, так же как в качестве временной характе-
характеристики описанный ранее эквивалентный спектр огибающей сиг-
сигнала. Именно эквивалентные характеристики определяют в общем
случае свойства системы.
Необходимо отметить, что по мере увеличения доли внешних
шумов (отношения AT'o/W'o) эквивалентная функция раскрыва
приближается к равномерной (рис. 3.9). Это равноценно некого*
рому сжатию основного лепестка диаграммы направленности и
росту уровня боковых лепестков выходного сигнала по угловым
координатам. В пределе, когда внутренними шумами можно пре~
небречь, антенна с любой функцией раскрыва эквивалентна ан-
антенне с равномерным раскрывом, т. е. выбор желаемой простран-
пространственной характеристики системы — функции раскрыва антен-
антенны — становится невозможным.
&m^V/
Рис. 3.9. Связь эквивалентной и реаль-
реальной функций раскрыва при различных
соотношениях между внешними и вну-
внутренними шумами
Главам ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМНИК
КАК СОГЛАСОВАННЫЙ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ
ФИЛЬТР ИЛИ КОРРЕЛЯТОР
4.1. ОПТИМАЛЬНАЯ СТРУКТУРА
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОГО
ПРИЕМНОГО УСТРОЙСТВА
'Радиолокационный сигнал C.36) как пространственно-временной
^континиум, воспринимаемый раскрытом антенны при воздействии
^аддитивных гауссрвских шумов, равномерно распределенных по
временным и пространственным частотам, позволяет определить
структуру оптимального приемника в соответствии с теорией оп-
оптимальной фильтрации, разработанной для временных сигналов.
Согласно этой теории оптимальный приемник представляет собой
согласованный с чистым входным сигналом (без шумов) фильтр
или коррелятор. Функция передачи такого фильтра комплексно-
сопряжена со спектром сигнала, или импульсная характеристика
его является зеркальным отражением собственно сигнала, что рав-
лосильно, поскольку обе функции однозначно связаны между со-
собой преобразованиями Фурье.
Ввиду полного подобия пространственных и временных харак-
характеристик, используемых при описании входного сигнала как функ-
дии пространства и времени, оптимальный приемник такого сиг-
сигнала представляется в виде пространственно-временного согла-
согласованного фильтра или коррелятора. Поскольку в данном случае
входной сигнал и его спектр описываются комплексными функ-
функциями, импульсная характеристика и функция передачи оптималь-
оптимального пространственно-временного приемника представляют собой
функции, комплексно-сопряженные с характеристиками сигнала.
В общем случае входной сигнал и структура согласованного с
*ним пространственно-временного приемника описываются доволь-
довольно сложно. Однако задача существенно упрощается, если учесть
предположения, сделанные ранее при выводе формулы C.40), ко-
• торые справедливы для сравнительно узкополосных сигналов и не
слишком больших антенн, используемых в большинстве реальных
систем, т. е. если можно пренебречь переходными процессами при
падении волны на раскрыв антенны. Сущность .переходных про-
процессов состоит в том, что при наклонном падении на раскрыв ан-
антенны короткого волнового пакета (радиоимпульса) в некоторые
моменты времени (особенно в начале и в ^конце этого пакета) об-
облучается не весь раскрыв, как это было бы при облучении его
непрерывной несущей, а только часть раскрыва. Поэтому диаг-
диаграмма направленности, соответствующая полностью облученному
SO
раскрыву, устанавливается не сразу или вообще не успевает
сформироваться.
Переходные процессы на раскрыве можно не учитывать, если
время прохождения волной раскрыва антенны die много меньше
интервала корреляции сигнала ти=1/Л/, т. е.
Afdfc<\l. N D.1)
Это условие выполняется для сигналов с шириной спектра А/ до
нескольких мегагерц и антенн с раскрывом d до нескольких де-
десятков метров.
При условии D.1) в соответствии с соотношением C.32) пос-
после замены реальных координат раскрыва х, у угловыми прост-
пространственными частотами vx, vy сигнал на входе пространственно-
временного приемника с точностью до постоянного множителя
описывается комплексной функцией
SE{vx, iy, t)&G(vX9 vy)SE{t—x)exp{}2n[Ft +
D.2)
Соответственно характеристика согласованного приемника яв-
является комплексно-сопряженной с сигналом D.2) функцией. Од-
Однако вместо истинных параметров сигнала т, F, иХу иу, йх, йу при
этом нужно вписать опорные значения т°, F°, u°x, и°у, й°х, й°уу на
которые настроен приемник, в общем случае не равные истинным.
Отсюда следует, что для достижения максимального выходного
эффекта приемник должен быть не только согласованным, но и
настроенным на параметры входного сигнала. Поскольку эти па-
параметры обычно неизвестны и подлежат измерению, оптимальный
приемник должен быть многоканальным или последовательно пе-
перестраиваемым по всем значениям измеряемых параметров (если
перестройка не связана с энергетическими потерями). При этом
необходимо иметь в виду, что оптимальный приемник в виде
фильтра (но не коррелятора!) не требует настройки по дальнос-
дальности, перестройка по угловым координатам в принципе не связана с
энергетическими потерями, а перестройка по радиальной скорос-
скорости всегда ведет к энергетическим потерям, когда спектр сигнала
находится вне полосы пропускания. Таким образом, оптимальный
приемник обязательно должен быть многоканальным по радиаль-
радиальной скорости.
Необходимо особо остановиться на настройке по угловой
скорости удаленных объектов, угловая скорость которых обычно
невелика (не более 10~2 рад/с), а время облучения объекта (об-
(общая длительность сигнала) в обзорных станциях также ограни-
ограничено (сотые доли секунды). В итоге угловое перемещение объек-
объекта за время облучения не превышает долей миллирадиана, т. е.
направление на объект можно считать постоянным и, следователь-
следовательно, влиянием угловой скорости (расстройки приемника по про-
производным направляющих косинусов) при относительно небольших
раскрывах можно пренебречь, положив в выражении D,1) йх =
= %=0. В этих условиях входной сигнал \D.2) представляется а
81-
виде произведения двух независимых функций, временной и про-
пространственной:
SE{vx, vy\ l)~SE(t—%)exp(]2nFt)X
XG(vx, Vy)exp[Jn(vxux + vyUy)]. D.3)
Следовательно, и приемник пространственно-временных сигналов
можно представить в виде последовательно соединенных незави-
независимых трактов: пространственного и временного. При этом поря-
порядок следования трактов в линейной части приемника не имеет
значения. Обычно сначала производится пространственная обра-
обработка сигналов по раскрыву антенны, затем временная. Однако в
некоторых системах, наоборот, сначала сигналы каждого элемен-
элемента раскрыва подвергаются временной фильтрации, а затем произ-
производится их пространственная обработка.
Структура временного тракта, т. е. оптимального приемника
чисто временных сигналов, уже была рассмотрена в гл. 2. По-
Поэтому далее основное внимание будет уделено построению прост-
пространственного тракта оптимального приемного устройства.
Пространственно зависимый член входного сигнала D.3) с
учетом ранее введенного множителя X2 У^\—и2хо—и2уо, учитываю-
учитывающего зависимость сигнала антенны от направления прихода вол-
волны относительно раскрыва антенны, представляет собой урловой
пространственный спектр входного сигнала
l—u2xO—u2yo G {vXi vy)X
y)l D.4)
Функция передачи пространственного тракта согласованного
приемника в присутствии шума с равномерным пространственным
спектром является комплексно-сопряженной со спектром D.4) ха-
характеристикой (с точностью до постоянного множителя)
* H0(vx, vy) = G*(vx, Vy)exp[—]2zt{vxuox+VyU°y)]. D.5)
Произведение функций D.4) и D.5) дает пространственный
спектр выходного сигнала пространственного тракта приемника
(без учета шумов) в функции расстроек и'ХуУ=иХ)У—и°х>у:
Xexp![j2n (vxu'x+vyu'y)l D.6)
Сам выходной сигнал пространственного тракта как результат
суммирования функции D.6) по всему раскрыву
Z8(u'X9 и'у)=Х2У1—и2хъ-и\ъ f) \G(vx, vy)\2X
— оо
D.7)
является обратным преобразованием Фурье от функции ] G {юх>
vv) I2> т- е- описывает некую результирующую выходную диаграм-
му направленности. Ее размеры в максимуме (и/х = и/у=0) харак-
82
теризуют согласно формуле C.42) видимую эффективную пло-
площадь антенны
Рх> vy)l2dvxdvy, D.8)
которая является пространственным энергетическим параметром
системы, а нормированная функция D.7) характеризует форму
выходного сигнала оптимального приемника в зависимости от уг-
угловых координат.
Соотношение D.6) описывает процесс пространственной согла-
согласованной фильтрации, подобной временной согласованной фильт-
фильтрации в обычных приемниках. Однако обратное преобразование
Фурье D.7), происходящее при интегрировании пространственно
отфильтрованных сигналов по ©сем координатам раскрыва антен-
антенны, является дополнительной операцией, отличающей пространст-
пространственный тракт приема от временного, где такая операция отсутст-
отсутствует. Заметим, что в обычных антеннах также выполняется об-
обратное преобразование Фурье — формирование диаграммы нап-
направленности антенны в результате когерентного суммирования по-
поля в раскрыве. Однако пространственная согласованная фильтра-
фильтрация в обычных антеннах не'производится, что при наличии внут-
внутренних шумов приемника ведет к энергетическим потерям, а так-
также (как будет ясно из дальнейшего изложения) к снижению точ-
точности измерений и разрешающей способности по угловым коорди-
координатам.
Чтобы осуществить оптимальную пространственную фильтра-
фильтраций, нужно раздельно управлять амплитудой и фазой сигнала в
каждой точке раскрыва, что в антеннах со сплошным раскрывом
невыполнимо. Однако отличительной особенностью пространствен-
пространственных характеристик является то, что непрерывную функцию раск-
раскрыва можно заменить практически эквивалентной ей дискретной
функцией, если линейный интер;вал дискретизации не превышает
Я/2. Отсюда следует, что пространственный согласованный фильтр
или коррелятор можно построить только на основе ФАР. Для
описания же общих свойств устройства можно по-прежнему поль-
пользоваться более удобными для анализа непрерывными' функциями.
Определим чвид оптимальной функции передачу пространствен-
пространственного тракта системы D.5) для эквидистантной ФАР с линейным
шагом. Ь между ее элементами, число которых N по любой из двух
координат раскрыва может быть четным или нечетным. При этом
положение /-го элемента относительно центра раскрыва
-^-, i = 0, ±1, ±2,..., ±N ~ ] , N—нечетное,
i(i—i/2\i\) — 9 / = ±1, ±2,..., ± — , А7—четное,
А **
83
где |t| — абсолютное значение числа и Настройка системы на
заданное направление может быть как раздельной по каждой из
двух угловых координат, так я; совместной по обеим координатам.
При раздельной настройке функцию раскрыва по координате
х или у (в общем случае комплексную) и линейные ino этой ко-
координате фазовые сдвиги принимаемого с направления их или щ
сигнала в канале f-ro элемента ФАР заменяем дискретными от-
отсчетами:
Тогда функция передачи пространственного согласованного фильт-
фильтра или коррелятора, настроенного на направление и°х,у, согласно
формуле D.5) применительно к одной координате определяется
совокупностью комплексных чисел, общий член которой для 1-го
элемента ФАР имеет вид
#о< = Я*ехр(—jcp°i), D.9)
где
Bi = kG*i . D.10)
— весовой множитель (k — вещественный коэффициент);
о= №.* TV —нечетное,
* \i(l — i/2\i\)ipXty, N—четное,
— вводимый фазовый сдвиг;
Цх,у = —2п(ЫХ)и°х,у D.12)
— фазовый сдвиг между сигналами соседних элементов при па-
стройке на направление и°х или и°у, который при" Ь = %/2 прини-
принимает значение г|)зд=—ми°х,у
Аналогично при совместной настройке по обеим координатам
для ij-го элемента ФАР
Gij=G(vxh vyj); yij = 2n(vxiuxJt-Vyjuy).
При этом функция передачи согласованного пространственного
фильтра или коррелятора, настроенного на направление и°х, и°у,
в соответствии с формулой D.5) принимает вид матрицы, общий
член которой для ij-ro элемента ФАР
—j<P°ii)> , _ DЛЗ)
где
Bi5=kG*ih D.14)
(i4px+j%i TV —нечетное,
а величины of)x и г|)у описываются формулой D.12).
В соответствии с полученными формулами определяется струк-
структура пространственного тракта в виде согласованного фильтра
84
а)
Рис. 4.1. Схема пространственного тракта согласованного приемного* устройст-
устройства на линейной ФАР
или коррелятора. Пространственный согласованный фильтр (рис-
4.1,а) содержит в канале каждого элемента ФАР усилитель с
комплексным (в общем случае) коэффициентом передачи и фа-
фазовращатель для настройки на заданное направление приема (на
рисунке приведен одномерный случай). Пространственный кор-
коррелятор (рис. 4.1,6) отличается от фильтра тем, что требуемые
для настройки фазовые сдвиги придаются в блоке фазовращате-
фазовращателей гетеродинным напряжениям частоты /г , подаваемым на сме-
смесители в каналах элементов решетки, в результате настройка кор-
коррелятора на заданное направление приема достигается не на вы-
высокой fo, а на промежуточной /Пр частоте.
Обычно коэффициенты вц и Вц симметричны (по модулю) ш*
обеим координатам и, за исключением специальных случаев, ве-
вещественны, что соответствует синфазной антенне. Расфазировку
и последующее оптимальное сжатие диаграммы направленности
(комплексные коэффициенты) используют иногда в многоканаль-
многоканальных РЛС с активными ФАР для облучения широкой зоны обзо-
обзора при сохранении высокой разрешающей способности но нап-
направлению.
Система типа пространственно-временного фильтра или корре-
коррелятора на ФАР обладает рядом преимуществ перед устройствам»*
на антеннах со сплошным раскрытом. Эти преимущества объяс-
няются как достоинствами самих ФАР, так и результатом сов-
совместной пространственно-временной обработки, недостижимы»'
при раздельной обработке. К достоинствам ФАР относится воз-
возможность одновременной работы по нескольким объектам в са-
самых различных режимах (поиск, захват, слежение). Благодаря
гибкому электронному управлению лучом или несколькими луча--
ми одновременно значительно возрастает темп обзора пространст-
пространства (возможен практически мгновенный обзор всей заданной зо-
зоны), а также качество обнаружения и точность измерений. Оаж~
обладают высокой механической прочностью, не требуют антен-
антенного привода и громоздких дорогих антенных обтекателей, не;
нуждаются в прецизионной обработке поверхности по лекалам и
«благодаря большому числу однотипных элементов удобны для
массового поточного производства. Снижаются энергетические
затраты, так как в РЛС со сплошными подвижными антеннами
иногда до 50% мощности расходуется на громоздкий антенный
привод, а наличие люфтов, трения и влияние ветровой нагрузки
приводит к дополнительным угловым ошибкам. Надежность РЛС
на ФАР исключительно высока: выход из строя до 20... 30% эле-
элементов в случайной последовательности практически не снижает
угловой точности и разрешающей способности. К сожалению,
ФАР пока еще очень дороги, тяжелы, имеют повышенную шумо-
шумовую температуру и большие потери мощности на высокочастот-
высокочастотных элементах. Однако эти недостатки с течением времени прео-
. долеваются.
Совмещение пространственной и временной обработки при на-
наличии ФАР позволяет реализовать такие дополнительные преиму-
преимущества, как сверхбыстрый обзор © течение одного импульса, гиб-
гибкий последовательный поиск, учитывающий возможность приня-
принятия решения на каждом очередном шаге и поэтому дающий до-
дополнительное снижение затрат энергии и времени, а также дру-
другие результаты, которые нельзя получить при раздельной обра-
обработке.
4.2. ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ТРАКТ
СОГЛАСОВАННОГО ПРИЕМНИКА
РАДИОСИСТЕМ С АНТЕННЫМИ
РЕШЕТКАМИ
Многие характеристики и даже сама возможность реализации
оптимального пространственно-временного приемника зависят от
вида ФАР, применяемых в системе. По виду связи с приемно-пе-
/редающим трактом ФАР подразделяются на облучаемые и кон-
„дуктивные.
Облучаемые ФАР* (рис. 4.2) бывают линзовые (рефрактор-
(рефракторные) и зеркальные (рефлекторные). Они выполняют соответствен-
соответственно роль линзы или зеркала и по ряду показателей сходны со
^сплошными антеннами соответствующего вида. В частности, из-
излучение и прием в каждом периоде посылок возможны только в
жадном направлении. Однако благодаря безынерционному элект-
электрическому сканированию они допускают быстрое (от импульса
•к импульсу) переключение с одного направления на другое, что
в обычном масштабе времени равносильно параллельной работе
ъ нескольких направлениях.
По сложности зеркальные и линзовые ФАР примерно одина-
одинаковы, только линзовые содержат не одну, а две решетки — вход-
входную и выходную. Управляющие фазовращатели используют для
* Облучаемые антенны часто называют антеннами с оптическим облуче-
-вдем.
Излучаемая бол на
Облучающая
волна . СчХ
Настройка
Рис. 4.2. Схемы пространственного тракта системы на облучаемых ФАР
фазирования (настройки) системы на заданное направление, а до-
дополнительные щллимнрующие — для преобразования расходя-
расходящейся сферической волны облучателя в плоскую (излучение) и
плоской волны в сходящуюся сферическую (прием). В отличие от
сплошных антенн, обычно выполняемых в виде зеркал, предпоч-
предпочтение по ряду причин отдается линзовым ФАР. Во-первых, в них.
благодаря прямому прохождению волны сокращается волновод-
ньш тракт и отсутствует затенение раскрыва рупором, что особен-
особенно важно для измерительных систем с громоздким четырехру-
порным облучателем и четырехканальным фидером, где возника-
возникают паразитные набеги фазы, снижающие точность угловых изме-
измерений. Во-вторых, линзовую ФАР можно поместить в раскрыв
большого руцора, являющегося продолжением облучателя, что
значительно улучшает энергетические и шумовые характеристика
антенн: отсутствует излучение мимо раскрыва и ничтожно проник-
проникновение шумов земли в приемник по задним боковым лепесткам,
диаграммы направленности. В-третьих, существенно выше меха-
механическая прочность системы, так как всю конструкцию, кроме са-
самих элементов решетки, можно разместить за прочным укрытием
(в зеркальных ФАР снаружи остается облучатель с подводящи-
подводящими фидерами).
Приемники систем с облучаемыми ФАР реализуются обычно-
только как пространственные фильтры последовательного обзора.
Оптимальная весовая обработка сигналов по раскрьшу ФАР в та-
таких системах нереализуема.
Кондуктивные ФАР — наиболее совершенный вид антенн: на
них строятся пространственные тракты оптимальных приемников-
обоих видов — фильтры и корреляторы; они допускают как по-
последовательный обзор пространства сканированием луча, так и-
одновременный многоканальный обзор всей зоны.
Сканирующие системы с приемниками типа пространственного-
фильтра строятся на ФАР с последовательным и параллельным
возбуждением (рис. 4.3). Схема последовательного возбуждение
проще, поскольку все фазовращатели одинаковы, однако менее
надежна, так как дефекты фидера вблизи входа нарушают рабо-
работу всего ряда элементов решетки. ФАР с параллельным возбуж-
8Г
"Рис. 4.3. Схемы сканирующей системы на кондуктивных ФАР с последователь-
последовательным (а) и параллельным (б) возбуждением ,
,дением дозволяют включать отдельные источники СВЧ .колебаний
в каждом элементе (активные решетки) в виде усилителей мощ-
мощности (УМ), когерентно возбуждаемых от общего тракта передат-
передатчика, вырабатывающего сигнал заданной формы. Благодаря это-
_му достигается чрезвычайно высокая выходная мощность ФАР
_жри сравнительно'низкой мощности в отдельном ее элементе (ис-
(исключается опасность пробоя). Антенные переключатели (АП)
«обеспечивают работу элементов ФАР в режимах излучения и
^приема.
Недостатком перестраиваемых пространственных, фильтров с
¦ кондуктивными ФАР являются значительные потери энергии в
протяженных фидерах и высокий уровень шума в фазовращате-
фазовращателях, рассчитанных на большие мощности. Пространственный тракт
.приемника типа перестраиваемого коррелятора в системах с кон-
.дуктивными ФАР свободен от указанных недостатков и позозоля-
ст реализовать дополнительные возможности. В сканирующих сис-
ггемах на ФАР этого типа (рис. 4.4,а) канал каждого элемента
решетки включает приемно-передающие секции (<ППС), содержа-
ще почти все элементы приемно-передающего тракта обычной
^станции, кроме генератора управляющих сигналов передатчика и
-оконечных каскадов приемника (рис. 4.4,6). Генератор управляю-
управляющих сигналов вырабатывает сигнал заданной формы на проме-
-жуточной частоте /Пр и гетеродинное напряжение частоты fr , ко-
которое подается на смесители (См) каждой ППС пространствен-
пространственно разнесенных каналов через секцию фазовращателей. Благода-
Благодаря этому обеспечивается настройка системы на заданное направ-
направление по' промежуточной частоте /Пр в приемном тракте и по вы-
ясокой частоте /o = f ^—fnp в передающем. Оконечные каскады при-
приемника содержат все элементы приемного тракта начиная с ос-
основного У(ПЧ.
Секция фазовращателей выполняется в различных .вариантах.
В варианте, приведенном на рис. 4.4,в, переменный фазовый сдвиг
гетеродинных напряжений смежных каналов ty = 2nvfy создается
Смесители 2
Смесители 1
Гетеродин
Упраоляё-
мый
генератор
Рис. 4.4. Схемы сканирующей системы с пространственным трактом корреля-
корреляционного типа на приемно-передающих секциях в канале каждого элементам
ФАР (а), ППС (б) и секция фазовращателей (в)
на секционированной линии задержки путем изменения частоты .
управляемого генератора /у пропорционально приложенному нап-
напряжению ?/у. С отводов линии задержки снимаются напряжении
с нужными фазовыми соотношениями, но переменной частотой fy.
Чтобы перенести эти фазовые соотношения на гетеродинное нап-
напряжение постоянной частоты /г , используют два набора смесите-
смесителей. В первом полученная разность фаз переносится на колебания
разностной частоты fr —fy, которая также непостояннау а во вто-
втором наборе — на колебания частоты /г стабилизированного ге-
гетеродина, суммарной по отношению к частотам входных напря-
напряжений вторых смесителей.
Замена фазовращателей пространственного фильтра смесите-
смесителями пространственного коррелятора полностью исключает поте-
потери энергии излучаемого и принимаемого сигналов в фазовращате-
фазовращателях. Секция фазовращателей работает всегда в благоприятном
режиме в отличие от управляющих фазовращателей пространст-
пространственных фильтров, где проходящий через них сигнал либо слишком
сильный (излучение), либо слишком слабый (прием). Следует при
этом отметить, что фазовращатели, рассчитанные на большую
мощность излучения, обладают низкими шумовыми свойствами,
что снижает чувствительность приемника.
Достоинства приемных устройств типа пространственного кор-
коррелятора наиболее отчетливо проявляются в системах с плоскими
„двумерными ФАР, принцип управления настройкой которых на
заданное направление схематически иллюстрируется рис. 4.5 для
решетки из 3X3 элементов.
В системах с приемниками типа пространственного фильтра
возможно как непосредственное управление настройкой системы
;на заданное направление, так и с помощью пересчетной схемы.
Непосредственное управление настройкой раздельно по каждой
.из двух угловых координат достигается с помощью пары фазовра-
фазовращателей, последовательно включенных в каналах каждого элемен-
элемента ФАР (рис. 4.5,а). Все азимутальные и все угломестные фазо-
зращатели совершенно идентичны и управляются как одно целое
по заданным значениям азимута и угла места соответственно сог-
согласно формулам D.11), D.12). Таким образом, общее лисло фа-
фазовращателей в устройстве этого типа равно удвоенному числу
элементов ФАР. В устройстве управления с пересчетной схемой
(рис. 4.5,6) фазовращателей вдвое меньше, поскольку в каналах
элементов ФАР включается только по одному фазовращателю.
Пересчет углов настройки и°х и и°у в фазовый сдвиг ср^ канала
i/-ro элемента производится в соответствии с формулами D.12),
D.15), где i и / — номера рядов и этажей решетки, отсчитывае-
Смесители
> Фазобращатели
азимута
'угла
места
Рис. 4.5. Управление двумерной антенной решеткой в приемниках типа прост-
пространственного фильтра с независимой (а) и совместной (б) настройкой и я
приемнике типа пространственного коррелятора (в)
мые от середины. Фазовые сдвиги в фазовращателях всех .каналов-,
отличаются друг от друга, поэтому каждый фазовращатель уп-
управляется индивидуально. Обычно вносимые фазовращателям*
фазовые сдвиги квантуются, а пересчетная схема выполняется в
виде специализированной ЭВМ.
В системах с приемниками типа пространственного коррелято-
коррелятора вместо фазовращателей используют смесители, на которые че-
через секции фазовращателей подаются гетеродинные напряжения
частоты / с нужными фазовыми сдвигами (рис. 4.5,в) Один ин-
инвариантов секции фазовращателей приведен на рис. 44 в По-
Поскольку схема управления настройкой системы по углу имеет-
только один входной сигнал гетеродина, 'число секций фазовра-
щател*ч3'существенно меньше числа фазовращателей в простоан-
ственном фильтре, где входной сигнал у каждого фазовращателя-
свои. В данном случае включается одна секция фазовращателей-
настройки по углу места и набор секций настройки по азиму-
азимуту — по числу этажей решетки, причем все секции идентичны и:
управляются как одно целое. Тем самым в пространственном кор-
корреляторе обеспечивается независимая застройка по азимуту (и°х)
и углу места (и°у) согласно формулам D.11), D.12) непосредст-
непосредственно, без пересчетной схемы. К сожалению, при гетеродинирова-
нии каналов всех элементов ФАР существенно удлиняется высо-
высокочастотный фидерный тракт.
Системы на кондуктивных ФАР с приемниками типа простран-
пространственного фильтра или коррелятора допускают мгновенный мно-
многоканальный обзор всей зоны при условии, что в режиме излуче-
излучения она целиком облучается одним из указанных выше способов.
Затраты времени на обзор минимальны и определяются только*
временем запаздывания сигнала от самого удаленного объекта._
Отличительной особенностью таких систем является многоканаль-
многоканальный выход (рис. 4.6). В этих системах для пространственной об-
г -? '-/ хо м ¦
Рис. 4.6. Пространст-
Пространственный тракт приемни-
приемника многоканальной си-
системы мгновенного об-
обзора
9 С
работки сигналов ФАР можно использовать также оптические
устройства, которые по своей природе эквивалентны многоканаль-
многоканальным электронным устройствам.
Структура многоканальных систем мгновенного обзора непо-
непосредственно вытекает из структуры сканирующих систем, если
«единственный последовательно перестраиваемый канал обработки
сигналов заменить набором таких каналов, настроенных на нес-
несколько фиксированных направлений. Для плотного перекрытия зо-
<ны обзора по любой из двух угловых координат направления на-
настройки разделяются интервалом, примерно равным ширине ос-
основного лепестка диаграммы направленности ФАР:
Aux,y=l/Avx,y=X/dx,y) ф D.16)
.где dx,y — линейный размер решетки, a AvXiy = dx,yfX — ширина
углового спектра (относительный размер). Для исключения связи
между лучами угол разноса выбирают таким, чтобы направление
-максимума одного луча совпадало с направлением нуля соседне-
соседнего луча. Для фазирования i-rd элемента на k-e направление
^А вводится фазовый сдвиг
/X)kAu°x,y = ikty, D.17)
аде
— вносимый фазовый сдвиг между сигналами соседних лепесг-
жов ФАР; Ь — шаг решетки.
Фазирование (настройка) системы на заданные направления
^производится в пространственном фильтре по высокой частоте с
.помощью фазовращателей (рис. 4.6,а), а в пространственном кор-
корреляторе ио промежуточной частоте с помощью смесителей, на
которые подаются гетеродинные напряжения через фиксирован-
фиксированные фазовращатели (рис. 4.6,6). Фазовращатели бывают узкопо-
узкополосные и широкополосные. Широкополосные фазовращатели, вы-
выполненные на линиях задержки (показаны на рис. 4.6,а), пригод-
пригодны для любых сигналов, включая сигналы с большой относитель-
относительной шириной спектра Af/fo. Разность времен прихода на сущест-
существенно различных частотах спектра широкополосных сигналов да-
~ет различный фазовый сдвиг, ограничиться компенсацией фазы
.лишь на частоте несущей нельзя, поэтому перед суммированием
•¦^сигналов решетки компенсируют непосредственно разность времен
-их запаздывания. У узкополосных сигналов ввиду малого разли-
различия частот в их спектре достаточно сфазировать сигналы решетки
та. частоте несущей.
Для снижения уровня шума в канале каждого элемента ФАР
-обычно включают усилитель с согласованной полосой пропуска-
пропускания и достаточно большим коэффициентом усиления или же пол-
полностью приемно-передающие секции рассмотренного выше типа.
^В последнем случае благодаря наличию генераторов в каждом
канале решетка излучает очень большую мощность, необходимую
для одновременного облучения всей зоны обзора.
Однако большие возможности многоканальных систем мгно-
мгновенного обзора пространства на кондуктивных ФАР достигаются
дорогой ценой. Особенной сложностью отличается фидерный
тракт, общая протяженность которого в некоторых системах сос-
составляет несколько десятков километров. Ввиду этого для таких
систем характерны значительные энергетические потери и фазо-
фазовые искажения в фидерах, а наличие в них большого числа гиб-
гибридных сочленений и других высокочастотных элементов создает
серьезные трудности при изготовлении, настройке и эксплуатации
системы.
Как компромисс между сложностью многоканальных систем
мгновенного обзора и недопустимо большим периодом обзора за-
заданной зоны в одноканальных системах со сканированием по обе-
обеим угловым координатам используют системы смешанного обзо-
обзора. Они сканируют только по одной угловой координате (обычно
по азимуту), а по второй производится многоканальный мгновен-
мгновенный обзор. При этом период обзора сокращается во столько раз,,
сколько угловых каналов укладывается по второй координате.
Следует также указать на одно важное для использования сме-
смешанных систем обстоятельство. Во многих случаях желателен
круговой обзор по азимуту и обзор в сравнительно узком секторе
но углу места. Поскольку в плоских неподвижных антенных ре-
решетках сектор мгновенного или последовательного обзора огра-
ограничен (90... 100°) из-за недопустимого расширения луча при боль-
больших углах отклонения его максимума от нормали к раскрыву и
соответствующего снижения коэффициента направленного дейст-
действия (КНД), для кругового обзора по азимуту практически тре-
требуется не одна, а четыре ФАР системы мгновенного обзора с
громоздким пространственным трактом. Если же использовать
круговое вращение антенны по азимуту, можно ограничиться од-
одной системой, имеющей ограниченное число каналов лишь по уг-
углу места. Таким образом, замена многоканальных систем смешан-
смешанными дает огромный выигрыш в объеме и сложности аппаратуры
при достаточно малом периоде обзора, обеспечивающем нужную
частоту обновления информации об объектах, находящихся в зо-
зоне обзора. При всем этом даже системы смешанного обзора -па
двум угловым координатам оказываются в 4... 10 раз дороже сис-
систем, измеряющих только одну угловую координату (и дальность).
4.3. ПОДОПТИМАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО ТРАКТА
РАДИОСИСТЕМ
Ввиду сложности пространственного тракта оптимального (согласованного)
приемника на практике используют устройства, в которых за счет некоторого
ухудшения характеристик системы или ограничений ее использования сущест-
существенно упрощается сама структура системы. Наибольшие возможности для это-
этого имеют системы с кондуктивными антенными решетками. Среди большого
числа вариантов реализации таких подоптимальных систем рассмотрим три
93
характерных примера: частотное сканирование, скрытое сверхбыстрое сканиро-
сканирование и применение диаграммообразующих матриц.
Частотно-зависимые системы обзора. При описании оптимальных систем
предполагалось, что средняя частота спектра сигнала в процессе работы систе-
системы остается постоянной, благодаря чему характеристики системы сохраняются
неизменными, а принимаемые сигналы когерентными. Это, однако, не исклю-
исключает перестройки системы на другую достаточно близкую частоту в случае по-
появления помехи на данной частоте. Близость перестраиваемых частот позво-
позволяет использовать одни и те же элементы антенно-фидерного тракта и сохра-
сохранить практически неизменными основные показатели системы (точность, разре-
разрешающую способность).
Если отказаться от условия постоянства средней частоты излучаемого сиг-
сигнала и пренебречь связанными с этим потерями, можно использовать частот-
частотное сканирование антенного луча, при котором переменный фазовый сдвиг ме-
между сигналами соседних элементов решетки создается при прохождении сигна-
сигнала с изменяющейся частотой несущей через элементы задержки. N
Принцип частотного сканирования в ФАР с параллельным возбуждением
состоит в следующем. Диаграмма направленности имеет максимум в том на-
направлении и°х,у, где разность фаз сигналов, принимаемых соседними элемен-
элементами решетки, 2п(Ь/Х)и0Х}У совпадает с разностью фаз 2я//Л, вызванной раз-
ностью их хода / до общей точки фидера, длина волны в котором равна Л,
или отличается на целое число 2я, т. е. 2л(Ь/Х1)иох>у=2п11А—2лл. Целое число
п выбирают таким, чтобы этот фазовый сдвиг не превышал заданного. Из по-
последнего выражения находим направление максимума луча
и°Х)У=(ЦЬ)%A1А—пП).
D,19)
Таким образом, зависимость углового положения луча от длины волны (ча-
(частоты) сигнала тем сильнее, чем больше длина фидера / между элементами ре-
решетки по сравнению с их шагом Ь. Для повышения l/b — чувствительности уг-
углового отклонения к изменению частоты — питающий решетку фидер выполня-
выполняют в виде пространственной спирали или плоской змейки (рис. 4.7,а). На кон-
конце замедляющих систем включается поглощающая нагрузка для создания ре-
режима бегущей волны в фидере. Конструкция в виде змейки более удобна. Од-
лако подключение к ней излучателей в местах изгиба (как показано на рисун-
Рис. 4.7. Частотное сканирование по одной угловой координате (а, б) и по
обеим угловым координатам (в)
94
ке) трудно реализовать, так как на малом шаге решетки (полволны) необходи-
необходимо разместить два волновода по узкой стороне, и, кроме того, условия возбуж-
возбуждения излучателей решетки в местах изгиба волновода неблагоприятны. Поэто-
Поэтому излучатели обычно делают в виде щелей по узкой стороне волновода; при
этом шаг при той же длине петли сокращается вдвое (два волновода в петле),
а разность фаз п в двух встречных волноводах петли компенсируется тем, что
щели выполняют с противоположным наклоном.
Как известно, длина волны в волноводе (для основного типа волны) и
коаксиальном кабеле соответственно определяется известными соотношениями
Л=Я/]/—(к/2аJ и,Л=Я/|/'|бо, где а — размер волновода по широкой стороне;
во —¦ диэлектрическая проницаемость изоляции коаксиального кабеля. Тогда за-
закон сканирования D.19) в функции частоты f = c/(K для волновода
u°x,v= (l/bf)(yf*/c*—U4a*-nc/l), D.20)
а для коаксиального кабеля
u°x,v= (l/bf) (fY^—ncIl). D.21)
Среднее значение частоты сигнала при сканировании обычно выбирают из усло-
условия u°Xt1/=0. Девиация частоты и длина отрезка / определяют пределы сканиро-
сканирования по углу.
Частотное сканирование возможно также в решетке с параллельным возбу-
возбуждением и эквивалентной ей антенне в виде диэлектрической линзы, облучае-
облучаемой параллельным пучком лучей (рис. 4.7.6). Различная степень замедления
сигналов по раскрыву антенны приводит к тому, что направление излучения на
ее выходе отклоняется в сторону большего замедления. Отклонение тем боль-
больше, чем длиннее волна, т. е. меньше частота, что и позволяет производить ска-
сканирование, изменяя частоту.
Решетки рассмотренного вида, возбуждаемые широкополосными сигналами
(например, ЛЧМ импульсами), можно использовать для мгновенного одновре-
одновременного обзора заданного сектора пространства. Попадающий в зону обзора
объект отражает сигнал только той частоты из всего спектра излучаемого сиг-
сигнала, которая излучается в данном направлении. Измеряя частоту этого сигна-
сигнала, можно определить угловое положение объекта. Именно это происходит при
разложении широкополосного белого света призмой на все цвета радуги, где
колебания наиболее низкочастотного, красного цвета отклоняются на больший
угол, чем все остальные. Поскольку каждому цвету на выходе призмы соответ-
соответствует свое направление, можно определить угловое положение неокрашенного
предмета, помещенного в освещенную зону, по цвету (частоте) отраженных от
него колебаний, наблюдаемых визуально.
В частотно-зависимых системах мгновенного обзора, где каждому направ-
направлению соответствует своя частота принимаемого сигнала, спектр и форма сиг-
сигнала отличаются от излучаемого. Ввиду этого в таких системах не реализуют-
реализуются потенциальные возможности. Во-первых, снижается точность измерения даль-
дальности, поскольку из всего спектра сигнала вырезается лишь некоторая его часть.
Во-вторых, возникает неопределенность угол — радиальная скорость,, так как
средняя частота спектра принимаемого сигнала зависит и от углового поло-
положения, и от радиальной скорости объекта. Эта неопределенность проявляется и:
в сканирующих частотно-зависимых системах.
95
Частотное сканирование возможно одновременно по двум угловым коор-
координатам, если чувствительность к изменению частоты по одной из координат
сделать в несколько раз выше, чем по другой, включив питающий фидер с
большим замедлением (рис. 4.7,в). При этом закон сканирования подобен те-
телевизионной развертке, быстрой в горизонтальной плоскости — по строке (вы-
(высокая чувствительность к изменению частоты) и медленной в вертикальной —
по кадру (низкая чувствительность). При изменений частоты сигнала фаза
питающих, отводы напряжений столько раз переходит через 2л; за время пол-
полного отклонения луча по вертикали, сколько строк в кадре. Сектор сканирова-
сканирования в горизонтальной плоскости лежит при этом в пределах ±л/2 по углу
(±1 по направляющему косинусу), т. е. больше, чем обычно требуется. Это
приводит к напрасным затратам энергии и времени на обзор пространства вне
заданного сектора. Потери энергии можно исключить, если предусмотреть вы-
выключение передатчика при нахождении луча вне заданного сектора, но потери
времени неизбежны. Если же сектор обзора по направляющим косинусам лежит
в пределах ±0,5 (±я/6 по углу), можно, изменяя фазу сигнала на я в момент
достижения лучом этих границ, повторно за цикл изменения фазы произвести
сканирование по строке в тех же пределах. При этом потери времени и энер-
энергии полностью исключаются, а требования к девиации частоты снижаются
вдвое.
Для частотного сканирования необходимо обеспечить высокую точность
выполнения и настройки тех элементов системы, которые определяют закон ска-
лирования. При сканировании по обеим угловым координатам эти требования
и отступления системы от оптимальности значительно возрастают.
Системы со скрытым сверхбыстрым сканированием. Важным достоинством
приемников типа пространственного коррелятора в системах на кондуктивных
ФАР является возможность сверхбыстрого (за длительность импульса) скрыто-
скрытого сканирования заданного сектора в режиме приема. Если при передаче ~ об-
облучается весь сектор, то такой метод работы равносилен мгновенному обзору
пространства с помощью приемных устройств, имеющих одноканальный пере-
перестраиваемый выход с временным или частотным разделением сигналов по уг-
угловой координате (рис. 4.8).
Принцип действия одной из систем с временным разделением сигналов
(рис. 4.8,а) состоит в том, что гетеродинное напряжение частоты /г смеши-
смешивается сб сложным периодическим напряжением частоты fc, богатым гармони-
гармониками (например, меандром), поступающим от модулятора. Гармоники биений
/г, /г±/с /г±2/с и т. д. выделяются фильтрами и подаются на соответст-
соответствующие смесители в каналах каждого элемента ФАР. Поскольку разность фаз
-сигналов, которые принимаются с направления их,у в каналах двух соседних
элементов решетки, разнесенных на интервал Ь, равна 2n(bux,y/'k—fct), макси-
максимум выходного сигнала наступает, когда сигналы всех элементов решетки в
канале УПЧ синфазны, т. е. выражение в скобках равно нулю. Отсюда нахо-
находим, что .направление максимума приема
uoXiy=(Xlb)fct, -Гск/2<^Гск/2, ¦ D.22)
является кусочно-линейной функцией времени: диаграмма направленности ФАР
в режиме приема сканирует по углу с периодом ГСк=1//с в пределах -
—1
96
Гетеро-
Гетеродин
УПЧ
Выходные
наснады
Смесители и
фильтры
/г
Модуля-
Модулятор
Kfz
УПЧ !
I.
Выходные
каскады
Генератор
им пуль -
сод
Рис. 4.8. Схемы систем скрытого
сверхбыстрого сканирования с вре-
временным (а, б) и частотным (в) раз-
разделением сигналов -/
Для нормальной работы системы необходимо, чтобы спектры сигналов со-
соседних каналов, имеющие ширину А/ и разнесенные на fc, не перекрывались,
т. е. fc&zAf. При fc'=Af период сканирования ГСк=1//с равен интервалу корре-
корреляции сигнала Дт=1/А/, т. е. длительности импульса на выходе согласованного
фильтра (для простых импульсных сигналов, без внутриимпульсной модуляции,
длительности излучаемого импульса). Таким образом, обзор всего сектора про-
происходит за время приема одного импульса. Если число элементов ФАР равно
N, то общая ширина спектра сигнала в канале УПЧ составляет NAf (частот-
(частотное уплотнение сигналов). Фазовые Соотношения между сигналами элементов
ФАР по промежуточной частоте на интервале Гск=Ат для объекта» находя-
находящегося на некотором^ направлении u°x,y=(k/b)fct, благоприятны только в тече-
течение небольшого отрезка времени Ax/=Ax/N=l/NAf. В результате из импульса
длительностью Ax=l/Af вырезается в N раз более короткий импульс Ат7, вре-
временное положение которого на интервале Гск указывает направление объекта
и°х,у. Происходит временное разделение сигналов, принимаемых с различных
направлений.
Съем угловой координаты можно произвести цифровым и аналоговым спо-
способами. При цифровом хпособе промежуток времени между началом периода
Гск и коротким импульсом на выходе заполняется счетными импульсами. По-
Показания счетчика импульсов пропорциональны направляющему косинусу. При
аналоговом способе используется быстрая линейная развертка, начало кото-
которой совпадает по времени с началом периода 7СК. Угловая координата опре-
определяется по положению отметки, создаваемой на экране индикатора коротким
импульсом, одновременно с измерением дальности по положению этой отмет-
отметки относительно зондирующего импульса на второй координате экрана с более
медленной разверткой.
4—94 97
Сокращение длительности импульса и расширение спектра по промежу-
промежуточной частоте в N раз не ведет к энергетическим потерям, если во входной
цепи каждого элемента ФАР стоит усилитель с согласованной полосой пропу-
пропускания и большим коэффициентом усиления, достаточным для того, чтобы на
сигнал не влияли шумы последующих цепей. Амплитуда же короткого импуль-
импульса равна амплитуде исходного импульса, из которого он вырезается при скани-
сканировании, а форма повторяет диаграмму направленности ФАР.
В другой системе с временным разделением (частотным уплотнением) сиг-
сигналов (рис. 4.8,6) используется гетеродинное ЛЧМ напряжение с периодом
Гск, подаваемое через секционированную линию задержки. Здесь частота гете-
гетеродинного напряжения периодически (с периодом Тсн) изменяется по линей-
линейному закону fr(t) =/Го+а^ где fго — срединное значение частоты гетеродина;
а — скорость ее изменения. При этом разность фаз гетеродинных напряжений,
снимаемых с двух соседних отводов линии, при условии 2я/Гот=2лл=0
(где п — целое число) оказывается кусочно-линейной функцией времени
ty=2n(fTQ-\-at)%=2na%t. Эта разность фаз переносится на сигналы соседних
элементов ФАР, снимаемые с выхода смесителей. Результирующая разность
фаз этих сигналов в канале УПЧ с учетом разности времени их прихода с
лаправления их>у равна 2п{ЬиХ)У1%—art), а выходной сигнал сумматора мак-
максимален, когда она достигает нуля. Отсюда следует, что направление максиму-
максимума приема
u°X)y=(Xlb)axt, — Гск/2<*<ГСк/2, D.23)
линейно изменяется в течение интервала Гск.
Если заданы симметричный сектор сканирования ±\иХ)У\м и период ска-
сканирования ГСк=Ат=1/А/, то скорость изменения частоты определяется соот-
соотношением a=2Afb\uX)y\ мАт и зависимость D.23) принимает вид
u\yl2\ux>y\m=AfU D.24)
т. е. относительное изменение угла определяется только шириной спектра им-
импульса. В данном случае, как и в предыдущем, в канале УПЧ происходит рас-
расширение спектра и сжатие импульса в N раз. Однако второй способ имеет
серьезные преимущества перед первым. Во-первых, исключаются потери време-
времени и излишне высокая скорость сканирования, так как обычно требуемый сек-
секатор сканирования 2\их,у\м<п, а при первом способе он сверх требуемого про-
простирается до я. Во-вторых, облегчается формирование гетеродинных напряже-
напряжений, подводимых к смесителям в каналах элементов ФАР (исключаются резо-
резонансные фильтры, предназначенные для выделения гармоник биений). Недос-
тактом второго способа является резкое изменение частоты гетеродина при пе-
переходе от одного периода к другому, что приводит к появлению нестационар-
нестационарных процессов. Для исключения последних пилообразный закон изменения час-
частоты заменяют более плавным, что также ведет к непроизводительным затра-
затратам времени, хотя и меньшим.
В системе с частотным разделением (рис. 4.8,в) в качестве гетеродинных
используются импульсные напряжения с несущей /г> частотой следования
fc=Af и длительностью AT'=l/JVfc, в LJV раз меньшей длительности сигнального
импульса At=l/Af. Гетеродинные напряжения подаются на смесители каналов
элементов ФАР с эквидистантных отводов линий задержки через интервалы
Ат7, равные длительности гетеродинных импульсов. Таким образом, каждый
98
импульс сигнала перекрывается N гетеродинными импульсами (временное уп-
уплотнение). Разность фаз сигналов двух соседних элементов ФАР на промежу-
промежуточной частоте /пр составляет 2я(ЬиХгУ/Х—/прАт/)=2я&изс,1/А, так как
2я/Прт/=2лл=0, а на частоте fnp + ^/c спектра последовательности гетеродин-
гетеродинных импульсов 2n(bux,y/X—ifcA'i')=2it(bux,yl%—i/<N), так как fcAT'=l/iV. По-
Поэтому благоприятные фазовые соотношения (нулевая разность фаз) для на-
направления прихода сигнала
u°x,v=(W)(UN) ' D.25)
существуют только на биениях с определенной гармоникой частоты следова-
следования ifс гетеродинных импульсов (частотное разделение). В этой схеме для
отсчета направления на объект выходной каскад приемника ,в принципе должен
включать спектроанализатор, однако частотное разделение можно свести к вре-
временному, несколько усложнив эту схему.
Рассмотренные системы со скрытым сверхбыстрым сканированием облада-
обладают рядом достоинств. Они реализуют действительно оптимальный прием сиг-
сигнала, однако возникает неопределенность вида угол — дальность в пределах
длительности импульса, что приводит к снижению точности измерения дально-
дальности. На сканирование по углу не требуется дополнительного времени (в отли-
отличие от частотного сканирования) , благодаря чему они оказываются эквивалент-
эквивалентными значительно более сложным многоканальным системам мгновенного об-
обзора. Ввиду значительного расширения спектра сигнала в канале УПЧ и
связанных с этим технических трудностей сверхбыстрое сканирование обычна
осуществляется только по одной угловой координате. Однако и этого доста-
достаточно для существенного сокращения (в несколько раз!) времени обзора за-
заданной зоны по сравнению с обычными сканирующими системами. Необходи-
Необходимое для работы по отраженному или переизлученному сигналу облучение сек-
сектора скрытого сканирования обеспечивается либо отдельным слабонаправлен-
слабонаправленным излучателем, либо расфазировкой решетки (комплексная функция рас-
крыва).
Многоканальные и коммутируемые системы с диаграммообразующими мат-
матрицами. В многоканальных и коммутируемых по угловым координатам радио-
радиосистемах с ФАР иногда используют диаграммообразующие матрицы, выполняе-
выполняемые в виде волноводных сочленений. В этой матрице совокупность сигналов
отдельных каналов приемно-передающего тракта преобразуется в совокупность
сигналов, излучаемых элементами ФАР при передаче, а при приеме происхо-
происходит обратное преобразование этих совокупностей. Наиболее просто реализо-
реализовать матрицу, когда распределение поля по раскрыву решетки равномерное,
а число элементов решетки и антенных лучей равно N=2n (матрица NXN).
Такая матрица содержит п рядов делителей мощности и некоторое количество
фиксированных фазовращателей. Делители мощности представляют собой вол-
новодные мосты с двумя входами и двумя выходами. Мощность подводимых
к любому входу колебаний делится между двумя выходами поровну, поэтому
в п рядах делителей входная мощность уменьшается в N=2n раз. Волновод-
ные мосты, число которых в каждом ряду равно N/2, бывают трех типов: ще-
щелевые, кольцевые и двойные Г-образные.
Структура матрицы определяется типом используемых в ней волновод-
волноводных мостов и формулами, которые связывают вводимые фазовые сдвиги с по-
4* 99
ложением дискретных лучей. Направление максимума &-го луча, отсчитывае-
отсчитываемое от нормали к раскрыву, при четных N
u°x,y=k(\—k/2\k\)AuX)y, k=±\, ±2, ..., ±N12, D.26)
где AuXfV—разнос лучей, рассчитываемый из условия развязки сигналов в
смежных каналах, при котором максимум любого луча совпадает с первым
нулем соседнего:
Aux>y=%/dx,y=X/Nb, D.27);
где dX)y=Nb — размер решетки. При этом условии направление максимума
Л-то луча
u°X)y=k(l—k/2\k\)%/Nb. ,D.28)
Фазовый сдвиг, вводимый между сигналами соседних элементов решетки
для формирования &-го луча, в соответствии с формулами D.11) и D.26) —
D.28) определяется соотношением
2nk(l—k/2\k\)
N
D.29)
Отсюда согласно D.12) находим фазовый сдвиг, вводимый в канал i-ro эле-
элемента решетки дпя образования &-го луча,
~ D.30)
Ряд 3
Где ф0 — постоянный набег фазы в волноводных мостах матрицы, обеспечива-
обеспечиваемый при минимальном числе фиксированных фазовращателей.
В качестве примера на рис. 4.9 приведена диаграммообразующая матрица
Батлера на щелевых мостах для решетки из N=8 элементов, входы которой
пронумерованы в соответствии с номером луча k. Колебания по любому из
входов щелевого моста проходят на прямой выход без сдвига по- фазе, а на
смещенный выход — со сдвигом на я/2. В результате образуется линейный на-
набег фазы по раскрыву решетки,
причем скорость его нарастания или
спадания определяется номером лу-
луча. Так, для луча k=l (первый
справа от нормали к /раскрыву) вво-
вводимый фазовый сдвиг от одного эле-
элемента к щрушму спадает согласий
формуле D.29) на i|)i=jt/8 и при
<ро = 17я/16 в соответствии с форму-
формулой D.30) у каждого элемента ан-
антенной решетки лоследавательно
принимает значения <р°_4 ... 4=12я/8,
lljt/8, Юя/8, 9я/8, 8я/8, 7я/8, 6я/8,
5я/8. Скорость спадания фазы по
раскрыву для луча 2 втрое больше,
для луча 3 —• ©пятеро и т. д. Для
лучей слева (отрицательные k) фаза
нарастает.
Бели ж каждому входу матрицы
подключить сбой приемопередатчик,
ряд г
-1
Рис. 4.9. Диаграммообразующая
матрица на щелевых волноводных
мостах
100
возбуждаемый от общего генератора управляющих сигналов, получим многока-
многоканальную систему мгновенного обзора пространства, как бы состоящую из от-
отдельных одноканальных систем, каждая из которых действует по своему лучу.
Если же использовать только один приемопередатчик, подключаемый ко входам
матрицы через коммутатор каналов, получим одноканальную коммутируемую си-
систему последовательного обзора. В коммутируемой системе в отличие от скани-
сканирующих пакет импульсов принимаемого сигнала имеет прямоугольную огибаю-
огибающую, а не повторяет диаграмму направленности решетки вида sin Nx/sin х.
Недостатком систем, использующих диаграммообразующие матрицы, яв-
является жесткое ограничение на вид функции раскрыва — только равномерная,
что определяет очень высокий уровень боковых лепестков B1% по напряжен-
напряженности поля). Несмотря на относительную простоту матриц, высокочастотный
тракт получается очень громоздким, значительно сложнее, чем в системах с
частотным или скрытым сканированием. Особенно громоздкой получается мат-
матрица у систем с плоской двумерной решеткой.
Описанные выше пространственно-временные приемные устройства радио-
радиосистемы формируют выходной сигнал (в оптимальном случае логарифм отно-
отношения правдоподобия), который используется обычно для обнаружения объ-
объектов с одновременной сравнительно грубой оценкой параметров их положе-
положения и движения. Для точного измерения этих параметров по методу максималь-
максимального правдоподобия строятся дополнительные каналы, рассматриваемые в по-
последующих главах.
Глава 5. ВЗАИМОСВЯЗЬ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК В РАДИОСИСТЕМАХ
5.1. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
Временная частота f (или со) определяется однозначно: характе-
характеризует скорость изменения текущей фазы гармонических колеба-
колебаний во времени. Аналогично определяется пространственная час-
частота: характеризует скорость изменения фазы гармонической ра-
радиоволны по пространственной координате. Однако пространство
имеет не одну, а три независимые координаты, поэтому приходит-
приходится говорить о трех пространственных частотах применительно к
каждой из них. Кроме того, координаты подразделяют на линей-
линейные и угловые (направляющие косинусы), поэтому в зависимос-
зависимости от того, в функции какой из этих координат описываются про-
процессы в радиосистемах, используют линейные и угловые прост-
пространственные частоты, а также соответствующие спектры процес-
процессов.
Угловые пространственные частоты
vx=x/X=fx/c; vy=y/%=fy/c - E.1)
101
-x
Рис. 5.1. К пояснению физического смысла угловых (а) и линейных (б) про-
пространственных частот
характеризуют скорость изменения фазы плоской гармонической
волны частоты / вдоль направляющих косинусов их и иУг отсчиты-
отсчитываемых относительно осей х и у раскрыва антенны соответствен-
соответственно:
ф(их) =—2nvxux =—2пхих/%;
cp(Uy)=—*2nVyUy = —2nyUy/%. - E.2)
Для пояснения физического смысла угловой пространственной
частоты vx (или vy) рассмотрим точечный источник, размещенный
в точке х, и удаленный анализатор поля А, который мысленно
перемещаем в направлении возрастания угловой координаты их с
постоянной скоростью йх, сохраняя постоянным удаление R от-
относительно центра раскрыва 0 (рис. 5.1,а). Вследствие уменьше-
уменьшения расстояния R+ между анализатором л источником колебаний
происходит набег фазы воспринимаемых колебаний, причем тем
быстрее, чем больше расстояние до точки х и меньше %, т. е.
скорость набега фазы определяется пространственной частотой
vx = x/X. Если излучатель перенести в центр раскрыва, расстояние
от которого до анализатора R не изменяется, набег фазы исчез-
исчезнет, что соответствует нулевой пространственной частоте. Если
же излучение производить из точки —х, симметричной х9 то вслед-
вследствие возрастания расстояния R- возникает запаздывание по фа-
фазе, скорость нарастания которого определяется отрицательной
пространственной частотой vx = —х/Х, т. е. угловые пространст-
пространственные частоты имеют знак. Аналогичный рассмотренному резуль-
результат получим, если точки излучения и анализа поля поменять
местами.
В оптике широко используют линейные пространственные час-
частоты
fx=ux/k=fujc; fy = uy/X=fuy/c, E.3)
характеризующие скорость изменения фазы плоской волны вдоль
линейных координат х я у, перпендикулярных оптической оси сис-
системы z:
ф (х) =—2nfxx=—2nxux/X;
Ф (у) =-2nfyy = —2nyuy/K. E.4)
102
Правые части выражений E.2) и E.4) полностью совпадают, сле-
следовательно, введение угловых или линейных пространственных
частот совершенно равноправно; все определяется удобством ж?
использования в конкретных обстоятельствах. Если в качестве
аргумента какой-либо функции берется угол (направляющий ко-
косинус), то пространственной частотой следует считать ^ийейную
координату, отнесенную к длине волны, если же линейная коор-
координата, то пространственной частотой становится направляющий
косинус, отнесенный к длине волны. Общей для обоих видов про-
пространственных частот является обратная пропорциональность дли-
длине волны, т. е. прямая пропорциональность частоте колебаний. С
повышением частоты расширяется спектр пространственных час-
частот и, следовательно, сужается функция самой координаты (нап-
(например, диаграмма направленности).
Физический смысл линейной пространственной частоты легко
раскрывается через серию эквифазных фронтов (отстоящих друг
от друга на X) волны удаленного источника, приходящей под уг-
углом §х (направляющий косинус их = со$®х) к раскрыву (рис.
5.1,6). При этом интервал между точками равных фаз вдоль ли-
линейной координаты х — пространственный период Х/их — тем
меньше, а пространственная частота fx = ux/X тем выше, чем боль-
больше наклон фронта (их) и меньше X. При замене угла прихода
волны симметричным (отрицательные их) фаза вдоль линейной
координаты х не нарастает, а опадает с той же скоростью. По-
Поэтому линейная пространственная частота также имеет знак и .
равна нулю при падении волны по нормали к раскрыву (прост-
(пространственный период Х/0 бесконечен).
Вдоль направления распространения волны R (или оптической
оси системы г) пространственным периодом становится длина вол-
волны X, а пространственной частотой —
fR=UX=f/c. E.5)
Закон изменений фазы волны в радиальном направлении
ф (R) = —2nfRR = —2nR/\X=—2nfR/c E.6)
повторяет закон, изменения ее во времени (положим t=^R/c) на
любой частоте /. Следовательно, любой узкололосный радиосигнал
как сумма гармоник с заданными амплитудами и фазами повто-
повторяет вдоль пути распространения в свободном пространстве свою
временную структуру (с масштабным множителем с).
Отметим, -что продольную пространственную частоту E.5)
можно получить из формул E.3), подставив их = иу=\, что соот-
соответствует нулевому углу относительно нормали <к раскрыву. Ши-
Широкоизвестный волновой коэффициент
=<dR ' E.7)
представляет собой круговую продольную пространственную час-
частоту (в векторной форме он отображает и пространственную час-
частоту, и направление распространения волны).
103
Выше для пояснения физического смысла пространственных
частот мы мысленно перемещали в пространстве приемник (ана-
(анализатор поля) или источник колебаний. Если такое перемещение
происходит в действительности, т. е. координаты точек приема
или излучения становятся функциями времени R = Rt, ux = uxt9 uy-=
= uyt (где R, йху йу — производные координат R, их, иу)у то воз-
возникает дополнительный линейный набег фазы принимаемого сиг-
сигнала относительно излученного:
Фх (t) = —2nvxuxt=—2nxuxt/k = 2nxuxft/c =
фЛО =—2nvyuyt= —2nyuy(/K = —2nuyft/c = 2nFyt. E.8)
Линейному набегу фазы соответствует догслеровский сдвиг часто-
частоты — радиальный и два тангенциальных:
Fx=—vxux=—uxx/X = —uxfx/c9
Fy = —vyuy = —йуу/\Х=—uyfy/c. E.9)
Следовательно, доплеровский сдвиг есть результат перехода про-
пространственных частот во временные, когда сами координаты ис-
источника или приемника колебаний становятся функциями време-
времени. Это и положено в основу измерения производных коорди-
координат — радиальной и угловых скоростей — радиотехническими ме-
методами. Согласно соотношениям E.9) пространственные частоты
играют роль коэффициентов пропорциональности между произ-
производными координат и доплеровоким сдвигом частоты колебаний.
Системы, в которых происходит относительное перемещение
приемника и источника колебаний в свободном пространстве,
можно назвать пространственно-временными линейными структу-
структурами. Отличительной особенностью таких структур, вытекающей
из соотношений E.9), является возможность появления на выхо-
выходе гармонических составляющих сигнала, которых не было на вхо-
входе. Рассмотрим пространственно-временную линейную структуру в
виде излучателя (вход), движущегося в радиальном направлении
относительно приемной антенны (выход) (рис. 5.2,а). Согласно
первой формуле E.9) излучаемое колебание частоты / восприни-
воспринимается приемником как колебание другой частоты f+F (где F —
= —R/X — доплеровский сдвиг). Это еще более ярко проявляет-
проявляется при тангенциальном движении источника колебаний частота /
относительно центра раскрыва приемной антенны, которую для
определенности представим, в виде пятиэлементной эквидистант-
эквидистантной антенной решетки с шагом Ъ (рис. 5.2,6). Согласно второй
формуле E.9) центральный элемент решетки (x=0) принимает
колебание частоты /, первый-справа (х=Ь) и первый слева (х =
= —Ь) — колебания частот j + Fx\ и /—Fx\ соответственно, где
Fx\ =—uxfb/c, а второй справа (х={2Ь) и второй слева (*=
= —2Ь)—колебания частот f+Fx2 и /—Fx2, где Fx2 = —2uxfblc.
Таким образом, вместо единственной излучаемой гармоники при-
104
Вход
Вход
О f f
Выход I
2 т+П
a)
Рис. 5.2. Спектр сигнала на входе и на выходе пространственно-временной
структуры при радиальном (а) и тангенциальном (б) движении источника от-
относительно центра раскрыва антенны
нимается спектр гармонических колебаний, амплитуды которых
пропорциональны функции раокрыва антенны G(x) в соответст-
соответствующих точках. Этот спектр тем шире, чем больше угловая ско-
скорость йх. Суммируясь на выходе решетки, эти гармоники образу-
образуют сигнал, огибающая которого повторяет диаграмму направлен-
направленности антенны, т. е. вместо излучаемого непрерывного гармониче-
гармонического колебания принимается модулированный по амплитуде сиг-
сигнал. Тем самым реализуется один из известных способов снятия
диаграммы направленности антенны — путем ее облета.
В линейных пространственно-временных структурах в отличие
от линейных электрических цепей (чисто временные структуры)
возможно появление на выходе гармонических составляющих, от-
отсутствующих на входе. Поэтому появление новых ^армоник не мо-
может служить признаком нелинейности, пространственно-временной
структуры, а^ только лишь неприменимость принципа суперпози-
суперпозиции.
Применение аппарата пространственных частот позволило по-
построить единую теорию радиосистем, охватывающую все элемен-
элементы, включая антенну. Особенно успешно этот аппарат использу-
используется в устройствах обработки принимаемых сигналов, где времен-
временные функции записываются на пространственном носителе (маг-
(магнитной и фотопленке, экране индикатора и т. п.) и, наоборот,
пространственные функции с помощью развертки переводятся во
временные. При этом пространственный и временной (двусторон-
(двусторонний) спектры отличаются только масштабом шкалы частот.
5.2. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
В определении угловых пространственных частот vx=fx/c и
vy = fy/c в качестве равноценных сомножителей участвуют частота
колебаний / и координаты раскрыва х или у. Это является осно-
105
вой пространственно-частотной эквивалентности при формирова-
формировании функции раскрыва антенных решеток, являющейся простран-
пространственной характеристикой радиосистемы. Наоборот, пространст-
пространственная структура в определенных случаях приобретает свойства
частотно-избирательной временной системы. Ниже рассмотрим оба
случая.
Дискретной функции раскрыва в виде дельта-функций коорди-
координаты ух
E.10)
соответствует диаграмма направленности
Коэффициент 3 во втором слагаемом можно в равной степени от-
отнести и к шагу решетки Ь, и к частоте /0. Поэтому функцию раск-
раскрыва E.10) можно реализовать либо с помощью четырехэлемент-
ной эквидистантной решетки на единственной гармонике /0, либо
с помощью двухэлементной решетки на двух гармониках частоты
/о и З/о (рис. 5.3,а). Таким образом, выбором спектра сигнала
можно на простейшей антенной решетке получить сложную функ-
b/X'
Jb/Л
о h
h о
~t
3b
а)
Рис. 5.3. Пространственно-временная эквивалентность в антенных решетках прш
использовании сигналов с дискретным (а) и сплошным (б) спектрами
106
цию раскрыва. Действительно, возьмем простейшую решетку из
двух изотропных излучателей с шагом Ь между ними и будем ис-
использовать широкополосный сигнал с несущей /0 и равномерным
спектром в полосе частот A,f=fo и Af=2f0 (рис. 5.3,6). В первом
случае такая структура эквивалентна двум антеннам, разнесен-
разнесенным на интервал &, со сплошным раскрывом d=\b/2 у каждой, при-
причем функция раскрыва каждой антенны повтрряет форму спектра
сигнала. Случай Af = 2/0 является предельно возможным, когда
спектр- сигнала перекрывает все частоты от 0 до 2f0. При этом
рассматриваемая двухэлементная решетка эквивалентна антен-
антенне со сплошным раскрывом d = 2h, равном удвоенному шагу
решетки.
Однако эквивалентность пространственных и временных харак-
характеристик в приведенных примерах относительна, за исключением
случая чисто синусоидального сигнала, когда изменение частоты
сигнала и линейного разноса вибраторов совершенно одинаково
влияет на функцию раскрыва и, следовательно, диаграмму нап-
направленности. При любом другом сигнале функция раскрыва зави-
зависит от времени, т. е. в пространственной структуре поля антенны
происходят нестационарные переходные процессы. Так, две си-
синусоиды кратных частот (например, /о и 2/о) образуют биения, в
такт с изменением амплитуды которых изменяется во времени и
диаграмма направленности двухэлементной решетки, которая эк-
эквивалентна диаграмме направленности четырехэлементной решет-
решетки на частоте f0 только в те моменты времени, когда колебания
обеих частот оказываются синфазными. При сигнале со сплош-
сплошным спектром шириной А/=^эквивалентность наступает в един-
единственный момент времени, когда все составляющие спектра син-
фазны.
Таким образом, при очень широкополосных сигналах простран-
пространственные и временные характеристики системы жестко связаны,
их уже нельзя рассматривать независимо. Можно говорить лишь
о формировании диаграммы направленности, относящейся к за-
заданному моменту времени (например, к моменту .приема радиоим-
радиоимпульса). При использовании же узкололосных сигналов можно
считать, что все гармоники в раскрыве по частоте практически не
отличаются ют несущей, и рассчитывать диаграмму направлен-
направленности только на этой частоте.
Рассмотрим теперь антенну с продольной фокусировкой (ан-
(антенна бегущей волны), протяженность которой d вдоль оси рас-
распространения волны z значительна, а сама антенна настроена на
частоту /о- При настройке принимаемый (и излучаемый) вдоль
оси сигнал максимален, так как принимаемые (или излучаемые)
отдельными участками раскрыва элементарные сигналы суммиру-
суммируются синфазно. При расстройке f—/о набег фазы элементарных
сигналов 2n(f—fo)z/c линейно зависит от продольной координаты
z элементарного участка dz, отсчитываемой от середины раскры-
раскрыва. Полагая функцию раскрыва на интервале d постоянной, а
напряженность поля принимаемой волны единичной, находим амп-
107
литуду сигнала, воспринимаемого всей антенной с направления
вдоль оси 2, как функцию расстройки:
sin [я «-М*'Л E12)
Если раскрыв линейный, то снижение амплитуды при измене-
изменении частоты относительно /0 объясняется тем, что диаграмма нап-
направленности отклоняется от продольной оси z и эффективно при-
принимает сигналы с других направлений (частотное сканирование).
Если же антенна объемная, т. е. имеет значительный поперечный
раскрыв, прием (и излучение) с других направлений не происхо-
происходит (кроме боковых лепестков). Таким образом, объемная анген-
на с продольной фокусировкой эквивалентна временному фильт-
фильтру, настроенному на частоту /0, с амплитудно-частотной характе-
характеристикой вида sinx/^: и полосой пропускания Af = c/d, отсчиты-
отсчитываемой на уровне 0,64, близком к уровню половинной мощности.
Относительная полоса пропускания такой пространственной
структуры Af/fo—X/d определяется теми же параметрами системы*
что и ширина диаграммы направленности.
Приведенные примеры являются наглядным доказательством
того, что временные функции" (сигналы) при определенных усло-
условиях могут определять пространственные характеристики системы
(функцию раокрыва), а чисто пространственные структуры выпол-
выполнять роль временных фильтров (в антенной технике такие струк-
структуры называют узко диапазонными).
Ранее было показано, что продольная пространственная струк-
структура волны повторяет временную структуру колебания и (у гар-
гармонических и узкополосных сигналов) в процессе распростране-
распространения волны не изменяется. Совершенно иначе обстоит дело с по-
поперечной структурой волны. Чтобы показать это, рассмотрим сна-
сначала фазовую структуру поля точечного излучателя (Изл) в по-
поперечной плоскости (рис. 5.4). Расстояние от облучателя до про-
произвольной точки х этой плоскости (x<ClR) r= YR2+x2~R + x2j2Rf
поэтому закон изменения фазы в зависимости от поперечной ко-
координаты х с точностью до постоянной )ф0 квадратичный и зави-
зависит от расстояния R:
ф(*) =цо—2лг/Х~—ях2/ХЯ. E.13)
Это означает, что поперечная фазовая структура поля (и в мень-
меньшей степени амплитудная) в процессе распространения волны
претерпевает непрерывные изменения: по мере удаления от источ-
источника фронт волны становится все более плоским. Поэтому можно*
говорить о поперечной функции передачи свободного пространст-
пространства, фазовая характеристика которой описывается соотношением
E.13). Знак минус в E.113) означает, что волна расходящаяся^.
т. е. с увеличением \х\ фаза испытывает отставание. У сходящей-
сходящейся волны, которую можно получить с помощью собирающей лин-
линзы или параболического зеркала, фаза с увеличением | х\ испыты-
испытывает опережение, к знак меняется на противоположный.
108
Рис. 5.4. Поперечная фазовая структура
поля точечного излучателя
Рис. 5.5. Изменение поперечной структу-
структуры поля (диаграммы направленности)
антенны в зависимости от расстояния
Сигналы, принимаемые антенной 1 (с большим раскрывом d),
для которой излучатель находится в ближней зоне (R<<d2/X),
несинфазные. Для получения максимального выходного сигнала
необходимо скорректировать фазу сигналов по раскрыву перед
суммированием. Эта операция называется фокусировкой (в фото-
фотоаппаратах она достигается настройкой на резкость). Сигналы,
принимаемые антенной 2 (с малым раскрывом), для которой из-
излучатель находится в дальней зоне (R>d2fX), не требуют фоку-
фокусировки, так как волну в пределах ее раскрыва можно считать
плоской, а сигналы синфазными (фотоаппарат устанавливают на
бесконечность независимо от дальности).
Проследим теперь качественное изменение полеречной струк-
структуры поля, создаваемого протяженным излучателем — раскры-
раскрывом антенны (рис. 5.5). Она определяется как результат сумми-
суммирования волн, возбуждаемых каждой точкой раскрыва, при кото-
котором фазовые соотношения" между слагаемыми переходят в амп-
амплитудную структуру суммарной волны. Амллитудная структура
плавно изменяется с расстоянием, переходя от равномерного син-
синфазного поля в раскрыве антенны к диаграмме направленности в
дальней зоне. При этом в пределах ближней зоны (до границы
R = d2/(k) резко изменяется вид функции, но практически не изме-
изменяется ее ширина d, а после этой границы вид функции изменя-
изменяется очень мало, но ее линейная протяженность растет пропорцио-
пропорционально расстоянию R при постоянном угле раствора 0=ЯД1 Начи-
Начиная с расстояния R = 2d2/K (в дальней зоне) диаграмма направ-
109
ленности в функции угловой координаты практически не изменя-
изменяется, но ее линейное сечение непрерывно возрастает. Итак, при
чисто гармонических или узкополосных сигналах (А/<С/о) попе-
поперечная структура поля по мере удаления от антенны непрерывно
изменяется, а продольная сохраняется неизменной.
У сверхширокополосных сигналов, ширина спектра которых
соизмерима с несущей (A/^/o), структура поля существенно от-
отличается от рассмотренной, хотя для каждой гармоники все зако-
закономерности полностью сохраняются. Такие сигналы (при отсут-
отсутствии внутриимпульсной модуляции) содержат всего от одного
до нескольких периодов несущей и занимают широкий спектр ра-
радиочастот — от самых низких до очень высоких, перекрывая весь
радиодиапазон. Некоторые особенности использования таких сиг-
сигналов _уже были указаны при описании пространственно-времен-
пространственно-временной эквивалентности, а именно сильная зависимость между 'Прост-
'Пространственными и временными характеристиками системы (зависи-
(зависимость диаграммы направленности от времени). Теперь рассмотрим
дополнительные особенности поля таких сигналов.
1. При использовании столь коротких сигналов даже неболь-
небольшой сдвиг во времени между сигналами, принимаемыми или из-
излучаемыми в данном направлении различными точками раскры-
ва, вызывает существенное изменение формы результирующего
сигнала антенны (условие D.1) не выполняется). Таким образом,
каждому направлению в пределах диаграммы направленности пе-
передающей антенны соответствует не только определенная ампли-
амплитуда, но и определенная форма сигнала. Это означает, что и про-
продольная и поперечная структуры поля изменяются в зависимос-
зависимости от координат и времени, хотя спектральный состав сигнала ос-
остается неизменным. Такие процессы (в электродинамике их назы-
называют переходными) оказываются существенно нестационарными.
2. В процессе распространения волны от лередачика к прием-
приемнику изменяется и сам спектральный состав сигнала. Действитель-
Действительно, энергетика в радиолинии определяется коэффициентом направ-
направленного действия (КНД) передающей антенны ?> = 4яА/Я2, сущест-
существенно зависящим от длины волны, и эффективной площадью при-
приемной антенны А, которая в первом приближении от длины вол-
волны не зависит. Таким образом, мощность принимаемого сигнала
в радиолинии определяется произведением
?W Лда = 4я ЛПРд Апт/К2 = ЛПРД Лпрм со2/я с2, E.14}
пропорциональным квадрату частоты. Следовательно, амплитуда
принимаемого сигнала пропорциональна |ico|. Но | со | есть модуль
функции передачи дифференцирующей цепочки. Поэтому проис-
происходит дифференцирование передаваемого сверхширокополосного
сигнала. В частности, сигнал нулевой частоты вообще не может
быть передан. В силу этих и других обстоятельств предъявляют-
предъявляются особые требования к форме сверхширокополосного сигнала,
который уже нельзя назвать ни высокочастотным, ни видеосигна-
видеосигналом; его нельзя продетектировать, понятие огибающей к нему
ПО
применимо лишь с особой оговоркой. Сверхширокололосные сиг-
сигналы являются удобным инструментом для анализа тонкой
структуры отражающих объектов и выполнения других сходных
задач. Однако вопросы их применения, генерирования и приема
выходят за пределы тематики настоящей книги. Заметим, что фор-
формула E.14) в равной степени применима и к узкополосньш сиг-
сигналам, но их спектральные составляющие различаются по частоте
столь незначительно, что эффект дифференцирования практически
не проявляется.
5.3. ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ОПТИЧЕСКАЯ
ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
В процессе приема и обработки сигналов непрерывно происхо-
происходит преобразование пространственных параметров во временные
и наоборот как в силу естественных причин, так и преднамерен-
преднамеренно. В частности, вследствие конечной скорости распространения
радиоволн координата дальности преобразуется во время запазды-
запаздывания принимаемого сигнала, а относительная радиальная ско-
скорость перемещения источника сигнала — в доплеровский. сдвиг
частоты. При сканировании антенного луча угловая координата
объекта также преобразуется во временное положение принимае-
принимаемого от него сигнала. При записи полученных временных после-
последовательностей на пространственном носителе происходит обрат-
обратное преобразование временных параметров сигнала в пространст-
пространственные. Так, с помощью радиальной развертки записывающего
луча r = vx (где v — линейная скорость записи) на экране инди-
индикатора воспроизводится изображение О' точечного объекта О,
время запаздывания сигнала которого x = 2R/c пропорционально
дальности. Если при этом направление радиальной развертки с
помощью следящей системы, поворачивающей отклоняющую ча-
тушку вокруг электронно-лучевой трубки индикатора, повторяет
угловое положение а оси сканирующей антенны, на экране инди-
индикатора создается изображение наблюдаемой пространственной
картины в масштабе M=\r/R = 2v/c (рис. 5.6).
В автоматизированных устройствах обработки и хранения ра-
радиотехнической информации в качестве пространственных носи-
носителей сигнала широко используют мишень потенциалоскопа, маг-
магнитные ленты и барабаны, а также линии задержки.
Пространственно-временные преобразования сопровождаются
переходом пространственных частот во временные и наоборот,
ввиду чего временную фильтрацию сигналов можно заменить про-
пространственной. На этом основано использование пространствен-
пространственных оптических процессоров — фильтров и корреляторов — для
обработки сигналов радиотехнических систем.
В «когерентных оптических процессорах в качестве переносчи-
переносчика информации используется широкий однородный по всей плоша-
111
I:
%d/Z
Рис. 5.6. Восстановление простран-
пространственной картины (а) на экране ин-
индикатора с радиально-круговой раз-
разверткой (б)
экран
Рис. 5.7. Связь между сигналами в
передней и задней фокальных плос-
плоскостях оптической линзы
ди входного окна коллимированный (параллельный) пучок коге-
когерентного (монохроматического) света лазера (рис. 5.7). Во вход-
входном окне устанавливается транспарант с записью сигнала 5 (х),
благодаря чему проходящий через него лоток модулируется вдоль
координаты х по амплитуде и фазе записанным входным ,сигна-
лом, в общем случае комплексным (способы и виды записи сиг-
сигналов радиотехнических систем на транспарант кратко рассмот-
рассмотрены ниже). Фильтрация в оптическом процессоре заключается в
изменении амплитудно-фазовой картины на выходе устройства в
соответствии с заданным законом.
Оптические процессоры обладают рядом достоинств по срав-
сравнению с обычными, электронными:
1) вместо единственной независимой переменной электричес-
электрического сигнала — времени-—электромагнитное световое поле име-
имеет дополнительно две независимые переменные — пространствен-
пространственные координаты в плоскости, перпендикулярной направлению рас-
распространения волны;
2) световая волна характеризуется большим числом парамет-
параметров — носителей информации, чем электрический сигнал, что поз-
позволяет производить многоканальную обработку большого числа
одномерных сигналов или многомерного сигнала (поля) сравни-
сравнительно простыми средствами; \
3) предельно просто выполняются операции умножения, интег-
интегрирования, преобразования Фурье и другие для любых функций,
включая комплексные.
Действительно, однородный световой поток при прохождении
через два транспаранта с записью сигналов Si(x) и S2(x) имеет
на выходе последнего амплитудно-фазовое распределение, пропор-
пропорциональное произведению Si(x)S2(x). Так выполняется операция
умножения функций. Ввиду того, что справа от транспаранта с
записью сигнала S(xi) параллельный световой поток с помощью
линзы с фокусным расстоянием F собирается в точке 02 задней
фокальной плоскости (рис. 5.7), напряженность поля в этой точ-
112
ке равна интегралу от функции S(#i). Так выполняется операция
интегрирования функции.
Поскольку каждая точка на выходе транспаранта является ис-
источником колебаний, распространяющихся во всех направлениях,
рассмотрим суммарный световой поток от всего транспаранта
S(xi) в произвольном направлении а<С^/2. При этом воспользу-
воспользуемся правилом, что луч, исходящий из главного фокуса (точка
0i), после линзы идет параллельно ее оси, а все параллельные
лучи на входе линзы сходятся в одной точке (х2) задней фокаль-
фокальной плоскости. Если фазу сигнала, приходящего в точку х2 из
точки 0Ь принять равной нулю, то из-за разности хода kr=Xiiix=
—jtisina^Xia фаза сигнала, приходящего из произвольной точ-
точки Х\ транспаранта в точку х2, равна —2nftjbtrlc~>—2nfoXva/c. По-
Поэтому напряженность поля, наводимого в точке х2 элементом Лх\
транспаранта, можно характеризовать комплексной огибающей
S(x1)exp(—]2nfoXia/c)dxu а напряженность поля, создаваемого в
этой точке всем транспарантом, — интегралом по всему раскры-
ву'окна d
d/2
5(,a)=J S(xx)t-^f^^dxx. E.15)
—d/2
Введем пространственную частоту
*> %f9 E.16)
где Хсв — длина световой волны, положим х=хи а пределы интег-
интегрирования в формуле E.15) продолжим до бесконечности, так
как при \x\\>d/2 S(x\)=0. Тогда /интеграл представляется как
преобразование Фурье
S(fx)= ]s(x)e-i2"f*xdx, E.17)
которое является линейным пространственным спектром функции
S(x), записанной на транспаранте. Согласно-соотношению E.16)
координата х^ задней фокальной плоскости линзы с точностью до
постоянного множителя представляет собой линейную пространст-
пространственную частоту fx.
Поскольку, как отмечалось, световой поток от транспаранта
распространяется во всех направлениях а, соотношения E.15)
и E.17) справедливы для всех точек задней фокальной плоско-
плоскости. Следовательно, если в передней фокальной плоскости линзы
разместить транспарант с записью какого-то сигнала и осветить
его равномерным коллимированным пучком 'когерентного света,
то в задней фокальной 'плоскости воспроизводится спектр этого
сигнала — преобразование Фурье. Поэтому в данном случае пе-
переднюю фокальную плоскость линзы называют сигнальной, а зад-
заднюю — спектральной.
Необходимо отметить, что указанные выше преобразования
являются приближенными. Они справедливы только для области
113
малых углов (параксиальной) относительно оси процессора
(sin a~a~tg a). При больших углах возникают искажения.
Для передачи амплитудно-фазовых соотношений сигналов ра-
радиотехнических систем, поступающих в оптический процессор, в
транспарантах (масках) используют три вида записи, соответст-
соответствующие трем видам модуляции проходящего чер!ез них светового
потока: амплитудной, фазовой и комплексной. Амплитудная за-
запись характеризуется степенью прозрачности транспаранта в дан-
данной точке (например, пропусканием фотопленки), фазовая — на-
набегом фазы в слое диэлектрика, из которого выполнен транспа-
транспарант (толщиной слоя), комплексная охватывает одновременно и
то и другое.
Равномерной прозрачности транспаранта в пределах окна ши-
шириной d соответствует нулевая пространственная гармоника — яр-
яркое дифракционное пятно нулевого порядка в главном фокусе
задней фокальной плоскости линзы (рис. 5.8,а). Благодаря про-
прохождению через окно синфазного светового потока спектр имеет
вид smxjx шириной FXcb/cI, что соответствует диапрамме направ-
направленности антенны оптического диапазона (окна).
Гипотетический транспарант с амплитудной записью сигнала в
виде отрезка синусоиды с пространственным периодом Я, соот-
соответствующим длине волны несущей радиоимпульса (рис. 5.8,6),
дает дифракционные пятна в точках fxo и —fxo. В этих точках
разность хода лучей от двух смежных полупериодов синусоиды
одного знака равна длине световой волны Ясв, а разных знаков —
ее половине, в результате именно'в этих двух точках происходит
суммирование колебаний, создаваемых входным сигналом (ди-
(дифракция порядка +1 и —1). Частоты fxQ и —fx0 называет про-
пространственными несущими. В главном фокусе (область нулевых
пространственных частот) засвет отсутствует, так как сигналы
положительных и отрицательных полупериодов синусоиды гасят
друг друга. Ширина спектральных линий обрати а длительности
высокочастотного импульса, а вид функции повторяет форму
спектра eros огибающей.
Рис. 5.8. Пространственный вещественный сигнал и его спектр
114
На самом деле синусоиду на транспаранте непосредственно
записать нельзя, так как прозрачность не имеет знака. Чтобы
обойти эту трудность, вводят средний уровень прозрачности, рав-
равный половине диапазона прозрачности—от полного пропускания
до полного подавления. Тогда отрицательным полупериодам сину-
синусоиды соответствует уровень прозрачности ниже среднего, а по-
положительным—выше среднего. Таким образом, реальный ампли-
амплитудный транспар-ант содержит ненужную постоянную составляю-
составляющую (рис. 5.8,в), которую легко устранить в выходном сигнале
оптического процессора, поставив непрозрачный экран (режектор-
ный ,фильтр) на пути светового потока в области нулевых час-
частот спектральной плоскости оптической системы. Следует отме-
отметить, что столь же просто можно подавить (или, наоборот, вы-
выделить) спектральные составляющие сигнала в любой области
спектра. Отсюда вытекает, что в общем случае для фильтрации
сигнала по любому наперед заданному закону достаточно по-
поставить в спектральной плоскости оптического процессора транс-
транспарант с записью соответствующей функции передачи #(/*), в
общем случае комплексной.
Таким образом, пространственный спектр входного сигнала
содержит и положительные и отрицательные частоты, причем обе
половины спектра совершенно одинаковы, и для фильтрации мож-
можно использовать только одну, подавив вторую (и нулевую гар-
гармонику) с помощью непрозрачного экрана. Для пояснения физи-
физического смысла знака линейной пространственной частоты fx рас-
рассмотрим некоторый сигнал S(x), размещенный в центре оптиче-
оптического окна и имеющий спектр S(fx). Тогда согласно теореме сме-
смещения спектр смещенного на Хо сигнала S(x—х0) имеет вид
S(fx)exp(—j2n/x#o), где показатель экспоненты определяет набег
фазы в различных точках частотной плоскости оптической систе-
системы в функции смещения. По одну сторону оптической оси систе-
системы смещение х0 вызывает опережение, по другую — отставание
по фазе, что и определяется знаком пространственной частоты.
Если же смещение сделать линейной функцией времени xQ = vt,
т. е. транспарант с записью сигнала протягивать с постоянной
скоростью у, то показатель экспоненты будет функцией времени
—2ttfxvt=2nFxt, где1 Fx=—fxv — доплеровский сдвиг реальной,
временной частоты сигнала в данной точке fx спектральной плос-
плоскости. Сигнал 5 (х—vt) по отношению к одним точкам этой плос-
плоскости приближается, по отношению к другим удаляется, что и оп-
определяет знак доплеровской и пространственной частот- сигнала.
Значит, при движении транспаранта частота световых колебаний
в частотной плоскости оптического процессора отличается от час-
частоты облучения на доплеровский сдвиг Fx=—vfX9 пропорциональ-
пропорциональный скорости протяжки транспаранта и значению пространствен-
пространственной частоты в каждой точке спектральной плоскости. Таким об-
образом, вместо монохроматического луча на входе процессора по-
лучаем многочастотное световое колебание.
При фазовой модуляции светового потока используется про-
115
зрачный транспарант с фазовой записью сигнала S(x). Так как
индекс фазовой модуляции я|)м обычно очень мал, комплексный
коэффициент пропускания (передачи) такого транспаранта
Т(х) =ехр'[]>м5,(л:)] «1+]>м5(х) E.18)
содержит постоянную составляющую, соответствующую полной
прозрачности транспаранта, и полезную составляющую, сдвину-
сдвинутую относительно постоянной по фазе на я/2 (j = exp(jft/2). За-
Запись E.18) в спектральной плоскости процессора дает ее про-
пространственный спектр
T(fx)=6{fx)+ft*S{fx), E.19!
где 6(fx)—дельта-функция нулевой частоты, соответствующая
постоянной составляющей светового потока (фактически в об-
области нулевой частоты спектр имеет конечную ширину ввиду ог-
ограниченной ширины окна оптического процессора). В отличие от
спектра амплитудного транспаранта сигнальная составляющая
спектра E.18) сдвинута по фазе относительно нулевой гармони-
гармоники на я/2. Если в области нулевой частоты спектральной плоско-
плоскости оптического процессора поставить четвертьволновую пласти-
пластину, коэффициент пропускания которой равен /=exp(jjt/2), то
сдрава от спектральной плоскости световой поток будет иметь
пространственный спектр
Т* (Ы) ^16 (Ac) +ifc,S (/*) ], ,E.20?
который отличается от спектра сигнала с амплитудной записью
только несущественным' множителем j, означающим постоянный
сдвиг начальной фазы светового потока тс/2 по всей спектральной
плоскости. Тем самым фазовая модуляция становится равноцен-
равноценной амплитудной и невидимая и а фазовом транспаранте запись
на выходе процессора становится видимой. Если к тому же раз-
размещенная в области нулевых частот четвертьволновая пластина
вносит затухание в К раз, во столько же раз возрастает контраст-
контрастность изображения на выходе. При большем индексе фазовой мо-
модуляции в отличие от амплитудной имеются спектральные со-
составляющие на гармониках пространственной несущей 2fx0, 3fxo и
т. д., которые легко подавляются с помощью непрозрачного эк]ра~
на. Таким образом, не очень глубокую фазовую модуляцию свето-
светового потока можно свести к амплитудной, которая не изменяет
спектрального состава модулирующей функции, т. е. записанного
на транспаранте сигнала.
При комплексной записи на транспаранте вместо самого вы-
высокочастотного сигнала фиксируется его комплексная огибающая.
Ввиду отсутствия пространственной несущей спектр комплексной
огибающей сигнала группируется в центре спектральной плоско-
плоскости, около нулевой частоты, и имеет такой же вид, как и спектр
сигнала в области каждой из двух пространственных несущих
при амплитудной записи. Отсюда вытекают преимущества комп-
комплексной записи по сравнению с амплитудной или фазовой за-
записью самого высокочастотного сигнала.
116
1. В частотной плоскости отсутствует паразитный сигнал, со-
соответствующий постоянной составляющей функции передачи
транспаранта, который по интенсивности (яркости) во много раз
превышает полезный и мешает наблюдению (выделению) послед-
последнего.
2. Эффективнее (примерно втрое) используется частотная
плоскость: при записи высокочастотного сигнала на ней воспро-
воспроизводятся два одинаковых спектра записанного сигнала и допол-
дополнительно спектр нулевых частот (а необходим только один спектр
сигнала), при записи комплексной огибающей — только единст-
единственный спектр сигнала, причем /не в стороне, а вдоль оси оптиче-
оптического процессора, где оптические искажения минимальны.
3. Снижаются требования к разрешающей способности или
размерам сигнального транспаранта: для записи высокочастотно-
высокочастотного сигнала необходимо раздельно воспроизвести каждый полупе-
полупериод его высокочастотного заполнения, при комплексной записи
достаточно воспроизвести лишь огибающую сигнала.
К сожалению, комплексную запись очень сложно реализовать.
Для этого нужно, например, чтобы прозрачность фотоэмульсии
передавала амплитудные соотношения, а толщина подложки фо-
фотопленки— фазовые. Поэтому комплексные транспаранты обычно
используют не для записи сигналов, а только в качестве оптиче-
оптических фильтров-масок, обеспечивающих заданную функцию переда-
передачи оптических фильтров.
В транспарантах-модуляторах светового потока используют
оптические носители, статические и динамические.
Наиболее распространенным типом статического носителя яв-
является фотопленка. В режиме записи фотопленку протягивают
устройством 1 с некоторой постоянной скорюстью v относительно
электронно-оптического преобразователя 2 (электронно-лучевые
трубки, неоновые лампочки, лазеры и т. п.), к которому подводит-
подводится записываемый сигнал (рис. 5.9,а). Луч преобразователя с по-
помощью оптической системы 3 фокусируется на фотопленку. Запи-
Записанный сигнал становится функцией координаты x=vt, являю-
Сигнал
От мазера
Рис. 5.9. Схемы модуляторов света электрическим сигналом на статических (а)
и динамических (б) носителях
117
щейся аналогом времени. После пррявления и закрепления плен-
пленки в устройстве 4 можно производить обработку записанного сиг-
сигнала, протягивая пленку 'мимо окна, освещенного широким колли-
мированным пучком света лазера. Если скорость шротяжки при
обработке сигнала равна скорости протяжки пленки при записи,
то выходной сигнал оптического фильтра выдается в том же тем-
темпе, что и входной, но с задержкой во времени.
К достоинствам фртопленки следует отнести простоту записи
сигнала на ней, возможность использования как комплексной за-
записи, так и записи на высокой ((Промежуточной) частоте, линей-
линейной и нелинейной записи, выбора* любой скорости записи и вос-
воспроизведения и, что особенно важно, неограниченные емкость па-
памяти и время хранения информации/ Однако очень серьезным не-
недостатком фотопленки является разрыв во времени между прие-
приемом сигнала и его обработкой, что во многих случаях совершенно
недопустимо. Недостатком является также большой расход плен-
пленки, часто двойной—для записи как входного, так и обработанно-
обработанного сигналов, а также непригодность ее для пювторного использо-
использования (необратимость). Амплитудная запись связана с большими
потерями света при пропускании его через пленку. Однако этот
недостаток можно устранить, отбелив пленку фотохимическим
способом — !в соответствии с прозрачностью эмульсии изменяют
толщину подложки, а эмульсию обесцвечивают. Линейная, ампли-
амплитудная запись становится нелинейной, фазовой. К сожалению, от-
отбеливание усложняет и затягивает процесс фотохимической обра-
обработки пленки.
Кроме фотопленки используют также термопластические и фо-
тохромные материалы, в которых" большинство приведенных не-
недостатков отсутствует: их можно многократно использовать, про-
производить обработку в реальном масштабе 'времени (без задерж-
задержки) и без потерь света. У нагретой и помещенной в вакуум тер-
термопластической пленки записывающий электронный луч создает
потенциальный рельеф, сжимающий ее пропорционально местно-
местному заряду (фазовая модуляция). Под воздействием сигналов фо-
тохромные материалы изменяют свои отражающие свойства. Воз-
Возможно также использование светомодуляторов на полупроводни-
полупроводниковых кристаллах. Однако необходимость работы в вакууме за-
затрудняет применение термопластиков, а другие материалы еще
находятся в стадии освоения.
Динамическим модулятором света является ультразвуковая ли-
линия задержки в виде прозрачного бруска диэлектрика, просвечи-
просвечиваемого сбоку коллимированным пучком когерентного света (рис.
5.9,6). На входе линии ставят пьезопреобразователь 5, преобразу-
преобразующий входной сигнал в ультразвуковую волну, распространяю-
распространяющуюся вдоль линии. Изменения плотности среды—сжатие и раз-
разрежение — изменяют коэффициент преломления среды. Это при-
приводит к фазовой модуляции проходящего сквозь линию пучка све-
света входным сигналом в реальном масштабе времени, без задерж-
задержки. Для создания режима бегущей волны в конце линии ставят
118
поглощающую нагрузку 6. Ультразвуковая линия задержки в
принципе является идеальным светомодулятором и в отличие от
статических пленочных носителей не нуждается в механическом
лентопротяжном механизме. К сожалению, скорость распростра-
распространения ультразвука и затухание в линии слишком велики, поэтому
в настоящее время в видимом свете воспроизводятся лишь сигна-
сигналы длительностью не больше нескольких десятков микросекунд.
5.4. КОГЕРЕНТНЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ
ПРОЦЕССОРЫ
Отмеченные выше свойства когерентной оптики позволяют
строить оптические процессоры — (фильтры и корреляторы. Фильт-
Фильтрацию можно производить как в сигнальной, так и в спектральной
плоскости. Рассмотрим сначала одномерный случай.
В оптическом процессоре с фильтрацией в сигнальной плоско-
плоскости во входном окне передней фокальной плоскости линзы разме-
размещаются вплотную транспарант с записью сигнала S (х) и маска с
записью импульсной характеристики фильтра Н (х) (рис. 5.10,а)\
Входное окно облучается однородным коллимированным пучком
света лазера A) с расширяющей B) и коллимирующей C) лин-
линзами. Фильтр-маска Н(х) закреплен неподвижно, а транспарант
с записью сигнала S(x) протягивается вдоль оси х со скоростью
vy воспроизводя в момент t функцию S(x—х№). Световой поток
модулируется произведением этих двух функций, в результате на
фотоприемиик D), расположенный в задней фокальной плоскости
линзы {fx = 0), воздействует поток напряженностью
5Вых (i) = 1 5 (x—vt) Н (х) их.
E.21)
Этот ийтеграл является сверткой входного сигнала и импульсной
характеристики фильтра, и поэтому представляет собой выходной
сигнал фильтра с заданной характеристикой. В частности, харак-
характеристику можно сделать согласованной с сигналом, в результате
на выходе получим сигнал, прошедший через согласованный
Рис. 5.10. Схемы одномерных оптических процессоров с фильтрацией в сиг-
сигнальной (а) и спектральной (б) областях
фильтр, т. е. функцию корреляции. Выходной сигнал выдается по-
последовательно, по мере поступления входного.
Для описания процесса фильтрации в спектральной области рас-
рассмотрим систему из двух линз, фокальные плоскости которых сов-
совмещены в плоскости Р2 (рис. 5.10,6). Если в плоскости Р\ размес-
разместить сигнальный транспарант S(x), освещенный пучком когерент-
когерентного света, то в плоскости Р2 согласно ранее доказанному полу-
получим спектр сигнала S(fx). Поскольку во второй линзе происходят
такие же процессы, как и в первой, то сигнал в плоскости Р$
Если бы не знак минус в показателе экспоненты, мы получили бы
вновь исходный сигнал как обратное преобразование Фурье. Знак
минус можно исключить, если повернуть координату х$ в проти-
противоположном направлении. Следовательно, в плоскости Р3 мы
вновь получим входной сигнал, но перевернутый на 180°.
Поставим теперь в плоскости Р2 фильтр-маску с функцией пе-
передачи H{fx). Тогда справа от нее световой поток описывается
произведением спектра выходного сигнала фильтра и функции пе-
передачи: SBbix (fx) = 5 (fx) H (fx). При этом в плоскости Р3 воспроиз-
воспроизводится (при х=—Xz) сам выходной сигнал этого фильтра как
обратное преобразование Фурье:
5вых@= ]sBblAL)*2nfx*dfx. E.22)
—.оо
Если взять H(fx)=S*(fx)y то фильтр становится согласован-
согласованным (оптимальным) и на его выходе получим функцию корреля-
корреляции сигнала. Эта функция в отличие от предыдущего процессора
воспроизводится в плоскости Р3 целиком, а не последовательно.
Однако само устройство менее компактно, а для автоматического
съема полученных результатов нужно специальное устройство, ко-
которое существенно сложнее фотоприемника в предыдущем процес-
процессоре.
Рассмотрим теперь вторую координату фокальных плоско-
плоскостей— координату у. Ее можно использовать для создания про-
процессоров в виде набора одномерных фильтров, параллельных оси
х, или одного двумерного фильтра (рис. 5.11).
В наборе одномерных фильтров используют цилиндрическую
линзу (-/), входные сигналы B) и характеристики фильтров C)
записывают параллельными строками, разнесенными по оси у
(рис. 5.11,а). Каждый сигнал можно обрабатывать по своему за-
закону. В зависимости от разрешающей способности и размеров
транспаранта число одновременно обрабатываемых сигналов мо-
может быть очень большим. Например, если в качестве транспаран-
транспаранта используем обычную 36-мм фотопленку с разрешающей спо-
способностью 50 линий/imim, то на ней можно записать и обработать
по самым различным законам до 1800 сигналов одновременно!
120
X
!!!i'!i^
I I ' I I ' " I
-yi
Рис. 5.11. Схемы двухкоординатных оптических процессоров в виде набора од-
одномерных фильтров (а) и в виде двухмерного фильтра для сигналов антенной
решетки (б)
Реально сигналы записывают с меньшей плотностью, ;но все же
их число остается большим.
В двумерных процессорах используют сферические линзы (та-
(такие же, как в фотоаппаратах), которые выполняют двумерное
преобразование Фурье
dxdy.
E.23)
Двумерные процессоры можно использовать для многоканальной
обработки сигналов антенной решетки, для распознавания обра-
образов и т. п.
Пусть в формуле E.23) функция 5 (л:, у) представляет собой
поле, наводимое отражающим или излучающим объектом в рас-
крыве антенной решетки радиосистемы. С помощью специальных
светомодуляторов сигналы, принимаемые отдельными элементами
решетки, преобразуются в световые колебания с сохранением амп-
амплитудных и фазовых соотношений. Таким образом, в передней
фокальной плоскости линзы D на рис. 5.11,6) воспроизводится
уменьшенная модель раскрыва решетки E). Так как /*~аД, /у»
^РД (где а и р — азимут и угол места объекта), то< в выходной
фокальной плоскости линзы воспроизводится пятно, положение
которого указывает угловое положение объекта в пространстве, а
форма и размеры пятна повторяют диаграмму направленности
плоской антенной решетки. Если в пространстве наблюдается не-
несколько объектов, то все они одновременно воспроизводятся в ви-
виде отметок, указывающих их угловое положение. Таким образом,
измерительную систему вместе с антенной решеткой и рассмот-
рассмотренным оптическим процессором можно уподобить линзе фотоап-
фотоаппарата, которая полностью воспроизводит обстановку в поле зре-
зрения объектива. К сожалению, пригодные для воспроизведения
сигналов антенные решетки в реальном масштабе времени — ди-
динамические светомодуляторы на прозрачных ультразвуковых ли-
линиях задержки — имеют большую продольную протяженность, что
121
затрудняет их использование в оптических аналогах двумерных
решеток.
Двумерные процессоры можно использовать также для распоз-
распознавания образов с определением их местоположения на изучае-
изучаемой картине. Для этою применяют двумерный процессор с фильт-
фильтрацией в спектральной плоскости (плоскость Р% на рис. 5.10,6),
где ставится фильтр-маска с записью комплексно-сопряженной
функции спектра распознаваемого образа. Согласно доказанному
ранее в выходной плоскости Р3 воспроизводится функция корре-
корреляции образа, записанного на входном транспаранте (в плоскости
Р\). Положение пика функции корреляции (дифракционного пят-
пятна) соответствует положению распознаваемого образа на вход-
входном транспаранте. Другие образы с данным фильтром-маской не
дадут пика корреляции. Таким образом, если на входном транс-
транспаранте среди множества образов имеется интересующий нас (на-
(например, буква на книжной странице), то он будет обнаружен,
причем положение светящегося пятна указывает его местополо-
местоположение.
Подобные системы можно использовать для вторичной (логи-
(логической) обработки радиолокационных данных. К сожалению, за-
задача распознавания даже плоских образов затруднена из-за кри-
критичности процессора к масштабу изображения и ориентации об-
образа.
Оптические процессоры позволяют производить некоторые опе-
операции чисто оптическими средствами (призмами, зеркалами, лин-
линзами) без применения специальных фильтров-масок. И наоборот,
включение транспарантов в оптическую схему может быть экви-
эквивалентно использованию оптических линз и призм. Это положение
в равной мере относится и к временным функциям (сигналам), за-
записанным на транспаранте. Так, поворот светового потока с по-
помощью призмы на некоторый угол ао эквивалентен переносу изо-
изображения на пространственную несущую /x0 = sin ссоАсв — ао/Ясв.
Эту же операцию можно выполнить с помощью фильтра-маски с
линейным изменением набега фазы 2я/хо# вдоль координаты ху
что соответствует переносу на несущую fo = vfxO временного видео-
видеосигнала, запечатленного с масштабом t=x/v на световом потоке,
проходящем через эту маску.
Наиболее показательным примером общности свойств оптиче-
оптических структур, транспарантов и электрических цепей является эк-
эквивалентность фокусировки светового потока линзой и сжатия
ЛЧМ сигнала в фильтре (рис. 5.12).
Фокусирующие свойства линз основаны на запаздывании фазы
колебаний, проходящих через оптически плотную среду (коэф-
(коэффициент преломления п>\). Рассмотрим плоско-выпуклую соби-
собирающую линзу с радиусом кривизны г (рис. 5.12д). В зависимо-
зависимости от координаты х толщина такой линзы изменяется как Дг=
= А— У г2—х2 ^А—г+х2/2г, так как в рабочей, параксиальной
области x/r<cl. Отсюда дополнительный набег фазы световых ко-
122
X
Рис. 5.12. Эквивалентность фокусирующих свойств линзы (а) и транспаранта
с записью ЛЧМ сигнала (б) при облучении когерентным коллимированным
пучком света
лебаний, проходящих че;рез линзу в произвольном сечении х, со-
составляет
-Фо, E.24)
где фО=2я(|Г—А) (/г—1)ДСв = const, причем г>Д. Если перед лин-
линзой дополнительно поставить маску с амплитудным коэффициен-
коэффициентом прозрачности А(х), то проходящий через них однородный
коллимйрованный поток когерентного света приобретает ампли-
амплитудно-фазовую структуру
S(x)=A (x) exp j [лх2(п— 1) / (А,свг) — щ] =
=А (х) exp j [nx2/ (KCBF) —ф0], E.25)
где F=r/(n—1) —фокусное расстояние линзы (при /г=2, как по-
показано на рисунке, равно радиусу ее кривизны). Двояковыпуклая
линза с различными радиусами кривизны эквивалентна системе из
двух линз, для которой справедливо известное соотношение
E.26)
Соотношение E.25) описывает волну, сходящуюся в дифракци-
дифракционное пятно в главном фокусе линзы F (знак плюс перед квадра-
квадратичным показателем экспоненты). Как было показано в § 5.3, раз-
размер выходного пятна
dBblx=FKCB/d E.27)
тем меньше, чем больше ширина окна прозрачности на входе, опи-
описываемого функцией А(х). Происходит сжатие светового потока в
задней фокальной плоскости линзы (хотя за ее пределами поток
вбовь расходится.).
Возьмем теперь некоторый сигнал с глубокой линейной частот-
частотной модуляцией (ЛЧМ сигнал)
5 (t) = 2А (t)\cos (nat2—ф0) = A (t)expi(j (nat2—ф0) ] +
+A (t) exp [—j (яаг2-Фо) ], E.28)
где а — скорость изменения частоты сигнала f(t)=at, a 2A(t) —
закон изменения его амплитуды. Если сигнал имеет длительность
123
ти, то при а>1 ширина спектра Af^an^. Пусть этот сигнал запи-
записан на транспаранте вдоль координаты x=v\t (где v—скорость
записи). Тогда функция прозрачности транспаранта примет вид
При облучении транспаранта однородным коллимированным пуч-
пучком света первое слагаемое в правой части соотношения E.29)
дает сходящуюся волну, а второе — расходящуюся. Следователь-
Следовательно, операция, описываемая экспоненциальным сомножителем схо-
сходящейся волны
A (x/v) еяр'Ц {nax2/v2—ф0) ], E.30);
эквивалентна действию собирающей линзы с фокусным расстоя-
расстоянием
'FQK = vV(aXCB), _ E.31)
которое находится приравниванием коэффициентов при х2 в фор-
формулах E.25) и E.29). Таким образом, световой поток E.30) так-
также фокусируется в световое пятно в некоторой точке FQK, хотя
собирающая линза отсутствует (рис. 5.12,6).
Размеры выходного пятна ^Вых=^Твых определяются формулой
E.27) цри заданных размерах окна прозрачности на входе d=
= ити, если в эту формулу вместо F подставить FdK согласно соот-
соотношению E.31). После указанных подстановок находим, что дли-
длительность выходного импульса процессора обратна длительности
ЛЧМ сигнала ти на входе, т. е. ширине спектра сигнала Д/~
Таким образом, операции фокусировки и сжатия ЛЧМ сигнала
тождественны.
Однако транспарант с функцией E.29) создать невозможно,
поскольку косинус принимает отрицательные значения, а прозрач-
прозрачность не может быть отрицательной. Если для передачи отрица-
отрицательных всплесков ввести средний уровень прозрачности, то на
выходе процессора будут одновременно три волны: сходящаяся и
расходящаяся сигнальная и сходящаяся среднего уровня. Эти вол-
волны создадут взаимные помехи, причем последняя забьет осталь-
остальные. Комплексную запись E.30), как отмечалось, технически
трудно реализовать.
Поэтому для записи используется высокочастотный сигнал
5 @ = 2А {t)cos[2nfnt+nat2—y0) =A (*)exp[j {2nfJ + nat2—ф0)] +
+Л(*)ехр[—у{2пУ + паР—сро)] E.32)
с несущей частотой fn и текущей частотой f(t)=fn+at. Эта запись
124
с учетом среднего уровня Ао описывается функцией пропускания
транспаранта
Т (х) = Ло+Л (х) exjp/[j BnfxoX+л^Дсв^эк—фо) ] +
+Л (х) еяр [—j Bя./х0^Ч-я^Дсв^эк—Фо) ], E.33)
где fx0 = fn/v — пространственная несущая; x=vt, а FQK определя-
определяется формулой E.31). Тем самым все три волны разделяются по
пространственным несущим: постоянная составляющая дает яркий
заовет на оптической оси (нулевая несущая) в главном фокусе,
сходящаяся волна фокусируется в фокальной же плоскости выше
оптической оси (несущая +fxo), а расходящаяся идет под углом
к оптической оси вниз (несущая —fxo). Это обстоятельство позво-
позволяет с помощью непрозрачного экрана, имеющего щель в области
пятна от сходящейся сигнальной волны, подавить мешающие вол-
волны (пространственная фильтрация).
Наиболее ярко достоинства оптических процессоров рассмотренного типа
проявляются при использовании их для оптимальной фильтрации ЛЧМ сигна-
сигналов большой длительности в когерентных РЛС бокового обзора. Эти станпии
устанавливают на самолетах и предназначают для получения радиолокацион-
радиолокационного изображения местности по маршруту полета. Луч, узкий в гори-
горизонтальной плоскости и широкий (веерный) в вертикальной, формируется с по-
помощью протяженной антенны, размещенной параллельно продольной оси само-
самолета (линии пути) под фюзеляжем или в самом фюзеляже под прямым углом
к этой оси.
Используют также два таких луча, благодаря которым одновременно осмат-
осматривают две полосы местности — справа и слева от линии пути (полоса непо-
непосредственно под самолетом не просматривается ввиду крайне низкой разреша-
разрешающей способности по горизонтальной дальности). Обзор вдоль пути достига-
достигается за счет последовательного облучения местности при движении самолета,
а в поперечном направлении — по наклонной дальности — за счет естествен-
естественного запаздывания импульсных сигналов (рис. 5.13).
В когерентных РЛС бокового обзора все принимаемые от любого объекта
сигналы суммируются с учетом их фазовых соотношений. Результат коге-
когерентного суммирования сигналов, по- ~
следовательно принимаемых за время
облучения объекта, эквивалентен одно-
одновременному приему этих сигналов на
антенну с большим раакрывом, равным
поперечному сечению луча в районе
расположения объекта. Такую антенну
называют синтезированной, ia сами ра-
радиолокационные станции получили на-
название радиолокаторов с синтезирова-
синтезированием апертуры (РСА). Очень высокая
разрешающая (способность в продольном
направлении обеспечивается синтезиро-
синтезированной апертурой больших размеров ^ - 1О ^^
, ч Рис- 5-13. Обзор местности с помо-
(порядка километра), а в поперечном щью РЛС бокового обзора
125
направлении — благодаря использованию коротких импулыоов или сложных
сигналов с широким шект.ром. В результате получают подробное 'изображение
местности, сходное с аэрофотоснимком, но (Шри этом отсутствуют перспектив-
перспективные искажения и экранировка облаками.
Чтобы описать структуру сигнала от точечного объекта, удаленного от
линии пути на расстояние Ro (траверзное расстояние), рассмотрим, как изме-
изменяется его текущая дальность R(t) = j/^2o+V2*2 и текущий угол
t (Vt/R)V
j
= arctg (Vt/Ro), где V — продольная скорость самолета; Vt — путь, проходимый
самолетом, если за начало отсчета принять момент пролета траверза объекта.
Ширина диаграммы направленности G(a) в плоскости визирования объекта
очень мала, поэтому можно принять
Я(О»До+тздо, a(t)&VtlRo. „ E.34)
Амплитуда принимаемого сигнала пропорциональна квадрату диаграммы
направленности, так как сигнал дважды — при излучении и приеме — умно-
умножается на нее, а фаза сигнала
Ф@ =— 2n-2R(t) Д=фо—27iVH2/XR0i E.35)
где введена начальная фаза фо=—4я/?оА и учтено двойное прохождение сигналом
расстояния R(t). Таким образом, с учетом текущей фазы 2nfot на частоте не-
несущей и амплитудного множителя ?/0, определяемого из уравнения дальности
действия, временная структура принимаемого сигнала имеет вид
s(t) =2U0G2 (Vt/Ro) cos Bnf0t~ 2nV2t2/XR0+ф0). E.86)
На самом деле принимаемый сигнал представляет собой короткие вырезки и<*
этого колебания — импульсы, разделенные интервалом Гп, но на процессе син-
синтезирования апертуры это почти не отражается.
Полученное выражение показывает, что изменение амплитуды и фазы сиг-
сигнала зависит от дальности Ro, т. е. поперечной координаты объекта. Следова-
Следовательно, для оптимального приема сигналов со всего диапазона дальности не-
необходимо иметь набор из множества (сотни или тысячи) согласованных фильт-
фильтров, причем каждый такой фильтр рассчитывается на суммирование сотен или
тысяч ипульсов. Поэтому и реализовать устройства оптимальной обработки
сигналов в когерентных станциях бокового обзора с помощью традиционных
электронных схем оказалось практически невозможно. Единственно пригодны-
пригодными остаются пока оптические процессоры.
Из сравнения формул E.32) и E.36) следует, что сигнал E.36) представ-
представляет собой широкий импульс с глубокой линейной частотной модуляцией, при-
причем скорость изменения частоты а=—2V2fkRo (частота убывает), а огибающая
сигнала A(t) = U0G2(Vt/R0). Однако для записи на оптический носитель нужно
вместо высокой частоты /о перенести колебания на очень низкую частоту под-
подставки i/п, удовлетворяющую условию |Д/>/п>-AfM или 1/Ти>/п>атОбл, гДе
д^=1/хи — ширина спектра импульсного сигнала, а Afм = лтoбл — ширина спек-
спектра доплеровских частот, возникающих в течение всего времени облучения объ-
объекта Тобл. Перенос сигнала E.36) с fo на /п производится с помощью фазо-
фазового детектора, частота опорного колебания которого отличается от частоты
входного сигнала на малую величину fn.
Выходной сигнал фазового детектора записывается на фотопленку с по-
помощью индикатора, перед экраном A) которого перпендикулярно развертке
126
Рис, 5.14. Процессы записи (а), обработка сигнала (б) и протяжки пленки (в)
в РСА
дальности протягивается фотопленка (рис. 5.14,а). Скорость протяжки пленки
v пропорциональна скорости V самолета-носителя. При этом вдоль пленки в
масштабе M=v/V откладывается продольная координата x—MVt=vt, а попе-
поперек пленки — поперечная ro = MRo. Отметка C) состоит из импульсов засвета,
вплотную примыкающих один к другому, а не разделенных интервалом, соответ-
соответствующим периоду повторения Тп, как раз поэтому продольная структура отмет-
отметки адекватно описывается непрерывным сигналом E.36).
После проявления пленки этот сигнал передается в указанном выше мас-
масштабе — по аналогии с формулой E.33) — функцией прозрачности
( -?— ) exp j ( 2я fx0 х —
Лсв ro
ф0
\1
/J
J exp — j
ro J I
1^0
Сходящейся волне соответствует последнее слагаемое суммы E.37), у
которого квадратичный фазовый член положителен (свойство самофокусировки),
а пространственная несущая /хо отрицательна. Фокусное расстояние эквивалент-
эквивалентной линзы, как следует из сравнения формул E.33) и E.37), FaK=roJ2—
—MRo/2. Из условия равенства продольного и поперечного масштабов M=v/V
находим эквивалентное фокусное расстояние
F3K=KoV/2V. ' E.38)
При таком фокусном расстоянии оказываются недопустимо большими габарит-
габаритные размеры устройства и потери света. Поэтому рядом с пленкой ставят до-
дополнительно фокусирующую линзу с фокусным расстоянием Fn. Фокусное же
расстояние всей оптической системы F, определяемое известной формулой
llF=\/Fn + \/FdK, E.39)
меньше фокусного расстояния линзы.
Таким образом, оптический процессор для оптимальной фильтрации сигна-
сигнала РСА (рис. 5.14,6) должен включать амплитудный транспарант D) с функ-
функцией пропускания А(х) = G2(x/r0), неподвижно закрепленный во входном окне,
пленку с записью входного сигнала E), протягиваемую со скоростью v отно-
относительно окна, линзу F) и пленку для записи сфокусированного выходного
127
сигнала G), протягиваемую синхронно со входной пленкой в фокальной плос-
плоскости оптической системы. Чтобы исключить засвет выходной пленки двумя
лишними составляющими световой волны, перед ней ставится непрозрачный
экран (8) с окном в области фокусировки пятна —fxo-
Фокусное расстояние системы E.89) через эквивалентное фокусное рассто-
расстояние E.38) зависит от дальности До. Чтобы обеспечить F=const для всего ди-
диапазона дальностей, фокусное расстояние ^л линзы делают переменным в по-
поперечном направлении, т. е. используют коническую линзу (рис. 5Л4,в). Кони-
Коническая линза и амплитудный транспарант образуют набор из большого числа
одномерных сжимающих фильтров, имеющих различные амплитудно-фазовые
характеристики. Необходимо отметить, что частичная самофокусировка сигнала
обеспечивается только по продольной координате, а в поперечном направле-
направлении пятно оказывается размытым. Для исключения этого явления, называемо-
называемого анаморфотностью, в оптическую систему дополнительно вводят корректирую-
корректирующую линзу (на рисунке не показана).
Синтезированный раскрыв антенной решетки dCnHr = Wo равен линейному
сечению луча бортовой антенны с раскрывом d, где Q=X/d — ширина луча
бортовой антенны. С возрастанием дальности Ro до объекта синтезированный
раскрыв увеличивается, поэтому ширина диаграммы направленности синтези-
синтезированной решетки
всинт =Х/С?синт = K/BRo E.40)
сужается, а продольное разрешение в потенциале не зависит от дальности и
равно раскрыву бортовой антенны:
A*=9Chht/?o=V9=</. E.41)
Это большое преимущество РСА перед обычными антеннами, у которых линей-
линейная разрешающая способность с дальностью ухудшается.
В заключение отметим, что когерентное суммирование сигналов в РСА на
большом интервале времени можно обеспечить только при высокой стабильно-
стабильности частоты излучаемых сигналов, минимальных фазовых искажениях прини-
принимаемых сигналов в трактах приема и обработки, а также если строго выдер-
выдерживается прямолинейность полета и постоянство путевой скорости на всем ин-
интервале синтезирования. Поэтому реальные возможности РСА ниже потенциаль-
потенциальных.
5.5. ГОЛОГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Прямое излучение источников и отраженные от объектов коле-
колебания распространяются со скоростью света, образуя в открытом
пространстве электромагнитное поле (волну). Эту волну на фото-
фотопластинку или другой светочувствительный носитель непосредст-
непосредственно записать нельзя, так как при этом пластинка равномерно за-
засвечивается. Для записи необходимо «остановить» волну, локали-
локализовать ее энергию в пространстве. Тогда засвет в одних участках
фотопластинки будет сильнее, в других слабее. Полученная за-
запись может иметь или не иметь видимое сходство с наблюдаемым
объектом (сюжетом), но всегда однозначно ему соответствует.
128
Известны два способа записи изображений: фотографический
и голографичесшй.
Фотографический способ основан на локализации энергии в
пространстве путем фокусировки волны с помощью линз. Сфоку-
Сфокусированная волна создает на сетчатке глаза, фотопластинке или
фотокатоде телевизионной трубки изображение, идентичное на-
наблюдаемому объекту, но плоское (бинокулярное зрение — двумя
глазами — создает иллюзию объемности). Кроме того, оно сфоку-
сфокусировано только на определенную дальность, поэтому в зависи-
зависимости от удаления одни объекты дают четкое изображение, а дру-
другие размытое (быстрая аккомодация хрусталика глаза делает
этот недостаток зрения не очень заметным).
Голографический способ записи основан на локализации энер-
энергии в пространстве путем образования стоячей волны, возникаю-
возникающей при биениях двух когерентно связанных волн: опорной и от-
отраженной от объекта (объектной). В результате биений в про-
пространстве образуются неподвижные узлы и пучности энергии, ко-
которые на фотопластинке, помещенной в это поле, создают узор из
чередующихся темных и светлых полос, подобный отпечатку паль-
пальцев человека. Этот узор, называемый голограммой, описывает*
амплитудно-фазовую структуру отраженной от объекта волны, не
имеет видимого сходства с объектом. Чтобы голограмма отража-
отражала только свойства объекта, объектную и опорную волны берут от
общего источника. При биениях из объектной волны исключаются
все фазовые сдвиги, общие для облучающей и опорной волн (амп-
(амплитуды их постоянны), в результате сохраняется однозначное со-
соответствие между объектом и его записанным образом — голо-
голограммой. Перед попаданием на фотопластинку опорная и объект-
объектная волны проходят от общего первичного источника света раз-
разные пути, т. е. сдвинуты во времени. Поэтому излучаемый источ-
источником свет не может быть модулированным (изменяемым во вре-
времени); в голографии используется когерентный свет, имеющий
вид гармонического колебания. Расстояние между полосами на
голограмме, характеризующими конфигурацию фазового фронта
стоячей волны, очень мало — порядка длины световой волны. Что-
Чтобы исключить смазывание изображения, необходима высокая ко-
когерентность излучаемых первичным источником колебаний, а так-
также высокая разрешающая способность фотопластин, используе-
используемых для записи. Поэтому голографический способ записи практи-
практически стал возможен лишь с появлением лазеров.
Голограмма является «замороженным» изображением стоячей
волны в том ее сечении, где при записи была установлена фото-
фотопластинка, т. е. она определяет граничные условия объектной вол-
волны в плоскости фотопластинки. По граничным условиям можно
восстановить и всю волну в пространстве. Восстановление, «ожив-
«оживление» волны достигается пропусканием через голограмму или
отражением от нее восстанавливающей волны. Если восстанавли-
восстанавливающая волна подобна опорной, то в результате модуляции ее го-
5—94 ' 129
лограммой получаем волну, не отличающуюся от объектной вол-1
ны при записи. Визуально наблюдается объемное изображение
объекта, которое, как и реальный объект, можно рассматривать с
разных направлений. Полученное изображение не связано с фоку-
фокусировкой, поэтому для голографической записи не требуется линз,
получается одинаково четкое изображение объектов, находящих-
находящихся на любом удалении.
Размеры голограммы влияют на характер получаемого изо-
изображения. Голограмму можно трактовать как оконное стекло,
через которое наблюдатель рассматривает объекты. Поскольку
волны от всех объектов, находящихся за окном, проходят через
это стекло, а голограмма является застывшей записью волны, то
при «оживлении» волны на этапе воспроизведения наблюдатель
жак бы непосредственно видит эти объекты. Количество наблюда-
наблюдаемых объектов при заданных размерах голограммы (окна) воз-
возрастает по мере приближения к ней (к нему). Более того, разбив
голограмму на малые куски, по любому из них можно наблюдать
те же самые объекты, что и по полной голограмме, если вплотную
приблизиться к данному куску голограммы (даже через замочную.
скважину можно увидеть, что делается за дверью!). Однако воз-
возможности рассматривания объектов с различных направлений по
мере уменьшения размеров голограммы сокращаются. Следова-
Следовательно, в отличие от фотоснимка голограмма в любом ее участ-
участке содержит информацию о всех облученных объектах, видимых и
не видимых из данной точки пространства. Отсюда и название го-
голографии — rjco^cocr (холос) по-гречески означает «весь, полный».
Голограмму можно рассматривать также как плоскую антенну,
воспринимающую световую волну. Отсюда разрешающая способ-
способность изображения определяется размерами голограммы: при ли-
линейном размере голограммы d и заданной длине световой волны
Яев разрешаются такие элементы объекта, угловые размеры кото-
которых на данном расстоянии не меньше Хсв/d. Таким образом, с
уменьшением размеров голограммы сохраняются все наблюдае-
наблюдаемые объекты, однако сокращается подробность изображения и
возможность рассматривать наблюдаемую картину с различных
направлений.
Процессы записи и воспроизведения в голографии протекают
следующим образом (рис. 5.15). При записи падающая от коге-
когерентного источника (лазера) плоская волна (/), отражаясь от
зеркала B), образует опорную волну C), а облучая объект
D),— расходящуюся объектную волну E). Результат интерфе-
интерференции этих двух волн фиксируется на фотопластинке F), про-
проявив которую, получают голограмму. Если дри воспроизведении
плоскую восстанавливающую волну G) подать с того же направ-
направления, что и опорную при записи, то справа от голограммы E)
возникнет расходящаяся волна (9), подобная объектной при запи-
записи. Эта волна дает мнимое изображение A0), т. е. наблюдателю
кажется, что он видит сам объект, хотя по левую сторону голо-
голограммы кроме однородной восстанавливающей волны ничего нет.
130
Рис. 5.15. Запись голограммы (а) и воспроизведение изображения (б)
Итак, голография—это двухэтажный процесс записи голограм-
голограммы и воспроизведения изображения.
Запись. Запись в голографии является линейной операцией
над полем, хотя в принципе представляет собой нелинейный про-
процесс, так как все фотоматериалы реагируют на интенсивность
(плотность потока мощности), а не на само поле (напряжен-
(напряженность). Амплитудно-фазовая картина поля передается комплекс-
комплексной огибающей в функции координат. В зависимости от толщины
эмульсионного слоя голограммы подразделяют на плоские (тон-
(тонкий слой) и объемные (толстый слой), свойства которых сущест-
существенно различаются. Ограничимся сначала тонкими голограммами.
Пусть задано амплитудно-фазовое распределение объектной 5
и опорной А волн в плоскости голограммы:
S(x, y) = \S(х, у) |ехр([—jcps(x, y)]f
А (х, у) = | А (х, у) | ехр [j<pA (x, у) ],
где знак минус означает расходящуюся (от объекта) волну. Тог-
Тогда интенсивность суммарного сигнала в плоскости фотопластины
J(x, y) = \A + S\2=(A+S)(A* + S*) = \A\2+\S\2+A*S+AS* =
= \A\2+\S\2 + 2\A(x,y)\\S(xy y)\cos[<pA(x9yj—4B(x,y)].
E.43);
Биения опорной и объектной волн напоминают операции в фа-
фазовом детекторе, когда роль сигнала выполняет объектная волнаа
а роль напряжения гетеродина опорная. Как и у напряжения ге-
гетеродина, интенсивность опорной волны \А\2 значительно больше,
чем объектной, и постоянна по всей плоскости фотопластины. По-
Поэтому составляющая \А\2 интенсивности J(х, у) дает сплошной
равномерный фон. Используя соотношение E.43), можно предста-
представить прозрачность полученной голограммы как
Т(х, y) = $J(x, у)=Го + Р(|5|2+Л*5+Л5*), E.44)
где 2по = Р[Л|2 — средняя прозрачность (фон); р — контрастная
чувствительность фотопластины.
Воспроизведение. Пусть восстанавливающая волна дает в
плоскости голограммы амплитудно-фазовое распределение В(х>
у). Тогда по другую сторону голограммы получим тр'и составляю-
составляющие:
С(х, yy=BT=Ci + C2 + C3 = B(T0 + $\S\*)+$BA*S + $BAS*.
E.45У
Составляющая Ci=$B(\A\2+ \S\2) дает почти равномерный ме-
мешающий фон, так как |л|2>|5|2, а В(ху у), как и А (х, у), имеет
в плоскости голограммы постоянную интенсивность. Составляю-
Составляющая С2 — расходящаяся волна, подобная волне S(x, у), исходя-
исходящей от самого объекта, — дает мнимое изображение, видимое гла-
глазом. Составляющая С3 — комплексно-сопряженная сходящаяся
волна S*(x, у) —дает действительное изображение объекта, кото-
которое можно наблюдать на экране или в облаке дыма, ia также не-
непосредственно зафиксировать на фотопленке без объектива. Изоб-
Изображение получается неискаженным или искаженным в зависимос-
зависимости от структуры восстанавливающей волны.
Чтобы одно из двух изображений, мнимое или действительное,
наблюдать без помех, вызванных двумя другими волнами, необ-
необходимо эти изображения на выходе плоской голограммы разде-
разделить. Разделение изображений производится по линейным
пространственным частотам, т. е. по угловым координатам. Для
этого при записи однородную плоскую опорную волну А направ-
направляют под углом а к оси у плоскости фотопластины A), а с осью
х она составляет прямой угол (рис. 5.16,а). Тогда распределение
фазы опорной волны в плоскости фотопластины примет вид
Фа {х, у) =2пу sin al%=2nfyy, , E.46)
TRefy = $ina/k — пространственная частота (по у). Так как интен-
интенсивность опорной волны на фотопластине принимаем постоянной,
А (х, у) =А0 exp (j 2nfvy). E.47)
По-прежнему полагая
S (х, у) = | S (х, у) | exp![-J9s (*, У) ], E.48)
о
0
Рис. 5.16. Запись плоской голограммы объекта (а) и пространственное разде-
разделение изображений при воздействии восстанавливающей волны с направления
опорной В07НЫ (б) и с симметричного ему направления (в)
131
находим интенсивность биений в 'плоскости фотопластины
/(*, y)=A\+\S(x, y)\2 + 2A0\S(x, y)\cod[2nfvy—<pa(x9 у)].
E.49)
Сравнение полученного результата с электрическим сигналом
u(t) = U0 + U (t) + Um (t)\coi[27bft—q> (it) ], E.50)
где Uо — постоянная составляющая; U(i) — иидеосигнал; Um(t) и
ц){1) —амплитуда и фаза модулированного гармонического сигна-
сигнала частоты f, показывает их полное сходство. Следовательно, низ-
низкочастотную составляющую Л20+|5(л:, у)\2 можно отделить от
высокочастотного изображения по пространственной частоте, как
разделяют видео- и радиосигнал на обычных частотах. Кроме то-
того, у пространственных сигналов несущая имеет знак, что допол-
дополнительно позволяет разделить действительное и мнимое изобра-
изображения.
При воспроизведении изображения с помощью восстанавли-
восстанавливающей волны, совпадающей с опорной (В=А), образуются три
составляющих (рис. 5.16,6):
фон
Cv(x,y)=A(x9 y)[T0 + fi\S(x, y)\*]=A<i[To+$\S(x9 y)\*]x
Xexp(i2nfyy)=Ao[To+$\&(x9 у) |2]exp(j2jtysina/Я); E.51)
копия расходящейся объектной волны
С*2 (х9 у) = рЛоехр (}2nfyy)Лоехр (—j2nfyy) S (х9 у) = $A20S (x, у);
E.52);
сходящаяся объектная волна
?з (х9 у) = рЛоехр (]2nfyy)A0exp {Jnfyy)S* (x9 у) =
^ E.53O
Таким образом, составляющая С2 воспроизводит неискаженное
мнимое изображение объекта в том месте относительно голограм-
голограммы, где находился сам объект при записи. Составляющая С\ со-
создает почти равномерный фон на пространственной несущей fy,
т. е. волну, идущую под тем же углом а, что и восстанавливаю-
восстанавливающая волна. Составляющая С3 представляет собой волну на про-
пространственной несущей 2fy, т. е. идущую вниз под углом
arcsinBsin a), которая создает искаженное (сжатое цо углу) дей-
действительное изображение объекта.
Если при воспроизведении восстанавливающую волну напра-
направить под углом —а, симметричным направлению опорной волны
при записи (В=Л*), то также получим три составляющие (рис.
5.16,в):
фон
Сх(х, у)=А*(х, y)[T0 + t\S(x, у)\*] =
j2nfvr/); E.54)
133
E.55);
^расходящуюся объектную волну
•• С2 (х, у) = рЛ2о5 (*, у) ехр [—]2я Bfy) у];
копию сходящейся объектной волны
С3(*, у) = рЛ2о5*(^, у). E.56);
Составляющая С3 дает неискаженное действительное изображе-
изображение, симметричное самому объекту при записи. Фон С\ представ-
представляет собой волну на пространственной несущей —fy, т. е. идущую
под углом —а, как и восстанавливающая волна. Составляющая С2
идет на пространственной несущей —2fy, т. е. под углом
arcsin(—2sina), и дает искаженное мнимое изображение.
Таким образом, все три составляющие разделяются по про-
пространственным частотам, подобно частотной селекции электриче-
электрических сигналов. На нулевой несущей (в районе а=0) воспроизво-
воспроизводится нужное нам неискаженное изображение, что соответствует
электрическому видеосигналу. Остальные составляющие оттесня-
оттесняются вниз или вверх, сжимаясь и обеспечивая наблюдение инте-
интересующего нас изображения без взаимных помех.
Как следует из приведенной теории, плоские голограммы дают при воспро-
воспроизведении, не одно, а два изображения объекта. Это обусловлено тем, что на
тонкой эмульсии в виде линий записываются лишь следы поверхностей, образо-
образованных пучностями биений, которые в сечении голограммы имеют вид точек
(рис. 5.17,а). Эти следы в равной степени могут принадлежать как объекту
О, так и симметричному ему объекту О'. При воспроизведении и образуются
две симметричные волны, описывающие поле обоих объектов.
Плоские голограммы были впервые получены в 1948 г. Д. Габором, кото-
который за открытие голографии в 1971 г. был удостоен Нобелевской премии. Од-
Однако им не было получено отчетливое изображение объекта, так как ему не
удалось отделить одну волну от другой. Разделение волн путем записи голо-
голограммы на пространственной несущей, описанное выше, было предложено в
'1962 г. Е. Лейтом и Дж. Упатниексом, которые впервые получили хорошее
изображение на плоских голограммах. В том же году советский ученый
Ю. Н. Денисюк предложил и получил принципиально новый вид голограмм —
объемные, которые в толще эмульсии несут не следы поверхностей биений, а
сами поверхности (рис. 5.17,6). В результате голограмма приобрела ряд цен-
ценных свойств.
Рис. 5.17. Сечение эмульсии плоской (а) и объемной (б) голограмм и положе*
ние пластины относительно облучаемого объекта О при записи голограмм Га-
бора A), Лейта — Упатниекса B) и Денисюка C)
134
Во-первых, при воспроизведении образуется только одна волна, расходя-
расходящаяся или сходящаяся, в зависимости от стороны облучения.
Во-вторых, объемная голограмма обладает частотной избирательностью,
она подобна объемной антенне больших продольных размеров с записью пада-
падающей на нее волны. При воспроизведении ее можно облучать некогерентным,
но параллельным пучком света и получить изображение только на той длине
волны, на которой была произведена запись. Можно также получить цветное
объемное изображение объекта по методу цветной фотографии Липпмана: на
фотопластину последовательно (до проявления) записываются голограммы в
трех основных цветах — красном, зеленом и синем, а каждая из голограмм
при облучении белым светом выбирает свой цвет.
В-третьих, объемная голограмма несет значительно больше информации,
чем плоская. Для сравнительной оценки информационной ценности голограмм
Габора, Лейта — Упатниекса и Денисюка (без учета цветности последней)
рассмотрим их положение относительно картины биений, создаваемой облучае-
облучаемым объектом при записи (рис. 5.17,в). Поле биений имеет наибольшую густо-
густоту линий впереди облучаемого объекта, где производится запись голограммы
Денисюка, и наименьшую густоту позади объекта (голограмма Габора). По-
Поэтому голограмма Денюска несет наибольшее количество информации о
поле, а следовательно, и о самом объекте. Однако увеличение плотности ли- \
ний повышает требования к разрешающей способности фотоэмульсии: для тон-
тонких голограмм — 600... 800, для толстых — 3000... 5000 линий на миллиметр
(в обычной фотографии пленка имеет не более 50 линий на миллиметр).
Голографические методы находят очень широкое применение в различных
областях науки, техники, медицины, искусства. Среди многих направлений ис-
использования голографии в радиотехнике рассмотрим только наиболее близкий
к теме книги голографический способ получения фильтров-масок, согласован-
согласованных с сигналом заданной формы. В отличие от описанного ранее, при гологра-
голографировании используется линза, так как в качестве объекта берется сигналь-
сигнальный транспарант, а записать нужно его спектральную функцию.
Устройство для получения согласованного фильтра-маски состоит из линзы,
в передней фокальной плоскости которой располагается транспарант с запи-
записью сигнала S(x) и схема формирования опорного луча, а в задней плоскости
устанавливается фотопластина, на которой записывается голограмма (рис.
5.18). Все устройство облучается когерентным коллимированным пучком света.
Схема формирования коллимированного опорного пучка состоит из линзы
малого диаметра, задний фокус которой совпадает с отверстием в экране, раз-
размещенном, «ак и сигнальный транспа-
транспарант, в передней фокальной плоскос-
плоскости основной линзы. Последняя прев-
превращает расходящийся пучш лучей в
параллельный (коллимированный)
опорный луч. Отверстие малого диа-
диаметра (в экране линзы смещено отно-
относительно центра сигнального транспа-
транспаранта на 'некоторую величину Ь, бла-
благодаря чему обеспечивается разнос ^ г 1О ,,
r J „ Рис. 5.18. Устройство для получения
сигнального и опорного лучей по согласОванного голографического филь-
пространственной частоте fxttb/XF тра-маски
(т. е. по углу a^b/F), 135
Верхняя часть схемы выполняет преобразование Фурье над сигналом, за-
записанным на транспаранте. Поэтому волна в плоскости фотопластины пред-
представляет собой спектр этого сигнала, которая дает в результате биений с
опорной волной голограмму спектра.
При воспроизведении уже в самом оптическом процессоре фильтр-маскя
облучается под углом —а, поэтому от голограммы в направлении оптической
оси процессора распространяется только волна, отображающая комплексно-
сопряженную со спектром сигнала функцию, что и требуется. Голографи^ескпе
фильтры часто создают с помощью ЭВМ.
В заключение заметим, что формирование синтезированной антенной ре-
решетки, описанное в предыдущем разделе, является примером использования го-
голографии не в оптическом, а в радиодиапазоне. Действительно, в РСА сигнал
точечного объекта, принимаемый за время облучения, представляет собой объ-
объектную волну, а подаваемое на фазовый детектор опорное колебание—¦ опор-
опорную волну. Записанная вдоль пленки отметка объекта по яркости пропорцио-
пропорциональна квадрату выходного напряжения фазового детектора и является, та-
таким образом, одномерной голограммой объекта, записанной в уменьшенном
масштабе по продольной координате. Поперек пленки записывается множест-
множество таких голограмм, соответствующих различным значениям наклонной даль-
дальности. Самофокусирующееся пятно, получаемое при облучении входной плен-
пленки процессора светом лазера (восстанавливающей волной), представляет собой
действительное изображение объекта, воспроизводимое на выходной пленке.
5.6. ПОЛЯРИЗОВАННЫЕ СИГНАЛЫ,
ИХ СПЕКТРЫ И ЗАКОНЫ ПРОХОЖДЕНИЯ
ЧЕРЕЗ РАДИОТРАКТ
Изложенное выше описание пространственно-временных сигна-
сигналов и теории их оптимального приема не является исчерпываю-
исчерпывающим — игнорируется поляризационная структура электромагнит-
электромагнитных колебаний. Поскольку в радиосистемах полезная информация
вырабатывается именно в процессе распространения и отражения
(переизлучения) электромагнитных колебаний объектами, разме-
размещенными в пространстве, это неизбежно ведет к потере части по-
полезной информации. Обычно поляризованный сигнал описывается
двумерным вектором, свойства среды распространения и разме-
размещенных в ней объектов — матрицей размера 2X2, а законы про-
прохождения этого сигнала — векторно-^матричным произведением.
Законы прохождения поляризованного сигнала и радиосигнала че-
через линейные цепи приемника существенно отличаются, что йе
позволяет создать единую теорию оптимального приема с учетом
поляризационной структуры сигнала. Описание прохождения по-
поляризованных сигналов векторно-матричньш. произведением отно-
относится к единственному элементу тракта, через который он прохо-
проходит (излучающая антенна, среда распространения сигнала туда и
обратно, объект и приемная антенна), а в совокупности представ-
представляет собой цепочку таких произведений. Кроме того, все это спра-
136
ведливо лишь для единственной гармоники сигнала (приближен-
(приближенно для очень узкополосных сигналов). Ввиду этого векторно-мат-
ричное описание прохождения реальных сигналов через радио-
радиотракт чрезвычайно громоздко и необозримо, особенно примени-
применительно ,к широкополосным и сверхширокополосным сигналам.
Ниже приводится спектральное описание поляризованных сиг-
сигналов представленных комплексными функциями времени в плос-
плоскости фронта волны (дальняя зона). Благодаря этому известные
для неполяризованных сигналов законы прохождения (которые
значительно проще векторно-матричных) и основные положения
теории оптимального приема можно распространить и на поляри-
поляризованные сигналы, узкополосные и широкополосные'. Основное на-
назначение данного параграфа — расширить понятие о сигналах и
их спектрах, раскрыть физический смысл некоторых представле-
представлений, не просматривающийся у обычных, чисто временных сигна-
сигналов, через свойства пространственно-временных сигналов.
Рассмотрим вначале поведение во времени гармонического сиг-
сигнала с круговой поляризацией в комплексной плоскости фронта
волны, нормальной направлению ее распространения (в дальней
зоне. Если смотреть на эту плоскость в направлении движения
волны, горизонтальную ось считать действительной, а перпендику-
перпендикулярную ей ось — мнимой и представлять фазу колебаний (как это
принято) углом ф влево от горизонтальной оси, то при левом вра-
вращении вектора напряженности поля фаза возрастает и угловая
скорость— круговая частота (o = dq)/dt">0, а при правом враще-
вращении фаза убывает и (o = d^!dt<,0. Следовательно, знак частоты
(во времени) или угловой ркорости (в пространстве) указывает
направление вращения вектора поля гармонического сигнала с
круговой поляризацией: при левом вращении частота положитель-
положительна, а при правом — отрицательна. Модуль вектора поля а и абсо-
абсолютное значение частоты | со | у гармонического сигнала постоян-
постоянны.
Таким образом, гармонический сигнал частоты ±со с круговой
поляризацией в плоскости фронта волны можно представить
комплексной функцией времени
E.57)
где знаки плюс и минус относятся к сигналам, лево- и право-
сторонне поляризованным. При этом за каждый период колеба-
колебаний конец вектора поля описывает окружность в направлении,
указанном стрелкой * (рис. 5.19,а). Радиус окружности равен мо-
модулю напряженности поля а±, а начальная фаза ф± определяется
начальным угловым положением вектора или точкой на окруж-
окружности. В направлении распространения волны конец вектора поля
описывает пространственную спираль с временным Го = 2я/со или
пространственным периодом — длиной волны Х=сТ0 = 2тсс/(х).
'137
Комплексный двусторонний спектр сигнала E.57) находим как
прямое преобразование Фурье при фиксированной частоте co = coi^
= fl±ej4>±fi(©q=co1)> E.58)
где б (co^Fcoi)—дельта-функция, равная единице при co = coi или
со = —coi и нулю при Bicex остальных со. Следовательно, спектр сиг-
сигнала E.57) содержит спектральные линии на данной частоте со =
=io)i только одного знака (рис. 5.19,6). Сигналы с таким двусто-
двусторонним спектром называются аналитическими, поэтому гармони-
гармоническое колебание с круговой поляризацией является физическим
образом аналитического гармонического сигнала.
Суммирование двух колебаний с круговой поляризацией
встречного вращения, имеющих одинаковую частоту |со|, но раз-
различающихся по модулю а и начальной фазе ф, дает эллипти-
чески-поляризованный сигнал, описываемый комплексной функци-
функцией
s (t) =
= A eJф [cos е cos (со t + ф0) + j sin 8 sin (со t + ф0)],
где
E.59)
E.60)
— амплитуда эллиптически-поляризованного сигнала, характери-
характеризующая размер эллипса; Ai=A icos е = а+ + а_ и Ац=А sin е = а+—
—а- — большая и малая полуоси эллипса (амплитуды двух орто-
ортогональных линейно-поляризованных составляющих сигнала), при-
s(t=O)
оо>0
а +
О +со а)
со
си<0
(л)
Рис. 5.19. Поляризационная структура и двусторонние спектры гармонических
сигналов, левосторонне (а) и правосторонне (б) поляризованных
138
чем cos e и sin e представляют болыцую и малую полуоси единич-
единичного эллипса (А=1);
фо= (ф+—ф-)/2, —я<фо^я, E.61)
— начальная фаза суммарной напряженности поля;
Ф=1(ф++Ф_)/2, —я/2<Ф<я/2, E.62)
— угол ориентации эллипса (наклона его большой полуоси отно-
относительно горизонтальной оси);
/I
e = arctg—— = arctg ¦
я
T'
E.63)
— угол округлости эллипса, под которым видна малая полуось
из вершины большой, характеризующий форму эллипса, как и ко-
коэффициент округлости эллипса
— = a+-a-$ 1<г<1. E.63а)
A a а
Пределы в формулах E.61) — E.63) обеспечивают однозначность
отсчета параметров эллиптически-лоляризованного сигнала (рис.
5.20,а). Если полусумма E.62) выходит за указанные пределы,
значения Ф и фо следует изменить на я.
Направление вращения (знак со) и начальная фаза (положе-
(положение) в пространстве суммарного вектора 5(^=0) определяются
s(t=0)
СО
¦со О
6)
CJ
О со со
О со со
Ф
0
7
CO CO
J\
CO CO
Рис. 5.20. Поляризационная структура (а), двусторонний (б) и односторонний
(в) спектры эллиптически-поляризованного гармонического сигнала как суммы
двух сигналов противоположной поляризации
139
наибольшей из двух составляющих, в данном случае левосторон-
не поляризованной (е>0). Однако начальная фаза суммарной
напряженности поля <ро уже не равна начальной фазе (>ф+) наи-
наибольшей составляющей -и отсчитывается .от большой полуоси эл-
эллипса, а не от горизонтальной оси. При обратном соотношении
значений составляющих (Лц = а+—ди<0) вращение изменяется
на противоположное (е<0), и начальная фаза фо отсчитывается
от большой полуоси эллипса в направлении ф_.
Первое выражение в формуле E.59) описывает эллиптически-
поляризованный гармонический сигнал в параметрах двусторон-
двустороннего спектра а+, ф+ и а-, ф-, определяемого по формуле E.58)
как сумма спектров составляющих сигналов с круговой поляри-
поляризацией встречного вращения (рис. 5.20,6). Второе выражение
E.59) описывает этот сигнал в параметрах одностороннего спект-
спектра Л, фо и Ф, 8, непосредственно характеризующих поляризацион-
поляризационную структуру сигнала (рис. 5.20,в). Параметры а± и А являются
энергетическими, остальные неэнергетическими.
Формула E.59) дает самое общее описание поляризованного
гармонического сигнала. При а~ = 0 или а+=0 эллиптически-поля-
ризованный сигнал обращается в один из сигналов E.57), а при
a+=a-j=a — в линейно-поляризованный гармонический сигнал
^ s @ - а [ e+j (Q '+ф+) + e~j (Сй *-ф->] - А е*ф cos @1+ Фо). E.64)
При этом эллипс обращается в отрезок прямой длиной 2Л, угол
наклона Ф которого относительно горизонтальной оси характери-
характеризует положение плоскости поляризации, е=0 (Ах = 2А, Лц = 0), а
двусторонний спектр модуля напряженности поля приобретает
четную симметрию относительно нулевой частоты (рис. 5.21,а).
Если условие четной симметрии спектра модуля дополнить усло-
условием нечетной симметрии фазы ф_=—ф+=—фо, получим горизон-
а~Л/2
а)
-А
-О)
-со
6)
-А
-со
-со
О
О
+ CJ СО
+СО Си
Рис. 5.21. Поляризационная структура и двусторонние спектры линейно-поляри-
линейно-поляризованных сигналов: а — общий случай; б — горизонтальная поляризация "
140
тально линейно-поляризованный или обычный, неполяризованный
гармонический сигнал
= Л cos(co/ + 9o), E.65)
являющийся действительной функцией времени как сумма двух
комплексно-сопряженных сигналов (рис. 5.21,6).
Практически действительную функцию E.65) целесообразно
использовать для описания чисто временных, неполяризованных
сигналов, а горизонтально поляризованный сигнал условно описы-
описывать функцией s(t)=Ae*(*cos(<bt+4po), что не меняет сути дела, но
- позволяет отличить поляризованный сигнал от неполяризованно-
го.
Поляризованный сигнал изменяет как свое значение, так и
ориентацию в плоскости фронта волны; у него лишь в частном
случае 8=0 и Ф = 0. Обычный, временной сигнал, изменяющий
только свое значение, следует рассматривать как вырожденный
случай, когда е = 0 и Ф = 0, потому, что к нему они вообще не при-
применимы. Временной гармонический сигнал характеризуется лишь
двумя параметрами А и фо, а поляризованный, пространственно-
временной сигнал содержит четыре параметра Л, ф0 и Ф, е, из ко-
которых первые два временные (отображают комплексное значение
напряженности поля), а вторые два пространственные (отобра-
(отображают поляризационную структуру поля).
Энергетические параметры а± или А определяют текущую мощ-
мощность (плотность потока мощности) сигнала на волновом сопро-
сопротивлении 1 Ом. Текущая мощность сигнала с круговой поляриза-
поляризацией E.57) Р= \s{t) \2 = a2±=A2/2 есть величина постоянная. У эл-
эллиптически- и линейно-поляризованных сигналов текущая мощ-
мощность в течение каждого периода колебаний переменная, а сред-
средняя за период мощность определяется как Р=А2/2 = (A2i+A2n)/2 =
= ,[(a++a_J+ (a+—a_J]/2 = a2++a2~ и P=A2J2 = 2a2 соответствен-
соответственно, т. е. равна сумме постоянных мощностей составляющих лево-
левого и правого вращения. Здесь традиционное истолкование ампли-
амплитуды полностью применимо лишь к линейно-поляризованным и не-
поляризованным сигналам; у эллиптически-поляризованных сигна-
сигналов и сигналов с круговой поляризацией амплитуда вводится че-
через мощность — путем суммирования в квадратуре амплитуд двух
ортогональных линейно-поляризованных составляющих (см. рис,
5.19 и 5,20).
По виду двустороннего спектра легко ощенить поляризацион-
поляризационную структуру сигнала. Форма эллипса, определяемая коэффици-
коэффициентом г или углом округлости е, является функцией асимметрии
спектра модуля поля. При полной асимметрии (а-=0 или а+=0)]
эллипс вырождается в окружность (|г| = 1 или |е|=я/4 макси-
максимальны), при отсутствии асимметрии (a+=a_=a) —в отрезок
прямой (г=е = 0). Угол ориентации эллипса Ф (и начальная фаза
колебаний ф0) зависит от соотношения фаз в положительной и от-
отрицательной областях спектра: |Ф|=0 при нечетной симметрии
141
фазового спектра (ф-=—ф+) и возрастает- с уменьшением степе-
степени нечетной симметрии.
Поляризационная структура сигнала, характеризуемая пара-
парами Ф и е, графически представляется единичным вектором, а со-
совокупность концов всех этих векторов, исходящих из общего цент-
центра, образует геометрическое место точек (сферу Пуанкаре). Оп-
Определенной поляризации соответствует точка на сфере, образуе-
образуемая пересечением меридиана 2Ф = const и параллели 2& = const.
Левому вращению соответствует верхняя полусфера (е>0), пра-
правому— нижняя (е<0); на экваторе 2е = 0, что указывает на ли-
линейную поляризацию. Округлость эллипса от нулевой на эквато-
экваторе возрастает до полной на полюсах Bе=±я/2). Нулевому мери-,
диану BФ = 0) соответствует горизонтальная ориентация эллипса
(линии), а противоположному BФ = я) — вертикальная. Тем са-
самым вся сфера представляет любой вид поляризации.
Временная структура поляризованного гармонического сигна-
сигнала частоты со описывается комплексной амплитудой S=Aew°, ко-
которую графически можно представить вектором в комплексной
плоскости, касательной к сфере Пуанкаре в точке, характеризую-
характеризующей поляризацию сигнала. Комбинация сферы и плоскости опре-
определяет полную совокупность поляризованных гармонических сиг-
сигналов различной амплитуды и фазы. Неполяризованным сигна-
сигналам соответствует только комплексная амплитуда и комплексная
плоскость.
Конкретный вид поляризации имеет, строго говоря, только гар-
гармонический сигнал. С некоторым допущением это можно отнести
и к, узкополосным негармоническим сигналам, у которых состав-
составляющие спектра почти не отличаются по частоте от несущей о>о-
Однако к широкополосным и сверхширокополосным сигналам та-
такое цредставление о поляризации совершенно неприемлемо. По-
Поляризационные (и не поляризационные) параметры таких сигна-
сигналов изменяются во времени медленно или быстро в зависимости
ют ширины спектра сигнала — гармонический поляризованный
сигнал общего вида E.59) оказывается модулированным по лю-
любому из параметров или по всем одновременно:
- А (О Ы ф <*> {cos 8 @ cos [со01 + ф0 (*)] + j sin е (t) sin [coo t + щ (t)]}>
где A (t) —огибающая сигнала. Модуляция вида A(t) называется
амплитудной, фо @ — угловой, Ф(^) и гA) — поляризационной
модуляцией ориентации и формы эллипса с учетом смены сторо-
стороны вращения (знака).
Угловая модуляция, как отмечалось, подразделяется на фазо-
фазовую, когда модулирующей функции пропорциональна сама фаза,
м частотную, когда модулирующую функцию повторяет частота —
производная от фазы фо(О-
142
Спектр негармонических сигналов, вообще говоря, непрерыв-
непрерывный. Поэтому энергетические параметры а± и А заменяют на
спектральные плотности модуля |s(co)| и амплитуды |S(©)|:
E.66|
E.67)
da±= I s (со) | dco/2jt и dA = \ S (со)
Тогда вместо параметров гармонических сигналов
а+, ф+; а-, ф- и Л, ф0; Ф, е
вводятся соответственно двусторонний и односторонний спектры
широкополюсных сигналов:
\S ((О) | = \S (СО4-) | + | 5 (@_) |, ф ((О) = ф (СО+) +ф (СО-)
со) |, фо(со); Ф(со), 8(со),
E.68|
где индексы плюс и минус относятся к положительной и отрица-
отрицательной областям частот двустороннего спектра соответственно*
Переход от двустороннего спектра к одностороннему производит*
ся по формулам E.60) — E.63) с соответствующей заменой обо-
значений E.67) на E.68) и учетом соотношений E.66).
Таким образом, двусторонний спектр широкополосных сигна-
сигналов в общем случае несимметричный по энергетической составля-
составляющей, содержит две составляющих, а односторонний — четыре
(рис. 5.22,а и б соответственно). Односторонний спектр можно за-
заменить пространственной фигурой, в каждом сечении которой вос«
производятся все параметры частного гармонического сигнала
(рис. 5.22,<з). Суммарный широкополосный поляризованный сиг-
\S(v)\
Рис. 5.22. Двусторонний (а), односторонний (б) спектры и объемный образ
одностороннего спектра (в) широкополосного поляризованного сигнала
нал находится как обратное преобразование Фурье от двусторон-
двустороннего или одностороннего спектра;
JS(®)ed<D. E.69)
В первом случае он является суперпозицией по всей оси частот -
гармонических сигналов с круговой поляризацией, ,во втором част-
частные гармонические сигналы имеют произвольную поляризацию и
простираются только в области частот, не имеющих знака.
Спектральное фурье-разложение поляризованных сигналов по-
зволйег почти так же легко описать их прохождение через линей-
линейный тракт, как и неполяризованных, если пользоваться двусторон-
двусторонним спектром. Поскольку в линейной системе гармонические сиг-
сигналы сохраняют свою форму, выходной комплексный двусторон-
двусторонний спектр находится простым умножением входного спектра на
комплексную двустороннюю функцию передачи радиотракта, т. е.
среды распространения вместе с размещенными в ней объектами.
В радиолокационном случае радиотракт включает пять основных
элементов: излучающая антенна, среда распространения от излу*
чателя к объекту, отражающий объект, среда распространения от
объекта до приемной антенны и сама приемная антенна.
Однако прохождение поляризованных волн имеет важную осо-
особенность. Наряду с прямым прохождением спектральных состав-
составляющих сигнала через радиотракт возможно перекрестное про-
прохождение через один или несколько его элементов. Последнее со-
состоит в том, что любая гармоническая составляющая поляризо-
поляризованного сигнала может изменить направление вращения, т. е. знак
частоты, например, при облучении идеально отражающего плоско-
плоского объекта гармоническим сигналом с круговой поляризацией по
нормали к его плоскости (сигнал левого вращения — частота по-
положительна — приобретает правое вращение — частота отрица-
отрицательна, и наоборот).
Для описания прямого и перекрестного прохождения сигналов
введем вектор-столбец двустороннего спектра входного сигнала
So (со) = [so (ш), so{—о))]т, где s0(co) — входной спектр, $о(—со) —
его зеркальное отражение относительно нулевой частоты, а
«т» означает транспонирование. Одновременно введем вектор-
столбец двусторонней функции передачи Н (со) =)[/i(co), Й(ш)]т,
где Я (со) и h (со) —прямая и перекрестная функции передачи.
Тогда двусторонний спектр выходного сигнала находится как про-
произведение векторов:
5(@)==HT(o))So(co)=/i('Co)so(co)+^ (co)so(—со). E.70)
Если в каком-либо элементе радиотракта перекрестная передача
отсутствует (например, в среде без ионосферы), то 1выходной спектр
этого элемента 5(со) =/1@M0(со), как и в обычных радиоцепях. За-
Закон изменения спектра при отражении от объекта позволяет опре-
определить поляризационные свойства объекта, а по ним подробные
144
характеристики самого объекта (конфигурацию, ориентацию, ма-
материал).
В заключение отметим, что структура излучаемого и прини-
принимаемого (входного) поляризованного сигналов различна (в отли-
отличие от неполяризованных и узкополосных сигналов), В'восприни-
В'воспринимающем элементе приемной антенны возможны любые преобразо-
преобразования поляризации входного сигнала, в том числе перевод про-
произвольной поляризации в линейную. Поскольку »структура такого
сигнала и неполяризованного одинакова (оба сигнала описывают-
описываются комплексной огибающей S{t) или ее спектром 5(о))), теория
оптимального приема неполяризованных сигналов, включая обна-
обнаружение и измерение параметров, естественным образом распро-
распространяется и на поляризованные сигналы.
Глава 6. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ТОЧНОСТЬ
И РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
РАДИОСИСТЕМ
6.1. МНОГОМЕРНАЯ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ФУНКЦИЯ
КОРРЕЛЯЦИИ И ЧАСТНЫЕ ФУНКЦИИ
КОРРЕЛЯЦИИ
Выходной сигнал оптимального приемника — корреляционный ин-
интеграл — содержит сигнальную и шумовую составляющие. Норми-
Нормирование сигнальной составляющей корреляционного 'интеграла
C.40) по энергии C.41) дает многомерную пространственно-вре-
пространственно-временную функцию корреляции
^' vy)\*S(t)S*(t-
-т')exp {j 2n [F i+ vx(u'x + d'x t) + vy (u'y + u'y /)]} dvxdvy dt. F.1)
Наряду с отношением сигнал-шум ЭД/Vo эта функция определя-
определяет потенциальные возможности системы в отношении точности и
однозначности измерений параметров движения наблюдаемых объ-
объектов, а также разрешающей способности системы применительно
и к совокупности этих параметров, и к каждому параметру от-
отдельно. В свою очередь, многомерная функция корреляции F.1)
описывается только двумя входными характеристиками системы:
временной (сигналом) S(t) или S(f) и пространственной (аперту-
(апертурой) G(uXr uy) или G(vx, vy). Отсюда следует, что свойства радио-
радиосистемы определяются выбором ее временной и пространственной
характеристик (при заданном отношении сигнал-шум). В много-
145
мерной функции корреляции F.1) связь временных и пространст-
пространственных характеристик проявляется через угловые скорости, кото-
которые, как уже отмечалось, приводят к искажению спектра сигнала
и, следовательно, расстройке приемного устройства. Однако при
работе по удаленным объектам угловые скорости малы, и поэтому
во многих практических случаях (сравнительно узкополосные сиг*
налы и не очень большие антенны) влиянием рассогласования по
угловым скоростям йх и йу на выходной сигнал измерительной
системы можно пренебречь. Тогда пространственно-временную
функцию корреляции F.1) можно представить произведением
двух независимых функций:
YnB(v/)=4r(T/, F'L(u'x, и\), F.21
где
W(\ F')
F.3)
— временная функция корреляции;
? ("*' и'у) = ~ f JG("*' Uy) G* (u*~ux> иу—
"i)dbjeAv F.4)
— пространственная функция корреляции {А—эффективная пло-
площадь антенны). При этом временная функция корреляции опре-
определяется только временной характеристикой системы (сигналом),
а пространственная — пространственной характеристикой (апер-
(апертурой).
Здесь даны две формы представления функции корреляции:
первая через сами функции временных, частотных или угловых
сдвигов, вторая через энергетические спектры, так как функция
корреляции сигнала и его энергетический спектр связаны лреоб-
разованием Фурье, которое и выражает правая часть формул
F.3) и F.4). В частности, при нулевых расстройках интегралы
дают два.равенства Парсеваля:
± ] ± Jd/; F.5)
y = W f$\G(vx,vy)\*dvxdvv, ' F.6)
представляющие энергию сигнала и эффективную площадь антен-
антенны соответственно. с
Временная функция корреляции Ч*(х\ F') (квадрат модуля ко-
которой ^(т/, F')\2 называют функцией неопределенности Вудвор-
да) определяет взаимную зависимость точности и разрешающей
способности при измерении дальности и скорости с помощью од-
одного и того же сигнала. Пространственная функция корреляции
146 4
iXi и у), как и пространственная функция йеопределенности
и'х, и!у) |2, определяет те же зависимости при измерении двух^
независимых угловых координат с помощью общей антенны при
заданной частоте несущей.
Положив в формулах F.3) и F.4) расстройку по одному из
параметров нулевой, получим функции корреляции только по
дальности, только по скорости или только по одной из двух угло-
угловых координат. Чтобы найти расстройку по составляющим угло-
угловой скорости, необходимо воспользоваться самой пространствен-
пространственно-временной функцией корреляции F.1), положив в ней нулевы-
нулевыми все расстройки, кроме расстройки по данной составляющей уг-
угловой скорости. В итоге, опуская бесконечные пределы интегри-
интегрирования, получаем частные функции корреляции по дальности,
радиальной скорости, угловым координатам и их производным со-
соответственно:
(т') =
' — x')dt
, =
$S*(f)S(f-F')df =
F.7)
F.8)
U )
Vx,y) 1
,y ux,y) dvx,y
\Цх,у) —
F.9)
F.Ю)
Последние две формулы справедливы только при независимых
функциях раскрыва по каждой из двух осей, когда G(vx, vy) =
= G(vx)G(vy) и, следовательно, G(ux, uy) = G (ux) G (иу). В общем
случае эти функции по осям х и у зависимы и вместо формул
F.9), F.10) лучше пользоваться наиболее общими функциями
, uy)\*duxdtiy
\G (vx, Vy)\2 exp (j 2я vx ux ) dvxdvy
f f IG ivx> vy) 12 dvx dvy
duv
F.11)
JJlGtao vy)
(ux, uu)\»duxduu
(\2nvyiiy) dvxdvy
, vy)\*dvxdvy
147
Y . = ЩЮЕь, vy)\* \S(t)\*exp (j2nvxux t) dvxdvydt
F
^ JfJlOfe, Py)l»l^Wlaexp(]2jiPytt^)dPaftf
jjIGfe, vy)\*dvxdvy$lS(t)l*dt
Можно пользоваться функциями вида F.9), F.10) и ib общем слу-
чае, если вместо G(vx) и G(vp) подставить усредненные по1 второй
координате эквивалентные функции раскрыва
СэкЮ'- I G(vx, Vy)dvy, G3K(%)= J G(vx, vy)dvx. F.13)
В частности, при равномерном облучении G(vx, vy) = 1 круглого
раскрыва диаметром d получим GQK(vxy)>=2 У (d/2%J—v2X)Vs
\\^d/2X '
,y\
Частные функци1Г^К0|рреляции описывают поведение выходного
сигнала оптимального приемника измерительной системы и потен-
потенциальные возможности системы в том случае, когда все парамет-
параметры принимаемого сигнала, кроме данного, известны или расстрой-
расстройки по ним отсутствуют.
6.2. ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Ввиду взаимного сходства частных функций корреляции F.7) —
/F.10) их можно получить простой заменой обозначений, только
функция корреляции по угловой скорости имеет некоторые осо-
особенности, которые будут оговорены ниже. Основываясь на этом
сходстве, можно ввести обобщенную функцию корреляции для
произвольного измеряемого неэнергетического параметра v, что
позволяет определить потенциальные возможности измерителя по
точности и разрешающей способности, не рассматривая каждый
конкретный параметр отдельно.
Для этого введем понятия обобщенной огибающей S(v), обоб-
обобщенной частоты \i, определяющей скорости изменения фазы при-
принимаемого сигнала (волны) q(v)=2n\iv по параметру v, и спектр
обобщенной огибающей 5([х), являющийся преобразованием
Фурье от огибающей 5(v). При указанных обозначениях^ введен-
введенных понятий обобщенная функция корреляции принимает^^вид
ОО 00
JS (v) 5* (v —V) dv \ \S (rf exp (j 2я jxv') ф
Y(v') = — *=— -, F.14)
причем
f|S(v)|2dv= J|S(|*)I*d|*. F.15)
— oo —.oo
148
Таблица
Измеряемый
параметр
V
t
F
Ux,y
Ux, у
6.1
Обобщенная
огибающая
S(v)
S(t)
S(f)
О(иХгУ)
Текущая фаза
2n\iv
2nfx~
2ntF
2nvx, yux, у
2nvXj ytux, у
Обобщенная
частота
/
Vx,y
Vx,yt
Спектр
обобщенной
огибающей
S(n)
S(f)
S(t)
G{vx,y)
G(vx,y)S(t)
Обобщенная функция корреляции F.14) принимает 'конкрет-
'конкретный вид F.7) — F.10), если обобщенные обозначения заменить
истинными согласно табл. 6.1.
Данные таблицы показывают, что только у функции корреля-
корреляции но времени запаздывания (дальности) обобщенные понятия
полностью соответствуют истинным. У функции корреляции па
частотному сдвигу (радиальной скорости) обобщенные и истин-
истинные понятия огибающей и ее спектра меняются местами. У функ-
функции корреляции по угловым координатам роль обобщенной оги-
огибающей играет комплексная диаграмма направленности, а роль ее
спектра — функция раскрыта, т. е. угловой пространственный
спектр. Ввиду особого положения угловой скорости как проетран-
ственного и временного понятия одновременно обобщенная часто-
частота и обобщенный спектр представляются в виде двух сомножите-
сомножителей, пространственного и временного, а одномерная корреляцион-
корреляционная функция F.10) представляется интегралом по двум перемен-
переменным: координате (угловой пространственной частоте) и времени.
В этом случае сама обобщенная огибающая не выражается через-
известные функции, хотя формально ее можно ввести как дву-
двумерное преобразование Фурье от произведения G(vX7y)S(t).
Необходимо отметить, что в частных функциях корреляции сле-
следует, вообще говоря, различать текущий параметр сигнала и из-
измеряемый параметр, имеющий одинаковую с текущим физическую
природу: время и запаздывание по времени (дальность объекта),,
частоту и доплеровский сдвиг частоты (радиальная скорость объ-
объекта), направляющие косинусы и направление прихода волны
(угловые координаты объекта). Однако в данном случае для со-
сокращения числа вводимых обозначений в обобщенной функции,
корреляции F.14)" (а также в частных функциях корреляции по*
угловым координатам и их производным) текущий и измеряемый
параметры обозначены одной буквой v, как и сдвиги v/ по ним.
Допустимость такого обозначения наглядно видна на примере
частной функции корреляции F.7): в ее подынтегральном выра-
женшг S (?)?*(?—т') смещение по измеряемому параметру — вре-
времени запаздывания %' — можно заменить смещением по текущему
времени f.
При наблюдении точечного объекта, представляемого дельта-
функцией 6(v—vo) текущего параметра v (где vo — истинное зна-
значение этого параметра), входная и выходная обобщенные харак-
>тч. «л. Рис. 6.1. Обобщенная огибающая сигнала (а),
у | \о(У} ^ импульсная характеристика точечного объекта
V F)> входной (в) и выходной (г) сигналы согла-
соглашу сованного фильтра
v теристики системы (полностью описывают
входной и выходной сигналы оптималь-
vo) наго приемника в отсутствие шумов
(рис. 6.1). Действительно, входная ха-
б
5) ° рактеристика системы — обобщенная
W(v-Vq) оги'бающая S(v) или ее спектр S(\i) •—
описывает входной сигнал приемника
ж
pQ v S(v—vo) или S([x)exp(—j2^[xvo), где
\ "' спектральное представление входного
сигнала получено из S(\i) !по теореме смещения. 'Соответственно
сигнал точечного объекта на выходе оптимального приемника
описывается через смещенную на v0 выходную характеристику
приемника — обобщенную функцию корреляции или энергетичес-
энергетический спектр: W(v—v0) или \S(\i) |2exp(—j'2jt|xvo). Таким образом,
входной и выходной сигналы оптимального приемника являются
входной и выходной реакцией системы на точечный объект.
Огибающую выходного сигнала точечного объекта ^(v—vo)
можно непосредственно наблюдать на экране HHAHKaTqpa. При
этом положение пика огибающей вдоль развертки по v характе-
характеризует истинное значение параметра vo (в отсутствие шумов), а
ширина пика, обратная ширине обобщенного спектра Д[л, опреде-
определяет точность и разрешающую способность по данному парамет-
параметру (при наличии шумов), как будет показано ниже.
Заметим также, что при измерении одновременно двух неиз-
неизвестных параметров vi и V2 выходной сигнал можно наблюдать на
экране индикатора в виде пятна, яркость которого пропорцио-
пропорциональна мощности выходного сигнала |P*(vi—vio, V2—V20) |2, при-
причем положение центра пятна указывает истинные значения пара-'
метров vio и V20, а размеры его, определяемые протяженностью
двумерного спектра Д(щ, щ), характеризуют совместную точ-
точность измерений и разрешающую способность по обоим парамет-
параметрам. Выходной сигнал как функцию трех и более измеряемых па-
параметров удовлетворительно воспроизвести невозможно,
6.3. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ТОЧНОСТЬ
ИЗМЕРЕНИЙ ФАЗЫ, АМПЛИТУДЫ
И ПРОИЗВОЛЬНОГО НЕЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО
ПАРАМЕТРА СИГНАЛА
Рассмотрим гармоническую обобщенную огибающую, ампли-
амплитуда которой А много больше среднеквадратического значения
шума On (рис. 6.2,а). Здесь и далее предполагается, что измере-
измерения проводятся при достаточно большом отношении сигнал-шум,
150
с„
/
/
а, 1 Я/
О
V V
Рис. 6.2. Погрешности измерений фазы гармонической огибающей (а) и про*
извольного параметра сигнала v с огибающей в виде суммы двух синусоид с
частотами jxi и \i2 и эквивалентной им гармонической огибающей с частотой
*Хэк (б)
что справедливо для точных измерений. Цри этом среднеквадра-
тическая погрешность измерения фазы сгФ =оп/А, а дисперсия
2 п iV0 IX J
где No — спектральная плотность шума; А/—полоса пропускания
приемника; ти — длительность сигнала (импулыса).
Учитывая, что 3=Л2ти/2 есть энергия сигнала (на сопротивле-
сопротивлении 1 Ом), а в оптимальном приемнике AftH=l, находим диспер-
дисперсию погрешности измерения фазы сигнала
а2 = 1- . F.17>
ф 2Э/Ы0 К f
Таким образом, потенциальная точность измерения фазы (как и
качество обнаружения) определяется только энергетическим от-
отношением сигнал-шум.
Через дисперсию фазы можно определить точность измерения
любого параметра сигнала, энергетического (амплитуды) и не-
неэнергетического. Дисперсия колебаний амплитуды есть дисперсии
шумов, накладывающихся на сигнал: о2а={о2п- Поэтому, восполь-
воспользовавшись формулами F.16) и F.17), находим
о2 =,А2о2 = ——— , F.18)
т. е. погрешность измерения амплитуды при заданном отношении
сигнал-шум пропорциональна амплитуде сигнала.
Переходя от фазы к произвольному неэнергетическому пара-
параметру сигнала (волны) % рассмотрим вначале гармоническую^
обобщенную огибающую 5(v) частоты \х. Так как текущая фаза
огибающей ср = 2я)л/у, то среднеквадратическое отклонение фазы
огф =2n\xav и дисперсия погрешности измерения неэнергетическо-
неэнергетического параметра сигнала с гармонической огибающей
1
BЭ/Ы0)
151
Таким образом, потенциальная точность измерения .неэнергетаче-
ского параметра кроме отношения сигнал-шум определяется еще
частотой гармонической огибающей: чем выше частота, тем выше
точность.
Покажем теперь, что огибающая сигнала произвольного вида
S(v) при данном отношении сигнал-шум эквивалентна гармониче-
гармонической огибающей с частотой \iQK. Для этого возьмем сначала оги-
огибающую в виде суммы двух гармонических составляющих частоты
\х\ и [Х2 и амплитуды А\ и Л2 соответственно. Полная энергия сиг-
сигнала Э = Э1 + Э2= (Л21 + Л22)ти/2=Л\и/2, где длительность сигнала
Тц полагаем достаточно большой. Поэтому с энергетической точки
зрения сложную огибающую можно заменить гармонической, амп-
амплитуда которой А=\ ]/лЛ21+Л22. Более того, результат наложения
начальных линейных участков двух синусоид частоты jlh и щ и
амплитуды А\ и Л2 при совпадении их нулевых фаз можно рас-
рассматривать как начальный участок некоторой* синусоиды частоты
}Хэк и амплитуды А= ]/Л21+Л22 (рис. 6.2,6). Действительно, ли-
линейные участки синусоид в равной степени определяются их час-
частотой и амплитудой:
i4isin 2n\i\v^2n\i\Aiv, Л2 sin 2njx2v^2njiH2v,
Л sm2ji\iQvy^2n\iQKAv. F.20)
Суммируя текущие мощности этих участков, получаем
или после сокращений
^эк (Л2! + Л22) = ^\А
так как Л2=Л2!+Л22. Отсюда находим частоту эквивалентной гар-
гармонической огибающей такого сигнала
ц\к= (^21Л21+|г22Л22)/(Л21+Л22). F.21)
Распространяя этот результат на любое число дискретных гар-
гармоник огибающей, получаем
- F.22)
Если обобщенная огибающая произвольной формы имеет
сплошной энергетический спектр |S(ji)|2, симметричный относи-
относительно нулевой частоты, то, разбив его на элементарные гармони-
гармоники, квадрат амплитуды которых Л2;= \S(\i) \2d\x~ и заменив суммы
интегралами, вместо формулы F.22) получим
J F.23)
Таким образом, огибающую произвольной формы с симметричным
энергетическим спектром при заданном отношении сигнал-шум
можно заменить согласно формуле {6.23) гармонической огибаю-
огибающей частоты |и=)|Лэк, обеспечивающей такую же „потенциальную
152
точность измерения неэнергетического параметра v, что и реаль-
реальная огибающая. Поэтому для оценки потенциальной точности из-
измерений при комплексной огибающей с произвольным, но симмет-
симметричным спектром можно воспользоваться формулой F.19), под-
подставив в нее ![хэк вместо \i:
@2 = ^ . F.24)
BЭ/М0) B^9KJ V '
Как следует из формул F.23) и F.24), частота \хзк и потенци-
потенциальная точность измерений, определяются только энергетическим
спектром огибающей, а не ее формой, зависящей от фазовой
структуры спектра. Однако, поскольку обобщенная функция кор-
корреляции F.14) взаимно однозначно связана с энергетическим
спектром сигнала, существует связь между потенциальной точ-
точностью измерений и обобщенной функцией корреляции сигнала
W(vf). Действительно, продифференцируем дважды функцию кор-
корреляции F.14) по параметру V в точке максимума:
F.25)
Здесь при двойном дифференцировании левой части выражения
F.14) производная под интегралом числителя бралась сначала
по v' от первого сомножителя, затем по —v' от второго сомножи-
сомножителя, что допустимо, так как сам интеграл зависит только от вза-
взаимного сдвига v' этих сомножителей. Сопоставив формулы F.24)
и F.25), получим искомую связь между дисперсией погрешности,
измерений и ее обобщенной функцией корреляции:
Эта формула, справедливая только для огибающих с симметрич-
симметричным энергетическим спектром, позволяет перейти к общему слу-
случаю, когда спектр не обязательно симметричен.
Рассмотрим свойства модуля обобщенной функции корреля-
корреляции I^F^v7) | и квадрата ее модуля ^(v'l2. Поскольку энергетиче-
энергетический спектр |5(|я)|'2 — вещественная функция, связанная с функ-
функцией корреляции }P(V) преобразованием Фурье, то квадрату мо-
модуля |"ЧР*^') |2 как произведению комплексно-сопряженных функ-
функций соответствует свертка одинаковых энергетических спектров.
Но (как было показано в § 3.2) свертка (функция корреляции)
одинаковых вещественных функций всегда вещественная и сим-
симметричная. Поэтому и связанная со сверткой спектров преобразо-
преобразованием Фурье функция J4r(-v/) |2 также вещественная и симмет-
симметричная, как и модуль функции корреляции ^(v7)]. Следователь-
Следовательно, функции ["^(v')! и ^(vOI2 обладают симметричными спект-
153,
рами и к ним применимы все выводы, полученные для функции
Ч* (v') с симметричным энергетическим спектром. В частности,
подставив IЧ1"(v/) | в формулу F.25) вместо W(v')f получим:
или
+ 2 [^|T(v')|]^r2^r|iF(v')|v^ = -2e, F.27)
так как в максимуме \W(V) | V'=o = 1 и [ -^— |"Ч?(Vх) I] V'=o=O. Учи-
тывая, что \Ч?(v') \2=x?(v/)W*(v/), и переходя к сокращенной за-
записи функции и ее произ-водных, получим
d
dv'
F.28)
dv'*
При однократном дифференцировании функция ^(vf) соглас-
согласно правой части формулы F.14) выдает множитель j2jtjji, а функ-
функция W* (v') множитель — j 2я^х, поэтому "Ф"*7 @) =—W @) и
Y*//@)=4r//'@), причем Y@)=^*@) = l. Возвращаясь к полной
записи, из соотношений F.27) и F.28) с учетом F.25) находим
*. - F-29)
Выполнив дифференцирование обобщенной функции корреля-
корреляции F.14) в соответствии с формулой F.29), получим соотноше-
соотношение для частоты эквивалентной гармонической огибающей в са-
саамом общем случае
]\dS(v)/dv'\*dv ]
:fL—: rt=-^z ^ F.30)
Bя)«
][dS(v)/dv']S*(.v)dv f
= =r^ F.31)
154
— первый начальный момент (смещение центра тяжести) энер-
готического спектра огибающей |5(jx)|2, а \х2ш является его вто-
вторым центральным моментом (моментом инерции). Таким образом*
значение ^2ЭК, пропорциональное абсолютному значению второй
производной модуля функции корреляции огибающей выходного-
сигнала оптимального приемника, характеризует ширину энерге-
энергетического спектра и, следовательно, остроту пика функции корре-
корреляции, т. е. скорость спадания выходного сигнала приемника при
расстройке по измеряемому параметру. Простое (без изменения
формы) смещение спектра \х0 вдоль оси частот не влияет на его
ширину и, следовательно, на значение |д,Эк и точность измерений.
По аналогии с формулой F.26) можно получить равноценные
формулы для оценки потенциальной точности измерений произ-
произвольного параметра сигнала при любой форме спектра
111 1
2Э а 2Э
2Э
F.32>
где Zs(v')=3\W(v')\ и 13(^) = B3/N0)\xif(v/)\ — сигнальные со-
составляющие корреляционного интеграла и логарифма отношения
правдоподобия соответственно.
Если энергетический спектр огибающей симметричен относи-
относительно нулевой частоты (как это обычно бывает), щ = 0 и форму-
формулы F.23) и F.30) полностью совпадают, так же как и формулы
F.26) и F.32). .
Заменяя в формуле F.32) произвольный неэнергетический па-
параметр v конкретными параметрами т, F, их,у, йх,у, находим дис-
дисперсии оценки дальности, радиальной скорости; направляющих
косинусов и их первых производных соответственно:
F 33)
Здесь конкретизированы понятия эквивалентной частоты обоб-
обобщенной огибающей \i3K: эквивалентная частота огибающей сиг-
сигнала f3K. эквивалентное время отсчета k>K и эквивалентные про-
155
странственные частоты vX3K и vy3K. В соответствии с общей фор-
формулой F.28) и табл. 6.1 при jjlo=O имеем
р J/1S(/I# _ $\dS(t)/dt\*dt'
lP\S(t)\*dt $\dSltf)/df\»df -
ЭК j[S(t)\2dt BnJj"|S(/)|2rf/
rf - l **.» I G(vx,y)\**°x.y __ UdG(Ux,y)/duxJ2dux.y
X, У ЭК с 2 Л '
l\G(vx,y)\***x,y Bя) UG(ux.y)\*d*x.y
F.34)
где опущены бесконечные пределы.
Как следует из формул F.30), дисперсия оценки производных
лаправляющих косинусов (углсжых скоростей) определяется про-
произведением параметров vx,y3K и ?Эк, которые порознь характе-
характеризуют точность измерения самих углов и радиальной скорости
¦соответственно. Поэтому при той же антенне и том же сигнале
лет необходимости наряду с угловыми координатами измерять
их производные: производные не содержат новой информации и
.мо^ут быть получены простым дифференцированием измеренных
текущих угловых координат. Однако измерение угловых скоро-
скоростей, если оно производится при значительно больших величинах
vXiySK=fod3K/c, чем измерение углов, т. е. либо при другой ан-
антенне (увеличенных размеров ??эк), либо при другом сигнале
>(с более высокой частотой несущей f0) дает новую, независимую
!от измеренных угловых координат информацию. Ввиду этого из-
измерительные системы с заданным видом сигнала и апертуры
рассчитаны на измерение только четырех параметров: дально-
дальности, радиальной скорости и двух угловых координат. Для из-
измерения двух составляющих угловой скорости необходима до-
дополнительная система..
В заключение в качестве примера вычислим частоту эквивалентной гармо-
гармонической огибающей по формуле F.30) для трех видов симметричного спек-
спектра:
равномерного
параболического
Ы <Дц/2,
156
V Г / 2u \212
= 1(Г' ^эк"УТо;
гауссовского
В двух первых случаях ширина спектра Apt отсчитывается на нулевом
уровне, в третьем—на уровне ехр(—я/4) «0,46. Последний результат можно
получить, не прибегая к вычислению табличных интегралов, из известного для
среднего квадрата (дисперсии) {[х2эк представления гауссовской кривой
<ехр(—2n\x2/A[i2) =ехр(—[х2/2[х2эк), подставив в это равенство А^х/2 вместо \i.
Чтобы найти конкретные параметры /Эк, ^эк, Vx,y эк, в полученные результаты
соответственно подставим A/, At, AvXiy = d/X.
6.4. ОПТИМАЛЬНАЯ ПО ТОЧНОСТИ
ФОРМА ОГИБАЮЩЕЙ
Как следует из полученных формул, лри заданном отношении
сигнал-шум Э/Ыо потенциальная точность измерений (произволь-
(произвольного параметра v определяется частотой эквивалентной гармо-
гармонической огибающей [лЭк, которая зависит лишь от структуры
обобщенного энергетического спектра огибающей |5(|г)|2. По-
Поэтому неоходимо оценить влияние параметров энергетического
спектра на точность измерений и определить оптимальную по
точности форму спектра, а следовательно, и самой огибающей.
В первую очередь оценим влияние смещения симметричного
спектра относительно нулевой частоты. Для этого сместим сим-
симметричный относительно (х=0 энергетический спектр |5(ji)|2^no
оси частот на ji0 и найдем второй начальный момент смещенного
спектра
(здесь и далее пределы интегрирования полагаем бесконечнымиI.
Произведем замену переменной: м/=ц—м-о- Тогда
86 j|S(')l3^' J|S(')IW
jS('l2rf'
157
Здесь интеграл во втором слагаемом равен нулю, как первый
гмомент функции |5(jx/)|2, симметричной относительно р/=0. От-
Отсюда (отбросив штрих у переменной) находим
ii. F.35)
Таким образом, смещение симметричного энергетического спект-
спектра огибающей относительно нулевой частоты не влияет на точ-
точность измерений: формула F.35) совпадает с формулой F.23)
для несмещенного спектра.
Чтобы оценить влияние асимметрии энергетического -спектра
на точность измерений, разложим его на четную и нечетную со-
составляющие:
I5(tx)|2=|S(^)|24+|S(R)|2H4, F.36)
^де четная и нечетная составляющие находятся как полусумма
и полуразность исходного спектра, обращенного относительно
0
(рис. 6.3). При этом
F.37)
:dn = O, F.38)
—,00 — 00 OO
т. е. четная составляющая содержит всю энергию огибающей,
а нечетная (введенная чисто формально) не несет энергии (энер-
(энергия не может быть отрицательной). Таким образом, асимметрию
энергетического спектра можно трактовать как появление допол-
дополнительной нечетной составляющей, не изменяющей полной энер-
энергии сигнала. Асимметрия энергетического спектра проявляется в
Рис. 6.3. Энергетический спектр сигнала
(а), его четная (б) и нечетная (в) состав-
составляющие
\S(JU)\\ 1
i .
\S(/l)\lm •
0
. *)
i ¦ s)
I.
Рис. 6.4. Расширение огибающей обобщен-
обобщенной функции корреляции за счет состав-
составляющей "*FH4(v') при асимметрии энерге-
энергетического спектра
158
том, что обобщенная функция корреляции принимает комплекс-
комплексный характер
где
^ч (v') = 2 j \S (ji)I* cos2яцг' d ц,
1
H4() ]
0
— четная и нечетная составляющие комплексной функции корре-
корреляции соответственно. Огибающая функции корреляции
v') F.41)
при асимметрии расширяется за счет появления нечетной состав-
составляющей \Ph4(v') (по сравнению с огибающей с симметричным
спектром, у которой ^(v') | ==W(v/)=4f4(rv/) (рис. 6.4). В ре-
результате точность измерений снижается. Заметим, что огибаю-
огибающая функции корреляции [^(v')) всегда симметрична, так как
в формуле F.41) функция Ч12^^') в отличие от Ч^нчС^')' четная
(это справедливо для любых' функций, имеющих вещественный
спектр).
Чтобы определить степень снижения точности вследствие асимметрии энер-
энергетического спектра, найдем его второй начальный момент
i
Этот момент определяется только четной составляющей спектра, так как не-
нечетная составляющая при интегрировании по области положительных и отри-
отрицательных частот дает нуль. Таким образом, асимметрия спектра не изменяет
«его второго начального момента, однако дает ненулевой первый момент
который обусловлен только нечетной составляющей спектра, так как произве-
произведение \i\S(\x)\24 нечетно и при интегрировании по всей области частот дает
нуль.
Острота пика огибающей функции корреляции ("^(v')!, определяющая
точность измерений, зависит от ширины спектра этой функции, т. е. его второ-
второго центрального момента
рЛш = й2оо—fi2o, F.44)
159
Рис. 6.5. Снижение точности измере-
измерений при ступенчатой (а) и линейной
асимметрии (б, в) в зависимости от
относительного веса нечетной со-
составляющей спектра (г)
что совпадает с формулой F.30) с учетом F.31). При этом первое -слагаемое
формулы F.44) обусловлено только четной составляющей энергетического спе-
спектра, второе только нечетной. Поскольку первое слагаемое не зависит от асим-
асимметрии спектра, снижение точности измерений при асимметрии определяется
только вторым слагаемым.
Как следует из формулы F.43), снижение точности при асимметрии за счет
появления первого момента спектра jio зависит от удельного веса площади
^|5(|д,)|2нч по сравнению с полной площадью, определяемой |5(|л)|2. Но так
как у |5|х|2нч одна половина положительна, а другая отрицательна, введем в
качестве весового коэффициента отношение полуплощадей
F.45)
К сожалению, количественная оценка ухудшения точности в общем виде
затруднена тем, что она зависит не только от коэффициента и, но и от формы
спектра. Поэтому рассмотрим три частных примера (рис. 6.5):
a)
б)
в)
2=l— 4A— k)\x2lA\i2+2k\ilA\i,
160
где Afx — общая ширина спектра. В первом примере нечетная составляющая
ступенчатая, во втором и третьем плавная, линейная и нелинейная.
В последнем примере введена постоянная составляющая k, чтобы не'нарушить
условие \S(\x) |2^0.
В результате вычислений получаем (рис. 6.5,г)
2 Ац2 xAfi - A^i i/, Зх2
^экmax = 2 y^ ПРИ и=0, (Хэк min — „ i/5- при x — 1; 7
Л 11 2 а,# An A 11 ~-a / Л.Л/ ?
Afx
= 3 у^ при х =
В) йоо = 20B + *) = 60
Дц т/ 4х 20ха
При % = 0; ЦэктХп^А^/З ПрИ Х = 0,5.
Полученные результаты показывают, что точность измерений наиболее су-
существенно, может снижаться при ступенчатой асимметрии (случай а). В пределе
при х=1, когда полностью подавляется одна половина спектра, точность сни-
снижается вдвое. Более близкой к реальной является линейная асимметрия, ко-
которая оказывает практически одинаковое воздействие как на равномерный, так
и на плавно спадающий на концах спектр (случая бив). Хотя линейная асим-
асимметрия при заданном к проявляется несколько сильнее, максимальное сниже-
снижение точности не превышает 18%, что вызвано ограничением удельного веса не-
нечетной составляющей спектра величиной %=0,5, вытекающим из условия
|5(|i)|2^0. Рассмотренные примеры показывают также, что снижение точно-
точности при асимметрии спектра определяется в основном относительным весом к
нечетной "составляющей и слабо зависит от формы спектра.
Таким образом, асимметрия энергетического спектра приводит к снижению
точности измерений. Однако практически это снижение невелико, так как не-
нечетная составляющая ограничена условием неотрицательности энергетического
спектра и дает на выходе измерительной системы нечетную составляющую
функции корреляции, которая, складываясь в квадратуре с большой четной со-
составляющей согласно формуле F.41), вызывает лишь незначительное расшире-
расширение огибающей выходного сигнала и соответствующее снижение точности.
Исходя из приведенных выше соображений оптимальную па
точности обобщенную огибающую при заданном отношении сиг-
сигнал-шум будем искать в классе функций с симметричным энер-
энергетическим спектром (рис. 6.6). Искомая огибающая должна
обеспечить максимальное значение \хэк при условии, что ширина
спектра Aji=2jxmax задана, так ,как в противном случае с увели-
6—94 161
'Э/Z
-Ата* О \/1
max
/3/Z 3/2 \
Y
О
-*-
а> Ю з)
Рис. -6.6. Энергетический спектр обобщенной огибающей сигнала произвольной
формы (а), его эквивалентной гармонической огибающей (б) и огибающей оп-
оптимального по точности сигнала (в)
чением Aji параметр \хэк будет неограниченно возрастать. Нетруд-
Нетрудно видеть, что при заданном A\i максимально возможное
И»эк тах=[Хтах=А[х/2.Таким образом, оптимальной огибающей,
обеспечивающей максимум [хэк, является гармоническая огибаю-
огибающая частоты jx=timax=A[x/2. Так, при измерении дальности наи-
©йюшую точность обеспечивает сигнал в виде двух высокоча-
высокочастотных синусоид, разнесенных по частоте на А/ (/эк=Д//2), при
измерении радиальной скорости — сигнал в виде двух коротких
высокочастотных импульсов, разделенных интервалом А/ (/Эк=
t=A//2).
Заметим, однако, что полученный вывод относительно опти-
оптимальной формы обобщенной огибающей справедлив, только если
от вида ее энергетического спектра не зависит энергия сигнала,
которая входит в качестве второго множителя в формулу потен-
потенциальной точности F.24). Это условие не выполняется для уг-
угломерных систем, у которых от вида пространственного спектра
G{vXiV) зависит эффективная площадь антенны, являющаяся
энергетическим параметром. Поэтому вопрос о выборе оптималь-
оптимального по точности вида функции G (vX) y) требует дополнительного
уточнения. ВО|Зможны два случая.
1. Заданы общий размер антенны L (или ширина простран-
пространственного спектра Avx,y=L/k) и суммарная протяженность ее
оплошного раскрыва d, причем L^d. Так как раскрывом d опре-
определяется энергия принимаемого сигнала при заданной плотности
потока мощности в точке приема, условие <i=const означает
Э—const, что соответствует общему условию при нахождении
оптимальных характеристик. При этом максимальная эквива-
' лентная пространственная частота vX)yBK~Avx,yf2=L/2X, а оп-
оптимальная антенна имеет вид двух полотен размером rf/2, раз-
разнесенных на максимально возможное расстояние bz&L (рис.
6.7, а).
2. Задан только размер антенны L (и плотность потока мощ-
мощности в точке приема). При этом оптимальна антенна, у которой
максимально произведение 9vX)VsK=dvx>y3Ky что достигается при
d=L (рис. 6.7,6). В чэтом случае эквивалентная пространствен-
пространственная частота vx,y3K=Aiox,y/2'\/r3f т. е. в "|/*3 раз меньше, зато
энергия принимаемого сигнала в L/d раз больше, чем в первом
случае, когда
162
а/г
Ю
Рис. 6.7. Выбор оптимальной по точности функции раскрыва при заданной
энергии принимаемого сигнала (а) и при заданной плотности потока мощное-
сти (б)
Однако качество измерений характеризуется не толька точ-
точностью, определяемой ov или ji3k, но и однозначностью измере-
измерений. В частности, оптимальная по точности гармоническая оги-
огибающая частоты [л=|д,тах не обеспечивает однозначности изме-
измерений в пределах заданного диапазона [vmax—Vmm]. Действи-
Действительно, для обеспечения заданной точности измерений частота
гармонической огибающей (обозначим ее \хт) должна быть до-
достаточно большой. При этом измерение параметра v произво-
производится по сдвигу фазы огибающей ($=2п\ХтУ> который при боль-
большой частоте \хт очень быстро набегает с увеличением v, достигая
значения 2я и многократно [переходя его. Поскольку ф>2я из-
измерить невозможно, появляется неоднозначность. Положив ф=2я*.
найдем диапазон однозначности точных измерений
, F.46)
Так как частота \хт велика, он мал. , ^ -
Для однозначного измерения во всем диапазоне возможных
значений измеряемого параметра [vmax—Vmin] частоту огибающей
(обозначим ее \хгр) нужно взять достаточно малой. Из условия
2ft^rp{vmax—Vmin] = 2я находим частоту
Mrp=l/[Vmax—Vmin], F.47)
обеспечивающую однозначность измерений. Так как частдта ма-
мала, измерения получаются грубыми.
Отсюда следует, что требованиям точности и однозначности не-
невозможно удовлетворить на одной частоте огибающей. Поэтому
приходится использовать две гармонические огибающие на ча-
частотах \iT и jxrp, образующих тачную неоднозначную и грубую,,
но однозначную шкалы соответственно. Однако частоты jxT й \хтр
обычно настолько резко различаются, что по огибающей, явля-
являющейся их суммой, не удается однозначно выбрать максималь-
максимальный пик точности шкалы, по которому производится отсчет
(рис. 6.8). За правильный можно принять один из соседних пиков
высокой частоты ^т, так как огибающая пиков убывает очень
Отсчет ^\йШ\п^-A^tQbiri/i^v+AjZQsZut^v Рис. 6.8. Огибающая функ-
' ции корреляции (выходно-
го сигнала согласованного
приемника) в виде суммы
двух гармоник, частоты
которых отличаются во
много раз
медленно. Для того чтобы убывание происходили быстрее и поз-
позволяло произвести безошибочный отсчет, дополнительно вводят
среднюю шкалу на частоте р,Ср, определяемую из условия
|гт/[Хср = }Хср/М'гр (иногда несколько средних шкал).
Многошкальная система -позволяет получить уверенный точ-
аый и однозначный отсчет, однако такая огибающая имеет спектр
,{рис. 6.9, а), существенно отличающийся от оптимального (рис.
4.9,6). В формуле F.24) для оценки потенциальной точности
должна участвовать не вся энергия принимаемого сигнала Э,
как это требуется в оптимальном случае, а только часть энергии
лЭт, заключенной в гармонике частоты \хт; энергия же составля-
составляющих частоты jirp и [Хер служит лишь для исключения неодно-
неоднозначности.
Обычно многошкальная система используется в нелинейных
фазовых измерителях, где отсчет производят не по положению
пика огибающей, а по сдвигу фазы на каждой ее гармонике
отдельно, затем результаты этих измерений объединяют. В отли-
отличие от оптимальных измерений по пику огибающей, в фазовых
системах при каждом измерении используется только п-я часть
общей энергии, где п — число шкал. Однако фазовые много-
многошкальные измерители широко используют там, где ограничения
по энергии отсутствуют.
6.5.РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
ПО ОДНОМУ ПАРАМЕТРУ И ВЫБОР
ФОРМЫ ОБОБЩЕННОЙ ОГИБАЮЩЕЙ
При создании радиотехнических измерителей необходимо пре-
предусмотреть возможность одновременного приема нескольких сиг-
сигналов, которые при взаимном наложении искажаются, в резуль-
результате появляются дополнительные погрешности измерений или
даже сами измерения становятся невозможными. Поэтому для
сохранения высокой точности измерений необходимо, чтобы сиг-
сигналы, принимаемые от нескольких объектов, разделялись, т. е.
чтобы система обладала разрешающей способностью по измеря-
измеряемому параметру.
Хорошей мерой разрешающей способности является функция
корреляции "^(v'), которая характеризует степень взаимного пе-
перекрытия (по площади) двух одинаковых сигналов S(v—vi) и
S(v—V2), разнесенных на v'=v2—vi. При v/=0 сигналы полно-
164
стью перекрываются Dя @) = 1) и разрешить их невозможно; при
достаточно 'больших расстройках обычно "^(v'-^oo) =0-и сигна-
сигналы полностью разрешаются. Поскольку функция ^(v') описыва-
описывает также поведение выходного сигнала оптимального приемника
при расстройке по измеряемому ^параметру, можно считать, что
последний реализует потенциальные возможности по разрешаю-
разрешающей способности: если сигналы разрешаются вообще, то они раз-
разрешаются на выходе оптимального приемника и наоборот.
Результат взаимодействия двух выходных сигналов оптималь-
оптимального приемника зависит от случайных фазовых соотношений меж-
между ними. Поэтому для оценки разрешающей способности в сред-
среднем удобно пользоваться не самой функцией корреляции ^(v')»
а квадратом ее модуля (^(v'I!2, пропорциональным мощности
выходного сигнала оптимального приемника в функции расстрой-
расстройки, поскольку мощность не зависит от фазовых соотношений.
Функция ^(v') |2 наиболее полно характеризует разрешаемую
способность: по ней просто можно определить ширину и форму
основного пика (область высокой корреляции) и уровень боко-
боковых лепестков (область низкой корреляции). Однако часто тре-
требуется охарактеризовать разрешающую способность одним чис-
числом. В качестве такого числа удобно принять протяженность об-
области высокой корреляции — разрешаемый интервал
)ladv'f F.48)
который численно равен площади функции ^(v')!2 и площади
его прямоугольного эквивалента, высота которого равна 1 (рис.
6.10).
Для вычисления интеграла F.48) воспользуемся правой ча-
частью формулы F.14) и соотношением
(v') |2 = ^F (vr) ^* (v') =
J |S
где произведение двух интегралов заменено двойным интегралом
с разделяющимися переменными \i и \х\ Подставим полученное
выражение^ F.48):
__
От переменной v' зависит только экспонента. Поэтому в числите-
числителе выделим внутренний интеграл \^27t^~^v/dy/=6(\i—(/), ко-
165
1
1
i
AV
\
0 r Vs
Рис. 6.9. Распределение энер-
энергии в двустороннем энергети-
энергетическом спектре при много-
многошкальном отсчете (а) и при
огибающей оптимальной по
точности формы (б)
Рис. 6.10. Квадрат модуляг
функции корреляции и ее
прямоугольный эквивалент
торый по определению является дельта-функцией, равной едини-
единице при u/=li и нулю при р/=7^и<- Ввиду этого дальнейшее инте-
оо
грирование числителя по \i' дает функцию J \S(vl') |26([х—
—.оо
—\i/)d\i/=\S(\i)\29 остающуюся под знаком единственного ин-
интеграла по \\х. Отсюда находим разрешаемый интервал
Д*у= 1/|Д||хЭф, , (о.49)
где
d\x F.50>
— эффективная протяженность обобщенного спектра.
Подставив в F.49) конкретные величины, получим ра^зрешае-
мые интервалы по дальности, радиальной скорости и направля-
направляющим косинусам:
Лт = —— : AF = ——: Аих.и = т-7. > F-51>
где эффективные протяженности спектра Д'/Эф, сигнала Д^ф и
пространственного спектра AvXiV3^ определяются выражением
F.50) при подстановке вместо S(\x) соответственно S(f), S(t) ш
G{vx,v).
Сплошной спектр прямоугольной формы и ширины A\i имеет
максимальную эффективную протяженность А\1Эфтах==А\1. Все
другие формы спектра при 1заданном А\х дают Д|Хэф^Д|л<, где-
A\i—общая ширина спектра.
Эквивалентная -протяженность спектра (в отличие от ширины
спектра) не включает участки, где спектральная плотность
равна нулю. У дискретного спектра с нулевой шириной спект-
спектральных линий (гармоник) Дц,Эф = 0 и разрешающая способность
отсутствует, какой 'бы .большой ни 1была общая ширина А\х. Дей-
Действительно, два гармонических сигнала одинаковой частоты да~
166
ют общий сигнал той же частоты, ио которому невоз,можно опре-
определить измеряемый параметр ни одного из этих сигналов. По-
Поэтому многошкальные системы, использующие на|бор * гармоник,
применяются только там, где исключено появление более одного
сигнала или сигналы разрешаются не по измеряемому, а по дру-
другому параметру.
Таким о'бразом, оптимальной по разрешающей способности
системой является такая, у которой обобщенный спектр равно-
равномерный и сплошной на всей заданной ширине Ajx. Определим,
насколько совершенна эта система по точности, положив
]5([х)|2=1 на интервале A4u = 2jxmax в формуле |
тах / тах
VL= J »г*\>\ I d 11 = 11^/3, F.52)
откуда находим |u3K = ptmax/]//3 = A]Li/2]/3, т. е. точность у этой сис-
системы всего в ]/3 раз меньше, чем у системы с оптимальной по
точности характеристикой (||хЭктах='А|х/2). Кроме того, при сплош-
сплошном обобщенном спектре всегда обеспечивается однозначность из-
измерений: такую систему можно считать многошкальной с беско-
бесконечным набором частот, вплотную прилегающих друг к другу.
Следовательно, оптимальная по разрешающей способности
система оптимальна почти по всем показателям, только точность
ее несколько ниже максимально возможной (менее чем в два
раза). Заметим, что система с высокой разрешающей способ-
способностью всегда обеспечивает и высокую точность измерений, но не,/
всегда справедливо обратное утверждение. Многие системы пред-
предназначаются не для измерений, а для получения изображения
{например, карты местности), качество которого (подробность)
целиком зависит от разрешающей способности. Разрешающая спо-
способность определяет также возможность отстройки от помех. По-
Поэтому эту характеристику относят к наиболее общим и важным
для всякой измерительной системы.
Однако оценивание разрешающей способности одним чис-
числом — разрешаемым интервалом Av — часто дает лишь грубое
представление о действительных свойствах системы. Поэтому в
ряде случаев дополнительно учитывают уровень боковых лепест-
лепестков и наличие периодичностей. Оценка разрешающей способнос-
способности интервалом Av -применима лишь к сигналам приблизительно
одинаковой интенсивности. У сигналов, интенсивность которых
отличается на порядок или несколько порядков, боковые лепест-
лепестки сильного сигнала могут замаскировать основной лик более сла-
слабого сигнала. Равномерный обобщенный спектр, оптимальный по
минимуму разрешаемого интервала Av, наихудший, поскольку
при крутых срезах спектра велика интенсивность боковых лепест-
лепестков у обобщенной огибающей. Так, равномерный спектр имеет
огибающую вида sin*/#, у которой уровень первого бокового ле-
лепестка превышает 0,2 от основного. Кроме того, трудно создать
устройства для формирования и фильтрации сигналов, огибающие
167
которых или их спектры имеют крутые срезы. Словно также реа-
реализовать равномерное облучение раскрыва (пространственны*
спектр с крутыми срезами) ввиду затекания энергии за края^
раскрыва, ведущего к энергетическим потерям и повышению уров-
уровня шума. Поэтому обычно используют обобщенный спектр с плав-
плавными срезами, при котором несколько расширяется основной пик
огибающей (уменьшается Д[хэф), зато резко снижается уровень
боковых лепестков. Разработаны специальные методы, обеспечи-
обеспечивающие либо наибыстрейшее снижение уровня боковых лепест-
лепестков, либо их равномерно минимальный уровень во всем диапазо-
диапазоне или части диапазона измеряемого параметра, либо минималь-
минимальное отношение энергии боковых лепестков к энергии основного
лепестка.
Наконец, в радиосистемах часто используют периодическую
последовательность импульсов, обеспечивающую непрерывность
наблюдения. Периодическая обобщенная огибающая пакета пов-
повторяющихся сигналов (без шумов) на выходе оптимального при-
приемника, пропорциональная по мощности функции I^Ffv')J, содер-
содержит в своем спектре |5(|л)|2 полосы шириной Afxn=l/iVvn каж-
каждая, где vn — период повторения, а N — число периодов в паке-
пакете, причем полосы чередуются с интервалами \xn=l/vn. Длитель-
Длительность каждого пика огибающей Avn и общая ширина спектра A\i
находятся в обратной зависимости: Avn=l/A[x (рис. 6.11).
Эффективная протяженность прерывистого спектра, прибли-
приближенно равная сумме протяженностей всех спектральных полос:
А [хЭф = NA\iu = A(xAvn/vn=A\x/q F.53)
в q раз меньше общей ширины спектра Apt, где q=vnfAva —
скважность. При этом Др,Эф определяет разрешающую способность
в целом, учитывая как протяженность отдельного пика огибаю-
огибающей, так и число пиков, т. е. степень неоднозначности. Однако,
когда интервал измерений не превышает периода повторения, т. е.
б)
Рис. 6.11. Квадрат модуля функции корреляции (а) и энергетический спектр-
(б) пакета повторяющихся сигналов
168
чего иногда добиваются для исключения неод-
неоднозначности, разрешающая способность практически определяет-
определяется только протяженностью пика огибающей Avn=l/Ap,, т. е. об-
обратно пропорциональна полной ширине спектра. В частности, при
измерении дальности R по отраженному или ответному сигналу
интервал измерений времени запаздывания x=2R/c лежит в пре-
пределах 0<т^Ттах. Тогда однозначность измерений обеспечивает-
обеспечивается ВЫбОрОМ ПерИОДа ПОВТОреНИЯ Ти> [тШах—Tmln] =Ттах=г2/?тах/б(,
где i?max определяется из уравнения дальности действия. При из-
измерении радиальной скорости R по этому же сигналу доплеровс-
кий сдвиг частоты F=—2R/X лежит в пределах —|/*|тах^^=^
^1^*1 max и однозначность измерений обеспечивается выбором
частоты повторения Fn=l/Tn из условия Fn^2\iF\max = 4\R\m2iJh.
При выполнении указанных условий, которые часто оказываются
взаимно противоречивыми, разрешающая способность по даль-
дальности полностью оценивается только шириной спектра импульса
{At=l/Af), а по скорости только длительностью импульса (Д/7 =
l/At)
)
Интервал измерений дальности и радиальной скорости хотя и
конечен, но мсжет быть сколь угодно большим. Однако направ-
направляющие косинусы изменяются в ограниченных пределах —1^
^их,у^11, т. е. полный интервал их изменения [их,утах—иХ}Ут1п] =
=2 и период однозначных измерений удовлетворяет условию
•Иэс,уп = 2. Поэтому, не опасаясь неоднозначности, сплошной угло-
угловой спектр G(vx,y) можно заменить . дискретным с интервалом
^х,1/п=1/Мэс,1/п^1/2. Это означает, что антенная решетка с шагом
6^Я/2, т. е. vXyyn = b/'k=l/2, практически эквивалентна сплошной
антенне.
В заключение отметим, что точность измерений определяется
{через [Хэк) общей шириной энергетического спектра, в то время
как разрешающая способность (с учетом неоднозначности) —
суммарной протяженностью Д[хЭф только «заполненных» участков
спектра, т. е. его общей шириной за вычетом «пустых» участков.
6.6. СЛОЖНАЯ ОГИБАЮЩАЯ
И ОПТИМАЛЬНОЕ СЖАТИЕ СИГНАЛА
Одной из важных характеристик обобщенной огибающей яв-
является ее база — произведение ширины спектра огибающей Apt
на ее исходную (до фильтрации) протяженность vHCX: N=A\ivaix-
По этой характеристике огибающие, подразделяются на два вида:
простые, у которых N&1, и сложные, у которых N^>1. Простые
имеют вещественный (синфазный) спектр, а сложные — комплекс-
комплексный (спектр расфазирован). Независимо от этого протяженность
Av основного лепестка выходного сигнала оптимального прием-
приемника согласно формуле F.49) определяется только эффективной
протяженностью спектра А^эФ^Ар, т. е. Av«ll/A|i. Следователь-
Следовательно, после прохождения через согласованный фильтр простые оги-
огибающие практически сохраняют свою протяженность (Av«l/A|i»
169
~vHCX), а сложные сжимаются в N раз (Av^l/Ajx^vHcxMO- Это
объясняется тем, что спектр выходного сигнала оптимального
приемника |S(j|x)|2 всегда вещественный, поэтому протяженность
пика огибающей выходного сигнала ^(v) минимальна независи-
независимо от протяженности огибающей входного сигнала.
При измерении дальности обобщенной огибающей является:
реальная огибающая сигнала. Сложная огибающая, например, кэ-
локолообразного импульса с глубокой линейной частотной моду-
модуляцией S(t)=exp[—ni2/x2R—]nat2] (как было показано в § 3.2)
имеет комплексный спектр, ширина которого равна девиации час-
частоты А/^а^и, изменяемой со скоростью а в течение длительности
импульса ти, а база Л^ = Д/'ти~ат2и. Длительность выходного сиг-
сигнала Дт=17Д/«1/аТи=ТиМ/' сжимается в N раз. Во столько же
раз возрастает мощность сигнала, так как энергия в импульсе
сохраняется неизменной. Таким образам, сложный сигнал боль-
большой длительности и малой мощности эквивалентен в оптималь-
оптимальной системе простому сигналу малой длительности и большой
мощности при одинаковой ширине спектра. Выходной сигнал бу-
будет иметь одинаковую форму и энергию.
При измерении радиальной скорости роль обобщенной комп-
комплексной огибающей играет спектр огибающей реального сигнала,
а обобщенным спектром является сама огибающая. Поэтому сжа-
сжатая обобщенная огибающая получается в результате свертки
спектральных характеристик сигнала и фильтра или (что то же
самое) умножения комплексной огибающей сигнала на сопряжен-
сопряженную с ней импульсную характеристику фильтра. Таким образом,,
для оптимального сжатия спектра сигнала нужно перемножить,
например на смесителе, два сложных сигнала, у которых измене-
изменение частоты и фазы происходит синхронно. В результате получа-
получаем сигнал постоянной разностной частоты (или видеосигнал),
имеющий узкий спектр, так как происходит демодуляция входно-
входного сигнала. В приведенном выше примере гауссовского импульса
с глубокой линейной частотной модуляцией при измерении ради-
радиальной скорости (частотного сдвига) роль обобщенной огибаю-
огибающей играет его спектр S(f) я^ехр[—jtf2/Af2—]nf2la], закон изме-
изменения фазы которого с частотой (мнимый член в показателе экс-
экспоненты) также квадратичный. После перемножения с опорным
сигналом происходит сжатие спектра Д/^ати в N = a%2E раз. В
результате ширина спектра на выходе AF=Af/N = arJaT2K=l/xH>
как и у немодулированного, простого сигнала. Благодаря узкому
пику спектра обеспечивается высокая разрешающая способность
по частоте, т. е. по радиальной скорости, и высокая точность ее
измерения.
Нуждо, однако, отметить, что свертку спектров можно выпол-
выполнить тблько с помощью коррелятора, а поэтому необходимо обес-
обеспечить одновременность поступления входного и опорного сигна-
сигналов.
При измерении угловой координаты роль обобщенной огибаю-
огибающей играет диаграмма направленности антенны, т. е. функция уг~
170
¦ла, а роль обобщенного спектра — функция раскрыва, т. е. угло-
угловой пространственный спектр. По отношению к ним справедливы
все положения, которые были высказаны выше применительно к
сигналу как функции времени и его спектру. В частности, комп-
комплексная функция раскрыва (несинфазный угловой спектр) дает
широкую диаграмму направленности, которую можно сжать до
минимально возможной, пропустив через согласованный прост-
пространственный фильтр (фазированием).
Применение обобщенной огибающей сложной формы позволя-
позволяет обеспечить, совместить энергетические и метрические требова-
требования к измерительной системе, которые часто противоречивы. Энер-
Энергетическим требованием является обеспечение заданной дальности
действия в заданном секторе, а метрическими — заданная точ-
точность измерений и разрешающая способность по измеряемому па-
параметру. При огибающих простой формы эти противоречивые тре-
требования часто неразрешимы. Покажем это на примере временной
и пространственной характеристик системы.
' Пусть временная характеристика — огибающая излучаемого
сигнала — имеет вид пакета из п простых импульсов длитель-
длительностью ти=1/А/ и мощностью Рк каждый. Так как дальность дей-
действия системы определяется полной энергией излучаемого сигна-
сигнала Э^=Рпхпп, ее можно повысить, увеличив все три параметра или
хотя бы один из них. Однако число импульсов, принимаемых за
время облучения объекта, ограничено допустимым временем об-
обзора всей зоны. Излучаемая мощность ограничена опасностью
пробоя в антенно-фидерной системе. Остается единственная воз-
возможность — увеличение длительности импульса. Однако с уве-
увеличением длительности ти простых импульсов (Д/ти=1) уменьша-
уменьшается ширина спектра Д/=1/ти и, следовательно," ухудшается точ-
точность измерений и разрешающая способность по дальности (Дт~
^|1/Д/='Ти). Это противоречие разрешается при использовании
импульсов сложной формы, база которых N=ApTu^>l за счет
внутриимпульсной модуляции. При достаточно большой базе за-
заданная дальность действия обеспечивается за счет большой дли-
длительности импульса ти, а заданная точность и разрешающая спо-
способность (Дт^ 1/Д/ = ТиМ0 — за счет выбора ширины спектра Af.
Обратимся теперь к пространственной характеристике систе-
системы — функции раскрыва ФАР. Предположим, что система пред-
предназначена для одновременного мгновенного обзора всей зоны и
обладает высокими метрическими характеристиками, т. е. высо-
высокой точностью и разрешающей способностью по угловой коорди-
координате. Это обеспечивается большой шириной пространственного
спектра Avx,y = d/%, т. е. большим относительным размером раск-
раскрыва антенны. Если при этом использовать синфазный раскрыв,
т. е. вещественный угловой спектр с базой N = Avx>yuXtyIlttl> то
ФАР может йгзлучать (и принимать) сигналы только в пределах
узкого'сектор a ux,yji=\l/Avx,y.
Таким образом, простая апертура (N— 1) не обеспечивает об-
облучения в "широком секторе, которое необходимо для мгновеннй-
171
го обзора в заданной зоне. Если же ввести сдвиг по фазе между
сигналами, излучаемыми элементами ФАР (комплексный прост-
пространственный спектр), ширина диаграммы направленности их,у№
возрастет во много раз и перекроет всю зону обзора, База полу-
полученной сложной ашертуры N=AvX]yux,yn^>l." При оптимальном
приеме сдвиг по фазе между пространственными спектральными
составляющими устраняется и диаграмма направленности сжима»
ется до предельно малой ширины Аих,уж\/Аих,у = их,уи/Ы, что
обеспечивает высокую угловую точность и разрешающую способ-
способность. Снижение дальности действия, вызванное введением фазо-
фазовых сдвштш по раскрыву, при излучении компенсируется установ-
установкой передатчиков в канале каждого элемента ФАР. Мощность
излучения каждого передатчика остается много ниже предела, оп-
определяемого опасностью пробоя, хотя при большом числе элемен-
элементов мощность излучения всей ФАР очень высока.
Облучение заданной зоны можно обеспечить и отдельной из-
излучающей антенной малых размеров, создающей широкую диаг-
диаграмму направленности без раефазирования сигнало!В по раскры-
раскрыву {М — №х,уих,уи?& 1). Однако при большой дальности действия
системы требуемая мощность излучения может значительно пе-
перекрыть допустимую.
Схема системы, в которой используется принцип оптимально-
оптимального сжатия диаграммы направленности (рис. 6Л2,а), содержит в
канале каждого элемента ФАР усилители мощности (УМ), воз-
возбуждаемые от общего задающего генератора (ЗГ), антенные пе-
переключатели (АП) и фиксирО|ванные фазовращатели ср*, обеспе-
обеспечивающие требуемое распределение фаз по раокрыву. В прием-
приемном тракте каждого элемента включают компенсирующие фазо-
фазовращатели —щ, которые вместе с многоканальным приемником
(многоканальный вход и выход) образуют оптимальный проста
ранственный фильтр, обеспечивающий одновременный прием сиг-
сигналов со всех направлений с высокой точностью пеленгации ж
м
1 г/?т
ч
У//
X
Л/7
У//
АП
УМ
1
(г-
—>
h
-<Рз
ч
/
/й
§1
1
УМ
-
а)
Рис. 6.12. Схемы системы мгновенного образа с оптимальным сжатием диаграм-
диаграммы направленности
172
разрешающей способностью по направлению благодаря сжатию
диаграммы направленности. Поскольку расфазировка сигналов по
раекрь|ву необходима только при излучении, возможна более про-
простая система, которая содержит фазовращатели только в пере-
передающем тракте (рис. 6Л2,б).
6.7. НЕОПТИМАЛЬНОЕ СЖАТИЕ
ОГИБАЮЩЕЙ И УТОЧНЕНИЕ
ПОНЯТИЯ РАЗРЕШАЮЩЕЙ СПОСОБНОСТИ
Разрешаемый интервал Av, характеризующий ширину обоб-
обобщенной функции корреляции Ч? (vf) (т. е. выходного сигнала оп-
оптимального приемника вдоль измеряемого параметра), является
объективном оценкой разрешающей способности системы при двух
условиях: объект считается точечным, т. е. аппроксимируется
дельта-функцией измеряемого параметра 5(v), и сама система
обеспечивает максимальное отношение сигнал-шум на выходе,
благодаря чему достигается наивысшее качество обнаружения
объекта. Если отказаться от этих условий и рассматривать зада-
задачу приема сигнала несколько шире, то понятие разрешающей спо-
способности потребует уточнения. Эти вопросы, связанные с.задачей
распознавания формы объектов, кратко рассматриваются нижг.
Для учета влияний конечных размеров, конфигурации и отра-
отражающих свойств объекта на входной и выходной сигналы опти-
оптимальной системы введем понятие импульсной реакции объекта
Q(v). Реакция Q(v) отображает поведение комплексной огибаю-
огибающей (амплитуды и фазы) отраженных колебаний вдоль измеряе-
измеряемой координаты при облучении объекта радиоволной, огибающая
которой вдоль этой координаты описывается дельта-функцией
6(v). Так, по дальности роль такого колебания играет радиоим-
радиоимпульс, длительность которого много меньше времени прохождения
волной этого объекта или его элементов, а по угловым коорди-
координатам — узкая диаграмма направленности, ширина которой мно-
много меньше видимых угловых размеров объекта или его элементов.
Импульсная реакция объекта являетсяv комплексной функцией^
зависящей от частоты облучающих колебаний и учитывающей фа-
фазовые соотношения между сигналами отдельных элементов -объек-
-объекта, которые определяются разностью радиальных расстояний до
них, выраженной в длинах волн. Квадрат модуля импульсной
реакции объекта | Q (v) J2 = а0 (v), пропорциональный мощности^
отображает поведение эффективной площади рассеяния элементов
этого объекта вдоль данной координаты ao(v). Преобразование,
Фурье от функции Q(v) является спектром импульсной реакции
объекта Q(\x), Если же объект облучается волной, огибающая ко-
которой описывается не б-функцией, а временной характеристикой си-
системы S(v) конечной протяженности, то огибающая отраженного
сигнала имеет вид свертки
)S(v-v')dv', F.54)
а ее спектр является произведением .
f
В частном случае, когда объект точечный (Q(v)=6(v))| отра-
отраженный сигнал и его спектр описываются только характеристика-
характеристиками^ самой системы: S0(v)=S(v) и S0(\i) =S(«|x). Именно этот слу-
случай рассматривается в данной книге. В другом частном случае,
когда S(v)=6(v), имеем S0(v)=Q(v) и 50 (ц) =Q(|i), т. е. реак-
реакция объекта воспроизводится без искажений, а сама система на-
называется идеальной. Однако в приведенных определениях не учи-
учитывается поляризация (т. е. векторный характер облучающей и
отраженной волн), поэтому реакция Q(v) не является исчерпы-
исчерпывающей характеристикой объекта. Следовательно, термин «идеаль-
«идеальная система» нужно понимать как условный. Кроме того, необхо-
необходимо учесть, что импульсная характеристика любого объекта
(кроме шара) зависит от его ориентации относительно направле-
направления наблюдения и должна быть представлена для каждой из трех
координат при всех возможных углах ориентации (поворота от-
относительно трех его осей). Все это делает задачу описания сово-
совокупной импульсной реакции и отраженного сигнала протяженно-
протяженного объекта исключительно сложной. Мы же задачу существенно
упростим, исключив из рассмотрения поляризацию и полагая не-
неизменной (независимой от ориентации) импульсную реакцию объ-
объекта по единственной координате — измеряемому параметру v.
Нормированный выходной сигнал оптимальной системы нахо-
находим как обобщенную функцию взаимной корреляции сигнала про-
протяженного объекта So (у) и реакции системы S* (v) с учетом со-
соотношения F.54)
Y0(v')= — Jso<v)S*(v—v')dv = jQ(v)?(v—v')dv, F.56)
23 _oo __<„
где
J—V')dv F.57)
— обобщенная функция корреляции сигнала точечного объекта.
Соответственно из формул F.55) и F.56) находим обобщенный
спектр выходного сигнала
2. F-58)
Как следует из F.56), сигнал протяженного объекта на выхо-
выходе оптимальной системы является сверткой импульсной реакции
объекта Q(v) и выходной реакции системы на точечный объект.
Функция W(v) маскирует, сглаживает истинный вид реакции Q(v),
характеризующей индивидуальные свойства протяженного объекта.
У идеальной системы 4F(v)=6(v), и форма ее выходного сигнала
-цг0 (v) = Q (v) воспроизводит реакцию объекта без искажений.
В принципе и по выходному сигналу реальной системы ^(v)
можно восстановить истинный вид функции Q(v), поскольку ре-
174
акцизе системы на точечный объект W (v) известна априори. Ма-
Математически восстановление этой функции сводится к решению
интегрального уравнения F.56) относительно функции Q(v) при.
известных зависимостях W0(v) и *F(v). Указанная операция на-
называется редукцией (сведением) реальной системы к идеальной.
В результате редукции система как бы приобретает неограничен-
неограниченную разрешающую способность, позволяющую различать объек-
объекты или детали протяженного объекта в пределах разрешаемого
интервала Av=l/Ajji3<i> оптимальной системы. Практически и пос-
после редукции разрешающая способность системы всегда ограниче-
ограничена, поскольку на ее вход сигнал 50 (v) поступает не в чистом ви-
виде, а в смеси с шумом N (v). Во входном воздействии X(v) =
= So(v)+A/i(v) шум маскирует истинный вид функции So(v), a
следовательно, ,и Q(v). Таким образом, достижимая разрешаю-
разрешающая способность, как и точность измерений, зависит .от отноше-
отношения сигнал-шум Э/Nq.
Технически редукция, т. е. восстановление истинного вида
функции Q (v) по входному So (v) или выходному Wo (v) сигналу,
выполняется с помощью восстанавливающего фильтра. Его зада-
задачей является придание характеристике системы S (v) или W(v)
свойств дельта-функции или, что равносильно, придание спектрам
S (\х) или |5(i(i)|2 равномерного вида в широком диапазоне час-
частот. Отсюда вытекает условие для функции передачи восстанав-
восстанавливающего фильтра
1, F.59)
из которого находим вид самой функции
ЯвфМ-1/SM. F.60)
Таким образом, функция передачи восстанавливающего фильт-
фильтра прямо лротивоположна функции передачи приемника оптималь-
оптимальной системы #D1) = S*(ji). В оптимальном согласованном фильт-
фильтре с наибольшим весом передаются те участки спектра, где сиг-
сигнал велик по сравнению с шумом, в результате максимизируется
общее отношение сигнал-шум на выходе. В восстанавливающем
фильтре, наоборот, усиливаются в большей степени те участки
спектра, где сигнал относительно слаб, и результирующее отноше-
отношение сигнал-шум резко снижается. Это и ограничивает возможнос-
возможности редукции. (Редукция, сопровождающаяся поднятием спект-
спектральных составляющих в области высоких частот, используется в
телевидении для повышения четкости изображения, где получила
название частотной коррекции.)
К сожалению, идеальный восстанавливающий фильтр нереали-
нереализуем (рис. 6.13,а). Во-первых, потребовался бы недопустимо боль-
большой коэффициент передачи фильтра на некоторых участках спект- '
ра, а во-вторых (и это главное), интенсивность шумов на выходе
фильтра возрастала бы безгранично. Поэтому вводят некоторую
175
\ I \
\
г
1
I
\7
\ /
» *
i # ч
7 i
0
a)
ju
Рис. 6.13. Частотные зависимости при идеальной (а) и реальной (б) редукции;
1,2 — спектры огибающих входного сигнала и шума; 3,6-— функции передачи идеального
и реального восстанавливающих фильтров; 4, 5 и 7, 8 — спектры огибающих сигнала и
шума на выходе идеального и реального фильтров соответственно
частоту среза
функцию
А
ид
0, |[x|>fxcP3.
т. е. характеристику . F.60) умножают на
F.61)
Однако такая идеальная функция нереализуема. Реальная функ-
функция K(ji) должна плавно спадать на краях полосы прозрачности
(рис. 6.13,6). Эта функция выбирается достаточно широкой, что-
чтобы в минимальной степени искажалась требуемая характеристи-
характеристика восстанавливающего фильтра F.60) и, следовательно, опреде-
определяемая функция Q(v). В то же время она должна быть достаточ-
достаточно узкой, чтобы и шумы не искажали функцию Q (v). Отыскание
функции /C(jut), обеспечивающей минимум ^искажений импульсной
реакции объекта Q(v), называется регуляризацией восстанавли-
восстанавливающего фильтра, а сама функция K(\i) регуляризирующей.
Рассмотрим самые общие закономерности редукции. Отсекае-
Отсекаемая регуляризирующей функцией K{\i) часть спектра полезной
составляющей входного воздействия искажает искомую функцию
Q (v). Искажения можно существенно снизить, если учесть апри-
априорную информацию об объекте и общих свойствах функции Q(v)
реальных объектов. Интересен частный случай, когда протяжен-
протяженный объект состоит из нескольких точечных объектов, попадаю-
попадающих в интервал Д^ = 1/Д[хЭф и не разрешаемых оптимальной сис-
системой. В этом случае можно говорить о разрешающей способнос-
способности внутри интервала Av, оцениваемой шириной пиков выходного
сигнала восстанавливающего фильтра. Ширина пиков, в свою
очередь, определяется шириной полосы пропускания этого фильт-
фильтра Aji вф = 2р1Срз или частотой среза. Поскольку последняя выби-
выбирается из условия равенства искажений функции Q(v), вносимых
шумами и отсечением части спектра полезного сигнала, с повы-
повышением уровня шума оптимальная ширина полосы пропускания,
176
удовлетворяющая этому условию, сужается и разрешающая спо-
способность редуцированной системы снижается. В этом проявляет-
проявляется зависимость предельно возможной разрешающей способности
от отношения сигнал-шум. Точность редукции с уменьшением от-
отношения сигнал-шум снижается очень быстро.
У оптимальной системы, без редукции, энергетические соотно-
соотношения наиболее благоприятны и дальность действия максималь-
максимальна, но разрешающая способность ограничена шириной пика вы-
выходного сигнала Av. На максимальной дальности редукция не-
невозможна, так как пороговое отношение сигнал-шум мало. Она
применима и дает выигрыш в разрешающей способности на мень-
меньших дальностях, когда сигнал достаточно велик по сравнению с
шумами.
Таким образом, редукция является операцией обмена между
энергетическими и метрическими параметрами системы. В част-
частности, она позволяет увеличить' метрический параметр ji23Kf ха-
характеризующий точность измерений, снизив энергетическое отно-
отношение сигнал-шум Э/Ыо. Однако в целом потенциальная точность,
определяемая согласно формуле F.24) произведением E/iV0)|_i2DK,
не может быть превышена. Нельзя также повысить и разрешаю-
разрешающую способность выше величины, определяемой произведением
(Э/А^Д^эф, независимо от того, производится редукция или нет.
Если сигнал теряется в шумах, уверенное разрешение или изме-
измерение вообще становится невозможным. Это относится ко всем
системам, с редукцией или без редукции.
Можно показать, что при измерениях редукция дает полезный
эффект, когда результирующая точность измерений ограничена не
шумом, а другими факторами (например, инструментальной пог-
погрешностью). Для этого сравним среднеквадратические погрешнос-
погрешности измерений, вызванные шумами (av ) и нешумовыми помехами
(X0vn) в оптимальной и редуцированной системах (рис. 6.14). Как
уже отмечалось, в результате редукции возрастает метрический
параметр системы (\1'ж>\1ж), но ухудшается энергетическое от-
отношение сигнал-шум из-за возрастания уровня шума (а/ш>огш). В
итоге потенциальная точность системы после редукции остается
практически неизменной (o\^av), но реальная, ограниченная
нешумовыми помехами, возрастает (a/vn<avn). Повышение ре-
результирующей точности при редукции возможно до тех пор, пока
возрастающий уровень шума не станет главным фактором, о^ра-
<jn /
A S i П ZUt/l '3H V
о av aVn . v о o^ с^л v
a) 6)
Рис. 6.14. Погрешности измерений в оптимальной (а) и редуцированней (б)
системах, обусловленные шумами и нешумовыми помехами
177
ничиизающим точность, т. е. пока сохраняется условие ®'ш<Оп
Это справедливо и для разрешающей способности; если ее огра-
ограничивают не шумы, сжатие выходного сигнала при редукции да-
дает полезный эффект.
_ Необходимо отметить, что низкая эффективность редукции при
наличии заметных, шумов объясняется тем, что одновременно с
повышением разрешающей способности из-за поднятия высоко-
высокочастотных составляющих спектра, передающих мелкие детали
объекта, повышаются и шумы в указанной части спектра, которые
маскируют эти детали. В отсутствие шумов любая система реду-
редуцируется к идеальной, но при заданном уровне шумов более вы-
высокая разрешающая способность после редукции сохраняется у
той системы, у которой она была таковой и до редукции.
В заключение отметим, что редукция является линейной опе-
операцией над сигналом, а на выходе системы регистрируется оги-
огибающая сигнала, получаемая в результате нелинейной операции.
Поэтому редукция должна предшествовать получению огибающей.
Обычно перед редукцией высокочастотный сигнал с помощью фа-
фазовых детекторов разделяется на две ортогональные составляю-
составляющие, после раздельной редукции которых происходит их объеди-
объединение в квадратуре. Для выполнения редукции используются
обычно оптические и цифровые процессоры (в частности, гологра-
голография намечалась вначале как средство повышения четкости опти-
оптических изображений, полученных с помощью систем с низкой раз-
разрешающей способностью).
6.8. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ-ТОЧНОСТЬ *
к ИЗМЕРЕНИИ СОВОКУПНОСТИ
НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА
Обычно у принимаемого сигнала неизвестно сразу несколько
параметров, образующих совокупность v={vi, V2, •¦-, vn}- Рас-
Расстройка по каждому из них влияет на .выходной сигнал оптималь-
оптимального приемника, что учитывается многомерной функцией корре-
корреляции ^(v7). Распределение вероятностей совокупности измеряе-
измеряемых параметров лри достаточно большом отношении сигнал-шум,
обеспечивающем заданную точность измерений, подчинено много-
многомерному нормальному закону. В отличие от нормального распре-
распределения единственного параметра сигнала, одщ?Ьшл§МР.Ш-ДйспёР-
сией оценки через вторую произгводную одномерной функции кор-
корреляции a=^-O,5[d2\W(v')\2/dv'2]V'=o, для определения характе-
характеристик многомерного нормального распределения необходимо вы-
вычислить целый набор вторых смешанных частных производных
квадрата многомерной функции корреляции по совокупности всех
измеряемых параметров
2 dv.dVj
178
Упорядоченное расположение этих производных образует квадрат-
квадратную матрицу
«11 «12... «171 ~|
«21 «22... «271 I
«Til «7l2...«7inJ
которая симметрична (а^- = а^), так как порядок дифференциро-
дифференцирования роли не играет.
Как и при измерении единственного параметра, для определе-
определения потенциальной точности оценки &-го параметра при совмест-
совместном измерении нескольких неизвестных параметров можно вос-
воспользоваться формулой F.32), только вместо \\а необходимо под-
подставить a~lkk'
где a~lkk — диагональный элемент матрицы А, обратной матри-
матрице А. Элементы обратной матрицы определяются известным со-
соотношением
F.64)
где |А| — определитель матрицы А; Ац= (—1)*-Н|А^-| — алге-
алгебраическое дополнение элемента а^ матрицы А; |А^| — опреде-
определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием f-й стро-
строки и /-го столбца. Матрица А также симметрична (a~1ij = a~1ji).
Для вычисления элемента пц непосредственно через многомер-'
ную функцию корреляции 4я (v'), а не через квадрат ее модуля-
|4r(/)|2 = 'lF(v/Lr*i(v/), введем обозначения:
(v'), W.= -^W(vf)f т:. = — T(v') и т. д.
д v. д Vj
При этом получим
vt
Так как произведения Ч^Т* и ЧП?*"ц, ЧГ^*', и Ч^*'; попарно
являются комплексно-сопряженными, при суммировании их сзе-
щественные части удваиваются, а мнимые взаимно исключаются:
%- = 2 Re (W"^*),
Возвращаясь к полной записи и учитывая, что W@) =?*@) =
= 1, вместо формулы F.62) получаем
'П . F.65)
dv.dv] dv\ dv]
Формула F.63) совместно с формулой F.65) и матричным
преобразованием F.64) определяет характеристики многомерно-
многомерного нормального закона и, следовательно, потенциальную точность
измерений k-то параметра сигнала при наличии нескольких неиз-
неизвестных параметров.
Вычисление диагонального элемента akk ничем не отличается
от вычисления коэффициента а для единственного параметра, так
как расстройки по всем остальным параметрам можно положить
нулевыми еще до дифференцирования, а л?*\=—Ч^, поэтому по-
получаем вещественную производную
<е.бб,
При этом эквивалентную частоту для &-го параметра находим из
соотношения
\1\эк=акк1BпJ. F.67)
Так как многомерная обобщенная функция корреляции обыч-
обычно распадается на две двумерные, временную и пространственную,
вида
d \i± d \i2
каждой из них соответствует двумерная матрица А— гп 12 L
I «2l 022J
у которой a2i^=ai2, \A\=anci22—a2i2, Ац — а^, А22 = ап. В резуль-
результате дифференцирования функции F.68) получим
;, v'2)ld v[ 2] vjt v^0 = Bя^ экJ,
vj,
v^2] v^ v^=0 -
%22i R[(;, ^)/;^]vf ^=0(I2,
F.69)
где '
— частоты эквивалентных гармонических огибающих для каждо~
го из двух измеряемых параметров, определяемые через вторые
начальные моменты энергетического спектра
2 __
I00~
180
и первые начальные моменты (смещение) энергетических спект-
спектров по каждой из двух обобщенных частот
Мао — tz
JJlSO
d fi2
(D. /O)
— ненормированный коэффициент корреляции между парамет-
параметрами Vi и V2. Введя нормированный коэффициент корреляции
Pi2 — ^32/^1 эк Ш эк — 1
получим
t а99 1 1
A — а\21а1г а22) ап A — р212)
1 1
«И «22 — «12 «22 A — «?2/«Н «22) «22 A — Р?2)
Отсюда в соответствии с общей формулой F.63) окончательна
находим дисперсию, определяющую потенциальную точность оцен-
оценки одного из двух неэнергетических параметров волны при сов-
совместном измерении,
9
о2 =
BЭ/М0) B*41! экJ A — Р?2) ,а TKv
F.75)
а2 =
V (
Сравнение полученной формулы с формулой F.24) для одного
параметра показывает, что они отличаются только множителем
1—p2i2, учитывающим взаимосвязь измеряемых параметров. Так
как p2i2^0, корреляция между параметрами (р12=^0) ведет к
снижению точности измерений. При ai2=i?i2=:pi2==0 матрица диа-
диагональная, измерения независимые, точность измерения макси-
максимальна и равна точности измерения одиночного параметра
l)
(ar\h\lahh).
При совместном измерении двух и более параметров сигнала
проявляются факторы, которые дополняют и видоизменяют зако-
закономерности, справедливые для одиночного параметра. В частнос-
частности, по-иному сказывается влияние асимметрии и смещения спект-
спектра по оси частот. Рассмотрим вначале частный случай, когда
взаимная связь между измеряемыми параметрами vi и V2 отсутст-
181
вует, т. е. двумерный энергетический спектр ^является произведе-
произведением одномерных спектров:
|Sfob f*2)|2=|SM|3|Sfo2)|*. F.76)
Б этом случае влияние асимметрии, т. е. нечетной составляющей
энергетического спектра, на частоту соответствующей эквивалент-
эквивалентной огибающей jni3K и jll23k проявляется, как и в одномерном слу-
случае, так как формулы F.71) переходят в формулу F.43). Однако
несмотря на взаимную независимость параметров появляется ко-
коэффициент взаимной корреляции, который согласно формуле
F.72) при условии F.76) равен произведению первых моментов
jiio и jLi2o (с учетом перехода формулы F.71) в F.43)):
R _ fmlSO*i)la<*Hi ^2\S(ii2)\2dix2 (.776)
Таким образом, асимметрия обоих одномерных спектров, об-
образующих двумерный спектр согласно формуле F.76), приводит
к снижению точности измерений не только из-за уменьшения \i2i3K
и рЛэк в соответствии с формулами F.70), но и из-за множителя
II—р212. Если же хотя бы один из двух спектров симметричен (\хю
(или ji2o)=O), pi2 = 0, и снижение точности вследствие второй при-
причины не происходит. Однако, в отличие от одномерного случая,
даже простое смещение симметричных спектров относительно их
нулевых частот одновременно на цю и jut2o приводит к снижению
точности из-за появления коэффициента корреляции F.77).
В общем случае, когда двумерный энергетический спектр нель-
нельзя представить в виде произведения одномерных спектров, влия-
влияние его асимметрии на частоты эквивалентных гармонических оги-
огибающих }Л1эк и !ь12эк и коэффициент корреляции pi2, которые опре-
определяют потенциальную точность совместных измерений, сущест-
существенно отличается от случая неза;висимых параметров vi и V2- В
этом случае влияние асимметрии спектра на частоту эквивалент-
эквивалентной гармонической огибающей F.70), как при измерении единст-
единственного параметра или независимых параметров, проявляется
только через первые начальные моменты \хю и |i2o, так как на
вторые начальные моменты цЛоо и jx22oo асимметрия не влияет.
Однако при этом смещения \1ю и \i2o значительно меньше; так как
условием неотрицательности энергетического спектра |S(|ii,
|^2)|2^0 ограничены уже не одна, а две его нечетные составляю-
составляющие в сумме. Таким образом, влияние асимметрии спектра на
снижение точности совместных измерений из-за уменьшения \Х1Ж
и [Х2эк еще более ограничено.
Проиллюстрируем этот вывод на простейшем примере ступенчатой асим-
асимметрии двумерного спектра, одинаковой для каждой из двух обобщенных час-
частот \ii и \х2, когда скачки интенсивности спектра располагаются на границе
квадрантов (рис. 6.15,а). Относительное значение скачка равно 2х, где к —
¦одинаковая в данном случае для каждой из двух частот степень асимметрии
спектра, оцениваемая объемом нечетной составляющей по сравнению с общим
182
Рис. 6.15. Асимметрия двумерного обобщенного энергетического спектра: внутри-
диагональная (а), междиагональная (б)
объемом спектра (объемом симметричного спектра единичной интенсивности)-
Из условия |5([Ль (I2) |2~^0 максимальное абсолютное значение отрицательно-
отрицательного скачка не превышает 2%mas = l. Отсюда находим, что максимально возмож-
возможная степень асимметрии двумерного спектра для каждой из двух частот, взя-
взятых вместе, %maxi=0,5 в отличие от одномерного спектра, где хтах=1 (см..
рис. 6.5,а и 6.5,г). Ввиду этого снижение точности измерений одновременно
по двум измеряемым параметрам вследствие асимметрии %, характеризуемое,,
как и в одномерном случае, коэффициентом ]/"l—Зх2/4, в предельном случае
(%тах=0,5) составляет лишь 10, а не 50%. Однако снижение точности только^
ввиду асимметрии по одному из параметров сохраняется таким же, как и у
единственного измеряемого параметра.
Необходимо отметить, что одновременное уменьшение \ii9K и ji2ok опреде-
определяется только асимметрией спектра по двум диагональным квадрантам и не-
независит от средней интенсивности спектра в каждой паре диагональных квад-
квадрантов, так как снижающие точность величины \xi0 и ^2о определяются только*
отклонением от среднего уровня вверх и вниз в квадрантах каждой пары.
Наряду с эквивалентными частотами fii0K и jbi29K точность совместных из-
измерений согласно формуле F.75) определяется также коэффициентом корре-
корреляции F.73), F.74). При вычислении коэффициента корреляции /^12 в подын-
подынтегральном выражении числителя F.73) спектральные составляющие суммиру-
суммируются со знаком «плюс» в тех диагональных квадрантах", где частоты \Х\ и ,ц%
имеют одинаковый знак ({Xi|X2>0), и со знаком «минус» в тех квадрантах, где
у частот разные знаки (|Xiji2<0). Поэтому коэффициент корреляции F.73) за-
зависит только от разности средних уровней каждой пары диагональных квадран-
квадрантов и не зависит от нечетно-симметричных отклонений от среднего внутри каж-
каждой диагональной пары (рис. 6.16,6).
Таким образом, влияние асимметрии спектра на эквивалентные частоты и
коэффициент корреляции прямо противоположно: R\2>0, когда средний уро-
уровень спектра выше у четной пары диагональных квадрантов, где ^iji2>*0, и'
R\2<0, когда этот уровень выше у нечетной пары, где (jLijx2<0. Для приведен-
183-
яого примера согласно формуле F.73) \Ru\ =xA^iAp,2/8, где %— междиаго-
междиагональная асимметрия спектра. В пределе %тах=0,5 и |^i2|max=A[XiA(x2/16. При
этом >величины [Xi,2 3K = A|ai,2/2]/^3 максимальны (внутри любой пары нечетная
ЧГИММеТрИЯ Отсутствует И 1110=^20 = 0), a |pi2|max = |#12|тах/Ц<1 эк[Х2эк = 3/4. В
результате дисперсия погрешности измерений возрастает из-за корреляции в
A—P2i2max) =7/16 раз и составляет a2vlj2 = [64BЭ/ЛГ0)A|x2i,2/3]-1. Заметим,
что в другом предельном случае, когда максимальна внутридиагональная асим-
асимметрия (хшах=0,5, #12=0), возрастание дисперсии погрешности измерений из-за
уменьшения [Х1,2эк оценивается коэффициентом 1—3%2тах/4=3/16.
Приведенные примеры показывают, что междиагональная асим-
асимметрия двумерного энергетического спектра проявляется (через
коэффициент корреляции pi2) значительно сильнее, чем внутри-
диагональная (через |Xi,2 эк за счет смещения центра тяжести [Хю
и [Хго). Для предельных случаев асимметрии относительное влия-
влияние этих факторов на точность оценивается коэффициентом
"]/ 113/7=1,35. Одновременное появление максимальной асиммет-
асимметрии обоих видов взаимно исключено ввиду существования упомя-
упомянутого условия |S(|Xi, \i2)\2^0. В реальных ситуациях асиммет-
асимметрия обычно незначительна. Поэтому в целом влияние асимметрии
двумерного спектра на точность измерений невелико, слабее, чем
для одномерного спектра. Снижение точности, вызванное случай-
случайными неконтролируемыми отклонениями реального спектра от за-
заданной симметричной формы, пренебрежимо мало.
\ 6.9. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ТОЧНОСТЬ
СОВМЕСТНОГО ИЗМЕРЕНИЯ
УГЛОВЫХ КООРДИНАТ
В соответствии с общими формулами F.70) — F.75) потенци-
потенциальная точность совместного измерения направляющих косинусов
их и иу определяется формулами
BЭ/М0) Bя vx экJ A - 9%)
(о./в)
1
1 — 92ху)
где эквивалентные угловые пространственные частоты
r, __ у r,2 7,2 7, l/ri2 ri2 /fi 7Q\
определяются через вторые начальные моменты
2 = JJ ^iGfa, vy)\*dvxdvy
tt\G(vx,vy)\*dvxdvy ' , Fg0)
v2 = —
^ 00
184
и первые начальные моменты энергетического углового спектра
до осям х и у раскрыва антенны
vy)\dvxdvy ^
—" ~
VyQ
J J|G(tfcf
а также коэффициенты пространственной корреляции
д
= ~
КхУ , РхУ •
\)\G(vx, vy) |2 dax A^ vx эк % эк
Если функции раскрыва по осям х и у независимы: G(vXi vy) =
= G(vx)G(vy)t то формулы F.78) — F.82) переходят в формулы
F.33), F.34) для каждой угловой координаты. Все сказанное вы-
выше относительно совместного измерения двух произвольных пара-
параметров справедливо и для угловых координат, однако необходимо
ввести некоторые уточнения и ограничения.
1. Независимые функции раскрыва по осям х и у могут быть
только у антенны с раскрывом в виде прямоугольника, стороны
которого параллельны этим осям. Большинство же реальных ан-
антенн имеет раскрыв в виде круга или эллипса, усеченного или не-
неусеченного. Поэтому такие метрические характеристики антенны^
как vX3K и иУэк, зависят от распределения поля не только по дан-
данной, но и по второй координате раскрыва. В частности, для круг-
круглого раскрыва с равномерным облучением (G(vXf vy) = \)
где интегрирование ведется по всей площади круга. Переходя от
декартовых координат vx, vy к полярным v= У v2x + v2y и <р =
= arctg iPy/vx), после замены ux = ycoscp и t;v = t;sin<p получим
2rt d/2%
f cos2 ф d ф j v3 dv 7
J? , F.83>
T. ,e. v3K=d/4'k (здесь у. v3K опущен индекс х, так как круглая ан-
антенна обеспечивает одинаковую точность независимо от ориентации
осей координат). У антенны с равномерным прямоугольным раск-
раскрывом эквивалентная частота v3K=d/2V~3X, т. е. в 2/1/Т«1,15-
раза больше, чем у4 круглой. В этом сказалось (весьма слабо)
уменьшение размеров круглого раскрыва вдоль одной координаты
при смещении от его центра по второй координате.
2. Смещение симметричной функции раскрыва относительно ну-
нулевой пространственной частоты физически нереально. Поэтому
появление корреляционной связи по осям раскрыва и вызываемо-
вызываемого ею снижения точности врзможно только при междиагональной
w ' 18S
асимметрии пространственного энергетического спектра \G(vx,
vy)\2. Однако указанная корреляционная связь устраняется прос-
простым поворотом осей раскрыта на некоторый угол. Поэтому сохра-
сохраняется только влияние внутридиагональной асимметрии на точ-
точность угловых 'измерений.
3. Так )Как максимальное значение пространственного энергети-
энергетического спектра | G (vx, vy)\2, характеризующего степень отбора
мощности падающей волны в каждой точке раскрыва, не может
^ыть больше единицы, любая асимметрия функции \G(vx, vy)\2
возможна только при понижении мощности (энергии) восприни-
воспринимаемого антенной сигнала, поэтому снижение потенциальной точ-
точности, определяемой формулой F.78), вызывается уменьшением
не только эквивалентной частоты vX9K или vy3K, но и сомножите-
сомножителя 2Э/Ыо- Таким образом, асимметрия пространственного энерге-
энергетического спектра невыгодна с энергетической точки зрения. Энер-
Энергетически выгоднее для создания диаграмм направленности спе-
специальной несимметричной формы (например, косекансных) под-
подбор фазовых соотношений по раскрыву, а не асимметрия функции
\G(vX9 vy)\\
4. При заданных размерах антенны и длине волны почти пол-
полностью исключено повышение угловой точности сверх потенциаль-
потенциальной, так как при этом оказывается заданной ширина углового
пространственного спектра. Так называемая сверхнаправлениость
является операцией обмена энергетического и метрического пара-
параметров в пределах потенциальной точности, определяемой соотно-
соотношением F.78), и разрешающей способности. Необходимые для
создания сверхнаправленности резкие перепады фазы поля в со-
соседних точках раскрыва приводят к появлению уравнивающих
токов по раскрыву и, следовательно, 'к энергетическим потерям. В
отличие от этого для достижения желаемой точности временных
функций ширину спектра можно сделать сколь угодно большой с
помощью внутриимшульсной или частотной модуляции.
5. Энергетические и метрические характеристики антенн опре-
определяются одной и той же функцией раскрыва. Различие их сос-
состоит в том, что энергетический параметр характеризуется абсо-
абсолютными размерами раскрыва, а метрический — относительными
(в длинах волн).
6. При отклонении направления настройки от нормали к раск-
раскрыву диаграмма направленности антенны, отсчитываемая в ре-
реальных углах, расширяется. При этом точность угловых измере-
измерений снижается ,в результате как уменьшения крутизны пеленга-
ционной характеристики, так и снижения отношения Э/No вслед-
вследствие уменьшения видимого раскрыва антенны.
Результатом этих особенностей и ограничений, накладываемых
на пространственный энергетический ^спектр, является то, чхо
реально все факторы, приводящие к снижению точности угловых
измерений, практически исключаются. Единственным орраничением
на форму углового пространственного спектра является требова-
требование малого уровня боковых лепестков у пространственной функ-
186
ции корреляции W(u'Xy и'у), т. е. выходного сигнала как функции
угловых координат. Это требование удовлетворяется при спадании
функции раскрьива на краях, благодаря чему исключается зате-
затекание энергии за края раскрыва, которое ведет к возрастанию шу-
шумовой температуры .антенны, но расширяется основной лепесток:
диаграммы направленности.
v 6.10. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ТОЧНОСТЬ
^ СОВМЕСТНОГО ИЗМЕРЕНИЯ ДАЛЬНОСТИ
и радиальной скорости
Отличительной особенностью совместного измерения дальнос-
дальности и радиальной скорости (т. е. временного и частотного сдвигов
сигнала) является то, что комплексная огибающая для частоты
является спектром комплексной огибающей для времени и наобо-
наоборот. Поэтому комплексные огибающие частоты и времени оказы-
оказываются взаимно однозначно связанными между собой преобразо-
преобразованиями Фурье: поведение одной из них предопределяет поведе-
поведение другой, что выражено так называемым принципом неопреде-
неопределенности (будет рассмотрен ниже). В частности, следствием это-
этого принципа является жесткая взаимная зависимость точности сов-
совместного измерения дальности и радиальной скорости с помощью*
одного и того же сигнала. Ввиду этого временная двумерная
функция корреляции F.3) выражается через одномерные функ-
функции —¦ сам сигнал или его спектр, в отличие от пространствен-
пространственной двумерной функции корреляции, где и огибающая и ее спектр
двумерные.
Через временную функцию корреляции F.3) в соответствии с
общими формулами F.70) — F.75) определяется точность совме-
совместного измерения дальности и радиальной скорости:
pXF = R%F/fWtBK9 F.84>
где R %f — ненормированный коэффициент времячастотной корре-
корреляции, зависящий от формы сигнала S(t) или его спектра S(f);
/эк и ?эк — эквивалентные частота и время, определяемые форму-
формулами F.34).
Рассмотрим отдельно влияние амплитудной |5'(/)| и частотной
f(t) модуляции у комплексной огибающей сигнала
5@= 15@! exp Ij2jt $f(t')dtf\ . / F.85>
Функция корреляции этого сигнала
?(т', F') = -?- f|S@||S(f-T')|exp{j2n|>* + {f{t')dt'])dt,
F.86>
187
так как произведение S{t)S*{t—T/)exp(j2nF^) дает в показателе
экспоненты разность двух одинаковых интегралов с пределами
О, t и 0, t—т', которая равна интегралу с пределами t—%', t.
Продифференцируем эту функцию сначала по временному
сдвигу:
F't + JJ(f)dfttdt +
[5@1 \S(t— x')|exp fj2n Tf' г'Ч- j/^^'ljd/,
F.87)
так как дифференцирование интеграла по нижнему пределу дает
подынтегральную функцию с обратным знаком, да и сам пара-
параметр дифференцирования в нижнем пределе отрицателен. В ре-
результате повторного дифференцирования по F' находим, что вто-
вторая смешанная частная производная функции W(t\ F') по вре-
времени и частоте
ХехрЬ'2яГ/^+ I f(t')dtrl\\dt—
I L t-v JJ
при %/=F/ = 0 дает действительную составляющую ai2 = #2i =
= Bя) 2R T f, где
. R%F= ]tf(t)\S(t)\2dt/ ]\S(t)\*dt F.88)
— искомая зависимость ненормированного коэффициента корре-
корреляции от формы сигнала.
Из полученной формулы вытекает, что чисто амплитудная мо-
модуляция (f{t)=O) и частотная модуляция в виде четной функции
времени при условии симметричности |5ф|2 дают RxF = 0 (влия-
(влияние асимметрии спектра |S(?)|2 уже было оценено ранее). Сле-
Следовательно, коэффициенты R%F и pxF не равны нулю только при
188
линейном, кубическом и другом нечетном законе частотной моду-
модуляции.
Таким образом, с учетом ранее полученных соотношений мож-
можно сделать вывод о том, что асимметрия законов как амплитуд-
амплитудной, так и частотной модуляции снижает точность совместных
измерений дальности и радиальной скорости.
Взяв вторую частную производную от функции F.87) по вре-
временному сдвигу, получим
дх'
Отсюда находим, что эквивалентная частота сигнала определяет-
определяется суммой
эк = Рэкам+/2экчм, F.89)
f2
где
оо
\{d\S(t)\ldT'fdt
/ эк ам
; /L™=- F.90)
— составляющие, обусловленные только амплитудной и только
частотной модуляцией соответственно. В частности, для ЛЧМ сиг-
сигнала с колоколообразной огибающей вида ехр[—n(t2/x2u+jat2)]
(см. C.15) и пример в § 6.3)
/2эк=А/2/4я= A/т2и + а2т2и)/4я;
/2экам=1/4ят2и, /2экчм = а2Т2и/4я.
Определение второй частной производной по частотному сдви-
сдвигу при частотной модуляции особенностей не имеет и дает а22 =
[д2ЧГ(х>, F')/dF'2] T^=o= BяМ2, где
= ]t2\S(t)\*dt I ]\S(t)\*dt. . F.91)
Полученные соотношения F.84) и F.88) — F.91) позволяют
оценить степень времячастотной корреляции и, следовательно,
точность совместного измерения дальности и скорости при любом
законе частотной" (фазовой) модуляции.
Рассмотрим в качестве примера комплексную огибающую ЛЧМ сигнала с
f(t)=at. Согласно F.88), F.90) и F.84) с учетом F.89) соответственно полу-
получаем
189
F.92)
aa jt*\S(t)\*dt
#2 =!! fl2 /2
Us(t)\*dt
/l«4 «a4 + /i
F.93)
Раскроем отношение /2Эк ам/^2эк> входящее в последнее выражение. Известно,
что f9K aM = l//CiTH, а /эк=ти/^С2,-где коэффициенты /Сь #2>1, а их отношение
К\1К2&\ (у гауссовской огибающей id=/C2= ~\ГШ). Поэтому в общем случае
МОЖНО ПОЛОЖИТЬ /2эк ам/^2эк» 1/т2и, И
„2 „
TF~ 1
где N=ax2K—база ЛЧМ сигнала (коэффициент сжатия).
Таким образом, с ростом глубины частотной модуляции а или
базы сигнала JV коэффициент времячастотной корреляции рт^
очень быстро стремится к единице, что резко снижает точность
совместных измерений дальности и скорюсти. Однако одновремен-
одновременно с этим возрастает рж=!2ж ам + #2?2эк, что ведет к возрастанию
точности измерений дальности. Для оценки воздействия обоих
этих факторов подставим значение коэффициента корреляции при
линейной частотной модуляции F.93) в- формулы F.84):
^ /о_ г 49 ^^ /n,- f \2 ^ /эк ам
лт \ * /ЭК/
Л?о ' iV0 fw V /эк
, F.94)
/эк
Таким образом, точность совместного измерения (оба парамет-
параметра неизвестны) по сравнению с раздельным (когда один из двух
параметров известен) убывает во столько раз, во сколько воз-
возрастает частота эквивалентной огибающей при частотной моду-
модуляции /эк по сравнению с эквивалентной частотой немодулирован-
ного по частоте сигнала /ЭКам. Если сравнить эти результаты с
сигналом, не имеющим частотной модуляции (/Эк = /:экам), когда
неизвестны оба параметра, то можно видеть, что точность изме-
измерения дальности при линейной частотной модуляции не возрасга-
190
<ет, а точность измерения радиальной скорости снижается в
/эк//экам раз, что равно коэффициенту сжатия N.
Поэтому для одновременного повышения точности по даль-
дальности и скорости используют либо четную модуляцию частоты
{например, симметрично нарастающую и спадающую линейную
модуляцию), либо шумоподобные частотно- или фазомодулирован-
ные сигналы, у которых в силу их максимальной нерегулярности
коэффициент времячастотной корреляции близок к нулю.
6.11. СОВМЕСТНОЕ РАЗРЕШЕНИЕ
ПО ДВУМ ПАРАМЕТРАМ.
РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
ПО НАПРАВЛЕНИЮ
Совместная разрешающая способность по двум измеряемым
параметрам, пространственным или временным, полностью опи-
описывается квадратом модуля двумерной функции корреляции
("^(v'i, v/2)|2, который над плоскостью v'i, v'2 образует тело не-
неопределенности с единичным пиком в центре (рис. 6.16).
Для оценки совместной разрешающей способности одним
числом тело неопределенности заменяют равновеликим по объему
цилиндром с единичной высотой, основанием которого является
сечение тела на некотором уровне. Тогда площадь сечения
[dv2\ F.95)
численно равная объему тела и равновеликого цилиндра, являет-
является числовой характеристикой — постоянной совместного разреше-
разрешения. Сечения очень удобны для графического описания разрешаю-
разрешающей способности. В частности, положение сечений тел неопреде-
W(v},vfr\
Рис. 6.16. Двумерное тело не-
неопределенности и равновеликий
цилиндр, площадь основания
которого равна площади сече-
сечения (заштрихована) и объему
тела
Рис. 6.17. Сечения тел неопре-
неопределенности двух разрешаемых
сигналов, которые не разре-
разрешаются по каждому из двух
параметров в отдельности
191
ленности двух взаимно смещенных сигналов (рис. 6.17) показы-
показывает, что совместное разрешение возможно, даже если сигналы
ни по одному из параметров в отдельности не разрешаются.
Таким образом, в отличие от точности, которая при совмест-
совместном измерении нескольких неизвестных параметров по сравнению
с точностью измерения единственного параметра может только
ухудшаться, совместная разрешающая способность по сравнению
с разрешением по каждому параметру отдельно только повыша-
повышается.
Более детальное изучение совместного разрешения по двум па-
параметрам в общем виде затруднительно. Поэтому вначале рас-
рассмотрим конкретно совместное разрешение по пространственны^,
а затем по временным параметрам.
Для описания совместной разрешающей способности по нап-
направлению, характеризуемому двумя независимыми угловыми ко-
координатами, используется пространственная функция корреляции
F.4). В соответствии с общей формулой F.95) определим пос-
постоянную совместного разрешения по обеим угловым координатам
А (их, Щ) = f JI ? ( и'х, u'y)f du'xdu'y. F.96)
— со
Вычисление проведем в том же порядке, что и при определении
разрешаемого интервала по одному параметру F.48). Сначала в
подынтегральной функции произведение комплексно-сопряженных
двойных интегралов F.4) по vx и vy заменяем четырехкратным
интегралом с разделяющимися переменными vX9 vy и v'x, vfy.
~ xexp {j2*r \{vx—v'x) u'x+ (vy—v'y) u'y)} dvxdvydv'xdv'y.
Интегрируя экспоненту последнего выражения согласно форму-
формуле F.96) по переменным и'х и и'У9 получаем дельта-функцию двух
переменных b{vx—v'x, vy—vfy), которая двойной интеграл по v'x
и v'y от \G(v'Xi v'y)\~2 обращает в функцию \G(vx, vv)\2. Нако-
Наконец, остающийся двойной интеграл дает постоянную совместного
разрешения по обеим угловым координатам lz
где
H\G(vx, vy)\*dvxdvy
A (vX9 vyU = ^ =*- F.98)
192
— эффективная протяженность двумерного углового пространст-
пространственного спектра (относительная эффективная площадь антенны);
*. y)\*dxdyjj f$\G(x, y)\Uxdy F.99)
— эффективная по разрешению площадь антенны, несколько от-
отличающаяся от эффективной по энергии площади антенны
f*f y)\2dxdy. F.100)
Метрические параметры A(vx, vy) и ЛЭф характеризуют угловую
разрешающую способность (направленность) антенны, эффектив-
эффективная площадь А является энергетическим параметром.
При равномерной функции раскрыва \Q(vx, vy)\2=l антенны
с физической площадью 5 эффективная площадь антенны ЛЭф=
=A=S и эффективная ширина углового спектра A(vx, vy) —
=АЭф/Х2=А/Х2 = 8/Х2 максимальны и определяются его физичес-
физической площадью. Однако при этом уровень боковых лепестков так-
также максимален и происходит затекание энергии за края раскры-
раскрыва. Поэтому практически используют спадающие до нуля по кра-
краям раскрыва функции, у которых ЛЭф<5 и Л<5, но форма ди-
диаграммы направленности улучшается и затекание энергии отсутст-
отсутствует.
Если функции раскрыва по обеим осям антенны независимы,
т. е. G(vx, Vy)=G(vx)G(vy), тогда
А(их, Uy)—AuxAiiy, Дих=1/Л?>хэф, AUy=l/Avy3<%h
где A (vXy vy) Эф=Avx 9$&vy Эф = (dx эфА) (dy Эф/Я); Аэф=dx ъ$йу Эф.
Нужно отметить, что при заданных значениях A(vx, vy)B^ или
ЛЭф разрешающая способность по направлению (как и точность
угловых измерений) сохраняется постоянной при отсчете ее в нап-
направляющих косинусах, а не в реальных углах. В реальных углах
постоянная разрешения определяется телесным углом Q, соответ-
соответствующим постоянной разрешения А(их, иу)ь которая определяет-
определяется из формулы F.97). Однако телесный угол Q при заданном
А(их, иу) зависит от многих факторов: вида апертуры (линейная,
плоская, объемная), способа сканирования (механическое, элект-
электрическое) и направления настройки антенны (по нормали, под
углом или вдоль раскрыва). Грубо говоря, телесный угол Й, со-
соответствующий постоянной разрешения А(иХ) иу), есть телесный
угол, занимаемый основным лепестком диаграммы направленнос-
направленности антенны, настроенной (сфазированной) на данное направле-
направление. Как уже отмечалось, телесный угол измеряется площадью
сферы единичного радиуса, на которую он опирается. Так, пол-
полный телесный угол 4л равен всей площади сферы 5 = 4яг2 при
г=1. Реально основной лепесток любой антенны (линейной, плос-
плоской или объемной) занимает лишь некоторый угол й<4я, в ре-
результате ослабления поля в области боковых лепестков в основ-
основном лепестке происходит усиление напряженности поля, которое
7—94 193
оценивается отношением D = 4n/Q> названным коэффициентом на-
направленного действия (КНД).
Определение телесного угла Q, характеризующего угловую
разрешающую способность при заданной постоянной разрешения
А(их, uy) = l/A(vx, У2/)Эф, начнем с наиболее простой, линейной ан-
антенны (рис. 6.18). Положим для определенности, что линейный
раскрыв размером d расположен вдоль оси г. Эффективная про-
протяженность углового спектра AvZ3^=d3^l%, где d^^d, определя-
определяется видом функции раскрыва G(vz) в соответствии с формулой
F.98). Через нее вычисляется постоянная разрешения Anz =
= 1/ЛУгЭф по направляющему косинусу uz = cos$z. Отложим эгу
постоянную на оси иг (совпадающей с осью г, ибо иг есть проек-
проекция единичного вектора направления на эту ось). При этом диаг-
диаграмма направленности антенны в зависимости от направления
настройки и0z = О или и°хФ0 имеет вид тарелки или воронки (рис.
6.18,а), сечения которых заштрихованы.
Телесный угол Q, занимаемый диаграммой направленности,
численно равен, как отмечалось, площади той части поверхности
сферы единичного радиуса, на которую он опирается. Это — бо-
боковая поверхность шарового пояса, площадь которой Se = 2nrh
в нашем случае при г=11 и h = Auz есть разрешаемый телесный
угол
= 2nAuz = 2n/Avz эф =
F.101)
Таким образом, разрешаемый линейной антенной телесный
угол Q, как и сам интервал Auz, есть величина постоянная, не за-
зависящая от направления настройки антенны. Однако плоский
' угол Да, занимаемый диаграммой направленности в большом се-
сечении сферы и численно равный длине стягивающей его дуги / =
= гАа при г=1 (на рис. 6.18 выделено жирной линией), зависит
от направления настройки u0z = cosi&0z = sma°: он наименьший при
настройке антенны в направлении нормали к раскрыву u°z = a°=^0
и возрастает по мере увеличения | u°z\ = | sin a°]. В зависимости
от реальных плоских углов одновременно с расширением искажа-
искажается и форма диаграммы направленности, становясь асимметрич-
Auz
AUZ
Рис. 6.18. Сечение диаграммы направленности линейной антенны, настроенной
по нормали и под углом к раскрыву (а), вдоль раскрыва в обе стороны (б)
и в одну сторону {в)
194
ной. Однако у антенн с большим относительным раскрывом
А^эф = ^эф/^^>|1, у которых At/z<Cl, искажением формы основного
лепестка диаграммы направленности можно пренебречь, а учи-
учитывать только расширение углового разрешаемого интервала
Ааж Auz/u°z=AuJcos а° = ЯД/Эф cos а°, F.102)
обратно пропорциональное косинусу угла отклонения диаграммы
от нормали к раскрыву. Отклонение достигается электрическим
способом — изменением угла наклона линейного распределения
фазы поля по раскрыву.
Для управления фазой поля антенна выполняется в виде ре-
решетки с шагом между элементами, равными Я/2, обеспечивающим
однозначность отсчета угловой координаты uz. При возбуждении
такой решетки токами с взаимным фазовым сдвигом ty=n полу-
получаем линейную антенну с продольной фокусировкой (рис. 6.18,6).
Так как сдвиг фазы на +п и —я дает одинаковый эффект, ан-
антенна образует два продольных луча, настроенных на u°z=l и
u°z=—1, а шаровой слой разбивается на два, высотой Auz/2 каж-
каждый. Однако общий телесный угол Q при данном Auz по-прежне-
по-прежнему определяется формулой F.101).
Для продольного излучения (и приема) только в одном нап-
направлении необходимо антенну настроить на угол u°z=l—Auzj2
(рис. 6.18,в) или u°z=—A—AuJ2). Это можно сделать двумя пу-
путями: либо уменьшить разность фаз питающих токов A^1 <я),
сохранив шаг решетки равным Я/2, либо уменьшить расстояние меж-
между элементами по сравнению с Я/2, сохранив |яр | = зх. В последнем
случае все элементы решетки с продольной фокусировкой, кроме
одного, можно сделать пассивными, но уменьшить шаг решегки
вдвое (меньше Я/4), так как пассивные элементы работают на от-
отражение, при котором проходимый волной путь удваивается. При
этом направление продольного излучения (приема) зависит от
знака фазового сдвига наводимого пассивными элементами поля.
Если пассивный элемент сделать короче Я/4, то наводимое поле
приобретает емкостный характер и продольное излучение будет
происходить в сторону пассивного элемента — директора. Пас-
Пассивный элемент размерами больше Я/4 — рефлектор, поле кото-
которого имеет индуктивный характер, обеспечивает продольное из-
излучение в сторону, противоположную его положению относитель-
относительно активного элемента решетки. Рефлектор можно заменить от-
отражающим экраном.
' Линейные антенны с продольной фокусировкой обычно имеют
несколько директоров и один рефлектор. Они нашли широьое
применение, например, в телевизионных приемных устройствах.
Однако в измерительных радиосистемах они используются срав-
сравнительно редко ввиду слабой направленности. Хотя разрешаемый
телесный угол й, определяемый соотношением F.101), сохраняет
свое значение и в лилейных антеннах с продольной фокусировкой,
разрешаемый плоский угол Да максимален. Действительно, как
следует из рис. 6.18,e cos (Да/2) =1— Аиг. Для малых Да<зт/2-
7* 195
справедливо разложение cos(Aa/2) «II— (Aa/2J/2, поэтому пос-
последнее равенство принимает вид 1— (Aa/2J/2^il— Auz, откуда на-
находим разрешаемый линейный угол антенн с продольной фокуси-
фокусировкой
F.103)
Этот угол значительно больше, чем Дая^У^Эф у антенн с попе-
поперечной настройкой по нормали к раскрыву.
Приведенный анализ позволяет перейти к оценке разрешаю-
разрешающей способности по направлению в реальных углах у' антенн с
раскрывом любого вида. Для этого рассмотрим последовательно
пространственную картину, иллюстрирующую на сфере единично-
единичного радиуса угловую разрешающую способность антенн с линей-
линейным, крестообразным и плоским раскрывом (рис. 6.19).
Воронкообразное тело углового разрешения линейной антенны,
в данном случае горизонтальной (рис. 6.19,а), позволяет, комби-
комбинируя его с точно таким же телом вертикальной антенны, полу-
получить картину углового разрешения для крестообразной антенны
(рис. 6.19,6). Если горизонтальная антенна при этом настроена
на направление и°х (косинус угла между осью х и образующей
косинуса воронки), а вертикальная на и°у, то область перекрытия
воронок образуется в направлении и°х, и°у. Таких областей две:
одна в передней, другая в задней полусфере относительно плос-
плоскости раскрыва крестообразной антенны, причем они симметрич-
симметричны относительно этой плоскости. С увеличением и°х и и°у ширина
шарового пояса и, следовательно, плоский угол Да согласно фор-
формуле F.102) возрастают, так как при отмеченном выше постоян-
постоянстве площади поверхности шарового пояса его периметр убывает.
Ввиду этого растет площадь перекрытия двух тел и численно
равный ей телесный угол перекрытия.
Если теперь взять антенную решетку с плоским прямоуголь-
прямоугольным раскрывом, стороны которого соответственно равны горизон-
горизонтальному и вертикальному размерам крестообразной антенны,
причем настройка по каждой из двух координат, и°х и и°у, сохра-
Рис. 6.19. Диаграммы направленности антенн с линейным (а), крестообразным
(б) и плоским (в) раскрывом
196
няется прежней, то она образует два узких луча, по размерам и
положению полностью совпадающие с зонами перекрытия диаг-
диаграмм направленности крестообразной антенны (рис. 6.19,в), пе-
передний и задний. Эти лучи также симметричны относительно
плоскости раскрыва решетки.
Таким образом, действительно плоская антенная решетка
не обеспечивает однозначного определения углового положения
объектов. Однозначность достигается только в том случае, если
антенна имеет конечные размеры и по третьей координате — про-
продольной г. Как уже отмечалось, однозначность измерений любой
решетки, в том числе и продольной, обеспечивается, если рассто-
расстояние между ее активными элементами составляет Я/2, а при на-
наличии пассивных элементов — примерно Х/4. Следовательно, лю-
любые антенны для обеспечения однозначности (формирования
единственного луча) должны занимать некоторый объем, причем
минимальный продольный размер при наличии только активных
элементов вдоль него порядка Х/2, а при наличии пассивных эле-
элементов Л/4 (решетка с рефлектором). У большинства антенн (ру-
(рупорных, зеркальных) продольные размеры больше минимальных.
Поэтому на практике под антеннами с плоским раскрывом пони-
понимают антенны, у которых продольные размеры исключают обра-
образование заднего луча.
Телесный угол, характеризующий потенциальную разреша-
разрешающую способность остронаправленной плоской антенны по нап-
направлению
^_ А(их, иуу ^_ А(их, иу) = 1 _
uzo Vl— и2х0—4о
F.104)
зависит от косинуса угла между направлением максимума луча
и нормалью к раскрыву антенны #zo== Vl—и2х0—и2у0 и опреде-
определяется видимой с этого направления эффективной по разрешению
площадью антенны ЛЭф"|/—и2х0—и2у0. Эффективный КНД пло-
плоской антенной решетки
Цф = 4n/Q = 4л ЛэФ1Л-4о-^оА2
также зависит от смещения луча относительно нормали к рас-
раскрыву.
Наряду с антеннами, имеющими условно плоский рас-
раскрыв, продольный размер которых лишь исключает образование
заднего луча, существуют поверхностные антенны сложной кон-
конфигурации и объемные. К поверхностным антеннам сложной кон-
конфигурации относятся, например, антенные решетки, элементы ко-
которых огибают поверхность объекта, где установлена станция
(корабль, самолет), благодаря чему исключается искажение
формы этих объектов антенной. Кроме того, сферическая антен-
197
ная решетка в отличие от плоской позволяет обеспечить одинако-
одинаковую угловую точность и разрешающую способность во всех на-
направлениях. Объемными считают такие антенны, у которых на-
направленные свойства вследствие продольной фокусировки соиз-
соизмеримы с направленными свойствами площади их поперечного
раскрыва Лп, т. е. AvZ3<b^A(vx, vyK<? или ^2Эф^ЛПэфД. Постоян-
Постоянная уплового разрешения таких антенн А (и*, uy) = l//L(vx, vy, vzK$
определяется эффективной протяженностью их трехмерного про-
пространственного спектра A(vx, vy> и2)эф, которая вычисляется так-
также через двумерную угловую пространственную функцию корре-
корреляции.
При использовании поверхностных и объемных антенн дву-
двумерная угловая функция корреляции
у к «;к> «yi)
X exp {j 2я [vx ux + vyuy + vz
—У 1 — ("жо + u^.J — (% o + uyJ)]} dvxdvydvzX
x [jfjIGfa*, vy, vz)\*dvxdvydvzVl F.105)
зависит не только от рассогласованной и'х, и'у, но и от абсолют-
абсолютных значений их0,иу0 направляющих косинусов, так как набег
фазы по продольной координате 2nvzuz=2nvzY1—и2х—и2у не-
нелинейно связан с направляющими косинусами их, иу. Ввиду этого
вычисление постоянной совместного углового разрешения поверх-
поверхностных и объемных антенн, а также эффективной протяженно-
протяженности трехмерного пространственного спектра в соответствии с фор-
формулой F.96) в общем виде невозможно.
Объемные и сложные поверхностные антенны, как и плоские,
имеющие конечную продольную протяженность, не создают зер-
зеркального луча в задней полусфере, так же как объемные голо-
голограммы не дают второго, зеркального изображения.
Приведенные выше характеристики наиболее употребительных
линейных и плоских антенн отражают лишь общие свойства ра-
радиотехнических систем в отношении их угловой точности и раз-
разрешающей способности. -Эти характеристики являются только
первым (хотя и достаточно показательным) приближением к ис-
истинным характеристикам систем, так как основаны на ряде допу-
допущений.
Во-первых, предполагалось, что функция раскрыва антенны
G(vx, vy) и диаграмма направленности в функции направляющих
косинусов G(ux, uy) не изменяют своей формы при изменении
направления настройки. На самом деле между элементами ан- v
тенной решетки существует взаимная связь, которая, к сожале-
сожалению, изменяется при настройке антенны на различные направле-
198
ния. Чтобы функции G(vx, vy) и G(uXy иу) не зависели от нап-
направления настройки, необходимо либо свести к нулю эту связь,,
либо сделать ее независимой от направления настройки. Ни то,
ни другое в полной мере реализовать не удается, поэтому при
перестройке происходят некоторые изменения диаграммы нап-
направленности, особенно в области боковых лепестков.
* Во-вторых, игнорировалось то обстоятельство, что при конеч-
конечных размерах раскрыва антенн (ширины углового спектра) диа-
диаграмма направленности по направляющим косинусам как преоб-
преобразование Фурье от углового спектра имеет теоретически беско-
бесконечную протяженность. Однако сами направляющие косинусы ре-
реальных углов простираются в пределах —l^ux>y^.l. Выход ди-
диаграммы за эти пределы в область мнимых углов \их,у\>1 озна-
означает появление колебательной мощности, расходуемой на тепло-
тепловые потери. Обычно в эту область попадают только крайние бо-
боковые лепестки, а смещение диаграммы направленности при на-
настройке на новое направление вызывает изменение состава бо-
боковых лепестков, попадающих в область реальных углов, т. е.
существующих реально.
В-третьих, конечный продольный размер условно плоских ан-
антенн не просто устраняет задний луч, а изменяет (форму диаграм-
диаграммы направленности во всем диапазоне углов. При сканировании
степень искажения формы изменяется. Таким образом, принятое
нами допущение о формировании диаграммы направленности
только плоским раскрывом, без учета продольной фокусировки,
и сохранении ее формы при сканировании на практике выполня-
выполняется нестрого.
Однако, как следует из приведенных рассуждений, нестрогость
принятых допущений относится в основном к области боковых
лепестков. Отмеченные факторы практически не влияют на ос-
основной лепесток диаграммы направленности. Поэтому описанные
выше общие закономерности, определяемые в основном поведе-
поведением пространственных характеристик системы в области основ-
основного лепестка, можно считать достаточно точными.
6.12. совместное разрешение
по дальности и радиальной
скорости, принцип
неопределенности
Совместная потенциальная разрешающая способность по даль-
дальности и радиальной скорости, так же как и точность их совмест-
совместного измерения, определяется временной функцией корреляции
Ч1*^', F')9 отражающей поведение выходного сигнала оптималь-
оптимального приемника при расстройке по временному (т') и частотно-
частотному (F') сдвигам одновременно. Независимо от фазы высокоча-
высокочастотного заполнения двух сигналов совместную разрешающую
способность определяют через квадрат модуля этой функции
190
, F')\2 (функцию неопределенности Вудворда), который
описывает поведение мощности выходного сигнала оптимального
приемника при расстройках %' и F'. Особенность совместного раз-
разрешения (и измерения) параметров т и F состоит в том, что они
являются аргументами функций S(t—т) и S(f—F), связанных
между собой преобразованиями Фурье.
Совместное разрешение по дальности (времени) и радиаль-
радиальной скорости (частоте) характеризуется постоянной
д(т, F)**fi\V(i:', F')\*dx'dF'9 (8.106)
определяющей площадь сечения тела неопределенности, численно
равную его объему и объему равновеликого цилиндра, основани-
основанием которого является эта площадь.
Аналогично определению постоянной F.96) запишем подын-
подынтегральное выражение в формуле F.106) как
F'(t — t')]dtdt'.
Подставив его в формулу F.106) и интегрируя экспоненту по F'*
получим дельта-функцию б(^—t'). Последняя при интегрировании
произведения S*\{t')S[t'—т') по f дает S*(t)S(t—%'). Получен-
Полученный двойной интеграл с (разделяющимися переменными интег-
интегрирования t и '%' заменим произведением двух интегралов, каж-
каждый из которых равен удвоенной энергии сигнала, откуда находим
А(т, F) = ^
Итак, постоянная разрешения, т. е. объем тела неопределен-
неопределенности и площадь его сечения,
Д(т, F) = fj|Y(T', F')|2dT'dF'=l. F.107)
Формула F.107) представляет собой соотношение неопреде-
неопределенности в радиолокации: любое изменение формы сигнала S(t)
деформирует тело неопределенности, не изменяя его объема и
высоты [^(О, 0)|2=1 в начале координат. Тело неопределенно-
неопределенности нельзя независимо сжимать и тпо оси времени, и по оси час-
частот, поскольку (как уже отмечалось) функции времени и частоты
сигнала S(t) и S(f) связаны между собой преобразованием Фурье.
Сжатие по времени неизбежно ведет к расширению тела по часто-,
те и наоборот. Отсюда следует, что при измерении дальности и ра-\
диальной скорости с помощью общего сигнала невозможно удов-
удовлетворить сколь угодно высокие требования к точности и разре-
разрешающей способности по о'боим измеряемым параметрам одновре-
200
менно, какой бы формы сигнал мы не применяли. В этом физиче-
физическая сущность принципа неопределенности.
Принцип неопределённости, однако, отнюдь не означает, что
вообще невозможно выбрать удовлетворительную форму сигна-
сигнала для совместного измерения дальности и скорости. В каждой
конкретной ситуации существует определенная рабочая область
обзорно-измерительной системы, что позволяет подобрать сигнал
такой формы, при которой большая часть объема тела неопреде-
неопределенности оказывается за ее пределами либо образует равномер-
равномерный фон, практически не препятствующий наблюдению других
сигналов.
Изучению свойств сигналов путем анализа их тела неопреде-
неопределенности посвящено много публикаций. Поэтому ограничимся
беглым обзором свойств нескольких характерных видов сигналов
по форме сечений тела неопределенности (рис. 6.20, где плотной
штриховкой показана область высокой корреляции (сечение ос-
основного лепестка) тела неопределенности, редкой штриховкой —
область низкой корреляции (боковые лепестки)). Для большин-
большинства сигналов (кроме шумоподобных) общая площадь сечения об-
области высокой корреляции тела неопределенности, как и его объ-
объем, равна единице. Форму тела неопределенности шумоподобных
о)
щ
ш.
F'n
iif ^
ll ¦ '
г)
Г'
F'u
0
<
7
)
) "
Рис. 6.20. Сечения тел неопределенности
201
сигналов таким сечением передать нельзя, поскольку большая
часть его объема сосредоточена в области низкой корреляции.
Простые сигналы (Л/ти=1) большой длительности (рис.
6.20,а) обеспечивают хорошее разрешение и точность по частоте
(радиальной скорости), короткие импульсы— хорошее разреше-
разрешение и точность тю дальности, а не по скорости, так как огибаю-
огибающая тела по оси частот спадает медленно (рис. 6.20,6). ЛЧМ сиг-
сигналы (Afxn^$>l) обеспечивают хорошее разрешение только по
дальности или только по скорости, как и точность их измерения
(рис. 6.20,в); однако при некотором сочетании сдвигов %г и F\
коода смещение происходит вдоль «хребта» тела неопределенно-
неопределенности, совместные разрешающая способность и точность резко сни-
снижаются: неизвестное смещение по одной координате вызывает
сдвиг по другой ввиду жесткой корреляции время-частота. Сим-
Симметричная (чётная) частотная модуляция (как отмечалось) уст-
устраняет корреляцию и обеспечивает высокую точность совместно-
совместного измерения дальности и скорости. Однако симметричная, на-
например линейно нарастающая и опадающая, частотная модуля-
модуляция дает плохую с точки зрения разрешающей способности фор-
форму тела неопределенности (рис. 6.20,г, где для наглядности по-
показаны сечения на трех уровнях). Заметим, что во всех рассмо-
рассмотренных случаях совместная неопределенность F.107) остается
неизменной.
Обычно для непрерывного обзора 'пространства используют не
одиночные импульсы, а их периодические последовательности, и
от каждого объекта принимается пачка импульсов. Тело неопре-
неопределенности пачки импульсов дробится (рис. 6.20,E), сохраняя не-
неизменными объем и общую площадь сечения (штриховой лини-
линией обведена площадь сечения тела неопределенности одиночно-
одиночного импульса). Дробление приводит к неоднозначности измере-
измерений, когда запаздывание сигнала превышает период повторения
импульсов Тп, а доплеровский сдвиг частоты выходит за преде-
пределы zh^n/2, и отсутствию разрешения, когда смещение двух сиг-
сигналов по времени кратно периоду повторения 7П, а смещение по
частоте — частоте повторения Fn. Однако период повторения-
обычно выбирает из условия однозначности измерения дально-
дальности Tn^L2Rmax/c, при выполнений которого все пики тела неопре-
неопределенности вправо и влево от оси частот не играют практиче-
практической роли. Если при этом дополнительно наблюдаются малопод-
малоподвижные объекты, сигналы которых имеют доплеровский сдвиг
|.F|^Fn/2, отпадает влияние и всех пиков по оси частот, кроме
центрального. При указанных ограничениях совместная разреша-
разрешающая способность определяется только центральным пиком, объ-
объем которого, характеризующий реальную неопределенность, мно-
много меньше единицы.
Таким образом, одним из путей преодоления принципа неоп-
неопределенности является ограничение рабочей области..время-ча-
области..время-частота для конкретных условий использования измерительных си-
систем. К сожалению, при наблюдении скоростных удаленных объ-
202
ектов условие однозначного олределения и дальности, и скоро-
скорости одновременно не выполняется.
Другой способ — применение шумоподобных сигналов. Все пи-
пики тела неопределенности, кроме центрального, как например, у
только что рассмотренной па!чки импульсов, являются следстви-
следствием упорядоченного чередования импульсов, и поэтому для «раз-
«размывания» этих пиков по широкой области время-частота в виде
тонкого слоя нужно придать сигналам максимальную неупоря-
неупорядоченность— использовать шуподобные сигналы. Почти весь объ-
объем тела неопределенности таких сигналов (рис. 6.20,в) сосредо-
сосредоточен в области низкой корреляции, влияние которой на точность
и разрешающую способность очень мало. Площадь области низ-
низкой корреляции ('произведение ширины спектра на длительность
сигнала) равна базе шумоподобного сигнала N=AfT. Поэтому
при почти единичном объеме области низкой корреляции уровень
боковых лепестков по мощности (высота слоя) равен 1/N, а по
напряжению в 1/l/iV раз ниже пика. Объем тела центрального
пика и площадь сечения области высокой корреляции также рав-
равны 1/N. Таким образом, с увеличением базы сигнала уменьшает-
уменьшается влияние боковых лепестков, а совместная точность и разреша-
разрешающая способность пропорционально повышаются. Результирую-
Результирующая неопределенность зависит только от центрального пика, объ-
объем которого много меньше единицы.
Необходимо отметить существенное различие минимально до-
достижимого уровня боковых лепестков функции неопределенности
только по дальности и одновременно по дальности и скорости. В
первом случае он составляет 1/N2 A/N по напряжению), во вто-
втором он равен IfN (IJ]^N по напряжению), т. е. в N раз больше.
Однако это относится к равномерно низкому уровню боковых ле-
лепестков во всем диапазоне. Если же ограничиться достаточно ма-
малой областью, то в ее пределах можно получить практически ну-
нулевой уровень боковых лепестков в обоих случаях за счет их воз-
возрастания в остальной области.
Для создания шумоподобных сигналов наиболее целесообраз-
целесообразна частотная или фазовая модуляция при постоянной амплиту-
амплитуде. При этом длительность сигнала может быть сколь угодно
большой — вплоть до периода повторения Ти. Тогда образуется
непрерывная шумоподобная последовательность, пики корреля-
корреляции которой повторяются через интервалы Ти 1(рис. 6.20,ж). Та-
Таким образом, при использовании шумоподобных сигналов теря-
теряется существенное различие между импульсным и непрерывным
излучением.
Поскольку закон модуляции непрерывной последовательности
заранее известен, при приеме ее можно демодулировать, превра-
превратив в синусоидальное колебание (свертка по частоте). По изме-
измеренной частоте этого колебания однозначно и точно определяет-
определяется радиальная скорость; острые пики корреляции, интервал Тп
между которыми можно выбрать сколь угодно большим, позво-
203
ляют точно и однозначно измерить дальность. Поэтому непре-
непрерывные шумоподобные последовательности являются единствен-
ньщ видом сигнала, где заданным требованиям по дальности и
скорости можно удовлетворить полностью. Однако реализовать
измерительные системы с такими сигналами очень трудно. Так,
при работе по отраженному сигналу не удается эффективно раз-
развязать тракты передачи и приема, поэтому 'принимают полуме-
полумеры— разнос передатчика и приемника в пространстве, использо-
использование режима малой скважности и т. п. При работе же по сиг-
сигналу прямого излучения или переизлученному (с разносом кана-
каналов запроса и ответа по частоте путем дробно-частотного преоб-
преобразования (запросного сигнала) использование таких сигналов не
встречает ограничений. Однако для образования свертки по ча-
частоте (демодуляции) необходимо использовать корреляционный
приемник, многоканальный или отслеживающий единственный
сигнал по времени.
Применение шумоподобных сигналов в радиолокации являет-
является средством борьбы с (распределенными # пассивными помеха-
помехами—облаком отражателей, естественными (гидрометеоры, фон
земли) или искусственными (дипольные помехи). Каждый отра-
отражатель О1блака дает на выходе приемника точно такой же сигнал,
как и интересующий нас точечный объект, но смещенный по
времени и частоте. Геометрическим образом мощности выходно-
выходного сигнала оптимального приемника в частотно-временной обла-
сти является его тело неопределенности. Тела неопределенности
облака отражателей, перекрываясь, образуют суммарный сигнал
фона, мешающего наблюдению интересующего нас объекта. Оче-
Очевидно, что средняя мощность фона тем меньше, чем меньше чи-
число перекрывающихся сигналов, т. е. чем вЫще разрешающая
способность по времени и частоте.
Если бы облако представляло собой совокупность отражате-
отражателей, движущихся в разные стороны с большими скоростями, ког-
когда доплеровские сдвиги частоты их сигналовлерекрывали бы всю
ширину полосы спектра сигнала, то области низкой корреляции
шумоподобйых мешающих сигналов на выходе приемника обра-
образовали бы в результате взаимного перекрытия точно такой же
фон, как и любой другой сигнал, простой или сложный. Таким
образом, в общем случае распыление тела неопределенности шу-
моподобных сигналов по широкой области низкой корреляции
не повышает разрешающей способности и, следовательно, поме-
помехозащищенности. Принцип неопределенности сохраняет свою силу.
Однако облаков с указанными свойствами в природе не суще-
существует. Реальные облака движутся, со сравнительно небольшой
скоростью (скоростью ветра) и преимущественно в одном направ-
направлении. Разнос спектров таких сигналов занимает не всю область
низкой корреляции, а лишь ее небольшую часть. Поэтому пере-
перекрытие выходных сигналов реальных пассивных помех происхо-
происходит практически лишь по временной оси, а не по всей площади
204
области время-частота. Именно благодаря этому и снижается
воздействие пассивных помех при использовании шумоподобных
сигналов.
В заключение рассмотрим способы формирования шумоподобных сигналов,
импульсных и непрерывных.
Известны два способа формирования импульсных шумоподобных сигналов:
активный и пассивный. При активном способе высокочастотное несущее колеба-
колебание модулируется по частоте или фазе по заданному закону. При пассивном
способе для формирования излучаемого сигнала используют тот же самый
фильтр, что и для оптимального сжатия принятых сигналов. Отличие состоит
только в том, что вход и выход сжимающего и формирующего фильтра меня-
меняются местами, а процессы при формировании происходят в обратном порядке:
на вход подается простой короткий импульс, а на выходе получают широкий
модулированный импульс. Так, для получения импульса, модулированного ко-
кодом Баркера (см. рис. 2.7), к выходу секционированной линии задержки под-
подводят прямоугольный высокочастотный импульс, длительность которого равна
длительности такта, а на входе линии задержки образуется импульс заданной
формы, который после усиления мощности поступает в антенну и,излучается.
В отличие от импульсов для генерирования и оптимальногб сжатия псев-
псевдошумовых непрерывных последовательностей ввиду их большой длины филь-
фильтры не используют, а применяют только модуляцию несущей (активный спо-
способ). Наиболее часто применяется зт-манипуляция фазы от одного тактового
интервала к другому в псевдослучайной последовательности. Комплексную
огибающую сигнала, модулированного такой последовательностью, в k-ж такто-
тактовом интервале можно представить как
- SftfO=exp(J9ft)n(*-*Tc)= exp(j nlk)U(t-kxc), F.108)
где (pk = ttih—фаза высокочастотного заполнения в k-м такте, которая прини-
принимает значение 0 или п в зависимости от двоичного числа |ь, принимающего
значение 0 или 1 соответственно, a TL(t) —прямоугольный импульс, амплитуду
которого принимаем равной единице. Тогда комплексная амплитуда сигнала
F.108) в k-м такте Su принимает значение 1 или —1 в соответствии с двоичным
числом 0 или 1. Псевдослучайный двоичный код длиной N 5jv={6i» 1г, •••> Zn}
образует непрерывный шумоподобный сигнал с комплексной огибающей
N N N
S @ = 25* W = 2 ехР (J ***) П (* - Лтс) = 2 ( - Ч * П (* - * Tc)f
fe=*l А=г1 k=\
F.109
имеющей период повторения Tu=Nxc. Спектр такого сигнала (за один период
повторения)
F.110)
Перемножению комплексных амплитуд такого сигнала в разных тактовых ин-
интервалах соответствует суммирование двоичных чисел по модулю два:
5л5г=ехр[](фЛ + фг)]=ехр[]л;(ЬФ61)], , ,F.111)
так как двойное изменение фазы на тс дает нулевую фазу.
205
Наиболее широкое применение нашли аддитивно-циклические или рекур-
рекуррентные последовательности, обладающие свойством
т. е. сложение по модулю два двух взаимно смещенных одинаковых последо-
последовательностей дает такую же последовательность, но смещенную на другое чи-
число тактов. Это свойство и положено в основу формирования таких последо-
последовательностей с помощью /2-разрядного регистра сдвига, в цепь обратной связи
которого включен сумматор по модулю два. На один вход сумматора пода-
подается сигнал с выхода последнего (п-то разряда), а на другой — с выхода одного
или нескольких предшествующих разрядов. Поскольку каждый разряд регист-
регистра может находиться в состоянии 0 или 1, число возможных состояний регист-
регистра составляет 2П. Однако состояние «все нули» должно быть исключено, так
как регистр будет непрерывно находиться в этом состоянии и никакой последо-
последовательности не образуется. Поскольку число возможных состояний регистра
сдвига не превышает 2п—1, он формирует на выходе периодическую последо-
последовательность двоичных чисел. Последовательность длиной N=2n — 1 называется
двоичной последовательностью максимальной длины или Af-последовательно-
стью.
^-последовательность может быть сформирована только при условии, что
на второй вход сумматора по модулю два подается сигнал с выхода опреде-
определенного i-го разряда регистра сдвига (или нескольких разрядов одновременно).
Только при этом условии в первый разряд регистра сдвига вводится двоичное
число, принадлежащее ^-последовательности. Номера i указанных разрядов
вычислены для всех п или N (табл. 6.2).
В качестве примера рассмотрим работу генератора М-последовательности
для /2=3 (N=7) совместно с модулятором, выполненным на схемах совпаде-
совпадений, управляемых последним разрядом регистра сдвига (рис. 6.21). В этом слу-
случае к сумматору по модулю два кроме последнего разряда регистра подклю-
подключен согласно данным табл. 6.2 выход первого разряда регистра. При формиро-
формировании ^-последовательности начальное состояние регистра сдвига может быть
любым, кроме 000. Возьмем для определенности состояние 101 (табл. 6.3).
С приходом первого тактового импульса на выходе третьего и первого,
разрядов регистра появятся импульсы переброса 1, которые на выходе сумма-
сумматора дают 0, вводимый в первый разряд. К приходу второго тактового им-
импульса в регистре установится состояние 010 и т. д. В течение N—7 тактов
выходной разряд регистра выдает последовательность 1010011. В восьмом
такте состояние регистра 101 вновь повторяется, что является началом ново-
нового периода ЛГ-последовательности.
Таблица 6.2
п
N
i
2
3
1
3
7
1
4
15
1
5
32
1-2-3
6
63
1-3-4
7
127
3
8
255
2 3-4
Высокочастотное колебание
Выход
М-последовательности
206
Таблица 6.3
Номер такта
Состояние
триггера
Т1
Т2
ТЗ
Фаза выхода
1
1
0
- 1
я
2
0
1
0
0
3
0
0
1
я
4
1
0
0
0
5
1
1
0
0
6
1
1
1
я
7
0
1
1
я
8
1
О
1
я
Модуляция входного высокочастотного колебания непрерывной М-последо-
вательности происходит следующим образом. При состоянии 1 выходного триг-
триггера регистра высокочастотное колебание проходит через верхний вентиль с
поворотом фазы на я, при состоянии 0 — через нижний вентиль без поворота
фазы. Тем самым закон фазовой манипуляции яОяООяя определяется двоичной
последовательностью 1010011.
Точно так же работает устройство демодуляции (свертки по частоте)
принимаемой ^-последовательности, совпадающей по времени с формируемой
в регистре сдвига. Принимаемая последовательность подается на вентили сов-
совпадений. Перевернутый по фазе сигнал проходит через верхний вентиль с пов-
повторным переворотом фазы, неперевернутый проходит через нижний вентиль
без поворота фазы; в результате восстанавливается несущее немодулирован-
ное колебание, частоту которого можно измерить. В самой М-последователь-
йости несущая почти полностью подавлена, и частоту ее измерить нельзя.
С учетом свойства F.112) аддитивно-циклических последовательностей, ко-
которое состоит в том, что перемножение взаимно сдвинутых сигналов (сумми-
(суммирование последовательностей по модулю два) дает точно такой же сигнал
(последовательность), но с другим сдвигом, корреляционную функцию М-по-
следовательности для |т'|>Тс можно представить как
1
— J US (t) S(t- xe) dt = — ]S (t - т") dt =
Tn о тп о
1
N
F.113)
Действительно, число нечетных k в сумме из N слагаемых (где N — всегда не-
нечетное) на единицу больше, чем' четных. Каждая пара смежных слагаемых,
четного и нечетного, в сумме дает нуль. Поэтому вся сумма в формуле
F.113) равна —1, т. е. одному нечетному слагаемому, оставшемуся вне пары.
При т/=0 сумма равна N, так как суммируются квадраты S2& = 1 независимо
от знака Sk, и нормированная корреляционная функция равна 1.
При 0^|т/|^Тс она линейно спадает от 1 до —1/N.
Таким образом, выходной сигнал оптимальной системы, использующей
^-последовательность, при отсутствии расстройки по частоте имеет постоян-
постоянный уровень —1/N, кроме пиков, повторяющихся через интервал Tn=Nxc. Рас-
Расстройка по частоте Fr приводит к появлению дополнительных, линейно нара-
207
стающих фаговых сдвигов между слагаемыми. В результате пики функции
^(%\ F') начинают резко спадать, а боковые лепестки возрастать.
Рассмотренные устройства применяют и для формирования шумоподобных
импульсов в виде одного цикла М-последовательности, так как дающие мини-
минимальный уровень боковых лепестков коды Баркера известны только для неко-
некоторых N^13. При использовании импульсов в виде цикла М-последователь-
ности уровень боковых лепестков зависит от начального состояния регистра
сдвига. Поэтому выбирают такое начальное состояние, при котором миними-
минимизируется максимальный уровень боковых лепестков (в рассмотренном выше
примере именно таким является состояние 101). Этот уровень не превышает
1/]/"лГпо напряжению или 1/N по мощности.
6.13. ОБОБЩЕННОЕ СООТНОШЕНИЕ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ.
ОСОБЕННОСТИ ПРОЯВЛЕНИЯ
УГЛОВОЙ СКОРОСТИ
Для описания совместной разрешающей способности более
чем по двум параметрам /плоскость реального пространства за-
заменяется гиперплоскостью многомерного пространства, имеющей
более двух независимых координат. Для определения постоянной
совместного 'разрешения по четырем (параметрам — дальности,
радиальной скорости и двум углам — при наличии рассогласова-
рассогласования по угловым скоростям вычислим интеграл от квадрата мо-
модуля пространственно-временной функции корреляции F.1)
Д (т, F, их, иу \й'х, и'у) =
вЩЛТ(^ F'' <' <V »'* K)f dt> dF duxduy. F.114)
Эта постоянная равна О1бъему. и площади сечения равновеликого
цилиндра, построенного на четырехмерной гиперплоскости.
Учитывая, что квадрат модуля многомерной функции корреля-
корреляции F.1) как произведение двух комплексно-сопряженных трех-
трехкратных интегралов можно заменить шестикратным интегралом
с попарно разделяющимися переменными интегрирования t и t',
vx и v'Xf vy и v'y, получаем
xS*(t')S(f-T')exp{]2n[F'(t-f) + (vx-v'x)u^
-<) к c-
+ (vy-v'y) К (t- П]} dvx dv'x dvy A»; dt df. F.115)
208
Подстановка функции F.115) в F.114) дает десятикратный ин-
интеграл. Выделим из него сначала экспоненциальный множитель,
содержащий t—1\ и произведем интегрирование по F'9 в резуль-
результате получим дельта-функцию
б(t-f) = Jexp {j2я [f + (vx-vx) «;+ (oy-v'y) u'y] (t-t')} dF,
— CO
так как дополнительные слагаемые у Ff дают лишь сдвиг по оси
частот, который при бесконечных пределах не изменяет величи-
величины интеграла. Затем выделим все сомножители, содержащие /',
интегрирование по которому дает
J s*E (п sE (f—т') б (t—n df - s; (t) sE (t-ч'),
r—>OO
а из двукратного интеграла по t и %г получим произведение
двух одинаковых интегралов
= ]\SB(f)\*dt ]\SE(t-T')\*dT' = \ ]\SB(Q\*dt\*'. F.116)
— 00 -^00 [— OO J
Интегрирование оставшегося экспоненциального множителя по
ufx и и'у дает двумерную дельта-функцию
- JJexp{j2я [(vx—v'g) ufx + (vy —v'y) u'y\) duxdu'y9
при интегрировании сомножителей, зависящих от v'x и vfy> полу-
получим
\G(vx, vv)\*=fs\G(v'x, v'y)\4(vx-v'x, vy-v-y)dvxdv'y,
в результате остается в формуле F.114) второй двумерный
интеграл
fpx, vv)\Uvxdvy. F.117)
Таким образом, вычисление десятикратного интеграла дает
произведение функций F.116) и F.117), поделенных на BЭJ.
Так как
^,^I»^^ ]\SE(t)\4t,
209
получаем постоянную совместного разрешения по дальности, ра-
радиальной скорости и углам при рассогласовании по угловым
скоростями
Д(т, F, их, иу\их, иу) =
(vx, Vy)\*dvxdvy]2[$\SE(t)\*dt]2 Afe,
или с учетом F.97)
Д(т, F, tixy иу\й'х, й'у)=А{%, F, их, uy)=A(ux, uy) =
= 1/A(^, ^)эФ, F.118)
где A(vx, vyK(fr определяется формулой F.98).
Таким образом, постоянная совместного разрешения по даль-
дальности, радиальной скорости и углам при наличии рассогласова-
рассогласования по угловым скоростям не зависит от этого рассогласования
и равна постоянной разрешения только по угловым координатам.
В этом сущность обобщенного соотношения неопределенности. В
частном случае, при отсутствии рассогласования по угловой ско-
скорости, постоянная совместного разрешения F.118) распадается
на произведение двух постоянных, временной и пространственной:
А(т, F, их, иу)=А(х, F)A(Ux, tiy)=A(uXi иу) =
= 1/АК%)эф, F.119)
так как Д(т, F) — l. Хотя конечный результат в формулах F.118)
и F.119) одинаков, поскольку временная постоянная разрешения
Д(т, F) = l, между ними есть существенное различие: постоянную
F.118) нелызя представить в виде произведения временной и про-
пространственной постоянных разрешения, поскольку угловая ско-
скорость одновременно является и временным, и пространственным
параметром.
Первое следствие обобщенного соотношения неопределенно-
неопределенности F.118) состоит в том, что если в пространстве имеется боль-
большое число равномерно распределенных по объему и скоростям
отражателей, создающих мешающий фон, то единственным путем
для снижения мешающего влияния этого фона является умень-
уменьшение телесного угла, занимаемого диаграммой направленности
антенны, т. е. повышение угловой разрешающей способности. Дей-
Действительно, общий отраженный сигнал создают те отражатели,
которые попадают в разрешаемый о'бъем пространства* ограни-
ограниченный разрешаемым телесным углом А(их, иу) и разрешаемым
интервалом по дальности Д7? = Дт. Из всех сигналов этих отра-
отражателей только те попадают в полосу пропускания приемника,
которые имеют достаточно малый разброс по радиальной скоро-
скорости Д?=|ДР, т. е. по доплеровской частоте. С повышением разре-
разрешающей способности по дальности, которое достигается за счет
расширения спектра сигнала, разрешаемый интервал дальности и
общее число отражателей в разрешаемом объеме уменьшается,
210
однако вследствие расширения полосы пропускания оптимально-
оптимального приемника при расширении спектра сигнала возрастает доля
тех отражателей, сигналы которых по'падают в полосу пропуска-
пропускания. Общее число отражателей, образующих сигнал фона в оп-
оптимальном приемнике, в -среднем сохраняется неизменным. Од-
Однако, если отражатели неподвижны или малоподвижны, повыше-
повышение разрешающей способности по дальности приводит к сниже- .
нию мешающего влияния фона.
Второе следствие обобщенного соотношения неопределенности
состоит в отсутствии энергетической селекции сигнала по угло-
угловым скоростям. Приведенная выше постоянная совместного раз-
разрешения по четырем параметрам iF.118) не охватывает произ-
производные направляющие косинусов, а лишь учитывает расстройку
по ним. Дополнительное интегрирование квадрата модуля про-
пространственно-временной функции корреляции по угловым скоро-
скоростям показывает, что постоянная разрешения по всем шести из-
измеряемым параметрам пропорциональна полному диапазону уг-
угловых скоростей. Это как раз и указывает на отсутствие разре-
разрешающей способности по угловым скоростям в энергетическом
смысле, а не вообще, так как интеграл от квадрата модуля функ-
функции корреляции характеризует именно энергию выходного сиг-
сигнала.
Действительно, падение волны на настроенное и ненастроен-
ненастроенное по угловой скорости приемное устройство приводит' к изме-
изменению фазовых соотношений в спектре и, следовательно, формы
выходного сигнала, но не заключенной в нем энергии. В настро-
настроенном приемном устройстве все сигналы по раскрыву антенны
суммируются синфазно, что дает выходной сигнал в виде узкого
пика с максимальной амплитудой. При расстройке по угловой
скорости происходит несинфазное суммирование, пик выходного
сигнала расплывается, амплитуда его уменьшается, т. е. возмож-
возможна амплитудная селекция по угловой скорости. Энергетическая же
селекция отсутствует, так как в обоих случаях антенна перехва-
перехватывает одну и ту же энергию падающей волны, на что и указы-
указывает отсутствие зависимости постоянной разрешения F.118) от
расстройки по угловой скорости.
Практическим результатом второго следствия является невоз-
невозможность селекции сигналов фона от облака отражателей по уг-
лЪвым скоростям, поскольку ввиду случайных фазовых соотно-
соотношений между сигналами множества отражателей имеет смысл
говорить только об энергетической селекции.
Поясним сущность энергетической селекции по радиальной
скорости и невозможность такой селекции по угловой скорости.
При наличии радиальной скорости R, как отмечалось ранее, ча-
частота каждой гармонической составляющей сигнала изменяется
в k=l—Rjc раз, в том числе частота несущей и ширина спектра
принимаемого сигнала. Расширением спектра обычно пренебре-
пренебрегают, так как Af<C/o. Следовательно, полная энергетическая селек-
211
to (i+k'i)h
Рис. 6.22. Спектры принимаемых сигналов при различной радиальной (а) и
угловой (б) скорости объектов
ция двух сигналов по радиальной скорости достигается, когда их
несущие сдвинуты по даплеровской частоте на Fri>?s!\ (рис.
6.22,а). Когда непрерывная синусоидальная волна частоты fo
поступает на раскрыв антенны d=2xM от неподвижной цели, ча-
частота принимаемого сигнала в каждой точке х раскрыва одина-
одинакова и равна fo. При движении цели относительно центра рас-
раскрыва х=0 с постоянной угловой скоростью йх частота принима-
принимаемого сигнала в произвольной точке раскрыва х изменяется на
величину —uxfox/c> оставаясь равной fo в центре раскрыва. Бес-
Бесконечно узкий спектр сигнала приобретает конечную ширину
Af*=\ux\d/c и повторяет функцию раскрыва .G(vx=x/X). Следо-
Следовательно, угловая скорость только расширяет, но не смещает
спектр (расширение очень мало и практически неощутимо у сиг-
сигналов с конечной шириной спектра). Поэтому отстроиться только
по угловой скорости невозможно (рис. 6.22,6).
Для оценки амплитудной селекции по угловой скорости вос-
воспользуемся простр анственно-временной (функцией неопределенно-
неопределенности F.1), положив в ней нулевыми все расстройки, кроме рас-
расстройки по угловой скорости. Так как движение о*бъекта с посто-
постоянной угловой скоростью происходит всегда в плоскости, прохо-
проходящей через его траекторию и точку расположения станции, рас-
расстройку можно брать только по производной направляющего, ко-
косинуса, отсчитываемого лишь в этой (плоскости. Тогда зависи-
зависимость комплексной амплитуды выходного сигнала от расстройки
только по производной йх принимает вид
dvxdt
F.120)
212
Отсюда находим постоянную разрешения по угловой скорости
(й'х)\Чй'х.
F.121)
К сожалению, интегралы F.120) и F.121) в общем виде вы-
вычислить не удается. Поэтому ограничимся частным примером, ко-
гда сигнал и распределение поля по раскрыву имеют прямоуголь-
прямоугольные огибающие:
с /л-Л1' -ти/2<г<ти/2,
<Но,\
•1. —I
,xi > d/2k.
При этом функция F.120) принимает вид (рис. 6.23)
V2
-ти/2
Я Vx
Ти
Si (jt dи'х ти/2Х) _ s; (ях/2)
яйн1тг„/2Я ях/2
где Si (iz) — интегральный синус, a %=dxRu/xl% — относительное
значение расстройки по угловой скорости, равное единице, ког-
когда угловая скорость такова, что за время ти перемещение объ-
объекта по углу равно ширине диаграммы направленности K/d.
Численным интегрированием находим постоянную разрешения
по угловой скорости F.121)
= J
Si (пс1йхгш/2К)
л dux ти/2Я
3,6
Д v
x эф
V(u'x)
- -
—р——-
1
1
_——д.
1 ^
Рис. 6.23. Зависимость амплитуды
и мощности выходного сигнала оп-
оптимальной системы от расстройки
по угловой скорости (сигнал и функ-
функция раскрыва антенны имеют пря-
прямоугольную огибающую)
Рис. 6.24. Отсутствие селекции со-
согласованного с фильтром сигнала
(заштриховано) на фоне совокупно-
совокупности несфокусированных сигналов ра-
распределенных отражателей (энер-
(энергия сигналов, отображаемая схема-
схематично площадью прямоугольников,
одинакова)
2IS
где А^эф=ти 'И Дряэф = ^А — эффективные протяженности сигна-
сигнала и углового пространственного спектра соответственно.
Из приведенного примера можно видеть, что заметное сниже-
снижение амплитуды выходного сигнала в согласованном пространст-
пространственно-временном фильтре или корреляторе, не учитывающем рас-
расстройку по угловой скорости, достигается только,при очень боль-
большой угловой скорости.
В общем случае постоянную разрешения по угловой скорости
можно представить как
Aux=KAuo6AF=KlAvx эфА4Ф, .F.122)
где Айх=\1&Х)хэф и А/7=1/)А4ф—постоянные разрешения по уг-
угловой координате и частоте сигнала соответственно; К — коэффи-
коэффициент, зависящий от формы сигнала и вида функции раскрыва
антенны, который имеет порядок половины десятка.
Таким образом, если в пространстве наблюдается ограничен-
ограниченное число объектов, то возможна амплитудная селекция по угло-
угловой скорости. Если же объект наблюдается на фоне (большого
числа движущихся отражателей, сигналы которых суммируются
(в среднем) по мощности (энергии), то селекция сигнала этого
объекта по угловой скорости (подавление фона) невозможна
(рис. 6.24).
Наглядным примером отсутствия энергетической селекции по угловой ско-
скорости и„ следовательно, подавления сигналов фона является -невозможность
применения непрерывного немодулированного излучения в когерентных РЛС
бокового обзора, формирующих синтезированную апертуру. В них наземные
объекты в зависимости от удаления R$ от линии пути РЛС имеют различную
угловую скорость (dttV/Ro, где V—скорость движения носителя РЛС. Ввиду
этого комплексная амплитуда таких сигналов
S(*)i= G2(Vt/Ro)ехр (—] 2nV4*№o),
т. е. закон изменения их амплитуды (фазы), зависит от отношения V/Rq, явля-
являющегося угловой скоростью. При пропускании сигнала с данной дальности
через согласованный для него фильтр образуется пик выходного сигнала, име-
имеющий максимально возможную амплитуду, так как фазовые сдвиги окажутся
скомпенсированными. Сигналы объектов, находящихся на другом удалении,
дают меньший пик или вообще остаются размытыми. Следовательно,, сущест-
существует амплитудная селекция сигналов по дальности Ro, т. е. угловой скорости.
Однако размытые сигналы множества отражателей (фона земли) дают такую
же суммарную мощность фона, какую дали бы и неразмытые сигналы объек-
объектов, не различающихся по дальности (угловой скорости). В результате сигналу
объекта, находящегося на данной дальности, на выходе согласованного филь-
фильтра противостоит сигнал фона со всего диапазона дальностей, маскирующий
его. Действительно, при непрерывном излучении спектр принимаемого сигнала
равен спектру доплеровских частот, ширина которого, пропорциональная углу
раствора диаграммы направленности бортовой антенны, не зависит от даль-
дальности. Следовательно, через согласованный фильтр в равной степени прохо^
дят спектральные составляющие сигналов с любой дальности, без подавления,
т. е. энергетическая селекция отсутствует.
214
Глава 7. ОПТИМАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ
ФИЛЬТРАЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ
ПРОЦЕССОВ
7.1. ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ
В радиотехнике, автоматике и других областях полезным сиг-
сигналом может быть любой случайный для наблюдателя процесс,
который доставляет полезную информацию. Другой случайный,
процесс (помеха), накладываясь на этот сигнал, мешает его на-
наблюдению. В радиотехнике роль сигнала илрает высокочастот-
высокочастотное колебание, несущее неизвестное получателю сообщение, а по-
помехой является излучение посторонних источников. В системах
автоматического регулирования сигналом является задающее
воздействие, которое должно (быть отработано системой, а поме-
помехой— всякое постройнее возмущающее воздействие. Вообще в лю-
любом физическом эксперименте на основной процесс накладывает-
накладывается постороннее возмущение, искажающее его, и задача экспери-
экспериментатора— выделить (отфильтровать) (полезную информацию из
наблюдаемой им смеси, поскольку полезный сигнал в чистом ви-
виде недоступен для наблюдения. В такой постановке задача филь-
фильтрации затрагивает самые различные области применения.
В отличие от рассмотренной ранее задачи фильтрации сигна-
сигналов известной формы с неизвестными параметрами при обработ-
обработке случайных сигналов (процессов) мы имеем дело не с самим
случайным процессом, а лишь с одной его конкретной реализаци-
реализацией, являющейся суммой реализаций двух случайных процессов—-
сигнала s(t) и шума (помехи) n(t):
x(f)=s(t)+n(t). G.1)
Поскольку форма сигнала неизвестна, в этом случае уже нельзя
говорить о фильтре, оптимальном для данной реализации сиг-
сигнала. МЬжно говорить лишь о фильтре, оптимальном в сред-
среднем по всем реализациям, т. е. оптимальном для случайного про-
процесса в целом. -
Второе отличие от фильтрации сигнала известной формы за-
заключается в том, что необходимо произвести оценку именно сиг-
сигнала или какой-либо функции от него. При фильтрации сигнала
известной формы мы старались не сохранить его форму (она и
так известна!), а наилучшим образом определить параметры сиг-
сигнала (измерение) или установить сам факт его присутствия (об-
(обнаружение). Чтобы получить оценку s(t)—произвести фильтра-
фильтрацию сигнала неизвестной формы, достаточно близкую к истинно-
истинному виду данной реализации сигнала s(t)> необходимо, чтобы4 ме-
между двумя случайными процессами — сигналом и шумом (в це-
целом, а не для данных их реализаций!)—существовало какое-то
215
различие и это различие было известно. Иными словами, должны
различаться статистические (усредненные) характеристики этих
двух процессов. Наиболее полными статистическими характери-
характеристиками случайных процессов являются их многомерные функции
распределения вероятностей. Однако в такой постановке задача
фильтрации оказывается очень сложной. Во многих практических
приложениях достаточно описание характеристик случайных про-
процессов в рамках корреляционной теории (для гауссовских про-
процессов такое описание является полным). Поэтому в дальнейшем
будем полагать, что известны средние значения сигнала и шума,
их корреляционные функции В$(х) и Вп{%) и взаимокорреляцион-
взаимокорреляционная функция Bsn (т).
Задание корреляционной функции равносильно заданию энер-
энергетического спектра процесса, который указывает лишь, как рас-
распределена энергия по частотному диапазону, без учета фазовой
структуры спектра, от которой зависит форма сигнала. Таким
образом, задавая корреляционную функцию или энергетический
спектр сигнала (и помехи), мы задаем множество реализаций,
имеющих указанный общий признак процесса. Фильтрация дает
полезный эффект лишь тогда, когда ко!рреляционные функции сиг-
сигнала и шума различны, т. е. их энергетические спектры не пере-
перекрываются или перекрываются лишь частично; в первом случае
шум можно подавить полностью, во втором часть шума сохраня-
сохраняется.
Фильтрация бывает линейной и нелинейной. При линейной
фильтрации оценивается сам сигнал или линейная функция от
него (например, интеграл или дифференциал), при нелинейной
фильтрации— процесс, являющийся нелинейной функцией вход-
входного сигнала. Именно нелинейные связи между сигналами и оце-
оцениваемыми процессами, закодированными в них, характерны для
радиосистем. Однако решить задачу нелинейной фильтрации в
общем виде чрезвычайно трудно. На практике в большинстве слу-
случаев нелинейную задачу фильтрации можно свести к линейной,
если помеха представляет собой гауссовский процесс и отноше-
отношение сигнал-шум достаточно велико. Поэтому в данной главе рас-
рассматриваются общие принципы линейной оптимальной фильтра-
фильтрации случайных процессов, а конкретные применения в измери-
измерительных радиосистемах, включая линеаризацию задачи нелиней-
нелинейной фильтрации, будут описаны в следующей главе. Первона-
Первоначально задача линейной фильтрации будет рассмотрена примени-
применительно к центрированным (§=п—0) случайным процессам, а за-
затем постепенно усложняться.
Задача линейной оптимальной фильтрации сигнала неизвест-
неизвестной формы ставится следующим образом: заданы корреляцион-
корреляционные функции сигнала и помехи; на основании их и результатов
наблюдения некоторой входной реализации, представляющей
смесь сигнала и помехи, требуется сформировать оценку сигнала
S(t)=L[x\t)], G.2)
216
т. е, подвергнуть входную смесь G.1) некоторому линейному
функциональному преобразованию L[x(t)]. Эта задача решается
с помощью линейного фильтра, на вход которого поступает смесь
х$) G.1), а на выходе выдается оценка сигнала s(t).
Для получения оптимальной оценки и определения оптималь-
оптимального линейного оператора необходимо ввести критерий оптимиза-
оптимизации. Очевидно, что любая оценка отличается в общем случае от
истинного сигнала и возникает ошибка фильтрации
B(t)=s(t)-s(t)=L[x(t)]-s(t). G.3)
Эта ошибка изменяется от реализации к реализации, т. е. явля-
является случайной функцией. Поэтому критерий оптимальности опе-
оператора L[x(t)] должен быть некоторой статистической (усреднен-
(усредненной) характеристикой е(/). В качестве критерия можно было бы
использовать сведение к минимуму одной из следующих величин;
среднего значения M[&(t)], модуля среднего значения |М[е@]|>
дисперсии 028 (t) =M[s2(t)] — {M[s(t)]}2 и т. п., где операция М(-)
обозначает математическое ожидание (усреднение). Если сигнал и
шум являются стационарными процессами, то указанные величи-
величины не зависят от времени. Если, кроме того, они центрированы,
т. е. их средние значения равны нулю, а28 =М(г2).
Однако ,при использовании в качестве критерия оптимальности
минимума М (г) возможны большие положительные и отрицатель*
ные ошибки, которые взаимно компенсируют друг друга. Мини-
Минимум |М(в)[ не имеет этого недостатка, но приводит к большим
математическим трудностям. Поэтому в качестве критерия опти-
оптимальности, полагая оптимальную оценку несмещенной, т. е.
М[е]=0 и 028 =М[е2], выбирают минимум дисперсии ошибки
фильтрации
o\=M{L[x(t)]-s(t)}2, G.4)
Если сигнал и шум — центрированные процессы, условие
М(е)=0 выполняется всегда, так как при отсутствии постоянной
составляющей на входе постоянная составляющая на выходе ли-
линейного фильтра появиться не может. Если же M(s)=#=0 (M(n) =
= 0 практически всегда), оценка может быть и смещенной, но
этот случай тре!бует отдельного рассмотрения.
Следовательно, задачу оптимальной линейной фильтрации слу-
случайного сигнала можно сформулировать следующим образом: тре-
требуется отыскать такой вид функционального преобразования
G.2) для входного процесса, являющегося суммой двух центри-
центрированных случайных процессов с известными корреляционными
функциями, при котором для данной реализации x(t) достига-
достигается минимум дисперсии ошибки фильтрации G.4).
Может возникнуть сомнение в практической ценности постав-
поставленной задачи, поскольку вряд ли корреляционные функции сиг-
сигнала и помехи всегда априори известны. Но это не так, корреля-
корреляционные свойства помехи можно выявить по результатам приема
x(t), когда сигнала заведомо нет. Что касается _корреляционных
217
функций или энергетических спектров самих сигналов, то и они
часто известны, хотя бы приближенно. При этом нужно иметь в
виду, что небольшие отклонения предполагаемого спектра сигна-
сигнала от истинного слабо влияют на вид функционального преобра-
преобразования.
К сформулированной здесь задаче фильтрации оказывается
очень близкой как по постановке, так и по методам решения за-
задача оптимальной экстраполяции (предсказания). Формулирует-
Формулируется она следующим образом: требуется отыскать такой вид функ-
функционального преобразования входной смеси x(t)y полученной за
прошедшее время, включая настоящий момент, чтобы получить
оценку
s(t+U)=L[x(t)], G.5)
максимально близкую к будущему значению сигнала s(t-\~t3) в
соответствии с критерием
Ob2=M{L[x(t)}— s(H-4)}2->*nin. G.6)
Задача оптимальной экстраполяции решается сначала при допол-
дополнительном условии, что процесс стационарный, корреляционные
связи, установленные на основании прошлого поведения сигнала,
справедливы и для будущего. Таким образом, в фильтре исполь-
используются связи между прошлым, настоящим и будущим значениями
сигнала.
Если в формулах G.5) и G.6) положить время экстраполяции
4=0, приходим к задаче оптимальной фильтрации как частному
случаю экстраполяции. Следовательно, фильтрация и экстрапо-
экстраполяция случайных сигналов представляют собой единый процесс,
различающийся только параметром 4>0. Так как при этом учи-
учитываются только корреляционные свойства случайных сигналов,
задача оптимальной фильтрации и экстраполяции сигналов неиз-
неизвестной формы в указанной постановке относится к классу ли-
линейных, поскольку корреляционные функции учитывают лишь
линейную связь между прошедшим и будущим. Соответственно
сама задача решается с помощью линейного фильтра.
- Задача оптимальной фильтрации и экстраполяции имеет очень
большое значение для систем автоматического управления само-
самого различного назначения. В частности, управление космически-
космическими объектами без предсказания их будущего положения принци-
принципиально невыполнимо, так как на прохождение измерительных
радиосигналов от объекта в цектр управления и командных ра-
радиосигналов из центра управления « объекту, вырабатываемых
по данным измерений, затрачивается значительное время. За это
время положение самого объекта может существенно измениться,
и команды, вырабатываемые без учета его упрежденного поло-
положения, безнадежно устаревают.
Задача оптимальной фильтрации и экстраполяции стационар-
стационарных случайных процессов была впервые решена академиком
А. Н. Колмогоровым еще до вгорой мировой войны. Во время
218
войны ее решение было повторено Н. Винером уже не только в
научном, но и в прикладном плане — для управления зенитной
стрельбой (предсказание точки и момента встречи "снаряда с са-
самолетом после выстрела). Впоследствии решение было распро-
распространено на нестационарные, векторные процессы и т. п., включая
нелинейные преобразования.
7.2. ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
НЕПРЕРЫВНЫХ ПРОЦЕССОВ.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ВИНЕРА —ХОПФА
Определим импульсную характеристику. h(t) оптимального
фильтра и экстраполятора для стационарного центрированного
случайного процесса, с реализацией x(t)=s(t)-{-n(t)) если зада-
заданы корреляционные функции сигнала и шума 5s(t) и Вп(х) и
взаимО'КОрреляционная функция сигнала и шума Bsn(%), причем
M(s)=M(n) =М(х) = 0. Пусть к настоящему моменту времени
Т поступила реализация входного процесса x(t) (рис. 7.1). Выде-
Выделим из нее элементарный сигнал, поступивший т времени тому
назад. Если б-импульс единичной площади дает на выходе реак-
реакцию h(t), то элементарный сигнал площадью x(t—%)dx в момент
/ дает реакцию h(%)x(t—x)dx, а в момент t-\-t3 — реакцию'
h(x+ta)x(t—x)ch. Таким образом* суммарный выходной эффект
от всей поступившей к моменту t реализации входного процесса
в упрежденный момент времени t-\-t9 определяется интегралом
свертки
G.7)
Это и есть оценка будущего значения входного сигнала. Мате-
Математическое ожидание случайной ошибки фильтрации-экстраполя-
фильтрации-экстраполяции e=$(t+t9)— s(t+ts)
tB)] = 09 G.8)
т. е. оценка s(t-\-t3) несмещенная.
Дисперсия ошибки
=M{L[x{t)]Y—2M{L[x(t)]s(t+ts)}+M[s(t+t3)]\
x(i)
Рис. 7.1. Процессы в линей-
линейном фильтре-экстраполяторе
при воздействии непрерывного
входного сигнала
Вычислим слагаемые дисперсии в соответствии с формулой
G.7), заменив в первом слагаемом произведение одинаковых ин-
интегралов двойным интегралом с разделяющимися переменными:
/ /Л (т+ У h (т' + Q Вх (т-т') d т d т';
о о
Здесь В*(т—т/)=^1[^(^—x)x(t—x')] — корреляционная функ-
функция входной смеси, a B8X{x + U) =M[s(t + t3(x{ft—т)] — взаимо-
взаимокорреляционная функция чистого сигнала и смеси сигнала с по-
помехой, где s(t-\-t3) было внесено под знак интеграла, так как не
зависит от переменной интегрирования т. Ввиду стационарности
процессов корреляционные функции зависят только от разности
аргументов, а дисперсия (мощность) сигнала gus не зависит от
времени.
Таким образом, дисперсия ошибки фильтрации-экстраполяции
00
-2]h(x + tQ)Bsx(x + Qdx + ol GJ9)
о
является функцией характеристики фильтра h(t), т. е. а28 =
Чтобы найти оптимальную импульсную характеристику филь-
фильтра, при которой дисперсия ошибки фильтрации-экстраполяции
минимальна, решим вариационную задачу. Предположим, что
существует такая характеристика ho(t), при которой дисперсия
сг28 минимальна. Тогда характеристику произвольного фильтра
можно представить в виде суммы
h(t)=ho(t)+lXK(t),
где \xn(t) —вариация (разность между произвольной и оптималь-
оптимальной характеристиками фильтра); \х — коэффициент; %(t)—не-
%(t)—некоторая функция того же класса, что и h(t). При \х=0 h(t) =
220
ho(t) и дисперсия ошибки а2е минимальна, т. е. {da2e[h(t)]fd[i}
0 или в соответствии с формулой G.9)
Q + цх (т + Q] [Ло (
|[0( + и + ^^+гэ)]83С( + дй+1 =0.
0
Взяв производную (в первом слагаемом сначала по одному, за-
затем по другому выражению в квадратных скобках) и положив \i =
= 0, получим
**
+ //х (т' + /e) h0 (х + <„) Вж (т—т') d т d т' -
(ГО
-2jx (т+ 4) 58Ж(т+ 4)rf^=0.
о
Первые два интеграла совершенно симметричны относительно т
и %', поэтому они одинаковы. Отсюда, отбросив индекс 0 у ho(t)
и объединив интегралы по временной переменной т, находим
)^т=0. G.10)
Интеграл по т с переменным пределом равен нулю тогда и
только тогда, когда равно нулю само подынтегральное выраже-
выражение. Приравняв последнее к нулю и сократив на х(т+4), в об-
общем случае не равное нулю, приходим к интегральному уравне-
уравнению Винера — Хопфа
jh (т' + Q Вх (т-т') d т' - Bsx (х + 4). G.11)
Это уравнение в неявном виде определяет оптимальную харак-
характеристику одномерного фильтра Винера h(t), обеспечивающего
минимум дисперсии а2е ошибки фильтрации-экстраполяции ста-
стационарного центрированного процесса.
. Известно, что Вх(т)=В8(х)+Вп(х)+2В8П(х) и Bsx(x) =
=Bs(x)+BSn(x). Обычно сигнал и шум не коррелированы, т. е.
Bsn(x)=0. Учитывая также, что В(х) = о2р(т), где р(т)—норми-
221
рованный коэффициент корреляции, получим различные модифи-
модификации уравнения Винера — Хопфа:
G.12)
которые справедливы при отсутствии корреляции между сигналом
и шумом.
Для общности запишем, что в случае векторного нестационар-
нестационарного процесса интегральное уравнение Винера — Хопфа для оп-
оптимальной характеристики системы с п входами и т выходами
имеет матричный вид
* -T')dT' = ?sv(T + y, G.13)
где Н — матрица размера п^т; x=s+n — n-мерный входной
вектор; v — m-мерный выходной вектор (т^п), причем крите-
критерием оптимальности является минимум нормы вектора ошибок
||е2||, т. е. суммы дисперсий всех его составляющих.
7.3. ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ
ДИСКРЕТНЫХ ОТСЧЕТОВ ПРОЦЕССА
Полученные выше соотношения и выводы проявляются более
наглядно, если непрерывно наблюдаемый процесс x(t—т) заме-
заменить дискретными отсчетами rt(t—п) (рис. 7.2). На основании
наблюдений дискретных отсчетов входного процесса требуется оп-
определить оптимальную по минимуму дисперсии оценку будуще-
будущего значения сигнала s(t-\-t3). Эту оценку получаем с помощью
линейного оператора L[x(t)]:
G.14)
Рис. 7.2. Процессы вл линейном
фильтре-экстраполяторе при дис-
дискретных отсчетах входного сигнала
222
Таким образом, оценка является линейной комбинацией отсчетов
x(t—%i) с весами /гг-, что и говорит о линейности преобразования
(при непрерывном наблюдении сумма переходит в интеграл).
Дисперсия ошибки фильтрации-экстраполяции
}\ G.15)
Чтобы найти оптимальные весовые коэффициенты hj, при которых
дисперсия минимальна, необходимо взять п+\ частную производ-
производную от дисперсии ошибки по этим коэффициентам и приравнять
производные к нулю:
|^- = 2Л1 {Г 21
oh] v|_t=o
/ = 0,..., n.
Так как все слагаемые, кроме /-го, при дифференцировании дают
нуль, производная
dhj /=0
Подставляя полученный результат в предыдущую формулу, после
переноса второго слагаемого в правую часть равенства получаем
i=0
Так как процессы стационарны,
— М[х{г-Хг)х{г-х5)}=Вх(хг-х5); М[s(t+ U)
есть функции корреляции, зависящие только от разности аргумен-
аргументов. Отсюда получаем дискретный аналог интегрального уравне-
уравнения Винера — Хопфа
/-О,..., п, G.16)
— систему из я+1 уравнения для определения оптимальных зна-
значений весовых коэффициентов.
Чтобы найти минимальное значение дисперсии ошибки фильт-
фильтрации-экстраполяции, преобразуем формулу G.15):
(=.о
2J]htM [sA + QхA-т{)] + М
t=0
i^O /=,0
t S hi hi B* (T« -^-2^/1, Bsx (т, +19) + Bs @)
/=0 t=0
223
(здесь произведение сумм заменено двойной суммой с разделяю-
разделяющимися индексами суммирования и принято обозначение <у28=
= В8@)). Подставим выражение Bsx(xi + U) из уравнения G.16)f
поменяв индексы i и / местами:
Отсюда находим минимальное значение дисперсии
S j^ G.17)
f=0 /=Ю
где оптимальные весовые коэффициенты определяются системой
уравнений G.16).
Проиллюстрируем эффективность оптимальных линейных
фильтров и сделаем .практические выводы на простейших частных
примерах.
Пример 1. Наблюдение ограничивается только одним отсчетом x(t),
Полагаем сигнал и шум независимыми: Bx(%)=Bs(/x)-\-Bn(x), B8X(x)=Bs(x)f
причем 5s(t)=o*2sPs(t), Bn(x) =я2прп(т). Согласно формуле G.14) оптималь-
оптимальная оценка будущего значения случайного сигнала s(t+t9)=hox(t), а уравне-
уравнение G.16) принимает вид h0Bx@) =Bs(tQ), откуда находим оптимальный весо-
весовой коэффициент ho=Bs(tB)/Bx(O) и оптимальную оценку
При этом дисперсия ошибки минимальна и согласно формуле G.17) равна
Рассмотрим, в частности, случай «чистой» экстраполяции, когда шумами
можно пренебречь (a2n=0). Тогда из формул G.18) и G.19) получим
Ошибка экстраполяции возрастает с увеличением дисперсии сигнала и
уменьшается с возрастанием корреляции между прошедшим и будущим- зна-
значениями. Иными словами, предсказание тем точнее, чем медленнее протекает
процесс.
Покажем, что это предсказание оптимально. На первый взгляд кажется, что
поскольку, имея всего один отсчет, мы не знаем, как будет изменяться про-
процесс — в сторону возрастания или убывания, то в качестве будущего следовало
бы принять текущее значение, т. е. положить s(t+U)=s(t). При этом мы
допускаем ошибку, дисперсия которой
о\ =M[s(t+h)—s(t+U)]*=M[s(t)—s(t+U)]2=
224
Отношение
°?mlii J + PoM»)
т. е/произвольное решение s(t+tB) =s(t) неоптимально. Оптимальное решение
§(t-\-ta)=ps(ta)s(t) всегда занижено, так как малые значения сигнала при нор-
нормальном распределении с нулевым математическим ожиданием более вероятны.
При фильтрации D = 0) согласно формуле G.18) оптимальная оценка
т. е. чем больше отношение сигнал-шум о~2«/оп, тем выше оценка сигнала. Ди-
Дисперсия ошибки оптимальной фильтрации согласно формуле G.19)
9 9 * 2
8 min s ~~ о , о п 9 I
Если л^е принять произвольное решение s(t)=x(t), то
o2e=M[x(t)—s(t)]2 = M[n2(t)]=o2n.
Отношение дисперсий
т. е. выигрыш при оптимальном решении тем больше, чем сильнее шум.
Приведенный пример наглядно показывает преимущества оптимальной
фильтрации и экстраполяции, хотя количественно выигрыш невелик, поскольку
для прогнозирования использовался лишь единственный текущий отсчет. Ре-
Результаты прогнозирования, естественно, улучшаются, если учитывать и прошлые
отсчеты входного процесса.
Пример 2. Фильтрация и экстраполяция производится по двум отсчетам:
текущему x(t) и прошлому x(t-—r). Сигнал и шум по-прежнему полагаем не-
некоррелированными. При этом оценка G.14) принимает вид
§(t+t9)=hox(t)+hlx(t—x), G.20)
где оптимальные коэффициенты определяются из системы G.16):
h0Bx@)+hlBx(T;)=Bs(U),
h0Bx(x)+hlBx@)=Bs(T+U). ¦
Решение дает
h Bs (f8) Bx @) — Bs(x + h) Bx (т)
1
В*@)-В*(т)
te) Вх @) - Bs (<,) Вх (т)
В2х@)-В2х(т)
«Можно видеть, что поправка, вносимая прошлым отсчетом x(t—т), суще-
существенна только в том случае, если это прошлое не очень отдаленное, когдя
3-94 ' 225
корреляционные связи еще сохраняются. Если же т велико, то всеми величи-
величинами, кроме Вх@) и Bs(td), в последних формулах можно пренебречь. Тогда
h0ttBs(to)/Bx@), h ж О, т. е. получаем такой же результат, как и при прогно-
прогнозировании по единственному текущему отсчету x(t).
Аналогично можно получить указанные зависимости при любом числе от-
отсчетов. Однако уже приведенных здесь зависимостей достаточно для качествен-
качественной оценки вклада, вносимого отдельными отсчетами.
В качестве примера практического использования линейного сглаживания и
предсказания рассмотрим экономичную систему связи, посколько в измеритель-
измерительных радиосистемах обычно используют нелинейные фильтры, которые рассмо-
рассмотрены в гл. 8. В обычных системах связи, тле закон изменения амплитуды сиг-
сигнала передает сообщение s(l), средняя мощность передаваемого сигнала
Ps = o28. Если же применять систему с оптимальной экстраполяцией данных на
передающем и приемном концах канала связи, то в качестве сигнала достаточ-
достаточно передавать только ошибку экстраполяции; все остальное можно воспроиз-
воспроизвести, не используя линии связи Средняя мощность передаваемого сигнала в
оптимальной системе с экстраполяцией определяется минимальной дисперсией
ошибки экстраполяции G.17)
/=o ;=o
G.2S)
Здесь второе слагаемое как раз и показывает выигрыш в мощности передава-
передаваемого сигнала по сравнению с линией связи без предсказания
В канале связи с экстраполяцией (рис. 7.3) сообщение s(t), подлежащее
передаче в момент t, сравнивается с выходным сигналом экстраполятора s(t).
выработанным на основе знания ранее переданных значений сигнала s(t—xt).
Снимаемая с выхода схемы вычитания ошибка экстраполяции e(f)=s(t)—s(t)
передается по каналу связи. На приемном конце принятый сигнал е(/) добавля-
добавляется к выходному сигналу экстраполятора, в результате на выходе приемного
устройства восстанавливается действительное значение сигнала s(t) =s(t) -fs(f).
При постоянном интервале между выборками фильтр-зкетраполятор имеет вид
классического линейного фильтра на устройствах памяти с равноотстоящим<*
отводами и оптимальными весовыми коэффициентами. С выхода суммирующей
шины фильтра снимается предсказанное значение сигнала.
Суммирующая шина
Рис. 7.3 Система связи с предсказанием (а) к структура фильтра-экстраполя-
тора (б)
Рассмотрим в качестве примера систему связи с оптимальным чистым пред-
предсказанием по одному отсчету. Как было показано в примере 1, дисперсия ошиб-
ошибки экстраполяции, а следовательно, и мощность передаваемого в оптимальном
канале связи сигнала
где Ps — мощность канала связи без предсказания. Если же использовать не
оптимальное предсказание s(t) =ps(x)s(t—т), а просто предыдущий отсчет в
качестве оценки, т. е. s(t)=s(t—т), то получим широкоизвестную систему с
дельта-модуляцией, когда в очередном такте по каналу связи передается раз-
разность текущего и предыдущего отсчетов 6(t)=s(t)—s(t—т). Это есть случай
неоптимального чистого предсказания, рассмотренный в примере 1. В этом
случае, как было показано, дисперсия ошибки экстраполяции и, следовательно,
мощность передаваемого по линии связи сигнала
Р& = 2Л[1-р.(т)]=2Р,[1-р,(т)]
больше, чем при использовании оптимального предсказания (здесь т—интер-
т—интервал между соседними отсчетами, равный времени упреждения tD = x).
7.4. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ ФИЛЬТРА
ВИНЕРА
Для определения оптимальных параметров фильтра — весовых
коэффициентов hj — необходимо, как отмечалось, решить систему
уравнений G.16). Коэффициенты левой части этой системы обра-
образуют матрицу размера (п+ 1) X (п+ 1), а правая часть — вектор-
столбец:
~ВХ @) Вх (х±) ... Вх (xj) ... Вх (хп)
Вх ( — хг) Вх @) ... Вх (xj —х±) ...Вх (хп — хг
( — xt) Bx(x1 —
_Bx( — xn) Вх(х1 — хп) ...Bx(Xj — xn) ...Bx@)
Для этого находим определитель D матрицы и определители Dj
матриц, полученных из данной .матрицы заменой /-го столбца век-
вектор-столбцом правой части. После этого вычислим сами коэффи-
коэффициенты
h^Di/D, / = 0,...,/г. . G.23)
Таким образом, нахождение параметров дискретного фильтра
Винера — процедура несложная, но при больших п довольно гро-
громоздкая, причем возможны большие отклонения.
Сложнее определить характеристику оптимального фильтра
для непрерывного сигнала. Воспользуемся интегральным уравне-
уравнением Винера — Хопфа G.11) и возьмем от него преобразование
Фурье
8* ~ 227
т' + Q Г ]вх (т-т') e-i 2я / т d Tl d T/ =
Если 5(т) &B(f), то согласно теореме смещения ЯЛт—т')
)p{jf) Д«(+э) ^х/)рО2я/э), где ?(/)
энергетический спектр процесса, связанный с функцией корреля-
корреляции В{%) преобразованиями Фурье. С учетом этого последняя
формула принимает вид
(т
f ^
Если бы интеграл имел бесконечный верхний предел, он представ-
представлял бы собой функцию передачи
Яф (/) = [В&х{f) /Bx (f) ] eJ*tf*e. G.24)
'—функция передачи некоего фиктивного фильтра, учитываю-
учитывающего и будущие значения входного процесса, которые поступят
после текущего момента t, что нереально. От функции G.24) че-
через преобразование Фурье можно получить импульсную характе-
характеристику фиктивного фильтра /ц(т). Необходимо отметить, что ес-
если бы характеристика Лф(т) для прошедших и будущих значений
входного процесса выбиралась независимо, то можно было бы
определить характеристику реального фильтра Винера как
^(т), т>0>
т<0 V '
(смещение д<0 соответствует будущим неизвестным значениям
входного процесса x(t)). Чтобы будущие неизвестные -значения
каким-то образом учесть, лучше всего положить их равными
M(x)=Of что и учтено формулой G.25).
Однако у реального фильтруемого процесса прошедшие и бу-
будущие значения коррелированы (некоррелированный сигнал s(t)
отфильтровать от шумов невозможно). Поэтому отбрасывание
слагаемых, соответствующих будущим значениям, т. е. принятие
для них веса /i = 0, повлияет и на выбор весовых коэффициентов
для1 прошедших значений. В этом можно убедиться, рассмотрев,
например, уравнение G.16), согласно которому значения hj зави-
зависят от всех значений hi. Возникает противоречие: метод, описыва-
описываемый формулой G.25), пригоден лишь для некоррелированных
процессов, в то время как все фильтруемые процессы коррелиро-
коррелированы и к ним он неприменим. Выход из этого положения был
найдет Боде и Шенноном, которые предложили разбить фильтр
на две части (рис. 7.4). В первом, обеляющем фильтре входной
процесс x(t) декоррелируется, принимая вид белого шума, что по-
228
Рис. 7.4. Представление фильтра
Винера в виде последовательности х' \
двух фильтров: обеляющего и фор- .'
мирующего
Л
Hz(f)
$(t+t9)
зволяет применить ко второму фильтру, где производится форми-
формирование оценки сигнала, изложенные выше идеи.
Представим функцию передачи фиктивного фильтра G.24) в
виде произведения функций передачи двух названных выше
фильтров:
Яф(П=Я1(/)Я2ф(/), G,26)
где первый фильтр реализуемый. Представим энергетический
спектр входного процесса как Bx(f) =X(f)X*(f) и выберем функ-
функции передачи первого фильтра
ff,(f) = l/*(f). G.27)
Энергетический спектр выходного сигнала первого фильтра
By(f) =Bx{f) |Я, (f) \*=Bx(f)/Bx(f) = 1,
т. е. выходной сигнал его представляет собой белый шум, что и
требовалось.
Физически нереализуемая характеристика второго фильтра со-
согласно G.26) и G.24) имеет вид
Я2ф ^^ML^MLx (/) е] 2Я f'• ^ ML ej Ы \ G.28)
2фу; нг{!) вх(П кп x*(f) v ;
Для входного процесса этого фильтра — белого шума — вместо
будущих значений уA) можно принять М(у) =0. При этом импульс-
импульсная характеристика реального фильтра
*,«-{*-w-t;>e- рэд
где /12ф(т)ФФ Я2ф(/). После этого находим #2(/) ФФ/*2(т) и харак-
характеристику всего фильтра
H(f)=Hl(f)H2(f). G.30)
К сожалению, интегральные уравнения Винера — Хопфа в
большинстве случаев не имеют аналитического решения. Решают
их с помощью ЭВМ.
В заключение для усвоения изложенной методики рассмотрим один из не-
немногих примеров аналитического расчета характеристики фильтра Винера. Ра-
Расчет проводим в следующем порядке.
1. Задаем вид функции корреляции Вх(х) =Bs(x)+Bn(x) или энергетиче-
энергетического спектра Bx(f)=B8{f)+Bn(f), где Bs(f) =2аЛ/[а2+ BjtfJ], Bn(f)=N0!2'r
о? + Bя/J а2 + Bд /J '
b2=N0/2.
229
2. Полагаем
Bx(f)=X(f)X*(f),
^ Xif)= a+J.
a + j
3. Принимаем в соответствии с формулой G.27) функцию передачи обеляю-
обеляющего фильтра
И m ' _ a+J2"/
lU; A(f) a+jtoi fb '
4. Находим по формуле G.28) функцию передачи нереализуемого фор-
формирующего фильтра
(учитывая, что а2+ Bл/2) = (а+j 2nf) (a—j 2nf)).
5. Взяв обратное преобразование Фурье от #2<&(f), по теореме вычетов на-
находим импульсную характеристику нереализуемого формирующего фильтра
Л2ф(т)=2аа* jlriW/H^7i^ = ~^^ '
6. Взяв прямое преобразование Фурье от Н2(х), определяемое через Н2ф(х)
согласно условию G.29), получим функцию передачи реализуемого формирую-
формирующего фильтра
н (f) Г е- (a+j 2я /) х d т =
а+аб J
(здесь интегрирование ведется только по положительным значениям т, так как
согласно условию G.29) при отрицательных т h2(—т)=0).
7. Окончательно находим, функцию передачи фильтра Винера
a(a + ab) \ + ]2nfb/a \ + ]2nfT
Таким образом, в данном примере искомый оптимальный фильтр-экстрапо-
лятор представляет собой безынерционный усилитель с коэффициентом усиле-
усиления /Co=l/ea2fa [i+(i + -|/ l+4o*s/aNo)/D02s/aNo)] и RC-цепь с постоянной
времени Г=1/а]/ l+4a2s/aA^0. При заданном интервале td характеристики
фильтра определяются шириной спектра сигнала а и отношением сигнал-шум
Приведенный пример показывает, что даже в простейшем слу-
случае аналитический расчет параметров фильтра Винера для непре-
непрерывного входного процесса вызывает серьезные трудности. Более
сложные примеры вообще не поддаются аналитическому расчету.
230
7.5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
ОДНОМЕРНОГО ФИЛЬТРА
КАЛМАНА — БЬЮСИ
Фильтрация случайных процессов методом Винера сопряже-
сопряжена с рядом трудностей. Во-первых, как уже отмечалось, отсутст-
отсутствует аналитическое решение интегрального уравнения Винера —
Хопфа, за исключением .нескольких простейших случаев. Приме-
Применение ЭВМ в з-начительной мере снимает этот недостаток при по-
построении фильтра, но не его анализе. Во-вторых, при отыскании
структуры фильтра возникают осложнения, связанные с его физи-
физической реализуемостью. В-третьих, интегральное описание фильт-
фильтрации случайного процесса, взятого в целом, усложняется, когда
процесс нестационарен, т. е. его параметры изменяются в течение
времени наблюдения.
Все это послужило причиной того, что в последнее время пред-
предпочитают производить фильтрацию случайных сигналов на основе
решения не интегральных, а дифференциальных уравнений с за-
заданными начальными условиями. Этот метод получил название
фильтраций Калмана — Бьюси. Предложенная Калманом и Бью-
си рекуррентная форма алгоритма фильтрации оказалась очень
удобной в прикладном отношении: не требуется большой емкости
памяти, естественным образом учитывается изменение характерис-
характеристик входного процесса по мере его поступления и фильтрации и
т. д. Ввиду этого описание фильтра Калмана — Бьюси начнем не-
непосредственно с нестационарных случайных процессов. Для удоб-
удобства функцию корреляции нестационарного процесса x(t) пред-
представим как M\[x(t)x(t')], где время V может изменяться от нуля
до текущего момента t Описание процесса фильтрации начнем сх
наиболее простого случая — одномерного фильтра для центриро-
центрированного процесса.
Предположим, что интересующий нас случайный сигнал s(t),
содержащийся во входной смеси x(t)=s(\t)+n(t), образуется в
результате пропускания порождающего его белого шума v{t) че-
через формирующий фильтр, дифференциальное уравнение которого
имеет вид
ds(i)/dt=a{t)s(t)+v(t)y s{0)=s0. G.31)
Здесь a(t)—коэффициент, медленно изменяющийся во времени
в соответствии с изменением дисперсии 02S(/) входного сигнала
s(t). Полагаем также, что процессы s(t), n(t), v (t) взаимно неза-
независимы и центрированы:
M\[s(t)n(n]=M[s(t)v(n]=M[n(t)v(f)]=OJ
M[s(t)]=M[n{t)]=M[v{t)]=Or
а корреляционные функции входного и порождающего шумов
имеют вид
M[n(t)n(r)]=q(tN(t-f); M[v(t)v{f)]= 8 №(*-?). G.33)
231
V(t)
V(t) ^-\
a(t)sCt)
Отсюда следует также, что
М'[я@х(О]=М[у(/)л:(О]=0. G.34|
По виду уравнения G.31) легко уста-
новить структуру формирующего фильт-
( 75) Вй )
рууру фрру ф
Рис. 7.5. Схема формирую- ра (рис. 7.5). Входной шум v(t) еумми-
щего фильтра для одно- руется с (выходным сигналом фильтра
мерного центрированного м,ч ^ ^ г„
процесса 5@» прошедшим через безынерционный
усилитель с переменным коэффициентам
a(t), в результате еа выходе сумматора образуется производная
выходного сигнала ds(t)/dt; поэтому между сумматором и выхо-
выходом фильтра нужно поставить интегратор 1/р.
Теперь определим структуру оптимального фильтра Калма-
на — Бьюси. Пусть искомый фильтр Калмана — Бьюси имеет им-
импульсную характеристику h(t, t')9 которая медленно изменяется
во времени, так как входной процесс нестационарный (это обстоя-
обстоятельство как раз и отображается двойной зависимостью характе-
характеристики от времени: одна отражает вид характеристики, другая
закон ее изменения). Формируемая на выходе фильтра оценка
процесса связана с входным воздействием x(t) интегралом сверт-
свертки:
= ) h(t, t')x(t')dt'.
G.35)
Дисперсия ошибки фильтрации а28 =M[s(t)—s(t)]2 минималь-
минимальна, если характеристика фильтра удовлетворяет интегральному
уравнению Шнера — Хопфа
h{t, t")M[x(t")x(t')]df'=M[s{t)x(t')].
G,36)
Продифференцировав выражения G.35) и G.36) по текущему
времени в соответствии с правилом Лейбница
4" If (t, Пdf = i-j-f (t, f)df + /(>, t),
dt 0J 0J dt
G.37>
получим
dt
(t) =
t, f)x (f)df + h (t, t)x{t);
G.38)
-?-Л(/, t")M[x(t")x(t')]df
at
, t)M[x(t)x(t')] =
(в правой части последнего выражения порядок дифференцирова-
дифференцирования и усреднения изменен). Заменяя производную as(t)/dt пра-
232
вой частью уравнения формирующего фильтра G.31), из послед-
последнего уравнения получим
( — hit, t")M[x(f)x(t')]dt" + h(U t)M[x(t)x(t')] =
i dt
= a(t)M[s(t)x(f)]+M[v(t)x{t')].
Здесь M[x(t)x(t')]=M[s(t)x(f)]+M[n{t)x(t')]. Учитывая, что
согласно условию G.34) M[n(t)x(t')]=M\[v{t)x(t')]=O, после пе-
переноса всех слагаемых в левую часть последнее уравнение пред-
представим в виде
(-1ГкУ> nM[x(t")x(t')]df + h(t, t)M[s(t)x(t')}-
• di
— a(t)M[s(t)x(t')]^O.
Заменив в нем M[s{t)x(t')] левой частью уравнения G.36) и обо-
обозначив
h(t)=h(t, t), G.39)
от суммы одинаковых интегралов перейдем к одному интегралу
U
U~dTh(f' V+biOHt, П-
—а @ h (/, Г)} ? [х (О х (f)] dt"- 0. G.40)
Интеграл G.40) с переменными пределами равен нулю только
е том случае, если равно нулю подынтегральное выражение. При-
Приравняв последнее нулю и сократив его на M\[x(t")x(t')], в общем
случае не равное нулю, получим
±h(t, t>)=\[a(t)-b(t)]h(t,t<). G.41)
Подставим полученный результат с учетом G.39) в формулу
G.38):
dt
\h{U i')x(t')dt' + b(t)x(t).
Здесь согласно соотношению G.35) интеграл является оценкой
процесса s(t). Заменив его на s(t) и переставив слагаемые, нахо-
находим дифференциальное уравнение одномерного фильтра Калма-
на — Бьюси для нестационарного центрированного процесса
-±s(i)=a(t)s(t)+b(t)\[x(t)-s(t)]y s@)=s0. G.42)
dt
По уравнению G.41) легко установить структуру одномерного
фильтра Калмана — Бьюси (рис. 7.6). На входе его из входного
воздействия x(t) вычитается оценка процесса s(t); результат ры-
читания после умножения на переменный весовой коэффициент
233
-?40
Рис. 7.6. Схема одномерного фильтра Калмана—Бьюси для
процесса
центрированного
b (t) и суммирования с оценкой s (t), помноженной на переменный
коэффициент a(t), дает производную оценки ds(t)/dtf после интег-
интегрирования которой на выходе вырабатывается искомая оценка
процесса s(t).
Таким образом, фильтр Калмана — Бьюси включает в качестве
составной части формирующий фильтр (обведен штриховой лини-
линией), кроме-которого имеется еще входной компаратор (схема вы-
вычитания) и входной каскад.
Необходимо отметить, что полученная оценка процесса s(t) яв-
является несмещенной, т. е. M[e(\t)]=M[s(it)—s(^)]=0 и, следова-
следовательно, М[sty)] =&(t). Иными словами, статистические (усреднен-
(усредненные) характеристики входного и выходного процессов совпадают.
Ввиду этого разностный процесс на выходе компаратора пред-
представляет собой входной белый шум, из которого и формируется
сигнал на выходе фильтра Калмана. При этом сам фильтр можно
представить в виде обеляющей и формирующей частей, где функ-
функцию обеления выполняет цепь обратной связи через компаратор.
Дифференциальное уравнение фильтра Калмана G.42) однознач-
однозначно определяет его структуру, в то время как уравнение Винера—¦
Хопфа описывает лишь свойства фильтра, не предрешая его
структуры. Параметры фильтра Калмана вычисляются путем ре-
решения дифференциальных уравнений, в отличие от решения на
ЭВМ плохо обусловленной системы уравнений Винера —Хопфа,
которое сопровождается большими искажениями при обращении
матриц ввиду ограничения разрядной сетки.
7.6. РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ
ОДНОМЕРНОГО ФИЛЬТРА
КАЛМАНА — БЬЮСИ
Расчет параметров одномерного фильтра Калмана — Бьюси
сводится к нахождению коэффициентов a(t) и b(t) двух звеньев,
входящих в него. Коэффициент a(t) можно определить через
функцию корреляции входного процесса s(t) из дифференциаль-
дифференциального уравнения формирующего фильтра G.31). Для этого преоб-
преобразуем указанное уравнение по Лапласу:
ps(p)= J a(p')s(p—p')dp'+v(p)™a(p)s(p)+v(p).
G.43)
234
Здесь учтено, что коэффициент a(t) изменяется очень медленно
по сравнению с s(t), и поэтому свертка функций а(р) и s(p) при-
приближенно заменена их произведением. Уравнение G.43) можно
представить в виде [р—a(p)]s(p) =v(p), откуда находим изобра-
изображение по Лапласу функции передачи формирующего фильтра
и квадрат модуля этой функции
Я(р)Я(р) LL
— а(р) —р — а( — р)
G.44)
Известно, что энергетический спектр процесса на выходе ли-
линейной системы Bs(p) равен спектру процесса на входе Bv(p)=g,
помноженному на квадрат модуля функции передачи G.44):
= |а(у^2 . G.45)
Поскольку функция корреляции Bs(t) однозначно связана р
энергетическим спектром процесса, задание коэффициента переда-
передачи усилителя формирующего фильтра a(t) равносильно заданию
функции корреляции В8(%). Таким образом, фильтры Винера и
Калмана — Бьюси идентичны по своим свойствам: одинаково за-
задаются характеристики фильтруемого процесса и используется
один и тот же- критерий оптимизации — минимум дисперсии ошиб-
ошибки фильтрации.
Используя приведенные выше зависимости, можно перейти от
корреляционной функции процесса к коэффициенту передачи фор-
формирующего фильтра. Переход производится в следующем поряд-
порядке: взяв преобразование Фурье от функции корреляции Bs(x), по-
получим энергетический спектр процесса Bs(f), по которому найдем
изображение спектра по Лапласу Bs(p); используя формулу
G.45), определим а(р) и по изображению найдем искомый ко-
коэффициент a(t).
Пример 1. Задана функция корреляции (рис. 7.7) стационарного слу-
случайного процесса Bs(т) = cr2s ехр(—a|t|); требуется определить коэффициент ,а.
Для этого в соответствии с описанной выше методикой находим сначала энер-
энергетический спектр процесса как преобразование Фурье от его функции корре-
корреляции:
„ 1 11 2а*а
s
a—]2nt
235
Рис. 7.7. Экспоненциальная
функция корреляции входного
процесса
-1/а 0 1/а чг
Полагая р=\ 2л/, получаем изображение спектра по Лапласу
Bs(p)=2o2sa/(a2-p2).
Подставим полученный результат в формулу G.45):
Отсюда находим: а=а; g=2o2su=2G2sci.
Так как а имеет смысл ширины полосы спектра фильтруемого сигнала, ко-
коэффициент передачи а—а управляет шириной полосы пропускания формирую-
формирующего фильтра. Параметр g порождающего шума, из которого по предположе-
предположению формируется случайный сигнал s(t), определяется дисперсией этого сиг»
нала o2s (и коэффициентом а), т. е. исключается. В нестационарном случае па-
параметры сигнала а и сгД а следовательно, и параметр а формирующего филь-
фильтра являются медленно меняющимися функциями времени.
Интенсивность белого шума на входе формирующего фильтра^
входящего в фильтр Калмана — Бьюси, определяется коэффициен-
коэффициентом передачи Ь (/) входного каскада, который найти значительно
сложнее.
Для вычисления коэффициента b(t) помножим ошибку фильтрации
B(()=s(t)-s(t) G 46)
на х(^)и, усреднив, получим
Аналогично из формулы для оценки сигнала
5(/)= J h(tt t")x(t")dt"
о
находим
G 47)
G.48)
G.49)
где правая часть следует из уравнения Винера — Хопфа G.36). Из соотноше-
соотношений G.47) и G.49) вытекает, что
M[e(t)x(t')]=O.
Из G.48) находим также следующие зависимости:
G.50)
G.51)
о
так как согласно G.50) M[x(f')e(t')]=Q;
236
)]= Г h(t, t")M[x(t")s(t')]dt" =
о
j G-52)
о
так как согласно G.32) M[n(t")s(f)]=Q;
M[s{t)x(t')]= Г h(ttt")M[x{t")x{t')W'=*
Г
= f li(t, t")M[s(t")s(f)]df'+ J й(/,
о о
=M[s(t)s(t')]+q(t) j Я(/, t"N(t"—t')dt"
О
где учтено, что M[x(t")x(t')] =M[s(t")s(t/)] -\-M[n(tff)n(t/)]—из условия неза-
независимости сигнала и шума G.32), а также равенство G.52), формула G.33) и
фильтрующее свойство дельта-функции.
При t'==t hit, t)—b(t) и равенство G.53) принимает вид
M[s(t)x(t)]=M[s(t)s(t)]+q(i)b(t). " G.54)
Однако согласно G.49)
M[nt)x(t)]=M[s(t)x(t)]=M[S(t)s(t)]+M[s(t)n(t)]=MlS(t)s(t}},
так как M[s(t)n(t)] =0 из условия независимости s(t) и n(t). Учитывая это, а
также формулы G.46) и G.51), из равенства G.54) получаем
q(t)b(t)=M[s(t)s(t)}-M[s{i)s{t)} =
= M[(s(t)-s(t))s(t)]=-M[e(t)s(t)]=-~M[e(t)($(t)-e(t))] =
=-M{e(t)s(t)] +M[e>(t)] =М[гЦ1)] =а\ (t).
Отсюда находим коэффициент передачи входного усилителя
b(t)=o2B(t)/q(l), G.55|
где остается пока неизвестной дисперсия ошибки фильтрации 02g.
Для вычисления o2Q примем сокращенные обозначения. Вычитая из ь\одной
смеси. x=s+n оценку 5=^s + s, получаем - "
х—s=n—&j G.56)
Произведя соответствующую замену в уравнении фильтра Калмана — Бьюси
2 = as + Ь (x—s) =as + b (п—г) G.57)
и вычитая из него уравнение формирующего фильтра s — as-t-v, находим диф*
ференциальное уравнение ошибки фильтрации
k v. G.58)
237
Из этого уравнения можно получить дифференциальное уравнение дисперсии
ошибки фильтрации а2е =М[е2]:
h\ =2M[ee]=2{(a—b)M[e2]+bM[m]—M[vs]} =
^2{(a~-b)o\ + ЬМ[пе] —M[vs]}. G.59)
Остается вычислить М[п&] и Л1[ие]. Для этого рассмотрим динамическую
систему, на вход которой поступает процесс v@> а на выходе имеем |@-
Дифференциальное уравнение такой системы |(t) = |3@1@ +v@> 5@) =Ъ
имеет решение
о
Характеристика rj(/, f) этой системы дает интеграл свертки с дельта-функцией
4 ^
где коэффициент 1/2 появился потому, что в точке t функция r\ (t, f) испыты-
испытывает разрыв 1-го рода — площадь дельта-функции делится пополам (рис. 7.8).
В нашем случае уравнение G.58) является уравнением такой динамической
системы, если положить v = bn—v, a | = e. Поэтому его решение имеет вид
8@=
f, f)b{t')n{V)dt'—
f, f)v(t')df+T\(t, t')eo.
Домножим поочередно это уравнение на v(t) и я @, а затем усредним. При
этом все члены справа, кроме одного, будут равны нулю. Учитывая вид кор-
корреляционных функций порождающего и входного шумов G.33), получаем
M[e(t)v(t)]=— Г r\(t, t')M[v{tf)v(t)'\df=
о
'' n(t, t'N(t, t')dt'=-±- g(t),
2
)]= {r\{t, r)b{f)M[n{f)n(t)-\df=
Г tj(/, t')b{t')t(t-t')dt'=J- b(t)q{t).
К 2
Подставив эти результаты в уравнение G.59) с учетом соотношения G.55),
получим дифференциальное уравнение
a2e=2ao2^~2bo2e
/q+g.
t1
Рис. 7.8. К вычислению инте-
интеграла свертки импульсной ре-
реакции системы с дельта-функ-
дельта-функцией 6@= Нтбт@
т->о
В полной записи дифференциальное уравнение для дисперсии
ошибки калмановской фильтрации имеет вид
-?-c?()t)=2a(i)oUt)-oi(t)/q(l)+g(t), с|(О)=<х|. G.60)
at \
Это существенно нелинейное уравнение Риккати. В общем случае
оно не имеет явного аналитического решения и обычно интегриру-
интегрируется численно. Эти расчеты составляют большую часть вычислений,
связанных с определением параметров фильтра Калмана — Бьюси,
однако их часто можно выполнить заранее. В ряде случаев, напри-
например в установившемся режиме фильтрации, когда do2e{t)/dt = 0y
возможно аналитическое решение.
Пример 2. Для стационарного процесса (do2g (t)/dt = O) дифференци-
дифференциальное уравнение G.60) превращается в обычное квадратное уравнение:
a4g—~2адо2г—qg=0, откуда находим
При экспоненциальной функции корреляции входного процесса (см. при-
пример 1) g=2ao2, и & = аA+)/ + 2аУа<7).
Таким образом, коэффициент передачи входного усилителя b(t)>2a(iI
причем его значение возрастает с увеличением отношения сигнал-шум o2s/aq.
Параметры фиктивного, порождающего шума в окончательном выражении для
коэффициента b(t), как и дисперсии a2g (t), исключаются.
7.7. ВЕКТОРНО-МАТРИЧНОЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
МНОГОМЕРНОГО ФИЛЬТРА
КАЛМАНА — БЬЮСИ
Любой действительный случайный сигнал s(t) (или совокуп-
совокупность сигналов S\(t), s2(t),. . . , sn(t)), описываемый линейным сто-
стохастическим дифференциальным уравнением я-го порядка, одно-
родным (с нулевой правой частью) или неоднородным (правая
часть не равна нулю), можно представить в нормальной форме
Коши, т. е. в виде п дифференциальных уравнений 1-го порядка.
Свойства такого процесса в векторно-матричной форме описыва-
описываются дифференциальным уравнением многомерного формирующе-
формирующего фильтра
±s(t)=A(t)s(t)+v(t), s@)=s0, G.61)
at
которое по виду не отличается от скалярного уравнения одномер-
одномерного формирующего фильтра G.31). Здесь А(^) — (яХ^)-матри-
(яХ^)-матрица состояния формирующего фильтра; s(?)—я-мерный вектор coj
239
стояния, соответствующий процессу s(t); \(t)—я-мерный порож-
порождающий гауссовский шум с характеристиками /
=0, M[v(t)v*(t)]=G(tN(t)9
G.62)
где G(t) —симметричная положительно определенная /{пХп)-мат-
/{пХп)-матрица интенсивности вектора v(/), а индекс т означает транспони-
транспонирование вектора или матрицы (строки исходной матрицы стано-
становятся столбцами транспонированной). Вектор состояния
8@ =
МО
@ _
s(t)
dt (s)/di
dns(t)/dtn_
G.63)
т. е. первая его составляющая равна исходному процессу (s\(t) =
= s(/)), вторая s2{t)=ds(t)fdt и т. д. Обычно полагают
= O, Af[s0, sS] =
G.64)
т. е. начальные условия системы уравнений G.61) представляют
собой центрированную случайную векторную величину с корре-
корреляционной матрицей 6So .
Пример 1. Рассмотрим случайный сигнал s(t), формируемый двумя по-
последовательно включенными интеграторами при поступлении на вход скаляр-
скалярного белого гауссовского шума v(t) с плотностью g, т.'е. M[v(t)v(t')]~
=g6(t—V)—шум стационарный. Процесс s(t) описывается линейным неодно-
неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка d2s{i)ldt2=v(t)y которо-
рому соответствует система двух дифференциальных уравнений 1-го порядка
dSl(t)ldt=s2(t),
ds2(t)ldt=»v(t)t
si(t)=s{t).
Полученную систему уравнений представим в матричном виде
dSl(t)/dt]
ds2 (t)/dt\
JU
о
»@
или сокращенно
, s(O)=so,
[%(O
где
M
Заметим, что при умножении матрицы А на вектор-столбец s(/) необхо-
необходимо первый столбец матрицы умножить на первую строку вектор-столбца, а
второй столбец матрицы на вторую строку:
[О
[v @ vT (/')] = G б (t - f) = \° °j б if —Г).
Lo g\
Lo
o-si(O o-s,(o
о
240
При этом \числе столбцов, первого срмножителя всегда должно быть равно
числу строй второго (сомножители менять местами нельзя). Тогда приведен-
приведенная выше матричная форма системы уравнений
(t)idt\
.@1 , Г
oj + k
(t)
переходит в исходную систему уравнений (построчно). Из приведенных рассу-
рассуждений определяется вид матрицы А при переходе от системы уравнений к
матричной записи.
Пример 2. Опишем в пространстве состояний случайный сигнал в виде
степенного полинома
s(t) =ао+а^ + а2/72! + <Хз/3/3!,
где а0, «ь «2, а3 — центрированные случайные величины с известной корреля-
корреляционной матрицей M[a*aj] —o2ij, t, /=0, ..., 3. Этот сигнал можно представить
как выходной результат формирующего фильтра, состоящего из трех последо-
последовательно включенных интеграторов, начальные условия которого определяются
приведенными коэффициентами, а порождающий шум на входе отсутствует
(рис. 7.9).
Ввиду отсутствия порождающего шума формирование сигнала приведенной
схемой описывается линейным однородным дифференциальным уравнением 4-го
порядка d4x(t)/dt4=Q, которое можно заменить системой четырех уравнений
1-го порядка
$i(t)=s(t).
ds2(t)/dt=s3(t),
dsz(t)fdt=s4(t),
ds4(t)/dt=0,
В матричной форме эта система уравнений имеет вид
~ds± (t)/dt~
ds2(t)/dt
ds9(t)/dt
0
0
-0
1
0
0
0
0
1
0
0
0"
0
1
0-
si @
S2(t)
ss(t)
Is, (/) J
яли сокращенно
ds(t)I'dt=As(/), s(O)=So, где
8@ =
MO
bS. @-1
A =
a
0
0
0
l
0
0
9
0
I
0
0
0"
0
1
0-
; so =
a0
аг
a2
l a«-
Рис. 7.9. Схема формир@ва-
ния сигнала в виде степенного
полинома со случайными ко-
коэффициентами
s(t)
На практике измеряются © общем случае не все Доставляю-
Доставляющие вектора состояния s(tf), а лишь отдельные. Иначе/'говоря, на
интервале 0, t измеряется вектор х(() размерности тф.п, связан-
связанный с вектором s(t) линейным матричным уравнением
x(t)=C(<t)s(t)+n(t)9 / G.65)
где С(./)—заданная модуляционная (тХ^)-матрица (матрица
наблюдения); n(t) —т-,мерный векторный гауссовский белый шум
с характеристиками
M{n(t}]=Qy М[пУ)п*(Г)] = пУ)ЬУ—Г), ,G.66)
Q(t)—симметричная j(mX^)-матрица интенсивности шума из-
измерений n(t).
-Пример 3. Предположим, что наблюдаемый процесс s(t) описывается,
как в примере 1, неоднородным дифференциальным уравнением 2-го порядка
и si(t)—s(t) передает координату некоторого объекта, S2(t)—dsi(t)/dt=
=ds(t)/dt — скорость объекта вдоль этой координаты, a ds2(t)/dt=d2s(l)/dt2=
= v(t)—ускорение объекта, представляющее собой белый шум (подобная мо-
модель часто используется при описании параметров движения летательных аппа-
аппарате? на участке маневра).
Если определяется только координата s(t), то
*«-»
=" «
[$]+*
или x(t)=s(t)+ns(t),
т. е. С(/) = [1 0].
Если определяется только производная координаты s(tO то
ИЛИ
X(t)=8(t)+n. (t),
т. e.C(t) = [O 1].
Если же определяется и координата, и ее производная, то
x(t) = \
L
*i @1
ч @1
-к :j[
или x(t)=C(t)s(t)+n(t),
где
—Г2Х2)-ма-
-1 01
0 1J
~М[п
М[п
грица
; s(<) = [
Л0«-W]
s(t)
s(t)
s(t)
J я- @
М (ns(t)n. (t)i
M [ га?@]
интенсивности шумов
измерений п (/)
(обычно
M[ns(i)n-
242
Векторно-матричное выражение оценки векторного процесса
внешне сходно с выражением G.35) для оценки скалярного про-
процесса:
s(*) = JH(/, t')x(t')dt', G.67)
• ' о
где Н(?, f) — (пХт)-матрица весовых функций, непрерывно диф-
дифференцируемая по обоим аргументам. Оптимальная оценка удов-
удовлетворяет условию минимума нормы ||82|| /г-мерного вектора оши-
ошибок фильтрации
G.68)
Норма вектора ошибок представляет собой сумму средних
квадратов (дисперсий) всех составляющих этого вектора:
А @~
s\@
МО
_MO_
—
Si (О
¦@
=
Ё1(О
MO
MO
Цс2|| = М [ет
е @1 ==
'/)]• G.69
Оптимальная по этому критерию матрица весовых функций
Н (t, t') является решением векторно-матричного интегрального
уравнения Винера — Хопфа
t
0
Аналогично одномерному случаю получаем векторно-матрич-
векторно-матричное дифференциальное уравнение многомерного фильтра Калма-
на — Бьюси для центрированного процесса
-^ s (/) = A (t) s @ + В (t) [х (i) - С (/) I (/)], s @) = 0.
at
G.71)
Этому уравнению соответствует матричная структура многомерно-
многомерного фильтра Калмана — Бьюси (рис. 7.10, где штриховой линией
выделен формирующий фильтр).
Уравнение G.71) и матричное представление многомерного
фильтра Калмана — Бьюси внешне отличаются от уравнения
G.42) и схемы одномерного фильтра только включением модуля-
модуляционной матрицы С(?), когда измеряются не все составляющие
векторного процесса (при измерении всех составляющих она ста-
становится единичной матрицей).
243
ш
Рис. 7.10. Матричная схема многомерного фильтра Калмана-Бьюси для центри-
центрированного процесса
Аналогично нахождению коэффициента b(t) согласно формуле
G.55) определим матричный коэффициент В(/) передачи много-
многомерного фильтра:
i = R(/)CT(/)Q-'(O. G.72)
где
G.73)
— (пХп)-матрица корреляции вектора ошибки фильтрации e(t),
которая вычисляется в результате решения нелинейного матрич-
матричного дифференциального уравнения Риккати
d
dt
-J*@CT@
(/) Ст (О R @ + G (О, R @) -
G.74)
Здесь Q~l (t)—матрица, обратная матрице интенсивностей шу-
шумов измерений G.66), матрицы А(^) и С(/) заданы, а матрицы
G(t) и R(/) определяются соотношениями G.62) и G.73) соот-
соответственно.
Матричное уравнение G.74) мало походит на одномерное
уравнение G.60) ввиду особенностей перемножения матриц, но
представляет собой систему таких одномерных уравнений. Реше-
Решение нелинейного уравнения Риккати в многомерном случае еще
более усложняется по сравнению с одномерным.
Матрицу корреляции вектора ошибок фильтрации G.-74) необ-
необходимо знать не только для определения матрицы коэффициен-
коэффициентов передачи B(t), но и для оценки качества фильтрации наблю-
наблюдаемого процесса s(/).
Заметим, что хотя матричное описание многомерного фильтра
Калмана — Бьюси внешне очень сходно с описанием одномерного
фильтра, его действительная структура имеет существенные отли-
отличия. Покажем это на частном примере фильтрации процесса, рас-
рассмотренного в примере 1.
Пример 4. Определим структуру и параметры фильтра Калмана — Бью-
Бьюси для процесса s(t), описываемого неоднородным дифференциальным уравне-
244
нием 2-го порядка, в предположении, что наблюдается первая составляющая
вектора состояния s(/). При этом
г» (о
fa (О
А=
а также
ds(t)
dt
0 01
0 *] *'
0], Q=q,
0]
Г Sl(t) ]
I s2(t) j
n{t)
или л@=5,@+л@=^@+я@-
Так как вектор s(/) содержит две составляющие, корреляционные матрицы
ошибок имеет размер 2X2:
[oUt) Pl2@l
где 0i2, 022 — дисперсия ошибок оценки составляющих Si(t), s2(t), a pi2=^>2s —
момент их взаимной корреляции. •
В соответствии с формулой G.72) находим матричный коэффициент пере-
передачи
В (О
¦[.
(о pi«(oiri'|_i_
f(Olj_
.Pu(Oj ^ '
Сеставляем согласно формуле G.71) векторно-матричное управление Кал-
мана — Бьюси
@ — [l 0].
dt
1
0
0
1
«1
Л
@
(О_
а
Pi.
Я
^7
L dt
или после выполнения операций умножения
(О
-fe, (О
^ @
) —si @L
которое-сводится к системе двух уравнений 1-го порядка
<Ui(Q_Pm(Q
245-
Рис. 7.11. Схема многомерного фильтра Калмана-Бьюси для центрированного
процесса 2-го порядка
Этой системе уравнений соответствует структурная схема многомерного фильт-
фильтра Калмана—Бьюси (рис. 7.11). Нетрудно заметить, что она существенно отли-
отличается от матричной структуры одномерного фильтра (рис. 7.6).
Чтобы найти коэффициенты o2i(t) и p2i2@> решим дифференциальное ура-
уравнение Риккати G.74), которое в данном конкретном случае принимает вид
!о?@ dpu(Q"
dt dt
rfpuffl d °\ <*>
l- dt dt Л
@ Pu(<)
0 q
Перемножив матрицы, получим
dt
dt
d 4 (t)
dt J
_ rpu (o 4 V)
~[ 0 0
— I +[° °1
1 LP"Woi@ P12W J L° «J
Этому матричному уравнению соответствует система трех скалярных уравнений
^поскольку матрица R(/) симметричная)
de*l(t)/dt=2p12(t)—o*1(t)/q,
dpl2(t)/dt=a22(l)~a2l(t)pl2(
3 установившемся режиме производные равны нулю и дифференциальные
*уравнения переходят в алгебраические:
546
В результате решения этой системы уравнений последовательно находим ис-
искомые коэффициенты
Pi2 =
А = V2pi2 q
Коэффициент передачи разомкнутого фильтра Калмана — Бьюси (рис. 7.11)
в установившемся режиме определяется как произведение коэффициентов пе-
передачи двух последовательно соединенных звеньев, до сумматора включитель-
включительно и после сумматора:
1 сг, \ 1 п. 1
q Р q J Р Я Рл \ Pi2 ; P*
где Ka = Pi2/g=s'\/'g/q, T=G2lpi2='Vr4q/g, а параметр g фиктивного порождающе-
порождающего процесса определяется через характеристики самого фильтруемого процес-
процесса, как это было показано в примере 2 § 7.6.
7.8. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ФИЛЬТР
Рассмотренные выше фильтры используются для оптимальной
фильтрации только центрированных процессов по критерию мини-
минимума дисперсии ошибки фильтрации. Так как при фильтрации
центрированных процессов в шумах x(t) =s(t) +n(t) математиче-
математическое ожидание M[s(t)]=M[n(t)]=M[x(t)]=O, оценка s(t) полу-
получается несмещенной, т. е. M[e(t)]=M[s(t)—s(?)]=0 (если нет
постоянной составляющей на входе линейного фильтра, то ее не
может быть и на выходе его). Однако многие реальные процес-
процессы s(t) =sp(t) +5СЛ(t) наряду со случайной составляющей sCn(t)
имеют большую регулярную составляющую sp(t). Априори состав-
составляющая sp(t) точно неизвестна, поэтому свести процесс к цент-
центрированному простым вычитанием не удается. Остающаяся после
вычитания часть регулярной составляющей может значительно
превышать случайную составляющую sCJl(t). Ввиду этого фильтр
Калмана — Бьюси, рассчитанный на нулевую регулярную состав-
составляющую, дает на выходе расходящийся результат (ошибка фильт-
фильтрации со временем не убывает, а растет). Это относится в равной
мере и к фильтру Винера, который эквивалентен фильтру Кал-
Калмана— Бьюси и использует тот же критерий оптимальности.
Указанный недостаток в фильтре Калмана — Бьюси можно
устранить, расширив до нужных пределов вектор состояния вход-
входного процесса (представляя, в частности, процесс степенным ря-
рядом, как это было показано в примере 2 § 7.6). Однако с рас-
расширением вектора состояния возрастает дисперсия ошибки
фильтрации — эффективность фильтра резко падает. При огра-
ограниченной размерности вектора состояния существует ряд методов
повышения устойчивости фильтра, которые позволяют эффектив-
эффективно решить задачу фильтрации лишь в частных случаях.
247'"
Принципиальный недостаток фильтров Винера и Калмана со-
состоит в том, что для фильтрации нецентрированных процессов, у
которых sp(t)=7^0, критерий минимума дисперсии ошибки фильт-
фильтрации о2е уже непригоден, так как ошибка е = еР + есл кроме па-
па2 М[2]М[(J]
раметра а28 =М\[е2Сл]=М[(г—еРJ] включает еще и параметр
^Ы=?р, на который никаких ограничений не накладывается.
При этом необходимо обратить внимание на то обстоятельство,
что влияние ширины полосы пропускания фильтра Af на средне-
квадратическое значение случайной составляющей ошибки ое и
регулярную (динамическую) составляющую ошибки еР прямо про-
противоположно: с уменьшением полосы А/ величина ое уменьшает-
уменьшается, а 8Р растет (при узкой полосе наряду с шумами сглаживается
(искажается) и действительный вид фильтруемого процесса).'
Ввиду изложенного при фильтрации нецентрированных слу-
случайных процессов был введен критерий минимума суммарной
квадратической ошибки
G.75)
где k — коэффициент Лагранжа. Минимум суммарной ошибки
достигается при некоторой оптимальной полосе пропускания
фильтра A/opt, когда динамическая ошибка еРф0 (рис. 7.12). Та-
Таким образом, при фильтрации нецентрированных случайных сиг-
сигналов оптимальная оценка принадлежит к классу смещенных.
Следует, однако, отметить, что критерий минимума суммарной
ошибки G.75) имеет принципиальный недостаток — неопределен-
неопределенность коэффициента k. Указанный недостаток можно исключить,
если использовать критерий максимума вероятности попадания
ошибки фильтрации в заданную область [—а, |3]: Р = Р(—а^е^
^SP). Этот критерий учитывает как дисперсию случайной состав-
составляющей ошибки фильтрации, так и регулярную составляющую
ошибки: вероятность Р повышается с уменьшением а28 и ер.
Поскольку каждая из этих составляющих зависит от парамет-
параметров фильтра, в-частности его импульсной характеристики h{t9 F),
указанный критерий можно определить в виде сложной функции
g2s [h(t, *')]}-мпах.
G.76)
Фильтр, оптимальный по критерию максимума вероятности
попадания ошибки фильтрации в заданную область G.76), назы-
называют вероятностным. Его теория развита в работах Н. И. Андрее-
Андреева, Б. Е. Рудницкого и наиболее полно Б. Г. Мельникова.
Рис. 7.12. Зависимость динамической
ошибки еР, среднеквадратического
значения случайной ошибки ®е и
суммарной квадратической ошибки
фильтрации е2 от ширины полосы
фильтра (k=\)
24$
В частном случае центрированных процессов (еР = 0) критерий
G.76) сводится к критерию минимума дисперсии ошибки фильт-
фильтрации, а сам фильтр сводится к фильтрам Винера или Калмана,
описанным выше. Таким образом, вероятностный фильтр является
обобщением указанных фильтров.
Чтобы найти оптимальную характеристику одномерного веро-
вероятностного фильтра ho(t, t), применим вариационный метод, по-
положив h(t, t')—ho(t, f)=\i'K(ti t'), и правило дифференцирования
сложной функции
дР
д 8р d [x
или
где
•— коэффициент связи, учитывающий относительное влияние о2в и
8Р на вероятность Р (здесь знак минус учитывает отмеченный вы-
выше противоположный характер влияния характеристик фильтра
на о2в и 8Р и, следовательно, на вероятность Р, а коэффициент
1/2 введен в связи с тем, что а28 есть среднее от квадрата еСд, а
гР входит в первой степени).
Представляет интерес частный случай, наиболее часто встре-
встречающийся на практике, когда ошибка фильтрации е имеет нор-
нормальное распределение, т. е.
(g-?p)a
V 2ло2е -d
^ел. G-79)
Тогда
8 < -г
249
/7 р
Отсюда, отбросив индекс «ел» у переменной интегрирования,
.находим согласно формуле G.78) значение коэффициента связи
= J ее 8ds/ j I—°—\е е 1г. G.80)
Аналогично определяется_коэффициент связи при любом другом
распределении ошибки фильтрации.
Переходя к определению оптимальной характеристики вероят-
вероятностного, фильтра для нестационарного нецентрированного про-
процесса вариационным методом, заметим, что первое слагаемое
уравнения G.77) полностью соответствует формуле G.10) и в не-
несколько измененных обозначениях имеет вид
-~-
dp
= 2/({h (/, f) M [хсл(Г) хся (tf)] df—M [5СЛ (О х,л (Oil>c (t, f) di\
0 16 J
G.81)
где М[хСл (i") хсл (f) ] — функция корреляции центрированного
процесса x^ = x(t)—sp(i) =sCJl(t) +n(t), поскольку дисперсия а2
не зависит от регулярной составляющей sp(t) и ошибки sp(t), a
М)[8СЛ (t)хСл (t')] —функция взаимной корреляции центрированных
сигнала и смеси, равная M[sCn{t)sCn(t')\, когда сигнал и шум не
коррелированы. Для вычисления второго слагаемого в уравнении
G.77) запишем выражение для оценки регулярной составляющей
.процесса с учетом характеристики h(t, t/)=h0(t, ?)+ум(г, f):
]
0
откуда и находим
= -T-{sPU, HU n]-sv(t)}^o = ^(U t')sp(t')df. G.82)
Подставив соотношения G,81) и G.82) в формулу G.77), полу-
получим
2 J I \h {U f) М [x(f) х (/')] df-rM [s (t)x (t')}-
о lo
250
При переменном цределе внешний интеграл равен нулю тогда и
только тогда, когда равно нулю само подынтегральное выраже-
выражение. Приравняв последнее нулю и сократив его на %(/, t')9 в об-
общем случае не равное нулю, получим интегральное уравнение для
оптимальной характеристики одномерного вероятностного фильт-
фильтра, представленной в неявном виде:
h(t, Г'
G.83)
Нетрудно видеть, что в отсутствие регулярной составляющей
(при sp(?)=0)'oHo обращается в интегральное уравнение Вине-
Винера—Хопфа G.11).
Поскольку правая часть уравнения G.83) представлена в ви-
виде суммы, можно, используя принцип декомпозиции, представить
в виде суммы и левую часть. Тогда от уравнения G.83) приходим
к системе двух интегральных уравнений
ij (t, t") M [x (/") x (f)] df = M[s @ x (/')],
ft, (t, t") M [x (f) x {i')] df = t|> (t) sp(t%
G.84)
G.85)
где значения интегралов к текущему моменту t необходимо вы-
вычислить для всех Ot'
Рис. 7.13. Представление вероятностного фильтра в виде параллельного соеди-
соединения двух фильтров при интегральном (а) и дифференциальном (б) описания
251
Таким образом, искомый фильтр представляется в виде па-
параллельно соединенных двух фильтров (рис. 7.13,а):
h {U Г) =/i! (t, f) +h2 (t, f). G.86)
Выходные сигналы этих фильтров
Si@= JM*> t')x(t')dt\ G.87)
о
sa@ = JM** t')x(f)dt\ G.88)
о
суммируясь, дают оценку процесса в целом
s(t)=si(t)+s2(t). G.89)
Уравнение первого фильтра G.84) является уравнением Вине-
Винера— Хопфа, которое при переходе от интегрального описания к
дифференциальному дает уравнение одномерного фильтра Калма-
на — Бьюси
-J-s, @ = а @ sx (t) + b {t) [x @-sx (/)], st@) = s10, G.90)
'повторяющее соотношение G.42). Здесь обозначено
b{t)=hx(t,i). G.91)
Чтобы найти дифференциальное уравнение второго из двух
фильтров, продифференцируем формулы G.85) и G.88):
—s2(t) = Г — К (t, f) х (Г) df + К (t, 0 х (t); G.92)
dt ? dt
' — h2{t, t")M[x(f)x(f)]dt" + h%(t, t)M[s(t)x(t)] =
dl
Здесь использовано правило Лейбница G.37), причем в послед-
последнем случае, как и при дифференцировании зависимости G.36),
учтено, что M[x(t)x(f)]=M[s(t)x(t')]. Подставив в формулу
G.93) вместо M[s(t)x(f)] и sp(f) левые части выражений G.84)
и G.85) и положив
d(t)=h2(t, 0Ж0, G-94)
получим
Ч> @ ^Р" ] М [х (f) х (Г)] dt" = 0.
252
Приравняв нулю подынтегральное выражение этого интеграла с
переменными пределами и сократив его на М[х(У')х(У)]ФОу на-
находим
Подставим правую часть этого равенства в формулу G.92):
?* w-¦?¦«> ^5-/м*. охот*-
о
учтены зависимости G.87), G.88) и G.94). Продифференци-
Продифференцируем теперь тождество s^H) =ty(t) [^(ОЛИО]:
dt *ч ' dt J w
Приравняв правые части двух последних равенств, после при-
приведения подобных и 'Сокращения на if>(f)=^=O окончательно полу-
полупим дифференциальное уравнение второго фильтра:
Таким образом, для формирования оценки s(t) ©о втором
^фильтре разность x(t)—s{(t) умножается на коэффициент d(t),
интегрируется, затем ^полученный результат умножается на ty(t).
Как следует из формулы G.95), второй фильтр должен также вы-
вырабатывать и оценку s\(t), т. е, содержать в своем составе фильтр
Калмана — Бьюси (рис. 7.13,6).
Рассмотренная двужшальная схема одномерного вероятност-
вероятностного фильтра в дифференциальной форме структурно избыточна,
так как содержит в обеих ветвях два совершенно одинаковых
фильтра с общим входом. Поэтому можно отказаться от представ-
представления фильтра в виде двух параллельных каналов и ограничиться
лишь одной нижней, ветвью, содержащей замкнутый фильтр Кал-
Калмана— Бьюси (обведен штриховой линией), вырабатывающий
оценку S\(t)9 и разомкнутую ветвь формирования оценки s2(t)f со-
соединив их выходы через сумматор (рис. 7.14^а). Этот фильтр име-
имеет обратную связь только по одной составляющей выходного сиг-
сигнала, а именно s\(fy. В ряде случаев желательно замкнуть об-
обратную связь но полной реакции фильтра s(t) =s\(t) +s2{t). Так
как это равносильно дополнительному вычитанию составляющей
^2(^) из входной смеси x(t)t для (Сохранения исходного состояния
на выходе схемы вычитания необходимо вновь ввести эту состав-
составляющую (рис. 7.14,6). Тогда оба канала формирования оценки
253
б)
Рис. 7.14. Схема одномерного вероятностного фильтра с обратной связью по
неполной (а) и полной (б и в) реакции - *
S[(t) и S2(t) оказываются взаимно зависимыми и дифференциаль-
дифференциальные уравнения G.90) и G.95), описывающие вероятностный
фильтр с обратной связью по полной реакции, принимают вид
'01. G-96>
G.97)
dt
±
dt
(о+
Последнее уравнение можно привести к виду
± ГкШ = d {t) [x (t) -I @1 + d @ s2 @,
dt L.*@ J
G.98)
при котором структура фильтра несколько изменяется (рис.
7.14,ф В схеме вероятностного фильтра, замкнутого по полной
реакции, уже нельзя обособить фильтр Калмана — Бьюси, хотя
254
структура его калмановской ветви сохраняется. Для' последней
схемы характерно, что в ней четко выделяется формирующий
фильтр и во второй, некалмановской ветви, состоящей из интегра-
интегратора, сумматора и безынерционных усилителей.
В вероятностном фильтре 'через обе его ветви (Протекает как
регулярная, так и случайная составляющие. Поэтому, в частности,
оценку регулярной составляющей sp(t) с учетом обозначения h2(t,
t/)=^(t)d(t/), вытекающего из формулы G.94), можно предста-
представить в виде суммы составляющих оценки в каждой из двух вет-
ветвей:
M0=*Pi(')+*P2(*b G.99)
где
Ы0= J М', Г)зр(?)<1Г, * GЛ00)
о
sp2(t)= J h2(t, tf)sv{f)df = ^(t) J d{t')s^t')df. G.101)
о о
Аналогичные представления справедливы и для случайной состав-
составляющей:
(*), G.102)
где
&*i@=J h^ttt^ScniOdt', G.103)
о
5сл2@=| h2(tf t')scz{t')df. G.104)
]
Характеристики этих ветвей одномерного вероятностного
фильтра в интегральной форме определяются из решения инте-
интегральных уравнений G.84) и G.85), а коэффициент связи гр(#) за-
задан формулами G.78) или G.80). Параметры a(t) и b(i) диффе-
дифференциального вероятностного фильтра также известны и опреде-
определяются формулами G.45) и G.55) с учетом уравнения G.60) для
фильтра Калмана — Бьюси. Остается определить коэффициент
d(t).
Коэффициент d{t) наиболее просто вычисляется, если входная
смесь x(t) =xp(t) =sp(t) +n(t) не содержит случайной составляю-
составляющей 5сл(?). Для вычислений воспользуется уравнением G.85) с
учетом обозначения h2(t, \f) =ty{t)d(t') и корреляционной функции
центрированного входного процесса, который в данном случае
представляет собой белый шум n(t), M\[x(t)x(f)]=M[n(t)n(t')] =
= 0,5N0(t)б(t—V). Тогда после сокращения на ip(t) получим
J d (Г) М [п (/) n(f)\ df = sp (t) или ^^ jd (Г) б (t—f) df -sp (/)',
255
откуда с учетом фильтрующего свойства дельта-функции находим
d(t)=2sp(t)/N0(t), / ¦ 'G.1051
где N0(t) —спектральная плотность шума, .равномерная по часто-
частоте и переменная во времени (нестационарный процесс).
В общем случае вычисление d(t) очень сильно усложняется.
Однако, имея в виду, что на вторую ветвь воздействует разность
x(t)—si(t), регулярная составляющая которой равна sp(t) —
Sp\(t), можно от частного соотношения G.105) перейти к более
общему
d(t)=2[sv(t)-§n(t)]IN0(t), (
которое доказывается совершенно строго.
Таким образом, для вычисления коэффициента d(t) необхо-
необходимо точно знать регулярную составляющую входного процесса
sp(t). Однако это требование противоречиво: если регулярная со-
составляющая точно известна, то ее можно вычесть, и для фильтра-
фильтрации процесса использовать фильтр Калмана — Бьюси, где надоб-
надобность в определении коэффициента d(t) полностью отпадает. На
самом деле регулярная составляющая почти никогда точно не из-
известна, хотя приближенное представление о ней имеется или мо-
может быть получено перед началом фильтрации. Точно так же не
определен вначале и коэффициент связи ty(t). Однако все эти
трудности преодолеваются благодаря замечательному свойству ве-
вероятностного фильтра, которое рассматривается ниже.
Чтобы определить начальное значение коэффициента связи, подставим в
формулу G.99) оценку G.101):
sv(t)=hi(t)+^(t) j d(t')sj>(t')dU
)
/
откуда находим
t
1 r. G.107)
Так как динамическая ошибка 8Р(?) =sv{t)~-s9(t) обычно мала, в качестве
начального значения примем такое г|)°(?), при котором оценку можно считать
несмещенной, т. е. ер(?)=0 или sv(t) =Sp(t). Тогда
Sn (t) Spi (t)
о
или с учетом формулы G.106).
2f {sP (t1') lip (»')— "«Pi (t')]/No (*')}
о
G i08)
256
Вернемся к частному случаю, когда входная смесь x(t) = sp(/) -\-n(t) не со-
содержит случайной составляющей. При этом надобность в фильтрации этой со-
составляющей отпадает и sv\(t)=O. Тогда выходной сигнал фильтра
j
о
или после подстановки соотношения G.105) и замены -ф(/) на ty°(t) с учетом
t I t
s(t)=sv(t) §[sv(t')/NQ(t')]x(t')dt' / $[sl(t')/N0(t')]dtf. G.109)
0 - / 0
Предположим теперь, что при вычислении коэффициентов я|эо(?) и
значения которых подставлены в формулу G.109), вместо истинного значения
регулярной составляющей sv(t) подставлено ее приближенное значение
s°$(t), но такое, что оно изменяется пропорционально sp(?), т. е. sv(t) =ks°I>(t),
Такая замена не вызовет изменения оценки s(t), т. е. не приведет к появле-
появлению дополнительной ошибки фильтрации, так как коэффициенты k2 в числителе
и знаменателе формулы G.109) сократятся. В общем случае, когда коэффици-
коэффициенты определяются полными формулами G.106) и G.108), появятся коэффици^
енты Ilk у слагаемого Spi@> которое много меньше первого слагаемого sv(t)y
независимость s(t) от выбора расчетного значения s°v(t) (коэффициента k) со-
сохраняется с высокой степенью приближения. Условие же sp(t)=ks°v(t) легко
выполняется, если изменять коэффициенты усиления ty(t) и d(t) в соответствии
с изменением оценки регулярной составляющей sv(t).
Итак, для определения оптимальных характеристик вероят-
вероятностного фильтра при условии самонастройки не требуется точно
знать истинный характер регулярной доставляющей — в этом до-
достоинство вероятностного фильтра. Устранение же влияния апри-
априорного незнания регулярной составляющей в фильтре Калмана —>
Бьюси путем расширения вектора состояния (т. е. (включение па-
параметров регулярной составляющей в число неизвестных) влечет
за собой значительное снижение точности фильтрации.
В заключение без выводов дадим матричное описание много-
многомерного вероятностного фильтра.
Представим интегральное уравнение многомерного вероятност-
вероятностного фильтра в матричной форме
G.110)
где
Н(*, П = Н1(/, n+1>(WO G.111)
— матричная весовая функция двух параллельных ветвей фильт-
фильтра;
±{ШТ1 dP{t) G.112)
9—94 257
— вектор весовых коэффициентов;
G.113)
— транспонированный вектрр коэффициентов ветви регулярной со-
составляющей. Остальные обозначения прежние (см. § 7.7).
В пространстве состояний (многомерный вероятностный фильтр
описывается двумя векторно-матричными уравнениями
l@]> s1@)=0, G.U4)
G.П5)
dt
at
где второе уравнение скалярное (одномерное). Нетрудно устано-
установить сходство приведенных формул с аналитическим описанием
одномерного фильтра.
x(t)
x(t)-C(t)s(t)
[LA-:
dT(t)
C(t)
Bit)
г—'
Ы
sz(t)
s(t)
tyt)
Рис. 7.15. Матричная схема многомерного вероятностного фильтра с обратной
связью по неполной (а) и полной (б и в) реакции
258
Матричная структура многомерного вероятностного фильтра во
всех его модификациях (рис. 7.15) имеет почти полное сходство со
структурой одномерного фильтра (рис. 7.14). Отличие вызвано
только включением матрицы C(t) в цепь обратной связи. Следует
также отметить, что цепь интегратора «екалмановской ветви
фильтра одномерная, что соответствует скалярному равенству
G.115) (умножение вектора на ^транспонированный вектор слева
дает скаляр).
Аналогично можно определить структуру вероятностного
фильтра-экстраполятора. Интегральное описание вероятностного
фильтра-экстраполятора (как и фильтра Винера) не отличается
от описания обычного фильтра, за исключением того, что в мат-
матричном интегральном уравнении G.110) вместо текущего времени
t нужно подставить упреждение t t
] H(t+t0, t")Mlx(t")x*(t/)]d
о
+ /9)sTP(f). G.116)
Особенность дифференциального описания вероятностного
фильтра (как и калмановского) состоит в том, что он содержит
цепь обратной связи и эта цепь должна быть замкнута по теку-
текущим значениям сравниваемых сигналов (на входе фильтра теку-
текущее значение), в то время как на выходе выдается оценка буду-
будущего значения. Нужно также иметь в виду, что предсказание от-
относится только к случайной составляющей сигнала s^(t). С уче-
x(t)
Рис. 7.16. Матричная схема многомерного вероятностного фильтра-экстраполя-
фильтра-экстраполятора с обратной связью по неполной (а) и полной (б) реакции
9* ~ 259
том этих обстоятельств из интегрального уравнения G.116) мож-
можно .получить дифференциальное уравнение многомерного вероят-
вероятностного фильтра-экстраполятора с обратной связью по неполной
реакции, матричная структура .которого приведена на рис. 7.16,а
•{ср. с рис. 7.15,а). Здесь связь между текущим и будущим значе-
значениями выходного сигнала калмановской ветви фильтра выража-
выражается матрицей Коши F{t + t9, t), определяемой из дифференциаль-
дифференциального уравнения
±K(t,f)=A(t)F(t9 t'),F(t, 0=1, G.117)
где I — единичная матрица. От этой схемы можно перейти к
структуре вероятностного фильтра-экстраполятора, замкнутого па
полной реакции (рис. 7.16,6).
Глава 8. НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
И ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ
СИГНАЛА
8.1. НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛА
Измеряемые радиотехническими системами параметры положения
и движения объектов в пространстве — координаты и их произ-
производные — в общем случае представляют собой случайные процес-
процессы. Случайными процессами являются и параметры принимаемо-
принимаемого от этих объектов сигнала, связанные с координатами и fix
производными: временной и частотный сдвиги, амплитудные и фа-
фазовые соотношения.
Случайный процесс vs{t) под воздействием помех (шумов) ис-
искажается, что при определенных условиях можно трактовать как
наложение на него шумовой составляющей процесса vn (i). Наз-
Назначением измерителя в составе измерительной системы является
формирование оценки v(/) процесса v(t) =vs{t) +vn'@- Эта оцен-
оценка должна быть максимально близкой согласно некоторому кри-
критерию к истинному значению процесса vs(t). Таким образом, из-
измеритель радиотехнической системы выполняет роль сглаживаю-
сглаживающего фильтра для процесса v(rf), закодированного в сигнале. Из-
Измеритель постоянного параметра v является частным примером
такого фильтра при ve(f)= const.
, Особенность измеряемых процессов в радиосистемах состоит
в том, что они закодированы в сигнале нелинейно. Действитель-
Действительно, все измеряемые параметры сигнала, характеризующие, поло-
положение и движение объектов в пространстве, относятся к числу не-
260
энергетических и проявляются через фазовую модуляцию высоко-
высокочастотного сигнала (волны)
(pit)=2nix3Kys(t), (8.1)
где [хэк — частота эквивалентной гармонической огибающей. При
описании сигнала обобщенной комплексной огибающей
S [vs (*)] = Л (t) ej ф {t) = A (t) ej
(8.2)
измеряемый процесс входит только в /показатель экспоненты, по-
поэтому неэнергетический параметр не оказывает влияния на ампли-
амплитудный множитель A(t). Соотношение (8.2) как раз указывает
на существенно нелинейную связь между сигналом и измеряемым
процессом. Ввиду этого измеритель процесса vs(/), закодирован-
закодированного во входном сигнале как функции времени и пространства
jc(t, r)=s[t,'r; v8(t)]+n(t, r), следует рассматривать как нели-
нелинейный фильтр, сглаживающий искажения процесса vs(t, г), выз-
вызванные шумовой составляющей входного сигнала (волны) vn(t, г).
Строгое решение задачи нелинейной фильтрации связано с
большими математическими трудностями и получено лишь для
ограниченного числа простейших ситуаций. Поэтому используют
приближенное решение, с достаточной степенью точности спра-
справедливое при точных измерениях, которые как раз и представляет
основной интерес при синтезе радиосистем. Дело в том, что вы-
высокая точность измерений (как и высокое качество обнаружения)
может быть обеспечена лишь при достаточно большом отношении
сигнал-шум. Однако известно, что при наложении гауссовских
шумов с дисперсией о2п на высокочастотный квазигармонический
сигнал его амплитуда А (огибающая) и фаза ф в линейном трак-
тракте приема при достаточно большом отношении сигнал-шум а —
-=А/оп>3 ...5 также имеют гауссовское распределение, хотя и яв-
являются нелинейными функциями входного сигнала , (рис. 8.1). Это
обстоятельство можно трактовать как непосредственное наложе-
наложение входных гауссовских шумов на амплитуду и фазу сигнала,
т. е. считать шумы амплитуды и фазы высокочастотного сигнала
-аддитивными, что соответствует линейному взаимодействию сиг-
сигнала и шума. Так как измеряемый процесс vs(t) пропорционален
1 г з
-ЯГ -Vt/Z О UT/Z rf Ф.
ю
Рис. 8.1 Распределение амплитуды (а) и фазы (б) синусоидального сигнала с
шумами в зависимости от отношения сигнал-шум а=Л/ош
261
текущей фазе (8.1), взаимодействие сигнала и гаусовского шу-
шума можно трактовать как непосредственное наложение гауссовс-
ких шумов vn(t) на процесс vs@- Тем самым задача точного из-
измерения изменяющегося во времени параметра сигнала сводится
к линейной фильтрации процесса v(t).
Оптимальный линейный замкнутый фильтр для входного про-
процесса v(t) в соответствии с изложенными в гл. 7 положениями
можно представить состоящим из двух частей: компаратора и
формирователя оценки (рис. 8.2,а). Формирователь оценки, ис-
используя механизм обратной связи через компаратор, формирует
оценку процесса v(t) по любому из ранее описанных алгоритмов
и имеет соответствующую структуру.
В действительности на вход фильтра поступает не сам про-
процесс v(i)y а смесь сигнала и шума x[t, г; v(t)]=(t, r; vs(*)]+
-\~n(t, г), являющаяся в общем случае функцией времени и коор-
координат раскрыва антенны, которая (как отучалось) связана с
фильтруемым процессом нелинейно. Поэтому непосредственное
формирование рассогласования v{t)—v(t) путем вычигания в ком-
компараторе невозможно. Необходимо произвести нелинейное преоб-
преобразование входной смеси x(t9 г) в линейную разностьу(?)—v(t) —
сигнал рассогласования по измеряемому параметру. Это преобра-
преобразование осуществляется дискриминатором. Поэтому нелинейный
замкнутый фильтр для процесса v(/) можно представить в виде
двух частей: линейной и нелинейной (рис. 8.2,6). Лилейную часть
по-прежнему представляет формирователь оценки, а нелиней-
нелинейную — дискриминатор, через который замыкается цепь обратной
связи. Если рассматривать процессы только в самой цепи, отвле-
отвлекаясь от входного воздействия, то нетрудно заметить, что они в
линейном и нелинейном фильтрах полностью совпадают.
К синтезу оптимального нелинейного фильтра применим прин-
принцип декомпозиции: линейную и нелинейную части можно оптими-
оптимизировать независимо. Оптимальная структура линейной части —
формирователя оценки процесса — уже определена в гл. 7 для
различных ситуаций. Задача оптимального дискриминатора —
формирование из входного процесса x(t, r) сигнала рассогласова-
рассогласования v(t)—v(t) с наименьшей погрешностью. ^
При отыскании структуры оптимального дискриминатора сле-
следует иметь в виду, что сигнал в радиосистемах обычно "представ-
Компаратор
) = vjt)+vn(t)
-X-
Фор миро 5а -
тель оценки
v(t)
а)
~s\t9r;vs(t)\+n(t)
Даснри-
минатар
т
v(t)-v(t)
ч
Формироба-
тель оценки
v(t)
ч
т
Рис. 8.2 Обобщенная схема замкнутого фильтра
262
ляет собой последовательность коротких импульсов. Это в равной
мере относится и к непрерывным периодическим последователь-
последовательностям, которые после прохождения через линейную цепь опти-
оптимального приемника принимают вид коротких импульсов. В пре-
пределах такого импульса любой измеряемый параметр сигнала мож-
можно считать практически постоянным. Таким образом, фильтруе-
фильтруемый процесс, закодированный в сигнале, почти всегда представ-
представлен серией дискретных отсчетов этого процесса, а фильтрация
сводится к нахождению некоторой плавной функции времени, в
среднем максимально близкой к этим отсчетам с учетом корреля-
корреляционной связи между ними. Так как оцениваемый процесс нели-
нелинейно закодирован в высокочастотном сигнале, дискретные отс-
отсчеты его формируются в результате выполнения операции оценки
постоянного параметра сигнала в каждом импульсе (оценка в
точке), в оптимальном случае — по методу максимального прав-
правдоподобия.
Для оценки малого постоянного рассогласования v—v по изме-
измеряемому параметру методом максимального правдоподобия вос-
воспользуемся огибающей корреляционного частного сигнала (им-
(импульса) Z(v—v°), которую разложим в ряд Тейлора относительно
некоторого опорного значения v°, достаточно близкого к истинно-
истинному значению параметр-а vs. Ввиду малости отклонений ограничим-
ограничимся тремя членами ряда:
Z(v—v°) »'Z(v°) +Z'b°) (v—v°) +Z"(v°) (v—v°J/2 (8.3)
и составим уравнение правдоподобия, взяв от огибающей (8 3)
первую производную по измеряемому параметру и приравняв ее
нулю:
Z'(v—v°) »«Z'(vo) +Z"i(v°) (v—v°) =0. (8.4)
Отсюда находим оптимальную оценку малого рассогласования
v'=v—v° = — Z'(v°)fiZ"(v°). (8.5)
Оценка (8.5) обращает в нуль первую производную огибаю-
огибающей корреляционного интеграла в точке v, которая заранее неиз-
неизвестна. Дискриминатор удобнее строить таким образом, чтобы на
его выходе сигнал рассогласования обращался в нуль в опорной
точке v° (т. е. в точке его настройки), а в точке оценки v первая
производная была отлична от нуля. Заменив в формуле (8.5) v°
на v и соответственно изменив знак перкой производной, находим
оптимальную оценку постоянного рассогласования в дискримина-
дискриминаторе
v7=v—v°=Z/(v)/Z//(v). (8.6)
Формула (8.6) отображает алгоритм работы и структуру оп-
оптимального дискриминатора, вырабатывающего оценку рассогла-
рассогласования (оценку в точке) с минимальной погрешностью (диспер-
(дисперсией) .
263
Нетрудно видеть, что если в качестве опорного значения v° ш
дискриминатор ввести оценку v от формирователя оценки, то на
его выходе вырабатывается отсчет разности v^-v, которая, изме-
изменяясь с течением времени, дает текущее значение сигнала рас-
рассогласования v(Z)—v(^), как и на выходе компаратора линейно-
линейного фильтра. При этом дискретный, импульсный характер входных,
сигналов дискриминатора обычно не сказывается на его выход-
выходном сигнале благодаря фильтру нижних частот (ФНЧ), входяще-
входящему в состав дискриминатора. Действительно, спектр импульсных,
выборок процесса отличается от спектра самого процесса только-
наличием дополнительных спектральных полос в области частот,
кратных частоте повторения импульсов. Эти полосы подавляются
ФНЧ, если ширина спектра процесса значительно меньше часто-
частоты повторения импульсов, что обычно выполняется на практике.
Свойства оптимального дискриминатора определяются зависи-
зависимостью его выходного сигнала (8.6) от рассогласования по изме-
измеряемому параметру при условии, что шум отсутствует, т. е. vn = 0i
hZ(v)=Zs(v):
D(v-v°)=Z's(v)/Z"s(v). (8.7)
Формирование характеристики оптимального дискриминатора
иллюстрируется рис. 8.3, где штриховыми линиями показан ход
кривых при параболической аппроксима-
аппроксимации огибающей корреляционного инте-
интеграла
Znap(v-v°) =?[l-a(v-v°J/2], (8.8>
где а = —Z"s(v°)lk — абсолютное значе- „
ние второй производной огибающей кор-
реляционного интеграла в точке настрой-
настройки (крутизна характеристики дискрими-
дискриминатора). Параболическая аппроксимация
обеспечивает линейность характеристики,
0 дискриминатора в бесконечных преде-
J? лах. Действительно, Zxnap(v—v°y=
=—ka(v—v°) и Z"nap(v—v°)=— ka, от-
откуда следует, что выходной сигнал тако-
го дискриминатора
(V—V
(V—V°) =
= v—vu
(8.9)
Рис. 8.З. Огибающая корреляционного ин-
интеграла (а), ее первая (б) и вторая (в) про-
производные в отсутствие шумов и характери-
характеристика оптимального дискриминатора (г)
равен сигналу рассогласования v'=v—v° при любых v. Однако
реальную огибающую корреляционного интеграла при больших
рассогласованиях v' нельзя представить параболой, ветви кото-
которой уходят в отрицательную область (огибающая — существенно
положительная функция). Поэтому параболическую аппроксима-
аппроксимацию огибающей и, следовательно, линейную характеристику диск-
дискриминатора можно реализовать лишь для малых рассогласований.
"Приближенно размер рабочего участка характеристики дискри-
дискриминатора, где ее с заданной точностью можно считать линейной,
равен интервалу корреляции сигнала по измеряемому параметру
Ау = 1/А|Хэф, где А|гЭф — эффективная протяженность обобщенно-
обобщенного спектра.
Благодаря нормировке — делению Zr на Z" — выходной сиг-
сигнал дискриминатора является функцией только самого рассогла-
рассогласования по измеряемому параметру независимо от амплитуды
принимаемого сигнала (в частности, у параболической аппрокси-
аппроксимации огибающей корреляционного интеграла (8.9) амплитудный
коэффициент k входит в числитель и знаменатель отношения). Так
как амплитуда сигналов на входе приемника изменяется в широ-
широком диапазоне, выполнение нормировки является сложной техни-
технической задачей. Необходимо отметить, что реальная характерис-
характеристика дискриминатора в отличие от изображенной на рис. 8.3,г не
уходит в бесконечность при Z"s=0, 'поскольку коэффициент пере-
передачи дискриминатора всегда ограничен. Необходимо также отме-
отметить еще одну особенность операций в дискриминаторе: на !вход
его поступает высокочастотный сигнал или электромагнитная вол-
волна, а иа выходе формируется видеосигнал рассогласования, поляр-
полярность (знак) которого зависит от стороны рассогласования. Для
сохранения знака выходного сигнала используется синхронный де-
детектор, на который подается опорное напряжение из основного
.канала приема, где формируется сам корреляционный интеграл.
8.2. СЛЕДЯЩИЙ И РАЗОМКНУТЫЙ
ИЗМЕРИТЕЛИ
Рассмотренная выше структурная схема нелинейного фильтра
не позволяет ответить на два вопроса, связанных с практической
реализацией фильтра: как обеспечивается настройка характерис-
характеристики дискриминатора на опорное значение параметра, снимаемое
-с выхода формирователя оценки, и как устанавливается начальное
опорное значение в дискриминаторе, когда оценка еще отсутству-
отсутствует, чтобы попасть в пределы линейного рабочего участка его ха-
характеристики?
Ответить на первый вопрос можно, только зная конкретную
структуру дискриминатора. Дискриминатор, как и любое другое
устройство радиосистемы, на которое подается смесь сигнала и
шума, выполняется в виде фильтра или коррелятора. Свойства
коррелятора полностью определяются видом опорного сигнала.
265
Для настройки дискриминатора типа коррелятора необходима
синтезировать опорный сигнал требуемого вида, соответствующий
параметр которого в качестве опорного задается формирователем
оценки. Свойства дискриминатора типа фильтра определяются его
структурой, включающей элемент настройки на заданное форми-
формирователем оценки опорное значение параметра, поэтому необхо-
необходимо устройство, обеспечивающее эту настройку. Таким образом,,
в цепи обратной связи между формирователем оценки и дискри-
дискриминатором необходимо иметь вспомогательный элемент — син-
синтезатор. Синтезатор обеспечивает (синтезирует) требуемую харак-
характеристику дискриминатора, формируя опорный сигнал коррелято-
коррелятора или производя настройку фильтра в соответствии с данными
формирователя оценки. Синтезатор выполняет важную практи-
практически, но несущественную с информационной точки зрения опера-
операцию перекодирования выходного сигнала формирователя оценки
в опорную характеристику дискриминатора — опорный сигнал
коррелятора или импульсную характеристику фильтра. Поэтому
к нему предъявляется единственное требование — не вносить до-
дополнительных ошибок.
Оценка параметра и, следовательно, настройка дискриминато-
дискриминатора непрерывно изменяется вслед за изменениями самого измеряе-
измеряемого параметра входного сигнала. Поэтому замкнутые нелинейные
фильтры получили название следящих измерителей (устаревшее
название — системы автоматического сопровождения). Вследст-
Вследствие инерционности замкнутой цепи слежения оценка повторяет не
все изменения отслеживаемого параметра, искаженного шумами,
а только плавные, закономерные, что эквивалентно непосредствен-
непосредственной фильтрации процесса. Благодаря перестройке в соответствии
с закономерными изменениями параметра входного сигнала рабо-
работа дискриминатора протекает на линейном участке его характе-
характеристики. В результате на выходе дискриминатора вырабатывает-
вырабатывается сигнал рассогласования, равный разности v(^)—v(t)9 как и в
компараторе линейного фильтра. Тем самым следящий измери-
измеритель, нелинейный по отношению к самому сигналу, подобен ли-
линейному фильтру для процесса v(rf), закодированного во входном
сигнале.
Для, решения второго вопроса рассмотренная ранее схема не-
нелинейного фильтра дополняется схемой поиска и захвата (СПЗ).
Таким образом, следящий измеритель состоит из кольца слеже-
слежения, включающего дискриминатор, формирователь оценки и син-
синтезатор, и подключенной параллельно дискриминатору СПЗ,.
включающей обнаружитель, реле захвата и схему поиска (рис.
8.4).
Следящий измеритель работает в двух режимах: режиме по-
поиска (вспомогательный) и режиме слежения (основной).
В режиме поиска кольцо слежения разомкнуто — дискримина-
дискриминатор расстроен относительно неизвестного значения параметра —
и сигнал рассогласования на его выходе отсутствует. Схема поис-
поиска принудительно изменяет опорное значение v° обнаружителя
266
Схема поиска и захдата
Обнару-
Обнаружитель
Реле
захвата
Схема
поиска
Дискри -
минатор
vft)-v
Формиро-
Формирователь
оценки
Синтеза-
Синтезатор
Рис. 8.4. Схема следящего измерителя процесса, закодированного в сигнале
СПЗ и дискриминатора. Обычно перестройка производится по ли-
линейному закону, для чего от схемы поиска СПЗ на последний ин-
интегратор формирователя оценки подается постоянное напряжение.
Пределы перестройки устанавливаются на основе априорных дан-
данных о возможном значении отслеживаемого параметра; если та-
таких данных нет, перестройка производится по всему диапазону
его возможных значений.
Обнаружитель, на который параллельно дискриминатору пос-
поступает входная смесь сигнала и шума, в оптимальном случае вы-
вырабатывает огибающую корреляционного интеграла Z(v—v°). В
процессе принудительной перестройки опорное значение v° в не-
некоторый момент времени оказывается близким к фактическому
значению параметра v входного сигнала. В этот момент огибаю-
огибающая корреляционного интеграла Z(v—v°) на выходе обнаружите-
обнаружителя близка к максимальной. В случае превышения заданного по-
порога обнаружения реле захвата срабатывает и прекращает рабо-
работу схемы поиска — снимается постоянное напряжение, подводи-
подводимое ко входу интегратора в формирователе оценки. Поскольку в
этот момент рассогласование v—v° мало, входной сигнал попа-
попадает на рабочий участок характеристики дискриминатора, коль-
кольцо слежения замыкается, и через некоторое время (время уста-
установления) следящий измеритель переходит в основной режим —
режим точного слежения. В режиме слежения в качестве опор-
опорного значения v° используется оценка v и дискриминатор выра-
вырабатывает сигнал рассогласования v{t)—v(t). В рлучае длитель-
длительного пропадания входного сигнала или ошибочного захвата реле
захвата отпускает и вновь начинается режим поиска.
Наряду с замкнутыми следящими измерителями в радиосисте-
радиосистемах широко используют разомкнутые измерители, предназначен-
предназначенные для оценки текущих значений измеряемых параметров сигна-
сигнала в процессе обзора заданной зоны пространства. Их особен-
особенность состоит в том, что измеренные от обзора к обзору значения
параметров никакому сглаживанию не подвергаются, причем из-
измеряются параметры сигналов не одного объекта, как в следя-
следящих измерителях, а всех объектов, находящихся в зоне обзора,
26Z
Для оценки текущего значения параметра сигнала в каждом дач-
дачном цикле обзора можно использовать дискриминаторы, если в
них установить опорные значения параметров, достаточно -близкие
к измеряемым. Однако, поскольку измеряемый параметр может
принимать любые значения в пределах диапазона измерений, ра-
разомкнутый измеритель должен состоять из большого числа диск-
дискриминаторов, у которых линейные участки характеристик вплот-
вплотную примыкают друг к другу, перекрывая весь диапазон изме-
измерений, т. е. измеритель должен быть многоканальным и иметь на
выходе анализатор для стыковки .показаний на границе смежных
каналов. Основная трудность реализации таких измерителей воз-
возникает при выполнении операций нормировки, т. е. формировании
отношения Z'\Zn\ Во-первых, нормировка в двух соседних элемен-
элементах дальности должна выполняться практически мгновенно. Во-
вторых, она должна быть идеальной, иначе точность измерения
параметров v=v°i+v'i в дискриминаторе i-ro канала разомкнуто-
разомкнутого измерителя, настроенного на опорное значение v°i, резко сни-
снижается из-за колебаний измеренного рассогласования v'i с изме-
изменением интенсивности принимаемого сигнала. В следящих изме-
измерителях инерционность и неидеальность нормировки, выполняемой
обычно с помощью простых схем автоматической регулировки
усиления (АРУ), проявляется значительно слабее, поскольку сле-
слежение производится за медленно изменяющимся сигналом един-
единственного объекта и нормальному режиму слежения соответству-
соответствует нулевое рассогласование v'.
Многоканальные измерители можно заменить последователь-
последовательным одноканальным в виде дискриминатора, настройка которого
на опорное значение изменяется во времени. Однако при этом
возрастает время измерений (период обзора) во столько раз,
сколько каналов заменяет такой измеритель. Иногда перестрой-
перестройка связана со значительными энергетическими затратами, а слож-
сложность выполнения операции нормировки в одноканальном изме-
измерителе не уменьшается.
Реализация разомкнутых измерителей существенно упрощает-
упрощается, если в процессе обзора некоторые измеряемые параметры пре-
преобразуются естественно или принудительно во временное положе-
положение принимаемого сигнала. Так, дальность естественным образом
преобразуется во временной интервал за счет конечной и посто-
постоянной скорости распространения радиоволн, а измерение угловой
координаты также можно свести к измерению временного интер-
интервала, если антенный луч принудительно перемещать с постоянной
угловой скоростью. При этом для измерений во всем диапазоне
можно использовать единственный согласованный фильтр, и от-
отсчет параметра производить по моменту наступления максимума
огибающей корреляционного интеграла — выходного сигнала оп-
оптимального приемника.
Если при этом съем данных производится оператором с экрана-
индикатора, у которого имеется линейная развертка по измеряе-
измеряемому параметру и нанесена шкала, оператор, сравнивая положе-
268
ние центра отметки сигнала с делениями шкалы, выдает оценку
параметру с достаточно высокой точностью. При этом радиосис-
радиосистема имеет единственный канал обнаружения и измерения.
При автоматическом измерении параметра, преобразованного
во временной интервал, для реализации высокой точности изме-
измерений необходимо иметь устройство фиксации центра (максиму-
(максимума) выходного сигнала в дополнение к каналу обнаружения. В
этом устройстве огибающая корреляционного интеграла диффе-
дифференцируется и в момент перехода ее через нуль вырабатывается
короткий импульс отсчета. Серьезным достоинством такого изме-
измерителя является то, что в принципе не требуется нормировка, так
как момент перехода через нуль не зависит от интенсивности
входного сигнала. Однако скорость перехода через нуль (крутиз-
(крутизна) зависит от интенсивности сигнала, а это может вызвать до-
дополнительную погрешность в реальной схеме, вырабатывающей
импульс отсчета, которая срабатывает тем быстрее, чем больше
крутизна. Указанный способ можно непосредственно использовать
в разомкнутом измерителе дальности (рис. 8.5,а). Однако при
измерении угловой координаты по сигналу, представленному ла-
кетом импульсов, формирование производной путем дифференци-
дифференцирования огибающей выходного пакета невозможно, так как са-
1 Канал обнаружения
Дифференци-
Дифференцирующий
каскад i
Л
Формирую-
Формирующий
касщд
П Импульс
отсчета
^/{анал отсчета дальности
а)
\в
Л А А Л-А
И аи ал
обнаружения ,
(
С быхода
->—
приемника
4
'У у v у у
к 5-г<\
У
z(t-t)
JVr
3-~~
Канал отсчета азимута
Импульс
отсчета
ю
Рис. 8.5. Каналы обнаружения и формирования импульсов отсчета дальности
(а) и азимута (б)
269
мой огибающей реально не существует. Для получения производ-
производной огибающей выходного пакета используют гребенчатйй фильтр
с нечетной весовой функцией в отличие от интегратора импуль-
импульсов в канале обнаружения, имеющего четную весовую функцию
(рис. 8.5,6). /
К сожалению, к отсчету времени можно свести ,только изме-
измерение дальности и одной из двух угловых координат. Для изме-
измерения второй угловой координаты в процессе обзора необходим
более сложный многоканальный разомкнутый измеритель. Поэто-
Поэтому радиосистемыГ с трехкоординатными разомкнутыми измерителя-
измерителями (дальность—азимут — угол места) по сложности и стоимости
значительно превосходят двухкоординатные (дальность — азимут).
Тип и структура разомкнутых измерителей в решающей степе-
степени определяются конкретной схемой радиосистемы и видом ис-
используемого в ней оконечного устройства. Следящие же измери-
измерители, наоборот, сами определяют схему построения радиосистемы.
8.3. ОПТИМАЛЬНЫЙ ДИСКРИМИНАТОР
Оптимальный дискриминатор вырабатывает оценку (8.6) ма-
малых рассогласований между текущим и^ опорным значениями из-
измеряемого параметра сигнала в каждом импульсе. Для получе-
получения сигнала рассогласования (8.6) из входной смеси в дискрими-
дискриминаторе необходимо сформировать первую и вторую производные
огибающей корреляционного интеграла, а в обнаружителе СПЗ
саму огибающую.
При определении структуры оптимального дискриминатора (и
обнаружителя) ограничимся случаем симметричного энергетичес-
энергетического спектра |S([x) |2, при котором точность измерений максималь-
максимальна, а огибающая корреляционного интеграла и обе ее производ-
производные вещественные. Тогда в оптимальном следящем измерителе
из входной смеси сигнала и шума, описываемой огибающей как
функцией измеряемого параметра X(v) =UqS(vs)+N, на выходе
трех параллельных каналов, настроенных на опорное значение v°,
получаем три вещественные функции рассогласования, описывае-
описываемые либо через обобщенную огибающую сигнала S (v), либо че-
через ее спектр 5
Z(v—v°) =— ]x (v"—v) S* (v"—v°) d v" =
2 -oo
e JL JX* (A) 5 (ц) ej ** (v^v0) rf tx; (8.10)
2' (v—-v°) = — ?X(vr/—v)— 5*{v''—v^dv" —
. zjt л т/-^; / \ r» / \ i 2jtix (v—>v^) i /q i i\
270
2" (v-\v°) =
v"—v)
S*(v"—v°)dv" =
(8.12)
Операции \ (8.10)— (8.12) и (8.6) полностью определяют струк-
структуру оптимального дискриминатора (и обнаружителя) следящего
измерителя (ркс. 8.6). Эти операции можно реализовать в фильт-
фильтрах или корреляторах, настраиваемых синтезатором на опорное
значение параметра v°. Поскольку выходные сигналы всех трех
фильтров являются высокочастотными колебаниями, для выделе-
выделения огибающих с сохранением знака первой производной на вы-
выходе этого канала включают синхронный детектор, в остальных
двух — обычный детектор.
Свойства фильтров, заложенные в их структуре, описываются
функциями передачи
Но Ы =
(8ЛЗ)
или, что равносильно, импульсными характеристиками
= k^S*(v) (8.14)
), HMk&iv), H
для каналов огибающей корреляционного интеграла и его первой
и второй производных соответственно. В этом случае синтезатор
изменяет только параметр настройки фильтров v°. Корреляторы
всех трех каналов совершенно идентичны, а их свойства целиком
определяются опорными сигналами вида (8J14), поступающими от
синтезатора, соответствующий параметр которых равен опорному
значению v°. В режиме поиска опорное значение измеряемого па-
К обнаружителю
1 СПЗ
" к обнаружителю
- - сп3
К срормиробате -
лю оценки
От синтеза- От ЧФАП
тора а)
От синте- От ЧФАП
затора ^
Рис. 8.6. Схемы оптимального дискриминатора (и входного, каскада обнару-
обнаружителя)
271
раметра задается (перестраивается) схемой поиска, а в/режиме
слежения оно повторяет текущую оценку параметра: v°/(t)=v(l).
Опорное напряжение синхронных детекторов формируется спе-
специальной схемой частотно-фазовой автоподстройки (ЧФАП) син-
фаз'но с принимаемым сигналом. Сами корреляторы могут выпол-
выполнять функции синхронных детекторов, если несущие/их опорных
сигналов совпадают по частоте и фазе с несущей входного сигна-
сигнала. Однако обычно приемники строятся по супергет^родинной схе-
схеме, где основное усиление и обработка сигналов производятся в
УПЧ (что для пояснения основной идеи не отражено на схеме),
поэтому функции формирования опорных и детектирования выход-
выходных сигнало)в корреляторов разделяются: опорные сигналы кор-
корреляторов подаются на частоте гетеродина, а опорные напряже-
напряжения синхронных детекторов на промежуточной частоте.
Операция нормировки (8.6) обычно выполняется в усилитель-
усилительном канале первой производной^ коэффициент передачи которого
изменяется обратно пропорционально второй производной (на схе-
схеме рис. 8.6 это обозначено операцией деления).
Оптимальный дискриминатор наряду с сигналом рассогласова-
рассогласования' Z'\Z" должен выдать данные для настройки формирователя
оценки на параметры входного процесса." В частности, для отра-
отработки параметра b = o2e/qv следящего измерителя типа фильтра
Калмана необходимо оценить спектральную плотность qy =
= а% /А/ шумовой составляющей оцениваемого процесса vn, ши-
ширина спектра которой А/ во много раз больше ширины полосы
пропускания самого следящего измерителя, ввиду чего составляю-
составляющую vn можно аппроксимировать белым шумом. Дисперсия оцен-
оценки рассогласования в дискриминаторе a2v =l/l"=l/Z// и, следо-
следовательно, спектральная плотность входного шума qv в соответст-
соответствии с формулой F.32) определяется средним значением второй
производной логарифма отношения правдоподобия I" или оги-
огибающей корреляционного интеграла Z". Поэтому кроме рассогла-
рассогласования Z'\Z" с выхода дискриминатора в формирователь оценки
необходимо выдать величину Z", являющуюся мерой его точности.
Наконец, сигналы, пропорциональные огибающей корреляци-
корреляционного интеграла Z в каждом импульсе, подаются на обнаружи-
обнаружитель СПЗ, который представляет собой гребенчатый фильтр, ин-
интегрирующий эти импульсы. Если выходной сигнал этого фильтра
превышает порог срабатывания реле захвата, следящий измери-
измеритель переходит из режима поиска в режим слежения.
Для определения основных свойств оптимального дискримина-
дискриминатора, частично уже отмеченных выше, воспользуемся представле-
представлением функции (8.10) —(8.12) через обобщенный энергетический
спектр |5(i|li)|2? с учетом симметрии которого и формулы Эйлера
в отсутствие шумов получим
Zs(v—v°)=]
272
v—v°)d\i, (8.15)
\
где интегралы берутся только по области положительных частот.
Из анализа полученных формул непосредственно вытекают ос-
основные свойства характеристики оптимального дискриминатора
(8.7). \
1. Нечетная Симметрия и линейность при малых рассогласова-
рассогласованиях: положив в формулах (8.15) эт^^лгисозл;^ 1, убеждаем-
убеждаемся, что Zrs отличается от Z"s только множителем v—v°, откуда
их отношение D(v—v°) ~'v—v°.
2. Нормировка: отношение Zr 8IZ" s не зависит от амплитуды
входного сигнала ?/0, так как числитель и знаменатель содержат
общий множитель Uo.
3. Фазирование, обеспечивающее вещественный характер сиг-
сигнала рассогласования: все три функции (8.15) вещественные, а
соответствующие им высокочастотные сигналы находятся в фазе
или противофазе, что позволяет по соотношению фаз этих сигна-
сигналов определить знак (сторону) рассогласования. Комплексная
функция не может быть мерой рассогласования, так как к комп-
комплексным числам понятия больше или меньше неприменимы.
4. Оценка точности: величина Z7/s, как отмечалось, характери-
характеризует интенсивность помеховой составляющей входного процесса
следящего измерителя.
Сохранение указанных свойств дискриминаторов позволяет
упростить аппаратуру, практически не снижая точности измере-
измерений. Так, для оценки точности нет необходимости вычислять Z",
поскольку интенсивность (мощность) помеховой составляющей
входного процесса можно измерить непосредственно на выходе
дискриминатора (свойство 4). Учитывая также, что огибающая
корреляционного интеграла и ее вторая производная при малых
рассогласованиях ведут себя практически одинаково и пропор-
пропорциональны амплитуде принимаемого сигнала, только имеют про-
противоположный знак, можно вообще отказаться от вычислений
второй производной, используя для нормировки (свойство 2)
вместо отношения Zr\Z" отношение —Z'\Z. При этом
D(v—v°) =— kiZ's(v—v°)/Zs(v—v°), (8 Л б)
где коэффициент k\ компенсирует различие \Z" s\ и Zs при нуле-
нулевой расстройке. Такой дискриминатор (с учетом только что выс-
высказанных особенностей работы следящих измерителей в реальных
условиях) обладает всеми свойствами оптимального дискримина-
дискриминатора, поэтому назовем его модифицированным оптимальным.
Модифицированный оптимальный дискриминатор имеет целый
ряд преимуществ перед описанным выше оптимальным дискрими-
дискриминатором:
273
существенно упрощается структура и регулировка следящего
измерителя — вместо трех входных высокочастотных каналов ис-
используются только два; 7
для расширения динамического диапазона приемного канала
огибающей корреляционного интеграла Z можно использовать
АРУ по величине Z, как и для нормировки сигнала fcr в канале
первой производной; /
при наличии в радиосистеме следящих измерителей несколь-
нескольких параметров лля нормировки можно использовать общий сиг-
сигнал Z, в то время как в исходной схеме оптимального дискрими-
дискриминатора в общем случае необходимо сформировать набор всех
вторых частных производных по совокупности измеряемых пара-
параметров;
характеристика дискриминатора имеет плавный характер в от-
отличие от разрывной характеристики оптимального дискриминато-
дискриминатора (см. рис. 8.3,2).
В частности, характеристика модифицированного дискримина-
дискриминатора линейна на всем интервале, где корреляционный интеграл
аппроксимируется гауссовской кривой Zs\v—v°) =UQ exp[—n(v—-
—v°) 2/Av2]. Действительно, при этом Zfs (v—v°) = —2я [ (v—
—vo)/Av2)]exp|—n(v—v°J/Av2]U0 и D(v—v°) =— AiZ'e/Z8=v—v° во
всем диапазоне рассогласований при ki=\Av2/2n, где Av — шири-
ширина пика огибающей корреляционного интеграла на уровне 0,46 от
максимума. Поскольку реальные огибающие в пределах основно-
основного лепестка хорошо аппроксимируются гауссовской кривой, ука-
указанная особенность означает, что характеристика модифицирован-
модифицированного оптимального дискриминатора имеет очень широкий линей-
линейный участок (максимально возможный).
В силу указанных преимуществ модифицированных оптималь-
оптимальных дискриминаторов обычно только их и используют на практи-
практике. Упрощенная структурная схема такого дискриминатора содер-
содержит два приемных канала: основной (или опорный) с характе-
характеристикой Но(\х) и измерительный с характеристикой Hi(\i), кото-
которые охвачены АРУ по сигналу основного канала — для выполне-
выполнения операции нормировки в измерительном канале и расширения
динамического диапазона основного канала (рис. 8.7). Каналы
выполняются »в виде согласованных фильтров или корреляторов»
пространственных или временных в зависимости от вида измеряе-
измеряемого параметра. Опорное значение параметра v° вводится синтеза-
X(v)
\
Основной
канал приема
\
/
ч
Ч
/
Измерительный
канал
приема
АРУ
г.
М
/^ накопители*
'Г
\
г СПЗ
ЧФАП
0
v-v°
К формирователю
оиенки
От синтезатора
Рис. 8.7. Схема модифицированного оптимального дискриминатора
274
торомХ перестраивающим фильтр или вырабатывающим опорный
сигнал ^коррелятора.
Обывдо опорный канал вместе со схемой АРУ относят к об-
общему приемному тракту радиосистемы, а собственно дискримина-
дискриминатором считают только измерительный канал. Приемные каналы
открываются селектором только на время прихода очередного им-
импульса с помощью стробирующего импульса, также формируемо-
формируемого синтезатором. Благодаря селектору простейший накопитель
(конденсатор) на его выходе выполняет роль гребенчатого фильт-
фильтра-интегратора в обнаружителе СПЗ. При этом схема АРУ рабо-
работает только по сигналу отслеживаемого объекта, выполняя регу-
регулировку усиления по среднему значению сигнала — для сглажи-
сглаживания шумовых всплесков (инерционная АРУ). Следует, однако,
отметить, что нормировка с помощью схемы АРУ далеко не иде-
идеальна. Поэтому иногда дополнительно используют более совер-
совершенные схемы нормировки. Опорное напряжение синхронных де-
детекторов вырабатывается схемой ЧФАП также по сигналу основ-
основного канала. •
8.4. ПОДОПТИМАЛЬНЫЕ ДИСКРИМИНАТОРЫ
На практике широко применяют подоптимальные дискримина-
дискриминаторы, которые проще оптимальных в реализации, но лишь незна-
незначительно ^ступают им по своим параметрам. Независимо от ха-
характера операций над входными сигналами выходные сигналы
этих дискриминаторов должны удовлетворять условиям нормиров-
нормировки, фазирования и нечетной симметрии. Выходной сигнал всех
подоптимальных дискриминаторов формируется в результате
сравнения сигналов, различающихся характером зависимости от
измеряемого параметра. В зависимости от способа сравнения сиг-
сигналов подоптимальные дискриминаторы подразделяют на две
большие груйпы:
линейные, или аддитивные, основанные на сравнении разности
или суммы разделяющихся сигналов;
нелинейные, или мультипликативные, использующие для срав-
сравнения отношение или произведение сигналов.
Линейные подоптимальные дискриминаторы. Здесь вместо пер-
первой производной огибающей корреляционного интеграла исполь-
используют конечную разность двух корреляционных интегралов; алге-
алгебраическую (вычитание амплитуд выходных синфазных сигналов,
разнесенных по самому измеряемому параметру v) или геомет-
геометрическую (вычитание векторов сдвинутых по фазе сигналов, раз-
разнесенных по обобщенной частоте \х и имеющих одинаковую амп-
амплитуду). В соответствии с этим линейные подоптимальные дискри-
дискриминаторы подразделяют на амплитудные и фазовые.
В амплитудных линейных дискриминаторах вместо производ-
производной огибающей корреляционного интеграла как предела отноше-
отношения
Z'(v-v°)= lim J-\z(v-V> + ^!L
275
используют конечную разность (обратную)
UA=Z v—v°
Avn
— Z
Av0
2 , -V ¦ ¦ 2 ' , (8Л7>
при фиксированной расстройке приемных каналов Av0, симметрич-
симметричной относительно опорного значения v°, т. е. точки перехода ха-
характеристики дискриминатора через нуль. Отсюда в /соответствии
с формулой (8.16) находим характеристику амплитудного дискри-
дискриминатора
D (v- v°) - k2 Zs(v —v° —Avp/2)—Zg(v —v°+Avo/2) (g щ
С уменьшением расстройкиAvo характеристика (8.18) при k2=^
=\ki/Av0 приближается к оптимальной (8.16), однако разностный
сигнал убывает и все большую роль играют шумы. С увеличени-
увеличением Avo, когда Avo/2>vnpr (абсцисса точки перегиба огибающей
корреляционного интеграла vnpr находится из условия Z" в(у'—
=vnpr) =0), характеристика дискриминатора при малых рассогла-
рассогласованиях становится нелинейной и разностный сигнал также убы-
убывает. Поэтому оптимальное смещение выбирают вблизи точки пе-
перегиба (Avo/2^vnpr), когда потерями в точности по сравнению с
оптимальным дискриминатором практически можно пренебречь.
Чтобы реализовать характеристику (8.18) и получить выход-
выходной сигнал v—у°^к2иА /Z, необходимо из входной смеси сфор-
сформировать три огибающих корреляционного интеграла, отличаю-
отличающихся только опорным значением (v°, v°+Avo/2, v°—Avo/2): оги-
огибающая Z(v—v°) формируется в опорном канале, а огибающие
Z(v—v°—Avo/2) и Z(v—v°+Avo/2) подаются на схему вычитания
(компаратор) дискриминатора (рис. 8.8,а). Выходное колебание
опорного канала/Z(v—v°) используется для нормировки с по-
помощью схемы АРУ и для создания опорного напряжения синхрон-
нот детектора (СД) дискриминатора путем отслеживания его
частоты и фазы с помощью схемы ЧФАП, а также подается на
обнаружитель СПЗ. Если же корреляционный интеграл выдается
в виде непрерывной функции времени (в измерителе дальности)>
Корреляторы
(ала фильтры)
К обнаружителю
Корреляторы
К обнаружителю
От синтезатора
5)
От синтезатора
а)
Рис. 8.8. Схемы амплитудных подоптимальных дискриминаторов
276
то все три значения можно получить в виде отсчетов, взятых в
три момента времени, на выходе общего тракта приема.
Рассмотренный выше амплитудный дискриминатор называют
разностным, он отличается от оптимального только в измеритель-
измерительном канале. Существуют еще более простые амплитудные дискри-
дискриминаторы, называемые суммарно-разностными, отличающиеся от
оптимального и в опорном канале, где вместо огибающей Z(v—v°)
используют сумму ?/2=Z(v—v°—Avo/2)+Z(v—v°+Avo/2) тех же
сигналов, из которых формируется разностный сигнал (рис. 8.8,6).
Характеристика суммарно-разностного амплитудного дискримина-
дискриминатора
р (v_ус) = кз Is (v-v°-Avo/2) - Zs (у-уР+ Ayo/2) ^ (8Jg>
Zs (v —v° —Avo/2) + Zs (v—v°+ Avo/2)
а его выходной сигнал при малых рассогласованиях пропорцио-
пропорционален расстройке: k3UA/f/2 ~v—v°. Отношение сигнал-шум в сум-
суммарном канале, являющемся в этом случае опорным каналом
приема, меньше, чем в опорном канале разностного дискримина-
дискриминатора, и убывает с увеличением разноса Avo- Это влечет за собой
снижение дальности действия системы. Поэтому разнос в суммар-
суммарно-разностных дискриминаторах выбирают меньше оптимального'
по точности — как компромисс между снижением дальности дей-
действия и точности измерений.
Фазовые линейные дискриминаторы используют там, где воз-
возможно разделение обобщенного энергетического спектра |S(^)jz
на две одинаковые части вида |Si(]i) |2, которые симметричны от-
относительно своих фазовых центров A|W2 и —Ajao/2, разнесенных,
на интервал Дц,0^А|л,/2, где А\х — общая ширина спектра. Таким
образом,
(8.20)
корреляционный интеграл является обратным преобразовани-
преобразованием Фурье от энергетического спектра: Zs(v—v°) =
(v—v°)=3r-1{\Si(\i) |2}. Так как спектры \S{\i) \2 и
SMI2} и
Si (Г
симметричные и вещественные функции Zs (v—v°) и Z8\ (v—v°) так-
также симметричные и вещественные, т. е. представляют огибающую
корреляционных интегралов в отсутствие шумов. Из равенства
(8.20) с учетом аддитивности преобразований Фурье и теоремы
смещения получим
Zs(v—v°) = ^-1{|5il(|i—А[хо/2) |2} + 5r~1{|Si(M'+AM'o/2) |2} =
=Zsi (v—v°) exp([j^A|io (v—v°)] + Zslj(v—v°) exp [—jnAjuo X
X (v—v°) ] =Zsl (<v—v°) +Z*sl (v—v°) = Uaz, (8.21)
где Zsl (v—v°) =Zsi (v—v^expIjttAiuio^v—v0)]; Z*si(v—v°) =Zsi (v—
—v°)exps[—jjcA|j,o!(v—v°)] — комплексно-сопряженные слагаемые,
полученные раздельной оптимальной фильтрацией двух сигналов,,
которые соответствуют двум половинам обобщенного спектра в
отсутствие шума; суммарный сигнал Us2 вещественный и равен,
огибающей корреляционного интеграла Zs(v—ч?°).
277
Первая производная огибающей корреляционного интеграла
{8.21) по измеряемому параметру содержит две составляющие —
амплитудную (действительная) и фазовую (мнимая):
Zfs{v—v°) =Z'sl (у—v°)exp[jn;A|io (у—v0)]—Z'sl(v—
—v°)exp [^—j^Ajbto(v—v°) ] + jjtAfXo {Zsl (y—v°) expiQ яДцо (v—
—v°) ]—Z8l (v—v°) exp [—jлД^0 (v—v°) ]} = 2Z'8l (v—
—v°)cos яА]ы0 (v—v°) +jnA,jLio{Zsl (v—v°)—Z*sl (v—v°)}. (8.22)
Фазовая составляющая содержит разностный сигнал
Us =Zsi(v—v°) — Z*sl(^—v°), (8.23)
который сдвинут относительно суммарного на я/2 (суммарный и
разностный сигнал образуют диагонали ромба, образованного рав-
равными по модулю векторами Zsi<(v—v°) и Z*s2(v—v°) , составляю-
составляющими между собой угол A<p = 2jtA|uio(v—v°), т. е. являются геомет-
геометрическими суммой и разностью).
Подставляя формулы (8.21) и (8.22) в (8.16) и пренебрегая
амплитудной составляющей производной огибающей корреляцион-
корреляционного интеграла (8.22), получаем характеристику фазового сум-
суммарно-разностного подоптимального дискриминатора:
D(v—v°)=— ]кгяА110х
X ^Р [j яД^о (v-v°)]-exp [-j
exp [j ttAju0 (v — v°)] + exp [ — j яА|ы0 (v — v0)]
(8.24)
где было учтено, что сумма экспонент дает удвоенный косинус,^ а
разность — удвоенный синус, умноженный на мнимую единицу, и
^4=яД|1о&1. Из формулы (8.24), в частности, следует, что при
строгой симметрии одинаковых полуспектров амплитудные соот-
соотношения не играют никакой роли. Реальная характеристика диск-
дискриминатора в отличие от идеальной (8.24) при больших рассог-
рассогласованиях имеет спадающие участки, так как спадание до нуля
суммарного сигнала (входящего в знаменатель) невозможно
скомпенсировать конечным усилением разностного сигнала.
Структура фазового суммарно-разностного дискриминатора оп-
определяется (при малых рассогласованиях) зависимостью
V—v° « —j ?х ДЦо (Ц\/1У = К (UJUz) ехР (—J я/2)>
где множитель —j = exp(—jji/2) указывает на необходимость
сдвига фазы разностного сигнала относительно суммарного на
—я/2 перед синхронным детектированием (операция фазирова-
фазирования). Таким образом, суммарно-разностный фазовый дискримина-
дискриминатор содержит раздельные каналы оптимальной фильтрации сиг-
сигналов двух полуспектров, суммарно-разностный мост, фазовраща-
фазовращатель и синхронный детектор, а также схемы АРУ и ЧФАП (рис.
8.9). При этом амплитудная составляющая производной (8.22),
ортогональная фазовой составляющей, подавляется с помощью
синхронного детектора вместе с ортогональной составляющей шу-
278
К обнаружителю
Рис. 8.9. Схема фазового подоптимального суммарно-разностного дискримина-
дискриминатора
ма. Максимально возможный проигрыш в точности у фазового
дискриминатора составляет 113%.
Необходимо отметить важную особенность линейных дискри-
дискриминаторов (как амплитудных, так и фазовых), что в силу линей-
линейности схемы сумму и разность сигналов можно образовать еще на
входе приемно-усилительных трактов суммарного и разностного
каналов. Вследствие этого резко уменьшается влияние .неидентич-
.неидентичности амплитудных и фазовых характеристик обоих каналов на
выходной сигнал дискриминатора.
Нелинейные подоптимальные дискриминаторы. В основу срав-
сравнения сигналов в нелинейных (мультипликативных) дискримина-
дискриминаторах положено отношение сравниваемых сигналов, которое удов-
удовлетворяет условию нормировки. Однако условие нечетной сим-
симметрии не удовлетворяется и при равенстве сигналов характерис-
характеристика проходит через единицу, а не через нуль. Поэтому берут ло-
логарифм отношения, удовлетворяющий условию нечетной симмет-
симметрии. Нелинейные подоптимальные дискриминаторы также подраз-
подразделяют на амплитудные и фазовые. В амплитудных сравниваются
сигналы, разнесенные по параметру v, в фазовых — по обобщен-
обобщенной частоте \х.
В амплитудных дискриминаторах сравниваемые сигналы U\ =
=Z(v—v°—Avo/2) и [/2 = Z(v—v°+Avo/2) можно представить в ви-
виде линейных функций малых отклонений v—v° от параметра на-
настройки v°:
Avo
где учтено, что
Логарифм отношения
ln(Ui/U2) =ln Ui—In
Z' (Avp/2)
Z(Avo/2)
(±a) при a< 1, a &5 = 2Z/s(Av0/2)/Zs (Avo/2).
(v_v°)l « Z ( ^) exp [±kb (v—v°)],
(8.25)
определяет структуру нелинейного амплитудного дискриминатора
(рис. 8.10,а). Сравниваемые сигналы проходят через оптимальные
Логарифмические
лриемнини К обнаружителю
Приемники Н о&нару-
с ограничением жителю
#77 синтезатора
Рис. 8.10. Схемы нелинейных дискриминаторов
приемные каналы с логарифмической амплитудной характеристи-
характеристикой, детектируются и поступают на схему бычитания. Фактически
амплитудная характеристика для очень малых сигналов делается
линейной, в противном случае она должна быть отрицательной,
что нереально. Для нормировки и расширения динамического диа-
диапазона приемных каналов ставить схему АРУ нет необходимости;
ее роль выполняет сама логарифмическая характеристика. Опор-
Опорный сигнал для амплитудного детектора не требуется, однако для
работы обнаружителя ОПЗ формируется также суммарный сиг-
сигнал двух каналов.
Характеристика нелинейного (логарифмического) амплитудно-
амплитудного дискриминатора
D (v—v°) =ln,(f/ls/)[/2s) =lnZs(v—voh-Avo/2) —
• — lnZs(v—v°+Avo/2) (8.26)
линейна при малых рассогласованиях, как это следует из выра-
выражения (8.25).
В фазовых нелинейных дискриминаторах, как и в линейных,
сравниваются сигналы двух полуспектров, имеющие одинаковую
амплитуду, но различающиеся по фазе на A<p = 2jtAjio(v—v°) из-за
разноса Ajwo фазовых центров двух симметричных полуспектров:
Ui,2 =Zi (у—v°) ехр (±jАф/2). После логарифмирования отношения
этих двух сигналов и умножения «на —j для выполнения условия
фазирования находим зависимость выходного сигнала дискрими-
дискриминатора от рассогласования — j ln(Ui/U2 = A(p = 2KA]Xo|(v—v°), кото-
которая определяет характеристику нелинейного фазового дискрими-
дискриминатора
D (v—v°) =— j lni(lWU2e) =2nA\xo (v—v°) (8.27)
и его структуру. Таким образом, измерение рассогласования сво-
сводится к определению разности фаз двух сравниваемых сигналов,
причем характеристика (8.27) линейна на всем интервале рассог-
рассогласования. Практически разность фаз определяют с помощью фа-
фазового детектора с ограничителями амплитуды на входе. Тогда
характеристика (8.27) принимает вид
D (v—v°) = sin 2яА|Ыо (v—v°). (8.28)
280
Если спектр сплошной, эта характеристика однозначна; если же
лолуспектры сосредоточены лишь около своих фазовых центров
Aijio/2 и —Дрю/2, то многозначна.
При указанных условиях структурная схема нелинейного фа-
фазового дискриминатора (рис. 8.10,6) отличается от линейного
тем, что на выходе двух высокочастотных каналов включают амп-
амплитудные ограничители, сигналы которых подаются на фазовый
детектор с поворотом фазы я/2 на одном из входов. Ограничите-
Ограничители выполняют операцию нормировки, поэтому надобность в схеме
АРУ также отпадает. Отсутствует необходимость и в опорном
сигнале, однако суммарный сигнал формируется для работы об-
обнаружителя. Фазовые нелинейные дискриминаторы в отличие от
амплитудных широко применяют при измерении угловых коорди-
координат ввиду их относительной простоты и высокой точности измере-
измерений при большом разносе антенн (обобщенный параметр Ajxo).
В нелинейных дискриминаторах в отличие от линейных нель-
нельзя размещать приемные каналы после схемы сравнения. Поэто-
Поэтому все амплитудные и фазовые различия и нестабильности не-
непосредственно влияют на выходной сигнал дискриминатора. В
частности, различие коэффициентов усиления двух каналов в амп-
амплитудных дискриминаторах или набегов фазы в фазовых вызы-
вызывает паразитное смещение нуля их характеристики. В результате
точность измерений ухудшается. Поэтому нелинейные дискрими-
дискриминаторы почти не используются в следящих измерителях, к точнос-
точности измерения которых предъявляются наиболее высокие требова-
требования. Нелинейные дискриминаторы обеспечивают высокую точ-
точность лишь при достаточно большом входном отношении сигнал-
шум (в каждом импульсе), так как при малых отношениях сиг-
сигнал-шум в них происходит подавление сигнала шумом (повыша-
(повышается относительный уровень шума и искажается сам сигнал).
Ввиду этого чувствительность и дальность действия систем с не-
нелинейными дискриминаторами при одинаковых энергетических
затратах ниже, чем с линейными. Однако при отсутствии энерге-
энергетических ограничений нелинейные измерители не уступают по точ-
точности линейным, если приняты специальные меры по устранению*
неидентичности амплитудных и фазовых характеристик приемных
каналов.
Использование того или иного типа дискриминаторов, оптл-
мальных и подоптималыных, зависит от вида измеряемого пара-
параметра. Поэтому более подробное описание их структуры возможно
лишь при рассмотрении конкретных видов следящих измерите-
измерителей.
При независимых каналах измерений нескольких параметров
каждый дискриминатор можно рассматривать отдельно, но учи-
учитывать, что все они должны быть одновременно настроены на па-
параметры общего входного сигнала. Если же каналы зависимы,,
необходимо рассматривать многомерный дискриминатор в целом,,
с несколькими выходами.
28L
8.5. СЛЕДЯЩИЕ ИЗМЕРИТЕЛИ
ДАЛЬНОСТИ
Следящий измеритель дальности (СИД) предназначен для-
формирования оценки случайного процесса — текущей дальнос-
дальности объекта R(t) по данным измерений времени запаздывания сиг-
сигнала x(t) =2R(t)/c в каждом периоде посылок. СИД включает
кольцо слежения, состоящее из временного дискриминатора, фор-
формирователя оценки и синтезатора задержки, а также схему поис-
поиска и захвата (СПЗ) и другие элементы РЛС, в состав которой
он входит.
Работу следящего измерителя дальности рассмотрим во вза-
взаимодействии с основными элементами приемопередающего трак-
тракта (рис. 8.11). Под воздействием запросных импульсов (ЗИ), по-
поступающих от синхронизатора станции, передатчик через антенну
излучает зондирующие колебания. Эти колебания после отраже-
отражения или переизлучения их объектом образуют ответный сигнал,
который воспринимается антенной и через антенный переключа-
переключатель (АП), обеспечивающий работу приемника и передатчика на
общую антенну, поступает на вход приемника РЛС. Ответные им-
импульсы (ОИ) очень слабы и искажены шумами, поэтому их вре-
временное положение относительно запросных импульсов испытыва-
испытывает случайные колебания, что приводит к большим погрешностям
измерения дальности. Задачей следящего измерителя дальности
является формирование следящих имлульсов (СИ), временное по-
положение которых отображает лишь плавное, закономерное изме-
изменение дальности и почти не изменяется под воздействием хаоти-
хаотических шумов. Тем самым СИД выполняет функции сглаживаю-
сглаживающего фильтра для функции %(t)=2R.{t)jc. Отсчет дальности но
положению следящих импульсов относительно запросных обеспе-
обеспечивает высокую точность измерений.
Ответный импульс с выхода приемника непосредственно или
через селектор дальности поступает на вход временного дискри-
дискриминатора, опорньим сигналом которого ' является следящий им-
Передатчик^
Синхронизатор
ЗИ
P
П-Х-Л/7
АРУ
Приемник
Селектор
дальности
СПЗ
Временной
дискрими-
дискриминатор
СИД
июЬъ\ж '
Cmpofi
4
Up; ^(Nr)
Синтезатор
задержки
ли
(AN)
Формиро-
Формирователь
оценки
Рис. 8.11. Следящий измеритель дальности в составе радиосистемы, работаю-
работающий по отраженному или ответному сигналу
282
пульс. Временной дискриминатор выдает на вход формирователя
оценки сигнал рассогласования в аналоговом (АС/) или цифро-
цифровом (AN) виде. Для нормировки сигнала рассогласования с по-
помощью схемы АРУ только по сигналу отслеживаемого объекта се-
селектор дальности открывается следящим импульсом, обычно нес-
несколько расширенным (стробом). Под воздействием сигнала рас-
рассогласования в режиме слежения формирователь оценки выраба-
вырабатывает оценку процесса %(t) в виде йапряжения UR или кода NRf
которые управляют синтезатором задержки. Синтезатор выраба-
вырабатывает следящий импульс, задерживая запросный импульс синх-
синхронизатора на время т, пропорциональное UR (или NR). Следя-
Следящий импульс через дискриминатор замыкает кольцо слежения.
Благодаря действию обратной связи рассогласование между от-
ответным и следящим импульсами в установившемся режиме в
среднем равно нулю. Оценка снимается в виде напряжения UR
(или кода NR) на выходе формирователя оценки или же непос-
непосредственно в виде временного интервала т между запросным и
следящим импульсами.
Режиму слежения (измерения) предшествует режим поиска
(обнаружения), в котором кольцо слежения разомкнуто, так как
ответный и следящий импульсы не перекрываются. В режиме по-
поиска программное устройство схемы поиска СПЗ воздействует
на формирователь оценки, который линейно изменяет UR (или
NR), тем самым медленно смещая по времени т° следящий им-
импульс на выходе синтезатора задержки вместе со стробом селек-
селектора дальности (перестройка по дальности). . \
Когда в процессе медленной перестройки по дальности ответ-
ответные импульсы попадают в строб, они через селектор дальности
проходят на обнаружитель СПЗ, представляющий собой накопи-
накопитель (в простейшем случае конденсатор). Так как селектор даль-
дальности и накопитель образуют гребенчатый фильтр, ответные им-
импульсы интегрируются. Когда накопленный сигнал превысит по-
порог срабатывания реле захвата, поиск прекращается. При этом
рассогласование между ответным и следящим импульсами мало,,
поэтому в дискриминаторе выделяется сигнал рассогласования и
кольцо слежения замыкается. Происходит захват сигнала, и СИД
переходит в режим слежения — основной режим работы.
При описании процессов в СИД умышленно опущены вопро-
вопросы, связанные с формированием опорного напряжения синхронно-
синхронного детектора с помощью схемы ЧФАП, которые будут рассмотре-
рассмотрены при описании следящих измерителей скорости. Эти вопросы
приобретают особую важность при использовании сложных сиг-
сигналов, поэтому мы и ограничились простыми импульсными сигна-
сигналами.
Поскольку структура формирователя оценки почти не зависит
от конкретного вида следящего измерителя, рассмотрим только
особенности временного дискриминатора и структуру синтезатора
задержки в аналоговом и цифровом вариантах.
283*
Временные дискриминаторы выполняются только в виде кор-
корреляторов, так как фильтры инвариантны к времени прихода сиг-
сигнала. В соответствии с обобщенными характеристиками дискри-
дискриминаторов можно построить временные дискриминаторы различ-
различных типов. Опишем лишь некоторые из них.
В принципе наиболее просто реализовать разностный времен-
временной дискриминатор, характеристика которого в соответствии с об-
общей формулой (8.16) имеет вид
D(t—т°)=/г2-^^— ^1^—Zs(T"T + АГ^ (8 29)
Zs{%-x°)
Поскольку в данном случае измеряемым параметром является
время, выходной импульс оптимального приемника ОИВых повто-
повторяет корреляционный интеграл Z(t—т) во времени. Следователь-
Следовательно, для формирования сигнала рассогласования временного диск-
дискриминатора с характеристикой (8.29) достаточно получить отсче-
отсчеты выходного импульса Z(t—т) в три момента времени, отсчиты-
отсчитываемых от начала текущего периода: т°—Д'то/2, %° и т°+Ато/2, а
затем образовать разность двух крайних отсчетов и поделить ее
на средний отсчет. Эти отсчеты можно получить в аналого-цифро-
аналого-цифровом преобразователе (АЦП) напряжение — код с помощью трех
коротких (наносекундных) импульсов, вырабатываемых синтеза-
синтезатором задержки. Операции вычитания и деления выполняются
цифровыми схемами. В рассмотренном цифровом временном диск-
дискриминаторе операция нормировки выполняется идеально (допол-
(дополнительно к схеме АРУ), а инструментальная погрешность' опре-
определяется только ошибками квантования и округления при выпол-
выполнении операции деления. Недостаток указанного дискриминато-
дискриминатора — высокие требования к быстродействию его элементов.
Наиболее широко применяют аналоговые временные дискрими-
дискриминаторы, приближенно реализующие характеристику (8.29), в ко-
которых для отсчета используют не короткие импульсы, а сравни-
сравнительно широкие импульсы вилки, причем нормировка производит-
производится только схемой АРУ приемника, т. е. .неидеально. Процессы
в дискриминаторе (и приемопередатчике) в каждом периоде по-
посылок протекают следующим образом (рис. 8Л2).
Норреляторы (усилители
совпадений)
ОИ
От синтезатора
задержки
Рис. 8.12. Схема временного дискриминатора и процессы в нем
284
На вход приемника поступает ответный импульс (ОИ) спустя
время т относительно запросного импульса (ЗИ). Ответный им-
импульс на выходе оптимального приемника (фильтра) ОИВых> пов-
повторяющий по форме корреляционный интеграл, как было показано
ранее, запаздывает относительно входного на время to/2 (относи-
(относительно его середины) или to (относительно его начала). Этот им-
лульс поступает на два коррелятора; опорным сигналом первого
является имлулыс вилки I, поступающий с выхода синтезатора за-
задержки с запаздыванием т° относительно ЗИ, а у второго импульс
вилки II, дополнительно задержанный на Дто. Середине импуль-
импульсов вилки соответствует положение т°+Ато/2 следящего импульса
(СИ). Одновременно с импульсами вилки формируется широкий
строб для пропускания выходных сигналов приемника на схему
АРУ и обнаружитель СПЗ (селекция по дальности). Напряжения
с выходов корреляторов подаются на схему вычитания и ФНЧ,
реально представляющих собой цепь заряда-разряда конденса-
конденсатора. Степень заряда или разряда определяется площадью перек-
перекрытия ОИвых с импульсами вилки: часть ОИВых, совпадающая с
импульсом I, идет на разряд конденсатора, а совпадающая с им-
импульсом II — на заряд.
Таким образом, напряжение Д?/ на выходе дискриминатора
определяется не разностью отсчетов сигнала в разнесенных точ-
точках, как это требуется согласно формуле (8.29), а разностью пло-
площадей перекрытия, что несколько изменяет характеристику диск-
дискриминатора. При малых рассогласованиях %'= (т + to/2) — (т° +
+ ?о/2)=т—т° и Дто = *о между ОИВЫх и серединой импульсов
вилки характеристика линейна, а знак зависит от стороны рассог-
рассогласования (в данном случае т°<т и AU>0). В установившемся
режиме слежения среднее значение рассогласования т/==т—т° рав-
равно нулю и текущее положение следящего импульса т° (t) стано-
становится оценкой времени запаздывания %(t)—M[x(t)] ===та(/), т. е.
дальности.
Для формирования следящих импульсов (точнее, импульсов
вилки I)., задержанных относительно запросных на время т°, про-
пропорциональное показаниям UR (или NR) формирователя оценки,
используются аналоговые (или цифровые) синтезаторы задержки.
Простейшие импульсные синтезаторы задержки работают следую-
следующим образом (рис. 8J13).
В аналоговом импульсном синтезаторе задержки с поступлени-
поступлением очередного запросного импульса вырабатывается линейно на-
нарастающее напряжение [/=й? с помощью специального генератора.
Благодаря диоду, закрытому напряжением UR, которое поступает
с выхода аналогового формирователя, ток через нагрузку генера-
генератора вначале не протекает. Нагрузкой является трансформатор
входной цепи заторможенного генератора импульсов (например,
блокинг-генератора). Как только линейно нарастающее напряже-
напряжение достигнет значения ?/л, диод открывается, пропуская ток че-
через трансформатор. Генератор импульсов срабатывает и выдает
СИ, задержанный относительно ЗИ на время %°=UR/ky что и тре~
285
Рис. 8.13. Схемы синтезаторов задержки, управляемые напряжением (а) и ко*
дом (б)
бовалось. К следующему периоду посылок линейно нарастающее
напряжение спадает до нуля, и все повторяется в приведенной
последовательности.
В цифровом варианте импульсного синтезатора генератор ли-
линейно нарастающего напряжения заменен счетчиком импульсов.
Показания счетчика N=FC4t с приходом ЗИ линейно нарастают
благодаря поступлению на его вход счетных импульсов частоты
FCh через вентиль, открываемый управляющим триггером. Перед
началом работы счетчика в нем устанавливается в дополнитель-
дополнительном коде число NR, поступающее от цифрового формирователя
оценки. Так как добавление NR равносильно его вычитанию, с
поступлением на вход N=NR импульсов счетчик устанавливается
в нулевое состояние, а на выходе его старшего разряда появляет-
появляется импульс переполнения. Этот импульс и является СИ, так как
Отстоит от ЗИ на время %° = NRIFC4. Одновременно он поступает
на инверсный вход управляющего триггера, прекращая поступле-
поступление счетных импульсов на вход счетчика, и через специальную
схему (не показанную на рисунке) вновь вводит число NR. Син-
Синтезатор подготовлен к новому циклу.
Цифровой синтезатор задержки сохраняет линейность и высо-
высокую точность при сколь угодно большой задержке (дальности от-
отслеживаемого объекта). Точность его определяется стабильностью
и значением частоты FQ4, задаваемой высокостабильным генерато-
генератором, параметры которого выбираются при проектировании. Точ-
Точность же аналогового импульсного синтезатора очень низкая, осо-
особенно при больших задержках, так как вырабатываемое в них
напряжение лишь приближенно можно считать линейным (это —
начальный участок экспоненты), а колебания напряжения вызы-
вызывают значительный разброс времени срабатывания генератора
СИ. Такие синтезаторы применяют лишь при измерении сравни-
сравнительно небольших расстояний — не более нескольких десятков
километров.
286
В следящих измерителях больших дальностей используют бо-
более сложные синтезаторы задержки, в которых следящие импуль-
импульсы, как и запросные, формируются из синусоидальных колебаний.
При этом следящие импульсы формируются из колебаний часто-
частоты ©о, которые сдвинуты по фазе на «р°, что соответствует сдвигу
сформированных следящих импульсов относительно запросных
на т°='ф%о. Сдвиг фазы выполняется с помощью фазовраща-
фазовращателя, механически перестраиваемого электродвигателем, либо уп-
управляемого генератора синусоидальных колебаний. В первом слу-
случае скорость вращения двигателя, а во втором частота колебаний
пропорциональны приложенному к ним напряжению. Поэтому при-
применительно к фазе ф° или параметру т° выполняется операция ин-
интегрирования, т. е. эти каскады выполняют также роль последне-
последнего интегратора в формирователе оценки СИД. Для обеспечения
высокой точности эти синтезаторы работают на частоте, во много
раз превышающей частоту повторения импульсов. Однозначность
отсчета обеспечивается делением этой частоты до частоты повто-
повторения, для чего кроме делителей требуются схемы привязки, иск-
исключающие паразитные сдвиги в делителях. В результате все уст-
устройство значительно усложняется.
8.6. СЛЕДЯЩИЕ ИЗМЕРИТЕЛИ
СКОРОСТИ
Следящие измерители скорости (СИС) предназначены для от-
отслеживания (оценки), с точностью до некоторого постоянного зна-
значения, текущей частоты принимаемого сигнала, которая содержит
доплеравский сдвиг /% пропорциональный радиальной скорости.
Частота вырабатываемых СИС колебаний повторяет сравнитель-
сравнительно медленные, закономерные изменения частоты входного сигна-
сигнала, а случайные флюктуации, вызываемые шумами, сглаживаются.
Таким образом, следящий измеритель скорости эквивалентен уз-
узкополосному частотному фильтру, медленно перестраиваемому в
такт с изменением доплеровского сдвига частоты входного сигна-
сигнала F(t). Структура СИС определяется двумя его особенностями.
1. СИС используется одновременно для поддержания постоян-
постоянной частоты (и фазы) сигнала в УПЧ основного канала приема
измерительной системы. Благодаря этому оптимальная фильтра-
фильтрация сигнала производится на постоянной промежуточной частоте,
что особенно важно при использовании сигналов сложной формы,
для которых трудно создать перестраиваемый согласованный
фильтр. Ввиду этого частота вырабатываемого СИС колебания
fT (t)=f(t)±f0 отличается от оценки f(t) текущей частоты вход-
входного сигнала на постоянную величину /о, а перестройка приемни-
приемника по частоте производится гетеродинированием принимаемых сиг-
сигналов. Частота гетеродинного напряжения fr изменяется в такт с
частотой входного сигнала с помощью схемы автоподстройки, что
и обеспечивает постоянство промежуточной частоты f0.
28/
ч Общий сигнал j-
Рис. 8.14 Схема следящего
измерителя радиальной скоро-
скорости
Дискриминатор f01 f>0 I
Синтезатор
частоты
Отмеченная особенность СИС отражается в его структурной
схеме (рис. 8.14). Используется разнесенный дискриминатор в ви-
виде перестраиваемого смесителя (См) с УПЧ и неперестраиваемо-
го различителя (Р), настроенного на постоянное опорное значе-
значение промежуточной частоты /0- В УПЧ с постоянной настройкой
производится основное усиление и фильтрация сигнала (а также
нормировка с помощью схемы АРУ, общей для всех следящих
измерителей системы). Схема поиска и захвата, также входящая
в общий канал, дополнительно к поиску по дальности производит
поиск по частоте путем перестройки синтезатора частоты через
формирователь оценки.
При описании функциональной схемы СИС удобнее пользо-
пользоваться не комплексной огибающей, а реальным высокочастотным
сигналом. Для простоты описания процессов в схеме предполо-
предположим, что принимаемый сигнал, как и вырабатываемое синтезато-
синтезатором частоты гетеродинное напряжение, являются гармоническими
колебаниями
«е ('0 = ?/с COS фс
, Ur(t) =
(t) ,
~ текущие
| с, фг @=2я j7r (f)d
фазы колебаний на частоте входного сигнала f(t) и гетеродина
/г (t) соответственно. На выходе смесителя при /г >/ образуют-
образуются колебания суммарной и разностной частот
ис иГ- ф Uc Ur/2) {cos [Фг @ + Фс (*)] + cos (Фг @ — Фс @1),
из которых в УПЧ получаем сигнал промежуточной (разностной)
частоты
uv(t) =Upcosq)p(t),
где Uv = kUcUr /2 — амплитуда разностного сигнала; q>p{t) =
t
=2п J Mt')dt'+<рор — его текущая фаза; fv=fr—f — разностная
о
(промежуточная) частота; фоР = фог—фос — начальная фаза раз-
разностного сигнала.
2. В СИС используют два типа различителей: частотный и фа-
фазовый. На выходе частотного или фазового различителя соответ-
соответственно имеем
288
Щфр — фо),
где fo — частота настройки частотного различителя; ф0 — фаза
опорного сигнала фазового различителя. В соответствии с типом
различителя СИС бывают с частотной (ЧАП) или фазовой (ФАП)
автоподстройкой. Установившемуся режиму AU=AN=0 в следя-
следящих измерителях скорости с ЧАП соответствует равенство про»
межуточной и переходной частоты: M[fp]=f0 и /г =f+fo, а в сле-
следящих измерителях скорости с ФАП — равенство фаз фР=фо^
которое также достигается при Л1[/р]=/0 и /г =/ + /<,, так как ра-
равенство текущих фаз двух колебаний возможно только при равен-
равенстве их частот. Поскольку 7@ =|/изл + ^ @» оценка текущей ско-
скорости — доплеровского сдвига частоты P(t)=f[t)—/ИЗл, где /Изл —
частота излучаемых колебаний.
Таким образом, следящие измерители скорости с ЧАЛ и с
ФАП в определенном смысле эквивалентны. Основное различие
их состоит в том, что рассогласование в фазовом различителе яв-
является результатом набега фазы, возникающего вследствие раз-
разности частот /р—/о, т. е. пропорционально интегралу от этой раз-
разности. Ввиду этого фазовый различитель применительно к изме-
измеряемому параметру — частоте — эквивалентен последовательно-
последовательному соединению частотного различителя и интегратора.
Учитывая обе особенности СИС, приходим к выводу, что по
сравнению со структурной схемой следящего измерителя общею»
вида в СИС отсутствует поэлементное разделение функций. Так,
смеситель совместно с настроенным частотным различителен* яв-
является перестраиваемым частотным дискриминатором, а смеситель
совместно с настроенным фазовым различителем выполняет функ-
функции перестраиваемого частотного различителя и интегратора^
структурно входящего в формирователь оценки.
Важной особенностью схемы ФАП является эквивалентность
ее узкополосному фильтру, выделяющему несущую сигнала с точ-
точностью до фазы, что позволяет использовать выходной сигнал схе^
мы ФАП в качестве опорного для синхронных детекторов.
Аналоговые частотные различители выполняются в виде фильт-
фильтра с фиксированной переходной частотой (частотой настройки на
нуль его характеристики), а фазовые являются корреляторами, на
которые подается опорное напряжение заданной частоты и фазы„
Наиболее широко в СИС используется амплитудно-частотный
дискриминатор, имеющий характеристику разностного амплитуд-
амплитудного дискриминатора общего вида
D (f —f) = k Г ^ [/р — (/о + А /о/^)] — Zs\h — (/о — А/о/2)] ,g 30>
1/Р '0) 2 Zs(h-fo) ' V * ;
где /о — частота настройки различителя; Af0 — разнос по часто-
частоте настройки двух резонансных фильтров (рис. 8.15,а}^
В соответствии с формулой (8.30) амплитудно-частотный раз-
различитель включает два резонансных фильтра, симметрично рас-
расстроенных на Afo/2 относительно переходной частоты /0, на выходе
которых стоят детекторы (Д), и схему вычитания. При этом пред-
предполагается, что нормировка производится в общем, приемной
10—94 293
4-1
ос
ОС/
fo+Afft/Z
fo-Щ/г
А
А
Щ-fo)'
/ fpSo
Рис. 8.15. Аналоговый (а) и цифровой (б) частотные различители
тракте, настроенном на частоту /0, с помощью схем АРУ. В прин-
принципе детектирование необходимо производить с помощью синх-
синхронных детекторов, однако ввиду узкополосности входных фильт-
фильтров обеспечивается высокое отношение сигнал-шум и почти без
потерь можно ограничиться амплитудными детекторами. Опти-
Оптимальный разнос Afo соответствует пересечению АЧХ двух фильт-
гров в точках перегиба, где их крутизна максимальна.
iB фазочастотном аналоговом различителе, -представляющем со-
собой фазовый детектор, сигнал подается на один вход через резо-
резонансный фильтр, настроенный на частоту /о, а на другой — че-
через фазовращатель на я/2. По своим характеристикам он прибли-
приближается к амплитудно-частотному, хотя его структура не вытекает
из описанных выше схем дискриминаторов общего вида.
Цифровые частотные различители строятся на базе частотоме-
частотомера или периодомера. Цифровой частотный различитель — часто-
частотомер — подсчитывает число импульсов разностной частоты N —
'—ifpjTo, поступающих на счетчик в течение мерного интервала
времени Го, определяемого импульсами начала (н) и конца (к)
этого интервала (рис. 8.15,6)* Переходной частоте различителя /о
соответствует число No—foTo, которое перед каждым новым цик-
циклом счета устанавливается в счетчике в дополнительном коде.
Число, выдаваемое на выход различителя, AN=N—А/"о = Го(/р—/о)
в каждом цикле счета пропорционально разности текущей часто-
частоты fp в УПЧ и переходной частоты различителя /о-
В конце счета задержанный импульс 'конца интервала про-
производит считывание показаний частотного различителя AN и ус-
установку исходного числа Л^о. Положительные AN выдаются в пря-
прямом коде, отрицательные — в дополнительном. Переходную час-
частоту fo=No/To в цифровом частотном различителе в отличие от
аналогового можно сделать высокостабильной путем формирова-
формирования импульсов начала и конца интервала, определяющих мерный
^интервал Го, из колебаний стабилизированного эталона частоты.
290
Однако при ограниченном Го погрешность такого частотного р
личителя, определяемая дискретностью отсчета частоты S/=1/2V
может оказаться недопустимо большой, ввиду чего используют
цифровые частотные различители — периодомеры. Периодомер
значительно сложнее частотомера, но обладает повышенной* точ-
точностью, особенно при измерении низких частот.
Фазовый аналоговый различитель состоит из фазового детек-
детектора (ФД), на который кроме входного сигнала частоты /р и фазы
Фр через фазовращатель на я/2 подается опорное напряжение час-
частоты /о и фазы фо (рис. 8.16,а). Сдвиг фазы на я/2 в отличие отг
коррелятора канала обнаружения, который при отсутствии рас-
рассогласования между входным и опорным сигналами дает макси-
максимальный выходной сигнал, обеспечивает нулевой сигнал рассогла-
рассогласования. Фазовый аналоговый различитель проще частотного ж
обладает в принципе более высокой точностью. Стабильность его
переходной частоты определяется стабильностью общего для всей
станции стабилизированного задающего генератора, в то время
как переходная частота аналогового частотного различителя оп-
определяется параметрами контуров, которые испытывают случай-
случайные изменения под воздействием внешних условий.
Однако измерителям с ФАП присущи специфические погреш-
погрешности, вызываемые периодичностью характеристики фазового дис-
дискриминатора. При большом отношении сигнал-шум рабочей об-
областью является линейная часть характеристики дискриминатбраг^
которую с помощью специальных мер можно расширить до 2л*.
Однакопри малых отношениях сигнал-шум случайные рассогла-
рассогласования выходят за пределы линейного участка характеристики ив
линейная аппроксимация следящего измерителя становится не-
неприемлемой. Действительно, при случайных отклонениях фазы
входного сигнала от фазы опорных колебаний, превышающих пш
абсолютному значению я, следящая система может перейти в но-
новую точку устойчивого равновесия, отстоящую от прежней на?
2пп. Это эквивалентно соответствующему скачку фазы гетеродин-
fp
ff<°h
Го
rt/Z
1
ФД.
-2tf,
?9
fp-fo
Г
vt
I 1
Fr,
f
->
^^/fe
Счетчик
импульсоб
Съем
Вентили
съема
AM
ю
Рис. 8.16. Аналоговый (а) и цифровой (б) фазовые различители
1Q*
29ST
напряжения, вырабатываемого синтезатором частоты. Часто-
Частота его колебаний испытывает случайные изменения.
Если статистическая погрешность системы отсутствует, то сред-
среднее число выбросов фазы, выходящих за пределы —л и +я, оди-
одинаково, т. е. положительные и отрицательные скачки фазы гете-
гетеродинного рапряжения равновероятны. Поэтому средний уход час-
частоты выходного напряжения следящего измерителя скорости с_
ФАП равен нулю независимо от отношения сигнал-шум. При на-
наличии статической погрешности по фазе фст (см. рис. 8Л6,а) пе-
перескок в новую точку устойчивого состояния системы при поло-
положительных и отрицательных отклонениях фазы будет происходить
с неодинаковой частотой. При положительных отклонениях скач-
скачку фазы достаточно превысить величину |зт—<рст|, при отрицатель-
отрицательных отклонениях — величину |я + фст|. Такая неравномерность
перескоков фазы приводит к смещению средней частоты гетеро-
гетеродинного напряжения по отношению к частоте входного сигнала, в
результате точность отслеживания- (оценки) доплеровской часто-
частоты и радиальной скорости снижается. Погрешность зависит от
-статического смещения фазы и отношения сигнал-шум. При боль-
больших фст смещение частоты гетеродинных колебаний значительно
даже при больших отношениях сигнал-шум.
Системы с ЧАП не имеют ошибок, связанных с перескоками
фазы, но не обеспечивают высокой точности. Для того чтобы реа-
реализовать высокую точность измерений и исключить влияние перес-
жоков фазы, в СИС применяют комбинацию ЧАП и ФАП — схе-
схему ЧФАП. В этой схеме кольцо ЧАП обеспечивает предваритель-
предварительную грубую подстройку частоты, благодаря которой большие от-
отклонения фазы исключаются, и стоящее за схемой ЧАП кольцо
ФАП производит точное отслеживание частоты в отсутствие пере-
перескоков фазы.
Цифровой фазовый различитель основан на преобразовании
разности фаз между колебаниями разностной и опорной частот
д<р;=фр—ф0 во временной интервал с последующим заполнением
его счетными импульсами, поступающими с частотой FC4- Число
AN, снимаемое со счетчика, пропорционально разности фаз, т. е.
цифровой фазовый дискриминатор в отличие от аналогового име-
имеет линейную характеристику на интервале однозначности —я, я.
^Синусоидальные колебания разностной и опорной частот про-
жщдт через делители частоты, преобразуются в остроконечные
гимпульсы, которые с помощью управляющего триггера и вентиля
определяют время прохождения счетных импульсов на счетчик
{рис. 8Л6,б). Благодаря делителям частоты период сравниваемых
жолебаний возрастает в т раз и во столько же раз уменьшается
-ошибка, вносимая дискретностью отсчета фазы 6q> = 2ttfo/mFC4' При
этом временной интервал тДф/2я/о, соответствующий сдвигу фазы
Дф на частоте f^tn, представляется числом AN=*(>mA<pl2nfo)Fc4 на
выходе счетчика.
Для того чтобы учесть знак разности фаз и обеспечить нор-
нормальную работу схемы вблизи Дф = 0 (наиболее ответственный
:292
участок характеристики дискриминатора), производят сдвиг фазы
опорного колебания на —я, что соответствует упреждению опор-
опорного импульса на полпериода, т. е. «a m/2f0, при нулевом рассог-
рассогласовании по фазе между сравниваемыми колебаниями. В тече-
течение этого интервала времени на счетчике, открываемом импуль-
импульсами опорного канала, установится число Мя=РСчГп/210, а не нуль,
как требуется. Чтобы скомпенсировать его, в счетчике перед на-
началом счета устанавливается число Nn (в дополнительном коде).
Благодаря этому положительное рассогласование AN снимается с
фазового различителя в прямом коде, а отрицательное — в допол-
дополнительном.
Линейность характеристики на всем интервале однозначности
—от, л является преимуществом цифрового фазового дискримина-
дискриминатора перед аналоговым. Однако неоднозначность и перескоки фа-
фазы при сильных возмущениях сохраняют свою силу.
Синтезаторы частоты также выполняются в аналоговом и циф-
цифровом вариантах. В качестве аналогового синтезатора частоты
обычно используется автогенератор синусоидальных колебаний
(гетеродин), управляемый по частоте напряжением с помощью
реактивной лампы или полупроводникового диода с управляемой
емкостью р—/г-перехода. Зависимость частоты гетеродина /г от
приложенного напряжения линейна лишь в небольшом интер-
интервале относительно исходной /г0. В этих пределах синтезатор ча-
частоты можно считать (безынерционным передаточным звеном с по-
постоянным коэффициентом передачи k, т. е. частота колебаний
где Uv — управляющее напряжение, которое поступает с выхода
аналогового формирователя, пропорциональное радиальной ско-
скорости объекта, a kUv— измеренное (отслеженное) значение доп-
леровской частоты.
Задачей цифровых синтезаторов частоты является формиро-
формирование гетеродинных синусоидальных колебаний частоты
где А/у — управляющее число, пропорциональное скорости, сни-
снимаемое с выходного регистра цифрового формирователя оценки;
б/ — дискретность отсчета частоты. Существует несколько видов
цифровых синтезаторов частоты. Однако наиболее точным из них
является синтезатор частоты, который представляет собой обыч-
обычную аналоговую схему ФАП с перестраиваемым делителем часто-
частоты в цепи обратной связи, управляемым выходным числом фор-
формирователя оценки Nv (рис. 8.17). Благодаря замкнутой цепи ре-
регулирования фазовый детектор — управляющий каскад — управ-
управляемый генератор (ФД — УК — УГ) через смеситель (См) и пе-
перестраиваемый делитель частоты в установившемся режиме ча-
частота колебаний на выходе перестраиваемого делителя поддер-
поддерживается равной частоте f2=M6f одного из двух выходных на-
напряжений генератора эталонных частот. Следовательно, частота
293*
И,.
f
Щ
\
ФД
CM
V
T
УК
N
/
УГ
Генератор
эталонных
частот
Mf
го*
1 '
f /
/f/M
/ГО ~^Ny U f
Рис. 8.17. Схема цифрового синтезатора частоты с делителем частоты в цепш
обратной связи
колебаний на входе перестраиваемого делителя с коэффициен-
коэффициентом деления 1 : Л/V равна NvMdf, а на выходе управляемого ге-
генератора Mfro+MNv6f, что и на первом входе смесителя, так как
на его второй вход подается опорное напряжение частоты fi=Mfr&i
с другого выхода генератора эталонных частот. Делитель частоты
с постоянным коэффициентом деления 1 : М_ выдает гетеродинное
колебание частоты fr~fro + Nv6fr что и требуется.
Стабильность частоты выходных колебаний замкнутого синте-
синтезатора частоты определяется стабильностью генератора эталон-
эталонных частот, который как более высокодобротная система стабили-
стабилизирует частоту колебаний управляемого генератора. Таким обра-
образом, в цифровых синтезаторах частоты реализуется новое каче-
качество благодаря разделению функций перестройки и стабилиза-
стабилизации частоты между различными элементами схемы: перестройка*
достигается выбором одной из фиксированных частот при смене
числа А/у, а высокая стабильность сменных фиксированных ча-
частот обеспечивается благодаря автоподстройке под частоту непе-
рестраиваемого эталонного генератора. В аналоговых системах
противоречие между требованиями легкой управляемости и высо-
высокой стабильности частоты вырабатываемых колебаний принципи-
принципиально неразрешимо: частота управляемого генератора одинакова
легко изменяется под воздействием как управляющего напряже-
напряжения, так и случайных шумов. Замкнутая аналоговая система в
конечном счете caiMa выбирает любые возмущения, однако для
этого она должна иметь достаточно широкую эффективную по-
полосу, пропускающую шумовые изменения частоты и, следователь-
следовательно, снижающую точность аналогового СИС. Цифровым СИС
свойственны ошибки квантования частоты, которые, однако, проек-
проектировщиком могут быть сведены к допустимому значению.
Для снижения ошибок, вызываемых квантованием, шаг час-
частоты б/ берется достаточно малым — единицы или доли герц. Не-
Непосредственно на столь низких частотах фазовый детектор рабо-
работает плохо: постоянная времени его фильтра, которая должна?
быть равна нескольким периодам сравниваемых колебаний, мо-
может достигать нескольких секунд, ввиду чего время установления^
процессов в кольце ФАП при смене числа Nv получается недопу-
недопустимо большим. Поэтому частоту опорных колебаний фазового^
294
детектора f2=M6f берут во много раз больше шага частоты 6f,
во столько же раз завышают и частоту /г по сравнению с fro,
я на выходе синтезатора частоты ставят делитель частоты с фик-
фиксированным коэффициентом деления 1/М.
Перестраиваемый делитель частоты, являющийся основным
элементом синтезатора, обычно выполняется на счетчике-делите-
счетчике-делителе, на вход которого поступают короткие импульсы, сформиро-
сформированные из синусоидальных колебаний частоты MNvdf- Счетчик-
делитель представляет собой о1бычный двоичный счетчик, в кото-
котором перед началом счета вводится управляющее число Nv (в до-
дополнительном коде Ny) с помощью специальной схемы ввода. С
поступлением на счетчик Nv входных импульсов во всех разря-
разрядах счетчика устанавливается нулевое состояние iVy+AV=0, a
ла выходе появится импульс переполнения. _Этот импульс через
схему ввода вновь запишет в счетчик число Nv, и следующий им-
лульс переполнения вновь появится после поступления Nv оче-
очередных импульсов. Следовательно, частота следования импуль-
импульсов переполнения на выходе счетчика в Nv раз меньше, чем на
входе, что и требуется. При этом фазовый детектор можно за-
заменить временным различителем, не нарушая принципа работы
схемы. Обычно коэффициент деления счетчика-делителя ограни-
ограничен. Для изменения частоты в широких пределах используются
синтезаторы частоты с двумя и более счетчиками-делителями:
одним счетчи'ком управляют младшие разряды числа Nv, дру-
гим— старшие.
8.7. СЛЕДЯЩИЕ ИЗМЕРИТЕЛИ
НАПРАВЛЕНИЯ
Следящие измерители направления (СИН) определяют теку-
текущие угловые координаты объекта путем непрерывного отслежи-
отслеживания направления прихода волны ux(t), uy(t) опорным направ-
направлением антенны u°x(t), u°y(t). В режиме слежения опорное нап-
направление отслеживает лишь плавные, закономерные изменения
угловых координат, а случайные возмущения подавляются; при
этом положение опорного направления становится оценкой на-
направления па объект: u°^{t)=u^{t), u°y{t)=uy(t). Поскольку
угловых координат две, используют два контура слежения, ко-
которые почти всегда независимы. Следящий измеритель направле-
направления включает угловой дискриминатор, формирователь оценки и
синтезатор поворота, а также схему поиска по направлению. Об-
Обнаружитель с реле захвата СПЗ общий для всех следящих изме-
измерителей, входящих в данную систему.
Для захвата сигнала объекта следящей измерительной систе-
системой необходим поиск в четырехмерном пространстве параметров
сигнала, т. е. по дальности, радиальной скорости и обеим угло-
угловым координатам. Так как на это потребовались бы недопустимо
большие затраты времени, всемерно сокращают диапазон поиска,
295~
. используя априорную информацию. Эта информация поступает
либо от специальных обзорных систем, либо от самой измеритель-
измерительной системы, работающей первоначально в режиме обзора. Пони-
Пониженные требования к точности обзорных систем и отсутствие не-
необходимости поиска по дальности (а иногда и скорости) значи-
значительно сокращают затраты времени на обзор всей зоны.
Управление положением опорного направления выполняется с
помощью синтезатора поворота либо механическим разворотом
всей антенны, либо электрическим смещением антенных лучей от-
относительно неподвижной решетки. В соответствии с этим сами
синтезаторы поворота подразделяют на механические и электрон-
электронные. Механический синтезатор поворота — электродвигатель ан-
антенного привода — одновременно выполняет и роль последнего ин-
интегратора в схеме формирователя оценки, так как его угловая
скорость пропорциональна приложенному напряжению, а сам
угол — интегралу от него. Электронные синтезаторы поворота уп-
управляют фазовращателями антенной решетки, электрически сме-
щающими опорное направление. Они подразделяются на аналого-
аналоговые и цифровые: первые под воздействием выходного сигнала
формирователя оценки вырабатывают управляющие напряжения
фазовращателей, вторые — управляющий код, разный для фазо-
фазовращателей различных элементов решетки. Следовательно, вы-
выходное напряжение или код формирователя оценки преобразу-
преобразуются в управляющие напряжения или коды для каждого фазо-
фазовращателя.
Основным элементом СИН является угловой дискриминатор.
Он охватывает почти все элементы приемного тракта системы,
включая антенну. Угловые дискриминаторы могут быть любого
вида, свойственного дискриминаторам вообще: пространственного
фильтра или пространственного коррелятора, оптимального или
подоптимального. В последнем случае они подразделяются на ам-
амплитудные или фазовые, линейные (аддитивные) или нелиней-
нелинейные (мультипликативные). Кроме того, по способу образования
сигнала рассогласования (параллельный или последовательный)
подоптимальные угловые дискриминаторы разделяют на много-
многоканальные (моноимпульсные) и одноканальные (сканирующие).
В многоканальных дискриминаторах сигнал углового рассогласо-
рассогласования вырабатывается в результате одновременного сравнения
сигналов нескольких каналов приема с приемом даже одного им-
импульса (откуда они и получили название моноимпульсных). В
одноканальных системах сканирующий антенный луч, последова-
последовательно занимая различные положения относительно опорного на-
направления, позволяет получить сигнал рассогласования путем
сравнения амплитуды сигналов в различные моменты времени.
Для получения сигнала рассогласования требуется время не мень-
меньше одного периода сканирования. Широкое распространение по-
получили одноканальные СИН с коническим сканированием, при
KOTOpOiM ^максимум антенного луча описывает в пространстве ко-
296
ническую поверхность относительно опорного (равносигнального)
направления.
В СИН с независимыми каналами слежения по каждой из
двух угловых координат в принципе достаточно рассмотреть од-
одномерный угловой дискриминатор. Структура одномерного моди-
модифицированного оптимального углового дискриминатора в любом
из двух каналов, измеряющих их или иу, согласно общей форму-
формуле (8.16) определяется его характеристикой
D (их>у—и°х> у) = —KiZ'8(ux, у—и°х, у) /Z8 (их> у—и°х, у). (8.31)
Входная смесь X(vXiV) = U0G(vXj у) exp (}2nvx>yuX} y)+N в каж-
каждой точке раскрыва vx или vy содержит сигнал, зависящий от на-
направления прихода волны иХгУ и неизвестного амплитудного мно-
множителя ?/о, и шум N, пересчитанный на вход антенны, который
полагаем независимым от координаты раскрыва и направления
приема (не коррелированный в пространстве). Бели система на-
настроена на направление и°х,у, то при симметричной функции ра-
раскрыва огибающая пространственного корреляционного интегра-
интеграла имеет вид
= ]x(vx,y)G*(vx,y)exp[Jnvx,y(ux,y—u°xy)]dvx,y, (8.32)
—^ оо
а ее производная
vx,y) {'] 2nvXfyG* (vx,y) exp [j 2nvx,y (ux,y~u°x y)]} dvx,y.
(8.33)
Таким образом, для формирования сигнала углового рассо-
рассогласования необходимо иметь опорный канал с пространственной
функцией передачи
Но {vx, у) = G* (vx, у) exp (—\2nvx, yu°X) у) (8.34)
и измерительный канал с функцией передачи
-Нх (vXt у) =]2nKiVx, yG* (vx, у) exp (—]2nvx, yu°Xj y). (8.35)
Оптимальный угловой дискриминатор можно построить толь-
только на основе ФАР, т. е. при дискретном отсчете координаты vx>yi.
При вещественной и симметричной функции раскрыва ФАР ко-
коэффициент передачи для t-ro элемента ФАР в опорном канале
Bi=B(vXt у г) = Gi=B-U (8.36)
в измерительном канале (с учетом коэффициента Ki формулы
(8.31))
B'i=B' (vx, у i) =-2nKxVx, у iGi=—B'-if (8.37)
297
\
в< у-в.
1 а
вг в!2
К обнаружители?
Приемник
опорного
канала
Рис. 8.18. Одномерный оптимальный угловой дискриминатор в составе следя-
следящего измерителя направления
т. е. имеет нечетную симметрию. Кроме того, учитывая множи-
множитель /=ехр(]*я/2) в формуле (8.35), в измерительном канале не-
необходимо поставить фазовращатель на л;/2. Настройка обоих ка-
каналов, опорного и измерительного, на заданное направление
и°х, у достигается изменением крутизны линейного по раскрыву
набега фазы с помощью перестраиваемых фазовращателей.
Из полученных соотношений непосредственно вытекает струк-
структура одномерного оптимального углового дискриминатора и СИН
в целом. В качестве примера на рис. 8.18 показан угловой дис-
дискриминатор типа пространственного фильтра, в котором для вво-
ввода отрицательных весовых коэффициентов измерительного кана-
канала используется вычитающее устройство, а в опорном приемном
канале через антенный переключатель (АП) подключен передат-
передатчик системы. Приемники опорного и измерительного каналов од-
однотипны, содержат преобразователи частоты, селекторы по даль-
дальности и схему ЧФАП (не показанные на схеме). В них произво-
производится оптимальная временная фильтрация сигналов и нормиров-
нормировка с помощью схемы АРУ по сигналу опорного канала. Опорный
канал представляет собой уже рассмотренный в гл. 4 оптималь-
оптимальный пространственно-временной фильтр. Дополнительные отводы
с весовыми коэффициентами В\ и последующие цепи образуют
измерительный (разностный) канал, в котором сигнал опорного
канала используется в качестве опорного напряжения синхронно-
синхронного детектора (СД). Это позволяет определить знак углового рас-
рассогласования по полярности выходного сигнала СД, а величину
рассогласования — по его абсолютному значению. Выходной сиг-
сигнал СД обычно имеет вид коротких импульсов, из которых бла-
благодаря стрО'бированию приемников (селекции) по дальности вы-
выделяется постоянная составляющая, являющаяся входным воздей-
298
ствием аналогового формирователя оценки, а перед цифровым фор-
формирователем оценки выходной сигнал СД преобразуется в код.
Отличие углового дискриминатора типа пространственного
жоррелятора состоит только в том, что фазовращатели, через ко-
которые проходят входные сигналы элементов ФАР, заменены сме-
смесителями, опорные сигналы которых подаются от блока фазовра-
фазовращателей, входящих в этом случае в состав синтезатора поворота.
Совершенно аналогично можно построить на ФАР подопти-
мальные линейные угловые дискриминаторы, которые ло своим
характеристикам уступают оптимальным дискриминаторам, в то
время как аппаратура не упрощается. Поэтому подоптимальные
угловые дискриминаторы целесообразно создавать только на ос-
лове зеркальных антенн, когда оптимальную структуру реализо-
реализовать невозможно. Подоптимальные одномерные линейные угло-
угловые дискриминаторы на зеркальных антеннах (амплитудные и
фазовые) также содержат опорный и измерительный каналы, на
которые сигналы, воспринимаемые облучателями антенны, посту-
лают через суммарно-разностный мост (рис. 8.19). В угловых
дискриминаторах используют суммарно-разностные мосты различ-
лых типов (на (рисунке изображен кольцевой).
Амплитудные разностные угловые дискриминаторы (рис.
>8.19,а) строятся на двухзеркальных антеннах Кассегрена, а сум-
суммарно-разностные (рис. 8.19,6)—на двух- и однозеркальных (по-
АЛ
Приемник
опорного
канала
Приемник
измерительного
канала
К оёнаружителю,
СИД и СИС ч
АРУ
сд
К (рорми-
оценки
Рис. 8.19. Схемы одномерного подоптимального разностного амплитудного уг-
углового дискриминатора (а) и входные' части суммарно-разностного амплитудно-
амплитудного {б) и фазового (в) угловых дискриминаторов на зеркальных антеннах
299
казана только входная часть,' отделенная на рис. 8.19,а штрих-
пунктирной линией). Двухзерка-льные антенны удобны тем, что
максимально сокращена протяженность фидеров перед суммар-
суммарно-разностным мостом, а следовательно, исключаются погрешно-
погрешности, вносимые неидентичностью их характеристик. Кроме того,
уменьшается продольный размер антенны, который у длиннофо-
длиннофокусных однозеркальных антенн достаточно велик. Плоский контр-
контррефлектор суммарно-разностной схемы как бы выносит облуча-
облучатели в то место относительно основного зеркала, где у однозер-
кальной антенны располагаются реальные излучатели. Затенение
основного зеркала контррефлектором можно практически полно-
полностью исключить, выбрав специальную конструкцию обоих зер-
зеркал. Максимальная точность суммарно-разностного дискримина-
дискриминатора достигается при сравнительно большом разносе лучей, когда
суммарный сигнал резко снижается. В разностном угловом дис-
дискриминаторе этот недостаток устраняется благодаря фокусирую-
фокусирующим свойствам двухзеркальной антенны Кассегрена, сохраняю-
сохраняющим максимальным суммарный сигнал (двухзеркальная антенна
с плоским контррефлектором, эквивалентная однозеркальной,
этим свойством не обладает).
Фазовый линейный угловой дискриминатор отличается от ам-
амплитудного только тем, что антенна состоит из двух одинаковых
зеркал, разнесенных на расстояние Ь, диаграммы направленно-
направленности которых (в дальней зоне) совпадают, а также дополнитель-
дополнительным фазовращателем на jx/2 (рис. 8.19,в). Веек подоптимальным
дискриминаторам на зеркальных антеннах присущ общий недо-
недостаток— невозможность оптимального весового суммирования
сигналов по раскрыву. Однако возникающие при этом потери в
отношении сигнал-шум весьма незначительны.
Обычно угловые дискриминаторы являются двумерными, они
измеряют рассогласование по двум угловым координатам. Оп-
Оптимальный двумерный дискриминатор на кондуктивных плоских
ФАР содержит опорный сигнал, являющийся согласованным про-
пространственно-временным фильтром или коррелятором, описанным
в гл. 4. Двумерный дискриминатор в отличие от одномерного в
канале каждого элемента ФАР имеет по два дополнительных от-
вода с весовыми коэффициентами Вц и B'ij, которые объединяются
в два измерительных канала — для каждой из двух угловых коор-
координат. Опорный канал является общим, а управление фазовра-
фазовращателями производится двумерным синтезатором поворота, фор-
формирующим требуемое распределение фаз по обеим координатам
раскрыва ФАР.
В двумерных дискриминаторах на зеркальных антеннах (рис.
8.20), как правило, используют четыре входных канала — по чис-
числу облучателей. Сигналы этих каналов объединяют в три выход-
выходных канала (опорный и два измерительных) с помощью схемы
линейного преобразования (СЛП). Структура СЛП зависит от
расположения облучателей — рядного или крестообразного. Схе-
300
Приемник
опорного
канала
Приемник
напала
азимита
Приемник
канала
угла места
Приемник
опорного
канала
Приемник
канала
азимута
Приемник
канала
угла места
АРУ\
\АРУ
сд
*)
Рис. 8.20. Схемы двумерного подоптимального суммарно-разностного углового?1
дискриминатора на зеркальных антеннах
мы линейного преобразования дискриминаторов с рядным распо-
расположением облучателей содержат четыре суммарно-разностных
моста, причем разностный выход последнего моста в обеих схе-
мах подключают к поглощающей нагрузке. В ней происходит объ-
объединение сигналов по рядам (правому и левому, верхнему и ниж-
нижнему) с последующим вычитанием, причем в одном из каналов
разность сумм получается из суммы разностей. Фазовые дискри-
дискриминаторы отличаются от амплитудных только антенной и нали-
наличием фазовращателей л а я/2.
Зеркальные антенны двумерных фазовых дискриминаторов па
конструкции, использованию площади раскрыва и форме диаграм-
диаграммы направленности уступают антеннам амплитудных угловых ди-
дискриминаторов, поэтому фазовые линейные дискриминаторы ис-
используют значительно реже амплитудных. Однако амплитудные
угловые дискриминаторы с разнесенными облучателями не обес-
обеспечивают согласования характеристических сопротивлений вол-
волноводов и открытого пространства, в результате ухудшается ко-
коэффициент бегущей волны, возрастают потери, снижается точ-
точность. Поэтому используют однорупорные моноимпульсные облу-
облучатели с возбуждением нескольких типов волн (мод), которые
заменяют обычный четырехрупорный облучатель вместе со схе-
схемой линейного преобразования.
301-
При использование линейно поляризованных волн применяют
рупоры на волноводах квадратного сечения, размеры которых до-
допускают существование четырех низших типов волн: Ню, Шо, Нц»
Еп (рис. 8.21). Волна типа Ню наводится в рупоре вертикально
лоляризованной волной, приходящей с любого направлений в пре-
пределах основного лепестка диаграммы направленности антенны;
она образует опорный сигнал Ео. Волны Н2о, Нц, Еп наводятся
,в рупоре только при несимметричном его возбуждении, т. е. вол-
волной, приходящей под углом к оси зеркала. Колебание Н20 воз-
возбуждается волной, приходящей от смещенного по азимуту объек-
объекта, так как фокусируемый зеркалом максимум облучения (диф-
(дифракционное пятно) смещается при этом из фокуса (центра рупо-
рупора) вправо или влево. Наводимое поле тем интенсивнее, чем боль-
больше азимутальное смещение, а полярность волны Н20 по отноше-
отношению к волне Ню (знак) зависит от стороны смещения. В направ-
направлении оси зеркала условия для возбуждения несимметричной вол-
ьны Н^о отсутствуют, так как максимум возбуждения рупора рас-
располагается строго в центре. Таким образом, волна Н20 дает сиг-
сигнал Еа, который в функции от угла рассогласования образует ха-
характеристику углового дискриминатора по азимуту. К сожале-
жию, при вертикальной поляризации не существует такого типа
{волны, который обеспечивает аналогичную зависимость по углу
.-места. Поэтому сигнал рассогласования по углу места р получа-
получают как сумму волн двух типов Нц и Еп.
Многомодовый облучатель для вертикально поляризованной
волны включает волновод с тремя секциями и рупор. В ближай-
ближайшей к рупору секции квадратного сечения существуют все четы-
четыре типа волн, в широком прямоугольном сечении — волны Нц и
I
1,
'о
tee
Efi
—
ill
c. 8.21. Схема многомодового моноимпульсного облучателя и структура волн
;в нем
302
Ец, a vb секции с узким прямоугольным сечением, являющейся
отводом с для суммарного сигнала Ео, распространяется только
волна Йю. В отводе Ъ второй секции существуют условия для от-
отбора мощности волны Н20, образующей разностный сигнал азиму-
азимута ?а. 6 отводах 01 и а2 квадратной секции волновода отбирается!
разностйый сигнал угла места Е$, наводимый в них волнами Hir
и Ец. Для сохранения симметрии поля в квадратном волноводе
используется не один, а два отвода, синфазные сигналы которых
объединяются в суммарном отводе С дополнительного суммарно^
разностного моста (разностный отвод Р этого моста подключают
к поглощающей нагрузке). Многомодовые моноимпульсные облу-
облучатели отличаются предельной простотой конструкции. Однако к
точности их изготовления предъявляются весьма высокие требо-
требования, так как малейшая асимметрия вызывает паразитные сиг-
сигналы рассогласования.
Серьезным недостатком рассмотренных схем угловых дискри-
дискриминаторов является использование далеко не идеальной норми-
нормировки с помощью схемы АРУ. Для реализации идеальной норми-
нормировки используется схема преобразования амплитудных соотно-
соотношений в фазовые, которая устанавливается непосредственно на:
выходе суммарно-разностного моста (рис. 8.22). Схема амплитуд-
амплитудного дискриминатора содержит два фазовращателя, сдвигающих
фазу на я/2, и два сумматора, с помощью которых из суммарно-
суммарного U% и разностного UA сигналов формируются два одинаковых
по амплитуде напряжения U1 = [/2-f-j?/A и U2=i?/a+j?/?. Фазо-
Фазовый сдвиг между Ui -и 1Ь, равный до=я/2—<р, однозначно связан
с отношением ?/д/?/2. Поэтому измеряемая разность
ф = я/2—со = 2 arctg (?/д /?/2) (8.38)
является монотонной функцией ^характеристики амплитудного ди-
дискриминатора D(Ux, у—и°х, у) = иА/П^у линейной при малых рас-
рассогласованиях. Полученную 'разность фаз можно преобразовать
затем в код в цифровом фазометре.
Нетрудно показать, что в фазовом угловом дискриминаторе
разность фаз (8.38) равна разности фаз сигналов на выходе ан-
антенны Aq>=2nh(ux,y—и°х,у)/%, а сама преобразующая схема не-
Рис. 8.22. Преобразование амплитудных соотношений суммарного и разностное
го сигналов в фазовые
ЗОЭ
^сколько видоизменяется, так как разностный сигнал сдвидут на
*t/2 относительно суммарного. К сожалению, преобразование по-
полученной разности фаз в код возможно только на сравнитель-
сравнительно низкой частоте, после преобразования частоты. Период коле-
колебаний этой частоты и взаимный временной сдвиг сравниваемых
/сигналов Ui и U2 в импульсных системах оказывается во много
;раз больше длительности импульса. Поэтому непосредственное"
^преобразование частоты импульсных сигналов невозможно. Heoi6-
-ходимо в каждом из двух отводов схемы преобразования ставить
таемы ЧФАП, вырабатывающие непрерывные колебания, которые
совпадают по фазе с высокочастотными импульсами Ui и U2. Эти
колебания уже можно переносить на низкую частоту для точного
измерения разности фаз цифровым фазометром. Однако аппара-
аппаратура при этом существенно усложняется.
Нелинейные амплитудные угловые дискриминаторы в соответ-
соответствии с общей структурой нелинейных дискриминаторов содер-
содержат в канале каждого облучателя приемники с логарифмической
амплитудной характеристикой (для малых сигналов линейной) и
схему вычитания (рис. 8.23,а). Нелинейные фазовые угловые
дискриминаторы определяют разность фаз сравниваемых сигна-
сигналов с помощью фазометров, а для нормировки используется глу-
глубокое безынерционное (не вызывающее фазовых сдвигов) .огра-
.ограничение амплитуды (рис. 8.23,6). Реализовать идентичные прием-
приемники с ограничением значительно проще, чем логарифмические,
поэтому нелинейные фазовые угловые дискриминаторы нашли бо-
более широкое применение, чем амплитудные, в отличие от линей-
линейных.
В целом нелинейные угловые дискриминаторы по своим пока-
показателям уступают линейным. Во-первых, они работоспособны
только при достаточно большом отношении сигнал-шум (при сла-
слабых сигналах в амплитудных дискриминаторах характеристика
отличается от логарифмической, а в фазовых отсутствует огра-
ограничение амплитуды). Во-вторых (что более важно), сравнение
сигналов происходит не на входе, а на выходе приемных уст-
|гойств. Поэтому неидентичность характеристик приемных кана-
;лов вызывает паразитное смещение опорного направления; в ли-
линейных дискриминаторах это смещение отсутствует, так как сиг-
сигналы сравниваются еще до прохождения через приемный тракт.
Приемник
с ограни-
ограничением
Приемник
с ограни-
ограничением
Фазо-
Фазометр
Рис. 8.23. Схемы нелинейных подоптимальных угловых дискриминаторов: ам-
амплитудного логарифмического (а) и фазового интерферометрического (б)
304
В-трегьих, в двумерных нелинейных угловых дискриминаторах
необходимо иметь четыре приемных канала — по два на каждую
координату, в то время как в линейных требуется только три или
меньше (в линейных системах с коническим сканированием ис-
используется всего один приемный канал).
В заключение кратко остановимся на синтезаторах поворота.
Механические синтезаторы поворота — электродвигатели приво-
привода антенны — не требуют специального рассмотрения. Аналого-
Аналоговый электронный синтезатор поворота, в котором переменные
фазовые сдвиги достигаются путем изменения частоты колеба-
колебаний, был описан в гл. 4 (см. рис. 4Л,в). Возможны и другие ви-
виды аналоговых электронных синтезаторов поворота, например
волновод с отводами, разности фаз между выходными сигналами
которых изменяется при изменении ширины прямоугольного вол-
волновода или воздействии магнитным поле на феррит, помещенный
внутрь этого волновода. Более подробного рассмотрения требуют
цифровые синтезаторы поворота. *
Для ввода фазового сдвига ф°^- в канал //-го элемента ФАР
синтезатор поворота содержит специализированную цифровую вы-
вычислительную машину (СЦВМ), преобразующую коды формирова-
формирователя оценки, пропорциональные отслеживаемым угловым ко-
координатам и°х = йх и и°у = йуу в управляющие коды в соответ-
соответствии с формулами D.15) и D.12). Так как в цифровых фазо-
фазовращателях выдается квантованное значение фазы с шагом бср
(обычно бср=п/8=22,5°), СЦВМ выбирает в канале каждого эле-
, мента такие квантованные значения фазы, которые наиболее близ-
близки к требуемым при настройке на направление и°Ху и°у. Если уг-
угловой дискриминатор выполнен в виде пространственного корре-
коррелятора, цифровой синтезатор поворота включает также управля-
управляемые цифровые фазовращатели, включенные в цепь гетеродинно-
гетеродинного сигнала каждого элемента ФАР. Эти фазовращатели подобны
цифровым фазовращателям, непосредственно входящим в тракт
принимаемых сигналов дискриминаторов типа пространственного
фильтра.
Различают проходные и отражательные цифровые фазовра-
фазовращатели. Ограничимся рассмотрением цифровых проходных фа-
фазовращателей, коммутируемых pm-диодами (рис. 8.24). Звенья
дт Выходного регистра
Рис. 8.24. Схемы цифровых фазовращателей проходного типа, коммутируемые
р/я-диодами
305
такого фазовращателя (показано три звена) имеют две /ветви:
верхнюю и нижнюю. Длина верхней ветви /0 одинакова у всех
звеньев (включая длину соединительных проводов), а длин^ ниж-
нижних ветвей /0+2г'б/ отличается от первой на величину, пропорцио-
пропорциональную значению единицы i-ro разряда управляющего двоично-
двоичного кода (i=0, 1,..., п—1). Ветви каждого звена подключены к
выходным триггерам СЦВМ соответствующих разрядов: верхняя
ветвь к инверсному выходу i@), нижняя к прямому A). В состо-
состоянии 0 триггер данного разряда подает напряжение прямого сме-
смещения на pm-диод верхней ветви соответствующего звена, в сос-
состоянии 1 проводящей становится нижняя ветвь. Благодаря этому
суммарный путь, проходимый СВЧ сигналом через всю цепочку,,
равен nlo-\-N6l, где N — управляющее число, я —число разрядов
(звеньев). Следовательно, и фазовый сдвиг, получаемый проходя-
проходящим через цепочку сигналом, с точностью до постоянной nU про-
пропорционален управляющему числу N. Так, при JV=5 A01) сиг-
сигнал пройдет через нижнюю ветвь первого и третьего звеньев и
верхнюю ветвь второго звена, получив суммарную задержку
(/о+б/)+'о+(/о+4б/) =3/о+5б/. Конденсаторы и дроссели в схе-
схеме служат для разделения цепей СВЧ сигнала и управляющего
напряжения. Несколько сложнее протекают процессы в отража-
отражательных фазовращателях, где каждое звено, также управляемое
через pm-диоды, содержит либо суммарно-разностный мост, либо
рециркулятор. Все эти фазовращатели обладают высоким быст-
быстродействием и не требуют большой мощности для управления.
8.8. взаимодействие следящих
измерителей нескольких параметров
СИГНАЛА
Взаимодействие каналов слежения по дальности и скорости
при сигналах сложной формы. Для обеспечения линейности вре-
временных дискриминаторов при сравнительно малом отношении сиг-
сигнал-шум в каждом импульсе необходимо синхронное детектиро-
детектирование его входного (или выходного) сигнала. Опорное напряже-
напряжение синхронного детектора формируется в следящем измерителе
скорости, который играет роль схемы ЧФАП. Таким образом, оп-
оптимальные условия функционирования СИД обеспечиваются ка-
каналом СИС.
Схема ЧФАП эквивалентна узкополосному фильтру, выделя-
выделяющему несущую входного сигнала и подавляющему боковые спект-
спектральные составляющие и шумы. Однако никакой линейный
фильтр не в состоянии выделить несущую, если она отсутствует
в спектре входного сигнала. Поэтому при работе по сложным сиг-
сигналам, у которых несущая полностью или почти полностью подав-
подавлена, непосредственно использовать описанную схему СИС
(ЧФАП) нельзя. Такими сигналами являются, в частности, псев-
псевдошумовые фазоманипулированные сигналы, включая непрерыв-
306
ные м-последовательности. Необходимо во входном сигнале СИС
"восстановить несущую путем демодуляции сигнала, т. е. произве-
произвести свертку спектра, описанную в § 6.12. Для работы демодуля-
демодулятора необходимо опорное напряжение, совпадающее по форме и
временному положению с входным сигналом. Совпадение опорно-
опорного напряжения по времени с входным достигается с помощью
СИД, т. е. условия функционирования СИС обеспечиваются ка-
каналом СИД. Таким образом, в общем случае СИД и СИС взаим-
взаимно связаны между собой через о!бщий входной сигнал даже в от-
отсутствие корреляции между временным и частотным сдвигами.
При этом принимаемый сигнал на вход рассмотренной схемы СИС
нужно подать после демодулятора несущей, а на вход СИД — по-
после синхронного детектора (т. е. временной различителъ СИД в
этом случае оперирует с видеосигналами).
Для ввода СИД и СИС в режим слежения необходимо, что-
чтобы расстройки по' времени и частоте попали в узкий пик тела не-
неопределенности псевдошумовых сигналов, т. е. необходим совме-
совместный поиск i(перестройка) измерителей по времени и частоте.
Траектория поиска на плоскости время-частота имеет вид плот-
плотного телевизионного растра, в котором смещение строк не мо-
может превышать ширины пика тела неопределенности во избежа-
избежание пропуска сигнала. В результате на поиск сигналов сложной
формы затрачивается значительно больше времени. Зона поиска
и время поиска существенно сокращаются при наличи априорных
данных о дальности и скорости объекта.
Таким образом, использование сложных сигналов вносит спе-
специфику в структуру следящих измерителей и их функционирова-
функционирование. Эта специфика наиболее ярко проявляется при использова-
использовании непрерывных фазоманипулированных сигналов типа М-по-
М-последовательности. При наличии демодулятора на входе СИС, вос-
восстанавливающего непрерывную несущую М-последовательности^
сама схема СИС не имеет особенностей. Однако схема СИД суще-
существенно изменяется, что обусловлено самим способом формирования
и свойствами М-последовательности (см. § 6.12). Напомним, что
для формирования М-последовательности длиной N=2n—1 ис-
используется генератор кода в виде ^-разрядного регистра сдвига с
обратной связью через сумматор по mod 2 с выходного каскада
регистра и одного или нескольких промежуточных каскадов, ра-
работой которого управляют тактовые импульсы (рис. 6.22). Затем
высокочастотная несущая, вырабатываемая задающим генерато-
генератором передатчика, в модуляторе манипулируется по фазе в соот-
соответствии с выходным кодом (видеосигналом), снимаемым с одно-
одного из каскадов регистра генератора кода. С помощью точно та-
такого же генератора формируется и следящий код в тракте прие-
приема. В корреляторе обнаружителя для получения огибающей кор-
корреляционного интеграла в качестве опорного используется точно
такой же код, как и у входного сигнала. Однако для получения
нечетной характеристики временного дискриминатора опорный
код должен отличаться от входного. В оптимальном дискримина-
307
п-2
п-1
Рис. 8.25. Формирование опорных и выхДдных
сигналов М-последовательности: |
а — съем опорных сигналов; б — выходной сигнаА обна-
обнаружителя; в — характеристика временного , дискримина-
дискриминатора '
торе согласно общей теории измерителей в
качестве опорного сигнала (коррелятора ис-
используют производную огибающей входного
сигнала, что в данном случае нельзя реали-
реализовать, так как ^-последовательность —
разрывная функция. Поэтому используется
подоптимальный разностный временной
дискриминатор с характеристикой (8.29),
подобный описанному выше (см. рис. 8.8,а).
В данном случае отличие состоит в том, что
опорные сигналы, различающиеся сдвигом,
снимаются не с отводов линии задержки, а
с выхода смежных каскадов регистра гене-
генератора следящего кода (рис. 8.25).
Опорный сигнал обнаружителя О снимается с предпоследнего
каскада регистра генератора кода (рис. 8.25,а). На выходе обна-
обнаружителя формируется напряжение, зависимость которого от рас-
расстройки повторяет огибающую корреляционного интеграла Zo =
= Z(x—т°) (рис. 8.25,6). Опорные сигналы вилки, опережающий
I и отстающий II, снимаются с соседних каскадов (последний в
противофазе). В результате в корреляторах временного дискри-
дискриминатора образуются два противофазных напряжения, описывае-
описываемые огибающими Zi = Z(t—т°—тс) и Z2=Z(t—т°+тс), где тс —
длительность такта, которые в сумме образуют нечетно-симмет-
нечетно-симметричную характеристику дискриминатора (рис. 8.25,в).
Примерно такой же вид имеет характеристика временного
дискриминатора, когда излучаемый 'сигнал модулируется слож-
сложным кодом, являющимся результатом перемножения видеосигна-
видеосигнала ^последовательности и меандра, период которого равен од-
одному такту (эта операция эквивалентна суммированию по mod 2
кодов ^-последовательности и меандра). В этом случае времен-
временной дискриминатор представлен единственным коррелятором,
опорным напряжением которого является Мнпоследовательность,
а выходным — нечетная фун'кция взаимокорреляции простого и
сложного кодов. На коррелятор обнаружителя в качестве опорно-
опорного подается сложный код, что дает на выходе функцию корреля-
корреляции входного и опорного сложных кодов. В излучаемом сигнале
сложного кода под воздействием меандра одна половина каждо-
каждого такта высокочастотного заполнения находится в одной фазе,
другая в противоположной, в результате несущая подавляется
полностью, в то время как в ^-последовательности сохраняется
остаток несущей порядка 1JN.
Для усвоения изложенных идей рассмотрим в качестве приме-
308
Модулятор
Задающий
генератор
Задающий
генератор
тактовых
импцльсоВ
Задающий
генератор
нода
Развязы-
Развязывающее
устройство
Следящий
генератор
тантоВык
импульсов
Рис. 8.26. Схема системы с
типа ЛГ-последовательности
отслеживанием дальности и скорости по сигналу
ра функциональную схему системы непрерывного излучения, ис-
использующей сложный код (рис. 8.26). В системе можно выделить
четыре основные части: тракт передатчика, следящий измеритель
дальности (СИД), следящий измеритель скорости (СИС) и схе-
схему поиска и захвата (СПЗ), входящие в приемный тракт (вви-
(ввиду отсутствия особенностей схема СИС не раскрывается). Так
как системы /непрерывного излучения используют сигнал, переиа-
лученный на другой частоте, при работе на общую антенну вклю-
включают устройство, развязывающее по частоте тракты передачи к,
приема. Процессы в данной системе протекают следующим обра-
образом.
Задающий генератор тактовых импульсов стабильной частоты:
вырабатывает синусоидальные колебания, из которых последова-
последовательно формируются меандр и короткие тактовые импульсы той
же частоты. Задающий генератор кода под воздействием этих им-
импульсов образует ^-последовательность. Для модуляции высоко-
высокочастотной несущей задающего генератора исполызуется сложный
код, получаемый в результате перемножения TW-последовательно-
сти и меандра. Этот сигнал после усиления излучается в откры-
открытое пространство.
Принятые колебания параллельно поступают на синхронный
детектор (СД) и демодулятор (ДМ). С выхода СД видеосигнал
сложного кода поступает в тракт СИД, а с выхода ДМ восста-
309^
яювленная несущая проходит в тракт СИС, на обнаружитель СПЗ
ш схему АРУ для нормировки.
Следящий измеритель дальности содержит временной дискри-
дискриминатор (ВД), набор интеграторов (И), которые вместе со сле-
следящим генератором тактовых имлульсов образуют формирова-
формирователь оценки, и синтезатор задержки, состоящий из тех же эле-
элементов, что и канал формирования кода передающего тракта. Ча-
Частота синусоидальных колебаний следящего генератора тактовых
импульсов отличается от номинальной (т. е. частоты задающего)
на величину, пропорциональную приложенному напряжению.
Следовательно, фаза этих колебаний, а также временное положе-
положение тактовых импульсов и всего следящего кода пропорциональ-
пропорционально интегралу от приложенного напряжения. Тем самым этот гене-
генератор выполняет роль последнего (а иногда и единственного)
.интегратора в схеме формирователя оценки. Временной дискри-
дискриминатор в результате умножения входного сигнала сложного ко-
кода на простой опорный выдает сигнал, пропорциональный рас-
рассогласованию по времени между входным и опорным сигналами.
В режиме точного слежения временное положение следящего
кода относительно излучаемого является оценкой текущей даль-
дальности. Чтобы получить ее, специальная схема (не показанная на
рис. 8.26) вырабатывает импульсы отсчета, когда генераторы ко-
кода (задающий и следящий) находятся в определенном состоянии
(например, единичном во всех разрядах регистра). Интервал ме-
между импульсами отсчета, снимаемыми с этих двух генераторов, и
фиксирует оценку текущей дальности. Этот интервал можно пре-
преобразовать в число путем заполнения его счетными импульсами.
Отказ от измерения дальности или скорости не упрощает схе-
~му, поскольку для функционирования хотя бы одного канала ну-
нужен второй. Более того, схема остается прежней, даже если не
измеряется ни один из этих параметров, а вся система использу-
используется для синхронизации связи между объектом и станцией. В
этом случае на излучаемый сигнал, форма которого известна, с
помощью фазовой манипуляции накладывается неизвестное полу-
получателю сообщение, выделяемое затем из принятого сигнала ком-
компенсацией известного кода.
Совмещенные дискриминаторы взаимно зависимых парамет-
параметров. При совместном отслеживании нескольких взаимно зависи-
зависимых параметров сигнала вместо единственного сигнала рассогла-
рассогласования v/=Z'/Z//, определяемого алгоритмом работы оптималь-
шого дискриминатора (8.6), необходимо вычислить совокупность
(вектор) сигналов рассогласования по всем измеряемым пара-
гметрам
v^=[Z//]-1Z/, (8.39)
тде [Z"]" — матрица, обратная матрице вторых смешанных ча-
частных производных Z", a Z' — вектор первых частных производ-
производных огибающей корреляционного интеграла по зависимым из-
меряемым параметрам, число которых обычно не превышает двух"
(дальность и радиальная скорость или две угловые координаты).
В частности, при совместном отслеживании задержки т (даль-
(дальности) и частотного сдвига F (радиальной скорости), которые
при использовании ЛЧМ сигнала коррелированы между собойг>
по аналогии с формулами F.69) имеем
L
z,
В соответствии с правилом F.64) находим обратную матрицу-
ZFF
- (
\zFF
Z
FX
Px
\F
*%F
где p%F= (Z"XFJIZ"xXZ"FF— квадрат коэффициента время-частотнош
корреляции (Z//tF = Z"Fx). При этом вектор рассогласования (8.39^
принимает вид
"FF —
Этому вектору соответствует алгоритм работы совмещенного ди-
дискриминатора по времени и частоте:
т/^ 1 / dZ/дх' 9 dZ/dF'
1-pIf
1
/
l_p2F \d*Z/dF'*
dZ/дх'
d*Z/d%'dF'
Таким образом, в оптимальном дискриминаторе двух коррели-
коррелированных параметров для получения сигналов рассогласования
необходимо сформировать две первые частные производные и три
вторые смешанные частные производные огибающей корреляци-
корреляционного интеграла, вычислить по ним коэффициент корреляции, а
затем воспользоваться алгоритмом (8.40).
Число операций над входной смесью резко сокращается при
использовании модифицированных оптимальных дискриминато-
дискриминаторов, не уступающих по точности исходным оптимальным дискри-
дискриминаторам. Алгоритм работы модифицированных оптимальных
311.
.дискриминаторов коррелированных параметров находим делением
ж умножением формулы (8.40) на огибающую корреляционную
.интеграла Z:
"XF
^=KA—Kx — + Kxf—\,
(8.41)
4Fj
тде Ко = 1/A—P2tf), Kx=—Z\Z\x, Kf = —Z/Z"ff, Kxf=
= —p2%F Z/Z"%f —коэффициенты, вычисляемые заранее по извест-
известной форме сигнала. Знак минус учитывает различие знаков огибаю-
огибающей корреляционного интеграла и ее вторых производных в пре-
пределах рабочей зоны характеристики дискриминатора.
В соответствии с алгоритмом (8.41) строится схема модифи-
модифицированного оптимального совмещенного дискриминатора по вре-
времени и частоте (рис. 8.27,а). Она включает в себя рассмотренные
ранее временной и частотный модифицированные оптимальные ди-
дискриминаторы (ВД -и ЧД), формирующие сигналы рассогласова-
рассогласования Z/\\Z и ZfF\Z соответственно, где нормировка производится
по огибающей Z, формируемой в обнаружителе (,в опорном кана-
канале). Следовательно, такой дискриминатор отличается от совокуп-
совокупности независимых дискриминаторов только включением устройств
перекрестного суммирования их выходных сигналов с относитель-
относительными весами, определяемыми степенью корреляции.
Включение весового множителя /Со = 1/A—p2tf)^>1 объяс-
объясняется поведением функции неопределенности ЛЧМ сигнала (рис.
Ж27,б). Геометрические места точек, где сигналы рассогласова-
От синтезатора задержки
jr hi
От синтезатора частоты
"Рис. 8.27. Модифицированный оптимальный совмещенный дискриминатор вре-
времени и частоты:
^а — функциональная схема; б — формирование сигнала рассогласования
;312
ния временного и частотного дискриминаторов % ^ — Z'%\Z и ?'д—
= ZrF\Z равны нулю, не совпадают и проходят по разные сторо-
стороны от оси (хребта) функции неопределенности. Поскольку рас-
рассогласования не могут выходить за пределы основного лепестка
функции неопределенности, они меньше истинных рассогласова-
рассогласований %' и F\ поэтому их и усиливают в /Со^> 1 раз.
Значительно слабее проявляются корреляционные связи в сов-
совмещенных угловых дискриминаторах, поскольку (как было пока-
показано в гл. 6) коэффициент корреляции, вызванный асимметрией^
двумерного энергетического спектра (в данном случае простран-
пространственного), невелик. Вводимая асимметрия спектра окупается^
упрощением аппаратуры. Наглядным примером этого служит сов-
совмещенный суммарно-разностный угловой дискриминатор, ампли-
амплитудный в азимутальной плоскости и фазовый в угломестной (рис,
8.28,а). Антенна дискриминатора состоит из двух зеркал, фазо-
фазовые центры которых по вертикали разнесены, диаграммы направ-
направленности в вертикальной плоскости совпадают, а в горизонталь-
горизонтальной раздвинуты на угол А за счет небольшого смещения облучате-
облучателей относительно вертикальной оси. По объему аппаратуры этот
двумерный дискриминатор совпадает с одномерным фаз'овым ди-
дискриминатором (|рис. 8.5), только содержит на выходе не один, а
два синхронных детектора, опорные напряжения которых сдви-
сдвинуты на я/2.
Если аппроксимировать диаграммы направленности обоих зер-
зеркал гауссовской кривой с одинаковым углом раствора 8 на уров-
уровне 0,46, то при смещении угла прихода волны относительно опор-
опорного направления на угол а по азимуту и угол р по углу места
комплексные амплитуды сравниваемых сигналов принимают вид
(8.42>
]exP[-j, j-sinP
т. е. сигналы отличаются по амплитуде и имеют разнос фаз
Дф=2л;& sin р/А, (рис. 8.28,6). При отсутствии рассогласования по
Приемник
^| суммарного
канала
Приемник
разностного
канала
Рис. 8.28. Совмещенный суммарно-разностный угловой дискриминатор, ампли-
амплитудный по азимуту и фазовый по углу места:
а — функциональная схема; б—формирование сигнала рассогласования
313
«-азимуту (а=0) сравниваемые сигналы имеют одинаковую ам-
лшитуду, а суммарный ?/2 и разностный /Уд сигналы взаимно
ортогональны (индекс 0 на рис. 8.28,6). Поэтому сигнал рассо-
рассогласования ?7ро вырабатывается только на выходе синхронного
детектора угла места. Наоборот, при отсутствии рассогласования
ло углу места (C = 0) сравниваемые сигналы отличаются только
по амплитуде и разностный сигнал ?/ао, по фазе совпадающий
;или противоположный суммарному, возникает только на выходе
синхронного детектора азимута.
В общем же случае (а^О, &ф0) выходные сигналы Ua и
ZI$ зависят от рассогласований и по азимуту, и по углу места
каждый, т. е. взаимно связаны. Однако, как это можно видеть из
сравнения сигналов Ua и U$ при совместном рассогласовании с
.сигналами Uao и t/po при рассогласовании лишь по одному из
двух углов, влияние взаимной корреляции незначительно, а вы-
„жгрыш в аппаратуре заметный.
РЕКОМЕНДУЕМЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Амиантов И. Н. Избранные вопросы статистической теории связи. — М.::
Сов. радио, 1971. — 416 с.
Астанин Л. Ю., Костылев А. А. Сверхширокололосные радиолокационные-
измерители. — М.: Воениздат, 1983. — 221 с.
Бакулев П. А., Степин В. М. Методы и устройства селекции движущихся
целей. — М.: Радио и связь, 1986. — 288 с.
Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального ана-
анализа: Пер. с англ. — М.: Мир, 1983. — 312 с.
Буренин Н. И. Радиолокационные станции с синтезированной антенной. —
М.: Сов. радио, 1972. — 160 с. ____
Бычков С. И., Лукьянов Д. П., Бакаляр Г. В. Лазерный гироскоп. — М:
Сов. радио, 1975. — 424 с.
Василенко Г. И. Теория восстановления сигналов. — М.: Сов. радио, 1979»
— 272 с.
Васильев К. К. Прием сигналов при мультипликативных помехах. — Са-
Саратов: Саратов, ун-т, 1983. — 128 с
Виницкий А. С. Автономные радиосистемы: Учебное пособие для вузов. —*~
М.: Радио и связь, A986. — 336 с.
Вопросы статистической теории радиолокации в 2 т./П. А. Б акут, И. А.
Большаков, Б. М. Герасимов и др.; Под ред. Г. П. Тартаковского. — М.: Сов.
радио, 1963—1964. Т. 1. — 1963. — 424 с; Т. 2. — 1964. — 1080 с.
Вудворд Ф. М. Теория вероятностей и теория информации с применениями
в радиолокации: Пер. с англ./Под ред. Г. С. Горелика.—М.: Сов. радио,,
1955. — 128 с.
Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ./Под ред.
А. М. Трахтмана. — М.: Сов. радио, 1973. — 368 с.
Гудмен Дж. Введение в Фурье-оптику: Пер. с англ. — М.: Мир, 1970. —
364 с.
Драбкин А. Л., Зузенко В. Л., Кислов А. Г. Антенно-фидерные устройст-
устройства. — 2-е изд., перераб. и доп. — М. Сов. радио, 1974. — 536 с.
Журавлев А. К., Лукошкин А. П., Поддубный С. С. Обработка сигналов в
адаптивных антенных решетках. — Л.: ЛГУ, 1983. — 239 с.
Зверев В. А. Радиооптика. — М.: Сов. радио, 1975. — 304 с.
Ибрагимов И. А., Хаслинский Р. 3. Асимптотическая теория оценивания.—
М.: Наука, 1979. — 528 с.
Казаков И. Е. Статистическая теория систем управления в пространстве
состояний. — М.: Наука, 1975. — 432 с.
Канарейкин Д. Б., Потехин В. А., Павлов Н. Ф. Поляризация радиолока-
щионных сигналов/Под ред. В. Е. Дулевича. — М.: Сов. радио, 1966. — 440 с.
Коронкевич В. П., Соболев В. С, Дубнищев Ю. А. Лазерная интерферомет-
интерферометрия. — Новосибирск: Наука, 1983. — 213 с.
Коростелев А. А. Когерентные оптические системы. — Л.: ЛМИ, 1980. —
>62 с.
Коростелев А. А., Мельник Ю. А., Касаткин А. С. Методы измерения ко-
координат объектов и обработки радиолокационных сигналов. — М.: Воениздат,
1968. — 241 с.
Коростелев А. А., Родионов Ю. В. Радиотехнические координаторы. Ч. 4.
Пространственно-временная теория оптимального приема радиосигналов. — Л.:
,ЛМЙ, 1979. — 75 с.
Космические траекторные измерения/Под ред. П. А. Агаджанова, В. Е. Ду-
_,левича, А. А. Коростелева. — М: Сов. радио, 1969. — ,504 с.
Костылев А. А., Степанов М. Г. Смещенные оценки и метод регуляризации
в радиотехнических задачах. — М.: Воениздат, 1984. — 83 с.
Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости. — М.: Гос-
энергоиздат, 1956.
Кузьмин С. 3. Основы теории цифровой обработки радиолокационной ин-
информации. — М.: Сов. радио, 1974. — 432 с.
Кузьмин С. 3. Основы проектирования систем цифровой обработки радио-
радиолокационной информации. — М.: Радио и связь, 1986. — 348 с.
Кук Ч., Бернфельд^ М. Радиолокационные сигналы: Пер. с англ./Под ред.
-В. С. Кельзона. — М.: Сов. радио, 1971. — 568 с.
Лазерные измерительные системы/А. С. Батраков, М. М. Бутусов, Г. П.
^Гречка и др.; Под ред. Д. П. Лукьянова. — М.: Радио и связь, 1981. — 456 с.
Лихарев В. А. Цифровые методы и устройства в радиолокации. — М.:
•-Сов. радио, 1973. — 456 с.
Мельников Б. Г. Статистический синтез радиотехнических измерителей на-
навигационных параметров. — М.: Воениздат, 1982. — 198 с.
Оводенко А. А. Робастные локационные устройства. — Л.: ЛГУ, 1981. —
J82 с.
Пространственно-временная обработка сигналов/И. Я. Кремер, А. И. Кре-
-мер, В. М. Петров и др.; Под ред. И. Я. Кремера. — М: Радио и связь,
?1984. — 224 с.
Радиолокационные устройства/В. В. Васин, О. В. Власов, В. В. Григорий-
Рябов и др.; Под ред. В. В. Григорина-Рябова. — М.: Сов. радио, 1970. —
*680 с.
Радиолокационные станции бокояого обзора/А. П. Реутов, Б. А. Михайлов,
Г. С. Кондратенков и др.; Под ред. А. П. Реутова. — М: Сов. радио, 1970. —
360 с.
Радиотехнические системы/Ю. М. Казаринов, Ю. А. Коломенский, Ю. К.
гПестов и др.; Под ред. Ю. М. Казаринова. — М.: Сов. радио, 1968. — 496 с.
Роде Д. Р. Введение в моноимпульсную радиолокацию: Пер. с англ. — М :
-Сов. радио, 1960. — 160 с.
Современная радиолокация. Пер. с англ./Под ред. Ю. Б. Кобзарева. — М.:
Сов. радио, 1969. — 704 с.
Справочник но радиолокации в 4 т./Под ред. М. Сколника Пер. с англ/
Под ред. К. Н. Трофимова. — М.: Сов. радио, 1976—1979. Т. 1. — 1976. —
456 с; Т. 2. — 1977. — 408 с; Т. 3. — 1978. — 528 с; Т. 4. — 1979. —376 с.
Стратонович Р. Л. Принципы адаптивного приема. — М.: Сов. радио,
1973. — 144 с.
Теоретические основы радиолокации/А. А. Корбстелев, Н. Ф. Клюев, Ю. Л.
Мельник и др.; Под ред. В. Е. Дулевича. -— 2-е изд., перераб. и доп. — М.:
Сов. радио, 1978. — 608 с.
Теоретические основы радиолокации/Я. Д. Ширман, В. Н. Голиков, И. Н.
Бусыгин; Под ред. Я. Д. Ширмана. — М.: Сов. радио, 1970. — 560 с.
Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. — М.:
Наука, 1979. — 288 с.
Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Радио и связь, 1982.
— 624 с.
Тихонов В. И. Нелинейные преобразования случайных процессов. — М.:
Радио и связь, 1986. — 296 с.
Фалькович С. Е., Хомяков Э. Н. Статистическая теория измерительных ра-
радиосистем. — М.: Радио и связь, 1981. — 288 с.
Царьков Н. М. Многоканальные радиолокационные измерители. — М.:
Сов. радио, 1980. — 190 с.
Ширман Я. Д. Разрешение и сжатие сигналов. — М.: Сов. радио, 1974. —
360 с.
Ширман Я. Д., Манжос В. Н. Теория и техника обработки сигналов на
фоне помех. .— М.: Радио и связь, 1981. — 416 с. /
Шкирятов В. В. Радионавигационные системы и устройства. —/Ж/. Радиа
и связь, 1984. — 160 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава 1. общие сведения об обзорно-измерительных си-
системах 5
l.'L Назначение обзорно-измерительных систем 5
L2. Классификация радиосистем 6
1.3.,Принципы измерения относительных параметров — координат и их
первых производных 10
1.4. Методы измерения относительных координат и составляющих векто-
вектора скорости объекта Щ
1.5. Обобщенная схема и основные характеристики радиосистем . . . 18
1.6. Принципы и методы измерения абсолютных параметров движения 22
Глава 2. оптимальный прием сигналов известной формы 27
2.1. Оценка качества приема сигналов 27
2.2. Оптимальный приемник . 28
2.3. Логарифм отношения правдоподобия и корреляционный интеграл
временных сигналов 31
2.4. Оптимальный приемник временных сигналов 36
2.5. Примеры согласованных фильтров 41
2.6. Когерентный и некогерентный обнаружители сигналов известной
формы 47
2.7. Энергетический потенциал и дальность действия радиосистем ... 52
Глава 3. пространственно-временное описание процессов
ПРИ ОПТИМАЛЬНОМ ПРИЕМЕ 54
3.1. Электромагнитная волна как пространственно-временной сигнал . . 54
3.2. Сигнал как временная входная характеристика радиосистемы . . . ,55
3.3. Апертура антенны как .пространственная входная характеристика ра-
радиосистемы 64
3.4. Принимаемый сигнал как функция времени ,и пространства ... 72
3.5. Выходной сигнал оптимального приемника как проотранственно-вре-
меннбй корреляционный интеграл ,.,... 75
Глава 4. оптимальный приемник как согласованный про-
пространственно-временной фильтр или коррелятор 80
4.1. Оптимальная структура пространственно-временного приемного уст-
устройства 80
4.2. Пространственный тракт согласованного приемника радиосистем с ан-
антенными решетками 86
4.3. Подоптимальные структуры пространственного тракта радиосистем 93
Глава 5 взаимосвязь и преобразование пространственно-
временных ХАРАКТЕРИСТИК В РАДИОСИСТЕМАХ . . 101
5.1. Физический смысл пространственных частот 101
5.2. Пространственно-временная эквивалентность 105
318
\J 5.3. Пространственно-временные преобразования и оптическая обработка v/
сигналов 112
5.4. Когерентные оптические процессоры 119
5.5. Голографические методы 128
5.6. Поляризованные сигналы, их спектры и законы 'Прохождения через
радиотракт 136
Глава 6. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ТОЧНОСТЬ И РАЗРЕШАЮЩАЯ СПОСОБ-
НОСТЬ РАДИОСИСТЕМ 145
6.1. Многомерная пространственно-временная функция корреляции и част-
частные функции корреляции 145
-6.2. Обобщенная функция корреляции 148
6.3. Потенциальная точность измерений фазы, амплитуды и произвольного
неэнергетичеокого параметра сигнала 150
6.4 Оптимальная по точности форма огибающей - . . 1*57
6.5. Разрешающая способность по одному параметру и выбор формы обоб-
обобщенной огибающей 164
6.6. Сложная огибающая и оптимальное сжатие сигнала 169
6.7. Неоптималыюе сжатие огибающей и уточнение понятия разрешаю-
разрешающей способности 173
6.8. Потенциальная точность измерений совокупности неизвестных пара-
параметров сигнала 178
6.9. Потенциальная точность совместного измерения угловых координат 184
6.10. Потенциальная точность совместного измерения дальности и радиаль-
радиальной скорости 187
6.11. Совместное разрешение по двум параметрам*. Разрешающая способ-
способность по направлению 191
6.12. Совместное разрешение по дальности и радиальной скорости. Прин-
Принцип неопределенности - . . . 199
6.13. Обобщенное соотношение неопределенности. Особенности проявления
угловой скорости | . 208
Глава 7. оптимальная линейная фильтрация случайных
процессов - . ' . 215
7.1. Фильтрация и экстраполяция случайных процессов . . . . . 215
7.2. Фильтрация и экстраполяция непрерывных процессов. Интегральное
уравнение Винера—Хопфа 219
7.3. Фильтрация и экстраполяция дискретных отсчетов процесса .' . . 222
7.4. Расчет параметров фильтра Винера 227
7.5. Дифференциальное уравнение одномерного фильтра Кялмана—Бьюси 231
7Г6. Расчет параметров одномерного фильтра Калмана—Бьюси . . . 234
7.7. Векторно-матричное дифференциальное уравнение многомерного фильт-
тра Калмана—Бьюси ' 230
7.8. Вероятностный фильтр 247
J* л а в а 3. НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ И ИЗМЕРЕНИЕ ПАРАМЕТ-
ПАРАМЕТРОВ сигнала 260
-8.1. Нелинейная фильтрация параметров сигнала 260
8.2. Следящий и разомкнутый измерители 265
8.3. Оптимальный дискриминатор • 270
8.4. Подоптимальные дискриминаторы 275
-8.5. Следящие измерители дальности 282
8.6. Следящие измерители скорости 287
8.7. Следящие измерители направления 295
8.8. Взаимодействие следящих измерителей нескольких параметров сигнала 306
Рекомендуемый список литературы 315
319
ПОПРАВКА
В схемах на рис. 7.14,6 и 7.15,в на выходе верхнего интегратора необходима
включить каскад
Учебное пособие
Аркадий Алексеевич Коростелев
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННАЯ ТЕОРИЯ РАДИОСИСТЕМ
Заведующая редакцией Г. И. Козырева Редактор Т. М. Толмачева
Художественный редактор Я. С. Шеин Переплет художника Ю. В. Архангельского
Технический редактор Т. Н. Зыкина Корректор Н. М. Давыдова
ЙБ № 623
Сдано в набор 1.08.86 Подписано в печать 8.01.87 Т-2337а
Формат 60X90/i6 Бумдга тип. № 2 Гагнитура литературная Печать высокая
Усл. печ. л. 20,0 Усл. кр.-отт. 20,0 Уч.-изд. л. 21,64 Тираж 7500 экз. Изд. № 20390
Зак. № 94 Цена 1 р.
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Почтамт, а/я 693
Московская типография № 5 ВГО «Союзучетиздат». 101000 Москва, ул. Кирова, д. 40