Text
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. Н.И. ЛОБАЧЕВСКОГО
Факультет вычислительной математики и кибернетики
Кафедра прикладной теории вероятностей
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Часть 2
Нижний Новгород, 2001
УДК 519.21
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Часть 2 / Сост. В.И. Мухин, В.М.Сморкалова -Н.Новгород:
ННГУ, 2001.-44с.
J 1
Сборник предназначен для студентов факультета
вычислительной математики и кибернетики, обучающихся по
специальности 01.02.00 - прикладная математика и
информатика. Приводятся 242 задачи с ответами к
практическим занятиям по темам: «Условные вероятности»,
«Независимые события», «Теоремы сложения и умножения»,
«Формула полной вероятности», «Формула Байеса».
Составители: к.ф.-м.н., доц. В.И. Мухин,
кт.н., доц. В.М.Сморкалова.
Рецензент: к.ф.-м.н., доц. В.П. Савельев.
Я
Нижегородский государственный университет
имени Н.И.Лобачевского, 2001
УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ
1. Студент знает 20 из 25 вопросов программы . Зачет
считается сданным, если студент ответит не менее, чем на 3 из 4
поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос
билета, студент обнаружил, что он его не знает. Найти
вероятность того, что студент сдаст зачет.
2. В ящике 5 деталей, среди которых 3 стандартные и 2
бракованные. Последовательно по схеме случайного выбора без
возвращения из ящика извлекают 2 детали. Какова вероятность
того, что обе детали бракованные, если известно, что первая
извлеченная деталь бракованная.
3. Пусть эксперимент состоит в троекратном
подбрасывании симметричной монеты. Какова вероятность того,
что герб выпал ровно один раз, если известно, что число
выпавших гербов нечетно.
V 4. Бросили игральную кость. Какова вероятность того, что
выпало простое число очков, если известно, что число выпавших
очков нечетно?
5. Случайно выбранная кость домино оказалась не дублем.
Найти вероятность того, что вторую также взятую наудачу кость
домино можно приставить к первой.
6. Показать, что если Р(А / В) > Р(А), то Р(В / А) > Р(В).
7. Доказать, что Р(А //?)>!- •
8. Брошены две игральные кости. Какова вероятность того,
что выпало две «тройки», если известно, что сумма выпавших
очков делится на 3?
9. Брошены две игральные кости красного и синего цвета
Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на верхних
гранях, больше или равна 10, если известно, что: а) на красной
кости выпало 5 очков; Ь) по крайней мере на одной из костей
выпало 5 очко
10. Пусть имеются 4 карты, две пиковые и две
червовые, причем в каждой масти по тузу. Из этих карт по схеме
случайного выбора без возвращения извлекают две карты.
Найти вероятность того, что извлекли двух тузов, если известно,
что среди извлеченных карт есть: а) по крайней мере один туз;
Ь) туз пиковой масти .;
4
11. Вероятность попадания в первую мишень для
данного стрелка равна 2/3. Если при первом выстреле
зафиксировано попадание, то стрелок получает право на второй
выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих
мишеней при двух выстрелах равна 0,5. Определить
вероятность поражения второй мишени.
12. Вероятность попадания в самолет равна 0,4 , а
вероятность его сбить равна 0,1. Найти вероятность того, что при
попадании в самолет он будет сбит.
13. Найти вероятность того, что при бросании трех
игральных костей хотя бы на одной выпадет 6 очков, если
известно, что на всех костях выпали грани с четным числом
очков.
14. Брошены три игральные кости. Найти вероятность
' того, что на всех костях выпали «шестерки», если известно, что:
а) на первой кости выпало 6 очков; Ь) на двух костях выпали
«шестерки»; с) по крайней мере на двух костях выпало
одинаковое число очков; d) на всех костях выпало одинаковое
число очков; е) по крайней мере на одной кости выпало 6 очков.
15. В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих
шаров. Наудачу вынимаются 2 шара. Какова вероятность того,
что вынутые шары разного цвета, если известно, что не вынут
синий шар?
16. Из урны, содержащей 3 белых и 7 красных шаров,
наудачу последовательно и без возвращения извлекается два
шара. События: Д={ первый шар белый}; В={второй шар белый};
С={по крайней мере один из вынутых шаров белый}. Вычислить
вероятности Р(В / А), Р(А / В), Р(А / С)
17. Вероятность того, что прибор не откажет к моменту
времени равна 0,8, а вероятность того, что он не откажет к
моменту времени t2 (/2 > л)> равна 0,6. Найти вероятность того,
что прибор, не отказавший к моменту времени t\, не откажет и к
моменту времени/2 •
18. В семье двое детей. Считая, что рождение
мальчика и девочки - независимые и равновероятные события,
вычислить вероятность того, что оба ребенка - мальчики, если
известно, что в семье есть мальчик.
19. Подбрасываются три игральные кости. Вычислить
Р(В1 А), Р(А1 В) ,Лгде Д={на трех костях выпадут разные грани}
и В={хотя бы на одной из костей выпадет 6 очков}.
20. На шахматную доску наудачу ставится два слона -
белый и черный. Какова вероятность того, что слоны не побьют
друг друга, при условии, что белый слон попадет на одно из
крайних полей доски?
21. На шахматную доску наудачу ставится две ладьи.
Вычислить Р(В / А) , если Д={ладьи попали на клетки разного
цвета}, В={ладьи побьют друг друга}.
22. В урне 7 белых и 3 черных шара. Из урны без
возвращения извлекается три шара. Известно, что среди них
есть черный шар. Какова вероятность того, что другие два шара
белые?
23. Пусть А,В,С - случайные события, причем
Р(АС) > 0. Доказать справедливость следующих формул:
Р(АВ / С) = Р( А / С)Р(В / АС);
Р(Аи В / С) = Р(А! С) + Р(В / С)-Р(АВ / С).
24. Из 100 карточек с числами 00, 01,...,98, 99
случайно выбирается одна. Пусть ту, и rj2 - соответственно
сумма и произведение цифр на выбранной карточке. Найти
P(rfx = к / ту2 = 0), к = 0,18.
25. Методом тестирования отыскивается
неисправность в арифметическом устройстве вычислительной
машины. Можно считать, что есть 4 шанса из 5, что
неисправность сосредоточена в одном из 8 микропроцессоров ( с
равной вероятностью в любом из них). Были испытаны 7 из них,
но неисправность была не обнаружена. Какова вероятность
обнаружить неисправность в восьмом микропроцессоре?
26. Привести примеры, показывающие, что вообще
хговоря, равенства Р(ВГА) + Р(В/А)=Л и Р(В/ А) +Р(В/А) = \
неверны.
27. Из множества чисел {1,2,...,N} по схеме выбора без
возвращения выбирается три числа. Найти вероятность того, что
третье число попадет в интервал, образованный первыми двумя,
если известно, что первое число меньше второго.
28. Из урны, содержащей М белых и N-M черных
шаров, последовательно без возвращения извлекается п
(п <min(M, NМ)) шаров. Пусть " событие,
состоящее в том, что к - й шар черный (белый). Найти
6
29. Решить предыдущую задачу в случае выбора с
возвращением.
30. Урна содержит М шаров, из которых д/| белого
цвета. Рассматривается выбор объема п. Пусть в, событие,
состоящее в том, что извлеченный на j -м шаге шар имеет
белый цвет, а - событие, состоящее в том, что в выборке
объема п имеется в точности к белых шаров. Показать, что как
для выбора с возвращением так и для выбора без возвращения
п
31. Из совокупности всех подмножеств множества
S={1,2,...,A/} по схеме выбора с возвращением выбираются
множества и j2. Найти условную вероятность
= 0) того, что множества Ai и л2 состоят
из /| и /2 элементов соответственно при условии, что А\ и. Ai не
пересекаются.
НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ
32. Бросили монету и игральную кость. Определить
зависимы или независимы события: Д={ выпал герб}; В={ выпало
четное число очков}.
33. Брошены последовательно три монеты.
Определить зависимы или независимы события: Д={ выпадение
герба на первой монете}; В={ выпадение хотя бы одной
решетки}.
34. Брошены две игральные кости. Положим:
Ак = {число очков, выпавших на первой кости, делится на к};
Вк={ число очков, выпавших на второй кости, делится на к };
Ск. ={ сумма очков, выпавших на обеих костях, делится на к}.
Отправляясь от классического определения вероятности,
установить, являются ли независимыми следующие пары
событий: а) А/ ,Вк - при любыхуЛ; Ь) А2 с) А4 ,Ct
35. Из колоды карт в 36 листов наудачу извлекается
одна карта. События: А={ вынутая карта - туз}; В={ вынутая
карта - черной масти}; С={ вынутая карта - фигура (картинка)}.
Установить зависимы или независимы следующие три пары
событий: А и В, А и С, В и С.
7
36. Подбрасываются три игральные кости. Установить,
зависимы или независимы события Д и В, где Д={ выпадет не
менее двух единиц}, В={ выпадет не более двух шестерок}.
Вычислить Р(В1 А).
37. Пусть А и В независимые события. В терминах Р(А)
и Р(В) выразить вероятности событий, состоящих в том, что
произойдет в точности к, по крайней мере к, самое большее к из
событий А и В (/<=0,1,2).
38. Точка случайным образом бросается в квадрат
D = {(лъхз) • 0 < л,х2 0- Пусть (£,,£>) - координаты этой
точки. При каких значениях г независимы события
и Вг = {^ + $2<3г}?
39. Доказать, что если события А и В независимы, то
события Ди В, А и В, А и В также независимы.
40. Пусть события А и В\ независимы и независимы
также события А и /?2, ПРИ этом Доказать, что
события Ди Bi и в2 независимы.
41. Доказать, что если А и В независимые события с
положительными вероятностями, то они совместны.
42. Пусть события А и В несовместны, причем Р(А)>0,
Р(В)>0. Доказать, что они зависимы.
43. Пусть для событий А и В выполнены условия:
Q<P(A)<1 и Р(В/А) = Р(В/А). Показать, что события А и В
независимы.
44. Пусть событие А таково, что оно не зависит от
самого себя. Показать, что тогда Р(А)=0 или Р(А)=1.
45. Пусть событие А таково, что Р(А)=0 или Р(А)=А.
Показать, что событие А и любое событие В независимы.
46. Пусть А и В - независимые события и Р(А и В) = 1 .
Доказать, что либо А, либо В имеет вероятность, равную
единице.
47. Пусть А и В - независимые события. Доказать, что
если Au В и А п В независимы, то либо Р(А)=1, либо Р(В)=1,
либо Р(А)=0, либо Р(В)=0.
48. Пусть A,B,C,D - события, причем А и В не зависят
от С и D. Доказать, что если АВ=0 и СО=0, то А и В не зависит
отСиР.
49. Пусть А и В независимы и А и С независимы.
Показать, что А и В и С могут быть зависимы.
8
50. (Продолжение) Доказать, что если, кроме того, А и
ВС независимы, то А и ВиС также независимы. Будут ли
независимы В и С?
51. Доказать, что если события
независимы в совокупности, то события. также
независимы в совокупности.
52. Вероятность выхода из строя k-го блока
вычислительной машины за время Т равна рк, k=1,2,...,n.
Определить вероятность выхода из строя за указанный
промежуток времени хотя бы одного из п блоков этой машины,
если работа всех блоков взаимно независима.
53. Пусть А\,А2^-'>Ап - независимые в совокупности
события. Показать, что тогда Р( U Ак) = 1 - П Р(Ак)
к=\ к=1
54. Пусть А],А2,—’Ап - независимые в совокупности
события с P(Ai) = Pi Показать, что вероятность р0 того, что ни
одно из этих событий не произойдет, определяется формулой
п
Ро = П(1-р,).
/=1
55. Из 100 студентов, находящихся в аудитории, 50
человек знают английский язык, 40 - французский и 35 -
немецкий. Английский и французский языки знают 20 студентов,
английский и немецкий - 8, французский и немецкий - 10. Все
три языка знают 5 человек. Один из студентов вышел из
аудитории. Рассмотрим следующие события: Е={вышедший
знает английский язык}; Е={ вышедший знает французский язык};
D={ вышедший знает немецкий язык}. Необходимо: а) указать
все пары независимых событий; Ь) установить, являются ли
события E,F и D независимыми в совокупности.
56. Подбрасываются три игральные кости. События:
А={ на первой и второй костях выпало одинаковое число очков};
В={ на второй и третьей костях выпало одинаковое число очков};
С={ на первой и третьей костях выпало одинаковое число очков}.
Будут ли события ДВ и С а) попарно независимы; Ь)независимы
в совокупности?
57. Пусть события А, В и С независимы в
совокупности, причем каждое из этих событий имеет
вероятность, отличную от нуля и единицы. Могут ли события АВ,
ВС и АС быть: а) независимыми в совокупности; Ь) попарно
независимыми?
9
58. Пусть события А, В и С попарно независимы ,
причем каждое из этих событий имеет вероятность, отличную от
нуля и единицы. Могут ли события АВ, ВС и АС быть:
а)независимыми в совокупности; Ь) попарно независимыми?
59. Пусть А и В - независимые события, и событие С
не зависит от событий АВ и А и В . Обязаны ли события А, В и
С быть попарно независимыми?
60. Показать, что из равенства Р(АВС)=Р(А)Р(В)Р(С) не
следует попарная независимость событий А, В и С.
61. Игральная кость брошена 2 раза. Пусть х и у -
числа очков, выпавших при этих испытаниях. Рассмотрим
события: Я1={ х делится на 2, у делится на 3}; л2={х делится на
3, у делится на 2}; Аз~ {х делится на у}; А4- { У делится на х};
Аз — {х+у делится на 2}; j6 = {х+у делится на 3}. Найти все пары
А,}, тройки {л/, Aj, Ак] и т. Д- взаимно независимых событий.
62 Точка случайным образом бросается в квадрат
£> = {(х1,Х2)-0<Х1,Х2^1}< Пусть (£р£2) - координаты этой
точки. Рассмотрим события:
Ai = < 1/2}, А2 = И2 ^/%,Аз = {(^-1/2)(£2-1/2) < 0}.
Показать, что данные события попарно независимы, но не
являются независимыми в совокупности. Определить, зависимы
или нет события А\ П Л2 и Аз •
63. Обобщая пример, приведенный в предыдущей
задаче, показать, что для любого целого п > 4 существует
совокупность U,л2,Ап} событий, обладающих следующими
свойствами: а) события Л1,Л2, . ,ЛЯ зависимы в совокупности;
Ь) при удалении из Л1,Л2,. .,ЛЛ любого события остающиеся
события независимы в совокупности.
64. События ЛьЛ2,---,Ап удовлетворяют условиям
*
P(Ai) = Pi, P(nAj) = plp2...pi,i = \,2,...,п. Являются ли
7=1
{Л1, Л2, • • •, Ап} совокупностью независимых событий?
65. Пространство элементарных событий С состоит из
п элементов. При каких к на подмножествах Q можно определить
вероятность Р и события ЛьЛ2, так, чтобы события
Л1,Л2,.-.,Ла были независимы в совокупности и
0 <Р(Л)<1,/ =
10
66. Пространство элементарных событий состоит из
п>4 элементов. При каких к можно так определить на
подмножествах О вероятность Р и события A\,Ai.Ак » что
0 < Р(Л)<1, / = к и события А\,А2,—,Ак попарно
независимы?
67. Из урны, содержащей черные и белые шары, с
возвращением извлекается по одному шару. Пусть событие Ак
означает, что k-ый по счету вынутый шар - белый. Доказать, что
события А\,А2,--,Ап независимы в совокупности. Показать, что
если выбор производится без возвращения, то события
А\,А2,---.Ап зависимы.
68. (Продолжение). Доказать, что в случае выбора без
возвращения:
а) Р(Ак) = Р(А\) при любом к < и;
Ь) Р(Ак! Ап) не зависит от /с, 1 < к < и -1;
с) P(Ak+nJ Ак) не зависит от л?.
69. Доказать, что события ЛьЛг,---,Ап независимы в
совокупности тогда и только тогда, когда выполнены 2" условий
р ГМГ
; Ai
70.
= П р(а? j, ст, = о,1; / = 1,л
если ап = 1,
если а, = 0.
если (j, = и.
Пусть (Q,F,P) - вероятностное пространство,
AeF и Р(А)>0. Положим Fa = {В-В е F,P(AB) = Р(А)Р(В)}.
Всегде ли класс fа будет <т- алгеброй (алгеброй)?
71. Шар случайным образом извлекается из урны,
содержащей 10 одинаковых шаров, занумерованных
последовательно от 1 до 10. Пусть N - номер вынутого шара.
Рассмотрим события: Д={ N - четное число}; B={N >6 };
C={7V < 4}; Какие из пар событий (А,В), (А, С), (В, С) независимы.
72. Бросаются две правильные монеты. Рассмотрим
события: Д={на первой монете выпал герб}; В={ на второй
монете выпал герб}; С={обе монеты упали на одну сторону}.
Определить, являются ли данные события: а) попарно
независимыми; Ь) независимыми в совокупности.
73. Одна карта случайным образом извлекается из
стандартной колоды в 52 карты. Рассмотрим события:
А={извлечена карта пиковой масти}; В={извлечена старшая карта
(туз, король, дама, валет, десятка)}. Определить, являются ли
эти события независимыми.
74. Бросаются 2 игральные кости. Рассмотрим
события: Д={на первой кости выпало нечетное число очков};
В={на второй кости выпало нечетное число очков}; С={сумма
выпавших очков является нечетным числом}. Определить
являются ли эти события: а) попарно независимыми; Ь)
независимыми в совокупности.
75. Имеется 4 бракованных изделия: на одном
повреждена окраска, на другом имеется вмятина, на третьем -
зазубрина, а на четвертом - все три указанных дефекта. Из этих
. изделий наудачу выбирается одно. Пусть события А, В, С
состоят в том, что у выбранного изделия : Д={повреждена
окраска}; 8={имеется вмятина}; С={имеется зазубрина}.
Определить, являются ли указанные события: а) попарно
независимыми; Ь) независимыми в совокупности.
76. Из урны, в которой лежат 8 шаров с номерами 1, 2,
3, 12, 13, 20, 30 и 123, вынимается наудачу один шар. Пусть
событие Ак заключается в том, что на вынутом шаре окажется
цифра к (А=1, 2, 3). Будут ли события Аь А29А3 независимыми в -
совокупности?
77. Пусть Q = {б7о»б71>С72»б7з} и
Р( {^k}) = 1 / 4, к = 0,1,2,3. Рассмотрим события
At = {сто>GT/}»*' - 1,2,3. Определить, являются ли эти события: а)
попарно независимыми; /^независимыми в совокупности.
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ
78. Определить вероятность того, что выбранное
наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4%
всей продукции является браком, а 75% небракованных изделий
удовлетворяет требованиям первого сорта.
79. Вероятность того, что в течение одной смены
возникнет неполадка станка, равна 0,05. Какова вероятность
того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены?
80. Только один изп ключей подходит к данной двери.
Найти вероятность того, что придется опробовать ровно к
ключей (к < п) для открывания двери.
81. Вероятность того, что изготовленная на первом
станке деталь будет первосортной, равна 0,7. При изготовлении
такой же детали на втором станке эта вероятность равна 0,8. На
первом станке изготовлено две детали, на втором - три. Найти
вероятность того, что все детали первосортные.
82. Вероятность для данного спортсмена улучшить
свой предыдущий результат с одной попытки равна р.
Определить вероятность того, что на соревнованиях спортсмен
улучшит свой результат, если разрешается делать две попытки.
83. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров. В
другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность
того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если
из каждого ящика вынуто по одному шару.
84. Предположим, что для одной торпеды вероятность
попасть в корабль равна 1/2 . Какова вероятность того, что 4
торпеды потопят корабль, если для этого достаточно попадания
в цель хотя бы одной торпеды?
85. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимается
наудачу 2 пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы
будут одного цвета?
86. Две одинаковые монеты радиуса г расположены
внутри круга радиуса R, в который наудачу бросается точка.
Определить вероятность того, что эта точка упадет на одну из
монет, если монеты не перекрываются.
87. Найти вероятность того, что наудачу взятое
двузначное число окажется кратным 2, либо 5, либо тому и
другому одновременно.
88. В круг радиуса R вписан квадрат. Чему равна
вероятность того, что поставленные наудачу внутри круга две
точки окажутся внутри квадрата?
89. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы
с вероятностью, не меньшей а) 0,5; Ь) 0,9 , хотя бы один раз
выпало 6 очков?
90. Студент может уехать в институт или автобусом,
который ходит через каждые 20 минут, или троллейбусом,
который ходит через каждые 10 минут. Какова вероятность того,
что студент, подошедший к остановке, уедет в течение
ближайших 5 минут?
91. Два охотника стреляют в волка, причем каждый
делает по одному выстрелу. Для первого охотника вероятность
попадания в цель равна 0,7, для второго - 0,8. Какова
вероятность попадания в волка (хотя бы при одном выстреле)?
Как изменится результат, если охотники сделают по два
выстрела?
92. Вероятность того, что в результате четырех
независимых опытов событие А произойдет хотя бы один раз,
равна 0,5. Определить вероятность появления србытия А при
одном опыте, если она во всех опытах остается неизменной.
93. Абонент забыл последнюю цифру номера
телефона и поэтому Набирает ее наудачу. Определить
вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три
места.
94. Абонент забыл последнюю цифру номера
телефона (но помнит, что она нечетна) и поэтому набирает ее
наудачу. Определить вероятность того, что ему придется
звонить не более чем в три места.
95. Стрелок производит один выстрел в мишень,
состоящую из центрального круга и двух концентрических колец.
Вероятности попадания в круг и кольца соответственно равны
0,2; 0,15; 0,1. Определить вероятность попадания в мишень.
96. 15 экзаменационных билетов содержат по два
вопроса, которые не повторяются. Экзаменующийся может
ответить только на 25 вопросов. Определить вероятность того,
что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на
два вопроса из одного билета или на один вопрос из первого
билета и на указанный дополнительный вопрос из другого
билета.
97. В двух урнах находятся шары, причем в первой
урне 5 белых, 11 черных и 8 красных шаров, а во второй
соответственно 10, 8 и 6. Из обеих урн наудачу извлекается по
одному шару. Какова вероятность того, что оба шара одного
цвета?
V 98. Двое поочередно бросают монету. Выигрывает тот,
у которого раньше появится герб. Определить вероятности
выигрыша для каждого из игроков.
99. Гардеробщица выдала одновременно номерки
четырем лицам, сдавшим в гардероб свои шляпы. После этого
она перепутала все шляпы и повесила их наудачу. Найти
вероятности следующих событий: А={ каждому из четырех лиц
гардеробщица выдаст его шляпу }; В={ ровно три лица получат
свои шляпы }; С={ ровно два лица получат свои шляпы };D={
ровно одно лицо получит свою шляпу }; Е={ ни одно из четырех
лиц не получит своей шляпы }.
14
100. В автобусе едут п пассажиров. На следующей
остановке каждый из них выходит с вероятностью р, с
вероятностью 1 - /?0 входит один новый пассажир и с
вероятностью р0 не входит ни один новый пассажир. Найти
вероятность того, что когда автобус снова тронется в путь после
следующей остановки, в нем будет п пассажиров.
101. В урне находится 7 белых и 3 черных шара. Три
игрока по очереди извлекают по одному шару, отмечая цвет и
возвращая шар обратно. Выигрывает тот, кто первым достанет
черный шар. Найти вероятности выигрыша для каждого из
игроков, если игра может продолжаться неограниченно долго.
102. Студенты выполняют контрольную работу в классе
контролирующих машин. Работа состоит из трех задач. Для
получения положительной оценки достаточно решить две. Для
каждой задачи зашифровано 5 различных ответов, из которых
только один правильный. Какова вероятность того, что Иванов
получит положительную оценку, ёсли ответ для каждой задачи
он выбирает наудачу?
103. Цех изготовляет кинескопы для телевизоров,
причем 70% из них для цветных, а 30% для черно-белых
телевизоров. Известно, что 50% всей продукции цеха
отправляется на экспорт, причем от общего числа цветных
кинескопов на экспорт идет 40%. Найти вероятность того, что
наудачу выбранный черно-белый кинескоп будет отправлен на
экспорт.
104. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов 24.
Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на
первый вопрос преподаватель задает еще один вопрос?
105. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шаров
наудачу и последовательно извлекают по одному шару до
появления черного шара. Найти вероятность того, что придется
производить четвертое извлечение, если выборка производится:
а) с возвращением; Ь) без возвращения.
106. Радист трижды вызывает корреспондента.
Вероятность того, что корреспондент примет первый вызов
равна 0,2, второй - 0,3 и третий - 0,4. По условиям приема
события, состоящие в том, что i - й по. счету вызов (i=1,2,3)
услышан, независимы. Найти вероятность того, что
корреспондент вообще услышит радиста.
107. За некоторый промежуток времени амеба может
погибнуть с вероятностью 0,25, выжить с вероятностью 0,25 и
разделиться на две части с вероятностью 0,5. В следующий
15
такой же промежуток времени с каждой амебой независимо от ее
происхождения происходит то же самое. Сколько амеб и с
какими вероятностями может существовать к концу второго
промежутка времени?
108. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет
считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из
четырех поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый
вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова
вероятность того, что студент сдаст зачет?
109. Статистика, собранная среди студентов одного из
вузов, обнаружила следующие факты: 60% всех студентов
занимаются спортом, 40% участвуют в научной работе и 20%
занимаются спортом и участвуют в научной работе.
Корреспондент местной газеты подошел к наудачу выбранному
студенту. Найти вероятности следующих событий: Д={ студент
занимается по крайней мере одним из двух указанных видов
деятельности }; В={ студент занимается одним только спортом };
С={ студент занимается только одним видом деятельности}.
110. Известно, что из 30 учащихся спортивной школы 12
человек занимаются баскетболом, 15 волейболом, 5 волейболом
и баскетболом, а остальные другими видами спорта. Какова
вероятность того, что наудачу взятый учащийся этой щколы
занимается волейболом или баскетболом.
111. Наудачу подбрасывают две игральные кости. Найти
вероятности следующих событий: Д={ сумма выпавших очков
четна }; В={ произведение очков четно }; С={ на одной из костей
число очков четно, а на другой нечетно }; О={ ни на одной из
костей не выпало шесть очков-}.
112. Проводится три повторных независимых измерения
некоторой физической величины. Вероятность того, что при
одном (любом) измерении ошибка выйдет за пределы допуска,
равна 0,1. Найти вероятности следующих событий: Д={ во всех
проведенных измерениях была достигнута заданная точность };
В={ не более чем в одном измерении ошибка выйдет за пределы
допуска }; С={ по крайней мере в двух измерениях подряд была
достигнута заданная точность}.
113. Двое поочередно бросают монету (первый один раз,
а второй два раза подряд). Выигрывает тот, у кого раньше
появится герб. Найти вероятности выигрыша для каждого из
игроков, если игру начинает первый игрок.
114. В театральной кассе к некоторому моменту времени
осталось: 1 билет в театр эстрады, 2 билета в драматический
16
театр и 3 билета в театр комедии. Каждый очередной покупатель
покупает лишь один билет с равной вероятностью в любой из
возможных театров. Два человека из очереди последовательно
приобрели билеты. Найти вероятности следующих событий: Д={
куплены билеты в разные театры }; В={ куплены билеты в один
какой-нибудь театр}.
115. (Продолжение). В условиях предыдущей задачи
найти вероятности событий: С={ все билеты в театр эстрады
распроданы }; D={ билет в театр комедии куплен раньше, чем в
театр эстрады}.
116. Есть две одинаковые урны, каждая из которых
содержит 5 белых и 5 черных шаров. Из первой урны наугад
вынимается шар и перекладывается во вторую урну. Затем из
второй урны наугад извлекается шар и перекладывается в
первую урну, после чего вся процедура повторяется еще раз.
Определить вероятность того, что извлекаются только белые
шары.
117. Стрелок делает три выстрела по цели, движущейся
на него. Вероятности попадания в цель при первом, втором и
третьем выстрелах соответственно равны 0,4; 0,5 и 0,6. Найти
вероятность того, что стрелок промахнется ровно один раз.
118. Три игрока играют на следующих условиях.
Сначала против первого последовательно ходят второй и третий
игроки. При этом первый игрок никогда не выигрывает, а
вероятности выигрыша второго и третьего игроков одинаковы и
равны 0,3. Если первый игрок не проигрывает, то он делает по
одному ходу против второго и третьего игроков и выигрывает у
каждого из них с одинаковой вероятностью, равной 0,4. На этом
игра заканчивается. Определить вероятность того, что первый
игрок выиграет хотя бы у одного партнера.
119. Работа электронного устройства прекратилась
вследствие выхода из строя одного из пяти унифицированных
блоков. Производится последовательная замена каждого блока
новым до тех пор, пока устройство не начнет работать. Какова
вероятность того, что придется заменить: а) 2 блока; Ь)4 блока?
120. Два игрока поочередно бросают игральную кость.
Выигрывает тот, у кого раньше выпадет 6 очков. Какова
вероятность выигрыша для игрока, бросающего игральную кость:
а) первым; Ь) вторым?
121. Имеется коробка с девятью новыми теннисными
мячами. Для одной игры из коробки наудачу берут три мяча и
17
после игры возвращают обратно. Какова вероятность того, что
после трех игр в коробке останутся только играные мячи?
122. В урне два белых и три черных шара. Два игрока
поочередно вынимают из урны по шару, не возвращая их
обратно. Выигрывает тот, кто раньше извлечет белый шар.
Найти вероятность выигрыша участника, начавшего игру.
123. Вероятность отказа прибора после того, как он
применялся к раз, равна р(к). Известно, что при первых т
применениях прибор не отказал. Какова вероятность того, что
при следующих п применениях прибор отказал?
124. Производится п независимых выстрелов
зажигательными снарядами по резервуару с горючим. Каждый
снаряд попадает в резервуар с вероятностью р. Для
воспламенения горючего достаточно двух попаданий в
резервуар, а при одном попадании горючее воспламеняется с
вероятностью рх. Найти вероятность того, что после п
выстрелов горючее воспламенится.
125. Жюри состоит из трех судей. Первый и второй
судьи принимают правильное решение независимо друг от друга
с вероятностью р, а третий судья для принятия решения бросает
монету. Окончательное решение принимается по большинству
голосов. Какова вероятность того, что жюри примет правильное
решение?
126. (Продолжение). Все трое членов жюри независимо
друг от друга принимают правильное решение с вероятностью р.
Каким должно быть р, чтобы данное жюри принимало
правильное решение с вероятностью большей 0,5?
127. (Продолжение). Первые два судьи принимают
решение так же, как и в задаче 125, а третий судья поступает
следующим образом: если двое первых судей принимают
одинаковое решение , то третий к ним присоединяется, а в
противном случае бросает монету. Какова вероятность
правильного решения у такого жюри?
128. Вероятность попадания в цель для первого стрелка
равна рх, а для второго - р2. Стрелки одновременно выстрелили
по цели. Какова вероятность того, что в цель попадет только
один из них?
129. (Задача о совпадениях). Элементы ai,«2,
случайным образом переставляются (все п\ перестановок
18
равновероятны). Какова вероятность рп того, что хотя бы один
элемент окажется на своем месте? Найти нт рп
130. По каналу связи, состоящему из передатчика,
ретранслятора и приемника, передаются два сигнала: единица и
нуль. Вследствие воздействия помех сигналы могут искажаться.
На участке передатчик - ретранслятор единица переходит в
единицу с вероятностью рх и в нуль с вероятностью 1 - рх; нуль
переходит в нуль с вероятностью qx и в единицу с вероятностью
1 - qx. На участке ретранслятор - приемник вероятности
указанных событий соответственно равны р2,1 - р2, q2,1 - q2.
Определить вероятность того, что кодовая комбинация 10,
посланная передатчиком, будет принята без искажений.
131. (Задача де Мере). Сколько раз нужно бросить пару
игральных костей, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,5, хотя
бы один раз появилась сумма очков, равная 12?
132. Вероятность поражения цели при одном выстреле
равна рх. Сколько надо произвести независимых выстрелов в
неизменных условиях, чтобы с вероятностью, не меньшей р2,
поразить цель хотя бы один раз? Написать общее выражение
для наименьшего числа выстрелов п(рх,р2) и найти следующие
числовые значения: и(0,3; 0,9), и(0,3; 0,95).
133. Самолет состоит из трех различных по уязвимости
частей: 1) кабины летчика и двигателей; 2) топливных баков; 3)
планера. Для поражения самолета достаточно одного попадания
в первую часть, или двух попаданий во вторую часть, или трех
попаданий в третью. При попадании в самолет одного снаряда
он с вероятностью рк и независимо от других попадает в к - ю
часть (fc=1,2,3). Самолет был обстрелян. События: Д={ в самолет
попало 3 снаряда}; В={ самолет поражен }. Найти Р(В/А).
134. В тире имеются мишени двух типов: мелкие
(диаметра d) и крупные (диаметра 2d). Стреляющему обещан
приз, если он из трех выстрелов по крайней мере дважды подряд
поразит цель, выбирая ее каждый раз по своему усмотрению, но
с обязательным условием: не стрелять дважды подряд в мишень
одного и того же диаметра. С какой мишени - мелкой или
крупной - следует начать состязание стреляющему, если
вероятность попадания в мишень пропорциональна ее площади?
19
135. Производится стрельба из зенитного орудия по
воздушной цели. Попадания при отдельных выстрелах
независимы и имеют вероятность р. Если снаряд попал в цель,
то она поражается с вероятностью р}. Боевой запас орудия
состоит из п снарядов. Стрельба ведется до поражения цели или
до полного расхода боезапаса. Найти вероятности следующих
событий: Д={ не весь боезапас будет израсходован };
8={останутся неизрасходованными не менее к снарядов}.
136. Упрощенная система контроля изделий состоит из
двух независимых проверок. В результате k-й проверки (Л=1,2)
изделие, удовлетворяющее стандарту, отбраковывается с
вероятностью рк, а бракованное изделие принимается с
вероятностью qk. Изделие принимается, если оно прошло обе
проверки. Найти вероятности событий: Д={ бракованное изделие
будет принято }; В={ изделие, удовлетворяющее стандарту, не
будет принято }.
137. Электрическая цепь состоит из элементов
Ак,к = 1,2,...,«. При выходе из строя любого элемента цепь в
месте его включения разрывается. Вероятность выхода из строя
за данный промежуток времени для элемента Ак равна
1 -р^ к = 1,2,..., и. Предполагается, что элементы выходят или
не выходят из строя независимо друг от друга. Найти
вероятность того, что за рассматриваемый промежуток времени
по цепи будет проходить ток, если схема соединения элементов
имеет вид:
а) п=3
b) n=3
c) r>=6
\
d) n-4
21
138. По цели производится п независимых выстрелов.
Вероятность попадания при к - м выстреле равна /с=1, ..,л.
Найти вероятность того, что при л выстрелах будет не менее
двух попаданий
139. Два стрелка, чередуясь, стреляют по мишени до “
первого попадания, но каждый имеет право сделать не более
двух выстрелов. Вероятность попадания в мишень при одном
выстреле для первого стрелка равна pv для второго - р2. Найти
вероятности следующих событий: Д={ в мишень попадет первый
стрелок}; В={ в мишень попадет второй стрелок}.
140. Два стрелка независимо друг от друга делают по
два выстрела каждый по своей мишени. Вероятность попадания
22
в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна р},
для второго - р2. Выигравшим соревнование считается тот
стрелок, в мишени которого будет больше пробоин. Найти
вероятности следующих событий: Д={ выиграет первый
стрелок}; В={ выиграет второй стрелок}.
141. Появление события А равновозможно в любой
момент промежутка времени Т. Вероятность того, что событие А
за этот промежуток времени произойдет, равна р. Известно, что
за время t<T данное событие не произошло. Определить
вероятность того, что событие А произойдет в оставшийся
промежуток времени T-t.
142. В партии, состоящей из N изделий, имеется М
дефектных (M<N). Из партии выбирается для контроля п изделий
(п<М). Если среди контрольных окажется более m дефектных
(Л7<п), бракуется вся партия. Найти вероятность того, что партия
будет забракована.
143. Имеется m радиолокационных станций, каждая из
которых за один цикл обзора обнаруживает объект с
вероятностью р (независимо от других циклов и от других
станций). За время Т каждая станция успевает сделать п циклов.
Найти вероятности следующих событий: Д={ за время Т объект
будет обнаружен хотя бы одной станцией }; В={ за время Т
объект будет обнаружен каждой станцией}.
144. Происходит воздушный бой между двумя
самолетами: истребителем и бомбардировщиком. Стрельбу
начинает истребитель: он делает один выстрел по
бомбардировщику и сбивает его с вероятностью р}. Если
бомбардировщик этим выстрелом не сбит, он стреляет по
истребителю и сбивает его с вероятностью р2. Если
истребитель этим выстрелом не сбит, он еще раз стреляет по
бомбардировщику и сбивает его с вероятностью р3. Найти
вероятности следующих событий: Д={ сбит бомбардировщик };
В={ сбит истребитель}.
145. Пусть А и В - случайные события, причем
Р(А)=0,25, а Р(В)=0,8. Какие из следующих трех неравенств
верны?
а) Р(А В) < 0,25; Ь) Р(АпВ)>0,2; с)Р(ЛпВ)>0,05.
23
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
. «
146. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В одном ящике
2 белых и 1 черный шар, во втором 1 белый и 4 черных шара.
Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него шар. Какова
вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
J147. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки Д, 6 марки В
и 4 марки С. Вероятности того, что качество детали окажется
отличным, для этих станков соответственно равны: 0,9; 0,8; 0,7
Какой процент отличных деталей выпустит цех в целом?
148. Определить вероятность того, что 100 лампочек, взятых
наудачу из 1000, окажутся исправными, если известно, что число
испорченных лампочек на 1000 штук равновозможно от 0 до 5.
149. В тире имеется 5 ружей, вероятности попадания из
которых равны соответственно 0,5; 0,6; 0,7; 0,8 и 0,9. Определить
вероятность попадания при одном выстреле, если стреляющий
выбирает ружье наудачу.
150 Имеется две партии изделий из 12 и 10 штук, причем в
каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу
из первой партии, перекладывается во вторую, после чего
выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить
вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.
151. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для
испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения
бракованной продукции, если в одной партии' 2/3 деталей
бракованных, а в двух других все доброкачественные?
152. Характеристика материала, взятого для изготовления
продукции, с вероятностями 0,09; 0,16; 0,25; 0,25; 0,16 и 0,09 может
находиться в шести различных интервалах. В зависимости от
свойств материала вероятности получения первосортной продукции
равны соответственно 0,2; 0,3; 0,4; 0,4; 0,3; 0,2. Определить
вероятность получения первосортной продукции.
153. В первой урне находится 1 белый и 9 черных шаров, а во
второй - 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны случайным
образом удаляется по одному шару, а оставшиеся шары ссыпаются
в третью урну. Найти вероятность того, что шар, извлеченный
наудачу из третьей урны, окажется белым.
154. В пункте проката имеется 10 телевизоров, для которых
вероятность исправной работы в течение месяца равна 0,9, и 5
телевизоров с аналогичной вероятностью, равной 0,95. Найти
24
вероятность того, что два телевизора, взятых наудачу в пункте
проката, будут работать исправно в течение месяца.
V 155. В первой урне 2 белых и 4 черных шара, во второй - 3
белых и 1 черный шар. Из первой урны случайным образом
переложили во вторую два шара. Найти вероятность того, что шар,
вынутый наудачу из второй урны после перекладывания, окажется
белым.
156. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина
производит 25%, вторая 35%, третья - 40% всех изделий. В их
продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Какова
вероятность того, что случайно выбранный болт - дефектный?
157. Группа студентов, сдающих экзамен, состоит из 5
отличников, 10 хорошо успевающих и 15 слабо успевающих
студентов. Отличник всегда получает оценку «отлично», хорошо
успевающий студент - оценку «отлично» или «хорошо» с равными
вероятностями, а слабо успевающий студент - оценку «хорошо»,
«удовлетворительно» или «неудовлетворительно» с равными
вероятностями. Какова вероятность того, что наудачу выбранный
студент получит оценку а) «отлично»; Ь) «хорошо»?
158. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных,
поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью
' 0,95 обнаруживает дефект (если он есть), и существует вероятность
0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным.
Какова вероятность того, что случайно выбранный из партии
транзистор будет признан дефектным?
159. Прибор, установленный на борту самолета, может
работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского
полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский
режим полета осуществляется в 80% всего времени полета,
условия перегрузки - в 20%. Вероятность выхода прибора из строя
за время полета в нормальном режиме равна 0,1, в условиях
перегрузки - 0,4. Вычислить надежность прибора за время полета.
160. В продажу поступают телевизоры трех заводов.
Продукция первого завода содержит 20% телевизоров со скрытым
дефектом, второго - 10% и третьего - 5%. Какова вероятность
приобрести исправный телевизор, если в магазин поступило 30%
телевизоров с первого завода, 20% - со второго и 50% - с третьего?
161. Три стрелка, вероятности попадания которых при одном
выстреле в мишень равны р = о,8; р2 = о,7; р = 0,6 , делают по одному
выстрелу в одну и ту же мишень. Вычислить вероятность события
Д={ в мишени окажется ровно две пробоины}.
25
162. Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен,
Иванов и Петров знают 20 билетов из 30, Сидоров - 15, остальные
студенты знают все 30 билетов. Экзаменатор наудачу вызывает
отвечать одного из студентов. Какова вероятность того, что
вызванный сдал экзамен, если знание билета гарантирует сдачу
экзамена с вероятностью 0,85, а при незнании билета можно сдать
экзамен лишь с вероятностью 0,1?
163. Из колоды в 52 карты наудачу последовательно и без
возвращения выбирают две карты. Какова вероятность того, что
вторая карта может покрыть первую, если для этого она должна
быть той же масти, но более старшей, чем первая?
164. В первой урне содержится 1 белый и 2 черных шара, а во
второй урне - 2 белых и 3 черных шара. В третью урну кладут два
шара, случайно выбранных из первой урны, и два шара, случайно
выбранных из второй урны.
а) Какова вероятность того, что шар, извлеченный из
третьей урны, будет белым?
Ь) Найти вероятность тог, что при выборе с возвращением
из третьей урны двух Шаров один из них будет белым, а другой -
черным?
с) Найти ту же вероятность, что и в п. Ь), для схемы выбора
без возвращения.
165. В ящике находится 15 теннисных мячей, из которых 9
новых. Для первой игры наудачу берут 3 мяча и после игры
возвращают в ящик. Для второй игры также наудачу берутся 3
мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй
игры, новые.
166. В правом кармане имеется 3 монеты по 5 копеек и 4
монеты по 10 копеек, а в левом - 6 монет по 5 копеек и 3 монеты по
10 копеек. Из правого кармана в левый наудачу перекладывается 5
монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана
(после перекладывания монет) монеты в 5 копеек, если монета
берется наудачу.
167. При переливании крови надо учитывать группы крови
донора и больного. Человеку, имеющему четвертую группу крови,
можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или
третьей группой крови можно перелить кровь либо той же группы,
либо первой; человеку с первой группой крови можно перелить
только кровь первой группы. Среди населения 33,7% имеют первую,
37,5% - вторую, 20,9% - третью и 7,9% - четвертую группы крови.
а) Найти вероятность того, что случайно взятому больному
можно перелить кровь случайно взятого донора.
b) Найти вероятность того, что переливание можно
осуществить, если имеются два донора; три донора.
168. Страховая компания разделяет застрахованных по
классам риска: I класс - малый риск, II класс - средний риск и III
класс - большой риск. Среди клиентов этой компании 50% - первого
класса риска, 30% - второго и 20% - третьего. Вероятность выплаты
страхового вознаграждения за период страхования для первого
класса риска равна 0,01, для второго - 0,03, для третьего - 0,08.
Какова вероятность того, что наудачу взятый клиент этой компании
получит денежное вознаграждение за период страхования?
169. В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены
оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит
мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна
0,95, а для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна
0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если
стрелок производит один выстрел из наудачу взятой винтовки.
170. В первой урне содержится 10 шаров, из них 8 белых, во
второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Из каждой урны наудачу
извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров наудачу
взяли Один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.
171. В каждой из трех урн содержится 6 черных и 4 белых
шара. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во
вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар
и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар,
наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.
172. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и
ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех
случаев работы прибора, а ненормальный - в 20%. Вероятность
выхода прибора из строя за время Т в нормальном режиме равна
0,1, а в ненормальном - 0,7. Найти вероятность выхода прибора из
строя за время Т.
173. Урна содержит 4 одинаковых шара с номерами от нуля до
трех. Один шар случайным образом извлекается из урны и назад не
возвращается. Все шары с номером, отличным от нуля и меньшим
номера извлеченного шара, также удаляются из урны. Затем из
оставшихся в урне шаров случайным образом выбирается один
шар. Какова вероятность того, что он имеет номер 3?
174. По самолету производится три одиночных выстрела.
Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором
- 0,5, при третьем - 0,7. Для вывода самолета из строя заведомо
достаточно трех попаданий. При одном попадании самолет выходит
из строя с вероятностью 0,2, а при двух попаданиях с вероятностью
27
0,6. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов
самолет будет выведен из строя.
175. Три самолета - один ведущий и два ведомых -
посылаются на бомбометание по объекту. Радионавигационное
оборудование, без которого выход к цели невозможен, имеется
только у ведущего самолета. После выхода на цель самолеты
выполняют бомбометание независимо; вероятность разрушить
объект для каждого из них равна 0,3. Перед выходом на цель
самолеты проходят зону зенитной обработки противника, в которой
каждый из них может быть сбит с вероятностью 0,2. Найти
вероятность того, что объект будет разрушен.
176. Ниже на рисунке изображена схема дорог. Туристы
вышли из пункта О, выбирая наугад на разветвлении дорог один из
возможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт
Д?
177. При помещении в урну п шаров (т белых и п-т черных)
один шар неизвестного цвета затерялся. Из оставшихся в урне п-1
шаров наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что
вынутый шар окажется белым?
178. Имеется л экзаменационных билетов, каждый из которых
содержит по два неповторяющихся вопроса. Студент знает ответы
на к (к < 2п) вопросов. Определить вероятность того, что экзамен
будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса
28
своего билета или на один вопрос из своего билета и на один (по
выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета.
179. В двух урнах находится соответственно % * тг белых и
П\ и П1 чеРнь,х шаров. Из каждой урны наудачу извлекается один
шар, а затем из этих двух шаров наудачу берется один. Какова
вероятность того, что этот шар белый?
180. В сосуд, содержащий п шаров, опущен белый шар. Какова
вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все
предположения о первоначальном составе шаров по цвету (к белых
и п-кчерных, к-0,равновозможны?
181. Имеется три урны с белыми и черными шарами, причем
отношение числа белых шаров к числу черных шаров равно
6Zi’6Z2’ZZ3 для 2-й, 3-й урны соответственно. Наудачу (с
вероятностью 1/3) выбирается урна и из нее шар. Какова
вероятность того, что он белый?
182. В условиях эксперимента, описанного в задаче 130,
сигналы 0 и 1 передаются с равной вероятностью. Вычислить
вероятность события С={ принято два одинаковых символа}.
183. Имеется два ящика, в которых находятся одинаковые
изделия; некоторые из них исправны, другие - дефектны. В первом
ящике а исправных изделий и b дефектных, во втором - с
исправных и d дефектных. Из первого ящика во второй
перекладывают наудачу одно изделие, его смешивают с другими,
после чего из второго ящика в первый перекладывают одно наугад
выбранное изделие. Затем из нового содержимого первого ящика
наугад берут одно изделие. Найти вероятность того, что оно будет
исправным.
184. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с
вероятностью р имеет дефект. В цехе имеется три контролера:
изделие осматривается только одним из контролеров (с одинаковой
вероятностью первым, вторым или третьим). Вероятность
обнаружения дефекта (если он имеется) для i - го контролера равна
n , (z = 1,2,3) Если изделие не было забраковано в цехе, то оно
попадает в ОТК завода, где дефект, если он имеется,
обнаруживается с вероятностью р . Определить вероятности
следующих событий: А={ изделие будет забраковано}; В={ изделие
будет забраковано в цехе }; С={ изделие будет забраковано в ОТК
завода}.
185. Имеется две партии однородных изделий; первая партия
состоит из N изделий, среди которых п дефектных; вторая партия -
29
из М изделий, среди которых т дефектных. Из первой партии
берётся случайным образом К изделий, а из второй - L изделий
(K<N, L<M). Эти K+L изделий смешиваются и образуется новая
партия. Из новой смешанной партии берется наудачу одно изделие.
Найти вероятность того, что изделие будет дефектным.
186. Цех завода производит определенного вида изделия;
любое из них с вероятностью р имеет дефект. Каждое изделие
осматривается браковщиком, который обнаруживает дефект, если
он есть, с вероятностью р и не обнаруживает с вероятностью
1-п. Кроме того, иногда браковщик допускает ошибку, бракуя
♦
доброкачественное изделие; это происходит с вероятностью п. За
смену браковщик осматривает N изделий. Найти вероятность R
того, что хотя бы одно из них будет квалифицировано им
неправильно, то есть будучи дефектным отнесено к
доброкачественным или будучи доброкачественным отнесено к
дефектным. Предполагается, что результаты осмотра отдельных
изделий независимы.
187. Радиолокационная станция ведет наблюдение за
объектом, который может применять или не применять помехи.
Если объект не применяет помех, то за один цикл обзора станция
обнаруживает его с вероятностью п; если применяет - с
вероятностью рл(р}< рУ- Вероятность того, что во время цикла
будут применены помехи, равна р и не зависит от того, как и когда
применялись помехи в остальных циклах. Найти вероятность того,
что объект будет обнаружен хотя бы один раз за п циклов обзора.
188. Из N стрелков можно выделить четыре группы:
отличных, q2 хороших, посредственных и ^ плохих.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для стрелка /
- ой группы равна р (г=1,4). Вызываются наугад два стрелка и
стреляют по одной и той же мишени. Найти вероятность хотя бы
одного попадания в мишень.
189. Имеется п урн, в каждой из которых по т белых и к
черных шаров. Из первой урны наудачу извлекается один шар и
перекладывается во вторую. Затем из второй урны наудачу
извлекается один шар и перекладывается в третью и т. д.
Определить вероятность извлечения после такого перекладывания
белого шара из последней урны.
30
190. Вероятность того, что в справочное бюро в течение часа
обратится К человек равна , 2>0, К=0,1,2,... . Для
каждого человека вероятность отказа равна р. Найти вероятность
того, что в течение часа s человек не получат ответ на свой вопрос.
191. Два цеха штампуют однотипные детали. Первый цех дает
а% брака, второй - 0%. Для контроля отобрано Пх деталей из
первого цеха и из второго. Эти п\ + п2 Деталей смешаны в одну
партию, и из нее наудачу извлекают одну деталь. Какова
вероятность того, что она бракованная?
192. В первой урне лежит 1 белый шар и 4 черных, а во второй
-1 белый и 7 черных. В первую урну добавляются два шара,
случайно выбранные из второй урны.
а) Найти вероятность того, что наудачу выбранный шар из
пополненной первой урны будет белым. .
Ь) Пусть из пополненной первой урны по схеме выбора с
возвращением извлекают К шаров. Найти вероятность того, что
все они будут белыми.
193. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, наудачу
извлекают 2 шара и добавляют 1 белый шар.
а) Найти вероятность того, что после этого наудачу
выбранный из урны шар окажется белым.
Ь) Пусть из урны по схеме выбора с возвращением
извлекают К шаров. Найти вероятность того, что все они белые.
с) Найти ту же вероятность, что и в Ь), для схемы
выбора без возвращения.
• 194. Из урны, содержащей М белых и N-M черных шаров,
утеряно г (r<N) шаров. Сравнить вероятности извлечения белого
шара: а) до утери; Ь) после утери при г=1; с) после утери при г>1.
195. Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком
случае вероятность вытащить неизвестный билет будет для него
наименьшей, когда он тянет билет первым или последним?
196. 2л шаров (и >1), среди которых л белых и л черных,
распределены по двум урнам. Наудачу выбирается урна, а из нее -
один шар. Как нужно распределить шары по урнам, чтобы
вероятность р извлечь белый шар была максимальной? Найти
НтД-
197. Три орудия производят стрельбу по трем целям. Каждое
орудие выбирает себе цель случайным образом и независимо от
других. Цель одним орудием поражается с вероятностью р.
31
Найти вероятность того, что из трех целей две будут
поражены, а третья нет.
ФОРМУЛА БАЙЕСА
198. Предположим, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин
- дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником.
Какова вероятность того, что это мужчина?
199. Два стрелка независимо один от другого стреляют по
одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность
попадания в мишень для первого стрелка 0,8, для второго 0,4.
После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти
вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.
200. Имеется 10 одинаковых урн, из которых в 9 находятся по
2 белых и по 2 черных шара, а в одной - 5 белых и 1 черный шар.
Из урны, взятой наудачу, извлечен белый шар. Какова вероятность
того, что шар извлечен из урны, содержащей 5 белых шаров?
201. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8,
7 - с вероятностью 0,7, 4 - с вероятностью 0,6 и 2 - с вероятностью
0,5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел, но в мишень не
попал. К какой из групп вероятнее всего принадлежит этот стрелок?
202 Вероятности попадания при каждом выстреле для трех
стрелков равны соответственно 0,8; 0,75 и 2/3. При одновременном
выстреле всех трех стрелков имелось два попадания. Определить
вероятность того, что промахнулся третий стрелок.
203. Три охотника одновременно выстрелили по вепрю,
который был убит одной пулей. Определить вероятности того, что
вепрь убит первым, вторым или третьим охотником, если
вероятности попадания для них равны соответственно 0,2; 0,4; 0,6.
204. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3
отличника, 4 хорошиста, 2 троечника и 1 двоечник. В
экзаменационных билетах 20 вопросов. В зависимости от
подготовки студент знает ответы на 20, 16, 10 и 5 вопросов. Наудачу
выбранный студент ответил на 3 вопроса. Найти вероятность того
что он а) отличник; Ь) двоечник.
205. На фабрике, изготовляющей
производит 25%, вторая - 35%, третья -
продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%. Случайно
выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова
вероятность того, что болт произведен первой, второй, третьей
машиной?
I
болты, первая машина
40% всех изделий. В их
32
206. Урна содержит один шар, про который известно, что он с
одинаковыми вероятностями либо белый, либо черный. В урну
кладут один белый шар и затем наудачу извлекают один шар. Он
оказался белым. Найти вероятность того, что оставшийся в урне
шар белый.
207. Из'партии в 5 изделий наудачу взято одно изделие,
оказавшееся бракованным. Количество бракованных изделий-
равновозможно любое. Какое предположение о количестве
бракованных изделий наиболее вероятно?
208. Прибор состоит из двух последовательно включенных
узлов. Надежность (вероятность безотказной работы в течение
времени Т) первого узла равна 0,9, второго - 0,8. За время
испытания прибора в течение времени Т зарегистрирован отказ
прибора. Найти вероятности следующих событий: ^^{отказал
только первый узел}; л2={отказали оба узла}.
209. В коробке находятся две игральные кости: одна
правильная, другая неправильная. При случайном подбрасывании
неправильной игральной кости шестерка появляется с
вероятностью 1/3, единица - с вероятностью 1/9, остальные цифры
выпадают с одинаковой вероятностью. Наудачу извлеченная из
коробки игральная кость была подброшена, и в результате выпало 6
очков. Найти вероятность того, что была подброшена правильная
игральная кость.
210. Число бракованных микросхем на 1000 априори считается
равновозможным от 0 до 3. Наудачу отобраны 100 микросхем,
оказавшихся исправными. Какова вероятность того, что все схемы
исправны?
211. В группе из 25 человек, пришедших сдавать экзамен,
имеется 10" отличников, 7 подготовленных хорошо, 5 -
удовлетворительно и 3 человека, подготовленных плохо. Отличники
знают все 25 вопросов программы, хорошо подготовленные - 20,
подготовленные удовлетворительно - 15 и плохо подготовленные
знают лишь 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на
два заданных вопроса. Найти апостериорные вероятности гипотез:
Н1 ={студент подготовился отлично или хорошо}; я2 ={студент
подготовлен удовлетворительно}; н3 ={студент подготовлен плохо}.
212. Расследуются причины неудачного запуска космической
ракеты, о котором можно высказать четыре предположения
(гипотезы): По данным статистики
/>(Я1) = 0,2,р(Я2) = 0,4,р(Яз) = 0,з,р(Я4) = 0Л. в ходе расследования
обнаружено, что при запуске произошла утечка топлива (событие А).
33
Условные вероятности события А согласно той же статистике равны
Р(А/Я1) = о,9, Р(Я/нг) = о,Р(А//у3) = о,2, р(л/= Какая из гипотез
наиболее вероятна при данных условиях?
213. Имеется 5 урн. В 1-й, 2-й и 3-й находится по 2 белых и 3
черных шара; в 4-й и 5-й урнах - по 1 белому и 1 черному шару.
Случайно выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова
вероятность того, что выбрана 4-я или 5-я урна, если извлеченный
шар оказался белым?
214. Предположим, что надежность определения туберкулеза
при рентгеновском просвечивании грудной клетки составляет 90%
(те. 10% носителей туберкулеза остаются неопознанными).
Вероятность того, что у здорового человека будет ошибочно
обнаружен туберкулез, составляет 1%. Просвечиванию была
подвергнута большая группа людей со средним процентом больных,
равным 0,1%. Какова вероятность того, что человек, признанный
больным, действительно является носителем туберкулеза?
215. Противотанковая батарея состоит из 10 орудий, причем
для первой группы из шести орудий вероятности того, что при одном
выстреле произойдет недолет, попадание или перелет, равны
соответственно 0,1; 0,7; 0,2. Для каждого из остальных четырех
орудий вероятности тех же самых событий равны соответственно
0,2; 0,6; 0,2. Наудачу выбранное орудие произвело три выстрела по
цели, в результате чего было зафиксировано одно попадание, один
недолет и один перелет. Какова вероятность того, что стрелявшее
орудие принадлежит первой группе?
216. Астрономический объект, за которым ведется
наблюдение, может находиться в одном из двух состояний: или
Н2. Априорные вероятности этих состояний Р(Н\) = = о,4.
Наблюдение ведется независимо двумя обсерваториями. Первая
обсерватория обычно дает правильные сведения о состоянии
наблюдаемого объекта в 90% случаев, а в 10% ошибается; вторая
дает правильные сведения в 80% случаев, а в 20% ошибается.
Первая обсерватория сообщила, что объект находится в состоянии
//f, а вторая - что в состоянии //2. Найти апостериорную
вероятность состояния Н\-
217. Два стрелка стреляют по мишени. Один из них попадает в
цель в среднем в 5 случаях, а второй - в 8 случаях из 10. Перед
выстрелом они бросают правильную монету для определения
очередности. Посторонний наблюдатель знает условия стрельбы,
но не знает, кто в данный момент стреляет. Вот он видит, что
34
стрелок попал в цель. Какова вероятность того, что стрелял первый
стрелок?
218. В урне находится 3 белых и 2 черных шара. Первый игрок
без возвращения извлекает 3 шара. Обратно он возвращает
черный шар, если среди вынутых шаров было больше черных. В
противном случае обратно возвращается один белый шар. Второй
игрок после этого извлекает один шар и по его цвету должен угадать
число черных шаров среди трех шаров, вынутых первым игроком.
Найти вероятность того, что у первого игрока / черных шаров, если
второй игрок вытащил черный шар (7=0,1,2).
219. Пусть в урне находится две монеты: симметричная (с
вероятностью выпадения «герба», равной 1/2) и несимметричная (с
вероятностью выпадения «герба», равной 1/3). Наудачу вынимается
и подбрасывается одна из монет. Какова вероятность того, что
подброшена симметричная монета, если известно, что выпал
«герб»?
220. В торговую фирму поступили телевизоры от трех
поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры,
поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют
ремонта в течение гарантийного срока соответственно в 98%, 88% и
92% случаев. Известно, что проданный телевизор потребовал
ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика
вероятнее всего поступил этот телевизор?
221. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами,
причем первый контролер проверяет 55% изделий, а второй -
остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит
нестандартное изделие, равна 0,01, второй -0,02. Взятое наудачу
изделие, маркированное контролером как стандартное, оказалось
нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие
проверялось вторым контролером.
222. Первое орудие 4 - орудийной батареи пристреляно так,
что вероятность попадания равна 0,3; Остальным трем орудиям
соответствует вероятность, равная 0,2. Для поражения цели
достаточно одного попадания.
а) Два орудия произвели одновременно по выстрелу, в
результате чего цель была поражена. Найти вероятность
того, что первое орудие стреляло.
Ь) Одно из орудий произвело два выстрела, в результате чего
цель была поражена. Найти вероятность того, что стреляло
первое орудие.
223 В трех ящиках находятся соответственно: 1) 2 белых и 3
черных, 2) 4 белых и 3 черных, 3) 6 белых и 2 черных шара.
35
Предполагая, что извлечение шара из любого ящика
равновероятно, найти вероятность того, что извлечение было
произведено из 1-го ящика, если а) вынутый шар оказался белым; б)
черным.
224. В трех ящиках находятся соответственно: 1) 2 белых и 3
черных, 2) 4 белых и 3 черных, 3) 6 белых и 2 черных шара. Из
наудачу взятого ящика по схеме случайного выбора с
возвращением извлекли три шара, они оказались белыми. Найти
вероятность того, что шары извлекались из первого ящика.
225. В трех ящиках находятся соответственно: 1) 2 белых и 3
черных, 2) 4 белых и 3 черных, 3) 6 белых и 2 черных шара. Из
наудачу взятого ящика извлекли один шар, зафиксировали его цвет
и возвратили шар в тот же ящик. Затем этот эксперимент повторили
ещё два раза. Все извлекавшиеся шары оказались белыми. Найти
вероятность того, что все извлечения производились из первого
ящика.
226. Ящик А содержит 4 красных и 5 синих фишек, а ящик В - 6
красных и 3 синих фишки. Фишка случайным образом извлекается
из ящика А и перекладывается в ящик В. Затем фишка выбирается
случайным образом из нового содержимого ящика В. Какова
вероятность того, что из ящика А в ящик В перемещена синяя
фишка, если известно, что фишка, вынутая из ящика В, оказалась
красной?
227. При обследовании больного имеется подозрение на одно
из трех заболеваний; ЯрЛ2»Яз- ^х вероятности в данных условиях
равны соответственно 1/2, 1/6, 1/3, Для уточнения диагноза
назначен некоторый анализ, дающий положительный результат с
вероятностью 0,1 в случае заболевания Я1»
с вероятностью 0,2 в
случае заболевания Яг и с вероятностью 0,9 в случае заболевания
Я3. Анализ был произведен пять раз и дал четыре раза
положительный результат, а один раз отрицательный. Найти
вероятность каждого заболевания после произведенных анализов.
228. Имеется три урны с белыми и черными шарами, причем
отношение числа белых шаров к числу черных шаров равно
аг аг» аз Для 1-й, 2-й, 3-й урны соответственно. Наудачу выбирается
урна и из нее шар. Оказалось, что он белый. Какова вероятность
того, что шар был извлечен из первой урны?
229. У рыбака имеется три излюбленных места для ловли
рыбы, которые он посещает с равной вероятностью каждое. Если он
закидывает удочку на / - ом месте, то рыба клюет с вероятностью
р i = 1,2,з. Известно, что рыбак, выйдя на ловлю рыбы, три раза
36
закинул удочку, а рыба клюнула только один раз. Найти
вероятность того, что он удил рыбу на первом месте.
230. Пассажир может обратиться за получением билета в одну
из трех касс (вероятности обращения равны pvpr р3). Вероятность
того, что в 7 - ой кассе не окажется билета, равна q / = 1,2,3.
Пассажир направился в одну из касс и приобрел билет. Найти
вероятность того, что это была вторая касса.
231. Имеется два ящика с одинаковыми деталями. В первом а
исправных и b дефектных, во втором с исправных и с/дефектных. Из
наудачу выбранного ящика извлекается одна деталь. Эта деталь
оказалась исправной. Найти вероятность того, что следующая
деталь, которую вынем из того же ящика, тоже будет исправной.
232. На вход радиолокационного устройства с вероятностью р
поступает смесь полезного сигнала с помехой, а с вероятностью 1-р
только.одна помеха. Если поступает полезный сигнал с помехой, то
устройство регистрирует наличие какого-то сигнала с вероятностью
р}; если только помеха - с вероятностью р2. Известно, что
устройство зарегистрировало наличие какого-то сигнала. Найти
вероятность того, что в его составе имеется полезный сигнал.
233. Однотипные приборы выпускаются тремя заводами в
количественном отношении пупг'пз' причем вероятности брака для
этих заводов соответственно равны pvp2 и Ру Прибор,
приобретенный институтом, оказался бракованным. Какова
вероятность того, что данный прибор произведен первым заводом?
234. По каналу связи передается цифровой текст, содержащий
только три цифры 1,2,3, которые могут появляться в тексте с равной
вероятностью. Каждая переданная цифра в силу наличия шумов
принимается правильно с вероятностью р и с вероятностями (1-р)/2
и (1-р)/2 принимается за каждую из двух других цифр.
Предполагается, что цифры искажаются независимо. Найти
вероятность того, что было передано 111, если принято 123.
235. Имеется три урны. В первой урне находится белых
шаров и черных, во второй - дг2 белых и м2 черных, в третьей
- белых и л/3 черных шаров. Наудачу выбирается одна из урн и
из нее выбирается без возвращения два шара. Один из них
оказывается белым, другой - черным. Найти вероятность того, что
выбор производился из второй урны.
236 По каналу связи передается одна из
последовательностей букв ДАДД ВВВВ, СССС с вероятностями
pvpvp3 (р1+р2+р3 = 1). Каждая передаваемая буква принимается
правильно с вероятностью а и с вероятностями (1-я)/2 и (1-я)/2
принимается за каждую из двух других букв. Предполагается, что
буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность
того, что было передано АААА, если принято АВСА.
237. Отдел технического контроля (ОТК) проводит сортировку
выпускаемых заводом приборов. Каждый прибор независимо от
остальных имеет дефекты с вероятностью р. При проверке в ОТК
наличие дефектов обнаруживается с вероятностью а; кроме того, с
вероятностью /} исправный прибор при проверке может вести себя
как дефектный. Все приборы, у которых при проверке обнаружены
отклонения от стандарта, бракуются. Найти вероятность q того,
что незабракованный прибор имеет дефекты, и Вероятность q того,
что забракованный прибор имеет дефекты. При каких условиях
9о>91?
238. Из двух близнецов первый - мальчик. Какова вероятность
того, что другой тоже мальчик, если среди близнецов вероятности
рождения двух мальчиков и двух девочек соответственно равны я и
Ь, а для разнополых близнецов вероятность рождения первым для
обоих полов одинакова?
239. В урне первоначально находилось N белых и М черных
шаров. Один шар неизвестного цвета потерян. Из урны без
возвращения извлечены два шара, оказавшиеся белыми. Найти
вероятность того, что потерян белый шар.
240. В техникуме л студентов, из которых пк> (£=1,2,3) учатся
к - й год. Среди двух наудачу выбранных студентов, оказалось, что
один из них учится больше другого. Какова вероятность того, что
этот студент учится третий год?
241. Имеется три канала связи, сообщения по которым
распределяются случайным образом. Вероятность искажения
сообщения при его передаче по i - му каналу равна р.,/ = 1,2,з
Выбран какой-то канал и по нему передано к сообщений: ни одно из
них не было искажено. Найти вероятность того, что (к+1) — е
сообщение, переданное по тому же самому каналу, не будет
искажено.
242. Имеется три урны: в первой я белых шаров и b черных; во
второй с белых шаров nd черных; в третьей к белых шаров (черных
нет). Некто выбирает наугад одну урну и вынимает из нее шар. Этот
шар оказался белым. Найти вероятности того, что этот шар вынут из
первой, второй или третьей урны.
1
38
ОТВЕТЫ
1. 285/506^0,563; 2. 0,25; 3. 0,75; 4. 2/3; 5. 4/9; 8. 1/12; 9.а)1/3;
Ь)3/11; 10. а) 1/5; Ь) 1/3; 11. 0,75; 12. 0,25; 13. 19/27; 14. а)1/36;
5)1/16; с)1/96; d) 1/6; е) 1/91; 15. 48/95;
16.Р(В/А) = Р(А/В) = 2/9,Р(А/С) = 9/16; 17. 0,75; 18. 1/3;
19.Р(В/А) = 1/2 , Р(А/В) = 60/91; 20. 8/9; 21. 0,25; 22.63/85;
1/19 , к — 0
24.Р(т71 = Л/72 = 0) = р/19 ,* = 1,9 25.
0 ,к = 10,18.
; 29. M/N; 31.
N-S
1/3; 27. 1/3;
№ 1 .
/1!/2!(^-/1-/2)!’зл'’
З2.независимы; 33. зависимы; 34- а) да; 5) да; с) нет; 35. А и В, В и
С независимы, А и С зависимы; 36. зависимы; Р(В / Л) =1/4; 38.
только при г < 0, г > 2/3, г = 1/3. 50. В и С могут быть зависимы;
52. 1 - П(1 - рк); 55. а) Е и F независимы; 5) не являются; 56. а) да;
*=i
5) нет; 57. а) нет; 5) нет; 58. а) нет; 5) да; Указания для 5) :
Й = [0,1] ; Р - мера Лебега.
Л=[0;1/2],В = [1/4;3/4]; С = [1/16;5/16]и[9/16;13/16]; 59.нет;
Указания: Q = [0,l] ; Р - мера Лебега. Л = [0;1/2], В=[1/4;3/4] ,
С=[3/8; 7/8]; 61. независимы пары {л,,л,}, i,j е {1,2,5,б},/* j и
события наборов {Л1,Л5,Л6} и {л2,Л5,Лб ; 62. ЛЮЛ2 и Лз
зависимы; 64. являются при п=2, не обязательно являются при
«>3; 65. 4^1og2«; 66.4 <л-1; Указания:
Л{ал}) = Р(W) =... = P(te„-i}) = Р({ш„}) = —Ц,
(л-2)2 (л-2)2
Ак: = {йгл,07я}, к = 1,...,л —1, тогда Р(Ак) = —а
л - 2
P(Ak<^Ai) =-------7, k*j; 70. не всегда; 71. независимы
(л-2)2
события А и С; 72. а) да; 5) нет; 73. да; 74. а) да; 5) нет; 75.а)да;
5) нет; 76. нет; 77. а) да; 5) нет; 78. 0,72; 79.® 0,857375; 80. 1/п;
81.0,25088; 82. 2р-рг; 83. 7/9; 84.15/16; 85. 0,5; 86. 2(r/Rf ;
39
4
87.0,6, 88. — «0,4053; 89.tz)n>4; 6>>13; 90. 5/8; 91. 0,94;
Л.
0,9964; 92. 1 -2~1/4; 93. 0,3; 94. 0,6; 95. 0,55; 96. 190/203;
97.31~ 0,323; 98. 2/3 , 1/3; 99. P(A)=1/24; P(B) =0; P(C)=1/4,
96
P(D)=V3, P(E)=3/8; 1OO.po(l-p)'’ + np(l-po)(l-p)'’-';
101.p] = 0,457; p2 = 0,32; p3 = 0,223. 102. 13/125 « 0,104; 103.0,22;
104. 28/29; 105. a; 0,216; b) 1/6; 106.0,664;
107.
0 1 2 3 4
’11/32 4/32 9/32 4/32 4/32
108. 109.PW=0,8; P(B)=0.6; W-0.6; 110.11/15;
111.P(A)=1/2; P(B)=3I4-, P(C)=V2\ P(D)=25/36; 112.P(A)=0,729;
P(B)=Q,972; PfQ=0,891; 113. 4/7; 3/7; 114.Р(А)=7/9; P(S) =2/9;
115.P(C)=5/9; P(D) =4/9; 116. 9/121; 117. 0,38; 118, 0,3136; 119. a) 0,2;
b) 0,2; 120. a) 6/11; 6)5/11; 121. 5/1764; 122. 0,6;
123124Л_ир(1_р )(1_р)»->_(1_р)». 125. p;
1 - p(m)
126.p>0,5; 127.
129. p = 1 - (-1)" -;
2! 3! и!
p, 128. P1+P2 2pyp2,
lim p„ = 1-e"1 » 0,6321;
7l~>00
ПО.^Рз + а-р^а-рг^.^Рг + а-^Х!-^)] ; 131. n> 25;
• ' x . . B T • I
132.«(p,,p2) =
ln(l - p2)
_ 1 n( 1 - Pi)
где [x] -
целая часть числа x .
w(0,3; 0,9) = 7; «(0,3; 0,95) = 9. 133. 1 -Зр2р3; 134. с мелкой
мишени; 135. P(A) = l-(l-ppi)”-1; P(B) = 1 -(1-PP])"~* ;
136.P( A) = qiq2; P(B) = 1 - (1 - p,)(l - p2).
137. a) 1 -(1 -Pj)(l-p2)(l-p3); b)p3(pi + p2-PiP2)-,
с) 1 - (1 - Pi p2 p3)(l - p4 p5 P6); d) pi p4 (p2 + p3 - p2 p3);
e) (Pi + P2~ Pi Р2У.Р3 + Pa ~Рз
f)p5(Pi + p2-PiP2)(p3 + P4-P3P4) +
+ 0 - P5)(Pi Рз + P2Pa- Pi P2 Рз РЛ
40
п п Р
138.1-ПО-Р*) 1+Z; ;
к=\ I s=ll— О J
* э /
Р(Л) = р1 + (1-р1)(1-р2)р1;
139.
Р(В) = (1 - р,) рг + (1-Р1)2 (1 - р2) р2
140. Р(Л) =(2р, - р?)0-р2)2 + 2 р,2 р2 (1 - р2);
Р(5) = (1-рр2 (2 р2 - р2) + 2 р2 р, (1 - рх).
141 P(1 Г. 142 f M\{N - - п)\
’ t ' ‘*=t+, k\(M -ky.(n -k)'.(N -M - n + ky.№’
TP
143. Р(Л) = 1 - (l-p)mn; P(P) - (1-(1-р)"Г;
144.P(^) = pl + (l-pl)(l-p2)p3; P(B) = (1 - Pi) p2 ; 145. а) и c);
146.13/30; 147. 83%; 148. p = i=0 100 '«0,78; 149. 0,7; 150. 13/132;
6Ciooo
151. 2/9; 152. 0,332; 153. 38/105; 154. p«0,87; 155. 11/18;
156.0,0345; 157. a) 1/3; b) 1/3; 158. 0,122; 159. 0,84; 160. 0,895;
161.0,452; 162. 0,7625; 163. 2/17; 164. a) 11/30; b) 47/120; c) 47/90;
165. 5-- = 0,089. 166.0,58. 167. a) 0,57; b) 0,78; 0,87; 168.0,03;
5915 98
169. 0,85; 170. 0,5; 171. 0,4; 172. 0,22; 173. 7/24; 174. 0,458;
175.0,476; 176. 67/120; 177. m/n; 178. k{k~l). + 2^n-~k) (* -1> ;
2n(2n -1) 2n(2n -1) (2n - 2)
ai , ат, y
||И IB|1 11 1 ' 1 IJ 111 L
1 + 02 1 +
179. if-™!—+ —180. ”-+2 ; 181.
2^7Hi + «i тг + П2) 2(и + 1). 3U + ai
182.|(^l(l-<72) + (l-?l)p2 + (l-pl)(l-92) + plp2); .
MV
a d a-1.
ci + b c + d +1 a + b
184.P(U) = Ip(p, + p2 + рД P(C) = P(1 -l(p, + p2 + p3j)p0;
41
/С л L _ m .
K + L N K + L M
1-(1-(1-P)P0-PPiZ;
Р(А) = Р(В) +Р(С)', 185.
186. R = 1 - (1-(р(1-A)+(1-P)P2))"; 187.
189.
e^\ 191.
190.^-
5!
193. a) ~;
20
аП\ + РП1 .
100(W1 + w2)’
где
m
I. > t Ы г II I
m + к
qK} = a{a - ..{a - К + 1); 194. a), b), c) M/N; 195. вероятность будет
одинакова; 196. В одну урну надо положить один белый шар, в
другую все остальные шары. В этом случае
Р'^2 - !“?а4; 197- 2р’<' з/>' 198. 20/21; 199. 6/7;
200. 5/32; 201?°Ко второй; 202. 6/13; 203. 3/29, 8/29, 18/29;
204.а)0,58; Ь) 0,002; 205. 25/69, 28/69, 16/69; 206. 2/3; 207. 5
бракованных изделий; 208. P(jr) = 2/7; P(^2) = i/14. 209. 1/3.
210.« 0,29. 211. P(H\I A) » 0,8677; Р(Я2/А) « 0,1052; Р(Нз'А) « 0,0271.
212.//г 213. 5/11. 214. »0,0826. 215. «0,467. 216.2^354ММ^
217.5/13. 218. 2/11; 6/11; 3/11.219. 3/5. 220. от 2-го поставщика.
221. «0,621. 222.а)0,55; б) = 0,32. 223. а) 56/241; 6) 84/179.
224. = 0,095. 225. = 0,113. 226. 15/29.
/ з
227. Р(АХ)«0,002; Р(а2) «0,01; Р(Л3)« 0,988. 228. ai / У °* . 229.
• + Л1/ k=\ * +
Р10-Р1)2/^Р,(1-а)2- 23О.р2(1-92)/ур,(1-^.).
/ /=1 Г 1=1
231.
232-Р Р1/(Р Pi+0-P )р2)-
(c+d)(c+d-T))
233.
И1Р1/(я1/’1 + л2Р2 + йзРз>-
f а(а -1) |
с(с -1)
234. р(1-р)2/4.
42
2
235^/У2/И2 у ^NkMk
W2+A/2XAf2 + A/2“l) к+М kXN к+М £-1)
236.2л р|/(2а Р|+(1~а)(р2+Рз$) •
237. 0 = р(1 - а) /[р(1 - а)+(1 - р)(1 - р)],
238.
2я/(1+а-6)
239.(№2)/(N+M-2).
240.
П\ П2)
П\ П2 ИЗ
241.Z(1-a)‘+1/Z(1-A)*.
242. а 7 а + С
\a+b)l \а+Ь c+d
_ . • . , f •
(а с Л 1
c+d
a+b c+d
ЛИТЕРАТУРА
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория Вероятностей. Задачи
и упражнений. - М.: Наука, 1973. - 367с.
2. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И Теория
вероятностей и математическая статистика. - Киев: Вища
школа, 1979.-408с.
3. Емельянов Г.В., Скитович В.П. Задачник по теории
вероятностей и математической статистике. - Л.: Изд-во
Ленингр. ун-та, 1Ьб7. -340с.
4. Зубков А.М., Севастьянов Б.А., Чистяков В.П. Сборник
задач По Теорий вероятностей: Учеб, подобие для втузов. -
М.: Наука, 1989.-320с.
5. Крёмер Н.Ш Теория вероятностей и математическая
статистика: Учебник ДЛЯ Вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000.
-543с.
Сборник задач ПО Математике ДНЯ втузов. Ч. 3. Теория
Вероятностей и математическая статистика: Учеб, пособие
для вту*'**‘/ M —
428с.
Сборник задач ПО теории вероятностей, математической
статистике й теорий случайных функций/ Под ред.
А. А. Свешникова. - М.: Наука, 1965. -632с.
6
ЛЬ
j
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Часть 2.
Составители:
Мухин Владимир Ильич, Сморкалова Валентина Михайловна
Подписано в печать Qi. О/. 02г. . Формат 60x84 1/16.
Печать офсетная. Бумага оберточная. Усл.-печ. л. 2,75.
Тираж 300 экз. Заказе’/. . Бесплатно.
* Z
Нижегородский государственный университет
и м. Н. И Лобачевского
603600, ГСП-20, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23.
Л
Типография ННГУ, 603000, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37