ОН СиЛ 6^
Г
№№Ш1ИЕ
БФИЖУ
ШУ/110В
И ШКТУ/ШЙ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
«МИР»
NOISE
and
FLUCTUATIONS:
AN INTRODUCTION
by
D. К. C. MacDonald
National Research Council»
Ottawa, Canada
John Wiley and Sons, Inc.,
New York —London
1962
Д. МАК-ДОНАЛД
ВВЕДЕНИЕ
В ФИЗИКУ ШУМОВ
и
ФЛУКТУАЦИЙ
Перевод с английского
Г. В. ВОСКРЕСЕНСКОГО и В. П. ЯКОВЛЕВА
Под редакцией
Я. и. ХУРГИИА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «М И Р>
Москва 1964
УДК - 533
Редакция литературы по физике
ПРЕДИСЛОВИЕ
РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В настоящее время широкие круги физиков и ин-
женеров так или иначе сталкиваются с явлениями,
протекающими во времени по закону случая. Это —
разнообразные флуктуационные процессы и шумы.
Природа флуктуационных явлений многообразна.
Однако в доступной инженеру или физику-эксперимен-
татору литературе в основном изучаются вопросы об-
работки сигналов в присутствии шумов, а природе са-
мих флуктуационных процессов уделяется весьма ма-
лое внимание. В то же время понимание природы
флуктуационных процессов, изучение их источников
весьма полезно как при работе над уменьшением уров-
ня собственных шумов приборов, так и при решении
задач фильтрации посторонних шумов.
Монография Мак-Доналда посвящена описанию
природы различных флуктуационных процессов: бро-
уновского движения, тепловых шумов, собственных
шумов электронных ламп. Автор ставит своей целью
описать физику этих явлений.
Изложение математических вопросов в моногра-
фии, к сожалению, нельзя признать удовлетворитель- '
ным, поскольку оно характеризуется почти полным
пренебрежением к какой бы то ни было математиче-
ской строгости. Особенно это относится к материалу
гл. II. Автор, например, часто пользуется таким при-
думанным им понятием, как «более или менее случай-
ная переменная». Хотя в своем предисловии он опре-
деляет это понятие, однако трудно признать его целесо-
образным. В научной литературе оно не применяется
и введение его остается полностью на совести автора. .
Большинство математических рассуждений в моно- /
графин следует считать лишь наводящими.
Для преобразования этих рассуждений «на паль-
цах» в четкие формулировки и точные теоремы пона-
добилась бы кардинальная переделка книги. Но
6
Предисловие редактора перевода
задача книги — ввести читателя вкруг тех физических
проблем, где теория флуктуаций и броуновского дви-
Ькения играет первостепенную роль. И эта задача ре-
/шена в достаточной мере интересно и широко. По-
этому мы оставили большинство рассуждений и утвер-
ждений автора без изменений, снабдив их минималь-
ным количеством примечаний и без оговорок испра-
вив замеченные опечатки. Надеемся, что читатель не
примет рассуждений и заключений автора на веру, и
для дальнейшего изучения этих интересных вопросов
обратится к более фундаментальным работам.
Для первого знакомства с математической теорией
броуновского блуждания укажем гл. 14—17 учебника
В. Феллера (Введение в теорию вероятностей и ее
приложения, ИЛ, 1952). Строгое рассмотрение диффе-
ренциальных уравнений диффузионных процессов
проводится в гл. 10 известного учебника Б. В. Гне-
денко (Курс теории вероятностей, Физматгиз, 1961).
Спектральная теория стационарных случайных про-
цессов и ее некоторые радиотехнические приложения
четко и вместе с тем доступно описаны в книге В. Да-
венпорта и В. Рута (Введение в теорию случайных
сигналов и шумов, ИЛ, 1960). По термодинамической
теории электрических флуктуаций прежде всего реко-
мендуем монографию С. М. Рытова (Теория электри-
ческих флуктуаций и теплового излучения, Изд. АН
СССР, 1953). Помимо этих фундаментальных работ,
мы сочли необходимым добавить лишь ту литературу,
которая непосредственно связана с текстом и цити-
руется в редакционных примечаниях.
Можно надеяться, что данная книга окажется по-
лезной для инженеров и научных работников многих
(не только физических) специальностей, сталкиваю-
щихся в своей практической деятельности с флуктуа-
ционными явлениями, и вызовет интерес к дальней-
шему более углубленному изучению теории шумов.
Пользуемся возможностью выразить свою приз-:
нательность доктору физико-математических наук
Ф. В. Бункину, компетентными советами которого мы
воспользовались при редактировании перевода.
д. Хцргин
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРА
Если быть откровенным, следует признать, что
многим физикам сами флуктуации (или, проще гово-
ря, «шумы») представляются как нечто весьма таин-
ственное, а их изучение, может быть, даже бесполез-
ным; самопроизвольные флуктуации кажутся им ро-
ковым злом, с которым должны считаться лишь «не-
разумные» экспериментаторы. Я готов согласиться,
что, возможно, лишь людям с довольно странным
(специфически странным) складом ума может прий-
тись по вкусу изучение более или менее случайных
процессов, но в то же время я убежден, что какое-то
понимание основ флуктуационных процессов и их ро-
ли полезно и весьма важно физикам. Я надеюсь, что
эта небольшая книга может показать хотя бы частич-
но то очарование, которое я всегда испытывал при
изучении случайных процессов; я пытался показать
внутреннюю связь броуновского движения со стати-
стической механикой, с одной стороны, и с проблемой
необратимых процессов —с другой.
Моей целью было изложить основы рассматривае-
мой области физики без привлечения строгих матема-
тических методов, однако я надеюсь, что не совершил
при этом крупных упущений или ошибок, против ко-
торых могли бы серьезно возражать специалисты. Я
надеюсь, что книга окажется полезной для аспиран-
тов или начинающих физиков, которые желают
получить начальное представление об исследуемом
предмете и не запутаться при этом в чрезвычайном
обилии технических подробностей. Замечу еще, что я
старался употреблять в качестве терминов слова по
возможности ближе к их разговорному значению
и избегать каких-либо специальных понятий, та-
ких. как «стохастический». Так, например, под «более
или менее случайным процессом» я подразумеваю яв-
ление, которое, с одной стороны, может изменяться
8	Из предисловия автора
во времени достаточно плавно, но в то же время ха-
рактеризуется известной степенью нерегулярности; на-
оборот, флуктуации, поведение которых почти полно-
стью непредсказуемо от одного момента времени к
другому, можно назвать «резкими» или случайными
флуктуациями.
Я должен, вероятно, извиниться за частые под-
строчные примечания; цель их состоит, конечно, в
уточнении, а не прерывании основного текста. Если
предполагается читать книгу дважды, то при первом
чтении эти примечания могут быть опущены.
Д. Мак-Доналд
Май 1962 г.
ГЛАВА 1
ОБЩИЙ ОБЗОР
$ 1. Введение
В этой главе мне хотелось бы попытаться обри-
совать некоторые основные проблемы, возникающие
в связи с наличием физических флуктуаций или «шу-
мов», и постараться развеять ту таинственность, ко-
торая, как мне кажется, еще часто окружает сущ-
ность флуктуационных явлений. Начнем с выяснения
терминологии. Обычно легко отличить на слух регу-
лярный тон или последовательность тонов, которые
могут либо нести закодированную тем или иным спо-
собом определенную информацию, либо просто со-
ставлять музыкальную мелодию, от того, что мы на-
зываем «шумом» ’)- В предельном случае слышимый
шум представляет собой более или менее хаотический
беспорядочный набор не связанных друг с другом то-
нов из широкого диапазона частот, при воспроизведе-
нии которого на экране осциллографа наблюдается
более или менее изрезанная и очень нерегулярная
картина колебаний с амплитудой, меняющейся случай-
ным образом в довольно широких пределах. Эта
картина резко отличается от наблюдаемого на экране
сигнала, обусловленного простым регулярным музы-
кальным тоном (фиг. 1,а и б).
Различие между регулярным чистым тоном и «шу-
мом» можно также охарактеризовать степенью пред-
сказуемости. Для регулярного музыкального тона
картина на экране осциллографа и, конечно, соответ-
ствующий слышимый звуковой сигнал могут быть
предсказаны почти идеально, тогда как для шума как
*) Правда, некоторые формы «музыки» многие едва ли с пол-
ной определенностью отличат от шума!
10
Гл. 1. Общий обзор
визуально наблюдаемая картина, так и соответствую-
щий ей звуковой сигнал в значительной степени не-
предсказуемы. Последнее обстоятельство является,
Сигнал	Сигнал
6
Фиг. 1. Пример осциллограммы, воспроизводящей типичный
«случайный шум> (а) и регулярный периодический гармониче- '
ский сигнал (б).
По оси ординат отложен сигнал на экране осциллографа, по оси абсцисс—время.
возможно, одной из причин столь неприятного дей-
ствия звуковых шумов, хотя я и не утверждаю, что
идеально предсказуемые звуковые сигналы обязатель-
но должны доставлять необыкновенную радость.
Если распространить эти идеи и на другие области
физических явлений, например на электрические
§ /. Введение
11
колебания, то термин «шумы» можно применять (если
не быть слишком придирчивым) к любым физическим
функциям, которые не ведут себя полностью регуляр-
ным и предсказуемым образом. При увеличении гром-
кости обычного радиовещательного приемника, не на-
строенного на какую-либо передающую станцию, рано
или поздно из динамика вы услышите сплошную «ка-
шу» звуков или шипящий «шум». Если при этом ан-
тенна отсоединена, то радиоинженер скажет, что мы
прослушиваем электрические шумы сопротивлений и
ламп первого каскада приемника. Более «респекта-
бельный» физик предпочел бы в этом случае сказать,
что хаотический звуковой сигнал обусловлен «спон-
танными флуктуациями» электрического заряда, уси-
ленными в цепи приемника. В другом случае, при-
слушиваясь к звуку падающего на металлическую
крышу дождя, мы различаем лишь общий грохоча-
щий «шум», создаваемый падением отдельных дожде-
вых капель, вообще говоря, случайный и непредска-
зуемый в деталях; на этот раз физик подчеркнул бы,
что усреднение отдельных импульсов по времени при-
водит к некоторому равномерному давлению на кры-
шу, тогда как флуктуации вызывают хаотическое ко-
лебательное движение поверхности крыши, которое и
воспринимается нами как «шум».
Почему же вся область «шумовых» или флуктуа-
ционных явлений занимает такое важное место1) в
физике? Единой причины здесь не существует, и, мо-
жет быть, отчасти поэтому так привлекательна (по
крайней мере для автора!) исследуемая проблема. Об-
ратимся к нескольким примерам. Пусть нам необхо-
димо построить радиолокационную станцию или со-
здать очень чувствительный радиоприемник для улав-
ливания любого радиоизлучения (имеющего форму
электрических «шумов»!), приходящего на Землю из
космического пространства (например, от Солнца или
других удаленных звездных объектов). Дальность
действия радиолокационной станции зависит от мощ-
*) О значении флуктуационных явлений в физике см. книгу
Г, С. Горелика [72*]. — Прим. ред.
12	Гл. I. Общий обзор
-------1 . . . „ --------------------------------- 
ности сигнала, излучаемого передатчиком, и от вели-
чины наименьшей регистрируемой нашим приемником
мощности, отраженной от удаленной рассеивающей
цели. Поэтому любое осуществленное нами усовершен-
ствование, приводящее к улучшению способности ра-
диолокационного приемника обнаруживать слабые
сигналы, совершенно эквивалентно соответствующему
возрастанию мощности радиолокационного передатчи-
ка и может привести к весьма значительному экономи-
ческому выигрышу. В радиоастрономии улучшение
свойств нашего приемника позволило бы нам с уве-
ренностью наблюдать более далекие галактические
объекты. В любом случае предел способности прием-
ника регистрировать очень слабые приходящие сигна-
лы устанавливается в первую очередь величиной шу-
мов или случайных флуктуаций электрического заря-
да во входной цепи и в первом каскаде усиления
приемника. Следовательно, теоретическое изучение
источников этих шумов оказало бы непосредственную
помощь при конструировании более качественного
приемника. Разумеется, это нашло бы применение и
в других областях, где могут потребоваться чувстви-
тельные усилители и детекторы. В настоящее время в
различных отраслях физики осуществляются очень
чувствительные измерения для обнаружения некото-
рых слабых эффектов, предсказанных развитием
квантовой теории. Так, например, недавно (середина
1961 г.) появилось сообщение об экспериментах с ма-
лыми сверхпроводящими цилиндрами, показывающих,
что магнитный поток квантован в единицах Лс/2е
(~2 X 10-7 гс‘см2). Подобные эксперименты требуют
самой тщательной разработки всех деталей и, конеч-
но, должны быть приняты все меры для сведения
шумов и случайных флуктуаций в приборах к абсо-
лютному минимуму, если мы хотим наблюдать столь
малые эффекты с какой-либо достоверностью.
В качестве второго примера рассмотрим сигнал на
выходе чувствительного приемника радиоизлучения,
антенна которого направлена, например, на Солнце.
В общем случае, если наша антенна обладает доста-
точной чувствительностью (и способностью разрешать
J 1. Введение
13
достаточно малые телесные углы), мы заметили бы
на выходе приемника возрастание уровня шумов, обу-
словленное главным образом некогерентным электро-
магнитным солнечным излучением, перекрывающим
широкий спектр частот. При наличии общей теории
такого «теплового излучения» нагретых тел различ-
ного типа можно было бы использовать наблюдения
шумов для получения некоторой непосредственной ин-
формации о свойствах Солнца. Весьма близким к рас-
смотренному примеру является метод прямого исполь-
зования электрических шумов или спонтанных флук-
туаций какой-либо другой физической характеристи-
ки тела для измерения его температуры. Прибор, в
котором шумы пассивного электрического сопротивле-
ния используются для определения абсолютной тем-
пературы, обычно называют «шумовым термометром».
В качестве третьего приложения рассмотрим дис-
сипативные процессы, обусловленные вязкостью.
Пусть шарик малого радиуса падает под действием
силы тяжести в сосуде, заполненном жидким маслом,
причем движение можно считать установившимся. Си-
ла вязкости, тормозящая движение шарика, опреде-
ляется как результат усреднения огромного числа бы-
стро меняющихся индивидуальных сил, вызванных
действием молекул окружающей среды. И именно по-
тому, что средняя (и необратимая) сила вязкого тре-
ния возникает в результате действия большого числа
отдельных более или менее независимых компонент,
эта вязкая сила должна иметь флуктуирующую со-
ставляющую. Эйнштейн [1,2] ’) первый показал, что
имеет место фундаментальная связь между средней
силой (вязкость или подвижность) и флуктуирующей
составляющей (обусловливающей так называемое
броуновское движение частицы)* 2); при определенных
!) См. также Эйнштейн [3]. Прекрасное изложение теории
броуновского движения содержится в монографии Чандрасе-
кара [4].
2) Впоследствии появилось значительное число углублений и
обобщений открытого Эйнштейном важнейшего уравнения, напри-
мер теорема пайквиста [5, 6] и так называемая флуктуанионно-
диссипационная теорема (см, например, Каллен и Велтон [7], Бер-
нард и Каллен [8], Бункин [73*—7б*]. Позже мы остановимся на
14
Г л. I. Общий обзор
условиях возможно прямое наблюдение флуктуирую-
щей компоненты. В ряде случаев практически оказы-
вается проще наблюдать броуновское движение, а за-
тем, следуя анализу Эйнштейна, определять величину
вязкости; наоборот, при других условиях прямое из-
мерение вязкости дает нам возможность предсказать
закон диффузии типичной частицы, т. е., по существу,
закон ее броуновского движения. Помимо этого, ино-
гда можно теоретически оценить непосредственно по-
ведение флуктуирующей составляющей силы, обуслов-
ленной действием отдельных атомов окружающей сре-
ды, а это в свою очередь позволяет предсказать ве-
личину необратимой средней силы вязкости.
Наконец, овладение методами теории флуктуаций
(или, проще говоря, статистикой) может значительно
упростить решение ряда других интересных задач (не
обязательно связанных с физикой). Можно убедиться,
что, когда транспорт начинает покидать центр боль-
шого города в конце рабочего дня, поведение каждого
отдельного автомобилиста следует рассматривать как
почти случайное! Здесь проявляется парадоксальное
обстоятельство; любой человек был бы серьезно оби-
жен, если бы кто-либо предположил, что его продви-
жение по жизненному пути во всяком случае весьма
близко к «случайному блужданию», однако такого че-
ловека было бы нетрудно убедить в справедливости
подобного описания поведения других людей, особенно
если они встречаются на его пути! После того как
Эйнштейн показал, что макроскопическое описание
диффузии эквивалентно микроскопическому «случай-
ному блужданию» большого числа отдельных молекул
или частиц, можно попытаться обратить задачу.
С точки зрения инженера-транспортника, решающе-
го проблему «разъезда автомашин», в качестве пер-
вого шага можно было бы рассмотреть решение
этих обобщающих исследованиях, но нужно подчеркнуть, что
именно Эйнштейн сделал первый и самый важный шаг, показав
глубокую внутреннюю аналитическую и физическую связь между
необратимыми процессами, например действием вязкости, и обя-
зательным наличием спонтанных флуктуаций соответствующего
параметра.
§ 1. Введение
15
классического уравнения диффузии с соответствующи-
ми граничными условиями. Дело в том, что при рас-
смотрении этой проблемы намного удобнее считать
каждый отдельный автомобиль движущимся «случай-
но», чем пытаться разрешить более или менее безна-
дежную задачу предсказания движения каждого из
многих тысяч автомобилей. Такой «выход из положе-
ния» часто оказывается приемлемым по крайней мере
в первом приближении, так как с общей точки зре-
ния индивидуальные изменения (или флуктуации!)
маршрутов различных автомашин достаточно разумно
можно считать случайными.
В то же время данный подход указывает возмож-
ные ограничения статистического решения задачи.
Рассматривая проблему движения транспорта как чи-
сто статистическую «диффузионную» задачу, мы с
легкостью сможем рассчитать характеристики дорог,
обеспечивающих беспрепятственный «ожидаемый»
(т. е. средний) разъезд транспорта. С другой стороны,
именно потому, что в действительности мы имеем де-
ло с различными людьми, ведущими свои машины,
рассмотрение должно включать возможность боль-
шого числа отдельных отклонений, так как поведение
каждого отдельного автомобиля может флуктуиро-
вать — мы подчеркиваем это слово, — от статистиче-
ского среднего’)• Это в свою очередь указывает, как
можно улучшить наше приближенное решение рас-
сматриваемой частной задачи, если мы не просто ре-
гулировщики движения транспорта, а регулировщики,
заинтересованные в уменьшении неудобств отдель-
ных водителей. А именно, вначале следует получить
усредненное решение, после чего исследовать ожи-
даемые флуктуации от среднего; если теперь сделать
разумные допущения относительно этих флуктуаций
*) Проблема движения транспорта была с некоторой глуби-
ной исследована статистическими методами Монтроллом (см., на-
пример, Чандлер и др. [9], Герман и др. [10]). Тезисы этой работы
были представлены на Лондонскую конференцию Физического
Общества по флуктуационным явлениям и стохастическим про-
цессам, состоявшуюся в Биркбек-Колледж 19—20 марта 1959 г,
(см. Домб [П]).
16
Г л. 1. Общий обзор
от среднего поведения, то можно получить по край-
ней мере некоторые суждения, справедливые длл от-
дельных элементов системы.
С весьма общей точки зрения можно сказать, что
особенно важны следующие два аспекта теории
флуктуаций.
(Т/Если мы имеем дело с системами, состоящими
из большого числа частиц, атомов или других объек-
тов, то для многих целей может оказаться достаточным
непосредственное и быстрое определение средних ха-
рактеристик (например, среднее давление на крышу,
вызываемое дождевыми каплями; среднее число людей,
покидающих футбольные матчи и т. д.). Однако, как
оказывается при ближайшем рассмотрении, зачастую
именно флуктуации указывают нам, что фактически
мы имеем дело с индивидуальными элементами, и, та-
ким образом, исследование флуктуаций с этой точки
зрения показывает, как «механические»1) концепции
включаются в чисто статистические рассуждения.
современной физике почти общепринятым
подходом к исследованию любой проблемы, включаю-
щей большие ансамбли индивидуальных объектов, яв-
ляется метод статистической механики. Вообще го-
воря, статистическая механика определяет среднее по-
ведение системы, находящейся в термодинамическом
равновесии с окружающей средой, и ничего не гово-
рит о том, за какое время достигаются эти равновес-
ные условия и как совершается этот переход в равно-
весное состояние. Я хотел бы обсудить, насколько
существенные результаты сможет дать здесь теория
флуктуаций.
В действительности статистическая механика за-
частую определяет не только усредненные характери-
стики физической системы, но также предсказывает
1) Главным образом в смысле справедливости описания по-
ведения отдельного объекта уравнениями движения Ньютона (ура-
внениями механики). В этом же смысле мы можем также употреб-
лять термин «обратимый». В то же время, как мы увидим ниже,
статистическое среднее поведение большого ансамбля (атомов),
например при диффузии, может быть существенно необратимым.
§ 1. Введение
17
полную величину средних, или «ожидаемых» флуктуа-
ций от равновесного состояния. Однако сама по себе
она не может ничего сказать о быстроте или поведе-
нии во времени этих флуктуаций, что может быть су-
щественно, так как флуктуации, происходящие очень
быстро, могут не иметь значения в некоторых физи-
ческих явлениях, и, таким образом, знание только
полной величины этих флуктуаций может ввести в
заблуждение1)- Таким образом, вообще говоря, тео-
рию флуктуаций и шумов точнее можно было бы на-
звать «нестационарной статистической механикой».
Заметим, что довольно часто, как в этой книге, так
и вообще в рассматриваемой области, мы будем не-
посредственно сталкиваться с анализом флуктуаций
или «шумов» макроскопически наблюдаемых величин
(движение броуновской частицы, флуктуации элек-
трического заряда или тока в контуре и т. д.). В этом
случае, как правило, каждый «сегмент» или «эле-
мент», составляющий наблюдаемый шум или флук-
туацию, может быть различим во времени и в про-
странстве от любого другого элемента. Наш «расчет»
или статистический анализ может быть непосред-
ственно проведен, как говорят, на классической основе.
И только в случае, когда мы сталкиваемся непосред-
ственно со статистической механикой ансамблей эле-
ментарных частиц или квазичастиц (например, таких,
как электроны или фотоны), следует прибегать к не-
которым специальным мерам предосторожности в на-
шей «расчетной» процедуре (приводящим в частных
случаях либо к статистике Ферми — Дирака, либо к
статистике Бозе — Эйнштейна; см. замечание в прило-
жении I (стр. 143), высказывание на стр. 94 и текст
на стр. 100).
*) Иногда я буду называть флуктуации, предсказываемые
статистической механикой, «идеальными флуктуациями», понимая
под этим, что с помощью идеальной (с технической точки зре-
ния) измерительной системы можно было бы наблюдать измене-
ния, совершающиеся со всеми возможными скоростями (или час-
тотами), т. е. наблюдать флуктуации во всей их полноте (см., на-
пример, § 2. п. 3).
2 Д. Мак-Доналд
18
Гл. I. Общий обзор
§ 2. Броуновское движение
1. Исторический очерк. Мы начнем наше рассмот-
рение с общего обзора истории открытия и исследо-
вания броуновского движения, а также более поздних
исследований сущности электрических флуктуаций
(электрического аналога броуновского движения —
тепловых флуктуаций, иногда называемых шумами
Джонсона, и «дробового шума»). Затем в последую-
щих главах мы более подробно обсудим некоторые
частные аспекты исследования флуктуаций (или «шу-
мов», если кто-либо предпочитает этот термин).
Термин «броуновское движение» связан с именем
биолога Роберта Броуна [12], наблюдавшего под ми-
кроскопом мельчайшие частицы пыльцы растений.
Броун писал: «При изучении формы этих частиц,
взвешенных в воде, я заметил, что большинство из
них совершенно явно находится в движении. Движе-
ние это, как я убежден, ...обусловлено не потоками
в жидкости, не постепенным ее испарением, а принад-
лежит • самим частицам». Броун изучил частицы
огромного числа предметов (в том числе даже оско-
лок Сфинкса!) и нашел, что обнаруженное им движе-
ние проявляется у каждого из исследованных веществ.
Из описанных опытов сейчас делают естественный вы-
вод, что причина явления заключается, конечно, в
беспорядочной бомбардировке частиц молекулами
окружающей жидкости; сам же Броун, основываясь
на универсальности эффекта, предположил, что он
открыл существование некой элементарной формы
жизни, присущей всей органической и неорганической
материи! В течение последующих семидесяти лет до
замечательного анализа проблемы, проведенного Эйн-
штейном [1, 2], было поставлено много других экспе-
риментов и высказано большое число теоретических
гипотез о существе наблюдаемого эффекта. Последо-
вательно были отвергнуты предположения о том, что
природа явления связана с некой электрической си-
лой (Джевонс [13]), испарением жидкости (Винер
[14] и Гуи [15]) или механическими ударами (Экснер
[16]); броуновское движение неизменно обнаружива-
§ 2. Броуновское движение
19
лось после того, как образец выдерживался в тече-
ние недели в темноте (Мид-Бэч [17]), или после на-
гревания в течение многих часов (Мальтезос [18]), и
в конце концов становилось ясно, что эффект должен
иметь совершенно фундаментальный характер.
2. (Ошибочные) доводы против молекулярного
происхождения явления. Эйнштейн первый провел в
серии классических статей [1,2] ясный теоретический
анализ явления и показал, что причиной броуновского
движения является непрерывная и более или менее
хаотическая бомбардировка взвешенных частиц моле-
кулами окружающей жидкости. Ранее предположение
о бомбардировке- молекул как о возможной причине
явления уже было высказано Негели [9], который
впоследствии отказался от этой гипотезы на следую-
щем основании.
Негели вычислил импульс, сообщаемый макроско-
пической броуновской частице при единичном атом-
ном столкновении, и нашел, что он гораздо меньше
наблюдаемой скорости. Для доказательства предполо-
жим, что линейный размер частицы (масса М, ско-
рость V) имеет величину порядка 10-3 мм (1 мк), раз-
мер молекул окружающей ее жидкости (масса т, ско-
рость о) приближенно равен 5-Ю-8 см (5 А) и что
отношение масс т/М прямо пропорционально кубу
отношения линейных размеров молекулы и броунов-
ской частицы. Изменение скорости частицы при одном
соударении по порядку величины равно
(1)
где для скорости молекул v, согласно статистической
механике, имеем1)
9 Строго говоря, при этом предполагается, что частицы или
молекулы подчиняются «классической» статистике. Это допущение
справедливо для молекул любого физического газа и большинства
жидкостей. Вообще говоря, средние значения, найденные в клас-
сической статистической механике для макроскопических флукту-
ирующих величин, почти без изменений остаются справедливыми
и в рассматриваемом случае (см., однако, стр. 57 и приложе-
ние I, стр. 143),
2*
20
Г л. /. Общий обзор
или более точно
-^=4®-	(2)
Здесь 0 — температура в энергетической шкале
(0 = kT, Т — абсолютная температура, k — постоянная
Больцмана), а скобки ( ) означают усреднение по
равновесному ансамблю (см. также примечание на
стр. 25).
Будем далее считать, что молекулярный вес жид-
кости порядка 100 (т. е. /п ~ 10-22 г), а Т ~ 3’ 102 *°К;
тогда v ~2‘104 * см/сек и, как следует из формулы
(1), AV ~ 2-10"6 см/сек. С другой стороны, визуаль-
но наблюдаемая скорость броуновского движения ча-
стицы, взвешенной в воде, оказывается по крайней
мере на два порядка выше этой величины. Негели,
убежденный в том, что при случайных соударениях
действительная скорость частицы должна совпадать
со скоростью, обусловленной единичным соударением,
отверг гипотезу о возникновении броуновского движе-
ния из-за молекулярной бомбардировки. Однако по-
добная аргументация неверна, и выяснение ее оши-
бочности весьма существенно для понимания приро-
ды статистических явлений. Ошибка состоит в пред-
ставлении случайного процесса по существу (регу-
лярным) чередованием «благоприятных» и «неблаго-
приятных» событий1). Такая последовательность со-
бытий или «импульсов» обладала бы высокой сте-
пенью регулярности или упорядоченности. Как мы
убедимся ниже с помощью простого анализа, при эф-
фекте от действия единичного импульса, характери-
зуемом величиной 0, в результате действия N случай-
но сгруппированных «благоприятных» и «неблаго-
приятных^ импульсов следует ожидать величину по-
рядка 1СР- ниже уравнение (7)]. В то же время
) Многие считают, что при подбрасывании монетки случай-
ным образом «герб» вероятнее всего выпадет вслед за «решет-
кой». Но, разумеется, вся суть истинно случайной последователь-
ности заключена в том, что абсолютно не имеет значения, как
много раз уже выпадал до сих пор «герб»; появление «герба»
или «решетки» так же вероятно при последующем бросании, как
и при предыдущем.
§ 2. Броуновское движение
21
эффект, обусловленный упорядоченным действием N
«благоприятных» когерентных импульсов, оказывает-
ся равным Мб.
Так как число молекул, соударяющихся с части-
цей за 1 сек (типичный временной интервал при ви-
зуальном наблюдении), очень велико, коэффициент
УN означает, что невозмущенная скорость частицы
будет гораздо больше скорости, обусловленной еди-
ничным импульсом или соударением, хотя в то же
время она оказывается гораздо ниже скорости, кото-
рая была бы при условии упорядоченного и однона-
правленного действия ударов всех молекул.
Рассмотрим еще один довод, который в течение
долгого времени также считался опровергающим объ-
яснение броуновского движения частицы как след-
ствия бомбардировки ее молекулами. Еще в прошлом
веке Максвелл и Больцман установили, что средняя
скорость молекул v в состоянии термодинамического
равновесия определяется уравнением 42tn{vz) — 3/20,
которое мы уже использовали при оценке скорости
молекул газа при комнатной температуре. Мы могли
бы считать (в действительности, как увидим ниже,
с полным основанием), что если броуновское движе-
ние частицы обусловлено бомбардировкой молекула-
ми, то саму частицу можно рассматривать просто как
огромный «атом» с массой М. Согласно статистиче-
ской механике (или более конкретно, так назы-
ваемому принципу равномерного распределения энер-
гии по степеням свободы), скорость V частицы дол-
жна определяться уравнением
=	=	(3)
В приведенном ранее примере масса частицы М ~
~ 10"” г и, следовательно, при Т ~ 3- 102°К скорость
по порядку величины должна быть равна V ~
~ 0,2 см/сек. Это значение, однако, гораздо больше
визуально наблюдаемой величины скорости, приблизи-
тельно равной 3-10-* см/сек. На первый взгляд могло
бы снова показаться, что этот факт с достаточным
22
Гл. I. Общий обзор
основанием отвергает возможность объяснения про-
исхождения броуновского движения в результате
бомбардировки молекулами; выяснение ошибочности
этого заключения весьма существенно для понимания
теории флуктуаций.
3. Наблюдаемая характеристика: зависимость шу-
мов от времени. Скорость или, более точно, флуктуация
скорости, определяемая для броуновской частицы урав-
нением (3), есть полная флуктуация скорости, пред-
сказываемая статистической механикой. (Здесь мы
встречаемся с примером «идеальных флуктуаций»,
упомянутых в примечании на стр. 17.) Подобная пол-
ная флуктуация скорости могла бы быть замечена лишь
наблюдателем, способным, регистрировать процессы,
происходящие с исключительно высокими (теоретиче-
ски неограниченными) частотами. Возможности ре-
ального наблюдателя, ведущего визуальное исследо-
вание, ограничены характерной постоянной времени
глаза. В результате наблюдаемая невозмущенная ско-
рость оказывается гораздо меньше скорости, опреде-
ляемой согласно уравнению (3). Можно сказать, что
наблюдаемое (среднее квадратичное) значение скоро-
сти приблизительно в УЧЛ Раз меньше величины,
определяемой из (3), где т — предельное значение по-
стоянной времени прибора, посредством которого ве-
дется наблюдение (например, человеческого глаза), а
= МВ (В — так называемая подвижность частицы
с массой Л4). Если считать, что движение сфериче-
ской частицы радиуса а в жидкой среде с вязкостью
т] описывается законом Стокса, то
М
бяца'
Полагая при визуальном наблюдении т ~ 0,1 сек,
2а = 10'4 см (диаметр, как и прежде, равен 1 мк), а
т)~10-2 пуаз=Ю~2 см~' ‘ г - сек~', получим У^/т—10-3.
Уравнение (3) дает для скорости значение, равное
приблизительно 2* 10-1 см/сек, и, следовательно, ожи-
даемая величина наблюдаемой скорости должна быть
порядка 2 • 10"4 см/сек, что весьма хорошо согласуется
§ 2. Броуновское движение
23
с действительно найденной величиной скорости (бо-
лее полный анализ см. в § 4, п. 2 и работе ЛАак-
Доналда [20]).
Рассмотренный пример убеждает нас в том, что
часто при исследовании проблемы шумов или флук-
туаций исключительно важен тщательный учет зави-
симости исследуемых процессов от времени. Каждый
инженер (и особенно радиоинженер) практически все-
гда учитывает это обстоятельство, так как он, как
правило, рассматривает задачи, пользуясь понятиями
частотного спектра или ширины полосы1)- В рассмо-
тренном примере можно было бы сказать, что частот-
ный спектр флуктуаций скорости частицы весьма ши-
рок (фактически ширина спектра приближенно оце-
нивается величиной 1/ti, т. е. в нашем примере имеет
порядок 4* 106 гц). В то же время мы явно предпола-
гаем, что «ширина спектра» самого глаза позволяет
различать частоты лишь до 10 гц. В гл. II мы еще
вернемся к этим двум различным интерпретациям
флуктуационных проблем: описанию их с помощью
временной зависимости или посредством частотного
спектра; разумеется, в каждом случае исследование,
в гом числе и доказательство эквивалентности 2 * * *) под-
ходов, может быть проведено вполне точно.
4. Анализ проблемы «случайного блуждания»,
данный Эйнштейном. Вернемся снова к нашему очер-
ку истории броуновского движения. Вплоть до начала
двадцатого века задача о достоверном определении
основного источника броуновского движения не была
разрешена. Эйнштейн, а также Смолуховский [22]
!) Этим, вероятно, можно объяснить тот факт, что «разре-
шенные» и «запретные» полосы частот были хорошо известны
в теорий электрических цепей (где их обычно называют поло-
сами пропускания или непропускания) до того, как эти понятия
стали знакомы физикам, занимающимся атомными системами
(так называемыми «решетками») (ср. Бриллюэн [21]).
2) Следует обратить внимание на то, что временной и спек-
тральный подходы при рассмотрении стационарных случайных
процессов эквивалентны лишь при рассмотрении установившегося
режима. При изучении процессов установления адекватным яв-
ляется лишь временной подход. — Прим. pedt
24
Гл. I. Общий обзор
полностью решили задачу, вычислив среднее квадра-
тичное значение смещения частицы за некоторый от-
резок времени и сравнив найденную величину смеще-
ния непосредственно с данными эксперимента. Как
можно легко убедиться, в рассмотренном случае огра-
ничения, связанные с характером временной зависи-
мости, оказываются гораздо менее сильными. При на-
блюдении чистого смещения частицы за время t, пока
выполняется условие (где т — постоянная вре-
мени измерительного прибора, в частности, для рас-
смотренного случая — глаза), ошибка наблюдения не-
значительна. Поэтому при исследовании броуновского
движения совершенно необходимо, чтобы наблюдение
смещения длилось по меньшей мере несколько секунд,
так как для глаза т ~ 0,1 сек.
В качестве простейшей модели броуновского дви-
жения рассмотрим одномерную задачу о так называе-
мом случайном блуждании (см., например, Фюрт
[23, 24], Феллер [68*]), которая позволяет проиллю-
стрировать многие существенные детали проблемы.
Пусть частица, находящаяся в момент t = 0 при
х = 0, подвергается внешним толчкам с установив-
шейся скоростью, скажем, v раз в 1 сек. Каждый тол-
чок вызывает постоянный по величине «шаг» частицы
на (малое) расстояние I в положительном или отри-
цательном направлении оси х; мы предположим, что
эти смещения частицы на 4-1 или — I для различных
толчков некоррелированы друг с другом. Обозначим
n-е смещение частицы через ln (In = ± /). Тогда пол-
ное смещение х после N толчков будет равно
N
х=Ъ1п.	-•	(4)
Л-1
Рассматриваемую модель легко можно видоизменить
так, чтобы охватить и другие интерпретации. Пусть
мы собираем мнения по какому-либо вопросу (напри-
мер, спрашиваем, «предпочитаете ли Вы носить носки
зеленого или синего цвета?», или «кто Вам больше
нравится, блондинки или брюнетки?»). Можно приме-
нить рассмотренную модель, считая, что мнение
§ 2. Броуновское движение
25
каждого из опрашиваемых полностью не зависит от
мнений предшествующего и последующего из опраши-
ваемых, и отождествляя + I, скажем, с голосом, по-
данным за брюнеток, а — I — за блондинок. При этом
полное число опрошенных равно N, а х (в единицах /)
определяет перевес голосов в пользу брюнеток (х по-
ложительно) или в пользу блондинок (х отрицатель-
но) . В другом случае, при рассмотрении задачи о дви-
жении транспорта, автомобили, совершающие правый
поворот, можно представлять положительными «ша-
гами», а автомобили, поворачивающие налево,—
отрицательными; в этом случае величина х означает
чистое превышение числа машин, едущих направо,
над числом машин, поворачивающих налево.
При каждом отдельном наблюдении N шагов мо-
жет оказаться, что смещение х в формуле (4) положи-
тельно или отрицательно. Очевидно, что если все 1п
с одинаковой вероятностью либо положительны, либо
отрицательны, то в среднем будем иметь ‘)
N
(л>=2</„) = 0.	(5)
Л-1
Скобки ( ) означают, что усреднение (обычно назы-
ваемое «усреднением по ансамблю») производится по
большому числу идентичных наблюдений смещения
х. Как следует из формулы (5), при усреднении по
достаточно большой системе эквивалентных «экспери-
ментов» нужно ожидать, что всякому положитель-
ному х, наблюденному с данной величиной, соответ-
ствует отрицательное х, приблизительно равное ему
по величине, так что среднее (в этом смысле) значе-
ние х окажется равным нулю. В то же время формула
(5) не означает, что результат любого частного на-
блюдения х с большой вероятностью равен нулю, или,
Другими словами, сама формула (5) не дает нам
информации о величине данного х. Можно сказать,
*) Формула (5) вполне очевидна, но для устранения всяких
сомнений относительно процесса усреднения перепишем ее пол-
ностью-
<•*> = ((',+ /2+ - +^)> = <^+</2)+ - +^) = Л
26
Гл. I. Общий обзор
что «математическое ожидание» величины х равно
нулю, но пока нет способа вычислить величину откло-
нения данного х от среднего значения, равного нулю.
Такое положение заставляет нас в качестве сле-
дующего шага обратиться к рассмотрению свойств
величины х2, так как любое индивидуальное смещение
х, которое мы наблюдаем положительным или отри-
цательным, всегда внесет свой вклад в х2. (С той же
целью можно было бы рассматривать модуль смеще-
ния |х|, однако, вообще говоря, проводить анализ,
используя |х| вместо х2, более сложно.) Для квадрата
смещения имеем
•к2 = (Л 4* 4 4" • • • 4- In) (А 4- + • • • + 6v)=
А
~ 2 In 4" 2 lnlm>	(6a)
Л « 1	n^trn
Разбиение произведения в (6a) на сумму квадратов
(/л) и сумму перекрестных произведений (1п1т)
представляется весьма важным звеном при рассмо-
трении вопроса о корреляции одного из «скачков»
с другими. Если вновь провести усреднение по ан-
самблю измерений, то окажется, что*)
N
<х2)=2</2„>4- 2 {inim), (бб)
л-1	п^т
где для нашей модели всегда (независимо от знака
In) Р, так что первая сумма равна просто NP.
Что касается второй суммы, то существуют четыре
следующих возможных значения для каждого из
перекрестных произведений:
(4-0(4-/) = 4-/2;	(4-0(-0=-Z2;
(-/)(+/) =-/2;	(-/)(- 0 = + Р.
Если предположить, что каждое из этих произведений
встречается с одинаковой вероятностью, а это соот-
ветствует полному отсутствию корреляции между от-
дельными смещениями, то, как нетрудно видеть, сред-
*) Ср. примечание на стр 25
§ 2. Броуновское движение
27
нее значение рассматриваемой суммы будет равно
нулю, т. е. = 0. Таким образом, при случайном
блуждании в отсутствие корреляции между после-
дующими смещениями
{x2) = NP.	(6в)
Считая, что за единицу времени совершается v «скач-
ков», для полного числа событий за время t получим
N = vt и, таким образом, будем иметь
(Х2(ф = ^,
или
(^(о)7*=/*///.	(бг)
Соотношения (6в) и (6г), по-видимому, лучше
всего описывают совершенно случайные флуктуацион-
ные явления. Из (6в) видно, что при наблюдении
N отдельных случайных событий типичная величина
смещения равна
{x2},,2 = VNl;	(7)
эта зависимость вида VN является весьма фунда-
ментальной при исследовании статистических явлений.
Пусть, например, мы хотим выяснить, сколько муж-
чин предпочитают зеленый цвет носков синему; будем
при этом считать, что все мужское население (ска-
жем, 108 человек) фактически разделилось точно по-
ровну во взгляде на этот вопрос. Пусть далее мы про-
водим опрос «случайной» группы из W мужчин; при
этом х в нашей модели является мерой отклонения
числа «любителей» зеленых и синих носков в рассма-
триваемой группе от точного равенства. Из формулы
(7) следует, что относительная ошибка опроса е
(можно определить ее равенством е = \x\/Nl), которую
мы ожидаем получить при опросе указанной группы
из М человек, по сравнению с постулированным нами
(точным) равенством высказывающихся за синий и
зеленый цвета среди всего мужского населения ока-
зывается пропорциональной
28
Г л. I. Общий обзор
Таким образом, если мы надеемся получить правиль-
ный результат при опросе случайной группы людей
с точностью до 1% (е ~ 0,01), то, как следует из фор-
мулы (8), для нашей модели требуется взять
YN—102, т. е. N ~ 10*. Подчеркнем, что приведен-
ная оценка размера группы N не зависит от величины
всего населения и требует лишь условия, чтобы ис-
следуемая группа была выбрана действительно слу-
чайно. С настоящей точки зрения это предположение
о случайности в действительности требует, чтобы ка-
ждое мнение из числа поданных было полностью не-
зависимо от любого из предшествующих или после-
дующих мнений. Если какая-либо корреляция суще-
ствует, то вторая сумма в (66) будет отлична от
нуля, значение (х2) при этом изменится и, как следует
из (6в), не будет больше просто пропорционально N.
Указанную простую зависимость среднего квадратич-
ного значения флуктуаций от N мы довольно часто
будем встречать в будущем при исследовании истинно
случайных систем. Обсуждение и изучение флуктуа-
ционных явлений, в какой-либо степени коррелирую-
щих, более детально будет рассмотрено позднее, глав-
ным образом в гл. II.
Исследованная простая модель случайного блу-
ждания легко может быть модифицирована или обоб-
щена так, чтобы включить в рассмотрение другие
виды распределения вероятностей (ср. Фюрт [23]).
В приложении I мы используем эту модель для не-
посредственного вывода свойств флуктуаций при так
называемом распределении Бернулли. 5
5. Диффузия атомов. Формула (6г), выражающая
зависимость случайного блуждания от времени t,
чрезвычайно важна в физике. На основании этой фор-
мулы можно предсказать, что при случайных шагах,
совершающихся во времени с более или менее по-
стоянной частотой (v шагов в 1 сек), величина ре-
зультирующего смещения ((х2)'^) за время t будет
пропорциональна Vt. Пропорциональность между
смещением и величиной Y~t типична для любого про-
§ 2. Броуновское движение
29
цесса случайного блуждания, в том числе и для чисто
хаотического процесса диффузии. Если средняя ско-
рость, с которой совершаются отдельные шаги, изве-
стна или может быть вычислена, то формула (6г)
позволяет найти величину I отдельного «скачка» не-
посредственно из наблюдения диффузии; наоборот,
зная I, мы можем определить частоту повторения от-
дельных диффузионных «скачков». Это обстоятель-
ство особенно полезно при исследовании проблемы
диффузии атомов в жидкостях или твердых телах.
Так, например, для кристалла естественно предполо-
жить, что отдельные «скачки», совершаемые диффун-
дирующими атомами, равны по порядку величины
межатомным расстояниям в кристаллической решетке.
Измеряя действительную скорость диффузии, мы мо-
жем тем самым при помощи (6г) вычислить эффек-
тивную частоту V, с которой происходят эти атомные
«скачки». Обычно предполагается, что частоту v
можно приближенно определить соотношением вида
v = voexp(— -f-j,	(9)
где vo — характерная частота колебаний атомов в ре-
шетке, а Ё— величина энергетического потенциаль-
ного барьера, который должен быть преодолен для
того, чтобы мог произойти диффузионный «скачок».
Кроме того, что сама величина vo уменьшается при
низких температурах, из-за экспоненциальной зависи-
мости в (9) эффективная частота диффузии v резко
убывает с температурой, а значит, согласно формуле
(6г), должна спадать и скорость диффузии. Для про-
верки подобных выводов теории, а также с целью вы-
числения из экспериментальных данных значений так
называемой энергии активации Е для различных ве-
ществ была проведена огромная экспериментальная
работа.
Пример такой обработки экспериментальных дан-
ных приводится ниже. Обычно предполагается, чтс
справедливо соотношение
Р = £>оехр(~ 4)’
30
Г.1 I Общий обзор
ИЛИ
InD = -f + ln D„,
где D (экспериментально измеряемый) коэффициент
диффузии, входящий в макроскопическое уравнение
диффузии [см. уравнение (13)], Е — энергия активации.
Ф и г. 2. Экспериментальные данные по диффу-
зии молибдена, кремния и магния в никеле (по
Суолину и др. [25]).
Очевидно, что амплитуда Do непосредственно связана
с входящей в (9) величиной v0, которую иногда назы-
вают «частотным коэффициентом».
Как видно из приведенных на фиг. 2 результатов
эксперимента, D линейно зависит от обратной темпе-
ратуры (в пределах ошибок измерений); величины Dq
§ '2. Броуновское движение
31
и Е могут быть вычислены для различных диффунди-
рующих веществ. Приведем следующую таблицу
(Суолин и др. [25]):
Диффундирующее вещество	Do» см2!сек	D, ккал/моль
Мо	3,0	68,9
Si	1,5	61,7
Mg	0,44	56
6. Броуновское движение и необратимость. Пусть
частица, подчиняющаяся законам движения Ньютона,
начинает в момент t = 0 двигаться со скоростью Vo-
Тогда через «короткий» * *) отрезок времени ее смеще-
ние становится равным
x:&vot, т. е. x2^v2t2.	(10)
Если мы рассматриваем ансамбль частиц, подчиняю-
щихся ньютоновским законам движения, то можно
написать
При этом можно сказать, что движение частиц яв-
ляется полностью «механическим», «предсказуемым»
или «обратимым»2) на всем интервале времени t.
Особо отметим пропорциональность среднего квадра-
тичного значения (*2) квадрату времени t2.
Напротив, для ансамбля броуновских частиц, или,
более обще, для систем, испытывающих «чистую»
диффузию, как мы видели, справедливо соотношение
(x2) = v/2/,	(6г)
’) То есть достаточно короткий для того, чтобы возможные
ускорения не изменили существенно начальной скорости частицы.
*) Под «обратимостью» мы подразумеваем то обстоятельство,
что уравнения движения Ньютона сохраняют свой вид при изме-
нении направления отсчета времени (т. е. при замене t на —/)•
С другой стороны, если в любой момент времени мы изменим на
противоположные скорости всех частиц в классической механиче-
ской системе, система в точности «воспроизведет обратный ход
своей траектории», (См. также примечание на стр. 16.)
A
И J 1 » I t-«rt I t i i t » i I I I I I 1 I t I I I I I
Ui i i ri i i i i I t i i । । । । । i i । i i i i i । Время t
l
a
Время t
Фиг. 3. a — схематическое изображение смещения отдельной
броуновской частицы (кривая Л), наблюдаемого прибором со
временем разрешения Кривая В изображает весьма при-
ближенно изменение «наблюдаемой» скорости частицы Vt,
вычисляемой для . интервалов времени б — схематическое
изображение смещения (кривая А) той же самой броуновской
частицы, но наблюдаемого прибором, время разрешения которого
^2 (~’/2 ^i)- Кривая В показывает весьма приближенно ха-
рактер изменения «наблюдаемой» скорости V, частицы, вычис-
ленной для интервалов времени /2* Ясно, что уменьшение
времени разрешения приводит к соответствующему возрастанию
характерной «наблюдаемой» скорости броуновской частицы.
Интервалам и /2 соответствуют деления на оси абсцисс.
§ 2 Броуновское движение
33
т. е. среднее квадратичное значение смещения оказы-
вается пропорциональным первой степени времени:
(х2) ~В этом предельном случае следовало бы ска-
зать, что движение между двумя моментами времени
совершенно непредсказуемо в деталях и необратимо1).
Сделанный вывод подтверждается также рассмотре-
нием характера изменения наблюдаемой скорости
броуновской частицы Vt на интервале времени t\ дей-
ствительно
ок
С укорочением интервалов времени t наблюдае-
мая скорость в пределах справедливости формулы
(11) заметно возрастает и, таким образом, в сущно-
сти любая попытка детального предсказания после-
довательного движения частицы терпит неудачу
(ср. фиг. 3, а и б). В гл. II мы увидим, что зависи-
мость среднего квадратичного значения смещения от
времени (<х2(/))) эквивалентна знанию частотного
спектра флуктуаций скорости или автокорреляцион-
ной функции скорости. В общем случае характери-
стики флуктуационных явлений лежат где-то посре-
дине между предельными случаями полностью слу-
чайных и полностью регулярных или предсказуемых
свойств [т. е. соответственно между временными зави-
симостями (х2) ~ / и (х2) ~ t2 на коротких интерва-
лах времени t — ср. формулы (бг) и (10)—или
между соответствующими предельными характеристи-
ками частотного спектра скорости или ее автокорре-
ляционной функции].
*) Мы можем, конечно, делать правильные статистические
предсказания о поведении ансамбля броуновских частиц. Нашим
утверждением мы хотим лишь подчеркнуть, что мы не в состоя-
нии предсказать индивидуальное поведение для одиночной «час-
тицы», совершающей идеализированное броуновское движение,
в течение предстоящего интервала времени, если известно ее по-
ложение в настоящий момент. Напротив, для механики Ньютона
абсолютно точно предсказывается будущая траектория отдельной
«частицы» по ее «координатам» (более точно, по ее положению
в пространстве и по скорости) в настоящий момент времени.
3 Д. Мак Доналд
34
Гл. /. Общий обзор
7. Уравнение диффузии и вязкость. Рассматривая
диффузию молекул или частиц непосредственно как
проблему о случайном блуждании, Эйнштейн
пришел, по существу, к соотношению (6г). Кроме
того, он показал, что при малой концентрации частиц
они должны вести себя подобно молекулам идеаль-
ного газа, уравнение состояния которого pV = nRQ/k
(здесь р — давление, V — объем, п — число содержа-
щихся в нем молей, R— газовая постоянная, равная
Nk, где N— число Авогадро, 0 — температура
в энергетической шкале). На этом общем пути
Эйнштейн получил следующее окончательное выраже-
ние для смещения, обусловленного броуновским дви-
жением:
(л2(/)) = 2£0/	(12)
[ср. с (6г)], где В — подвижность частицы в окружаю-
щей жидкой среде, т. е. определяемое вязкостью
среды предельное значение скорости при действии на
частицу единичной силы. Уравнение Эйнштейна (12)
имеет исключительно важное значение в физике. Оно
указывает, что любой объект, находящийся в термо-
стате и испытывающий (необратимое) действие сил
вязкости или трения, должен неизбежно проявлять
«спонтанные» флуктуации, величина которых зависит
непосредственно от вязкости (через подвижность В)
и абсолютной температуры. Этот фундаментальный
результат можно выразить и обобщить большим чис-
лом различных способов (что позднее и было сде-
лано); в дальнейшем мы еще будем на них ссылать-
ся, однако краеугольным камнем этих исследований
является результат, полученный Эйнштейном. В част-
ности, из уравнения Эйнштейна следует, что такие
необратимые характеристики, как вязкость или жид-
кое трение, являются по своему характеру статисти-
ческими величинами, существенно определяемыми
«микроскопическим» (атомистическим) строением ма-
терии. Весьма часто, вводя без долгих размышлений
в уравнения движения частицы слагаемое, описываю-
щее жидкое трение и пропорциональное dxldt [т. е.
учитывая силу— (dxldt)B, где В «подвижность»], мы,
$ 2. Броуновское движение
35
по-видимому, склонны забывать, что это слагаемое
в действительности полностью отличается по своему
характеру от остальных членов в основном уравнении
движения:
Уравнение Эйнштейна особенно замечательно тем,
что оно устанавливает прямую связь макроскопиче-
ской и необратимой вязкости или трения с флуктуа-
циями системы, обусловленными в конечном счете
«микроскопическими» причинами. Исходя из уравне-
ния Эйнштейна (12), можно с помощью теоретических
соображений определить макроскопические необрати-
мые параметры, например вязкость жидкости, имея
данные о межатомных силах (ср., например, обзор-
ную монографию Эйзеншитца [26]). Сказанное выше
в значительной степени прояснится после рассмотре-
ния нами анализа броуновского движения, проведен-
ного Ланжевеном (ср. стр. 47 и далее; в частности,
примечание на стр. 52; см. также гл. II, § 7). Вообще
говоря, по моему мнению, при обсуждении необрати-
мых процессов важно не забывать существенно ста-
тистического (и флуктуационного) происхождения
подобных макроскопически необратимых сил.
Заметим, кстати, что настоящее рассмотрение
ограничено, строго говоря, системами, характеристики
которых с большой степенью точности линейны. За-
дачу обобщения анализа броуновского движения на
системы с нелинейным релаксационным механизмом
мы отнесем в приложение II.
Введя обозначение Вв ^D, перепишем уравнение
(12) в виде
{x2(t)} = 2Dt.	(12а)
Как показал Эйнштейн, модель случайных блужданий
дает полное решение обычного одномерного уравне-
ния диффузии. Феноменологическое уравнение диффу-
зии в одномерном случае имеет вид
<13)
8*
36
Гл. I. Общий обзор
где f(x, t) —относительная плотность частиц в точке
х в момент времени t, a D, по определению, — коэф-
фициент диффузии.
Отметим, что уравнение диффузии необратимо.
При замене в дифференциальном уравнении (13) t на
Фиг. 4. Схематическое изображение характера изменения
во времени функции распределения f (х, t), задаваемой фор-
мулой (14).
Сплошная кривая —для «очень малых», штрихпунктирная —для «умеренных»,
штриховая — для «очень больших» значений времени /.
— t оно переходит в уравнение совершенно иного
типа, а именно
f =	(13а)
свойства уравнения (13а) полностью отличаются от
соответствующих свойств уравнения (13), в котором
D считается существенно положительным. Соответ-
ственно этому, если при рассмотрении ансамбля диф-
фундирующих частиц в произвольный момент наблю-
дения изменить на противоположное направление
скорости каждой частицы, то ансамбль, вообще го-
воря, «не воспроизведет своей траектории». Такое по-
ведение системы противоречит, конечно, основным
§ 2. Броуновское движение
уравнениям механики (уравнениям Ньютона), как
отмечалось в примечании на стр. 31.
Заметим также, что (одномерное) уравнение
1ейл оп роводности
дТ _ дгТ
dt дхг
(где теплоемкость единицы объема С и коэффициент
теплопроводности х — существенно положительные
величины) совпадает по форме с уравнением диффу-
зии (13), и с той же самой общей точки зрения
теплопроводность следует рассматривать как необра-
тимый процесс. Можно пойти еще дальше и предпо-
ложить, что все необратимые процессы в природе в
предельном случае сводятся, по существу, к действию
диффузии или теплопроводности.
Позже мы увидим, что уравнение (13) тесно свя-
зано с так называемым уравнением Фоккера — План-
ка для случайных процессов. Отметим, что если в на-
чальный момент времени t = 0 все частицы считаются
сконцентрированными в точке х = 0, то решение
уравнения (13) имеет вид (фиг. 4)
где в качестве условия нормировки принято, что
J f(x, t)dx=\ для всех t.
Можно интерпретировать / как плотность распреде-
ления вероятностей положения частицы, совершаю-
щей броуновское движение, начинающееся при х = О,
t = 0. Тогда величина f(x, t)dx определяет вероят-
ность нахождения частицы в момент времени t
в области между координатами х и х + dx; среднее
смещение за время t определяется равенством
(л>= J xf(x, t)dx—Q
(15а)
38
Г л. I. Общий обзор
[ср. с (5)], а среднее квадратичное значение смещения
оказывается равным
+оо
<х2) = f x2f(x, t)dx = 2Dt (156)
—со
[ср. с (6г) и (12а)]. Сравнив экспериментально изме-
ренные значения коэффициента диффузии D с полу-
ченным теоретически соотношением D = 0В, Эйн-
штейн ясно показал, что диффузия и броуновское
движение представляют по существу одно и то же
явление, причина которого заключается в движении
молекул.
§ 3. Электрический аналог броуновского движения
и „дробовой шум“
1. Тепловые флуктуации (броуновское движение).
Приведенный метод нахождения среднего квадрата
флуктуаций был обобщен Эйнштейном применительно
к любым свободно меняющимся во времени наблю-
даемым параметрам 6(1) термодинамически равновес-
ной системы. Как было показано,
<86?> <(6 (/) - 6 (0) J2) = 2bt = 2#0/,	(16)
где D — коэффициент диффузии для величины 6,
а В— «подвижность» системы, находящейся в термо-
стате относительно параметра 6. В приложении II
приводится иной, непосредственный вывод уравнения
Эйнштейна для невозмущенного броуновского движе-
ния.
Для линейной системы можно определить D (или
В) следующим образом. Пусть имеется некоторая
(достаточно слабая) восстанавливающая «сила», вели-
чина которой пропорциональна смещению. Уравнение
колебаний можно записать в виде
$=*-С(б-<е»,
§ 3. Электрический аналог броуновского движения 39
где черта (над 6) означает усреднение по подансамб-
лю систем с заданным значением б. Отсюда сразу сле-
дует (см. приложение II), что
5=С((б-(б))2>,
где скобки ( ) означают (как обычно) усреднение по
всему равновесному ансамблю (с учетом, конечно,
введенной восстанавливающей «силы»), Эйнштейн
рассмотрел возможные флуктуации электрического
заряда q в материальной среде с проводимостью G и
получил уравнение для среднего квадратичного значе-
ния флуктуаций:
<М)-2ое/.	(17)
Согласно этому уравнению, для сопротивления в 1 ом
(G — l/R = 1 ом~1) при комнатной температуре
(Т ~ 3-102 *°К) спонтанные флуктуации заряда за
1 сек оказываются приблизительно равными
«,	(18)
или, иными словами, эквивалентный флуктуационный
ток, который можно зарегистрировать в сопротивле-
нии в течение 1 сек, равен по порядку величины
10'10а(10‘4 * * * * мка). Хотя выбор интервала времени при
этом довольно произволен, указанный очень малый
ток было исключительно трудно (а может быть,
вообще невозможно) обнаружить экспериментально
в то время, когда было высказано предсказание
Эйнштейна, и лишь почти двадцать лет спустя броу-
новское движение электрического заряда было с опре-
деленностью наблюдено на опыте Джонсоном [27—29].
2. «Дробовой шум> и электронный заряд. Нужды
первой мировой войны способствовали развитию
техники дальней радиосвязи и требуемых для нее
чувствительных усилителей; в последний год войны
Шоттки [30] опубликовал ставшую классической ста-
тью о флуктуациях электричества. В статье снова и
более полно были рассмотрены флуктуации типа
40
Гл. I. Общий обзор
броуновского движения, впервые предсказанные
Эйнштейном; было также указано, что следует ожи-
дать появления электрических шумов иного типа,
возникающих в принципе из-за корпускулярной
структуры самого электричества.
Здесь мы встречаемся с новым важным классом
флуктуационных процессов. Как мы уже видели, вся-
кий раз при наблюдении какого-либо параметра бо-
лее или менее подвижной системы, находящейся
в термостате, следует ожидать проявления флуктуа-
ций или шумов наблюдаемого параметра, определяе-
мых непосредственно необратимой «вязкостью» или
«трением», воздействующим на измеряемую величину,
и температурой окружающей среды. Существенно, что
такие флуктуации (и, вообще говоря, необратимая
вязкость, жидкое трение или сопротивление) яв-
ляются прямым следствием атомистики или дискрет-
ной структуры окружающей среды и не зависят
каким-либо явным образом от особенностей структу-
ры наблюдаемого параметра, вводимых лишь посред-
ством макроскопической подвижности или вязкости
[ср. формулы (12) или (16), в которых характери-
стики самого флуктуирующего параметра входят
только через подвижность В или В]. Можно сказать,
что неизбежная и универсальная дискретность или
атомистичность окружающей среды проявляется
в виде зависимости от в — произведения универсаль-
ной постоянной k = 1,4 • 10-23 дЖ‘град~1 (постоянной
Больцмана) на абсолютную температуру Т.
С другой стороны, электричество само имеет кор-
пускулярную структуру, свидетельством чего служит
существование фундаментальной единицы заряда е
(= 1,6* 10-19 к). Эта дискретность электричества мо-
жет при некоторых обстоятельствах проявиться как
особый источник электрических флуктуаций или шумов.
Мы подчеркиваем это различие. Если наблюдаемая
система находится в «пассивном» термодинамическом
равновесии с окружающей средой (термостат) — а это
означает, что она не выделяет и не получает извне
сколько-нибудь значительного количества тепла или
§ 3. Электрический аналог броуновского движения
41
работы, —то для описания флуктуаций должно быть
достаточно уравнений (12) или (16) *)•
Из флуктуационных измерений для существенно
термодинамически равновесной системы можно было
бы определить обобщенную вязкость или подвиж-
ность (а если необходимо, то и их зависимость от
температуры и частоты или постоянной времени, что
может дать весьма ценную информацию), но не сле-
дует ожидать выяснения на основе таких измерений
деталей атомистической структуры исследуемой си-
стемы.
Напротив, если систему нельзя считать полностью
термодинамически равновесной, вообще говоря, вслед-
ствие значительного притока или выделения энергии,
то для выяснения всей картины флуктуаций требуется
более детальное знание структуры системы. В этом
случае можно было бы ожидать получить из флуктуа-
ционных измерений более подробную информацию
о строении наблюдаемой системы. Как указал Шоттки,
подогревная электронная лампа является источником
электрических флуктуаций такого типа. Совершая
извне работу над электронной лампой, мы возбуж-
даем электрический ток в некоторой цепи. Случайная
эмиссия электронов из катода и их последующее
прохождение по цепи могут привести к значительным
электрическим шумам, обусловленным непосредствен-
но дискретностью самого электрического заряда. Мы
рассмотрим далее шумы этого типа.
Предположим, что электроны эмитируются като-
дом совершенно произвольно и независимо друг от
1) Это утверждение справедливо в пределах, в которых про-
водилось до сих пор наше рассмотрение. Позже мы пойдем даль-
ше и рассмотрим системы, в которых инерционные и упругие силы
существенно изменяют характер протекания флуктуаций во вре-
мени, однако уравнение (16) остается основным для описания
источника броуновского движения.
Мы также предполагаем, что поведение флуктуирующей ве-
личины (например, смещения частицы или наблюдаемого заряда
в электрической цепи) существенно <классическое». Во многих
случаях это предположение, по-видимому, идеально выполняется,
но на стр. 57 мы покажем, как изменяются соотношения для
броуновского движения, когда для макроскопических флуктуаций
становятся существенными квантовые эффекты.
По оси абсцисс отложено расстояние от катода,
по оси ординат—разность потенциалов относи
тельно катода.
А —режим «насыщения». Разность потенциалов
монотонно возрастает от катода к аноду, и
в идеальном случае умеренные изменения анод-
ного потенциала не сказываются на величине
невозмущенного тока J, который в этом случае
совпадает с полным током эмиссии, или током
«насыщения» J$. При использовании термоэлек-
тронной эмиссии такой режим называют иногда
«режимом с температурным ограничением».
В рассматриваемом режиме значительная часть
мощности Р== JVa внешнего источника напряже-
ния передается лампе.
Б — «ограничение пространственным зарядом».
Ток в лампе J в этом случае меньше (обычно
значительно меньше) тока насыщения Jgt при-
чем реальное значение тока J определяется
глубиной минимума потенциала, отмеченного
точкой Л4.
В —«режим запирания диода». Значение отри-
цательного потенциала анода достаточно велико,
так что минимум потенциала отсутствует. Ток
в лампе гораздо меньше тока насыщения
и обусловлен лишь высокоэнергетическими эми-
тированными электронами, способными преодо-
леть задерживающее электрическое поле. В этом
режиме внешний источник напряжения факти-
чески получает малую мощность Р (P*aJVa9
где Va теперь, конечно, отрицательно), «гене-
рируемую» диодом.
§ 3. Электрический аналог броуновского движения
43
друга; пусть все эмитированные электроны достигают
анода и движутся в цепи так, что вклад каждого
электрона в наблюдаемый ток независим от вклада
соседних частиц. В таких случаях говорят, что элек-
тронная лампа работает в режиме «насыщения»
(фиг. 5). Рассмотрим интервал времени t, в течение
которого из катода эмитируется п электронов, и пусть
У — среднее значение и, т. е.
{n) = N.	(19а)
На основании простых соображений, близких
к использованным нами ранее при анализе модели со
случайным блужданием, можно показать, что
<(п — Л02) = М	(196)
или
<(? - Q)2) - <8^?> = eQ = eJt,	(19в)
где q — (флуктуирующий) заряд, проходящий в лам-
пе за время t, Q — соответствующий средний заряд,
1—средний ток в цепи, е — заряд электрона. Заряды
е и Q (а следовательно, и J) в уравнении (19в)
имеют одинаковый знак (обычно отрицательный), и,
следовательно, правая часть в этом соотношении, как
и следовало ожидать, всегда положительна. Уравне-
ние (19в), определяющее так называемый «дробовой
шум» *), имеет некоторое сходство с уравнением (17),
описывающим тепловые флуктуации электричества
(броуновское движение), а именно оба уравнения
содержат одинаковую зависимость от времени, однако
эти соотношения существенно отличаются друг от
друга. Одинаковая зависимость (fiq^ от времени
в уравнениях (17) и (19в) объясняется просто тем,
*) Сам Шоттки первоначально сравнивал это явление со слу-
чайным звуковым шумом, производимым падением потока неболь-
ших «дробинок» (по-немецки Schrot) на металлическую плиту.
Он усмотрел аналогию такой механической «бомбардировки» и
«столкновения» потока электронов с анодом в электровакуумной
лампе. Было бы неразумно понимать эту аналогию слишком бук-
вально, так как специфика движения электронов вблизи анода
не определяет характеристик «дробового шума» в лампе; скорее
наиболее важными случайными независимыми событиями являют-
ся эмиссия электронов и весь их пролет в лампе.
44
Гл. I. Общий обзор
что в обоих случаях исследуется существенно случай-
ное явление, которое можно рассматривать как по-
следовательность отдельных некоррелированных «ша-
гов» или «скачков». Это совпадение временной зави-
симости для означает, что частотные спектры
тока «дробового шума» в электровакуумной лампе и
тепловых флуктуаций тока в «пассивном» сопротивле-
нии в основном схожи. Однако одинаковая временная
зависимость или частотный спектр вовсе не подразу-
мевают физической эквивалентности этих двух явле-
ний. Невозмущенное движение очень пьяного чело-
века, т. е. «случайное блуждание» человека1), можно,
по-видимому, приближенно описать зависимостью
типа х2 ~ t (Пирсон [31, 32], Релей [33]), но из этого
не следует никакой фундаментальной физической связи
между пьяным человеком и броуновским движением
молекулы (ср. также работы Мак-Доналда [20, 34]).
Обращаясь к электрическому броуновскому дви-
жению [уравнение (17)], мы видим, что квант элек-
трического заряда е не входит явным образом
в основное выражение, в то время как абсолютная
температура Т содержится в нем как существенный
фактор; с другой стороны, заряд е является одним из
определяющих параметров во флуктуациях типа
«дробового шума», а явная зависимость от темпера-
туры вообще отсутствует в выражении для этих флук-
туаций [уравнение (19в)]. Следует заметить, что на-
личие «дробового шума» требует существования не-
возмущенного среднего тока / в одном направлении,
что не имеет места для электрического броуновского
движения, описываемого уравнением (17). В самом
деле, чтобы уравнение (17) было абсолютно справед-
ливо, невозмущенный ток через проводник, незави-
симо от его природы, должен отсутствовать, так как
') На относительно медленное (почти пропорциональное У~7)
увеличение вероятного смещения (~У"х2) от начального поло-
жения в противоположность когерентному движению (х ~t) было
указано в следующем замечании Пирсона [32]: «Из решения лорда
Релея можно сделать вывод, что на достаточно открытом месте
наиболее вероятно найти пьяного человека... где-либо вблизи его
начального местонахождения».
§ 3. Электрический аналог броуновского движения
45
в противном случае это могло бы привести к наруше-
нию нашего требования о полном термодинамическом
равновесии *).
Зависимость дробового шума от тока означает, что
шумы подобного типа могут намного превосходить ти-
пичные значения электрических шумов, обусловлен-
ных тепловым броуновским движением. Рассмотрим
ламповый диод, пропускающий ток 10 ма при разно-
сти потенциалов 100 в. Сопротивление этого диода
(для постоянного тока) равно, таким образом, 10* ом.
Если рассматривать лампу как «пассивное» сопротив-
ление 10* ом, в котором имеются лишь тепловые
электрические флуктуации, то из уравнения (17) при
комнатной температуре можно получить следующую
грубую оценку для флуктуаций заряда за 1 сек:
к.	(20а)
С другой стороны, уравнение (19в) дает для дробо-
вого шума
<8<7* 2)'А«4.1О-п к,	(206)
г. е. величину, приблизительно в 40 раз большую.
В прошлом существовала значительная путаница
из-за того, что в реальных вакуумных лампах
очень часто эмиссия электронов с катода вызывается
подогревом. При этом невозмущенный ток в лампе
[J в уравнении (19в)] сам зависит от температуры, и
при некоторых условиях уравнение (19в) может быть
приведено к виду, напоминающему уравнение (17)2).
’) См., например, фиг. 5, где в случае А п Б мощность под-
водится к электронной лампе, а в случае В мощность поступает
от лампы в источник анодного питания.
2) Говоря более конкретно, было показано, что полные шумы,
возбуждаемые обычным ламповым вакуумным диодом, в режиме
сильного «ограничения тока пространственным зарядом» (см. кри-
вую Б на фиг. 5) эквивалентны по величине электрическому броу-
новскому движению «пассивного» сопротивления с таким же
дифференциальным сопротивлением (сопротивление переменному
току), как у лампы, и при фиктивной температуре, приблизитель-
но в 0,64 раза меньшей температуры катода лампы (см работы
Рака [35], Томпсона, Норта и Харриса [36], Шоттки и Спенке
[37]. Более детальное рассмотрение флуктуаций тока в вакуумных
лампах приводится также в гл. III).
46
Гл. I. Общий обзор
Однако в общем случае не следует смешивать флук-
туации типа дробового шума (это понятие не обяза-
тельно, конечно, ограничивается лишь электрическими
явлениями) с флуктуациями типа броуновского дви-
жения, которые, как мы видели, существенно опреде-
ляются необратимым взаимодействием системы с тер-
мостатом. С другой стороны, для выполнения урав-
нения (19в) необходимо лишь, чтобы электроны тем
или иным способом эмитировались и двигались в цепи
случайно и независимо друг от друга. Это достигается
не обязательно с помощью термоэлектронной эмис-
сии; можно, например, использовать для этой цели
фотоэлектрический эффект или даже вообразить, что
электроны выбиваются из катода маленькими чело-
вечками с помощью крошечной кирки, лишь бы ка-
ждый человечек работал совершенно независимо от
других, ему подобных!
§ 4. Наблюдаемые шумы: зависимость от времени
и частотная характеристика
Ранее, при обсуждении броуновского движения
частицы, мы предполагали (явно или молчаливо), что
смещение частицы наблюдается визуально, и при этом
видели, что ограниченность постоянной времени глаза
может в сильной степени изменить регистрируемую
величину чисто флуктуационной составляющей ско-
рости. Естественно возникает вопрос: как изменит
присущие самой системе флуктуации измерительный
прибор (например, электрометр или усилитель — при
рассмотрении электрических флуктуаций или какой-
либо механический регистрирующий прибор в других
случаях). Изменение картины флуктуаций может
произойти просто вследствие влияния инерционных
или упругих сил непосредственно на флуктуирующую
систему (например, действие некоторой упругой вос-
станавливающей силы на броуновскую частицу).
В частном случае линейной восстанавливающей силы
F = — Кх, где % — постоянный коэффициент упруго-
сти, в конечном счете произойдет ограничение смеще-
ния частицы, которое теперь не будет уже в соответ-
§ 4 Наблюдаемые шумы
47
ствии с уравнением Эйнштейна (х1 2) ~ t возрастать
неограниченно. По существу, мы снова можем обра-
титься к статистической механике [см. выше примене-
ние уравнений (2) и (3)], согласно которой в рассма-
триваемом случае предельное значение характери-
стики определяется условием
2 =Т’ т- е- <Х> = Т-
когда x(t) становится «статистически стационарной»
(см. также гл. II). Однако лишь анализ броуновского
движения (в частности, исследование уравнения Эйн-
штейна) может показать, как и с какой скоростью
броуновская частица или подобная ей система дости-
гает «равновесной» конфигурации или «статистически
стационарного» состояния.
Общая проблема оценки наблюдаемых флуктуа-
ций может быть в основном решена либо с помощью
исследования поведения всей системы во времени,
либо посредством изучения частотного спектра рас-
сматриваемых флуктуаций с последующим анализом
того, как этот спектр изменяется или ограничивается
при переходе системы в стационарное состояние. Спе-
циалистам, исследующим электрические флуктуации,
второй метод покажется, вероятно, наиболее простым,
однако важно понимать, что изменение поведения всей
наблюдаемой системы во времени или изменение ее
частотной характеристики является лишь двумя
аспектами одного и того же явления и что любой из
указанных методов исследования проблемы может
в зависимости от конкретных обстоятельств оказаться
более удобным и выгодным.
1. Исследования Ланжевена. Вскоре после появле-
ния основополагающей работы Эйнштейна теория
броуновского движения была существенно развита
Ланжевеном [38], которому удалось учесть как вяз-
кость, так и инерционные (или «механические») силы,
действующие непосредственно на систему; теория
Ланжевена и на сегодняшний день используется в ка-
честве наглядного приближения.
48
Гл. I. Общий обзор
Рассмотрим простейший случай движения свобод-
ной броуновской частицы, массы М в жидкой среде;
пусть движение, скажем, в направлении оси х, описы-
вается уравнением
=	(20
где v — составляющая скорости частицы вдоль оси х,
а еГ (/) — соответствующая составляющая полной
силы, обусловленной влиянием окружающей среды и
действующей на частицу в произвольный момент вре-
мени.
Ланжевен, в сущности, предположил, что справед-
ливо представление
= —l +	(22)
где слагаемое —о/В дает действующую со стороны
среды на частицу среднюю силу, обусловливающую
вязкость или трение (т. е. параметр В совпадает
с входящей в уравнение Эйнштейна (12) «подвижно-
стью»), а член F(t) учитывает быстро меняющуюся
во времени часть силы и характеризует влияние очень
частых отдельных соударений молекул с рассматри-
ваемой частицей. Объединяя уравнения (21) и (22),
получаем
^JS- + T = F(/)’	(23)
ИЛИ
•^-+^ = Д(/),	(23а)
где Д(/) —весьма быстро меняющаяся во времени
величина, имеющая размерность ускорения и харак-
теризующая молекулярные соударения. Здесь следует
отметить, что характерное время, необходимое для
существенного изменения величины Д(0. считается
гораздо меньшим макроскопического времени релак-
сации -ti (ti = МВ) для исследуемой частицы. В соот-
ветствии с уравнением (23) мы можем написать ана-
логичное уравнение для спонтанных флуктуаций
§ 4. Наблюдаемые шумы
49
электрического тока в контуре, изображенном на
фиг. 6:
L^-t+Ri = Etf),	(24)
где Е (/) — флуктуирующее напряжение, характерное
время изменения которого весьма мало по сравнению
с временем релаксации контура
L/R. Формальное решение уравне-
ния (23а) для t > 0 можно запи-
сать в виде
t
Ф (/) =	+ e~‘i^ J* 6“^' А (и) du, L
о
(25)
где v = о® при t = 0.
Прежде чем перейти к дальней-
шему исследованию, сделаем ряд
довольно общих предположений
(справедливость которых заранее
очевидна!) о поведении «молекуляр-
ного» члена Л(() (см., например,
Уленбек и Орнстейн [39], Рытов
[71 *]). Будем считать, что для t > 0
имеют место следующие условия:
1) Д7) =0;
2) Л(0)Л(0) = 0 до тех пор, по-
ка значение 0 не окажется очень
близким к 0 (это среднее от произ-
ведения определяет так называемую
Ш)
E(t)
Фиг. 6. Простая
«пассивная» элек-
трическая цепь
при температуре Т,
в которой проис-
ходят спонтанные
флуктуации (броу-
новское движение)
электрического то-
ка l(t).
Е (/) — весьма быстро
меняющаяся во време-
ни спонтанная в. д. с.,
среднее значение ко-
торой, как предпола-
гается в уравнении (24),
равно нулю.
«автокорреляционную функцию»; в
гл. II мы рассмотрим автокорреляционную функцию
случайной переменной с более общей точки зрения);
3) величина Л2(() имеет вполне определенное по-
ложительное значение.
Черта над функцией означает усреднение, прово-
димое по группе систем с некоторыми заданными на-
чальными условиями [например, v (0) = i»o в формуле
(25)]. Результат усреднения такого типа обычно
4 Д. Мак-Доналд
60
Г л. /. Общий обзор
называют средним по подансамблю1)- Условия 1 и 2*
являются аналитическим выражением того физиче-i
ского факта, что отдельные соударения молекул]
с частицей происходят исключительно быстро и обыч-1
но характеризуются очень малым временем корреля-
ции (или «памятью») по сравнению с тр Условие 3
выражает то обстоятельство, что в любой момент вре-
мени имеется флуктуирующая молекулярная сила,
величина которой сравнима со средней силой вязко-
сти при статистическом равновесии.
По мнению автора, эти (по-видимому, весьма ра-
зумные) предположения довольно существенны для
понимания того, как в наше исследование «прокрады-
вается» необратимость, хотя мы и исходили первона-
чально из модели [например, из уравнения (21)],
обратимой по своему характеру (см., например, Мак-
Доналд [40]).
Используя приведенные условия, из формулы (25)
получаем
t
‘v(t) = voe~tf'> J* А (и) du =
0	(26а)
(для />0);
второй член в правой части обращается в нуль в силу
условия 1. Соотношение (26а) выражает физически
ясный вывод: за время средняя скорость частиц
для подансамбля с одинаковой начальной скоростью
t»o уменьшится практически до нуля. При этом, одна-
ко, флуктуирующая скорость каждой индивидуальной
частицы должна отличаться от нуля, и поэтому, так
же как в рассмотренной ранее задаче о простом слу-
чайном блуждании [ср. уравнение (б) и (6)], целесо-
образно рассмотреть поведение среднего квадрата
переменной величины, т. е. в данном случае
) Автор использует обозначение о для условного среднего
случайной величины о в отличие от безусловного среднего (и).—
Прим. ред.
§ 4. Наблюдаемые шумы
61
В результате мы приходим к соотношению
t
у’(/) =	+ 2е-2//т' J* А (и) du+
о
t t
-j-e~2/^ J J e(u+w^' A (и) A (v>) du dw.	(27)
о о
В соответствии с условием 1 второй член в правой
части (27) обращается в нуль (для />0). Третий
член, однако, не равен нулю, так как в силу условия
3 двойной интеграл дает конечный вклад при и w,
более подробно мы рассмотрим этот результат
в гл. П, § 7. Теперь мы можем написать
&(f) = v2e~2t^ + С (1 — е~21^),	(27а)
где постоянная С подлежит еще определению. Для
этого можно опять обратиться к результатам стати-
стической механики. При достаточно длительном вре-
мени наблюдения влияние начальных условий (в на-
шем случае »о) и инерции системы (характеризуемой
величиной “ti) сглаживается, так что рассматриваемый
подансамбль, по существу, становится равновесным
ансамблем, а в этом случае (27а) переходит, оче-
видно, в соотношение
{v2(t)) = C.	‘	(276)
Совершенно аналогично соотношение (26а) для рав-
новесного ансамбля приводит к равенству
(*(0)-О.	(266)
Как следует из статистической механики, средний
квадрат скорости частицы при термодинамическом
равновесии, т. е. для равновесного ансамбля, должен
быть равным
W =	(За)
(ср. с уравнением (3); при этом следует помнить, что
настоящий анализ относится к одномерному движе-
нию]. Сопоставляя (За) и (276), находим С = Q/M и
4*
52
Гл. I. Общий обзор
окончательно получаем соотношение1)
^2(7) =	_|_ -в. (1 _ е-2//т,)л	(27в)
определяющее закон изменения во времени и дости-
жения равновесного значения средним квадратом
скорости для заданного начального подансамбля.
Сравнение (27в) и (За) поясняет, почему теорию
флуктуаций можно назвать «нестационарной стати-
стической механикой». В общем случае, как следует
из соотношения (27в), равновесное состояние, рассма-
триваемое в обычной статистической механике, дости-
гается лишь по прошествии времени, значительно
превышающего величину если мы начинаем с рас-
смотрения произвольного подансамбля. Если же вы-
бранный подансамбль уже является равновесным
ансамблем и, таким образом, = 0/Л1, то, как сле-
дует из (27в), это равновесное состояние будет оста-
ваться неизменным, т. е. v2(t) = (v2(t)) = Q/M.
Проведенное исследование можно значительно
расширить (см. гл. II); это позволит получить авто-
корреляционную функцию скорости и проследить, как
выражение для смещения x(t) переходит в предель-
ное уравнение, выведенное Эйнштейном. Для этого
проинтегрируем формулу (25) еще раз, чтобы полу-
чить выражение для смещения x(t), и найдем среднее
квадратичное значение смещения в момент /:
^(7) = ^2Х2 (1 __ 2е-</ , + е-2/Л1) +
0 т?
+	(—3 + 4е~‘^ —	+ 2В0Л (28)
Для выражение (28) переходит в
(х2(/))«250/	(28а)
!) Из соотношений (27) и (27а) следует, что постоянная
С(= 6/М) определяется интегрированием «ускорения» A(t) по
времени и учитывает, таким образом, влияние быстро меняющейся
«молекулярной» силы F(t). Это и есть основное звено, связываю-
щее макроскопические необратимые параметры, например вяз-
кость жидкости, и «микроскопические» межатомные силы; см.
также гл. II, § 7.
§ 4. Наблюдаемые шумы
58
в полном согласии с уравнением Эйнштейна (12а);
однако при Ti мы имеем
(286)
Таким образом, если время наблюдения сравнимо со
временем релаксации системы ti, поведение частицы
определяется ее инерционными свойствами и можно
сказать, что частица ведет себя более или менее ме-
ханически и обратимо. Напротив, при более длитель-
ном времени наблюдения [выражение (28а)] все более
существенным становится влияние молекулярной
бомбардировки, и в предельном случае поведение ча-
стицы совпадает с чисто броуновским движением
свободной частицы.
' 2. Частотная характеристика. Изменения картины
первичных флуктуаций, к которым приводит учет
инерции или иных ограничивающих факторов, можно
выразить и другим способом — в терминах частотного
спектра. Можно утверждать, что учет лишь бомбарди-
ровки молекул приводит к флуктуациям скорости
с частотным спектром
(8^) = 405 d/	(29)
(ср. гл. II, § 3, п. 2), где df представляет малый
интервал в наблюдаемом диапазоне частот. То обстоя-
тельство, что система частиц имеет собственное время
релаксации ti, означает, что спектр, определяемый
формулой (29), должен на самом деле существенно
изменяться на интервалах ~ hil; реальный частотный
спектр флуктуаций скорости частиц имеет вид
<8^-49В <*>
(Подобно этому при рассмотрении спонтанных
электрических флуктуаций в /?£-цепи (ср. фиг. 6)
можно сказать, что учет одного лишь сопротивления
приводит к флуктуациям тока с частотным спектром
(3/}> = 40Gd/,	(29а)
54
Гл. I. Общий обзор
где G = 1//?; см. также следующий пункт и формулу
(31а). Учет, помимо /?, индуктивности L в этой цепи^
изменяет частотный спектр наблюдаемых флуктуаций
тока, который принимает при этом вид
<^ = 49OT+gA|ji.	(30а)
где т2 = L/R.]
Подчеркнем здесь, что уравнение (30) по своему
физическому содержанию в широком смысле эквива-
лентно соотношению (27в). Если предположить, что
не существует никаких других ограничений частотной
характеристики рассматриваемой системы, то интег-
ральная величина наблюдаемых флуктуаций скорости
определяется как
<-»!>=4ва/ т+^.7)--=>' т
О
причем это уравнение в точности совпадает с уравне-
нием (За) при условии отсутствия каких-либо других
ограничений на постоянную времени измерительных
приборов. В другом предельном случае, когда по-
стоянная времени измерительного прибора подчи-
няется условию т^>т«, наблюдаемые флуктуации
скорости определятся уравнением
1/-С
<т»2) ~ 40В f . , v ~	— • (ЗОВ)
о
Другими словами, наблюдаемое значение скорости
броуновского движения [~('У2)1/2] оказывается прибли-
зительно в УTj/t раз меньше по сравнению с величи-
ной [—(©/А1),/а], непосредственно предсказываемой
статистической механикой (см. § 2, п. 3).
Зачастую имеется возможность выбора метода ре-
шения задачи: можно либо рассматривать характер
зависимости от времени, либо исследовать частотный
спектр; строгая эквивалентность обоих указанных под-
ходов выражается теоремой Винера [41] и Хинчина
$ 4. Наблюдаемые шумы
55
[42] (см. гл. II, § 2), устанавливающей связь автокор-
реляционной функции стационарного случайного про-
цесса с ее частотным спектром.
3. Теорема Найквиста. Анализируя проведенные
Джонсоном [27—29] измерения электрических шумов,
Найквист [5, 6] получил следующую формулу для
спонтанных флуктуаций напряжения на «пассивном»
сопротивлении при температуре Т:
{W^ = 4R8df	(31)
(строго говоря, флуктуаций напряжения разомкнутой
цепи). Радиоинженер, следуя теореме Тевенина [43],
представил бы «шумящее» сопротивление следующей
Фиг. 7. Схема,
представляющая
флуктуации напря-
жения в сопроти-
влении при разом-
кнутой цепи.
Фиг. 8. Схема,
представляющая
флуктуации тока
в сопротивлении
при коротком за-
мыкании.
схемой, изображенной на фиг. 7. Здесь а, Ь — выход-
ные зажимы реального сопротивления. Генератор на-
пряжения V должен быть таким, чтобы средний квад-
рат амплитуды для произвольной узкой полосы частот
df соответствовал формуле (31). Соответственно ча-
стотный спектр спонтанных флуктуаций тока (8*/)
определяется совпадающей с (29а) формулой
<8ф = 40вдГ/	(31а)
(строго говоря, флуктуаций тока короткого замыка-
ния). Шумящее сопротивление можно было бы с по-
мощью так называемой теоремы Нортона представить
56
Г л. /. Общий обзор
схемой, изображенной на фиг. 8. Генератор тока J
должен быть таким, чтобы среднее квадратичное зна-
чение амплитуды тока для каждой малой области ча-
стот df задавалось формулой (31а).
Найквист вывел этот результат с помощью вто-
рого закона термодинамики, рассматривая энергетиче-
ский обмен между двумя сопротивлениями при термо-
динамическом равновесии. Формула (31а) по своему
содержанию фактически эквивалентна первоначаль-
ному результату Эйнштейна для флуктуаций заряда
в проводнике, а именно
(ty?) = 2G07
[ср. (17)]. Однако формулы (31) и (31а), называемые
обычно теоремой Найквиста, представлены в удобной
спектральной форме, непосредственно пригодной для
анализа многих задач электротехники. Пусть, напри-
мер, в усилительной цепи, изображенной на фиг. 9,
Усилительная
цепь
Фиг. 9. Схема, иллюстрирующая усиление
электрических шумов, возбуждаемых «пассив-
ным» сопротивлением /?(Г) на входе усили-
теля [с коэффициентом усиления по напря-
жению А (/)].
входное сопротивление очень велико C^>R) и усили-
тель вносит пренебрежимо малый «шумовой» вклад по
сравнению с шумами подключенного к входу пассив-
ного сопротивления R. Тогда полный шум на выходе
цепи определяется выражением
со
(У2) = 4Т?в/ |Л(/)|2^Л	(32)
о
где A (f) — зависящий от частоты комплексный коэф-
фициент усиления цепи. Если сопротивление элемента
§ 4. Наблюдаемые шумы
57
R зависит от частоты (или вследствие соответствую-
щего его устройства, или потому что он сам является
пассивной электрической цепью), то выражение (32)
можно переписать в виде
оо
(Р) = 49р(/)[Д(/)Рц/,	(32а)
О
где R(f)—действительная часть сопротивления вход-
ного элемента; по-прежнему предполагается, что вход-
ное сопротивление малошумящего усилителя очень
велико. В случае, когда известна реакция исследуе-
мого прибора на скачкообразный импульс, возможен
иной подход к задаче рассмотренного типа с исполь-
зованием теоремы Кэмпбелла (см. следующий пункт).
Квантовая модификация теоремы Найквиста. Най-
квист предложил также обобщение выражения (31)
для случая, когда при изучении флуктуаций стано-
вятся существенными квантовые эффекты. Он предпо-
ложил, что в более общем случае можно написать
=	(33)
При условии формула (33) переходит в (31).
При этом, насколько мне известно, до сих пор не
было осуществлено еще никаких измерений собствен-
но броуновского движения, для которых было бы
существенным отличие (33) от (31). Как было пока-
зано в дальнейшем (см., например, работы Вебера
[44—46], Каллена и Велтона [7], Бернарда и Каллена
[8]), в формулу (33) следует включить член, соответ-
ствующий «энергии нулевых колебаний», в результате
чего она принимает вид
=	+ df, (33а)
последнее выражение, очевидно, также переходит
в формулу (31), при условии
У автора имеются некоторые сомнения относитель-
но включения члена, соответствующего «энергии нуле-
58
Гл. I. Общий обзор
вых колебаний», в выражение для наблюдаемых
флуктуаций броуновского движения. Более того,
имеются некоторые общие возражения против пря-
мого обобщения формул для броуновского движения
на квантовую область (ср., например, Мак-Доналд
[47]). Это не означает, конечно, сомнения в справедли-
вости учета «энергии нулевых колебаний» в таких
задачах, как определение полной энергии атомной ре-
шетки; мы возражаем лишь против безоговорочного
явного включения соответствующего члена в выраже-
ние для броуновского движения (см. также стр. 82).
4. Теорема Кэмпбелла. Изменение картины слу-
чайных флуктуаций, вносимое измерительным прибо-
ром, во многих случаях можно весьма изящно оценить
Фиг. 10. а — предполагаемый отклик прибора f (t) на одинок
ный импульс при t = 0;
б — «стационарный» отклик 0 (t) линейного прибора на длитель-
ную случайную последовательность импульсов.
с помощью теоремы Кэмпбелла [48—50] или одного
из ее последующих обобщений. Предположим, что не-
который исходный случайный процесс представляется
в виде хаотической последовательности одинаковых
«толчков» или импульсов, причем одиночный импульс,
возникающий в момент t = 0, вызывает в линейном
J 4. Наблюдаемые шумы
59
измерительном приборе1) отклик f(f). Пусть среднее
количество возникших в 1 сек случайных «импульсов»
равно N‘, полный отклик прибора в произвольный мо-
мент времени обозначим 8(/) (фиг. 10, а и б). Предпо-
ложим также, что процесс длится достаточно долго,
Фиг. 11. Цепь, иллюстрирующая вычисление
флуктуаций «дробового шума» с помощью
теоремы Кэмпбелла.
Средний (постоянный) ток в лампе обозначен через J.
вплоть до установления некоторого статистически
устойчивого состояния; при этом можно считать, на-
пример, (8(0> “(в). Тогда, как легко видеть2),
СО
<0> = ^/(ОЛ	(34а)
о
и
со
<802>Э<(0_<0>)2>==ЛГ f f2{t)dL	(346)
0
Доказательство этих соотношений приводится в при-
ложении III.
9 Под «линейным прибором» подразумевается любая систе-
ма или процесс, характеризуемые указанной реакцией f(t) на
одиночный импульс, для которой сложение откликов на различ-
ные импульсы происходит линейно.
2) Вероятно, следует подчеркнуть, что довольно простое вы-
ражение (346) дает непосредственно среднее квадратичное зна-
чение флуктуации, т. е. определяет величину а не (О1), как
Иожно иногда предположить.
60
Г л. I. Общий обзор
Рассмотрим изображенную на фиг. 11 цепь, в ко-
торой основным источником «дробового шума» (см.
§ 3, п. 2) является ламповый диод. Попробуем вычис-
лить реальные флуктуации напряжения, наблюдаемые
во внешнем контуре, образованном сопротивлением
R и емкостью С (которая может в основном опреде-
ляться собственной емкостью диода). Для простоты
будем считать, что сопротивление R само по себе не
является источником шумов. Пусть одиночный элек-
трон, пролетающий через диод в момент t = 0, вызы-
вает в ЯС-цепи переменное напряжение *)
/(/) = £ехр(—(35)
и, следовательно,
( V) =	f е~Ч^dt = NeR = JR,	(36)
о
где J — средний (постоянная составляющая) ток
в лампе (J = Ne)-t соотношение (36) дает, очевидно,
правильный результат. Мы получим также
со
(8V2) ((У — ( V»2) =	/ e-^tRC dt = ^-.	(37)
О
Как уже отмечалось ранее при рассмотрении дробо-
вого шума, заряд электрона е явно входит в приве-
денное выражение и поэтому с помощью прямых из-
мерений «шумов» можно в принципе определить ве-
’) Предположения такого типа являются основой большого
числа флуктуационных задач. Мы считаем, что изменение напря-
жения, вызванное одиночным электроном, представляет соответ-
ствующий эффект, обусловленный макроскопическим зарядом qt
«в уменьшенном масштабе». Эта проблема была рассмотрена
Фюртом [51] и некоторыми другими авторами; но здесь уместнее
всего будет сказать, что принятое предположение «работает» —
по крайней мере для линейных систем, — и, так как какой-либо
иной строгий подход отсутствует, естественно (и, конечно, удоб-
но) придерживаться данного предположения.
§ 4. Наблюдаемые шумы	61
личину е1). Кроме того, и это более важно, сравне-
ние формулы (37) с результатами экспериментальных
измерений может служить проверкой справедливости
нашей основной гипотезы об индивидуальной эмиссии
электронов из катода и совершенно независимом их
движении в цепи. Если, например, электроны вслед-
ствие какой-либо причины эмитируются из катода и
пролетают через лампу парами, то (V) = JR, как и
прежде [соотношение (36)], однако
(8V2) = ^.
в отличие от формулы (37); в более общем случае,
когда число электронов в эмитируемых и «распро-
страняющихся» сгустках равно п, имеем
<8V2>=-^-.
Поэтому измерения шумов могут быть использованы
для получения соответствующей информации.
Здесь представляется удобным показать эквива-
лентность временного и спектрального подходов при
изучении случайных процессов. Согласно уравнению
(19в), для флУктУаций заряда, обусловленных «дро-
бовым шумом», мы имеем
=	(38)
или соответственно
<8$ = -^,	(38а)
!) В настоящее время существует, конечно, много других
прямых и точных методов определения заряда электрона, но исто-
рически для оценки величины е обычно пользовались измере-
ниями «дробового шума».
Аналогично, постоянная Больцмана k (или, что эквивалентно,
число Авогадро) в действительности была определена из измере-
ний броуновского движения, согласно теории Эйнштейна (а затем
и из экспериментов с тепловыми электрическими флуктуациями),
°Днако сегодня кажется маловероятным, чтобы кто-либо выбрал
измерение шумов в качестве метода вычисления величины k<
62
Гл. I. Общий обзор
если измерительное устройство не видоизменяет флук-
туаций. Наряду с (38а) можно написать обычно ши-
роко используемое соотношение для частотного спек-
тра исходных флуктуаций тока типа «дробового
шума»:
<8ф = 2е/дГ/.	(386)
При наблюдении дробового шума в #С-цепи, пока-
занной на фиг. 11, частотный спектр флуктуаций бу-
дет из-за влияния цепи видоизменяться, и наблюдае-
мые флуктуации напряжения (мы по-прежнему счи-
таем, что само сопротивление R «бесшумное») будут
определяться соотношением
V} = 2еJ	df- (39)
При этом полное (среднее квадратичное) напряжение
шумов, наблюдаемое на выходных зажимах, оказы-
вается равным
<8V8> = 2^J-r+(^c)r=^-	«О)
о
Соотношение (40) в точности совпадает с форму-
лой (37), полученной с помощью теоремы Кэмпбелла,
основанной на существенно временном подходе при
рассмотрении проблемы.
В качестве еще одного примера использования
теоремы Кэмпбелла рассмотрим простой линейный
настроенный радиоприемник с малыми потерями.
Пусть выходной отклик, обусловленный очень бы-
стрым разрядом во входной цепи при t = 0, опреде-
ляется соотношением
/(/) = Aq cos <oote“e<,	(41)
где q— величина заряда, а<^С®о- Предположим да-
лее, что приемник регистрирует вспышки молний}
случайно появляющихся в среднем N раз в 1 сек, й
что эти вспышки наводят во входной антенне прием-
ника резкие пики напряжения, приводящие к появле*
J 4. Наблюдаемые шумы
63
нию во входной цепи импульса заряда величиной В1)-
Каков будет при этом полный сигнал 6(f) на выходе
приемника? Из соотношений (34а) и (346) получим
СО
(6> = М4В J* cos <!></«-“'(42)
О
И
со
<862} в((0 _ (0))2) = ДГД2В2 J cos2 ш0 te-’M dt. (43)
о
Если выполняется условие а<С<оо, то среднее значе-
ние выходного сигнала приемника оказывается рав-
ным
{Q) = NAB-^.	(44)
а средний квадрат отклонения (т. е. величина полных
флуктуаций на выходе), который можно довольно
просто наблюдать, используя на выходе приемника
квадратичный детектор, дается соотношением
	<502>=^1.	(45)
Из полученных соотношений следует		
и	/ а V/» “о (0)	2а’	(46а)
и	(0)	4аа	(466)
!) Следует подчеркнуть, что мы рассматриваем весьма гру-
бую модель реального явления. Вспышки молний возбуждают во
входной антенне неидентичные импульсы напряжения; эти им-
пульсы подчиняются некоторому статистическому распределении»,
и можно было бы обобщить теорему Кэмпбелла, учитывая эю
обстоятельство. Кроме того, априори не очевидно, что отдельные
Удары молний будут возникать случайным образом; весьма веро-
ятно наличие для них некоторой корреляции. Однако, как мы уже
Упоминали ранее при рассмотрении таких проблем, как стати-
стика опроса или движение транспорта (см. также гл. П, § 4).
часто оказывается полезным в качестве первого приближения при-
нять полную случайность появления вспышек, в противополож-
ность тем явлениям, для которых можно предположить наличие
полностью предсказуемой регулярности.
64
Гл. 1. Общий обзор
Таким образом, наша весьма идеализированная мо-
дель позволяет в принципе с помощью формул (46а)
и (466) определить значение среднего числа вспышек
молний N. воздействующих на приемник, и «величи-
ну» воздействия, обусловленного одиночной вспыш-
кой.
$ б. Основные выводы
В этом общем обзоре были описаны некоторые ме-
тоды, полезные для исследования случайных физиче-
ских явлений, т. е. явлений, непредсказуемых (в той
или иной степени) в деталях. Идеализированное бро-
уновское движение частицы с пренебрежимо малой
инерцией, анализ которого впервые дал Эйнштейн,
представляет предельный случай явления, характери-
стики движения которого существенно непредска-
зуемы от момента к моменту. Мы не ожидаем, конеч-
но, встретить этот идеальный предельный случай
броуновского движения в природе: инерция частицы
всегда приводит к появлению некоторой степени пред-
сказуемости на достаточно коротких интервалах вре-
мени1). Другими словами, (однородный) частотный
спектр флуктуаций скорости идеального броуновского
движения в любых реальных физических условиях
всегда в какой-то степени видоизменяется, и основ-
ная часть исследования такого рода проблем состоит
в возможности предсказания окончательного резуль-
тата определенных реальных наблюдений.
В другом предельном случае идеально предсказуе-
мого явления, поведение которого задается определен-
ной функцией времени (например, периодическое
волновое движение какого-либо типа), его свойства
могут быть иначе полностью охарактеризованы фурье-
преобразованием самой меняющейся во времени ве-
личины. Для системы, в какой-то степени «шумящей»
и, следовательно, в меньшей степени предсказуемой,
*) Явлением, непредсказуемым в деталях, является радио-
активный распад; с помощью счетчика частиц можно, по-види-
мому, с почти идеальной достоверностью зарегистрировать инди-
видуальные акты излучения. Наблюдаемый случайный процесс
по своим свойствам исключительно близок к идеальному.
§ 5. Основные выводы
65
также следует отыскать иные способы описания ее
поведения. Мы можем, избрав временной подход, рас-
смотреть зависимость от времени среднего квадрата
флуктуации смещения (<х2(0)) частицы, или же, на-
оборот, исследовать автокорреляционную функцию
скорости, которая будет рассмотрена в гл. II. Затем
величину (х2(/)> или автокорреляционную функцию
скорости можно прямо связать с частотным спектром,
но не самой переменной скорости, а среднего квадра-
та флуктуаций скорости. В общем случае можно уста-
новить непосредственную связь автокорреляционной
функции произвольной статистически стационарной
величины и частотного спектра среднего квадратич-
ного значения флуктуаций этой величины. Частотный
спектр в соответствии с его физическим смыслом в
случае электрических шумов называют иногда спек-
тральной плотностью «мощностях Связь обоих ука-
занных подходов устанавливается теоремой Винера —
Хинчина (гл. II, § 2).
Изучение флуктуаций составляет наиболее суще-
ственную часть статистической механики, так как
именно благодаря флуктуациям физическая система,
находясь в термодинамическом равновесии, перехо-
дит из одного «состояния» в другое, проходя всю об-
ласть возможных состояний, рассматриваемых стати-
стической механикой. С физической точки зрения при
изучении шумов или флуктуаций представляется весь-
ма естественным использовать так называемую эрго-
дическую теорему1) (о совпадении при статистиче-
ском равновесии среднего по времени для одиночной
системы со средним по равновесному ансамблю), и в
этой монографии мы будем считать ее во всех наших
рассмотрениях справедливой.
В последующих главах мы попытаемся более под-
робно обсудить уже затронутые нами ранее проблемы
и исследовать ряд других фундаментальных аспектов
физической теории флуктуаций.
’) Термин «эргодический» означает по-гречески энергетиче-
ский путь и подразумевает путь, проходимый «замкнутой» систе-
мой (строго говоря, системой с постоянной энергией) при пере-
ходе из одного состояния в другое.
5 Д. Мак-Доналд
ГЛАВА II
КОРРЕЛЯЦИЯ.
СПЕКТРАЛЬНАЯ ПЛОТНОСТЬ МОЩНОСТИ
И ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
$ /. Статистически стационарные функции
Мы видели, что для совершенно свободной броуно-
вской частицы (т. е. в отсутствие восстанавливающих
сил или физических границ, ставящих предел движе-
нию) смещение неограниченно увеличивается во вре-
мени, так как, согласно уравнению Эйнштейна, (х2) ~
~ В более общем случае, как правило, прояв-
ляются какие-либо ограничения, и величина (х2) стре-
мится к некоторому предельному значению (так, сме-
щение <х2> = в/Л при наличии линейной упругой вос-
станавливающей силы F — — Лх); в этом случае мы
будем говорить, что функция x(t), флуктуируя по-
прежнему более или менее случайно во времени,
становится статистически стационарной (фиг. 12).
Вообще говоря, можно ожидать, что любой непосред-
ственно наблюдаемый параметр системы, находя-
щейся в тепловом равновесии, должен раньше или
позже стать статистически стационарным. Следует
также заметить, что даже для совершенно свободной
броуновской частицы, смещение которой x(t) не яв-
ляется статистически стационарной функцией1), ско-
рость должна стать статистически стационарной за
время порядка МВ [см. (27в) и (За), где -ч = МВ].
Аналогично, хотя идеальные флуктуации заряда
(«дробовой шум») в простейшем электровакуумном
диоде сами по себе статистически не стационарны
~ /), соответствующие флуктуации тока ста-
ционарны.
Обратимся к изучению свойств статистически ста-
ционарной функции y(t), характеризующей флуктуа-
!) Смещение свободной броуновской частицы есть случайный
процесс со стационарными приращениями, -=- Прим. ред.
Фиг. 12. а — схематическое изображение изменения квадрата
смещения х2 «свободной* броуновской частицы со временем
б — схематическое изображение изменения во времени ква-
драта смещения х2 броуновской частицы при действии ограни-
чивающих факторов.
По истечении начального интервала, характеризуемого постоянной времени *** т,
движение становится «статистически стационарным» (т. е. функция (Л1) стре-
мится к постоянному пределу, равному £).
5*
68 Гл. П. Корреляция, спектральная плотность мощности
ции в некоторой исследуемой системе. Если функция
y(t) — строго периодична (и поэтому полностью пред-
сказуема), то ее можно разложить в ряд Фурье:
У (/) = а0 + 2 лп cos 2ял/0/ 4- 2 Ьц sin 2лл/0/, (47)
п	п
где Т = 1//о — основной период повторения, а постоян-
ные коэффициенты а и & определяются соотноше-
ниями
г
Ло = 4г/ У (О Л»	(48 а)
О
т
a„ = jrf У (О cos 2«л/</^>	(486)
о
т
b„ = Y f У&)sin 2wi/(/ dt.	(48b)
о
Если функция y(t) более или менее случайная (в
той или иной степени непредсказуема) и в то же вре-
мя статистически стационарна, мы можем снова фор-
мально представить y(t) в виде (47) *), причем коэф-
фициенты ап и Ьп будут теперь случайными величи-
нами, а основной интервал повторения Т в конечном
счете необходимо будет сделать бесконечно большим
(т. е. 1/fo-*"00)- Если y(t) статистически стационарна,
то коэффициенты ап и Ьп характеризуются соответ-
ствующими статистическими средним и среднеквадра-
тичным значениями. При этих условиях выражение
(48а) можно переписать в виде
т
aQ = lim -i- f У (0 dt,	(49а)
Г-»со J
') Приводимый ниже анализ, возможно, не удовлетворит ма-
тематика из-за нестрогости, но, как мне кажется, будет более по-
нятен физику или инженеру, чем формальное изложение, вклю-
чающее с самого начала интегральное преобразование Фурье,
Следует заметить, что строгий математический аппарат для изу-
чения статистически изменяющихся функций стал довольно спе-
циализированной областью анализа. Автор не претендует на глу-
бокие знания в этой области,
$ I. Статистически стационарные функции 69
или
Ло“<У(^)>.	(496)
причем мы предполагаем, что величина а0 — среднее
значение (постоянная составляющая) y(t) — может
быть найдена как путем усреднения по достаточно
большому интервалу времени для единственной рас-
сматриваемой системы, так и путем усреднения по ан-
самблю систем в любой заданный момент времени1).
Предположим для удобства вычислений, что во = О
(см. также текст на стр. 72). Если y(t)—флуктуи-
рующая статистически стационарная функция, то
из выражений (486) и (48в) следует, что коэффи-
циенты ап и Ьп являются случайными величинами
со средними значениями, равными нулю2). Пе-
рейдем теперь от изучения фурье-преобразования са-
мой случайно меняющейся величины y(t) к рассмот-
рению свойств уже встречавшегося выше среднего
квадрата, равного для определенности (Sy(t)Y) = (4* *).
Согласно (47), имеем
<[y(0F>=2nr+Snr-	(5°)
Средние квадратичные значения коэффициентов ап
и Ьп (разумеется, всегда неотрицательные) характе-
ризуют распределение величины (у2) по частотам. Так
как y(t) — статистическая функция, фаза любой спек-
тральной составляющей изменяется со временем
случайным образом; кроме того, пусть	= (£’)•
Определим теперь для более или менее случайной
1) Это предположение существенно входит в «эргодическую
теорему».
*) В действительности, зачастую для некоторых специальных
видов шума приходится считать величины ап и bnt распределен
ными по гауссовскому закону, т. е.
/ а2 \
P(fln)dan~ttp[ — I dan
(см., например, классические работы Райса [52]). Однако такого
Рода предположения не обязательны для излагаемого вопроса.
70 Гл. П. Корреляция, спектральная плотность мощности
функции у (/) спектральную плотность мощности w(f),
где f = nf0, следующим соотношением:
®(л/о)/о = <^> = <^>	(51)
и, следовательно,
<y2>=S ^(л/о)/о-	(52а)
п
Переходя к пределу /о-*-О (т. е. неограниченно
увеличивая период повторения — оо), полу-
чаем	•.
оо
<У2)^/	(526)
о
Наша дальнейшая цель состоит в установлении
связи между спектральной плотностью мощности w(f)
статистически изменяющейся функции и ее (некото-
рыми) характерными временными свойствами. Эта
связь оказывается в определенной степени аналогич-
ной преобразованию Фурье [выражения (48)], опреде-
ляющему коэффициенты ап и Ьп для периодической,
полностью предсказуемой функции.
§ 2.	Автокорреляционная функция
и теорема Винера — Хинчина
Пусть, согласно формуле (486),
г
a„=-yrj у (/) cos dt,
о
и следовательно,
г Т
<<>=4? f f <У<*1>У(4»Х
О О
X cos 2«n/o<i cos 2nnfof2 dtx dt2.	(53)
Соотношение (53) является ключевым во всей рас-
сматриваемой проблеме. Оно показывает, что спек-
тральная плотность мощности, определяемая величи*
§ 2. Автокорреляц. функция и теорема Винера — Хинчина 71
ной	[см. соотношение (51)], однозначно
связана с автокорреляционной функцией {y(ti)y(h))
исходной случайной функции. Если записать
<2==^i4_7'»
то автокорреляционная функция примет вид
(Я^ЯЛ + Л).
Для статистически стационарной функции послед-
няя величина должна зависеть только от интервала
времени Т и быть симметричной функцией Т. Это оз-
начает, что специальный выбор момента Л при вычи-
слении автокорреляционной функции не играет ника-
кой роли. Предполагая далее справедливость «эрго-
дической» теоремы (гл. 1, § 5), мы можем вычислить
автокорреляционную функцию
♦(^“(ЯОЯ^ + П)
либо путем усреднения этого произведения для лю-
бого произвольно выбранного момента Л по достаточ-
но большому равновесному ансамблю систем, либо
проводя усреднение по достаточно большому числу
различных моментов времени ti для единственной си-
стемы. Подчеркнем, что в любом случае окончатель-
но полученная функция ф(Т) не должна зависеть от^.
Обозначим
^2-Л »
<2 -f- /j = S.
Принимая во внимание, что в пределе /о-*-О, из со-
отношения (53) находим
{al) == {bl) = w (nfo)fo —
-hoo	2Г
= 7* J Ф (Лcos	dT j' dS 4-
—oo	0
+oo	2Г
4-yr f ^(T)dT f cos dS, (54a)
*-oo	0
72 Гл. II. Корреляция, спектральная плотность мощности
и. таким образом, полагая f=nfb, окончательно
получаем
w(/)-L = Aj ^(T)cos2^fTdT, (546)
о
откуда
w(/) = 4 f ф (Г) cos 2к/Т dT.
О
(55)
Второй член в правой части соотношения (54а) при
/о-*-0 становится пренебрежимо малым, и мы снова
убеждаемся, что в полном согласии с определением
корреляционной функции статистически стационар-
ной величины функция ф(Г) симметрична по Т.
Строго говоря, для сходимости интеграла с беско-'
нечным верхним пределом в (546) надо потребовать,
чтобы при Т->оо функция ф(Т) убывала достаточно
быстро. Последнее требование часто выполняется,
если вычесть из флуктуирующей величины y(t) ее
среднее значение (постоянную составляющую) (у)
(см. также фиг. 13, д). При сделанном допущении сра-
зу следует, что в нашем рассмотрении величина ао = О
и, довольно естественно, что функция w(f) при этом
не будет иметь никакой постоянной составляющей,
т. е. спектральная компонента при значении частоты /,
точно равном нулю, отсутствует: и»(0) = 0. Следует
иметь в виду, что обычно это ограничение довольно
условно. Действительно, как мы видели ранее, при
статистических расчетах (например, в гл. I, § 4, п.4),
как правило, рассматриваются непосредственно от-
клонения некоторой величины от ее среднего зна-
чения.
Имеется и другая возможность. Можно формально
включить постоянную составляющую в w(f) с помо-
щью так называемой дельта-функции Дирака iff) с
соответствующей амплитудой. Дельта-функция равна
нулю «почти всюду», исключая точку f = 0, в которой
§ 2. Автокорреляц. функция и
теорема Винера — Хинчина[73 J
она скачком возрастает до бесконечности таким обра*
зом, что
+со
Мы должны также считать, по определению, согласно
(55), что
f cos2ir/7'rfT = 2j° cos 2к/Т rfT = 8 (/).
—со	О
Например, в случае идеализированного «дробового
шума» (см. гл. I, § 3, п. 2) при рассмотрении только
флуктуаций тока вблизи среднего (постоянного) тока
J спектральная плотность мощности флуктуаций тока
в замкнутой цепи а>(?) оказывается равной 2е/ для
всех f>0, однако а>(0) =0. Поэтому ф(Т) =0 для
Т, значительно отличающихся от нуля (в частности,
приоо). С другой стороны, если мы намерены
рассматривать среднее значение квадрата величины
тока, а не флуктуации вблизи среднего, то мы дол-
жны написать
® (У) = 2eJ+ 2J28 (/)	(для f > 0)
и в соответствии с этим
ф(Г) = ^
для всех Т, значительно отличающихся от нуля (в
частности, при Т->оо).
Подобное положение возникает также, если флук-
туирующая переменная содержит составляющую, со-
вершенно регулярно изменяющуюся (т. е. предсказуе-
мую) с любой заданной частотой /г; мы должны либо
устранить эту совершенно регулярную синусоидаль-
ную компоненту (или «сигнал») перед анализом, либо
рассматривать в спектре w(f) составляющую в виде
дискретной «линии» на частоте fT путем введения со-
ответствующей импульсной функции вида i(f — fr)
(см. также фиг. 13,г).
74 Гл. II. Корреляция, спектральная плотность мощности
Преобразование Фурье1) (55), связывающее спек-
тральную плотность мощности и автокорреляционную
функцию, можно обратить. При этом получим
ф (Т) = J w(f) cos 2л/Т df.
О
(56)
Система уравнений (55) и (56) выражает содержание
одного из важнейших утверждений в рассматриваемой
области, так называемую теорему Винера — Хинчина
(см. [41, 42]). Использование корреляционной функ-
ции ф(Т) для выражения временных характеристик
более или менее случайной функции является одним
из наиболее удачных методов2). Как очевидно,
ф(0) и поэтому величина ф(0) всегда положи-
тельна. Для совершенно случайной функции y(t) с
весьма малым временем корреляции (или, иначе, «па-
мятью») автокорреляционная функция быстро спа-
дает до нуля при возрастании Т(Т^х\) (см.
фиг. 13, а).
Спектральная плотность мощности шумов w(f)
остается в этом случае более или менее постоянной
для частот, меньших 1/ti, и стремится к нулю на бо-
лее высоких частотах. Поведение, весьма близкое к
>) Здесь снова следует упомянуть, что мы не претендуем на
какую-либо математическую строгость. Грубо говоря, с точки зре-
ния физика, уравнения (55) и (56) приводят к правильному ре-
зультату, если входящие в них интегралы существуют в обыч-
ном смысле.
2) Использование автокорреляционной функции ф(Г) »
= (y(t)y(t 4- Т)), которая не зависит от а зависит лишь от
сдвига Т, предполагает прежде всего, что изучаемая случайная
функция является стационарной (в широком смысле или в смысле
Хинчина). Теория, изучающая свойства стационарных случайных
функций, определяемых первыми двумя моментами {y(t)) и
(у(0#(* + 7))> называется корреляционной теорией (см., на-
пример, основополагающую работу А. Я. Хинчина [79*]). Ее фун-
даментальное значение для физики определяется уравнениями
(55) и (56), связывающими автокорреляционную функцию изучае-
мого процесса у (t) со спектральной плотностью мощности того же
процесса. — Прим. ред.
§ 2. Автокорреляц. функция и теорема Винера — Хинчина 76
описанному, характерно для автокорреляционной
функции «молекулярной» силы F(t), входящей в рас-
смотренное ранее (гл. I, § 4, п. 1) уравнение Ланже-
вена. Функция с большими временами корреляции
(обусловленными, например, влиянием инерционности,
или же конечностью времени установления каких-
либо приборов) характеризуется более медленно
спадающей к нулю автокорреляционной функцией
(фиг. 13,6). Более того, любые реальные колеба-
тельные свойства, присущие величине y(t), должны
быть непременно отражены в поведении ф(Т).
Поэтому всякие случайные шумы или флуктуации, от-
фильтрованные резонансным контуром с малым зату-
ханием («узкополосным фильтром») или возникшие в
нем, имеют автокорреляционную функцию, подобную
изображенной на фиг. 13, в. Автокорреляционная
функция ф(7) совершенно регулярной (и, следова-
тельно, предсказуемой с достоверностью) синусо-
идальной волны схематически изображена на
фиг. 13, г. В этом предельном случае полностью пред-
сказуемого процесса автокорреляционная функция
ф(Т) не стремится к нулю для больших Т, и соответ-
ственно спектральная плотность мощности резко воз-
растает вблизи резонансной частоты и равна нулю
для других частот. Наконец, если y(t)—постоянная
величина, то ее автокорреляционная функция ф(7)
может быть представлена графиком на фиг. 13,6.
Функция ф(Т) постоянна и не убывает до нуля при
Т->оо, а спектральная плотность мощности w(f) рез-
ко возрастает при f = 0 и равна нулю для других ча-
стот. [Относительно последних двух случаев следует
иметь в виду рассуждения после уравнения (55).]
Каждому из рассмотренных типов автокорреляци-
онной функции ф(7), описывающей усредненную кар-
тину изменения во времени данной функции y(t),
однозначно соответствует спектральная плотность
мощности w(f), определяемая уравнением (55) [и его
обращением (56)]; на фиг. 13 приведены соответствую-
щие кривые w(f) для каждого из упомянутых слу-
чаев. В статистических исследованиях автокорреля-
ционная функция исключительно важна для общей

§ 2. Автокорреляц. функция и теорема Винера — Хинчина 77
Фиг. 13. Примеры: /—шума,
// — его автокорреляционной
функции ф(Г) и III— спек-
тральной плотности мощности
w (/), иллюстрирующие раз-
личные типы статистически
стационарных процессов.
И
л —шум, который становится совер-
шенно нерегулярным или «случайным»
для интервалов времени, больших не-
которого характерного времени
б —шум, который становится совер-
шенно нерегулярным или «случайным»
через время т2, причем t2>t1;
8 —шумы, генерируемые резонансной
(«настроенной») системой с малым W)
затуханием; а —предельный случай
совершенно регулярного синусоидаль-
ного колебания; д — предельный слу-
чай «постоянной функции»; в этом
случае, как и выше (г), процесс пол- Щ
костью предсказуем.
^(Т)

оценки характерного интервала времени Т, в течение
которого поведение функции y(t) более или менее ре-
гулярно (и, следовательно, y(t) при этом в какой-то
степени предсказуема и «обратима»), в то время как
для более длинных интервалов времени функция при-
обретает случайный характер. Понятие об автокор-
реляционной функции можно распространить и на
другие области статистической физики, учитывая про-
странственное изменение соответствующих парамет-
ров, например если необходимо рассмотреть турбу-
лентное движение жидкости, а также более или менее
нерегулярное перемещение электрически активных
слоев ионосферы (см., например, Рэтклиф [53], Ры-
тое [71*]).
1.	Теорема о связи спектральной плотности мощ-
ности и смещения. Мы можем теперь вывести полез-
ную теорему, связывающую непосредственно интеграл
78 Гл. П. корреляция, спектральная плотность мощности
по времени от y(t) и спектральную плотность мощно-
сти w(f) функции y(t). Введем функцию
Г(Л=/ y(t)dt.	(57)
t
Если y(t)—скорость броуновской частицы, то
Y(T)— обусловленное флуктуациями смещение части-
цы за интервал Т. Аналогично, если y(t)—флуктуа-
ции электрического тока в некотором элементе цепи,
то Y(T)—электрический флуктуационный заряд, пе-
реносимый за интервал времени Т.
Совершенно аналогично только что проведенному
анализу (ср. Мак-Доналд [54]) можно получить
оо
(К2 (Т)> = 2 f (1 - cos 2к/7) df (58а)
О
или
--<ГЛ<Г)> = 2 / Wsin2*fT #	(586)
о
и в результате обратного преобразования
w (f) = 4л/f д<7т(Г)> sin ^fTdT- (59)
о
Поясним эти операции.
1) Если 2(0—некоторая стационарная случайная
функция с автокорреляционной функцией
’F(T) = (Z(0Z(/ + 7)),
то для спектральной плотности w(/) переменной
2(0=-Ц^
юлучается соотношение
®(/)=~8Vj ^р- sin 2л/Г dT, (59а)
о
§ 3. Приложение теории к броуновскому движению 79
которое так же, как и (59), можно использовать для
нахождения w(f).
2) Вычислив в (58а) вторую частную производную
по Т, получим
СО
w(/)=2f —cos2nfTdT,
О
(596)
после чего, сравнивая соотношения (596) и (55), при-
ходим к равенству
=	(59.)
которое для статистически стационарных функций мо-
жно доказать и непосредственно. Может показаться,
что соотношение (596) также удобно использовать
для определения w(f) при заданной функции
как и (59). Однако если имеет при Т = 0 за-
метный «пик» (например, в случае часто встречаю-
щейся зависимости (У2 (7)) ~ е~|т1), то соотношение
(59) сразу приводит к верному результату для w(f),
тогда как использование (596) сопряжено с трудно-
стями: при указанных условиях
д»(У’(Г)>	-г л
—— оо при 7 = 0.
$ 3. Приложение теории
к броуновскому движению
1.	Вывод автокорреляционной функции из уравне-
ния Ланжевена. Проиллюстрируем использование по-
лученных соотношений на примере свободной броу-
новской-частицы, причем будем исходить снова из
уравнения Ланжевена, рассмотренного в гл. I. Со-
гласно формуле (25),
t
<о (/) = -тще-иъ 4-	J* а"/'1 А (и) du.
80 Гл. II. Корреляция, спектральная плотность мощности
и, следовательно,
v(t)v(t + T) = ^-(и+лл. +
tt+т
J J	a (u) A (w) du dw == (60a)
0 0
= ф-^+лд. 4- е-гл, (] _ e-2^>), (606)
где черта подразумевает усреднение по подансамблю
с заданными начальными условиями [здесь о(0) = о0].
Соотношение (606) следует сопоставить с соотноше-
нием (27в). Если рассматривать тепловые флуктуа-
ции тока в электрической цепи (см. фиг. 6), то (606)
перепишется в виде (тг = LIR).
i(t)i(t+T) = &_<2'+n/t’e~T^(1	(60b)
Автокорреляционная функция может быть вычис-
лена либо для равновесного ансамбля, при этом
в соотношении (606) (‘По) = 0/Л1 [или в соотноше-
нии (60в) (х'о) = 0/£ ], либо в результате усреднения
по промежутку времени, настолько большому, что
исчезает зависимость от выбранных начальных усло-
вий [при этом в соотношениях (606) и (60в) мы
должны перейти к пределу t -* оо].
Любым из методов получаем
Ф(п=4-е'2Г/т*	<б1а)
или для электрической задачи
ф(Т) = -|-е-2г/ъ.	(61б)
2.	Спектральная плотность мощности для скорости
или тока. Согласно теореме Винера — Хинчина (56),
получаем соотношение
= e~Ttt' cos 2к/Т dT, (62а)
о
ИЛИ
«(/) = *	+	(626)
§ 3. Приложение теории к броуновскому движению
81
непосредственно устанавливающее спектральное рас-
пределение флуктуаций скорости частицы. С умень-
шением массы частицы величина <ti (равная МВ, где
В — подвижность) убывает, и в пределе для чрезвы-
чайно легкой частицы (точнее, когда частоты удовле-
творяют условию Л1<О) можно считать спектраль-
ную плотность мощности флуктуаций скорости по-
стоянной и равной * *)
да(/) = 4-^ = 40В.	(63)
Полученное соотношение эквивалентно формуле
(29), ибо, согласно (29), величина среднего квадрата
флуктуаций скорости, приходящаяся на заданный ма-
лый частотный интервал df, равна
(З®2) = w (/) d/= 49В df.
(Аналогично, для электрической /?£-цепи при прене-
брежимо малой величине L, или, точнее, для частот,
удовлетворяющих соотношению fn <С 1, получим
(3^> = 40Grf/, где G = l/₽.)
3.	Связь смещения и спектральной плотности мощ-
ности. Из соотношения (58а) непосредственно следует,
что средний квадрат смещения частицы (х2(Т)) за
интервал времени Т определяется выражением2)
<х> (п>=зев /	=
J (1 + 2л/
пд_2
= 20ВТ------^(1-е-гл.),	(64)
9 Очевидно, что по мере уменьшения Ti и при отсутствии
других ограничений движение частицы становится все более не*
регулярным или «случайным». Мы видим, что при этом спектраль*
ная плотность мощности становится (в идеальном случае) посто-
янной. Поэтому под «совершенно случайной» функцией при стати-
стическом равновесии часто подразумевают функцию с однород-
ным «шумовым» спектром (иногда ее довольно неудачно назы-
вают «белым» шумом).
*) Отметим, что этот интеграл легко вычисляется с помощью
контурного интегрирования — весьма полезного метода при вы-
числении многих интегралов с бесконечными пределами,
6 Д. Мак-Доналд
82 Гл. П. Корреляция, спектральная плотность мощности
что согласуется с выражением (28) для равновесного
ансамбля, если в (28) выбрать временной интервал
t = Т, а (уо) = 0/М. При из (64) следует
(64а)
Подобное «механическое» поведение частицы для
весьма коротких интервалов времени Т (т. е. зависи-
мость типа <х2> ~ Т2) качественно можно объяснить
«обрезанием» спектра подынтегрального выражения
в (64) на верхних частотах	обусловленным
инерционными эффектами (влияющими на величину
Ti). С другой стороны, при наблюдении в течение бо-
лее продолжительных интервалов времени (Т -ti)
мы приходим к соотношению
(х2(Т)>^20ВГ,	(646)
совпадающему с обычным соотношением Эйнштейна
для совершенно случайного броуновского движения.
Можно сказать, что соотношение (646) соответствует
постоянной спектральной плотности мощности на
«низких» частотах (f l/*ri) (это характерно для со-
вершенно случайной переменной) и не зависит от
инерциальных эффектов1).
В общем случае любое ограничение, обусловлен-
ное влиянием инерции, упругих сил, конечности по-
стоянной времени измерительных приборов и т. д.,
приводит к некоторому «укорочению» спектральной
плотности мощности, а это, как и для выражения
(64), вызывает соответствующее ограничение интер-
вала наблюдения, в течение которого поведение
частицы будет совершенно случайным, непредсказуе-
мым, необратимым. Автор считает важным особо
отметить, что с этой общей точки зрения переход от
необратимого поведения физических систем к обрати-
мому всегда определяется масштабом времени на-
блюдения или соответствующим частотным спектром.
Несколько замечаний о спектральной плотности
мощности в квантовой области. Интересно проследить
») См. также примечание Гна стр. 81.
§ 3. Приложение теории к броуновскому движению SS
в формуле (33), как квантовая модификация теоремы
Найквиста в общем случае учитывает убывание спек-
тральной плотности мощности на частотах f ~ Q/h.
Это убывание спектральной плотности мощности при-
водит к замене t2 на t в основной временной зависи-
мости флуктуаций при переходе от временных интер-
валов, больших по сравнению с Л/0, к интервалам,
меньшим этой величины. Интерпретация этого изме-
нения характера временной зависимости выдвигает,
как представляется автору (Мак-Доналд [47]), ряд
интересных проблем. По мнению автора, следует под-
ходить с известной осторожностью к попыткам
обобщения соотношений, справедливых для обычного
броуновского движения, непосредственно на кванто-
вую область. Возможно, что при hj^>, 0 вообще недо-
пустимо удовлетворительное описание с помощью
единственного макроскопического параметра, напри-
мер вязкости, трения или электрического сопротивле-
ния. Сказанное не вызывает, конечно, каких-либо
сомнений в правильности обычных квантовомеханиче-
ских выражений для энергии и т. д., а относится лишь
к области явлений, специфически связанных с броу-
новским движением и необратимостью.
4.	Спектральная плотность мощности электриче-
ских флуктуаций. Понятие о спектральной плотности
мощности наиболее естественно возникает при изуче-
нии тепловых электрических флуктуаций. Как было
показано в гл. I, § 4, п. 3, спонтанные флуктуации
напряжения в разомкнутой цепи, порождаемые
идеальным пассивным сопротивлением /?, согласно
теореме Найквиста (31), равны
В результате для полосы частот (8/) шириной
1 гц максимальное значение напряжения шумов
в разомкнутой цепи оказывается равным
(8У2)’а = 2/^.
Соответствующее выражение [см. (31а)] для макси-
мальных флуктуаций тока короткого замыкания
в*
84 Гл. II. Корреляция, спектральная плотность мощности
имеет вид
Для обоих приведенных выражений характерна
зависимость от величины R. Напротив, величина мак-
симальной мощности тепловых флуктуаций, извлекае-
мой из шумящего сопротивления [т. е. мощность, по-
глощаемая идеальным «бесшумным» сопротивлением
Фиг. 14. Цепь, используемая для
иллюстрации расчета максимальной
величины мощности шумов, отда-
ваемой пассивным сопротивлением R
при температуре Т в нагрузку R\.
величины R (фиг. 14)], для единичной полосы частот
равна
ил„ ^=9.
Действительно, как следует из фиг. 14,
<^>
v' (*+*>)’
В результате мощность Р, поступающая в нагруз-
ку Pi, оказывается равной
Максимальная величина мощности Рмакс для дан-
ных V и R достигается при R = Рь Поэтому
Р - <*”>
'макс— 4/^ •
J 3. Приложение теории к броуновскому движению 8S
Рассматривая далее напряжение тепловых шумов
(в разомкнутой цепи) от сопротивления R при темпе-
ратуре Т (0 = kt), получаем
(8Vj> = 4fl0d/
[см. формулу (31)]. Следовательно, если само сопро-
тивление /?1 (нагрузку) считать «бесшумным», то по-
ступающая в нагрузку шумовая мощность опреде-
ляется равенством
P = $df,
т. е. максимальная мощность шумов на единицу по-
лосы равна 0, как и принималось выше.
Разумеется, этот результат верен только в «клас-
сической» области, т. е., строго говоря, при условии
Справедливость полученного результата свя-
зана с выполнением одного физического условия,
а именно подразумевается, что напряжение шумов,
обусловленное броуновским движением в сопротивле-
нии, не меняется существенным образом при переносе
мощности, порождаемой флуктуациями, в цепи, изо-
браженной на фиг. 14. Такой поток мощности из со-
противления R мог бы существовать при условии, что
температура нагрузки ниже, чем температура сопро-
тивления R. Однако обычно считается, что возникаю-
щая ошибка из-за отсутствия точного равновесия пре-
небрежимо мала.
Таким образом, для любой полосы частот макси-
мальная получаемая мощность шумов, обусловленная
броуновским движением, фактически не зависит от
заданной величины сопротивления R.
Этот весьма полезный общий результат следует
иметь в виду при определении пределов чувствитель-
ности приборов. Пусть, например, мы пытаемся раз-
работать какой-либо «шумовой термометр», т. е.
устройство, с помощью которого можно определять
абсолютную температуру по измерениям спонтанных
флуктуаций (например, флуктуаций напряжения)
в находящемся при измеряемой температуре элементе
прибора, скажем, «пассивном» сопротивлении. При
этом полезно помнить, что при температуре 1000° К
86 Гл. 11. Корреляция, спектральная плотность мощности
максимальная мощность шумов в расчете на ширину
полосы 1 гц, возбуждаемая в каждом элементе на-
шего прибора, равна приблизительно 10-20 вт. При
измерениях такого типа вплоть до температур порядка
0,1° К для аналогичных условий можно рассчитывать
на получение максимальной мощности шумов лишь
порядка 10'24 вт на полосу частот 1 гц. Очевидно,
подобные оценки весьма полезны при расчете антенн
в радиоастрономии, где мы встречаемся с задачей
обнаружения случайного шумового излучения от го-
рячих звезд.
§ 4. Проблема движения транспорта
Проиллюстрируем теперь результаты общего ана-
лиза на примере несколько иного рода. Рассмотрим
поток одинаковых машин, покидающих некоторый
«контрольный пункт» через заданный равный интер-
вал времени с частотой N машин в 1 сек, причем
среднюю скорость V машин будем считать неизмен-
ной во времени. Скорости отдельных машин при этом,
конечно, различны и считаются симметрично распре-
деленными около среднего значения случайным обра-
зом. Если отклонение скорости отдельной машины от
средней скорости обозначить через ф, то плотность
распределения вероятностей отклонений можно при-
ближенно задать соотношением
Р(№ = -±-е-м*(1ч.	(65)
Можно считать O<dV, так как существенны лишь
малые отклонения от среднего. Следует заметить, что
+СО
f ?(<Р)*Р=1-	(65а)
—оо
Предположим также, что на движение каждой из ма-
шин не влияют другие автомобили и что скорость
данной машины остается все время неизменной, при-
чем скорости отдельных машин совершенно незави-
5 4. Проблема движения транспорта
87
симы друг от друга1)- Рассмотрим далее картину
распределения автомобилей вдоль дороги на различ-
ных расстояниях от «контрольного пункта». Очевидно,
среднее число машин на любом участке дороги фик-
сированной длины должно быть неизменным, так как
средняя скорость постоянна. Однако при удалении от
«контрольного пункта» поток становится все более и
более беспорядочным (т. е. увеличиваются его флук-
туации). Подобная модель может иметь практический
интерес при рассмотрении проблемы поддержания
упорядоченного потока при движении военного транс-
порта, а также для решения сходной задачи, возни-
кающей при попытке устройства синхронизованной
световой дорожной сигнализации на последователь-
ных перекрестках города с целью поддержания одно-
родного стабильного потока машин2).
1.	Средние «убыль» и «прирост» машин. Один из
подходов к исследованию процесса развития хаотиче-
ского состояния состоит в рассмотрении интервала
*) Именно здесь мы вводим весьма удобную «случайную»,
или «статистическую» гипотезу. Очевидно, сделанные нами пред-
положения не являются совершенно правильными, однако они
могут служить по крайней мере полезным первым приближением
при рассмотрении задач подобного рода (ср. также допущения,
принятые при исследовании задачи о вспышках молний с помо-
щью теоремы Кэмпбелла в конце гл. I).
Задача физика или инженера главным образом и заключается
в том, чтобы оценить, когда допустимо разумное «пренебрежение»
связями или корреляцией между различными наблюдаемыми вели-
чинами, после чего исследуемая проблема может быть рассмо-
трена достаточно адекватно на статистической основе.
2) В последние годы бурно развивается раздел теории веро-
ятностей, который получил название «теория массового обслужи-
вания». Предметом этой теории является изучение потоков собы-
тий, подобных вызовам, поступающим на телефонную станцию.
Такие же задачи возникают в самых разнообразных прикладных
областях: автоматизация производства, эксплуатация аэропортов,
вокзалов, причалов, больниц, мастерских, магазинов и т. д. Рас-
сматриваемая в этом параграфе задача также относится к теории
массового обслуживания. Математическим вопросам теории мас-
сового обслуживания посвящен недавно вышедший сборник работ
А. Я. Хинчина [80*], где имеется также обзорная статья Б. В. Гне-
денко о современном состоянии теории н некоторых ее задачах. —
Прим. ред.
88 Гл. It. Корреляция, спектральная плотность мощности
времени произвольной длины Т, в течение которого
контрольный пункт, находящийся при х = 0, покидает
ровно NT машин. Исследуем вопрос о распределении
числа машин в соответствующем временном интер-
вале Т, которое наблюдается в некоторой удаленной
точке х по прошествии среднего времени проезда до
этой точки ti(=x/l/). Очевидно, что часть машин из
«исходной» группы будет «потеряна» за счет пере-
хода в другие группы, следующие позже (при этом
выбывают машины, движущиеся со скоростью, мень-
шей средней скорости); наоборот, достаточно быстро
движущиеся машины будут «захвачены» группами,
опередившими рассматриваемую, и тоже «выбывают»
из нее. Численная величина «убыли» подобного рода
для группы равна
г ле-туггъ	<»	,
= J p(<t)d<?+ fp{^d<f\dt, (66)
О \ —оо	/И/t,	/
причем при определении пределов интегрирования
учтено условие Ф-^CV. Первое и второе слагаемые
в соотношении (66) дают соответственно «потери»
более медленных и более быстрых машин, так как
в первом интеграле ф < 0, а во втором ф > 0. Средняя
величина «прибыли» в исходной группе за счет групп,
начинающих движение раньше или позже рассматри-
ваемой, также определяется суммой двух слагаемых,
для которых снова ф < 0 и ф > 0 соответственно:
о Wfa
<«2> = JN f P(v)d<fdt +
-00	(/-Г) КД,
со tVfa
+ S N f P^dfdt.	(67)
Используя для />(ф) выражение (65), из (66) и (67)
получаем
= <п2) =	(1 -	).	(68)
§ 4. Проблема движения транспорта
89
Заметим следующее:
1)	Численное равенство средних значений (th) и
(п2) подтверждает исходную предпосылку о неизмен-
ности среднего числа машин, наблюдаемого для раз-
ных расстояний от контрольного пункта в течение
интервала времени Т.
2)	При малом удалении от контрольного пункта
(т. е. при малых -и) среднее число «потерянных» или
присоединившихся машин равно

_ wo*?,
~ V
V2
(68а)
т. е. явно зависит от расстояния х, пройденного от
контрольного пункта (расположенного при х = 0), и
от характерного относительного отклонения скорости
(Ф/V). Однако эти величины не зависят от «длины»
рассматриваемой группы (т. е. в сущности от Т).
Это объясняется тем, что вначале следует ожидать
взаимный обмен между соседними группами лишь за
счет машин, находящихся непосредственно вблизи
«переднего» или «заднего» края группы.
3)	На достаточно больших расстояниях от кон-
трольного пункта (т. е. при т(->оо) имеем
<Л1) = </12)~ЛГГ;	(686)
иначе говоря, в конечном счете следует ожидать пол-
ного взаимного обмена между первоначально рассма-
триваемыми группами.
2. Флуктуации (хаотичность) числа машин в груп-
пе. Для определения степени хаотичности числа ма-
шин в группе в любой момент времени можно вычис-
лить полный средний квадрат флуктуаций общего
числа машин, наблюдаемого в произвольной точке х
в течение интервала времени Т. Если вероятность по-
явления некоторого события равна р, то средний
квадрат отклонения в группе из W независимых со-
бытий, каждое из которых появляется с этой вероят-
ностью, равен (см. приложение I)
« = Jlp(l-p).
90 Гл. II. Корреляция, спектральная плотность мощности
шихся к
нием
Используя этот результат, получаем для флуктуаций
числа машин, «покинувших» группу, соотношение
т
<Ч) = f Wi (t) П - А (01 di, (69)
о
где
иэ	tt-T)Vlxx
А(О= f	f -^*d<f
tVfti	—оо
есть полная вероятность того, что машина, выехавшая
с контрольного пункта в момент t, покинет группу
в течение следующего (среднего) интервала «и. Соот-
ветственно флуктуации числа машин, присоединив- '
исходной группе, определяются соотноше-
о
<М> = f Np2 (/) (1 -л (/)] dt +
где
4-/Л7>з(0|1-А(<)1Л,	(70)
т
tvhi
А(0=2ф- f df/*d<f
(t-T) Vfa
есть полная вероятность того, что машина, покинув-
шая контрольный пункт раньше «нашей» группы на
время t, войдет в группу в течение последующего
интервала времени ть Наконец, величина
tvhx
А(0=2¥- Г e-^dy
определяет полную вероятность того, что машина, вы-
шедшая с контрольного пункта на время t позже, чем
«наша» группа, войдет в нее в течение следующего
отрезка времени <ti.
Так как поведение машин предполагается полно-
стью независимым, полный средний квадрат флуктуа-
§ 5. Родственная проблема о шумах в электронном пучке 91
ций числа машин в группе определяется суммой вы-
ражений (69) и (70). Таким образом, окончательно
получим
<»«’)=(г«;)+(8л>>=
<7»
Заметим следующее:
1) Для малых Xi найденная величина полного
среднего квадрата равна
(71а)
т. е. так же, как величины (ju) и (nj) [см. соотноше-
ние (68а)], непосредственно зависит от пройденного
расстояния и не зависит от «длины» рассматриваемой
группы, поскольку первоначально участвовать во
взаимном обмене между группами, а значит, вносить
вклад в флуктуации могут лишь машины, находя-
щиеся в непосредственной близости к границам сосед-
них групп.
2) Для достаточно большого времени движения
(ti -> оо)
{W)~NT,	(716)
т. е.
<8Л’> = (Л>,	(71в)
где (п.) — NT — среднее число машин в группе. Равен-
ство величин (in2) н (п) является характерной особен-
ностью рассматриваемого случайного распределения.
Таким образом, из соотношений (716) и (71 в) следует
что, как и можно было ожидать для нашей модели
движения транспорта, в конечном счете устанавли-
вается полностью хаотическая картина.
$ 5. Родственная проблема
о шумах в электронном пучке
Аналогичная задача возникает при весьма прибли-
женном рассмотрении того, как поток электронов
в электронно-лучевом приборе (например, в усилителе
с «бегущей волной») может создать шум при своем
92 Гл. 11. Корреляция, спектральная плотность мощности
дрейфе. Обычно считают, что плотность электронного
потока, эмитированного непосредственно с катода,
распределена совершенно случайно. Однако если
электроны затем проходят при своем движении
к аноду минимум разности потенциалов, флуктуации
плотности в определенной степени сглаживаются. Это
явление, известное как «сглаживание пространствен-
ным зарядом», имеет большое практическое значение,
Подогреватель
катода
К
^-Ускоряющий анод
Фиг. 15. Весьма приближенная, упрощенная схема электронно-
лучевой лампы, иллюстрирующая нарастание «шумов» в элек-
тронном пучке.
Электроны эмитируются с катода и при движении к аноду испытывают «сгла-
живающее» действие пространственного заряда, однако пучок сохраняет обыч-
ный тепловой разброс скоростей. Первоначально плотность потока электронов,
вылетающих из отверстия в аноде, весьма упорядочена, а затем, по мере
продвижения потока в направлении стрелки, становится все более случайной
(из-за флуктуаций скорости). Элементы, расположенные в области между анодом
и катодом лампы, включая фокусирующие электроды и т. д.» обеспечивающие
вылет потока алектронов из отверстия в аноде, обычно называют электронной
пушкой.
обусловливая возможность использования ламп с
термоэлектронной эмиссией в качестве усилителей
слабых сигналов. Если бы не сглаживание простран-
ственным зарядом, дробовой шум (рассмотренный
в гл. I. § 3, п. 2) весьма сильно ограничивал бы воз-
можности электровакуумных ламп как чувствитель-
ных усилителей.
Рассмотрим следующую идеализированную схему,
показанную на фиг. 15. Пусть электронный пучок,
прошедший сквозь ускоряющий анод с отверстием,
представляет собой совершенно регулярный поток
электронов1)» в котором имеется тепловой разброс
*) Механизм уменьшения дробового шума пространственным
зарядом в электровакуумной лампе объясняется компенсацией
шума с помощью отрицательной обратной связи. При эмиссии
с катода избытка электронов, имеющих некоторую определенную
скорость, происходит увеличение общей плотности пространствен-
f S. Родственная проблема о шумах в влектронном пучке 9S
скоростей. Этот разброс определяется температурой
эмитирующего катода и накладывается на регуляр-
ную составляющую скорости, обусловленную ускоре-
нием пучка между катодом и анодом. Если полностью
пренебречь расталкивающим действием простран-
ственного заряда в процессе «дрейфа» электронов че-
рез лампу *) после вылета их из анода, расположен-
ного при х — 0 (и тем самым, в частности, допустить,
что электроны могут свободно догонять друг друга),
то флуктуации числа частиц в любой группе могут
быть определены методом, весьма сходным с исполь-
зованным при обсуждении предыдущей задачи о дви-
жении транспорта. Мы предполагаем так же, как и
в «транспортной» проблеме, что корреляция в пове-
дении отдельных электронов, покидающих анод, со-
вершенно отсутствует. Под этим подразумевается не
только пренебрежение кулоновским (т. е. обусловлен-
ным пространственным зарядом) расталкиванием, но
также допущение, аналогичное сделанному в транс-
портной проблеме, что для электрона всегда имеется
полная возможность перейти в любое новое состояние.
кого заряда в лампе, и в результате этого минимальное значение
разности потенциалов между катодом и анодом понижается, что
приводит к компенсирующему замедлению всего потока электро*
нов. Этот механизм может быть весьма эффективным, так что
результирующее сглаживание имеет место вплоть до очень высо-
ких частот (порядка очень многих мегагерц, т. е. для весьма ма-
лых интервалов наблюдения). Таким образом, можно считать,
что вплоть до весьма высоких частот механизм сглаживания про-
странственным зарядом обеспечивает достаточно регулярный (т. е.
почти бесшумный) поток электронов. Конечно, не следует думать,
что буквально все индивидуальные электроны следуют через ре-
гулярные интервалы. Например, при токе одномерного пучка элек-
тронов 10 ма последнее требование фактически означало бы, что
°н практически не возбуждает шумов в диапазоне частот вплоть
До величины порядка 1017 гц\ (см. также § 1, п. 2 этой главы).
0 Это довольно сильная идеализация задачи (см. также пре-
дыдущее примечание). Однако после пролета электронов через
Ускоряющий анод их средняя скорость v будет большой, а следо-
отельно, плотность пространственного заряда р при заданной
Оотности тока J и pv сравнительно мала, так что в этом случае
Оаимодействие с пространственным зарядом гораздо менее важ-
чем вблизи минимума потенциала в промежутке ансд-катод
е. в электронной пушке).
94 Гл. П. Корреляция, спектральная плотность мощности
Выражаясь более формально, мы пренебрегаем, по
существу, всеми возможными ограничениями, связан*
ными с принципом запрета Паули для электронов,
который приводит к статистике Ферми — Дирака и
должен, вообще говоря, учитываться, например при
исследовании проводимости твердых тел (см. текст
на стр. 100 и замечание в приложении I). Однако наш
подход полностью оправдан при вычислении электрон-
ной проводимости обычной вакуумной лампы, так как
в этом случае полная плотность электронов мала по
сравнению с электронной плотностью в металлах и,
следовательно, ограничения, вносимые принципом за-
прета Паули, можно совершенно не учитывать.
Решения задач об электронном пучке и уличном
движении фактически не совсем идентичны вслед-
ствие того, что распределение тепловых флуктуаций
скоростей электронов, испускаемых катодом, несим-
метрично относительно среднего значения1).
Как было показано (Мак-Доналд [54]), флуктуа-
ции числа частиц (8п2), наблюдаемые через время Т
в некоторой точке пространства дрейфа на расстоя-
*) Здесь кроется источник путаницы, возникающей обычно
при рассмотрении задач электроники. Термодинамически равновес-
ный классический электронный газ при температуре Т “ О/*
имеет обычное максвеллово распределение скоростей:
Р (Ух, vy< vz) dvx dVy dvx =
I m \*lt -m(t'x+t'v+t'i)/2e
“(w) *	dvxdvydvx.
Однако при термической эмиссии электроны вылетают из катода
лишь потому, что обладают тепловыми скоростями, и в результате
этого селективного механизма частицы с большими скоростями
движутся в направлении эмиссии (например, в направлении оси
х). Поэтому функция распределения скоростей vx эмитированных
электронов (ож > 0) принимает вид
m -mv^/29
P(vx)dvx = -$e vxdvx,
или
р(£ж)й£х = -^е *' dEx,
где £*=« mv2/2 (и, разумеется, £л>0).
$ 5. Родственная проблема о шумах в электронном пучке 95
нии х от анода, в группе, характеризуемой интерва-
лом времени «и, определяются соотношением
(W) = 4^- (1 - е-2^,).	(72)
Здесь 0 — температура эмитирующего катода в энер-
гетической шкале, а Е — энергия, приобретаемая
электроном при ускорении между катодом и анодом
(т. е. Е — |е| V, где V—разность потенциалов между
анодом и катодом). Для «малых» Ti получим
[ср. (71а)]
<8л2)«М*«.	(72а)
С другой стороны, при ti->oo имеем [ср. (716)]
<№)^NT,	(726)
что, как и ранее, указывает на установление полно-
стью хаотического состояния (в данном случае элек-
тронного пучка). Соотношение (72) позволяет сразу
определить величину среднего квадрата флуктуаций
заряда (8^|)==е2(8/г2) в течение заданного интервала
Т в плоскости сечения лампы на расстоянии х от
анода (анод, которому соответствует координата
х = 0, в данном случае играет роль контрольного
пункта, рассмотренного в предыдущей задаче о транс-
портном потоке).
Все это прекрасно. Однако радиоинженеру было
бы гораздо более интересно узнать, как опреде-
лить, например, спектральную плотность мощности
w(f) флуктуаций конвекционного тока в любой точке
лампы, которой соответствует время дрейфа ti. Тре-
буемую величину можно получить непосредственно из
выражения для (8^2), воспользовавшись соотноше-
нием (59) для w(f). В результате для рассматривае-
мого случая получим
СО
W(/) = 4«/J-^(^2>sin2«/rrfT.	(73)
О
96 Гл. II. Корреляция, спектральная плотность мощности
откуда
да(/) = 4к/М?2 fехр(—^)sin2«/rd7' =
О
= I
где J = Ne— средний (постоянный) ток, а флуктуации
конвекционного тока для элементарной полосы частот
df определяются, как обычно, соотношением
(8/2) = ®(/)4А
Ранее было показано [см. соотношение (386)], что
спектральная плотность мощности для совершенно
случайного «дробового шума» равна to(f) = 2eJ (т. е.
(bij) = 2eJdf). Соотношение (73а) показывает, как
в нашем весьма идеализированном случае спектраль-
ная плотность мощности приближается к этому пре-
делу при возрастании времени дрейфа электронного
пучка «и, а также иллюстрирует зависимость спектра
от тепловой энергии 0 и от энергии Е, полученной
при ускорении (см. также фиг. 16,а и б).
Следует подчеркнуть, что соотношение (73а) не со-
держит большей существенной информации по сравне-
нию с (72), но заключенная в нем физическая инфор-
мация представлена в форме, позволяющей ее непо-
средственно использовать, например, конструктору
радиоламп. Напротив, инженеру-транспортнику или
даже военному специалисту, интересующимся расче-
том движения машин, возможно, покажется более
удобным соотношение типа (71) (или во всяком слу-
чае графические зависимости подобного рода, пред-
ставленные как функции от xi), так как маловероятно,
чтобы понятие о спектральной плотности («мощно-
сти») частот было целесообразным при рассмотрения
подобных задач.
В некоторых случаях, например в теории турбу-
лентности или общей задачи о диффузии, весьма по-
лезно владеть обоими методами.
Фиг. 16. Спектральная плотность мощности
w (/)» полученная при исследовании шумов
электронного пучка.
а»график функции	характеризующей зависи-
мость спектральной плотности от /tt и от отношения
б—графики, показывающие изменение вида спектральной
плотности w (/) и ее стремление к спектральной плотности
чистого дробового шума |w(/) —2eJj при увеличении вре-
мени «дрейфа»
7 Д Мак-Доналд
98 Гл. II. Корреляция, спектральная плотность мощности
§ 6. функция распределения
и установление равновесия
До сих пор мы, как правило, начинали исследо-
вание задач с рассмотрения поведения отдельной
флуктуирующей переменной, например x(t) или q(t),
относящейся к отдельной системе, и лишь в ходе
исследования переходили к определению усредненных
параметров, в том числе среднего от x2(t) по ан-
самблю систем. Иной путь исследования заключается
в рассмотрении с самого начала ансамбля систем
с различными «смещениями» х, распределенными
в данный момент t в некоторой области, и последую-
щей оценке изменения этого распределения с течением
времени под влиянием флуктуаций параметра х
в каждой системе.
Эта исходная предпосылка, использующая функ-
цию распределения, имеет непосредственную связь
с проблемами статистической механики, так как по
прошествии достаточного времени начальное распре-
деление, вообще говоря, переходйт в распределение,
в среднем стационарное, т. е. не изменяющееся
с дальнейшим течением времени.
При стационарном распределении каждая отдель-
ная система, флуктуируя, может проходить через не-
которое заданное значение х в любой момент вре-
мени. Однако относительная доля систем с данным
смещением х в среднем остается постоянной. Если
система находится в «термостате», это распределение,
разумеется, должно быть «равновесным» распределе-
нием, рассматриваемым в статистической механике, в
теория флуктуаций в тех приближениях, когда она
справедлива, может довольно непосредственно пока-
зать, как и с какой скоростью оно устанавливается.
Для описания процессов в исследуемой области чаще
всего используется так называемое1) уравнение Фок-
кера— Планка, которое выражает изменение функции
*) «Так называемое», поскольку эти авторы не первыми ука-
зали на возможность такого типа задач. Так, Релей получил
основной вид уравнения при исследовании задач кинетической
5 6. Функция распределения и установление равновесия 99
распределения ансамбля систем во времени, обусло-
вленное совместным действием усредненных необра-
тимых сил (т. е. вязкости жидкости или ’трения),
характеризующих влияние окружающей среды, и бы-
стро изменяющейся со временем компоненты этих
сил (т. е. флуктуаций) * *)•
Рассмотрим ансамбль частиц, совершающих броу-
новское движение в некоторой среде, и будем иссле-
довать смещение этих частиц вдоль оси х. Пусть
f(x, t)dx— вероятность того, что в произвольный мо-
мент t смещение произвольной частицы заключено
между х и х + dx. Тогда можно довольно легко
(почти с очевидностью) получить так называемое
«кинетическое уравнение» *) для скорости изменения
со временем t плотности распределения f, если ввести
функцию вероятности перехода
W(x, x')dx'it,
определяющую вероятность «перехода» или «скачка»
в течение малого интервала 8/ для системы, характе-
ризуемой смещением х в момент времени /, в новое
состояние с величиной смещения, заключенной в ин-
тервале (х', х' + dx').
Рассмотрение подобных «вероятностей перехода»
весьма привлекательно в любых задачах, учитываю-
щих столкновения, и они довольно естественно вво-
дятся в квантовомеханических исследованиях. Однако
теории газов, а Смолуховский и Эйнштейн также использовали
подобный метод в своем анализе проблем броуновского движения,
проведенном почти одновременно и независимо.
*) Этим определяется сущность «приближения броуновского
движения» в статистической механике. Действительно, здесь мы
предполагаем, что взаимодействие некоторой наблюдаемой си-
стемы с окружающей средой может быть с хорошим приближе-
нием описано таким образом. Как только указанные допущения
сделаны (например, как в теории Ланжевена), можно получить
гораздо больше данных о результирующем поведении системы.
Однако при попытке рассмотреть статистическое поведение от-
дельных атомов или молекул, схожих или эквивалентных части-
цам «жидкой» окружающей среды, описание в приближении броу-
новского движения может быть использовано лишь как весьма
приближенное и полукачественное.
*) Иногда это уравнение называют «управляющим» — букваль-
ный перевод английского термина master equation.—Прим. ред.
7*
100 Гл. 11. Корреляция, спектральная плотность мощности
следует заметить, что «вероятности перехода» не вы-
водятся непосредственно из анализа, полностью осно-
ванного на классической механике, и поэтому можно
считать, что они сами по себе уже вносят элемент
необратимости во времени (см., например, работу By
и Ривьера [55]). Если это действительно так, то мы
не должны слишком удивляться тому, что описание
броуновского движения или других необратимых про-
цессов, например вязкости или электрического сопро-
тивления, может быть получено из рассматриваемого
кинетического уравнения. Следует также заметить,
что мы молчаливо предполагаем, что рассматри-
вается так называемый марковский процесс, когда
W(x, х') зависит только от данного состояния х ча-
стицы и от происходящего перехода х-^-х' и не за-
висит от предыстории частицы, т. е. от того, как она
достигает состояния х.
1.	Кинетическое уравнение. Кинетическое уравне-
ние можно теперь написать почти сразу:
f {-/(*'> О W(x, Х')+
+/(*', t)W(x', x)}dx'.	(74)
Заметим при этом:
1)	Первый член в правой части соответствует всем
переходам, переводящим систему из состояния, ха-
рактеризуемого смещением х в момент t, в некоторое
другое состояние со смещением х', и, таким образом,
представляет чистые потери для систем со смещением
х. Пределы интегрирования охватывают все допусти-
мые значения х'.
2)	Второй член соответствует переходам, в про-
цессе которых системы, характеризуемые смещением
V, переводятся в состояние с рассматриваемым сме-
щением х, и поэтому представляет в f(x, t) чистую
«прибыль».
3)	Уравнение такого типа может служить в каче-
стве исходного при теоретическом исследовании задач
кинетической теории газов или при определении элек-
тронной проводимости твердых тел. Плотность сво-
§ б. Функция распределения и установление равновесия 101
водных электронов в проводящих твердых телах,
особенно у металлов, обычно весьма велика, поэтому
необходимо основывать расчеты на статистике
Ферми —Дирака, которая определяет порядок запол-
нения квантовых состояний электронами проводимо-
сти; учет этого факта видоизменяет форму кинетиче-
ского уравнения (Нордгейм [56], см. также Вильсон
[57] или Мак-Доналд [58]). Однако при рассмотрении
проводимости обычных электронных ламп, для кото-
рых плотность свободных электронов гораздо меньше,
чем в металлах, нет необходимости обращаться к ста-
тистике Ферми — Дирака (см. также замечания
к приложению I).
При некоторых приближенных условиях уравнение
(74) (или, вернее, его обобщение на случай, когда
в функцию распределения f включена зависимость от
скорости или импульса) может быть сведено к так
называемому уравнению Больцмана *)
Of_____f-fo
dt	т
которое чаще всего используется как первое прибли-
жение при учете столкновений в задачах об электрон-
ной проводимости (см., например, Вильсон [57], Мак-
Доналд [58]). В уравнении (75) f0— «равновесная»
функция распределения (df/dt = 0 при f = fo), а т —
так называемое время релаксации, характеризующее
среднюю скорость стремления системы к состоянию
равновесия вследствие столкновений.
2.	Уравнение Фоккера — Планка. Прежде чем при-
менять кинетическое уравнение к частной задаче
проблемы броуновского движения, напомним, что
в этом случае исследуется макроскопическая флуктуи-
рующая система, испытывающая действие весьма
*) В кинетической теории газов под «уравнением Больцмана»
подразумевают обычно лишь этот частный приближенный резуль-
тат, следующий из кинетического уравнения. Напротив, в теории
проводимости металлов «уравнением Больцмана» называют вся-
кое уравнение переноса для электронов, даже если «член столк-
новений» не сводится к специальной форме, как в уравнении (75).
102 Гл. II. Корреляция, спектральная плотность мощности
малых и практически случайных одиночных молеку-
лярных соударений, протекающих очень быстро по сра-
внению с временным масштабом движения самой
наблюдаемой системы. Относительно рассматривае-
мых в уравнении (74) переходов макроскопической
системы предположим, что заметную вероятность
имеют лишь переходы между близкими состояниями
х и х'. Другими словами, в уравнении (74) можно,
по существу, ограничиться учетом лишь значений х
и х', соответствующих весьма близким состояниям, и,
следовательно, вероятность перехода W (х, х') пред-
ставляет собой узкий пик при х = х' и быстро спадает
до нуля в остальных точках. Иначе это можно выра-
зить соотношением
W(x, x')-+W(x; 6),
где g — абсолютное смещение от значения х, а
F(*; £) — функция с острым максимумом вблизи
? = 0. В результате этого правую часть уравнения (74)
можно представить в виде разложения в ряд Тейлора
по £. Полученное приближенное уравнение можно на-
звать на естественном основании «броуновским при-
ближением» кинетического уравнения или уравнения
столкновений’).• Указанный путь приводит к разло-
жению
4“ -^[ih (*)Ж')!+4a?• .(76)
где
+ОО
Н(Л)= f W(x; 5) Л	(77а)
-оо
9 Строго говоря, учет в нашем анализе только близких пере-
ходов, или, другими словами, предположение о наличии указан-
ного острого максимума при £ = 0 для функции W(х; £) подразу-
мевает, что при исследовании броуновского движения мы огра-
ничиваемся системами, элементы которых весьма сильно отли-
чаются по величине от молекул окружающей среды. Как уже
отмечалось ранее, при попытке применения развитого аппарата,
типичным примером которого может служить уравнение Фокке-
ра — Планка, к изучению поведения самих молекул самое боль-
шее, на что можно надеяться — это на получение весьма грубой
цо л у качественной картинц,
§ б. Функция распределения и установление равновесия 103
есть среднее смещение за единицу времени, т. е.
И1(л) = НЗ	(776)
(черта означает среднюю скорость для систем, имею-
щих смещение х), а
г°°	Й/
Н2 (*) = f ?Г (х; I) Л =	.	(78)
—oo
т. e. g2 равно среднему квадрату смещения, обусло-
вленного броуновским движением, за малый интервал
времени Ы. В уравнении (76) предполагается, что
всеми членами более высокого порядка в разложении
можно пренебречь. Справедливость этого не вполне
очевидна даже при наших предположениях о харак-
тере броуновского движения (и фактически такое
пренебрежение может привести к неверным результа-
там при рассмотрении броуновского движения в не-
линейных системах; см., например, Алкмейд и др. [59].
Бункин [76*, 77*]). Однако такие предположения
обычно принимаются при рассмотрении подобных
задач.
Рассмотрим особо специальный случай движения
броуновских частиц с пренебрежимо малой массой,
считая, что на каждую частицу действует линейная
восстанавливающая сила F = — Хх, а подвижность
частицы в окружающей среде равна В. Поскольку
в нашей модели мы пренебрегаем инерцией, средняя
сила, обусловленная вязкостью, должна уравновеши-
ваться упругой восстанавливающей силой, и поэтому
_£W._|_F(a;) = 0,
откуда	___
<o(jc) = — КхВ.
Следуя Эйнштейну, можно переписать выражение
(78) в виде	___
8х».
-^-=2ев.
VI
104 Гл. II. Корреляция, спектральная плотность мощности
Окончательно из уравнения (76) получаем
v=xe^w)+ea^.
(79)
это есть уравнение Фоккера — Планка в простейшем
виде. В более общем случае можно было бы учесть
зависимость функции распределения не только от сме-
щения х, но и от импульса рх, однако здесь мы огра-
ничимся лишь рассмотренным случаем.
3. Диффузия и равновесное распределение. Урав-
нение Фоккера — Планка является классическим
в теории броуновского движения и флуктуаций. Легко
видеть, что в отсутствие упругой восстанавливающей
силы (А, = 0) полученное уравнение сводится к урав-
нению диффузии
dt ~U дх2 '	(°0)
где D = &В — коэффициент диффузии. Наш вывод
ясно показывает, что процесс диффузии есть не что
иное, как молекулярное «случайное блуждание», или
броуновское движение. С другой стороны, из уравне-
ния Фоккера — Планка с очевидностью следует, что
при наличии восстанавливающей силы F =—Ах мо-
жет достигаться состояние равновесия (при df/dt = 0),
причем функция распределения при этом опреде-
ляется из уравнения
x-^(V) + ©-^- = °.	(81)
Решение этого уравнения, нормированное к единице
+оо
J* /(x)dx = l,
представляется в виде
e-zjr»/2ea
(82)
§ б. Функция распределения и установление равновесия 106
На основании равновесной статистической меха*
ники для слабо связанной с термостатом частицы
с кинетической энергией р2х12т и потенциальной энер-
гией Ах2/2 можно сразу написать
/(х, рх) dx dpxе~Б(*’ dpx dx ~
dxe~p'lim* dpx.	(83)
Отсюда после интегрирования по всем возможным
импульсам рх и нормировки получаем соотношение
/(х) dx =	dx, (83а)
в точности совпадающее с решением уравнения
Фоккера — Планка (82).
Здесь необходимо сделать несколько замечаний.
1)	С общей точки зрения совпадение соотношений
(83а) и (82) весьма убедительно. Однако не оче-
видно, что для выбранной модели броуновской части-
цы с «пренебрежимо малой» инерцией (но далеко
не пренебрежимым взаимодействием со средой, т. е.
когда слагаемое, включающее «подвижность» В,
имеет конечную величину) можно, вообще говоря,
считать частицы «слабо связанными» с окружающей
средой. Необходимо также заметить, что само урав-
нение Фоккера — Планка (81) является приближен-
ным, так как учитывает лишь два первых члена раз-
ложения.
Обычно принято считать, что при решении боль-
шинства задач броуновского движения можно при-
нять так называемое каноническое равновесное рас-
пределение [см. соотношение (83)]. Однако возможны
системы, например, с нелинейным релаксационным
механизмом, для которых априорное предположение
о каноническом распределении при равновесии не все-
гда оказывается в точности справедливым (см., на-
пример, Алкмейд и др. [59]).
2)	Приняв эти более точные предположения, мы
видим, что, как следует из уравнения Фоккера —
Планка, при статистическом равновесии [уравнение
106 Гл. II. Корреляция, спектральная плотность мощности
(81)] каноническое равновесное распределение под-
держивается по сути дела динамически. При этом
непрерывно происходит «регулярный распад» систем
(в данном случае стремление к х = 0), описываемый
первым членом в уравнении (81). В то же время он
динамически уравновешивается непрерывным стрем-
лением систем флуктуировать (уходить от точки
х = 0) из-за действия случайных межмолекулярных
сил; этот процесс описывается в уравнении (81) вто-
рым членом (невозмущенное броуновское движение).
3)	В пределах указанного «приближения броунов-
ского движения» уравнение (79) показывает, как
устанавливается каноническое распределение со вре-
менем при произвольном начальном распределении
(см. ниже). Процесс установления явно включает
силу трения или вязкость [через подвижность В
в уравнении (79)]. Мы видели, однако, что уравне-
ние броуновского движения Эйнштейна (8х?) = 2В0/
фактически требует отсутствия при динамическом
равновесии [ср. уравнение (81)] зависимости канони-
ческой функции распределения от подвижности В и
допускает зависимость лишь от потенциальной энер-
гии. Необходимость согласования уравнения Эйн-
штейна с равновесным распределением снова под-
тверждает высказанное ранее мнение о неизбежной
связи средней необратимой части молекулярных сил,
приводящих к появлению вязкости или трения
[т. е. первого члена в правой части уравнения (79)],
с быстро флуктуирующей компонентой силы, т. е. со
вторым членом (броуновское движение или диффу-
зия) в уравнении (79). Можно сформулировать это
утверждение и в более общем виде (см. также при-
ложение II): при полном равновесии средняя энергия,
отдаваемая отдельной системой в окружающее про-
странство посредством вязкости (необратимого «тре-
ния»), динамически уравновешивается средним при-
током энергии извне из-за флуктуаций.
4.	Установление равновесного распределения. Вы-
берем исходный подансамбль систем так, чтобы все
они имели одинаковые смещения х = х0 в момент
§ б. Функция распределения и установление равновесия /07
t = 0. Тогда соответствующее решение уравнения (79)
определяется выражением
/(х, х0, 0—	2я0(1-в"2ХЛ) ехр
А(х-хое~хдТ
20(1—е"2ЛВ/) J ’
(84)
При /~0 (точнее, при /<С1/ХВ) определяемая
соотношением (84) функция распределения имеет
Фиг. 17. Схематический чертеж, иллюстрирующий
изменение во времени функции распределения f (х, t)
в процессе перехода к конечному равновесному кано-
ническому распределению из заданного начального
состояния [ср. (84)].
Функция распределения при (КО (сплошная кривая) «сконцентри-
рована» в основном вблизи точки х=х0. Функция распределения
для «промежуточных» моментов времени (/ < 1/ХВ) изображена
штрихпунктирной кривой.
По прошествии достаточно большого времени (/ > 1/Х2?) установи-
лось каноническое распределение, симметричное по ж и не завися-
щее от времени t (штриховая кривая).
очень резкий максимум вблизи х — Хо. Напротив, по
прошествии достаточного времени (С>»1/ХВ) распре-
деление перестает зависеть от начальных условий
(заданного смещения х0), становится независимым от
времени t и действительно приближается к стационар-
ному каноническому распределению, задаваемому
соотношением (82). На фиг. 17 показан последова-
тельный переход функции /(х, х0, t) к равновесному
распределению.
108 Гл. II. Корреляция, спектральная плотность мощности
Ранее мы исследовали главным образом поведение
самого флуктуирующего параметра [например, сме-
щения х(/)], а также находили усредненные характе-
ристики типа (х) или <х2>. Теперь можно определить
эти средние величины непосредственно, исходя из
функции распределения *)• Так, с помощью соотноше-
ния (84) получаем
оо
x(t)— j xf(x, х0, i)dx = x(^~>'Bt,	(84а)
— ОО
где черта означает усреднение по подансамблю ча-
стиц, для которых при t — 0 величина х = 0. Соотно-
шение (84а) можно сопоставить непосредственно
с соотношением (26а), выведенным из уравнения Лан-
жевена для весьма сходной задачи броуновского дви-
жения. Аналогично находим
Ч-оо
л*(7)= f х2/(х,х0, /)</х = 4- + (^-т)^2Ш-(84б>
— оо
что можно сравнить с соотношением (276). Из соот-
ношений (84а) и (846), как можно_было ожидать,
следует, что при t = 0 величина х = х0, х2 = хо;
в другом предельном случае—при t-* оо — мы полу-
чаем х2 = 6/1. Это — известный из статистической
механики результат о равномерном распределении
энергии по степеням свободы. Положив далее для
удобства Хо = 0, из соотношения (846) при «малых>
/(f<C15) получим
(84в)
т. е. известное уже нам уравнение Эйнштейна. От-
сюда снова ясно видно, что именно существование
броуновского движения вызывает переход из задан-
•) Согласно высказыванию Уленбека и Орнстейна, приведен-
ному в их работе по исследованию броуновского движения [39],
функция распределения есть «самое общее, что может предсказать
теория».
J 6. Функция распределения и установление равновесия 109
ного начального состояния к конечному «равновес-
ному» распределению. Другими словами, «диффуз-
ное» смещение, обусловленное броуновским движе-
нием, увеличивается во времени, согласно соотноше-
нию (84в), до тех пор, пока чисто диффузное поведе-
ние не ограничивается в результате действия упругой
восстанавливающей силы [проявляющейся, согласно
(846),,через характерное время порядка 1/ХВ].
5. Смещение и спектральная плотность мощности.
С помощью функции распределения связь между
средним квадратом полного смещения за время t и
спектральной плотностью мощности для скорости мо-
жет быть выражена в самом общем случае (см. так-
же стр. 77). Так, соотношение (58), связывающее
средний квадрат смещения {(х — х0)2) и спектраль-
ную плотность мощности для скорости (8t»/)sa»(f)df.
дает *)
+ <Л	+ оо
/равн (Х0) dX§ J* (х	X$f(x, Xq9 t) dx =
-oo	—co
+ 00
= f	(85)
— 00
где /равя — равновесная функция распределения. Счи-
тая скорость статистически стационарной функцией,
в результате чего w(f) не зависит явно от времени t,
последнее соотношение можно переписать в виде
+оо	+оо
J* /равн (*о) dxQ J* (х	х0)2 —gf dx =
—со	—oo
+оо
= f sin 2*ft df.	(85a)
9 Заметим, что в левой части соотношений (85) и (85а) и
в правой части (866) стоит двойной интеграл, а в правой части
(86а) проводится тройное последовательное интегрирование по
переменным х, xq и
ПО Гл. II. Корреляция, спектральная плотность мощности
Отсюда в соответствии с соотношением (59) полу-
чаем
+оо
= J sin2it/M*X
X J* /равн (*о) dx$ J* (л xtf д* dx .	(86a)
Для свободной броуновской частицы с рассмотрен-
ным ранее линейным релаксационным механизмом
интегралы, включающие (х — х0)2, не зависят от вы-
бора значения Хо и поэтому в рассматриваемом част-
ном случае приведенное соотношение упрощается:
+оо	4-оо
f	f (х-ХоУ-Угйх. (866)
— оо	—оо
Полученное соотношение устанавливает связь спек-
тральной плотности мощности скорости w(f) непосред-
ственно со средним квадратом смещения (х—х0)2.
§ 7. Необратимость и „микроскопическая* сила
В гл. I броуновское движение частицы с массой
М и подвижностью В мы рассматривали, отправляясь
от уравнения Ланжевена (23):
= т •
где F(t) — быстро меняющаяся молекулярная сила,
действующая на броуновскую частицу со стороны
жидкой окружающей среды, а подвижность В опре-
деляется макроскопической вязкостью или трением на
основании формулы (27а)
-4-0(1- е-2^),
§ 7 Необратимость и «микроскопическая* сила
111
где ti = МВ, С — просто постоянная, подлежащая
определению (фактически С = (о2) = В/M). Однако
если в двойном интеграле в соотношении (27) сде-
лать подстановку г = и + w, t' = t — w, то послед-
ний член в правой части этого соотношения при-
мет вид
_,/k 2i +‘---------------------------г-
да)
о -t
Считая далее автокорреляционную функцию вели-
чины А зависящей лишь от интервала корреляции f,
можно проводить интегрирование раздельно. В ре-
зультате приходим к соотношению
С = Т / 'Ч1-1-И Г+ 41	(88)
Если дополнительно предположить, что интервал
f, на котором имеется какая-либо заметная корреля-
ция молекулярной силы, весьма мал по сравнению
с характерными макроскопическими временными ин-
тервалами t в соотношениях (87) и (88), то пределы
интегрирования в (88) без ущерба для точности
можно заменить на бесконечные.
Используя соотношение С = 0/Л1, можно оконча-
тельно переписать (88) в виде
<=5» У
— СО
(89)
Разумеется, соотношение (89) легко может быть
обобщено и на другие процессы, включающие необра-
тимость. Так, для пассивного сопротивления R со
«спонтанной» термической э. д. с. Е получим
+оо
R = f E(Q)E(t')dt'.
—со
(89а)
1/2 Гл. II. Корреляция, спектральная плотность мощности
Соотношение (89) устанавливает довольно прямую,
простую и весьма общую связь макроскопического
времени релаксации системы ti (из-за действия тре-
ния) со статистическими свойствами «микроскопиче-
ской» силы.
Исходя из соотношения (89)-, были предприняты
попытки теоретически получить выражения для ха-
рактеристик вязкости жидкости и газов на основании
данных о характере межатомных сил (в качестве при-
мера можно указать на работы Кирквуда; библиогра-
фические ссылки читатель может найти в книге
Эйзеншитца [26]); автор [60] также пытался приме-
нить соотношение (89) для вывода весьма приближен-
ных полуэмпирических выражений для характеристик
теплового сопротивления твердых кристаллических
диэлектриков при учете ангармонической составляю-
щей межатомных сил. Соотношение (89а) можно
использовать также для определения электрического
сопротивления, при условии наличия достаточных
теоретических данных о характере поведения электри-
ческого поля. Подобный подход использован в работе
Кубо [61], посвященной фундаментальному исследова-
нию электрической проводимости. Соотношение (89)
применимо для задач простейшего типа, в которых
необратимое «трение» полностью характеризуется
единственным параметром, существенно независимым
от частоты. Можно провести обобщение на случай,
когда трение или удельное электрическое сопротивле-
ние [см. соотношение (89а)] зависит от частоты. Это
обобщение приводит к так называемой флуктуацион-
но-диссипационной теореме (см., например, Бернард
и Каллен 18], Кубо [61], Бункин [73*, 74*], Ландау и
Лифшиц [78*] и т. д.). Однако мы не будем рассма-
тривать этот вопрос более подробно и ограничимся
сделанными замечаниями.
Подведем итог. Исходя из уравнения Ланжевена,
мы показали, что имеется весьма прямая и законо-
мерная связь [см соотношение (89)] между усло-
виями существования макроскопической необратимо-
сти и наличием «молекулярных сил» (а это наиболее
существенно в теории Ланжевена).
§ 8. Заключение
113
§ 8. Заключение
На этом мы закончим рассмотрение некоторых
основных методов анализа флуктуационных процес-
сов с определенной степенью корреляции на времен-
ном интервале Т. Автокорреляционная функция ф(Т)
статистически стационарной функции сразу опреде-
ляет величину интервала времени, в течение которого
поведение рассматриваемой переменной более или
менее регулярно и предсказуемо. Для интервалов на-
блюдения большей протяженности поведение функции
становится все более и более случайным. В соответ-
ствии с этим можно ожидать, что по крайней мере
в некоторой области спектр шумов, характеризующий
поведение случайной функции, должен быть «пло-
ским». Однако в определенной области частот спектр
шумов будет «обрезаться», причем это обрезание
определяется, вообще говоря, величиной временного
интервала, в течение которого рассматриваемый -про-
цесс в некоторой степени предсказуем. Для совершен-
но случайной последовательности «импульсов» беско-
нечно малой длительности плоская область спектра
шумов простирается по частоте неограниченно далеко.
Такая последовательность может служить моделью
идеального случайного процесса. Однако если эти
«импульсы» как-либо коррелированы между собой во
времени или если они имеют конечную длительность
(сами по себе или из-за ограничений, свойственных
измерительной аппаратуре), в результате чего по-
является корреляция в пределах данного импульса,
то спектр шумов несколько обрезается. Или, другими
словами, всегда можно выбрать некоторый (доста-
точно малый) интервал времени, в пределах которого
рассматриваемая функция перестает быть совершенно
случайной. В следующей главе мы продолжим иссле-
дование этой частной проблемы несколько более под-
робно.
В § 7 была установлена аналитическая связь не-
обратимых диссипативных макроскопических характе-
ристик, например жидкого трения или электрического
сопротивления, с автокорреляционной функцией флук*
8 Д. Мак-Доналд
114 Гл. II. Корреляция, спектральная плотность мощности
туирующей «макроскопической» силы. Это соотноше-
ние может быть обобщено, в результате чего мы при-
ходим к так называемой флуктуационно-диссипацион-
ной теореме. Разумеется, мы уверены, что никакая
наблюдаемая физическая система не может быть со-
вершенно случайной для всех временных масштабов,
хотя вполне разумно считать ее такой для интересую-
щего нас очень широкого спектра частот. Ниже не-
сколько более детально будут рассмотрены некоторые
проблемы, связанные с шумами в электровакуумных
приборах. Анализ этих задач проиллюстрирует неко-
торые уже рассмотренные нами принципы.
ГЛАВА HI
ШУМЫ В ЭЛЕКТРОННЫХ ПОТОКАХ
$ /. Шум в электровакуумных лампах
Ранее мы видели, что в обычном ламповом диоде
при определенных ограничениях шумовой спектр
флуктуаций тока короткого замыкания равен
<8Z2z) = w(/)rf/=2eJd/.	(90)
Приведем теперь некоторые обобщающие предполо-
жения.
1)	Рассматриваемый ток i(t) является, строго го-
воря, «конвекционным» током, измеряемым при про-
хождении электронов через некоторую условную
плоскость в диоде, причем «импульс» тока, возникаю-
щий при пролете каждого электрона, считается фак-
тически мгновенным. При физическом измерении
реальный ток, наблюдаемый во внешней цепи, опре-
деляется расстоянием, проходимым электроном при
пролете от катода к аноду, и скоростью электрона на
этом участке пути. Это означает, что импульс тока,
обусловленный пролетом каждого электрона в реаль-
ной лампе, по порядку величины будет равен е/т, где
t — «время пролета» между анодом и катодом.
Эффект конечности времени пролета обычно приводит
к изменению спектральной плотности мощности шу-
' мов; более детальному обсуждению этого вопроса
посвящены данный и следующий параграфы.
2)	Мы предполагали, что каждый электрон эмити-
руется случайно и независимо от других, и его пролет
к аноду также совершается независимо от пролета
прочих электронов. Эти предположения неточны по
крайней мере по двум причинам.
Во-первых, в результате действия пространствен-
ного заряда в области между катодом и анодом пролет
8*
116	Г л. III. Шумы в электронных потоках
одного электрона может, вообще говоря, привести
к торможению других электронов. Большое практиче-
ское значение этого «эффекта расталкивания» связано
с уменьшением начальных флуктуаций тока в вакуум-
ных лампах, используемых в качестве усилителя, и
видоизменением спектральной плотности мощности.
Во-вторых, в некоторых других лампах или, точ-
нее, для некоторых типов катодов, наоборот, может
проявляться действие механизма противоположного
типа; в этом случае электроны эмитируются не по
одиночке и независимо, а более или менее сгруппиро-
ваны в «сгустки». Это обусловливает явно выражен-
ный «коллективный» эффект, приводящий к усилению
шума и к видоизменению спектральной мощности
шумов, особенно на низких частотах.
3)	Наконец, в нашем исследовании следует рас-
смотреть лампу с несколькими коллекторными элек-
тродами (обычно их называют «анод» и «экранные
сетки»). В этом общем случае появляется некоторая
статистическая неопределенность возможного места
окончания движения каждого данного электрона, и
если в результате действия пространственного заряда
уже была достигнута определенная упорядоченность
полного электронного потока (см. предыдущее пред-
положение) , то указанная неопределенность распреде-
ления электронного потока на различные электроды
снова может внести элемент хаотичности в ток через
лампу. Это явление может оказаться весьма суще-
ственным источником шумов, которые называются
«шумами перераспределения», и наряду с другими
видами шумов носит общий характер и проявляется
также в других задачах (например, в связи с рассмо*
тренной в предыдущих главах проблемой уличного'
движения, если предположить, что весьма регулярный
поток транспорта может разбиваться на весьма нере-
гулярные потоки после развилки дороги, на которой
отдельные машины могут сворачивать налево или на-
право).
1. Конечность времени пролета. Рассмотрим совер-
шенно случайный поток электронов, следующих со
средней частотой N в единицу времени, причем
$ 1. Шум в электровакуумных лампах
Ш
каждый из электронов вызывает совершенно идентич-
ный импульс тока, скажем, ii(t) для электрона, выле-
тающего в момент t = 0. Следуя теореме Кэмпбелла
[см. соотношение (34а)], можно без труда вычислить
среднее значение полного флуктуационного тока i(t),
обусловленного рассматриваемым потоком электро-
нов:
о
(91)
Аналогично [см. соотношение (346)] полный (интег-
ральный) средний квадрат флуктуаций тока относи-
тельно среднего значения равен
%(t)dt.	(92)
о
Если для простоты ограничиться рассмотрением пря-
моугольного импульса тока
= f ПРИ 0</<т
и
ii(/) = 0 для других t,
то, как и следовало ожидать,
=	= Л	(91а)
а
<8/2) = Уу(±)2х = Л.	(92а)
Соотношение (92а) показывает, что в принципе флук-
туации полного тока неограниченно возрастают при
сужении ширины импульса. Это непосредственно при-
водит к расширению «плоской» области спектральной
плотности мощности на все частоты:
($i2f) = 2eJdf.
/18
Гл. III. Шумы в электронных потоках
Получившееся выражение совершенно аналогично
спектру последовательности случайно возникающих
бесконечно коротких импульсов.
Рассмотрим теперь, как изменится частотный
спектр, если специально учесть конечную величину
длительности т отдельного импульса. Для этого вы-
числим автокорреляционную функцию
f(T)»<W(0W+D>»	(93)
где 8t(0—флуктуирующая часть тока i(t), обусло-
вленная рассматриваемым случайным потоком элек-
тронов. Рассуждения, аналогичные используемым при
выводе теоремы Кэмпбелла (см. приложение III),
приводят к следующему результату:
оо
ф(7') = ^/1(/)/1(/ + 7')</Т,
О
(94)
где ii(0—по-прежнему вклад, обусловленный оди-
ночным импульсом, возникающим при t = 0, в ток.
Заметим, что, согласно (93) и (94),
СО
ф(0) = (8Й)=МJ Px(t)dt,	(94а)
о
в полном согласии с соотношением (92). Формула
(94), позволяющая вычислить автокорреляционную
функцию полного флуктуационного тока на основании
характеристик импульса тока, обусловленного одиноч-
ным событием из последовательности случайно воз-
никающих идентичных событий, составляет основу
последующего изложения и является наиболее полез-
ным результатом общего характера при рассмотрении
задач такого рода.
В рассматриваемом частном случае идеализиро-
ванных прямоугольных импульсов длительности т по-
J /. Шум в электровакуумных лампах
119
лучим !)
т-Г
Ф(Г)=лгу (т)2<// для °<7’<х’
о
иначе говоря,
Ф(П=^(1-4) при 0<Т<.,
ф(Г) = О при Т > т.
Отсюда для спектральной плотности мощности шумов
с помощью уравнения (55) находим
т
да (У) = J (1 _ Z.) cos 2«/Т dT,	(96а)
О
или
w(/) = 2e/^f.	(966)
График этого спектра шумов изображен на фиг. 18.
Спектральную плотность мощности можно считать
«плоской», как это характерно для идеального дро-
бового шума [у которого w(f) = 2eJ], при значениях
На более высоких частотах спектральная
плотность убывает до нуля. Вероятно, следует заме-
тить, что практически времена пролета отдельных
электронов в лампе не будут одинаковыми из-за раз-
личия в скоростях электронов, и, следовательно, нули
шумового спектра, соответствующие f = т_| и т. д.,
будут «размазаны» по некоторой области. Заметим
также, что полные флуктуации тока «короткого замы-
кания» оказываются равными
(8/2) = fw(f)d/=2eJ	(97)
О	о
в полном согласии с (92а).
!) Как уже указывалось ранее в соответствии со смыслом
функции Ф(Т), она всегда симметрична по Т для любой статисти-
чески стационарной функции. Это уже учитывалось в окончатель-
ных выражениях теоремы Винера — Хинчина [соотношения (55)
и (56)], так что в общем случае при проведении анализа статисти-
чески стационарных функций достаточно ограничиться значениями
Фиг. 18. Видоизменение спектральной плотности мощ-
ности чистого дробового шума (w(/)/2eJ) вследствие
эффектов, связанных с конечным временем пролета.
На нижнем графике показана спектральная плотность мощности
шумов в более крупном масштабе для «малых» величин времени
пролета (Л<1)> для Л<°Л спектр «плоский» с точностью до 3ft.
§ 1. Шум в электровакуумных лампах
121
Возможен также иной способ исследования рас-
смотренной задачи, основанный на расчете непосред-
ственно среднего квадрата флуктуаций заряда, пере-
носимого в течение произвольного интервала Т,
в отличие от нахождения автокорреляционной функ-
ции тока с помощью формулы (94). Подобный под-
ход, состоящий в рассмотрении флуктуаций заряда,
сразу дает
при 7<х,
Ф(7) = ^8^ =
при Т>т.
(98)
(8^г) стремится к величине JeT, характеризующей
совершенно случайный, дробовой шум (ср. уравнение
(19в), в котором временной интервал взят равным Л-
Можно теперь с помощью соотношения (59) полу-
чить непосредственно выражение спектральной плот-
ности мощности w(f) шумового тока
w(f) = 4к/ j	sin 2«/Г dT.
(99)
С другой стороны, можно, используя соотношение
(59в) [см. текст на стр. 78] и зная Ф(Т), найти
выражение для автокорреляционной функции ф(Т)
тока
-v) "Р" г<’-
О при Т > т,
которое полностью согласуется с (95).
Как показывает соотношение (966), влияние ко-
нечности времени пролета приводит к ослаблению
основного дробового шума на высоких частотах при
т* (см. фиг. 18). В то же время именно в этой
области частот коэффициент усиления лампы также
уменьшается из-за влияния времени пролета (ослаб-
ление шума и уменьшение коэффициента усиления
в некоторой степени взаимосвязаны); поэтому не сле-
дует, вообще говоря, ожидать какого-либо выигрыша
122
Гл. III. Шумы в электронных потоках
в отношении параметра сигнал/шум. Фактически, если
имеются некоторые источники шума, амплитуда кото-
рого не зависит от времени пролета в данной лампе,
то результирующее отношение сигнал/шум обычно
будет уменьшаться за счет конечного времени про-
лета, так как входной сигнал будет усиливаться не
так сильно, как рассматриваемый шум, и, следова-
тельно, на выходе его труднее выделить на фоне шу-
мов. Мы не ставим целью рассматривать здесь де-
тально задачу о вычислении отношения сигнал/шум
в усилителях. Подчеркнем лишь, что обычно жела-
тельно попытаться по возможности раньше усилить
входной сигнал, чтобы его уровень сразу значительно
превысил уровень шумов всех типов. В то же время
следует постараться сделать первые усилительные
каскады по возможности «малошумящими», так как,
вообще говоря, именно шумы первого каскада играют
решающую роль в определении величины результи-
рующего отношения сигнал/шум.
2. Уменьшение шумов из-за действия простран-
ственного заряда. Характеристики потока электронов,
покидающих катод обычного типа, являются совер-
шенно случайными вплоть до очень высоких частот.
Однако если между катодом и анодом имеется мини-
мум потенциала, так что лампа работает в режиме
«ограничения пространственным зарядом»1), дробо-
!) Это означает, что, во-первых, лампа не работает в режиме
«насыщения», когда все электроны, эмитируемые катодом, в ко-
нечном счете достигают анода (/ — где Л — ток эмиссии, или
«ток насыщения»), и, во-вторых, отсутствует режим «запирания»
для плоского диода [/— Лехр (eV/О), где V — отрицательный
анодный потенциал относительно катода; см. также фиг. 5]. В пер-
вом случае можно считать, что минимум потенциала расположен
существенно «впереди» катода по ходу движения потока, а во вто-
ром он сдвигается «за» анод. Очевидно, что в обоих случаях мо-
жно ожидать проявления полного «дробового шума» (см., напри-
мер, Мак-Доналд и Фюрт [62]). Однако при условии существо-
вания минимума потенциала в области между катодом и анодом,
когда лампа работает в режиме «ограничения пространственным
зарядом», обеспечивается существенное условие работы лампы
в режиме усиления, если между катодом и анолом поместить
«сетку» — электрод, позволяющий извне регулировать глубину
минимума потенциала, а следовательно, и величину тока лампы.
§ I. Шум в электровакуумных лампах
123
вой ток может быть в сильной степени уменьшен (ср.
также примечания на стр. 45 и 92). При этих усло-
виях минимум потенциала может, образно говоря,
довольно свободно перемещаться относительно сред-
него положения и, в частности, «спонтанно» реагиро-
вать на флуктуации катодного тока. Поэтому если
эмитируется избыток электронов сравнительно со
средним значением за длительный интервал (в ре-
зультате чего вносится вклад непосредственно в чи-
стый дробовой шум), то плотность пространственного
заряда мгновенно возрастет, превысив среднее значе-
ние, так что минимум потенциала станет по абсолют-
ной величине несколько меньше, и это сразу вызовет
уменьшение общего тока через лампу. Моментальное
ослабление полного электронного потока компенси-
рует первичное возрастание тока, вызванное избыточ-
ной эмиссией электронов. Напротив, при возникнове-
нии недостатка электронов в «первичном» электрон-
ном потоке абсолютная величина минимума потенциа-
ла несколько увеличивается, что приводит к частич-
ному компенсирующему возрастанию полного тока.
Если положение минимума изменяется свободно
(именно .при этом условии лампа может весьма
эффективно работать в качестве усилителя), указан-
ный автоматический компенсационный механизм за-
метно ослабит дробовой шум. С практической точки
зрения подобное ослабление шумов весьма целесо-
образно, и именно поэтому электровакуумная лампа
рассматривается как один из наиболее чувствитель-
ных усилителей.
Рассмотрим следующую весьма упрощенную мо-
дель процесса ослабления дробового шума в лампе
под влиянием действия пространственного заряда.
Представим начальные флуктуации тока вблизи
среднего значения J = Ne случайной последователь-
ностью положительных и отрицательных импульсов,
каждый из которых несет заряд е, причем полярность
импульса изменяется случайным образом со средней
частотой N раз в 1 сек. Как показано на фиг. 19,
каждый положительный или отрицательный исходный
импульс тока всегда сопровождается соответствующим
Фиг. 19. Идеализированная модель, используемая для анализа
ослабления «дробового шума» пространственным зарядом
с учетом конечного времени пролета.
а—случайная последовательность одинаковых прямоугольных положительных
и отрицательных «первичных» импульсов тока (светлые прямоугольники).
Каждый из этих импульсов сопровождается (с определенным запаздыванием
во времени, предполагаемым постоянным) «компенсирующим» импульсом
(заштрихованные прямоугольники) с полярностью, противоположной полярности <
«первичного» импульса. Предполагается, что ширина «компенсирующего»
импульса такая же, как и у «первичного», а относительная амплитуда его
р»вн» -₽ (₽<!)•
6 —более детальное изображение соотношения «первичного» и «компенсирую-
щего» импульсов.
«Первичный» прямоугольный импульс тока (вообще говоря, случайной поляр-
ности) всегда имеет амплитуду ] е J/т и длительность т, т. е. переносит заряд
± | е I; для удобства изображенный «первичный» импульс выбран положитель-
ным. компенсирующий прямоугольный импульсе относительной амплитудой—>₽
также имеет длительность г, но следует с задержкой во времени, равной И.
На схеме импульсы показаны перекрывающимися, т. е. b < 1. В общем
случае 0 < Ъ < со, при этом при b > 1 импульсы не перекрываются. Оконча-
тельное выражение, полученное для спектральной плотности мощности шумов
w (/) [см. соотношение (100)], справедливо для любых значений й.
§ 1. Шум в злектроваку умных лампах
125
частично его «компенсирующим> импульсом. По-
вторяем, мы специально значительно упрощаем
физическую картину для удобства анализа. Как уже
отмечалось в гл. II, § 5, не следует считать, что бук-
вально каждому отдельному компенсирующему им-
пульсу действительно соответствует отдельный им-
пульс электронного тока. Однако идеализированная
модель подобного рода достаточно удобна для ана-
лиза. Ею можно пользоваться до тех пор, пока рас-
сматриваются частоты ниже той, которой соответ-
ствует временной интервал между отдельными
электронами. В этой связи можно напомнить, что
в линейном потоке электронов, характеризуемом то-
ком 10 ма, электроны разделены во времени интерва-
лами порядка 10-*7 сек, а это соответствует частотам
порядка 1017 гц! Учитывая сказанное с этими оговор-
ками, можно вычислить спектр шумов показанной на
фиг. 19, а последовательности случайно возникающих
импульсов тока, которая соответствует нашей модели
описания эффекта ослабления дробового шума про-
странственным зарядом.
Точный вид автокорреляционной функции ф(Г)
зависит от того, перекрываются или нет первичный и
компенсирующий импульсы, и от степени их наложе-
ния, однако окончательное выражение для результи-
рующей спектральной плотности мощности шумов,
как оказывается, носит довольно общий характер.
Поэтому будем анализировать ф(Т) в простейшем
случае, когда интервал между соседними импульсами
превышает длительность т каждого из них (на фиг.
19,6 это соответствует значениям b > 2). Учитывая,
что рассматривается. последовательность случайно
возникающих событий, с помощью формулы (94)
окончательно получаем
f(D = Jv-(l+₽2)(l-т) ПРИ
I = —	—(& — !)] при (b —
| ’И7') = —	+^ — х) ПРИ 7'<(1 -М)*>
ф(Г) = О для остальных Г>0.
126
Гл. 1П. Шумы в электронных потоках
Здесь амплитуда компенсирующего импульса равна
ре/т, оба импульса — исходный и компенсирующий —
считаются прямоугольными и имеют одинаковую дли-
тельность т. Спектральная плотность мощности, как
обычно, определяется соотношением
® (/) = 4 / ф (Г) cos 2nfT dT =
о
= 2eJ(1 - 2? cos ab -j-	.	(100)
где a = 2itfa, J = Ne — средний (постоянный) ток
лампы. Можно убедиться, что соотношение (100)
са справедливо фактически для любых
I	значений Ь.
J	Сразу отметим два предельных
> хк ' случая. При р = 0 компенсирующий
G < PJ J эффект отсутствует (уменьшения
у	шума из-за влияния пространствен-
Г	ного заряда не происходит); в этом
I	случае соотношение (100), как и
следовало ожидать, переходит не-
Тентнаясхема^ам- посредственно в (966), что под-
пы при расчетах тверждает удовлетворительность
флуктуаций. выбранной основной модели для
исходных флуктуаций тока. В дру-
гом случае при а6-»-0 (т. е. для достаточно низких
частот) соотношение (100) дает
®»(/) = 2eJ(l—(101)
Здесь, как и в других задачах, связанных с исследо-
ванием тока в электронных лампах, w(f) означает
спектральную плотность шумов тока «короткого за-
мыкания». При расчетах флуктуаций, наблюдаемых
во внешней цепи, лампу следует заменить следующей
эквивалентной схемой (фиг. 20). На этой схеме
G = dJfdV — «крутизна анодной характеристики»,
a J — генератор шумового тока со средним квадратом
амплитуды в полосе частот малой ширины df [в пре-
§ 1. Шум в электровакуумных лампах
127
делах справедливости соотношения (101)], определяе-
мым формулой
(8/2) == w (f) df= 2eJ(\ — ₽)2	2е/П df;
a, b — выводы лампы, к которым присоединяется про-
извольная анодная нагрузка; на них могут извне
наблюдаться реальные флуктуации.
Так, если внешней нагрузкой является «бесшум-
ное» омическое сопротивление R\ = \fG\, а крутизна
анодной характеристики G может считаться чисто
активной проводимостью, то наблюдаемые шумовые
флуктуации напряжения между точками а и Ь для
частотного интервала df определяются соотношением
Если /?1 — обычное пассивное сопротивление при
температуре Т (являющееся источником тепловых
шумов), то выражение для полных шумов, наблюдае-
мых на выходных зажимах (а, Ь), принимает вид:
При работе лампы в режиме идеального «насыще-
ния» (/ = /») крутизна анодной характеристики G
обращается в нуль, и во внешней анодной цепи будет
непосредственно наблюдаться полный дробовой шум.
Спектральная плотность шумов, определяемая
соотношением (101), в (1 —р)2 раз меньше соответ-
ствующей величины для случайного «дробового
шума» [«/(/) = 2е/]. Указанный множитель, характе-
ризующий уменьшение w(f), обычно называют «коэф-
фициентом ослабления шумов пространственным за-
рядом» и обозначают в большинстве радиотехниче-
ских работ символом Г2. Иногда коэффициент Г2
считают постоянным для данной лампы. Однако, как
следует из соотношения (100), величина Г2 остается
постоянной лишь на достаточно низких частотах
(практически для /<С'Г1) и, вообще говоря, довольно
сложным образом зависит от частоты в случае, когда
128
Гл. 1П. Шумы в электронных потоках
эффект конечности времени пролета становится за-
метным.
В реальных вакуумных лампах, практически ис-
пользуемых в качестве усилителей, компенсирующее
действие минимума потенциала, обусловленное про-
странственным зарядом, довольно значительно, и по-
этому величина р весьма близка к единице,
а (1 — ₽)2<С1. Таким образом, как следует из соот-
ношения (101), реальный уровень «дробового шума»
(по крайней мере на не слишком больших частотах)
оказывается гораздо ниже по сравнению с исходной
интенсивностью полного «дробового шума». Однако
существует нижний предел достижимого ослабления
интенсивности шумов, обусловленного действием про-
странственного заряда. А именно, предельное значе-
ние шумового тока не может быть ниже величины,
соответствующей обычному броуновскому движению
(тепловые электрические флуктуации). Картина здесь
не вполне очевидна, так как нельзя считать термоди-
намически равновесными процессы в термоионной
лампе с подогревным катодом, относительно холод-
ным анодом и наличием постоянного подвода к лампе
энергии извне, поступающей от источников питания.
По-видимому, не будет слишком неожиданным ре-
зультат детальных вычислений (см., например, Томп-
сон и др. [36]) для идеализированного диода при тем-
пературе катода 0 = kT и с дифференциальным
(внутренним) сопротивлением Ra = (dJ/dV)~l при су-
щественном сглаживающем действии пространствен-
ного заряда, предсказывающий приближенное совпа-
дение флуктуаций тока короткого замыкания
с тепловыми шумами пассивного омического сопро-
тивления Ra при температуре, вдвое меньшей темпе-
ратуры катода диода. Точнее, указанное детальное
рассмотрение в пренебрежении влиянием времени
пролета приводит к следующему предельному значе-
нию флуктуаций тока при данных условиях:
<8//> э ® (/) d/=	06 df, (102)
где в идеальном случае 6 = 3[1 — (ic/4)] — 0,644.
§ 1. Шум в электровакуумных лампах	123
Для более подробного изучения круга вопросов,
связанных с уменьшением шумов электровакуумных
ламп под влиянием пространственного заряда, сле-
дует обратиться к специальной технической литера-
туре, так как указанная область радиотехники хо-
рошо разработана и весьма важна.
3. «Фликкер-шум». До сих пор мы предполагали,
что в вакуумных лампах электроны эмитируются слу-
чайно и независимо друг от друга, причем среднее
число вылетающих частиц (принятое равным N
в 1 сек) постоянно во времени. Спорадическое изме-
нение этой средней скорости эмиссии приводит к по-
явлению существенно нового типа макроскопических
флуктуаций тока, складывающихся с основным дро-
бовым шумом, обусловленным неизбежной корпуску-
лярностью электрического заряда.
Этот новый вид шумов можно охарактеризовать
следующим образом. Изменение общей скорости
эмиссии можно рассматривать как некоторый эффект
«коллективного» взаимодействия вылетающих элек-
тронов в том смысле, что увеличение (убывание)
скорости эмиссии приводит к общему росту (или
уменьшению) вероятности эмиссии для любого элек-
трона. В какой-то степени можно противопоставить
этот эффект явлению ослабления уровня шумов под
влиянием пространственного заряда, когда возникаю-
щее из-за основных флуктуаций самопроизвольное
возрастание тока, как правило, уравновешивается
сопутствующим уменьшением общего тока лампы.
В то время как последний эффект естественно приво-
дит к уменьшению шумов, не удивительно, что рас-
сматриваемое явление вызывает увеличение шумов
в лампе.
Рассмотрим теперь возможные механизмы указан-
ного явления. Одно из объяснений состоит в предпо-
ложении, что общие спорадические вариации скоро-
сти эмиссии электронов вызываются посторонними
ионами (вероятно, ионами остаточного кислорода
в лампе), притягивающимися к катоду и вызываю-
щими изменение рабочих условий в непосредственной
9 Д- Мак-Доналд
130
Гл. 111. Шумы в электронных потоках
близости от него. Чтобы реальные флуктуации
вообще происходили, ионы должны впоследствии
снова покинуть катод. Обозначим через Ti среднее
время, в течение которого они остаются на катоде.
Довольно очевидно, что возникающие при этом флук-
туации существенны лишь для частот, не слишком
превышающих тГ1. Поэтому, вообще говоря, следует
ожидать, что исследуемый эффект будет зависеть от
макроскопического тока через лампу и проявляться
лишь на достаточно низких частотах; эффект стано-
вится пренебрежимо малым при Для обычного
источника света, например электрической лампы, ана-
логом флуктуаций типа дробового шума в электрон-
ных лампах являются естественные статистические
флуктуации излучения. Возможность существования
подобных флуктуаций становится наиболее очевидной
при рассмотрении излучения как потока «фотонов»1).
Однако, кроме этих флуктуаций, может возникнуть
отчетливо заметное «мерцание» света, вызванное не-
которыми макроскопическими флуктуационными яв-
лениями в источнике, причем это мерцание является
непосредственным аналогом только что рассмотрен-
ного эффекта в электронной лампе. По этой причине
низкочастотные шумы такого общего характера назы-
вают «фликкер-шумом»2).
Как мы далее увидим, простая модель фликкер-
шума дает для спектральной плотности мощности
*) В последнее время статистические флуктуации светового
потока (или в более общем случае электромагнитного излучения)
стали предметом тщательного рассмотрения; см., например, Хэн-
бари-Браун и Твисс [63], а также обзор О’Нейла и Брэдли [64].
Вероятно, следует заметить, что при анализе излучения, отожде-
ствленного с потоком фотонов, необходимо использовать стати-
стику Бозе — Эйнштейна. При интерпретации удобно разбить вы-
ражение для флуктуаций на две части, одна из которых обусло-
влена независимыми «классическими» частицами, а другая пред-
ставляет «когерентные» флуктуации, свойственные волнам. Мо-
жно сказать, что флуктуации отражают двойственную природу
излучения как корпускулярного и волнового процесса.
2) По английски flicker — мерцать; в русской литературе так-
же принят термин «эффект мерцания». — Прим. ред.
§ 1. Шум в электровакуумных лампах
131
шумов следующую зависимость от частоты:
которая представляет низкочастотный шум, заметно
уменьшающийся на частотах, превышающих тГ1- Во
многих вакуумных лампах и полупроводниковых при-
борах на низких частотах наблюдается дополнитель-
ный шум, и в настоящее время (1962 г.) этот вопрос
продолжает рассматриваться в литературе. Особенно
непонятной оказывается часто наблюдаемая на опыте
зависимость спектральной плотности мощности от
частоты, весьма близкая к гиперболической
~ 1//) в довольно широкой полосе частот, которая
отличается от только что приведенной зависимости.
Для объяснения этого необычного поведения было
предложено много остроумных механизмов. Однако
мы не будем на них останавливаться, а ограничимся
лишь исследованием простой модели.
МОДЕЛЬ. Воспользуемся соображениями, кото-
рые мы рассмотрели при обсуждении уменьшения
шума пространственным зарядом, и будем рассматри-
вать дополнительные флуктуации типа фликкер-шума
как случайную последовательность прямоугольных
импульсов тока положительной или отрицательной
полярности длительности т, возникающих со средней
частотой v (амплитуда этих «мерцающих» импульсов
тока относительно велика по сравнению с амплитудой
импульса от отдельного электрона, а частота «мерца-
ния» V, естественно, считается гораздо меньше частоты
N появления отдельных электронов, образующих ток
лампы). Имея в виду упомянутый выше механизм
с участием посторонних ионов, следует, очевидно, ожи-
дать, что частота v будет зависеть от плотности по-
сторонних ионов, а также от площади и температуры
катода. Будем считать амплитуду А импульсов флик-
кер-тока пропорциональной^ полному току лампы:
А = aJ, а их длительность т — статистически распре'
деленной по закону
(103)
9*
132
Гл. III. Шумы в электронных потоках
где Xi — среднее значение т. Это распределение дли-
тельности импульсов естественно возникает, если счи-
тать моменты прихода посторонних ионов на катод и
ухода с него случайными и такими, что длительность
пребывания любого заданного иона на катоде подчи-
няется так называемому распределению Пуассона,
выражаемому соотношением (103) (более подробное
рассмотрение распределения Пуассона см. в прило-
жении IV). Используя выражение (95) автокорреля-
ционной функции случайно возникающих прямоуголь-
ных импульсов тока, определим эту функцию для
тока фликкер-шума
СО
4> (Г) = М2 f (т — Т) е~Ъ —,	(104а)
т	’*
откуда
ф(7) = '*т1а2/2е-г/'>.	(1046)
Согласно теореме Винера — Хинчина [ср. уравнение
(55)], спектральная плотность мощности фликкер-
шума для исследуемой модели определяется соотно-
шением
ОО
w (/) = 4^012/2 J* cos 2^/Г dT, (105а)
о
или
4vT?a2/2
»(/)=1 + (ЬЛ.>--	<105б>
Выражение такого типа для спектральной плотности
мощности фликкер-шума с характерной зависимостью
от квадрата среднего тока / лампы и аналогичной
зависимостью от частоты было впервые получено
Шоттки [65] в результате довольно кропотливого
анализа.
Подчеркнем, что, хотя соотношение (1056) доста-
точно детально характеризует исследуемую проблему,
для более полного понимания фликкер-шума в элек-
тронных лампах, а также низкочастотных шумов
аналогичного характера в полупроводниках необхо-
димо еще решить ряд специальных задач. Возможно,
$ /. Шум в электровакуумных лампах
133
следует также напомнить, что источником фликкер-
шума мы считали некоторые, вообще говоря, от-
носительно крупномасштабные (макроскопические)
флуктуации (например, изменение катодной эмиссии
в вакуумных лампах), и поэтому в нашей модели ре-
зультирующая спектральная плотность мощности
должна быть суперпозицией спектральной плотности,
задаваемой соотношением (1056), и спектральной
плотности обычного дробового шума, обусловленного
естественными флуктуациями тока.
4. «Шумы перераспределения». Мы показали, как
действие пространственного заряда в электровакуум-
ных лампах может в значительной степени «сглажи-
вать» флуктуации типа дробового шума в потоке эми-
тируемых электронов. Однако этот в общем полезный
эффект по крайней мере частично может погашаться
«шумами перераспределения». Чтобы избежать суще-
ственного усложнения анализа, ограничимся случаем,
когда влиянием конечности времени пролета можно
пренебречь.
Допустим, что фактически каждый «первичный»
случайный импульс тока (с амплитудой е, произволь-
но принимающий положительное или отрицательное
значение) сопровождается «компенсирующим» им-
пульсом с относительной амплитудой —р (ср. фиг. 20).
В этом случае при пренебрежении влиянием времени
пролета для шумового тока получаем выражение
[ср. (101)]
<8$ s w (/) df= 2eJ(\ — № df.	(106)
Посмотрим теперь, что произойдет при распределении
тока лампы в конечном счете между двумя коллек-
торными электродами, скажем, анодом и экранной
сеткой. Даже если ток в результате действия про-
странственного заряда мог бы стать идеально сгла-
женным или «свободным» от шумов, последующее
разделение тока наверняка приведет к появлению не-
которой хаотичности, так как некоторый элемент слу-
чайности заключен уже в неопределенности места
окончания движения отдельных электронов. Модель,
134
Гл. 111. Шуты в электронных потоках
обычно принимаемая при исследовании этого явления,
также в значительной степени идеализирована. Пред-
полагается существенная неопределенность конечного
пункта движения любого данного «первичного» элек-
трона, причем вероятность попадания его на анод
принимается равной р и соответственно вероятность
попадания на экранную сетку —равной (1 — р).
С другой стороны, компенсирующие импульсы тока
будем считать всегда распределенными в той или
иной степени по току во всей лампе и, следовательно,
предположим, что компенсирующие импульсы анод-
ного тока неизменно имеют относительную амплитуду
— рр, а относительная амплитуда соответствующих
импульсов тока на экранной сетке всегда равна
— (1 — р)р. Подчеркнем, что исследуемая модель
весьма идеализирована и реальные условия в вакуум-
ной лампе могут заметно отличаться от принятых до-
пущений, хотя общие принципы, положенные в основу
предположенной модели, вполне правильны.
Вычислим автокорреляционную функцию флуктуа-
ций анодного тока с учетом ослабляющего действия
пространственного заряда и при наличии шумов пере-
распределения. Флуктуации анодного тока представим
в виде случайного потока зарядов со следующими
свойствами. Вероятность появления заряда, имеющего
величину (±)е(1 —рр) (знак заряда случаен), равна
р (что соответствует избытку или недостатку «первич-
ных» электронов в анодном токе при учете соответ-
ствующей доли полного «компенсирующего» заряда
— РР). В свою очередь заряды ± рре случайно возни-
кают с вероятностью (1—р) (и представляют избы-
ток или недостаток «первичных» электронов, обусло-
вливающих ток в цепи экранной сетки, при соответ-
ствующей доле —рр полного «компенсирующего»
заряда, регистрируемого в анодной цепи). Общая
средняя частота следования «первичных» импульсов,
как обычно, принята равной N в 1 сек, что соответ-
ствует полному (постоянному) току лампы J = Ne;
поэтому постоянная составляющая анодного тока
равна Jn = pJ, а постоянная составляющая тока
экранной сетки Jgt = (1—p)J. Используя теорему
§ 1. Шум в электровакуумных лампах
135
Кэмпбелла [соотношение (92)J и считая для удобства
форму импульсов тока прямоугольной, для полного
среднего квадрата флуктуаций анодного тока полу-
чим выражение
<^> = ЛГр(1-^)24+М1 -р)^- =
= ^Ч1-/’+Я1-?)2Ь	(107)
где через т обозначена длительность импульса. Если
взять т настолько малым, чтобы можно было пре-
небречь временем пролета, то выражение для спек-
тральной плотности мощности шумов примет вид
= 2eJa	,	(108)
где через Г2 обозначен «коэффициент ослабления шу-
мов пространственным зарядом» (1 — Р)2.
Хорошо известное соотношение (108) характери-
зует совместное действие механизма ослабления шу-
мов пространственным зарядом и механизма перерас-
пределения в электронных лампах. Напомним, что,
хотя наша модель в значительной степени идеализи-
рована, соотношение (108) справедливо по меньшей
мере в двух предельных случаях:
1) Если сглаживание пространственным зарядом
отсутствует, то Г2 = 1 и (8/^) = 2eJa df, откуда сле-
дует, что полный «дробовой шум» не может быть
«увеличен» из-за эффектов перераспределения тока.
2) При Г2 С 1 (или, более точно, T2JaIJg} 1)
электронный поток до «разделения тока» весьма
«сглажен»; в этом случае получаем соотношение для
флуктуаций тока
df,	(109)
которые можно назвать «чистым шумом перераспре-
деления». Полученное соотношение симметрично отно-
сительно величин Ja и Jgt и, как можно было ожи-
дать, не зависит от параметра Г2. Соотношения (109)
можно получить непосредственно из рассмотрения
136
Гл. III. Шумы в электронных потоках
чистого эффекта перераспределения тока, основываясь
на законе распределения Бернулли (см. приложе-
ние I). Действительно, как нетрудно заметить, флук-
туации тока, определяемые соотношением (109),
прямо пропорциональны произведению р(1—р), что
характерно и для полученного в приложении I
среднего квадрата флуктуаций при распределении
Бернулли.
$ 2. Случайный прямоугольный ток
В заключение рассмотрим случайную функцию
несколько иного типа, обладающую рядом интересных
свойств. Предположим для определенности, что ам-
плитуда электрического тока принимает лишь два
значения +А и —А, причем величина тока меняется
мгновенно и в случайные моменты времени со средней
частотой, равной fo в 1 сек. Физически такой ток
можно представить как результат действия «случай-
но колеблющегося» простого реле, или результат про-
хождения некоторой флуктуирующей функции через
устройство, в котором осуществляется сильное огра-
ничение амплитуды сигнала. Идеализированная форма
тока (или в общем случае — любого параметра, флук-
туирующего подобным образом) изображена на
фиг. 21 *)• Сразу же следует подчеркнуть, что мы не
можем при анализе данной задачи пользоваться соот-
ношением (94), так как, несмотря па характер изме-
нения длительности прямоугольных «участков» тока,
отдельные участки нельзя считать совершенно незави-
симыми: положительный участок, очевидно, всегда
следует за отрицательным, и наоборот.
Автокорреляционную функцию такого тока можно
вычислить следующим образом. Физически очевидно,
что исследуемая величина «статистически стационар-
на». Начнем рассмотрение в произвольный момент
времени, считая для определенности ток в этот мо-
*) Это так называемый случайный телеграфный сигнал, под-
робно изученный в теории связи (см., например, Райс [52]).—
Прим. ред.
£ 2. Случайный прямоугольный ток
137
мент положительным. Через интервал времени Т,
в течение которого произойдет четное число измене-

6
Фиг. 21. а — график изменения описанного в тексте случай*
но флуктуирующего прямоугольного переменного сигнала.
Момент начала любого конкретного <всплеска» предполагается совер-
шенно случайным, с единственным условием, что любой данный всплеск
всегда следует за всплеском противоположного знака.
б — графическое изображение флуктуирующей функции,
образованной последовательностью случайно возникающих
очень коротких импульсов чередующейся полярности.
Такую функцию можно получить, дифференцируя по времени процесс а.
ний полярности, ток снова окажется равным + Л,
а при нечетном числе «перебросов» станет равным
— Л. Как показано в приложении IV, отсюда следует,
138
Гл. Ill. Шумы в электронных потоках
ЧТО
ф(П = Л2е-/ог(1-/оГ+4г-
)=Л2е’2/»г. (НО)
Зная ф(Т), можно, как обычно, с помощью теоремы
Винера — Хинчина (55) вычислить соответствующую
спектральную плотность мощности шумов и в резуль-
тате получить
•(/) = M’fe-’Vcos2./7W=, + (,‘/;А), .(111)
Видно, что спектр шумов существенно «плоский» при
f С f0, а затем спектральная плотность убывает до
нуля.
Можно также сразу получить решение одной близ-
кой задачи, а именно, определить спектральную
плотность мощности шумов для последовательности
очень коротких импульсов тока, случайно возникаю-
щих со средней частотой следования W в 1 сек, при
дополнительном условии, что они могут быть либо
положительными, либо отрицательными. Такой цуг
импульсов можно было бы представить, например, то-
ком, полученным при дифференцировании по времени
случайной функции, исследованной в предыдущем
примере, если положить fo = N. Предположим далее,
что каждый импульс тока соответствует заряду вели-
чины е. Тогда с помощью соотношения (59а) (см.
стр. 78) можно получить для искомой спектральной
плотности мощности следующее выражение:
СО
iso (j) — Ne^nf J* e-2/vrsin 2it/T dT =
о
~	1 + (№/^2/2) •	(112)
В данном случае спектральная плотность шумов w(f)
обращается в нуль на низких частотах и постепенно
увеличивается, так что в пределе при / N спектр
становится «плоским», причем тогда w(f) = 2Ne2.
Физически чередование положительных и отрицатель-
§ 2. Случайный прямоугольный ток
!39
ных импульсов тока приводит к «уничтожению» спек-
тра на низких частотах, однако на высоких частотах
он стремится, как и следовало ожидать, к спектру,
характерному для полного «дробового шума» [w(f) =
= 2eJ], обусловленного током J = Ne.
Вообще говоря, соотношения (ПО) и (111) иллю-
стрируют важное свойство более или менее случай-
ного процесса. Вспомним сначала, что для полностью
предсказуемой функции, представимой рядом Фурье,
задания коэффициентов Фурье (т. е. «спектра» самой
функции), вообще говоря, достаточно для однознач-
ного и точного определения ее изменения во времени;
или, попросту говоря, задания спектра достаточно для
полного описания функции1). Ранее при рассмотре-
нии функции, изменяющейся более или менее случай-
но, мы должны были обращаться к исследованию
спектральной плотности мощности для получения
требуемой информации о ее поведении. Разумеется,
можно рассмотреть спектральную плотность мощно-
сти и для полностью предсказуемой величины, однако
это не дает большей информации (а в действительно-
сти дает меньшую информацию!), чем исследование
непосредственно фурье-спектра. Нас «вынуждает»
обратиться к рассмотрению спектральной плотности
мощности исследование флуктуирующих переменных,
и действительно этот путь весьма естественно приво-
дит прямо к соответствующей автокорреляционной
функции. Однако следует ясно себе представлять, что
хотя спектральная плотность мощности или автокор-
реляционная функция исключительно полезны при
*) Еще раз повторим, что мы не претендуем на полную ма-
тематическую строгость, и поэтому заранее исключаем из рас-
смотрения те «патологические» случаи, которые не согласуются
с данным рассмотрением. Исключены также функции, амплитуда
которых математически безгранично возрастает (например, ~t
или ~е* для неограниченных t); по-видимому, они никогда не
встречаются в реальных физических задачах.. [Современный гар-
монический анализ обобщенных функций, в том числе и обобщен-
ных случайных процессов, дает возможность вполне корректно и
доступно рассмотреть указанные «патологические» случаи, кото-
рые подчас являются весьма удобной идеализацией конкретных
физических ситуаций. — Прим, ред.]
НО	Гл. Ш. Шумы в электронных потоках
исследованиях, они никогда1) не могут в силу самой
природы флуктуационных задач в общем случае дать
совершенно однозначное или полное описание явле-
ний. Это отчетливо видно, если учесть, что с помощью
соотношений (ПО) и (111) можно точно определить
соответственно ф(Т) и w(f) для другой физической
задачи — изучения тока тепловых шумов в электриче-
ской цепи, содержащей сопротивление R и емкость С
при температуре Т — 9/k и выборе fo = 1/2CR и
= в/С/?2. Спектральные плотности мощности или
автокорреляционные функции в этих двух случаях
оказываются идентичными, хотя, как очевидно, харак-
тер временной зависимости тока шумов при этом со-
вершенно различен. Так, при рассмотрении случай-
ного «прямоугольного» тока средний квадрат тока
шумов равен (i2) = А2, а моменты более высокого
порядка есть соответственно
(/4) = Л4,	(/6) = Дв и т. д.,
или
(Z<) = <Z2)2, </6) = <i2>3 и т. д. (ИЗ)
Напротив, тепловые флуктуации тока в линейной
/?С-цепи оказываются неограниченными по амплитуде.
Действительно, как было показано при обсуждении
уравнения Фоккера — Планка (гл. II, § 6, п. 2), функ-
цию распределения мгновенных значений тока можно
считать гауссовой, а это, в частности, означает, что
различные моменты в противоположность (113) свя-
заны соотношениями
(^=3W
_________ (^«^(Z2)3 и т. д.	<114'
*) Вообще говоря, для полного описания случайной функции
необходимо задать многомерные функции распределения мгновен-
ных значений процесса для любого конечного набора моментов
времени. Естественно при этом, что описание свойств случайного
процесса с помощью только корреляционной функции — второго
смешанного момента — содержит неполную информацию о процес-
се. Однако для полного статистического описания гауссовских
процессов достаточно знания первых двух моментов. Флуктуа-
ционные процессы типа теплового шума или дробового эффекта
достаточно хорошо описываются именно как гауссовские стацио-
нарные процессы (см., например, Бунимович 181*], Райс [52]).—
Прим, ред.
§ 2. Случайный прямоугольный ток	141
Этот частный пример вновь помогает выяснить
взаимосвязь между физической необратимостью и
степенью определяющей ее хаотичности. Если иссле-
довать явление в макроскопическом масштабе, то при
этом мы устанавливаем скрытые «микроскопические»
(или, лучше сказать, «атомистические») свойства
лишь статистически либо потому, что ничего боль-
шего и не хотели (нам более чем достаточно и этих
сведений!), либо потому, что мы не в силах дать до-
статочно детального описания явления. При этом не-
избежно появляется некоторая неоднозначность
в описании «микроскопического» поведения (точно
так же, как с помощью спектральной плотности мощ-
ности или автокорреляционной функции, исключи-
тельно полезных во многих отношениях, нельзя полу-
чить однозначного и полного описания конкретной
флуктуирующей функции). Поэтому попытка в мак-
роскопическом. масштабе обратить явление (т. е. по-
пытка «повернуть ход» времени на этом уровне) ни
в коем случае не гарантирует какой-либо подобной
обратимости в микроскопическом масштабе.
ПРИЛОЖЕН ИЯ
I. СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯ И ФЛУКТУАЦИИ
ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БЕРНУЛЛИ
Пусть имеется N независимых «объектов», и пусть
вероятность того, что любой из этих независимых
объектов попадет внутрь некоторой заданной «обла-
сти», равна р (и, следовательно, вероятность того, что
он находится вне этой заданной области, равна, оче-
видно, 1—р). Можно сказать, что вероятность «бла-
гоприятного исхода» равна р, а «неблагоприятного
исхода» (1—р). Мы предполагаем, что благоприят»
ные и неблагоприятные исходы полностью независимы
(и различимы) друг от друга, или, иными словами,
что связь между благоприятным исходом для одного
из событий и благоприятным или неблагоприятным
исходом другого события отсутствует1). Для макро-
скопических объектов или величин высказанное
предположение может (приближенно) выполняться
или не выполняться, и дело самих физиков или инже-
неров в каждом случае решать, когда и при каких
условиях предположение о пренебрежимой малости
статистической связи оказывается фактически прием-
лемым.
Пусть п — число благоприятных исходов при про-
извольном частном испытании, или эксперимен-
те, с указанными N «объектами»; мы хотим вычис-
лить величины (п), (Зп2) =((п— (п))2) и (8л3) =s
= ((п—<п» 3>.
В рассмотренной нами в гл. I, § 2, п. 4, модели
«случайного блуждания» вероятность того, что вели-
чина шага In равна единице (это соответствует «бла-
гоприятному исходу»), обозначим через р, а вероят-
!) См. замечание на стр. 143.
Средние значения и флуктуации для распред. Бернулли 143
ность «нулевого шага» (неблагоприятный исход) через
(1 — р). Тогда очевидно, что
n
<п)=<х)=(2/я)=2</л)=
= Мр1+(1-р)-0] = ЛГр.	(115)
Таким же образом [ср. соотношение (6а)]
<л2> = 2 Ю + 2	= Np 4- ЛфУ- 1) р2. (116а)
п	п/т
Далее *)
<8д2>^<(„_<л>)2) = <л2>_2(Л)2 4- <л)2 = <п2)-(п)2.
и поэтому
(Ьп2) = Np + ЛфУ— 1) р2 — №р2 =
= Np — Np2 = Np (1 — р).	(1166)
Этот результат был нами использован в соотношениях
(69) и (70). Аналогично
Н=Ш+№)4- 2 <W,)=
п	пфт	п/т^т
= W/>4-3W(W—l)p2 + W(A/’—ШАГ—2)/>3, (117а)
и, следовательно,
(Sn3) = (я3) — 3 (л2) (л) + 2 (л)3 = Np-3Np2 4- 2NP3 =
= 2Л^(?-1)(р-1).	(1176)
Выражения (115), (1166) и (1176) определяют
среднее значение и флуктуации (в частности, «мо-
менты» второго и третьего порядка) для распределе-
ния, которое обычно называют распределением Бер-
нулли.
Замечание о статистике «элементарных частиц».
Следует всегда быть осторожным при исследовании
деталей поведения действительно «элементарных»
объектов, таких, как атомы, или, более точно, элек-
*) Равенство ((у — (у))2) = (у2)— (у)2 для любой случай-
ной величины у выражает весьма важный и часто используемый
результат.
144
Приложение I
троны, протоны или фотоны. Если «атомы» строго
локализованы, как это имеет место в твердых кри-
сталлах, то почти всегда можно сказать, что первона-
чально этот атом с определенной вероятностью нахо-
дится в состоянии А, а тот атом с некоторой иной
вероятностью — в состоянии В; и в последующем
отличать указанную конфигурацию, скажем, от такой,
в которой этот атом находится в состоянии В, а тот —
в состоянии А. Если, однако, мы будем рассматри-
вать другое явление, скажем, свободное движение
«электронного газа» в атомной решетке, что может
служить достаточно хорошей моделью строения ме-
талла, то электроны («свободные» электроны) отли-
чаются друг от друга лишь своими энергетическими
состояниями, которые в свою очередь определяются
свойствами кристаллической решетки как целого.
В последнем случае мы можем сказать лишь, что
состояние (1) занято некоторым электроном (безраз-
лично каким), и состояние (2) занято некоторым
электроном. При этом мы имеем единственную кон-
фигурацию, каковая и должна входить во все стати-
стические расчеты.
. В этом как раз и состоит сущность положения
статистической физики о неразличимости элементар-
ных частиц. Если больше не накладывается никаких
ограничений, то мы приходим к так называемой ста-
тистике Бозе — Эйнштейна, описывающей поведение
ансамблей «свободных» частиц с целым спином (О, Л
и т. д.), например фотонов. Для ансамблей частиц
с полуцелым спином (Л/2, ЗА/2 и т. д.), примером
которых являются электроны в металле, вводится до-
полнительное ограничение, так называемый принцип
Паули, утверждающий, что в данном (квантовом)
состоянии не может находиться одновременно более
одной частицы. При этом мы приходим к так назы-
ваемой статистике Ферми — Дирака.
II. ВЫВОД ФОРМУЛЫ ЭЙНШТЕЙНА
ДЛЯ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Рассмотрим ансамбль одинаковых систем в термо-
стате и исследуем поведение за короткий интервал
времени координаты «смещения» 0(/), достигшей
полностью стационарного равновесного состояния
(например, смещения броуновской частицы под дей-
ствием некоторой восстанавливающей силы, напра-
вленной к началу координат, или флуктуации
электрического заряда в контуре с сопротивлением и
емкостью). При этом
<86?> = ([0 (/) — 0 (О)]2) = <02 (/)> +
+ (02 (0)) - 2 <0 (/) 0 (0)).	(118)
Так как ансамбль находится в стационарном равно-
весии, то
(02(/)) = (02(О)> = (02).
Рассмотрим далее подансамбль систем, для которых
при t — О величина смещения равна 0(0), и будем
считать, что для достаточно короткого интервала вре-
мени t справедливо приближенное равенство
0(7) «0(0) 4-1(6)/,
где черта означает усреднение по подансамблю. Тогда
из соотношения (118) следует
<86?> « — 2 <Т(0) 0 (0)> t, (119)
так как (02(О)) = (02). Уже (119) показывает необхо-
димость линейной зависимости броуновского движе-
ния от времени t и определяет совершенно общий вид
выражения для среднего квадрата флуктуаций
10 Д Мак-Доналд
146
Приложение И
справедливого для линейных и нелинейных, по край-
ней мере в умеренной степени, систем. Очевидно, что
в (119) прежде всего подразумевается существование
отличной от нуля величины 6(0)9(0). Корреляция ме-
жду 0 и в, обеспечивающая выполнение этого условия,
Непосредственно определяется действием некоторой
вязкой силы или силы трения, и таким образом фор-
мула (119) устанавливает прямую связь между спон-
танными флуктуациями и необратимым жидким тре-
нием, вязкостью или сопротивлением.
Если, в частности, рассматривается система с ли-
нейным механизмом релаксации и предположена для
удобства линейность восстанавливающей силы, то
можно ожидать, что
1=-С(9 — (9)).	(120)
Например, если F = —Хх (так что (х) =*0), а слагае-
мое, описывающее жидкое трение, равно —х!В, то
х = — ХВл.	(120а)
В результате из (119) получаем соотношение
<89?>=2С«92) — <6>2)/,	(121)
которое можно рассматривать как общий вид урав-
нения Эйнштейна для линейных систем. В частности,
для приведенного выше примера будем иметь
(8х2) = 2ХВ(х2)/,	(121а)
так как (х) = 0. Используя также известный резуль-
тат статистической механики для классической систе-
мы, находящейся в термодинамическом равновесии,
имеем
х (х«) _ о .
2	— 2 ’
окончательно получаем
(8х2) = 2В0/,	(1216)
что согласуется с уравнением (12а), если в последнем
положить х = 0 при t = 0.
Ёывод формулы Эйнштейна для броунбвского движения 147
Замечания. 1. Переход к формуле (119) до некоторой
степени более тонок, чем могло бы, возможно, пока-
заться из-за простоты алгебраических выкладок. Мы
должны были, конечно, считать, что на протяжении
всего действия флуктуаций и макроскопической вяз-
кости или трения может поддерживаться полное ди-
намическое статистическое равновесие. Более того, мы
предположили, что должен существовать некий подхо-
дящий интервал времени t. для которого можно бы-
ло бы ограничиться в разложении 6(/) членом, линей-
но зависящим от времени.
Чтобы формально удовлетворить этому требова-
нию в нашем анализе, интервал t обязательно должен
иметь верхний предел такой, чтобы для всех момен-
тов времени выполнялось соотношение t С 1/С
[т. е. t <g \/ХВ в формуле (120а)]. А это, как может
показаться на первый взгляд, является весьма силь-
ным ограничением на /. Однако если мы хотим приме-
нить полученный результат к «несдерживаемой» систе-
ме (например, к полностью свободной броуновской
частице), можно выбрать для С произвольно малое
значение и таким образом сделать t настолько боль-
шим, насколько это необходимо; т. е. в формуле
(120а) мы можем выбрать X сколь угодно малым, так
как X не входит в окончательный результат, в дан-
ном случае в соотношение (1216). С другой стороны,
всегда должен существовать физический нижний пре-
дел для t. Обычно он определяется инерцией системы
[например, массой броуновской частицы, или индук-
тивностью («магнитная» инерция) электрического кон-
тура] вместе с вязкостью или трением [см., например,
выражение (10) или (28а)]. В нашем случае предпола-
гается, что инерция пренебрежимо мала. Следует так-
же рассмотреть вопрос о характерном временном мас-
штабе молекулярной бомбардировки окружающей
среды. Вывод, сделанный в гл. I при изучении моде-
ли «случайного блуждания» о пропорциональности
(х2) ~ t [соотношение (6г)], справедлив лишь при рас-
смотрении интервалов времени t, по крайней мере
превышающих длительность одиночного «шага» (I).
10*
148
Приложение 11
Соответственно этому формула (120), используемая
для вычисления взаимной корреляции (8(0)8(0)) в
(119), справедлива в лучшем случае для интервалов
времени, больших по сравнению со временем моле-
кулярных соударений. Сказанное выше является
отражением того основного факта, выраженного теоре-
тиками многими различными способами, что необра-
тимость зависит от характерного масштаба времени
события, или же, вероятно, можно сказать наоборот;
«необратимость требует времени».
2. Общую формулу (119), переписанную в виде
//дв2(О\ \
019а)
можно физически интерпретировать как выражение
полного баланса в равновесном ансамбле между
«приростом» энергии из окружающей среды благо-
даря спонтанным флуктуациям и величиной «потерь»,
обусловленных действием среднего «трения» или со-
противления.
3. Для систем с нелинейными (в умеренной степе-
ни) механизмами релаксации можно с большой до-
стоверностью предположить выполнение равенства
Т=-С(0)(0—<0)),	(1206)
где С считается теперь функцией от 0. Таким образом,
в частном случае, когда (0) = 0, мы должны получить
вместо (121)
(802> = 2<С?(0)02)Л	(121в)
При этом для броуновской частицы вместо (1216) мы
приходим к соотношению
(8х2) = 2ЦВ(х)х2)/.	(121г)
Для систем со слабой нелинейностью можно до-
казать ряд результатов, подобных уже приведенным
нами (см. также, например, Мак-Доналд [66], Лакс
[67], Алкмейд и др. [59], Бункин [76*, 77*]).
til. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ КЭМПБЕЛЛА
Предположим, что поступающие «импульсы» или
«выбросы» возникают случайным образом со средней
частотой N импульсов в 1 сек. Разделим ось времени
на малые интервалы Ы", вероятность р появления «вы-
броса» в течение произвольного данного элементар-
ного интервала оказывается равной р » Nit (р 1, и
поэтому в предельном случае достаточно малых 8/
можно полностью пренебречь в этом равенстве вероят-
ностью возникновения на рассматриваемом элемен-
тарном интервале Ы более чем одного импульса).
Предположим, кроме того, что вероятность появления
«выброса» в течение одного произвольного элемен-
тарного интервала времени совершенно не зависит от
вероятности возникновения импульса на другом эле-
ментарном интервале. Результирующий отклик линей-
ного прибора 8(7) в момент времени t определяется
суперпозицией откликов на все предыдущие «выбросы»,
возникающие во все моменты tr (от —оо), предше-
ствующие t, и может быть представлен в виде
8(0= S f(t-tr)pT,
tr—O>
где Рт = 1 или 0 в зависимости от того, возникал или
нет «выброс» в течение данного элементарного интер-
вала (tr, tr + bt), и, очевидно, (рг)=«р. В результате
<е (/)) =»	- tr)Pr) = %f(t- tr) {pr)=
+f
r)at-+N J f(t—x)dx (при 8/->0),
—oo
ИЛИ
0	oo
(0(O> e - N f f(y) dy -- N f /(/) dt.	(122)
—QO
0
150	Приложение 111
Заметим, что окончательный результат, выражае-
мый соотношением (34а), не зависит от t, как и сле-
довало ожидать для данного статистически стаци-
онарного состояния, так что можно написать (Q(t)) =
~ (6). Далее.
(О2 (0) = ( 2 /(/ -	- ts)PrPs) •
Поэтому
<o2)=S/2(<-^)<Pr)+ S f(t-tr)f(t-ts){PrP;)~
nJf2(t)dt-\-N2{Jf(t)dt\ ,	(123a)
где второе слагаемое дает все более точное прибли-
жение при стремлении Ы к нулю. Так как
<(0_(0))2) = (92)_(0)2,
окончательно получаем равенство
(802Ч = ((0 _ (0))2) = N Jf2{t}dt> (123б)
О
совпадающее с соотношением (346).
Замечания. Следует, вероятно, отметить, что доказа-
тельство теоремы Кэмпбелла в ее основной простой
форме подразумевало следующие два важные пред-
положения.
I. Возникновение первичных «выбросов» достаточ-
но случайно; эти импульсы некоррелированы друг
с другом.	'
2. Предположение об отсутствии корреляции при
выводе <892) остается справедливым даже при разбие-
нии времени на очень малые интервалы.
Последнее предположение означает в сущности,
что появляющиеся «выбросы» должны быть очень ко-
роткими по сравнению с f(t), так чтобы можно было
пренебречь «перекрытием» самих импульсов. При
Доказательство теоремы Кэмпбелла	151
этом требуется также, чтобы «мертвое время» самого
прибора после прибытия какого-либо импульса было
достаточно коротким; в противном случае возникает
корреляция, так как последующие «выбросы» не бу-
дут регистрироваться в течение этого «мертвого вре-
мени».
Вероятно, следует также заметить, что упомянутый
«прибор» не обязательно должен физически существо-
вать. Теорема Кэмпбелла позволяет сразу вычислять
как средний эффект, так и флуктуации, обусловлен-
ные действием линейной суперпозиции длительной во
времени последовательности произвольных одинако-
вых событий [именно f(t)], при условии, что появле-
ние во времени любого события происходит совер-
шенно случайно.
IV. АВТОКОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
ДЛЯ СЛУЧАЙНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТОКА
И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА
Пусть ток, скажем i(t), резко и случайным обра-
зом флуктуирует во времени, принимая значения +4
и —А (как в тексте). Пусть рп — вероятность того, что
за интервал времени Т произойдет ровно п «скачков»
тока. Тогда
ф (Т) - {i (t) i	— Д2 (Po -Pl+P2 • •.), (124)
где учитывается, что при «скачке» ток должен менять
знак.
Вероятность того, что скачок произойдет в тече-
ние малого элементарного интервала по определе-
нию, равна foW; следовательно, вероятность отсутствия
«скачка» в течение Ы равна 1 —Пусть ро(О —
вероятность того, что на интервале t не происходит
скачков тока, тогда
Ро(* + М=А>(О(1-/<М
В результате
и, значит,
?о(О=е'Ч	(125)
так как ро(О) должна равняться единице.
Прежде чем продолжить рассмотрение нашей ча-
стной проблемы, подчеркнем, что для распределения
Пуассона характерна очень малая величина вероятно-
сти совершения каждого одиночного события (напри-
мер, f&t в рассмотренной выше задаче). Вероятность
того, что в некоторой области (в предыдущем случае
интервал времени t) не произойдет ни одного события,
можно записать в более общем, чем формула (125),
виде: ро — е^, где 31 — среднее число событий, кото-
рые должны были произойти в данной области (в
рассмотренной выше задаче 9? = fot). Полученное рас-
Автокорреляционная функция и распределение Пуассона 153
пределение можно сравнить с рассмотренным ранее
(приложение I) распределением Бернулли, для кото-
рого вероятность р осуществления частного события
могла принимать любое значение между 0 и 1. Закон
распределения Пуассона весьма важен во многих об-
ластях физики (например, при исследовании погло-
щения излучения или электрического сопротивления),
где рассматриваются последовательности событий с
малыми вероятностями.
Вернемся к нашей задаче. Вероятность pi того, что
на интервале Т произойдет точно один «выброс», рав-
на вероятности отсутствия импульса между момен-
тами времени 0 и t(t < Т), появления его в интервале
между t, t 4- Ы и отсутствия на оставшемся интервале
времени вплоть до момента Т. Сказанное можно за-
писать в виде1)
т
Pl = f e-fo‘ - е-^-% dt = /0Теч*т.	(126)
о
Аналогично можно получить
А= J e-47o(7'_/)e-/o(r-iyo^==WVe-/oT	(127)
о
и для общего случая
(128)
Обозначив среднее число происшедших событий че-
рез Jt = foT, последнее равенство можно переписать
91л
Рп = ^е~*.	(128а)
Выражение (128а) определяет вероятность появления
точно п событий по закону распределения Пуассона.
Окончательно, используя (124) и (128), получаем
выражение, совпадающее с соотношением (110):
ф(7') = А2е-/ог(1-/о7	. .) = A2e~2f°T. (129)
’) Вероятно, следует подчеркнуть, что в приведенном соот-
ношении /о означает просто частоту (а не функцию).
154
Литература
ЛИТЕРАТУРА
1.	Einstein A., Ann. d Phys., 17, 549 (1905). (См. перевод:
А. Эйнштейн, М. Смолуховский, Броуновское
движение, сборник статей, М, 1936, стр. 13.)
2.	Einstein A., Ann. d. Phys., 19, 289, 371 (1906). (См. пере-
вод: А. Эйнштейн, М. Смолуховский, Броуновское
движение, сборник статей, М, 1936, стр. 43, 28.)
3.	Einstein A, Investigations on the Theory of Brownian Mo-
vement, cd. by R. Furth, London, 1926, 1956.
4.	Chandrasekhar S., Rev. Mod. Phys., 15, 1 (1943). (Cm.
перевод: С. Чандрасекар, Стохастические проблемы
в физике и астрономии, ИЛ, 1947.)
5.	N у q u i s t H., Phys., Rev. 29, 614 (1927).
6.	Nyquist H., Phys., Rev., 32, 110 (1928).
7.	Callen H. B, Welton T. A., Phys. Rev., 83, 34 (1951).
8.	Bernard W., Callen H. B., Rev. Mod. Phys., 31, 1017
(1959).
9.	Chandler R. E., Herman R., Montroll E. W., Opera-
tions Res., 6, 165 (1958).
10.	Herman R., Montroll E. W„ Potts R. B., Rothe-
r у R. W., Operations Res., 7, 86 (1959).
11.	D о mb C., Nature, 184, 509 (1959).
12.	Brown R, Phil. Mag., 4, 161; Ann. Phys. Chem., 14, 294
(1828).
13.	JevonsS., Proc. Manchr. Soc., 9, 78 (1869).
14.	Wiener Chr., Ann. Phys. Chem, 118, 79 (1863).
15.	G о u y, Compt. Rend, 109, 102 (1889).
16.	E x п e r F, Ann. d. Phys, 2, 843 (1900).
17.	Meade В ache, Proc. Amer. Phil. Soc, 33, 163 (1894).
18.	Maltezos, Ann. Chim. (Phys.), Paris, 1, 559 (1894).
19.	von N a g e 1 i, Mfinch. Sitzungsber. Math. Phys., 9, 389 (1879).
20.	MacDonald D. К. C, Phil. Mag, 41, 814 (1950).
21.	Brillouin L, Wave Propagation in Periodic Structures,
New York; 1st Ed, 1946,2nd Ed, 1953. (См. перевод франц,
изд.: Л. Бриллюэн и М. Парод и, Распространение
волн в периодических структурах, ИЛ, 1960.)
22.	von Smoluchowski М, Ann. d. Phys, 21, 756 (1906).
(См. перевод: А. Эйнштейн, М. Смолуховский,
Броуновское движение, сборник статей, М, 1936, стр. 133.)
23.	Furth R, Schwankungserscheinungen in der Physik, Bruns-
wick, 1920.
24.	Furth R, Zs. Phys, 2, 244 (1920).
25.	Swalin R. A., Martin A„ Olson R, Trans. Amer. Inst
Min. Metall. Petr. Eng, 209, 936 (1957).
26.	E i s e n s c h i t z R, Statistical Theory of Irreversible Proces-
ses, Oxford, 1958.
27.	J о h n s о n J. B, Nature, 119, 50 (1927).
28.	Johnson J. B, Phys. Rev, 29, 367 (1927).
29.	Johnson J. B., Phys. Rev, 32, 97 (1928).
Литература
15Л
30.	Schottky W., Ann. Phys., 57. 541 (1918).
31.	P e а г s о n К., Nature, 72, 294 (1905).
32.	Pearson K., Nature, 72, 342 (1905).
33.	Rayleigh Lord, Nature, 72, 318 (1905).
34.	M a c D о n a 1 d D. К. C., Research, 1, 194 (1948).
35.	Rack A. J., Bell System Techn. Journ., 17, 592 (1938).
36.	Thompson V. J., N о r t D. O., Harris W. A., R. C. A.
Review, 4 (1940); 5 (1941); 6 (1942); серия статей по ис-
следованию флуктуаций тока в вакуумных лампах.
37.	Schottky W., S р е п k е Е., Wiss. Veroff. aus d. Siem. Inst.
Min. Metall. Petr. Eng., 209, 936 (1937).
38.	Langevin M. P., Compt. Rend., 146, 530 (1908).
39.	U h I e n b e с к G. Е.» О r n s t e i n L. S., Phys. Rev., 36, 823
(1930).
40.	MacDonald D. К. C., Phil. Mag., 6, 1407 (1961).
41.	Wiener N., Act. Math., Stockholm, 55, 117 (1930).
42.	X и н ч и н A., Math. Ann., 109, 604 (1934).
43.	Th e v e n i n L, Compt. Rend., 97, 159 (1883).
44.	Weber J., Phys. Rev., 90, 977 (1953).
45.	Weber J., Phys. Rev., 94, 211 (1954).
46.	Weber J., Phys. Rev., 96, 556 (1954).
47.	M a c D о n a 1 d D. К. C., Physica, 28, 409 (1962).
48.	Campbell N. R., Proc. Cambr. Phil. Soc., 15, 117, 310
(1909).
49.	Campbell N. R., Proc. Cambr. Phil. Soc., 15, 513 (1910).
50.	Campbell N. R., Zs. Phys., 11, 826 (1910).
51.	FurthR., Phys. Zs., 23,354 (1922).
52.	Rice S. O., Bell System Techn. Journ., 23, 282 (1944); 24,
46 (1945). (См. перевод в сборнике «Теория передачи элек-
трических сигналов при наличии помех», ИЛ, 1953.)
53.	R a t с 1 i f f е J. A., Nature, 162, 9 (1948).
54.	MacDonald D. К. C., Phil. Mag., 40, 561 (1949).
55.	Wu T. M., Rivier D., Helv. Phys. Acta, 34, 661 (1961).
56.	N or dh e im L., Ann d. Phys., 9, 607 (1931).
57.	Wilson A. H., The Theory of Metals, Cambridge, 1st. ed.,
1936, 2nd Ed., 1953. (См. перевод 1-го изд.: Вильсон А.,
Квантовая теория металлов, М., 1941.)
58.	MacDonald D. К. С., Thermoelectricity; An Introduction
to the Principles, New York, 1962.
59.	Al kern a d e С. T. J., van Kam pen N. G., MacDo-
nald D. К. C., Proc. Roy. Soc., 271, № 1347, 449 (1963).
60.	MacDonald D. К. C., Amer. Journ. Phys., 28, 551 (1960).
61.	Kubo R., Canad. Journ. Phys., 34, 1274 (1956).
62.	MacDonald D. К. C., Flirth R., Proc. Phvs. Soc., 59,
375 (1947).
63.	H a n b u г у В г о w n R., T w i s s R. Q., Proc. Roy. Soc., A248,
199,222 (1958).
64.	O’Neill E. L., Bradley L. C., Physics Today, 14, 28 (1961).
65.	S c h о 11 k у W., Phys. Rev., 28, 74 (1926).
66.	MacDonald D. К. C.. Phys. Rev., 108, 541 (1957),
67.	Lax M., Rev. Mod. Phys., 32, 25 (1960).
156
Литература
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА1)
68*. Ф ел л е р В., Введение в теорию вероятностей и ее приложе-
ния, ИЛ, 1952.
69*. Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, Физматгиз,
1961.
70*. Давенпорт В. Б., Рут В. Л., Введение в теорию слу-
чайных сигналов и шумов, ИЛ, 1960.
71*. Р ы т о в С. М., Теория электрических флуктуаций и теплового
излучения, изд. АН СССР, 1953.
72*. Горелик Г С., Колебания и волны, Физматгиз, 1959.
73*. Б у н к и н Ф. В., О понятиях эффективной температуры для
стационарных неравновесных систем, Изв. ВУЗов, Радио-
физика, т. IV, № 3, 496 (1961).
74*. Б у н к и н Ф. В., К феноменологической теории тепловых
флуктуаций в макроскопических системах, Изв. ВУЗов, Ра-
диофизика, т. V, № 1, 83 (1962).
75*. Бункин Ф. В., К теории электромагнитных флуктуаций в
неравновесной плазме, ЖЭТФ, 41, вып. 1 (7), 288 (1961).
76*. Бункин Ф. В., Некоторые вопросы теории флуктуаций в
физических системах, Докторская диссертация, ФИАН
СССР, М., 1962.
77*.Бункин Ф. В., О тепловых флуктуациях в нелинейных си-
стемах, Радиотехн. и электрон., 6, № 1, 3 (1961).
78*. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных
сред, ГИТТЛ, 1954.
79*.Хинчии А. Л., Теория корреляции стационарных стохасти-
ческих процессов, Усп. матем. наук, вып. V, 3 (1938).
80*. X и н ч и н А. Я., Работы по математической теории массового
обслуживания, Физматгиз, 1963.
81*. Бунимович В. П., Флуктуационные процессы в радиопри-
емных устройствах, Изд. Сов. Радио, 1951.
() Список составлен редактором перевода.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода .......... ,	........ 5
Из предисловия автора ............................... 7
Глава	I. Общий обзор............................... 9
§ 1.	Введение..................................... 9
§ 2.	Броуновское движение......................... 18
1.	Исторический очерк (18). 2. (Ошибочные) до*
воды против молекулярного происхождения явле*
ния (19). 3. Наблюдаемая характеристика: зависи*
мость шумов от времени (22). 4. Анализ проблемы
.случайного блуждания*, данный Эйнштей-
ном (23). 5. Диффузия атомов (28). 6. Броунов-
ское движение и необратимость (31). 7. Уравнение
диффузии и вязкость (34).
§ 3.	Электрический аналог броуновского движения и
«дробовой шум*...................................... 38
1.	Тепловые флуктуации (броуновское движение)
(38). 2. «Дробовой шум» и электронный заряд (39).
§ 4.	Наблюдаемые шумы: зависимость от времени и
частотная характеристика.............................46
1.	Исследования Ланжевена (47). 2. Частотная
характеристика (53). 3. Теорема Найквиста (55).
4. Теорема Кэмпбелла (58).
§ 5. Основные выводы............................. 64
Глава П. Корреляция, спектральная плотность мощ-
ности и функция распределения....................66
§ 1. Статистически стационарные функции...........66
§ 2. Автокорреляционная функция и теорема Винера —
Хинчина...................................... 70
1.	Теорема о связи спектральной плотности мощ-
ности и смещения (77).
158
Оглавление
§ 3.	Приложение теории к броуновскому движению ... 79
1. Вывод автокорреляционной функции из урав-
нения Ланжевена (79). 2. Спектральная плотность
мощности для скорости или тока (80). 3. Связь
смещения и спектральной плотности мощности
(81). 4. Спектральная плотность мощности элек-
трических флуктуаций (83).
§ 4.	Проблема движения транспорта.................. 86
1.	Средние «убыль» и «прирост» машин (87).
2.	Флуктуации (хаотичность) числа машин в группе
(89).
§ 5.	Родственная проблема о шумах в электронном
пучке............................................. 91
§ 6.	Функция распределения и установление равновесия 98
1. Кинетическое уравнение (100). 2. Уравнение Фок-
кера — Планка (101). 3. Диффузия и равновесное
распределение (104). 4. Установление равновесного
распределения (106). 5. Смещение и спектральная
плотность мощности (109).
§ 7.	Необратимость и «микроскопическая» сила .... ПО
§ 8.	Заключение....................................113
Глава III. Шумы в электронных потоках.................115
§ 1.	Шум в электровакуумных лампах.................115
1.	Конечность времени пролета (116). 2 Уменьше-
ние шумов из-за действия пространственного за-
ряда (122). 3. «Фликкер-шум» (129). 4. «Шумы пе-
рераспределения» (133).
§ 2.	Случайный прямоугольный ток...................136
ПРИЛОЖЕНИЯ
I. Средние значения и флуктуации для распределения Бер-
нулли .............................................142
II. Вывод формулы Эйнштейна для броуновского движения 145
III. Доказательство теоремы Кэмпбелла.................149
IV. Автокорреляционная функция для случайного прямо-
угольного тока и распределение Пуассона............152
Литература............................................154
Дополнительная литература.............................156
Д. МАК-ДОНАЛД
ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИКУ
ШУМОВ И ФЛУКТУАЦИЙ
Редактор А. К. Бурцев
Художник Я. А. Зарин.
Технический редактор Т. Л. Сухорукова
Сдано в производство 20/IX 1963 г.
Подписано к печати 29/11 1964 г.
Бумага 84 х 108,/а2*2Л бум. л.
8,2 печ. л. Уч. изд. л. 7,4
Изд. М 2/2214.
Цена 52 коп. Зак. 1685
(Темплан 1964 г. Изд-во „ИЛ" пор. М 54)
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР*
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой
«Главполиграфпрома»
Государственного комитета Совета
Министров СССР по печати.
Измайловский проспект, 29.
юлка к
СССР
у
Библиотека
бесплатных
учебников на
сайте:
ussrvopros.ru
(перейти
каталогу