Г. С. КРИНЧИК
ФИЗИКА
МАГНИТНЫХ
ЯВЛЕНИЙ
Допущено Министерством
высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов физических
специальностей
высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1976

УДК 538.0
Кринчик Г. С. Физика магнитных явлений. Л1, Изд-во Моск. ун-та, 1976,
367 с. 146 ил. Библиогр. 174 назв.
В книге рассмотрены современные теоретические представления о пара-,
дна- и ферромагнетизме металлов и диэлектриков, анализируются различ-
различные элементы магнитной структуры и процессы намагничивания ферро-
ферромагнетиков, дано представление о многоподрешеточных магнетиках:
ферритах-шпинелях, ферритах-граиатах, гексаферритах и геликоидальных
магнетиках. Рассмотрено поведение магнитоупорядоченных кристаллов в
переменном магнитном поле. Кроме того, включены некоторые новые для
учебников по магнетизму вопросы: теория молекулярных орбиталей, .маг-
.магнитооптические явления, теория подобия, цилиндрические магнитные до-
домены, слабый ферромагнетизм, пьезомагнитные и магнитоэлектрические
эффекты, теоретико-групповая классификация энергетических уровней в
парамагнитных кристаллах и ферромагнитных металлах, зонная структура
ферромагнитных металлов, теория косвенного обмена в ферродиэлектри-
ках и ферромагнитных металлах.
Пособие предназначено студентам вузов, физических специальностей,
а также аспирантам, научным работникам и инженерам.
Рецензенты:
кафедра молекулярной физики Ленинградского университета,
акад. А. С. Боровик-Романов
20407 141
К 124—76 E) Издательство Московского университета, 1976 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ . 5
Глава 1. ПАРА- И ДИАМАГНЕТИЗМ
§ 1.1. Исторический очерк 7
§ 1.2. Магнитные характеристики 10
§ 1.3. Термодинамические соотношения 20
§ 1.4. Строение электронных оболочек переходных и редкозе-
редкоземельных ионов 28
§ 1.5. Пара- и диамагнетизм свободных ионов 35
§ 1.6. Пара- и диамагнетизм металлов 40
§ 1.7. Теоретико-групповая классификация энергетических уров-
уровней иоиов в кристаллах 46
§ 1.8. Теория кристаллического поля 55
§ 1.9. Молекулярные орбита ли 65
§ 1.10. Магнитные свойства ионов в кристаллах 70
Глава 2. ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
§ 2.1. Теория молекулярного поля Вейсса 77
§ 2.2. Молекула водорода 91
§ 2.3. Обобщение теории на N атомов. Модель Френкеля —
Гейзеиберга 96
§ 2.4. Спиновые волиы. Закон Блоха 102
§ 2.5. Зонная теория металлов 109
§ 2.6. Теоретико-групповая классификация электронных состояний
в металлах 118
§ 2.7. Зонная структура ферромагнитного никеля 123
§ 2.8. Критерий ферромагнетизма Зй-металлов 130
§ 2.9. Косвенный обмен в ферродиэлектриках 133
§ 2.10 Обмен через электроны проводимости, (s—d)- обменная мо-
модель Воисовского 148
§ 2.11. Метод вторичного квантования 155
§ 2.12. Теория спиновых волн по методу вторичного квантования 159
Глава 3. ДОМЕННАЯ СТРУКТУРА И ПРОЦЕССЫ НАМАГНИЧИ-
НАМАГНИЧИВАНИЯ
§ 3.1. Энергия обменного взаимодействия 169
§ 3.2. Магнитная кристаллографическая анизотропия .... 172
§ 3.3. Магнитоупругая энергия 182
§ 3.4. Магиитостатическая энергия 186
§ 3.5. Доменные границы » 190
§ 3.6. Доменная структура 194
§ 3.7. Уравнение Ландау—Лифшица 210
§ 3.8. Процессы смещения доменных границ 216
§ 3.9. Процессы вращения вектора намагниченности . . . 228
§ 3.10. Тонкие ферромагнитные пленки 238

Глава 4. МНОГОПОДРЕШЕТОЧНЫЕ МАГНЕТИКИ
§ 4.1. Антиферромагнетики 243
§ 4.2. Слабые ферромагнетики 250
§ 4.3. Ферриты-шпинели . 262
§ 4.4. Теория ферримагиетнзма Нееля 267
§ 4.5. Ферриты-гранаты 275
§ 4.6. Сложные магнитные структуры 278
Глава 5. ПОВЕДЕНИЕ МАГНИТНЫХ КРИСТАЛЛОВ В ПЕРЕ-
ПЕРЕМЕННЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
§ 5.1. Ферромагнитный резонанс 289
§ 5.2. Ферримагиитный резонанс 297
§ 5.3. Магнитный резонанс в антиферромагнетнках и слабых
ферромагнетиках 301
§ 5.4. Резонанс и релаксация доменных границ ... . 312
§ 5.5. Магнитооптические эффекты. Магнитная восприимчивость
на оптических частотах 322
§ 5.6. Исследование магнитных кристаллов .магнитооптическими
методами 337
ЛИТЕРАТУРА 363

ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая читателю книга написана на основании курса, про-
прочитанного на физическом факультете МГУ для студентов, специа-
специализирующихся по кафедре магнетизма, в полном соответствии с
существующей программой для физиков-магнитологов. Ее назначе-
назначение — помочь читателю в усвоении основных понятий физики маг-
магнитных явлений для использования их в практической работе и
подготовить его к чтению журнальных публикаций и монографий
по магнетизму. В книгу не включены такие разделы, как магнит-
магнитные материалы, магнитные измерения, парамагнитный и ядерный
резонансы, ядерный гамма-резонанс, гальвано- и термомагнитные
эффекты в магнитоупорядоченных кристаллах. Это вызвано, во-
первых, естественным ограничением, связанным с объемом учеб-
учебника, а во-вторых, тем, что эти разделы магнетизма излагаются в
отдельных курсах.
С другой стороны, в книге рассматриваются многие физические
вопросы, которые обычно не входили в учебники по магнетизму,
например представление о молекулярных орбиталях, основы тео-
теории подобия (скейлинг), теоретико-групповая классификация элек-
электронных состояний в парамагнитных кристаллах и ферромагнит-
ферромагнитных металлах, зонная структура ферромагнитных металлов, тео-
теория цилиндрических магнитных доменов, слабый ферромагнетизм,
пьезомагнитные и магнитоэлектрические эффекты, магнитный ре-
резонанс в слабых ферромагнетиках, движение доменных границ
с предельно высокими скоростями и, наконец, обширный круг
проблем, относящихся к магнитооптическим явлениям в магнито-
магнитоупорядоченных кристаллах.
Количество ссылок на оригинальные публикации предельно
ограничено, поскольку исчерпывающая библиография по магнетиз-
магнетизму имеется в книге С. В. Вонсовского «Магнетизм». М., «Наука»,
1971. Эту же монографию следует в первую очередь рекомендо-
рекомендовать читателю для расширения и углубления знаний в области
физики магнитных явлений.
Мне хотелось бы с благодарностью отметить огромную помощь,
которую оказали при написании этой книги мои товарищи по рабо-
работе Е. Е. Чепурова, Е. А. Ганьшина, Г. В. Мачавариани и В. Ё. Зу-
Зубов. Я искренне благодарен академику А. С. Боровику-Романову

за целый ряд ценных замечаний, сделанных при рецензировании
книги, и редактору Г. Е. Горелику, в большой мере способствовав-
способствовавшему улучшению качества изложения. Приношу также свою благо-
благодарность О. П. Ахматовой, В. Д. Горбуновой, Ш. В. Эгамову,
Л. И. Панову, В. Г. Федулову за техническую помощь при подго-
подготовке рукописи к изданию.
Поскольку это первая попытка изложения университетского
курса по магнетизму, то здесь вполне возможны недостатки, и ав-
автор с благодарностью примет все указания на них.

Глава 1
ПАРА- И ДИАМАГНЕТИЗМ
§ 1.1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК
Согласно наиболее правдоподобной версии слова «магнетизм»,
«магнит» произошли от названия греческой провинции Магнезия
и города Магнессы, в окрестности которого добывался камень, при-
притягивающий железо,— магнетит. Эту версию сообщает Лукреций
Кар в своей книге «О природе вещей». По Плинию, магнит назван
по имени нашедшего его пастуха Магнеса [1].Историюо словах и
о существе предмета имеет интересное современное продолжение.
Магнетит является одним из представителей класса очень сложно
устроенных магнитных кристаллов — ферритов-шпинелей, а имен-
именно магнетит — это феррит железа FeOFe2O3. Французский ученый
Неель, разгадавший магнитное строение такого типа кристаллов,
ввел в обращение для их обозначения специальный термин — фер-
римагнетики, За создание теории ферримагнетизма Неелю была
присуждена Нобелевская премия по физике 1970 г. Таким образом,
на разгадку тайны магнетита ушел немалый отрезок времени, бо-
более чем в 2,5 тысячелетия, равный всему периоду развития науки
о физике магнитных явлений от греческих натурфилософов до
наших дней. Легко прослеживается также линия: магнетит (маг-
(магнитный железняк)—феррит — железо — «главный» ферромагнит-
ферромагнитный металл, полная разгадка магнитного строения которого, впро-
впрочем, не найдена до сих пор, что и дает дополнительное основание
для написания учебников по магнетизму.
Первым экспериментатором-магнитологом можно считать Пьера
де Марикура (Перегрина), который в опытах с терреллой, шаро-
шарообразным магнитом из того же магнетита, установил ориентацию
продолговатых брусков железа вдоль меридианов терреллы, он же
ввел термин полюса магнита A269).
Первую монографию по магнетизму написал Гильберт [2].
Он изложил все известные до него факты по изучению магнетиз-
магнетизма, а также результаты собственных обширных исследований. Он
повторил опыты Перегрина с терреллой и понял, что террелла яв-
является моделью Земли, т. е. что Земля есть большой магнит, но
объяснение магнитному притяжению находил в существовании у
магнита души. Материалистическую точку зрения на магнитные
явления противопоставил Гильберту Декарт. Магнитные «винтики»
Декарта входят в единственные известные к тому времени магнит-

ные материалы — магнитный железняк, железо и сталь, проис-
происшедшие, по его мнению, из самых глубин Земли — через нарезные
каналы в один полюс и выходят из другого. Голландец Бургманс
открыл в 1778 г. притяжение парамагнетиков и отталкивание диа-
магнетиков.
Начало интенсивных и, можно сказать, современных исследо-
исследований магнетизма можно отнести к 1820 г.; затем эти исследова-
исследования расширялись и нарастали вплоть до наших дней. Разобьем
для удобства этот интервал на три полувековых периода: 1820—
1870 гг., 1870—1920 гг. и 1920—1970 гг.
Первый период начался с открытия Эрстедом связи между
электричеством и магнетизмом; он обнаружил влияние постоянного
тока на магнитную стрелку. Ампер в докладе Французской Акаде-
Академии, прочитанном через семь дней после сообщения об открытии
Эрстеда, высказал знаменитую идею о молекулярных токах как
причине происхождения магнетизма и доказал теорему об эквива-
эквивалентности токов и магнитов. В 1831 г. Фарадей открыл закон элек-
электромагнитной индукции, затем он повторил опыты Бургманса и
ввел понятия дна- и парамагнетизма. В связи с исследованием
диамагнетиков он также ввел понятие магнитного поля и в том
же 1845 г. «намагнитил» свет, т. е. открыл эффект вращения пло-
плоскости поляризации света в стекле, помещенном в магнитное поле.
Первый период достойно увенчали уравнения Максвелла.
Второй период начался с первой экспериментальной работы по
количественному изучению необычайно больших полей и нелиней-
нелинейных магнитных свойств ферромагнетиков. В работе «О функции
намагничивания железа» Столетов измерил кривую зависимости
магнитной проницаемости железа от поля (с максимумом). В 90-х
годах был открыт и «утвержден в правах» электрон. В 1896 г.
Зееман обнаружил эффект расщепления спектральных линий в
магнитном поле, а затем Лоренц создал электронную теорию эф-
эффекта Зеемана. В 1897 г. Лармор доказал теорему о прецессии
электрона в магнитном поле. В эти же годы Пьер Кюри установил
температурную независимость диамагнитной восприимчивости и
обратную пропорциональность температуре магнитной восприимчи-
восприимчивости парамагнетиков. Ланжевен в 1905 г., используя представле-
представление об амперовых молекулярных токах, теорему Лармора и элек-
электронную теорию Лоренца, построил классическую теорию диа- и
парамагнетизма.
Вейсс в 1907 г. создал первую современную теорию ферромаг-
ферромагнетизма, основанную на гипотезах о существовании внутреннего
молекулярного поля, приводящего к появлению спонтанной намаг-
намагниченности у ферромагнетика, и о разбиении ферромагнетика на
домены, каждый из которых намагничен до насыщения. В эти же
годы Аркадьев изучает поведение ферромагнетиков в переменных
магнитных полях с целью обнаружения резонансного поглощения
высокочастотного электромагнитного излучения — ферромагнитно-
ферромагнитного резонанса.

Начало третьего периода ознаменовалось введением Паули в
1920 г. магнетона Бора — электронного кванта магнетизма.
В 1925 г. Гаудсмит и Уленбек открыли спин электрона, и дальней-
дальнейшее развитие квантовой механики привело Гейзенберга, Френкеля
и Блоха к созданию квантовой теории ферромагнетизма, основан-
основанной на учете обменного взаимодействия. Параллельно с этим на-
начали формироваться и современные представления о процессах
технического намагничивания ферромагнетиков, основы которых
заложили теоретические работы Акулова.
Мы не будем далее перечислять конкретные идеи и результаты
третьего периода — основного этапа в развитии учения о магне-
магнетизме, потому что конкретное изложение содержательной части
этих идеи и результатов как раз и является главной задачей дан-
данной книги. Обратим внимание только на основные линии разви-
развития магнитных исследований этого этапа и причины, их опреде-
определяющие. Можно выделить два главных направления, два периода
длительного «бума» в магнетизме, обусловленных практическими
потребностями в усовершенствовании существующих и создании
новых магнитных материалов и состоявших в концентрации усилий
огромного числа физиков-исследователей и физиков-инженеров на
решении одной широкой проблемы.
Первый из них начался в 20—30-е гг., он состоял в изучении
магнитных свойств металлических сплавов и был обусловлен по-
потребностями в магнитно-мягких материалах с рекордно большими
значениями магнитной проницаемости, магнитно-жестких материал
лах для постоянных магнитов, магнитных сплавах инварного типа
с температурно независимыми магнитными характеристиками,
магнитно-стрикционных материалах. Для достижения этой цели
оказалось необходимым детально изучить магнитные явления в
чистых ферромагнитных З^-металлах, на основе которых создава-
создавались сплавы, причем особенно детально были изучены монокри-
монокристальные образцы, так как их свойства можно было объяснить
теоретически наиболее простыми и надежными способами. Были
развиты конкретные представления о магнитной структуре ферро-
ферромагнетиков (домены и доменные границы), создана теория техни-
технической кривой намагничивания (процессы вращения вектора на-
намагниченности, процессы смещения доменных границ, парапро-
Цесс), получены теоретические формулы для магнитных характери-
характеристик материалов- (магнитная восприимчивость, коэрцитивная сила,
остаточная намагниченность). Развивалась квантовая теория фер-
ферромагнетизма (теория прямого обменного взаимодействия, теория
спиновых волн, зонная теория ферромагнетизма З^-металлов).
В результате был достигнут огромный прогресс в общем развитии
физики магнитных явлений.
Второй «бум» начался к концу второй мировой войны, когда
были получены методом спекания порошка первые оксидные фер-
родиэлектрики — ферриты-шпинели типа MeO-Fe2O3. Уменьшение
электропроводности в этих материалах по сравнению с металли-

ческими ферромагнетиками привело к резкому уменьшению джоу-
левых потерь, при этом удалось сохранить хорошие магнитные
характеристики материала. На их основе были созданы новые
магнитные материалы с замечательными свойствами для радио-
радиодиапазона, для диапазона СВЧ и даже для лазерных применений,
а также миниатюрные кольца для матричных запоминающих уст-
устройств ЭВМ. Снова понадобились широкие физические исследо-
исследования монокристаллов ферритов, многие из которых, кстати, нашли
самостоятельное практическое применение. Была создана теория
косвенного обменного взаимодействия через немагнитные ионы,
экспериментально и теоретически изучено поведение ферромагне-
ферромагнетиков в переменных магнитных полях различных частот, развиты
представления о многоподрешеточных магнитоупорядоченных кри-
кристаллах— от простейших двухподрешеточных антиферромагнети-
антиферромагнетиков до сложнейших геликоидальных структур. Интенсивнейшее
развитие этой области исследований снова преобразило весь об-
облик физики магнитных явлений.
Каково будет содержание следующего «бума»? Или он уже
начался? На эти вопросы ответ даст будущее. Пока можно только
назвать некоторых претендентов на эту роль — тонкие ферромаг-
ферромагнитные пленки (с включением поверхностных слоев и монокри-
монокристальных пластинок); редкоземельные, аморфные, жидкие и орга-
органические магнетики; биомагнетизм; магнитохимию. Возможно так-
также, что решающие новости придут из исследований микромира
(монополи Дирака), слабых взаимодействий, из астрофизики и
т. д. Во всяком случае в виде шутки можно сказать, что открытие
нейтральных слабых токов, сделанное совсем недавно, в начале
семидесятых годов, полностью укладывается в предложенную зы-
ше периодизацию. Это обнаружение связи, а может быть и един-
единства слабых и электромагнитных взаимодействий, вполне может
стать аналогом упоминавшихся опытов Эрстеда 1820 г., в которых
была установлена связь между электричеством и магнетизмом.
§ 1.2. МАГНИТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Долгое время считалось, что источниками магнитного поля явля-
являются особые магнитные заряды. Однако все экспериментальные
попытки найти эти заряды (с современной точки зрения, монополи
Дирака) пока не увенчались успехом.
Опыт показывает, что всякий постоянный естественный или
созданный искусственный магнит, как бы мал он ни был, всегда
в равной степени обладает зарядами обоих знаков, т. е. сущест-
существуют только магнитные диполи. Однако, пользуясь понятием маг-
магнитных зарядов и аналогией с электростатикой, можно сразу же
написать ряд простых и важных формул. Например, кулоновскую
силу притяжения или отталкивания двух зарядов в магнитостати-
магнитостатике можно записать так:
10

F=k mi'ma A.2.1)
где mb m2 — величины магнитных зарядов, г — расстояние между
ними, k — коэффициент пропорциональности, равный единице в
системе CGS.
Напряженность магнитного поля есть сила, действующая на
единичный положительный заряд:
Я=-^, A.2.2)
г2
при этом сила, действующая на заряд т в поле Н,
?=тП. A.2.3)
Магнитный момент диполя определяется так:
H = ml, A.2.4)
где 1 — вектор, связывающий точечные магнитные заряды т и —т.
Магнитный дипольный момент ц может иметь либо орбиталь-
орбитальное происхождение (гипотеза Ампера), либо спиновое.
На магнитный момент, помещенный в однородное магнитное
поле Н, действует момент сил:
Ь=[Нц]. A.2.5)
На магнитный момент, помещенный в неоднородное магнитное по-
поле, действует сила
F=({iV)H. A.2.6)
Для магнитных материалов вводится понятие намагниченно-
намагниченности I, определяемое как отношение магнитного момента малого
объема к этому объему
Для однородно намагниченного магнитного материала намаг-
намагниченность I есть магнитный момент единицы объема. Плотность
магнитных зарядов на поверхности образца с намагниченностью I
будет равна
а=1п. A.2.8)
Коэффициент пропорциональности между I и Н называется
магнитной восприимчивостью вещества
1=хН. A.2.9)
Магнитная восприимчивость может быть и тензором. Для ха-
характеристики намагниченного образца часто используют величину
В —магнитную индукцию (плотность магнитного потока), причем
11

В=Н 4я1. A.2.10)
Коэффициент пропорциональности между В и Н называется маг-
магнитной проницаемостью вещества
В=цН. A.2.11)
Из предыдущих формул следует соотношение
ц = 1 4ях. A.2.12)
Классическими характеристиками магнитного материала явля-
являются кривая намагничивания и петля гистерезиса.
Измерение нулевой кривой намагничивания осуществляется при
монотонном возрастании напряженности магнитного поля Я, дей-
действующего на образец, намагниченность которого вначале равня-
равнялась нулю, т. е. измерения производятся на образцах, предвари-
предварительно подвергшихся размагничиванию, например в знакоперемен-
знакопеременном поле с постепенно убывающей амплитудой.
Характерная для ферромагнетика нелинейная кривая намагни-
намагничивания изображена на рис. 1.1. Кривую намагничивания можно
разделить на ряд участков, соответствующих различным физиче-
физическим процессам, обусловливающим изменение намагниченности.
Область I может быть определена как область обратимых про-
процессов намагничивания. При возрастании и при убывании напря-
напряженности магнитного поля Я изменение намагниченности прямо
пропорционально изменению напряженности поля / = хаЯ, где у.а
носит название начальной восприимчивости. Изменение намагни-
намагниченности / в этой области обусловлено, как правило, упругим сме-
смещением границ между магнитными областями, но если процессы
смещения границ исключены, то начальная восприимчивость обус-
обусловлена поворотом вектора Ь на небольшой угол. Область II была
исследована Релеем, здесь
Вклад процессов необратимого намагничивания (в основном
за счет необратимого смещения доменных границ) определяется
вторым слагаемым. Область III — область максимальной крутизны
кривой намагничивания, максимальной проницаемости материа-
материала— характеризуется наиболее интенсивным протеканием процесса
необратимого смещения доменных границ. В области IV процессы
смещения доменных границ уже в основном закончены и намагни-
намагничивание осуществляется путем процессов вращения, поворота век-
векторов /s отдельных доменов к направлению магнитного поля.
Область V — область парапронесса, или, как иногда говорят,
истинного намагничивания. Здесь процессы технического намагни-
намагничивания уже завершены, образен намагничен до насыщения, до
величины /,ъ-7\ Однако 1цт меньше /so — намагниченности насыще-
12

ния при абсолютном нуле — за счет теплового переброса отдельных
элементарных магнитиков (возбуждения спиновых волн). Ориен-
Ориентация этих магнитиков вдоль направления поля, а значит и увели-
'АН
'-fir
fo6p.
Zo5p'
макс
in
'Is
ш
Рис. 1.1, Кривая намагничивания и петли гистерезиса ферромагнетика
чение /s есть процесс истинного намагничивания, парапроцесс.
Легче всего поэтому наблюдать парапроцесс вблизи температуры
Кюри, где /sr</so.
13

Перейдем теперь к описанию петли гистерезиса (рис. 1.2).
При уменьшении магнитного поля от значений, соответствую-
соответствующих магнитному насыщению образца, намагниченность / умень-
уменьшается не по кривой СВАО, а вдоль CD, так что, вообще говоря,
при #=0 Ir-ФО). Отставание намагниченности от поля и есть ги-
гистерезис — важная характеристика магнитного вещества, опреде-
определяющая необратимые потери
энергии в процессе перемагнй-
чивания. Величина Ir называ-
называется остаточной намагничен-
намагниченностью вещества. Если увели-
увеличивать поле в противополож-
противоположном направлении, то оказы-
оказывается, что намагниченность
обращается в нуль при некото-
некотором поле Нс. Это поле назы-
называется коэрцитивной силой.
Дальнейшее увеличение поля
приводит к росту I отрицатель-
отрицательного знака и достижению на-
намагниченности насыщения—Is.
Если теперь снова умень-
уменьшать поле, а затем приклады-
прикладывать поле другого знака, то на-
намагниченность изменяется по
линии FGC. Кривая CDEFGC и есть предельная симметричная
петля гистерезиса. CDEF называют нисходящей ветвью петли ги-
гистерезиса, a FGC — восходящей ветвью. Возможны также проме-
промежуточные, частные циклы перемагничивания при изменении намаг-
намагниченности от Ii<Is до —h. Если Ь = 12, то мы имеем симТяетрич-
ный частный цикл, в противном случае —■ несимметричные
(см. рис. 1.1). Кривая, соединяющая вершины симметричных
частных циклов, есть нулевая кривая намагничивания.
Одной из основных характеристик магнитного материала (а не-
немагнитных материалов в природе не бывает) является магнитная
восприимчивость, которую в зависимости от обстоятельств опреде-
определяют по-разному:
Рис. 1.2
н
Идифф —
dl
dfi
A.2.13)
A.2.14)
соответствует тангенсу угла наклона касательной в различных точ-
точках кривой намагничивания или петли гистерезиса;
А/
A.2.15)
14

определяется для частных несимметричных циклов при Д#-»-0
(см. рис. 1.1).
Зависимости х от Я приведены на рис. 1.3. Кривая для хПОлн
есть кривая Столетова. Все три кривые х(Я) при Я->-0 сходятся
к значению начальной восприимчивости ха. Можно записать со-
соотношение Хдифф=У,обр + 5<необр, ГДе
Хнеобр характеризует вклад про-
процессов необратимого намагничива-
намагничивания.
При рассмотрении сред с потеря-
потерями, анизотропных сред и поведения
магнетиков в высокочастотных по-
полях понятие магнитной восприимчи-
восприимчивости будет естественным образом
обобщаться. Заметим также, что
каждому типу магнитной воспри-
восприимчивости можно в соответствии с
A.2.12) сопоставить соответствую-
соответствующую магнитную проницаемость.
Завершая разговор об определении различных магнитных ха-
характеристик материала, следует заметить, что эти понятия станут
более полными и содержательными после рассмотрения тех физи-
физических процессов намагничивания, которые стоят за введенными
S Обр
Н
Рис. 1.3
I
Is
Рис. 1.4. Прямоугольная (а) и «безгистерезисная» (б) петли гистерезиса
выше формальными определениями. Нужно также иметь в виду,
что эти определения вводились на примере классической кривой
намагничивания и петли гистерезиса поликристаллического мате-
материала с «распределенными» магнитными характеристиками отдель-
отдельных кристаллитов. Для современных магнитных материалов ситуа-
ситуация может «обостриться» и измениться до неузнаваемости. Для
примера укажем на прямоугольную и «безгистерезисную» петли
гистерезиса, изображенные на рис. 1.4. В первом случае кривая
15

намагничивания отсутствует, восприимчивость равна нулю или бес-
бесконечности, размагнитить образец вообще нельзя. Во втором слу-
случае при —HS<H<HS Иа=Иполн=хОбр, ^д = 0> Нс = 0, потери на пе-
ремагничивание равны нулю. В реально разработанных материа-
материалах удается довольно близко подойти к двум рассмотренным
идеализированным вариантам магнитных характеристик, причем
интересно, что эти два «полярных» варианта, как правило, наблю-
наблюдаются на одном и том же образце при различных способах намаг-
намагничивания, и при этом Нс на рис. 1.4, а равно Hs на ряс. 1.4,6.
Все рассматривавшиеся выше кривые относились к телу бес-
бесконечных размеров или к тороидам. Если же в магнитное поле Н
поместить ограниченный образец, то оказывается, что к внешнему
полю добавляется поле, обусловленное наведенными на поверх-
поверхности образца магнитными зарядами.
В частности, для тел эллипсоидальной формы
HLyrP=H-NI=H-Ho, A.2.16)
Но = —Л7 называется размагничивающим полем, а Л7 — размагни-
размагничивающим фактором.
Покажем, что форма образца может оказать существенное
влияние на результаты измерения. Для реального образца следует
учитывать размагничивающее поле, и соотношение A.2.9) запишет-
запишется так:
1=иНв„утр, A.2.17)
где %■—магнитная восприимчивость вещества. С учетом A.2.16)
I = х (Н— N1) и, следовательно,
или
где
Очевидно, что
lim xo
1
1
1=3
я
1 + v.N
= lim-
l
я
■/..V
Л,
1
1
1
+ N
N
1
A.2
A.2
A.2.
.18)
.19)
20)
т. е. при очень большой восприимчивости материала для тел ко-
конечных размеров мы всегда должны получить восприимчивость^
равную 1/Л7. Это предельное значение х иногда называется вос-
восприимчивостью формы. Очевидно, что размагничивающее поле
также будет изменять форму кривой намагничивания и петли ги-
16

стерезиса, хотя легко понять, что в отличие от х, ц, /д коэрцитив-
коэрцитивная сила Яс не зависит от формы образца.
Релей предложил удобный метод сдвига, который позволяет
по кривой /(Я) материала найти /(Я) образца, и наоборот, если
известен размагничивающий фактор. Для этого в системе коорди-
координат /, Я проводят прямую Я = —.V/ и затем сдвигают кривую
/(Я) вправо или влево на величину абсцисс этой прямой в зависи-
зависимости от того, определяют ли влияние формы на данный материал
или по измеренной кривой для образца конечной формы опреде-
определяют магнитные характеристики материала.
Количественное описание влияния размагничивающих полей и
вообще расчет магнитных полей в пространстве можно провести,
вводя скалярный потенциал ц>.
При этом, как и в электростатике, для отдельного заряда
<р=—. A.2.21)
г
Н= — дгаAф = — уф. A.2.22)
Потенциал магнитного диполя
фи| = -^-^-аи- c°s(Pr) = -^ A.2.23)
Т.и /_ Г2 Г3
Т— — Г+ — I и г — расстояние от точки наблюдения 0 до центра ди-
диполя с. Далее.
<Pm = (Р\сГ~1) = {1Г • Г == | Ц | Г COS 6,
и для всего объема
Фт = J (l\cr~l)dV. A.2.24)
Если учесть, что
(lV,/-1) = div (r-Ч) -—- div 1,
г
и теорему Гаусса
Г div (>-Ч) dV = ф l2n~Im dS = - ф -5J1L dS,
где /2п—/1п — разность нормальных составляющих по обе стороны
поверхности магнетика, то
A.2.25)
17

p = —div I — плотность объемных магнитных зарядов и о=—Divl—
плотность поверхностных магнитных зарядов.
Для рассматриваемой задачи о размагничивающем поле возь-
возьмем скалярный потенциал ср в виде A.2.24).
Из A.2.22) и A.2.24) следует, что
где N (г)—тензор размагничивающих коэффициентов с компонен-
компонентами:
Вообще говоря, поле На не является однородным. Покажем,
что если придать ферромагнетику форму эллипсоида, то при / =
= const поле внутри него (но не вне) будет однородным. Для точек
внутри эллипсоида справедливо равенство
(\), A.2.27)
где Rs = У {а2 + S) (b2 + S) (c2 -f S), a, b, с — полуоси эллипсоида;
x, у, z — проекции радиус-вектора г произвольной точки внутри
эллипсоида на главные оси эллипсоида.
Так как подынтегральное выражение в A.2.27) представляет
собой квадратичную функцию координат точки г, то тензор N не
будет зависеть от координат и, следовательно, поле будет одно-
однородным.
Если система координат выбрана так, что оси совпадают с
главными осями эллипсоида, то тензор размагничивающих коэффи-
коэффициентов будет иметь только диагональные элементы:
N1 = 2я abc Г
}1" + S>RS
oo
N2 = 2я abc - , A.2.28)
о
iV, = 2я abc i .
Легко убедиться, что сумма размагничивающих коэффициентов
равна
Nj. -f ^V2 + N, = 4я. A.2.29)
18

Очевидно, что если образец имеет форму шара, то
N1=Na=Na=±£-. A.2.30)
О
Если тело имеет форму цилиндра, ось которого направлена вдоль х,
так что а = оо; Ь= с, то
jVx = 0, N2=N3= 2я. A.2.31)
Для пластинки, перпендикулярной х, Ь = с = оо и
ЛГ1 = 4я, iV2=iV3=0. A.2.32)
Для вытянутого эллипсоида вращения (а>Ь=с) с эксцентрисите-
эксцентриситетом e=V'\— Ь2!а2 A.2.28) дают
V N2 = N3 = 2яA — NJ, A.2.33)
+ e2 A.2.34)
1-е
а при е <^ 1
1 3 15 3 3 15
Для сплюснутого эллипсоида {а= b>c, е= Уаг\Ьг— 1)
при
N = 4я 1+е2 (е — arctge), iVx = iV2 = 2я A — iV3); A.2.35)
е3
3 3 15 1 2 3 15
В таблице 1.1 приведены численные значения размагничиваю-
размагничивающих факторов ./V/4jt для цилиндров и эллипсоидов в направлении
большой оси.
При отсутствии токов существует удобная для пользования си-
система уравнений магнитостатики
сПу#=4яр, rot Я = 0,
Н2п~Н1п= 4по, Ни — Ни = 0, A.2.37)
и с учетом A.2.22) мы придем к дифференциальному уравнению
Пуассона, которым мы воспользуемся при расчетах в § 3.4.
Если же, наоборот, имеется система токов, а намагниченные
тела, т. е. магнитные заряды отсутствуют, то удобнее для опреде-
определения полей пользоваться вектор-потенциалом А.
Из условия р = 0 следует, что в A.2.37) div#=0 и, значит,
существует такой вектор А, что
Я = rot А. A.2.38)

Таблица 1.1
Размагничивающие факторы N,/4jt для цилиндров и эллипсоидов, намагниченных
параллельно оси вращения
Эллипсоиды вращения и цилиндры
N/Чя
m=b/a
0
1
2
5
10
20
50
100
200
500
1000
2000
цилиндр
1,0
0,27
0,14
0,04
0,017
6,2-10-3
1,3-10-з
3,6-10"*
9-Ю-5
1,4-Ю-8
3,6-Ю-о
9-10-'
вытянутый
эллипсоид
1,0
0,33
0,17
0,056
0,020
6,75-Ю-з
1,4-Ю-з
4,3-10-*
1,25-10-*
2,48-Ю
6,6-Ю-о
1,9-Ю-о
сжатый эллип-
эллипсоид
1,0
0,33
0,24
0,12
0,0696
0,037
0,015
7,8-Ю-з
3,9-10-з
1,6-10-з
7,8-10-*
3,9-10-*
Пластинки эллиптической формы
с толщиной tcb, a
m=b/a
1,00
1,11
1,25
1,43
1,67
2,00
2,50
3,33
5,00
10,00
20,00
4 Я t
0,785
0,764
0,744
0,710
0,674
0,630
0,576
0,505
0,410
0,262
0,170
0,000
« Na b
A=— —
4Я г
0,785
0,895
1,026
1,212
1,453
1,792
2,300
3,150
4,843
9,899
17,951
Но теперь уже
rot Н =
j.
Ц.2.39)
Подставляя A.2.39) в A.2.38), получаем уравнение магнитоста-
магнитостатики
4л .
j
и аналогично A.2.25)
A = — 1 J-<
r
A.2.40)
A.2.41)
Выбор скалярного или векторного потенциала проводится из
соображений удобства, и переходом от магнитных зарядов к ампе-
ровым токам или от токов к магнитным двойным слоям можно
сделать оба подхода эквивалентными.
§ 1.3. ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
Для введения магнитных членов в термодинамические потен-
потенциалы необходимо получить выражение для работы намагничива-
намагничивания. Пусть мы имеем ферромагнитный цилиндр площадью S, дли-
длиной / с намагниченностью /, помещенный во внешнее поле Я.
Найдем, какую работу надо совершить, чтобы увеличить намагни-
намагниченность на величину dl. Очевидно для этого надо перенести заряд
20

jn="SdI на расстояние /. При этом сила, действующая на этот
заряд, будет равна
F=mH=SHdI, A.3.1)
а работа
dA=Fl=SlHdI A.3.2)
и для единицы объема
dA = Hdl A.3.3)
или
.4= f/M/. A.3.4)
6
Рассмотрим теперь заполненную ферромагнитным материалом
катушку с числом витков п, площадью поперечного сечения S, дли-
длиной /, по которой течет ток I.
Напряженность магнитного поля такого соленоида задается
формулой
Н= — — /. A.3.5)
Э. д. с. индукции
Мощность тока равна
E = ±nS^-. A.3.6)
с dt K '
С ■ ' С dB /1 О -74
Ei = i — nS—-. A.3.7)
с dt
Используя A.3.5), получаем
Ft — ^ — Я! * И ^ П ^ Я\
dt 4я dt K '
Отсюда находим работу намагничивания единицы объема
в
A=~[HdB A.3.9)
4л .)
о
ИЛИ
н
А= А14~А2=—Н2 ^[Hdl. A.3.10)
8л J
о
Здесь At = Я2 — работа по созданию магнитного поля в объеме,
8л
занимаемом образцом, а Л2= Г #d/ — работа намагничивания.
о
21

Первый закон термодинамики записывается в виде
dU=8Q + dA A.3.11>
и с учетом A.3.3) при введении только работы намагничивания
переписывается так:
A.3.12)
Если внутреннюю энергию системы рассматривать только как
функцию температуры и намагниченности, то
dU=(^-\ (ГГ + (Щ dl. A.3.13)
\дТ )i \ dl }т
Из A.3.12) и A.3.13) получаем
или
lf^) ±\(*L) ]l. A.3.14)
дТ }i ^ Т [\ dl )т
Используя равенство смешанных вторых производных в A.3.14),
находим
J\±(*L)} L\±\(*L) я]} A.3.15)
dl I Т \дТ Jij дТ { T l\ dl }т
и, следовательно,
/ AT 1 \ f ?iU \
A.3.16)
. dl J т \ dT
Рассмотрим зависимость внутренней энергии от намагниченно-
намагниченности для разного типа магнетиков. Как будет показано в § 1.5, для
чистых парамагнетиков выполняется закон Кюри:
/=}£Я==—Я. A.3.1-7)
Отсюда
\дТ )i С Т ' \ д! ]т
Щ
и, следовательно, внутренняя энергия парамагнетика не зависит
от намагниченности.
На ферромагнетик (см. § 2.1) помимо внешнего поля Я дей-
действует молекулярное поле Вейсса, пропорциональное намагничен-
намагниченности Hu- = wl, и, следовательно,
() A-3.18)
22

^ 1.3.18) можно переписать так:
H~wI=Ty(I). A.3.19)
Отсюда
-, A.3.20)
дТ }i
т. е. с учетом A.3.16)
и, следовательно, внутренняя энергия U ферромагнетика пропор-
пропорциональна квадрату намагниченности.
Вернемся теперь к уравнению A.3.14). Учитывая A.3.16), за-
запишем его следующим образом;
8Q = TdS= (—\ йТ — Т(—\ dl. A.3.22)
Удельная теплоемкость системы у определяется как —— и зависит
от условий, при которых происходит изменение температуры. Для
магнитных систем вводят у* и ун — удельные теплоемкости при
постоянной намагниченности и постоянном магнитном поле соот-
соответственно.
Из уравнения A.3.22) видно, что
Подставляя dl= (—) dH + f—V dT в A.3.22), получим
\ дН I т \ дТ } н
) ) ]dT(\ () dH
дТ )i\dT )н\ \дТ)\дн}
A.3.24)
и, следовательно,
(£)(&) A-3'25)
или так называемая ферромагнитная аномалия удельной теплоемкости
Используя A.3.20) и условие H<^wl, находим
\ дТ I н
или
yI — yH=JLw.*!Lm A.3.27)
23

Таким образом, ферромагнитная аномалия теплоемкости до-
достигает максимума вблизи температуры Кюри 0 (см. рис. 1.5). Это
обстоятельство используют для обнаружения магнитного упоря-
упорядочивания в новых химических соединениях, определения темпе-
температуры Кюри в отсутствие магнитного поля, а формулу A.3.27) —
0.16 г
Ni
012
200 280 360
Рис. 1.5. Ферромагнитная аномалия теплоемкости никеля [1]
ЧЧО
для количественного определения величины коэффициента моле-
молекулярного ПОЛЯ IL'.
Полученные термодинамические соотношения можно использо-
использовать для расчета магнитокалорического эффекта — изменения тем-
температуры магнетика при его намагничивании.
Рассмотрим адиабатический процесс 6Q = 0. В этом случае
уравнение A.3.22) приобретает вид
-1" [§■),"■
A.3.28)
Следовательно, формула, выражающая магнитокалорический эф-
эффект через Yz и изменение намагниченности, запишется так:
=Л-Ж Д/.
YI
J i
A.3.29)
Для ферромагнетиков выше точки Кюри выполняется закон
Кюри—Вейсса K=e/w(T—в), и формула A.3.29) для Т>в при-
приобретает вид
ДГ= — — w—AP. A.3.30)
y, e 2
24

Зависимости AT от А/2 для Ni при различных температурах
приведены на рис. 1.6.
По наклону этих прямых можно определить постоянную моле-
молекулярного поля w.
О 50 100 150 200 250 300 JSO 400 ^ 450^ ^
Рис. 1.6. Магнитокалорический эффект для Ni при различных температурах [2]
Используя те же преобразования, что и при получении ун, лег-
легко вывести формулу, выражающую магнитокалорический эффект
через изменение внешнего магнитного поля:
Ун \ дТ н
A.3.31)
Для парамагнетика i/= — Н) формула A.3.31) примет вид
AT = — — HAH.
Т Ун
A.3.32)
Отсюда видно, что увеличение Я приводит к увеличению Т, и,
наоборот, уменьшение поля вызывает понижение температуры.
Последнее обстоятельство широко используется для получения
сверхнизких температур методом адиабатического размагничива-
размагничивания парамагнитных солей.
Кратко остановимся теперь на других термодинамических по-
потенциалах, которые могут использоваться при термодинамических
расчетах магнитных систем.
Энтальпия
E=U — IH, 8E=TdS — I6H. A.3.33)
25

Этот потенциал удобно использовать для описания адиабатических
процессов, когда в качестве переменной выбрано магнитное поле.
Свободная энергия
F=U — TS. A.3.34)
С учетом возможного изменения объема
6F=— SdT — pSV + HSl. A.3.35)
Мы будем часто использовать этот потенциал для описания
изотермически-изохорических процессов, когда в качестве пере-
переменной выбрана намагниченность.
Потенциал Ф=Е—TS=F— IH,
6Ф = — SdT — p8V — I6H. A.3.36>
Из любого термодинамического потенциала, используя условие
равенства смешанных производных, можно получить ряд полезных
соотношений. Например, из A.3.36) находим
dS \ = f_dp_\ /_as_\ = / dl \
dV )т,н [dTjv.ti' \dHJT.v \дт)у,н'
A.3.37)
Мы будем использовать также потенциал Ф для расчета намаг-
намагниченности при известном спектре энергетических уровней системы,
поскольку, как следует из A.3.36),
— = -/, A.3.38)
а с другой стороны,
ф=— kTlnZ, A.3.39)
где Z — статистический интеграл или статистическая сумма си-
системы. Например, статистическая сумма
A.3.40)
где суммирование проводится по всем состояниям рассматриваемой
системы, Еп — энергия n-го состояния, k — постоянная Больцмана,
a gn — статистический вес данного состояния.
Выражение для статистического интеграла мы используем при
доказательстве теоремы Бора — Ван-Лёвен.
Рассмотрим некоторую систему из п электрически заряженных
частиц с импульсами pi, имеющую непрерывный спектр энергий.
Оказывается, что для такой системы, согласно классической ста-
статистической механике, справедлива теорема Бора — Ван-Лёвен:
26

магнитный момент любого магнетика, рассматриваемого как кол-
коллектив движущихся элементарных электрических зарядов, поме-
помещенных во внешнее постоянное магнитное поле, в стационарном
состоянии равен нулю.
Докажем эту теорему.
Наложение внешнего магнитного поля на систему приводит к
изменению импульса
Pi = Pi+—А, A.3.41)
С
где А — вектор-потенциал.
Статистический интеграл Z будет в данном случае иметь вид
е- \2
Р. + -Г*
1=1
где
dx=dx1... dzn, dp = dpxl... dpzn.
Осуществляя замену переменных рх-+Рг в A.3.42), получаем
A.3.43)
Здесь Д — якобиан перехода к новым переменным. Так как
, дФ _ д (kT In Z)
~ дН ~ дН
a Pi и все элементы якобиана перехода в Z не зависят от Я:
. О,
следовательно,
/= d{kTlnZ) =0, A.3.44)
и теорема доказана.
Таким образом, существование стационарного магнитного мо-
момента в любой системе есть чисто квантовый эффект.
Выпишем еще два термодинамических потенциала G и К, кото-
которые не имеют специального наименования, потому что использу-
используются только для расчета магнитострикционных соотношений.
G=E+pV, К = Ф + рУ, A.3.45)
8G = TdS+Vdp — I6H,
б/С=— SdT + Vdp — I6H. A.3.46)
27

Используя A.3.46), получаем формулы, которые можно упо-
употреблять при расчетах объемной магиитострикции:
/ а/ \ / av \ i дт
\ dp Jh.t '. дН Jp.T \ dp Jh.s \ дН Jp,s
Заменяя р на о, а V на /, найдем соответствующие формулы
для линейной магнитострикции:
/ а/ , / зМ , а/ , A 347),
\ да Jh.t \ дН ]р,т \ да )h,s \ дН )p.s'
§ 1.4. СТРОЕНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ОБОЛОЧЕК
ПЕРЕХОДНЫХ И РЕДКОЗЕМЕЛЬНЫХ ИОНОВ
В этом параграфе мы рассмотрим, чем определяются магнит-
магнитные свойства свободных ионов двух переходных групп с незапол-
незаполненными внутренними оболочками 3d и 4f, которые входят в со-
состав подавляющего большинства магнитных кристаллов. Анализ
строения незаполненной оболочки этих ионов облегчается тем, что
для них справедлива схема Рассела —Саундерса. При этом орби-
орбитальные и спиновые моменты количества движения можно считать
суммирующимися независимо и образующими результирующие
орбитальные и спиновые моменты оболочки в целом, т. е.
A.4.1>
A.4.2)
i '
Полный момент количества движения оболочки
J = L —5. A.4.3)
Набор энергетических уровней данной электронной конфигу-
конфигурации при фиксированных значениях L и S и изменяющимся вза-
взаимным расположением их, т. е. изменяющимся J, называется
термом.
Основной терм, т. е. терм с наименьшей энергией, определяет-
определяется эмпирически установленными правилами Хунда: основным
является терм с наибольшим возможным при данной электронной
конфигурации значением S и наибольшим (возможным при этом
S) значением L. Следует отметить, что пока ничего не говорилось
о полном моменте J. Оказывается, что справедливо утверждение:
при нормальном порядке уровней (первая половина 3d или 4/ пе-
периода) J должно быть минимальным, т. е. L и S антипараллельны,
а при обратном (вторая половина периода) — / должно быть мак-
максимальным, L и S параллельны. Иногда это утверждение называют
третьим правилом Хуида.
28

Третье правило Хунда определяет, таким образом, основной
уровень терма. Положение возбужденных уровней терма (компо-
(компонент тонкой структуры) определяется величиной спин-орбиталь-
спин-орбитального взаимодействия. Число компонент тонкой структуры, очевидно,
равно 25+1 при L^S и 2L+1 при S^L.
Атомные и ионные термы принято обозначать так же, как и
для отдельных электронов, но здесь состояния с различными зна-
значениями полного орбитального момента L обозначаются не малы-
малыми, а большими буквами латинского алфавита:
L
Обозначение
0
5
1
Р
2
D
3
F
4
G
Ь
Н
6
J
7
К
8
L
9
М
10
N
Слева вверху буквенного символа указывается число 25+1, назы-
называемое мультиплетностью терма (надо, однако, иметь в виду, что
это число определяет число компонент тонкой структуры лишь при
L^S). Справа внизу указывается значение полного момента /.
Так, например, символ 2Р обозначает терм с L=l, S= —, а сим-
мол 2Р\/2 — энергетический уровень этого терма с J = —.
Собственные значения квадратов орбитального, спинового и
полного момента количества движения выражаются обычными со-
соотношениями
L(L+l)/l2, S(S~\)U\ J{J+\)%\ A.4.4)
Полезно также выписать выражения для собственных значений
магнитных моментов при заданных квантовых числах:
ЦУ = gjPB VJ(J'- О, IIL = gLllB l/ЦГХТ), Цз = gsllB VS(S+l),
A.4.5)
где g — фактор Ланде, причем gL = h gs=2,
_^ j(j+l)-HL+l) + S(S+l) I
Sj 27 (J + 1) ' '
Следовательно,
1),
Us = 2цв VS(S+l) = (iB /2SBS+2) = [iB УМп + Ъ), A.4.7)
где п — число электронов или дырок в оболочке (см. ниже).
Вводя фактор
A-4.8)
получаем прямую связь A.4.5) с A.4.4) в виде соотношений
hj = у/йVJ77TT), щ. = yLnVl(l+i), us = ysn /5E + 1).
A.4.9)
29

И наконец, выражения для z-компонент магнитных моментов
собственных значений проекций магнитных моментов на ось кван-
квантования задаются формулами:
V>JZ = gjMj\is, ц£ = §1.Мщвг (-if = gsMsp-в, (I -4.10)
где магнитные квантовые числа Mj, ML и Ms принимают соответ-
соответственно значения от / до —/, от L до —L и от 5 до —5. Значения
z-компонент определяют величину зеемановской энергии взаимо-
взаимодействия магнитных ионов с внешним полем Н
Г2§). A.4.11)
Пользуясь введенными понятиями и символами, можно на кон-
конкретных примерах показать, как описываются магнитные свойства
переходных ионов. Электронная конфигурация незаполненной обо-
оболочки определяется количеством электронов данного типа (индекс
справа сверху у малой латинской буквы, соответствующей орби-
орбитальному квантовому числу). В табл. 1.2 приведены электронные
Таблица 1.2
Электронные
Р1 Р2 з
Р* Р5 Р
2р Зр 45
конфигурации
определенны е
d»
2D
р-, d-, f-оболочек и основные
с помощью правил Хунда
d2 d3 d* ,6
d8 d7 de
зр ip 5D es
fl {2 ft
f!3 {12 {11
2F 3H *l
I*
{10
«I"
f»
f9
H
термы
?p 8S
конфигурации р-, d- и f-оболочек и их основные термы, опреде-
определенные с помощью правил Хунда.
Наиболее глубоко лежащими термами здесь являются 2Р, 3Р,
45, 2D, 5D, 6S, 2F, 7F, 85, поскольку данному максимальному значе-
значению спинового момента S в этих случаях соответствует лишь одно
значение L. В табл. 1.3 приведены основные уровни для различных
Зй-ионов, а также рассчитанные по формулам A.4.5) и A.4.7)
значения атомных магнитных моментов.
Перейдем теперь к редкоземельным ионам (РЗМ), в которых
происходит постепенная застройка электронной 4/-оболочки (от La,
z=57 с конфигурацией 4f° до Lu, z = 71 с конфигурацией if14). За
магнитные свойства редкоземельных соединений ответственны
именно электроны незаполненной 4/-оболочки, которые хорошо ло-
локализованы, т. е. радиус 4/-оболочки мал по сравнению с постоян-
постоянной решетки, и, кроме того, они экранируются внешними запол-
заполненными оболочками Es2 и 5р6) от влияния соседних атомов.
Поэтому атомы или ионы РЗМ в магнитном отношении часто ведут
себя как невзаимодействующие, и расчет магнитных моментов сво-
30

Таблица 1.3
Основные характеристики 3<1-ионов
Ион
Sc»+
Tis+
V8+
Or3+
-Mns+
Mn*+
Fes+
Fe»+
Co2+
Ni2+
Cu2+
Cui+
Электронная
конфигурация
3d"
3d*
3d2
3d*
3d*
3d«
3d»
3d'
3d»
3d»
3di°,
Основной
уровень
aD3/2
3F2
4F3/2
•ss/2
4F9/2
=>F4
2Ds/2
^тсор' ^в
Vn (n+2)
0
1,73
2,83
3,87
4,9
5,92
4,9
3,87
2,83
1,73
0
*' VI (/+1)
0
1,55
1,63
0,77
0
5,92
6,7
6,63
5,59
3,55
0
'"'эксп'
0
1,8
2,8
3,8
4,9
5,9
5,4
4,8
3,2
1,9
|-параметр
спнн-орбнгаль-
ного расщеп-
расщепления, см
—
154
105
91
88
0
—103
—178
—325
—829
—
бодных редкоземельных ионов дает разумные значения магнитных
моментов этих ионов в кристаллах и даже в металлах. В табл. 1.4
приведены основные характеристики редкоземельных трехзаряд-
ных ионов. В пятом столбце приведено fiTeOp = gjVJ{J + 1)>
в шестом ц с учетом влияния возбужденных состояний. Видно, что
Цтеор и (д-эксп достаточно хорошо согласуются, кроме Sm и Ей.
В этих случаях возбужденные уровни находятся близко от основ-
основного, и учет их заселенности приводит к увеличению jj, для Sm3+
и к появлению jj, у Еи3+.
31

Таблица 1.4
Основные характеристики редкоземельных нонов
Ион
La3-
С13+
Ргз+
Ш3+
Рт3"
Sm3-
Eu3+
Gd3+
Tb3-
Dy3+
Ho3+
Er< +
Tu3 +
Yb3 +
Lu3-
Электрон-
ная конфи-
конфигурация
4f°
4fi
4f2
4f3
4t*
4f5
4f«
4f
4f8
4f9
4fio
4fii
4fl2
4fi3
4fu
Основной
уровень
%
^5/2
3H4
%
7F0
8S7/2
7F,
%
4T
15/2
3H,
2F7/2
Фактор
Ланде g
0
0,857
0,800
0,727
0,600
0,286
0
2,00
1,00
1,33
1,25
1,20
1,17
1,14
0
•"теор- ^в
0
2,54
3,58
3,62
2,68
0,84
0
7,94
9,7
10,6
10,6
9,6
7,6
4,5
0
^теор' с
учетом па-
рамагне-
рамагнетизма Ван-
Флека
0
2,56
3,62
3,68
2,83
1,55
3,4
7,94
9,7
10,6
10,6
9,6
7,6
4,5
0
^эксл
диам.
2,39
3,6
3,62
—
1,54
3,61
8,2
9,6
10,5
10,5
9,5
7,2
4,4
днам.
lit- ™~х
—
640
750
900
—
1180
—
—
1620
1820
2080
2470
2750
2950
—
В структуре свободных ионов остались еще нерассмотренными
два важных вопроса:
1) возможность расчета расстояния между уровнями данного
терма;
2) объяснение существования прямого и обратного порядка
уровней в терме.
Оба эти вопроса разрешаются после учета спин-орбитального
взаимодействия. Введем оператор спин-орбитального взаимодей-
взаимодействия:
0Ls= hstS, A.4.12)
где c,ls—параметр спин-орбитального взаимодействия положи-
положительный при прямом порядке уровней и отрицательный при обрат-
обратном.
32

Рассмотрим простейшую одноэлектронную систему с произвольным
/ и s= 1/2 (дублетный уровень 2s— 1 = 2). В этом случае полный
момент может иметь значения Д = / — 1/2, /2 = / — 1/2. Собственные
значения квадратов операторов J, I, s:
/12/(/—1), /12/(/—1), S2s(s— 1). A.4.13)
Поскольку 1=7—7, то
f = Ь-r sa-f- 2fs, A.4.14)
из A.4.13) и A.4.14) получаем собственные значения Is:
frJ-LJLJ _J— ' • A.4.15)
Таким образом, мы имеем
L
или
£So=Sn; ^ . A.4.1/)
где \п1 — \'nlh2, a £so — собственные значения оператора энергии спин-
орбитального взаимодействия. Теперь можно найти разность между
уровнями с Д = I 4- -у и /2 = / ^-:
fTJ \/+TJ "^"Tj у/-гТ; /, _ _;_••
^—— ъи ^rw о ё/i! I t о
I \ I }
A.4.18)
или
AES0=lnl(j2-l). A.4.19)
Докажем, что можно получить формулу типа A.4.19) и для
многоэлектронной системы и что (/—s)-взаимодействие меняет
знак при переходе через середину группы.
Пусть сначала число электронов k меньше л/2, где л — полное
число электронов рассматриваемой группы. Относительно ULS
можно сделать следующее предположение:
A-4.20)
В рассматриваемом случае полный спин
S=fei. ' A.4.21)
Г. С. Криичик 33

Теперь с учетом того, что k = 25 и при предположении, что \п1 не
зависит от i, формула A.4.20) примет вид
-tl A.4.22)
Здесь можно ввести %LS=%nil2S — многоэлектронный параметр
спин-орбитального взаимодействия, и мы получаем формулу
A.4.12).
Остановимся теперь на возможности существования обратного
порядка уровней. Пусть k^n/2. Введем к' — число дырок в обо-
оболочке, так что k+k' = n, или k = n—k'. Тогда
i- A-4.23)
k'
Первый член равен нулю, так как заполнена вся оболочка, и, сле-
следовательно,
0LS = - In' 2 Mi = - ^- LS = - UsLS. A.4.24)
k'
Таким образом, при переходе через середину группы многоэлек-
многоэлектронный параметр спин-орбитального взаимодействия изменяет
знак, оставаясь по форме (но не по величине!) неизменным.
Расстояние между соседними уровнями данного терма опреде-
определяется правилом интервалов Ланде (вывод формулы совершенно
аналогичен выводу формулы A.4.19))
^Ejj^ = lnl(J-^l). A.4.25)
Из этой формулы, в частности, видно, почему только для ионов
Sm3+ и Еи3+ в табл. 1.4 пришлось вводить поправку на влияние
ближайшего возбужденного уровня.
С учетом вышеизложенного легко найти ширину основного тер-
терма— разность энергий между верхним и нижним уровнем. Оказа-
Оказалось, что она равна
bFj j Г SBL+I)!*, для L>S. •
mm- max } L B5 + 1) |„„ ДЛЯ L < S.
В заключение можно оценить величину \nU по которой сразу
же определяется \ъв.
Прямые расчеты одноэлектронного параметра \ni в водородо-
подобном атоме привели к формуле
A-4.27)
34

где 2Эфф=2—а — эффективный заряд ядра с учетом экранировки
заряда электронами внутренних оболочек, а о0—боровский радиус
В частности, для Зй-электронов
l3d = 1,44- Ю-2 Z4 см-1. A.4.28)
Экспериментальные значения c,LS для Зй-ионов приведены в
табл. 1.3, а значения |4/ в табл. 1.4.
Приведем для ориентировки численные значения g4/, рассчитан-
рассчитанные по формуле A.4.27) при а=35 для двух редкоземельных
ионов. Для празеодима (Z=59) £4/ = 720 см-1 и для туллия B=69)
|4/=2900 см-1.
§ 1.5. ПАРА- И ДИАМАГНЕТИЗМ СВОБОДНЫХ ИОНОВ
Рассмотрим систему, содержащую N невзаимодействующих ча-
частиц в единице объема, каждая из которых обладает магнитным
моментом |io. В сферической системе координат направление ц0
можно задать полярным и азимутальным углами 8 и ср. Угол 8
отсчитывается от оси z, вдоль которой направлено внешнее маг-
магнитное поле Н. Энергия магнитного момента \i0 во внешнем магнит-
магнитном поле Н не зависит от ср и равна
£я=— [i0H=— HotfcosG. A.5.1)
Фазовый интеграл в этом случае запишется так:
2Я Я HoHcosG
LJ
о
Термодинамический потенциал ф = — kT In Z, и, следовательно, на-
намагниченность
дн "v kT
= iV4u0L(a), A.5.2)
здесь a = [i0H/kT, a L(a)—функция Ланжевена.
Видно, что при а—>-оо (низкие температуры или сильные маг-
магнитные поля) / = iVfx0, т. е. парамагнетик намагничивается до на-
насыщения. При a<Cl (средние температуры и малые магнитные
поля) A.5.2) приобретает вид
/=^of = ^-Я = -^Я, A.5.3)
где С = NyL2Jbk — константа Кюри. Отсюда можно определить маг-
магнитную восприимчивость
2* 35

к, A.5.4)
т. е. мы получили закон Кюри для парамагнитной восприимчи-
восприимчивости.
В этом расчете мы предполагали, что каждый магнитный мо-
момент может быть направлен произвольно, т. е. рассматривали
классический случай. При учете пространственного квантования
углового момента количества движения z-компонента магнитного
момента
=Р?-^. A.5.5)
рде J — максимальное значение Jz, а ц™ = gPeJ — максимальное зна-
значение цг. ]г принимает значения J, J— 1, ... , — (J— 1), —J.
Энергия магнитного момента во внешнем поле
С.Н = [I], " > (' ••Э.Ь)
фазовая сумма
n
и, следовательно,
дФ
дн г S exp {J^
±L cth M±L a _ _L cth ^-) = NtfBj (a), A.5.8)
g\i.BJH \i™H
где a= = , a Bj(a) — функция Бриллюэна. Видно, что
kT kT
при переходе к классическому пределу /—>-оо функция Бриллюэна
переходит в функцию Ланжевена. При а-+оо (сильные поля или
низкие температуры) I = N\iT, т. е. достигается магнитное насы-
насыщение. Для тех парамагнитных кристаллов, в которых можно пре-
пренебречь воздействием электростатических полей соседних ионов
на магнитоактивные ионы, формула A.5.8) дает превосходное со-
согласие с экспериментом (см. рис. 1.7).
При a<Cl функцию Бриллюэна Bj(a) можно разложить в ряд
V ' ЗУ 27.Я
и уравнение A.5.8) принимает вид
36

Используя из A.4.5) выражение \ij = gji-iB J(J + l), запишем урав-
уравнение (Г.5.9) в форме, совпадающей с A.5.4):
к =
2>kT
A.5.10)
Используя формулы A.4.5), можно из простых физических сообра-
соображений получить формулы типа A.5.10) для различных частных
о 1,30 К
а 2 00°К
х 3.00°К
а 4,2fК.
~ Функция
Врюлпюэна
Рис. 1.7. Зависимость намагниченности от поля аара-
магннтных нонов в кристаллах [3]
случаев с другим значением момента \i. Например, когда орби-
орбитальный магнитный момент «заморожен» кристаллическим полем
(см. § 1.8), то следует пользоваться формулой
к =
3kT
A.5.11)
37

где Us = 2|*bKs(S-■- !)• Когда связь между L и 5 разорвана и они
дают независимые вклады в парамагнетизм, то
^ A.5.12)
x.
2,kT
где
Цэфф=Цв[£A.- 1)-4S(S- I)]1'2.
Мы рассчитали парамагнетизм системы атомов, находящихся
в основном состоянии. Рассмотрим теперь задачу о пара- и диа-
диамагнетизме свободных ионов во втором приближении теории воз-
возмущений, т. е. учтем влияние возбужденных состояний.
Гамильтониан для одного из невзаимодействующих ионов мо-
может быть записан в виде
(fJ+y(^^2i)' A-5ЛЗ)
Суммирование ведется по всем электронам иона, У —потенциаль-
—потенциальная энергия системы, не зависящая от Я, А — вектор-потенциал.
Если Н направлено вдоль z, то компоненты вектор-потенциала
можно выбрать такими:
Ах=-\у,Н, Ay=\xji, AZ[=0. A.5.14)
С учетом этого A.5.13) принимает вид
~-—-(х{ру. — у{рх.) — оператор г-компоненты орбитального магнитно-
2/пс "' '
го момента, поэтому
2
Если теперь предположить, что магнитное поле мало изменяет
исходную систему энергетических уровней иона, то члены с Я
в A.5.16) мы можем считать энергией возмущения и во всех даль-
дальнейших разложениях ограничиваться членами, квадратичными
по Н.
Тогда, обозначив энергию s-ro основного уровня иона без внеш-
внешнего магнитного поля через Es0, а возбужденных уровней через Es,
получим для энергии s-ro уровня в присутствии поля Н выражение
38

.A.0.17)
Индекс s означает среднее значение в s-том состоянии, двойной
индекс ss'—матричные элементы при s=£s'.
Сумма состояний после разложения экспоненты
kT \ kT kT 8mc
A.5.18)
Учитывая, что Vexp(—Es0/kT) ([лгM = О, для восприимчивости
s
системы jV ионов получим
1 ^ ^ф *
X ехр (— £so/£7-)
S
s s?ts
A.5.19)
Первое слагаемое в квадратной скобке дает уже полученные
выше формулы для парамагнитной восприимчивости, третье сла-
слагаемое — атомный диамагнетизм. Наиболее интересно второе сла-
слагаемое, приводящее к так называемому парамагнетизму Ван-Фле-
ка [3]. Обращая внимание на температурную независимость этого
слагаемого и пренебрегая вкладом диамагнитного члена, можем
записать
^j/v (L520)
ZkT
где первое слагаемое может обратиться в A.5.10), A.5.11) или
A.5.12), а второе слагаемое определяет вклад парамагнетизма
Ван-Флека.
Расшифровка квантовых чисел иона, скрывающихся в формуле
A.5.19) под индексом s, и выполнение суммирования привели к
следующим конкретным выражениям для х.
В случае узких мультиплетов Е/о— Es0 = hv(J, J')<^kT, и сс = О,
что формально является следствием равенства hv(J, У) =
= —hv(Jf, J).
В случае широких мультиплетов hv(J, ]')^>kT, и первое сла-
слагаемое A.5.20) совпадаете A.5.10), а
39

Na = *"« I f(J + 1> ^Ь_] A.5.21)
6BУ-г1) [ /iv (У — 1, У) hv(J-l,J)\' K '
где
F (У) = _L [(S - L - 1 )я - У2] [Г- - (S - LJ].
В случае средних мультиплетов /zv(/, /') ~kT естественно полу-
получается наиболее сложное выражение
Л' V ([Л^/ЗАГ -I- а,) BУ + 1) exp _ —
к = J=] L~s' _ A.5.22)
^ + l)exp(-^j
j
где значок / при а означает, что перед подстановкой в каждое
слагаемое суммы в числителе нужно рассчитать а в A.5.20) при
фиксированном /. По этой формуле были рассчитаны значения
магнитных моментов ионов Sm3+ и Еи3+, приведенные в табл. 1.4,
§ 1.6. ПАРА- И ДИАМАГНЕТИЗМ МЕТАЛЛОВ
Прежде чем перейти к подробному рассмотрению поведения
парамагнитных ионов в диэлектрических кристаллах, обратимся
к парамагнитным металлам. Если бы газ электронов проводимости
в металле подчинялся законам классической механики для невзаи-
невзаимодействующих магнитных ионов, то его парамагнитные свойства
были бы аналогичны свойствам только что рассмотренного ланже-
веновского газа. Однако эксперимент показал, что ни один из
металлов не обладает магнитной восприимчивостью, следующей
закону Кюри. Восприимчивость парамагнитных металлов очень
мала по абсолютной величине, примерно на два порядка меньше,
чем это следует из формулы A.5.11), и практически не зависит
от температуры.
Для объяснения поведения электронного газа в металле оказа-
оказалось необходимым учитывать принцип Паули, приводящий к ста-
статистике Ферми — Дирака.
Рассмотрим электронный газ с произвольной зависимостью
плотности состояний v от энергии. Очевидно, что при абсолютном
нуле полное число занятых состояний будет равно
j" v(E)dE=N. A.6.1)
6
Электронный газ для нашей цели удобно рассматривать находя-
находящимся в двух подсистемах (подзонах) с противоположным направ-
направлением спинов (см. рис. 1.8), причем в отсутствие внешнего маг-
40

нитного поля электроны каждой подзоны заполнят равное число
состояний ниже уровня Ферми и магнитный момент системы будет
равен нулю (а).
После включения внешнего магнитного поля энергия электро-
электронов каждой подзоны изменится. Для параллельных f-спинов она
будет равной EF—\.iBH, а для антипараллельных |-спинов EF+\iBH,
Н-0 Н*0
Е-0 г
5 (*
~N-)= y^b{ \
т. е. подзона f сместится вниз на величину \iBH, а подзона \ сме-
сместится вверх на ту же величину (рис. 1.8,6). Одинаковое их за-
заполнение уже не соответствует минимуму энергии системы. Требо-
Требование минимума энергии заставит переходить электроны из под-
подзоны \ в подзону f вплоть до равенства EF и EF (рис. 1.8, в)Г
Следовательно, намагниченность можно получить из соотношения
Ер—]1ВН
A.6.2)
A.6.3)
A.6.4)
A.6.5)
41
= уН'В i v(E)dE ^u2BH\-(EF)
EF~\x.BH
Как известно, для свободного газа электронов
(я -2/3
V(EF) -= J2« (_я_ -2/3 v,/3 _ JN_
где N—число электронов в единице объема и, следовательно,
12m / я \ 2/з

Эта формула была впервые получена Паули в 1927 г., поэтому
парамагнитную восприимчивость металлов называют паулиевской
восприимчивостью.
Из формулы A.6.5), во-первых, следует температурная незави-
независимость парамагнитной восприимчивости металлов и, во-вторых,
объясняется ее малая величина, поскольку вместо тепловой энер-
энергии kT в A.5.11) здесь стоит на два-три порядка большая вели-
величина— энергия Ферми электронного газа Ег.
При рассмотрении парамагнетизма Паули мы не учитывали
орбитального движения электронов в магнитном поле, т. е. их диа-
диамагнетизма. Согласно теореме Бора — Ван-Лёвен (§ 1.3) диамаг-
диамагнитная восприимчивость электронного газа (как, впрочем, и пара-
парамагнитная) должна равняться нулю. Ландау решил уравнение
Шредингера для электрона в магнитном поле и показал, что диа-
диамагнитная восприимчивость системы свободных электронов отлич-
отлична от нуля.
Уравнение Шредингера для одного свободного электрона в маг-
магнитном поле #=#_. имеет вид
A.6.6)
или в развернутом виде (см. A.5.13) и A.5.15)):
Л2 . , Не h [ д д \ . Нге* . , ,
i \ ду дх j 8mc2
2m ' 2mc i \ ду ~ dx / ' 8«c2
A.6.7)
Теперь уже нельзя пользоваться теорией возмущений, как в § 1.5,
так как £F~10 эВ, интервал между энергетическими уровнями
АЕ ~ 10~22 эВ, а и.в//~~10~3 эВ. Представим г|з в виде
ф=ф<*. y,z)№?(~i-^f.'j. (L6g)
Тогда A.6.7) запишется так:
й2 . Не h дц> Н2е'3 2 ^ ,, ~ „.
Дф х —-- л:2ф = £ф. A.6.9)
Далее, делая подстановку
Ф (jc, г/, г) = к (х) exp 2ni (^г/ -- kzz), A.6.10)
получаем уравнение для к{х):
— ihk H е
ПК., II
Ъп dx2 '
Это уравнение есть уравнение Шредингера для одномерного гар-
гармонического осциллятора, который колеблется около положения
равновесия
42

x = —
A.6.11)
с частотой ларморовской прецессии
сос = — Я.
A.6.12)
Собственные значения энергии для этого случая известны:
2т
\ 2 )
(Ь6ЛЗ)
Соответствующая собственная волновая функция, найденная с учетом
A.6.Ю) и A.6.8):
2Я1 Z-xy+k y\
г '2ch J ! Я (x),
A.6.14)
Формула A.6.13) определя-
определяет энергию уровней Ландау.
Интервал между двумя со-
соседними уровнями равен
Д£ = _™£_ = %<ос = 2цвН.
2лтс
A.6.15)
Следует отметить, что
движение электрона вдоль
оси г не изменяется магнит-
магнитным полем, остается свобод-
свободным (см. 1.6.14) и не кван-
квантуется. Квантование траек-
траекторий происходит только
при движении электрона в
плоскости ху. Наглядно это
можно себе представить та-
таким образом. Если для сво-
свободных электронов до вклю-
включения магнитного поля все
Рис. 1.9. Плотность состояний элек-
электронного газа с учетом квантования
Ландау
состояния внутри сферической поверхности Ферми были запол-
заполнены равномерно, то после включения поля они стягиваются на
поверхности коаксиальных цилиндров, параллельных оси z и име-
имеющих в импульсном пространстве радиусы рп, определяемые из
соотношения
Рп /
= \П -J-
2т \
A.6.16)
где п = 0, 1, 2 ... — номера уровней Ландау.
43

Плотность состояний электронного газа приобретает вследствие
этого «зубчатый» характер (рис 1.9) на фоне исходной пара-
параболы.
Суммирование по этим состояниям приводит к термодинамиче-
термодинамическому потенциалу, который соответственно дает два вклада в вос-
восприимчивость, первый из которых определяет диамагнетизм Лан-
Ландау свободного электронного газа, а второй приводит к осцилля-
ционным эффектам, в частности к эффекту де Гааза—ван Альфена.
Расчет диамагнитной восприимчивости Ландау приводит к оди-
одинаковому ее отношению к парамагнитной восприимчивости как для
невырожденного, так и для вырожденного электронного газа. Мы
приведем здесь только более простой вывод диамагнитной воспри-
восприимчивости невырожденного электронного газа, а второй результат
приведем без вывода.
Для невырожденного электронного газа мы можем пользовать-
пользоваться статистикой Больцмана:
Z= TjJf^ ) exp ^ dkz, A.6.17)
Jbm ch J : kT г '
П—-0 —эо
где множитель перед знаком интеграла есть gn — статистический
вес, кратность вырождения уровня Ландау. Выполняя интегриро-
интегрирование, получаем
^^[Bп+^Н] A.6.18)
Суммирование также выполняется непосредственно. Поскольку
г/г2
—-
2shA-'
и, следовательно,
при \iBff<tkT
*».=---^-. A-6.21)
дна 3 kT
Таким образом, диамагнитная восприимчивость обратна по
знаку и составляет одну треть соответствующей парамагнитной
восприимчивости A.5.11). Этот вывод сохраняет силу и для вос-
44

приимчивости вырожденного электронного газа, когда нужно вос-
воспользоваться распределением Ферми — Дирака
где восприимчивость Паули хп определяется формулой A.6.5).
Учет «зубчатой» структуры кривой плотности состояний, учет
осциллирующей добавки к термодинамическому потенциалу при-
приводит к осцилляционным квантовым эффектам, подробная теория
которых дана во многих монографиях, например в [4]. Физическая
основа появления всех осцилляционных эффектов состоит в том,
что изменение магнитного поля, практически не влияя на положе-
положение уровня Ферми, изменяет в соответствии с A.6.16) интервал
между уровнями Ландау и поэтому при монотонном изменении
магнитного поля уровни Ландау, пики плотности состояний на
рис. 1.9, периодически проходят через уровень Ферми. Ясно, что
ситуация, когда уровень Ферми совпадает с пиком плотности со-
состояний, отличается по энергии от ситуации, когда уровень Ферми
попадает в провал между двумя пиками, что приводит к осцил-
осцилляции термодинамического потенциала и вследствие этого к ос-
цилляциям всех физических характеристик металла при низких
температурах, если их измерять при монотонном изменении внеш-
внешнего магнитного поля. Первыми были экспериментально обна-
обнаружены осцилляции диамагнитной восприимчивости металлов при
низких температурах — эффект де Гааза—ван Альфена. Количе-
Количественная теория этого эффекта привела к следующей формуле
для периода осцилляции по обратному магнитному полю
ДA/Я) = 2ne/ftcS, A.6.23)
где S — экстремальное сечение поверхности Ферми. Отсюда сле-
следует, что, измерив экспериментально периоды осцилляции, т. е.
расстояния между максимумами магнитной восприимчивости в за-
зависимости от магнитного поля, мы получаем замечательную воз-
возможность определить все экстремальные сечения Ферми-поверх-
Ферми-поверхности данного металла.
Изменяя ориентацию магнитного поля относительно кристалло-
кристаллографических осей, можно, очевидно, получить полезнейшую инфор-
информацию об электронной структуре металла, причем различные
осцилляционные эффекты дают количественные характеристики
разных параметров поверхности Ферми. На рис. 1.10 приведена
экспериментальная кривая осцилляции магнитной восприимчиво-
восприимчивости золота, полученная при ориентации Н|| [111]. Ясно видны два
типа осцилляции: высокочастотные, соответствующие большим
центральным экстремальным сечениям поверхности Ферми золота
(см. § 2.7), и низкочастотные, соответствующие так называемым
■шейкам в местах контакта поверхности Ферми с поверхностью
зоны Бриллюэна. Интересно отметить, что поверхность Ферми
45

ферромагнитного металла — никеля, которая будет подробно об-
обсуждаться в § 2.7, относится к этому же типу.
ЦТкГс 31,8 кГс
Рис. МО. Эффект де Гааза — ван Лльфена для золота (Н ]\ [111]) [4]
В заключение преобразуем формулу A.6.23) к виду, когда ею
будет удобно пользоваться для конкретных численных расчетов:
S~ 2лфс а 9-55Л°7- A.624)
Д A/Я) Д A/Я) v '
Если подставлять сюда Н в эрстедах, то для сечения поверх-
поверхности Ферми будем получать значения в ^-пространстве в см~2.
Например, для высокочастотного периода на рис. 1.10 мы получаем
АA/Я)=2Х1О-9 Э и по формуле A.6.24)
5fbeib = 4,8-106 см-2,
а для низкочастотных
ДA/Я)=6-10-8Э-1 и
k,a* 1,6-10+
15 см-2
Для первого из сечений радиус &^= 1,2-10+8 см, и, следовательно,
орбита занимает почти всю элементарную ячейку в представлении
обратной решетки (см. § 2.6 и 2.7).
§ 1.7. ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УРОВНЕЙ ИОНОВ В КРИСТАЛЛАХ
В данном параграфе мы рассмотрим некоторые элементы тео-
теории групп и теории симметрии кристаллов в той мере, в какой они
понадобятся для понимания дальнейшего материала.
46

Симметрия кристалла определяется совокупностью тех опера-
операций, которые совмещают кристалл сам с собой. О таких операциях
говорят как о преобразованиях симметрии. Каждое из возможных
преобразований симметрии можно представить в виде комбинации
трех основных типов преобразований: 1) поворот на определен-
определенный угол вокруг некоторой оси, 2) зеркальное отражение в неко-
некоторой плоскости и 3) параллельный перенос тела на некоторое
расстояние.
Если кристалл совмещается сам с собой при повороте вокруг
некоторой оси на угол 2л/п, говорят, что он обладает осью сим-
симметрии я-го порядка. Операция зеркального отражения в некото-
некоторой плоскости соответствует наличию плоскости симметрии, а одно-
одновременное применение обоих этих преобразовании — поворота и
отражения — приводит к так называемым зеркально-поворотным
осям.
Зеркально-поворотная ось второго порядка представляет собой
преобразование инверсии, эквивалентное отражению в точке —
центре инверсии. Совокупность всех преобразований симметрии
данного кристалла называют его группой преобразований симмет-
симметрии, или просто группой симметрии.
Следует подчеркнуть, что в квантовомеханических применениях
преобразования симметрии рассматривают как преобразования
координат, оставляющие гамильтониан данной системы инвариант-
инвариантным.
Изучение групп симметрии удобно производить с помощью об-
общего математического аппарата теории групп [5].
Преобразование, входящее в состав группы, называется эле-
элементом группы. Для любых двух элементов определена операция
произведения. Мы будем рассматривать группы, каждая из кото-
которых содержит конечное число различных преобразований — конеч-
конечные группы. Полное число элементов группы называют ее поряд-
порядком.
Группа обладает следующими свойствами:
1. Произведение любых двух элементов группы (в нашем слу-
случае последовательное применение двух преобразований симметрии)
есть элемент той же группы.
2. (АВ)С = А(ВС) (ассоциативность произведения).
3. Существует единичный элемент £\j)=ij).
4. У каждого элемента группы существует обратный ему эле-
элемент. Последовательное их применение дает единичный элемент
ЛЛ-'=£. Легко показать, что AA~l^A~lA, (АВ)-' = В~1А^1. При
веденные свойства полностью определяют понятие группы.
Группа в абстрактном смысле полностью определяется зада
нием таблицы произведений ее элементов, хотя конкретно за сим-
символами элементов могут скрываться совершенно различные опера-
операции. Две группы с совпадающими таблицами произведений назы-
называются изоморфными.
47

Коммутативности в общем случае нет, т. е. АВФВА. Если же
группа коммутативна, то она называется абелевой. Частным слу-
случаем абелевых групп являются так называемые циклические груп-
группы, все элементы которых могут быть получены путем возведения
одного из элементов в последовательные степени. Если из группы
G можно выделить такую совокупность элементов, что она тоже
составляет группу, то ее называют подгруппой группы G.
Два элемента А и В называются сопряженными, если А =
— СВС~\ где С — элемент этой же группы. Если А сопряжено
с В, а В с С, то и А сопряжено с С. В этом случае можно говорить
о совокупности элементов группы, сопряженных друг с другом.
Такие совокупности элементов группы, сопряженных друг с
другом, называют классами группы.
Единичный элемент группы сам по себе составляет и класс и
подгруппу. Но, вообще говоря, класс группы отнюдь необязательно
является ее подгруппой.
Преобразования, входящие в состав группы симметрии кристал-
кристалла, могут быть такими, чтобы по крайней мере одна точка кристал-
кристалла оставалась неподвижной при применении любого из этих пре-
преобразований. Группы симметрии, обладающие указанными свой-
свойствами, называют точечными группами. Приведем примеры неко-
некоторых точечных групп.
1. Группы Сп содержат всего одну ось n-го порядка.
2. Группа С71и получается присоединением к оси n-го порядка
перпендикулярной к ней плоскости симметрии.
3. Группа СП1: Если присоединить к оси симметрии n-го поряд-
порядка проходящую через нее плоскость симметрии, то это автомати-
автоматически приведет к появлению еще (п—1) плоскостей, пересекаю-
пересекающихся друг с другом вдоль оси под углами я/п.
4. Группа Dn. Если к оси n-го порядка добавить перпендику-
перпендикулярную ей ось второго порядка, то это приведет к появлению еще
(п—1) таких же осей, так что будет всего п горизонтальных осей
второго порядка, пересекающихся под углами я/п.
Наиболее интересны для нас группы, названные кубическими,
потому что их элементы симметрии можно набрать из числа эле-
элементов симметрии куба.
5. Группа Т (группа тетраэдра) состоит из осей симметрии
тетраэдра. Оси второго порядка соответствуют осям, проходящим
через центры противоположных граней куба, оси третьего поряд-
порядка— пространственным диагоналям куба. Группа содержит 12 эле-
элементов, распределяющихся по четырем классам.
6. Группа Td. Эта группа содержит все преобразования сим-
симметрии тетраэдра, которые можно получить, добавляя к осям груп-
группы Т плоскости симметрии, каждая из которых проходит через
одну ось второго и одну ось третьего порядка. Эти плоскости
содержат каждая по два противоположных ребра куба и соответ-
соответственно по две диагонали, соединяющие их вершины. Порядок
группы равен 24, она содержит пять классов.
48

7. Группа О (группа октаэдра) состоит из осей симметрии куба.
Группа О изоморфна с группой Т$.
8. Группа Oh включает все преобразования симметрии куба и
может быть получена добавлением к группе О центра инверсии.
Группа содержит 48 элементов, разбитых на 10 классов.
Применение операции симметрии к некоторой функции коорди-
координат \|.-г преобразует ее в некоторую новую функцию г|з/. Пусть те-
теперь мы имеем систему линейно преобразующихся друг в друга
при преобразованиях симметрии функций \Jji, ..., \Jjn. Операторы,
осуществляющие эти линейные преобразования, можно задать в ви-
виде квадратных матриц. Очевидно, что эти матрицы подчиняются
таблице умножения данной группы. Совокупность этих матриц
называется представлением группы, а совокупность функций, с ко-
которыми осуществляются линейные преобразования — базисом, на
котором определено данное представление. Если теперь удается,
взяв произвольные линейные комбинации исходных базисных
функций, преобразовать одновременно матрицы представления к
однотипному блочному виду (блоки —симметричные относительно
диагоналей матриц «квадраты» отличных от нуля элементов), то
представление называется приводимым. В этом случае, очевидно,
можно понизить ранг матриц представления путем перехода к
матрицам-блокам и соответственно число базисных функций
по сравнению с исходными. Если дальнейшего понижения ранга
матриц провести нельзя ни при каком линейном преобразо-
преобразовании базисных функций, то полученные представления называют-
называются неприводимыми. Ранг матриц представления определяет раз-
размерность представления. Совокупность сумм диагональных эле-
элементов матриц представления называется характером представ-
представления.
Приведем без доказательства следующие теоремы, доказанные
в теории групп: а) число неэквивалентных неприводимых представ-
представлений равно числу классов группы, б) сумма квадратов размерно-
размерностей неприводимых представлений равна числу элементов группы
(порядку группы), в) суммы диагональных элементов матриц пред-
представления для различных элементов одного класса совпадают,
г) сумма характеров неприводимых представлений равна харак-
характеру того приводимого представления, из которого они образованы.
Эта операция называется разложением характера приводимого
представления на характеры неприводимых представлений. Чрез-
Чрезвычайно существенны теоремы о единственности указанного разло-
разложения и разложения порядка группы на квадраты размерностей
неприводимых представлений.
Проиллюстрируем все изложенные утверждения на примере
простейшей группы симметрии равностороннего треугольника
(группа D3 или изоморфная ей группа С3и). Обозначим вершины
треугольника буквами А, В, С, а центры противоположных сторон
соответственно а, Ь, с. Операции поворота вокруг осей второго
порядка Аа, ВЬ и Сс, совмещающие треугольник сам с собой, обо-
49

значим А, В, С, а операции поворота на угол вокруг верти-
кальной оси D и F. Для группы С3г элементам А, В, С будет соот-
соответствовать отражение в вертикальных плоскостях, проходящих
через Аа, ВЪ и Сс. Добавляя к этим пяти элементам единичный
элемент Е, получаем группу шестого порядка Е, А, В, С, D, F.
Таблица умножений этой группы приведена в табл. 1.5. В этой
Таблица 1.5
Таблица умножения группы D3
Е
А
В
С
D
F
£
Е
А
В
С
D
F
А
А
Е
F
D
С
В
в
В
D
Е
F
А
С
с
С
F
D
Е
В
А
D
D
В
С
А
F
Е
F
F
С
А
В
Е
D
группе содержатся три подгруппы: 1) Е, 2) Е, А и 3) Е, D, F и
три класса: 1) Е, 2) А, В, С и 3) D, F.
Неприводимые представления группы D3 приведены в табл. 1.6,
а характеры неприводимых представлений даны с учетом одина-
Таблица 1.6
Неприводимые представления группы D.(
г,
г2
г3
£
1
1
/1 Oj
\0 1/
А
1
—1
Г °)
\ 0 11
в
1
/1/2-/$2 \
1-/372-1/2/
С
1
1
1
/1,2 /3/2 \
1/372 -1/2 '
D
1
1
/-1/2 |/з72\
\/з72 —1/2/
F
1
1
/-1/2 -/372Л
'/3/2 -1/2 У
50

ковости сумм диагональных элементов для матриц представления
соответствующих операциям симметрии одного класса в табл. 1.7.
Таблица 1.7
Характеры неприводимых представлений группы D3
г,
г2
г3
Е
1
1
2
зс2
ЗА
1
]
0
2С,
2D
1
1
. 1
Матрицы двумерного представления Гз в табл. 1.6 имеют нагляд-
наглядный смысл матриц преобразования координат х, у в плоскости
при повороте на угол —— для операций D и F и отражения отно-
сительно линий Аа, ВЬ, Сс для операций А, В, С. На примере
этой группы видно выполнение приводившихся без доказательства
теорем. Отметим дополнительно, что цифры в таблице характеров
группы, стоящие в первом столбце (Е), характеризуют размер-
размерность неприводимого представления.
Перейдем теперь к нашей главной цели — применению теории
групп к систематике энергетических уровней ионов и анализу из-
изменения их волновых функций при изменении симметрии поля, ко-
которое действует на ион. Введение естественного требования инва-
инвариантности уравнения Шредингера по отношению к преобразова-
преобразованиям симметрии кристалла приводит к естественному следствию, что
после применения элементов группы к волновой функции, удовле-
удовлетворяющей этому уравнению при некотором собственном значении
энергии, должно снова получиться решение уравнения с тем же
значением энергии.
Иначе говоря, множество всех преобразований симметрии,
оставляющее гамильтониан системы инвариантным, образует груп-
группу, причем волновые функции (точнее, угловые части этих функ-
функций) системы есть базисные функции, на которых определены не-
неприводимые представления группы. Следовательно, уровни энер-
энергии системы можно нумеровать символами, обозначающими
неприводимые представления группы симметрии, а кратность вы-
вырождения уровня будет равна размерности неприводимого пред-
представления. Понижение симметрии окружения иона или воздействие
на ион некоторого низкосимметричного поля может привести к рас-
расщеплению уровней, т. е. к понижению их кратности вырождения.
На языке теории групп это означает, что соответствующее дан-
51

Таблица 1.8
Характеры неприводимых представлений группы О/,
Обошаче-
ния БСВ
г9 •
г«
г;5
г;
Г2
П.
г25
Химиче-
Химические обоз-
обозначения
AiK
A2U
Ег
TW
TgfJ
Alu
A2ff
Eu
Tiu
T2u
1
1
2
'3
3
1
1
2
3
3
jc4
1
1
2
. .]
—1
1
1
2
1
—1
1
—1
0
1
--1
1
]
0
1
1
ъс,
1
„1
0
—1
1
1
—1
0
.J
1
8C,
1
1
1
0
0
1
1
—1
0
0
J
1
1
2
3
1 a
j
\
—2
—3
—3
1
1
2
—1
—1
. .j
\
. .2
1
1
6JC,
1
1
0
1
—1
—-1
1
0
J
1
6JC,
1
—1
0
—1
1
—1
1
0
1
—1
SJC,
1
1
—1
0
0
—1
—1
1
0
0
Базисн ые
функции
S
dz, , dx,_y,
dxy, dyz, dzx
Px. Py. Pz

ному уровню представление, которое было неприводимым в случае
высокой симметрии, при понижении симметрии становится приво-
приводимым. Определить характер расщепления вырожденного уровня—
значит разложить указанное приводимое представление на непри-
неприводимые представления новой группы более низкой симметрии, а
в силу единственности разложения характеров это расщепление
будет определено однозначно и правильность его легко проверить,
пользуясь таблицами характеров.
Поясним теперь все сказанное на примере расщепления атом-
атомных s-, р- и d-уровней в поле кубической симметрии (группа Oh).
В табл. 1.8 даны сведения о характерах неприводимых представ-
представлений группы Oh и базисные функции s-, р- и d-симметрии, при-
принадлежащие неприводимым представлениям • (уровням энергии)
Гь Г12, Г25 и Г15. Заметим, что верхняя левая четверть этой таб-
таблицы есть таблица характеров групп Та и О.
Итак, мы видим, что р-уровни не расщепляются в поле куби-
кубической симметрии (трехкратное вырождение р-уровня свободного
иона сохраняется), а пятикратно вырожденный d-уровень расщеп-
расщепляется на дублет Г]2 и триплет Г25-
Воспользуемся случаем, чтобы показать простым способом
принадлежность р-функций представлению Г15. В табл. 1.9 пока-
Таблица 1.9
Таблица преобразования координат (х. у, г) для элементов симметрии группы О/,
Е
зс|
GQ
6С2
хуг
xyz,
yxz,
yxz
xyz
yxz,
,zyx.
xyz
xzy,
хгу
xzy,
yxz.
zyx,
zyx
zyx
xzy
8C3
zxy, yzx, zxy, yzx, zxy, yzx, zxy, yzx
зано, как преобразуются координаты точки (х, у, z) при 24 пре-
преобразованиях симметрии группы Oh при ориентации координатных
осей вдоль главных осей куба. Остальные 24 элемента группы
получаются при добавлении инверсии / и смене знаков у всех
1 В первом столбце даны обозначения неприводимых представлений по Бау-
карту, Смолуховскому и Вигнеру, во втором—химические обозначения, принцип
которых следующий: А — синглет, Е — дублет, Т — триплет, g — четный уро-
уровень (gerade), и — нечетный уровень (ungerade).
53

координат в таблице. Первое нз преобразования симметрии С\
осуществляется матрицей
1
0
0
0
— 1
0
0
0
1
X
У
z
= .
X
У
z
сумма диагональных элементов которой равна —1. Рассматривая
аналогичным образом остальные преобразования симметрии и со-
соответствующие им матрицы, получим, что следы этих матриц дают
характер представления Г,5 из табл. 1.8. Следовательно, набор
этих матриц осуществляет неприводимое представление группы (Л,
которому принадлежат базисные р-функции х, у, z.
Рассмотренная выше полная кубическая группа Он — наиболее
симметричная из точечных групп. Но на нее тоже полезно взгля-
взглянуть с позиций понижения симметрии. Волновые функции свобод-
свободного водородоподобного атома можно рассматривать как базисные
функции трехмерной группы вращений (центральная симметрия
кулоновского поля). В табл. 1.10 приведены характеры атомных
Таблица 1.10
Характеры атомных s-, р-. d-функций для преобразований симметрии группы Oft
S
р
d
£
1
3
5
Щ
1
—1
6С4
1
1
.]
6С,
1
]
1
8С,
1
0
— 1
j
1
—3
5
зус|
1
1
1
6У,С4
1
„1
—1
CJ С2
1
1
1
SJC3
1
0
—1
s-, p~ и d-функций для преобразований симметрии группы.Oh.
Сравнивая эту таблицу с табл. 1.8, видим, что характеры
представлений для s- и ^-функций совпадают, т. е. представ-
представления сохраняют неприводимость при переходе к группе Oh,
а представление для d-функции стало приводимым и должно быть
разложенным на Г12 и Г25- Это и значит, что d-уровень свобод-
свободного иона при помещении его в поле кубической симметрии рас-
расщепится на дублет и триплет. Дальнейшее понижение симметрии
вызовет дополнительное расщепление уровней вплоть до орбиталь-
орбитальных синглетов. Например, для рассмотренной нами группы равно-
равнобедренного треугольника получаем, сравнивая табл. 1.10 и 1.7, что
d-уровснь при воздействии на него поля с симметрией D3 или Сз,;
расщепится на два дублета BГз) и синглет (Fi). Произойдет это
54

таким образом: дублетный кубический уровень Ti2 не расщепится
(характеры совпадают), а трнплетный уровень Г?5 расщепится
на дублет и синглет. Это следует из сравнения табл. 1.10 и 1.8.
Ценность теоретико-группового подхода состоит в том, что,
пользуясь им, можно только из соображений симметрии получить
физические выводы о классификации энергетических уровнен, о
расщеплении уровней при понижении симметрии окружения, а так-
также ряд других важных выводов, которые здесь не рассматрива-
рассматривались, например о спин-орбитальном расщеплении уровней, о пра-
правилах отбора для матричных элементов перехода, наконец, рас-
рассмотреть аналогичные проблемы при учете трансляционной сим-
симметрии кристаллов (см. § 2,6).
Однако теория групп не в состоянии предсказать порядок сле-
следования энергетических уровней и величину их расщепления.
К рассмотрению этой задачи мы и перейдем в следующем пара-
параграфе.
§ 1.8. ТЕОРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Начнем с конкретизации вида волновых функций, которые по-
появились как базисные функции кубической группы О;, при рас-
рассмотрении задачи о магнитоактивном ионе в кристалле в предыду-
предыдущем параграфе.
Формируются эти функции из водородоподобны.х волновых
функций свободного иона (атомных орбиталеп):
<Pnim(r, 9, <p) = Fnl(r)Y!m(Q, ф), A.8.1)
где Fnl (r) — радиальная часть волновой функции, которая нас в даль-
дальнейшем не будет интересовать, а функция
I.
2/ -!- 1 \ (/ - | т !)!
{l+\m\)\
' P'i"' (cos Э) e'"ut
A.8.2)
— сферическая гармоника, где Р'Г' — присоединенный полином Ле-
жандра.
В таблице 1.11 приведены сферические гармоники для / = 0,1,2
как в сферических, так и в декартовых координатах. В табл. 1.12
приведены образованные из сферических кубические гармоники,
которые как раз и являются интересующими нас базисными функ-
функциями. При использовании их вместо YIm в A.8.1) мы получаем
S-, р- и d-орбитали иона в кристалле (иногда это название упо-
употребляется и отдельно для кубических гармоник).
s-орбитали имеют сферически симметричное распределение, а
распределение р- и d-орбиталей в пространстве представлено на
рис. 1.11. Это наглядное представление атомных орбитален ока-
окажется полезным при конструировании молекулярных орбиталей
(§ 1.9) и рассмотрении теории косвенного обмена (§ 2.9). Пока
55

Таблица 1.11
s-функцня
m = 0
р-функции
m = ± 1
d-функции
m — 0
m — _
(' =
(' =
(/ =
0)
1)
2)
Сферические гармоники для
Сферическиг координаты
1
2 Vn
1 /Т
2 К я 1и&
' т /" 3 n +-m
4 К 2л Si"
f = 0, 1, 2
Декартовы координаты
1
2V^
1 -./"Т. г
2 V я г
1 л[ 3 . х±1'у
2 У °я г
1 -I /"~5~ Зг2 —r«
4 |/ я г2
1 1 /" 15 (x±/f/K
4 У 2л г2
можно ограничиться указанием на физическую причину отсут-
отсутствия расщепления р-состояний и определенного типа расщеп-
расщепления d-состояний в поле кубической симметрии.
Пусть магнитоактивный ион расположен в центре куба, в цент-
центрах граней которого находятся диамагнитные ионы (их называют
лигандами), создающие, следовательно, октаэдрическую симмет-
симметрию окружения магнитоактивного иона. Тогда из рис. 1.11 ср.азу
видно, что р-уровни должны иметь одинаковую энергию, а из
d-уровней более низкую энергию из-за влияния электростатической
энергии отталкивания зарядов будет иметь триплетный уровень
Г25 (*2g), а более высокую — дублет Г]2 (eg).
При размещении в вершинах куба четырех лигандных ионов,
образующих вершины тетраэдра (тетраэдрическое окружение пара-
парамагнитного иона), ситуация в отношении d-уровней сменится об-
обратной, уровни инвертируют; eg станет основным уровнем, a t2g —
возбужденным. Можно также оценить величину относительного
расщепления уровней eg и t2g в кубическом поле. Обозначив вели-
величину понижения уровня t2g при октаэдрическом окружении для
одного d-электрона через х, а соответствующее повышение энергии
56

Таблица 1.12
Кубические гармоники для /=0, 1. 2
s-функцни
р-функции
d-функции
1/2 У Л
(V)x
(Ad/r>)X
Px
X
Py
У
dz,
(Зг2-г2)/2
dy.
VTyz
Рг
г
^,
/3-(x2^)/2
dxz
/3
za;
-*»
Примечание. Нормировочные множители Л„
=-_"|/ -—, Лй=— 1/ — •
2 I/ я 2 К я
уровня eg через г/ и учитывая, что при полном заполнении d-обо-
лочки десятью электронами из-за суммарной сферической симмет-
симметрии орбиталей уровни не должны расщепляться, получаем урав-
уравнения
— у= lODq, 0 =
A.8.3)
\0Dq — обозначение для величины расщепления d-уровня в
кубическом поле. Откуда x = 6Dq, у = —Wq, и, таким образом,
энергетический центр тяжести уровней остается неизменным при
кристаллическом расщеплении. В тетраэдрическом поле уровни
обращаются.
Несмотря на то что центр тяжести всех пяти d-уровней сохра-
сохраняется при кристаллическом расщеплении, энергия системы за счет
снятия вырождения, вообще говоря, понижается, потому что боль-
большинство d-электронов может расположиться на нижнем уровне.
Можно пойти дальше и доказать теорему, что остающееся вырож-
вырождение (после снятия вырождения в кубическом поле) также, как
правило, неустойчиво, причем конфигурация атомов изменяется
таким образом, чтобы понизить симметрию и благодаря возник-
возникшему расщеплению уровней понизить энергию системы. Такое ис-
искажение геометрической конфигурации атомов называется эффек-
эффектом Яна — Теллера.
57

Рассмотрим теперь важный вопрос о «замораживании» орби-
орбитального магнитного момента в кристаллах.
Для dX2_yi -состояния
Ъг = I Г (ж2 - if) (у -А - х -А) (х2 - г/2)
J \ дх ду I
A.8.4)
Очевидно, что Lz = 0 по причине нечетности подынтегральной
функции. То же самое можно получить для любой компоненты
58

орбитального момента. Таким образом, среднее значение орбиталь-
орбитального момента L для невырожденных состояний равно нулю, и мы
говорим, что кристаллическое поле «замораживает» орбитальный
момент количества движения, а следовательно, и орбитальный маг-
магнитный момент парамагнитного иона. Это объясняет, почему было
получено хорошее согласие экспериментальных значений магнит-
магнитных моментов З^-ионов с теоретическими, полученными только при
учете спинового магнитного момента d-оболочки (см. табл. 1.3).
Перейдем к основной проблеме — расчету энергетического
спектра магнитоактивного иона в кристалле. Простейшим подхо-
подходом к решению этой задачи является теория кристаллического
поля. Основное приближение теории кристаллического поля — это
предположение о том, что кулоновские заряды лигандов являются
точечными. Прежде чем ставить вопрос о расчете энергетического
спектра парамагнитного иона в теории кристаллического поля в
общем виде, поясним ситуацию на простейшем примере расчета
расщепления р-уровней в поле орторомбическои симметрии.
Введем в конкретном виде потенциал кристаллического поля
V (г)—потенциальную энергию электрона в поле окружающих
ионов решетки. V(r) может быть выражено в виде степенного ряда
координат электрона либо в декартовой, либо в сферической си-
системе. Запишем, например, кристаллическое поле орторомбическои
симметрии в декартовой системе координат. В этом случае
Укрист = Ах* - By2 - (A -f В) г\ A.8.5)
Линейные члены и члены типа ху не входят из соображений сим-
симметрии. Членами же более высокого порядка в первом приближе-
приближении можно пренебречь.
Рассчитаем энергетический спектр иона с одним р-электроном
в поле A.8.5). Собственными функциями в этом случае будут р-ор-
биталн f(r)x, f(r)y, f(r)z, поскольку недиагональные элементы
оператора ККрист равны нулю. Например, матричный элемент
оо
J [/ (П? ху [Ах2 -f By- ~ {А -- В) z-]dxdydz = О A.8.6)
из-за нечетности подынтегральной функции. Поэтому собственные
значения энергии р-орбиталей в первом приближении определятся
диагональными матричными элементами. Следовательно,
Ех = {Ux\eV\Ux) = J | /(г) |2(Л** -г BxY -(A ~ B)xh2) X
X dxdydz =
Ey=B(I1~I2) и E
где
A = j I / (r) I2 ** dxdydz = J | / (r) | V dxdydz = j I / (r) |2 2* dxdydz,
59

/2 = Г ] / (r) |2 *y dxdydz = J |/ (r) |2 jc222 dxdydz = J | / (r) |2 r/222
A.8.7)
Итак, мы наглядно показали, как коэффициенты кристаллического
поля А и В определяют положение уровней энергии магнитоак-
тивного иона в кристаллическом поле определенной симметрии.
В общем виде в теории кристаллического поля используется то
обстоятельство, что решение уравнения Лапласа ДУ=0 для потен-
потенциала кристаллического поля также можно разложить в ряд по
сферическим гармоникам
(e, ф) A.8.8)
и, используя волновые функции электронов парамагнитного иона,
находить соответствующие матричные элементы и определять по-
положения энергетических уровней. Для расчета матричных элемен-
элементов разработаны мощные методы, например метод эквивалентных
операторов, в котором члены ряда A.8.8) заменяются соответст-
соответствующими комбинациями операторов момента количества движе-
движения. Конкретные выражения потенциала A.8.8) получены и про-
табулированы для всех точечных групп симметрии. Низкосиммет-
Низкосимметричный орторомбический потенциал мы уже использовали. В слу-
случае кубической симметрии квадратичные члены исчезают, разло-
разложение начинается с гармоник четвертого порядка, которые дают
A.8.9)
где коэффициент С4, определяющий величину Dq, можно получить
для точечных зарядов непосредственно. Например, в случае окта-
эдрического окружения С4=35 e2z/4 a5, a в случае тетраэдриче-
ского Сц=—35 e2z/9 а5. Однако расчетные значения коэффициентов
кристаллического поля из-за грубости используемой простейшей
модели дают плохое согласие с экспериментом, и обычно значение
Dq находится из опыта.
Основной проблемой при проведении расчетов в теории кри-
кристаллического поля является соотношение величины потенциала
A.8.8) с другими энергиями взаимодействия в парамагнитном
ионе. Это определяет, на каком этапе нужно подключать в расче-
расчетах, проводящихся по методам теории возмущений, кристалличе-
кристаллическое поле.
Запишем гамильтониан для электронов парамагнитного иона
в кристалле в виде
Ж = §6v + Vi ~ VtJ -f Uls f VKPIJCT. A.8.10)
66

Первые четыре члена этого выражения соответствуют гамильтониа-
гамильтониану свободного иона, где £f(v — член кинетической энергии, V,- опи-
описывает взаимодействие электронов с ядром, Уц — взаимодействие
электронов друг с другом, Ж ls— спин-орбитальное взаимодейст-
взаимодействие.
Обычно принято различать три случая интенсивности кристал-
кристаллического поля:
1. V< ffl Ls —случай слабого поля, редкоземельные ионы.
2. S%Ls<V<Vij—случай промежуточного поля, Зй?-ионы.
3. V> Vij — случай сильного поля, ковалентные комплексы,
Ad-, 5й?-ионы.
Отчетливого различия между этими тремя случаями нет — они
постепенно переходят друг в друга. Введены же они только для
конкретизации исходного положения. Так, для элементов первого
переходного периода положение является промежуточным между
случаями 2 и 3, и такие комплексы можно описывать, отправляясь
от любой из этих точек зрения. Тем не менее можно указать на
конкретные качественные различия этих трех случаев.
В случае слабого кристаллического поля / остается «хорошим»
квантовым числом.
Кристаллическое поле частично или полностью снимает
B/+1)-кратное вырождение каждого уровня, что полностью ме-
меняет простейшие выводы о магнитных моментах редкоземельных
ионов, сделанные в § 1.4, при низких температурах, когда засе-
заселенность различных кристаллических компонент станет неравно-
неравномерной. Однако расчеты можно проводить, пренебрегая примесью
соседних уровней с отличающимися /.
В случае промежуточного поля / перестает быть хорошим кван-
квантовым числом, но L и S сохраняют еще свой смысл и в первом
приближении можно пренебречь перемешиванием состояний со-
соседних термов. В теории возмущений сначала рассматривают дей-
действие кристаллического поля на (L—S)-TepM, а затем включают
спин-орбитальное взаимодействие.
В случае сильного поля действие кристаллического поля раз-
разрывает (L—S)-связь и место квантовых чисел L и S занимают
заселенности орбиталей ^2g и eg. Оказывается, что, например, в
сильном поле октаэдрической симметрии заполняются полностью
орбитали t2g, а затем уже начинается заполнение уровней eg.
Действительно, в случае сильного поля взаимодействие лигандов
с орбиталями йгг и й&^уг настолько сильно, что эти орбитали
оказываются настолько неблагоприятными для размещения на них
с?-электронов, что уже нарушаются правила Хунда (рис. 1.12).
При таком построении электронных конфигураций появляется
ряд различных состояний, расщепление которых обусловлено ку-
лоновским отталкиванием между электронами V^. Поэтому, чтобы
вычислить уровни энергии магнитоактивного иона в случае силь-
сильного поля, необходимо знать кулоновские и обменные интегралы,
61

выраженные в данном случае (сильное поле октаэдрическои сим-
симметрии) через орбитали t2g и eg. Случай сильного поля непосред-
1
I
ea
\
1
ea
5=7
1
\
\
1
Ёд s У
I , N
т ц
\
\
\
\
e9
\
в г
Рис. 1.12. Электронные конфигурации d-ионов в случае промежуточного
и сильного октаэдоического кристаллического поля: а и в — промежуточ-
промежуточное, б и г — сильное поле; а, б, г — орбитальные триплеты, в — орбиталь-
орбитальный синглет
ственно смыкается со случаем ковалентной связи, который мы
будем рассматривать в следующем параграфе.
у
\
A %
3Лгв.
T
'га
Tig
Рнс. 1.13
Проиллюстрируем вышесказанное на нескольких простых при-
примерах. Рассмотрим сначала случай двух d-электронов, конфигу-
62

О 1
Наш VUV)
Рис. 1.14. Диаграмма расщепления d2-Kon-
фнгурации в октаэдрическом поле [5]
naSn. Мп(Ш)
Рис. 1.15, Диаграмма расщепления ^-конфигура-
^-конфигурации в октаэдрическом поле [5]

рацию 3d2, которая порождает два триплетных состояния гР и
3/\ Под влиянием слабого поля состояние 3F расщепляется на ком-
компоненты zA2g, zT2g, zT\g, тогда как гР не расщепляется и переходит
в 4ig (рис. 1.13).
Пересечение уровней zTig и zA2g (с точкой случайного вырож-
вырождения) происходит в промежуточных полях из-за различной ско-
скорости движения этих уровней в кристаллическом поле. Наконец,
Рис. 1.16. Влияние понижения симмет-
симметрии кристаллического поля от кубиче-
кубической до тетрагональной на расщепление
уровней d-электрона
в пределе сильного поля уровни характеризуются только кванто-
квантовыми числами, отражающими заполнение d-орбиталей.
Из схемы рис. 1.12 следует очень важный для магнитного по-
поведения ионов эффект — возможность перехода нона под действием
электростатического кристаллического поля из одного спинового
состояния в другое. Например, конфигурация йъ под влиянием
сильного поля должна перейти из высокоспинового состояния cS =
=5/2 в низкоспиновое состояние с S = l/2. Такие переходы, 'оче-
'очевидно, возможные для конфигураций d4, d5, d6 и d7, наблюдались
экспериментально. Их наблюдение особенно интересно вблизи точ-
точки пересечения высокоспинового и низкоспинового уровней. В этой
области оказывается возможным наблюдение интересных фазовых
переходов, связанных с изменением радиуса d-оболочки при смене
ее электронных состояний. Вместе с тем из проведенного анализа
следует (соответствующая теорема была доказана Крамерсом),
что поскольку электрическое поле непосредственно со спином не
взаимодействует, то при нечетном числе электронов в электронной
оболочке нельзя даже сколь угодно сильным электрическим полем
перевести все уровни в синглеты — обязательно сохранится дву-
64

кратное вырождение по спину. Соответственно употребляют тер-
термины— крамерсово вырождение, дублет Крамерса и т. д.
В более детальном виде рассмотренные эффекты проследим
на диаграммах расщепления d2- и ^-конфигураций в октаэдриче-
ском поле, рассчитанных Танабе и Сугано (рис. 1.14 и 1.15). Из
этих диаграмм видно, в частности, что спиновое состояние конфи-
конфигурации d2 под действием кристаллического поля не изменяется,
а для конфигурации d5 такое изменение происходит при Dq/B^3.
Наконец, на рис. 1.16 показано, как происходит дальнейшее
расщепление уровней d-электрона при понижении симметрии крис-
кристаллического поля от кубического до тетрагонального и как вели-
величина этого расщепления связана с коэффициентами кристалличе-
кристаллического поля. В связи с этим можно обратить внимание на один
эффективный метод расчета энергетического спектра парамагнит-
парамагнитного иона в кристалле. Из действующего кристаллического поля
сначала выделяют основную кубическую часть и затем рассмат-
рассматривают дополнительное расщепление уровней под влиянием малой
низкосимметричной добавки.
Ограничимся этими конкретными примерами. Подробное из-
изложение затронутых в этом параграфе вопросов можно найти в
монографиях [6].
§ 1.9. МОЛЕКУЛЯРНЫЕ ОРБИТАЛИ
В теории кристаллического поля предполагается, что роль ли-
лигандов сводится только к созданию кулоновского электростатиче-
электростатического поля. Это эквивалентно представлению о том, что комплекс
удерживается исключительно ионными силами, и все типы связей
заменяются притяжением и отталкиванием точечных зарядов.
Кроме того, не используются специфические свойства орбиталеи
лигандов, а рассматриваются только свойства симметрии орбита-
лей центрального иона. Возникает вопрос о том, может ли введе-
введение конкретного вида связи привести к такому же расщеплению
орбиталеи, которого требует теория кристаллического поля. Ответ
на этот вопрос дается в теории молекулярных орбиталеи, частным
случаем которой является теория кристаллического поля.
Напомним, что в теории кристаллического поля не учитывалось
перекрытие волновых функций переходного иона и лигандов. Одна-
Однако многие эксперименты говорят о том, что такое упрощение не-
неверно. Так, например, имеются экспериментальные данные, кото-
которые показывают, что d-электроны переходного иона делокализо-
ваны и частично распределены между лигандами. Теория кристал-
кристаллического поля объяснить этот факт не может. Кроме того, в
рамках теории кристаллического поля оказывается невозможным
объяснение оптических спектров поглощения некоторых соедине-
соединений, а также спектров парамагнитного и ядерного резонансов.
В § 5.6 будет показано, что для объяснения магнитооптических
3 Г. С. Кринчик 65

■/
свойств ферродиэлектриков также оказывается недостаточно ис-
использовать теорию кристаллического поля.
Изложенные выше факты говорят о том, что необходимо перей-
перейти к рассмотрению всего кристалла в целом, выбрав в качестве
первой структурной единицы на этом пути молекулу, состоящую
из переходного иона и соседних лигандов.
Для построения волновых функций молекулы мы будем поль-
пользоваться, как обычно, линейными комбинациями атомных орбита-
лей (ЛКАО), при этом ока-
оказываются чрезвычайно по-
полезными соображения сим-
симметрии. Такой подход был
в основном разработан Ван-
Флеком (см., напр., [7]).
Нахождение правильных ли-
линейных комбинаций атом-
атомных орбиталей (молекуляр-
(молекулярных орбиталей) обычно про-
проводится следующим обра-
образом. Сначала находят ком-
комбинации орбиталей лиган-
лигандов друг с другом требуе-
требуемой симметрии, а затем при-
присоединяют к ним подходя-
подходящие орбитали магнитоактив-
магнитоактивного иона.
Схематически волновую
функцию, соответствующую молекулярной орбитали, можно запи-
записать следующим образом:
о|>=аг|>(Г) + Р£а;г)>;, A.9.1)
£
где г|)(Г) —волновая функция магнитоактивного иона, преобразую-
преобразующаяся при операциях точечной группы симметрии молекулы как
неприводимое представление Г, a Va^,-— линейная комбинация
Рис. 1.17. Выбор систем координат для
лигандов при октаэдрическом окружении
i
волновых функций лигандов, преобразующаяся как то же самое
представление Г. Теперь уже возможно «размазывание» d-орбитали
по всей молекуле, так как перекрестные члены для двух частей
функции A.9.1) не обращаются в нуль.
Приведем для примера операцию составления молекулярных
орбиталей для магнитоактивного иона в октаэдрическом комплек-
комплексе. Рассмотрим молекулу FeO6. Атомные орбитали иона Fe3+ нам
уже известны, и обозначения их введены в теории кристалличе-
кристаллического поля (§ 1.8). Остановимся на рассмотрении орбиталей лиган-
лигандов. Для каждого лиганда введем свою систему координат, при
этом ось z пусть будет всегда направлена к центральному иону
(рис. 1.17). При таких обозначениях линейные комбинации 2-ор-
66

биталей участвуют в так называемых сг-связях, а линейные ком-
комбинации х- и г/-орбиталей — в jt-связях.
Рассмотрим сначала а-связи. г-орбитали симметричны относи-
относительно линии, соединяющей лиганд с центральным атомом, поэто-
поэтому их линейные комбинации вполне могут быть функциями S-, р-,
dz> -типа. Из шести г-орбиталей лигандов можно составить шесть
линейно независимых комбинаций. Используя общий рецепт теории
групп (см. § 1.7), разлагают приводимое представление сг-связей
при симметрии Он на уже известные неприводимые представления
группы Oh(aig, eg и tlu) и в результате получают линейные комби-
комбинации орбиталей лигандов, преобразующиеся как неприводимые
представления aig, eg и tiu. Результаты этой операции представле-
представлены в табл. 1.13. Правильность ее проведения можно проверить,
Таблица 1.13
Комбинации а- и я-орбиталей лигандов, соответствующие неприводимым
представлениям alg, eg, tiu, t2g группы Oh
Неприводи-
Неприводимое представ-
представление
aIg
ег
tlu
tjg
Орбитали цент-
центрального нона
S
dx._y2
dz»
Px
Py
Pz
dxz
dyz
dXy
Орбитали лигандов
0
r— (Zl+Za+Za+Z^Ze+Ze)
У 6
— (Zj—Z2+Z4—Z5)
A_Bz3+2z,—zx—z2—z4—z6)
3)^2
^(z3-Zs)
я
— (х8+Уа—х3—Ув)
-^-(xi-by8—xe—у4)
-^-(х2+У1—x4— y8)
-^-(х3+У1+х4+Ув)
-^-(х2+Уз+хв+У5)
-^-(xi+y2+x5+y4)
67

применяя операции симметрии группы Од к выписанным функциям.
Аналогичное разложение приводимого представления я-связи на
неприводимые представления tiu, t\g, t2uK tig дает соответствующие
л-орбитали лигандов, два типа из которых приведены в табл. 1.13.
Теперь мы получили возможность составлять линейные комбина-
комбинации A.9.1), принадлежащие одному и тому же неприводимому
представлению.
Выпишем одну из них с симметрией eg
X2-y* =adx,-f -f- P — (Zj — z2 ~ z4 — z5).
A.9.2)
На рис. 1.18 представлена схематически эта орбиталь, а также
одна из орбиталей t2g с я-связями. Коэффициенты а и р в выраже-
У
-z,
-Ze
Рис. 1.18. Молекулярные а- и я-орбитали. Слева ег-орбиталь центрального
2 2 б '/(^ZZZ) ^
ур р гр
иона х2 — у2 и орбиталь лигандов '/2(^1—Z2+Z4—Z5), справа
таль центрального иона ху и орбиталь лигандов 4(X + YX
рб
ниях типа A.9.2) определяют степень смешивания орбиталей ли-
лигандов и магнитоактивного иона.
Случай равного участия орбиталей, полного смешивания, а =
= |3 = ±1/к 2 соответствует чисто ковалентной связи. Случай а=1
и C = 0 — это ситуация, описываемая теорией кристаллического по-
поля. Как и при расщеплении энергетических уровней кристалличе-
кристаллическим полем, при образовании молекулярно-орбитальных уровней
система в целом получает возможность понизить энергию за счет
образования уровней, лежащих ниже исходных. Такие молекуляр-
молекулярные орбитали в теории химической связи называют связывающи-
связывающими, а те орбитали, энергия которых оказывается более высокой —
разрыхляющими или антисвязывающими. Если исходный уровень
68

не изменяет своей энергии, то орбиталь называется несвязываю-
щей. Например, если вообще пренебречь я-связями (а для этого
имеются некоторые основания, поскольку из-за ориентации орби-
орбиталей лигандов я-связи оказываются значительно менее прочными,
чем сг-связи), то молекулярные орбитали t2g, очевидно, окажутся
несвязывающими, поскольку лигандные ^«-орбитали в их образо-
образовании не участвуют.
4s
Рис. 1.19. Схема молекулярно-орбитальных уровней в октаэдрическом ком-
комплексе FeOK и тетраэдрическом комплексе FeC>4 [6]:
/ — орбитали иона Fe3+,
2 — молекулярные орбитали октаэдрического комплекса,
3 — орбитали кислорода,
4 — молекулярные орбитали тетраэдрического комплекса,
5 — орбитали иона Fe3^
Для связывающей орбитали электронная плотность в области
между лигандом и переходным ионом увеличивается. Обычно в
этом случае а и |3 имеют один знак. Если же в этой области элек-
электронная плотность уменьшается, то а и р имеют разные знаки и
орбиталь является антисвязывающей. Антисвязывающие орбитали
отмечаются обычно звездочкой.
На рис. 1.19 представлена схема молекулярно-орбитальных
уровней в октаэдрическом комплексе FeO6 и тетраэдрическом ком-
комплексе FeO4. На этом рисунке слева и справа показаны уровни
энергии магнитоактивного иона Fe3+, а в центре — уровни энергии
свободного лиганда. Изображены также и энергетические уровни
объединенных орбиталей металла и лигандов, наглядно иллюстри-
иллюстрирующие многое из того, что было сказано выше. Видно, что в об-
образовании данной молекулярной орбитали могут участвовать одно-
одновременно и а- и я-связи. Понятно также, что расщепление d-уровня
69

свободного иона в кристалле (в данном случае это расстояние
между антисвязывающими уровнями е* и t2) может существенно
измениться в теории молекулярных орбиталей по сравнению с тео-
теорией кристаллического поля.
Отметим одну существенную особенность молекулярно-орби-
тального подхода при рассмотрении оптических и магнитооптиче-
магнитооптических эффектов в кристаллах. Дело в том, что в приближении кри-
кристаллического поля все энергетические уровни для любой конфи-
конфигурации d-электронов имеют одинаковую четность, а правила
отбора запрещают оптические переходы между уровнями одной
четности, поэтому невозможно в этом приближении объяснить
появление интенсивных линий поглощения в фиолетовой и ближней
ультрафиолетовой области спектра. Между тем в схеме молекуляр-
но-орбитальных уровней (рис. 1.19) имеются уровни различной
четности, и наличие таких переходов (А, В, С, D, F) удается легко
объяснить. Эти процессы называются процессами переноса заряда,
потому что фактически здесь идет речь о переходе электрона с
орбитали аниона кислорода О2~ на орбиталь катиона переходного
иона Fe3+.
Картину молекулярных орбиталей полезно иметь в виду и при
решении более сложных задач физики магнитных явлений — по-
построении теории обмена и в особенности косвенного обмена в фер-
родиэлектриках через немагнитные ионы (см. § 2.9).
Таким образом, мы видим, что молекулярно-орбитальный под-
подход является безусловно шагом вперед по сравнению с обычной
теорией кристаллического поля. Почему же в таком случае кон-
конкретные расчеты по методу кристаллического поля проводятся
значительно чаще, чем по методу молекулярных орбит? Дело в
том, что надежные численные методы расчета порядка следования
уровней и расстояний между ними для второго метода практиче-
практически пока не разработаны. Главным образом эти трудности связа-
связаны с введением дополнительных неизвестных параметров в методе
молекулярных орбит — параметров смешивания орбиталей аир,
отчего понижается надежность расчетов и при сравнении теории
с экспериментом приходится пользоваться только качественными
соображениями даже в таком вопросе, как порядок следования
энергетических уровней, не говоря уже о величинах расщеплений
и обобщении теории на случай низкосимметричного окружения
переходных ионов лигандами.
§ 1,10. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ИОНОВ В КРИСТАЛЛАХ
Итак, настало время применить тот арсенал знаний, который
мы накопили при построении собственных функций и собственных
значений энергии парамагнитного иона в кристалле для анализа
его магнитного поведения, хотя следует заметить, что некоторые
важные выводы в этом отношении мы уже успели по ходу дела
получить. При рассмотрении этой задачи мы ограничимся случаем
70

промежуточной величины кристаллического поля. Рассмотрение
случая слабого поля (редкоземельные ионы) во многом аналогич-
аналогично, хотя здесь и есть особенности, связанные с «замораживанием-»
орбитального момента. Выделение на первый план задачи о пере-
переходных ионах группы железа оправдывается тем, что влияние
кристаллического поля на редкоземельные ионы начинает сказы-
сказываться только при низких температурах.
Задача в общем виде формулируется так: найти связь между
системой орбитальных моментов, которые, как мы видели, связаны
с решеткой и системой спиновых моментов, непосредственно взаи-
взаимодействующих с внешним магнитным полем. Эта связь осущест-
осуществляется спин-орбитальным взаимодействием.
Таким образом, в соответствии со сказанным в гамильтониане
переходного иона
Ж = <9/>внутр ~Т <9/>криСТ — CTILS -у <9/>зеем> A.10.1)
^=lLS И З^еем = М^ ^ 2S) Н, g=£ts СуММу 50Бнутр +
будем рассматривать как основную часть, a Mls + З^зеем—
как возмущение. Собственные функции Жшутр + 5^крист обозначим
|Г, S, Ms), A.10.2)
где Г — индекс неприводимого представления точечной группы
симметрии для основного невырожденного орбитального уровня.
Поскольку ни $?крист, ни 5^риутр не смешивают орбитальные и спи-
спиновые состояния, то собственные функции A.10.2) будут произве-
произведениями вида
|Г)|5, Ms). A.10.3)
Вычислим поправку к энергии основного уровня |Г) за счет
энергии возмущения во втором приближении теории возмущений
ем! * ) =
Г^Г
A.10.4)
Таким образом, мы провели операцию усреднения по орбиталь-
орбитальным функциям, сохранив операторную форму только для опера-
операторов спина.
Видно, что влияние спин-орбитального взаимодействия на энер-
энергию орбитального синглета сказывается только во втором порядке
теории возмущений. Исключим из полученного выражения явную
зависимость от орбитального момента L, поскольку операторы
L уже фактически отсутствуют, сохранив ее в неявном виде в
коэффициентах слагаемых, зависящих явно от спиновых операто-
операторов (операция введения спин-гамильтониана [8])
71

H.v
- £2 E Л„У§Д. - KB £ Л^.ВД, A.10.5)
U.v
У (П/-,1П(Г1/-%.|Г) AЛ06)
H.v U.v
где
Или в записи через эффективные g-факторы
2Я,^/У), A.10.7)
где так называемый g-тензор
^-=2(б^-^Л^). A.10.8)
Второй член в A.10.7) играет большую роль в парамагнитном
резонансе, поскольку он определяет величину так называемого
нулевого (при Н = 0) расщепления основного уровня. Рассмотрим
его влияние на конкретном примере аксиальной симметрии окру-
окружения парамагнитного иона. Для случая аксиальной симметрии
Ахх = Ауу = Л±, Л„ = Л|,. A.10.9)
Тогда
n<->v = —s [Aj_ (о^ — oji)-f- Лц ozj. A.10.10)
Так как S.t -f Sy = S E — 1) — S2Z, то
A.10.11)
где D=g»(A|; — Aj.).
Если пренебречь последним членом в A.10.7), то спин-гамильтони-
спин-гамильтониан запишется так:
A.10.12)
Отбрасывая постоянную часть в A.10.12) и предполагая, что маг-
магнитное поле направлено вдоль оси симметрии кристалла, получаем
%aM=8№BHS, + D[$--Ls(S-[-l)]. A.10.13)
72

На рис. 1.20 показано влияние спин-орбитального и зееманов-
зеемановского взаимодействий в этом случае на орбитальный синглет со
спином 3/2.
Аналогичные конкретные выражения спин-гамильтониана полу-
получены для различных частных случаев симметрии окружения па-
парамагнитного иона с синглетным орбитальным уровнем, а также
и для орбитально вырож-
вырожденных уровней rf-ионов и
для редкоземельных ионов
(см., напр., [6]).
Перейдем к анализу маг-
магнитных свойств ионов в кри-
кристаллах, следующих из га-
гамильтониана A.10.7). Не-
Нетрудно видеть, что мы при-
пришли к ситуации, во многих
чертах аналогичной уже
встречавшейся при изучении
парамагнитной восприимчи-
восприимчивости свободных ионов
(§1.5). Общность этих двух
случаев состоит в наличии
обычного парамагнетизма,
связанного с магнитным мо-
моментом основного состояния парамагнитного иона (первое слагае-
слагаемое в A.10.7), в наличии индуцированного полем магнитного мо-
момента, т. е. парамагнетизма Ван-Флека (третий член в A.10.7)),
а также в необходимости учета термической заселенности вышеле-
вышележащих уровней.
Новые моменты заключаются в анизотропии магнитного момента
(второе слагаемое в A.10.5) ) и появлении возбужденных уровней,
связанных с нулевым расщеплением основного уровня (второй член
в A.10.7) ). Главный же вывод заключается в том, что уже имеет-
имеется все необходимое для решения в общем случае задачи о пара-
парамагнитной восприимчивости магнитоактивных ионов в кристалле.
Для этого необходимо, воспользовавшись гамильтонианом A.10.7),
составить статистическую сумму и найти выражение для парамаг-
парамагнитной восприимчивости кристалла в виде A.5.19). Однако мы не
будем выписывать это общее выражение, а рассмотрим некоторые
конкретные, предельно простые задачи, в каждой из которых на
первый план будет выступать влияние одного из факторов.
Начнем с влияния нулевого расщепления основного уровня.
Для этого используем гамильтониан A.10.13) при 5=1. Отбросив
постоянный член, получим
^спин-орд
Рис. 1.20. Влияние спин-орбиталыюго и
зеемановского взаимодействий на орби-
орбитальный синглет со спином 3/2
A.10.14)
Собственные значения его равны £ = 0 и E = D±gi цв#, т. е.
в данном случае зеемановское расщепление претерпевает только
73

возбужденный уровень (ср. с рис. 1.20). Используя эти собствен-
собственные значения для расчета первого члена в A.5.19), получаем
1 _l 2e-DlkT kT 2 + е°1кт
при d к kT
Jt,; =C/G~6), A.10.16)
где С-= 2Ng\ D/36, 6 = D/3 (D выражено в °К).
Таким образом, мы получили закон Кюри—Вейсса, причем эк-
экспериментальное определение 6 из измерений температурной зави-
зависимости парамагнитной восприимчивости позволяет определить
величину и даже знак постоянной нулевого расщепления уровня D.
Для оценки порядка величины х в этом и других случаях заметим,
что при g = 2
С = 2Ng\2Bl3k = 8Nn2Bi3k as 1, A.10.17)
поэтому к |! в A.10.16) составляет при комнатной температуре
примерно 4-10~3.
Разделение остальных вкладов в эффективный магнитный мо-
момент парамагнитного иона мы можем получить, продифференциро-
продифференцировав A.10.7) по Я
-г Цв-Vv^v. A.10.18)
Первый член есть собственный магнитный момент, второе слагае-
слагаемое соответствует орбитальному вкладу в магнитный момент, и,
наконец, третий член есть индуцированный полем магнитный мо-
момент, ответственный га парамагнетизм Ван-Флека.
Для оценки величины ван-флековской парамагнитной восприим-
восприимчивости нужно использовать, конечно, второй член в A.5.19).
В качестве величины интервала между основным и возбужденным
уровнями ES'o — Es0 парамагнитного иона возьмем в данном слу-
случае 10D<7^ЮООО см, т. е. величину расщепления d-уровня в поле
кубической симметрии. Поскольку | (^z)s's|2 = V-'в, то
а* 0,2-Ю-3, A.10.19)
10 Dq
т. е., вообще говоря, ван-флековская восприимчивость значительно
меньше основного члена парамагнитной восприимчивости, поскольку
в знаменателе A.10.19) стоит большая величина, соответствующая
74

разности энергий основного и возбужденных уровней. На этом
основании в свое время, когда исследования высокочастотной маг-
магнитной восприимчивости еще не проводились, для таких членов в к
был введен крайне неудачный термин—высокочастотная магнит-
магнитная восприимчивость (и соответственно для основной части у. —
низкочастотная магнитная восприимчивость).
Рассмотрим интересный случай, когда зависимость у.(Т) имеет
максимум. Предположим, что основной уровень — немагнитный
синглет "Л, а на расстоянии А£ выше него лежит триплет с
5=1. Тогда, пренебрегая ван-флековским вкладом,
о gVfl -ДЕ/УеГ
kT 2g2A'Un 1
-■ A.10.20)
1 + 3й-Д£/*Г 3kT JL-де/м-
или при g= 2 и учете A.10.17)
- Г * A.10.21)
1L
Видно, что и-»-0 как при Т-+<х, так и при Т-+-0. Восприимчи-
Восприимчивость должна проходить через максимум при Г^5А£/6 (Д£ в гра-
градусах Кельвина). Такое поведение действительно наблюдается в
«диамагнитных» солях, содержащих ионы Ni2+.
В заключение остановимся на вопросе об анизотропии пара-
парамагнитной восприимчивости, которая в первом приближении опре-
определяется вторым слагаемым в A.10.5), или, что то же самое, ани-
анизотропной частью g-тензора A.10.8). В первую очередь следует
отметить, что коэффициенты Л^ в A.10.5) определяются матрич-
матричными элементами орбитального момента и пропорциональны кон-
константе спин-орбитального взаимодействия |. Таким образом, физи-
физически отличие от нуля Лщ- определяет степень «размораживания»
орбитального момента в кристаллах благодаря спин-орбитальному
взаимодействию, а анизотропия магнитных свойств кристалла воз-
возникает из-за связи орбитального момента с решеткой.
Для определения конкретных значений ^-фактора и, следова-
следовательно, магнитного момента парамагнитного иона следует вычи-
вычислить компоненты Лц\. согласно A.10.6) и подставить их в A.10.8).
Ограничимся лишь качественным обсуждением проблемы. В про-
простейших случаях, когда в кубическом поле нижним состоянием
является орбитальный синглет (например, конфигурация 3d8, ион
Ni2+) или орбитальный дублет (конфигурация 3d9, ион Си2+), ос-
основной уровень расположен значительно ниже возбужденных уров-
уровней (в случае 3d9 — это интервал между уровнями \2е. и ее порядка
Ю4 см), поэтому знаменатель в A.10.6) велик, и поправки к g = 2
и анизотропия g-фактора в случае понижения симметрии малы.
75

Формула, определяющая в этом случае степень «разморажива-
«размораживания» орбитального момента для октаэдр ическо го окружения, полу-
полученная из A.10.6), имеет вид
g=2(l ^-), A.10.22)
S \ IQDq )' У '
и, следовательно, поправка к g-фактору (см. табл. 1.3) составляет
10—20%.
При понижении симметрии, например, при тетрагональном ис-
искажении кубической решетки возникающие расщепления относят-
относятся только к возбужденному уровню, и поэтому никаких осложне-
осложнений не возникает. Расчет дает
(£) A.10.23)
g*.y^g±= 2A -—-Ц-). A.10.24)
где Е\ и Е2 — различные возбужденные уровни, для которых соот-
соответствующие матричные элементы в A.10.6) не равны нулю.
Для типичных соединений Си2+ экспериментальные значения
ёп и g\ равны соответственно 2,4 и 2,1.
В случае же З^-ионов с электронными конфигурациями, напри-
например 3d6(Fe2+), 3d7(Co2+), основной уровень является орбитальным
триплетом и поэтому либо за счет других уровней, имеющихся
даже при октаэдрическом окружении, либо за счет понижения
октаэдрической симметрии на сравнительно небольших расстоя-
расстояниях от основного могут оказаться возбужденные уровни, для
которых матричные элементы в A.10.6) отличны от нуля и из-за
уменьшения знаменателя компоненты ЛцУ значительно возрастают.
Поэтому значения ^-фактора в кристаллах с такими ионами зна-
значительно отличаются от 2 (орбитальный момент далек от полного
замораживания), а также наблюдается яр'ко выраженная анизо-
анизотропия ^-фактора. В соединениях с Fe2+ наблюдались значения
£ц =9, g±= 0, типичные значения в соединениях с Со2+ gfl = 6,
gx= 3 и т. д.
И наконец, наибольшие отличия ^-фактора от 2 и его анизо-
анизотропия наблюдаются в соединениях с редкоземельными ионами
при низких температурах, поскольку здесь орбитальный момент
принимает непосредственное участие в формировании магнитного
момента иона, и в области температур, где kT становится сравнимо
с кристаллическим расщеплением основного уровня, все обсуждав-
обсуждавшиеся эффекты кристаллического поля проявляются в полной мере.
Например, для ионов ТЬ3+ типичные значения gn=18,
g± ^ 0, для ионов Dy3+ наблюдались случаи g\\ = 10,8, gj_<0,6,
а также £|( = 1,6, gj_— 10,0 и т. д.

Глава 2
ФЕРРОМАГНЕТИЗМ
§ 2.1. ТЕОРИЯ МОЛЕКУЛЯРНОГО ПОЛЯ ВЕЙССА
Рассматривая простую модель ферромагнетика — классический
идеальный газ атомных магнитных моментов, — можно выяснить
необходимые условия для появления спонтанной намагниченности.
Из N атомов этого газа соответственно двум возможным проек-
проекциям спина выделим г «правых» и Лг—г = 1 «левых» спинов. Отно-
Относительная намагниченность равна
Js- = у= Lz±==J?Lt B.1.1)
/so N N
т. е.
N ~ 2 ^ '' N ~~ 2 ^
Для получения магнитного уравнения состояния I = f(H,T)
необходимо определить один из термодинамических потенциалов
системы, например свободную энергию газа F = E—TS как функ-
функцию у, и найти ее минимум.
Рассмотрим случай отсутствия внешнего поля (Я = 0) и пред-
предположим сначала, что Е(у)=0, т. e. F=—TS. Учитывая, что
S = k\nW, где W — вероятность данного состояния, равная числу
возможных способов осуществления состояния с заданным у, т. е.
= -Т7Г, Bл-2)
\ ' / п. I:
имеем
r\ll
По формуле Стирлинга 1п/г! ^/гAп/г — 1) и, используя B.1.1),
находим
F= -TS = ±.NkT[(\-ry)\n(l~y) + (l -y)\n(\ -у)]. B.1.3)
Из условия минимума выражения B.1.3) г/=0, т. е. самопроизволь-
самопроизвольная намагниченность отсутствует.
Для возможности ее существования даже в нашей упрощенной
модели необходима зависимость внутренней энергии ферромагне-
77

тика Е от у. Вводя представление о молекулярном поле [1], по-
постулируем квадратичную зависимость, так как состояние ферро-
ферромагнетика не меняется при изменении направления намагничен-
намагниченности
E=-NJ1y*=-J1-±£-, B.1.4)
N
где /i>0 — коэффициент пропорциональности, имеющий размер-
размерность энергии. Знак минус указывает на то, что минимуму соот-
соответствует максимальное значение у=±\, т. е. полное магнитное
насыщение. В этом случае свободная энергия B.1.3) примет вид
NkT[(ly)\n(\~y)^(\-y)\n(l-y)]-NJiy\ B.1.5)
и условие минимума B.1.5) дает
* кТ 1— у
ИЛИ
B.1.6)
где в — величина, имеющая размерность температуры и равная
е = -^-. B.1.7)
k
Уравнение B.1.7) проще всего проанализировать графически.
Определим у как точку пересечения прямых
Я=~ГУ B-1.8)
при различных температурах с кривой
ln
BЛ-9)
Из рисунка 2.1 видно, что решение уравнения B.1.6) носит
принципиально различный характер в зависимости от того, будет
ли температура больше или меньше характеристической темпера-
температуры в, определяемой из условий совпадения прямой B.1.8) с ка-
касательной к кривой B.1.9) в точке q=y = Q>
.J_/ln_L±jqi =2=-*^-. B.1.10)
ду I 1— у I \у=л кв v '
При температурах Г<6 термодинамически устойчивому состоя-
состоянию ( >0| соответствует отличная от нуля самопроизволь-
\ ду2 I
ная намагниченность. Прямая B.1.8) пересекает кривую B.1.9)
78

в трех точках, одна из которых соответствует значению г/ = 0, а две
другие—отличным от нуля значениям у. Легко показать, кто в этой
области температур состояние с г/ = 0 является неустойчивым, так
как
d2f = Nk(Т — в)< О
0=0
Рис. 2.1
ду2
при Г<6 и соответствует не
минимуму, а максимуму сво-
свободной энергии.
При температурах выше
температуры 9 состояние
термодинамического равно-
равновесия осуществляется толь-
только при г/ = 0.
Таким образом, если
энергия ферромагнетика за-
зависит от намагниченности
по B.1.5), то он обладает
спонтанным магнитным мо-
моментом. С ростом темпера-
температуры от 0°К до в величина
этого момента изменяется по закону B.1.6) от максимального зна-
значения г/=1 до г/=0.
Из опыта известно, что многие ферромагнитные металлы (Fe,
Со, Ni, Gd) имеют температуру Кюри ~103 °К, поэтому для энер-
энергии }\ получаем величину порядка
^ — /гв — Ю-^-КР—Ю-13 эрг— 0,1 эВ.
Если бы мы строили нашу теорию, рассматривая классический
ланжевеновский газ (§ 1.5) с учетом магнитного дипольного взаи-
взаимодействия, то /] не превышала бы 10~16 эрг, следовательно, наб-
наблюдаемые величины 0 не могут быть объяснены магнитными взаи-
взаимодействиями. Френкель [2] и Гейзенберг [3] показали, что это,
так называемое обменное, взаимодействие имеет квантовомеха-
ническую природу и электростатическое, а не магнитное проис-
происхождение.
Графическое изображение у (Г/0) приведено на рис. 2.2. Здесь
же нанесены экспериментальные данные для реальных ферромаг-
ферромагнитных металлов. Из сравнения видно, что теория дает правильное
качественное описание температурной зависимости спонтанной на-
намагниченности ферромагнетика.
Из B.1.7) можно получить асимптотические законы для Г,
близких к 0 и к 0°К. А именно вблизи точки Кюри (г/<С1)
где /so = -
-f(Q-T), B.1.11)
v'|iB — намагниченность насыщения при 0° К.
79

В случае низких температур получаем
/s ==/50A_2е-2в/г-,_ B.1.12)
Эксперимент показывает, что приближение к в описывается
степенной зависимостью, но, как правило, показатель не 7г. а
7з, а в области низких тем-
температур наблюдаются наи-
наибольшие расхождения. При
квантовомеханическом рас-
рассмотрении задачи (см. §2.4)
доказывается, что в области
низких температур выпол-
выполняется не зависимость
B.1.12), а закон Блоха.
При наличии внешнего
магнитного поля в выраже-
выражение для свободной энергии
F вводится дополнительный
член —(IsH)=—N)xByH.
Тогда условие минимума
B.1.5), вместо B.1.7) дает
Рис. 2.2. Температурная зависимость са-
самопроизвольной намагниченности при
f/=0 для случаев /=Уг, J—l, J=oo
(сплошные кривые)
= th
kT
кв
■У
B.1.13)
Из формулы B.1.13) видна формальная возможность введения
молекулярного поля или поля Вейсса:
Я,, =
fee
У = als,
B.1.14)
пропорционального намагниченности Is (коэффициент пропорцио-
пропорциональности w носит название постоянной молекулярного поля).
Кроме того, из B.1.13) вытекает, что при Г = 0°К имеем г/=1 пли
/S0 = iV(.iB. Таким образом, при 0° К любое слабое поле снимает
вырождение по направлению и намагничивает ферромагнетик до
насыщения. С повышением температуры, если Т не очень близка
к в, в слабых полях (Я<СЯ1С) намагниченность практически равна
своему значению из B.1.6), меньшему, чем насыщение /So- С ро-
ростом Н намагниченность монотонно возрастает и при Н—^оо стре-
стремится к /so.
Однако оценка величины молекулярного поля из соотношения
kB
- 1Q-16 ■ 1Q3
= 107 э
80

показывает, что в обычных лабораторных полях (~104Э) при
температурах, далеких от температуры Кюри, величина этого ис-
истинного или парапроцессного намагничивания очень мала.
Введение понятия молекулярного поля позволяет тотчас же
обобщить все выводы теории парамагнетизма на случай ферро-
ферромагнетизма. Так, вместо формулы Ланжевена A.5.2) получаем
B.U5)
Поскольку Hw > Я, мы можем написать
(^) . B.1.16)
Для нахождения уравнения состояния теперь необходимо решить
два уравнения
^L B.1.17)
цад
Критическую температуру Tk определяем из равенства производ-
производных в точке a = 0:
dl
да
Nn dl
3 da
kT
цад
B.1.1
* £3* V ;
Оценим величину Hw для Fe:
Яш = J^L, ц= 2,2Aв, 9= 1063°K, Яш= 2,Ы07Э.
Используя разложение функции Ланжевена при малых а
(а<С1), т. е. в случае малых намагниченностеи и высоких темпе-
температур, получим закон изменения 1(Т) выше точки Кюри, закон
Кюри—Вейсса:
ЪкТ V ; ЗЙГ N\i*w ' V '
С = —— константа Кюри — Вейсса.
ok
Далее, для восприимчивости получаем
BЛ-22)
81

Этот результат качественно согласуется с экспериментальной за-
зависимостью восприимчивости ферромагнетиков от температуры в
парамагнитной области.
При использовании формулы B.1.15) с функцией Бриллюэна
получаем
ЦТ) = NgnBJBj(x) = /soBj {Щ?-{Н J- ш/)) • B.1.23)
Рассмотрим асимптотические случаи:
Случай высоких температур и малых полей
v 3/ ЗУ ЗОЯ ;
] B.1.25)
Разрешая B.1.25) относительно /, получаем закон парамагнит-
парамагнитной восприимчивости для ферромагнетика, аналогичный B.1.21),
где
JVgVJ(J + l) a_ N^^BJ(J+l)w B
. w - 2k ' ' '
OK OK
При J= 1/2 и g = 2 формулы B.1.26) переходят в B.1.22).
Случай низких температур (Г—-О, /,//so->l).
V—= 1 -expf —). B.1.27)
/so J v \ J +1 T J v ;
Случай T ~ 9, 7//So С 1 •
/ \2 10 (/ + l)a /в-Г\ e-^^j
/so ,' 3 U-r-lJ-1-/2 \ в
/~(в — ГI/,. B.1.28)
На рисунке 2.2 приведены кривые B.1.23) для / = оо, / = 1 и
J = x/2, а также экспериментальные точки для Ni и Fe.
Из сравнения теории и эксперимента видно, что наилучшее сов-
совпадение в области не очень низких температур дает кривая с / = '/2
и при g~2. Это указывает на то, что в Fe и Ni основными носи-
носителями магнетизма являются электронные спины.
Теория молекулярного поля (ТМП) дает верную качественную
картину некоторых важных свойств ферромагнетика, а именно:
предсказывает существование спонтанной намагниченности, объяс-
объясняет ее температурную зависимость, высокотемпературный ход
восприимчивости и теплоемкость. Однако количественного согласия
теории с экспериментом для у(Т) нет ни в области низких темпе-
температур, ни для температур вблизи точки Кюри.
Кроме того, в первоначальной теории Вейсса, в которой рас-
рассматривались только магнитные и дипольные взаимодействия меж-
•82

ду отдельными классическими магнитиками, для величины в по-
получались значения ~0,Г К, что гораздо ниже наблюдаемых тем-
температур Кюри. Правильный порядок 0 можно объяснить только
при квантовомеханическом рассмотрении.
Одним из достоинств ТМП является то, что она дает опреде-
определенную картину поведения ферромагнетика в критической области,
но эта картина требует дальнейшего уточнения. Фазовый переход
из ферромагнитного состояния в парамагнитное является частным
случаем переходов II рода, к которым также относятся и другие
переходы, связанные с появлением в системе упорядочивания '.
Появление общих закономерностей у несхожих физических
объектов указывает на наличие общих свойств систем многих ча-
частиц, не зависящих от природы изучаемого объекта. Это можно
проиллюстрировать на примере простого термодинамического рас-
рассмотрения, сравнивая энтропию и внутреннюю энергию системы.
Энтропия связана со степенью беспорядка, и чем хаотичнее рас-
распределение, тем энтропия больше. Внутренняя энергия Е мини-
минимальна при упорядоченном расположении частиц. Устойчивость
системы, находящейся в данном объеме, определяется при разных
температурах минимумом свободной энергии F = E—TS. При низ-
низких температурах определяющим является первое слагаемое и си-
система упорядочена, при высоких — второе и упорядочение исчезает.
Уравновешивание этих двух тенденций — упорядочивающей «энер-
«энергетической» и разупорядочивающей «энтропийной» — определяет
температуру перехода. Оказывается, что эта температура имеет
порядок характерной энергии взаимодействия между частицами,
а так как другой много большей характерной энергии нет, то нет
и «малого» параметра — в этом и состоит основная трудность тео-
теории фазовых переходов.
Появление упорядочения хотя и вызывается взаимодействием
частиц, но не связано с конкретным видом взаимодействия, а оп-
определяется свойствами системы. Возникает естественное предпо-
предположение, что специфика данной системы — характер сил взаимо-
взаимодействия между составляющими ее частицами — определяет тем-
температуру фазового перехода, в то время как поведение различных
термодинамических величин вблизи точки перехода является об-
общим свойством всех систем многих частиц.
К настоящему времени получены точные решения многочастич-
многочастичной задачи для одномерной модели Каца и двумерной модели
Изинга.
Модель Изинга основана на трех основных предположениях:
1) упорядочивающиеся объекты фиксированы в узлах кристал-
кристаллической решетки;
1 Упорядочение расположения элементарных магнитных моментов в анти-
ферромагнетика.ч, упорядочение дипольных моментов в узлах решетки (сегнето-
электрики), упорядочение состояний электронов в сверхпроводниках, атомов
гелия в случае сверхтекучести и т. п.
83.

2) каждый объект может находиться лишь в двух состояниях
о, = ±1;
3) учитывается взаимодействие лишь между расположенными
по соседству объектами, т. е. Е = —• У ^^ с; а;, где i и / — сосед-
U
ние узлы решетки.
В 1944 г. Онсагер [4] получил точное решение для двумерной
модели Изинга:
при T<Th система упорядочена,
при Т>Тк не упорядочена:
kTh = J/arctg A/2—1); магнитный момент I~(T—7\)''Ч теплоем-
теплоемкость С~1п [(Г—7\)/7\], т. е. имеет логарифмическую расходи-
расходимость.
Для трехмерной модели Изинга нет точного решения, но про-
проводятся численные расчеты на ЭВМ.
Общая термодинамическая теория фазовых переходов II рода
была построена Ландау [5]. В применении к переходу ферромаг-
ферромагнетик — парамагнетик она дает то же, что и теория молекулярного
поля Вейсса (ТМП), поскольку в теории Ландау также содержится
предположение о наличии некоторого самосогласованного поля,
и разложение термодинамического потенциала в ряд проводится
по четным степеням этого поля, т. е. намагниченности. Обычно
достаточно ограничиться членами четвертого порядка
Ф= — а/2^- — Ы* — HI. B.L29)
2 4 v ;
В своей теории Ландау пренебрегает всеми флуктуациями на-
намагниченности, т. е. величинами типа /(г)—</>, и вычисляет
величину самосогласованного поля из условия минимума термо-
термодинамического потенциала, что дает
а!+ЬР = Н, B.1.30)
при # = 0
/(а а-б/2) = о, B.1.31)
0
B.1.32)
Ландау выбрал простейшую форму функции а(Т), удовлетво-
удовлетворяющей требованиям B.1.32) вблизи Tk F0)
а>0, T>Tk; a<0, T<Tk
или
а(Т) = с T~Tk . B.1.33)
.84

•Отсюда сразу получаем, что в нулевом внешнем поле
/~(ТЙ-ГK, где p=-L. B.1.34)
При НфО, a T = Tk из B.1.30) следует, что
б . B.1.30)
Восприимчивость можем получить путем дифференцирования
<2.1.30) по полю
к 'B.1.36)
5Я а+ЪЬГ-
При Т>Тк и Я = О х = — ~ (Г — Tfe)-[ — закон Кюри — Вейсса;
а
при Т<Тк к = -^-.
Для теплоемкости теория Ландау дает конечный скачок в точ-
точке перехода.
Экспериментальные исследования показали, что теория Ландау
достаточно хорошо описывает поведение намагниченности ферро-
и ферромагнетиков в области перехода, за исключением узкого
интервала температур, непосредственно примыкающего к точке
Кюри. Опытные графики зависимости Я(/2)// в согласии с урав-
уравнением B.1.30) представляют прямые линии. Экстраполяция этих
линий к Я = 0 позволяет наиболее простым способом получить зна-
значения самопроизвольной намагниченности /., в области точки Кюри
и величину точки Кюри. Величина /.,, как следует из B.1.32), чис-
численно равна I =V—a/b, поэтому этот предложенный Беловым
[6] способ определения величин Is и Th называется методом тер-
термодинамических коэффициентов. Этот метод в настоящее время
широко применяется при экспериментальных исследованиях фер-
ро- и ферромагнетиков.
При сравнении результатов теории Ландау и модели Изинга
видим, что они не согласуются между собой. На языке модели
Изинга легко понять, в чем смысл приближений термодинамиче-
термодинамической теории фазовых переходов. Оказывается, что если при рас-
расчете средней ^энергии Е заменить среднее_от_ произведения случай-
случайных величин OiOj произведением средних ао}, то для модели Изин-
Изинга получаются все результаты теории Ландау. Такая процедура
усреднения справедлива для независимых случайных величин аг-
и G;. Это допущение в действительности неверно, так как для />0
пары типа ( + 1, +1) и (—1, —1) имеют меньшую энергию, чем
пары типа ( + 1, —1), поэтому соседями узла решетки с аг = + 1
будут скорее узлы с о, = + 1, чем с Oj = — 1.
85

Физически применяемое приближение состоит в замене дейст-
действующего на а,- «поля» !—^]£а;) его средним значением, поэтому
теория Ландау и является теорией самосогласованного поля.
Эффективное поле, действующее на данную частицу, зависит
от состояний окружающих ее частиц, т. е. оно с определенной
вероятностью будет принимать различные значения, в то время как
в методе самосогласованного поля вводится среднее поле, а откло-
отклонения от среднего, флуктуации не учитываются.
Однако вблизи температуры фазового перехода флуктуации
сильно возрастают. Из термодинамической теории следует, что
при подходе к Th радиус корреляции, т. е. расстояние, на котором
связаны между собой флуктуации, становится бесконечным. Поэ-
Поэтому термодинамическая теория явлений упорядочивания должна
быть справедлива там, где флуктуации еще малы, т. е. не слишком
близко к температуре перехода.
Гинзбург и Леванюк [7] провели тщательное исследование и
пришли к заключению, что теория Ландау справедлива при усло-
условии |е|3>екр
_ 1 / k
6кР~ 32 л2 \АС%3
где ДС— скачок теплоемкости в точке перехода, % — радиус кор-
корреляции, г—(Т—Th)/Th, k — постоянная Больцмана.
Множитель л6 в знаменателе указывает, что с ростом действия
сил, а следовательно и радиуса корреляции, теория Ландау вы-
выполняется все лучше. Оценим величину екр для магнитных перехо-
переходов в случае Fe:
Д С = 3 • 107 эрг /см3- град, КЭКСи = 2А, екР ~ ;iO-2.
Большое распространение в последние годы получила так на-
называемая теория масштабных преобразований (или теория подо-
подобия, или скэйлинг-теория), которая, не претендуя на полное опи-
описание фазовых переходов, позволяет установить универсальные
связи между поведением различных термодинамических величин
вблизи температуры фазового перехода [8]. Предполагается, что
детали взаимодействия на малых расстояниях могут влиять лишь
на температуру перехода, которая сильно меняется от вещества к
веществу и не может быть рассчитана в рамках теории подобия.
В то же время поведение термодинамических величин вблизи тем-
температуры перехода обладает большой степенью универсальности
и целиком определяется большими масштабами порядка так назы-
называемого радиуса корреляции, т. е. характерным расстоянием, на
которое распространяется связь между отклонениями термодина-
термодинамических величин от их средних значений. Эта связь также обу-
обусловливается взаимодействиями между частицами, но информация
о состоянии объектов передается на большие расстояния — поряд-
86

ка радиуса корреляции — от частицы к частице. Теория подобия
изучает явления со столь большими характерными масштабами,
что можно применять хорошо разработанные макроскопические
методы исследования.
В теории подобия предполагается, что термодинамические ве-
величины степенным образом зависят от близости к точке перехода,
т. е. для магнитного момента /, восприимчивости х, теплоемкости
С и других величин справедливы следующие асимптотические
законы:
T<Tk' я=0' B.1.37)
Т > Тк, H = 0;
Ся== i (—е)~а' Т<Тк, /7=0,
#-(/)« при Т = 7V
Основной результат теории состоит в установлении связи между
так называемыми критическими индексами р, у, а, б, Оказа-
Оказалось, что лишь два критических индекса остаются независимыми,
а остальные выражаются через них.
В теории «скэйлинга» утверждается, что термодинамические
потенциалы G системы являются обобщенными однородными функ-
функциями своих координат. Это утверждение эквивалентно требова-
требованию существования таких двух параметров ае и ан, при которых
G (ГЕ е, ка" Н) = KG (e, H) B.1.38)
для любого числа к.
Все критические показатели могут быть определены через эти
два параметра. С другой стороны, если определены два критиче-
критических показателя, то можно определить параметры аг и ан и затем
все остальные критические показатели.
Рассмотрим поведение намагниченности вблизи критической
точки
1=— ( — ) ■ B.1.39)
Продифференцируем обе части равенства B.1.38) по Н
кан за (i"e в, }У н) = к за (г, н) B j 40)
д(%°НН) дН
ка(ка°е, Г"Н)=1](г,Н). B.1.41)
Рассмотрим случай Н~0, е->-0, для которого B.1.41) принимает
вид
1(г, 0) = к"н~11 Ск"е г, 0). B.1.42)
87

Поскольку уравнение B.1.42) справедливо при всех значениях Л, оно
должно выполняться и для частного значения
откуда находим
/(8, 0)=(-e) a* /(-1,0),
однако, когда e-vO, из B.1.37) следует, что
/(е, 0)~(—е)Р.
В результате получаем
B.1.43)
B.1.44)
B.1.45)
B.1.46)
Показатель б также можно выразить через параметры подобия
6 =
1 — а
B.1.47)
я
Аналогичные соотношения можно получить и для остальных кри-
критических показателей. Например,
Y =
2ан-1
B.1.48)
Так как неизвестных параметров всего два, то можно получить
выражение для у' через C и б (равенство Уидома)
у'=РF—1). B.1.49)
Подобным образом, основываясь на теории подобия, получают
и другие соотношения (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Равенства, связывающие различные критические
показатели
1
2
3
4
5
6
7
а - 20 + Y = 2
о + РF+1) = 2
УF-1) = B-а)F-1)
V - Р (б - 1)
а — а1
Y = Y1
2-а+У
°~ 2-а-у

В таблице 2.2. приведены комбинации критических индексов,
которые согласно законам подобия должны быть равны друг дру-
другу. Там же приведены значения этих комбинаций, следующих из
расчетов для двух- и трехмерной моделей Изинга. Большинство
данных согласуется с выводами из законов подобия.
Таблица 2.2
(Значения совпадающих комбинаций критических индексов для двумерной
(с = 2) и трехмерной (с = 3) моделей Изинга, а также экспериментальные
значения для СгВг3 и Ni [3—5]
с = 2
с=3
СгВг3
Ni
2—а
2
1,875
2 —а1
2
1,875
V + 2P
2
1,875
1,951
2,096
2,082
Р(б + 1)
2
1,875
1,945
2,1
2,08
Гипотеза подобия позволяет сделать выводы и о форме урав-
уравнения состояния для магнитной системы, которые подтверждаются
экспериментальными результатами как для диэлектрических, так
и для металлических ферромагнитных систем.
Полагая в уравнении B,1.41) К= |е|~1/ав, представим уравнение со-
состояния в виде
/(в, Н) =
н
\ I
И
B.1.50)
Заменяя параметры подобия критическими показателями Р и б, пере-
перепишем уравнение B.1.50):
/(е, Я)
т
н
B.1.51)
Далее введем новые переменные:
т= 1 е 1 р / (е, Я)—приведенную намагниченность и
h= |е|-156Я(е, /) —приведенное магнитное поле.
Заметим также, что функция в правой части B.1.51) зависит
только от знака (Т—Тк) и от h, что позволяет ее определить в
виде
F±(h)=I(±l, К).
B.1.52)
89

Теперь уравнение состояния можно записать в приведенном виде:
т= F± (А) или А = /± (пг). B.1.53)
Из уравнения B.1.53) следует, что если изменить масштаб
измерения /в |е|р раз и масштаб измерения Я в |е|613 раз, то
Ш228
24 -
20 -
16 -
12
Ч
О j Ч 8 12 16 20*10"
fr0/m0 'm
Рис. 2.4. Зависимость т2 от h/m для
ферромагнитного никеля, ГС=627,4°К,
Y = 1,34, р=0,378. Точки одного типа от-
относятся к одной изотерме
д 615,0К'
- *6Ц5К
a 620,0/i
' • 622,5К
- ° 625.0К
_ Т<ТС
-
' /
'-''j/
1 ь
ч ' '
/ '
' ,' /
/' /
JJff т>тс
■/ -630,0'К
/ • 632 5 К
г ° 635,0К
ш 637,5К
* 6Щ0К
.11 111 11
О 0,2 0,4 0,6 0,8 W 1,2 1,4 1,6 1.В 20 2,2
тп
Рис. 2.3. Зависимость приведенного маг-
магнитного поля h от приведенной намаг-
намагниченности пг для ферромагнитного ди-
диэлектрика СгВгз (а=1/10) Гс = 32,844°К,
Y= 1,215, Р = 0,368. Точки одного типа от-
относятся к одной изотерме. При Т>ТС
в интервале 32,872—35,029°К — семь изо-
изотерм и при Т<ТС в интервале 32,469—
32,822°К — одиннадцать изотерм
зависимость m от А должна быть одной и той же для любых зна-
значений температур, хотя зависимость I от Н описывается различ-
различными изотермами.
Измерения, проведенные на ферромагнитном диэлектрике СгВг3
[9] и на металлическом ферромагнетике Ni [10], хорошо описы-
описываются полученным уравнением (рис. 2.3 и 2.4), хотя эксперимен-
экспериментальные точки ложатся на две разные кривые для T<Th и для
T>Tk.
90

Экспериментальные значения критических показателей состав-
составляют для СгВгз 0 = 0,368 ±0,005, б = 4,28±0,1; для Ni 0 = О,378±
±0,004, б = 4,58±0,05.
В настоящее время экспериментаторы интенсивно проверяют
соотношения между критическими показателями, вытекающие из
теории подобия. В целом эксперимент подтверждает выводы тео-
теории, остаются лишь некоторые сомнения о существовании симмет-
симметрии критических индексов по обе стороны от точки перехода.
Имеются, однако, серьезные трудности при интерпретации экспе-
экспериментальных данных, связанные с неопределенностью темпера-
температурного интервала, где должны выполняться асимптотические за-
законы, а также со сложностью учета различных факторов (примеси,
внешние поля и т. д.), искажающих истинные значения критиче-
критических индексов. Следует также иметь в виду, что поскольку само
значение 7\ не определено из независимых измерений, то иногда
сравнение эксперимента с теорией подобия может носить характер
подгонки.
§ 2.2. МОЛЕКУЛА ВОДОРОДА
Молекула водорода—это простейшая модель магнитной систе-
системы, состоящей из двух ионов и двух электронов, объединенных
в молекулу. Рассмотрим эту задачу, используя метод Лондона —
Гайтлера [11]. Уравнение Шредингера для молекулы Н2 имеет вид
Г Й2
I Чт
2ffl ' ' ' " ' V fab ral
1 X1 ' " ' B.2.1)
Здесь а и b обозначают ядра атомов, 1 и 2—электроны (таким
образом, например, га2— расстояние второго электрона от ядра
■a, Ai—оператор Лапласа по координатам первого электрона
и т. д.), Е — собственное значение энергии молекулы. Функция \|з
предполагается зависящей от спиновых координат tfi и <у2- Так как
гамильтониан не содержит спиновых переменных, то гр представ-
представляет собой просто произведение функции, зависящей от спиновых
координат, на функцию шести пространственных координат xit y{,
Zu или в более общем случае сумму таких произведений. Введение
спина в волновую функцию имеет то преимущество, что г|з должна
быть всегда антисимметричной относительно перестановки всех
координат электронов, тогда как пространственная собственная
•функция обладает значительно более сложными свойствами сим-
симметрии.
Собственные функции разделенных атомов. Приступим к рас-
рассмотрению молекулярной задачи, исходя из собственных функций
■отдельных атомов. Собственная функция г|за, соответствующая
атому а, удовлетворяет уравнению Шредингера
91

2m
B.2.2)
■фа зависит от координат единственного электрона атома. Собствен-
Собственные функции отдельных атомов \|за и Црь мы будем предполагать
независимыми от спиновых координат.
Для каждого электрона существуют четыре различных состоя-
состояния, соответствующих одинаковой энергии Ео; электрон может
находиться у каждого из обоих атомов и может обладать положи-
положительным или отрицательным спином. Возможные собственные
функции соответственно
\|заа, граР, г|зйа, г|зйр. B.2.3)
Здесь а — спиновая функция для случая положительного спина
{ms=1/2), Р —спиновая функция для отрицательного спина (ms =
= —'/2), фа и фь имеют одинаковый вид, только в фь в качестве
аргумента стоит расстояние гь, в то время как фа зависит от га.
Четыре функции B.2.3) нормированы, но не все ортогональны,
6= 0.
так как
Выражение
£ J
a = J
= S
B.2.4)
представляет интеграл неортогональности (он зависит от расстоя-
расстояния между ядрами водорода и характеризует перекрытие волновых
функций). В первом приближении 5 = 0.
Собственные функции молекулы (детерминанты Слетера). При-
Приближенное решение задачи о молекуле водорода получается путем
перемножения двух собственных функций отдельных электронов,
например:
^ = ^а (rai) a (ai) tyb (гьг) Р (йг)> B.2.5)
или кратко
Однако такая функция не будет удовлетворять принципу Пау-
Паули, который требует антисимметрии функции относительно пере-
перестановки всех координат обоих электронов. Принципу Паули удов-
удовлетворяют следующие четыре «функции-определители»:
4>ваA) ф6аA)
фааB) Цр„аB)
4>ваA)
B.2.6)
92

Четыре состояния B.2.6) отличаются друг от друга спином
электронов, находящихся у отдельных атомов. В первом состоянии
оба электрона имеют положительный спин, в последнем оба отри-
отрицательный, а во втором и третьем имеется по одному электрону
с положительным и отрицательным спином. Соответственно резуль-
результирующему спину они распадаются на три класса: для первой
функции т = 1, для последней т =—1, для второй и третьей т = 0.
Функции B.2.6) еще не будут «правильными» волновыми функ-
функциями нулевого приближения; любая линейная комбинация этих
функций также есть решение уравнения Шредингера.
Матричный элемент Vf г|зтHtym-dx при тфт! исчезает при
о
суммировании по спиновым координатам в силу ортогональности
спиновых функций аир. Существенно здесь то, что функция Га-
Гамильтона не зависит явно от спина. Поэтому матрица Н распа-
распадается на отдельные матрицы, соответствующие каждый раз опре-
определенному значению спина.
Матрица энергии. Энергия обмена. Для вычисления энергии в
первом и собственных функций в нулевом приближении будем
исходить из уравнений Шредингера B.2.1) и волновой функции г|з,
которую мы запишем в виде линейной комбинации функций B.2.6):
B.2.7)
Домножим уравнение Шредингера на комплексно сопряженные
детерминантные функции Слетера, проинтегрируем по конфигу-
конфигурационному пространству обоих атомов и просуммируем по их
спиновым координатам. При этом мы получим четыре уравнения
для четырех неизвестных С;, которые и нужно решить. В каждом
случае получаются два одинаковых слагаемых, так как волновые
функции антисимметричны, а Н симметрично относительно пере-
перестановки электронов, поэтому в каждом случае достаточно произ-
произвести домножение только на произведение диагональных элементов
детерминантной функции Слетера.
Запишем одно из полученных уравнений, например
xpdx. B.2.8)
Выполняя интегрирование справа и учитывая B.2.1) и B.2.2), а
также самосопряженность Н, получаем
*■' l
93.

B.2.9)
Подставляя B.2.9) в B.2.8): имеем
J
a
B.2.10)
Аналогичным образом можно получить остальные три уравне-
уравнения и записать систему уравнений в следующем виде:
2i B.2.11)
i
где
l> j B.2.12)
A)^B), B.2.13)
''aft fai ГЬ\
51=a(l)aB), S,= p(l)aB), B.2.14)
5s=a(l)pB), S4 = P(l)pB). B.2.15)
Ho S-ik и Hik обращаются в нуль, еслиг и k относятся к различным
результирующим спинам S, поэтому -фх и \р4 с произвольными коэф-
коэффициентами Ci и С4 являются правильными волновыми функциями
нулевого приближения, относящимися к состояниям с ms= 1 и
ms =—1.
Найдем собственное значение энергии Е для первого состояния.
Первое уравнение из B.2.11) имеет вид
B.2.16)
где
Su= Jrft^e@^B)-^(l)*eB)]*e(l)^B)=l-S«, B.2.17)
Яц = С —У. B.2.18)
При этом
f^I (i1L L\T B.2.19)
tab
94

представляет собой кулоновское взаимодействие атомов водорода, а
Jab 1/аа П\ [ri2
B.2.20)
есть так называемый обменный интеграл. Энергия для случая
ms=\ согласно B.2.16) равна
Такое же значение получается и для случая ms ——1 из четвертого
уравнения.
Перейдем теперь к случаю ms=0. Собственные значения энер-
энергии теперь получаются из условия равенства нулю определителя
из коэффициентов при С2 и С3 во втором и третьем уравнениях
B.2.11):
— Е) «$22 ^23 ~t~ ( ° ' 2
—' Е) 532 /^зз + B^о —' Е) 53
где
О22 "= озз == 1 > ^23 = ^ьг := *-* »
= о B 2 22)
/^22 "= ^33 = С> ^23 = 2 = J•
Поэтому
Я22 -f B£0 - ^) 522 = ± [Я23 -f B£0 - Е) SM]. B.2.23)
Выбрав положительный знак, получаем
й* B-2-24)
B-2.25)
в случае же отрицательного знака
£<=2£0^-^^. B-2.26)
^=(^2+^з)/К2". B.2.27)
Видно, что второе собственное значение тождественно с соб-
собственным значением B.2.21), полученным при ms=±l. Следова-
Следовательно, три собственные функции \pi, \|з4 и гр* вырождены. Во всех
трех случаях результирующий спин имеет величину 5=1.
Собственные функции \ps и \pi представляют собой произведе-
произведение пространственной функции на спиновую функцию и соответ-
соответствуют полному спину 0 и 1
95

Таким образом, из четырех полученных уровней мы имеем три
вырожденных — триплет E = 1) и один отдельно лежащий уро-
уровень— синглет E = 0). Триплетное состояние соответствует «фер-
«ферромагнитному» состоянию молекулы водорода, а синглетное—
«антиферромагнитному». Какое из этих состояний будет реализо-
реализовано, зависит от знака обменного интеграла.
Синглетный уровень обладает большей энергией, если
B-2.28)
1+S2 ,1—S2 '
т. е. если />С52, но кулоновское взаимодействие того же порядка,
что обменный интеграл /, кроме того, собственные функции гра и
грь почти ортогональны, так что 5<Cl. Таким образом, условие
B.2.28) практически принимает вид />0. Для молекулы водорода
/ отрицательно и велико.
Мы установили таким образом, что в квантовой механике появ-
появляется связь энергии кулоновского взаимодействия электронов с
их суммарной намагниченностью. Часть электростатической энер-
энергии является энергией обмена. Эта энергия не имеет классического
аналога и исчезает в пределе /г->0.
§ 2.3. ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИ НА N АТОМОВ.
МОДЕЛЬ ФРЕНКЕЛЯ — ГЕЙЗЕНБЕРГА
Основная идея, внесенная в теорию ферромагнетизма Френке-
Френкелем [2] и Гейзенбергом [3], заключается в том, что та сущест-
существенная зависимость энергии от намагниченности, которая вытекает
из принципа Паули, может сделать намагниченное состояние энер-
энергетически более выгодным. Простейшая модель ферромагнетизма
основывается на представлении, что вся обусловленная принципом
Паули зависимость энергии от намагниченности проявляется по-
посредством энергии обмена, а математически задача представляет
собой непосредственное обобщение на случай большого числа ато-
атомов теории молекулы водорода Гайтлера — Лондона.
Итак, рассмотрим совокупность N водородоподобных атомов,
настолько удаленных друг от друга, что в нулевом приближении
их взаимодействием можно пренебречь. Предположим, что во всех
этих атомах периферический электрон находится на s-орбите.
В таком случае имеется 2N возможных состояний для кристалла,
так как каждый электронный спин имеет два направления. Отдель-
Отдельные атомы пронумеруем от 1 до N и будем обозначать их латин-
латинскими буквами пит, электроны обозначим греческими буквами
(х, v, которые также пробегают значения от 1 до N. Собственная
функция \pn(v) v-ro электрона, находящегося у n-го атома, удов-
удовлетворяет уравнению Шредингера
96

4,(rv) = 0. B.3.1)
2m T '
Собственные функции отдельных атомов предполагаем ортогональ-
ортогональными
j^(rv)i|3n(rv)cfT= 0 при /п=£л. B.3.2)
Уравнение Шредингера для кристалла можно записать в сле-
следующем виде:
Л' W JV
v=-l m<n m=l v=l n<v
B.3.3)
Оно приближенно удовлетворяется волновыми функциями, вы-
выбранными в виде детерминантов Слетера Л'-го порядка
«B) fc а B) ... $„,_, а B) ^ Р B) ... г|>„г р B)
а (ЛО 4 a (iV) ... фП1 _,а (iV) ^„,p (N) ... ^
B.3.4)
Индексы у ijj указывают, у каких атомов имеются «отрицательные»
спины.
гр {п: j удовлетворяют принципу Паули (перестановка столбцов
эквивалентна перестановке двух электронов), но еще не являются
правильными волновыми функциями нулевого приближения.
Для решения задачи нам необходимо будет отыскание мат-
матричных элементов типа
В качестве «представителя» детерминантных волновых функций
будем брать произведение диагональных элементов в B.3.4)
{,} i(l) a B) ... р(Л1) а(П1 - 1) ...
... а (л, - 1) р (па) ... a (N) = П ^ (i) S{n.}. B.3.5)
В силу симметрии 1|з и Н матричные элементы будут распадаться
на N\ (аналогично 2! слагаемым предыдущего § 2.2) равных сла-
слагаемых
4 Г. С. Криичик 97

B.3.6)
Точно так же
В «энергию возмущения» в уравнении B.3,6) входят члены,
зависящие от координат самое большее двух электронов. С другой
стороны, ty{nc}детерминант N-ro порядка содержит N\ членов,
причем в первом члене все электроны находятся у «своих» атомов,
в С£ членах два электрона переставлены, в остальных — боль-
большее число электронов. Так как мы выбрали ортогональные орби-
орбитальные функции различных атомов, то в B.3.6) дадут вклад толь-
только те члены из г|з, у которых переставлено не более двух электро-
электронов. А в B.3.7) обращаются в нуль все вклады от членов \|з, кроме
доЛи от «представителя», орбитальная часть которого, как у tynint,
равна \pi A)гр2B) ... ^лг(Л^), т. е. каждый электрон находится у
«своего» атома.
Матричные элементы Hi теперь можно записать в более
простом виде
J
a a pq
B.3.8)
При этом
т<п
m<Cn m<Cn
1 , 1
B.3.9)
представляет собой сумму кулоновских взаимодействий всевоз-
всевозможных пар атомов т, п, а
'x1dxt B.3.10)
Oil rX2 I
представляет собой обменный интеграл между атомами тип. Спи-
98

новая функция SpiQnл образуется из Sin.\ путем перестановки спи-
спинов атомов р и q.
Учтем теперь ортогональность спиновых волновых функций при
суммировании по а в B.3.8).
а) Диагональные матричные элементы пи я2, ... = щ, п2, ... •
В этом случае S*Sin.}S( '■,= U а во втором слагаемом B.3.8)
ст
Vsf/i \ S '■.= 1 только в том случае, если р и q имеют одинако-
Zj I'l {«,-}
а
вые спины. Так как JPq экспоненциально уменьшаются с возраста-
возрастанием расстояния rpq, то интегралы Jpq относительно велики только
для соседних атомов. Обозначая Jpq для соседних атомов через
/, получаем для диагональных матричных элементов выражение
я|^| = N(£04-C) — vJ, B.3.11)
где v означает число соседств атомов с параллельными спинами.
б) Недиагональные элементы пг, я2, ... фщ, п2, ... .
Первый член в B.3.8) обращается в нуль. От второго члена
остается Jpq, если ряд чисел ti\ti2 отличается от ряда щ п2 толь-
только тем, что в одном ряду вместо q стоит р, т. е. состояния должны
отличаться только одной перестановкой. Так как Jpq велико только
для соседних атомов, то интересны только те распределения П\ п2,
которые получаются из П\П2 путем перестановки двух соседних
неодинаковых спинов. Соответствующие недиагональные элементы
также будут иметь значение /. В частности, недиагональные эле-
элементы обращаются в нуль, если число отрицательных спинов в
обоих состояниях различно. Рассмотрим поэтому систему с фикси-
фиксированным числом г «правых» спинов.
Пусть N=2n — полное число электронов в системе, г — полное
число электронов с «правой» ориентацией спина и Лг—г— с «ле-
«левой». Величина г однозначно связана со слагающей полного спино-
спинового момента Iz вдоль «правого» направления
1г = [г — (N ~ r)]iiB =2(г-п)цв = 2тцв, B.3.12)
где г—п = т.
Так как матричные элементы энергии исчезают, если число
левых спинов в начальном и конечном состояниях различно, то
можно в качестве правильной функции нулевого приближения
выбрать волновую функцию с определенным числом г «правых»
спинов (физически это является следствием того, что в модели
Гейзенберга спиновые силы не учитываются, и, следовательно,
h является интегралом движения).
Будем обозначать «правые» спины индексами n:nin2...nr, a
«левые» индексами k : k\ k2... kN-r.
Тогда выражение для диагонального матричного элемента энер-
энергии можно записать следующим образом:
4* 99

r
Известно, что сумма всех собственных значений какой-нибудь ма-
матрицы всегда равна сумме ее диагональных элементов. Поэтому
для решения задачи о нахождении средней энергии системы с оп-
определенным спиновым распределением (с заданным т), а именно
такую задачу и решал Гейзенберг, нужно взять среднее от Нп\п"'лгг
по всевозможным перестановкам спинов при фиксированном г.
Рассмотрим первую из сумм в B.3.13)
Q>q' q'^q
Среднее значение этого выражения равно сумме всех выраже-
выражений такого типа для всевозможных выборов номеров ti\,,.nr, де-
I' N\
ленной на число этих выборов, равное . При всевозможных
выборах nq каждый обменный интеграл Jn n - встретится в сумме
^) раз. В итоге получаем
Л'
N N
N\ _ I r(r-\)
ч*я'
B.3.15)
Совершенно аналогично
N-r _ Л'
7 7 ^ Iv* П '^* f Ч \ 1 т /о О 1 С\
I" 2 ,V (jV — 1) Zj  V
ч>ч' qj±q'
или окончательно
Я'""'' M(F хП L V / , _L n —rn2 VI , /9 4 17\
1 r v ' 2 ^^ 2n Bn 1) ^^
Часть энергии, зависящая от намагниченности, есть
JV
= —£ 2 J""'- B'ЗЛ8)
q-rq'
Выражение B,3.18) можно несколько упростить для тех слу-
случаев, когда все атомы рассматриваемого вещества одинаковы, при-
причем каждый из них расположен по отношению ко всем так же,
100

как и любой другой (что имеет, например, место в кристалличе-
кристаллическом Fe, Co и Ni).
N
Тогда можно написать V Jqq' = NJ1, B.3.19)
где
TV
V B.3.20)
представляет собой сумму всех интегралов обмена, относящихся
к какому-то одному произвольно выбранному атому. Это дает
Н(т) = £-У,. B.3.21)
Из B.3.21) наиболее ярко видна эквивалентность теории Гей-
зенберга и теории молекулярного поля Вейсса. Но в теории Гей-
зенберга уже получен правильный порядок величины /, который
определяется величиной интеграла обмена между соседними ато-
атомами металла. Критерием ферромагнетизма в теории Гейзенберга
является условие />0.
Выражение B.3.21) можно легко получить и с помощью дира-
ковской векторной модели [12]. Оператор энергии в данном слу-
случае можно записать в виде B — суммирование по ближайшим
соседствам)
Й= — 2Jt$qSq', B.3.22)
е=Я= — 2J±SqSq-, B.3.23)
а квадрат результирующего вектора спина всего кристалла в виде
q + q'
= NS(S---l)- £ Sq 5,- = S' (S' -f 1), B.3.24)
q^q'
где 5' — спин всего кристалла из N атомов, а 5—спин отдельного
атома. Число членов в двойной сумме равно N(N—1), поэтому
среднее значение отдельного члена в двойной сумме равно
^Т - S'(S' + \)-NS(S+l) „ „
Число членов в сумме B.3.23) равно—Л'г, где z — число
ближайших соседей. Поэтому собственное значение Н есть
H = -j^j[S'{S' + \)—NS(S-\-\)\. B.3.26)
Результирующий спин отдельного атома 5 порядка 1, a S'~m
101

и для ферромагнетиков ~ЛГ. Поэтому с точностью до О (\/N)
имеем Н = —zJm2/\T аналогично B.3.21).
§ 2.4. СПИНОВЫЕ ВОЛНЫ. ЗАКОН БЛОХА
В предыдущем параграфе найдена зависимость от намагничен-
намагниченности для средней энергии системы. Будем искать теперь точное
решение для энергетического спектра системы N атомов. В каче-
качестве собственной волновой функции нулевого приближения возь-
возьмем сумму
У = 2ап1п,..ЛгУп1п,..,пг. B.4.1)
Подставляя в уравнение
Е £ Ф«л № = £ ф".«» Ифт B.4.2)
о о
г|) из B.4.1) и используя результаты § 2.3, получаем
Еап,п, = (NEn 4- NC - uJ) anitl! - -/go,-. B.4.3)
Число пар соседних неодинаковых спинов (т. е. число членов сум-
суммы) плюс число v пар соседних равных спинов независимо от рас-
распределения спинов равна Nz/2. Пусть
0 + C -Jz)+2Je ■ B.4.4)
Тогда из B.4.3) получим систему уравнений
2ю{„.>= £ (а{я,>~а,„'|). B.4.5)
\ i\
При этом наименьшее значение е при />0 соответствует самым
низким энергиям, при /<0 — самым высоким.
Будем искать теперь решение B.4.5). Для различных значений г
рассмотрим линейную цепочку Лг атомов, в которой каждый из
атомов имеет два ближайших соседа.
1. г = 0, все спины направлены «налево». При этом имеется
только одно состояние и энергетический спектр состоит из одного
уровня (е = 0). В случае />0 этот уровень соответствует мини-
минимальному значению энергии Е; получаем спонтанное намагничи-
намагничивание, т. е. ферромагнетизм.
2. г = 1, один спин направлен «направо». Перевернутый спин7
может находиться у каждого из п атомов и система уравнений
B.4.5) в данном случае запишется в виде
2гап=(ап — ап+1) + (ап-ап-]). B.4.6)
Решение дается формулой
an=elkn, где k = -^-, q= 0, 1 ... N—\; B.4.7)
N
е= 1 — cos 6. B.4.8)
102

Решение B.4.7) называют спиновой волной, так как собствен-
собственная функция, описывающая вероятность нахождения переверну-
перевернутого спина у данного атома решетки, имеет периодический ха-
характер.
В квазиклассическом приближении спиновую волну можно пред-
представить как волну малых отклонений спина от оси z, возникающую
благодаря прецессии спинов около положения равновесия с малой
амплитудой (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Полуклассическая наглядная картина
спиновых воли
Энергия спиновой волны при малых k запишется в виде
* - г- г «,2
£ =
И Еъ = Jk2.
B.4.9)
Можно ввести эффектш^ную массу тЭфф —Й/2/ и рассматривать
распространение спиновой волны как движение магнона — квази-
квазичастицы с такой эффективной массой. Энергетический спектр в
данном случае имеет вид полосы, ширина которой определяется
величиной обменного*интеграла emin = 0 F = 0); emax = 2 (£ = я),
3. г=2. В этом случае имеют место два различных распреде-
распределения двух «правых» спинов.
а) Правые спины п\ и п2 не являются ближайшими соседями
п2фп\±\ и уравнение B.4.3) записывается в виде
_!_ dn п Qn _j Л- (хп п ап , B 4 10)
б) Правые спины п.\ и п2 — ближайшие соседи. В таком случае
перестановка П\ с п2 никакого нового распределения не дает и
уравнение B.4.3) сводится при этом к
2е ал,л+1 = an,n+i — ап ,л+2 + а„, п+1 — ал_Ьл+1. B.4.11)
Совместное решение уравнений B.4.10) и B.4.11) является слож-
сложной задачей. Эта задача была решена точно Бете. Если число пра-
правых спинов мало r<^N, то число уравнений B.4.11) меньше числа
уравнений B.4.10). Приближенно можно считать правые спины
103

независимыми частицами и исключить из рассмотрения случаи,
когда они ближайшие соседи. Тогда решение B.4.10) принимает
вид
аП1Пг = ае«к<п'+к^ ~- pe'<M«+M.). B.4.12)
Собственные значения
B(klt k,) = (I—cos Л,) 4-A—cos Л,) B.4.13)
складываются из собственных значений обеих спиновых волн с
волновыми векторами k\ и k2.
Решение B.4.12) удовлетворяет B.4.11) лишь для k\ и й2<С2я
(при условии а = Р —1). Поэтому, рассматривая решение B.4.12)
как точное, мы ограничиваемся лишь случаем низких температур,
когда роль играют только наинизшие энергетические уровни и
число правых спинов мало (r<$^N), т. е. мы можем в первом при-
приближении рассматривать невзаимодействующие квазичастицы.
Для произвольного числа г в этом же приближении
т
е= ^ A—cosfy). B.4.14)
Ширина энергетической полосы в этом случае равна 2/7. Число
различных состояний системы равно 1"гГ J — г'. На самом
же деле существует лишь ( ) = г0 различных состояний. Разли-
Различие между z' и z0 сказывается лишь при Л> |/iV . Бете показал,
что при точном решении уравнения Слетера исчезают «лишние»
решения приближения Блоха и число различных состояний равно
). В случае г = 2 ( ) —N из этих состояний совпадают с бло-
ховскими, а .V остальных отвечают так называемым «спиновым
комплексам», т. е. состояниям, при которых оба правых спина как
бы слипаются, образуя молекулу из двух правых спинов. Волно-
Волновые функции этих состояний имеют острый максимум при сосед-
соседстве спинов и экспоненциально убывают с увеличением расстояния
между ними.
Соотношение B.4.14) легко обобщить на случай плоской и
пространственной решетки атомов. Для этого атомы, у которых
имеется «правый» спин, будем характеризовать радиус-вектором nv
вместо чисел п , а спиновые волны волновым вектором kv вместо
скалярного волнового числа.
В случае квадратной плоской решетки
г
е= £ [A — cosk(/I)) + (l— coskf')], B.4.15)
104

а в трехмерном случае
*,.л = т S SA-e'Vi)' B-4л6)
v=-l /-1
где гь Гг... г, — радиус-векторы атомов — ближайших соседей.
Итак, мы получили выражение для энергетического спектра
нашей системы и можем перейти к рассмотрению условий суще-
существования ферромагнетизма. Мы уже получили одно необходимое
условие />0 и рассмотрим теперь, как зависит возникновение фер-
ферромагнетизма от структуры решетки. Для этой цели нужно иссле-
исследовать магнитный момент кристалла в слабом магнитном поле,
направленном, например, направо. Если все .V спинов или по
крайней мере некоторое их число ориентируются в этом поле на-
направо, то кристалл будет ферромагнитным.
Подсчитаем число «левых» спинов как функцию температуры.
Средний магнитный момент системы определяется выражением
2^ B.4.17)
дН '
где
[— (Ei — \iLH)/kT]. B.4.18)
Z — статистическая сумма, £, означает энергию i-того состояния
кристалла при отсутствии магнитного поля и ц, — его магнитный
момент. Состояния с определенным числом «левых» спинов имеют
одинаковый магнитный момент
у;=^ (N — г)ц — гц= 2тр,
т — относительная намагниченность, ц — магнитный момент одно-
одного атома. Энергию i-того уровня при отсутствии поля можно запи-
записать согласно B.4.4) и B.4.14) в виде
г г
£,= const + 2J £ A — cos 6V) = const + У £ k;., B.4.19)
v-=l v=l
причем последнее преобразование справедливо только для малых
волновых чисел kx, т. е. для низколежащих возбужденных уров-
уровней, которые будут заселяться электронами при низких темпера-
температурах.
Полная энергия i-того уровня в поле Н запишется в виде
г
EL~Я|д;= — ЫНр ■■ £ BHn-Jkl). B.4.20)
v=l
105

Подставляя B.4.20) в B.4.18), получаем статистическую сумму
тЛГ
2 2
r=0 kl...kr 1
Вторая сумма при этом берется по всевозможным комбинаци-
комбинациям волновых чисел k\ ... kr, при этом может быть произвольно боль-
большое число одинаковых волновых чисел, и все они должны иметь
вид 2nq/N. Каждая отдельная спиновая волна обусловливает в
энергии часть Jkvi2H\i.
Вместо того, чтобы суммировать сначала по всем состояниям
с одинаковым г, а потом по всем г, можно получить всевозможные
состояния кристалла, введя произвольное число и= 0, 1, 2, ... спи-
спиновых волн с волновыми числами
k0 = 0, kx = 2я/ЛГ, .... kN-i = 2я (W — \)/N.
При этом мы вводим в статистическую сумму много лишних со-
состояний, которые, однако, соответствуют большим значениям энер-
энергии и поэтому вносят пренебрежимо малый вклад.
Статистическая сумма при этом записывается в виде
N—1 <х>
И?
= exp (
№L.) Л ^ . B.4.21)
kT J11 1 ехр[ BЯц + Jq2)/kT]
0—0j
т. е., как и следовало ожидать, для магнонов получается статисти-
статистика Бозе. Подставляя B.4.21) в B.4.17), мы получим для намагни-
намагниченности
1
0=1
где
<х= 2H[l , р = -^-. B.4.22)
kT kT у '
Нас интересует намагниченность для предельного случая а-М).
При подсчете намагниченности заменим в B.4.22) суммирование
интегрированием по k и распространим его до бесконечности, учи-
учитывая, что большие значения k дают пренебрежимо малый вклад
в интеграл за счет экспоненциальной зависимости в знаменателе.
106

Для линейной цепочки получаем
ос
dk
B.4.23)
Легко видеть, что интеграл расходится, / = — оо. Это означает,
что в системе возбуждается бесконечное число спиновых волн и
минимуму энергии соответствует неферромагнитное состояние. Фер-
Ферромагнетизм не возникает в линейной цепочке, хотя мы и предпо-
предположили, что обменный интеграл положителен. Для двумерных ре-
решеток в рассматриваемом приближении также получается, что фер-
ферромагнетизм невозможен и только для пространственных решеток
получаем ферромагнетизм:
/ = Л^-2Ц-^-4я f-£^-f B.4.24)
Bя)« J е&к -1
о
так как суммирование по kx, ky, kz эквивалентно для простой куби-
кубической решетки интегрированию по k:
N dk,dk,,dk,= —®—\nW-dk.
BлK
Положив х= f>k?, получим закон Блоха
1 Г -/x dx \ ., Г, 2,612 i kT У
1 г * ££ N\X. | 1 '— (
2л , J j
B.4.25)
^-(~У2\, n = 3,9-f. B-4.26)
\ ' k I > k
Таким образом, при Г=0 кристалл полностью намагничен, все
электронные спины направлены параллельно полю и магнитный
момент 1sq = N[i. Напомним, что при этом предполагалась положи-
положительность обменного интеграла.
Для гранецентрированной кубической решетки (Ni)
I 4 ( Tk I J k
Для объемноцентрированной (Fe)
Tt, ,. r.-M^L
При одинаковом обменном интеграле Tk тем больше, чем боль-
больше число ближайших соседей Z, т. е. чем больше соседей, тем
труднее разрушить магнитный порядок.
107

На рис. 2.6 приведена зависимость Is(T). Закон «3/2» спра-
справедлив в области низких температур, при этом интервал «низких»
температур довольно широк, например при T/Th~0,5 ошибка
меньше 1%. Физическими причинами появления неблоховского по-
поведения /S(T) при повышении температуры являются возбуждение
спиновых волн с большими k и взаимодействие между магнонамн.
0,91 -
0,96 -
0.95
010
020 030 040 0,50
Рис. 2.6. Температурная зависимость намагниченности ни-
никеля (/). Теория молекулярного поля: 2—/='/г. 3—/ = оо
«Закон Г3/2» Блоха сыграл фундаментальную роль в теории фер-
ферромагнетизма, поскольку (см. B.4.26) и § 3.1) позволил впервые
произвести точное определение константы обменного взаимодей-
взаимодействия.
Мы получили выше, что ферромагнетизм даже при условии
/>0 возникает только в трехмерных кристаллах, и рассмотрели
типичные решетки металлов.
Однако существуют пространственные решетки, в которых мож-
можно выделить систему параллельных цепочек магнитных атомов,
связанных ферромагнитным обменным взаимодействием J\. В то
же время ближайшие атомы двух соседних цепочек связаны более
слабым обменным взаимодействием /2. Такая структура линейных
цепочек должна рассматриваться как одномерная и может обла-
108

/г
R=NC5H5
Рис. 2.7
дать ферромагнетизмом. Точка Кюри такого ферромагнетика бу-
будет определяться в основном параметром J\.
Сейчас открыт целый класс таких одномерных или линейных
ферромагнетиков, одним из примеров которых может служить со-
соединение Co(NC5H5JCl2
(рис. 2.7), в котором ионы К
Со образуют связки парал-
параллельных цепочек, внутри ко-
которых между ионами Со
действует ферромагнитное
взаимодействие (точка Кю-
Кюри — 3,7°К). Существуют
также слоистые структуры,
в которых магнитные ионы
внутри слоя связаны ферро-
магнитно, а взаимодействие
между слоями гораздо сла-
слабее. Такие структуры представляют собой класс двумерных фер-
ферромагнетиков [13].
§ 2.5. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ МЕТАЛЛОВ
Учет периодичности потенциала, действующего на электроны в
идеальном кристалле, позволяет установить, что их энергетический
спектр имеет структуру квазинепрерывных полос или зон, разде-
разделенных участками запрещенных значений энергии, а волновая
функция представляет плоскую волну, промодулированную в «такт»
кристаллической решетке. Волновые функции различных состоя-
состояний электрона задаются номером зоны (главное квантовое число)
и квазинепрерывным квантовым числом — вектором квазиимпуль-
квазиимпульса к. Каждой энергетической зоне отвечает определенная область
возможных значений вектора к в обратной решетке — зона Брил-
люэна. Все эти результаты вытекают только из трансляционной
инвариантности кристалла. Учет точечной симметрии решетки по-
позволяет также получить ряд общих сведений об электронном энер-
энергетическом спектре.
В одноэлектронном приближении уравнение Шредингера для
электрона в кристалле имеет вид
Ъп
B.5.1)
где V — периодический потенциал решетки, в который можно
включить также периодическую часть взаимодействия электронов
друг с другом, понимаемого, например, в смысле Хартри—Фока.
Введем векторы решетки n=niai + n2a2 + nz&z, где п» — произ-
произвольные целые числа, и векторы обратной решетки h=/iibi +
/Ь /Ь3, где bi=[a;a,(]/(ai[a,a,,]). Учтем условие периодично-
109

сти потенциала V(r+n) = V(r), записав V в виде ряда Фурье по
векторам обратной решетки
V= у Vhe2:tihr. B.5.2)
Будем искать решение для волновой функции ■§ в B.5.1) в виде
интеграла Фурье:
+
ф (г) = J a(k) e'kr^d&2cta3. B.5.3)
—оо
Тогда волновое уравнение в к-представлении с учетом B.5.2) при-
принимает вид
■ja(k):
B.5.4)
Отсюда видно, что благодаря периодичности решетки связанными
между собой оказываются только те а (к), которые соответствуют
значениям к, отличающимся друг от друга на произвольный вектор
обратной решетки К=2яЬ. Поэтому интеграл Фурье B.5.3) пре-
превращается в ряд Фурье:
ijjk(г) = eikr £ a ei2nhT = ec*Uk(r), B.5.5)
АЛА»
где функция Uk(r) удовлетворяет требованию трансляционной ин-
инвариантности f/k(r+n) = U (г).
Таким образом, доказано одно из утверждений, сделанных в
начале параграфа, а именно, что волновая функция электрона,
движущегося в поле периодического потенциала решетки, пред-
представляет собой плоскую волну, промодулированную в такт решет-
решетке. Из B.5.5) следует, в частности, теорема Блоха:
гр (г — п)=^ ескптр(г). B.5.6)
Зонную структуру электронного энергетического спектра мож-
можно выявить, подставляя B.5.5) в уравнение B.5.1). В результате
находим следующую систему линейных однородных уравнений для
определения коэффициентов а в выражении B.5.5) для волновой
функции ф(/"):
Определитель веществен в силу условия Vh — V-ь- Все диаго-
диагональные элементы определителя содержат £, поэтому после при-
приравнивания определителя нулю при фиксированном значении к мы
получаем набор корней, собственных значений Еи Е2, ..., Еи ..., ко-
110

торые соответствуют дискретным уровням энергии изолированного
атома. При отклонении к от указанного фиксированного значения
в некотором конечном интервале мы получим «размазывание» дис-
дискретных уровней Et в непрерывные области допустимых значений
энергии — энергетические зоны. Остается показать, что физический
смысл имеет только изменение допустимых значений к в некото-
некотором сравнительно небольшом интервале. Это следует из того об-
обстоятельства, что одинаковому физическому состоянию электро-
электрона соответствует как волновая функция г|зк(г) B.5.5) с волновым
вектором к, так и соответствующая функция %-(/") с k'=k +
\
\
A
1
в
•
в
у
f
J
■A
-Я
-2Ж -Т
о «a
6
Рис. 2.8. Зависимость E(k) в одномерной модели Кронига—Пенни для первых
двух зон; а — представление приведенного волнового вектора, б—представ-
б—представление свободного волнового вектора, пунктиром показана парабола для сво-
свободного электрона
= k+K, т. е. с волновым вектором, отличающимся от исход-
исходного на произвольный вектор обратной решетки. Таким образом,
для однозначного определения электронных состояний область до-
допустимых значений к не должна превышать 2пЪ{, где bj — единич-
единичные векторы обратной решетки. В результате мы можем перебрать
все возможные электронные состояния, задавая поочередно номер
энергетической зоны / и изменяя для каждой зоны к в указанных
выше пределах. Соответственно этому используются два способа
представления: 1) представление приведенного волнового вектора,
юэгда для всех зон к изменяется в одном и том же минимальном
интервале
—<K<
а.2
111

2) представление свободного волнового вектора, когда этот интер-
интервал выбирается только для первой зоны, а затем он соответственно
расширяется, например
--*■<*,,<-*-; -£■<*,. <-*L,
i2n ^ и ^ л 2л . , , Зл
<kX2< , <kxa<
% ai ai «i
И Т. Д.
Все сказанное выше можно проиллюстрировать точными ре-
результатами для одномерной модели Кронига—Пенни, расчет ко-
которой можно найти в любом учебнике по электронной теории ме-
металлов (рис. 2.8).
Для перехода к реальному случаю трехмерного кристалла по-
полезно рассмотреть два предельных случая слабой и сильной связи
электрона с решеткой, когда соответственно в качестве волновых
функций нулевого приближения можно взять либо плоские вол-
волны, либо атомные волновые функции.
Приближение почти свободных электронов. В качестве собст-
собственных функций нулевого приближения выбираем плоские волны
to-e'", ; B.5.8)
i
представляющие собой частный случай функций B.5.5).
Поправка к энергии в первом приближении
Энергия возмущения во втором приближении
2~
E0-En L _ Ек-Ек,
к ъ ь ь
Так как V—периодическая функция B.5.2), которую можно пред-
представить в виде
то матричный элемент
С etik-ку ydx= £ Г <*<к-кУ eiKhrVKh dx
отличен от нуля только в том случае, если к — к' = Кл есть произ-
произвольный вектор обратной решетки и при этом
k' = y**-
112

Таким образом
2
Kh
!-(к + КлJ
B.5.9)
Вследствие нашего предположения, что V(r) мал, Е2 представляет
лишь малую поправку всюду, за исключением тех значений k, где
знаменатель обращается в нуль, т. е. когда
кг = (к -г KftJ.
B.5.10)
Минимальный объем, в котором не содержатся векторы, удов-
удовлетворяющие условию B.5.10), называется зоной Бриллюэна дан-
данной решетки. Удобный способ на-
нахождения геометрических мест то-
точек, удовлетворяющих условию
B.5.10), и в частности построения
зон Бриллюэна, состоит в следую-
следующем. Условие B.5.10) эквивалентно
/ 1
требованию Kh 1
Поэтому, проводя плоскости (или
линии двумерной решетки), перпен-
перпендикулярные линиям, соединяющим
данный узел обратной решетки со
всеми остальными, и расположенные
на половине расстояния между ни-
ними, получим грани зоны Бриллюэна.
На рис. 2.9 приведены полученные
таким образом пять первых зон
Бриллюэна для плоской квадратной
решетки. Легко убедиться, что раз-
размеры первой зоны Бриллюэна как
раз удовлетворяют требованиям од-
однозначности к и поэтому она может
служить областью, в которую свер-
свертываются все энергетические зоны
в представлении приведенного волнового вектора.
В приближении свободных электронов можно получить доволь-
довольно просто и вид поверхности Ферми для металлов. Поверхностью
Ферми металла называют поверхность, ограничивающую объем в
^-пространстве, в котором все состояния при 0°К заняты. Если мы
начнем добавлять электроны в пустую решетку, то поверхность
Ферми будет сначала сферической и радиус этой сферы будет
увеличиваться до тех пор, пока не коснется поверхности зоны
Бриллюэна. Далее сфера начнет пересекать границы зоны, но так
как любой точке вне первой зоны мы можем, переходя к представ-
представлению приведенного волнового вектора, найти эквивалентную точ-
точку внутри зоны, то наша поверхность Ферми как бы отразятся
Рис. 2.9. Критические брил-
люэновские линии и первые
пять бриллюэновских зон
для двумерной квадратной
решетки
113

от границы зоны. И теперь наряду с заполнением первой зоны бу-
будет происходить и заполнение второй зоны, а затем и последующих
зон.
Первая
. зона
Вторая
зона
Третья
зона
Четвертая
зона
(а)
о
I
L I L J
(Ь) (Ь)
Рис. 2.10. Построение Фермн-поверхностей для двумерной квадратной
решетки по Харрисону
Харрисоном [14] был предложен метод построения Ферми-по-
Ферми-поверхности в приближении свободных электронов. Нагляднее всего
его метод можно продемонстрировать в схеме расширенных зон,
114

т. е. рассматривать периодическое повторение зоны Бриллюэна в
^-пространстве.
Для построения Ферми-поверхности Харрисон предложил возле
каждого узла обратной решетки проводить сферы нужного радиуса
kF (радиус определяется количеством валентных электронов, при-
приходящихся на атом металла kF= (Зя2«)'/*), которые в общем слу-
случае будут пересекаться друг с другом и с границами зон Бриллю-
Бриллюэна. При этом, если точка ^-пространства находится внутри одной
сферы, то заполнено одно состояние, если внутри двух, то заняты
состояния в 1-й и 2-й энергетических зонах и т. д. Если точка не
лежит ни в одной из сфер, то состояние свободно. С помощью та-
такого построения получаются довольно сложные поверхности Фер-
Ферми, которые хорошо описывают свойства большого числа непере-
непереходных металлов. На рис. 2.10 приведен результат построения Хар-
рисона для простой квадратной решетки.
Фактически в данном построении использовано приближение
пустой решетки, т. е. равный нулю потенциал V. Введение отлич-
отличного от нуля потенциала приведет к тому, что при переходе от
одной энергетической зоны к другой на границе зоны Бриллюэна
будет происходить разрыв в энергии АЕ= 2\VKh\ (область за-
запрещенных значений энергии (см. рис. 2.8)). Качественно «испра-
«исправить» вид поверхностей Ферми можно с учетом того обстоятель-
обстоятельства, что к границе зоны Бриллюэна все энергетические поверхно-
поверхности должны подходить по нормали (скорость электрона или дырки
на поверхности зоны Бриллюэна обращается в нуль (рис. 2.8)).
Приближение сильной связи. Другой путь построения электрон-
электронной теории металлов — это приближение сильной связи, когда
предполагается, что энергия связи электронов с атомами металла
гораздо больше, чем кинетическая энергия их движения сквозь
решетку. Качественно эта модель дает ту же самую картину энер-
энергетического спектра, что и модель свободных электронов. Волновые
функции нулевого приближения в данном случае строятся в виде
функций Блоха — линейных комбинаций атомных функций, удов-
удовлетворяющих условию B.5.6):
-n), B.5.11)
где г|)о(г—п) — атомные волновые функции, и суммирование ведет-
ведется по всем атомам.
Вычислим энергию первого приближения для электронов в ре-
решетке металла исходя из собственных функций нулевого прибли-
приближения B.5.11):
V ( )
^'B.5.12)
где V(r) — потенциальная энергия электрона.
115

Уравнение Шредингера для изолированного атома имеет вид
[-£-Д~ £„-£/(/■)] i|>0(r) = О, B.5.13)
где Ео — собственное значение энергии, a U(r) — потенциальная
энергия электрона в изолированном атоме. Подставляя B.5.11) и
B.5.13) в B.5.12), получим
J 2 e~ikn' to (г - п') 2 eikn (V (г) - U (I г - п |)) ф» (г - n) dx
n n
B.5.14)
Интегралы зависят только от разности п—п', поэтому переобоз-
переобозначим (п--п')-и1, (г—п)-^г. Энергия электрона в решетке запи-
запишется в виде
Й (г - п) [V (г) - U (г)] % (г) el(kn) dx
— B.5.15)
EH((tknd
010
Рис. 2.11. Линии равных энергий для
квадратной решетки
Если |п| велико, то волновые
функции Ч'о практически не пе-
перекрываются и поэтому в
B.5.15) следует учитывать
только первые члены сумм
по п.
Для п = 0 получаем Е = Ео +
+ С, где С не зависит от к, т. е.
в результате взаимодействия
узла с самим собой получает-
получается лишь постоянный сдвиг
атомных уровней энергии.
Рассмотрим п=^0. Вбл.гзи
ядра соседнего атома V(r) бу-
будет велико, в то время как
U(г) «нулевого» атома в этом
месте уже практически равно
нулю. Поэтому для так назы-
называемого интеграла переноса
An = J и (г - п) [V (г) - U (г)] i|,0 (г) dx B.5.16)
можно получить сравнимое по порядку величины с С значение, не-
несмотря на уменьшение перекрытия волновых функций. Следова-
Следовательно,
A,<"kn. B.5.17)
116

ntoj
Рис. 2.12. Характерные открытые изоэнергетические поверхности для простой (а)
и гранецентрированной (б) кубических решеток

Предполагая далее, что интегралы переноса для ближайших со-
соседей все равны А, получаем
Е=Е0-С --- Л£е'"кп, B,5,18)
п
где суммирование ведется по ближайшим соседям,
В конкретном случае простой кубической решетки из B.5,18)
получаем
Е= £0--;-C4-2,4(cosg-cosr]-f-cosS;), B,5,19)
где g = ka 1; г] = ка2; £ = каз представляют собой составляющие вол-
волнового вектора в направлении трех осей кристалла. Вблизи дна
зоны мы можем разложить косинусы в ряд по составляющим к и
получим
£=£o-f ЗЛ(каJ, B.5.20)
т, е, формально ту же квадратичную зависимость от к, что и для
свободных электронов. При возрастании волнового вектора к энер-
энергия будет уже существенным образом зависеть не только от его
величины, но и от направления. Форма получающихся изоэнерге-
тических поверхностей опять будет существенно зависеть от кри-
кристаллической структуры металла. На рис. 2.11 показано, как со-
согласно B,5.19) изменяется вид изоэнергетических поверхностей в
простой квадратной решетке по мере возрастания энергии, а на
рис. 2,12 продемонстрировано, как из аналогичных построений для
трехмерных кристаллов возникают характерные для благородных
металлов, и никеля открытые Ферми-поверхности с образованием
шеек на гранях зоны Бриллюэна,
§ 2,6. ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ
ЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ В МЕТАЛЛАХ
уже видели, что учет одной трансляционной симметрии в
кристалле дал нам много сведений об общем характере энергети-
энергетического спектра. Но кроме трансляционной симметрии кристалл
обладает еще и другими типами симметрии, которые оказывают
существенное влияние на его электронный энергетический спектр.
Рассмотрим точечную группу симметрии кристалла, т, е, совокуп-
совокупность операций симметрии, каждая из которых преобразует крис-
кристалл, а следовательно, и гамильтониан сам в себя. Пусть)? один из
элементов этой группы. Будем считать, что мы нашли волновую
функцию i|)k, соответствующую некоторому волновому вектору к
в зоне Брнллюэна. Применим теперь операцию симметрии к вол-
волновому вектору к, при этом мы получим в обратной решетке но-
новый волновой вектор. Подействовав всеми операциями симметрии
на вектор к, мы получим так называемую «звезду» векторов к.
При некотором специальном выборе к, например вдоль осей высо-
118

кой симметрии (типа [100], [111] и т, п,), определенные операции
симметрии будут оставлять вектор к неизменным или преобразо-
преобразовывать его в эквивалентный вектор, который можно привести к
исходному с помощью трансляции на вектор обратной решетки.
Совокупность таких операций называется группой вектора к.
Так как операции симметрии оставляют гамильтониан неизмен-
неизменным, всем состояниям, возникающим в результате преобразования,
должна отвечать одна и та же энергия, т, е, любой элемент из
группы вектора к оставляет неизменным состояние, описываемое
волновой функцией i|>k. Поэтому (см, § 1,7) правильные волновые
функции должны являться базисными функциями соответствующих
неприводимых представлений группы симметрии той точки зоны
Бриллюэна, в которую попадает конец вектора к. При этом в мак-
максимально благоприятном случае группа вектора к может совпадать
с точечной группой симметрии кристалла (например, для центра
зоны Бриллюэна и вершины куба для простой кубической решет-
решетки), затем симметрия будет понижаться, вырождения энергетиче-
энергетических уровней, соответствующие группе симметрии куба, будут ча-
частично сниматься, и, наконец, для векторов к, оканчивающихся в
произвольной низкосимметричной точке зоны Бриллюэна, вырожде-
вырождение орбитальных состояний будет снято полностью, В этом смысле
приведенная в § 1.7 классификация энергетических уровней пара-
парамагнитных ионов в кристаллах годится теперь, строго говоря, толь-
только для состояний, соответствующих точке Г, т. е, центру зоны
Бриллюэна, По этой же причине наиболее естественной системой
классификации энергетических уровней в металлах является систе-
система Баукарта—Смолуховского—Вигнера [15], согласно которой
уровень обозначается буквой, соответствующей определенной точке
(или линии) в зоне Бриллюэна, а индекс нумерует неприводимые
представления группы симметрии данной точки или линии. Напри-
Например Г], Г25, Lo И Т. Д,
Таким образом, зная группу волнового вектора, можно указать,
какого именно вырождения следует ожидать вследствие симмет-
симметрии, а также классифицировать волновые функции в соответствии
с неприводимыми представлениями, по которым они преобразу-
преобразуются. ,
Для характеристики неприводимых представлений данной группы
задаются таблицы характеров (см, табл, 1,8,2.3), Размерность данно-
данного неприводимого представления определяется числом в первом столб-
столбце таблицы характеров (см, § 1,7). Так из таблиц 1.8 и 2,3 следует,
что представления Г\, Г2, Х4, L2 — одномерные, Г12, IV, Хъ, L3 —
двумерные, По, Г25, Г15, Г25 — трехмерные, т. е, энергетические зоны,
соответствующие представлениям Г1; Г2, Хи L2, будут невырожден-
невырожденными, Г12 и Г]2 — дважды вырожденными и т, д.
Рассмотрим, например, зону Бриллюэна простой кубической ре-
решетки. Кубическая группа симметрии имеет десять различных не-
неприводимых представлений. Знание вида базисных (см, табл. 1,8)
119

Таблица 2.3
Характеры неприводимых представлений групп X и L
Группа X
Представление
х2
х3
х,
Х6
х\
х'2
х'з
К
Х5
X =—A,0,0)
а
Базис
1,2л-2 — г/2 — г2
у2 — ?2
г/г (г/2-г2)
А-у, ЛС2
xyz (г/2 — г2)
Л7/2
X (У2 —22)
г/, г
щ
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
Ч
сч
1
1
—1
-1
0
1
1
-1
—1
0
1
1
1
1
—2
1
1
1
1
—2
Я
1
— 1
1
0
1
, 1
-1
1
0
о"
1
—1
1
. \
0
1
—1
1
. 1
0
1
1
1
1
2
-1
-1
—1
—1
, 2
-Л
3
1
1
—1
. \
0
2
— 1
1
1
0
1
1
1
1
2
— 1
-1
—1
, 1
2
о
1
—1
—1
1
0
—1
1
1
—1
0
о
1
—1
1
t 1
0
— 1
1
-1
1
—0
Группа
Представ-
Представление
ц
и
*<;
l;
Базис
1, xy + yz-тхг
-гл-гТг2—л-2) ~*~
2л-2— у*~ г2, г/2 —г2
х + У + z
У —2, 2дг — у — 2
Е
1
1
2
1
1
2
2С3
1
1
— 1
1
1
зс2
1
—1
0
1
—1
0
1
1
1
2
-1
—2
2JC,
1
1
— 1
— 1
1
з,с2
1
1
0
t у
1
0
2£/_1_ _]_ _1_
Ь~ а V 2 ' 2 ' 2
функций позволяет приближенно сопоставить их с волновыми
функциями электрона в центрально-симметричном поле атома, ко-
которые обычно обозначаются через s, p, d. Такое сопоставление осо-
120

Рис.
2.13. Зона Бриллюэна простой
кубической решетки
бенно полезно в точках высокой симметрии, где функции с малы-
малыми / относятся к различным представлениям, а в произвольной точ-
точке зоны Бриллюэна волновая функция будет представлять набор
всех сферических гармоник.
В кубе имеются четыре особые точки Г, R, М, X и пять особых
линий симметрии (рис. 2.13). Точка Г—центр зоны Бриллюэна, точ-
точка R лежит в вершине куба и
соединена с другими вершина-
вершинами векторами обратной решет-
решетки. При преобразованиях
куба все восемь вершин будут
переходить одна в другую, и,
следовательно, все они явля-
являются эквивалентными и пред-
представляются одной точкой.
Точкам Г и R будут соот-
соответствовать одни и те же пред-
представления. Точки X и М также
обладают одинаковыми эле-
элементами симметрии. Точка X
соответствует выходу осей ти-
типа [001] на поверхность зоны
Бриллюэна, имеется 6 эквива-
эквивалентных точек X.
Обычно, когда приводится
энергетический спектр реального кристалла, энергетические зоны в
нем задают, указывая неприводимые представления в точках высо-
высокой симметрии. В пределах одной энергетической зоны представле-
представления в особых точках и линиях не являются полиостью независи-
независимыми. Эти представления должны быть совместными. Так пред-
представления, имеющие нечетные базисные функции, не могут совме-
совмещаться с представлениями, имеющими четные базисные функции.
Условия, связывающие неприводимые представления в соседних
точках, линиях и плоскостях, называют «соотношениями совмест-
совместности».
Реальные ферромагнетики Fe и Ni обладают объемноцентри-
рованной и гранецентрированной решетками соответственно. Об-
Обратные решетки для них меняются местами. Зоной Бриллюэна для
Fe является ромбододекаэдр (рис. 2.14), а для Ni — октаэдр
(усеченный) (рис. 2.15).
Точками высокой симметрии в случае объемноцентрированной
кубической решетки являются Г, Я, Р, N. Г и Я обладают полной
кубической симметрией. Р соответствует выходу осей типа [Ш].
Линиями высокой симметрии являются направления А (оси типа
[001]), Л (оси типа [111]) и 2 — направление, соединяющее центр
Г с серединой грани. Для всех этих точек и линий симметрии име-
имеются таблицы характеров неприводимых представлений и найдены
базисные функции [16].
12 1

Наиболее интересными точками для гранецентрированной ре-
решетки являются центры шестиугольных граней L, центры квадрат-
квадратных граней X и вершины W, представляющие точки соприкоснове-
соприкосновения двух шестиугольников и одного квадрата. Именно в этих точках
поверхность Ферми лежит в rf-зоне, и с поведением энергети-
/Г,
Рис. 2.14. Зона Брнллюэна объемноцент-
рированной кубической решетки
Рис. 2.15. Зона Бриллюэна гранецент-
рированиой кубической решетки
ческих уравнений вблизи этих особых точек связаны многие интерес-
интересные особенности ферромагнитного никеля. Отметим также линии
высокой симметрии Л (оси типа [111]) и Д (оси типа [100]).
Следует отметить, что не все неприводимые представления, со-
соответствующие данной пространственной группе, отвечают реаль-
реальным энергетическим уровням. Большинство из них могут оставать-
оставаться незаполненными. Конкретный порядок следования уровней, сте-
степень их заполнения и расстояние между ними может быть установ-
установлено только после задания потенциала взаимодействия.
Обратим внимание еще на одно свойство симметрии энергети-
энергетических зон.
Рассмотрим уравнение, комплексно сопряженное уравнению
Шредингера:
Гамильтониан, будучи эрмитовым, переходит при этом сам в себя,
но волновой вектор к меняется на —к. Это справедливо при любой
симметрии кристалла. Следовательно, энергетические зоны обла-
обладают симметрией по отношению к операции инверсии, даже если
группа кристалла инверсии не содержит. Это свойство энергетиче-
энергетических зон является следствием симметрии уравнения Шредингера
относительно инверсии времени.
122

§ 2.7. ЗОННАЯ СТРУКТУРА ФЕРРОМАГНИТНОГО НИКЕЛЯ
В настоящее время детально разработаны многочисленные ме-
методы расчета энергетического электронного спектра. Все их можно
разбить на две большие группы — вычисления из первых принци-
принципов, когда непосредственно решается уравнение Шредингера с со-
соответствующим одноэлектронным потенциалом: метод присоеди-
присоединенных плоских волн (ППВ), метод ортогонализованных плоских
волн (ОПВ) и метод функций Грина — метод Корринги—Кона—
Ростокера (ККР), а также различные интерполяционные методы
расчета, в которых матричные элементы гамильтониана рассмат-
рассматриваются как некоторые подгоночные параметры, определяемые из
эксперимента. Интерполяционные методы расчета особое значение
приобрели для расчета энергетической структуры переходных ме-
металлов. В этом случае с?-зоны строятся в приближении сильной
связи (методом атомных орбиталей), a (s—р)-зоны—в приближе-
приближении почти свободных электронов (методом ОПВ), кроме того, учи-
учитывается гибридизация d- и s-зон. Таким способом устанавливают
общий вид электронного энергетического спектра с помощью од-
ноэлектронных методов расчета (точность таких расчетов несколь-
несколько десятых электрон-вольт), а затем на основании имеющихся экс-
экспериментальных данных о Ферми-поверхности и определения
различных межзонных интервалов с помощью оптических, магнито-
магнитооптических методов проводится корректировка относительного рас-
расположения энергетических зон с помощью интерполяционных ме-
методов расчета. Знание электронного энергетического спектра не-
необходимо для понимания любых физических процессов в твердом
теле.
Первым металлом, для которого была восстановлена Ферми-по-
Ферми-поверхность, является медь [17]. Никель в некоторых существенных
особенностях зонной структуры должен быть аналогичен меди, по-
поскольку они имеют одинаковую кристаллическую структуру и яв-
являются соседями в периодической таблице, но медь диамагнитна,
а никель ферромагнитен. К настоящему времени можно считать,
что основные особенности зонной структуры, обусловливающие та-
такое различие, уже выяснены.
На рис. 2.16 показана зонная структура меди [18]. Энергия
наинизшей зоны вблизи точки Г ведет себя как парабола для сво-
свободных электронов. Однако чуть выше она начинает прерываться
сложной группой d-зоп. Выше этих d-зоп энергетический спектр
опять напоминает зоны свободных электронов.
Медь содержит в элементарной ячейке один атом, но на каждый
атом в ней приходится 11 электронов 3c?104s'. Этих электронов до-
достаточно, чтобы заполнить пять с половиной зон. В результате
уровень Ферми в меди проходит выше всех пяти d-зон, и они во-
вообще не выходят на поверхность Ферми. Структура зон вблизи
поверхности Ферми напоминает зонную структуру для свободных
123

-to
L Г Л X
Рис. 2.16. Энергетический спектр меди, рассчитанный Сегалом [8]
Рис. 2.17. Изоэнергетические поверхности в окрестности точки L

электронов с плотностью, равной одному электрону на элементар-
элементарную ячейку.
Эксперименты показали, что поверхность Ферми соприкасается
с границами зоны Бриллюэна в точках L(L2-3OHa). На рис. 2.12,6
эта поверхность изображена в виде сферы, вытянутой вдоль вось-
восьми направлений [111], а на
рис. 2.17 показаны изоэнерге- ^ Ш~ полоса
тические поверхности в окрест-
окрестности L-точки, которая являет-
является особой точкой гиперболиче-
гиперболического типа [19].
Радиус области соприкосно-
соприкосноcn+vs- полоса
вения, радиус шейки был оп-
определен по эффекту де Гааза—
ван Альфена, циклотронному fF f
резонансу, зависимости погло-
поглощения ультразвука от магнит- Рис- 2„Л8- Схематическое изображение
j r j кривой плотности состоянии для Си
ного поля и другими методами
[19]. Кривая плотности состоя-
состояний для меди схематически изображена на рис. 2.18. Плотность
состояний на поверхности Ферми мала.
Переходя от меди к никелю, мы вправе ожидать, что хотя об-
общий вид й- и s-зон останется почти без изменений, число электро-
электронов, которые могут заполнить те же зоны, уменьшится. Теперь
уже уровень Ферми попадает в с?-зону, и поэтому зонная структура
вблизи поверхности Ферми очень сложна. Такая ситуация типич-
типична для всех переходных металлов. Качественно можно предста-
представить себе картину плотности состояний в никеле, основываясь на
картине результата расчета для меди (рис. 2.18). Так как Ni фер-
ромагнитен, теперь уже будут две системы с?-полос, смещенных на
величину обменного расщепления, и, кроме того, произойдет сни-
снижение уровня Ферми, например, так, как изображено на рис. 2.19.
Существенной особенностью зонной структуры никеля по срав-
сравнению с зонной структурой меди оказалась смена порядка следо-
вания уровней d- и s-типа в ряде мест зоны Бриллюэна [20]. Пер-
Первые модели электронной энергетической структуры Ni были по-
построены по аналогии с Си (рис. 2.20). За счет опускания Ферми-
уровня образуется дырочный карман в L-точке (уровень L32).
Кроме того, в окрестности L-точки располагаются самые низко-
низкоэнергетические межзонные переходы, которые должны приводить
к особенностям в оптических и магнитооптических спектрах.
Хотя низкоэнергетические особенности были найдены экспери-
экспериментально, их не удавалось объяснить на основе рассмотренной
модели. Для объяснения эксперимента пришлось сменить порядок
уровней L2 ((s—р)-типа) и L32 (с?-типа) и с учетом гибриди-
гибридизации s- и с?-уровней была получена картина (рис. 2.21). При этом
карман в L-точке исчез, а шейка оказалась в й-, а не в (s—р)-зоне.
125

В последующих экспериментах было подтверждено отсутствие этих
карманов дырочного типа в L-точке [21], а прямые теоретиче-
rwnoca'(n+1)S
\
Рис. 2.19. Схематическое изображение
кривой плотности состояний для фер-
ферромагнитного №
Рис. 2.20. Схема энергетических
зон в окрестности i-точки
(прямой порядок)
Рис. 2.21. Схема энергетических зон в окрестности /.-точки (обратный
порядок)
ские расчеты зонной структуры никеля привели к обоснованию
модели с обратным порядком уровней [22], и в настоящее время
эта модель является общепринятой.
126

Другой точкой зоны Бриллюэна, в окрестности которой имеет-
имеется выход d-зоны на поверхность Ферми, является Х-точка. При
исследовании Ферми-поверхности ферромагнитного никеля [23]
обнаружено изменение формы дырочного кармана Х5 в зависимо-
зависимости от направления приложенного магнитного поля, это изменение
объяснено влиянием спин-орбитального взаимодействия (рис. 2.22).
HM100J
//II [OQ1J
w
Рис, 2.22. Схема энергетических зон в окрестно-
окрестности точки X [9]
Спин-орбитальное взаимодействие, снимая вырождение энергети-
энергетических зон, производит сильное изменение энергетического спектра
в некоторых областях зоны Бриллюэна. Эти изменения электрон-
электронной структуры ферромагнитного металла при повороте вектора на-
намагниченности I должны наблюдаться оптическими методами для
определенных межзонных переходов. Соответствующий магнитооп-
магнитооптический эффект был обнаружен на Ni и назван ориентационным
магнитооптическим эффектом (ОМЭ) [24].
Рассмотрим два возможных механизма возникновения ориента-
ционных эффектов. Первый механизм — это спин-орбитальное рас-
расщепление вырожденной зоны в окрестности некоторой линии сим-
симметрии, например линии Л на рис. 2.23. При этом «задетыми» ока-
оказываются переходы Ai-кЛз от В до А. Второй механизм — спин-
орбитальное снятие случайного вырождения в области пересечения
зон с противоположным направлением спина для переходов Е и G.
В первом случае нет непосредственного влияния изменения ори-
ориентации I на оптические свойства металла: зоны смещаются «па-
«параллельно», и межзонная плотность состояний в первом приближе-
приближении не изменяется (за исключением окрестности точки пересече-
пересечения зоны А3\ с уровнем Ферми и окрестности самой точки L32).
Во втором случае происходит изменение кривизны зон, эффектив-
эффективных масс, межзонной плотности состояний, что должно непосред-
непосредственно приводить к появлению оптических и магнитооптических
ориентационных эффектов. Поэтому второй механизм является, по-
видимому, более сильным. При исследовании спектров ОМЭ ни-
кел.я наблюдался сильный пик при 0,3 эВ, который был отождест-
отождествлен с переходом Йив—£(£з2|)—E(L32\). Это отождествление
127

интересно тем, что мы получаем прямое спектральное измерение
обменного расщепления Зс?-зон в Ni [25].
Рис. 2.23. Схема энергетических зон никеля в окрестности I-точки [10J
e
+ fe -cr
* Fe-co
о NL -Co
Д NL -Си
▼ Ni -In
v Ni-V
о Ni -Cr
о NL -Мл
* Co -Cr
0 CO -Мл
b50NL50C0-V
<^50NL50C0-Cr
« Fe- NLB)
* Чистые
метолль/
Cr
24-
Mn Fe Co
25 26 2?
эпектрон/атам '
NL
28
Си
2$
Рис. 2.24. Атомные магнитные моменты ферромагнитных металлов и сплавов
как функция числа валентных электронов на атом
Учет аналогичных изменений зонной структуры никеля для раз-
различных направлений вектора намагниченности позволил провести
128

@)
количественный расчет константы анизотропии никеля, а также
построить теорию интересного эффекта зависимости атомного маг-
магнитного момента Ni от ориентации / в кристалле [26].
Расчеты электронного энергетического спектра делались и для
других ферромагнитных металлов: железа [27], кобальта [28] и
редкоземельных металлов [29]. Но для них пока не проведено
столь детального сравне-
сравнения зонной структуры с
экспериментом, как для
никеля.
Дробность атомных
магнитных моментов чис- ^ о.6\
тых ферромагнитных d-
металлов и свойства би-
бинарных сплавов на основе
Ni в свое время удалось
очень хорошо объяснить
на основе модели ригид-
ригидных зон [30]. Хотя эта
модель с позиций совре-
современной теории сплавов
является не вполне кор-
корректной, изложим кратко
идею указанного объясне-
объяснения, потому что аналогич-
аналогичные простые следствия
могут вытекать и из дру-
других моделей. Будем рас-
рассматривать 3d- и 4х-под-
зоны правых и левых спи-
спинов как сообщающиеся неизменные по форме сосуды, количество
электронов в которых определяется положением уровня Ферми и
обменным расщеплением подзон. При этом из-за большой ширины
4s-3OHbi количество электронов в 4$-подзонах остается примерно
постоянным при относительно небольших изменениях суммарного
числа Cd+is) -электронов. Предположим также, что по крайней
мере для Ni и Со и ряда бинарных сплавов на их основе одна
из Зс?-подзон находится целиком ниже уровня Ферми. Тогда
при одном подгоночном параметре — числе 45-электронов, рав-
равном 0,6 электрона/атом, удается хорошо объяснить ряд опытных
данных. Для Ni атомный магнитный момент в этой модели равен
0,6 цв, а для Со 1,6 цв (в соответствии с экспериментальным
значением 1,7). В никель-медных сплавах ферромагнетизм должен
исчезать за счет заполнения Зс?-зоны валентными электронами меди
при 60% концентрации Си. При добавлении же к никелю цинка
и алюминия средний магнитный момент сплава будет убывать со-
соответственно вдвое и втрое быстрее, чем в никель-медных сплавах
за счет удвоенного и утроенного числа валентных электронов. На
0 S 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70
Концентрация, атомн. %
Рнс. 2.25. Кривые зависимости атомных
магнитных моментов от концентрации би-
бинарных сплавов на основе никеля
Г. С. Кринчик
129

SE
•.**.*.:ч**'
рис. 2.24 представлена диаграмма Паулинга, содержащая инфор-
информацию об атомных магнитных моментах бинарных ферромагнит-
ферромагнитных сплавов, а на рис. 2.25—зависимость от концентрации для би-
бинарных сплавов на основе никеля. На этих рисунках можно найти
ряд дополнительных экспериментальных данных, находящих объ-
объяснение в рамках рассмотренной выше модели.
§ 2.8. КРИТЕРИЙ ФЕРРОМАГНЕТИЗМА Зй-МЕТАЛЛОВ
Ферромагнитное состояние в зонной теории характеризуется
сдвигом подзон с разными направлениями спина на величину об-
обменного расщепления АЕ. Но чем
вызвано такое расщепление и по-
почему оно наблюдается только у
избранных Зс?-металлов группы
железа и вообще отсутствует в
группах Ы- и 5с?-металлов? Кол-
Коллективизированная модель ферро-
ферромагнетизма развивалась в рабо-
работах Слетера, Стонера, Мотта
[31]. Рассмотрим простейший
вариант стонеровской модели
коллективизированных электро-
электронов в металле и получим необхо-
необходимое условие существования
ферромагнетизма в идеальном
Ферми-газе.
Основным недостатком этой
простейшей модели является то, что в ней учитывается только
один тип элементарных возбуждений — переходы электронов на
более высокие энергетические уровни — и совершенно не рассмат-
рассматриваются низкоэнергетические элементарные возбуждения — спи-
спиновые волны. Допустим, что в результате обменного взаимодей-
взаимодействия произошел сдвиг энергетических спиновых подполос на 8Е
(рис. 2.26). В результате такого сдвига v электронов в расчете
на единицу объема перейдут из левой полосы (спин \) в правую
(спин |) и тем самым увеличат кинетическую энергию системы
на 2v ЬЕ. Обменная энергия системы складывается из взаимодей-
взаимодействия всех пар электронов с одинаковыми направлениями спинов
(электроны с антипараллельными спинами ничего не дают). По-
Поэтому можно приближенно считать, что обменная энергия каж-
каждой подполосы пропорциональна квадрату числа электронов в под-
полосе («+ и п.- — соответствующие числа для единицы объема
металла).
В ' размагниченном состоянии п° — пР_ =: N/2, в намагниченном
состоянии п+ = N/2 ± v, следовательно, выигрыш в обменной энергии
5=4
Рис. 2.26
130

|/| —обменный параметр, эквивалентный параметру молеку-
молекулярного поля.
Ферромагнитное состояние будет устойчивым, если изменение
энергии при переходе от парамагнитного состояния к ферромаг-
ферромагнитному будет отрицательным, т. е. ДеОбм+Аеиш"<0 или
2\J\v*>2vdE, ^-Ul>!-
ос
Вводя плотность состояний на уровне Ферми у\ер — v/ЬЕ, получим
критерий ферромагнетизма в таком виде
r\EF\J\>\. B-8.1)
Из полученного соотношения видно, что в зонной модели для реа-
реализации ферромагнетизма необходимо выполнение двух условий:
1) существование большой отрицательной обменной энергии
ЛеОбм~ —1/| и 2) наличие высоких плотностей состояния у поверх-
поверхности Ферми, чего следует ожидать, когда уровень Ферми лежит в
узкой с?-полосе.
Естественно возникает вопрос о физической природе обменного
взаимодействия в с?-металлах. В настоящее время еще нет оконча-
окончательного ответа на него.
В числе механизмов, благоприятствующих ферромагнетизму,
рассматривают следующие:
1) внутриатомный обмен в одной зоне,
2) междуатомный обмен в одной зоне,
3) внутриатомный обмен между зонами или хундовская связь,
4) междуатомный обмен между зонами.
В связи с разнообразием этих механизмов возникают сущест-
существенные трудности в построении обменного потенциала в зонной
теории. Обменное взаимодействие задается или как параметр в
интерполяционной схеме и подгоняется по различным эксперимен-
экспериментальным результатам, либо используется приближение Слетера
[32], который предложил вычислять обменное взаимодействие ме-
металла как взаимодействие свободного электронного газа с соот-
соответствующей электронной плотностью. В этом случае получаем
обменный потенциал, пропорциональный плотности состояний в
степени 7з. Как показали расчеты Коннолли для зонной структу-
структуры ферромагнитного никеля [22], лучшее согласие рассчитанной
зонной структуры с экспериментом достигается, если использовать
обменный потенциал Слетера, уменьшенный на одну треть. Рас-
Рассматривая обмен свободных электронов, мы игнорируем все кор-
корреляционные эффекты (эффекты взаимодействия электронов с ан-
типараллельно ориентированными спинами). Необходимость учета
корреляций связана с тем, что в выражении для энергии электрон-
электронной системы как для атома, так и для кристалла входит величина
вида
5* 131

€> Ы —
(г,) dxxdx2,
B.8.2)
%' tyf — атомные функции (функции Ванье) для двух элек-
электронов в одном и том же атоме, находящихся либо на одной и той
же ^-орбите («=«'), либо на разных с?-орбитах {пфп'). В первом
случае B.8.2) дает энергию электростатического отталкивания двух
электронов с антипараллельными спинами, а во втором — такую
же энергию, но при любом соотношении ориентации спинов. Так
Редкие
земли
Рис. 2.27. Зависимость обменного интеграла от v — отношения
расстояния между соседними атомами в решетке к радиусу незамк-
незамкнутой электронной оболочки
как £/~10 эВ, то энергия U больше «ширины» с?-полосы (около
4 эВ) и заметно превышает внутриатомную обменную энергию
tWt»'WAA~l эВ B.8.3)
и дает разность энергии двух электронов в состояниях \!рп и i|v
в одном и том же атоме, когда их спины параллельны и антипа-
раллельны (по правилу Хунда энергия первого ниже, чем второ-
второго). Существуют две точки зрения на причину ферромагнетизма в
d-металлах.
Первая состоит в том, что эффективная энергия корреляции не
столь велика, чтобы помешать двум электронам или дыркам по-
попасть в один и тот же атом (узел решетки) и за счет внутриатом-
внутриатомной (хундовской) обменной связи создать некомпенсированный
магнитный момент. Согласно второй точке зрения причина фер-
132

ромагнетизма заключается в существовании большой энергии от-
отталкивания для электронов с антппараллельными спинами. Так
как электроны с f| спинами не могут двигаться в одном и том же
атоме, то они имеют меньший объем для движения и поэтому их
кинетическая энергия возрастает. Для электронов с ff спинами
такого роста кинетической энергии нет. Обе эти точки зрения при-
приводят к величине обменного расщепления Зс?-зоны \Е для
Ni~0,5 эВ, что соответствует по порядку величины наиболее ве-
вероятному экспериментальному значению Д£ = 0,3 эВ, приведенному
в предыдущем параграфе.
В заключение этого параграфа упомянем о критерии ферро-
ферромагнетизма Бете—Слетера [33], сыгравшем существенную роль в
развитии теории ферромагнетизма, но оказавшемся некорректным
после проведения количественных расчетов на ЭВМ. Из формулы
B.2.20) для обменного интеграла следует, что положительный
вклад в / дает перекрытие электронных оболочек, т. е. межэлек-
межэлектронное взаимодействие, а взаимодействие электронов с нонами
приводит к отрицательному вкладу. Поэтому благоприятствовать
положительному значению / будет увеличение отношения расстоя-
расстояния между ионами в кристалле d к радиусу электронной оболочки
г„, хотя при этом абсолютное значение / должно уменьшаться. На
рис. 2.27 эта зависимость представлена схематически. На основа-
основании такой схемы удавалось «объяснить» ферромагнетизм Fe, Co,
Ni, антиферромагнетизм Мп и Сг, ферромагнетизм гейслеровых
сплавов, зависимость температуры Кюри от давления и т. д. Одна-
Однако прямые численные расчеты / [34] показали, что / не только
значительно меньше по абсолютной величине, чем требовалось, но
во многих конкретных случаях имеет отрицательный знак. В ре-
результате от критерия Бете—Слетера пришлось отказаться.
§ 2.9. КОСВЕННЫЙ ОБМЕН В ФЕРРОДИЭЛЕКТРИКАХ
В рассмотренных до сих пор задачах мы использовали механизм
прямого обмена, когда магнитоактивные ионы являлись ближай-
ближайшими соседями и имелась область существенного перекрытия вол-
волновых функций их электронов. Но механизма прямого обмена не-
недостаточно для описания магнитных явлений в тех диэлектриках
(а их подавляющее большинство), в которых катионы переходных
металлов разделены расположенными между ними магнитно-ней-
магнитно-нейтральными анионами, а также в случае редкоземельных металлов
из-за малого перекрытия волновых функций /-электронов. Поэто-
Поэтому важным механизмом обменного взаимодействия является кос-
косвенное обменное взаимодействие либо через электроны немагнит-
немагнитных ионов (ионные кристаллы), либо через электроны проводимо-
проводимости (редкоземельные металлы).
Для однозначности иногда используют термин косвенное об-
обменное взаимодействие только для обмена через электроны про-
проводимости, а для обмена через электроны немагнитных ионов упот-
133

ребляют несколько неудачный термин — сверхобмен или супероб-
суперобмен.
Механизм сверхобмена мы изучим в трехцентровой «молекуле»
М—О—М с четырьмя электронами. Эта задача для теории сверх-
сверхобмена играет ту же роль, что задача молекулы водорода для пря-
прямого обмена в кристалле (рис. 2.28).
м о
Рис. 2.28. Схема Крамерса—Андерсона
В основном состоянии на магнитных ионах М находится по од-
одному d-электрону, а на ионе О (О2"")—два р-электрона. Поскольку
спиновая оболочка иона О2~ нейтральна, то в основном состоянии
никакой корреляции между ориентациями спинов ионов М нет.
Кроме такого чисто ионного состояния необходимо учитывать воз-
возбужденные состояния, при которых р-электрон кислорода перехо-
переходит к одному из ионов М. Тогда оставшийся на О электрон может
уже участвовать в «обменных» взаимодействиях с другим своим
соседом М, и следует ожидать появления результирующей обмен-
обменной связи спинов ионов М.
Таким образом, необходимое условие для возникновения кос-
косвенной обменной связи — существование возбужденных состояний
промежуточных ионов. Точная волновая функция системы долж-
должна быть суперпозицией волновых функций основного и возбужден-
возбужденного состояний. Соответствующая такому состоянию энергия мо-
может быть рассчитана только в третьем или более высоком прибли-
приближении теории возмущений, поскольку полный процесс косвенного
обмена включает в себя дважды перенос электрона от одного
атома к другому (это взаимодействие описывается гамильтониа-
гамильтонианом Ж-mv) и один раз обмен электронов между парой атомов (ему
соответствует Жовм) ■
Если обозначить через «ил' совокупности квантовых чиСел,
характеризующих различные спиновые состояния системы, нахо-
находящейся в основном орбитальном состоянии, то для матрицы кос-
косвенного обмена может быть записано следующее выражение:
{п | <%пер \т) {т\ 3?обН | т') (т | <5УПер I »'> /9 Q П
(Ет-Еп)(Ет.-Еп)
mm'
где /пит' — различные спиновые состояния возбужденной систе-
системы, Ет и Еп — энергии системы в возбужденном и основном со-
состояниях.
134

Нпп- представляет собой эффективный оператор косвенного
обменного взаимодействия, обусловленный возмущением, взятым
в третьем приближении. Для явного вычисления величины Нпп-
следует учесть, что интеграл переноса не зависит от спина, а
Ж обм можно задать в гейзенберговском виде для взаимодействия
между р- и d-электронами:
[^] B.9.2)
Тогда, как показал Андерсон [35], эффективная обменная связь
«одноэлектронных» магнитных атомов B.9.1) приводится к виду
Hdid, = ^эфф = + ЬЧ^ (S,,S,2), B.9.3)
где коэффициент о =—L-J—^^—— определяется интегралом пере-
носа и не зависит от спиновых переменных (а и а' — орбиталь-
орбитальные состояния); Ipd — обменный интеграл между электроном не-
немагнитного иона, находящимся в /^-состоянии, и d-электроном маг-
магнитного иона; Sdlt Sd2 — спины магнитных электронов.
Верхний (нижний) знак в B.9.3) относится к случаю, когда
внутриатомная обменная связь электронов в магнитном ионе фер-
ромагнитна (антиферромагнитна). Таким образом, результирую-
результирующий знак косвенной обменной связи зависит от соотношения зна-
значений внутриатомного (в магнитном ионе) и межатомного (маг-
(магнитный — немагнитный ионы) обменных взаимодействий.
Рассмотрим конкретный расчет по указанной выше общей схе-
схеме одного из механизмов косвенного обменного взаимодействия в
трехцентровой задаче Мп2+—О2~—Мп2+ (механизм Крамерса—
Андерсона).
Вычислим /Эфф для случая, когда переход осуществляется в не-
незанятое d-состояние атома Мп. При этом нужно учитывать три ор-
орбитальных состояния:
dx — р2 — d2 — основное состояние,
dxd\ — р1 — d2 — возбужденное,
dx — р1 — d^d2 — возбужденное.
Выпишем таблицу исходных волновых функций задачи, каж-
каждая из которых строится из атомных волновых функций и удов-
удовлетворяет принципу Паули, т. е. строятся всевозможные детерми-
детерминанты Слетера. Если четыре электрона находятся на орбиталях
фй. Фг, фт и фп, причем спины « + » на орбиталях I и п, а спины
«—» на орбиталях k и т, то детерминант Слетера имеет вид
135

4>k A)
ф/ A)
ФтA)
ф A)
РA)
аA)
РA)
аA)
Фй
Ф/
Фт
Фя
B)
B)
B)
B)
РB)
а B)
РB)
а B)
<Pft
Ф/
Фт
Фя
C)
C)
C)
C)
РC)
аC)
РC)
аC)
Фй
Ф/
фт
Фя
D)
D)
D)
D)
РD)
а D)
РD)
а D)
/а
/пР
/га
1+
т.—
B.9.4)
В этом выражении координаты первого электрона обозначены
цифрой 1, второго — цифрой 2 и т. д. В каждой строке B.9.4)
стоит одна и та же функция для всех электронов, и эта функция
умножается на одну и ту же спиновую функцию. Распределяя все-
всеми возможными способами спиновые функции ос и р по трем на-
наборам четырех орбиталей основного и возбужденных состояний, по-
получаем 36 первоначальных базисных функций, которые записаны
в табл. 2.4.
Таблица 2.4
Исходные базисные функции в теории косвенного обмена Крамерса — Андерсона
Основное состояние
di -f-
Р +
= р -
d
Р
Р
+
4-
+
и*
—
и,
\
Т
—
di
Р
d
i
+
+
+
—
-r
+
+
Vt
v9
T
—
+
+
vs
vt
T
+
—
+
v,
v,
1
"T
+
+
—
v.
v,
+
+
—
—
U&
va
Возбужденные
—
+
—
us
u12
1
"T
—
—
+
Un
—
+
+
•—■
u4
Uu
состояния
—
+
—
u9
—
—
+
us
u10
1
—
—
•—■
v»
va
•—■
Vy,
—
—
+
■—■
Vis
—
—
—
+
vM
Vu
—
—
—
■—■
dl
p
Нумерация функций V, V, W произвольна, но разбиение на
классы U, V, W эквивалентно разбиению волновых функций на
классы с определенным значением проекции спина:
136

U — спины компенсируются (S; = 0),
V — среднее значение S (S: = ±l).
W — все электроны имеют одинаковый спин (S; =
Так как оператор энергии не содержит спиновых переменных,
то матричные элементы между состояниями с разной мультиплет-
ностью (разным S) равны нулю, и матрица энергии разобьется на
блоки, соответствующие всем мультиллетностям системы, т. е.
уравнения для триплетных и сннглетных состояний можно решать
отдельно. При данном S величина энергии не зависит от S: — про-
проекции спина на ось г, поэтому уровень энергии можно вычис-
вычислять с собственными функциями оператора S2, принадлежащими
любой проекции Sr. Это сильно уменьшает количество матричных
элементов, которые следует вычислять. Как и в задаче о молекуле
водорода, нам необходимо найти энергии синглетного (Es) и три-
плетного (Et) состояний, и тогда эффективный обменный интеграл
будет равен
=-5~ (£,-£«)• B.9.5)
Для нахождения энергий Es и Et требуется построение собст-
собственных функций оператора S2 для S=\ и S=0, при этом можно
использовать набор собственных функций U. соответствующих соб-
собственным значениям S: = 0. Тогда получается 5 правильных ли-
линейных комбинаций из функций типа U для сннглета и 7 для три-
триплета:
7,= —-= (b\ -f U. — 2US - Uй - L'- — 2G8),
2 /3 5 6 . 8/'
~ (I/, - Ulo ~ 2Un - U12 - U13 - 2UU);
= -— (U, ^ Ut), °V2 = -^ (Uz - Ut),
°Vb- -±=- (U9 -Ult)
B.9.6)
137

Полные волновые функции триплета и синглета записываем в
виде линейной комбинации базисных функций °Vh и °£//,:
= v ck»uk.
B.9.7)
Подставляя их в основное волновое уравнение #1|з=£Ч|з, получаем
Таблица 2.5
Значения матричных элементов для синглетного уровня
Ui
и3
и*
и*
и,
в
р/2-
р/2"
Ац
Аи
t'.
р/2"
/l12
и*
Аи
—/i12
У.
р/2"
—Л12
Агг
секулярные уравнения 7-го и 5-го порядка. В табл. 2.5 приведе-
приведены значения матричных элементов для синглета, где
и _р J' г 1<L f
1 — ci J ~ ~г о
и _ р у j ^о р
2 ~ cl J Jj о LS'
']2 —
""О' — ^0 ■^■'0
£о—собственные энергии электронов, С{/- — кулоновские интегралы,
J = Jpd={dp\H\pd)
обменный интеграл между р- и d-орбиталями О и Мп,
обменный интеграл между d- и d'-орбиталями в атоме Мп,
обменный интеграл между р- и d'-орбиталями,
138

интеграл переноса электрона между р-орбиталью кислорода и воз-
возбужденной d-орбиталью марганца.
Подобное уравнение 7-го порядка может быть получено для
триплетного уровня.
Решение таких уравнений удобно проводить с помощью метода
Лёвдина [36], который получил формулу для приближенного вы-
вычисления корней
a
Л ej2 iij
ар а
[(Яп —
т ар
+ (Яп-Ярр)]- V Я?а [^Я?а^ (^ц-ЯааI] } , B.9.8)
а а
где
Пои = Наа — Ег, Нп = Яи — f0, Яар = Яар — Яаа-
Суммирование здесь ведется по °U2—°£/5 для синглета и по °Уг—
°V7 для триплета.
Формула B.9.8) дает поправку к энергии £0 в виде ряда по
обратным степеням (Ео—Е\), т. е. в виде ряда теории возмуще-
возмущений.
Пользуясь формулой B.9.8), можно вычислить энергии синглет-
ного и триплетного уровней
р гр 9/1 ' V
c = [h — zj
1
1 ,
J
[^-V+^'+J—f ^y+^^o-J)]- B-9.Ю)
Составляя разность Es—Еи находим величину эффективного об-
обменного взаимодействия согласно B.9.5):
0 — сг;
139

Видно, что обменное взаимодействие проявляется только в 4-м
порядке теории возмущений.
Формула Крамерса—Андерсона B.9.11) была получена в пред-
предположении, что внутриатомный обменный интеграл Jdd' много
меньше, чем разность уровнен £\—Ео, однако в действительности
это величины одинакового порядка, так как интеграл, описываю-
описывающий хундовский обмен, может быть достаточно велик. В этом слу-
случае необходимо включить внутриатомный обмен в основное со-
состояние, и вместо одного возбужденного состояния нужно рассмат-
рассматривать два состояния
£"*" = Ег — Jj<t< Е = Е1 — Jdd-,
тогда Efi=E0—Е+ — увеличение энергии при переходе р-электро-
на на пустую орбиту d' марганца с ориентацией спина антипарал-
лельно спину электрона, находящегося на d-орбите, Ef^=E0—Е~—
то же, но для f f ориентации спинов d- и d'-электронов.
Для эффективного обменного взаимодействия в этом случае
можно получить выражение
'*♦ = РЧ* f-] -М, B-9.12)
из которого вытекают определенные следствия о знаке и величине
/эфФ-
Если Jpd соответствует нормальной химической связи, предпо-
предполагающей насыщение спинов, так что /Р(г<0, то знак /Эфф зависит
от соотношения энергии Е ^ и £jt.
Если jl ориентация спина электронов в ноне металла энерге-
энергетически более выгодна, чем ff, мы получаем /Эф4><0 и антифер-
антиферромагнитную связь между нонами металла. Этот случай осущест-
осуществляется для магнитных ионов с более чем наполовину заполненной
d-оболочкой, так как в этом случае электрон может перейти в не-
незанятое состояние d' только со спином, антипараллельным спину
уже имевшихся rf-электронов.
Если, наоборот, d-оболочка заполнена менее чем наполовину,
то энергия должна быть минимальной при \\ ориентации спина
переходящего электрона и уже имевшихся электронов (согласно
правилу Хунда) и /эфф будет положительным. В этом случае долж-
должна осуществляться ферромагнитная связь между ионами металла.
Поэтому /Эфф должно менять знак при переходе от Сг2+ к Мп2+.
Этот вывод подтверждается экспериментально, так как соеди-
соединения CrS, СгТе, СгОг, VCh — ферромагнетики, a MnS, MnTe,
МпО — антиферромагнетики, но есть и исключения, например
СгС13 — антиферромагнетик.
Абсолютная величина /эфф зависит от квадрата интеграла пе-
переноса р. Поэтому сильные электроотрицательные ионы связи, у
которых перекрытие волновых функций с соседями незначительно,
дают малое р, а следовательно, и /эфф- Поэтому в последователь-
140

ности халькогенидов марганца MnO, MnS, MnSe, MnTe, где элек-
электроотрицательность иона связи уменьшается, /Эфф должно возрас-
возрастать, что действительно наблюдается экспериментально. Такое же
■соотношение наблюдается для халькогенидов Fe. Из этого пра-
правила также имеются исключения.
Существенным в теории Крамерса—Андерсона является вывод
■о направленности косвенного обменного взаимодействия. Так как
распределение электронной плотности р-орбиты промежуточного
иона имеет форму гантели (см. § 1.8), то интеграл переноса р, а
следовательно, и /Эфф имеют наибольшие значения в случае выст-
выстраивания цепочки К—А—К, т. е. когда все три иона лежат на
одной прямой и имеется максимальное перекрытие волновых функ-
функций р- и d-электронов.
Мы рассмотрели только эффективную обменную связь для ме-
механизма Крамерса—Андерсона, в котором возбужденное состояние
цепочки из трех ионов образуется путем перехода р-электрона
кислорода на пустую d-орбиталь иона Мп. Но существуют и дру-
другие возможные возбужденные состояния.
Обобщение теории Андерсона продолжалось главным образом
по линии уточнения различных возбужденных состояний четырех-
электронной системы. Например, Слетер [37] рассмотрел поляри-
поляризационный механизм, в котором косвенная антиферромагнитная
связь между электронными спинами катионов устанавливается за
счет поляризации зарядового облака внешнего слоя электронной
оболочки немагнитного иона. Согласно Слетеру, благодаря обмен-
обменным эффектам потенциальная энергия электрона понижается, ког-
когда он расположен в области пространства, где имеется плотность
заряда других электронов с таким же направлением спинов. Поэто-
Поэтому когда, например, в группе Мп2+—О2~—Мп2+ спины электронов
у ионов Мп2+ антипараллельны, то каждый из электронов иона
О2' смещается к тому из ионов Мп2+, у которого р-электрон имеет
ту же ориентацию спина. При этом общая энергия системы пони-
понижается, и, таким образом, за счет поляризации иона О2~ стабили-
стабилизируется антиферромагннтная связь ионов Мп2т.
Гудинаф [38] указал, что в ряде соединений важнейшим про-
процессом в формировании обменной связи является одновременный
переход двух р-электронов к соседним катионам, т. е. рассмат-
рассматривалось взаимодействие конфигураций Мп2+—О2~—Мп2+ и
Мп+—О—Мп+.
Анализировался также механизм косвенного обменного взаи-
взаимодействия в обычной зонной теории, т. е. рассматривался
перенос электрона между катионами [39, 40] (Мп2+—О2~—Мп2+ и
Мп3+—О2-—Мп+).
При рассмотрении реальных соединений нужно учитывать, что
эффективное обменное взаимодействие является результатом одно-
одновременного действия многих механизмов. Знак результирующего
сверхобмена будет зависеть от характера участвующих в обмене
орбиталей.
141

Катион
Катион
Рис. 2.29. Схематическое изображение механизмов антиферромагнитного
(а и б) и ферромагнитного (в) косвенных обменных взаимодействий.
1 — наполовину заполненный уровень, 2 — незаполненный уровень, 3 —
спин иона

Например, орбиталь рб ортогональна к t2g (см. § 1.8), но в то
же время не ортогональна к eg, и поэтому возможен перенос элек-
электрона между /Эб-орбиталью и eg (но не ^й)-орбиталью (а-перенос).
Перенос электрона аналогичным образом может осуществлять-
осуществляться между ря-орбиталью и ^g-орбиталью (я-перенос). а-перенос
обычно протекает интенсивнее, так как в этом случае больше об*
ласть перекрытия орбит.
Гудинафом и Канамори [39] были сформулированы полуэмпи-
полуэмпирические правила определения знака эффективного обменного ин-
интеграла, которые верно описывают магнитные структуры большого
количества соединений.
1) Связь антиферромагнитна в том случае, когда р-орбита ани-
аниона перекрывает полузаполненные d-орбиты катионов.
2) Если р-орбита промежуточного аниона перекрывает своими
обоими лепестками две пустые d-орбиты противолежащих катио-
катионов, то связь магнитных моментов также антиферромагнитна.
3) Если р-орбита промежуточного аниона одним своим лепест-
лепестком перекрывает полузаполненную d-орбиту катиона, а другим
лепестком — пустую d-орбиту другого катиона, то магнитные мо-
моменты катионов связаны ферромагнитно (рис. 2.29).
Простейшими типами соединений, удобными для изучения ме-
механизма обменной связи между магнитоактивными ионами, распо-
расположенными в октаэдрических узлах, являются соединения типа
перовскита, например LaMO3 (M — символ элемента группы же-
железа). Магнитный катион М расположен в вершинах куба, а маг-
магнитно-нейтральные анионы О2~ лежат приблизительно в центрах
ребер куба. Угловые части волновых функций металлического ка-
катиона, принадлежащие двукратно вырожденному ея-уровню, имеют
«лепестки», направленные вдоль ребер куба к соответствующим
лепесткам рб-функции каждого из шести ближайших к данному
иону металла соседних анионов кислорода. Таким образом, орби-
орбиты двух ближайших ионов металла перекрываются с двумя про-
противоположными «лепестками» гантелевидной рб-орбиты лежащего
между ними аннона. Характер косвенного обменного взаимодей-
взаимодействия должен зависеть теперь только от степени заполнения eg-op-
бит, которое для различных ионов показано в табл. 2.6.
На рис. 2.30 приведены два типа атомной магнитной структу-
структуры, которые возникают в соединениях со структурой типа перов-
перовскита и трифторидах. Структура, изображенная на рис. 2.30, а, со-
соответствует антиферромагнитной связи между данным ионом ме-
металла и всеми его шестью ближайшими соседями. Если принять,
что все ея-уровни заполнены наполовину, то должна иметь место
косвенная связь типа 1, такой тип структуры реализуется для со-
соединений LaFeC>3, FeF3, C0F3. С другой стороны, в соединениях
LaCrO3, СаМОз, CrF3 все ея-уровни оказываются пустыми, и воз-
возникает антиферромагннтная связь типа 2.
На рисунке 2.30, б приведен пример антиферромагнитной упоря-
упорядоченной структуры, в которой имеется ферромагнитная связь в
143

Таблица 2.6
Заполнение 3</-уровней «£- и /\,8-типа электронами с различными направлениями
спинов для ионов элементов группы железа, расположенных в октаэдрических
и тетраэдрических узлах
Катионы
Октаэдрические узлы
(E(et)>E(t^)
Тетраэдрические узлы
(Е (tz) > £ (е))
Ч
tig
h
е
Tis+
00
too
000
to
V2 +
Ti2 +
00
П0
000
TT
Mn4+
v2+
00
TTT
too
It
Mn3+
Cr2+
to
TTT
tto
IT
Fe3+
Mn2 +
TT
TTT
TTi
и
Co3 +
Fe2 +
TT
HTT
TTT
ТП
Ni3+
Co2 +
TT
HTiT
TTT
mi
Cu3^
Ni2 +
TT
TlUTl
HTT
ТШ
Рис. 2.30. Примеры перекрытия волновых функций d-состояний в магнито-
упорядоченных структурах
горизонтальных плоскостях и антиферромагнитная между плоско-
плоскостями. Такая структура наблюдается в соединениях ЬаМп3+О3'и
Mn3+F3. В ионе Мп^ одно из двух орбитальных состояний eg не
заполнено, и при полном пространственно упорядоченном распреде-
распределении волновых функций этих ей-уровней возникает ферромагнит-
ферромагнитная связь в горизонтальных плоскостях, обусловленная косвенной
обменной связью типа 3. На рисунке изображена ситуация, когда
состояние dz* наполовину заполнено, а состояние йхг_уг не запол-
заполнено, но такой же результат получается и при обратном предполо-
предположении. Антиферромагнитная связь между соседними горизонталь-
горизонтальными плоскостями при принятых здесь предположениях будет со-
соответствовать механизму косвенной связи типа 2. Предложенное
пространственное распределение электронных структур объясняет
144

рентгенографически обнаруженную неэквивалентность межатом'
ных расстояний Mn—F в искаженном октаэдре MnF6, в котором
имеются три пары расстояний 6=1,8, с=1,9 и g=2,l A.
Эти примеры иллюстрируют возможные механизмы косвенного
обменного взаимодействия, которые возникают в соединениях с
магнитными ионами, расположенными в октаэдрических узлах.
Наблюдались также и другие типы антиферро- и ферромагнитного
упорядочивания, которые хоро-
хорошо объясняются с помощью
трех типов косвенной связи.
Сравнение температур магнит-
магнитного упорядочивания показы-
показывает, что связь, возникающая
при участии незаполненных
е^-состояний, по-видимому, ела-
бее связи, соответствующей
случаю наполовину заполнен-
заполненных ея-состояний.
Мы рассмотрели примеры,
в которых линия К—А—К яв- Рис- 2-31
ляется прямой, т.е. случаи 180°
соседства катионов. На рис. 2.31 изображено взаимодействие для
90° соседства катионов Ni2+. К этому типу принадлежат взаимо-
взаимодействия внутри слоя в слоистых антиферромагнетиках FeCb,
СоСЬ, NiCb, где внутри слоя спины параллельны (/i>0), а мо-
моменты слоев антиферромагнитны друг относительно друга (/2<0).
Магнитные свойства их хорошо описываются допущением, что
Из сказанного ясно, что рассмотрение пространственного рас-
распределения орбиталей, участвующих в косвенной обменной связи,
может служить хорошей основой для объяснения причин существо-
существования одномерных, линейных и двумерных, слоистых ферромагне-
ферромагнетиков.
Приведенные выше полуэмпирические правила Гудинафа—Ка-
намори были переформулированы Андерсоном [41] следующим
образом.
1) Когда у двух ионов «лепестки» орбиталей магнитных элек-
электронов направлены навстречу друг другу, так что интеграл пере-
перекрытия велик, взаимодействие антиферромагнитно.
Здесь можно выделить три случая:
а) для орбиталей dz2 -ионов в октаэдрическом окружении при
180°-ной ориентации сверхобменное взаимодействие антиферромаг-
антиферромагнитно и максимально;
б) когда орбиты dxy находятся в 180°-ной конфигурации от-
относительно друг друга и взаимодействуют через посредство ря-ор*
биты лиганда, взаимодействие снова антиферромагнитно;
в) антиферромагнитное взаимодействие может возникать и при
90°-ном соседстве, когда один катион имеет заполненную орбиталь
145

dzi, другой — dxy, а р-орбиталь промежуточного аниона является
/?згорбиталью для одного и /Эб-орбиталью для другого катиона.
2) Когда орбитали катионов ориентированы так, что «соприка-
«соприкасаются» друг с другом, но интеграл перекрытия равен нулю (на-
(например, для орбиталей dz> и dxy в 180°-ной конфигурации), то
взаимодействие ферромагнитно и невелико. Иногда это правило
формулируют так: при «контакте» пустой с?-орбиты с заполнен-
заполненной возникает ферромагнитное взаимодействие.
Андерсон [41] рассмотрел те трудности, с которыми сталки-
сталкивается описанная выше приближенная, модельная теория сверхоб-
сверхобмена, и наметил новый подход к решению задачи. Основные труд-
трудности теории состоят в следующем.
1) Обмен появляется в довольно высоком (третьем и четвер-
четвертом) порядке теории возмущения. Его выражение и величина ука-
указывают на медленную сходимость ряда теории возмущений.
2) Необходимо учитывать несколько механизмов сверхобмена,
которые все сравнимы по величине и могут переходить один в дру-
другой при небольших изменениях волновых функций.
3) Не решена проблема ортогональности и правильного выбо-
выбора волновых функций. Волновые функции иона в твердом теле за-
заметно видоизменяются, и учет этого приносит в теорию много про-
произвольных параметров, например интегралы перекрытия.
Андерсон предложил исходить не из волновых функций сво-
свободных ионов, а строить волновую функцию иона, окруженного
диамагнитными группами (фактически — ион в диамагнитной ре-
решетке) .
При построении волновой функции не надо учитывать обменные
эффекты со стороны магнитных ионов. То, что эти обменные эф-
эффекты не возмущают волновую функцию поля лигандов, следует
из анализа экспериментальных данных по сверхтонкому взаимо-
взаимодействию с ядром иона лиганда для разбавленных и концентри-
концентрированных солей [42] и из других данных. Если волновая функция
«одетого» магнитного иона построена, можно перейти к вычисле-
вычислению обменного взаимодействия магнитных ионов, состояния кото-
которых определены на первом этапе. Это сложная задача, включаю-
включающая в себя все «неприятности» вопроса ортогональности. Однако
принятое на первом этапе представление о диамагнитной решетке
облегчает вычисления.
Расчет взаимодействия ведется теперь уже между самими маг-
магнитными ионами без участия промежуточных анионов, влияние ко-
которых учтено на первом этапе. Рассмотрение непосредственного
перекрытия волновых функций только магнитных ионов снижает
различие между тем, что принято называть «прямым» и «косвен-
«косвенным» обменом. В определенном смысле подход Андерсона экви-
эквивалентен замене косвенного обмена между магнитными ионами
прямым обменом между молекулярными орбиталями, рассмотрен-
рассмотренными в § 1.9. Можно также сказать, что разделение проблемы об-
обменного взаимодействия на две части аналогично методу эффек-
146

тивной массы в теории металлов и полупроводников. Там вся проб-
проблема взаимодействия электрона с решеткой включается в некото-
некоторые параметры, которые определяются экспериментально или вы-
вычисляются исходя из фундаментальных принципов, лежащих в ос-
основе теории. Здесь также должен появиться ряд аналогичных
параметров.
Решение задачи о волновой функции электрона в магнитном
ионе приводит к появлению в ее выражении, например, примеси
р-функции аниона, что и является первичной причиной сверхобме-
сверхобмена. Физически наиболее важным вопросом является вопрос о том»
какие именно функции лиганда смешиваются с с?-функциями ка-
катионов.
Для описания магнитного взаимодействия ионов в кристалле
Андерсон ввел понятия потенциального и кинетического обмена с
тем, чтобы подчеркнуть, что антиферромагнетизм является резуль-
результатом выигрыша в кинетической энергии, а ферромагнетизм — в
потенциальной. Кинетический обмен появляется из-за того, что ор-
битали, полученные на первом этапе решения задачи, при анти-
антипараллельной ориентации спинов не являются ортогональными.
Выигрыш энергии при этом можно оценить величиной
, B.9.13)
где b(t) — коэффициент разложения энергии электрона в ряд
Фурье, т — вектор решетки, U — средняя электростатическая энер-
энергия отталкивания двух электронов в ионе (£/« 10 эВ, 6~0,5ч-2 эВ
и получаемое расщепление Д£^100—1000°К). Энергию B.9.13)
можно записать в форме обменного гамильтониана
mm'
RR'
B.9.14)
где т., т' — номера с?-полос, R и R' — узлы решетки.
Из B.9.14) сразу видно, что если спины в узлах R и R' парал-
параллельны, то АЁ=0, наоборот, при антипараллельных спинах имеет-
имеется выигрыш в энергии АЕ^—2 b2/U.
Поскольку \b2/U|=0,1, ряд теории возмущений, приводящий к
B.9.14), сходится быстро. Потенциальный обмен является истин-
истинным (гейзенберговским) обменом, содержащим только потенциал
межэлектронного взаимодействия, и имеет вид
п-н- — + 2SR >SR-' , B.9.15)
т,т'
где по аналогии с интегралом внутреннего обмена
147

Jrx = f ф; (г - R) Фт- (г - R') —^— ф;, (г' - R') Фт (г' - R) dxdx'.
и 1 Г Г |
B.9.16)
Обменный интеграл J%%- всегда положителен, так как его можно
записать в виде
и рассматривать как собственную кулоновскую энергию распреде-
распределения «заряда перекрытия» р.
Андерсон считает, что потенциальный обмен в окислах и флюо-
ридах играет меньшую роль, чем кинетический, и может оказать-
оказаться главным для орбиталей, ортогональных вследствие симметрии,
как, например, й& на одном катионе и dxy на другом, в силу то-
того, что потенциальный обмен существует даже между орбиталями
разной симметрии.
§ 2.10. ОБМЕН ЧЕРЕЗ ЭЛЕКТРОНЫ ПРОВОДИМОСТИ.
(s—d)- ОБМЕННАЯ МОДЕЛЬ ВОНСОВСКОГО
Обмен через электроны проводимости является одним из ос-
основных, известных в настоящее время механизмов обменной связи.
Это взаимодействие, безусловно, ответственно за магнитные свой-
свойства редкоземельных металлов, их сплавов и соединений, а также
за магнетизм сильно разбавленных сплавов металлов, т. е. сплавов,
в которых концентрация магнитных ионов очень мала. Покажем,
что обмен через электроны проводимости в металлах приводит к
дальнодеиствующей осциллирующей обменной связи.
При рассмотрении (s—rf)-модели или (s—f) -модели d- или f-
электроны считают локализованными, а систему s-электронов кол-
коллективизированной. Гамильтониан такой системы может быть за-
записан в виде
B=Hsg^Bii-rRat. B.10.1)
где Hss описывает s-электроны, Hdd описывает с?-электроны, Hsd
описывает взаимодействие между s- и с?-электронами. Впервые
(s—of)-модель предложили Шубин и Вонсовский [43]. Простейший
расчет {s—d) -модели в рамках приближения молекулярного поля
провел Зинер [44]. Энергию прямого dd (или ff) -взаимодействия
на один узел решетки записывается в виде — ^'«^/2, где /^ —
энергетический параметр этого взаимодействия, nid — среднее зна-
значение относительной намагниченности rf-электронов. Энергия
(s—d) -обмена на узел решетки равна —/„('"s^d, где ms — сред-
средняя относительная намагниченность s-электронов. Система s-элек-
148

тронов сама по себе считается парамагнитной. Подсчитаем добав-
добавку к энергии Ферми за счет намагничивания s-электронов.
Дополнительная энергия намагниченных s-электронов Д£ = — #/s,
где /s = кяН (хп — паулиевская парамагнитная восприимчивость). Тог-
Тогда энергия на один узел есть
Д£ 1 'I A'flBms _ Jm1 B 10 2)
N 2N хп 2хп 2
При квадратичном законе дисперсии для энергии s-электронов
Таким образом, полная энергия кристалла на узел, зависящая от
ms и md,
Е (m5, md) = — -L Jddml - Jsdmsmd ■+- -L Jm\. B.10.3)
Разновесные значения намагниченностей ms и т.е. можно искать
сразу из условия минимума выражения B.10.3) и одним из воз-
возможных решений будет
та = ««/макс» »h = ^-f~mi- B.10.4)
В обычных условиях
J5d, Jsf ~ 10-" эрг, J ъ 1Q22io,1700 ~ 10-и эрг>
и отношение /S(/// ~0,01, поэтому подмагничивание парамагнитной
системы электронов составляет ~1% намагниченности внутренних
d- или f-электронов.
Подставляя B.10.4) в B.10.3), находим равновесное значение
спиновой части энергии системы (s + d)-электронов как функ-
функции Шц
фф = Jdd -^ J2sd/J представляет собой эффективный пара-
параметр обмена d-электронов. Таким образом, (s—d)- или (s—f) -об-
-обменное взаимодействие приводит к эффективной обменной связи
между внутренними электронами, определяемой косвенным интег-
интегралом обмена.
^««а=-у- B.10.6)
149

Критерий ферромагнетизма в данном случае есть (/<м)эфф>0. Если
/(М~0, то /цосв целиком определяет магнитный порядок в метал-
металле, и тогда из B.10.6) следует, что j\i{Ef — Ш. Следовательно,
(s—d)- или (s—f)-обменный параметр по порядку величины равен
Jsd ~ (ЖРУ1*.
Для количественного изучения проблемы (s—/)-обмена тре-
требуется рассмотрение микроскопической модели.
Взаимодействие s- и f-электронов в кристалле можно описы-
описывать гейзенберговским обменным интегралом:
B-10.7)
где S4, г{ и Sn, Rn — операторы спина и радиус-векторы соответствен-
соответственно электрона проводимости и суммарного спина парамагнитного иона
в узле я кристалла, /s/(rj—Rn) — обменный интеграл. Спин Sn
складывается из Z спинов неспаренных электронов незаполненного
/-слоя.
Если состояния электронов проводимости, не возмущенные
(s—/)-обменом, описывать плоскими волнами, то в представлении
вторичного квантования (см. § 2.11) гамильтониан B.10.7) запи-
запишется в виде
Hs{ = - 2 £ £ Sn (ко | Jsf (r - RJ S | кV > Zt£k-«. B. Ю.8)
kk'
00'
где k — квазиимпульс электрона проводимости, а — его спиновая
проекция, afa и аца—фермиевские операторы рождения и унич-
уничтожения электрона в состоянии кст.
Матричный элемент в B.10.8) можно переписать в виде
<kcx|/sf(r— f
B.10.9)
Здесь Jsf(kk') — Фурье-образ (s—/)-обменного интеграла, W —
число узлов решетки, {a\'Sa\a')—матрицы Паули (а=х, у, z).
В представлении, в котором оператор Sz диагоналей, матрицы
Паули имеют (в единицах /г/2) следующие, отличные от нуля мат-
матричные элементы:
Подставляя B.10.9) в B.10.8) и задавая различные значения а и а',
находим
150

Я,, = - #"' £ Jsf (kk') exp i (k' - k) Rn {2tSak' S7 +
kk'n ~*~
+ at+ak'_$t -r (atak'_ — at+ak+) S*}, B.10.10)
где S* = Sn ± t'Sn, и вместо индексов <т=±1/2 стоят просто ин-
индексы -р ИЛИ —.
Jsf (kk') = -L Г (f*f (г') el'(k'-k)Rn F (r — r') (ff (r) drdr' = e'(k'~k)R" / (k'k),
B.10.11)
где V(r—r') — потенциал электростатического взаимодействия па-
пары s- и /-электронов, ф/(г) — атомные волновые функции /-элек-
/-электрона.
Интеграл /(к', к) называют обычно (s—/)-обменным интегра-
интегралом. Он описывает обменное взаимодействие s-электрона с /-элек-
/-электроном, находящимся в узле, принимаемом за начало отсчета.
Предположим, что прямой (/—/)-обмен отсутствует, тогда га-
гамильтониан B.10.1) можно записать в виде
Я=Я55Ч-Я5/ B.10.12)
и рассматривать Я8/ как возмущение.
Первая поправка теории возмущения определяется диагональ-
диагональными членами Hsf
£A>= (ka| H\f\k+a) = — у ^ / (kk) Szn (riJT - nt). n\ = ££a2ka.
kn
Если считать, что в нулевом приближении s-электроны не подмаг-
ничены, т. е. энергия s-электронов не зависит от ориентации спи-
спина, то средние значения (п£) и («j~) равны и среднее значение
Е({) обращается в нуль. Для определения эффективного обменного
интеграла между парамагнитными ионами необходимо вычислить
вторую поправку к энергии и матричные элементы типа
<ika\HSf\k'a'^>. Вычисления во втором порядке теории возмуще-
возмущений показывают, что между магнитными ионами, первоначально
невзаимодействующими между собой, появляется эффективная об-
обменная связь через электроны проводимости, и гамильтониан
B.10.1) (s—/)-модели может быть сведен к виду
" = У^ Е^И^а -i 2^ •'эфф (*vn "л) ^m^n' \^- ^0. lo)
ka тп
где
/ (Ek)—функция распределения Ферми.
151

Как видно из B.10.14), косвенный обменный интеграл опреде-
определяется тремя факторами: законом дисперсии электронов проводи-
мости Ek, степенью заполнения зоны и зависимостью (s—/)-обмен-
(s—/)-обменного интеграла от изменения волнового вектора к. Если положить
приближенно / (кк') =const = / и принять квадратичный закон дис-
дисперсии для электронов проводимости, то можно вычислить явный
вид обменного интеграла. Сделаем замену переменных k—k'=q,
тогда
_ — «..,,.. B.10.15)
'эфф I
V2
(штрих у суммы по q означает, что q=^=0). Примем далее, что
Ek=h2k2/2m, где т — эффективная масса s-электрона. Тогда
— Ек = -£- qBk cos6 -f- q),
»*ЛЛ (К) =
'эфф
V2 A2
' exp(iqR)
2k cos 6 + q
B.10.16)
B.10.17)
q k
Для вычисления этих сумм перейдем к интегралам и используем
сферические координаты а = Rq, 0 = qk
оо Jt
W*) =
2т/2
■, Bл)з
'BяJ
siaadaeliRcosa X
2k cos 6 + q
Проинтегрируем сначала по углам 0 и а
qR
о
sin QdQ
2k cos 0 — q
-4-]
_ С dx _ 1
~J Ikx^q ~ 2k
•Л>фф(Я) =
m/2
fsta^of^ [kdkf{Ek)
2k+q
\u
Ik — q
2k -i-
4k-q
Используя табличный интеграл
sin bxdx = — sin ab,
b
B.10.18)
B.10.19)
B.10.20)
152

получаем
00
^ \ B.10.21)
При 0°К функция распределения Ферми /(£&) имеет вид сту-
ступеньки
Е<Ер, k < ft,,
I E>Ep, k> kP.
kF — импульс на поверхности Ферми, поэтому интеграл в
B.10.21) переходит в
k
[
J
btilnObDHb ____ tain Ob^D
0
и окончательно получаем
^W= 8jf2* г -\-{sin2kFR — 2kpRQOS 2kFR). B.10.22)
Введем функцию Рудермана—Киттеля (рис. 2.32)
B.10.23)
Тогда
?), B.10.24)
где Ер — энергия Ферми для электронов проводимости. Поскольку
kF = Зя2я5, то можно записать
Jm{R)=-9л-^-{nsfFBkFR), B.10.25)
где ns — концентрация электронов проводимости.
Эффективное обменное взаимодействие в виде B.10.22, 2.10.24,
2.10.25) было получено в [45] и называется взаимодействием Ру-
Рудермана—Киттеля—Касуи—Иосида или взаимодействием РККИ.
Взаимодействие РККИ характерно двумя особенностями. Во-
первых, оно является дальнодеиствующим и его амплитуда убы-
убывает по степенному закону. Дальнодействие объясняется тем, что
взаимодействие РККИ вызвано электронами проводимости, кото-
которые движутся по всей решетке. Во-вторых, взаимодействие носит
осциллирующий характер, т. е. данный магнитный ион связан со
своими соседями попеременно ферро- и антиферромагнитно
153

F(x)
(рис. 2.32). Абсолютная величина этого взаимодействия на рас-
расстоянии ближайших соседей определяется параметром I2/EF. Обыч-
Обычно /~10~13 эрг, £р~10~12 эрг, так что параметр косвенного обме-
обмена I2/EF~\0~li эрг, что соответствует температуре Кюри порядка
100°К.
Дальнодействующий и осциллирующий характер косвенного об-
обменного взаимодействия между 4/-ионами позволяет понять сово-
совокупность специфических маг-
магнитных свойств редкоземель-
редкоземельных металлов (РЗМ), а также
магнитных аномалий их немаг-
немагнитных характеристик. Пер-
Первым обобщил теорию РККИ
для РЗМ де Жен [46]. В РЗМ
интегралом движения являет-
является не полный спин атома Sn,
а полный момент Jn = Sn + Ln.
Поэтому де Жен предложил
заменить Sn в B.10.7) его про-
проекцией на in, которая равна
Рис. 2.32 (&—О Jn- Тогда вместо B.10.7)
получаем
sf = - 2 (g - 1) £ /f, (г* - RJ (ЗД.
B.10.26)
in
ВпЛ
J00 г
250
200
150
100
50
О
-50
+
о
I
ll.
1 » !
i i
+ J
Рис. 2.33. Парамагнитная точка
Кюри впм как функция атом-
атомного номера редкоземельного ме-
металла. / — опорная точка для Gd,
2 9Г
„_„ 2 — рассчитанные значения ипм
LaCePrNdPmSmEuSdТЫ)уHaErTmYbLu по формуле B.10.27), 3 — соответ-
1 ствующие экспериментальные зна-
значения епм
C
I
- °
Используя гамильтониан B.10.26) в теории молекулярного поля,
можно найти точку Кюри для РЗМ:
154

Явное вычисление суммы дает, как правило, 0>О.
F-слн считать, что различные РЗМ отличаются друг от друга
только значениями g и /, а остальные параметры, входящие в
B.10.27), считать постоянными, то можно найти 9 для всех редких
земель. Де Жен потребовал, чтобы точка Кюри гадолиния совпа-
совпадала с экспериментом. При этой нормировке был построен график
0 для всех РЗМ (рис. 2.33). Как видно, наблюдается хорошее
согласие экспериментальных и теоретических значений. Осцилли-
Осциллирующий характер косвенного обмена через электроны проводимо-
проводимости в РЗМ приводит к появлению в них спиральных геликоидаль-
геликоидальных или синусоидальных атомных магнитных структур (см. § 4.6).
§ 2.11. МЕТОД ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ
В настоящем параграфе кратко описан математический метод,
известный под названием метода вторичного квантования [47].
В методе вторичного квантования совершается переход к новым
переменным — числам заполнения, которые определяют число ча-
частиц, находящихся в данном квантовом состоянии системы. Этот
метод требует введения операторов, действующих на числа запол-
заполнения, операторов рождения и уничтожения частиц в данных кван-
квантовых состояниях.
Пусть задана система из N тождественных частиц.
Волновая функция такой системы (в случае статистики Ферми)
может быть получена (§ 2.4) в виде линейной комбинации слете-
ровских детерминантов, построенных из одночастичных функций
электрона в изолированном атоме tya (Qi), т. е. любая волновая
функция может быть представлена в виде
»> ап (ft qN>'
«,...«„
B.11.1)
где
£(- \f^ai(qx) ^(q2) ....
B.11.2)
Суммирование производится по всем ЛП перестановкам, и все од-
ночастичные состояния ось а2, .... aN разные. Множитель (—1)р
показывает, что нечетные перестановки входят в сумму B.11.2) со
знаком «минус». В силу тождественности частиц не важно, какая
частица находится в данном одночастичном состоянии, а важно
знать только, занято данное состояние или нет. Поэтому можно
155

пронумеровать волновые функции с помощью чисел заполнения
па при дополнительном условии, что 2na=N, и представить вол-
волновую функцию системы в виде
7i Ях) = £ а (. .. , па, ...) \р.,.„а... (ft, .... qN),
"а
B.11.3)
где суммирование производится уже по всем наборам чисел запол-
заполнения па, каждое из которых в случае Ферми-частиц может при-
принимать значение 0 или 1.
Представление волновых функций в виде B.11.3) называется
представлением вторичного квантования, а функции от чисел за-
заполнения а (..., па, ...) называются волновыми функциями в пред-
представлении вторичного квантования.
Аналогичным образом в случае статистики Бозе волновая функ-
функция системы N тождественных частиц может быть представлена в
виде
« )#.««...(fr. •••. Чя),
B.11.4)
где
(NW^ У^Ы^Ы... B.11.5)
симметризованное произведение одночастичных функций,
а(..., па, —) — волновые функции в представлении вторичного кван-
квантования, числа заполнения па могут принимать любые целые по-
положительные значения, a%na=N. Если волновые функции в
B.11.2) и B.11.5) ортонормированы, то
(..., n*. . . .) |2, B.11.6)
следовательно, величину \а(..., па, ...)|2 можно интерпретировать
как вероятность пребывания системы в состоянии, характеризую-
характеризующемся данным набором чисел заполнения {..., па, ...} одночастич-
одночастичных состояний.
Установим теперь соотношения, по которым операторам в ко-
координатном представлении сопоставляются соответствующие опе-
операторы в представлении вторичного квантования для Ферми-стати-
Ферми-статистики.
Пусть Л1) есть некоторый симметричный по всем частицам опе-
оператор вида
? = £?(«1), B.11.7)
а
156

где J{a—оператор, действующий только на функции от qa ■ Такой
оператор, действуя на функцию if..,ra,.. , переводит ее в ту же самую
функцию либо в другую, соответствующую изменению состояния
одной из частиц. Ввиду этого матричные элементы Я1) по функци-
функциям B.11.2) имеют вид
диагональные
недиагональные (?A))J<°* = ± fll, B.11.8)
где берется знак плюс или минус в зависимости от четности об-
общего числа частиц в состояниях, находящихся между i- и ^-состоя-
^-состояниями (все одночастичные состояния ai ам пронумерованы в
фиксированной последовательности), а
(<7)^- B.11.9)
Введем операторы щ с матричными элементами
B.11.10)
с—1
2"!
С помощью этих операторов можно записать
ГаГак. B.11.11)
tk
Действительно, матричные элементы этого оператора совпадают с
B.11.8). Это и есть представление оператора Я1) в представлении
вторичного квантования. Оператор 'at (di) носит название опе-
оператора рождения (уничтожения) частиц, так как, действуя на
функцию от чисел заполнения \|э(яг), он увеличивает (уменьшает)
на единицу число частиц в состоянии i:
i—l
2-1
Sl*(nt)=(-l)' 6 (л,) * 0*i~l).
«•-1
flih*(nJ)=(-l)' 6(l-n,)^(n,+ l). B.11.12)
Из B.11.12) видно, что действие оператора щ на функцию с Пг=О
дает нуль, это означает, что нельзя уничтожить частицу в незаня-
незанятом состоянии. Действие Ферми-оператора at на функцию с ар-
аргументом гц=\ также равно нулю в соответствии с тем, что в дан-
данном состоянии не может находиться более одной Ферми-частицы.
157

Действуя последовательно операторами af и d< на некоторую
■функцию от чисел заполнения t|)(rti), легко получить перестановоч-
перестановочные соотношения:
(af, а;} = afctj + a fit = 6,7,
{££,}= {S/V} = О, аТЪ^щ. B.11.13)
Таким образом, Ферми-операторы вторичного квантования явля-
являются антикоммутирующими.
Аналогичные операторы рождения и уничтожения частиц могут
быть введены и в случае частиц, подчиняющихся статистике Бозе.
Матричные элементы FO по функциям B.11.4) в этом случае
имеют вид:
диагональные
недиагональные (F^Xf^ = /$УщЧ- B.11.14)
Оператор Ft1) можно представить в виде B.11.11), если ввести
-операторы рг-, которые уменьшают на единицу число частиц в со-
состоянии i и имеют матричные элементы
$l=Vb> B.11.15)
и операторы ^>t, которые увеличивают на единицу число частиц
в состоянии i и обладают следующими матричными элементами:
Согласно формулам B.11.15) и B.11.16) произведения
представляют собой диагональные операторы
B.11.17)
и далее можно получить перестановочные соотношения для опера-
операторов рг-:
[№,]=№ Pt]=O. B.11.18)
Таким образом, Бозе-операторы вторичного квантования коммути-
коммутируют.
На языке вторичного квантования симметризованный оператор
a2b) B.11.19)
ab
158

(двухчастичный оператор JU действует на функции от qa и qb) имеет
вид
aife* B.11.20)
iklm
(статистика Ферми),
Я2) = ^fSiMUh'h B.11.21)
iklm
(статистика Бозе), где
Гамильтониан, интересующий [нас, при учете только парных взаимо-
взаимодействий
V; — радиус-вектор /-того электрона, R,-—фиксированный радиус-век-
радиус-вектор t-того ядра, может быть записан через операторы ас в виде
Н = £ H^fatak + £ Vftunotat^ an, B.11.22)
Ik iklm
где
Если в качестве г|)г- выбраны собственные функции гамильтониа-
гамильтониана Н^ то первый член в B.11.22) равен сумме энергий одноча-
стичных состояний
Д • B.11.23>
§ 2.12. ТЕОРИЯ СПИНОВЫХ ВОЛН ПО МЕТОДУ
ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ
Рассмотрим кристалл, в узлах (с радиус-вектором f) решетки
которого находятся атомы с незамкнутой электронной оболочкой.
Пусть между электронами оболочки действует рассел-саундер-
совская связь, поэтому атому в целом можно сопоставить спино-
спиновое квантовое число о и орбитальное К. Тогда в представлении
вторичного квантования гамильтониан системы можно записать,
учитывая ортогональность спиновых функций, в виде
159

11 2 2
Первое слагаемое в B.12.1) (бинарная форма операторов вто-
вторичного квантования) легко диагонализуется с помощью преобра-
преобразования Фурье-операторов а+ и а (см. ниже), и мы должны полу-
получить результат одноэлектронной теории металлов Е= V ЕкоПко*
к
причем собственными функциями гамильтониана На> будут бло-
ховские функции (см. 2.11.23). Нас будет интересовать второе
слагаемое, учитывающее взаимодействие электронов и обусловли-
обусловливающее появление ферромагнетизма.
Если пренебречь переходами между различными орбитальными
состояниями электронов, а также образованием полярных состоя-
состояний (когда в состоянии с данным А, находится больше одного элек-
электрона с а = + 7г или —V2), что выражается условием гомеополяр-
ности
то B.12.1) упрощается и принимает вид
B.12.2)
где (A Л
обменный интеграл между состояниями f\k\ и fgta. Кулоновское
самовзаимодействие мы отсюда исключили; /1=7^/2-
Поскольку орбитальные переходы считаются запрещенными, то
единственными динамическими переменными являются спиновые
переменные, поэтому гамильтониан B.12.2) можно выразить толь-
только через операторы спинов. По Боголюбову (см. [48]), эти опера-
операторы связаны с операторами а+ и а соотношениями
S» = — (а+ 1 a 1 +a+1 1 a , ),
1 2 v /X-- /М-— A+— ft*-—'
22 22
= — (a
2 v
2 2 2 2
i 2« i-°+ j2 .)• B.12.3)
160

Справедливость B.12.3) доказывается проверкой соотношений
коммутации. Докажем, например, что
[5д, Sb.]=iSh.. B.12.4)
Вычислим:
'Л ;Л 4 ft- — Д-f — Д+ — Д- —
2 2 2 2
— а+ \ Ъ 1 а+ \ а \ ■ -j- a+ i a+ .a i а+ , "а , —
fV-— д+ — №-— /М-— fM-- /?-+— д-— /м-— /V- —
2 2 22 22 2 22
— а/ \ а 1 а' ia i) =
/М-— Д-- Д-— Д+ —
2 2 2 2
■TiVV'-Vi'V-Vi»"^ BЛ2-5)
2 2 2 2
Аналогично получаем, что
STxS^l |-S?x. B.12.6)
т. е. справедливость B.12.4) доказана. Из B.12.5) и B.12.6) сле-
следует также, что Зд5д, Л-'ЩъЩ'к = 0. Аналогичным образом можно
проверить все соотношения коммутации для операторов спина.
Используя B.12.4) и условие гомеополярности, можно получить
ряд полезных соотношений, связывающих Ферми-операторы вто-
вторичного квантования и спиновые операторы:
а+ 1 "a i =— A — Sh); 1г х а г = — A + Sh),
f,K. + — fX + — 2 v T ' f,K-~ fX-— 2 V r '
2 2 2 2
2 2
где S/" и Sf носят название операторов повышения и понижения
спина соответственно.
Заменим теперь произведение Ферми-операторов а в гамильто-
гамильтониане B.12.2) на операторы спина. Мы получим четыре члена в Н,
придавая о значения (±'/2). Заменяя их на операторы спина из
B.12.7), получаем для Н следующее выражение:
6 Г. С. Кринчик 161

й=Ео-~
f,22
B.12.8)
где £/0 не зависит от операторов спина.
Чтобы из B.12.8) получить обменный гамильтониан, разобьем
сумму в B.12.8) на две части: первая относится к взаимодействиям
между атомами f\¥=fo, а вторая — внутри атомов (fi = ^2):
B.12.9)
Введем еще два предположения. Первое — интегралы обмена
между узлами слабо зависят от орбитальных состояний, т. е.
JihK №.)*=J(h. ft) (/1^/2). B.12.10)
и второе — обменная связь электронов внутри атомов (хундовская
связь) заметно больше межатомной связи, т. е.
|Л(А. A')I»J(/A; Ш (Л¥=/•)• B.12.П)
В силу B.12.11) можно пренебречь операторным характером
последней суммы в B.12.9) и считать ее постоянной величиной.
Считая также обменные интегралы J (fi'M; f2ta), не зависящими от
орбитальных индексов, можно выразить гамильтониан B.12.9) че-
через операторы суммарного спина электронных незамкнутых обо-
оболочек
S, = £§,*, B.12.12)
а именно:
§^,- B.12.13)
Это выражение с точностью до обозначений совпадает с гейзен-
гейзенберговским гамильтонианом B.3.22); этим продемонстрирован
приближенный характер его.
Метод решения задачи с гамильтонианом B.12.13) состоит в
том, что после перехода к новым операторам вторичного кванто-
квантования форма операторов B.12.2) из физических соображений
сводится к бинарной и затем диагонализуется. Используем пре-
162

образование Холстейна — Примакова н покажем, что в области
низких температур обменный гамильтониан можно представить
в виде #= S\Eknk, где Eh — энергия спиновой волны, а пи — чис-
k
ло возбужденных спиновых волн с данной энергией Eh. Компо-
Компоненты векторного оператора спина удовлетворяют следующим
перестановочным соотношениям:
SpS^iSfbfr, B.12.14)
где f — номер узла решетки.
Квадрат оператора спина имеет собственное значение S(S + 1),
а его г-компонента может принимать только 2S+1 значение в
представлении, где Sz диагоналей. Это дает следующие соотноше-
соотношения:
SfSf = S(S+\), ПC*-О = 0. B.12.15)
r=—S
Вместо операторов Щ(а=х, у, z) введем операторы Sf = Sf±iSUf,
SZf, которые удовлетворяют перестановочным соотношениям
SfSf — 5>fSf= 25/6//', S/ Sf> — Sf'Sf =4- Sf8ff.
B.12.16)
Из B.12.14) и B.12.15) следует, что
STSf- = S (S -f 1) -S*f- (SfJ, SfST =S(S -\)~S*f-(Sf)\
B.12.17)
Для случая S= 1/2 из B.12.17) имеем
■ JLi
! L-i s - --b
2 [ 2 : ) r 2 4 ~ ' z~ 2 '
т. e. S//~= «?, где nf= 0 или 1.
момента количества движения и
(о) = V(S — <r) (S + а + 1) l>s (a -f 1), B.12.18)
Для оператора момента количества движения известны следую-
следующие формулы:
—а-r 1)гЫа—1), B.12.19)
S^s(a)=ot|js(a), B.12.20)
6* 163

о — текущая координата z-компоненты спина, S — максимальное
значение z-компоненты спина.
Введем оператор спинового отклонения
nf = S — Щ, B.12.21)
собственное значение которого S — o = rtf. Далее получаем
S + o~ I = S~(S — nf)+ I = 2SA— nf/2S), B.12.22)
S — nl)={nf2S(l— nf/2S)}^-Mps(S — nf+ 1), B.12.23)
обозначим tys(S — nf) через o|)s(«f), так как S — просто число, а не
переменная; тогда
Sf ys(nf)= BS)'/2rt}/2(l —nf!2Sy"ys(nf — l). B.12.24)
Оказывается, что nf можно считать Бозе-числами заполнения,
которые можно выразить через операторы вторичного квантования
рождения и уничтожения одного кванта спинового отклонения.
Подставляя bf~Sf = nf в формулу B.12.24), где Ъ+ и bf удовлет-
удовлетворяют бозевским перестановочным соотношениям B.11.18), полу-
получаем
(f)'^, B-12.25)
и аналогично для Sf можно получить
i^L\1/2. B.12.25')
Преобразования B.12.25) были предложены Холстейном и
Примаковым [49].
Полный гамильтониан системы в присутствии однородного
внешнего поля Я вдоль оси z и при учете только ближайших со-
соседей может быть записан в виде
B.12.26)
f
где / — обменный интеграл для ближайших соседей, вектор ц со-
соединяет атом f с его ближайшими соседями, ц0 — магнитный мо-
момент атома.
В основном ферромагнитном состоянии системы (решетка из N
атомов) имеем
£#S. B.12.27)
f
164

Будем вычислять отклонения от этого основного состояния. Для
этого в B.12.26) заменим спиновые операторы на операторы вто-
вторичного квантования с помощью подстановки B.12.25). При этом
мы вводим много нефизических состояний. Оператор числа бозонов
nf имеет произвольно большие собственные значения, в то время
как SZ=S—щ принимает только BS + 1) значений (от —S до
+ S). Нефизические состояния не будут вносить ошибок в области
низких температур, когда число <щ> мало. Параметром малости
является величина rtf/2S<^l.
Перед подстановкой B.12.25) в B.12.26) разложим квадрат-
квадратные корни в ряд и перейдем к Фурье-компонентам операторов bj~
и bf, а именно:
Sf = ДО/2£аф(—'*flf)lfe. B.12.28)
где k — волновые векторы в первой зоне Бриллюэна. Перестано-
Перестановочные соотношения для |ь и £& т
операторов рождения и уничтожения
вочные соотношения для |ь и £& такие же, как для бозевских
При получении этих соотношений учитываем, что
i(fc — k')Rf=N8kk>. B.12.29)
f
Для SZf имеем после преобразований точную формулу
$ = S -Щ = S~ АН £ expji(k-k') Rf]\tik'. B.12.30)
Можно подсчитать оператор полного отклонения спина решетки
NS - ^ Щ = ^ ЪЩ = £ (АН) exp [i (k ~ k') Rf]\tb' =
ЕЬ+1ь B.12.31)
при вычислении используется соотношение B.12.29). Из B.12.31)
видно, что величину %t tk можно рассматривать как оператор
числа заполнения состояний k для ферромагнонов (спиновых
волн).
165

Для S+ и 3~ получаем приближенные формулы
S+ = {2S)xl- [bf - 0fSfi
%i £
- = BS) # - (Bt4$f)/4S -f ...} = BSI'2 j£ exp (
— DJVS)-1 £ exp[i(k + k'-k")Rf]%t%£%k''). B.12.32)
Используя B.12.30) и B.12.32), можно выразить гамильтониан
B.12.26) через Бозе-операторы %£ и %k:
{
= - NJzS* + JS
fq f+Q
B.12.33)
Де в ffli включены все члены более высокого порядка по п^. Рас-
Рассмотрим отдельные члены в B.12.33):
Vb, B.12.34)
= ^ S Sexp (~ ik'Rf) exp ik {Rf
fq
- l V Vexoi
~ т 2j Ъ р
q.kk' f
Аналогично
£^
fq
где
fq kk'
(k — k') Rf exp(t*i
= Vexpt^O*
qk
^6f+i? = £exp(~
qk
г
yk=Y exp (ikq]
7)O^=SSexP^
k
-Ш7I*+С*=£у-*Ы
1, V Y* = 0.
bl)Uk'8kk> =
B.12.35)
It, B.12.36)
B.12.37)
166

Если кристаллическая решетка имеет центр симметрии, то
Y* = Y- *•
Таким образом, для Ж получаем выражение
Ш = Жо + £ [2JzS(l + ук) + 2цо#Jltf* ^ Шъ B-12.38)
где ^о не зависит от операторов спиновых волн, а Ж\ включает
все высшие порядки этих операторов.
Опуская Жо и пренебрегая Жи получаем из B.12.38)
Ф — V f 7!
k
где
Ек = Пщ = 2JzS A - у*) + 2|Д0#-
nk=VL- B.12.39)
Для малых волновых векторов спиновых волн, т. е. при условии
k\, величину уи можно разложить в ряд и получить
B.12.40)
откуда следует квадратичный закон дисперсии для спиновых волн
B.12.41)
который, как показано в § 2.4, приводит к закону Блоха для тем-
температурной зависимости самопроизвольной намагниченности
?. B.12.42)
Если в разложении B.12.40) учесть члены более высоких сте-
степеней, то в формулах для IS(T) появятся члены, содержащие более
высокие степени по Т: Тъ<2, Г7/2 и т. д.
Мы получили все формулы в спин-волновом приближении,
когда учитывались только квадратичные по %t и % члены в га-
гамильтониане и отбрасывались все входящие в Ж\ члены, описы-
описывающие взаимодействие спиновых волн. Учет этих членов назы-
называют учетом динамического взаимодействия спиновых волн.
Еще один род поправок возникает из-за небозевских свойств
операторов, из которых построен гамильтониан. Своим происхож-
происхождением они обязаны особенностям перестановочных соотношений
для спиновых операторов — кинематическим свойствам последних.
В этом случае говорят о задаче учета кинематического взаимодей-
167

ствия. Именно с этой задачей связаны специфические трудности
квантовой теории магнетизма. В работе Дайсона [50] было пока-
показано, что поправки от динамического и кинематического взаимо-
взаимодействия почти точно компенсируются и начинают давать вклад
в разложение А/(Г), только начиная с членов ~Г4. Огучи [51]
показал, что преобразования Холстейна — Примакова приводят к
точному результату лишь при S-+oo, а при конечных S они не
позволяют учесть правильно спиновое взаимодействие. В рабо-
работе [52] было показано, что все результаты Дайсона можно полу-
получить из обменного гамильтониана с помощью введения прямых
соотношений между операторами спина и операторами вторичного
квантования рождения и уничтожения спиновых волн (преобразо-
(преобразования Малеева)
Sf=S — %f\ B.12.43)

Глава 3
ДОМЕННАЯ СТРУКТУРА И ПРОЦЕССЫ
НАМАГНИЧИВАНИЯ
§ 3.1. ЭНЕРГИЯ ОБМЕННОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Для магнитоупорядоченных кристаллов характерно то, что магнит-
магнитные моменты атомов направлены параллельно друг другу внутри
хотя и небольших, но макроскопических областей, называемых
доменами. При этом спины стремятся ориентироваться параллель-
параллельно друг другу благодаря наличию особой формы кулоновского
взаимодействия — обменному взаимодействию (см. § 2.3). Нару-
Нарушение параллельности спинов вызывается тепловым движением
электронов. Кроме того, существуют доменные границы — слои с
непараллельными спинами, разделяющие домены с различной
ориентацией намагниченности. При образовании доменной струк-
структуры и в процессах технического намагничивания определяющую
роль играет как раз эта добавка к величине обменной энергии за
счет непараллельности спинов, поскольку она сравнима по порядку
величины с зеемановской энергией магнетика во внешнем намагни-
намагничивающем поле.
Вычисление величины обменной энергии в общем случае являет-
является чрезвычайно сложной задачей. Ограничимся лишь рассмотре-
рассмотрением простейшего случая — парного обменного взаимодействия,
т. е. предположим, что наибольший вклад в обменную энергию
вносит взаимодействие ближайших соседей и что другими видами
взаимодействий можно пренебречь.
Таким образом, мы возвращаемся к двухэлектронной задаче.
Ответ нам уже известен. Собственные значения гамильтониана
B.2.1) при S<1 равны
Et=2E0 + C — Jtl. C.1.1)
Нетрудно убедиться, что Es и Et являются собственными значе-
значениями следующего гамильтониана, записанного в форме
Н = 2£0 + С - -j- /,/ - 2J/ySfS/. C.1.2)
Преимущество гамильтониана C.1.2) состоит в том, что с его
помощью легко получить выражение для обменной энергии в ква-
квазиклассическом приближении. Для этого следует заменить опера-
169

тор Я на энергию W,-j и произведение спиновых операторов S,-Sj
на скалярное произведение векторов спина. Отбросив независящие
от спина постоянные, получим
Wtl = — 2J.JSJS) = - 2JUS2 cos ф4/. C.1.3)
Соответственно полная обменная энергия кристалла при Jij = J
равна
C.1.4)
В ферромагнетиках, как отмечалось выше, векторы спиновых
магнитных моментов соседних электронов почти параллельны, т. е.
угол ф мал и, следовательно, можно считать созф*у^1—ф2/2.
Таким образом, добавки к обменной энергии за счет непарал-
непараллельности спинов в первом приближении равны
AWU = JS%, C.1.5)
Л№обм = JS* £ <р?,. C.1.6)
При изучении макроскопических свойств ферромагнетиков мож-
можно пренебречь дискретностью среды, считая ее непрерывной. В этом
случае удобно использовать другое выражение для соэф^-.
Пусть Ui и Uj — единичные векторы, параллельные векторам
спиновых моментов, тогда
cos %j = щи, = а1гах/ -f a2ia2/ + a8/a8/, C.1.7)
где ai, аг, аз — направляющие косинусы векторов спина, о,- можно
разложить в ряд в окрестности щ, и тогда для слагаемых в C.1.7)
получим
При выполнении суммирования в C.1.4) по ближайшим сосе-
соседям члены вида 2гг,<х£; и ЪхцУц т1— в кубических кристаллах
дхцдуи
обращаются в нуль вследствие симметрии, и выражение для этой
суммы упрощается B — суммирование по ближайшим соседям):
' ' ' C.1.8)
170

Так как
то
cos Ф// = 2 + -j- J4uV2u. C.1.10)
где Z— число ближайших соседей.
Второе слагаемое в C.1.10) как раз и определяет Д№Обм- Пола-
Полагая Jij=J, так как суммирование происходит по ближайшим рав-
равноудаленным атомам, находим с учетом C.1.4) и C.1.10)
. C.1.11)
1
Учитывая, что
V2 (uu) = 2 [(уахJ + (уа2J + (уа3J] + 2 (uy2u) = 0,
что Vr</ для простой кубической решетки равна 6 а2, и вводя
коэффициент V2, чтобы не учитывать дважды парные взаимодей-
взаимодействия, окончательно получим
А^бм = JSW [(VaxJ + (V«2J + (У«зJ1, C-1.12)
где AW06M — энергия обмена для одной элементарной ячейки.
Разделив C.1.12) на объем элементарной ячейки V=a3, полу-
получим плотность обменной энергии
FA = A [(VaxJ + (v«2J + (У«зJ]. C.1.13)
где A = JS2/a.
Аналогичным образом вычисляются коэффициенты А для дру-
других видов кристаллических решеток:
для ОЦК A = 2JS2/a, C.1.14)
для ГЦК A = 4JS2/a. C.1.15)
Оценку порядка величины A, J и молекулярного поля Вейсса
Hw можно сделать по температуре Кюри в. Вводя молекулярное
поле Вейсса с помощью соотношения
2SyLBHw = 2ZJS2,
ZSJ
получаем Яш= , где Z — число ближайших соседей.
Рв
С другой стороны, мы можем приравнять в точке Кюри тепло-
тепловую и обменную энергии: ц,в#ю=&в, и, следовательно, J=k@/ZS.
171

Для железа S=l, Z = 8 и 6^1040°К, а = 2,86-10~8 см, т. е. /^1
Л^1,3-10~6 эрг/см, Hw^l07 Э.
К настоящему времени имеется несколько методов количествен-
количественного определения обменных констант из данных эксперимента.
Первый из них использует закон Блоха B.4.25), в котором коэф-
коэффициент при Т'/г равен
k \з/2
2S \ 2SJ
т. е.
а \2/з
2S \ 2SC
где для простой кубической решетки а=0,1174, для ОЦК а=0,0587
и для ГЦК а=0,0294.
Для железа эксперимент дает C=3,5-10~6 и, следовательно,
/ = 205 k и Л = 2• 10~6 эрг/см, для никеля экспериментальные зна-
значения С = 8,6-10~6, /=230 k и А =0,34-10~6 эрг/см.
Из других экспериментальных методов можно выделить метод
неупругого рассеяния нейтронов [1], который позволяет не только
определить величину А, но также и зависимость энергии спиновых
волн от волнового вектора для всей зоны Бриллюэна и темпе-
температурную зависимость обменных параметров. Следует отметить
также метод спин-волнового резонанса, т. е. возбуждение стоячих
спиновых волн в тонких пленках электромагнитным СВЧ полем [2],
а также метод прямого измерения расщепления спектральных ли-
линий магнитоактивных ионов в обменном поле, т. е. наблюдение
обменного эффекта Зеемана [3].
Для антиферромагнетиков и слабых ферромагнетиков хорошим
методом определения эффективного обменного поля является из-
измерение поперечной магнитной восприимчивости н±, поскольку
в этом случае коэффициент молекулярного поля w в выражении
Hw=-wl является параметром, однозначно определяющим величину
хх (см. §4.1 и 4.2).
§ 3.2. МАГНИТНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКАЯ АНИЗОТРОПИЯ
Если в ферромагнетике учитывать только изотропное обменное
взаимодействие, то его энергия окажется вырожденной по направ-
направлению, т. е. не будет зависеть от ориентации вектора намагничен-
намагниченности относительно кристаллографических осей. В то же время из
опыта хорошо известно, что такая зависимость существует, т. е.
намагниченность ферромагнитного кристалла стремится ориенти-
ориентироваться вдоль некоторых кристаллографических направлений,
называемых легкими осями намагничивания. Для намагничивания
кристалла вдоль других направлений приходится прилагать зна-
значительные магнитные поля. Существуют направления, вдоль кото-
172

рых труднее всего намагнитить кристалл, такие направления обыч-
обычно называют трудными осями намагничивания.
В качестве двух основных причин, приводящих к появлению
магнитной кристаллографической анизотропии, следует назвать
спин-орбитальное взаимодействие и магнитное дипольное взаимо-
взаимодействие. Если магнитный момент кристалла имеет спиновое про-
происхождение, то его энергия будет зависеть от ориентации вектора
намагниченности относительно кристаллографических осей благо-
благодаря спин-орбитальному взаимодействию, поскольку орбитальный
магнитный момент иона непосредственно связан с решеткой (см.
§ 1.8 и 2.7). С магнитодипольным вкладом в энергию дело обстоит
еще проще. Если рассматривать атомные магнитные моменты
кристалла локализованными в узлах решетки и ориентированными
параллельно, то полная энергия магнитного дипольного взаимодей-
взаимодействия этих моментов будет, вообще говоря, зависеть от ориентации
суммарного момента I относительно кристаллографических осей.
Феноменологические выражения для энергии магнитной кри-
кристаллографической анизотропии как функции направляющих коси-
косинусов вектора I можно получить из соображений симметрии. На-
Например, для одноосных кристаллов плотность энергии анизотро-
анизотропии можно представить в виде ряда
„а2", C.2.1)
где а — направляющий косинус I относительно выделенной оси, а
нечетные степени по а не включаются, так как направления а и
—а эквивалентны, Кп — константы кристаллографической анизо-
анизотропии, не зависящие от а и определяемые из опыта.
В большинстве случаев хорошее совпадение с опытными дан-
данными дает учет первых двух членов ряда
FK=K0 + K1cos2Q + K2cos*Q. C.2.2)
При Ki<0 и /Сг=О мы имеем ферромагнетик с легкой осью анизо-
анизотропии, поскольку минимум энергии при этом соответствует 6 = 0,
т. е. случаю, когда направление вектора намагниченности совпа-
совпадает с выделенной осью.
При Ki>0 и /Сг=О мы имеем ферромагнетик с плоскостью
осей легкой анизотропии, перпендикулярной выделенной оси кри-
кристалла, или, как иногда говорят, легкоплоскостной ферромагнетик,
или ферромагнетик типа «легкая плоскость».
Возможны и более сложные случаи. Например, при К\<0,
1>—/Ci/2X2>0 получается ферромагнетик типа «легкий конус».
Для учета анизотропии в «легкой плоскости» или «легком конусе»
необходимо введение в C.2.2) дополнительных членов.
Для кубических кристаллов мы должны учесть эквивалент-
эквивалентность направляющих косинусов а,- относительно трех кристалло-
кристаллографических осей. Комбинация четных степеней направляющих
173

9 9
*i + as ■
аз i
косинусов наинизшего порядка ay + ci2 + аз = 1 и поэтому опускает-
опускается. Следующие допустимые комбинации четных степеней направ-
направляющих косинусов будут уже четвертого и шестого порядков. Вы-
Выражение для энергии анизотропии кубического кристалла примет
вид
-г ajaf) -f-
C.2.3)
Сумму а] -р аг — аз можно не учитывать, так как ее можно выра-
выразить через (a? a?-'-afal — a^al'), используя тождество (a?-f а1-газJ=1.
В зависимости от соотношений величин и знаков К\ и Кч полу-
получаются различные частные случаи распределения легких и труд-
трудных осей (табл. 3.1).
Таблица 3.1
Направления легкого, среднего и трудного намагничивания
к,
Легкое
Среднее
Трудное
>о
ОТ +ОС
9
ДО-—Kx
[100]
[ПО]
[Ш]
9
от-— Кх
до-9/Ci
[100]
[Ш]
[ПО]
>о
от — 9Ki
до —00
[111]
[100]
[ПО]
от— оо
w-j-IKil
[111]
[ПО]
[100]
<о
от-^-1^1
до 9 | Kt I
[ПО]
[111]
[100]
от 9 | Кг \
ДО + ОО
[ПО]
[ПО]
[111]
В таблице 3.2 призедены значения констант анизотропии для
различных ферромагнитных материалов, при этом особое внимание
уделено материалам с рекордно большими значениями констант
анизотропии. Для типичных ферромагнетиков приведены усреднен-
усредненные значения констант с использованием результатов различных
авторов.
На рисунке 3.1 показаны кривые температурной зависимости
констант анизотропии для различных материалов.
Вид кривых намагничивания при направлении поля вдоль раз-
различных кристаллографических осей монокристалла в основном
определяется кристаллографической анизотропией. Наоборот, из
формы этих кривых можно определить константы анизотропии.
На рисунках 3.2—3.4 представлены кривые намагничивания
для монокристаллов Fe, Ni и Со в различных кристаллографиче-
кристаллографических направлениях. Форму кривых /(Я) можно качественно объ-
объяснить с помощью несложных рассуждений.
174

Таблица 3.2
Константы магнитной анизотропии
Состав
Fe
Ni
Со
Fe3O4
NiFe2O4
Co0;8Fe2;2O4
Coi,iFe1>eO4
MnFe2O4
a-Fe2O3
Tb
Dy
YFe6O12
TbFe5O12
EuO
i, эрг/см"
4,6-105
= 1,5-
—5-10*
(, ,
4,1-10е
(Kt-= 1,0 10е)
— 1,1-105
(K2 = — 2,8-105)
—6,2-104
+2,9-10eC63°K)
+ 1,8-10»
—2,8-104
2,5-10»G8°K)
5,5-108D,2°K)
5,5-108D,2°K)
6,5-103
6,5-103
4,4-105
-ZOO 0 ZOOm 600 800 1000
т;с
CO
-200-100 0 WO 200 300 400
T,°C
Рис. З.1. Кривые температурной зависимости констант анизотропии [13]
Рассмотрим, например, кристалл Fe. Если напряженность внеш-
внешнего магнитного поля равна нулю, векторы намагниченности доме-
доменов будут направлены вдоль шести легких направлений [100],
[010], [001], [100], [ОТО], [001], и полная намагниченность кри-
кристалла будет равна нулю. Поскольку все легкие оси эквивалентны,
то для того, чтобы ориентировать векторы намагниченности вдоль
одной из этих осей, достаточно приложить очень небольшое маг-
магнитное поле, так как процессы смещения границ между доменами
заканчиваются, как правило, в слабых магнитных полях.
Теперь рассмотрим случай, когда внешнее магнитное поле при-
прилагается вдоль направления [ПО]. В слабых магнитных полях
за счет процессов смещения векторы I будут ориентированы вдоль
175

1800 -
1600
1400
1200
1000
800
200 300
400
500 600
Н.Э
Рис. 3.2. Кривые намагничивания монокристалла Fe в направле-
направлениях [100], [ПО] и [Ш]
600
500
400
300
200
100
О
1,Гс
[111]
Ni
100
200
300
Н,э
Рис. 3.3. Кривые намагничи-
намагничивания монокристалла Ni в на-
направлениях [100], [ПО] и
[Ш]
Т.Гс
1400
1200
1000
800
600
400
200
О
н с-оси
1с-оси
Со
О 2000 4000 6000 8000 НЗ
Рис. 3.4. Кривые намагничивания
монокристалла Со в направле-
направлениях, параллельном и перпендику-
перпендикулярном гексагоиальной оси

направлений [100] и [010]. Дальнейшее увеличение намагничен-
намагниченности возможно лишь за счет поворота векторов I доменов к оси
[ПО]. Однако такой поворот требует дополнительной энергии,
поэтому насыщение достигается при значительно более сильных
полях, зависящих от величины констант анизотропии.
Из сравнения кривых намагничивания кристалла вдоль различ-
различных осей можно определить константы анизотропии К\ и К2- Рабо-
Работа обратимого намагничивания кристалла до насыщения вдоль
направления аг- равна А». = [Hdl, т. е. площади, ограниченной
о
кривой намагничивания и осью /. С другой стороны,А*.— Аа- = AF.
Поэтому, например, используя C.2.3), получаем
Aim - Am = /$101 - /$°°] = /Сх/4. C.2.4)
Отсюда /Ci=4 (Л[цо]—Л[юо]) и, зная разность площадей, ограни-
ограничиваемых кривыми намагничивания вдоль осей [ПО] и [100],
можно определить первую константу анизотропии. Кривая намаг-
намагничивания для направления [111] позволяет определить вторую
константу анизотропии /Сг, так как для направлений [111]
а1= а2= а3 = 1/VT и Дцп] — Л[100] = Кх/3 4-#,/27. C.2.5)
Из C.2.4) и C.2.5) следует
] — Am) — 4 (А[\щ — Am)]-
Для одноосных кристаллов Aooi] = Ко, ^4[юо] =^4[ою] = Ко ^r Ki + К2
и, следовательно, Ki + K2= AVioo] — ^4[ooi]-
Другим и, пожалуй, наиболее часто используемым методом
измерения констант анизотропии является метод вращающих мо-
моментов. Диск, вырезанный из кристалла, помещают в магнитное
поле и намагничивают до насыщения в плоскости диска. Диск
будет стремиться повернуться таким образом, чтобы направление
легкой оси совпало с направлением поля. Вращающий момент в
расчете на единицу объема намагниченного диска равен
L = — dFh/dQ.
Зная L, можно определить константы анизотропии. Пусть, на-
например, диск вырезан из кубического кристалла в плоскости [100],
а магнитное поле составляет угол G с направлением [010]. Тогда
ах = 0, а2 = cos G, a3=sin6;
Fk = Ki sin8 9 cos2 G = -^- sin2 29,
4
177

Зная L и 9, можно легко найти величину К\- Для надежности, как
правило, измеряют кривую зависимости вращающего момента в
широком диапазоне углов G. Как следует из C.2.6), К\ равно
максимальному изменению момента L (рис. 3.5).
Кривые L(G) имеют более сложную форму для дисков, выре-
вырезанных в других плоскостях. Например,
I п0 = fli_ Bsin 2G -г 3 sin 4G; -\ — (sin 2G — 4 sin 4G — 3 sin 6G),
8 64
где G отсчитывается от оси [001], a L(ui) — /C2sin 68/18, где G отсчи-
тывается от оси [110]. Используя
эти формулы, можно определить
константу /Сг-
Метод определения констант
анизотропии на поликристалличе-
поликристаллических образцах из закона приближе-
приближения к насыщению будет рассмотрен
в § 3.9, а метод определения кон-
констант анизотропии по резонансным
~~д~0 120 В частотам ферромагнитного резонан-
резонанса — в § 5.1.
В заключение этого параграфа
врИаСщающегКоРИмаоЯмен3тааВИСвМОпСлТоИ рассмотрим некоторые виды анизо-
скости [001J кристалла крем- тропии, возникающие при отклоне-
нистого железа [14] нии от классической ситуации иде-
идеального, бездефектного монокри-
монокристалла.
Наведенная, или ориентационная, анизотропия. Магнитную ани-
анизотропию можно создать искусственно с помощью особой техно-
технологии обработки исходного материала, например при холодной
прокатке, отжиге в магнитном поле или внешних упругих напря-
напряжениях, перекристаллизации в магнитном поле, напылении пленок
в присутствии магнитного поля, напылении пленок под углом и т.д.
Наиболее распространенным и важным механизмом возникно-
возникновения наведенной анизотропии является направленное упорядоче-
упорядочение примесных центров. Роль примесных центров могут играть
атомы замещения или внедрения в сплаве, вакансии, дислокации
и другие дефекты. Суть явления сводится к тому, что примесные
центры стремятся за счет процессов диффузии упорядочиться так,
расположиться вдоль таких направлений в кристалле, чтобы воз-
возникшая анизотропия стабилизировала имеющуюся ориентацию век-
вектора намагниченности. Например, при отжиге в магнитном поле
примесные атомы располагаются таким образом, чтобы возникла
наведенная одноосная анизотропия с направлением легкой оси,
совпадающей с направлением магнитного поля. Если затем при
охлаждении ситуация «замораживается», то, например, вместо
изотропного поликристалла получается одноосный ферромагнетик.
Если же процессы направленного диффузионного упорядочения
178

идут достаточно активно и при комнатной температуре, то соз-
создается еще более интересная ситуация: образец с вращающейся
анизотропией. При переориентации достаточно сильного магнит-
магнитного поля возникает ось легкой анизотропии в новом направлении
и при выключении этого поля образец ведет себя по отношению
к слабым полям как одноосный ферромагнетик.
Наиболее эффективно влияние наведенной анизотропии сказы-
сказывается в монокристаллах и даже поликристаллических образцах
ферромагнитных материалов с малой величиной естественной кон-
константы кристаллографической анизотропии. В этом случае роль
наведенной анизотропии может стать определяющей и материал
из трехосного, описываемого формулой C.2.3), может превратить-
превратиться в одноосный, подчиняющийся закону анизотропии C.2.1). Таки-
Такими объектами являются, например, тонкие пермаллоевые пленки
напыленные или электроосажденные в присутствии магнитного
поля, свойства которых будут рассматриваться в § ЗЛО.
Помимо рассмотренного ориентационного механизма в создании
наведенной анизотропии существенную роль могут играть магни-
тоупругие эффекты, а также эффекты формы отдельных частиц,
например, при направленной кристаллизации или при косом напы-
напылении пленок.
Обменная, или однонаправленная, анизотропия. Рассмотренная
выше наведенная анизотропия может возникать и за счет обмен-
обменных сил на границе двух магнитных фаз: ферромагнитной и анти-
антиферромагнитной; в этом случае из-за своей специфики она полу-
получила специальное название — обменной, или однонаправленной,
анизотропии. Мейклджон и Бин обнаружили [4], что мелкие ча-
частицы кобальта диаметром 100—1000 А, покрытые пленкой окисла
СоО и охлажденные в сильном магнитном поле, обладают значи-
значительной однонаправленной (в отличие от одноосной) анизотропией,
т. е. Fh =—/Co6mCos9. На сегодняшний день известно довольно
большое количество подобных систем, в том числе не только по-
порошковые образцы, но и гетерогенные металлические и диэлектри-
диэлектрические материалы (даже монокристаллы), в которых при термо-
термообработке происходит образование мелкодисперсной фазы с анти-
ферро-, ферромагнитными соседствами.
Объяснение результатов Мейклджона и Бина состоит в том,
при охлаждении в магнитном поле гонкий слой окисла на по-
поверхности кобальта становится антиферромагнитным. Между элек-
электронами кобальта и окисла существует обменное взаимодействие,
которое приводит к тому, что спины электронов кобальта и близ-
близлежащего слоя кобальта в окисле ориентированы в одном направ-
направлении.
При изменении направления магнитного поля вектор намагни-
намагниченности кобальта стремится повернуться по полю, в то время как
спины электронов антиферромагнитного слоя окисла не меняют
своего направления в силу того, что переориентация спин-системы
антиферромагнетика происходит только в очень сильных магнит-
179

них полях (§ 4.1). Таким образом, для того чтобы повернуть век-
вектор намагниченности, необходимо совершить работу против обмен-
обменных сил, и в данном случае роль энергии анизотропии играет
обменная энергия, хотя в Кобм она входит в ослабленном виде,
поскольку взаимодействие осуществляется только через одну атом-
атомную плоскость.
L, Ючэрг/г
Рис. 3.6. Кривые вращающих моментов
для случая однонаправленной анизотро-
анизотропии, полученные для порошка Fe3O4:
а — без термообработки в присутствии
поля, 6 — после охлаждения от 500°С
в поле 15 кЭ [15]
Рис. 3.7. Смещенная петля гистере-
гистерезиса в случае однонаправленной
анизотропии [15]. Пунктирная кри-
кривая получена на образце (Ni, Fe^Mn
(Fe—18,9 атомных %), охлажден-
охлажденном в отсутствие магнитного поля.
Сплошнаи кривая получена после ох-
охлаждения в магнитном поле 5 кЭ
Однонаправленность обменной анизотропии приводит к ряду
характерных особенностей (которые позволяют сравнительно лег-
легко обнаруживать ее экспериментально): к своеобразному виду кри-
кривой вращающих моментов (рис. 3.6), к смещению петли гистере-
гистерезиса вдоль оси Н (рис. 3.7) и др.
Поверхностная анизотропия. Энергия взаимодействия между
двумя магнитными ионами должна быть функцией угла ср между
вектором спонтанной намагниченности и линией, соединяющей
центры этих ионов. Эту энергию можно разложить в ряд по поли-
полиномам Лежандра
W = gxPt (cos ср) + g2Pt (cos cp)
C.2.7)
180

где gi, g2, ••• — коэффициенты разложения, зависящие от расстоя-
расстояния между ионами г и не зависящие от ср.
Так как каждый из ионов обладает магнитным моментом ц,
то в выражение для коэффициента gi обязательно войдет член
(—Зц2/г3), соответствующий магнитодипольному взаимодействию.
Оценки показывают, что дипольная магнитная связь слишком сла-
слаба для объяснения экспериментальных значений констант анизо-
анизотропии. Поэтому Неель предположил [5], что в gi должны входить
другие члены (псевдодипольные), которые, по-видимому, обуслов-
обусловлены спин-орбитальным взаимодействием и должны убывать с рас-
расстоянием быстрее, чем г~3, так что в первом приближении доста-
достаточно учесть взаимодействие лишь между ближайшими соседями.
Таким образом, энергию W можно записать в виде
W=(— Зц2/г3 + 0 (cos2 ср - — ), C.2.8)
где / — коэффициент, учитывающий псевдодипольное взаимодей-
взаимодействие.
Для нахождения энергии анизотропии, приходящейся на один
магнитный ион, нужно усреднить C.2.8) по всем ближайшим со-
соседям. Ограничимся рассмотрением кристаллов с кубической сим-
симметрией. Во всех кубических решетках (простой, ОЦК и ГЦК)
среднее значение cos2 6 при суммировании по ближайшим сосе-
соседям равно Уз- Отсюда следует, что член, содержащий gi, подобно
C.2.3) не входит в среднее значение объемной энергии анизотро-
анизотропии. Однако это условие нарушается, когда рассматриваемый ион
находится на поверхности кристалла. В этом случае средние значе-
Таблица 3.3
Плотность энергии поверхностной анизотропии
Тип решетки
Гранецеитрированная кубическая
Объемноцентрированная кубическая
Простая кубическая
Тип грани
A11)
A00)
@11)
A11)
A00)
(ОН)
A11)
A00)
@11)
WHOB
— Lcos2e//3~/-2
— L cos2 Qftrl
L(a2-a3J/4/2V0
0
0
— La2a3//2 /^
0
— L cos2 6/2^
La?/2/2"r2
181

ния P2(cosG) обычно отличны от нуля. Дипольный член в C.2.8)
с учетом далеких взаимодействий описывает влияние размагничи-
размагничивающего поля.
Учет псевдодипольного взаимодействия поверхностных ионов
приводит к появлению поверхностной энергии анизотропии.
В табл. 3.3 приведены значения плотности энергии поверхностной
анизотропии для некоторых типов граней кубических структур. Как
видно, в большинстве случаев Wn0B можно выразить в простой
форме
^„о,= /С„олСО8гв, C.2.9)
где /(лов — константа плотности энергии поверхностной анизотро-
анизотропии, а 9—угол между спонтанной намагниченностью и нормалью
к поверхности.
Неель показал, что Кпов для Fe и Ni имеют порядок 0,1—
1 эрг/см2.
§ 3.3. МАГНИТОУПРУГАЯ ЭНЕРГИЯ
Изучение эффекта магнитной анизотропии позволило нам уста-
установить, что благодаря спин-орбитальному взаимодействию спины
«чувствуют» кристаллическое поле и кристаллическую решетку.
Естественно ожидать, что изменение ориентации вектора намагни-
намагниченности в кристалле вызовет изменение параметров кристалли-
кристаллической решетки и анизотропии, т. е. в ферромагнетиках будет
наблюдаться довольно сильное магнитоупругое взаимодействие.
Кристаллическое поле зависит от взаимного расположения ионов
металла. При механической деформации решетки происходит сме-
смещение ионов из положения равновесия и, как следствие этого, из-
изменяется внутреннее электрическое поле. Работа, затрачиваемая
на деформацию кристалла, равна изменению энергии кристалли-
кристаллического поля и изменению энергии взаимодействия спин—орби-
спин—орбитальный момент — кристаллическое поле, т. е. в конечном счете
изменению энергии анизотропии, зависящей, таким образом, от де-
деформаций. Если энергия анизотропии при деформации убывает
быстрее, чем увеличивается упругая энергия, то при изменении
магнитного порядка или ориентации I происходит самопроизволь-
самопроизвольная деформация кристалла. Это явление было открыто Джоулем
в 1842 г. и получило название магнитострикции.
Деформация кристалла описывается с помощью тензора дефор-
деформаций
C.3.1)
Если (х, у, z) —координаты точки кристалла до деформации, то
новые координаты будут равны
182

x' = x +- е^л: + exyy — ехгг,
У' = У + еухх -- еууу -f ^г2,
г' = 2 + емл; + егг,г/ -f егг2. C.3.2)
Пусть г — радиус-вектор, соединяющий начало координат с
произвольной точкой недеформированного кристалла. Тогда
Pi =*//-; $г=У1п P,= z/r C.3.3)
будут направляющими косинусами радиус-вектора г относительно
осей х, у, z. Соответственно новые координаты точки х', у', z'
можно записать, используя C.3.3), следующим образом:
Ч
где
», /=*, У, 2. C.3.4)
Отсюда найдем относительное удлинение для малых деформа-
деформаций, т. е., когда ^2е^Р^Р, « 1,
ij
-y-=-£^-=Vei7pipi/, C.3.5)
Разложим теперь выражение для плотности энергии анизотро-
анизотропии кристалла, намагниченного в направлении ct(cti, 02, аз), по ма-
малым составляющим тензора деформаций:
%(E)et, C.3.6)
плюс члены, содержащие производные более высокого порядка,
¥к — часть энергии анизотропии, не зависящая от деформаций.
Из соображений симметрии следует, что
dF dF 2 dF п 2 /о о 7\
-0^3, F.6.7)
c»exx е»гда с»сг2
а также
АС. ДР. АС
C.3.8)
деху деуг дехг
где В1 и б2 — константы магнитоупругой связи.
183

Для железа Вх= — 2,9-107 эрг/см3; £2= 3,2-107 эрг/см3.
Используя полученные соотношения, а также известное выра-
выражение для упругой энергии немагнитного кристалла, получим плот-
плотность свободной энергии
? \ г \ ) 4-
В2 (а^с
ki(aia2
t2exy +
+ аЫ
Q.2Q.%eyz
+
+
аза?) 4-
asaiezx)
Bx (a\exx +
+ \cn(e
dieyy + a
2,2,
xx + eyy i
;з*гг)
-4)
~C
l2
где сп, с44, с12 —упругие модули.
В равновесном состоянии
— =0. C.3.10)
дец
Отсюда получаем следующие выражения для равновесных де-
деформаций:
: i=x,y,z, C.3.11)
е..= ^«?_; i,j=x,y,z, 1ф\. C.3.12)
Пусть теперь измерение магнитострикции производится в на-
направлении (рь р2, Рз)- Подставляя C.3.11) в C.3.5) и опустив
независящие от а члены, находим
Д/ л 3 « / 2Q2 , 2 О2 . 2 о2 1 \ ,
—- = лар = — л100 аф1 + «2 Р2 + а3 Рз — +
+ ЗА-ш (алРхр, + axaapip, + asa3p2p3), C.3.13)
где
. _ 2 Вх . _ 1 fi2
Люо- -Г"- — > лш— — —— •
о Сц ■—■ C.J2 о С-44
Выражение C.3.13) впервые было получено Акуловым [6] и
называется законом анизотропии Акулова для четных эффектов,
поскольку его легко обобщить на случай любого эффекта, квад-
квадратично зависящего от намагниченности.
Легко видеть, что коэффициенты Хюо и Яш представляют собой
константы продольной линейной магнитострикции при намагни-
намагничивании монокристалла вдоль осей [100] и [111] соответственно.
В случае изотропной магнитострикции, когда ЯЯ
формула C.3.13) принимает простой вид
яе= A
184

где G — угол между вектором намагниченности и направлением
измерения удлинения.
Подставив теперь в выражение для плотности свободной энер-
энергии C.3.9) значения равновесных деформаций C.3.11) и выразив
В\ и £?2 через Хшо, Яш, получим
Fk -"= (Ki + Ki) (a\al -f alal + a\a2i),
где
Kl = -^-[(cu — c12)%2m— 2cu%\u]. C.3.15)
Таким образом, магнитострикционные деформации не приводят к
изменению симметрии кубического кристалла, а только изменяют
его константу анизотропии. Эксперимент показывает, что К\ со-
составляет несколько процентов от К\.
Пусть теперь к кристаллу приложены внешние упругие напря-
напряжения, определяемые тензором оц, тогда
F=FK+ F% + F% + Fy. C.3.16)
Путем минимизации F получаем
Fa = — Я100 (^uai + o22al + a33al) —
— ЗЯШ (а^ + а2аз<т23 + ода^). C.3.17)
В случае однородного напряжения а, приложенного в направле-
направлении (yi, Y2, Уз), компоненты тензора оц можно записать в виде
ои=оу1У1. C.3.18)
Подставляя C.3.18) в C.3.17), получим выражение для измене-
изменения свободной энергии кристалла под действием внешнего одно-
однородного напряжения
Fo = 1" <* [*юо (<*i Y? + «I Y2 + аз $ +
+ 2Ят Кед^г + a2O3Y2Y3 + aia3YiY3)I- C-3.19)
В изотропном случае, когда kioo=A,iii=5Xe, выражение C.3.19) при-
приводится к более простому виду
Fe= -lsocos2<p, C.3.20)
где ср — угол между векторами (yi, Y2. Уз) и I.
Формула C.3.20) совпадает по форме с C.2.2), но роль кон-
константы анизотропии в данном случае играет член 3Xsa/2. Отсюда
следует, что, растягивая или сжимая кубический кристалл, можно
превратить его в одноосный, если выполнить условие 3Xsa/2^>/Ci.
185

Эта идея используется при создании материалов с прямоугольной
петлей гистерезиса.
Для объемной магнитострикции AV/V из Формулы C.3.13)
следует, что
т. е. в рассмотренном первом приближении объемная магнито-
стрикция равна нулю. При учете в разложении C.3.6) членов бо-
более высокого порядка получается, что анизотропия объемной
магнитострикции в области технического намагничивания задает-
задается комбинацией направляющих косинусов a^al + <4al -f аза?.
Особый интерес представляет изучение объемной магнитострик-
магнитострикции за счет парапроцесса или истинного намагничивания (подав-
(подавление спиновых волн магнитным полем), поскольку в данном слу-
случае открывается возможность исследования обменного взаимо-
взаимодействия в магнитном кристалле.
§ 3.4. МАГНИТОСТАТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
Образование доменной структуры, т. е. разбиение ограничен-
ограниченного в пространстве ферромагнетика на области с различным на-
направлением вектора намагниченности, обусловлено стремлением
к уменьшению магнитостатическои энергии. Поэтому существен-
существенный интерес представляет зависимость магнитостатическои энергии
от размера этих областей — доменов — в первую очередь для
простейших периодических доменных структур.
Рассмотрим магнитную структуру, изображенную на рис. 3.8.
Пусть поверхность лежит в плоскости ху при 2=0. Кристалл раз-
разделен на множество доменов плоскостями, параллельными плоско-
плоскости zy. Вектор намагниченности доменов либо параллелен, либо
антипараллелеи оси Z.
Кроме того, предположим, что кристалл имеет бесконечные
размеры в направлениях ±х, ±у и —2. Поверхностную плотность
магнитных зарядов (см. § 1.2) в этом случае можно выразить сле-
следующим образом:
Г /., 2kd<X<Bk + l)d,
\ -1„ Bk+l)d<x<2(k+l)d,
где k — 0, 1, 2, ... и d — толщина доменов.
Магнитостатический потенциал ср этой системы должен удов-
удовлетворять уравнению Лапласа
1 Это частный случай одного из правил четных эффектов Акулова [6], кото-
которое гласит, что в области технического намагничивания сумма результатов из-
измерений любого четного эффекта по трем взаимно перпендикулярным направ-
направлениям равна нулю.
186

дх2
T = o,
C.4.2)
поскольку в данной модели потенциал не должен изменяться вдоль
оси у. Граничным условием при 2 = 0 будет
дг Уг=-Ю V дг
Полагая, что магнитное по-
поле создается только теми заря-
зарядами, которые лежат в плоско-
плоскости 2 = 0, можно считать поле
симметричным относительно
этой плоскости. Таким обра-
образом,
дг /г=+0 \ дг /г=—0
C.4.4)
Подставляя C.4.4) в C.4.3),
окончательно получаем гра-
граничное условие
= 4 л©.
C.4.3)
Рис 3.8
)
дг /г=+0
Решение уравнения Лапласа будем искать в виде
<р= Т£ Ansltm (я/d) хеп{л1й)г,
C.4.5)
C.4.6)
где м=1, 3, ... .
Подставляя C.4.6) в C.4.2), нетрудно убедиться, что C.4.6)
является решением уравнения Лапласа. Коэффициенты Ап можно
определить с помощью граничного условия. Используя C.4.5) и
C.4.1), получим
d £J " \ d 1
n—\
2k+ \)d,
■2л/;, Bk+l)d<x<2(k+l)d.
Умножим обе части уравнения на sin n (я/d) х и проинтегрируем в
интервале [2kd; 2(&+1)^]- Учитывая, что
, » / я \ л d
sin n\ — I xdx =
d I 2it
187

получим
Bfc+l)d
2(fc+l)d
2kd
8Isd
C.4.7)
Для того чтобы найти магнитостатический потенциал при 2=0,
подставим C.4.7) в C.4.6). В результате получим
(ЗЛ6>
л=1
Зная ф, легко найти магнитостатическую энергию
8IU
1 0 л1
л=1 0
о f2 j
я*
C.4.9)
w A
W
w
7
Рис. 3.9
Аналогичным образом можно вычислить энергию и других пе-
периодических магнитных структур. Например, для структур, изоб-
изображенных на рис. 3.9 (а, б) Киттелем [7], были получены следую-
следующие значения:
W, = 0,53/frf,
где d — сторона квадрата;
188
C.4.10)
C.4.11)

где d — сторона квадрата, в который вписана окружность радиуса
Щ
Во всех рассмотренных случаях магнитостатическая энергия
пропорциональна квадрату намагниченности насыщения и линейно
падает с уменьшением размера доменов. Численный коэффициент
зависит от типа магнитной структуры.
В заключение рассмотрим одну непериодическую задачу, кото-
которая приобрела за последнее время большое значение в связи с
проблемой цилиндрических магнитных доменов (bubbles) (см.
§ 3.6). Если на рис. 3.9,6 перейти к пластинке толщиной h и оста-
оставить только один цилиндрический магнитный домен с радиусом г,
намагниченный антипараллельно основному объему, то, как пока-
показал Тиль [8], производная магнитостатической энергии по при-
приведенному радиусу x=r/h
dW, 4.v2
дх п \\ 1 + 4*»
где Е(т)—полный эллиптический интеграл второго рода. В ра-
работе [9] была подобрана рациональная функция, дающая для
практически используемых величин х очень близкие значения с
C.4.12), но значительно более удобная для расчетов, а именно:
=-xl (\ + —х). C.4.13)
V
дх \ 2
Итак, мы рассмотрели основные виды энергетических взаимо-
взаимодействий в ферромагнитном кристалле, которые определяют фор-
формирование его магнитной структуры и изменение этой структуры
под влиянием внешнего магнитного поля, т. е. процессы намагни-
намагничивания ферромагнетика. Для оценки порядков величин различных
видов энергетических взаимодействий сравним их численные зна-
значения для некоторых конкретных ситуаций с использованием пара-
параметров ферромагнитного железа.
Наиболее существенным, естественно, должен оказаться вклад
энергии обменного взаимодействия. Например, для ситуации силь-
сильно закрученного геликоида, когда поворот вектора спина на it
в плоскости ху происходил бы при продвижении вдоль оси Z на
расстояние ~10~7 см, величина AFA согласно C.1.13) составила
;бы примерно 2-Ю8 эрг/см3 (А = 2-10~6 эрг/см). Затем следует
обратиться к магнитостатической энергии. Для того чтобы пере-
перевести вектор /s из плоскости тонкой пластинки в направление, пер-
перпендикулярное этой плоскости, требуется энергия
AFj = ~ l\(Nb — Na) = 2я/25 ^ 1,8-107 эрг/см3 (/, = 1700 Гс).
Для того чтобы перевести вектор /s из легкого направления [100]
б трудное направление [111], требуется энергия
189

AFk= -^±- = 1,510s эрг/см3 (Л:1 = 4,5-10б эрг/см3).
О
И наконец, соответствующее изменение магнитоупругой энергии при
наличии внешнего упругого напряжения
Afo = —Хст= 3-10* эрг/см3 (Я100= 2-Ю-5,
а = 109дин/см2^ 10 кГ/см2).
Таким образом, энергии убывают в порядке перечисления: об-
обменная, магнитостатическая, кристаллическая и магнитоупругая.
Однако это не более чем оценка, причем для одного конкретного
материала. Для некоторых редкоземельных металлов энергия кри-
кристаллографической анизотропии становится сравнимой с обменной,
а для некоторых магнитно-мягких материалов, наоборот, резко
уменьшается. Для слабых ферромагнетиков (см. § 4.2) из-за умень-
уменьшения /., очень сильно падает величина магнитостатической энер-
энергии. Вклад энергии обменного взаимодействия в большинстве ре-
реальных случаев также не настолько велик, как это следует из
приведенной выше оценки. При не столь сильном отклонении
спинов от параллельной ориентации во всем объеме образца, как
рассматривалось выше, величина AFa может значительно умень-
уменьшиться и стать сравнимой по величине с вкладами других энер-
энергий. К рассмотрению одного из таких конкретных случаев — обра-
образованию доменной границы — мы и перейдем.
§ 3.5. ДОМЕННЫЕ ГРАНИЦЫ
В отсутствие внешнего поля ферромагнитный кристалл разби-
разбивается на ряд областей (доменов), каждая из которых намагни-
намагничена до насыщения, но направления векторов намагниченности
которых различны и, вообще говоря, устанавливаются вдоль осей
легкого намагничивания. Между соседними доменами существует
переходный слой (доменная граница), в котором вектор /s посте-
постепенно изменяет свое направление.
Рассмотрим одноосный кристалл, плоская доменная граница
в котором расположена параллельно оси легкого намагничивания
Z в плоскости zy. Граница разделяет домены, намагниченные в
противоположных направлениях вдоль легкой оси A80°-ная гра-
граница). Пусть граница содержит N атомных плоскостей, расстояние
между которыми равно а, где а — постоянная решетки. Тогда, если
полный поворот вектора намагниченности на 180° осуществляется
с помощью N равных углов q> = n/N (без выхода из плоскости zy,
чтобы избавиться от вклада магнитостатической энергии), обмен-
обменная энергия между атомом одной плоскости и ближайшим к нему
атомом соседней плоскости будет равна (см. 3.1.5) Wij = JS2(n/NJ,
а полная энергия в ряду N атомов
190

W=JS2n2/N. C.5.1)
Мы подсчитали обменную энергию одной цепочки атомов пер-
перпендикулярной поверхности граничного слоя. Всего на единицу
площади приходится 1/а2 таких цепочек. Таким образом, плотность
обменной энергии граничного слоя равна
плотность энергии анизотропии oK=NaK. Отсюда
о £* г NaK, = — г Ка. C.5.3)
Na2 dN NW '
Число слоев N, соответствующее минимуму граничной энергии,
равно
fW\* C.5.4)
о) C-5-5)
и, следовательно, толщина границы (см. C.1.13))
я()
а плотность энергии
(^Ц'/2 УЖ C.5.6)
Точная теория доменной границы с точностью до поправок в
численных коэффициентах подтверждает соотношения C.5.5) и
C.5.6). Численные значения б и о для различных типов доменных
границ в разных материалах будут приведены в § 3.7 после полу-
получения уточненных формул (для 180°-ной границы в одноосном кри-
сталл^б - яУЛ/К и а = 4 УЖ).
Прт построении рассмотренной выше модели 180°-ной границы
поворот вектора намагниченности осуществлялся без выхода из
плоскости yz (блоховская доменная граница) для того, чтобы
исключить вклад магнитостатической энергии в объеме образца,
а влияние магнитных полюсов на поверхности ферромагнетика
исключалось из-за рассмотрения бесконечного образца. Однако
в очень тонких образцах влиянием поверхности уже пренебрегать
нельзя. Впервые на значение магнитостатической энергии в тон-
тонких пленках указал Неель [10]. Он, в частности, предсказал, что
поворот вектора намагниченности может осуществляться в пло-
плоскости пленки (рис. 3.10,6), поэтому доменные границы такого
типа называют обычно неелевскими.
Рассмотрим, при каких условиях неелевские стенки становятся
энергетически более выгодными, чем блоховские. Аппроксимируем
граничную область цилиндром эллиптического сечения. Учет маг-
191

нитостатической энергии в случае кубического кристалла, когда
и ось Z и ось X являются осями легкого намагничивания, сводится
к добавлению к плотности энергии стенки плотности магнитостати-
ческой энергии цилиндра, намагниченного в направлении Z или X.
Например, для блоховской границы (рис. 3.10, а)
I У1\
I /II
I /x \ I
—X- v-
а
Рис. 3.10. Схематическое изображение
(а) блоховской и (б) неелевскон гра-
границ
ную плотность
граничнои энергии
a-_ яб
где N— размагничивающий
фактор, а /эфф — эффектив-
эффективная намагниченность.
Выражение для размаг-
размагничивающего фактора ци-
цилиндра эллиптического сече-
сечения известно. Для случая
блоховской границы (рис.
3.10, a) N=4n.b/(8+D). Для
случая, изображенного на
рис. 3.10,6 (неелевская гра-
граница), N = 4nD/(D + b).
В обоих случаях /эфф
приблизительно одинаково и
равно квадрату среднего
значения проекции вектора
намагниченности на глав-
главную ось эллипсоида ^1
Вклад магнитостатиче-
ской энергии в поверхност-
aj^Fjb, и, следовательно,
1\ C.5.7)
nD
D + 6
C.5.8)
Сравнивая эти выражения, мы видим, что при D<b плотноеть
энергии неелевской границы меньше блоховской. Следовательно,
появления неелевских границ в тонких пленках железа, никеля,
пермаллоя можно ожидать при толщинах порядка 103 А, что каче-
качественно согласуется с экспериментальными данными. Опыт пока-
показал также, что существует переходная область толщин пленок, в
которой энергетически выгодно образование границ со смешанной
блоховско-неелевской структурой (так называемые границы типа
колючей проволоки или границы с поперечными связями, см.
рис. 3.11). На рис. 3.12 приведены расчетные кривые зависимости
энергии границ различного типа от толщины пленки [11].
192

То обстоятельство, что в результате данного расчета неелевские
границы не оказываются энергетически выгодными даже при са-
самых малых толщинах пленок, является следствием модельных при-
приближений. Можно на этот вопрос взглянуть также и с другой
««. -mm- *» *«
Рис. 3.11. Доменные границы типа
«цепи» н «колючей проволоки» [16],
полученные методом порошковых
фигур
стороны. Чисто блоховское состояние доменной границы удалось
получить потому, что мы рассматривали бесконечный образец и,
следовательно, отсутствие влияния магнитостатическои энергии са-
самоа доменной границы (а для неелевской границы это в принципе
невозможно). При ограничении размеров образца даже чисто бло-
7 Г. С. Кринчик
193

6, эрг/см г
ховская граница станет энергетически невыгодной, поскольку с той
же необходимостью, с какой происходит образование доменов &
образце, в самой доменной границе должны образоваться субдо-
субдомены с граничными переходными слоями между ними, имеющими
неелевский характер. Далее можно говорить о движении этих гра-
граничных слоев, изменении размеров субдоменов, короче говоря, о
процессах намагничивания самой доменной границы. Такие явле-
явления для блоховских 180°-ных границ наблюдались магнитооптиче-
магнитооптическим методом даже в мас-
массивных нитевидных кри-
кристаллах железа, вискерах
[12]. В тонких же плен-
пленках образование суб-
субструктуры доменных гра-
границ и ее изменение ока-
оказывает решающее влия-
влияние на многие физические
процессы. Например, об-
образование так называе-
называемых «жестких» цилиндри-
цилиндрических магнитных доме-
доменов и их аномальное по-
поведение в магнитном поле
(см. § 3.6) целиком обус-
10
8
6
Ч
2
О 200 400 600 800 1000 12001400 #001800
Рис. 3.12. Теоретические кривые зависи-
зависимостей плотности граничной энергии от
толщины пленки: / — неелевская грани-
граница, 2— блоховская граница, 3 — грани-
граница с поперечными связями
ловлено формированием
субдоменной структуры
доменных границ и в осо-
особенности границ раздела между субдоменами (вертикальных бло-
блоховских линий). Динамика движения доменной границы, и в част-
частности, наличие предельной скорости ее движения, главным образом
определяется образованием и поведением так называемых гори-
горизонтальных блоховских линий в границе (см. § 5.4).
§ 3.6. ДОМЕННАЯ СТРУКТУРА
В предыдущем параграфе отмечалось, что образование доменов
приводит к уменьшению магнитостатической энергии, причем маг-
нитостатическая энергия тем меньше, чем меньше размеры доме-
доменов. Но, с другой стороны, уменьшение размеров доменов означает
увеличение их количества в кристалле, что в свою очередь приво-
приводит к увеличению общей площади доменных границ. Оптимальные
размеры доменов соответствуют минимуму свободной энергии. Это
и есть один из возможных механизмов формирования доменной
структуры в ферромагнитном образце конечных размеров.
Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных моделей до-
доменных структур, остановимся коротко на экспериментальных ме-
методах их наблюдения. Первым из использованных и успешно при-
применяемых до настоящего времени методов является метод порош-
194

ковых фигур, или метод Акулова — Биттера. Метод чрезвычайно
прост, надежен, основан на затягивании магнитных частиц сус-
суспензии полями рассеяния доменных границ. Наибольшее распро-
распространение в настоящее время получили магнитооптические методы,
основанные на том, что различные домены ферромагнетика по-раз-
по-разному вращают плоскость поляризации или изменяют интенсивность
линейно-поляризованного света, проходящего сквозь образец или
отраженного поверхностью образца. Наконец, аналогичное влия-
влияние доменов на траектории электронов послужило основой раз-
разработки электронно-микроскопических методов наблюдения домен-
доменных структур, обладающих максимальной разрешающей способ-
способностью. Все три указанных метода доведены до большого
совершенства и позволяют не только проводить надежные визуаль-
визуальные наблюдения, но и осуществлять фотографирование, снимать
кинофильмы, проводить стробоскопические наблюдения быстро-
протекающих процессов и т. д.
Вернемся к простейшей модели доменной структуры, изобра-
изображенной на рис. 3.8. В отличие от предыдущего рассмотрения пред-
предположим, что толщина пластинки h конечна, но в то же время на-
настолько велика по сравнению с шириной доменов d, что образо-
образование магнитных зарядов на верхней и нижней поверхностях
пластины можно рассматривать независимо. Тогда магнитостати-
ческая энергия (в расчете на 1 см2) пластины будет равна удвоен-
удвоенной энергии магнитных полей рассеяния, создаваемых зарядами
одной грани C.4.9)
Г/= 1,75/s2d. C.6.1)
Энергия граничных слоев в этом же объеме равна
Wo = oh/d. C.6.2)
Таким образом, полная энергия
W = Wj + Wo = 1,75I24 + ah/d. C.6.3)
Минимизируя это выражение по d, найдем равновесное значе-
значение
^Y>\ C.6.4)
Выражение C.6.4) позволяет оценить размеры доменов. Для кри-
кристалла с ст=2 эрг/см2 и /s=102 Гс, при fted cm, cfelO см, а при
ft^lO cm, d^lO~4 см. Полученная оценка хорошо согласуется с
экспериментальными данными.
Теперь вычислим энергию, соответствующую равновесному зна-
значению d. Подставляя C.6.4) в C.6.3), получим энергию для 1 см2
пластинки
W=2[l,75llah]i/2
или объемную плотность энергии при ft = 1 см
F=2[l,7bl2o]1'2- C.6.5)
7* 195

Подставляя численные значения /s=1700 Гс, а=2 эрг/см2, по-
получим для железа 7^6-103 эрг/см3, т. е. /^З-Ю3 эрг/см3.
В конце § 3.4 мы получили для оценки магнитостатической
энергии в аналогичном случае, но без образования доменной струк-
структуры значение Fj^-lO7 эрг/см3. Видно, что образование доменов
уменьшило вклад магнитостатической энергии и соответственно
Рис. 3.13. Модель замкнутой доменной структуры Ландау — Лифшица
полную энергию образца на три-четыре порядка. Однако рассмот-
рассмотренная доменная структура, относящаяся к классу структур с не-
незамкнутым потоком (в него входят структуры, изображенные на
рис. 3.9, а также лабиринтные, серпантинные и другие структуры),
не всегда является энергетически наиболее выгодной. Оказывает-
Оказывается, что зачастую более выгодными являются доменные структуры
с замкнутым магнитным потоком, первая из которых была рас-
рассмотрена для одноосного кристалла Ландау и Лифшицем [13].
Модель Ландау и Лифшица отличается от рассмотренной нами
наличием треугольных замыкающих призматических областей
(рис. 3.13,а). В результате магнитный поток оказывается замкну-
замкнутым внутри кристалла. Магнитные полюсы на поверхности при
этом исчезают, и вместе с этим обращается в нуль вклад магни-
магнитостатической энергии. Но в то же время увеличивается энергия
анизотропии (помимо той, которая входит в а), так как в замы-
замыкающих областях вектор намагниченности перпендикулярен легкой
оси.
Энергия анизотропии призматических областей на 1 см2 пла-
пластинки
C.6.6)
196

А энергия доменных границ, если считать d<Cft, по-прежнему
Wo— а — • Приравнивая нулю производную по d от полной энер-
d
гии, находим равновесное значение
'\ C.6.7)
W=BahK)l/2. C.6.8)
Отсюда объемная плотность энергии
. C.6.9)
Подставляя значения ст=2 эрг/см2 и /С=4-105 эрг/см3 в C.6.7)
и C.6.9) и полагая по-прежнему h=\ см, находим с^З-10~3 см и
/7=1,3-103 эрг/см, т. е. меньшее значение энергии, чем в случае
незамкнутой структуры, и, следовательно, замкнутая доменная
структура в данном случае является более выгодной, чем незамк-
незамкнутая. Заметим, что в работах Привороцкого [14] обращено вни-
внимание на термодинамическую некорректность рассмотренной замк-
замкнутой модели доменной структуры Ландау — Лифшица в том
отношении, что состояние замыкающих доменов с вектором 1„,
ориентированным вдоль трудной оси, соответствует положению не-
неустойчивого равновесия. Для корректного теоретического рассмот-
рассмотрения задачи требуется введение стабилизирующих факторов, на-
например магнитных зарядов на границах или упругих напряжений.
В кубических кристаллах с положительной константой анизо-
анизотропии, к которым относится и железо, имеются три взаимоперпен-
взаимоперпендикулярных оси легкого намагничивания, совпадающих с ребрами
куба. В таких кристаллах вектор намагниченности замыкающих
доменов также может быть направлен вдоль легкой оси. Факто-
Фактором, ограничивающим увеличение толщины доменов, в данном слу-
случае является рост магнитоупругой энергии.
Замыкающий домен стремится растянуться в направлении на-
намагниченности (рис. 3.13,6). В то же время основные домены
стремятся сжать замыкающий домен. Таким образом, для того
чтобы увеличить объем замыкающего домена, необходимо совер-
совершить работу против упругих сил.
Деформация замыкающего домена в отсутствие внешних сил
составила бы exx=h\oo- Следовательно, для того чтобы сжать все
замыкающие домены, приходящиеся на 1 см2 пластинки, до преж-
прежних размеров, необходимо затратить энергию
/УПР= \ с11<*х± = -±-с11 tfoo-^-. C.6.10)
Минимизируя полную энергию с учетом C.6.2), получаем
\ C-6.11)
197

C.6.12)
Если подставить численные значения констант для железа, при
Л = 1 см получим cf^O,l см и F^50 эрг/см3, т. е. наиболее низко-
низкоэнергетическую структуру из всех рассмотренных. На рис. 3.14 и
3.15 представлены экспериментально наблюдавшиеся на монокри-
монокристальных пластинках замкнутые доменные структуры, а также
их изменение под влиянием магнитного поля.
Все рассмотренные выше доменные структуры имеют ту общую
черту, что при наблюдении их сверху домены выглядят параллель-
параллельными полосками равной толщины. Доменные структуры такого
типа принято называть полосовыми доменными структурами, или
страйп-структурами. Рассмотрим теперь более узкий класс страйп-
структур, характеризующийся, во-первых, наличием одноосной
анизотропии с легкой осью, перпендикулярной поверхности пла-
пластинки, и, во-вторых, наличием остаточной намагниченности lR,
направленной вдоль страйпов. Для таких структур появляется при-
привлекательная возможность управления ориентацией страйпов с
помощью внешнего магнитного поля. Как правило, ориентация
страйпов определяется направлением предварительно приложен-
приложенного достаточно сильного магнитного поля. Благодаря стабили-
стабилизирующему действию наведенной анизотропии (§ 3.2) ориентация
страйпов фиксируется в такой степени, что в сравнительно слабых
полях пленку можно перемагничивать от + 1» до —Is, не изменяя
ориентации страйпов, а в достаточно сильном поле можно переори-
переориентировать страйпы. Таким образом, мы имеем образец с враща-
вращающейся внешним полем анизотропией, т. е. для многих практиче-
практических применений — управляемую дифракционную решетку (рис.
3.16). В связи со сказанным страйп-структуры подвергались широ-
широкому теоретическому и экспериментальному исследованию, неко-
некоторые результаты которого мы изложим.
1. При /С_|_/2я/^ > 1 ориентация Is в отдельных доменах не за-
зависит от толщины пленки и вектор Is направлен вдоль оси легкого
намагничивания, т. е. перпендикулярно поверхности пленки.
2. При /Ci/2jt/s< 1,если /i^/iKp, вектор Is лежит в плоскости
пленки и домены разделены границами Нееля или границами типа
колючей проволоки.
3. При /С_|_/2л/;<; 1,если Л>/гКр, возникает полосовая доменная
структура, причем при /i~/iKp выход вектора Is из плоскости плен-
пленки в страйп-доменах очень мал.
Поскольку нормальная составляющая Is на поверхности плен-
пленки мала, то соответственно мал и проигрыш в магнитостатической
энергии, который при /г>/1кр удается скомпенсировать выигрышем
в энергии анизотропии. Возникшую страйп-структуру можно рас-
рассматривать как результат осцилляции вектора L, относительно
плоскости пленки с непрерывным изменением а(х), где а — угол
198

Рис. 3.14. Порошковые фигуры на тонкой монокристаллической
пластинке Ni—Со в отсутствие внешнего магнитного поля [17]
с d
Рис. 3.15. Изменение порошковых фигур во внешнем
магнитном поле [17]: а и Ь—различные доменные
структуры в отсутствие поля, с показывает измене-
изменение структуры а в поле 3,6 Э, направленном слева
направо, d показывает изменение структуры в поле
3,9 Э, направленном на рисунке снизу вверх

w
Рис. 3.16. Страйп-структура, экспериментально наблюдаемая в
монокристаллических пленках 95% Ni — 5% Fe (d=l,45 мкм)
[17], а — внешнее поле отсутствует, ширина домена 1 мкм;
Ь — //=12,8 Э и направлено справа налево

отклонения Is от плоскости пленки, а х—-координата в направле-
направлении, перпендикулярном страйпам. Переход от одного страйп-доме-
страйп-домена к другому происходит при изменении знака а. Величина атах
определяет выход нормальной слагающей I и зависит от толщины
пленки. Можно этот же результат описать с иных позиций.
Страйп-домены как тако-
таковые вообще отсутствуют,
а страйп-структура плен-
пленки образуется в результа-
результате непрерывного перехода
от одной доменной грани-
границы малой градусности к
другой. Ширина страйп-
домена при таком описа-
описании совпадает с шириной
доменной границы. При
увеличении толщины
пленки начинают образо-
образовываться домены, и для
описания структуры ста-
станет целесообразным ис-
использовать модель чере-
чередующихся страйп-доме-
нов, в каждом из которых
a=±const, разделенных
между собой доменными
границами блоховского
типа, причем 5<d, где б — ширина доменной границы, а d — ши-
ширина страйп-домена.
4. При /С_]_/2я/?< 1 расчет Лкр удается провести точно [15] и
C.6.13)
C.6.14)
Рис. 3.17. Замкнутая доменная структу-
структура в лермаллоевых ст;>ай-пленках
Влияние магнитного поля на hKp дается формулой [16]
, 2л
1—ft
, где h = HISI2KX-
Таким образом, появление страйп-структуры как фазовый пере-
переход второго рода можно наблюдать, либо изменяя толщину образ-
образца, либо изменяя магнитное поле при фиксированной толщине
образца.
5. Равновесная ширина домена страйп-структуры d примерно
равна толщине пленки И, причем обычно и теоретические расчеты
и эксперимент дают зависимость d~ УЪ.
6. При дальнейшем увеличении толщины пленки наблюдается
тенденция к переходу к доменным структурам замкнутого типа.
Промежуточным этапом при переходе к доменной структуре Лан-
Ландау— Лифшица является структура, изображенная на рис. 3.17
201

Рис. Э. 18. Цилиндрические магнит-
магнитные домены
[17], Физически появление такой структуры в пластинке с одно-
одноосной перпендикулярной анизотропией можно объяснить следую-
следующим образом. При отличии углов ф н ф от нуля увеличивается
энергия анизотропии (^фО непосредственно увеличивает энергию
анизотропии внутренних доменов, а при увеличении ф энергия
анизотропии возрастает благодаря увеличению объема замыкаю-
замыкающих доменов). Рост энергии
анизотропии может быть ском-
скомпенсирован уменьшением плот-
плотности энергии доменных гра-
границ. При этом, для того чтобы
границы замыкающих домеиов
давали заметный вклад в сво-
свободную энергию, толщина пла-
пластинки должна быть достаточ-
достаточно малой. При ф-+-0 и ф->-0
рассматриваемая структура пе-
переходит в структуру Ландау —
Юмм Лифшица. Приф-*-я/2 и \|)->~л/2
имеется возможность перехода
к страйп-структуре с незамкну-
незамкнутым магнитным потоком.
Описанные доменные
страйп-структуры различных типов наблюдались экспериментально
как на металлических, так и на диэлектрических ферромагнитных
пленках или пластинках в интервале толщин от 0,1 мкм до не-
нескольких десятков микрон.
Перейдем теперь к рассмотрению структур с цилиндрическими
магнитными доменами (ЦМД), Как уже отмечалось выше, в пла-
пластинке с перпендикулярной легкой осью анизотропии при
K±/2nIs > 1 намагниченность в отдельных доменах ориентирована
перпендикулярно поверхностям пластинки, вдоль легкой оси. Воз-
Возникающая при этом доменная структура с незамкнутым магнит-
магнитным потоком относится к типу рассмотренных в начале параграфа,
ширина доменов определяется примерно формулой C.6.4), но по-
полосовые домены сильно изгибаются, закручиваются, и образуется
структура серпантинного вида (рис. 3.18,а). При наложении внеш-
внешнего магнитного поля, перпендикулярного поверхности пластинки,
образец должен намагнититься до насыщения в одном направле-
направлении. Однако при некотором значении поля //min «исчезающие» по-
полосовые домены преобразуются в систему цилиндрических доме-
доменов— бабблов (рис. 3.18,6). При дальнейшем повышении вели-
величины поля существует область устойчивости ЦМД, в которой
радиус сравнительно слабо зависит от величины поля, и, наконец,
при достижении некоторого критического значения поля Hk доме-
домены необратимо коллапсируют за очень малый промежуток времени,
определяемый подвижностью границы, и пластинка намагничи-
намагничивается до насыщения.
202

Рассмотрим теперь задачу об одном цилиндрическом домене
радиуса r = d/2, находящемся в бесконечной магнитной пластинке
толщины h по упрощенной схеме [9] с эмпирически подобранной
зависимостью C.4.13) для учета магнитостатическон энергии.
Энергия одного ЦМД в пластинке равна:
W = Wo -r WH -
C.6.15)
где Wa = 2nrha — энергия доменной границы, №н=2лг2МН— энер-
энергия взаимодействия домена с внешним магнитным полем и Wz —
магнитостатическая энергия.
Вычисление последнего члена представляет наибольшую труд-
трудность. В то же время учет этого вида энергии необычайно важен
для определения условий, при которых структура с ЦМД являет-
является устойчивой. Нетрудно видеть, что появление внутри однородно
намагниченной пластинки цилиндрического домена с намагничен-
намагниченностью антипараллельной полю, приводит к увеличению $н, а
также Wa. Поэтому интересующая нас структура может быть
устойчивой лишь в том случае, когда это увеличение энергии ком-
компенсируется уменьшением магнитостатической энергии. Ради упро-
упрощения записи введем следующие безразмерные переменные:1.
энергию е = №/16я2/2/13,
поле Ж = #/4я/„
радиус х s= rjh
и характеристическую длину
В безразмерных переменных
= ///i = ajMnl\.
"£7
C.6.16)
C.6.17)
C.6.18)
C.6.19)
дх
Ж хЬх
C.6.20)
Подставир выражение C.4.13) в C.6.20), получим
\ш-
■_^1+_ х) \х8х +
3 -Л-2''(в*)'
C.6.21)
Равновесное значение для радиуса ЦМД найдем из условия равенства
нулю первого члена в C.6.21)
= —~~ А
= 0.
C.6.22)
203

Это уравнение имеет два решения
л-= |A -±-b-
C.6.23)
из которых только одно устойчиво. Устойчивость решения опре-
определяется знаком второй производной d2W/dx2, т. е. второго члена
в C.6.21).
Устойчивое решение можно найти также графическим путем
из условия 5^Эфф х = 0. На рис. 3.19 приведено графическое реше-
решение уравнения C.6.22) при
л = 0,5, #=0,1; корням урав-
уравнения х{ и X* соответствуют
две точки пересечения на
рисунке.
Из равенства 8W =
= 55?эфф*5* следует, что для
уменьшения энергии (8W<
<0) при положительном
Ш эфф радиус цилиндриче-
цилиндрического домена должен умень-
уменьшаться F*<0), Следова-
Следовательно, радиус ЦМД умень-
уменьшается при х<х{ и х>х2 и
увеличивается при jC|<jc<jc2,
так как здесь 55?эфф<0, От-
Отсюда следует, что устойчи-
устойчивым является больший ради-
радиус ЦМД х2.
Определим теперь крити-
критическое значение поля 55?» при
достижении которого суще-
существование ЦМД оказывает-
оказывается невозможным (поле кол-
коллапса Жк)- Очевидно, что это произойдет тогда, когда наклонная
линия на рис. 3.19 станет касательной к кривой и, следовательно,
корни уравнения C.6.22) сольются в один.
Таким образом, ( 1 А, —fflk ) = ЗА,5£*, откуда
Рис 3.19
5£й= 1 л- —А, —(ЗА,I''2.
4
Соответствующий критический радиус коллапса
Г/ 3 \'/2 3 1-i
xk - - ~— г~
C.6.24)
C.6.25)
204

Анализ устойчивости формы ЦМД [8] позволил получить вы-
выражения для #min и dmax, т. е. для критического поля и диаметра
ЦМД, при которых цилиндрические домены превращаются в
страйпы. На рис. 3.20 представлены результаты количественных
расчетов значений Ни, dh, #min и dmax в зависимости от парамет-
параметров материала и толщины пластинки. Из этих графиков, в част-
частности, следует, что ЦМД минимального размера с dh=i.l реали-
реализуются в пластинках с толщиной /i^3,3 /. Напомним еще" раз, что
характеристическая длина материала / = a/inl2s C.6.19).
Рис. 3.20. Теоретические кривые зависимости Hk, dk, Ятш
ров материала и толщины пластинки
от парам^т-
Перспективы применения ЦМД основаны на возможности соз-
создания быстродействующих элементов, в которых с использованием
генераторов ЦМД и доменопродвигающих устройств осущест-
осуществляется создание, передвижение и хранение системы закодирован-
закодированных ЦМД. Магнитостатическое взаимодействие между различными
ЦМД позволяет создавать логические элементы самых разнообраз-
разнообразных типов. Магнитостатическое взаимодействие также использует-
используется и в доменопродвигающих схемах. На рис. 3.21 изображена ти-
типичная схема Г-типа с управляющей пермаллоевой аппликацией,
принцип действия которой понятен без пояснений. При повороте
управляющего магнитного поля в плоскости пластинки и апплика-
аппликации на 2л по часовой стрелке все существующие ЦМД сдвигаются
на один период аппликации вправо, при повороте поля на 2л
против часовой стрелки — на один период влево.
Серьезной трудностью на первом этапе разработки элементов
с ЦМД явилось экспериментальное обнаружение в феррит-грана-
феррит-гранатовых пластинках так называемых жестких ЦМД, которые имели
аномально малую подвижность и, кроме того, «ненормальное» на-
направление скорости продвижения — помимо продольной компо-
компоненты скорости вдоль градиента магнитного поля наблюдалась
также значительная поперечная компонента скорости. Были про-
проведены теоретические расчеты и поставлены эксперименты, кото-
205'

рые показали, что за аномальное поведение ЦМД ответственно
наличие большого количества вертикальных блоховских линий в
блоховской доменной границе цилиндрического домена. К настоя-
настоящему времени уже разработано несколько эффективных, простых
и технологически удобных
методов борьбы с появлени-
появлением жестких ЦМД.
Из всего сказанного вы-
выше ясно, что одним из важ-
важнейших параметров мате-
материалов, используемых для
конструирования схемных
элементов с ЦМД, является
подвижность доменных гра-
1+1 ниц. Некоторые аспекты
этой проблемы мы рассмот-
рассмотрим в § 5.4. Здесь отметим
только, что при достигнутых
на ортоферритных и грана-
гранатовых пленках подвижно-
стях порядка 103 см/сек-Э
и размещении в пленке с
размерами 2X2 см2 103ХЮ3
управляющих элементов Т-
типа можно работать с уп-
п равляющим вращающимся
^-~s. магнитным полем порядка
А у>|[ I | jfr| I |-_ а| I нескольких эрстед на часто-
\Г ^^ j Г^ ^ П^ ^. тах порядка 1 МГц и осуще-
U U ■' ствлять продвижение ЦМД
по всей схеме за время, мень-
меньшее, чем 1 с.
В заключение этого па-
параграфа, посвященного до-
доменным структурам, остановимся на вопросе о предельном разме-
размере образца, при котором существование доменной структуры ста-
становится вообще энергетически невыгодным, т. е. на вопросе об
однодоменности ферромагнитных частиц.
Сравним энергию магнитной сферической частицы в двух со-
состояниях, показанных на рис. 3.22.
Энергия однодоменной частицы а равна магнитостатической
энергии. Плотность магнитостатической энергии для сферы
Рис. 3.21. Генератор ЦМД и Г-схема
продвижения
и, следовательно, магнитостатическая энергия частицы радиуса
206

C.6.26)
Появление магнитной структуры б приводит к уменьшению
магнитостатическои энергии. Энергия частицы в этом случае опре-
определяется главным образом величиной энергии доменных границ
C.6.27)
Рис. 3.22
i
Сравнивая C.6.26) и C.6.27), найдем критический радиус RKp,
при котором существование доменной структуры становится энер-
энергетически невыгодным:
/?кр = 9<W4n/s. C.6.28)
Подставляя в C.6.28) численные знач ения tfgo°= 1 эрг/см2 /s = 1700 Гс
о
получаем /?кр зй 25А.
Величина /?Кр оказывается меньшей ширины границы б
(табл. 3.4). Таким образом, наш расчет оказывается некоррект-
некорректным, хотя следует отметить, что последовательный теоретический
расчет приводит к близким значениям Ruv. Кроме того, для другой
комбинации параметров материала ситуация может оказаться
более благоприятной. Например, для материала с большой кон-
константой одноосной анизотропии MnBi crsd2 эрг/см2, /s=600 Гс и,
следовательно, ширина границы б=10~6 см, a RKP — 2,5- 10~5см,
т. е. Якр>6.
Возвращаясь к случаю RKV<8, мы видим, что однодоменная
частица «вырезает» часть доменной границы, и, следовательно, в
данном случае необходимо теоретическое рассмотрение распреде-
распределения с неоднородной намагниченностью во всем объеме образца.
Это типичный пример теоретического подхода к решению статиче-

ских и динамических задач о магнитных структурах, который по-
получил название микромагнетизм. При мнкромагнитном подходе
рассматриваются не домены и доменные границы, а векторное поле
намагниченности I = /5v, где
v = vxi + vy] + vzk — непрерыв-
непрерывная функция координат. Пол-
Полная энергия образца миними-
минимизируется путем вариации на-
направляющих косинусов v при
условии v2=l и граничных
условиях на поверхности об-
разца v X
dv
~дп
= 0.
Впервые микромагнитный
подход был использован при
решении задачи о 180°-ной до-
доменной границе (см. § 3.7).
Приведенные выше формулы
для страйп-структур были по-
получены также этим : методом
[14, 15]. Наиболее точные ре-
результаты для ЦМД дает также
микромагнитный подход. Для
решения задачи о распределе-
распределении намагниченности в малых
ферромагнитных частицах мик-
микромагнитный метод был впер-
впервые предложен Кондорским
1а рис. 3.23 представлено
распределение намагниченно-
намагниченности в эллипсоидальной однодо-
менной частице, которое мини-
минимизировалось в [18]. При та-
таком распределении (8 = const)
Ра = т (it)sin e'
C.6.29)
а магнитостатическая энергия в
некотором приближении
Рис. 3.23 2 2 v " '
C.6.30)
где Ni и Nd—размагничивающие факторы вдоль большой осн и
диаметра эллипсоида.
208

т-i dq> фп , ,.
Полагая для упрощения —— = —^, где /— длина оольшои оси
дг I
эллипсоида, получим следующее выражение для
F = М*. cos2 8 - -^L sin2 0 [В (ф0)]2 -г К sin2 0 -f
2
^~~- sin2 8 - Я/,-cos 6 э F/ -- /V -г f.4 -f /Ъ. C.6.3 1)
где
Определяя значение ф0, соответствующее минимуму энергии, из
соотношения
_EL = Л£±. sin2 е <[В (ф )]»)' л. А-&- sin2 0 = О
получаем, полагая ф0 = 0, следующий критерий абсолютной однодо-
менности:
Для сферической частицы
Fe f.4= 2-10-вэрг,см, /s = 1700 Гс, Nd=
получаем ЛКр=6-10~7 см.
Мы проанализировали одно из возможных неоднородных рас-
распределений намагниченности в малой ферромагнитной частице.
Аналогичным образом рассматривались различные неоднородные
распределения — изгибные, завихренные, спиральные, веерообраз-
веерообразные— и получены выражения, подобные C.6.32). Наиболее инте-
интересным вопросом в данном случае является влияние внешнего
магнитного поля на распределение намагниченности в малых ча-
частицах, поскольку эта проблема является определяющей для рас-
рассмотрения процессов перемагничивания путем некогерентного вра-
вращения, для построения теории коэрцитивной силы некоторых ма-
материалов для постоянных магнитов, для анализа процессов намаг-
намагничивания лент для магнитной записи и т. д. Полезно указать на
физическую аналогию между процессами возникновения неодно-
неоднородных магнитных структур в малых частицах и их перемагничи-
перемагничивания во внешнем поле с процессами возникновения страйп-струк-
тур в тонких ферромагнитных пленках, которые рассматривались
в этом же параграфе.
209

§ 3.7. УРАВНЕНИЕ ЛАНДАУ — ЛИФШИЦА
Впервые задачу о движении доменной границы решили Ландау
и Лифшиц [13]. Учет различных видов энергетических взаимодей-
взаимодействий в кристалле был сделан путем введения эффективного маг-
магнитного поля Нэфф. Для одного магнитного иона было получено
простое уравнение движения ларморовского типа
-f- = [НэффР.], C.7.1)
где ц — магнитный момент иона, J — его механический момент;
J и fi связаны известным соотношением ii=yJ, где у= eg[2mc.
Для объема с намагниченностью I имеем уравнение
1
НЭфф определяется следующим образом. Для одноосного кристал-
кристалла, если ограничиться учетом обменной энергии, энергии анизотро-
анизотропии и зеемановской энергии, свободная энергия
F = j {AKvatf + (Va2J 4- (va3J] + Kas - HIS} dV. C.7.3)
Состоянию равновесия системы соответствует минимум F, следо-
следовательно, вариация F по Is должна равняться нулю:
Г fid. 1^4- — /„п + Н\Ыи1У=0. C.7.4)
При этом I, изменяется только по направлению, поскольку пред-
предполагается, что I»=»const.
Условие C.7.4) выполняется, если вектор НЭфф, равный выра-
выражению, стоящему в круглых скобках, перпендикулярен 61Я. Но б!.;
всегда перпендикулярен I, в силу Is = const. Следовательно, равно-
равновесное состояние соответствует тому случаю, когда вектор Is на-
направлен параллельно НЭфф, т. е. [НЭфф1.,]=0, что и дает основание
интерпретировать Н3фф как эффективное магнитное поле, действую-
действующее на ls.
Развитый подход дает, в частности, возможность решения ста-
статических задач о равновесном распределении намагниченности, в
том числе и микромагнитных задач.
Получим, например, в соответствии с [13] точное выражение
для распределения намагниченности в 180°-ной блоховской домен-
доменной границе в одноосном кристалле при #=0. В этом случае
1%9 = /s sin 0, lsz = /s cos 0, Isx = 0.
Подставляя эти выражения в C.7.3), найдем функцию 0(*), мини-
минимизирующую F, из уравнения Эйлера
Л9" —A"sin0cos9 = O. C.7.5)

Интегрируя это выражение, получим
— 9'2 ^ cos2 0 = С.
К
C.7.6)
Определим теперь граничные условия. Поскольку ширина до-
домена значительно больше толщины доменной границы, можно счи-
считать 0 = 0 при х =—оо, 0 = я
при *=-t-oo. Кроме того,
9'=0 при jc=±oo (9 = 0, я). $
Подставив граничные уело- д
вия в уравнение C.7.6), най-
найдем, что С= 1 или ,
е-8 = -^ sin2 e.
А
C.7.7)
0
-"/
1
у
■—^ 1 /
~—
Интегрируя это выражение,
получим
-3-2-1 0 1 2 3
Рис. 3.24
.= — th V -^ х= — th—, где б„ = Л/ — C.7.8)»
Эта зависимость представлена на рис. 3.24.
Найдем теперь энергию доменной границы
+ов -f-oo
Г [^e'2-f-A'sin20]dA;= 2A" Г s
sin2 Ых ■■
C.7.9).
Обычно принято определять ширину доменной границы из
C.7.8) по производной в начале координат (как это показано на
рис. 3.24), тогда
8 = лУЖК = п80. C.7.10)-
В таблице 3.4 представлены значения вия для различных ти-
типов доменных границ в Fe, Ni, Co, полученные в работе [19], с
заменой величины А для Fe на 2 • 10~6 эрг/см.
Возвращаясь к решению динамических задач, т. е. к уравнению
C.7.2), заметим, что в нем не учтены силы взаимодействия, ответ-
ответственные за эффекты затухания прецессии. Ландау и Лифшиц.
ввели в уравнение движения C.7.2) дополнительный релаксацион-
релаксационный член с учетом того обстоятельства, что силы трения стремятся
повернуть вектор Is к эффективному полю НЭфф:
211

to
Таблица 3.4
Элемент
Fe
Ni .
Co
1 10"' ЭрГ
20,0
3,4
10,3
Энергия и ширина
Л' 10" ЭрГ
см
4,6
0,5
43
а„ = VAKi ,
эрг
см2
0,96
0,13
2,1
доменных границ в монокристаллах
10~8 см
208
260
50
Плоскости
A00)
A11)
@01)
Тнп границ
90°
180°
180° (♦)
70°53
Ю9°47
180°
180° (♦)
180°
Ni, Fe,
Со
g/go Для нормален
к границе
[001]
1,00
2,00
2,02
0,54
1,09
[ПО]
1,73
2,76
2,77
0,46
1,37
1,83
2,19
4,00
[Hi]
1,18
—
1,29
—
4,00
а/в.
[001]
3,14
оо
10,87
3,85
оо
для нормалей
i границе
[110]
3,97
5,60
5,59
4,26
3,3
оо
7,91
3,14
[111]
3,14
—
—
—
3,85
3,14
Примечание. * — с учетом магнитоупругой энергии.

d*s _ ., гн IIp /н (Нэфф15) ls
IIp /н
Y 1эффЧ — е ИЭфф
V S /
Вектор, стоящий в круглых скобках, перпендикулярен вектору I.,
и направлен к НЭфф, е — параметр релаксации, определяемый эм-
эмпирическим образом, причем предполагается, что е//.<<С1. Суще-
Существуют и другие способы введения днссипативного члена. Так,
например, часто используется уравнение Ландау — Лнфшица с
записью дпсснпативного члена в форме Гильберта [20]:
Здесь, очевидно, условием малости затухания будет сс<С1.
Пусть теперь имеется малое по величине внешнее магнитное поле
Н, направленное по оси Z. Кроме того, мы уже не можем в дви-
движущейся границе полагать /,« = 0, поэтому
Нх = — 4я/№ Ну = 0, Нг = Н. C.7.13)
Подставляя C.7.13) и Нэфф из C.7.4) в C.7.11), получаем
' — ~~77~ — ~pr('sz'sy hyhz) y9- 'sy'sz ' sy'
V ' 's
9Л • \ e Г 9А
h
s \ ' s
2.4 .. e r_2A_-. .• . .'u 2A: *'_,_„, , 1.
^s s L s ^s J
C.7.14)
2.4 t, „
6 Г 2A
's L s
-Г 'sz'sz! lSz i —
■ fs
As.v, /sy, /sz — функции x n t. Предположим, что обе переменные
входят только в комбинации х—г/t, где v — скорость перемещения
всего распределения вдоль оси X. Тогда Isx = —vlsx и то же самое
для ISy и Is:; штрихом здесь обозначено дифференцирование по
х—vt. "
213

Для решения положим Isx = Isx; Isy = /s sin @ -f- if>); /S2 = /s cos @ -f
-f ij>), где в соответствии с C.7.8) cos0= —th l/ — (x—vt); if> ма-
мало по сравнению с 9.
Пренебрегая членами второго порядка малости по /Sx, if), Я и у
(полагая v — Я), находим из C.7.14) с учетом C.7.7)
— 4 - /4я + — cos20^ /tt = ^ "l/— sin 0. C.7.15)
Третье уравнение совпадает со вторым.
Введя 0 в качестве независимой переменной вместо х— vt, получим
sine dQ i
/2 S
C.7.16)
Оба эти уравнения относятся к типу
1
(sin02
sin 8 rfB 1 d8 У \ sin2 9
и имеют решение только в двух случаях; 1) т = 1, 2,... и /@)=О,
2) т не является целым числом и /@)=£О.
Поэтому, приравнивая нулю соответственно случаю 1) правую
часть первого из уравнений C.7.16), получим для скорости дви-
движения границы
£^П. р.7.17)
или при /, Э" е
v^Jls.-i/'j-H. C.7.18)
г Y К
Коэффициент пропорциональности, связывающей скорость дви-
движения границы с величиной магнитного поля, называется подвиж-
214

ностью границы и определяется с учетом C.7.8) и C.7.10) фор-
формулами
C.7.19)
или через параметр затухания в уравнении Ландау — Лифшица в
форме Гильберта C.7.12)
ц = б„/а = б/яа. C.7.20)
После рассмотрения вопроса о скорости движения доменной
траницы введем понятие о массе доменной границы — второй фун-
фундаментальной характеристике движущейся доменной границы.
Запишем второе уравнение C.7.16) в виде
1 d
_ I Dlti t-f .. I _J I V > ■ I
lsx
sin9 d9 \ dQ I ' \ sine
—— C.7.21)
sin9 v '
Приравнивая нулю правую часть этого уравнения, находим
/
4nIsx=-Hx= -4 -J—4-sine. C.7.22)
У /, , II
Дополнительная энергия, приобретаемая движущейся границей
по сравнению со статической с учетом C.7.7) и C.7.9), равна
-f-эо
а.,— а=- — f Hldx= — — — ' 2 ч , C.7.23)
8я J 8я y2 Л I . ; _£!_\
или при
ov — tf = -L. HLJL= —! у2. C.7.24)
8л ys ^ 8лбо^2
Эту дополнительную магнитостатическую энергию можно ин-
интерпретировать как кинетическую энергию движущейся доменной
границы и в соответствии с этим ввести понятие эффективной мас-
массы доменной границы
т -
гр
4л I e ) S, К • ">
215

Интересно отметить, что эффективная масса доменной границы
по порядку величины равна массе электронов, содержащихся в до-
доменной границе, поскольку при подстановке в C.7.25) численных
значений параметров мы получаем mrp^10"0 г/см2.
Хотя, как мы видели из решения уравнения Ландау — Лнфшнца
для движущейся доменной границы, получается формула для тп-,
даже с учетом влияния дисснпативного члена (см. C.7,23)), в ра-
работе [13] этого вывода сделано не было. Понятие эффективной
массы доменной границы было введено позднее Дерингом [21],
который впервые получил выражение C.7.25) для ттр.
В заключение укажем на интересную физическую интерпрета-
интерпретацию, которую дал эффективной массе доменной границы Беккер
[22].
С одной стороны, мы имеем очевидное соотношение
0=— v&. C.7.26)
С другой стороны, движение доменной границы в направлении
х можно представить как результат прецессии спинов в доменной
границе в плоскости zy Под действием поля Нх, и тогда
0= — = —Я C.7.27)
dt me
Следовательно, для дополнительной энергии движущейся доменной
границы из C.7.26) и C.7.27) получаем выражение
[ тг +
и с учетом C.7.9) <то —<т — v'2/8n80y2 в полном соответствии с C.7.24).
§ 3.8. ПРОЦЕССЫ СМЕЩЕНИЯ ДОМЕННЫХ ГРАНИЦ
Рассмотрим теперь вопрос о начальной магнитной проницае-
проницаемости и коэрцитивной силе ферромагнитного материала, которые
связаны с процессом смещения доменных границ. Согласно резуль-
результатам § 3.7 граница должна смещаться на сколь угодно большое
расстояние, в сколь угодно малых полях. Однако в действитель-
действительности этого не происходит. Причина этого расхождения кроется
в том, что наш расчет был проведен для идеального кристалла,
т. е. кристалла без внутренних напряжений, инородных включений,
полостей, трещин и т. д. Реальные ;ке кристаллы всегда обладают
какими-либо дефектами и вследствие этого конечной начальной
проницаемостью и отличной от нуля коэрцитивной силой.
Энергия границы в реальных кристаллах зависит от простран-
пространственного распределения дефектов и их природы, таким образом
о=<т(д:). Слабое внешнее поле способно сдвинуть границу лишь
на некоторое расстояние х. При этом уменьшение свободной энер-
2Г16

гии для 180°-ной границы за счет увеличения объема домена с
IJH равно 2Н1&х (при фиксированном сечении).
Граница остановится, когда
2Н1Ах = -^-^- Лх. C.8.1)
дх
По аналогии с изменением энергии упругих сил pdV величину
2HIS можно назвать магнитным давлением рн
Рн = 2HIS, C.8.2)
а
ра = ^{х) . C.8.3)
дх
давлением на границу со стороны квазиупругих сил, обусловлен-
обусловленных наличием дефектов, упругих напряжений, включений и т. д.
В этих терминах смещение границы прекратится, когда ра станет
равным рН-
Рассматривая смещение 90°-ных границ, следует учесть также
изменение магнитоупругой энергии F%, равное в случае изотропной
магнитострикции —ХТЛх, где 7\-— внутреннее упругое напря-
напряжение, a h — константа магнитострикции.
В этом параграфе мы изменим обозначение упругих напряже-
напряжений с о, на Т{, чтобы не путать с плотностью энергии доменных
границ.
По аналогии с магнитным давлением можно ввести магнито-
стрикцнонное давление
Очевидно, что при движении 180°-ной границы р%=0.
Поведение функции о' (х) = —^- можно описать лишь в са-
дх
мых общих чертах, так как она очень чувствительна к структурным
особенностям и дефектам образца и может сильно различаться не
только для разных образцов, но и для разных участков одного и
того же образца. На рис. 3.25 изображен примерный ход такой
кривой. Рассмотрим различные участки этой кривой:
1—2. Если граница при Н = 0 находилась в точке 1, то для
того, чтобы переместить ее в точку 2, нужно приложить поле, на-
напряженность которого для 180°-ной границы, как следует из C.8.1),
Я^ "^j \X) /о о г\
2/, дх 2 У '
При выключении внешнего поля на границу будет действовать
только отрицательное давление ра, которое вернет границу в ис-
исходное положение 1. Это область обратимого смещения.
217

2—4. Смещение границы из точки 2 в точку 4 произойдет необ-
необратимым образом после достижения внешним полем величины
критического поля Яо. Необратимый характер смещения границы
скажется в том, что на этот раз после выключения поля граница
не вернется в точку 2, а остановится в точке 3, где =рн = 0.
дх
дх
Далее аналогичным образом можно рассмотреть процесс прео-
.0.
7 X
и
Рис. 3.25
Рис. 3.26
доления границей более высокого потенциального барьера в точке
5, новую область обратимого смещения 7—6, результат действия
отрицательных полей и т. д.
Зная ход кривой do(x)/dx, можно построить зависимость-
1(Н), точнее, того вклада в намагниченность, который дает сме-
смещение данной границы. Например, в нашем случае кривая 1(Н)
будет иметь вид, представленный на рис. 3.26. Видно, что из-за
необратимых смещений прямой и обратный ход 1(Н) не совпа-
совпадают, т. е. наблюдается магнитный гистерезис. Участки необра-
необратимого скачкообразного изменения намагниченности 2—4, 5—7
называются скачками Баркгаузена. Они регистрируются экспе-
экспериментально как скачкообразные увеличения магнитного потока
при непрерывном плавном увеличении магнитного поля.
Ввиду сложности описания «потенциального рельефа»
(рис. 3.25), существующего на пути смещения границы в реальных
материалах, и невозможности его теоретического расчета, для
оценки порядка величины магнитной восприимчивости и коэрци-
коэрцитивной силы и установления их связи с параметрами материала
пользуются различными модельными представлениями.
Продемонстрируем это на простейшем примере «расчета» на-
начальной восприимчивости, обусловленной смещением 90°-ных гра-
границ в материале с остаточными упругими напряжениями Г,-. Пред-
Предположим, что Ti = TOi sin ях/1, где / — ширина домена. Плоские
90°-ные доменные границы параллельны плоскости yz и располага-
располагаются в местах смены знака Т{. Тогда из условия равенства рн = Р%
находим
218

W,= yMV C-8.6)
При малых Н х также мало и
х= — М-Н. C.8.7)
Зя А.Т'о;
Учитывая, что для данной модели
б/ = Isx/l, C.8.8)
получаем искомое выражение
C-8.9)
Подставляя в C.8.9) 'КТ^~\ОЪ и /s= 1,7-103 Гс, получаем
(ХаЬо°=Ю3.
В проведенном расчете мы вообще не учитывали зависимость
<а(х). Наиболее близкие к эксперименту результаты для начальной
восприимчивости и коэрцитивной силы получены с учетом о'(х)фО
в моделях напряжений и включений, развивавшихся главным об-
образом в работах Керстена, Кондорского и Нееля.
Будем рассматривать такую же плоскопараллельную модель
доменной структуры с шириной домена /, но уже для 180°-ных
доменных границ. Для начальной восприимчивости (ха)шо° можно
получить выражение общего вида, не конкретизируя модель.
Естественно предположить, что в исходном положении при #=0
границы будут располагаться в точках, где о'(х)=0. Разлагая
о{х) в ряд по х, получаем
<т(дс) = о0 + — °2Х2 C.8.10)
и, следовательно,
a'(jc) = a2jc. C.8.11)
Учитывая C.8.2), условие равновесия границы рн=Ра и то,
что для плоскопараллельных 180°-ных границ б/ = 2Isxll, полу-
получаем
(хаI80» = 4/^ЛУ. C.8.12)
Теперь следует конкретизировать модель для оценки «т2. В мо-
модели напряжений возможны два подхода. Первый—сугубо фено-
феноменологический. Пусть, например, благодаря наличию внутренних
упругих напряжений
о(х) = а0 + asin2 nx/l. C.8.13)
219

Тогда
, J2a \ 2я2 ~
о, = = о
>л-2 У Р
C.8.14)
Оценка при / —10~3 см, /s— 1700 Гс ио~0,1 эрг/см3 дает (xfl)i8o°—Ю4.
Второй подход несколько более реалистический. Пусть внут-
внутренние упругие напряжения в материале задаются выражением
C.8.15)
Тогда в выражение для о следует ввести поправку на магнито-
упругую энергию и
с= 4 т/Л (/С — у Я, Т01 cos —) ■ C.8.16)
Считая, что эта поправка, а также смещение границы х малы,
получаем
[^()] C.8.17)
Отсюда
дх*
и с учетом C.8.12)
12я2^б 12я^б C.8.18)
C-8.19)
При уменьшении / — длины волны остаточных упругих напря-
напряжений ка уменьшается. Понятно, что при /~6 и тем более при
/<б проведенный расчет становится некорректным. Рассмотрение
случая /<б показало, что в этом приближении хо начинает уве-
увеличиваться при уменьшении /. Физически это понятно — при зна-
значительном уменьшении расстояния между шероховатостями, пре-
препятствующими смещению доменной границы, она перестает их
замечать — все положения границы в кристалле становятся экви-
эквивалентными. Таким образом, для оценки минимального значения
(и„I80° мы должны положить /=б и тогда получим формулу
Юш" = — -г-^-' C.8.20)
220

которая любопытным образом практически совпадает с C.8.9).
Таким образом, начальную восприимчивость материала можно уве-
увеличить двумя путями: либо увеличив /, т. е. максимально умень-
уменьшив градиент остаточных упругих напряжений в материале при
фиксированной амплитуде, либо, наоборот, уменьшив /, т. е. сделав
расстояние между упругими искажениями меньше ширины домен-
доменной границы. Понятно, что
первый путь является более
простым и более реалистич-
реалистичным, поэтому в этом направ-
направлении и развивалась в ос-
основном разработка новых
магнитно-мягких материа-
материалов. Правда, в самое по-
последнее время достигнуты
заметные успехи и на дру-
другом пути, а именно в полу-
получении высокопроницаемых
аморфных магнитных мате-
Рис. 3.27
и
—J4X
Iff
риалов.
Перейдем теперь к рас-
рассмотрению теории включе-
включений. Физическая ее основа
состоит в том, что доменная
граница в исходном положе-
положении стремится «захватить», пересечь максимальное число немаг-
немагнитных включений и тем самым уменьшить свою площадь и энер-
энергию. Предположим для простоты, что включения имеют форму
сфер диаметра d и расположены в кристалле в виде простой куби-
кубической решетки с постоянной s (рис. 3.27).
В отсутствие внешнего поля граница проходит через центры
сфер. Смещение границы на расстояние x<.dj2 вызовет увеличение
ее поверхности на величину a(d2j4—х2).
Поскольку на каждую сферу приходится площадь границы, рав-
равная s2, то для энергии границы можно получить следующее вы-
выражение:
C.8.21)
~ Я (d*/4-
где оо — средняя плотность поверхностной энергии границы.
Из C.8.21) получим значение ог:
(т2 = 2o0n/s2,
и, подставляя это выражение в C.8.12), получим для начальной
магнитной восприимчивости выражение
C.8.22)
221

Однако даже качественную оценку ка по этой формуле прово-
проводить нецелесообразно, и ее можно рассматривать только как этап
на пути поиска правильной модели процессов намагничивания при
наличии включений. Дело в том, что в рассмотренной модели вооб-
вообще не учитывался такой существенный фактор, как магнитостати-
ческая энергия. При пересечении границей включения в виде не-
немагнитной сферы (рис. 3.27) должны появиться магнитные полюса
t t
Рис. 3.28
и учет магнитостатической энергии становится явно необходимым.
Неель рассчитал, что в этом случае магнитостатическая энергия
сферы равна
, C.8.23)
где W(P — магнитостатическая энергия сферы в том случае, когда
граница с нее ушла, т. е. сфера находится внутри намагниченного
до насыщения домена. Магнитостатическая энергия в этом случае,
очевидно, равна
Разность энергий AW=Wf) — W(P при г=0,6 мкм и /s = 1700 Гс
примерно равна 3• 10~6 эрг, а соответствующая разность из форму-
222

лы C.8.21) составляет примерно 1,5-10~8 эрг. Таким образом, мы
пренебрегли энергией в 200 раз большей, чем та, которая учиты-
учитывалась. Был проведен аналогичный расчет с введением Wt\ но
он дал результаты, находящиеся в резком противоречии с экспе-
экспериментом. Как показали Неель и Крндорский, по тем же причинам,
по которым происходит образование замыкающих доменов на
поверхности образца, вокруг включения также должна образовать-
образоваться тонкая доменная структура, резко уменьшающая вклад магни-
магнитостатической энергии. Опыт полностью подтвердил эти теорети-
теоретические предсказания. На рис. 3.28 показаны некоторые варианты
замыкания потока на включениях, а на рис. 3.29 — эксперимен-
экспериментальные результаты.
В рамках моделей напряжений и включений можно решать
вопрос и о коэрцитивной силе. Если бы все потенциальные барьеры
на пути смещающейся границы были равны, то коэрцитивная сила
Нс определялась бы точно формулой C.8.5) для критического по-
поля. И хотя фактическое положение дел иное, этой формулой можно
воспользоваться для получения некоторых качественных выраже-
выражений для Нс. Таким образом, пусть
=-L(*°-\ . C.8.25)
Тогда для модели напряжений из формулы C.8.16) мы получим
Jg_^ 6яХГ„ 6 |nJnjL> (з.8.26)
дх I I
с
C.8.27)
Для модели включений из формулы C.8.21)
-*L = 2m** C.8 28)
дх s2 ' к '
Нс = JL^L _!. C.8.29)
Учитывая C.7.9), C.7.10) и вводя коэффициент плотности упа-
упаковки включений а = яс/3/б52, получим другую, более часто исполь-
использующуюся формулу для Нс
Нс = -^- — а2'3. C.8.30)
/s d
Формулы C.8.29) и C.8.30) имеют тот же недостаток, что и
C.8.22), т. е. пренебрежение магнитостатической энергией и неучет
замыкающих структур на включениях.
Отметим одно важное обстоятельство, имеющее достаточно
общий характер. Сравнивая C.8.27) с C.8.19) и C.8.29) с C.8.22),
получаем интересное и важное для практики соотношение
Яс=/5/хв. C.8.31)
223

'•» '1
**»
Рис 3 29 Микрофотографии замыкающих областей, полученные с помощью порошко-
' ' пой техники [18]. Стрелками указано напранленпе намагниченности
*-•

Существенное влияние на перемагничивание ферромагнетика
часто оказывают процессы зародышеобразования. Понятно, что
если приложить магнитное поле, направленное противоположно
вектору Is намагниченного до насыщения образца, то для осуще-
осуществления процессО'В смещения доменных границ необходимо обра-
образование и рост зародыша новой фазы с I II Н. Поле, при котором
рост зародышей станет энергетически выгодным, называется полем
старта. Если процесс зародышеобразования является определяю-
определяющим, то коэрцитивная сила образца будет равна полю старта, т. е.
#с = #ст. С другой стороны, описанный процесс является чрезвы-
чрезвычайно важным в практическом отношении для создания материа-
материалов с прямоугольной петлёй гистерезиса. Если процесс перемаг-
ничивания образца осуществляется одним скачком Баркгаузена
при Н=НСТ или несколькими скачками, проходящими примерно
при одном и том же поле старта, то мы имеем материал с прямо-
прямоугольной петлей гистерезиса, у которого /B=/s, НС = НС? (см.
рис. 1.4).
Можно назвать несколько механизмов образования таких за-
зародышей:
1) образование областей с обратной намагниченностью вблизи
включений пустот и внутренних неоднородностей;
2) тепловые флуктуации;
3) сохранение в ферромагнетике неперемагниченных небольших
участков с намагниченностью противоположной намагниченности
насыщения образца.
Рассмотрим теперь одну из моделей роста зародыша в магнит-
магнитном поле [23]. Пусть в образце с намагниченностью 18 существует
участок с обратной намагниченностью, равной — Is, имеющий фор-
форму эллипсоида (для уменьшения магнитостатической энергии).
Направление внешнего магнитного поля совпадает с направлением
намагниченности в зародыше.
При увеличении объема зародыша на dV выигрыш в энергии
составит 2HlsdV.Однако при этом увеличивается площадь границы,
кроме того, может увеличиться магнитостатическая энергия.
Предположим, что зародыш имеет форму эллипсоида вращения
с диаметром d и длиной /, причем /»d, чтобы пренебречь магни-
магнитостатической энергией.
Тогда
^зар = FH + Fo -= 2cj (Я - Но) 1J<P - cMd, C.8.32)
где ci=jt/6, Сг=л2/4, а Но — критическое поле, введенное феноме-
феноменологически для учета потенциального рельефа неоднородностей,
возникающих на пути движения границы.
Если мы возьмем производную от F по /, то сможем найти кри-
критический диаметр dKP, начиная с которого должно происходить
увеличение длины зародыша при неизменной его толщине
8 Г. С. Кринчик 225

дР
dl
= 2сх (Я — Ho) Isd2 — c2od = О,
Теперь приравняем нулю производную dF/dd = 0 и получим
rfKp = c2a/4Cl (Я - Яо) /„ C.8.33)
т. е. второе критическое значение для диаметра, начиная с кото-
которого будет происходить увеличение толщины зародыша при неиз-
неизменной его длине.
Поскольку 2d.ip=dKp, то второй процесс можно было бы счи-
считать основным. Однако более реалистичная картина, по-видимому,
должна быть следующей. При d > dKp начинается рост эллип-
эллипсоидального зародыша в ос-
/ новном за счет увеличения
его диаметра. Затем возра-
возрастание вклада магнигоста-
тической энергии, связанное
с увеличением размагничи-
размагничивающего фактора, затормо-
затормозит этот процесс и будет
происходить рост зародыша,
связанный с увеличением
его длины, и т. д.
Из формулы C.8.33) мы
можем получить выражение
для поля старта
необр.
Рис. 3.30 ст °
C.8.34)
Помимо того, что эта формула позволяет оценивать коэрци-
коэрцитивную силу в случае, когда процесс зародышеобразования являет-
является определяющим, она сыграла также важную роль в формирова-
формировании наших представлений о физике магнитных явлений. Пользуясь
этой формулой, удалось впервые экспериментально определить
энергию доменной границы о, «замораживая» зародыш перемаг-
ничивания и определяя его параметры.
В заключение рассмотрим случай, когда процессы намагничи-
намагничивания путем смещения границ можно описать универсальной зави-
зависимостью (закон Релея), которая позволяет по двум параметрам
получить вид кривой намагничивания и петли гистерезиса. Закон
Релея был установлен эмпирически, но его можно качественно
обосновать исходя из простейших модельных представлений.
Пусть число скачков Баркгаузена (рис. 3.25) задается в обла-
области малых полей функцией распределения fo = const. На каждый
интервал dH приходится fodH скачков. Следовательно, на полную
226

область изменений поля (Ог=:Яг=:Ятах) приходится ( fodH =
= /o-^max необратимых скачков Баркгаузена.
Положим также, что расстояние Ах, которое пройдет граница
после каждого необратимого скачка, пропорционально Я:
Ах = cf0H,
и, следовательно,
AIaeo6p=cflHdH. C.8.35)
Таким образом, при достаточно малых полях
о
Для случая же произвольного исходного состояния
/ —/' = ха(Я —Я')±-|-(Я —Я'J, C.8.36)
где /' — исходная намагниченность ферромагнетика, Я'— исходное
магнитное поле. Знак « + » соответствует восходящей ветви петли
гистерезиса, знак «—» нисходящей ветви.
Для восходящей ветви на основании C.8.36) имеем (рис. 3.30)
Н' = -Нт, Г=-1п,
I + Im=*a(H -f Нт) л. ±{Н + Hmf. C.8.37)
Кривая намагничивания в релеевской области, следовательно,
имеет вид (Н=Нт, 1=1т)
1т=--каНт-гаН2т. C.8.38)
Для нисходящей ветви
C.8.39)
При Н=0 имеем остаточную намагниченность
IR= —Hm. C.8.40)
Необратимые потери на гистерезис в области слабых полей
W= j)HdI=~aH\ C.8.41)
8* 227

Очевидно, что приближение Релея является одним из возмож-
возможных, так как можно задавать различные распределения скачков
Баркгаузена на интервале от 0 до Нтях.
Так, в диаграммном рассмотрении Прейзаха полагается, что
каждый домен ферромагнетика в отношении необратимой части
своего перемагничивания характеризуется индивидуальной пря-
прямоугольной петлей. Распределение же этих микропетель в фазовой
плоскости (HI) может иметь различную плотность. В простейшем
случае равномерного распределения микропетель в фазовой пло-
плоскости модель Прейзаха приводит к закону Релея.
§ 3.9. ПРОЦЕССЫ ВРАЩЕНИЯ
ВЕКТОРА НАМАГНИЧЕННОСТИ
До сих пор мы полагали, что намагничивание кристалла проис-
происходит только за счет смещения доменных границ, т. е. за счет
увеличения общего объема доменов, намагниченность которых на-
направлена вдоль поля или в направлении, близком к нему.
Рассмотрим теперь такой процесс намагничивания, когда уве-
увеличение намагниченности происходит только за счет поворота
суммарного магнитного момента домена к направлению внешнего
магнитного поля. Такие процессы происходят, например, в доста-
достаточно сильных магнитных полях, когда в основном закончены про-
процессы смещения границ, в малых однодоменных частицах, размер
которых настолько мал, что становится энергетически невыгодным
образование доменных границ, при наложении поля вдоль трудной
оси в одноосных кристаллах и т. д.
Различают два типа вращения: когерентное, когда поворачи-
поворачиваются одновременно магнитные моменты всех ионов, оставаясь
при этом параллельными друг другу, и некогерентное вращение,
когда при повороте магнитных моментов отдельных участков крис-
кристалла их параллельность нарушается. Заметим, что если слишком
строго придерживаться данного определения, то все процессы
смещения доменных границ нужно будет отнести к процессам не-
некогерентного вращения вектора намагниченности. Хотя это заме-
замечание кажется чисто формальным, следует сказать, что в некото-
некоторых случаях, например при импульсном перемагничивании тонких
ферромагнитных пленок, действительно очень трудно провести
грань между процессами смещения доменных границ и процессом
некогерентного перемагничивания, во время которого фронт пере-
перемагничивания перемещается в пространстве.
Рассмотрим теперь задачу о намагничивании и перемагничи-
перемагничивании одноосного ферромагнитного кристалла, которая чрезвычай-
чрезвычайно полезна в методическом отношении. Случаи намагничивания
под углом к легкой оси и наложения перпендикулярного легкой
оси подмагничивающего постоянного поля в этой задаче дают
практически все возможные варианты процессов намагничивания
ферромагнетиков путем процессов вращения.
228

Пусть внешнее магнитное поле направлено вдоль выделенной
оси одноосного кристалла Z, тогда
F = FK + FH = tfj cos2 9 — 1SH cosQ, C.9.1)
где 9 — угол между вектором /s и осью Z.
Устойчивое положение вектора /s находим, как обычно, из усло-
условий
dF n . d*F
ае ае2 '
dF
= Я/, sin 9 — 2/CjSinecose =0. C.9.2)
ае
Отсюда получаем два решения:
I. sin 9= 0, 9=0, я /=±/s. C.9.3)
И. / = /scos 9 = 1\Н!2Кг- C.9.4)
Из условия
°гр 2/Cisin29 —2/CjCosa9 >0 C.9.5)
ае2
находим:
1) при Ki>0 решение /=/s соответствует устойчивому состоя-
состоянию при H>2Kilh, решение / = —Is — при Н<—2Kilh', в интер-
интервале — 2/C//s<#<2Ay/s устойчивым является решение II;
2) при A'i<0 решение / = /s является устойчивым при
H>—2K\lh, а решение / = — Is — при H<2Klh-
Таким образом, при намагничивании одноосного кристалла
вдоль трудной оси получаем безгистерезисную кривую намагни-
намагничивания с постоянной восприимчивостью (см. 3.9.4)
xcp=/s/2A'1 C.9.6)
и намагниченное до насыщения состояние при достижении полем
значения
Я5= ±2/Cj//s. C.9.7)
Этот результат представлен на рис. 3.31 кривой для 90 = 90°
@о — угол между Н и осью легкого намагничивания).
При перемагничивании одноосного кристалла вдоль легкой оси
получаем идеальную прямоугольную петлю гистерезиса, соответ-
соответствующую на рис. 3.31 случаю 90 = 0°. При достижении магнитным
полем величины критического поля
Но = ± 2/Cj//,, C.9.8)
совпадающего в данном частном случае с величиной поля насы-
насыщения Hs в C.9.7), кристалл перемагничивается путем необра-
229

тимого вращения вектора намагниченности и затем величина его
намагниченности остается неизменной.
Аналогичные результаты можно получить для случая перемаг-
перемагничивания однодоменной частицы эллипсоидальной формы и маг-
магнитного кристалла, подвергнутого воздействию сильного внешнего
упругого напряжения, поскольку угловая зависимость F в этих
-1.0
Рис. 3.31. Петли гистерезиса одноос-
одноосного ферромагнетика для различных
ориентации магнитного поля относи-
относительно легкой оси
Рис. 3.32
случаях также задается C.9.1). Подставляя вместо К\ соответст-
соответствующее значение /(эфф, получим формулы для х, Но и Hs во всех
указанных случаях. Для однодоменной частицы
х*р =/;/ЗА,а,
Hl0=(N<,-Na)ls,
а для упруго растянутого кристалла/С?фф= Зко/2. Таким образом,
i C.9.9)
C.9.10)
C.9.11)
C.9.12)
Формулы для Hs совпадают с C.9.11) и C.9.12). Заметим
также, что по физическому смыслу критическое поле Но в каждом
из рассмотренных случаев есть коэрцитивная сила Нс процесса
перемагничивания путем необратимого вращения вектора Is.
Рассмотрим теперь случай, когда внешнее магнитное поле Н
направлено под произвольным углом 0О к легкой оси одноосного
ферромагнитного кристалла. На рис. 3.32 представлено располо-
230

жение Н и Is для определенности в случае однодоменной эллип-
эллипсоидальной частицы, хотя, конечно, полученные результаты отно-
относятся к любой одноосной задаче. Вводя ЛГэфф, получим выражение
для свободной энергии
C.9.13)
F = — #эФф cos2 (9 — Go) + Г5Н cos 9.
Равновесные значения 9 найдем из условия
-Ц- = /Сэфф81п2(е -90)-/stfsin9 = 0.
G0
C.9.14)
С учетом /=/scos9 получим из C.9.14) кривые намагничивания
(петли гистерезиса) при любом значении 9о- Соответствующие рас-
расчетные кривые для нескольких
значений 9о представлены на
рис. 3.31. На этом рисунке
представлены только те участ-
участки кривых ЦН), которые со-
соответствуют устойчивым реше-
391)
ниям
у р
C.9.14), т. е. условию
>0. Плавно
изменя-
изменяae2
ющиеся участки петель гис-
гистерезиса на рис. 3. 31 соответ-
соответствуют обратимому, а верти-
вертикальные участки — необрати-
необратимому вращению вектора \в.
Значения критических по-
полей Но, при которых происхо-
происходит необратимый поворот век-
вектора Is, можно найти из сов-
совместного решения уравнений
dF n д2р п и
1в~ И "даГ= Резуль-
Результате получаем систему
sin 2 (9 — 90) = р sin 9,
2cos2(G —Go) =pcos9,
где р = Г$Н0/Кэфф.
Совместное решение C.9.15) дает формулу
JO
Рис. 3.33
sin 29„ =
4 —
\3/2
C.9.15)
C.9.16)
Определенные из C.9.16) значения Но как функция 60 пред-
представлены на рис. 3.33.
Случай перемагничивания одноосного ферромагнетика при на-
наличии подмагничивающего перпендикулярного поля будет рассмот-
рассмотрен в следующем параграфе.
231

Вычислим теперь зависимость намагниченности I от напряжен-
напряженности поля Н для трехосного кристалла типа Fe в направлениях
[ПО] и [111].
Рассмотрим монокристаллический диск, вырезанный в плоско-
плоскости @01), т. е. перпендикулярно оси [001]. При ориентации поля
вдоль легких осей [100] и [010] кристалл намагничивается до на-
насыщения только за счет процессов смещения доменных границ.
Пусть теперь внешнее поле Я будет направлено вдоль оси [ПО].
До начала процессов вращения векторы намагниченности Is доме-
доменов будут ориентированы путем смещения доменных границ вдоль
направлений [100] и [010]. Так как нас будет интересовать величи-
величина угла отклонения вектора Is от оси [110], а не знак его попе-
поперечной компоненты, можно предположить, что исходная намагни-
намагниченность направлена вдоль [100]. Пусть 0 — угол между векторами
Н и Is. Тогда выражение для свободной энергии примет вид
г — ЯЛ. cosG, C.9.17)
где
ctj = cos D5° — 9) = (cos 9 + sin Q)/V2,
a2 = cos D5° + 9) = (cos 9 — sin 0)//2T
Введя относительную намагниченность г] — ///„ = cos 9, получим
Г=-^-Л:1Bт12-1J-Я/5т1. C.9.18)
4
В равновесном состоянии
2УС1т1Bт12-1) = Я/5. C.9.19)
Графическая зависимость ц (Я) представлена на рис. 3.34. Кри-
Кривая имеет 5-образную форму. Участок кривой с —— < 0 соответ-
дН
ствует положению неустойчивого равновесия и в областях смены
знака —- происходит необратимое вращение вектора Is. Напря-
дН
женность поля, соответствующая насыщению (т]=1), равна.
Н[т= 2/fi//,, 'C.9.20)
а
1R=1SV2 и Яо = Нс <* 0,55/C//s.
Аналогичным образом можно получить зависимость относитель-
относительной намагниченности и от внешнего поля для направления [111].
В этом случае
^Г) B1/2 т| + 1/П~
О
C.9.21)
232

а1
а2 =а3= 0;
Отсюда при г] = 1 М1111 = 4/Ci/3/s, а при
Я = 0 /й =
Графически зависимость
/[Ш] (Я) для железа изо-
изображена на рис. 3.35.
Интересно отметить, что
помимо «обычного» необра-
необратимого перемагничивания
при ЯО=ЯС формула C.9.21)
предсказывает при подходе
к насыщению еще одну «не-
«небольшую» 5-образную кри-
кривую и, следовательно, новый
участок необратимого вра-
вращения вектора Is. Соответст-
Соответствующий излом на кривой
намагничивания 1(Н) при
НИ [111] был обнаружен
экспериментально (см. рис.
3.2) и в свое время послу-
послужил решающим аргументом
для доказательства справед-
справедливости изложенной выше
теории Акулова процессов
намагничивания ферромаг-
ферромагнитных монокристаллов вра-
вращением вектора Is.
В области вращения
можно построить столь же
надежную теорию зависимо-
зависимости магнитострикции кри-
кристалла от величины намаг-
намагниченности, а поскольку за-
зависимости \] (Я) мы уже
имеем, то и от поля.
Определим, например,
магнитострикцию в направ-
направлении [ПО] из выражения
C.3.13). Подставив соответ-
соответствующие значения для на-
направляющих косинусов
C.9.22)
Рис. 3.34. Кривая намагничивания
кубического монокристалла при Н ||
[ПО]
1.Гс
1700
1600
1500
1400
то
1200*
1100
Islfi
or
■ t , ■
100 200 S00\ WO 500 Н,з
Рис. 3.35. Участок кривой намагничива-
намагничивания при Н || [111]
найдем магнитострикцию кристалла вдоль оси [ПО] после завер-
завершения процессов смещения. Учитывая симметрию задачи (направ-
233

ления [100] и [010] симметричны относительно [ПО]), по-прежне-
по-прежнему полагаем, что намагниченность всех доменов направлена вдоль
[100].
В результате получаем
Л= Д///=Я1оо/4. C.9.23)
В более сильных магнитных полях вектор Is начнет поворачивать-
поворачиваться от направления [100] к [ПО], при этом изменятся направляющие
косинусы. Обозначим через 6 угол между осью [ПО] и вектором
Is. Тогда выражение для направляющих косинусов примет вид
а1 = cos D5° — 9), а2 = cos D5° + 9), а3=0. C.9.24)
По-прежнему измерение магнитострикции производится в направ-
направлении [ПО], следовательно, Pi = p2=l/K2, p3=0. Поставив эти
значения в C.3.13), получим
_ 1 . , 3
C.9.25)
Проекция вектора Is на направление [ПО] равна /[no] =
Отсюда cos2 6 = /[iio]//s = тJ.
1 Ю6
[110]
Q
\
\
\
\
500
1000
1500 Ic
I, Гс
Рис. 3.36. Магиитострикция монокрист.аллов Fe
для направления [ПО] (сплошная линия соот-
соответствует теоретическому расчету) [19]
Пользуясь выражениями C.9.24) для <ц и а% легко получить
равенство
aja2= Bcos2G— 1)/2=Bti2— l)/2. C.9.26)
В результате
km = ~ = -f ^ioo -f ~ Kn Bri2 - 1). C.9.27)
На рис. 3.36 эта зависимость представлена в графическом виде.
Эксперимент полностью подтверждает теорию.
234

Аналогичным образом можно получить выражение для магни-
тострикции в направлении [111]. Если положить, что в исходном
состоянии, т. е. до начала процесса вращения, вектор намагничен-
намагниченности Is ориентирован вдоль [100], то при соответствующих на-
направляющих косинусах ai = l, аг=аз=0, Р1 = Р2 = Рз=1/1/3 ис-
исходная магнитострикция A, [inj =0.
В области процессов вращения направляющие косинусы ста-
становятся отличными от нуля и появляется магнитострикция, которая
описывается выражением
C.9.28)
Угол между вектором Is и направлением [111] обозначим по-преж-
по-прежнему 6
cos G =
a2p2 + a3p3 = Ы + а2 + аа)/УЗ,
/2
-Ч
-8
-12
-16
-20
cos2 G = — [1 + 2 (Ola2 + а2а3 + од)] = 12цщ/11 = л2. C.9.29)
3
Подставив C.9.29) в C.9.28), получим окончательную формулу
Я[Ш] = МЦ = X „, (Зт!2 — 1)/2, C.9.30)
рассчитанная по которой
зависимость Хцщ (г\) вме-
вместе с экспериментальными
данными представлена на
рис. 3.37.
Завершив рассмотре-
рассмотрение теории начальной вос-
восприимчивости и коэрци-
коэрцитивной силы как в обла-
области процессов смещения,
так и в области процессов
вращения, можно сделать
несколько замечаний об-
общего характера. Во-пер-
Во-первых, имеется универсаль-
универсальное соотношение обратной
пропорциональности меж-
между коэрцитивной силой и
начальной восприимчи-
восприимчивостью:
[111]
500
1000
1500 1/с
или
= UHe
Рис. 3.37. Экспериментальная и теоретиче-
теоретическая кривые магнитострикции для монокри-
монокристаллов Fe в направлении [111] [19]
C.9.31)
которое согласуется со всей совокупностью экспериментальных
данных о существующих магнитных материалах (см. рис. 3.38).
235

Во-вторых, суммируя изложенные представления о физической
природе магнитного гистерезиса, можно указать на четыре основ-
основных механизма гистерезиса:
1) задержка движения доменных границ на потенциальных
барьерах, обусловленных неидеальностью кристалла,
2) процессы необратимого когерентного вращения,
3) процессы необратимого некогерентного вращения,
4) процессы зародышеобразования новой магнитной фазы.
10s
10 Ч
_ у
10
10 2
10
1
}
"La
-
-
О'3
^Супермаллои
Сплав 1040
* . Сендаст
•Myмета л л
ф Пермаллой 78
• Железо, отожженное В Водороде
Тайперник
\Гиперсил
Кремнистое железо
Железо
* Никель
*
10 ~2 10~1 1 10
Рис. 3.38
5% Золырромовая сталь
Ремаллой
'•Винал л ой I
АльникоУ
'Альнино!
вект/шт. сплав шелезо-платина
> i • i
1Ог 10J 10
нс,э
Все эти четыре механизма детально рассматривались рыше,
здесь дадим некоторые их сравнительные оценки. Наибольшие тео-
теоретические значения коэрцитивной силы получаются для механиз-
механизма 2 — необратимого когерентного вращения, а в рамках этого ме-
механизма — для того случая, когда необратимое вращение обуслов-
обусловлено влиянием магнитостатической энергии. Например, из форму-
формулы C.9.11) следует, что при Nb—Na=\n /s= 1700 Гс, Яс>20 кЭ.
С этим механизмом в первую очередь нужно сравнить механизм
/ — необратимого смещения границ, поскольку уменьшение потен-
потенциальных барьеров, уменьшение коэрцитивности материала есть
физическая основа для создания магнитно-мягких материалов.
Можно поставить и обратную задачу — предельно увеличить ам-
амплитуду потенциальных барьеров (например, наклепом материа-
материала) и получить высокоэрцитивный материал для постоянных маг-
236

нитов. Однако в большинстве случаев в этом отношении 1-й меха-
механизм не может конкурировать со 2-м, и разработка высококоэрци-
высококоэрцитивных материалов идет в направлении исключения возможности
процессов смещения границ, например путем перехода к однодо-
менным частицам, к порошку, и тем самым к осуществлению 2-го
механизма.
3-й и 4-й механизмы являются промежуточными. Например,
процессы необратимого некогерентного вращения, вообще говоря,
«облегчают» процесс поворота вектора Is и поэтому понижают ко-
коэрцитивную силу, например, порошковых материалов, если оценить
ее по механизму 2. Процессы зародышеобразования «затрудняют»
процессы смещения границ, но проходят раньше, чем процессы не-
необратимого вращения вектора /s и поэтому также понижают коэр-
коэрцитивную силу, оцененную по механизму 2. О значении механиз-
механизма 4 для создания материалов с прямоугольной петлей гистере-
гистерезиса уже говорилось. Следует обратить внимание на один инте-
интересный «аномальный» случай, когда осуществление механизма 3
увеличивает коэрцитивную силу, оцененную, исходя из механиз-
механизма 2. Это случай инверсных прямоугольных петель гистерезиса
для тонких ферромагнитных пленок.
Если перемагничивание тонкой ферромагнитной пленки с одно-
одноосной анизотропией осуществить вдоль легкой оси когерентным
вращением вектора Is, то пленка, вообще говоря, должна иметь
прямоугольную петлю гистерезиса с коэрцитивной силой ЯС = 2АГ//3
(см. C.9.7)). В то же время экспериментально наблюдались ин-
инверсные прямоугольные петли гистерезиса с большей коэрцитив-
коэрцитивной силой. Объяснение состоит в том, что из-за квазипериодической
зависимости положения (дисперсии) оси легкой анизотропии в ре-
реальном образце векторы Is отдельных участков пленки начинают
поворачиваться в разные стороны, при некотором значении угла
поворота из-за включения магнитостатической энергии взаимодей-
взаимодействия магнитная структура «заклинивается», и в результате про-
процесс некогерентного вращения проходит при более высоких значе-
значениях магнитного поля, чем коэрцитивная сила обратимого вра-
вращения.
В заключение этого параграфа рассмотрим случай, когда мож-
можно получить универсальную зависимость намагниченности от маг-
магнитного поля для поликристалла — так называемый закон прибли-
приближения к насыщению, установленный впервые Акуловым. При этом
используется условие малости угла между полем и вектором на-
намагниченности отдельного кристаллита. Пусть поле Н ориентиро-
ориентировано в отдельном монокристалле произвольным образом, а 0 —
угол между Н и 15 — мал по величине.
Свободная энергия может быть представлена как сумма энер-
энергии анизотропии и зеемановской энергии (в окончательном резуль-
результате мы учтем также вклад магнитоупругой энергии):
F--=Fk — HI scosQ, C.9.32)
237

ае \ ае
в случае 0-+-О sin 0^0, вводя обозначение — (-^-) — С, нахо-
\ дд /е-»о
дим равновесное значение для 0:
9= С/Я/,. C.9.33)
Тогда
/ = /s cos 0 s /, A — 02/2) = /, A — С2/2/52Я2)
или
/ = /s(l-a2/№), C.9.34)
где a2=C2/2/s, С —функция 0.
Произведя усреднение по 0, при условии равномерного распре-
распределения ориентации кристаллитов в поликристалле, получаем
C.9.35)
где о — амплитуда остаточных упругих напряжений.
Из полученной формулы видно, что закон приближения к насы-
насыщению позволяет определить константу анизотропии материала
(без определения знака Ki) по измерениям на поликристалличе-
поликристаллических образцах.
Однако опыт показывает, что во многих случаях разложение
по Я в законе приближения к насыщению начинается уже с чле-
членов более низких степеней
^^"Uxp//, C.9.36)
где кР — восприимчивость парапроцесса.
Браун построил теорию, связывающую коэффициенты aj', a"u
О'У , соответственно с точечными, линейными и поверхностными ло-
локализациями остаточных напряжений (дислокаций), Неель учел
вклад магнитостатической энергии (влияние внутренних размаг-
размагничивающих полей отдельных кристаллитов).
§ 3.10. ТОНКИЕ ФЕРРОМАГНИТНЫЕ ПЛЕНКИ
Получение в 50-х гг. пермаллоевых пленок толщиной edOOO A
положило начало повсеместному интересу к свойствам тонких фер-
ферромагнитных пленок вообще. Этот интерес стимулировали возмож-
возможности применения тонких пленок в микроэлектронике и в быстро-
быстродействующих устройствах магнитной памяти в связи с малыми раз-
238

мерами и ожидавшимся малым временем перемагничивания
(~0,1— 1 не) тонкопленочных элементов. Интенсивные исследо-
исследования тонких ферромагнитных пленок привели к ряду принципи-
принципиально новых результатов в физике магнитных явлений.
1. В массивных ферромагнитных образцах реализуются, как из-
известно, доменные границы Блоха. В тонких же пленках был обна-
обнаружен новый тип доменных границ — границы Нееля, а также гра-
границы смешанного блоховско-неелевского типа.
2. В тонких пленках обнаружено явление размерного спин-вол-
спин-волнового резонанса — возбуждаемые однородным полем стоячие спи-
спиновые волны с периодом, кратным толщине пленки, и полной или
частичной привязкой этих спиновых волн к поверхностным ионам.
Исследуя это явление, можно получить информацию о величине
обменного интеграла.
3. В пленках с легкой осью анизотропии, перпендикулярной по-
поверхности, при критической толщине происходит фазовый переход
2-го рода и появляется периодическая доменная структура с ма-
малой амплитудой отклонения от равномерной намагниченности
(страйп-структура). Это появление страйп-структур вызвано тем,
что благодаря конкуренции между полем анизотропии и размаг-
размагничивающим полем появляется слагающая намагниченности в
«легком» направлении и при этом может оказаться энергетически
более выгодным сохраняющееся периодическое распределение на-
намагниченности. Возникающие периодические доменные структуры
иногда можно рассматривать как непрерывный переход одной до-
доменной границы в другую.
При еще большей толщине пленки может оказаться выгодной
страйп-структура с замыкающими доменами, но сохраняющейся
периодичностью. Страйп-пленки уже используются как управляе-
управляемые полем магнитные дифракционные решетки, что и обусловли-
обусловливает перспективы их практических применений в области записи
информации, регистрации распределения энергии в лазерном излу-
излучении и т. д.
4. Изучение сверхтонких, так называемых олигатомных пле-
пленок позволило поставить ряд интересных теоретических вопросов,
например возможность исчезновения ферромагнетизма, связанная
с малыми размерами образца, изменение зонной структуры метал-
металла при малом числе атомных слоев из-за отсутствия периодичности
кристалла в одном из направлений, изменение термодинамики фер-
ферромагнетика в тонкопленочном состоянии благодаря влиянию по-
поверхностей, возможность передачи обменного взаимодействия от
одной ферромагнитной пленки к другой через электроны проводи-
проводимости разделяющей немагнитной прослойки и т. д. Однако техно-
технологические трудности получения одноатомных и олигатомных пле-
пленок пока не позволяют считать ни одну из проблем такого типа
решенной.
5. Изучение свойств тонких ферромагнитных пленок, а точнее
тонких пластинок, привело к появлению нового перспективного
239

направления инженерной физики — разработке устройств с ис-
использованием цилиндрических магнитных доменов.
Эти и некоторые другие вопросы физики тонких ферромагнит-
ферромагнитных пленок более детально рассматриваются в соответствующих
параграфах данной книги.
Вместе с тем следует отметить, что разрабатываемое в тече-
течение ряда лет в огромном числе лабораторий основное направление
изучения тонких ферромагнитных пленок — попытка применения
тонкопленочных магнитно-мягких пермаллоевых элементов в ка-
качестве ячеек магнитной памяти и других микроэлектронных уст-
устройств — до сих пор не оправдало возлагавшихся на него надежд.
Можно указать на следующие основные недостатки тонких пермал-
пермаллоевых пленок, обнаруженные в ходе их исследования.
1. Основная характеристика пермаллоевого элемента — наве-
наведенная одноосная анизотропия — определяется трудноконтролируе-
мыми несовершенствовами структуры, появляющимися в процессе
изготовления пленок, поэтому характеристики пленок имеют боль-
большой разброс даже при неизменной технологии их изготовления и
даже в одной партии пленок.
2. В пермаллоевых поликристаллических пленках обнаружено
возникновение ряби намагниченности — квазипериодической струк-
структуры намагниченности с периодом порядка нескольких микрон.
Полное подавление ряби оказалось невозможным, поскольку она
обусловлена влиянием естественной кристаллографической анизо-
анизотропии отдельных кристаллитов поликристаллического образца.
Наличие же ряби приводит к некогерентному перемагничиванию,
заклиниванию структуры, появлению инверсных петель и другим
«неприятностям».
3. Обнаружен эффект сползания доменных границ, состоящий
в постепенном продвижении границы при наложении взаимно пер-
перпендикулярных слабых постоянного и переменного магнитных по-
полей, что приводит к неоднозначности состояния магнитного эле-
элемента, к зависимости доменной структуры от числа рабочих циклов
записи и считывания.
4. Тот факт, что пермаллоевые элементы перемагничиваются в
очень слабом поле (порядка 1 Э), зачастую приводит к термиче-
термическим нестабильностям их характеристик, а также к сбоям, обуслов-
обусловленным взаимными магнитостатическими влияниями различных
элементов.
Однако работы по исследованию пленок продолжаются, и, воз-
возможно, удастся свести влияние указанных недостатков к допусти-
допустимому минимуму. Кроме того, эти недостатки не относятся к
страйп-пленкам, к пленкам с ЦМД, а также к пленкам с доста-
достаточно высокой коэрцитивной силой (MnBi и др.). В последнем слу-
случае все выгодные свойства пленок обусловлены большой естествен-
естественной одноосной кристаллографической анизотропией, перпендику-
перпендикулярной поверхности. Перемагничивание отдельных элементов осу-
240

ществляется лазерным лучом (голографическая или поточечная
термомагнитная запись).
Следует отметить также новое очень перспективное направле-
направление в области создания тонкопленочных элементов, родившееся из
принципа: «чем хуже, тем лучше». Пленку при ее изготовлении
портят настолько, что она
10 г
0,9
08 -
.07 -
, Смещение стеноп
п Вращение "
Перемагничиваниз
отсутствует
становится аморфной. При
этом большинство отмечен-
отмеченных выше недостатков пер-
маллоевых поликристалли-
поликристаллических пленок исчезает, а в
отношении технологичности,
воспроизводимости свойств
и особенно в отношении сто-
стоимости элементов аморфные
пленки имеют бесспорные
преимущества.
В заключение приведем
вывод уравнения астрои-
астроиды — кривой критических
полей, при которых проис-
происходит необратимое (коге-
(когерентное) вращение вектора
намагниченности тонкой
пленки с одноосной анизо-
анизотропией.
Запишем свободную энергию пленки как сумму энергии анизо-
анизотропии FK и зеемановской энергии FH-
F= /Csln2cp — HIs = /fsln2(p — HJ scos<p- HyIssln<p. C.10.1)
Приравнивая нулю первую и вторую производные свободной энер-
энергии по ф, получаем систему уравнений для определения критиче-
критических полей необратимого вращения.
2/С (cos ф sin ф) ~ HJs sin ф — HyIs cos ф — 0,
2/С (cos2 ф — sin2 ф) 4- HJt cos ф -f HyIs sin q> = 0. C.10.2)
Вводя безразмерные величины
Нк =
имеем
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 10
HjHK=stn3f
Рис. 3.39. Астроида критических полей
К = Нх <
hy - Нв!Нк,
— sin 2ф — hx sin ф — hy cos ф = 0,
cos 2ф + hx cos
hy sin
— 0.
C.10.3)
Отсюда получаем уравнение астроиды, дающее связь между Нх
и Ну при известном НК-
241

h2<3 + h2<3=l. C.10.4)
На рис. 3.39 представлен участок астроиды C.10.4) из первого
квадранта с указанием областей, в которых наблюдались опреде-
определенные процессы намагничивания.
Напомним еще раз, что проведенный расчет верен, если пере-
магничивание осуществляется когерентным необратимым вра-
вращением при отсутствии процессов смещения доменных границ и
некогерентного вращения.
Экспериментальная проверка уравнения C.10.4) сводится к оп-
определению зависимости НХ(НУ) или НУ(НХ). Для этого, например,
можно при наличии поля Нх дать короткий наносекундный им-
импульс Ну, равный критическому полю перемагничивания. Но вре-
время перемагничивания в импульсных полях определяется временем
релаксации из уравнений Ландау—Лифшица, пленка очень неод-
неоднородна, имеет дисперсию осей легкой анизотропии, поэтому, как
правило, в пленке возникают отдельные участки некогерентного
перемагничивания. Это приводит к разрыву границ между доме-
доменами, прекращению изменения (заклиниванию) доменов и другим
усложнениям [24]. Таким образом, пленка перемагничивается не-
некогерентно, поэтому уравнение астроиды C.10.4), как прави-
правило, не подтверждается экспериментом.

Глава 4
МНОГОПОДРЕШЕТОЧНЫЕ МАГНЕТИКИ
§ 4.1. АНТИФЕРРОМАГНЕТИКИ
До сих пор мы рассматривали однонодрешеточные ферромагне-
ферромагнетики, т. е. такие магнитные кристаллы, в которых при насыщении
все спины магнитных атомов направлены в одну сторону. Однако
существует много классов магнитных кристаллов, в которых толь-
только магнитные моменты атомов, относящихся к одной подрешетке,
параллельны, суммарные же моменты различных подрешеток не-
непараллельны. К одной и той же подрешетке будем относить все
магнитные атомы, магнитные моменты которых могут быть совме-
совмещены трансляциями на вектор решетки п. Для описания макроско-
макроскопических магнитных свойств кристалла вводятся намагниченности
отдельных подрешеток Ij (i — номер подрешетки). Простейшим
классом многоподрешеточных магнетиков являются антиферромаг-
антиферромагнетики.
Антиферромагнетиками называют кристаллы, обладающие спон-
спонтанным упорядочением магнитных моментов, но имеющие нулевой
макроскопический магнитный момент. Магнитную структуру анти-
антиферромагнетика в наиболее простых случаях можно представлять
себе как суперпозицию двух или более вставленных друг в друга
подрешеток, в каждой из которых магнитные моменты ионов на-
направлены параллельно. В двухподрешеточных антиферромагнети-
антиферромагнетиках магнитные моменты подрешеток направлены антипараллельно.
К классу антиферромагнетиков иногда относят вещества с магнит-
магнитной структурой, в которых макроскопический магнитный момент
отличен от нуля, но его существование обусловливается взаимо-
взаимодействиями, относительно слабыми по сравнению с основным об-
обменным взаимодействием — антиферромагнетики со слабым фер-
ферромагнетизмом. Слабые ферромагнетики мы рассмотрим в следую-
следующем параграфе.
На существование веществ с отрицательным взаимодействием
указывал Вейсс еще в 20-х гг., однако он не разрабатывал этой
идеи.
Теорию антиферромагнетизма создал в 1933 г. Ландау [1]
на примере слоистых структур типа галоидных солей элементов
группы железа. Предполагая наличие положительного обменного
взаимодействия внутри слоев и отрицательного между слоями, он
на основании термодинамического рассмотрения показал, что в
243

этих веществах должно возникать такое магнитное упорядочение,
при котором магнитные моменты ионов внутри каждого слоя
устанавливаются параллельно, но антипараллельно в соседних
слоях. При такой магнитной структуре вещество не обладает
макроскопическим спонтанным моментом, но при температуре ®N,
соответствующей разрушению спонтанного упорядочения, должен
наблюдаться максимум восприимчивости, теплоемкости и другие
•о
Рис. 4.1. Температурная зависимость Рис. 4.2. Магнитная структура анти-
антивосприимчивости х одноосных антифер- ферромагнитных окислов переходных
ром.агнетиков [20] элементов типа МпО
аномалии, соответствующие фазовым переходам 2-го рода. Экспе-
Экспериментальное изучение группы хлоридов переходных элементов
подтвердило эти предсказания. Неель [2] создал теорию антифер-
антиферромагнетизма в приближении молекулярного поля, которую мы из-
изложим в данном параграфе.
Идея антиферромагнетизма нашла прямое экспериментальное
подтверждение в работе Шала, Страусера и Воллана в 1951 г. [3].
Они использовали неитронографическии метод, в котором изучает-
изучается картина дифракции нейтронов на периодической структуре упо-
упорядоченных магнитных моментов. Благодаря отсутствию заряда
у нейтрона и наличию у него магнитного момента его взаимо-
взаимодействие с электронами имеет магнитную природу, причем интен-
интенсивность рассеяния нейтронов, обусловленного магнитным взаимо-
взаимодействием, сравнима с интенсивностью их рассеяния на ядрах.
При рассеянии монохроматического пучка нейтронов на веществе,
обладающем магнитной структурой, кроме дифракционных макси-
максимумов, обусловленных когерентным рассеянием на периодической
структуре ядер, наблюдаются максимумы, обусловленные перио-
периодическим распределением магнитных моментов.
244

При изучении магнитных свойств антиферромагнетиков были
установлены следующие основные закономерности.
Выше температуры перехода (точки Нееля) 9.^ антиферромаг-
антиферромагнетики ведут себя как обычные парамагнетики. При T>9jv маг-
магнитная восприимчивость изменяется с температурой по закону
Кюри — Вейсса:
х = С/(Г-9а). D.1.1)
Характерной особенностью почти всех антиферромагнетиков яв-
является отрицательное значение 9а, а также тот факт, что 9а обыч-
обычно больше 9л- по абсолютной величине.
В точке перехода 9jv восприимчивость поликристаллов прохо-
проходит через сравнительно острый максимум. В слабых полях и при
T<9jv магнитный момент линейно зависит от поля. Таким образом,
поликристаллический антиферромагнетик по магнитным свойствам
отличается от парамагнетика только характером температурной
зависимости восприимчивости. Отличительной особенностью анти-
антиферромагнетиков является очень резкая анизотропия магнитной
восприимчивости монокристаллов. В качестве типичного примера
на рис. 4.1 показан ход главных восприимчивостей х ц и xj_moho-
кристалла MnF2, имеющего тетрагональную структуру [4]. Со-
Согласно нейтронографическим данным направление спонтанной на-
намагниченности подрешеток совпадает с главной тетрагональной
осью решетки MnF2. На рис. 4.2 изображена магнитная структура
простейшего кубического антиферромагнетика МпО. В табл. 4.1
приведены экспериментальные характеристики некоторых анти-
антиферромагнетиков.
Рассмотрим теперь теорию двухподрешеточного антиферромаг-
антиферромагнетика с эквивалентными магнитными ионами в приближении мо-
молекулярного поля. Молекулярные поля, действующие на ионы 1-й
и 2-й подрешеток, в простейшем случае можно записать так:
HWl ~ w^ + w.2l2, НШ2 = шЛ, J- wA2. D.1.2)
Коэффициент ы>2 всегда отрицателен. В силу равноправия подре-
подрешеток в отсутствие внешнего поля величины намагниченностей
подрешеток равны между собой. Тогда Ii =—12 и
НШ1 = (w1 — w2)\x, НШ2 = (wy — w2)\2. D.1.3)
Для намагниченности насыщения подрешеток антиферромагне-
антиферромагнетика получается такой же закон, как и для одноподрешеточного
ферромагнетика
Л=ЛА(Л); h=hBs{y2), D.1.4)
фешеток, В8(у{) —
\^ Hw.gHBS/kT.
где /0 — намагниченность насыщения подрешеток, Ва(у{)—функ-
Ва(у{)—функция Бриллюэна для спина S, а
245

Таблица 4.1
Антиферромагнетики
Вещество
МпО
MnS
MnSe
MnTe
MnSi
MnF*
MnCln
MnF3
RbMnF3
FeF»
FeCl2
FeO
FeBr,
Fel2"
FeSO4
CoO
C0F2
CoCl2
CoBr2
NiO
NiAs
NiCl2
KN1F3
NiSO4
KCuF3
CuSO4
CuF2-2H2O
CuCl2-2H2O
Cr2O3
Кристаллическая структура
РЭ
гцк
гцк
ГГ (ел)
гцк
тг
РЭ (ел)
МК (ел)
К
ТГ
ГГ (ел)
РЭ
ГГ (ел)
ГГ
Р
ТГ
тетрагональная ТГ
РЭ(сл)
ГГ (ел)
РЭ
ГГ
РЭ (ел)
К
р
ТГ
р
РЭ
РЭ
РЭ
116
165
247
307
20
67
1,96
47
55
79
24
198
11
10
21
291
37,7
25
19
525
150
52
253
37
220
34,5
26
4,3
307
- V °*
610
528
740
690
592
82
3,3
—8
190
117
—48
570
—6
23
30,5
330
52,7
—20
20
2470
3000
—67
843
82
355
77,5
37
-5
485
Обозначения: К— кубическая, Р — ромбическая, ГГ — гексагональная,
МК—-моноклинная, РЭ—-ромбоэдрическая, ТГ—тетрагональная, (ел)—слоистая.
Качественно этот результат согласуется с экспериментальными
данными, полученными нейтронографически и из экспериментов
по ядерному резонансу. При этом, так же как и в случае ферро-
ферромагнетиков, формулы D.1.4) непригодны в области низких тем-
температур.
Проиллюстрируем некоторые выводы теории молекулярного по-
поля, заменив для упрощения функцию Бриллюэна в D.1.4) функ-
функцией Ланжевена:
I1=I0L(yl), I2=
D.1.5)
Решая эти уравнения, найдем 1\ и /2 как функции темпера-
температуры. Выражения для намагниченностей подрешеток имеют тот
же вид, что и выражение B.1.16) для спонтанной намагниченности
246

ферромагнетика, т. е. 1\ и h будут монотонно уменьшаться с уве-
увеличением температуры и обратятся в нуль при температуре Нееля,
величина которой дается в данном случае выражением
®n = Ng^l S2 (Wl - wt)/ak. D.1.6)
Если приложено продольное внешнее магнитное поле (H||Ii—12),
то 1\ и /г не эквивалентны, и соотношения D.1.3) не справедливы.
В этом случае к молекулярным полям D.1.2) нужно добавить
внешнее поле. Тогда
Л = I0L (gViBS (H + wji + w2l2)/kT),
U = I0L(g\i&(U + w^ + w^lkT). D.1.7)
Дифференцируя эти два уравнения по Н, получим
дН 4kT w±/ \ ' 1 дН ' ' дН
, 1+ _вЛ. + ЩЛ1.\ D.1.8)
yif2> \ дН дИ '
дН 2kT w" \ * дН ' l дИ
Складывая эти уравнения и разрешая полученное уравнение отно-
относительно (-—— Н — ], получаем для параллельной восприимчи-
\ дН дН )
вости антиферромагнетика выражение
dl _ dh
Х||
дН дН дН 1 - (ATg V"flS2/2Ar) V (у) (wl + wi)
D.1.9)
Вводя обозначения
9а = Ng2\i%52 (ы\ -'-,- w2),'§k, D.1.10)
C=Ng2nBS2!3k, D.1.11)
можно записать D.1.9) в форме
хц = 3CL'(y)/(T — 3L' (у)@а). D.1.12)
Когда Т значительно превышает температуру Нееля, то г/<С1;
учитывая, что L'(у) |г/==0=1/з, получаем
<4ЛЛЗ>
Эта формула аналогична закону Кюри — Вейсса для ферромагне-
ферромагнетиков. Применимость закона Кюри — Вейсса для антиферромагне-
антиферромагнетиков подтверждается экспериментальными данными для Г3>6^.
247

При этом, как уже указывалось, экспериментально наблюдается
чаще всего |ва|/9Л'>1. Качественно теория молекулярного поля
подтверждает этот результат, связывая его, как видно из формул
D.1.6) и D.1.10), с наличием взаимодействия с ионами второй ко-
координационной сферы, и указывает на то, что обменное взаимо-
взаимодействие со второй координационной
сферой, как правило, отрицательно.
Смысл отрицательного знака 9а в
D.1.13) очевиден — отрицательное об-
обменное взаимодействие в антиферро-
антиферромагнетике приводит к увеличению эф-
эффективной температуры, стоящей в
знаменателе закона Кюри для пара-
парамагнетиков, и, следовательно, наличие
его уменьшает парамагнитную воспри-
восприимчивость магнетика выше точки
И Нееля.
При температуре Нееля D.1.13)
дает
Это значение х оказывается макси-
максимальным, поскольку дальнейшее повы-
повышение температуры приводит к умень-
уменьшению восприимчивости. Ниже тем-
температуры Нееля намагниченности
подрешеток растут с уменьшением
z температуры. При этом L'(y) умень-
уменьшается до нуля при Г-^-0. Дифферен-
Дифференцируя по Т числитель и знаменатель
Рис- 4-3 D.1.12), получаем по правилу Лопи-
таля
limx,, = lim зсУЩду/дГ) 0 j 15
т-^о г-»о 1 — 3@aL" (у) (ду/дТ) у '
Это объясняет наблюдающееся экспериментально поведение х (см.
рис. 4.1).
Когда магнитное поле приложено перпендикулярно выделенной
оси, измеряется поперечная магнитная восприимчивость, которая
не обращается в нуль даже при Г=0, потому что кристалл может
намагничиваться путем поворота векторов \х и 12. Пусть ось X
параллельна направлению магнитного поля Н, а ось Y параллель-
параллельна выделенной оси, т. е. первоначальному направлению Ь (рис. 4.3).
Тогда х- и «/-компоненты молекулярного поля HWl равны
(HWl)x = wjlx + w2f2x,
(HWl)l/=w1Ilv+w3fir D.1.16)
248

как подрешетки 1 и 2 в данном случае эквивалентны, то
и D.1.16) перепишется так:
(НШ1),= (ш1 + ш2)/и, (W^^iw.-w^I.y. D.1.17)
Когда внешнее поле Н приложено параллельно оси X, спины
должны установиться параллельно результирующему полю, кото-
которое складывается из внешнего и молекулярного полей
hx Нх __ HJr(Hw)x _ H + (wx + ш2) llx
hy Hy
j
Сокращая на Ily, получим H -t- (^ -f- w2) flx = (^ — ш2) /u или
Ilx = — Я/2ша.
Итак, получаем окончательно
*L= IXIH = {IU± 1гхуН= -lino* D.1.19)
т. е. перпендикулярная восприимчивость к± не зависит от Г и
совпадает по величине с хц D.1.14) при температуре Нееля.
В качестве примера нетривиального поведения антиферромаг-
антиферромагнетика во внешнем поле рассмотрим эффект переориентации спин-
системы антиферромагнетика или спин-флопа, который состоит в
том, что при некоторой критической величине внешнего поля Hf,
параллельного вектору Ii, спины подрешеток скачком устанавли-
устанавливаются перпендикулярно внешнему полю. Для объяснения этого
эффекта необходимо учесть энергию магнитной кристаллографиче-
кристаллографической анизотропии, которая как раз и приводит к наличию выде-
выделенной оси. При значении магнитного поля Hf разность магнит-
магнитных энергий антиферромагнетика при параллельной и перпенди-
перпендикулярной взаимной ориентации внешнего поля и направления
спонтанной намагниченности подрешеток — у(и_!_ — %\\) Щ ста-
становится равной энергии анизотропии. Очевидно, что при H>Hf
намагниченность подрешеток будет всегда устанавливаться пер-
перпендикулярно приложенному полю (если xx>xi), т. е.
Отсюда
1
или
HS^]/HWHA , D.1.20)
где НА = 2К/10 — эффективное поле кристаллографической анизо-
анизотропии и Hw=\w2\f0—молекулярное поле, действующее со сто-
стороны одной подрешетки на другую.
249

Таким образом, поле спин-флопа есть среднее геометрическое
молекулярного поля и поля анизотропии. Соотношение D.1.20)
выполняется точно лишь при Г = 0, когда хн=О.
Рассмотрение квантовых теорий антиферромагнетизма выходит
за рамки данной книги; при знакомстве с ними будет полезен ма-
материал гл. 2, в частности метод вторичного квантования и теория
косвенного обмена, поскольку в подавляющем большинстве слу-
случаев отрицательный обменный интеграл в антиферромагнитных
кристаллах обусловлен косвенным обменным взаимодействием.
Заметим только, что в отличие от спиновых волн в ферромагнети-
ферромагнетиках элементарные спиновые возбуждения в антиферромагнети-
антиферромагнетиках — антиферромагноны — имеют линейную зависимость энергии
от волнового вектора. Кроме того, до настоящего времени остается
нерешенным вопрос о нахождении основного состояния антиферро-
антиферромагнетика. Дело в том, что состояние идеального антиферромаг-
антиферромагнитного порядка в кристаллической решетке не соответствует ми-
минимуму энергии. Это связано с тем, что в отличие от ферромаг-
ферромагнитного случая в антиферромагнетике при обмене спинов двух
соседних ионов происходит нарушение строгого порядка чередую-
чередующихся спинов. Таким образом, сама природа обменного взаимо-
взаимодействия может сделать неустойчивым состояние со строгим раз-
разделением магнитных ионов на две подрешетки.
§ 4.2. СЛАБЫЕ ФЕРРОМАГНЕТИКИ
Теорию слабых ферромагнетиков — антиферромагнетиков с
небольшим спонтанным ферромагнитным моментом, возникшим
из-за наклона магнитных моментов подрешеток, — построил в
1957 г. Дзялошинский [5], основываясь на термодинамической
теории фазовых переходов второго рода Ландау и Лифшица. До-
Достоинством этого подхода является то, что он базируется на общих
термодинамических соотношениях и существенным образом ис-
использует свойства симметрии кристалла.
Симметрия магнитного кристалла определяется не только рас-
расположением его атомов, но и значением среднего (усредненного
по времени) спина в каждой точке S(x, у, z). Вектор S(x, у, _z)
помимо обычных преобразований симметрии должен обладать еще
одним своеобразным элементом симметрии R, заключающимся в
изменении его знака: RS(x, у, z) =—S(x, у, z) при изменении зна-
знака времени. Это является следствием инвариантности уравнений
квантовой механики относительно одновременной замены знака
времени и знака магнитных полей и спинов.
Если распределение спина обладает симметрией R, то
S(x, у, 2)=—S(x, у, г)=0 и кристалл будет парамагнитным. От-
Отличный от нуля S(x, у, z) может, однако, оставаться инвариант-
инвариантным относительно различных комбинаций R с вращением относи-
относительно осей, отражением в плоскостях симметрии и трансляциями.
Поэтому, наряду с известными 230 пространственными группами,.
250

описывающими все возможные типы симметрии расположения
атомов в кристалле, возникает 1651 кристалломагнитная прост-
пространственная группа, описывающая симметрию распределения
спинов.
Однако для описания симметрии ферромагнитного кристалла
не нужно знать соответствующую пространственную группу. Сим-
MnCDj
@<Ндм)
Рис. 4.4. Магнитная структура некоторых кристаллов группы D%d
метрия магнитных, как и других макроскопических свойств, опре-
определяется классом симметрии, т. е. точечной группой, получающей-
получающейся из соответствующей пространственной группы заменой транс-
трансляций тождественными преобразованиями, а винтовых осей и пло-
плоскостей скольжения — простыми осями и плоскостями. Все воз-
возможные кристалломагнитные классы были построены Тавгером
и Зайцевым [6]. Оказалось, что кроме обычных 32 федоровских
классов существует еще 90 специально магнитных классов, среди
которых 58 классов содержат элемент R в комбинации с точеч-
точечными элементами симметрии, а 32 класса не содержат R вообще.
Обратимся теперь к явлению слабого ферромагнетизма. Неко-
Некоторые антиферромагнитные кристаллы, например a-Fe2O3 и карбо-
карбонаты МпСО3 и СоСО3, обнаруживают спонтанную намагниченность.
Однако величина их магнитного момента очень мала и колеблется
в пределах 10~2—10~5 от номинального, равного сумме модулей
магнитных моментов подрешеток. Помимо аномальной малости
спонтанного ферромагнитного момента слабый ферромагнетизм
характеризуется чрезвычайной чувствительностью к симметрии
кристалла.
Рассмотрим, например, гематит a-Fe2O3. Он относится к ром-
ромбоэдрической системе, и его симметрия описывается пространствен-
251

ной группой Did- В элементарной ячейке находятся четыре иона
Fe3^, расположенных на пространственной диагонали ромбоэдра
(рис. 4.4).
Нейтронографическими исследованиями установлено, что маг-
магнитная элементарная ячейка совпадает с пространственной. Спины
ионов 1, 2, 3 и 4 отличаются лишь знаком, причем Si=—S2 =
=—S3 = S4. В зависимости от температуры гематит может нахо-
находиться в двух различных антиферромагнитных состояниях: при
Г<250°К спины направлены по оси кристалла с (состояние I), a
при 250°К<Т<950°К — лежат в одной из вертикальных плоско-
плоскостей симметрии _Lc (состояние II). Гематит будет ферромагнит-
ферромагнитным только в состоянии II. С понижением температуры, когда он
переходит из состояния II в состояние I, спонтанный магнитный
момент в точке Морина вм=250°К исчезает. Симметрия гематита
описывается кристаллографическим классом D3d с элементами
симметрии 2С3, 3U2, I, 2S6, Зва-
Состояние I описывается магнитным классом с элементами
симметрии 2С3, 3£/2, /, 2S6, Зва, состояние II — U2, I, ва-
Из соображений симметрии следует рассмотреть еще одну воз-
возможную ориентацию спинов, именно по одной из осей второго по-
порядка (состояние III). Соответствующий класс состоит из элемен-
элементов U2R, I, <JdR-
Легко убедиться, что в состояниях II и III допускается откло-
отклонение спинов от строгой антипараллельности, которое приводит к
отличному от нуля ферромагнитному моменту. Однако симметрия
не накладывает никаких ограничений на величину магнитного мо-
момента. В состоянии I суммарный магнитный момент с определен-
определенностью равен нулю, поскольку соответствующий класс содержит
ось третьего порядка и перпендикулярную ей ось второго порядка.
Для математического описания этой ситуации следует восполь-
воспользоваться термодинамической теорией фазовых переходов второго
рода. В точке фазового перехода второго рода термодинамические
функции состояния тела (его энтропия, энергия, объем и т. д.)
остаются непрерывными при прохождении через точку перехода.
Однако производные от указанных термодинамических величин
(т. е. теплоемкость, восприимчивость, сжимаемость и т. д.) испы-
испытывают скачок. Подчеркнем, что симметрия в точке перехода-ме-
перехода-меняется скачком, поскольку сколь угодно малого смещения атомов
или изменения средней плотности спинов от их первоначального
распределения достаточно для того, чтобы симметрия кристалла
сразу изменилась. Поскольку состояния обеих фаз в точке пере-
перехода второго рода совпадают, то симметрия тела в самой точке
перехода должна содержать все элементы симметрии обеих фаз.
Симметрия в самой точке перехода совпадает с симметрией более
симметричной фазы. Ландау показал, что группа симметрии низко-
низкосимметричной фазы должна быть подгруппой группы симметрии
высокосимметричной фазы.
252

Рассмотрим переход из парамагнитного в антиферромагнитное
состояние. В a-Fe2O3 такой переход происходит без изменения
элементарной ячейки. Магнитное строение кристалла полностью
определяется заданием среднего спина каждого из четырех ионов
Fe3~ Si, S2, S3, S4 (рис. 4.4). Так как в точке перехода средние
спины Si, S2, S3 и S4 меняются непрерывно, то вблизи от точки
перехода потенциал Ф может быть разложен в ряд по степеням
их компонент. При этом в разложение войдут только четные сте-
степени, так как Ф должно быть инвариантно по отношению к пре-
преобразованию R замены всех S на —S. Разложение, кроме того,
должно быть инвариантным по отношению ко всем преобразова-
преобразованиям пространственной группы кристалла Dtd (т. е. группы сим-
симметрии выше точки перехода). Однако, поскольку мы имеем здесь
дело с переходом без изменения элементарной ячейки, все транс-
трансляции на целый период решетки следует считать тождественными
преобразованиями.
Введем вместо векторов S векторы L и т, преобразующиеся
независимо друг от друга при всех преобразованиях симметрии
L = (S, -f S4) - (S2 -j- S3); m = (S1 + S4) + (S2 + S3). D.2.1)
Вектор m есть средний магнитный момент элементарной ячейки,
а вектор L называется вектором антиферромагнетизма.
Вблизи точки перехода L и m малы, и в первом приближении
достаточно рассмотреть лишь члены второго порядка в разложе-
разложении термодинамического потенциала:
D.2.2)
Ось Z направлена по оси кристалла, а ось Y—по одной из осей вто-
второго порядка. В выражении D.2.2) члены AL2I2, Bm2/2 представ-
представляют обменное взаимодействие, члены aL2/2, Ьтг/2— одноосную
кристаллографическую анизотропию.
Существенной особенностью кристаллов рассматриваемой сим-
симметрии является наличие в разложении термодинамического по-
потенциала смешанного члена $(Lxmv—Lymx), который и приводит
к ферромагнетизму a-Fe2O3.
В парамагнитной фазе Л>0<£ и минимуму Ф отвечает со-
состояние, в котором L и m равны нулю. Переход происходит в точке
обращения А в нуль (см. § 2.1). Ниже точки перехода £>0, так
как в противном случае кристалл оказался бы обычным ферро-
ферромагнетиком.
Минимум Ф в D.2.2) при заданном L определяется уравне-
уравнениями
253

/j2, r2. , г 2 г 2 ,r2 г2
Отсюда имеем
/ ' ft
mx = у ml ~r ml = — Lj_; т ц = /яг = 0.
В
Таким образом, если спины направлены по оси кристалла
£_1_ = 0 (состояние I), то т = 0; если же L лежит в базисной пло-
плоскости (состояние II), то суммарный ферромагнитный момент под-
решеток лежит также в базисной плоскости (т±Ф0), причем
величина ту не зависит от направления L в плоскости (lllj.
Для того чтобы определить, какое состояние соответствует ми-
минимуму Ф, подставим D.2.3) в выражение для Ф D.2.2). Получим
i. D.2.4)
! ' 2В
Отсюда видно, что тот или иной вариант будет возникать в зави-
зависимости от знака величины a/2 + p2/2fi, поскольку а—р, a p/£~
~(и/сJ, то определяющим членом этой величины является а.
Следовательно, а<0 соответствует Г>8м, где 8М — точка Морина
и а>0 — Г<8м.
Вдали от точки перехода L уже не мал, и разложение по его
степеням, вообще говоря, некорректно. Однако сохраняет смысл
разложение по степеням единичного вектора у в направлении L
(такое разложение эквивалентно разложению по степеням (и/с2).
Разложение по степеням m всегда возможно ввиду его малости.
Мы уже видели, что направление вектора L в плоскости A11)
членами второго порядка в разложении Ф не определяется. Для
этого надо учесть инварианты более высокого порядка. Для иллю-
иллюстрации полезности учета таких инвариантов выпишем те из них,
которые будут для нас существенны. Термодинамический потен-
потенциал Ф запишется в виде •
Ф = -£- у\ - ~ m2 + q(yxmy~y/nx) - -|~ т* ~
D.2.5)
Перепишем выражение для Ф D.2.5), введя сферические коорди-
координаты для вектора у.
Ф = — cos2 6 -! /п2 -'- q sin 8 (ту cos cp — тх sin cp) --
H ml Jr dcos8sin38sin 3cp -\- fmz 8ш38соз3ф. D.2.6)
254

Минимизируя Ф по m при заданных значениях углов ср и 8, най-
найдем
тг = — sin 8 sin ф; т., = — sin 8 cos ср; т, = ■ — cos Зф sin 36.
х в Т 'у в Т. г в т
D.2.7)
Минимуму термодинамического потенциала Ф отвечают три
набора значений т, 8 и ф:
I. 8=0, т = 0.
Иг, л d л q A
III. 8= —, ф= 0, ти=~S-, т,= -, тх=0. D.2.8)
2Ту В г В х
Таким образом, при не слишком малых L кристалл a-Fe2O3
может находиться в трех магнитных состояниях. В состоянии I все
спины направлены по оси [111] и ферромагнетизм отсутствует.
В состоянии II спины лежат в одной из плоскостей симметрии под
малым углом (~d/a~ (v/cJ) в плоскости A11); спонтанный маг-
магнитный момент направлен по оси второго порядка, перпендикуляр-
перпендикулярной антиферромагнитной части спинов. В состоянии III антифер-
антиферромагнитная часть спинов направлена по одной из осей второго
порядка; спонтанный магнитный момент имеет такую же величину,
как и в состоянии II, и лежит в плоскости симметрии, перпендику-
перпендикулярной упомянутой оси второго порядка под малым углом (~f/q~
~(и/сJ) к плоскости A11).
Как видно из D.2.7), магнитный момент по оси Z при измене-
изменении угла ф от 0 до 2я меняет знак шесть раз. Эта характерная
особенность послужила основанием для экспериментального обна-
обнаружения слабого ферромагнитного момента mz в гематите и кар-
карбонатах [7].
Теоретические и экспериментальные исследования слабого фер-
ферромагнетизма привели к выводу, что он представляет собой весьма
распространенное явление. Характеристики некоторых хорошо изу-
изученных слабых ферромагнетиков приведены в табл. 4.2. При опре-
определенной кристаллографической структуре магнетика, находяще-
находящегося в определенном антиферромагнитном состоянии, слабый фер-
ферромагнетизм возникает в нем с той же необходимостью, с какой,
например, кубическая магнитная анизотропия существует в куби-
кубических кристаллах.
Симметрийный подход позволяет сформулировать некоторые
общие условия существования слабого ферромагнетизма в анти-
антиферромагнетиках.
Рассмотрим антиферромагнетик, представляющий собой систе-
систему кристаллически эквивалентных магнитоактивных ионов. Если
его магнитная структура коллинеарна или слабо неколлинеарна,
255

Таблица 4.2
Слабые ферромагнетики
Вещество
CrF3
KMnF3
МпСОз
СоСО3
NiCO3
a-Fe2O3
YFeO3
LaFeO3
GdFeO3
HoFe03
ErFeO3
Fe3(PO4J-4H2O
LaMnQ,
Mn(C2H3O2)-4H2O
Mn(NH4J(SO4),-6H2O
CoMn03
NiF2
Кристаллическая
структура
РЭ
к
РЭ
РЭ
РЭ
РЭ
п
п
п
п
п
мк
п
мк
мк
РЭ
тг
80
88,3
32
18
30
950
643
738
558
700
620
20
100
3,2
0,14
391
73,2
CGSM
ms<
моль
163
19,3
188
1400
2500
30
232
243
250
240
240
4460
1210
2790
7820
4000
350
Примечание. Обозначения те же, что в табл. 4.1, П-
каженная.
•перовскитная ис-
исто соответственно двум направлениям магнитных моментов эту
систему можно подразделить на две магнитные подрешетки.
Введем суммарные .магнитные моменты Ii и Ь соответственно
для первой и второй подрешеток, а через них — вектор антифер-
антиферромагнетизма
L -= 1Х — 12. D.2.9)
Направление этого вектора определяет ось антиферромагнетизма.
Если рассматриваемая коллинеарная антиферромагнитная струк-
структура допускается симметрией кристаллической решетки, то соот-
соответствующий ей вектор L при всех операциях симметрии простран-
пространственной группы решетки должен быть инвариантным. При- этом
необходимо различать два случая. Если некоторая операция сим-
симметрии производит перестановку атомов лишь в пределах одной и
той же магнитной подрешетки, то L по отношению к ней преобра-
преобразуется как обычный аксиальный вектор. Такая антиферромагнит-
антиферромагнитная структура называется четной относительно данной операции
симметрии. В противоположном случае, когда переставляются ме-
местами магнитные моменты различных магнитных подрешеток, ан-
антиферромагнитная структура называется нечетной относительно
данного элемента симметрии. Заметим, что в отличие от L сум-
суммарный магнитный момент всего кристалла
m-- Ii + I2. D.2.10)
256

если таковой имеется в решетке, является инвариантным относи-
относительно любой перестановки атомов и поэтому он всегда преобра-
преобразуется как обычный аксиальный вектор.
Появление гп^О в антиферромагнитных кристаллах связано с
наличием в их термодинамическом потенциале членов вида
I»mPl D.2.11)
где а, Р=х, у, z, или членов более высокого порядка по L, но ли-
линейных по гл. Поэтому наличие таких смешанных инвариантов
представляет собой необходимое условие существования слабого
ферромагнетизма.
Пусть, в частности, кристаллическая и магнитная структуры
таковы, что среди элементов симметрии кристаллографической
пространственной группы антиферромагнетика имеется или инвер-
инверсия /, или трансляция Т, которые переставляют местами магнит-
магнитные подрешетки 1 и 2 и, тем самым, согласно D.2.9), изменяют
знак L. Так как при этих операциях симметрии вектор m инва-
инвариантен, то выражения вида D.2.11) изменяют знак и тем самым
не допускаются симметрией решетки. В этих случаях среди эле-
элементов симметрии магнитной пространственной группы присутст-
присутствуют элементы IR или TR. Следовательно, мы должны иметь
(IR)m=m или (TR)m=m. С другой стороны, применяя непосред-
непосредственно эти операции симметрии к вектору гп, находим (fR)m =
=—m или (TR)m = —m. Отсюда m = —m = 0.
Таким образом, можно сформулировать следующее общее пра-
правило.
Слабый ферромагнетизм возможен лишь в антиферромагнит-
антиферромагнитных структурах, которые являются четными относительно всех
трансляций решетки, а также относительно центра симметрии, если
таковой имеется в решетке. Отсюда, в частности, следует, что
слабый ферромагнетизм невозможен в структурах, в которых маг-
магнитная элементарная ячейка не совпадаете кристаллографической.
Для окончательного решения вопроса о существовании слабого
ферромагнетизма необходимо рассмотреть преобразования пово-
поворота и отражения. Однако относительно последних элементов сим-
симметрии общих правил для всех антиферромагнитных кристаллов
нет, и вопрос о наличии и конкретном виде инвариантов D.2.11)
нужно рассматривать с учетом симметрии данного кристалла.
Подробно этот вопрос рассмотрен в книге Турова [8].
Инварианты второго порядка, приводящие к существованию
слабого ферромагнетизма, делятся на две группы. Первые Можно
представить как проекцию векторного произведения намагничен-
ностей подрешеток [lib]. Для одноосных кристаллов, в частности
гематита, существенна проекция только на ось Z, и соответствую-
соответствующий член энергии может быть записан в виде
e^-pnJIiU]. D.2.12)
9 Г. С. Кринчик 257

Во вторую группу входят члены вида /гаЛ-р (' = 1. 2; а, р = х, у, г),
например
^f = -F(IlxIly-f2xf2y). D.2.13)
Микроскопическая теория слабого ферромагнетизма была по-
построена Мория. Он показал, что инварианты вида D.2.12) возни-
возникают в результате анизотропного косвенного обмена, а члены вида
D.2.13) обязаны своим появлением спин-орбитальному взаимодей-
взаимодействию, приводящему к непараллельности осей кристаллической
одноионной анизотропии в неэквивалентных узлах.
Поведение слабых ферромагнетиков во внешнем магнитном по-
поле аналогично поведению обычных антиферромагнетиков. Нужно
лишь учесть влияние эффективного внутреннего поля Дзялошин-
ского, приводящего к неколлинеарности подрешеток. Поле Дзяло-
шинского через коэффициент р в D.2.2) и поперечную магнитную
восприимчивость определяется следующим образом:
= 2р /0 =
\L
D.2.14)
где ms — спонтанный слабоферромагнитный момент, /0 — намагни-
намагниченность подрешетки. Намагниченность слабого ферромагнетика в
поперечном к L магнитном поле выражается следующим образом:
т= ms-\-
D.2.15)
Эффективное обменное поле и поле анизотропии определяются че-
через коэффициенты D.2.2):
Яда=б/0-=-^-, D.2.16)
2/„
Таблица 4.3
Параметры гематита и карбонатов Мп, Со и Ni
Вещество
а - Fe2O3
МпСОз
СоСОз
NiCO3
950
32,5
18,1
25,2
10, CGSM
-L моль
1,5
43
52
23,8
Hw кЭ
9200
320
160
240
»„«
22
4,4
27
90
В таблице 4.3 приведены экспериментальные значения этих
эффективных полей для гематита и карбонатов Мп, Со и Ni.
Остановимся коротко еще на одном важном классе слабых
ферромагнетиков — ортоферритах, имеющих химическую формулу
258

RFeC>3, где R — трехзарядный ион иттрия или редкоземельного эле-
элемента. Ортоферриты имеют искаженную перовскитную структуру
с четырьмя ионами Fe3+ в орторомбической элементарной ячейке
(рис. 4.5). Все ионы Fe3+ размещаются практически в центрах
октаэдров, образованных ионами О2~. Редкоземельные ионы нахо-
находятся в центрах «простых кубов», образованных ионами Fe3+, и
• R фО OFe
Рис. 4.5. Элементарная ячейка и магнитная структура ортоферритов
окружены, следовательно, двенадцатью ионами О2~, размещенными
в центрах ребер этих кубов. Редкоземельные ионы при комнатной
температуре парамагнитны из-за слабого обменного поля, дейст-
действующего на них со стороны железных подрешеток, поэтому в пер-
первом приближении их вкладом в намагниченность ортоферрита
можно пренебречь.
На рисунке 4.5 изображены ионы Fe3*, входящие в элементар-
элементарную ячейку ортоферрита, которые, строго говоря, образуют четыре
подрешетки 1, 2, 3, 4 с двумя типами возможных ориентации их
намагниченности относительно кристаллографических осей, пока-
показанными на рис. 4.5 справа. Однако при рассмотрении образования
слабого ферромагнитного момента можно объединить в одну под-
решетку подрешетки 1 и 3, а во вторую — подрешетки 2 и 4. Тогда
тип I соответствует двухподрешеточному слабому ферромагнетику
9*
259

с легкой осью намагничивания а (X), а тип II—с легкой осью
с (Z). Угол отклонения магнитных моментов подрешеток от «ан-
«антиферромагнитной» ориентации составляет для всех ортоферрнтов
примерно 0,5°, температуры Нееля заключены в интервале 670+
±50° К. Самариевый ортоферрит при комнатной температуре упо-
упорядочен по типу I, остальные—по типу II. В интервале температур
400-^500° К в самариевом ортоферрите происходит фазовый пе-
^%%%^%ш?%%<^%^^
XLu,La
нет данных.
нет данных
Се
Рг
Nd
Рт
Sm
Ей
Gd
Tb
НУ
Но
Ег
Тт
УЬ Г<Ж//У/£Ж<^/ЯХ^Ж^^
7 7 7 7 7
-1
~2
-J
-Ч
-5
~6
-7
-8
О 20 40 60 80 700 300 500 700 900 К
Рис. _4.6. Характеристики спинового упорядочения ортоферритов. / — L \\ х,
2~L\\z, 3 — L\\y, 4 — точка компенсации, 5—упорядочивание R под-
решетки, б —спиновая переориентация, 7 — моменты Fe и R параллельны,
8 — моменты Fe и R антипараллельны
реход типа перехода Морина в гематите — переориентация оси
легкого намагничивания от оси а к оси с, т. е. переход от спино-
спинового упорядочивания типа I к типу II.
В области низких температур наступает магнитное упорядочи-
упорядочивание редкоземельной подрешетки и в связи с этим наблюдается
ряд особенностей — сложные магнитные структуры, точки компен-
компенсации слабых ферромагнитных моментов, переориентация спин-
системы ортоферритов и т. д. Рис. 4.6 может дать представление
о разнообразии свойств ортоферритов при низких температурах.
В настоящее время хорошо освоена техника выращивания крупных
и бездефектных монокристаллов ортоферритов, и они широко ис-
используются в физических исследованиях и практических прило-
приложениях.
Таким образом, мы рассмотрели одно из наиболее интересных
для физики магнетизма свойств низкосимметричных антиферро-
антиферромагнитных кристаллов — возможность возникновения спонтанно-
спонтанного слабоферромагнитного момента. Наряду с этим углубление фи-
260

зических представлений о данном классе явлений привело к обна-
обнаружению целого ряда новых физических эффектов, таких, как на-
намагничивание кристалла под влиянием упругих напряжений (пье-
зомагнетизм), намагничивание кристалла в электрическом поле,
электрическая поляризация кристалла в магнитном поле (магни-
(магнитоэлектрические эффекты) и др.
Общий симметрийный подход к подобного типа эффектам со-
состоит в следующем. Предположим, что мы имеем антиферромаг-
антиферромагнитный кристалл, симметрия которого не допускает появления сла-
слабого ферромагнетизма, например он имеет ось симметрии треть-
третьего или более высокого порядка. Но нпзкосимметричное внешнее
воздействие может понизить симметрию кристалла настолько, что
слабый ферромагнетизм окажется возможным. Если этим внеш-
внешним воздействием будет растяжение кристалла, то мы получим эф-
эффект пьезомагнетизма. Ввести в рассмотрение пьезомагнитные мо-
модули можно следующим образом. Термодинамический потенциал
с учетом магнитоупругой энергии запишем в виде
Ф(Г, ст, Н) ^ Ф0(Г, #)-£лщст4/Я6. D.2.17)
ци
Если магнитная симметрия кристалла такова, что некоторые
магнитоупругие члены остаются инвариантными по отношению к
некоторой магнитной группе симметрии, то соответствующие
, и мы получаем для пьезомагнитного эффекта
Л
dHk dHk llk г1 '
Пьезомагнитный эффект был впервые обнаружен на фториде ко-
кобальта CoF2 Боровиком-Романовым [9], причем Л;^ имеет поря-
порядок 10~3 Гс см2/кг.
Термодинамическим аналогом пьезомагнитному эффекту яв-
является эффект линейной магнитострикции антиферромагнитных
кристаллов. Дифференцируя D.2.17) по а^, находим выражение
для тензора деформаций
*i, = ^-=\iikHk, D.2.19)
т. е. линейную по полю и, следовательно, изменяющую знак при
изменении знака поля магнитострикцию. Линейная магнитострик-
ция наблюдалась впервые Боровиком-Романовым и Явеловым [10]
также на CoF2, и величина Ац^ оказалась в соответствии с первым
определением порядка 10~9 Пт1.
Наиболее интересными физическими эффектами симметрийного
происхождения в антиферромагнитных кристаллах являются маг-
магнитоэлектрические эффекты. Если симметрия кристалла допуска-
допускает появление в термодинамическом потенциале членов типа #г£й,
где Eh — вектор напряженности электрического поля, то
261

= Фо — ^a/k H{Ek.
D.2.20)
Дифференцируя Ф по Ht и Eh, находим для намагниченности и
электрической поляризации
/; = а;6£6> D.2.21)
a-fO" ^o^ Pk = aikHb D.2.22)
5
" ' т. е. возможность намагни-
намагничивания кристалла электри-
электрическим полем и обратный
магнитоэлектрический эф-
эффект. В случае кристалла
Сг2О3 (рис. 4.4) термодина-
термодинамический потенциал имеет
вид
Рис. 4.7. Температурная зависимость мо-
модулей магнитоэлектрического эффекта <Xj_
и а„ [21]
D.2.23)
и, следовательно, тензор магнитоэлектрических модулей они имеет
только диагональные члены ац и ctj_. Именно на кристалле Сг2Оз
магнитоэлектрический эффект был впервые обнаружен Астровым
[11]. На рис. 4.7 приведена измеренная им температурная зави-
зависимость магнитоэлектрических модулей а;; и ctj_.
§ 4.3. ФЕРРИТЫ-ШПИНЕЛИ
Более сложным и наиболее представительным классом много-
подрешеточных магнитных кристаллов при сравнении с антиферро-
антиферромагнетиками и слабыми ферромагнетиками являются ферримагне-
тики. По характеру взаимодействия, приводящего к магнитному
упорядочению, они аналогичны антиферромагнетикам — отрица-
отрицательное обменное взаимодействие приводит к антипараллельной
ориентации подрешеток. По величине возникшего спонтанного маг-
магнитного момента они аналогичны ферромагнетикам — намагни-
намагниченности подрешеток настолько отличаются друг от друга, что,
вообще говоря, результирующий магнитный момент сопоставим по
величине с магнитным моментом каждой из подрешеток. Поэтому
наиболее емким определением ферримагнетика является термин
«некомпенсированный антиферромагнетик».
Термин «ферримагнетизм» был предложен Неелем в связи с
тем, что изучение нескомпенсированных антиферромагнетиков бы-
было начато после успешного синтезирования Снуком ферритов-шпи-
262

нелей различных составов [12]. На примере этих магнитных ок-
оксидных диэлектриков была доказана эффективность уменьшения
потерь в радиочастотном и СВЧ-диапазонах благодаря увеличе-
увеличению их электросопротивления по сравнению с металлическими
ферромагнетиками, что и привело в конечном счете к появлению
целой промышленной области производства ферритов с самыми
Рис. 4.8. Гранецектрированная решетка ионов кислорода. Ионы 1, 9,
12 и 13 являются вершинами правильного тетраэдра, а ионы 9, 10, 11,
12, 13, 14 образуют октаэдр
разнообразными свойствами. По этой причине мы начнем с фер-
ферритов-шпинелей знакомство с ферримагнетиками.
^Ферриты-шпинели, к которым, в частности, относится и «древ-
«древнейший» магнетик — магнетит Fe3O4, обладают кристаллической
решеткой немагнитного минерала шпинели благородной MgAl2O4.
Структурой шпинели обладают стехиометрические соединения ти-
типа MOFe2O3, где М — двухвалентный металл (Ni, Co, Мп и т. д.),
или же комбинация одно- и трехвалентного металлов (например,
Lio,5Fe2,5C>4), а также многочисленные системы смешанных ферри-
ферритов, имеющие следующую общую формулу. Mi_6MeFe2O4.
Идеальную кристаллическую решетку шпинели можно рассмат-
рассматривать как одну из кубических плотных упаковок. В узлах этой
263

плотной упаковки находятся большие по величине двухвалентные
отрицательные ионы кислорода О2~ (радиус иона 1,3 А), а в меж-
междоузлиях (вакантных узлах) в определенном порядке расположены
небольшие положительные металлические ионы (радиус ~0,6—
0,8 А). Ионы кислорода О2~ в первом приближении образуют гра-
нецентрированную решетку с вакантными узлами двух типов: по
два тетраэдрических и одному октаэдрическому на один ион кис-
кислорода (рис. 4.8).
Рис. 4.9. Элементарная ячейка ферритов-шпинелей
Тетраэдрические узлы мы будем называть узлами типа А, ок-
таэдрические — узлами типа В. Соответственно совокупность ио-
ионов, расположенных в узлах типа А, мы будем называть подре-
шеткой А, совокупность ионов типа В — подрешеткой В.
Элементарная ячейка шпинели состоит из восьми формульных
единиц MFe2O4. В нормальной структуре шпинели узлы типа В
заняты ионами трехвалентного металла. Таким образом, в элемен-
элементарной ячейке шпинели имеется 32 иона О2~, 8 ионов в узлах А
и 16 ионов в узлах В, т. е. имеются вакантные октаэдрические и
тетраэдрические места. Места, занимаемые ионами кислорода, име-
264

ют обозначение 32е, узлы типа А обозначаются 8а, узлы типа В —
Ш (рис. 4.9).
Рентгенографические исследования структуры шпинелей пока-
показали, что кроме нормальной структуры шпинели могут иметь обра-
обращенный порядок расположения металлических ионов, когда все
двухвалентные ионы расположены в октаэдрпческих местах (В),
а трехвалентные ионы Fe3+ — в равных количествах в тетраэдриче-
ских (А) и октаэдрических (В) узлах. Существует также третий слу-
случай, когда ионы двухвалентного металла и ионы Fe3+ распределены
по узлам А и В произвольно. Такое расположение называется ра-
разупорядоченным. Записав формулу для феррита MOFe2O3 в виде
Fe2?. Mi_>>, [Fe-2-2?. Мгя]О4-гДе в квадратную скобку заключены ио-
ионы, находящиеся в узлах В, мы получае.м, что для нормальной
структуры А=0, а для обращенной структуры л=0,5.
К ферритам со структурой нормальной шпинели относятся
ZnO-Fe2O3 и CdO-Fe2O3. Структуру обращенной шпинели имеют
ферриты Mg, Fe, Co, Ni, Си, Разупорядоченную структуру имеют
чаще всего смешанные ферриты, определенным образом термооб-
работанные.
Исследование магнитных свойств ферритов показало, что фер-
ферриты со структурой нормальной шпинели Zn[Fe2]04n Cd [Fe2]O4
вообще не ферромагнптны, в то время как все ферриты, имеющие
структуру обращенной шпинели, ферромагнитны.
Для объяснения существования спонтанного магнитного момен-
момента и величины намагниченности насыщения Неель [13] предполо-
предположил, что спины подрешеток А и В связаны отрицательным обмен-
обменным взаимодействием и направлены навстречу друг другу. Такое
расположение можно понять на основе правил о величинах и зна-
знаках интегралов косвенного обменного взаимодействия, рассмотрен-
рассмотренных в § 2.9, поскольку в шпинелях угол А—О—В примерно равен
125°, угол А—О—А составляет около 80° и угол В—О—В — около
90°. Следовательно, определяющим должно быть отрицательное об-
обменное взаимодействие между подрешетками А и В.
В случае обращенной шпинели число ионов Fe34" в обеих под-
рещетках одинаково, поэтому суммарная намагниченность ферри-
феррита определяется ионами М2+, находящимися в узлах В. Так как
ионы Fe2+, Со2+, №2+ и Си2+ имеют соответственно 6, 7, 8 и 9
З^-электронов, то на каждую формульную единицу шпинелей ука-
указанных выше металлов должен приходиться магнитный момент со-
соответственно 4, 3, 2 и 1 [1в, что с точностью до вклада орбиталь-
орбитального момента соответствует экспериментальным данным.
Убедительным качественным подтверждением справедливости
гипотезы Нееля явилось поведение смешанных ферритов-шпинелей.
Запишем «магнитную» формулу обращенной шпинели в виде
(Fe3+) [Fe3+M2+]O4, где в первой скобке находятся ионы, относя-
относящиеся к тетраэдрической подрешетке А, а во второй — к октаэд-
рической подрешетке В. Тогда при образовании, например, сме-
265

шанных цинковых шпинелей MO-Fe2O3 + ZnO-Fe2O3 естественно
предположить, что из-за тенденции цинка формировать обращен-
обращенную шпинель замещение ионов пойдет следующим образом:
(Fejit Zn2x+) [Fe?+.t Mii] O4. Отсюда видно, что независимо от со-
состава исходной шпинели магнитный момент смешанных цинковых
0,8 1,0
ZnFe2o4
Рис. 4.10. Магнитные моменты насыщения смешанных цинковых фер-.
ритов-шпинелей [22]
шпинелей должен возрастать и стремиться при x-^l к значению
магнитного момента ионов Fe3+ в подрешетке В, т. е. к величине
10 [хв. Однако поскольку само существование ферримагнетизма в
шпинелях обусловлено обменным взаимодействием магнитных ио-
ионов подрешеток А и В, а число этих ионов в подрешетке А из-за
замещения ионов Fe3+ немагнитными ионами цинка с возрастанием
х уменьшается, то возрастание намагниченности смешанных фер-
ферритов должно при некотором х прекратиться. Все это хорошо под-
подтвердили эксперименты на смешанных цинковых ферритах-шпине-
266

лях, как это видно из рис. 4.10. На этом же рисунке можно ви-
видеть, как подтверждается теория Нееля для чистых ферритов-шпи-
ферритов-шпинелей.
§ 4.4. ТЕОРИЯ ФЕРРИМАГНЕТИЗМА НЕЕЛЯ
Для упрощения сначала рассмотрим случай, когда из двух ти-
типов ионов магнитным является только один, например, трехвалент-
трехвалентный нон. Рассмотрим вещество, состоящее из магнитных ионов од-
одного и того же типа, расположенных в двух различных кристалло-
кристаллографических узлах типов А и В.
Через /. обозначим долю магнитных ионов в подрешетке А, че-
через ,[х — долю ионов в подрешетке В. По определению А. + ц=1.
Через 1л обозначим намагниченность подрешетки А при темпера-
температуре Т, соответствующую идеализированному случаю, когда все
магнитные ионы находятся в узлах А. Тогда действительная намаг-
намагниченность подрешетки А равна Х1Л- Аналогично определим намаг-
намагниченность второй подрешетки 1В. Следовательно, суммарная на-
намагниченность кристалла задается формулой
Is = A. U -f ц 1В. D.4.1)
Взаимодействие между магнитными нонами определяется тре-
тремя интегралами обмена Jaa, Jbb, Jab', индексы обозначают, к ка-
каким подрешеткам относятся два соседних иона.
Действие соседей на ион типа04 можно принять эквивалентным
полю На, равному сумме двух молекулярных полей, одно из ко-
которых обусловлено действием соседей типа А и пропорционально
среднему магнитному моменту этих ионов и их числу К. другое
обусловлено действием ионов типа В и пропорционально среднему
магнитному моменту ионов В и их числу |д. В общей форме НА
можно записать в виде
НА=п(аиА~ц1в). D.4.2)
Взаимодействие между подрешеткамп А и В мы считаем отри-
отрицательным. Аналогично вводим молекулярное поле Нв
HB=n$\ilB-klA), D.4.3)
п, an, pn — коэффициенты молекулярного поля, которые можно
выразить через соответствующие интегралы обмена, причем п всег-
всегда положительно, аир —безразмерные параметры, характеризу-
характеризующие относительную величину и знак молекулярных внутритюдре-
шеточных полей по сравнению с межподрешеточным молекулярным
полем.
Если рассмотреть теперь поведение феррита в парамагнитной
области, то в этом случае для парциальных намагниченностей под-
решеток справедлив закон Кюри. Можно записать с учетом внеш-
внешнего магнитного поля Н:
267

С
(Н Нл), If
(Н
D.4.4)
где
Совместное решение уравнений D.4.1) — D.4.4) дает возмож-
возможность вычислить макроскопическую намагниченность Г,:
Н
С[Т — пС'щ B-f а-г- p)J
откуда обратная восприимчивость
J_ _ _Г I_ a
где введены обозначения
D.4.5)
D.4.6)
а — р).
D.4.7)
О
Рис. 4.11. Температурная зависимость
обратной восприимчивости ферримагие-
тиков
Зависимость, выражае-
выражаемая формулой D.4.6), отли-
отличается от простого закона
Кюри — Вейсса, дающего
прямолинейную зависимость
1/и от температуры, и имеет
гиперболический характер
(рис. 4.11). Именно такая
зависимость 1/х от темпера-
температуры наблюдается на опыте
у большинства ферритов.
Выражение D.4.6) пред-
представляет собой гиперболу,
асимптота которой дается
формулой
1
D.4.8)
Экстраполируя эту прямую до пересечения с осью температур,
находим
©»=--£-. D-4-9)
которую можно назвать асимптотической точкой Кюри (рис. 4.11).
268

Если приравнять нулю числитель уравнения D.4.5), то тем са-
самым определится точка пересечения гиперболы D.4.6) с осью тем-
температур (см. рис. 4.11):
[Ял - цр - /(Ял — црK - Акц ]. D.4.10)
пС
При этой температуре восприимчивость становится бесконечно
большой, и ниже этой температуры в феррите возникает самопро-
самопроизвольная намагниченность. Если 0Р отрицательна, то вещество
остается парамагнитным до температуры 0°К.
N
т=0
Ж
В',
Рис. 4.12. Диаграмма, представляющая различные виды законов намагни-
намагничивания в функции от а и Р, для отрицательных взаимодействий между
подрешетками (е=—1); Я/ц=2/3
Чтобы существовал ферримагнетизм, необходимо, чтобы вр
было больше нуля. Из формулы D.4.10) или D.4.5) видно, что
6р = 0 при условии
ар = 1.
D.4.11)
Следовательно, если рассматривать аир как прямоугольные ко-
координаты, то плоскость (а, р) разделится отрицательной ветвью
269

гиперболы на две области; в той, которая заключает в себе начало
координат, величина вР положительна и при достаточно низких
температурах появляется ферримагнетизм. В дополнительной обла-
cti: величина &р отрицательна, и вещество остается всегда пара-
парамагнитным (рис. 4.12).
Если постоянная а равна нулю, то
X(a-f 1) = ц(Р-Ы). D.4.12)
В этом случае восприимчивость подчиняется простому закону Кю-
Кюри—Вейсса. Формула D.4.12) определяет прямую SD на рис. 4.12,
причем тангенс угла наклона ее к оси абсцисс равен к/ц.
Ниже температуры упорядочения 0Р ферримагнетики облада-
обладают самопроизвольной намагниченностью Is, равной сумме парци-
парциальных намагниченностей )Ла$ и Ii^bs, которые являются решения-
решениями системы уравнений
Г g[iBSn(ahJAs^- [x/Bs
1м - IOBS [ ш
= /otfs [ -j-f j- D.4.13)
IBs
Результирующая самопроизвольная намагниченность /,=
= \Mas—|h/bsI■ Уравнение D.4.13) позволяет вычислить темпера-
температурную зависимость намагниченности ферримагнетика. Неель про-
провел классификацию хода температурной зависимости спонтанной
намагниченности ферримагнетика для различных значений пара-
параметров а, C, X. Это можно сделать, используя следующие крите-
критерии: 1) определение намагниченности насыщения при абсолютном
нуле; 2) сравнение величины и знаков парциальных намагничен-
намагниченностей при 0°К и в точке Кюри; 3) определение температурной за-
зависимости спонтанной намагниченности вблизи 0°К.
Значение спонтанной намагниченности при 0°К можно полу-
получить из условия минимума энергии молекулярного поля W едини-
единицы объема
W= — ~n (аЛ2 4 + fa* 4) - п Лц IAs IBs. D.4.14)
Коэффициент '/г в первом члене D.5.14) возникает из-за того, что
внутриподрешеточное молекулярное поле пропорционально намаг-
намагниченности каждой из подрешеток А и В.
Предположим сначала, что к<.ц. Плоскость ос|3 (см. рис. 4.12)
делится при этом на четыре области ветвью ASB гиперболы ос|3=1,
полупрямой CF а=—ц/к и полупрямой СЕ р=—к/ц. Этим четы-
четырем областям соответствуют четыре набора значений IAs и /в„
минимизирующих энергию W.
270

I. IAs= hs =0; Wi = 0; область ASB.
II, I As = Ibs = I (намагниченности подрешеток максимальны):
область FCE.
Ш. Ias = /; /bs определяется из условия я. ш = 0, что дает IBs —
= — /. При этом Wm = — -—— I а \; область ЕСВ.
цР 2 \ р у
IV. hs = I\ I as определяется из условия = 0, что дает Ias =
dIAs
= £-/, откуда Ww ^-fi2 fp— — )\ область ^CF.
/.a 2 \ -a
Очевидно, что в случае к>ц нужно лишь поменять местами
подрешетки, т. е. произвести замену a*±f5.
Для того чтобы исследовать ход самопроизвольной намагни-
намагниченности /s вблизи точки Кюри, можно воспользоваться малостью
величин Ias и /Bs в районе точки перехода, разложить функцию
Бриллюэна Ва(х) в D.4.13) по х, оставить два первых члена, а по-
потом решить эту систему относительно IAs и ^bs- Получим следую-
следующее выражение для /s:
j __ ^ „ j £^ y 436
D.4.15)
где Л' — положительный корень уравнения
АД2-г (Рц — Ал)/( — ц = 0. D,4.16)
Результирующая намагниченность /s имеет то же направление
что и Ias, если А = А, 1//С у=- > 0, и противоположное направ-
направление, если указанная величина отрицательна. При /С==цД величи-
величина Д меняет знак. Если мы подставим это значение К в D-4-16),
то получим связь между параметрами а, р, А,, ц, при которой осу-
осуществляется данное значение К
Это уравнение совпадает с D.4.12) и представляет прямую SD
на рис. 4.12. Можно показать, что выше SD А отрицательно, ни-
ниже — положительно.
Таким образом, сравнивая значения намагниченности при абсо-
абсолютном нуле и вблизи точки Кюри, мы получаем, что в области
271

ASD (рис. 4.12) спонтанная намагниченность совпадает с направ-
направлением \в.= как при абсолютном нуле, так и по соседству с точкой
Кюри. Точно так же в области BSH результирующая намагничен-
намагниченность всегда параллельна lAs- В области же HSD направление
суммарной намагниченности при 0°К совпадает с IBs, а вблизи
точки Кюри — с направлением
J.4.S- В этом случае кривая за-
зависимости /, (Т) обладает точ-
точкой компенсации. Благодаря
различному ходу температурной
зависимости намагниченностей
подрешеток при некоторой тем-
температуре @с намагниченности
подрешеток сравниваются, и
подрешетка, имевшая ниже
температуры компенсации
меньшую величину намагни-
намагниченности, имеет большую на-
намагниченность выше вс (рис.
4.13). В областях же ASD и
BSH температурный ход на-
намагниченности имеет вид, близ-
Ркс. 4,13. Температурная зависимость
парциальных и результирующей са-
самопроизвольных намагничениостей в
случае, когда существует температура
компенсации
кий к кривым для обычного
ферромагнетика.
Обратимся теперь к изуче-
изучению хода температурной зави-
зависимости намагниченности вблизи абсолютного нуля. Здесь следует
рассмотреть два случая: первый, когда до насыщения намагничена
одна подрешетка, и второй, когда обе подрешетки намагничены
до насыщения.
М
Рис. 4.14, Кривые намагничивания для подрешеток А и В
Пусть до насыщения намагничена одна подрешетка, например
В (область ACF на рис. 4.12). Зависимость намагниченности под-
решетки В от поля Нв при 0°К дается кривой ОМТ (рис. 4.14, В).
272

Если ТфО, но мала, то кривая ОМТ переходит в кривую намагни-
намагничивания Г с начальным наклоном порядка 1/7\ Молекулярное поле
h0 при этом также изменяется (-—Т) и принимает значение Ы
(рис. 4.14, В), близкое к Ло. При этом изменение намагниченности
будет более высокого порядка малости, чем Т.
Кривая намагничивания подрешетки А обозначена на
рис. 4.14, А через ОМТ. Молекулярное поле, действующее на эту
подрешетку, выражается формулой
А о = rt(ji/Ss-r a,KIAs).
D.4.17)
Величина IAS при 0°К определяется из условия Ао = 0. На
рис. 4.14, А это решение дается точкой пересечения Q кривой А,
представляющей уравнение
1/Z
IS1IX
D.4.17), с осью ординат.
При малых Т кривая намаг-
намагничивания переходит в Г;
Ibs близко к абсолютному
насыщению /. Ias опреде-
определяется точкой пересечения
А и Г. Как видно из рисун-
рисунка, уменьшение 1л по поряд-
порядку величины пропорциональ-
пропорционально Т. Наглядно этот процесс
можно представить себе сле-
следующим образом. При 0°К
подрешетка А намагничи-
намагничивается в нулевом поле до
значения — ц1/\а, оределяе-
мого точкой Q (см. рис.
4.14, А); если же теперь ТФ
^=0°К, то для того, чтобы
существовала /as^=0, нуж-
нужно, чтобы Ias уменьшилась
до некоторого равновесного
значения Q', при этом появ-
появляется отличное от нуля Ая-
Обменное взаимодействие внутри подрешетки А в данном случае
отрицательно, поскольку мы находимся в области ACF отрица-
отрицательных значений а.
Итак, в областях ACF и BSH суммарная намагниченность в
0°К линейно увеличивается с температурой, так как намагничен-
намагниченность подрешетки, имеющей меньшую абсолютную величину намаг-
намагниченности, линейно падает, а другая при этом остается намагни-
намагниченной почти до насыщения. В области ECSH мы имеем обратную
картину, и в этом случае суммарная намагниченность линейно па-
падает вблизи (Т=0), Первому случаю соответствует кривая М на
рис. 4.15, второму — кривые R и V.
Рис, 4.15. Схематическая картина ос-
основных возможных типов темпера-
температурной зависимости спонтанной н,а-
магничениости двухподрешеточного
ферримагиетика
273

В случае, когда обе подрешетки намагничены до насыщения,
из предыдущего ясно, что касательная к кривой намагниченности
в 0°К должна быть горизонтальна. Для более детального изучения
хода намагниченности можно воспользоваться тем, что вблизи на-
насыщения функцию Бриллюэна можно приближенно представить
в виде
Молекулярные поля имеют значения, близкие к их значениям при
0°К, т. е. #л~[п(/.а + ц) и #£~1п(цр + ;.). Тогда
< In (cd
exP| 4
D.4.18)
Для очень малых Т из двух экспоненциальных слагаемых боль-
большим по абсолютной величине будет то, у которого аргумент экс-
экспоненты имеет меньшую величину. Оба аргумента одинаковы, если
ка — \и = цР - Я,. D.4.19)
На плоскости ар это уравнение представляет прямую СК
(рис. 4.12), параллельную SD и проходящую через точку ос—1,
Р=1. Отсюда можно заключить, что в области FCK намагничен-
намагниченность растет с температурой вблизи 0°К, а в области КСЕ — па-
падает (кривые Р и Q и N, соответственно, на рис. 4.15),
В соответствии с ходом кривых намагниченности вблизи 0°К, а
также возможным существованием точек компенсации можно ука-
указать шесть типов температурной зависимости спонтанной намагни-
намагниченности ферримагнетнка. Все они приведены на рис. 4.15,
В заключение отметим, что классификация типов кривых 1(Т)
феррпмагнетиков в приближении теории молекулярного поля про-
проведена для того, чтобы продемонстрировать возможность «ано-
«аномального» поведения кривых 1(Т), например возрастания намаг-
намагниченности при увеличении температуры или появления точек ком-
компенсации. Однако, как уже неоднократно отмечалось, теория
молекулярного поля не может дать правильного количественного ре-
решения для зависимости 1(Т). В частности, последовательное кван-
товомеханическое рассмотрение задачи показало, что, как и для
одноподрешеточных ферромагнетиков (см. § 2.4), для ферримаг-
нетиков при низких температурах должен выполняться закон Бло-
Блоха [14]. С другой стороны, развитие теории молекулярного поля в
применении к многоподрешеточным магнетикам также привело к
предсказанию и обнаружению более сложных магнитных структур:
неколлинеарных, треугольных структур с выделенными подрешет-
ками и, наконец, структур геликоидального типа с непрерывным
274

изменением ориентации вектора спонтанной намагниченности при
переходе от одной атомной плоскости к другой (см. § 4.6).
§ 4.5. ФЕРРИТЫ-ГРАНАТЫ
Другую довольно многочисленную группу ферритов представ-
представляют собой ферриты иттрия и редких земель, имеющие общую фор-
формулу M3Fe5Oi2, где М — трехвалентный ион Y, Cd, Dy, Но, Ег, Тт,
\
\
N.
\
\
X
X
X
j N.
V
/\
/
\
Рис. 4.16. Разбиение элементарной
ячейки граната на восемь октантов.
Расположение ионов в октантах пол-
полностью совпадает при условии сов-
совмещения их пространственных диа-
диагоналей, указанных на рисунке пунк-
пунктиром
Рис. 4.17. Различные типы окру-
окружения магнитных ионов в струк-
структуре граната
Lu, Yb, Sm, Eu, Tb [15]. Кристаллическая структура этих ферри-
ферритов изоморфна структуре минерала граната СазА12EЮ4)з- Струк-
Структура граната относится к кубической сингонии. В элементарной
ячейке содержится восемь формульных единиц M3Fe50i2, т. е. все-
всего 160 атомов. Так же, как и в случае шпинели, элементарную
ячейку граната можно разбить на восемь кубов с одинаковым рас-
расположением ионов в них (рис. 4.16).
Ионы кислорода О2~ образуют немагнитную матрицу с катион-
ными позициями трех типов: тетраэдрические B4 d), октаэдриче-
ские A6 а) и додекаэдрические B4 с) (рис. 4.17). Додекаэдриче-
ские пустоты окружены восемью ионами кислорода, которые рас-
расположены в вершинах искаженного куба. В отличие от шпинели
все катионные позиции в структуре граната заняты катионами (нет
вакантных мест), что обусловливает большую стабильность струк-
структуры граната. Заполнение катионных узлов магнитоактивными ио-
ионами представляется в виде
275

M3Fe8012 -* {М3з+}
где круглые скобки относятся к тетраэдрическнм узлам, квадрат-
квадратные — к октаэдрическим, фигурные — к додекаэдрическнм. Рас-
Расположение ионов в решетке граната обеспечивает наиболее силь-
сильное обменное взаимодействие между ионами железа в тетраэдри-
ческнх (d) и октаэдрических (а) местах. Угол (Fe)—О—[Fe] со-
составляет примерно 127°, и расположение ионов железа похоже
на расположение ионов подрешеток Л и В в структуре шпинели.
Обменное взаимодействие ad отрицательно. Взаимное положение
ионов внутри а- и d-подрешеток неблагоприятно для возникнове-
возникновения значительного внутриподрешеточного обменного взаимодей-
взаимодействия.
Углы {М}—О—(Fe){M}—О—[Fe] и {М}—О—{М} составляют
соответственно 122°, 100° и 105°. Наиболее существенно первое
взаимодействие (cd), причем оно также отрицательно.
В силу того, что da-взаимодействие много больше dc-, ac-взан-
модействия, сильно взаимодействующие подрешеткн железа можно
считать единой подрешеткой и представлять магнитную структуру
граната в первом приближении как двухподрешеточную. Указани-
Указанием на то, что редкоземельные ионы слабо влияют на взаимодей-
взаимодействие между железными подрешетками, является тот факт, что
ферримагнитная точка Нееля редкоземельных ферритов-гранатов
практически не зависит от входящих в них редкоземельных ионов
и составляет 563±15°К. Магнитная формула гранатов имеет вид
+ 2Fe3+. D.5.1)
a
Таким образом, магнитный момент редкоземельных ионов направ-
направлен против суммарной намагниченности ионов железа. Однако под-
подсчет магнитного момента на одну формульную единицу по этой
схеме дает хорошее согласие с экспериментом только в случае ит-
трневого н гадолиииевого гранатов. Так как ионY немагнитен, по-
получаем для Y3Fe5Oi2 (аналогично для Lu3Fe50i2)
d
в случае Gd3Fe5Oi2 имеем
3-7 ц,£ — 3-5{Ав — 2-5 цв = 16
Эксперимент дает 4,96 цв и 15,2 ,цв на формульную единицу
соответственно. Напомним, что ион Y?+ немагнитен, а у Gd3+ орби-
орбитальный момент равен нулю. Расхождение с опытом для других
редкоземельных гранатов можно объяснить частичным заморажи-
замораживанием орбитального момента редкоземельных ионов кристалличе-
кристаллическим полем, поскольку учет полного орбитального магнитного мо-
276

мента свободного редкоземельного иона также не дает удовлетво-
удовлетворительного согласия с экспериментом. Иначе говоря, интервал меж-
между штарковскимн компонентами редкоземельного иона в гранатах
сравним по порядку величины с kT, и поэтому для количественно-
количественного расчета .магнитного момента иона необходимо знать точный вид
кристаллического потенциала и учесть заселенность различных
штарковскпх компонент при данной температуре.
30 з-
Ба Tb Dy Но Ег Тгл УЬ !_и У
10 te
Рис. 4.18. Температурная зависимость намагниченности некоторых редкоземель-
редкоземельных ферритов-гранатов [23]
Температурная зависимость спонтанной намагниченности неко-
некоторых редкоземельных гранатов приведена на рис. 4.18. Как вид-
видно из рисунка, характерной особенностью многих гранатов являет-
является наличие точки компенсации на кривой 1{Т), Для объяснения
зависимости намагниченности иттриевого граната от температуры
применима теория Нееля для двухподрешеточного ферримагнетика
с одинаковыми ионами в подрешетках.
Наличие точки компенсации нетрудно понять, если вспомнить,
что редкоземельная подрешетка слабо связана с железной по
сравнению со связью железных подрешеток между собой. При низ-
низких температурах намагниченность редкоземельной подрешетки,
как правило, превышает суммарную намагниченность железных
подрешеток, п направление результирующей намагниченности сов-
277

падает с направлением магнитных моментов редкоземельной под-
решетки. С ростом температуры намагниченность редкоземельной
подрешетки спадает значительно быстрее, чем железной, и в не-
некоторой точке их парциальные намагниченности сравниваются, а
затем спин-система граната переориентируется, и вдоль внешнего
магнитного поля установится суммарная намагниченность желез-
железных подрешеток.
Температурный ход намагниченности с-подрешетки может быть
рассчитан в приближении молекулярного поля при одном упроща-
упрощающем предположении, что вза-
взаимодействие редкоземельных
ионов с ионами железа можно
описать одной константой мо-
молекулярного поля, которая оце-
оценивается по температуре ком-
компенсации. Полученная таким
образом намагниченность под-
подрешеток гадолиниевого граната
показана на рис. 4.19.
Ферриты-гранаты обладают
рядом уникальных свойств, ин-
интересных как для физических
исследований, так и для техни-
технических приложений. Это преж-
прежде всего наличие малых потерь
и, как следствие, уникально
узкой ширины линии магнит-
магнитного резонанса ~0,1 Э в нт-
триевом гранате. Добротность
резонаторов с YsFesO^ может
достигать нескольких тысяч. Некоторые гранаты оказались про-
прозрачными и имеющими большие фарадеевские вращения в оптиче-
оптическом диапазоне. Это сделало их незаменимыми объектами для
исследования таких явлений, как нелинейный ферромагнитный
резонанс, возбуждение акустомагнитных колебаний, рассеяние све-
света на спиновых волнах и для многочисленных применений в тех-
технике СВЧ. В последнее время выяснилось, что в виде эпитаксиаль-
но выращенных пленок гранаты являются наилучшими материа-
материалами для устройств с цилиндрическими магнитными доменами
и т. д.
200 300 400 500 600
Т°К
Рис. 4.19. Намагниченность подреше-
подрешеток Gd3Fes0i2
§ 4.6. СЛОЖНЫЕ МАГНИТНЫЕ СТРУКТУРЫ
Большой интерес представляет группа ферритов с гексагональ-
гексагональной структурой, образующихся в системе МЮ—МПО—Fe2O3 [16].
Символ М1 в данной системе обозначает ионы Ва2+, Sr2+, Ca2+ или
РЬ2+, которые имеют ионные радиусы в пределах 1,06-М,43 А,
близкие к ионному радиусу кислорода 1,32 А. Символ М11 отно-
278

с-ось
Н
S*
сится, как и в шпинелях, к переходным ионам малого радиуса
Mg2+, Mn2+, Fe2+, Co2+, Ni2+, Zn2+, Cu2+ или их комбинациям.
В физическом смысле гексаферриты часто полезно рассматривать
как усложненные шпинели, состоящие из шпинельных блоков (ось
[111] которых направлена вдоль оси с) и атомных плоскостей
шпинельного типа, разделенных атомными плоскостями, состоящи-
состоящими из М2т, О2" и Fe3+, что и приводит к гексагональной струк-
структуре. Кристаллографически их
рассматривают как структуры,
родственные ферромагнитному
магнетоплюмбпту PbFe^Oig
(минерал магнетоплюмбит
имеет примерный состав
PbFe7,5Mn3.5Alo,5Tio.50ig). В эле-
элементарной ячейке магнето-
плюмбита содержится две фор-
формульные единицы PbFei2Oig.
Бариевый аналог магнето-
плюмбита BaFe^Oig называет-
называется ферроксдюр. На рис. 4.20
показан один из вариантов
разбиения структуры магнето-
плюмбита на блоки, который
поможет понять строение более
сложных гексаферритов.
Магнетоплюмбит представ-
представляется комбинацией из двух
типов блоков: шпинельных 5
и гексагональных Я. Блок 5
состоит из двух слоев кислоро-
кислорода: всего в него входят 8 ионов
кислорода и б ионов железа.
Блок Н состоит из трех слоев
кислорода; в него входят 11
ионов кислорода, б ионов же-
железа и один ион бария. В пред-
представлении блоков S и Н структура элементарной ячейки
выглядит следующим образом — SHS*H*, где S* и Н* — блоки
5 и Я, повернутые на 180° вокруг выделенной оси с. В структуре
ферроксдюра имеются три типа катионных позиций: тетраэдриче-
ские, октаэдрические и гексаэдрические. Гексаэдрические пустоты
образуются в блоках Я и имеют пятикратное кислородное окру-
окружение в виде бипризмы, образованной двумя тетраэдрами. Локаль-
Локально существует ось симметрии третьего порядка.
Естественно допустить, что в шпинельных блоках 5 магнитные
моменты упорядочены так же, как и в шпинели. Тогда в каждом
5-блоке спины четырех ионов железа в октаэдрических позициях
будут антипараллельны спинам ионов в тетраэдрических позициях.
Ва2 +
Рис. 4.20. Разбиение элементарной
ячейки гексаферрита BaFe^Oio на бло-
блоки (маленькие шарики—ионы Fe3 + )
279

Структуру гексагональных блоков можно получить из деталь-
детального рассмотрения расстояний и углов между катионами. Смит и
Вейн [16] сделали заключение, что моменты иона в гексаэдриче-
ском окружении и трех ионов в октаэдрических окружениях долж-
должны быть параллельны, а моменты двух других ионов в октаэдри-
октаэдрических позициях — антппараллельны результирующей намагничен-
намагниченности шпинельного блока. Таким образом, приходим к магнитной
формуле ферроксдюра BaO-6Fe2O3, в котором все ионы железа
трехвалентны
[D-2) --A-гЗ —2)]х5|1в=20цв,
что дает хорошее согласие с экспериментом.
Многие ферриты, близкие по структуре к ферроксдюру, были
получены искусственно. В настоящее время известно около 60 струк-
Таблица 4.4
Структуры некоторых гексаферритов
Обозначе-
Обозначение
м
W
Y
Z
V
X
Химическая формула
BaO-6FeO3
BaO-2MHO-8FeaO3
2BaO-2M»O-6Fe2O3
3BaO-2M"O-12FeaO3
4BaO-2M»O- 18Fe2O3
2BaO-2M"O-14Fe2O3
Композиция бло-
блоков в элементар-
элементарной ячейке
SHS*H*
SSHS*S*H*
(SH2K
H*SH*2SHS*H2S*
SHS*H*S*H2
(SSHSHK
Число слоев
в элементар-
элементарной ячейке
10
14
3X6
22
16
3X12
Длина по оси
с элементарной
гексагональной
о
ячейки, А
23,2
32,8
43,5
52,3
38,1
84,1
6aO-2Fe2O3
qo-Fe2os
60
тур гексаферритов и значи-
значительно большее количество
соединений. Некоторые ба-
бариевые (МП2=Ва2+) гекса-
гексагональные ферримагнетики
указаны в табл. 4.4, а на
рис. 4.21 приведена диаграм-
диаграмма составов бариевых гекса-
гексаферритов. В структурах типа
Y, Z, V появляется еще один
структурный элемент — гек-
гексагональный блок #2, сос-
состоящий из четырех кисло-
кислородных слоев; в нем ионы
бария замещают некоторые
ионы кислорода в двух сред-
средних слоях. К настоящему вре-
времени научились делать столь
сложные комбинации указанных блоков 5 и Я, что длина элемен-
элементарной гексагональной ячейки гексаферрита вдоль оси с дости-
Ba0-Fe20j
Щ
ВаО
Рис. 4.21. Химический состав гексаго-
гексагональных и шпинельных соединений в
треугольной системе координат
280

гает нескольких тысяч ангстрем, т. е. размера биологических
молекул.
Гексаферриты обладают необычно широким спектром анизо-
анизотропных свойств. Соединения группы Y имеют плоскость легкого
намагничивания и в связи с этим получили особое название —
феррокспланы. Материалы группы W и Z являются в основном
одноосными с легкой осью, совпадающей с гексагональной осью.
Соединения C02Y и Co2Z обладают конической поверхностью
легкого намагничивания при Г<215°К, т. е. симметрия их энергии
кристаллографической анизотропии является промежуточной меж-
между легкоосной и легкоплоскостной. Указанный широкий спектр ани-
анизотропных свойств в сочетании с большой константой анизотропии
(Я—50 кЭ) и получением узких резонансных линий с АЯ~4—10 Э
на монокристаллических образцах делает гексаферриты незамени-
незаменимыми материалами для многих областей применения в устройствах
СВЧ. Феррокспланы, например, являются единственными материа-
материалами, у которых резонансная частота сдвинута настолько далеко,
что они обладают значительной начальной проницаемостью в ши-
широком диапазоне частот от 50 до 800 МГц. Линейные и нелинейные
устройства резонансного типа на гексаферритах — вентили, пре-
преобразователи частоты, генераторы СВЧ-колебаний, ограничители
мощности и другие — разрабатываются в диапазоне частот от 10
до 150 ГГц, т. е. вплоть до миллиметрового диапазона.
С физической точки зрения сложность структуры гексаферри-
тов также имеет ряд привлекательных черт: во-первых, наличие в
системе всех типов одноосной кристаллографической анизотропии,
во-вторых, возможность получения различных типов обменного
взаимодействия даже в монокристаллических стехиометрических
образцах. Например; представление об устройстве некоторых гек-
саферритов в виде ферримагнитных шпинельных блоков, разделен-
разделенных антиферромагнитными прослойками, позволило наблюдать и
объяснить явление однонаправленной обменной анизотропии
(см. § 3.2) в монокристаллах гексаферритов BaCoi.sM, SrCoi.5M
[17], в то время как раньше это явление наблюдалось только в
двухфазных системах. Наконец, вариация характера обменных
взаимодействий привела к обнаружению [18] в гексаферрите
(Bao,iSr0|9JZn2Fei2022 наиболее сложной магнитной структуры —
геликоидальной, к рассмотрению которой мы и перейдем.
Мы видели, что тщательное изучение свойств магнитных крис-
кристаллов привело к необходимости представлять магнитную струк-
структуру некоторых магнитных кристаллов как совокупность большого
числа магнитных подрешеток. Геликоидальные структуры в этом
отношении являются наиболее сложными структурами, так как
в общем случае их нужно представлять состоящими из бесконеч-
бесконечного числа подрешеток. Обнаружено существование двух типов ге-
геликоидов: антиферромагнитного, когда суммарная намагничен-
намагниченность кристалла равна нулю, и ферромагнитного, с отличным от
нуля магнитным моментом. Первый тип осуществляется тогда, ког-
281

да проекция намагниченности в плоскости, перпендикулярной вы-
выделенной оси кристалла, равномерно поворачивается от слоя к слою
при движении вдоль оси кристалла, при этом проекция на выде-
выделенную ось либо равна нулю (простой антиферромагнитный гели-
геликоид (рис. 4.22, а)), либо меняется периодически (в простейшем
с
О
с
'I
а
Рис. 4.22. Схематическое изображение геликоидальных структур: а —■ простой
антиферромагнитный геликоид, б—синусоидальная структура, в — циклоидаль-
циклоидальный геликоид, г — ферромагнитный геликоид
случае синусоидально) вдоль оси (циклоидальный геликоид
(рис. 4.22, в) — сочетание антиферромагнитного геликоида со
стоячей продольной спиновой волной (рис. 4.22, б)). Ясно, что при
усреднении магнитного момента по магнитному периоду этих
структур получается нуль. В общем случае периоды магнитной и
кристаллографической структуры не совпадают, причем период
вращения проекции намагниченности на базисную плоскость и
период изменения проекций на выделенную ось также различны.
Второй тип геликоидальной структуры характеризуется равномер-
282

ным вращением проекции намагниченности на базисную плоскость,
а проекция намагниченности на выделенную ось остается постоян-
постоянной (рис. 4.22, г).
На возможность существования геликоидальной структуры в
MnAu2 и МпО2 было практически одновременно указано сразу тре-
тремя авторами [19], затем они были обнаружены нейтронографи-
чески, и к настоящему времени геликоидальные структуры найде-
найдены в самых различных классах магнетиков — ферритах-гранатах,
■ферритах-шпинелях, гексаферритах, в металлическом хроме и, на-
наконец, в чистых редкоземельных металлах.
Рассмотрим коротко магнитные свойства тяжелых редкоземель-
редкоземельных металлов (подробнее см. [20]). Свойства монокристаллов
Dy, Но, Ег, ТЬ и Ти были изучены как с помощью магнитных изме-
измерений, так и методом дифракции нейтронов в широком темпера-
температурном интервале. Магнитные исследования показали, что моно-
монокристаллы указанных металлов при низких температурах обнару-
обнаруживают ферромагнитные свойства (иногда это ферромагнитный
теликоид), затем при температуре 0i претерпевают антиферромаг-
яитное превращение геликоидального типа и выше некоторой тем-
температуры вг переходят в парамагнитное состояние. Для каждой
Таблица 4.5
Магнитные структуры тяжелых редкоземельных металлов
Gd
ТЬ
Dy
Но
Ег
Тт
Магнитные структуры и области их существования
коллинеарный ферромагнетик при Г<ва = 298°К
коллинеарный ферромагнетик
Г<е1=219°К
коллинеарный ферромагнетик
Г<в1=85°К
ферромагнитный геликоид
Г<в1 = 20°К
ферромагнитный
геликоид
Г<в1 = 20°К
антиферромагнитный геликоид
в1<Г<в2 = 230°К
антиферромагнитный геликоид
в1<Г<в2= 179° К
антиферромагнитный геликоид
вх<Г<в2 = 133°К
циклоидальная
структура
в1<Г<в2 = 50°К
коллинеарный ферромагнетик
Т<в1 = 20°К
синусоидальная
структура
в<Г<в2"=85°А:
синусоидальная структура
в1<Г<ва=.60°К
Я , кЭ
кр
—
0,2
11
18
18
29
283

температуры из интервала 01<Г<62 существует критическое поле
Якр, которое разрушает антиферромагнетизм. Табл. 4.5 описывает
магнитное строение тяжелых редкоземельных металлов при раз-
различных температурах. Названия различных структур в таблице со-
соответствуют рис. 4.22.
Интересно отметить, что угол геликоида а0) т. е. угол .между
направлениями магнитных моментов в соседних слоях, вдоль вы-
выделенной оси кристалла монотонно увеличивается в интервале
8i<7"<62 у Dy, Tb и Но. В Dy, например, ао изменяется от 26,5°
при 0! до 43,2° при 02.
Существование простой геликоидальной структуры качественно
можно объяснить тем, что обменное взаимодействие между атома-
атомами, находящимися в ближайших плоскостях, положительно, а меж-
между атомами, находящимися в плоскостях, следующих за ближай-
ближайшими, отрицательно. Абсолютная величина отрицательного взаимо-
взаимодействия должна быть не слишком малой по сравнению с положи-
положительным. Предположим также для простоты, что кристалл облада-
обладает выделенной осью, и одноосная кристаллическая анизотропия
заставляет все спины лечь в базисную плоскость. Модификация
анизотропных членов позволила бы ввести в рассмотрение сину-
синусоидальную и циклоидальную структуры. Положительное обмен-
обменное взаимодействие между магнитными атомами внутри слоя при-
приводит к параллельной ориентации всех атомных спинов в слое.
Тогда обменное взаимодействие между слоями на единицу объема
с учетом взаимодействия со вторыми соседями равно
еобм = — NS? Ив (Л cos а + /2 cos 2а), D.6.1)
где N — число магнитных атомов в 1 см3, 5 — спин атома, 1\
и h — обменные интегралы взаимодействия с 1-м и 2-м ближай-
ближайшими слоями соответственно, а — угол между спинами в соседних
слоях. Равновесный угол а0 определится из условия минимума
выражения D.6.1)
^ D.6.2)
И. slna0-- 0.
Если \i\>Jl-i D.6.3)
4
то минимальной энергией обладает состояние I. Если |/2|</i/4,
то уравнение cosao=/i/4/2 не имеет решения, и устойчивым стано-
становится состояние II с ао=О. Таким образом, условие геликоидаль-
ности определяется выражением D.6.3).
Из формулы I D.6.2) следует, что изменение ао с температурой
связано с зависимостью от температуры обменных интегралов h и
/2. Существование геликоидальных структур и, следовательно, боль-
большая абсолютная величина /2 в редкоземельных металлах указы-
284

вают на то, что в обменное взаимодействие между далекими сосе-
соседями основной вклад дает обмен через электроны проводимости,
который имеет дальнодействующий характер и зависит от расстоя-
расстояния между взаимодействующими центрами, как г (см. § 2.10).
Последовательная теория геликоидальных структур в редкозе-
редкоземельных металлах с учетом их реальной электронной структуры
была построена Дзялошинским [21]. Показано, что периоды гели-
геликоидальных (синусоидальных) структур определяются взаимодей-
взаимодействием электронов проводимости со спинами магнитных ионов
(см. также § 2.10), причем эти периоды имеют порядок обратных
экстремальных диаметров поверхности Ферми. Физически это про-
происходит таким образом, что возникающая периодическая по спину
структура «приближает» границы зоны Бриллюэна (найденные с
учетом этой новой периодичности в кристалле) к размеру экстре-
экстремального диаметра Ферми-поверхности, и это приблизительное
равенство двух указанных характерных размеров соответствует ми-
минимуму термодинамического потенциала системы. К сожалению,
параметры Ферми-поверхностей редкоземельных металлов еще не
настолько хорошо изучены, чтобы проверить количественное соот-
соответствие теории Дзялошинского экспериментальным данным.
Еще один широкий класс магнитных кристаллов можно с пол-
полным основанием отнести к магнетикам со сложной магнитной
структурой. Речь пойдет о ферромагнитных полупроводниках, ко-
которые хотя и не всегда обладают сложным подрешеточным стро-
строением, но имеют особое магнитное, электрическое и оптическое
Табл нц а 4.6
Некоторые характеристики монохалькогенидов европия ЕпХ
(X = О, S, Se, Те)
о
Постоянная решетки, А
TN, °К
тс, °к
ц5, цв
/«, Гс
^эфф' №в
Обменные интегралы
Л X 1018, эрг
— J2 X Ю1в, эрг
ЕиО
5,14
—
69,4
7,0
2130
7,81
0,81—0,93
0,097
EuS
5,96
—
16,5
6,87
1360
7,93
0,28
0,08—0,19
EuSe
6,19
4,6*
28**
6,7
1210
7,7
EuTe
6,60
7,8-11,0
7***
—
971
7,54
0,04
0,16—0,23
* Я = 3 кЭ, •* Я = 0, *** Я = 10 кЭ.
285

НА=ОнЭ
fiA=JyO
Н
поведение из-за сочетания в них типичных полупроводниковых
свойств и магнитного упорядочения. Исторически первыми магнит-
магнитными полупроводниками явились монохалькогениды европия ЕиХ,
где X — О, S, Se, Те, некоторые характеристики которых приведе-
приведены в табл. 4.6. Все они кристаллизуются в кубической решетке
типа NaCI, причем магнитоактивный ион Еи2+ имеет основное со-
состояние 8S?/2 без орбитального момента, поэтому монохалькогени-
монохалькогениды европия являются
превосходными объекта-
объектами для проверки теорий
температурной зависимо-
зависимости намагниченности,
прямого обмена, косвен-
косвенного обмена, прямого об-
обмена через возбужденные
состояния и т. д. Чистые
ЕиХ стехиометрического
^ состава являются полу-
д 'IfJj'jc проводниками с высоким
— Образец I удельным сопротивлени-
—Образец! ем —108—1010 Ом-см при
комнатной температуре
^- (энергия активации —1 —
—2 эВ). Особенно бога-
богатый спектр электрических
и оптических сзойств
появляется у легирован-
"~- _ ных образцов ЕиХ. На-
Например, в системе
Eui-xGdxSe сопротивле-
сопротивление при комнатной тем-
i , пературе изменяется от
10HS Ом-см до 10
Ом-см, т. е. на 12 поряд-
порядков, при изменении х от
0 до 1, причем изменение
на 7 порядков происхо-
происходит вблизи л; = 0,01. На
рис. 4.23 приведены кри-
кривые р(Г) [22], показы-
показывающие температурный переход к металлическому характеру про-
проводимости, а также аномально большое влияние магнитного поля
на проводимость. Наложение поля 13,5 кЭ уменьшает сопротивле-
сопротивление образца более чем на 5 порядков. Возрастание сопротивления
при низких температурах и # = 0 связывается с появлением гели-
геликоидального спинового упорядочения, которое можно разрушить
магнитным полем и тем самым уменьшить сопротивление (пунк-
(пунктирные кривые).
100
200
300
г/г, w~Jn-'
¥00
Рис. 4.23. Темпер.атурная зависимость
удельного электросопротивления ферро-
ферромагнитного полупроводника Euo,99Gdo>oiSe
при различных магнитных полях [24]
286

Другим большим классом ферромагнитных полупроводников,
также обнаружившим ряд интересных физических свойств, явля-
являются халькогенидные шпинели Зс(-переходных металлов типа
CdCr2S4, CdCr2Se4, MnCr2S4 и т. д. В частности, как в халькогени-
дах европия, так и в халькогенидных шпинелях обнаружены эф-
эффекты смещения края собственного поглощения при изменении
магнитного упорядочения как при изменении температуры, так и
под влиянием поля. В шпинели HgCr2S.f, как и в EuSe, обнаруже-
обнаружено сочетание полупроводниковых свойств с геликоидальным упо-
упорядочением. Некоторые из эффектов в ферромагнитных полупро-
полупроводниках удается качественно объяснить на основе простых моде-
моделей, исходящих из предположения об обменном расщеплении ва-
валентной зоны и зоны проводимости, изменении величины этого
расщепления с температурой и перераспределении носителей меж-
между этими зонами и примесными уровнями. Однако ряд особенно-
особенностей ферромагнитных полупроводников остается пока неясным
(см., например, [23]). В целом класс ферромагнитных полупро-
полупроводников представляется весьма перспективным для многих физи-
физических и технических применений, таких, например, как магнито-
магнитооптические явления, различные фотомагнитные эффекты, управляе-
управляемый магнитным полем эффект Ганна, увлечение фононов и маг-
нонов носителями тока и т. д.
В заключение этого параграфа рассмотрим еще один тип слож-
сложных спиновых структур в магнитоупорядоченных кристаллах, от-
отличительная черта которых состоит в том, что они возникают не
за счет внутренних взаимодействий в кристалле, а индуцируются
сильным внешним магнитным полем.
Тябликовым [24] было показано, что при наложении на кол-
линеарный двух- или трехподрешеточный ферримагнетик достаточ-
достаточно сильного магнитного поля антипараллельная структура магнит-
магнитных подрешеток становится неустойчивой, и возникает неколлине-
арная угловая магнитная структура, в которой магнитные момен-
моменты подрешеток направлены под углами, отличными от 0 и я друг
к другу и к внешнему магнитному полю. Физически неколлинеар-
ная магнитная структура в ферримагнетиках возникает в результа-
результате «конкуренции» внешнего магнитного поля, стремящегося ориен-
ориентировать магнитные подрешетки параллельно друг другу, и отри-
отрицательного межподрешеточного взаимодействия, стремящегося ори-
ориентировать их антипараллельно. Расчет угловых магнитных струк-
структур в приближении молекулярного поля немногим сложнее расче-
расчета поведения антиферромагнетика во внешнем магнитном поле
(§ 4.1). Для двухподрешеточного ферримагнетика при учете об-
обменного взаимодействия и внешнего магнитного поля термодинами-
термодинамический потенциал можно представить в виде
Ф = - Я (Ix -j-1,) + ш121^ ~ wn I? -f ш2212, D.6.4)
где h — намагниченности подрешеток, а хац — коэффициенты мо-
287

лекулярного поля, характеризующие обменные взаимодействия
между (до12) и внутри (wu и Ш22) подрешеток.
Вводя углы 01 и 02 между полем и направлением намагничен-
намагниченности подрешеток и минимизируя D.6.4) по этим углам, легко по-
получить, что в слабых полях устойчивой является коллинеарная ан-
антипараллельная структура подрешеток, а в интервале полей
Якр* = Wu (h - /2)< Я < Н™ - w12 (I, - /2) D.6.5)
возникает неколлинеарная структура. В более сильных полях об-
образуется снова коллинеарная структура, в которой магнитные мо-
моменты подрешеток параллельны друг другу.
Как показано в многочисленных работах (см., напр., [25]), пе-
переход в неколлинеарную фазу является фазовым переходом (в от-
отсутствие анизотропии — фазовым переходом второго рода) и со-
сопровождается аномалиями различных физических характеристик
(намагниченности, восприимчивости, магнитострикции, эффекта
Фарадея и т. д.).
Интенсивные экспериментальные исследования эффектов, вы-
вызванных индуцированной полем неколлинеарной структурой, вы-
выполнены в последние годы на редкоземельных ферритах-гранатах.
Это обусловлено тем, что в этих ферримагнетиках обменное взаи-
взаимодействие между редкоземельной и железной подрешетками срав-
сравнительно невелико и вблизи точки магнитной компенсации, когда
/i^/г, критические поля перехода в неколлинеарную фазу доступ-
доступны для экспериментального изучения. Проведенные исследования
показали согласие экспериментальных данных с теоретическими
соотношениями и позволили построить магнитную фазовую диа-
диаграмму ферритов-гранатов вблизи точки магнитной компенсации.

Глава 5
ПОВЕДЕНИЕ МАГНИТНЫХ КРИСТАЛЛОВ
В ПЕРЕМЕННЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ
§ 5.1. ФЕРРОМАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС
Если приложить внешнее переменное магнитное поле к магнети-
магнетику, то на определенных частотах можно наблюдать пики на кри-
кривых зависимости мнимой компоненты восприимчивости от частоты,
т. е. резкое увеличение поглощения телом энергии внешнего элек-
электромагнитного поля. Здесь мы имеем дело с резонансным или
релаксационным откликом магнитной системы на внешнее магнит-
магнитное гармоническое воздействие. Диапазон частот, в котором на-
наблюдается динамическое возбуждение магнетиков переменным
магнитным полем, очень широк и составляет 15—16 порядков
(рис. 5.1). Следует указать, что для возбуждения магнитного ре-
резонанса необходимо приложить внешнее постоянное магнитное по-
поле, но иногда роль этого поля играет внутреннее эффективное по-
поле. В последнем случае мы имеем дело с так называемым естест-
естественным-магнитным резонансом.
В магнетиках можно выделить три основных типа резонирую-
резонирующих или релаксирующих центров:
1) электронный спин (ферромагнитный, антиферромагнитный, фер-
римагнитный и парамагнитный резонансы),
2) доменная граница (резонанс и релаксация доменных границ),
3) ядерный спин (ядерный магнитный резонанс).
Рассмотрим сначала явление ферромагнитного резонанса. Осо-
Особенность магнитного резонанса в ферромагнетиках состоит в том,
что электронные спины здесь связаны сильным обменным взаимо-
взаимодействием, которое заставляет магнитные моменты отдельных ато-
атомов прецессировать когерентно, и в результате в большинстве слу-
случаев можно рассматривать прецессию вектора намагниченности I
в целом.
Рассмотрим ферромагнетик, помещенный во внешнее постоян-
постоянное магнитное поле Но, величина которого достаточна для того,
чтобы весь образец оказался намагниченным до насыщения, т. е.
исключаем влияние доменных границ. Если рассматривать элек-
электрон как классический волчок, обладающий механическим и маг-
магнитным моментом, то, согласно теореме Лармора, спин электрона,
а следовательно, и магнитный момент начнет прецессировать в по-
поле Но с частотой (Y=ge/2 тс)
щ=уН0. E.1.1)
Ю г. с. кринчик 289

4 .
Резонанс доменных
границ
Релаксация доменных границ
J10
15
Ультра-10 5
фиолетовая цк
J-10"
r-ms
з-ю
\ 1 1 Ь
Н 1 1 Ь
Н 1 Ь
сеч
4*-
Радиоволны'
10"
Звуковые
■,*>
н h
Я(СМ)
область
видимый
диапазон
частоты
ЯМР в ферромогнетиках
Релаксация прецессирующгга
спина
Магнонные боковые
полосы
И *\ I
Магнитооптические эффекты \
Фародея, Керра, Фохта, комоЪна-
ционное рассеяние геироэлектр^
яеские свойства) \
Электронные переходы I
фотомоенетизм I
flu
2-могнонное
поглощение
10
Бигиротропные \
свойства
А Ю-
1дг
+
+
10~! 1 я (см)
Однофотонное поглощение
(ферро-ферри - антиферро-
антиферромагнитный резонанс)
Однофотонное поглощение
I (одменньшрезонанс }
Упругое и неупругое 2-фотонноерассеяние-гиромаенитные свойства
Моенитаоптичеспие эффекты Фарадея, Керра, Фонта,
комбинационное рассеяние
Рис. 5.1. Шкала электромагнитных волн и магнитные резонансы
С точки зрения квантовой механики возможность резонансного
поглощения энергии электромагнитного поля системой атомных
спинов связана с квантовыми переходами в этой системе между
290

дискретными зеемановскими уровнями, возникающими во внешнем
магнитном поле. Так как наименьшее возможное изменение про-
проекции спина атома равно единице, то разность энергий соседних
зеемановских уровней составляет
М>=£ЦвЯ0. E.1.2)
Как видно, классическая и квантовая резонансные частоты сов-
совпадают. g-фактор в E.1.1) и E.1.2) может отличаться от 2 из-за
вклада орбитального момента.
Пусть помимо постоянного поля Но, вдоль которого мы напра-
зим ось г, имеется периодическое поле h=hocoso^, направленное
вдоль оси х, причем Н0<^Н0. Будем предполагать также, что длина
волны электромагнитного поля K^$>L, где L — размер образца.
При этом условии можно считать, что на образец действует одно-
однородное переменное магнитное поле, а следовательно, магнитные мо-
моменты во всем объеме образца колеблются когерентно. Для отыс-
отыскания изменения намагниченности I образца как функции време-
времени и внешних полей воспользуемся уравнением Ландау—Лифшица
C.7.5).
Суммарное магнитное поле, действующее на образец,
H = hxnx + Hon2, E.1.3)
а вектор I в исходном положении направлен вдоль оси г.
Уравнения движения для компонент вектора I запишутся в
виде
4/Y = - 1ХНО + ehx *т (/А + IZHO)IX,
У Y = № - UK —y (/А + W iy,
L/V = irA + e#0 ST VA + /,Я0) Iz- E.1.4)
Поскольку мы предполагаем, что переменное поле мало по
сравнению с постоянным, а образец в отсутствие переменного по-
поля намагничен до насыщения (/z^/0), то, естественно, компоненты
1Х и 1У 'будут малы по сравнению с /0, a /z~/o. Оставляя в урав-
уравнениях E.1.4) лишь линейные члены по Ix, Iy, hx и е, получим
E.1.5)
Будем. искать решение E.1.5) в виде Jx~ 1хОеш, 1у—1у<£ш,
где 1х0 и 1у0—комплексные амплитуды. Если проделать все необхо-
необходимые вычисления, то получим в линейном по е приближении
10* ' 291

l'©6
где ас=уН0 — резонансная частота, к0=1о1Н0, 6=еуН0/10 — дек-
декремент затухания, е — феноменологический параметр затухания в
уравнении Ландау—Лифшица.
Из E.1.6) видно, что восприимчивость имеет тензорный харак-
характер (строго говоря, для доказательства этого нужно ввести г/-ком-
поненту переменного поля). Тензор восприимчивости в поперечном
поле имеет вид
E.1.7)
причем кхх= у.уу=к; ижг,= ~«w = — Ыа.
Компоненты тензора восприимчивости являются комплексными,
так как среда поглощает энергию магнитного поля. Диссипация
энергии связана с мнимыми частями к и хо.
Из формул E.1.6) можно получить (и=х'—i%")
2 2 (о (и* 4- ©г) 5
; E-1.8)
^• о ,
(©5 — и2J 4- 4и2б2 Щ — а2J 4- 4©гба
К-
— ©2J _|_ 4fi,2S2 (о? _ ©2
При рассмотрении резонансных явлений в магнитных кристал-
кристаллах оказывается чрезвычайно полезным переход к циркулярным
компонентам внешнего переменного поля и поперечных составля-
составляющих намагниченности
h±=hx± ihy; /* = U ± Ну.
Тогда для восприимчивости х± = /±//1* [ получается .выражение
[1]
х± = к ± ид = у^о "°± т— E.1.10)
©5 — и2 + 2F©
или при пренебрежении диссипацией
х± = х ± хд = v/o . E.1.11)
292

При малых б %" и %"а максимальны при м = м0 и равны
к" К) = К К) = *омо/2б = у10/28, а х; = у/о/б. E.1.12)
Наличие поглощения энергии обусловливает конечность шири-
ширины резонансной линии. Под шириной резонансной линии понима-
понимают расстояние АН по оси Я при io=const или интервал Аи по оси
to при #=const между сторонами резонансной кривой на половине
ее высоты. Для нахождения полуширины линии Аи, где Ди =
= со—соо, нужно решить уравнение
где и" определяется E.1.8), а и"(мо)— E.1.12).
Считая Дм < о)о, найдем
Дю=±б. E.1.13)
АН связано с Дм соотношением
E.1.14)
Ширина и форма резонансной линии зависят от природы про-
процессов релаксации в магнитном кристалле и изменяются в широ-
широких пределах для различных классов ферромагнетиков. Для ори-
ориентировки укажем, что рекордно малая ширина резонансной линии
получена на хороших кристаллах иттриевого феррита-граната, для
которых 2ДЯ~0,2 Э при Я0=104 Э. Для обычных шпинелей
2ДЯ~200 Э. На рис. 5.2 и 5.3 приведены расчетные кривые магнит-
магнитных восприимчивостей в области ферромагнитного резонанса для
параметров, соответствующих параметрам феррита-шпинели.
В предыдущих расчетах не учитывалось влияние формы образ-
образца, а для ферромагнетиков она имеет большое значение, так как
из-за наличия большого спонтанного магнитного момента у фер-
ферромагнетиков истинное поле внутри образца может значительно от-
отличаться от внешнего. Для тел эллипсоидальной формы размагни-
размагничивающее поле имеет вид
H0 = -DI, E.1.15)
где D — симметричный тензор. Если оси декартовой системы ко-
координат направлены по главным осям эллипсоида, то тензор раз-
размагничивающих фактбров D имеет диагональный вид (см. § 1.2
и 3.4). В дальнейшем мы рассмотрим именно такой случай.
Помимо размагничивающего поля формы мы учтем также эф-
эффективное поле кристаллографической магнитной анизотропии.
Для единообразия и сокращения записи поле анизотропии мы за-
запишем в аналогичном виде: Hfe=—Dh\, где Dh — симметричный
тензор. Для простоты будем полагать, что главные оси кристалла
293

совпадают с осями координат и тензор Dk имеет также диагональ-
диагональный вид.
Полное выражение для поля, действующего на образец, выгля-
выглядит следующим образом:
Н = Нопг + hxn;+ hytiy — (D + Dk) I.
E.1.16)
0.5
0.1
V
г X
А
/к
1—"Ч. J\ ч
5 6
но,кэ
0&
5 5
Н,,кЭ
Рис. 5.2. Зависимости вещественных Рис. 5.3. Зависимости вещественных
и мнимых частей компонент тензора и мнимых частей циркулярных ком-
х от На (/0=160 Гс, <о/2я=9,4 ГГц, понент тензора и от Яо. Значения пд-
2Д#=170 Э) раметров те же, что на рис. 5.2
Для нахождения собственной частоты системы используем урав-
уравнение Ландау—Лифшица без диссипативного члена. В отсутствие
переменного внешнего поля будем, как и раньше, предполагать, что
образец намагничен внешним полем Но до насыщения вдоль оси г.
Переменные поля hx и hy считаем малыми по сравнению с Яо, а
поперечные компоненты 1Х и /„ считаем гармоническими и малыми
по сравнению с /о. В результате получаем линеаризованные уравне-
уравнения для компонент вектора I
-^ = -1у [Но + (Dy + Dky -D,-Dkz)Io] + IJiy,
294

- Dkx-Dz-Dkz)Io)-Iohx, E.1.17)
Резонансную частоту найдем из условия нетривиальности ре-
решения для 1Х, 1У при ЛЖ=ЛИ=О
ito
У
и, следовательно,
«о =
= О,
+ Dky — Dz- Dkz) Io] X
X [Ho + (Dx + Dkx ~DZ~ Dkz)
E.1.18)
Допустим, что поле анизотропии отсутствует, и рассмотрим раз-
различные частные случаи формулы E.1.18).
О
П
П
Рис. 5.4
1. Образец имеет форму пластинки; Dx=4n; Dy=Dz=Q, т. е.
поле приложено в плоскости образца (рис. 5.4, а),
мо = Y [Но (Но + 4я/0)Р = Y (ВД1/2 • E.1.19)
Около половины периода прецессия идет в нулевом размагничива-
размагничивающем поле (по оси у), другая часть периода проходит в размагни-
размагничивающем поле — 4я/ж, препятствующем выходу вектора намаг-
намагниченности из плоскости пластинки. Это эквивалентно возраста-
возрастанию эффективного поля вдоль оси z и приводит к появлению сред-
среднего герметрического из Яо и В в выражении для м0.
2. Постоянное поле перпендикулярно плоскости пластины
(рис. 5.4, б); Dx=Dy=0, Dz=4n,
мо= У (Но — 4я/0). E.1.20)
В этом случае внешнее поле просто уменьшается размагничи-
размагничивающим полем.
295

3. Для длинного цилиндра с постоянным полем вдоль оси
(рис. 5.4, в); Dx = Dv = 2n; D2 = 0,
E.1.21)
В течение всего периода прецессия идет в постоянном по вели-
величине размагничивающем поле (—2я/о), что эквивалентно увеличе-
увеличению внешнего поля вдоль оси z на 2я/о.
4. Постоянное поле перпендикулярно длинному цилиндру
(рис. 5.4, г); Dy=0, Dx=Dz = 2n,
ю=у[Я„(Я0-2я/0)р. E.1.22)
На образец действует размагничивающее поле (—2я/0) вдоль
оси z, уменьшающее внешнее постоянное поле, кроме того, в тече-
течение части периода отсутствует размагничивающее поле в плоско-
плоскости ху (вдоль оси у), в течение другой части действует размаг-
размагничивающее поле (—2п1х), компенсирующее уменьшение эффек-
эффективного поля вдоль оси z. В результате намагниченность прецесси-
рует в эффективном поле, меньшем Яо.
5. Сферический образец; Dx=Dy=Dz=4n/3,
«о = Y# 0,
т. е. сдвиг частоты за счет размагничивающих полей отсутствует.
Рассмотренные случаи показывают, что образцы различной
формы из одного и того же материала могут иметь сильно разли-
различающиеся резонансные частоты. Для железа, например, /0~
»1700 Гс, следовательно, размагничивающее поле может превы-
превышать 20 кЭ.
Рассмотрим теперь влияние энергии кристаллографической маг-
магнитной анизотропии. Для простоты и исключения влияния формы
возьмем одноосный кристалл в виде шара, для которого Dhx=
= Dky=0- Dkz= — 2KUo. Из E.1.18) получаем
E.1.23)
Этот результат указывает на возможность наблюдения резо-
резонанса в отсутствие внешнего постоянного поля. Это так называе-
называемый естественный ферромагнитный резонанс в поле кристаллогра-
кристаллографической анизотропии. Отсюда также становится ясным способ
определения константы кристаллографической анизотропии по ча-
частоте естественного резонанса или по сдвигу частоты резонанса в
присутствии поля Яо. Приведенные результаты легко обобщить на
случай кубических кристаллов. Если поле Яо не направлено вдоль
одной из осей высокой симметрии кристалла, то формулы для мо
значительно усложняются.
Мы рассмотрели некоторые конкретные случаи введения эффек-
эффективного поля Ландау—Лифшица при рассмотрении явления ферро-
ферромагнитного резонанса. В общем случае все виды взаимодействия
296

в ферромагнетике можно ввести в формулу эффективного поля с
помощью выражения [2]:
з
а .,,,... , ,. . . E-1.24)
где F — свободная энергия.
§ 5.2. ФЕРРИМАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС
Спиновые резонансы в различных структурах в рамках теории
молекулярного поля описываются однотипным образом. Особенно-
Особенности магнитного резонанса в ферримагнетиках и антиферромагне-
антиферромагнетиках обусловлены существованием двух и более магнитных под-
решеток. Рассмотрим случай относительно малых полей, когда
подрешетки ферримагнетика находятся в антипараллельном со-
состоянии. Это справедливо, как правило, до полей ~105 Э. Для
простоты рассмотрим двухподрешеточную модель и, как и рань-
раньше, будем считать, что межподрешеточное обменное взаимодей-
взаимодействие является основным и внутриподрешеточными взаимодейст-
взаимодействиями по сравнению с основным можно пренебречь. Не будем учи-
учитывать также энергию кристаллографической магнитной анизотро-
анизотропии и энергию размагничивающих полей. Тогда эффективное маг-
магнитное поле, действующее на подрешетки 1 и 2, можно записать
в виде
Нэфф = Н + W12l2, Нэфф = Н -L- O>2ili,
и при пренебрежении затуханием уравнения Ландау—Лифшица
для двух подрешеток принимают вид
„41- E-2-1)
Введем следующие обозначения: W\2=—к (^>0, что учитывает
отрицательное обменное взаимодействие между подрешетками);
hx=hxOeia>t, hy=hyoeia>t, HZ=HO, причем \hxo\, \hy0\ <#о, т. е. рас-
рассмотрим колебания с малыми амплитудами. Вследствие этого
1и ~/ю, hz = ho, \hx\, \hv\, \hx\, |/2y|</io, ho-
Как и раньше, линеаризуем уравнения движений E.2.1), ос-
оставив лишь члены линейные по малым компонентам поля и намаг-
намагниченности. Зависимость переменных составляющих от времени
будем предполагать гармонической. Получим четыре уравнения
относительно четырех независимых переменных I\x, Iiy, 12х, hy
В этих уравнениях удобно перейти к циркулярным переменным
намагниченности и поля
h± = hx±ihv, /r-/u±i/l9, 1?=1ъ±и*у, E.2.2)
297

где плюс отвечает колебанию намагниченности с правой круговой
поляризацией, а минус — левой.
Уравнения для компонент if и IJ (i=l, 2) разделяются, т. е.
получаем уравнения для нормальных колебаний системы, а собст-
собственные частоты, получаемые из этих уравнений, являются нор-
нормальными частотами колебаний. Эти уравнения имеют вид
[± со - Yl (Яо + Я/20)] /,* -
f + [± со - y2 (Я — Я/10)] It = Y24o^±. E.2.3)
Для определения собственных частот нужно найти условия, при
которых возможны нетривиальные решения системы E.2.3) в от-
отсутствие внешнего вынуждающего поля. Приравняв нулю опреде-
определитель левой части E.2.3), получим уравнение для со:
- УЛ.) - (Yi + Y.) #о] ~
-ViY«[M'io-'«o)-#o]#o= 0. E.2.4)
Плюс соответствует право-, минус — левополяризованному ко-
колебанию. Уравнение E.2.4) со знаком плюс имеет два решения —
положительное и отрицательное. Поскольку решение соо, отвечаю-
отвечающее физически осуществляющемуся случаю, должно быть положи-
положительно, то нетрудно заметить, что положительный корень уравне-
уравнения E.2.4) со знаком плюс соответствует правополяризованному
колебанию, модуль отрицательного корня—левополяризованному.
Рассмотрим решения уравнения E.2.4) в области малых полей,
когда постоянное поле Яо значительно меньше обменных межпод-
решеточных полей, т. е. Но<^Х1\о, Я/го- С точностью до членов, ли-
линейных по Яо:
<^+ффЯ„, E.2.5)
где
//E.2.6)
эффективный Y-фактор; и
«сГ=мн-УГфф^.. E-2-7)
где
o — Yi/go), E.2.8)
Правополяризованные колебания при малых полях имеют соб-
собственную частоту, выражение для которой совпадает с выражением
для частоты ферромагнитного резонанса с заменой y на УэФФ- Ча-
298

стота этого типа колебаний обычно находится в СВЧ-области. Ле-
вополяризованные колебания — это принципиально новый тип ко-
колебаний, соответствующий обменному резонансу [3], собственная
частота которого определяется эффективным обменным полем и
лежит в далекой инфракрасной области спектра.
Для того чтобы определить связь между переменными компо-
компонентами намагниченности, подставим выражения для собственных
частот в уравнения E.2.3). Пренебрегая членами, содержащими
внешнее поле по сравнению с обменными членами, получим
/jb
'10
для правополяризованных колебаний и
ч
JYj.
Ya
для левополяризованных колебаний.
It
Рис. 5.5. Моды ферримагнитного резонанса двухподрешеточ-
ного ферримагнетика: а—низкочастотная, б — высокочастот-
высокочастотная
Первое соотношение означает, что в течение всего периода
колебания намагниченности подрешеток антипараллельны, а вто-
второе показывает, что для обменного резонанса характерно наруше-
нарушение антипараллельности подрешеток 1 и 2.
299

Начинают действовать межподрешеточные обменные силы, под-
решетка 1 прецессирует в обменном поле подрешетки 2 и наобо-
наоборот. По этой причине частоту И<Г определяет обменное поле. Обе
ситуации схематично изображены на рис. 5.5.
Поведение ферромагнитной моды E.2.5) имеет в ферримагне-
тиках некоторые специфические особенности. В точке компенсации
магнитных моментов подрешеток 7'cm(/io=/2o) эффективный у-фак-
тор обращается в нуль. Возможна также компенсация механиче-
механических моментов подрешеток, температура которой Tcs может отли-
отличаться от Гсм.
В точке компенсации механических моментов £эфф обращается
в бесконечность, и принятое нами приближение перестает быть
справедливым. Указанные изменения у-фактора при подходе к точ-
точкам компенсации Тсм и Tcs наблюдались экспериментально по из-
изменению резонансной частоты низкочастотной ферромагнитной мо-
моды [1]. Наблюдались также и соответствующие изменения обмен-
обменной частоты при подходе к точкам компенсации. Понижение мв
при приближении к магнитной точке компенсации Тсм использова-
использовалось экспериментаторами для перевода частоты обменного резо-
резонанса из далекой инфракрасной области в область СВЧ.
Решая системы E.2.3) с учетом внешнего переменного поля,
можно найти восприимчивости ферримагнетика
.«-/»)t E210)
Формула E.2.10) имеет тот же вид, что и E.1.11), а формула
E.2.11) показывает, что обменный резонанс можно возбудить толь-
только в таком ферримагнетике, у которого g-факторы ионов подре-
подрешеток сильно различаются.
Внешнее поперечное возбуждающее переменное магнитное поле
всегда можно разложить на поля с круговой поляризацией h+ и
h~, которые будут возбуждать поперечные колебания с соответству-
соответствующей круговой поляризацией. Поскольку резонансные частоты ы+
и м~ при малых Яо сильно разнесены, то практически в данной об-
области частот будет возбуждаться лишь один тип колебаний, часто-
частота которого близка к частоте вынуждающего поля.
Для того чтобы учесть затухание колебаний, в эффективные по-
поля уравнений E.2.1) нужно ввести параметры диссипации ei и
ег, вообще говоря, различные для разных подрешеток. При этом
для право- и левополяризованной мод колебаний будут различны-
различными эффективные параметры затухания е^ф и е^ф, и, следователь-
следовательно, ширины резонансных линий поглощения для обеих мод будут
разные [1]. Приведем формулы с учетом диссипации для низкоча-
низкочастотного ферримагнитного резонанса, которые можно сопоставить
300

с соответствующими формулами для ферромагнитного резонанса,
полученными в § 5.1:
к+= t*h>vh>--'w 1 E.2.12)
где
Ло . ^20
«йф^—J—£**-• <5-2ЛЗ>
Yi Y2
Следовательно, максимальная восприимчивость при to = а>0
Х"= ^фф(/1.-/2.) E214)
и ширина резонансной кривой
эфф Yi Y2 /со 1 сч
= —■ = и и —1?— E.2.15)
• эфф
§ 5.3. МАГНИТНЫЙ РЕЗОНАНС В АНТИФЕРРОМАГНЕТИКАХ
И СЛАБЫХ ФЕРРОМАГНЕТИКАХ
Рассмотрим теперь простейший двухподрешеточный антиферро-
антиферромагнетик. Магнитный резонанс в антиферромагнетиках обнаружи-
обнаруживает большое разнообразие типов колебаний, при этом существен-
существенное влияние на вид колебательных мод оказывает энергия анизо-
анизотропии. Ограничимся изучением некоторых типов резонанса в од-
одноосных антиферромагнетиках с анизотропией типа легкая ось и
легкая плоскость. Ясно, что влияние энергии размагничивающих
полей на резонанс в антиферромагнетиках очень мало вследствие
отсутствия в них суммарного спонтанного магнитного момента и
слабой восприимчивости во внешнем поле (см. § 4.1).
Антиферромагнетик с анизотропией типа легкая ось. Внешнее
поле Но параллельно намагниченностям подрешеток (продольный
антиферромагнитный резонанс), возбуждающее поле перпендику-
перпендикулярно легкой оси анизотропии. Будем считать, что #<#/, где
Hf — поле спин-флопа, величина которого определяется формулой
D.1.20).
Нам нет необходимости проводить все расчеты от начала до
конца, поскольку продольный антиферромагнитный резонанс яв-
является частным случаем продольного ферримагнитного резонанса,
который был рассмотрен в предыдущем параграфе. Нужно лишь
учесть, что в данном случае мы имеем дело с двумя эквивалентны-
эквивалентными подрешетками Yi—Y2—Y> /10=^20=^0» а также учесть влияние
301

поля одноосной кристаллографической анизотропии Як=2/С//о-
Не будем учитывать затухание колебаний, а найдем лишь соб-
собственные частоты и вид собственных колебаний системы. Тогда
вместо уравнения E.2.4) для собственных частот получим
= 0,
E.3.1)
[±<в — Y(#o —
где НЕ—Мо, а знаки плюс и минус относятся к право- и левопо-
ляризованным модам соответственно. Положительные решения
уравнения E.3.1) имеют вид
E.3.2)
E.3.3)
BНе + Нк) ± Яо).
При Яо = 0 частоты обеих мод равны между собой:
too* = Y VHk B#я + Нк) .
130
т
по
160
150
140
»,ггц
Таким образом, при до-
достаточно малых внешних по-
полях частоту собственных ко-
колебаний определяет эффек-
эффективное внутреннее поле
антиферромагнетика, равное
среднему геометрическому
обменного поля и поля ани-
анизотропии. Формально причи-
причина появления в данном слу-
случае среднего геометрическо-
геометрического Не и Нк та же, что и
причина появления среднего-
геометрического Я и В в вы-
выражении резонансной часто-
частоты ферромагнитной пласти-
пластины E.1.19). На рис. 5.6
представлены экспериментальные результаты для Сг2О3, соответ-
соответствующие E.3.2).
Чтобы найти вид 'Собственных колебаний для собственных ча-
частот to±, нужно подставить выражения для оо± E.3.2) в
E.2.3) при ft=0 (с учетом поля анизотропии и эквивалентности
подрешеток 1 и 2). Тогда получим
О
6 П,кЭ
Рис. 5.6. Собственные частоты циркуляр-
циркулярных мод антиферроылгнитного резонан-
резонанса в зависимости от магнитного поля
для Сг2О3 [25]
-Н
Яо A ±
]/НкBНЕ+Нк)\
н
E.3.4),
302

Схематически этот результат представлен на рис. 5.7, который
демонстрирует подключение обменного поля Не к эффективному
полю антиферромагнитного резонанса.
Рис. 5.7. Нормальные моды продольного антиферромагнитного резонанса
Аналогичным образом из уравнений E.2.3) можно получить
высокочастотную восприимчивость x±=Xi±+ix2±:
°г—7- E-3.5)
Таким образом, х± пропорциональна полю анизотропии. Следо-
пательно, необходимым условием возникновения антиферромагнит-
антиферромагнитного резонанса данного типа является наличие поля анизотропии.
Антиферромагнетик с анизотропией типа легкая плоскость.
К легкоплоскостным относятся одноосные антиферромагнетики с
отрицательной константой анизотропии К (см. § 3.2). Рассмотрим
наиболее интересный частный случай, когда внешнее постоянное
поле приложено в базисной плоскости.
Прежде всего нужно найти равновесные значения намагничен-
ностей подрешеток в присутствии внешнего поля Но. Пусть Но па-
параллельно оси У (рис. 5.8). Если не учитывать влияния анизотро-
анизотропии в базисной плоскости, то из симметрии задачи ясно, что на-
намагниченности подрешеток установятся под одинаковым углом к
303

внешнему полю, причем sin<p=tfo/2//E (см. § 4.1). Теперь можно
обычным способом записать уравнение движения для намагничен-
ностей подрешеток без учета диссипации
Нп
dt
E.3.6)
Будем рассматривать малые
колебания намагниченности mi и
т2 в слабом переменном поле.
Тогда
lt = i/0 cos ф + j/0 sin
I2 = i/0 cos ф + j/0 sin
Рис. 5.8
т1г
m2,
E.3.7)
где т.\, тг-С/о (h — намагничен-
намагниченность насыщения отдельной под-
подрешетки); эффективные поля, действующие на подрешетки,
Н
1эфф
н
E.3.8)
где #к=2Лу/0<0 — константа поля анизотропии; —Х1\, —Я12 —
обменные поля, действующие со стороны 1-й подрешетки на 2-ю и
со стороны 2-й на 1-ю подрешетку; h — внешнее переменное поле,
причем /кСЯ0.
Подставляя E.3.7) и E.3.8) в E.3.6), оставляя в уравнениях
лишь линейные члены по переменным составляющим намагничен-
намагниченности и внешнего поля и предполагая гармонический характер за-
зависимости указанных переменных от времени, получим уравнения
для декартовых составляющих ш:
т
+ [(Не -f Нк) sin ф — Яо] ти— НЕsin фт22 = — /0 sin фг.
НЕ cos
—
Y
т1у + (НЕ — Нк) cos фт
— (НЕ sin ф — Я0) т1х — НЕ cos
НЕsin (pmZx — НЕ cos <рт2у = — /„cos
+ [(НЕ + Нк) sin ф — Яо] т2г —
= /0 cos <ph2,
-^- т1г +
^ + /0 sin (phx,
фт12 = — /0 sin
304

~~ m2« — (He — Ял;) cos фт22 —• He cos q>mlz = ■—• /0 cos фй2,
У
—• (HEsia ф — Яо) m2,. -f HEcos фт2 -' m22 +
Y
-f- Я£sin <ftnlx -- HeCOs ц>т1у — /Ocos фй& — /osin фйх. E.3.9)
В этих уравнениях учтено условие равновесия Яо—2ЯЕ5Шф=0.
Вид уравнений E.3.9) можно упростить, если сложить и вычесть
уравнения для х-, у- и z-компонент намагниченностей mi и т2. Тог-
Тогда получим
— яг, — (Яо — Як sin ф) т2 = — 2/0sin ф2,
У
-— ти — Яд; cos ц>Ь2 -= О,
~ ~— тг= 2/0 sin
— Lu^ BНЕ — Нк) cos фт2 — 2/ocos фг,
У
— 2НЕ cos <?ту - — Lz = — 2/0 cos ф^. E.3.10)
Здесь также учтено указанное выше условие равновесия и вве-
введены обозначения
т1 — т2 = т, гг^ — m2=L. E.3.11)
Видно, что уравнения E.3.10) распадаются на две независимые
системы: в первую входят 1-е, 3-е и 5-е уравнение с переменными
тх, тг и Lv\ во вторую 2-е, 4-е и 6-е уравнения с переменными
ту, Lx, L-. Собственные частоты колебаний получаются из условия
нетривиальности решений E.3.10) при отсутствии внешнего воз-
возбуждения. Первая система дает
E.3.12)
а вторая
2ЯЯ
со2= У12ЯЯ1ЯД;!]1/2 соэф= у 2НЕ\НК\ —1~ШЩ . E.3.13)
L 2НЕ ' I
Исследуем характер собственных колебаний системы. Подстав-
Подставляя в E.3.10) при ft = 0 to = coi, получим
11 Г. С. Кринчик 305

или
Щу = — Шоу, т1х = т2х, Щг'= т2г, E.3.14)
■ mr ^ imr, E.3.15)
У
. 2HE+\HK\ . 2HE WE
= i cosq> r i^-yT^Si — m,= --^—m,. E.3.16)
ri^
Используя E.3.14) и E.3.15), получаем
mlz = itnlx, m.22= itn2x. E.3.17)
Соотношения E.3.14) и E.3.16) дают
9 Н
triiy = — т2у = ш2-с. E.3.18)
Но
При этом мы предполагали, что \НК\, Н0<^Не. Из полученных
соотношений видно, что суммарная намагниченность первой моды
совершает в плоскости XZ почти круговые правополяризованные
малые колебания, х- и 2-компоненты векторов Ii и h изменяются
когерентно. Проекции Ii и 12 на плоскость XZ совершают круговые
когерентные колебания, причем радиус круга равен половине ра-
радиуса круга вращения суммарной намагниченности, «/-компоненты
Ii и 12 изменяются в противофазе, причем переменные составляю-
составляющие по оси у в 2#Е/#о раз превышают переменные составляющие
Ii и Ь по осям х и z. Первую моду можно рассматривать как коле-
колебания суммарной, наведенной внешним полем намагниченности ан-
антиферромагнетика с частотой cd = oji (рис. 5.9).
Подставив теперь в E.3.9) о) = Ю2, получим
тх = тг — Ly = О
или
тЛг— — т2г, тл, = — m»., mlu= т2и, E.3.19)
Л =— / 5- т„, E.3.20)
0. E.3.21)
Из E.3.19)—E.3.21) следует
I1
E.3.22)
306
Г 2НЕ 1/2 г 2//F 11/2

Рис. 5.9. Колебания намагниченностеи подрешеток и суммарной намагничен-
намагниченности первой моды легкоплоскостного аитиферромагнетика
Рис. 5.10. Колебания намагниченностеи подреше-
подрешеток и суммарной намагниченности второй моды
легкоплоскостного антиферромагнетика

т. е. концы векторов намагниченности Ii и 12 колеблются в плоско-
плоскости YZ, описывая эллипсы. Проекции векторов на плоскость YZ
описывают одинаковые вытянутые эллипсы с противоположным на-
направлением вращения, причем «/-компоненты [\ и 12 изменяются
в фазе, а 2-компоненты — в противофазе так, что суммарная на-
намагниченность имеет только «/-компоненту (рис. 5.10). На рис. 5.11
изображена зависимость ча-
частот coi и со2 от напряженности
внешнего поля.
Для первой моды колеба-
колебаний характерно, что угол меж-
между I) и 1г в течение всего пе-
периода колебаний остается по-
постоянным, поэтому частота coi
E.3.12) определяется внешним
полем. Вторая мода характе-
характеризуется тем, что половину пе-
периода преобладает движение
намагииченностей подрешеток
главным образом в эффектив-
эффективном поле анизотропии (когда \т\г\ = \m2z\ =max, угол между
подрешетками равен равновесному), а другую половину периода
главным является обменное поле (когда \ти\ = \m2z\ =0, обмен-
обменное поле максимально). Поэтому частота со2 пропорциональна
среднему геометрическому обменного поля НЕ и поля анизотропии
Йк. Особенность данного типа колебаний антйферромагнетика при
совпадении частот coi и со2, т. е. при Я=» УНЕ\НК\ —подробнее будет
рассмотрена ниже.
Чтобы определить суммарную высокочастотную восприимчи-
восприимчивость, нужно найти зависимость m от h путем решения уравнений
E.3.10). Восприимчивость является тензором
E.3.23)
Рис. 5.11. Зависимость собственных
частот АФМР от внешнего поля
(К<0,
где
/о
р 1 Hk |
— со2
"У У
со? —со2
', т. е. х,, = х,2,
^_^_. E_3-24)
wf — ш2
Из E.3.24) видно, что компоненты тх и mz возникают лишь при
наличии внешнего поля Но, параллельного оси у, для возникнове-
308

ння же ту это не обязательно, но необходимо наличие поля одно-
осиой анизотропии Нк. Ясно также, что колебания первой моды
возбуждают компоненты внешнего поля hx и h:, а колебания вто-
второй моды — поле hy.
Мы подробно рассмотрели малые колебания намагниченности
подрешеток легкоплоскостного антиферромагнетика при Н0_1_оси z,
так как решение задач в случае Н0||оси z, а также в случае легко-
осного антиферромагнетика 'при Н0-1_оси z проводится по одинако-
одинаковой схеме. Диссипацию энергии можно учесть, записав уравнения
движения намагниченностей подрешеток с диссипативным членом.
Допустим теперь, что симметрия кристалла легкоплоскостного
антиферромагнетика допускает в термодинамическом потенциале
существование члена D.2.12), т. е. кристалл обладает слабым маг-
магнитным моментом. Выражение D.2.12) можно представить в виде
га = р (Lxmy ~ Lymx) = 2р [1^], = 2р (Ilxhy ~ !1у12х).
Чтобы учесть влияние взаимодействия Дзялошинского на ха-
характер магнитного резонанса, введем эффективные поля Дзялошин-
Дзялошинского, действующие на подрешетки
Н5=-^-, / = 1,2, E.3.25)
dl;
т. е.
\id = 2р (U2y~ j/2j; Н\ = 20 (- Uly - j/u). E.3.26)
Пусть постоянное внешнее поле приложено в базисной плоско-
плоскости, НоЦоси у (рис 5.9). Равновесное положение векторов намаг-
намагниченностей Ii и 12 можно найти из условия минимума суммарной
энергии магнетика, зависящей от угла между подрешетками в ба-
базисной плоскости
Яо cos ф — НЕ sin 2ф -> Hd cos 2ф = 0, E.3.27)
где угол ф имеет тот же смысл, что и на рис. 5.8. В силу симмет-
симметрии задачи ясно, что энергия одноосной анизотропии не влияет на
величину равновесного значения ф в E.3.27). При
#0' Hd < НЕ
51Пф^ф^(Я°2+^), E.3.28)
Чтобы записать уравнения движения подрешеток слабого фер-
ферромагнетика, учтем вклад поля Дзялошинского E.3.26) и получим
— т1х -+- [(Не -'■- #/с) sin а, ~ Hd cos ф — Яо] ml2 — НЕ sin Фт2г =
Y
= — /081йфЛ2,
—- т\у -!- 1(Яе — Яд;) cos ф -г Я^ sin ф] т12 -;- Я£ cos ф/7г22 -- /Ocos фй2,
309

— (HE sin ф — Яо) т1х — He cos <pmly -j- -^L ml2 -f
— HE sin ф/7г2;|. — HE cos фт2^, — Я^ cos ф (mlx — m2x) —
— Hd sin ф (mly - m2y) = — /0 cos yhy - /0 sin qA,,
1@
m2x -~ [(HE + Яд) sin ф — Hd cos ф — Яо] тгг — Яя sin фт1г =
= — /0 sin фй2,
-^- "*2« + [— (Яв — Нк) cos ф — Я^ sin ф] т22 — НЕ cos фтх =
У
— (Яя sin ф — Яо) т2;с -Г НЕ cos фт2(/ -4- -^- т2г +
+ НЕ sin ytnlx — Я£ cos фт1г/ — Я^ cos ф (т1ж — т2х) +
-г Я,/ sin ф (mly -f т2у) = /0cos ф^ -f /0 sin фх. E.3.29)
Если сложить и вычесть соответствующие уравнения в E.3.29),
Получим с учетом E.3.28)
-^- тх — (Яо — Нк sin ф — Я^) тг = — 2/0 sin фйг,
— /и» -f- № sin Ф — Нк) К = О,
Но'пх — —— тг = 2/0 Sitt ф^,
Y
— L^ -f BЯ£ ~HK-rHd sin Ф) m2 = 2/oft,,
— BЯя -f 2Hd sin ф) my — HdLx + -^- L2 = — 2/0^. E.3.30)
В E.3.30) учтены лишь члены до порядка (Я0/ЯяJ, (Hd/HEJ
включительно. Собственные частоты найдем из условия нетриви-
нетривиальности решения E.3.30) при отсутствии внешнего переменного
поля h. Получаем с той же точностью
E.3.31)
со2 = у [2Я£ | Нк | + Hd (Яо -f Hd)}^. E.3.32)
Структуры уравнений E.3.30) и E.3.10) качественно совпада-
совпадают, поэтому выводы о характере мод колебаний легкоплоскостно-
310

го антиферромагнетика применимы к колебаниям слабого ферро-
ферромагнетика. Не будем приводить формул для компонент тензора
восприимчивости, так как способ их нахождения очевиден.
Формулы E.3.31) и E.3.32) показывают, что из измерений ан-
антиферромагнитного резонанса в слабых ферромагнетиках можно
определить не только эффективное поле анизотропии, но и поле
Дзялошинского Нц, что особенно важно для слабых ферромагнети-
ферромагнетиков. Следует обратить особое внимание на низкочастотную ветвь
антиферромагнитного ре-
резонанса в слабых ферро-
ферромагнетиках. Эксперимен-
Эксперименты показали [4], что
формула E.3.31) нужда-
нуждается в уточнении. Дело в
том, что взаимодействие
с другими типами воз-
возбуждений существенно ис-
искажает низкочастотную
ветвь антиферромапшт-
ного резонанса, приводя
в области пересечения к
смешиванию разных ти-
типов колебаний и возник-
45 Н,пЭ
Рис. 5.12. Спектр АФМР МпСО3 [26]
новению связанных волн.
Прежде всего это вза-
взаимодействие низкочастотной и высокочастотной ветвей анти-
антиферромагнитного резонанса. Поскольку соь начиная с малых
значений, монотонно возрастает с ростом поля Но, а со2 практичес-
практически не зависит от Но, то при достаточно больших полях эти ветви
должны пересекаться. На рис. 5.12 показано такое смешивание
ветвей для МпСО3, которое появляется, если внешнее поле Но вы-
вывести из базисной плоскости всего на 6°.
Еще более интересным является изучение аналогичных взаимо-
взаимодействий с качественно иными типами возбуждений в кристалле,
поскольку оно открывает путь изучения этих возбуждений мето-
методом антиферромагнитного резонанса. Обнаружен, например, та-
такой интересный эффект, как влияние на низкочастотную ветвь
сверхтонкого взаимодействия, т. е. возбуждение связанных элек-
электронно-ядерных колебаний в кристаллах KMnF3, MnCO3 и CsMnF3.
В гематите в низкочастотной области существенным оказалось
влияние магнитоупругого взаимодействия, т. е. возникновение свя-
связанных спин-фононных колебаний. Поскольку спектр упругих коле-
колебаний (фононов с к^О) можно изобразить прямой, совпадающей
с осью абсцисс, то пересечение возникает в начале координат, и в
результате в спектре низкочастотной ветви антиферромагнитного
резонанса возникает щель при #=0. Боровиком-Романовым и Ме-
Мещеряковым [4] обнаружено расщепление низкочастотной ветви в
СоСО3, вызванное взаимодействием неизвестного происхождения.
311

Предполагается, что дополнительная ветвь в СоСО3 является кол-
коллективизированным движением спинов магнитных примесей.
§ 5.4. РЕЗОНАНС И РЕЛАКСАЦИЯ ДОМЕННЫХ ГРАНИЦ
Изменение средней "намагниченности, наблюдающееся в слабых
полях, обусловлено в основном изменением в соотношении объемов
доменов, намагниченных в противоположных направлениях вдоль
легкой оси (для одноосного кристалла), путем смещения домен-
доменных границ. Обратимость этого процесса указывает на то, что гра-
граничный слой, находясь в положении равновесия, удерживается в
нем квазиупругой силой. Рассмотрим 180°-ную границу. Пусть
внешнее поле Я направлено параллельно границе. Тогда на едини-
единицу площади доменной границы действует эффективная сила вели-
величиной 2ISH (см. § 3.8). Это давление приводит к упругому смеще-
смещению х, причем ;
ax=2/stf, E.4.1)
где а — упругая постоянная. Можно найти соотношение между на-
начальной восприимчивостью ха и константой а.
Если через / обозначить среднее расстояние между двумя гра-
граничными слоями, то величина х/l представляет собой долю пере-
перемагниченного полем Я объема, а hxjl — возникающее при этом
изменение результирующей намагниченности. Таким образом, с
учетом E.4.1) получаем
2/2
E.4.2)
/а
В § 3.7 было показано, что движущаяся граница обладает эф-
эффективной массой тгр (на 1 см2 границы). Движущаяся граница
испытывает также действие сил трения. С учетом сказанного мож-
можно записать уравнение движения границы в малых полях
mrp'x — $'x-rax=--2IsH. E.4.3)
Если внешнее поле изменяется периодически (Н ~ Яое*м0, то ре-
решение E.4.3) будет иметь вид
х= £• . E.4.4)
со со8 V ;
1 + ' »! " СО2
Для восприимчивости получаем выражение
х (со) = .*! , E.4.5)
»! »
312

где соо =
пгр
— резонансная частота, а сох ^ — — релаксацион-
ная частота.
Таким образом, зависимость восприимчивости от и может
иметь резонансный характер. Если х(со) имеет резонансный вид
(рис. 5.13), то вещественная часть восприимчивости xi (х = хг—1x2)
обладает максимумом и
минимумом, лежащими % Л ■* X
недалеко от резонансной
частоты со0. Максимум
мнимой части Х2(со) прак-
практически совпадает с со0.
При увеличении затуха-
затухания максимум xi исчеза-
исчезает, а минимум, сглажи-
сглаживаясь, смещается в сто-
сторону высоких частот. Мак-
Максимум Х2, уменьшаясь,
смещается в сторону низ-
низких частот. Спектр при-
приобретает релаксационный
характер, который харак-
характеризуется наличием мак-
максимума хг(со) и релакса-
релаксационным спадом xi (со)
в области релаксацион-
соь причем,
из E.4.5),
2
L у\
_■
, У.,
250 J00
350
В
400 450
СО12Ж, Мец
ной частоты
как следует
хГх-
Рис. 5.13. Магнитные спектры, обусловлен-
обусловленные колебаниями границ: а — резонансный
спектр (добротность Q=Vatnrpl$>\)\ б —
релаксационный спектр (Q<1); в — магнит-
магнитный спектр монокристалла кобальтового
феррита [27]
Величина затухания
определяется многими
причинами, которые мо-
могут иметь различную степень важности в том или другом конкрет-
конкретном материале.
1. Токи Фуко, возникающие при изменении магнитного потока
в материале. В металлах этот вид затухания является преобла-
преобладающим.
2. Так называемое истинное затухание, связанное с релаксацией
спина при прецессии и определяемое величиной е в уравнении Лан-
Ландау— Лифшица C.7.11).
3. Магнитная вязкость или магнитное последействие. Этими тер-
терминами объединяются проявления сил трения, которые нельзя не-
непосредственно связать ни с первой, ни со второй причинами.
Экспериментально наблюдалась вязкость с необычайно большими
постоянными времени порядка нескольких часов.
Собственные частоты спинового резонанса и резонанса домен-
доменных границ лежат в различных частотных диапазонах. Спиновый
313

резонанс наблюдается в сантиметровом диапазоне, а резонанс
границ — в области метровых волн. Это создает возможность для
уверенного наблюдения и выделения спектров колебаний границ.
Рассмотрим теперь несколько детальнее некоторые из резо-
резонансных и релаксационных процессов, определяющих динамическое
поведение смещающихся доменных границ.
Самый простой из релаксационных механизмов — потери на
токи Фуко. Эти потери можно рассчитать непосредственно из урав-
уравнений Максвелла. И хотя было показано [5], что правильное вы-
выражение для диссипативной части магнитной восприимчивости
можно получить непосредственно из рассмотрения смещения плос-
плоскопараллельных 180°-ных границ, учет дискретной структуры мо-
может стать существенным при малом числе доменных границ в
образце. В подавляющем большинстве случаев можно ограни-
ограничиться рассмотрением непрерывной среды, которое дает
к2= —^— ц_ ft2 со, E.4.6)
2 Щ>с* Га V
и рассматривать токи Фуко как фон, который нужно вычесть,
чтобы выявить наличие других типов релаксации.
Наиболее сложными являются релаксационные механизмы
магнитной вязкости. В качестве примера рассмотрим один из
сравнительно хорошо изученных вязкостных процессов, обуслов-
обусловленный диффузией примесных атомов в решетке кристалла.
Как показано в § 3.2, физическая причина ориентационной
анизотропии состоит в стабилизации ориентации вектора U путем
диффузии примесных атомов или других дефектов решетки. По-
Понятно, что эта же причина должна приводить и к стабилизации
положения доменной границы в образце путем стабилизации век-
вектора Ь в каждом участке самой доменной границы. При движении
доменной границы этот процесс должен вызывать вязкостные эф-
эффекты с характерным временем диффузии.
Поскольку время диффузии можно регулировать изменением
температуры в широких пределах, мы получаем возможность полу-
получения времен релаксации намагниченности порядка нескольких
минут, часов и даже месяцев.
Этот же физический механизм приводит и к другому интерес-
интересному процессу, известному под названием дезаккомодации магнит-
магнитной проницаемости. Если достаточно резко изменить положение
доменных границ в образце и затем начать измерять его началь-
начальную проницаемость \ia как функцию времени, то опыт показывает,
что Ца уменьшается. Это можно понять как результат постепенной
стабилизации положения доменной границы в данном месте, уг-
углубления потенциальной ямы, в которой она находится, и соответ-
соответствующего увеличения ее крутизны, определяющей (см. § 3.9)
величину начальной магнитной проницаемости материала.
Наиболее интересными, важными и хорошо изученными явля-
314

ются процессы, связанные с истинным затуханием, т. е. с релак-
релаксационным членом е в уравнении Ландау — Лифшица.
Следует обратить внимание на относительную величину релак-
релаксационного члена. Как раз переход к случаю истинного затухания
(т. е. резкое уменьшение абсолютной величины затухания при
движении доменных границ в тонких металлических пленках и
в совершенных диэлектрических монокристаллах) дал возможность
Рис. 5.14, Резонансные колебания до-
доменной границы около положения
равновесия, наблюдавшиеся с по-
помощью эффекта Фарадея
ЮО ПО НК>Э
Рис. 5.15. Резонансные частоты до-
доменной границы, полученные из кри-
кривых типа изображенной на рис. 5.14
наблюдать процессы резонанса и релаксации доменных границ в
чистом виде. При воздействии переменного магнитного поля не-
неоднократно наблюдались резонансные пики на кривых zi(co), обус-
обусловленные резонансом доменных границ (рис. 5.13).
Наиболее эффективными в этом отношении являются недавно
осуществленные эксперименты по непосредственному наблюдению
колебательного режима при установлении равновесного положения
доменной границы магнитооптическим методом. Поскольку эффект
Фарадея осф пропорционален намагниченности (см. § 5.5), то,
освещая небольшой участок вблизи доменной границы, можно лег-
легко осуществить вариант, при котором аф будет пропорционален
амплитуде смещения границы х. На рис. 5.14 представлены экспе-
экспериментальные результаты [6], полученные на гранатовой пла-
пластинке для смещения границы х в зависимости от времени после
включения поля Н. Решение уравнения E.4.3) для этого случая
запишется в виде
x -■-- x0 I 1 - exp (• Xj [cos coo
l—(©„fr'sinco^] , E.4.7)
где
12/ctf
т =
2m
rp
mT
315

Время релаксации т и резонансную частоту соо можно опреде-
определить непосредственно из кривых, представленных на рис. 5.14, а по-
постоянную а—из статических измерений. На рис. 5.15 представлены
определенные таким образом значения а<Н2), где Нг — поле в
плоскости пластинки (управляющее поле для аппликаций в устрой-
устройствах с ЦМД (см. § 3.6)). Значение ы при экстраполяции Hz->-0
использовано в табл. 5.1 для определения /ягр, а значение, т — для
определения постоянных затухания в уравнении Ландау — Лиф-
шица е и а C.7.11), C.7.12). При этом учтены следующие соотно-
соотношения, связывающие т, 8 и подвижность границы ц:
П=/5т/ткр, E.4.8)
И
а --
К
в' = e/v'2 = a /s/y-
E.4.9)
E.4.10)
Для сравнения укажем, что значения е', найденные из измере-
измерений ферромагнитного резонанса для чистых ферритов-гранатов,
равны 0,006-Ю-7 для Y3Fe5012 и 0,19-10~7 для GdFe5Oi2. Пред-
Представленные в табл. 5.1 результаты расчетов обнаруживают непло-
неплохое согласие с экспериментом (Н — толщина пластинки). При этом
следует учесть, что для гранатов данного состава не измерялись
обменная константа А и параметры затухания с помощью ферро-
ферромагнитного резонанса.
Таблица 5.1
Резонансные и релаксационные характеристики доменной границы
в пластинке феррита-граната Сдо.иУг.БвРз.эОа^О^
ft,
мкм
4,52
Г(?
132
"к-
э
347
А, 10~7
эрг/см
1,52
т теор
гр
эксп
т
гр
10-10 г/см'
0,56
0,96
а
0,024
10"'Э2с
0,14
м/с
105
м/с
33
vo,
м/с
9,8
vp
эрг
см
46
14
к
Ii
э a
20
Подвижность доменной границы может быть аналогичным об-
образом определена из аналогичных магнитооптических измерений
зависимости х(ы) в области релаксационной частоты coi [7]. Если
o)i-С«о, то в E.4.4) можно пренебречь резонансным членом и по-
получить для х(со) релаксационный спад в виде
■*■<>
E.4.11)
При релаксационной частоте ом амплитуда раскачки границы в
переменном поле уменьшается вдвое. Упругий коэффициент а лег-
легко определяется из статических измерений, коэффициент трения
316

p — из выражения coi = a/p, а подвижность границы по определе-
определению
Р
Н
E.4.12)
На рис. 5.16 представлены экспериментальные зависимости х(а)
для гольмиевого феррита-граната при различных температурах, а
х.мкм
1000
Рис. 5.16. Кривые частотной зависимости амплитуды раскачки доменной границы
в НоРеОз, полученные магнитооптическим методо!\1
на рис. 5.17 вычисленные значения подвижностеи доменных границ
для различных ферритов-гранатов.
Заметим, что релаксационные спектры для магнитной воспри-
восприимчивости типа представленных на рис. 5.16 являются одной из
основных характеристик радиотехнических ферритов, поскольку
они определяют рабочую частотную область данного материала.
Завершая рассмотрение релаксации доменной границы, напом-
напомним, что учет коэрцитивности материала (в хороших материалах
при сравнительно больших внешних полях ею можно пренебречь)
проводится путем вычитания из действующего поля эффективной
317

высоты потенциальных барьеров, критического поля Яо, или, что
в данном случае то же самое, коэрцитивной силы Яс, т. е.
v=r\(\H\~Hc), \H\>HC.
E.4.13)
TmFeOj
YFeOr
50 100 150 200 259 JOO 350
Рис. 5.17. Температурная зависимость подвижности доменных границ в ортофер-
ритах, полученная из измерений типа представленных на рис. 5.16
В важном случае движения цилиндрического домена в неодно-
неоднородном магнитном поле уравнение E.4.13) преобразуется в
v=
дН
|ЛЯ|>
8НС
E.4.14)
где AH=d-21Ц d~диаметр ЦМД.
дх
Очень интересен вопрос о предельной скорости движения до-
доменной границы. Интерес к этой проблеме возрос в последнее вре-
время из-за практической важности скорости движения доменных
границ в устройствах с ЦМД.
Само утверждение, что предельные режимы в скорости движе-
движения доменной границы должны существовать, т. е. что формула
C.7.18) не может остаться справедливой при сколь угодно боль-
318

тих Н, можно сделать на основании самых общих соображений.
Если вспомнить (§ 3.7), что движение доменной границы можно
рассматривать как прецессию спинов, находящихся внутри домен-
доменной границы, в поле Нх = —Anfsx, можно легко получить выраже-
выражение для предельной скорости движения 180°-ной доменной гра-
границы уКрит- Понятно, что величина Нх не может превысить значе-
значения —4л/5, поэтому, воспользовавшись формулами C.7.26) и
.C.7.27) и оценкой 0' = я/6, получаем
— • E.4.15)
Понятно, что это — завышенное значение для критической скоро-
скорости, поскольку в рассмотренном случае движущаяся граница пол-
полностью изменяет свою блоховскую структуру. Однако, во-первых,
мы увидим, что реальное расчетное значение критической скорости
всего в два раза меньше полученного и, во-вторых, здесь отчетливо
видно, что существование критической скорости имеет не диссипа-
тивную, а гироскопическую природу.
Уокер [8] первый поставил вопрос о существовании критиче-
критической скорости движения плоской бесконечной границы и получил
для нее формулу
£-• E-4Л6)
Тот факт, что численный коэффициент в E.4.16) всего в два
раза меньше по сравнению с E.4.15), можно истолковать таким
образом, что граница при скорости v\\- еще сохраняет свою струк-
структуру, но составляющая намагниченности на ось х уже достигла
величины, сравнимой по порядку, с /s.
Для тонких пленок и пластинок толщиной h расчеты аКрит с
учетом структуры границы и влияния поверхности проводили Шле-
манн и Слончевский, н в результате Слончевским [9] получены
•формулы для пикового значения критической скорости
vp= 24\AlhVK, E.4.17)
и для критической скорости в режиме установившегося движения
с учетом не только вертикальных, но и горизонтальных блохов-
ских линий (в том числе и процессов их генерации, движения и
аннигиляции в границе)
va=7,\yAihV~K . E.4.18)
Причины, приводящие к появлению вертикальных блоховских
линий в доменных границах, рассмотрены в § 3.5 и 3.6. Возмож-
Возможность появления в границе также и горизонтальных блоховских
линий можно пояснить на примере 180°-ной доменной границы,
319

расположенной в тонкой пластинке в плоскости xz (ось х направ-
направлена вдоль границы). Ось легкой анизотропии параллельна оси z,
поэтому вектор намагниченности в соседних доменах направлен
вдоль ±z. При такой геометрии в центральном сечении рассмат-
рассматриваемой 180°-ной границы вектор Is должен был быть направлен
вдоль оси х. Однако магнитные полюса соседних доменов стре-
стремятся повернуть вектор 15 доменной границы вблизи поверхности
в плоскости ху. Понятно, что это может привести к образованию
в границе переходного участка типа блоховской линии, но уже ье
вертикальной, а горизонтальной. А генерация, движение и анниги-
аннигиляция таких горизонтальных блоховских линий в движущейся до-
доменной границе, как показали расчеты Слончевского, оказывают
существенное влияние на величину критической скорости ее дви-
движения.
В таблице 5.1 приведены расчетные значения vw, vv и v0, a
также экспериментальное значение vm&x, полученное в работе[6].
Видно удовлетворительное согласие теории с экспериментом. Вме-
Вместе с тем следует отметить, что экспериментальные наблюдения
критических режимов движения доменных границ еще только на-
начались и здесь много неясного. Например, в работе [10] сооб-
сообщается, что в монокристаллах иттриевого ортоферрита достигнуты
режимы движения границ со скоростями, значительно превышаю-
превышающими предельную уокеровскую скорость E.4.16). Расчет по E.4.16)
дает для иттриевого ортоферрита значение 1>,г=3200 и/с. В то же
время при #=200 Э получено экспериментальное значение z> =
= 8300 м/с. Наблюдался только небольшой излом линейной зави-
зависимости v(H) при i>=3400 м/с (#=70 Э), который можно интер-
интерпретировать как проявление уокеровского механизма. Заметим
также, что для слабых ферромагнетиков необходим учет поля Дзя-
лошинского и по причине малости /s уже недостаточно рассматри-
рассматривать прецессию спинов только в размагничивающем поле границы
Ьп1х, а необходимо учитывать и непосредственно прецессию спи-
спинов во внешнем магнитном поле Н (для иттриевого ортоферрита
4я/л.~100Гс).
В заключение этого параграфа кратко рассмотрим вопрос об
особенностях ядерного магнитного резонанса (ЯМР) в ферромаг-
ферромагнетиках. На первый взгляд не видно никакой связи между движе-
движением доменных границ в переменных магнитных полях и резонанс-
резонансной прецессией ядерного спина. Однако именно в ферромагнетиках
такая связь существует. Дело в том, что для ядер, находящихся
внутри движущихся доменных границ ферромагнетика, интенсив-
интенсивность ЯМР увеличивается примерно в 105—106 раз, и поэтому в
основном наблюдаемый сигнал ЯМР обусловлен как раз этими
ядрами.
Поясним это на простой модели. Пусть образец состоит из
малых сферических частиц радиуса г, каждая из которых являет-
является двухдоменной, и 180°-ная доменная граница разделяет частицу
на две полусферы. При наложении переменного радиочастотного
320

поля Н граница будет колебаться с амплитудой 2х. Если
где б — ширина границы, то угол, на который поворачивается спин,
находящийся в перемагничивающемся объеме, в среднем равен
0=-^-. E.4.19)
о
Из-за колебания спина на угол 0 возникает поперечная пере-
переменная, слагающая поля на ядре Нп , которая при малых 0 равна
#;{-=#л0. E.4.20)
Переменные поля Я и hh имеют одинаковую частоту, и их роль
в ЯМР будет определяться отношением их амплитуд. Отношение
*)н= Н^г/Н назовем коэффициентом усиления ЯМР по полю.
Тогда из E.4.19) и E.4.20) получаем
^ E.4.21)
Н Н8
Отношение х/Н оценим, предполагая, что начальная восприимчи-
восприимчивость сферических частиц равна восприимчивости формы \/N = 3Un
(§ 1.2). Тогда, с одной стороны, I=H/N, а с другой I=3nr2xFs/Anr3
и xlH=rjnIs. В результате
Цн=-^-На. E.4.22)
Подставляя сюда значения #,г = 2,2-105 Э и /5=1400 Гс для ко-
кобальта (на котором в 1959 г. Госсард и Портис впервые обнару-
обнаружили ЯМР в ферромагнетиках), а также принимая г/б =10, полу-
получаем г]н=1600. Поскольку интенсивность поглощения мощности
при наблюдении ЯМР пропорциональна квадрату амплитуды дей-
действующего радиочастотного поля, т. е. коэффициент усиления ЯМР
по мощности f]p= Цн, получаем, что даже при учете объема, зани-
занимаемого доменной границей, сигнал ЯМР должен усилиться за
счет рассмотренного эффекта более чем в 105 раз. Аналогичное
усиление сигнала ЯМР в объеме домена за счет восприимчивости
вращения Хдр также происходит, но должно иметь значительно
меньшую величину.
Отметим также другую существенную особенность ЯМР в фер-
ферромагнетиках. Поскольку резонансная частота ЯМР определяется
величиной постоянной слагающей действующего на ядро магнит-
магнитного поля, а это поле в ферромагнетиках составляет величину
105—106 Э, то частота ЯМР оказывается сдвинутой в длинноволно-
длинноволновый диапазон на несколько порядков по сравнению с частотой ЯМР
в неферромагнитных веществах. Экспериментальное обнаружение
ЯМР в ферромагнетиках задержалось, поскольку это обстоятель-
обстоятельство не учитывалось.
321

§ 5.5. МАГНИТООПТИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ. МАГНИТНАЯ
ВОСПРИИМЧИВОСТЬ НА ОПТИЧЕСКИХ ЧАСТОТАХ
Намагниченный ферромагнетик (так же, как и диа- и парамаг-
парамагнитные вещества), помещенный во внешнее магнитное поле, обна-
обнаруживает свойства двойного кругового и линейного двупреломле-
ния и дихроизма. Это приводит к появлению различных магнито-
магнитооптических эффектов на проходящем и отраженном поляризован-
поляризованном свете. Взаимодействие света с магнитоупорядоченными кри-
кристаллами отличается такими особенностями, которые дают осно-
основание выделить вопросы, относящиеся к физике магнитооптических
явлений в магнитоупорядоченных кристаллах. Открытие и иссле-
исследование целого ряда оптических эффектов, существующих только
в магнитных кристаллах, позволяют говорить о том, что оптика маг-
магнитных кристаллов оформилась в самостоятельное направление.
Рис. 5.18. Классификация магнитооптических эффектов в ферромагнетиках.
Эффекты отражения: а — полярное намагничивание, /—полярный эффект
Керра. 2— изменение интенсивности линейно-поляризованного света; б —
меридиональное намагничивание, 1 — меридиональный эффект Керра,
2— изменение интенсивности линейно-поляризованного света; в — эквато-
экваториальное (поперечное) намагничивание. 1 — экваториальный эффект Керра,
2— ориентационный магнитооптический эффект. Эффекты прохождения:
г—продольное намагничивание, эффект Фарадея; д—поперечное намаг-
намагничивание, эффект Фохта
Можно на магнитооптику ферромагнетиков взглянуть и с дру-
другой стороны, как на распространение исследования динамических
свойств магнитных кристаллов вплоть до частот оптического диа-
пазона. Исследование магнитоупорядоченных кристаллов магнито-
магнитооптическими методами стало за последние годы одним из популяр-
популярнейших направлений в физике магнитных явлений. Наряду с этим
магнитооптические методы находят все большее распространение
и в технике. Этот параграф посвящен классификации магнитоопти-
магнитооптических эффектов, а следующий — способам их использования в
физике и технике. Мы не будем давать ссылки на работы, которые
упоминаются в обзорах [11, 12].
На рис. 5.18 представлены способы наблюдения различных
■магнитооптических эффектов. Можно разделить их на эффекты,
наблюдающиеся на проходящем через лМагнитный кристалл свете,
и эффекты влияния на отраженный от кристалла свет. Можно так-
322

же разделить магнитооптические эффекты на продольные и попе-
поперечные по характеру распространения света относительно вектора
Is. К продольным относится эффект Фарадея и эффекты при поляр-
полярном и меридиональном намагничивании, к поперечным — эффект
Фохта и эффекты при экваториальном намагничивании. Важным
является также разделение магнитооптических эффектов на четные
и нечетные по I. Из представленных на рис. 5.18 квадратичными
по намагниченности являются эффект Фохта и ориентационный
магнитооптический эффект, остальные эффекты в первом прибли-
приближении зависят от намагниченности линейно.
В 1845 г. Фарадей открыл первый магнитооптический эффект,
названный его именем. Эффект Фарадея обусловлен круговым дву-
преломлением, т. е. различием показателей преломления для лево-
и правополяризованного по кругу света, что вызывает поворот
плоскости поляризации и появление эллиптичности линейно-поля-
линейно-поляризованного света;
Эффект Фохта (его часто называют эффектом Коттона — Му-
Мутона) обусловлен линейным двупреломлением света, т. е. разли-
различием комплексных показателей преломления для линейно-поляри-
линейно-поляризованного света с е||1 и е_|_1.
Полярный и меридиональный эффекты Керра выражаются во
вращении плоскости поляризации и в появлении эллиптичности
отраженного от магнетика линейно-поляризованного света. Они
родственны эффекту Фарадея и по происхождению, поскольку
обусловлены круговым двупреломлением света. Ниже мы покажем,
что при полярном и меридиональном намагничивании магнитоупо-
рядоченного кристалла можно также при определенных условиях
наблюдать эффекты изменения интенсивности линейно-поляризо-
линейно-поляризованного света.
Экваториальный эффект Керра состоит в изменении интенсив-
интенсивности и сдвиге фазы линейно-поляризованного света, отраженного
магнитным кристаллом.
При изменении ориентации вектора намагниченности от по-
поперечной к продольной наблюдается также квадратичный по на-
намагниченности эффект изменения интенсивности отраженного
света — ориентационный магнитооптический эффект.
Различные магнитооптические эффекты должны быть связаны
между собой, поскольку они имеют единое происхождение, обус-
обусловлены наличием кругового или линейного двупреломления света,
причем линейное двупреломление должно также обязательно по-
появляться, как эффект второго порядка при рассмотрении круго-
кругового двупреломления. В простейшем случае изотропной среды или
кубического кристалла тензоры диэлектрической и магнитной про-
проницаемости, описывающие гиротропные свойства среды, представ-
представляют собой антисимметричные тензоры второго ранга с одной
комплексной недиагональной компонентой. Если эта компонента
отлична от нуля в тензоре диэлектрической проницаемости, то
среда называется гироэлектрической, если в тензоре магнитной
32а

проницаемости — гиромагнитной, если в обоих — бигиротропной.
Выведем формулы для магнитооптических эффектов в общем слу-
случае бигиротропной среды, а также рассмотрим вопрос о разделе-
разделении гироэлектрического и гиромагнитного вкладов.
Пусть среда, намагниченная вдоль оси z, характеризуется тен-
тензорами е и (х вида
(
ieM е 0 1 0*«) = (*>ЛГ ц О I, E.5.1)
/
e
ieM
0
— ieM
e
0
°\
0 .
J
(Ы = 1
1
f Ц
ц
О
О
О
Но
где М = М1 — Ш2, М = М\ — iM2 — комплексные магнитооптические
параметры среды, которые пропорциональны намагниченности среды,
а (х = Hi — 1ц2. е — ех — ie2 — комплексные магнитная и диэлектри-
диэлектрическая проницаемости среды. Будем искать решение уравнений
Максвелла
E.5.2)
в виде плоской монохроматической волны частоты ю:
rnt H
divB =
D=(e)
1
с
0,
Е,
да
dt '
rot F
divD =
В=(ц)
1
с
0,
н,
дВ
dt
' c ;- E.5.3)
Здесь a*, E*, y* — направляющие косинусы волновой нормали; 31* =
= п* — ik* — комплексный показатель преломления намагниченной
среды (при 1=0 3l*^SR^/z — ik); с — скорость света в вакууме.
Подставляя E.5.3) в E.5.2) и выражая Е через Я, получаем систе-
систему уравнений относительно Нх, Ну, Я2:
= р\Ви \tn\-\- -^-(Шяа— 1) +
I L е J
E.5.4)
Я,-Р*АЯ= р {В, [т + -^-(Шлр - 1)
324

Y*
где
А Я = аНх -f р*Яу - yX. В*
В, - »ц ЛГЯХ -г ц//,, m = 1 - М\ п,= 1~£2 , I --= а, р, у;
Эта система имеет отличное от нуля решение при условии равен-
равенства нулю ее определителя, откуда и получается уравнение для
определения показателя преломления бигиротропнои среды
[eoY*2 -г е («*2 ~ Р*2)] [HoY*2 г ц (а*2 ^ Р*2)] ^ -
- [eVMo A ~ ЛР) (а*2 + Р*2) J- еое(д2 A - /W'2) (а*2 -f p*2) +
-f 2еоцоецA -f AfAf')] SR*2 -f eo^ioeV A - Af-) A — M'2) = 0. E.5.5)
Корни уравнения E.5.5) можно найти в общем случае, т. е. при
произвольных а*, р*, у*-
Рассмотрим эффект Фарадея в бигиротропнои среде при про-
произвольном у*. Из E.5.5) при условии М<С1, ЛГ<С1 получим сле-
следующее выражение для показателя преломления:
Я*± = еоЦо A ± Y* (Af - М-)], E.5.6)
где плюс и минус, как обычно, соответствуют право- и левополя-
ризованным эллиптическим волнам. Так как эффект Фарадея про-
пропорционален величине п+—я_, то параметры М и М' войдут в
формулу для угла вращения аддитивно, и, следовательно, разде-
разделить влияние гироэлектрических и гиромагнитных свойств в этом
случае невозможно. Аналогичный результат получается для по-
полярного и меридионального эффектов Керра. Заметим, что эта
группа магнитооптических эффектов, в формулах для которых па-
параметры М и М' не разделяются, характеризуется одним общим
свойством: слагающая вектора намагниченности на волновую нор-
нормаль отлична от нуля, т. е. эти эффекты являются продольными.
Возможность разделения влияния параметров М и М' получается
в случае поперечных магнитооптических эффектов, к рассмотрению
которых мы и перейдем.
Рассмотрим отражение электромагнитной волны от бигиротроп-
бигиротропнои среды, намагниченной в направлении г, перпендикулярном
плоскости падения (экваториальное намагничивание). В этом слу-
случае y=0, нормальными типами волн являются s- и р-волны, что
325

следует из системы уравнений E.5.4). Действительно, при НгФт
НХ = НУ = О (р-волна) первое и второе уравнения обращаются
в тождества, а из последнего уравнения системы следует
П1 = п2р= ецоA— М2). E.5.7)
При Нхф0фНу, Нг — О (s-волна) из первых двух уравнений систе-
системы следует, что
гг& = п2 ~еоц (Г— М2). E.5.8)
Запишем падающую, отраженную и преломленную волны соот-
соответственно в виде
где
г О О
С1 v —4— IV. , , (Xv ' Р*у
и учтем, что проекции напряженности магнитного поля на коорди-
координатные оси выражаются через амплитуды падающих и отраженных
s- и р-волн следующим образом:
*; Hdy=D2eia\ Hdz= D3e;<0T^ E.5.9)
Тогда находим выражения для тангенциальных компонент электри-
электрического поля в падающей, отраженной и преломленной волнах:
а Ар
/СО
1@ ^ (СО
('соео
- М* 3
^D1~atD2\. E.5.10)
Условия непрерывности тангенциальных слагающих электрического и
магнитного полей на границе раздела
ра рт _ с-''. ра л- г? — Fd-
Hay^Hru=Hdy; Hl + H^Hi
326

с учетом E.5.9) и E.5.10) приобретают следующий вид:
"г 1 — Л/2
E.5.11)
Из E.5.11) получаем коэффициент отражения (по амплитуде) для
р- волны
Имея в виду, что из условия div В = 0 следует
a* -f /Af'P* 2
получаем коэффициент отражения для s-волны
Rs
E.5.13)
Если считать, что М и М' <^ 1 и положить
е= еоA -ЬМ2 -...); ц--= Ml -Ъ' М'2-{- . ..), E.5.14)
то вместо E.5.12) и E.5.13) можно записать
Rp an—-a* li0 o-i/г сф^о /- - ,->
= Aim. ; (о.0.1 о)
Ар an — а* j.i0 (ал — a*j.i0J
—— = ага~а е<> 2Ш' ^5» E.5.16)
Л5 an 4- а*е0 (art + а*е0J
Изменение интенсивности отраженного света при намагничивании
для р- и s-волн выразится следующим образом:
М, А -^ MS
6o=2sin2ffi-^—'■——, E.5.17)
где
В = 8i COS2 ф — (Ij -р
б5-281п2ф—' ~' ?—, E.5.18)
327

где
А = [i2 cos2 ф — е2 —
В = цх cos2 ф -—ех -f-
щ sin2
u2 + w2
[xt sin2 ф
Таким образом, мы получили формулы для экваториального
эффекта Керра, которые можно использовать для определения
величины гироэлектрического и гиромагнитного параметров в от-
отдельности, поскольку они разделились в формулах E.5.17) и
E.5.18). Однако поиски гиромагнитных эффектов — это самостоя-
самостоятельная сложная проблема, поскольку в подавляющем большин-
большинстве случаев магнитооптические эффекты определяются гироэлек-
трическими свойствами среды. Поэтому приведем сначала удобные
для использования формулы для различных магнитооптических
эффектов в предположении М' = 0, а затем вернемся к вопросу о
тензоре магнитной проницаемости.
Для эффекта Фарадея
аФ = Re -2- C1- — Ю+) E.5.19)
получаем (используя E.5.6) при у* = 1, М ~ 0) формулу
аФ = — Re (SR М) = — (лЛ^ — Шг). E.5.20)
Вводя для недиагональной компоненты тензора е в E.5.1) обозна-
обозначение
е/И=е' = е,' —«а, E.5.21)
можно получить из E.5.17) следующие формулы для экваториаль-
экваториального эффекта Керра:
8р=аг[ + Ье2, E.5.22)-
где
Ах — 82B8! cos2 ф — 1), Вх = (ео — е,) cos2 ф -|- гх —81п2ф.
Приведем без вывода полученные аналогичным образом фор-
формулы для других магнитооптических эффектов. Вращение плоско-
плоскости поляризации при полярном эффекте Керра
а?,Р == а* о ei Jr bs,k e2, E.5.23)
328

л..Р =
где
__ cos ф [е2 (п cos ф + вт2ф) + (ех — 1) ft cos ф]
asp— — 1
[(ех — IJ + el] [(n cos ф + sin2 фJ + ft2 cos2 ф]
, _ cos ф [(в! — 1) (n cos ф + sin2 ф) — etk cos ф] .- K 0,<
[fa — IJ + e|l К" cos ф ± sin2 фJ + ft2 cos2 ф]
Вращение плоскости поляризации при меридиональном эффекте Керра
as,p= aSiPei -r ^s,oe2! E.5.25)
sin 2ф [е2 (п sin2 ф + ех cos ф) + et (k sin2 ф ± е2 cos ф)]
2 (е] + el) [(n cos <p ± IJ + k* cos2 <p] [(cos <p q= пJ + ft2]
E.5.26)
t _ sin 2ф [zp ei (ex cos ф ± п sin2 ф) ± еа (e2 cos ф ± ft sin2 ф)]
2 (ef + e|)J(n cos <p ± IJ + ft2 cos2 <p] [(cos <p + nJ + ft2]
Приведенные выше формулы определяют величину поворота
плоскости поляризации линейно-поляризованного света при на-
намагничивании образца. Интенсивность отраженного света при этом
не изменяется. Оказалось [13], что если плоскость поляризации
линейно-поляризованного света занимает некоторое промежуточное
положение между р- и s-поляризациями, то интенсивность отра-
отраженного света изменяется уже в линейном приближении по /.
Соответствующие формулы для этих эффектов имеют вид:
С = sin 2Ф sin Ф
Y т (<7 + соз2ф) (<?со52ф+1) 4л2соз2ф С
С-ВШ26 c;cos29 , E.5.27)
(cos2 ф + <?)(<? cos2 ф + 1) — 4п2 cos2 ф С
-где q = n2 + k2, D=sm2qs'mqn(q—1), 0 — угол отклонения плоско-
плоскости поляризации от р-компоненты.
Перейдем теперь к магнитооптическим эффектам, пропорцио-
пропорциональным квадрату намагниченности. Эффект Фохта (E.5.7),
E.5.8)) мы рассматривать не будем. Это малый эффект второго
порядка по М, сопутствующий эффектам первого порядка анало-
аналогично тому, как поперечный эффект Зеемана сопутствует продоль-
продольному (эта аналогия имеет глубокий физический смысл, иногда по-
полезно рассматривать магнитооптические эффекты как следствие
эффекта Зеемана). Наиболее интересными оказались квадратич-
.ные магнитооптические эффекты, обусловленные другими физиче-
329

скими причинами, поскольку, во-первых, они могут достигать боль-
большой величины и, во-вторых, с их помощью можно изучать другие
особенности строения магнитных кристаллов и их взаимодействия
со светом.
Например, при повороте вектора I на 90° от экваториального
намагничивания к меридиональному (см. рис. 5.18) возникает
ориентационный магнитооптический эффект, т. е. квадратичное по
намагниченности изменение интенсивности отраженного света,
обусловленное (см. § 2.7) изменением электронной структуры фер-
ферромагнетика за счет спин-орбитального взаимодействия. Рассмот-
Рассмотрим анизотропию ориентационного эффекта [14]. Перепишем фор-
формулы для е E.5.7) в следующем виде:
ер = л'1 = ец0 A - М2) = п\ [1 -}- A - /) МЦ,
es = п? = е#0 = по. E.5.29)
Таким образом, линейное двупреломление, возникшее благо-
благодаря намагничиванию кубического кристалла, определяется квад-
квадратичной по / добавкой в п\. Подставляя An± в E.5.15), иожно
выделить члены второго порядка по М и в результате получить
формулу для интересующего нас изменения интенсивности отра-
отраженного света (при условии <%* = cosi|3=l)
E.5.30)
Используя это выражение, можно записать ориентациояный
эффект таким образом:
бор= (Дм± — Л/г и) / (п0, ф), E.5.31)
где Ап± и А/г л — соответствующие изменения показателя прелом-
преломления при экваториальном и меридиональном намагничивании, а
f(по, ф) от / не зависит. Задавая направление намагниченности
в плоскости (/, т, п) по отношению к кристаллографическим осям
направляющими косинусами а, и у, соответственно для эквато-.
риального и меридионального случаев, запишем'E.5.31) в виде
<Й1«.«> = (AV; ~ А V / ("о- Ф). ' E-5.32)
Для каждого An в E.5.32), как и для любого четного по на-
намагниченности эффекта, справедлив закон анизотропии C.3.13),
т. е.
А«аЭ- = тг (^пII )юо{ai Pi — азР2 + азРз ;
— 3 (Дла )ш (а^р^г -i- а2а3р2р3 Н- «ЛР^з). E.5.33)
330

где a,i и Pi — направляющие косинусы векторов I и напряженности
электрического поля Е световой волны, а (А/гцIОо и (ЛяцЬц —
изменение п для световой волны с Е || / для осей [100] и [111].
Подставляя теперь An из E.5.33) в E.5.32), получим выражение
для бОр в любом кристаллографическом направлении а*, т. е. при
переориентации вектора I от направления аг- к перпендикулярному
направлению у{
= - О
О»
- vl)
(«1
(YiY2 («A — Y1Y2) + Y2Y3 (а2а3 — Y2Y3)
— Y1Y3)}.
где коэффициенты
б[,0р0A1]оо)=-3(Ап||I00/(л0, Ф)/2
E.5.34)
соответствуют ориентацион-
ному эффекту, измеренному
для осей [001] и [ПО] в
плоскости A00). На рис
5.19 приведено сравнение
экспериментальных измере-
измерений анизотропии бОр в плос-
плоскости (ПО) с расчетом по
E.5.34). Линейный по
намагниченности экватори-
экваториальный эффект Керра в пер-
первом приближении изотропен.
Таким образом, квадра-
квадратичные магнитооптические
эффекты могут быть резко
анизотропными и даже из-
изменять знак при переходе от
одной кристаллографической
оси к другой. Кроме того,
квадратичный эффект бОр
сравним по порядку величи-
величины с линейным экваториаль-
экваториальным эффектом Керра бр.
Еще более ярко это обстоя-
обстоятельство выступило при изу-
изучении линейного двупрелом-
ления света, проходящего
через' намагниченный кри-
кристалл. Смоленский с сотрудниками [15] показали, что в ферритах-
гранатах и других ферримагнетиках и слабых ферромагнетиках
Рис. 5.19. Анизотропия ориентационного
магнитооптического эффекта в плоскости
(ПО) для двух длин волн: / — 0,31 эВ,
2 — 0,7 эВ, 3 — значения ОМЭ, рассчи-
рассчитанные по формуле E.5.34), 4 — эквато-
экваториальный эффект Керра, fta=0,7 эВ,
Ф=80°
331

магнитное линейное двупреломление света может даже превосхо-
превосходить по величине круговое двупреломление, приводящее к эффекту
Фарадея (табл. 5.2). Затем Боровик-Романов с сотрудниками [16J
исследовали антиферромагнитные кристаллы и также нашли боль-
большое линейное двупреломление, возникающее благодаря их маг-
магнитному упорядочению. Следует обратить внимание на то, что
основным в линейном магнитном двупреломлении некубических
антиферромагнетиков оказался вклад изотропного члена, пропор-
пропорционального квадрату вектора антиферромагнетизма L. Рассмот-
Рассмотрим этот вопрос несколько подробнее на примере фторидов груп-
группы железа типа MnF2 (пространственная группа D±n).
Таблица 5.2
Линейное и круговое двупреломление света в магнитных кристаллах
EuSe
EuO
RbNiF3
RbFeF3
a-Fe2O3
YsFe6Ol2
Tb3Fe50l2
T , °K
7
69
139
102
950
550
568
4,2
4,2
77
77
295
295
77
Длина
волны,
X, мкм
0,75
10,6
0,55
0,56
1,15
1,15
1,15
Двупреломление
Фохта
Дп-105
1150
1070
2,2
25
21
4
72
град/см
5,5X10*
3600
142
1600
657
125
2250
Эффект
Дп-105
5900
400
3
22
2,5
16
120
Фарадеп
град/см
14X10*
660
95
680
40
260
1900
Из соображений симметрии, используя инварианты относитель-
относительно преобразований симметрии группыО]*, можно записать выра-
выражение для плотности внутренней электромагнитной энергии для
антиферромагнитных фторидов в виде [16]
б = <эо
-1Е2 L — А2 (Ех — Еу) L -- А3 Ez Lz --
-'- Я4 (Е2Х -г Е]) Li —
(EXLX — EyLy) —
{Е\
E.5.35.)
Е\) (U—
Ось Z направлена по оси четвертого порядка [001], оси X и
У — по осям второго порядка [100] и [010], Еа — компоненты
электрического поля падающей волны, Хп — магнитооптические
коэффициенты. В выражении E.5.35) не учитываются члены, зави-
зависящие от т, т. е. предполагается, что двупреломление в антифер-
антиферромагнетиках определяется в первую очередь вектором антифер-
антиферромагнетизма L, поскольку величина m на два-три порядка меньше
величины L. Заметим, что, как и в предыдущем случае ориента-
ционного эффекта, при получении инвариантов типа E.5.35) для
конкретных кристаллов можно воспользоваться имеющимися в ли-
литературе выражениями для магнитоупругой энергии, нужно только
332

произвести замену компонент тензора деформаций е^ на произ-
произведения EvEk.
Дифференцируя § по £,-, Ek, находим компоненты тензора ди-
диэлектрической проницаемости
= г°±
2A3L2,
-j- 2Л8 (L? — L\),
- 2Х8 (L2X - L2y),
= еа;с = -—
гуг = «гу = "
E.5.36)
Здесь e_i_ и ец — главные диэлектрические проницаемости данного
одноосного кристалла в парамагнитном состоянии.
7, К
Лпм103
О
50
-1,0-
100
ISO
200
• •—П—»-«пг»
-2,0
Рис. 5.20. 1 — температурная здвнсимость магнитного двупреломлення в MnF2,
2 — зависимость квадрата намагниченности подрешеток от температуры из
экспериментов по ЯМР, 3 — разность этих величин
Если в E.5.35) учитывать только изотропнообменные члены, то,,
как видно из E.5.36), кристалл и при переходе в магнитоупорядо-
ченное состояние остается оптически одноосным, причем возникаю-
возникающее изотропное магнитное двупреломление пропорционально квад-
квадрату вектора антиферромагнетизма
E.5.37)
Возвращаясь опять к аналогии с магнитоупругими эффектами»
можно заметить, что это явление аналогично спонтанному изотроп-
изотропному изменению размеров кристалла при его переходе из парамаг-
333

нитного в ферромагнитное состояние, которое Н. С. Акулов назвал
термострикцией. На рис. 5.20 представлена температурная зави-
зависимость Апм для MnF2, полученная из экспериментальных данных
[16] после выделения вклада, связанного с термическим расшире-
расширением кристалла. Для MnF2 величина естественного двупреломле-
ния Ап=п°± — п°\ =1,499—1,472 = 0,027. Из рис. 5.20 видно, что
изотропное магнитное двупреломление довольно велико при срав-
сравнении его с естественным.
Анализ выражений E.5.36) в общем случае позволяет полу-
получить выводы о характере анизотропного магнитного двупрелом-
ления, возникающего при повороте вектора L, которое также на-
наблюдалось экспериментально, и об оптической двуосности кри-
кристалла магнитного происхождения. Заметим, что если вектор L
направлен вдоль оси [001] кристалла M11F2, то и учет анизотроп-
анизотропных по L членов в E.5.36) не приводит к двуосности кристалла,
а только изменяют вид формулы E.5.37) за счет появления членов
с Яз и Я4 (>vl заменяется на >,1+'Лз, а л2—на Х2+Х4). На этом мы
закончим рассмотрение магнитооптических эффектов, связанных
с тензором диэлектрической проницаемости, и вернемся к вопросу
о гиромагнитных оптических эффектах в магнитных кристаллах.
Вопрос об отличной от нуля недиагональной компоненте тен-
тензора ц'езцМ' в E.5.1) в физическом смысле формулируется так:
можно ли намагнитить кристалл магнитным полем световрй вол-
волны? Мы покажем, что ответ на этот вопрос положителен, ^причем
эффекты, связанные с магнитной восприимчивостью ферромагне-
ферромагнетика на оптических частотах, удалось наблюдать как на ферроди-
электриках — прозрачных кристаллах, так и на ферромагнитных
металлах (при отражении света).
При измерении магнитной восприимчивости ферродиэлектри-
ков — ферритов-гранатов — было использовано то обстоятельство,
что в области прозрачности ферритов-гранатов, т. е. на большом
удалении от линий поглощения ионов Fe3+ или редкоземельных
ионов, можно свести к минимуму гироэлектрический вклад в эф-
эффект Фарадея и по измеренной величине аф определить магнитную
восприимчивость феррита-граната в оптическом диапазоне частот.
Связь между аф и и можно получить из решений уравнения Лан-
Ландау— Лифшица для восприимчивости при ферромагнитном резо-
резонансе. Из E.1.11), полагая cu>cu0, получаем
х± = 3= yls[(>>, E.5.38)
и затем, используя E.5.19), находим
аф= г- (х_ — х+) = -с yls. E.5.39)
Таким образом, аф не зависит от со и, определяя экспериментально
независящую от частоты часть аф, можно измерить величину маг-
магнитной восприимчивости для право- и левополяризованных элек-
334

тромагнитных волн в оптической области частот, или, что то же
самое, величину xxu = i—(x+ — х_)=—t Y s =—{%'. Измерить
диагональную компоненту магнитной восприимчивости кхх в опти-
оптической области частот значительно труднее, поскольку
ххх = ! = ;J-1- обратно пропорционально or.
Аналогичный расчет для двухподрешеточного ферримагнетика
при «>соо, шобм приводит к формуле
2л/е
yJi— Y2/2).
E.5.40)
где 1\ и /2, Yi и Y2 — соответственно намагниченности и Y^aKT0PbI
железной и редкоземельной подрешеток феррита-граната. Перепи-
Переписывая эту формулу в виде
2л
УэффУз (Vi — У»)
E.5.41)
где
= Л — /я,
/1-/2
мы видим, что аф определяется как вкладом ферримагнитного
(первое слагаемое), так и вкладом обменного резонансов.
На рисунке 5.21 приведены экспериментальные зависимости
аф(Х) в ближней инфракрасной области для различных ферритов-
гранатов. Частотно-независимый эффект Фарадея — это следствие
прецессии спина под действием магнитного вектора световой вол-
волны, т. е. следствие магнитной восприимчивости на оптических ча-
частотах. Увеличение эффекта в коротковолновой области обуслов-
Таблица 5.3
Частотно-независимый эффект Фарадея в ферритах-гранатах
Феррит-гранат
Y3Fe6012
HosFe5O1!s
ErsFe6O1!s
n
2,2
2,2
2,2
Основной уровень нона
подрешет-
ка 1
'S5/2
"S5/2
подрешет-
ка 2
4115/2
Н, Э
2400
2400
2800
2400
2400
еэфф
2,0
8,5
3,1
Теория, град/см
а_ с уче-
Ф
том ферри-
магнитного
резонанса
63
84
84
117
63
а. с уче-
учетом феррн-
магннтного
н обменно-
обменного резо-
резона нсов
41
50
„эксперимент
«ф
61
68*
74*
42
47
при Т=77°К
33S

лено вкладом гироэлектрических свойств среды, следовательно, в
области 3—5 мкм мы имеем бигиротропную среду с примерно
равными вкладами недиагональных компонент тензоров е и ц.
Из табл. 5.3 видно хорошее согласие экспериментальных значений
<Хф с рассчитанными по формулам E.5.39) и E.5.41). Частотно-
оСф, град/см
10 -
60
50
40
30
Но B90 К)
Ч 5 6 7 8
Я, мкм
Рис. 5.21. Эффект Фарадея в ферритах-граиатах иттрия, эрбия и гольмия
в иифрдкрасной области спектра
независимый эффект Фарадея наблюдался для многих других фер-
римагнитных и даже антиферромагнитных и парамагнитных кри-
кристаллов.
Измерение оптической магнитной восприимчивости на ферро-
ферромагнитных металлах можно провести, используя разделение гиро-
электрического и гиромагнитного вкладов в экваториальный эффект
Керра для р- и s-компонент линейно-поляризованного света. В слу-
случае экваториального эффекта уже не происходит компенсации
зависимости и± от со в E.5.38), и поэтому гиромагнитный эффект
очень мал по величине. Тем не менее он был обнаружен и изме-
измерен. Подставляя (см. E.5.38))
^ E.5-42)
в E.5.16) с учетом Hi=l, M-2=0, находим формулу для эквато-
экваториального эффекта Керра для s-компоненты
336

6s=-sin2<p **?!* .A. E.5,43)
s * (l_eiJ + e2 ш
Расчет по этой формуле дает для ферромагнитного железа в
видимой и ближней инфракрасной области спектра 6s~10~5. Изме-
Измерения подтвердили это предсказание теории [12], и это показы-
показывает, что эффект на s-компоненте действительно вызван намагни-
намагничиванием железа магнитным полем световой волны. Для оптиче-
оптической магнитной проницаемости расчет по формуле E.5.42) дает
при Х=0,6328 мкм значение 1,18-10" и при л=0,435 мкм значение
0,81-Ю, а экспериментальные значения \х' равны соответственно
A,14±0,15)-1(Г4 и @,66+0,19)-Ю", т. е. теория хорошо согла-
согласуется с экспериментом. Вместе с тем приведенные цифры показы-
показывают, что магнитная проницаемость ферромагнетиков на оптиче-
оптических частотах не столь уж мала—порядка магнитной проницаемо-
проницаемости парамагнетиков в статических магнитных полях.
§5.6. ИССЛЕДОВАНИЕ МАГНИТНЫХ КРИСТАЛЛОВ
МАГНИТООПТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ
В этом параграфе на нескольких конкретных примерах будут
продемонстрированы возможности и некоторые результаты приме-
применения магнитооптических методов и использования магнитооптиче-
магнитооптических эффектов в физических исследованиях и технических прило-
приложениях.
Магнитооптическая спектроскопия ферродиэлектриков и ферро-
ферромагнитных металлов. Основным применением магнитооптических
методов в физике магнитоупорядоченных кристаллов является ис-
исследование энергетического спектра магнитоактивных ионов в
ферромагнитных и антиферромагнитных диэлектриках, а также
изучение электронной структуры ферромагнитных металлов и спла-
сплавов. Собственно говоря, новый интенсивный этап в развитии маг-
магнитооптики ферромагнетиков и начался в 50-х годах с появления
этого направления исследований.
Дело в том, что «классический» этап раззития магнитоопти-
магнитооптики завершился в начале века созданием феноменологической тео-
теории магнитооптических эффектов для гироэлектрической среды
и ее экспериментальной проверкой на отдельных длинах волн
в основном видимого диапазона света. Затем наступил дли-
длительный перерыв в развитии магнитооптических исследований
магнитоупорядоченных кристаллов. Вопрос о физическом примене-
применении магнитооптических методов для спектроскопии магнитных кри-
кристаллов был поставлен в связи с тем, что наиболее важные для
ферромагнетизма межзонные интервалы, интервалы между энер-
энергетическими уровнями, обменные, спин-орбитальные расщепления
уровней попадают как раз в оптическую область спектра, и это
делает магнитооптические методы очень перспективными для изу-
изучения основных взаимодействий, ответственных за происхождение
12 Г. С. Крннчнк 337

ферромагнетизма [12]. Для этого пришлось измерить магнито-
магнитооптические спектры магнетиков в широкой области частот инфра-
инфракрасного, видимого и ультрафиолетового диапазонов.
Принципиальная сторона применения магнитооптических мето-
методов для указанных выше целей совершенно ясна. Это — обычная
спектроскопическая методика: на кривых частотной зависимости
самих магнитооптических эффектов или лучше на определенных
из них кривых недиагональных компонент тензора е обнару-
обнаруживают некоторые особенности, которые затем отождествляются
с определенными оптическими переходами, допустимыми в рамках
рассчитанных энергетических спектров кристалла. При сравнении
с обычными оптическими магнитооптические методы имеют два
существенных преимущества. Во-первых, магнитооптические мето-
методы чувствительны к знаку спина, т. е., например, для ферромагнит-
ферромагнитного металла они в принципе позволяют выяснить, к какой спино-
спиновой подзоне относится данный переход. Во-вторых, магнитоопти-
магнитооптический метод является по существу своему дифференциальным или
модуляционным методом измерения спектров, а дифференциаль-
дифференциальные методы имеют на два-три порядка большую чувствительность
в определении собственных частот, чем обычные статические.
На рис. 5.22 приведена кривая частотной зависимости ориента-
ционного магнитооптического эффекта, измеренная на поверхности
A00) монокристалла никеля. На кривой видно большое количество
особенностей, сравнительно узких и резких максимумов, смен зна-
знака эффекта и т. д.
В связи с этим заметим, что до самого последнего времени вы-
высказывались мнения, что из оптических спектров металла нельзя
будет извлечь никакой информации о его зонной структуре вслед-
вследствие «размытия» спектров, возникающего благодаря тому, что
каждой частоте соответствуют возможные оптические переходы в
различных областях зоны Бриллюэна. Однако затем была обосно-
обоснована возможность наблюдения особенностей, связанных с перехо-
переходами в окрестности критических точек Ван-Хова, с переходами
между «параллельными» зонами, а также с началом или концом
переходов к уровню Ферми.
Пример ориентационного эффекта является наиболее ярким в
этом отношении. Оптические переходы, с которыми связан ориен-
тационный эффект, «локализованы» в относительно узких частот-
частотных интервалах, поскольку поворот вектора I особенно сильно
влияет на зонную структуру металла только в окрестности вырож-
вырожденных энергетических зон, вырождение которых может быть
снято спин-орбитальным взаимодействием, а таких мест в зоне
Бриллюэна не так уж много: это некоторые линии и точки высо-
высокой симметрии и некоторые точки случайного вырождения — пере-
пересечения кривых E(k) (см. § 2.7). Именно к последнему типу, по-
видимому, относятся переходы, связанные с двумя острыми макси-.
мумами ориентационного эффекта, наблюдающимися при 0,3 и
1,1 эВ (рис. 5.22), причем первый из них непосредственно опреде-
338

ляет величину обменного расщепления З^-зон ферромагнитного
никеля. Для изучения электронной структуры ферромагнитных ме-
металлов и сплавов широко использовались также измерения эква-
экваториального эффекта Керра и определенные из магнитооптических
измерений недиагональные компоненты тензора диэлектрической
проницаемости.
-05 -
Рис. 5.22. Ориентациокный магнитооптический эффект для монокристалла
Ni в плоскости (ПО) при двух температурах
На рис. 5.23 приведены частотные зависимости экваториального
эффекта Керра для трех ферритов-гранатов в видимой и ультра-
ультрафиолетовой области спектра. Хотя наиболее интересные практиче-
практические применения ферромагнитных диэлектриков ожидаются в их
области прозрачности (см. ниже), исследование магнитооптических
12*
339

Я мкм
021
0015 ~
- 0,020

эффектов отражения на этих же кристаллах представляет большой
интерес. В этой области лежат первые разрешенные интенсивные
оптические переходы, изучение которых должно привести к рас-
расшифровке электронной структуры ферромагнитных диэлектриков
и к пониманию их магнитооптических свойств, в том числе и в обла-
области их прозрачности, т. е. в видимой и инфракрасной области
спектра.
Например, если отождествить максимумы на кривых для сте-
хиометрических ферритов-гранатов с первыми разрешенными мо-
лекулярно-орбитальными переходами в тетраэдрических комплек-
комплексах (рис. 5.23), то появляется интересная возможность объяснить
происхождение аномального влияния диамагнитных ионов висмута
на магнитооптические свойства ферритов-гранатов в инфракрасной
области спектра. Дело в том, что эффект Фарадея в иттриевом
гранате в видимой и ближней инфракрасной областях определяет-
определяется преобладанием вклада октаэдрической подрешетки ионов Fe3+
по сравнению с тетраэдрической. Резкое усиление магнитоопти-
магнитооптической активности тетраэдрических переходов при введении ионов
висмута, которое видно на рис. 5.23, обеспечивает преобладание
вклада тетраэдрической подрешетки и, таким образом, смену знака
вращения плоскости поляризации и возрастание ссф по величине.
Механизм усиления магнитооптической активности состоит, по-
видимому, в частичном включении бр-орбиталей ионов висмута
(с аномально сильным спин-орбитальным взаимодействием) в мо-
молекулярные орбитали тетраэдрических комплексов FeC>4. При даль-
дальнейшем увеличении содержания висмута даже магнитооптические
эффекты отражения значительно возрастают, и это представляет
практический интерес. Например, на гранате Cai,96Bii,O4Vo,98Fе^огО^
экваториальный эффект Керра в области 0,55 мкм достигает вели-
величины, соответствующей изменению интенсивности света на 16%
при изменении знака поля. Интересно, что намагниченность насы-
насыщения этого смешанного грэната чрезвычайно мала — примерно
в 50 раз меньше, чем у чистого иттриевого граната.
Понятно, что исследование магнитооптических спектров, подоб-
подобных тем, которые изображены на рис. 5.23, в принципе позволяет
получить информацию о других тетраэдрических и октаэдрических
переходах в ионах Fe3+, а также наблюдать их изменение при
переходе от одного магнитного кристалла, содержащего ионы Fe3+,
к другому.
Наиболее интересным и важным для магнетизма, как и в слу-
случае ферромагнитных металлов, является спектральное магнито-
магнитооптическое определение величины обменного расщепления энерге-
энергетических уровней магнитоактивных ионов. Можно назвать эту за-
задачу также задачей наблюдения обменного Зееман-эффекта. Если
Рис. 5.23. Частотная зависимость экваториального эффекта Керра для ферритов-
гранатов иттрия, европия я висмутсодержащего граната Y2-9;Bio,<nFe50i2(YBi)[28]
341

редкоземельный или переходный ион находится в магнитоупоря-
доченном кристалле, т. е. в некотором эффективном магнитном
поле, то следует считать, что в оптическом отношении он должен
дать'картину Зееман-эффекта, однако с соответственно увеличен-
увеличенными на два-три порядка интервалами между зеемановскими ком-
компонентами. Очевидно, что обменный Зееман-эффект можно исполь-
использовать для изучения энергетического спектра магнитоактивных
ионов в магнитных кристаллах с таким же успехом, как и Зееман-
эффект в обычной оптической спектроскопии.
, град/см
-600 ~
-800 L
S
Рис. 5.24. Форма полосы поглощения TV*-^ иона Еи3+ в Eu3Fe5Oi2 для право-
и левополяризованного (а, б) света, в —эффект Фарадея в области этой полосы,
пунктир — расчет по а, б [29]
Поскольку продольность или поперечность эффекта Зеемана в
данном случае определяется ориентацией вектора намагниченно-
намагниченности, то он может также служить для изучения ориентации магнит-
магнитных подрешеток ферримагнетика. На рис. 5.24 две циркулярно-
поляризованные компоненты продольного обменного эффекта Зее-
Зеемана в европиевом феррите-гранате соответствуют переходу
7F0->7F4 в ионах Еи3+. Интервал между интенсивными компонен-
компонентами 3060 см и 3155 см соответствует обменному расщеплению
возбужденного уровня. Если теперь к магнитному кристаллу при-
приложить внешнее магнитное поле, то по величине изменения этого
обменного расщепления можно непосредственно определить вели-
величину эффективного обменного поля, действующего на ион Еи3+.
Знак обменного поля определяется тем, увеличится или умень-
уменьшится обменное расщепление. Таким способом было измерено
342

обменное поле в европиевом и диспрозиевом гранатах. При Н =
=25 кЭ расщепление перехода 7F0->7F4 в ионах Еи3+ уменьши-
уменьшилось с 92 до 80 см~'. Следовательно, обменное поле направлено
противоположно внешнему полю и величина его равна 220±30 кЭ.
В Dy3Fe5Oi2 аналогичным методом получено значение #Обм=150±
±50 кЭ.
Исследование температурной зависимости этого расщепления
также подтвердило рассмотренную выше интерпретацию, посколь-
поскольку расщепление линии 7F0->7F4 увеличилось на 30% в соответствии
с намагниченностью подрешетки железа при переходе от комнат-
комнатной температуры к Г = 77ОК.
Наличие обменного Зееман-эффекта непосредственно приводит,
как это видно из рис. 5.24, к явлению циркулярного дихроизма
при продольном намагничивании ферромагнетика. Если теперь по
известным из эксперимента полосам поглощения k+(a) и k-(a>)
для циркулярно-поляризованных обменных компонент восстановить
соответствующие кривые п+(ю) и я-(ю), то можно прямо рассчи-
рассчитать кривую дисперсии эффекта Фарадея в области данной линии
поглощения. На рис. 5.24 продемонстрировано хорошее согласие
рассчитанной таким образом кривой ссф с измеренной. Таким обра-
образом, мы наглядно убеждаемся в существовании принципиально
нового типа магнитооптических эффектов обменного происхожде-
происхождения, в то время как ранее для ферромагнитных диэлектриков и
металлов обсуждались только спин-орбитальные механизмы воз-
возникновения магнитооптической активности.
Таблица 5.4
Анизотропия ^--фактора иоиов Yb3+ и эффективного обменного
в иттербиевом феррите-гранате [10]
Ион
Ybs+
Основное
состояние
AV — ДЕ/n, см 1
11,6
25,7
29,9
gTeop
2,82
3,61
—3,84
87,2
157
169
поля
Нобм' кЭ
349
611
678
Наблюдение обменного Зееман-эффекта позволило впервые
экспериментально наблюдать анизотропию обменного поля, дейст-
действующего на редкоземельный ион в феррите-гранате. В табл. 5.4
приведены полученные магнитооптическим методом данные об ани-
анизотропии ^-фактора и анизотропии обменного поля, действующего
на ион Yb3+ в иттербиевом феррите-гранате.
Наблюдение доменных структур, измерение магнитных харак-
характеристик, магнитооптическое считывание информации. Наблюде-
Наблюдение доменов магнитооптическими методами основано на различии
поворота плоскости поляризации света или изменения интенсив-
интенсивности света по-разному намагниченными доменами. При этом с
одинаковым успехом используются и магнитооптические эффекты
343

прохождения света, и магнитооптические эффекты отражения.
Применения магнитооптических методов для наблюдения домен-
доменных структур столь широки и многообразны, что для их описания
потребовалась бы специальная монография.
Близко к этой теме стоит и вопрос об измерении магнитных
характеристик материала магнитооптическими методами. Все они
основаны на использовании того обстоятельства, что величина
большинства магнитооптических эффектов пропорциональна намаг-
намагниченности магнетика, поэтому, измеряя зависимость эффекта от
поля, мы получаем в относительных единицах зависимость 1D).
Таким способом можно, очевидно, определить все обычные магнит-
магнитные характеристики материала: кривую намагничивания, петлю
гистерезиса, остаточную намагниченность, коэрцитивную силу,
магнитную восприимчивость, константу кристаллографической
анизотропии (по поперечной составляющей намагниченности)
и т. д. Огромное число хорошо действующих измерительных уста-
установок разработано на основе этих принципов.
Наконец, определение магнитного состояния отдельных образ-
образцов или отдельных участков одного и того же образца, если на
этих участках была каким-либо способом записана магнитная ин-
информация, есть магнитооптическое считывание информации.
Проблемы магнитооптического считывания информации легче бу-
будет представить себе после знакомства с методами магнитоопти-
магнитооптических измерений при микронном разрешении.
Прозрачные магнитные кристаллы. Хотя в неявном виде во-
вопрос о возможности существования прозрачных магнитоупорядо-
ченных кристаллов уже стоял ранее, erq значение и перспектив-
перспективность следует подчеркнуть специально. Ферромагнитные диэлект-
диэлектрики, прозрачные в радио- и СВЧ-диапазонах, открыты давно, и
это привело к известным техническим применениям и созданию
целой отрасли промышленности. В последние годы началось ус-
успешное изучение ферродиэлектриков, прозрачных в буквальном
смысле слова, т. е. пропускающих инфракрасный и видимый свет.
Хотя прозрачность — понятие относительное, обычно принято
считать прозрачными вещества, для которых глубина проникно-
проникновения сравнима с длиной волны электромагнитного излучения.
Список ферромагнитных соединений, имеющих «окна прозрачно-
прозрачности» такого типа, уже достаточно обширен: здесь имеются ферро-
ферромагнетики EuO, EuSe, СгВгз, СгС1з, CrJ3, редкоземельные ферри-
магнетики со структурой граната R3Fe5Oi2, ферримагнетики с маг-
нитоактивными d-ионами RbNiF3, RbFeF3, CdCr2S4, CdCr2Se4, сла-
слабые ферромагнетики — редкоземельные ортоферриты RFeO3,
карбонаты МпСО3, СоС03, NiCO3, соединения FeF3, FeBO3, F3BO(,
CsMnF3, NaNiF3. Обнаружено также большое количество прозрач-
прозрачных антиферромагнитных кристаллов — это прежде всего фториды
MnF2, FeF2, CoF2, классические антиферромагнетики NiO и Сг2О3,
соединения RbMnF3, KNiF3, KC0F3, RbCoF3, TlCoF3, «двумерные»
антиферромагнетики K2MnF2, K2NiF4 и др.
344

Наиболее интересные физические эффекты, обнаруженные на
прозрачных магнитоупорядоченных кристаллах, рассматриваются
специально в соответствующих местах книги, здесь хотелось бы
обратить внимание на возможности практического использования
прозрачных ферромагнетиков. На первое место здесь можно по-
поставить создание управляемых устройств типа гираторов, модуля-
модуляторов, оптических вентилей для лазеров, аналогичных устройствам,
работающим на ферритах в диапазоне СВЧ.
Описанный в предыдущем параграфе частотно-независимый
эффект Фарадея открывает перспективу создания широкополосных
устройств для инфракрасного диапазона частот, а обнаружение
ферромагнетиков типа CdCr2Se4, прозрачных вплоть до ~10 мкм,
позволяет охватить и диапазон излучения лазера на ССЬ.
Далее можно указать на эффекты, частично рассматривавшиеся
выше и называемые управляемой оптикой редкоземельных ионов
[12]. Наличие обменного эффекта Зеемана в ферромагнитных кри-
кристаллах позволяет изменять интенсивность линии поглощения кри-
кристалла на поляризованном свете практически на 100% с помощью
слабого внешнего магнитного поля. Поворачивая вектор I в кри-
кристалле, можно управлять появлением, исчезновением, смещением
узких линейно- или циркулярно-поляризованных компонент в спек-
спектре редкоземельных ионов.
Все эти особенности можно наблюдать и в явлениях люмине-
люминесценции, поскольку возможность изменять с помощью внешнего
магнитного поля ориентацию поглощающих центров в кристалле
позволяет управлять спектром поляризованной люминесценции.
Это в свою очередь открывает возможность создания управляемых
лазеров, эффективной модуляции лазерного излучения и т. д. Пер-
Первые успешные попытки в этом направлении уже сделаны.
Серьезно обсуждаются перспективы разработки магнитоопти-
магнитооптических устройств с управляемой плоской системой цилиндрических
магнитных доменов (экранов, дисплеев), которые могут найти
самые разнообразные применения.
Наконец, последней по перечислению, но не по значению, мож-
можно назвать проблему объемной голографической записи и магнито-
магнитооптического считывания информации в прозрачных ферромагнит-
ферромагнитных пластинках, а также создания управляемых магнитооптиче-
магнитооптических дифракционных решеток на периодических доменных струк-
структурах.
Неупругое рассеяние света в магнитоупорядоченных кристаллах.
Боковые спин-волновые линии в спектрах поглощения. В этом раз-
разделе мы кратко рассмотрим большую область исследования про-
прозрачных магнитоупорядоченных кристаллов, связанную с процес-
процессами фотон-магнонного взаимодействия, иначе говоря, с процес-
процессами возбуждения спиновых волн светом.
Первое теоретическое указание на возможность таких процес-
процессов было сделано Бассом и Кагановым в 1959 г., которые развили
теорию комбинационного рассеяния света на спиновых волнах,
345

связанного с существованием магнитной восприимчивости ферро-
ферромагнетика на оптических частотах. Первое экспериментальное на-
наблюдение, интерпретированное как результат возбуждения комби-
комбинационных спиновых волн светом при оптических переходах, было
сделано при изучении обменного эффекта Зеемана в ионах Еи3+
в 1964 г. А именно слабые линии В и С на рис. 5.24, а были отож-
отождествлены со стоксовой и антистоксовой компонентами возбужде-
возбуждения и поглощения оптического магнона при /г = 0. Позже такие
линии были обнаружены и надежно идентифицированы в антифер-
антиферромагнитных кристаллах и называются сейчас спин-волновыми бо-
боковыми линиями или полосами поглощения.
В результате последующих экспериментальных исследований
и соответствующих теоретических работ можно выделить три типа
родственных фотон-магнонных процессов в магнитоупорядоченных
кристаллах: 1) комбинационное рассеяние света на магнонах в
магнитоупорядоченных кристаллах, 2) спин-волновые боковые ли-
линии и 3) линии поглощения инфракрасного света, соответствующие
одновременному возбуждению двух магнонов. Наиболее интен-
интенсивно и результативно развивалось первое направление, поэтому
мы только на нем и остановимся. На рис. 5.25 показаны резуль-
результаты первого наблюдения комбинационного рассеяния света на
спиновых волнах, проведенного в 1966 г. [17] на FeF2. Пик, от-
отстоящий от основной частоты на 52 см, представляет рассеяние
света одномагнонными возбуждениями, а пик 154 см — двухмаг-
нонными.
Для одномагнонных процессов рассеяния законы сохранения
энергии и импульса определяют частоту Q и волновой вектор q
спиновой волны
%щ = Йюа ± Ш, кх = к2 + q, E.6.1)
где индексы 1 и 2 относятся к падающему и рассеянному излуче-
излучению, знак плюс — к стоксовскому, а минус—к антистоксовскому
процессам. Из этих соотношений видно, что условия приблизитель-
приблизительного равенства длин волн падающего и рассеянного света можно
достичь только при возбуждении спиновых волн в центре зоны
Бриллюэна, т. е. при q^O. Отсюда следует, что сдвиг частоты
одномагнонного пика должен равняться частоте антиферромагнит-
антиферромагнитного резонанса (см. § 5.3). Действительно, частота антиферромаг-
антиферромагнитного резонанса для FeF2 примерно равна 52 см.
Для случая возбуждения двух магнонов вместо E.6.1) полу-
получаем
Пщ = Пщ + Пп + Пп', k1 = k2 + q + q', E.6.2)
где Q, Q' и q, q' — частоты и волновые векторы двух одновременно
родившихся спиновых волн. Эти соотношения уже не наклады-
накладывают ограничений на величину q и q', а требуется только q=—q',
т. е. одновременное возбуждение двух спиновых волн с противо-
противоположно направленными волновыми векторами.
346

70° К
t 1 1
60° К
1 1 1
50° К
1 1 11
J
1 40° К
ft зо°к
JLJl
V
\ 1
i
i
150
100
50 О
150
100
50 О
СМ'1
Рис. 5.25. Комбинационное рассеяние света на спиновых вол-
волнах в FeF2 (по вертикальной оси отложена интенсивность,
а по горизонтальной — сдвиг частоты относительно частоты
излучения лазера)

Плотность состояний спиновых волн максимальна вблизи гра-
границы зоны Бриллюэна, поэтому максимум интенсивности рассеян-
рассеянного света для двухмагнонных процессов будет соответствовать
удвоенной частоте магнонов с максимальными значениями волно-
волновых векторов вдоль направлений высокой симметрии. В этом слу-
случае нужно сравнивать частоту возбуждений с частотами, опреде-
определенными методом рассеяния нейтронов, потому что для них полу-
получаются аналогичные условия. В табл. 5.5 приведены эксперимен-
экспериментальные значения собственных частот магнонов, определенных
различными методами для некоторых из изучавшихся магнито-
упорядоченных кристаллов. Как правило, наблюдается хорошее
согласие между частотами, измеренными разными методами.
Таблица 5.5
MnF2
FeF2
NiF2
CoF2
RbMnF3
RbNiF3
K2NiF4
NiO
Cr2O3
CdCr2Se4
Одно- и двухмагнонные процессы
Магнитная
структура
АФМ
АФМ
СФМ
АФМ
АФМ
фм
двумерный
Д(ЬМ
АФМ
АФМ
ФМ
поглощения и
в магнитных кристаллах [11]
гл-°к
67,4
78,5
73,2
37,7
82,5
139
97,1
523
308
129,5
АФМ-рсзонанс
8,6
52,7
3,3
31,0
37,7
0,3
19,1
8,4
36,5
см
комбинацион-
комбинационное рассеяние
света
52
3,3
31,0
37,5
396
168
рассеяния
2vmax- CM"X .
рассеяние
нейтронов
109,6
101,4
155,4
158,4
228
220
129
125
146
134
570
616
1820
710
комбннациои-
ног рассеяние
света
106
98
154
203
118
133
510
520
1560
685
Обозначения: АФМ—антиферромагнетик, СФМ—слабый ферромагне-
ферромагнетик, ФМ—ферромагнетик, фм—ферримагнетик.
Можно обратить внимание на две собственные частоты 3,3 см
и 31 см~' в слабом ферромагнетике NiF2 для одномагнонного рас-
рассеяния. Первая из них соответствует низкочастотной ферромагнит-
ферромагнитной моде антиферромагнитного резонанса, а вторая — высокоча-
высокочастотной (антиферромагнитной) моде, которые обсуждались в §5.3.
Значение низкочастотной моды в комбинационном рассеянии полу-
получено экстраполяцией, поскольку в слабых магнитных полях пик
348

рассеяния не удается выделить из основного фона. Однако в поле
32 кЭ ее частота составляет уже 8,2 см~', а в поле 95 кЭ —
14,4 см, и этот пик наблюдается так же отчетливо, как и высоко-
высокочастотный.
Более сложным оказался вопрос об интенсивности двухмагнон-
ного комбинационного рассеяния света. Если бы двухмагнонное
рассеяние определялось тем же физическим механизмом, как и
одномагнонное, то его интенсивность была бы значительно ниже,
как у процесса более высокого порядка по теории возмущений.
Однако, как правило, интенсивность двухмагнонного рассеяния
даже значительно выше, чем одномагнонного (см., напр., рис. 5.25).
Эту трудность удалось преодолеть при создании микроскопической
теории комбинационного рассеяния света на магнонах. Даже по-
появление пика одномагнонного рассеяния в эксперименте оказалось
неожиданным, потому что оценка интенсивности рассеяния для
указанного выше прямого магнитодипольного взаимодействия све-
света со спиновыми волнами дала слишком малую величину. Реали-
Реалистичным механизмом рассеяния в этом случае оказалось косвенное
взаимодействие электрического вектора световой волны со спино-
спиновой системой через спин-орбитальное взаимодействие, так назы-
называемый спин-орбитальный механизм. Интенсивность рассеянного
света характеризуется коэффициентом экстинкции h (I=Ioe~hx),
который определяет* ослабление падающего света в рассеивающей
среде и равен отношению числа фотонов, рассеянных единицей
объема вещества в единицу времени в единицу телесного угла, к
числу падающих фотонов.
Для обычного комбинационного рассеяния света на фононах
ft~pJL(_£-Vcth— (си-'), E.6.3)
■г, de
где 1 = , е — диэлектрическая проницаемость, р — плотность,
ф
to и Я—частота и длина волны падающего света, а — постоянная
решетки, Q — собственная частота возбуждения.
Для магнитодипольного механизма Бассом и Кагановым полу-
получен результат, согласно которому рассеяние определяется выра-
выражением E.6.3), где T=2nylsl(u, т. е. определяется магнитной вос-
восприимчивостью на оптических частотах, и, следовательно, рассея-
рассеяние можно, пользуясь формулами предыдущего параграфа, связать
с эффектом Фарадея.
Для спин-орбитального механизма Эллиот и Лоудон [18] полу-
получили выражение E.6.3), где Г = еь8/екрист, vLs — энергия спин-орби-
спин-орбитального взаимодействия, екрист — энергия расщепления уровней в
кристаллическом поле. Поскольку 2nyhl(u ~ Ю~5—10~4, а
€i,s/eKp4CT~10~3—Ю~2, то определяющим является спин-орбиталь-
спин-орбитальный механизм, хотя в инфракрасной области спектра роль магни-
магнитодипольного механизма может выйти на первый план.
Для объяснения интенсивного двухмагнонного рассеяния при-
349

шлось привлечь так называемый обменный механизм рассеяния,
который был ранее предложен для создания теории двухмагнон-
ного поглощения света [19]. Характерной особенностью этого ме-
механизма является одновременное рождение двух магнонов, поэтому
он не дает вклада в одномагнонное рассеяние, что и может в прин-
принципе объяснить наблюдаемое на опыте соотношение интенсивно-
стей одно- и двухмагнонного комбинационного рассеяния света.
Коэффициент экстинкции для обменного механизма определяется
выражением E.6.3), где Г = еОбм/еКрист, а еОбм — расщепление энер-
энергетических уровней в обменном поле, т. е. у этого механизма есть
все основания конкурировать по интенсивности рассеяния со спин-
орбитальным. Обменный механизм эффективен только для анти-
антиферромагнетиков и ферримагнетиков, поэтому для оценки интен-
интенсивности двухмагнонного рассеяния в ферромагнетиках проводи-
проводились расчеты во втором порядке теории возмущения по спин-орби-
спин-орбитальному взаимодействию.
Все рассмотренные выше процессы рассеяния света связаны с
возбуждением магнонов на таких ветвях, которые отделены значи-
значительной энергетической щелью от основного состояния при q = 0.
Это приводит к существенному изменению частоты рассеянного
света и облегчает наблюдение комбинационных пиков рассеяния.
В последнее время предпринимаются значительные усилия по на-
наблюдению рассеяния света на обычных спиновых волнах из ветвей,
не имеющих энергетической щели при q = 0.
Имеются два различных подхода к решению этой сложной за-
задачи. Первый состоит в улучшении экспериментальной методики
до такой степени, чтобы оказалось возможным наблюдать рассея-
рассеяние света на обычных спиновых волнах, существующих благодаря
термическому возбуждению (см., напр., [20]). Второй подход осно-
основан на искусственном увеличении числа спиновых волн в образце,
например, путем параметрической накачки, что должно значитель-
значительно увеличить интенсивность рассеяния. В работе [21] процессы
параметрического возбуждения спиновых волн в образце иттрие-
вого граната наблюдались косвенно по изменению эффекта Фара-
дея на 2-компоненте статической намагниченности образца.
Исследование поверхностных магнитных свойств магнитных
кристаллов магнитооптическим методом. Напомним, что линейные
магнитооптические эффекты в ферромагнетиках пропорциональны
намагниченности, т. е. в том случае, когда намагниченность харак-
характеризует магнитные свойства материала, например, при намагни-
намагничивающем поле, параллельном поверхности образца, можно, изме-
измеряя зависимость эффекта от Н, получить в относительных едини-
единицах все интересующие нас магнитные характеристики. Кроме того,,
поскольку всегда можно подобрать такую частоту света, чтобы он
проникал в магнитный кристалл на малую глубину порядка
0,1 мкм, то появляется интересная возможность измерять указан-
указанные магнитные характеристики не для всего образца в целом, а
только для его поверхностного слоя. На этом и основан магнито-
350

оптический метод измерения магнитных свойств тонкого поверх-
поверхностного слоя ферромагнетика.
Путем измерения поверхностных магнитных свойств магнетика,
независимо от объемных или еще лучше параллельно с объемны-
объемными, можно решать разнообразные физические задачи. Например,
новый тип доменной структуры страйп-пленок, изображенный на
рис. 3.17, был обнаружен путем измерения остаточной намагни-
намагниченности в тонком поверхностном слое страйп-пленки и сравнения
ее с остаточной намагниченностью всей пленки в целом. Таким об-
образом, измерялись отдельно характеристики поверхностных замы-
замыкающих доменов и характеристики объемных слоистых доменов.
Были обнаружены «аномальные» петли гистерезиса поверхности
монокристальных образцов из кремнистого железа, в которых
нисходящая и восходящая ветви поменялись местами, т. е. наблю-
наблюдалась отрицательная коэрцитивная сила. Изучалось влияние хи-
химических реакций на поверхностные магнитные свойства ферро-
ферромагнетиков и т. д.
Остановимся подробнее на наиболее интересном явлении, обна-
обнаруженном при магнитооптическом исследовании поверхностных
магнитных свойств монокристаллов гематита, — явлении поверх-
поверхностного магнетизма [22].
Поверхностный магнетизм представляет собой переходный мак-
макроскопический магнитный слой типа доменной границы, в котором
происходит непрерывный переход от объемного состояния намаг-
намагниченности к поверхностному. При этом характер магнитного со-
состояния кристалла в объеме и на поверхности качественно разли-
различается. Например, гематит является кристаллом с легкой плоско-
плоскостью анизотропии, а поверхностный магнитный слой в отношении
анизотропии подобен ортоферриту — одноосному слабому ферро-
ферромагнетику. Возникновение этого слоя можно объяснить пониже-
понижением симметрии окружения магнитных ионов на поверхности и по-
появлением дополнительных членов в выражении для энергии Дзя-
лошинского и для энергии магнитного дипольного взаимодействия
поверхностных ионов. Обнаружение этого явления оказалось воз-
возможным благодаря использованию магнитооптического метода. На-
Например, по отсутствию полярного эффекта Керра на небазисных
гранях гематита удалось установить равенство нулю нормальной
составляющей намагниченности на поверхности, а по анизотропии
экваториального эффекта Керра — доказать магнитную одно-
осность поверхностного слоя.
Толщина возникающего поверхностного магнитного слоя может
достигать по проведенным расчетам нескольких микрон. Рассчита-
Рассчитаны также характер поведения поверхностного магнитного слоя во
внешних магнитных полях и при изменении температуры, оценена
величина поля, при котором происходит «стирание» поверхностного
магнетизма, показано, что температура фазового перехода в по-
поверхностном слое должна быть сдвинута по отношению к темпера-
температуре того же перехода в объеме. Теоретический расчет показывает,
351

что, определяя характер поверхностного магнетизма, можно су-
судить о том, на какой из атомных плоскостей закончился рост
грани кристалла. На основании принятого симметрииного подхода
в объяснении поверхностного магнетизма можно предсказать но-
новый интересный эффект — возможность появления поверхностного
слабого ферромагнетизма на определенных «низкосимметричных»
гранях антиферромагнитных кристаллов, даже для наиболее про-
простых кубических антиферромагнетиков МпО и NiO.
-6 -
-8
Рис. 5.26. Зависимость проекций поверхностной намагниченности на направление
магнитного поля при повороте образца (черные кружки) и на направление [011]
при повороте магнитного поля (светлые кружки), измеренных с помощью эква-
экваториального эффекта Керра (Р — угол между Н и направлением [011]). Пунк-
Пунктирные линии изображают расчетные кривые для тех же компонент намагничен-
намагниченности в объеме образца
На рисунке 5.26 приведены экспериментальные кривые измере-
измерения магнитооптического эффекта на небазисной грани A00) моно-
монокристалла гематита. Черные кружки изображают кривую зависи-
зависимости экваториального эффекта Керра от угла поворота образца
относительно плоскости падения света вокруг оси, перпендикуляр-
перпендикулярной плоскости A00). Магнитное поле при этом лежит в плоскости
A00) и направлено все время перпендикулярно плоскости падения
352

света. Пунктиром изображена расчетная кривая для проекции
вектора намагниченности в объеме образца на направление Н с
учетом того, что угол между плоскостями A00) и A11) составляет
57°35'. Так должен был бы зависеть эффект от угла C, если бы
намагниченности образца на поверхности в объеме были равны.
Кривая пронормирована по значению максимального экваториаль-
экваториального эффекта. Светлыми кружками изображена кривая зависимо-
зависимости экваториального эффекта от поворота магнитного поля в пло-
плоскости A00) при неподвижном образце.
При C = 90° магнитное поле изменяет направление относительно
легкой оси, и экваториальный эффект должен изменить знак.
Соответствующая расчетная кривая для объемной намагниченности
изображена пунктирной линией. В данном случае пунктирная кри-
кривая изображает изменение проекции вектора намагниченности в
объеме на направление [011]. Описанные эксперименты однознач-
однозначно свидетельствуют о том, что на грани A00) слабого ферромаг-
ферромагнетика с легкой плоскостью анизотропии появляется поверхност-
поверхностный одноосный слабый ферромагнетизм ортоферритного типа.
Особенно четко это видно в случае вращения Н, когда прохожде-
прохождение внешнего магнитного поля через направление, перпендикуляр-
перпендикулярное оси легкой анизотропии [011], приводит к перемагничиванию
поверхностного слоя от +1 к —I вдоль этой оси.
Оценки показали, что определяющую роль в закреплении ms
на поверхности в гематите играет магнитодипольное взаимодейст-
взаимодействие. Энергия магнитной анизотропии в объеме кристалла гематита
складывается из двух противоположных по знаку и почти равных
по величине компонент — энергии магнитодипольного взаимодей-
взаимодействия и одноионной кристаллической анизотропии. В противо-
противоположность магнитодипольной одноионная анизотропия может
мало измениться на поверхности по сравнению с объемом. При
указанном предположении была рассчитана энергия поверхностной
анизотропии (см. § 3.2) для граней A00) и A11) гематита в двух
случаях — когда последняя атомная плоскость ионов Fe3+ состоит
из ионов двух типов (рис. 4.4). Ниже приводятся выражения для
плотностей указанных энергий (в эрг/см2):
= — 0,1 sin2 9 cos2 Ф + 0,1 sin2 6 sin2 Ф — 0,01 cos2 9 —
— 0,25sin 6cos 9sin Ф, E.6.4)
) =• 0,24 sin2 6 cos2 Ф — 0,03 sin2 бБ^Ф —0,21 cos2 9 +
+ 0,04 sine cos9 sin Ф, E.6.5)
tf(iii)= 0,24 cos2 6, E.6.6)
0(iii)=— 0,24 cos2 6, E.6.7)
6, Ф — сферические углы вектора L.
На большинстве исследованных небазисных граней гематита
наблюдался поверхностный магнетизм, который объясняется уче-
353

том энергии O(ioo). Отсюда можно сделать интересное обратное за-
заключение— естественный рост граней типа A00), как правило,
заканчивается атомной плоскостью, состоящей из ионов Fe3+ ти-
типа 2. Расчет показал, что при учете оB100) ширина поверхностного
магнитного слоя в поле #=1 кЭ примерно 0,4 мкм, и этот слой
уничтожается путем
,1/гл.мин уменьшения его ширины
и разворота вектора L в
перпендикулярном по-
поверхности поле Н порядка
20 кЭ.
Действительно, экспе-
эксперимент по измерению по-
полярного эффекта Керра
на небазисных гранях
кристаллов гематита об-
обнаружил постепенное на-
нарастание полярного эф-
эффекта с увеличением поля,
перпендикулярного по-
поверхности образца (рис,
5.27), что можно интер-
интерпретировать как резуль-
результат стирания поверхност-
поверхностного магнетизма. Из хода
КрИВОЙ Oft (Я) ВИДНО, ЧТО
Рис. 5.27. «Стирание» поверхностного магне- полного разрушения пО-
тнзма внешним магнитным полем на небазис- верхностного магнетизма
ной грзни гематита (/ — ЯХ(ЮО), 2— ПГ>7ТР 1Я Ч кЧ ымр нр
Я[| [011], наблюдавшееся с помощью поляр- В ПОЛе 1<3'° кг* eu*e не
ного эффекта Керра, о — отсутствие эффекта произошло. Заметим, что
на базисной грани гематита при я II [111]. процесс намагничивания
Я=0,55 мкм монокристалла гематита
при отсутствии влияния
поверхностного магнетизма заканчивается в полях —-200 Э. Полу-
Полученный результат подтверждается п наличием полярного эффекта
при наложении поля в плоскости образца вдоль оси трудного на-
намагничивания на поверхности [011]. При этом точки кривой / при
пересчете на эквивалентное значение m"s хорошо ложатся на
кривую 2 (крестики на рис. 5.27).
Здесь возникает еще одна интересная проблема магнитоопти-
магнитооптики. Сравнение величины экваториального и полярного эффектов
Керра для слабого ферромагнетика — гематита и ферримагнети-
ка — иттриевого граната показывает, что, несмотря на значитель-
значительную разницу в значениях намагниченности B и 400 Гс/см3 для
a-Fe2O3 и октаэдрической подрешетки в Y3Fe50i2 соответственно),
магнитооптические эффекты в этих магнетиках примерно одина-
одинаковы. На гематите был поставлен специальный эксперимент для
354

выяснения физической природы аномально большой магнитоопти-
магнитооптической активности слабых ферромагнетиков.
На рис. 5.27 представлены экспериментальные точки, получен-
полученные при измерении полярного эффекта Керра на базисной плоско-
плоскости гематита A11) при Н||[111]. Видно, что полярный эффект
отсутствует, хотя индуцированная магнитным полем нормальная
компонента намагниченности т« примерно равна нормальной
компоненте намагниченности т" на небазисной грани в преды-
предыдущем случае. Этот результат доказывает, что аномально большие
магнитооптические эффекты в слабых ферромагнетиках опреде-
определяются не вектором т, а переориентацией всей спин-системы сла-
слабого ферромагнетика, в том числе и его вектора антиферромагне-
антиферромагнетизма L.
Это не означает, однако, что вектор L слабого ферромагнетика
аналогичен в магнитооптических свойствах вектору I ферро- или
ферримагнетика. Например, наличие нормальной компоненты L
на поверхности не вызывает появления полярного эффекта Керра.
Более того, даже переориентация вектора L в антиферромагнетике
может не сопровождаться большими нечетными магнитооптиче-
магнитооптическими эффектами. Дело, по-видимому, обстоит таким образом, что
те же микроскопический механизмы, которые приводят к появле-
появлению поля Дзялошинского и вектора ms, приводят также и к появ-
появлению аномально больших недиагональных компонент тензора
диэлектрической проницаемости, которые изменяют знак при пе-
переориентации векторов ms, L и Hjd и тем самым вызывают ано-
аномально большие линейные по ms магнитооптические эффекты в сла-
слабых ферромагнетиках.
Магнитооптические исследования при микронном оптическом
разрешении. Если в дополнение к ограничению на глубину проник-
проникновения света б, которое рассматривалось в предыдущем пункте,
добавить пространственное ограничение пучка света, т. е. предель-
предельно ограничить размер площадки, от которой отражается свет, то
получим новый принцип измерения магнитных характеристик фер-
ферромагнетика (магнитооптический микромагнетометр).
Принцип действия этого прибора состоит в совмещении падаю-
падающего и отраженного света в одном объективе отражательного мик-
микроскопа и в последующей фиксации изменения интенсивности све-
света, пришедшего в плоскость изображения микроскопа от малого
участка поверхности исследуемого образца. Измеренный магни-
магнитооптический эффект соответствует изменению намагниченности
засвеченного участка поверхности при периодическом изменении
внешнего магнитного поля. Переход от одного магнитооптического
эффекта к другому путем изменения ориентации образца, плоско-
плоскости падения и угла падения света, введения анализатора позволяет
в принципе определить вклады различных слагающих намагничен-
намагниченности. Существенную информацию дает также и изменение ам-
амплитуды внешнего магнитного поля.
355

Для характеристики возможностей методики приведем примеры
операций, с помощью которых можно провести измерения той или
иной компоненты намагниченности на микроучастке поверхности
магнитного кристалла.
1. При использовании обычного объектива мы имеем симмет-
симметричный пучок в том смысле, что каждому лучу света с положи-
положительным углом падения соответствует луч с отрицательным углом
падения, что приводит к исчезновению экваториального и мери-
меридионального эффектов Керра, нечетных по углу падения и зави-
зависящих линейно от параллельных поверхности образца компонент
намагниченности.
При введении анализатора регистрируется полярный эффект
Керра, т. е. изменение нормальной компоненты намагниченности.
При отсутствии анализатора регистрируется ориентационный
магнитооптический эффект, т. е. изменение интенсивности отражен-
отраженного света, пропорциональное изменению квадрата тангенциальной
составляющей намагниченности, перпендикулярной плоскости па-
падения света.
2. При введении призмы косого освещения фиксируются пло-
плоскость и угол падения света, что дает возможность измерять маг-
магнитооптические эффекты, связанные линейно с изменением танген-
тангенциальных компонент намагниченности.
При отсутствии анализатора регистрируется экваториальный
эффект Керра, представляющий собой изменение интенсивности
отраженного света, пропорциональное изменению компоненты на-
намагниченности, перпендикулярной плоскости падения света. В слу-
случае, когда электрический вектор световой волны перпендикулярен
плоскости падения (s-волна), экваториальный эффект Керра равен
нулю.
При отсутствии анализатора можно измерить нормальную сла-
слагающую намагниченности по эффекту изменения интенсивности
отраженного света пои полярном намагничивании ферромагнетика.
Для этого надо установить плоскость поляризации поляризатора,
отличной от s и р, например 45°-ю ориентацию плоскости поля-
поляризации.
Аналогично предыдущему пункту можно измерить горизонталь-
горизонтальную составляющую намагниченности, параллельную плоскости па-
падения света, по эффекту изменения интенсивности отраженного
света при меридиональном намагничивании ферромагнетика. При
введении анализатора можно измерить эту же составляющую по
меридиональному эффекту Керра, который отличен от нуля и для
р- и для s-волн.
Характеризуя разработанную методику в целом, можно ска-
сказать, что эта установка является магнитооптическим микромагне-
микромагнетометром, поскольку она позволяет измерять магнитные свойства
образцов объемом порядка 10~13 см3 (при площади засветки 1 мкм
и глубине проникновения света 0,1 мкм) и изучать объект при
предельном оптическом разрешении (~0,2 мкм) и весьма малой
356

15 г
-05 -
1 2
Н = 0,0353
Н = 0,0753
Н =0,23
И =0453
 I I I 1__ „'
0 0,5 1.0 15Н.Э l
l.MKM
5 Н,Э
01 0,2 0,3 04 0,5 Н,Э
Рис. 5.28. а — магнитооптический эффект от движущейся доменной границы
в железном вискере при различных значениях магнитного поля; б — зави-
зависимость интервала между положительным и отрицательным максимумами
на кривых б (л;) от псля, р.аскачки для доменной границы в железном вис-
вискере; в — та же зависимость от поля раскачки (светлые кружки) и от
ширины щели фотоумножителя (черные кружки) для доменной границы
в гематите

контрастности (коэффициенты отражения по-разному намагничен-
намагниченных участков поверхности различаются менее чем на 0,1%). Кроме
того, динамический метод позволяет выделить эффекты магнитной
структуры на фоне оптических несовершенств поверхности образца.
В качестве первого примера применения магнитооптической ме-
методики рассмотрим определение ширины доменной границы [23].
Вопрос о структуре доменной границы при выходе ее на поверх-
поверхность массивного ферромагнетика к настоящему времени не решен
теоретически, причем большинство работ предсказывает сужение
границы при подходе к поверхности. Прямым методом изучения
структуры доменной границы на поверхности ферромагнетика яв-
является магнитооптический метод, поскольку он состоит в измерении
ряспределения намагниченности непосредственно в объеме, зани-
занимаемом переходным слоем между доменами.
Исследование доменных границ производилось на массивных
монокристаллах кремнистого железа и на нитевидных кристаллах
«усах» в кристаллографической плоскости @01). При этом в кри-
кристалле образуются 180°-е доменные границы, располагающиеся
вдоль оси [100]. Обозначим ось, перпендикулярную поверхности
образца, через г, ось, лежащую в плоскости образца и перпенди-
перпендикулярную доменной границе,—через х и ось, лежащую в плоскости
образца и направленную вдоль доменной границы,—через у. Тогда
намагниченность в объеме двух соседних доменов равна ±/s, т. е.
направлена вдоль осей у и —у. На рис. 5.28, а представлены кри-
кривые магнитооптического эффекта, измеренные вдоль оси х, т. е. при
продвижении щели фотоумножителя в фокальной плоскости микро-
микроскопа поперек доменной границы при фиксированной амплитуде
раскачки границы.
Исключение тривиального эффекта, возникающего от доменов,
обусловленного попеременным попаданием на щель фотоумножи-
фотоумножителя изображения объема то одного, то другого домена, достига-
достигалось благодаря использованию симметричного светового пучка,
выходящего из объектива. При этом экваториальный эффект Кер-
ра от доменов исчезал потому, что каждому лучу света с положи-
положительным углом падения соответствовал луч с отрицательным углом
падения, а экваториальный эффект нечетен по углу падения.
Эффект же, который при этом не исчезает, зафиксирован на кри-
кривых рис. 5.28, а; это ориентационный магнитооптический эффект,
квадратичное по намагниченности и четное по углу падения изме-
изменение интенсивности отраженного света. При малых амплитудах
раскачки границы интервал между положительным и отрицатель-
отрицательным максимумами d не зависит от амплитуды подмагничивающего
поля Я, и мы интерпретируем появление этих максимумов как
дифференциальный эффект, возникающий за счет областей макси-
максимального изменения намагниченности в доменном граничном слое,
а интервал d0—как эффективную ширину доменной границы.
Из рисунка 5.28,6 видно, что d0 — ширина доменной границы
для кремнистого железа—составляет примерно 0,7 мкм. Дальней-
358

шую информацию о структуре доменной границы удалось получить
с помощью других магнитооптических эффектов. Измерение не-
нечетного экваториального эффекта Керра показало, что граница
намагничена в поперечном направлении почти до насыщения, т. е.
она является неелевской у поверхности. Удалось наблюдать изме-
изменение знака этой компоненты, т. е. наличие субдоменов в доменной
600
500
400
J00
200
100
О
-100
-200
-300
IU,IL (Гс/см3)
10 20 30
3,5,мкм
60 х, мкм
40
70
мкм
Рис. 5.29. Распределение горизонтальной и вертикальной составляющих
намагниченности магнитопровода вблизи зазор.а для двух типов магнитных
головок: а—обычнгя тороидальная пермаллоевая магнитная головка,
б — ферритная головка с тонкопленочными пермаллоевыми полюсными
наконечниками
границе, и изменить структуру субдоменов, т. е. наблюдать про-
процессы намагничивания и перемагничивания самой доменной гра-
границы. На рис. 5.28, в представлены результаты аналогичных изме-
измерений на базисной плоскости гематита, где доменная граница ока-
оказалась значительно более широкой, d0 составляет примерно 2,7 мкм.
В качестве второго примера применения магнитооптической
методики микронного разрешения к техническим проблемам при-
приведем некоторые результаты измерения параметров головок для
магнитной записи с микронными зазорами и пермаллоевых аппли-
аппликаций для управления ЦМД. На рис. 5.29 представлены резуль-
результаты измерения нормальной и горизонтальной составляющих на-
намагниченности пермаллоевого магнитопровода вблизи зазора маг-
магнитной головки. Рис. 5.29, а относится к обычной головке с 3,5-мик-
3,5-микронным зазором и «бесконечным» магнитопроводом, рис. 5.29,6 —
к головке с тонкопленочными вертикальными «наконечниками»,
нанесенными на ферритовый магнитопровод, подводящий магнит-
359

ный поток. Измерение нормальной составляющей намагниченности
проводилось с помощью полярного эффекта Керра, горизонталь-
горизонтальной— с помощью экваториального эффекта. Нормировка кривых
осуществлялась путем измерения магнитооптических эффектов на-
насыщения на отдельных образцах из того же материала. Распре-
Распределение намагниченности в магнитопроводе вблизи зазора одно-
однозначно определяет распределение магнитного поля в зазоре, хотя
1,5
Рис. 5.30. Распределение намагниченности в горизонтальных частях Г-эле-
мента доменопродвигающей схемы при ориентации магнитного поля (Я=
= 18 Э) вдоль оси х (кривая /) и вдоль у (кривые 2, 3) [30]
можно в данном случае измерить магнитное поле и другим спосо-
способом. Для этого нужно определить зависимость эффекта от вели-
величины поля на небольшом тонкопленочном образце и затем поме-
поместить его вблизи зазора, т. е. в данном случае этот образец будет
служить магнитооптическим датчиком поля.
На рисунке 5.30 показан один из примеров измерения распре-
распределения намагниченности в двух участках элемента пермаллоевой
аппликации Г-типа, использующейся в доменопродвигающих ус-
360

тройствах ЦМД. При магнитном поле, направленном вдоль оси х,
распределение намагниченности на участке а—в имеет только ту
особенность, что в его центральной части магнитный поток несколь-
несколько перераспределяется, утекает в вертикальный участок этого же
элемента, что приводит к понижению намагниченности в центре
участка а—в при малых внешних полях. Значительно более инте-
Рис. 5.31, Влияние ЦМД в иттриевом ортоферрите на намагничивание /-эле-
/-элемента: слева — распределение намагниченности по оси х при наличии качаю-
качающегося ЦМД (кривые /, 3, 5, 7) и без ЦМД (кривые 2, 4, 6, 8) в полях
Нх = 0; 4,9; 9,8; 19,6 Э соответственно; справа — зависимость намагниченности
центральной части /-элемента от приложенного магнитного поля при наличии
ЦМД (кривые 2, 4) и при отсутствии ЦМД (кривые /, 3) [31]
ресный и даже неожиданный на первый взгляд результат обнару-
обнаруживается при ориентации поля вдоль оси у (а это одно из рабочих
состояний схемы при использовании управляющего вращающегося
поля (см. § 3.6, рис. 3.21)). Можно было ожидать, как это и по-
показано на рис. 3.21, что при ориентации поля вдоль оси у намаг-
намагниченным в участках а—в и с—d окажутся только центральные
части, в которые выйдут полюса вертикального элемента. Однако
утечка магнитного потока этого вертикального участка Г-элемента
и влияние соседних /-элементов приводит к тому, что в участках
а—в и с—d существует значительная горизонтальная, т. е. пер-
перпендикулярная приложенному внешнему магнитному полю состав-
составляющая намагниченности, которая достигает величины /s/2. В соот-
361

ветствующих частях участков а—в и с—d намагниченность направ-
направлена в противоположные стороны, что определяется различием
в знаках магнитных полюсов, определяющих намагничивание этих
элементов вдоль оси х. Этот экспериментальный результат должен,
очевидно, учитываться при расчетах параметров и эффективности
доменопродвигающих схем с ЦМД.
На рисунке 5.31 приведены результаты, демонстрирующие влия-
влияние самого цилиндрического магнитного домена на намагничен-
намагниченность того элемента пермаллоевой аппликации, под которым он
находится. При этом следует учитывать, что измерения проводи-
проводились с ЦМД в пластинке иттриевого ортоферрита — слабого фер-
ферромагнетика, спонтанная намагниченность которого очень мала.
Показанный пунктиром /-элемент аппликации, находившийся под
ортоферритной пластинкой, служил для ввода и вывода цилиндри-
цилиндрического домена под /-элемент, находящийся сверху пластинки и
изображенный сплошными линиями. Измерялась составляющая
намагниченности вдоль оси х на этом элементе. ЦМД перемещает-
перемещается под действием поля Ну, вдоль оси у, поэтому в отсутствие ЦМД
составляющая /х, обусловленная, по-видимому, полем рассеяния
нижнего элемента, очень мала (кривая 2). При наличии ЦМД
элемент намагничивается довольно сильно, примерно до -—/s в
центре элемента, но «в отрицательном направлении». Это видно
из того, что если сначала подобрать магнитное поле Нх, намаг-
намагничивающее элемент в отсутствие ЦМД почти до насыщения, а за-
затем «подключить» ЦМД, то его намагничивание очень сильно па-
падает, особенно на том конце, где периодически появляется ЦМД.
На рис. 5.31 показаны намагниченности в центре элемента в
зависимости от Нх, как для того случая, когда ЦМД отсутствует,
так и для случая с введенным ЦМД. Видно, что в слабых полях
элемент намагничен почти до — Is «в отрицательном направле-
направлении» и что намагниченность насыщения достигается в присутствии
ЦМД при в два раза большем поле Нх.
Мы подобрали такие примеры измерений при микронном раз-
разрешении, которые удалось осуществить только при использовании
магнитооптической методики. Из этих примеров ясно видно, что
возможности применения магнитооптического магнитометра для
локальных измерений магнитного поля и намагниченности очень
широки и разнообразны и что эта уникальная методика может по-
помочь решить еще целый ряд как чисто физических, так и приклад-
прикладных задач.

Л ИТЕРАТУРА
К главе 1
1. Маттис Д. Теория магнетизма. М., «Мир», 1967; Дорфман Я- Г.
Беседы о магнетизме. М.— Л., Изд-во АН СССР, 1950.
2. Гильберт В. О магните, магнитных телах и о большом магните —
Земле. М., Изд-во АН СССР, 1956.
3. Van-Vleck J. H. Theory of electric and magnetic susceptibilities. Oxford
Univ. Press, 1932.
4. Л и ф ш и ц И. М., А з б е л ь М. Я., К а г а н о в М. И. Электронная тео-
теория металлов. М., «Наука», 1971; Брандт Н. Б., Чудинов С. М. Электрон-
Электронная структура металлов. Изд-во МГУ, 1973.
5. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Квантовая механика. М., «Наука»,
1972.
6. Л о у В. Парамагнитный резонанс в твердых телах. М., ИЛ, 1962. Альт-
шулер С. А., К о з ы р е в Б. М. Электронный парамагнитный резонанс. М.,
«Наука», 1972.
7. Бальхаузен К. Введение в теорию поля лигандов. М., «Мир», 1964.
8. Pryce H. M. L. Proc. Phys. Soc, A63, 25, 1950.
К главе 2
1. W e i s s P. J. phys. et rad., 6, 661, 1907.
2. Ф р е н к е л ь Я. И. Zs. Phys., 49, 31, 1928.
3. Н е i s e n b e r g W. Zs. Phys., 49, 619, 1928.
4. Onsager L. Phys. Rev., 65, 117, 1944.
5. Л а н д а у Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Статистическая физика. М., «Нау-
«Наука», 1964.
6. Белов К- П. Магнитные превращения. М., Физматгиз, 1959.
7. Гинзбург В. Л. ФТТ, 2, 2031, 1960; Леванюк А. П. ЖЭТФ, 36,
810, 1959.
8. Паташинский А. 3., Покровский В. Л. ЖЭТФ, 50, 439, 1966.
9. Н о J. Т., L i t s t e r J. D. Phys. Rev. Lett., 22, 603, 1969.
10. W e i s s P., F о г г е г R. Ann. de phys., 5, 153, 1926.
Kouvel J. S., Rod bell D. S. Phys. Rev. Lett., 18, 215, 1967.
К о u v e 1 J. S., С о m 1 у J. B. Phys. Rev. Lett., 20, 1237, 1968.
11. H e i 11 e r W., L о n d о n F. Zs. Phys., 44, 455, 1927.
12. D i г а с P. A. M. Proc. Roy. Soc, A123, 714, 1929.
13. de Jongh L. J., Mi edema A. R. Adv. Phys., 23, 1, 1974.
14. Харрисон У. Псевдопотенциалы в теории металлов. М., «Мир», 1968.
15. BouckaertL. P., SmoluchowskiR., WignerE. P. Phys. Rev.,
50, 58, 1936.
16. Калл у эй Дж. Теория энергетической зонной структуры. М.,
«Мир», 1969.
17. Р i р р а г d А. В. Phil. Trans. Roy. Soc, A250, 325, 1957.
18. S e g a 11 В. Phys. Rev., 125, 109, 1962.
363

19. Лифшиц И. М., Аз бель М. Я-, Каганов М. И. Электронная
теория металлов. М., «Наука», 1971.
20. Krinchik G. S'., Ganshina E. A. Phys. Lett., 23, 294, 1966.
21. Stark R. W., Tsui D. С J. Appl. Phys., 39, 1056, 1968.
22. С о п п о 11 у J. W. D. Phys. Rev., 159, 415, 1967. Zornberg E. I. Phys.
Rev., Bl, 244, 1970.
23. Hodges L., Stoune D. K., Gold A. V. Phys. Rev. Lett., 19.
655. 1967.
24. Кринчик Г. С, Гущин В. С. Письма в ЖЭТФ, 10, 35, 1969;
К г i п с h i k G. S. J. phys., 32, 1058, 1971.
25. Кринчик Г. "С, Ганьшина Е. А. ЖЭТФ, 65, 1970, 1973.
26. Кондорский Е. И., Штраубе Э. ЖЭТФ, 63, 356, 1972; Письма
в ЖЭТФ, 17, 41, 1973.
27. Hum D. M., Wong L. С. J. Phys., C2, 833, 1969.
28. Wong К. С Solid State Phys., ЗС, 378, 1970. WakohS., Jamashi-
ta J. J. Phys. Soc. Japan, 28, 1151, 1970.
29. E r s k i n e J. L., S t e r n E. A. Phys. Rev., B8, 3, 1973.
30. M о 11 N. F., Jones H. The theory of the properties of Metals and Al-
Alloys. Oxford, 1936.
31. Herring С Magnetism, v. IV. N. Y., 1966.
32. SI ater J. С Phys. Rev., 49, 537, 931, 1936.
33. Бете Г., Зоммерфельд А. Электронная теория металлов. М-,
ОНТИ, 1938.
34. Freeman A. J., Watson R. E. Phys. Rev., 124, 1439, 1961.
35. A n d e r s о n P. W. Phys. Rev., 79, 350, 1950.
36. Lowdin P. O. J. Chem. Phys., 19, 1396, 1951.
37. Slater J. Quart Prog. Rept. Res. Lab. Electronics MIT. July, 1953.
38. Гудинаф Д. Магнетизм и химическая связь. М., ИЛ, 1968.
39. К a n a m о г у J. J. Phys. Chem. Solids, 10, 87, 1959.
40. J a m a s h i t a J., К о n'd о J. Phys. Rev., 109, 730, 1958.
41. Anderson P. W. Magnetism, v. I. N. Y., 1963, p. 25.
42. С 1 о g s t о n e A. M. et al. Phys. Rev., 117, 1222, 1960.
43. Шубин С. П., Вонсовский С. В. Sow. Phys., 7, 292, 1935; 10, 348,
1936; Вонсовский С. В. ЖЭТФ, 16, 981, 1946.
44. Zener С. Phys. Rev., 81, 440; 83, 299, 1951.
45. Ru derma n M. A., Kittel С Phys. Rev., 96, 99, 1954; Kasuya T.
Prog. Theor. Phys., 16, 45. 1956; Y о si da K. Phys. Rev., 106, 893, 1957.
46. De Gennes P. G. Compt. Rend., 247, 1836, 1958.
47. Давыдов А. С. Квантовая механика. М.. Физматгиз, 1963.
48. Т я блик ов С. В. Методы квантовой теории магнетизма. М., «Нау-
«Наука», 1965.
49. Н о 1 s t e i n Т., Р г I m a k о f f H. Phys. Rev., 58, 1098, 1940.
50. Dyson F. J. Phys. Rev., 102, 1217, 1230, 1956.
51. Oguchi T. Phys. Rev., 117, 117, 1960.
52. Малеев С. В. ЖЭТФ, 33, 1010, 1957.
К главе 3
1. Изю м о в Ю. А., Озеров Р. П. Магнитная нейтронография. М., «Нау-
«Наука», 1966.
2. Kittel Ch. Phys. Rev. Lett., 1, 168, 1958. Seavey M. H., Tannen-
waldP.E, Phys. Rev. Lett., 1, 168, 1958.
3. Кринчик Г. С, Четкий М. В., УФН, 98, 3, 1969.
4. Meiklejohn W. Н., Bean С. P. Phys. Rev., 102, 1413, 1956.
5. Neel L. J. phys, radium., 15, 225, 1954.
6. Акулов Н.С. Ферромагнетизм. М,—Л., ГИТТЛ, 1939.
7. КиттельЧ. В кн.: Физика ферромагнитных областей. М., ИЛ, 1951.
8. Т h i е 1 е A. A. Bell System Techn. J., 48, 10, 328, 1969.
9. Callen H., Josephs R. M. JAP, 42, 1977, 1971.
10. R os sol F. C. JAP, 40, 1082, 1969.
364

11. MiddelhoekS. JAP, 34, 1054, 1963.
12. Кринчнк Г. С, БенидзеО. М. ЖЭТФ, 67, 2180, 1974.
13. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Sow. Phys., 8, 153, 1935.
14. П р и в о р о ц к и и И. А. ЖЭТФ, 56, 2129, 1969."
15. Holz A., Kronmuller H. Phys. Stat. Sol.. 32, 2797, 1969.
16. Hubert A. Phys. Stat. Sol., 32, 519, 1969.
17. КринчикГ. С, ЧепуроваЕ. Е. В кн.: Физика магнитных пленок.
Иркутск, 1968, стр. 149.
18. Кондор с кии Е. И. Изв. АН СССР, сер. физ., 16, 4, 398, 1952.
19. Lilley В. A. Phil. Mag., 41, 792, 1950.
20. Gilbert T. L. Phys. Rev., 100, 1243, 1955.
21. Дер инг В. В кн.: Ферромагнитный резонанс. М., ИЛ, 1952.
22. Бек к ер Р. В кн.: Ферромагнитный резонанс. М., ИЛ, 1952.
23. Dor ing W. Zs. Phys., 108, 137, 1938.
24. Колотое О. С, Погожев В. А., Телеснин Р. В. УФН, 113,
569. 1974.
К главе 4
1. Л а н д а у Л. Д. Sow. Phys., 4, 675, 1933.
2. Neel L. Ann. de phys., 17, 61, 1932; 5, 232, 1936.
3. Shu 11 C. G., Strauser W. A., Wollan E. O. Phys. Rev., 83,
333. 1951.
4. В i z e 11 e H., T s a i B. Compt. Rend., 238, 1575, 1954.
5. Дзялошинский И. Е. ЖЭТФ, 32, 1547, 1957; 33, 807, 1957.
6. T а в г е р Б. А., 3 а й ц е в В. М. ЖЭТФ, 30, 564, 1956.
7. Flanders P. J. J. Appl. Phys., 43, 2430, 1972. Крейнес Н. М. Пись-
Письма в ЖЭТФ, 15. 543. 1972.
8. Туров Е. А. Физические свойства магнитоупоридоченных кристаллов,
М.. Изд-во АН СССР, 1963.
9. Боровик-Романов А. С. ЖЭТФ, 38, 1088, 1960.
10. Боровик-Романов А. С, Явелов Б. Е. Труды 3-й региональной
конференции в Праге. Прага, 1964.
11. Астр о в Д. Н. ЖЭТФ, 38, 984, 1960; 40, 1035, 1961.
12. Сноек Я. Исследование новых ферромагнитных материалов. М.,
ИЛ, 1949.
13. Keel L. Ann. de phys., 3, 137, 1948.
14. Kaplan H. Phys. Rev., 86, 121, 1952. К о н д о р с к и й Е. И., П а х о-
:-■ о в А. С, Ш и к л о ш Г. ДАН СССР, 109, 931, 1956.
15. Pauthenet R. Ann. de phys., 3, 424, 1958.
16. СмитЯ, В е и н X. Ферриты. М., ИЛ, 1962.
17. Перекалина Т. М„ Ш у р о в а А. Д., Фон тон С. С. ЖЭТФ, 57,
749, 1969.
18. En z V. J. Appl. Phys. Suppl., 32, 3, 1961.
19. Yoshimori A. J. Phys. Soc. Jap., 14, 807, 1959; V i 11 a i n J. J. Phys.
Chcm. Sol., 11, 303, 1959; Kaplan T. A. Phys. Rev., 116, 888, 1959.
20. Белов К. П., Белянчикова М. А., Левитин Р. 3., Ники-
Никитин С. А. Редкоземельные ферро- и антиферромагнетики. М., «Наука», 1965.
21. Дзялошинский И. Е. ЖЭТФ, 47, 336, 1964.
22. V о п М о 1 п а г S., M e t h f e s s e 1 S. JAP, 38, 959, 1967.
23. Метфессель 3., Маттис Д. Магнитные полупроводники. М.,
«Мир», 1972.
24. Т я б л и к о в С. В. Методы квантовой теории магнетизма. М., «Нау-
«Наука», 1965.
25. Б е л о в К- П. Ферриты в сильных полях. М., «Наука», 1972; Леви-
Левитин Р, 3„ Попов Ю, Ф. Ферримагнетизм. Изд-во МГУ, 1975.
К. главе 5
1. Гуревич А. Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнети-
антиферромагнетиках. М., «Наука», 1973.
365

2. М а с d о п а 1 d J. R. Proc. Phys. Soc, A64, 383, 968, 1951.
3. К a p 1 a n J., К i 11 e 1 C. J. Chem. Phys., 21, 760, 1953.
4. Боровик-РомаиовА. С. В кн.: Проблемы магнетизма. М., «Нау-
«Наука», 1972.
5. Акулов Н. С, Криичик Г. С. ДАН СССР, 81, 171, 1951; 89,
809, 1953.
6. Shaw R. W., Moody J. W., S a n d f о r d R. M. JAP, 45, 2672, 1974.
7. Rossol F. C. JAP, 40, 1082, 1969.
8. D i 11 о п J. F. Magnetism, v. 3. N. Y., 1963, p. 450.
9. S 1 о n с z e w s k i J. C. JAP, 44, 1759, 1973.
10. Konishi S., Kawamoto Т., W a d a M. IEEE. Trans. Magn.,
MAG-10, 642, 1964.
11. К р и н ч и к Г. С, Ч е т к и н М. В. УФН, 98, 3, 1969.
12. К р и н ч и к Г. С. В кн.: Проблемы магнетизма. М., «Науьа», 1972.
13. Кринчик Г. С, Чепурова Е. Е. Труды международной конферен-
конференции по магнетизму в Москве. МКМ-73, т. 1B). М., 1974.
14. Кринчи'к Г. С, Гаиьшииа Е. А. ЖЭТФ, 65, 1970. 1973.
15. Писарев Р. В., Сииий И. Г., Смоленский Г. А. Письма в
ЖЭТФ, 9, 112, 294, 1969.
16. Боровик-Романов А. С, Крейнес Н. М., Панков А. А.,
Та л ала ев М. А. ЖЭТФ, 64, 1762, 1973.
17. Fleury P. A., Porto S. P. S., Cheesman L. E., Guggen-
Guggenheim H. J. Phys. Rev. Lett., 17, 84, 1966.
18. Е 11 i о 11 R. J., L о u d о п R. Phys. Lett., 3, 189, 1963.
19. Tanabe Y., Moriyal, S u g а п о S. Phys. Rev. Lett., 15, 1023, 1965.
20. S a n d e г с о с k J. R., W e 111 i n g W. Solid State Comm., 13, 1729, 1974.
21. Le Gall H., Jamet J. P. Международная конференция по магнетиз-
магнетизму в Москве. МКМ-73, т. I B). М., 1974.
22. Кринчик Г. С, Хребтов А. П., Аскоченский А. А., Зу-
Зубов В. Е. Письма в ЖЭТФ, 17, 466, 1973; Кринчик Г. С, Зубов В. Ё.
ЖЭТФ, 69, 707, 1975.
23. Кринчик Г. С, Бенидзе О. М. ЖЭТФ, 67, 2180, 1974.
К таблицам
1. Б оз орт Р. Ферромагнетизм. М., ИЛ, 1956.
2. Бальхаузен К. Введение в теорию поля лигандов. М., «Мир», 1964.
3. Стенли С. Фазовые переходы и критические явления. М., «Мир», 1973.
4. Н о J. Т., L i t s t e г J. D. Phys. Rev. Lett., 22, 603, 1969.
5. Weiss P., Forrer R. Ann. de phys., 5, 153, 1926; Kouvel J. S.,
Rod bell D. S. Phys. Rev. Lett., 18, 215, 1967; Kouvel J. S., Comly J. B.
Phys. Rev. Lett., 20, 1237, 1968.
6. Li 11 ey B. A. Phil. Mag., 41, 792, 1950.
7. Боровик-Романов А. С. В кн.: Проблемы магнетизма. М., «Нау-
«Наука», 1972.
8. Мог ris h A. H. Physical Principles of Magnetism. N. Y. — L., 1965/
9. Smolensky G. A., Pisarev R. V., Sin у G. Ferrites. Proc. Intern.
Conf. Kyoto, 1971.
10. Wickersheim K. A., White R. L. Phys. Rev., 122, 1376, 1961.
11. Попков Ю. А., Еременко В. В. Физика конденсированного состоя-
состояния, вып. XXVII. Харьков, 1973.
К рисункам
1. Вонсовский С. В. Магнетизм. М., «Наука», 1967, стр. 388.
2. Weiss P., Forrer R. Ann. de phys., 5, 153, 1926.
3. Henry W. E. Phys. Rev., 88, 559, 1952.
4. Kitte'l С Introduction to Solid State Physics. N. Y., 1971.
5 Tanabe Y., Sugano S. Journ. Phys. Soc Japan, 9, 753, 766, 1954.
6. Wittekoek S., Lacklison D. E. Phys. Rev. Lett., 28, 740, 1972.
366

7. Weiss P., Forrer R. Ann. de phys., 5, 153, 1926. Potter H. Proc.
Roy. Soc, A 146, 362, 1934.
8. Segall B. Phys. Rev., 125, 109, 1962.
9. Krinchik G. S. J. phys., 32, 1058, 1971.
10. Zornberg E. I. Phys. Rev., Bl, 244, 1970.
11. Бозорт Р. Ферромагнетизм. М., ИЛ, 1956.
12. В о и со в с кий С. В. Магнетизм. М., «Наука», 1971, стр. 567.
13. Honda К., MasumotoH., KayaS. Sci. Rep. Tohoku. Imp. Univ.,
17, 111, 1928; Bozorth R. M. JAP, 8, 575, 1937; БрюхатовН. Л., Кирен-
ский Л. В. Sow. Phys., 12, 602, 1937; Williams H. J., Bozorth R. M.
Rhys. Rev., 56, 837, 1939; Bozorth R. M. JAP, 8, 575, 1937; Honda K.,
Masumoto H. Sci. Rep. Tohoku Imp. Univ., 20, 323, 1931.
14. M e i k 1 e j о h n J. Appl. Phys., 33, 1328, 1962.
15. Kouvel J. S. J. Phys. Chem. Solids, 16, 152, 1960.
16. Mo о n R. M. JAP, 30, 82 S, 1959.
17. de Blois R. W. Final report AFCRL 67-0107 Bedfrod, Mass. March 1967,
68-0414, Bedford, Mass. Sept., 1968.
18. Шур Я. С, Абельс В. Р. ДАН СССР, 102, 499, 1955; W i 11 i-
а m s H. J., S h о с k 1 е у W. Phys. Rev., 75, 178, 1949.
19. Акулов Н. С. Ферромагнетизм. М.—Л., ГИТТЛ, 1939.
20. С h i k a z u m i S. Physics of Magnetism. N. Y., 1964.
21. Астров Д. Н. ЖЭТФ, 38, 984, 1960.
22. Gorter E. W. Compt. rend., 230, 192, 1950.
23. P a u t h e n e t R. Ann. de phys., 3, 424, 1958.
24. V о п MolnarS., M e t h f e s s e 1 S. JAP, 38, 959, 1967.
25. Heller G. S.. S t ickl er J. J., Thaxter J. B. JAP, 32, 307, 1961.
26. Боровик-Романов А. С. В кн.; Проблемы магнетизма. М., «Нау-
«Наука», 1972.
27. Перекалина Т. М., Аскоченский А. А., Саиииков Д. Г.
ЖЭТФ, 40, 441, 1961.
28. Криичик Г. С, Крылова В. А., Хребтов А. П., Чепуро-
в а Е. Е. Изв. АН СССР, сер. физ., 39, 207, 1975.
29. К р и и ч и к Г. С, Тютнева Г. К- ЖЭТФ, 46, 435, 1964.
30. Krinchik G. S., С h epu r ova Е. Е., Shamatov U. N., Raev V. К,
AndreevA. К- AIP Conf. Proc, N 24, 649, 1975.
31. Кринчик Г. С, Чепуров а Е. Е., Эгамов Ш. В., Раев В. К-,
Андреев А. К- Письма в ЖТФ, 1, 618, 1975.

Георгий Сергеевич Кринчик
ФИЗИКА МАГНИТНЫХ ЯВЛЕНИЙ
Зав. редакцией Т. Г. Батенина
Редактор Г. Е. Горелик
Мл. редактор //. А. Лященко
Художественный редактор
И. Ф. Зыков
Переплет художника В. П. Бодарецкой
Технический редактор К. С. Чистякова
Корректоры М. И. Эльмус, Л. А. Костылева
Тематический план 1976 г. № 124
Сдано в набор 6/П 1976 г. Подписано к печати
11/Х 1976 г. Л-54808 Формат 60х90/,6 Бумага
тип. № 1 Усл. печ. л. 23,0 Уч.-изд. л. 21,9
Изд. № 2789 Зак. 405 Тираж 4150 экз.
Цена 94 коп.
Издательство Московского университета.
Москва, К-9, ул. Герцена, 5/7.
Типография Изд-ва МГУ. Москва, Ленинские горы